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Full text of "Procedimientos: Enseñanza de la aritmética..."

Goosle 



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Goosle 



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A 440730 




s 



GEN ERAL LIBRA RY of t he 
UNIVERSITY OF MICHIGAN 



-PRESENTED BY- 






Psicología 



de l« 



Aptitud matemática del niño 



DEL MISMO AUTOR 



Museos Escolares Argentinos y la Escuela Moderna. Üa tomo 
750 pigiaas,. I«9J — ( ag^otada ). 

La Educación del Niño y su Instrucción. Un tomo 440 pági- 
nas ( ag^Diada |. 

Plan Teórico -práctico de instrucción, combinando las escuelas 
primarias con los colegios nacionales. ( Premúda con meda- 
(la de oro ), 

Problema de hacer práctica la instrucción en la campaña. ( Pre- 
miado con laurel de oro ). 

La instrucción del punto d« vista de la evolución histórica y 
formación de tos hábitos, teniendo presente las exlgcndas 
del medio ambiente. ( Primer Congreso científico latino-ame- 
ricanu. Buenos Aiíes, 1898, sección Sociología '). 

Las leyes de la Metodología del punto de vista niogenético. ( Se- 
gutlíio Congreso Cientlrico lalino-americano. Montevideo, 1 901). 

El Positivismo Comtiano, un lomo, 160 pág. ( agotada ). 

La Historia del punto de vista positivo. 1 891. Polémica con el 
doctor Benjamín Sánchez, un tomo 425 pág- 

Notas acerca de la criminalidad Infantil. (Archivos de psiquia- 
íría, etc. ) 

La educacióti laica y Ja religiosa. 
Notas acerca de la Pedología. ( 1893 ). 

Síntesis Aritmética. Ejercicios y problemas de recapitulación ge^ 
neral para 5*' y 6^ grado. 



PROCEDIMIENTOS 



Enseñanza de la Aritmética 



por 



Víctor Mercante 

Director de la Escuela Normal de Mercedes de Buenos Aires 
y Profesor de Psicología y Pedagogía de la misma 






Libro I 



Psicología 

de la aptitud matemática del niño 



Libro II 



Cultivo y desarrollo 

de la aptitud matemática del niño 



Libro I 

Psicología 

de la 

Aptitud matemática del niño 

por 

Víctor Mercante 




BUENOS AIRES 

CAKAUT y Cía., Editores 

Sucesores ue P. Igon y Cía. 
Mbrerfa del Colegio — Alalna 500 

1904 



LIBRO DESTIMPIDO 

á los 

Profesores de Pedagogía, Maestros de instrucción primaria 
y ñlumnos-maestros de las Escuelas Mormales 



133110 



PRÓLOGO 



Mi propósito es escribir, dentro de un espacio de 
tiempo probablemente largo, la Metodología de la En- 
señanza Primaria guiado por los nuevos conceptos 
que se tienen del niño, de la educación y de los pro- 
cedimientos, gracias á una orientación más definida de 
la Psicología considerada del punto de vista de la en- 
señanza. 

La literatura pedagógica es abundante ; pero, fuerza 
es decirlo, vaga y declamatoria á tal punto que el 
maestro de cuarto grado no hallaría hoy, en la biblio- 
teca mejor provista, textos donde preparar los pasos 
de una lección acerca de las medidas de Volumen : 
no exageramos en afirmar que los alumnos-maestros, 
no obstante sus estudios de pedagogía, comienzan la 
práctica en un mundo desconocido tocante á prin- 
cipios y aplicaciones metodológicas. Sus aptitudes las 
adquieren observando, preguntando, imitando, bajo 
forma desordenada y después de ensayos costosos 
para él y estériles para el grado. 

El maestro no compra ni consulta pedagogías, por- 
que vanamente buscaría en ellas lo que necesita: el pro- 
cedimiento^ el arte de transmitir un conocimiento, el 
desarrollo sistemático de una serie de lecciones referen- 
tes á una asignatura. El descrédito en que han caído, 



— X 



se debe á su espíritu de vaguedad, si no son resúme- 
nes incompletos de gramática, anatomía, aritmética, 
geometría ó historia de métodos, viciando la definición 
misma déla palabra, /¿r/j, niño; agogés, que conduce 
{naiSctymYiay^ dirigir la actividad del niño en aprendi- 
zaje. ¡Qué error explicar con generalidades lo que 
exige riqueza de pormenores! Un libro sobre proce- 
cedimientos, útil como lo pretendemos, no puede ser 
de 400 ó 500 páginas, ni escribirse desde la mesa de 
trabajo con recuerdos más ó menos vivos de la clase 
ó sopándonos en la diligente lectura de tratados que 
sabemos deficientes. 

El cuadro sinóptico estampado al principio de la 
obra, es una clasificación por asignaturas délos cono- 
cimientos que según nosotros constituyen el ciclo pri- 
mario. En estos dos volúmenes tratamos la enseñanza 
de una de ellas, la aritmética, primera que en el cuadro 
del saber humano adquiere contornos positivos y en 
la escuela, espíritu científico. Tan útil á la cultura 
mental como la lectura y la escritura, deja hoy, su 
enseñanza, mucho que satisfacer; de ninguna materia 
se comunica menos con más tiempo y esfuerzo. ¿La 
causa? Porque no se sabe enseñar cuando la prepara- 
ción es suficiente ó la preparación es deplorable cuando 
se sabe enseñar. 

Basándonos en observaciones psicopedagógicas, he- 
mos modificado los métodos á punto de dar á la trans- 
misión de los conocimientos, una amplitud no soñada 
hasta ahora, que la rutina discutirá pero que el maestro 
inteligente aceptará como una verdad para siempre 
conquistada. Los escritores padecen la eterna enfer- 
medad de hacer el libro sobre los libros, no sobre los 
cuadernos de observación. En vez de tomar asiento en 



— XI 



el fondo de una clase, toman asiento en el sillón de una 
biblioteca dispuestos á repetir cuantas afirmaciones 
tenga el clásico libro de Comenius, ó de Girard, ó de 
Grübe, abstracción hecha de los progresos que significa 
un siglo ó más de diferencia. Siempre el tnagisier dixii 
no obstante la materia prima, los casos, la prueba 
contraria bajo los ojos. No pretendo haber leído 
cuantas obras se han escrito acerca de la enseñanza 
elemental de la matemática; pero he recorrido muchas, 
entre ellas, bastantes norteamericanas y en todas he no- 
tado la falta de análisis, la falta de hechos, el inmenso 
vacío de la enseñanza en los grados superiores, la 
vaguedad en dar rumbo á los procedimientos, pasando 
por sobre los ejercicios y problemas— la aplicación — 
como por sobre ascuas; nunca un trazado firme y con- 
creto que diga: aquí el camino para llegar á tal fin; 
estas son las lecciones, los desarrollos estos, la gradua- 
ción esta, estas las dificultades, este el procedimiento 
que lleva en rieles á la inteligencia para alcanzar el éxito 
máximo en un tiempo mínimo. 

Sin conocer al niño, se ha dicho, no es posible edu- 
carlo; del punto de vista intelectual, ese conocimiento 
lo da la Psicología, de la que se hace un estudio tan 
incompleto y á menudo erróneo que se la ha creído 
hasta innecesaria como auxiliar pedagógico. Los mé- 
todos de enseñanza, prácticos por excelencia, nada 
avanzan conociendo el proceso y las vías por donde 
una percepción se transforma en idea y movimiento 
después de provocar una complicada serie de integra- 
ciones. Es muy diferente la psicología experimental. 
Mediante sus cuadros y diagramas, conoce matemá- 
ticamente, en un momento dado, las aptitudes de los 
educandos para un trabajo ; su preparación en un punto 



— XII — 



determinado ; los intetigeiites y los retardados ; las bon- 
dades ó defectos del procedimiento; qué partes exi- 
gen más ejercicio y qué partes, menos. 

El primer volumen, después de una breve historia 
de la matemática y de los diversos métodos empica- 
dos para ensenarla, estudia las aptitudes de la co- 
lectividad escolar clasificada en grrados y sexos, 
porque, dentro de nuestro régimen simultáneo, el niño 
no es, del punto de vista pedagógico, una entidad sino 
el elemento de un organismo más complejo que se 
llama grado. El maestro educa al grado A ó B, no al 
niño A ó B y nosotros estudiamos al grado A ó B como 
terreno cuyas propiedadeü indican las preparaciones 
para aprovecharlo. Ue modo que encaramos la psi- 
cología infantil bajo nuevos aspectos, si bien sirvién- 
donos de los métodos de investigación hasta aquí 
preconizados con má,s ó menos acierto. Para nosotros 
toda enseñanza debe proponerse estos resultados: 
exacíiitid, rapidez y generalización. Nuestras investi- 
gaciones psicométricas acerca de los puntos fundamen- 
tales que constituyen el ciclo primario, de la enseñanza 
de la aritmética, desde contar hasta el análisis de un 
problema á condiciones implícitas, se han hecho según 
esos tres conceptos; exclusivamente experimentales, 
nos han dado una noción exacta de la mentalidad 
matemática de cada grado y cada sexo ; retardos, 
oscilaciones, crisis, positividad, tiempos de reacción, 
procesos primarios y centrales, horas de actividad y 
depresión, lo bastante para proceder sobre base segura, 
á la distribución de los programas en lecciones — 250 
para cada grado — y desarrollarlas dentro de reglas fijas. 

El segundo volumen es de inmediata utilidad para 
el maestro. Encuentra allí lo que nosotros inútil- 



— xin — 



mente hemos buscado en obras norteamericanas, fran- 
cesas, españolas é italianas: la asignatura, en cerca 
de 200 lecciones típicas distribuidas en grados, meses 
y días, su plan al principio y diviílidas en introduc- 
ción, medio y fin. El trabajo ha sido costoso, por 
cuanto, después de ordenar para la consulta, los apuntes 
de nueve años de observación, pusimos á prueba la 
mayor parte de los desarrollos. Al pie de cada uno, 
están escritas las indicaciones necesarias para evitar 
posibles deficiencias en la enseñanza. 

A los Ejercicios y Problemas (punto que en las obras 
de pedago^fía no hemos visto tratado ) dedicamos 
gran parte del libro: distribución por obrados; sus tipos 
y clases; métodos de solución; serles de apoyo, típi- 
cas, recapitulatorias y mixtas; textos, deberes y leccio- 
nes modelos. Alma, para nosotros, de la enseñanza, 
recibe nuestra especial atención y creemos de este 
punto, ofrecer una novedad á tos maestros. Los últi- 
mos capítulos resumen, por grados, los defectos más 
frecuentes y comunes de la enseñanza, anotados en 
nuestros cuadernos de críticas; sitíuen los desarrollos 
de varias lecciones deficientes para mostrar el me- 
canismo de errores cometidos á menudo. 

«Estamos convencidos de tener entre manos, una 
obra larga y costosa» pero útil, no sólo al magisterio 
de este país, sino á cuantos dedican sus empeños á la 
tarea de cultivar las aptitudes del niño. 



V. Mercante. 



Jerarquía histórica de la enseñanza primaria 



o 



Diferencia- 
ción de las 
cosas, hechos 
y fenómenos , 



Vida inorgá- 
nica 



Matemática 



Lectura 
Escritura 



Vida orgánica 



Cosmografía 

Física 

Química 

Mineralogía 

Geología 

' Individual. . . 



Colectiva. 



Botánica 
Zoología 
Anatomía y 
Fisiología 
Higiene 

Geografía 

Historia 

Gramática 

Derecho 

Moral 



Psicologia de la aptitud matemática dsl niño 



CAPITULO I 



HISTORIA 



I 



Consideraciones histáricas. — ^volunún de /*( Mate- 

lUiíticH^—Vnn. rioneia nunca nace sin antes aparecer 
(liruiulida oTi la mallas fie otra. La cantidad iiu pudo 
SLir apri-eiadíi sino como una de las tantas ctiulidades 
do las Posas dest-ubjerlíis ])or el hombre, en su Íni;e- 
santo esfuerzo ¡lara someter la naturaleza. La noción 
de tamaño, furnia, posit-ión, comparatidü entro sí dos 
objetos, ejerc'itíiba el inétoílo ; la noción exacta del 
podet', del tiempo y de las dimensiones, condujo á los 
mimeros, orales y cseritos pov la repetición primero, y 
por la Tüstá después. La^í ciperaeiones fiieron conse- 
cuencia lógiea clel proceso numerativo y las fraccio- 
nes de la unidad dividida en i*art08. En el longuajo 
oral se fué lejos? ; la notación escrita, en cambio, fué 
larga y costosa antes de llegar á un método sencillo, 
rápido y universal como el nuestro. 

Los griegos organiza i-on la eieneia matemática para 
difundirla sin artificios ni engaños sacerdotales como 
acontecía en Egipto: Thales de Milkth ( — 639 á— 548), 
funda la escuela jónica y reemplaza los proeedimiontoH 
infurnies de bis fenicios, indus, egipcios y caldeos, [jor 
un método de rigurosa demostración. Cultiva la Arit- 
mt^tiea y Ja (ieonietría distinguiéndolas en concretas y 
abstractas ; generaliza el uso del compás, la escuadra 
V el nivel, y determina la medida de los ángulos üis- 




2 — 



críptos. PiTÁüOEAS ( — 580), penetra más que Thalos en 
el dominio de la abstracción ; descubre y demuestra 
muchas proposiciones geométricas, entre las que se 
destaca el celebro teorema de su nombre, clave do infi- 
nitas soluciones. La escuela de Platón <— 430á — 347), 
pronmeve el análisis geométrico al que profesa todo el 
tíulto de una ciencia fundamental. Después del impe- 
rio macedónico j^ la docadcucia griega, la cultura inte- 
lectual secontrificaon Alejandría: brUlan.enau escue- 
la, tres astros de primera magnitud : Euclides ( — 318k 
Arquímedks ( — 2B7 á — 212 ) y Apolonio ( — 245); 
el primero junta en un cuerpo de doctrina todas las 
verdades do la Geometría hasta entonces dispersas, 
con tan elevado criterio, que hoy los textos eonaorvan 
aquel admirable orden ; es la parte do la matemática 
que inicia el método positivo y, como derivada de los 
objetos considerados en un plano, la primera que 
adopta un sistema de representación estable : nada 
niás proi>iü, de eonsiguionte, que llamar geómetras á 
los que entonces estudiaban las propiedades del nú- 
moro. 

El segundo, discípulo de En elides, da los elementos 
de la mecánica estática sin continuadores hasta Ga- 
lileo» que formula el principio de la independencia tío 
los efectos y los teoremas acerca del movimiento uni- 
formemente variado. Amplía la geometría esférica, 
descubro nuevas relaciones entre las áreas y lleva el 
estudio do las curvas, á límites desconocidos hasta 
entonces. Estos trabajos preparan el nacimiento de la 
trigonometría. 

Por otro carainOj Díofanto ( — 365), de la escuela 
de Alejandría, da un notable impulso á la Aritmé- 
tica ; por el uso de letras y algunas fórmulas gene- 
ralos, so lo considera como el fundador del Algebra, 
que, sin embargo, no floreció sino doce siglos más tarde. 
El incremento cristiano, la invasión de los árabes y el 
incendio do la biblioteca de Alejandría ( siglo VH t, 
detienen el avance y la matemática entra en un pe- 
ríodo de decadencia. Uno que otro oriental, uno que 
otro viajero como Leonardo de Pisa, mejoran la obra 



— 3 — 



<le Diofanto y la propagan por Europa sin encontrar 
atíiidemia que la recoja y haga, sobre tan sólido ci- 
miento, los prodigios de la edad moderna. Diez ó doce 
siglos de descanso para volver de tanta vergüonza, 
impetuosos á la lid, como la eorriento contenida por in- 
menso dique que, al romperle, se düs borda convii*tieíido 
los eriales en feraces vegas. Todo lo antiguo es peque- 
ño como un grano do arona, junto á la obra do (iali- 
leo. Descartes, Newton y Leibnitz. 

Tartaglía, CARDANoy ViÉTE (siglo XVI), organizan 
definitivamente el Algebra é indican el método para 
aplicarla á la Geometría. Fecundada por el genio de 
Descartes ( 151*6 á líioO), la matemática renace ; funda 
la Ueometría Analítica y toma la geuoralizaeión del 
cálculo, la amplitud con que se lo conoce hoy. Stavin, 
Pascal, Galileo y Toiíricelh (siglo XV y XVI), dan 
á la mecánica, rumbos teóricos definidos, preparando 
las maravillosas aplicaciouos de dos siglos más tarde. 
RuytíHENS (1629 á 1595) abórdala dinámica de los 
sólidos con un profundo criterio científico ; desde en- 
tonces, sólo quedan por jierfeccionarse los métodos 
analíticos para que la mecánica entre en el cuadro 
de la matemática pura, lo que consigno Lagbanüe 
(siglo XIX). 

Nkwton (1042 á 17:í7) y Liciüííitz (1646 4 1716) se 
inmortalizan inventando el método de las fluxiones y 
el cálculo diferencial; el primero, descubre su célebre 
ley de la mecánica celeste y el principio de que la 
reacción es igual á la acción, reducido á fórmula alge- 
H braica por D'Alembert. De este modo la rama avanz.a 
^H en el terreno del cálculo abstracto y cuestiones del 

■ dominio experimental de la física, se vuelven pura- 
I mente matemáticas. EuLER (lTÜ7ál78B), formula las 
I ecuaciones generales de los líquidos on movimiento ; 
I continúan la obra de Loibnitz los hermanos Beiínoui- 

■ LLi ( t7(.lOá 1782) que aplican las conclusiones del 
I nuevo anáhsis á la sulueión de los más atrevidos pro- 
I blemas y, por fin, Lagr.vnge (1736 á 1813), príncipe de 
I la matemática, funda la mecánica analítica sobre el 
I teorema de las velocidades virtuales. 



— 4 



EvoltfciÓH hiit/órir<i dfi la Aritinéfií-tt y el Alpcbra. 
El origen de Li arhniética se pierde en la Doehe de los 
tiempos (Larousse) supuiiii^ndosele en un estado de 
avanzada perfocción en la India y on el Kgipto, de 
donde se extendió á los pueblos del Asia y pasó al 
occidente. Los chinos pretenden haber esei'ito un texto 
( TsiS"Kiu TscHAOU ) StitH'J años antes de Cristo ( S. 
TzAUT, E.re.rcices ct Pr(d>ltmes d'Aífff'hre, pá^- -14) y 
acalca de desciíiai'so un papiro del Museo Británico 
euj'a fecha data del reinado de Auienemhat 111 {2425 
años A. C. ) que expresa la manera de escribir las 
fracciones comunes, en la foruia que lo hacemos boy, 
pero con numeradores unitarios. 

La cantidad, en los primeros tiempos, era sólo un 
conjunto de objetos ; uno, representaba la unidad m- 
di visible. Los matemáticos no conocían otros números 
que los discontinuos, y debieron pasar muchos siglos 
antes de que camliiaran estas ideas. Cuando se quiso 
medir las líneas, las superficies y los volúmenes para 
calcular su valor numérico, la unidad ya no era 
aquel símbolo claro y definido, esencialmente indes- 
eoniponible, sino, por el contrario, al^o abstracto y 
susceptible de dividirse (E, Echegaray). Sabida la 
nomenclatura de los niimoros. para la representación 
gráfica, se ensayaron diversos sistemas según la escri- 
tura que usaba cada pueblo ; en Egipto, uno, dos» 
tres, cuatro, se representaban por una, dos, tres, cua- 
tro rayas ; el cinco jior un círculo ; el ciento por una 
hoja de palma ; ditrno de notarse es la repetición do 
las figuras para indicar los múltiplos de la cifra, dos 
círculos eran diez ; dos círculos y una raya, onco. Los 
fenicios, hebreos y griegos usaban las letras del alfa- 
beto : los chinos y japoneses, signos para las cantida- 
des simples y compuestas, colocados al lado uno de 
otro. Los árabes, evidentemente imitado do la India, 
usaron el sistema heredado por nosotros. Las opera- 
ciones de mentales pasaron á ser escritas, por el difícil 
manejo de los grandes números ; pero antes so usó 
un prucedimientü recordativo, los abacos { Grecia, 
Roma, China), piedritas de diferentes tamaños y co- 



lores para representar órdenes de cifras que no de olra 
manera es la l'ornia objetiva empleada por los maes- 
tros de nuestras escuelaSj ineitlonndo la idea de uno, 
diez, ckit, con cajas, bolsitas j bolitas. Los indua 
conocían las cuatro operaciones, la tabla de multipli- 
car, la raíz cuadrada y cúbica : la divisibilidad por 
7 }' las pruebas por oste numero ; el cuadrado y cubo. 
Los griegos ejecutalían las operaciones do iztpiierda á 
derecha : las dificultados con f.[ue fueron tropezando y 
los progresos de la materia, trj-aeías á personas que le 
dedicaron tiempo, sin otro interés que el de ía especula- 
ción ciontíficrt, motivaron, una tras otra, reformas que 
después de muchos siyrlos habrían do darnos las nota- 
ciones y procedimientos simples de nuestra época, que 
tanto ensauehiiTon el cain])o de la matemática, La 
Aritmética permaneció en este caos de gestaeióu, hasta 
PiTÁGORAS i — 569 á — 470 ) í[ue di<5 el primer ¡jaso 
para elevarla á la altura de la Geometría. Tüón uk 
KsMiRMA (lííO D, C) resume, en sus libros, de la si- 
guiente manera á la escuela pitagórica : enseña que 
los números son el principio y uumantial do todas las 
cosas; tratado lacautidad; délas cantidades pares é 
impares ; distingüelas concretas de las abstractas ; los 
números primos y conipiiestos ; de los cuadrados ; de 
los paraleiográniiL'Os, |)uligonales, circularos, esféricos, 
piramidales, laterales, diagonales, pei'f ocias distincio- 
nes, suprimidas hoy por la simplifieaciÓQ, pero que 
iniciaban casos tan importantes como los de las po- 
tencias, raíces, progresiones, la inacabable combi- 
iianión dolos números ''*, los procedimientos compa- 
rativos y la proporcionalidad que debía conducir al 
descubrimiento de la ecuación. Hasta Diofanto ( 3:25 
á4(19D. J. ) ningún hecho es digno de nombrarse. 
Diofanto escribió un libro publicado por Xyi„\ni)ER 



( I ) El número, en Ini pai»ea ile Oriente, semitas, jadtoi, y aún Europa, eriad 
tDcriia, fué un elem^^nca de «^peculacír'in como'ci*]; loiíaliio* caniideraban indfe- 
no» lie esttitliarse, hechos tan vul^rares y nimio» de la natutateita; pri^ocupaba la 
ConiJjctB del lionibre y el ccinaciiniEiiiio de Dioi. Se explica pD[<;(ue se tnaatra- 
ban dr^iiíectai i la ciencia, Grecia, itiái práctica y humana, aplicaha, en cam. 
t^io, a<(uel hermoio principia formulado pnr Cornte á loa 2\ aüos. Haírer obaei- 
vacionei \m\»atiíMfi lubre cuestione* sítnplcjt. 



— 6 - 



en 1460 quEi pro,yi3Pla mucha luz acerca del proceso 
pvotuttvo de los eonorimioTitos matemáticos y de la 
mancm como lia ido formándose la Aritmética. La 
primera parte, en dieü definiciones, considera los nú- 
meros como reunión de unidades ; tas potencias hasta 
la (i"; la raíz cuadrada : aparecen definidas las sets^ 
operaciones fundamentales ; trata la notación de las 
potencias- Por primera vez se indican los exponentes 
con letras inicialoSj y da reglas para manejarlos : trata 
de las fracciones comunes ; define las recíprocas cfín 
el nombre de cantidades inversas ; estudia las negati- 
vas con el nombre de deficientes, aconseja no con fun- 
dirlas con las abundantes (positivas) y emplea las 
letras genoralizadoras. En esta infusa mezcla, se vis- 
lumbran las raíces del ^Ugebra. 

li^n el siglo VI, Beoce inventa la numeración escrita 
del sistema decenal, gencraÜRada en ol VII, por los 
áriibep. A partir do esta época, la aritmética sufre una 
transformación notable; en 1175 Leonardo de Pisa 
publica un tratado de estructura moderna y que puede 
considerarse como la obra definitiva de tantos ensayos 
para hacer de la matemática una lengua universal, al 
alcance do todas las clases, de todos los individuos. 
Ordena los conociniitMitos en quince capítulos : 

1'' Do las nueve cifras de los indus y la manera 
de escribir con ellas todos los números. 2*^ La multi- 
plicación. 3° La adición. 4" La substracción. 5° La divi- 
sión de los enteros. 6^ Multiplicación de enteros y 
fracciones. 7** Suma, resta y división de las fracciones. 
8* Operaciones de compra V venta. 9" De la baratería 
de las cosas vendibles, 10° y IP Regla de com- 
pañía y cambio de moneda, 12° y 13^ Regla de falsa 
posición. 14" Raíces cuadrada y cubica. 15** Reglas 
especiales. Hagamos notar que el cálculo algebraico 
no se conoció hasta el siglo XVI ( Vietc). Antes se da- 
ban, bajo ese nombre, reglas sueltas en textos de Arit- 
mética que no obedecían á un arreglo sistem ático ; 
así se explican ciertos capítulos de Dlefantu y Leonardo 
que los autores modernos, obedeciendo á la perniciosa 
rutina de la imitación, han conservado. El signo= por 



- 7 — 



ejemplo, so introdujo en 1552. So trata, pues, de una 
época en quti el álgebra coniíeuza á generalizarse eün 
elementos que c-onstituyen simples capítulos en el 
libro de Leonardo; las dificultados giran alrododor 
de la escritura, por la falta de signos para simpli- 
ficar el cálculo j las operaciones. El invento de los 
símbolos para servir á las cosas niás apremiantes de 
la vida y obtener resultados extraordinarios, fué el 
trabajo más largo, más paciente j más alentador de 
la acti\ádad humana. Curioso de notar que los mate- 
máticos modernos vuelven al terreno de los antiguos, 
usando las letras del alfabeto, pero en circunstancias 
diferentes, para generalizar, no representar números 
fijos. 

La aritmética nacía con los gérmenes del álgebra ; 
á partir del siglo XV, los calculistas dirigen su activi- 
dad á la ciencia que presentaba más campo de inves- 
tigación, limitando la aritmética á la definición de 
Comte. Gramátivs (1518), populariza el uso del signo 
más y menos. Roche (1480), trata de las fracciones 
continuas. Stifel il486), comparando las progresiones 
aritméticas y geométricas, encuentra las propiedades 
que sirven de base á los logaritmos. 

En esta época (siglos XV y XVI), la notación avan- 
za rápidamente, las letras se transforman en un con- 
junto de signos inconfundibles de fácil manejo y de 
expresión tan sintética que una fórmiUa de media línea^ 
legible pura los pueblos y razas de todo el mundo 
puede abarcar lo que no cabría en muchas páginas 
de texto escritas en lenguaje común. Esta obra de 
perfección llevada á cabo por los niatoraáticos del re- 
nacimiento, ha sido comprendida y admirada por los 
historiadores modernos en páginas alabanciosas y 
justicieras. 

Caedano (1501 y 157B), amplía el cálculo de loa en- 
teros y las fracciones y Cataliu (U)Ü2j, perfecciona el 
método para extraer la raíz cuadrada. En 1615 Nepek 
inventa los logaritmos y os el primero en usar las 
fraeciones decimales de Reííiiímontanus (1460). 

Bbiggs construye las tablas de 1 á 1200(K); otros 



H — 



llegan hasta lUtiOOOO. I Jos de oí siglo XVII estudiüii 
una cuestióti veinte tJÍí»'los abandonada, la teoría de los 
niimeros; germina una lujuriosa vegetación do teore- 
mas; se combina el cálenlo algebraico con elgoomótri- 
eo; la aritmética sale de su órbita para tomar caráeter 
trascendental en manos de sabios dominados pur el 
afán de descubrir pero no de clasificar: los nombres 
de Cavalii;ri, Feiímat, Wallís, Mekcator indicím 
un período do extraordinaria labor que da á la ma- 
temática, unidad en el método y robustez en la es- 
tructura. Los estudios viven la fiebre del progreso ; 
brillan sabios de la talla de Newton y Leibnitz. Niíw- 
TON al eí^eribir la obra con que fundaba su reputación, 
la Arttiiii'tiütt univer.^ytl^ establece los límites quo se- 

Í^aran la aritmética del álgebra hasta entonces con- 
undidas. Nuevos progresos que no modifican lo 
fundamental de un trabajo ya bocho, afladen Eulek 
(1707 á I783K La(jhange Ú73(i-lSi:^), LEoKsuKt: ( 1752- 
1838), Gauss, Lejeunk, Caucry. Hemos visto el álge- 
bra mezclada ala aritmética hasta la época moderna. 
Tales hechos ¿exphcanel fenómeno curioso de trotar, 
bajo el mismo nombre, cuestiones netamente algebrai- 
cas, con II n e8i>íritii atávico que hace tanto daño á 
la en-seftanza"? Inútil extensión de los programas; em- 
pleo de procedimientos y reglas temiendo una intro- 
ducción prematura de la ecuación; uso desordenado 
de la igualdad haciendo difícil la comprensión de 
propiedades simplísimas; demostración de casos tan 
particulares é inútiles como ciertos principios de la 
divisibilidad y las potencias, justificable en tiempo de 
Diofanto» no hoy, el siglo do las fórmulas, de los razo- 
namientos amplios, de las vastas genoralizacinnes. 

