Principios de matemática de la Real academia de San Fernando

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\ \

4

V.

PRINCIPIOS
DE MATEMÁTICA

. DE LA REAL ACADEMIA

BE SAN FERNANDO

POR DON BENITO BAILS.

TERCERA EDICIÓN, AÑADIDA.
TOMO í

c

o^ Jtueclet

fttP" . s

MADRID. MDCCLXXXXV.

EN LA IMPRENTA DE LA VIUDA DE D, JOAQUÍN IBARRA.

*■)

'"v PRÓLOGO.

1 cuidado con que he procurado me-
jorar la primera y la segunda edición efe
este Tomo , me ha dexado muy poco
que hacer para mejorar esta tercera.

Todo consiste en haber puesto con
mayor claridad los primeros fundamen-
tos , y las aplicaciones de los quebra-
dos continuos.
:. El Tomo lleva también un Apéndi-

.- ce , donde publico sobre la doctrina de
las casualidades los fundamentos que
tengo por muy oportunos. Punto es tstt
de no poca dificultad : no me dilato : me
he quedado Heno de admiración al ver
como han manejado este asunto Mate-
máticos de naciones extrangeras , hom-
* bres á quienes debe muchísimo agrade-
cimiento esta doctrina. He procurado po-
A nerla de modo, que ni espante ni pre-
™ ocupe. Ninguno se presume 9 ni aun

* ij en-

>

ij

entre los que se han dedicado al cál-
culo de las casualidades, que el Álge-
bra pueda adivinar el acontecimiento de
un suceso ; pero puede el Álgebra in-
vestigar entre muchos sucesos probables
qual es el que tiene mayor probabi-
lidad de suceder.

ÍN-

\

ÍNDICE EÜBX TOMO.

Principios de Arismética '. Pág. r.

De la, naturaleza y especies de los números.* •'. • ibi<L
De la numeración* v * • • • • '» .•■ • -•* . . ..* \ * - *. \ . . ¿V
Reglas de* la Arismética- . ...,♦••.. ;^ **$ .^ ' 9.
Adición de. los...nümerps enterbs. . . . v- '^é v.Y ibict
Sustracción, de. los. números enteros:^:* .^.<>. tg.
Prueba, de la. adición y. sustracciones. . . ; ;» . . 17»
Multiplicación, de los números enteró*. :>>. . \ ,,;°l^
Multiplicación de un numero de muchos guaris-
mos por otro de solo un guarismo. , , . r . . • 24.
Multiplicación de das numero*- dé muchos gua-
: r/mp* ¿oda ww. ... ........ ♦ * . • ••"•■• .••••- • '25.

Algunos usos de la- multiplicación. -. 29.

División de los números enteros. . . . 31»

División de un número de muchos guarismos por

otro de un guarismo solo* • ...".". 33.

División por un numero de muchos guarismos. . 37-

üfóifo <fe abreviar el método declarado 42*

Prueba de la multiplicación y división. ...... 4$.

Algunos usos de la división. ......... • . 4 . . 46.

-De /ar quebrados. 47.

De los enteros considerados á manera de que-
brados ,-...■ *<»* • 48^

üfWo ¿fe alterar los dos términos de un quebró- *

*iij do

iv ÍNDICE.

do sin que' mude de valor. . . aq

Reducción de los quebrados á un mismo deno-
minador • ; # *i%

Modo de abreviar un quebrado. .. . 53.

JUgla.par* bailar el máximo común divisor de

dos. números ggm

Parios modas de considerar un quebrado.. 57»

Operaciones de Aritmética por quebrados. ..... gQ.

Adición, de. los quebrados. é . . ....... v. .. . . gg.

Sustracción, de hs quebrados* .... 6a

Multiplicación de los quebrados. ........... 6t.

División de los .quebrados. . . . . -¿ 63.

Algunas aplicaciones de las reglas xmteceden-

. tes. ...... % . P , . % , , f .......... . . . .64.

De los quebrados continuos,. ..¿.. 66.

Regla para reducir qualquier quebrado común ¡í

quebrado continuo 72.

Operaciones de Arismética con números denomi-
nados. .. ¿ 74.

Adición de número* denominados. • 76.

Sustracción de números denominados.. . ....... 78.

Multiplicación de. números denominados. * « 79.

División de números'' denominados. 8x

De las cantidades decimales. 85.'

Adición de las decimales. . • 90.

Sustracción de las decimales. . . . . 91.

Muí-

ÍNDICE.' v

Multiplicación de las decimales ibicL

División de las decimales. . .. - 97.

Algunos usos de las decimales* • . * 101.

De los números quadrados , y de sus raices» . . . 108,

De los números cúbicos , y de su raiz. 123.

De las razones y proporciones * 134.

De ¡a proporción aritmética. . 138.

De la proporción geométrica. . ♦ ♦ . < 139.

De la regla de tres. < . . . 149.

Regla de tres simple. .... *>.'. ..;...♦...... ibid.

De la regla de tres inversa. . 152.

De la regla de tres compuesta. . . • xg$.

De la regla conjunta ....... .• 157.

De la progresión arismétim. 167.

De la progresión geométrica. . . . . . 170.

Regia general para sumar todos los términos de
una progresión geométrica decreciente. 176.

De las permutaciones. * 177*.

De las combinaciones. .................. 179^

De los logaritmos 183*

Usos de las tablas de logaritmos. 202.

Del complemento arismético ... . . 205.

Comp se. usan las Tablas dé logaritmos para ha-
llar los logaritmos de, ios números que en ellas no . i
están 209.

Principios de Geometría. . . . . 218.

- ■ . - De

vj • ÍNDICE.

De los .ángulos , y de .su 'medición. . . . 227*

De las lineas rectas consideradas en el cír-
culo ..,..,# 241..

- De los Ángulos considerados en el circulo 25a

De las lineas que cierran un espacio , ó de las fi-
guras, planas. ..•...• . • . . . . •-,... ¿ ••.«.. ; &££.V

De los triángulos y y de su. igualdad, . - ♦ ...... 256.'

De los quadr Hateros* 261»

I>¿ los polígonos. ......... ¿264..

De las lineas proporcionales* *....... .<« . . . . 127a

I>e ¿1 semejanza de. las figuras «...,.. 276»

De fcx lineas . proporcionales en el. círculo. . . . . 285.

7>e fox superficies... 287.

Z>é? /a medición de las» superficies. ♦ . . 289I

De la reducción y división de las superficies.. • • . 296.

Comparación de Jas superficies. 30a

De los planos. ....... ♦ . • . 305.

De los sólidos . 310.

Del prisma , y de la medición de su superficie. . ibid.

Medición de. la solidez de los prismas. 312*

De la pirámide , y de la medición de sus su-
perficies *..*.. ••-.. . . ■•• 314.

D¿ la solidez de la pirámide. . • ... .y: ... «r* .*. 317.J
Z>¿ /a esfera 1 y desús sector es y segmentos, y s

de la medición de sus superficies 321.

Medida de la solidez de la esfera , y de sus sea . *

to-

ÍNDICE. vij

tares y segmentos 326.

De la razón que guardan unas con otras las stt-
perficies de los sólidos 328.

De las razones de los sólidos. 330.

De los cuerpos regulares 333.

De la medida de las superficies , y solidez de los
cinco cuerpos regulares ♦ . . . . 33$.

Principios de Trigonometría plana. 336.

De las lineas trigonométricas 338.

Resolución de los triángulos rectángulos 345.

Resolución de los triángulos oblicuángulos 351.

Geometría práctica. s . . • 358.

De las medidas • • ibid.

De los. instrumentos con que se hacen las ope-
raciones de la Geometría práctica. • * . 366.

De la. regla 367.

Del compás. 368..

De las reglas paralelas « 370.

Del semicírculo graduado. 372.

Usos de la regla graduada, 373.

Tabla de los ángulos del centro ■* y de las cir-
cunferencias de los polígonos regulares , desde
el triángulo .basta el duodecágono inclusive. . . 374.

Lineas de las partes iguales. , . .. 377.

Linea de las cuerdas ■. . 381^

Linea de los rumbos. ^382*

Z/-

viij ÍNDICE.

Linea de los senos* ♦...♦...♦. ibid.

Linea de las tangentes ibid.

Linea de las secantes ibid.

Linea de las medias tangentes , 6 de las tangen-
tes de las mitades de los arcos . . . 383.

Linea de las longitudes. . . . . . . ibid.

Linea de las latitudes. . ibid

Linea de las boros 384.

Linea de la inclinación de los meridianos ibid.

■ De la Pantómetra ibid.

algunos usos de la escala de las cuerdas. .... 403.

De la escala de los logaritmos de números. ... 404.

Algunos usos de las escalas de los logaritmos ,
de los senos y de las tangentes. ........ • . . 4ia

Algunos usos de las escalas dobles de tos se-
nos , tangentes y secantes. 411.

Uso de la Pantómetra para la resolución de los

casos de la Trigonometría rectilínea. 415*

Por la escala logarítmica. 4l&*

Por las escalas dobles. ibid.

Por las escalas logarítmicas 41?*

Por las escalas dobles ftÑL

Por las escalas logarítmicas. 4*&

Por las escalas dobles. 42a

Por las escalas logarítmicas. ...*....• 421*

Por las escalas dobles. • 4M*

Por

ÍNDICE. ¡x

Par las escalas dobles . . 424.

De las lineas de los planos. 425.

De las lineas de los sólidos. • 427.

De las lineas de los metales. 432.

Usos de la linea de los metales. 435,

De la nivelación 439»

Instrumentos para nivelar 440,

Tabla de las diferencias del nivel aparente al ver-
dadero. 445.

Construcción del nivel. . . . • . . . 447»

Verificación del nivel.. 452.

Práctica de la nivelación. 456,

Nivelación simple. . , 457.

Nivelación compuesta . .• • • 458.

Perfil de esta nivelación. 461.

Otro método para trazar con mas individualidad
el perfil de una nivelación 463.

Medición de las lineas en el terreno 466.

Como se mide una basa 468.

Como se miden los ángulos en el terreno 471.

Medición de las alturas. 478.

Reducción de los ángulos al centro. 489.

Reducción de los triángulos á un mismo plano. . . ibid.

Advertencias acerca de los triángulos y de las
se"*k*- 492.

Modo de levantar planes , mapas topográficos, y

ma*

x ÍNDICE.

mapas geográficos de corta extensión ¿ • 494.

Apéndice sobre los principios de las probabili-
dades. . 510.

*.-

PRIN-

PRINCIPIOS

DE ARISMÉTICA.

Declarante la naturaleza de los números,
y sus diferentes especies.

i T Lámase , en general , cantidad todo lo que
J-^ sufre aumento ó diminución * ó todo lo que
puede ser mayor ó menor , como la extensión , la
duración , el peso , &c. La cantidad es el objeto de
las Matemáticas ; pero como estas consideran la can*
tidad expresada de varios modos , nacen de aquí los
diferentes ramos de que se compone esta ciencia;
llamándose Arismhica ó Aritmética el ramo que
considera la cantidad expresada con números.

2 Es , pues , la Arismética la ciencia de los nú-
meros ; considera su naturaleza , sus propiedades,
y suministra medios fáciles, así para expresarlos,
como para componeros ó resolverlos , y esto es lo
que llamamos calcular.

No es posible explicar ni entender que cosa es nú-
mero, sin declarar ó saber primero que cosa es unidad.

3 Unidad llamamos una cantidad que se toma ó
elige (las mas veces á arbitrio) para que sirva de
término de comparación respecto de todas las can-
tidades de su misma especie ; quando decimos v. g.
de un cuerpo que pesa cinco libras , la libra es la
unidad, quiero decir la cantidad con laquaicom*
paramos el peso de dicho cuerpo : hubiéramos po-
dido tomar igualmente la onza por unidad , en cu-
yo caso ochenta^ hubiera expresado el peso del cuer-
po propuesto; porque, según severa mas adelante,
cinco libras componen ochenta onzas*

. Twi. I. A Ex-

c/

a - PRINCIPIOS

4 Expresa por consiguiente el numero de quan-
tas unidades ó partes de la unidad se compone una
cantidad propuesta.

5 Si una cantidad consta de unidades enteras,
el numero qué la empresa se llama numera entero;
si se compone de unidades enteras y partes de la
unidad , se llama número fraccionario ; y si se com*
pone solamente de partes de la unidad 9 se llama
fracción ó quebrado : tres y medio es numero frac-
cionario ; tres quartos e¿ número quebrado;

6 Llamamos numero abstracto todo numero que*^
expresa unidades sin decir de que especie son , v. g.
tres y ó tres veces , quatro , ó quatro veces son núme-
ros abstractos ¡ pero si el número dice también de
que especie son las unidades que expresa, como quanr
do decimos qifatro pesos , seis hombres , el número
se llama concreto.

! t>e la .Numeración*

1 Si. á la unidad añadimos otra unidad y saldrá
el número que llamamos dos , y compondremos los
números siguientes tres ^ quatro ^ cinco , &c. coa aña->
dit mas unidades á los números formados ya» Y co-
mo se pueden añadir hastg el infinito unidades unas
íl otras , es patente que puede haber una infinidad
de números posibles todos diferentes: porcoasiguien*
te si á cada número se le hubiere de expresar con una
figura ó carácter particular , serian infinitas en. nú-?
mero estas figuras , y apenas bastaría la vida de un
hombre para enseñarse á contar hasta veinte, miL

Fué, pues* preciso desde los principios buscar un
modo de expresar todos los números posibles con un
corto número de figuras ó caracteres , y en esto con-
siste el arte de la numeración.
8 Los caracteres que sirven ^n la numeración

que

DE ARISMÉTICA. 3

que seguimos , y los nombres de los números que
representan son los siguientes»

<L>

O

O ta • ca

S 8 ui « 2 >

•3. s

OI23456789

Para expresar con estas pocas figuras todos los nú-
meros, se han convenido los Arismóticos en. redu->
ctr diez unidades á sola una , que llaman decena-*
en contar por decenas del mismo modo que por
unidades , esto es , en contar una decena , dos de-
cenas , tres decenas , íkc. hasta nueve ; y en servir-
se para representar estas nuevas unidades de los
mismos guarismos con que pintan las unidades sim-
ples , pero distinguiéndolas por el lbgar donde se
asientan , á cuyo fin las ponen al lado de las uni-
dades simples acia la izquierda.

En virtud de esto , para representar cinquera a y
quatro , que se compone de cinco decenas y quatro
unidades , se escribe 54 ; para paitar sesenta 5 que sé
compone de un numero cabal de decenas sin uni-
dad alguna , escriben 60 , poniendo un cero k la de-
recha del 6 i lo que da á entender que no hay uni-
dades simples , y hace que el guarismo 6 represen-
te decenas. A este modo se puede contar hasta no-
venta y nueve inclusive. - .

9 Adviértase de paso una propiedad de la nu-
meración actual y y es que un guarismo puesto al
lado izquierdo de otro, ó al lado izquierdo de un
cero , expresa un numero diez veces mayor que si
estuviera solo.

10 Siguiendo d mismo sistema ó método , des^
de 99 se puede contar hasta novecientos noventa y
nueve. Con diez decenas se compone una sola uni-
dad llamada centena, ó centenar , porque diez veces

A 2 diez

4 PRINCIPIOS

diez so** ciento; se cuentan estos centenares desde
«na hasta nueve , y se representan con ios mismos
guarismos , pero colocándolos al lado izquierdo de
las decenas. v

En virtud de esto, para pintar ochocientos cin-
cuenta y nueve , cuyo número se compone de ocho
centenares , cinco decenas , y nueve unidades, se es-
cribe 859, Sí quisiéramos pintar ochocientos y nueve,
cuyo numero se compone ele ocho centenares , nin-
guoa decena, y nueve unidades, escribiríamos 809,
quiero decir que pondríamos un cero en lugar de
las decenas que no hay. Si tampoco hubiese uni-
dades , pondríamos dos ceros y de modo que ocho*
cientos se ha de escribir así 80a

1 1 Las ochocientas y nueve unidades se escriben
de este modo 809 , poniendo un cero en lugar de
las decenas que faltan ; porque si el que quiere pin-
tar ochocientos y nueve, no pusiese figura alguna
en lugar de las decenas que faltan , escribiría 89,
doode el guarismo 8 expresa decenas (9) y no cen-
tenares , como debe ; luego para que el 8 exprese cen-
tenares , ó valga ochocientos , ha de haber un cero
entre el 8 y el 9. Esta consideración se aplica á to-
dos los casos parecidos al que acabamos de proponer»
. u De lo dicho hasta aquí se sigue , que un
guarismo al qual se siguen otros dos , ó dos ceros,
representa un número cien veces mayor que si. es*
tuviera solo. •

13 Desde novecientos noventa y nseve contamos,
siguiendo el mismo sistema , hasta nueve mil novecien-
tos noventa y nuefa^ para lo qual janeamos unos con
otros diez centenares ? que componen la unidad lla-
mada mil ó millar y porque diez veces ciento son
mil , contando estas unidades como las otras , y fi-
gurándolas con los mismos guarismos puestos al la-
do izquierdo de los centenares»

DE ARISMÉTICA. 3

14 . Siete mil ochocientos cincuenta y nueve se es-
cribe así 7859; siete mil y nueve de este modo 7009,
y siete mil de estotro 7000: por donde se ve que en
un guarismo al qual se siguen otros tres , ó tres ce-
ros , vale mil veces mas que si estuviera solo.

Siguiendo constantemente el sistema de juntar
diez unidades de cierta orden en sola una , y de
colocar las nuevas unidades que de aquí. se origi-
nan en lugares tanto mas adelantados átia la iz-
quierda, quaoto mayor sea su orden, se jyeden ex-
presar , y expre&unos con efecto todos los números
enteros imaginares.

. 1$ El que esté hecho cargo de lo dicho hasta
aquí, entenderá con suma facilidad como se leen
los números compuestos de muchos guarismos, por
grandes que sean > v. g. el siguiente.

3

Se divida ó distingue *1 número propuesto, era*
pezando por la derecha , en rebanadas é periodos
de sos guarismos, figuras *-. caracteres cada tina,
que llamaremos periodos mqyores, El primer perio-
do á mano derecha expresa unidades,. el segundo

A 3 cuen-

6 PRINCIPIOS

cuentos ó millones , el tercero bicuentos , fel quar-
to tricuentos , &c.

Cada periodo mayo* se divide en dos menores
*de tres figuras cada uno ; de modo que se escriben,
ó suponen escritas las unidades en su primer gua*»
rismo á mano derecha , las decenas en el segundo,
y los centenares en el tercero.

Se empieza leyendo por la izquierda, nombran-
do los centenares , decenas y unidades' , cada una
en su r^pectivó lugar donde están las figuras que
las expresan ; al fin de cada primer periodo menor
se pronuncia mil , y al fin del segundo , donde acá*
ba el periodo mayor, se expresa el nombre que va
señalado encima de su última figura.

Para leer , pues , el número 50765 qué no tiene
mas de cinco figuras , faltándole una para compo»-
ner un periodo mayor , se le dividirá en dos perio-
dos menores , empezando por la derecha del mis-
mo modo que si hubiera seis figuras, con lo que
el periodo menor de la izquierda no tiene mas qú*g
dos guarismos , escribiendo u sobre las unidades,, d
sobre las decenas , y c 3obre los centenares, enf es-
ta forma

du cdu í. . :.

■ ;: &> 76s¡. K¿ .'■' ^ ::'

y ¿diremos ciqquetitá mil setecientas sesenta y eih-
co unidades. :\ . " *: *J ; ~|

*;Si el número' propuesto fuese 350765:^ pondría-
mos ;.• :'-.;. t p„ «. . t . :. ;
r. v fc <# t üc4v *rf* o ^ i> * *
350 765

5rteertíiraos|«trescreiitá5 daoicoró: ifail'seteciéntái se-
«eota y rincri «unidades» . ••'• } ,;/: • "?

Se i me propone para que le lea el número... .
•43876543876543 ¿después de dividirle conforme á
4o enseñádor,- y aquí »,vfj \ ,. .-> «-. ¿i: n '.'*
t.uo i ü di-

DE CRISMÉ TICA. 7

du cdu cdu
'43 876 543 876 543 >

- . «

digo quarenta y tres bicuentos, ochocientos seten-
ta y seis mil ,' quinientos quarenta y tres cuentos,
ochocientas setenta y seis mil , quinientas quarenta
y tres unidades.

( £1 número- 24185796432 19004613254768096 se
escribirá y leerá como sigue f .

. . •

cdu cdu cdu cdu cdu
3418 579643 219004 613254 768096
• • • • •

dos mil quafaxxríentos diee y ocho quatrkuentos,
quinientos setenta y nueve miL seiscientos* quarenta

y tres tricuentos,
doscientos diez y nueve mil y quatro bicuentos,
seiscientos trece mil doscientos cincuenta y quatro
cuentos, „ ' . ■

¿setecientos sesenta y ocho mil , y noventa y seis*
• 16 Del método ó sistema de numeración que
acabamos de declarar, y que por lo dicho (8) es de
puro convenio, se infiere que yendo de la derecha
á la. izquierda, las unidades de que consta cada
guarismo van siendo diez veces mayores ; y qué por
consiguiente para hacer que un número sea diez
veces , cien veces , mil veces &c. mayor , basta po-
ner á continuación del guarismo de sus unidades
uno, dos, tres &c. ceros : al contrario , retrocedien-
do de la izquierda á la derecha , . las unidades van
siendo diez veces menores.

Esta numeración es el fundamento de todos lo»
demás modos de contar ; bien que no todas las ara-
tes siguen siempre el método de contar- solo por
decenas, por decenas de decenas &c

17 Siempre que hay empeña de determinar ca-,

Á4 v ba-

* * PRINCIPIOS

bales las diferentes especies de cantidades , es pre-
ciso , para facilitar el trato 9 subdividir las medidas
principales de cada especie en otras menores , y es-
tas en otras todavía menores ,• hasta llegar á sub-
divisiones tan pequeñas que puedan despreciarse en
las cuentas prácticas. £1 que considere con cuida-
do las diferentes medidas que usamos , ya de pe-
sos , ya dfc monedas , &c. pensará que son efecto
de la casualidad sus subdivisiones. Pero si lo refle-
xiona coa madurez echará de ver que cada una de
ellas puede considerarse como otro sistema de nu-
meración ; de donde se sigue que pues todo sistema
es arbitrario , hubiera sido mas puesto en razón y
mas acomodado seguir en las subdivisiones de las
medidas, el sistema de la numeracipn actual de la
progresión decupla , con lo que se hubieran excu-
sado los. quebrados y las operaciones hubieran si-
do mucho mas sencillas. Aunque no está en nues-
tra mano mudar las medidas , enseñaremos en ade-
lanté como todas las subdivisiones de nuestras me-
didas se pueden arreglar por el sistema de nume-
ración declarad^/

18 En el cálculo de las cantidades , de qualquier
modo que vengan expresadas, y por consiguiente
en el cálculo de los números , se usan ciertos sig-
nos que sobre abreviar sus expresiones , indican las
operaciones hechas ya ó por hacen Explicaremos
aquí los principales , dexando el dar 4> conocer ios
demás para quando declaremos los modos de calcu-
lar donde -es estilo , y trahe conveniencia usarlos.

Las primeras operaciones que con los números
se hacen son r.° buscar uno que exprese el valor de
muchos $ 2.° restar de un número dado otro menor
para saber que exceso lleva aquel á este. El signo
con que señalamos el valor de dos j^mas números
lutitoses *h, que se pronuncia tñasx 3+4 y. g. ¿e

lee

DE AklSMÉTlCA. . -g

lee tres mas qüatro , y está diciendo que el valor
de 3 se junta con d de 4.

El signo con que señalamos <£ie üti número se
resta de otro , 6 la diferencia que hay entre los dos
es — , y se pronuncia menos j 4—3 , v» g. se lee
4 menos 3 , y está diciendo qué del 4 se ha re*
bajado , ó debe rebajar el 3. *

Para expresar el resultado «final de todo cálcu-
lo se usa este signo rr que se pronuncia vale ó es
igual á ; como ? es ló que resulta de juntar 3 con
4 , escribimos 3+4=7. Por ser uno lo que queda ó
vesta después de rebajar 3 de 4 , escribimos 4—3=1 ,
y decimos 4 menos 3 vale 1 , ó es igual a 1.

■ « ir '

Reglas de la ArismétiCa.

- 19 Td objeto de la Arismética es , según lleva-
mos dicho, dar reglas para calcular con facilidad
los números , procurando reducir el cálculo de los
números mas complicados al cálculo de los números
mas sencillos, ó expresados con el menor número
posible de figúras.f:

Las operaciones con que consigue esta ciencia
su fin no son mas que dos , hablando con propie-
dad ,,y según dexamos insinuado poco ha (18); pe*
K> contamos comunmente quatro , que son sumar,
restar , multiplicar y partir , ó con otros nombres,
adición , sustracción , multiplicación y división.

Explicaremos como se practican estas quatro re-
'glas primero con enteros , y después con quebra-
dos*

Adición de los números entecos.

20 Quando se calculan muchos números con el
fin de expresar con uno solo el valor de todos, la
pperaciDn se Uama. Adición.

Quan-

io PRINCIPIOS*

Quando los números por sumar tienen solo un
guarismo , no se necesita regla, alguna pata sacar su
suma i pero si tienen muchos guarismos v se halla
su. suma practicando la regla siguiaqte.

21 Escríbanse unos encima de otros todos los
números por- sumar , de modo que las unidades de
todos estén en una misma linea de arriba ab^jo que
llamaremos colutfma\ lo propio digo de sus decenas,
centenares &c. y tírese por debaxo de todas las par-
tidas^ escritas con este cuidado . upa linea;

Júntense primero unos con otros todos los va-
lores de los números, que ocupan la columna de las
unidades: si la suma.no pasa de 9, póngase. deba*
xo ; si pasa de 9 , tendrá decenas : escríbase deba-
xo lo que hubiere Memas dejas decenas; cuéntense
las decenas que hubiere por otras tantas unidades,
y júntense con los «números de la columna inmedia-
ta : practíquese con los números de la segunda co-
lumna la misma regla que con los de la primera,
y vayase prosiguiendo al mismo tenor de columna
en columna hasta la última > debaxo de la qual se
escribirá la -suma conforme saliere. Con los exem-
píos aclararemos esta regla.

22 Quiero saber qual es el valor de 54925+2023*
Para sumar estos dos números los escribo como, aquí
se ve

549*5
2023

suma. ...... 56948

y después de tirada la linea , empiezo por las uni-
dades 9 diciendo : 5 y 3 son 8, pongo 8 debajo de la
columna de las unidades. Paso á la columna de las
decenas , y digo : 2 y 2 son 4 , pongo , pues, 4 deba*
jo. En la columna de los centenares digo: 9 y o son 9*

es-

DE T<JÍR1$MÉT1CA. n

«cribcr, pues v 9 debajo. En la columna de los mi*
llares , digo-- 4 y a son 6* escribo , pueA> , 6 .debajo
de dicha «tonina. Finalmente v en la columna d?
las dierais detifcsUat > etfgó>: 5; y oacfct son g,y^
cribo igualmente 5 debaxo.

EL número 56948 que saco- por esta operación
<es< la suma de los dos números propuestos; porque
se compode de las unidades* decenas, centenares i^ mi*
llares de, ambos, que hemos ido Juntando succesiva*
mente unos con otros. Luego 54925-1-90233569481
23 Se me pide la suma 4e los quatro números
siguientes 6903 , 7854 , 953 , 7327,

Escríbolos como se ve, 6003 *. " • )

í¡fr ^ 7854 . o

9S3 '-"■■:.■

7327

* Miflfe..... 23037 v ?

l . •■ si-
Empezando como antes por la d4fó$S, digo:
3 y 4 son 7 y y 3 son 10 , y 7 son 17? escribo
las siete unidades debajo de la primea tohttnna 9 y
llevo la decena para añadirla como unidad: á los nú-
meros de la columna siguiente , que también expre-
san decenas. ".' -á

Pasando á la segunda columna , digo : 1 que lie-
w:yrq ssoni ,y gso6 6, y 5! son 11 , y 2 son 13;
fango 3 debajo de esta columna *, y ren lugar de la
decena, llevo» fina:<uaidad<^^gdftga:,á^iafcctopM
inmediata , diciendo : 1 que llevo y 9 son 10 , y 8
son 18 ,iy <F%orL%?^tyi$sóu $Q\ypoti&xo debajo
de esta columna , y en lugar de las tres decenas,
llepo-lreg unidades^ xpie agrega á la columna si-
jgptence diciendo igualmente : 3 que llevo y 6 son 9,
y 7 soavi£y.y~7^tt&3jppotigot£
•¿/j • lum-

is PRINCIPIOS

lumna ; y como no se sigue otra , escribo mas ade-
lante las dos decenas que me tocaría agregar á la
columna siguiente sí la. hubiese. £1 número 23037
que saco manifiesta 4^:69034-78544-953-4-7327—
23037.

. 24 Son á veces tantas las partidas por sumar,
que es fácil equivocarse siguiendo al pie de la le-
tra la regla dada. Entonces se divideo todas en tres
partes v. g* se saca la suma de cada división v y se su-
man después las tres sumas. Para . sumar las doce
partidas aquí puestas , las divido como

34S6?

62034

91S02 *35338

47235 22088a

:— » 259502

32180

72467 715723

87310

20074
97403

ss?r

Aquí se ye ; saco la suma de cada división * asiea*
to las tres sumas j, y sumándolas todas tres sale
715722, suma de todas iasdooe partidas. . >

Sustracción de, hs Números enteros» . \

25 La Sustracción es una operation en la qual
se resta un número de. otro., £1 rebultado de cuya
operación se llama resta* ewesa ó difen&kL

DE* ARISMÉTICA. 13

26 Para practicar está operación , se escribe el
número que se quiere restafr debajo del otro , del
mismo modo que si se hubieran de sumar ; y ti-
rando una linea , se quita yendo de la derecha á
la izquierda cada número inferior' del superior cor-
respondiente , esto es , las unidades de las unidades-,
las decenas de las decenas ,- íkc. Se escribe cada
resta debajo por el mismo orden , y cero quando na
resta nada.

Quando el guarismo inferior es mayor que su
correspondiente superior, se le añaden á esté diez
unidades , sacándolas con el pensamiento de su in-
mediato á la izquierda , el qual por esta razón se
considera como una unidad menor , conforme se ve-
rá en él segundo exemplo , señalando cori ün punto
el guarismo del qual se toma la decena.

27 Para restar 5432 de 8954, ó saber quanto vale
89S4*— 5432 , escribo las dos partidas como sigue*

8954
' 543*

resta. • 3522

y empezando por las unidades , digo r si quito 6 re-
bajo dos de 4 , resta 2 que pongo debajo j pasando
después & las decenas , digo :« si quito 3 de 5 , res*
ta 2 que pongo debajo de las 'decenas. Llegando á
la tercer columna , digo : si quito 4 de o, resta $>
póogole debajo de la misma columna. Finalmente,
paso á la quarta columna , y "digo : si quito 5 de 8,
resta 3 ; pongo 3 debajo del 5 , y hallo que después
de restar 5432 de 8954 , queda la resta 355» , y
que por consiguiente 8954—5432=3522

28 Para restar 7987 de 27046 , escribo las dos
partidas como se ve

•* res-

14 a PRINCIPIOS

• • • •
27646

7987

resta. .... . . . 19659

como no puedo restar 7 de 6 , añado al 6 diez uni-
dades quitando una unidad al guarismo 4 que está
.inmediatamente á la izquierda , porque una unidad
de la segunda columna vale diez unidades de la pri-
mera (9), y digo: si resto 7 de 16 resta 9, que
pongo debajo del 7. En este exemplo cada uno de
los guarismos 2764 de la partida superior va seña-
lado con un punto para recordar que á cada uno se le
¿a quitado una unidad.

Paso, después á las decenas ; pero ao diré ya : si
resto 8 de 4 , pero diré : si resto 8 de 3 no mas,
porque el 4 tiene de menos la unidad que añadí al
o : como no se puede restar 8 de 3 , añadiré tam-
bién al 3 diez unidades, sacando una del guarismo
6 que está inmediato á la izquierda ; y digo : si res-
to 8 de 13 , queda 5 > pongo , pues , 5 debajo del 8.

Paso á la tercer columna, y digo igualmente:
si resto 9 de 5 ó ( practicando lo que poco ha ) si
resto 9 de 15 , queda 6 , y pongo 6 debajo del 9.

Llego á la quarta columna , y digo por la mis-
ma razón : si resto 7 de 69 drpor mejor decir, de 16,
quedan 9 , y le pongo: debajo del 7 ; y como no hay
nada que restar de la quinta columna , pongo de*
bajo de ella no 2 , porque al 2 se le ha quitado una
unidad , sino 1 , y saco la resta 1965(9 ; de modo
que 27646—7987=19659.

29 Si la figura á ia^ual se ha de quitar una unidad
fpesé cero, se tomará la unidad, no del cero , sino de
la primer figura significativa inmediata á la izquierda
del cero ; pero aunque entonces se toma 100 ó 1000,
ó ioooo , conforme hay uno , dos ó tres ceros se-
m gui-

DE ARISMtTICA. 15

guidos , no por eso dexará de practicarse lo ense-
ñado : quiero decir que no se le añadirá mas de 10
al guarismo necesitado : y porque estos 10 se toman
de los joo, ó de los 1000 &c. para emplear los 90

• d los 990 restantes y se cuentan los ceros que se si-
guen por otros tantos 9 , como lo declara el caso

••siguiente.

De.. • . 20064

quiero restar» .....'.. 17489

resta. 2575

Digo desde luego : si resto 9 de 4 4 de 14 ( qui-¿
tafido,para-añkdirla al 4 *ma unidad al guarismo si^
guíente 6 } resta 5. Para proseguir la operación, con-
sidero que como 00 se puede restar 8 de £ , ni tam-
poco se puede pedir unidad alguna 6 ninguno de los dos
caracteres inmediatos que son dos ceros , he de sacar
tma unidad del 2* la qualvale mtt respepta del guaris-
mo 6Tpyes contando desde el 6 acia la izquierda , di-
ciendo : unidad-, decena &«j. el 2 A-ale millares. De cu-
yo millar no le añado sino 10 unidades al 6 que ahora
no vale sino 5 , y digo : si restó 8 de 15 queda 7.

Como del millar de unidades quitado al 2 he
agregado kotásio al guarismo -5 * dt 1*& 99° ^esn
tantes resto tos. números qué hay -debajo- de los ce*
pos;, :ld que Tiene á ser la propio que si tomara ca-
da cero por 9 , digo, pues: si resto 4 de 9 queda
5; si resto 7 de 9 , queda 2 , y finalmente ; si resta
1 de 1 jqo queda nada. . . ~ ■

30 Siempre que ocurre restar un número rueño*
de otro mayo© > la regla no tiene dificultad ; pero
parece impracticable quando hay que restar de un nú-
'é mero menor otro i&yor , como quando hay que ave-

riguar el haber de un hombre que debe mas de lo
que tiene» Entonces la operación se hace al revés*
; ^ quie-

#

16 PRINCIPIOS

quiero decir que el número menor se resta del ma-
yor , y se señala la resta con este signo — , el qual
expresa la naturaleza del caso, y es causa de lla-
marse negativo el número al qual acompaña.

31 De aquí se sigue que hay cantidades nega-
tivas contrapuestas á las que llamamos positivas , y
se señalan estas con el signo -f- ; con efecto , el haber
de un hombre que nada debe y tiene 6. reales, es ^

positivo -t- 6 ; el haber de un hombre . que nada tie-
ne y nada debe , es nada 4 cero ; el haber de un
hombre que no solo nada tiene , sino que ademas
debe 6 reales , es menos que nada , es negativo — 6,
porque los 6 reales que debe destruyen o reales que
se le dieran j por manera que dándole 6 redes , ó lo
que es todo uno r perdonándole la deuda, su haber
seria nada ó cero. Por consiguiente el haber de este
hombre es -+-6 , .0 — 6 •; sobre cuyas expresiones
conviene hacer una consideración de mucha impor-
tancia , y es quesero es el término desde donde em-
piezan, las cantidades positivas y negativas , siendo
las primeras rtias que .cero, y las otras menos que cero.
Supongamos ahora , para dar un exemplo del ca-
so que ha dado motivo á estas consideraciones , que
32 nos ofrezca ajustar las cuentas á un hombre que
tiene 3 reales;, y debe 6 ; claro está, por lo dicho , que
su haber es — 3* pues te faltan 3 reales para que su
haber sea a E^ lugar <}e restar la deuda 6 del ha**
ber 3, haré lo contrario,, y restaré 3 de 6, la resta coa
el signo negatiw — 3 será el haber del tal hombre. -

32 De la naturaleza de las cantidades negativas \

ae sigue que se han de calcular al revés de lasf po- |

sitivas;; quiero decir , que quando ocurra sumar una
cantidad negativa con otra positiva , se ha de res- \

tar aquella de esta; porque si ^feero sacar lo que 4

turnan las deudas de un hombre con su caudal , he
fte rebajar .aquellas .dé &t£ i si quiero restar. una can-

LE ARISMÉTICA. 17

tidad negativa de otra positiva , he de sumar aque-
lla con esta ; porque rebajar ó quitar deudas á uno
es aumentar su caudal , es darle dinero.

33 Luego por lo mismo que las cantidades po-
sitivas son patentemente mayores que nada, y las
negativas son menores , los números positivos se
formarán añadiendo 1 á o , esto es á nada , y conti-
nuando con añadir succesivamente mas unidades á
cero. De aquí nace la serie de los números llama-
dos naturales r cuyos primeros términos son los si-
guientes

o, +1 , +a , -4-3 , +4 +$ +6
Si en vez de añadir succesivamente unidades i o , las
iuésemos restado ? resultará la serie de los números
negativos cuyos primeros términos son los; siguientes.

o, — 1 , — 2, — 3, —4.
Sigúese de aquí que 1 — i es nada ó cero , 2 — 2f
lo mismo , 3 — 3 es también cero , &c. ; que 4 — 7
cs """3 i porque si un hombre tiene 4 pesos y de-
be 7 j no solo no tiene nada , sino que todavía de-
be 3 pesos; por lo mismo 8— 13 es —5, y 30— 48

CS l8. y¡/

Pmeba de la Adición y Sustracción.

34 Probar una operación es hacer otra que dé
4 conocer con evidencia que la primera está bien
hecha > . y que en su .práctica no se cometió ni des-
cuido ni error , lo que en muchas ocasiones se con-
sigue haciendo otra operación contraria á la prime-
ra. Porque si la primera fué bien hecha , la segun-
da , que deshace la que aquella hizo , ha de repo-
ner las cq|^ en el primer estado que estaban antes
-de executarse la pjápera.

Demostrar una Bperacion es hacer patente que

las reglas por las quales se executa concuerdan con

la razón y esto es con principios ciertos y evidentes.

Tom.I. - B Su-

-t8 > pkrNCTPIOS T

Supuesta esta distinción , diremos como se averigua
si la regla de sumar, y la de restar están bien hechas.

35 La adición se prueba sumando otra vez las
-mismas partidas y pero al revés , quiero decir em-
pezando por la izquierda. La suma de la primer
columna se quita ó resta de la parte que le corres-
ponde en la suma inferior ó total y debajo de la qual
se escribe la resta; esta se reduce con el pensamien-
to á decenas para juntarla con el guarismo siguien-
te de la misma suma á la derecha, y del total se
resta la suma de la columna superior. Se prosigue
al mismo tenor hasta la última columna, que es la
primera de la derecha , cuya suma se resta del na-
.mero inferior correspondiente; y. si 1* adición fué
bien hecha , no ha de quedar nada.

- j
23037 - >

* íft°

En virtud de esto ,. para asegurarme de que la
partida puesta, debajo de la raya es la verdadera, su-
ma de las quatro partidas de encim^y sumo otra
vez las quatro partidas empezando por la izquierda,
y digo : 6 y 7 son 13 , y 7 son 20; restólos de 23,
queda 3,63 decenas de la columna siguiente v las
quales añadidas con el pensamiento al o que le coi>
responde comjtonen 30. Paso á la segunda columna
y digo : 9 y 8 son 17, y 9 son «6, y 3 son 29; résr
tolos de 30 , y queda 1 , ó una decena, la qual aña-
dida con el pensamiento al guarismo siguiente 3,
compone 13. Sumo unos coa otros todos los núme-
. ros

DE ARISMÉTICA. ig

ros de la columna que está encima de estie 3 y dicien*
do : 5 y S son ío 9 y 2 son l*i restólos de 13, queda
i,ó una decena, la qual añadida con el pensamien-
to al 7 que se sigue compone 17. Sumo todos los gua*
rismos de la quarta columna , diciendo : 3 y 4 son 7,
y 3 son 10 , y 7 son 17 ; restólos de 17 , no queda
nada , de lo que infiero que la suma sacada es la
verdadera.

Porque es patente que si se quitan sucesivamen-
te de una suma todos los millares , centenares , de*
cenas , &c de que se compuso , no ha de quedar na-
da j pues claro está que quitando de un todo todas
bs partes de que se compone 9 no ha de quedar
cesta alguna. .

36 Para probar la sustracción , se suma la resta
con el número menor , ó el que se restó ; la suma ha
de ser igual al número mayor si la sustracción fué
bisa hecha. .

• 2bog4 ' T

<: it .. -1 - 17489 •■".--

2S6S i

-;:JEir taeíDfáo de jiuattapába "aquí puesto es* bierf
hecho , porque ¿a, suma dfed? *e#a 2565 y del n¿r
mero menor 17489, es igual al número mayor 20054.
Y claro está que si á un ijumero menor que otro se
le añade el exceso que e^te le lleva y han de salir
iguales uno con otro amb^s números.

Multiplicación de los Números enteros.

* &flcll$ftipHc*r uh; toa añero pof otro es toma* $
mqWuK{ ptUBS^o it4aou)^qcé&/quántas :uagiadcá Ihay

B 2 en

SO PRINCIPIOS

en el segando. Multiplicar v. g. 4 por 3 es tomar tres
Teces et numero 4» ;

£1 número por multiplicar se llama multiplican-
do ¡ el número por el qual se le multiplica , se lla-
ma multiplicador ; y lo que sale de la multiplicación
se llama producto.

. £1 multiplicando y -el multiplicador se llaman
también los factores del producto ; 3 y 4 v. g. se»
los factores de 12, porque 3 veces 4 son 12 , y 4
veces 3 son también 12.

38 De aquí se deduce que , en la multiplicación,
quanto la unidad es menor que el multiplicador, tan-
to el multiplicando es menor que el producto ; ó ak
revés , quanto el producto es mayor que el multi-
plicando , tanto el multiplicador es mayor que la
unidad : v. g. , 1 cabe tres veces en 3 del misma
modo que 4 en 12 ; y coma en 12 cabe 4 tres ve-
ces 9 también 1 cabe tres veces en 3. Y como pode-
mos tomar por multiplicando el que queramos de los
dos factores , también es cierto que 1 es menor que 4,
del mismo modo que -3 es-menor que 12.

39 Por lo que hemos dicho que es multiplicar
un número por otro , queda manifiesto que esta ope-
ración podría practicable y ¿escribiendo tantas veces
el multiplicando quantas unidades hay en el mul-
tiplicador^ y ^acaadaidespate la «sumar Para riñúti-
pücar v. g.~7 por 3 se pbdüarescribiii, - ^ r

v ... ..\j 1: .. c j /• i¡ t»l oi^b i;^ (.1 /j/'j Í'J :;l J.nr. ti

.* " ' "í¡:*. cOdifii* O' yj fiO-> OíllJ «/; \j-£l

• • -."ir~i .- ..* ^

y la suma que safe de esta adición seria él prodtf&a
* Pero quando el pulripUcador es gcaadt ¿ la*ope«¿

• i. ra-

DE\ ARISMÉTICA. tz

ración hecha por este término seria muy larga ; la
que llamamos multiplicación es el método de hallan
el mismo resultado por un camino mas breve ; de
donde se infiere que la multiplicación es un méto-t
do breve de hacer la adición. . >

40 Quando se consideran los números de un mo-
do abstracto, esto es, sin atender á la naturaleza
de sus unidades, está al arbitrio del calculador to-
mar por multiplicando , ó multiplicador el que quie->
ra de los dos números propuestos. Si hemos de mul-
tiplicar v. g. 4 por 3 , lo mismo tiene multiplicar 4
por 3 , que 3 por 4 ; el producto en ambos casos se<"
rá 12 ; y de hecho , 3 veces 4 no son otra cosa quft
el triplo de 1 vez 4 , y 4 veces 3 son el triplo de
4 veces 1 ; pero es evidente que 4 veces 1 ,, y 1 vez
4 son una misma cosa; y lo mistmo se puede decir
de otro numero qualquiera.

41 Pero quando por los términos de la cuestión
6 pregunta , el multiplicando y el multiplicador son
números concretos , importa distinguir el multipli-
cando del multiplicador, cuidado necesario especial-
mente en la multiplicación de los números denomi-
nados , conforme veremos en adelante.

Esta distinción la hará fácilmente el calculador
siempre qué se entere bien de los términos en que
viene pppuesto el caso que da motivo á la multi-
plicación ^porque él mismo da á conocer qual de
las dodkikmtidades se ha de tomar muchas veces, es-
to es,aual es -el multiplicando, y qual es la que
señala qBntas veces se ha de tomar la primera, quie-
ro decir , qual es el multiplicador.

42 -Como el oficio del multiplicador es expresar
quantas veces sé debe tomar el multiplicando, siem-
pre es un número abstracto; quando se pregunta y. g.
quanto importan 52 varas de paño á 36 reales la
vara , se viene i los ojos que el multiplicando es, 36

B 3 rea-

3* ' PRINCIPIOS

leales , los quales se han de turnar $2 veces , sea
que $2 exprese varas ú otra cosa qualquiera.

Por consiguiente el producto que sale de sumar
muchas veces el multiplicando , expresará unidades
de la misma especie que el multiplicando.
- 43 La multiplicación de las partidas por gran-
des que sean se reduce á multiplicar una partida
de un solo guarismo por otra partida también de
un guarismo solo. Es por lo mismo muy provecho-
so exercitarse en hallar el producto de los núme-
ros que nó tienen mas de un guarismo , sumando
muchas veces un número con el mismo. Para el ca-
so es sumamente socorrida la tabla siguiente.

I

2

3

4
5
6

7
8
9

2

4
6

8

IO

12

16
18

3

6

9

12

15
18

21

24

27

4
8

12

16

20

24

.5

IO

15

20

25
30

6

12

r8
24
30

7

14
21

28

3S

8
16

'A

32

40

48

56

64

72

9
18

27
36

45

54
63
72
81

36

42
48

42
49
56

28
32
36

35
40

45

54

63

La primer columna de esta tabla, á mano izquier-
da, se forma. sumando muchas. veces de seguida 1
¿ con

DE AK1SMÉTICA. 23

coa 1 ; la segunda sumando del mismo modo 2 con 2;
la tercera , sumando del mismo modo 3, con 3 , &c.
Para hallar con el socorro de esta tabla el pro-
ducto de dos números de un soló guarismo cada
uno , se busca el uno de los dos números , v. g. el
multiplicando, en la fila superior de la izquierda
i la derecha , y desde el mismo número se baja en*
linea perpendicular hasta llegar al quadro que está
eafceaM^dei multiplicador 9 el qual se halla en la
"piínifcr columna á mano izquierda ; el número que
está en dicho quadro es el producto. Para hallar
v. g. el producto de 9 por 6, ó quanto val^i 6 veces 9, *
voy bajando desde el 9 de la primer fitfc hasta lle-
gar al quadro que está enfrente del 6 de .la pWmer
columna ; el número 54, que está en dicho quadro,'
me está diciendo que 6 veces 9 son 54*

44 La señal de la multiplicación es esta x , que
se pronuncia multiplicado por; de modo que 3 x 4=
M , quiere decir, que 3 multiplicado por 4 vale 12. .
En lugar del signo x sirve también un panto : v. g.
3 . 4 es lo mismo que 3 x 4. Si alguna de lfrctos par-
tidas por multiplicar , ó ambas tienen muchas figu-
ras , se escribe dentro de un paréntesis , para dar á
entender que toda ella, ó todos sus guarismos se han

de multipUcfr; .(3+4) * 3 ó (3+4) • 3 ó F+4 x 3 si£- :
aifican que el 3 y el 4 se han de multiplicar por 3,*»
ó que el multiplicando e$ la sumoi de 3 y 4 = f. Si
la multiplicación se señalara de estotro modo 3+4 • 3
daría á entendqf que al 3 del. multiplicando se le
ha de añadir el ppodncto.de 4 por 3 , de lo que sal-
dría una cantidad muy -diferente de la que repre-
senta 34 4 . 3 t pues esta es. %i , y la otra ó 3+4 . 3*
no es mas que 1$.

B4 Pón-

s

*4 PRINCIPIOS

Multiplicación de un número de muchos guarismos
por otro de soló un guarismo.

4£ Póngase el multiplicador que , según supone-
mos , no tiene mas de una figura, debajo del multipli-
cando, donde se quiera; bien que lo mejor será sentar-
le siempre debajo de las unidades del multiplicando.
Multipliqúese desde luego el guarismo de las uni-
dades por el multiplicador , y si el producto no pa-
sa de unidades , pónganse debajo ; si tiene unidades'
y decenas , siéntense solas las unidades , y contando
las decenas por otras tantas unidades , llévense.

Multipliqúese igualmente el guarismo de las dece-
nas del multiplicando, y añádase al producto el nú-
mero de decenas que se lleva : póngase la suma de-'
bajo si puede expresarse con un guarismo solo ; si
no, pónganse solas las unidades de este producto,
y llévense las decenas , que serán centenares , para"
juntarlas con el producto siguiente, que también ex-
presará centenares.

• Prosígase multiplicando por la misma regla suc-f
cesivamente todos los guarismos del multiplicando, los
guarismos puestos debajo expresarán el producto.

; 46 En el supuesto de que la vate tiene 3 pies,
se me pregunta jquantos pies componen ^864 varas?,
claro está que he de tomar 2864 veces el numere
3, ó, lo que es todo uno, 3 veces 2864 pies.

Escribo , pues, . . . 9864 multiplicando.

3 multiplicador.

. 8592. producto.

Y empezando por las unidades, i.°digo: 3 veces 4
son 12 , pongo 2 , y llevo una unidad por la decena;
S.° 3 veces 6 son 18 , y una que llevo son 19; pon-

» * ' go

DE ARITMÉTICA. *$

go 9 , y llevo i j 3.0 3 veces 8 son 24, y 1 que lle-
vo son 25 ; pongo 5 , y llevo 2 ; 4.0 3 veces 2 son
6, y 2 que llevo son 8 , y pongo 8. «El número 8592
es el producto , ¿ los pies que componen las 2864
varas , pues se compone de 3 veces las 4 unidades,
de 3 veces las 6 decenas , 3 veces los 8 centenares,
y 3 veces los 2 millares , y por consiguiente de 3
veces todo el número 2864.

Multiplicación de las números que tienen muchos gua-
rismos cada uno.

1 47 Quando el multiplicador tiene muchos guaris-
mos, debe practicarse succesivamente con cada uno de
dios lo que acabañóos* de enseñar para quando tie-
ne solo uno i pero empezando siempre por la dere-
cha. Por esta regla se multiplicarán primero todos
los guarismos del multiplicando por el guarismo dé
las unidades del multiplicador , después por el de las
decenas, asentando este segundo producto debajo
del primero, pero como ha de expresar decenas,
pues el guarismo multiplicador expresa decenas , se
escribirá la primer figura de este segundo produc-
to debajo , ó en la columna de las decenas , y los
denks guarismos acia la izquierda , cada uno en la
correspondiente columna*

£1 tercer producto , que se sacará multiplicando
por el guarismo del multiplicador que expresa cen-
tenares , se pondrá debajo del segundo , pero ade-
lantándole una ¿olumna acia la izquierda. La mis-
ma regla se practicará con los demás productos par-
ticulares.

Una vez hechas todas estas multiplicaciones par-
ticulares , se sumarán unos' con otros sus productos,
y su suma será el producto total.

* . ... *

Quie*

• 48 Quiero multiplicar 65487
por 6958

327435
$89383
392922

45S6$8$46 .

Multiplico primero 65487 por el guarismo 8 del
multiplicador, que expresa unidades, y pongo unos
después de otros á medida que vaa saliendo, los:
guarismos del .producto 523896 , <gUe saco por la>
regla dada (46Í ,,-..,

lV$uliiplicó después 65487 por el guarismo 5 del .
multiplicador y escribiendo su producto debajo del
primero ; pero como dicho 5 expresa decenas , pon-
go el primer guarismo 5 del producto que da en la*
columna , ó debajo de las decenas del . primer; pro**
ductp,.

Multiplico también 65487 por el tercer guarismo
9 del multiplicador , poniendo su producto 589383
debajp del segundo, pero escribo su primer guarís- <
mo 3 en la columna de los centenares , porque eL
multiplicador 9 expresa centenares. .

Finalmente , multiplico 65487 por el último gua~~
cismo 6 del multiplicador , cuyo producto 392922
escribo debajo del antecedente , achantándole tam-
bién una columna á la izquierda, á fin de que sur
primer guarismo 2 esté en la columna de los millares,
porque el guarismo multiplicador expíesa millares.
Sumo por fin todos los productos particulares , y sa-~
co 455658546 , producto verdadero de 65487 por
6958 9 esto jes el valor cabal de 65487 tomado 6958'

ve-

DE ARISMÉTICA. S7

veces. En lo que no puede haber duda , porque en
la primer multipücacion particular se ha tomado
65487, 8 veces , 50 en la segunda , 900 en la ter-
cera , y 6000 veces en la última.

49 He de multiplicar. 6500
pon..... ...... 350

325
2275000

Multiplico solo 65 por 35 , y saco 2275, áttww
ttnuacion de cuyo número ponga los tres ceros , su-
ma de los que hay en el multiplicando y el multi-
plicador.

La razón de esta práctica es patente ^ pues et
multiplicando 6500 expresa 65 centenares ; luego
quando se multiplica 65 , debe tenerse presente que
ei producto ha de expresar centenares. £1 multipli-
cador 350 expresa 35 decenas; luego quando se mul-
tiplica por 35 , debe tenerse presente que el produc-
to habrá de expresar decenas; por consiguiente el
producto ha de expresar decenas dte centenares, es-
to es mülaresr y por lo< mismo ha de llevar tres ce*
ros al .titanio. Del mismo modo se discurrirá enlo-
des ios casos parecidos a este., .
- 50 Siempre que entremedias de los guarismos del
multiplicador haya ceibos ; como la multiplicado^ por
estos ceros no puede dar ánocero, pues tomando uri
número ceno ó nada veces sale cero ó nada , se es-
cusará sentarlos en el producto , y pasando á executar
la multiplicación por d primer carácter significati-
vo que se siga al cero 9 ó á los ceros 9 se adelanta**
rá su producto tantas columnas á la izquierda mas

una,

*8 PRINCIPIOS

una, quantos ceros hubiese seguidos en el multi-
plicador ; esto es , dos columnas si hubiese un ceror
trea columnas si hubiese dos ceros , &c *

t j

Se me ofrece multiplicar. 42052

por. 3006

■* ■. 1 . i 1 i ^

' - - 252312
£26156

126408312
- *
Después de multiplicar por 6 y sentar el produc-
to 252312 j multiplica inmediatamente por 3, pero
escribo el producto de modo que exprese millares
como corresponde , porque los expresa el multipli-
cador 3. Por cuyo motivo le adelanto fres columnas
& la izquierda , pues hay dos ceros entremedias de
las figuras significativas del multiplicador.

5 1 Multiplicar un número por 10 es hacerle diea
veces mayor, multiplicarle por 100 es hacerle cien ve-*
ees mayorj y como lo primero se logra con añadir al
número propuesto un cero , lo segundo con añadirle
dos ceros , es patente que para multiplicar un número
por 10, ó por ico, ó, lo que es todo uno, para
hacerle diez veces mayor , se ha de añadir un ceros
dos ceros para hacerle cíen veces mayor, Stc.

De aquí se sigue , y de lo dicho (49), que quan-
do el pfiultiplicando tenga muchos ceros 9 y el mul-
tiplicador también * basta multiplicar las figuras signir
¿¡cativas del uno por las figuras significativas del otro»
y añadir á continuación de su. producto tantos ceros
quantos hay en ambos factores juntos. Si se me ofre-
ce multiplicar v. g. 30 por 500 9 multiplicaré g por
3 , y al producto 15 añadiré tres ceros, de modo
que el producto. será 15000*

La

DE AKISMÉTICA. dg

- La razón es muy obvia v porque el producto de
3 por $ ha de ser 15 : el producto de 30 por 5 ha
de ser diez veces mayor, porque el fector 30 es
diez veces mayor que 3 ; el producto de 3 por 500
ha de ser cien veces mayor que el primero , porque
500 es cien veces mayor que 5 j luego el producto
de 30 por 500 ha de ser mil veces mayor que 3x5,
lo que se logra con añadir tres ceros al producto

52 Quando el multiplicador es alguno de los nú-
meros que están entre diez y veinte , basta multi-
plicar el multiplicando por el último guarismo del
multiplicador , y sentar el producto debajo del mis-
mo multiplicando una columna mas adelantado á
mano derecha; la suma de las dos partidas será d
producto de los dos números propuestos.

4370

9846

•
Para multiplicar v. g. 547 por 18, pongo una columna
mas adelantado á mano derecha d producto 4376 áú
multíptieando por '^^ último guarismo del multiplica*
Aot 18 * Jrla suma 9846 tle esté producto' y dmuJU»*
tipücaücto es' d productor de los húmeros {^opuestos.1

; Algunas usas de la multiplicación.

- ' J;;J/-. f - f '- •* "'n llí; •'" ' '' "'■'.*

53 ' Lá multiplicación sitye para hallar el valor'
dé muchas unidades , quando se conoce d valor de
cada una. i.° Si quiero saber y. g. quanto importa-
rán 58^3 Varas de obra ,l & tazón de 54 ti. la vara,'
he dtí multiplicar 54 rs. por 5843 j ó (40) $843 por*
545 d producto ^¡kr Buscó í$erá 31552*2 rs.
-i> Se

3o . PRINCIPIOS

2? Se me pregunta quanto pesan juntos 5954 ma-
deros , en el supuesto de que cada uno de ellos pe-
sa 72 libras. Para responder , multiplico 72 libras por
S954 > ó 5954 por 72 , y saco que los 5954 made-
ros pesan entre todos 428688 libras.

54 Sirve también la multiplicación para reducir
unidades de determinada especie á otras unidades de
especie menor ; v. g. ios pesos á reales , y los rea-
üps á maravedises ; las varas á pies , estos á pulga-
das , las pulgadas á lineas ; los dias á horas , estas

á minutos , ios minutos á segundos j cuyas reduccio-
nes son indispensables en muchos casos.

Se me ofrece reducir 8 pesos 13 reales y 9 mrs.
á maravedises. Ya que un peso vale 15 reales, mul-
tiplico los 8 pesos por 15 (53), de cuya operación
saco 120 rs. con los quales junto los 13 , y saco 133
rs. Multiplico esta cantidad por 34, porque cada
real vale 34 mrs. y saco 452,3 mrs.» sumo con ellos
los 9 mrs. propuestos, y sa¿6 4531 mrs* los. mismos
que componen cabales los 8 pespsM3 rs. y 9 mrs.

Si se me pregunta quantos minutos hay en un
año común , ó en 365 dias , 5 horas y 48 minutos;
ya que el áia tiene 24 horas , multiplico 24 por 365,
y al producto .8760 horas añadqá horas, .mukipllr
cq.Jíi ?utna 8765 pqr 60 ,¿54) Rprque h* <h<>ra tiene*
60 n?ijbu¿o^ y¡,me #tfen. 5^590^ ipinut<>s : añfcloteji
los 48 minutos propuestos , ' y saco 525948 mitmn
tos , que son los que componen cabal un año común.

55 Aquí es el lujgar. de' prevenir, que. duplicar,
triplicar , qiiaclrüplicar &c. un número , es multipli-
carle por .2 , fox; 3., ppr4(&c« * -li ;.t ^

\ 56 Quando alguno de ¿os. do» números pof mujfe
¿picar tiene muchos guarismos , es muy ac$r£ida
formar una tabla de los productos del mukipücaü-
dp4 por cada uno de los nueve gp^cismos ¿ffíbn cu-
yo düxiliok la xjpéra^ioa , se . nedijjpf : í . fflWf KMp^e ,

I

73500768

2

141001536

3

21 1502304

.4

282003072

f>

352503840

6

423004608

l

4Q35°5376
564006144

9

634506912

DE ARISM ÉTICA. 31

de la raya los productos respectivos que dan los
guarismos del multiplicador, cada uno en su corres-
pondiente lugar , y sacar después la suma. ^

Multiplicando, 70500768
Multiplicador. 50431

70500768
2 1 1502304
«82003072
352503840

producto. 3555424231008

Para multiplicar v. g. uno por otro los dos nú-
meros aquí sentados , saco de la adjunta tabla los
productos del multiplicando por cada figura del mulr
-típücador, y los pongo unos debajo de otros, tenien-
do presente á que columna ha de corresponder él
primer guarismo de cada uno \ conforme exprese
unidades , decenas y centenares > &c. su suma es el
•producto que busco*

División de los Números- enteres*

*

57 Dividir ó partir un número por otra es bus-
car quantas veces en d primer o^. de los dos núme-
ros cabe el segundo. t

£1 número por partir. se llama Dividendo , el nú-
mero que parte Divisor , y el que expresa quantas
veces en el dividiendo cabe el divisor se llama Co-
siente.

No siempre se lleva en la división la mira de
saber quantas veces un número cabe en otro ; pero
tn todos los casos se practica la operación como si

se

ga PRINCIPIOS

se llevara esta mira ; por cuyo motivo se puede y
debe decir , que en la división se busca quantas ve-
nces cabe el divisor en el dividendo.

Si busco v. g. quantas veces en 12 cabe 3,
hallo que cabe 4 veces; es, pues, 12 el dividendo,
3 el divisor , y 4 el cociente. De aquí se sigue que,
en la división , quanto el dividendo es mayor que
el divisor , tanto el cociente es mayor que la* uni-
dad, pues así como en 12 cabe 3 quatro veces, tam-
bién en 4 cabe 1 quatro veces.

58 Infiérese de aquí i.° que quanto mayor sea el
divisor , siendo uno mismo el dividendo, tanto me-
nor será el cociente : 2.° que si se multiplica el dí-r
visor por el cociente, el producto será el dividendo,
porque esto es tomar cabalmente el divisor tantas ve-
ces quantas cabe en el dividendo ; lo que se verifica
igualmente , bien sea el cociente un número ente-
ro , bien sea fraccionario.

£9 Por lo que mira á la especie de las unida-
des del cociente , no debe apreciarse ni por las
que expresa el dividendo, ni por las que expresa
el divisor : el cociente , que siempre será un mismo
número, podrá expresar unidades de muy distinta es-
pecie , según sea la pregunta que diere motivo á la
operación. Si se trata de saber v. g. quantas veces
en 8 pesos caben 4 pesos , el cociente será un nú-
-mero abstracto , que expresará dos veces. Pero si
se pregunta quantas varas de obra se podrán hacer
por 8 pesos , á 4 pesos la vara , el cociente será 2
varas , número concreto , cuyas unidades ninguna
relación tienen ni con las del dividendo ni con las
-del . divisar. Pero . bien se echa de ver que la pre-
gunta que da motivo á la división determina por sí
la naturaleza de las unidades del cociente.

60 Para señalar la división de un número por
otro , se escribe el primero encima del otro , tiran-
do

DE A&tSMÉYICA. ^

<fo otía raya etttremediaí ; á se escriben at ládo'újió del
otro con dos puntos entremedia* * -uno enturo del
«¿tro ; v. g. | señala la división de 6 por ¿y y lo pea*-
piD significa 6 : 3. i'- >

- - 61 Todo lo que dejamos dicho acerca de la regí*
jde partir quedará nías claro si lo «cotejunm con lo qufc
pasa en las particiones qué áe hacen de los bienes 4*
*in padre -, despees de su muerte, entre sm hijos:- En
«estas particiones haylosibieaes ó;el caudal \del padrt
que repartir T varw paitickmatiós 4 y la hüuda.de cá*
-da una El caudal ^es un verdadero efividendo; el: nú-
-mero de los Hijos /iin vendadla üvisar; y la hijuela
*de:cada uno , el oodentfc Quanto mayor es el caudal*
búito* mayor ¿s la ■ hijuela;; pero - está es tanto inenor,
quanto mayor es^JoúlQOTadtf los- hijos; y. la hijuela
de cada unosbríia mfenha aunque cregea y ó meíigüe
el caudal, como el numero d$ ios párticionaños eres*
ca9 ó mengüe en la misma propoedoa: lo mismo tiene
partir 4 entre a y que 8 ehttfé 4. / . *' , /
-' Esto es cabalmente taque pasa en la división ^ el
•cociente crece , ó> mengua ucomo et dividendo : pero
mengua tanto mas , quanto mas crece el divisor r f
crece tanto más, qftanto menor sé hace <el divisor; pe*
to queda siempre el mismo , cr?zcaq ó mengüen el
dividendo y el divisor , con tal que ambos se muid*
pliquen ó partan por un mismo número., -•

División de un rimero de mudos guarismos por ptoo
de un guarismo sola. ' ^ '

k 6l Para la operación que vamos á declarar y t*
necesario saber hallar quantas veces eif ün número
de uno ó dos guarismos cabe otro número de. so¡-
lo un guarismo ; en lo que no puedei menos de
estar corriente él que sepa de memoria los. produc-
tos de los números de solo un guarismo de dos en
dos. Tatíibien se/ puede saber» por la. tabla de ¡an-
'- ?om. L C tes

-34 TRINCIPIOS

tes (43) ; sí Quiero saber v. g. quantas veces en 74 ca-
íbe 9, busco el jüvisor 9 en la Hla superior , y bajo
«perpeAdicuhraKOte hasta encontrar el quadro don*-
de está el número 74 , ó que mas se le acerca , que
ses el quadro del, 7a ; el número 8 que está enfren-
te del 7a en la primee oriurana ■*• expresa las veces
<jue 9 cabe en 74 , ó1 el cociente que busco.

63 Esto supuesto*, la división deaiü ntitmero de
-muchos guarismo* por oúro ¡numero de solo un gua-
rismo, se practica dd modo siguiente.

Se escribe d divisor al lado del dividendo , ti-
lando entre k» dos uto raya de arriba ahajo : des*
4e esta se tica otra ida la derecha debajo dd divi-
sor v y debajo.de ella se ponen los guarismos de)
cociente ai paso quese/waa^íacaado*

Se busca guantas veces d divisor cabe en el primer
guarismo dd dividendo, ó en los dos primeros quando
fio cabe en id primero, separando con una coma estos
dividendos, y debajo dd divisar se escribe este mime-»
to de veces, «jue e?deaáentei Por eslíe cociente se mul-
tiplica efcdivisor, y se pone d producto debajo dd divfr-
4zpdo particular, que, por lo dicho poco ha, es el pri+
«ser guarismo» oíos dos. primeros de todo d dividendo*

Finalmente , d producto qué sale se resta dd di*
«deuda {rodanlar, al quab corresponde , y se apun*
ta la resta, jú 1¿ hay% . 1 • • \i ». • ¿

Al lado de esta resta se baja d guarispio siguien-
te del dividendo principal , cuyo guarismo soto , 6
oon lá resta, sí la hubo, forma d segundo divi-
dendo particular , óon d qual se praetíca lá propio
que con el primero, poniendo d Cociente que safe
al lado dd que ya se puso á la derecha }«e multf-
idica igualmente el divisor por el nuevo cociente', sé
escribe y resta d producto conforme se dijo*

Si queda una resta , se baja á sa lado derecho
d guarismo dd dividendo que pe. sigí» d último

lúe

*

DKt'ARISMÉTICA. g¿

se' bajóyy 9e prosigue 4 este tenor batí» el ul?

guarismo inclusivo del dividendo total • . >
'Tíos- exornólos dedturarán la. regia. ; .
64 Se cíe ofrece dividir 8769 -poc 7. .: .«''i

Escribo los dos números, oarno se ve. •

dividendo

17
14

7. divisor

tas»| codeóte;

•• • *9 •: \ . ...-•

„». j„, ' » mié *r r ij' 1: •_, .*i7 :r¡ cU.j.' . ■-. o* i
mí

k fe»» njiLhniufflata*iFeco; 7? 4301» digo ,a*bf
mente: ¿en 8 quantas veces 79. «m s^ye* Eftevt
^^7aawfafarfi«3eí iiliyar ^ *|ae se

le scgakáo^e» abibrientoMecáifiá; smreqpkdepft vtt
4er; fo&lo >qiyf^ tripa üéaatfotí «j.d«¡>9»

ttdiilímsafir»or«(Ae»iqV(ri ifrcstán»epá»fr 4e<U»
ttemaicbn «ut>>zomaI^^tuUv;^ o/':. ••! ..m ■...• , . ».
Mfltdpttoar el; drasqrj^por'jfi cadei»* *vjr pm-

^ttjtti'iz; tasaaocMtg yaquaixiibineipfcXnüLi/ib
-<£»■» ímnu tfieri h¿ QatfBOihLr<$i}iifi né efcíháipCnV
^Ud¡^dUekifti>^/^ nQ4b^aaf£lcriBda teeiqMoiii^ signe»*
te guarismo 7 , por «ijw ifaotfro bajo ?1 fUtnw^hjy
rfiadb/yprosiiaMopferiu^á-r stpasaadQ! et.divi-

-ov Ce* quan-»

yr

g6 y FÁINCTPIO^ \

quantas veces 7? aveces. Pongo, pues, 9 al ladodeser
cho del primer cociente que salió de la primer división;

Multiplico como én* aquella el divisor 7 por el
tílrimo cociebte 9 i escribo iel producto . 14 debajpüel
dividendos particular 17, .y .después de executar la
sustracción queda la resta 3 , la qual es la parte que
no se ha podido parar.

Al lado, de la resta 3 bajp 6, tercer guarismo del
dividendo \ y digo: ¿en ¿36. quantas veces 7? 5 ve*
ees. Pongo 5 al cociente» - —

Multiplico el divisor 7 por $, y después de escri-
bir el producto 35 debajo del nuevo dividendo par*
ticular , hago la sustracción, y queda la resta i.

Finalmente , al lado de esta resta 1 bajo el gua-
rismo 9 del dividendo 9 y (Jigo:; ¿en 19 quantas ve-
ces 7? 2 veces 9 pongo pues 2 al -cociente.

Multiplico el divisor 7 por el nuevo cociente 29
y después de escribir el producto 14 debajo del ulti-
mo dividendo particular 19 , y -d*~executar la sus-
tracción , queda la resta g. r,
*1 HáÜQ^poés^üe^

quantas ¿xfiesft tí; cociente sentadol^i i estak^>- Í3$2
reces? yjque resta g¿¡ *-sj+v c nj.uu ;'. *.,.• :^..:L.á
* /? Ppr loque ñipar & eetetffesta* basta; decir per ¿hop
«a/que^sé* pone- aÉ¿fador>kÍriifCbottrite ^jcoéftqpt sé
*£<*-*&* egipoftfendp cL (divisor rieb^ > de idje^arts^
t¿^ ^ tofeuactqjanaiaai^ Jnty&loft^dto? ?cuy»rautaiáUíi
se pronuncia dwo ^í/m^rMaaiadefauntei declarará*
fnoq 1$ f nattnraleea fle ;est^ espade.* de míittemsJ -\
«B 6¿, Qui|nd6íd¡ diitís<tt}>no:.Hcahe w>atyuu0f dej<#
dividendossyaBticÉla^emjf > sq pooe jcenxai <
émitkhdto ht mi^tQ>Udiciant*{ sel bqac imm
te otro ^flWM^v^ti »l»fa d+tJichai djvickhdiv1
^ujpt» y : selpropgüe Ia.divé^oo. ^ o c •; <_ ;* -1

*>:.,iLos guarismos del divideods! qt^sirv?nr <te< dfe-
fidcojo>ffafficiihii»lt<gf fcparaa>dft tos lima? cQjfcUQfr

-Jl£üf> ' co-

DE ARISMETICA. 37

coma según prevenimos (64), conforme se ve en el
cxemplo, para que ao se equivoque el calculador. ■
Voy á partir 14464- por 8.

« mas

I4

64

í

0064

64

Aquí sirven de primer dividendo particular ios dos
primeros guarismos del dividendo ipiñncipal , por^i»
en el primero solo no cabe el divisor. >

Hallo que en 14 cabe 8,1 vez ; pongo i al co-
ciente; multiplico 8 por 1 , y resta de 14 el produjo»
to 8 ¿«sta 6 , k cuyo lado bajo; el tercer r guarisilio 4
del dividendo. ; ... • • - y- -r-* «■-
\ Prosigo diciendo : ¿en 64 quantas vetes 8 1 8v*e-f
ees r pongo 8 gl (ocíente ; y executaodo la multipli-
cación 9 saco el producto 64 ; restóle del dividenda
particular 64 , reste* b , i agujador bajo 6 , quar~
to guarismo <%r$£¥Jendo ; como £fc 6 no cabe 8,
pongo o al cociente ; y baje-4nmediatamente al la-
do del 6 el 4, ultimo guarismo deltfttidendo: y digo:
jen 64 quantas veces 8? cabe- 8 veces i pongo, pues,
8 al cociente , hago la mtritiplieacion , y resto el
producto 64; y como no qued* 'tiesta alguna, in-
fie<^frie en 14464 cabe 1808 veees cabales el 8*

División por un número de muchos guarismos.

66 Quando el divisor tiene muchos guarismos , la
división se hace del modo siguiente,

Se toman á la izquierda del dividendo tantos gua-
"'T C 3 ris-

38 PRINCIPIOS

úsnxosy para dividendo particular, quantos son me-
nester para que' en ellos quepa el divisor*. -

Hecha esto * ea vez de buscar r corno ea los casos.
antecedentes* quantas^vecei eaet dividendo particular
cabe todo el divisor, Se busca solamente quantas ven-
ces el primer guarismo del divisor cabe en el primer
guarismo del dividendo, ó en los, dos primeros , si
no basta et primero , se pone debqjo del divisor el
cociente que sale, del misma^moda que antes.

Se multiplican succesivamente según la regla da-
da (45) todos los guarismos del divisor por el co-
ciente puesto , y á medida que se va executando es—
ta operación , se escriben los guarismos del produc-
toodebito de'ta* prnci^Q^ cwr^poi^cQífi^, del di-
«4eodov p^rüculant sefcaite te sustracción , y ai la*
do de la resta se baja el guarismo siguiente del di~
vtdehdo , separándole can la coma (64), pa¿a pro-
seguir la jc^fp-acioadel fnbma modo que se enipezó*

. Vanaos .a «dafar- osfcajriegla coaalgtjn^ e**jraf>los*
y expresaremos los casos en que pueda .aftá&f se tfh
gima é&qutadL •*- v" fl ? ; .:)¡- ■ ■ ;•• , ;r

^ Se meí propone qu$ parta tSSAt por ■$$>-.

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/»JÍ '.. . .l :•. '34'- ■"'-•• .-/-ií5'*:- i.

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To-

DE AR1SMÜTICA. 39

Tomo por dividendo particular los dos primeros gua-
rismos no mas del dividendo total, porque cabe en
ellos el divisor: y en vez de decir: jen 75 quantas
reces 53? busco solamente quantas veces en las 7
decenas de 75 caben las g decenas de 53, esto es,
quantas veces cabe 5 en 7 j hallo que 1 vez , pon-
go , pues , 1 al cociente.

Multiplico 53 por 1 , y siento el producto 53 de-
bajo del 75 ; hago la sustracción , resta 22 , á cuyo
lado bajo el guarismo 3 del dividendo , y prosigo
diciendo , para mayor facilidad: jen 22 quantas ve-
ces 5? ( y no : ¿en 323 quantas veces 53; ) ; cabe 4
veces 9 pongo , pues , 4 al cociente.

Multiplico por 4 uno después de otro loi dos
guarismos del divisor, y pongo el producto 212 d¿¿
bajo del dividendo pamétriar 223 : hecha la sustrae*
cion resta 11, 4 cuyo lado bajo el guarismo 4 del
dividendo 9 y digo , como antes : jen 11 quantas ve-
ces 5? 2 veces i pongo 2 al cociente , y multiplico 53
por 2 , sale el producto 106* que escribo debajo del
dividendo particular 114; hago la sustracción ¡, que¿
da la resta 8 , á cuyo fatdo bajo el último guarismo
7 ; parto del mismo modo 87 por 53 , y siguiendo
él mismo método sin variar en nada , hallo el co-
ciente 1 9 y queda la cefeta 34 ,;qud escribo al lado
del cociente del modo "que ttíxe -antes (64).

68 Mas seguró parece que- seria buscar quantas
veces en cada dividendo particular cabe todo el di-
visor; pero como esta investigación- seria las mas
veces larga y penosa , basta buscar , conforme lo
hemos practicado , quantas veces en la parte mayor
de dicho dividendo' cabe 1a parte mayor dd; ditfsor.
£1 cociente que se baila portes** camine* Miele lid
ser el verdadero , porque sokj es aproximado ; per*
sobre que este valor siempre encamina al .finí , y
quaodp no le jdcaoza pe. aparta pocp , la *Huftijí4Í¿á-

C 4 cion

4* ♦ PRINCIPIOS ;

cica, que sigue después enmienda los defectos que
puede padecer esta práctica j y de hecho , si en el
dividendo particular cupiere realmente el divisor tres
veces no nías v» g. y si por la probatura que se
hace hallar amos que cabe 4 veces 9 se viene á los
ojos que multiplicando el divisor^por 4 , saldría un
producto mayor que el dividendo y pues se toma-
ría el divisor mas veces que las que cabe en dicho
dividendo , por consiguiente no seria posible hacer
la sustracción. £9 este caso se le quitarán succesi?
yamente al cociente una, dos &c. unidades hasta
hallar un producto que se pueda restar. Al contra^
rio , si se pusiese 2 no mas al cociente , la resta
de la sustracción seria mayor que el divisor, lo. que
daría :á conocer que cabria todavía tn el dividendo^
y que por lo mismo no es bastante grande el gua-
rismo puesto al cociente.

Sin embargo de esto , no tienen porque desalen-»
tevrse los principiantes , pues en poco tiempo ten*
pLr¿a suficiente conocimiento para saber lo que ha~
bcán de qui#r ó añadir, ai cociente. ■ ' " ,

/ H¿ de, partir 18949a por 37^ ,

1 i

.: i

JO92

i8Ȓ

ns

.•i El pÁner diviácndp.particuli se compone de
iop quatro primea* /guarismos del dividendo total*
porque • en los tres primeros no cabe el divisor.

<ÍK£o> pues: ¿en 18 quantas veces 3? cabe en rea-
íidad o ntfoes j pero < si multiplico 375 por 6 7 saldrá

iíi 1,

un

V

DE v, ARITMÉTICA. 41

un número mayor que el dividendo 1894 ^ por lo que,
pongo 5 no mas al cociente. Multíplico 375 por 5,
pongo el producto 1875 debajo de 1894; hago la sus-
tracción, y queda la resta 19* . <. .

Al lado de esta resta bajo el guarismo siguiente
9 del dividendo ; y como en 199 y que es ahora* el
dividendo particular , no cabe 375 7 pongo o al co-
ciente^ y bajo al lado de 199 el guarismo 2 del di-
videndo y la 'que compone 1992 ; digo , pues : j en
29 quantas veces 3? ^ 6 veces* Pero por la lahisma
razón de antes pongo 5 no mas, al cociente, y prac-
ticando la que siempre j queda la. resta 117.
* 69L . Haremos, de paso una consideración que en
muchos casos ahorra apruebas* iirótiles¿ Puede 4fti cal-
culador hallarse exr el cayx/dp'Jracer epta&:pfyébaq
dudosas , particularmente quando el segundo guaris-
mo del divisor es mucho mayor qfc^r^rimero. En-
tónces , en vez dé 'buscar quafttas veces el primer
guarismo del divisor cabe *a- 4a- parte correspon-
diente del dividendo > debe {bascar quantas veces
dicho primer guarismo después- de- añadirle una uni-
dad , cabe en la parte corres(Kxndiente del dividen-
do. Esta prueba siempre le encaminará mas que la
primera al verdadero cociente*

Partamos? i8&a, pot ¿8& ¿

■ t : - , .j I é .)'•' ".i- .. ': '•; : ...
> 183^ ; :- 1*88 .; i.1 .-

*7*8 (e

104

En ver de decir : ¿ en 18 quantas veces a ? diré:
i en 18 quantas veces 3! porque el divisor 288 se
acerca mucho mas á 300 que no á 200 : hallo 6 que
es el verdadero cociente; siendo asi que por el mé-
todo ordinario hubiera hallado 9. para cociente, y

por

93*

41 PRINCIPIOS

por lo mismo hubiera tenido que hacer tres ope-
raciones inútiles, ... . : . .. ,

Modo de abreviar el método declarado*

70 Con la mira de facilitar la inteligencia de la

regla , hemos dicho que se asiente debajo de cada

dividendo particular el producto del; divisor r por el

f cociente:; pero como el fin principal debe ser abre*»

£ yiar las operaciones T nos r parece . oportuno prevenir

que se puede esclusar asentar dichos productos , ha*

0 ciendo la; sustracción á- medida que se va múltipla

pando cada guarismo del divisor; Coa el exeaiplo

liguiente jóos darémoiü entender. ;•'•:'•

*.. ¡Quiero partir 756984 por 932.1 : i :•< ..

1138
íw*4 '■•: '. t ■ ■ .' !.íí ■ . ••

El primer dividendo parcial se compone de lo}
quatro primeros guarismos del dívágtado- total, :por-
que en los tres primeros no cabe el divisor ; hallo
que 9 cabe 8 veces m 75 ; por lo que pongo 8 al
* cociente i y élTIúgar de asentar debajo de 7569 el
producto de 932 por 8 , multíplice desde luego 2
por 8 , cuyo producto es 16 ¡ peco como no puedo
restar 16 de 9 , le quito al guarismo siguiente 6 una
detieiía , he quaí añadid al 9 da 19^ de cuyomÜme-
*© resto 1 i6y,y queda la resta 3 que pongo debajo*
Para llevaren cuenta esta decena, no fe quito
una unidad al guarismo 6 del qual la saque, sino
que la guardo pai£ añadida al producto siguiente.

Exe-

8i2|ff

DE ARISMÉTICA. 43

Executando la multiplicación, diga: 8 veces 3 son 24^
y 1 que llevo son 25 ; como no paedo restap 25 d&
6 ^ icqüito»' al gil arfeni¿ siguiente 5 xiet dividendo
dos decenas* añádolas al 6vy de Ja traína 26 resta
QS y queda la resta 1 , que pongo debajo del 6. Con
esto be llevado en cuenta la primer decena que me
tocaba rebajar del 6, porque he quitado una dece-s
na de mas¿ Llevaré asimismo én cuenta las dos de-j
eenas que acabo de i quitar. Prosigo^ pues ¿ diciendo:

8 veces 9 aoa.ffc ,; y aqae llevo 74 í cu^o numera
resto de 75, queda la resta u

Al lado de la resta 1 13 bajo el guarismo 8 del
dmdendo^iyv prosigo OGmojJiasra aqqí y diciendo : ¿en
II quantas veces 9? 1 vez i digc* despu? i :; 1 vez 2
es¿V- fejresto^idera^oíj^d^la resta 6} 1 vez 3 es
g^ restóle de 3 > queda la resta o ; 1 vez 9 es 9»
féstdlós de 1 1 y 4jueda-,la~*est* 2. Al lado de la res-
ta 206 bajo el guarisn()d$4* y digo: ¡en 20 quan-
tas veces 9 ? 2 veces ;0dift£ después : 2 veces 2 son
4» restólos de 4^ queda la-resta o; 2 veces 3 son
O, restólos de 6, QmáXlX); fi(p5pe5ir,^ jaeces

9 18 , réstalo*. :.& 2a > quedan 2. : ' ' - ^

71 En el diMursa -dé '-«tas divisiones particula-
res y se halla algu^g^oque el} ^ísqif cabfc en el
dividendo mas wbSpc^Ctfe^s ; fa^ pdri eso jáe pue-
de poner mas de 9 al cociente: ¿M$^ si pediera
ponerse 10, seria pr#eljaíde~ser (fc^'nuto el cocien-
te de la operación antecedente y\ porque la decena
del cociente que-dar4a- división teurtycular dé phora
pertenece al cocie^K^fc la divisiofrántécédente $ pues
una unidad de est^jafe i<y 5n el que se le sigue.

^ 72 Quando.JUbootiiMiaaan del dividendo y del
divisor hay ceros > se quitan á ambos tantos cerqs.
quantos lleva el que tiene menos.

Si se ha de. partir -v«^.*8boo por 400* se par-
tirá sollamóte $2 (por 4 i porque en 80 centenares
vA* ca-

r

44

PRINCIPIOS

saben tantas veces 4 centenares , como en 80 uni-
dades 4' unidades/, ;: . .. .• 1 ; /
73 . Siempre que ¡el dividendo ti^né muchos gua-
rismo* s y hay que* multiplicar muchas, veces el di-*
visor 9 se puede facilitar y abreviar la operación. Con
cuya mira se forma una tabla de los productos del
divisor por los nueve guarismQs, y á cada división
particular se pone al cociente, aquel: multiplicador
del divisor que da un producfcp inmediatamente me-»
ñor: que el dividendo particular ; , mediante > lo qual
la división queda reducida á sumar y reatar un nú-
mero de otro , y se hace en una mirada. « 1 .
•'. Propóngoüip; partir v. g* uno por ótrp ios dos ha-
rneros aquí propuestos^ c> \* r>. / ; ^ if

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Por

DE ARISW&TICA. 4*

Por la tabla veo que el .primer húmero del co-
ciente ha de ser 1 , porque el producto 70032 del
divisor por 2 , es mayor que el primer dividendo
particular 40377* Basta, esto para manifestar el uso
de la tabla, y quinto se abrevia con su aujdlio la

* operación*

. . 74 Quando dos números son tales , que el uno
cabe un número cabal de veces en el otro > $1 pro* .
yor se llama múltiplo, del menor, y> ei menee. ¿u¿>»

' múltiplo del mayor , y tambieb pane aiticota :ád
mayor» Pero si el menor no cabe Un numera ca-
bal de veces, en el mayor , se llama parte aliquanta

' del ipayor. 15 v. g, es múltiplo de 5 y de 3; 3
y $ son submúltiplos y partes alicotas; de i$;pet¡9 .
4 es parte aliquanta de .15 ^porque cabe 3 veo»

» en 15, y sobran 3. ... ¿ iKn

j Prueba, de la Multiplicación^ División.

. fg . Dd concepto que hemos dada de cada \ma
dé estas opaaciows.se saca el «nétodQ.de.;$r<*

'badas. . . .\- % , .t ; - K :- ••.,,: • .1 -t • • ; **

-. Ya gue en la multiplicación se tQiaa tantas ve- f
ees el jrairiplícafKfa * quantas abe -fe : unidad, en el
multiplicador , si .,«3,; bubea* jfuaatai; vwes ¿ate 4 d
ariihiptiteodoiep *iijí«*iutío¿ .qwitifij¡dwiifí(5f } si
se dmde *kprotíuctft<j»r jdi;mukipU&ai*fc> *¿s p«*
cfao que salga al eo6mttb g mu^tiplieador- «• ry <*&
uto |w4MMs.ctooia^ po&iBidtíjdicadoc el imfttpti&w*
A> * >y •* «roes* podemos dar per rqglabgfeof ral*
(fue* t*j «bíjijqritiotte^ jd* 4«f

fccto»e*:a&|*ii^i^ «1 coefente $&t

íáb.el: OtTP f&CtOD -wrp ; Jo i?j &m\ , <-r?n; i;l *• . • ;

f SrouJtijrikíapsp* v.g* 3864 por 3 ^ aiádri^pw^
ductogj^ai M:Arifa.» ppfi»>.8»« por 9864* fa*
d^sígar jppsaqp ccoo rfptp r¿ 4 ceokqt^ f ,0 Vj ¿

fjl * En

4* PRINCIPIOS

En quanto á la división , es lo misma; porque
ya que el cociente de toda división expresa quan*
fas veces el divisor cabe en el dividendo , sigue*
se que si tomo el divisor tantas vecé* quantas uni-
dades tiene el cociente, esta esr si multiplico di
divisor por el cociente , ha de salir el dividen-
do , quamfo nó quedó de la división resta algu-
na «í y quando queda alguna resta f si esta se aña-
efe al producto d*l cociente por el divisor, ha de
fc&r el dividdodo. Haliamostpeco tía (68) v. g, que
18^493 dividido por 375 * da el cociente 505 , y
tfaSm la resta 117; multiplico 37$ por 505 , sale
el productq 180375 , añádoie la resta 1 17 , y sale
fel dividendo 189492. Po? consiguiente la multipli-
cación rsirve par^ prphac la división , y la división
para probar la multiplicación. .

Algunos um de la División*

* 76- Sirve' esta operación qo sqlo para averíg$iar
qtt*bta& veces-*» minero cabe et^ otro ^ sií» tarifa
bien para partir un número en partes iguales. To¿
tAát la mitad , d tercia, el quinto 80c de un nú-
mero ,' es partirle en dos , tres r cinco , &c. panto
Iguales^ f^tómzr \ta&úb ellas. i- <• »'■''■• -^

•■■ 77, Sirv^i^idmen^la' elisión para redüqir las
tmidades ota n determinada especie >á otras Aiftidbidw
cteoe^ecfc^iiiayQr yi)Vi $ uamdmero d^emrimdo de
¿ttírávgdfaes i reüle» deívetto» j y estocó •«mi Pa«
rbredfcck 16499 maravedises 4 reate*, ¡se jeadrá
pfésetdbe qu^^p^^maca^eifcetioo^p^ieto un real*
faáforó-etbJa km^^péiesttiid(ec>Tnat^
reales quantas veces en ella quepan $4 cntíraVedÉ*
ses;TSe> pattfc* p<Sr cdQtigütenft por 34 la sutha 16490»
4A dptidi se sá^n,48^r§al^l^ rédudr estos
á pesos , partbtoid* |8g> pito n*p, ptíqitf f^ -rea>
ni 4 les

a

DE AK1SMÉTICA. 47

fes componen un peso , y el cociente será 3* pesos
y 5 reales ; por manera que los 16490 maravedises
componen 32 pesos y 5 reales. -

De Jos Quebrados.

78 Los quebrados considerados arismédcamente
son números con los quales expresamos las cantil
dades menores que la unidad».

£1 que quien formar cabal juicio de los quebra-t
dos debe figurarse la cantidad que hace oficios de
unidad, como compuesta de un número determi*
nado de unidades menores , al modo que nos figu-
ramos el peso compuesto de 15 unidades menores,
que llamamos reales. Una , ó muchas de estas par-*
tes componen lo que llamamos quebrado ó fracción
de la unidad ; v. g. un número de reales que no lle-
gue á 15 y es un quebrado de la unidad del peso,
y el mismo nombre se da á los números que ex«*
presan dichas partes.

79 Todo quebrado puede expresarse de dos mo*
dos , que se estilan igualmente.

Él primero consiste en expresar como números
enteros las partes de la unidad de una cantidad pro¿
puesta , y embaces se da * un nombre particular á
dichas partes., v. g. para expresar 7 de las 15 par-*
tes que componen un peso , se echa mano del gua-
rismo 7 , fiero . se lee 7 reales , y escribe así 7 rs.

Pero como siguiendo este modo se necesitaría un
signo particular par^ cada división que se hiciese
de la úiw^d 7 jsc escusa^ esta mukitud de signos, ¿y
se pinta un quebrado con dos números , uno enci-
ma de otro , y una raya entremedias. Para expre-
sar y. g. las siete partes de peso que decíannos po*
00 ha , se eácribe f$ y quiero decir que primcauae
escobe el número qpe $xprpsa( cuantas fntt&^xUfi ím

* uni-

i)fi PRINCIPIOS

unidad tiene la cantidad propuesta, y ctebajfr deí
mismo número., ó debajo de la raya se escribe ed
número que expresa quantas de las tales partes' hay
en toda la unidad.

80 Para leer un quebrado , se lee primero el nú- !
mero de encima , llamado numerador, después se lee

el número de debajo r llamado denominador. Séguti fes- ¡

to ? | se lee quatro quintos , ó lutfw quinzavos; ^
se lee fr¿* vigésimos , ó tres veintavos ; £ , t > r s*
leen *» iredfo 9 un tercio , «* quarto.

Señala , pues , el numerador quantas partes d«
la unidad caben en la cantidad que el quebrado ex-
presa; y el denominador señala el valor de dichas
paites , expresando quantas entran en la unidad. Se
le llama denominador , porque él es en realidad el
qué da nombre al quebrado, y es causa de que
en estos dos quebrados v. g. j y | las partes del
primero se llaman quintos 6 quintavos , y las par-
tes, del otro séptimos. • - .

8 1 De donde hemos de inferir que quanto mas ,
se /acepca el numerador al valor del denominador,
tanto mas se acerca el quebrado al valor de toda
la4 unidad, cuyas partes representa el denominador.
£1 quebrado $ v. g. vale toda la unidad, porque
se toman todas las quatro partes de que esta se com-
pone ; \ es una cantidad mayor- -que £•

£1 numerador y el denominador se llaman tér-
minos del quebrado ; 4 y 5 son los dos términos
¿leí quebrado f

\De ¡os Enteros considerados A manera de Quebrados.

- 82 De las operaciones que se practican con los
quebrados suelen salir números fraccionarios , cuyo
auiDtffadot? es: mayor que el denominador , tales son
vi gií^stosjopmerosl, |, y, cuy as -expresiones, y las
-: m k que

DE ÁKISMÉVICJ. q$

que se les parecen no son quebrados propios ; son
números enteros juntos con quebrados.

Para sacar de ellos los enteros que tienen , se
parte el numerador por el denominador, el cocien*-
te señala los enteros, y la resta de la división es
«1 numerador del quebrado que acompaña al enteox
Este quebrado v. g. y da g\ , esto es>cinco ente-
ros y dos quintos de otro, rorque el denominador
S de la expresión y manifiesta que la unidad se com*
pone de 5 partes , luego toda la unidad vale 5 par-
tes ; luego quantas veces quepa $ en 2? y otras tang-
ías unidades enteras habrá en y.

83 Las multiplicaciones y divisiones de los núme-
ros enteros juntos con quebrados piden 9 á lo menos
para mayor facilidad 9 que se reduzcan los enteros á
quebrados* Esta transformación se practica multipli-
cando el número entero por el denominador del que*
brado, al qual se quiere rediitir el entera Si se me
ofrece reducir v. g. 8 enteros á quinta vos, multipli-
co 8 por 5 9 y saco Y- La razón es , que quando
reduzco 8 á quintaros , considero la unidad oomo
-compuesta de g partes ; luego las 8 unidades ten-r
drán 40 de ellas : por la misma razón 7 \ vale -V>
después de reducir f á novenos» >

• Modo de alterar ¡os dos términos* de. un quebrad* x

sin que mude de valor.

84 No hay duda en que quantas mas partes se con*
ciben en una misma unidad , tanto menores han de
ser , y tanto mayor número de ellas se habrá de to-
mar para componer una determinada cantidad Si
«lívido ó supongo dividida una unidad , sea la que
fuere , en quinzavos , v. g. será cada parte mayor
que si divido la misma unidad en treintavos. Lúe*
¿o si quiero tomar un tercio de dicha .unidad en

• Tm.L D el

¿p PJÍTNCIPIOS '

el primer supuesto , tomaré T5T no mas , y en el se-
gundo habré de tomar ?*•

85 Luego se puede duplicar , triplicar 9 quadru-
•plicar &c. el denominador de un quebrado sin que
«ata operación mude el valor del quebrado , con tal
^fue al mismo tiempo se duplique, triplique r quadr im-
plique , &c. su numerador.

86 Luego queda probado que no muda de valor
un quebrado quando se multiplican sus dos términos
por un mismo número. Por consiguiente i es lo mis-
mo que 4«; 4 lo mismo que TV

De aquí se infiere que quantas menos partes se
«ponen en la unidad , tanto menor número de ellas
se necesita .para componer una cantidad determinad-
lía : que por lo mismo se puede hacer que el deno»-
niinadoc de un quebrado sea 2 , 3 , 4, &c veces
menor 9 con tal queaT mismo tiempo se haga su nu-
merador 2,3,4, &c- v^ces menor. Esto quiere
decir, que no muda de valor un quebrado , porque se
partan sus das términos por un mismo número.

Para percibir con evidencia la verdad de estas
dos proposiciones * basta tener presente que desti-
lo tienen el numerador y el denominador de un
quebrado. 4 *

87 Téngase , pues , presente que multiplicar ó
partir los: dos tetáronos de un quebrado por un mis-
mo número , na es, multiplicar ni partir el quebra-
do , pues según acabamos de manifestar, estas ope-
raciones no le mudan su valor.

En los dos principios que acabamos <le sentar
se fundan dos operaciones muy importantes en la
doctrina de los quebrados ¿ que son.; la una redu*-
cir dos, ó fruís quebrados. á un mismo denomina-»
dor ; la segunda , abreviar un quebrado , esto es, re*
ducirle 4 que sean sus dos términos los menores que
sea posible.

DE ARISMÉTICJ. $\

Reduce kn de los QuebraMtá un mismo Denominador.

88 L Para reducir dos quebrados á un mismo
denominador , 6 , lo que es lo propio , á que ex*i
presen partes de un mismo nombre , se multiplicap
ambos términos del; primer quebrado? por (el deno-
minador del segundo, y ambos términos daL séguá*
•do par el denominador del primero. r i

Para reducir v. g. á un mismo denominador loí
dos quebrados j, {, multiplico 2 y 3 , términos del
primero , por 4 , detxnqinfldor del segundo , yi.'S**
co A 9 de igual valor (86.) que |. ^fufciplico igual*
mente 3 y 4 , términos del seguido qdebrada, por
3 s denominador del primero 9 y sado A > de igual
valor (86) que $ , por manera que loa. dos quebrar
dos f , $ quedan trangfcrpiados en estotros- t*t > A » de
igual valor que ios propuestos , jy de^ih) mismo de*
nominador. ■ . m- . . v ! . ,. ..>

No puede menos de ser por esto método une
joiismo el denominador de ambos quebrados > porqué
en cada operación resuka el nuevo deoommador de
la n>ultipl¿acioQ, unoporotro^ de tosías prragflj^í
ir Quando. hay que rodwrir mas de dosMjutj»
brados á ún miimo denominador ^ se inükipHcap
los dos términos de cada uno por el producto. que
da la multiplicación de los denominadores , unos pos
otros 9 de los demás quebrado*. , .

* Para reducir v.g. ¿un mismo denominador los
qoatro quebrados siguientes £ *) £í'$? %•> mufciplá*
co los dos términos 2 y 3 del primero" por el pro*
ducto de los denominadores y 4, 5 y 7 de los de*
mas quebrados. Este producto le saco , diciendo : 4
freces $ son 20 , después 7 veces ao son 140; muí*
tiplíco y pues y a y 3 po? 140 , y saco \\%y cuyo
valor e* igual al de f (86).

Da Muí-

»i

•I

& ' PRINCIPIOS :

Multiplico igualmente los dos términos 3 y 4
del segundo quebrado por el producto 3x5x7, cu-
yo producto saco , diciendo : 3 veces g son 15 , des-
pués 7 veces 15 son 105 ; ' multiplico , pues , 3 y
4 cada uno por 105 , y saco |to > de igual valor
que £. , ,

m Llego al tencer quebrado, y multiplico sus dos
términos 4 y g por 84 > producto de los tres de*
nominadores 3, 47 7^ y saco |4| , de igual vár
lor que f •

Finalmente , multiplico los dos términos g y 7 del
qüarto ^quebrado por 60 , producto de los. denomif
fiadores 3 , 4 yg.de los tres, primeros , y saco l?i>
de igual valor que 4 ; por manera que los quatro
quebrados f,^T* £ quedan transformados en e$?
totros r -$!£ y 411 9 lU * |ro9 menos sencillos á la
jrerdad :que los primeros, pero de igual valor ; y
roas opiKipiados .paigi cexecutar con ellos, mediante
el denominador común 9 las operaciones de sumar
yrestár. Porque >así( como nb se pueden sumar pesos
con reales y maravedises y sino pesos con pesos^
reates con reales , y maravedises con maravedises;
tampoco se pueden sumar tercios con quartos , con
quintos ¿&oLs¡na tercios con tercios., quartos con
quartps &c. unos 1 con otros $. en una- palabra , üo sé
pueden sumar unidades unas con otras á no set qué
sean de una misma especie, ó mismo nombre. Lo
propio digo de la operación de restar, &c .

i Cdmo el denominador de cada nuevo quebrado
es» el producto de, todos los denominadores primi^
úvkb ^ no puede menos de ser uno mismo en cada
quebrado , después de la operación.
f 89 Mediante la reducción que acabamos de decla-
rar , se averigua qual es mayor ó menor de dos ó
mas quebrados propuestos , v. g. estos dos f , $*. Pop- ^
que si les doy un mismo denominador, el primero
-' 1 • • * '■ * se-

DE ARISM&TICA. %%

será 44 , y el segundo \\ , lo que manifiesta que el
segundo quebrado es el mayor de los dos, y que
lleva, al otro Tfr de exceso.

Por el mismo camino se hallará que de los dos
quebrados f , -J el segundo es mayor que el pri-
mero ; pues después de la reducción , el segundo
vale |It 9 y el primero \% , lo que manifiesta que
\ lleva á \ ,V de exceso.

^^^MsSode abreviar, un Quebrada.

90 Abreviar un quebrado es transformarle en otro
de igual valor , cuyos términos sean menores que los '
del primero , porque entonces queda mas sencillo*
Es cosa fácil abreviar un quebrado , siempre que sus
dos términos se pueden partir por un mismo mime* *
ro. Como esta operación no muda el valor (86) del
quebrado, debe practicarse siempre que se pueda,
ya porque los quebrados son tanto mas fáciles de
calcular quanto mas breves, ya porque en muchas
ocasiones se percibe mas fácilmente su valor , ya fi-
nalmente porque debe ser máxima de todo calcula-
dor expresar las cantidades con los números me-
nores que pueda. 9

Esta reducción "de los quebrados á menores tér-
minos se consigue del modo siguiente- Se parten am-
bos términos del quebrado propuesto por 2 , cuya
división se repite quaotas veces* se puede.

Después se parten ambos términos por 3 , repi-
tiendo la división quantas veces se puede.

Lo mismo se hace con los números g ,7 ,. ,11,
13 , &c. esto es , con i los números que no tienerr
mas divisor que i sí mismos y la unidad :y y que
por esta razón se llaman números primos.

Toda la dificultad , si la hay., solo puede estar
en saber quando es posible la división por a , por 3,

D3 por

54 PRINCIPIOS

por ,5 , &c. pera los principios siguientes la apean.

Todo número cuyo último guarismo es par se
puede partir por 2. %

Todo número cuyos guarismos sumados unos cbn
otros,, como si expresaran unidades sencillas,, diere por
suma 3 , ó un múltiplo de 3 , podrá partirse por 3;
tal es este .número 54231 , porque sus guarismos
5,4,2,3,1 componen 15 y cuyo número es múl-
tiplo de 3. Todo número cuya última figura es 5 ó
cero puede .partirse por g. .

Por lo que toca al número 7 y á los números
mayores que se le siguen, aunque seria fácil hallar
también reglas semejantes á las que acabamos de
proponer respecto de los demás números primos me-
nores y escusamos buscarlas , porque tendríamos que
empeñarnos en cálculos tan prolikos como la ope-
ración que deseamos abreviar.

91 Propongámonos v. g* simplificar el quebrar
do ff £|. Parto sus dos términos por 2 , porque el
último guarismo dq cada amo ¿s. par * y saca -rff?-
Parta otra vezípor 2 T y sáca^VW De lo dicho; po-
co ha infiero que pueda partir por 3$, hago la di-
visión y saca $44 í vuelvo 1 partir por 3 , y saco sr£T.
Finalmente y pruo^p la división por 7, sale bien , y.
sacp-aT< '....'.

La división «debe solamente probarse con los nú-
meros primos 9>'9 3 f 5 í ^&c¿ porque una vez apu-
rada la diYfeÍQtt por 2 > es ¿orotil probarla por 4;
po^que^l el numera propuesto pudiera partirse por
4 , ^m mas razón se le hubiera podida partir por 2.
\¡p Péip de quantos medios, pueden practicarse pa-
raabreviar ion quebrado y fel mas. directa consiste
en parur^Ufe lio? términos por él máximo común
divisor de ambos» Por lo misma hemos de enseñar
como se halla este divisor.

Aplicaremos esta investigación al quebrado A***

v>ia""

DE ARISMÉTICA. sg

Claro está que este máximo común divisor no pue-
de ser mayor que el menor de los dos términos. dú
quebrado , que es su numerador 96. Pruebo , pues,
si 96 es el tal divisor; veo que 96 .se parte á á
mismo , pero. -no parte cabal 180, porque queda el
residuo 84¿Juego el quebrado -¿fs es lo mismo qué

— , - « Puesto en. esta forma, echo de. ver que eji
•96 + 84 ^ -

máximo divisor que busco no puede ser mayor qué
84 , porque si lo fuera no partíria la parte 84. Prue-
bo, pues; si 84 es el tal divisor, hallo que 84 se par-
te á sí mismo , pero no parte cabal 96 , queda el
residuo 12 ; por consiguiente se le puede <lar al que^

brado esta forma 0 . '0 • Aqúi se ve á las cla-

84-1-11484 ^

ras que el divisor que busco no puede ser mayor
que 12 i porque si lo fuera 'no podría partir 12. Vea-
mos , pues, si 12 es el tal divisor; hallo que 12
se parte á sí mismo, parte por lo mismo también
84 ; luego parte todas las partes del quebrado. Luego
es divisor coroun^'d^ numerador y a^U denominador;
es también el máximo divisor de ambos términos, por-
que la serie de las operaciones practicadas manifies-
ta que ua numeró mayor qAcr^b no podría partir
ambos términos. X)e'aqui se ""saHr la Siguiente *

'. . , . ..-*•
Regla para bollar el máximo común divisor de dos

números. , \

93 Pártate: el mayor de los dos* terminas por el
menor; si lá> división saliere cabal , el termina me-
nor seiá el mayor húmero que puédá partir los*&o6 .
términos del quebrada *

Si hubiese una resta > pártase por ella el térmi-
no menor; si la división saliere cabal, la primer
resta será elt mayor común divisor., , - *

D4 Apli-

$6

PRINCIPIOS

Apliquemos la regla al quebrado tVA» Part&t
pues , 2961 por 799 , saca el cociente $ y fe res-
ta 564 ; parto después 799 por 564 , saco d cocien-
te 1 y la resta 235 j parto 564 por 235 ; sacp d
cociente 2 , y la resta 94 ; últimamente parto 235
por 94 , saco el cociente 2 y la resta 47 j y como
esta última resta es partidor cabal de la resta an-
tecedente y de sí misma , es el máximo común di-
visor de los dos términos del quebrado propuesto.
Pártalos , pues , ambos por 47 , y queda el que»
brado reducido á \\.

. 94 Después <te hallado el máximo común divi-
sor dfc los dos términos de un quebrado , se le pue-
de abreviar, sin echar mano de él, por un méto-
do nías breve ; et quar consiste en el modo de dis-
poner los cocientes, y las restas que se sacan al'
tiempo de buscar el máximo común divisor. Mani-
festaremos qual es esta disposición , recomienda lo
que pasó* en. el cas*, propuesto. (93V

2961

.'63J

799 564

235

94]

f4r
1

3

i.

2

••"5

2
2

Después de diptrestas las diferentes resta? que
airveb de partidores, y los cocientes que dan y con-
forme aquí se vé, y hallado el número 47, que
parte cabal la resta antecedente 04 , siento la uni-
dad debajo de* este quineto , y digb : una vez * es
2 y y le siento, Rebajo del cociente, que . antecede;
digo después : 2 veces 2 son 4 i y añadiéndole la
unidad sentada á la derecha , son 5 , que siento de*
b<\jo del tercer cociente á mano izquierda. Prosi-
guiendo al mismo tenor , j digo : 2 veces 5 son 10^
y 2 son 12 , que siento debajo del quarto cocien-
te

DE ARISMÉTICA.

&

te l : multiplico este cociente i por 12 , y añadién-
dole 5 son 17. Finalmente , multiplico 17 por 3,
debs^o del qual está sentado % saco 51 , y añadién-
dole 12 son 63 ; los dos últimos números hallados
por este método son. el quebrado {$ , el qual es
el mismo que el propuesto después de abreviado.

Si aplicamos la regla al quebrado fj^ , halla-
remos que después de abreviado queda reducido
& if . Aquí va figurada la operación.

58932627 639 71^
9

83

2
37

4
9

Varios nodos de considerar un Quebrada^ y canse*
qúéncias que dé aquí se pueden sacar.

' 9$ P°r d concepto que hemos dado de todo
quebrado se saca que el denominador expresa quan-
tas son las partes de la unidad , á la qual se re-
fiere un quebrado propuesto , y el numerador quan-
tas de dichas partes tiene el quebrada

También se puede considerar* de otro modo un
quebrada; se puede considerar que el numerador
representa cierta cantidad , la qual se ha de partir
en tantas partes quantas unidades tiene el denomi-
nador. En £ v. g. se puede considerar que el 4 re-
presenta quatro cosas qualesquiera , v. g. quatro
reales , que se han de partir en cinco partes, ó en-
tre cinco compañeros i porque claro está que lo
mismo es partir 4 reales en cinco partes, que par-
tir un real en cinco partes para tomar quatro de
ellas.

96 Se puede , pues , considerar el numerador de
todo quebrado como un dividendo , y el denomi-
na-

58 PRINCIPIOS

nador como un divisor. Esta consideración mani-
fiesta á las darás que cosa, significan las restas do
divisiones expresadas en la forma -que dexamos: en-
señada (64).

97 De aquí y de lo dicho (81) se infiere, que
si en la resta de una división $ puesta en forma
de quebrado 9 el numerador vale mas de la mitad
del denominador , se podrá despreciar la tal resta
figurada á manera de quebrado, con tal que se aña*
da una unidad al ultimo guarismo del cociente pues-
to. Supongamos que el cociente de una división sea
23 y la resta f ; puedo omitir la cantidad J , con
tal que añada una unidad al último guarismo 3 del
cociente , el qual con esto será 24. La razón es cla-
ra , porque como | vale mas de la mitad del ente-
ro , ó unidad (81) , el cociente discrepará bótenos del
verdadero , añadiéndole una unidad en lugar de la
cantidad i , que si omitiésemos esta cantidad

Este* arbitrio se puede usar siempre que no se
quiera sacar tan cabal como cabe el cociente por
el método que mas adelante daremos, 6 quando son
de tan poca monta las partes en que se supone di-
vidida la unidad , que no hay necesidad de expre*
sarlas con mucha precisión,

98 De aquí se infiere que todo número se pue->
de escribir , siempre que se quiera , en forma dé
quebrado, poniéndole por numerador del quebrado,
y la unidad por denominador.: v. g. 8 es lo mismo
que I j $ lo propio que *.

Operaciones de la Arismkka por Quebrados.

99 Con los quebrados se hacen las mismas ope-
raciones que con los enteros ; se surrtón , restan*
multiplican y parten unos por otros. Para la adi-
ción y sustracción de estos números, se necesita

las

DE ARISMÉTICA. 59

las mas veces una operación preparatoria; para las
otras dos , ninguna*

Adición de hs Quebrados*

• 100 Siempre qué los quebrados por sumar tie-
nen un mismo denominador , se suman todos los nu-
meradores, á cuya suma se dá el denominador co-
mún de todos los quebrados propuestos. Para sumar
t > y 9 y unos con otros ; saco la suma 9 de los nu-
meradores , doyle por denominador el 7 , y la su-
ma de los quebrados propuestos es f*

Si los quebrados no tuviesen un mismo deno-
minador t será menester primero dársele (88) , des-
pués de cuya preparación se sumarán los quebrados
conforme acabamos de enseñar. Para sumar v. g. es-
tos tres quebrados , i > 1 ? f r 'os transformo en es-
totros tres || , -££ , 11 y cuya suma es y03 * la qual
se reduce á 2 |J (82),

ior La regía que acabamos dé dar para sumar
quebrados es la geoeral í casos hay, particularmen-
te quando son muchos , donde Se puede hallar su
suma por un camino mas breve. Se suman prime-
ro dos quebrados, después la suma de los dos pri-
meros con el tercero , 8ce*

Por esta fegla , quando me ocurra sumar ios qua~
tro quebrados y,4,4>£* reduciré los dos primeros
á A y A cuya suma es ií > después reduciré ü y y
^ 4o y I? T cuya suma es yo? ; después reduciré 'TV
Y i * til y ||5 y cuya suma es ¥£/ =3 & , su^
ma de los quatro quebrados propuestos.

102 Quando hay que sumar unos con otros nú-
meros fraccionarios , se suman primero los quebra-
dos con los quebrados, y después los enteros con
los enteros. Para sumar v. g. los tres números fraccio-
narios 3Í , 4 j , io| , reduzco primero los quebra-
dos

6o PRINCIPIOS

dos á un mismo denominador , con lo que se trans-
forman en {! , 5Í y 4! » <* ij , ^ , t% i después-
escríbolo todo , enteros y que-
brados, como aquí se ve. j_|*
Saco finalmente la suma de 4 T8T
todo 174I» que se reduce á iorV

18 TV (81), porque # vale -

* VV 17U

Sustracción de Quebrados.

103 . Si los dos quebrados con los quales se ha
de hacer esta operación tuviesen un mismo deno-
minador , se restará el numerador del uno del nu-
merador del otro , dando i la resta el denomina-
dor de ambos. Si resto \ de { y la resta será \ , lo
mismo que ± (86).

Si los quebrados no tuviesen un mismo deno-
minador , se les dará , y después se hará la sus-
tracción conforme hemos propuesto. Para restar v. g.
{ de{, transformo los dos quebrados enT*T y A>
resto 8 de 9 , y queda la resta TV

104 Quando hay que restar un número fraccio-
nario de otro , se resta el quebrado del quebrado
y el entero del entero. Par^ restar 24 i de 25 i,. pre-
paro desde luego los dos quebrados dándoles un mis-
mo denominador , y después escribo los dos núme-
ros como aquí se vé.

24t4t

TT— *T

Muí-

DE \ ARITMÉTICA. 61

. Multiplicación de Quebradas.

. 10$ Para multiplicar un quebtado por un quebra-
do , se multiplica ,. el numerador del uno por él nume-
rador del otro , y el denominador por el denominador i
Si se me ofrece multiplicar v., g, f po* 4*, mülti*
puco 2 por 4 , saco el numerador 8 , multiplico 3
por 5 , aseo el denominador 15 ; de modo que el
producto es^,

Fúndase esta regla en que multiplicar un núme-
ro por otro, es tomar tantas veces "el . roultipliqm-t
do, quantas cabe la unidad en el multiplicador»
Multiplicar , pues , £ por f es toldar 3 veces fel que-
brado },ó, con mas propiedad , es tomar 4 veces .
la quinta parte de } : pero quando se multiplica el
denominador 3 por 5 , se transforman los tercios en
quinzavos, quiero decir r en partes cinco veces meb
pores ,- y quando se multiplica el numerador 2 • por
4, se toman las nuevas partes 4 veces; se toma,
pufes i 4 veces la quinta parte de | i se multiplica
con efecto \ por £•

106 Quando ocurre multiplicar un entero pofc
Un quebrado , se reduce el entero á la. forma de
quebrado ,. dándole la unidad por denominador (98)*
Si se* me ófrécte multiplicar v. g. 9 por 4 > multi-
plico i por I , de lo que , por la regla dada, sale
el producto -^1. r que se reduce á |„

Se echa, pues , de ver que para multiplicar un
entero por un quebrado , ó un quebrado por * uri
étítero, se reduce la operación á multiplicar por éf
entero el numerador, del quebrado propuesta

107 Si hubiese enteros con quebrados , se reí
ducirán primero los enteros á quebrados de un mis-
mo denominador que los qo& los acompañan. Si he
de multiplicar j2| por 94 v> transformo, el múltipla
-. 1 can-

to PRINCIPIOS

cando en y (83) y el multiplicador en y , multipü-
*co y por V por la regla dada (105), y saco el pro-
ducto ±4^ y qUe vale 122 4- h

108 Quando el numerador del uno de los dos
quebrados y el denominador del otro se pueden par*
tir por un mismo número , se practicará primero la
división , y después se multiplicará un quebrado
por otro* » : ' ■ ■

; > Suponga que me toque multiplicar $ por £ , par-*
to primero 8 y 4 por 4, con. cuya preparación los
dos quebrados quedan transformados en 4 y 1 ; se-
rá, pues ,. iXj — Jw el producto de un quebrada
por otro. > . »

Si he de multiplicar f por 1 , partiré primero 8
y 4 por 4 , y 3 y 9 por 3, sacaré , pues, |x£ =$*
.- 109 Quando ocurre multiplicar un quebrado por
un número igual á su denominador , el producto es
el numerador mismo del quebrado. >

■ 110 Quaado ocurre multiplicar unos por otros
duchos quebrados , se señala no* mas la multiplica*
cion , y se borran en el numerador y el denominador
del producto .figurado todos los divisores. Si^he
de multiplicar unos por otros estos tres quebrados
|, {4, {, me contentó con figurar desde luego el

iíroducto en esta forma — m 4 a lo mismo fiue
* aX7X2Xy 7XifX8 ^2

;¿X3X,X,XiX» > P"»» ^"i *«*3 7 *=*
2x2x2; borro después en ambos términos los factores
comunes , porque en la misma proporción que los de}
numerador. aumen^n la cantidad, los del denomi-
nador la disminuyen ,|iy queda ~r-= i > produc-
to verdadero. 2 *

La razón de «te práctica es muy ñál de per-
cibir , porque no muda de valor un quebrado quan-
do se paiten sus dos téf ¡pinos por un migoio nd~

me*

DE AKISMÉTICA. 63

mero ; y quando esta división pueda executarse no
se debe omitir, porque dexa mas sencillos y mas
íáciles de calcular los quebrados.

La última regla que acabamos de dar es de gran*
dísimo recurso en cálculos muy prolixos y dificul*
tosos. .

División de Quebrados.

ni Para f>artir un quebrado por otro, se tras-
tornan los dos términos del quebrado* divisor , y
después se multiplica por él el quebrado dividendo*
Para dividir v. g. \ por \ trastorno el quebran-
do I , y sale \ ; multiplico \ por \ , y saco el co*
cíente \\ , que se reduce á 1 TV r: 1 1.

La razón de esta regla es , que partir \ por f ¿
es buscar quantas veces } cabe en \ ; pero se viene
4 los ojos que pues el divisor expresa tercios, cabrá
en el dividendo tres veces mas qué si expresara
enteros ; luego se ha de dividir primero por 2 , y
multiplicar después por 3,. lo mismo cabalmente que
tomar tres veces la mitad del dividendo ,. ó multi-
plicar por I , que es el quebrado divisor trastor-
nado.

112 Si ocurriese partir un quebrado por un en-
teró ¿ ú uú entero por un quebrado ^ se le.darápri-
merp al entero la forma de quebrado , y la unidad
poff denominador. Paía partir v. g. 1 2 por > , se re*-
clucirá la operación á partir V por | , lo que por
la regla dada es lo mismo que multiplicar V por
I, de lo que saldrá el cociente 8T4 ó\i6|. Partir
4 por 5 es partir £ por 4 , ó multiplicar | por J^ cJ;

de donde sale el producto •£*.

1x3 Por consiguiente se eqba de ver , que quan-
do hay que partir un quebrado por un entero , la
opeáacion se reduce á multiplicar el denominador
por I el entero*

cs^

'64 PRINCIPIOS

114 Si hubiese enteros con quebrados , se redu-
cirán primero los enteros á quebrados , cada uno ck
la misma especie que el que le acompaña. Quando
se ofrezca partir 54 1 por 12 £, se transformará el
dividendo en -4-3-, y el divisor en y ; quedará, pues,
reducida la operación á partir - -p- por ST8 , ó á mul-
tiplicar (1 1 1) ±|* por -3^ , de dónde saldrá l^o > ó

- 115 Como se pueda , la división de un quebrado
por otro se executa partiendo el numerador del di-
videndo por el numerador del divisor , y el deno-
minador por el denominador. £1 cociente de tt par-
tido por I , será £.

116 Siempre que ambos numeradores 4 ó deno-
minadores se puedan partir por un mismo número,
se hace la división antes de partir un quebrad*) por
otro. Si he de partir i? por | , ya que 12 y 8 se
pueden partir por 4 , reduzeo ios dos quebrados k
tV y t 9 partiendo sus numeradores por 4 ; hago
después la división según la regla, y saco el co*
cierne \\.

algunas aplicaciones de las reglas antecedentes.

117 De lo dicho (95) es fácil inferir lo que debe
practicarse para valuar un quebrado: se rae pregunta
vv. g. quanto valen los \ de un doblón. Ya que los f de
un doblón son lo mismo (95) que el séptimo de 5 do*
blones, reduzco los 5 doblones á pesos (54), y parto por
7 ios SO pesos que salen; el cociente da 2 pesos , y lá
resta 6 pesos que he de partir por 7. Redueoo los
6 pesos á reales , y parto por 7 los 90 reales que sa-
len ; el cociente da 12. reales, y la resta 6 reales, que
he de partir por 7; reduzco los seis reales á mara-
vedises , parto por 7 los 204 maravedises que salen;
el cociente da 29 maravedís y f de maravedí ; po?

ma-

DE ARISMÉTICjÍ. %

manera que los' | de un doblón valen 2 Pe. 12 rs.t
29 \ nirs. . * . '•;.,:

118 Sise preguntara qnanto valer* } de 24 do-,
blones , es patente que se ^podrían tornar desde lúe-;
go, conforme lo acabamos de practicar 9 los | de un
doblón, y multiplicar después por 34 lo que saliere.
Pero es mucho mas acomodado imiltiplicar primen
ro los £ por, 24 doblones, lo que da ¿$£(1o6)-cUh
blones r y valuar después! este quebrado , cuyo ▼*-*
lor se bailará que es 17 doblones , 8 reales;* ig\ txu-
ravedises. ' ; >

119 La regla que hemos dado para valuar los
dos quebrados propuestos manifiesta que quando se
trata de valuar un quebrado , sea el que fuere , se*
ha de multiplicar su numerador por el núrüero que
expresa quantas veces, en la unidad , á la qual se
refiere el quebrado y caben las partes en que se le
quiere valuar 9 y partir después el producto por el
denominador del quebrado. En el primer exemplty
dpnde habíamos de valuar; en pesos jos £ de un do**
blon y hemos multiplicado primero el numerador :g¿
por 4 , porque un doblob tifene "quatro pesos , y des-
pués hornos «partido el producto 20 por d denomi-
nador 7. Lo propio hemos practicado para valuad
tes partes de pe$p en rqales.. . :

120 . La valuación de los quebrachos nos encami-
na^taifalmente á considerar ¿oa Cebrados de que-*
br« fiase e$te pqmbre i: M»/«ri$ de quebra-j
dosl «dos unos ae otrosí por la> preposición de»
v- g^ I » 1 de |_<te £* &C«^(m> qusbrfedq? de
qutíbráúQfc; Estos se reducen i un quebrado soley-
multíplk^plo unos por otros todos los numeradores^

y los denominadores también unos por otros ; poí *
manera qu^el quebrado- \ de f se reduce Ítjí el
quebrado, | de \ de £ se reduce í|r ó A*

Y1coh efecto, claro está que tomar los y de \
• JJ¡óm.L E es

66 PRINCIPIOS

es 1(5 propio que multiplicar } por } f^aes es to-
mar I veces el quebrado f . Asimismo, tomar los y de f
de |, viene á ser lo propio que tomar los A de
| i pues y de | son A* Lo que acabamos de decir
manifiesta que los T*r de f son $£ ó TV

Si se preguntase el valor de $ de 54 se conver-
tiría el entero 5 en octavos , y la operación que-
daría reducida 4 hallar el valor del quebrado de
quebrada ^ de V > y 8C hallaría que es y ,%♦<* 4^.

221 La valuación de los quebrados de quebra-
dos es el fundamento de la doctrina de los cam-
bios , esto es , de la reducción de las monedas de
una nación & las monedas de otra ; como también
de las medidas, pesos fice, de diferentes naciones;
quiero decir, de lo que debe practicarse para ex-
presar las monedas, pesos file, de un país en mo-
nedas , pesos fice, de otro , cuyas reducciones se
executan por medio de la regla conjunta , asi llama-
da porque junta muchas reglas de tres, que todas
paran en una sola , y que daremos á conocer mas
adelante.

De tos Quebrados comimos.

199 Quebrada continuo, ó fracción continua se
Sania todo quebrado cuyo numerador es un núme-
ro entero el que se quiera , y d denominador otro
numero entero, peto acompañado de otro quebra-
do, combinado ¿efr mismo modo con otro; «¿asi
prosiguiendo ,; ora sea infinito, ora indefako ¿to-
rnero de estos quebrados* ™

Quebrbdo continuo es elle.

ftv'*i • 7 + a

3+4.

ii+8
9 + 6

DE ARISM ÉTICA. 6frr

193 Los quebrados #ontinuoa se reduce» con fe-

• ^% 8

ciUdad' á cebrados comunes. Porque 9 1* = • •

.13 í

9x13 + 6= ^ I*=^t3$í luego en lugju: de k»

4 ^ 4 *

quebrados u + 8 «e podrá tomar 114104 = «¿»

9+A «3

— -r-— a- — =-^21. Si substituimos este quebrada
11X1234104 1477 r

en lugar de los tres últimos , las quatro fraccio-'

oes se reducirán & esta 3 + 491= * l4*7 — = . .

1lIs7 *X*4J7+49*

-|^i. Finalmente , si se substituye este quebrado

en lugar de los quatro, con los quales hemos vis*

to que es igual , el quebrado continuo propuesto

sera 7+a9'4 = w ¿* * — =-7^ > d fl"*1!
; ^ggj 7x4*6*;ra9'4. 369ÍÍ. ^^

después de abreviado, se redute á $$4¿» ditimo
valor deJ quebrado continua « :.

04 - Este método de reducir. los quebrados* cao*
tínuos , empezando la reducción por ios últimos /pa-
dece muchos inconvenientes en U práctica. Como el
destino de estas expresiones suele ser sigoificar d vá*
lor aproximado de una cantidad finita , el qual las
mas veces es imposible expresar con números en-
teros ¡ ó que aun en d caso de poderse reducir á
una expresión fioka en números enteros., paran en
números muy grandes f de los quales no tiene cuen-

Es ta

/

/

\ / ta hacer usó , es mucha conveniencia cef&fde 3 los
primeros quebrados; ó si estos primeros no se con-
sideras bastante cabales , pasar & los siguientes sin
la precisión de empezar otra vez el cálculo. Por lo
qual diremos como se puede hacer esta operación,,
para cuya, práctica basta conocer los dos primeros
quebrados.

Estos dos se forman sin dificultad alguna tenien-
* do presente lo dicho antes. ' Formados estos y el nú?1
merador ¿del tercero se forma sumando uno con otro
el producto del numerador de dicho quebrado por
el numerador del primer quebrado simple , y el pro-
ducto de su denominador por el numerador dcfr
último quebrado sacado ya , ó es, en el caso ac-
tual , 4x5-4-11x15;* su, denominador sé forma A su-
mando el; producto jde su ijumerador por el depomi-;
riádor del primer qüebrádo¿ sencillo, con el produc-
to de su denominador por el denominador del, úl-*
timo quebrado sacado ya; ó ess en nuestro casa
4x7+11x23, de donde, sale el tercer • quebrado»*

, ; \ , ; . 4X5-+HXIJT

común después de la reducción -~ -^— ..

Los numeradores de los quebrados comunes si-*
gbientes se, forman sumando el producto del nume¿
rador del quebrado por reducir por el numerador
deiipenvltijn<$ quebrado reducido, con el ptoductd
de su denominador por el numerador del último que-^
brado reducido ; sil denominador se forma de la su-
ma del producto de su numerador por el detíomi^
¿ador del penúltimo quebrado reducido ; y del pro*
ducto de su denominador por el denominador del
último quebrado reducido.

Para enseñar la práctica de la regla , y manifestad
su demostración , reduciremos á quebrado simple el
quebrado continuo antes propuesto

:..-.*. . " ■ • .. ■ . -1

•. : ten-

DE AKISMÉIXCA 6$

i

l ■• •

<• 3*4? . k •/ ':■■ , ;,'r
9 + 6_

tendremos -^

• 5— « S_ • . I i , 1 . -i- 1

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: Tí •<> - . • • . .

''■£— '"'' _ gxVr49xvg?:_: iVsf ' ' i; ,':

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• • L- ^ 6*?S?W.78y ^ hs^H'

* T7^ 6x*8i + 15X371 i 369/1 . 7391,

3+4

t ' * i". <H-8 • -

r ^ - í- .- . y+p> . .';.»i 'i- :•..>•/. .. ■*!

* ' '" ,*,í "' Ti ' P i;i * ' *'■'•'* ^ f -J

- • •/ ' .;" >i * •.. . .. ti f ' • ' í* r X>*¡ •■ !' \

Basta echar una mirada á los diferente qúebra-
dos comunes , .reducidos para ver y entender' la prác-
tica de la /regla? dona* el quarto qutbra^o^omun

E3 es

70 2RWCIPI0S

es lo que hemos dicho, ásaber g^*^LÍ &c.

Si se comparan unas córi otras las fracciones sim-
ples, se echará de ver que la primera es mayor
que la segunda; la Segunda menor que la tercera;
la tercera mayor que la quarta ; la quarta menor
que la quima , y así á este tenor. Esto es una coa-
seqüencia precisa de la naturaleza de los quebrados
comunes combinados con la de los quebrados con-
tinuos. En esto consiste también la propiedad de es*
tos últimos quebrados, que es dar una serie de can-
tidades alternadamente mayores y menores que una
determinada cantidad expresada con uñar serie inde*
finita de quebrados de esta especie. Fuera de esto,
el primer quebrado simple es el mayor de todos
los quebrados que se pueden sacar del quebrado con*
tinua La razón de estas desigualdades alternadas es
fócii de percibir; porque como el denominador 7
del primer quebrado 4 es menor que ?+y ; el" que-
brado cuyo denominador es 7 no mas, ha de ser ma-
yor que no el quebrado cuyo denominador es 7-hf ♦

Por la misma tazón % como 3 es menor que * — , el

• . *
quebrado | es mayor que no el quebrado 3 + 4» lúe*

11
go con añadir al primer denominador 7 del pri-
mer quebrado esta nueva fracción en lugar de | , et
quebrado que de aqui resultará será mayor que no
el que procede de la adición al de&omjnador 3 , ó,
lo que viene á ser lo mismo f el tercero será mayor
que el segundo r bien que siempre menor que el
primero. En general , la suma de los quebrados no»
nes da una cantidad muy grande respecto del que-
brado que representa el quebrado continuo indefinito»
kosquebwk* continuos de que acabamos de

ha-

DÉ AKISMkTICA. fi

hablar , cuyos diferentes numeradores son número*
diferentes de la unidad r. ocurren ratísijfta ver ett
los cálculos , y por esta razón vienen á ser mas de
curiosidad que de provecho f pero es fácil reducir
todos los quebrados simples i. quebrados continuos
compuestos de quebrados simples , cuyos numerado-
res son constantemente iguales á la unidad; y es-
tos quebrados son los mas usados , por lo que nos
toca enseñar como á ellos se reducen los quebrados
comunes.

Practicaremos esta reducción con el quebrado
44ir- Como un quebrado no muda de valor aunque
se partan sus dos térntitto* pbt Un htitafó partido^
partiremos los- dos términos ttél tylebfluto propues¿
to por 547*; el cociente del numerador sárá fbrz<H
sámente i , y el del denominador será 5 con una
resta igual á 10O. Luego en lugar del quebrado pto*

puesto podemos tomar y + 100. Por la misma ra~

zon , si partimos el tíumérador y el denominador
del quebrado |f| por 100 , en lugar de \%j tendré-

' _r •_ - ' •* ' •:■•"'

1X106 1+jgL.r y por toúiígüktrn <m Jttg&r dtí ptí^
,>oo /-. ' ^-'— ' '^ - ' - '• i '-

mer cpteterado ^y tendremos estotro, . j+T - 4

" 7+42L :
No será mas difofliótó' tiesolve^ ^ qtíébtáíte 4#,

del qüal saldrá *>fr '•; y ^i 4e los demás qfcte se

resolverán del mismo modo hasta encontrar un» res-
ta■• IgtoA con te* unidad , fa '^ual será el 'numerador
étt*4ft¡lS0 '^uéÍJtWia^ qite^a^ íeíft ^ per cottrf-
' ^ £ 4 guien-

g?4ente ieVqu^radoi 44 ^reducido á fracción coatí-
nya^rjesí ága&l á GStorssri^ taha . •,: • ;. , ;: i.

1 tlr í ? . . ..üj ; <^i

..... .. : . í.+ i

--", \ '- ii..lt.';l i,: 1 --•«.??■■*■?: ^. • .. > .. ■

*< !VJIM) <», \.-"f ? --i h Jí w )7"Mi . '. - <• v',. '

*»•: :-:-.' .^4'- *'ul *.v.. í,-,¿ ^ »*' v^ + ijUi'i; *., . r"

s

.,■ JQel moíqLCon qi# .hemos reducido un quebrado
pfófgfts^o c^qttribfftíiG^trtiBHQ, ^s í&til sacar, una re-
gkuf^r$)^^jj|oft# Jps demas^quebr^díQ^ Fuera
fet9re^4otM^<^'>te -awlogííi tqnevhpy eptn*
^st^. op^r^cion^ -y \ei moda de' tjalúr .el "naáximp
ccwBuii divisor 4fe 4os wa^eros ( 93 )., de donde se
saca la siguiente 1

-si cirial *:? k/I .).)iri m-^xit ««. *"---; <" ;
Regla para reduoirqualquiera quebrado común

•¡. ,/E«ií«..-n--»i ^kwebr^*mftw^ ¡ .

-. !.- . ;f- -^ -■- •« r. ,c :• .'■'..•

125 Pártase el numerador y el denominador dd
xHgbtjfo;^^^ ^ ¡de *&*

primera división no queda resta alguna ^qt quebra-
do propuesta no tendrá otra expresión ; si quedare
uní* resff; j> 4rta»¿PQfti«««jee9ta1^ p«ftm».yt£ti#ftr
nonüH^dpr "también ; prosígase del mismo modo has-
ta $acontrar un último quebrado , que tenga la uni-

ro primo. En todas estas divisiones jse apuntarán por
4V &de& küL 4^rc^e^>¿c^ieptésTqu? ssjierea^ ctfr
yos cocientes serán los denominadores de una se-
jeki 4e quedados simples *,cuyA -aperador será l$
uojbd»d f \o$% qt^Jes «fift'i&s f qftjjio iguebrado»;;cqpt^

DE ' jfRISMÉTlCA. fc$

126 Gomo el único fin por que se reduce una
fracción común á quebrado continuo , es bailar una
serie de quebrados simples alternadamente mayores
y menores que la fracción propuesta, pero con nú-
meros mucho menores ; se puede escusar reducir la
fracción á quebrado continuo* para hallar estos dife-
rentes quebrados simples. Los cocientes suocesivos por
el orden que salen, bastan paca esta operación ,.que
es la mas útil y. conformé se veranen .adelanten Va*
mos á dar una regla para esto , respecto de quebra-
dos continuos que se quieran reducir á quebrados' sim-
•pks , pero cuyos numeradores son -números ente-
ros iguales ala unidad, ó mayores que la unidad,
: . Conocidos qu& sean todos los términos : suocesivos
que han de fcrmfcrfos denominadores de un. quebrar
do continuo igual á una fracción propuesta , bailar ios
diferentes' quebrados simples que se le. aproximan mas;

1 2f Sirva de exempio el. quebrado ordinario Ty&*
donde ae< buscaba, el mátímo común divisor de. ios
dos quebrados; despues.de dispuestos por su orden
los diferentes cocientes que se han hallado, practican-
do lo enseñado, se formarán los diferentes quebrados
puestos debajo conforme se vé.

\l • .' g & ■• A ■ <" ?• .1— $ ■'•

, . ia8 Multipliqúese el numerador y el denomína-
dor del quebrado que antecede al que se busca poQ
el .xtátpero'füqfcal ha decórEefcpcw^r.ek^iisMOíiiiie-
brado.p^dkík);; y i cada uno, deesas. Iprodtfctos añá-
dase resppcwíametjee.el jwmeradoc ; y ^ deaimíiia-'
dor del quebrado que. inmediatamente anterede á di-
cho último quebrado ; las dos sumds serán el r¿u~
íwradoc y eb jiéoOmin^doi: del quebrado que .se fait-
ea. Supone esta regla , como se vé , que ya .^ftén
.•,/: ha-

74 PRINCIPIOS

hallados los dos primeros quebrados sitpplés , de los
quales el primero se halla sobre la marcha sentan-
do la unidad por numerador , y el primer cocien-
te por denominador. £1 segundo se puede formar
por la regla general sentando delante del .primer que-
brado esta expresión £• Esto supuesto , para hallar
el quebrado que he de sentar debajo del número 2,
acudo al segundo quebrado ^ ; digo , pues: 2 ve-
ces $ son 10 9 á los quales añado el numerador 1
del primer quebrado que antecede al segundo , sa-
le el numerador jji del tercero; digo también: 2
veces 26 son 52 , 4 los quales añado 5 , y sale 57
para denominador dSfSrnismo tercer quebrada Pa-
ra sacar el quebrado que*ha de corresponder al quar-
to mí mero 7 , acudo al tercer quebrado \$ , cuyos
4ps términos multiplico por 7 ; y á los productos 77,
399 añado respectivamente los números 5 y 26, que
son los dos términos del segundo quebrado , de donde
$SiCO 1 VV Para roto? <tei quarto quebrado. Lo mismo
sucederá con todos los demás.

Operaciones de Arimktica con números denominados.

129 Hemos dicho en otro lugar que los números
denominados son aquellos que expresan unidades de
diferentes especies; v. g. 3 horas, 4 minutos y 6
segundos es un número denominado.

Hay números denominados de varias especies;
pero el modo de calcularlos pende en mucho del
modo con que esA dividida la unidad principal, y
sobre todo de la relación que con esta tienen, y tam-
bién unas con otras, sus diferentes paites ; cuya re-
lación respecto de algunos números denominados
expresamos en las siguientes tablas, y apuntamos los
signos conque se señalan las de las diferentes uni-
dades- a . c -

Me-

punta

DE AR1SMÉT1CA. 75

Medidas de extensión. .

» ............... , P:

1

13

144

I728

9484

linca*

-

13
I44

432

pulga

13

da* •«••*.

. .

oie. • » • . «

I36

pav* • • • • •

3 |vara* *

1

Tiempo»

tercero.

60

Z60

216000

5184000

segundo.

60

3600

86400

minuto.
60"

60 jhota.
1440 I 34

1440 1 34 (día.

paño.

84

73

576

9216

escrúpulo.

adarme. .
onza.

34

4438] Í9» ^|s

384

8

128

8

x6

mateo. » .
- a (libra.

b.

d.

. gr.
. escr.

adar»

► .a

.M.

. lux

Mo- I

76

PRINCIPIOS

Monedas. ^ \
maipvedL • .. .. ... ...... .. .. .. . .. .. . ., • , . . mrs.

34

340

370

510

2040

real

rl.

10

ii

15

escudo. .esc.

ii

ducado, . . . . • duc.

i-4

TT

Peso.

Pe.

6o 6 4^ 4 | doblón. . . ... . .dobl.

£1 quf entienda una de estas tablas entenderá
todas las xlemas , por cuyo motivo explicaremos la
primera, f-

Esta tabla empieza como todas las siguiente» por
ía menor de todas .las partes que componen la uni-
dad principal , que aquí e* 4a vara. Siguen por su
orden las partes inmediatamente mayores, expresan-
do quantas de las partes menores componen una de las
inmediatamente mayores. Como la parte mínima de
la vara es el punfo , ocupa el primer lugar empe-
zando desde arriba; como debajo de punto hay 12,
y al. lado hay. Uva ,. esto, significa que . 12 . puntos
componen una linea j debajo de linea hay 12 y al lado
hay pulgada ,' esto significa tjae 12 lineas componen
una. pulgada ; debajo de pulgada hay 12 , y ai la-
do pie, porque -12 -pulgadas -componen un pie j^te-i
bajo de pie hay 3, y al lado vara>t porque 3\T>ies
componen una* vara.* ^ i

• uidkfon de números denominados.

*" 130* -Se escriben todos los '.riúmews;_por ^mat

unos

DE lAMSJM&fiÜA. tf

unos debajo de otros , por manera que todas las par-
tes de una misma especie estefc eft una misma co-
lumna; y tirando una raya* por debajo de todo, se
empieza á sumar por Jla\ pfirtes Aenores. Si su su-
ma no llega á una ümidads de la- especie initiedia-
tamente mayor, se pone debajo de- las unidades de
su especie ; sí llega á componer om ó muchas uni-
dades cabales de la especie inmediatamente mayor,
áfe pone cero ó n&aftt&ajb dfe lá cotómtíá ^ Iteran-
do el número cabal de Uftidá<fcs ^acá ^e^a^laá ría
la columna siguiente ; si el nún\etc>tik 'unítoJés ^tó1
la primer cotomaa excede una» ó muchas /el ex--
rtso se pone debajo, y fee llevan las ^partes- cabalen
conforme acatamofe ideOdedf ; 10 propio a^rátttaii
tfo^todas las -cofartiw». c •' ""« * : 1 • -of !>o >.i
•* 131 Quiera sumar las pftfíáda^ sigdkutés; ncni/.m

' : 184 * *r . íi i

2549 ,13 ig

lf* ...-10'- • * ^ ' *

r. •

.2980

••• La suma dé los maravedises llega á 41 *, que valen
t real ¡y 7 tfirs» f pongo lo» 7 iflrls. y llevo 1 real}
para aguarle 'á- 1* columm siguiente que expresg
reales , y saco' 49 reales , <jue - componen 3 pesos
y 4 reales mas í pe^ -estos debajo de la seguida
eolamna , y llevo los- 3 pedos pava jumarlos coalas
unidades de la, columna siguiente qué son pesos, cu-
ya soma hallo que es «980. Luego tas quátib plr->
-tidas montan 298c* pesos, 4 rs. y 7 mrs. \ ■ ■■■ ■ j
'< 133; Voy á- suinarkstquarro partidas siguiente» -

.. i

La

f& :■ MtlNGIPKKS

o; -la. •• .1. . : 4 , »
<■. , .« • •* .H .11
2 . 9 • 10

;l;

. I* syi»a,d* Ui lineas llega á 41 , que aon 3
BP'^ly^J^aiíKfOflío^ pqe^v $ Ua. y Uevo3íiulg.
q^ ^r^gQ-Á j»S(;4e la columna siguiente: saca la
s^aao^e yak ¡^ piea y 6 pulg. ; pongo las 6 pulg*
y Uejrifc* pfestp Iqs quaies añadidos á los de la eó->
lmm<t^WP$> fompvm* 9 pie**^^ vafea 3. va-
ras cabales : por lo mismo poogocero debajo de la
columna 4frilí}#j:pie%síj«^r iMOguna queda que apun-
tar : agrego las tres varaS 4 las de la columna si-
guiente; y4$acp ia 9t}i^a 96 » por manera que las
quatro partidas ppmpooen 86 y* o P. 6 p. 5 L

Sustracción de cflmern denominados. "

133 Escríbanse los. números propuestos como en
la Adición , y empiécese la operación por las uni-
4adeg 4¿ ni^poc. &pem*>$iM «wnefo mfi>W>f se
puede , r^sufi d^el wperior t P^Qg^se; debajo la xw*
?i po se f^d$, restar, quítese á laictpecie «qáediaíapr
píente jnayór una unidad , 1 educiéndola á la unidad
inmediatamente menor (54) , pita añadirla á la paró-
tida 4* *ffft>a de la prigaer columna. Practtquese la
propio CQ9 **&* especie > y siempre que se quite una
uwdad ¿alguna partida, ae la mirará cono una
unidad menor i finalmente , escríbase la resta á me*
dida que se vaya sacando* debajo <k »* respectiva

De

DE ' jiüISMÉTICA. 79

134 De 143 Pe. 24 rs. 8 mrs.
he de restar. ... 75 10 ao v

68 3 23

Como no puedo restar so mrs. de 8 mrs. , quito
á la partida superior de los reales 1 real que vale
34 mrs., los agrego á tos ocho, y compongo 49 mrs.'
de los guates testo los 20, y queda la resta fl».:
. Después; 'resto 10 reaks, do de 14 rs., sido de 13'
que quedan por razón del reaj que quité , y quedad
U resta 3 : finalmente resto 7$ pesos de 143 pesos,
y restan 68 P£ ■ r.u .<■?. • . í

' 135 De v 1(3 Pe. # rs. , $ ntes.
hede restar.». . 8% 14 30

• '. . ' ■ " -•'' : ' t' ' ' ■ ' ''

Bórque de $ rnrs* no, «puedo restar 30 mrs. ni
tampoco; puedo quitar 1 real a cero reafess quito
un péso; d# los 165 j pero de los 15 rs. que vale
dexo con el pensamiento 14 én rugar del cero, 4
los apunto. encima , y el otro real.; reducido á mr*
le añado ¿ los 5 , lo que compone 39 mrs¡. Hecfeo
**°> i»go la operación como arriba, y saco la
*eita 78 Fe. ops. 9 asrsi:

Mtiliptkalhh kfr i&meros áetmUnadu.

_ 136 Ua mül^lídición de un némeró dendmiá»»
w por otro se puede redueir a la multiplicación d*
on quebrada por otro, cuya operación "ya quedada
«o (105) cotbo sgpractieft. Si se pregunta v. g. qua»
to ha. de costar una obra de 54 VI *'P. á razón de
t% P. $ *sWi$'mr* l*<titfa<'i# fWedé ¥etítfcir todo el

muí-

$>; * principios :

multiplicando iS P.,< r& ig wts. i maravedises (54),
de lo que saldrán ggP5 mió. y como eljnaravedi.es tai
5ioma parte del peso^seráeL multiplicando VA5 de
peso : se reducirá ^igualmente todo el multiplicador
54 V. 2 P. á pies , de 16 que resultarán 164 pies;
y como el pite es Ja tercera parte de k vara, e¿ fflul-
t¿pl#ack>r, será -| ^ de vara : por manera que la ope-
rucian queda redunda á multiplicar 9TW de pe»*
poír-^JAde vara, cuya multiplicación dará el pro-,
ducto HHJ™. (k?5) df-pe^o, que; valen 1003 Pe*
12 rs..« is ,mrs,.(iifr). K. •
V.X3^ PerQ.se pueden jnultípücar unos por otro»
los números denominados sin reducido» á 1 quebra-
dos. Primero que declaremos como se hace la ope-
ración ; es del- fflWpr¿Y^r 3» izando -pe*' han 4e
multiplicar uno" por otro dos myierpy, cqyss unH
dades son dejjisunta .espuecte^.se Jia de tomar, por*
tíiukiplicando^iquel ,qiy as ru nidadas son de la mis-
ma especie f que las que ha de expresar el produc-
to. Si quiero ts^b^r y* g»*niant|> importan 1 9- v&ras
de pañp ¿ - 59 t r* M. vgjrp\ ¿h* de . considerar comct
Wultipücaijdo el numero 50*rs»<pues;él ptfpducto ha
de .expresar realeo; pprque han de saür fX produce
t)p üaotas vece* 59 rs.;,quawa$ var«# hay, esto es
«a-.vejpes.;' t r.\ ■.••: ^¡.v, «.;j.> V-¡ ? ,«. . i; . ./. . .i
^ iDfedon^ie.inferfi ^qi«)iei loidtíplicadflr ?íqoh
pre es un número abstigfóo > que po ^xprasa
unidades , ni partes de unidad de determinada es-
pide, ¿¿¿o. quant3^s?yece5 6e\ha d^ toniar «¿ multi-
plicando. En el exemplo propuesto, el multiplicador
Jift;f6,fl¿Q JWÍPWÍ* abstrajo; la. qtftfftb mecfe-de-
aferrfktfór, .porque si le c^siderW^os*coraQ que
i^pre^enta 12 vara§ 5; y execut&qmtila xflulwpU<?frT
mm , cogi^tjeríajpop «un pb<HV<|p? pues jo seri» muí?
jfyligat varas. porpes. .,,.*,/: 4 .

PÉ\ ARISMáftjCJ. 81

ootencterse de- los ^ húmeros denominados igualmente
que de los que nó lo son, hay tres reglas que prac¿
gear- qtiando se bao (de mukipíicaar uno . por Otra '
do» números d^n^na^08-' *>* -**" hw^ re4ucfr *w«
bp* ,á la- wpqf. de ;lfts> especie* qw-, expreso :r»»q' so
(¡íukipbcan uno por otro después de esta reducción*
3.0 se parte el producto por el número ^que^ expresa*
quantas veces la unidad, Operar 4el multiplicador ca^
be en <&.>&*&& i. *l 4»ciwte es^iprad¿cío qu$se
busca* *Perot cpfc*> e&e>&Q¿MtaMpr*#tík tas wfe
dades «anotes jdelínw^pli<MP^ ^íáómcnfisterfrefr
ducixle á las unidades mayor^Los calos prácticos
lo' acabarán de aclaran ; i

j

-*39 ^Quatoto itnpDttíio 4 ^ 2 J?. .8. p. v

Costando la, vara .? -¡ 2 ;lfc:§pis.í 4 tora? ;; j

^ i.d Reditóco á maravedises toda la cantidad 3
Pe. 3 rs. 4 mrs. , y salen 11 26 mrs. Reduzco tan*
bien toda á pulg. la cantidad 4 V. 2-P. 8 p. -y y sa*
co .176 j\ js.° multiplicable por 176, sale el pro-
ducto 19^76 5. 3.0 partq^teje r^roductfr por 36 ¿ que
expresa quantas veces la unidad menor del multipli-
cador , que es la pulgada , cabe en la mayor, que
es la vara. Salen al nociente '5504 mrs. y j£ ó 4 dé •
imravedi; y porque este^quebr^dbYale muy cerca
de un vHRaravedi, \\é omttq,<?pettt añado una. onte
$ad (9?)'al:úk¿nao guarismo del cociente ballado^el
qual por .consiguiente será $3¡Qj¡. Practicando lo di* »
cho (77) r hallaremos que estos maravedises valen ■ *
10 peso»., 11 rsalé* y; 31 jttrs- /£ .

140 i Que ganancia ban de dar JO Pe. 3 rs. 4

mrs* en, e^ supuesto dtt qge <&d* .peso déí 3 jS$x 2

rs. 6 mrs* de ganancia? \

Por la pregunta* se conoce que hemos de mul+

típlicar 3 Pe. a rs, 6 fiors. por 10 Pe> 3 rs. 4 mrs*

Tm. I. F re-

«a v ;pitmcrpios"

f eduzco 3 Pe. 2 rs. 6 mrs. 9 todo 4 maravedises 9 y
saco 1604 mrs., 7 el multiplicando á 5206 mrs. 2.*
moitipikp 1604 por 5206 : saco el producto 8350424
mr*. 3*°5parto este producto por 510 , cuyo número
expteSa- quattfOs' maravedises caben en un peso, sa-
len al cociente 16373 mrs. y |U*de maravedí, que
por k> dicho (77) seta fltil relucir i pesos y reale*,
y saldrán 33 Pe. 1 r. 19 mrs.
- 141 De ks t*es operadores que hay que prac*
>, tfcar en k multipíicaciOü de dos numeres denomi-

nados taño po* otro, tattotoa dé las dos' primeras
* ^ ie perdbe fácilmente ¿ por lo que solo hemos de
% manifestar la de la tercera , -y aplicaremos su de-
claración al exemplo primero. Si cada pulgada valie-
ra 1126 mu-, c\úro estaque 4 V. o P. §p. $176.
pulg. ♦ valdrán 1^176 cmrs. por ser este número el
producto de 11 26 por 176. Pero 126, son por lo
supuesto , el valor de la vara , y no de la pulgada;
luego ya que la vara vale 36 pulg. el precio de la
* vara es 30 veces menor que ei de la pulg. ó que
el producto 198 176 { luego para sacar en marave-
dises el valor de 176 pulg. hay que partir 198176
por 36.

142 Si se hubiesen de multiplicar uno por otro
dos números denominados, que ambos expresasen me-
didas 4e longitud , quales serian estos dos 5 V. 1
P*6p. y3V. s P-3 pc¿ se omitiría la tercera ope-
taqion, y compondría ei producto una superficie»
conforme se manifestará en la Geometría»

División de los Números Demmüwdos.

1 í '*?•'. • •/ ■ ¿.

: . 143 ' Esta operación *tfa muy flcil de entender

para los que se hubieren enerado de la anteceden-

1-r,- téTSotó prevengo que asifcomo en la multiplica-

*** cion {ie ¿03 números denominados se considera ei

muí-

i

DE AKISMÉTICA. 83

flRdtjpticador como un atunero abstracto , en U
división de los uásmo^ numere* te comidera aigu-
ñas veces cqguo némero abstracto el diviso? f y otra*
el dividendo^ La naturaleza de ;la* pregunta que
dao motivo á esta división , determina qual de lo»
dos números debe considerarse como numero abs-
tracta

. 144 Supóngame* que 7 M a O han costado 346
Pe. 14 rs. $ mrs* f se prenota á como sale el
marco?

Para executar esta división» i.° se reduce el 'di-
visor 4 las unidades de su menor especie; a.° se
hace la división empezando por las unidades mayores
del dividendo , para hacer después lo propio con las
que se siguen ; 3,0 se multiplica todo el cociente
por el número que expresa quantas veces la unidad
menor del divisor cabe en la mayor.

Si después de hecba la división de las unidades
mayores del dividendo, pongo por caso qne sean
pesos y queda alguna resta » se la debe reducir i
oréales , los que se añaden á los que lleva y a el di-
videndo , y la suma se parte por el número que par*
Ció antes los pesos. Si quedase también alguna res*
ta después de divididos los reales , se la debe re-
ducir i maravedises para, añadirlos a los que llev?
ya el dividendo, y la suma ate parte por el mismo
divisor.

145 Apliquemos la regla al eacemplo propuesta
i.° Reduzco el divisor ? M. a O. á 58 onzas ; a.*
parto 346 Pe. 14 rs. 6 mrs, por 58 , empezando por
los pesos , y saco el cociente 5 pesos , y queda la
resta 56 , que reduzco á reales , multiplicándola por
1$ i ¿le el producto 840 , al qual añado los 14 rs*
del dividendo. Sale la sunga 854 , que parto por 58,
sale el cociente 14 rs, , y" queda la resta 42 , que
reduzca á 149& mes, ¿junto con dios los # del &-

Fa vi-

84 PRINCIPIOS r

videndo , sale la suma 1434 , que divido por 58»
salen 24 mrs. y queda el quebrado \% que expresa

res del maravedí. 3.°- Multiplico éste cociente por
porque caben 8 onzas en el marco ; sale el pro-
ducto 47 Pe. 12 rs. 27 mrs. y <$£ de maravedí , can-*
tidad despreciable.

- 146 He comprado 5$ V. y tres quartas de pa*-
fio que me han costado 642 Pe. 12 rs. 8 mrs.; quiero
saber á como sale la vara, i,p Reduzco Jas 55 V. J--S
quartas , que son las unidades menores del divisor,
saco 220 quartas , las quales con las | componen
223 qy artas, cuya cantidad será el divisor. Empie-
zo la" división por las unidades mayores del divi-
dendo, y saco ei cociente 2 Pe. y la resta 196 ,• la
qual reducida á reales y añadida átlos 12 rs* que
hay en el dividendo, da 2952 ; pártelos por 223,
saco el cociente 13 , y queda la resta 53 , la qual
reducida á maravedises y añadida á los 8 que hay
en el dividendo ; da 18 10 mrs. ; pártolós por 223,
saco el cociente 8 y el quebrado AV? Parte de$pi«r
eiaUe de maravedí. Hallo , pues, que el cociente to+
tal es 2 Pe/ 13 rs. 8 mrs. los multiplico por 4, por-
que la unidad menor del divisor cabe 4 veces en
la mayor , y sale el verdadero cociente 11 Pe. 7 rs>
32 mrs. y á esto sale cada vara de paño. <
v 147 Restp explicar la tercer, regla del método,
porque las dos primeras se perciben fácilmente; apli-
caremos la explicación al exemplo primero. No hay
duda en que el cociente que dan 346 Pe. 14 rs. 6
mrs. patudos por 58 es el valor de una onza., una
.vez que el divisor 58 expresa onzas. Por consiguien-
te para sacar el valor que buscamos del marco , se
«ha de multiplicar el tal cociente por 8 que expresa
quantas onzas hay en el marca

148 Quando el divisor no tiene unidades mas
-que de una especie, se escusan la prifliera y tercer

re-

1

DE ARISM&TICA. %$

regia del método. Si 26 arrobas de vino y. g. han
costado 1467 rs. 31 mrs. , y quiero saber á come»
sale la arroba , bascará partir por 26 primero le*
reales y después los mrs. del dividendo , añadiendo-'
les los que expresare la resta que Quedare después
de partidos los reales por 26.
- 149 En los exemplos propuestos debe conside-
rarse el divisor como un número abstracto, porque
solo expresa en quantas partes iguales se ha de par-*
tír el dividendo. En otros casos , se ha de mirar el
cociente como un número abstracto , porque no tie-
ne mas oficio que expresar quantas veces el divisor
cabe en el dividendo.

Si me tocase partir 67 Pe. 12 rs* 6 mrs. por 4
Pe. 4 rs. 6 mrs. echaría de ver que aquí solo me
tocaría buscar un número que exprese quantas veces
cabe el divisor en el dividendo , en cuyo caso debe
reducirse el dividendo i la menor cantidad del di-* •
visor antes de practicar la división. En el caso que
aquí propongo y el dividendo será 34584 v el divn
sor 2092 9 y el cociente será I2t|?t- Se viene á los
ojos que en las qüestiones parecidas á esta debe omh
tirse la tercer regla del método , pues para saber
quantas veces cabe el divisor en el dividendo , bas-
ta hallar quantas veces codas las unidades menores
del divisor caben en las unidades de la misma espe-
cie del dividendo, y queda hecha la operación»

De ios cantidades Decimal**.

i«jo Ahora* declararemos un método particular,
de dividir y subdividir la unidad en varias partes,
cuyo método -facilita muchísimo ios cálculos. Consis-
te en dividir la unidad en partes que Cada Mina es
diez veces menor que la primera , por cuyo moti-
vo las llamamos partes Decimales. Bien se echa de

F3 ver

ver que un numera que expresa solas partes deci-
males es un. quebrado * y fraccionaria toda canti-
dad que adpntas de expresar unidades , expresa tam-
bitb partes decimales* dé su imdád. Como las deri-
tttes son > tan ficiles> de cakiilar como los enteros,
son sumamente socorridas en todos los ramos de la
matemática , y> en muchísimos cálculos rtianifesta-

** remos quan fundada es la «preferencia que han me-*
recado respecto de ios quebrados . comunes.

151 Para vahiar en decimales las partes meno-
res que la unidad , se concibe esta , sea la que fue-

^ . se , peso , vara , &c. * compuesta de 10 partes , al
modo que se concibe la drcená compuesta de 10 uni-
dades sencillas , ó del fnisího modo que concebímos
el petó compuesto de 15 reales. Estas nuevas uni-
dades , contrapuestas & Tas decenas , se llaman, dé*
títofís i se pintan con los mismos guarismos que las
unidades sencillas } y como son diez veces menores
tjue ellas , se colocan á la derecha del guarismo
que répresfcbtt las unidades sencillas. *

' Pero con la mira de* precaver las equivocaciones
que se podrían padecer si se tomasen estas décimas
por unidades , se señala < el lugar de las unidades
eon un signo particular, el qual sude ser una co-
ma puesta después del guarismo que expresa las
unidades á mano derecha^ ó lo que es lo mismo,
entre la» unidades y las décimas é<vek&e y quatro
unidades y tres- décimas: se escriben así 24 , 3.

También se considera cada décima como com-
puesta de otras diez unidades , cada una de ellas
diez veces menor j»r lo mismo que una décima,
y Be escriben después de las décimas 4 mano de*
recha. Estas unidades* diez veces menores que las
décimas, son cíen veces menores que las unida-
des principales , por cuya razón las llamamos cen-
tésimas 1 veinte y quatro unidades , tres déci-
mas,

DE XtRISMÉTICJ. S?

; , y cincp centésimas se escriben a£ $4, 35*

Cposideraxnos igualmente^ las cevtésimaf coau>
coaifhíestas de diez ¡partes , ..lab usuales .sdtt mft;, ve-
ces menores* que la unidad ^prioqipai^ por ¿uya ca*
zon k ilaman milésimas , y por ser diez veoes me*
ñores que las centésimas, se escriben después de
ellas á maso derecha. Prosiguiendo esta división de
diez en diez 9 se forman nuevas*, jaridades , que lla-
mamos por so árdea < diez. hiltsimaS) cien milésima*}
milloHÁsimas , disz millonésimas ^ cienmillonésimas y 8tcl
las quáles se escriben en lugar jauto mas apartado
de la coma ; quanto menores son.
- f$2 Las partes de kt unidad que acábanos de
dar á conocer, se tiaoiaa d*cmnkv> :sc leen del mté*
mo modo que ios números enteros; Después de' leer
los guarisdaos. qufe !están.: antes: de Jao córaa á' áiano
izquierda , se leen las 'decimales -del. mismo nacktá,
añadiendo al fin el nombre de- las unidades dedKma*
Íes de la úkiri» ejpecieu :P^ra ile#r A g. «we námePO
84* ^y dieáMaos :: treinta -jU^oto uqidades f« y
quhüeutar isetebta v; dea ao^ésimasp Stnae") tratase
v. g. de varas , dimaM^^i 34 araras vy $?a- mM#*.
simas de vara» - •' ¿ t- ;i * -<^ «.^im ..-i \. > . : - f

Es muy ovia la razón de este nodo de 4eerlas .
dednmlw ,; pdvqtttjsmfd/infitten W>57M d Ra-
cismo 2 pife^;^cp^sariflonio ípieRamosjó/dn¡OGi^
^<t*, fcquuqq^ ^alieatoHia

4^fw^(igi) io«iitjésiiiiary jh la eeméskgat ior«níié~
«mas:, la décima tendrá dito veces 'dfez mflfrfaasj
-é lOd rmüésima$ , por lo que j las^ décimas» ralea
-$00, milésimas. Por. lo mismo podremos leer «l 'f
4icifndo1saeota milésimas , aporque cada maésimu
Vale jo milésimas. ».. 1 ■'•*.>:?

Por- la que mira i la especie de las unidades
del último guarismo , es muy ficil de hallar, i*m-
taaqáfc spccestvanmte tfeáde<,l^ izqdieoda;á'i^d*--

F4 re*

8ff PRINCIPIOS

recha cada guarismo desde la coma , como sigue
décimas , centésimas , milésimas ^diezmilésimas^ &c«
- 155$ • Quaado no hay unidades enteras , y el nú-
mera, solo expresa, partes de la unidad y se pone un
cero en lugar de lasx unidades; por lo que, 1 3$ mi-
lésimas se escriben así 0,125. Si quisiéramos expre-
sar 25 milésimas, escribiríamos 0,025, poniendo un
cero entre la coma y los demás guarismos , ya pa- *
ra señalar que no hay décimas , ya para dar á las
figuras que se siguen su verdadero valor. Por la
misma razón seis diez milésimas se pintan de este
modo 0,0006.

/ 154 Consideremos ahora las mudanzas que pa-
dece el valor de un número decimal quando se mu-
4&¿la. coma de lugar»

uit:;¥a.que la> coma, determina el lugar de las uni*
~dades 9 y el valor de todos los demás guarismos pen*
de.de la distancia á que están dé la com*, si esta
ae pone uno *, dosy tres , &c lugares- mas adelante
$ ipaofcfeqtiki^^^dfáAm numero #cü

«eoestmonof de^lb/j^ue era; y al eontrario será
JKMOO,t^o &e&:ivece^ mayoc.de Jo que era , si se
pone la coma uno, dos y tres 9 &c lugares mas ade*
Jatite A Ja detechav > \ . . i,. -

-;.' *Jb £«$<**>!*; mtsíífiurili de entepder ;. pdtque ti
s&.nos iiatrect v* #,el numera 4097^5264 y y le es*
cHbitaos «de ce^rmoda.43^752^rponiei^orU có»
Jto un lugar mas adelante i la izquierda ,, es da*
jo qutí los. millares del primer numero son centena*
re$ en el seguro ; los centenares , decenas; las de*
«eúas, Unidades ;. ^ unidades , décimas; las, dóet-
«ñas 9 centésimas , &c PQrqut en 4327,5264 el. 4'ian-
tes de la coma expresa millares 9 y el 5* después de
la tíoma décimas ; en estotro número 432,75264,
el 4 antes de la coma expresa centenares , pues el
8 expresa nnidadfft > y el 3 decenas j d 7 después

de

DE AR1SMÉTICA. %

de la coma expresa décimas ? y el 5 centésimas , &c.

Luego cada porte del primer número es diez ve-
ces menor después de la transposición de la coma. SI
trasladamos al contrario la coma un lugar mas ade-
lante á mano derecha , y escribimos 43275,264, loff
millares del primer guarismo serán ahora decenas
de millar ; los centenares , millares ; las decenas,
centenares ; las .unidades , decenas : las décimas se-
rán unidades ; las centésimas , décimas , &c. Lúe*
go el ultimo número es diez veces mayor que el
primero.

Por los mismos principios probaríamos que ade-
lantando la coma dos , ó tres lugares á mano iz-
quierda , el número será 100 ó 1000 veces menoh
y que será 100 ó 1000 veces mayor , si se adelanta
kt coma dos ó tres lugares mas á mano derecha*

155 Prevenimos finalmente que un número de-
cimal no muda de valor aunque á continuación de
su última figura decimal sé añadan los Ceros que se
quiera ; v. g. 43,25 es lo propio que 439250 : que
4£**SOO;. que 43,25000 &c. Porque como cada Cen-
tesima vale 10 milésimas, 6 100 diez milésimas, &c;
las 25 centésimas han de valer 250 milésimas , ó
«500 étiez, milésimas , &c. En una palabra, esto es
lo mismo que si en lugar xle decir 25 doblones, di-
«éramos ico pesos , ó en lugar de 6 arrobas 150 li-
bras): .finalmente^ aunque -con añadir ceros exprese
el número mas decimales, r también las expresa me*
ñores en la misma proporción.

156 El modo de calcular por decimales se funda,
conforme se echa de ver ¿ en el sistema de numera-
ción que seguimos, y: hemos d^f arado al princi-
pio (8). Porque ya que: desde la unidad acia la iz-
quierda las unidades que lo» guarismos expresan van
siendo diez veces mayare* , es conseqüencia forzosa
que las unidades de los guarismos que hay después

de

90 PRINCIPIOS

de la unidad i ia derecha vayan siendo diez vece*
menores. En 31 , 3; si d 3 de la izquierda exprdt'
$a decenas , el 3 de ia derecha no puede menos des. .
expresar décimas , por cuyo motivo es lo mismo que
J9 i en 431 , 34 , si d 4 de la izquierda vale cení
tenares ^ d 4 de la derecha ha de valer centésimas,
6 partes den veces menores qué ¿a unidad, por cu-
yo motivo d último 4 es lo mismo que rtw i en
virtud de esto la cantidad decimal 0,572 es lo mis*
do que A, rl^ t^* ¿. MV

Por medio de las decimales ser reducen las sub-
divisiones de las diferentes medidas al sistema >de
numeración que seguimos (8), lo que facilita in*
mensamente su cálculo; por decimales se saca tam-
bién tan próxltpo al verdadero como se quiere d
valor de algunas cantidades que no es posible va*
luar ^fl^in^pp4ifr

JÍditíon de ims Decimales.

157 Como las decimales se cuentan dd nrism»
modo que los enteros , por decenas de la derecha!
la izquierda , la regla para sumarlas es de todo pun*
lo la misma , ocupando las decimales de ua anís»
cao nombre una misma columna.

Para sumar, pues , unas con otras las «¿oten*
tes decimales 724957 ; ia*8 ; 124^03 , 6 sacar d
valor de .72,957+14*8+144*03 se asentarán las tres
partidas como aquí.

309,787

Prac-

•

DE ARISMÉTICA. 91

Practicando lo propio que en los cxemplos de
antes (a a) , sale la suma 209,787,

Substracción de- las Decimales.

158 Para restar una decimal de otra , se practica
de todo punto lo mismo que para restar un ente-
ro de otro; pero para escusar tropiezos en la práo-
t|a ¿"le procura que en ambas partidas haya un
mismo número de figuras decimales , añadiendo lo$
ceros necesarios á la partida que tuviere menos de*
simales , cuya preparación no alterará su valor (155)»

De* •. - * . 5403**51

quiero restar. .... 38596532

Añado dos ceros á continuación de las decimales de
la partida superior , hago después la substracción
propuesta del mismo modo que si las dos partidas
fresen números enteros.
La resta es 5017,5968.

5403.25OO
385>653*

5017,5968

Multiplicación de las Decimales.

259 Las decimales se multiplican unas por otras
del mismo modo que los enteros , sin hacer caso
alguno de la coma j pero después de hecha la mul-
tiplicación , se separan á mano derecha , en el pro-
ducto después de la coma tantas figuras, quántas de-
cimales hay en ai&bcft factores,

• * • ...

La

9* PRINCIPIOS
He de multiplicar. 54,23
Por. 8,3

16 269
433 84

4SO>k*

Multiplico $423 por 83 y safio d producto 4501091
y como hay dos decimales en el uno de los facto-
res , que es el multiplicando, y una eq el otro fiw>
tor , que es el multiplicador , separo tres figuras á
la derecha del producto hallado después de»la, coma,
el qual con esto es 450,109 y y el que corresponde
en realidad.

La razón es clara; porque si el multiplicador
fiíese 83, las partes decimales del producto expre-
sarían centésimas , {mes se tomaría 83 veces el mul-
tiplicando 54>?3 , cuyas decimales son centésimas;
pero como el multiplicador es 8,3 esto es (154) diez
veces menor que 83 , el .producto no puede menos
de expresar unidades diez veces menores que las
centésimas ; luego el último guarismo de sus deci-
males ha de expresar milésimas ; luego há de ha-
ber tres figuras decimales en «1 producto , esto es»
tantas quantas hay en ambos factores juntos.

La misma razón se aplica á otro caso qualquiera.

Si he de multiplicar. 0,12
por. ..... .. 0,3

0,036

Multiplico 13 por 3; y sale el producto 0,036.

Como por la regla se han de separar en este

caso tres figuras decimales f podría haber alguna

i

DE ARISMÉTiCjt 93

duda , porque el producto no tiene mas de dos ; pe-
ro el que tuviere presente la razón dada en esta re-
gla en el eixemplo antecedente , echará de ver que
es preciso añadir, como aquí se ve, un cero entre
36 y la coma. La razón es que si hubiese de mul-
tiplicar 0,12 por 3, el producto seria patentemente
0,36 ; pero como he de multiplicar por 0,3 , esto es
por un número diez veces menor que 3 , no puede
menos de salir un producto diez veces menor que
3*369 el quaL por lo mismo ha de expresar milési-
mas , cuya condición se verifica con escribir 0,036
pues el 3 que en 0,36 expresa décimas én 0,036 em-
presa centésimas, &c.

~ 160 De lo <dicho- (154) se saca di método de
multiplicar una cantidad decimal por' 10 , 100,
1000, 8tc. esto es por la unidad acompañada de
muchos ceros. Adelántese acia la 'derecha la coma
tantos lugares quantos ceros lleva el multiplicador,
el producto será la decimal que resultare de esta
mudanza. Así

• 0,578 x 10=5,78 ; 0,578 X 100=57,8
0,578 x 1000=578? 0,578 x 10000=5780.^

* i€¡i Quando se Jhan de multiplicar una por otra
dos partidas que tienen muchas figuras decimales, se
Jiace la multiplicación por un método compendioso
y al revés , conforme voy á proponer.

Se multiplica primero todo el multiplicando, em-
pezando á mano derecha , por el primee número
•del multiplicador, á mano izquierda. i

Se señala después con un punto el guarismo del
multiplicando por donde empezó la operación, y se
multiplican las demás figuras por el segundo gua-
rismo del multiplicador á mano izquierda.

Se señala con un punto el guarismo del multi-

pli*

94 PRINCIPIOS

pilcando por doode empezó la última multiplicación*
y se multiplican k» que se le siguen á la izquierda
por d cerca: guarismo cid imikiplicador á la izquier-
da. Se prosigue á este tenor hasta multiplicar de la.
derecha á k izquierda lodo el oaukiplicaodo *ucees¡«
rameóte por todos los guarismos del multiplicador de
k izquienda á k derecha , apuntando con cuidado
en cada multiplicación particular el guarismo del
multiplicando por donde empezó ; y teniendo pre-t
senté lo que se ha de llevar del guarismo ante-*
cedente.

, Los producios particulares se pondrán todos unoa
debajo de otros 9 por manera que sus primeros gua-;
riamos á mate derecha estén en una misma colum-
na* y después se sumarán.

Últimamente , al tiempo de multiplicar por ks
unidades , si el multiplicador las tuviese , repárese
que lugar ocupa en el multiplicando k figura por
donde empieza ia multiplicación particular ; habrá
tantas decimales en el producto total quantas untr
dades tenga el número que expresa el lugar que en-
tre las decimales del multiplicando ocupa k figura
por ia qual empezó dicha multiplicación,

Ó sino mírese que lugar ocupa en las decima-
fes del multiplicando «1 guarismo de k raulttffttca-
don particular, contándolas desdé la coma áoia k
derecha , y que lugar ocupa en las decimales del
multiplicador , forrándolas del mismo modo, el gua-
rismo de k misma multiplicación j el producto ten-
drá tantas decimales , quantas unidades hubiere en
la suma de los números que señalan los dos lugar
jres. Todo esto declarado, vamos á aclararlo con
unos eaemplosv

Qúie-

DE MISMÉTICA. c£

Quiero multiplicar. . 76,84375
por. 8,21054

61475000
i$368?$

76843

384*

307

producto. . . . 630,92867

Multiplico. . . . 0,3570643
por. 0,0310576

7141386

357064
17853

«499
914

producto. . . . 0,007518916

Multiplica 17,009576 [ 830

por. ; . ■ . . 0,35608204

5l00f730

85OJ288

X020I54

1360a

340

7

Sale. 6,0543121

Vamos á manifestar la practica de este JPéto*

do

/ $6 -V. PRINCIPIOS .í. „

do abreviado, aplicando, el discurso al primer exem*
pío. r :j

Multiplico todo el; multiplicando, por 8 ,jy saco
el producto 6 i 47500a Apunto -el 5, y multiplico
por 2 : diciendo primero 2 veces g son 10 , llevo
1 , y después digo : 2 veces 7 son 14 , y una que
llevo son 15 ; pongo , pues , 5 , pero en la primer
columna de la derecha : 2 veces 3 son 6 y 1 que
llevo son 7 , &c. ; saco d producto 1536875. Apun-
to el 7, y digo: una vez 3 es 3, -una vez 4 es 4, &c;
saco, pues , el producto 76843. Apunto el 3, «y di-
go : o veces 4 es o-, &c. Apunto el 4 y digo: 5 ve-
ces 4 son 20 , llevo 2 ; 5 veces 8 son 46 y 2 que
llevo son 42 , &c. saco el producto. 3843.. Última-
mente apunto el 8 r y digo : 4-veces 8 son 32, lle-
vo 3 ; 4 veces 6 son 24. y 3 que llevo 27 ; 4 ve^
ees 7 son 28 y 2 qu$ lleva son 30; sale , pues, el
producto 307 ; la surpa de todos los productos par-
ticulares , ó el producto total es 630,92867.

En ek segundo ex$mplo , el primer multiplicador
es 2 , y el primer-mulriplioand¿ es ^el 3 de la de-
recha ; el 2 ocupa ea .süv p^itrcür el .sagundoíj lugar
decimal , el 3 -ocupa ea-^l multiplicando el séptimo
lugar , 7 y 2 son 9 ; serán , pues ,, nueve- las *figú*
ras decimales del prpdu«^?-Esta . regla .«é*j verifica
igualmente en todas 4as-4emas raulttpiicaciones par-
ticulares; v. g. en la oquiotaD, *ios factores son. el 7
del multiplicando, y el: 7: del multiplicador; aquel
ocupa en su partida «1 tercer lugar decimal, y el
otro el sexto ; 3 y 6 son 9.

Por este método se sacan los productos con las
decimales que se quiere. En el tercer exempio, donde
no queremos mas que siete , «paro que el 3 del fnui-
tiplicador por el qual ha de empezar la. multiplica-
ción ocupa el primer lugar decimal ; luego empiezo,
por la decimal del multiplicando que ocupa el ."sex-
to

DE AKISMkftCA. 97

to lugar ; por lo que desecho las tres figuras deci-
males 830. * •

Quando se hubieren de multiplicar partidas de-
cimales muy grandes , será de< mucho alivio tener
i la vista una tabla- como la propuesta (56),

División de las Decimales.

162 Quando ocurre partir una decimal por otra,
se ponen á continuación de la que tiene menos de->
amales tantos ceros quantos se necesitan para qué
en ambas partidas haya igual número de figuras de-*
cimales , cuya preparación no muda (155) su valor?
_ se borra la coma en ambas cantidades , y se hace
fa división ( del mismo modo que si fiíesen enteros;
d cociente que sale es el verdadero.
He de partir 12,52 por 4^.

escribo. ..... 12,52(4,3

ó mejor. • • ••. 12,5214,30

• * • -• *

añadiendo ton cero al divisor, á fin de que tenga
tantas decimales como el dividendo: borrando la co-
ma , el dividendo es 1252 y
el divisor 430; hago la ope- 1252I 430
ración, y saco «f cociente 2 y ■- ■ 12f§4
ta resta 392 , quiero decir que • • * : v ^ ' i*

el cociente es 2j||. * *

Pero como la principal utilidad del cálculo por
decimales es escusar los quebrados comunes , en vez
de •escribir la resta 392 á manera de quebrado , co*
mo está figurada, prosigo la operación como aqui
se vá . !. :.-■'•.. , -t

Tom.L G Des-

él cociente entero 2,
afiftdQ; *#* qefo i 1*. ,

lehace dj».yemj»flr! . . *.:.._ . 3$flQ . ^ ;.. , ¿1 x

yor dé lo que es; pro- "

sigo partiendo £0*430^ '■ „ ■„

y pongo el cociente 9 que sale ; pero primero se-

»íífc> 4 ^ug»f' & lsftiWW^de^f ftttsrtf «*gpoiwh la

copro 4^spu§ft^del *, y 4 £ &tytfi8Mk ¿éqwm&{ vst

anas. ¿ta?hft & g^t^caqfcm y sastraieekHi vLafiwfe

vj* q*fq i.la resta 5P, k* que e$ 1(9 -minina qoc *i

4 F in^if ÍQ ^ubief a amdufc dos ce#p% ai. diykkaéfe

$$£«t>» 4e§ptK& dfil 9 et to^iw$e i que saw v te

rMyefcfcMu verdadera yaKwrT:ffuq*;íÍQ «ste okh
expresa ceqfó«K$frt Enligo» * Wte- tenor & opeh>
ración quanto me parees* y $i6éndQn*e enceste g*em-
pío á quatro figuras decimales , saco un cociente que
no discrepa del ve*d*derto ana diez milésima parte,
pues no le puedi&ajfcé^r.t ó. quijar ,i*aa, unidad sin
que sea mayor ó menor de lo que corresponde.
t/ ..E^l^rdecíjr *;° Por que el ty?rra? Ja.Mfopfca "O&M
dividido y el divisor no altera ea m.aaéen ajguna
el valor del cociente % después dé. ser . uno n^ina
en ambpf el- niimero.de figuras d^ijspale^, iEit ú
exemplo propuesto el -4wi4sndQ>z9»50p y & «diviso»
4,30 son respectivam8mei: A*5» : Centésimas y 43CÍ
centésimas, pues las unidades entesas. vá¿e¿<rente»i>
i#s, de centés«n»s (15*);, pero clara mi *juéi en
»2£?. ,cea$égin*afr caben 439 ^ntggroaft y d*\>\%xito&
n^do,q^,ep 12$$ unjd^s, (^0,430 udidades^iu*
§5{ n^J^e^a lq c^nia, U04 vctf.Wfc, enjamba!
partidas hay igual número de figuras decimales. . v
2.° Por que del añadir un cero v. g. á la resta
392 no se sigue error alguno en la operación,
con tal que se ponga el cociente donde valga diez
-•■/I O - .ir.'-TIre-

DE AKISMétiCJ. 99

v«tes flfctf» que si «nüMeará UrádadttS.' Es conrtan-
te-qúe bjuaeáD.afíade un capo 4 un dfrWtakdo te 'haga
«5 vedes áftyor? yero si- 4 ttfernpo'& eftecutáf Üt
*vísh» f«<pa tMkoerd d¿Wi«cína<lo', hago 4ue;id
cociente valga diea *eec& rtenOs-, compenso 4 re¿
bajo coa etto el *«oeso que <4I al dividendo quando
le ate* et teta £*ta mon sirve tataibfen para qtiab*
ér s* anadea mal ctrw al< "drvWeridb.- ¡ j ■' l
' tifa íara «fcttvlar la dfvistotí 4efa* ééáíhsSíé
qusndo ton partidas grtmies , «n logar de apuntara
cada división particular un guarismo del dividen**
•e apunta uno del divisor , y qtando se mnkiptici
todo ¿4 divisor por d número puesto af cocferir^
se etopieza la- olultipKcattoH por "el dirimo igbaris±
mo apuntado es el divisor,' sin omitSr lo1 que etlr*
responde llevar de la rftiHtipücacidn del guak&mo
«ates apuntado. ' • " '

630,92878 ]7¿M¥7f'
éf47Ísdoofi^to;4.t ;'

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ijj. <"•■*. ..» ' ' <

G 2 ' Quan-

joo PRINCIPIOS'

... Quando hagp la división aqjaí figuracU, parto tc>*
4o el dividendo por todo el divisor , saco 8 al co-
ciente, por cuyo número* multiplico todo ^ di vi-
apr, y después de exequtada la correspondiente sus*
tracción , queda la resta que se vé. . '

- Apunto el último guarismo g del divisor, el qual
en la segunda división particular será 76,8437 nó
mas. Hago la. opeigpion , ,$aco $i cociente 9 por cu-
yo número mutópUco el divisor 76,8437 j pera como
ú multiplicara por a el 5 omitido , saldría el pro»
/ducto 10 , y tendría que llevar 1 , la llevo con eíec- *•

to y la añado á 14 , producto del último guarismo
del nueva divisor por 2 , último guarismo del to-
sente-, y sale .15 , "por cuyo motivo pongo $. d*-
hajfi del 8 del .segundo dividendo particular.

Quando ocurra paitir upa cantidad decimal por
10 , por 100 , &c. la operación se reduce á adelan*
tar acia l? izquierda la coma tantos lugares quan-
tos jreros acompañan ¿ la unidad del divisor.

El cociente de 32,07$. partido por 10 es 3,2075;
él cociente de 25,7 partido por 1000 es 0,0257.

La razón se saca de lo dicho (154) , pues par*
tir un número por 10 es hacerle diez veces menor,
lo que en las decimales se consigue con adelantar
la coma un lugar ala izquierda.

Si las partidas decimales con las quales se ha
de hacer la divisioq fuesen muy crecidas , tendrá
mucha cuenta formar una tabla de todos los pro-
ductos del divisor por cada uno de los nueve gua-
rismos.

Queda patente , después de lo dicho hasta aquí,
que las decimales se/calculaojcon igual facilidad que
los enteros. Por consiguiente será muy del caso,
siempre que ocurran quebrados , reducirlos á deci-
males , y serán mas fáciles, las operaciones que con
los tales quebrados sp ofrezca hacer.
_. . o • .- ;> Si

DE ARISMÉTICA. oto

. 164 Si quiero reducir £|f| á decimales, y »#•
Car su valor con menos de una milésima de unidad^
tendré que partir 4253000 por 9678 , de cuya opera*
don sacaré OS439 ; por manera que el valor de ¿Bi
ies 0,439 •> 4ue no discrfepa del verdadero una mi»
lésima parte de la unidad. "

: 165 Es también muy f&dl reducir i quebrado ¿o*»
mun una cantidad decimal , v. g. esta 0,024. Porqué
pomo a>oa4=rbSv (156) , después de puesta en esta
íbrma la decimal , se partirán sus dos términos por
-su máximo común divisor 8 , y saldrá que xJ-J* =r
-,-4^=0,024 De este caso es fácil inferir lo que se
Jhabrá de hacer en otro qualquiera. *

i

Algunos usos di ¡as Decimales.

166 Supongamos que se me ofrezca reducir 3 V. t
-P« 8 p. 7 L á decimales de vara > de moda que .119
se pierda ni siquiera media linea. Reparo que la v»
ra tiene 433 lineas , y por consiguiente 864 me*
días lineas ; cuyo número manifiesta que si no quie+
xo despreciar ni media linea siquiera , he de Uevar
la aproximación mas allá de las centésimas , esto e%
hasta las nkilésimas. Porque si me contentara' con
jUetrarla hasta las centésimas no masv, omitiendo un*
centésioaa, omitiría una de laí> 864 medias lineas
^que componen U vara , y por consiguiente erraría
el intento.. . . ■ ¡ 0 . ú

Sentado esto f reduzco los a P. 8 p. 7 L todo
4 lineas, y salen 391 lin. d¿j4' de vara : transfar*
xoo este quebrado en decimal hasta las. milésimas por
el método declarado (163) , salen 0,905 r de donde
infiero que el número propuesto vale 3 V. 905 de
vara. ,

Paw reducir 8 Pe. 4 rs. 5 mrs. á decimales de
peso > da fl&anera que no se, desperdicie oi siquier

G3 ra

loa * PRINCIPIOS '

« medio maravedí ; considero que pues el peto va-
te *5f "**> y el real 34 mrs¿ un peso vale (54) 510
maravedises y <S toso me4ta* maravedises , y que por
consiguiente ia decimal que busfeo ha de llegar has*
tablas diez milésimas, ' Reduzco los 4 rs. $ mrs. á
mrs. , y salen 141 , ó {ló de peso. Reduzco este que»
IfndA {tecknaT hasta tas diez milésimas , y hallo que
io$ 8 ¡P4. 4 ís. 5 mrs. valen 8 Pe. , 9704 de pea*
«167 Dednreinos ahofa como se ha 4# tatuar una
cantidad decimal , como «i quisiéramos sabet quati¿-
tos reales y mrs. valen las 0,2764 de pesó. Eti es-
ta reducción hemos de tener presente que una can-
tidad decimal es un quebrado (150), y quépate va*
luar un quebrado se multiplica el numerador por
el número que expresa quantas veces la unidad, en
que deseo determinar el valor del quebrado , cabe
en la unidad á la quai' pertenece el quebrado , y
«dividir el producto por el denominador (117) : qu&»
4xv déár* que para sacar én reales et valor dé' ün
quebrado «de peso he de multiplicar el numerador
pbn£, porque 15 rs: componen tirr peso , y par-
tir el . producto por el denominador del quebrado
propuesta

> Pero como las deeimales no tienen denominador^
para valuarlas basca la multiplicación, y se ahorra
d calculador el trabaja { de partir d producto por
el denominador^ cuya operación se executó ya quan^
do se reduxo el quebrado común á decimal Por
consiguiente, en el caso propuesto bastará multipli-
car 0,2764 por 15 j lo .que no dexa duda acerca :de
lo, mucha que se abrevian algunas operaciones bar-
riendo >poc decidíales* los esculos. { ' %
-Jj :}Hyiluplico-, pues , 0^2764 por 15, sale el pro-
ducto 4^460, esto es el entero 4 que vale 4 rs y
0,1460 de real- Parar valuar esta;últlma caittídad la
fnuluplico por 34 porque 34 jiuiOTedfee»» cQittpo*-
5 1 r ;^ ~ nen

DE ARITMÉTICA. 103

oca un resü; saco el prodacto 4^9640; esto es-, 4
maravedises y 0*9640, de maravedí, que fnty «a
breve diremos loque vienen átaier r con muy ctor«i
ta diferencia. J,

Por este método sacaré que 0,5687 de vara víh
ten iP.8p.5Ly 0^6784 de liaea.

168 ¿km igual facilidad se valuara un* defcimal de
otra. unidad quolquiera, v. g, 0,0046 de y ara ara*
90a de 17 rs» la vasa. Ya qpe tía real vate: 34 mes*
y en el caso propuesto la vara cuesta 17 to > di
valor importará 17 veces 34 mrs* (53). Multiplico^
pues y la decimal 0^0046 por él producto de 17x34=3
578 % sale el producto 2>6$88 , el qual manifiesta
que costando una vara 17 rs. , las O9O046.de rara}
importan a nirs» y 0,6388 de maravedí. .

169 La última operación está diciendo que siempre
que se calcula por decimales no es necesario pones
muchas f sino quando es preciso sacar Aiínamentq
cabal el valor que se busca , lo que dan á -conocer
tes mismas preguntas que dan motivo al c4k»lo j bas-
tan comunícente una , ctas r ó Alo mas-tres decimata*

Porque ya hemos visto lo que importan* 0,0046
de vara á razón de 17 rá. la vara» Pero si'sepagprí
le teu vaua á rasen .de joqogK reales y sacaremos pese
ri^roétpd© enseñado (167) quéJte ^oo^fedeitara im^
portafUa 46 fieaOesv cttjwjtturádad, merece alganq-
coosidemeba .. •.^»- ■• „ . .' ;\,..ír ..,

: 170 j Siempre que se optar d.óhimd gpflarjsrao de
una cantidad decahalj si pasa* de 5 , debe añadirte*
te una. unidad al úkimq de los guatishios? que <pw*
dan* Sea v. g, esta decimal 0,386 el último resut^
tada de up cálculo ^ eu. el supuesta de que' para
. resolver la cuestión propuesta pueda contentarme cort
dos figuras decimales ó con esto 0,38. Como el 6
que voy á desechar vale mas de 5 , añadiré una uni-
dad al 8 7 y quedará 0,39.

G 4 La

104 PRINCIPIO^

La razón de esta práctica es muy clara; por-
oue si diez unidades de la columna donde está el
6 ó 10 milésimas valen una unidad de la columna
donde está el 8 , ó una centésima (151); quando
desecho el 6 , desecho mas de la mitad de una cen-
tésima , y con añadir una unidad al 8 añado á 0,386
menos de lo que quitaría á toda la cantidad con
desechar el 6. Si se omitieren las dos ultimas figu-
ras de una decimal, que valgan mas de 50, se
añadirá una unidad á la última de las figuras que;
quedaren. Sin tanta explicación entenderá esta prác-
tica el que tuviese presente' lo dicho (97).

Quando hallamos poco ha que las 0,2764 de
peso valen 4 r& 4 mrs. y 0,9640 de maravedí; en
lugar de 4 mrs* podíamos poner 5 mrs. , porque la
cantidad decimal 0,9640 de maravedí se acerca ó
aproxima mucho al valor de un maravedí , pues su
primer figura 9 expresa nueve décimas de mara~
vedí.^^. . ;. .

- 271 -Después de lo que acabamos de manifestar
accpca de algunos usos de las decimales, «o puedef
quedar ninguna duda sobre lo mocho que facilitan
los cálculos de los quebrados comunes y de los nú*
meros denominados. \ Aconsejamos por lo -mismo 4
los principiante^ se dediquen á su práctica quanto
puedan ; y aunque «j faltarán <*n el discurso de es«<
ta obra muchas cuestiones donde acabarán de cono-»
eér con total evidencia quan provechosa es esta
advertencia, np puedo menos de hacer la aplica*
eion de la dicho en este particular ál cálculo de
los números denominados , repitiendo aquí por este
método los cálculos que hicimos antes por el mé-
todo ordinario*

Me

1

DE ARISM&T1CA. 10$

172 Me propongo sumar las quatro partidas* •
Para aplicar á esta

operación la doctrina - 227 Pe. 14 rs. 8 mrs.
de las decimales, he de i 184 n- • *-u
hacercon las quatro par- 3$4$ '' :*3 x • "ig
tídas la reducción pro- 17-10 7

puesta j mediante loqual -■ .i i i.\

se transforman en las • f r. ^ U.i.n

que aquí se vén. 2*7^949 V.?/: ( r? «■ M

• Hago la adición , y- í^Títt'l 9' : ^ <y" ;*
sajle la suma 2980,280 3J^&oqo ' • !f - -^
oto es, 2980 pesos, y ' 17,680 "' •.?!..■:<>
280 milésimas de peso. •; 1 ■ u > ; ■ r n > r <r ( ct
Birtf saberlos «ales, 29&V280 m - «>: '^ .-.*>
mrs. que vale, la muí- • •-• - <-> r • oí I ?,
tiplico ftífiíéfcipor ^sácó^e! énttífo 'fif kVéá-
cimal 0}30D ¿fe real ; pura saberlo* foateVedises que;
esta Vaír 4a- multiplico por 34 * saco el producto'
6,800, e*o es6 mrs. y ^ ó,¿¿o « dé inár*ve#yy*
fDrtfrifi «i 8 vale más de ¿, anidó ótiá trofdfel ¿1 6,
toque me da 7 mrs. De-modo que la étití^te Blj8o>
Pe. 4 rs. 7 mrs. la mitote qué ttntes.(i3i> T - ^

173 En estas áípücadonés iínpdttá teñe* muy pre*
stiaie que 1* reducción á decimales debe continuar-
se dos figuras , ó una por lo menos más de las que-
&ñtoál'mr&hi stíma ó' -el tóktóioqresukad* j por-
que sfc-adfeo la %rfk dédrtai qué sé siguiese á la
úlánta , valiera1 mas'1 de g , seria necesario añadir
toa bnidadá la iftSma $ donde no :, sé ettara el ctf*
culo. En el raso propuesto t.'i g: la segunda parti-
da redOada' á* decimales Ha«fe Ijüatrt) '^figuras , es
284>7549* Si1 «os hubiéramos contentado con sacar
tres figuras decimales ño nías , rto hubiéramos sa-
bido que el 4 había de ser un g9 por causa del 9,
desechado. La suma nóthabria aaiido tabal , y el. er-
ror hubiera caído en los mrs. como¿J^deA&e¡lmeft*<
•«•.'■ te

te -cojDtrefcrW «I lecwr. V

174 En el segundo exemplo S4>771

las .faftifes .ff 4ic¿4* é< 4e- . . 12,470

cúnales r$e tranfformaoi .en y. jfM&B-

las aquí: puestas, y $» »- - ^94»

ma es $6 varasry o,*^g de ...

vara. Si multiplico ewa de- ; 86,179
cimal por 3, número de pieguqvft hay en ja va»
ra , saco 0,537 W «oilega á un. .pie t. d*. donde,
infiero que n£ hpy- pie» en 1» suma j multiplico lá

decimal 0,537 PG* *-* P**a ^acar Ia8 P11^»- Y- sa£°
6 pulg. y 0,444 de pulg. Multíplice esta decimal por
13, y gacn g lincas y. ^328., de ün$& que despjr©-
cío. Infiero , pue¿fc,:<|&. J* suma; es 8£ V-. O& é.jfc
5 1. lo mismo que antes. . , r: .; ,-: v . ,,?. ., :i
^SiLasdtsjWHF^f)^!»^^; .,, M&^tof <■ .: :'1
aef «xgmpte d$ ;sustraccio¿ , ; .-. TStfQfr.
m twwsformaa,*»' las- ¿gue. aquí . "

at ve»» y toreo» tajsbie^./ .,-... \;6j8,24$., . r;_. j

/• 4,aLd«w»4 %%|ft:. mu$pjicad* . PJW .■> $ <k 3¡ »•»• »
O^ d^iwatñjesiaj^lsi^td^malrraujcipl^
34 da 21 mrs.. y.QjQSPo, & añadiendo UBa, unidad;
al último* guarismo de 21 (.170) » 9a mrs. I>e ¿onde
sacóla misma eegta^rjSjpgsos a r^aíjjs.aa-'mara^wdjs?
SIS qué a&teAm ¿ur.v.ri o! > ; i.;¡ «'» . óv.njj t >•:•-, ?/

- De, lás.^^íWftdaj &l<>sraado¿.ewgo|>Ift^8&
la primee».fle tea^rma ;eyní.i$2,.?e.ji4,r*<r3^mji^
sachado m p«Q í» los. ¡I 6& pa»*; ifRartírlq 4 la»
especies ,i»wores ; .después de reducidas, A «tectmateft
U», reales i ^funjjas^rrtirtid^^ •«.,- .,.,., ¡> .r ; ;« ?
adenUA,qsiev«Q»í,se1veiiw > ,..', ..." « ifctá** •••■

•,. Hecb*l%RWWraí5QP9np<,que«i. ; ' 84*506 ,t

daa 78 pe¡sp& y 9,mar.avedises, . .. . ■ 1 ■■•

lo mismo que-iEK)tes> . . 78,009

. 176 v En,;k inu^Uqacipa, tas do* favores dei prir

•t • r Muí-

DE MIS MÉ TICA. IV?

2,ad8

977 8
9Tfi

?1

*V*»w

Mfcltifflico la dtfctaial por 1$ , saoo 1 1 ferien , y
0,923680 de real , esta ilckna decimal por 34 , '-sá*
co 31 mrfc y 0,405120 de : maravedí; por raáiiera
que d j>rt>ykféfco es ,; cmo «Ates, 10 Pfe. il rs. 31
tas. i ■■ ?r • ' f? '-' ->í -v #S í-

Los factores dél^e^ridoéiíéttipl^se^nsfbrt^
cottib a¿fuí se vé; deápues de hecha la multiplica-
ción 'te lee» 32 Pe,

y^Ktyiéóde pesó.' •<'.,'* - ÍO2084
MftltipUtoKia está ífe- » ¡' «• :i ' -314$ < s '
cimalpori5,da i r.tf " '*- «i' *■ ■'■ '» »
^0,562400 d^realj ''! '•■' 51046 "

multiplico la decimal - 4083a

por 34, sálenlo mrs. 1O208

yíiitta decámai rdéir- <-• í ■ ••< 30624 * <■ ■ ' ¡- "'
preciable •- qtífe -es,* . /• - r" '< * - /■■■ -1 , • * ; " ;

0512160©' de tndra- i:: f : ''-39,104160 : '

vedL Sale V l^es v^l;''

ttismó producto -#2~ Pé. * r.1 19 mrs. como antes.

177 En el primer exemplo de división, el dividid*
*> se t¿a¿sfbíní>é; efc 34¿§>, 945 y el divisor en 7,250:
tago*a'dfri#&tí<, ly «kco el ctícténté 47^854 ; hactetí*
6á ksén 4á decitnti &,%4 >kis* opéraélónes táütafe ve*
ees encargadas , saco 1 2 rs. 27 mrs. Por taanerá qu*
el cociente es también aquí 47 Pé. ra rs. 2V mra
*; <Eú el segundo ttcémplóy él dMdéñdó *S 04*,8í6i
y él divisor £5,750* 'Hfcetia ilá 'íüVtaioh safe el co-

cien-

¿98 PRINCIPIOS <

cíente n Pie, y 0,5(30 4e peso. Hago finalmente con
esta decimal lo dicho (167) y saco 7 rs. y 32 mrs.
De modo que el cociente, .es. .también aquí como fué
antes (146) 11 Pe. 7 rs> 32 mrs.

De los Números Quadradory de sus raices.

178 Llámase quadrado 4? un numero el produc-
to que sale quando se multiplica dicho número por
& mismo} 25 v. g. es el quadrado de 5 > pttque
si multiplico 5 por g > el producto es 25.
j 179 Reuz qttadrada de un número se llama aquel
9Úmero qi^ octuplicado ppr el. mismo, da «1 mismo
numero propuesto ; 5 v$ g. es la raíz quadrada de
fi£; 7 es .la safe quadrado de 49J
_ 180 Es ^ pues ? todo número que quadramos vauh
tiplicando y multiplicador á un tiempo ; es por coa*
siguiente do? veces factor (37) del producto: por cu-
yo motivo este -producto ó quadrado se llama tam*
bien segunda potjticuijtel tal número.

Para señalar -que un produjo se- compone de
dos factores iguale} , ó es un quadrado ¡ pongo por
caso 9 para señala^ el quadrado. de una cantidad,
de 4 v. g. , la pcttbo así 4 a ó (4)* , lo que está di-
ciendo que. 4. es dos vsges factor en $1 producto qu(f
resulte. Si ^a cantidad cuyo quaifrado se quiere se-
fialar , consta de muchos guarismos , qual es v. p
234 i se señala su quadrado de -este modo (234)* á
de estotro J34.1 .

. i8í Dp aquí se sigue qiie 2 puesto i la dere?
cha de un guarismo' ó minero , y algo mas arriba,
señala el , quadrado , ó la segunda potencia Ldel tal
guarismo ó número.

182 Como una cantidad, sea la que fuere , 00 e$
pías que w& vea faqtor, en ella misma > también es
ella Wts9», sp PFffl?ei; ¿potenza * 1* $«1 se. J?e|í^e
-;./j ' cod

D E v ARISJfÉTICjL «09

pon la unidad- La primer potencia de 3 v. g. es 3'*
fi 183 Los guarismos que señalan de este modo las
potencias; 6 sus grados v se < llaman esportéate* de
las tales potencias*

¿. 184 Y para señalar la raiz quadrada , usamos e*-
te signo V que llamamos signo radical , poniendo
ti guarismo 2 entre sus dos piernas. La raía quadrada

¡k 64 v; g. se señala así : V64." Y 'L t' l Y *.'

: El número puesto entre las dos< piernaá del sig-
no radical se llama el exponente de la raiz. :> A
-. Pero lo mas corhun es omitir el 2 entre las dos
piernas del signo radical 5 y pintar la raiz quadfar*
d& así Y 64. Quandoi la cantidad, cuya -rafe qhadrá*
da se quiere señalar tiene muchos guarismo^ come*
esta 3458 , su raiz quadrada se sefiaUde «ste.ino-
dO'M^sS), ó de estotro V34Í8.

185 Para quadrar un número , basta multipli*
carie por el mismo, conforme á las reglas dadas;
pero para extraer 74 sacar la raiz cuadrada de un
número , esto es > para voh^er del quadíado A la
raiz , es preciso socorrerse de algtta método parti-
cular, á lo menos quando el número 6 quadradp
propuesto tiene mas de dos guarismos.
' r Quándo el número propuesto 410 tiene sino uno
ú dos guarismos,* su raiz *n número entera es ft*
cil de sacar por la tabla aquí puesta , cuya primer
linea se forma délos quadrados de los nueve gua-
rismos,, que forman la segunda;

ni ;

186 La raiz quadrada de 72 v. g. es 8 en número
eiiter b ; pdrque conau 72, está eotr$ £4 y 81, su

raiz

rtfc *a*rá porte fas raices déqeftds fetóg atinad
tita fes v ootKvS f : ;^9 Jcs^^puav^'y^tt ^ueteküo,
dfe cujw. ^cbraioiiiíb ^4«to l#iaáiar 4 la ; tfttttftft
el valor cabal j pero podemos aptrortattmos ó dctti
cwwasnárA qiiiiróiqpKmiiiod,^
«t -«i ¿qgar. \i . 1

; M8^ la *ak lqoaoiai4a 4le utuoaímero que a* ¿i
quadrado perfecto , rse llatna mfcperp jprife ¡jrrqcfa
nal 6 incomen^rabTé^y^^^ *' '* " ^"^
-?;teBft>Fj TíBtwnos de io* námnos qurtiéweol ímas
de dos guarismos \ f cotttfdenaado el rumbo qu«
*e üigufe ¿pnadD se forma >d quadncb de un tiiime-
W^ái'je.leyaita tm niht^ro al quadrado, ó á ht
sqgtocte pófeesto£r tadlatáiiDs el^ débese

fttne paiB'iMciff *u *fftt. -:
^<tekkeatos cria esta^mt» «l número $4 * $• ' '
Después de escritos *a

lautóplicadspri coma car*- P . " : >

n^(^ev;ixiuidplicá reí!

4Í& abribau)príeb4'ta;

atvpoi oÉy¿,pr<:»¿nriK> eé

. pítrrtteDjerrte el quadrá* . 2qt6

do de las unidad*** • .. .j. * 1

ofi;MuiüplicM>¡;daapiio8^ei ^ d* areifcajpor ei ^ de

atojo ^ dojkoxjoc sakíei^m^;^ de Jas \á&e$as far>

'tevmpUuhsj f , .-■■uq inw: ;.K«:j :a ■■ -\ ív.v «A ^

~#, $as> «¿esputó ü 90^sniáa¡^jaaSssáo. del JiwltiplW

cador , y multiplico el 4 de arriba pot d 5 de *b*z

jo , de lo que resulta el producto de las unidades

por las de<^r^^4^,er^?55^ decenas

por las uniaadet*- ~¡ - -, - ¡ — :-- -

Finaimeh» » rauttiplfct) el te! de; atiba por el g
de abajo , cuyo productores el quadrado de las de-

il\

?io.

£76 •■

¡ Suato \esfok fraáu«tt»,¿.j simrjqi^dL^uíidradi*

■;íu . de

DE '¿t&ISiSÁTICA. tu

4*44 &"et flúmttro 29J6:, d. ^ualie tortrpone del
quadrafaid* ¡a* des'&m v dz&sAeoeí.il frcduoto-toi
lám dcctnax por Jas *nabcks> r V yde^qvtftwfa éi Jas

unkhdsü ddnám&v i&lr (! • °íiJ') *• < <- -' ■'-'* J- j • '

189 Como lo que acahanaoE de obseruanes cowe*

atenci? inmediata, dé las reglas de laJ iriuiriplica-

cion y se verifica, ^o.aato jrpspérta idet^iíiD^a/!sft¿

s» rtímkfea mBp^eto ííe eti» oosfera .^uafy^erií

<g»ertep^ decaías; ^iHpidiuiesiqideíísiDte queipa»

jregla general/* ¡; tít. qü^^<to^¿fc:rtode> ^^ecA^d^^

'pocsto de deceras y ^úda*tes.¿ conaia: de Ja* tres

partidas qpaacatemome npBáB$tas:¿ qoe. «114 *¿

gtmúraé? St >km\decenas!ldaiJrni^

Otf e¿ ptBdabtel <jdeiuiqs?datem&% p$t áas< aflMWtf),egl

tf qué&ashk ér las ^nidodós*^^ j,v >j ; ^¡j d w,n'.v;b

¿ ¿Jeteado ésto, ya que el jadeado de tes deoe"
«s empresa. centenales, (janes 10» veces ato son ioo^f
e» Mickmx^iquee^ quadradojifo^ás dtceBas wi¿púe»<
4c esttf en-Jos doq ultimo» gMorianoB^dei rqdádj¿dcy
qufc ttíloíjexpreáanc docepa&y raridades^:! s'n^.j^'.t o

\< Ya^qufiíii protíuctcv defc du^Jo.dajlaKdecen^ tmiU
tjptieado ' por las unidades no pued* thenop de €»•»
pcesac decepoi^ jió puede' e#ar ka el ábimo /gua-
rismo del quadrado , que sqLg expresa iuaíi^ade8'4 **í

( v. Luego rpara ¡rotacr (.dék qwadifldoi^ijfe á n^Aais,
pwciicürémoi Ioí ^iguieoteu v ,. f ^:;«,i-.\ l\¡ 1/ ....

- íJraiiJEi^éoeBiascliusc^ de b roia?

cksoaJuegq la ferinas - - ¡> ¡ ^ •

oioa:del Ajuadsadftme ' ;. *gi£ Mjg^nuz . . 1 . *>

ensepauque el quadba* r - 41)6 < < i >k f •*■:• c»
do de ebehai ádcetoas/^^&l0'0' *.•* - .# . •. f i- -• \
está ert.^gafiy\pere/ w^^i^i-'i -i >f i,>; :*.?,...;]
que na fxaéde: estar eh obo — 1 j* 1

lo& dos, últimos guarís**! .... * - . f t \
idos.;. b& de estar , ^puesi^ ea ?^t y curva barato. .
quadrada de 29 no puede pasar de $+inífcwqa&

-^: • el

na ¿PRINCIPIOS :

él número de lafe decenas de la tziz es ^ ; pongo,
pues , £ al \tad& de ¿9 16 ,, como aquí se vá
•-. Quadro £yv presto* de 29 el producto 25-; que*
da la resta 4 , á cuyo lado bftjo los otros dos gua*
rismos 16 del número 2916.
- Paca hallar ahora las unidades de la raíz , con-
3^&ero qué pahidas del quadrado quedan en la re»*
tgr^ij^gihajDíekw^. es.á saber el duplo de las de^r
lias 4& fe raiz multiplicado por las unidades, y el
quadrado de las unidadeá de la misma raíz* , >
. De-la primera de estas dos partidas sacaremos
las unidades que buscarnos ; porque una vez que se.
compone pdel duplo de taa decenas . multiplicado poc
Iqs f udt&d&s ,*iii la% partimos? por ^dupio; de las-1
decenas halladas ya, el cociente eicpresari las imí^
dades (f¡j). Solo áalta saber en que guarismo1 de 416
<{sta el duplo de bs decenas multiplicado por las
unidades} según reparamos antes, no puede estar
9»' el ültpno guarismo, ; ; estará , pues , en 41. Por
consiguiente he de partir, 41 poc 10 duplp jde las de?
cenas $ pe&cutala división, y él cociente 4. ú el
número que busco de las unidades. Pongo ,' puev
4 á la derecha de las 5 decenas halladas,. 7 veo que.
la raíz que í busco es 54. ,

Aquí importa, imucho advertir que sin embargo
de ser el cociente 4 el que, corresponde en. el cmor^
propuesto* hay oáuchbs casos donde el cociente ha-
llado por este camino . debe desecharse por mayor
de lo que conviene. Porque 41 , esto es , el núme-
i£ qu* queda después <der separado el último « gua««»
romo, incluye no solo.el' duplo de las decenas muí-1
tiplicado por las unidades^ mas también,, lasa deee-o
ñas procedentes del quadrado de las unidades; poc»
cuya razón , para salir de dudas acerca del guaris-
mo de las unidades :, es preciso hacer la siguiente

comprobación :, -s;, Á . . 1

. Des-

DE ARISMÉTICjí M3

Después de bailado, y puesto á la raíz el gua-
rismo 4 de las unidades , le pongo al lado del duplo ■
10 de las decepas , de lo que sale d numero 104,
cuyos guarismos multiplico unos después de otros
por el 4 , restando los productos á medida que sa~
, len , de las partes correspondientes de 416 ; y co-
mo no queda resta; alguna > infero que 54 es la raíz
quadrada cabal de 2916.

La qomprobarion que acabo de proponer se.
funda en la formación misma del quadrado; por-
que es evidente que 104 multiplicado por 4 da el
quadrado de las unidades, jr el duplo de las de- • j?

ornas- multiplicado por las unidades , esto es , lo que **4

completa el quadrado cabal. ^

191 De lo míe acabamos de decir debe inferirse,
que para sacar u raiz quadrada de un número que #

no tiene mas de quatro guarismos , ni menos de
tres , se ha de buscar, después de separar dos gua-
cismosa la derecha, la raiz quadrada de los que
quedan i la izquierda; cuya raíz será el número de
las decenas de la rata. total que se busca, ponién-
dola al lado del quadrado propuesto, del qual se
la separará con una raya.

De los mismos guarismos se restará el quadra-
do de la raiz hallada , y después de escrita la res-
ta debajo, se hsgarán á su lado los dos guarismos
separados.

Se pondrá una coma á la izquierda del último
de los dos' guarismos que se acabaren de bqjar, y
el número que quedare á la izquierda de la coma*
se partirá por el duplo de las decenas puesto deba-
jo de la raiz.

m Se pondrá desde luego el cociente al lado del
primer guarismo de la raiz , y después al lado del
duplo de las decenas que hubiere servido de di-
visor.
Tm.L H Fi-

m4 ' * ^FRINCIMOS

Finalmente»* se muitiplicarín. pe* el misma co-
ciente todos los guarismos 4e esta última linea, y:
á, medida que ¡salgan sip productos se. testarán d&
tafr correspondientes guarismos, de la linea de enci*»
ma* Con uri «xempfo quedará muy dará toda es-,
ta doctrina.. * *

Se rae pide k raíz quacjra- 75,69 {87 raíz .
da de 7569 , separo los dosó ^116,9 :' -j • '-» ■ • .'
guarismo? 69 ¿ hy 1 busco la* M.hoé 7^ ♦ > *. *
raie quadrada (ie!75 ?es 8} r..,. wt ■■ ■• ■■).{ • ;. .. 1
pongo 8 al lado: qoádro &,: OOO
y de 75- restó, el quadradó ¡ í *",...'
641 qu^da la .resteUM., póogoia^ debajo de 75, y>
al lado de 11 bajo los ^khsmés 169 que sepátp' ab
epipczáfti /"-¡S '.-^^ ib w ,íif/,' ;•* -■ • « ! /¡ •;.'

.. En iu6g sepa» >d^tíkÜTV^^guarisrBo 9 t porqap
la partida que he de jdmdk paca hallar las. unida*
des es 116. .• . c ' . 1

El divisor ha -de ser *d duplo.de las 8 decena*
halladas', cuyo divisor le pongo debajo dé 116; sa?*
co el cpcienes' 7v qu$* pongoi á :la raiz al iadd

del &. ' ■' r* ■' •/ " * ;-:: : '- ; •• ''

Pongo también este cociente al lado- dd divi¿
sor 16 i multiplico 167, que forma la úháoia alinea,
por el mismo j cociente 7* r 4 ^medida :que nfacó» k&
productos^ ktt resto ¡dd «69; cotpo no quéddbiresM
ta alguna , es prueba de ser 7569 un quadradouca*
bal, y el quadracto dei 8£. • t

Téngase.» muy presente que solo debe partirse
por el duplo de las dedenas la parte que queda &
la izquierda i después de sopando el ó¿imo< guaris-
mo; de suerte que quando en ella no. quepa el du-t
plev délas decenas, no i por eso se deberá echar ma-
no del guarismo Separado ; peto ¿e pondrá cero á:
la raiz. Si al contrario el dupla de Jas decenas cuk
piese mas de 9 veces en dicha parte, no por. esór
•'i I i -; • -Ase

D Bi Jfí&SMÍSTICjf. 115

je- jXtadrír roas. dé g & & raíz> la ráton es la mis-
ma* que- djn»s * pona > otro caqa de ,aotes (71).
v *9¿;> El::qi# ^ettüwieae tyw.. etfterado de Jo que
abajinaros 'ítevdjecxt JK&roa ¿«ola$wteaccia&' de ¿a
raíz quadrada de las canridades.de quatro. gUaris*
trios oómaá,, te. impondrá utilmente, en lo que se
ha de practicar quando el quadrado propuesto tie-
ne mayor afreto &.$^titi&fhps* Por mas guarismos
que X'ortéspondati á ía rác&V siempre se la puede con-
siderar como que constar de dos partes , que la una
expresa decenas ^.-jt- la -¿tca-Jtnidades : v. g. pode-
mos considerar que «6741 tiene 87 decenas , y 4
unidades. <*}~V:

Sentado estot» después da» hallados los dos pri-
meros guarismos de" bonfiz por el camino enseñado,
por el mismo se halará i también el tercero , consi-
derando los dos. -primero* guarismos como un solo
número de decenas , y aplicándoles , para hallar el .
tercero , todo quanto hemos dicho del primero pa--
l»jh|ilia^lAr8ffl¿jidftr.ir.r; !«> < - .1 •,!. ri ¿ :• 1
.: rftaftaesi dfc ^ados^ios tt^ pwinterjos.gy^nsiho^
si.lwq delhihttloao ^;«a cfcnsidítórén ;lft$> m* pri+
jíleros cpm&;,i¡u£. coiñpprien ;uft soto, número, ée deT
cenas, 4 qual se aplicará f ahí hallar el quarto* lo
«nisax>£qtse jse; hob¿s^ (^rattioada conMo* do& pri-r
meib»npa*a hallar! d icr<fcm ; a0> prortgviira, á ¡e$4
te*fcáHQiv Oi»i: ? 1;-* ,mto • í » ■ » •■í#u¡t .- >- ■ ;
; Efiíto^para nriyor sdgjiritiad, ooQvfefje partir deá^
de luego ¿el námeixv propuesto • eo rebanadas, ó pfe-
riodos.de dos guaristoos cada u¿a«, de Ja, derecha á
ia i^qwrief da ¿«, y ^ podré: suceder que la liorna consr
leide uo guarismo $al¿v ••'.-. i,: i .l!i; h c'".í- «...
. • i ^ ¡Fonitae esta pdepacáeib» ¡ett> que, considerando la
raíz como compuesta de decenas y unidades 9 lopri-
üjero que hay i}ue hacer es separar (190) los dos úl*
<in*)s gua^smoaj de ¿k dwqrha^ porque, en, el;pe#
C- H 2 rio-

u6 PRINCIPIOS

riodo que queda á la iaquferda, ha de estar el qua-
drado de las decenas j porque como este periodo tic»
ne también mas de dos guarismos, igual anoa hay
para separar otros dosá k derecha} y se prosegui-
rá al mismo tenor. "
193 Se me pide la nía quadrada ¿«76807696.

76,80,76,96 1 8764 rafe

ia 8,0 "

167

1746 ■• ■%):

Si.

7009,6
17524

OOOOO

* * : Vx*
Parto dcftde luego el numero propuesto en pe*
ifodos de dos guarismos cada uno, de la derecha &
la izouierda ; y busco la taiz y adrada del perio-
do 70 , el primero á la ^izquierda : hallo que es 8»
Y pongo 8 al lado del adhiero propuesto; quadro $
el quadrado 64 le resto de 76 , queda la resta is 9 y
la pongo debajo de 76 : á so, lado bqjo el periodo
80 , separando con una coma su último guarismo;
debajo de id8 pongo 16 , duplo de la raíz hallada.
Después digo : 1 en i&8 quautas veces 16 ? 7 veces»
pongo 7 al lado de la nía 8, y también al lado
de su duplo 16 : multiplico 167 por el 7 , y resto
de 1280 el producto que sale ; oueda la resta 111»
& cuyo lado bajo d periodo 70^ y resulta 11176*
Separo su ultimo guarismo 6 , y debajo de la partí»
da 1117, que queda & la izquierda, pongo 174*
duplo de la safe 87: parto 11 17 por 174, y pon-
go

DET^ARXSXÉTICA. «7

go et codeóte 6 á la uaiz y al lado det duplo 174.
Multiplico 1746 por el 6 y; y -retox d prodticto dfe
11x70 ;. giK^ lare^ '¿oo , á su/ladcKbajgi 96/, 8to
parando el último guarismos : dtíoaja/de ¡7009 qUe
queda á -la? uqúiorda , pongo i7$QydupjD deila raíz
hallada 876 í pacto 7009 por «75» , pongo ala rafc
¿l cociente 4 y ai lado del duplo 175P ; tnukiplicp
17524 por el 4 , y de 70096 resto* jd producto,, 09
queda nada. Por consiguiente 8764 es la raíz cabal
de 76807696. -**= -; . \; 2 '

194 ^QuaSiao d número propuesto po es un quadra-
do cabal , queda una resta al fin .de la operación,
y la raíz quadrada que sale, es-la *aiz del mayor
quadrado que hay en el número propuesto : enton-
ces no es posible sacar cabal la paiz quadrada ; pe-
ro se puede hallar , prosiguiendo 4a operación, una
raíz tan próxima á la verdadera quanto se quiera, y
tal que levantando al quadrado esta raiz aproxima-
da, sale un número que discrepa del verdadero una
cantidad tan corta ó despreciable quanto se quiera.
Para esta aproximación deven las decimales. Se
supone á continuación- dd número propuesto un nú-
mero de ceros duplo de las decimales que se quie-
re lleve la raiz ; qoiero decir, quatro ceros , si la
raíz ha de llevar dos figuras-decimales , &c. ; des-
pués de esta pr epamdon: $eí hace la extracción de
la raiz por el método enseñado , separando con una
coma ' á' la derechandé;la - ráiz un número . de * figu-
ra >deámdésvigual<t&. ia , mitad ddiaúmero decewfe
añadidos) ' ak , número ;poopaésto> La razan > es , , que
xmbdd ^1 proSmita de un náraeip dpgjnal por^ttp
&:é&1kwir\tUDte hayreo rafra-

Jxís factores juntos yes preciso 'qne.d quadrado, cip-
eros dos factores son iguales , ¿tenga doblkió númd-
/&> dé las que lleva, qualqukxa, de ellos 4 esto «s dóf
hlado numero do las que tUevaia raiz. _
r¿ * H 3 "Se

ii* PRINCIPIOS

. 19$ Se me pide, la raí» quadrada de 87567 con
diferencia de menos de una miWanna , esto es , tan
Aproximada á la verdadera , que no discrepe de ella
ai siquiera tina milésima*.

- Para expresar milésimas se- necesitan tres decima*
les, luego hemos de añadir seis ceros al quadntdo
87567, por lo mismo he de sacar la raiz quadrada
de 8756700000a

8,75,67,00,00,00 1295,917 raiz .

47* ■""

49

34&7
585

5430,0
59<>9

1 01 90,0 - > 1
59 18 1

111 1 1 1 n

42 71 00,0 ^ <

5 91 82 7

* 39 11 x

Haciendo la operación dd mismo modo que ai
losesimptoa antecedentes, hallo que la rair quat»
dracU» con diferencia: de menos át una, unidad, es
«1 número 1959174 coya raiz es la de 875670000001
•peco como se me pide la de 87567,6 de 87567,0060001
«bparo en la raiz un numera de guarismos igual i
4a mitad de los ceras que añadí al quadrado ) me*
-diante lo quaí saoo 295,917, rak quadrada de
87567 con. diferencia de menor de una miléakna^
: . - ¿ Si

DB * MISMÉTICA. 119

196 Si hubiésemos de aacar la raiz quadráda de *
con diferencia de menos de pna diez milésima, sa-
cariamos; la raizi quadráda de 200000000 , y hall»-,
riamos 14142 .-separando jcoú una coma quatro gua-
rismos á k: derecha, saldría ,1,4142, rafe quadra-
da de 2 aproximada , de modo que no discreparía
ni una diez milésima de la verdadera. ^

Hemos visco (iog>conx> pira daultiplicar un
ido por un quebrado, se multiplica el numerador,
por el numerador, y el denominador por el deno-
minador ; luegp para quadrar un quebrado , se debe
quadrar el numerador y el denominador ; en virtud
de esto 4 « el quadrtdo de f ; 44* el de f,

Luego recíprocamente , para sacar la raíz qua-
drada de un quebrado, ¿e ha de sacar la raíz del
numerador, y la del denominador; la raíz quadra-
0a de ^ es f , porque la de 9 es 3 , y la de 16
es 4. .

198 Pero casos ocurren donde uno de los dos
teníanos del quefcrado ó ninguno es ua quádrado ca-
bal; qnando solo el numerador dexa de serlo, sé
saca su raiz aproximada por et método poco ha de-
clarado ; se saca la del denominador , la qual sirve
de denominador de un quebrado cuyo < numerador es '
¿a raiz hallada del numerador* Para hallar la raiz
de I , se saca .primero aproximada la del numera*
-dor 2 , y será 1,4 ó 1,41 , ó 1,414 , ó 1,4142 &g
segon se quien mas ó menos aproximada ; y como
4a raiz quadrada de 9 es 3 , la raiz aproximada de

199 Pero si tan^oc» el denominador fuese un quá-
drado cabal, se iaottíplicarin ambos términos dd
tjuebrado por su denominador , cuya preparación
'no muda el valor del, quebrado , y transforma d
•denominador ea quadotdb cabal; hecko esta., sg

H4 prac-

rao Principios* -..

practicará lo" qué en el caso último. Si se me pi-
diese v, g. la raíz de f , transformaré este quebra-
do en ¿^; jacaré, la raíz quadrada* de 15 , fasta)
tres decimales v. g. saldrá 3^872; y c^mp la ntzt
quadrada de 2$ es g , la raíz quadrada dé. 4 ó ü

serillo- . - < -

1 Coa la mira de escusar muchas ^especies de q«e-

brados á uiif tiempo * se reducirá !lal cantidad -22 — -.

• * * , * »- " " ' f *

a decimal., partiendo 3,873 por £, y será 0774 la
raíz de | puesta en forma decimal.

200 Finalmente, quaodo hubiere enteros jftntoscoñ
quebrados , se redudiáa los enteros á quebrados. (83),
y se practicará io mismo que con un quebrado so-
lo. Para sacar v, g. la raíz quadrada de 8^ transa
formaré 8f en1 V > y **** ^ W (*99) i cPya raíz*
sacada por aproximación, es — — — ó 2,903*

También se puede reducir á decimales el que*
brado que acompaña al entero, pero es preciso; qué
lleve un número par de decimales , y doblado de
Us que ha de llevar la raiz j porque una vez que
el producto de la multiplicación de dos números
que llevan decimales , fia de llevar tantas quantas
hay en ambos factores juntos (159), elquadrado de
todo numero que tiene decimales , ha de llevar do-
blado número de las suyas. Para. aplicar esta regla
á 8f , le transformo en 8,428571 (162), cuy a raíz
es 2,903 , como ' antes.

201 Si se ofreciese sacar la raiz de una canti-
dad decimal, se procurará primero; que sea par, si
no lo fuese , el numero dé sus .decimales ¿ lo que
se conseguid poniendo á continuación de las que
llevare uno, tres., ó daix>,idtc. ceros, cuya, pre*
(aradoa no muda él vatafi de lau cantidad detí*

DE ARISMÉTICA.

121

mal (i£¿). Para sacar v. g. la raiz;quadrada de 2l->9$$
con diferencia, de meóos det una milésima # saco la
raíz quadrada de 21,935006 r la qu*l es: 4,683 , y
te también la de ',31,935. Por el <m¡4ma método ,se
hallará que Ja de <Oy542-.es 9 cofr diferencia de me-*
no& de una milésima v- 0,736 r y que las de 0,0054
es, con diferencia de menos de una milésima , 0,073.
.• • 00a Casas oculten 1 donde ea preciso expresar con
quebcados myji sencillos la iró quadrada d<í los^ptf-
merps que no jqj* quadridos, cabales ; para cuyo* car
ios. sirve la doctrina de lofc quebrados continuos, y
sobre todo lo dicho (104 y 125) que da sobre la mar?
«ha kfe quebrados mas simples que con. un número, de-
germinado de guáramo* en. el numsmctar y ;^1 jdeno^
•minador se- aproaumao >mas al valor que se busca»
Apunemos el método á la! investigación ¿te los que*
brados simples que dan el valor de la raíz de 2.

Como la raiss quadrada de 2 es Ío<io4 con dife-
rencia de menos.de una diezmilésima * haremos con
-este quebrado las .mismas operaciones que si buscar
lames el máximo cOnjun divisor de sus dos térpu?
feos , cuya* operaciones van aquí figuradas.

14*42

10000

710

t

2

296)118
a s

60 1 #

2

24

Echando Dbaüo .de loa cocientes con arreglo á lo
dicho (94) , saco esta serie de quebrados í , \ , j,

«, H, V*> W»'^ *S»f ««£* alternada-
<mepte nrienoíeat-y ¡mayores que la raíz del míme-

-1 20J, «Todo húmero cuya tais quadrada se busca es
considerado como quadrado ; pero si no es qua-

"drádo perf^ctp , su raíz no puede^ salir cabal , y
es forzoso sacarla , conforme qu^a entenado, por

\'l apro-

122 PRINCIPIOS

aproximación. Aunque no podemos hallar cabal di-
cha raiz 9 conocemos no obstante los límites que no
pasa » la tai* quadrada^ de f2 no se puede conocer,
sin embargo sabemos-1 que es mayor que 3 y menor
que 4 , raíces cabales de los d¿s números quadra-
dos , el uno inmediatamente mayor , y el otro in-
mediatamente menor que 12, ***

204 La rafe quadrada de todo camero que no la
tiene cabal *fe señala con este signo V, ttatnado $ig+
no radical , puesto antes* del número ; Y 12 y. g. se*
Bate 4a raiz quadrada de 12^ jfHya raiz se llama
cantidad irracional , sur da 6 incoménsufdble.

205 A los números irracionales táfnbien se les su*
jeta al cálculo. Desde luego se suman unos con otros*
ó se restan 9 enlazándolos con el signo •+• ó — , se^
gua sea la operación. La suma de V* y V3 es
V24-"/3 ; para restar V3 de Y$, se escribe V$— V3.

206 Para sacar el producto de una cantidad irra-
cional por otra , se multiplican los números que están
debajo del signo , el quai se pone antes del prodao»
to:*V3X Y$ es y 15} Ve k V8 es Y 16, que vale 4
Para señalar el producto de una cantidad irracional
por otra racional , se pone esta delante del radical;

2 x V 5 es 2/5 ; , 3 veces V2 es 3^2, Repárese que

3 es lo mismo ^ue^9^ y^que por consiguiente^ x
Y 2 es lo mismo qué Yg xV2Aéstoi es,yt8r2v'8
lo mismcT 1/4 x 8 ó V32.

* 207 En virtud de esto se' entenderá fácilmente que
i.° V8 es Y a.4 ó 2Y2 i 2-° Y 12 es V3.4 ó 21/g; 3/
y 18 es V2.9 6 3V2 &c. * . *.

* 208 Para pactir tuqa cantidad irracional por otra,
se parte el número del radical dividiendo por ei mfc-
mero det radical divfeor ., dcrjand» d «bcientef ífeba-

jo del signo£~ e¿ Y} "6 V4 é 2 ; ^ es /V ¿
1/9 ó 3,Ac- ^ 4 - . - * >

DE PRISMÁTICA 123

De Jos. numere* cúbicos y de su Raíz.

209 Para cubicar un número ó formar su cubo,
primefo sé lé'quadra, y desperes se multiplica su
quadrado por. e¡L mismo número ; 27 v. g. es el cubo
de 3 , portjue-resultlftle multiplicar 9 , quadrado de
3 , por el mismo 3; 1

-Pot codtóguiente el<j»íraetoque se cubica es* tres
vepes factor en sa cubo. Esta* es la razón por qiíe
él cubo de ¡un número se llama también tercera po-
testad del mismo número.
_ En general ^ $e dice que jju* número-está elevado
á su segunda , terceto ^qitartaj&e. potestad , quan?»
4o- se Je bá multiplicado por él mismo una ^ dos,
fres, quatro &c. veré», óquandor es dos veces, tres
veces ^ quatro veces 8¿ factor en el producto.

210 La raíz cúbica de ¡un cubo propuesto es el
tuhnetíd que.nwlúpii«dQ! poí ^ quadrado da dicho
cubo ; 3 es la raíz cúbica de í?j,.. '."<./..
c 2X1- Noflb nece3k?r, ffues^jr^ alguna para for-
mar el cubo. d&iín nuúaefo j pero es preciso socoro
vrersejde álgun método paca Retroceder desde el cu-
,bo é su raiz,, Este método vamos á sacarle de lo que
veremos « practica para formar el cuba
. «19 Desde Juega oose necesita ningún método par
n^sacat. la raíz cúhkaén números enteros, sino
qbahdq el cuba propuesto tiene mas de quatro gua-
rismos ; porque una vez que iooo es el cubo de 10,
.todo qúmero menor que 1000 , el; qual por consi-
«guíente] tendriríntobos ^ ¡de quatro guarismos ,. tendrá
per raíz un ntfmeJoo ¡meflor que jo , ó su raiz ten-
,<tó menps de dos guarismos.

Así ; la raíz cúbica en números enteros de todo
número, que esté entremedias de dos números de
la primer linea de la tabla siguiente, donde están

los

324

PRINCIPIOS

los cubos de los nueve guarismos , estará entreme-
dias de los dos números correspondientes de la se-
gunda linea.

P3J

| 27 1 64

j 3 I 4 I 5

12$

2I<

343

f i

5"

«

729

'" Gomo 30» v; g. está entre los númeA» &f y 64
de la jfrimei? lifiéa y su raiz * cúbica estará entre 4 j
-3 , números del segundo renglón correspondientes 4
los otros dos del primero f será por lo mismo la rait
cúbica de 3a mayor que 3 jr menor que 41; será por
-consiguiente $KOh um quebrada ... .. <*- .. ;.
/• 213 * No todo- -númepp tifene raiz cúbica; pero»
{Hiede sacar por aproximación un número que sise
cubicara , se acercaría ^quanti> quisiera el calculador
al número propuesto. (Declararemos esta operación
4uegp que dejemos explicado' comp ge*1 halla la ráis
de un cubo cabalas 'r j:v'.; \uw r ^ : • «j
- 2 14 'Veamos primevo <fe *qué partida ese compone
*¡1 cubo de un número que tiene deednas y unidades
Ya que el cubo1 4k un «numero e*,ei producto
de su quadrado multiplicado por el mismo númerd,
importa teneif presente (i8g)'que> el quadrado m de. un
-número que tiene decenas y uottfcides y se> compone
<i;? del quadrado ¡de las decenas? 2.* de dus vedes
-el producto de las» decenas por las unidades * 3.qí del
-quadrado de las unidades. ^ - ; ; •■ \i

- Es , pues ,< preciso multiplicar estas tres/parrídas
¿por las- decenas y tas unidades del número; propuesf
-t® paca fonrtar;íu cubo: A fin de distinguir m^or
los productos que resaltan , pondremos aquí el tipo
<de esta operativa

¿>4.N

e

VE arismMticj.

isg

El quadrado de) i.° {el cubo de las de*

is decenas multiplicado por cenas»

1 las decenas dará dos veces el pro*
ductodelquadra-
do de las decenas
multiplicado por
las unidades,
el producto de las
decenas por el
quadrado de las
unidades»

las

Dos veces d pro*
dudo de las de-
cenas por las uni-
dades

El qpadndo de
las unidades

El quadrado de
las decenas

Dos veces el pro-
ducto de las de-
cenas por las uni-
dades.

El quadrado de
las unidades V

multiplicado
las unidades

i

por
dará

el producto efe!

Suadrado de las
ecenas multipli-
cado por las uni-
dades.

dos veces el pro»
ducto de las de-
cenas por el qua-
drado de las uni-
dades.

el cubo de las
unidades.

di¿ Luego juntando estas seis partidas, y sumando
unas con otras las que expresan cantidades de un
mismo nombre , podremos decir que el cubo de u«»
numero que consta de decenas y unidades se Com-r
poot de quatro partidas , que son i.° El cubo d? las
decenas i a.° tres veces el quadrado de las decenas mul-
tiplicado por las unidades : 3.0 tres veces las decenas
multiplicadas por el quadrado de las unidades ; y 4.0 fi.
mímente el tuto de las unidades.

Vi-

í

I

*&6 * ^PRINCIPIOS" r

2 16 Vimos antes ( 189) que el quadrado, ó la segun-
da potencia de un número de dos guarismos se com-
pone de tffes pacridas ,. esto *es f íde tantas partidas»
jo una mas^qmntas unidades treníe el exponente 2
«leí su ¿rada; Atjora acabamos de yer?qúe*la>tefsfefc
apetencia y ó el cubo de un número de do* guarismos^
ti qué tiétíedéce&as y unidades , se compone de qua*
tro .partidas , esto es , de tantas partidas y una rtusj
quaotas unidades tiene el exponento 3 de^su -grado.
X)e aquí^se ínífeire por inducción míe una potencia
qúalquiera de' un número de dos gpatoisníorse'qorfS
pone de tantas partidas , ^ una mas , quáotas ua¡4

• dades tiene el número que expresa $u grado. Asi, la
séptima potenciar) de un rítimero de dos guarismos
W* competir dd ¡óchb partidas,*
*. 2 17 Formemos éa virtud de esto>d'tratto4e 4^
-v. g* que consta de decenas y unidades. ' • * - :
• Tomaremos, pues, el cu- J 64000
bo de 4 que es 64 ; pero co- • 14400
mo éste 4 expresa decenas, su </ - 15080-/ Vr >'M
«¡bo élpjjresará' piulares, por- j ¿7. -*: '>

<jue tí ! cubo de| 10 es 10000; ; :— — * *'l < >
por consiguiente el cubo de 4 795°7 ' '*'

decenas será Ó4ÓOO.

<* aveces 16 ,* <í tres veces él quadrado tfe lps 4
decenas- multiplicado por las 3 unidades i .4ia&*iq4
centenares, porque el quadrado de 10 es 100 ; se-
1* -pues;*esfe^ / v. .í ?:c

f : 3' veces 4,0 $ veces 'las 4 decenas multiplica*

Mías por el quadrado 9 de >las unidades , darán de*

cena* ,- y et ¿rtíduéto *étá >idbo: s *- ' *

»'■'■ íirialftieh<e,-er cubttpde ías ttpiútedes> rematar*
en laí-cblum'ritf de !&>tin!da<*e*, y «eri 27; u.v.,. .>
' Sumando fos quáfcra partidas , sacaremos qú&M
cubo de 43 es 79507, cuyo cubo se hubiera háft**
do* sin duda alguna , mas ftcünitnlé miiltipücaádo
•"' 43

DE ARISMETICA. 127

43 por 48 , y después por 43 el producto 1849.
Pero hemos seguido , un camino mas burgo con )á
Húnt- de investigar , al enterarnos, de las partidas
que componen el cubo 9 un método para extraer su
raíz.

218 Sentado esto , declararemos este método. S
¿Supongo que se me pida la raíz cubica de 79507.

cubo.V. . . 79>$ó? 1 43 rá^

Para saber ^londe está ; . 15 5,07
en este número el cubo de 48

las decenas de la raíz , se*

paro con una coma los tr£S~ últimos guarismos , en
los quales no puede estar dicho cubo , porque va-
le millares (217). fe «:*./.*.

Busco la raiz-cúbksa-cíe ^9; es 4, y le pongo
al lado. Cubico 4 , y elj- producto 64 le resto de 79;
queda la resta 15 , que pongo debajo de 79.

Al lado de ifc teM¿>?b^sale la partida 15507,
en la qual ha d» eotar 3 veces el quadrado de las
4 decenas hallada* pJBDkifÚisado por la* unidades
que busco ; mas 3 veces las mismas 4 decenas mul-
tiplicada» pw^.íq^fado*>drflasfonidadésr, ipas f&
nalmspce >d<4ato7fel^-i^dád«¡ ( . I '*iu v r¡ i

Separo las dos figaras«07¿;ea -el ¿número Jigjj
quenqneda fr la ibqufcrda ., e%k<& «eces^Líquaüra-
dot de las' 'deberte <m¿ítí^icado pon las: unkfadesí
hallaré 9 pues , bs unidades (75) partiendo. 15^ por
el triplo del quadrado de las 4 decenas, esto es*
por 48. . . - r< . • ,.

Como 48 cabe 3 veces en 155 > ponga 3 i ia
raiz.; • * -: « <

Para comprobar esta raíz j y hallar la resta r sj
la hay, podramos' formar las tres partidas del cu-
bo que Lhan de estar eo 15507 \ y^er si compones
*5ft¿?S 0' W«to discrepan 4e efte número' ; 'pero
. t. con

«8 PRINCIPIOS

con igual facilidad se hajce esta comprobación cu*
tacando sobre la marcha 43 , quiero decir multi-
plicando primero 43 por 43 , y después el produc-
to 1849 P°r 43 * ^ cuya multiplicación ¿le por
ultimo 79507. Es, pues, 43 la raíz cúbica cabal
de 79507.

.- 219 Si el cubo propuesto tuviese mas de seis gua-
rismos , se . practicará lo que en el exempio si-
guiente. '

Se ha de sacar la rafe cubica de 596947688»

>
596,947**88 J84»

«49*47 !

19 2

59a 7<M

4*43 &»8
2 1 168
59694768^

l»t''' 'I "'

OOOOOOOOO

Consideraremos su tais- como compuesta de dece-
nas y unidades , por lo que ,. empezaremos separan*
do los tres úlámos. guarismos.

Como el periodo 596947 donde está el cubo de
las decenas , tiene mas de tres guarismos * su raíz
ha de tener mas de uno , y por consiguiente tendrá
decenas y unidades} es , pues , preciso , para ha-
llar el cubo de estas primeras decenas , separar los
tres guarismos 947.

Hecha esta separación , busco la raíz cúbica de
596 ; es 8 , y pongo 8 al lado.

Cubico 8 , y el producto 512 le resto de 59$
queda la resta 84 , y la pongo debajo de 596.

Al lado de 84 bajo 947 , sale 84947 , de cu-
ya

DE ARISMÉT1CA. xa$ *\

ya partida, separo ios dos últimos guprafrios 47J
. ¡Débsgo de 849 pongo 190^ triplo^ ;deL qniadra^
do.de Jaraíz 8, y ,partO'849 >poc; f9i;;taaoo«llca*
cíente 41, y le Jrongoiá ia,>raiz¿j co n: ,m.-^ t.z t j
Para • comprobar: /esta raiz ^ y Ter ali aitshM*
tiempo lo que restar^ cubico '84', y' resto ■ el pto-
ducto $92704 del numero 596947 , y quedan fa res+>
tet 4243; . < ..,-"■ '■'• -"' ' • '' - . l 'I

: ¿Ai.su lado^jo el , periodo 688 , y ooiisiderandor
la^Tañz Gocno^uo solo ¡guarismo que expresa1 las ¿e^
cenas de la Taiz que ando buscando , separo ios
dos* úkimos guarismos: 88 dei periodo que bajé , y
parto el número 42436 por el4típfa^^quadrado¡
de 84 , esto es, por 21168; saco el cociente 2 , y
le pongo: ai ladocdo ffap/ >- . 8

Fáfa comprobar la ga»~&42 , y sacar la resta,
si la hay , cubico 842 ,; y. Testo el producto. \ . .
596947688 del número propuesto 596947688; co-
mo no queda resta alguna 9 ¡infiero que 842 es la
raiz cúbica cabal di 596947688.

220 Prevengo D*ogu$;$n¿el discurso de esta ope-
ración nunca se puede poner mas de 9 á la raíz;
2 o que si el guarismo ^yapstt>'¿& la raiz fuese muy
grande , no se-podria-hacef-te sustracción, por cu-
yo motivo se le.^jitaFioísuccesivamente una, dos,
tres , &c. unidad& , 'fcsfiar que la sustracción se pue-
da practicar- )ft v ?t 7 |.-a *;'{

221 Quando el número-propuesto no es un cu-
bo cabal , la raiz que; se saca no es mas que apro-
ximada , y pocas veces basta sacarla en números en-
teros v para cuya^iaprotin^ciciú son^ditfy efccraffidas
las decimales ^ biea que ni aam ¡coq ellas 4» fotaát
sacar cabal la raiz. * ! rjuipsi ü ¿

Para acercarse quanto tino quiera á laí raiz8 cú-
bica de un cubo no cabal , se le han de añadir tred
reces, tantos cor os qugaia* -4*tiniates ;*e quipr«it efe
'¡'Tom.L l la

1

rga \ " PRINCIPIOS \

la raíz. Después de cuya preparación se hará la ex»
tradcio^ de la raíz; cubica ppr d ^rntno ¿nétodoque
eo los eKernpiq^ antecedentes; \y cpaclnida^ue es¿
té 9 se separan con una coma, en 1? raíz, <i' la de-
recha , las figura* decimales que se quiera»
- 292 Quiero sacar por aproximación la raíz cubica
de 87$$ con diferencia de menos, de una centésima*
Para que la raíz lleve centésimas y ó y ío que; e* la
mismo > dos decimales', es preciso ^ué él nüiftero
propuesto ó el cuboUeve' seisr (i$q); es pues jaecen
sario añadir .seis ceros al número &?$$•

Luego el empeño se reduce á sacar la raíz, cú¿>
bica de $7$$oooooo. • •.';;•*» - ,••■.! \j < vt

8,75$,<xfc^obc> ' - \ *p6*; ^i -í

.- -r * íi

'.'NlfiOOO,. J^'J, i.U. > Oí.' '. *t

.'üi'u-fiÉiM. 1 mí* ¡un •) '.'. '';> * >-¡

8741-616

11 1 j 1 nu ni 111 1 i

I

c

13 1 840,00

8754552981

447019

^ 1 Por le ¿iciton antes > parto <f8t& numero en <pe*
tkdof de .tres guarismos cada uno de la derecha
á la izquierda»

Sata la raíz cebica del. ultimo periodo 8 f es 2,
le pongo á lai^iz; cubico 2* el producto le resto
de 8 ¡, queda la resta a» i cuy o lado bqjo el perio*

do

DE ARISMÉTICJ. 131

do 755* y separo los dos últimos guarismos 55.
Debajo del 7 que. queda pongo 12 , triplo del qua*-
drado de la raíz , parto 7 por 12 , saco el cociente
cero , pongo , pues y cero 4 la raiz.

Cubico la raíz 20 , me sale 8000 , que resto de
8755 ; queda la resta 755. A su lado bajo el perio-
do 000 , separando dos figuras i la derecha ; de-
bajo de la partida restante 7550, pongo 1200, tri-
plo del quadrado de la raíz 20 ; y parto 7550 por
1200 , saco el cociente 6, que pongo á la raiz. ^

Cubico la raíz 206, y el producto le resto de
8755000 j queda la resta 13184,4 cuyo lado bajo
el dirimo periodo 000, separando las dos últimas
figuras. Debajo de la partida restante 13 1840, pon-
go 127368 , triplo del quadrado de la raíz baila-
da 206; parto 131840 por 127308, sale 1 al cocien-
te , y le pongo 4 continuación de 206. Cubico 206 1,
£ restando de 8755000000 el producto 8754552981,
-queda la resta 447019^

Bor consiguiente la raíz cúbica aproximada de
8755000000 es 2061 ; luego la de 8755,000000 es
20,01 , porque todo cubo tiene tres veces tantas
-decimales quantas su raíz.

Si importara proseguir fhas la apraximaáon , se
añadirían tres ceros á la Ufemia resta, ysepiacti-
earia lo mismo que ' hemos enseñado respecto de ca-
da vez que se baja un periodo. •

223 Ya que para multiplicar un quebrado por un
quebrado se multiplica el numerador por d nume-
rador, y et denominador por el dsnonunadftr ;. pata
-cubicar una fracción se cubica; también cada tuno
-de sufc dos términos. Luego feríp¡rocaraente^; para
-sacar la rafc cúbica de un quebrado y. se saca la raíz
-cúbica de cada uno de sus dos términos. Asi, Ja
raíz cebica de -J $ es \ + porque la raiz «cúbica de

la--- Pe-

/

/

■^/

132 PRINCIPIOS

224 Pero si solo el denominador fuese un cubo* se
sacará la raíz aproximada del numerador, y será el
numerador de un quebrado , al . qual se dará por
denominador la raíz cúbica del denominador del
quebrado propuesto. Si se me pidiera v. g. ' la raiz
cúbica de y£f ; como el numerador no es un cubo,
saco, su raiz aproximada 5,22 con diferencia de me-
nos de una centesima r saco después la raiz de 343,
íjuées 7 j por lo que la raiz aproximada de f!}| es

r1 — 9 6 0,74 , reduciendo á decimales la primera*

.con diferencia de menos de una centésima.
< 225 Si tampoco el denominador íltese un cuba,
•se miritiplicarán ambos términos del quebrado pro*»
puesto por el quadradó del denominador i y coma
el nueva denominador será un cubo y se practicará
Jk> que en el último exemplo.
f 226 Si se ene pide v. g> la raíz cúbica de f , mi*-
tiplico ambos términos del quebrado por 49 , qua*-
drado de st» denominador 7 1 sale \\\ de igual va-
lor que I (86). La raíz cúbica de {&'és ^2. % >
... . . í 7

0,75 después de reducirla á decimales; por consi-
guiente la raiz cúbica de $ es 0,75 r ia <W*l *» una
-centésima siquiera discrepa de ta verdadera. ;

- 247 Si enteros "acompañasen á los quebrado* y ae
reduciría todo á quebrados y y la operación estaría
reducida á sacar la raiz cúbica de un quebrado.

Si se quiere y se podrá transformar primero en
¿decimal el quebrado propuesto , bien esté solo* bien
«con entero ,;pera será preeiso continuarla traasfi»-
mac/on hasta qqe.faajra tres veces, tantas decima-
les guantas, se, quieran 'lleve la raíz.. & se.ime pi-
diese la raiz cúbica de 7 «A- v. g. Aproximada has-
ta menos de una milésima , mudaré d quebrado -rV
en 0^272727272 j de suepexgie para sacar; kla í^tz

-/a £ 1 CÚ-

DE láUXSMÉCFICA. %$$

cubica de 7A he de sacar la de 7,272727272 , la
qúai es 1,937.

* - > 228 . Paca sacar la raiz cúbica de una: cantidad.- to-
da decimal , se le añadirán lo*x:eros suficientes), da
modo que el número de< sité decimales 6ea. tres, «eis*
nueve &c* Después se sacará su raiz pomo si na
hubiese coma ; y coocluida la operación , se separa-
rá con una coma en la raiz^, . á la derecha , un nú-
meto de figuras que sea el tercio dsl número de
ks figuras decimales .de la cantidad propuesta ; pop
manera que si la raías no tuviere bastantes guarís*
mos para la práctica de esta regla , . será preciso
añadir ceros á la izquierda de la raiz. Si he.de
sacar v. g. la raiz cúbica de 6,54 con diferencia
de menos de una milésima , le añadiré siete ceros*
y sacaré la raiz cúbica de 6^40000000., la. qual se-
rá 1870 ; separaré tres guarismos , porque hay nue-
ve decimales en el cubo , con lo que será 1,870 ó-
1,87 la raiz cúbica de 6,54 P°* el. mismo, camino «ha^
Haré que la raiz cúbica de 0,0006 , aproximada con
diferencia de menos de una centésima, es o,Q&

229 Después de sacada por decimales bf expre-
sión aproximada de la raif cibica de un número*
sea el que fuese , € entero ó fraccionario, se podrá
echar mano de Iqs quebrados, contiguos para «seña-
lar los quebrado?- seminen* míflieroa: «raeros in$
mediatamente mayores ó menores que el quebrado
propuesto , que mas ?e- acercar* á su fcalor. Si se
me pidiese v. g. la raiz cúbica de $ , sacaré prime-
ro su rail con seis decimales , y es esta 1,709999;
haré después con el quebrado 4 ¿»¿#£? las misma;
operaciones que aii le- quisiera abreviar*. Después
¿charé mano de ¿los cocientes n5 1, a;r 4, y ti*>
riendo con ellos lo propuesto (126), saco que la
serle de los quebrados que -mas se acercan á la
tm^cúhk^á^ g »¿x,i»jft: Y* £}-*>dfrlo« qua*
..í 1 3 les

i34 >• *mitocims r

les- el último es un valor muy aproximado de v g.

- . 23b Todo número cuya raiz cúbica se intenta sa- •
car.es considerado como un cubo; pero si no es
cubo perfecto , es imposible hallar 9 á no ser por
aproximación, su raíz tercera. Podemos sin embar-
go señalar los limites que no pasa; la raíz cúbica
de 45 v. g. no es número alguno , ni quebrado ni
entero ; pero sabemos que es mayor que 3 ^ y menor,
que 4 , por estar 45 entre los números 27 y 64 , cu-
bos respectivamente de 3 y 4.

231 Las raices cúbicas no cabales son también ir-

3
racionales , y se señalan asi /, cuyo 3 significa raiz

tercera ; vqg expresa la raiz cúbica de 45.

Después de lo dicho acerca.de las cantidades
irracionales de segundo grado, es escusado dete-
nernos á declarar como se aplica también el cálcu-
lo á las de tercer grada Con indicarlo bastar!

!.• ¿4x^5 es ^20 ; Vr8xV3=V 8x3=2/3.

V20 * t

2.° .-7— es V V ó ^4*

3.0 y ¿3 es 2/3; V6qxg t*'4pf$.m

: Be las Razones y proporciones.

932 Llamamos Razón lo que resulta de la com-
paración de dos cantidades» . , .
. 233 Qnando al comparar una con otra dos can-
tidades indagamos en quantola una excede á h otra,
6 esta á aquella , lo que sacamos es la diferencia de
las dos cantidades , y se llama su Raxon Arismk-
tica* Si comparamos v» g> 15 con 8 para averiguar

su

¿ ^ DJÉ ARISMÉTIC3. izs y

su dfferencar7¿ este f es. la razoo acometida de
ig á 8. Para señalar que dos c?tmidade$ se compa*
ran cob el fin de saoaf eu dtíerexKia^^.pooe-un
punto entre las dos ; de suerte que 15,8 señala Ja
razón arisroética de 15 á 8. - -

234 Si en la comparación de dos cantidades se
lleva la mira, de saber las veces queJki una "cabe an
Ja otra* ó esta en aquella,, lo, que -se halla se lia*
ma razón geométrica.. Si comparo v/*g¿ 12 con 3
para $^r^uanti»**eces 3 cabe en. 13 ,* el 4 que
saco es la jaetfft geométrica de 12 á 3* Para seña-»
lar que dos caatfdade* se comparan con esta mira*
ó lo que «s todo^uno , para señalar su razoa geo-*
métrica v /ícrtscribe» al lado uaa.^de otra pon dos
puntos entretaedias^ «no enciipa de otro; 12 ; 3 se*
riada la razón geométrica de 12 á 3,, /„j.
- 23$ De las dos cantidades . que se ,. comparan* la
primera se llama antecedente , la segunda ctnqecmnT
tei en Ja rasan ta^^i efoftntifrtritt^ ,*q w> y 3
cá consecuente. El antecedent* y:cttptf>citentfe,se;lter
4iian juntos tes. do*i téufatoo* de iav¿azrta ^ :
. 236 Se (hatt*y pues , la «pop rtistáfcade <tos
-cantidades con testar la nxmot ¡te fc'inayor.v -
-. Y. par» haU# la raaata geae^íca de ¿ptciton-
tidadtís s&í4ivi<fer la rtnaifiairtdb tetofcnfimi §mou J»
señalaremos constantemente partitodto d antecedente
pctf el coiisfecueni*;f ¿arriaron! 4* *«i& 3 te kfí fe
razón de 3 á iá es A=í * esta uláaj* rao» se Ha-
nía inversa* de la primera.

237 De una razón geométrica se dke que;es ¿»»
itersa 6 recíproca? Üe; ot^^guaodo ambas razones
s¿ refieren á las &]&»**> etfltidfidftb dispuesta* s*ie
modo que la >que es antecedente en. la primara &
consecuente en la ségupda» I*a ratón de 3, á.iSrv.g.
es recíproca- de la raaonnde g i 3* Tamban son
inversas una de otra Jasudoa ráeles, ti&útwet* &&>

>36 : '■" PRWCTPIOSrr

t : i ? pOHfl* ia últinia razón es f partido por j,

¿ 238 * La razón arismética no se altera quando á ca-
da uno de ífcus dos términos se te añade ó quita una
misma cantidad ; porque la diferencia, que es lo que
constituye k razón , se queda siempre una misma.
i 239 La razón geométrica no se akera quando se
multiplican ó parten sus dos. términos por un mis-
mo ntímera Porque como la razón geométrica es d
cociente (236) del antecedente partido por el conse-
cuente , es una expresión ó cantidad fraccionaria,
cuyo valor no muda (86) aunque se multipliquen ó
partan sus dos términos por un mismo número. La
razón 3 : 12 v. g. ó «¿V es; la misma que la de 6:24
&r% ^ la qual es 4a primeva después de multiplica*
dos sus dos términos' por 2 ; es cambien la misma
que la de 1:4 r cuyos términos son los- de la pri-
mera partidos por 3. ....

Es» propiedad d* las tajones geométrica» . sirve
para abreviarlas* S< sfc**e ofreciese averiguar v. g,
la razón de^é^i ibf jdkia^ wdacieúciD tada^ér^-
ffihio á quebrado , que dicha Tazones la misma que
la de-V^'VS ó5 reduciéndola al mismo denom*-
~mdor, la mismx que 1^ íde |¿ i W, ó iiqalmen-
4fe j ^ritmando el denominador ; 1* ( «Jue-es-lo pro-
pio -que si mnftipliesttt por 12^ ambos términos 44
jy W «de lai>rfiáon> la misma que la 81 á 12& Y
de hecho v a© **y duda en que 8x dozavos (caben
en 128 dozavos las mismas veces que 81 unidades
en 128 unidades. * . r

240 Quando qnatro cantidades son tales que la
nzen de las dos primer» es la misma que la de las
Jos últimas , decimos que las quatro cantidades for-
man una proporción , cuya proporción es arismética
ó geométrica , según sean arismétícas ó geométricas
bs dos razone* iguales que la forman.

Las

DE ARISMÉTICA. 137

241 Las quatro cantidades 7,9,12, 14 forman
una proporción arismética, porque la diferencia de
las dos primeras es la misma - que la de las dos
ultimas* La proporción arismética se señala así 7*9:
12 . 14; quiero decir que se separan con un punto
los dos términos de cada razón , y las dos razones
una de otra con dos puntos*. £1 punto que separa
los dos términos de cada razón se lee es á , ó se
ba á, y los dos puntos que separan las do^ razo-
nes se leen como ; por manera que la proporción es-
crita conforme hemos dicho se lee así 7 es á 9 , co-
mo 12 es á 14 , ó 7 se ha á 9 , como 12 se ha á 14

242 Las quatro cantidades 3 , 15 , 4, 20 forman
tusa proporción geométrica; porque 3 cabe en 15 d
mismo número de veces que. 4 cabe en 20. La pro*
porción geométrica se señala así 3 : 15 :: 4 : 20;
quiero decir que se separan .los dos términos de
cada razón con dos puntos , y l?s • dos razones con
quatro. Los dos puqtos se leen delomcsmp diodo
que el punto en ta propotcxon * arismética <, y lo$
quatro puntos del jntsmo modo que. los dos de aque-
lla, sin mas diferencia que añadir la palabra geo-
métrfcanMte antes de la voz como. ^ r

. 243 JE1 primer y últüno ormino de la «propon
«oía se (llaman bx extremos ¿ y- e^aegundtf y terce-
ro )m medios de la proporción^ Como en toda pro*
«porción hay 'dos razones, 3^ por lo mismo dos an-
tecedentes y dos consecuentes , los dos términos de
la primer razón se llaman primer antecedente y pri+
•ener consecuente , y jos dos términos de la segunda,
segunda antecedente y fegufido consecuente.

244 Quando los dos términos medios de una pro-
porción arismética son iguales , la proporción se llama
proporción continua , tal es esta 3.7:7.11, y se escri-
be así -j.3.7.11 : la raya puesta antes con los dos
pumos , sirve pote avisar que la proporción conti-
nua

«138 PRINCIPIOS

nua es arismética , y que ai leerla se ha de repetir
el término medio que aquí es 7,

La proporción* 5 : so :: 20 : 80 es una proper*
cion geométrica continua , la qual , para abreviar, se
señala de este modo —5:20:80 ; la raya con los qua-
tro puntos sirve ^en esta proporción para lo mismo
que en la proporcioa aromática continua la raya con
dos; puntos,

.245 De lo que acabarnos de decir acerca de
las proporciones arisméticas y geométricas se infie-
re i,° que si á cada antecedente de una proporcioa

< arismética se le añade ó quita la diferencia ó ra->
eon que tieqe.con su consecuente, segundea aquel
toayor ó menor que. este, cada antecedente: seri
igual coa su consecuente ; porque con esto se le
añade al término menor de cada rama para que
sea igual con su correspondiente , á se le quita al
mayor el exceso- que/ lleva i su correspondiente. Si
en la proporción, 3.73a 19 v* g¿ añadimos al primer
y tercen; termino, U diferencia 4, saldrá ^7^12.13*
«e viene 4 los ojosj.que esto es 'gfeneral; 9.a si se

•njukiplican ambos consecuentes de una proporcioa
geométrica , quando son menores que sus antece-
dentes , por la< ráson * cada uno seta, tamhiea igual
wd su anótenme ? parque mukiptkrar el cáusecuien*
te por U razón y >e&. tómade tantas veces quantas
«abeeadamecedfente^Si en la propoaciou.ia:3::3ttf
multiplico por 4 cada uno de los dos términos 3 y^
sacaré 12: xa:: 90:20; la proporción i5:9-45:*?
ae. tc^ortnaxá en i¿ : *tf-?45 1.46-*** nwdtípi*
car los das tcuminos 9 y>*7 cada uao por la r**
•aon y ó '{.'•-•'• * < '-#

, De la Proporción ¿4riswét¿c*%

-. 246 ,i¿? ^ropkdaA. fundsmeotd M to pnopmkm
i.v * * arts-

//BE . ARÍSMÉTICA 139

aritmética , es que la suma de los extremos es igual
á la suma de los' medios ; en esta proporción v. g.
3.7:8.12 la soma de los extremos 3 y 12=15, y
la suma de los medios 7 y 8=15.

Probaremos que esta propiedad se verifica en
toda proporción arísmética. Porque si los dos pri-
meros términos fuesen iguales uno con otro, y fue-
sen también iguales uno con otro los dos últimos,
como en esta proporción 7» 7: 12 .12, no hay duda
en que la suma de los extremos seria igual ala de
los medios. Pero es muy fácil dar esta forma á to-
da proporción arísmética (245) con añadir ó quitar
á cada antecedente la razón; pues esto aumentará
ó disminuirá igualmente la suma de los extremos y
la de los medios , y por consiguiente no se alte-
rará la igualdad de las dos sumas; luego si son
iguales después del aumento ó diminución propues-
ta, es porque lo eran antes.

247 Sigúese de aquí que , por ser iguales en
la proporción continua uño con otro los dos me*
dios , en toda proporción arísmética continua la su-
ma de los extremos es dupla del término medio , ó
el término medio es la mitad de la suma de los ex*
tremos.

248 Luego para hallar un medio arísmético v. g.
entre 7 y 15 sumo 7 con i£, la suma es 22, cu-
ya mitad 11 será el ihedio arísmético que se pide;
por manera que ^7 • 11 . ig.

De la Proporción Geométrica.

240 La propiedad fundamental de la proporción
geométrica ss, que el producto de los extremos es igual
al producto de los medios ; en esta proporción v. g.
3- 1527:35, elproductode 35 por 3 es 105, y
ti de 15 por 7 es también 105.