Toda ciencia, ya lo dijimos, antes de direreneiai-se. 
apereee disjjersa en el tronco de otra. Por consi- 
guiente, es lógico que encontremos abundantes ras- 
tros de las operaciones con letras, de las ecuaciones, 
del análisis indeterminado, potencias y raíces en los 
griegos, indus y árabes ; en DiofantOj BRAHMEorpTA 
(siglo VII), BnASCAiíA (1180), que legó á la poste- 
ridad la solución de las ecuaciones de segundo grado 



resueltas hasta entonces por procedimientos geomé- 
tHeos ; en Lkoiíardcí (12(>2) que trajo y propagó loa 
conocimientos do los indus y árabes, Pero pode- 
moií considerarla formada en el siglo XVI (man- 
do el perl'eetüionnuiiento de los signos y la ecuación 
permitió generaliKar los problemas raatomátieos. Los 
signos -{- y — so usaron por primera voz en el 
siglo XV probable dolormíieión de las letras p y líi ; 
el signo ^^ por Rkciuíiíi: (15Ó:2t; !a omisión do X 
entre los faetores de un producto por HTirKi, (1544); 
X y el punto i>or Oltghtrru (Ifüil) y Leibnitz; la 
barra de lu división por Fibonacci de Pi.sa, subslíiiiída 
más tarde por Lfíbnit/, ; bis primeros exponentos, por 
EsTiF.sxF. DK LA RocUF. 1 1520} v ol signo Vi~ trans- 
formación de la T' por íScur.UBiíL (156^) ; introduce 
los paréntesis Alukrto (Iirard (H>29) y Wai.lis - , oo. 
Las fracciones eran de una notación complicada 
entre los griegos. Oekiíf.rto (KJtJÍJ) las expi'eí^aba 
con palabras ; fué radioso ]>ara el cálculo algel)raico 
que no maneja sino fracciones, el día que Lkonauih> 
introduce la manera de escribirlas con la barra hori- 
zontal; Stevin escribía loi^ decimales cien años des- 
pués de_jnveníado9 (1585), todavía así: 3 |1] 7 iT] 
5 1^ 9 _4j, U..'i759 de la notación nuestra- Euclídes 
empleó las proporciones geométricas para expresar 
relaciones de igualdad. La ecuación se generalisió 
[■en el siglo XVI ; los símbolos especiaíos (I.Íescaiítks) 
y los exponentes fraccionarios (MKWTONb el XVII; 
Tartaglia (1500) construye la tabla de los cooficien- 
tes para elevar un hhmniio, trabajo que generaliza 
Newton; Abkalzaiu (I46U) expono las reghus para el 
cálculo de los radicales: Bümbklli (1579) y Euler 
(1750) introducen el uso de las imaginarias, y (jtadss 
da, á su teoría,, la procisión de que hoy goza. Rrounc- 
KER (IfíBS) inventa las fracciones continuas. Lf.ibnitz 
i l(>fl3), perfeccionadas por los matemáticos dfd 
siglo XIX, inventa las determinantes ; todo, some- 
lido al trabajo sin tregua de centenares de sabios, 
se transforma en el sentido de la sencillez para lle- 
gar á límites nunca imaginados. A pesar de la 



— 10 - 



maravillosa perfección alcanzada, es posible todavía 
un cambio que poQga la solución de problemas in- 
trincados al alcance de nuestros colegios, como 
otrora, los cambios del siglo XVI pusieron al al- 
cance de un niño demostraciones que costaban aúos 
de trabajo para ser comprendidas. El método se per- 
fecciona á grandes pasos, elimina cuanto tiene de 
inútil para dotar á la enseñanza de la admirable clari- 
dad del orden lógico. 

En esta sucinta historia hornos notado el cxtraor- 
dinano esfuerzo del hombre para generalizar los 
métodos mediante una escritura sintética que permi- 
tiese la labor en un teiTono puramente abstracto. 
Hemos notado un trabajo continuo de substitución 
de lo difuso por lo simple ; la costosa tarea para 
construir lo que hoy es fácil de comprender ; la fácil 
derivación, luego, de ciencias como ramas de un 
árbol de robusto tronco ; hemos notado, por fin, un 
orden genealógico en los conocimientos difícil de al- 
terar y que es guia del maestro empeñado en el uso. 
de buenos procedí mi enos. 

Jüvúlucién histár'ica di* la Geometría- — Roma erai- 

nentemente positiva, especie de ciencia natural, ])uesto 
que analiza la forma y dimensión de las cosas, e& 
tan antigua como la idea dp número. Las nociones 
de línea, superficie, perpendicularidad, paralelismo, 
igualdad de triángulos, propiedades elementales del 
círculo, diáraotro, cuerdas y tangentes; superficies 
esféricas, eran familiares á los egipcios ( — ¿OOü ) sin^ 
empero, ir más allá del conocí miento objetivo. El 
arte de medir, basado en la proporcionalidad dé los 
lados de un triángulo, se estudia en la escuela do 
TuALEs ( — 630 á 548). De aquí arranca el estudio de 
la materia, con el espíritu que tiene hoy día; Pitá- 
«OKAS ( — 580) la com])leta descubriendo el teorema 
fundamental de! triángulo, la geometría de los \mM- 
gonos y elevándosii> a la comparación de las áreas y 
los volúnienes. La escuela de Platón ( — 4Í.K.0 funda 
la teoría de los lugares geométricos, el método de 



ti 



tratar las cuestiones, dándolas por resueltas y las 
sesiones eünicaí?. Eucmdks ( — 347) escribe su célebre 
tratado elemeí^j^il, modelo de eiií^adonaiuiRtito y de- 
mo&traciún : trata las secciones cónicaB y da una 
teoría ciompleta de las relacionos ineomensurablps. 
Arquímeues funda la geometría del oíspaeio oxlen- 
diendo ¡^us métodos á la cnuidratura y curvatura del 
cilindro, del cono y de la esfera,* entreveía signiflca- 
eión métriea de las fürmulas relativas á la compa- 
ración do las áreas y halla el valor de n. Estudia 
los segmentos paraboloides, elipsoides é hiperbo- 
loides. Aristarco (—230 ) aplica la geometría á la 
medición do la distancia entre la Luna y la Tierra. 
ApOLa>'io( — 245) estudia las seccionéis del cono oblicuo 
y completa la obra del gran Arquíniedes. Hiparco- 
( — 180). ampliando los métodos del siraeusano, echa 
los cimientos de la trigonometría calculando el valor 
numérico de los arcos y sirviéndose del rectángulo 
para medir puntos inaccesibles. Lejos están, sin 
embargo, los procedimientos algebraicos de Viéte : 
Mkkelao {50 Ü. C. I descubre su teoría de los soj^- 
mentos determinados por una transversal sobi-e los 
lados de un triángulo, base, en las £)sf ericas, de la 
trigonometría esférica que después, en manos de Cab- 
NOT (18tX)), fué apoyo de su bella teoría de las trans- 
versíiles. Díofantlí establece la identidad de las 
proporciones geométricas y aritméticas realizando, por 
primera vez, esta saLudable osculación de dos ramas 
que crecían apartadas, pues, como dice Bossi^T, se 
consideraba geométrico solo aquello que podía rcisol- 
verse con la escuadra y el compás, LTn largo período 
llenado hasta Viihi-:, por BfiAimAGUPTA (tíOÜ), Moha- 
«EO lUíN Musa (850), Lkunardo he Pisa (1170), 
RKGroMOXTANus ( 14:^0 K Lucas pe BuHv,a (I4!íí) á irn'S) 
elabora los principios de Diofanlo y los pni]>aga por 
el oceidento como semilla que tan prodigiosos frutos 
había de dar en dos siglos solamente. X'iétk (1540> 
vigoriza la trigonometría, resuelve los triángulos esfé- 
ricos y trata con el fiuxilio del álgebra, las cíjestiones 
más impoilantes de la Geometría, Keí'Len (lóTl> 



— 12 — 

publica la estereométria que contiene ks priiiieraa 
aplif-aciones modernas del método do la ejrmtstación 
de Arquimedes desembarazado do fpbstá culos ; la 
aplica vastamente á la astronomía 7 mediante el 
cáleulo, descubre las leyes del mo\imiento planetario. 
A Descartes (1o96) le estaba resei-vada la «iloria 
de abrir la era moderna creando la ¡geometría anaU'- 
tiea. MoNGE {1746 á 1818) introduce, en la fecunda 
obra de Descartes, el principio de las relacionos con- 
tinfTcntes y ñmda la geomotría descriptiva. 

Las a])licaciones. si exceptuamos las primeras épo- 
cas (4 lie satisfaciendo necesidades primarias, se Lacían 
á nn tionijKj que la labor teórica, han sido siempra 
posteriores, sin imaginar siquiera las consecuencias 
industriales y económicas de la esiveculación pura- 
mente intelectual á que se entregaban con éxtasis 
poético, los sabios. (rALitj:r>, al descubrir las leyes del 
péndulo, estuvo lejos de pensnr en el reloj y la can- 
tidad de fábricas que lo construyen ; no debe sentai"se 
como principio de que sólo debe enseñarse lo de inme- 
diata aplicación: las consecuencias resultarían tan 
modestas á la cultura •rencríil. que defraudaríanios de 
esto modo, las esperanzas de cuantos fían á la ins- 
trucción la etiianeipacjón del hombre. 



II 



Evofucién histérica de la enseñanza lie la matemática ele- 
mentaf de carácter primario. — Propósito de la vduca- 
cíthi.— Vj\ propósitu de la educación os conseguir que 
un espíritu mediocre alcance, en pocos años, la suma 
de conocimientos que los genios han adquirido en va- 
ríos sí^^los de trabajo; de aquí, la necesidad do seguir 
el camino de la menor resistencia, el método. Toda 
asignatura puede exponerse de dos maneras : histórica 
y dogmáticamente, formas, en matemática, paralelas. 
La escuela primaria, por las condiciones psíquicas 



- 13 - 

de los .alumnos, sigue la marcha fílo^enétiea despo- 
jadii por supuesto, do las sinuosidíides y excesos in- 
horentas á toda clase de exploración, para tomar sola- 
mente la línea recta, en virtud del principio de que 
todo progreso acerca de un punto, implica simplici- 
dad. No sería económico dedicarse al estudio de los 
procedimientos que se usaron en Grecia y Roma para 
multípliearj antes de conocer el que empleamos hoy, 
gtineraUKado por los matemáticos del renixcimiento, 
porque la matemática, abstracta por excelencia, ofrece 
una vasta crónica de ensayos superfiuos antes de 
llegar á la lógica trabazón de sus capítulos. La nuir- 
cha de la humanidad, es do suma, intensiva y procede 
dilerencialmente, derivando ios hechos unos do otros. 
Construye su aparatoso edificio, partiendo de ««.<>, á la 
radiosa lujs de la lógica. La enseñanza es un caso 
abreviado del método natural; por eso le buscamos con 
empeño por el dilatado campo de la historia, sin^ 
empero, dejamos aliicinai' por los procesos de ensayo» 
decidiéndcinos por los que la selección, em{neatement& 
sintética, arroja como mcí.jor, del punto do vista del 
eneadenamienlo general y sucesivo de los hechos; 
nada más puede quedamos de la forma histórica. ' ' ^ 

El saber os tan vasto, que lo nocositaraos sin des- 
per(hcios, elinñnar antes, no despué.s, lo inútil á fin de 
que no nos substraiga tiempo y espacio. La escuela 
primaria transmite los productos sintéticos de la cien- 
cia, muchas ideas, conocimientos sólidos en el menor 
numero de palabras y demostraciones. Cada día nece- 
sitamos transmitir más porque la ciencia avanza ; el 
problema didáctico no es otro que el de comunicar lo 
más posible con lo menos posible; las aptitudes tra- 
bajan hoy sin las resistencias de todo camino pooo 
transitado y en seis años, el maestro elemental, enseña 
lo que antes era el privilegio de las academias y uni- 



i I ) V. MsRCAifTS. — tUA EdacacMÍn del Niñoi. \iS97, capt. I, Ul y sigaícn- 
tei : í,m acción dt¡ maestro dtbt sur ^mrmítía á la. H* ia MaÍMrMttn, 

C. Q. BtlüSB. — tBI Espíritu de la E(lgcacjrin>, 190Í páj, 3W y «¡juientci : Eí' 
tducmtU no dthe fontai' sing eoactfttvar é la ttniiiriiUxa. 

E. HoiISBUU ^ tMüiioale di limejolica e piichiatria mentale», I89S, páj;. Mi • 
La csHCÜaeia ts una verdadtrit y ripien rtcapiinlaciÓH dti preciso filagmiliés' 



- 14 - 

Torsidades. Es la bondad de la ciencia : ponerse al 
nlcaneG de todo ol mundo por sus rfisultados no por 
«US procedimií^ntos. No obstante, la inducción, es un 
método adquisitivo, insuficiente ; por so amplitud y 
elasticidad se inijíone el lóg'ico, en resumidas cuentas, 
ol histórico depurado de la exagerada inducción y del 
excesivo detalle para llegar más rápidamente, á pesar 
■de los pasos, ú las conclusiones. Haj heclios que de- 
ben admitirse a priori. tíerj'a imposible ó por lo menos 

largo y fatigoso razonar —; pero es elemento 

necesario para dar á los ejercicios la extensión que 
«xigo de la asignatura, la escuela común de! siglo XX. 

fjflfi prim eroK pa.sos en la enseñanza de la Aritmética. 
— El primer paso fuR contar ^'^ objetos semejantes, 
-después déla noción «esto mayor que aquello, aquello 
menor que esto ; cuando 3"a no se dijo : cambio esta 
hacha por un manojo do flechas sino por ocho flechas. 
Estos comienzos se pierden con el orig-en de la Huma- 
nidad; es imposible calcular los miles de años que nos 
separan. El aprendizaje de la numeración fué un largo 
período de esfuerzos : los salvajes de la edad de piedra 
contaban hasta 2 ó 3; muchos gru])os de 2 ó 3 ; 2 ó 3 
era la base de su sistema, ni más ni monos, lo que 
sucede hoy con un nifto do cuatro aflos, Añrnia Aristó- 
teles en s[i Prohkmaftt, que el momento más intelec- 
tual fué cuando las tribus recurrieron á los dedos ;. de 
los dedos deriva el sistema decimal difundido por los 
países del mundo entero. Por esta razón histórica no 
se debe impedir el uso de instrumento tan cómodo y 
natural, procurando, no obstante, que lo olvide poco 
á poco, para contar más rápidamente y no reducirlas 
tablas á procedimientos numerativos. 

filuchas generaciones se sucedieron antes de llegar 
é,\a, notación escrita. Postalozzi, tenia á su favor oste 



i l ) Para tm^riblt este i^apitnlo, hcrdoB recorrido á- la obra úc Smifh { DaVÍ4 
Eugenio) «The Teaching of ¿lem, Mathem* tlWl. cap. Ul, IV, V.) El diitis- 
gaido profeior de Brockpon perdonará nuetu* indjicreci<Sn. 



— 15 — 

Imento cuando pretendía ensefiar á contar hasta 
diez untes dopiscribir ninofuna cifra, exageración peda- 
gógica, como veremos al tratar de los métodos de pri- 
mor grado, por cuanto la ley ontogénica no oxige tanta 
amplitud para mantener ni paralelismo. El orden es, 
pues, dentro de la forma concéütñea: 1" contar; d* ope- 
raciones sencillas; 3" escribir. Psicológica é históriea- 
mento no pueden darse al niño otras razones que la del 
hecho mismo, desde que el lenguaje matemático es 
«orno los demás, convencional. Cualquier clase de con- 
sideraciones que pretenda hacerse en cursos primarios 
como secundarios, es perderse en las inútiles cuanto 
fatigosas disquisiciones metafísicas que envanecieron 
tanto á Pitágoras. El sistema primitivo era trazar ra- 
yas sobre piedras, cañas ó palos ; el egipcio, parecido 
al romano, tem'a símbolos para 1, 10, 100 ; los babilo- 
nios escribían las mismas cantidades sobre ladrillos 
en Daracteres cuneiformes. Los griegos del siglo VI 
a, J. C. j los hebreos, emplearon las letras de sus alfa- 
betos ; las nueve primeras, para los números dígitos 
de 1 á 9; las nueve subsiguientes, para las decenas: 
itaa docena (10); dos decenas (20); fres docenas 
{ íiO ); etc., con caracteres especiales las centenas; íba- 
mos, de este modo, aproximándonos al sistema actual; 
así, 387 que en romano se escribe CCCLXXXVII 
forma tan incomoda para las operaciones, en griego se 
escribía mg. Los signos latinos son letras griegas 
modificadas, Los romanos introdujeron el principio 
substractivo ( IV = 4 ). 

El sistema arábigo, cuya antigüedad puede consta- 
tarse en inscripciones halladas en el Nana Ghata 
í Bombay-India, tres siglos a. J. C. ), parece basado 
en el aliabeto bactriano. ^'^ La falta del cero eva un 
inconveniente no pequeño. Le trajo á ItaÜa Fihonacci 
i 12<Xí ); un siglo más tarde penetró en París j la 
imprenta le propagó |tor las escuelas, imponiéndose 
por su carácter sencillo y generalizador. 



( 1 J Ciirttof i, púg. 5ti-l. 



— 16 - 

Ai uso de los enteros ¡síetuíó el de las fraccionm cuyo 
origen se pierde en las edades prehisíóríeaíí eostLindo 
railüs do años el trabajo do simplifiear el cálculo con 
ellas. Los egipcios escribían sólo quebrados r|uo tenían 
nno por auinorador ( 25(J1J a. J C. ); los griegos, el 
numerador seguido por el denominador duplicado eon 

17 
letras acentuadas ; te ka ká'^ ; los roinünos ten- 
ai ' 

dían á los denominadores corno potencias de 12 { ^iy de 

pie ) y los babiloniüs, cron un denominador de 60, 

cual se ve en sufi cálculos astronómicos. 

Las ecuaciones simples lian sido tratadas, por la 
humanidad antes que las fraeeiüuos, hecho de acuerdo 
con los primeros pasos cuando se enseña al niñu 5 -f- 
cuánto ^ 7 y La fracción decimrtf^ de euyo origen 
hemos hablado en ol capítulo anterior, se propagó en 
el siglo XIX, Menos generalizadora que la fracción 
común, llena un gran vacío en los porcentajes, logarit- 
mos, pesas y medidas; es la expresión sintética sobre 
una baso única de las partes de la unidad. 

La aritmética antigua tenía el doble carácter que 
tratamos de asignarle hoy; arte de calcular y logística. 
Mucho después fué definida % la ciencia de los números 
y el arte de computar,* 

Factor, además importante del misticismo cabalís- 
tico, atribuyéndose á los números propiedades que 
nunca llegaron á explicarse en los destinos del 
mundo. < ' ' 

En la edad media, opuestamente á las edades griega 
y romana, los conocimientos aritméticos del vulgo 
eran primitivos y desconocida la escritura. Los claus- 
tros enseñaban este y otros ramos, como un privilegio 
de casta; la liga anseática (siglo Xlll) fundó escuelas 
para contadores y más tarde, al Rcchomnoistor, que 
tuvo maestros como Wagsrr de Nuremborg, que escri- 
bió la primera aritmética en lengua alemana y C. 



(1) DiÓGKNES Labrcio. ^(Fil-)«ofoi i]>»tre*: PitágOTa» i¡ Biblioteca cláticSt 
TomoXCVIlI. 



17 



DDOLFF la primer álgebra, se debe una gran cantidad 
de problemas comercíaíes para 5", 6° y 7" gmdo. 

La enseñmizo de la Aritmf'tiea después del stfflo 
XV. — El descubrimieato de América, la inveneióu 
del papel barato y de los tipos movibles, la industria 
j el comercio quo dan otro aspecto al progreso hmua- 
no exigían una enseñanza activa y popular. La añt- 
ética estuvo, hasta 1501), basada en la enseñanza 
bjetiva. Con el entusiasmo que produjo el uso del 
istema arábigo, so olvidaron los abacos que, si eran 
innecesados para el cálculo, eran indispensables para 
la comprensión de los números, de donde resultó que 
una revolución técnica divina de todo elogio, trajo 
onsigo un método deñciente de enseñanza. Cun me- 
jores elementos se hizo más momorística, más mecá- 
nica, se mataba el pensamiento con la palabra, los 
" bros se llenaron de reglas y definiciones repetidas 
por maestros y alumnos; tal estado de cosas duró 
ímsta la época pestaloKziana. ün matemático de hoy, 
rindiendo examen en el siglo XVIQ, resultaría incom- 
potente; sin embargo, trabajaban los XeAvton y los 
Descartes. El sistema puso á prueba el ingenio de los 
maestros para descubrir im método de recordación 
liieil; hasta se escribieron aritméticas en verso, no 
obstante las protestas de Ascham y Lucre, contra 
extravío tan grande de una educación lógica por 
excelencia. Se empleó tres siglos en discutirla manera 
de enseñar la numeración; no pueden darse mayores 
pruebas do la trivialidad y estrechos de los ]jedagogos 
de una »^poea on que el pensamiento era de vastas 
proyecciones. A fines del siglo XVIIl inicia una salu- 
|fcaable reacción contra el empeño de contar y sumar 
"hasta lo infinito, sin que el niño supiera si 2897 era 
mayor que 2399, Cristian Tílvpi-, inventando un pro- 
CBflimiento de aprender los números y las operaciones 
en P y 2° grado con objetos y no con cifras; hacía 
comprender las decenas y centenas con cajas que con- 
tenían 10 ó lOC) veces uno. Es toda una campaña 
á favor déla escuela natural y amena que tan sazo- 
nados frutos había de dar en el siglo XIX. Trapp, 



£as. de la ArUmitíta. 



— 1« — 



BüssE, YON RocHüW fueroii los precursores de Pesta- 
Lozzi, quien afirmó en los sólidos principios de la 
percepción, los nuevos métodos, resucitando el viejo 
y olvidado aforismo de Aristóteles; nihU. est in inte- 
Uectu quod prhu non fuet-it in sensu. El cálculo 
desempeñó ü1 papel importante que so le asigna hoy 
como gimnasia mental y sus alumnos daban prueba 
de ser, ou los trabajos numéricos» diestros, activos y 
alegres. Comenzaba, en primer grado, independizándo- 
se de laií tradiciones y reglas y dando al objetivismo 
una importancia exagerada; insistía con cierto pueril 
empeño en el aprendizaje oral do los números hasta 
lü y de las operaciones elemontales antes de escribir 
las cifras, según decía, por ser símbolos; se cometería, 
do otro modo, el mismo error en que se incurre enso- 
ñando las letras á un niño que no sabe hablar, hecho 
imposible de constatarse á los 7 ú 8 años, excepto el 
caso de un idioma extranjero en que, contrariaraonte 
á lo indieaílo, la conversación, la escritura y la lectura 
son simultáneas. 

La aritmética, decía, es un proceso racional no un 
moro trabajo nmemónieo ; es el resultado de una con- 
cepción clara é intuitiva del número. Del mismo modo 
enseñólos quebrados; aplicaba la conocida regla de 
Ratkk: primero la cosa y luego el camino; el fondo 
antes que la forma. Hizo do ia aritmética el estudio 
principal délos cursos, porque el número jamás enga- 
ña; observada tan inusitada preferencia por el P. 
GiRAKD, replicó, conforme á la necesidad, de que sus 
alumnos no creyesen nada que no fuera tan de- 
mostcable como dos y dos son cuatro. Abusaba de las 
tablas como ejercicio mental, clasificado por Rnilung 
de monstruoso y extravagante. Abandonó el mecanis- 
mo del marco numeral sustituyendo una forma desco- 
lorida y sin nombre, por la sintética de ^números en 
lugar de cifras^. Tillich modifica algunas prácticas del 
maestro : exagera la importancia de los números desdo 
1 hasta 10; pero en cambio no considera 34 como ^ 
unidades sino como tres decenas y 4 unidades, ense- 
ñanza en la que Pestalozzi fracasó. Tdhk acepta, como 



19 



Pestalozzi, la aritmética sin cifras de 1 á 20 y fija ea 
diez tifiO? la edad para cfimenzarla. Los ijrooediinion- 
to.s extrei«udos de la escuela de Iverdun provocaron 
lii eonlrareacción. 

FcDERico Kranckes ( 181ÍM pmpiiso cuatro círculos 
concéntricos quo consistían en ejercitar al niño pri ma- 
ní, do I á lü; segundo, de I á ItJtl; tercero, dti 1 á 
KXXly cuarto, do 1 á lü.íXiO. Empleó, como Busse, los 
cuadros aúmcricoe, cuyo uso so extendió profusamente 
por la alta Alomaniaj llamándolo método del deitcttbri- 
■miento cnyníi rejflas dedujo de ejercicios y observacio- 
nes. Los proldemus no eran de carácter abstracto 
como los do Pestaluzzi ; respondían á necosidades de 
la vida diaria; el repaso ora una parte fimdatiieatal 
de las lecciones. Orube popularizó los nuevos princi- 
pios con un tratadito quo so virtió a todos los idiomas^ 
sosteniendo, eniiicro^ casi contrasentidos como estos: 
r|U0 se necesita uiás do un año para enseñar lus núme- 
ros de 1 á 10 y más de tres aíios de 1 á lÜO: que la 
ensoñanza de las cuatro operaciones debe cumenzarso 
á la vez. Ksillinü y T.'IN'ck afirman que el número no 
es, psicológicamente, un derivado de las cosas sino 
la propiedad misma de las cosas; clasifican las uni- 
dades on naturales (árboles, piedras); de modida (me- 
tro, gramo); matemáticas (abstracta). El ritmo de 
contar, dicen, es agradable al niño que espontánea- 
mente trata de dospronder el número délos objetos; 
atribuyen mucha importancia al ejercicio de sumar 
ó restar de dos en dos, de tros en tres, hasta cien, 
sistema por nosotros combatido; multiplicar y dividir 
mentalmente cantidades pequeñas; todo cálculo es 
obra de las cifras y no de la percepción, un asunto 
puramente mecánico. Pero, dice tíMiin, recorriendo 
la escala numérica de esta manera, tan lejos está uno 
de ser aritmético como el que recorre las teclas do un 
piano, de ser un músico; sólo proporcionan un medio 
útil al trabajo de la ciencia; FitzijA sumariKa la cues- 
tión, de esto modo : 1° El maestro debe fijar en oí 
niño ol lengiuije numérico. 2" Debe comenzar aplicando 
el ijrincipio peslaloKziano. 3** Ijos axiomas algebraicos 



— 20 — 



lo mismo que los geométricos, se refieren siempre á 
la pereepeión en el espado, porque todo concepto 
numérico es originarianiente el cuadro mental de un 
grupo de objetos, sean diidos, botones ó abacos. 

Resulta lo que dijimos atrás: que los maestros 
se han ocupado del método solo tocante á nume- 
ración y operaciones, perdidos en confusas polémicas 
acerca déla esencia (Gríjbe, Herbart) sin abordar 
nunca el Berio problema del ejercicio, de las pesas y 
medidas, de la densidad, de la enseñanza matemática 
on 3°, 4°, 5'' y i>^ grado. En tiempos más recientes, la 
enseñanza de la aritmética en primer grado, se co- 
menta y objeta todavía. Se dice, por ejemplo, que una 
obser\'ación prolija nos demuestra que no hay objetos 
iguales ; sin embargo, por una operación mental in- 
consciente que es lodo el secreto do la abstracción 
matemática, rechazamos momentáneamente sus dife- 
rencias. Así, pues, la idea es engendrada por la per- 
cepción sintética de un grupo de cosas que se suponen 
iguales ; de aquí que pocos se atrevan á enseñar los 
números sin ayuda de los objetos. En Alemania se 
ha generalizado el uso de aparatos; en Norte América 
se ha hecho oposición tenaz al uso do los dedos i en 
las escuelas aigentinas, dirigidas por normalistas^ se 
usan los objetos (bolitas, granos, fichas)^ que se aban- 
donan por los dibujos y la abstracción no bien el niño 
eomprondo. 

Frecuentemente, los profesores (Smith), han come- 
tido la imprudencia de olvidar los consejos de Busse; 
las ilustraciones no deben ser tales que distraigan 
el pensamiento, de la noción que so pretende inculcar- 
ReeuerdOj con este motivo, la clase de un aluinno 
maestro que eomensaba á practicar, por lo típico del 
caso; se proponía enseñar el número seis con diez y 
siete ilustraciones diversas; bolitas, cartones, naranjas, 
maíz, abaco, hojas, figuras en el pizarrón^ huesos, 
cartuchos de caramelos, troncos de madera, etc. Toda 
una presentación, por otra parte imposible, que dirigía 
la atención á las cualidades do las cosas, no al núme- 
ro. Ha existido en Estados Unidos, la tendencia de 



— 21 — 



fuir á fjRrnK, al extremo do usar objetos hasta mu- 
cho después de noeesitárselos : de considerar impór- 
tente el hábito de reconocer un número á primer golpo 
de vista, entre otros varios, é indicarlo en agrupacio- 
nes de puntos : 



Pero este ejemplo prueba el reconocimiento de una 
forma- 

Laisant opina que la idea de proporción debería 
darse como una consccuoneia de la noción de número, 
concebir al número, no como un conjunto de 
unidades sino como un todo. El proceso de este sis- 
tema sería: 1° de la abstracción al número; 2" del 
número al símbolo, mediante una ecuación alge- 
braica que resuelta nos daría un nuevo símbolo; 
3" encontrar el número que corresponde á este sím- 
bolo. La idea, que de proporción implica el número, 
debería darse temprano y aplicai'se al trabajo de los 
quebrados. 