Pro-

!4* PRINCIPIOS '

Probaremos que esta propiedad es general. Si los:
antecedentes fuesen iguales con sus consecuentes, co-,
rao en esta proporción 3:3^7:7 es patente que
el producto de los extremos será igual con el de?
los medios. Pero es muy fácil dar esta forma á» to-
da proporción geométrica (245) con multiplicar am-
bos consecuentes por la razón. Verdad es que des-
pués de esta multiplicación el producto de los ex-
tremos será unas quantas veces mayor de lo que
hubiera sido , o unas quantas veces menor , si la ra->
zon fuese un quebrado ; pero también resultará la
misma alteración .en el producto de los medios; por
consiguiente si «después de dicha multiplicación los
dos productos son iguales uno con otro, es porque
lo eran también antes.

.• Luego se puede tomar indistintamente <el pro-
ducto de los extremos por el de los medios , ó es-
te por aquel.

250 Luego en< la proporción continua el prqducto
de. los extremos es igual al quadradodel término m*<
dio; porque como los dos medios son una misma
cantidad , su producto es lo mismo que el quadrado
del término medio» Luego, para hallar un medio geo-
métrico continuo entre dos números dados ó pro*
puestos , se multiplicarán uno por otro los dos nú-
meros, y se sacará la raíz qpadrada del producto*
§i. se trata de hallar un medio geométrico entre 4
y 9 , multiplico 4 por 9 ; la raiz: quadrada 6 del pro-^
ducto 36 será el medio proporcional continuo entré
los dos números,

251 De la propiedad fundamental de la propor-
ción geométrica se infiere también , que len cono-
ciendo los tres prirqeros términos de. una propor-
ción , se hallará el quarto multiplicando el segundo
por el tercero, y partiendo su producto por el pri-
mero. Porque no hay ^uda (75) *** 3U* » ae.parr

: te

DE . ARISMÉTICA. 141

¿te él producto de los tíos extremos por «l primer
término, saldrá al cociente el.quaato términos1 J
porque al producto de tíos medios os*d mfcm$(a49)
que el de los extremos , saldrá* tataobien al- cociente
el quarto término si se parte el producto de los me-
dios por el píimer término.

En virtud de esto ; si se me pregunta qual es
4) quarto término de una proporción cuyos tres pri-
meros son 3 r 8 r. ra , multiplicaré 8 por 12 , par*
dré el producto 96 por 3, y ei quarto término será
32 ; por Aanera que 3 , 8 > 12 y 32 forman unapro*
porción; y la cosa es clara , porque la primer razón
^es |* y 1? .segunda es H=i (w) deanes de partir
ambos términos por 4. . ^ ■■■*••/■ ?.••'' «• < ri

Eotf ¡el mimo camino se hallará el tétminb que
4£< qutoral.de «m^ /proporción v una vez que se có¿
nozcan los otros tres. Si el término que se busca
-es uno dé k* e Aremos \ se multiplicarán los dos rne-
edios, y partirá su producto por el. otro extremo co±
uoddo» Si, al. cojrtntrk» se burc* uno de los medios^
se multiplicarán los dos extremos, y partirá su pro-
ducto por el medio conocido. * T : -l - • r

252 La propiedad de ser igual; el producto de
los extremos M producto de los tnedio& solo puede
verificarse conVqutttataaittid&itte .e» proporción geo-
métrica. Ponqué si las sxjuatitf. cantidades no forman
proporción gtoométrifaa V ¡ después "4e- multiplicar los
consecuentes .jtor la rázdn .denlas dos primeras , so-
lo el primer antecedente será : igual con Sa conse-
cuente i si las quatro cantidades fueran v. g. 3, 12,
$i ;*Q>? ^puesrrlde' nRáüpli¿ar Iw consecuentes 12
;y jó pac la razón £ de las dos primeras 3742,
saldría 3, 3 ,-g , y ., donde es evidente que el pro-
ducto de los extremos no puede «ser igual al de los
•medios ; luego tampoco serian iguales éstos produc- *
ios , aym ^undfv no se multiplicaran los consecuen-
~tl* tes

*4* PRINCIPIOS

tes -por' la razón $. Esta demostración se aplica &
todos los demás casos.

;. 453 Luego, siempre que.quatro cantidades son
tales que el producto de los extremos sea igual ai
producto dé los medios., las quatro cantidades están
en proporción. De aquí inferiremos la segunda pro-
piedad de la proporción geométrica.

*84 & quatro castidades están en proporción, io
estarán igualmente , poniendo los extremos en lugar
de los medios, y los medios en lugar de los extre-
mos , cuya disposición ' se llama invertendo.

255 Tambiéa subsistirá la' proporción si se mu*
dan de lugar los extremos ó ios medios, cuya dis-
posición se Uama alternando. . ;

Porque en ambas disposiciones se verifica* que
el producto de los extremos es igual al de los me-
dios.

256 En virtud de esta propiedad , de la propor-
ción 3:8:: 12:33 se sacarán * solo con mudar de
lugar sus términos, todas la* proporciones siguien*
-tes.

3 : 8 ":: 12 : $2
3 12 :: 8 : 32 alternando.
3a ; 12 :: 8 : 3 invertendo.
32* %j::M.: Stjrftenmrub*
8:3 :: ytr.t iQiikuertemb* ;
8 : §2 <r. %: 12 laltermmdo.
12 : 3 n 3» í : 8 ievertetuh.
• 12 : 32 :: 3 : 8 alternando.

Lo propio, digo de otra quálquier, piroporcioa
.257 • Ya que se puede poner el tercer término en
ljagar del secundo r y recíprocamente f< inferiremos
que no se turba una proporción quando se multi-
plican ó parten sus dos antecedentes , ó sus dos con-
secuentes . por un mismo número* Porque después de

di*

DE AKISMÉTICA. Í43

dicha transposición ^ los dos antecedentes de la pro-
porción dada formarán* la pdinier , razón , y los do*
consecuentes la segunda. 'Poé oonsiguiente ^ multi-
plicar los dos antecedentes de la primer proporción
viene á ser entonces lo mismo que multiplicar' am-
bos términos de una razón por un mismo número,
la que (86> no la, niuda* £>uedot , pues ¿ partir por
3 tos das ,afyt£cedentes< de la » propofofou 3 t ^:: 1 at
a&'4> y, decir ix .?>::; 4 :. 28 ;• -porque ia ppppoft&m-
$¿f! ruitfj: 28: la puedo tranformar (256) -en 3:12 ::•
7 : 28 ; y partiendo los dos términos de la primer-
taaon por/ $-> saldrá. 1 ; 4 rr -r : 28 y que pude trans-
tixn$ar(&gg)*ú tiz frr.4 uú^^ o 1 ••<.- ^ ; • ¿i.
1 ¿&g& i Subaste uwu poopurcíod imando en cada tía-*
son sejcánysur&con ¿baaceaedente ó- consecuente la
suma del antecedente y consecuente , lo que se lla-
ma componenda ,' á su diferencia^ lo que se llama di-
videndo* < -J„ v • i r • . * - , < v. ::;..-;■•.'

í)e la ipccporcion r 2 ; 3 ^ 3? : 8 se podrán in-
fetirlas proporciones siguientes., .*.:; j 1

í«4-¡3 : ■ 3 :: $«-*• 8:8 componenda.
*«— 3 : 3 •*: 3¡*-8 : 8 dividendo.
13!* 3 :i«,;a 32 -h8 r $1 componenda.
<MM3> : i« * 3*^8- : ¡$& dividendo.

t ■ 1 »

1 Porque quanda se hatc la comparación con el
consecuente, se echa de ver que sr le añadimos ó
quitamos el antecedente r cabrá aquel en este una
Fez mas, ó taña vez menos ^ue anees j y como se
hace Ja i mismo «i la segunda raaoa T 2a quat por
la naturaleza de la proporción es igual con la pri*
mera f las dos: nueras i razones serán también igua-
les una con otra,.; • ...

Quanda se hace la comparación con el antece-
dente , la proposición Se probará del mismo modo;

bas-

144 JfJ*RrNCIPIQS\. :

bastará 'figurarse que. en k pro^orcioti'dapde se ha*
gafesta mudanza , <se:iha puescc»:rel/ antecédeme de;
cüd» razón en lugaode ki.ronseKueniíe, y ^ con-

. seeuea&e en la^r: dei' antecedente y to (^ie segán he-
mos visto (a]j>4) se puede hacer.
, 2j(9 Ya que poniendo . el teratr término de. una"
proporción en lugaaldfii^egiiiido y ijr urecíprócanipn^í

N te 4 :$ujb$i$té:l*^víar • )a ^roporaioii^.^9^^ ?d¿beí^foi-f:
fsrifSftvquG iofc dp* apteéédenqes: : caben uno^enc ottís
tantas: reces , qnantas los consecuente^ cabaa tm<£

ea.OtTO. ■ * "/v-: -!: -.: _.!■.■ -....; <; ; t\v . ?

-k 260 Luego pn be supia ]de 1 los idos raQtsoedeiMesr
de toda proporción cab¿_ la: $um* de iosvp0fl$ecuen-í
tw, 6 esta> eri aqoelbr , .^tanpanr] webs qtsaritá* ufoirále
los antecedentes cabe ea /sttixronsecaeODeifnóoeste ¿ex*
aquel/ .; * \. '-< -.omr \ • ••

. En !á proporción i 3 : 3 s 33 v & C r-; i » • • •
12+32 : 3-1-8 :: 32 : 8 , en esto no hay duda ; .pero? í

para -probarlo ea ; general , r:basta>i«m¿d^rar qué si
en el primer antecedente oabe^el segtin4o quatró
veces v. g. en la suma de los dos antecedentes
cabrá el segundo citico veesa"; y por fe rttitma ra-
zón en la suma de los consecuente* cabrá fei según- '
do consecuente cinco veces. Luego la íuttfitf de los
consecuentes cabeá ren :1a délos antecedentes como ¡
el quintuplo del uno de los consecuentes cabe en
¿1 quintuplo do su antecederite ; esto es , cqmóiino
de los antecedentes cabe en su consecuente.

261 „ Del mismo .modo, se probará que la dife-
rencia de los antecedentes' jes á la : diferencia de -los
consecuentes * cojeo uirsaotecodeóte es áTsu^come^
cuente, ' - •> . '>í . > i->-h."* - r,' :L> rv- . n«. :i *I

262 L& pcoposidoa. que acabamos de démoste»
viene á ser la misma que estotra..* ••■'!•■ ■ «^

^ Si

DE ARISMkTICA. y*.

Si hay dos tazones iguales , es- ; 4:12

tas dos v.g. 7: 31 ■'""•;

la misma razón subsistirá entre -<■ . ««h "»* * i
la suma de - los dos antecedentes* J :*i : 33 -
y la suma de los dos consecuentes*

263 Luego, siempre que hubiere muchas razo*
nes iguales , la suma de todos los antecedentes se-
rá á la suma de todos los cOnstecuentesr como uno,
de los antecedentes á su consecuente. Sí tuviésemos
v, g* Jas razones iguales 4 : t2 :: 7 : 2* s.9 :,6 y po->
drémos decir que 4+7+2 : 12+21+6 ;: 4: 12 ós 7:
ni , &c.

* Porque «mando unos con otros los anteceden-
tes de las dos primeras razones > y -también unios
con otros los consecuentes », la razón-entre las dos
«urnas , la qual , por lo que . acabamos de probar,
será la misma que cada una de las primeras , será
también la misma que la tercera ; por; consiguiente
también se podrán sumar respectivamente los. dos
términos de esta coa los de aquella , y resultará to*
davía la misma razón.

«264 De lo dicho (260) podemos inferir que en
toda proporción la suma de los antecedentes es á
la suma de los consecuentes , como la diferencia
de los antecedentes es á la diferencia de los con*
secuenteSé . • ^

- Ya que la' proporción 48 : 16 :: 12 : 4 da
484-12 i 164-4 - 18 : 4 y
48— 12 : 16—4 :: 12 : 4
podemos inferir evidentemente, por ser común la
raron de 12 : 4, que 484*12 : í<H*4 :: 4—12 : 16—4.
Esta prueba se qpiica. á otra qualquier proporción»
. 26g Luego si en la última proporción substitui-
mos el tercer término en lugar del segundo , y t\
segundo en lugar del tercero (255) , probaremos fi-
alíñente que la suma de los antecedentes es á su

Tom.L K* di-

diferencia", tomo la -«urna de los consecuentes i su

diferencia ' \ -...'•

. 266 ~£í mudamos de lugar loimedios deesta pro-*
porción !^ : 4Í :: 1 2 é 4 ; f escribimos 4$ : 12 ^ 16 : 4^
y aplicamos á esta proporción lo dicho (166) , sal-
drá 484016^12^4^ 48—16 : 12—4, cuya propor-
ción comparada cmv estotra 48 : 16 :: 12 : 4 ,< matfi-
fiesta que* la stitttPde los dos primero? térmirios dd
" una proporción ,' wj * la suma; de 1<* dos últimos,
como la- difervánd* d# tosido* primeros jes á lavdi-
ftreneia deMos kk>s ültírtios^ óy tjofl substituir el ter-
cer término en lugar del segundo ,. y el segundo éA
lugar del tercero v 1* «urna de> los dos prrmeroá tér-
minos e*j¿ §u diferencia y como la ;suma de los dod
Abnoni e* 4 >s* diferencia. -.->•"• :: r >

,'*&?*; Ltómaee rü*o#cmpu¿$tá la razón qae &s
erigirla de ittultipikar unos por otros los anteceden-;
tes de dos ó ma* f razones y los consecuentes por*
tos- consecuentes* Si tenemos v. g. las, dos rabonea
f o : 4 V l5T- ^5 : tf* 4l prodmctK>i de los : aritecedentes
12 y 25 será 300, el de los consecuentes 4 y ¿f
será^so ría razoh dv 300 á SO' se llamará' compüfes-
ta de la de 11 á 4<¿ y>di*-*S A 5» ■ *

-• Esta razón 'es la ^ftisma^oe^e origina de va-'
taar separadiirfként* ¿ada-1 Julia' denlas rnones - córtw
ponentes P y multiplicar después unos por Otros lo*
número* q¿e: «4>resatr áfchas razones ? los quales se
llaman, sus etfpohehfesr Con efehtóyfe* fcazon de 12
á 4 es 3> y :1a <lé 2$ á £ es^'pero 3 veces
S axrtg SttaMBk de 3000 á fld^Bsto es general,!
porque la rme|iida de la rizón . es/ttnr<^btfado (i3$>
cuyo numerador, és el áfttecedenee *;• y el^nsetuen-i
te su denominlidor;\Es, puefcyr,pr¿tiso qde kr^ta-
ion compuesta sea tttf quebrado^' ¿uyo mfmerador
ha de ser el producid de tos' 4o9 antecedentes , *y
el denommádot *& producto dtf to* dos consecuetí-^

DE *}AmSMÉT3£A. 1147

íes; es por ló misnao la ratón compuesta d prorr
ducto de dos quebrados que expresan las, rabones
componentes, o \ -'. ..:. •.•/•.. >.: -J, ■ •-.. ¿:
. £08 Qaánde* las , hutotoes componentes joo, dos
¡guales;,, la razo* Compuesta se llama razan dupli-?
ceda i quando laa? oomponentes son tres iguales ? ó
quatro iguales , las compuestas se llaman respecrir
^azficntp 'títipiica4a> quadrm&aáh>üJt* . :;>
?;» 8¿ jmiltípücq '** g. Ja^ raaot* idfe . a ¡á 3-1" por Ja d*
4 á 6> igual cometía, safe latattoiooaipu^sta^: iS$
que llamaremos raxori ídupüeada,4ela de a á £ d
de ií fe , „•: 1.: •

209 Si se multiplican ordenadamente dos proporv
ctotes 9 quiero drei*, efc primer término, dd la una
por, el primee término dé He ottp , y. el ¿eguijdo pot %
«1 segunda y resuttarán XfBtitó productos y que for-
marán protección* r ¡ - ' .
; Parque quando se multiplican a?í dos propor-
ciones r .«{ multiplican dos razones igyaJes por jdos.
taopn^ iguales (229) i luego eias dos i razones Cora-,
pjbesus. que resultan i&eráa ignale&^JUegp lose qua-
tro productos formarán proporción (249).. :
; 270 De aquí infernólos que los qubdradog-, los
Cubos » y en general los potestades de un mismo,
aondbre ó gtado deqttatto.canddadt^ entproporcion,
forman: tamblan prap^otton ; jorque >par^format.es-i
tas potestades- ño se hace otra coia atoo multiplicar
k, proporción muchas veces por ella misma^

271 Las raices quadradas y . cibicas , y*ea ge-
neral las raices de un mismo nombre de qua-
tro cantidades ffen rproparcioé , forman también
proporción ; panqueóla mpon^jde las raices quadra-
das de los dos priroerat- témanos no' es otra cosa
que la tpz padrada ;de lg radon de dichos dos. tér-
minos, y lo mismo digo de la razón de las rai-
ces quaüxadas de. los é^..úSA^s^imfán
c .: K2 * una

148 PRINCIPIOS ^

«na vez que suponemos iguales las dos raeones pri-
mitivas , sus raices quadradas también lo serán; lue-
go la razón de las raices quadradas de los dos pri-
meros términos será igual á la razan de las raices

, quadradas de los dos últimos. Del mismo modo se
probará la proposición respecto de las raices cuta*
cas &c.

272 Quando una raaon se cotnpone dd prodtxv
to de otras muchas razones, se puede substituir

.en lugar de una de las razones componentes unft
razón expresada con ocrqs términos 9 con tal que
entre ellos haya la misma razón que entre aquellos
en cuyo lugar se substituyen.

En la razón de 6x10 5 ix$ v* g. podremos subs-
tituir 3 y 1 en. jungar dé los factores 6 y 2 , to
que dar4 la rawm cgmpoftgyn 3x10: 1x5. Porque ya
que 6:2x3:1, podremos multiplicar los antece~
dentes por 10 9 y los consecuentes por 5, sin que
de esto se siga: alteración alguna en la proporción
de donde saldrá 6xro : 2x5* r. 3x10 : 1x5, Lo
mismo se probará aunque sea otra Cualquiera la
proporción. * i

• 273 Si do» ó mas proporciones son tales que el
antecedente de la primer razón de la una sea igual
al consecuente de la otra, aúmpre que las tales pro-
porciones se hayan dp mulogfcaí: ordenadamente,
se podrán omitir los términos que fueren comunes
al antecédeme y id consecuente. Si las? dos propor*
eiones juesen v. g. estas.

6:4 :: r2 ; 8 *

• .1 , A - 4:3:: «20 : jg

inferiremos* . .>í 6 : 3 :: 12x20 : 8x1^

Porque aunque doramos ú multiplicador, co-

i 1 mun

DE ARISMÉTICA. 149

mun 4 j la razón , que entonces seria la dé 6x4 i
4x3 , seria la misma que la de 6 á 3 , la, que que-
da después de borrado dicho factor cotnua

. • . . .'•■'». ;

Si tuviéramos 6 : 4 :: rift:: 8 ' . :t

4 : 3 :: 20 : 15 : . »

3 : 7 *: ai : 49 ( '

. Jl '.I I I Ha Ji 'Jll ÍJJ I '.' I < ■'■ I ll

tendremos 6:7:: 12x20x21 : 8x15x49 ;.Jj

274 Las proposiciones que acabamos de demos-»
toar son de un uso continuo en todos los ramos de
la matemática; pero sirven particularmente para 1»
resolución de varias cuestiones- que á cada paso se
ofrecen en el trato humano. Mani&stacéffios por lo
mismo como se resuelven , variando . los eitemplo*
para facilitar la inteligencia de esta aplicación.

Be la Regia de Tres.

275 La prif»er regla que se. funda en la doctrina
hasta aquí enseñada de las razones y proporciones*
es la que todos llaman Regla de Tres, ó Regla de Ora
por causa de su excelencia y uso continuo. Aunque
hay varias reglas de Cpe , el fin de todas es halláis
él quarto término d^ana propctarcton cuyos tres pri-
meros son conocidos. * • ' *

276 Quando no son mas que tres las cantidades
conocidas , la regla se llama Regla de Tres simple}
quando las cantidades conocidas son mas de tres,
y concurren ciertas circunstancias que luego diré*
mos , lf[ regla se llama Regia de Tres compuesta. -

Regla de Tres simple.

277 Según el orden por el qual se ha de. sacar lá

K 3 can-

ISO PRINCIPIOS

cantidad qufe se busca, muda también de nombre
esta regla , y se llama Regla de Tres directa ó Re-
gla de Tres inversa. Porque las preguntas suelen ser
tales , que en unas , de lo mas hemos de sacar lo
mas , ó de lo menos lo menoi , y estas, se respon-
den por la regla de tres directa j en otras pregun-
tas, de lo menos hemos de sacar lo mas , ó de lo
mas lo menos , y estas- se r-espesdea— por la regla
dé tres inversa..:

278 A fin de hacer muy perceptible esta diferen-
cia, que suele ser un escollo para los principiantes,
conviene saber que de las quatro cantidades que en-
tran en una regla de tres , dos son de un mismo
nombre 6 especie , y las otras dos también de un
mismo nombre A especie , bien que diferentes de las
dos primeras , con las quales son correlativas. Un
casó práctico nos guiará mejor en la declaración de
este punto.

279 Sé que tres hombres han hecho 14 varas de
obra en 12 días , y quiero saber quanta obra harán
ig hoxhbrés trabajando otros tantos dias , y siendo
iguales todas las demás circunstancias , como que
sea la obra de una misma calidad, sean los 15 hom-
bres igualmente trabajadores que los 3 , y trabajen
un mismo número de horas al día , &c

JLas cantidades. ile un mismo nombre son aquí
3 hombres y 15 hombres ; las 14 varas de obra que
han hecho los primeros, y las que harán los otros
ion las otras dos cantidades de un mismo nombre,
correlativas , como se vé, con las primeras, bien que
de diferente especie. Se viene á los ojos que asi co-
mo .15 hornbflte son mas que 3 hombres , también
los primeros harán mas varas de obra en igualdad
de circunstancias : 6 que en la misma razón que 3
es menor que 15 , el número 14 de varas que han
hecho los primeros será menor que el número de va-
ra*

DE ARISMÚTJCA. i$i

tas que trabajarán los otros. Vamos pbr consiguien-
te aquí de lo mas á lo mas 9 estp es de mas hom-
bres á mas varas , y por. consiguiente la regla de
tees es directa. Esto supuesto,

280 Cuestión. Si 40 hambres hacen en cierto tiem*
po. 268 varas de obra i guanta obra, harán 60 bonn
bres en el mismo tiempo^

... Xas cantidades de un mismo nombre son aquí
40^ y 6oh, y como estos son mas que aq^iellos, tara*
bien el número de varas que trabajarán s&cí mayor
que el número de varas que han trabajado los pri-
meros. Vamos por lo mismo de lo mas á lo mas»
esto es de mas hombres á mas varas, por cuyo nx>*
tivo la regla es directa. Pongo las tres cantidades en
proporción # : r ;

' 40^:6ph::fi$8¥;
partiendo ambos términps de la primer razón . pot
su máximo común divisor 20 , lo que no altera la
razón (86), y <dtbe ¿practicarte siempre que se pue-
da , por lo mucho que simplifica la operación

2h »i 3* « 268* í •. r
Multiplico por lo dicho (151) 268 por 3 ; el producto
804 le parto por 2 , y sale kl cociente 402 9 núme-
ro de racas que trabajarán lo» 60 hombres.
•>0 «81 La práctica de esta regla se abrevia mucho
dividiendo los dos tórranos de* la primer razón por
el prti&etfo.j y multiplicando el tercero por el co-
deóte que da la división del segundo; claro esta
que el quarto termino que se busca será el produo»
to del tercer término, de la proporción por el co*
cíente de esta división ., rsia necesidad ide partirle
por el primer término, el qual sqAda unidad. En
el caso propuesto r los términos, socf

2:3:: .268 :
partiendo a y. 3 por 2 * sale

.«...' . ■ , r :. 1 r;t,s s só8 .: . .• . .

K4 La

IS* * PRINCIPIOS'

i¿a regla manda que multiplique ¿68 por i,$, y paité
el producto por i j cuya división es escusada. Cla-
jx> esti que 268x1,5=40» como -ames.

La razón de esta práctica es muy patente; por-
que los dos primeros términos después de divididos
por el primero, tienen uno con otro la misma ra-
zón que antes. ' ...
: 2821 Cuestión. Un ¿ominante ha andado ^"leguas
en 6 -dios ien quantos dios andará 2$$ -leguas*

Una vez .que ha de andar mas leguas , gastará
mas días } luego vamos de mas leguas á mas días,
y la. regla es directa. Las dos cantidades de un mis-
mo nombre son 341 y «551 , -y lasares conocidas se
han de poner en. ptfopqrcioh como se sigue

341 : *$$l :: é.d . ¡

Multiplicando 2$$ pon: 6^ y partiendo el producto
1530 por 34, escociente 45 l satisfaiá la pregunta;

De Ja Regia de Tres inversa

283 En la regla dé tres inversa vamos, según que-
da insinuado de lo mas á lo menos \ ó de lo me-
nos á lo mas. Supongamos que se me haga esta
pregunta : 16 bombín* ban hecho diez varas *4e obra
en 8 dios 1 quantos hombres harán la misma obra en
4 diasl Es patente que pues la misma- obra se tía
de fiacer en menos días , habrán de trabajar mu
hombres. Luego aquí vamos de lo menos i lo mas*
esto es de menos dias á mas hombres, y por lo
mismo es inversa la reda^ Las tres cantidades co-
nocidas son i6h, 8* , 4% -y no podemos decir: co-
mo 8d son mas que 4*, y asi ro1* son mas que los
que saldrán; antes ha de ser todo al reyes* Peto
como el número de hombres que buscamos ha de
ser mayor que el conocido , y es/ el /segundo con*
secueate , dispondréiüob ia^totiasx dos cantidades de
r.X • f A un

DE AKÍSMtTICA. 153

un mismo nombre , de modo que la menor ocupe
el primer lugar , y tendremos 4d : 8h :: i6h : lo que
salga* £1* quarto término se sacará por el mismo mé-
todo que antes ; partiremos 128, producto de 16 por
$ , por. el primer término 4 , y el cociente 32 será
el número de hombres pedido.
< ~ 284 Cuestión. Un navio que no tiene bastimentos
mas que para 15 dios , ba de navegar ao dias^ ciaré
es?4 que ba de gastar menos víveres cada dia ¿á quan~
to se ba de reducir el consumo total diario!

Llamaremos 1 el consumo total , y este seria
con efecto, el consumo diario, si la navegación no
hubiese de durar mas que 15 dias ; pero como ha
de durar mafc , el consumo diario h? de ser menos;
vapios , pues , de lo mas á lo menos ; la- regla es
por lo mismo inversa , y sus dos cantidades de un
mismo nombre son i5d y 20a , que con la otra co-
nocida se han de poner en proporción como sigue
«O :- 1$ 3 1 .: ó por lo dicho (281)

4 : 3 :: I : — S ?-*.

-Es , pues, necesario gastar cada día las tres quartas
partes de los víveres que se hubieran gastado, si
la navegación no hubiese de durar cinco dias mas.
285 Cuestión. En una plaza sitiadfi bqy 800 sol-
dados con víveres para dos meses no mas iquantos
soldados han de salir de ¡a* plaza para que los vé*
*etes duren g meses!

En sabiendo qqantos soldados gastarán los víve-
res en g meses , rebajaremos de 800 su número, y
Jos restantes: serán * los que habrán de salir de k
plaza. Bien se percibe que esta cuestión discrepa po-
co de' la illtima.

Ya que los víveres han de durar g meses , los
soldados han de ser menos , como 5 es mayor que
2. Diga r puesvflm:: am ;: 80o8 1 32o.8
./i Re-

i$4 PRINCIPIOS

Rebajo 320 de 800, y la. resta 480 expresa los
soldados que. han de salir de h plaza. >.
- 286 Cuestión. Si quaíro quartos de pan candial
han de pesar 8 onzas quando el trigq está á 28 rr.
/a fanega iquanto habrán de pesar en estando el tri-
go á 22 rs. la fanegai

. . Es natural que quando el trigo vale mas bara-
ta 6 cuesta meaos * por los 4 quartos se dé mas pao*
vamos , pues , de lo menos á lo mas ; por lo que
dispondremos las cantidades como sigue.

22rf : 28rs x 8o : iOtV onzas,

. 287 Cuestión. Quantas varas de catan de 1% va-
ra de ancho se necesitan para colgar un lienzo de pa-
red que tiene 3 varas y media de anche y y 10 va-
ras de altoi

Se necesita mas cotón á proporción de lo que
tiene menos de ancho que el lienzo de pared ; ra-
mos ,4>ues , de lo menos á lo mas. Las dos can-
tidades de un mismo nombre son 1 ? y 3Í vara, lue-
go las tres cantidades conocidas se diapondrán co-
mo sigue i?v: 3tv :: 10 ó
£ : \ :: 10 6

10 : 28 :: 10 z -=28

, 4 10

*e necesitarán 28 varas de cotón. .

288 Cuestión. Pedro pide prestados i Juan 250
pesos por 6 meses de tiempo , obligándose á pagar por
tilas cada mes w interés estipulado que no paga. Ller
ga el caso de pedir prestados Juan á Pedro 400 pe-
-sos al mismo interés mensual , que no pagará para co-
brarse del interés que le quedó debiendo Pedro i quan-
tos meses han de quedar los 400 pesos en poder de
Juan 9 para cobrarse de lo qué Pedro debe i

El tiempo que buscamos ha de sérmenos de 6

me-

DE AKISMÉTICA. i&

meses en la misma proporción que 400 pesos son
mas que 250; es, pues, inversa la regla. Por lo
mismo dispongo las cantidades como sigue:

40OP« : 250* :: 6* : 3m 7fd.

De la Regla de Tres compuesta.

< 289 En la Regla de tres simple, directa ó inversa,
se halla la cantidad desconocida por medio de una
sola proporción ; para sacarla por una regla de tres
compuesta, es preciso hacer dos proporciones , sien-
do en muchos casos directa la una , é inversa la otra;
290 Cuestión. Si 30 hombres han hecho 132 va-
ras de obra en 18 dios iquanta obra harem 54 bom+
bres en 28 diasl

Busco primero que obra harán los £4h en r8
días , diciendo , como lo da bastante á conocer la
disposición dé las cantidades

30h t 54h :: 132* : 237,6*
si 30^ hacen ig2\eii 18 dias ¿quantas varas harán
54h en el mismo tiempo? ya que son mas hombres,
liarán mas varas, y saco que harán 237,6 varas.

Ahora bien : ya que en 18 dias los 54h hacen
237,6V de obra , en 28 dias harán mas. Dispongo,
pues , la^ cantidades conocidas como sigue i8d : 28*
:: 237,6* : 369,6*. Luego los $4h trabajando 28d ha-
rán 369,6 varas de obra. En esta pregunta ambas
proporciones son directas.

2qí Cuestión. Si el porte de 15 arrobas de pe-
so a la distancia de 134 leguas cuesta 180" • iquan*
to costará el porte de 22 arrobas á la distancia de
12 leguas , pagando lo mismo por arroba.

Busco primero quanto costará el porte de las
92" á la distancia de 1341 , en el supuesto de que
el de las 15" cueste 180".

De*-

r$6 ; PRINCIPIOS ~

l$*r : 22a :: i8ori;: 264";

Después digo: como 121 son menos que 1341,
también las 22* han de costar rtietios que las 264 a.
Dispongo los términos de la proporción como aquí
se vé 1341 ; 12* :: 264": 23,04*^:23!% 22.m^,.

292 Cuestión. Si 100 pesos ganan seis reales de
interés en un ano ó 12 meses ¿que ganancia datan
300 pesos en 9 meses , pagando lo mismo por cientoi "

Busco primero el ínteres que darán en un año
los 300 pesos, en el supuesto de dar 6 de interés los 100;
ioop : 300? :: 6r : 18% y hallo que dan 18 pesos.

Ahora buscaré el ínteres que darán los 300 pe-
sos en 9 meses, supuesto que en un año dan 18 rea-
les. Claro está que así como 9 meses son menos que
Í2 , el interés de los 9 meses será también menosc
12* : 9m :: 18" : 13", $.

293 Cuestión. Un hombre que camin# 7 Boros oí
dia, gasta ¿O días en andar 230 leguas iquantos
dios gastará en andar 600 leguas , caminando. 10 bo-
ros aí dial *

Veamos primero que días gastará en andar las
60o1 caminando 7h al dia ; para lo qual reparo que
si entonces gasta 30* para andar las 13o1 , para an-
dar las 60o1 gastará mas días. Digo, pues ,

23o1 : 60o1 :: 30a : 78 , 2Óid.

Pero como el caminante al andar las 60o1 ca-
mina mas horas al dia , tardará menos días en la
razón que 10 es mayor que 7 : por lo mismo
io11 : 7h :: 78, 2Óid : 54, 731*.

294 Cuestión. Si 15 mulos consumen & fanegas
de cebada en 8 dios ¿en quantos dios consumirán 16
mulos 21 fanegas , dándoles el mismo piensét >

Bus-

DE ARISMÜTICA. 157

r Bosco primero en quanto tiempo las 15 muías
consumirán las 21 fanegas

6* : 21' :: 8d 128*-
se las comerán en 28 días. ■ « . -

Ahora considero que como 16 muías son' mi»
que 15 ,. aquellas consumirán en menos dias las 21
fenegas ; es , pues , inversa la segunda proporción,
y digo

16a»1 : ig*\ z «8* : «6, 25a-
; * £95 Cuestión. iQjtaJ es el capitel que en & me-
ses dará 20 de ganancia , ¿ mscm ¿fe 6 por ciento
ai aüoi ■ ■ • . *

Busco primero que ganancia darán 100 pesos en
8 meses.

I2m : 8m :: 6 : — =4

Considerando ahora, que el interés ha de ser me-
nos en la razón que 8 meses son menos que 12 me»
% s^s , dispongo los términos del modo siguiente

;. 1. 100X20
41» : 20,B :: IOO : =500

lo que manifiesta que el capital ha de ser de ¿¡00
pesos.

En el tomo segundo daremos la resolución de
la re¡0a de compañía, falsa posición > aligación, in-
terés fice.

De la Regla conjunta.

< 296 Esta regla se llama asi , porque mediante
la disposición de las diferentes cantidades que entran
en una .pregunta , con sola una regla de ¿res se ha*
cen muchas , las quaíes seria preciso hacer, succe»
sftra y separadamente. Sirve la regla conjunta 1/ pa-
ra averiguar, dados muchos géneros y sus precios,
el coste de determinada porción del uno de ellos;
2.° para saber, dadas las medidas , pesos, mone-
das*

• 158 PRINCIPIOS v

das y. $c. de diferentes naciones , lo que la prime-
ra ó una parte determinada suya es respecto d*
la última , ó de una parte determinada suya. Pro-
pondré una cuestión que facilitará tratar coi* toda
claridad esta materia , y manifestar como la regla
conjunta ahorra practicar muchas regias de tres» >
s 297 Cuestión L Si 6 libras de azucdP valen f
libras de miel i $ libras de miel valen 4 varas ¿4
cinta i 10 varas de 'tinta valen 40 nueces de especia,
y*l nueces de especia valen 10 reales vellón, l'&Ji-
eras de azúcar quantos reales valdrás? * -

La cuestión, y las que se le parecen se sien-
tan contó sigu£w

A B c :

Si 6l de azúcar valen 7' de miel.yilas fres libras de
5 libras de miel 4 varas de cinta. [ azúcar quantos rea-
to varas de cinta . . 40 nueces. í les de vello» val-
f nueces • 10 reales. J drdnt

298 Para resolver esta cuestión sin et auxilio de
la regla conjunta , seria indispensable hacer todas las
reglas "de tres que voy i especificar.

i.* Una para saber quantas libras de miel va-
len las 3 libras de azúcar , diciendo $ si 6 libras
de azúcar valeq 7 libras de miel, i las £ libras de
azúcar quantas libras de miel valdrán? ó ¿

* : 7 s3:-ftr3ii"
luego las 3 libras de azúcar valdrán 3$ libras de miel.
2.a Otra para saber quantas varas de cinta Cvalen
las 31 libras de miel , diciendo < si $ libras de mieli
valen 4 varas de cinta , ¿las 3} libras de mipl quan-*
tas varas de cinta valdrán? ó . ,. >j • :

5 : 4 :: 3* : fc*4í ' ' vr, r

btego las 31 libras de miel valdíán 2\ varas de

cinta. .

- 3.a Qtra para saber quantas nueqes de especia
«. ■ val-

J>E ARISM ÉTICA. 159 .

valdrán las 2$ varas de cinta , diciendo: si 10 va-
ras de cinta valen 40 nueces , jlas 2\ varas de ció*
ta quantas nueces valdrán? ó
y . * 10 : 40 :: 2\ : R=zii\i

luego las 2^ varas de cinta valdrán n| nueces.

- 4a Otra para saber quantos reales valdrán las nf
nueces , diciendo : si 7 nueces valed 10 reales, ¿las
11 j nueces quantos reales valdrán? ó

. y : 10 z 11^— Rzziái .
luego las ri j nueces de especia valdrán 16 reales,
y otros tantos reales valdrán las 3 libras de azúcar;

- Tres puntos tiene que considerar el que unen—
ta resolver por regla conjunta. una cuestión :, j.°: la
disposición de los términos ;.% 2.0 la abreviación .de
los términos para simplificar la operación ; 3.° *1
eákulode la regla. %

< Disposición de los términos de la Regla conjunta. .

/ .¿99 ■ Los qoptaro térnanos? dd la Regia conjunta soa
las cantidades de las columnas A y ¿^ la cantidad
C, y la cantidad qbe'dit la respuesta á la pregunta
euya cantidad. llamo siem^reit Todas l?s cantidades
juntas' de la columna ^.componen el primer térmi^
no : de b proporción:, oonjbnta j su priiBer anteceden*
te, 6>A anteaflderfte de feu.primer «azon. ;Las; eaptW
dades , juntas jómÍ lai aolumiia B' coínponen el jeguti-c
daténíntáouie ia ¿proporción conjunta, su primer
consecuente,, ó d consecuente de su primer razona
La cantidad C, es -el tercer término* de la proporción
conjunta, su segundo antecedente, ó el anteceden-
te de su segunda > raiott- Finalmente la cantidad R
ds el quarto término de la proporción conjunta, su
segundo consecuente, <J el. consecuente de su ¿se»
gtxn^a ra?on. ;.¿ ....•:. t
. :Se ve ¿/poes, que los< términos de la proporción

- * con-

i6o PRINCIPIOS

conjunta, los dos primeros sobre todo, se compo-
nen de muchas? cantidades , que cada una lleva d *
mismo nombre que la columna donde está; quie-
ro decir, que cada cantidad del primer término se
llama antecedente particular; cada cantidad del se*
gundo término se llama consecuente particular, dis-<
tinguiéndose , así r los antecedentes particulares como
sus consecuentes /respectivos por el lugar que ocu- »
• pan en su columna. La cantidad v* g. $ fibras de
miel se llamará el segundo antecedente particular; 4
varas de cinta el segundo consecuente particular^ .
Compónese, pues, la primer razón de la pro*-x
porción taqjunta de muchas razones particulares, es
é saber de las que. hay entre cada antecedente par-» >
ticular, ó cada cantidad de la columna A y su
respectivo consecuente , ó la cantidad que le cor-
responde en la columna B. Estas razones también
las distinguiré por el lugar que ocupan en la razón
total; por manera que la razón 10 varas de cin-
ta : 40 nueces será la tercer razón particular , &c
Esto supuesto,

i.°La primer cantidad de toda la proporción con*'
junta , ó el primer antecédante particular, ó el an- -..-
teoedente de la primer razón particular ha de ser:
de la misma especie que d tercer término de toda
k proporción, ó el antecedente de, t sil. seguhda ra-
zón , ó la cantidad cuyo valor se tabea, a.? El se-
gundo antecedente particular ha de ser de la misma
especie que el segundo consecuente particular, fice.;
quiero decir , que cada antecedente particular ha de *
ser una cantidad de la misma especie que el según-
do consecuente particular, 4.0 El último consecuen-
te particular ha de ser de la misma especie que d *.
número pedido, esto es, que d consecuente de la *
segunda razón de toda la propordon conjuntado
qué <el quarto término suya El que cebare una mi- -
■•.,:.: ra-

DE ARISMÉTICA. *fa

rada á la disposición de las cantidades de la cues-
tión (324) verá todo esto puesto en práctica. '■>

( Abreviación de ¡os términos dr & Regla Cdnjunta. >

- 300 Encada una de las reglas de tres especifr-
cadas (324) , las qualesrle es?usan por medio da la
Tegk conjunta?, fre raidriplicadanla cantidad por va-
luar por cada uno d¿ tab coosfCMeates -particnlaíeH
y dividido los productos J por oada jaqitrfeedente par*
ticular correspondiente. Claro está que el mismo pa-
radero: hubiera tenido el cálculp , si lá -cantidad por
valuar ,,6r,é!¡ teprer técmioo. de^toSa*!* roroporapn
se hubiera multiplicado por él <jp*»4u$to de todos2 i6s
¿oasecuewes paftitaúares^ ^)<fi\ádídoxle8fuM€lrpr^
ductor que de aipri hubiese saiido por él producto
de lodos los antecedentes, particulares multiplicado*
unos por pteo^ como sigwe^ ;', ,L <-.\ \ r
. •; ; .'} •• .» ;:■', 1% w. Á.\ í\\j ?'..iv\:i ,%«L tul ; • .■ ii

6 <fe asuc**: ?irmiet r.* o roi.ímji*
- 1 # miel ***•?• 4r **ta -W < Sr.! a2ÚCar i

10* cinta •< 40 nueces f ■? 9 ""^ ' "

7 nueces 2 10 reales J -

~-.* ¿>ft p fcj»rfnJi|i »frfiaijtfi'i Iij nuil nfig l jj .- i.

:..-.: 21ÓQ «; -.:. . 5**, ÍI300 CKiigí: Jfcstó '. . /; . *

-. .»■ ' ' > i. ..i ::í ?).» i; \«' ■ ■•• ." .-•>- t r. -i •; ; .» . -,.;

. „ El producto de todos los antecedentes partícula-
-«s, inidt?plicados4fl»s pe» «arosr*a dqdo para primer
-antecedente 4q t(>dail»jpso|ioraosi)eli^m^ 2JbO};eÍ
, producto o deí^odpi^ k»> coriseouen^: partaruíaDes^ ha

-dado fHira p*fonf«v tnmfriMmPfifrrf A* omgnmJM rtAÁiww , rife

toda la proporción el nrimerd odOQ; Coa esto kp
tres primeros términoí de la ffcgla coqjoqtk*s<m las
<¡ue Jbemos>:sent&dp,,; k»>quafea dan^4 'quártpJtóD*
mino íi6 fttte... elwJWitnjlque (ime&ittJ^ aobiíua
■ Ttm.1 HL Ya

r 1

i6a y r- mitfCIPiOS. -T,

w Ya se : vé qvbn :tergo es este caminí) parí, hallar
el quartq término de. Él f G^c^fí^tA. En^ofipé ffH
lo mismo otro mas breve , el qual consiste en re-
ávmt*\éfgm d^-^iiM^ afo nwsnafr: «tetero

posible del guarismo , tomando una misma parte ali-
cate del primefc antewdeAte total; y de au ^nsccuen-
tt tiesta aiyiát Ic&upnm&oslimajúnos 4t:U ftoor
fiorcioq cob^undi fiáctíel primera .;Jr rtmeí»A> a*?!*
ge^a:ia^amui»v:fiaitten¿i lab <¿» ptifaeto* Dérf
flDino^iufct^eb^ciméco y,*l ítercéHfccpo©.' ufttbtnifcmt
canadacL . ;•<> vuj £v / ■. l:\>-\i •> j : 1;

.iuCofa.etóifin. chongo losv térnincaifdel toda >la

toPa > wii £7X4X44*1)0 >^ "vqR ?//JiT*finurn nvjiaua 'j<
laiipisnaaugaebefidaifcá. fixíjc jan^ei; 7Ü4M4OK Jtorc$ c *<&
«;;: i«Euw(td» a^oríné.¿acrfxrf^é depir ite dcp ponb-
«os táipífacur <dcj,iiKxfa¿4a cjgqtnrcjiín: col fcitaa -de
quebrado, y los dos lüdux^tambieny Éfífateqte.que
si parto los dos términos del primer quebrado por un
mismo número , ó por taiuctíqs suncftattaoferife , si
pufld$ 5;ex ,. ^ac^n4o jde .ambo?, antes dfc multiplicar-
los partes dé uta fniáraa oocnipe ¿ así ^ el antecedente
como el consecuente* de la.proporcion^ seián gome-
ros mucho menogifc Bita s# perciba (ftianto seto fa-
cilitará y abreviará itacqM^eiqn ,: pqroiac^poiritipli-
cacion del «tfaefitérqgino poctí segundo setafcá mas
pronto ; y mas pronto también se hará la división de
-este producto jjior d prirfier térniÍK>c4eJtod»lá: pro-
porción. Esta. práctica ahorcará mucho trabajó al ,eai-
ictifadoc i y re^^euMimttf>tt<nbifii0i poes lafato jmd-
jobs<-jex^iifiitoqá^'4iadeoeda»j estirar*! «quaiíio< ineboiqs
Aeiralosiijúüm^

♦puesta» ^úesy : Iobt dos. primdros ténnqaos eémó fie
vé ea^^.y tomaijdo de xada uno el séptimo ó sep-
tavov, 5Íoj, (Juei ¿gaücDi)COQ; (<f) puesta A conti-
nuación d$^0ebfitov:jfate;to^ iterto su*
kY J A.v/.dos

DETXRISmímCA. 163

dos términos por io-,' ó tomo la; décima' paite de
cada uno , y «ale la cantidad C?; parto los dos tér-»
mkioftd*: esta por sísale la «anjcktad Jü>; tofno fi-
nalfnent&la mitad» de cada térmfco deí cebrado 2ty
y saco e* quebrado.^ tI»,mlsaW que^1 -;' :* '

,. A . , ..:,, .. B . C

éxgx ioxjf > • / 1 x '• , > -j 6*5*f* y * \ ' :J fo*'

•d.. 7;- 7*:- 'Jü i-- ^juv/'/yi ¿Trk olí;: /.?.nj v> v;o7 .-^i

(7); wá* #Uk: f¿ ^,*U

*}. :.. :¡ t l.\..Y\ Oí l\-iV.»<J X.'. ,\.<\ri *JÍi XVS."\\ *J ••?. -V.J

sufre reducción, saco qfre»-fc» &s <ptítnefes; térml*
nos de la pioporcion conjunta son 3 y 16 , de mo-
d* -qué 6'fÉb^orcion seta $'? 16 i?%V lt;r y paiy
6«ndo d, prime* -y tercdt término por 3, ^alé •;

^•^-•¿á^^ftíftcion ilecUraáa» de «los do* fírimé¿
ros términos, ó del primer j tercer término de. la
ttglAJ *'p«jpc*ci^ únjante'; jMé *.orqtese toméfi
partes de un mismo nombre del' ahteeetléhter y del
cúnsMiente total ; quígro decir , que si se toma v. g.
como en A la séptima parte del antecedente * 6 se
k*m¿^^,^-^^terma la. Spo^af^i
d^oarosequtgte , ¿:«a>teff»ai«t? por ?:-sL*p< «cf
ma como en B la décima parte del antecedente, se
t&meP&rik&iea k •dédín£]}«irr¿' m Wkácéthvt ; &c.
fc.°«qu¿fc to&MWWl&nteAáP, fcMas <W'<&mt>
des de las quales se ha tomado una i*$m"tímt>

Tftt'kl^f1<Rtaa^^¿é«6feá4lie^ el^&láddr dW
tea* dó^^.s>*mjjsmp^tteWtós^

-w La Quan-

164 * vümciPibs -, (1

302 Quandó la expresión de jxaa ó muchas canti-
dades , que entran en. la cuestión que se ha de re-
sover por rfcgia conjunta* « una fracción <i un núme-
jol fraccionado:, Jbay; quebrados:, 3n .alguna <5 ¡mu**
chas de las^caoüdadei qiie fPmpOpen ei qpebrodo
que resulta' de dar á los dos primeros términos de
toda la proporción la 'disposición dicha. Es preciso
epsefcar como ^e íalva este tropiezo > ócomosequi-
pA ^dichos (^iperoa ft|C5CÍonario^"óy dich^ ^acciÓR
úés.^oy á enseñarlo * en ta resolución de üná cües^
tion 9 repitiendo lo dicho. ^

303 Cuestión IVrSi 6 libras de azufar valen 74
libras, de miely.fi libias de nñesl'^valen' 4 vara/ iftt
%Íht¿i\ó$í:%érds tig üntcT^aléq^ wices de éspe)
c*a 9 y 7 meces de especia valen 10 reales , iquanto

-> r

K-ff

¿V 6 libréjf de Mxucar va^^i librase mi^l^ iquanfo

S tibí*, foñfcít *:• • .*i> ^^^^^^í^^*^
10 1 v¿r4¿ lak ¿¿nf* s>. •: «1 •:• fa ¿pómeces f libras de

jl* • b uiirvisí v-y*' '' TjIíjÍ'iíi LL 6 f?onI*:ivjJ *<:"i
¡Dispuestos, lQSodosiprlm^jPQs t^ripinos ^piQ> tet^jí
dkto ^ ^drá elv qu^radp , K , . : rV -/. .--rVq

V o p '- ' ¿l>j:r>u.ü lxA> oftBfi MP-jqia ú K ni) orno*

^4x4x40x10 k i 7iN4940ki»<^ < a 5*4x40*10^

^ ^ /--. ./ . .:.í srinq -f:r ::*."/ ;r ft • i* ' 5 j.-n
. En ca4a ténnig& de^te ^ebrado hay i^n ntír

frHyWW^ • .nú oUrnu #■ ..» j»:;-uo *;:! j¿b *:;b

J&ario 4 quebrado, por ;lft#Fl*cí> íed?P^í ^»5Wp 49»r
de etó.s^dt&iá,,?^

v#fá>m*m¿ 99¡m ám^#«R4ri% .4. ^

DE ARJSMÉTICJ. ^

arno opuesto. del quebrado principal Practicada, es-
ta regla coa el pumero fraccionario 10} del nume-
rador del quebrado A , saldrá el quebrado B. . . <

6x5x32x7 ' 7 , . ,- ■

1 -= ; 'practicada la regla con el numero

71x4x40x10x3 r

fraccionario 7} del denominador dd quebsado jB,
sale el quebrado G Luego el quebrado con 4 qual
se ha de hacer la regla conjunta , será el quebrado D

6xsx^x7X3 '/A _ 6x^x7x2 = 7^

15x4x4^x10x3 \8/ i$x#x$xiox3 %

honrar en el numerador y denominador los facto»

^X7X2 /j\ _ 2X7X1 fi\ —

** 4 y S) i$xioxJ \jV " ijxio . W v\-
— — — — ; y como este quebrado no se puede

reducir, la proporción será ff = —., 6 14 : 75 :

3 :: X=i6in, ó 16" : 8w#. . ,

304 Cuestión III. ¿i apares de guantes valen 2
varas de encase ; 3 varas de encase valen 7 doce-
nas de botones i 6 docenas de botones valen 2 pe-
sos9y 18 pares de hebillas valen 21 pesos , ¿28 pa-
re/ <fe hebillas quantos fiares de guantes valdrán!

Si $pares de jrumesvaktiwd* encaje \ 1 2$$dres'dt

fvtfttw <¿r ¿wi*f v#»7. docenas de bot._ {béfrillcp qi/uftfps
docenas de patones ....... 2 p*H>¿ íp^ej- <fe' ¿wm-

Ojc ftouj'¿ .¿ * «> i&pt*re¿ <fe hebillas )tew valdrán! 1 •?

Quaodo fe cüastion viepe. propuesta en esta forman
{^término qub se busca es el cociente del produce
16 de todos los antecedentes particulares , partido el
producid A» .todos lo*, consecuentes particulares. í>u*

i : L3 pon^

pongo, pues, los términos de la proporción con»*
forme tengo enseñado , y saco el quebrado siguiente

3x3x6x11X18 __ 3xfPx*ixa8 /i\ __ jxnxi8 _J
>X7Xi8X» ~~ 2x7x^x2 \i8/ "" ax7xa ~"

1

*8#

(¿) = 3x21=63.

305 Cupstion IV, Si 3 //'¿no* torpesas de Fron-
da valen 32 dineros esterlinas de* Inglaterra > 240
dineros esterlines veden 408 dineros gros de Olandai
$p difieras gros vale* 190 maravedises , iqiamtos nuh
ravedises valdrán. 60 //¿/vu tornesañ

'■■.•'■*'.■- ■• - • . ■ ¿-

£/ 3 7/& for». trifci 32 ¿tfrí» ester!.} \ 60 //¿r<u fome-
240 áfo *jf*r¿ , . . . 408 ir», ¿tw Wx qttantos mora*
$0 din» gros • 190 mrs.) vedises valdrán! ~

Dispuestos los dos términos ea la disposición
dicha, darán el quebrado • -

A B

¿x 240x50 /A = g#»Xgo /A *~

32x^x190 \j/ 33x^x190 „. V*/

c - # ' ■■•- — •'■'< ■ • >

ff>*»* /j\ = tfxf 7 A|\_ TyK%»'>.

|?ÍXt7XI90 \»/ ^X 17X^90*^1/ 8X17X190

paritario. por 3 * ó toteando | (fe cada, uno d$ sus
términos , saldrá el quebrado B j sacando el \ de los
términos de teste , sale el quebrador 42^ si tomo li-
mitad de cada termita) suyo, sak el quebrado Z2;
reduciendo cada término de este á su mitad j sale
«1 quebrado .& £omo coa» na se puirie.abtems inasj
• 1 ; t los

DE ARISMÉTICA. t6y

leí quarro termine» de la proporotOB final aeran
< *$*?$• 8X17K190 a f# : JL - ■ -, 1.

Seno, como no. deja de subsistir la proporción aun-
que tome una misma parte aiieota del primer tér-
mino* y del. tercero , si parto por 5 los términos
igx&S y 60 , la proporción , será

tfxS '- 8x17x190 k \$ : R.
VartiáWpor 3 ios mismos dos tértmnos , son:
5x5 : 8ect7xioA « 4 : ü o
«5 : 35840.?: 4 : it=EiH|^=4i34|.
lluego las 60 libras tomesas valen , en los sujiims-
«0$ hechos , 4i^4f maravedises^

De la Progresim Arímkiuu

7 306 La progresión arismérica es una serie ó con-
tinuación de términos , que cada uno lleva al que
te precedió sigue el mismo exceso , v. g.

^ x . 4 . 7 . 10 • 13 ♦ 16 . 19 . 22 • *g &c
es una progresión aritmética* porque cada térmi-
ho Uevá ai que te .precede un mismo exceso , que
es 3,

La (aya con dos puntos , uno encima del otro,
puesta al principio de la progresión , sirve paraari*
ser que ai leer esta, debe repetirse cada ténpino,
menos el primero, y el último en esta forma, i es
A 4, como 4 es i f¡ como ? es á 10, fitc.
. 307 La progresión se llama creciente 6 deefe*
cíente , según van sus t^nqinos creciendo ó menguan-
do; pero como las propiedades de ambas aoo uua$
mismas sedo con mudar lp roces mas en menes; **»
4nar tn restar., restftren sumar, cpnsiderarémos aquí
-sola la progresión creciente;
• 308 Se saca, pues, de la naturaleza de la pro-
gresión arisraética , que con el primer término y i*
diferencia coraun ó fa.xazón de la progresito* fté
.', . L4 pue-

i68 . PRINCIPIOS f

pueden 'fertnar todos íos demás taráronos , anadien^:
do á cada término la: rwon*, f que por lo mismo
-« SI í sapiodoftpEáiino secomjpone del primero, mas
la razón, . ••••*. ' ».^ ■ < i.. . ■ .'*

?<~ El tercero se cúmpone del segundo , mas la ra-
zón , y por consiguiente del primero mas dpsrveces *
la razón. . • * :i J:

Elrquatfo se compone ^ del tercero, mas la re-í
zon; y por consiguiente dd primero , mas tres ve-
ces la .razón; y aái prosiguiendo»
- -. 309 . De suerte que se puede decir ^ en genend*
que un término cualquiera de un^ progresión aris^
mética se compone del primero , mas tantas veces
la razón quantos ténfeinos hay antea de 'él.

310 Luego si el primer término es cero, qual-
quier término de 4a progresión será igual Aá táiltas
veces la razón 'quantos términos hay antes de él.

311 Para dos oosas sirve este principia; 1^ para
hallar *el término- que se quiera de uita progresión
sin necesidad de calcular los que le preceden. &vh
pongamos que se nos pregunte v. g. qual es d ioop*
término de esta progresión -5- • 4 . 9 . 14 . 19 Stc.
f Ya que él término .pedido es ' el lOO™ , hay 99
términos antes de él ; «por consiguiente s? compon*}
del .primer térraipo 4 y de 99,veees la razón 5; se-»

rá* pues , 4*49$* «"> «r 499-

312 2.° Para interpolar entre dos números -qua-
lesquiera quantos ¿rimeros sé quiera , de manera que
todos juntos formen una progresión arísmética : cu-
ya operación se llama . interpolar entre dos nú-
nietos dados mucho» medios arisméticos.

i ' Podemos interpolar entre 1 y f.v. g. cinco nú*
meros 9 que con ellos formen una progresión aris*
•méetca 9 fcuyosf números -son. 2 , 3 ^ 4 , 5 y 6. Pe-
ro <:onío no siempre se conoce ¿ priibera vista, con
iguíü fca^dad que en di caso propuesto r quaies han

de

D E ARISMÉ TICA. 169

de ser los medios por interpolar y ensebaremos cch
mo se pueden hallar por ¿radio del principio sen*
tada (¿9$. Toda estar $n ¿aliar la rozón de la pro-
gresión:1 , ;■ * \ . .• t . ■ . ».-.».• :i i

.Pero .coma el mayor de los do» números pro*
puestos ha. de ser. el último termino de la progre-
sión, se' compone del primero , esto es , del me-
nor de los.^oe^nú^ros\7pr9pil¿stM9 mas de tan-
tas veces la razón quantos términos hay antes de
éL Luego ¿ del mayar dei los. do? ndmeifes frfcfta-
mos el menor r la resta tendrá la razón tamas ve-
ces quantos términos ha, de haber antes del mayor;
quiero decir, quedes ej. producto .de* la razón muí-
i aplicada sjtao d numerp de los términos que jhay ana
tas delrrrimyor ; luego (fg) paireado dicha resta por
el ¿núrriem de .temíanos, que ha de haber antes del
mayor , se sacará al cociente la r*aqn.

Pero d ntühero 4e términos que ha dé ha-
ber antes, del npayor ¡es uqa üqidad mayor que él
camero de to*! términos que se quieren interpolad
entre los do* ¡Juego para interpoiar entre dos nú¿
meros. dados guamos medios, arismétieos se quiera,
se restará el menor de los dos del mayor , se partirá
4a resta' por el jrámero de los medios después de
afiadMe una unidad. £1 cociente será la diferencia ó
la razón de te progresión.

v 3*3 Si se nos ofrece interpolar entre 4 y n ocho
medios, arismétieos , restaremos 4 de 11 , partiremos
la resta 7 por 9, numero de los medios con una
unidad mas; eí cociente $ será la diferencia de la
progresión r la qoal por consiguiente será

- . 4- 4 • 4f • 5j • 6f • 7t-?I • 8J. -9f . io£ f n.

* 314 Si.se me pidiesen 9 medios arismétieos en-
tre, o y 1 y restaré o de 1 ? quedará 1 , le partiré
por 10 , número de los medios con una unidad mas;

el

170 PRINCIPIOS

el cociente T* * o y i será la razón , y per consi-
guiente la progresión será
h»o*ó»i>.o,2.o, 3+0,4*6,$. 0,6; 0*7. 0,8*0,9: 1.
Esto manifiesta que entre dos números , por mas
próximos que estén uno i otro, se pueden interpo-
lar quantos medios arismétícos se quieta.
, • ■ • , '•.■.««■

De la Progresión Geométrica.

- 315 La progresión geométrica: é*; una serie de
términos, que cada. uno cabe en el que le prece*
de ó le sigue un mismo número de veces.

^3:6:12:24:48:96:19* ■ ■»

e* una progresión geométrica; porque cada término
cabe en el que se le sigqe un misma número de
yeces que es 2, cuyo número de veces se ttamala
razón de la. progresión.

La rayaron quatro puntos, dos encima y dos
debajo, puesta al principio de la progresión, sir¿
v.e para lo, mismo que la que se pane con dos pun*
tos antes- de la progresión arisméticá. Se poneaaquí
quatro punto» para avisar que la progresión es geo*
métrica. "'

. 316 La progresión se llama creciente ódecrecien*
te + según ios términos vai* creciendo ó menguando*

Consideraremos aquí la progresión geométrica
creciente , porque las propiedades de ambas son las
mismas , mudando la voz multiplicar en la voz par*
tir , y diciendo caber por contener.
* 317 Yaque en el segundo término* cabe el primero
tantas veces quantas unidades hay en la rasen , ql
segundo se compone del primero multiplicado por
la razón.

Ya que en el tercer término cabe d segundo
tantas veces quantas unidades hay en la razón, se
compone del segando multiplicado por la sazón* y

por

DE ARISMÉST2CA. 171

per consiguiente del primero multiplicado por la ra-
zón, y multiplicado otra vez por la razón; estoes,
del primero multiplicado por el quadradp , ó la se-
gunda potestad de la razón.

Ya que en el quarto término cabe el tercero tan*
tas veces quantas unidades hay en la razón, se
compone del tercero multiplicado por la razón , y
por consiguiente del primero ijiultiplicado por d
quadrado de la razón , y otra vez por la razón ; es-
to es, nkultiplkado por el cubo ó la tercer potes-
tad de la razón*

En. la progresión arriba puesta v. g. 6 se coro-
pone, del primer término 3, multiplicado por la ra~
son 2 ; 13 se compone del primer término 3 , muí*
tiplicado pon el quadrado 4 de la razón 2 ; 24 se
compone del primer término 3 , multiplicado por el
cubo 8 de la razón;

318 Esto manifiesta que un término qualquiera
de la progresión- geométrica se compone del prime*
re. pHÜtiplicado por la r?uon levantada á una po
testad cuyo grado, expresa el número de términos aur
tes del tal término qualquiera.

319 . Luego quando él primer término de la pro-
gresión' es la unidad 9 cada término se compone de
jola . la xa2on . levantada á . una potestad cuyo grado
le expresa el numero de términos que lé preceden;
porque; laimukíp^oacion por el primer térrfaino, que
es la unidad, no aumenta el producto.

Para levantar un numero á una potestad pro*
puepta vt g.. á la séptima , es menester , confor-
me: díganos /multiplicar el númedo por el mism*
seis veces de seguida; así para levantar 2 ádasép*
tima potencia* diremos : 2: vfeces 2 son 4, 2 ve-
ces 4 son 8*3 veces 8 son 16, 9 veces 16 soip 32*
ú veces 32 son 64 , o veces 64 son 128, y esta se-
cadia $éptintt: potestad de 2«, , í. . i
-:;> Fun*

17* PRINCIPIOS

i « 320 Fundados en el principio que acabamos de
pencar (318) en orden á la formación de un tér-
mino qualqtüeca de la . progresión geométrica , pro-
barémos fácilmente , i.° que en una progresión geo-
métrica el quadrado del primer término es al qua-
drado del segundo , como el primer término es al
tercero; 2* que el cubo del primer término es < al
cubo del segundo, como el primer término es al
quarto,

£1 quadrado del segundo término es el quadra-
do del primero , multiplicado por el quadrado dé
kt razón ; si -este producto se parte por el quadra-
do del primer término , el cociente será el quadra-
do de la razón. Pero ya que «1 tercer término
e* (31?) el producto del primero multiplicado por
el quadrado de la razón r el cociente del tercer
término partido por el primero, será también el qua-
drado de la razón. Luego hay una misma razón en-
tre el quadrado del primer término y el quadradb
del segundo , que entre el primero y el tercero, pues
pende la igualdad de las razones de la igualdad de
sus exponentes. >.

Del mismo modo probaríamqs que en toda
progresión geométrica el cubo del primer término
es al cubo del segundo v como el primer término, al
quarto. / **; v. .1 . ...

-, 29i El mismo principio (318) y > considersictott
allí hecha también. pueden servir para . calcolar un
término qtialquiera de la progresión ^ «in necesidad
de calcular, los . términos antecedentes. Si se prer
gunta v.,g; qual «era: el termino iamof de:£ftfe pro-
gresión • •: i... ' .' /> j. f > •

. . . 7^3* 6. :;i2 : 24: ítov .
Como sé que este término 13ra0 se compone (&18)
del .primero , multiplicado por la razón levantada
á una potestad cuyo grado le expresa el ' muriera
.. /: de

DE \ARI&MÉTfCA. ^73

xte los términos que. hay antes del r 2"^ para for-
marle no tengo mas que hacer sino multiplicar el
primer término .3 por la undécima potestad de la
xazon 2u Par? fonnaff. ofói undécima potestad de 2,
multiplico 2 por el misino diez veces de seguida vy
saco que 1* undécima potencia de 2 es 2048. Muí*
¿iplico* pues , 2048 por 3, y saco 6144 , duodéci*
mo término de la progresión»
, , 322 Sirve igualmente el; mismo principio paca in-
terpolar quantos medios proporcionales se quiera eór
tre dos ; nitros - 4a^*, Si*ongamosl que se piden
tres medios geométricos entre 4 y 64; por poco
que se • atienda se -echa de ver que los tres jnedios
peqmétripos son 8, 16, 3? rcpn efecto ¿+ 4:8:
jó : 32 1 64 1 pero-si Jqs números propino* futsen
p^o^que 4. y.J>$¿ ó :;8e-pid¿e^aL: otro quinero quafe
quiera de medios g^métítitps'* nor seria t?a fácil
hallólos- ; i-:'-.;:-

Pero por d principio sentado (318) se hallarán
muy , en breye. Toda la dificultad se f$duce át fea*
fcfc nwpii^ila pípgresioii í^rqiígi iwaivwrtoa-t
J|a^^ 3ft^maFtoi%4lnw^tíí ta.jtéffntfP<tt* ptecito
tf^dp multipli<^(¿ones §ueqe*ivas por diotw^awau >
. . Supongamos y. g. que se piden aueve medios geor
méíricqs entre a y 24(8.. :r
-},A.faj*j&:.W'jftWi&&. *\ Wmo^téftain* de
»6a?r<WfiM«fl «ípri^ripas <;uyo mrr^Xftimúúo tí
* r^.bai^e/teíier. ftuey* tfrniwps oar* el i; primea
ro y el, ííháíBQ. .CXjmpóafise.ippes, 2048 dtí prih
raer tériflino 2 , ^ultipfc^do por la razón levanta*
&& W% ^e^d^i^ys^gra^ le expresa ei Qifate»
$fi, dfi#9«mfi^ íflfte; te $ie , totes. antea/ídeiijja^
fciégfc Safluijjo, Ja fflfe,.^ ÉSte^i^sftd^ »Wrá :4»
I»9Kí5B?ío; $st» «*?stadf fca de s$fi. V decíate*
porque como ha de hater nu,eve ténnuiQs .entra
2 y,294^ > h£>& die« católes antes de 2048; Jue*
*t * go

go se sacará la ráiz décima déV cociente -que sa-
liere partiendo el número mayor 2048 por el me*
oor:2. - « » ' ' 'i -': £. - - •*

c- 3*3 Cobró éste modo d¿ dfeCtfrrir -es 'general, inw
lferirémos qtiíe para'iAtefpólar éfttfce dos húmeros dar-
dos'quatttos medías géttnétrfcos sé quiera , Se ha dé
partir -¿1 mayor de los dos por si menor; del co-
ciente que saliere se sacará utta fái* del grado qué
expre^l:^ el número* de térmiáoá medias üespüeí de
añadirte una unidad. . , ^ .' - < - • t í ^
i* Para volitar á nuestro oteo*,' patio ^48 pot #,
sale el cociente 1034 * de ^yo udméta la raíz dé1
cima es -2 ; luego la razón -es 2 j por consiguiente
paira formar ios medios geométricos il<jue áé piáert^
maitíplico el primer término 2 'nfctehai^tfédeí ^s^úP-
das;, j5*r >la tazón' 9 } y después «fe fotniados' itáfe^é
hl^(^^ haU^qud d^Úítinw es-204^^ íj -v> ^ ; .'
-fr 2 : 4 : 8 : 16 : 32 : (64 : 128 : 2$6r .-512: 1024 : «Ó4&
í Si ¿e me pidiesen quátro mfedtós geométricos en-
tre 6 y :'4&* partida 48- por &? y tt¿eátia"fe <rai¿
qümtt>'d*i ttoéiéhteJ8; t3otík> 3*1*^^0^ »ii ^uüitá
ettbal^ dio &e-ptfedén fcaéá* én nümetttSs;báSálei :¡kJA
quaara -medios ^ébmétricd§ etáte éy^l^tópól
tteasfos^ 4prí>jflmaíaos- *- dicha fcizón todo lfr -que queb-
ramos por un método parecido1 al i|ue- seguirnos al
$£ca*nia ^izo^ütórááa. -%smr8|u«tíde^ü«^> jposi*
Ueohktfór^afrliátné^f el q¿ml] mdtíí%ádo ^bá^fe
*t«S'ldé &gÉáx$W W thiünS ;> *#Vaya><alcéfccai£
dbacádk ^feí ^mag,lá'» 8 ; tó; ^tó sb •puede' dte&utii
tgt^lmcnte da títra 'toámfctóiy <fe?c*rá ''fltíz qiiáfcJ
quteftft Goitelaírétaófc infitítrido dé-aqiiíg ¿ju¿ entré
l^ofiúmko* ^al«4uiterSS & &ttárir*mMbré\ti$
contrata qubtttos^eOfófc ^Wéfriéos'^-d^feeff^^
vabÉ^s * ápfoxlfkaddi ,- y ^té ttóta' ^áia^iriWfi^

Sínda tlel fttt£ottanfce: asuntó q¿fe Itíiego tratafétoo&
itá t^^ákíeto -vaátós -á éústmk <&mo ¿¿-halla

ca la

^

dj5 rMJ&MéricA. ti7S

la suma de {odos los términos file ung progresión eeo-
'ihétricá, porque' dentfo^ae. poco ri<>s' importará' saberlo.

"x '324 . Empezaremos deterrhihándo primero la sunjía
de una progresión particular V. lgV dé fa siguiente
.-£• i : 9 : 4 : 8 : 16 : 32 : 64 ; 128 i 25ÍI j y suponien-
do, que la suma se llama á es sum. tendremos
.$*m. =;ir»-2-t-#i-S-hi.6T*^a-h64rf"i28tt.s»56!i y,ji ío
duplicamos todo , tendremos • '

.a yeces. sum. ^2+44^+1 6+32+644-1 38+2564-51 ¿í
/Luego si. de la segunda igualdad restamos la prime-
ra, .saldrá la suma que se busca =512 — 1=511,
porque con la sustracción los términos comunes en
Jo*: segundos jmkrnbeos de; estas, ^quactooesise.des-
líHy«n.uno«.;6 oíros. --, ■.■.-. • ,-. \ ., ■ .

i: , JUrego quaodo, el exponeote; de la progresión os
•&* la. suma de todos hs termines is igual al du>-
4>lo del último, .término meaos 4 primera
< - &9S; £ufKWgw»fcí «hpra qu« el eaponenf e : de> Ja
■ííPgi^n/áeai^^iíiwr* j-^..a.{ $ : ^ : «^ :¡ 8* .-: .-243. •< Si
suponemos todos los Jáfsútgte juntobi igualas, ¿usa
suma , triplicando de cada lado , saldrá
Q «mfc. =?$*$*27*-$«*?4$*t2g> • S^ de «s$ • Jgpal.
dad restam<»).ejt«t» s>;. .. „. , =.. ., . ,.• : . ¡
Sum. =1+3+9+27+81+243 /y borramos todos los
¿útqer** Tfiio^t^HAa-idHíálifiíleia^íse .dritiifyen'-flnos

* 0fl3Q8- t^tgftdflápnp»; v Is '.;;'( i m '' 'í¡ ' • ; '.'i 7

A su». s=^*9rr»J ,vy ¡poe consiguiente , partiéndolo

Wo por 2 , sum.' =1 122ZL? , quietó 'áedf, que quanj-

do el exponente de la progresión es 3 , la suma de
todos lost términos es igual al triplo ^ieJ.úMnp.
menos el' primero, partido por *.: : • : - '•*:?
Si el exponente de la progresión fuese 4,,, ha-
llaríamos que .la suma de todos los términos es igual
al quádruplo del último, menos, eL primerp, partido
por 3 i de donde sé saca la siguiente : •• '••"
l Jfc-

176 PRINCIPIOS

Regla general para bailar la suma de la progresión
geométrica de quantos términos se quiera quando se co-
noce el primffo , el ultimo y el exponente.

336 Multipliqúese el. último término por el ex-
ponente j del producto réstese el primer término , y
pártase la resta por. él exponente después dé reba-
jada la unidad. »

327 Para sacar otra réjala qué nos guie en la aVfr-
riguacion de la suma de una progresión geométrica
decreciente , conviene considerar que con asentarla
al revés , se transforma en progresión creciente , sierir
do e! primer término el último , y el último el pri-
mero. Si i mas de esto suponemos 'infinito el mime*
rodé los términos ; ¿orno todos van menguando , el
último llegará á ser infinitamente pequeño ó nulo; y
si se toma la progresión ál revés , el primer térmi-
co será el que será nulo, ó desaparecerá ; luego
i coa hacer nulo ' *t primer; término 7e» la' ipegla an-
tecedente , saldrá la siguwHfó •

i .:' • . 1/ . 1 í ' *:■? ': . . '. '"'i r ::

-Regia general para sumar todos los términos ée nná
progresión geométrica decreciente. ; - ' '

. 328 , ^ItipHqoew^L^ta^rlíéitltfiíoc^ lá ftuon^
y pártase el producto por el expolle&fft* después dfe
ireb^ada la unidad , et cociente, ierá la Suma dé
todos los términos de h progresión decreciente al
Infinitó» " v

. - ) Exemplos.

v. . T • * • ** • * •' f • f firn — * ** — *
*r I 5 T • ? • T • TT • TT Wt — — — _T

"-A I • i • ¿ • JL • * • *. &r\ — lüi— 1

5

I

tí:, tt.* "njr-r.TT"?-»?..

DE- ARISMÉTICA i#

y si se rebaja el primer término ó la unidad de ca-
da una de estas progresiones , saldrá

Sigúese de aquí que es infinito d número de
progresiones geométricas decrecientes cuya suma es
igual i la unidad ; porque si multiplicamos por 9
|odos los. términos dé. la torie $ , •£ * •*? \ &é- su
^H» a, será dupla fie lo que < era r y por lo mismo
igual con la unidad; si se maWplican por 3 todos
loa términos de la, serie ¿ , «^ &c. la suma de es-
ta» serie será: igual á la unidad*

..< ...-....*.•■ • • ■ - - •
De Ias\Perm*wimx: y Copéirtaciones.

339 Permutaciones llamamos los diferentes mo-
dos de disponer ó colocar unas respecto de otras
muchas cosas ó cantidades conocidas. El número
de estas diferentes disposiciones » pende .del número
ée las cantidades y pues claro está que quatro co-
sas v. g.* se pueden disjioner ói colocar unas res-
pecto de otras de mas modos diferentes que no dos
cosas.

Combinaciones llamamos los diferentes modos de
toi^ar muchas cantidades de una en una, de dos
en dós.ífce. sin pararse en el orden por el qual se
han de colocar. í)e lo qual se sigue que las com-
binaciones no son mas que un caso particular de
fes permutaciones*.

' T Dé les Permutaciones.

330 Supondremos que las cantidades por permuK
tar son las letras del abecedario , por ser estos sig-
nos los mas„áp&ptadoa. para este asunto. Cloro es-*.

Tom.L M tá

178 .v. mtiNCiPios T*

tá que una sola letra a no puede ocupar mas de
un lugar ; dos .letras a y>¿> pueden ocupar dos lu-
gares , pues cada una de ellas: puede -ocupar su-
cesivamente el primero 6 segundo lUgar^de don-
de salen dos disposiciones :xiifetftatés que son ab y
bu. $i añadiónos otra letra c , esta podrá ocupar tres
lugares diferentes en cada una de las dos disposición
aes ultimas de dos letms * puep podrá estat al pricn
tipia* al fin i t ó <ea medios de cada disposición abf
ka i de, ¿onde /saldrán ^bp séi» permutaciones cabt
ocb *> abo+cbaiééa^bae*

Una letra mas podri ocupar quatro lugares di-
ferentes en cada una de las sds permutaciones úl-
timas ; luego el núniefo total .de permutaciones se-
rá 24 tf ri*3*6M- ^ cin-
co lugares diferentes en cada una de las 24 permu-
taciones ukums i luego d efímero de permutaciones
de. cinco letras sena 1x2x3x4x5 ó 12a Sácase de aquí
por inducción, atoe la expresión del número de per*
(wjíacwnes. poíihte con^útíh «fenere señalado de le*
tras y es el produtto deiiodos. los- números que hay
' desde, la ;U0¿d¿d ; hasta; el cjue expresa el número
de las cosas por permutar. Si se nos pregunta de
quantos modos diferentes pueden sentarse á la me-
sa 12 personas* la exp¿e*kxn de todos estos modos
será el producto siguiente , >
ix2X3><4><5x6x7x8x9Xibxiixi2=47900i6oa ¥*su*
poniendo que cada permutación se «hiciese en un
segundo de tiempo , fce hallará que tardarían las
12 personas en sentarse á la mesa 15 años y 69
dias.

33 1 A veces del número dada ¿¿cantidades, mu-
chas son unas mismas, cuya circunstancia no puede me-
nos de minorar el número de las permutaciones. Quan-
do las. cantidades son dos no mas , y una misma re-v
petida dos .veces , como ú en 4 y b hacemos inr*,
¡ - .i ... 'Jas

DE ARISMÉTICA. 179

las dos permutaciones se reducen i upa sola ¿¿, y

d número ,de permutaciones, es -^-=i« Si de, tres can-

tidades a , ¿ , f dos son iguales, por manera qué tas
tres sean a^b ,b , no habrá mas permutaciones que
estas abb , bba , &¿ ; y el número de permutado-

nes será -. Si de quatro cantidades hay dos 6

2X1 ^

tres iguales , las 24 permutaciones serán en el pri-

1X2X3X4 1 j 1X2X3X4

mer caso ^ =ia > y en d segundo ^-4.

Si de cinco cantidades hay dos ó tres ó quatro igua-
les, el número de las permutaciones será en el pri->
^ 1X2X2X4X7 . ■ ■ . ^ « . :•- - . í 1X3X5X4X7 • 1

mercaso ¿g; 4a * el^^nd?, yXax7 &ci
De aquí se saca la ley de las permutaciones para
quando entré las cantidades hay algunas repetidas.
Si las cantidades son v.< g-> seis y y hay tres iguales
unas coa otras, y; otras dos iguales tina con xttrtfj

- . , , • . •- t : .1 ;n ; Ti " ■ , 1X2X^X4X^X6 !•

d numero de las permutaciones sera — * ^ , .

, B$ las Combinaciones.

- 33a Lab oombinadbficv enseñan por lo dicho to-
tesde <jaatti^ modos diferentes ¿e pueden tomar mu-
chas cantidades 4e una en una ,• de dos en dos &xu
por el órete» que ¡se quiera, c

- 333- Supongamos, v; g. que ¡se quiera saber quan-
tts jpaíabtap 'p&d*¿ follarse fcon las 2§ letras- del
abecedario de una letra , de dos letras &c. hasta las
palabra*! de ha$ tetras, excluyendo toda palabra que
eoqste de mas letras. Este número de palabras po-
sible, aunque tan grande que es imposible escribir-
las, es» sm embargo fácil de señalar , considerando
la leyloqp que. crece el número >de las combinado-
-*'•• ■ " M 3 nes

i8o PRINCIPIOS 7

4*es al paso que entran mas letras en la formación dé
las palabras. ^ ,

i.° Üésde luego es patente que con 25 letras no
¿ef pueden formar mas que «5 palabras de una sola
letra cada una.

- 334 2»° Admitiendo que con una misma letra
repetida $e pueda formar una palabra de dos letras;
es evidente que si combino la letra a con ella mis-
ma y con todas las demás , se formarán 25 palabras
de dos letras , siendo la letra a la primera de ca-
da palabra. Con la letra b se formarán del mismo
modo otras 25 palabras , siendo b la primer letra de
cada una ; y como las letra? son 25 , claro está que
el número de las palabras posibles con las diferpa?
tes permutaciones de las1 dos faismas letras será. . '\
35x25-625.

3.° Si se escribe la letra a . al principio de cada
tina de las 625 combinaciones, saldrán 625 pala*
bras de tres letraá, *¡endó a la> primer letra de ca->
¿auna; y verificándose lo mismo con cada una de
las demás ktraá , 'siguiese is^xt el núméfo de todas
Jas palabras posibles de tres letras , con todas las
permutaciones que admiten las mismas tres letras,
será 625x25 ó 15625.

- 335 Siguieai^o la" ley que acabamos de manifes-
tar, se verá que ú numero de todas ks palabras
posibles que pueden, formarse con las 25 letras y de

% una letra , dos letras , &c. cada palabra,, es iguala
la suma de los términos d$ esta progresión geomé-
ca rr 25 : 25a ; 255 :#& , hasta la a$ma potencia <fe
25 inclusive., , .j ,. „ •■■ ■ 1. :¡ * * -i' •. ■"

Si en lugar de. querer averiguar todas las pala*
bras que pueden formarse con las 25 letras , se qui-
siera saber las que con otro número de letras, pue-i

" 4en formarse de una , dos , tres * &c, letras cada
una r el numero de las palabras .seria igual áí la

su-

DE^RTSJtíÉnCA. l&l

fcürfli dfe todos íos términos de uní progresión geo¿
«oétiídiv cúfo '-primerv término ¿ ¿ d ^ispc^ntey d
número de términos será cada uno igual al mima*
<W«ídefla*iletrk8J '< ' - ^* '»' '. *> ^r^i-v'.^ ¡¿
-336 Las cdmhtaatííoné^ qué acabamos de eala¿
lar incluyen todas las palabras • que se % pUfcden fbr-1
mar, admitiendo que se pueda repetir muchas ve-
i^srurtóraferm fetftft SI fttese tcondfckra ^e'üiíigü^
na letra pueda rópdtirfe^ fitó fcfcfcésp - MA'^tttó'W
ficil dé1 haiar la ley de tas tiombi^áéion^ que han
de formar lárpalabrtto. Desde luego i.°'ct>h tó »*$
letras- no se ' podráú formar v como ante*', rnds tju'é
•3$ palabras' de urtd letra cadteum. sAI&ra ferrttí*
todas las palabras de tos ira»*** '8Ín ^¿p^tt^^irt^
ti*, 6s de ¿onsidetttr qttó ttmfrrisitefa<áwpry%
no se puede dombtfiai* con *üá mfetaáV sdtes4&M#*
binará coa la¿ otras 24 9 de lo que resultarán 24 ípá-
4abra& ÍJ> propio sucederá* con la letra- * y ton to-
das las <lemas ; y como* eia» tod* ftfti'25'j, ¡elíiüme^
ro de «odas ¡las palabra^ |k)8Íbléi'íqlieJjufe(íáfl forrftód^
«ededósitetraa sin repetir jiingüfla seré' 24x255, -

- 337 Para hallar las palabras de tres* letras Sin f¿¡¿
petir ninguna, se reparará que la- una de- las eotai
biaatíanes nltimamente expí^adas^ -v. g. ak ó bty
no se puede combinar sino con las 23 letras qjk
«e^igue»'; ycótáo <tá lodo? sdn-r $3*24 palabiaS^de
de* letras , taruma ;de rpdgs tas • palabras*' de , tic»
letras donde nin^uia; se repite será" 25x24x23; Di$¿
curriebdo del mismo modo se ¿aliará que las pala-
bras 4e quatw letfla* donde*' ninguba puede repetirse
m tuia , tú dos &c yeces será 23x24*23x22. < *»b
~>; DelodldK)Hasm;aqoí debeiáfetirse que etnúmeJ
ro total de palabras dé una, doá^ tres 8tc;;lbtms 000
pueden formarte con las 25/ letras del abecedario,*
sin repetir letra aljguna' ni una, ni dos &c* veces, es
b' sum$ detesta' ^ne'oá^ágxa^agxsqxa^ Ac;

- - -j M3 has-

f$» r -PRfNCtfltOS \ f

batta -el' último producto de, &| actores* desde ej
Húmero, 35 hasta la unidad' ,Tntángu«nd<& todos un*
*uádad.j ;..;..¡i -.-.,; .?-.... üi.¿ ¿u^-i-: -,L c • ¡.¡1
Si quisiéramos saber todas las palabra*., de un?*
dos^Síe. Jetras'i.cada un»;.8&(j}epetw ninguna: le-
tra. que1, pueda fermafl cqnoíso numere- menor de
letras,*!, y. g. con las, seis pariweps del , abecedario»
seria rflixS^iWfOi'de todas", la* pitfa&rasrfc¡ÍK5i&$5*4» '

n¿ 83ft'f> k§£ csmWbfKjipojes antecedente?; wieiuyen n&
{¡qlameqtejtódas las : palabras ,<|ae . se pugden formar
con ua nóa*er.o. señalad© de. ;letfa¿ , de una , dos»
HBSífi j&c4> Juíras. ¿cada, pilatera, , ^Irw, itagíbien'.la$ pajar
l«#j«'íbffiR8díg jd# |a$.«olsm^ Jttrgs difarentemeju*
g^mWq9dfts.J;^otj fjínwhe» teapcasQ&'daHde !no se .ner
t»»ta«: sjfifc UíriüJrobJitóctOBesj.-de todo punto- difer
X(^t|tque.3UÍfreun númetodado de cantidades, $¡0
alende? tl.tfqdea por el qwd Jb»¿ diferentes, cañada*
dj*i|»ifd^fi8ft» «iteradas., «nas respeto de-ptntík
Qm bi fliífcii ,4»; ..hallad 1* ley<;de ¿atas [rmtívm Mqvot
binaejongsa ■■vfAmtPPt-tA uojwiderftj? las ,25 letras, dd
aJ&bj»o „- y propongámonos señalar todas las- cpm-
htaaciooes- posibles que sufren , sin admitir lia dtfer
jeatss permutacipneft.que admita cada combiascMJd
difereaíe.. " ..;¡ •.) cr ■ ' -.'.'¡«•.•i L-h :;•;-•' ..» • 't
*. - 3S9 De bis 3£ letras combinada, de uoa eo un*
Wi pueden Salir, sino ¡2£ pfriabnw dtfert'níes de uni
letra cada una ; pero, si senos pregunwa Ua difeftnrf
tes combinaciones de las tnismaa letras ,d« dos en
das,, coala qondi(?ÍQn oüe ninguna! poed*, repetirse*
dos veces f^y> desechando; la. pexrauíaflioái ¿«harén
ok» dé ver que la letw^íj ¡no puede cbittbiilartt si-
00' con las.- owAsfy tetra** i'Uf lettajj tampoco per»
dxá combinarse sino cq» las: otras ,24 letras? y k*
saisrno digo de todas, lar d*naaa letrts. Si biciéiaT
nua» ^oda4;est^ .c^mbn^oi^j^ vcnamfib ouecada
• .1 <■ >•* com-

«m&inacioh de dos . letras < estaría repetida dos ¿ veoesp
Juega $1 pmnero de .cambtnarioqes. ^e. las 25 letras

sert 2£ü=3oq. . • : -■•■ ••■*

Para hallar todas las cóiríbinatióhes de las mis-
mas letras de tres en tres.y confinaremos cada pro-
ducto de dos letras con las 23 letras restantes*
pues es condición que. ninguna letr% se repita ; y

como las combinaciones de dos ktras son - • ha-

brá ■ 4 — - combinaciones de tres letras» Si áJ

combinar el producto ab v. g. con la letra c r atendé»
idos al diferente lugar donde puede estar esta ktxaq
hallaremos las tres combinaciones cabi, dob^abcy^ié
solo se diferencian por. el lugar qucjuba mjsroa* letm
ocupa en cada una , y ao forman mas qae «na: sola
y misma combinación , en el supuesto de£pe*e <}es*
pcheá las permutaciones.' Luego ya que Ib iqtyno
socederi conabinando ora, qualquiera combinapioa
de átot letras* con otra letra ^ será preciso pattippof
3 ft'aémtJvo* antecedente , y por lo mismos el n&>
mero de combinaciones de las 25 letras de tres en

£?s ser* rTpjr^ •-. oí.. ! '.*..';,,.;.,,: ;. '<

01 Por, el oiismQ' M^nrino -haüaisímos queiej inulta^
ro de las combinaciones de las mismas laxas dpquftP

tro en quatro será v^^ . . . •

...... /. ■.-. ; w-|

(. . r j.v .. . /?# Utiífy&ar&mo*. - r*. :..:-jrvu
«• :i 1 !.,.- . .... •- '1 ,,>') . r • . . '. ; ';■ •io'futr|

- 340 Si con la primeray ságomáa , tercera, y quaii*
fe potencia' de 9 vi g. expresadas asi a1 , «• * 9»y
94 , ' tjue componen la 'pngrtsion ' feométrica ¿f vi
4 : tta-tt , porque »'c^^zb& y 3*eeí6v sjebckaMt

M4 que

*84 > PRINCIPIOS ' \

qué sus exponentes componen la progresión aritmé-
tica . + i . a .3.4 formamos la siguiente proporción
geométrica

a : 4:: 8 : 16=*^

a1: 2a:: a»: 34=2*-*-2— *
bailaremos que el quarto término es el primero' con
Qn exponente igual á la suma de los exponentes de
los medios, menos el exponente del mismo primer
término* De donde se infiere que si el exponente del
primer término fuera cero , seria mas fácil y breve
sacar el quarto término, pues todo estaría en (lar
al primero un exponente. igualada suma de los ex-
poneyes de los dos medios ; del mismo modo que
la práctica de ,1a regla de trtes es mas fácil y breve
sienlpre.que d primer término 'es lá unidad, pues
entonces es escusado partir por el primer término
el producto de los medios*

< 341 Luego todo n^étodo. de calcular las cantidades,
no por JdUas mismas , sí pon sus?espooentesrde mo-
do que por estos y no por, aquellas se haga toda, re-
gla de tros., convertirá las operaciones< de múltipla
car jy partir jen otras de sumar y restar y mucho
mas fáciles que las primeras ; y lo serán todavía mas
si el artificio tiene la circunstancia, de ser la udi-
dad Leí ;primer ^téraiinbf Üeto proporción;, y cero
su; exponento ...■ >•> •;:/•. -1 / - . • \ ■/ 01

342 Está inventada cabalmente con esta circuns-
tancia el modo de cálcjular Jas cantidades , y Xé p^o1-
porcionan los 'logaritmos. Son los lagaritmos unoj
números artificiales Aíeft. ^j^r^ípa' ftrismética , cuyo
primer término es cero , correspondientes , cada uno
aluS^yo y *'h» tpttoim? ^de una ffe^?esiott: gsqqaé-
trica * *cuyo prinoex tórmiao: es la unidad* Y ÍW* efc
£n de ; que.se «cara de es^e invento, toda 1? .cosible
ttáUdad.*i ^ lum>fqrift«fecy d*do íi»z{ feMwJ d^

vu'k; f M / * lo-

DEiidxismÉncA. a%

logarittaos dispuestas de modo qué al lado de ca*

da uno de los números enteros hasta donde llegan^

no solo está su correspondiente logaritmo, sino que

con su 'auxilio támbkxt se pueden hallar úm bretfé

los logaritmos, de los . quebrados , y któ de qoalqirie*

numeró que no esté «to las tablas^ ;: ',-;-■ < ■<

i 343* Supongamos opt las dos progresiones , es á

tater. la; geométrica; que. representa los números y y,

la arismétíca donde están sus logaritmos , .sean las

4o»; ¿¡guiantes, nperr sen ¿aLteprera da niisma <me la

segunda, -: -.! r;>* ■? 7 fsí'.:4 „ • i- .-./' --t ~i

o • 1 • 2 . 3. ¿v $ . 6 . 7 1

•-•'.. 1 . 2 -4 • 8 . ié . 32 . 64 . 128

•/ -. • X .•■flV.pV'JT*; 24<4- ¡**. . 26., 2.7

- * Ea sitas) se Yéjparentcaneikfie: i.° que alca. térmiJ
nos de *la progresión i oíÍ6<nétfca^^on los exfboriefttes^
y;! pe© copsiguáenl» los ;k%arítmp6 de loe ¿ÓHtiiaoei
dé l?q)rogrcsk)a-geotnótripa^ 2?. qúe? por ser la unir*
dad el primer término de la progresión , geométrica}
todwrrios ^eroas; son y -deben ¿er las potencias . spic-
otsivm* 4ei Aegun^o ^seflatódG sus exponentes res*
pettiyoB ífat)distanpPD iá qqe ocadá umo; de etyosj está
4e la» udidad.! L i/:-¡sI Vj ,* ■ ^

- 344 .' Aquí se vé'tadtfnenJl las claras quanto lo»
logaritmos ¡facilitan los cálculos* } porque si con tres
tcrmtpos de la >p¿^resian'' geométrica y siendd ei^prfc
nierprlá! unidad ^rjesto} v: gj ^8^163 ^queremos ha^
¿er i uoracegki j; dé tcds + biBorféniígs) ¡ ea la .'progresión!
arismétíca los exponentes ó logaritmos de 8 y i6^[
kfe fíales ^dn 3 -y 4 ;: y minaréfnosí á que número
deííiacfcrogretioh i geométrica cdrreigpoiade la .suma 7Í
yj^ndof qüe^-Etta*: suma eopresppnd* á i&8 * ;inferi«*
íériie» qiiebxfix8;;ks jaSu} lo flue.es ¡.verdad- .<_ . ,
c^4SJ iwt^^ipárahallM^opradut^oide doflrfmú-».

meros uno pon otoó ,;se somatan uno con otro su&
logaritíHpa ,csq) bascará exp la tabla ^logaritmo ig^al

rOÍ 4

3«6 A rrFRTNCIMQSA 1

4j la <4umi y £ al lado estará íel ptodwrtfa de ios 4oi
pioneros propuestos. '»

^JLiprpducco 4tí tres nunjeros estará en las ta+
Was^ialf ilado dd logarhqio igütalr!á la suma de los lo»
jpuripbos> de loa (res ; si prosiguiéramos lasdqsproi
gresiones de antes (343) , hafcriamoi que 4x8x163
4*^r3r+-4nn29 ^ cuyo exponence corresponde z g%29
X este número es con efecto el producto de los tres
señalados. 1 -J . r

»> 34$ Luego ^ para quadrhr urt uómeto * se 'toai**
rá dos veces su logaritmo, y esto es lo m*siho<yNi
multiplicarle por 2 5 exponente de la potencia ; pa-
ra cubicar un numero , ée tomar&tres veces su lo*
garitmo, ó se ie .multiplicará pof ¿3 «, exponente de
lártérrerípot^nda : jék número quer en las ¡tabláí es-
K¿jsá lado xlel, duplo '.del Aogaritmbjdel/ núiheá> por
quaikac*, será oiu quadrado»; el número qua en<ilaf
tablas : esté^ft* ^uip> dtí tripto* de sVtogatftnjo $! 36*
fá su cubo , &c. . Ij ::j

--34? Ya. qq^partír los? dúraerar unos porétKMfatf
operación ,cqntraria ¿lia de ir\uhiplk^tk>s^> qaaudo
acurra partir un, número apgc otro + se restlái&>el;k)tf
garitmo del partidor del logaritmo del .dividendo ; di
ístdo del logaritmo dé las atablas que expcesü la, ctife-
teacia de los dos logaritmos y. estará el número a>J
eteqtd 'j de* la¿ división pi^uuasi^Si ocurriesen ipanm
un producto dectws:4^ct$resr patjuQadé ellas y de
la -isuim de los^logarknws.der los tees se - íesta&á ek
garitmo del factor divisor*.

348 ' Luego tambáen > ya^ que saqir las noces da
fes números fes operación.. contraria á b de fortnafc
sus potestades $ siempre que ocurra sacarla Mtfct qua*
drada de k*n número;* sé tomarán la < ilutádmete solo*
garitmo' r quando sequera eitraher .su xait cúbica,
se: tomará el tercio de su logaritmo.. . . .. .

' 349 Con la progresan! geométrica xjue tepttso&M

L IOS

DE~ VI&ISMÉT1CA.

"1B7

Icte nufcjffiro*, 5b puede ojpntar la progresión arismé*
tica sque ¿sá; quiera v sin <que pprleao dejen;. de' pnv
porctonar Jb6sHbgaritibo&y'paca calentar , taa Éicilidat
des que caft»haftto$ de manifestar : de dondese sigue
que á un mismo númeraj.pubden corresponder dife*
ratt^ logaritmos,, ■; Poique! puede, haber (¿feriente^ ?is-
teguis «fe togarittinosüiPttb <sba* «sn»isbtefiati^i(síiiiid
facen j¿[ qn tocjatoconctirre &KirorastthKás ¿c «rasa*
{bnqap i¿ .operacioDes -de. ipnkiptícar;' y :pa$tir« e¿
otras de sbmar y restar, Harórooslo- patente por me*
dio de la adjunta lahta , tínia quatiacoaapañámos una
misma > pragresioh .geométrica, que" ocupa la . primes
ó>Íuniáa>nd£ bfjfi^uiefcdky con /cinco ¡progoésiohea
arisméócas jdi&centes^ ¿feoporoinn^ndo^ la j pfainieni
Huidlo* mayor iaoití^ad paral, le» cálcalos 9 pK*r cuyd
nkotóvo ha rnerecido la preferencia remedo de: todas
lapídenos para \a. formación 'de las tablas cofpunes. :

.S 'joq oL'l¿~i:'\ Zf lh ííji • .L'03 \j ov: •::■..! ..-o o!

-2r.¿ noi*5
-oiq r.'iri

•;■*. loc

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-h .n i.h

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3*

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256

1

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*9,

3«

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9

Un Ti

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46/

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3»;

219

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j mi !

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JU-fa

14

11

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9l

*\p.

UP

!<•>

) ; 'i

vj. "O V,

ocggo cFdvmd^*por!*nrfo:deJ^

b aris-

-i88 * ^ JPRINC2V10S l

emética* v.gsnfci qüarmippt¿ncM¡ de 4. 1M :quW
-druplorj44 dé » logapitop *xi rebajaremos ij? trik
«pío ¡del1 togacmriajdc lan:qn¿dad<, satídí^la «sta 2(jj
y cx)mok enfrenté de este numero está 256 v secó es*
te la quarta potenciando 4. ^ :. : oí ; : „ :
~ g$i JPara sacar' ea el, pii^o^ sistema btrjii2 quar¿-
ta.de. 2^[^túrémm (todo do/bonmirio; A táa éog&
ritma* 29 añadiremos; 15; qparórémos £of 4 la suoiá
44 ,yel codeoDe ¿a r que está eafcetite ¡dé 4^ nos
dirá que este número es la raíz quarta de 256. ■'•
1 35* ■ Busquemos por medio de ia quarta progresión
el coqeoíe de 32* partido ¡por 3. üha vez, que en
toda división «i divisor estalxfívidenda cdmoilanutá»
dad al¡coüente,> sumaremos imotxnfx ótra^g y < 20
logaritmos K respectivos de .r; jh&á:; de la:suaik)i¿g
rebajaremos, 32^ logaritmos del divisor ; y corno la
resta. 23 está enfrente de i&,- será7 y e$ con éfec4
to este número el cociente de 32 partido por 2.

353 fiítfhuciilc : wi (la quiíff* pitffifsion aris-
mética bfascárétifey él guarro térmirto del una pro-
porción cuyos tires primeros, s$n x2 t 8 31 4. Suma-
remos 2y y 4 logaritmos .respectivos de 4 y 8 ; de
la suma t-Vr:r$b|jareirc6 iy, l6garitijio.de' 2; y por-
que la résta--í^-é»kj--esp -eafrefteeidé if> , este se-
rá el quárté tpráfinpíde ¡lí^rppérc^otr* propuesta.

354 A4lHr^l|(5iríIl1e ^fet^Tftp^ étfemplo del
logaritmo dé 4 sé ha^áejrftígjítr^r^ Vecis el loga-
ritmo dej la ; unidad Sa¥drn¿3 que l^s ponencias de
las cantidades s¿ íormaa Jpor.iiiultiplicaciob , siendo
tantas la¿ i#ultip^ékg#sl, tojeaosjuna y qijantas uni-
dades h^-ea- eU-expon^rite 4é-4a-~potenoa. Luego
para formarla* «¡üarfca^potefiéjft de 4 sfttáp tres las
multiplicaciones? pues i.° se multiplicará « 4 por 4;
2.0 otra *<gz feor 4^ ^adra4o_¿5i3.^Utnamente
otra vez por 4 su cubo 64 : y como en toda mul-
tjplicaaoa.la. unidad, ke fiaf.alígqiAípikadktf, cgípo
-.4.1. el

DE MZSMÉTICA 189 ]

tí multiplicando al producto , cifraremos las tres mul-
tiplicaciones del modo siguiente , y después asenta^
•remos por logaritmos las operaciones correspondien-
tes.

I* 1 : 4 :: 4 : 16; 2a 1 : 4 :: 16 : 64; 3* 1 : 4 :: 64 : 256
«•» .

i* de fl2 duplo log. 4.

resto 5 log- 1

resta 17 log. 1$

2a sumo 11 log. 4
con 17 log. 16

m j ji j 1. ' .

-.. . • de la suma 28 , .1

resto 5 log. 1 .< 1

íesta . v . 23 log. 4x16^64 r
31 sumo / 11 log, 4
con 23 log. 04

r ■ f* t* ' ■■ ■ * 11 1 ■ ■■■■■ ;* • " ."*

< .-.; de Insuma 34 - :

resto 5:tofr * j

.*•> "•. ^ sale, ;*. • » 29 'log. £565=4*, ~ . 1 . ^

Si la quarta potencia de 4 se hubiera formado
por.la primees-progresión aristnttica > no hubiera ha*
bido que hacer aiingona sustracción.
- . 355 • Así como lop términos' de Ja progresión gep+
aéqrica aáceadtcnte van siendo ibayores unos que
otros ,p,yc mayores 'qu¿ la ,upidad< al paso .^ufe estái*
á: mfcyocí distancia; de ella , se echar de Ypfi que si lk
prosiguiéramos descendiendo ,, sus términos satinan
tanto menores; unot que otros * y menores que °lft
unidad^ quanta mas , se íuespn apartandp de dbq
G5«x> ,es:prgobaccdnot» amblarlos. Inferirme *ift

-•..;: "* es-

rgo PRINCIPIOS

estos números menores que la unidad , es necesario
continuar la progresión arismética desde cero , pri-
mer término, suyo , acia abajo. Pero como los nú-
meros menores que la unidad son todos negati-
vos, sigúese que los logaritmos de los quebrados son
negativos ó defectivos ; que también se llaman así.
Aquí se vé todo esto muy 4 las claras

?. \ t

--8. — 7.-6.— $.— 4.— 3c — 2. — 1. 0.1.2. 3. 4 • 5 .6.7 .8

tH-tti-tV- Tt --ry • T • ix • 4 .X^.48.16.32.64.128.256

Es también patente que todo logaritmo positi-
vo tiene su correspondiente negativo á igual dis-
tancia de la unidad , centro, de la progresión geo-
métrica. r

Sistema de ks logaritmos comunes , y formación de

sus tablas. <

356 Con la pmgresk» arismética natural que em-
pieza desde cero se ha juntado la geométrica cuyos
términos van creciendo en proporción décupla.

1 . 10 . 100 . 1000 . 10000 . 10000a . 1000000

4onde es de reparar, y esto importa mncfroi, ifif
que los números; de la. progresión arismética que se
«iguen it la unidad son los exponentes de. la* dife-
rentes potencia? de ró* primer término: de h/ij»ro»
gresion geométrica' después de la unidad 9/3. ^ ;gi
dfc la progresión* arismética es el exponento 'dei la
tercer potencia de 10 , pues ioxroxiocio^niiQOOj
2¡° que el número; coyas diferentes potencias com-
ponerla jiMgreqoní geométrica, se llama ¿asedio»
gbritmica 4?U sistema j na4 es. Ja base logarítmica del
- j sis-

DE ARÍSMÉTICA. o^t

tfatema que aquí declaramos; 3*° que cada termina
,de la progresión arismética , ó * lo que.es todo uno,
cada logaritmo es el exponente de la potencia á la
•quai se ha de levantar larbase logarítmica para que
Arme un número igual al término de 1a progr»
don geométrica correspondiente al logaritmo que se
considera , v. g* 4 , logaritmo de 10000 , es el ex-
ponente de la quarta potencia de 10 , de modo que
io4=:ioooo; 4a que si fuese otra la base logarítmi-
ca , y a no seria 4 el k>g. 10000, pues solo la quar*
ta potentia de 10 puede ser igual con 10000.

357 Si en las tablas de los logaritmos no hubiese
-otros que los correspondientes á los términos de
esta progresión geométrica , y i los que se podría»
añadir 'continuándola , seda limitadísimo su uso. Era
por io mismo necesario formar las tablas de; modo
que inchiyesení coa sus logaritmos todos los mime-
ros intermedios entre los de la progresión geométri»

<*>>*. g- «>3t4> $»■'** 7>** 9quefidianen*
tre 1 £ 10 i ios númeops 21 , 12 , : 13 &c* hasta
99 inclusive , que caben entre 10 y ICO ; cuyos nú*
meros , por lo oascno 4a6 han <k *** términos de
la expresada progresión geométrica, han de estar
todos unos con otros en proporción continua geo+
métrica. Bien se echa de ver que al mismo tiempo
se hace preciso interpolar entre o y 1 de la pro*
gresion arismética ocho números , entre 1 y '* no-
renta y nueve números v los quales para que sirvan
al intento, ó sean los logaritmos de sus correspon*
dientes en la progresión geométrica , ha de ser con-
tinuo proporcionales arismédcos. Este es , conforme
te viene á la vista, un trabajo penosísimo; pero.de
tanto, mayor beneficio , quanto mas se prosiguiera;
en el quai se empeñaron los primeros Matemáticos
que calcularon tablas de logaritmos antes de inven-
tarse los métodos expeditos que pasa QSto propor^

ció-

/

i9* .v PRtNCFPIOS ~

cíona el Algebra, y daremos á conocer en el to-
mo segundo.

: 358 Veamos , pues , como salieron de este la-
berinto, ó como entre 1 y 10 v. g. se pueden in*
•terpolar, como medios proporcionales geométricos, los
números 2 , 3,4, 5, 0,7, 8, 9. Si entre dos
cualesquiera términos de la progresión geométrica»
interpolamos un medio proporcional , después otro
•entré este y el primero de los dos términos dados
otro entre el primero de los términos dados y d
último interpolado, y se van intercalando asi de
continuo medios geométricos entre los términos de
la progresión , llegará á componerse de una infinir
dad de términos , los quales discreparán uno de otro
una cantidad menor que qualquiera cantidad Seña*
lable i hallándose por consiguiente entre ellos los
«limeros de la serie natural 2,3, 4 &c como me*
dios proporcionales , ya que no cabales , tales por
lo menos , que la diferencia entre ellos y los. ínter*
potados será menor .que qualquiera cantidad apre-
dable. De donde se sigue que entre dichos téf ári-
dos, interpolados ha dé haber razón de igualdad, ú
titra que discrepe de ella una cantidad despreciable;
todo con el fin de que sean estos términos perfec-
tamente iguales con los .números, cuyos logaritmos
«eilfusdaa^ ó falte una cantidad despreciable,
- 339 /Bien ae>v4 que al mismo tiempo que se vp
interpolando la progresión geométrica , se ha de in-
terpolar la arismética , con paso igual , á fin de sa-
car á un tiempQ los números y sus logaritmos, apun-
tando estos ; cada uno enfrente de su numera
- . 360 Estoa medios geométricos, y arisméticos no
pueden salir todos cabales; porque como todo me-
dio geométrico proporcional es la raiz quadrada del
producto de los dos números entre los quales se le
quiere Interpolar, quando este producto qo sea. ua

qua-

DE ? XRlSMtiTtCA. i$*

qoadrádo; perfecto, tampoco su raii será el medió
geométrico cabal. Lo propio sucede con los medios*
aritméticos ; porque cómo todo medio arismético
catre dos números es la mitad de la suma de estos»'
qoando está» no se pueda partir en dos partes igua*
tes , tampoco saldrá cabal el medio arismético. '
' 361 Pero esté es un tropiezo ficil de salvar si sé
Considera 9 i.° que quanto mayor es un • número no
quadrado * tanto rítenos su raiz discrepa de la Ver*-:
¿adera ; pifes como la diferencia qué Va de la uní
4 ta otra no llegaí ala unidad , las pane de esta qué-
constituye la diferencia entre la raiz que se sacry
la verdadera 9 es tanto menor, quanto mayor sea ei
atunero- no quádmdo. La raiz quadrada de diez v* g.
*$ 'mayor 4jue 3 y menor que 4 , la taia quadrada-dé,
19797 pasa de 140^ y h¿ llega ¿141;: luego loJquét
se ha de añadir á 3 para que sea la raiz cabal dé
H> qs parte de lá diferencia que vá de 3 a 4-, 6
parte .<de> f? lo que se ha de añadir á 140 para, qué
sea ia tai* tabirif de 19^27 , es r parte de la diferen-
cia que «ra de 140 4 141 r& parte de. +$* } y es bieife
páceftteüjue T*v es tnudhí) menor que f s.° que por
to mismo todo estará en hacer que sean mayores
los 'términos de la progresión geométrica * sin qué
por eso mudenrde valor , lo que se roosigur aña*
dfefcdp i cada urto Muchos ceras ; -berta , puei, *nn
•once* todos ellos: 10 veces y roo veces Ac. mayu*
rm que antes y segOn los ceros, queo se les añadan?
quedando de urt tatemo tralor todos ellos pprque
♦n la misma ratón serán! menores las partes ¡que
eftptattráa/iLue^ déspota

He lPsw:pre{wrncí<rtÉÍ ^hubiere ent»; la cafe verdades
ht ^y la <ju* se caque1 será toenofretr la naistpa< pro*
p&htton r por manera t|ue- tantos ceros podrán íáña-
¿ftytf á'los * términos de la progresión geométrica, que
]a<ial» ^diferencia sea quasi ninguna. Estps tbnsidera-
-$€om.L N do*

194 PRINCIPIOS \

dones también se aplican a tas términos de la pro*
gresiod arismécica. *

: 362 Si , teniendo todo esto presente , buscamos ¡e¿
logaritmo de .a, cuyo twmero en ía ssrife, de ios.w-,
meros naturales* se sigue inimdíatamwte .4 U; unb
dad , repararemos desde lttego , <|ue así como ü esté
en la progresión geométrica entre 1 y ío, ó «orre
i.ooooooo y kxqoooqoo f m tog. ha de estar en 'j*>
arisméríca entre 0,0000000 y 1,0000000* lo^arioao*
de los del uónwrps entre los qualea se ¿a;de iotfcr-b
polar 2w Luego para sacar esle ¿medio arisaaéticD^
lqgackmo de 2 * hemos de buscar primero entre km
expresados términos de la progresión geométrica miH
chas mediad proporcionales , y para cada ua» de ello*
el cofcretpoodiente imodta arismético ,' hasta aacar vm
medio i geométrico que *ea i 4 2.00Q00Q0> ¿.dtsorc*
pe tan poco de 2, que la diferencia sea desprecia^
We ; 'y el medio arismétteo que saliere correspoo-r
diente á 2 , será el logaritmo de este .numofe^ : ^
- Soan , pufes * A*>.B i<*s dos términos de la pro*
greslan geométrica i sacarepios e&u& ¡ellos ittfi-jqedu»
proporcional^ es i saber follfafi??* qu^jUamívéri
«ios C ^ y sacaremos al mismo tiempo su correspon-
diente logaritmo, entren los términos 0.0000000 yl
1.0000000 v(d quaitiprá ¡0,5000000 ,-y toaaeotaré^
ínos ¿-si*i lado* J5* eA imedio geométrico hubfer* *&
MDpoooao ¿> A jotrocoémefo qu*> de ¿Üdisctapai» ira»
cantidad 4és|*eeialplev «tarto . concluida ¿la opeían
ciopr, y el medio arismáticx^ Q>$^^
gajitmo :qpe>> fce< bojwsu . Pero, como C es 3VAV«V¿7*
mucha niBpcaioqeie^^OQCxxKM)^ $e< ftaoe poto» ^bq**
car entre ^ «ajo* iqu*i este ¡útómo n^iwro^ yjf
meqoryotrQ¡ medHr-T^Diéírtea i?> y s también ei
media arismétko;ieQtre\ sus logaritmos. Este atedio
geométrico* JXcs :k ib , vetdad menor que • ¿40000000*
pera se te aproxima no .otaaptt maa„<pie ¿¿ X)fc4
*- . u X A .v ./fce-

DE AR1SM ÉTICA. 195

sernos , pues , á un lado d número A, 7 busque-
mos entre DyC otro medió geométrico É y y su
logaritmo correspondiente entre los logaritmos de
aquellos. Por ser E mayor que 2,0000000 ,., busca-
remos entre D y E otro medio geométrico F; pero
por ser este todavía mayor que 2.0000000 , se ha-
ce preciso buscar otro medio geométrico 6 entre D
y É, Si se prosigue sacando á este tenor medios gedU
métripos hasta hallar uno que sea 2.0000000, ó
Qm próximo á él , que la diferencia entre los dos
sea despreciable, y al mismo tiempo se señala el
ttied¿o arismótico 0.3010300 , correspondiente á. ; •
a.oooopoo , será «1 tal mqdio su logaritmo. El que
4é una mirada á la tabla | acabará de entender la
Operación, se hará! caigo #e quan penosa es, y de
lo mucho que son acreedores á nuestro agradeci-
miento los animosos y constantes calculadores que
tomaron las primeras tablas de logaritmos.

Na Me-

nn/

PRINCIPIOS

Medios
Geométricos.

Logarit-

jLogarit*
móf.

C

D

C

E

€

D

F

1L

D

G
F

Ji
F

H
1
F

H
K

I

K
L

I

K

M
L

K

N

?L

K
O

N

i .0000000

3.1622777

1 0*0000000

ttoás.

1 .0000000

U7783794
3.1023777

1.77^794

3.37*3737
3.1622777

r. 7782794
3.0*3**49

3.37*3737

J.77**794
1.9 109$ 29
2.Ó535M9

i.9io9r29
■1. 9809 5 **
2.0535*49

1.98095**
2.0169144
2.o53S*49

1.98095 66
1.9988546

2.0169144

1.9988546
2.0078642
2.0169144

.1.9988546

2.0033543
2.0078642

1.9988546
2.0011032
3.0033543

1.9988546

1. 999978tf
2.00 1 1033

0,0000000
0,5000000
1,0000000

0,0000000

0,2500000
0,5000000

0,2500009
0,3750000
0,5000000

0.2500000
0,3125000
0,3750000

0,3500000

0,2812500
0,3125000

0,2812500
0,2968750
0,3135000

0,2968750
0,3046875
0,3125000

0,2968750

0,3046875
0,3126875

0.3007812

0,3027344
0,3046875

0,3007812

0,3017578
0,3027344

0,3007812
0,3012695

0,3017578

0.3007812

0,30x0253
0^3012695

Medios
Geométricos.

0
P

*L
0

%

o

R
&
O

s
o

T
S_

O
T

X

T

r
x

z

r

~z

w

w

*

r

1.999978?
2.0005408
2.0011032

1.999978*
2.0009596

2.0005408

.0,3010253
0,3010864
0,3011474

1.999978*
2.0001190
2.0002596

1.9999786
3*0000489
2.0001 190

1.99907**
3.P000137
2.0000489

PtíPioa53

0,3010329
0,3010405

¿.9999786

i.99999*i
2.0009137.

i.99999*i
2.0000048
2.0000137

i.99999*i
2.0000004
2.0000048

i.99999*i
1.9999982
2.0000004

1.9999982

1.9999993

2.0000004

1.9999993
1.9999998
2.0000004

1.9999998
2.0000000
2.0000004

0,3016253
0,3011474
0,3013695 1

0,3010253
0,30105 5f
0,3010864

0,3010253
0,3010406
0,3010558

0,3010406
0,3010291
0,3010329

0,3010291
0,3010310
0*3010329

0,3010291

0,3010013
0,3010310

0,3010291
0,3010296
0*3010301

0,3010291
0,3010298
0,3010301

0,3010298
0,3010299
0,3010361

0,3010299
0,3010300
0,3010301

-l **

Por

DE AKISMÉTICA. Í97

363 Por el mismo camino se hallaron los iogarit»
caos de los demás números peímos que están entre 1
y 10 7 entre íO y 100 , &c¿ En quanto ¿los logárit-
oíos de los demás números í~son muy fáciles. 4e.tof
llar 9 una vez que el logaritmo de todo producto es
la suma de los logaritmos de todos sus actores (35),
y el log. de un cociente es la diferencia que va del
logaritmo del dividepdo : al logáritíno del diviso* i
: 364 EL calculador que busca los logaritmos . pan*
formar unas «tablas., dtfc cacarlos con mas es^rupu^
losidad que no el que busca un logaritmo solo y
aislado. Con un casó práctico manifestaremos la ne-
cesidad y el fundamento de esta prevención* Quan*
do hemos sacado el logaritmo dé tv hemos dado i
10 por logaritmo el número i¿ooooooo; si el -mis-
mo logaritmo se buscara coa ánimo de formar unas
tablas , convendría añadir al logaritmo de ib y tres
quatro &c. ceros, de modo que fuese i.oooooodoooj
6 1,0000000.000a Hallados que fuesen por medio de
eitos logaritmos los demás , se les. quitarían á la de-*
recfaa tantas figuras. quantos ceros se le hubiesen aña-
dido á aquel ; con la advertencia dé que así como
las figuras que se han de quitar á la derecha son el
numerador de un quebrada, cuyo denominador es
la. uqicbrd con tantos ceros quantas sean las figurad
quitadas * si eí taL numerado* fuese mayor 'que la
spitad dfei denominador^ al logaritmo del qual se
hubiesen quitado dichas figuras y *e le añadirá una
unidad En virtud^ 4e esto y el logaritmo, . . ♦ . ;
3í38ó392i-6oo> ó 3>38o392i AV* , qup correspon-
de al número ¿401 , ;s¿r*r ^863922. .

JLa razan de esto es , que como unos logaritmos
se forman f de otr<?s multiplicándolos por húmeros
determinados; v. g.' el logaritmo de fe quarta po-
tencia de un número es el producto dé su loga*»
ritmo por 4- (36); si ^: formar. di iogaritn^^ ia
l N3 - raiz

198 PRINCIPIOS '\

raizase desprecia alguna cantidad , su qüádruplo,
que puede ser de alguna consideración, faltará en
el logaritmo de su quarta potencia. £1 iogaritraade
7 v. g. calculado en el supueko de ser i .0000000
el logaritmo de 10 * es 0,8450980 , y calculado en
el supuesto de ser i,oooóboaooo el logaritmo de 10,
e& 0,8450980,400 ; si se saca, en el primer supues-
to el logaritmo de la qüartai potencia dev 7, será
8*3803920 ^ y i sacado en el segundo supuesto será
8^3803921.600 ^iestOies^ 3*389392* j, nfr dos uní*
dtadejs. mayor qué el otro* ' •> . . • < ;, .

36$ "Otro beneficio proporciona el calcular los
logaritmos en el supuesto de ser 1.0000000.000 el
logaritmo de ia Y, es: que cómo Jas diferencias de
los logaritmos van menguando ; de continuo hasta
desvanecerse del todo,' de. modo que Hegan á a*t
ür iguales los logaritmos, de los números bastante
grandes inmediatos unos á otros , esta igualdad no
llegará á verificarse sino respectó rde números muy
grandes quando; sea 10,0000006.000 .^logaritmo de
10 :. por manera que los logaritmos que salen igua-t
les quando se calculan en el supuesto de ser 1.000000O
el logaritmo de 10 , discreparán todavía unos de
otros quando se calculen en el primer supuesto. Es-r
to se verifica con los números 2656385774 y. . «
2656385774 , cuyos logaritmo? dalculados por. . . *
I^oooooóo log: de 10, sop ambos 9,4235*91 X, y
calculados, por 1,0000000.000 log. de 10 , son. « •
9,4255911457 el del primero,» y el del segundo es

366 Las diCcr^pciaís^nti* los .logaritmos van siena*
pee menguando por la proporción que debe bfaber
entreí ellos y sus1 aútnetas:,; pues/ cosa clara es':qi»
á un número mayor corresponda un logaritmo ma->
yor. Pero la diferencia que^hay entre ríos números
va cétenguandp de contino , ¡pues 1^, difefencif. de a

á

DE! ARISMÉTICjI. 199

á 1 " es 1 ; la de 2 á 3 ¿s } ; la de 3 & 4 es j ; la
diferencia de 43 á 44 es, ^T f luego es predso que
vaya también menguan^ tardtíeceqeis que hay de
un logaritmo á su inmediato 9J hasta que; llegando A
ser despreciable la diferencia entre dos números in->
mediatos, uno á otro , por muy grandes , llegue á
serlo igualmente la diferencia entre sus logaritmos;

367 Del modo declarado poco ha de formar los
logaritmos se deduce que los logaritmos de los nú-
meros que caben entre O y io, están entre* • • ¿
0,0000000 y i,ooóoooo, siendo su primer figura o,
¿L la qual se sigue un quebrado decimal con una
coma entremedias ; los logaritmos de los números que
están entre 10 y ioo, se hallan entre 1,0000000 y
2,0000000; siendo su primer figura 1 , á la qual se
sigue un quebrado decimal coü una coma entreme-
dias ; los logaritmos de los números que caben en-
tre 100 y 1000 están entre 2,0000000 y 3,0000000,
siendo su primer figura 2 , á la qual se sigue un
quebrado decimal con una coma entremedias. La
primej figura de todo logaritmo se llama su carao*
terística, y tnant isa del logaritmo el quebrado de-
cimal que la acompaña.

368 Es ; pues , cero la característica de los lo*
galianos correspondientes á los números que están
entre 1 y 10; la característica de los logaritmos
correspondientes á los números entre' 10 y 100 es 1;
la de los logaritmos correspondientes á los números
de entre 100 y 1000 es 3, &c. por manera, que la
característica de . todo logaritmo tiene tantas unida-
des , menos una , quantas son las figuras del núme-r
ro al qual pertenece.

Luego siempre se sabe que característica corres*
ponde al logaritmo de un número propuesto j y por
la característica del logaritmo se conoce de quantas
figuras consta su númeroé

N4 Por

qqo .' PRINCIPIOS -

369 Por lo mismo que lo$ logaritmos de los nú-
meros de la progresión geométrica x , 10 , 100 &c.
son 0,0000000; 1,0000000; 2,0000000 &c se vie-
ne 4 los ojos que el logaritmo de todo número que
conste de sola la unidad acompañada de muchos
ceros , no tendrá mas figura significativa que la ca-
racterística ; siendo cero todas las figuras de su man-
tisa; los logaritmos de los demás números ten-
drán características acompañadas de un quebrado de-
cimal • , < •

370 Ya que 3 es la característica del logaritmo de
1000 ; 2 , la característica del logaritmo de 100; 1,
la característica del logaritmo de 10 ; o , la carac-
terística del logaritmo 1 ', sigúese que la caractenV
ca del logaritmo de todo número menor que la
unidad , esto es , de todo quebrado propio , ha
de ser de naturaleza y signo contrario (355) al de
las características expresadas , siendo esta la razón
por que el logaritmo de todo quebrado se llama de*
fectivo ó negativo, y lleva el signo ¡—^ como —

371 Y porque quanto menor es la cantidad que el
quebrado expresa , tanto mas discrepa y dista de la
unidad , tanto mayor será su logaritmo defectivo. t
: 372 Es , pues, el logaritmo de la unidad el téi>
mino desde el qual empiezan á crecer los logarit-
mos positivos y negativos; por cuyo motivo estos
corresponden á cantidades tanto menores, quanto ma-
yores ellos son. *

373 Es también de reparar , y se sigue de k> di-
rho (367), que los logaritmos de los números. que
crecen en proporción décupla tienen una misma
mantisa; por manera que los logaritmos de los nú-
meros décuplos unos de otros solo se distinguen por
cus características , siendo una, misma la mantisa de
todos. Aquí se vé patentemente. . . -> •.

■ r Los

DE* rAKISJۃmCJL aor

Lew logaritmos de los números.

,698970o

¿ 3.6989700

mn - 6989700

'"" 374 Heñios dicho «(343) ry la eridenwjtíve^n^
pío allí puesto , qoe 'd -exponente de ¡cada té^rninO
de la progresión geométrica .señala el iwgar ique el
níismo término ocupa en ella «después tfeola unidad;
siendo el tal exponente una unidad mayor que el
número de Jos medios geométricos entre su número
y la unidad; v g. 16 ó .¡3*. ocupa eLqbacto lugar
•de to- progre»on|pO!póm^

«feudo . asi ->que ¿ fentre estfc 1 nútqe^ y Jar tínidadr no
hay mas que tres medios geométricos. Luegovya
que los logaritmo son'loS expedentes de los núme-
ros ó términos $0 1« jbrOg^ioiQígeofioéOfiea corres-
pondiente. los guales en las tablas no se distinguen
ífe los números ^türale^ yseffelfcn ei lagar que ca-
<cia número ocupa en la seríele -los naturales des*
{mes déla* unidad; y si ate le rebaja Una unidad, se-
ñalará quantos medios geométricos hay entre la uni-
dad'y eimismc^ttámi&ro; En ' yirtutf^de-dstay. . •
-*.ot>oooooT eátá^dicíendo que < 10 peupa >ebh' ¿ # ¿ l
iipaocxxK??^ tugar despees *4e <■ fct r unidatt feír j la¿ -serie
-de los 1 medips geoftiéttri¿osi ^ 9999999 dice quef ea*
kre 1 y Pio hay otros tahtc¿ de cUatio* añedios r có¿
•mo entre jo y 100 hay lá( misma; razoh que entre uy
f*j? habrfr igbaimehte entre koy^oo Giros 9999999 met
Jdiós geométfrtteá"; Ty xlonnfisnioi entift iop y xoqóí &a
áfer * coosigulertfó desde < 1 * ^ too ándfitírér,hítf)r^cJL
-20000000 medios geottgtric0£,r~ desden & JOóoinU

relusivé habrá 30000000; quiero decir ^ue. desde Ja
•unidad ihasta ud «átwwpquílqviier^ los naturales in-

-.:fl clU-

«oa , .ymrxcmos-: * a

clusivé , habrá tantos taedios geométrico* quantos se-
ñalare el logaritmo del tal número.

t/jro dt las Tpbías de ¡Logaritmos. _

375 Estas tablas so^^iiplísimjs pata ahorrar traba-
jo á los calculadores , y facilitar las operaciones de
la práctica^ porque ^rrúmdfy «te los logaritmos- se
transforman las operaciones, de multiplicar y partir eq
otrasj de patinar f restar. Quando ocurra multiplicar
un número por otro, ,se ha de sumar el log. del
multiplicando con el logaritmo del, multiplicador; la
«urna es el log. del producto. Buscando , pues , en la
tabla este logaritmo,, arsú lado. jse hallará el firo*
jiuob deíla XTmkiplktoc;oa propuesta. Si se meofrer
<ries¿ fnultiptícar £4 pote r 13* haré la< operación, joo-
xyo, sigue ' .- •<; , ..

-. . • 'con 1,146126 lqg. 14

? r/^iJ* sumaré 1,113943 log, 15. f

-ir>^:v ' si*11*1 r 2^60071. togíjj8a.prodUcto de 1-4
-por. 13 ; porque buscando efc fo tabla el logaritmo
4,260071, hallo inmediato á su lado el númex?

•Í82. • , ' „ .-. ' ^: ' . . i

. . 376^ Luego i ya \ Que : para quadrar un número ¡ , ¡¿
levantarle á su segunda, pote&ad , se le ha de mul-
tiplicar ' por el . mismo , '.. Se duplicará su logaritmo > 6
*e le multiplicará por 2 ; el número que en la ta-
bla esté inmediato al lado del log. producto , será d
cuadrado , ó la segunda potencia del número pro*
fuesto. Sí se me tSrece formar el. quadrado de xg,
multiplicaré por 3;«su logaritmo 1,170091 ^ sacaré bl
lap 2,352182 9íá cuyo lado está inmediatamente éh
4a tabla el número. 225 , que es con efecto el qua>
xirado de 15. r

-. Por la misma razón, quando ocurra ciibicar.íun
••;..; nú-

DE "AltTSTMÉTlCA. fiog

námeró , formar su cubo > ó kyantaWe iáf la tercer
goteada, Se triplácaié ó raiütipücaráipcp 3 su k*
garitmo r d námérd • que dst6 en la^taUÍa < .inmfedüé*
to ál lado del togt prbdactó terá el cubd del míipeco
propuesta Para, cubicar y. g.j8 * multiplico por {j
su logaritmo 1,255273 , saco 3,765819 r y pomo
en la tabla está inmediato; á «^ lado: ehiiúmefjf)
5833 9 infiero que este es el cubo de 18. De aquí
se saca la siguiente .;> ! rLp^crs */[

377 ^egla g^^afeclP^ta ícorqiar una potefiria
qualquiera de un numere^ ¿e-ha-de multiplicar su
logaritmo -paral, exponente de Ja. potencia propues-
ta; el numeró que en la tabla esté j^lilariq ddiqQ
pboducOD pissri la» pqt«^ia^qttei¿evfcuscaie:i xA

1 1! Siv hdbiésemo? de le^ailtar a^roi g„ A lia cdéáwk
potencia1 , multiplicaiíamo^ pbc tío bl iiogarkflp* ¿b
0^301030! de a;,, el aínfceto JOÍ24 que l -en fe ta^á
está jnihediatQ al lado. «del prodüíílo ¿,0ito3PO es c^
efecto la^décíiiiaíflOtcocia>ode suq vj< «jb r.i <»n»jbo:>

378 Luego, ya qübpfctfa s^ri«im>i»mquJriqdK*
rade tmrnüritem¡,,s*^

toda contraria* t? la del! formar -su/poteada tol rtiiflk
ma grado , jx>daémf»' sentar, también da siguiente r
- 379 Rqgla general. Para 'sacar una rftiz determina*
fia de ron pú(nei»,qüal^rierav se partirá el 4og..doi
tal numero ppjnfelJ. capónente, de ila Irbiz; propuesta
el numoro.queíen lautahb esté : imínediato al. lado
del 1^/cocienteyieró la rak. que Ise1 busca* Si se
efreácpe sacar la raíz íjuaídrSda de i 6889. partiré
pac 2 el logw 3^838156: de ;G88^ j ..coitaa>to$diato
alitedb 'drij logí cociente ^1^9 1^078 <gstá di numero
8& infiero quévüsfe «joiláo rabp-quadrada ^1^892
Pa» flacas laj;raiz!¿Épk¿npi tíe iia8, jpartQípoh$ elrJogí
©Si 0721b de la&s y. como» 3I 4adojdel Ilog.» cediente
0,301030 está ioriiptotto en i^t^la^\ jonjero ;«,
infier^jiqte ^jo&l^i^^ptü^^xleiJDifi^ oi--¿jO
-'jup Quan-

204 V PRINCIPIOS A ^

:« 380 (guando ocurra hacer por logaritmos la opie^
«ación <jte «partir un número por otro ; .del log. del
tfcuidendo , sé. testará) di log: del > divisor ^ el ;núme-
co.tqunei é«¿ kritabl» esté cinmbdiafo . ai lado /del logj
^iferepcia '4e I03 dtts,.jBerá el : cociente de kt dtvif
sionprqpueftav - «" f. </ ;-s r c ; . : . .
Quiero partir 1B7 por 117^ -^ > ■ . ,

\\ \a: 'Ai .oí i>\j vi ,) L ?} '.?>-j v v • •:•> i i ^ . : '7.

De 2,271842102. 187. .•

¿iJtatw í^ri" Xi2§0449f{lo5Li • X7 / J. f :

- D¡£ 1,041393^. n Reoriente de 187

gutidd. por 17. . *.'.'..; ¡a l-.

. La raaottiüela. regla », que coma en tod^
di&bián ¿1 ¿cociente multiplicado por el divisor ha
de reponer el dividendo í es preciso que la.sum^
dtfl logi del jdivi?or y del logaritmo del cociente
oompong^ el log. i> del dividendo. Luego el log. del
cociente ha de ser por pcedsk» igual al log. del di»
vid^dopnietiOBirehiogí xteldhfisor. , - :t. >: V. ~
íiuj^i. ¡^Laí^rogl» ^38o)rrige para las divisiones ¿cuyo
dividendo es vmqyor que? el divisori Quando, al con-»
tra*io veste ids ¿mayor; que aquel, .no se rpuede. resw
tu; ¿del log; del ^dividendo el log. del divisor. En-
iahcas^íse hacelq sustracción al revés; quiero decir*
que d^Mpg.v^del divisor^se resta el log* del dividen-»
db^ soñalaodoíAairésta eónel fcigno — , cuyo signo v
recuerda ai calculador que la operación correspoqdién*
te ge hizo al revés. Todo log. que lleva el signo — *
es negaróroüió defectivo, y su signo avisa que debe
tomatse al rétses ¿te lo ¿que se tomaría si 110 llevase
tpi sigrab, jebtoíe8ii>quetel logt defectivo se ha dé
i£9¿ab ddoqrámeip. iron ¿1 qual debería sumarse ¿i
no llevara él isfcracL^y en cuyo xáso se üanerfe*
¿frtMoposiHvo.r¡foj& un exempio. : c ^r ^
Quiero pacár^; por .187,101 sacar id. log. del
-ii¿;íj£> que-

DE' ARISltrtHHCA. 905

quebrado iVr- Aquí no puedo testar 2,371842 log4
del divisor , de 1,330449 , log. del dividendo, ha*
go, pues, la sostraocioa al-veve&

-.. . ...• ¡ ¡.I -..■'■. . . <'.:: . 1 . • í • • 1

De ■ 3,-27*1842 .log;. 187 - ¡

Resto 1,330449 log. 17 . • »

Di£ — 1,041393 log. -¿.V

-:« • <i . . . . • .-. .j

38a Ei log. d* :¥ , ó de .3. es .0*477123 h y d
log. de -A- ó f es^— 0,4^7121. Esto no puede cau-
sar novedad al q&e cqps|de¿e que jes la misma
cantidad que 3 ó 4 tomada al revés ; luego los cal-
entes donde entre 4 bag, de dar resultados t(HDntra^
fMDs^íi Manque t salgan de los cálculos doade^eni lugttí
d»4 eaine '% <fc i. Bosque dató» está que^mnhápiicat
una cantidad por \ es hacerla tres veces xriayo*,jr
multiplicarla por j es lacéela tres 'naces .menor; ó
partirla por 3. Por cónstgi^iénte en los cálculos poj
logaritmos* deben estos avisar con sps signos la con*
trañedad de oficio de un .mismo numera. . !-

383 Derla dictó {380) se sigue.iquetel Jbgaritmd
de todo' quebrado legítimo cuyo numerador es ia
unidad, os el log» del ^^ooúnackirjcQn el signo — ,
y que el log. de toda cantidad decimal legítima ha
de ser {d^ftetivo.

Como los logaritmos defectivos suelen hacer em-
barañaos los cálculos, \se ha discurrido taréaír?
so para escusarlos , lo que se logra pop el comple-
mento aritmético.

. Dd Complemento Aritmétioo. . ■

384 El Complemento Aritmético (Je un npmero es
la. vdi£ereticia que va del tal número á la unidad
acompañada fe tantos ceros á la, derecha, quantos
*•• ' ' gua-

guaríanos tiene el número t el complemento áristaé-
tico de 485 v. g, es la difidencia que va de 485
á 1000. Luego el t»mplecaento arismétkro de ( un
número se halla restando este de la unidad acom-
pañada de tantos ceros , guamos son los guarisapos
ó figuras del número. Por esta regla , si he de sacar
el complemento arismética de 485 ;

de . . . . 1000

¡. restañé; v. —.• • ..••. *„ '» f 465^ •; 1

tacaré el compL arism. jde 485=515.

\

Esta regfe es la misiiiaque estotra ntl *DtnjtíeméfH
K> arisnaérico de \in~üúmeÉo,be *t& roscando de<xo
»*, pputaecgiiarifflao de la dcpeoHa,' y> (fricada uop
de, k» demás, :-/«? . . ..-i'1 ^ ■. ;m r * .^, :
: 385 £1 complemento arismético tramf&rtqslJas
operaciones 4e testar en operaciones de samar j qufe*-
ro decir, que quando se ofrece restar >winüaapc0
de otro, se;;smna con. ¿este eL cótápLeotieiftái )iú&
mélico de aqupl Para resíar 48$ dé 789. i ?':-
con» .. . . v . ¿<u é .:• • • ;V* '. • * •< 789^.
sumo el compL arism. de 485 que es* .;. &i$

iri 1 i'j . - [
sale la suma. . . *>. •!. #$d4

y rebajando de «üa la unidad qne hay Jen k» mü
llarjK sale 804 9 veedadera diferencia que ya de 789

Hemos de decir por que en este exemplo se
ha de borrar Ja uflüdad qoe hay «a los millares.
Como el complemento arismético 515 de 485 es
1000—485 ^ claro estir que qnando sueno d tal com-
plemento arismético rebajo con efecto 485 9 pero
al mismo tiempo añado 1000 } luego al cabo de

la

DE ? AKISWtÉTICÁ. 4oy

ta opfaractdn fce de retaja? esta uétdad 4&e sale ea
tal millares.;, luego de la «unía 1304 hfe. de borrar
el 1 , y hallo que la verdadera rete* e& 304-, como
e¿* fací comprobarlo haciendo la operación poir el
método corona

386 Sigúese de aquí que sí el número tuyo compL
arisoL se saca tiene dos guarismos no mas r su com?
pkmeato ariimétfco sé halla testando de JOO el tal
jjíajenon; luego quaado; est^ comjdemeüto «ristJQético
se sume con otro número habrá en los centenar»
vina unidad de eropo 4 1* quat deberá borrarse.
-* 387 Por consigtiéeatr, siempre que en algikna ope*
ración se introduzcan varios complenpeoipt arisméte
eos , del resultado final se borrarán á la izquierda
,. tantas untdadea!, i$ianto?t fueren 1» wtaglementos
£ yinaétieos^ , ienkpda cutido <te barrarlas en la en*
lumna «donde .lea toque estar.

De I4. sítala de tavdc* aóm^ros, 789^ y 46?
quiero restar estotros dos 523 y 25.

stirfeo 4flrcoi»pL orian* 4^1523.1, < ; 4W><
y *££ eomplu alisen. d& j$*í4> .:*••.** 1 ftj > < ?,

y saottia^j .^o { ..^4 <¡yrf.'.-*.itiitt ü8o8 <, • \ .-. ..[

' a* f .>oí vííiod 01^ ; ci .,"i»l' *■ jg ¿ ii.i.'^ ,i

M . S oir:j;i)^o! :;</> shunuz ?¿fi \^v m TQffrc?. íifc- -
1'^ (i}M'> "«..o o}»-.?» f- ^j tt>"! ■! .', •". '-»?"

-^ft* can* .d*;»c#?Mt«ioa^ $a$

tadar/búrrafc isnamn^ía^l¿cb,>to toledana dortlwiwt
llares > y otra en la columna de los centenapefcjp&fc
causa ^l.jfwtii^arooto aiattiétift>.3¿fcd|ftqr desputá
fe¿**f*<attaflM^ pipada ia.**)^^
dadiftra resta que sala después de rebajar la suma de
:5*3 J» *$ de Ja>auqni ¿¿989 <f *£?<* otara &*

^b Al

s

«08 * vnmcipios" *

I 388 Ai dompleroeüto «anstaéttá> dd tog; de ua

número, algunos Matemáticos suelen llamarle com*

ptmento logarítmico ¿el tal número.

!- 389 El cálculo por logaritmos tan expedito dé

suyo , lo es todavía mas por medio del complemen*

tto arismético; y>amok i manifestarlo con varios

exemplos.

Quiero partir ia por 3, Por ét método común
'de log> ia rebajarélog. 3 y la resta ha de ser log. 4,
fcociente. :•;

Por el compt arhm. con log. 1a sumaré compt,
arism. del log. 3 , que es 9^522879 , y la suma tam-
bién será log. 4.

De ^14079*81 tog. va con 1,079181 -teg. »tt t - -«i
Resto 0,47712 1 log. 3 saino 9^502879 <^rnpLamna.te(^ 3

. • . t - • .. - r f

Di£ ~ó,6o?oóo log:; 4 kfmn 10,602060 iog* 4. r

Los dos logaritmos finales son. uno . mismo . despaet
de rebajar df la característica del seaindo- la :deoefc
na introducida con el «Complemento &isfttétktf {¡^V
390 Quiero sacar el producto de >f> aiyltipli<st{lor
por 8 , cuyo producto es y = 6. Para sacar este
producto he -de sumar (375) log.. £ con. logj 8y y
la suma -será-4og. 6 j pero como log. | es. . . . •
— 0, 1249^9: í en vez de sumarle con logaritmo 8 , le
restaré (381). El log. de \ sacado por medio del
ttímptemento logammioones?^K^5<i6i. «Haré fefye-
racion pob ambos métodos^ y nsacaoé' el mism^re^
Slih&do. ^ -■> '•i-I *»b f.nrnuk'> m v inro ^ c?'/r>!¡

Res^6,r?49^tog.íi *tawiQ9tf^

Dif. 0,778151 tóg. $ ( '¿ama' 1^778157 logr frf

ó 0,778151 después de rebajar la deoenciqije cieno:

iA de

DE ARISMtTtQA. «0$

de mas la característica por colisa! del complemento
logarítmico de \. • i • >> ' ^ » v . .*,

- Para mayor iiustikciop buscaré. el producto- de
f por 21 que vale ig r sacaodd/lo& l^pprr «nboí>
métodos. Por el primero , log. »f es —0^146128}
por el segundo , es 99853873,,. . >

De 1,322210 kg. 21 con 1,^2219 log, 21 l>
Restó 0,14612(8 rlog. f surixo ^§^8?^ coropl. fcg. £

D¡£ 1*176091 log. 1$ suma 11,17609! lo# 1$. ?

cuyas logaritmos finales soa uno mismo después de
rebajada fdel segundo* la decena >qye> Uevaí fle/masí
por cau9*;del complemeii^viaj^méticp. c s . j *iií >; u;

Cam? se usan ¡as. Tablas de logaritmos para bollar
l los* logaritmos de. los terneros que en -ellas no están* >
-* • . * ^ ( ff . • • ■• . / .; * ..'-i o •■ . V: ; i/.-;i.w»s

.¡39t í JEn bs tabfes ramuhes, á lo, menos jen las 4ué>
he publicado y no 1 están: loSr logaritmos de los.náme^
ros ehteros sino hasta 2aboo; faltan los logaritmos
de los números tfiayores > los de los números frac-
ckmarioá, los de las; raices imperfectas de las poten-
cias de. su grado > lo? dfelosj^ucbradoikgiíimos &c.«
eonyieneensefiv con» con tai au^iüd) sé hallan unos
y otros*- . ' v ■ -..: a1 r-1 ' ; ( •

392 Cuestión I. Hallar el logaritmo de un numero
fraccionario y frák e¿;8tV * el mismo que \\.

: ' Reduzco , i solo; un quebrado et entero ccm A
quebrado que, le acompaña,; saco £?-, 7 por la tef
|M38o>: \. .*> ; - -r -., -v ■:

I>e • **9$9°4* lofr 91 !

Resto ^041393 log. 11

D¡£. •• .:* . • *..: . 0^91^48, lüg* 4^. ,) 4íu:. ;..l

- JWJ. O Cues-

*» :< PRINCIPIOS

v 393 Cuestión- II, Hallar el Iog. de un nunkro ma-
'yor que el máximo de las tablas. ;. "

~: Suc^4e c<jn irecneadk que después de reducir to-
dfc á»n rtpiebra4p' eHewero «opr ei quebrado que le
tfcbffi$wi? i - -saíe- i& .fcumerador que de puro gracp-
de no cabe en la tablar Esta ^uced^ria si hubiése-
mos de buscar el log, del número S3j7-olt > el qual,
despulí de 'hedían* - redacción cn^^ ¿;i

^$$*>r$u^'i$^^ cabeiioüí^a ¿aWíC Gon^

eate-f^etrée-hemos -de enseñar ~come--se-hftUafl los
logajpknawsí d^l¿^ nüt^ieros majrorps que ei iqiáximó
de la tabla,

^394'' J&ra snterafse-bien deJo. que en ¡este caso 'se,
lu:rde^lpra<tódar v<:cmvtíwfc tene¡rnp¥e*edt¿, JÍ.°;q¿e«
añadir i93, sv^^iim^esíái^^ráo^ristíra de
un log, es lo mismo que multiplicar su número por
20 5 loo v looo1 *&fcv pu& e^ ló • miámo . que <suma£
el log.de 10, 100, 1000 <ífcc..x con elfog. úei tal
número} 2f° que quitar al contrario 1,2, 3 &c. uni-
dades*>árlaí<^act0risci<^^dQ^aim>legí.fífis kf mfcmao^ye
partir ¡su ñúifaeeoipór jé ,- ioo j >iooo-8¿av r I

395 Hecho este recuerdo , propongámonos hallar
eí log, de 357859; se descartarán de este número á ¿a*
derecha los guarismos, necesarios para que <el htfn»**
, co> restante ^ue^én^fábUi } aquí foasiaii descaro*
' tar da* guirisnjoí^ y *d número 3578,59 que que**
da es 100 veces menor que el número propaes*
to (254). •' -." .: * ..i -..:>

Se buscará, después en la tabla el, lQgi^ de ^35^8;.
él qual €5^3^553640^ i<te- sacara >la dife«o4ia.'Ji23
que irkidq fsteiíbg,.ai log.i-4e ^^^W'seUuar:*
Si por una unidad de diferencia que Hjí^'ejntrq
los números 3578 y $579 hay 122 de. diferencia- eri-f
tre sus logaritmos -1 qoando sea 0,59 -U diferencia
entre los número* ique diferencia habrá entre sus
logaritmos? Quiero; dfcañf y gur^e buscará el-quatatí
... >: \> O •- -wc ter-

DE ARITMÉTICA. 211

término de una proporción cuyos tres primeros son
los siguientes ./ / . v.«i\ \ \ . *.:.'"

l : 122 :: 0,59 :
d quarto término es^ ^f^8 y & $a\b 71 y desechan^
do las decimales. Añadiremos, poes , 71 á &553&P

log. 3578 > y saldrá 3*5537" *<*• <k 357«,59- Pa-
ra sapar el de 357859 '•> se añadirán do$ .unidades a
la característica del log. sacado , por ser 357859
cien veces majroE que <&£78>$9V, y vpíSr fin d log. de
3578í>9 será 5,553711.

396 Quando los .últimos guaftémos que .se des-
echan á la derecha: del numero son cero, después
de hallar en la tabla el log. del autnero residuo, bas-
ta añadiré sil oai^cterí^cajtaol^^idadjes,, quitare
tos son los ceros desechados del número.
* 397 Cuestión UL Hallar él iog.de un numera que
lleva enteros con decimales.

Bórrese Ja coma divisorii , y búsquese 3I log. -
dd Jiúmero propuesto comd , si fi(iese un número ear
tem^cdespues <á<t>\ l^aüado süidpgaütoap , bien inme-
diatamente \ bien por $1 método ¿propuesto (39£h
•quítense á su daraéterístiea • tantas unidades quaotas
«an las figuras decimales del numera Porque con?
aiderar el número sin corpa, divisoria , es supohetr
4e 10. ¿ 100 ,,. ioao &e« vecefc ¿nayar det; lo .qúet est
juego para dejarte .su +etd*dptb valor *¡ es ipreci»
hacer á so característica Ja correspondiente rebaja. í

398 Cuestión W. Hallar el log. de un quebrad*
decimal. í

Resolveremos esta cuestión por un método que
-escusa lew dógaritoaop defectivos;* con cyya mira rer
^cardaremos el destín^ ' del, complertaentq . logaritraict^
mediante lo qual daremos una regla general. > \j
Busquemos por dicho complemento el logaritmo
de °>7S r lp mismo que t?A (256),, y él de 0,075*
4o. misma jque^i^* i. . :/j :? (\ *» , ,'íj..; i/A"-.

O2 Pa-

s

aia : PRINCIPIOS \

Para el primer quebrado.

Con. . ..' i » j 1,875061 log. ^5 -
sumo. . . . . 8,000000 compl. log. 100

suma. . . . . 9,875061 logi de J¿a ó de 0,7$
Pipa, el jzgapdo quebrajo. <> - j. .

Con* . • vv.- 1,875061 log. 75 < . • \ • -
sumo.*. # . • 7,000000 compl. log. 1000

sum%. ,v ... 8,875061 log. tIIct ó de 0,075.

. Por el rmsnto cáririno hallaríamos que fel log; de
°y°°tS es 7*87506 1. De aquí se deduce que
. : 399 £1 logaritmo- de todo quebrado decimal tiene
la 'misma1 mantisa xjue el log. del número que com*-
ponen igusí figuras signifieaútaSi,J y ipor <aract^rí9ti-»-
áif$\ número 9 ^ ¿ ocro , tantas unidades menor
que 9, quantos ceros hay en la decimal á conti-
nuación; de la coma divisoria. Así hemos visto po*
<o ha que log. 0,75 es 9,875061 , cuya mantisa es
fe, misma? que la del <tag* de ^75, y» la caraoterístii"
ca es 19.; porque después de ia cornac divisoria no
hay ningún cero 'en 0,75; el log. de 0,075 e»i .«L
65875061, cuya, característica. 8 tiene una unidad
menos que 9 , porque en 0,075 hay un ceto de**
pijes de la coma divisoria. También sacaríamos que
•ehlog. de 0^)075 08^7,875061 ,, siendo f la» carao»
dística, porque después. de la coma divisoria hoy
dos ceros en 0,0675.

< 400 Luego, quando se tropiece con el log. de un

«quebrado decimal, y se quiera averiguas quai sea

dicho quebrado, se practicará losigiuapte^se^us*-

•h 1 c O ca-

DB jíRISMÉTICA. :a$

-cari en la tabla d número cuyo log. tiene la misma
mantisa que el propuesto; ames del tal número- se
pondrá uní cero después la coma , ya continuación
de la coma á la derecha tantos ceros quantas uni-
dades faltan 4 la característica del logaritmo pro-
puesto para Uegar á 9,

. 401 Luego el logaritmo dé todo quebrado decimal
tiene por característica un número menor que 10.
Luego al sumar tos logaritmos de los quebrados de-
cimales deben desecharse todas las decenas que lle-
ve, la característica de la suma* Por consiguiente
quando el log. de una suma ha -de ser el log. dé
un entero , la característica salé cabal y sin aumen-
to i y si el log. ha de corresponder á un quebrado,
la característica llevará una decena de unidades de
mas. Si buscamos por logaritmos , v. g^ el producto
de. 34 por 0*75.
Coro r : .^ . . 1,380211 log. 24
sumo. ;r ?. -« . <9,&7£o6s tog.¡ 0,75

sumsu . .'. -11,255273

desechando las decenas de la característica de la su-
ma, qqeda 1,255272, y el error que podría resul*
tar df la *egfe queda enmendado, pues este es el
log; cabal de iS, producto de 0,75 por 34.
- Si se buscase el producto de 0,75 por 0,4

Coa 9^875061 log. 075

ramo. .... 9,602060 log. 0,4

suma: . . . » 19,477122 .y

•■i * . * •

-« Desechando las decenas de la suma , queda. . .

$4??* dd y cuya característica está diciendo que el

número de este log. es un quebrado decimal, el qual

rt o^3f , ^pwducto de o>4 por 0,75. l

~><x¿ ' O 3 Por

214 ~ PklNCIPIO&K X

, 402 Por Consiguiente {nractíque^coínDré^gc^
£al,el desechar .las decenas de la característica. Si se
¿ofrece yv g. ; levantar un -i quebrado decimal . á una
!pptesu4 ;4q grado determinado, si queremos forr
l»af v. g, el quadrado de 0,4; comí) el quadrado de
0,4* es 0,16 , y el log. del quadrado de. 0,4 es 2X
log. 0,4* el qual $s 19,204x20, se escribirá solo..
^,204120. Si se busca por logaritmos el ..cubo de

A4* que es 0,064, §*** lo^ es 3 x l°g- °>4> & • *,
.28,800180, y se escribirá sedo 8,806180. D& donde se
yé que en la característica del logaritmo de lá se*
gunda potencia hemos desechado una decena , dos
jgn la característica del log. de. la. tercer, potenoia¿ -

403 Sigúese dé aquí que qúaado.se hayan desear*
iraher* por. tag&itmos taices de quebrados decimales^
vcuya operación es. contraria á la de formal! stts.po*-
tencias , se habrán de suplir las decenas deseqbadafc*
donde no, saldrá errado el talado. Se¡supltóo , pues,
tantas decenas m<jno^ una quantag ^unidades tenga
el exponente del radical j quiero decir , que se su*
plirá una decena quando ' se hurtase, de $aoar ija
jaiz quadrada, ; dos decenas , quando se hubkse de
¿acar la. raí? cúbica , ó tercena, &c.' Así, para ¿a-
car por lpgaritmps la rafe cúbica de 0^64 y tuyo lo*
garitmo es 8,806180, antes tfe paptífc esfte logaritmo
por 3 ,-s§ añadirán dos «focenas, á auuc&r«rtfíísti-
ca , £*será 28,806180 ; el cociente de la división
9,602060 será log. 0,4, raíz cúbica ds Q?(>4 .

404 Cuestión V. Hallar par medio 4e% la tabla los
números de los logaritmos que amella no están.

m Dos casos pueden ocunár aquí, pQTqup .u* Iqt
garitmo puede faltar en la tabla , ó de puro gran-
de, ó porque cabe eütremedite dé <dos , hallándo-
se soío eo la tabla los. primeros . guarismos del 4o*
garkigojpfiofiíieptp. ;,-,*.. V

L En el prioqp'.cftSQ* &.J» *¡wafltBífai«$ ¿%|ote?

5/1 "¿O * " &-

garitmo dado se le quitarán unidades hasta que 'sus
primeros guarismos se bailen en la tablar si- des-
pués" de esta preparación , todos l(Ds guárisrtios del
,tal logaritmo sé hallan en la tabla 9 el número in-
-mediato isa lado será el que le corresponde, pero
*e le añadirán á este tamos ceros quantas unidades
se le hubieren quitado á la característica del logaj-
-ritmo (394)* Por este camino ¡hallaremos que.', : '.
7,227115, después de- quitar quatro unidades á la
-característica ,*-€* el logaritmo de 1687 ; de dónde
hemos de inferir que 16870000 es el número del ló^
'garitmo propuesto.

II. Si solo se hallan en la tabla los primeros
-guarismos del log- propuesto , quítensele igüaMiefltfe
■I- sur característica ünidattlé* eoft el fifi *ixpresadd, V
-pnactíquese lo qué en el cato siguiente* . '- '*

Quiero averiguar el número del logaritfno/ -rl»
£,£43266; quito dos unidades á su Característica, y
^reajque 3,243266 , togártófió residuo, está éiitré el
4og; ide.1753 -y d'4og.¿i?0r i y qtre/por consiguiera
ib él ugnfttt 4d log. '^Apuesto es* 1750 y unqde^

» Todo; está, pues, éii hallar este quebrado? coíi
jcuy a fií* resto riel log. 3,243266 el log. de 1750, *
taípunto la 4ifé«hciá 028. - •>

•-» '; A^tiftO tttmbienfa diferencia 248 .qué ya: dfel
logaritmo de 1751 al tág. de 1750 ', y digo: si 248
unidades de diferencia entre los log. de < 175 1 y 1750
da«t una unidad dé diferencia1 entre tos números.
4 qtt? diferencia darán entre lite «límente 228 uni¿
dades de diferencia entre ei log. propuesto y el log.
<fe*75oí d« .'7-'/' ■ * ¿ r »' <^

i .f. 248 : 1 :: 228 : lili1

tlé donde^ infiero que log; $343266 Wtréispdhdé al
nümefo ¡íl7SO|||*^ con coftísitaa diferencia.0 Luego
5* ntj^e 5,343366. logaritmo propuesto corresponde
nH O 4 á

3*6 ; PÁI2W1PI0S t

¿ un número den veces mayor (394)9 será el lo-
garitmo de 175000^^ , ó de 175091 |J,ó de
175091,93 , con reducir el quebrado á decimal.

Si el logaritmo propuesto cupiese en la tabla,
00 habría que quitar unidad alguna á la carácter
rística , y por lo mismo tampoco habría que aña-
dir cero alguno al número al fin de la operación, -
.la qual en quanto á lo demás se executari del mis-
mo modo sin variar en nada.
. 405 Cuestión VI. Hallar el ternero correspondien*
fe á un logaritmo defectivo.

Réstese el logaritmo negativo propuesto de 1 ó
2 , .ó 3 &c. unidades , según sea la extensión de la
.tabla , y después de bailado di número, del log. rer
$iduo9 descártense con una coma á la derecha: tan*
tos guarismos , quantas unidades hubiere en el hú-
mero del qual se restó el logaritmo.

Quiero .saber v. g. á que quebrado corresponde
¡est? logaritmo — í,53?732 ; consideróle como posi-
jtivo y le. resto de 4 % queda 2,46726$, cuyo loga-
ritmo pstá en la tabla entre el1 \og. $93. y el de
294 i de aquí infiero que el quebrado del logaritmo
propuesto está entre 0,0293 y 0*0294, quiero de-
-fir quei es 0,0293 con diferencia de menos de una
diezniilésima : la razón es dará, porque restar de
4 el. log. 1,^32732 es (381) mijltiplicar 10000 -por
el quebrado cuyo es el logaritmo propuesto , ó lo que
es todo uno , es multiplicar este quebrado por. looocg
luego ha de salir un número 10000 veces. mayor*
luego al fin de la operación se le debe reducir k
que exprese diezpúlésipias.

406 Aunque se saquen por el complemento logarít-
mico los logaritmos de los quebrados decimales, no
obstante se hallan con-el auxilio déla tabla, tap fácil-
mente como quandp tiepen logaritmos defectivos* so-
bre cuyo pyntq q^efo dicto (3^9) q^to.cóff«ppnfo -

DE ARISMÉT1CA. Si?

407 En la formación de las pcrteneiasldeberá tener-
se presente que quando se multiplica el log. por el
ndngro que expfetfa el gradó: d$ fia' poten^S ^TEm-
bien se multiplica wei número 'qtté llegare xie mas el
logaritmo. Por lo que , si quando se forma un cu-
bo v. g. entra un complemento arismético en. eL\ lo-
garitmo propuesto, quiero decir si la característica
lleva diez unidades mas délo ipie, corresponde vIa.ca*
racterística del log. del cubo llevará: 30 unidades nías*
sucediendo respectivament^o propio en las demás
potencias; será, pues, factt redfccjurla á su justo valor.
- 408 En la extracción de las nuces , pan excusar
equivocaciones , quando entren complementos aria*
«éticos $q los logaritmo* qtkei sirvieren > se: le aña*
4kád ó quitarán 1 la característica ib», decenas ^nt
íuere ¡menester > érfin de que ,;k> que llevare de mas*
conste cabalmente de tantas decenas quaqtas. unidas
de? hubiere en el número que exprese el grado do
la raíz, la característica será cabalmente JO «niriadrfs
mayor de la; que contóspoode: > «1 /

. Busquamo* ; v. # lara& cubica, de>ffc£ j al loga* ,
ritmQ de 276 añadiremos el complemento arísmétfr»
co del log. de 547. ■■;■■. 1

log. 276. . . . ., 3,440909

cOfljpL arism, iog. 547 >. -o ^7,2020*3 o-*

juma.' • . . . *<•,> •;• . t - . ¡9,702922 i ; *'m
aóadojá la.. característica .20

. i <> f f u , "* ! r_ r. ;::!'i , . ,■■!■ ■■ ■ ' ■ m * j > ; u;

iJ c

4 finías que Jleve $ decepáai jle rn^s^ ^, jtak. *£*
jftfcfoega» 9 1 sü terctaq 9*900*9^4^ d^^idte bLrair
cúbica que se pide, cuya característica tiene' dice
jinidade^ de^mtó. P^ractítaoda U> dicho poco Üa se
-M14W que la,i^ ctíbfctlque se pide es 0,796*,
con di&mtt&jfe oteiM» ^ínna dfcOTittéiao^iOj ¿

PRINCIPIOS

.MJ

-409 . .npOdo i cuerpo ocupa un espacio que tie-
j . v. X ne tres: dimensiones , es á saber , Ion-

g¿tu¿y{ ldtit^''yip*<^dtUa¿t> ógrmto y w ¡aunque- no
Jiay* afu¿e{ÍDíiquec- ittifterigaWta bfes 4d¿nfcmstohes jun-
tes^ !soielna* «ffjfolistq^ contri pensa-
mienta 1 a5Í<t -quatidí#>J^ablamas -de la profundidad
de i nn, ría <*; gr,tib^atefid¿mOTririo que coge de fax-
pi^iiáíijá^íBatítajoo norAio o." n.;:/p f *. :'<-'^ ••- ■ * •>] o
-uifiDtttfi^iféiwir^^ a^>etáe#'4eiéx¿
iwfBiafln^jfaí/eMtfetwoa :«t»i;ie&gfthá iota^uque' Urina*
^moshfówiríali s^néi<wíenÜoaAifti4 ^tentad sola-

«toaiisioq e» longküdy ;iar*t*KÍ y profundidad, que

El asunto de la Gdtaitjtto *s> fltt|iifefctílfcla$> tt?o¿
fiifdkdes : 4é "«attaKwiB? dé^iasl tres 'e*p«tep dJ¿f ex-

Zte /*¿ Linear*. "\ '^ r "-¿i ' >

410 ¿«pairos en estost^^i«' qüo-^iod*
las linea» y ouperficie»1 que consideraremos están en
un mismftcgAft&.oPor plana emendónos -una sOfiete»
ficie sin hoyos nt eminencias^ que. Wíhpofcote^ cur-
va , qual'ca la superficie de una mesa muy lisa 9 ó 1a
de un cáftfis4fc$3nanera que llamaremos plana to-
lda süperec^^Jtap ^uai^oqsfe 4 wlk stpíic^^Uckri-
to fdé «barcia ^t^MPa^P puntos dal;«mftOf*efii
?cabdiaháuap*ri^yiy la, «toquen <? '• ^^*' >
•■*•. f Hay -tres espeofe*>Ü^>'lii»M^i torree** * 4» fri**-
<*í^y 3a */**** Aate»Jfcdeiíteflftirfi»i, lentos 4* -4fc
á con««f^npaÍÉo§íiJ*leiíieae»i *t ekUilflW»^ «<*
:A15\^ . Llá-

j

P. 219

•i

DET GEOMETRÍA 019

Llámame puntos los estrenóos dé boa liriéa,.tam- Fig.
bien Uaúiaoios punto ¿el . parage donde e$ "cuiiadq.
una linea, ó donde! las: lineas teeAanguéatían <títt¿&kfer ^
curren .unas con otras.. Por m?aei^ qjie ;se> puede
considerar el punto como una porción de extensión
de longitud, latitud y profundidad infinitamente per
quenas. . ^ • .

41 1, Esté, presupuesto ^ &&a>r$ctaisz ;|laoaa aque*
Ha cuyos puntos están todos en una misma direc*
ciotl j tal es la ' AB\ For cuyo nk>tivo"de%eryialgu- 1.
nos la linea recta , el rastro qué dexaria un punt*
puniéndose de, contino en sma misma dirección* Si el
punto A moviéndose v .sin, desviarse y. desde vi i B\>
dgaserá í^td^fúso.un castro ó hurík*) trazan* la
linea recta AB* ./•>„:! > c a •

412 La linea curva es aquella cuyos juntos- no
están. todos, en una misma dirección ; tal es 4a linea
AEB< Por cuyo motivo definen; algunos la linea cur* 2.
«l*, el rai^oó imella qtte #^ia?um.$i&*lM(rttí& . ?,
tíos* de, modo que Á'\caka>pasxi múdasete diretxiooi

9 se (desviase ¡kh ¡carama recto. I \ 1 . . .1

413 La lintía mixta es aquella que en parte es
furva f\ y en parte fas retta; la linea ABCD es mixta; 3*
- > Ihs» tas trfe^ídefioidones dimanani&s; tres pro*.
{xwckmofi [siguientes , . epya .evid¡ene«;eskt»i* ttftfen-
•e, qaCitfio neceatan de jprueba* ../ :.-** ^. .

i 414, iL? Desde un pfMo a otro 'no/sk pueck \ti~>
rar mos de una Mnea recta > pero se pueden tirar. in-
finitas lineas curvas. .)_•. j .. v» . *
-^ Solp roa ftüOTite.figí^ que
desdf efc pu*)t*> , jtf\al futro tAidq se, puede tirá*>¿»as
itijeaQtf&cM qu€viaiií^:}.biea.qüe?r4Íesde ,el ptfmer . »
puoto^al . $¿gundo se pueden' tirar, lai . lineas curvan
arfGff>i-^í-í?5i¡y iotKas fjDucfaa& ^.r". ¿-. -.:,: _t.. -; 4.
*p!4*ft¡ -lí^/iZ^-Jlwé^rtotóiil^ ¿*> «fcw. c0rta.de qum*

hwj La

aso : PRINCIPIOS

F¡g. La linea ABrv*%. «tirada desde el punto A al
punto B * es mas> corta que cada una de las lineas

4. AEB , ADB \i9 ACB 'v cu^as lineas- son tanto mas
largas i proporción; 9 qaartto. mas se apartan dé la
recta AB jl por ser mayos el rodeo del punto cu-
yo rastro se supone que. son. Esta ¿s. la razón por
que la linea recta es la medida cabal de la distancia
entre* das puntos ^ voon&rme - se probará* ibas ade-
lante. . r "..,T .i:. i ■', *•/.'.. . . •• i-; ■•"'' *■;

416.-$? Par* determinar Ja posición de una linea
recta y basta conocer das puntos suyos ; de suerte que
en conociendo la posición 6 situación de dos puntos,
se comee, también, la de j toda la linea. i ■>• <
"*.l -Ownoesu pcoí>09icío^ hará ^mucho papel epade^
lante , es del caso detenernos haciendo muy- pateo*
te su verdad. •> - - . .' *:T>

Es. constante1 que muchas lineas rectas pueden

/- pasar á un r tiempo por un mismo punto; la linea

$. CD y la tinta* AB v^ g. pasan aibbas por el pira*
t* £r, y s¿ puede hacer que. pasea jnfitwtas. por el
mismo punto; por k* X[ue , iin^iink) soto ¿tío isas*
ta para determinar la posición ó dirección (te una

•r, linea recta* Pero si se señalan dos puntos ;JS y i^
na pera posible arar por eüos ¿ito* linea toctá' qué
tej¿2? jiftoi«pie es:^t«tet;quectoda9;iGW>lki€asi recf
tas que pasaren por los <Jos puntos £ ynFjestawail
édiada^^dbre^ la linea» CD ,* y se confundiría con
«lia. lluego bastan dos puncos para determinar la

posición de una linea recta.

- 417 De'laiíití^ que' dos

Urnas rectas no se* pkedén ^mr fifia en soA) á* fwth

$. Porgue si 4os¿il»neas ir.ig. la AB y ta CD' qué
se cortan; en* el puntó 2?, to cortasen también en otn>

• :. punto, una vez que cada punto dé; intersección >ea
común áüMbas lineas 4 las dos^lraea^^tétídri^tí ;dos
puntos comunes^ $ oqiih* tá pwtestí td&'Oto&'raM*
j> i pea*

DE GEOMETRÍA. 321

pende de solos dos puntos (416), las dos lineas ten- Fig;
drian comunes todos los demás puntos , y formarían
una sola y misma linea recta , contra lo supuesto.
Luego dos líneas rectas no se pueden cortar sinq en
solo un punto.

Seria un dislate la consecuencia, que acabamos
de sacar, si no se consideraran las lineas sin latí-?
tod ; porque si admitiéramos alguna latitud en las
lineas , .tendría • alguna extcnsipn el. punto donde se
cortan las dos lineas , y podría por lo mismo ser
dividido en otros dos puntos , los qualés* serian co- >:¡
muñes áx ambas lineas.

418 Sacamos también de la misma proposi-
ción (416) que si dos puntos C y Dv> g. de una recta
titán, a *igua¡* distancia de otros dos .puntos* A+yJ¡%¡
cada punto de la linea CD estará á igual distancia
de los mismos puntos A y 2?. Dista , pues , E tamo
de A como de B i lo propio puede afirmarse de otro g.
«puhto qualquiera de ia lipe¿i CLK
-í; 419. Ijas lineas- rectas se trazan en el papeL pa-
gando por el canto de una regla bien recorrida una
<pluma ó un lápiz 9 que dexa por donde pasa un raa-
-tro de tinta ó de lápiz*. Para trazar lineas rectas ea
•el terreno se plantan á trechos jalones ó quartones
-en la dirección de -un -mismo j rayo. visual; y d^sde
*in: galón á' su inchedsato se pone tirante un condel^
ó se* nace un sufro , mediante lo qual se forma una
tinea recta, continua. De esto hablásemos de inten?»
to en la Geometría práctica.

- .49a Las. lineas se miden con otras lineas , pe¡co
en general la medida ¿mmm \de las díñeos es Ja linea
resta. \Metfit au& Une*, recta ó curva , á uña' dis-
?4pcifi qualqurcra 9 es buscar quantas veces; cabe en
lía tal linea : ó distaínckL otra linea recta conocida y
determinada ,, la qüati hace • papel de unidad. Esta
unidad m ,de^ípdpf pnntei a^itjaiiia, porcuyo mor

-c I ' t*

228 PRINCIPIOS

Fig- tivo es infinita la variedad de medidas de extetH
, sion 9 de las, quales daremos á conocer las princi-
pales en otro lugar.

421 Las lineas que .ocurre medir en el terrena
son por lo común tan largas , que no es posible
trasladarlas al papel de su tamaño natural. Es por
lo mismo preciso reducirlas , esto es 9 representarlas
con t otras lineas menores , para lo qual sirven las
escalas de proporción , cuya construcción es, corad
sigue

6. En una linea AB trazada en el papel al pie del
dibujo que representa se toma á arbitrio una par-
te AC y para que represente la unidad , ó un múl-
tiplo de. la unidad que sirvió de medida en el ter-
reno, esto es , para que represente una ó muchas
vafas, si la distancia se midió por varas. La parte
AC que se repite en la misma linea AB las veces

.! que se. tiene por conveniente , ha de coger tanto de
largo, que las distancias que por esta escala se hur-
hieren de arreglar , puedan caber en el papel don-
de se hace el dibuja Es práctica común repetir diez
veces la medida que sirvió de unidad, haciendo
tina señal en cada división , y desde allí en adelan-
te se repiten de diez en diez las unidades , seña-
lando con números todas las divisiones fxnr su ój>
den , conforme se demuestra en la figura; Si iá uni-
dad cogiese bastante porción de la linea AB , se
podrá dividir la primera en sus alicotas , y estas en
otras j si la escala fuese v. g. de varas , se .podrá
^dividir la primer vara en los tres* pies de que. cons-
ta, cada pie en doce pulgadas, &c. . -r. •.

Dos usos tiene esta -escala* *«° Sime para temar
en ella un número determinado . de partes vv¿ ;g. 37
partes; Para cuyo fin se planta la una punta de: un
compás en 30 , desde cuyo número hasta el núme-
ro 1 4e la espala Jiay 30 partes , y 37 Justa el guar

ris-

1
• 1

DE GEOMETRÍA 223

rhmo $; abriendo , pues , el compás de modo que Fig.
la otra punta caiga encima de la última de las dos
divisiones que se siguen al $ , cogerá el compás,
las 37 partes que se piden.

2,° Sirve para saber de guantas partes consta
una linea determinada DE. Con este fin se abre un
compás de modo que coja toda la DE i se planta. 6.
la una de sus puntas en el número i de la escala,,
y se repara sobre que numeró tae la otra punta deL
mismo instrumento ; si cayese sobjre el número 50
v. g. la linea DE será de 50 partes* -
* 422 Entre todas las lineas curvas solo conside-
raremos en estos principios la circunferencia del cír+*
cale. Llamaste con este «nombre la linea \axtv^ABDFA 7*
que traza el extremo ,A de la linea CA y movién*
dose: al. rededor del punto fijo C5 que se llama el
centro 9 ó el punto céntrico*

¿' 42^ A todo d espacio , ¿rea ó superficie que.l?t
circunferencia abraza, laJlam&mc» círculo , y llamad
¿ao$ nádws del circula- todas las lineas que como la
CA van desde el centro á la circunferencia. Del
modo con que liemos dicho que se forma el círcu-
lo se infiere. - • ; \
a 424 i.° Que todo* los radios de un circulo jo*
iguales unos con otros-. '

- ;i JPonJue -todbs $Uos son la linea CA9 cuyo *x- .(>
tremo A traza, la circunferencia, y que por consi-*
guíente todos los puntos de 1% circunferencia están
» oiki misma distancia del <rentix>J ^ •*; / K

-U425 :.-afi Qpev-pahrt trazad .jm \tírcwfertncik
SiBDFAt dfivde^um tfentto C, x» hajráind abrir un 7,
compás de manera que ."sus dos pterdáá cojan fia dis*
rancia €A. fitattar&e la una punta en- C, hacien-
do que te otra dé la^ vxujlta^ «in^ -moverse la pd^
merac del -puntó V\>¿fo fine» QU^va^ que ía segunda
punut-Au^ape^^etó íg, <dkaiifcr^ciaV^edidáv o c*\»:
: í Qf*

224 PRINCIPIOS

Pjg..' 426 3.0 Que las circunferencias cuyos centros es-
tán en un mismo punto , no se pueden encontrar sin
confundirse en una sota circunferencia.

Porque sus radios son iguales ó desiguales. i.° Si
los radios de ambas circunferencias fueren iguales
uno con otro 9 todos los puntos de cada una esta*
Oran á una misma distancia. del centro común C; lue-
go se confundirán . en una sola las: dos circunferen-
días. 2.0 Si los radios de las circunferencias fuesen des-;

8. iguales uno con otro, la que tuviere el radio menor Ca
estará toda ella dentro de la que tuviere el radio ma-
yor CA\ luego las dos circunferencias no se encon-
trarán.

~ l 42^ 4.0 Que no tienen un mismo centro ¡asi cir-
tunfer encías que se encuentran.

Porque acabamos de probar que si. tuvieran un

mismo centro no se encontrarían.

' 488 5-° Que todos hs . diámetros de un circulo son

también iguales irnos con ortos* , ¡ ; .a y

• ¡ Porque llamamos Diámetro una recta,' la> qual

pasando por el centro del círculo i remata porgara-*

bois extremos, en la circunferencia^ como la linea

7. BF; luego el diámetro se compone de dos xadios;

krcgasont igualeá unüs con. otros' todos' los diámetros

de un mismo círculo , una vez quela sonsas radios*

9. ^429 c Las fresones BA,AFy FD &c, deiálcir-
cünferencia se llaman arcos. . . . -r
? 430 Una recta AFv. g. tirada desde el extrema
yí de un arco al<x>tro extremo JF, se llama cuerda
& subtensa del teco. Gqkdq toda ¡cuenta tiene unuir-

,7 co de cadanlado í quando se mienta una cuerda Se
entiende* la demarco .ibenor. . :>

-1431 Es. evidente i.° que cuerdas iguales de un mis-
mo citiuh rjó dd (árculps. iguales subtenden arcos iguar
tás^\?,reríproepm€nter>> 0fw« iguQk) de un mismo*, cír-
culo, ó de cke^l^j iguales, .tíen&á cuerdos, igmlet^, y\
*..' » Por-

DR GEOMETRÍA 22$

Porque > si la cuerda DG es igpal . á^ la, cuerda .Fig.
Í)F , y , nos figuramos que; &e dot^aJn » %ur9 pcrr ,1»
linea CDy á finxlq qd¿ jQG; caiga isofere I}Fr && hay
duda que por ter eLppatodDteooiuii'f' y^cfór ej punr
to G de la linea #G sobre -jol- punto ^ de la Ufiea . r
ó cuerda DFf todos. lp* putMos del; arco* J?G frap 9.
de caer sobre el arco jDFij; janes ,ai :<«lgpn9.' 4^ di-
chos puntos no cayera sobrad arito jjOJF, *e^es-
tarian todos los/puntos-del arao/#2T¿L<k .^n?r#^
tanda del centro C que» tptkS Iíml punto* ¿del awjo .2
jDG? y por consiguiente los. punto* ,4e la circunfe-
rencia cuyos son estos dos arco* .pp/estar¿anr todos
á una misma distancia» dbl ceñirá*; cuy 4 c<wwecuei*-
cia repugna con lo.deroostrad^jt-.n oü;, ,io ri;i ;;}>

432 2.^ &' un m/jow círcuhAUtíC^á ^xirVMhf ¿
iguales un arco AFC fuere mayor que ptro AGD> Iq £
<cuerda AC del primero será también m<wr que^ fa
cuerda AD del segundo. . . • . *" • . N

. Figurémonos .el .círculo ^íDJíCf^: 4oblí«Jo por iOy
el diámetro ABMox estar ¿odos.los puntos de aml- 11
bós. arcos ál igual . distancia .del. centro del eíretf-
lo. cuyos son > todo el. arco, AGD .se aplicará sobrs
el arco AFC, y el pumo A ser» común á los dos
arcos , y á las: dos icqerdas AD y *ÍC, y, el punto
.«C, ektrémo del arco mayor > «tara Á oíayor*, dis-
tancia del punto ¡4 ,oque nó dtl punto , JQ * eitr?aip
-del arco meüor , pi>r coger v según suponemos , el
primer arco mayor porción de la circunferencia que
«> el otra Pero ei punto C ea también extreipp de
la cuerda del arco mayor-, y Z>;es $1 :otror gtfisaip
de la cuerda del aireo menor ^ lufego entre lqs ..4^
extremos de la cuerda del arco mayor bay qmy¿r
distancia , que no entre los dos extremos de la cueu-
da del arco menor. Luego &c.

433 3»° & diámetro es la mas. larga de todas
las cuerdas.

Tom.L P Por-

626 PRINCIPIOS

Fig. Porque el diámetro BD es igual á los dos radios
AC\ CF yxtkos^úS); pero estos dos radios juntos
son atayotes que la cueidia AF-fois)* '!&** recta la
•qüat desde él pomo jtf ia al punto F. Y como pro*

12. haríamos lo mismo por qualquier punto del radío
CE qué pase la cuerda AF , queda probado que
el díamete es la mayor de todas las cuerdas.
- 4$4 klármuise tír cuite concéntrico* los qqe tié*
Hen sü^étttro en-lb' mismo, punto. Concéntricos son
8. los dos ' círculos ABDA, abda. El espacio, que hay
entre las dos circunferencias se llama corona ó anulo.
435 Los Matemáticos se han convenido en di-
Trfcfo t^éa dopunferencia de círculo , grande ó pe-
queña , en 360 nanea. iguales, que llaman grados ; el
*^^^ 6o^fteivógüales que llaman minutos^^^
aa íninoto en 60 partes iguales que llaman seguri*
dos; cada segundo en 60 partes iguales que llaman
terceros i Sac. " . ' ..

.. Lál &%£ del' gradúas. . . * . i— • ♦ *.¿ * -. * i • °

¿' ll&sdet rtuflUtQ. v-'.;. #'l'« - -. *:. V .-.ui4. . • * . yJ

^ delsegft&do; f ♦• . .'.•"<• . :¿ . '. . * ^. •' . ;• . c^'

Xa del tercero, * * > .*...,...«..."'

de modo que 5 grados 19 minutos 28 segundos y
«49 tfertfertis r se ^escriben así 5^19' 28" 49'". <. < '* ^
^,; Por. grado no se «entiende una cantidad absolüV
W, Sino: Ote S0I9 tíe las 360. partes de qualquier
Circunferencia, grande ó pequeña. Así, unacirebb-
fe^enria, por pequeña que sea, tiene tantos gradop
como otra- mayor f pero los tiene menores k pro»
4*)í*tofl; dd taistrió modo que una cantidad sea lk
'que ftié re ^ grádde ó pequeña ^ tiene dos mitades!, las
quftte* kfenen con ella la misma razoñ que las mi-
tades de otra cantidad mayor con toda ella*

De

DE GEOMETRÍA. 327

. De los Ángulos r y de fu medición. .,

, • . ■ »*• * . » *

i 436 Llamamos Ángulo la dfctancia que. hay, en-
tre dos lineas que concurren en un punto ? llama-
do punta ó vértice del angula La distancia BAC 13*
v. g. que hay entre las dds lineas AB , AQ for-
ma ó causa «i ángulo BAC* cuya v£rtic$ es# en
el puato ^4; las lineas AB > AQ se ¿laman, los la-
do* del ángulo. * •.; \ v . > ^ -

£1 ángulo que acabamos dé definir se llama ángulo - .

K plano ó rectilíneo. El ángulo se llama rectilíneo quando

sus lados son dos lineas rectas.* cwwlinea^ qwuwift sus
lados son dos lineas curva&^y 9&'tAw»» q^pdo 4
un lado es nna.;linea r^cta^. y.eL otro yfia.líftea.cur-
va. Aquí solo trataremos de los ángutas rectilíneos. :
Quándo tengamos qu&íjtombrar <fc señalar , algún
ángulo , lo haremos con tres Letras > que La una es-^

I tai? tía el vértice: del ángulo > y « las. Otras dos en \o\

lados j cada una en el suyo. Al nQtpbrar las tref

\ letras y itombratémos ; constantemente ep -el según-

p do lugar la del vértice , á fin de precaver las equi-

vocaciones que se podrían originar v particularmep*
fe qUando muchos ángulos diferetft^ tienen su vó>
tice en utf mismo punto. • Ea virtud de egp ¿para
«omtaár el ángUto que ,formao; tes dos lillas AB, -
ACy diremos el; ángulo BAC y 6 el ángulo. CAR
49^ £1 que quiera ¿atetarse bien de lo que es
-ángulo 9 debe figurarse que la linea AB está eocir
ara <le la ^K7f y que s^le hice dar yueJtff 8>freder
«dor del punto ^f,; del ixú&mo modo que* 1»» pierna
4e compás se muere al Rededor de.su charqeli y par
ra que llegue á la posición AB en que ahora < se la
vé. La cantidad que la: AB ha andado en este mo-
-vkaieoto y apartándose de la AC*> es lo que, llamar ;
inos ángulos Dte.aqpíj se infiore .., > .-;•,; .,., ;. lA

Pa Qm

ssB PRIÑCrPIOS ^

^*& 438 i*° fi«* /* cantidad de un Ángulo no pende de
h ^uc cogen de largo éus lados r shsolo de Ja aber-
tura , itk linacion ó distancia qye hay entre ellos K

: ' Esta: es la fazon' pbr qué> el ingerto JSAC es igual
al ángulo EAF^ ó, por mejor decir , es el toh-

13. mo ángulo, aunque sus dos lados BA, CA son mas

cortos que los lados EA , FA.,

1 43£ JQp* '** &* éng¿bf \BAC , b*c san iguales,

y&^fvríé'íPvépticedeLúkfr sobre el: vértice del otro,

de modo que el lado ab del uno cayga, encima del la-

13. do AB del otro ; el lado ac det primero caerá inde-
fectiblemente encima del lado AC del otro.

Itettfáfr él* ac calesa Juera ó dentro del ángulo
2M€% ' *¡l áflgtfío >é*c ^eria .mayor, d 1 mehoc que el
áflgtíld-Jíi4É?y y W -serian7 iguales los dos ángulos
contra lo sT&pwest».* ^ ^l

; 440 Se deduce* águataiente de la generación del
ángulo ' que I0 medida de un ángulo BAC cuyo ver*
tice* estulta* *¿ c&km del circula? es el arco BC que
iú* l&dbs^WgifU' i- •< •' -:. .. r.-j r .-í .' • t ; ;.
* 'Itorqbe ffce vieae^ilos ojos que >creoe 6¡ mengua
dicho árdb ¿oftfóriwe crece ó mengua el intervalo
que cogen sus dóe lados, Pero acabamos de ver que
esté imefc*alq?e*4o que constituya el ángulo (438))
quéüa<^)b&áotf)ór 4o' Aismo que un áftgxilo >cuyx>
tféttic^*s&<eh *^ ceiHK^dd? ietacul» tíehe porme*
&dfr> él^AKd que suVatós Akáo& interceptad
441 Lo mismo tiene 'trazarle! arco que iia de
N medir uñ ángulo lejod del vértice f que trazarle cer-
-cá. Pbrqué sea; grande ó pequafia >Jí* 'jéfrc*hfebenria
vuytíí e«ttr& está eñ el vévti¿d> 4d áogulo , el arco
-que cogen' lo* dos lados del ángulo 1, es desigual vi»*
lor ó igual numero -de grados; respectivos-; quiero
-decir que el tal arcó coge, un mismo número de
8. grados dp su círqula El acecu^vjg, tiene ios mis-
mos grados que el ^arebi^fl yigorque1 si ^uno de
r. '" *. 3 los

DE~ GEOMETRÍA. aaa

los dos es la octava parte de su circunferencia,. el Fjg.
otro, también .aejrfc.l* octava parte de la suya.

442 Los arcos de dfteoentesy círculos j que cogen
un misino tmmero dé grados* y son !respectivamen-
te una misma parte de su circunferencia', se llaman
arcos proporcionales ó .semejantes.
• 443 Luego para dividir un ángulo en muchas par-
tes iguales, hasta dividir el arco que le mide en
el jnanerih propuesto de partes iguales , y tirar por,
los puntos de división lineas' al vértice del ángulo. >

444 Y para formar un ángulo igual con otro án-
gulo i para formar v. g. en el punto a .de la linea
m un ángulo igual al ángulo J?.^, se e-azara con! 13.
una abertura de compás arbitraria , y defcde el prm> t.r
to a como centro un arco indefinito cbi aplicando
después la punta del compás en' el vértice A del
ángulo' dado BAC> se, trazará con 1» misma aber-
tura, el arco BC entre los dos lados de dicho án-
gulo i '4ft tomara con el compás la distancia de C k
9 » se la llevara, desde c 4 I ; y tjuedará determi-
nado el punto ¿, .por el qual, y por elpuntaasb
tirará la ab% cuya linea formará con la ac el ángu-
lo bac igual, con el ángulo dado BAC.
. ' fforque,rej arco Af mide el (ángulo bdc (440), y
el arco #C. mide al ángulo BAC* peco estos dos
arepa son, iguale» , porque sobre ser arcos de oréa-
los ¡guales tienen cuerdas iguales (431) , pues se ha
tomado la distancia be igual á la BC; luego ate.
- 446 ; Si atendemos al número de grados que co-
ge, un ángulo, haUaremoa que el ángulo puede ser
ftttAp vttvso y aguJct. <, . r

£1 ángulo recto es aquel cuya medida es un ar*
co de 90 grados , ó la quarta parte de la circunfe-
rencia. Los ángulos DAE , EAB son rectos. 14.
?. 446 Ek ángulo obtueo. es/ aquel. cuya medida es
TO «co de mas de.90 grados ;.taL(es« el ángulo FAB.

P3 " El

^o> v \g¡tmcipst)s '.\ ^

Fjg.- 44? . EYÚttgtó* vguét eí» jaquel ncuya' medida es*
un arco que» ab tttegqi á'J^O» gtado*;;^los¡ ángulos»

14. DAF, R4@iiaai*QioámJ> '<> :r> -"--"• • •'

448: De toda'.«8tor «S(Adt itiferir ;i i.° que todos
los ángulos , rector rón .«guates -• irnos ctm otros , pues
todos cogen 90o;: 2.9 qué; no son todos iguales uno#
con otros .los ángulos «¿fMMtfv pues un áogulí>-db-
tcrso puede pasacv.de ^o^itós»' óMnetio* ?que ..ótro/i
3V° que./tíwpy» :^VoJte>^^í^Jv!*»^<'í^ vrrot- ¡át>
ángah? 4g*Aj^ptorquétu^ángiüo>;dgodo puede «cer*
earse ma»:ó meóos «-que» otro al ángulo. recto; ; :
, - 449' ' \J&rna$e*8pipUt*ent(r do' un ángulo fc> i que\

.f ; le&ka á.sobra<páciWk^el Ím&fo*{üBAFm J¡»nV»

14. pleo^htaíaiet áogytóiiíú^ y^ri^^o(.Í^^¥;pt«6'
ZLtffi^^iR^eoJiclhvUxir Md'iJánattloVitteío <I**íe«i 9*
JEtffi^fiditfrtaiabiwi va}e <cl ángukr re^B^K >
-■ 450 Llámase tyapJemtttíH de un' engrillo qué
le falta para! que tenga «Pviloc-d* dos átig&ldt fe**
toii.oó i^;jJX^Crau,i€Í>-supÍeaiia3ñ>:dCPfl^íiff¿c-'M
-! 45ibOaiiiaiJtl falo* denlos 4agaH>!P8s flily*al&
de a«5i4rcds> mi?rTíps, fapf los'"midái i>xpmd9 déxót
dicho fiel .complementoi yl suplerite^to wsp&bto-de3
aquellos, sé "aplica! i&udment* & tfstos.^ ■«•- •>'•• l"
/ 46$ De laiawtBnüezaljdel ctomplemfcntai'j^ifctípie-
¿énto se» infice iqíte-^JDl^/íte fi\ámt%uém«t¡é^
«en XDmpememfip toflbinenrps<4guaUhiy^ i^ÉS&^
mense que sQhítf>ualh tis rAhgult» ir-hs.WM"yuon--
do tienen complanemos IsiQlétoMos' ígkil»*.^- '■■■'■ "J
.. 45* Del método .dsclaraldo^atá ivtftuáí* uM¿*n-
totla'iaferiíésws- ^ 9*# «MÜtae* ire&ti¡ti!&4W d»

13. Sre tfra CD , forma con «to?jfc/{ ¿gOfo áfeASGj

- < Borquel elLpanto 'A ipuede^considérifse 00910 <en-
.) . tro de un^rírculo cúyordttinétr&fesí^^y^puéstes
* ángulos BAC, >BAB tíen««"pW v*B^á«os<'Mcos

£C y J8# * ios. guales com0ofteo'^Hiw* tbdiPl* *fe¿
. ' - j mi-

1? 23o

b;

2 o

21

2. flNx

I¿J> A

£■ *

« A E

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24

c; B

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B

2¿

i^K

L^

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C E/"H

D.

4

DBlGÚXmXTRU «31

midfcttnfef encia » -valdrán por lo. mismo los dos junr F%.
tos i8oV . /Jiii-i. -. .; -•' v. ■/- v ....
v. 4í4.t\a^jí^tf«qlfjiAi«iL«fai»'jiWf. A se tkm
foto&lft *tftas>ote a&etMjAQi ;AE?:,.AF¿> AG>ftA
t«to ' lc&ih&tas<jmto*> MQ *nGAD , ©AE , BAF, i£
FAG , <*AB qtie forman* «o piarán de 360o, »¿ **»r
¡m vaJdrd» nténat» ..- ■. ., . ,,...-

Porque claro está quemo pUtttleq «6gerrJÚ¡mM
tó «enOSL^üeitíidacíl^^cMiiíQrepci*, / ulj ••;
»u40£ f©toloodi«bou(4^j;ííeitofie«fc que. ftnfc 4»¿»
«efr* ,DB t;» g. dwktt lAffcewfereitóaen dos par- . 1
fes igtutiet+ . ■ - ■ -•-••; \ ,■'• '«';'. ..

- Porgue *jomo los dos kx&dp'iúIbéFy. FAB co~ ig.
gen jubt« wx,kpx> adeüfi&tf , ¿ogeráoiila¡í mitad jdp
toda la circunferencia ; la qual const*>$43g¡}.dt 360*1 .

456 A' <¿w lineas rectas AC , AD tiradas por el
exinetba, A de otra.} Mea fofiman.. (on.! e/la:, dos- <í«-
gulos BAC, BÁD que juntos valgan dos ángulos rec- 16.
4tty las-jkñi[¿mtM Ctctoii-terM \umuSoitii y {intima
j#J¥Oei'' " CüO üLr:Ki;r> ? kw." u"í;.:¡ i: •:-... »'. 'v.. • •'

-ij-jlíseaift pofij^ái doí puntt)S;.Fiy £,:.el uno
mas arriba y el otro mas abajo .«de, la linea AC~r\
jlas recw^ ^íF.yi^íí Si la» idos lineas. JíC 4 ¿Ó'
#0 fonos» una sola y miín» ünea> P^íC^es pre,-
ciso que la linea ^Z£[proilot>gada p*se, anas acriba
A(J?«^^abajo«^t4a^toiea;-u«7, a \>. :x,<\\s c-^
•. . , li?. & pagare anas atriha + yeiy.^hMocuDjíE,
Ua auna de los Ugnlc* ¡A¿tf) ,:. BAF valdrá dos án-
gulos rectos (453). Pero, por el supuesto,. la suma
■44 Je& dos ; .ángáloiv B¿J? rBAC, e* también igual
4 la.de d<»-JW*j>si luí^fci 4a ¡sumé de-JU» daiio-
49*V*>BAIh ?itiAí&<*váA\ igual ¿ ¿asuma riólos
4flffifes &*«>, y.&rtfCVbfea *e vé qufc esto es ua
absurdo. . \ <> ••

/»I°rSi pasa m« abajo ,( yes. v.c^/k; linea J)yí^,

-aq P4 la

Rjg. la de dos áogok» rectos (453). Pero, por él supuesto,
los ángulos BAD y BAC valen juntos dos ángulos
rectos f luego la sumk^de los Aoé ángulos -5^íi> y
J&/Í2? será igual ^á » & suma de los do» ángulo*
•v < BAD y &4C¿ y cóoio^éste es>«tto'<ifatirtfo, siguen
se que la UíueaJ^yí prolongada es la miscna fineá
y#C, y que por consiguiente las dos lineas AD y AC
•©tí. lina 3oto y 'fflásKn^üjstí. n- ; v

457 Una ve* que -los- áagutosi son iguales «nos
cea- otros qttfndo son iguale* unoi ¡con otros s£si«u-

17. plementos(4¿s), sígnese que los ángulos RAO, EXB
opuestos al vértice , y formados por dos toctos BD,

' ÉC ' jwe< sé orúáan , w» iguales uno con otro. Por-
que' el misino^ ángulo CAD é& suplemento de am¿

. bos } luego 8fc .■.'.:>•.'.;;•-..■'. -:«.'. .n .1 ' •

- De las Perpendiculares , Oblicuas y Paralelas. '

458 De una linea retía se 4hteqiie«s<¿0<pm-
dfou/ar á otra linea recta , quando cae sobre est*
•sm inclinarse ni á un lado oiKálNjtfl&cj JdCte per-

18. pendicular á BD. ■ * ' <• : -; ' > " >'

459 De aquí se deduce i.° que quando una linea
■es perpendicular á otra , forma con ella dos ángulos
iguales yrettK, Qg&- y-' (**&•■ :'-:úi ,--■•

460 a.° Que si uruvünm que enc&entrjt' otra form-
ina W émidos ángulos 'rectos , y por 'consiguiente
iguales (448) ,' « indefectiblemente perpendicular á
dicha linea.

Porque si forma dos ángulos ig&ales, no.se in-
dina ¡á mágub bda; luego será'«petpetídícutór.¿» •

- : 4^1 : 3-° fi«* $««**' una Unea^ÁS.'. v. gJxs pee*
pendicular ■ áótru linea SD^' está el táinbitn perpen-
dicular á ¡a AE.

Poique' por.io muflo, que AE es perpendicular
í &D,hx tá&L<xAeBr<A<$D> *» iguales (459);

r

DE GEOMETRÍA. 1133

. pero ACD e3 igual á BCÉ (457), luego ACB es igual Fig.

á ¿CE; luego la linea BC no se inclina ni del la-
do de AC^ ni del lado de ECi luego es perpendi-
cular á AE.

: 462 4.0 Que guando un punto A v. g. de una li-
Áéa AC perpendicular á BD , está á igual distancia
de jambos puntos B y D, tafo* /o* demos puntos de
¡a AC también están á igual distancia de ambos pun- 14.

v Porque si el punto Fv. g. ú otro punto qual-
quiera de la perpendicular no estuviese á igual dis-
tancia de ambos puntos B y D , la AC se inclina-
■ lia de algún lado , y por lo mismo no seria per-

L pendicular á la BD, contra lo supuesto. Lo que

acabamos de probar respecto del punto A9 se prue-
ba del mismo modo respecto de todos los demás
puntos de la perpendicular.

* ! 4^3 6° Qpé desde un P™*0 A fuera de una linea
\ BD no se puede tirar mas de una perpendicular á

dicha linea* <

5 \ Tomemos , para probarlo , en la BD dos pun- 1$.
tos equidistantes de A. Ya que la linea AC es per-
pendicular á BD , y su punto A está equidistante
ae D y B, todos los demás puntos de la misma
perpendicular están á la misma distancia de D que
de B (462); luego el punto C está á igual distan-
da de D que de B. Pero de aquí se sigue que nin-
guna otra linea , v. g. la AG , tirada por el punto
A y puede ser perpendicular á BD; porque, si lo
faese , una vez que el punto A de la AG está equi-
tintante de B y D , todos sus demás puntos lo es-
> ' taran también (46a), £1 punto G no está á igual dis-

1 «abriacde B que ü, porque estándolo el punto C,

; el pumo 6, puesto entre B y D y está mas cerca

¡ <die B que de D. Luego la linea AG no es perpen-

dicular á BD. Lo mismo probaremos respecto de
••jo otra

234 PRINCIPIOS

Fig. otra linea qualquiera tirada por el punto A, que
no sea la AC.

464 Del mismo modo puede probarse que en un
punto C de una linea BD y no se le pt/ede, levantan
mas de una perpendicular. Nq hay ;pfits diferencia
que la de tomar en la lineaí BD dos puntos B, Q¡
equidistantes, del punto C, así como en la proposi-
ción antecedente , los dos puntos B y D se toma-
ron equidistante de A.

. 465 Una linea recta AC; será perpendicular á otra
recta BD ^ si tuviere la. primera dos qualesquiera do

18. sus puntos A, C equidistantes de otros dos puntos
cualesquiera B , D de la segunda.

Porque una vez que Ja. dirección de toda retí?

solo pende de ,1a posición de dos puntos suyo**

«i los dos puntos A y C están i igual «.distancia dé

- B y Dy la linea AC no se inclina ni átáa. 2?, n|

acia Di luego la AC es perpendicular (458} á la

ig. BD. . " , %f

466 Después de lo dicho acerca de fes petpefe

,~ dicuiare* será ñá\>i>0i¿rar.*MpeypeQdi

recta BD ^ ó por m punto, dam Qen U misma reo*
tai 2.° ó por un punto dado A fuera de filia.

i.° Desde el centro C y con un radio qualquie?
t&CE—CF trácense dos artos que cortea la rec»
ta dada en JE. y F; desde los centros(JS y ^coa
otro radio mayor, que tol de antea , trácénsd, dos
arcos que se corten éñ A; tírese por los puntos A
y C la liqea AC; esta será perpendicular á la BD.
Porque dos de sus pantos A y C seria equidis-
tantes de dos puntos E y F de^ la linea BD^ivaqp
la :^fC será perpendiqulaa é la ¿££^465). ^ ;r 1 1
; 1 ,2w° Desde el o&atoa A> ;yctón.,ua tniaitio<rad¿#

20. trácense., dos axéós que corten. BD en losipuptós
<E y F. Desde los centros 27 y.í% y con el núsmo
¿otro radio que. autos , trácense dos marcos qtie. »
ia .; cor-

DE GEOMETRÍA. 23$

corten en C ; por los puntos A y C tírese la AC\ Fig„-
esta será perpendicular á la BD. Porque dos dé
sus puntos *A y C estarán á igual «distancia de B
que de F (465). '

Si ¡a perpendicular se hubiese de tirar en el ex-
tremo D de la linea BE>, se la prolongará para pracy
tifca* despifes le que acabamos de proponen '

« 467 También podremos dividir una linea AB ¿i* 21.
ios partes iguales.

Desde los centros A y B 9 y con un mismo ra-
dio , trácense dos arcos que se corten en D. Des-
áe lod mismos fcentrós, y ctín -iin" mismo radio' ( el
mi$Mo qüfe él -primero tí otro díátinto), trácense
Sos aíreos c^ue Sé corten en E-i tírese después la DE
h'quál tendrá dos puntos suyos D y 2?, y por con-
siguiente todos los demás (418) equidistantes de A
y Bj luego eí punto C estará á' la 'misma distancia
d*u4q\té dé i? i luego7 la' DE»tiMBtirit lá AB en
dos 'partear Iguales. • :*

"•• Como la DE es patentemente perpendicular (465)
á la -rfi?, puede también tirarse por este método
una perpendicular á una linea dada*
í; 4^8 Z/wü oblicúa respectó de otra es la que sé
ittc&tíá á'álguh* lado i la 5.D es oblicua respecto dé 22Í
h AC Dé aqui iriferif éraos

* 469 1.? Que una' linea oblicua a otra , forma con
ella dos ángulos, desiguales , que son suplemento el uno
del otro (450 y,453V

y-Ajó* WQfie sí ^ñú linea que enóüentra otrafor*
toa *bWl ella dos JnguMs desiguales , será oblicua res-
peéh t&Séllái'$&ápk si forma dos ángulos desigua*
fes ^ 4e inclina á ün lado. .• •

♦• 4^1 < Si desdé vn mismo punto C se tiran á la
linea AB i/b *pfrptodtcüia¿ Ct> 9 y la oblicua- CF; 23.
ta fkrpeiidictílay^Q ittá mas corta 'que no la obli*

Pro-

«36 PRINCIPIOS

F¡g. Prolongúese CD hasta i/, de modo que sea la
UD igual con la CD , y tírese la oblicua HF. Es-,
ta oblicua HF será por precisión igual^éon la otra
oblicua CF^porque como la CU es perpendicular,
á la yffi , también será la AB perpendicular á la
CU (461). Pero su punto D esjequidistante de los
dos puntos Cy //, por ser //¿ifaguái con CDí lue-
go otro punto qualquiera F de la perpendicular ^fJ?
es equidistante (462) de C y^T ; luego la UF es
igual con la CF ^

Hecha esta preparación^) la linea CD// es mas
corta que la CFU (415) ; flfego la mitad de CDH,
es mas corta que la mitad de CFU; pero la mi-
tad de CDU es CD , y la mitad de CFU es CFÍ
luego la perpendicular </£> es mas corta que la obli-
cua CF.

472 De aquí se infiere lo dicho (415), es isa*»
ber , que la perpendicular es la linea mat corta, qm
desde un punto se puede tirar á otra, linea , y que*
por consiguiente , la linea perpendicular es la verda-
dera medida de la distancia entre dos puntos.

473 Entre todas las oblicuas CF , CG , CE que
desde un punto C se pueden tirar á uña linea AB»

93* i.° la oblicua CG mas distante, de la perpendicular
CD es la mas larga ; 2° las que se tiren á distan-
cias iguales de la perpendicular serán iguales un*
" con otra , y reciprocamente.

i.° Para probar que la oblicua CG es mas lar-i
ga que la oblicua CF¡ prolongo la perpendicular
CD hasta H, por manera que HD se* igual á
CD , y desde el punto U tiro las lineas HF^UGi
será fácil probar como antes (471) que estas do$ li-
neas son iguales con las oblicuas CF% QG i será»
pues, CFla mitad de CFH¡ y CG la mitad de
CGH. Pero no hay duda que CG^U, es mas larga*
que CFU 9 porque se aparta mas del camino mas

cor-

DE GEOMETRÍA. 237

corto CDH (415) ; luego, la oblicua CG es también Fig.
mas larga que la oblicua CF.

2.0 Las oWfcuas CF y CE equidistantes de k per-
pendicular son iguales una con otra; porque si se
tira la HE > . las dos lineas CFH , CEH serán in-
dubitablemente iguales , porque son equidistantes de
la recta CDH i luego sus mitades CF y CE son
también iguales. La tedpcoca. se prueba también del
mismo modo» .

474 De lo que acabamos de demostrar se sigue
que desde un mismo punto C v. g. no se le pueden 23.
tirar á una linea mas de dos lineas iguales ; por-
que no se le pueden tirar mas de dos oblicuas equi-
distantes de la perpendicular.

475 De dos lineas rectas trazadas en un mismo
plano se dice que son paralelas quando están en to-
dos sus puntos á igual distancia una de otra; pa-
ralelas son las lineas AB + GD. De aq^ii puede irn 24,

476 . i.° Qpe las paraklas\ átiwquanda se las pro*
longue al infinito ^ no se pueden enporitrar ; pues han
de estar por su naturaleza á igual distancia una de
t>ti£ en todos sus, puntosa -j , >i ;

477 2? Que< las ¿énea* SFy QW tiradas desda
ht una -paralela perpendicotorts :Á la otra, \spn\ igua-
léisIP/n^e ^stas^per^endiculdres: miden, la distancia
tque ha^- de la una paralela á la otra (472), cuya
distancia e& uda misrn* en todos los puntos de amt
4ascfteti5alelaa.(47í5>^ . , -\ y^J: •• ¡. ->
t 4,78/3/ Qp&jqdíL) tirina^, paralela d una, de dvt
paralelas^ es también paralela avia otra. \ - .1.

.; .Pocque^U /tercer linea: no puede eséar en todos

sus puntos - i igual distancia de la una de las dos

paralelas ,, sur. estar cambien en todoa sufc puntos á

igual vdistandaLdfc^ la fdtra- paralela». < .?o í ;. ■ .-

'"• ^791 -6üi emBargóMe/lb que acabüufcqs de probar

acer-

*38 PRINCIPIOS

Fig. acerca de las lineas paralelas , suelen considerarlas
los Matemáticos como lineas que si se las prolon-'
gara )A infinito se encontrarían. Porqtie si bien al-
gún intervalo determinado, y por lo mismo limi-
tado separa las dos lineas cuya longitud se supone
infinita , el tal intervalo puede considerarse como nu-
lo ó ninguno respecto de la infinita longitud de dL*
chas lineas. Por lo que , dos lineas que solo se en-
cuentran prolongándolas al infinito , y dos lineas pa-
ralelas son una misma cosa ; como también podemos

' decir que dos lineas paralela? y dot lineas que se *
encontrarían prolongándolas al infinito , son una mis-*
ma cosa. En el discurso de esta obra se nos pro-
porcionarán ocasiones de acreditar la utilidad y la
seguridad de este modo de considerar las paralelas,

25. 480 Dos lineas paralelas A/B , CD cortadas por
oirá linea EF , llamada secante, están igualmente in-

v . diñadas respecto de- un misma punto £ de la secante.
Porque si las dos paralelas AB ? CD no estu«ie¿
sen igualmente, indinadas acia el punto E de la EFy
de modo que la paralela inferior v. g. se le arrima*
se mas que no la superior acia el mismo punto , las
dos lineas se irian arrimando la una á la otra, y por
consiguiente dejáSaadé ser paralelas.

481: Toda sedante forma con fes páratelas va-
rios ángulos eh que. hemos -de parar la considera*-
cion. Unos están entre las paralelas-, y se llaman
ángulos internas cómo los ángulos /, Ky L,M. Ocros
están fuera de las paralelas, y s&M^aatihguüís ex*
thtnós. ;; tales» son loa vángulriá G\y\i\frén lar part^ de
arriba , P ,y H ten/lá .pacte id'r.tabajo. Quando se
¿camparan cte >doi emdos' losíáfagotoatya'inreiwcwsl, ya
«jíteraos^^se llaman ángulos alternos los que están en
distintos áadoa^de la secante^ el uno á 1* dere-
cha y el otro ái.üa izquierda v¿ elf u«¿ arriba- y el
'otfoj • pbayo?P cío»! fáagiak» ii y> tM>g £ ty JT ^n^«5f*r-
-j^í: * nos

i». 238.

!

DE GEOMETRÍA. 239

nos internos ; los ángulos N y P , G y // son */- Fig.
remo* externos»

482 ¿i; dbx ángulos que forman las paralelas á
un mismo lado de la secante , uno interior y otro ex-
terior , como los, ángulos M y N r son iguales. 25.

Porque la cantidad de un ángulo pende de la
inclinación de las dos lineas que le forman (438),
y las dos paralelas están igualmente indinadas res-
pecto de la secante £^(480); luego los ángulos-
M y N que las paralelas forman con la EF? son
iguales. Por lo mismo , el ángulo exterior H , y el
ángulo interior K, que están debajo de las parale-
las , á un mismo lado de la secante , son también
iguales. Del mismo modo probaríamos que también
son iguale* uno con otro los ángulos G y L del
otro lado de la secante , y hunbien los ángulos P é
L De aquí inferiremos que

483 i.° Los ángulos alternos internos AGH, DHE 26.
son iguales*

Porque acabamos de probar (48a) que AGH ¿s \ "
igual á CHF i pero CHF es igual (457) á DHE;
luego AGH es igual á DHE.

484 2.0 Los ángulos alternos externos BGE , CHF
son iguales.

Porque BGE es igual á AGH (457) ; pero he-
mos visto (482) que AGH es iguaí á CHF i luego
BGE es igual á CHF. .

485 3.a Los ángulos BGH , DHG son el una su-
plemento del otro.

Porque BGH es suplemento de BGE , cuyo án-
gutees iguaá (482) oon DHG. ;

486 4.* Los ángulos BGE* DHF, 6 AGE , CHF,
son iupirmetito el "uno, del otro.

Porque JDHF. tiene por suplemento el ángulo
DHG y cuyo ángulo es igual con BGE (482).

487 'Todas «sus propiedades se verifican siem-
;\ pre

240 - PRINCIPIOS

Fig. pre que una linea recta corta doí lineas palráleksj
y recíprocamente, siempre que una linea- fecta corte
dos Urnas rectas , de modo* que Be verifique alguna
de estas propiedades , se podrá inferir que las dos
lineas cortadas son* paralelas. Esta proposición sé
demostrará del mismo modo que la primera , sin
variar en nada,

488 De las propiedades últimamente demostrar
das de las lineas paralelas podemos inferir varias
consecuencias,
2y. 1.a Siempre que dos Ángulos ABC, DEF vuel-
tos acia un mismo lado, tienen sus lados paralelos,
son iguales. •• r ; r . ;

Porque si nos figuramos prolongado el lado Di?
hasta encontrar la BC en G , los ángulos ABC^ DGQ
serán iguales (482) ; por la mi$ma razón el ángulo
DGC será igual ai ángulo DEF* luego ABC tfu*
...■.' igual cm^DEF. . .... ^ . •. .■• \

48^ 2.a Si la linea GH fuere perpendicular á las
24 dos^neas AB, GD, esias dos lineas serán.faraklas.
Porque por leí supuesto de* ser la GH perpen-
dicular á la AB , y CD 9 los ángulos alternos in-
ternos GHD , HGE por rectos serán iguales (448);
luego las lineas AB, CD son paralelas (487).

490 3.a Para tirar po> m punto dado H una li-
nead) paralela á otra, linea AB , es menester tirar

26. á arbitrio la linea indefinita MGE .que corté la AB
en. un punta qualqui?ra 6; después se. tirará por el
punto H la HD , que forme con /f IB (444) el ángu*
4o EHS> . iguafi alíángulo; JE(¿fi *jue\testk ibraaál con
AB; la linea HD tirada* a*a, esiíif ^<ácct»nstancla%
¿érí> Rápatela á v£ff¡(48#}d ->«\ •*:,<>• ic\ *.k C*.

491 4-4 *SV ¿foí lineas ,GD ,< EF rtw* perpendicular
28. r« á orr^' linea AB , j&ryíft pardlúas wna á otra.

Porque los ángulos en C y E, serán rectparlué-
-goiel. ángulo DCE>. áerá< sqipksatmoiAdél á&gulo

DE GEOMETRÍA. 241

FEC í luego las dos lineas. serán paralelas (487). Fig.

492 5a Si de dos lineas CD, EF paralelas , la una,
CD 1 v. g. es perpendicular d AB', lo será también
la EF.

Porque los ángulos DCE, FEC son suplemen-
to uno de otro (485) , pues suponemos la CD para-
lela á la EF; luego el ángulo FEC es recto , uq*
vez que suponemos serlo DCE ; luego £F es tanw
bien perpendicular á <*ÍZ? (460).

De Au //mw ratar consideradas en el círculo, t

493 í^rí linea CP /7'nráf dkfúfe */ razfro ¿fe mi
circulo perpendicular duna cuerda FM ,. ¿#Wd? la cuer- 29.
das en dos partes iguales. ^

Por ser tirada la linea CP desde el centro, tie-
ne un punto C equidistante de los extremos. F, M
de la cuerda FM9 porque el centro está á igual dis- %
tanda de todos los puntos de la circunferencia (424).
A mas de esto , por ser CP perpendicular á l» cuer-
da , todos los demás puntos' de la misma CP es-
tán (462) á igual distancia de los puntos M^F; lue-
go el punto P está á igual distancia de M que de
F, y por lo mismo MPziPF.

494 Luego si se prolonga la perpendicular CP,
hasta R , este punto que es común á la linea CR
y al arco FRM (462) será equidistante de M y F9
y por consiguiente la linea CR perpendicular d la
cuerda corsa por el medio el arco FRM que la cuer-
da FM subtende.

" 495 * Y recíprocamente , si um linea GP que pa- 29.
sa por el centro divide por el medio una cuerda , es
perpendicular d la cuerda.

Porque si CP divide la cuetda FM en dos* par-
te* iguales 5 el punto • P es equidistante -de Fy M\
y porqtoe CP üai$bka pasa. por el centro, tiene otro
Tom.L Q pun-

»4* ^PRINCIPIOS

Fig. punto C equidistante de;F^y M; luego CP es (465)
perpencücuUr á jP#f.

496 •£/ la linea CP ¿f perpendicular á la cuer-
da FM , j; /a pür/e pew medio , p^a por */ centro.

29.- Porque si la CP xlivide por medio la FM+ el
punto P es equidistante de F y M> y si CP es*
perpendicular á FM , todos los demás puncos» de.
CP son equidistante^ de\F y M (462). Luego la
CP pasa por el centro C, punto equidistante de F, >

- y m (424).

497 iSf la linea CR 410 pnxn por el centro di-
29. vi de por medio la cuerda FM , también divide por

medio. el arco FRM ^

Porque, según demostramos poco ba (495), la
linea CR es perpendicular á la cuerda FM , pues lá
divide por medió , y pasa por el centro ; por con-
siguiente también divide la CR (494) el arco FRM
en dos partes iguales. De aquí inferiremos,
. 498 j.° Que sis se tira la fm paralela á Ja FMy,
la línea CR también será perpendicular (49?) á/»%

29. y los arcos Rf, Rm serán iguales (494) ; luego si de. 5
los arcos iguales FR y MR restamos los arcos igua- *
lea/ü, mJR, quedará >Ff—Mm ; esto quiere decir

que los arcos de un mismo circulo que están entre ^

paralelas son igualesi .; '■

'499 '9-° '.Un método para f/raarr un circulo por !

fw> pa/tfo* dados A, B, D, como no estén en una

30. misma dirección. Se tirarán las lineas AB^ ED, cuer-

das que han de.&r.del círcutot\ por. trazarle par-, • i
tira por medio cada una de estas cuerdas (467) cwa
• tirar las ^pendicubarés. EC , FCiel punteo C. don-
de estas dos lineas sé. encuentran será el dentro, del
círculo, pues ambas han de pasaf por el tgntra (496^
- 500 Si los puntosa y jR , I?. tttttvteaen en ama
misma diteerion y*lás?. dos^. liftea*. EC i_Fp> no se earn
tbntrarián ; aporque, como serian perpendiculares á
< , * . \ .•■ 'di-

DE &EOMRTJIÍA. 243

di:h^ recta 9' serían paralelas (491). Luego no es po- Fig.
sible que una linea recta corte un circulo tn tres,
puntos. ' ' .' ' ■" ¡ » .; -

1 á°¿ Qpando se quiera bailar el centra de un cir*
ttilO) conocido sola un arco supo>, se tirarán dos. cuer-
das al área , y se practicará la propia que acaba-
mos de declarar.

; £02 3.° Para partir un ángulo i un arco en dos
-partes iguales , v. g* el angula BAC» > 31.

Se hará cuatro en el vértice del ángulo, y con .
un radio arbitrario < se tratará el arco DIE ; desde
los centros D y E , y con un misma radio se tra-
barán dos arcos op , nrn -que se corten en un pun-
ió Gf por G y A se tirará la *4G, la qual po*
ser perpendicular (465) á la cuerda í)£ , la divi*
-dirá (493) en dos partes igualesv y por lo mismo
«partirá también por medio (494) ei arco DIE, y el
'ángulo BAC 9 pues, los arcos .parciales BAG\ EAG
tienen por medida (440) los. dos arcos DI, EL
1 5°3 4*° Después de partido el arco FRM en das
paites ^iguales con k linea CR9 y tiradas las cuer-
das RF, RM9^se dividirán en dos partes iguales 3t.
los arcos que subtendea ¿ tirando á dichas cuerdas
por el centro Cuneas perpendiculares., y prosiguien-
do á este tenor , se podrá dividir primero un arco
"en dos partes iguales ; después en quatto ; partiendo
cada una de las dos primeras en otras dos; después
en 8 &c. por. el' orden de la progresión ^2:4:?,
« : 16 &c

504 Llamamos tangente del círculo una linea AD 33.
<pie toca 1&\ circunferencia' sin cortada aunque so la
prolongue. ^ • - . o ?'*,?. 3 •«..'»» ■

y; '^Llamamos secante del cítcuto «todcc l&eala qual
«como EF encuentra el círculo en dos puntas gestan- 33.
do parte de ella fuera del círculo. . ,1
- í 505 ¡Toda > limal rett* FG que •; *<Bta>ij&€irmife+
•íu. > " Q 2 ren-

844 * miNCIPIOS* •

Eig. r encía en dos puntos *>. g. A y B *¿ secante del cir*
culo.

34 Tírense á los puntos A^ B , donde la recta jFX?
encuentra- la circunferencia loa dos radios CA9: CB*
Por ser iguales uno tcon otro estos, dos radios, no
pueden ser ambos perpendiculares á la ^(^463) aj-
eada uno de ellos estará á igual distancia de la per*
pendicular tirada desdé, el centro C (473)9 y poi;
•; consiguiente la perpendicular KZI> tirada desde el cen^
-. tro caerá en medio do AB JPero . esta, perpendi-
cular CD es menof (471) que el> radio CA 6CBiy
son también mas cortas que estos radios todas las
rectas tiradas por el centro C á qualquiera de los
puntos que están entre A y B (473); luego todos los
puntos de la recta AB están dentro del circulo. Ya
que las oblicuas tiradas por un mismo punto Cala
frecta. FG son tanto mas largas quanto mas distan
de la perpendicular CD (473)9. sigúese <Jue sr los
puntos A y B están en la circunferencia * estarán
ftiera.de ella los juntos de Xa recta FG que estén
entre A y F, ós entré )B y.Gi luego la recta i?^

'..« será secante! del ^círculo* (504). -

506 Luego la tangente, no encuentra la circunfe-
-renda del círculo sino en solo un punto. Porque si
*la. encontrara en dos puntos^ seria .secante <$Q5> '

507: ; Toda .linea perpendicular, ai extrema de un
radfo] ss tangente del circulo*

35*: ;. JEs patente que 9 tiramos; las dos lineasC-E* CflJ
.serán oblicuas (483) á la linea ABD , que supono-
* ' mos' perpenidiciiiar al extremo B del radió ^CB* por
ser tirada* dekde el mismo punto .que el radio per-
pendicular CB} por consiguiente estas oblicuas sq-
ItíapL nías lárgase qué el radio perpendicular (47*), y

.f: por lo mismo 6¿s extremos E9 F estarán fuera del
círculo y de la circunferencia. Lo propio demostra-
ríamos respecto de otro punto qualquiera déla pir-
cún-

VE GEOMETRÍA. # dtf ,

CUnferencia que no sea <B ; luego ABD po toca la Fig,
circunferencia, sino en sirio el punto B j luego eá
tangente ($07).' ^ ) * \": .- • y •.• , ■ ;\.

, -508. Y ifedprocamente, todaltangeitíe ¿superpon*
dicular al radio ■ que remata ' éfc ef píwto ¿fe * contacto*

Porque si la tangente ABD toca el circulo en 3$.
el punto B donde remata el radio C8, ya que laí
tangente no corta la circunferencia r no: entra en el
íirculo > y por lo mismo es imposible* tkar desde el
centro a la tangente una liaéa mas corta que fci ra*
dio CB. Luggo este radio es. perpenditular (472) ¿
la tangente; y reciprocamente la tangente es per-»
pendkular al radio- (461). %* . : • i ;
; 509 Luego fibrjmptismo punfa.de ladrcunferern
tía no se fi/ipde ' tirar mas de una tangente.
, Porque como toda tangente es perpendicular (508)
al extremo del radio tirado al punto de contacto,
y por el extremo del radio no puede pasar mas dé
una perpendicular 4 dicho radio (464), e$vimposí-
ble tiraje dos tangentes á un mismo punto de la cir-
cunferencia.

• 510 Luego para tirar una tangente al circulo
por m punto dado B , se tirará al tal punto un ra- 35.
(fio CB y y se levantará en su extremo ,B una per-
pendicular, la qual será tangente del círculo (507) .
en "A . r^ .-,. ;, , .?. v , \ ■-. ^ \.k..

< S11 Si desde un pwito A , otro qut el.xentrj* de
vn circulo , se tiran aja parte de la iircwtferencia> 36,
mas* distante del mismo punto- diferentes rectas AR>
AD, AE.

< 1.? La recta AB que pasa por. el centro es. la mas 37.
iarga. . ^ f /.- : 'j

2.0 De las dos rectas AD , AE que no 'pasan por
el centro y la que tiene su extremo D mas . inmediato
ed; punto B. <fe /a j«e. pasa por el centro , es la mas
larga.

Q3 Tí-

4

946 ' PRINCIPIOS :

Fig* Tíreme los radios CD ¿ CE i los extremos de
las rectas AD^ AE que no pasan por d centra

Tendremos r.° CB igual con CD (424) j si á
cada una de estas dos lineas añadimos la parte AC,
será la linea AB^iAC+CD i pero como las dos
lineas (505) AC+CD juntas son mayores que la
Knea AD , también es AB mayen: que AD. Del
mismo modo ' probaremos que AB es mayor que
AE y quiero1 decir ¿. que la recta <¿í8,,la- que pasa
por el centro es mas larga que otra qualquier li-
nea AD ó AE tirada desde el ' punto A á la circun-
ferencial

2.0 Las lineas CO , OD juntas ó CO+OD son
mayores que la linea CZ> (505); pero CEzrCD (424)}
luego CO+OD es mayor que Cff. Si de fe CE qui-
tamos OC, y la quitamos también de la suma CO+OD,
la recta OD será mayor que la recta OE. Si á ca-
da una de estas cantidades añadimos la linea AD^
será AO+OD=jf& mayor que AO+QE. Pie» >40
-M?J3 es mayor que jrfJE • ; luego con tmsaxoñ S6*
rá ./tfl> mayor que ./tfi?. Luego &c. ' * s }

512 Si desdi el punto A otro. que el centra de
\ un círculo , se tiran á la parte de la circunferencia

36. mas cercana á dicho punto f diferentes rectas AM¿

37. ^N , &c. Ja Jsnea AM , la^ual prolongándola pa-i
sarta por el centro C , es la mas corta.

Quedará probado que la1 recta AM es laü oías
/ , corta si probamos que otra recta qualquiera AN9
tirada 4 la circunferencia r cuya prolongación no" pa-
se por el centro ; es mas larga que AM. •

Tírese ^1/Tadio C¡\f. Si el punto A ¡está dentro
del círculo , las lineas NA9 AC juntas son mas l¡»¿
gas que, 1* Knea'iVCí pero AC es iguala MC?
36. taego NA+AC es. mayor que MC\ si de ambas-
cantidades .se quita la linea AC , la resta NA se-
rá mayor que MA.
- * r O Si

f.fr

I1-

DE GEOMETRÍA 847

. Si el punto -rf está fuera del circulo, seráyf/VFig/
+NC mayor que ACi restando de la una parte el
radio NCy y de la otra el radio MC y la recta AN 37.
será mayor que la recta AM>

. 513 Luego i.p Desde m punt^A , otro que el cen~ 36.
tro de un circulo no se pueden tirar á la circunfe- 3jr.
rencia tres lineas iguales.

Porque no se puede decir que la un^ dé las tres
lineas iguales es la que pasftpqr el centro, pues
acabamos de demostfar que es mayor ó menor, que /
qualquiera de las otras. Tampoco puede ser que de
las tres lineas iguales , las dos estén á un lado , y
1^ otra al otro , pues las que están de uú mismo»
lado 00 pueden menos de ser desiguales (gí í)> c<h
mo no se confundan una con otra. ' j

514 a.° Si las circurferencias de dos círculos X y Z 38.
se encuentran en dos puntos D, £ se cortan por precisión.

Porque como los radios CD 9 CE del círculo X
son iguales , están á igual distancia del extremo B (473)
de la linea. CB 9 y son mes largas que la. C2?, y
que todas las lineas tiradas al arco DBE (513); lue-
go todo el arco DBE está dentro de la circunfe-
rencia del círculo X; luego las dos circunferencias
se cortan por precisión.

- Si& 3*° Si dos circHnfitrewias. de circuh X j Z 39.
se tocan en un punto B, dentro ó fuera , hs cení
tros C , G de los dos círculos , y el punto de con- r
tafto B están en una misnu{ linea recta.

Porque cqjbo la línea CB va desde el centro al
punto de, contacto B% JPQ tiepe que salir de la* cir-
cunferencia dd círculo X para encontrar la del cír«r
e«lo .4£j luego etsia mas porta; luego es perpen- *
fticular (472), y por lo mismo pasa por el cen-
tro fórs). Por consiguiente , quando dos circunferen-
cias ge tocan , los ceQtros y los puntos de contacta
«stán » xm misma linea recta. . . . . £ :.{}%t ■->

Q4 De

±4* ' PRINCIPIOS \7

Fig. Dé a^uí , y de lo probado (493) sacarétaós la re-
solución de las tres cuestiones siguientes , que ociir--
* ren con frecuencia en la practica de la Arquitectura»'

40. 516 Cuestión I. Entre dos paralelas AB , CD¿
■ trazar con dos arcos iguales un ialoh derecho 6 iré*

41. verso BGD en la salida 6 Vuelo dado BK.

Para que los perfiles de estas molduras hagan-
buena vista, Bs'prfeeiso qdt el Origen 'y et remate
de la «curva sean perpendiculares 'ú< las lincas AB*

40. CD, quátldó el tatos es brecho } y qufelas mistnas

41. lineas AB , CD toquen los mismos extremos , quañ-
do el talón és reverso. Luego es preciso que los
centros Fy-L de los -dos arcos estén en las linea*
ABy C© en el primer caso ; y que ltt^miimtfS een-^
tros estén en liaeáS perpendiculares ÍT los extremos-

.Pl B y I^de las mismas AB.CD > en el seguhdoi caso.
Esto presupuesto , sera muy fácil de trazar ca-

40. da una de las dos curvas. Sé tirará la BD , y se
tó .partirá por nieclio tú Cr; se - tirará uaá perpen-
dicular eri medio de'BG ,* el puíito íV donde corte*
k linea AB v Será él centro de la primer parte del
talón , y el punto L , donde la linea FG encuentre
la CD ¡ prolongada, será el teatro de la segunda
parte,

v. " • Para tráíar el tálótf [féversó y él puntos-te to-
mará eh el punto de intersección de lá péfpendi-

41. cular al medio de \BG con la qué está ew el extre-
mo de AB , y el punto L se determinará tomando
la GLzzGF, en la prolongación de esta misma linea*
- 517 También se Stíéléri trazar' él t?dioh-aeíech6
y ¡el revarco del médb saínente, ^^áspae» delirar

42. k £(D i, y partida* por inedio eb *6 , se f pklka( *d

43. G la una punta del compÉis,' y con itíü- abertura
GB—GD se traza» dote artos dé círéulo BF'yDLj
coa la: mfamfr abertura de ciompas GBr y'deéde^los
centros B , D , se ttt&Mi Otros áurcófr GFí> GZ^qué
:1 [l p cor-

DE GEOMETRÍA. 349

corten los primeros en F y L donde estarán los cen- Fig.
tros de las dos partes de la curva. Poniendo ¿ pues,
la una punta del compás primero én F, y después
en L } con la abertura FG se trazan los dos. arcos
BG y GD , los quales componen juntos el perfil
del talón derecho y reverso.

Esta práctica es tenida por defectuosa en el con-
cepto de algunos dibujantes de Arquitectura ; porque
en el talón derecho los arcos GB y GD no son per- 42.
pendiculares á las lineas AB , CD i y en él rever*- 43.
so , porque los arcos GB y GD no tocan las lineas
AB y CDl , si las cortan , cuyos dos defectos si
no se enmiendan á mano 9 no pueden menos de qui-
tar al perfil toda su gracia. '

518 Cuestión II. Entre dos paralelas AB , DE
trazar una escocia BFKME. 44.

Desde los puntos B y E 9 que han de ser los
extremos de la escocia , bájese la perpendicular Bb¿
y levántese la perpendicular indefinita EO. Tómese r
en la Bb su tercio CB 9 y trácese el quadrante de.
círculo BFy hecho esto , prolongúese la CF como su
quarta parte , y Con el radio GF trácese á arbitrio
otro arco FK , que remate en K. Tómese después
la linea IK<> también mayor que GF, llévesela des-
dé E á¿, y después de tkar la linea /£, leván-
tese en su medio una perpendicular que cortará la
EL en uri punto 0. Tírese finalmente la 01 indefi-
nita ; desde los centros J, 0, con los radios IKr OE
trácense los arcos finitos KM , ME , y quedará tra-
zada la escocia. ,

519' Algukos1 facultativos apelan para tratar la
escocia al método siguiente. Desde el punto B , ex- 45*
trémfr alto de la escocia , bajan á ía1 DE la p*ptn- -
dkular Bb y y la parten por medio coh la. recta mw
definita FCG. Desde C, punto medio de la Bb ¿ co¿
rno centro, y con él raoio GB tratan el arco' BF. .rf

Des-

*$o PRINCIPIOS

Fig. Desde el punto F, donde este arco encuentra la
FC, tiran al extremo E de la escocía la recta FE¡
y la parten por medio con la perpendicular Hli y
desde el punto G , donde la HI encuentra la FC
prolongada , trazan con la abertura GFú arco FDE,
el qual concluye el perfil de la escocia.

Aunque la escocia trazada por este método tie-
ne mucha gracia , padece no obstante el inconvenién-
- te de que por meterse el arco FDE dentro del lis-
tel DE , el canto É del listel forma un ángulo muy
agudo , y corre por lo mismo la contingencia de ro-
zarse y esportillarse con gran facilidad ¡ este es el
motivo por que se deja plana una parte EKfeX lis-
tel , retirando adentro el principio de la escocia.

$20 Cuestión III. Sobre una linea dada AD, in-
clinada al orizonte trazar un arco rapante AFD con
y dos aberturas de compás. ~ •

Tírese la orizontal AB , que remata en el punto

46. B, donde acaba la perpendicular bajada desde el
punto D; levántese en el punto C, medio de'AD9
la vertical CF, haciéndola igual con la CA , y tí->
resé la AF; por el medio K de esta' linea , y el
punto C , tírese la KCG perpendicular en medio de
AF , y desde el centro G , 4onde corta la orizontal
AB , y con el radio QA> trácese el arco AF. Final-
mente , se tirará la DO % paralela á AB , la qual
encuentra la FG en O ; desde este centro 0 trácese
el arco FD , ^1 qual concluirá el arco rapante que
se pide*

De los Ángulos considerados en el círculo,

$21 El ángulo ETA que una tangente forma con
una cuerda , tiene por medida la mitad del arco que
la cuerda subtende*.t<

47. ; Tírese poc el peatrp C el diámetro BD ¡ para-

le-

DE GEOMETRÍA. fegí

!ek* á'4a cuerda AT \ y el diámetro FH perpen- Fig.
dicular á la misma cuerda ; el ángulo ETC , que
forma la tangente con el radio , será recto , pues el
radio TC es perpendicular á la tangente (568) ; es
también recto el ángulo FCD; luego el quadrante
de círculo FD es la medida de cada uno de dichos
ángulos ; pero el ángulo ETA=zETC—ATO=zETC
~-DCT (porque ATC , TCD son alternos internos)
(483). Y como el ángulo TCD tiene por medida el
arcó TD , sigúese que ETA tiene por medida el ar-
co TFy mitad del arco TFA {494). Luego &c.

522 Los dos ángulos juntos ETA^ MTA va- 47-
len (453) dos ángulos rectos ; luego tienen por medi-
da la mitad del círculo , ó la mitad de TFA mas

la - nlitad de AHT ; pero el ángulo ETA tiene por
medida (521) la mitad de TFA ; luego MTA tiene
por medida la mitad del arco AHT.

523 El ángulo DTE , cuyo vértice está en la cir- 48.
cunferencia , formado del concurso de dos cuerdas DT,
TE , tiene por' medida la mitad del arco DE que sus
Vos lados abrazan.

m Tírese por el vértice T la tangente AB ; la su-
ma de los tres ángulos BTE , ETD , DTA vale
i 8o* (453); luego estos ángulos tienen por medida
una semicircunferencia , ó la mitad de TE mas la
mitad de JED mas la mitad d&DGT; pero (521) et
ángulo ^ATD tiene por medida la mitad de DG7\
y el ángulo BTE tiene por medida la mitad de TE;
luego el ártgulo ETD tiene por medida la mitad
del arco ED que sjas lados abrazan. l

♦524 De lá ultima proposición se sigue, i.° el án- ?
guío del centro' DCE que coge el arco DE, es du~ 48»
pío (¡el ángulo inscripto DTE que coge el mismo arco.
Porque la * modfate^el ángulo del vértice tiene
por medida la mitad del arco que mide el ángulo
central. ; ¿

2,°

2$a PRINCIPIOS

F* 52$ 2-° O,™ tofos los ángulos BAE , 3CK', BDB
opto vértice está en la circunferencia y y cogen con

49. ¿a; Zafo; un mismo arco BE , ó arcos iguales , ¿04
iguales.

Porque el valor de cada uno es la mitad dej
mismo arco BE (523).

50. 526 3.0 Que todo ángulo ABD , cuyo vértice es*
tá en la circunferencia , y ctfyos lados pasan por los
extremos de un diámetro, es recto ó de go".

Porque tiene por medida la mitad (523) de la se-
micircunferencia,
¿O. 527 4.0 £k* '^ ángulo ABC 90? ¿0£* 10? arco
AEC i*mjw ^w Af semicircunferencia es obtuso , ^
todo ángulo ABE 90* <w¿* menos de la semicircunfe-
rencia es agudo.

Porque el primero tiene por medida la mitad de
un arco mayor que la semicircunferencia , y el otro
la mitad de un arco menor que la semicircunfe- j

renda. j

$*• 528 El ángulo BAD cuyo vértice no está en el
centro f si dentro del círculo , tiene por medida la/
mitad de la suma de los arcos que cogen sus dos la-
dos, prolongándolos , si es necesario.
x Por el punto F tírese la FH paralela á CD}
los ángulos BAD , BFH serán iguales (482) ; perq
el ángulo BFH tiepe por medida (523) la mitad de
BDH , ó la mitad de BD mas la mitad de DH, lo (

mismo que la mitad de BD -h la mitad de CF, por- <

que los arcos que están entre . uqgs mismas parale- *

las son iguales (498). * j

52- -. 5*9 J El ángulo BAC cuyo vértice está fuera 4eí -
< circulo^ y cuyos lados rematan en la parte cóncava
de la circunferencia i tiene por medida la mitad del
$2. arco cóncavo BC que sus lados cogen , menas la mi~
tad del arco Convexo ND.

Tírese MN paralela á ACi los ángulos CAB%

MNB

<:

fi

D E" ^EOMETÜÍA. ^3

MNB son. iguales (488) ; piro el áúgulo MNB tié- Rg>
ne por medida la mitad d^ MB ($23), y MBzzBG
r-MC—CB—NDipn ser paralelas «AfiVy CD ^498^

tacto -*=^ — ^v '"'" ''■ ■'VV-'I

. 530 2?/ ángulo EFB fayo vértice está en la cir-
cunferencia, formado por una cuerda BF,\y laprolon* $3.
¿MCtai EF de otra cuerda FH , ¿/ene por medida la
semisuma , quiero detír^la mitad de la suma de los >\.
«rotf f«e /te dMKCu&das suítenden. ,<
< Porque los ángulos JBFAÍ * 2?;FJ3 valen juntos
dos ángulos rectos (353) * y tiehen por medida la
mitad de. toda la circunferencia ; peto* el ángulo
BFHÚtm por pedida la mitad, del arco ¿3D¿/ (523)}

luegcr d ' ángulo* ¿Fu ' tíéné : po^.hiécficEp^ — * +

*a '; ; - •

. 6£l El "Ángulo JBAC formada por una tángeme
JU3U # fiáa^séóáút^ ' AC y tiene por medida la mitad ¿>4»
<fe/ arco cóncavo. JH2 9 menos la I itzi/ázuí dW orea w**
(¿¿iwvTD #itó sus/ dos lados cogen.: ' f - .:
. j. Porque , si desde el punto de contacto 7 se tr-
.srJa cuerda 7!£, paralela á la secante víC, el án-
-gutoXftTf teudrá por medida (521J la mitad cklar- •
xo r&EzzTFC~EC=2TFC~TI) {4¿$. Y'como > por
razón de las., paraidás ET , ¿íCy>*i ángulo JffljE
íes igual 'al - ángulo BAC ( 482 ) ¿ sigúese que ' este
tendrá también por medida la mitad del arco TFC
—TD. •,:..

*Ue Impropiedades demostradas de los. ángulos
en, t\ Círculo, sacamos r > ; : : \ .* , >\ >

532 i.° Un método para levantar una perpendi-
cular en el extremo J& de una linea AB que no se ££
puede prolongar.

Desde un punto C qualquiera , fuera de la linea
' . . da-

^54 aAmjm»»^ 1

E$ dádá , "jrrcori el radio.BC sé<rá2ará un círculo ¿ por
di * punto <í , dotide este xíecuto corta la linea da*
ifa^yOet) Qéhtfo 'C V -se tícari el- diámeíra* A& r y
por los puntos D , B > la 52>' Ik quáPseA -1^ jj^r-
pendicular que se pide, ¿ " l '• ;

- Porque como et ángalo rogé fel diámetro', no pue-
de menos (U ser recto (526)."
^533^' &* Par* tirar dti tangentes A un circulo

56. dbsd&> m punto vtado Afúéra'tith ctrxafa? : ■<

Pártase por medio -en &\>imf dwlaüeh AC q*
hay entre el efe ¿tío d& circulo dado y- el punto yf;
desde ¿l* centra '£ y <s>n el radio EA trácese un
círculo BAD; por íos puntos D* 3 donde ei úl¿
U(pq circulo cortad -circulo dado ^ y por - el piki^
to ^jíreme ia^ faea5. Ap %: yíB ijm^^\ Pun-
gentes del circulo C *

Porque si se tiran los radios «CD > CB , loíarir
gulos ADC 9 ^fflC cogerán el diámetro AC ; luego
serán rectos (526) ¡luego lasdüeat. jfD ¿ fAB* $erán
o perpendiculares ^ los radios CB ;. C¿>^(46o) «, ktí$>
-serán ¿anuentes del círculo (46^) dado. .\ i '- »

534 3*° Para trazar sobra una linea dada< &D
ana poroion de circulo capase de un ángulo dada qrs;
quieto decir , • uaa porción de circulo tal , que -todos

57. las [ángulos :BADV ctyo vértice esti ** ¿* ctrc&fcto&r
da deiital Hx<#Hfr)> y \eojdn W ateo -íkyá xuárük oes
BD> ¿te» *giale$ J»¿ ¿rígido <dádc i-iqps..-:.í j.> ik:vi:i

» Fórmese :en-eL uñó -de las* extremos !<de¡lat linea
duda BD (444) el ángulo D2?jFigpal al ángulo da-
do qrs; levántese á la BF una perpendicular iáde-
áiáqarüBCS 3b eatattdio de ifjD-jótini'perpeiídUcular
CI que corte la primera en algún .punto ií? i ¿ eso?
éfcrá el - centro \aeksdtciaio 'tjué: .sei ipidá \ 1 -:: ? ^

Porque cómOiCl ángutó. J32ft&«, pto construc-
ción , igual al ángulo qrs , y al mismo tiempo. site
dui! lados son re&pecti^uzícpt^ una .^algente ,51 una
:,ú cuer~

DE GEOMETRÍA *$$

cuerda,* su medida será (521) la mitad del arco Fig.
BID qu.e sus lados cqgenj pero otro ángulo quai-
quiejá BAD , cuyo 'vértice esté en la circunferen-
cia1 .y tos» lados cojan el mismo >a«o ", tendrá '• tato-
leen.' la -misma medida (523); luego será igual ai án-
gulo dado qrs*

535, La üirima proposición^ sirve -para determinar
la posición de utwÁfnuc^rpOrtt^jtUmihsqt^fue^:
ven.s cenital, que se sepa, que ángulos forVrU^i léstta-
jüps visuales que desde dichos patitas' van ct tretóbje-
tas* ¿te posición conocida. \ <

< Supongamos v.»gr. que se tkw ofrezca detertaiiftr.
la posición de: unac roca B la jqaal está á cierta *fdiS-?
tancia de la costa, y sabido el valor- délos ¿ngu~>
kfc AD& , ■ BDC que forman ^ los xayo6 visuales? J>A¡ 58.
BB^ 2X7 ios quales desde el pumo D van aparar
á tres objetos , cuya posición es conocida en el 'ma-
pa. Se tirara^ con. esta* mira las lineas A&, J3C, so-
bre las quales se trazaran porciones de círculo «rpa->
ees de los áógulos dados ABB\ BBC. Claro está'
qüe'ei. putfto cuya -posición queremos determinar en
el mapa estará en la intersección común de las cir- .:
cunferencias ABB , BBQ. •."..•■
--. ■ r . ■ •■: vi::'¡ ,' - "'

De las: lineas que cierran un espacio ¡' 6 'de* las V
-<*'*• figuxas planas. ,:..•.

'" > ' ». • ■•••' ".

£36 Llámase en general figura un espacio ter-
minado r ió. cerrado . por todas partes ; por cuyo mo-
tivo en toda figura hay dos cosas que considerar,
es á- saber 5 las lineas, que la forman, tuyo' conjun-
to se llama ámbito , contorno ¿ ó perímetro de la fi-
|! gura , y el espacio , orea, ó superficie que el perí-

rl metta encierra. Ahora solo consideraremos el pri-

\\ meroi de. estos dos puntos.,. >dexando para mas ade-

lante la consideración del otro.
7 j'J • Las

?$6 PRINCIPIOS . .

F*g« 537 k*s figur<*$ pionas r las únicas que oonskle-'
raréajos en estos, principios ¿ no sei distinguen del
plapOj, cuya deHnicion.dímos ya eri otro lugar (41a),

538 h*&figurax.curva$ son las que ncr tienen todos
sus puntos tan altos ó tan bajos unos como otrosí
la superficie de una bola es una figura curva.

539» Las, figuras, mistas ■ son tqdas aqueüas que en
parte son pUoas ^ y en parte curvas. .\ «i , -ú

540 Como el perímetro de una figura plana pue-
de componerse de lineas rectas , curvas ó mixtas,
se distinguen las figuras en rectilíneas , curvilíneas
y mixtilinéas. Por ahora trataremos de las rectilíneas
no qi?s i y entre las xriirvilinear solo haremos men-
ción ,4el circula :: f
>: } 54^ La* figuras que tienen suá perímetros de

igual extensioü , se llaman figuras isoperimetras.
59* - 542 Decimos de una figura ABCD que está mr-
¿r/¿tf# en .un círculo , ó de un círculo que esta cir-
cunscripta á una figura , quando todos los ángulos de
1$ figura están en H xircunferehcia del círculo*
Llamamos círculo inscripto en una figura , ó ñ~

60. gura circunscripta a un círculo ABCDE^ aquella
cuyos lados son todos tangentes -del círculo.

543 Finalmente, llamamos diagonal toda linea
que/.d&ie. uno. de los ángulos de la figura va á pa-

59. rar á otro ángulo opuesto ; AD % v. g. es una dia-
gonal de la figura ABCD.

Ve hs Triángulas, y de su igualdad.,

- '< *< > • - • . . - ' ■ . '

544 Para terminar 6 cerrar un espacio se necesitan

61. por lo menos tres lineas rectas ABy AC , BC centón-
ees el espacio se llama triángulo rectilíneo , y las tres
lineas que le forman se llaman lados del triángulo.

545 En todo triángulo, hay que considerar sus
lados, y sus ángulos, . . » > ' :*":/

Por

íláff.

h

DE?<®&XWT&T&fA. £&

-;$46; -Pt&rstedti de Wl«lo¿vpu«de haber tres es^ Figw
pecies de triángulos; esa saber -:

r-t>:JK triMgutox4§fkát^^w^V^ ttóne i£|5i- 61.
fer,ai&v*rá tadósi* ;^ v:\--\\* iA-A i;\ e^".»va;. ir.

> 2.0 JES/ «rtf«9ufr<Jr¿j^
¡guales dos lados.

3.0 El triángulo escaleno , y es el que tiene des- 63.
i iguales 'toctos su» tres lados/' - -¡ ; / l

v 547 Por <****.' de loe ángplos ^e, distinguen los
toiángulos ten;' c«.i" -\: .. «-.:« . ..! f¡~ ■ • !■ : "■'

-■ 1^ Triángulo rectángulo^ y eS el que tiener recto 64.
uno de sus ángulos. El, lado opuesto al ángulo rec-%
to se llama ¿ypoiertusa ; ¿4C és la hyjpotenusa del
tUángulo ^íffC rectángulo «ri Jfr ' r >. ' * ^

- . a.0 Trianguló dwtúrtguh , >y Miel qttfc tien* su^tréa^ 62.
ángulos agudos. ' '■ * - v - ' •»••>

* 3.0 Triángulo obtnsangulo^ J te ú que tiene uno 63.
de sus ángulos obtusa *■;,•." . \

$48 Es práctica gqneíal llamar ¡tóse: del -ttiá&gui*
§u ladb iuferior -<ÍC, bien que ser pu^áe 4bnaüderar' 61.
como base quaiq^ier rdc los demás lados; ;«' {- '^

- $49 Una linea BD tirada desde d vértice dé un 4A
ángulo perpendicnlap A la base ¿4CV&4 su prolonga- 63.
don ó al lado opuesto , se llama altura del triángulo*

i- S8° >'Jfc'-fa'<é*QDiá^ auie 64.

la xi/090 ¿fe &¿ ¿05 ¿ufo; de todo triángulo ■ es siéri*
fr* mqyór jw-uJMlftR lad* AB+BC v.gr7 Vale ($
mas que AC. .* ?' ■;•• 64.

- Porque como AC es la linea recta que va desde
A á C, es el canpno mas corto • (41 5> que ya de&te
el uno de los -dos ¡punios al otro. >> ^- ' \ i s- "^
-: 55i Quedd probado (499) que potaras iptttkaAÓ^
dos, como no estén todos en una misma ¡tetitk, áfc
puede tra2ar uha circunferencia de círculo. -

Sigúese ,de aquí que por ló*>vbpices de los tres
ángulos denm triángulo se puede trazássrsimpro:4ik
i>*Tom.L R se

Eig. $e qufcrawéi/t circunferencia de circulo* Dtffaqúr in-
feriremos. ;,,;.,> ' ; ' -. .'. \
. .i«^ - $$& '- ■'*$ Qi&lJi9Wt4otd>$\\/kig*h5 de m triángulo
son iguales , tos lados opuestos á dkbosl ángulos sm
/: ~)tam&>en' iguales fcy?se^proc^^e<¿ .$»*»<*» dos lados
de un triángulo sot\ iguales , los ángulos, «puestos ¿\
los lados, fottitatobm /iguales. >. . . o . v

Porque si trazamos una circunferencia par los trepl
ájjgutast,^. ¡6 tfiC&.qpa&dQdfxt ángwios, ABC, -AQÉ
65. son iguales, los arcos ADC ', AEB cuyas, daítades
„-í Ó son aii-medid^ (#23) «ritf «guales-* 'íaego &s cuer*
' dftS,vC 91 ;rifi:.s«fa;iguate (431X; Y recíprocameatay
quandoitos kdosi.^/ví^isoa iguales y los arco»
.¿ÍDC, AEÉ son iguales r ln^>- los . ángulos AJBQ
.sd -áffiS* -^iii«»riopar^ne4tósril»..WÍtad de.«sios> ar-
cos , serán iguales. i : .¡¡¡..'¡i
£A< O..J53: Xueg© fej¿#w ¿tigujás>4é vn triángula equi-
látero son iguales , valiendo par l» mismo cada una

.id ií;5^í;(A°o(^#{^^í/|»*i»^%í*/i»: ABG eOtaáytm
lado está opuñM al'.mdyorJingMloiAy ketíprocdment©
& rnj iPorqfteLsi iel ángblo'^JKCaiMnayor qtieíel.ápgu-
...-.-1 ip ^fCe , :el íidcq .¿PC será: rtaayót ($23) qua^el ar»
" 00- A&S-. >. y poc consiguiente da cuerda AO. mayor
4¿) que 'te-<fce«wa'.^i(48áfrtf*' <«iiíí|K*c3:s&Cdenx«estra
dfeijmiamÚMffloda o\;o\ *\j reta A -w\j ?^\ <A> t>u . r?
f$) uiítfSS^-E* ttiáH«to|ító\BiflktfA*iioi* *<*• tre\
4.O ángulos vale dos ángulos rectos. ."><n •-•■[* •* -¡ i

-,!■? iPocqu^ripí M-,twájagiüojie<cie)^ircBns«rib«! rofleír-
¿teb(^4l>J!t> ^%)uj»üde¿jte$ ángulosíil«L triángulo
tendrá por me¿id¿iJa taitaár.dei ajteo^üejbusrlado»
*ífclb^)anta«? ^ (m) «ng^tosi íjliot^ tendrán
ppr m&Wtíterrfmtüii rde ?iaV»Hracíleoifc>Sjítt«e3 arcos
que sus t|JeSJ'J^os¡J:ojRlryI^r^ft:tiútadJdB:t«d»^í^i^r}■
«uflfejftncta v„«uy*? mtaóV^ak 180o* luego «aJeJl dos

Sl H A.tw»$De

DÉ GEOMETRÍA. «59

ft &6 De la última proposición inferiremos. Fig»

i ■ i«° Que en ningún triangulo puede haber mas de
un ángulo recto ; & ún ¿bigttio oBtuso^ ¿atiendo de sef\
poryneclston agudos los -otros dos* Porque knó se»
así, habría triángulos cuyos tres ángulos valdrían
mas de r8o°; y esto no puede «cr.
v SS7 > 2° Que en conociendo dos ángulos de un trian*
guh.<> es conocido ^ verter* , ei jaal tw/b fe fí<?( /&
/¡i/A* a los otros dos para valer 18&1 T)rn wnocie**
éü un ¡ángulo , &s^m¿ckUrla, sorba de^kr ofrosidet , y .^
es lo que le falta al primer ángulo paca? los 180o. i
' Offi 3*° Que si en ún triangule ABO prolongamáp 66.
ol.lmb BC<, el ángulo externo >ACD ser4 f&taljít*
tuba detfot'do* iutqrkúsiA> B* opaestosjú 'Jbckmdadá*
Parque ÁCD+ACR\vife 1*^44^3) ?3pecó ;tfüJI
«ft¿8C*<¿4&9 valeos) también , 180P f c&eg<j <%s-
ttqfb de «tas 4q& ¿urnas aguates ^ d. ángulo JíCB^
quedará ACD=CAB+ARGl>\w¿\ c.jük oV>Vu .¿\> vá
(í^^4? QiiéuQOMnd* Ío*y4rtylosliHfakríXrláfoufo .%d
ton iguales. Mdosijkn^do¿ Atrtw ppiárguh'4 dbortftt
¿agido >slei<m'otriáng*do^w¿g

ota* ^ípobque tos tres áb¿ulosxle^¿ad^ tf ¡ataguía ira*
kn^jumofi) 260^(557);- - < •> vs J < -iiuq b } o:;o noo
~x.¿6o , ¿p Que <en todo MrtÁs^o>res*in¿¡d<> to*r4A*
ékigu¿ósí>agoehs^^ Mfe.uo:) ¿'¿*j

.f íPapqoe jquantki jimpídeclp^tfer:JAngiítospoi*i raí
triángulo vafcgtft>¿{¿ta| etroi do8-junt©4 hkh c|tf*fra-

ler también 90a (Jss?)- ,j '- ' *^ r'-'l f'' ' ' -""*»« :j:*
-v g6í Itor triángulos so$*Üguaks uno con oé¿oc siem-
pre 'que he tr¡n\ tato 4feAri*a¿ xoti jPgMte '^tataat
iodos > de t ot*a.o: :nto b af .Jj ; *>i . *, ^ ;. 1*. ) <.? .??
oí. 8eai^f2teraA^cjCbs^.)iK^A(; Desde Jos ceotto* 67.
a* y #y^oonlos i*U^

tos tm 5 qp que. se corten en C^ sobrepóngase tt 1«*
d*4¿*! lado ^#5, el punta *ai ipudtx> A,% M jib&-¿
••^irfupwtai^íPor sw[^Cb^a^v]y^J^w , tftgrá
** Ra la

fl6o \.ATXIÑCm!OS''<\

Fig. la linea, ac su eititenio. c en. algún ¡puntó del ardo ypt,
la: Une* te tfendr4r(a«ohi«t« au, extreme* * en algún
punto del- suctío ppi, luego- Jas «U>&> linea» se juntaría
ea eLputoto C* ibteráeccieMabdevlos das arcosa Kiega^
punco ^cae.rá «sobreseí punto, C, y ios dos triángulos
se confundirán uso con. otro,; luego secan. iguales».''
• • $6t iJDas-'Jfsiijifiguhs .¡tan; igml.es , : quando tienen un
kúio- igual 4\i» \M» w&dwnrfgtá ¿wi ¿¿guias Jgtfaies%
eadojtm aitiyÑí?^ -\<¿<.:>¿ ;-. -\ uV> -^y..- '. •.. ;. <.'\

67. ^ f Sta ^uftfeu&V ■*£=* >^cw& ; 8obcepongnse el kd»
, akdi.ylBA Por ser el ángulo * igual al ángulo A,y

.cd el .ángulix *; igual al ángulo £, el lado ác caerá"(4$o)
fAbreláfG^ y y. el iado* ¿asobee ££; lluego las doaUa*
dita:wc-V'^ fcetencoiftrartn. An.eÍfjun*o.> C ♦ ^iosrdoa
triáfruJos^se. cpriütafiráa'e /lo^.aeríh'iguales/1

dte^JadaAiigttáles* cadtutqo ¡allstffOi^J .igual. ti ábgm

lo que dichos lados forma*.. 't,-\-li:. r: V '.-. í .■ .'--:;>

67. c\ ^^^án|^lti.,^agnal atuáaguto^ ^>*#rx3*¿,

uHQhdCi ^obrepóngaftCM^fi» idtfbj^.dtíiX á- -¿»>y c«ft

l^y;\D06&le. <499>nrio»^aig»ia^;..uoov«oh Vttohvlot

ángulo* -irfí: y «^.loíbdeohiadi&s.att ^nfiíodoán; tmt>

con otro; el punto C se confundirás cení el pcattoí/r't 9*

c&J>tufto<<'¿? «W.elopjprtóA*. clsneg© ¡Ci£ se* c«n%n-

dirá con.&ú lUe^lm;^dú^ttiiána^sloscte'\Qoate^

rao vbaiebQi.étrav y^opteowigiqánmj^iáapigiaales.

->:¿64j íDó iMiiOtesonttirjaoa firbpoáejojtes/ 6* j sacan

. tres métodos para otras tantas . op^teRáonefLtdisóiitasl

-v. ,fv°?Un jetado tffa^tfnrtAwrto <W^^

jM\fak>^se&,;t¿vaJai ¿wksviie 4te* triángula abf. w*

67. Se tomz ^4B~ab i desde el centro atít^o j;coa\uíi

.tO radio s^l,ol»!g<aid«ftlad(acp8pxí^,^de3ítee

B coa lOtüPr.wdio'ia/'^ pW«erM«lo doaiwtdq ¿%e\rrfcr
zan dos afoOs^^^í^e^.cortoaea^ , jr coottiraB
las 04?> CM, quáfe Ixasadfi;^ tfiá^gfcloqmi tendea
f. $65 < ^ilaqifo'ttalihqwfe ag><ba»tafi»quterip«*
i,\ sil »

DE TeÉÓWÉ$&Ki. rite

ta" hader uh WidngtÓó ' con }Ut éfrjttéMahéid d£:qu4 sus F^2
tre* Jáeio? séetn respecthatMhttrigualét á tres jinea* » V
mtibttT-7 táftAfe* td'nM 9& fMHü/Áfn-^riit&ih -^
ejuHátrté s^e-um' Wá-dMá A^'-'- ^ Y c^us<
-»• Desde fos'étotfs tfj*fr%> f'&üQrfí&d&XB 6JLt
se-trázarán arcos <jüe. sé< cortéh^eñ' '-Q?J ctoftirafc
fas lineas ¿«7, ^C qúedari trazada el triángulo reqúm
latero pedido. .'Uh, . v\ ..i

-■"$»'« *.° ftOKlAtókftí 'MangWó 'ABfc *we Kftga -K
m tab P& igual <ávm>lfoekMM;f[M¿áng*M><&
yacentes ai tai lado iguales á dos ángulos dadotT-iX^
*. Sobre la AB se formará ;ef án&ilo É igual al Uno &fi
de los ángulos dados, y ei ángulo «¿ Igual al otf»
ángulo dado (444) ; los lados AC \¡ $CJ>sérjunfjitán -s?
twCy y Redaré tfawdb^Ptrfát^tño^dM^" '-'>1
567 Quando ( se quiera, tánstrWr'mitkd^uáf
ABC , 01 tohóciendá dos lados , > W* Áhgujo que fbr- 67.
«ww, se hará el' ángulo ^' igual al1 ángulo 'dado, y -c?
lo* lados AB± AÚ respectiVámente'%usdes lloá la-
do» ¿dados j'íe catató la «BCí' y ^ufe»*á fttft&ufe
*1 triángulo; que se1 'pide. ' '•"' '^-'P •-'".;:, ?i:n ?.oi noa
- - ' ¡ •'■•&i'n iJn'i 'jb r'jU.Li ?-ifir^rr¿ '-ol

De tos Qpadrítátfrof.

) ?••. 1 ?...' r

..i

568 Llamamos qturinídtefo úña'fi^Wtimdá
pOV qfeaW linead rectas. v*. > '-i **» A '.oh tvA "^ p-?;
» -'kfy Uhá fig»A ^úa^»erá-,^(^^U€Oííd^^ 6^C
óe lado alguno paraleló' i'ta^^'llfcfe n^ptfpflfe'*
' 57° -QÚartda el quadrfíátero '-tiene des- :la«kfe no
mas paralelos , «orno AD y 2W?,- se Dama trapecio 70,
>• 571 Y finalmente selkimá ]ftar*&^»^ &^qHa*
ÜrilámríP W5l?Í)l'«qÜe tiefté- pirtdefes e Wis .'ladoi 71.
opilésüüftt' *o! cv"»i'í i n m- o'>a. o!.>;I i» v r i^ot^us
-^7» infiérese de; -aquí r^A^eri¡»rÚm: ^Ba««9
«pedes de párateWjgrambi "qué1 üe distinguen tt>&
nombres partícéfatt*. J¿ i ^- ^.~f-; «8™i «'J'^I
*••* R 3 Quan»

Iíg3 , i^Quandp loiiogfi^s.y liados contiguos del pa-

71. íaMdgramo so^.desi^e^^e.Je Uaa^r<>w%¿¿, •
72- o.^23v^Qw& Í9S W4^i<^ f«u*lel^amo «p^

iguales, y desigual «Ifc&fltáPurafebte üama.*«w&>,
7*> r^aitf-nQPí^t0^1^ ¿n£ulgs .del^paralelo-
grajpQ, son r recto*, jr, por consiguiente ¡guales , y de»*
iguaíest los lados, qoi?üguos,i^e,, Je llama paraklógra-r
mo' rectángulo. , ¡; Kl- •;

74* J^fttf 'A^rJWwco^.v^u^d^^p^^lógranhí^ie-
i^^ig^^u&lados^ su&£ngfcilps9 ¿p ,Je ?Hfttift vS«<*
<fo*d?».oV.¿>> -v.-'^rcv. -.'vi ft v.Vv.- ••. x Y.>, \a -« 1 *

7J© o. ^ ! El lado inferior ^D , de todo qpadrüátero
$e. yau^i : fase 4Á quadrilátera, , •

72. ri¿£7|7! r h V; ^se^rnaj^íí«% 4él quadril|tero toda perB
pendi<»jfe|?..i?JS itj§a4fc.áila,>ase¡;3 4-.«l r^olongapaa
d^sd^^ladp^p^sii^ *... -..ilv *7. .j .:¡>l,o T--.

,*0 ~\6f?8 NI><fo*u/w angula juñtv^fk r u^quadrOdten.