Loíf nuevos procedimientos. — La cuestión del mé- 
todo, desde el punto de vista de una enseñanza supe- 
rior á la del primer grado, interesa hoj á los educa- 
cionistas ; prueba son los tratados que se han escrito 
]mra dar forma, dentro de un concepto unitario, á la 
enseñanza común. No creo, dice JjAisant, que haya 
nmehos métodos de enseñanza si por enseñanza com- 
prendemos la reunión de esfuerzos con que tratamos 
de enriquecer una mente que todavía no ha llegado 
á su completo desarrollo. El jtroblema es siempre el 
mismo, interesar al alumno, inducirlo á buscar, á 
que tenga la ilusión de que descubre por sí mismo 
lo que se le enseña. Prestigiando estas ideas, De 
Gabmo j McMuiírys, en Estados Unidos, dando 
á conocer los sistema^í alemanes í herbartianos > han 
promovido saludables reformas. Rkin, pi'opone en el 



— 22 — 



desarrollo de una lección, eineo píisos: 1" prepara- 
ción; 2" presentación; Z" asoéiación; 4" condensación, 
5" aplicación, correspondiente al sig^iiiente ho»qitejt> 
de una clase de 5" grado. 

PROPOSICtÓIí, - ¿ Cómo escribiremos 12 déetnics de litros ? 

a) PñepjuiAciúN. — Podemofl escribir' • I., ** I^ ete. En ve^ 
de *.'i I-, podemos escribir 1 ' j L — En vez de * s I., podónos es- 
cribir 1 'i, etc. ¿ De qué otra manera podeaioa escribir " i» I,. ? — 
(1 »/ií i.) 

b) PRESENTAcrúM DK LO NUEVO. —1';» puede ser escrito de 
otra manera; ya sabemos qne 'i* sr pnede escribir 0,2. Ejemjílo ; 

¿Qué indica una cifra antes de[ pnnto decimal ? 
¿Qué, una después del punto decimal? 

&) AsociActós. —Comparar k manera de caeribir 1 ' m 1. y 
1,1 I. ; 3 »/i* L y 3,3 I, ; comparar 1 \4 1, y l.á 1. : ¿ Podemos 
escribir 1 •/« I., ío mi^mo que l.y I, ? 

d ) CosnESSAGiós. — Sí teiieinüa que escribir mus qne 0.9 de 
litro, fcdui'imoa los décimos de litro á litros enteros ó á enteros y 
décimos y colocamos nji ponto decimal nntre ios enteros y los 
défliraoa. ' « ó ' >« de litro no podemos eseriliirlo eomo décimos. 

e ) ApLicAciórf. — Escribir 0.4. 0,6. Escribir los números 
mixtos 2 ^/iQ, 4 */)(>. Redncir á décimos 3.3. 46. Escribir 24 
enteros y 7 decimos. Reducir á número mixto SS décimos. Leer 
como décimos 1,2; 2.3, 

El concepto de Laisant ha sido aplicado en una 
ffjrnia lógica, pero contra el principio de la econonua 
del tiempo. Nuestros procedimientos, que explica- 
remos en la segunda jjarte, son más rápidos y gene- 
rales; la inducción es inmediata, la inteligencia no 
se gasta en investigaciones que acostumbran á la 
nimiedad. En la Hcpública Argentina hace tiempo 
que ae reacciona contra el sistema introducido por los 
maestros norteamericanos, de que los alumnos descu- 
bran todo sin acordarse del tiempo y dejándose 
seducir por cuestiones secundarias en perjuicio de las 
osonciale.s. Con este motivo se nos viene á la memoria 
la profunda rocomendaeión de Pascal: no demostrar 
nunca aquello que sea tan evidente por sí mismo, 
que nada podría sor más claro para probarlo. 

La escritura de los números se ha discutido si debe 
enseñarse contemporáneamente con los nombres ó 



— 23 — 

después de In primera década. La controversia ha 
llegado hasta proponer ol uso previo de ¡íuntos y 
rayas antes do los numerales indus, lo que hoy usamos 
sólo para dar idea de la cantidad. Estos detalles, ya 
lo dijimos, no tienen importancia pedacrógica alguna. 
La mayoría do los autores convienen en que el tra- 
bajo del primer año debe ser la enseñanza de los 
números de 1 á 10: algunos admiten que puedo lle- 
garse en el 2" semestre hasta 100 y operan do 1 á 20 
todo lo posible fTANi:K y Knillingí- Soraoj ante im- 
posición tras de inútil, puesto qiio el niflo con los sis- 
temas actuales adquiere lo que espontáneamente su 
cerehro admite, guía segura para dar más ó menos 
radio al programa, es irracional. La maestra de 
primer grado de la escuela que dirijo, pre&entó á fin 
de año U902) este detalle de los conocimientos que 
en aritmética poseían sus alumnos : 



( Primera Sección, 7 aSos ) 



I — Distinción, kctnra y eseritura á^ las nueve primeras cifras 

— .\irreg;ación sucesiva tle uniíiadeg — Pequeños ejercicios de 
aijíción. 

[I — NániPro 10. — Qué representa — Con i¡ué ¡mlabra poeileu 
indicar que tienen 10 objetos — Pequf^aoií cak-ulos cuyo resultniio 
«éa JO: ej. : 7 -F 3, 8 + 2, 9 -j- 1, Cuánto es 1& niifAil 
de 10. Escribir el número 10. 

UI — NHiiicro 12,-- Qué representa ~ Cuntar ile ií en 2 basta 
doce — Escribir el nñmero 12 — Cuanto ea la mitad *te lá — ¿Qué 
pidiUira indica 13 objetos. Y seis? Uti nido tiene 8 Imevitos 
T otro 4 ? Onántoa huevitos hay en los tíos nidos ? 

n' — Números de líi á 25. — Eaeribirlos salteados — Leer- 
los -CAlculo: 10 -L 3, i3 + i, áo + 2, 23 + 2 En una 
rama hay 10 pajaritos y vi<>nen 4 más f_ cuántos huy ahora ? 

V — Contar desde Sf» lia-Sta 50 — Escriliir los números ¿¡3 — 28 

— 34 — 45 — 50. J Quién tíene más dinero, el que tiene 50 S 
ó el que tiene 25 ":? ¿ Qué es 2 
duraznos y eclio 34 ¿cuántos hay ahora? 

VI — Contarde 2 en 3 desde 50 hasta 70 — Escribir 25 

— 30 — 12. Sumar esas cantidades — Leer *?l resultado. 

Vri — En oit número indicar la.s unidades. TnidadeH que hay 
én una deréita, 8i teng'O ¿O unidades ¿cuánta^ decenas tengo? 
En 18 ¿cuántas unidades y cuántas deeenas hay ? 

VIII — Orden que ocupan las unidades en cualquier número — 



a de 50? Efi un canasto hay 45 

14 



Lagar de tas decenas — En un número indicar las unidades y las 
decenas. 

IX — Escribir y líer el níimereí 100 — ¿ Cuántas unidadeB repre- 
senta — ¿Cuánto es la mitad de 100?. 50 -f- 50 =? En una 
ñla hay 72 árLiolea y éa Dtra 28 ^, cuántos árboles hay ? 

X — Kscribir y l<!(ír cualquier número entre 100 y 500 — Inditar 
sua unidaJea y ilecenas, En un gajo íiaj 49 diiríiítios y ott 
otro 05 ¿cuántos duraznos hay en los dos gajos? 

XI — Sumar laf! sig^nientes cantidades; ] 14 -|- 225 -j- 350 = ? 
8 + 2+2 + 6=? 5 + 5+5 + 5=:? 



XII — Besta. 



. cuántos 



Si tengo 10 caramelos y me como 5 
íon los lOcarai 
un numero se )e saca otro?— Escribir ei signo de 



me quedan ;. Qué he hecho con los 10 caramelos ? — ¿ Cómo se dice 



¿ cuántas 
¿ cuántos 

= ?; 42n 
?í & + & 



cuando 
restar. 

XIII — Un» planta tiene 45 tlures y se corlan 13 
quedan 'i — £n un nido hay 18 hucvoi» y se sacan 10 
quedan ? 

XIV — Restar las signientea cantidades ; 98 — 80 
— 104 ^ ? — Cálculo :e+4 — 6=?:7+3--5 = 
+ 5 — 10 = ? 

XV — En una caja hay 569 clavos v »e sacan 102 ¿cuántos 
clavos quedan '/ - 8 + 8 -2 = 'í\ 6 + 6 — » =? 8+ 5 — 3 =? 

XVI — Un ramo tiene dos docenas de rtores y se sacan 5 ¿cuán- 
tas florea quedan en el ramo? — Escribir cantidades de tres 
cifras. 

XVII -^ En una bandada van 150 pajaritos y se mueren 100 
;. cuántos quedan ':* — ¿ Cuántas cosas forman tina docena, una 



ilecena ? 



media docena, media decena? 



XVIII ^ El metro - ¿ Para qué sirve ? — Quiénes lo usan ? — 
De t(ué substancias puede hacerse ? — ,; Como son lodos los metro»? 
^¿ Cómo se llama la mitad del metro ? 



Segunda Sección 

XIX — Escribir V leer loa siguientes niímcrofi: 50 — 55 — 68 
- 70 - 98. Cálculo : 4 + 6+10+10+5=: 5 + 4 
+ 8 + 2^5= " 

XX — Indicar las unidades y decenas de loa siguientes números: 
128, 430, 609 — Sumar las siguientes i-antidadest : 4tíí) + 600 
+ 304 + 102 = ? En un canasto hay cl42 duraznos y en otro 109 
¿ cuánto» duraznos hay en tnrfo ? 

XXI— 200 hojaa más 60 ¿cuántas son? ¿8 + 8 + 4—20 
+ 2 =? JO más la mitad ¿cuánto es? — Escribir 682. 

XXII-- Escritura del niimero ICKX).— Ordenes de onirtades, lugar 
que ocupan las centenas — Cuál las unidades de mil — Escribir 
Um ; 9325. 

XXni — yumar las siguientes cantidades ; 2468 + 300fi+ 1000. 
¿Cuáles el primer numero que se escribe con 4 cifras? 

XXIV — Una burdalesa contiene 45t) litros de vinu y se ven- 



— 25 — 



den lOá r, eDÓntos litras han quedado. Un libro tiene 562 hojas, 
de las cimlps 834 están rotas ,; cuántas tiene en buen estado f 

XXV — De lui árbi)t que tiene 267^ hojas st? han raido líi-15 
¿eBántas han quedado en c! áriioi'f CAlculo: 16 — 10 + 6-^2 

XXVI — Escribir el sig-no de multiplicar — Multiplicar mental- 
mente^ do8 dígitos— AIjí^uuos niímeroB de la tabla del 2 v 3. 

XXVn - Escribir 6785 y roultiplirarlü pw -2. 

Problema. — ¿Si un pañuelo cueata 2 S. ¿cuánto coatarán oelio 
pañu«loii ? — Algunoa n limeros de la tabla del 3 y 4. 

XXVUI - 4 X 5 = i á X 3 = ; 3 X 9 = ; 2X9:6X4=. 
He comprado 4 libros á 3 $ cada uno ;, cuánto he gastado ? 

XXIX — Escribir cantidades de 4 cifras é ifidicar el orden de 
unidades. Un libro de lectura tiene 252.^ hojaH ¿cuántnK liojiu 
tendrán 4 libros iguales ? — En un jjotrero liay 1500 caballo» 
¿cuántas patas tendrán ? — Escribir una cantidad de cinco cifras. 

XXX —Un ramittí de violetas vale 0.06 S ¿ cuarto valdrán 2456 
ramttüs ? — Leer una eantídajl dti cinco cifras — Otra de cuatro. 

XXXI — Un durazno vale 0.04 S 4 cuánto valdrán 8828 durajtnoa ? 
Un ejercido de cálculo aplicando la tabla del 5, Un cuaderno vale 
$ 0.07 ¿ cuánto valdrán Há25 cuadernos ? 

XXX II — El Ittiit para qué sirve — qué forma tiene — de qué 
se hace — quiénes lo usan — Coino son tos litros que hay en todas 
parles — ¿ Óuáuto vale un litro de leche ? — ¿ Un litro de vino fran- 
cés ? — ¿ Uno de kerosene? — ¿ Como se llama la mitad del litro ? 

XXXin — El peso moneda nacional— Describirlo— cómo se repre- 
senta — ¿Cuántos centavos tiene un peso? — ¿IJuántos centavos 
f arman la mitad de un peso ? — En dos pesos ;. cuántofl centavo* 
hay? — ¿Cuántas monedas de 0.10, 0.05^ 0.20 centavos forman 
un peso ? 

<E1 desiderátum del primor año de trabujo, no es la 
solución de probloaias sino el manejo di.' los nümeros->, 
marquemos Líen este postulado de la eseuela norte- 
amorieana ; hay escuelas bien organixadíis, donde no 
bien se sabe contar hasla diez, cuando engolfan á 
sus educandos en las aplicaciones técnicas, en apre- 
ciaciones monetarias, en divisiones del tiempo, del 
espacio, en unidades métricas, cual si anticipando tales 
conocimientos preparasen más rájiidít mente para la 
vida, error grave que se comete con niños de 6 tt 7 
años ; gasta semanas y meses lo que no oxi/^e sino ho- 
ras y por lo común, sólo se utiliza cuando el joven 
egresa de la escuela ó cumple los 12, 14 ó Itj años. 

El comité de: los quincb, opina que la euseñanüa de 
la aritmética debe eomenaar el 2^ año de ingj'eso á la 



— 26 — 

eacuüla. Antes de Pestalozüi, se daba después quo ol 
niño supiese leer. La idea de oste aplazamiento, os una 
<ie las tantas aberraciones postaloKzianas irrumpidas 
recientoraente, sin otro valor que la cln ser anacrcinÍRaa. 

La aritmética oral, tan jirostigiada antes quo la 
notaeióu arábiga so hubioso difundido, cayó en descré- 
dito el siglo XV para renacerá principios del XIX. 
Pero el uso de pizarras, papel y lápices baratos, la 
desterró nuevamente de las escuelas llegando hoy, al 
sistema mixto, según el ]irinc¡pio de que la impresión 
de las ideas os directamente proporcional á las asocia- 
ciones de apoyo. La forma cíclica, propiciada por el 
germano Ruhsam ( 1866 ), tuvo poca aceptaeión hasta 
quo se jjropagó por América on los últimos años. 

Consiste en tratar los mismos asuntos on todos los 
grados, pero cada vez con más intensidad y anjjilitud. 
La idea es simpática porque no puede exigirse al niño 
que domine de una vez el procaso aditivo por ejemplo ; 
pero os muy cierto que on 3" grado, oloctúa cualquier 
claso do sumas ; que nada debe dejarse para 4° grado, 
si se quiere econoiiiizar el tiempo; que la mayor parta 
do nuo.sitras escuelas repiten los conoeiraientos do cla- 
ses antei-iores, pero mediante el problema ó valorización 
de expresiones sintéticas quo combinan al mayornú- 
moro de operaciones y preveo ol mayor número de 
casos como en el siguiente ejercicio ' ' ' para 6" grado: 



74¿5Q0* 
742500 



0-263838 + .... X 



28 _ _7^ 
990 * 2 



:í.2121 



99 f^ 



12;<0 + 



6 3 _ 1 
5 4 15 






8n oej» 

6828 817» 



{2638— 2ü( : 9900 



( 



9,8 37 (lao— 3a^40-7 

— X — >, — X — : 

6 7 8 6 2 



/ 24( 



(I> MüRCASTB,— «SíiiC^iii Aritm^icaii'. ^Serí« 77, N' 13. 



— 21- 



El sistemíi métneo, la aplicación por excelencia de 
la aritmética á los casos do la vida, ha sido por lo 
fiümi'm, ensoñado induetivainente según el sistema 
francés, presentando el eonoddo estante de las medidas 
de longitud, capacidad, etc.; adquiere el niño, el signi- 
fieado de los nombres y se ejercita en eí empleo de las 
unidades métricas. Una dofíeiencia, sin embargo, ea 
notable, la facilidad con que olvida las denominaciones, 
á punto de no conceder importancia á lo que era antes 
la característica délos números concretos. Los proble- 
mas comerciales ocupan un lugar prominente en casi 
todos lo.s textos y se adnivtan al grado y capacidad de 
los oducandos ; puntos como el dosctiento, eenación do 
pagos, compañía, arbitraje, tienden, con rasión, á des- 
aparecer en la aritmética escolar, substituidos por che- 
ques, letras de cambio, documentos bancarios fotogra- 
fiados, para hacer inteligibles estas cuestiones antes de 
dejar el 8" grado. 

Los mf'twÍ(K< cortón, en otro tiempo tan en boga, 
han desaparecido por no ser do aplicación general y 
porque hoy las tablas suplen á aquéllos en la ob- 
tención do resultados rápidos y seguros. Propiciamos, 
en cambio, el empleo de las fórmulas gof>métricas y 
físicas como la expresión de una ley ó tevorenia per- 
fectamente demostrados y que son necesarios para dar 
amplitud á la solución de los problemas 

Smith protesta contra el sistema do dictar ó tomar 
apuntes, puesto que abundan los buenos textos, y 
profesor y alumnos deben ahorrar el tiemi)0 para dedi- 
cado á la instrucción. La explicación ea la baso do 
la enseñanza primaria. Laisant, aconseja un método 
rigurosamente experimental, dejando al niño en pre- 
sencia de realidades para elevarse, solo, á la abstrac- 
ción, de apariencia placentera, sin pretender jamás 
presentarle lo que debe ser el resultado de una agra- 
dable y espontánea investigación. 

Algunos pedagogos sostienen que las expheaciones 
sistemáticas no deben comenzar antes del 4* grado, 
limitando la exposición del alumno á lo estrictamente 
exacto; el empleo de fórmulas en el análisis, es de 



- 28 — 

valor discutible dicen ; pero tiene exeepeional impor- 
tancia el raKonamíonto que el alumno íuiee solo, que, 
por otra parte, nunca podrá ser de proyecciones t'oni- 
plicadas; un hombro no será menos razonador (.Iames) 
ó matemátieo á los 20 años por el hecho de haber 
dedicado su niñez á ejercicios concretos, dibujando ma- 
pas, contando cosas, aprendiendo frases mediante 
ejercicios apropiados á la edad. Otros por fin ( Ver- 
gara ) sostienen que el niño debe indicar el cono- 
cimiento. 

Se ha discutido más ó menos extensamente la ma- 
nera de hacer las operaciones, de escribir las cantida- 
des, para la división v. g.; 

27 } 6728 ó bien (Í728 ¡27 ; el uso de frases como ; 
tne llevo tttnto, pido cwinto. sm entre cinco; si el co- 
ciente de una división inexacta debe continuarsa hasta 
qué cifra decimal. Se ha lleo'ado siempre al terreno de 
la sencillez y la claridad. Acerca de los repasos, hoy 
el maestm, mientras enseña puntos nuevos, recórrelos 
anteriores. Hay épocas en que son esenciales ; el aftu 
principia lubrificando la maquinaria mental mediante 
el recuerdo de los estudios pasados. 

Las quejas de los maestros acerca de la insuficiente 
preparación de los alumnos que i-eciben de los cursos 
l>recedentes, deben atribuirse á la larga inactividad 
mental de las vacaciones. 

Creemos haber llenado las necesidades de la re- 
visión píira h° y (i* grado, con nuestra serie de ejerei- 
eios y problemas de la Síntesis Aritmética donde todas 
las operaciones y casos pueden recoi'rerse rápidamente 
en sólo media hora 

La matemática, como toda asignatura, tiene su faz 
estética ; es de eso punto de ^ista que so la debe tratar 
de modo que el aprendizaje sea un deleite, nunca un 
sujiheio, 

Ks posible íLaisant)^'^ conservando á la práctica del 
cálculo un carácter rcereativo, ir más lejos de lo que^ 



(1) C A, 
IIWé.. p JOi. 



LAtSANT. — (La MiUiéauííiiiii? Philoiophie, eníelgnenient», «c„ 



29 — 



SO piensa. No solamente ol niño podrá hacer las cuatro 
operaciones, no solamente habrá adquirido la aptitud 
siiñeiente para hacer las relativamente simples sin recu- 
rrir al lápiz ó la tiísa s^ino que, sin. saberlo, se iniciará en 
g1 cálculo de las progresiones, de las potencias y de. los 
tinálüi^ de comMnación ; parece una quimera, pero 
tengo lo conviceiún apoyada en hechos, que esla tesis 
ns la verdad niií^ina y que de 5 á KJ años puede obte- 
nerse del alumno, resultados aparentomento prodigio- 
sos, no siendo sino natnrüles. Pero una eondicíón : 
seguir un método rifft(rósíiment<^ e^íperimentai ; de no 
dfjrtvstrar nunca nada : de limitarse á las explicacio- 
nes qno el mismo niño solicitará ; de conservar á la 
enseñanza un carácter entretenido ; si la latiga cere- 
bral se produce, si se lo constriñe á atender puntos que 
no interesan, razonamientos que exceden su capacidad, 
la enseñanza falla y obtendremos escolares que cal- 
culan mal y asocian á la palabra matemática, la idea 
de fastidio. La reforma exige abandono de hábitos 
inveterados: ningún libro de estudio puede contribuir 
al éxito y no es posible reparar más tarde, el mal que 
ocasiona una enseñanza incompleta, sin método y sin 
lógica. 

A lo» autores de metodologías. — Digámoslo sin 
ambajes, los pedagogos, que nos ofrecen direcciones 
vaguísimas acerca de la enseñanza de la matemática 
de 2" grado adelanto, se detienen con lujo do consi- 
derandos en las propiedades del número uno y de 
cómo el maestro debe enseñarlo- 

No obstante, los alumnos ingresan al primer grado, 
no sólo distinguiendo sino aplicando esa y otras canti- 
dades lo que sirve { de lo conocido á lo desconocido ) 
de base para comenzar la enseñanza. Nuestros ]>edago- 
gos leen demasiado á Pestalozzt y sus émulos ó jtre- 
deeesores;uüconsideran que lainstrucciónprimiiria lioy 
ea otra ; que la observación psicológica ha modificado 
loa métodos á punto de dar á la transmisión de los 
conocimientos una amplitud no soñada entonces, que 
la rutina discute hoy, poro que el maestro inteligente 




considera un hecho para siempre estableeido. Loe escri- 
toros padeeon la eterna eiUeiinedad de hacer el libro 
sobro los libros no sobre los cuadernos de diez ó doce 
años de observaciones. En vez de tomar asiento en ol 
füntiü de una clase, toman asiento en ol sillón de una 
biblioteca disjmostos á renovar euantas sentencias 
tonga el clásico libro do Comonius ó de Girard ó de 
Grübe; siempre el ma(füter diu'it nu obstante la ma- 
teria prima, los casos, la prueba contraria bajo los ojos 
que no quieren ver. No pretendo haber leídu tedas las 
obras oscritas acerca de la enseñanza matemática; pero 
he visto niüclüís norteamericanas y en todas he notíido 
la falta de análisis, el inmenso vacío de la enseñanza 
en los grados superiores. la vaguedad en dar rumbos 
á los procediraiontos, pasando por sel>re kis ejercicios 
y problemas ( la aplicación ) como pui- sobro ascuas; 
nunca un trazado firme y cuncretu que diga, aquí el 
camino para llegar á tal fin ; estas sun las lecciones, 
los desarrollos estos, la graduación esta, estas las difi- 
cultados, este ol procedimiento que lleva en rieles á la 
inteligencia para alcanzar el éxito máximo en un tiem- 
po mínimo. La ciencia avanza, la civilización exige 
al individuo más aptitudes y no es posililo que á los 
14 años, el joven sólo sepa las operaciones, los que- 
brados y resolver problemas de dos combinaciones á 
lo sumo. 

Bajo mis ojos tengo el tan elogiado libi'o do Mu Le- 
LLAN ANi» ÜKWKV, " ' im primor de sutiles consideracio- 
nes acerca de la psicología dol niño con relación al 
número. No obsUinto, no llena la sentida necesidad 
que menta el prólogo; para la idea de vect^s y. g„ debe 
tenerse en cuenta lo siguiente : a) Las operaciones 
preliminaros í observación do grupo do cosas para es- 
tablecer el concepto de unidad sobro una base verda- 
dera ) deben ser completadas por actos constructivos 
con cantidades de medida exacta, El conjunto debe 
ser analizado, descomponiéndolo en unidades do medi- 



( I ) tThe Piycfaolo£f o( nainlier. » Vol. XICXIU ite U Ihtdrn. üducatios 
serÍEs. 



— 31 — 



da doterminíida y, luego, reconstruido con las mismas 
partes. Ejercicios tales como 12 manzanas, por la 
unidad de modida, 14 manzanas, ó por la unidad de 
medida, 13 manzanas, deben generalizarse por otros 
como: 12 pulgadas, por la unidad 3 pulgadas; la can- 
tidad de 20 centavos medida por la unidad 10 cen- 
tavos, por la unidad 5 pontavos. El movimiento hacia 
la verdadera idea de número, eomienza con operacio- 
nes de unidades indefinidas y se fortalece, mediante 
ejercicios suplementarios, con cantidades de medida 
exacta. 

6 ) Contar por unos pero no necesariamente por co- 
sas únicas j aisladas. Para evitar el error del sistema 
de la unidad fija, es neeesai'io no empezar contando 
objetos aislados. Los 12 objetos del grupo v. g., se 
reparten en cuatro grupos ó un tres grupos. Estas son 
unidades, son unos, y al contarlos hay un primer nnOj 
un segundo iino, un tercer nno, en todo, tres veces uno 
y lo mismo con los cuatro irnos cuando la cantidad esüí 
dividida en cuatro partes iguales. 

Pn}céda8e, ahora, del mismo modo con cantidades 
de medida exacta : los cuatro unos de tres pulgadas, ó 
los seis unos do dos pulgadas, formando el pie lineal. 

El niño, primero, ve cosas relacionadas con los 
ejercicios de análisis y reconstrucción, percibe estas 
relaciones para darse cuenta completa de ellas, Llegan- 
do así á obtener una idea definida df número >. 

Ningún maestro, con sólo esto, será capag de dar 
forma auna lección que enseñe el oficio de la palabra 
veces en matemática. Lejos de mí el propó.sito de hacer 
lo que repudio, crítica á libros de excelentes enseñan- 
zas, bajo otros aspectos ; quiero, con esto, sólo demos- 
trar que no se escribe para la mayoría de los maestros 
y que so deja al maestro la parte más penosa : el des- 
arrollo de la lección y el orden de la enseñanza. 




— 32 — 



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CAPITULO lí 

espíritu de la matemática 



Carácter y división. — El auálisiiá matemático es q1 
principiü raciünal do nuestros conocimientos 3- constitu- 
ye l;i ]>riniera y nuis perfecta do las ciencias ; se ocupa 
de las irleiismás universales, más abstractas y más sim- 

j^plos que podemos concebir (Comte); pocas nociones 
soncrotas, acerca do la cantidad, fonna y posición de las 
bastan para elevarse rápidamonte al cálculo ; la 
•vación descubre propiedades en el mismo nú- 
mero; se derivan axionias, teoremas y Tdgl&s \ la 
verdad fluyo tan clara, el proeodinüento tan correcto, 
que la objeción es imposible. Ofrece el carácter no- 
table de demostrar sin recurrir á la experiencia, no 
obstante ser, los resultados, confirmables jror los 
hechos; las proposiciones ¡jarten do corto número 

^do principios, verdaderas intuiciones, axiomas, enun- 
¡siados luminosos por sí mismos. De esta manera, es 
m encadonamionto de juicios acompañados siempre 
por la evidencia (Couhnot). 

Respondo desde el primer momento, á la defini- 
ción ; detennimir las cantidiídex unas por otrm xct^ún 
relaciones precuas que exUten entre elhu. Se deseom- 
pone en dos partos, de naturaleza distintaj pero i"ela- 
eionadas, una concreta y otra abstracta; los datos 
Sinanados de las cosíis, constituyen la primera : la 
secunda, la determinación de los números descono- 
cidos mediante relaciones con los conocidos. Do aquí 
ecuación, propósito final de todo trabajo mato- 

Sns. Se la Arítmtlita, % 



- 34 



mático. L[i parte abstracta, cálculo, es de naturaleza, 
gciiRral, lógica, raaonativa; especial, en cambio, la 
concreta : es física, fenoménica, inductiva. 8e expli- 
can, de consiguiente, las dos fases de todo problema : 
planteación una, ó esfuoreo para descubrir la kptaldad\ 
(itra, el ejercicM para despojar las incógnitas me- 
diante un trabajo puramente deductivo y de combi- 
nación que denominamos cálculo. 

Si eoDociondo ol valor ni dti a objetos, nos propo- 
nemos hallar el valor ¿v do n, establecemos, piimoro 
la relación exacta do las dos cantidades, en otros 
términos, la ecuación entre los objetos y el valor; por 
una simple comparación inducimos que si a vale ffi, 

unú vale — ; que si n vale jp., uno vale — ; de donde, 

por ser unidades de la misma especie 



X 

n 



•m 



La planteación ha terminado ; estaraos ahora en 
presencia de un ejercicio que re.?:olv eremos según las 
propiedades abstractas de la cantidad. Si multiplica- 
mos dos cantidades iguales por un mismo numero 
resultan cantidades iguales; de aquí 

u; X t mx w 

n a 

Por otra parte, la fracción puede simplifi- 
carse basados en el principio que dice : el valor de 
una fracción no cambia dividiendo sus dos términos 
por un mismo mimero, de donde 

¿r X » 



n 



= X 



Pero dos eantl dados iguales á una tercera son igua- 
les onlru si ; entonces 

m X ft 



x^ 



— 33 — 



Hemos dieho eeuaeión ; en efecto, es el elemento 
fundaniRntiil del trabajo niateniático y el punto do 
partida del fálculo. Dusd o hi fórmula a-\'b^^c del 
primer grado para enseñar la suma hasta la que 
expresa una serie derivada, el proceso es siempre de 
igualdad, niodificndo fin la arituiptica con una termi- 
nología obscura que dificulta la generalización dolos 
procedimientos. Tal sucede con las reglas especiales 
del tres, interés, pompañíftj aligación, conjunta, restos 
atávicos de una época apremiada por las exifíeneias 
comerciales que ensayó muchas formas antes de llcjíar 
á la más simple, la ecuación, dos cantidades compa- 
radas en condiciones precisus, porque la dcaigiüddad 
forzosamente es vaga ; cuando decimos tal cosa más 
{grande ó más pequeña que tal otra, no tenemos sino 
im conocimiento imperfecto de las relacionos. Nada 
más desatinado si empezáramos la enseñanza riel 
idioma nacional con el vocabulario y la sintaxis! del 
español antiguo ; no sabríamos justificar nuostro pro- 
ceder. 

CoMTE divide la matemática, de la siguiente ma- 
nera : 



MATKUiTtCA 4 



Cúli'itki 



Geomtti'ia 



(\" lie ItLáfonctoncs ilirectas ( Arítniúticn 
y Algf'bra.) 
j 2° de lít& funciones indi rectas. 
1 ;-í° (]i> !aH vftriiiciunos, 
I 4" á difercruúaí» linitas. 

/ 1' De tos antiguos (Plana y det eíipacitii. 
I 2" Analítica. 

t'á" Estudio tie iaa linean. 
4" " " 8Uperfiéies. 



(I" Frínci]no& funditriiPTitale.t. 
2" Estudistíca. 



Riiciotiat 



3° Dinámica, 

4" Tporpnia,^ generateíide niepánica. 



Una parte mínima pero útil al mayor número de 
hombres, cálculo délas funeinnes directas y clnmonfo-s 
de Geometría, corresponde á la ensoñunxa primaria; 
otra parte más extensa, pero elemental, ostudiada dol 
punto de vista concreto-abstracto { .Vritmética. .Mííg- 



- 36 — 



bra, Geometría, Contnbilidad y Trigoaornetría ) corres- 
ponde á la secunda ria ; el resto á la universidad y 
oscuelas profesionales, cursos de tispecialización desti- 
nados á materias que han de servir á las más vastas 
apHeaciones del ingenio humano. 

Aritmética y Alffebi'a. — La Aritmétiea caracterizada 

por la denominación poco ])recisa pero común de 
contar, se concibe como una serie de operaciones 
estudiadas por la numeración : treinta manzanas, 
treinta metros, treinta caballos, son cantidades con- 
cretas ; treinta, una cantidad abstracta, de consiguiente 
generalizada puesto que puede ser determinativa do 
cualquier especie do cosas ( Bl'isson ). Conviene com- 
parar estas acepciones para proscribir conceptos 
erróneos. 

La imperfección y el hábito bistórico con más fre- 
cuencia, han hecho que se confundan bajo eí mismu 
nombre do aritmético j procedimientos algebraicos, 
error perjudicial á una enseñanza que {jara ser rápida 
y sencilla exige un método riguroso. Recordaremos, 
por ser típico, los varios teoremas y corolarios acerca 
del cuadrado y cubo de dos números que los textos 
tratan en abundantes páginas. Los estudiantes dis- 
traen una gran suma de tiempo y esfuerzo para expb- 
ear con redundancias de lógica, el desarrollo do (a+b)-, 
( a-|-b í^ ( d-|-u )^, ( m-j-l )■' — m^ etc. ; obtenida la 
expresión creen, por el trabajo hecho, haber demos- 
trado proposiciones importantes y difíciles de la mate- 
mática; forman, asi, un concepto equivocado de la genu- 
ralidad del cálculo, de tal manera quo, cuando poco 
después, por el estudio dol álgebra se llega por un 
método sencillo, al desarrollo de { a-|-b )"", el espíritu 
interroga sorprendido, por quÉ se ha tratado con 
tanto empeño y aparato caso.'? insignificantes de una 
fórmula tan vasta. Baja el nombre de aritmética, 
pues, se invade con procedimientos atávicos el campo 
dol Algebra, haciendo penoso el estudio de materias, 
por no, pocos motivos atcayentes. 

El Álgebra y la Aritmética difieren desde el punto 



- 57 — 



lo vista do laa cantidades, relaciones y valoj-es. El 

[objeto de la primera es resolver las epuaciones ó con- 
r vertir en expL'citns ñmeioneí* implícitíis ; el objeto de 
fia segunda es valorizar las i:antidados. ( Comte K 
Encuadra dentro de la segunda, la numeración, las 
seis operaciones fundamentales do onteros, fracciones 
eomunes y decimales; la divisibilidad ; la valorización 
'de las fórmulas, variadas combinaciones de aquélla, 
y la aritmología. Si bien on el campo matmnático la 
aritmética es un punto, en las necesidades de la vida 
lücupa raníjo altísimo. La Humanidad» hasta hace po- 
leos siglos, no ha ponocicio más; prueba que sus exi^en- 
icias eran satisfecíius. Las nociones algrebraicas de la 
cseuehí primaria, son tan elementales que ningún 
prográmalas ha diferenciado nunca ; pero se comete el 
I extravío de resolver las cuestiones por caminos lar- 
ííos so pretexto de ser aritméticos y razonarlo quo ea 
iixjomátieo. Agrégiiesíí la evolución lenta de una apti- 
tud cultivada muy tarde por ía especie y se explicará 
ei tiempo excesivo que so dedica al ostudio de un gajo 
[más útil que frondoso. 

Geometría. — Es. por excelencia, la parte con- 
creta y experimental de la mntemática. Los antiguos 
notaron, desdo luego, fa /'orina : al usar las cosas 
consideraron la extensión y, en consoeuoncia, la pro- 
Itabilidud de medirla, refiriéndola, por comparación á 
Innidades determinadas; se explica, asú su relación 
con el cálculo no bien trata de establecer la magnitud. 
ICl sistema de medidas es, do este modo, la expresión 

I más acabada do la matemática primaria, porque se 
basa en conocimientos geométricos, algebraicos y arit- 
méticos, aplicación al estudio délas dimensiones. Se 
dice : medir ía extensión; es preciso notar, desde luego, 
líneas, superficies y volúmenes i que, directamente, se 
miden las piimems y de ellas la recta ; quo el volu- 
men, la superficie, laa curvas, lo son por medios indi- 
rectos de modo que <i, b, c, expresan rectas ; ab, be, act 
superficies ; ithv volumen ; en cuanto á las curvas, 
baste recordar los esfuerzos de los gí.iómetras antiguos 



— 38 ^ 



para rectificnr la circunferencia, su valor en función 
del radio, hasta de?sc abrir tt. 

El objeto, así, de La geometría es la medida de los 
cuerpos y sus elementos inediaato la compai^ación de 
lineas; doterminai' los volúmenes y las superficies en 
función de las líneas rectas. Sin embargo, la compa- 
ración entre superficies y entre volúmenes os é veces 
empleada con éxito ; por una razón histórica explica- 
ble, deben, por el contrario, aquellos casos dtfíeilea de 
comprender, onseflarso por el mótodo inductivo ; sí 
dejan que desear al rigorismo matemático, satisfacen, 
no obstante su falta de análisis, á nuestra razón por 
la objetividad del procediniionto. A menudo se deter- 
mina el volumen de un cuerpo por su peso ó mediante 
un líquido que pueda substituir un espacio equiva- 
lente ; comparrindo las relaciones de densidad ; ó usan- 
do discos do cartón ( suporfícios ) agregados los unos 
á loa otros para comprobar la iÓrmula. Es típica la 
operación do Galileo para hallar la relación entre el 
área del cicloide y la del círculo generador en una 
época on que d análisis geométrico no trataba cues- 
tiones semejantes. Tomó dos láminas de igual mate- 
ria y espesor, la una en forma do círculo ; del cicloide 
engendrado, la otra, Residió tres veces* la de aquél, 
conforme á la solución obtenida más tarde por Pascal 
y Wallis. El procedimiento, si bien exacto, carece déla 
generalidad del hecho matemático; según las ajjre- 
ciacionos que acaban do hacerse, la geometría pre- 
senta las tres partes que acostumbramos á distinguir 
en todos los textos. 

En la ciencia deben considerarse dos trabajos ; el es- 
tudio de los hechos para inducir el principio y la 
genoralizaciiVn del método á todas las cosas, la inven- 
ción. Como asignatura concreta, la geometría observa, 
descompone las formas irregulares en formas regularos 
según un corto número de tipos y simplifica, por un 
soberbio esfuerzo de imaginación, el trabajo de medir 
los cuerpos; las líneas sinuosas se descomponen en 
líneas simples, concebidas como sucesión de puntos ; 
las caras descompuestas en superficies concebidas como 



— 39 — 



sucesión de líneas ; los euei'{30s, en cuerpos de exton- 
sión determinable. De aquí el carácter gráfico de la 
geometría, el uso de la escuadra, ol compás y la rogla 
para resolver en el papel, superficie plana, todas las 
cuestiones volumétricas y plantear otras, previo cál- 
culo de la forma ( dihuj(j «:eoraéti'jeo ) para llevar á 
cabo, con maravilloso acierto, las más atrevidas obras 
de arquitectura, mampostería y mecánica. El estudio 
do los tamaños por comparación ori^finu problemas 
mixtos, resueltos por ol eoneurso directo do la aritmé- 
tica y el alf^ebra. La parte abstracta, más útil por la 
generalización de sus principios, presenta dos »éueros 
de cuestiones : aquellas que tienen por objeto la cons- 
trucción de figuras según datos condiciónalos, pro- 
piedades fijas, teoremas ; y aquellas resueltas por una ó 
varías ecuaciones valorizadas aritméticamente, (ámiot, 
Rrrr, Lkmé ). 

Al priuier caso pertenecen los siguientes : Construir 
un trapecio cuyos ántfulosy diagonales se hayan dado. 
Dada la perpendicular de un triángulo equilátero 
construyase el triángulo. Sea un semicírculo descrito 
sobro A B : levántense por los puntos A y B las per- 
pendiculares B D y A E : trácese, luego, I> E ; y en 
su punto F ( situado sobro el círculo ) la perpendicu- 
lar F íj que encuentra al diámetro A B en (í ; di^fO 
que se tendrá A E X ^i A ^= (i B X ' t B ( teorema de 
Pappus ). Al segundo, problemas corno estos : ^leuál es 
la altura de una torre cuya sombra, á las 10 a, in. 
mide 18 ms. ? — Una esfera de madera cuya densidad 
es de U.840625 flota sobre el agua : calcular la flecha 
do la parte tíolante, 

Lag aplicaciones. — Pueden sor mediatfis 6 inme- 
diatas. El conocimiento no respondería al principio de 
la necesidad sí no fuera llevado á la práctica. La ma- 
temática es una asignatura que la escuela también 
enseña desdo este punto de vista. Cada sistema edu- 
cativo tione siempre el espíritu detenninado por los 
factores de la época : hogar, ambiente físico, ambiente 
fiocial. Cada época ha poseído un espíritu y una ¿dm- 



fuerza directriz ( C, O. Bunge ). En la actualidad, la 
enseñanza atraviesa por una crisis total, engendrada 
por la idea-fuerza oconóinico -política de la riqueza, 
que debe tenerse en primera cuenta al estudiarse los 
sistemas contemporáneos so pena de extraviarse en 
un anacronismo peligroso. La alta cultura os, á la 
par de las industrias y el comercMo, fuente de riqueza. 

El hombre observa las propiedades de las cosas y 
formula problemas para satisfacer determinadas exi- 
gencias de la vida. 

No obstante el carácter eminentemente práctico de 
la enseñanza primaria, no obstante el estudio de la 
naturaleza para servir de juiciosa baso á miBstra acción 
sobre ella, la escuela debe proceder valientemente á 
una amplía educación toórícn, pues nuestros medios 
para descubrir la verdad son tan dí^bjies que si no 
los vio:orizamos y nos imponemos la condición de 
asociarlos á la utilidad, nn nos será posible obtener 
resultados satisfactorios- Autos do que las máquinas 
representasen im factor económico tan grande en la 
vida íictiva del sio-lo XIX, se necesitaron las ospocu- 
lacionos abstractas do Descartes, Newton, Leibnita 
guiadas por im propósito puraniento científico ; la obra 
de la escuela es de etnanei|)aciijn ; niní;*iin mayor bien 
puede hacerse al espíritu que llenarlo de verdades, 
ningún mayor bien á los pueblos que extirpar la 
ignorancia para levantar sobre un cuerpo único de 
doctrina, la religión de las ideas. Este problema, sólo 
puede resolverlo !a oscuola común, la escuela de to- 
dos ; dentro de sus aptitudes un niño de tercer grado 
debe abandonar el aula eun suficiente ciiteiio para 
apreciar los fenó menos del mundo físico y de la vida 
humana ; ¿es posible la formación de este pequeño 
filósofo ? 

Las abstracciones de la ciencia no son ya privilegios 
universitarios, como otrora, gracias á la admirable 
perfección de los instrumentos de enseñanza fjue per- 
miten en sois lecciones, por ejemplo, explicar la (reo- 
logia í conferencias con proyecciones (^itúlogos Mol- 
ten i París ). De aquí que nos opongamos al exelu- 



— 41 — 

eivismo práctico, quo al retío rdariios éjiocus primitivas,, 
disiimila la barbarie. Si fuéramos á considorar las 
asignaturas del punto de vista utilitario, coueluiríamos 
por no enseñar casi nada ; poro otra cualidad da al 
individuo un valor elevado entre sus somej antes ; la 
cultura; Smitii ( obra cit- pá^. 20 I nccnsita, dice, poco : 
contar hasta un millón ; las cuatro operaciones do 
enteros ; decimales luista tres cifras, quebrados ; ideas 
generales del sistema métrico : algo de geometría nu- 
mérica : porcentajes para computar deíscuontos comer- 
ciales, giros, letras de cambio. Problemas, como redu- 
cir á decigramos 20 kilóg. 7 dn^s. 15 mgs. serían 
innecesarios. Nos bastaría la tercera parte del tiem])o 
que ordinariamente empleamos para darla. Pero 
( PiTCir ), la aritmética uierece el puesto de ])rimeFa 
fila que ocupa en nuestros sistemas educativos por- 
que, ante todo, os un ejercicio de lágicit : porque, la 
materia ( A. Iíain í [jruvee forma-s, métodos é ideas que 
entran en el niecanismo de todos los razonamientos 
que tengan carácter cieutífieo ; porque es la giumasia 
más saludable del espíritu, tiene precisamente los méri- 
tos erróneamente atribuídüs al estudio de las lenguas 
clásicas (GurAU, «Education et hérédité>j pág ITH). 
Kt objeto de esta enseñanza, no es sólo { Dalzat )< ' ' 
transmitir conoeinjiontos y preparar empleos que exi- 
gen un estudio profunfUi de las ciencias exactas ; os 
cultivar y poner en juego facultades conjo la atención, 
la reflexión, el juicio, la razón, Es desarrollfir y ro- 
bustecer unas y otras, formar el liábito de la claridad 
y la precisión en todas las cosas ; acostumbrar á orde- 
nar las ideas, á descubrir el error, a invostitrnr la ver- 
dad; á la rectitud y solidez : concurrir efícasími'nte á 
la vasta cultura del individuo, y decimos ijue es el 
único ejercicio que en la escuela primaria deja hondas 
huellas del método, que fortifica las vías de int^^gra- 
eión y hace ía conciencia. Hacer conciencias es su- 
primir criminales. 



ni U. Dauiat. — «Eli'in. de inaíliiro. » - p. '2 



42 



n 



Espíritu de la enseñanza, del punto de vista primario.— 

F'atieít de la erohn'ión mental. — El ciclo de la evoiu- 
cióü mental presenta tros ñises : 1* la del análisis 
objetivo ó épotfa de las indueeiones, corrospondionte á 
la educación primaria ; 2* la de la generalización ó épo- 
ca del cazonamieiUo deductivo, corresponilionte á la 
educación secundaría ; 3' la del auálisie absti-acto ó 
época do la ospocialidad creadora, correspondiente á la 
educación univei*sitaria. No obstante el carácter funda- 
niontiü de cada período, un proceso no excluye el otro; 
es forzosamente necesario que coniienCfl antes en aque- 
llas asifínaturas que se prestan como la matemática. 
Ninguna más adecuada para fertilizar las aptitudes 
meditativas de la infancia; la simplicidad del proceso 
razonativü, la exactitud del lenguaje, la forma constan- 
te de las assoeiacionos para un mismo resultado ; la 
deducción, forma lóy;iea por excelencia que no puedo 
venlajosamentej ejercitar otro ramo de la escuela pri- 
maria, son motivos suficientes para darle la amplitud 
que tiene en la mayor parlo de los proj^ranias. La eon- 
sideramos, pues, de excepcional importancia en el desa- 
rrollo de las vías do intograciÓBt aunque eminentes 
pedagogos la combatan desde esto punto de vista, se- 
ducidos por los éxitos del método inductivo exagerado 
por RoiJssK.vü en una época retrógrada á tal punto, quo 
recitaba catequísticamente las cualidades de la hoja, 
que aprendía a contar, con el abaco : í uno y uno, dos ; 
dos y uno, tres ; tres y uno, cuatro, ote. ;■ ; con la tabla, 
« seis por unOj seis : sois por dos, doce ; seis por tres, 
diez y ocho, etc. : la ley de Cumte, la reacctán equi- 
vale d la acción, debía cumplirse en onscñanüa como 
en sociología, como en mecánica para llegar al justo 
Medio f/tte, norniahnente, se Mthordina d los eittremos 
qite une. "^ ' No debe someterse la inteligencia á inú- 



(1) ROhSMBT 1 PhTlotophle Pcnrtive». — p. 7Í 



- 43 - 

tiles suplicios so pretexto de que descubra la numera- 
ción, la suma, porque puede descubrirse sólo aquello 
que se percibe. ¿Qué puede percibirse en matemáti- 
ca ? la iiianerfi de hacer una operaoión, relaciones en- 
tre los díitos de un problenifi, el proeedimiento. no lo 
que es simbólico y convencional como la temiinología. 
Aprendo á f^umai* de la siguiente ni:inera : escribimos 
variar cantidiidos en la pizarra, llamamoa la atención 
sobre ellas y efectuamos la operación en voz alta, dos 
voces ; repiten los niños que nos dicen luego, lo que 
hemos hecho; descLibren la regla por la observación. 
Este sisítima no es explicai\ es hacer ver. Tal es el 
alcance do la inducción en matemática, cuando las co- 
no permiten ya generalizar y no hay ejercicios 
é conocimientos aplicados Con problemas sin inme- 
diata utilidad pero previsores, que salven los infinitos 
escollos que la materia presenta, que abarquen nuicho 
en poco, el alumno adquiere una admirable facilidad 
analítica. La cultura no es un lujo, es la mejor arma 
que ()uede esfrnmir el individuo ])ara defenderse no ya 
del factor físico y doméstico sino del social. 

El utilitarismo, considerado estrechanionto, produce 
los resultados deficientes de la enseñanza matemática 
en la provincia de líuenos Aires : los maestros so 
I* sienten incómodos dentro do programas á los que cabe 
^■lel calificativo de pueriles por el poco desarrollo intelec- 
^Mttml { riiKÓn) con que los niños dejan la escuela, ^'i 

H Lo m(h poúUe con lo menos poaihte, - Hi bien el 
B carácter primario de la asignatura fluirá sólo á medida 
que la tratemos en los capítulos siguientes, diremos 
sin embargo» que es eminentemente operatorio, sinté- 
tioo y raaonativo tocante á ejercicios y solución de pro- 
blemas. Hace uso del principio, del teorema, déla fór- 
mula, de las propiedades de los númoros, do cuanto 
la investigación humana ha obtenido como fruto do su 
.labor subjetiva, averiguando pocas voces do donde vie- 



( I I Acerca iJee^iü ¡treparBci ín, vcAie til {nfoinie del director d? U B«rtie- 
de Cantcf cío, I>I0í. 



— 44 - 



ne, poi'qtiií enífolfarnos en las meticulosidades analíli^ 
cas que lü.s ha producido, sei'ín emplear el tiempo con 
el projíósito poco plausible de obtener pobrísiinos re- 
sultados. Á Conseguiríamos, acaso, demostrarlas for- 
mulas 

¿Es lógico destinar un mes á la demostración de 
los teoremas de la divisibilidad porUy U, otro mes á 
los M. C, D, y M. C, M. que por la expenencia sabemos 
que nunca llegan á dominarse '? La aritmética razona- 
da, deductiva [>or oxeeloncia, correspondo á la segundo 
enseñanza, á un período en que la mente es capaz de 
análisis teóricos. Pero de ninguna manera dejaremos 
de usar las fórmulas de los volúmenes ni los princi- 
pios de la divisibilidad, porque de no, por este cami- 
no no podríamos enseñar una palabra de matemática. 
I jñs operaciones y e\ problema, descubrir operaciones 
para obtener un resultado, resume el período jírímtirio ; 
lo demás se emplea como elemento necesario á las so- 
luciones- El albaüil construye una casa sirviéndose 
de cierta lógica arquitectónica^ pero sin averiguar la 
raaón de sor del ladrillo que emplea- Son suficientes 
á la cultura mental del alumno, los ejercicios do ra- 
zonamiento que hace para combinar los datos del pro- 
blemaj el uso de sus conncimientos para arribará un 
resultado; es lo queso llama carácter práctico déla 
enseñanüa primiiria. No perdamos de vista el punto 
utilitariti y la necesidad do que el niño tienda antes 
su vistíí sintética á cuanto en el mundo es cofínosiMble, 
Muchas cuestiones matemáticas, como los principios 
de la fracción coouín. el teorema de Pitíígoros, el 
volumen del cilindro, puede conocerlas, por razona- 
miento inductivo, método que tiene su justificación 
histórica y debe e!n]de!irsB cuando fuera posible, no 
obstnntc, su poco carácter generalízador. 

La escuela prímarin, pues> encinte un alimento ya 
preparado, los productos sintéticos de la mentalidad 



— 45 



humana ; sólo así puede difundir la ciencia : por sus 
resultados no por sus procedimientos, sienipra largos 
j tan costosos que solamonte la paciente labor del sa- 
bio puede servirse de ellos. 

Poro estamos dentro de lo que nos interesa conser- 
Tar, del espíritu matemático ; darnos por hechas cier- 
tas demostraciones para jibordar otras demostraciones 
de forma completanionte deductiva. Y, por otra par- 
te, sin que pretendamos, por esto, justificar nada, los 
cursos su]>Qrioro3 ¿no adquieren el conocimiento par- 
ticular de los números y figuras por una serie de razo- 
namientos doduciivos que reposan en definiciones y 
principios evidentes ])or sí niismus V 

La educación primaria, común por excelencia, debe 
entregar cerebros nutridos y aptitudes desarrolladas^ 
propósito realizable cuando no se destina el tiempo á 
cuestiones que sólo pueden abarcarse roducidamonte. 
Por otra parte, el niótodo está Rujeto á esta ley: eco- 
nomizar tiempo (/ energías en la tninsmÍMÓn de un 
cúnocitnietito. Para cada conucimionto hay un tiem- 
po mínimo y un gasto mínimo de energía que corres- 
ponde, no al mayor número de años como podría 
suponerse, sino á una edad fija. 

Las oporaeioDos no ¡todrían aprenderse más rápida- 
mente á los nueve años que á los 15: poro todo cono- 
mianto es la consecuencia de otro que la ley, para 
cumplirse, exige poseer; así seguimos el natural cami- 
no do la menor resistencia que no os sino el histónco 
sin las sinuosidades inherentes á toda clase do ensayos. 

Deficiencias de la enseñanza. — Nga parece lógico 
atribuir las imperfecciones do la enseñanza de la ma- 
temática, difundidas por la ley conservadora de la 
imitación, á una escasa aptitud pedagógica y técnica 
de la mayor ¡larte dé los maestros, agravada por la 
creencia, común á toda clase de mediocridades, de qno 
■son suficientes y, por tanto, innecesario el interés de 
perfeccionarse, acompañados do buenos hbros. Esto, 
que para un observador no pasa desapercibidOj puso 
•do relieve con t'mses vivas un ilustre matemático 




— 46 — 



moderno. * La profunda défiriuncia en la enseñanza 
elemoníal de la matetnátiea. no obstante haber trans- 
currido dos siglos desd(i que Descartes publieó su 
geometría indica cuanto nuestra ediicarión común. 
BStá lojos de responder al verdadero estada de la 
ciencia : se debe, no Jo disimutemofi, á la extrema 
infñrioridad de las personas á quienes se fonfía una 
enseñanza tan importante y de tan altas direccio- 
nes para el espíritu hmn¡inoj. Los pedagogos han 
tratado de explicar la eau>9a do estos fracasos. 
La parte primaria, dice Smith, exige hoy pocas 
mejoras- El enseñante es hábil mientras trata la 
numeración y las operaciones con alunmos de 1" 
y 2" grado; "' la ineptitud deja senlii-fse en el 
momi'nío de la generalización cuando el maestro, 
entregado á sit propio ingenio, ya no cuenta con el 
auxihn do buenos textos. En efecto, la metodología 
para transmitir las primeras nociones ha sido traba- 
jada durante nuichos siglos y f:*s hoy la expi-esinn casi 
pñrfoctn dñ la sencillez y la rapidez ; además el 
maestro corioeo el objeto de su enseñanza y la exten- 
sión qucí dobe darlo. Por el contrario, la de Itjs grados 
superiores, desatendida por considerársela menos noce- 
sari a á la vida, no cuenta sino textos sin desarrollo 
pedagógico, á veces teóricos, á veces prácticos, casi 
fiienipro de poca amplitud, con exageradas series de 
ejercicioa y problemas que representan, en conjunto, 
nxagnrada pobreza matemática. Con tales guias el maes- 
tro de 4", 5" y fí° grado, obligado á una preparación 
enricloiHMlifa dinrin, rara vez comprende el esjííritu 
de la n)!iteria,*ciJufimdo su propósito educativo con 
el ntilitarict y llega al lamentable caso de trastrocar 
lotí TiiéttidoH sustitiiyeiulo al deductivo el inductivo 
como si «e tratara de alumnos cuya lógica es rudi- 
mentaria, como .'íi cnutinuásíomos en el campo de la& 
njM'rucioTU's con el m»Mndo \mvn adquirirlas, y no del 
problema donde la sei.f activitv del niño ocupa el 
juuíflto de la actitud coníctu|dativa, 



^ 



iM O I'. <>MiTil ■ «11»" t^WThinu oí ►l<-'in<nl«ry miilh«rtt»lli^* V*l, pi){. 26- 



— +7 — 

El buon mti ostro comprende ia excepcional impor- 
tancia del procedimiento simple que resuelve mayor 
número de casos y pono á coníribución sus aptitudes 
para descubrirlo ; esta forma do generalización, al dar 
utiidíid y fáciles eaminoa á la lúc^icu, significa una 
extraordinaria economía de tiempo ; '^ ' así eí método 
de reducción á la unidad en manos de profesoi-es 
liábiles, suprimo hasta capítulos de la aritmética, cir- 
eunseribiendo á .simpleí? problemas* lo que constituye 
casos diferonciados por una abrumadora cantidad de 
reglas, definiciones, tablas, nombres que impiden la 
asimilación del conocimiento y su comprensión dentro 
del espíritu generaliüador de la matemática. La arit- 
mética do CoKi'AZAR contiene para (a compañía tres 
principios y dos reglas ( páy; 165 ) ', para el interés 
común siete casos ; para la conjnnhi un teorema y 
dos reglas. La de Laffkrriére y Méndez, bajo el 
titulo menos difercueial y más lógico de Ajdkitcwnes 
uitmleit de la Aritmética (pág- M2) y aplicando á los 
casos el procedimiento común de la reducción a la 
unidad, contieno un teorema y dos reghis para la com- 
paftía; ocho principios y dos reglas para el interés; 
un teorema jKira la conjunta. Cortázar, por ívjemplo, 
de corte antiguo, con los principios, falsea el camino 
de la demostración matemática, apartando la mente 
de la deducción simple, obUgada, so pretexto de la 



{!) S. RAKÓIí T CAJAf.— íLoye» de la marfalap9 y á'mtnitíMma de luí cálul» 
ncrvioias». — Lcf de Ia polariracíAn dinámic^i dfndtiraga y üxípEtA; ícj de eco- 
nginia del pcotoplüsnim conductor y ley de ahorra del tiempo de cnndnccii'in. 
tRcriit. Uicrog». Iá'37 II 1^2^, Madrid. Evtmüo acerca de eslü* (reí leyes de 
cconoTniB de la muleria, ilel tiempo y del espacio á. las qac la naluriileiii parece 
obedecer tocante « mocíologia. Entre loa «eiitl'loi y lo» centrn» ni^rvioso* «ttíile 
«na catlena determinada de Conduitorea <> neuroncí, doiide ¡a ímptcstóit recibtdn, 
en la periferia *e propaga ^«r medio de nt^imero^ crecientií& de ci-Julüs hiiatv ]í 
CQTlei4 del cerebro, de modo qac la vibracíñrr ik un solo cono puede excitar, 
simullineamenle, ciento de célulüs nerrfoaaa que formaii una unidad di ímt^i^tiíétt, 
n* grttpa fisiaiñgic^ carret^onditMit á uaa percepción fija con^erviida eíi estado 
latente, y la plcjrade dr células piramidales qae ha intervenido en un trabajo 41 
de irtlegrfteióiii %fih «iempre la mjama para e] mUroo trabajo s. El rttitirda^ 
repetición en igaakacoudicioneí da nn mi«mo otado concjcnte, iie dehe áque, mi 
el míittno grupo de célalas pirarnídule.4, te at^omalao ios eiíuenoa ■acciiroi de 
atención par» erocar ta miimd integracii^n laterifr, J. SiJuar — *L.e «yM^me 
aerVfHa Central», mecanisOiú tlistoli^eieo (1« las funcrotiffl pi{l]Uica». pá¿. 1613. 
El miaitio proceso p»i(iuico« puei, recnrre siempre I3 misma via n<-qfica qqe, por 
ruones del háliilo. ofrece cada vex irteno» restitencia y u, de consiguiente, má» 
i&pi4A< \ Vean» cuadros de reaccii'in). 