70. 4$GD"«*foi 5«<»író áfigulos rectos., !.-,••*
-,.L Iforqut , s* rMraufpoa ja áagopa},*^, £sta. ¡partirá
«fc.'iawtdril^eío ){fetv 4°3 \tnángulo$r, ,<?uy©V ¿agíalos
son los mismos qué los del cuadrilátero i0pero todos
los ángulos juntos de cada triángulo valen dos án-
gulos rectos (555),rJwg° todp¿ k^ ángulos juntos
del quadrilátero valen dos veces dos ángulos rectos,
&qN&F&jáagulas£f0Cto^ ,. • . , , it ;¡¡. f„,u ; ¡;~
579 Si los dos lados opuestesJ&^£Tk4e, u» qm¡

2$ dfsWmo 4&¡&ffw& igWiZSj&íiWdebtxi tibien
serán iguaUs j¡npfir0lelasjps afires dos Jados AD, ¡C&
1 ..i Porque., , si, tiramos la diagonal AC9 el ángulo

.0- &¿p8erá; ««al.al.4^ulo^l?q^:<483)» y.lop d»

.: v wt/ángüje» , iA.-toátl 48 jgualpal (fedavPC par tí
supuesto, y el lado AC común; luego los djE&jtriány
gwfoMerá* ig^-tá^» ;y. tendrán iguales los la-
dos 4D i:£Q , y el ráñguló BCA igual ;al ángulo
QAC\ luego (487) AD y OTjgta-.Bwtfeltfti.. ...i

1j.262j

Tí M o y N

*v

DE ^ESJ&táfSflSU tf$

'S&v 'La diagonal AC de un fariléldgraiíh A&6D ¥$$
k -divide en ihsKtMóhgul<&V¿ka1&i\'->^ own\-X\;.vt

Porque los do$ *»ngriteK W*O^^0<7- %fe*Stf 75.
4 éfcgutd D^C igual fct Ín¿Hfói >ÍClMH8!3W<e*án- +?
guio iDCA iguj* áí ^ángtlló BJ*2\ ^^^36\^r '&
eotbUn á ambo* triángulos ; kiega lé« áo» ^riáftguloS
son iguales (562); luego &c. • - <il

AD¿: BC vfc ' tiós'páráleMfi Itfrétcéptatin 'e*tñ>'oth»

Porque , comóíy según' siipíHWmc* ', ¿¿ÍB y UC£ 76;
jií2>. ¡ y arj»; $0» parálelas y k figura' ¿4ffCXr es (&71)
«h-paiaatelógr&flíby jr-pftf ééft^ieSfc'k'^lagfcfcflfi*?
le divide-;*rt-i*wr]W4á?igül^ $gífál« ftfoftf Ws «ifátó
téttfrfcf «feltt& tos«*ft#í4tbs-íig«ítteS,í^átíá uflfeai .
S«vd,^hy^^-<*S^íSffOi^^"-r:"i "« '«''Vío\ mi 'j oboí
•>$8* ^Bntod» fótdlel^rttm 'AfiCD tes-tmgMs ffc
épúeftos-A *j*CV-B ^ *>'W* iguales, '¿Wtontlnen
iguales los lados opuestfc&Wylf&ywlñ $><©&« *
*J.'r»tíi-4aefeeofW%sí,>lá«t>sv: ^O •^K?¿s#P<£aia3elos
pWll*?ná!Vii<AW¿á ^'pfcr&ek^kn^QciB''4!i^l& b

to el mismo ángulo D ; luego son iguales fflgB^ífet
ttfetoafilnfed* °8£ &to§9&Sr Ajee ^f^sén ig&aes.
-*« tft^^ruhdtí^áttlí d^^r^Bll4$}f>^tléaa pf86»
da an^^^iüt^>v^qtíe%Qn^^felds!^£fe &b*W&
dos los lados opuestos de un parale) ógramo.

583 De aquí *#ín$é*S, i*\° $e guando en un pa- 73.
ralelógramo es recto uno de los ángulos , A v. s. lo
*J»í tortbfiJ&rtóflWíft sLoi wo»\\oT sacrrjcí.I fls;j
-Hü?dtatf¿r«u0e^^oS'>ím<í>v*fe qWe§o&|tfetfittJfll
tó de ¿Íf4^j v ü'áérá: tátribien: reefÓ>, ^«íW 0'^|
feual <*ft SU'btWdstó'^C^SJi'y^©:^ Igual 'cd!i»sti
epttfcsto # < 4tíe^*Ddo&'to¡j quate(9«^»©síííéttire*#oáC
««* R 4 Que

f&R . 5¿4 A°,Qtte ..$*««# i# fetfw.AP, ¿Bife wf pa-
A/ q raleiógram contigml ¿:p4¡mení9f,A <m éngulo &so*

¿#> ' *r ,g- fettfftf Vte^uamAngHtos &% &lhs iguales, i

74. _f ,. Bpi-quevífi^ igO# i fu Spuestp 4£&8a)4 JB

, «>ma AU^ufifir, ¿$«ese qqe BCpj^Bts. igual á si»

Ala2c?. «puesto C£,fc &ego lpsrqHatto^.ánguíoisi son, todo»

iguales. .. .; .... .,.;-.. .:,. , ....

2.a que Av ¡a(bs.xÚMiito*&qi[jguqief A5$*»8^ <***

(T"^u§g^^lRu;aJ»bef sj uoaífeüra de-qtwaro.lad©».
©¿^J^lfiWgiWPQ. *.*»$** $a^e? ^«swcutrs en'cll»

aigmu ¿g tap®** m^m¿mvmvtm$&.A .: a

todo para formar un paraklógryBQMjyt fggftlwp* <fe

5#? «ff.,<%¿& *ík#ia/ v4f^\áwfc ? ¿formato pateas

4ps,,Jlfaat¿1^r&Á&jí>ilgÍt*4 qü&litoitf kks#i*U

2ols&rlp^á^?s:«*v yí^.teV<flU0fifoi**i>Ilfi&9na-

d&Pftii ,' y por,$i fwnto A se ,íi*aíá ,|aiuP(?\pi»a-
l^la X /& i ftialmems , par el jjunto J?);fe, fiúc*4 lft
C# earsleía, ^i;-íP y \y> qi»edwa*\c»pcluifi©, «1 f*&%
IfWSf^pg^ ?dIkij^í n <> ;?'ijl ; ti < íí,.-,,, f¡"i.n ¡y 01
.o5% iSMíogift» fo¿o. ¿fUesefde,gp0 »¡el faftfetót
ffJffl^' mkirF<Htí^te^($1M}h JM'fWÜt jff^BO su-
puesto íuese a4*z<ab , ¿eri un ^ua4radof (575)+ ■ : . f>

c\ .*> .<j A. , 'wvá %o\ '.Ai t..v\ oW/t 'ti o-.; v. :..•'.'• V.it
588 Llámase jPoligono toda %«ra, p^ada A tos*
tmofayfiofrnufy ^/0^|rp;)WP3->QuW»dP'r^l,foU-
gpnp tíeoe cinco tla4os m Uajpa (j>e«f 4£$# s^Mind»
tiepe ?ais $f .tyaQa fxjg&ho ; \ guando sieje fit*4g<ffW
y, ^ JíM^ ^/^^ji^^W^^^W l *»*€&*»

f&ítfkofigono ) quando tíeaé ocho, nueve, diez, Fig.
once, ó doce lados.

589 Polígono- rtguiar se llama él que tiene igua- 78.
U$ uflps, con ottos todos sus Ángulos , y todos sus
iodos i y se llam^ polígono irregular, quando. no son ?;?
iguales , ni todos sus ángulos , ni todos sus lados.
! 590 Se llama ángulo saliente de un polígono a> 78.
d# ángulQ <fj$yq. wrtjcp «s$ íu^ra de la figura ;: loé
4pgulos ¿f , -A, , A -Ae*. son . w&ntesi ;> i » - ' 1
cl59¿ j^secll^mgk..:^^^ /^a^e>djápguk> cuyo 79,
vértice " sé -mete dentrp de la figura CDE es vA án-¿
gfllo §ntr^me. ■ •. -;,.¡ c.v ...•>. i

v $9#> jJaQáipo? ,*dújfcj r*p*af ó. apotemas de tu* 78.
pql^pno las per^pdiíjjl^^^CtP^Qg^baxadas desJ
& ?1 pUnto ;me4¿j> ófc^mpico del polígono á sollados»
t • 5f; $e , llarna? ,r^ojj fBttyupsi \m jtineap Cff , Cií
lirada* desdé ;el centro állo? ángulos, del polígono..
í 593» Sí desfier pn ptutfo C deptro de un polígono^ 78.
^mp Mm A \°¿m te (to&fas , «s patente quq
sft,oFigii^^^ guantas lados tenga el

polígono ; luego todo polígono puede dividirse en tan*
tas ^iángulo* ¿meladas" tt?w y »\ v. •"•;

-; 594 Y si dejsde uno de los albulos de un poli* 79,
gono se tiran diagonales i .todos fas ángulos , me-
nos 4 |op jdps Iwm&WP** '¡d pplifQ»o quedará di*
y*&da;$# t^ntps triángulos', &ieno$ dos,, €taRa;lfr>r
dos iiea£i ■ ■■ ■ ,• j . . n: ¡ ( »;■> .. . : <*ii :'■■■, \¿\ #. >>i
: S95 Luego x«* J¡» janí* de todqs ¡os, ángulos in^
¿priores de, sm> polígpnq vale tantas rVtcrt* 180% #mw*

Porque como los ángulpfccdeotod^ lofc triánguw
lo* ^$y{tfCfí *<*QftE <&¡*vi que «tfrdhrtfcdo #&
el^lígpnp;^^ lad^á

h^y (5fT5) í^ 4e:)a spn» se rea^ 36a0, <S dos ve¿es\
180% valor de todos los ángulos que forman emefc cen¿
trpjps, véui^,^ 1<$ fti*4Hgb» (454)^,^ iwsta/ierá
■*« la

266 p&mcipiós >

Fig. la suma .<le tftdos los ángulos interiores0 del fxfcgorift
La misma propiedad se verifica eñ todo* póKgé-*

.Z-; no ique esté dividido d*»deü!to de sus áogulosi¿ por-
que como Ja suma.de los áíigulos interiores <dél pb*j

79. tígonot jfBCDEF es.) sin la menof duda, lá misma
que la suma de los ángulos de 10s; triángulos ABC*

~.í\ ¿iCD + fkc; en que ésta diWdido ^ el poHgono,( todos
kri frgulps del polígOtott jUbto» vakfrte.k? mismo* qué
todos los ángulos junto* de' tos: **r&iigul(fr ^fe lé

,(y/ compoobo;, esto es y 'tancas vüc& H&cf* (5)55) cotao

" bdositíeae^^totiiOB^óáiís&j).- — ■ -''"»' - 7

En esta proposición entra también '^l ingulg

;j; <?£>£% no; tentándote par lá jfcrteíCM J siáa^or
legarte AC&& oorfa^uésta dé ldá *áagtft¿s< íl«»K
<á©Ci y aunque <M íítv áógdtode ««as-dé ^8^7 '«
k> rrústtid que otrt) áíigulo ^úalqüiéráque nó ltegue
á 180o; porque cooló todo ánguto ^es la ca'fltidad

r>- que una linea tecta moViétíddse al rededor áé un

* pupta feo ge ; ha^ápartafdó dé> étra ¿ lia vuelta quieté*

toja mas ó menos* dé tó*:*S«P- , áietf$>fé -déb** ttofi*

ta«se.por ángulo. '-"'\ • ^,\ ^- ^0* ^ , '** ; * -?f - 1

78. 590 Luego 2.0 Para súber wam>i)tá cada ingfr

f * tó interior de un polígono tegtdár^ se buscará !quan~
tervalen juntos todos stfs 'ángulo* interiores (595)1 7*
stí^valoi tojakse pá*tíráJpeí(el :námeí:<* de fes fedofcí
£11 ángulo ¿te ira.. perilágc^Jl^üyi^*/ gí v&*>í$fr}
porque como tiene cinco lados , tomaré i8ü* ciñfed
veces rraeiros^übs'/clüiei^) tfeeír tk& VdWiá*) ^ sal&án
54©R^ xrotór deltas tóhod ái^tóátáaterioWs ? y porreé
todos iguales unos con otros -^ '¿ád&iuab Séíá^towitt^
teu^iatíte del 546^0^1^8^31' p» <c* t)fn°-> 'jirrjoT.

todffr esfos , radíñ:st<müóntf<itÁK *n C'J'jr &lSnigia¿

i u>Par*or í%w&oíl> tóguí^^ *>1 áriíúky^V^1^11
&l gu~

DEQE(>W&KI{ÍA. &í

gulos CAB\, CBA, mitades de ángulos iguales , se- F¡g¿
rao iguales % y el triángulo ABQ será isósceles (552); .
. ACzzBC. Del mismo ¿nodo, se probará que

598 Luego i.° &* desde el puntf C r centro del
polígono r y- con el radia CA , se describe w circulo*
resultará un polígono inscripto en el circulo.

Porqqe como ACzz^CppDC[&c. la circunferen- 80.
cia de círculo . trazada coa el radio AC p?$ará pc«:
lop .vértices de; todos los ángulos.. Yr

599 2.° Wi polígono regular se puede dividir en
tantos triángulos iguales como lados tiene.

Porqueros triángulos AQB 7 BCD &cw spp todos
iguales (561) r .p^s ti?nep igual?? todos sus Jagos.

6úó 3.0 El lado j$ del exágono regular es igual
f¿ rqdio del. circula^ ., ».

- Porque AB és i$ cuerda de un arco igual á la 8a
sexta parte ^ de la circunferencia.; luego el ángulo
^CBvyfé^ fc'gnBHP ¡V» jwfc» CAB., CBA soq
iguales (s¡á>3) uno pon ptarp , \por $star opuestos á 1^-

¿psigí^^ 5(5972? ll*e«9 «P& uno v^le 6op; lu?g»
p\ triángulo ABC tiene iguales todos sus ángulos, y
¿s poii lo mismo equilátero (553) ; luego ACz^AB.
K 601 Luego para inscribir un exágono, en un círculo*
tgptaf£ ^yar^elra^ip seis vpces sobre 1* circunferencia.
602 De aquí se sigue que el perímetro del exáy
goria regalar inscripto en el círculo vale tres veces el - r\
diámetro del mifimp circulo.

Y como la circunferencia del circulo es mayor (415)
4Ue(jfl perípiptro dql exágpno jpfcripto 9 la circunfe-
rencia vaj^ mas áuq ^triplo de su diámetro i esto
xjuierp deáy qpe la razón fnfre la circunferencia y el
diámetro. <es; mayor que ía ragon de 3 á 1 , ó que
la de 21 á 7; ,

.603 { El radio recto de un polígono regular divide
el lado correspondiente en dos partes iguafes. ^

-■joT P<*:

m ^PRINCIPIOS

Hg/ - Porgue" ¿i dos figuramos un circuí cirtuníctiiito?

80. áV poligídnó'jpf opuesto , cada uno de- sus- lados será
ttóa éuerdá'IdeT ihtórfio títailó ? y:la- dividirá fá'áód
partes iguales {403) la perpendicular tirada d&dt »
centro á' dicho fado* ; ' :'

6c>4 Ya que por lo demostrado (597) todos loa

^ radios oblicuos son iguales, el triángulo CAB és isós-*

- * celes í luego ik perp^cut&btfadd desde el vé+t&ce

ie'ÉiH triángulo isósceles & la basa {la{ divide eti dd?

partes iguales. Y por consiguiente, la '[ misma pé*J

¿éndicular divide también el ángulo JíCB en dos

ángulos iguales ; porque los ángulos ACQ, QCB sod

átigulos opuestos á lados iguales de triángulos iguales.

Les radios rectos CP * CQ & &$$gbm ^ regulad

son todos" iguales unos con otro tf. \ * r : }

81. Porque como los, triángulos CQA + C^B tienéft
£ : éada uno un ángulo recto en Q , el lado AQ—QB

(603)1 y el lado QC es común á ambos , -serán igüa-
v les (¿63)'; pot consiguiente el triángulo C&^seri
«íitád del triángulo ACB¿ Del rriiimó motío proba*-
temos qué el triángulo OPA es nütadrdel ttifiñguid
júCFí pero ACB y ACF son Iguales (¿99) ; lufegd
sus mitades CPA , CQA son tátnbien iguales ; hiegft
finalmente CPzzCQ. - - >

¿Del mismo modo se -probaA la igualdad 'de ted
tktftas radios rectós:J '• ''•' '"' '• -Ci ■ v

81. v* 6ó$< Luego i.° Purfti inscribir un circulo en un pfr
ligono regular dado ; desde el centro deí polígono}
y con un radio igual. á un radio recto CP , se tra-
zará'una circunferencia , la qualtoeará tddos lo¿lá¿
<dos del' polígono ; pue¿ siendo la CQ peif{>efadictitafc
fc la AB , está ABséti tangente Üe lá tírcúriféren^
<ria (40^) que pasa por «P extremo xle' Cfi*( '* ; ; : '

81. 606 Luego 2.0 El radio oblicuo CAde mpoÍlg<¿
'no regular divide el ángulo PAQ del polígono en dos
partes iguales. > * "— "V'i,Ví lV— ,J

- i * Poi>

DE\ GEOMETRÍA. 269

-f «i Porque siendo CPziCQ (6og) / el ángulo en P Fig.
igual al ángulo tu Q y y el lado yiC común á los' 81.
dos triángulos CAP , CAQi estos serán de todo
puqto iguales (563),! y será el ángulo CAP igual al
ángulo CAQ. ■ ■* • ' •> ■■

- ^07 JEfarre todas los polígonos regulares inscripto»
en un mismo circula., él perímetro del polígono, quemas
lados tiene es mayor que el perímetro del polígono que
menos lados tiene* R\ perímetros de uh p&tágono v. g.
inscripto en un círculo , es mayor que el perímetro
dé un quadrado inscripto en el mismo círculo;"

- Porque como .I4 orcáitferencia del circulo es taá\
yor que \eL perígxtro ;dc ^ualquie** polígono in$crip¿ .i¿
\¿> (41 £} :, ^iotojiia^rse acerqAe, ¿i &Jciitiuitfereri*
<& elj perímetro de un polígono inscripto , tanta áia-
$br »rá sú perímetro. Pero . ei perímetro del pen-
tágono se . arrima ¿ñas á la .circunferencia que no el
perímetro- del quadrado :, pues los lados 4el pentá-
gona Sdn^óierdks.'hieilores que los lados deltquadra*
do, y quanto>* menores? son las cuerdas:, tanto me*
a» se; diferencian de los aréoá cuyos son; luego el
perimeetodel^ pentágono es mayor que el perímetro
dehquadtfadcr; ; .-' - \ i* y - -

\*étiñi\jfyttv6 -todos, los potigenos regulares -ioirctiris*
trjpfási 6 un>nHsfn&círuulo o í\ círculos iguales y ef
(pe thas /lados tieke t tiene, el btenúr' perímetro: l : --v
I . iPorqüe^ conato kts circunferencia de un, círculo es
fngnor que : el perímetro de todo polígono circun**
ctipto ; quánra más. el polígono circunscripto; se acec-r
qu^iáclaiíqircbnferibnciay t^ato ¡menor, será ,sd, perí*
¿tara (Eeroi elnpérímfettrb del pólígom?» se ^ceráataaJ.
tosiinás á;lá fqrcanffeienci*, .quantDá^mas; lados; ti»
©e Y pues Merfdo^s&is ladds tangentes v ^e' apártaé
iafitp intenpáV fleír ' íá . draurferencia! •< quanto f qitotrifr'e*
son ; luego quinto anas iados ti ene dn\ polígono;] cik-

y. Si~

t?o PRINCIPIOS

Fig. 609 Sigúese de aquí que si un polígono , inscrip-
. to ó circunscripto al círculo, tuviese una infinidad
de lados , su perímetro se acercará infinitamente i
la circunferencia , y se confundirá con ella , y poc
lo mismo se podría tomar por la circunferencia' mis*
*ia ; luego se puede considerar el circulo como un po-
lígono regular de una infinidad de lados.

..«•:• De las Urnas proporcionales* . ° *\*

i . j « • . . . y > c . í . " . i

6iq Si en una linea recta AV que con otra lima AZ
forma un ángulo qualquiera VAZ , se toman las par-
82. Ut iguales AB „BC , CD , DE, y por los, puntos d*é
división B, C, D,E se. ¡tiran Jas paralelas BF <>&G¿
DH r El que encuentran, la AZ en los puntos F * G¿
H , I , y por estos putitos se tiran paralelas á AV.
las rectas FS , GT , HX, &c i.° todas las partes AEy
EG , GH , HI de la recta AZ serán iguales unas con
otras i , 2.°. todas las partes EM f^íO , OP, PI de la, ,

El serán también igualas unos con. otros. -/.,,, '

i Porque i.° ABzzBC poar Ja supuesto ^ # por sos
BCKF un paraldógrarno , será (582) , 1 FJStzHC^ kie-> .
go KF—AB. Pero por razón de las paralelas F*£¿ I

*f*% el ángulo íTjFG es igual (4S2) laLángülo JLrtf;
y> el ángulo FAG igual al angula ACG ; y. por ¿¿m
zon de las paralelas. CG^\BFt d ángulo ^¿CG ,*§ ,

igual al ángulo ^Í5F- Luega d ángulo iFABa igual \

fX ángulo -rí^F Por consiguiente los dos triángu* '

los FK&) ABF que tienen, untado igual adyacen-
te 1; dos ángulos iguales , serán/ ida todo 1 punto Jigua*
4es:(562)j; luegaJ^Grz^ííl J>d rtúsmo, modo se. da*
mosteará: que ek triángula G^Ví/ es^ igual! al tgáángu»
io FKG'i y el triángulo //Pf igual al rtriápgulo
GNU? luego todas las .pams>^4FvLFG^ GH^ üf
<dr¿la/irect& AZ son igaalesí unas con otras., i ,• ;; ¿

2.0 Ét*ebpiiitaijl^
• -i¿ y

DE GEÜMETRÍA. 27*

y ttkmhos dos triángulos ABFy FKG son de todo Fig;
punto iguales, el lado KGzzBF^ y por lo misma
£Gz=CK. En el paralelógramo CDLK \ LDzzKCi
Oi'.-eL; párialetógramo KLNG , LNtzGK; y como ios 82.
dos triángulos GNH , FKG son de toda punto igua-
les , será HN-GK Luego HNzzNL~LD-GK±.
BF>. Discurriendo del mismo modo, se demostrará
que IPzzP0=OM=ME=FB. Lucgq tofos las par*
te* v de: la , recm El son iguales.

611 .TJkegp-u? Si AB es :v<g.:la mitad de AE( 4
BC también <*e*á la mitad de FQ , CD la mitad de
GH &c-

Lo propio digo de dos , tres 6 quatro partes juntad
de la: ^Ty respecto de otrafc dos «, tres ó quatro par-r
tes; juntas< de lá AZy.y por : consiguiente como AD
6 DE será lúHuismctiparte de AH ó ///, que AB 82.
áe-AEj tendremos AD : AH : : AB : AF , y DE:
HInAB : AF. Por la misma razón sexzAE : AI: :
AB 2 AF? luegavpbr ser la rizón AB : AF común
? las tres proporciones , será AD : AH : : DE : ¿TI : :
AR: A£

r 612 >2.° Luego , ü desdé un punto D tomado, donde !
lér quieta en uno de los lados de un triángulo ABC-¿-¿e 83.
í/ra ima paralela DE 4 Va ¿a¿? AC , el otro lado es*
tara cortado, propercionahnente al primero. ~ (
: .' Porque :de lo probado últimamente (611) se sigue
que BD.: BE :: DA: EC¡ ó :BD r DA :: BE ; EO,
y BD : 2?JE :: BAi BC , ó BD : BA.: BE : BC.
/ Si desde el punto E se tira la jBF paralela al otro
Jad? v&2¿v-'*«* ífáfii) \¿F=zDE <> y tendremos GFz .:/)
CE¿:<AF^DE?J$B , y Ci^: CE i.GAz CB j luego
APizDE : EBíz CAz.CÉ^á DE : CA ivEB. : C&\
r'.íijji'. $.? ^recíprocamente , si una linea DE corta
proporsionalmente, las dos fados BA', .BC de un triad*
gulo^ póf manera ijüe BU :,BA : : BE:BC, la linea DE
será parálela á la basé ACL ¿. V> ,,¿ . ■>. . ;>

íA * Por-

27* .\ PRINCIPIOS L

Fig. Porque: como la DE es paralela á ^íC/<rórtari enr-
ía BC una parte BE que tenga con BC 1?. misma razón;
que HD qoqBA (612) ; y conto suponemos qué ekta.
/ i; se verifica, es señal evidente de ser IkE páratela á'-rfCl>
» 614 4.0. Luego , si desde*: un punto S tmpdmdoth*
de se quiera fiíera de una linea MN se tiran- & id

84. misma linea otras mudas lineas SM , SO , SP , SN*
toda recta QT paralela. A .MN cortará estas líneas
en partes proporcionales, y xeriQR: MO :: RV :jOP #

► VT : PN , Ó QR :RV : VT:: MO :OP : PN. t ;

Porque como la recta' QR corta paralelamente
á la base el triángulo SMO , será (612) QR¿MO::
SR : SO. Por la misma razón el triángulo SOP da
SRz SO : : RV: OP :: SV:SP. Asimismo., el trián-
gulo SPN da SVySP :: VT: PN. Luego coa ' to-í

/. mar de esta serie de razones iguales aquellas no mas
que nos hacen al caso , sacaremos QR : RV: VT:t
MO:0P:PN.

La misma proposición se verifica quando la recta
QT corta la prolongación de h*s rectas SM , «SD, SP+
SN. Porque si en lá SM tomamos SqzzSQ , y tira^

8$. tnos la qt parálela á MN > todos los triángulos Sqr,

s Sru, Sut &c. serán de todo punto iguales con los
triángulos SQR -, 572^, «SíT, porque cada uno ten-
drá un lado igual adyacente á dos ángulos iguales.
Pero según acabamos de ver, qr:ru:ut ::M0 :OPi
PN; luego QRx RV. VT :: MO :0P :PN.

6*5 5-° Y recíprocamente, si se cortan proporción
analmente en los puntos Q , R, V , T las lineas SM,

84. SO, SP, SN tiradas desde el punto S ¿ distintos pati-
tos de la MN , la linea QT que pase por todos estos
puntos, será una: recta paralela á MN. -~

Porque , siendo* por lo supuesto , SQ : SM:: SRz
SO:: SViSP :: ST¿ SN (613) la QR será paralela
Á MO,A* RV á la OP, la VT á la PN, y por
consiguiente U &r á la >MN+ , . \ .

DE GEOMETRÍA ^73

1 616 La linea AD que divide en dos partes igua- Fig.
les el ángulo A de un triángulo ABC , corta el la~
de opuesto BG en dos partes BD , DC proporcionales
ár los lados AB, AC , de modo que BD : DC :: AB:
AC. 86.

Porque si por el punto B tiramos á DA la recta
paralela BE , que encuentre en E el lado C/f , pro-
longado , el ángulo ABE será igual (482) al ángo-
fe> BAD , y el ángulo BE A igual (483) al ángulo
-DAC; pero el ángulo BAD es igual, por lo supues*-
to^ al ángulo CAJO ; luego los ángulos ABE, BE A
son iguales (55 a); luego EAzrAB. Pero por ser pa-
ralelas 2?.E y ZL*, tenemos (612) BD: DCr. EAi
-AC; luego substituyendo en lugar de EA su igual
AB , sacaremos BD : PC:: fi^ : AC.

6iy «Sí *» los puntos M , P <fe «*ui rata MP je Zp-
vantan lar lineas ,MN ¿ MR, PQ v PV paralelas 4e
dos en dos y y proporcionales , de modo que siendo MN 87.
paralela á PQ, jf MR paralela á PV9 ^ MN : PQ ::
MR : PV ; las toes lineas^ MP, NQ ,: RV tiradas por
los extremos ck dichas paralelas^ concurrirán en un
mismo punto S.

Porque, sea «Sel punto de ¡concurso de MP y NQ,
y s el punto de concurso de MP y RV. El trián-
gulo SMN. cortado con la;ltnea PQ paralela á su
base MN dará (6i2> $M:SP i : JWV:t Pfi , y por
la misma razón el triápgufo; ¿JH71 cortado con la li-
nea iPJTparatelaá^UibawiííR, dará sM:sP:i MR:
PVi luego, ya que por lo supuesto MN: PQ :: MR:
Pf, será SMtSPx 5 ijtf r*!*, y pdr consiguiente
dividendo SM—SP : SP :: sM*-sP : sP, esto es PÜf:
SPtlPM.sPrj *bn» PMzzPM, ¡será -SP¿r*P;.. ::
por la que , los -puntos* ¿Jy -r '« confuadirán; uno
<ron btro* . > k -.l -, r.r ,- r •..; <■ . t..¡ . ¡\.
Aunque s^n infinitas las aplicaciones que* se pue-
den hacer de la doctrinare las -Lineas :pcoporcionaH
* T$m.I. S les,

274 V PRINCIPIOS l

Fig. les , nos ceñiremos aquí á manifestar su utilidad en

la resolución de unas pocas cuestiones.
88. 618 Cuestión L Dividir una recta dada en parte*
iguales , ó .en partas que tengan unas con otras ra-
zones dadas. % fc

Propongámonos dividir v. g. la linea AR ea dos
partes que tengan una con otra la razón de.? á$
Por el punto A tiraremos una recta indefinita AZ
que forme con AR un ángulo qualquiera RAZ, rjf
con una abertura' de compás arbitraria AB, señala-
remos en la AZ diez divisiones iguales; por el ext
tremo Q de la última tiraremos al extremo R de 1*
AR la QRi y tirando después por el punto D, extrer
ano de la tercer división > la DI9 paralela á QR vquer
dará la AR dividida en dos partes RI, AI que la una
-«érá respecto de la otra lo que 7 respecto de 3; por-
que (612) Rf: AIz DQ:AD :: ?: 3 > por construcción

Si hubiéramos de dividir la misma linea AR as
mayor número de partes proporcionales > pongo por
•ca?o en cinco partes que tuviesen unas coa otras .li
misma razón que los números 2/y 3, £, 6*>?i alo-
maríamos unos con otros estos números * y sacaría-
mos la sumfc 23; ea la AZ tomaríamos 23 abertu-
ras, de compás iguales , y con tirar paralelas á QR
por los puntos de la 2>\ 3.% $.%. 6¿ y 7/1 división»
qnedaria1 la AR dividida Cóidq se pid^ .}
-¡; Si las razones fuesen «xpresadas< coa líneas* las
pondríamos todas inmeáiataa i m»s i otras, y como
al tope en Ja AZ.

619 Por la misma > práctica dtoidirtamos ¡a .linea
:AR en partes iguales..
88. : Porque si hubiésetoos de áiyijir\AR. ta i0.p*tr
(tes iguales ^ : tomaríamos ente AZAnyesup arbitrio
diez partes iguales, y por todos los puntos de di-
visión tiraríamos paralelas! i QR > las quales dexa-
lian dividida la AR en las diez partesL

.. .. Cues-

DE GEOMETRÍA. 275

-•• 6*2- v Cuestión II. » Hallar una quarta proporcional Fig.
¿ Mi //«*« á*Aw. G& 9 IK t LM.
.-• Tírense dos linea» ^fí^ AZ di modo que for* 89.
«ten' un ángulo qualquiera VAZ ; trasládese á la
primera la G// desde A á 1?, y la Z/T desde ^á C;
trasládese á la segunda la LM desde A k E; tírese
después l* BE , y á esta lá paralela CF;la recta
AFs&rk la quarta proporcional que se pide.

- P©rque-(6i2) -^5 dG// : ACÓ IK.x AE ó LMi
AF.

- 621 Por la misma práctica $e~ hallará una linea
tercera proporcional á dos lineas dadas.

Tómese ABzzGH \ AC—IK, y también AEzz 90*
IKx y con hacer la misma operación de antes será
ABzzGH : ACrzIK:: A&zzIK: AF, ó * GH : IKz
AF; luego AFes la tercera proporcional que se
busca,

622 • Cuestión llLPorim punto d*do F tirar una
recta »FG- £0? tt encamine en derechura al punto de con*
cursa de dos toteas Aü > DE , quando este punto está 91»
m& distante partí poderle determinar.

Por dos pontos quaiesquiera de la AB tírense dos
paralelas AD , BE que rematen en la DE j por el
punco A tírese al punto dado Fia AF> y á esta la
paralela indefinita BL 9 en 1ar qual se tomará la pajo-
te 2?G quarta proporcional á ia& tres lineas dadas
AD , JB£ , ^F; tirando la FG > esta será la linca
pedida*

Porque ia construcción daAD t AF:: BE : BG,
f por, ló: debutado (6ifj AB, Dg , FG'kka k
cohcuirir ea* u&: mismo punto. .

6ag Cuestión IV. Construir una •escala^ wtiuersaf
muy puntual , llamada escala de mil partes.

Divídase la linea AB en la qual se Han de seña-
lar fes mil partes , sean varas , pies ú otra medida
•quaíquierav,^í> dtegipaxtes úguáles ^40y Q 190 &c. 92.

S 2 ca-

*?6 : PRINCIPIOS

Fig. cada una de cuyas división*' representará ioo va-
ras. En los extremos5 A* J?f de h AB levántense, las
perpendiculares igualas JfC \ BE , largas • Jo qUe se
quiera , y divídase cada uoa de ellas en diez partas
iguales, tirando por los» puntos, de división parale-
las á la linea AB, Pártanse también eú diez partes
iguales las lineas AO , GD r y po? tos puntos O, 10,
20 , 30, &c. del lado inferior AB tírense rectas á los
¡puntos io* 20,30, &c. del todo superior DC> y que-
dará hecha la escala.

Con * manifestar uno de los usos para que sirve
esta escala , manifestaremos los fundamentos de su

,«, construcción.

Tomemos con esta escala uoa linea de 458 pies
tv. g» Por de coútado los 4O0 pies cogen en la escakt
la distancia O400 ; falta buscar los 58 pies*

92. Como las lineas AC^ OD de la escala están divi-
didas en diez {Jartes iguales 9 \ la pacte to que corres-
•ponde. al p? iaier punto de división * representa *. un

r ; jpie j pue«\ por^eátar cortado pw^rciotíalfnenCe (til*)
el triángulo OD10 con la: paralela tu ^ tendernos
DD :0T:: Dio:: tu\ y como por construcción Ot
es la décima parte de OD , .también será tu lá déct*
iña parte de Dio i perb Z>lO e$ lá décima , parte df
CD que representa 100 pies;j,luéga tu y décinaa part$
.dé 2?io5 será la centésima parte de CJ2, ó Valdrá
un piei. Por la misma rafcon la parte mr, de la. übea
mS correspondiente al punto de división 8 deAzAG)
representará ocho pies. Y <xxnó rN á G50 reptesen-
ta 50 pies ., síguóse que la linea mN vale. 58. pies. Si
á la mN=s$ pies se le añade la distancia O40CC-40Q
]pies* J* sumaJWí valdrá los 458 pies pedujps*

De Ja . semejanza de las Figuras* , r

.: 624 . Se 4ice de dos ó jmas figuras qup son xewer

DE*? &EVMETnÍA &ft

jante* tinas 4 otras 1 quando tas átagulos dé la una Fig.'
son iguales á lús ángulos de la otra r y los lados
de la primera proporcionales á tes. lados correspon-
dientes de la segunda. Los ¿los - ¡triángulos: ABCjúka
serán semejantes si». ademas: de :$ec el áúgulo^iigpal
al ángulos, el ángulo B igual al ángulo b * y fü áor; 93.
guio C igual al ángulo c , se verifica que AR : ¿¿ :;
ACiaciz BCxbc.

Estos lados correspondientes se llaman lados &h:
mólogos , y para que dos Jados, puedan llamarle con
este nombre , es indispensable que los ángulos adyá*
centes al primero sean iguales á los ángulos adya-
centes al segundo, cada: uno ai suyo.

Puede suceder que dos figura* de un mismo inane-
ro de iodos tengan. iguales, todos sus ungidos , sin que ' *
por eso sean semejantes., Parque la igualdad de los
ángulos no arguye igualdad de razones entre los la*
dos , comparados de dos en dos. Y recíprocamente,
puede suceder* que dos figuras • tengan proporcionales
todos sus lados r singue por eso. sean semejantes una
¿ otra* Porque de la proporción de los lados no se
infiere que sean iguales los. ángutos que fortnan los
lados proporcionales. ¥ aunque la que acabamos dé
decir no se entiende con: los triángulos , lo preveni-
mos para precaver la» equivocaciones que podriaii
eomeíerse ¿1 considerar te demás poligQnos» <si no
se tuviese. presente esta» advertencia* i ; J> -,

625 Si dos triángulos M!^^ «be tienen propor? 93.
eionales sus tres lado* boméhgos r tendón Jguaks^us
ángulos coda uno al suyo , x P°r lo mismo serva, ser
enejantes. :> ...., ... •* -\ ;}f. •>;

«• * Enr.loí lados AB¿ AC áei ¿tíánguto ABC tó- >
tóente las jparrts Atf^vAc' respectivamente iguales
fc'io»rbck»<4¿~,'--^ y; tírese, V l it\hXz que .por la
supuesto :AB t.AC:i ab tac , seiáppr construcción}
^Br^iC.;,;^^:^^ luego la linea V ¿, divid? lefc

S3 la-

afó» .VA FEINGTEIDS' \ C!

Kg.: lados fleir trtáhguk» ^J?C en ps^rtes proporcionales;
luego es> paralela J(6ig)á' la base ^C, y proporción
nal á la1 misma basé (érs). ;Tendrémc$ pues utf¿' :'¿Y
r: ->ÍB ¿ jBC j pero par Jo supuesto \AB\i BC zi obz i
fc. ;i Jiksgo. utfe: W d^: ah :&sí 5 fuego b'Muzba^ y : pop 1

.r# ccwsigui.ewfc tya^qiiée!! triángulo #*. Jfc'.y el trian-
gulbi ¿isrc tienpn- iguales su^ otr^s lados., serán (561):
iguales. Pero el triángulo V Ad es semejante al trián-^
guío MAC\, porque sobre tener sus i ados propoLtio-
Dates ^ según tsd ha, visto * el. ángulo A es común át
ambos >. y los á«guks # c' son respectivamente igua-
les^ JaSL ápjpilos '&i ;£%: por causa de las paralelas
BC , AV(48a>; luega el triángulo &w es también
semigante^ai triángulo BAC. > :

93» 6a6 . ¿¡tes triángulos ABC , abe jo» semejantes $uau~
átftiénetistcn- Ángulo* igual áiun ángulo formado por dos^
iodos proporcionales* ,); L ■*. * /•.,...-.

Sea el ángulo ./írtf , y supongamos oí; r ¿c : ./íifr
aíC. Tomemos AVzzak , tiremos # << paralela á 2?Q
y céndrenlos {6i*y.Att:*Ap'^zsAB. :.j<dCj> luego. *i&
w tvAKuA&i per» ub^zA^ ^ luega iicx/fc'.^viue*
go (563) los dos ttiftn¿utoi aDcy.Ab* d son iguales* j

Y como el triángula A fio' e& semejante .al triángu-í ¡

lo ABC (62$) i pues pocl razón. de-Ia paralelaren
los ángulos del uno son iguales k los ángulos. del j

otror, {482^ #ada uno al «uyo^ y las; lados; prapoiv
cionales á los ladosi(6r2)(^: es patente qijelos.triárH

.[; gules J^fiCytí^^scMÍ^etoqarates¿» *.\\ a- * V?. »

v,i62f Dos triángulos ^ cuyos !> án tá*

da uw al wyo 1 tienen, propwxioñales sus lados &o&¿~
logos 9 y son por lo mismo semejantes. x . "» -\«

93. -'* StobJoáL¿g¿losIiíiif2í> ZpÉZK, <nfeCL Tármsk en
la AB la.;pe«tói^*K^^^iNyctftteseí?laiparáda ¿faifa
quai dividirá jéis) ^roparcíonalrQeníev los^ lados del
triángulo ABCj y< dará AV mAÍ i:# d *tAB 1AC1 1

¿BC j luego Jó* dos fcriángfjlos Ab'd y ABC ton *se-

o '* me~

DE GEOMETRÍA efg

enejantes (626). A mas de *esto£ fcot»EKcV¡ triángula Fjg2
yí ¿V .es igual (563) al triángulo <*fo.y/üna\vcaLque
por lo supuesto Ab'±iab A^a y itrJSc^í.jb^tciáiw
gulos\/í2?C, *i¿c son semejante / . ... ;-\

628 De la ultima -proposidon sé deduce; 1.? g«r
quando dos ángulo? de un trian guias ¿ptt: iguales ái dos .f"
ángulos de otro triángulo y jada uno 4/ jtfjfo tpilo&tio*
triángulos son . semejantes: ^ ■ f: • ;"j.-A\ < *^; ^ «í

. 1 Porque quandp fd« ángulos de' un^iriángulo son.
respectivamente iguales á dos ángulos. de otro trian*»
guio ^ el tercer ángulo del1 primero es ($£9). Indefec-
tiblemente iguala!, terirer ádgulo^ddis^uíráo; -J> -oí

629 2,p Luego dos triángulos rectángulbs^íon-itm
majante?/, siempre que'ademai del1 ángafw recia t&igan
otro .ángulo : igml'fctMmm'-\d*''4^BS* ^ * ■ : ' ?

•Por la mistnai tazan dos triángulos '.isósceles son
.semejantes quandó jtf J^ de ,los angulas opuestos á lo$
lados iguales es igual en cada triángufo yy'&\eoinün>~Á
ambos. ■'; ;-: r'^j;ri -> íT.X í:! :\y or _t ;:>«M

630 3^° Y qnsikwqpe dos:; apelos vúéftos) acia
oin miimo lado, cuyes ladó3 soar paralelos 5 son igua-
les (488) ; ¿05 triángulos cuyos lados son iodos paira*
lelos 7 tendrán también ¿¿uo/es sus éngulái cá&fiuno
ülsfyo^y por, hendimos séMnt\stme¡a^ v¿\*\y>\

631 4^Luegp ¡dos ttriáfiguias cuyos &das\són %&-•+&
-dos perpendiculares > cada Juera* al \suyo y rtndrdn tatn-

bien proporciotiales los mismos lados , y por consigutm-
té > set^án semejantes (62<?)m \ m* />:*;?, ni -y.yy. -x\ "
. JPorqUe 'áL,*té Ifc» da /¿|¿n& qriartoc do oánvpwsum\p
ría quaaa> |>arte • de una mteha. eóterb :.aft uñkide ios
idos triángulos ; sus lados ■ secáa jp^etop ^,ibps:rdel
¿Otro» ,; :•.•: ')b i¿ *\ :y\ :: *¿% : rY^ , ^ ?r,\ c ' -. ■ ..
6^2 * Si .desde el Artgula rveto A\<k^unjtr¿ángub
rectángulo ABC. x¿- baxajutia ¡perpenéteidañ A¡ü> al. Id- 94.

•.ráií) sefte}aMeabima*Dq rtroy&nríÜrSá^uk$M&^
:'-í\. S4 te

a8o \ PRINCIPIOS

Fag; la perpeidltutm AD será media proporcional entre
las dos porciones- ó segmentos BD , DC de la bypo-
tenusai $.Q cada Judo AB ¿ AC del ángulo recto se-
rá medio proporcional entre la hipotenusa y el seg-
mentó torre spondiente BD ¿ DQ
94. < r«° Los - triángulos BAD y DAC tienen un ángulo
recto. *a D % y cada, uno u© ángulo común con vi
triángulo BACi luego ambos triángulos son serae*
jantes al triángulo. BAO (629)., y por consiguiente
semejantes ano.á otro»

-. , 2^° Luego, st comparamos los lados homólogos de
los dos triápgulósr ADB * ADC y será BDiADiz
ADxDC y¿\- ,;"•'

w •..: 3»f Si /comparamos, ios lados homólogos' de los
triángulos ADB ,BACj sacaremos BD : AB : : *íft
BC. Finalmente y ú comparamos* los lados homólo-
gos \xfoiosv triángulos ABC y BAC9 tendremos CD:
ACz^AC^BC,-:* .1 :.-.; :••. 1. . '. „. *0. .. \ -

Donde se ve que la AD es media proporcional
«énfrer BBry *DCyte<¿iB y i media; proporcional ten-
•tre AD y-BCf y la -*fC media : propórtiooal entre

CD y BC. • ^ — ?/.. ,, , -

c A6g§>o & jfejifr «fe* ¿nguJfrs bomilogos A, z de dos
figuras senfeja&esr se tiran d¡^ ac,

1 95* -ad ¿ 7oj demos ángtttot , tiat triángulos* homólogos ^ 6

-colocados de\ un mism* modo en cada figura serán ser
nejantes*. v ^ \ .-.■

Porque la semejanza que suponemos de las dos

figuras vfda> ef> ángulo '¿"igual* al ángulo 2?], y AB:

áb tzBCibúi flu«o los dos triángulos :A$Grabc soh

Jsemejantes <6a6) Huego:-el <Angh\& BQAie* igual al

ángulo bca , y ^ÍC: ac :: 2?C : *<r. Si de los ángulos

iguales BCD ,bcd se quitan los ángulos iguSdesr BCA,

. bca yAos. ángulos nesitjuos >ACD , <wtf; serán iguales;

A -periGM3llg^tfi'i i>07^;luefr3 ya .que acabamos de

* ^ f probaf que JBCwtr* c ¿tfC; 4» ¿ tttKkéuws CD -: cd : :

u

DE GEOMETRÍA. 281

AC: ac ; luego los dos triángulos ACD acd , serán Fig. „
semejantes (626). Lo mismo probaremos y del mis- v .

mo modo respecto de los triángulos ADE , ade , y
de todos los triángulos que hubiere ademas de estos, -
si tuviese la figura mas lados.

634 Si dos figuras ABC DE , abcde se componen 95.
de un mismo nútoero de triángulos semejantes ^ y del
mismo modo colocados . en cada una , las dos figuras
serán semejantes. . .

Porque , 'los ángulos B , E son iguales á los ángu-
los ¿, e, pues los triángulos son semejantes , y por la
misma razón los ángulos parciales BCA, ACDy CDA¡
ADE son iguales á los ángulos parciales bca , acdy
4¡da , ade? luego los ángulos totales BCD, CDE son
«iguales k los ángulos totales bcd9 cde , cada uno ai
suyo. Fuera.de esto, la semejanza de los triángulos da
esta serie de razones iguales AB : ab : : BC : be : : AC:
ai ::CD : cd:t AD : ad :: DE : de:: AE :ae. Si to-
mamos en esta serie las razones cuyos términos son
lados- de los polígonos, sacaremos AB :ab:: BC: be a
CD icdi: DE : de:: AE : ae. Luego estos polígonos
tienen también loa lados homólogos proporcionales;
luego son semejantes.

- 035 Luego ;, para construir una figura semejante
¿ ara figura propuesta ABCDE , y cuyo lado bomóh* 95»
•go á AB sea una linea dada ab , se llevará la lima
dada desde A áf en AB/; por el punto / se tirará la
fg paralela á BC que encuentre AC en g í por á
punto g se tirará gb paralela á CD , que encuentre
AD.en b i finalmente, por el punto b se tirará bi
paralela á ED , y saldrá .una figura fgbi semejante
4 ABCDE,

636 Los contornos é perímetros de dos figuras
semejantes tienen unos con otros la misma razón que
sus Jados homólogos , ó sus. diagonales homólogos j quie-
ro cfcck que si: la figura. ABCDE. es semejante á H

fi-

282 , PRINCIPIOS

Fig. figura abcde, se verificará que AB+BC+CD+DE+*
EA : ab+bc+cd+de+ea : : AB : ab , ó : : AD : ad.
Porque en la serie de razones iguales AB : ab i:

95. JSC: be : : CD : cd:: DE : de :: AE : ae , la suma de
los antecedentes es á la suma de los consecuentes,
como un antecedente es á su consecuente ::AB:
ab i pero ya se ve que la suma de los anteceden-
tes es el perímetro de la figura ABOBE * y ia suma
de los consecuentes es el perímetro de la figura
abede-y y por otra parte AB : ab ziADiad; luego
AB+BC+CD+DE+EA ; ab+bc+cd+de+ea : ; AB:
ab ; : AD ; ad,

• ^37 Quando los polígonos son regulares , se ve-
rifica del mismo modo la proposición í luego los pe-
rímetros de los polígonos regulares tienen unos cok
otros la misma rascón que sus lados homólogos , sus
diagonales , sus radios rectos ú oblicuos.

638 Luego if Las circunferencias de tos circuios
son proporcionales *a los radios + d los diámetros, d
/as cuerdas semejantes , y á los arcos semejante*.

Porque, podemos considerar los Círculos como
polígonos regulares de una infinidad . de lados {609)
en cuyo caso los lados de los polígonos , que pue-
den considerarse como cuerdas de Jtas. circuios cir-

. > conscriptos, se confundirán pOr su infinita peque*
. raz con los mismos < arco» quesubteuden, y el perfrr
náetroi del polígono tío sse distinguirá^ de la circun-
ferencia del círculo ^ ni los radios rectos d oblicuos
se distinguir^ de los radios ¡del circulo. Por consií-
guiente4osperímetro¿x> circunferencias so¿ propor-
pioles á los radios ,1 4j1os 'dsárnpqros que tón dut
píos de los radios, a las cuerdas semejantes ; y á
los arcos semejantes., qusp soa paites i setdejantés de
ios círculos cuyt>s son, ' j .-.-i .~.v.k \\,- \ *
-. 639 Luego ^2.° Si conociéramos á^ punta fixo la
dRuafeceocia^de :iuí>ol¡culo 4© diámetro conocido,
-!; se

DE GEOMETRÍA. 283

se podría determinar la circunferencia de otro cír- Fig.
culo , con tai que fuese dado su diámetro , por la
siguiente proporción : el diámetro de la circunferen-
cia conocida es a su misma circunferencia , como el
diámetro dé la circunferencia que se busca es á su
circunferencia.

. Pero para esto seria necesario saber á punto fi-
xo la razón del diámetro á la circunferencia; cuya
razón hasta ahora no se ha podido sacar cabal, bien»
que ?se hah sacado de .ella valores tan aproximados,
que en la práctica (Hieden* servir sin rezelo de error
substancial 4 pues aun quando en lugar de esta ra-
zón aproximada se usara la razón cabal , no por eso
saldrían mas seguras las operaciones prácticas, .

De varias, sazones aproximadas entre el diámetro
y. la circunferencia, la mas usada hoy dia,, y mas
íacil de usar .es la de I á. 3,141592653897932 &c.
hallada, después < de la invención de : los nuevos cál-
culos y cuya aproximación ensebamos, en otro lugar.
como se saca, ;y, han proseguido hasta ciento y
veinte y siete decimales, algunos: Matemáticos mor;
demos. Hasta entonces , las que mas han servido son
las de 7 a 22 , inventada por Arquimedes , Mate-»
marico Griego, y la de X13. ¿355, hallada por.Be-
dro Meció , Matemático Alemán, ..i .

r Las dos últimas, se han sacado de, la fracción*
ttIt^t P°r el método declarado, por el qual se
han sacado los quebrados que. aquí se ven alterna-
damente mayores y menores que la razorrdet diá*
metro á la circunferencia ; la segunda es la razón
señalada por Arquimedes ; la qtrarta es la razón da-
da por Meció; que la una da la circunferencia al-
go mayor, y la otra la señala algo menor de lo
que es.

Enseñemos r pues * como se sacan del quebrado
TTrrf¿T* Se partirá por lo dicho el denominador por
*;. ; el

284 PRINCIPIOS

Fig. el numerador como si se buscase su máximo común
divisor , de lo que saldrán los números siguientes

3 7 J5 i 84

t 7 106 113 517* 125000 — r O OOOO O
T TT TíJf TTT 3 * ITT TTTffTT — TT4T*t«-«

con los quales se forman por lo dicho estos que-
brados , que expresan la razón del diámetro á la cir-
cunferencia.

640 Qualquiera de estas tres razones basta para
¡bailar la circunferencia de un circulo una vez que se
conoce su diamzntro ; por minera que si se nos pre-
guntase quanto coge tendida en plano la circunfe-
rencia de un círculo cuyo diámecro es de 20 pies,
ó lo que es todo uno , quanto coge de largo una li-
nea recta igual con la circunferencia del tal circu-
lo , buscaríamos el quarto término de la siguiente
proporción 7 : 22 : : 20 : cuyo quarto término, á sa-
ber 62* , es cotí muy corta diferencia lo que coge
tendida en plano la circunferencia del círculo de 20
pies de diámetro. Lo mismo sacaríamos, con cor*
tísima diferencia , por la razoa 1 13 : 355 , 6 por la
de 1 : 3,14159 &c*

641 Por qualquiera de las tres razones expresa-
das entre el diámetro y la circunferencia , podtémo*
sacar el diámetro de un circulo , una vez que conoz-
camos la tircunfereheiai porque si llamamos Cía cir-
cunferencia conocida , el* quarto término de qualquie-*
ra de las tres proporciones siguientes

22 : 7 ::C:

3, 14159&C : 1 i: C: ,

expresar! el valor del diámetro correspondiente & la
árqunierencia propuesta.- .< ; ■ ; * : .

Co-

DE GEOMETRÍA. «%

. 649' Gxmq CO'>U0: jiTii^oao tíacauto suararcüs ten- Fig.
/ dídos en plano cogen de largo á pcoporciob <9d túfc
' Otero :*te ai^s ^íradosy en hiendo; jqüafltoJcoge de
largo Ib circunferencia «de uní ctóctxto ^/.m ^ diáme^
tro, se podrá saber .guanta cogerá de larg&\jun.ar*
co d* un numere stfhaíédo de gndfas * por esta pro-
portion i. #6». grados \sqrf. al í joánofercn de'] grados í dell
arco c^<rftafgQ:^€r:'bi|S«ir •c«»to'iieif4argpijdfir: la cüx
ounferencúa. ea;¿á clai;Üdl «coil ?«.-\ ?l n :: ■[ •>• :'<
- Supoago V. gi qjuése me^ pregunta quantbsvpies;
qoge de largo micáceo ^ gsñ 40' dé uo> círo4o cu-
yo diámetro coge 20 pies?. Pac lo dicfcb ant €8^(641:)^
bailaré qtte U cto^f&etfc&iJti dHM*-.{üe<s; btiscto,
pwes, ehqUartQ término <fe<u*t^ píoporcion cuyos tre#
primeros son los sigUteatea^aéb^ 33% .40?', 6*&,ó
316OÜÍ., *t<k}',í<», 857* (can reducir los dos 'pri-
meros á minutos), y. deápiies: dé Secutado eLcálculo
arfe- e^ <fb^tp(íái3mi0p^^ ^^^^.5^8?, valor dp lo
q^.cc^^J»4^^^^^ enoplapQ4>asc^xle 31^^40')
de un circulo de: ^Ot.piei.devdiá^netro. y v \ .v:,. \> .*;;
t-"*V' ,V.?i<l ?c . íilv ! ?<>i :?A v V^ .. ■ :i7.
, De Aw í/weoí proporcionales en el circulo. i

1x643.. Se^'dke tábidos Jinefas qq*,*stáo íoqrtscbs eni
partea ri^procbni^eopr^fBm (guando :4ai una

de las dos lineas y su parte forman los exúenios»
d* uña proporción^ y laiJtfaümea 7 su' parte forman
los qpretíios. > .• * . ^ \, < s b«v

644 . iSV desdeñan punto qualquieta A de\un circuí
h ie\<¿iftff0t*^ Hfrn&Ht^ la tal i j

perpendicular será media proporcional* entre las . <far
Í^íe/^ár/:^i«rraIB(?^ fvTK >k!,v -:■> ?í . — u .i* 96.

Tkense á Jo$i extremos del diámetro las cuéfdái
-Í5, uSCi él átiguld ^ del triángula 5^C,3erá
recto (526):,. .yf Uos Vtriánfciitoa seiñqjaases, B>A&y

• \ es

Figd e^ijmedkiípTopocdiottai eme ¿das "dos partea Bp^j

B0 Adb diáimett|<fcK; ¿ i.yn.i •.), ;;^ . ; i :'.»:]•» r; - ■ ñ

-j64&-oLafipj|paikn^ proporclénal

entra Jos ühms^dadás> BD J^DG,* :$e juntarán lasado*'

líneas da#as^uiia iá continuación de otra, {le modo»

que formen ijn* sola y^mfiío&a linea JSC; á esta se>

lk dividir^ por rosdiD en ¡:#tf, y -ccmi ,qi^ l^diociffifft

S€ br.-iarloucí sdniaíronto p*áto !>>don-

de se juman las dos linea* d&a*í, ^sevlerómará U>

perpendicular D*f yy esta serióla media proportio-

naL(<>44) entpe Jasvpartres. BD y DC del dtyitaetnv

que don las cuneas dadas. ~ : c > .

f 646I Thdp'Ctíbvb BA- tirada 4ksd» $1 eJCfrewo de

wtdiémetvo, es mqtht\ proporcional #vre el, diámetro:

y el: ztgvtofo ¿efrefponifteni ÜEK ;? _ <i >"- "c . : ;

— ¡ Jorque V lo¡&<riángttto$ semejantes (632) ADB;

BDA dan fifi : Arf':: £y* : £C

: 6417 ; Za*r p*ríw ><fcc &g ofendas' GE) y ;A5> $»* ***

c<irfa&;tn:junv$ére*fafjv\tw- r&fpfwm^ $rtp&ch->

97. fl¿z/?¿, ^/>rü.^rir,-^AB4tE0^:-GBt£B^ nu

Tírense Z^í y BC; ios triángulos D£yí, 5JEC
tienen Jos . ángulos , en' E opuesto? al vértice , é igua-
les (457) 9 y los ángulos D , B son también igua-
les (5¿5)tporqutfcogep «bmlsBO^aifeo w^Ü^hiego ¿wi
seaaejantesi^628) ios:dratri4pgt4c»^^ £D^

CEiiEBx ?<n i!<Min(^ fjj';íyí j.i v c...'' » w.'j «';.¡ •--■-
1 648: 5r '<*>* r/««tóri>EG v PJÓ tizadas tfexéh tm>
mismo punto fuera de un circulo , rematan .ewlfa'pai^
te ¿¿ncana D& d^'¿f>Mriraa|ti^^ part&r§x-

.fy> Tírense las cuerdas AD, M^lwtriii^toil^flft
Pjfffóser&tf semejad (6fe8)<¿ pocset; cotnun á ambos
el ángulo OP, ^ coger lot áhguhbs^^ ffjel hüsmp áN.
QO» -á» (&*6Yi íh«goifljíi:; JW iciP# :*P<?.: - '•-* - *
\ 649 itt ¿etá:éktpwU&& /W&txká,\sit^*í>tk

DEIJGEÜMETJltA. &8?

tira ma tangente PC , y tma secante PB , la tangente Fíg.
PC será media proporcional entre. toda la secante PB,
y su parte, PA fuew ,¡dei' fínuIo¿*v. .c. íi .

: ¡; Porque, á se itiranrlasv, epodas CB ,.CA al pun^ 99.
to de contacto, se originarán dos> triángulos S£¿ne¿
jantes (628). CAP\9 CJSP 9 pues tendrán! comuh el
ángulo P, é iguales los ¿ngüloá GBP^ACP^ coya'
medida, es Javmítad dtdlaícoxGatf -(¿fti : y SfljJ^üuegp
.PBzCP:: 'CP 2 Py* .v f ; ! * ., ^ ■■: • o

• 650 ¡LaitíltámajproppaicicnlnosLJensefia^oma^se
parte una, Ifafy, dada\ ¿BA 'eq \nmtia\'jf. extrema* nazonr 100.
$sto es , de tal modo que . su, parte .mayor ¿?D sea
inedia proporcional entra toda la linea AB , y la
parte menor j^íJD¿.m" oí. c,;-m. - •: : ^ • ^ir/r?!
-• En reí extremor^írde la^linep AB seJevanta la> .
AC perpendicular éí.igyaÍRá: la rnkad de» \siAByda&
de el centro C y emir el radio CA se traza un cír*
culaí .por los .puntos; C»y B se .tira <la )inea*BCFt
y desde ef centro i? con el radio BE.se traía el aar«
^ EJ>i el <^hc<^^lav^i^ ^

Ponqué ^'cfffnb \Bu1-vti tangente-i (¿0$' se* itfárifí-
C2L (64$) \&F:&A: ::&A\: BE\> divideádo BF^BAí .'. ::
JB^f : : BA—BB t BB j pao BF^BAzt BEcz&p%
puéi&AiG2(?AzzFE r y. tamban MA^BEziBA
i±BQ:ztyA¿ lufígcy después ^e v hdchas -las torres-*,
pondient^^bstítutiwes^^pi^ ::>BA : : BAi BD,
ó ioftrertfendo BA i<BD 1 ; BUli I>A.\ \\> r\ f ■-

V 1 < . ; \ • ; • .

j Dé los Superficies.

- '651 1 Ea lo qpe hasta aquí, dotamos probado; acer-
ca de Jaa figuras, hemosr, considerada »su perímetro
no mas í abura coosidecaréaios el espada que su pe-
rímetro encierra , cuyo espacio se llama superficie
6 orea y Ly es una; extensiop en longitud y latitud
-. ■■• ' - En-

«88 i A JUUWCVPIDJA "i

Fig» -EntreAla$;^ari»i^spedes,que ! Jiay xte Superficies
Wlo indatganéna¿»\las propiedades d£ la que -se lla-
ma superficie planas yVp&ticulannerité' de*** ^ieL
.í.!0 tamjnlm^ñegf^ctas^pofj cuyo hioúvq se <tíáma
supetficirJrsvtiUneik^ :•.'..»: ■ - -1 *;.'*:. • '> •: ^*
. ¿Entre» 1» superficie»! curvilíneas soto consideraré-'
moa, el círculo "; y : de las wtixülineas , dos no mas*
^u tiesas r$la<á§n .cbh'4 árbuio, yodaremos á
conocer en adelante. : 'i :*';::** _¡ : ',c\

o ? 65a < ¿Antear de ¿todoi viio* parece del ea#> ! prtweftir

.ce 1 que* una «saperféie^tema -¿ ¡yiuk&tuperficié cuwiiiñé&
pon dos cosas :muy distimas. Ya diximos (412) Id qüc
«i un^ superficie curva. Quando decimos que -una;
superficie es curvilínea, no querédios- dap á» entena
«, dfer; mra^ott Sato qwílsaí pérífhetro se) eompctaé de
ua*, ó 'duchas i/lideasncBrvafe y yunque el 4sp*ciO qtifc
^ perímetro; eacfef da esba: una soper(icie> piaña £ ui»
<írcuk) »i* g. «s una superftfi^ curvüioea y plana at
mismo tiempo. A A ...'■..* .; ; cu L i-/- "•> • ■ .;> /
- tá^jfRM* ntiá^WtredilM&oAÜC es iá nütétá
de un parale/agramo de igual base y? Ükora que ÍL¿
-ríidfer(pie^Q5i)poin^ivéittee^ ^cáagaU* i? aod fi-

IOI. güiSmok Cicada «na línea :Gfí parirtéla al 4ad4 JB^
ypóriéfv Vértfcé\^éllinguk( :¿P Jotrar linea AE- pá-
^da:allojftdo ^e^>se£^ofígi«a!ri^íi píraleiógramdí
-rfffecB deíiguai:bfifce% akefa ^^t triarlo ^5Cf
<;uyó ka*oX4C fcs'Sia: <ft%opal At4 /paraldógmmo- Yi
como la diagfc&i xléISodo <pábtetógkml>¡ le disi-
de (580) en dos partes ó triángulos iguales j sigúese
que cada uno de -los- do* ttiángutá BAC \ ACE es
la mitad del paralelógramo ABCD ; luego &c.
-•*$&$; <E<v#m-aieJágrámp£ ABGD:, ABBP y/r-ji*.
nen .una.jpisma base AB y jrqoftá* fflfrs ,mi&^4n¡bn*s>
paraleias\¡páü¿eneu \maomsmt.r¿ttera , ¿téten égmkx
sos superficies.'*' • -■»: -; -m ? j -r • v
. ,JLos triángulos. DARí>€BEj sqa d& tqdQ .punto
-:4li * iguan

igual» {$63) i porque tos* lados AD <, ¿4F del pri- F|g.'
mero son respetivamente iguales (58a) 4- tos ladas 102.
opuestos jBC y BE , del se*anck> r pbr iser estas li-
neas laddsopuestds de paralekígramoL Por otra pat*->
te f ios ángulos DídF ^iC&& qut estos 4ado¿ igua- ?; 1
ks forniatf son también -iguaks,!>por sei? sus lados
paralelos y estar vueltos acia un mismo lado (488).
Si de dichos dos triángulos iguales T>AF , CBE se
quita el triángulo oomun CGE+itz originará el tra^-
pedo ADOG igital al trapecio ^GF^} si á cadaí
- una de esta* figpra* igaal^i ¿* añaden triangule*
ABO y se originará el paralelógramo ABCD igual-
al oaraldógramo ABEF. '* ^ *f ,. - 1

i . ogg Rodemos*: pues f inferir, que h$ triángulas
ét\ igual ¿ase yubura*, fh dbfiaun misma ik*se> que
están enttwuna* mima* 'pándela? ,'tieneaj)lguaii»iisu#
superficies. Bdrqúe son anuidas efe ^adefcí^aáaw
de igual háse y altura <juej ellos- (653)5» .m;.

*ó'*

vJBe lamedmon Je ias.sup&fi&x.

\ 656 Hxécutmr la mejiohn* del*na<juperficie\¡¿m&
iir una iujkrficie es ^determinar *i n¿mm>^ befcfi,
¿ quantas veces emdicba superficie cafre otra" superficie
conocida. > '., i. ..

•..* -Gomo^Ia superftrfeqüese tome por unidad otó
medida 9 Há de ^ser da mas: sencilla que^ posiMe, sóa^. •
se ¡ha toando por Ja tal unidad el qi^adraÜo^ - por
ser entre todas las figuras regulares la que por ra-
ion de lá igualdad de sus lados y ángulos, es mas
Skák de comparar con todas las demás figuras ; por
•ayo moúroquadrar una superficie y medir una ee^
ferficie es todo, una. Sin embargo 4 no es solo e!
quadrado el que puede servir de unidad 'de medí^ •' >r
¿a ; otra superficie qualquien* podría servir para lo
mismo : y si se le ha dado al quadrado la prefe*»
: íZfaa. L T ren-

&& rtari*,; étVW"^ S3gtri qwída. dicho cún ^1 ae fe»*
: «ciafiaa la» mecbfcíoncs con mas facfltdacL • ■ < >
657 Todo ^stof presupuesta, /sea nfcrf Ja super-
ficie que> sirte de ttnytad ¿'.medida. Es patente que
103. quanta* ínás ■< vécese iquépa en . lá\ base; AB del papa-i
klégíamo por medir li base/** dcila superficie que:
sirve de itiedida , tantas mas veces cabrá en el pa»
Falelógramo^la misma unidad , sea ia que fuere su
altura ,EF. ri^aímisnaq ¿guant» mas reces quepa ¡en
UL altiva f£^rdfelV4ura¿^ ABCD ,1*. ahina;
^ de la áupeiükáe aicd+i-scá laque fuese silbase!
AJB^ timaa jnaa v$¿es I también cabrá en el f>ara-
lelógramo ABCD el paraleláramos ctbccL Luego kt
ai*perfifile\det\ pMrfridtígtamq por ipedic; eséá cpw la
a»$ei£fjfc dtv J* unidadb eh raw^.compu^tide'. lofc
iuí^«íaa\^ei^c*tsf quteA«4as: dünenaktfiea^ckl . pa*
i^dí^gtíofc ca^eriJaa dimensiones dp- 1¿T unidad. De
aquí sacamos pa^alao medición dé las supfedfeies Ja
siguiente

658 Rt^v-Bqsipxú 4f námétn <& 45ces que en
la base AB cabe la base ab de la unidad > busquese
Uatóten\*k$W!M^ m i&\úMStia EB^tiel

paraklá&ramo por "wetUr tobe la ¡altura e^ife la mi*
nta unidad 1 nwltiptíqmttse pno ,jbr: \otrot fosada? náme<*
ros , el producto señalará el numero de veces.<i4m¡ée*
ktrAjtbmarstoty wddad.zhcé^arxílímar elL valor Je la
$vp*r$tti< á cwcp íkh^ak^jrbmaABCDi < :VUcci
i 659 < jDelaqin sbidficcéniaiíSÍgulentescáasecuencSas¿
-; .!♦• Por ser el paralelágraiBO rectángulo vABC2>
igual (654)1 al paratelógramo AB&Fúq iá misma
base y ahora que é\\ ¡qikandoerse.qaiera^vafa^
si)pej$cie<^;ui¡ fxunjietágramo Éjuaiqí^ecar^ se nxuW
tiplictaá «1 nnn^rjg^idé»V3eces'.quehlaübase <¿b dé; 1^
* 102. unidad ¿abfcrisinla fasév>tó ^el.^aí^ei<ígraáia,-por
el numero de vetes que. la altura, gf. de. I& unidad
cabe jen la alífera del pifisÁeln^rama .

I A .:* Es

DE GEOMETRÍA. tgi

-v • Es mqy coman decir^gue Jto superficie de xm rec- f*ig,
-tángulo es el producto djfaé&se ptr su altura; y
aunque esta expresión abreviada no tiene en ia prác-
tica inconveniente alguik>¿ y pái lo mismo nosotros! -i
también la usaremos , es sin embargo de suma im-
portancia prevenir que es hablar con impropiedad
-á&ár\tnuUipllcar una linea, por una linea; puet aun
jquando se pudiera fefectuár fcsta multiplicado» , 6&~
-o» úo se [Hiede por no ser d multiplicador un wfc-
-mero abstracto; ya que multiplicar es tomar un iwá-
-raerb determinado de veces , si se multiplica una
4mea por una linea, el producto aeria una linea,
y no una superficie <, que es kv que se $u*ca. ír/¡:
-i |55o o.a Luego dos paraleUSgraraos ¿endrtn igua-
les sus superficies , siempre que ei pioducto oe[ tfe
-base del uno multiplicada por su altura' sea igual
al producto de fat base del- otro por su altum ; f
^r^coás^irienfie quanfodos parakiigrmwtlmn igua-
les f «r superficies i tkfcn W kaur ridpr&amnft
•pnpotcmmies con sus alturas \ quieto decir V* <füé 1¿
'base y la altura del 'uno pueden considerarse co-
mo los medios de una proporción ,' y ta base y lá
altura del otro como ios extremos $ pues conside* ,
Undcios de éste n^dí>^ et^producto) dé losextre-
■mas £8 iguaF ál producto de sto& medibs , en tufb
caso hay indefectiblemente proporción; ' '<

66i ' 3*A Y como todo triángulo *s la mitad de
un paraklógramo de 4a misma basé y altura que
^ (053)5 ^ttiftfo se quiera sacar la superficie de tm
•triáogah tf se wútipikw&^u base por su altura, y
tomará la mitad>del¿pt*ducto , ó lo ^uee&lo mism^
ist; tímkiptktrA) su iase por la mitad de la altura;

¿ sv altura por la^mitad de Jalase. • •

c 662 4^ Luego i quando dos triángulos son ig*+>
4m tfátku;on>*tr& ¿ sus, bases íjm rMptomiome p&
jpohcá$akn bm^stá «fa*«fik.; bb ./;.;.•; ■ -,
tí f 2 La

2^3 ' PRINCIPIO*

.«FJf. - 66$ • La* superficie^ un trapecio es Igual Ú pro-
ducto ¿fe su altura por la* semisuma de las bases <£*•
-ralelas* .. «!, i .■•

104. Si se tira la diagonal <DA9 los dos triángulos
ujue se originarán «¿Z?Z) , ACP estarán entre unas
Urismas paralelas AB 9 CD , y tendrán por consi-
iguieate uqai misma afeupu ¿a superítele del primer
4to. es igual á la mitad de Añ multiplicada, potisu
-altura ., y la.&üpetficifc del segundo es igual á lam*-

- 4fcd de CD niultiplicadá por la misma altuía ; lue-
«go la superficie del trapecio, la misma que la de los
^oft: triángulas juntos* es igual, al producto de su aL-
tura >or Ib gpitad dtí sus .bases. paralelas. 1 ^

•ui:$i:|M*.-él medro» E ¡de la AC :«e tira la ÉF pa-
ralela éiaa ^ses y 1» linea EF. será la mitad dfe
jta suma d* laidos liqeas «/ÍZ? , CZ>. Porque los triáa-

Silos isemc^n«es:CLfX>9;£^G dan CAxBAz CDz
G* ^j^q^^ mitad de jCD^

pw«s JS^«ada< mitad de €A\Y. eotsovEF. es parar
fel% fc ^9:^ ta ü# estaaáwfifitftada proporcionalmen^
te á -^ (612)1 y del mismo bíodo se paobará qufe
GF e? la mitad de AB¡ aplicando el discurso á los
triángulos setpgantes . DAB \ DGR ' . • . j .
_ ÉuegO ¿t saperfic¿e\ <fe up trapecio: &B£I>6tJguai
al<pfo4uctp:& su abura, pez Ja linea EF tirada ájüs*
táncias iguálemele las tbs. bases apaeitasL ,, >

664 La superficies de iu* polígono regular. ABDEF
es igual al (reducto del radié recto CM par la m+
tad<\de.Sfl pqrímftrú. ,-», v^y \,i i¿. •• *m . ■.</. .i
Pqx sen «futo* dufrifet^pUafor lpsvtitfagur
los; ACBa jB&Dí &c ,dftv4ua^steí>cSompone. soar.de

105. todo punto \¿gUate8: uüos.eotmdtro* (599>V y tienen
una misma altura >(W (gp&í peto la, superficie de
unp de ^sW$. triái^utos es igual (605): alf. producto
4*-*u .-|i|MGto<^-{)«»lat'Mftadid^ sn\kas*v*B* lu*-
go la superficie del polígono .^ la (jwd c¿ug¿ud it

c £- la

DE GEOMETRÍA. 293

la de todos los triángulos juntos , es igual al pro- Fig.
ductodel radio recto CMy altura comup de los
triángulos, por.ia mitad del perímetro de todo ei
polígono , mitad de las bases de todos los trián-
gulos.

665 Y como la superficie de un triángulo cuya
base fuese el perímetro de un polígono regular, y
la altura la misma que la del radio recto CM del
polígona, seria igual al producto (621) de la mi-
tad de su base por su altura , sigúese que la supera
ficie del polígono regular es igual, á la de un triangu-
lo y cuya base es igual al perímetro del polígono , y
la altura igual al radio recto.
- 666 Una vez que la circunferencia de un cír?
eulo se puede considerar (609) cpaio el perímetro
de un polígono regular de una infinidad de lados,
4* superficie de u* circulo es igual producto del ra-
dio por la, mitad de su circunferencia ^ i al produc-
to de la circunferencia por la mitad del radio i ó 4
ia superficie de ut¡ triángulo tuya base sea igual d
la circunferencia del iirculo , y la altura: igual dt
radia. , : -%

Porque el radio de un círculo no se distingue
del apotema de imVvpolígono regular.de .una infini-
dad de fados*. \r.-y\ . ; •" ..... ,-,{

En vhrtutf de .ésto -¿ si se ofreciera sacar la su-
perficie de un círculo dé 29 pie* de diámetro y se
calculará primero su circunferencia y la qual coge
62,857 pies (609)9 se multiplicará esta cantidad
por y\, mitad deli radia, y* saldrán 314,285- pies
qoadfadós ,•* valor dt: lar superficie del ?«focub pro-
puesta : •, . . ' V- - -..'V/ •* ' • .••-•: ;•- ■*'
667 Llamamos sector de circulo el espacio que
cabe entre dos radios CA, CH, y. el arco ABqat cogen.
•- 3? segmento de circulo llamamos] el espacio ADJ3A 106.
que¿*abé entreUl ^tco.AD^yrli cpenja^i?,. :jyi
'•'* T3 Ya

f

Fig. • ' 66$ Ya qife todo círculo se puede considerar(6og)
eomt> uñ polígono regulkr de una infinidad; de la-
idos inicfipto en el círculo^ todo» sector .de círculo
se puede considerar como una -poricion^k ¿noismq
polígono regular, y su superficie como compuesta
tfé una infinidad de triángulos , cuyo vértice e?tá en
él. centro ^ y cuya altura es por consiguiente el ra-
kiíb ,-'y>las 'bases son el ar<fcrdel sector , ;pue$í la su-»
iha de éstas 'bases es igual al arco; Luego, para
Italia* tu superficie de un ieetor de circaloi ACBr so
fía de multiplicar A arco qoe le sirve de; baáe pete
ta<ttitaíi'ilei radío. • '•

Propongámonos sacar v. g: la superficie xle. un
í'Ktof Üe'^^o'ién urticírcuto de -ao ¡pies á&iik-
titet^'»'lkistatféiiNM primera (A^XquahtO' coge cent
didd f eft1- pfcano; :et anco de -giPv^tf'y. y hallaren*»
tftife Wogfe << $ $03^ .mnltipíí^
£0^$) Mtótftdr del radio, y. sacaren*» '-'089i£igt9 vi»
loh dfe^ií|\ sfaperfiela^d^ sector propuesto. i>\ o.4 c\

V& k^j^,;*nsc*¿émo| &.vdel s^rtorv T ^.vowt reV
bajaremos la del triángulo ; la resta será la supera
tíé ; 'del^egmentoi '••* ^ -; -> <\v t !«> v:--..4S
-ií ¡670 .*} Para ifffttt te'&fafirie de, vna t&rondM

107. anulo X , se buscará separadamente la- iu^erficiéida
7Wtía*\um'd? tor \da¿iQÍm/lá* queilu ámípanent, sSres-
^r¿' '<t^pá& «fe lai'puperfiáe odbt:ioírralo,írnayjor fe*
dfel ntenpr ;! la resta, será j patentemente da superficie
d¿ la Corona. ;••••■ ü^t . ! -- r'n'.r. • -¿ *;«■/"*
^-¡^7J ' : ka (Tegb tíada para ifaediblasUupeí^fcs ref
^tlréslutaiiibiefr se~aptófa/ á laLnfidkwn^ 'd¿..la,\sm
perficie de un polígono irregular ABCDE , cuy*y>eré\
Wttrtn s^\i^nipomtie:\iÍTféns^rtctvs^: n; \1 + )
••'••yübrqué^ ya juJus; 4Kbejb<» ^xifedi& jüa itttáogito

•00 v;tó\(6Gi) 9¡ y iq^parionra flautado polígono se^ue-

108. de dfiidiv ^3^y5l59^^é^triáijgalosíírf¿ btisoaoujs
£í £ j se-

D& GEOMETRÍA. 295

separadamente la superficie de cada uno de los trian- Fig.
gulas ¿o vie*.«stáu dividido! el polígono, la suma
de todas será el valor de la superficie de todo el
polígona j f -> •: •• 1 . ;..'..-,/ ?. > ?
. > Sin embarco de ser tan seguros juno como ptna
los .dds< métodos, propuestos (593 y 594) para divH
dir un polígono *n triángulos , y ser de todo pun-
to, arbitraria la elección del punto de división; oo
obstante, se ha: de procurar que. el polígono que-
de disidido en el menor numera posible ¿le trián-
gulos, y si se puede , de modo que los triángu<r
los tengan de dos en dos por base una misma lw ,. *
nea , con el fin de sacar su área por. medio de una
sola multiplicación. Si hacemos v, g, la diagonal EC
liase de los dos triángulos EDC , EBC > sacaremos
su superficie con multiplicar la EC por la semisu*
ma de las perpendiculares BH% DL. Sacando des*
-pues, la superficie del triángulo ABE ,. con so-
las dos multiplicaciones sacaremos la superficie de
todo el polígono , lo¿ que 110 se conseguiría si se di-
vidiese el polígono en triángulos desde un punto de
su área. .:

1 6?z Por los mismos principios se puede executar
4a medición de .iodo, polígono cuyo perímetro* sea. uap
Une? curva,. ir regular* \ ¡ ■ 1

Para lo qual primero se reducirá la tal superr
flcie á* un polígono >: rectilíneo, conforme; demues* 209.
Ir* la figura ; después se medirán; las superficies
mistiüneas ¿restante** ó bien* como segmentos* de
círculos , pué* por ser pequeñas sfeks,* pueda con?
aderar. coma tales , sin error, sustancial ;\ó bie* co-
4w '.triángulos* por ser cortísiml la diferencia que
-va desuna liqea curva dé cortísima jexteasion é tú*
linea ¡recta* .-♦.,. ..•.;«: r

-<* » >'' (.,

: - » • • ■ •

• *'',*

.... >

* *

■■ '"i- *•■■■; <

T4

De

a96 PRINCIPIOS <

Fig. • • •. • ' .

J>e la Reducción y División de las superficies*

El punto que vamos 4 tratar es, en mucha?
ocasiones , de la mayor utilidad para la medición y
división de las tierras ; y aunque nos detendremos
poco y declararemos sin embarga lo suficiente para
que Jos principiantes puedan manejarse por sí solos,
y hacer mayores adelantamteqfo& en el. asunta
~: 673 Cuestión L Reducir un paralelógramo a qua-
dradó, esto es-, hacer un quadradó cuya superficie sea

lio. igual á la de un paralelógramo dado ABCD.

Desde el ángulo A se bajará la AE perpendicular
al lado opuesto BC, büsquese una media proporcio*
***! (645) entre la base ¿?C% y la altura AE; la me*
día proporcional será el lado del quadradó.

Porque en una proporción continua (Arism.) el pro*
ducto de los extremos, que aquí es la superficie del pa-
ralelógramo, es igual al quadradó del término media
- 674; Luego una vez< que todo triángula es la mt-
tád''Ó53) de un paralelógramo de igual base y al-
tura que él: para formar un quadradó cuya, superfi-
cie sea igual ata de tm triángulo , se construirá el
quadradó sobre ¿ina media proporcional entre la al-
tura y la mitad de la base , ó entre la base y la
«ritad de l*i altura del triángula i

> 675 2.°Por s» la superficie de un círculo igual

4 la mitad del producto de su circunferencia por
el radio (666) para construir un quadradó de super-
ficie igual á la de un circulo propuesto., se le dará
por lado ulquadrado una inedia proporcional entré ¡a
mitad del iridio* y ia circunferencia, 6* entre ta*emi*
circunferencia y el radio* Pero como para hallar es*»
ta media proporcional es menester conocer el valor
^eabal de la circunferencia , cuyo valor solo se co-
noce hasta ahora por aproximación (671), esta es la

cau-

DE GEOMETRÍA. Vs^

causa dé no ¡toderse resolver rig^roskmeíite la cues- fíg,
¿Jon de la quadtatura deL cirwldu < , > \\* /•* ^ m

^pior* A. btre :&, iguatísvppr/kie ¿ y que\tengu>un*\la-
éo mixto: <••-.- >:'..J ;• '..*.-■• ''> VA ^ o'":';;- • r»

Sea el pentágono ABCDE por transformad; tíre-
se h diagonal ÜZ> * y: por el punto Cria CF pa* iiz.
ralela á.&D .hastar.que! encuentre en J1 el lardo AB
prolongado, tírese también ?BF^ y quedará' trazado
un quadrilátero AFDE iguáfcal pentágono propuesto.
. , . Porque, al quadrilátero ABBE le felfa el triángulo
JSCD para que sea igual al pentágono propuesto j lue-
go si al quadrilátero ABDE le -añadirnos el triángulo . \ '
BDF igual al triángula BCB i pues ambos tienen urja
misma base BDj y están entre unds misiqaspariiteias
BD , CF (655) , el quadrilátero jíBDB nu& él trián-
gulo BDF será igual al pentágono propuesto* íí ;

Del mismo modo se transformará el quadriláte-
ro en triángulo; luego es ftcil reducic á.) triángulo
toda figura rectilínea j y, cbroo queda ya *deelatá*-
da (674) la transformación de un xjpadrado«efl ;triáh~ •
guio dado , queda también enseñado como ser trans-
forma en quad fado toda figura rectilínea, r

677. Cuestión III. Reducir m triángulo A&G A
itro aya vértice (aié om f\n pwtée^ado <D y y tuya
superficie sedVgáaJ á Ja éd frimtw. r.-.?. rA ' '} - : >\\

Desde eL punto ¡D .tírense á loi punto* BtyC las 1 12.
lineas BD\ JOC, y por ei vérrifce A del triángulo
aíffC la ./*£ paralela á la base BC. Desde el pun-
to E , dandi la DiB( corta la AL \ tírese: la >EFp&
raleza í;Z)C^ y desde, el pbnto F^la'JTD al punéo D.
£1 ttiáigutó iBíDi^será igual al triángulo dado ^fiC^

Porque si tiramos la EC9 los; dos triángqlos JEJRC^

EFD que. tienen una misma base £^, y están entre

fuñas .mismas paralelas , EF^ D(¿ $efán iguala (655X

y si á cada uno de «stos dos triángulos añadios el

•¿-íj> trian*

rSgB >.\ yftfcTNCFFIOS' *\

.fíf. -triángulo BFEy el triángulo BDF$&ñ ¡goal al trian*

guio BEC\ pero BEC ¿ es tgoal. al . triangulo * dad*
«JrtÉ^$tv£üM^ti^^ íUff j - y/ Ambb¡s>es-

-tánu>ent?e3uaa$. ^áut$r|^felav

el triángulo BDF es igual al triángulo ABC. • v^
113^ Gffl Si el puntoqcBdó D estuviese eq uno délos
. la^os, del triángulo «/ffiCyiavopé&ftioni seria la tniu
ttta. vf^r sb {femostnmaijdel) nñpnoi mbdd La figura
db fBtanifieíanjpiuy ¿Y&s rciecirai '^.■-, • ;;«•

.01 6?g< . j^estgwii y. ¡JDividifi %** > triángulo ABG **
>4mrtM\partks\ igukléjyte quieruicm Urnas tiradas

desde un> punto daJp,D> •
114. Ilhrídatóe :1a . base j 1/^7 ^ea" tantas . partes iguale*
/^ mas )i» ^bdade ¿d¿rjdit el. triángulo ¿ en dos paites
dfjatt*tqv*¿:g¡:en .iihjj desde cuyo punto tírense las Ifc-
hohosj SJbyi Bn±y .desdé B \z &F paralela á D£;
y finalrnmte la DFy te. DByh& quales dividirán el
ttiángMto rea dos partes iguales BDFA y DFCB.

^/Ponqué ^rocano por. construcción AEzzECy los
^t! tríán^os AfiE y EBig que .tienen una misma
«atara h .safan l(6#g)> iguales v y • por ^consiguiente ea*
-dautmo: de- ello*, secirla xriratd del triángulo total
ABC i y .ícomo por,Jttzon de las páratelas BFy DEy
m\ ttühgtáo RFD «s igual Al triángulo BEF, si de
«£0 Y <?ttt> vtahqi»ife*i}a parte éftmun BOFy eL trián-
gulo OFE será igual* «t ti¿áagiito'<0¿XB>; luego si al
.en uiá^ol(5\^^£. p^( le¿qiMta:elviriángalo FQE, y se
k añade suh iguab<>Z>i? ,; se paginará el trapezoide
AFDB iguaí abtriángdlol^ilJS, y;p&r lo mismo
4g^aL¿íii^oi*a4 JÍel ttitepáotaialiABCj , . 1 ->
.Q obfl ?<igia<fciii& lasodpsifigdnHf, ciradS* tírre paca
qfiS^^ipoIrtan^ bdos

fi& Xr'étig^lABÜ.itcti, ^yoíca**Ksr<kmuestrk del
mistnoi; modocqute j&irtrape*ákd&AFBR es igual al
.triángato ^iBfi^y^^r ^consiguiente 4 ** mitad del
Itriáagilk^ ¿U; cuJ^ A* onu Ir) fi i¿ c

a.,;n Cues-

P. 299.

DE GEOMETRÍA. 299

•,. 680 Cuestión V. . Dividir tn/dól. parjes y iguales fíg.
n* g. un qtMdrilékeroi £DQ&<de*d& wi punto* Redado
en, una , de sus lados. -L/j r v<? itj.uA .í :■'.» ■ y\ r- 1'\ •
-í: Tírentelas* ractSüA. DEijip&y p d&S&Ci la CW
paralda á la diagonal i?5'; wCu¿ra,(?Ft éticóníitrá en 115.
F el lado jíB prolongado. La recta DF (676) for¿
mará elrjtriéngula ¿rfX>Fágtt»J ai cjuadctláteról propotes-
to AB£D. Divídase ci* taa&^£?porjinKc^ -jenv-flj
y tírese 1* JPG * vdAuiáogúlO! :'^fQ&o«Yév^^títBkl - 1
del v triángulo. ¿mF^é. dei VqcAdittlitóVoc^SCiD. *vfii%
nalmente v desde G tírese Gf/ paralela <k\:X>E , y
tírese. £í£ i Ja. qüal\ dividirá e6 doa t i partas jguáleá
f4\^üadriláfc¿roi - -mx^jL i8 .7v f\ fU u?j í".,«: ji
f\<\FOi; ^tr\pacaleias >Ja$ «tteb J?JÍ fh&i/f^Gsr3fai
^iáB^()soi>JBW^£^ laoaipgnM^^^uiWAQbn, ttttfc
si :de ic^iHitórs^^ trien*

gulosi residuos J?iH;5iG;feeréa1gua^ cultora iriei^
sí a| \qüddsjlátwo AEID se añade 1 primeras <unq
d#¡ estos irfsidutejHjR ¿tapires, ¿£d otau^y /aresulfark icé
qUacbüábetó 4RHB ágpait^aiiu%übQlBG$ jipbó
consigUiantt át d* jQÍtid í^jeVtódbrq^drüátwq ABCUh
681 Cuestión VI. Dividir un polígono en qu antas
partes iguatesvfcqqfr&üoA linfas, t ir adfc desde uno
de sus ángulos.

*A^^^^&K*4P£DE iHUr^db^dir^fttref^r- 116.
tft igralQfhw. g¿ \Ea*p¡eszaretiiQs tcansflmnanda elvpo-
lígono en un triángulo (676)^ :cüy a, base\ 2?G partid
ténte$ #n *re* pantos igualas mJir ./* y con tittr las
Dtí> Dlíesfuí d¿vididt> ol polígono; conforme se» pide;;
; 1 riípQfqj»^ ca<fe jtiqo 4e 4»jttiángpüübS'|FZ3!// y iMDJ¿
¿©Gi,g^5Ü6fcWr;pítf btqe rto^ercwairparte^deoFrG^
y la misma altura que el triángul^T5!£)G^iaval^.»e¿
te«rif> dftl triáogt^ Í£Z^,7£> pbt -con?igiüei*e cKfcr-
tio-idd pedigona d?da ABGDE.v .; • .\ i- -
«si fPMkgMKfwtt */<í*ft JÍMAE^DUR, Tireo^,
con esta mira las ¿«afela»; Jfctf» vG&i rtap *c¡ángu*

-MJvI los

30O \.\ "PRINCIPIOS' :

ííg. lo» EDFi QAF,s&?kn iguales. Si de cada tíno' se

v^a :tUtcihp%túv>\&£K,nt¿ residuos EDK , EAiY

serán iguales. Luego si á cada uno se añade el trian*

'gutol DHKjd? v&tifrjfoDHF será igual i la fi-

.-'- : gura BHAE , ¿f. por lo riaistao será el cerdo dd po¿
JjgOno propuesto: - 1 •

• 68» : ; Esta, operación recae i veces en nn «aso que
tbereee crinsideratjsé'. Este «asa ocurre qukndo hay que

1 17. divkiirtínpoiigonáAliCYMmmabas partes iguales, v.g,
00 -qáiittQ^eQvUttkUs '•tiradas "desde ttíto de sus Angules D.
. .Después «fc transformado el polígono en triángu-
lo. (6^)* ^se idmdira.su base FG en quatro partes
iguales en H, I, K. Si después se tiran las £>//,
m,íD/t,\c¿d$átit>á&li3& triángulos FDH,HDIy
íMT,i JBDfi>sera¿ la^uarta pawfcdet ^tritógtttó#lDGj
y poi eob8%ai3nteudel pttítkgc¡nQrABCD& Pero 'por
(guanta sü pundo H cae. fuera del lado AB ¿ el trián-
gub HDl se/; reducirá al qüatiriláttro jÍLDI r lo
queirae «©«seguirá tfacttmqnte opt> «ifffr la HL p*+
sáfela: ¿ aá\©^$stw:operácioh <eVn*iy fifcü de dep
mosfófe pavdos^pifrtijptosfjpft Idakaoi©* watadoe^ '

. '* Comparación deias- superficies.

.i *• > •>. ••. ■. ..»

/).t --.6% - 'JLarfcpB#tete! rd^V^>«raWlai«»«w w •*«•

geaeratmewv >i«^nm ^^VW*0'i/a#» froAumt 'é»

sos. . bases ^por 'sus tftourad&td) oh-, .^ :: ■•>•■>

•-•! Porque* coriiOrVbdo ?pto*|el6gKWio es igual al

producto de «uobaseepor-stu altura' (6$o)* las super*

fitíeiÁde \i& >V«^óg°<nwfe * °P»«*o te«»lB .*"*?
cóiaotrksalai mk»a ttzefa sprf lwipr»ducto*^^&&
presabvsusíValoreBJi'ynGiiJ b ano «tujIb w^iki *;I \£
- €8* >iwegíi;f«ífl««b[ ábs.^Q^tSgmmt iiinmim
misma base , *« ban unos-ten otros como m aUnrmft
yquando tienen una misma akyra 6 atturat iguales , se

ém mm vén iftrhs <mm\w**m. ^ - '■ ín y-^J (I0'>

Lúe-

DE GEOMETRÍA. 301

68$ Luego i como los triángulos son mitades de: Fig.
paralelógramos (653) de una misma base y altura que
•ellos , ios triángulos que tienen una misma altura se han
Amos á otros como sus bases ;y ios que tienen una misma
basé 6 bases iguales, se han combsus alturas.

686 Las superficies de ios parale logramos sewe*
ymies se han unas con otras -como los quudrados di
sus lados homólogos.

■■" Porque las superficies de los paraldógvainos
ABCD , abcd se han unas con otras (683) como los
productos de sus bases por sus alturas; ésto es, ABCD:
abcd : : BCxAE : bcxae. Pero si los paraleláramos 118.
ABCD , abcd son semejantes 7 y AB , áb son dos
lados homólogos , los triángulos AEB , aeb son se-
mejantes (6a8) , pues ademas del ángulo recto en E
y e i han de tener tan$ien el ángulo B igual al án-
gulo b : tendremos por consiguiente AE : ae :: AB:
ttby6 :: BC : be , por ser semejantes los paralelógra-
mos ?' luego en los productos BCxAE y bcxae pode-
mos substituir ía razón de BC : be en lugar de la
de AE : ae su igual, en cuyo supuesto la razón de
dichos productos será la de (BC)2 : (be)2 ; luego
ABCD : abcd:: (BC)2 : (be)2 ; y como es lícito to-
man por base el lado que se quiera , hemos proba-
do generalmente que las superficies * de los parale-
logramos semejantes se han unas con otras como • ^
los quadrados de sus lados homólogos.
• 687 Los triángulos semejantes se ion también unos
son otros coto* tos quadrados de sus lados homólogos.
Porque son mitades (65$ de paralelógramos de
igual base \y altura qag\ ellos , y las mitades tienen
unas con otras la iñisma razón qae los dos lados.

688 Las superficies de dos figuras semejantes qua-

lesquiera ti$mn>unas con otras la misma razón que

ios Cuadrados» de sus lados ¿mólogos, y de sus dta-

<gonalep tumefagas. > jí ¿i*: - ^v-> ^ •-<- *: A

-~¿ Los

30» PRINCIPIOS

Fig. Los triángulos homólogos en que pueden divi-
dirse las figuras semejantes (633) son ¡patentemente
partes semejantes de dichas figuras ¡ luego los trufe»
gulos tienen unos con otros la misma catón que las
figuras enteras , pero los tales triángulos homólogos
semejantes guardan (687) unos con otros la misma
razón que los quadeados de sus. lados homólogo^;
luego las dos figuras semejantes guardan también unas
con otras la mismfa rizón qiife los quadrados de sus
lados homólogos. . * .

689 Luego i.° La$ superficies de ¡as polígonos
regulares semejantes se han unas con i) tras come los
(¡medrados de sus lados homólogos * de sus perímetros,
de sus radios * rectos ú oblicuos , una ve* que los la*
dos homólogos se ban unos con otros como los peri~
metros (637) , los -radios rectos y oblicuos.

690 Luego 9«* Los circuios , y por consiguiente
Jos semicírculos se. han unos con otros como ios, qua-
drados de las circunferencias » de les diámetros , de
los radios * é&.

Porque podemos considerar los circuios (600) como
polígonos regulares semejantes de una infinidad oe lados»

691 Hemos visto (632) como una perpendicular
botada desde el vórtice del ángulo recto de un triáor
guio rectángulo á la hy potemisa * divide el triáqguto

119. ea otros dos semejantes con él, y semejantes uso
con otro ; luego en virtud de lo demostrado (687)
BACiBAP : PAC.: (BCy t(ABy : (ACy :: BCKHx
ABFG : ACDE ; pero BAC=BAP+PAd luego
tfCHKzzABFG+ACDEi esto ,qoiere decir que el
quadradode l&bypotenusa es igual á ¡asuma de ks\qua±
¿rudos dé los otros Jos lados que forman el ángulo re&A>
- 4>aft . Luego i.9 üha vez que BACt BAP : PAC 11
{BCy :{BAy.:XxA£y,,y que los tti*agiüo*A¿C;
JÍ4B*. J?^cq»eAteowiiw,vnu«na ali^\i«Bti«r
nen unos con otros la misma rajan (68$ que-*us>
; f ba-

DE, GEOMETRÍA. 303

base*; será BAC: BAP : PACi:BC: BP: CP , y Fig.
por consiguiente también será (BC}9 : (BA)* : (AC)2 a
BC: BP : CP ; luego el quadrado firmado sobre la
hipotenusa tiene con los quadrados formados, sobr*
las otros das lados ^ la misma razón que la b¡ypote*
fussa con los segmento* correspondientes 4 dkbos ladoss
- 693 Luego ?.° Los quadrado s dé tas cuerdas BA^
VE tiradas desde el extremo de un diámetro BC * tie^
nen unas con otras la misma razón que tas. pontones
BDi BF que en dicho diámetro cortan las (atipendi^i 20.
odores bajadas desde hs extremas de dicto cuerdas.
( Porque si desde los extremos A , JE de las cüer-s
das se tiran al otro extremo Cdel diámetro las cuerr
das ACy £C, el triángulo rectángulo BAO (526)
dará (BCf : (BA)2 :: BC: BD (692) , y eltriáugu-
k>> rectángulo BEC dará (BC)* : (BE)% :: BC : BF*
Luego (BAy : (BEY :: BD : BF.

694 Luego 3.0 El circulo trazado sobre la bypo*
tatusa será igual á la suma de Jos círculo? traxados '
sobre los otros dos lados que oogen el ángulo recto*
-. j Porque *i si cao jos diámetros BCy BA , AC se
trazan los semifórctúos BPC > BMA , ANC, estos 121.
semicírculos tendrán unos con otros la misma ra-
zón que los quadrados de sus diámetros (690), esto
es , BPC: BMA : ANCx : (BC)* : (BA)* : (^C)'j
pero (BCy=(BA<y+(ACy (691)? luego BPC^BMA
+ANC, por otra parte * los .semicírculos tienen uno
con otro la misma razón que los circuios enteros;
hiezo&a

095 En la última propocicion ya fundado upmé->
unte, para trapa* das cirpulos qve> tenga* mo qw otra
una razan dada tK g. la de tntru > -¡ ' . ,

f Pitra este ful se turnarán dos lineas BV'^ DC que
tóngan una coa otra la razón de m % n i si fuese
m : n 1: 1 : 3 , s<? tomará DCzz^BD* y se juntarán de 122.
modo que formen una sola linea BC, U qual se dih

vi-

304 PRINCIPIOS : t

Fig. vidirá por medio en M. De&de el centro Üf, y .coa
el radio MB se trazará un semicírculo ; en el pun*
to D se levantará la perpendicular DA que le en-
cuentre en A\ $e tirarán las cuerdas AB rAC,y toi
círculos trazados sobre estas cuerdas como diámetro»
tendrán uno con otro la razón de m : ».

'Porque , (BA)*=;BCxBD (646) ; y por la mis-
ma razón (CA)*zzBCxCD ; luego {BA)% : {CA) • :
BCxBQ : BCxCD :: #D : CJD :: 1 : 3 ; pero los cír-
culos cuyos radios son BA y CA tienen uno <íonf
otro la razón de (BA)% <: (ÚA )* (690) ; luego también
tendrán : la razón de I?Z? : CD , o de 1:3, como
se pide.

696 Si un quadrado y un pentágono son ambos re-
gulares é isoperímetros , el que mayor numero de lados
tenga, tendrá mayor superficie i quiero decir que* mi
general , entre las figuras isoperímetros regulares^ id
qué mas lados tiene , tiene mayor superficie.

Porque , si inscribimos un círculo en cada una
de las dos figuras propuestas; y tiramos los radios.
CA, CB , el pentágono será igual al producto de
r23» la mitad de su perímetro por el radio CB (664), y
el quadrado también igual al producto de la mitad
de su perímetro por el radio CA. Ya que , por lo
supuesto , los perímetros son iguales , el .pentágono
y él. quadrado tienen uno con otro la misma razón
que sus radios CB , C¿f;.pero el radio CB es ma-
yor que el radio CA; pues si los dos radios fuesen*
iguales , sus dos círculos también lo serian , y por
consiguiente el perímetro del pentágono seria me-
nor que < et perímetro del quadrado , porque de toa-
dos los polígonos regulares circunscriptos á círcu-
los iguales , el que mayor numero de lados tiene,
tiene también menor perímetro (609). Pero por lo
: supuesto, los perímetros del pentágono y del qua-
drado soa iguales; luego el círculo del pentágono

-i ' . i»

DJF GEOMETRÍA 30$

ha de ser mayor que el quadrado ; luego el radio Fig.;
GB es1 mayor queG//; luego la superficie del pen-
tágono es mayor que la del quadrado.
; Lo propio se probará , y del mismo modo , res-
pecto de otros dos polígonos regulares isoperímetros, :
de los quales el uno tenga mas lados que el otro.

697 Luego, ya que el circulo es un polígono de una
infinidad fie lados (609) , tiene mas superficie que otra
figura qualquiera de igual perímetro.

De los Planos.

698 Dejamos dicho desde el principio que por
plano entendemos oiría superficie tan Usa é igual , que
se le puede aplicar en todos sus puntos, sin que
quede hueco alguno , una regla, ó una linea recta*
- 699 Por consiguiente , por una linea recta pueden
pasar una infinidad de planos , así como por un mis*
trió punto pueden pasar infinitas lineas rectas.

700 Luego i.° Una lima recta 6 dos puntos qua-
desquiera no bastan para determinar la posición de
un plano ; se necesitan por lo menos tres puntos pa*
ra que esté de todo punto determinado.

Porque , si ¿ los tres puntos se tiran tres lineas
rectas , formarán un triángulo, que es una superficie
plana. Luego si por tres puntos dados mas arriba *
ó mas abajo de un plano qualquiera se hace pasar
otro plano , quedará de todo punto determinada la
posición del último plano respecto del primero.
-< 701 2* La intersección det dos planos uño con otro. : 1
#xi una linea recta, • í . .,'•';■

i 'Porqué, si en la tal intersección tomamos dos
-pimtxfe* la recta que pasare por los dos puntos, no
puede- menos de. estar toda en ambos planos, par
et supuesto (398). Luego la sección común de dos
planos es upa linean recta ^¿^y..,, . .
* TonuL W " *&•

3©6 • PRINCIPIO?

F¡g. 702 3.0 Dos ¡¡neos rectas paralelas están eñ m
mismo plano i también están en tía mismo plano dos
rectas que se cortan. i

Porque , si en cada una de .estas últimas lineas
se toma un punto, y desde el uno al otro se ti-
ra una linea, se originará un triángulo cuyo vér-
tice estará en el punto de intersección de« las dos
rectas ; luego las dos rectas que se cortan y soalos.
lados dé dicho triángulo , están en un mismo piano.

124. 703 Una linea AB perpendicular á un plano MN
es perpendicular á todas* las demias lineas puestas en
el mismo plano , que pasan por el extremo B de la
perpendicular'.

Si no lo fuera , la. linea AB se inclinaría á al*
gun lado del plano ; esto implica , pues suponemos
que la AB es perpendicular al plano.

125. 704 Por consiguiente dos lineas AB, CD perpen-
diculares á un mismo plano MN , son paralelas.

Porque , si por los extremos # , 2) de las tar
ks rectas tiramos la BD , las dos lineas- AB> €D
serán perpendiculares (703) á BD , y por lo q&r
no (491) paralelas una á otra.

705 Desde un punto dado en un plano ¿fuera de
tí no se puede tirar mas que una perpendicular al
mismo plano»

Porque , si se pudieran tirar dos , desde <ro
mismo punto, se podrían tirar dos perpendiculares
¿una misma recta , cuya consecuencia repugna (464

y 465)-
126.Í 706 Luego si ua plano AB es perpendicular á

otro CD , y por un punto qualquiera* G de su. cft-
mun sección se : levanta' Una perpendicular JFG al
mismo piano ¡CD , esta recta escara toda en «1 pla-
no AB. Parque, si la tal recta no estuviese en el

plano AB > serta posible tirar en Un mismo plano,
y por un misgic^unto jpas: de una,:perpcnriKiiUy

•f

\ ¡

; \

DE GEOMETRÍA. 307

á una misma recta AE , cuya consecue&cia es un Fig.
absurdo (464 y 705).

707 Luego i#ó Quando un plano AB es perpendi-
cular á otro^plano CD , pasa indefectiblemente por
todas las perpendiculares á la común sección AE. 126.
. 708 2.0 Y recíprocamente , quando una linea FG * s
es perpendicular á un plano ¿72) , y otro plano -¿tfi?
pasa por FG cogiéndola , el plano AB es perpen-
dicular al plano CD.

- 709 La medida de la inclinación de dos planos AP,
QB uno respecto de otro es el Ángulo CDE que causan
las dos lineas CD, DE perpendiculares á la común 127.
sección AB de los planos , tiradas la una en el plana
:QB i y la otra en el plano AP.

Porque , si nos figuramos el punto C sobrepues-
to al punto E , y que con dar después el plano QB
la vuelta al rededor de la linea AB, ande el pun-
to C el arco EC, es constante (440) que este arco
medirá el ángulo CDE , el qual es patentemente el
mismo ángulo que causan los dos planos. Infiérese
■de aquí

710 i.° Que por ser la inclinación de dos planos
la misma que la de las perpendiculares á un mismo
puato de su coqiun sección , se les puede aplicar á
los planos todo lo que dexamos- probado (455 &c)
acerca de las lineas que se encuentran , y por coo-
•siguiente

i.° Quando dos planos se cortan, los ángulos opues-
tos al vértice son iguales (457).

%ífii '9.° Todos Jos ángulos juntos que causan muchos
¿flatos qve se cortan en* una linea , valen 360o (454).
r 712 3*0 Quando dos planos paralelos son cortados por
vtro plano + los ángulos internos alternos , ó alternos
¡externos *<m iguales (483 y 484) ; y los ánguhs inter-'
nos ó externos de un mismo lado valen juntos dos án-
gulos rectos\4^^ y 486)*

-i í: Va 4.*

3d8 ' PRTNCIPIOS

Fig. 713 4.0 Y recíprocamente , siempre que en dos
planos cortados por otro plano ¡ se verifica alguna
de estas circunstancias , los dos planos son parale-
los (487).

714 Las intersecciones AB , CD de dos planos pa-
128. ralelos PQ, MN cortados por otro plano ABGQ, son

lineas paralelas.

Porque 9 si las lineas AB , CD qué son lineas
rectas (701) , no fueran paralelas , se encontrarían,
,y por consiguiente los platioS PQ , MÑ se encon-
trarían también j esto implica , una vez que por lo
supuesto los dos planos son paralelos; luego &c.

715 Si dos planos EF , DG son perpendiculares
129.a un mismo plano MN, su común sección AB también

será perpendicular á dicho plano.

Porque , como en el punto B donde la común
-sección de los planos EF9 DG encuentra el plago
iMNj se puede levantar una perpendicular k dicho
plano, la qual toda estará en el plano DG (706 ^
•_y por el mismo punto B también se puede levan-
tar una perpendicular al plano MÑ ^ la qual estar
rá igualmente toda en Jel , plano JSF; por otra par-
<te j como desde un punto B no se le puede levan*
tar á un plano (705) mas que una perpendicular, es
constante que esta linea estará á un tiesípfr en¿4
-plano DG y en el plano EF i luega la jqtfrsecciosi
' común de los dos planos es" perpendicular al pla-
gio MN: >

716 Llamamos ángulo sólido el espacio indefinito
130 BACD que causan muchos ángulos planos DABy

BAC9 CAD que se juntan, en un mismo punto AL

717 Se necesitan tres ángulo* planos por lo menos
para formar un ángulo sólido ; y quando un' ángulo
sólido A es causado de tres ángulos planos , la suma
de dos. ángulos planos BAD , DAC qualesquiera es
siempre mayor que el tercer ángulo pABt ,„/■. ¿/. %

:. Y ' Tí-

DE GEOMETRÍA. $09

Tírese á arbitrio la linea BC , y bagase el áií? Fig
guio BAE igual al ángulo BAD , y la linea AD
igual" con la -^U ; tírese BD que será igual á JBJS1,
por ser igualen los triángulos BAD\ BAÉ (563);
tírese también la CD. Esto supuesto , en los trián-
gulos DAC , CAE cuyos lados DA, AE son igua- 13a
les , y el lado AC es común á ambos , la base DC
4el primero es mayor que la base CE del segundo*
poique BD+DC es mayor que BC (550) ; luego si
de la «urna de aquellas se quita la linea BD , y dé
la linea BC se quita la BE—BD , será la primer
resta DC mayor que la segunda resta CE ; luego
el ángulo CAE será menor que DAC, y todo el
ángulo BACxtittk>t> que la suma \der los' dos ángu-
los &¿D y DAC.

- 718^ Za suma de iodos los ángulos planos , sean
quantos se quiera^ que forman un ángulo sólido , men-
ea llega á 360a , y por consiguiente jamas llega d va- . , *
kr quátro ángulos ¡rectos.

-> F^üíéitionóSpdr tiebajo del vértice S del ángulo
sólido un plano quálquiera ABÜEF que corte to-' 131.
dos los ángulos planos que causan el ángulo sólido.
Desde el vértice S bájese la perpeúdieular SC al
mismo plano , y tírense las lineas CA , CB ,LCD^
CE, CE i todos 16$ ángulos del polígono ABDEF.
Efc constante qú¿ toctos los ángulos én C valen fa$#
quatro ángulos rectos , y Ib es también que todo¿
tos ángulo** ASB , BSD , DSE &c. son menores r :
qae sus correspondientes ACB^BCD, DCE &c?
pue* teniendo -úíids' y- -¿trfe**' ángulos basei comunes,
tos primeros tterién só vértice & "mayor distancia de •? .*<*
su base que po los segundos ; y como el ángulo só¿
lfi!o féri S ie dortipórié' dé todos los primeros, sigúe-
se que todos los ángulos planos que componen uní
ártguld sólkfó; valeh mecos dfe quatro ángulos rectos. ' -l

i V3 De

Rg.

310 PRINCIPIOS

De ios Sitíaos,

ng Por lo dicho (409) se llama volumen 6 sólido
todo lo que tiene las tres dimensiones de longitud,
s latitud y profundidad. Esta es la tercera de las tre*
especies de extensión que dimos á coqocer allí mis-
tfio , y de la qual nos resta tratar * ciñéndoops 4
los sólidos terminados por superficies planas * entre
Ips que son terminados por superficies curvas , solo
consideraremos^ $1 cilindro, el cono ó pirámide có-
lica 9 y la esfera.

Del Prisma* y de la medición de su Superficie* .

y 72$ Llamamos prisma todo sólido cuyas dos ea-

132. cas opuestas son dos planos iguales y pélelos , y.
ysig.las demás caras son paralelógramos. Nos le podemos

figurar como formado por el movimiento de un pl*r,
90 BDF moviéndose paralelo á sí mismo á lo lar-

^r go de una recta AB. «r

721 Los dos planos paralelos se llaman las bases

132.de! prisma. La perpendicular LM tirada desde un

rito de la i»na de la$. bases á. la opra, se llama;
altura del prisma , y se Hamap aristas del pris-
ffta las lineas como BA donde se jaman ó concmh
ren dos caras inmediata*
z33* ; 722 El prisma es recto. carneo los aristas son pers
^endiablares i la base.; en cuyo caso, todas las arjs-,
tas son iguales á la altura delsólidq. El prispi? e$j

133. ob(icuo quando las aristas no sóp perpendkutoes á¡
la base. . y . ^ .,•,<♦

. 723 Los prismas toman nombre i*° del numero
4c los lados ,de su base , por cuya razón : _"•;■■.*.
132. Si 13 base ts vin triángulo > 9? fcra? pmm ír¿gte
guiar.

•- v t 1 Si

DE GEOMETRÍA. 311

St la base es un quádf ilátero 9 se llama prisma Fi$
quadr angular ; y. así de los demás. \ . 134-

; 1^34 2.0 También toma nombre el prisma de la
figura de su plano generador; por cuya razón: \i

Quando el plano generador BF es un paraleló- 134.
gramo , en cuyo caso todas las caras lo son tam-
bién , el prisma se llama paralelipipedo.

Quando el plano generador es un quadrado BDf
y la arista AB es igual y perpendicular al lado BC 13$.
del .quadrado , el prisma se llama cubo. Es claro que
las seis caras del cubo son seis quadrados iguales.

Quando el plano generador es un círculo BEDF+
el prisma se llama cilindro* El cilindro es recto quan-
do Ja, linea LM que pasa por los centros de la* 136.
dos. .bases opuestas, cuya linea se llama cxe del ci-
lindro, es perpendicular á las mismas bases; y stf
tt&ma-xüindro oblicuo siempre que su exe LM esté 137.
inclinado á las bases.

?f¿S Nos podemos figurar el cilindro como en*
gcndrada» ó por el movimiento del círculo BEDFinjfc
al moverse paralelo á sí mismo por una recta ABi
& por el movimiento de un paralelógramo ABML
dando vuelta al rededor de su lado LM, el qual ,*■
es^el exe $ú .cilindro.

^726 Todo esto presupuesto , como las caras la-
tendea éd prisma son paraleláramos , cuya medi-
ción ya queda enseñado (659} como se executa , y
sus bases son jfigqras que también queda dicho (659
y sig.y como se miden , la suma de todas las ca-»
ras medidas sqwadaínente compondrá la superficie
del prisma ; por cuyo motivo 9 sin detenernos á in-
dividualizar mas este punto r vamos á dar para la
misma operación una regla la mas sucinta y general
que cabe. . . '

- 727 La superficie de. un prisma , no entrando la dé
ambas bases , es igual al producto de una arista AB

V 4 wul~

313 PRINCIPIOS,

Fig. multiplicada por el perímetro de una sección ábcde
perpendicular á dicha arista.

Porque , como el plano abcde es perpendicular á

133* la .arista AF, ves también perpendicular á todas las

.. : demás aristas GB y HC &c. paralelas á AF. Luego
si nos figuramos que las rectas AF, BG , CH&c«
son las bases de los paralelógramos FB , GCy HD 8cc
Jas rectas ¿¿ , ¿c y c¿ &c. serán ^sus alturas. Luego la

.►: superficie lateral del prisma será AFxab+BG Kfo
+CHxcd+&c* ó , por ser iguales (582) las lineas jfl£
£G, CH, &c. será -^2?V^-HyíFxA;+-áí,x<;á&c.,d
finalmente AFx(ab+bc-H;d+&c.) . s

728 De aquí inferiremos, i.° que quando un pris*
ma es recto , la sección abcde es lo. mismo que la base
ABCDE 9 y la arista AF es iguaj entonces á la aku*
ra (722) del prisma ; luego la superficie de un prisma
recto (no entrando las dos bases) es igual al producto
del perímetro de la base multiplicada por la altura.

729 2.0 Luego la superficie, convexq de un cilindro
infecto es igual al producto, de la altura AB por latir*

cunferencia de qualquiera de sus dos bases. . <: .

730 3-° Tía superficie convexa de un cilindro vbl¡+
137* cuo es igual .al producto de su lado AB multiplicada por

la circunferencia de una sección bfUe perpendicular Á
dicho lado. , . . ..••<. ;> ¡

Para valuar la superficie del cilindro toWicuo es
preciso contentarnos por ahora con medida mecanh
órnente enrollando un hilo al cilindro por el trazo
de la sección. Este- método, bien que no de todo
punto exacto , bastía para, los usos prácticos. <

■ .. - . "i ■ -

Medición deM. solidez de los Prismas»

!"..,..* í» i.i ... : /

731 Medir un sólido es lo mismb que bollar el nú-
mero de "veces que, en él cabe otro sólido , etapas dimen-
siones son. conocidas* • . "■ . ... ♦ -~

.. / ' Su-

DE 7&EOMETIIÍj4. 313

i - itapooganio) , pues , que se ¡iros ofrezca wiuaJp 'la Rjgi
solidez de^uo;|)ri^ma AQDFHG BQ ; v- & y $w & 134*
sdlido *<**4®r seada unida* def medida -con que se h»
de haar) la i^dicfepbü rYaloie *¿ qup quaütas veces
quepa su base en la 'base BDFH\ del prisma, otras
yantas rece^cabii eta^ste-ulünio et sólido que ¿irvk
de 'medica*/ sea :&' qfaeiiiiftre 4ar aísuia del prisma.-
$oe lo i«isnha y qaanpa» Jveced quepa dar altura /** de
la unidad ^kifiedídk) e^iaiíaltum jtó» dél'ptómw
Jtffl£¡> ifisGS. otra* tanta? *eces*rai*ái t¡|nfei& eti el píis- • '. •
ma la tai mudad Luego la 9Qlidez deiprtéma sigu* 4:. .
la razón compuesta del numeró de veces *pie cabe
en sú*ttáM5<il*- baseVde la uttidad :Wlidi , .£ dtfcflú-
mefo* d* veeéi queden Ja aftura^d& -mfcmo j>rfeoa xrj
pob medir cábela al turk^det stMido^ahid^^ me^ ./■{■. j
Üda. De átjukse saocA fcr siguterké *eg& gíher^l. pa-
ra la. medición de todos los prisrtiar;^ V
•r. Rasqúese $1 número d$ytyc*s <p£e ia&pe del f¿*
ktb\u*idddi>dr<m t* éa**Yiki fmtmUl

pyr^ii^í^é^u^^támbi^ el nutobró d> Siewt- quk
cabe en la altura &f'ftísVkt ¡á Mi tur* l'de la unidad
sólida; multipliqúense uno por otro los dos números ba^
Uadisfy^preduttw babrá

de tomar la unidad sólida para sacar la solidez del
pÉnMm\^§pm^^\úS\^L\é :<:<fe.n b ?< .-ü/I >/"
^rffjpMt&zírtpüCg como» dar ^ i5egl«LÍ}ire acabanx» de
{toponef ^eai«toaJtémiino6 1 /* soHdez de un pris*
Wf es igiial ál frwkicto de su base por su> altura.
.- ' Aqtá¡harémo9^ima observación análoga á la que
któmoe(6g9) *»n, atotfcrój d*/k**egla que sentatbds allí
|kii&>¡ni0dlt^ iog

ftéóniáro qoevacatenid* de ><tecir<fiette muy cintra*
rianá i<^ ¡principien dé 4a¡ multiplicación si se toma-
ra al pie de la letra j porque como el multiplican-
do & una -supérftáe ,' i y'^1 multiplicador una linea, .' \
no podnia y eJifidarse la» njutdplíüaclon ¿¿r noi selr «I
*■• I muí-

♦S*4 - ■ \ PRINCIPIOS : \

$gr multiplicador, un número ; abstracta ( 42 ) ; y aun

.r~ 1 «Juando gujsiéraptoíi pasar iqüe. el ^ producto constase

de unidades salidas ;, . nd> ferian i istias unidades (de la

misma esperte que las del; Multiplicando ,: oaofbrraé>

ha de, ser < 42 ). Sin embargo 4. como de dicte, exprés

sion, por mas que padece las referidas nulidades

OQi sé pigue ningún, error ea la práctica* y es por

^at parte; niasif^>de;«tanqs^aiíse ^nla memoaay

también la iftácémos: en jesta obra, Luego' í m

13a - 733 I*°;Si 4 prisa** es recto,, su solidez será igual

134* d producto de su base por una de sus aristas > Jas qua-

tes en esfe caso son iguales con su altura.

.- '1*34' 9/tLa:tolidez,de todo cilindro es iguahai pro*

137. ductode M base jBDEF por su altura LH *:jr qskand* «
13b. recto ,al\ producto dr su bate ¡BI2EF por su eáxfcNt-

-?35 3*° ¿» solidez de un prisma 6 cilindro será
igual á la de otro prisma é cilindro siempre que sus ba->
sés Setm rtáprücamentt. proporcionales d sus alturas.
Porque e»tocig& d prodíictorqíie exprésala ¿olidea
del uao de tos, dos*, cuerpos OMgual al producto, que
expresa la solidez del otre&ierpft. . . v\ v, - . ,

De la Pirámide *> y de\la,medicien de su superficie. <

736 Damos el nombre de pirámide. k\m sflido vn«t
yá base és una figura qüakjuteranpy cuyas -éafcs ton
triángulos , cuyo vértice está en. ua «israo punto iS¿
llamado cúspide ó vértice de la, pirámide', y su&h**
ses son los mismos labios de la base de la pirámide.
1, Podemos jigutápiH» la pirámide eom^ formada
por el rawÍ£B¿enrtp de UnarvliOfí* ^ula , qual teniendq
uno de sus extremos asegiwadoierl^v* g, anduvie**
se su otro extremo todos lx* lados de &' figura que
sirve de base.

138. . 737 La perpendicular ! JO,: tirada desde d cúspide
de la pirámide* se, UaqM ta ¿A*** de lapkámidp ,

I#s

* DÉ <0*ET1MET&ÚA. $qft

f f$ Las ftrármies toirfcm nombre del número Bg«
de los lados dfe «i basé j por lo que,
. Qaadda lá.figara .^tobne* ea im triáagoío, la-13^
pirámide se llama triangular.

v • Qoftndorlar base, fest om^uadritÉtero <> 1*' pirámide 14a
se llama 4w*dfo&igi^ >

.439 izando, el poligaqo de^kr taseestregidar, 7I13&
ad¿0£* «dehesó , tovlmeá qüe\des5^e eií. akpicfe.va
41 centro. dfi^poiígoflo^ ttknk\rti¿m

de la pirámide , es 'pej*pendicul»^\44 hásey la pl-
tkn&u$k[)famm}regu¡ar. l -oín qr- r| s:.j ,.q .^£i
f *"• ^J es ihregular Ü píránáde guando; súfrase, no eai
lili poíígpoo regular. . ^ c. 1 *'j'.\ \.

« %;toda,p¿tírioidb sopear <0<^lD8*tiáágufc«,ii^
lerales^tS®*, ^BSCyCS]* «te. ^9 patentemeqte isós-,
«tóf yhdé todo puntó y^^SMfS» «foTí 4J por*
consiguiente^ dfcde el cúspide 5* se tira una perpen-:
diciñar «SiTl uno -de los fcefós' efe laL base \ esta per-1
pttMfrwteft» ta^Moilfeáiet: apaáeb* de Ja pirárni-
de , cORatoMgt Jíi? |M\xd^edio46o4) ^y podrá ¿oá-t
s&patmitík^ todos» loa triángulos. »

.-■ ^4d r Qoabdb la base de la ]>h£n«de/*s un círcu- 141J
}foy & f qt*i puede considerarse como /un polígono
4e, uim anidad de..ladps:<6o9)I> k piritaide se lia*

•1 T<»*s ]» :*t^£rf, jS? £rc ;tkada& desdé ¿1
célpidt i ,<Aa ckcmiferfenciar de la ¡ferie v « llaman: -
l& bdos dek cono ,,y bt recta que desde el cúspi-
de va, al centro del círculo, se Uaná el exe del

.741 , Bit «Mto puede *.*r rosto já <tf /iro* EL ¿emo 14*.
eít t^cf^l ^|teodo;.d;ieic.*SM*f^s íjerpendicula* i la
base, y entonces es la altura del cono.
I Copo oblicuo es; aquel, cuyo exe está indinado 143»
4 la .base. • \ %, .

;. Vfr* Tpdí> tete; presupuesta, ¡a superfici* fe tuda,

pi-

Rgi pirámide ísfc SKá^wüdimdaia siperfiatt éeAsufy&e,
y la superficie fetoxjtmápgtkstfatmralks y la stmm dh

4¿litti^b$^itUf^ fy) pi-

rámide. /uAcfcuv/rrt n'wML o? oL4. :\\-¡

.ctr t •. !,;Aorique i e$taii^lat esr general y <rdmésc¿nda£> sin
embargo pata meftír la; superficteude, una pií&nidelre*:

•^C TgBl<uri¿tc& .regla, qá© debeipreferinfst. por ma$> sepcüla.

j. fqg/r jZa ¿tyttrJSeib laiqrakde íumk pirámide mguÜm

etrJ$mlidniH fmtmdt&lspi/wluQto dzw\apttema*p*r ét

pérjinétr^úd pkl$famit¡d¿AB€JÍiasp.?<j f ubiinL-rj j;I .1»

138. Porque la superficie lateral. décima '^iríinidenes

la> mraaftdBez tQ&D6b<to^

BSC , &c. Pero como en la pif&nydecngijh^ «fc
2qótzdb& dbifdiciiqsf triángulos,

tí, ■^m&M'^&gp^ ■■ ■

-1744- Zü sápe%^^erübdéítm^rt>tm^ tr&b dtf&i
ráméde regulan ^^atór^pah^lHaf ^Kijgfc^i ^tí jr**
ductúf'de fatéüutaí de>txtó dt> Ittirtaptii&rtoentlWtpetr

«Tf \temir&ddéto\sú^ &(lu¡r&s &ths.

143. 4 Porque 9 ya que las dte tases- ^2Cfi&, '*¿*fc¿
del' troza ^ipíráfc¡4^as^^patelda^, su* cara* <&
esta son trapecios igualea^\c%c^:fe^s^p«r^«k^s©^
lia fatto¿> dcUraiibasft ^erioir é^inftnor ^ ^a¡ al-
tocara jguqjsái4a rjierpendixmiarlítirarda eatifc tósitáp
dos paralelos de ios trapecio* ;f la suntó de cuy^
trapecios es .igual al producto de su altura comité
por la semisuma de los perímetros de las bases (663P

•i^iSéfá la ; sum&'.tie los: trapecÉos^fce ajñatdíap IS dába-
se* r> la^iuína será 4a \Éú£erfioie¡ -dentad» la pira**
mide. . .'* !-b ü ' '". f" • '> ;,,' • •" • >d

t 745 Y como ia superficie 4e- un trapecio es igual
(603) al producto de su altura por una linea tirada &
distancia* iguales dfc lasdoaJad^pa^el^^dcMos

de-

■• r

DE GEOMETRÍA. §jf

<tódr que la superficie lateral de ith trozo de pirámi^ frjg,
de regular es igual al producto . de la ahur a de um
ile Jos trapecios laterales 4>or la. sufra .de ¡as lineas
no , op &c. tiradas en los trapecios á distancias igud*
Jes de fas bases paralelas., cuya, sima es paténtemete 1
te el perímetro de una sección mnopq , becba a distan»
cias iguales de las dos bases paralelas,
V . 746 Cómo lo que deseamos prohado «(743) no pen-
de 1 del número de, los ladoa-de la base de la pirámide
regular á de su trozo, y ibera de "esto, un corto es
una pirámide cuya base es ün polígono regular de
una infinidad de lados (609)-, podemos afirmar que
guanta queda demostrada merca ide fap pirámides re-
gulares, y sus trozas > se verifica igualmente en lo\ tonos
rectas. y tus tróficos.- '. «»* - ;. , v ■* f •* :.^. P - :. c • ; »
- 747 < Dé aquí 9 y de lo demostrado (743) íd&»
tiremos varias consecuencias» 1

: i.*£a superficie convexa 4* uH, cono recto es igual
d la mitad del producto de su ladojpor fotfrcmffrw-

1 .7^ :Jba¿^ trvKQ.de ¿m

fectjo.com hásev, paraieias es igual' (744) al profretú
de su lado ABvmdtáplicfdá ipor la semOuma dtfatfir* 144.
Qvfertol^deisusx das bátese < . . ,-[

\*&9 &STaúbün\ esJgMÍ ai :früdu<ito\ d? sh }aÁ
Abp* la tiwqfforenciA de, upa secejon <&nup heetom
cítete* á: distancias j: iguales da las bases paralas* :i

. De la solidez, de la Pirámide.

-~7gQ . Si cortamos mapirátntásSABCD con m phn
no mmporaleto é la ¿a$r ABGCK (tela pirámide » jp el 14^
plano] corteé todas las *rist*t<SA;SB<> SC y && en,
partes proporcionales fue tendrán unas con otras la
fmsma razón que 'las de otra recta SE , tirada jtesde
*tc&pide.dkAlapi(á»áideai pknor^^Jmf^yM
**. Á * mis*

$i6 .* i TKINCFPIOS T.

JFfg, fxwm r¿*0» también que «ate fa&¿ homólogo* quaki*
quiera AB r ab de Jas secciones.

a.° ia ¿¿otó*, abcd será . semejante á'la batr
ABCD. .. . ..r.. . •

J4S- 3«° ¿<tf **•*<** <& **' secciones ABCD , abcd ten*
drét unas con otras la misma razón que los cuadra-
dos de las lineas SE , Se.

- Porqué , i;° Si nos figuramos que por la recta SE
y por las arista» de la pirámide pasan uñón plano»
SEA, SEBy tyjBC, fiar, jestos planos cortarán la
sección abcd «n ea , eb , ec. Sentado esto , como las
comunes sgcdütier ¿te dos planos paralelos son lineas
paralelas (714), ios 'triángulos ASE , BSE, ASB¿
BSC > fitó $&&n semejantes & sas correspondíate*
aSe , bSe , aSb , bSc , &c. (627); luego ios lados de
estos trl¿ngut<^ serán proporcionales, y darán, com-
parándolos unos con otros de dos en do&, SE : Se tt
SAz'Sa : : SB : Sb : : SC z Se&c, :: -áB : ab : :
BC.iyJk.'fkc,- ' '• ' ■• '- * -.v .) ^ : ..*.,: ■ ... \*

2.0 Una vez que los triángulos -AERyj, BEC)
€RD &£. -eá que está dividido .etpísttw "ABCD de
la base con Iqs pUnos que ¡jasan por la recta 5Í?,
•?.• i y 4a» árikas dé la pirántide, tienen sus lados res-*
pectivamente paralelos á los de los* triángulos aeb+
&í\ Wtí v&fc eir^ue» é*tá dividida la sección abcd
ton los miamos planos y. es patente que todo* esttft
triángulo^ %óñ semejantes unos á otros (630) ; luego
las dos figuras ABCD , abcd que se componen de los
tales triángulos, serán figuras semejantes (634).

3.0 Y por ser semejantes las figuras ABCD , abcd
tendrán unas con otras la misma razan qué lor&oa-
.l dradoí de sus lineas homologas, (688), y parlo mis*
mo ABCD : abcd ti{AB)* : (ab)* : : (SE)* : (&)%
por ser AB : ab tz SE 1 SE.
' 751 De esta proposición sé deduce í.° que si cor**
tamos, ia$^p$*á»*idet SA8CIX, SFGfl^ í^ \rt^»

iguales sus aburas SE, SI .con un piafa mv par** J?jg[
kJo al plano, 4? sus iasesn, lawevchnes . ftbed5'*%í>
tendrán una can otra la razpñS\de ;&* kam .AJiCt^ .*\\i
EGH } .9 si estas fuesen •r igwfc&¿tam¿iep¿blterdn las* 145.
secciones. n ■ ., ri

-- Porque , po* lo «probado últimamente , y lo de-
mostrado (688), será ABCD 1 abc4i>.ÁSE)xi(Sé)*%
ppr la »ismá t&m FGtí : /#* ; : (W •: íSifi peral
tf £te (**)* -» pues ^upoueFpoa \SE^SI; teego (¿e)í
zz(Si)% y^po^consiguiente (SE? liStf : : ($I):(Si)*t
luego ^ífiCD : *¿a/ : : FG// rjfyk - *»,

752 2.0 ¿«^0 las pirámides df alturas y basei
iguales , ttientav solfeen iguales, -mnv# sea» sus baset
& figuras diferentes: />_ .;

Porque y una v«s.^e poríoi siapífcsta son igua*
íes las bases ABCD , FGH , las secciones abed^fgb 145.
lo serán también (751) ;. y si. suponemos estas secr
dones de gruesa infinitamente pequeño , las podre-
caos comí^ffart/:Qmo.]«s detpefttfts.de ^pirámide*
Por otra parte , por ser, según suponemos,* iguales
las aküf as de ¿Jts 'ptíámides :$. se podrá bager en ca-
" 4a una 1 un mismo número de secciones, y(s^rá,por
consiguiente uno mismo el número de dos ekmenr
*» ¿guale* de que constan dic^a^ pirámides; luego
«eíén.igwa^ • / v-< ■; i' ;- r ••* .í

- $53^ <^*** pirámide triangular es la bercera parte
He m prisma triangular de la misma base\$ altura

fue ella. •,..•.; : ;

Desde uno de los ángulos A del prisma, trian?
gula* ABQMEB tixeosb l& *\diagpp^e^ AD > AF9
en las tfiraa Jatwatas ABDE^AC^Fi supongamo»
*ho?a un plano , el quai pasando i por la* diagoaa-
les parta el prisma en dos pirámides > la una tr^an-
gfúat A&JgcF% la otra quadrangufcivW^CjFlX La
coimera, tiene la olisma >>a$e? y. &.j$iisma altura
que el prisma', pues su cúspide A está en la bar
•K:cf se

3*> ; PRINCIPIOS "

Fjg; se superior del prisma. Supóngateos ahora la Segun-
da pirámide ABCFD cortada cotí otro plano que

147. pasa por 'las aristas AC , AD<, de toque se han d^
y; originar dos pirámide* ABCD, ACFD , iruycte vér-<

148. tíces estarán en el mismo puntó A, y cuyas bases
serán' los triáHgülds Rúales • JCI*>,f FCD ($&>); lue-
go estas dos pirámides serán iguales en solides (753).
Peni fci compárateos- tavpiritnkie ABGD con la pi-
rámide ADBJPj~y las consideram&s eontó •que tie-
fien sus cúspides en los puntos D , yf > ^echarémotf
de ver que pues sus bases son los triángulos igua-
les BAC, &EF) y sus alturas son tambitfi iguates,
las dos pira fnklss -serán igualas uria con otra. Lue-
go lastres pirámides ADEF, &BAO,ACFD>ea
qué está dividido el prisma ^ son iguales en solidez,

•w/' y por consiguiente uña de ellas AuEF'opk tiene la
misma base y altura del prisma , en* su tercera parte*
-i, 754 E)e aquí se infiere : 1° Que toda pirámide
polígona [es el tercio de un prisma de misma base j
lütura que ella. . ' f

Porque y siempre que se quiera la pirámide y el
prisma podrán dividirse respectivamente en un mis-
mo número de pirámides y prismas triangulares dé
««ja misma *bass y altura ; y como cada una de e»*
tas pirámides será la tercera parte del prisma cor*
téspóntíiéWtfe^áíg&ese qae toda la pirámide, s«a rec-
ta tí -oblicua, 'regular- ó irregular 7 siempre será él
tercio del prisma que tenga la misma base y alttt*
ia -qué elía. ■ ,

f *75g ^q? Luego ta solidez de toda pirámide es el ter-
ció del prédúct* de su? base por < su VAtokr*. Porque ' la
, solidez del prisiiia es igual á; todo esttf prbducto (731)1
756 3.0 La solidez de todo cono , recto ü oblicuó , eh
Ja tercera>^ítrte^kkl^roduct^ de su base por su altor*
Porque' el codo es una pirámide cuya base es utfc
* t&cúlb. - • ^ '*• '-—, ^ -•*- —'I «-••-*- i 1* *-'*'
^ Por

DE GEOMETRÍA. 321

- 75? Por lo que mira á la solidez del trozo de Fig.
pirámide ó cono , quando son paralelas sus dos bases
opuestas , se buscará primero lá altura de la pirámide
que falta Sabe , y después se calculará la solidez de la 14^
. pirámide entera , y la de la pirámide quitada ; final*
imente se restará la solidez de la pirámide quitada
de la solidez de toda la. pirámide, la resta será la
solidez del trozo*

*• Si se me ofrece sacar v. g. la solidez del. trazo
ABCcba, multiplicaré la superficie ABC por; el ter- 149.
ció de la altura SE ; multiplicaré igualmente la su-*
perficie abe por el tercio de la altura Se , y. restaré
el último producto del primero. Pero como no co-
xiqzco ni la altura de toda la pirámide , ni la de lá
pirámide quitada, determinaré las dos alturas del
modo siguiente.

'' Sé (750)' que las lineas SA, SB , SE &c. están
tortadas proporcionalmente con el plano abe, y que
tienen con sus partes Sa 9 Sb> Se la misma razón qué
AB con ab ; luego AB : ab : : SE : Se; y como (di-.
vidtfldO) AB—ab :AÉi: SE— Se i SE, será AB—
0¿ : AB :: eE : SE.

> Pero quando el trozo es conocido 9 puedo me-
dir ñettmente los lados: AB , ab, y la altura eE\
luego por la proporción últimamente sacada podré
calcular el quarto término SE 9 altura de toda la.
pirámide; restando de esta la del trozo , conoceré la
akura de la pirámide quitada.

De ¡a Esfera, de sus sectores y segmentos,
y de la medición de sus superficies.

t 758 Llámase Esfera up sólido ABDE terminado
por. una superficie curva, cuyos puntos todos están á
igual distancia de un punto interior C, que es su centro, 1*0.
^Tm.I. X Po-

32* FRINCTPIQS

f ig. x . Podernos figurarnos la esfera como formada por

150. <efc scmidrario ^£BZ> dando la vuelta al rededor de

su diámetro AD y el qual se llama el ese de la es*

fera; llamándose polos de la esfera los- dos puntos

extremos Á , D del diámetro.

759 Como cada punto B del semicírculo traza, al
dar la vuelta , ub circulo ; "si nea figuramos la esfera
ce riada con un plano perpendicular al diámetro, la
sección por qualquier. parte que se haga , siempre
seta un circulo. Y como esta misma esfera puede
considerarse como originada de otro semicírculo
qualquiera FHG ó HFI^ respecto de los quales >sg
verificará igualmente que las secciones perpendicu*
lares á sus diámetros son círculos, hemos de in¿
-ierir que toda sección de la esfera con un puno ei
un circulo. -

, 760 Los círculos qué pasan por el centro de la
esfera se llaman, circuios máximos de la esfera, y
los que no pasan por el centro se llaman circulo»
menores. .:::'. -\ * :. >

- 761 Sigúese d& aquí que los círcuh&taádmos ti*
la esfera son todos iguales unos con- otros* y porque et
radio de todos es el radio mismo de la esfera.
. - 2.0 Que los círculos menores solo son iguales unos
con otros los que pasan á distancias igualé» 4et aen*
uro. Porque solo estos tienen radios iguales^ unos con
otros (473). . : * ' ; :: r- :'

762 Todo plano que corta la esfera si* pasar pot*
150. su centro , la divide en dos partes desiguales DFKHL,
AFKHL ; llamándose la primera segmento mayor; At
otra segmento* menor. .

La- superficie convexa del segmento tnendr se lla-
ma casco , ó casquete esférico.

La superficie convexa de tíria porción de étftra
BMENFKHL que está entre dos planos paralelos
se llama zonaje fáxa.

A- S?i^

DE GEOMETRÍA 333

• Finalmente , se liana «rotor & 1a esfera el sólido Fi#
CFALUK originado de la varita que dá el sector
áe <árcul& AFCik rededor del radio AC Este só- 15a
tidoée puede considerar como compuesto de un co-
ro CFKHL , y de ún segmento esférico AFKHL.
Todo esto presupuesto,

763 La superficie de la esfera AFBG es igual á
la superficie cwtmxk del cilindró EDHI droutiscrip- 151.
ta é la. esfera.

¡Consideremos la esfera como originada del se»
tbkkisaio.AFB dando la vuelta al rededor de su
diámetro AB , y el cilindró como originado del reo- 153.
tángulo AEDB circunscripto al semicírculo, dan*
do la vuelta. Si tiramos al.exe de revolución AB
hi: perpendicularer infinitamente próximas mp , «f
quedaran determinadas eri el arco AFB que causa
la superficie esférica , y en el lado DE que causa
k superficie convexa del cilindro, las partes cor-
respondientes fgr nm. Es patente que daíéo^, el
qual pos su infinita pequenez se puede tomar por
una línea recta infinitamente pequeña , trazará al
dar la vuelta la superficie convexa de un titos» de
cono recto . sumamente pequeño , y- la porte r*n tra-
zará uñar superficie cilindrica sumamente pequeña,
correspondiente á la que trazare fg.
• ! Ahora bien; desde el punto f'mediodefr , tí*
tese la ta perpendicular á AB, lía superficie cóni-
ca causada por fg será (749)/fc*«irc. tu; y la su-
perficie cilindrica causada por tm será (739) nrnx. ckc.
nq. Pero si tiramos el radio tC* y la recfe fr per-
pendicular á nf, -se originarán dos triángulos frgí
faC(6$i) semejantes uno á otro por ser los lados
del uno perpendiculares i los lados- del otro, $ da-
&nfg •*/*• ó tm : O ó na : tu* Luego por Ser los cfri
culos proporcionaks á sús*adk>S'í©38), serktió ••&•<
drcí* :; cfrc. ** , :y £ot cot&frfem fg 4 #> :.:-cfr£

3^4 FRINCIFIOS

Fig. nq : círc. tu¡ yfg* círc. ttamnA círc. jjf . Luego la zo-
na esférica sumamente pequeña causada por jfe es
igual á la zona ó superficie cilindrica correspondien-

152. te causada por nrn. Y como toda la superficie de
la. esfera , y toda la superficie del cilindro se compo-
nen de un mismo número de elementos ó zonas cor-
respondientes , las quales , según acabamos de pro-
• bar , son todas* iguales, > cada una ala, suya, sigúe-
se que la superficie de la esfera es igual & la super-
ficie convexa del aüiodro< circunácripto.
• 764 De aquí inferiremos , i.° que la superficie Je

.— ♦ la esfera es quddnupia de l* superficie de uno desús
circuios tímtonos*

\ ..Porque: , según acabaiínos de demostrar ^ la supeiv
ficie/de la. esfera es igual á la superficie convexa» del
pilindro circunscripto , y la. superficie de jeaté cilio*
jlro es. igual (729) al producto, de la circunferencia
de qu base por su altura AB + lá qual es aquí el diár
p^trjo (de la esfera; y como la superficie ^éú dr-
cub jAFBG es el producto de lá misma cfepiíife*
fórigia vp«r la .teitfd ;dd radia, quarta parte del difc*
avetroi ligúese que. la superficie de la esfera es qué-
dn^pladel uno de ¿us circuios máximos.
r Por consiguiente , si se me pregunta qual será la
superficie de una esfera de ao pies de lüámetro ; bus-i
caré por lp probado (666) la superficie-de un círculo de
Of> pies de diámetro > hallaré que vale 314^ pies ¿ la
multiplicaré por 4, y el producto 12577 pies será la
superficie de la esfera de 20 pies diámetros.
^ .765^ 2.°/Luego +la superficie de la esfera.es. igual
á la de un ¿ir cub cuyo radio sea dyplo dei radto de

. .Porque comp los circuios tienen unos coa otros
la misrp? razón que los. quadrados de sus radios (68D)
el círculo cuyo radio es jíB seta al círculo cuyo ra-
dio es 4Gi<wm{ABfa>(^

ü'a Ya

DE1&ÉVMÉTRU. 325

-766- 3*°Ya que todos.los elementos de la superficie Fi£
ele la esfera son iguales á los ejeijnentos correspondien-
tes de la superficie convexa del cilindro (763), sigúese
Jpjre ?u'tf* * iota* oftifea • que ^esti ^ntre^dosv planos pa-
ralelos , y causada por un actq. finito /F«s igual á
la zona cilindrica conre&pot&i'ehte , • causada por la za-
parte correspondiente mF: y norrio 'esta superficie es
igu&l (^29) al producto deofoj circunfef «tocia cuyp
' diámetro e& F3 porcia' aittrc& Fm \ ó mi "producto 15**
de uno de los círculo* máxfetós* dé kt esfera por Id
altura fb, se deducé que ía superficie Convexa, dé 'V
ftjdíi sana esférica es igual al ^producto de la circun-
ferencia de uno de tos circuios masamos de la esfera
por la altara de* la misma zortcL '■•.*•• ¡

- 767 4.0 Luego la superficie de un casco esférico es
igual al producto de ún círculo máximo de la esfera por
la altura del mismo casco.

- Porque la superficie del 'casco causada por A(f
siempre cserá igual ¿ la superficie cilindrica causada
por Em:> , ■" "* »■ *;; r . •• K ■- • í.;.> ■»...: ,;

1 .7^8 '^T^mlSírtl'probkrértios que la superficie de
un casco esférico es igual á la superficie de uk circuló
tuyo hadioes} la cuerda Ag tirada desde el vértice 153.
del casco á la circunferencia que le sirve de base.

- "Pafrque ; cwrffortae se ¿robó (646) Aq : Ag MAgí

ABzziAC, y por consiguiente jjfq,i -¿-ÚA&: AC ::
«fr. ^% : cír. AC7 de donde sacaremos -¿jx cír. ACsz
r^.X dr..^jr.í peroi^<: tí* ¿Ces la suDerfiae: del

««co ,{767) ¿y ^x d¿ jf£ $ I¿;siíperfi¿ie. del c¿*
culo cuyo radio es la Cuerda Ag* luego &c ' < i

í*& Medida de la solidé* de/ tú esfera /jr <te w> sectores

y segineátos. : ' ' í ' ■ ■' • * '

-.•^69 Zf* . ¿ftftfat 4e to esfew e*;log> dos^raios del
iilindrt cérftiHscrJpto.^.y, » ¡\^{ ¡\ .y ;

150. : ¡ Figurémonos c dividid» la superficie de h esfera
en una infinidad de partes ^infinitamente pequeñas*
que sooMa bases -de^otcas (tancas pirámide^ cuyos

/!?.! cúspide*, eáiárt ep el oentro Cld^l^ esfera.; claro es*
tá qkuejjU'í^un^i de tofos estasTipitiraides; compone

i$2. l& sólkteí^etó esfera^lComo todas: tienen una mis-
ma altura,- es á sabe&,\el radio de la esfera , su su-?
du será Jgual (7§5|> al^ttrcio del radio multiplicado
por la superficie de la esfera v á al tercio del ra^
dio .JtnOlciplicadoifior' el qi^ádrupto de «no de l$s <ír-
*u\os jímiriioa* de* ;iaiet>ffok-<764) ,\ ¡6 finalmeftté á'.lo$
dos tercios del producto del diámetro por uno. de
- Ibs círculos máximos, ->Pérf> e^é ultimo producto va-
le, losi dos tercios del cilindra, drcim^criptp, por set
el cilindró igual al producto de su altura , ó, del diáj
ttíetro?^^. P9Í el círculo de^tm^^qual efrá^ual
é un círculo máximo de la esfera, t-uego la solide*

%r* , $e la 7esfera es, losados ¿WCÍ0& de la, solidez del ci«r
Ündrp cijfcuhsiQripto* n vv \' .... »-/.,>>•,»
r 77<i 1<uq$& \?*&u<teUdiZ;defo esfera te bfU&pwl-
ttpjicando^ su superficie por el tercio del rqdio.^ ^y
: Porqué^,1 cd^fbnile* arábamos dé ^bítar (^^)y*s*
te es el valor de toda* Jas pirámides que componen
ja solidez de la esfera.

1 Por esta regla' la solidez de una esfera de ió pies
de diámetro será de^igoi? pies , porque, el produc-
to d¿ ^2^71 i valor díé ^superficie (764), *oV 3^
tercio A& (.radío ,;>vale 4 iipk\¿ ■„ . \.-- ,.;

771 2.0 jLa esfera es igual á un cono ctfya tase
es quádrupla de un circulo máximo de la esfera , y
la altura igual id radio de la misma esfera.

D-É-ZC&OJmnttA &$r

Porque , como la superficie de la esfera es quá- Fig.
¿tupi* de tei/tepcrficievdeiii» ^e'-sos^íiaDoloi rclár
ximos (764) y ua . cono cajiga' base» üíese quádrupla de
un círculo máximo , sería igual (756) en solidez á la
superficie de la esfera por d tercio de ari» altura*; la
qual ^s igual aL radio : pero este es cabalmente el
valor de la soliden de- la esfera (770); luego &c. 1
< 7f2( De lo^dicb^Hütesí<7 70)' acerca de la medición
dé la solidez de la esfera v se sigue que ^n sector esfé^
ricé CFALHK és igual en solidé* m1 producto de la 150.
superficie del casco* AFKHL por el tercio del radio. •
-- Porque este; sector se compone de una infinidad
de pirámideicuybá vórtices están en el centro de la
ssftra ^ 'y tos 1. base» «oompoaefi la superficie esfériet
xiel casco. •*. . ¡ ...? -^o •' >~ '.I C'
• 773 Luego i /a * ¿ftdr* de un sector esférito es tam-
bién igual é la de un cono de altura igual al radio
de la esfera , y apa base es un circulo trazado cm
ti radio AE^\reaa tirada deyle el vértice A dei$as- 150»
•ce d Va circunferencia* de su hase* > > :*-

1 Porque , cotno la' superficie del casco esférico
-ATKHL es igual (768) á la de un círculo trazado
-con. el radio JdfF; un cono de las circunstancias ex-
-presadas seriar igual al producto de la superficie del
casco esférico que le sirve de -base por el tercio del
iradio i pero esta es tambieh ¿1 v4ot del lector es-
férico (772) ; luego &c. - ■ \
774 Por lo que toca al segmento; como vale el
^ciorCFKtíLjí^et^tlv^oCF^tíLX^), una
•vea 4jue dexxpxod etfteftátfo combj^ mide (7^6 y 773)
-cada c4»0i de este* cuiípos y «ju¿da también declarad-
ido copio « mide el ségitjeiito^ cuya1* solidez se ha-
llará restando la solidez del cono de la solidez del
-•etetórle$tokD<>.'3* m.. ..,: /•• &• , • ,

rs.i--:n/;i 'Jj?, i,J i;j¿rí m ':o:4r ir itf -.?> -1- • ^i'Jí ".v'I

•*•»-• il e«i rübuj u.'.rjiugiuio.' >,*j \ t ' T< ' •• «i/^*
~f* X4 Zfc

Kft

328 : PRINCIPIOS

De ¡a razón que guardan unas con otras ¡as super-
ficies de i los sólidos. \

??£ Llamamos sólidos semejantes, los que están
terminados por, un mismo número, de superficies se*,
meantes, y cuyos ángulo*; sofodos homólogos son
¿odo§ iguales;, cada uoo cal suyo 4 esto es, quaodo
4os ángulos planos que causeo cada ángulo sólido
• ' del primero , son iguales en numero y cantidad á
los que causan el angula sólido correspondiente del
segundo. Y así', paca que dos cuerpos sean seme-
jantes <, no Jbasta jque las. cara3 del uno Sean semfe
jante» á : las del, otjjo j _ es pree¡s*> 4 ;maá de eso que
el uno de los dos cuerpos tenga tantas cacas co-
mo el otro , y- que los ángulos sólidos d$l. upo sean
iguale* á los ángulos sólidos del ottp, conforme acá?
olíamos de decir. > ^ ••.'..., • f .
a>"¿\ -776 JWféwaft de aquí i.° quesok ppeden iet s*>
nejantes dos cuerpos guando., sw.de una .fhisma esper
ttie y por. h que , ,un prisma y una pirámide v- g. no
Queden ser semejante*. Tampoco-pueden ser semejan-
tes un prisma recto y un prisma, oblicuo, ni unprisr
tala oblicuo ^otro prisma qblicup mas. á *ueitos w?
(diñado que «1 iprimferA ... , :. j <~ 1

777 *.° Qi&juando dos cuerpos soniemejantes^ las
lineas tiradas en el uno de los dos son. proporcionales
d las limas homólogos ó tiradas ad mismo modo en
sel ofm PqX m&necaoque ¡si «a el uu cuerpo, una de
vdichas %eas e* dupla ó¿tdpte;4e. la ,qwe le corresr
-ponde en el otro >: las 4pmaf lüc^aa del pri&eoo tamr
-bien serán duplas i> triplas - de íus homologas en

Id segundo.:- .. .-• ., I*A- .. :..ioe 1:! -vi • •:

Porque, si los sólidos son semejantes >j las. su-
perficies de que se componen han de ser también
semejantes (775) , y por consiguiente todas las lineas
. • T t X 1»-

DE GEOMETRÍA 3*9

hoínólogas serio proporcionales (624). Todo esto pre- Fig.
supuesto, ,

•u 778 Las superficies de hs sólidos semejantes se ion
unas con otras como hs quadrados de sus lineas bo-,
málogas>

Porque se componen de planos semejantes cu-?
yas superficies son como los quadrados de sus li-
neas ó lados homólogos (688) , cuya* lineas son li-t
n$as homologas de los sólidos , y proporcionales á
todas las demás lineas homologas. ¡

, 779 Las superficies de dos esferas son una con otra
como hs quadrados de sus radios , ó diámetros. \
\:. Porque, como la. superficie de vuna esfera esquá-i
drupla de la de su drcula\ máximo (764) , las- su<*
• pérficies de <dos esferas serán una. coa otra como
el .quádruplo de sus círculos máximos 9 ó como sus
círculos máximos, quiero decir (690) como los qua**
arados de los radios ó diámetros..'

780. Pero quando los dolidos no son semejantes,
quiero decir , quando las superficies que los terminan
no son semejantes , no hay. otro arbitrio para com-
parar las superficies de los sólidos sino medir sepa-
radamente La superficie de cada sólido, en medidas
de una misma especie^ y comparar después el nú-
mero de medidas de* una superficie con el núme?
ro de : medidas de la otra , v* g. el numero de los
fríes quadrados de ta una coA el número de los pies
quadrados de la otra. No obstante , vamos á determi-
nar lá razón que hay entre las superficies de algt**
nos /sólidos , cuya) > razón igüakaente sfe verifica en el
caso de no ser semejantes los sólidos que se comparan*

781 Las sup&ftcks <de -tes prismas (M. entrando en
cuenta las superficie f de las dos bases opuestas) se
inmunos vori' otras, como hs productos de la .longi-
tud de')lo$/pfipsmasAp<m\rt perímetro de ¡una sección
p&pautiMahábJabtmtfmt hntpttA ^ ...j k 1 •'. - .1
..vui Por-

330 PRINCIPIOS T.

Fig. Porque las tales superficies pon iguales á dichos
productos (7*7). , .*

782 Luego, jwamfc Aw longitudes sean iguales, las
superficies de los* prismas. fe barón unas con otras co+
tno el perímetro de la sección perpendicular á la lon->
gitud de cada uno.

- Porque -la razón entre los productos de la lon-
gitud por el perímetro de la expresada sección, no
muda aunque en cada, producto se omita la loogi+
tud 9 factor común d& todos.
,. 783 Luego, las superficies de los prismas rectos,
6 de los cilindros rectos de igual altura , se Aon unas
ton otras como las perímetros d¿ las bases ^ sea la
que fuere la figura de las tales bases.

Y recíprocamente * siempre que sean unos mis*
mos los perímetros de las bases 9 y distintas las al-
taras , las superficies serán como las alturas.

784 Las superficies de los conos rectos guardan
ifiías con otras la razón de ios productos de sus lados
por las circunferencias de sus bases , 6 por los radios^
6 por los diámetros de las mismas bases.

Porque , como cada una de dichas superficies es
iguat ¿il producto de la circunferencia de la base por
la mitad del lado del cono (747) , serán una con otra
eomo los mismos productos , y por consiguiente co-
mo él duplo de ellos* Fuera de esto > como las fcu>
cunferencias tienen una con otra la misma razón
que sus radios ó diámetros (728), se puede subs-
tituir en dichos productos la razón de los radios ó
diámetros en lugar de la razón de las circunferen*
das.

De las rascones de los Sólidos.

785 Comparar uno con otro dos suidos es inda-
ir quantas .reces el número de medidas tqute ca*
en en el uno de los <^ sáiidosab^ el número 4^

-:r'í me-

jgai
bes

DE~ GEX5METRÍA. 33*

medidas de la misma especie que caben en el otra Fi£
x 786 Dos primas 6 dos cilindros , ¿ un prisma y
un cilindro siguen uno - con otro la razón de Jos pro~
doctos de su base por su altura.
\ Porque , cada uno de dichos sólidos es igual al
producto de su base por su altura , sea la que se
quiera la figura de la base (731 y 734).
- 787 Luego , i.° Los prismas o los cilindros , 6 ¡os
prismas y los cilindres de igual altura se ban uno con
otro como sus bases ; y los prismas y los cilindros de
igual base se ban unos con otros como sus alturas. -
Porque , la razón de los productos de las bases
por las alturas subsiste la misma , aunque en los ta-
les productos se .suprima el factor común 4 todos,
quando la base ó altura es una misma en ambos
salidos.

: 788 2.° Luego dos pirámides qualesquiera, 6 dos cch
nos , 6 una pirámide y un cono, se ban uno con otrv. como.
las alturas, quando ios bases son iguales.. . u

:: Porque, cada uno de estos solidos.es (754) el tei>
efe de un prisma de igual base y altura*
?' 789 Las solideces de dos cuerpos semejantes qua+
lesquiera siguen la razón triplicada , esto es ,.la de
los cubos, de sus Jados homólogos.* I>

! VLa solidez de todo cuerpo es con- evidencia (731)
d producto de una superficie por una linea , luego
todo1 sólido es el producto de tres lineas (657); lue-
go dos sólidos semejantes se han uno con otro co-
mo los productos de tres dimensiones homologas, ó
siguen, lar razón compuesta (777) de tres dimensto»
Bes proporcionales , y. por k> mismo la razón tri-
plicada de una de las tres dimensiones : pues sien*
do proporcionales las tres dimensiones del un sé*
liSla á las tres dimensiones del otro, las tres razo^
nes componentes son iguales; y corqp la 'razón tm
jrii&dst/ de 4^; cantidades es; lat misma que lar. ra-
-v. í zon

33» * PRINCIPIOS

Fjg. zon de sus cobos , por ser una y otra él produo
to de tres razones iguales , sigúese que dos sólidos
semejantes guardan uno con otro la razón de los cu-
bos de sus dimensiones ó lineas homologas.

790 Luego las solideces de las esferas siguen la
razón de los cubos de siá radios ó diámetros.

791 Si combinamos • la propiedad (789) de los
sólidos semejantes con las que dexamos demostra-
das (636 y 688), echaremos de ver i.° que los contor-
nos de las figuras semejantes siguen la razón sencilla
de sus lineas homólogos ; 2.0 que las superficies de las
figuras semejantes siguen la razón de los quadrados
de sus lineas homólogos ; 3.0 finalmente que las sólidos
de los cuerpos semejantes siguen la razón de los cu-
bos de sus lineas homólogos.

Por consiguiente , si dos cuerpos semejantes v. g.
dos esferas tienen sus diámetros en la razón de i: -
3 , las circunferencias de sus círculos máximos se-
guirán la razón de 1 : 3 (638) ; las superficies de
Tas misipas esferas seguirán la razón de <i)a : (3)* t:
1 : 9, y los sólidos de las dos esferas seguirán
la razón de (i)5 : (3)* :: 1 : 27. Esto quiere
decir que la circunferencia de un círculo máximo
de la segunda esfera valdrá tres tantos del circula
taáxírao dé la primera ; la superficie de la segunda
valdrá, nueve tantos de la superficie de la primera?
y el sólido de la segunda esfera, 37 tantos de la
primera.

< .792 Luego, quando sé ofrezca hacer un sólido se-
mejante á otro , y cuyo sólido tenga can este* una ra-
zón dada i v. g. la de 1 a $, se. arreglarán sus di<*
mensiones de modo que el cubo de una qualquiera de.
eue dimensiones tenga con el cubo de una dimensión
homologa, del sólido al qual ha de ser semejante , la
razón de \i>á <g¿ •-; ;

• Sea jd4dat-.ut.4p una. esfera da 8 pulgadas d¿ diá^í
í . me-

DE 7. GBOTUEEÉÍA. £33

pHJtroV veamtts qual ha de ser el diámetro de otra Fig.
jcsfcra jque tfaiga cinco tantos de la primera; busca-
remos el quarto término* de esta proporción 1:5::
§lcuha de,8 ó jgi^V es á 2560, cubo del diáme-
ttx* que buscóos. La raiz cúbica de 2560 es 13,67,'
con cortísima diferencia Vj este será el diámetro de
una esfera que , valdrá, cinco tantos de la esfera de
ft ptúg. de di^netro.: r; / i. t .. . .
:. lA6\faysi&s*zxB&\itáufc probar ; puc» si se
busca eL^óüdd de * uoa eáfe^a de 8 pulg^de diá-
metro ,• y el sólido de otk^ epfera de 13^67 pUlg,
de diámetn? * se hallará apíereí. sólido de la primea
ores. Ja? quintó parte riel a#ido^de*&< segunda, '
••••>Vf ■. u\\\ •vxt ¿.: Viv /u>'.. v/uiV y\ ^v''•• \ *j A4 ? '/:*
:,.'.íu':i\ tl^v^vá^\iM^«CSli^]lbr» ^¡|wJhriK^ .?- ¡;v.

í;< 793 vLláinansa cuerpos, r<eguh*es aquellos cuyas -
caras son polígoi»»i todosíregijlaBeá, iguales y ge*
mejaufags^Eip c^os^iáqguioffi saldos se componen de
^piali ñutía/; o ;dp f piante; o]i.v.¿ >-:l '•'' : '■ ': ' 'T
ori79^i Tiúadados ep ;laopraposick>p qoe dipneaera*
mas ^18) rpstíb^cóm0fque Jto punte haber mas de
cinco cuerpos regulares.

~ 79ÍS iw° QBsmdó. rf\átigt¿o sS&áá* resulte del ¡cx>n- f,i
cuan/fte ttés^ánguk>^f£fe^s\xie triángulo ^quiiáW-
ifoy d sdfido se llamk tetraedro. No hay duda en que ^
tres, ¿aguíes de triángulo equilátero pueden forjar un
ángulo sólido j pues valiendo 6& (553) cada ángulo
de un triángula equilátera, la .suma de tres valdrá. 180%
y por consiguiente, menos, de. quatro ángulos rectos.
~; v Laf figuran representan un tetraedro <, y los quatro 154*
triángulosi eyaláteros que componen todo* el sólido.
-1796 2*;Qjuátra ángulos de triángulo equilátero
pueden formar también un ángulo sólido ; porque co~
mb estsosr quatro ángulos juntos solo valen 240% va-
len menos que quatro ángulos rectos. El salido 91

quien

334 ^ PRINCIPIOS \

Fig. quien concurre esta circunstancia, se llama oct aedrtK,

155. y le representa; lá figura con los odio triángulos
equiláteros que le componen,. . r ? . '>

* 797 3>* Cinco angukrs de tri¿ngaio efailátero^pue*
den jambien fornütr un ángulos sólida , porque la »K
Oía 300o de estos cinco ángulos no llega á valer qua-

156. tro ángulos, rectos. En d icosaedro cate ángulo $6*
lido resulta del concurso de cinco ángulos de; frían*
gulos equiláteros;^ fi^uriíixprtwcnta este sólido' coa
los yeime. triángulos eqaMterosj qub le ¿omponen. i

Pero como seis ángulos de^<ttiánguk> equilátero
valen juntos quktto ángulos /rectos 9 no pueden for¿
mar wn ángulo bólido; luego noipugxk'i?aber ; mpsifepr**
especies de cuerpos regulares formados par triángulos.
798 ^° TrMKéfi/^svipqi^^ también

formar un ángulo sólido , y esta circunstancia concur-

157. re e&ei fó¿p 6 exmdrn:^ qas\ ae vé en: iá: Aguja coa
los seis quadrados que, le componen* q ik

Es evidente ^uei^uatrt* üqgulQ^^ qua4radotOO
pueden formar un ángulo salido;., q^or vafácrtódqp
juntesr qáateo ;ángwk^|MBt08ls ípocobeüiiguien^tiK)
lílay^smo uteíe^iecie de cqer^réogdlar'fQnnado coa
quadrados. ."v> ^ ?.-- i

158. -.79$ l *3-9 Un ádgúbt etít&ptede resájtar, detén-
ganse d* tres .átigulosbljde pe^goto fitgmiar ?jípan¡ae
cada tmó de dicho* án^lm, soto vkte (íc&?\6y7)¿
El dodecaedro es *m .cueppo cuyo* átogatas?&lhk&
resultan del concurso de tres ángulos; de pentágo-
no regular, y le representa la figura con los doce
pentágonos regular» de que se compone* ■< vq ^

Corno qpa^ro ángulosideipaitágpno wgulart va-
len mas de<$6u>°:j 310. pueden formar üa ángulo s¿*
lido j luego no puede haber mas de tiaxrueipo re-
gular formado con pentágonos.

800 No se puede formar cuerpo alguno regular
con ekágon$SL,.?ovqped ¿agrio dsi exágono xegu*

. lar

DE GEOMETRÍA. 33$

lar vale lío0 (59$)ry ttes juntos Jian dé valer 36a0; Fig.
luego no pueden "formar un ángulo sólido. Y como
tres ángulos de t ios demás polígonos de mayor nú-
ureK) da létosJ -qiie£¿i exágono , .Jian ; de valer ma¿
de 360o, se infiere que con ningún polígono regular
que tenga ma$ de cinco fedo$ se puede formar cuerpo
regular alguna Luego no hay mas que cinco cuer-
poftiregqáates* r •" * í

•/ • '••.: •'•:',. 'í . ' •/ ' • l> . -i* ■.-■--
Ite Ai intuida d* la ftftpfiete ^y stádex de hs cinco

• •. ; werp* r4gutar&*

801 Para hallar la «opefíicie de cada uno de
kfc doco^-Cttélpw «giila»si 1* buscará la área de
ufo'deúlorpkfe^ área se

mtritipkcárá por el níWrd de caras 4jue -tuviere ca-
da cuerpo* ' '}

• 809 Una ve* que d tetraedro rio se distingue en 154.
cosa alguna de una pirámide triangular equilátera,'
faftUárémos^u calidez pútfa dkho (755),

-•• También se hallar* 4a 'solides del Cubo por 10157.
enseñado (731). ; -ol \\'-v\

Para hallar' la del- octaedro , investigaremos la so- 155.
Kdee de cada una de las dos pirámides iguales y
Semejantes «n, qtrelsel divide este sólido.
- - D¿* tfikü» med¿ hsOlftrémOs la solidez del do* 158.
deeaedtoi Porque si tiramos lineas rectas desde el
centro del dodecaedro á todos sus ángulos, resul-
t&fátt doce pfeámides pebttgonas iguales; si multi-
plicamos después la solidez de una de dichas pira-
cuidé» por i&p&tatétntfrhk Calidez uxbí del dode-
caedro, .í: ':-'.«., ?„•.<.[ i?. 1 ..-■!■ •

•ri- Busdafldo lá solida dé Uña de las veinte pirámr- 156.
de* én que pojckipos jurarnos dividido también el
icosaedro, y muldpBeandola por 20, resultará la
¿olidez total del icosaedro.

336 v.' * r\ " ' ." ~ 4 .: ? \

F* PRINCIPIOS

DE TRIGONOMETRÍA PLANA

Ó RECTILÍNEA.

803 HHRigonometría significa lo mismo que mc-
JL dicion de triángulos* En todo triángulo
hay sei* <<o&* ^ue coniiderar f ei á sabe* > treá áfr*
guios y tres lados; y quándp; estas seis cosas están
todas en un mismo plano , la Trigonometría que las
determina se Uftia trigonometría plana.

Emeña , pues , la Trigonometría ptaoa* llamada
tarqfefcp reptili tea > como t$e responde- >em todos los
casos po»fcles esta, pjregum^^ J?Mv tres.de las Hit
cosas que en un triángulo rectilíneo se consideran ( loa
. tres ángulos y los tref lados)^baüar el valor de las
ptfgs tres* . . .:., .;..... „ .

Digo en todos tos. «feos posibles 9 porque si se
v conocipran y. g. io$,;tresán¿uS» no mas, no se
I5Í9. podría determinar el valor de los lados. Ceta efec*
to, si por el pugfo.Z), tomado donde se quiera
en 4 lado AB del triángulo ABC , cuyos ángulo* ,
suponemos conocidos ,. se tú» la DE paralela á -#£
se originará otro, triángulo ADM , el qual tendrá to-
| dos sus ángulos iguales con los ángulos del triángu-

lo AJBC (4»2)i y ya se vé que del mismo modo se
podrían formar infinitos triángulos que tendrían los
[ mismos ángulos. Seria , pues, preciso, que el cál-

! culo hecho por los tres, ángulos conocidos diera el

valor de una infinidad de lados diferentes. En este
. caso la cuestión ó preguntó, adnutiriaí respuestas sin
límite , por cuyo motivo seria de aquellas, que Mnh
mamos ilimitadas ó indetermirUtdar : con todo * ma«
adelante enseñaremos coihq - ep el caso, propuesto sfi
•■ ; pue-

DE TRIQÜftOMÉTRÍA. $37*.'

pnedé .señalar la razón que hay entte tosv lados,* EigJ
aunque na sea iposibie señalar su valor.

• 804^ Pero, siempre que "de las treq cosas conoció
das launa sea* tu* lado , se, (podrán deferramar todásj
las demás , menos en un cíe© donde qqedauáa casar
por determinar y es' el siguiente. Supongamos que
en el triángulo ^22^ sean i conocidos tosido* ladesi
AB , BC y el ángulo C opuesto al uno de ellos; 16a
aquí no és .^posihkKhatíár eh valor 1dW áágulo A , ni
del lado AC , sin saber primero si el ángulo A es
obtuso ú agudo. Porqué si suponemos que 'desde *eT
efentro flryi pon el radio . AB se traza un arco DAf T r
yuque por ^L punto I>, donde feátie .arco encuentra
-ífC,/ j&H tira la BD \> se origiteurá otrd triangula
CBD 9l áá qual serán conocidas las misólas ^túsas
que en el triángulo ABC; es :á 4sbber9. el ángulo. Cy
el lado CS, y el lado BJ9 í^ial con A¿L Hay,
pues 9 en «este caso los «misgios d#os para \ deter-
fi^aac elriángato £¿M?* queceqi el tifiángufó JrtfJKC pa-
tí dtítehawratt ,eL ítíguto .i£. v.v.

-r .Sih embargo ,' de tete caso kl antecedente rá 4a
diferencia qu? aquí se puede determinar el valorl
de los ángulos A y BBC , conformé ío máfcifes*
í^rBn^sidcsspues/rNo hay mas dificultad sino saber
qual liéíj'jeftos'dos víalores vdebe tJrexralecer, qual ha,
de /¡sef^l&í figura j del triángulo. Es ipor consiguiente*
indispensable saber, ademas 'de las tres cosas co-
nocidas > si ,*h ángulo que se busca ha de ser agu-
da, tí obtuso. Repárese que los dos ángulos A y
BDC del caso que vaqüí .consideramos son suple-
mento vünoodepofro; Aporque * BDC es suplefiíeríto de
BDA igual al' ángulo A> (55¿) 'por ser isósceles el
triángulo ABD.

- 805 Pira medir los triángulos no sirwn ni su*
ángulos, m /los . arcos que ios miden $ sfcven én.sa
luffH^tfaifcfc, alineas*) IfrftadaS"rtftw ^< tésenos > tárigeú*

33fr •'•■. PRINCIPIOS. .

Fig^ t?s , cotangentes j&c. óv oon nombre! general:, ¿befirr
trigonométricas , las; quates reptícScnqaa toa arcos y : y!
aunque no soa proporciatoles can cllos> , ■• soii á pro-
pósito -para represeoterl^, y JL mismo tiempo knaá
acomodada* para los cálculos > porque v según se
verá muyen breve i, estas lineas son proporciona-
les á los lados de ios triángulos» \j . J

:r<>Z)e ;fltf tíheaslJTnigúrwmérricaf. , <

806 La perpendicular BD tirada desde d exfcré-
161. tfio B de ■. un aroor2L4 al radio >4CV ,que, pasa por ei>
otra extremo jd .del misohó atccx^r» ¡ lfamabqeL :$war
tectpi) áiekr&enoidei ar& BÁ ¿KVáí/ Ánguhíl&AS >*
: . 8op > La rpantel JDjáF*^iribTad¿6^< que f*ro&& desdén
seño ai exíceoiQ del sanrov-sé Jlaiha él x¿eh> verse* j
< 8o6 /. La pane • u4E Ufe 4a < jteripéodicula* .kl oéxtre^
mo del Tadjo,, qoe coger* desdé eL mismo nadie <¿¿£¡
al/radu).CfíMígtó ipaia p©r el ^ttó^xtrieí^proloagkfl
do, se llama la tangente dkl ar¿&$£ 6:dehúngixbSIZAx
s.idag-vhí lima rCJS, que es<ei rfarjn<ímák*€B\ pro-
longado ; hasta la tangente 4 se* llapia /a secante* jAH*
arcó RA, Ó del átigulo¥>OA. v v. . Jívi; ¿o.' .>
v :8io S* se tira el vñáio\\OF ^tpjmdi^hvtéa&é^
y tn su extremo F se, JbvaátaLia pdrpenífeulár JSS^
que. encuentra .-en Gi ek tedio <7ií^prolapgadbvfy^
se j tira también la' BH perptodipulaf á CE $ isq fa*
fiere de lo dicho hasta .aquí xjuei^i/íserá £Í^\seno^
Ffí el seno verso , FG la tangente^ .$ GG> & ¿a*«~
te ijfe/ ¿roí' BF-.rf (kl é9g*latyGFzij\j oí lo ?;J- ~'i\.
S11 /Ferojcooitt ^^Aáogote^íXFreat/Jroropleaieiita
de BCAí pues iiop ^d{$ ábgirio^juntosíjcoihpohfeii.
un ángulo recto , podemos decir qúe'S£T es el'se*
no del complemento , FH #r senb vékso del ctmplfitnen-
tu , FG la tangttfbe d$l Complemento ,<yíGG ^ctsecaf^
U^l^Qrnpkme^^d^.atCQ &Ay¿<&áng&»1SQA*t -

DE miGQTVGmETRfj4. <g&

8f2 Para abreviar , ^e. diee •coseno del\arco ,'..jj Fig.
no seno del complemento del arco ; coseno verso , y
bo señó versfe del' cámptacntato;; cotangente ? y no
tangente . del complemento ; y cosecante. ,- en lugar
dé secante del coñiplentexko del arco. Por maneta jq&l
que las lineas BH , FH , FG , CG , se llaman éi
coseno, el coseno verso, la cotangente y la cosecante
4e¡ arco BA,, ;ó del d^/á . BGA. lias lineas' BD, AD,
AE y CD se llaman el coseno, el coj^jw ver jo, la
ntvngente^y la1 cosecante dd *iw BF , á del ángu-
lo IICJF ,« porque ifcí es complemento dé -BF, dd
mismo modo que BF lo es de BAL>* *

813 Las lineas trigonométricas se nombran , para
abreviar , del modo siguiente : sea BA quiere decfc
el seno de BA; sen. BCA+ seno dd ángulo BCA^
eos. BA\ coseno del txcoBA} eos. BCA , coseno
del ángulo BCA\ y 'para expresar d radio se usa la
letra R* , ,. ;

- 814 Se viene á los ojos , i.° que el coseno BH de
todo* arco; -ft/í v. g; es igual á la parte CD del ra-
dio que coge desde d centro al seno del mismo ar-
co j 2.0 que d seno verso AD es igual á la diferen-
cia que va del radio al coseno ; 3.0 que el seno de 161.
todo arco BA v* g. es la mitad de la cuerda BI dd
arco duplo BAL Porque como el radio CA es per-
pendicular á; la cuerda BI, divide esta y también

su arco (493) en dos partes iguales. t

. 815 Infiérese de aquí que el seno de 30o vale la
mitad del radio ;" porque es la mitad de la cuerda
de 60o , 6 del lado del exágono , el qual , según de-
xarrvos probado (600), fes igual al radio.

- 816 La* tangente de 450.es igual al radio. Por- .
qae :si él óngüilo BCA es de 45^ , una vez que d i6i#
ángulo CAE es recto r el ángulo CEA valdrá tam-
bién- 45o , pues los tres ángulos juntos de un trián-
gulp valen dos ángulos rectos (555) -r lluego el trian-.

ir-> Y 2 gu*

34o : T mmciPios ^

Ffe guio CAE será isósceles (552) , y por lo mismo se-
rá AE=CA

* 817 Al pato que el arca BA á el ángulo BCA
crece , crece también su seno ED , pero al mismo

161. paso mengua su cobeno BU 6 CI>; y en llegando
el arco BA á valer gcP , el seno BD se confunde
con el radio JFC% y el coseno es cero; jorque en
llegando el punto B á confundirse con el punto Fy
es cero la perpendicular BH. v\ * ••

818 Por lo que mira á la tangente AE y la co-
tangente FG 9 es patente que1 lá tangente, AE va
creciendo de continuo , y la cotangente menguando;

161. por manera que guando el arco BA llega, á ser de
- gD% la tangente es infinita (479)9 T cero la cotan-
gente Con efecto 9 quanto mas crece el arco AB9
tanto mas. se 'levanta el punto E respecto de AC; y
eñ llegando el punto B infinitamente cercano & F9
las dos lineas CE , AE son quasi paralelas , y no
se encuentran sino á infinita distancia de su orí-
gen (479) * luego AE es entonces infinita respecto*
de la CFi luego lo es quando el punto B se coa**
funde con' el punto F. ' ~>

819 De donde se sigue que quando el arco es-
de 90° , su seno es igual al radio , su coseno es ce--
ro, su tangente es infinita, y su cotangfenté eá cero..

• 820 El seno de 9O0 es el mayor de todos los se~r
nos, porque es la mitad 'del. diámetro , el qual por
lo probado (433) es la mayor de todas las cuerdas.
Esta es la razón de llamarse el radio seno total; por
manera que radh rseno total, seno de 90P todo es uno»
821 Quando el arco AB coge mas de 90% su

162. senó: BD mengua , y su coseno BH ó CD ; que en-
tonces cae al otro lado del centro respecto del pun*
to A y crece hasta que el arco AB llega á ser de
180*, en cuyo caso el seno es cero, y el coseno
es igual al radio, CK. Tamhteu ¿e echa dc.tfcr que

:. 1 d

DE TRIGOMOMETRÍA. 341-

él seno BD y el coteno CD del arco BAó del án*Fjjg.:

guio BQA$ que vale ma* de 90o, son igualmente

eí.sebo;<# jel coseos del *reo MK9 A &<& ángulo

íiCK, que no llega á 90o , y es suplemento deLi6a.

pilero* p«wr ouq»£ra/*]ue< el senp &, coseno de un

^guloobt^o son- los miamos que el seno y Oose-*

U9 de su supleutento; peco es -de advertir que el,

c»s$ao, cae £ Ja pfrte contraria donde, icaeria, s¿ el

VB9 MAl¿ &£fl¿Ao,BCA 00 UégaraÜ ilos^go^.r:

~.$$a, Poc to $upcroir*:fc laijtangeaifc ycomo k>

determina el coww^o delUperíJ^dkularíi^^'Ccm

el t^dÍQí7>B iproltogado , <seecha de ver qup quinar

doel.ar^ BA pasa de 90% la fengente \,e$ AEi

p&Qifíoth levfctt&i* k Mpecpeodicubr JTJ^ >$c patota

degfc Jupgo qi^c el^riáq¿^ooCÍrf£ * iguai; con el*

ttó»n^ooí^Jij(^ AM

;cJH".-,»;j f.,.<x\i\ o '. f ':*:■* :jÍ oí;,' .* no t or.

a 923 Luego ;la<¿ang|etite 4e> urfi afcco que #isa #&

90o , es la mtíam qué la tangente de su supleaien*!

*> ti jato khfety ;nsMS. difeceocia ¡tino quet cae <deb«rc>

d^l wdio,C4 ¡Etí quaatofála cotangente- E&+ ea>i62.

también la tnisma^qüe iaJcOtaogente ídelísupienwto-i

to^.y c^e á la parjte contraria j. dónde caerla si: el

arco BA ó ,el ángulo BCAtm llegara i los 90o. Gon

mucha facilidad probaríamos jtyae la (tangente .de i8cft

5f* cétoií :ynla(i0Ota6geotot infinita. Esto lo dejamos

parar ¿gtjro ftajar, , j <• .j.é er V ; -> v,; ; . /2o

v 824 Todo esto presupuesto /supóngamete dividid .</' f

«U> el quddrante de circunferencia *ÍF ecr aixos < dfe ioi#

j'^esto es,; todo el e>o 3400 partes iguales* .y. de*»

d^rcada. pilntp dé .división bajadas perpendicular**

6 spnofrioocoo &D<al r&dio t^,; Figurémonos tam*

fcteq el *adio AC divididq en un ¡.número muy cw*

CidOide patws iguales, v¿ g. en jkx»oO;. cabrán eq

pida perpendicular pií núnaeío determinado de<-par<*

te*<&4 *&&*>> y tó.porialgLui:n^dio:pui^éwmaside-y

r¿ Y 3 ter-

34* "'■ ' PXINCIPIQIS
Fjg. terminar el numero de partes del radio, que ca-
ben en cada una de estas perpendiculares , no hay
duda que podrían servir para señalar el valor de lo?
ángulos* f

Todo estará, pues, en averiguar quintas par-,
tes del radio caben en cada seno ó perpendicular,
mediante lo qual su número nos dará á conocer el
valor de cada arca Por manera que se pondrán por
orden* ea cada columna «odos m arcos de minuto
cu minuto- desde '¿ero hasta qcf^ y en otra colum-
na inmediati al lado de la prime» el número d¿
partes que quepan en cada perpendicular correspon-
diente j de donde se originará una tabla, la qual
nos proporcionar á conocer el arto, sabido' el <&úmfe-!
ib de partes del radio <|ue cote su senoi,^ tám-
biea quantas pactea dd^ mdiottógejel seaa 4fe ut*
arco, en sabiendo los grados ó minutos que 'esta
coja. La utilidad de esta tabla «o estará ceñida á
los arcqs y ángulos cuyo radio tuviese el númeñ»
supuesto de parles , sino que alcanzaría á los artos*
• de ptro radia qualquiéra, con tal qu¿ íhese^jcono^
«dovf^r ser nwy fácil de probar que ios senos &c*
ion proporcionales á los radios , como lo probare-
mos' después en general; por ahora lo haremos pa-
tente en un casi) particular. > i jIí.í .w faí-ji-ih
823 Supoadré[iK>3COrterta(^»^'Wi inmuto iJC^
cuyo lado ó radio CD sea de 8 pies , yHa .jteqteiH
163. diculár DE de 3<;pies , y figurémonos qu¿ se*f- ÜA
,.;i el radio por el qual se ha formado la tabla donde
están los; valores de k>s arcos y los de sus senos*&ci
Si .suponernos traaado, el arco XAB\ y wmda la^per-
peodicular AB+ esta será* el ( setao^ de las tablar, y
sena fácil <safaer quanta* partes babea en esta petd
pendicular. Pero oomo los triángulos CDE , OJí&
son semejantes » pues las DE y AP son peálelas»
tendremos XZ);:I>J£ :c QA :>APi e*»-as->:4*»-f

DE TRIGONOMETRÍA. 343

gt* KftMpo r¿ÉPr8erá p*r consiguiente -rfPídfe 3^°° &fe
|wWe$fí ¿HHeacé-* pite*, este número entre los. seno*
4*:¿a^lt3bias vy.t su lado hallaré les grados y m*r
nwt^del ém&xfatDCG 6 DCE. i

^-826 Recíprocamente^ en sabiendo de quantos
grados y minutos es el arco &G, y de guantas par*
t& so, ¿rfol£!Qv&*i hadará también .él valor, de Ja
|^qwdktti*frl¡h£ aporque ski lado de los grados y
JSÚmwa qoe Oc^e diohoiarco^ está én la tabla 4
nímffíki dt partes que coge la perpendicular .¿¿P*
1^ el -sino. iCon^esi»ndiente ^i5 i para lo qual se bar
íi i«tt« toe triángulos seo»jwtes OíP, Cfi£ la á-.<c •> í
gUkntfr^r^rcioiC '.h «■? f-.;> ev_- !♦ . .$'1 <,;
-o-¡n oJ CT> :6URt:JdíB :&G&*,2X£; . ■' i. .;r i*
s$ráibiá)^'fpuea^ lelpvaloc del quarto término D£V
Uñar ves que son conocidos los tres, primeros C«¿ .
j/fPjtjGD**!* á saber ,.jft¿.yt -^P. por la tabia^j
CDV ppr saber quantos pies tiene. , ; • \

¿ftadMÚipo? ipíWterae wbstituttáfitín Jtagarüe ire árigu*-
lqa ptratioaleular los triángulos} estas lateas son los

«rcn la&Haí^emes y las ^secantes , coyas lineas Ata

notoJfelqwide ¿o» twflfcgi^ semeje 16^^^,
^g/ÍS,vrG2*G,*>tfl« sacan tlaS siattqnúesi p&pafttidnes
•£{>& QB. :: OAr. j4£ * á <*bqiu,<¡¿: sén-jCas^ riang} 4T.
-d&HACn <^:ttiGv6,teae. Út&tt<R : doab¿i<e. 161.
^C:6f9b^«#.1i^ <¿«»en*(2;:i¿ w>*¿ hecame<£
.#&-,:[££ .Sífifl-jfcGflíy 4»anq CjtA.xJfr e6stb.i£
-uvuX»<*í:Tft.)<|uo--enr<»da iÉuMfer«stiB ipfopoáfiones
iÜM^trte (wjmeros «prminoavsoit «oabeúfes<v *u* «fe
-4fUe<;«tea cakujaík» tedos Jj>»/ seoot^KpBle» eái^cao
"£teui» arto- bs^)aai8mrt ^mnáuaoanaiichijséjcoib-
-pkpKQtítoi: Spw ¿pt>&lgonag»ioht^caaaiirid ¿rinitotl
-aoq Y 4 va-

Pígí vatotf del quarto . término de cada iíoa ; y da

ti í valor de las tangentes y. secantes* como también
el 'de. las cotangentes y cosecantes, <jue<son lo tni4-
mo que las tangentes y secantes del 'complemento. ■
828 La expresión general R del radio basta pa-
ra evidenciar que las proporciones poco ha forma-
das son verdaderas y sea el que fuere el tamaño del
irfreulo donde se consideran; fisto tóánlfiesta qtur éí
tealor det radio es arbitrario , con tal Kf» ufea; v&*
dttermmado rija siempre el mismo ; donde 00 r mu*»
daHan de valor todas las lineas trigonométricas* Si

163.^1 lugar vdtevjJC* fuera [CD el radio, y se tma el
arco DGy el seno del ángulo O ya t^^f^t^^ÁP^
sino DE¡ y tehdflémd&AR : C&xDB: CD. Lo pro-
^ó' se sacará respecto de otiJa 'qualqumcnüaest' Ü\jfc±
¿o la raaoD, entre toda linea trigonométrica yd
^adio es ition*t?nté., oná vez* que siempre -Ve veíSft-

*S?J5p5&*r.í*SBP ^pó^^^;^^,^ a

-uacbo sea ¿ ana '(linea trigonométrica ?- y ^ndli
SI ¡el. radié sea £' k misma' Knea trigotlotíié»
trica, siempre se verificara que R : L :: K:-üts.

^ njuyfUnd^ó,¡^itpir así sdoniJlwcíloélotelíft*.
tflcte'. eoiÜpItcBctai -y *ntó<«flpiflw Jas ^ptiesfcSetVv*

PíT

809 En las- proporciones de antes Qg^cVj %
Separar que dado que sea el> valor <tel>radio} el Vi^
.101 Itorodexia : dbtsriknfce .geudetermi'na: p\tf el 'de- te iaa-
.'¿eote* ai valor £e:la>secaue i' porotal** déteos^
:•! de <to césecsfiteV pmé> vabr>deP*eh«, ^QuaM.
i ono©e,.aijqí se infiere i fea ríaon'pot^htfenítoíí&lcu-
<Ío» «ngoneefcécrioos- faaeeft tan. -poco pape} ¡ó^AiU
taéogitaor JaqsooamO' y<ik tttaetaote 4; por seíiítan^
-dÍDiubstkfairwMeosuHu^íp tosisMloi*s«ie< lo* sWo»fy
Jtottatev <irillnáfoyidq*«aW3fe4<ls »qfresa<hftPl*fr»

DE TUCla&NJQ&MTRtjt &fc
porciones. CobjgoáLfiKikbd se podrían acusar tai Rg,
-c^taageoftesr? gC"01 onsoa ocurren de práctica donde
tiróer«enta>Iediar'rnua» de-oeilasu . :< "< «i

i> ij,...::u. wfc "^ til.;.:*, /b ^i .• <;•<"••. í <í
Resolución de tos Triángulos Rectángulos,' : <■''
•„" ! • .... ,:.'<'>^' ■ i « ; od « " •.'i'f. í'j el < '

830 • Por ser> 2Ü>«fel¿sei» f ^Z>»*1 cofctéo del at»
tp . i/fB:«aaade idons el ratüoi jtG-fzCBíy á <M ángulo 161.
Cldel triánplla;lieoái»uljí:Ci):Zi.,-W'<«itJÉi >las. dos
«nalo^sJó,píoppiciü¿e»)iigéi»ii»s*jij(» kíi^í* :,? u>. ~
tí X?A i BD xRwkiLV ótfUBít'Jlw&DbsetvGii^ >
<¡3&*€Z>%Jl % óosj C ó >e&\ R&CBb cck^"&tt*&
-í-juBnitocb Jitíúitgnio ¿ntángidovto ttppmnitw «r Jl
radio como un lado es atóíqmsdol \iingtA)}^piJtvto^ii .¿- 1
t"c8jil íEtí tádor^kiá^dorrmi^knüd^fot^ma
u\ nhpiBlé ovn»*&lalb\^i&x*s$m<i&&q^q*dk
járrflfaitx'r • ''i-*! •£"••■• i;l oto ait^m dtouq t¿?.
i>é§fa-sMnr Ja r¿ítimaifpibp(MJewfu. seo ftmday la?ife¿
■ofacJoqod* ^dütriáhpdo fcbsceje» oui^tifera^>Poit~
^■e ioavritttbr ?oii^f*ai^«KfeutarnC©Jíie*de^l / fia*
fri«pyvigrtiadt9étt»ttKAe f>¡«^aííri^h«uto^y,oto*sf'dti-
«Wdosefar^) Aifex'teoate» $a$*>Qae4»áv?eft%
dh^did^t«i^ldMios<áft<^ dos triingtío»'reo¿ 164.
ifcigiifrrfi, eooiDlk «rouniíandav que la fcaseí dec cada
uno será la mitad de la base.>de%:triiriguí^>prirhkí.
«noSi eUmükabac iAN> dé» ¿*os Hoiuriáugujos j4r. g.
*M2>, iai^wandicipdfeéadic^%Ayyioie«ugr> Cff>y»hdi
cemos centro en C, será .<"-\\ I "1 •><*

rÁ^ *br*Cn&B&ÍJÍB>biR'. eos. A
¡Kí/jcIW ví^Sctf irf* <*. fob sea. C's= seo. f AOB.
x* ?.8$g JbrreeeBá fcirneric¿i«ise»t ow de- nada pueden
•lfctvküa!'4o«qpro|*retaiás:(9§o y íl^i) porque éncier-
.wr^aj. parece^ in &r<^«cjosoHdel Jfljsijnq rqpdo que
está: analogía : 2 ::i.« 3f !<j pues her son otra cosa quie
la repeticiooderlas^ea^^nestdadás^Sér^ygJg.XPe-
^téápae<frwemx)-4áe ife&azu» A: «ep, C, lo pro-
va pío

3*6 .Vv\?, YBAÍW£tfP¿fflTC 3C1

Kg,r p<<$ digo-de la teupn RitlAJtautdjBS, uoa. ra»n corar
trttte:>(82$) ♦ *ea,.ia .qiwi.fiaepe 4aü loasfltud jde;<$ajby»
potenusa que aquí?Ji»c^«»nnd*;rt^io.v,«»rt»iáé
sin embargo que el ángulo C se mantenga et
mismoAe\vr%nhYjv? to\\v&wiiWt vi\ «jS uoVnAjr.A

Todo el artificio de la Trigonometría consiste
tai; q*fe cdád»> que • afea, oa^iBgákfi en. un' [triángulo

.0 rectángulo +> tjatta) pafo. nctntfe&tarda abzanuqü&^hagí
«abre ,1a r JWPte«u^\yIr*adsu<iUfitt ->deo ilq* . 4ádofc>uD*
aquí se sigue que¿«tnad0ítt3>-&li-Angakf, "es, tartana
conoci*»^el(V*or ^bsülutó dd-unrfvdetMladte^ la
trigonometría dáV'sobrti lá marcead valor '¿teolufó
de la bypotemwa *\y fcl rerer, «onjbrnge Joodemues"

165. transios, sigutestes *«keñplos» ?.\> X-.-\ ?* a,-^; c ;^ut
i,?.\v.Sk*Y0PvAin« i^diéa«eiacVB(||wtída-,do tris leguas,
ytaP^p^áWtongft .ay^rigtwn^Xdwtamró CQsrqút n©
se puede medir con la vara. Para conseguido ••»«■,.
Aliga, y 'sintdesaiBpiBíaiytíl^nmtó C^Ise'*rerifükri
patitos <#radM> eoge^caí angula ijGíítf'vDopetaoioa
xnnyifleft^tecitifót8»faiil^^ idéspueo; a**.
^K)ngaoío^qohj»l¿tak¿aBgaia swo3fti£tf¿*árcuya>hi£
¿^otftatoapGgSo} mkifcoh ftíía&Xífior «tootí^

.?c>: gy¡ea»íi|e*4rémai*X88»>^^^

¡l,& :Aj iv<t) 4- rLaego ¡lar iiistaattt ¿TGrcos ,.di«1i$ de
jCÍ!¡^rGÜ'.J5pi6i-irgua«.9tr,cí b! ab Lwirn si ¿i^e otut
.v. . ^/flUwmemofcbaCíodfc €«ftjyokiÉd¿Éwia» ttoao»
^da^ul»^j«oofváegAa3!tdwUaííaifcokaiue ,009»
de 18 leguas. ¿13? .O ti9 'h'íto 8'.»m»

Si el Siguió nfidááoT^CQrfiftredk S^S*'»*»
distancia^ onoocidá) &G desleís «efcu>s_¿\ylae tascase
.^Ci unft; ireshqiwi, las^tebbstídaf ¿ft>*.«8. £$$52'

^Pór' cor

ivhjMub^^lu?'. 6

&!.••<

_ o «roo £io>T)n fv r: W* S a,*: í: í ":" t,.tj;1i-'j

^-Ki&'ejljlup*:* WLJB^ilaa^iWarMli fiWB»i ifiav
OitJ *

VE TRIGONOMETRÍA. frf

se.CA y de nueve leguas y y XZR la .distancia cu*:Fty
yo valor se busca , seria CE : CAts, i':0,8'ó CE2=

££ =^=1 11,25;.. Luego Carril leguas j.'. 165.

úp' o,»' •-•■•■- < • ,.

S34 Las dos analogías de antes (830 y 831} soo
k> mismo que las dos proposiciones siguientes.

l.x Sien, tt* triángulo -*ect*ngulo sirito de radie-
la bypotemisa, toda lado será ti un? del ángulo

opuesto.^ T'r '•■ P '' -v

Si eor>l triángulo rectángulo- CED sirve de ra- 163.
dio ó seno total- la hypotenusa CD , estando el
centro en el punto C,. será. Di?, el -seno del arco
JDG ó «ieLvirígu)oiX>CJ5. • Si .estuviese:,: eb . el níis-
mo supueste-r-el -«entro en D, con igual facilidad
se haría? q^Semet 'que C£ seria el'^eoo del 'ángulo
GDMí'j - T, ■ ""-■" - •-

- 835 8." fitówMÍe sirve de radio el uno délos la*
dos del Siguió rettó>9:el otro, toda es¿ ia tangente del
dfígafá opüt&o. v ¡ '--i- j.-ji-r ••■• ; • J í¡ <* "í

-:: SkÜ» el triángulo Cw#U sirve de radio el lado 166,
Grf I, restando' el centró en C , se viene á los ojos
qúe'wftD -sera la tangente -del ángulo opuesto G Si
el centró estuviese' ea> el punto X), siendo. DA el
radio, «rá 'Cl^k ^taogeñtcldel; ángulo ^opuesto Z?,
Topeta*. &atadcvv>. v : » -."I .:» 1 . ' .- ) \- •'.:;-.
Y. 836 A Cuestión i: Dados en el triángulo recién*
guio ABC e/ <wg*/p & y el lado AB , £«#<«• */ va- 167.
lordef'otrU --JMrfBGf .-.-

- Seo echa de ver que las Qres cosas ^conocidas yla
qfórt*.lflúyoDvaloi>.9e busca •» son -los- ténsanos de la
analogía (835). Sea el ángulo CAE de 48o 54' , e]
teda ifcirf de] 138T pie»;? luego para' hallar BC Hare-
mos esta propoiSanijR : CQig» CAB.úBA : 5C d
jR t^angí 4^54'.x'u32^£Ci- por manera que toman»
A¿ eociuaas.'íaW» «1 vilor dedaí tangente^do 48o 54'*
intíuplkáridoléi po»; 183 i y paptkndq el' producto
sfi poc

?., poe> el valor del: radio d^ Jas tablas 9 se áabrá el va-:

lCBT.tt* iíBC^CPf pite..) ' O jíM; f , - . f ^ j,4 .7 r,y

Perq el cálpulp se 4breviar|L muchísimo? haciéh^
dolé por logarkrrios , p6r^u¿Jént»tfq¿sl bop$racioí¿
futida ¿educida £ sumar » uno con otrtf> (37$ lps lo-
garitmos- de^.seguiido y ¿eiverisrminojy y asstar de!
terrona* etki^.od^nfOTefita ítohari* puei ; eLcál-

«^{¡0$* SÍgW. Vi i*v*t i*.;¿ aWñ f U :irA»-\<;V vA

Log. tang. 48' 54' 10,0593064 -is^

? ** Log. i$<*>. C .V*. . . . , .< i-1 2^303739 .

o -Suma .. un*/ •• ti . vi... . .r> 0^*79(8803 ,■■•
► LogideL adk)./wí* . vi- ^\ y\i<^i^O30GD <# uva.

!;,: ' :. » 1 •;• IU ■■; , (t H'J C-iW'j* í.j t OH"Jl»qfJ?, •.' !

c . : Rtsta . d, log. "J?C . ; ¿ ¿v. , 2^9880^1 r - < : >2
el qual en las tablas corresponde á 151 , 32 cotí d&
ferenda de menos de uná>ca#éaim&rltók cansigyrien-
te BC >-*» •de-.jgs , 34 pte$,Vó?d*¿ J$lp 3? IQ1.: « ...
Por ser 10 la característica del log^ cíd ^adio>5jf\

7 ' : cerds todas *sus demás figuí^s^ ,wrá -esítísado den-
tarle quando se le hubiere de sumar &, restar» fba&
tara añadir ó quitar una unidad á Uá decenas vde la
Característica, del lóg* con; el qual se le hubiere de
sumara jó >del ; qual áerJe^huróne nJet.r^b^jari r y^ ;,

167- 837 Cuestión II. Dado que sefrtlvakndeAa i&i
fümna p ¿el wi&\d#shs-ét&ikl agudos ^ battjét* el

.•; . valor de JosJqdos* "f v

Sea v. g. en el triángulo rectángulo v^5CÍahyn
pbtónukáj«á7g2 piesv y diáogulovjf de aaP^o'ide-
tórminemos.en virtud de jestos datos los alados \B(2

Y ¿4B; l ;. •.?, : :.é . -«vi ií ./,'. . -: • j:- .I::/;;

EL valor süel lado BC le sacaremos por esta ana*
logia (Bis) & • r*tou&2« >&t izJg2.z_BC. : • ' 1
- Para: sacarjel valoq $é:AB pmvendri tener prd*
s^nte: ( $60$ t^ai;£b:ftn¿ula>ii7 fes att^learaiteb del
4ngiflov¿¿iy j&ttupq ipopífci 90)?inf9Jftfcu^rtto

.V"! «

DE TRIGONOMETRÍA. %/ft

de la siguiente analogía , R : sen. 67o 30^ :: 32 : AB. Fi¿
Haremos una y otra. por logg.

Log. sea 22o 30'. . • . . .. ^5828397

Log* 32. . . .. 1,5051500

Suma . 11,0879897

Log. del radio 1

Kesta ó log- BC . 1,0879897 \ * r

al qual corresponde 12,25 con diferencia de menos
de una centésima.

Log. sen.670 30'. .>..:.. 9>&s6i$3

^og- 3* . " lysosigoo

■ --

Suma • ^1,4707653

Log.' del radio • 1 , -'

Rfeftá ¿; log., de AB. . . .* . .y 1,4767653
que en las tablas corresponde á 29,56 con diferen-
cia de menos de tina centésima.

838 Cuestión III. Dados el un lado y la bypo-
tttmsa 9 bailar las Ángulos.

-1 -Supongamos :conocido en el triángulo rectángu-
lo ABC eí l&áOrAB V. g. del ángulo recto j sea la 167.
bypotenusa AC de 42 pies', y el lado AB de 35*
pies, y busquemos d valor del ángulo CAB. Una
vez que los dos- ángulos .¿4, C valen juntos un án-
gulo recto, para conocer el ángulo A bastará de-:
terminar el ángulo C, lo -quer se conseguirá por íne-
dio de la siguiente analógfai,(834) R : sea Oi:AC:r
AB , ¿ Rz sen. C :: 42 : 35 ¿ ó 42 : 35 :tR : sen. C
Por logaritmos.

tog.

3S? .' PRINCIPIOS

Log- 351- . i,544o68o

Log. del radio. 1

Gomp. log. 42. ^3767507

. J J *' t

Suma 6 log. ^sen. C f 9,9208187

que en las tablas corresponde á $6° 2/j luego el án-
gulo A es de 33o 33'.

839 Cuestión IV. .Drtfcr en e/ triángulo rectan-
ity.gulo ABC /ar <¿¡w /<&/<#. del ángulo recipe Jbatter los
ángulos y la hipotenusa. r • .

El ángulo A se hallará por la siguiente ,analOr,
«fe (835) <¿B ' BCv. R : tang. A-, la qual , en el su-
puesto de>erwíff dp .35 .pies > ]fcJK?'de 15, 9». 3$
15 ::\R : ¿135. ^í. Poc logaritmos.. .... „' ;

Log. de 15. ~ 1,1760913

Lpg. del radio. .--■•.*##•.. .1. .. . ■-■:"''
Comp. lbg. 35. • , , , . 8^4559320 .

Sigpa ó log. tang, A. % • •' . * . #9^380»^ T
at* qual* corresponde á 23*12* f ;

Para hallar el lado AC9 se practicará , después
de dfetermindo el ángulo A , lo propio que en la
III cuestión. Pero no hay necesidad de calcular, el áa-\
guio 'Ayy barita la proposición demostrada (691). Su-
,.-" mando ¿ pues, 22$, qiiadra4o.de 1$ , con I22$'vquat»í
drado de 35., lá áuma J450 de los dos quadrados*
será el quadrado de AC 5 cuya raiz quadrada 38,08
será eL valor de AC con diferencia- de menos de
una centésima*. //; •• > • .• f- '

Por» la misma razon^ si dada, la hypotenusa AC9 ¡
y él. uno de los¡*ládos\del ángulo, recto r sef pidiese
el valor, del lado BC+ no habria necesidad de ríüw
cular el ángulo Ai el quadrado del lado cocipcidoi
AB se restaría del quadrado de la hypotenusa; la
raiz quadrada de la resta seria el valor del lado BC.

DE TJtIGOtfOMj&TRtA. 3gt

vUesüfofiion de. los .triángulos .oblicuángulos.

V3&

• 840 ,. Triángulo oblicuángulo fes todo aquel que no
tiene ningún -ángulo recto.

, 841 En todo triángulo -reotilineo los senos de los
ángulos tienen uno con Qtro la misma razón que los

ladói opueitos á. dichos* ángulos. : ' "

. Porque si inscribimos un triángula en un circu-
ló , cada lado será - la -cuerda de un arco duplo del
que mide - el ángulo opuesto (523) ; luego la mitad
de cada lado es (8x5) el ¿eno delüngukv opuesto^
luego, ya qué la$ mitades tieqen- lirias con otras la:
fnisma faion que<sb$itodo¿, hay <entre los iadófc la
misma razón que 'entre los senos de los ángulos:
opuestos. — jo - v ' >.

842 Sirve esta proposición para resolver un trián-
gofo y ia auaptdp sbrt conocidos dos ángulos y un kt*í
dátí) fi^íjüattdo shn trbo0cidós dos lados y* un áugu-
lo opuesto al una de ellos* * í; * ,»

^843 Caso I. Eri conociendo el ángulo 1? , el án- 168.
guio C y el lado JBC, se hallará el ángulo \4 *itfft
mando uno con otráliosdos áfilas, -&. y^fC, y res-
ñtadá ¡s»r> suma id* ?< i8o°< ^para saca» eí valor d£ los
d^rtoic&iXtgCfJdB se fcarán 4as dos proporcionen
siguientes ■ ■ ' 1 v* .'-.•: ..:■■•• , f • ,

i. . sen. */ : BC :: sen. i? : yáCi* ^ »»■'

sea A : jBC :j sen* C :f ^ÍJ5 *"i . . í

dos lados por las dos proporciones siguientes

¿i «o.\\ u.\ '-- • •• " p " / -

. sen. 53o 20' : 184 :: sea- 78°^ 5/ : AC
*A ^sen; ;53?^ 2$' * -184 *w 47o' 34' : *&?

V.\ Por

U* PRINCIPIOS: :i

Fijk Por logaritmos

log. 184. •.,...... ;,;\. 1 • .'.- 2,3648*78

log. sen. 78o 5/ 9,9918727

campL log. sen. 53o 29'. . . . . . . . 0,0949148

Sumí ó log. AB. . . .-< ¿2*35x6053

Log. 184 •••••••.» ''..'.'. . ..#,2648178

log; sen, 47o 34'. . . . . • ¿ . ... . . . 9*8680934

CompL log. sea 53o 29' . . . •• v . •. . 0,0949148*

! 1 .

Suma. 6^ log. -¿C ..:•.....•.. ¿2,2j&7&26o
ae hallará ^C de 2124 pies 7 pulg. y^AB.M 169 pies*
/ , Casó II. En conociendo el lado AB rf\ foáQiJ?Gi
y. el ángulo C9 se sacará el ángulo ^ calculando sui
seno por la siguiente proporción

: r vJW : sen.. C :: ¿?C : sen. Ai ; .-
perones de reparar por lo dicha (804) quq/par^ de«~
tecroinarjá punto' fíxo «i ángulo »4f es úa&speas3bl&
saber si ha- de ser agudo ú obtusa ., .-; » - {

.r^i ~< Sfeaij *. g. AB de ,37 pies , BC de 68 , y el án-
gulo C de 32o 28' , la proporción será
—"''■ r 87, :seií* 32° 28',:: 68,: sen. A. . c •
< i Practicancte> lo que .antes se saóará el ángulo ^#
de, 80? 36^ Quedará. $i© embarga *aac duda $ porque
como todo ángulo tiene el mismo seno que su suple-
mento (821)*;. el áú&ulo A podrá ser de 80o 36' ó de

160. 99o 24'. Per© ,en: sabiendo que el\ ángulo A ha de
s«6 Sfcudo -v ñoiJi^y du<S^ eü quesera* dd j8qp 36',^
entórteos será ABC ,U figaradeV triángula Siejrán^
guio hubiera de set;obtuso ».$ei& de 99P 24' y CBD>
la figura del triángulo. ' ••• , . ;,

844 Antes de pasar adelante demostraremos la
siguiente proposición. .,< • . ;

Deí¿dos ic^idades.udesiguates + la tnqypr.vale Ja

mitad de la suma mas la mitad de la diferencia, de

- \ ¡as

DE TRIGONOMETRÍA. 35J

ios dos; la menor vale la mitad de la suma menos la Fig.
mitad de la diferencia de las dos.

- Si la suma de dos cantidades es 57, y su dife-
rencia es 17 , la una de las dos es 37 y la otra 20;
añadiendo por un lado la mitad de 17 á la mitad de
57 9 y restando por otro ladq la jnitad de 17 de
la mitad de 57. ;

v Porque ya que la suma incluye la mayor y la
menor, si á la suma* añado la diferencia, saldrá el
duplo de la cantidad" mayor ; luego esta vale la mi-
tad del total , esto es la mitad de la suma de las
dos cantidades , mas la mitad de su diferencia.

Si por el contrario, de la suma rebajo la diferen-
cia , quedarí el duplo de 3a parte menor ; luego la
parte menor, vale la mitad de la resta , esto es la
mitad de la suma , menos la mitad de la diferencia.

845 Siempre que en un triángulo rectilíneo ABC
se baje desde el uno de los ángulos una perpendi-
cular al lado opuesto , será cierto que

• El lado AC sobre el qual, ó sobre cuya prolonga-
ción cae la perpendicular , es á la suma AB+BC de 169.
ios otros dos lados , como la diferencia AB— BC de y
ios mismos lados es á la diferencia de los segmen- 17a
tos AD , DC , guando la perpendicular cae dentro det
triángulo , ó ú su suma quando la perpendicular cae
fuera del triángulo.

Desde el centro 5, y con radio igual al lado BC
trácese la circunferencia CEGF, y prolongúese el 169.
lado "AB hasta que la encuentre en E } serán, pues,
AB , AC dos secantes tiradas desde un mismo pun-
to fuera, dfcfl círculo j luego tendremos (648) AC i
AE :: AG : AF. Pero AE=BA+ BEzzAB+BCf
AQizAB~BGb¿AB—BC; AF=zAD—DF=AD—
DC En la otra figura AF^zAD+DFzzAD+DCí 17a
en cuyo -caso sera AC : AB+BC tt AB—BC : AD
•¥>DC. \ :: <•* ,m
K jTom.Z 2* Lúe-

354 PRINCIPIOS

Fig. Luego en conociendo los tres lados de un trián-
gulo , se podrá sacat por esta* proposición el valor
de los segmentos formados por la perpendicular tira-
da desde el una de los ángulos al lado opuesto j por-

169. que entonces será conocida la suma AC de dichos
segmentos , y la proporción que acabamos de de-
mostrar manifiesta su diferencia ; pues edu este .caso
sus tres primeaos, términos son cbncKjidos; Juego por
lo dicho (844) se sacará el valor de cada, uno de los

270» segmentos. En la otra figura' se' conoce lá diferen-
cia de los segihentos AD y DC, que es el mismo
lado AC , y de la proporción Be s^ca el valor de
su suma. \:

Sentado esto, será fácil de resolver la siguiente'
846 Cuestioa Por Jos tres lados .conocidos de un
triángulo determinar los ángulos. f

Figurémonos tirada una perpendicular desde el
uno de los ángulos, de lo que se originarán dos trian-

169. gulos rectángulos ADB, CDB. Por la proposicioa

170* antecedente se calculará' uno de los segmentos 9 V. g.
CD , mediante lo qual en elv triángulo rectángulo.
CDB serán conocidos los dos lados CD -> BC ademas,
del ángulo recto > y se sacará fácilmente el ángulo.
C por lo dicho (838). ■ v

Sea el lado AB 143 pies» di lado BC de 64 > . y.
el lado AC át 184 ¿qual será el valor del áugulo.C?
Calculo la diferencia de Jos dos segmentos por'
esta proporción 184 : 1424-64 :: 142 — 64 : -4D— '
DC, á 184 ; 206 ;: 78 «: AD—DC que vade 87, 32;
luego (844) el, segmento menor CD , vale la toK
tad de 184 menos I4 ¿nitad ;d* 87 f 32 ,:,4 Vale
48,34.

Ahora bien ; en el triángulo rectángulo CDB bus-
co (838) el ángulo CBD , el qual una vez conocido
dará á conocer el ángulo C\ ,y él ángulo, C#D le
saco por esta proporción (830) BC : CD :: R ;.sen..

~CBD>

DE TRIGONOMETRÍA 355

CSD , esto es , 64 : 48 , 34 : : R : sen. CBD. . Fig.
Por logaritmos

Log. 48, 34..;., . 1,6843066

tog, del radío .♦..♦•..,..•.. 1 . . .
eompL log. 64. .....;♦..... . 8,1938200

suma 6 log. sen. CBD • {9,8781266

el qual en las tablas corresponde 4 39* 3' i luego el
ángulo C es de 40a 3/. :

El caso de resolver un triángulo cuyos tres la-
dos son conocidos se ofrece con frecuencia siempre
que se han de calcular muchos triángulos enlazados
unos con otros.

847 Lá suma de los senos de dos arcos AB, AC 171.
es ásJa diferencia de los mismos senos , como la tan-
gente de la mitad de la suma de los arcos , es á la
tangente de la mitad de su diferencia ; esto ex, sen. AB

ir sen. AC : sen. AB — sen. AC :: tang. :

^\ AB—AC '

tang. ■ ■ » «■ ■* *

Tírese el diámetro AM^ llévese d arco AB des-
de A á D i tírese la cuerda BD y será perpendicu-
lar á .¿¿Af (495). Por el punto ¿7 tírese CP perpen-
dicular , y CF paralela á AM. Desde el punto F
liten»* las- cuerdas FBy FD , y con un radio FGj
goal al del círculo BAD , trácese el arco IGK el
qual encuentra CF en 6; levántese en el punto G
he HL perpendicular & CF9 las lineas GH y GL
serán las tangentes de Jos ángulos GFH y GFL, 6
CFB>y CFDjdit los quales, porque tienen sus vér-
tices <en la xárcbnferencia , son respectivamente me-
dida las< mitades de los arcos CB y CD que abra-
zan {523); esto es, la mitad de la diferencia BCy
yi/la mitad de b suma CDde los dos arcos AB,
vIC.Pqt ropqgnientt 4HL y GH. son respectivamen-
~i-j Z 3 te

3$6 • PRINCIPIO Si ?.:\

Fig. te las tangentes de la mitad :df la suma y de la
mitad de la diferencia de los husmos arcos.

Sentado esto, se. viene á. los .ojos que por. ser DS

tzBS, la linea DRzzBS+SEzzBS+CP \ ésto es

la suma de los. senos de los arcos AB9 ^ÍC; es tam-

271. bien patente que BEzzBS—SEzzBS—CP , esto es

la diferencia de. los senos de los mismos arcos.

Pero las paralelas BD> HL dan (612) DE : BE ::
LG : GH i luego sen. ./ÍZ?-H$ten. AQ.: sea AB — sen.

._, AB + AC AB~AQ

AC : : tang. : tang. .

848 Luego en todo triángulo rectilíneo la turna
de dos lados es á su diferencia , como /a tangente

. de laf mitad de la suma de los dos ánguht opuestos

x á dichos lados. , es a la tangente, de la xtitad de> t*

diferencia. *v-\ V. \\. *•

Porque tenemos (841) AB : sen. C :: AC : sea B¿

168. luego. AB+AC: AB — AC:: sen. C-f- sen. B : sea C

— sea B í pero (847) seri. C+ sea B : sen. C — sen. B ::

tang. : tang. j luego AB-\¿AC:AJt~*

' • C+B •• C— B :,\

-rf C : : tang. « : tang. — — .

849 En .esta proposición se funda, la resolución
9e un triátogulb quando se; oúnooen dos d$ jsvsl. Ja-
dos* y el ángulo que fora&iv Porque ea cod oeienda
el ángulo A v. g. se sacará la suma de los doáán-í
gulos Z? y C, con restar el ángulo A de 180o. Lue-
go si se toma la mitad de la resta de esta sus-
tracción 9 y se busca su tangente en las tablas , coa
los dos lados .-AB) AC que^ «jtañemos coooddcté,
tendremos conocidos tres términos de> la proporción
poco ha probada. Coir ellos se calculará un quarfó
término , el qual será la mitad de la diferencia ,de
los dos ángulos B y C. Una vez. conocida la semi-r
suma y la. sejoradifereacia de\€&Qff*do6;$aguto** se/sfcr

c s, ca-

P33(

DB TRIGONOMETRÍA. ¿&

cari el rn^yor: cote anadiínla ;semidifer«4cia á la se- Fig.
misutna ,~y eí menor restando la semidiférencia de
la semisuma. Finalmente, por. estos dos ángulos co-
nocidos se saqír^ fácjiínientfc H éfrcir lado por lo
demostrado (841).

Sea AC de 142 pies, AB de 120, y el ángulo
A dé 48° ¿qual será el valor' de cada ángulo C, B
y del lado BCV

~.¡ &mo 48o tfe i^/qtfédá» M2°?sümjí &lds dos
á^OkfcCy* -#y cuya semisuma *s póP' consiguiente
66-. Digo , pues, 14a -f- Í20 'i 142 — i*ó n táng- 66*r

*angt~-T,ó ^2:83 2.^,^:191^-^-^ ;

-«;rii; .' vf¡; . ; *-].• c.V.h '•;..• ■ S-'Új Y,''., . ; .,• ;;? i
- Por logaritmos ••v¡>i.vj'¡-" --i";':.. i-. •- ' ;..¿»«

• tátfg; «6> :-.- -.i '.-:":>'•'♦ '. 'i-'-»' '¿''.'-M' ' - ^^¥4169 JJ
log. ■«». . . .«■;'. v:. . . .....'. * '' 1,3424227 ',

compt log. d62* •.' . ..... . ;- .4 7^*0987 '•"

turna '^4o^.rtáííg.stmiéB£.;. ?: » ;' -f 9,275^3 -••'
¿1' ^'corresponde «h%»'JfcaWástá 'lfeP'4^ <•«:<»
■ Si añadimos esta sentfdifereftcíá á la Semisuma 66°^
y después la restamos dé la misma semisuma, sal-
drá ~10<]uea<]u& '■'■'• •■ • '■> •'-'••'u^t ;...f ,-.. .„¡,íjj ••.

. . V 1.' ' ¡' ";. '.'¡J'i ,. '• Ji;VJ< . '/ ■■'•Sis'.. ■'/>'■ . ¿ { :. :.'

/ :■' ' éfr-u ■©'•.' •.-: .-'.«-. O §¿» ' '; i -¿f:M!/-..íI

- Ang. C 76a 41' Ang. B 59o tg'

Finalmente, el lado BC se sacar* por esta pro-
porción sen. C : AB ti sea A : BCjÓ sen^Tti*' 41':
I90 1 : sen. 48? : BC: y practicando lo que en los ca-
sos propuestos , saldrá BC de 92 , 7 pies. , >

Z3 GÉO-^

^GEOMETRÍA

": ''';'■"'.'! PRACTICA.

. i

í)e las Medidas. .

.v. or

mttftda de. 1^ ^xtc^ipa^c^o^ tpcp «¿ora. volvec al»
asuntas H9 con la mira de gastar el tiempo en re-
peticiones inátií^s:/smo pafrá roritratír á^cá^s prác-
ticos lo que allí diximos explicando de un modo abs-
tracto las principales operaciones ¿u^ipi^e^fofre-
cer^M^ papas dif^lpí^ .epcpptr^ ?n «d$i apli-
cacjion el gue tuviese, presente? alqs . pripgipiqs? <espe-
culátlvostenvque §e. fianza ¿#si fufspr^i^¡s^i¡¿ea
tan*c?faale* las operaciones que penden del exereiáo
der^sf^s0^nti4os ¿BWesflJto^j^l^^^
dones &$p&fi^

¿e instrmoaentgs q^ i¥?c^s y$ces y q^asi nuoca dan
resultados tan rigurosos como los qH&;£&E£li>it&&-i
rica ; y á estos inconvenientes , que dimanan de la
naturaleza de 4fo cosas ? se agígga otro)$ que bien
que solorpende^el capricho de lq§ homares , no de-
ja de^$er^.jmuchísima consideración.

851 Consista; e#eiaflpnveniej£e en ja gjra» •*»-
riedad aé medidas que usan no solo las diferentes
j^^ione$^.s^t^tnbkS;1pt ygf'm PwWfiS:.dPíuna
W&mfe Jtf ación :. siend^ tag¿ pfijudiqia) al cwgt&tci*
esta müjtipliqidad de medidas ^(!pmQ ^ontcaw é la
puntualidad maiemática. Para qvátar ^ste inponvjefiiear
te seria muy del caso una medida invariable que por
razón de esta circunstancia mereciera hacerse uni-
- «? ver-

PRACTICA. 359

versal, cuya medida han buscado coa mucho em- Fig.
peño varios matemáticos. Excusaremos por ahora dar
acucia .de la* investigaciones en que se haü empe~
iádo4*m esta njira , por fundarte todas 411» ewpriiw
eipioí que no hemos tenido todavía lugar de decía-*
rar ; pero entre tanto manifestaremos algunas de las
cazones que hacen patente la necesidad de reducir
ii sola una todas, las medidas : conocidas ¿ y la posi-'
hffidad. de conseguirla [

&$? Si «biríeroiar es trocar lo superfino por la
necesario , todos los medios qoe facilitaren esta cam-
bio serán muy ventajosos para el comercio. En los
trueques hemos de atender á ciertas razones, y páiV
ttcalarmeote: 4 la razón que tienen fe* cantidades
unas con otras , cuya razón se averigua con lks me-
didas que á este fin se han inventado : quanto ma*
fácil fuere conocerla, tanto menos embarazoso se-
si el trueque , y por consiguiente tanto mas prón<¿
tas^ «recuentes íy 'provechosas las operaciones del
íoméuqo^ Para, averiguar la^r raíon dé las¡ cantidades
que seijian dexawaibiar , no hay medio maVsítttiHa
y seguro que una medida fixa y universal •'<•"'• -"

853 En vano se nos opuidtíU$ara fctafHrla fuer-
es: íte; jeste. atgumenttn, ¿qu* «ctaijdas' * fe unifor*
nmkd iwfa? Jas medidas,? perderían «duchos Merca4
dar» la ganancia que s$ leí siguen dtf 4a ¡potíí fcbh*
formidad que bntre días se repara. ' r -

i.° Porque « imaginaria ésta ganancia ¿ote se ha-
ga «1 traja entre 4o* Mercaderes , ora fcefhaga entré
un Mercader y un. particular. En eP primea cato£
«orno es pa*a Jos que e*erctóai*ei trttto un punto
capital la reducción drlai medidas i* y tos' mtieté
con: igual estímulo ql. deseo de ganar, no cabe el
que ignore^ ninguno de? ios dos la que tantt cuenta
U tiene «aWr^Ky ^^» «Pb«i por K> inehbs iguala
mente (Sesteas* Si se tafejeie el frtfte entre un Mer*
■ '-81 Z4 ca-

36Q GEOMETRÍA

Fig. cader y un particular. , este, compra el género por
el peso y la' .medida que conoce: tan ¡adelantado se;
halla como <á Mwcader,, y ea^tt>manQ!¿stó oocobk
cluir ua ajaste «toque, pueda qqetftrpequdicoMk). Na
resulta 9 pues , en ninguno de; estos dos casos bene*
ficio alguno, tiíe 4a variedad de las medidas.
•: :a,<? P«ro iísOücwbunoá , ;«i .puede suceder alguna
v«* que algm)b/deidos<40^ el vtüdedoi óuel com-
prador halle alguna ventaja en el ü^to^poifqifctM^s
g* uq codtockniento tmaa í puntual j de- las» med&as,
iftodrá ser legíámo" este beneficio? Para que gaoe en
\ux qju$te el que. esa mejor enterado de la razón dé
las medidas * es¿pr&ti*Q que pierda! el que norestfe
igualmente impuesto \vtom correspondencia* En esté
caso ej; primero vende meóos ó corqpra mas ¿ene*:
tos ppr el precio ajustado , de lo que entiende cota*
prar ó vender el otro con quien trata; es, pues, do-*
loso^ y ppr consiguiente ilícito, eá trata Finalmen-*
te , qo puede ganar en. la medida el uno de-Ios dos^
á no ^er que haya mak.fót 6 que etitítro< {ndeaca
eja ; su$ cálculos aJguoa equivocados cútraria : á sus
intereses* .;t.. . ...*....:. i . .

Av*p guando diécimos por lícita esta ganancia*
y poníeséraiyKjs^e^es paca .mwtbro ím recurso* o»
podrid el ¿«orea de fes**] ipmto mámera pii^ifcderat
tf^oo^^ílaAcoroedida* # yenta5k;q»ie¿se les.seí*
guiria á todos loa demás ^habitantes de up Reyno de
b igualdad d©) lasnaedidás, la qüal esqusaria una
tófinjd^;^^ enxn^

j^^dfojdos^ os» müy.if5cili padecer muchas eqúra»
papiope^ Seiya siti da<^,alg¿naiip^yipM»fcboso fw»
cajos (jambist^s r4l;,qw bübi&er distinto moheda en
cada Ciu4*d, y m+ cada . caüfc , Jpero jno;por «so dea*
de ser n&as. ventajoso $ara el.púbHc^eL que no ha*
ya en pada.iR^nfMnas que 161a- moqedal -Pensar lo
contrario sfíh <fe/*icaifr jguti tawt ¡wcnifr* aiígé*

P36c

36q GEOMETRÍA

Fig* cader y un particular., este, compra el género pot
el peso y la^edida, que conoce: taa.ijddánudo se:
halla coíqo é Mercader,, y ea^ujnanoiéstó no coo*!
dui* ua, ajuste ^*qi*e. pueda q^arpegudiojato. Na
resulta , pues , en ninguno de: eatos dos casos bene-
ficio alguno tibe 4a:. variedad de las medidas*
i 2/? Pero jjKttce&fnod , ,si: .puede suceder alguna
ve* y que alguot), (kidos^D^ el veüdedoi óuel coi»*
prador halle alguna ventaja enud tirito y poó}iJe:tfifi^>
g» uq cctftockniento finas > puntual : de ¡¿medidas,
¿podrá ser legtámo este beneficio? Para que gane en
\ux ajuste el que. está mejor enterado de ia razón do
las pedidas* «s^pre&Q qtifc pradal el que Jierestá*
igualmente impuesto len^w omespoftdencjft». En esto
caso el¡ primero vende menos ó compra mas £éae*:
tos por el precio ajustado , de lo que entiende coto*
prar ó vender el otro con quien trata; es , pues, do<*
losa*; y ppr consiguiente ilícito eá trato. Finalmen^
te , no puede ganar en la medidp el uno-de-los dos*
á no ser, que haya roria, íé^ ó que elj<tfra< {ndeaca
en, su? qálculos^ aiguqa equivocadoo contraria k sua
intereses* j . .;, . . .. ..4 .. * .....*

.. A«n quíndo diértunos por licita esta ganancia,
y vponíeséramQiiJÍM^es pata ¿nwrbro un recurso * m
podrid ^; ínteres de fctffr; c^catí) mímetó friepoikbtiaat
r^p^ctó^^^ila i^oropdídftd ¿y ventajaque se les »e^
guiria á todos loa demás habitantes de up Rey no de
b igualad dei'las nafdidás , la qual esqusária una
$finjd#4:^ ¿enoaas ^y en xa*

y^^cafeMlas^as, piay ifacilr pa^eotr ipuriias eqúiusn
papiones Sei*a< sifc dudáalgtWjpu^; pratffchoso pa*
ra Jos <?ambist^ J};¿qu« l^bifeerdisiinte moheda en
cada Ciudad, y ;&i: cada . caite 9ipero ;no;por eso de*»
de ser ops. ventajoso |*ara el ,púbHc#: el; que no ha^
y¡a e» pad^fRqyr^ ^n« que una monedad ^Pensar lo
contrario s»» 4$*ii&moi4tt*i ttoet po^édL al gé*
4> .V «»•

P36o.

36* GEOMETRÍA

Fig. biese hecho , digamos así , familiar á los Pueblos.
Pero esta ley rigurosa no seria necesaria : se podrían:
dexar subsistir en cada Provincia, por un: tiempo Uk>
raicado las medidas antiguas , mandando que «odas
las ventas y arrendamientos: y todo% los recibos ese
que. hubiese de intervenir el ministerio publico de
los Escribanos 6 de los Tribunales, sé hiciesen con
arreglo 4 la medida antigua y & la nueva. A este
fin deberían calcularse é > imprimir tablas de miuc*
cion , del mismo modo que hay aranceles paral la re*»
duccion de las monedas : y con el socorro de estas
tablas , que al principio podrían darse de valde r las
reducciones que hoy se executan entre los Merca-
deres de diferentes Naciones y Provincias, conJm*
perfección y por medio de una operación las mas
veces dificultosa , se executariaa en lo succesivo coa
igual facilidad qye precisión*

856 Podría también guardarse en las Casas de
Ayuntamiento , en las. Aduanas, y en poder üe ios
diferentes Gremios de Mercaderes y oficios un pa-
drón de las dos medidas, haciendo mención de anw
bas en todos los testimonios , recibos é instrumen-
tos públicos. Con esto se irían enterando , asilos par*
ticulares como los Mercaderes , de la corresponden-
cia entre la nueva medida y la antigua ; y al cabo
de algún tiempo que la experiencia determinaría,
podría mandarse , si se tuviese por conveniente 9 que
no se hiciera mas memoria de la antigua ; cuyo uso
se perdería insensiblemente , sin que se le siguiese
el menor perjuicio al comercia Si al mismo tiempo
se multiplicasen los modelos de la nueva medida,
é hiciesen mas comunes y baratos que los de las an*
tiguas , se acostumbrarían poco á poco los particu-
lares a usarla con preferencia en sus usos privados*
vendría á ser en poco tiempo la nueva tnedida mas
familiar que la otra, y por todos estos medios jun-*

tos

PRJCTICA. 363

tos se conseguiría quizá , sin la intervención de la Fig.
autoridad Real, excluir de todo punto la medida
antigua» to* vedóos de Ginebra han usado con tan-
ta frecuencia .de .la vara de JFrancia , que sin pro-
videncia alguna han venido á abandonar insensible-
mente la propia.

: 857 Pero .una vez que no existe la medida uni-
versal , nos es. preciso .conocer las que están recibi-
das , las . principales por lo menos , para la medida
de la extenúan* Esto nos empeña en dar noticia de
algunas de. ellas., y señalar en lo que cabe la corres*
pondencia que, hay. entre las unas y. las otras.

Para .escusas mucha parte de la confusión que po-
dría oca^ioqar su multiplicidad y han escogido los
Matemáticos. una medida á la.qual suelen referir to-
das las demás* Esta , que en algún modo hace papel
de medida, universal > es el pie de. Rey de París , sex-
ta parte de la medida que los Franceses usan con
nombre de Toesa. .Se divide, pues ,,la toesa en 6 pies,
cada pie en 12 puíg. cada pulgada en 12 lineas , y
ea la linea se «consideran 10 puntos.

858 Para facilitar el cotejo y reducción que aquí
nos ocupa, se supone que el pie francés tiene 1000 par-
tes , de ja$ quales en cada una de las medidas que
expresa Ja tabla siguiente , caben las que están seña*
laclas á su lado.

Pie

3^4 GEOMETRÍA

Fig. Pie Francés . 1,000

Amsterdan , Holanda. Palmo, tercio rdel pie. 0,2875

Berlín , Prusia. Píe . . . 0,0535

Burgos , Castilla. Pie. ........... .\ . 0,8571

Constantinopla , Turquía. Pie. ...... ^ . 2,060

Copenhaguen , Dinamarca. Foot , pie ♦ . .; . 0,966 :

Cracovia , Polonia. Pie. • - 1*0972

Estocolmo , Suecia. Pie ........... . 0*0^46

Lisboa^ Portugal. Craveiro ó palmo. • . . . 0^07^0

Londres , Inglaterra. Foot ó pie 0,9380*

Moscouw , Moscovia , ó Rusia. Pie 1,0299

Ñapóles , Italia. Palmo . .^5,8090

iPaiermo, Sicilia. Pie.'. .. y ;..♦...* /. 0,7451

J?etersburgo , Rusia. Pie. 1,0903*

Rinlandico , (Pie) 0,9057

Roma , Italia. Pie ........ 0,9170

Viena, Austria. . 0,973a

Usos de la tabla.

»

859 El valor del pie de Castilla es por la ta-
bla 0,8571 lo que significa que siendo uno el pie
francés , el pie castellano es tI?4? (l5fy i 6 9 lo quef
es lo mismo , que un pie castellano vale 0,8571
partes del fraoces. Luego si multiplico 1 70,8571
por 10 , los productos 10 y 8,571 han de ser igua-
les ; de donde se sigue que 10 pies castellanos va-
len 8,571 pies franceses. Por consiguiente si adelan-
to la coma dos lugares acia la derecha, y multipli-
co 1 por 100, sacaré 85,71 y 100, lo que significa
que 100 pies castellanos valen 85,71 pies franceses;
que si adelanto la coma tres lugares á mano dere-
cha saldrá 857,1 y 1000 , lo que significa que 1000
pies castellanos valen 857 pies franceses ; y final-
mente , que si adelanto la coma quatro lugares á la
derecha , los números 10000 y 8571 significarán que

10000

lóáoo^pics casteüanos vateh.8571 pies franceses. Fjg.

Propóngome averiguar quantos pies franceses hay
en 24 pies cftapüaraos.' . í / - \ ; -■

Ya que un pie castellano vale por la tabla 0,8571
partes del pie. francés , los 24 pies castellanos será?
el producto * dé 0^857 1 P°f 24* hecha la multipli-
cación , <sdle que en 24 pies<xasteUanos<liay 20,5704
pies franceses.

: Busquemos áhoila '. quaotos pies «iasteBShos hay
en 35 pies franceses». .•}.♦•> . .-mu ;»* r >>

.Como 0,8571 de píe francés componen x pie cas*
tellano, diré: si, 0^57* coqaponea i , ¿35 quaotos
compondrán? ó ; J

-J-1 ¿ ,9,8*71 : I -v $$ : 4^830 \\,u

Wtoi que (k»j 35^ pies franceses valen- 40 ,838 pies
castellanos. ■>.'» "*r -n v:n /••', r *. v..." ¡V. -cí^ir-::
-;¡ Quiero saber en 34 pies: castellanos quintos pies

ingleses hay. : f v - • • ": , ¡rr - v «o i y

.- .ir Busca primero r quantos píes, franceses hayuenik»
34 casttUfnds; muhtpfcaando q,$57i por 34 (54) ;naw
le: el ptpdufcta 29*14114 ,rdsto raqueMite 34 jaesitasw
tettacaos ^ ^1414/ pres: fré^^
en- sacar, quantos Lpies ingleses hay en: los ,294 1414
pies franceses ; se dirá , pues , í 5 r ; <'

(•o cm ^9386 Vi c:; £9,1414^ 3^04 : ^. r.
y sale qua kas 34 pies tJast^fatnog.no san sina 3*1904?

pfesdbgtesd* c^íf/V." b :/í.cK - ,! j . '/.: v í

Lo Qiismo si puede averiguar de otro modo que
al cabo se reduce á lo que acabamos de- práctakar^
Ya que 0,8571 pie castellano es menor que 0,9386,
pie ingles, en 4ro 34,4^6$ caWettantelhabrá menos
pies ingleses. Luego al sentar los dos primeros tér-
minos rde:la proporción <joe son 0,9386 y 0,8^71,
«ate ha de ser el segundo , será , 'pues :

: 9386 : 8571* :: 34 ¿ 31,04
fisto uyamfrjcstá hiriendo lo ,que* sa .habría de; hacera
*» -uta" si

'366 GXVMBTUhA

Fig. si se nos ofreciera averiguar ^aatóos pies casteHa*?

pos hay en 34 pies ingleses. La proporción seria. esta

8571 : 9386 " 34 * 3?v*3* - ""< ' >

D¿ los > instrumentos cok que fe hacen las ope~
- - raciones de fa.Gffimetrí* prédica.

i
v 86oo:P¿nca la aleación de la Geometría 1 las
operaciones que en ella se fundan, sirven varios inw
trunientos j\8Íncüyo<««LilK) ' no -seria posible execu-
tartas con 1» precisión^ y brevedad^ que se desea. Pero
como los resultados de estas operaciones sé tr^slaw
dan quasi siewpte ^ly^l^:dond6^%uran del ta-
máóo -qife < s&¡ quiera ó. permke ; el i <$paei¿, las> zréksj
ángulos , edificios , &c. que se midieron * se 'echa;
de ívwirque» dopráíticop necfsfó instruriientos de^ di-
ferente construcción, y también, aunque sean 4é
unk tmcgmá > de larriaaos 1 diferentes*' Nbi p$ demoél . se-
gntr; $p;eft3 asqritp^|ioi^la;;^^
ocurrirá ^ ;á ¿orden natural,- ftof is«iaL^^b<^cii*Deroí
tai (fescripcion y- comprobación y^ tipos dedos instrtí*
ineptQ^ccon -lo* qpales se, execut^nclas operaciones
prácticas, y dar después 4 conocerlos que sirven
para delineara -pintar - en ^l;^apeldb ^practicado en
^rtejjrcaicL La; descrfpcute.de doq p0naet« ociiparír
muy oportuno lugar donde declaremos &h tibpáo de
practtáar en el teíreno j U derk>s .demás* pódeteos
darla, desde ahora. ,-•-;; ji :, 1 •« o.-...,

? . : 1 \\rlnstmke^ t !

:i.i :'í £ - t :í "."V.^

f Pstps instrumentos suelen venderse .teetídos «s
una caxita ó estuche : hay estuches de diferente ta-*
maño , segur* sea el tamaña <5' número de los ins-
trumentos jivanoos á*tjatar dft-tos-piincipKles¡^ cose*

fian-

\PaJc>ticjs 36?

fiando de todos el manejo , y de los mas complica- Fig«
dos la ^construcción en $ue se fonda la imeligehcia
de sus usos. ; . ■ f •

De ¡a Regia.

86 1 El primero de todos los instrumentos , por
ser de uso mas universal 9 es la regla la qual sir-
ve , como todos saben , para tirar una recta desdé 172.
oh punto Av.%* á otro 2?, Con esta mira se apli-
ca el instrumento sobre los dos puntos dados ó tan
arrimado á ellos 9 que la esquina de uno de sus can-
tos enrase con ambos 9iy tirando un rasgo desde el

un punto al otro con lápiz 9 ó tinta de china , á
lo .laigo ' de Ma '-esquina 9 queda trazada laüneáque
se desea* r>

862 £1 punto esencial 9 por lo que toca á la re*
gla9 es tener seguridad de que está bien hecha* Esta
comprobación se hice tirando i lo largo de la regla
una. linea* con una punta muy sutil; se aplica des^
pues la esquina dé la regla que sirvió para tirar la
linea 9 de diferentes modos y lados sobré la linea,1
y si se ajusta ó quadra siempre puntualmente con
oHa es prueba de estar bien iiecho el. instrumento.»
También se -aplica sobre la linea é> sobre: ila esquina'
de 1a regla un pelo de caballo muy tirante , el qual
si se ajusta bien desde un cabo á otro con la linea
ó la esquina de la regla 7 manifiesta que será de uso
seguro,

- Para 'averiguar los Oficiales ¡si' una- regla es bien
derecha suden* aplicarla sobre otra' regla de metal9
de la qüal est£n seguros* Pero para sacar derecha -
esta regla de metal es preciso hacer dos á un tiefapo9
y r «correrlas cara jsud» pulso y cuidado con la linea
baswque convengan puntualmente sus alistas 9 apü-*
caudq estas reglan la una al lado de la otra de to-
doctos; modp$iposibles?. y para, asegurarse mejor de*

tr«.-j . .es-

$68 GEOMETRÍA

Fig. estar bien hecha una, regla , es necesario hacer tres;

. Quando las jjeglas han de servir para tirar lineas

con una punta ó un lápiz , pueden ser. muy delga-*

das , y así son las de los estuches ; pero quando con

172. ellas se han de tirar lineas de tinta han de ser algo
mas gruesas , ó conviene tengan ún chaflán C¿ á fin

, de qeiQ Ja tipta que podría pegarse al canto de la

s regla no- manche el papel, por cuyo ibotivo se apü-r

ca la regla boca abajo.. Las reglas han de ser de?

madera compactarlas de marfil suelen escurrirse* ->

I » Del Campas.

: El instrumento mas ^ncilld y. de mas ü»
después de la regla es el compás , el qual se con*-:

173. pone 'de dos piernas AB , AC puntiagudas por el
" wno, de sus extremos , y por el otro se juntan en A

con iuna charnela. Las piernas del compás pueden»
dar ', vueltas al rededor de la charnela, de modo,
que entre sus dos puntos. B > C haya mayor ó me-;
ijor distancia , según convenga. Cada pierna en su
ultimo tercio acia la punta es de acero , con el fía
4e que duren mas , y no se pongan romas sus puntas*
lo 4ue , seria dn defecto de mucha gravedad: como
l*i charnela puede aflojarse, ó puede convenir po^
nerla mas apretada de lo que está , hay en la cábe-
la del instrumento dos agujemos, a , b donde:. se
introducen las dos puntas e , -¿ de una pieza de ace-

174. tfí & i que hay.Ten; algunos estuches ; dando vuel-
ta á esta .pieza de la izquierda á la derecha, meti-
das, sus puntas e©'{ los» agujeros* se aprieta la char-
nela lo que se quiere : claro está que dando vueltas*
de la derecha á la izquierda -ser U i«§ojai£# ¿unte eL;
compás para. tomar; lineas ó distancias en el papgk
tomar con. el. compás una linea es abtir las í dos piar- >
ñas del 'inatnmieata; dfl; janodo^^^^

PRACTICA 369

g^n, cada una en la. suya , sobre cada extremo de Fi£.
la linea propuesta. Aquí se tomacoa el compás la li- -
nea AB. : 175*

En todo estuche hay diferentes: compases , pero
nunca falta uno que tiene una pierna cuya mitad
es de quita y pon : entonces en la mitad superior
de dicha pierna hay un hueco u , como si la hu- 176.
bieran taladrado 9 donde se introduce el sobrante m
de la otra mitad; y apretando el .-tomillo rr, su.
cabeza aprieta la parte metida , y la- sujeta de tal
modo , que el compás sirve lo misino ! que si (cada
una de sus piernas fuera de sola una pieza.

El fin de este artificio es que un compás solo su-
pla por muchos , substituyendo en lugar de la par-
te de quita y pon otras piezas de uso muy socor-
rido- / • ,

La primera es esta , en la quat se introduce 177*
un poco de lápiz , que con ella compone media
pierna del instrumento. Esta pieza está cortada lon-
gitudinalmente ida su boca , á .fin de que ensanchán-
dose esta se le! pueda introducir, la cabeza del lar
piz i metida esta , se empuja ááa.ahaxo la argolla ó
sortija a y con lo qual se arriman una á otra las dos
partes de la boca , y afianzan el lápiz.

Mediante esta pieza sirve el compás para trazar
circuios ; se planta en el punto céntrico la punta de
la pierna firme * .y. 4ando vueltas, la otra al rededor
queda trazada la figura. No hay duda en que tam-
bién se podrian trazar circuios con la pierna sin lá-
piz i pero sobre que su punta rasgaría el papel , nuii-
ca dexa las figuras tan señaladas y perceptibles co-
mo el lápiz.

En lugar de la media pierna de quita y pon se 178.
substituye también estotra que remata en una como
espuela , la que sirve para trazar lineas ocultas.

Substituyese últimamente otra, media pierna que
- . .Tom.L Aa re-

^370 &SVMX TRÍA

JFÍg. remata en dos hojitas de acero puntiagudas que las

1 79. pasa un tornillo b; dando vueltas al tornillo se ar-

/• - . riman las dos puntas una á otra lo que se quiere, y

mojándolas en- la* tinta T la que entre ellas Se queda

isirve para tnmr lineas vivas , &c.

Un compás hay útilísimo que sirve para trazar
lineas. que tengan unas^ con otras la proporción que
•se quiera. Compónese de dos piernas puntiagudas am-
i8o..*basv eo cada extremo j y afianzadas nina, con otra por
Já chamela ¿7 i, la qual , aflojando ef tornillo by cor-
rea de arriba abajo , y se asegura donde se quiere^
por manera que entre las dos partes del compás
que quedan en cada lado de la charnela haya la
-propoccioh que se desea y y eáto lo .aWsan ios nú*
-meros $ue á este fin van grabados en. una ó en am-
bas piernas. Supongamos v. g. que la charnela se
asegure, en tal punto délas piernas, que la parte ab
sea la mitad de la parte ai. Abro el compás y co-
jo con las dos piernas mas largas ad , ae la linea de¡
«claró: está que la linea que cupiere* entre las' dos punr
tas ¡6 , c y será la mitad de la de^ La razón es qué
los triángulos *#*, ade son/ semejantes pdr ser igtiáf
les los ángulos en a , y porque de qualquier modo que
esté el compás abierto las dos lineas o distancias di
y be son paralelas ; luego de : b$ : : ad1 : a&.

De las ■ Regkii paralelas.
1S1. 863 Estas son dos reglas ABy CDi, juntas por mef
•dio de dos charnelas 2?, F, ambas igualmente inclina*
das respecto de cada regla. Las charnelas dan vueltas
-al rededor de los exes £9 F, con lo qual se aparta la
una regla de la otra lo que se quiere ó permite el largó
de diqhas charnelas; y para manejar las reglas con ma-
yor facilidad hay en las reglas dos pítonckos a, b por
donde se agarran y encaminan adonde se quiere.
£1 nombre* mismo de este instrumento está •di-
cien-

iFJt'JLCJ* 1021.1 g?í

ciendo que sirve para tirar una linea paralela á otra E§gl
dada. Supongamos- que dadav la yYúié&JáB ocurra ti-
rarle una paralela que pase por el punto C. 182.
- Se aplicará una «esquina dé las dos reglas :sbfcre
la linea AB , apretándola con el pitón de modo que ; '?c
áe quede inmoble ¿se xrogerá después la 4>tcti regfe»
de .su pitón 4 y sé la apbctará<de Ja primera tarotiNf •
que áu-esquina cay ga. encima del. punto. vCí; ta AaietU
que se tirare entonces 4 ^ lo : lat^o de tla-v'W&fc
paralela, que se habia de tirar por el punco CV • »
Si el punto Contuviese tan distante >der la tin££
dada AB , qjuz despees de abiertas las j reglase todtp
lo que permiten iaa chamelas V ¿la TÍeglaJ sapqpidr 'im?
llegue ai punió i7riio^e podrán ttrarUa pawdelfcdím-
ibrrpe hemos diaáa Pero después de arrimar, en es*
te caso , la. regla, superior todo lo posible al -pufttfr
Cj se la asegurará, y se le arrimará la regla in&^
rior hastia que bt dos reglasise itoqtmi ,ose laroímárá
otra vez la de arriba ai plinto. ÍS; si no k aiéaob
aire 9 se repetirá lo mismo ; j& . le alcanzare r se ti**
rara poií él la paralela pedida» >i 1 .* N r: 0
v Con las reglas .paralelas se puede partir una ti*
nea> dada AB en .un. numera de partes igaaie*,< ek
que se quiera v.g. en cinco. > !• J ¡1
Tírese la linea indefinita 2?C^ que forme con 'la
¿4Bjúu jingulo9:aeá> el que íbere; ábrase ¿1 cornal 83.
pas -lo que acomode r trasládese su abertura cincor
veces sobre. la BC 4 lo que señalará eh ella cinco»
partes iguales &l ; ri7 ¿í 2,3**3, 4^4 ,<$ ;<*plteí
queseJa iun£ de la& dos reglas pocaketas sobren do¿>
kocas > de ÜK)do que la ana. dé M&bsquináfe enrase
con los puntes £v **'•¥' donde se tirará la íinez $Aj
aplicando después succesivamente la esquina de- í$
otra regb paralela sobré los puntos 4, 3, 2, i¿ se tira*
tan potVv«¿ki:Hgeás^)ajEalelas>iá la $A^?y «quedará la
jtiB dividida en cinco partes iguales** * ¿^ u*, trt^A
>-ol3 Aa 2 Z?*/

3?2 geometuía

m -■■ ••■■ ■ - -

: Del Semicírculo graduado.

864 Este es un instrumento de forma semicir-
284. cular , cuya recta AB representa el diámetro de un
daoculo y k curva ADB su semicircunferencia , y el
pmUD Ci, señalada en niedip dé ia AB ^ represen*
te sú rieqtro. La semicircunferencia *stá dividida en
j8o. portes iguales r que, representan otros tamos gra-
dos j y pan mayor comodidad están señalados de
lOrdn • io 'de la derecha ¿la izquierda , y de la iz-
quierda,; f*./la derecha hasta 180, mitad délos 360?
que -íb«ífK<o la «circunferencia entera.

r 86í>l iSirvp ; el semicírculo -graduado , i.° para tra-
za® un ángulo de un número determinado de gra-
áo6»'.2.°>pa¿a saber quantos grados coge un ángulo
trazado. ya; •. ■•; ^-:

\ <Q6fa< Este, instfuffliente es<ma& acomodado quan-
dokfi divisiones ó grados de la semicircunferencia
se < stííajasn ..eo él borde <EF de <una regla paralela
con AB. Estas divisiones se señalan en la regid
aplicando, otra que desde el centro C pase por las
divisiones de la semicircunferencia , las lineas que
desde el centro se tiran á dichas divisiones las de-
sarán señaladas en Ja EF. Esto lo . entenderá fícil-
;. r mente el que mirare las lineas tiradas desde el cen-
tro C á las divisiones 90% 60o i -30° de la semicir-
cunferencia. Quedan , pues , señalados como se ve los
grados en^ tres de ios lados de .la regla ; se cuentan,
del . mistad modo uque en et semicírculo v de ambos
lados i, figurandotau ltfdcr en blanco el diámetro. So*
bte que lá regla graduada sirve4 para los mismos usos
que d senaijcírculó ¿ es de forma mas acomodada p&*
sa meterla, en ^1 estuche. £1 lado donde están se*
¿alado* lqs gratíc* se ilama el fado .graduada ¿óet
limbo del instrumento* - ; .. ¡ » . • j ' V. .-u- ' <*
- Usos

PRACTICA 3Í3

Usos de ja regla graduada. . r

867 L Tirar una linea qye opn ¡a AB Baga en el
punto A un ángulo dado v. g. de 48 grados.

Apliqúese el lado blanco de la regla graduada
sobre la línea AB , de modo que su punto céntrico 185.
señalado con una cortadura qayga en el punto A\
señálese con un lápiz en papel en frente de la di-
vistea 48 4*1 limbo «4*i iosttumento, contando de
la derecha á la izquierda ; la linea AC tirada por
A , y dicha división formará cotí la AB en el pun-
to ./f un ángulo de 48o. - -

Si la liriea por tirar hubieSe de formar con la AB
él ángulo propuesto ~eir"el: pantera, el centro del
instrumentó deberi* aplicarse en B , y los 48a se con-
tarían en el limbo de; la* izquierda á la derecha.
f 868 II. Determinar ^quant os grados eoge un ángu-
lo dado , i), g. el ángato ABC.
T Apliqúese ¡el lado blanco del instrumento sobre
kcAB , de moderque su cpntnxcayga en B ; véase á
que división* del linroo corresponde la linea BC, pro*
longándota si fuese menester, los grados señalados
en esta división serán los del ángulo ABC , contán-
dolos jte la' izquierda á* la ^derecha. ' ~ !

869 III/ En m ponfo dado A df una linea dada
AB TeVdtirar una perpendicular. ' - •

Póngase el lad3 blanco del instrumento atrave-
sado sobre la \1nt2rABi de modo Ique en ella *st$n 186.
el centro de la re^a9 -y la división 90 ; manteniéá-

Éen^stá islfüáC^ I-

'hás& " qtfe ^^¿^Tcé^ffl Wga * &*[ '^¡X f a
1 j4C tirada a lo largo" deT' Ia36 Wancó sera "per-
pendicular a li AB; fQ.ee! I0j*ptp ¿tefeM? AL 1
. J)&t miso» motare; fr*wá de^de i¿o, punto d»~

dom*. perpeedicu^foá^Pa^ineft^^^,. 1 j

Aa3 Pa-

374

GEOMETRÍA

f^. 870 Para otros usos del semicírculo ó regia gra-
duada, necesitamos la siguiente

TABLA

De los ángulos del centro > y de las circunferencias
* de los pohgonos regulares * desde el tr tangido basta
el dodecágono inclusive.

Nombres.

Triángula

Quadrado»

Pentágono.

Hexágono.

Eptágono,

Octógono.

Eneágono.,

Decágona

Lados.

Ángulos
del centro.

Ángulos
de la circ.

I = — TJr

¡Endecágonp/

Dodecágono/

i, a: i*& ocf

7q

5 7* OP

8

9° 90

60 QC? :
5* *$$

■ftái

10

• . *

IX

45 00

4Sv°°

36 PP

A* ¿$A

iH\ í'JiiT

í# l JL i.

^o*

99. 00

108 00

120 00

128 34*;

*3¡J 9o

r — ir—

144 00

M7 ,l&r

igó ,00

,.1 /! ..

. .J.l Oí t, 1 .

».'•

Para formar esta tstMa *e parten los 360? de *>-
la circunferencia j#f- el '«Amero íp» expresa los

m del p6^bno¿iV,¡lteíc'^Dt^';,^jl*:,íz,gU"

PRACTICA. 37$

ios'ctel centro» (596); restando de i8o? el ángulo Fígí
del- centro , la resta expresa el ángulo de la circun- <
ferencia. • •

871 L En un circulo iodo inscribir un polígono
regular ) v* : g. un octágono. '

Apliqúese el lado blanco de la regla graduada
sobre el diámetro AB del drculo , de modo que tos 187.
centros de ambos coincidan uno con otro; señalen-
se desde B á D los gFados qué vate el ángulo
cécMfffcl del octágono , que son 45o; ry tírese el radio
CD ; la distancia BD 7 ó la cuerda de 45o, será el
lado del octógona Se la llevará con d compás al
rededor de la circunferencia , y quedarán señaladas
cantas cuerdas soyas todas- iguales , quantús ifueseii
Uk lados 'dfel polígono , que son ocho en el caso
propuesto/ r, r

87Í ' Rara vez dá esta operación , sin embargó
de ser verdadera en la teórica, cabal el lado del po-
lígono. Porque al trasladar al circulo la Cuerda to¿
mada; con ^ compás' en 'el instrumento ^ sale co-
munmente mas larga , ó mas corta de lo que coiv
réáponde. La raron es y "qué el punto donde las li-
neas se cortan una coh otra no se puede señalar en
la práctica con precisión geométrica ; por cuyo mo-
tivo al tónaarc(«iiel<oompasvla cuerda, la mas leve
diferencia por felfa én sbbíra y* repitiéndose muchas
wes Itegai á ser ai.tfitimá de*laljgánaj cónskferabion.
Eos compases de puntas con fuelle son muy del
e»so para* esta operacioa ' -

Jlgtoto regufari" *>■ if.J. " . v<: : 1 •:

--'--n&lfe los ícgrtíettibtfl d# la linea dadsr tírense las
31>£*<7,f<kmodó^c^ 188.

-^J9£^sáii4gukl:;al ángulo de ú Circunferencia del
polígono p&pubs*o i hágate eadar &iá de las AB\
BC'^valiéétk toAB'; de^éClos^fü&toá/)^ tíreh-
"n Aa4 se

3^6 GEOMETRÍA

Fig» se lineas cada una igual á las DA ^ BCy y qué fbr-
188. npen, coq DA , CB áogulop iguales coa el. prime-
ro ; prosígase á este tenor hasta trazar el polígono
pedida .

I. Supongamos que este sea un exágono; tírense
las AD ^ BC) cada una igual á la AB , de modo
v. que los ángulos BAD, ABC sean de 120P cada uno;
hágase también los, ángulos ADF, BCE de 120o
cada uno, siendo, las DF.* CE iguales cada una con
\&A&i tíre?e ,pqr últ¿aap4a FM,:f estará tnundo
«1 polígono, pedido.

' . 874 Qüando el polígono propuesto tiene un nu-
paero par dejados, la operasoa es mas breve y
fácü APP? medio de >Ss, reglas» paralelas. Después
de ¿razados y cohfqtpie sq h^ dicho, l0a»lad4s AD,
AB , BC, tírese por D una paralela á la £C y y
hágase la DFzzABi por F tírese la ^paralela é
igual con; la AB > tírele últimamente kCB> y que-
í^fáj $ra¿dQ el potógoop' ,: i.

-< W ;¿ 2?°Sea pe#%>no tf peiígwo <tue se ha,, de
185. ttaflsar/S^bre la -dfÁ % .1

. v Tírense la <*4C, JRZ3>^ cada una igual á la AB>
con l&.qual forpie un ángulo de 108o ; desde los cen-
tros (7 y D¡ y coa radio, igual á JayfiS trácense ar-
cos que, se cortan en íE^ ^ensív fílmente las JE£
^# ><y estajiiJitra?ad9 ,et penfcágqda 1 -¡ • , '.,»,
Respeaode u§(tj)QtígonQ. regular ^ una vez trst-
5ta^os todpa, los íados menos dos* por el métod*
antes* propuesto , se trazarán Jos doa óhimos confiar-
me se hap traz^ *n v.eL tfltiino.
876 Un pentágono regular se tratficá ¿obré bi
linea AB con ma&t4ciertp,pcMt(canla k> siguítnte,

jpada uno igual, á ¿* cftit^d del ¿ngftlo< de) 'ponió-
la projwesto i, ^esjfe. el cendro P , d**^1** lineas
AP , jBJP M,€n|Ma.>i^Jssp. el radio Afi ttécfüe .un

*f.ft ^

PRACTICA. ¡377

circulo > apliqúese al rededor de su circunferencia Fig.
la linea *#B * y quedará Mazada la figura pedida.

i ; -JO* ¿i¿ Estíúasuplanasu* ' >•».*'

87?. i Las ejscalas planas sirven {tara tantas y tan
<Bferentó$j operaciones , que pofc lo mismo es muy
>?a<»o su construcción- Por. Jas lineas que en ellas
MVL-sseñabtcks se indicia,/ dwdejluegp el. uso de cá-
4tí WM\: dorónos i: pues.» aquí^quaíes, son estas li-
ma»!; después irétnos, recorriendo una por una todas r >
m «calis para manifestar, sus usp$, píenos de al-
agunas .roya, aplicación corresponde á los tratados
«$ra$ É&a las operaciones para que se necesitan.

yUrtegs^ue se smtfan en ios espalas planas. •

Nombrxsde las tíneap. -« ■: a .. Como se señalan.

I. Lineas de las partes iguales* • v. . . . . £. P. I.

II. Lineas de. las cuerdas. ,••;> .. «.^ • • Cuer.

1IL Jbineaa, de kfs. rumbos* Lr>¿ n* .,. .'. . . . Rum*

IV. Lineas de los senos. . -i**'. *.w v .; Sen*

Vu Lineas» de las- tangentes^ .'....*,.' Tang.

VL Ltine». :de laa secantes... .-...•.• Sec.

VIL/Linoas. de las wmitangerites, . • . S. T%

,VIII¿ Linea&.dfiítlas! longitudes» >j; • «i *.:. ¿ . Lotfc
líkjLioe»>de l^s latitudes. k\ . , . , 1 r. , . . Lat.
X.Ljbeaa:de las horas* . . .:. ... ¿\ . . . . ...Hor.

XI. Lineas de las inclinaciones. . v .1. ■ • * facL Mer*

: o- Lineas de las partes iguMsi :
• 4'TjLc;..-f ¿» - -j >' " i -' v/'í

87$ %ra hacer, estas escalas sé trazan tres lineas
paralas á distancias desiguales, estando las dos de
abajo Daasprójtimas una á; otra que no á la de ar-
riba. EstaatotTÉSi paralelas se dividen en un número

de

r

-378 GEOMETRÍA

Fíg. de partes iguales , *l que -se tiene por conveniente,
con lineas, que las cortan al través ; y;oonK> estas
lineas atravesadas son perpendiculares ó inclinadas
respecto de las «es pfefóleias y e%t» e¿ía razón por que
unas escalas se llaman simples , y otras diagonales.

£79 I. Escalas simples- Después de delenfiSnado
et largo de las tres lineas paralelas se t$9 man con*
forme hemos dicho lineas perpendiculares atravesa-
das,, con la que quedad divididas en el riútwrcí'de
partes iguales ^ el vqüei*e tiene por oowfcniewei Be

190. estas partes se dan ala pulgada- las que- (Se- quieí^
v. g. 2 , 2f , 3 , 3*, 4, 41 , &c. La útáma di-
visión á mano izquierda se divide en 10 parces igu&»
les, con lineas tiradas al «aves de las páratelas faí*
feriores no mas, de las quales la que señala la
quinta división /se hace un poco mas larga que las
otras. Dicha primer división á mano izquierda tam-
bién se, puede dividir en 12 panes iguales con li-
neas tiradas al través de lá paralela de arriba, y
señalando Ja tercera, «sexta y ^novena divisioa con
lineas mas largas ,. siendo la mas latrga de todas la
que señale la. sexta división. * «. r- i -w -* -■ \J . ':
En una misma regla, suele haber una» encima dé

190. otras muchas . de - estas, escalas , con números á ma-
no izquierda,. los quales señalan en quaacas paitefe
está' dividida la. pulgada en cada iesdala r^v.- g. ea
30 i 2$ , 30 y 35 r 40 &c partes ^ sinrieado» fcadá
una de ellas para casos diferentes , tconfbrme la {e*»
tensión del dibuxo por- trazar. .---.«.i. ">'

880 Con esta* lineas de partes iguales se expre-
san las cantidades sean y ^asv leguas^ peso &c. por
enteros y partes suyas decimales ó duodecimales.
Si cada una de: las divisiones se cuenta*>f*r >^ g.
cada una de las divisiones menores expresará TVpar*
te suya; si cada una de las, divisiones ¿mayores se
contare por 10, cada una denlas" iBtooiafcJerái;

si

PRACTICA.. 379

si cada división mayor se .tomase por ido, cada una Fig«
de las menores será 10 &c. ; Vy • \>
- '.Esto bien entendido, »paia: toldar una linea* de
81V, 87 Ú870 partes iguabeá, -sean leguas , mi*
Has &c. se plantará la una punta del compás en
la octava de las divisiones mayofes, contándolas de
la izquierda á la derecha ; se abrirá el compás, has-
ta que su otra, punta cayga sobre I la*?1**; de las di vi-
siones menores , contándolas de lá derecjba á la iz- 190.
quierdá 9 la distancia entre las dos; puntas del com-
pás expresará una linea de 8^7, 87, ú 870 millas,
leguas , ó lo que fuere , y las mismas en el dibu-
jo con proporción á la cosa dibujada.
• 881 Pero si se quisiese expresar una cantidad
de pies y pulgadas , las divisiones mayores serán
pies, y las pulgadas se tomarán en la parte supe-
rior de la primer división , la qual , según se cÜxo
antes , está dividida en doce partes.
> En virtud de esto 4 para toiríar una linea, de 7
]Ñes 5 pulg* «evplaátará .»fc¡. una puma del compás
tsr h cfúiata divisipn de l^S;dooe menores, contán-
dolas de la derecha á la izquierda ;« se alargará la
•otra punta bastarde las divisiones tnayores, la dis-
tentía de punta á puntar expresará una linea dfe 7 pies
.£ ptilgádkk ísfráup $cil de aplicar fest? práctica á
cmjtc^io'qualquiebfci -í ? ■ -■ y. \

'88vsIJL Etcalús^rdiagDrialé$. El modo de hacer y
tnar eAas/fe^calasiqúedó declarado yaíen la: Géome*
tria , por lo que escusamos repetijr aquí sü cctastruc-
cion. ^Solo ipropóndréipés'doá «casos particulares de 191.
los^rnucho*' Mi que pueden < aplicad . ■• :»p o...