— 48 — 

rapidez, á aplicar conceptoñ preestablecidos como si 
fueran uxioinas. El eupiritu sostiene mejor al método 
que las reglas porque m más general, más brove, más 
sintético y exige menos elementos dfi apoyo. Resulta, 
pues, tan antipedagógico como anticientífico, formular 
teoremas, principios y roghus alrededor de casos per- 
fectamente rtoniprondiflos dentro do métodos ^enerjiles 
do solución por más que á las necesidades de la vida 
parezcan importantes y so sienta la propensión á indi- 
vidual iza des. Por mi parte, ho notado la asombrosa 
faeilidad do maestros y alumnos para convencerse de 
que han ensoñfido lo míís posible acerca de un punto, 
cuando ajtenas lo han esbozado con ideas circuns- 
iLincíales, gracias á un mal testo y á cierta aparato- 
sidad con que se tratan las insignificancias. 



BIBLIOGRAFÍA 



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M. Daujíat. — Eh'iufttta de Métk&dotfígie Malhématique. Pft- 
rLs 1901. 



CAPITULO III 



PSICOLOGÍA 



El prHet'so iiiatemíítko «le 
líKÍ»ló:2;iiM> 



punto di' vista 



El fendmeno matemático. — A7 fenómeno, es una ex- 



tononzaciLHi de my cosus, que i-nacciunan < ^ > estjmu- 
ladaií por una ficción cual([uiera á fin de conservar la 
integridad pero que. cambian en hechos nuevos tanto 
más fácilmente cunntd más heterojíéueo es el com- 
puesto. Ks el principio mismo do la ludia por hi oxis- 
t.enciiU que si Uegii á extinguir una piedra, cristal, 
planta* hombre ó nación, es para ])rodueir otra más 
compleja y perfecta- vSi os incUscutible en el ordt?u 
físico no lo es menos en ol orden psicológ'ico, uno y 
otro sujetos al mismo principio mecánico. 

Ei ft^nómenf/ matemático, os un caso de integra- 
ción que comienza en una porcejteión acústica ó vi- 
sita y concluye en acto después de un complejo 
proceso interno de comparación, abstracción, generali- 
ssacíón y combinación durante el quo prestan su con- 
curso asociaciones ya constitm'das y seleccionadas 
(ideas sintéticas, representaciones de Wündt y Vi- 
lla ) '^> do que dependen dos cualidades fundamenta- 
les : la exactitud y la i-apide/. 



(1) J.C- BosB.— /e mattMfaÜve} «The Review of raview»». Oct. 1903, páj. 431. 
{ 1 ) CntDU Villa. — < Lü Psicolo^ii contemporitiea >. T9(^, cap. V. 



50 — 



ÍAi nptitud so dtísari'olla intetuiva y extensivamcníe. 
El proceso iís idéiiticü para lodos los feíiómonos 
matemáticos ; sólo varía la calidad do las asoRiacionos 
qiu!, individualizadas, Roncurron como oluiuentos a 
formar otras más complojas, no obstante la unidad 
del c-onJLmtü, 



Así i -f ¥ '^1'-*'^ ^" 'ios actos : a) 



3+2 



b ) ^, se sin- 



tetixa on la idea, imagen ó roprusentación que im- 
pliíni cinco sextoíí es, sin embargo, el resultado de 
muelias asociaeiones anteriormente astablBcidas que 
prestan su contnirso con la ra])idoz ineonscionte de 
un hecho para siempre conquistado y de eonsiguionte 
servil : ol ejorcieio ( i + i ) f . es un caso de inte- 
gración más eumiilLija que y -f i porque abarca todo 
el proceso rpie da por resultado ^ y adornas ol do la 
multiplicación fX| <|ue da por resultado f (íCómo 
llej^amos k ^? Una primera serie de percepciones 
eomparadaj* nos ensenó que ^ de naranja era igual 
á I de naranja, á | de naranja á ^ de naranja. 
La generalización nos condujo á suprimir la deno- 
minación, á considerar la eilVa; que expresaba mi- 
tad, todo quebrado con denominador doble del nu- 
morador. Una segunda sene de comparaciones nos 
hizo ver que f eran los términos de |- multiplicados 
por un mismo número; que | eran los términos do -^ 
nmltiplicados por un mismo número; que -^ era los 
términos de ^ multiplicados por un mismo número; 
de aquí generalizamos j deducimos un principio (idea) 
que el valor de una fracción no varía multiplicando 
sus dos términos por un mismo número. Una teroe- 
ra serie do comparaciones nos hizu ver lo fácil de 
reunir quebrados de un mismo denominador y la im- 
posibilidad de hacerlo en un caso contrario ; de aquí 
la reducción de | y | y tres procesos en uno. La 
suma 8 -j- 2 = 5 es, por otra parte, el resultado de 
otras comparaciones, la síntesis de procesos primarios: 
tal es esta inmensa cooperación de las ideas, produc- 
tos siempre sintéticos que se unen para procrear 
productos más sintéticos todavía. 



51 — 

Qué t's la intet/ntdón coiiciente, anociaclón orfimú- 
a, idea, ahüeús, Mihstrátunt? lili sístomii norvjo- 
BO, Última etapa de la evüliiciün de la materia viviente 
(R. V Ca-ial ), es como un aparato do perteceiona- 
mieuto destinado á ropoj^or. (i distinguir y á clasifícar 
las excitaciones periféricas como ¡usí mismo á dar más 
rapidex, extensión y precisión á los movimientos, oli- 
luLnando las reuccionea inútiles ó porjudicialos (reac- 
ciones parásitas}. 

Lüs líjbulos posteriores j las circunvohicioues del 
centro son territorios donde se proyectan las im- 
presiones ópticas, upúslicas y táctiles (esferas sen- 
soriaitís de Flixusinü i. Allí, so asocian en un común 
funcionamiento ( sinergia ) las innumerables activi- 
dades qtie provocan las oxcitacionGS del mundo exte- 
rior mediante los sentidos. El territorio de proyección 
es, al mismo tiempo, el luí,'ar de la imagen, de la sen- 
sación venida del mundo externo y percibida por las 
eélulas curticiiles que constituyen, así, la primor nm- 
dad fíñoUgiea de la vida mental j-oprosentativa. Tales 
recuerdos, bajo forma de itiiáiiíenes localizadas, del 
punto de vista anatómico, en distintíis regiones de la 
corteza cerebral, se solidarizan mediante esas fibras 
do asociación euyo alcance psicolótfico entrevieron por 
priníora voz Burdach y Meyner. Si en cada territorio 
proyectado, la idetitifitutción prhnarta ó reconocimien- 
to sensorial son posibles. Va ulentifirtieión secutidítria, 
Ó sea la apreciación de las c(»sas tocadas y vistas, la 
suma de sus cualidades en im todo concreto, no resul- 
ta sino de la asociación de las imágenes propias á 
iada región graciíis á los hacecillos de fibras transcor- 
íealee. El eereliro es, así, un órgano de asociación y 
ta más elevada do sus actividades, la coneiencia, una 
función de los territorios centrales de proyección ; una 
función de ht mrh'za ceré>ral ( Weunicke ). 

Entre los sentidos y el sistema nervioso, * ' * existe 
una cadena de conductores ó neurones donde la im- 



[I) B. y CAJAI. 



i AlrunAj coAJ. iicrrta de) rtiEC, annr. de la idcMciiSn, ato- 
M»drW. 



53 



presión periférica, recibida por una célula ( como 
fibra de Corti, papila ) se propaga en avalanehaj has- 
ta ol cerebro. Esta ley, presentida por Gdlri, no 
fué demostrada sino después de conocidas las termi- 
naciones de los nourones aferentes en el eje cerebro- 
espinal. Cajal llama iiiiidt(d de ¿mprcitión al movi- 
miento simple de un bastun retiniano, por ejem- 
plo, impresión que puede lleg;ar, no obstante, á con- 
tenares do células nerviosas de diferentes centros 
medíante contactos ostablocidos por los haces de aso- 
ciación. La impresión correápondionte al elemento 
periférico 2 del sentido del tacto, v. g., llega á S, 3', 3", 
í,', 6, 4, verdadera invasión llevada á todos los territo- 
rios del cerebro; pero, nótese bien, con tendencia á 
producir ftisíimes siempre más sintéticas^, pléyades 
de pirámides corticales que eunservan la improsiónj 
en estado latente y que traliajan como un cuerpo solo, 
solicitado por la voluntad en la elaboración de cual- 
quier problema. El fenómono de la avalancha implica 
la participación de cada célula de los sentidos al 
producirso unsí imagen mental. A la imni^en del cen-, 
tro H. por ejemplo, concurren los elemento& perifé- 
ricos 1, r, i", 1'", íi, a\ a". De aquí la admirable 
unidad del pensamiento humano, la fácil relación de 
las ideas, la armonía del trabajo nervioso, la con- 
currencia llevada á un centro único de gobierno, no 
ubstanlc momentos de duda producidos por el .«í' de 
unas vías y por el «o de otras- '^' Ninguna célula 
excusa su ayuda, permanece indiferente, es haragana,_ 
6 espera excitación especial para moverse. 

El iítthstrfittnn anutómieo de una noción, de uní 
idea, do un objeto es una asociación de imágem^ 
residuos de un gran número de percopcionos de orden 
sensorial distinto ( percepciones gustativas evocadsis 
por una imagen visual) que jjersisten vibratoriamente 
en las células nerviosas, realizada por innumerables 
haces de fibras orientadas en todas direcciones que 



(It I. SOViRV, — 4 Str. ncT. cent Meciinisnio tiittDliSgkc de las rii<id«n«> 



— 53 — 

aseguran el despertar auresivo no sinuiltánoo, eomo 
lo vemos en el ejemplo ^ + j-' f*^ todas Lis activida- 
des elementales que concurren á la organización de 
la nueva idea la que, una vez producida, se excita por 
cada uno de los elementos que la constituyen, siem- 
pre gracias á las fibras de asoeiación que sinérgiea- 
mente unen imágenes de los diversos territorios an- 
tes mencionados. De esta manera forman la con- 
ciencia, agrupaciones f complosus ) cada vez más 
sintéticas de imágenos seleccionadas y unidas en gru- 
pos secundarios, terciarios, que arrojan de producto. 
una noción siempre más abstracta, más general, más 
subjetiva, más filosófica : es el metaBofhmo psíquico. 



ir' 



a." 



V 



Las fibras son de Job clase» : cilindro ejes y prolongaciones proto- 
plasmáticas que emlt»? nna célula y Hijean á la^ otras por contacto. 

Rsti» *?«<|ueni:i nos da, oráticamente!, una iJen ile la uííüt'iaeión. 1, 
r. I", 1"' suii cuatro pereL^pciones táctilea liiferentes, (.'uyas iniá^o- 
ní« se proyectan en el territorio do los 2. a, a\ n". son tres pprc«ip- 
cionc» visuales cuyaa iniáírenes so príívwtati en ol tcrritoriit h. U\ h'*. 

'A, y. 3" indican asof iacioncs ilo orden primario dt? las iniáife- 
ne% -i y •>' para la íinteais ü tnediantc las fibras á— íÍ y 2' -3: de 
las imáíenp!* 2. 2'. i". 2'" para la sintcí^ia 3' niodianif las fibras 



— 54 



2„8'; á' — 3 y á" — ü'; Jf las imáffenes a, 2', 2", 2'" para U sintesis 
que coiii|hreniÍe la» atitcrioreB, 3". todas do carácter táctil. 

El mismo análisis [ludriaiiias harcr de las asoeiacioiiM visuale.'i 
e. c\ ti. 

4 inilica asociaciones fie ürAea secunflario. una idea 6 sinlesis de. 
la;^ fttntesifl de orden primario que <tiü ciidu sentido. 4 as, pues, un 
coiu^ilejo de orden superior Cürrespüutiii'dtc á los úJtinujs extractos 
lie la corteja cerebral ( célulna piramidales) y que permilf, de con- 
si{jiiient.e, una apreciación más exaeta del objeto ó fcuómí^no, por el 
mayor niViiicro do elementos reunidos (táctiles y visuales), fi, es 
una conexión del mJRnio i*arácter que 4, pero menos completa, me- 
diante las fibras intracorticales 3' — 6; 3" - 6: f — 6. Los números 
'ó, 'd\ 3", c, c' son integraciones respecto á las ímá^'enes 2, 2' etf. 
y elementos de integración, respecto á 6. c, c'. I, ch yna integra- 
ción más elevada que las anteriores puesto que las comprende. 
(Jada centro, por otra parte, economiza al superior, una parte de» 
trabajo. 

El fí, por ejemplo, no combino á. h, b' y h" sino f y e' ; c y r' 
proporcionan á ¡i el producto de un trabajo de selección (aprflcia- 
ción, síntesis, idea, BUbstratum J ya heclio. 

La marcha de la periferia 1, 1', 1", 1'", a, a', a", hacia cual- 
quiera de loa centros escalonados hasta 4, es un proensn pstí- 
ijifíV'í) ; nos será fácil comptender, ahora, la mayor ó menor ra- 
pide?, de T y V hacia 1, la mayor ó menor exactitud del trabajo 
lieeho en 4, ai se considera que 4ae debe al coiicurso de los elemen- 
tos 3, 8' etc.; sí tales íteiiieiitua sotí imperfectos el acto coticiente 
>^upfriür será dtit'ectuoNu. « -p ií daría lugar á operaciones falsas 
y pi^rdidas de tiempo, hí el alumno no poseyem la serie de asociacio- 
nes inmediatas que sirven de elementos de apoyo ; iv su ve/^ la ela- 
boración de estas asociaciones resultar ia difícil si no poseyese las 
que, por otra parte, sirven de elementos y así, hasta llegar á la per- 
cepción primordial y simple por excelencia por donde comienzan 
los métodos de enseñanza el cultivo de la ¡nteüg'encia huniatia y 
de que depende, es fácil comprenderlo, el éxito de todas las integra- 
cionea. Nótese, porque es necesario á la tecnología psíquica, que 
unas asociaciones engendran otra."! ; que forman cadenas más ó me- 
nos estables ( porque habiendo su!o contigüidad, por cualquier causa 
bis terminacíonea de la fibra pueden romper una asociación cam- 
biando el contacte, de donde tas desintegraciones, sobstitiic iones, 
olvido J ; que. confírmado por R. y Gajai. estudiando la erolución de 
loB centros filogenética y ontogénicamente, presentan un orden ac- 
tivo scicesSvo, A un primer fenómeno sigue un segnndo : es el prin- 
cipio mismo del deterrainisrao científico en el estudio de las cosas. 

El trabajo de la cétuta 4 es una síntesis funcional de las c^^lulas 
3. 3', 'á'\ c, c' coya intensidad y dirección depende de la inte U8 ¡dad y 
dirección de los 4 componentes; en este caso, verdaderas variables cu- 
tre un miixímo y un mínimo de concursos, por la exactitud y exten- 
sión de «u:; representaciones, porque una imagen ( la del elemento 3. 
por ejemplo), puede ser exacta, viva, incompleta, vaga y concurrir, 
no obstante, á formar la unidad junciónal 4 que variará segúo 



— 55 - 



eso* estallos y loa que puodaii presentar los elt'ntentos 3'. H", f, i'. 
De íUiui que. si reproseii tamos Iak variables 'A. 8', 3" ele. por <fr, bif, 
c£, otií. la unidaií f misional i podría exproHarso por esla «cuación ; 

/ ir, tf, ¿ J = íti? -f h,/ -^ tí. . . . 

No hay, para nosotros, otras realidades que las de 
las vías de asociación recurridas incosantemoBte por 
impresiones que del mundo exterior se proyectan á 
los territorioB de la eorttíza cerebral. Lo que llama- 
mos eonstaneia de la ley, es un resultado de la fre- 
cuencia con que talos vías son transitadas. 

Un axioma, en un principio, tan dilTeil de adniitirao 
como un teorema, se hatie evidente con la aplicación 
y costumbre de enunciarlo ; la repetición específica 
ha vencido las resistnneias y orientado la corrionte 
nerviosa en un sentido que opone una !?ran suma de 
energía á las alteraciones, cual im orden político de 
cosas que una revolución pretendiera derribar. Nues- 
tro esquema sólo indica un limitado número de aso- 
ciaciones. La cantidad de filiras que constituyen siste- 
nias de asodaeión es tal, escribe Tu. Mkynert y las 
regiones corticales del encéfalo tan estrechamente em- 
parentadas, que no hay dos puntos asociables sin 
contacto. 

Intensidad de hi aptitud. — La facilidad^ palabra 
mimada de la escuela, para aprender ó hacer, es 
la prontitud con que los centros integran. Lo más 
difícil es lo que exige más oteinentos de integración, 
no calidad de elementos, una vez constituidos en nues- 
tra monto como representaciones; así, la solución de 
un problema que combina las tros síntesis ó procesos 
(I, b y c, no requiero más esfuerzo que el que el ce- 
rebro hizo para producir a combinando las tres sín- 
tesis ó procesos m, n y s. 

La aptitud depende del número de células y de 
asociaciones concurrentes á la actividad de un deter- 
minado centro del encéfalo. Los hombres en quienes 
el talento coincide con un cerebro de pequeñas di- 
mensiones ( Gambetta y Byron ) no abundarían en 



~ 56 — 



células nerviosas, pero on cambio, presentarían un sis- 
tema complicadísimo de asociaciones protopliismtco- 
nerviosas. Por el contrario, ariuellos cerebros volu- 
minosos, que exteriorizan á menudo la imltecilidad, 
contondi'ían mayor niimero do células, [lero conexio- 
nadas imperfectamente por ia nuiclia separaeióu 
entre unas y otras. Así, pues, la inteligencia es la 
exterior] zación do las asociaciones y la obra fecunda 
déla escuela, es producirlas on ol mayor número posi- 
ble de manera quo persistan niioiitras dura la vida. 

La función de una célula psíquica es tanta más 
viva cuanto mayor os ol número de prolongaciones 
protoplasniátieaH y más abundantes, larcas y rami- 
íieadas las colaterales do las axonas. Esta doctrina 
puede explicar dos puntos do la hipótesis antes indi- 
cada y generalmente admitida, do que la inteligencia 
es proporcial al número y aproximación de las células: 
a ) El crecimiento constante del espíritu mediante el 
trabajo, b ) (irandes talentos en cerebros pequefios. 
En cuanto al primor punto, el ejercicio, aunque incapaz 
de producir nuevas células, favorece extraordinaria- 
niente el desarrollo do las ])rolongacionBs protoplas- 
máticas y colaterales nerviosas, croando así conexio- 
nes intracorti cales nuevas y más extendidas. Un es- 
fueríin más ó menos ¿grande de la inteligencia dice 
KíiM.iKEit, ol célebre histólogo de Wurtxtxiurg, en su 
Mtintuií, \i, 805, un grado más ó menos avanzado de 
ejercicio, una gimnasia más 6 menos ]>erfeeta del cere- 
bro, será déla mayor importancia y producirá las más 
inespiTadas combinaciones, dejando atrás procesos 
habituales y vías trilladas. 

El trabajo mental eontiouo en un mismo orden 
de estudios, concita el desarrollo de las expansiones 
protoplasmátieas, lo que aumenta y extiende las aso- 
eiaciones de ima determinada región del cerebro, 
cnyo mecanismo es comparable al do la hi]iertrofia 
museiilar bajo la influencia de la atención profunda y 
continua sobre un orden de ideas y sensaciones: el te- 
rritorio encefálico correspondiente, es el asiento de 
una hiperhemiit fisiológica quo aumenta \w masa del 



protoplaama nervioso on virtud de una asimilación niáis 

activa. Forestas causns, las distancias que soparan los 
neurones, solidariamonío comprometido^^ en un acto, 
disminuye. Y si hus ropetieiones (tyercicio) se su- 
ceden eon freeueneiii, la nutrición creeo y los neuro- 
nes tenderán á eonstituir un todo cada vez más com- 
pacto, hasta reducir los espacios á un mínimo. Ahora. 
si se considera la distancia que separa la arboriza- 
eión termintil de un neurón de la expansión proto- 
plasniática de ntro, como una r^ísisttnwm que la onda 
nerviosa sólo puedo vencer con trabajo, se sigue que 
la conductibilidad del sistema nervios^ü (integración) 
está en razón inversa de los intervalos internéuricos. 
El ejercicio, tendiendo á disminuirlos, aumenta la con- 
ductibilidad y por tanto el poder funcional do los 
oeurones. Los diversos estados de la ninmoriaj los di- 
versos grados do asociación adquiridos en el trans- 
curso de la vida y por el ejercicio, todos los cambios 
estables ó pregresivos de nuestras funciones psíquicas 
so reducen á simples fenómenos de resistencia intev- 
neitrónicü j longitud do pseudópodos celulares, ' ' ' La 
teoría del profesor de Boloj^na explica cómo, actos 
habituales, acaban por sor inconsr'iente^. Ha desapa- 
recido la resistencia que oblisfaba á la actividad con- 
cifiiite. Y explica, on fin, esos límites infranqueables, 
distintos en cada individuo, que encuentra temprano ñ 
tarde, la inteligencia, para comprender : es el coefi- 
eiente personal de perfección que no j)uede excederse, 
ri Qué os instruir;-' La definición es: formar la apti- 
md de diferenciar modianto el análisis; psicológica- 
mente, eu objeto, es constituir nuevas asociaciones 
celulares (unidades psíquicas, substrátums ) con las 
existentes. La capacidad de un hombro es tanto más 
poderosa cuanto mayor es el número de idoas de 
^rado más sintético que puede exterioriiíar. Una 
idea, siendo la combinación (fusión) de imágenes 
simples ó compuestas, será más rica, bella, elevada, 



1 1 ) BuGBHio Takzi — < y Tatti c ■ 
viW. ipcr. ái fTen, t. XIX, p. 15 - • I89.\ 



:¡ e le ind. tielT od. iitol. dftl síti. nerv.» — Rj- 
. I89.V 



- 58 - 

pruíiincta, abstracta, filosófica cuanto resulte de la 
intefxraeióii de ninyoi- núniero de. elonumtos 6 reeíprocu- 
mente cunnda los evoque on mayor cantidad, üg aquí 
pensamientos que dicen mucho y |)(3nsanTÍentos que no 
dicen nada, acerca de un mismo punto, no obstante ex- 
presárselos á unos y otros, en una oración de impe- 
cable forma. 

8i lii idea os i>roclucto tle una combinación de ele- 
vado exponente, pero ca])az sólo de agitar una redu- 
cida parte de los elementos de iutoí^ración, resulta 
alistrusa, sin olvidarnos que la L-laridad depende no 
menos, de la proparacién y taiento do quien oscuelia. 

El binomio de Newton, no emociona ú la mayor parte 
de los individuos que lo leen, poro ea la admiración de 
cuantos estudian Algebra. 

l'iir último, todo esfuerzo intclectftal cjí concurrente: 
el que se dedica a pert'oi-cionar el juicio histórico, 
perfecciona también la aptitud calculadora. 



11 



Destntegracidn del proceso matemático.— La eompren' 
/tibUidad. — La integracii>n coneiontc do carácter ma- 
temático es una faz de la personalidad orjíánica 
comunmente llamada Vo, do notalilo valor dií'eren- 
eintivo Toda alteración de la mente comienza por la 
incapacidad de combinarlos datos de un problema: 
de coordinar números, do formar, con representaciones 
simples, las complejas á que estábamos acostum- 
brados. 

Es, la substancia cortical del cerebro, *" un gran 
laboratorio adonde llesiraTi, se elaboran, depuran 
y sintetizan los materiales y componentes prima- 
rios de todas las esferas sensoriales, casi un refle- 
jo de estados presentes y pasados para preparar los 



( I ) Ekniqlie Momseli.i -cMatidiile di Scm. ilelle maiat. mcniBl» Vol. U. 

pie. aO — Milano I«94. 



del futuro. Esto ultimo trabajo de los elementos psí- 
quicos, puodo interrumpií'so si altoran el mecanismo 
del líiboríUoriu, causas toratológ-iciis. patolósficas y 
emotivas del miBlfineétíilo ó bien del orgiioisiiHi, ]>uos 
el cerebro participa de los f'enóinpnf>s generales del 
(Hierpo, por dos vías : los nervios y la circulación. 

Un conocimiento comimieado á ima clase de 40 
alumnos, es inlerju't'tudo de niíinera diversa y ovotía 
imágenes do earáeter di l'orente. De aquí, la necesidad 
de ilustrar á ftn de que la exactitud comience por las csx- 
citaciones destinadas á producir los estados de concien- 
cia que ei maestro desea. Para un niüo, al comen- 
zar el estudio de las medidas do superficie, un m.' 
tiene 10 duis.- ; parü otra, tiene más ; para otro, Ticno 
lU X 10 dms.- : p;irii otro no hay imagen posible, ni 
siquiera ve una superftcin. Mas. no bien se dibuja el 
cuadrado y se lo divido, usando medidas conocidas, 
el metro y el decímetro, la noción y la inuigen se ]>ro- 
ducon claras y uniformes, no obstante poder oriií-inar 
ideas diversas acerca dol ejemplo, de la aplicaeión, 
del uso y déla importancia del eonocimiento por donde 
se llega á tantos estados finales de conciencia como 
los que provoca la palabra Dios entre millones do ca- 
lálicos. Estos hechos deben atribuirse al substi'atura 
lental de los individuos, i3.s decir, á la estructura y 
testara de sns corebrrís. Impresiones anteriores produ- 
jeron en ellos mtadoit diferentes y según su naturaleza, 
no obstante la misma impresión, reaccionan los ce- 
rebros. 

Esta diferencia de orientación en las moléculas cere- 
brales adquirida por repetidos esfuerzos de atención, 
constituye la memoria individual en estado masó me- 
nos permanente. 

La neurolia y sus prolongaeiones, susceptible de 
contraerse ó relajarse, parece servir de aparato aisla- 
dor ó de contacto entro los nourones, algo así como 
un conmutador de corrientes nerviosas, se trate de 
actividad ó de reposo. La contracción, favoreciendo 
los contactos, inicia el período activo de los centros 
Olas elevados ; la extensión, aislando las arborizncio- 



— 60 - 

nes néurieas, inicia el pon'odo de descanso, ó bieu 
activo do los eontros inferiüres (motores) quesiu 
inliibieiÓQ fuera del eampo volitivo suelen dar á 
nuestro yo, un aspeeto de imbecilidad, trastorno ó in- 
coherencia fatal como síntoma dol desftpdHbrio pni- 
qnko ( Mta de unidad, reprimen y subordinación entre 
las cadenas néurieas ) síiefto. Hasta ahora no se cono- 
ce la causa do este amiboidismo de tanta significación 
psieob>gica. 

La atención ( Cual ) desde que se reconcentra 
sobre una idea ó un pequeño número de ideas asocia- 
das, ademas de la contracción intenísa de las células 
produce uoa coniJrestión activa de los capilares del 
centro respectivo, lo que favoi'etío la intensidad de la 
onda nerviosa, alcanzando el máximum, los fenóme- 
nos dol calor y del metabolismo vital. Estas lüperho' 
mías marcan el momento de mayor potencia inte- 
lectual, si la sangre conserva su virtud nutricia. 

Do consiguiente, la circulación lenta, airo impuro, 
escasa ó mala alíraentación, substancias más ó menos 
tóxicas ( carnes descomptiostas, alcohol, a^nas eonta- 
minadas ) enfermedades del estómago, del hígado y 
del intestino, aun suponieíado una substancia ^ris rica 
en neu roñes susceptibles de asociarse fácilmente, re- 
tardarán los procesos por más que no lo quorramosy 
sintamos el deseo de alcanzar nuestro propósito. Es 
el caso de aquellos jóvr>nes que oxteriorixan una gran 
miseria fisÍoló"-ica v una voluntad de hierro. 