883 i Bropongantes r dibúxar uria « tierra triangular
ABC , cuyo lado AB'é^de 327 estadales: AC de
208., y el ángído A es de^l*- l92*

Bor medio de la esqjtfa diagonal se tirará \?lAB
de 327 partes ; ponieodo Reentro de la. regla \ gra-
dúa-

38o GEOMETRÍA

Fig. duada en A, se {íará el ángulo BAC de 44Í0; há-v
gase la AC de 208 partes ; últimamente , tírese la
CB ¡, y todas las partas (del triángulo ABC trazado en
el papel seráá proporcionales á las partes de la tierra. ;
Claro está que diñado CB se ha de tomar con la
misma escala que los lados AB , AC y los ángulos
en B y C se trazarán conforme queda dicho (867).
- Si se supiese el: largo de un lado, y el valor de
los dos ángulos adyacentes r seria igualmente fácil la
operación. Se tirará desde luego una linea de tan-
tas partes de largó de las partes de la escala , como
la del terreno coja varas, pies , &c. ; en cada extremo
de esta linea se trazarán ángulos de igual valor res-
pectivo á los del terreno ; tirando lineas desde el
extremo de la señalada con arreglo á estos ángulos,
estas se irán á encontrar en un punto , y forma*
rán un triángulo todo parecido á la tierra triangu-
lar cijyo dibuxo se quiere hacer.

684 IE Si de Jas, ocho cosas que hay en un qua~
drilátero 9 es Á saber y quairo dadas y quatro ángut
¡os 9 se conocen cinco 'aéfáceñt es ^ será fácil . trazar
su dibuxo por medio de Ja escala: >.'

Sea v. g- el quadrftitero AB&D , cuyo ángulo

193.'^ es de yxf-¡±AB,éz or^r trarqs f ehéqgulo Bdt
.1 15? ; BÓj de 1596 varas v y* efcyángalb .C'.dftí 1 S4?.
Para dibujarle, tiraremos la iadsfiniiax AB*> haré*
mos eii A uóiángülb .éé-¡f«f^vVytttnúA áá 2 ^par-
tes de Ja escala ; haremos ^núifcfutt ángulo: de 115%
y la BC de $96 partes; haremos en Cud ápgulo

.Uj/ de 114°, y tiraremos laiCAj oto'lq^e^ habremos

dibuxado un quadritóteio «¿ne^nte ;alí pmjhieflKx .!

885 Con igual £acüidad}.se haría ><;b tíibuxo ^ si

entre las cinco 'Cosas;,conocid*s/ hubiere tees, lados.

M^ Por el mismo métqda'se dibuxárá una figura de
mas lados r y el mismo siguen í¿ dtro semejante los
Agriniqnsorts er^sus/jo^rodonesri ':-■>■■.*

De

PRACTICA. 381

Fig*
De las lineas que suelen señalarse en las escalas planas.

886 En las escalas planas suelen señalarse otras
líneas de suma utilidad para executar muchas ope-
raciones de los diferentes tratados Matemáticos ; las
mismas lineas con otras muchas se señalan también
en la Pantómetra , instrumento que muy pronto da-
remos á conocen Manifestaremos aquí los fundamen-
tos de todas estas lineas , dectándo el declarar los
usos de las principales para quando tratemos de la
Pantómetra^

887 Trácese una circunferencia de radio conve-
niente , y tírense los diámetros AB , DE que se cor-
ten en ángulo recto; prolongúese lo que se quiera

la AB acia F; por D tírese la DG paralela á BF, 194.
y tírense las cuerdas BD9 BE, AD , AE; circuns-
críbase por último al círculo el quadrado HMN, cu-
yos Jados HM, MN son paralelos á AB, ED.

Linea de las cuerdas.

888 Pártase el arco AD en 90 partes iguales , se-
ñalando las diez divisiones con los números 10, 20,
30, 40, 50, 60 , 70, 80, 90; plántese la una pun-
ta del compás en, el centro D , y con la otra tras-
ládense las divisiones del quadrante de círculo á la
cuerda AD , en la qual se señalarán con los núme-
ros correspondientes; hecho esto, quedará trazada
la linea de las. cuerdas. .

En la construcción de esta escala , al señalar las
divisiones nos iiemós ceñido á las principales , omi-
tiendo las subdivisiones con el fin de que no sa-
liera confusa la figura.

Z/-

38» GEOMETRÍA

Fig,

Linea de las Rumbos. \

889 Háganse en el arco BE ocho divisiones igua-
les , señalándolas con los guarismos 1 9 2 , 3,4,5,
194. 6 , 7,8, y subdivídase cada una de ellas en quar-
tos ; desde el centro B trasládense las divisiones del
arco á la cuerda BE \ y señálense con los guaris-
mos correspondientes* Hecho esto , quedará trazan
da la linea, de los Rumbos*

Linea de los Senos.

- 890 Por cada una de las divisiones l|d arco AD
tírense rectas paralelas al radfe AC, y quedará di-
jj94 vidida, la CD en la linea de los senos. Los senos
rectos se contarán desde C á D + y lps senos versos
desde D á C Los senos vejkos se continuarán , si
se quiere, hasta 180% conllevar desde Cá $ laf
divisiones del radio CD.

La Linea de las Tangentes.

. ¿ - • ' "■:

/ 891 Una regla que pafe por C y por las dife4
rentes divisiones, del arco AD 9 dexará señaladas eq
194. la linea DQ las. tangentes de ios. arcos, la qualse-*
*á por lo mismo la linea de? las tangentes , que eri
ella van señaladas con. los números 10, 20 , 30,
40, ,&c.

Linea de las Sitantes.* ¿

-: 892 Si las distancias desde el centro Cá las di*
visiones de la linea, de las. tangentes se trasladan des-
194.de el centro C á la linea CFr qpedaráni soáaladas:
las divisiones de la linea de las secantes , las qua-
les se contarán desde A acia F, 10 , 2ó , 30 &c.
-uV Li-

P3Í

PRÁCTICA 383

Linea de las medias tangentes , 6 de las tangentes
de las mitades de les arcos.

893 Si sobre E y las diferentes divisiones del ar-
co AD se aplica una regla , esta cortará el radio
CA en las divisiones- de las medias tangentes , las
quales se señalarán con los guarismos correspondien-
tes del arco AD. ' ' ' 194.

Las semitangentes de la escala plana se conti-
núan y señalan quanto permite el largo de la regla:
para señalar las divisiones correspondientes á los ar-
cos mayores de 90o,: scf divide el arco AE del mis-
mo modo que el arco AD } sobre estas divisiones
del arco AE y el punto E -se aplica una regla , la
qual señata en la GA , prolongada si e$ menester,
las divisiones de las semitangentes de los áreos que
pasan de 90o. % :

Linea de las Longitudes.

894 Divídase la AH en 60 partes iguales ; por
cada una de sus divisiones tírense paralelas al radio
AC3 las quales cortarán el arco AE en otros tan- 194.
tos puntos : desde el centro E sé/ trasladarán las di-
visiones del arco AE á la cuerda AE , con lo que .
estará trazada la linea de las longitudes.

Los puntos señalados en el quadrante del arco,
conforme hemos enseñado 9 se cuentan desde A á E
respecto de los jsepos que crecen pp£ partes sexáge- ;
simales del radio ; respecto de los cosenos de las
mismas partes se cuentan desde E. ¿ •

Linea de las - Latitudes. .

•• 895. Apliqúese en A una regla que pase ipor las
diferente* divisiones de los senos «señalados eti 1&C¿>,

la

r

384 GEOMETRÍA

J7ig. la regla cortará el arco BD en otros tantos pun-
tos. Desde B corno centro trasládense estás inter-
secciones del arco BD á la recta BD , y señálense
las divisiones desde B á D con 10 , 20 &c. hasta
«90o i será BD la línea de las latitudes*

Linea de las Horas.

896 Pártase por medio en a y b cada uno de los

194. quadrantes de círculo BD, BE; como el arco ab se
compone de dos iritades del quadrante , será tam-
bién ab un quadrante de círculo. Pártasele en 6
partes iguales (que darán 15o para cada hora ); pár-
tase cada una de estas en quatro ( estas darán los
quartos de hora ). Si sobre el punto C y las dife-
rentes divisiones del arco ab se aplica una regla,
esta cortará la linea NM en los puntos de las ho-
ra?; que se señalarán como demuestra la figura.

Linea de la inclinación de los Meridianos.

897. Pártase por medio en c el zxco EA ; pár-

r . . tase en 90 partes iguales el quadrante de círculo

be ; apliqúese en C una regla que pase por las dt-

194* ferentes . divisiones del arco he ; los puntos donde la

regla cortará la linea HM serán las divisiones de

la linea de la inclinación de los meridianos.

De la Pantómetra.

898 La Pantómetra es.ua instrumento com*
puesto de dos reglas planas que dan vuelta al re-

195. dedor de una.vchamelá, desde cuyo centro , don-
de se juntan , hay tiradas diferentes escalas en las
cairas ;^e las reglas ^ que se llaman las dos piernas
de ia Pantómetra y representan ¿radios . de: círcu-
lo,

PrJctica. 385

k> , y el punto donde se juntan se llama el centro. Fig.

Las Pantómetras pueden ser de. largo diferente;

quanto mas largas sean , tanto menos confusas 9 y más

.' perceptibles serán las lineas y números que en sus

piernas se señalan. Quando se habla del largo de

/-este instrumento , se entiende lo que coge estando
cerrado , y arrimadas una á otra sus dos piernas,
de modo que así doblado ó cerrado quepa en el

jicstuche. Por consiguiente, una Pantómetra de 6 pulg.
es aquella cuyas piernas .cogen cada una 6 pulga*
das de largo, desde el centro hasta su extremo;
por manera que abierto dé par en par el instrumen-
to , formando sus dos' piernas una sola regla con-

. tinua, que tiene 12 pulgadas de largo.
. 899 En las piernas de la Pantómetra se seña-

. lan escalas sencillas y dobles.

900 Las escalas sencillas son las mismas que he-
mos dicho se señalan en las escalas planas , y en
las qüales sé toman las dimensiones y distancias con-

.forme qued? declarada
. < 901 Las escalas dobles se llaman así porque es-
tán trazadas en ambas piernas del instrumento, pro*
cediendo desde el centro. En/ estas escalas se toman
las dimensiones y distancias estando abiertas las pier-
nas de la Pantómetra , de modo que forman un á£h
guio, conforme se dirá después.

Tom.L ' Bb c Las

&6

GEOMETRÍA

Rg. . 902 Las lineas 6 escalas que comunmente se se»
Salan en las mejores Pantómetras^ son

<C Pulg.da cada pulg.** div.da £in.8$ y 19 p¿"
Decimales que contienen 100 partes.

1

"i

3
4

i

Simples.<

l

9

10

11

12.

' • 1

13
.14

Lineas
de

Cuerdas.

Senos.

Tangentes. . .

Rumbos;.

Latitudes. .

Horas.

Longitudes..

Inclín. MericL

mos.de (Senos Versos.
J Tangentes. }

los*

►Seña-
ladas

Dobles,

W 1

f Lineas de partes iguales;
! Cuerdas

Senos" -- '. '

Tangentes hasta 45*

Secantes

Tangentes mayoresde45°
l Polígonos; -

CCuer.

Sea

Tang.

Rum.

Lafc

Hor.

Loag.

Inc. Me.

Num.

Sea

SeáVer.
¿Tang.

ÍLin.
TCaer.
ifSen.
6»-<Tant

ladas

i

Sec*
Taa

En la figura se vé como estas escalas están dis-
195?. puestas , pero lo mejor será tener una pantómetra
á la vista.

903 Las escalas de lineas , cuerdas , senos , tan-
gentes , rumbos , latitudes , horas 9 longitudes , in-
clín, de meridianos sirven , sea que el instrumento
esté abierto ó cerrado , porque cada una de estas
escalas está en una sola pierna de la Pantómetra.
Las escalas de las pulgadas, decimales, logaritmos
de los senos f>. de las tangentes , de los senos ver-
:: ... í; t r. .sos,

P 386*

PRACTICA 387

sOf , sirven estando el instrumento de todo punto Fig.
abierto, porque en cada una de sus piernas hay
una pacte no mas de cada una de estas escalas.
-904 Las escalas dobles de lineas % cuerdas, se*
tíos , y de las tangentes altas y baxas , esto es las
de los arcos mayores y mertores de 45 grados , son
todas de un mismo radio ó largo ; todas empiezan
desde el centro del instrumento , y rematan muy 195.
cerca del otro extremo de cada * pierna j es á saber,
la escala de las lineas en la división 10 , la de las
cuerdas en Ja división 60 , la de los senos en la
división 90, y la de las tangentes en la división
45 y las demás tangentes ó las de los arcos que pa-
san de 45% están en otras escalas que empiezan
nha quarta parte de largo de la pierna mas abaso
del centro, donde está señalado el número 45, y
corren hasta cerca de 76o.

, 905 Las secantes también empiezan á la misma
distancia del centro , donde, hay esta señal o , des-
de donde, prosiguen todo lo qué permite el largo de
la pantómetra, esto es hasta cerca de 75°..

906 Toda escala doble , por lo mismo que cada
una de las dos que la componen está señalada en
cada pierna , y ambas empiezan desde el centro,
forma un ángulo , y en la misma disposición están
todas las escalas dobles , sean de lineas , 6 cuerdas,
ó- senos , ó tangentes hasta 45o.
- ' Y los ángulos que forman las escalas de las tan-
gentes altas y de las secantes son también iguales,
cuyos ángulos á veces se hacen iguales con los de
las demás escalas dobles*

" 907 Las escalas de los polígonos están mas pró-
ximas que todas las demás al canto interior de
toda pierna , no empiezan desde el centro , sino
desde el número 4 señalado cerca de 60 de la
linea de las cuerdas. Desde este 4 están señala-

Bb 2 dos

388 GEOmEtRtA

Fig, dos hacia el centro los dtmas números hasta 12.
908 De la. disposición en que dexamos dicho que
están las escalas dobles de. la Pantómetra , se ia*
fiere. con evidencia quejas que forman ángulos igua-
les estando cerrado «1 instrumento. , los forman tam-
biep .iguales quandp >está abierto todo lo que se quie*
re ó puede. ; • . ■ * . v

Ahora declararemos la construcción de las es-*
calas que lleva la Pantóiqetra.

.••■'«". *

De las Escalas sencillas.

Escala de pulgadas.

19$. 909 Esta esc?Ui, que se señala muy arrimada
al canto exterior de la Pantómetra , y algunas vece»
en el canto mismo , tiene tantas pulgadas quantas
coge de largo el instrumento estando todo abierto,
de modo que sus dos piernas forman uña sola re-
gla. Cada pulgada suele dividirse en 8 y también
$n 10 partes iguales.

Escala decimal.

910 -Esta escala se sigue á la de las pulgada*»
y coge lo mismo que la Pantómetra quando está
toda abierta. Consta de 10 partes ó principales di*
visiones iguales , cada una de las quales se divide
en otras diez partes iguales ; por manera que toda
la escala está dividida en 100 partes iguales. Quan-
do la Pantómetra tiene largo suficiente, cada una
de estas 190 partes se subdiyide en dos, quatro 6
seis partes. Sor medio de esta escala decimal se. tra-
zan todas las demás escalas que se sacan de tablair

Es-

PRÁCTICA. 389

Escalas de Cuerdas , Rumbos , Senos , Tangentes^

Horas , Latitudes , Longitudes , ¿ Inclinaciones

de meridiano,

911 La construcción de todas estas escalas que-
da ya declarada antes de ahora , quando se espe-
cificaron las que van señaladas en las escalas pla-
nas. •

Escala de Logaritmos de los Números.

912 En esta escala , comunmente llamada de
números artificiales , y también escala 6 linea de
Gunter , su inventor , se expresan los logaritmos
de los números naturales por su orden. Para seña-
lar muy cabales sus divisiones conviene tener á ma-
no una buena Tabla dé Logaritmos , y una escala
de partes iguales dividida con sumo cuidado , y de
tal largo , que la escala de Logaritmos que se quie-
re hacer coja 20 de sus principales divisiones.

Construcción.

913 i.° Tómese en la escala de partes iguales
la primera de las 10 principales divisiones, y llé-
vese esta distancia dos veces á la escala logarítmi-
ca , señalando dos intervalos iguales , el primero con
1 , el secundo con 1 ( ó mejor con 10 ) , el tercero
con 10 ( ó mejor con 100 ).

2.° Tómense en la escala de partes iguales distan4-
cías iguales á los números que expresan respeai^
/vamente los logaritmos de los números 2,3, 4 , g,
69798*9? desechando sus características ; -señálen-
se estas distancias én cada intervalo* de la escala
logarítmica entre ios números 1 y 10; 10 y 100,
contándolas desde - el principio de dicto intervalo,

Bb 3 quie-

B*

390 GEOMETRÍA

Fig. quiero decir, desde i , desde 10 , cuyas divisiones
se señalarán con los guarismos 2, 3 , 4, 5 , 6, 7, 8,
9 por su orden»

Como las tres primeras figuras de los logarit-
mos de 2, 3, 4,£,6, ?,8, o son respectivamen-
te 301,477, 602, 699, 778,845, 903, 954* es-
tos son los números que se han de tomar en la es-
cala de partes iguales para señalarlos en cada in-
tervalo , empezando desde el principio de este.

3.0 Las distancias que expresan los logaritmos de
los números entre 10 y 20 , 20 y 30 , 30 y 40 , 40
y 5° 7 5° y 60, 60 y 70, 70 y 80 , 80 y 90 , 90
y 100 (desechadas sus características ) se toman tam-
bién en la escala de partes iguales para señalarlas en
195.1a escala logarítmica, en cada uno de los interva-
los primarios , respectivamente entre las señales 1
y 2, 2 y 3, 3y4>4y5>Sy6,6y7, 7y8,
8 y 9 , 9 y 10, contando cada una de ella desde
el principio del intervalo respectivo donde se han
de ponen

4.0 Las ultimas subdivisiones del segundo inter-
valo principal se pueden subdividir en otras , quan-
tas admita la escala , lo que se hace con señalar
los logaritmos de dichas divisiones intermedias, se-
gún se tenga por conveniente»

Escala de los Logaritmos de los Senos*

914 Tómense en la escala de partes iguales las
distancias que expresan el complemento aristnético
de los logaritmos de los senos ( ó de las secantes
de los complementos ) de 8o3, 70 , 60, 50 , 40, 30^
20 ', 10 grados , respectivamente, desechando sus
características. Señálense estas distancias en la esca-
la de los logaritmos de los senos, empezando á con-
tar cada una de ellas desde la señal que se quiera

ex-

PRACTICA. 391

exprese 90% la qual está arrimada ó debaxo de la Fjg-
señal donde remata el segundo intervalo de la li-
nea dé los números.

Como las tres primeras figuras del complemen-
to arismético de los logaritmos de los senos de
80o, 70o, 60o, 50o, 40% 30o, 20o, 10o son respec-
tivamente 007, 026, 063, 115 , 192 , 301 , 466,
760; estos son los números que se han de tomar
en la escala de partes iguales para señalar los, lo-
garitmos de los números , llevando cada abertura
de compás de la derecha á la izquierda , empezan-
do desde el punto que se quiera señale 90o, que
suele estar debaxo del extremo de la linea de los
números.

Lo mismo se practicará respecto de los senos
que no lleguen á 10% y de los grados intermedios
entre 10 y 20 , 20 y 30 &c.

Tómense tantos múltiplos de 5 minutos quan-
tos quepan entre los límites de • dichos grados , y
servirá la escala para los logaritmos de senos de 195.
número determinado de grados y minutos.

Escala de los Logaritmos de las Tangentes.

915 Esta escala , por lo que toca á 45o, se cons-
truye del mismo modo que la de los logaritmos de
los senos , por medio de los complementos logarít-
micos de las tangentes.

Mas allá de 45o sirve la escala acia atrás. Así
40o representa en la escala á ¡un tiempo 40o y 50'»
30o representa á un tiempo 30o y 60o j . lo propio
diga de los demás grados señalados en la escala y
de los de entremedias.

Bb 4 Es -

39* GEOMETRÍA

*H>« Escala logarítmica de los senos versos.

916 Tómense en la escala de partes iguales los
complementos arisméticos de los logaritmos de los
cosenos ( ó de las secantes de los complementos) de
5% 10, 15 , 20, 25 , 30 , 35, 40 &c. grados, des-
echando sus características ; señálese el duplo de es-
tas distancias , respectivamente en la escala logarít-
mica que se quiere formar de los senos versos , y
quedarán señaladas las divisiones correspondientes á
10% 20 , 30 , 40 , 50 , 60 , 70 , 80 &c. grados, y
á tantos como permita el largo de la escala*

Las escalas de los logaritmos de los números,
senos, senos versos y tangentes empiezan todas en
un mismo extremo del instrumento, donde el prin-
cipio de cada una está al lado ó en frente del piin-
195. cipio de las demás ; asi 10 de la escala de los nu-
-meros , 99 en la de los senos, ó senos versos, y
45 en las tangentes , están unos al lado de otros.
Desde allí siguen dichas escalas acia y mas allá del
centro de la Pantómetra , de modo que las escalas
de senos ó senos versos y tangentes siguen mas allá
de 1 de la escala de los números señalados en la otra
pierna del instrumento , junto á cuyo 1 está la di-
misión que representa 35 minutos en los senos y
tangentes , y i68j grados en los senos versos.

De las Escalas dobles.

Escala de las lineas*

< . ~ , . .' ** ■

917. Esta es una escala de partes iguales , con
la diferencia que coge de largo en ambas piernas
el largo de cada una j por manera que en las Pan-
tómetras de 6 pulg. de largo es 5 £ pulgadas.

Esta escala se divide en 10 divisiones principa-
les}

PRACTICA. 393

les; cada una de ellas en 10 subdivisiones , y ca- Fig.
da subdivisión en 4 partes iguales,
- Con esto es fácil comprobar esta escala en la
misma Pantómetra. Á cuyo fin se toma en .día con
el compás común un número, el que se quiera, de
partes iguales ; se aplica ó lleva esta distancia á di-
ferentes partes del instrumento, y si en todas co-
ge el rompas el mismo número de partes iguales ^ es
señal de estar bien. dividida la escala.

Escala de los Senos.

918 Dése de largo i esta escala lo mismo que
á la de las lineas* •

Tómense succesivamente en la escala de las li-
neas las partes que expresan los números de las ta-
blas de los senos naturales ,' correspondientes á los
grados , ó grados y minutos , que se quieran se-
ñalar en la escala;

Señálense succesivamente estas distancias en la
escala , empegando desde el centro , y estará traza-
da la escala de los senos naturales.

Para señalar v. g. el seno natural de 35o 15', que 195.
en las tablas es de 57714 partes,

Se tomará este número tan cabal como se pue-
da en la escala de las lineas , contando desde ei cen-
tro; y e$ta distancia cogerá desde el principio de
los senos en el centro del instrumentó , hasta la di-
visión que expresa 35o 15'} y así de lo demás.

En las escalas, de este largo se estilan trazar di-
< visiones de 15'. cada una , desde o grados hasta 60
girados j entre 60 y 80 grados se señalan los medios
grados ; el grado que se sigue á 85 es de 90o*

Escala de las Tangentes baxas.

919 Esta escala es también del mismo largo que

la

V

394 GEOMETRÍA

Fig. la escala de las lineas* y en ella se toman sus di-
ferentes divisiones respecto de las tangentes de los
primeros 4$% sacadas , conforme se dixo de los se-
nos, de unas tablas de tangentes naturales.

Escala de ¡as Tangentes altas.

920 Respecto de los grados que pasan de 45o su
escala se traza tomando £ de las 'tangentes de la ta-
bla natural que pasan de 45% que se quieren seña-
lar en la escala. Esta escala de las tangentes que
pasan de 45% ó empiezan por las tangentes de 45o,
empieza en la Pantómetra una quarta parte de la
escala de las tangentes baxas mas abajo del centra

Escala de tas Secantes.

ígg. 921 La distancia desde el principio de esta es*
cala al centro del instrumento > y el moda de tra-
nzarla, son cabalmente los mismos que los de la
escala de las tangentes altas.

Escala de las Cuerdas.

922 Dése de larga á esta escala lo mismo que
á la de los senos, y señálense en ?eHa divisiones que
expresen 15' desde o grádbs hasta 6a

Para cada división que se ha de trazar, tómese
el largo del seno de la mitad de los grados y mi-
nutos en la escala de los senos; el - duplo de estt
largo, contando desde el centro , dará las divisio-
nes pedidas. • •

A este modo , el duplo del seno de 18o 15' será
la cuerda de 36o 30' , lo <jue debe entenderse de
todos los demás.

Es-

PRACTICA. . 39S

Fig.

Escala de los Polígonos.

923 En esta escala se, señalan comunmente los
lados de los polígonos desde 6 hasta 1 2 lados inclu-
sive ; sus divisiones cogen de largo tanto como las
cuerdas de los ángulos del centro de cada polígono,
y se trazan, desde el centro del instrumento.

Pero lo mejor es señalar también polígonos de
4 y 5 lados , y entonces esta escala se traza como
la de las cuerdas , cuyo largo de 90o es igual al de
60* de la escala doble de las cuerdas en la Pantó-
metra.

• Usos de las Escalas dobles.

924 Los mas de los usos de las escalas dobles
de la Pantómetra se fundan en la siguiente propo-
sición.

Si en dos lineas AB , AC, que forman un án- iq6.
guio quaiquiera BAC+ se toman las. dos lineas AB,
AC iguales , y las lineas Ad , Ae también iguales,
y se tiran las lineas BC j de ± habrá entre estas dos
lineas transversales la misma razón que entre las
laterales AB9 Ad. ¡/

'Porque ios triángulos Ade> ABC son ambos isós*-
celes por construcción. Si de cada uno se resta el án-
gulo común A y la suma de los ángulos Ade , Aed del
primero será igual á la suma de los ángulos 'ABC,
ACB del segundo ; pero cada una de las dos su-
mas consta de dos partes iguales (552)* Luego cada
parte de la primer suma es igual á cada parte de
la segunda; luego el ángulo Ade será igual al án-
gulo ABC , y el ángulo Aed igual al ángulo ACB.
Luego las lineas de y BC (480) son paralelas , y
por consiguiente (612) será AB : BC :: Ad : de, ó
BC 1 de v. AB 1 Ad.

In-

396 GEOMETRÍA

Fífr 925 Infiérese de aquí que si se toman las li-
neas AB , Ai en la razón que se quiera , la mis-
ma razón habrá entre las lineas BC , de ; por ma-
nera que si Ád fuese v. g. los -J- de AB , será tam-

196. bien de los \ de 5C. Si fuese AB el radio de un
círculo cuya cuerda de 4o9 sea Ad , será también
PC el radio del círculo cuya cuerda de 40o será
de; si fuese AB el diámetro de un círculo duplo
del círculo cuyo diámetro es Ai , será también BC
ei diámetro de un círculo duplo de otro círculo cu-
yo diámetro fuese de.

Como se puede abrir la Pantómetra mas ó me-
nos 9 según convenga , se le puede dar por medio de
un compás común aplicando la una de sus puntas
en B y la otra en C, á la distancia 2?C una longi-
tud señalada ; y estando así abierta la Pantómetra,
se hallará la .distancia de que tendrá con BC la ra-
zón que se buscare.

197. 926 Conr el compás común se toman de dos mo-
dos diferentes las distancias necesarias para la re-
solución de las cuestiones. Porque hay distancias la-
terales y distancias transversales. Tomar con la Pan-
tómetra una distancia lateral es plantar en su cen-
tro la una punta del compás , y abrirle hasta que
la otra punta líegue en la escala correspondiente de
la Pantómetra al número propuesto ; aquí figurare-
mos que se toma la distancia lateral de 70 partes*
Tomar en la Pantómetra una distancia transversal
es abrir sus dos piernas de modo que plantando la
una punta de compás en un número de la una
de las dos piernas de la Pantómetra , la otra pun-
ta cayga en el mismo número de la otra pierna;
aquí figuramos que se toma en la Pantómetra la
distancia transversal de 90 á 90.

Cada, una de : estas, escalas dobles se compone
de tres lineas paralelas , en las qualés van señaladas

sus

\ PRACTICA" 397

sus -divisiones con linea» tiradas al través. Como de Fig.
las tres lineas, paralelas solp la que está mas pró-
xima al cahta interior de. la pierna es la que se di-
rige al centro, del instrumento , en ella han de es*
tar das puntas del compás común siempre que con
él se haya de tomar alguna distancia transversal.

Usos de ¡a escala de las lineas.

?2? Cuestión L Dadas dos lineas ABzza , y BC
, bailar entre ellas una* tercera proporcional. 198.

- Tómese con un compás la distancia lateral de
la segunda linea , ó del segundo término 6 ; a.° pón-
gafeols '. una; de sus puntas en Ja división que expre-
sa el primer término 2., en la* <ina pierna . de la
Pantómetra > y ábrase esta hasta qué la otra punta
cayga encima de la correspondiente división de la
otra pierna; 3.0 manténgase el instrumento en está /
posición ; tómese , la : distancia lateral djel segundo
término 6 , y la trótnsversal correspondiente será el
tercer término que.se pide; 4.0 si se mide lateral-
mente esta distancia 9 el numero 18 donde remata-
re expresará, el valor del tercer término , porque 22

6 :: 6 : 18.

Si la proporción fuese decreciente , tómese late-
ralmente la. distancia 2, y apliqúese transversalmen?
te sobré" 6: y 6, estando* abierta como conviene la
Pantómetra , entonces la distancia transversal de 2
á 2 llevada con el compás lateralmente desde el cen-
tro, del instrumento á la escala de las lineas , da-
rá |zz£ ; valor del tercer termina

- 928 Si acaso el segundo término fuese tan gran-
de que su distancia lateral no pueda caber entre
Jas dos piernas del instrumento abiertas quanto que-
pa entre las divisiones que expresan el primer tér-
mino, se tomará t> £> ?*. ú otra parte alicota

del

398 GWOMEstKÍji

Fig. del segundo término , qué quepa entre las dos pier*
ñas abiertas , y tómese esta parte por distancia tians~
versal del primer término; el producto : de esta* di*-
. tancia transversal del segundo término v multiplica*
da por el denominador, de la parte, alkota que se
tomó del segundo término , seri el tercer término.
929 Cuestión II. Dadas tres lineas ABC13 , BC

199. rr7 , CD=ro , bollar una quartk proporcional.

Abrase la Pantómetra hista que la distancia trans-
versal del primer término 3 sea igual á la distan-
cia lateral del segundo término 7, ó á alguna parte
suya ; estando, así el instrumento , la distancia trans-
versal del tercer término 10 dará el quarto tégjpno
*3y 9 ó un submúltiplo de aquel que se tondóapoc
segundo término ; porque 3 : 7 n 10 r 23}.

Ó hágase la distancia lateral 7 distancia trans-
versal de 10 á 10; la distancia transversal entre
3 y 3, tomada lateralmente será el quarto térmi»
no 2TV > porque 10 z f :: 3 : j4tV
. 930 / De otro .modo, quanda^im proporción es cre~
atente. Abrase la Pantómetra hasta que el largo del
segundo término llevado con el compás sea la día*
tancia transversal entre 10 y~ 10 en la escala de las
lineas ; estando en esta posición la Pantómetra , se-
ñálense en la- escala de las linea* los puntoá donde
el largo del primer término r llevado con el joompas*
cae transversalmenter Hecho esto , abrásenla Panto*
míetra hasta que el largo del tercer término cayga
transversalmente sobre los puntos señalados-; la dis~
tancia transversal entre 10 y 10 será eotóbees el
quarto término, j c

- Si la proporción fuese decreciente. Abrase la Pan-
tómetra hasta que el primero ó mayor de ios tér-
minos dados coja la distancia transversal entre 10
y 10 en la escala de las lineas ; señálense los pun-
tos cuyo intervalo coja el tercero ó menor de los

tér-

Práctica 399

términos dados*. Hecho esto, ábrase la Pantómetra Fig.
•hasta que. el segundo término coja la distancia
transversal entre 10 y 10 ; la distancia entre los
puntos señalados será entonces el valor del quarto
término-.

Así , en el primer caso. Tómese el segundo tér-
mino 7 en la escala.de partes iguales, y apliqúese
•atravesada entre ioy 10; .tómese después en la mias-
ma escala el primer término 3, y llévese atravesar
dor cérea* de 4 , 3. Abrase entonces la Pantómetra,
hasta que el tercer término 10 , tomándole én ía
misma escala , aplicado transversamente cerca de x
4^3 y 4* 3> eI quarto término será la distancia
transversal entre 10 y 10 , la qual llevada á la mis-
ma, escala dará 23^

En el segundo caso. Tómese en la escala el pri-
mer termino 10 , y hágasele distancia transversal en-
tre 10 y 10 sobre la escala de las lineas; tómese,
en la misma el menor tétmino 3 , que será la dis-
tancia transversal entre 3 y 3. Tómese después en
la misrpa escala el segundo término 7 9 y hágasele
en ella distancia transversal entre 10 y 10; la dis-
tancia transversal entre 3 y 3 en la misma escala
tomada lateralmente en ella cogerá 2T* partes , va*
lor del quarto término.

De la última operación se infiere el modo de
practicar la siguiente.

931 Cuestión III. Disminuir una linea de 4 pulg.
v. g% en la razón de 8 á 7.

Ábrase la Pantómetra hasta que la distancia trans-
versal entre 8 y 8 sea igual á la distancia lateral
de 7 ; 2.b tómense con un compás las 4 pulg. y ha-
ciéndolas distancia lateral, señálese el punto hasta
donde lleguen desde el centro ; 3.0 la distancia trans-
versal entre dicho punto y su correspondiente, será
la linea que se busca.
-. ) , Si

400 GEOMETRÍA

Fig. Si la linea dada fílese larga v.. gJ.de 12 pulg.
seria demasiado larga para la Pantómetra ; eotóoU
ees se hará distancia, lateral su mitad *>su(: tercio j.sti
quarta parte, &c>j y el duplo,: el triplo &c. ,de jIj
distancia transversal correspondiente será la quarta
proporcional que se pide. .

932 Cuestión IV. Abrir la Pantómetra de mo-
do qpe las dos escalas de ¡as lineas formen un sen*
guio recto.

Tómese con un compás la distancia lateral >des-
de el centro á la división 5 j plántese la una de sus
puntas en la división 4 de la una de las escalas de,
lineas , y ábrase el compás hasta que su otra pun-
ta cayga sobre 1a división 3 de la otra escala de
lineas j formarán entonces las dos escalas un ángu*
lo recto.

Porque un triángulo cuyos tres lados son lineas
que se han uñas con otras como 3, 4 , $, no puede
menos de ser rectángulo. Voy á probarlo. Una vez
que en un triángulo rectángulo el ángulo recto es
el mayor de los tres ángulos (556) ., la hypotenu-
- sa será también el mayor de los tres lados (554);
luego en nuestro triángulo, $ será la hypotenusa,
y por consiguiente (SY=(4)2M2>)* , esto es 25=16*9*
propiedad del triángulo rectángulo. '

933 Cuestión. Dadas dos. lineas de 40 y 90 v. g.
bailar otra media proporcional.

Ábranse las dos escalas de lineas de modo que
formen un ángulo recto ; .2.° tómese 65 mitad de la
suma 130 de las dos lineas; tómese ¿ambien 25 , mi-
tad de go que es su diferencia ; 3.° tómese con el
compás la distancia lateral 65 , mitad de la suma,
y apliqúese la una de sus puntas sobre 25 mitad de
la diferencia , la otra punta puesta transversaimente
llegará á 60 ; este será el valor, de la linea que se
busca pues 40 : 60 :: 60 : go*

Cues-

• PRACTICA. 4<#

934 Cuestión. Partir una linea dada en un ná^ Fíg.
wero determinado, de partes iguales , en 9 v. g. . ' .

Hágase distancia transversal de 9 á 9 la linea da*
dá ó algufta dé sus pmes conocida; la distancia
transversal entre 1 y l y será. £\suyo ,;.ó el mismo
submúltiplo 3e su ? que lo fuere de toda la linea
la parte tortada.

935 Á esta cubstíoa se refiere W thhodo de ba+ "
¿tf »*a escala larga lo que se quiera , laqual tenga,

6 exprese un número determinado de partes iguale ry
cuya operación ocurre coa frecuencia á los que coo-
ptan planos de terrenos, dibuxos de edificios civile»
ó ^militares *, los quales han de tener una proporción
señalada con la cosa que representan!

. h Supongamos y v/ g. que cogiendo 6 pulgadas de
largo la escala de un plan que contiene 140 varas,
se quiera- que sirva de tal aséala la linea de las par-
tes iguales, ¿como se ¿a de abrir la Pantómetra pa- '
xa «stefipr? .j

\ Hágase de 33 pulgadas , mitad de 6 ? la.dlstancfct
trasversal entre 7 y. 7, ó 7a y 70 , mitad de 140;
estando así abierta la Pantórtietta , la linea de las tn
Heas servirl de escala para, el fin propuesta

936 ÍL Para hacer una escala que teniendo dos
pulgada* ; tao mavde /largo: repíteseme 140 vara*, se
hati de uba pulgada la distancia transversal entra
?y 7> y estará abierta como corresponde la Pan-
tómetra, ...

937 Por el mismo método se podrá hacer una

f^eaJki larga unf numero señalada de pulgada* , que

ccya, Un ¿numero determinado de veces otra7 medida

conocida mayor. ,-> uU > :.■;»• ^ .j . '- } "*

%a 938 Dividir una linea dada ^ Ot £ patjgaddsv. g:

an una proporción determinada- como de q Á t¡. \
- . Táñese- oan<un compás el larga de la linean, mó
es 5 pulgada»;, y- Jbágase te ilistaaci^tt4ittvJcírsafc eri^
-•vi Jom.L Ce . tre

*'

409 GEOMETRÍA

Fig. ite o y 9 y suma de las dos partes en que se- la
ha efe dividir; la distancia traiisvetsal entre los nú»
ñeros 4 y 5 expresará las partes propuestas.

Algunos usos dé ¡a escala de las Polígonos.

939 Cuestión. Inscribir un octágona regular en m
30a eirouh dad» ayo diámetro es AB.

Abra» la Pantómetra tusa que b distancia traes*
versal entre 6 y 6 sea igual *^i?t la distancia trans-
versal enere & y 8 ser £ entonces el lado del pentá-
gono propuesto.

DekjoMsno modo se inscribirá otro polígono qual*
quiera r como no pase de: 12 lados.'
• 940 Cuestión. . Sobre una linea AB trazar** pen-
tágono regular. - j . '

201. Hágase AB distancia transversal entre £ y 5 ; 2.°
ábrase Ja Pantómetra , X-JtácíeS* la distancia trans-
versal entre 6 y 6; co^este racSo y desde los eeh-
tros A" y JE^ trábense" arcos quá se cortarlo en C\
3,0 deáde el centra C{ y coa el mismo radie- trácft*
se una circunferenctajque pasará por los puntos A
y B i en este círculo se podrá trazar el pentágono
cuyo lado es AB. \ i <lr

Del mismo modo se trazará ¿obre ana linea dada
otro polígono quakpiera* como no jpase de id ládofiL
Las dos últimas operaciones ; y coras parecida*
también se pueden hacer con la línea de las cuer-
das , conforme Tamos á declarar.

941 Supongamos que en el sírcalo ctffo diámetro
es. AB se haya de trazar um psügono de 24 lados.

202. Hágase el diámetro AB distancia transversal en*
tre 60 y 6a en Ik esdala da tas cuerdas ; 2.0 pártase
360 por 24;, el cociente será 15 ; 3.0 témese la dis-
tancia transversal entre 15 y 15^ y esta será la cuer-
da <te 1* £4/** pome de la ckcunfereneia.

) .1 Cch

PRACTICA. 403

Como es muy dificultoso tomar puntuales las di- Fig.
visiones en las escalas 9 en las operaciones como es-
ta , donde una misma distancia se toma muchas ve-
ces 9 lo "mejor será practicar lo siguiente.

Con la* cuerda de 60o pártase b circunferencia en
seis partes iguales. En cada división de 6o5 señale*
$e i.°la cuerda, de i$° ¿ 2.Q la cuerda de 30; 3.0 la»
cuerda de 45^ smpetmdo siempre desde un mismo!
ponto. Siguiendo este método en todos los casos pa-
recidos á este, el error que puede cometerse al to-
mar las distancias, no se repetirá en las divisiones
que se sigan á la primera.

- «». *■■-/.*■."■ v . >

Algunos, usos Mía estala de las cnerda* v
- . .\ v> ....•■..■«■• ■

949 J¿$ta escala doble de las cuerdas es mucho
lpas acomodada qoe.no la sencilla, de que se habló
aatfes, (888} ; porqu* en la Pantómetra el radió con;
elqual se ¿a de trazar el arcblserá la distaritia trans-
versal enttó 60 yj6c> quando $1 instrumento estáxrerv
rado , cuya distancia tríansversal quando el instruí1
mentó está abierto, es tan larga como este permi-
te i siendo así que c$>nt la escala. sencilla de ias*caqK
das , el arco ha de ser siempre de un mismo radios
-t 1 9*3 Gmstiath Tratar un ^Ángulo rectilíneo de un
número determinado, de grados. vt

. L Quando el ángulo no llega á 6d% <y es v* g~
de 4&.

Abrase lo que se quiera laíi?amiSnoetptt *- yjtófc
mese en la escala de las cuerdas la distancia trans-
versal de v.6tty'6o* ttoua cuya, distancia como radio
se trazará un arto BC ; 2.0 tómese la distancia trans-
versal de lor grados dados- 46* y trasládasela át ar- 203.
co desde el ¡punto JS al ¿pinto C, señakfodnsus ck»
tremos B , C; .V^desde el eatíoA del amo^tirenv
ae*?dos linean; ^4^, ..^fi5 que palea rtipecttnáKnte

Ce 2 por

4*4 GEOMETRÍA

Fig. por los extremos 2?, C; estas dos lineas formarán
el ángulo propuesta

94^ II. Quando el ángulo pasa de (xf y esv<g.
de 148o,

SP3. 1 .Q Trácese como antes un arco BCD ; 2.° tó-
mese la distancia transversal de la mitad ó del ter-
cio de los grados dados 148, del tercio v. g. esto es
k distancia, transversal de 49o! ; trasládesela al ar-
co tres veces , esto es desde B £ a, desde a á ^
y desde * á Z? ; 3.0 tírense desde el centro A dos
lineas AB , AD , esos . formarán el ángulo BAD
de 148°.

945 «SV el ángulo propuesto no llegare á $°<> y fue-
se v. g~d*$t grados , te bárá la operaron com sigue.

903. Desde un punto D v. g. se llevará á G la cuer-
da de ^oP9 y desde D á £ la cuerda de 56* grattoszz
6oj — 3°f; 3.0 las lineas tiradas desde el centro A
por G y 2? formarán eU ángulo ¿JGJ? de 3I grados^

Quando el radio del ardo & del círculo ha do
ser de largo señalado^ sé ha 4&>topaa* del mismo
higo Ja distancia transversal entre 60 y 60. *

Escás escalas de las cuerdas señaladas ken la Pan-
tómetra^ sirven también solasr. cada una como es-
cala sencilla, :... • * .•■ •■ ' *' :•?" '-L- l '' #-

. De Jo que héteos -dicho qaé se ha de practicar
para trazar con esta escala uo ángulo de un núme*
* £Q determinado de grados r se infiere fácilmente co-
mo se ha de usar para saber quantos son los. grado»
déiun ángukr tttu5*do¡ ya • •>* . .>! •

Usos de ht escala de los logaritmos de M Humeros.

946 Antes de ensefer como «e hacen con esta
escala Jas operaciones y» preciso ^ dar á conocer tai
valores* dtr sui diferentes división^ *- * !

i^fanue toda la Pantómetra de.ruodoque suidos
h pier-

PRÁCTICA*^ &&

% piernas no formen mas que una regla derecfik y con- Elg^
tínua. Si el i. oue está al principio de la; escala , &
ál lado izquierdo del primer intervalo + $é toma por*
la unidad, el i del medio del instrumento , ó del
fin del primer intervalo donde empieza el 'segundo-
valdrá 10 , y 10 al úhimo del instrumento ó al fin*
del segundo intervalo, valdrá ó sera ioo. Por im-;
ñera que las divisiones del principio , medio y fitf
de la. escala * íepresenüttr los números que "*st¿i en
la razón de i, 10 , ioo. Y así y ^*

Si el primero fuese , el segundo será , el tercero será
10. ..... . ioo; *. .... 100&

íoo. 1000 . ..... 1000(31

TV» ...... 'I . .f. . i . I<9

' 'tV* < i • • * - r

Las divisiones primarias é intermedias en cada?
intervalo se han de valuar conformé á loar valores*
puestos en sus extremos , esto es , al principio , et?
medio y al fin de la escala, : ' i

En las operaciones de multiplicar ó partir lo*
Harneros, estos se consideran como términos pro-'
porcionales ; porque en la multiplicación , la unidad
es al uno de los factores , como el otro factor e*
al producto. En la división , el divisor es á la urti-*
dad > comer eL* dividendo al cociente ;' ó el divisor
es al dividendo , como la unidad al cociente.

947 Todo 'esto supuesto. Ya que lo* logaritmos
expresan la distancia á que los números correspon-
dientes testan de la unidad* y el producto de 'dos
mímeíos yno por otro es el número- que ebrrespon-»
de á la suma de los logcj. de ambos factores; tan>-
fereá et\ ffroducto dte éstos: strá el4 número que cor-
responda á la suma de las distancias á que los dos
están de la unidad. De aquí se saca para multipli-
car los números por medio de 1» escala logarítmica
la siguieotc; .. *-J. c; ^ rtt j.j...u u*.>¿.u¿i . 1
n!I Ce 3 Re-

406 GEOMETRÍA

Fig.T 948 Regla.' Póngase la una punta del compás en
oL punto ó . división que; representa el primer tér-
mino , y ábrase hasta que la otra 1 punta llegue ál
punto que representa el segundo termina Mantén-
gase et compás así abierto j póngase la una punta
en el punto que expresa el tercer término , y la otra
punta señalará el quarto término , ó el numero que
aeibusca.

949 Cuestión I. Halla* por la escala .♦ logarítmica
el producto de 3 po* 4.*.

Tómese > Con úti cotapas en el primer intervalo
la distancia entre 1 y 3 ; estando así abierto el com-
pás , póngase la una ¿e sus puntas en el 4 del pri-
mer intervalo 9 la otra llegará á. 12 ,en el segunda
: En este execnplo los números, i, 3 y 4 del pri-
íner-íntervalose toman por unidades, y la. unidad del
medio es 10 j la distancia entre 1 ó 10 , y 2 ó 20,
en el segundo intervalo está dividida en 10 partes
principales, señaladas coa rasgos*; mas .largos que
los deipKi$;; cada una > de tuyas partes se .torna en
este e^enopk) por unidad. Por consiguiente , ya que
la punta del compás cae sobre la segunda de estas
segundas divisiones , esto es sobre 2 , mas. allá de
10 , señala 12, producto de 3x4/

Aquí se ve á las darás que / este producto 12
corresponde á la suma: de las distocias á que les
factores 3 y 4 están de la unidad, pues con -llevar
desde 4 para adelante la distancia á que 3 está
de 1 , el puntó de la escala donde cae el compás
coge la. suma de las distancias á qué 3: y 4 están
de la, unidad , '-'-,.

950 Hallar por la mala logarítmica eh producto
de 40 por 3.

Tómese en el primer intervalo la distancia entre
1 y 3; llévesela desde 4 ó 40 del mismo interva-
lo, y# llegará hasta 12 > á 120 del segunda

En

pn este «etnplo iy 3 del primer intervalo re- Fíg.
presentan uqidades^ ,p§ro como á larprim^rapr cUvif
siones de cada intervalo también se les' puede dar el
valor de 1 o,, opmo el de 1 \ y!el4<fel prinljÉ* iritetf»-
valo se tapia por 40 , el 1 del principio del segunda
.intervalo será 100 9 y 2 del segundo intervalo será
400; por consiguiente , cada una de las principales
división^ ebteetxly 2 valdrá 10, y la ^gurKia^kpre^
«ara .aa, 4a jQpspl -con. 100 , valor del 1 , valdrá 120.
. 95 1 III. HaliúP por la avala el producto, de 35
multiplicado por ^2^

, Tómese coa un compás la distancia desde i del
-primer intervalo iiast* 24 del segundo; llévesela des-
de 35 del primero ai> segundo , donde llegará á 840.
Aquí > en la prjpier aplicación «del cornos , lárt
primarias divisiones del primer intervalo se cuentah
por unidades 9 y las: del segundo por decenas. Pe-
ro en la segunda aplicación , las principales divisfó*-
-oe& defc primer. intertvaílo se cuentan por decena, y
las del, segundo por centenares. H che * ^

-952 Goínb M pasar el compf»< desde **n itttferí-
valo á otro podrá á veces traer algún incotiveijiefr-
*e:, se procurará «solver la cuestión en üa mismo
intervalo conforme yernos vá» entóñaíf. ^ '<:*

! Tóm&ae en na inceivttiqltt^ distancia desden 1 á
a A ó 24 resta distancia'Waskrdada en el mismo in-
tervalo desde 3,TS0 ó 35 , jlegará' á ¡8^ 684:0.

Haciendo la operación conforme acabo de ense-
^ñar, el segando tétfmioo se toma diefc' veces ma-
>yer que d primero )( luego $*arxjüe ;cae *n el flüf-
4iK> intervalo 4 ,es^preciso ;que él qtoartb término Asto
diez veces mayor que el tercera

$53 IV. tíullar par la escala hg&Hmica el pro*
ducto de 375 por 60J-. N * onLrr;'., <ol :.m

. J Ce 4 de

408 G&VMETRÍA

Fig. de i á 6 <S6p; estando así abierto el compás, plán-
tese la una de sus puntas en 30 1?. ó 3TVÓ ó 375 en

-el misino intervalo, la otra punta llegará i 2TfoV del
¿segundo , cuya división se ha de contar por 2250a
Porque si la división que señala el producto cayera
en el primer intervalo , cada una de aus unidades
^4riá. diez veces .mas que las nnidades.de 375, pues
.«4a uha de las unidades del 6 (aliq^aLáe dfcei va-
^f di 6q ) vale, diea creces . mas que i del principio,
y por lo mismo valdrían millares.. Pero como la di-
{visión que sefiala el píoducto cae ep el segundo in-
i£ rlv alo ,, cuyas divisiones señalan unidades diez ver
¿eAipayords, qae las del primero, fas unidades de la
dtv^ioa <jue sánala el product^han de ser diez ve*
4£S mayore$ que no en el primer caso, y por lo
jpismo han de ser decenas de millares j luego el pro-
4ttctQ.2.TVv será 2250a

\ £1 qufc considere con cuidado eL camino por don*
de hemos sacado los rprodudoa que ooe hemos . pro*
.puesto 1 ¿albir, conocerá» fácümoBte por la misma eaca-
Ja quaotos tenga que buscar»
< -g$4 ' Cuestión. Hallar por Ja escala hgarkmku
el cociente de $> apartido ptr^*
¿ 1 Tómase; con el cotnpt*;ta el iprimer intervalo la
^Itetanckide 4 a il>I^>teiese la una punta /del cort-
pas así abierto en la división 36 del segundo. inter-
valo •, la otra punta caerá sobre g' del primero,'/
-estfe seta .el cociente. -1, .1

- : Brevenirab que; qisanio . ék segundo íéwiino. es
cayote que '^primero/, ¿^ ¡distando* sp teman de la
izquierda. a .lA^deracha, *y,.al reyes., flotando* el se-
gundo término es menor qiie el primero; quiero de-
^ir* (Jae^ Iks disteúcia^s , siempre «e toróao ádia el lado
qué los términos van creciendo, ., 1 -*;, ■.'«. .-. *n
-» ,'9Bfr :¡k\[HélaÉ^h'úmeníÑÁ^ impartid* par 9,

PRACYIVA. 409

-La distancia desde 9 á 1 , trasladada desde 144 He- Fig.
gara á 16 , este será el cosiente.

.956 III. Hallar el cociente de 1728 partido púr
12* La distancia, de 12 á 1 se llevará desde 1728 , y
llegará á 144 ; este será el cociente.

957 Cuestión. Hallar un quarto proporcional á •
los tres números 3, 8, 15.

Tómese la distancia de 3 4 8 , plántese la upa
punta del compás en 15, la otra llegará á 40, y
este será el quarto proporcional,

958 II. Hallar un quarto proporcional d los tres
números 5, 12, 38.

Tómese la distancia de 5 á 1* ; Itérese desde 38,
-y llegará á gx$.

- 959 III. HaUat un quarto, proporcional á los tros.
números 18 , 4, 364.

Tómese la distancia entre 18 y 4 , y llévese des-
ale 364 + llegará á 8o|.

:< : 960 . Cuestión. Hallar erare 1 y 2 una serie de
medios, continuos < proporcionales.

Llévese la distancia entre iy2, desde 2 á 4 , y
. desde 4a 8 en el primer intervalo; desde 8 á 16 en el
, segundo i, desde 10 á 33, desde 32 á 64 &c. La misma
-distancia llegará tambieft desde i| á 3-, desdé 3 á 6,
, de$de 6 é 12, desde 12 á 24 &c. También llegará desde
2f á ^ desde 5 á 10, desde 10 á 20, desde 20 á 40 &c.
La operación se hará del mismo modo, aunque la ra-
zón entre los términos sea otra que la de 1 á 2.

Este exemplo sirve para hallar las divisiones de
-la escala de ios njímeros coa la puntualidad que coa-
iviene señaladas.

961 La escala logaritmica^sirve para otras muchas
-operaciones , sobre cuyas aplicaciones se han escrito
-varios tratados en inglés. Como nuestro ánimo no es
¿deglarar, aquí todas las operaciones que con cada es-
cala de la Pantómetra se pueden practica*, bastará
-V-. lo

4io GEOMETRÍA

Fíg. lo dicho ¿ceftra de laúcala logarítmica. Lo declara-
do está manifestando que én los caaos donde la res-
puesta á ^tlguna pregunta ba de constar de mas de
tres guarismos, lo mejor, es buscarla por cálculo;
porque con los instrumentos , por extensos que sean,
• los últimos guarismos mas se adivinan que se hallan.
Pero es empeño mió que nuestros hombres sepaa
quaato hay , en lo que cabe, aunque no sea io mejor.

Algunos usos de las escalas de los logaritmos , de los
senos , -jf de las tangentes.

962 Estay escalas sirven principalmente para re-
solver las cuestiones de Trigorometría. Por ahora

. enseñaremos como loa términ^Hproporciooales se
aplican á las escalas. *'^v

En las proporciones de la Trigonometría plana
siempre se busca un quarto proporcional á tres (en-
friaos dados; de quatra cosas dos ángulos ,< y dos
lados v. g. se busca una , siendo dadas las otras, tres*.
Los lados en esta Trigonometría siempre se aplican
á la escala de los logaritmos de los números.* y los
ángulos .á los logaritmos de los senos ó tangentes,
conforme se ( consideran en la cuestión senos ó tan-
gentes. Por consiguiente si de las. tres, cosas dadas
dos son lados , la otra será un ángulo ; y si fueren
conocidos dos ángulos , también lo será el un lado.

963 Regla. Tómese en la escala de los logarit-
mos de los números el intervalo entelas divisiones
que, expresan los lados; llevada este intervalo dea*
de la división que expresa el angular dado , llegará
á la división que señalará el áijgúlo que se pide.

Ó 9 tómese en la linea de» los senos ó tangen-
tes la distancia entre los ángulos ; llévese á la esca-
4a de los números desde» el lado. dado^ y ilégatá

al ángulo, que. .3$ busca. ... •;:-.;./: **> ■

Al*

-PRACTICA. 411

Fig.
Algunes usos de ¡as escotas dobles de los senos,
x tangentes y secantes.

964 Cuestión I. Dado el radio de un circulo, que
supondremos de 2 pulgadas, tallar para el mismo ra-
dio el seno y la tangente de 28o 30',

Ábrase la Pantómetra de modo sque la distancia
transversal entre 90 y 9a1 en los senos , ó la de 45
y 45 en las tangentes sea igual* al radio dado, quie-
ro decir de dos pulgadas; entonces la distancia trans-
versal entre 28o 30' en los senos será el valor del
seno pedido para el radio dado ; y si la misma dis-
tancia transversal se tomare en Jais tangentes , expresa-
rá la tangente del* n&kmo ángulo para el mismo radio.

965 Si se pidiese la secante de 28o 30'; hágase el
radio dado' de 2 pulgadas distancia transversal entre
oyó, principio de las lineas de las secantes ; y la
distancia transversal entre 28o 30' expresará la secante.

Qjuando se busquen tangentes de arcos que pasan
de 45o gr&dos , cbmo si se piálese la del arco de 6o°
la operación se hará como sigue.

Hágase el radio dado supuesto de 2 pulgadas,
distancia transversal entre 45 y 45 , principio de las
tangentes altas ; los grados que se piden se tomarán
entre 6o? 00' de la misma escala.

966 . Las escalas de las tangentes y secantes altas
no llegan mas que hasta las de 76 grados; y co-
mo en algunos casos hay que buscar tangentes y se-
cantes de arcos mayores , estas se hallarán luego con
auxilio de la tabla siguiente. Para aplicarla, se me-
dirá en la escala de partes iguales el radio del círcu-
lo que rija ; se- multiplicará el número de la tabla
por las partes del tal radio , el producto será el lar-
go de la tangente ó secante pedida , el qual se to-
mará en ia misma escala de partes iguales.

Gra*

4i a

G&OMEtRÍ'A

Fi*

Grados.

7<ttt£. «<tf«r.

Sec. natur.

?6

4» 011

4» 133

3

4» 33i

4,445

4, 701

4, 810 .

g

5, 144

5, 241

b f:

5, 671.

5, 759

81

6, 314'

6, 39a

7, 185

82

7, "5

8, 144

Ü3

8, 205 |

84

9» 5t4

9» 567

85

11 » 430

11, 474

86

'.4» 39i

14» 335

U

10, 081
28, 636

x8» I07
1 28, 654

89

1 57» «9°

1 57» 300

967 Busquemos ¡a tangente y secante de fk>* para
un círculo cuyo radio medido en la escala de 25 fortes
por pulgada , es de 47$ de dichas partes.

la tangente.
Aquí para 80 grados 5,671
el radio 47,5

i secante.

5,759
47,5

«8.355
30697

22684

28795

4<>3«3
23036

269,3725 • 273,5525
Luego el largo de la tangente en la escala de vein-
te y cinco partes es de 269}- con corta diferencia , y
la secante d& 273!.. .......

La

PRACTICA. • 413

• La tangente de un número d* grados sie puede Fig»
tomar con una sola operapion haciendo el radio del
círculo ditatacia :tr&nsvers*i 'del complementó i de los
grados en '4a escala* de las. tangentes bajas* mí. >

968 II. Hallar ¡a tangente de 78o para un radio
de 2 pulgadas. "* r..r; jí: •.■[."!

i .- Hágase de 2 -pulg. la distancia traqsv^rsfcl de 13
grados ¿tí' las tangentes -baaüts;; la cksíanbia trán*-
vmai "de 45 grados* será ilaJtangaate -*le?$8?i''

'969 La secante de un némerb .dado- jde gradas se
podrá tomar del mismo modorren- lá escala de .los se-
fto»r haciendo d radio del* círculo distancia ^tt^ns-
vetsab dfel Acosend -<d* l« agrarios vdp*ta> Haciendo^
pues ,* ^^algadas; distancia. tónsvcrsahrid&Qoro.dt
isfy lttt4i9Wttto-tittnsversat'-de' 90 & gotscrálá se-
cante de 78o. ;.:..; <.-*i

6*0 De aquf^e saca inl método fácil para ha-
llar los grados correspondientes. ác una linea. que ex-»
prosa el la^afo de u#ai tangente jó ¿secaste; , f.v ,. j
;.i 9^r j Respecto Ule fci tangente; Hágase la linea ida*
da distancia transWrsal 'entre 43 y 4$ en las tangen*
tes* baxas;* apliqúese el radio»4ado como distancia
transversal, á las tangentes báxas^ lps grados jotoé
aue cayere esta distancia transversal será. lia LcaomM-
¿eme de bosigrkdas oúrfespoifcümtes i la/Ckea^da.

97a Respecta de la secante, Hágase ^'lii|ea> da*
da distancia transversal entre 00 y 90 en los ¿enos;
apliqúese el radio dado coma distancia transversal en
tos senos :^i los: ufados sobre* que fcayere serano coseno
de tos gradéis ^rresfiobdk^s.irJUt:r2secaát¿^ chde»j$
- . 973 :-J .Guestidkultafa **/ nxalér de run^sena^y^unk
tangente 6 sevante Je vñ námeroudeterminado degrof-
des, t uliar ¡a longitud del radio correspondiente U
seno, d ¡a tangente ó d la secante* \ • •••

Hágase * el* Jfego dado t distancia,, transversal* entre
ios grado* dados, en la respectiva escalan entonces

En

414 G&QWE.tRdxi

F/gi £fi los senos v ia/dhtancwj twnsvotsal .fnjáre 90

Jjr gol scráiíL%radJ¿j.donseapQo^iiteM • -i - : ni :

,1 fin das tangentes ;báxí«7 >ta dinactoa transversal

entre 45 y 45 > «^ -d^l ^^^nw ik U Pantóo^i^

será el radios v A %:,

En las tangentes altas , la distancia transversal
entoé> 45 7,4$ ceicafjdtítx^intcftíídpl Jiwciica^» en
la Krea;¡da J¿ita¿g$rt^ . >.J.;i

Eü4wotecaotef t>dax distancia íra^rersaí eitoe-jo
yo; ppncüpio dela&B¿eattts ; cerca del dentro dd
instrumento^ seri: el; radió*. • • .

- 974- CuGtáoaj Dado él rddh Wfrctpandiente á
wfa¡ineú-quei¿xprettám\-$eim\ «** tángete A juri* m
tantry;J>¡t¡birt¿ qas grufosrttrréstonfa-jmital lima.
-a Póngaseoja Pamóoketta* .al >rait04;dado fcooi ^rttr
gio al seno, tangente ó secante. .^V ...
-, ' Tómese la linea dada con tía trompas , apliqúen-
se; suidos puntos ,;,iKia en ¡ca^ít pierna'^: la? Pañi
tómetra , safare k < «seda correspondiente ¿ágaosq
cráreriasidospitítas ^lo lar^üLde lasdók pierias
t\zst& que I acudías tragan í«i cada/una /de, esta* so»
bce una misma división; estas dmsiopes. sentarán
,Jqs¡< graobs y pactes de grado correspondentes á la
tiaOBodada» vj'mi^ » ¿.bi ::.]?& • ^ v ">*-. . ' < •

•T '9b& ><Gie*tioou iftUkr. eivJargo dkt¿smá tten* ;dg
itáíittpMmimero dé guadas. - dado* ., c;j ->j« . f ! r • ,
:■•' Hágafccnancla esejia de los senos distancia transa
wrsal entre 190 y 9Ó, al radio dado ;, tómese la db-t
cancuo taaoftaraak del Jdepo dd «drai^méijtOjdft los
gradad) cfauáasoáSktliJiumficá denles ígeados^doa ob
itegaprvif 90^ 4a diferencia ahke.el scnájdettpm-
pletpewo y» vel-xadto aerá^el serio transo. Si los g«a*
dos fiaren de 90 , la sotaa del sena d*i. comple-
mento y el radío aasi al seno «ana

976 Cuettian. viMr ia JBémtá/Qstnai Je m& que
CMtta ana ib ms> carmpfudiewtes tscmtvdaUm ét #*

\¿k activa: ^

neos, cuerdas, senos, tangente» y fbrme un ángulo Ti^
recto* i '. e - ' ' '* •"- IU x *"* f *

En la escala dé lafr. lkitás rt6mds^^idt^artdfe
lateral 10 9 llévesela desde 8 de k una pierna 4 6
de la otra. .*.v .V ? A ?:V/m *\ V;

En los senos , tómese la distancia transversal go,
llevada esta tomo distsandft trtittver&l' *6tre 4$ y
45, 6 entte 4oy *5G,í6 fentre 30 y*4x*¿ ó*4es<fe
el setío de los grado^ al de *« córiqUeniemQ ; ¿ en . c r.
los senos i lévese U «distancia lateral 45 desde 30
4 30 como distancia transversal. _

y* . ?

l/3w ¿fe Ai Pentámetra para, la resolución de 4o* casos
-dtta Trigonometría recttUma. ; • i' • %¿ •

X ."I*.-, ■.". ,^L ''•Ji . /

977 ^d¡eatk>6. !>*<£** #* i/« triángulo rectilíneo
fres de las seis cosas, ángulos y lodos , con nU que
una de ellas sea un lado, bailar las otras tres.

Tres ¿asós encierra esta cuestión c 1.* qusaiMto'úftá
de las tres-cosas «dadas es un f lado ^ y 6tta el' ángulo
opuesto ; 2.0 quando las cosas dadas son dos lado^
y el ángulo que forman i 3.0 quando las tres cosas
dadas son los lados.

L caso
•*' Ik :»e*tadcti de todss lai preguhtats fceccrttores
4:e$te~cas£<van fiíndadas en la proporción quede*
«en los fados de los* triángulos planos ceta los seno»
de sus ángulos opuestos (041)* \

Exemplo I. Supongamos que siendo dados en el
triángulo ABC^t lado AB ák 56 partes iguales; AC 204»
úe (¡4, y el^ujgub B de 46* 3°% queríamos hallar
los ángulos C, A, i* el' l?do BC.

Las proporciones son aquí

f.

El lado AQ : lado AB tt Ha. S r sen. C
'- ka. Bi; Ka.ví 5: lacL AS : lad Cff

una

4^ G*BOMZT&k¿ *

JSíg. viioa vez hallado par la primer* 4. valpf. del ángulo
C , se sumará con el ángulo 5, y restada la sur
¿te «fchiSDVb <***& serÁ el. v^iorcUl ággulo ^.
^ j» • ■■ ', —j 4.1 j*> o ^<..o t „ .'..: , v i. ;
P*r Ai ¿jai/* logarítmica. }

.'.*.; .i- ...";. ':, ...-./-.-'
, 978 Para^haUar el. ángulo C Tómese- en • la. o*
eala.dfe lp« logaripmps de Jos- númet&s la distancia

304. de $4 1 valo&ddlada «¿C?, á> 56 > valor del lado A&>
ptáoi^e^la una puhta;del éorupas en 4$° 30', va-
lor del ángulo B /en Ja escala de los logaritmo*
de los senos, la otra punta llegará á 39o 24", este
serár.eLValoc del ángulo C Si de 180o se res^n .85*
54% suma ¿tetas , ángulo* 5 y C;, quedarán 94o ó',
valor del ángulo A.

- .Para hallar él lado JSC Tómese en la escala de
-los logaritoiQs de los . senos, la distancia desde 46?
30' =? B> á 85o $4' suplemento de 94o 6' :£ ^í; trasr
lá&sgla a la <escaifr.de los logaritmos 4e Jo^ntíme-
4ros?V4, empegando, desde 64^^(7* y llegará haw
j88, este será el valor de. BCZ </v .

Por to *#tf/<w ¿b&fer. i ...

; .9^9 Pam hí^larel ángitflorCi.0rróaié6djenjíí es-
cala «de . las liaeqsVla distancia lateral de 6#zA C ; ajf
tómese la distancia transversal dttqfázo'ziB enllaesr
cala de los senos ; 3.^ tómase en las lineas la distancia
lateral de ¿bziABt 4.0 véase á que gpádos- corresponde
.f 02 e^a^diiüu^ia iiaqtéádcii distancia traiftvfccsaL'.efml»
«WKrt *.,». hallar^ qqé\ ^nbspíondtt ^ ^/ *4*fcj «^
te será. el valor :ák ábgiilfr Qr fx\ f j : .- * \

Para hallar el lado ¿fG Tómese .ea las line&s la
distancia lateral de 6^^zyíC; 2.° tómese 'esta dis-
tancia) tjjawwfial de 46?^^ 8:éít losónos,; 3.*
^ tómeselo foti seOte. li disfct:4ftciaija:ajiáyerft*k de 8$*
r .'- / . 54'*

PRACTICA. 417

$/( , suplemento de 94o 6' = ^; 4* biisquese en Fig.
las lineas á que divisiones corresponde esta distan-
cia transversal ; cuyas divisiones que aquí son 88,
serán el valor del lado pedido.

980 Exemplo II. Dados en el triángulo ABC, BC
de 74 , B de 104o o', C de 28' o' , hallar AB y
AC. 20$.

Aquí la suma de 104o d , y 28o tí es 132o o', los
que restados de 180% dexan 48o o7 para el ángulo
A* Las analogías son

sen. A : sen. C ?. lad. BC : lad. AB
sen. A : sen. B :: lad. BC : lad. AC.

Por ios escalas logarítmicas.

Para hallar AB. Tómese en la escala de los lo-
garitmos de los senos la distancia de 48o tí zzA
hasta 28°o,= C; llevada esta á la escala de los
logaritmos de los números desde fq=zBC llegará á 46,
75 9 y este será el valor de AB.

Para hallar AC. Tómese en la escala de los lo-
garitmos de los senos la distancia desde 48° o' has-
ta 76o tí y suplemento de 104o; llevada esta á ía
escala de los logaritmos de los números desde 74,
llegará á 96 , 6 , y será el valor de AC.

Por las escalas dobles.

981 Para hallar AB. i.° tómese en las lineas la
distancia lateral de 74 = BC¡ 2.° hágasela di^tai»-
cia transversal de 4° tí—Atn los senos j tome- 209.
se en los senos la distancia transversal de 28o o'
rrC; 4.0 trasládesela á las lineis como distancia la-
teral , y cogerá hasta 46 , 75 } este será el valor
de AB.

Para hallar AC. i.° tómese en las lineas la dis-

Tom.L Dd tan-

418 GEOMETRÍA

Fig. tancia lateral ftziBCi 2.° hágasela distancia trans-
versal de 48o o' = A en los senos ; 3.0 tómese en los
senos la distancia transversal de 70o d , suplemen-
to de 104=: B i 4o hágasela distancia lateral en las li»

ao$. neas, y cogerá hasta 96 , 6, que será el valor de AC

Caso II.

982 La resolución de este caso se funda en la
siguiente proporción demostrada (848) ; la suma de
los lados dados , es á su diferencia , como la tan-
gente de la mitad de la suma de los ángulos que
se buscan á la tangente de la mitad de la diferen-
cia de los mismos ángulos.

Claro está que una vez conocida la semisuma
y la semidiferencia de los ángulos , en el instante
se conocerán los ángulos mismos.

Exemplo III. Supongamos que dados en el trián-
206. guio ABC el lado BC de 74 j BA de 52 , B de
68° 0% queramos hallar A^ C y AC.

Preparación. Réstese de 180o o' el ángulo dado
de 68Q c/,y 56o mitad de la resta será la mitad
de la suma de los ángulos A y C, á cuya semisu-
ma llamaremos u , y á la semidiferencia de los mis-
mos ángulos la llamaremos x. La suma de los lados
conocidos; esto es, BC-+-BA es 126 9 su difereo*
cia , esto es BC — BA es 22 ; en virtud de esto
la proporción ó analogía recordada (838) dará
BC+BA : BC — BA :: tang. u : tang. x.
La suma de u y x será el ángulo A, que será el
mayor; y la diferencia de u y x dará el ángulo
menor C: y finalmente

sen. ang. C : sen. ang. B :: lad. AB : lacL AC.

Por ¡as escalas logarítmicas.

983 Para hallar tang. x. Tómese en la escala
de los logaritmos de los números la distancia des-
de

PRACTICA. 419

de 126, suma de los lados dados, basta 22, dife- Fig»
renda de ios mismos lados ; llévesela á los logarit-
mos de las tangentes desde 45o acia la izquierda;
manténgase el compás en el punto mas baxo, y llé-
nese á aquel que queda desde 45o basta 56o; quí-
tese el compás , y llévese esta distancia desde 45*
acia la izquierda , donde señalará 14° 31% valor de x.

En virtud- de esto, la suma de 56o o' y 14o 31',
ó 70o 31' será el valor del ángulo A ; y la diferen-
cia de 56*0' á 14o 31' será el valor del ángulo C.

Para hallar AC. Tómese en los logaritmos de
los senos la distancia desde 41o 29% valor de C, 206.
á 68° o' , valor de B ; y llevada esta á la escala
de los logg, de los húmeros , llegaré desde $2=BA>
* 73 , 75 , este será el valor de AC.

Al buscar la tangente de x , esto es de la mitad
de la diferencia de los ángulos incógnitos , se apli-
ca dos veces el compás á la escala de las tangen-
tes» Esto sucede porqye las tangentes altas que pro-
siguen mas allá de 45o á mano derecha , están se-
ñaladas al revés ó á mano izquierda respecto de
las tangentes baxas (los logg. de las tangentes su-
ben y baxaa por igual en ambos lados á iguales
distancias de 45°) , y esta es la razón por que la es-
cala es larga la mitad no mas de lo que debiera pa-
ra tomar por orden todas las tangentes de la iz-
quierda á la derecha. Pero suponiéndolas así seña-
ladas , el punto de 56o o' llegará tan lejos á la de-
recha de 45o, como llega ahora á la izquierda; y
en los números , el intervalo desde 126 á 22 llega-
rá desde el punto 56 que está á la derecha de 45o 3 1'
en la una aplicación hasta 14o 31' : y esta distancia lle-
vada desde 45o acia abajo , llegará mas alia de 14o 31'
como la distancia de 45o á 56o; por lo que , el compás
abiertas sus piernas lo que requiere esta distancia,
llegará desde 45o á los grados que se buscan.

Dd 2 Con

420 GEOMETRÍA

Fig. Con efecto , quando la mitad de la suma no lle-
ga á 45° , la distancia de la suma de los lados á
su diferencia llegará también desde la tangente de
la mitad de la suma , acia abajo , á la tangente de
la mitad de la diferencia.

Y quando así la mitad de la suma , como la
mitad de la diferencia de los ángulos incógnitos pa-
' $a de 4$°, también la distancia de la suma de los
lados á su diferencia , llegará desde la tangente de
la fritad de la suma de los ángulos , . acia arriba
ó acia la derecha , á la tangente de la mitad de la
diferencia d« los ángulos.

Por las escalas dobles.

984 Porque 126 , suma de los lados , pasa la ex-
tensión de las escalas de las lineas, se tomará su
mitad 63 , y 1 1 mitad de 22 , diferencia de los la-
dos; pues 63 : 11 :: 126 : 22.

Hecho esto , i.° tómese en la escala de tas li-
neas la distancia lateral 63; 2.° hágasela distancia
transversal en 56o de las tangentes altas; 3.0 tómese
en las tangentes altas la distancia transversal de 45%
y hágasela distancia transversal de 45 en las otras
tangentes ; 4.0 tómese en las lineas la distancia la-
teral 11; 5.0 hágasela distancia transversal en las
tangentes , será la de 14o 31' á 14o 31' , y este se*
rá también el valor de x.

Así se hace la operación quando u pasa de 45o
y x no llega. Pero quando x , u ambas pasan ó no
llegan á 45o , se omite el tercer párrafo de la ope-
ración declarada.
206. Una vez hallados los ángulos A, C, se hallará
el lado AC del mismo modo que antes (980).

Pero entonces se podrá sacar el lado AC sin co-
nocer los ángulos del modo siguiente.

Se

^

PRÁCTICAS 43U

-i: Se tomarár en los senos la distanda • -lateral dfi Flg.
34o, mitad, del ángulo dada j683.; 3.° ae |a har4 dis-
tancia transversal de 30 en los senos ; 3.0 estando
así abierta la Pantómetra y , se tomata en las lineas '
la distancia desde 74 en la una pierna hasta 52 de
. la otra; 4.0 se llevará esta' distancia á jas. ¿inad -pa-
ca que sea distancia lateral, y llegará á ;7? > ftfc
-este. será el valor del; lado «¿4C* . ;i/?;; r. \4 ,f

- • I^os.dos pritrferos, puntos de fcst* .opefóctou t&r
señan como se ponen las escalas dobles para< un &»»
guio dado.' ! • >

- 985 Quando el ángulo 5 formado por los dos
lados , es de 90o , los ángulos^ y Cse fraljan^nais 206L
pronto f 1 como, lo manifestará, el lexepjplo: fejgtrimtct
cuya resolacio»;, se funda i entruja proponían! itr
mostrada (835) , esto' es , que en un. triángula irse*
tilioeo rectángulo f uno de los lados e* 3l,*ádio»
como el otro lado es á la tangente» dfl ¡ángulo

- Exemplo iy.i; En; el^riángaldi^ffiC Wjdádbtil
lado AB de 45 ; BC de 65 ; el ángulo B denritft, 207L
-y queréaaos /Hallar los áogídosil^ yC,| el<kdo

•"*" '•> *•-•. . « ■ i- >•' '• ¡.¡a <• ;; -• •. ..-/.,•£

Parí, tí ángulo Jfc^íproporcíon es jitfff zJBC «: Jfy:
taag.^f; y;r£bajaáda.el águti^de gOf», Jai- resta
aera el ángulo C3 hecha; esto ¿ el: lado ^jáC.ácJudkí-
«A éonfontíe;/wjseñ¿moa»j'«n «t último, exemplo ¡,.; ,,

• : ' '" .; ..*,- r. ;•] , ,• .. :. :-,

Por las escalas logarítmicas. '...,«. r
• .. -• >\ ■ '••••: •• ..>• -: -í . '. . . ; <:* ,
986 Tómese «m. los. núhaeras . el . intervalo desde
4S^AB i- ógafj JS0; llévesele ,á<.lás. tangentes des-
de'4$ v y lH¿gaeé[íá ^18^ e#e será «1 valor del
ángulo.^. :.'\ ,. u.j :•• .. ., j¿ :•• ,;■•./ . ;... ,;,

Aquí el ángulo -íishle. de ugg? 18% porqfcejel s*.
jundV. térmiiio 'iS£¡ €tímayornquQOÜfprixaeroi^5.
■-•■■:•. Dd3 Pe- .

4fga G^EOMBTRÍA^

•3$g. Pero si los titeáramos diciendo BC es á AB , sa-
learíamos *paia valor dfel ángulo C 34o 42'.

1. ,. ..* . . .- *

<> Per hs escutas dobles.

- 98^ i.° Tómese en las lineas la distanda late»
¿al ddt primer termina; a.° hágasela distancia trans-
versal de 45o en las tangentes ; 3¿° tómese en las li-
*fea*¡fo ttfetatidi¿ latera* del segundo término.; 4* lie-
«*&idfcla^ como distancia trans\?eml' i las tangentes,
señalará los grados del ángulo que se busca.
, Sí el primer término íiiese mayor que el según-

.• 'v - do, la distancia, lateral del primer término se to-
jm«á »Dbre 45 en las tángenos bajas, y la distan-
-di» lateral* del segundo término deberá contarse en
Jas ' infernas tangentes. A

/ Pferó quando el primer término es menor que d
«égyndo , la^ distancia lateral, del primer término se
llevará á 45o en las tangentes altas , y la distancia
Hatebibdel segunde termino deberá, contarse /en las

.ro£ ¿tiprajs engentes; *> * \ • - 'V

$8& JILCaso. En el triángulo ABC son dados

908. los tres lados JPCde 926 ; BA de 558; AC de 702,
yAqaerétncfe liaUar los. tres ángulos A, B, C.
¿- Ha^/dos jnátoddt;para resobrar este caso por
4a escala Jogaritmica j el 4ino>e¿ mejor qué d otro
quando; hay que buscar todosrüós ángulos ; y lo es
el otro quando se busca solo un ángulo. Los da-
remos ambos.

989 I. Método. Se buscan todos los ángulos. Des-
\deü áogulo A< títme al lado 'mayor ACbpuesto la
•petpendicqlar ADu9 ^la qualx;BHidiráC el triángulo
ABC en dos triángulos rec$pgul©$ $DA> CDAi
en los quales , si se conoce CD y DB > los áqgift-
-tes »e buscarán ícOíro ,én d caso I.

3tin*se ¿j*éa*snms dedo» htdos.AC9.AB 9 y
. - i ¿bG tana-

PñJCTiexr 4t$

también su diferencia 144. La distanciar desde 926 Fi#
— BC á 1360 llegará en la. escala d* los número»
desde 144 á 196. La mitad de JarMima -dé 9»6>?
196 es- 561 —BC. Y la mitad 4» fa» difrreack del
926 y "196 será 561 =zBÍ>.':

La distancia) de gsfizzBA á- 365=-^ tomada
en los-, números; llegará en. la. escala de. los logara*» 208.
mos de los senos desde 90* = angLjt&rift., i hasta
40» $rf = ¿ng. £/4D. Restaoda entonce» <fe 90? los
4a0 52' quedaran 49o ^ para el angula B„ - . . }

Tómese aboca ea los número* la distancia: des* -
de 702 =&¿Ubasta $fciz=.CD- , y. llévesedesde 90*
xcang. CDA á Ja escala de- loa logg. de los senos*
basta &° 4' =ang. CAD. YL (estando .entonces! de
oo*; los. 5/ 4V H reata 36» $tf ,séeá el ángulo G;
Y la suma de 40o 52* y 53o 4 = 93o 56Í Sprá d va*
lór del ángulo CAB.

990 2.0 Pac» qpaaado- se tasca solo un ángulo
v. g. B.

• Témtie tai diferCDCtó de loa ladosi flC ¿j £4* ^ue
forma» el ángptfc pedí*», Ja Hapftwwnoí, D'-tf&i
Báaqueae la seaúsuma de ^C y Z>, ;y la Uacare*
mos Wcc 535. Y vía- arodi&reaciar de AC y.D la
Itonartmos. X= io> Entonce* teodeémos, k $jguteoM . .,-

proporción -< • . , ¡, c,;; ye.:-..: ot:.-».- i-A j..r»
■•f¿ ^ /-^il^\- *-sén*at¿r B* ~';'J

i.° Si tomamos en los logg. de los números la
distancia desde 1 á $|s p£^T y la llevamos. 4 la
misma escala desde 167=**. Uejprábfeajta $930** 208.
que apuotarttfioa y UamarenK», W i. ¡a^ la dist*wáa
desde t.á ^ r:.^^, íleg^iiátdtsde ^fo «C^JiafTT
ta 516000, que apuntaremos, y Mtfáaflemoft /?,; $*}
la distancia desde el punta ¿f ;x ¿16 * al pumoG—
89,3 llegará desde Jo bacía afcajfl al :quafto .punto
0,173 * cerca* le apuntaremos*? jfor^táw»; J&** ri

Dd4 to-

424 GWÜOTJ&TJr/irf

Eg#' tomamos en los lógg. 8e ; \ol números el intervalo
desde Af , al punco1 medio aerea de 0,415 , y le lie-
«aott? desde* ¡me 1 trias aüádéAven la linea de
los tówos -llégala &sdfe>áo°;á 24o -$4' f cayo duplo
49o 8' seráei ángulo BPT " ic , .

991 Sfla cúestáoVse kesplviere por la escala

,< ,\ de los senos versos, se hará en poco tiempo la ope-
Mtíoh ,cftr Vriod© -siguied^1 • ^ < ■ •■•
¿ f iC^Tttbcs^: en: los >k»gg.<>Ae K los humeros k¿ dis-
tancia desdi g{j£tt tf> ár>i^|6 <= #C; llévesela de$de

208. 558 — BA ¿'-y manténgase la punta del compás ea
él quárto punto dopde( llegare -;?af llévese la distan-
ciauíde *s*e quistó punto* á 167 a A% eA^ la escala

l%afc*
dexafcá

^ j <-

JP&r Jas *j catas dobles.

ou%$**: Ba&A hallad el árigutó i?. r.° róbese en las
tifceás 1^ distancia &tefralr7oarzi¿Cy lád¿; opuesto
al ángulo 2fc; -a> ábrase lá Pantómetra hasta qué
esta distancia llegue desde 996 zzCB "en k esiála de

208. las líneas de la -ima- pierna , i $*fa~AB<> en te es-
cala del mismo nombre de la otra p¿ernac¿;gfó«P(
tando así ^biprta JU Pai^óiji^tní 5 «Sájese palos se-
nos la distancia transversal dé 30o y 30o ¿' medida es-
tá distancia cobo lateral en ios senos, estando la
una putlta del -compaseen %1 centro , Helará á 2f

•<>°¿ j#* iwít*4MÍet &ú%ü\q^.- ' '. ., ¡. ..

9f# ; í'Laí ¿cfter^ldád con» que consideramos en es-
«s^jttóipfóí^fttó triángulos oblicuángulos, manifies-
taquéalas <*uestí<>élesv. coneeratenms á' los triángulos
rectángula üo sotf mas4 que casos particulares.
% 094 'Son; 'tantos .los usos para que puede servir
la l&fttérófr^ ea1 una

-^i fki>vl so-

Practica. 4sg

sola todas las lineas necesarias ; por cuyo motivo Eig.
$e necesitan dos , que la una supla lo que la * ottfa
no alcanza. Aquí, figurarnos otra Pantómetra que lle-
va alguaás de las escalas señaladas en la primera,
y> sirven para las mismas operaciones ; por lo que, 209.
3plo especificaremos aquí las aplicaciones de las de-
mas. .

- í íEstás son i.°la linea de los, planos; 2.0lh Uné%
de! los sólidos.; 3.°k lmea de los, calibres; 4.0 la
linea de los metales. De* todas, daremos la construc-
ción ^ el modo de aplicarlas.

-i.-.\ *. *• xBe las lineas denlas planos* / - o

1 1 99$ Llamamos Istmos dejos- planos las que están
señaladas en la Pantómetra de manera, que repre-
sentan los lados homólogos de las figuras planas se-
mejantes. Para enterarse bien. del artificio con que •
están disididas . estás,, lineas v es del caso > sabes pri*
méroi como; se reducen dos ó mas figuras semejan-* '
les. á uáá sola que valga su suma , y sea; semejan-
te á Jas figuras propuestas. ,

Para executarlo , se han de determinar los lados
homólogos r de. las figuras semejantes cuya suma se
busca^Se disponen .dos de dichos lados AB , AC21Q.
de modo que; causea un áíigulo recto BAC ; Ja hy-

, ^ potenasa BC, será el * lado • homólogo de la figura
semejante , igual (691) á la suma de las dos pro-
puestas. .

-. rfiLsp , buscase la suma de tres figuras semejan-
tes ,- después de hallado el lado BC^ se levantará
la perpendicular; CDt igual al lado homólogo de la
tercer figura , y se tirará la hypotenusa BD9 la qual
será el lado homólogo de la figura semejante igual
á la suma ^.de las tres ptopuesWs.
996 Sentado esto, es nmy fácil de entender co-

* ' 1 . * mo

4*6 GEOMETRÍA

Fi$ mo se trasan y dividen en la Pantómetra las lineas
jde lo¿ {danos. Se . traaan dos lineas que concurren
«T d centro del instrumento ; y empezando desde
allí v s£ dividen señalando con la unidad 1* primer
- divisioú que representa él lado del primer quadra-
do, y: el iflfenor de todos ?• la segunda amana se
señala 2 , y representa el lado de un quádrado du-
pk>; y insiguiendo i este tenor la serien de los nu-
mero* natural», sé van señalando los lados de los
quadrados en que cabe el primero ó menor 9 dos,
tres , quátro &c. veces* La linea de los planos sir-
ve para lo que vamos á manifestar.

997 Cuestión. Papa hacer un* figura plana ma-
yor ó menor de lo que es en una razón dada.

Quando la figura propuesta es regular, como un
quádrado , un pentágono, un círculo , un triángu-
lo equilátera, bastí hallar el lado de la figura, que
se busca. Supongamos que me ocurre aumentar un
quacbado en la razón de 4 á 9 : llevo ^el lado del
quádrado propuesto desde 4 á 4 en la linea de loa
planos y el intervalo entre 9 y 9 señalará el lado del
quádrado, con el qual el propuesto tendrá la ra*
aon de 4 á 9.

Porque las lineas transversales tienen iraas con
otras la misma razón que las laterales (924) ; pero
las lineas 4 y 9 son los lados de los quadrados en-
tre los quaks hay la razón de 4 y 9 ; luego las li-
neas transversales también 'serán lados de los qua-
drados entre los quales habrá la misma razón.

Quando la figura propuesta es irregular , enton-
ces es preciso buscar muchos lados para trazar la
figura semejante que se busca , y por. la mismo se
x h* de repetir la operación tantas veces quaotos- la-
dos tiene.

998 Cuestión. Hallar la razón que boy entre das>
figuras semmnfes dados,

Seaa

* PRACTICA. 427

Sean las figuras propuestas dos pentágonos Te- Fig.
guiares , cuyos lados son AB 7 xCD. Tómese el la-
do AB del pentágono mayor , y Uév«e á uno de
los números mayores de la linea de los planos, v. 45.
¿ 60 y 60 ; tómese después el lado CD ¡Xt\ se-
gundo , y póngase al través sobre la misma linea,
4e suerte que sus extremos caygan sobre una .mis-
ma división, v. g. «sobre 40 y 40 } la superficie JF211.
del segundo pentágono será la superficie E -del :pr>
mero , como 40 es á 60 , ó como 2 á 3 : quiero
decir que será sus dos tercios.

De la iinea de los Sólidos*

■ 999 Después de' lo dicho acerca de la linea de
jos planos , es fócil adivinar para que usos sirve
la linea de los sólidos , y las que en ella van se-
Aaladas. Se señalan en esta linea los lados homó-
logos de los sólidos semejantes , que todos sonmut-
<iplos ásX pqtnero ó menor, el qual se toma por
unidad , según la serie de los números 2,3,4 &c-
«basta el número 64, el último por lo común que
se señala en la linea de los sólidos.

Para señalar las divisiones de esta linea, se to-
rnan, en una escala 2000 partes para lado del só-
4tdOié4,;el mayor^que cabe en la Faptómetta. Se
-toma- el número de ioqo partes iguales con el fin
•de que salgan :mas fáciles y cabales las divisiones
indispensables para señalar los lados de dos demás
bólidos.

Por ser 4 la raiz cúbica de 64 , y 1 la raiz cúr
4>ka de 1 ., ito el tó«k> que se tpcw para el sólido
-64, ha de caber 4 veces d lado del primer sólido,
el menor de todo? , cuyo, lado será por, consiguien-
te de 250 de las iqoo partes iguales. Porque como
entxek)st)jí^os,3cní^t^liiay laxazon de tos cu-
2-:í bos

4*8 GEOMETRÍA

ÍJg. be» de ^ sus lados homólogos (789), serán sos lados
homólogos unos con otros como las raices cubicas
de los números que ^expresan dichos sólidos ; luego
*1 lada del sólido 64 será al lado hpmólogo dei s&
lido 1 y como la raiz cúbica de 64 á la raiz cúbi-
ca de 1 ; esto es como 4 á 1.

Para hallar el lado del octavo sólido , ó del só-
lido que v^le ocho veces el menor, se tomarán 500
paites de la escala; esto.es , dos veces tantas quao»
tas para el lado del sólido menor. Porque el la-
do del sólido 8 veces tan grande como el prime» >
ro , ha de tener con el lado de ^ste la misma
razón que la raiz cúbica de 8 con Ja raiz cúbica
de 1, esto es la razón de 2 á 1 ; luego el la-
do del sólido semejante al primero , y ocho veces
tan grande como él , ha de tener 500 partes de lá
escala,

- Por la misma razón 750 de éstas partes expre-
sarán el lado del sólido 27 veces tan grande como
*1 primetfo ; pues 750 es triplo <de 250, y en el cu*
bo de 3 cabe 07 veces el <?ubo de r,

Lo dicho en este asunto Manifiesta quan Taca-
mente se señalan- todas estas divisiones en" la linea
-de los sólidos; la dificultad está en señalar las di-
misiones correspondientes á los sólidos duplos » tri*
píos, &c. del primero; porque sus raices frota1 lá^
comensurables , y no se puede sacar cabal su va*-
Ion Pero se pueden hallar por aproximación caba-
les quanto basta para las urgencias de la práctica;'

Propongámonos hallar el lado del sólido serae*-
•jante dupla del {primero. Formaremos -el" cubo !. .• •
«15625000 de \ 259 , lado del <ffeimetr< sólido'; del du¿
plo 31250000 >d¡sl ¿al cube saeraíémos la raiz cúbi-
ca 35*5 v con corta diferencia? ; vy este- número ex*
presará el fado del sólida r dupla Porque r como los
sólidos semejantes sox* ü«»;4#tii otros como ¿te cu-
* i bos

PRACTICA. 429

bos de sus lados homólogos , será duplo de otro Fig,
sólido semejante aquel cuyo lado cubicado tuviere
por expresión un número duplo del número que
exprese el cubo del lado del primera

Todo esto presupuesto, declaremos 1 los usos de
la linea de los sólidos. m

1000 Cuestión. Hacer un solidé mayor 6 menor de
lo que es , en una roten dada.

Propongámonos hallar v. g. un cubo duplo de
otro. Llevaremos el lado, del cubo propuesto sobre
unos números escogidos á arbitrio , v. g. sobre so
y 2a Estando la Pantómetra como, para esto es me-
nester, se tomará el intervalo entre 40 y 40, nú*
mero duplo del primero ; este intervalo será el la-
do del cubo qu« se busca.

Si hubiésemos de hacer una esfera tripla de otra,
llevaríamos el diámetro de la esfera desde 20 á 20
v. g. el intervalo entre 60 y 60 seria el diámetro
de la esfera tripla de la otra.

La operación se hace al revés qtiando los só-
lidos se han de achicar en razón dada. Y si los
lados homólogos de los sólidos cogiesen de largo
tanto que no cupiesen entre las piernas de la Pan-
tómetra 9 se tomaría su mitad , su tercio &c. , y lo
que saliere seria la mitad , el tercio &c. de la di-
mensión que se buscare.

1001 Cuestión. Averiguar que tazón hay entre
dos sólidos dados.

Se llevará á la linea de los sólidos entre dos nú-
meros los que se quiera ó mas acomoden , el lado
de uno de los sólidos j se mirará después á que in-
tervalo corresponde el lado del otro sólido semejan-
te. Los números á que correspondan dichos lados
homólogos expresarán la razón de un sólido con
el otro.

1002 Cuestión. Hallar un sólido igual á la suma

de

43P GEOMETRÍA

Fig, de otros dos 6 muchos sitíaos semejantes , y seme-
jante ton tilos*

. Tómese entre los Sólidos semejantes uno á ar-
bitrio , y con el compás común uno de sus lados,
el qual se llevará á los números que se quiera de
la linea de los sólidos , v. g. á 5 y 5. Se man*
tendrá abierta la Pantómetra como para esto es me-
nester i mírese á que números corresponden ios in-
tervalos que cojan respectivamente los lados ho-
mdtagog de los. demás sólidos, y supondremos que
correspondan á los numere» 7 y 8. Súmense los
números 7 , 8 y 5 , que expresan la razón de los
sólidos propuestos ; el intervalo que habrá entre la
suma 20 y ao, será el lado homólogo del só-
lido , suma de los tres , y semejante á los pro*
puestos.

1003 Cuestión* Hallar un sólido semejante á otros
dos 9 é igual 4 la diferencia que va del uno al otro.

Llévese un laclo de qualquícra de los dos sóli-
dos sobre dos números de la linea de los sólidos
v, g„ sobre 5 y $j mírese á que números correspon-
de el lado homólogo del otro sólido , y supongamos
que corresponde á 9 y g; réstese el número me-
nor del mayor ; tómese el intervalo que hubiere en-
tre 4 y 4, cuyo número espresa la diferencia del
un sólido al otro; será este intervalo el lado ho-
mólogo del sólido semejante á los dos propuestos,
é igual á la diferencia que va del uno al otro.

1004 L^va también la Pantómetra una linea lla-
mada .linea de los calibres * la qual sirve para cono-
cer el peso de las diferentes balas de Artillería. Por
calibre de los cañones enteinden los Artilleros el diá-
metro de la boca de las piezas , cuyo calibre siem-
pre es algo mayor que el diámetro de la bala, á
tin de que salga desahogada de la pieza, y no se
lo estorbe el rozamiento.

El

2RACT1CA. 43*

El calibre de un cañón que ha de arrojar balas de Fig.
33 libras , cuyo diámetro es de 6 pulg. |f de li-
nea , ha de ser de 6 pulg. 3 lin. y \\ de linea, y
fK>r consiguiente el calibre de un cafion de 33 libras
tiene 3 lineas , con corta diferencia , mas que el diá-
metro de la bala. Las demás piezas tienen también
sus calibres proporcionados á los diámetros de las
balas que han de arrojar. {

ioo¿ Para señalar las divisiones de la linea de
lofe calibres , es preciso saber quanto pesa una ba-
la de Artillería de diámetro señalado, á fin deque
sirva* de término de comparación.

Supongamos que una bala de hierro* colado dd
peso de 4 libras tenga 3 pulg/ de diámetro; los diá-
metros de las balas del mismo metal, y de peso
distinto se hallarán del modo siguiente* Se abrirá
la Pantómetra hasta que de pierna á pierna haya
un intervalo de 3 pulgadas entre los números 4 y
4 de la linea de los sólidos. Se mantendrá el ins-
trumento en esta situación : con el compás común
se tomarán los intervalos de entre todos los núme-
ros de las lineas de los sólidos , como entre 1 y 1,
entre 2 y 2 , &c. ; se llevarán todos sobre una mis-
ma linea trazada en la Pantómetra , señalando allí
donde rematare cada uno de ellos el número de la
linea de los sólidos al qual correspondiere.

Para señalar en la misma linea ios quebrados ^
4 , $ de libra , se practica lo siguiente. Se toma una
bala de hierro de una libra , se lleva su diámetro
á la linea de los sólidos desde 4 4 4 i e* diámetro
desde 1 á 1 será el diámetro de uña bala de * de
libra ; el intervalo desde 2 á 2 será el diámetro de
una bala del peso de J ó \ de libra &c.

De

43* GEOMETRÍA

Fig.

De la linea de las fetales.

1006 Los metales que coaocemos no todos son
de peso igual; en un volumen determinado de un me-
tal, v. g. en un pie cúbico de ora hay mas peso que en
un pie cúbico de plata; infiriéndose de aquí que los me-
tales expresados no son ambos de una misma gravedad
espeotficá. Los Matemáticos se han convenido en lla-
mar cuerpos de distinta gravedad específica aquellos
que teniendo un mismo volumen son de peso diferente.
La causa de pesar uno mas que otro dos cuerpos de
un ofismo volumen consiste en que el que mas pesa
tiede mas materia propia :ó. mas partes que el oteo;
porque lo que pesa en los cuerpos son las partes ma-
teriales de que se componen , y no los intersticios 6
poros que entre ellas hay ; ora estén estos poros llenos
de ayre ú otro fluido , ora estén vacíos , punto qut i
nosotros no nos toca indagar. Consiste, pues, el ma-
yor peso de un cuerpo en que tiene. mayor núme-
ro de partes que no otro de igual volumen, con d
qual se le compara : y como esto no puede ser sin
que estén mas inmediatas unas á otras , y separadas
por menos y menores intersticios, la mayor gravedad
específica de un cuerpo consiste en que sea mas com-
pacto ó mas denso que los demás con los quales le
comparamos; usándose en la Matemática la voz den-
sidad para expresar el mayor número de partes res-
4 pecto de un volumen determinado.

Tienen , pae?, los metales mas ligeros que el oro
menos densidad , ó sus partes mas separadas unas
de otras que no este metal. Por consiguiente un cu-
bo v. g. de estaño de igual peso que Un cubo de
oro , cogerá mas espacio , ó será de mayor volumen
que un cubo de oro , y de volumen tanto mayor,
quanto menor fuese la densidad del estaño respec-
to

1

V

\s

U-'.

t

«ir

» x

A<;

u

PRACTICA. 433

to de la del oro. Y como , según llevamos dicho, Fig.
y se probará en la mecánica , la densidad y la gra-
vedad específica son una misma cosa, serán los vo-
lúmenes de dos. sólidos semejantes de igual peso y
de distintos metales en razón inversa de sus densi-
dades ó gravedades específicas , y las gravedades es-
pecíficas tendrán también uñas con otras la razón
inversa de sus volúmenes. Pero los volúmenes de
los cuerpos guardan la razón de los cubos de sus
lineas homologas (789) ; seguirán , pues , igualmen-
te las gravedades específicas la razón inversa de los
cubos de las lineas homologas de los cubos.

En esto va fundada la división de la linea de los
metales señalada en la Pantómetra 9 cuya linea es-
tá dividida en la proporción de los lados homólo-
gos de lo» cuerpos semejantes de peso igual y de
metales diferentes. Supongamos que se conozcan las
gravedades espedficas.de los metales, quiero decir
que sepamos quanco pesa un pie cubico de cada uno,
y que de eUos se hagan sólidos semejantes de iguaL
peso , v.g. esferas ; que el diámetro de la bola de
estaño , el mas ligero de los metales , esté dividido
en 1000 partes iguales , y que se busque quantas de
estas partes cabrán en una bola de oro del mismo
peso.

1007 Ya que las esferas son unas con otras co-
mo los cubos de sus diámetros (790), serán los vo-
lúmenes de dichas bolas , ó los cubos de sus diáme-
tros en razón inversa de su gravedad específica i de
aquí se saca la .siguiente analogía.

Como la gravedad especifica del oro
Es á la gravedad específica del estaño,
Así el cubo del diámetro de la bola de estaño
Es al cubo del diámetro de la bola dé oro.
De aquí se sigue , que para hallar el diámetro
de la bola de oro del mismo peso que la bola de

Tom. I. Ee es-

434 GEOMETRÍA

Fig. escaño , se ha de multiplicar la gravedad específi-
ca del estaño por el cubo del diámetro dfe > la bola
del mismo metal , dividir el producto por la gra-
vedad específica del oro , y sacar la raíz cúbica del
cociente.

Por el mismo camino se hallarán los diámetros
de las bolas de los demás metales de igual peso que
la bola de estaño.

Se tira , pues , una linea recta en la Pantómetra
desde su centro hasta el extremo ; se la divide en
200O partes iguales , porque suponemos que tiene
otras tantas el diámetro de la bola de estaño ; se
busca por el método expresado quantas de estas par-
tes corresponden á los diámetros respectivos de Jas
bolas de los demás metales de igual peso que la de
estaño ; y llevando estas partes á la Pantómetra con
el compás común , poniendo la una punta de este
en el centro del instrumento, se hace en el punto
donde alcanza la otra punta , la señal característica
del metal correspondiente. Por este método se ha-
lla que siendo de iooo partes el diámetro de la bo-
la de estaño , corresponden á los diámetros de las
bolas del mismo peso hechas de los demás meta-
les , las partes que expresa la tabla siguiente , don-
de van figurados los diferentas metales con los ca-
racteres peculiares á cada uno.

Oro 0 ........ 730

Plomo h 863

Plata € ........ 894

Cobre 8 937

Hiero ¿ 974

Estaño V 1000

En cuya tabla es de reparar que están los me-
tales tanto mas cerca del centro del instrumento,

quan-

PRACTICA. 435

qumtO: m^f op es su gravedad especifica, y se pue- Fig*
de inferir de lo ,dicho ¿ptcp (iop6).

.. Krw <fe Ai //a». <fe fcx metales. ■-. , . - r

1008 Cuestión. Hallar un globo de qualquierme^
tal de peso determinado y en conociendo un globo M
otro metal y su diámetro. , ,.:

Sea el diámetro de una, bala. <fc hierro de un)
libra de 22 lineas , y. busquemos .4 ;4#n?etro cíe
una bala de plomo del fJttsijip, ppsp. ,: «j > . •

Tomaremos, en un pie con el compás común U
distancia de 22 lineas, la llevaremos desde * á *j
tomaremos después el intervalo entre fe y ¿ ; le lle-
varemos finalmente sobré el pie $ dopde cogerá 18
lineas; estas cogerá el diámetro de una bala de plor
mo de una libra.

1009 Repárese que según está construida la linea
de los metales , las distancias desde .el centro de la
Pantómetra á las divisiones de dicha linea represen-
tan los diámetros de los cuerpos semejantes de igual
peso hechos de diferentes metales. Pero las distan-
cias ó intervalos transversales entre las mismas di-
visiones, estando abierta la Pantómetra, son unas
con otras como las distancias (925) desde el centro
del instrumento á cada una de las divisiones ; luego
el intervalo entre h y h , ó entre los caracteres que
señalan el plomo representan el diámetro de una ba-
la de plomo de igual peso que la bala de hierro , cu-
yo diámetro es igual á la distancia transversal entre
los caracteres del hierro.

zoiú Cuestión. Hallar /tarazón que boy entre el
peso de das cuerpos semejantes becbos de\ distintos me*
tales 9 y de ^diámetros iguales.

Supongamos que sea de 3* onzas el peso de una
bota de plata , y se me pregunte quanto pesará una
boka. de oro de diámetro iguala ,

Ee2 Tó-

^6 GEOMÉTktA

Fig. Tomaré, en la linea de los sólidos la distancia
desde el centro á 32 , la llevaré desde d ¿ Cien
la linea de los metales j tomaré después la distancia
transversal entré C y <I ,* y la trasladaré á la linea
dé los sólidos , plantando en el centro de la Panto-
Uretra la una punta del compás común ; la otra cae-
rá sobre 59 , y manifestará que la bola de oro de
igual diámetro que la de plata pesa 59 orizas.

> Para percibir ^fundamento de esta operación,
conviene considerar que cjüando los cuerpos son igua-
les-, los pesos son uftós con otros como las grave-
dades especificas de los metales; antes (rooó) hemos
visto que las gravedades específicas son en razón in-
VerSa de los volúmenes;1 y> los volúmenes son como
tas tCubosd¿ ios diámetros, esto es , en el caso ac-
tual , como los cubos de las divisiones de la linea de
los métales ; luego las gravedades específicas , y por
consiguiente los- pesos , quando los volúmenes son
iguales , siguen la tazón inversa de los cubbs de las
divisiones de las lineas de los metales. Por lo que,
el peso de «la bola de plata es al peso de la bola de
oro de igual diámetro , como el cubo de la distan-
cia que hay en la linea de los metales de la Pan-
tómetra desde el centro del instrumento á la señal
del oro , es al cubo de la distancia desde el mis-
mo centro & la señal de la plata; ó, por lo di-
cho (1006), el peso de la bola de plata es ai peso
de la bola de oro , como el cubo de la distancia trans-
versal entre los caracteres del oro, es á la distan-
cia transversal entre los caracteres de la plata. Co*
no la linea de los sólidos dala razón de tos cu-
bos de las divisiones, en feliá señaladas $999) ,' y co¿
mo en la distancia entre los dos caracteres del oro
caben' 32 de estas divisiones, y la distancia entre los
caracteres de la plata OQge gg , se¿ infiere que -el pe-
so de la bola de platal es,: al. pe*o* de la bola de oró
i *\\ de

Practica. 437

de igual diámetro , como 32 á $9. Luego , &c. Vig.

ion Cuestión. Determinar que cantidad te nece-¡
sita de un metal f ara hacer un cuerpo semejante é igual
á otro hecho de qualquiera de los demos metales.

Supongamos que un artífice quiera hacer de pla-
ta una estatua semejante é igual á otra hecha de
estaño , y quiera averiguar que cantidad de plata
aecesitaráu

i.°$e pesará con cuidado la estatua de estaño,
y supondremos que pesa 36 libras.

2.°Se tomará en la linea de ios metales la dis-
tancia desde el centro de la Pantómetra al carao
ter de la plata , de cuyo metal se intenta hacer 1»
estatua.

3.0 Teniendo abierto el instrumento, se trasla-
dará esta distancia á la linea de los sólidos desde
36 á 36.

4.0 Finalmente , se tomará en la misma linea de»
los metales la distancia desde el centro del instruí
tinento al carácter del estaño : manteniendo la Pan-
tómetra abierta como se requiere . para lo dicho, se
mirará á que números de la linea de los sólidos cor-
responde esta distancia; y suponiendo que corres-
ponda á 50 y 50 , esto, manifestará que se necesi-
tarán go libras de plata para hacer una estatua , ú
Otro cuerpo semejante é igual al propuesto.

1012 Cuestión. Hallar que razón tienen unos con
ptros los pesos de dos cuerpos semejantes y de dis*
tintos metales f siendo conocidos sus diámetros ó lados:
homólogos. ~

Supongamos que siendo EFjA diámetro de una 212.
bola de estaño , y GH el diámetro de una bola de
plata', queramos saber que razón hay entre- ios pe-
sos de los dos cuerpos.

Llevaremos el diámetro EFy abriendo la 'Panto*
metra .desde % á V ¿ estando así apartadas las pter***

£e 3 ñas

43» GEOMETRÍA

Fig. ñas del instrumento , tomaremos la distancia trans-
versal entre d y d ; si esta distancia fuese igual al
diámetro GH , las dos esferas serán de un mismo pe-
so; si el diámetro de la bola de plata fuese menor

912. que GHj y fuese igual á la linea KL , esto será señal
de que la bola de plata pesa menos que la de estaño.
Falta , pues , averiguar quanto menos pesa* Co-
tejaremos los diámetros GH y KL en la linea de los
sólidos , del modo siguiente. La distancia transver-
sal hallada entre los caracteres de la plata , la qual
en este caso es GH , la haremos distancia transver-
sal entre los números que queramos de la linea de
los sólidos, v. g. entre 6o y 6o: miraremos des-
pués á que números de la misma linea corresponde,
hedió distancia transversal, el diámetro. KL de la
bola de plata , y si correspondiere á 20 y 20 , v. g,
esto será señal de que el peso de la bola de plata*
cuyo diámetro es KL , es al peso de la bola de
estaño:, cuyo diámetro es EF, como 20 á 6a

1013 Cuestión. Hallar el diámetro de una bola de
metal determinado , y de peso señalado > en conocien-
do el peso y el diámetro de otra bota hecha de otro
qualquier metal*

313. Sea MN el diámetro de una bola de cobre del
peso de 10 libras , y busquemos el diámetro de una
bola de oro de 15 libras de peso. .

. k° Buscaremos el diámetro de una bola de Oro
^el mismo peso que la de cobre , llevando MN des-
de * á i , y tomando entonces la distancia trans-
versal entre los caracteres del oro , esta distancia
OP será el diámetro de una bola de oro del peso
de 10 libras.

r 2.° Llevaremos esta distancia OPá la linea délos
sólidos desde 10 á 10; la distancia transversal entre 15
y 15 de las lineas de los sólidos será entonces el diá-
'sigfiro QR de una bola de ero del peso de 15 libras.

De

PRACTICA. 439

De la Nivelación.^ F*

1Q14 Una de las principales aplicaciones de la
Geometría es medir lineas en la superficie de la tieiv
ra , ó distancias de unos de sus puncos á otros. Es-
ta medición tendría poca dificultad si la superficie
de la tierra fuese llana 6 plana ; pero como , ade-
ptas de las desigualdades que ofrece , es redonda,
padece la medición de las distancias , particularmen-
te quando son largas,, cierta imperfección que et
forzoso corregir , para distinguir la apariencia de la
realidad.

1015 Que la tierra sea redonda y no plana se prue*
t>a con hechos. incontrastables , de los quales pondré*
(nos aquí solo uno* Quando uu navio empieza á des*
cubrir una costa , los objetos, mas altos son los pr¡»
meros que divisan los navegantes , y aun de estos
divisan primero lo mas alto , como de una torre pri-
mero ven la cumbre 9 de un edificio la cubierta &c.
descubriendo poco á poco lo demás hasta que por
último ven su pie. Esta es la causa por que en el
instante que desde el navio se descubre una torre,
v. g. no se ve el terreno de sus alrededores.

1016 . Quando dos puntos a y b v. g. están á igual
distancia del centro C de la tierra , por manera qué 214.
ambos estén en su circunferencia , se dicen que están

á un nivel. Por consiguiente si de dos puntos el uno
está en tierra llana , y el otro en la cumbre de una
montaña , y por lo mismo mas alto que el primero,
y mas apartado del centro de la tierra como a , ef
no estarán á un nivel

10 1 7 Sin embargo también están. á un. nivel dos
punios , aunque no estén «a la superficie de la tieiv
xa , con tal que estén á una misma distancia de su
centro , como d , e ; en cuyo caso están en una linea

. recta que toca la. circunferencia, y á igual distan- .

Ee4 cía

^\

44° GEOMETRÍA

Fig. cia del punto de contacto, cuya. linea se llama li-
nea de nivel.

. 1018 Dos puntos que están el uno en / punto
de contacto , y el otro en e mas allá , ó á dife-

914. rentes distancias del punto de contacto, como d,g
no estarán ni á igual distancia del centro de la tier-
ra, ni á un nivel ; estando , conforme se ve , el uno
g mas alto que el otro respecto de la circunferencia*

1019 Quando los dos términos ó puntos de la
tangente no están á igual distancia del centro de
la tierra.se llaman puntos de wüel aparente.

1020 £1 objeto de la nivelación es averiguar quan-
to uno de los dos puntos es mas ajto que el otro
respecto de la superficie 6 del centro de la tierra,
lo que es k> mismo que averiguar quanto el nivel
aparente excede al verdadero , ó la diferencia que
va de uno á otro : los puntos /, e v. g. están á un
nivel por estar en la misma tangente , pero este ni-
vel no es mas que aparente ; y para saber quanto e
está mas: alto, que/, es preciso averiguar el valor
de,¿^, exceso que d nivel aparente lleva al ver-
dadero, ó - la linea ce á la cf ó cb. Bien se perci-
be que estas diferencias son tanto mayores , quan-
to mas distan uno de otro los dos términos , pues

.;. .la diferencia bg de nivel aparente entre los dos tér-
minos /, £ es mayor que la be diferencia del ni*
vel correspondiente á los dos términos /, e.

Instrumentos para nivelar*

« «

102 1 Quando se quiere averiguar 9i todos los pun-
tos de una Une* de corta extensión están áuú ni-
vel , ó es Ja linea oriaontal , sirve i.° el Nivel de
u$re 1 cuyo* instrumento es un tubo lleno de es-
píritu de vino , en el qual se dexa una ampolli-
315.a de ayrej Ja Lqual ocupa el medio 6 del tubo

f . quan-

PRÁCTICA. 441

quando está sobre un plano perfectamente otfzontal. Rg.

2.0iEl Nivel de Albáhil. Este es un trianguló 2 16.
isósceles sin base , cuyos lados abrazan dn áitó de
círculo. Desde el ■ vértice del triángulo cae una lí-
nea perpendicular á la' base , señalada en él arco;
del extremo de esta linea cuelga un plomo, cuyo
hilo cae puntualmente sobre la linea quando la ba-
se ' dd instrumento está en una linea ó plaiio rperfec-
tamente orizontal. Este nivel determina mejor que? él
de ayre la cantidad de la inclinación de un plano
respecto de lá orizorital j porque tiene el arco divP
siones por las quales se conoce quanto el hilo del
plomo se aparta de la vertical.

Como los cuerpos graves al caer sé encaminan
acia el centró de la tierra , la dirección de un pkftto
que cuelga de un bramante sé encamina al mismo
punto. Luego esta dirección es perpendicular & la
superficie redonda de la tierra, cuya perpendicular
se llama linea vertical. ..<;,.< . s

3.0 El Nivel de agua CABI>. Este se compone- dé
un tubo de hoja de lata ú otro metal , acodillado en
A y B ; en los dos tubos AC , BD se introducen 217.
otros dos de vidrio 1 , JT, pegados con betún el
uno e& AC^e\ otro en BD. En- la parte inferior, y en v ^
medio fdél tubo AB hay > una virola partí colocarle
en su pie. Se llena de agua: A tubo hasta que su-
ba á la altura de 2 ó 3 pulgadas en los dos tubos
de vidrio. La linea CD que pasa por la' superficie
del agua en ambos tubos J^f, KB , es una linea*
orizontal; De donde se sigue que si mirando por dos
puntos A, B de* dteha superficie, se señala en la*
misma- linea y i cierta distancia otro punto Flexós del-
instrumento, este señalará con los dos. primeros el
nivel aparente , el qual poí razón de coger poco mas
de cien varas la distancia á que puede alcanzarla vis-
ta sin anteojo, podrá tornarse por el nivel* verdades

ro,

44? GEOMETRÍA

Fig. ro , porque en tan corto trecho es despreciable , con-»
a forme luego se ,v%rá % la diferencia de uno á otra

: J029 lEsto piesupuesto f i* nivelación puede prac-
ticarse de dos modos * por/que pu?d? el práctico plan-
tar su instrumento * qyanto cabe y á igual distancia
de los dos términos , ó primero en el uno , y des-
pués en el otro.

. 1093 < 1/ No hay; duda en 91c si desde una mis-
pía estación , con ui> mstwfnento de. altura invariable»
el qual gjempre sirvef d* *h misino, modo , se deter*
minan dos ó mas puntos de mira , ó se dirige la
puntería á dos ó mas puntos que estén ¿ igual dis-
tancia del ojo del práctico , todos dios estarán á igual
dis&anci&'del centro de la< tierra ^ eatendo. igualmente
3ltos: ó baxg», respecto, d<?l nivel verdadero , y es-
tanta por lo tramo todos i un' nivel , bien que no
1q estén respecto del qjo del observador.

Supongamos v. g. colocado el instrumento en B

318. á igual distancia de los dos términos C% D; los
dos pumos, de mira señalados , en las. perpendicu-
lares CG , DH están 4 uo nivel , bien que no la
estén cop el puftto B.

1024 Propongámonos señalar en las dos perpen-

S19. diculares , ó los dos. estadales Z?C, ED dos puntos
de nivel» Plantaremos reí, instrumento en 5, supo-
niendo el ojo en F, y, la puntería en Gy trasladare-
mos después el instrumento i E y colocándole , auan-
to cabe , de modo que el ojo esté á la altura G. Si
el segundo punto de. mira cae en F, donde estuvo el
ojo , los dos términos, estarán á un nivel , con tal que
¿ya eitfera seguridad de no haber padecido alteración
alguna el instrumento, entre una operación y otra.

«20. Si en la segunda estación no cayera d qjo en 6f
pero sí en otro punto H; si el segundo punto de
mira /distase tanto de F como 7/, deG, todos
los puntos estarán : también, á un niveL

Si

V..

/

PRjiCriC¿i.° '443

102$ Si el instrumento levantara ó baxara la pun- Fíg.
tería, de modo que las dos lineas de ambas opera*
ciones ya no coincidieran ed una *>la, ño Señalarían
el nivel verdadero , pero no por ¡eso dexarian de ser-
vir para determinarle , conforme se va á manifestar.
Supongamos primero que á la distancia BE el
instrumento levante la puntería 6 pulgadas ; le plan-
taremos-primero en B, estando el ojo en Fy la pun-
tería en 6 } para la segunda estaciofe 'se trasladará
el instrumento al término í,y defiriendo la altura
del ojo al punto G, se señalará la segunda puntería 22 1,
mas arriba de la primera altura del ojo , según que
el instrumento levanté la puntería como aquí 12 pul-
gadas á /■/, donde estará la segunda puntería. En
estfe tóiso las dos lineas de puntería forman el án-
gulo FGH , y partiendo por medio en I la distancia
FH , los dos puntos J, G estarán á un nivel.

1026 Quando las dos lineas se encuentran dentro
del ángulo , w g. en A", se partirá por medio cada
una' de las dos distancias F/2 y G/, ía una eñ Z, 222.
la otra- en M , cuyos dos puntos estarán Já nivel , y

la LKM será la linea de nivel.

1027 Finalmente , si las dos lineas no se encon-
traren dentro , sí fuera del ángulo , como aquí en

JT, se dividirán por medio las dos distancias Ff/, 223.
00\ la una en L ,• la otra en J, y ios dos puntos
I y L estarán á nivel. .

1028 Un instrumento puede levantar ó baxar la
puntería respecto del nivel aparente , cuya variedad
es proporcional á las distancias ; quiero decir que
quaxido el instrumento levanta ó baxa la puntería 3
pulgadas, v. g¿ á una distancia determinada, la le-
vantará 6, 9, 12 pulgadas á una distancia dupla-, tri-
pla , quadrupla , &c. Si un nivel puesto en B , seña-
la á la distaocia BD de 200 varas la linea de pun- 223,
tería CE que remata en E > 3 pulgadas mas arriba

que

441 G;E O ME TRÍA

Fig. que la linea del nivel apareóte CDFéf i la distan-
cia BF de 400 varas , el intervalo FG , que es lo que
djnstrumeato levanta la puntería será de 6 pulgadas*

Pqrque^mo las dos lineas J0Z), GF son para-
lelas, los triángulos CDE, CFG son semejantes; lue-
go (612) CD í DE :: CF : FG; pero CD es mitad
de CF, por consiguiente DE será mitad de FG.
- 1039 Pqc lo que mira á la. diferencia entre el nivel
verdadero y el aparente , sigue la proporción del
quadrcido de l*s distaocias ; quiero decir , que si se
sabe qual es la diferencia entre el nivel aparente y el
verdadero 4 una distancia determinada., i una dis-
tancia dupla , dicha diferencia será quadrupla, nue-
ve veces mayor á una distancia tripla, &&

P?ra. entenderlo ,. conviene considerar que la dis-
tancia á que suelen estar uno de otro los dos térmi-
nos que observamos quando nivelamos , es tan cor-

214, ta, que medida esta distancia fb en la superficie de
la tierra , se puede considerar como igual con . la
tangente /r. Pera hemos probado (649), que la tan-
. gente fjf es (media proporcional entce qualquiera se-
cante tirada desde el punto -e y su parte exterior bti
por ser muy corto el arco /¿, podemos mirar la se-
cante que pasa por el punto e , y el centro C de la
linea como igual al diámetro, esto es , como dupla
de bC ó dupla de fG\ será , pues , be el quarto tér-
mino de esta proporción qfC ; fb n fk : be. . . ,j>
1030 Por esta proposición será fácil saber qual «es
la diferencia entre el nivel aparente y el verdadero
á la distancia de 300 varas, v. g. Porque se sabe*
y á su tiempo se. declarará , que á la latitud de 43^
un grado de círculo máximo de la tierra tiene
I329SI varas, cuya cantidad multiplicada por 360
* dará 47862360 varas para toda la circunferencia > y
teniendo presente lo demostrado (641) ae sacará de
aqui que el diámetro tiene 1523506 1 varas ó 45705 183

pies:

PRÁCTICA.

MS

k
i

¡i
i

R

pe» : ya se sabe que en 300 varas hay 900 pies, se- JFig.
rá pues la cantidad que buscamos el quarto térmi-
no de la siguiente proporción.
457051 80a p : 900P - 900 : 0,00177*'% cuya canti-
dad multiplicada, per 12 dará 0,02124 pulgadas , y
multiplicada esta última por 12 , dará 0,25488 lineas
© t*=t ¿e iúiea.

Sobre estos principios se ha formado la siguiente

V

TABLA

J

í

De las diferencias del nivel aparente al verdadero.

g

Distancias. Diferencias.

Distancias. Diferencias.

Viras. Pies. ' P*lg. Lhn.

Varas. Pi*. Tutg. Un.

>

300 •• . • O. • • o« • 4

2600 • .; . O * '. • I . . 3

400 • - . . O . . ♦ O ; . y

500 . . . . O • . ♦ O . . t

2£00 . . . O • • • :I • . 4 y
2800. . * O. . . I . .5 rST

i

600 • • • • O • • • O . • 3-

2900 . . . O • . . I . . 6 *J

4

£00 • • . . O • • • 0 . • I TT

800 • .. . O. • .O. . I t

3000 . . . o . • . i ♦ . 8

*•

3 1 oo,. . . 0'. • . 1 . . 9 TV

*

900 • '• « • 0 • • . 0 . • I •$•

3200 ... . O . . • I . . 9 y

k

IOOO . . . O . . . O • . 2

33<DO . . . O . . . 2 . . O 4

f

I200 • . . O . . • O • • 3 T

3400 ...0...2..I |.

I

1300 . . t O . . . 0 . . 3 i

3500 . . • O . . . 2 . . 3 \

¿

1400 . . . 0 . . . 0 • . 4t*t

360O . • . O . . • 2 . • 4 £
3700... ©.... 2 . *Ó 4

t»

1500 . . ♦ 0 . . . 0 . • 5

1600 . . . 0 i . . 0 . . 5 4

3800... O... 2V.8

6

i*cx) . . . 0 • . . 0 . • 6 ^
1800 . • . 0 . . . 0 • . 7 T
1900 » • • o. • • 0 • • 8

39OO. • .0».. . 2 • .9 £

4000 . . . O . . . 2 w II 4

6000 . . 4 0 . • » *6 . ¿ 8

2000. .. .. 0. • .0 . .8 4

8ocx> . . • o • . 1 1 .,8 f

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12000 ¿ .12 • . ; 0^ 8X 1

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2300 ♦ • .v O . . • O . 11 íf/o

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20006.2 «o. . . 1 .. 8

¡

tgfO é 4 . VQU „l.,Wf

24000*2.2 . ♦ 10..8

En

44^ GEOMETRÍA

Kg. 103 1 En lo dicho se funda la estimación de lo que
el nivel aparente es mas alto que el verdadero, echan*
dose de ver que si á cierta distancia la diferencia
del nivel apareóte al verdadero es. una pulgada , i
una distancia dupla será 4 pulgadas; Supongamos alio-

325. ra que la linea de nivel BC levante la visual 3 pul*
gadas á la primer distancia, será preciso baxar la
mira de C á , D 3 pulgadas para señalar el nivel
aparente de B á D ; y para señalar el nivel ver-
dadero , será menester una pulgada mas , por haber
á dicha distancia una pulgada de diferencia entre
el nivel verdadero y el aparente.

Pero si el instrumento en vez de subir la visual
la baxara 3 pulgadas de D á F, entonces para señalar
el nivel aparente , será preciso levantar la puntería 3
pulgadas , y 2 pulgadas no mas. para señalar el ver-
dadero ; porque aquí se ha de rebajar la pulgada que
el nivel aparente tiene de mas que el verdadera

103a Sigúese de aquí que quaüdo un instrumento
levanta la puntería , puede dar á cierta distancia el
nivel verdadero ; un instrumento que baxase la pun-
tería \ de linea v. g. daría el nivel verdadero á la
distancia de 600 varas. Por consiguiente el que sepa
quanto el instrumento, baja la puntería á una distan*
cía determinada*, sabrá fácilmente á que distancia
señalará el nivel .verdadero.

Supongamos que á lia distancia de 2600 varas un
instrumento baje la puntería 8 lineas , y queramos sa-
ber 4 que distancia señalará el nivel verdadera Bus-
caremos en la tabla que diferencia va del nivel apa-
rente al verdadero á la distancia de 2600 varas , y
es de 15, lineas. Diremos , pues , . 15 diferencia úú
nivel aparente ai. verdadero so* á 2000* como 8 li-
nea» que baja la puntería son á un quarto término
15 : 2600 :: 8 : 1366,666*.
Si la diferencia del nivel aparente ai verdadero

fue-

PRACTICA 44f

Aiese menor que lo que el instrumento baja la pun- Fig.
tería , este señalaría el nivel verdadero á mayor dis-
tancia. Si el instrumento bajase v. g. la puntería 1 8
lineas á la distancia de 2600% la proporción seria

15 : 18 :: 2Óoov : 3120*
cuyo quaito término está diciendo que el instrumen-
to señalará el nivel verdadero á la distancia de 3120
varas.

1033 En la práctica de la Geometría ocurre ni-
velar trechos muy grandes , para cuyos casos seria
muy molesto valerse del nivel de agua ; porque al-
canzando poco la vista sola , seria forzoso multipli-
car muchísimo las estaciones. Si saliesen erradas ó
faltas de la escrupulosa puntualidad las operaciones
hechas en cada una , se erraría mucho la nivela-
ción , á no ser que por rarísima casualidad los er-
rores de unas estaciones enmendarán los de las otras.
Esta ha sido la causa por qué hombres de mucho
conocimiento en la Matemática , y muy prácticos
han discurrido niveles con anteojos de larga vista,
los quales con la circunstancia de ser de mucho
alcance juntan otras dos ; á saber, la.de ser de fácil
construcción , y de uso acomodado y seguro. La
construcción de todos ellos se funda en la propie-
dad que goza el agua , como todos los demás flui-
dos , de poner orizontal su superficie , esto es , de
ponerse y estar todos los puntos de su superficie á
igual distancia del centro de la tierra, y por con-
siguiente á un nivel. El nivel que entre todos los
que conozco merece la preferencia es el de la Hire,
individuo de la Rea) Academia de las Ciencias de
París; pero perfeccionado primero por Couplet, y
últimamente por Deparcieux , ambos individuos del
mismo cuerpo.

Construcción del nivel

1094 Compónese este nivel de dos partes, de las

qua-

448 GEOMETRÍA

Fig. quales la primera es ún caxon ABCD de madera
ligera, en el qual hay dos vasijas de hoja de lata
EFG , EFG , donde se echa agua , cada una den

126. pulgadas , 8 lineas de largo , por 8 pulgadas 2 lineas
de ancho desde H á /, y 5 pulgadas 3 lineas de fon-
do , comunicándose una con otra por medio de dos
tubos EG. La distancia de una vasija á otra pende
de lo que cogen de largo los anteojos , y de la que
se dexa entre las caxas donde se mete* , io qual
compone la segunda parte del rástrutivpto.

Ésta segunda parte se compone de tres tubos

227. My ,M> %M y dos caxas L , L , cerradas por todos
lados 9 de 9 pulgadas , 1 1 Úneas de largo cada una,
por 7 pulgada^ de ancho , y 4 pulgadas 8 lineas de
profundidad , sobre las quales están soldados ó fir-

226. memente asegurados por lo menos los tres tubos.

227. En LML se demuestra esta segunda parte vista de
lado, la segunda figura demuestra su cara superior,

328. y la tercera la pinta vista por un extremo.

Los dos tubos NO , NO de los dos lado? son dos
anteojos contrapuntados , esto es, que llevan los vi-
227. drios que sirven para mirar, y están del lado del
ojo ,, por cuyo motivo se llaman oculares , en ex-
tremos encontrados ; mediante lo qual se puede mi-
rar al lado que se quiera sin necesidad de volver
el instrumento , cuyos anteojos son necesarios pata
ajustarle y versificarle.