La nbulia. — El tipo abúlico, muy común on los jó- 
venas, producido á vecos por la pobreza fisiológica, 
pei'o más comúnmente porque las corrientes nerviosas 
cuando no varían constantemente de dirección son 
solicitadas por asuntos ajenos á la matemática, suele 
ser causa de un terreno propicio á cosechas oseasas 
porque permanece inculto por faltar eso que dirige 
loe procesos de asociación y que Ramón y Cajal llama 
estímulos de la voluntad y Th, Riiiot, impulsión. 

Tal <«(í no puede sino ser un camino nu alcanzado 
por las dificultades que encuentra el primer esfuerzo. 



6] 



Todas las exeitacionos recibidas, pnmero á la ven- 
tura, dejan tras si üiteLlas ( residuos ). que consti- 
tuyen memorias organizadas gracias á las quo des- 
pués de un período do tanteos y aprendizajes, la 
voluntad, dueña do su instrumento, no tiene más que 
decidir para sor obedecida. 

Y iiún puede referirse la abulia á las parálisu psí- 
quicas estudiadas por Hkinolds y Chaiícot que se 
curan sugestivamente, convenciendo al niflo do que es 
capaz, de lo qiie se cree incapaz, transformando el no 
puedo tan frecuente en las clases de matemática, ou 
el ist- puedo. 

El e.rceso de itnpnhión, { hipobulia ) puede, como 
consecuencia de la faíiiru, conducirnos á la abulia si 
bien Rf UOT ' ' * cree que es un paso do la imagen al ac-to 
sin procosos de integración y de consiguiente, un teñó- 
mano <|ue por sus consecuencias negativas y por el 
gasto de fuerza que supone, termina en un perítido de 
desconsuelo y abatimiento, 

No sor solicitada la corriente nerviosa siempre en 
un mismo sentido, es una causa que retarda la asi- 
milación do conocimientos de una misma categoría. Si 
después do preücu|>arnns una hora on problemas malo- 
máticos. dii'igimos todo ni espíritu á una cuestión histó- 
rica, por la ley de la nvahtuchn de Ramón y Ca.ial ee 
desintegra ó so debilita la asociación general que traba- 
jaba la idea matemática ; cuando volvemos á ella, hay 
que producir nuevamente el proceso, si bien on con- 
diciones más fáciles. Los individuos ocupados en un 
mismo asuulo siempre, alcanzan una maravillosa per- 
fección, llegando al í^enio si, además, heredaron un 
terreno celular i>n>picío ; pero olvidan lo poco que de 
otras materias siibían, hasta ser incapaces de formar 
el juicio más elemental. So produeo un conjunto do 
Ideas fijas, encerradas en un círculo dentro del que se 
corre sin tropezar nunca; pero fuera, se camina por 
una pendiente de peladillas espuestos á rodar al menor 



{ I 1 Tk. RrmJT. -tEofermedadei de la yolnnliidi — Vcraitía «p. de R, Rubio, 
(>4|[, 7S. - JW9. 



- 62 - 

descuicit.» ; siti embaiíjo, lu misión do la escuola prima- 
ria no es JiipnrtrQfiar regiónos dotemiiniídíis del cere- 
bro sino eiiltivai'las á todas desde un punto de vista 
general y arniónit-o. 

La udnthoUa. — El líélebre deseabrimiento de Wek- 
iín.'KR ( BresUm 1874 ) de la, afasia sensuriul, nos pro- 
ponñona elomontos explicativos de los obstáculos ijue 
el niño encuentra para comprender una cuastión mate- 
mática ; la tisimhülta matftwtticat se d*be á dos cau- 
sas, una al ernjr que casi siempre comete el maestro 
de no acostumbrar A traducir los na iniciados on figuras 
( reconocimiento intelectual, otijetivaeión interna ) lo 
que no es extraño á nuestras iiecesidados emocionales 
y activas, intelectuales y ostéticas ; " * otra, á una in- 
capacidad eongénita de ver dentro las iniíigenes que 
evocan las palabras ( eecidad psíquica de Mi-nk. agno- 
sia de Kkkünd ). 

A Ihs sensaciones propiamente dichas que nos pro- 
cura el objeto, se asocia una cantidad inmensa de 
imágenes del mismo lí otro (imágenes verbales, ideas 
de espacio, lugar, causa, fin, sentimientos de pla- 
cer, de pena, do belleza ). ,-: La palabra ftercepción, 
es aplicable A toda esta serie de hechos ? (ja de pri- 
mer grado corresponde á la faz primordial del proceso 
cuando el objeto mw es dado como una unidad inde- 
pendiente de las ideas que puede suscitar. Es la iden- 
tifir ación, primaria ó reconocimiento sensorial. La 
percepción de segundo grado ó complica da, corresponde 
á fases interiores del proceso y constituye la identifi- 
cación secundaria (y reconociraíento intelectual. 

La vista es el primero de nuestros sentidos ( GAt.T(íK, 
Floürnov ), damos á todas nuestras ideas una traduc- 
ción visual; notamos la música bajo f(»rma de signos 
visurtlos ; notamos los conceptos abstractos bajo for- 
ma de esquemas: nuestra atención se concentra sobre 
percepciones visuales á la3 que se asocian las demás 



(I ) Eo. Cl.*PVHBii|E.— <Miftte ei'-n, sur l'aunoiÍL'ün raimpe piycholufiquM, 
pAe 77-1900, 




ideas y conste quo la identiíÍL'aeión primaria de las 

tíueíítioiics materna ticíi?; es casi sienaprn visiva, rara 
■vtia uudilíva y luinca derivada de otraí? seusatioues. 
¿ Qué es una demostración matemática ? Conside- 
remos un caso aritmético, más abstracto y monos 
compuesto que !us geométricos de carácter gráfico ; la 

» construcción de In fi;^ura descubro, casi sslempre. la 
solución. <¿ Hasta qué ])arto de un cajón, cuya Imse 
cuadrada tiono 0.4Í5 de lado ocupará un espejo de 
2 m. por O.ííO m., por Ü.009 m.. reducido á polvo y 

El proceso eomieníia por In identificación secundaria 
con In diloroncia do quo las palabras evocan la ima- 
gen del üUjpto. De e.'^ta exactitud interna depende la 
^Lexaetitnd y rapidez de la solución. 
" 1° — Hay que ver un cajón do 0.45 X 0.45 por 

una altura variable; de madera, de hierro, cerrado 
por todas* partes excepto arriba, vacío y aomejante á 
un cuerpo geométrico, u a paralelepípedo. 

3" — Hay que verlo con substancias sin intersti- 
cios, como L'quidos, polvo ó fragmentos pequeñfeiuios- 
Do modo que el fazonaniionío opondría ol caso de 

■ la imposibilidad si el a^pejo no se redujera á polvo. 
3" — Hay que ver al espejo de acuerdo con sus 
tres dimensiones y considerar su forma paraielejjí- 

Ípeda. 
■ 4° — Hay quo ver e! espojo roto, ti-iturado, redu- 
cido aun montón de foraia variable 
5* — Hay que verlu i-n el cajón adoptando, en 
virtud del estado, su forma, otra vea un paralelepí- 

■ pedo cuya base es de U.45 X 0.45 nis-. 
6" — Hay que ver, sean cuales fueren las dimen- 
siones del ospetjo, una cantidad de polvo, siempre 
contenida por el cajón, de altura indeterminada. 

L'na de esüís seis imágenes mal evocadas, basta 
para obstaculizar y hasta imijedir la sohieión del pro- 
blema. 

A la elaboración de las representaciones de espacio 

U forma sigue la fusión { combinación ) mediante el 

3ulo, aplicando principios que la mente ya conoce : 

rolumen es producto de tres dimensiones ; el vo- 




^ 64 — 



lumen del espejo no ha variado en polvo y dentro 
del crtjón ; se fonocen dos dim«nsirínes ; la 3* no pue- 
de sino ser el jiroducto do las tres dividido por el 
producto do las dos ; el cocionte es la altura del espejo 
en polvo dentro del cajón. 

Llegamos á la respuesta que buscábamos. 

Consideremos, ahora, la suma 7 -(- 5 -}- "^ : mientras 
en 7, 5 y 8 no vemos 7, 6 y 8 objetos de la misma 
especie (ladrillos por ejemplo}, la suma es imposi- 
ble ; tal aeonteee en primer icrrado, con niños de 661 
años ; dan el resultado 20, mientras perciben laa 
cosas ; son incapaces de llegar á él, no bien deben 
evocar imágenes internas. 

El experimento XVII, no obstante la sencillez del 
caso, presenta 37 "/o de neffativos. La asimbolía es 
común en ios nióos ; temprano ó tarde, rápida ó lenta- 
mente, desaparece con la edad, y por una educación 
constantemente intuitiva, que gralie nociones de es- 
pacio, lugar, fonna, tiempo y eolidad. A la misma 
causa debo atrihiiirso la respuesta hm/ que reMar, á 
un problenuí como « Si 'i5 ovejas valen 72 $ cuánto 
cuesta una *? ( P^xp. X\T11 y XX ). 

El principio ; >• do dos quebrados que tienen igual 
numerador es mayor el rpie tiene menor denomina- 
dor >, os también un caso de representación ; si se 
piensa que la séptima parte de una naranja es mayor 
que la novena, se verá fácilmente f de naranja mayor 
que f ; sin embargo, hemos examinado jóvenes de Id 
años no sólo incapaces de explicar, por qué 4 > ^, 
sino de enunciar el principio mismo. Un maestro 
empeñoso, cooipronderá el valor inmenso de la vi- 
sión interna en el aprendizaje de la matemática. Si 
consideramos que los métodos pecan acerca de 
ese pimto, por deficientes; si consideramos que no 
hemos visto profesores que acostumbren á ver una 
cuestión matemática, nos explicaremos el atraso de 
la enseñanza y la cantidad de esfuerzos que se ma- 
logran en aprendizajes defectuosos á punto de que 
alumnos de primer año ( caso narrado por el ex-lns- 
peetor general señor Pablo Pizzubxo ) contesten 



— 65 — 



I 




que para embaldosar un patio bastaba una baldosa y 
media, La cecidad psíquica, propiamente dis^nosia 
de MoRSELLi { deficiencias do la imaginación reproduc- 
tora ) no error de juicio y razonamiento, lamentable 
confusión que afecta al método, es el mayor de los 
escollos con que tropieza la adquisición exacta y rá- 
pida de los conocimientos. Miugún empeño más dig- 
no de aplauso, que el que los maestros pusiesen en 
corresfir una insuficiencia natural del cerebro, pro- 
do ese admirable tipo que A. Lemaítre <" llama 

mbolo vidual. 

Las definiciones, elementos fundamentales de la de- 
mostración matemática, mal comprendidas, suelen re- 
citarse hasta de memoria, resultado que se debe á la 
censurable costumbre do no objetivarlas ó vertirlas á 
imágenes. Una representación confusa y sin contor- 
nos, no puede concurrir á elaborar integraciones cla- 
ras. Si ensoñamos t número fraccionario os el quo 
no contiene exactamente á la unidad, sino á alguna de 
sus partesí, es forzosa la identificación primaria jyara 
dejar en nuestra monte impresionas, no palabras. 

Cultivar el sentimiento de lo ya vhto ; lo ya visto, 
por similitud ó contraste, fija los detalles de una obje- 
tivación matemática. Frecuentes ejercicios de traduc- 
ción á líneas ó figuras de loa datos do un enunciado, ó 
principio, ó teorema formarán el hábito de evocar imá- 
genes exactas, do ver. Todo aquello que el lápiz no 
puede reproducir siquiera con alguna aproximación, 
no se conoce bien ó se ignora del todo ; < la reproduc- 
ción gráfica 68 un poderoso mordiente de la imagen 
mental y un gran rectificador de prejuicios?. ( R, y 
Cajal >. 

En el teorema, < en toda división inexacta, si eí 
dividendo y el divisor se multiplican por im mismo 
número, el cociente no altera, pero el residuo queda 
multiplicado por el mismo número >, la reproducción 
deja, á menudo, do ser objetiva para ser numérica ; 



( n A. Lbmattrx. — f Le Langage intícieur chex le» enfuiti ». Laiuuint. 1902, 

5 



— 66 — 

vemos, entonces, en lit pizarra, los términos, la opera- 
ción y el operador; os ki posesión dol tüoreititu sin 
cuya eírcunstanoia la demostración es imposible ; 
cuando nn niño escrilx.' un razonamiento depurado de 
errores y no recuerda el Gnimeiado, ese niño ignora, 
matemáticamente, la demostración. 

A estas imágenes del enunciado sucede la elabo- 
ración, combinaíidü principios, después que vislum- 
bminu-s el resultado. Eii efecto, de esta primera 

identifleaeión : N.: /) = C -|- ^ ;, cómo podemos 

Uetjar á esta final A" X f^: DF = C con un 
sobrante R F ? 

Representaciones anteriores dan A'^ ^= DC -\- R: 
el dato del problema y una propiedad concurrente de 
las igualdades, nos proporciona on un campo comple- 
tamente abstracto, NF=DCF^RF', donde 
vemos inmediatuuionto, aplieanfln un conocimiento 
acerca de las ig^ualdades, lo rpio pretendíamos sacar : 
N X^ F: D F = C más ol sobrante E F k divi- 
dii'se por D F. 

La amnesia. — Lacecidad psíquica se debe(J. Souby) 
á la disminución del número do vías ó á la ruptura 
coraplfitH de vías que aseguraban la continuidad de 
los proca-sos mentales por el despertar sucesiva de los 
neurones asociados (moraoria organizada). 

Esta meapacidad de producir imágenes suele ser per- 
manente ó intermitente ( á voces se produce con inter- 
valos de tiempo más ó menos cortos) y constituye 
diversos casos de amne.i¿a y eapectatiión, que malo- 
gran ostensiblemente todo esfuerzo para integrar. La 
mayor parte do los negativos en las operaciones de 
suma, rastra y multiplicación, se deben al desvaneci- 
miento repentino de la imagen de un numero, mal 
substituida por otra. So dice 5 -f- ít, once ; -|- 8, diez 
y nueve ; + 7, veinte y sois ; escribo seis y llevo 2 ; 

9 -|- 6, quince 4~ S» veinte ^ llevaba dos ó una '? 

Suele, en este caso, producirse el error. La memoria 
de conjunto y la persistencia es tan necesaria, que sin 



— 67 — 



ella la fusión ( combiii;u*ión) que im])lica tüdo acto 
mateniátieo, os imposible, defectuosa ó por lo menos 
larga si se recurre al apunte. Wküniüke observn en 
los enformns de asirabolía, aljiilía ó tendpudii á 
permanecer inactivos ; nosotros hemos notndo los 
mismos síntomas por la conocida IVase w» compren- 
demos ; á poeo, sionton la nostalgia del iiulii y su 
actividad psíquica la mala el füstidio y el nhurri- 
miento. 

,\dquirida In. ajjtitud de la rhiiUi hitertta, un ntievu 
orden de dificultados, debido al campo estrecho de Ut 
atención, se pret;entafíi el niño no at'ostumlira á for- 
mar finidndcs ftím'iomdeH, combinación ordenada de 
imágenes para alcanzar un resultado ; la emoción y 
la distracción (asinibolía funcional) producen amne- 
sias intermitentes ó atf;ncionos especiantes { hiper- 
prosesins ) que orijofinan reconocimientos intelectualea 
falsos. La respuesta, siempre más absü'acta y general 
que resume do un problema, como un símbolo, las 
asociaciones, se ennapone de elementos parciales loca- 
lizados en diforeiitos esferas de la sensibilidad. Tras 
una destrucción de las imágenes ópticas por lesión 
do la corteza del lóbulo occipital : por rii]>tura ó des- 
arrollo tardío do los haces que la utieu al lóbulo tem- 
poral, persistirá un reconocimiento auditivo mas no 
figurativo del númoro ó idea ; pero ot reconocimiento 
para ser comideto, exige la excitaei<jn de todos los 
elementos que componen la representación ; si un 
elemento de osta unidad pmpth'ft falta, prtdráse oir, 
vor. tocar, mas no conocer; se conserva la identifica- 
eiúü primaria, la secundaria ha desaparecido; es el 
caso de la niña K. S. (l^r (Jnido) que lee y enuncia 
los números, pero que no puede sumar 5 y fi, verda- 
dera aKimbolía según la definición consagrada por 
WKtíNU^KK y Hkílrholtner: incapacidad para servirse 
de las imágenes ¡soseídas á veces, con una claridad 
admirable. 

Hcsumamos con E. Mübselli esta.s frecuentes anor- 
mahdades que dificultan tanto la exactitud y rapidez 
del trabajo matemático y sobre las que llamamos la 



- 68 — 

aíonción del maestro. La conciencia (obra c-it., pa- 
lian 726 ) puede ofrecer alteraciones respecto á su 
intensiditd por alteraciones de la atención ; á su 
claridad por la energía que alcfjnzan las sensa- 
ciones ; á su €,vtefiñón por el mayor ó menor número 
de representaciones concurrontos ; á la integración por 
la manera de combinarse las varias agrupaciones ( uni- 
dados psíquicas ) perturbadas por causas morbosas, 
emotivas, inductivas ó artificiales ( dislogia) ; á k 
continuidad por la incoordinación de los fenómenos 
psíquicos, alterada por enfermedades ó circunstancias 
anatómico-funcionales de la cortoxa cerebral, 

Eniúcitm y aneniin. — La esfera Uictil que tanta 
parte toma en los procesos de inervación muscular 
y circulatorio, parece el foco de las emociones y 
pasiíjnes cuya primer consecuencia es producir tras- 
tornos vasomot!'icei5 que afectan á todo el cuerpo. 
Basta que aumento un poco la velocidad do la sangre 
que penetra á nuestro cerebro (A. Mossu ) ^ ' * para 
que inmediatamente se modifique nuestro ¿/íí. El equi- 
librio do las agrupaciones celulares se turba profun- 
damente porque en ol cerebro es más activa la nutri- 
ción y más instables las substancias que lo cüm|!onen- 
De todas las funciones del organismo, la conciencia 
es la que siente más los efectos del menor cambio. 

Las üuiociones, según su clase, producen vasodüa- 
taciones ó vasocontracciones que siguen á una mayor 
ó menor afluencia de sangre al cerebro. Modificando 
el intercambio vital de los neurones, la pobreza nu- 
tricia produce (caso de la palidez) una contracción de 
las prolongaciones protojílasmátieas y colaterales de 
la célula ; entonces las asociaciones menos sólidas 
se desintegran y de allí la disgnnsia, la asimboMa, la 
abulia, la dismnesia, toda una serie de trastornos 
mentales no siempre generalizados que afectan comun- 
mente, las unidades psíquicas de formación más re- 
ciente. El miedo af examen ataca á los centros del 



l 1 ) A. MOSSí) — <L)i. pauraf, pkg- 9A| <>■ od. 



69 



íUüje : no deja kttbfar pem deja penmr. Es, de 
consiguiente, expliealile pI fenómeno, sorpresa de más 
de un inspector, do eneontrar niños en 6" grado que 
nci suman enteros; que no reducen n un común 
denominador ; que no escriben decimidcs. Un estado 
accidentalmente anémico, un procesn inorboso quu 
lleva toxinas á las células mediante lu circulación, 
Itasta para romper una unidad nmemónica : la inteli- 
gencia ofrece, entonces, inepcias que la voluntad no 
puede cüfregir. 

Ahora liien, en la juventud, debido á divorsas etapas 
de su desarrollo, (crisis, psicosis í son frecuentes tales 
alteraciones ; excepeionalmente hay niños de un fun- 
cionamiento org'ánico tan regular que una baja aíraos- 
ica, un viento norte, una indigestión, una mala 
she, al producir estados enfermizos de carácter 

{►asajero, no aiiormaliKan la eirculact«')n j desintegran 
os nourones que formaban una unidad orgánica ( re- 
presentación, imagen ó síntesis necesaria para que otra 
se produzca). De aqiu' los casos negativos y falsas 
reacciones atribuidas á la mala enseñanza : de que 
unos días se aprende más y otros menos. 

Otras veces, inutilizan la identificación secundaria y 
no afectan la primaria, casos que se explicarían por 
una irrigación irregular de lus territorios corticales del 
cerebro. De todos niodos, es fácil imaginarse á qué 
resultados desiistrosos puede llegar el trabajo mate- 
mático de un individuo emocionado. 

La mujer, víctima más segura del fenómeno, nos 
proporciona casos originalísimos do desintegra ción. 
Citaré el de T. D., niña muy inteligente de 5" gi'ado, 
que debía reproducir después de dos lecturas, el pro- 
blema: Un indinidno tenía en itn corral 122 ovejas, 
\m otro 203 1 en otro 17; vendió 220 d 2pesmcada 
una; 50 se murieron i/ el rento Injt vendió á nn peso 
y medio ¿qué valor naco de sufi ovejas? Escribió; 
ün individuo tenía 2000 ovejas en un eorral, 173 
corderos en otro y 17,000 en otra; 320 se mmHermí 
V el resto los vendió á 17 pe^os cada uno ¿que' venta 
'-uso que no reprodujo ningún otro alumno. 



70 - 



Heiuos notado emoción más frecuente en los niños 
de mili? tnlento. dti más ediici y de más estudio. S*! 
pxplicariii por el het-ho do que en los nifios menos 
inipligRntes ó más jóvenes las ínlogriiciones de 
nrdon superior son escasas j no liíiy, de consiguiente, 
üportimidad á que las cadeniis néu ricas se ronipíin ó 
den eoncieaciíi trascendental de los hechos. 

Lax paranoia» rudimerttainasJ ' ' ~ (Ideas fijas, ideas 
ineoert-ibles, obsesioufs, preocupaciones ). Orientan In 
corriente nerviosa ( actividad mental ), en ima sola 
direedón: la avalancha es solicitada ansiosamente por 
la idea ñja iuusta eonslituir un yo esclavo. Las deiiiá.^, 
resultan integraciones débiles, no alcanzan una orjj'aní- 
staeión onértrieay tampoco una fijexa más ó menos lar- 
ga. No pueden ser más terribles los eíoctus en un curso 
dominado por esa psicopatía contagiosa de la que os 
víctima la mujer más quo el hombre, que en los inter- 
nados dei¡;enera en uranismo como lo comprui'ban 
documentos en mí poder. Nos reierimos á la obsesión 
genésica, del paseo, do la diversión, del tocado, á la 
pueril no ala emotiva intelectual del joven decenio 
quo concluye en un invento de trascRudencia mundial 
ó á aqueUaa grtives, conocidas bajo el nombre de 
manías agudas; son casos poco definidos, quizá, pero 
no por eso menos perturbadores del punto do vista 
[isíquico, hasta infantilizar los procesos, en lo tocante 
á la idea fija. Es, por decirlo así, el primer grado del 
trastorno, ó un sispecto de la neurastenia. El alumno, 
sobre el libro, lee, lee, loe, leo y no asimila. Comprende, 
pero todo se esfuma desjiués de una hora, después de 
un día. C) bien escucha á los profesores con atención si- 
mulada: se esfuerza por aprender, pero á una pregunta 



<[) A. PiriiBS BT B. Rkcis. — « Le* Ob«efiions, ele. >, p. 16. Bibliótecm 
TonloBse, BslúB ailtoreii L-bnkrderati la idea fija direrenle de la obs^ri[i;llo 

obitanie, teconocün unn cansa coTp6n, áf- tal manera qne la «modún obtednRR 

*C Ajiocia. gcni^rdlmentt, á la Idea fija. Definen ají j un lindrnikia mcrboiQ ca^ 
rK(rtArízadr> por Itf apurícir^n involuntariji y acsiovs, «n d c^rppo dc Ia C^ticieDCií^ 
de (rntiRtiento» {t ideas paritilHs que tktidiin k irn|)«nérie. Crean, mm\. ana *k- 
tiídad á^ disocíAcii'in psiqtrica, cayo térniino e« el deidoUlarntento de la perto- 
nslidad. 



— 71 - 



acerL'ti do un tíonocimiouto qiiü acaba de transmitirse, 
no rRsponde. Se produce algo así como umi panofobla 
generalizada bajo b1 nombre do fastidio por ciianto 
no tiene reí ación con la idea imperativa. La capaci- 
dad para juKgar. no existe; no existe para apreciar lo 
bollo: ol tartajeo y ias disfasias alteran la dicción; el 
entusiasmo rara vez aviva los ojos j calienta las me- 
jillas. 

La cura ( desorientación) depende de tres factores: 
el doméstico, el escolar y el físico. Buena alimenta- 
ción, enemas, mucho ejercicio, la sugestión y conmocio- 
nes emotivo- intelectuales violentas provocadas por la 
acción de los padres y profesoi-es si son temirtos y res- 
petados, la producen; además^ substrayendo completa 
mentó al alunmo del ambiente que motivara la urien- 
tación, substituido por otro activo y estético ( objetivo) 
para producir imágenes capaces do superponerse á la 
fija; la reviviscencia de las que formaron los primeros 
extractos, producen un campo psíquico donde la imagen 
obsédante se debilita, se vuelve secundaria y por fin 
desaparece. Las ideas imperativas constituyen uno 
de los tros factorea morbosos que impiden el adelanto 
de los alumnos, grave por cuanto provoca los otros dos: 
pereza é intoxicación cerebral. 



CAPITULO IV 

El proceso inat<»iiiátíeo dei punto de rista 
experimental 



I 



El estudio de la Psicología. — Teoría y e¿rpei*hiien- 
ííicíow. — Sin conocer al niflo, se ha dicho, no es po- 
8il)le educarlo; del punto de vista intelectual, ese co- 
nocimiento k) ái\ la Psicología, de la que so hace un 
estudio tan incompleto y á menudo erróneo que se la 
ha creído hasta innecesaria comí) auxiliar pedagógico. 
Con ol mismo criterio, la apreciaríamos nosotros, si 
hubiéramos de poner en manos del maestro á Janet, 
Balnies. Boirae ó textos más ó menos derivados por 
esa fiicil imitación de los negociantes en libros, To- 
davía más ; nos parece nada muí; que un ejercicio de 
cultura el estudio (generalmente penoso de un toxtu 
como el de Skh<íi, de Sri.LY, de James y quizá nos 
inclináramos á lo mismo, ai^ de manera más positiva, 
se estudiase en las escuelas normales la anatomía y 
fisioloH'ía del cerebro sin analizar los fenómenos exte- 
riores de la función. 

Los métodos de eusoñanza, prácticos por excelencia, 
nada avanzan conociendo el proceso y las vías por 
donde una percepción se trasforma en idea y movi- 
miento después de provocar una complicada serie de 
integniciones. 

Es muy diferente para el que enseña la psicología 
experimental. Mediante sus cuadros y diagramas, 
conoce matemáticamente, en un momento dado, las 



— 74 - 



aptitudes do los educandos, para un trabajo; su estado 
de preparación en un lietoraiinado punto, los inteli- 
gonles j los retardados: las bondades del procediraien- 
to; fjué partes exigen más ejercicios y qué partes 
monos. Es la base del método, ron todo el carácter 
de positivo y científico. Si nos consta que la riqueza 
del lenguaje es, bajo determinados aspectos, el ma-' 
yor ii uniere de palabras difarentes empleadas en la 
composición, el maestro la obtiene do sus 42 almu- 
nos, acerca de la naranja, redactada en treinta y cinco 
minutos de tiempo. Cuenta las palabras escritas (400 
para el niño \ ) y las diferentes- de la composición 
{ 60 palabras >. Después de dos meses repite el ex- 
perimento: si en 4Ü0 palabras consigue 80 varias y 
proporción parecida en los demás casos, los procedi- 
mientos para enriquecer el lenguaje resultarían buenos. 
La experimentación^ en la escuela, tiene dos objetos: 
uno psfqtnco y otro pedagógico. 

I^ii Pedagogía es im artificio por el que el maestro 
trata de enseñar lo más posible con lo menos {loaiblo. 

Comprueba la bondad do sus procedimientos por la 
exactitud, la rapidez y la generalización de lo que el 
niño asimila. 

¿Cómo, hasta ahora, los maestros han comprobado 
esa boudady De manera vag*a, observando el conjunto, 
efectos más ó menos simultáneos, ó atribuyondo ma- 
nifestaciones de un grupo á una clase; de aquí deduc- 
ciones de detalle francamente erróneas, para llegar, 
no obstante, á principios generalas como los pestalo- 
zzianos, que adoctrinan métodos no procedimientos. 
Hay que ilustrar, sí ¿pero con qué ilustraciones; pre- 
sentadas eu qué momento; manejadas cómo? De lo 
simple á lo compuesto, sí, Pero riqué es lo simple en la 
cifra 9, en la lectura y comprensión de un número V 

De modo, pues, que BottuDoN acierta cuando con 
elevado criterio juzga que la ¡jedagogía n^^ debe reju- 
venecerse, sino hacerse, ¿Cómo:-' Experimentando. 
No, observar un grado do 40 alumnos, tomar apuntes 
en un cuaderno y deducir principios por la actividad 
de los niños, el entusiasmo y preparación científica 



— /3 — 



del iimesU'o y ol interés del íisiinto. ^: Estamos, dos- 
Ipués de esto, seguroy dé que todos han adquirido ol 
'coaocimionto quo iHTtendíamos incuieari' ^; do que to- 
dos lo pusoon con ijítuil oxactitud, do que todos pueden 
rejiroducirlo ¡'ápidamonte, de quo todos |Hioflen trone- 
raliznr':' Así so crtíe. Esta apreeísK-ión, resiiltu de 
una daso vista á través de cinco ó seiis niños activos, 
alentofi, respondimus, que levantan la mano sit'iiipro, 
quo siompiv roban la atención dol maestro on perjuicio 
do los piisilánimos: es, á nipnudo, falsa, r: Saben mm 
niños esto:-' ¡Puf! áCóiuo, eoBii tan fácil:'' Se exaini- 
inay resulta que fallan las tres condiciones: oxacti- 
|tud, rapidez y gcneralÍKación. 