En el suelo de afuera de cada caxa L? L hay
pegada ó soldada una platina de plomo de unas dos
libras de peso ; y ademas de e3te peso hay otro P
también de plomo de una media- libra en el tubo
del medio , al qual se le empuja del lado que se
quiera por medio del tornillo QR>

Este tornillo ha de estar sin vaga alguna , y muy
ajustado en sus dos extremos, para lo qual se pro-
cura esté muy arrimado á las entradas interiores de

las

PRACTICA 449

las platinas SS, que en cada extremo sirven de ta~ Fíg,
pa al tubo ; cada una de estas platinas está soldada 227.
á un cabo de tubo de una pulgada de largo, el qual
catea ajustado en el grande , doride se les asegura
con dos tornillos ó dos garfios.

Los cuellos del tornillo salen como una. pulga-
da cada uno , de la. qual ki mitad mas próxima á la
punta. <5 extremo se hace quadrada para agarrar el
tornillo con una llave de péndola quando se le quie-
re dar vueltas \ .la otra media pulgada, que se que*
da redonda. Sirve para lo que luego se dirá.

£1 peso P que el tornillo empuja mediante una
tuerca con muelle i .la. qual está soldado ó afian-
zado con tornillos , sirve .para. poner orizontal el ni-
vel y ó indinarle del lado y; la cantidad que. se quie*»
ra : ha de estar asegurado en .un tubo . TT de. Jhoja
de lata y ó cobre muy delgado, que pueda correr
desabogado por el grande quando se empuya el per
so P dando vueltas al tornillo QEL Este* tubo, sir-
ve allí para tener tapada una abertura que . hay en
la parte de arriba del tubo del medio , la qual co*
ge desde el medio de su largo hasta .cosa de una
pulgada cerca del uno de sus extremos , cuya aber-
tura lleva un índice ó una mano pegada al tubo inte-
rior, el qual le impide dar vueltas dentro del grande,
y señala loque el peso P anda acia Q ó acia Jl, se-
gún dé el tornillo vuelta á la derecha ó 4 la izquier-
da. Conviene, pues, que la tuerca á la qual está pe-
gado el peso P sea de muelle,, á fin de que no ha-
ya holgura alguna, ni tiempo perdida

Los anteojos han de estar, según diximos ai>-
tes ,>o%gtrapuntados, quiero decir que el ocular del
une? ha de estar del. lado del objetivo del otro. Se
les puede dar de largo lo que se quiera; pero si
se les diere de largo mas de .tres pies y medio,
el nivel será poco manejable; y si se les diere me-
Tam. I. Ff nos

4S» GMVMETRtA

Fig. nos de 21 pulgadas, no servirán con toda la exác*

v titud que se desea , y el nivel tardará mas tiempo
en fixarse. . ■ 1 .

Cada anteojo ha de llevar del lado del ocular un

227. diafragma V, soldado al extremo de un tubo de
tujas 4 'pulgadas 8 lineas , el qual debe entrar ajus-
tado en él tubo del anteojo. Hay en el diafragma
dos quadrados pequeños con su agugero redondo
cada uno \ algo mayor que el agugero del diafrag-
ma, ai qual se pegan con cera dos hilos de seda
cruda , cuyos quadrados se pegan á las dos caras
de. la plancha que forma el diafragma , con propor-
ción para que puedan correr por correderas en di-i

229. recciones .perpendiculares una á otra. Aquí demos»
tramos separadamente el diafragma coa su tuba
t. Si todo el instrumento se hiciere de hbja déla*
ta ,< los diafragmas v sus quadrados y correderas se
podrán hacer de lo mismo, en cuyo caso se echa-*
rá á* laf correderas un poco de cera para que «el
movimieptp de los quadrados sea mas stpve , se
los pueda empujar tan poco como se quiera^ y sé
mantengan donde se dexea Pero aunque todo el ins*

2 29. frumento sea de hoja de lata, se podrán hacer de
•cobre los diafragmas , igualmente que los quadrados
y sus correderas , y entonces 4 cada quadrado le
empujará un tornillo 2% y le rempujará un muelk
Z , y esto es mucho mas acomodado para arreglar
el nivel.

/ En el extremo del tubo donde está soldado d
diafragma, es preciso 'haya un agugero algo gran?
de cerca de las correderas para que pueda correr
el quadrado de la parte interior del diafragma.
- : La superficie exterior de este tubo se unta con
un poco de cera blanda antes de meterle en el tubo
del anteojo ; á fin de que no se descomponga una
vez puesto en su lugar.
... ,i El

\ARAC\riCA.~\ 45*

;•-.: El tubo del antebja también tient. en un 1j*Jo Fíg^'
unp abertura? de una* fres; pulgadas y media, dejar- : ^
go • , da. qual se oerra is>n una £ocoe*U£Ui asegurada
ea tradado^d^i tubo del anteqfa pac »edk> de una
charnela, y por el otro se suelta con una aldavilía
que pasa por muchos ániüos , del mismo modó>que
se cierran con una*' cadena las maletas. > -r

-. La,caxa^i?C2)¿ lleva ana tapa de la misma ma*226.
dera, abierta por sus dos extremos-, xruya tapa sin
ve para prefcavter ,que coa el viento bambolee íék
niyeL ."-..'■.. . t

-.. El pie del instrumento st hace como el de i»
gcafi5rpcíxav «solo *que las -piernas han de ser maJ
fuertes- En medio de la caxa hay. un hueco ,K úñ
madera, en el qual encaxa la cabeza del pie; el hue-
co está asegurado por medio de un travesano de ma-
dera , clavado en los dos costados de la caxa.
•' Con la mira de que el pie se. pueda 'llevar con
comodidad , y meter en una misma caxa con el ni-*
vel* se quebrantan por medio sus tres piernas, y
se doblan mediante una charnela , llevando cada pier-
na una virola de cobre ó hierro.de la mistna for-
ma que ella , para que corra hasta la junta de la
charnela quaado se quiera que las dos piezas de ca-
da pierna sé mantengan derechas,
* , Se necesitan también dos piezas de hierro co-»33Q»
mo esta , las quales sirven . de tentemozo al nivel
quando se le quiere arreglar ; para cuyo fin se plan-»
ta uno en cada extremo de. la caxa del nivel > ó en
U madera , ó en dos pitones , de, modo que estén
muy firmes , y no bamboleen. En el* extremo X hajr
una muesca angular , á fin de que los ¿tes que en
ella dan vueltas se mantengan constantemente en el
mismo sitio. : ?

Asegurados que estén los dos tentemozos cada
uno á un cabckde la caxa, se .planta encima el ni*
:.,j Ff2 vel,

4¿» GEOMETRÍA

Fig. vel , colocando- los extremos del tornillo QR en 1»
227. muescas de los tentemozos , acodillados para que
pueda dar vueltas el nivel con mas comodidad so-
bre los dos extremos del tornillo , y sin moverle
de su sitia

Quando se quiera pasar de una estación á otra,
para trasladar con mas comodidad el instrumen-
to, lleva la caxa una asa en cada extremo, y pa-
ra evitar que dé golpes * se levantan los anteojos á
fin de que baxe el agua al fondo de las vasijas , ó
sino , se acomoda un cabo de tubo al fondo de la
toa de dichas vasijas para echar el agua en un cán-
taro. Esta es la construcción del instrumento, vea*
mos como se verifica^

Verificación del nivel*

1033 Se . buscará un sitio desde d qual se pue-
dan ver objetos muy distantes , como una legua ó
mas , y pondrá la caxa á nivel encima de una me*
3a muy segura , cargándole algún peso á fin de que
no se descomponga con facilidad ; se pondrán los
tentemozos, en su lugar , y encima del nivel ; antes
de esto se dispondrán las hebras ó hilos de las cor-
rederas de cada diafragma en aspa, lo qual ser&
mas acomodado que no poner uno orizootal y otra
vertical. Los vértices de los ángulos que forman las
hebras á derecha é izquierda sirven para formar jui-
cio del punto del nivel.

Estando asi dispueso , se levantará uno ú otro
de los extremos de la caxa metiendo por debaxo
«na cuñita , hasta que el encuentro de las dos he-
bras dé en algún objeto muy distante ; después se
trastornará el nivel , de modo que lo de encima
esté debaxo , sin menear la caxa , y se mirará si el
encuentro de los hilos corresponde al mismo obje-
to:

4¿» GEOMETRÍA

Fig. vel 9 colocando los extremos del tornillo Q/R en las
227. muescas de los tentemozos , acodillados para que
pueda dar vueltas el nivel con mas comodidad so-
bre los dos extremos del tornillo , y sin moverle
de su sitia

Qaando se quiera pasar de una estación á otra,
para trasladar con mas comodidad el instrumen-
to, lleva la caxa una asa en cada extremo, y pa-
ra evitar que dé golpes * se levantan los anteojos i
fin de que baxe el agua al fondo de las vasijas , ó
sino , se acomoda un cabo de tubo al fondo de la
ana de dichas vasijas para echar el agua en un cán-
taro. Esta es la construcción del instrumento , vea*
filos como se verifica-.

Verificación del nivel*

1033 Se . buscará un sitio desde d qual se pue-
dan ver objetos muy distantes , como una legua ó
mas » y pondrá la caxa á nivel encima de una me-
3a muy segura , cargándole algún peso á fin de que
no se descomponga con facilidad ; se pondrán los
tentemozos en su lugar , y encima del nivel ; antes
de esto se dispondrán las hebras ó hilos de las cor*
rederas de cada diafragma en aspa, lo qual ser&
mas acomodado que no poner uno orizootal y otra
vertical Los vértices de los ángulos que forman las
hebras á derecha é izquierda sirven para formar jui-
cio del punto del nivel.

Estando así dispueso , se levantará uno ú ocio
de los extremos de la caxa metiendo por debaxo
una cunita , hasta que el encuentro de las dos he-
bras dé en algún objeto muy distante ; después se
trastornará el nivel , de modo que lo de encima
esté debaxo , sin menear la caxa * y se mirará si el
encuentro de los hilos corresponde al mismo obje-
to:

P dó¿

4¿» GEOMETRÍA

Fig. vel , colocando los extremos del tornillo QR en las

227. muescas de los tentemozos , acodillados para que

pueda dar vueltas el nivel con mas comodidad so*

kre los dos extremos del tornillo , y sin moverle

de su sitia

Quando se quiera pasar de una estación á otra,
para trasladar con mas comodidad el instrumen-
to, lleva la caxa una asa en cada extremo, y pa-
ra evitar que dé golpes * se levantan los anteojos á
fin de que baste el agua al fondo de las vasijas , ó
sino , se acomoda un cabo de tubo al fondo de la
«na de dichas vasijas para echar el agua en un cán-
tara Esta es la construcción del instrumento, vea-
mos como se verifica^

Verificación del nivef*

1033 Se . buscará un sitio desde d qual se pue-
dan ver objetos muy distantes , como una legua ó
mas » y pondrá la caxa á nivel encima de una me~
3a muy segura , cargándole algún peso á fin de que
no se descomponga con facilidad ; se pondrán los
tentemozos en su lugar , y encima del nivel ; antes
de esto se dispondrán las hebras ó hüos de las cor-
rederas de cada diafragma en aspa, ¡o qual será
mas acomodado que no poner uno orizootal y otra
vertical. Los vértices de los ángulos que forman las
hebras á derecha é izquierda sirven para formar jui-
cio del punto del nivel.

Estando asi dispueso , se levantará uno ú otro
ele los extremos de la caxa metiendo por debaxo
una cunita , hasta que el encuentro de las dos he-
bras dé en algún objeto muy distante j después se
trastornará el nivel, de modo que lo de encima
esté debaxo , sin menear la caxa , y se mirará si el
encuentro de los hilos corresponde al mismo obje-
to:

^

p JJZ

\

4¿» GEOMETRÍA

Fig. vel , colocando tos extremo» del tornillo QJt en las

227. muescas de los tentemozos , acodillados para que

pueda dar vueltas el nivel con mas comodidad so*

bre los dos extremos del tornillo, y sin moverle

de su sitia

Quando se quiera pasar de una estación á otra,
para trasladar con mas comodidad el instrumen-
to, lleva la eaxa una asa en cada extremo , y pa-
ra evitar que dé golpes * se levantan los anteojos á
fin de que baxe el agua al fondo de las vasijas , ó
sino , se acomoda un cabo de tubo al fondo de la
teía de dichas vasijas para echar el agua en un cán-
tara Esta es la construcción del instrumento , vea*
mos como se verifica^

Verificación del nivek

1Q33 Se buscará un sitio desde el qual se pue-
dan ver objetos muy distantes , como una legua ó
mas » y pondrá la caxa á nivel encima de una me-*
3a muy segura , cargándole algún peso á fin de que
no se descomponga con facilidad ; se pondrán los
tentemozos en su lugar , y encima del nivel ; antes
de esto se dispondrán las hebras ó hilos de las cor-
rederas de cada diafragma en aspa, lo qual será
mas acomodado que no poner uno omootai y otr#
vertical- Los vértices de los ángulos que forman las
hebras á derecha é izquierda sirven para formar jui-
cio del punto del nivel.

Estando asi dispueso , se levantará uno ú otro
de los extremos de la caxa metiendo por debaxo
una cuñita , hasta que el encuentro de las dos he»
bras dé en algún objeto muy distante ; después se
trastornará el nivel , de modo que lo de encima
esté debaxo , sin menear la caxa * y se mirará si el
encuentro de los hilos corresponde al mismo obje-
to:

\

PRACTICA 453*

to : si correspondiere , se dexarán los hilos en este Fig.
estado ; si no 9 se empujará cada uno de los dos qua-
dros del diafragma, de modo que cada hebra se
acerque al objeto la mitad de lo que de él dis-
tase ; se dispondrá de nuevo la caxa de modo que
el encuentro de los hilos dé en el objeto ; se tras-
tornará el nivel lo de arriba abaxo para ver si el
encuentro de las dos hebras corresponde al mismo
objetó; si no correspondiere , se empujarán los hilos
acia donde convenga , hasta que el encuentro de
los hilos dé siempre en el mismo objeto. Lo propio
se practicará con el otro anteojo , y verificándose
con amhos la misma circunstancia , será señal cier-
ta de estar los exes ó rayos del uno paralelos con
los del otro,

- Si las correderas del diafragma estuviesen algo
premiosas con la cera que se les pegase, se pasará
arrimada á ellas una cerilla encendida para derre-
tir ó calentar la cera , á fin de que los hilos no
puedan mudar de lugar quando se traslada el ins-
trumento de un sitio á otro ; bien que siempre se-
rá acertado verificarle después de un viage largo
antes, de servirse de él j pero pocas veces habrá que
llegarle si se tomase todas las prevenciones que he-
mos dicho»

Entonces se quitarán los tentemozos 9 se plan-
tará la caxa sobre su pie , se echará agua en las 231.
vasijas , y en estas se meterán las caxas que llevan
los anteojos ; se levantará y baxará la caxa hasta
encontrar un objeto muy distante en el qual dé el
encuentro de los dos hilos, se dará vuelta al ins-
trumento para mirar al mismo objeto con el otro
anteojo ; si el encuentro de las dos hebras de esté
segundo anteojo diere en el mismo objeto, el nivel
estará arreglado , y el objeto en la linea del nivel
aparente que pasa por el encuentro de los hilos.

Ff3 Si

4S4 geometría

Fjg» Si el encuentro de los hilos del segundo anteo*
jo no diere en el mismo objeto , se dará vuelta al
227. tornillo QR del lado que convenga para empujar el
pesp P acia Q ó acia R , según estuviere el objeto
mas arriba ó mas abato que el encuentro de los hi-
los , á fin de que la representación del objeto suba
ó baxe la mitad de la diferencia j entonces se bus-
cará otro objeto en el qual dé el encuentro de los
dos hilos ; se dará vuelta al instrumento para ver si
el encuentro del otro anteojo da también en el mis-
mo objeto 9 7 se repetirá la misma operación si fue-
se necesario, hasta que los encuentros de los dos
anteojos tapen siempre un mismo objeto , .y estará
arreglado el nivel.

Entonces se hará una señal en el tubo del me-
did acia el índice , el qual no conviene asegurar has-
ta estar arreglado el nivel con corta diferencia.

Si se quiere que el nivel señale los minutos y
segundos de inclinación , se medirá en un terreno á
nivel quanto quepa , el trecho que se quiera , des-
de el pie de un edificio ó árbol muy vertical ; y
quanto mas larga fuere esta basa , tanto mejor será*

Se buscarán las tangentes de los ángulos de uno,
dos , &c. minutos correspondientes á un radio igual
á la basa dad<|. Se plantará el nivel en el uno de
sus extremos , y se señalará en el edificio ó árbol pues-
to en el otro extremo el punto de nivel aparente
que cubra el encuentro de los hilos ; mas arriba de
cuyo punto se señalarán lo que cojan de largo las
tangentes halladas de uno , dos » &c minutos. Se
empujará el peso P hasta que el encuentro de los hi-
los dé en cada uno de los puntos » donde rematan
Jas tangentes, haciendo sobre el tubo en frente del
Índice una señal correspondiente á cada uno de es-
tos puntos , y quedarán señaladas en el nivel las di*
visiones correspondientes á las declinaciones de mi-
no-

o

PRACTICA. 455

ñuto en minuto , las quales seri fácil dividir en 6o Fig.
partes iguales para que señalen los segundos..

Los espacios de minuto en minuto , y por consi-
guiente los de segundo en segundo será» tanto mayo-
res , quanto menor fuere d peso P^y las caxas EE 227.
donde están pegados los anteojos fueren mas anchas 231.
y poco hondas y angostas ; porque siendo las ca-
xas anchas y poco alus , los anteojos hacen menos
balances en la dirección vertical , y esto es mucha
ventaja. /

Donde no hubiere oficiales bastante diestros pa-
ra arreglar el peso y el tornillo del tubo del me-
dio , ó quando no se quiera que el nivel señale loe
minutos y segundos de inclinación , bastará meter
en el tubo un cilindro de plomo de media libra de
peso , de grueso igual al hueco del tubo , asegu-
rándole en su lugar con dos cilindros de madera
ligera, que entre los dos no llenen todo el hueco
que dexare en lo largo del tubo el fJeso de plomo,
y llenando lo demás con rodajas muy delgadas de
asadera , cartón ó naype á fin de empujar el peso
tan poco como se quiera , quitando una rodaja del
on extremo del tubo para pasarla al otro, porque
importa que todo el hueco del tubo esté lleno á fin
de que el peso no pueda mudar' de lugar una vez
que esté ¿gustado.

Para precaver que las dos caxas flotantes EE to- 231.
quen las paredes de las vasijas donde está el agua,
se pueden soldar en situación orizontal algunos tu-
bitos de hoja de lata de linea y medial de diáme-
tro al poco mas ó menos junto i los ángulos ex-
teriores JE , JE de las caxas L , L , metiendo en 227.
cada uno tres ó quatro cerdas de. jabalí salientes
como media pulgada , ó lo mas que se puede , con
tal que no toquen á un tiempo las dos paredes opues-
tas, del vasa j ..-•. . .

Ff4 Prác-

Elfr

456 GEOMETRÍA

Práctica Se Nivelación.

1034 Dos modos hay de. averiguar si dos punto*
están á un nivel , ó quanto falta* i#° indagándolo con
una operación ó estación sola desde el medio de la
distancia que separa los dos puntos , ó desde el uno
de ios dos ; esta, se llama nivelación simple ; 2. ave-
riguándolo con muchos operaciones ó estaciones,
plantando succesivamente el nivel en diferentes pa-
* rages de la distancia que separa un término de otro;
esta se llama nivelación .compuesta* De ambas se da-
rán exemplos.

Antes de empezar la nivelación , enviará el prác-
tico un Oficial inteligente á . cada término para que
le presente un estadal , manteniéndole muy derecho
y perpendicular al punto del término.
232. A es una tabüta de un pie en quadro de ma-
dera muy ligéfca que; ha de correr por. el estadal
de arriba ábaxo, y de abaxo arriba, la qual se afir-
ma al estadal con una sortija de hierro que tiene de-
trás , por medio de un agugero á manera de tuer-
ca , en la qual se mete una llave atornillada que afian-
za la tabüta de modo que no puede descomponerse.
- £1 estadal está dividido, en pies , pulgadas y li-
neas 9 y la tablita en dos partes iguales con una li-
nea orizontal , la una blanca , y la otra negra, sien-
do su cara trasera toda negra.

Para comodidad del Oficial se junta con la ta-
blita un palo DE de urta vara* de largo, el qual
puede correr* á lo largo del estadal, cabiéndole am-
bos en la mano , con el fin de subir y baxar la ta-
blita , según convenga. Si un estadal no bastare, se
juntarán dos , ó los que fuere menester*

. Dispuestos que estén el nivel y el estadal, mi-
rará el práctico con el anteojo, mandando con la

voz,

yoz, -^ |kmp señas al Oficial que* suba ó baxe la tá- Fig.
blita ¿asta; que el encuentro de los hilos dé en la
linea orfronul que separa la, mitad, blanca de lanoi-
tad negra: ¿lecho e&to* hace seña al Oficial de apee-
tar la llave para asegurar la tablit^ en aquel s pumo
que será el de la puntería. Esta operación se repi-
te respecto de cada término.

Nivelación simplei)) .v ¡ ! i,

- 103S Sean A, 5 los dos téraqn<}s<.de la nivelación
C9 D los dos puntos de nivek Mídase la distancia 233.
AC3 y supongamos fea de 6 pies , que sé apuntarán
en un¡;lihi:o de. memoria-, <5 libutx) ahecho > para este
fin; mídase después. la distancia BJD9 que supondre-
mos de 9 pies que tam- .r .» , !
bien se apuntarán »,como. ;v,o&-i©#**0'i
aquí figuramos ; y restan^ ♦ • 0—0—0

dp 6 de 9, , .expresará la — — —

resta 3 quanto el según- .3-*-o*-a ¿
da: tócmiiio íB\ efrf mas bar. - •. . . .1 . v d
lo ¿que* eLpsiateru > oí ;//;.. ■ j¡ . x í

En este exemplo los dte técihinoa <Je Ia nivela-
ción estao debata de la linea y. de los puntos de
nivel , como sucede comunmente j pero si . estu-
vi€9e&» mas f . arriba > ; como aquí A , B que \ son 108*234,
términos >dp;la nivelación :f y. C, D Job puntos de
nivel , se. medirá la distancia AC de. 6. pies, y. la
i?Z) dex)*y apuntándo-
las .conforme hemos dicho* 6— o-rO
y aquí se vé , y practican- 9 — o-r-o
do la sustracción* la res- »> , ■ . n t
ta 3 pies señalará quanto 3—O—0
2? está mas alto que A.

Finalmente , si el uno de los dos términos estu-
viese mas alto > y el otro mas baxo que la linea de

• ni-

45? GWMBTAtA

Fig. niveL, corto aquí dotifie B festá tres pies más alto,
235. y A 9 pies mas baxo , en este caso, para sacar la
diferencia, de. nivel entre* Üos dos puntos , se suma-
ran? una ¿on otda las dos cantidades, y se hallará
qne- mí está id pijes mas abatid que B.
• ¿*, .«','.. •

Nivelación compuesta.

1036 El modo propuesto poco ha de apuntar y
calcular la nivelación simple se practica igualmente
m :la compuesta; pero en la última se ha; de se-
guir con suma prólixidad , porque el mas leve des-
cuido puede ocasionar errores que solo pueden re-
mediarse con repetir tuda Ja operación desde el prin-
cipio. Propondremos un exemplo no mas de nive-
lación compuesta

Propongámonos- averiguar á que altura están uno
£36, respecto de ocro des ríos en los puntos A y Ni cla-
ro está que es preciso executar una nivelación des-
de un término áotrQ.

Á este fin el Arquitecto esperará1 ún tiempo so-
segado en que las aguas no experimenten grandes
alteraciones , mandará plantar á un tiempo en ca-
da término dos piquetes 4 flor de agua * á los qua-
les 9 una vez plantados , na debe llegarse por mo-
tivo alguno, aunque las aguas suban ó baxen en tino
u otro de los dos términos; porque aquí todo el
emppño egtá en. saber quanto la * cabeza < del uno de
los piquetes está mas ó menos alta que la del otro,
lo que señalará la altura recíproca de los dos ríos
en los puntos: señalados.

Despues-reeeaeeefá el terreno de entremedias,
sacando su mapa puntual^ el qual le enseñará el
camino por donde habrá de correr la nivelación, y
otras cosas conducentes á su asunto.

Supongamos que tenga por mas corta pan ir de

A

PRACTICA* 459

A 4 N la linea de puntos ACHN } le proporcio- Fig.
qm& este-.ceiK>GÚB¡eate detafnii«ar^e«^ guantas asta 236.
dones podrá ir desde jí á N y y supondrémps seah
12 usas mas largas que otras , según los casos. \

En cada término A^ B , C, D &c. se plantará un
piquete de dos pies de largo si el terreno fuere ftr- 236.
me, y de tres pie$ si el terreno fuese movedizo
é arenisco; cuyos piquetes no hatí de4 pasadla su-
perficie de la riertra mas de dos. ó tres 'pulgadas pia-
ra precaver que Í0s arjanqiíen , y se puedait hallar
siempre que se quiera , dado caso que suceda, algún
accidente en el discurso de la nivelacíop. . t i

También áé señalaran c¿>n pi^uetes^pbntádos ifi
píe en tierra los; piintés de • lasT eétactories que eí- .
tárán eni, 2| , $ &d y después %cd& dividir aria hoja
del libro en <j columnas ,.se empegará- la nivelación.

Se plantará el instrumento en lá pfínier estación
1 á igual distancia de cada uno der los dos 'téma-
nos A*'yx S , y si los suponemos alistantes uno de
otro 166 estadales, la linea de nivelación será por
lo mismo 83 estadales 3e cada lado.

Se escribirá , pues , th la primer columna el pri-
mer término A; en la segunda , los pies , pulga-
das , &c. que la puntería a , que es el punto de
nfvti señalado en los estadales ppf el encuentro de
los hilos * estará mas alto, que A , cuya cantidad
suponemos de 7 pies o pulgadas. En la tercer co-
lumna se señalará el segundo término 2?, y en la
quarta los pies , pulgadas &c. *jue la puntería b es*
tuviere, mfts alta que, el. término £, que aquí será
6 pies; finalmente, en, h quinta columna se apun-
tará la' distancia de un término, á otro , que aquí es
de j66 estadales.

Pri-

46o

GEOMETRÍA

Fig.

Primer
térnihio.

A

f

D

■■!•:
-.■?•■

Altura.

7
4

12

'I

7
7

6 o
.6 o1

8 6

o o
io p

o

ti

.3,0
43
o o

S o

Segundo
término.

B
C
D
E

H
I
K
Z

Altura,

4

2

4
IO o

8 io

\

io

5
8

7

o

a

4
io

/

Distancia.
Estadafes.

250
* . 240
240
250
300 -
250

110

13°
250

.250

250

76 ¡9 7

.'*'.'

8» a 5 r *686

76 9 7

5 4 6

Para la segunda estación se llevará el instruí
mentó al punto señalado 2 , tambieú á igual dis-
tancia de los puntos B y C\ que serán ahora lo*
dos términos de la nivelación j de modo que siendo
B el segundo término en la primer operación , se-
rá en esta segunda el primero. Se escribirá , pues,
como antes én la primer columna B , en la segun-
da 4 pies 6 pülg.' o , enf'ta tercera el segundo tér-
mino C9 en la quarta 5 6 2 , que expresan lo que
la puntería d estará mas alta que el término ; en fin
en la quinta columna se apuntarán 250 estadales,
distancia de un término á otro.

Pa-

PRACTICA. 461

Pira tercer estación, como la desigualdad del Fig*
terreno 110 consiente se piante el instrumento á igual
distancia de los dos términos, convendrá, después-
de señalar el sitio que mas acomodare paraetto, v. g.
3 ¿ apuntar su distancia á cada término que desde 3
á C supondremos de 160 estadales , y de 80 desde
3 á Z>; lo demás se liará del mismo modo qué
en las estaciones pasadas.

Por lo que mira á la quarta estación, se segui*
rá un método parecido al de la tercera }• quiero de-
cir que deberá señalarse una distancia de 80 esta-
dales desde el primer término D al -punco de la
estación 4,. y una distancia: de 16a estadales desde
el punto de la misma estación 4 hasta el segundo
término E. ' <

Respecto de las ocha > estaciones que • faltan , se
practicará lo mismo que respecto de las quatro pri-
meras, apuntándolo todo cuidadosamente en cada co-
lumna como antes; y en llegando, ai último térmi-
no N donde acaba la nivelación , se sumarán unas
con otras las paradas de cada columna. Hecho es-
to , se restará la suma de la primer columna de la
suma de la segunda , la resta expresará lo que el
término N estará mas, baso de A.

JBerfii de esta Nhilaáhn.

1037 Concluida la nivelación, se trazará su per-
fil, para lo qual se tirará en el plano una linea
recta de pumos 00 que representará la linea de ni- 237.
veL Desde todos los puntos que en el plano re-
presentan estaciones é términos , se tirarán otras tan-
tas perpendiculares á dicha linea , de las quales las
unas figurarán los estadales plantados en cada tér-
mino, y las otras la posición del instrumento en
cada estación.

Em-

4& GJtiVmB F.AÍLÍ

fift \ Eoipezandó, pues, por elpraraertémritiD :*f/flon-
de es¿á la primee > per pendifiriar , sé señalará enrtd
.estadal plantado, en dicho, térmfwi an! punto a á- la
aj u*V ..y y-r. 6 — p , . di&rencia del puutrédo nivel, y dd

237.íéi?miní) ^ Por: el>i punto a se toara aína? paralela 4
¿^línearí de, nivel-, cuya paralela cortará* Ja tercer
pftcperidksfllar éa ¿ ¿del segundo estadal.- Debajo -del
punto b se señalarán 6 pies hasta djoctactáe estará
^^e^tBtdp.tócinmo), dental primer nWslacibn v por
c^sigufeipe, se echará ile toerque. en/ei término A
murar di 3feroBQO..i frr^6.***o mas alto qué A. ¿

¿,. £n medtp de Wb cbw coralinos « figurará «I instruí
SMOto -á Ifcj; abura de iaj linea. de nivel, ; y se dibu*
sárá^el tenjenaick ieritromediaft'-ooB¿ expresión; dt
sus diferentes desigualdades. Se señalará después en
*i sqguútdo estadal iaialouiatdel puntb de iüvd pa-
ra la segunda estación mas arriba del término i?¿
4 — 6— o v. g, en c , por cuyo: punto se tirará una
recta también paralela á la linea de puntos que frl
gura la linea de. nivel, lat.qual cortará la quinta
perpendicular, en d del tercer ¿estada} j desde ¿se
bajará 5 — 6 — 2 hasta C, i donde estará* el segundo
término respecto del antecedente y y; el tercero res-
pecto del primero* : En medid ,< y á igual, distancia da
los dos términos , v. g. en 2 , se figurará el instrumen-
to á la alturar.de U.Knca .debita! ,\ y se dibuxa*
rá el terreno que hubiere entre los términos y la
estampa r expresando *sufc diferentes akurSs y des-
igualdades. Haciendo después lo mismo desde cá+
■ . da. término y cada estación á. otra , hasta el última
término, ¿V, quedará puntualmente trazado el peHü
del terreció por, donde pasare la nivelación, como
aquí de toda U linea de puntos ABCD fito -

Lo mismo se practicará con todos los perfiles

que ocurriere trazar 4 bien de alturas , campiñas,

rios , canales , fuentes , ataguías , &c. una ra que

1. .1 " «-

PRÁCTICA. 463

este puntualmente señalada la altura #de cada tér- Figl
mino de la. Kuvelacioar. y de cada estación. :

Pero el perfil <dp una nivldacjoá puede hacerse
de dos manera» diferentes , seguir lp mira con qué
se baga ; porque; si la mira fuese señalar- no máá .
}¡k diferencia de altura de los, dof términos,- ba6ta¿
rá trazar el perfil conforme acabamoe de> proponer}
pero : si la mira fuese señalar* con individualidad la
altura del terreno entre los dos terruños $ se ha
de seguir otro método que varaos á especificar, del
qual el declarado poco ha puede considerarse co-
mo, parte. Declaremos el, segando método apikán*
doto á nuestro cxemplo*

KQtfo método para, trazar ion mar Individualidad
t. ; . -,:* ti perfil de una nivelación* •'*

a . 2038 . Aquí suponemos executada la nivelación des^
de A hasta N por- otro terreno que ei antecedente
fue se hubiere reconocido ser mas igual y fanenos
4U0 respecto del nivel dé los dos rios, á fin de
abrir , para comunicación de uno con otro , el ca-
nal señalado OPQRSIVXr. 238.

Con esta mira se trazará , sin atender al plano,
«na recta de puntos v. g. desde Z á 2% cuya linea
señalará , como en el perfil antecedente , la linea
de nivel que ha de regir para todo lo demás.
- Á esta linea de nivel se le bajarán perpendicu- 238.
lares , las quales señalarán los términos de la ni-
velación, y la verdadera distancia de uno á otro.

Una vez que en está segunda nivelación no pue-
de menos de sacarse la misma diferencia de nivel
5 — 4—6 que en la primera, entre los dos térmi-
nos extremos se señalará, para empezar el perfil,
5 — 4 — 6 en la perpendicular al punto O , primer
término de la nivelación. £n~et mismo. punto O,
\: pro-

464 GEOMETRÍA

Fi& prolongando Ja perpendicular, se figurará el primet
estadal , ea el qual se señalará én 4, del mismo
piodo que en dt perfil- general pasado, el pumo de
nivel coa arregla á su altura respecto del término

238. 0; lo propio se practicará cónrel segundo, tercer
ro r &c. estadal jr los siguientes , hasta <el último
ormino , confiwme se dixo aotos^ ..M - *

.Trazadas 4ué estén las ittne» de nivel desde un
punto á otro?, conforme* pintan la figura 4 'bolo Ma-
tará especificar las diferentes aburas del serrano que
hubiere entre un término y otro. Las -diferencias
puedeqi ser grandes , óv cortas , esto «S , igual ; \ú
que importa es que con un buen/ anteojo .se puedta
ver desde un término á otro.

. - Se verá , pues * que -el tecreoo lettito O y Pao
es igual , y para señalarle en el perfil como él es,
se expresarán las desigualdades con su verdadero
valor ; se plantará desde luego el instrumento en
el uoo de ios términos, v..g. en P, procurando
que el encuentro de las hebras cubra el punto de
nivel señalado b ; mirando después acia el primer
término O, se levantará ó bajará la puntería hasta
que el punto de nivel señalado mas arriba del pri-
mer término corresponda puntualmente al encuentro
de los hilos $ la linea de puntería de un pumo á
otro señalará la linea de nivel.

Si hecho esto, se manda plantar un piquete cer-
ca de la orilla en a para señalar la altura de la ori-
lla del rio respecto del primer término , y se pre-
senta sobre este, piquete el estadal , se mirará á que
altura la intersección de los hilos corresponde en el
estadal, y supondremos que sea á la de 4 — 10— Oí
se trasladará á la linea de nivel la distancia del
primer piquete al primer término , desde donde se
bajará una perpendicular, en la qual se señalará la
, distancia 4— K>— ~0> al punto a<, esto determinará la

al-

Practica* 4*$

altura del primer piquete , ó , lo que es lo propio, Fi#
la altura de la orilla del rio respecto de la super-
ficie del agua , conforme el perfil manifiesta.

Si después de esto se planta , caminando acia bf
otro piquete en la misma linea de los dos térmi»
nos , y sobre el piquete se presenta el estadal , el
encuentro de los hüos , que permanece constante-
mente en la .misma situación , le cortará á la alto»
ra 4— 6 — o v. g. y trasladando i la linea de ni*
vel la distancia cabal del primer piquete al segundo
é , se bairarátina perpendicular ; y tomando en ella
Una perpendicular de 4 — 6 — o, $sta caerá. en el pun-
to ¿, y determinará la altura del piquete, y por 228.
consiguiente la del terrena en dicho parage.

Para expresar la pequeña hondonada tf'* se plao^
tara puntualmente en medio un piquete c' á flor de
tierra , y en la linea que va desde un término á otro,
como los dos primeros , se señalará , siguiendo siem-
pre la linea del nivel , la distancia puntual del se-
gundo piquete b al tercero r, y se baxará., como
antes , una perpendicular , en la qual se apuntará
la altura que señalare en el estadal la intersección ,
de los hilos que supondremos de 6— 8— o ene', lo
que determinará la hondonada , conforme demues-
tra el perfil.

Por lo que mira al terreno de entre los piquetes,
como la distancia se irá haciendo corta., lesera fácil
al Arquitecto expresada prudencklmente * una vez
que tenga señalados con puntualidad los puntos de to-
das las desigualdades reparables entre ios términos*'

Para trazar con igual individualidad el perfil des-*
de él segundo término al tercero, como desde el
primero al segundo, se dirigirá la puntería al ter-
' cer término ; en lo demás se practicará de todo pun-
to lo mismo que desde el primero al segundo, y
se proseguirá al mismo tenor desde cada término al
*Tom.L G$ in-

466 GEOMETRÍA

Fig. inmediato, hasta llegan al último, conforme lo ma-
nifiesta á las claras el perfil

Así quedará trazado el terreno de entre los dos
términos extremos* de la nivelación con toda la in-
dividualidad que cabe. Quando no quiera el prácti-
co . permanecer en una misma estación , podrá tras-
ladar el instrumento, á otro término ó plantarle en-
tre uno y otro ; conforme se vé aquí donde está
entre el segundo y tercero , y: saldrá de todo pun-
to lo misma
. Proporcionan estos perfiles formar cabal juicio

s36.de las tierras que se han de excavar para abrir un
canal como el que figuramos en el plano para co-
municación de los dos rios , añadiendo lo que se le
quiera dar de profundo.

Medición de ¡as iineas en el terreno.

1039 Las lineas se pueden medir en d terreno
con cuerdas ó sogas , con cadenillas ó con compases*

Como estas mediciones no se pueden execuur

con la puntualidad necesaria, á no ser que sea ia-

# variable el. instrumento con que se hacen , yia so-

239. ga se encoge con la humedad , necesita cierta pre-
paración para poderla usar con toda confianza. Con-
siste esta preparación en retorcer acia distintos la-
dos las hebras que han de componer la cuerda , en
echarla después en aceyte hirviendo, pasarla y así
que esté seca , por cera derretida , y últimamente en
encerarla. Muchos prácticos aseguran que una so-
ga así preparada no se encoge, aunque esté un dia
entero en el agua.

1040 La cadenilla se compone de varios eslabo-
nes , cada uno de largo determinado , pongo por ca-

240. so de un pie. Se le pueden dar treinta pies de lar-
go, y bueno será hacerla de alambre no muy grue-
so , á fin de que no incomode por pesada.

Co-

PRÁCTICA. tf7

Como al tiempo de executar una m$dicioiy el Fift
peso de la cadena ó soga la acorta, se. la sostiene
como aquí figuramos. Porque está averiguada que
un hilo de 24 pies de largo $ y de T'T jtvo de pul*
gada de diámetro que pesa i6i| granos, puesto en 239.
dirección orizontal , con una fuerza de 10 libras f pan-
dea en el medio linea y media.

104 1 El compás que mas comunmente sirve, ó
por lo menos el mas seguro para medir lineas en
el terreno , es el pompas de varas. Éste es una re-
gla de metal ó madera, armada con dos puntas
de acero movibles que se afianzan 4 la distancia que
se quiere una de otra. Las dos puntas están cía*
vadas al borde de dos caxas , por dentro de las
quales pasa la regla , y en cada caxa hay un torni-
llo para asegurarla , apretándola , en el punto de la
regla oue se quiere. AB es la regla que coge de 241.
largo 0,9 ó 12 pies ; si fuese de madera , habrá
de ser esta dura y compacta; C y V son las dos
caxas de latón » á las que están clavadas las dos
puntas de acero, indispensablemente perpendicula-
res á la regla. Con la mira de hacer mas percep-
tibles las diferentes partes de estas caxas v figura-
mos aquí separadamente una. en grande ; su punta
es G , su tornillo F; ambos son de acero. £1 ex- 242.
tremo del tornillo no se aplica inmediatamente so-
bre la regla por recelo que la rehunda, sino so-
bre una hoja de acero HL , la qual arrimándose á
la regla , la aprieta y sujeta de modo que no pue-
da correrse. ,

Quando se quiere trazar una circunferencia con
este compás, se apañan las /dos caxas hasta que
haya entre sus puntas una distancia igual al radio
del círculo por trazar ; después se planta la una en
el punto donde ha de estar el centro, al rededor
del qual da la vuelta el compás f de modo que la

Gg 2 otra

468 GEOMETRÍA

Fig¿ otra punta dexa eú el plano un rastró. que señala
la circunferencia. * -■>

Quando la linea por medir está en un plano muy
igual, se toma con el compás común , ó con el pom-
. pas de varas el largo de la medida , sea vara , es-
tadal, &c. y se aplica varias veces de seguida so-
bre la linea que se quiere medir.
' 104B Pira mayor seguridad es muy del caso me*
dir la linea dos ó tres veces j y si las mediciones
salen diferentes 9 se sumarán unas con otras , y la
mitad ó el tercio de la suma 9 según sean dos ó
tres las mediciones diferentes , será el largo de la
linea , ó mejor será atenerse á la menor de todas
las mediciones que suele ser la mas cabal. La razón
es que no se pueden sacar dos mediciones iguales
de una misma linea con la cadenilla ó la cuerda,
por no ser posible que en ambas operaciones tengan
los medidores igualmente tirante el instrumento con
que miden. De aquí se sigue que la linea saldrá an-
tes mas larga que corta ; pues claro está que dexar
floxa la medida es lo mismo que medir con medi-
da menor ; y como esta ha de caber mas veces en
la linea que no la mayor, es constante que la me-
dición de una1 linea que mas se arrima á su verda-
dero valor es la que se hace teniendo muy tirante
la cuerda ó la cadenilla. Por consiguiente quando se
toma dos veces la medición de una misma linea,
y salen desiguales sus valores , se ha de preferir el
menor. ',-■«•

Como se mide una base.
4 1043 Supongamos que se ha de medir en el ter-
reno la distancia AB.

Se plantarán desde luego por medio de un pío*

243. mo dos jalones muy derechos jáC, BD , en los dos
puntos extremos A , B. Estes «jalones suelen ser pun-
tiagudos por él pie , y tienen fortificada su punta

con

FRACTIVA.)

8 .con tina púa de hierro , á fin de que entren mas Fig.

rfacüipÉnte en tierra, y en la cabeza llevan una señal

f A finí de: que el; práctica difija mejor la puntería qué

1 figuramos en la linea.. oculta CD. Aplicará el práctir

1 co el ojo en C 6 D, y mandará plantar á trechps

1 otros jalones siempre, já rplomo , que todos estén en

la dirección , ó , por mejor decir , en el plano verr

1 jtícal CD. Estos jalones se multiplican quanto se» :

joaegester, para seguir con su auxilio la recta AJB¡ al

1 medirla, sin desviarse de su dirección ni á der£r243.

cha ni á izquierda» Bueno será , para obrar con mas

^seguridad, trazar un surca desde A i B, bornean*

<do,\esto es, aplicando de quaq4o:ea. quaodo lop

ojos: á los jalones y- en su plftn,ye*tic&l í para^qt*

salga muy derecho el. surco í <t ú ao , *e pondrá tfUij

tirante un cordel desde un jalón al otro.. Hecho «I-

to , se medirá la linea siguiendo el surco ó el. wx>

.del con un compás de. vara > una cadenilla de aram-

bref gordo , con un estadal de largo conocido tí con

una soga. Por cuyo medio se sabrá puntualmente

ios pies , varas , &c. que cogiete la distancia ABL

La operación se hará con prontitud y seguridad con

dos estadales iguales , poniéndolos al .tope Uno á

..continuación de otro , ude manera que el primero

llegue á ser el segando* y así i sucesivamente. ,

1044 Este ) modo de bipedir . supone • que * el , ter*
reno sea llano tíesde ,A á *ft, cuya distancia me-
dida en este supuesto ; se llama distancia orizontaL
Hablando conrigoir matemático, no hay dos punt-
eos en la superficie rafe la tierra., por, próximos qué
estén: uno de otroty.cuyó orisonte estd en un mist-
vao plano, pof ¿ansa de la redondea de ¡la tier>
ra. Pero el erior^ue su esfericidad poUiooa en e»
¿as operaciones es despreciable ; porque las basas
3*8». Jafgasi, que,,Aa$ta, ,08dial 4e . hoy , ^ ,han . me-
dido no pasan de 3OOO0üipÍ9S iranee$e$v,;cuy* disr

Gg 3 tan-

A

4?o GEOMETRÍA

Fig. tancia corresponde á un arco de 6' , con cortísima
diferencia, el qual discrepa de su cuerda -pravos
de pie , cantidad tan corta , que , sin recelo de er-
ror sustancial , se puede tomar d arco por una rec-
ta igual á su subtensa.

1045 Quando el terreno de la basa es inclinado
ó desigual ,' se hace lo siguiente. Se asegura prime-

944.ro con jalones la dirección de la basa JEJC, se la
mide manteniendo los estadales muy orizontales, co-
mo ac > be &c. Las perpendiculares HC, Ec,8lc.
figuran el plomo , el qual ha de enrasar con los
extremos de los dos estadales, superior é inferior,
para asegurarse de que el uno empieza donde el otro
acaba , sin cuya circunstancia la medida no puede
salir cabal Obrando con este cuidado, la suma de
4ós estadales ac , be, dm, bB será igual 4 la dis-
tancia orizóntal AC de entre los dos puntos fiyC

1046 Sin embargo, si se quisiese averiguar la
distancia efectiva BC de los dos puntos , se podrán
medir succesivamente las alturas. *C, be , de , bm,
cuya suma es igual á AB\ y eft conociendo AC y
AB ^ se sacaría fácilmente el valot de la hypotenu-
aa 2?C (839). Quando el terreno va subiendo y baxan-
do alternadamente, claro está aue para hallar AB será
preciso restar la suma de las diferencias de las alturas
de los estadales baxando* de las diferencias subienda

1047 ^eto mejor será medir BC< por la nivela*
cion , cuyo método es el que comunmente se prac-
tica , y mas fácil todavía hacer la medición con el
barómetro (¿1); bien qué el diminó mas breve pa-
ra sacar el* valor de esta distancia , será medir pon
algún instrumento el ángulo ACB , conforme en»
tendemos después; por medio de. este ángulo, y

dd

*(fl) A su tiempo -sé dará noticia efe t$tt irntrumento , y «unifcs-
taiá oém© airve para esta óptracion. '

PRACTICA. 47*

del lado AC ¡ se hallará BC por Trigonometría. Fig.

1048 Para poner muy orizontales los estadales
en esta operación sirve el nivel de ayre ; se le po-
ne sobre el. estadal, levantando ó subiendo el ex-
tremo que no llega al suelo , v. g. el extremo a del
estadal ac , basta que la ampolla de ayre se pare en
el medio , con lo que el estadal estará paralelo al ori-
zonite. . / .,. .

,; Orno se miden ¡os ángulos en el terreno..

1049 Los ángulos se miden ó toman comunmen-
te en el terreno con quatro instrumentos , que son
la Plancheta, el Grafómetro, el Quadrante de , cír-
culo y' la Brújula* c

La plancheta es el mas acomodado? y tal ves
el mas antiguo de los instrumentos inventados pa-
ra esta operación, Compónese de una tablita muy 24^
acepillada , igual , de pie y medio en quadro , al po-
co mas ó menos , puesta sobre tres pies , y moví- y
ble en .diferentes direcciones , de modo que se la
puede poner inclinada al orizontew Las planchetas
mejores son las que se pueden mover desahogadas
acia qualquiera dirección , manteniéndose firmes en
la inclinación que se les da ; y son sólidas y fuer-
tes de modo que no se descompongan ni venzan con
el frió, el calor, y los tiempos húmedos y secos.
JPG; es ana alidada ó regla de cobre, armada de 245.
dos pínulas cuyo oficio es dirigir la puntería. . ;

1050 Quando se quiere tomar con éste instruí
mentó .el ángulo que forman dos objetps B y Ci á
los quaíes se puede apuntar desjde un punto de esr
tacion at qual suponemos que responde vertical-
mente el punto A de la plancheta ; se pope sobre
la plancheta un papel muy tirante y muy asegu-
rado; á este papel se aplica la alidada, de modo
que mkándo; por las pínulas el objetó i? T sequedal

C3g4 ti-

4?9 GEOMETRÍA

Fig. tirar á lo largo de la regla , que importa mante-
ner muy segura 9 una linea indefinita Ab. Por las
pínulas se mira tatohien el objeto C, y se tira una
linea Ac , el ángulo cAb trazado en el papeL^ es

245. el ángulo CAB.

£1 punto del terreno correspondiente al punto A
del papel se determina fácilmente; para k> qual se cuel-
ga succesivamente de los bordes m , n de la plaii-
cbeta , tm ploftiorque tyegue hasta cerca de la su-
perficie del suelo , se lleva sobre el terreno en la
dirección del uno de los dos plomos al otro la una
de las dos distancias Am ó An medida orizontalmente.
1051 Para saber los grados que coge el ángulo
A , sirve el semicírculo graduado. Si se le quiere me-
dir con mas precisión , se toma con un compás una
parte ADzzAE de las rectas Ab , Ac , con lo
i~ que DE es la cuerda del ángulo A¡ siendo AE
el .radio. Se miden en 1* escala de partes iguales

246. las vlinets AE ^ DE , y «las tabbts<de los senos dan
el áogoki Aj porque AR : DE :: 1 : 2 sen i y¿(832>
si la1 opfcracioA no exige» sumo rigor», se sacp. el áa*

, guio por la escala de las cuerdas (942).

< 105Q El grafómetro es un semicírculo de metal,
dividido en grados ó medios grados; lleva una ali-
dada EC con pínulas , y movible al rededor dd

247. centro A del instrumento ; hay otras dos pínulas per-
.< ' péndiculares - al plano del grafómetro , aseguradas

en los extremos- del diámetro que pasa por las di-
visiones señaladas o y 1 8a En los extremos de las
alidadas ftay algunaá divisiones que sirven paca lo
que vamos. á: declaran *

-. Supongamos señaladas en el grafómetro divisto*
nes de 30* eada una i tomemos un intervalo ó ar-
co igual á 14 de estas divisiones , el qual por lo mis-
mo cogerá 7 grados ; si en cada uno de los extre-
mos de lar alidada: suponemos otro intervalo de 7
?• '•> g»-

PRACTICA 473

grados dividido en 15. partes iguales , es patente Fig.
que cada una de estas partes valdrá £f ó 28'. La •
primer división señalada cero en la alidada ha de
corresponder. puntualmente al medio de las pínula^
quiero decir que ha de estar en el plano dé los
hilos verticales, que regularmente están asegurados
en medio de cada pínula. Esta división de la ali-
dada suele llamarse linea de feey señala á qual de
las. divisiones del grafómetro corresponde la direc-
ción de la visual» Supongamos <vpwe&, que la linea
dsfee cayga en el grafómetro entie 40o y 40o 30^
Hará saber quantoa minutos hay entre la división de
40o y el punto .del grafómetro que .corresponde á
cfcro de la alidada* se.. sitará 4a. alidada, y se mi-
rará qual de sua divisiones coincide* más puntual-
mente, con una, de.ilas.ddi semicírculo. LSupongamos
que. sea esta la^ 7mA división dé. la alidada ; en núes*
tro caso coincidirá cabalmente. con. la. de 43o del gra-
fómetro. Ya. que: el ^inteívalo de seis espacios en la
alidada, deade fe primera á la; «óptima división vale
6x 28 = 2* 481 + sigues^ xjueMa. primea: división de la
alidada corresponde en el grafómetro á un punto que
está en 43?-^ 48' =40? 13'; Si fiíese la ottava divi-
sion de la: alidada la que coincide con la división 43o
30 \ se hallari^ del^/ibisH»' modo que el cero de la
alidada ¿ea^epcimar ¡<te 40o 14'. De estos exemplos
3*. saga iqu$ las divisiones de la alidada subdividen
los espacios, del; semicírculo de 2' en 2'.

£1 ümbo donde están estas divisiones se llama
Nuñez ( Nenius dicen los escritores extrangeros ), ó

\ lOfl^íi El, grafómetro ha de estar armado sobre
iHfcjpití rakuy ¿olida, y de modo que el plano del se-
micírculo se pueda asegurar en la situación que se
quiera , oriaontal y vertical é inclinada al orizonte.
Los grafómetros mas perfectos llevan tornillos, con

los

474 GW P #* # MÜw*

Fíg. los qqales se hacen los mas mínimos movimientos,
• ya para ^acabar de poner con toda la puntualidad
posible el plano . del instrumento ero la inclinación
qué se desea, ya para colocar coa entapa precisión
la alidada en la dirección del objeto que se quiere
mirar por las pínulas. En lugar de las pínulas son
mejores dos auteojos -de larga vista , asegurados el
uno en el semicírculo ¿ paralelo al diámetro que pa-
sado real ó mentalmente par las^divisidoes'Oy 18a
Este anteojo .está , colocado debaxoí del ' semicírculo*
á fin de que; no ¿estorbe á la alidada el dar Vuel-
tas con desahogo por encima de la superficie su*
perior. El otro anteojo está colocado en la alidada,
con tal arte que puede inclinarse un poco vertical*»
mente al plano de la misma aüdadaj En ambos an-
teojos hay dos 'hilos tnuy ¿tirantes puestos en cruz
en el focus común: de los vidrios, & por lo menos
un hilo vertical . muy tirante*

Finalmente en el grafómetro hay una brújula,
cuyo destino es señalar el ángulo que ütfma la vi-
sual con la linea n^er£diaqarconfoprii^ se dirá mas
adelante. - • r : ¿ >*\ i . ii • - '..k. t •• . . . .

1054 El uso del grafómetro es muy fácil de en-
tender. Supongamos que se hpya de medir la dis-
tancia angular de dos objetar uF, G, mirados desu-
de un punto qualquiera. 4Se colocará perpendicular-

247. mente á dicho punto el centro A del grafómetro^
y se inclinará ó dispondrá el instrumento de mo-
do que mirando por las pínulas fixas parezca que
el hilo vertical parte por medio el uno F. de los
dos objetos, y que al mismo tiempo el plano del*
instrumento , si se le prolongara , pudieseientfontrar
el otro objeto G. Después se dará vuelta á la ¡ak->
dada ECy hasta que el hilo de sus pínulas paita
por medio el objeto G. Se mirará á que punto del
semicírculo corresponde la Unpa de/^e de la qlida~'

da;

PRACTICA 475

¡ da; la distancia de este punto ál la primer división Hg«

I del grafómetro eü ¿? , será et arco J5C\ cuyo arco

señalará los grados y; minutos del ángulo BAC ó FAG.
i Este ángulo , medido en un plano común á los

\ tres puntos A¡ F, G 9 no. es igual al ángulo GAF,

i medido en el plano otfeontal del punto Ar sino quan»

¡ do los puntos F y G están en este ultimo -plano. 247.

Habría , pues , que hacer *ina operación para valuar
y corregir esta diferencia ; .pero esto será excusado
siempre que el grafómetro esté armado de anteojos,
y solo uno de los, objetos esté fuera del orizonte del
observador, Poique entonces se podrá dirigir la pun-
tería á dicho objeto por medio: del movimiento' ver-
tical que hemos dexado (1053) ** anteojo de la
alidada , dexando siempre el plano dd semicírculo
en el plano del orizonte.

1055 Todo práctico que ha de executar opera-
ciones r- con algún, instrumento , debe primero com-
probarle, quiero, decir asegurarse de qu£> no tiene
defectos; esté es un preliminar sumamente esencial/
1 Al' . artífice que, le vende se le : puede obligar « á que '

manifieste,' ó dé medios de explorar su bondacL Pe-
ro como en las operaciones comunes las imperfec-
ciones de poco momento no, son^ reparables , y tos
errores de consideraciotíDSoaa jiciles jde descubrir,
é nos detendremos 'poco enceste asunto;,

^ Lo primero que conviene mirar en todo grafó-

metro es si las visuales que pasan por las pínulas
lucas , y las del alidada , se. cruzan en el verdadero
punto que corresponde al centro del t semicírculo ; y
\ si el arco de 180P es cabal \ quiero decir, si las di-

visiones señaladas o y i8ó están puntualmente en
los puntos donde han dé estar. Para estas compro-
baciones , basta observar si los quatro hilos se con-
j funden unos con otros en un mismo placo , quan-

do los ceros de los Nupea de las alidadas coinciden

pun-

4*6 G&OMJETRÍjf

F¿g> puntualmente .*onl las divisiones o y 180 ; «i esto se
verifica wi arfiHás posiciones de la afolada , quiera de->
tír. qúa¿3tt la pkrah £ está del Udo 'de la pífluli 1^
y quandola «misma pínula £ está del -lado de la

247. pínula- 2?; y :firiahaente^si dando ^vueltar á la. alP
dada ,- el borde de; lobt Nuñez cubre' ó ■ corta igual

y '* parte, ea oda ana de> hftMttvisiotjes *delr semicírculo.
Estás- opeqadotws^pattfestiráQl úsftlr pstto ^v ai
rededor ;d¿bquai cset>T«jie¡sr* 4a t&i&aditf| es étYer*
dadeco pumo céntricos del kiitrunáemof) siesta, co-¿
mo debe, en la- intersección* ctamm del plano de'
los hilos del sétíútttfCkáo/jy'dél' piaría de los hilos
de la alidada ; finalmente^ si 'el mea de 180 g«r-i
dos.es d¿ todo puntó ^oá^U Hecha «ta ultima com-
probación y será feclV conocer si? hay errores repa-
rables en la posición de las dema* divisiones, cote-
jándolas succesivamente con el Nuñez, ó midiendo
las cuerdas con un compás de puntas muy sutiles,1
1056 Quando el grafómetro lleva anteojos, no*
necesita. mas que un Nufiez del lado del objetivo del

248. anteojo movible ; la linea de fee de este Nuñez de-
be colocarse de modo que coincida con la primera
divisiop B del semicírculo , y se mirará si los hi-
los verticales de ambos anteojos cubren unos mis-
mos puntos de uti mismo objeto v* g. C Esta ¿opa*»
ración supone que los hilos están muy verticales»'
k> que se puede comprobar desde luego mirando
si cubren un plomo colgado á cierta distancia. Des-*
pues se dará vuelta- á la. alidada de modo que tí
linea de fee del Itfuñez coincidía con la última divi->
sion del sernidftulm eo £7; Si el hilo vettical , 6 hr
intersección de ios dos hilos f)o:<cae entonces sobrer
puntos reparables de un objeto qualquiera , será pre-
ciso plantar uno v. g. E. Después de reconocidos con
toda puntualidad los puntos precisos del objeto E
que cubre el hile del anteojo1 movible ,- y ios del

ob-

PRACTICA. 477

objeto C que cubre el hilo del anteojo fixo, se da- Fig.
rá vuelta al grafómetro de modo que el punto D
esté donde estaba primero el punto B , y al revés.
Esto se logra fácilmente señalando en el terreno por
medio de un plomo , antes de mover el grafóme-
tro , los puntos correspondientes á los puntos B y
D. Hecho esto , se mirará si dirigiendo el hilo del 247.
anteojo fixo á los puntos reparados del objeto JE, A
hilo del anteojo movible cubre también los puntos
reparados del objeto C. Por esta operación queda-
rá comprobado el arco de 180o , igualmente que la
posición cabal del centro del instrumento en la in-
tersección común de los planos verticales de los exes
ópticos de ambos anteojos.

Las demás comprobaciones se harán conforme
diximos (1055), .

Si en todas estas operaciones , que para mayor
seguridad conviene repetir muchas veces , se des-
cubriere algún error, será indispensable averiguar
su cantidad por medio . del Nufiez ó del tornillo
que le mueve (1052), como algún índice ó mano
mida los movimientos de este tornillo. Al hacer uso
del instrumento , se llevarán en cuenta los errores
averiguados.

1057 O**0 instrumento de uso muy dilatado es
el quadrante de círculo, mitad no mas DL del grafó- 247.
metro , por cuyo motivo no sirve para la medición
de los ángulos obtusos , sino después de divididos
en dos ángulos agudos por medio de un objeto in-
termedio qualquiera. Para comprobar este instru-
mento , se compara el arco de 90o con quatro án-
gulos rectos contiguos unos á otros , dando vueltas
al quadrante alrededor de su centro, conforme di-
ximos (1056) que para comprobar el arco de 180*
del grafómetro , se le había de comparar con dos
ángulos de 180o cada uno. Respecto del grafómetro,
. el

478 GEOMETRÍA

Fig. el error averiguado por la comparación es dobla*
do del error del arco de i8oQ ; y respecto del qua-
drante de círculo , el error que se halla al medir
el quarto ángulo es quádruplo del error del arco
de oo°.

Para las operaciones mas delicadas sirve el qua~
drante de dreulo ; porque de un mismo peso y
volumen , puede ser de radio mayor que no el gra-
fómetro i y no hay duda en que quanco mayor es
el radio de un instrumento , con tanta mayor pun-
tualidad se miden los ángulos.

Medición de tas alturas.

1058 Quiero saber quanto coge de alto un cam-
panario figurado en la linea oculta AB , siendo B el
centro de la basa del campanario ó el punto que
349. perpendicularménte corresponde al punto A

Estando el grafómetro ( lo propio digo del qua-
drante de círculo ) armado verticalmente , esto es,
en el plano de la vertical AB , le planto á una
distancia conveniente , de modo que el diámetro CD
sea paralelo al orizonte; esto lo da á conocer el
plomo, el qual tocando entonces un si es no es d
. plano del instrumento , corresponde á un tiempo
á la división señalada 90 , y al centro N. Doy vuel-
ta á la alidada EF hasta que veo enmédio del hilo
de sus pínulas ó de su anteojo la punta A del cam-
panario. Los grados y minutos del arco FD del
grafómetro serán el valor del Ángulo de elevación
ANH. Desde eL punto G del terreno al qual cor-
responde á plomo el centro N del instrumento , mi-
do (1039) Ia distancia orizontal GK~ NH , siguien-
do siempre la dirección del anteojo CD ; añado á GK
la distancia BKzzMH. Una vez que conozco NM
y ANM hallaré AM del mismo modo que en el

exem-

PRACTICA. 479

' ¿rompió (836) ; añadiré ( y esto debe practicarse en Fig.

1 todas las operaciones como esta ) la altura del an-

' teojo inmoble respecto del terreno, esto es GNzi

1 KH — BM) y sacaré la altura AB.

. 1059 Midamos una altura inaccesible por su pie,

! esto es , á cuyo pie no se puede llegar.

Sea CD dicha altura. Ya que por el rio AD no 2$a

! se puede medir una distancia orizontal desde el pun-

to D i la estación del observador; mediremos la

i linea orizontal AB en el plano de la altura CD,

y tomaréinos los ángulos de elevación B y CAD.
En el triángulo CAB conoceremos los tres ángulos
y el lado AB ; buscaremos el valor del uno de los
otros dos lados (843) , y sacaremos CD.

1060 Propongámonos ahora determinar una abu-
ra AB v. g. en cuyo plano no se puede medir una
distancia orizontal.

Desde luego eligiremos dos estaciones, C y D,

tales que la una esté en un mismo plano orizon-

1 tal con el punto A, y con la circunstancia que

t se pueda medir la distancia efectiva CD ; mediré- 251.

I mos los ángulos BCD y CDB , colocando el ins-

I frumento en el plano oblicuo de los tres puntos

I B , C, D: Desde la una de las dos estaciones que

1 está en el plano orizontal de A y tomaremos con el

r instrumento dirigido verticalmente el ángulo de ele-

\ vacion BDA 6 BCA. Una vez que conocemos los

r ángulos, y el uno CD de los lados del triángulo

i BCD , hallaremos el uno de los otros dos lados

BC, &D, y será AB = BD sen. BDA , ó ABzz

BC sen. BCA.

1 061 Siempre que el práctico esté á mucha dis-
tancia del objeto, las alturas determinadas por1 los
métodos antecedentes necesitan de algunas corree-

i ciones por dos causas que conviene dar á conocer.

I. Desde luego el orizonte del observador no es

el

480 GEOMETRÍA

Fig. el mismo que el del objeto observado. Sea C el cen-
tro de la tierra y R la cumbre de una montaña , A
el punto desde el qual se ha observado el ángulo

252. de elevación RAE ; ORÍ perpendicular á CR , es
el orizonte del punto R; BAD, perpendicular á CAy
es el orizonte del punto A. Si hacemos CE—CA>
será RE la altura verdadera de la montaña , res-
pecto del punto A. Si se tira la cuerda oculta AE9
el verdadero ángulo de elevación de la montaña se-
ria RAE ; pero RAB es el ángulo de elevación apa*
rente , quiero decir , el que se ha observado con los
instrumentos , el qual siempre se refiere al orizonte
BAD del observador. Luego la altura de la mon-
taña determinada por los métodos antecedentes se*
ti BR y no RE.

Á mas de esto , en el cálculo de las alturas siem-
pre hemos supuesto RBAzzgo* ; hablando con ri-
gor REA es igual á la suma de los dos ángulos in-
terno* C y BACy ó RBAzzgo°+C; pero como C
nunca pasa de muy pocos minutos , se puede re-
solver el triángulo REA como rectángulo en ¿?,
sin que de aquí se siga error reparable en el cál-
culo de BR.

Por consiguiente el único error procedente de la
diferencia de los orifcontes que sea necesario llevar en

cuenta 9 es BE. Su valor se saca de BE— -— (649) lo

que manifestará si BE se puede despreciar, substitu-
yendo en lugar de las lineas sus valores en pies ó
varas ; 2BC es el diámetro de la tierra.

1062 II. En segundo lugar las refracciones cau-
san un error quando se toman los ángulos de ele-
vación , como RAB. Los rayos de luz que atravie-
san oblicuamente la atmosfera se^ tuercen ó doblan
de contino hacia la tierra , cuya "mudanza de direc-
ción se llama refracción. t)t donde se sigue que los

ra-

PRACTICA.

rayos trazan una línea curva , y que como el ^
ve el objeto por la tangente de esta curva , es cau-
sa la refracción de que los objetos parezcan mas
altos de lo que son en realidad.

1063 Representa AD el globo de la tierra, AB
su superficie , AE la altura de la atmosfera , M un
objeto que envía á la tierra el rayo de luz MK; es-
te rayo en K se desvia de su primer dirección tor-
ciéndose acia A , desde donde parece que viene por
KN , y el observador que desde A mira el objeto le 253.
ve en N mas alto que en M el valor del ángulo
MKN;'este ángulo es lo que se llama refracción*

1064 Sea , pues , C el centro de la tierra. Por la
«naturaleza de los triángulos rectilíneos tenemos C
zziSo°—CRA—CAR; pero CRA=goP—IRA , y
CARzuyf+RAB. Substituyendo estos dos valores,
la primera equacion se transforma en C—IRA —
RAB. £1 ángulo C siempre es conocido quando lo

es AR , se puede tomar sin error perceptible en lugar ¿52*
del arco AE. Por consiguiente sí puesto el práctico en
R mide con un instrumento el ángulo IRA, y desde el
punto A el ángulo RAB , y la diferencia de los dos
ángulos no sale igual al ángulo C, lo que faltare se-
rá la suma de las dos refracciones, Y de hecho, si
puesto el observador en ü, la refracción señala el
punto A mas alto de lo que es, el ángulo observa-
do IRA será menor de lo que : es en realidad. Pot
la misma razón , si desde d punto A se ve el punto
R mas arriba de su verdadero lugar , la observación
dará demasiado grande el ángulo RAB. Luego la
diferencia de estos dos ángulos se hallará demasiado
corta , y lo que le faltare será la suma de los dos
errores originados de la refracción , la qual queda-
xa por este medio determinada y conocida.

1065 De muchas observaciones se ha sacado una
regla general bastante segura para enmendar el er-

Tom. I. Hh ror

i-

" $2 GEOMETRÍA

Fig. ror de la refracción en un ángulo observado , quan-
do no se quiera ó no se pueda determinar cada vez
esta corrección por la observación de los dos ángu-
los. Los PP. Boscovich y Maire estiman que el efec-
to de la refracción es la i8vt parte del arco terres-
tre interceptado. Lambert halla que la refracción
es la I4va parte del arco de la tierra interceptado.
Otros muchos Matemáticos están también por la 14**
parte. Entre todos estos valores se puede tomar un

.: medio * porque son tan inconstantes las refraccio-
nes , que no es posible contar con una suma pre-
cisión. Los PP. citados dicen que quanto menos ele-
vado está el objeto respecto del orizonte, tanto mas
expuesta está á variar de un instante para otro la
refracción. Encargan que estas observaciones no se
hagan en horas muy cercanas al nacer ó ponerse el
sol , y sobre todo que no esté el observador de ca-
ra á este astro. Prevenimos también que las refrac-
ciones son en general muy irregulares, siempre que
por alguna causa metereologica varía rápidamente
el termómetro.

1066 Con dificultad sale cabal la determinación
de la altura de las montañas por los métodos de-
clarados hasta aquí ; el ángulo de elevación siempre
es demasiado pequeño , por manera que un leve er-
ror en la medida de este ángulo, le causa repara-
ble en la altura que se busca. Es con efecto muy
fácil cometer un error de i' por lo menos , ya por
la inconstancia de las refracciones , ya .por causa de
la pequenez de los instrumentos que sirven para es-
tas observaciones , ya por lo que hace dificultosa la
observación el bamboleo que parece padecen los ob-
jetos terrestres en el .anteojo por causa de los vapo-
res de la atmosfera, ya Analmente porque rara vez
permite el viento hacer con la debida puntualidad la
observación esencialisima del plomo (1058).

Me-

'•^

PRACTICA. 483

Medida de las distancias. Fig.

1067 Sea BC el ancho de un rio , 6 una dis*; :
tanda quaiquiera 9 de la qual, uno par la menos de

los puntos extremos v. g. C , sea accesible , sé trata!
de averiguar quanto coge de largo BC 254.

Se medirá (1043) una basa AC v. g* en la d¡rec»>
cion y de largo que acomode^ se medirán tamw
bien (1052) los ángulos AyC; con esto ya será cono*?
cido el tercer ángulo 2?, y se calculará la distancia BCá

1068 Con la plancheta se hará la operación co-
mo sigue. Se trazará en el papel por lo dicho (1049)
un ángulo a igual al ángulo A del terreno ; se plan-
tará un jalón en el punto Ai se trasladará la plan-
cheta á C; y después de colocar por medio de las
pínulas la linea ca en el plano vertical de CA , y
de modo que el punto c corresponda á plomo al pun-
to C, se dará vuelta á la alidada 9 centrándola en
el punto c hasta que el objeto puesto en B esté tam-
bién en medio de las pínulas. Hecho esto , se tirar*--
rá á lo largo de la regla la linea cb hasta que en-
cuentre la linea ba , y quedará trazado en el papel
un triángulo cab semejante al triángulo CAB defe
terreno. Si suponemos que la basa medida AC sea
de 1000 varas, y llamamos x el número de varas
que coge de largo la distancia BC por medir , será

ac : be :: iooo : #=:iQOO— . Luego para sacar eí

valor de x basta saber que razón hay entre be y aa
cuya razón se sacará fácilmente por una escala quad-,
quiera de partes iguales , determinando puntualmen-
te con un compás quantas de estas partes correspou-t
den al intervalo be , y quantas al intervalo ac.

Se viene á los ojos que ac la qual hace oficios de
basa en el papel , es arbitraría * y que según sea*
de larga ó corta , será también mayor ó menor elj
triángulo*^» . . ,* , > , . *

Hh 2 * Mi-

484- • GEOMETRÍA

F4g. 1069 Midamos ahora la distancia CD inaccesible

*S$. por <amhos extremos C y D.

Después de escoger con las circunstancias mas
favorables la basa AB 9 la mediremos ; desde el pun-

.; :to B mediremos los ángulos CBD\ CBA¡ y des-
dedí punto A 9 los ángulos CAD , DAB ; con es-
ta* conoceremos en los triángulos CAB , DAB los
triángulos y un lado AB ; calcularemos (843) los
IUm.'ACj AD , ó los lados BC , BD; y una ve*
que en el triángulo CAD , ó en el triángulo CBD
conocemos dos lados con el ángulo que forman , sa-'
oarémos el tercer lado (849) el qual es la distancia
por medir CD.

; 1070 Si los ángulos se midieren con la planche*
ta v las lineas tiradas en el papel serán l.° la basa
ab de largo arbitrario; las lineas indefinidas ¿c, ad,
tiradas quando se miden los ángulos desde el pun-
to A i 2.° las lineas be , bd , tiradas respectivamen-
te hasta el encuentro de las dos antecedentes , para
formar lo& 'ángulos medidos desde el punto B. He-
<fbo esto , entre los puntos de intersección e y d,
se tirará la cd , y quedará trazada en el papel una
figura abed , semejante al quadrilátero ABCD en
el terreno , y por lo mismo sabiendo quantas va-
ras coge AB ^ se sacará por urta escala de partes

iguales la razón — , y de la proporción ab v cd :z

AB : CD se sacará en varas el valor de la dis-
tancia CD<

Esto manifiesta quan acomodada es la planche*
te^ pues da las distancias sin necesidad de conocer
el valor de 'los ángulos , ni de resolver triángulo
alguno. Prevenimos sin embargo que no los da tan
cabales , > porque las operaciones prácticas jamas lle-
gan., á Ja: precisión del cálculo.» . ,

107 1 Silos puntos A y B 9Cy D no ¿están todos
-il¿ 2.M qua-

*

quatro en un mismo plano , la suma de Jos ángulo? Fi$
CAD y BAD ,. añedidos ceo el piano d$ cada trian-
gulp ¿respectivo » no sedt igoal ^ ángulo (T/áfi^ Esfc
error no sufre enmienda qoatráofsq^sa \$ plaocl>^
pero por lo común es corto , y aun.f ifnfierqef>ti^le. 255.
Para las operaciones delicadas sirve el grafómetro 9
el quadrante de círculo* ,y se corrige el error .por
el cálculo?, ó, con el fin «de eyij:ar> toio err(?r $p 1¿
distancia por medir CD , Jo J^<?r s^á^^^ib
bien los ángulos CAIB* ABD, y valerse pat* 1» sesoijur
pión de cada triángulo, de solos los ángulos del misruo
triángulo medidos inmediatamente por observación.,
. 1072 Si no fuese posible medir cómodamente. una
basa AB , tal que desde fsus puntos A y/? se puer
dan ver los dtyetos Cy J?, se .pfacticswin; en este
caso, para medir la distancia AB 9 las operaciones
indicadas (1067 y 1068) , ó las propuestas (1069 y
1070) según esté situada la basa que se , pueda rr^er
din Una vez conocido por este medJ9 el intervalo
AB , se inferirá CD , conforme queda flicho. r - :

Qualquiera se hará cargo de qvg #on medir una
sola basa se puede pasar , mid&pdo solos tos ángq-
los9 de un triángulo á otro v y determinar las, dis-
tancias respectivas de todos los. lugares de un? Pro-
vincia, de unReyno, (kc, \^;„ o! :.

Reducción de los ángulos, aJ cent/Q., .

1073 Hemos visto como después de observar des-
de una estación algún objeto , vse pasa á $$te des-
de el qual se observan otros para tornar algún án-
gulo. Bien se percibe que el centro? delriostrumen-
to debería corresponder al cerneo. del nuevo objeta
cosa imposible las mas veces v. g. quando es la
aguja de un campanario* De aquí se sigue que el án-
gulo jobsecyado no. sale» el mismo que %si se tomara

HI13 des-

GEOMÉTR ÍA

Fig. dfesde ¿el'eentro correspondiente , y es forzoso redu-
cirle á k> que debe **•,' mediante una reducción
que á" la verdad* no pasa de algunos Segundos , y
ffotó: se calcula en 1$* operaciones delicadas.

•i'Y- - ■ 1074 Ptftj lo general , de tres modos distintos pue-
de estar colocado un observador respecto del centro
y de los objetos .que hao de formar el ángulo qué
ée va $ tomar y ó está en la Unta que va 'desde el
cénttó á uno d^lo$ ^jetps ? ó en una dirección que
p(asj% por tótfe .ito: niájiales 9 ó finalmente , puede ser
tálsií situación r^sppcto.del centro y de los objetes,
q&e la visual desde el observador al centró donde
ha de estar el vértice del ángulo eayga enteramen-
te fuera* del ángulQ que* forman las visuales que van
desde el centro á cada uno\de los objetos A y B.
Especificaremos estos tres -casos*
- 1075 I. Quandp el observador está en la linea que
Vá desde el centro á uno de los objetos puede es-
tar ó entre tel centro y el objeto , v. g. en-D ó F>

256. ó al otro laá¿ del centro respecto de los objetos A
y 2?, v; fe.' en 4 :6 f. Si se tiran las visuales DBy
SB ; vó FA, fA) fetf patente que el ángulo observa-
do ADB será el que hemos de reducir al centro C,
para que sea el verdadero ángulo ACB. Pero como
el ángulo ADB es externo al triángulo DBC, se-
rá (558) ADB=ACB+DBd luego ACB- ADB—
DBC; quiero" decir, que quando el observador está
entre el centro y el objeto , del ángulo observado se ha
de restar el ángulo en uno de los objetos , cuya base
eí la distancia entre, el centro y el observador. Pero
quando este se halla mas allá del centro respecto
del objeto v V; & *n d ; como entonces ACBzzAdB+
dBC¡ al éngtdo abstrvado AdB se le añadirá el án-
gulo que tfcne su. vértice en B , y cuya base es la
distancia del observador al centro. Muy en breve di-
remos como se saca el valor de los ángulos en B.

IL

PRACTICA. 487

1076 II. Quando U dirección del observador al Fig
centro pasa por entre- las- visuales, que desde . el ren->
tro van á los dos objetos A y B\v. g. quaqrdo eftT
tá en D ó d \ es patente que si . se tura el diároe- 1&P
tro DCd prolongándole acia JP\ respecto, del/éptm-3
to D, el ángulo ACB ha de ser menos que- el án-
gulo observado ADB : y respecto del punto rf, él
mismo ángulo -*4C7? ha de ser mayor que eL ángu-
lo observada AdB. Para itailar la corrección necéjt
saria en ambos; caso», se observará también ; can
atención uno de los ángulos - ADF ú BDF , coa»
también uno de los 'ángulos -vfáíF- ó BdF quando
el observador está < en* & Sentado- estoy es patente
que . el ángulo* total ACB Se compone de los dos- ;
ángulos ACF y BCFy ;que corresponden á los ángü~
los ADF y BDF. Pero como el ángulo ADF<t* eX*
ternoi será ADF = ACF 4- ÜAC j luego ACFd:
ADF—DAC; y también BCP±BDF+-DBCi lu$-
goACF+BCFó ACB = A&F+RDF—DAC —
DBC, ó si no, ACB±zADB~DAC—D£C. Si-
gúese de aquí que quando el observador se halla en-*
tre las visuales tiradas desde el ángulo que se bus-*
ca á los extremos de la base , y está al mismo tiem-
po entre dicha base y el vértice del ángulo , para
sacar el ángulo del centro > del ángulo observad se
restarán los dos ángulos en que se verla la distancia
del observador al centro , si se mirara desde los ver- \
tices de los otros dos ángulos del triángulo. .

Si el práctico estuviera en dj manteniéndose en
tal posición que la visual desde él aL objeto pase
por entre las visuales que desde el centro van á
los extremos de la base ; el ángulo del centra seria
mayor que el ángulo tomado ADB ; y por razón de
los ángulos ACF i BCF externos á los triángulos
CAd, BCdr será ACF-AdF+CAdy y BCF-
BdF+4BCi luego ACF '•-** BCF á AQB^AdF*

Hh 4 " BdF

488 GEOMETRÍA

Vt&BdF+CAd + CBd — AdB + CAd+CBdi quiero
decir 'que en este caso se sacará el ángulo del centro
sumando con el ángulo tomado la suma de los ángu-

0g^> hs en que desde, los puntos A y B se ve la distan-
cia del observador al centro. .

1077 III. Finalícente , quando es tal la posición
del práctico respecto del centro y de los objetos
A y B , que la visual desde el punto de estación
al centro no pasa por dentro del ángulo que for-
man las visuales que van á los extremos de la base,
como &D ó d; después de observar los ángulos ADB
y ADC, se sacará el ángulo AOB exterao así res-
pecto del triángulo ADO , como respecto del trían-

958. guio BCd i lo que da dos valores del ángulo AOB,
es á saber > AOB—ADB+DACí y A0B—ACB+
CDBi luego si comparamos estos dos valores del
ángulo AoB , saldrá ADB + DACzzACB -h CBD,
y ACB = ADB +■ DAC— CBD. .

. Si el práctico estuviese en <¿, también se saca-
ría ACB\=:AdB-hdBC — CAd, de lo qual se in-
fiere la siguiente regla general para reducir al cen-
tro los ángulos en la tercer posición. Añádase al án-
gulo tomado la diferencia de los ángulos en que des-
de los puntos A y B se verla la distancia del punto
de estación al centro , y se sacará el ángulo del cen-
tro; ó lo que es lo mismo ; al ángulo tomado añá-
dase el ángulo en que se vería la distancia del ob-
servador al centro , desde el punto que está al mis-
mo lado del centro que la estación , y réstese el que
está del otro lado.

< 1078 De todo lo dicho hasta aquí se sigue que
en la primer posición , al ángulo tomado se le ha
de añadir ó rebajar aquel de los dos ángulos A y B
en cuya dirección no esté el observador ; en la se-
gunda posición , del ángulo observado se rebajarán los
ingulos en A y B , cuya base es la distancia desde

el

PRACTICA. 4S9

i el punto de estación al centro , quando el práctico Fig.

1 efttá entre la base y el centro; y si está á mayor

) distancia de la base que el centro ó vértice del án-

i guio que se busca, se le añadirán los mismos án-

gulos al ángulo observado. Finalmente , en la ter-
1 cer posición , al ángulo observado se le añadirá el

t que estuviese del lado del observador , y se le re*

1 bajará el otro.

1079 Se ha de poner sumo cuidado en medir con
1 escrupulosa prolixidad la distamcia desde el punto

de estación al centro , igualmente que el ángulo que
forma dicha distancia con una visual que va á parar
á cada uno de los objetos. Con estas precauciones,
la posición del observador quedará determinada con
quanta puntualidad requieren las correcciones de que
acabamos de hablar; bien que como los objetos es-
tan por lo regular muy apartados de la distancia
del observador al centro j estas últimas operaciones
pueden bastar aunque no se hagan con el mayor rigor.
Para calcular los ángulos cuyos vértices están en
uno de los objetos, y sus bases son la distancia del
observador al centro , se calculan primero los lados
AC, CB r por el ángulo ADB ó AdB , qual se ha 257.
observado ; de donde se infieren los valores de los
ángulos CAD y CBD , por medio de la siguiente
analogía (843) : el lado AC que se acaba de calca*
lar , es al seno del ángulo ADC ó ADF que se ha
procurado observar , como la distancia del observa-
dor al centro , es al seno del ángulo en A ó DAC,
que se debe restar ó añadir. También se hará BC:
sea BDF : : CD : sen. DBC ', &c.

Reducción de los triángulos á un mismo plano.

1080 Después de reducidos los ángulos al centró
de la estación , es necesario reducir ios triángulos á

un

490 GEOMETRÍA

Fig. un mismo plano orizontal , en el caso de estar en
planos diferentes los objetos observados ; porque cla-
ro está que los ángulos tornados con visuales diri-
gidas á objetos puestos en planos diferentes no pue-
den menos de discrepar de ios ángulos que se saca-
rían si todos los objetos observados estuviesen en
un mismo orizonte. Digamos como se hace esta re-
ducción.

1081 Sean A¡ B , C v. g. tres puntos puestos en
distintas alturas respecto del orizonte, siendo sos
9*59. alturas respectivas AD\ BF¡ CEy por manera que
sea FDE un plano orizontal. Suponemos tomado ya
el ángulo BACi pero como queremos reducir los
tres objetos al plano FDE , fingimos que B está en
F, A en D 7 y C eñ 25 , y busbamos d ángulo,
FDE.

En la estación donde ' se mida el ángulo BAC>
se medirán también los ángulos BAD, CAD9 que
forman las visuales AB , AC con el plomo en A,
y se practicará lo dicho (1058).

Supongamos ahora que^f ¿? y AC , prolongados
si es necesario encuentran el plano orizontal FDE
en los puntos 6, i"; si en los triángulos ADGy ADI
rectángulos en Ó, miramos AD como el radio de
las tablas serán (835) DG y DI las tangentes de los
ángulos observados GAD > IAD , y serán AG , AI
sus secantes ; luego si tomamos en las tablas las se-
cantes y las tangentes de los ángulos GAD , IAD,
conoceremos i.° en el triángulo GAIy los lados GA9
y AI 9 y el ángulo observrdo ÍAG ; será pues fácil
por lo dicho (848) calcular el lado GI; 2.a en el
triángulo GDI conoceremos los lados GD , DI, y
el lado GI calculado antes , y por consiguiente será
fccil (846) calcular el ángulo GDI

Lo propio se practicará para reducir el ángulo
observado en el punto B\ y después que en un trián-

gu-

-PRACTICA. 491

1 guio estén reducidos dos ángulos , será excusado ha- Fig.

1 cer cálculo alguno para la reducción del tercer án-

* guio ; porque se le sacará fácilmente teniendo presen-

1 te que los tres juntos no valen sino 180o.

: Reducidos por este medio los ángulos , se redu-

cirán fácilmente las distancias ó una de ellas, por-
1 que bksta la reducción de upa en. cada triángulo.

Y de hecho y si nos figuramos la orizontal BO, en
el triángulo BAO, rectángula, en 0, conoceremos 259.
! BA por haberla medido ,, el ángulo recto , y el án-

' giilo BAO ; se hallará , pues , fácilmente el valor de

£0,6FD (83^

Aclaráremos con un exemplo quanto acabamos
1 de decir. Supongamos que se ha observado el án-

gulo BAC de 62o 37% el ángulo BAD de 88° 5',
y el ángulo CAD de 78o if.

Busco las secantes y tangentes de los ángulos
BAD , CAD , y hallo los valores siguientes después
de desechar las tres últimas decimales.

Sec. 88° 5' 6 AG 29 , 90

\ Sec. 78o 17 ó AI 4 , 92

I Tang. 88° 5' ó DG ...... 29 , 88

I Tang. 78o 17 ó DI 4 , 82

i Calculo en el triángulo AGl (848) la semidife-

s renda de los ángulos AGIr AIG por esta analogía

í AG+AI : AG — AI :: tang. 58o 41% semisuma de

) dichos ángulos , á un quarto término tahg. 49o 42',

\ que será la semidiferencia que busco : sale por lo

( mismo qué el ángulo AGÍ es de 8° 59', y será (843)

i GI de 2£, 98.

1 Una vez hallado el valor de los tres lados DG,

[ JD/9 6/9 se sacará (846) que el ángulo GDI es de

j 62o 2/.

\ *

r * ' . Ad-

492 GEOMETRÍA

Advertencias acerca de los triángulos y de las señales*

1082 Ningún práctico que se precia de puntual
debe contentarse con medir dos ángulos, siempre
<jue pueda los ha de medir todos tres. Si la suma
de ios tres ángulos reducidos al centro de las esta-
ciones respectivas discrepa poquísimo de 180o por so-
bra ó falta , podrá estar seguro el observador de
haberlos observado bien , y repartirá por igual el
error entre los tres , con tal que no tenga motivo
de desconfiar de una operación mas que de otra» Si
la suma de los tres ángulos observados fuese v. g.
180o ó 30% rebajará 10" de cada ángulo, antes de
calcular ios lados , y de hacer la reducción á un
orizonte común. Matemáticos de mucha práctica ase-
guran que este error es el máximo que cabe, aun en
operaciones hechas con cuidado , quando se hacen
con un quairante de círculo de 42 pies castellanos
de radio, y verificado con el mayor escrúpulo. Quan-
do el radio del instrumento es de siete pulgadas no
mas , el error puede llegar á 3' , quando el Nuñez
da el minuto j y á 6' quando el Nuñez da los 2', &c.

Ya que es imposible precaver todo error en la
observación de los ángulos , conviene procurar que
este error altere lo menos que se pueda la deter-
minación de los lados , objeto principal de estas ope-
raciones. Todo está , pues , en averiguar de que can-
tidad han de ser ios ángulos , á fin de que el error
que pueda introducirse en su medición estorbe tan
poco como quepa la puntual determinación de los
lados. Á la verdad las circunstancias locales perno-
ten rara vez formar los triángulos como seria menes-
ter; sin embargo no han dexado de sacarse sobre
este punto reglas generales que trasladaremos aquí.

1083 Sabemos que en un triángulo rectilíneo no

bas-

PRACTICA 4Q3

basta medir los ángulos para determinar los lados (804), Fig.

i siendo preciso conocer en cada triángulo un lado,

bien midiéndole inmediatamente 9 bien sacándole por

1 Trigonometría con el auxilio de otros triángulos, en.

í el primero de los quales es preciso haber medido

1 inmediatamente una basa. Por consiguiente la ope-

ración fundamental es la elección de la basa , lo

t que incluye dos puntos, su longitud y su dirección,

i En quanto al primer punto dan los prácticos la

1 siguiente

r Regla general La circunstancia mas aventajada

< de un triángulo , quando se ha de determinar solo un

Jado, es que la basa sea igual al lado por determi-
¡ nar ; esta es circunstancia esencial. En quanto á los

1 ángulos de la basa conviene no sean demasiado pe-

t queños.

3 » 1084 Luego , ya que por la regla general la ba-

: «a ha de ser igual al lado que se busca , la circuns-

i tancia mas aventajada de un triángulo , quando se han

l- de determinar dos lados , es que sea equilátero.

* Quando la basa no pueda ser igual al lado ó d

t ¡os lados por determinar, la circunstancia mas aven-

1 togada del triángulo es que la basa sea tan larga

t como pueda , y que los ángulos de la basa sean iguales.

1 La regla fundamental es que la basa sea igual

f á los lados buscados; cuya regla nunca debe que-

t bramarse. Pero en los casos donde sea forzoso , po-

drán minorarse los errores que se originen con ha-
cer isósceles el triángulo.

1085 Sobre las señales hay poco que decir. Son
¡ necesarias en muchos casos , porque no siempre se

encuentran objetos altos y distintos á los quales se
pueda dirigir con los instrumentos la puntería para
formar triángulos de las circunstancias expresadas.
Estas señales suelen ser chozas quadradas ó redon-
das de competen^ diámetro y altura , . hecha? de
t ra-

494 GEOMETRÍA

Fig. ramas de árboles , metidas lo bastante en tierra , in-
clinadas unas á otras cerca de la cumbre , y ase-
guradas con otras ramas puestas al través , asegura-
das con sogas , clavos , y vestidas de hojas. Se plan-
tan estas señales en lo mas alto de las eminencias,
escuetas por todos lados, mediante lo qual se vea
desde muy lexos aun con anteojos de corto alcance*.
Si no se pueden plantar escuetas^ será necesario que
estén á menor distancia , cubrirlas con una sábana,
ó coa tela de cáñamo dada de cal. En lugar de
chozas se encienden hogueras; una hoguera de 3 pies
franceses de ancho se veia á 36 millas de distancia*

Modo de. levantar planes , mapas topográficos , y mapas
geográficos de corta extensión.

1086 Llámase plan de un terreno , de una Ciu-
dad &c. un dibuxo donde están trazadas las lineas
que representan los contornos de dicho terreno, y
de sus principales partes , de modo que las tales li-
neas juntas formen una figura de todo punto pareci-
da á la del terreno ó Ciudad considerada sobre un
plano orizontal , prescindiendo de las eminencias. Fh
purémonos un campanario arrasado á nivel del sue-
lo; la figura que formarán las lineas exteriores é
interiores de sus paredes vistas sobre la superficie
plana del suelo, es lo que se llama plan ó planta
del campanario. Quando se levanta el plan de un
edificio solo , se puede señalar el grueso de las pa-
redes con dos lineas ; pero quando el plan ha de
representar un espacio mas dilatado , no es posible
por lo común trazar el perímetro de los edificios
sino con sola una linea.

Mapa Topográfico es el que pone 4 la vista to-
das las particularidades del terreno dflmxado , v. g.
las Iglesias , las casas ó manzanas, los molinos, par-
ques,

PRACTICA. 49S

ques 9 jardines 9 ambas orillas dé los ríos , canales, Fig.
torrentes , aqüeductos , caminos* reales ú veredas &c.
Un mapa geográfico señala solamente la situación de
las Ciudades , Villas , bosques , montañas y el cur-
so de los rios. Aquí solo hablaremos de los mapas
de Países de corta extensión , para los quales basta
la Trigonometría plana sin necesidad de la esférica. t
1087 Hemos visto (1070) como con la plancheta '
se traza el quadrilátero abcd , de todo punto pare-
cido al quadrilátero ABCD del terreno ; ó , lo que 2££*
viene á ser lo mismo , como se señala la situación
de dos objetos C y D , respecto de las dos esta-
ciones A y B. Por el mismo método se señala la po-
sición de un número qualquiera $e objetos visibles
desde las estaciones A y B por medio de las lineas
tiradas desde los puntos a y b en la dirección de
• cada objeto , conforme se ha hecho con las lineas ac,
ai , be y bd , cuyas lineas suelen señalarse con lápiz,
y se borran con miga de pan , después de señalados
con tinta los puntos C , D &c. También se borra
la basa , así que queda señalada la posición de tó*
dos los objetos que el plan ha de representar.

Si* ademas de esto se quiere representar en el
plan el contorno de una tierra , una huerta , &c. se
señalarán con tinta las lineas del perímetro tiradas
sucesivamente desde un ángulo á otro , como ABy
BC, CD, AC, en el supuesto de ser ABCD el
contorno de la tierra , huerta , &c. Por lo que mit
ra á los objetos que desde los puntos A y B no se
ven sino en ángulos muy desiguales (1084), bueno
«era que el práctico se traslade para determinar sus
posiciones por observado^, á los extremos del unp
de. los lados, v. g. de ACy ó CD ó BD &c. deter*
minándolos primero desde las estaciones A'yi 2?, y
dando la preferencia á aquel de los tres lados que
dé ángulos menos desiguale»» Desde este lado prer

fe-

496 GEOMETRÍA

Fig. ferido , que se puede considerar como otra basa, se
practicará lo mismo que en la primera AB , y se
pasará á este tenor de una basa á otra, hasta que
esté señalada en el mapa la posición de todos los
objetos que se quiere.

1088 Lo primero es señalar al pie del plan una
escala correspondiente al tamaño que se le quiere*
dar ; en cuya escala se tomará el largo de la basa
medida por varas en el terreno. Sea esta basa de
1000 varas de largo , y supongamos la escala di-
vidida én pulgadas y lineas ; si en la escala se toma
un intervalo de 8 pulgadas 4 lineas , ó de 100 lineas
para que represente la basa en el papel, un espa-
cio de una linea en el dibuxo , corresponderá á 10
varas en el terreno. Se procurará que la basa esté
quanto quepa en medio del terreno cuyo mapa se
ha de levantar , y de modo que desde sus extre- •
mos se puedan ver muchos de los«objetos que el plan
ha de incluir. Según sea la situación de la basa en
el terreno, respecto de su perímetro, se trazará
dd mismo modo en el papel la linea que represen*
tara la basa , colocándola bien en medio , bien mas
arriba , bien mas abaxo , mas á la derecha ó¿ mas
á la izquierda , tomando el largo de esta linea , con-
forme queda dicho en la escala. Hecho esto , las
' intersecciones de las lineas tiradas con arreglo á los
objetos observados, desde dos estaciones diferentes,
darán la situación respectiva de cada objeto en el
mapa , el qual estará concluido.
< 1089 ^ara precaver equivocaciones, se apuntará al
extremo de cada linea el nombre del objeto en cu-
ya dirección se tire. Se apuntarán unos pocos pun-
tos de los caminos, por no multiplicar lineas que
TCortfurrdirian el dibuxo, dando la preferencia á los
« puntos extremos, y á los puntos de entremedias
-que estén en los ángulos mas señalados de lps ca-*
-*~ mi-

PRACTICA. 497

minos. Si no hubiese allí objetos reparables á que Fig.
apuntar , se mandarán plantar jalones tí otras seña-
les; y lo mismo digo de los rios. Mas adelante en-
señaremos como se pueden dibuxar en el plan ios ca-
minos de un extremo á otro , los rios con sus re-
codos y su ancho , los contornos de las Iglesias, ca-
sas , &c. determinando por los métodos anteceden-
tes los dos puntos extremos del ancho de una fa-
chada ; bien entendido que debe darse la preferencia
á la que se pueda observar con mas comodidad desde
los dos puntos extremos de la estación.

1090 Si el mapa por levantar fuese el de una ciu-
dad , se colocarán las estaciones en las encrucijadas,
y medirá puntualmente con la vara la distancia de
una estación á otra , dado caso que cada distancia
no esté determinada en el dibuxo por la intersección
de dos lineas tiradas desde dos estaciones diferen-
tes. Conviene empezar por la mayor de todas las
plazas 9 y poner para formar su plan en medio con
corta diferencia el punto de estación. Desde el cen-
tro de la alidada se tirará en el papel una linea
acia cada esquina de las calles que desembocan en
la plaza ; se medirán cuidadosamente con la vara
todas las ^distancias de cada una de estas esquinas al
punto del terreno que . corresponde á plomo al cen-
tro de la alidada ; y después se sacará por la esca-
la la longitud de las lineas del plan correspondien-
te á las del terrena Estando así fixados los extre-
mos de estas lin<j¡ts , se tirarán de unos á otros li-
neas 9 dexando en blanco los huecos correspondien-
tes á las bocas calles. Con esto se tendrán bastantes
puntos fixos que sirvan para enlazar unas con otras
tedas las calles , empezando desde la plaza. Sería muy
largo especificar todas las maniobras del arte de le-
vantar planes : mas enseñará un dia de práctica que
na usa, multitud de preceptos.

Jom.L Ii To-

498 GEOMETRÍA

Fig. Todo práctico que observa mucho con la plan*
cheta 9 particularmente en el campo , adquiere con
el tiempo tal tino , que á ojo aprecia los ángulos y
las distancias : con tal que tenga á lo mas un semi-
círculo ó un semicírculo graduado , con una alidada
qualquiera para dirigir la visual , medirá los ángu-
los con diferencia de un grado mas ó menos ; y si
tuviese práctica de medir las distancias por pasos , po-
drá dibuxar un terreno con tal puntualidad , que el
dibuxo se arrimará mucho al original.

1091 El ancho de los caminos se mide con la
vara. Para señalar el de los ríos , se puede apuntar
á lo acostumbrado desde cada una de las dos estacio-
nes á dos objetos ó señales plantadas una en frente
de otra en cada ribera. Pero el medio mas expedito
para trazar los recodos de los caminos y ríos , y
también su ancho, es valerse de la brújula.

1092 Es la brújula un instrumento á manera de
caxa de cobre , marfil , madera ú otra materia sóli-
da 9 cuyo diámetro suele ser desde dos hasta seis
pulgadas ; por su parte interior es de forma circu-
lar , donde van señalados dos diámetros que se cor*
tan en ángulos rectos para, que señalen con sus ex-
tremos los quatro puntos del mundo llamados pun-
tos cardinales , y son Norte, Sur, Oriente y Ponien-
te, En el extremo que ha de señalar el norte hay una
flor de lis , desde la qual empieza la división del ex-
presado círculo en 360o acia oriente , - ó acia la de-
recha , estando en la parte de arriba la flor de lis;
también se divide el círculo en 720 partes con lo
que proporciona apreciar los medios grados. La pun-
ta de la aguja ha de enrasar con el borde gradua-
do sin tocarle , á fin de ver con mas distinción á que
división corresponde la tal punta.

Para entender esto , que después se declarará coa
mas individualidad , conviene considerar que el que

mi-

PRACTIVA. 499

mira la brújula estando arriba la flor de lis , está en Fig.
la misma situación que si mirara al cielo , puesto de
cara al norte ó cierzo , el qual siempre tiene el sur
ó mediodía á las espaldas , el poniente á mano iz-
quierda , y el oriente ó sol naciente á la derecha.

En el centro del círculo de la brújula hay un
exe de cobre ó acero muy puntiagudo, sobre el qual
se qoloca una aguja de acero tocada á la piedra
imán , muy en equilibrio para que pueda dar vuel-
tas con sumo desahogo. Tapa todo lo dicho un cris-
tal redondo , el qual encaja en un rebaxo hecho de
intento al rededor del círculo para precaver que el
?yre menee la aguja*

Fuera de la caxa hay una pieza. EF de forma 260.
prismática., paralela al diámetro AB ó á la linea
nortesur, en cuyos extremos hay pínulas omitidas en
la figura. £1 tornillo V sirve para afianzar la pieza EF,
la qual conviene sin embargo que pueda dar vueltas,
bien que premiosas y. sobre la parte lisa del tornillo,
de modo que. las pínulas se puedan dirigir 4 los al-
tos ó baxos, quedando la caxa de la brújula siempre
paralela al orizonte, á fin de que el movimiento de
la aguja se haga con desahogo y puntualidad.

La construcción y el uso de la brújula va fun-
dada fen la propiedad que tiene la piedra imán de
dirigir el uno de sus potos acia el norte y el sur,
cuya propiedad también se pega á una barra de
hierro si se la pasa por uno dé los polos del imán,
ó cerca de 'él. Ademas de la propiedad expresada
goza también, el imán la de atraer el hierro ,• esta
también se la comunica al hierro que toca el uno
de ¿ús polos'; -•• .

• ' Pero aunque la piedra imán dirige el uno de sus -
polo» al norte y el otro al sur, la aguja tocada 4
la piedra^oo se encamina purítuaimente al norte , ni
lo que se desvia dé este punto es cantidad inya-

Ii a ria-

ll

goo GEOMETRÍA

Fig. riable aun en un mismo parage. £1 número de grados
que la aguja se desvia del norte se llama su decli-
nación i constando de repetidos experimentos y ob-
servaciones que varía . mucho la declinación , y que
aun en un mismo lugar, es en unos tiempos occi- 5
dental , yen otros oriental.

1093 Bien se percibe que para averiguar por me-
dio de la brújula la verdadera situación de los pun-
tos que se han de señalar en un mapa , es indispen-
sable saber primero la cantidad de su declinación en
el parage donde se hace uso de este instrumento.
Esto se averigua indagando en que situación está la
aguja respecto de una linea dirigida de norte á sur,
llamada linea meridional , y el ángulo que la aguja
forma en el plano orizontal con dicha linea señala
su declinación.

261. Todo esto presupuesto , sean K, H dos objetos
cuya distancia angular queremos .medir desde el pun-
to C Desde tste punto observaremos por las pino*
las el uno de los objetos v. g. K Supongamos qub
estando en esta disposición la brújula-, la aguja esté
en la dirección CF. Por ser la dirección CK de las
pínulas paralela al diámetro AB de la brújula , el
ángulo que forme la .aguja con esté diámetro ha de
per ligual at&gulo FCK. , Apuntaremos el valor de
este ángulo que señalan las divisiones* * y dañemos
vuelca á ia bf ujula hasta que por sus pínulas vea-
mos el. objeto H> la aguja se pondrá otra vez en la
direccioa C£%. y entonces señalará ei ángulo FCH*
La , diferencia ; de los dos ángulos observados, será
£l. íngulft ,qpe, buscamos JKQH.m «. - x» :: •.: í m
Es patente que si los dos objetos fuefieq ¿V , £+
ó , lo que es lo mismo , estuviesen el uno á la de-
recha » el oteo á.l<* izquierda de la dirección CF de
J4 jigijjs i el é9¿ta\*NCK iccM.fakiVuaiac'iáe: los dos
áúguloft ¿bsecyadps mNCF > FCK» :< Jj ;. -

: : Sue-

•' 1094 Suele haber en «el grafómetro una brújula Fi¿.'
la qual sirve para orientan ios . objeto* y ó conocer
¿oñ diferencia de medio grada $u Situación respecto
de los quatró puntos cafditfaks^ ó - tespecto de la
linea norte sur. Con esta mira se trqta la linea nor-
te sur paralela al diámetro ¡<dol grafómetro ; porque
como lsi basé común de > todos- los triángulos obser-
irados es paralela i dicho diámetro , basta mirar que
ángulo forma con la aguja tocada al imán , y se-
rá fácil averiguarlo dirigiendo la linea de fe de la
alidada paralela á la aguja. Hecho esto, se dibuja.
en el plan una roseta de los rumbos de viento , don-
dé van* señalados los principales con ¿us ^nombres,'
y colocados conforme se han observado- en el terreno»
' 1O94 Seria la btiüjulalun instrumento sumamente
apreciable para levantar planos , porque con - ella se
levantan con suma facilidad 9 sea el que fuere el ter-
reno , cubierto de. maleza , irregular , &c. si no
tuviera algunos defectos de los quale* pueden Origi-
narse equivocaciones muy sustancíate* i.° corrió bo
se pueden usar agujas muy largas , cogen muy po-
co espacio los grados de la graduación del instru-
mento j y no se pueden medir los ángulos con igual
puntualidad que con el grafómetro ó\el Cuadrante
de círculo* 3,°cí>mo todo pláü ^ después1 de formado
ten borrador en el mismo sitiO^ Cuy á 'figura ha de
representar , se ha de poner en limpio 9 sirve ó pue-
de servir en esta segutída operación la misma brú-
jula ú otra para colocar eti ék plan las lineas con
arreglo á la inclinación qué se echó de ver tenían
e«~el terreno con la linea norte' sím Pero es obra
sumamente larga sacar esta copia con la brújula, y
por razón de la virtud atractiva de la aguja , es pre-
ciso que el que la saca esté quatro ó cinco pies
distante de qualquier cosa de hierro ¿ que la mesa
donde trabaja no tenga ningún clavo , qUe no se an-

li 3 n-

30% GEOMETRÍA

Fjg. rirpen mas de moéio pie las punta?, de} compás &c.
y si Jiu)>iese ,cg** htójÁ , Wl4 indispensable que es-
té un pie distante pocblp metoos, dfe la que sirva;
3.0 al tiempo 4e * levantar el plan en ej terreno , es
importantísimo que el práctico no se acerque á nin-
guna ipina de Hierro, sin cuyo cuidado saldrá for->
sosamente la #gujav de^su declinación natural

lOgs No Gastante* 1, tomo pueden ocurrir casos
dopde el práctico tío tenga mas instrumento que la
brújala, diremos como, se averigua su declinación,
sin cuyo conocimiento es indispensable saber á pun-
to fl*9 la verdadera situación, de un objeto terrestre
respecto , de uJos quatro puntos cardinales El, poeto-
do que i yernos ,á proponer., bien que no .tan riguco*
so como otro fundado 1 en printípips , dp &troooqiía*
es toante para los. usos comunes.

Trácese con piquetes ó de Qtro modo una linea
que se. jiirija al sol quaado. na$e , y desde el mis-
mo piwtpjyen*. él mj$iri9:.dia/tfác$se otr# Jinea 4f~
Rígida al spi ' qifepdo jsc pone;, formarán e$$as dcg
Uofa$ un áeg^U) que s$ partirá por medio {443) coa
una Un^a í esta linea será 1? merid¿ar& ; L$i $e ú&
una perpendicular ,á la, meridiana, sus extremos ser
«alaráp: ¡los >puntos )dfi oriente y poniente. ' t#$ dos
lineas ;, que , fpjmai*, e¿ r^ngulo que la nierid^na, parte
por npe&o han 4* s^ff: largas 39 $ 4P estafes cada
uno por lo menos* ' r j «

Después de trazada la meridiana, que dirige el
uno de sus, extremo? > al nocte, ,$¿rá ftcil^verigu^r
la declipapioq de ,1a bnjjujla.^ de su,;agpj$ ¿Se.c$f
locará el insm^menftí de modo que la, tape ,del ,upo
de, los lado§. de l^icaxa paralelos á la linjea norte
sur eqrase con, la, meridiana ^traz?da , ;$n cuya si-
tuación la linea norte sur de la brújula será para*
lela á la meridiaipka ; estando, así el instrumento * se
.mirará á que gr^do corresponde la aguja , y res-

m v' tan-

* «táhd¿le*de 360^9 la resta señalará la «dfcélfaacion de -Fi&

1 4ar» aguja*1 * - ••- r - *. -'- *»j i» ^-, < ~ ^ ' •-• "

I ~ ¡1*096 Todo e9to 'presupuefetosv v*an&s^ á éhsefktt

i ¡como se dibuxa? el i^che de futt^ rioc iPlanteréfiaós

! 'jalones en los puntos Di, E\ F,G \ H. &c. donde los

recodos son mas reparables; mediremos con-Ja-vt»-
ra las distancias DE,, EFyFG\ GH , y con lá:brú-
> Jula los ángulos que forman: unas ton otras» iSupotf»

-gamos que la, aguja • kiga . suécesivámetíte las direo*
1 ciones DN , EN, FN\ GN, HN; ciáro está que st 262*

i desde el punto G v. g. observamos el objeto H*, re-

sultará el ángulo NQH , y ¿el ángulo NGF si ob-
servamos el objeto'-?1; y s¿ ¡en el caso de la Agua-
ra restamos de 36o9 la sum* de los dos ángulos, la
*esta será el valor del »SngdlóFG//. '

Por no multiplicar demasiado las estaciones , al
K tiempo de medir las- bases DE * FE 8cc. -mediría-
c mos también las distanciasperp^ndioüliíresá fe ori-
lla *y si estas distancias discrepan notablemente Unas
! de otras; aquí las figuramos con las lineas* ocultas que

1 caen sobv&GH , mediremos también las distancias dt

¡ las 'estaciones (2, //#C. á la orilla. Estas distattá&ft

i nos ahorrarían el trabajo de observar los ' ángulos, &

1 se trazasen las basas GH, FG , &c. en el' plan, «yus*

1 tadas á<la dirección y i ' las proporciones dé. tábiañb

I cotfespemdi^tti ,*al> tiempóde -sfeñalartos'obje^ mi¿

. rados por las pínulas de la plancheta ó de Ha 'brüjirta,
;" : lios mkvtxtf ifiétodos sirven para señalar los con-
tomos irregulares de una tierra , un bosque &c. (y
los recovecos^de>itw tataioos: w.-i*. . ;., ¿.¿, u
Quando se quiera medir con la brújula el ancho
de un rio , desde dos estaciones como F, G se ob-
servará un objeto ó señal S de la orilla opuesta. Si
de los ángulos NGS, NFS restamos los ángulos NGF,
NFG , resultarán los ángulos SGF, SFG. Con formar
estos sobre la basa FG del plan, sacaremos el punto S.

Ii 4 S¡

X

go4 GJSOMBTRÍA

Fig. Si después de, trazada en el plan la una de las
fachadas de un edificio , cerca , manzana de ca-
sas, &c. se naide con la vara el largo de los otros la-
dos , y con la brújula los ángulos que forman unos
con otros , quedará trazado en el plan el contorcí*
entero.

De todos los instrumentos que hemos dado á co-
nocer para medir ángulos en d terreno , es á saber,
el grafómetro , el quadrante de círculo , la planche-
ta y la brújula , el último nú sirve quando se ne-
cesita mucha precisión ; y los dos primeros deben
también preferirse á la plancheta quando los trián-
gulos son muy grandes , ó hay que levantar. el ma-
pa geográfico de una provincia. i
1097 Una vez medidos los ángulos y las distan-
cias en el terreno , solo falta hacer el dibuxo, 4 de-
linear en el papel los objetos con la Verdadera situa-
ción y distancia á que están unos de otros, respecto
de ios qoattfo puntos cardinales, ó de los quatro
viento!,, como dicen algunos. Aplicaremos ej método
con que i esto se executa á un caso, figur*dt>* pre-
viniendo, que © significan estacidftí.^pwicit», y X>
distancia» Por posición ó situación entiendo el ángu-
lo que fotmao en una estación las visuales que des-
dé ella te, dirigen á dos objetos-, y IJ^uno. estancia
los pies:, varas, estadales «seque, tey ¿W^de una
¿stacioh k otra, '; i . ) : 'i . ..; { ZH. ' <c;.
-r< Esto presupuesto , supongamos que tai ángulos
observados, y. las .distancias; medidas *&)< levantar el
mapa de un terreno sean las siguientes

r . ; ' r •' n:>'¡ *i../,p.i i'., > cjZ 'As *

••» k

ex

PRji'CTICAt) &$

. © t P y? $tí D 1080 raras Fig.

©a . P 198 10 D

©3 i» 33 15 D
©4 P 287 30 D

c 5 i» 50 45 «D 940

©6 i> 273 55 D 1085

©2 -P «83 25 D 700

©8 P 133 30 D 510 hasta ©5

.©9 .P 180 30 D 300 hasta ©2

©10P 209 20. Z> 068 que corta la primer dist.

©n P 275 30 D 800

©12 P 171 50 2> 784 hasta ©1 .

•

Esto quiere decir que .el ángulo observado en
© 1 apuntando á oía y oaes de 70o 50% y la dis-
tancia desde ©i á 02 de 1080 vai;as v. g.: que el
ángulo observado en 02 apuntando á 01 y 03 es
4e 128o 10' , y la distancia desde 02 á^o3 de 580
Varas.

Basta esto para entender todo lo 4em?s, lo que que*
dará enteramente aclarado con lo que luego diremos.

Para trazar en un dibuxo ó mapa diferentes ob-
jetos con situaciones y distancias proporcionadas á
las que tienen en el terreno unos respecto de otros*
y respecto de los quatro puntos cardinales , se toma
un punto al qual todos los demás se refieren , cuyo
punto suele ser el norte, y le tiene en frente.de si
todo hombre que está de cara al cierzo. Estando eq 263.
esta situación vuelve al mismo hombre las espal-
das al sur ó mediodía , tiene el oriente ó sol na-
ciente ft mano derecha , y ¿1 pQpiewe ala izquier-
da. L* señal del norte e$ N; 1$ d$\ oriente 0; la
del sur 5* ; y la de pQn¿eqt£ P.

Después $e aj>*e la pantómetra, se toma en la
linea de las cuerdas la distaucia transversal desde 60
¿ 6o, la. qual ^ sea U que fuere, sirve de. radio pa-

xa

•Fig. ra trazar un círcufo NOSP'i 'eh este círculo sd ti-
ran perpendiculares uno c&- ¡taro1, les diámetros NS^
OPj cuyos extremos señaláta fós quatró puntos cat-

263. dinales. Como el norte es "el jkintb fundamáital de
la operación , desde alK sé cuentan los* ángulos 6
posiciones , y se señalan acia el oriente ó acia la
derecha. Mediante esto ,' tcxkr ángulo que no liega
á 90o, se ha de señalar entre norte y oriente y es-
to es ? en el primer ijuadrante í ■ los ángulos ^ue pa-
sáh dé'^OP, y rio llegíta á -tSo\ se señalan" en el se-
gundo quadrante , esto es , entre O y S ; los ángu-
los que pasan de 180% y rio llegan á 270 , se se-
ñalan en el tercer quadrante j finalmente , los que
pasan de 270o 'se señalan entre: P y N ? esto *es, en
el quarto- quadrante.^ \ • . ■ - - l l '

La prinier posición ^ó° $& cae éh el-prtthet qua-
drante ; pero comd pá^a dé 60% Se tóntará la dis-
tancia transversal de la mitad ;de 70o a& , y se k
llevará dos veces á la circunferencia desde N ida
O , y el jxinto donde- rematare se señalará con 1.
' Gomo l él segundó ángulo 138° lo há i de reftiá*-
tar en el sfeguiídó' quadrante , se señalará su* ¿ suple-
mento para 180a1, esto es 51° 50', contando desde £
Se tomará , pues , en la linea de las cuerdas la dts^
tancia transversal desde gi° 50% y se llevará, á H
feircunferetacia desde S acia O j hallado 'con esto el
^ punto donde rematará él segundo áttgulo, se seña-

•r>'- látá ton un 2; '

Lía tercer posición 32a ijf se llevará desde N k
3 ; la quárta posición 287o $0' ha de rematar en el
quarto qáádranté? £pr te que^sela^ebajafá de 360%
jr ia^Vesta'^séf ¿Rkatí desde IT 4tia P ¿ y e* pumb
donde rematare se señálftt4f fctm^uü 4.' ? '- * •<* -'•*
>- Efcto'e&aJdiciéiido fetimo se'lián de se5alár las
Sernas posiciones eh la circunferencia ; señalándolas
el que trazare él dibuxo coalas números 5, 6, 7&C.

y

PRACTICA. 507

y arreglándose á* los ángulos observados desde las Fig.
correspondientes estaciones.

Concluido esto, escójase en el papel donde .se I14
de trazar el dibuxo un punto desde el qual princi?
pia la declinación, cuyo punto supongo que sea 01.
Apliqúese la una de las reglas paralelas al centrq
C del círculo , y al punto 1 de la circunferencia;
con la otra regla se tirará por el punto 01 una. par
ralela á la dirección Ci , en cuya parálela se seña*
lará la primer distancia 1080 varas. Con esta mira,
en una escala de partes iguales se tomarán 1080 de .
ellas, se llevarán desde Oí á 0.2 j tirando finalmen-
te una linea desde el uno de estos puntos al otro,
esta linea expresará la primer distancia y su verd^
dera situación respecto del circulo trazado.

Apliqúese después la una regla paralela al cen-?
tro C del círculo , y al punto de la circunferencia
señalado 2 , y con la otra regla tírese desde el pun*
to o 2 ia; linea: o 2 03 paralela al radio supuesto C2;
esta linea á la qual se llevarán desde 02 á, 03,
580 partes iguales de la misma escala en la qual
se tomaron las 19^0 j x señalará la segpnda distancia
medida 9l situada comp, corresponde respecto de la
primera.,/ - / ,',<,-> \ ¿y

Se proseguí^ í ' éste tenor dé estación en ^sta- 2
ciop hasta quedar señalada Q7 oía

Entonces llévense 314 partes de la escala á la
linea 07 o 10 desde 07. hasta 08, y quedará: -se-
ñalada en 98 la octava estación. Tírese la linea
i§8 y ;9& I»rale|a al radi,o figurado C8 » y si la
operación antecedente está bien h,echa, esta parale-
la uo<sojo pasará por 05, sino /que cogerá 510 par-
tes d^ Ja escala , así como la distancia que repre-
senta coge 510 varas.

; , \QomoJa «stacipn 09 coincide ¿x>n la -o $1 *íre-
se Jífc. linea O9..02 ¿ paralela al ra^ip.ff^uradp Cg> r

me-

So8 GEOMETRÍA

Fig. medida esta paralela con la escala de partes igua-
las , tendrá 390 de ellas, tantas , quantas varas hay
en la distancia medida en el terreno desde la es-
tación 09.

La décima estación esti en el extremo de la li-
nea 70 , medida desde la estación 07; por cuyo
fftotivo se tirará desde o 10 una paralela al radió
supubsto C 10 , esta paralela concurrirá con la pri-
mer distancia medida á la distancia 668 desde el
punto 10.

963. Vuélvase á la estación 10 , en cuyo punto esti
h iim estación; tírese la linea o 11 ©12, paralela
al radio figurado Cu > dándoles 800 partes de la.
escala ,;y quedará señalada en* el punta ©12 la i2mA
estación. Últimamente 9 tírese la Une?. © 12 o 1 ; si
la operación está bien hecha , esta linea no solo
será paralela al radio supuesto C lÁ , sino que tam-
bién tendrá 784 partes de la escalfe , del mismo mo-
ckvque en el terreno la distancia ©12 ©i tiene 784
varas. . .■-".•. . , ..

1098 Cuestión. Por un punto accesible A tirar una
paralela á una recta inaccesible CD.

Se sacará primero por lo enseñado (1069) el va-
lor de AC \ AD y CAD , despees se resolverá el
&$5. triángulo CAD ¡ cuya resolución dári el valor de
CDA. Hecho esto , solo fkltará , para tirar la para-
lela , formar en A con la linea AD un ángulo igual
á CDAr por medio de los instrumentos. Plantando
últimamente jalones eri la dirección que señalen el
anteojo ó las pínulas , quedará determinada en el
rerreno la posición de la paralela. /J

1099 Cuestión. Continuar en él ^terféno una linea
mas allí de un obstáculo que estorba ver la dirección
de dkba linea.

Sea CD la linea que hemos dfe 'dófttinuar en EF.
264. Buscaremos un punto A desdé el» qual podamos ver

los

PRACTICA 509

los objetos C y D , y también el terreno donde que- Fig.
remos determinar la posición de CF. Mediremos *,
inmediatamente CD , y después de tomados los án-
gulos del triángulo CDA , calcularemos AC Medi-
remos con un instrumento el ángulo CAE¡ toman-
do para AE la dirección que mas acomode. Si su-
ponemos CD prolongada hasta E , conoceremos en
el triángulo CAE los ángulos y el lado AC , y sa* 264.
carémos AE. En la dirección AE dada por el ins-
trumento , mediremos inmediatamente una distancia
AE igual á la que diere el cálculo , y conoceremos
el punto E por el qual pasará la linea CD prolon-
gada. Entonces haremos en £ un ángulo AEF igual
al suplemento del ángulo conocido AEC, y queda-i-
rá señalada la dirección EF.

Si la distancia CD fuese inaccesible mediríamos
otra basa AB ; haciendo con esta basa lo enseña*
do (1069) , y determinaríamos AC y AD, ó sino BC
y BD , y con estos datos el ángulo DCA ó el án*
guio DCB.. Lo demás es lo jnismo que se practica
para llegar á EF.

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*

APÉN-

5i°

APÉNDICE

Sobre los principios de las probabilidades.

En el tomo III de mis Elementos de Matemática,
que trata del Álgebra , iiahlé muy de paso de la
destreza con que se aplica á muchas é importantes
investigaciones sujetando al cálculo, la probabilidad
Los Matemáticos no dexan de conocer , y confesar
también , que esta materia es un asunto inconstante,
y que parece dificultoso determinar los efectos de la
¡casualidad , esto es , aquellos acontecimientos que rio
tienen causa alguna final , ni penden de la dirección
de ningún agente, sí solamente de las leyes y del
curso de la naturaleza. Pero los Matemáticos no se
proponen averiguar de que modo sucederán los acón*
tecimientos, sino saber de dos personas que apues-
tan , la una que un acontecimiento sucederá , y la
otra que no sucederá , qual tiene mas probabilidad
de ganar la apuesta.

Es , pues , de no poca utilidad este asunto pa-
ra las personas dedicadas al' juego, quienes por su
medio pueden conocer lo que tienen que esperar ó
temer , esto es la ventaja ó desventaja que pueden
experimentar. También puede servir de mucho exer-
cicio al entendimiento humano ; pues aunque pare-
cen muy sencillas algunas de las cuestiones sobre
probabilidades , sin embargo paran muchas de ellas
atendida la complicación de sus circunstancias en con-
clusiones muy diferentes de lo que se podia esperar.

Los acontecimientos cuya probabilidad se inves-
tiga , pueden ser dependientes ó independientes unos
de otros. Los independientes son aquellos que no
tienen influxo en el acontecimiento unos de otros,
quiero decir, que el uno no ayuda ni estorba el que

•.'..Á su-

APÉNDICE. 511

suceda el otro. Así si A apuesta que sacará un as en
dos golpes, jugando con un dado , tendrá una pro-
babilidad para ganar , y cinco para perder la apues-
ta ; pues en el dado no hay mas que una cara con
as , y cinco caras que tienen otro punto : y en el
segundo golpe tiene también una probabilidad de ga-
nar , y cinco de perder , por lo que estos aconte-
cimientos son independientes.

Los acontecimientos son dependientes quando el
que haya sucedido uno de ellos altera la probabi-
lidad de otro. Así si A apuesta que sacará un as
de treqe cartas seguidas en dos golpes ó mas. En
el primer golpe tiene una probabilidad de ganar , y
doce de perder : y en el segundo golpe , no ha-
biendo sacado el as , tiene una probabilidad de ganar,
y once de perder ; y en el tercer golpe tiene una
de ganar 9 y diez de perder , &c. Son , pues , de-
pendientes estos acontecimientos.

Los acontecimientos cuya probabilidad se calcula,
se suponen iguales , esto es , que pueden suceder con
igual facilidad.

No es mi ánimo tratar aquí esta materia con al-
guna extensión , me ceñiré á hacer muy patentes sus
principios. Este es asunto en que se han exercitado
Matemáticos de mucha destreza y conocimiento , par-
ticularmente Abraham de Moivre en Inglaterra.

Cuestión primera.

Pedro con un peso duro que tiene, jnega.á crui
ó cara apostando contra Juan cinco pesetas ú otra
cantidad de dinero que sacará cruz, j^ue probabi-
lidad tiene de ganar la apuesta ó las cinco pesetas?

Para resolver esta cuestión hemos de tener muy
presentes las circunstancias con que está labrado d
peso duro. Sabemos que es una pieza de metal re-
don-

5i2 APÉNDICE,

¿{loada , con dos caras opuestas 9 representando la
una la cara del Rey , y la otra sus armas , hecha
con tal esmero , que ninguna parte suya pesa mas
que otra, de igual tamaño. Tírase esta moneda al
ayre ; después de caída enseña forzosamente la una
de sus dos caras ; hemos de . determinar antes del
lance quje probabilidad tiene Pedro de cobrar las cin-
co pesetas , ó que porción de ellas, puede pruden-
cialmente esperar que le pague otro á quien cedie-
re su ; probabilidad.

Resolución.

Ya que en la forma del duro no hay nada que
Je incline á manifestar la una de sus caras antes que
la otra , y es indispensablemente forzoso que la una
-de ejlas esté á la vista , 6 en otros términos : ya
que hay una probabilidad de las dos para que se
vea ia cari cru¿ , sigúese que esta probabilidad ten-
drá por e&presion el quebrado 4 ; por consiguiente*
si otra persona quisiere comprarla, Pedro podrá equi-
tativamente pedir un | de las cinco pesetas por ha-
bérsela cedido. '
Cuestión segunda.
. . * »* ' *

Supongamos , jtres castas todas de . diferente . palos
esfo es un oro , una espada y un basto , puestas
boca abaxo encima de una tuesa , de modo que no
se pueda conocer su palo ; y que una persona apues-
ta $íúqp pesetas ú <ot?a cantidad de dinero que la
prónera .vez ^ue. tojm una de ellas sacará un ora
§a* ha, fie d$t<^rouiar;.antes dsl lance que probabili-
dad tiene de ganar» la apuesta de cinco pesetas , y
que cantidad puede' equitativamente esperar de otro
sugeto á quien cediere, su probabilidad*

Re-

Ya que ño hay nada en el palo que* pueda ma-
nifestar á la persona que toma el naype qual-' de
los tres que tiene delante es un oro* .y como pa-
ra cacarle no tiene mas que un go!p¿ dé los tres*
ligúese que no. tiene mas que una suerte de tres
para ganar las cinco pesetas, y que. sü/ probabili-
dad será expresada por el quebrado {. A mas de
esto , después que hubiere tomado una carta , ha-
brá dos restantes, una de las quales será un oro; habrá
por consiguiente dos suertes que podrá perder de
las tres, cuya probabilidad será expresada por f; fi-
nalmente el jugador podrá prudencialmente esperar
{ de las cinco pesetas , si cediere su probabilidad
á otro.

/Caesrít/n tercera.

Dentro de un tablero se han metido cinco da-
mas , quatro negras , y una blanca ; después de muy
mezcladas unas con otras, una persona á. quien se
han vendado los ojos se empeña en sacar una, y
apuesta cinco pesetas ú otra cantidad de dinero que
la sacará blanca* Se ha de determinar antes del lan-
ce la probabilidad que tiene de perder ó ganar las
cinco pesetas , y que parte de ellas puede equitati-
vamente esperar te pague otro á ¡quien ¡la hubiere
cedida * - -, ^J .. :..'■.■ v - --..i; •-»•'. .." ,

Resolución* < ■ • t •

Ya que al que está empeñado en sacar la daf-
nia le suponemos privado de la vista , no puede
conocer qual de las cinco damas es blanca ó gana*
dora; y como está ceñido á sacar una no mas, es
patente que de . las cinco probabilidades tiene solo
una para ganar las cinco pesetas , de cuya probabi-
• Tom.l Kk li-

514 APÉNDICE.

lidad la expresión es el quebrado \ ; á mas de es-
to , como después de sacada una dama quedan qua-
tro mas , una de las quales es ganadora , habrá
por consiguiente quatro probabilidades de las cinco
para perder , cuya probabilidad será por k> mismo
el quebrado \. Finalmente tendrá derecho para co-
brar un quintavo de las cinco pesetas si cediere su
probabilidad á otra

Cuestión quartcu

Supongo que son cinco ahora las damas dentro
del damero , eres negras y dos blancas , de las qua-
les después de bien mezcladas unas con otras , una
persona se empeña con los ojos vendados en sacar
una , y apuesta cinco pesetas ú otra cantidad de di-
nero en sacar una. blanca. Hemos de determinar la
probabilidad que tiene de ganar ó perder las cinco
pesetas , y que parte de ellas puede equitativamente
esperar le pague otro á quien hubiere cedido su pro-
babilidad. . . e

"i Resolución*

Ya que la persona empeñada en sacar la dama
no puede conocer quales de las cinco son las tres
negras r y quites son las dos blancas , y no ha de
sacar mas que <qna ; es patéate que no tiene sino dos
de las cinco probabilidades para sacar una dama blan«*
ca , y tres para sacar una negra: que por consiguiente
la probabilidad de ganar tiene por expresión el que-
brado fv y & de perder es expresada por \. Por
consiguiente puede equitativamente espera* del suge-
to á quien hubiere cedido su probabilidad j» de las
cinco pereíasL

Lo dicho tñ estas quatro cuestiones de las car-
tas , y. de las darnos, bien entendido y se podía apli-
car

APÉNDICE. $1$

ctt k otra* cosas que son asilttto* de probabilidades
V. g. si concluida la extracción de la Lotería que-
daren en una rueda solas cinco cédulas, ó cinco nú-
meros ) y en otra rueda dos cédulas ganadoras , y
tres sin premio , el dueño de dichas cédulas estará
cabalmente en el mismo estado que la persona de
quien hemos hablado en la última cuestión*

De todas ellas se deducen varias conseqüencias
sumamente luminosas.

i.a Quando en una Lotería hay un número m de
cédulas que pierden 9 y un número n de cédulas que
ganan , la probabilidad que tiene una persona que
apuesta , que con una cédula que saque la sacará

n

ganadora , es — — ; y la probabilidad que tiene de

m + n

sacar una de las que no tienen premio, será — ^-»

ó en otros términos la probabilidad de un evento
que resulta de suertes r tiene por expresión un que-
brado cuyo numerador es el número de las suertes
que expresa que el evento sucederá, y el denomi-
nador es el número de todas las suertes , así para
que el evento suceda , como para que no suceda:
y la probabilidad de que dicho evento no suceda,
tiene por expresión un quebrado cuyo numerador es
el número de las suertes -para que el evento no su-
ceda , y el denominador el mismo que el del pri-
mer quebrado,

2.a Ya que la suma de los quebrados que repre-
sentan las probabilidades v para que el evento suceda
y no suceda es la unidad, siendo dada una de es-
tas dos probabilidades , la otra se hallará por sus-
tracción.

3.a La esperanza ó la espectacion , esto es , la
suma apostada que ha de esperar, si cediere su pro-
babilidad á otra , una persona , que apuesta que el

Kk 2 even-

$4 4&£#ftiW^

la <#i#td$d <qu* &$l)$*a$:,y¡ si estajee la upi^dad por
expceaiao , la espe$t&QÍoa $prá; expresada, por la pro-
t»biUdad ffüm^ -\'>\b t>h <,¡v.*Lb «\> , i. ■

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