Estos hechos, á cientos anotados on rais cuader- 
nos de observacione^s, índicun que el ¡íistuma de co- 
nocer al niñu es otro. El examen no puodc ser co- 
lectivo, sino individual, deduciendo, de lo individual 
lo colectivo por el conocido métodu de los promedios. 
Examen individual. Precisamente; aislado, subs- 
¿dn á todo elnniento cxtrafto que |)ucda provocar 
■proceso falso ú pri^cipítar unif exacto. 
El primer wicnientr* úb i)erturba<'iün os el compa- 
ñerOj el soplón, en todas partes, donde monos se 
espera, oportuno siempre para dar otra oriontaeión al 
esfuoriíi) del alumno, verdadero ó i'aiso, pero no per- 
sonal. 

Las consocuoncias de cada exporimenlo, compa- 
rando alumnos, grados, por meses, por años, dan 
e! método. F^studio hecho de esa manera, deteni- 
do, extenso, sobro todos los aprendizajes escolares, 
sobre todas las manifestaciones psíquicas del alumno, 
da á conocer al niño como materia elaborable de una 
escuela. La imcolo¡jM esrohir rolertiva, no está hecha; 
nuestro esbuzo, particularizado á la aritmética os, 
quizá, el primero. Los varios congresos de psicoloífía 
reunidos desde I8í^9, lian tratado lap. alucinaciones, el 
hipnotismo, la herencia, los sentidos, la anatomía y 
fisiología del cerebro, la.s percepciones, la ley de We- 
bor, la memoria, la asociación de las ideas, la aten- 
ción, la teoría de las emociones de James y Lanqe, 



- 76 — 

poro excepcionalmeote, los proeefios lógicos, ol juicio, 
el raciocinio y la psicología de la infancia, menos, 
del punto de vista colectivo que es el pedagógico''* 
desde que el sistema simultáneo de enseñanza, obe- 
deciendo á Ui necesidad do destruir el analfabetismo, 
educando lo más posible, se impuso á la escuela pri- 
maria como siglos pasados se había impuesto á la 
universidad. 

Cada método de enseñanza que publiquemos (nues- 
tro propósito es escribir el de todas las asignaturas ) 
comenzará con un estudio de psicología experimental 

Í>ara conocer las aptitudes del grado cuantas veoos 
aere necesario durante el afio, para justipreciar en 
cifras, la positividad del osfuerao. A la vista de nues- 
tros cuadros y diagramas, hemos tenido que declarar. 
á menudo, el criterio erróneo que Ibrman las aparien- 
cias, aún en el profesional mas experto. El t'.'itrtdin 
de ion métodoí; es el estudio fiVperi'iuentúi de las apti- 
tudes en tiempo y circitiistancids diferentes; la psico- 
logía de las escuelas normales, no es otra, por cÍeH:o, 
pintoresca, llena de atractivos y fácil de dominarse 
sin mayor [ireparaeión que la elemental. Pero, os un 
campo virgen todavía, que se abre á la actividad del 
maestro, si el maestro haciendo del grado un labora- 
torio, aprovecha esos maravillosos elementos que ma- 
neja durante nuevo meses del afto. Seguros que lo 
que presentamos, pedagógicamente, como una nove- 
dad, dentro de veinte años, será un curso metódico en 
las escuelas de Europ:i y América, para dar al aná- 
lisis del procedimiento todo el valor que tiene en la 
enseñanza, porque la pedagogía es el procedimiento, 
nos permitimos indicar este programa para formar 
aptitudes de psicólogo experimentador: 

a) Anatomía ; Sistema nervioso central y perifé- 
rico ( Testut y resumen de Grasset). 

h } Fiüíofotfía: Sistema nervioso central de J. Sou- 
líY y resúmenes ó monografías como las de Ribot, 



1 I » MoitAClO G. 
y Am^ricAt 1902, p 



ClSCRO. 

I-í V 19, 



iRmcñim* kctual de la Ftkología en F.^top» 



— 77 — 



*LEMAGNE, SouLiJER y de la Bjbliüteca Toulol'se. 
c} Pñcolúíiia : Consideraciones aceren de los ferió- 
los del espíritu por su míinera de producirse (.Ja- 
mes, G. Villa ). 

■ d / PsilocQífM ex¡}erimental: Übras de Wündt, 
Webeh, Binet, Hanford. Biblioteca Touluuse. Biblio- 
teca DE PEDAGOGÍA ¥ PSICOLOGÍA DE A. BlNKT, los traba- 

kJos de J. M. Baldvvin y otros, dispersos en rovistas 

Jy anuarios. 

Emprender Li medición metódica de líis fíiciiltudes 
( aptitudes ) de los alumnos, puede ser de resulta! dos 
práctípos para la teoría ie la odueaeión, dieo J. Sd- 
LLY, * ^ * y llegar á un conocí miento más exacto de la 
infancia. Así, el eí^iludio del desarrollo psíquico, cuyo 
objeto es fijarla época en que ciertos procesos adquie- 
ren I'ucrza, resultaría más definida si hubiese registros 
meliidieos. Uno de los puntos que resolverían es la 
influencia del sexo en la mente. El urgente problema 
de establecer hasta qué punto conviene sujetar la in- 
teligencia de niños y niñas á una misma suma de 
estiniulós, recibiría un auxilio poderoso. El éxito de 
la enseñanza, por otra parto, depende do la clasiíi- 
caeiOn de los individuos seg-dn sus aptitudes y ten- 
dencias: sería de desear que loa maestros y los 
Ipsicüloj^os desarrollasen pronto un plan definido de 
©xpeii mentación j)SÍcológica. 



Pücometría del furnto de vista pedagógico.— }st}^ 



lemos apartado de lo teórico para dar al experimento 
toda la importancia que tiene, única argumentación 
sólida do la pedagogía. Hicimos nuestras observa- 
ciones psieométricas durante el año escolar de 1002, 
sirviéndonos de un cronómetro j dos pizarras, cajas y 
reglas; no dispone I a escuela que dirijo de un gabinete 
apropiado, no obstante mis empeños para conseguirlo. 
Educamos mujeres y varones, distribuídoí? en dos 
^departamentos : ol de aplicación ó primario y el nor- 



( I) J. SlfLLV. — tPíicoloi^'a Pedas^gica », p. 4fií, Appleton y Cía. Nc« 
ícaíf verii&n e>p. de E. Molina. 



78 ^- 



mal ósocundiirio. El primero, campo de nuestras ob- 
sorvaeionas y pnra cuja finsoñnriKa escribimos este 
volumen, está dividido en .siete ^frados, del I" tú ti", 
siibdividido el 3" un dos; interior y ííiiperior. La ense- 
ñmizn es simuítánea : un maestro odiica á la vez 30 
ó 4Í> niños, sonuítidüs a las bondades ó dofieienciíis del 
mismo método; guía la enseñanza y regula la ampli- 
tud de las let'eiüLios, no la precocidad del niño A. ó 
la torpeza del niño B, sino el f!S]n'ritu déla clase, don- 
de el maestro vk S(')Ío un cerebro. Nuestras observü- 
clones son individuales para deducir consecuencitis 
colectivas, única Ibrmn en que la Pedagogía utiliza los 
(íomplicados estudios de una ciencia que sólo puede 
tener arto y aplicación en la oscilóla. 

La experimontaeión parsi determinar ¡iptitiidos en 
niños y grados susceptibles do sor cnuiparados es 
poliro, no existe casi; psicólogos de nota eomo Biwet, 
no son maestros ; en sus gabinetes magníñeamente 
montados, se estudia sin otro [)rup6sito que el cientí- 
fico, á menudo insuíiciente y defectuoso desde el punto 
de vista pedagógico. Kn L'nntU'e Pst^cholofjiqtte de 
líJOO, un bellísimo estudio de la itíencum y la adapta- 
ción sobre 11 niños de segunda clase, ocupa 156 pági- 
nas, sin que hayaalos podido utilizardeduceióu alguna, 
por cuanto, de caráctor individual, no hay eomparneión 
posible con nuestras clases; sólo constatan mejores apti- 
tudes en el grupo inteligente. Individualmente, un niño 
de Reijundo grado y íl años, puede presentar mejores 
fenómenos psicométrieosí que uno de quinto y de 13 
años ; colectivamente, el hecho cambia. Nuestros ex- 
perimentos, integraciones compuestas, hím destruido 
creencias ajTaigadas, acerca de la impoiluncia de pro- 
cedimientos que usábamos, por el éxito que ereimos 
obtener; han demostrado la posibilidad de determinar 
el grado do aptitud matemática que jjosec un niño á 
quien se matricula |)or primera vez ; que eÍGrt,os hechos 
de positividad admirable en vez de confirmar niegan 
la aptitud; con el cálculo mental pretendíamos estable- 
cer la marcha de un proceso psíquico, en diierentos 
grados y constatamos un fen^mieno de Índole diversa. 



IH 



Los niños do una escusla Víiríau del imbeoiioidB al 
genio, pura darnos un conjunto nurmal. Averiguar In 
ajjtitnd no os imponornos do los ennopíiniontos mate- 
máticos quo posoo un alumno. Kl (>" trrarlu subo más 
que el 3*: pero las miitem áticas esigen un ti-iiLiíju de 
conciencia, ya simple ya complejo, independiente do 
la calidad del sabor. Así, la divisibilidad nu e&i más 
complicada qiu> la multiplicación de enteros ; se estu- 
dia, sin embai'gñ, en 5" grado. De aquí que nuestros 
experimentos eminentemente comparativos puedmi 
servir do norma á otras escuelas que, i-opitléndolos so 
propongan estudiar á sus alumnos ó la bondad de sus 
métodos : es hecha con niños de todu el departamento 
elemental, de modo quo las diferencias pueden atri- 
buirse alas aptitudes mcjei-adas por el ejercicio, por 
la edad, por la raza ó lai-tores de naturalosia computa- 
ble. La aptitud tlol alumno para la matoraátiea es 
invorsamonto proporcional al tiempo de reacción em- 
pleado en las integraciones i\^ suma, resta, multiplica- 
ción ó leettira de númoros. De modo que, dadas variíis 
constantes para un y'rado, el alumno puede ó no cur- 
sarlo con éxito, si sus inteiíraciones dentro de un limite 
positivo, exceden ó no esa constante. 

Este mclodo, al precavernos contra la sinuüación, 
eonoeimlonto postixo ó reproducciones mnemónicas, 
examina solo el proceso inconsciente- .\sí, al joven N., 
ai pretende ingresar al 6" grado, preguntamos su edad. 
14 años y medio couijírondida entro la máxima y la 
mínima del grado, casi la media |íj,1 ; le examinamos : 
reacción de suma 23,22 segundíts; de resta 14.9; 
do multiplicación 55,5; de lectura 15,4; dentro de 
un máximo de positividad da tiempo-s de reacción 
iguales ó iní'eriores á las constantes ; está en condi- 
ciones do curear el B" grado con éxito ; si dentro de un 
mínimo do positividad diera tiempos de reacción ma- 
yores que las constantes, no estaría en condiciones 
de cursar el H" grado con éxito. 

Kl Gxamon debo ostenderse á la reproducción audi- 
tiva del problema y al razonamiento que analizamos 
en capítulos posteriores. 



80 



Este método de apreciación, nos ha dado, en la prác- 
tica, excelentes resultados, eliminando la casualidad, 
dentro de casos perfectamente conocidos por el alumno. 
Xos fundamos en el hecho de que la mayor rapidez en 
las operaciünBs y lectura de números, se debe á la 
capiu'idad psicológica de los centros, adquirida por 
evolución y ejercicio, no precisamente haciendo ope- 
i'Eiciones, sino a^fuerzos matemáticos de otra índole, 
quo educando las vías do asociación han perfeccionado 
las vías laterales y concurrentes de las integraciones 
más simples. 

Las pruebas son individuales y colectivas, procu- 
rando una absoluta imiformidad de circunstancias, los 
mismos números, las mismas pizarras, la misma luz, 
el mismo examinador, las mismas distancias, ol com- 
pleto silencio para que los resultados de la compara- 
eión no pudieran atribuií-se sino á determinadas cau- 
sas. En las aulas, tomamos precauciones para no ser 
burladas las seguridades del esfuerzo personal. 

Una misma operación, un mismo numero hecho ó 
leído por 21 9 niños de diforente edad, sexo ó instrucción, 
suministra elementos abundantes para apreciar el 
grado de inteligencia de cada uno ó agrupados y la 
eficacia de los métodos. Las dos clases de integra- 
ciones, peculiares al estudio de la matemática, una de 
carácter periférico, otra de carácter central (ejercicios 
y problemas ) son las dos grandes etapas de la ens©- 
fiíinza. De la integración periférica, primaria por ex- 
celencia, arranca la segunda para volver nuevamente 
á la primera. La instrucción se propone convertirla 
en automática, reduciendo al mínimo el tiempo de 
reacción, conservando su modo consciente ala segunda. 
El punto de vista de la educación primaria seria, pues, 
el cultivo de la integración periférica quo, alcanzando 
un máximo do positividad en tiempos mínimos, anun- 
ciaríael principio déla instrucción secundaria. Nuestros 
exporimontos estudian las desfases del proceso, es- 
pecialmente ei primero, puesto que marca una etapa y 
define un ciclo. 

Las reacciones, dado su carácter complejo, pueden 



- 81 — 

Bonsiderarse verdaderas medidas del pensamiento, 
metabolismo psíquico do una ¡serie de discriminaciones 
r( asociaciones concurrentes) para producir mía sin- 

3818. 

El tiempo de reacción, dice William James, '^ ' ' varía 

)ü la edad y los individuos, Puede ser largo ó corto 
liereun sentido en vez de otro ( Exp. de Büccüla ), 
I© trata de un anciano ó de un niño. El ejerciciü lo 
reduce á una mínima determinada para cada indivi- 
duo ; la fatiga lo alarga : la cowentración de la aten- 
ción, lo abrevia ; la nahiralesa de la percepción, lo va- 
ía; la estación, la temperatura, (\\ día, produce diferen- 
reias ; la intomcación, y los ruidoSt lo prolongan ; lo 
acortan estimulantes como el té y cafe. 

Desde que el proceso matemátieo es una integración 
de doble carácter, periférico y central, nos proponemos 
íonocpr dos de sus cualidades esenciales, positividad y 
tiempo, comparando grados, sexos, edades y una inte- 
gración con otra á fin de qiio los procodiraientos pue- 
dan asentarse en base sólida. La primera, adquisición, 
reconocimiento, evocación y reproducción automática 
de imágenes, se formaliKa alrededor de lo que so lla- 
ma geni* ricamente In. operación ; la secunda, fusión 
de imágenes, substitución ó concurrencia para crear 
otras más sintéticas, se llama comúnmente, razona- 
miento. 

Se explican, con más ó menos fundamento, la va- 
riedad de métodos en la enseñanza ; cada autor cree 
al suyo con ventajas que no tiene el otro. Todos, no 
obstante, pecan al afirmar resultados que no disipan 
do nuestro espíritu la duda, extoii erizada en esta frase 
del lector ú oyente: í en la prácticaj será efectiva- 
mente así í* contestada siempre con evasivos síes. 



II) cPrincipíi di Fiicolo^iak, pág. í42, 



^ 82 



11 



Explicación circunstanciada de los experimentos. ~ Ek- 

pEUiMENTo i. — Conitir. — { Atención adaptutiva J. Fai 
el centi'ü fie Isi pizafni, á la altura de los ojos del 
exnruiTaadü colocíiruos una hoja dt> papel blanco de 
0.21 X l)-lt)4 iniit. rayado eon azul de poca intensi- 
dad ; cada cuadro iiiida 5 X '^ mm. y el niño debe 
contar mI número de líneas horisüñntales de arriba 
abajo sobre una linea vertical del contro. adaptando 
la vista á distaneias conveniontes, siempre que la apro- 
xiniaiíion no fuera menor de 50 centímetros. 

Hemos adoptado til papel de -M líneas y no los p'f/- 
poa í/'i'e{/yJares do puntos do A. Binet. para dar al 
exjjerimonto rasgos detinidoK y pueda repetirse en 
idénticas condiciones. El tiempo de reacción es tomado 
desde que el niño, por nuestro mandato, lee ftno hasta 
que termina. 

8olo hubo tres casos de reconiienzo, contrariamente 
á lo que suponíamos ; estábamos seguros de un porcen- 
taje alto; resultó, on cambio» insignificante. 

Kl niño comienza á contar lentamente y á la^ o ó 6 
líneas so apura cual si resultara más fácil la operación i 
pero á intervalos más ó menos iguales so produce un 
pequeño descanso ; trata de apoyar las manos en algo, 
la pizarra ó el escritorio, cual si buscase mayor esta- 
bilidad al cuerpo. Contar objetos, si exceptuamos los 
niños de primor grado, es un fenómeno de acomodación 
visual. En electo, el ojo realiza una serie de movimien- 
tos y descansos con los que coincide la enunciación del 
número, hecho inconsciente. Los últimos movimientos, 
poi" efecto del hábito muscular en los primeros, 
son menos violentos y más rápidos ; una agru]>a^ 
ción irregular ó líneas á diferentes distancias, exi- 
gen más tiempo que á espacios constantes. Los erro- 
res deben atribuirse á falta de coincidencia entre las 
Hneas y ei descanso debido á un movimiento erróneo 
del ojo no habituado por diferentes causas : debilidad 
de la vista, miopía, cansancio muscular por esforzada 



aeión, cansunuiü de hi retina ( caso rte J. C, il, 6" 
grado ) ó forraación de imágenes eompleinontariiis- 
En primor grado, á veces, la evocad<5n det númoro 
sigiiionti? exige una ititegrafión conseionto, lo r|no mo- 
tiva íMTor ó retardo. 

El proceso es una identificación s^iieesiva de lugares 
dos á do&, tres á tres, cuatro á cuatru, según el orden, 
asociada al nombre de n limeros que indican el momen- 
to riel reconocimiento. El campo déla atención, vistiul 
ó interna, varía, víirían las dimensiones y elementos 
de la imagen y varía de consiguiente, el tiempo j 
exactitud para contar. Los lu^'arcs do identificación en 
nuestro experimento son dos; : el campo de la aten- 
ción, puramente óptico, es mínimo y los errores deben 
atribuirse no á la mayor ó menor inteligencia de lo.s 
I níñoí! sino á defectos del movimiento visual. Los cua- 
dros constatan lo que acabamos de decir. 

k 



ExpKRisfENTO n. — Reconocimiento de cuatro mi- 
iti f'fvf.v. — En la pizarra hemos escrito : 



^L 1" 1010 

^^■^ 4" lOlOlUl 

en el orden indicado, evitando la correspondencia ver- 
tical de las cifras. El niño las lee á mío ó dos metros 
(le distancia, enuncia en voz alta los números y nos- 
otros contamos el tiempo desdo el momento que fija 
la vista en el primer número que conservábamos 
cubierto^ basta leer el último. Mientras dura el pro- 
ceso, reina el mayor silencio; se mido en segundos; los 
errores fraccionarios en nada afectan la exactitud 
del conjunto dada su duración. La aptitud se debe á 
diversos grados del hábito- El alumno que una rá- 
]jidamente á las imágenes los términos para asignar 
un nombre; á las cjfrsis según su colocación, leerá con 
más acierto, resultado quo debe atribuirse á mayor 
número de ocasiones para leer y escribir cantidades en 
ejercioins y problemas y á predisposición en momentos 



8+ - 



ó épocas dadas, para integrar. De aquí, pues, que el 
experimonto fije ol grado de cultura matemática del 
alumno y su inteligencia natural ó adquirida. 

Hcíího con espíritu eminentemente pedagógico, cons- 
tata la concaíenaeión de ciertos fenómenos según rela- 
ciones invariables, que los maestros presumen, pero 
que no bien aperciben una modalidad, se inclinan por 
la corrionto común de un deteraiinismo poligenétieo, 
Si eum paramos los alumnos del mismo grado F. L. j 
J. P. ( 4" n-rado ) en diez tiempos de reacción, uno di 
ciíras más bajas quo el otro. Mientras F. L. presenta' 
negativos en 9 casos, J, P., por el contrario, presenta 
positivos en 9 casos : 



F. L, 



J. P. 



Lretura de números I 33" 

Stuna — 65" 

Rísta — 31" 

MultipUc - 6&" 

Cálculo mental — 20" 

Escrit. (ie númcroi* ^~ 16" 

Suma mental . , . + 6" 

Error de idervt. 1. ........... . 1.5 <Mns. 

Apreciación de csp , -^ 5" 

Cüiitar......... 20" 



18" 



+ 



F. L. reproduce ( después de haberlo oído dos veces ) 
el problema «Un individuo tenía en un corral 122 
ovejas, en otro 203, en otro 17; 50 se murieron j vendió 
el resto á 2 pesos e/u. i Qué valor sacó ?> del modo 
siguiente : 

Un estanciero tenía en un corral 122 ovejas, en 
otro 203 y en otro 17 ovejas; vendió 220, se le murieron 
50 ovejas y las vendió á $ 1,50. ¿Qué valor sacó de 
sus oveias"? 

J. P., del modo siguiente : Un estanciero tenía on 
un corral 122 ovejas, en otro 203, on otro 17; se le 
murieron 220 y las quo le quedaron las vendió á 2 



— as- 



ios cada una : se murieron 50 y el resto vendió á 
i.50 $ cada una. í Qué valor sacó de lasovejaB? 

F. L. razona el problema: Si 12 ovejas cuestan 
72 $. (í Cuánto costarán 8 ovejas ? de la siguiente 
lanera : 

Si 12 ovejas cuestan 72 S, una ovoja costará ~ f4ue 

igual á 8 ; ahora, si Hl ovejas lo divido. . ,72X12. - . 

/. P., de la siguiente manera: 
Si doee ovejas cuestan 72 $, 8 ovejas costarán 
10 veces rnás y una, ocho veces menos. 

Si 12 ovejas. ..... $ 72 

72 

> ..... ^ 

1 > $ 6 

8 y 8 V. más 48$ 



1 



Nuestro experimento es el caso de una imagen 
auditiva despertada por una percepción óptica. Para 
leer un número se atiende : 1" núraei'O de cifras; 2^ 
lomhrí' qrte corresponde á las cifras ; para el primer 
iaso so siííuon dos procedimientos ; a / He divide en 
períodos de tre« cifras a.s;oeiando las denominaciones 
(le derecha á izquierda: en 1291^957, el lenguaje 
interno procede se^ún este orden : 957, muy millones 

en vOK alta enuncia luego, 12 millones 934 mil li57. 
I y Toma el conjunto del número y sin otro lenguaje 
interno que cuatro en 2101 lee 2 mil 101. La divi- 
sión mental en períodos, de 12934957, es más fácil 
que la de lOlOlOl, por estar aquél compuesto de dife- 
íntes cifras significativ as, éste do ceros y unos : la 

lagen de un período es borrada por la del otro por 
lo diferenciarse los elementos sino en el orden de 
f«olocación y ser muy antepuestas las dononií naciones. 

Hay un torcer procedimiento de aprendizaje, largo, 
que el hábito elimina desdo los primeros grados, pera 
que alumnos tardíos conservan muchos años ; con- 
siste en nombrar cada orden : unidades, decenas, cen- 
tenas, etc., y luego, leer el número. 



— a<i- 



El nombre de las cifras, según el lugar que oeupan, 
es un lonómeno que ponseientü al priní'ipio, tiendo X 
volverse automático por la ropeticJón; se asocian tros 
recuerdos : el nombre de la cifra, el del lugar que 
ocupa y el del período ; en 957000, por ejemplo, la 
denominación mil do 957 ; el nomliro ntíeife do la eilra 
9 y la denominíición dentón por ol S" lug-ar. 

La asociación será siempre más fácil y automática 
mientras en el compuestos figuren los tres elementos 
significativos y mientras las tros cifras de cada pi?- 
ríodo seau enumerables ; 957 es un número do lectura 
fácil porque cada lutíiir tiene su notnhve: mfeverii'it' 
tos, cinatetita y sii'te, porque on cada nombre, cada' 
cifra conserva entera ó casi entera su denominación 
dígita : nitere, d/u'o, láete, 101 presenta más dificul- 
tades. ]>orque tienen nombre, sólo dos lugares ; porque 
la jialabra uno de las centenas no se enuncia al decir 
ciento uno. 

Nos explicamos, pues, las equivocaciones ó el largo 
tiempo para leer un número tan pequeño como 1010; 
el hábito formado por los demás números inducen en 
el primer momontu, un acto de inoimÉsciencia errónea ; 
en lOlÜ, lee d¿e:, dirt, después, íím diez ; después 
mil diez, probablemente, si no qh mil ciento dies, fe- 
nómenos quo al exigir cada vea más el auxilio de 
integraciones á las que rara voz se acude, imágenes 
y recuerdos que ol ejercicio ó la disposición heredi- 
taria mantiene vivos, retardan el proceso. De aquí 
que lean mejor los más inteligentes ó los grados 
más avanzados. 

Kn 12934957, la lectura de cada período presenta 
homogeneidad, armonía, ritmo generalmente común á 
todos los números : uMevecítrntos treinftt y eiuftro, 
novecientos cinotenta y siete i on KIIÜIOI la humoge- 
neiílad, la armonía y el ritmo, elementos fundamonta- 
les del recuerdo automático, desaparecen : Mrto, d¿es, 
ciento vtio. 

El signo -f- indica que la cantidad fué leída bien : 
ol signo — , mal. 



— 87 — 




El primer gruáu lee hasta HKHHI, al que dimos las 
eantidadeíi : 

1» ÍOIO 
2" 21(11 

El proceso oxigo más ¡üención que en los otros gm^ 

Idos, es monos inconsciente y nos reveíala aptitud asi- 
niilartura del alumno acerca de una onseftanzii reijeíida 
todos lü.s días. 
La locfíira de los números es tanto más dofit-iento, 
lardía y penosa cuanto más conciencia exige. 
I ExPKHiMiiNTü IIL — Reprothtecidn aitditiva dd 
niimero lOÚÍÚOÍ í sinopsia ). — Es ol caso de una 
iniiíg-en óptica despertada por la sonsueión auditiva, 

riBoeiadas al centro que coordina el movimiento 
de los dedos. H^s, de consiguiente, el experimento 
anterior invertido, el mismo proceso y las mismas 
dificultades, pero aumentadas. La no coexistencia de 
las tres unidades psíquicas ó la dosintefíración do 
^cualquiera do ellas durante la operación, basta para 
ítardar ó impedir el proceso. 
Muchos niños, detRnidos en la identificación prima- 
'lia, no realizan la secimdaria ; repiten en alta voa el 
número, pero no lo escriljen, ó lo escriben mal, ó nnsa- 
ran varias voeos antes de acortar ó no aciertan, no 
íbstante saber por sus propia.s apreciaciones, que el 
número escrito es falso, porque loen y enuncian pala- 

Ibras que no coinciden con las oídas. La positividad del 
experimento revelaría, pues, la aptitud de los alum- 
DOB para esta integración tan importante en matemá- 
kiea, que da por resultado las sinestesias { tipo HÍmholo 
Vmiul de A, Lem.a.!THF: K 
La asociación autoaiátiea de estos tros contro.s, es 
el eje alrededor del quo gira el éxito de la escritura de 

•ejercicios al dictado y su solueión : por otra parte, la 
matemática es, desde el punto do vista perceptivo, el 
ejercicio de dns sentidos asociados en las esferas do la 
.identificación ])riniaria : el oído y la vista. La inteli- 



— 88 — 



gencia asimila j exterioriza por osas dos puertas, pero 
particularmente por la vista, como lo demuestra la re- 
prodiiceión óptica de los números comparada á la 
auditiva. 

Un problema se resuelve mal, resulta difícil, largo 
y fastidioso cuando el alumno os incapaz de reducirlo 
á una fórmula final y los ejercicios complejos des- 
piertan en él la idea do la inca]>aeidad para domi- 
narlos; concepto tan pernicioso de sí mismo se corrige 
formando el hábito de asociar al lenguaje oído la 
imagen y el movimiento de la mano. Cuántos alumnos 
fracasan, no obstante conocer principios, teoremas, la 
demostración misma ; porque la mano no está habitua- 
da á trazar paréntesis, á escribir signos entre dos tér- 
minos, á trazar — antes de una cantidad negativa : á 
colocar los coeficientes antes de las incógnitas ; á fa- 
miliarizarse, en fin, con lo que se Hania lengitaje niaff- 
nuítiro y vice-versa, escribir, ver y no saber leer ! 

No nos cansaremos de rBcomendar ejercicios á múl- 
tiples combinaciones para dar carácter automático á 
una asociación de tanta importancia. Por otra parte, 
si consideramos que el nííio proyecta sus imágenes 
( númeroís, palabras, figuras ) on grandes caracteres 
( macropsia ), se comprenderá lo importante que es 
para el éxito de la asociación, ejercitar en pizarra mu- 
ral y no en papel. 

Preparado el niño para escribir, se le dicta en voa 
alta y clara el número, mientras el tiempo se cuentó 
desde que se pronuncia la palabra un basta que 
haya escrito el número. Cuando la visión no es pronta 
recurro á la conciencia, á los recuerdos, á integi'a- 
eiones olvidadaá, produciéndose los mismos fenó- 
menos del experimento anterior, pero en circunstancias 
más difíciles por cuanto se integran tres elementos. 
Las palabras mil uno despiertan inmediatamente la 
visión de 1000 y do / ; la mente debe fundir las dus 
imágenes en una, ver otra : se escribe á vocos KXH.Il ; 
pero la presencia de cinco cifras ]"ecnerdan decenas 
de mil ; reacciona, se borra y la conciencia trata de 
salvar el error. 




I 



Las palabras nueve mil trecientos treinta y cuatro, 

por lo contrario, despiertan lii imagen 9334, intonsifi- 
cada por el hábito y la falta de higaros sin nombre, cu- 
yos efectos psíquicos con si doramos en el caso anterior. 
I No entramos en mayores detalles porque no estiribi- 
'mos un tratado acerca de fenómenos que darían lugar 
á largas y curiosas investigaciones desdo el punto de 
vista psicométrico. Desgraciadamente, hemos tenido 
que anular las reacciones do 4* y 5* clase, porque en un 
descuido nuestro, los alumnos extrañados de su inca- 
pacidad, se comunicaron el número y se ejercitaron en 
r escribirlo. Al primer errado se hizo escribir el número 
1001. En la mayor parte de los niños, noobstante poder 
escribir al comenzar el dictado, se producía un momento 
de expectación, fenómeno explicable cuando el hábito 
no responde y se recurre á la conciencia. 

ExpERiMKNTtt IV. ^-Reproducción auditiva del nú- 
mero 9S7427.-~VjB ol caso anterior simplificado de modo 
que los errores sólo deben atribuirse á deficiencias de la 
identificación primaria ó de la coordinación gráfica, 
esta última, caso oxcopeional. 

Proparado el niño junto á la pizarra, con la vista 
hacia nosotros, debía escribir inmediatamontc después 
de dictado el número on vo» clara, sin dar mayor 
tiempo á una cifra que á otra ó marear alguna enfáti- 
eamonte. Se le decía: -Vd. va á oir y no bien concluya 
de pronunciar el número, le escribe Vd. en la pi»arra». 
Tomábamos el tiempo desdo que concluíamos do dictar 
el número hasta que el niüo terminaba de escribir la 
última cifra. Esta integración rara voz llega á ser cons- 
ciente ; cada .sensación auditiva despierta clara la ima- 
gen óptica ; la asoeiaci('ui no exige esfuerzos de modo 
que el retardo debe atribuirse á la lentitud del movi- 
miento de la manij. á los rasgos grue.sos y largos : á 
afasias acústicas de orden intermitente ; á distracción 
ó á falta de atención con asneiación activa. Al ¡irinier 
grado se hizo escribir, por audición, los números 1424 
(Exp. IV) y 1021 ( Exp. C); al 2^ grado, 1021 
( Exp. C ) á fin de poder comparar uno con otro. 



90 — 



Exi'KiíDiKK'io y, — Copia dt un nifttiero decimal. 
Heproducción visiim del número 0.685407. — ( Iden- 
tificación visiva de ios números, memoria máxima ). 
De caráfíer r-oloctivo, se hizo en las aulas ; rejiartiraos 
á cada niüo papel y lápia y así preparados, pedimos 
titeneión y prohibimos toda clase de movimiento i|iie 
significara comunieaeión con el compañero. 

Producidos en todos los casos quietud y silencio 
absolutos, explicamos á loa niños lo que iban á hacer: 
no bien girásemos !a pizarra, observarían el número 5" 
( un momento ), hasta que volviéramos á darla vueUa; 
entonces tratarían de reproducirlo exactamente en el 
papel donde pondrían su fi rma. Así. en efecto, se hizo 
con grupos que nunca pasaron de 3fi alumnos; el ayu- 
dante que nos aeonjpaftaba recorría los papeles á fin 
de que nuestra vigilancia no fuese burlada. 

Nos fué necesario advertir, en cada caso, que no to- 
mábamos examen píira juííjEtar .sus aptitudes de pase. 
Esta ereeneiaj la emoción que produce y lo enigmático 
que para elloBos el experimento, ahera füensibiemeute 
lo.s resultados. La8 cifras, escritas á mano, claras, ocu- 
paban una longitud de 48 cent, por 12 cent, de altura: 
eran fácilmente Kigibles á diez metros de distancia : 
no obstante, ningún niño se colocó más lejos de 6. Al 
primer grado se dieron sólo cuatro cifras, el núme- 
ro 6854. 

Es un caso de reprodticrióu viáiva sin intcígración 
consciente desde que el niño sabe escribir el cero y las 
nueve cifras; no hay evocación de imagen sino reten- 
ción conseguida dividiendo el número en tres partes : 
a/ 0.; b) H85: cj 4tU, asociando el orden de los pe- 
ríodos y la enunciación interna de las palabras que lo 
expresan. El niño, en esto caso verbo vi^tial, dice inter- 
namente: cm'ú atei»i'ientOít ochenta y cinco, cimti-octen- 
tos nete^ no : cero seisríento» ochenta y cinco mil 
cmttrocúntos siete. El que lo hace está más expuesto 
á equivocarse. Las equivocaciones deben atribuirse á 
la di\-isi('»n errónea dol número para recordar sus cifras; 
á la imagen y á la palabra mal asociadas ; á la reten- 
ción de imagen sin asociación verbal y en primer 



91 — 



I 



grado, á voces, a la laítu de hábito gráfico, no obs- 
tante la aHueíaeión visoniütora. La opcraeión. es menos 
intelectual y más asimiladum que la de los casos an- 
tej'irjres, pues hay sólo asociaciones verbo visuales sim- 
ples qiio el niño elige y líate, de eoní>iy:uÍCHito, por la 
via más lácIL Kn la rcprodíicción auditiva de mif uno 
nada una imagon siiitétiea, priinoro ; en la repro- 
ducción visual de lUUl, puedun imcer cien y nno: nio, 
cero, cero, uno: Utes, cero, uno: mil unOy quB no ea 
necesario sintetizar á los efectos de la escritura. 8e ex- 
plica, pues, cómo un niño do primor grado escribo 
t>854, número del que sólo eonoce sus componentes. 
Hay reproducción de uiim imagen sin exigir exactitud 
gráfica, un caso rauy diforonto de la traducci/m do una 
sensación auditiva en una visiva que debe despertar 
estados intemotí y recuerdos pasados ; lo que, peda- 
gügieunicnte, es do suma importancia. No se nos piusa 
desa]>ereibido un hecho acerca de la retención del 
número : sí no hubiésemos impucslo la obligación de 
mirar 5," probablemente los resultados hul)itíran va- 
riado en un sentido favorable ; por qufi la asimilación 
del número es im acto visomental quo dura un tiempo 
fijíf para cada individuo ; un segundo, dos, dos y 
medií), tros ; fijos los ojos en los guarismos, heelia la 
primera integración, comienza una segunda en iguales 
condiciones, un poco más rápida quizá que elimina todo 
lo adquirido en la primera ( ecos ópticos ); si el pro- 
coso no concluyo aiiicnmícamerite con el tiempo fijo, 
deja una imagen incompleta. 

Cuando una persona copia una serie de cifras' ■ ' mira 
al principio su modelo y fija la atención sobre una 
parte limitada, haciendo un esfuerzo de memoria para 
fetcnorla; después dirige sus ojos al papel y reproduce 
lo que acaba de percibir. Este acto puedo [¡restarse á 
estudios interesantes, como el de los errores que se co- 
meten, su número y su naturaleza; pero es de importan- 
cia capital saber los detalles que asimila en 5" de 



' I ) Á. HlS&r, — «Atentton et udafitaiian ». La copie, 



92 



observación directa. Un alumno ejerdla un hábito ad- 
quirido y al examinarlo aorprenderaos precisamente, 
ese hábito sin violencia ni fatiga ; sorprendido por la 
desaparición de la figura, la figura es retenida imper- 
fectamente, recurriendo á la priraora integración que 
dejó imágenes lejanas superpuestas por la reciente 
que domina el tiampo. De modo que sí el proceso de 
retención dura 2" el niño hace dos completos y un ter- 
cero incompleto por disponer sólo de 1". 

Las niñas^ presentan, comparadas con los varones, 
reproducción óptica más exacta, siendo inversos los 
resultados de la reproducción auditiva. Estos hechos 
indican que el varón es más apto que la mujer para 
el trabajo interno y complejo de la mente ( identifi- 
cación secundaria ) ; por el contrario, la mujer es mág 
enérgica para las percepciones visuales (identificación 
primaria }. 

Hiendo la labor matemática de reconocimiento inte- 
lectual, nos explicamos mejores disposiciones del hom- 
bre para un trabajo abstracto y deductivo, es decir, 
que interesa las asociaciones celulares más elevadas de 
nueíítro cerebro. 

La percepción visual despierta más clara y nítida- 
mente los elementos asociados que cualquiera de estos 
elementos á la visual. Así, 1, 1', 1", 1'", evoca con 
más viveza á 3, 4, t\ c\ a, a\ a", que a, a', a", á 
4, 3, 1, 1\ 1", 1'". 

Lo que nos proponemos con este experimento, dice 
BiNET { l'Année 19(>Ü, pág. 323 ), es determinar el nú- 
mero máximo de rocnerdos que una persona puede, 
haciendo un gran esfuerzo, retener después de una 
percepción única : la primera idea de esta expe- 
riencia corresponde á Galton para distinguir im- 
béciles y débües ; Jacobs la repitió con niños de 
la escuela ; Bolton en Estados Unidos : en Francia 
BiNET, BoüRBON. HiivLiEZ, etc. han llegado, según 
parece, con esta prueba de memoria j atención volun- 
taria á conclusiones opuestas á las mías, dentro de tipos 
normales, puesto que pretenden distinguir al inteligente 
con el grado de positividad ; hay una confusión de la 



— 93 — 



i 



identificación visivn ; una y otra tienen un proceso 
diferente puesto dp manifiosto en la prueba experi- 
mental ( cuadros correspondientes ). Desde luego, la 
mayor positividad rio loa inteligentes de Jacobs, es 
en el caso de la audición. 

Experimento VI. — Reacción mental de la sitma 
23 -\- lt¡. — Puesto el niño delante de nosotros, lo 
preguntamos ¿cuánto es 23-J-16? Contamos el tiem- 
po desdEj quo decimos veinte >/.... hasta que el niño 
DOS contoHta. 

Hace el eáleulo, ve 23 + l(í, proyectado en una su- 
perfieip ó en el espacio y articula, al mismo tiempo, 
las palabras oídas, haciendo la operación cual si 
trabajase en el mismo encerado. Llega á la ima- 
gen 39 que ])or el momento ignora, de varias ma- 
neras: 1" agregando á 23 una por una las unidades 
de Uí, usado por tardíos del primer grado, sin resi- 
duos de integraciones anteriores. 2" Sumando 6 y 
3 nueve: 2 y ], íí cual si operase en una pizarra 
donde reconcentra toda su atención de modo que 
cerrar los ojos, como acostumbran algunos, es faci- 
litar el trabajo. 3° Descomponiendo visualmonte á 
16 en 10 y 6 y articulando, viendo sucesivamente 
33 y 39. Es el procedimiento, por lo común, usado. 
Adviértase que la cantidad descompuesta, casi nunca 

el término que antecede, inconveniente poderoso 
fia rapidez, como en 17 -|- 2Ü: 22 -|- 126. Los maes- 
tros han podido notar lo que cuesta á los primeros 
grados invertir el orden do los términos y factoi-os: 
saben cuanto es 3 X 3 y no 8 X 3 ; suman rápida- 
mente llH-3 y no 34- 11- •*" El tipo habituado, 
únúolú visual, por excelencia, no descompone: sin- 
tetiza y las doa imágenes despiertan inmediatamente 
la de fusión 39. 

Según estos cuatro ])rocedimientos, el proceso es 
máa ó menos rápido, más ó menos consciente; de 
acuerdo con el mayor grado de ejercitacii>n é inteli- 
gencia, y la ley de la oconnmia del tiempo, el niño 
trata de descomponer siempre menos. La base de la 



- 94 - 

deBeomiJOsición es 10 ( ó niiUtiplo de 1 
mero dígito, cuando el segundo término es menor 
que et primero, jujrque la agregación de 10 mantie- 
ne lí\ eifra de las unidades ( una parte de la inui- 
gon ) y la suma del dígito es un paso de repetición 
l'reeucnte; no obstante, suele deseomj)onerse á 7, en^ 
el caso 34 + 7, en 6 y 1 para artieular címrentit, 
cuarenta u uno. 

La intoligoneirt menos cultivada recurre á forraf 
siempre nús iinidíticas que son las etapas más an- 
tiguas do la onseñanza j de consiguiente más repe- 
tidas: si en la mente del niño no existe la integra- 
ción 34 -j- 7 formada, debe formarla; recurre enton- 
ces á las integraciones primarias de que deriva : 
7 — 6 + 1 ; 4 -[- (i = 10; 10 + 1 = 1 1, que asociadas y 
por similitud dan: 7 = 6-f-l ; B4-f (í = 40; 40-fl=4Í. 

Hay dos memorias conenrrentea y tan ÍQiportante 
una como otra: la auditiva y la visual, para dar la 
imagen de los resultadris, asociadas ambas á los nú- 
meros de la operaeiiín. Pero estamofs en hia prime- 
ras etapas de la integración matemática, casi dentro 
de la sensación í apercepción de Wunut ) y no d( 
las altas integraciones mentales. Sei-ía, pues, aven- 
turado dar reputación de inatemátieo á un individut 
que 01/ f, ve bien y funde imágenes primarias ra< 
díante la operaeión de suma. 



ExeEniMiíKTO vil. — OtlcidOf integración mental di 
operaciones combinadas. — Es el caso anterior pero 
múltiplo. Una observación pedagógica errónea nos 
indujo á dar un cálculo que creíamos más fácil de. 
resolver que la suma 23-|-lH; no obstante, la coni 
secuencia de esta enorme cantidad de negativos 
quitamos una falsa creencia, común á los profesores^ 
08 provechosa á la enseñanza. 

Delante de nosotros el niño, explicado el caso 
requerida su atención, dimos, en voz ¡Uta, clara y 
pausada, el siguiente cálculo: 

íIf|í9XH4-3):3|4):in-l-l-l-4)íl+U:7 



- 95 - 



niiinciado un osta forma: nueve multipíirado poi- 
ocho, uim tres, dividido por 3, mtdtifilirodo por 
cttiitro, ote., parn lo iilil' empleábuiiios cIr 15 á Hj 
segundos 

En vista de \oh rosultiidfjs negativos, al 2" y 3* 
grado dimos un eiilculo siuiplififádü : 

{([ (8Xi) - 2): 10 XT [ — 1 ) : lí 

que exigía sólo Í4 sng-undciB de ateneión pasiva. Mar- 
camos con + los buenos resiilltidos, escTiíu á la dp- 
roeha del tii*iii]K> dfi rpacnrión: oon — los molos; ol 
si^no of> indica perdido ( dcí«vani«ci miento do imága- 
nes ) cuando el ni fio no da respuesta alguna ó dií?o: 
no sé. 

Vil tifímpo de reacción lo contamos desde que se 
prommda el prinier númeru hasta que el niflo con- 
testa. K\ proceso r-onsiste: F En la rapidtiz eon 
que el sonido di^spierln la imajíon del numero. 2° 
En la rapidez con que so funden do.s imágenes para 
obtener la torcera nin deseomposiciones intermedia- 
rias. 3° En quedar con una sola iniíigon, Ih última, 
antes que el maestro enuncie el número que hii de 
dar la siguiente ( eliminación por integración sinté- 
tica ). 

Estas cualidades se deben á disposiciones natura- 
les ó al ejercicio: la escuela que ¡>reteude cultivar 
aptitudes para el cálculo, fonua ni tipo de eliminu- 
i'íón conaec u tira . 

Los casos negativos deben atribuií'se á la confu- 
sión producida por una serie de imátíenes sucesivas 
que el alumno no puede, con la misma ra]>ide5!, eli- 
minar consecutivamente. A veces la atención es de 
inmenso radio; se produce el caso á que tienden los 
lentos, de retener, después de la última imiigen de 
fusión, en forma visual, las demás imágenes, para 
integrarlas sin prenuira. En ésos, la reacción ( res- 
puesta ) no siempre es inmediata sino 5, 8, 10, 16 
segundos después de dado el cálculo. Varios niños, 
entre ellos ¿S.. M,, de 2" grado, 28 horas más tarde. 



— 96 - 



tras un día do clase y diatracciñn y sin haber oído 
más que una vez, repetía con admirable exactitud el 
mismo cálculo. 

Encontramos los varios tipos: visual, auditivo, nu 
tor^ mirto ó indeciso do A. Lemaithe, bien caracteriza- 
dos en su monografía Le langage intérieur ches les 
enfants, pág. ^1. La victoria es dol tipo visual, más 
rápido que el auditivo; al decir ocho por nueve, la 
figura 72, cuando so la puede ver, es instantánea, 
antes mismo de pronunciar jíííí. . ,. y la iniaj^on au- 
ditiva setenta y dos, exige, antes do sor completa, uu 
tiempo mucho más largo. Es ditícil la operación para 
el tipo viso auditivo ó vorbo motor, porque el niiio ve 
72, pero siente la necesidad de oirlo ó de enunciarlo 
y no adelanta sin satisfacerla; resultando, el tipo vi- 
sivo, por el oxporimento IV^y otros, menos inteligente 
que el auditivo, lo que confirma una observación de 
Lemaitke, nos explicamos cómo los mejores ealculist 
no son los mejores matemáticos. 

El cálculo mental puede compararse á nn cinema-:^ 
tógrafo de imágenes cambiantes producidas las unas 
por las otras, desordenadas á vecos por la representa- 
ción incompleta de una ó la persistencia de tres á la 
vez. 

Encuentran la dificultad en tres partes : 1° 75 : 3 ; 
2° 25X4; 3" La resta do los unos. Los de 3° y 2' 
grado, en 9x8 ó bien en 7(h 10. La suma 6 ¿lubs- 
tracción sucesiva do números presenta más dificulta- 
des que cuando se las alterna con multiplicaciones y 
divisiones. En los casos negativos^ repetimos el 
cálculo en las mismas condiciones. La positividad 
obtenida en esta 2* prueba, debe atribuirse á retención 
visiva de todo el cálculo, hipótesis confirmada por el 
tiempo de reacción, tan largo, que no puede ser de 
elit n i n (t c ion con secu Hva . 

La evolución natural es del tipo vism'etentivo al tipo 
visúelimmador, que la escuela debe tratar de formar, 
pues estas aptitudes se aprovechan en las operaciones, 
en cuya rapidez cifra la matemática y el comercio par- 
t« del éxito. La suma 8 -f 7 -j- 6 -|- 9 + 6 de' 



- 97 - 

[iecha: 8, 15, 21, 30, 36 y no : 8 v 7, 15; 15 v íi, 21; 
[21 y y, 3Ü ; 30 j 6, 3a 

Ál primero j segundo grado dimos (Exporimento D) 
jla t^bla de sumar del 6 hasta 4*2, que ios niños con- 
lYcrtían osponttmoamento en tabla de multiplicar; la 
asociaeión 6X3^ 18 es gráfica, visual y auditiva- 
mente más simple que l2-|-f^=18; en el primer 
kCaso 6 X 3 son tres conjuntos ( unidades ) iguales á 
icuyo carácter se asoda una constante 18; en el 2^ 
fl3 -|- H son dos conjitufos desiijunles, que dan un ca- 
rácter específico complejo para asociar la constan- 
te 18. 

ExPKRBic.NTo VIII. — Tniegrac'tón ih ¿vf^jíd.— Ks el 
anterior especializado con dificultadea de divereo or- 
den, como la de las5 sumas parciales y la coordina- 
ción gráfica que desdi? el primiM* momento se asocia 
á la imagen y el hábito convierte en un reflejo au- 
jtomáticü que no exige atención, 

En la pizarra teníamos preparadas, para sumar, 
lícntes cantidades : 

3 2 2 (J 4 5 

7 8 9 ti 7 o 

+ 9 8 3 1 2 

5 4 3 (i 1 O 

Contamos el tiempo desde el momento que el nifto, 
con la tiza entre los dedos, fija la atención en los 
números hasta que escrihe la última cifra do la 
suma. 

Los errores so han producido, generalmente, en la 
4* y 3* columna ó por olvido en sumar la cifra lle- 
vada de las sumas parciales quií los ahnnnos de 2" 
y 3" grado, de integración tardía, suelen escribir, 
Boatumbre, por otra parte, cultivada iror algunos 
laestros. De consiguiente, la suma mental 

1-1-2-1-8 + 8 + 4 



&U. ét la Aritmíiiea. 



— 98 — 



exige más esfuerzo que las sumas 

5 + 5 + 2, 1+4 + 7 + 1 + 1, etc.; 

la suma do dígitos que dan un número de dos ci- 
fras, í no siendo 10 ) más que la suma de dítfitos 
que dan un dígito : la sumn de dígitos superiurcs 
desiguales { 8 + 9 ), más quo la suma do dígitos in- 
feriores ( tí + 5 ) ; con facilidad obtienen como exada 
una imagen falsa, por lu ineapaeidfid, eon frecuencia 
intci'miíente, de fundir 8 + 5 en 13 sin operaciones in- 
termediarias que c'oniplii'iirían la asociación con los 
guarismos anteriores j posteriores de la columna; 
pues, si dijesen '2 y ¿, 5; 5 y 7, 12; 12 y 9. ... l'i y 8, 
20; ¿ü y 1, 21, al volver, después de esta pequeña di- 
vagación que exige toda la atención voluntaria, á la 
coluuüía, no siempre so acierta al 5; suele tomarse 9 
ú ot ra cifra. 

La suma de cantidades compuestas no es sino la^^l 
reunión de sumas mentales de dígitos cuya repre^^f 
seutación está e.scrita. 

Los procedimientos usados para sumar 23 + 16 
( Exp. VI ) suelen usarse para sumar cada columna; 
de consiguiente, las mismas causas retardan el pro- 
ceso; los más pequeños suman eon los dedos; los 
más ejercitados funden las imágenes escritas, en una, 
sin descomposición i]itermed!ana. Otro orden de 
equivocaciones, generalmente vencidas en 1*** grado, 
es la de escribir entera la suma parcial de cada co- 
lumna lo que se debe, no á una integración abstracto- 
eonsciento, no obstante distinguir el orden de las uni- 
dades, sino á un hábito deficiente de ver, articular y 
escribir el guarismo do la derecha para agregar el otro 
ó los otros, á la columna siguiente de la izquierda. El 
orden vertical evita, se comprende, el caso complica- 
do de repartir la atención para mantener las relacio- 
nes de lugar. El niño más apto no dice: 1 y % tres; 
3 y 8, once; 11 y 8. . . , etc. Su campo visual abarca 
tres, cuatro, cinco cifras ala vez, retiene las posiciones 
y dice: 8 y 8. 16 ó quizá líi, porque la fusión de dos 
cifras iguales es inmediata; luego: y S, 19; más 4, etc. 



— 99 — 

í'ide la eoliminii en grupos de cifnis y efefilüíi dos 
elíLses de elimtnaeiones eonseeutivns, una por dfras 
dentro del campo asociado, otra por grupos dentro de 
la rolurana. 

En primer grado observamos niños que coraonüaban 
por la izquierda, fonóniono que se debe á la fuerza 
del hábito adquirido por la lectura y escritura: que 
<)]ieran en voz alta, debido al método de enseñanza 
j)or repetición con el jiropásito do conseguir la me- 
moria de las imágenes mediante la asociación de tri- 
plo Caz audo-viso-motora. 

Kl niño realiza la of)oración por el camino de las in- 
tegraciones más fáciios, por las primeras vías no por 
las superiores; nunca observamos aquellos que trata- 
ran do poner á contribución sus conocimientos acerca 
del valor relativo de las cifrus, para escribir, de las adi- 
ción es parciales, el guarismo de la derecha y no do 
la izquierda, 1 en vez de 2; para añadir á la seg:iinda 
columna 1 y no 2 6 lá. 

En primer grado» donde nn se suman guarismos de 
sumas parciales mayores que U, dimos cinco cantida- 
des que representan el mismo total do cifras : 





6 3 


2 3 




1 


2 1 


+ 


7 ü 2 


3 2 




y 1 


(J 4 




8 2 


1 



tEl caso presenta menos dificultades. 
Por el hecho de ser, la adición, gráfica en su con- 
mto y un fenómeno visuíd, y auditivo-motor, sólo par- 
lalmente, el niño puede sumar cantidades cuyo valor 
o conoce, porque sólo suma números dígitos. 

Experimento IX, — Integración de resta. — En las 
mismas circunstancias, ol niño hace esta operación: 

4 6 6 7 1 
"2462 42 



- 100 — 



Como In. reacción do siiniii, nos vovela: 1° el n:i*arÍo áv 
automatismo operíitoría on virtud del hábito íidquiridü 
por ol ejcreicio de las tablas ó repetición de casos idén- 
ticos; 2" la rapidez para reíundir revocar imágenes 
segiín los procedimientos indíi-ados en el cálculo men- 
tal; B" el ^vnáii de ¡itonción voluntaria de quo os capa? 
reconcentrada en las restas pareiales para reteniír la 
imag'en do las cit'rus quo no se escriben y asociarlas á 
la columna correspondiente. 

La resta, integra en las mismas condiciones que la 
suma, pero presenta mayores f^ficultades cuando las 
cifras del sustraendo son mayores que las del mismo 
orden del minuendii'. Mentalmente, hay quo conservar 
dos imágenes, una masque en la suma; suele proce- 
derse de tres maneras : 

1" De 1 ncí puede restarse 2; tomo 1 al 7 y tcnsío 11 
( en este momont<j liay quo recordar 1 1 y la segunda 
cifra rjuc no es T sino 6, y sobreponet- una ima£,^en in- 
terna menos intensa á una percepción siempre mas 
intensa); U menos 2 nueve, escribiendo 9: después 
de estas varías conibinacionog que exigen toda nues- 
tra atención vohmtaria, hay que recordar la imagen 
6 en el momento mismo que la vista es excitada viva- 
mente por la figura 7; la ley do Weiíek explica por 
qué la ima,£?en producida i}or el 7 tiende á desalojar 
la imagen del 6. 

2" iJo 1 restar 2 no se puede: 11 menos 2, nueve: 
agrego una al 4; 5 de 7, 2. El hábito hace, á este proce- 
dimiento de integración conciente más larga, ni más ni 
menos difícil que el otro. 

3" 11 menos 2, 9; tí menos 4, 2, etc, más sintético 
y propio del niño liabituado. 

Cuando se pretende usar un procedimiento razo- 
nado, el niño se expone á cometer errores porque la 
atención abarca un campo mayor y á las integraciones 
primarias se agregan las de orden subjetivo, general- 
monto difíciles para el nifio. Así, no es probable, y si 
nos empeñamos en ello retardaremos la asimilación del 
conocimiento, que diga: de 1 no podemos restar 2 uni- 
dades; tomo de 7 decenas una decena ó 10 unidades 



— 101 



* que con 1 lineen 11: nipiins 2 imidades restan 9: como 

Ido 7 deceniis tomamos 1, nos i't?.stiin *í lus que, qiii- 
tíindo 4, quedim en 2, etc. 
Al primer sTiido dimos: 



8 9 2 6 o ,S T 
3 7 3 1 O h! 4 



I 



Como las oifras dol sustraen do son iguales ó menores 
_ue las del minuendo, ln oporaeión es una resta de nú- 
moros dígitos ( ejercicios do tabla ) en la que hay que 
recordar eondiciones muy simples ; el comienzo á la 
erecha y colocac-iün Iiorízonlal sucesiva de las di- 
ferencias parciales. 



Para 2" y S" 



5 9 8 7 

X 7 8 



ExeKiíiMi:K-nt \. — Operncwn de itutltiplifar. — En 

tiüarra temamos escrito para 4", 5" y 6" grado: 
5 9 8 7 
X 8 O 7 8 
i 

El tiempo filé toníado desde que era fijada la vista en 
el número hasta eseriljir la última cifra del producto 
total. Se consideraba negativa, la operación que 
presentase equivocaciones en los productos parciales 
no en el total por errores do suma. Cometían los erro- 
res en la multiplicación por 8 ó en la por 7 til llegar á 
9 ó 5. Xingimo olvidó correr cada producto un lugar 
hacia la ixqiiierda. Hubo quien en 2^ y 3*" grado, 
salteó la multiplicación por cero; otros que escribían: 



4 7 8 9 6 

4 19 9 


4 7 8 9 6 




— 102 - 



otros que escribían 



4 7 8 9 Ti 
4 1 9 Ü 9 
4 7 8 9 6 Q 

y otros, los más, en grados superiores 



4 7 8 9 6 
4 19 9 
4 7 H 9 B 



recordiindo, unos, que la sejíunda multiplicación por 
8 no era neiccsariíi puesto que daba el piínier producto 
parcial, 8eüfún el procedimiento, la rcficeión resultaba 
corta ó larga. 

La multiplicación es uu proceso quo comprende á 
todos los de suma, los do la multiplicación dígita y 
la imagen dispositiva do los productos parciales. Todo 
lo demás toma su posición automáticamente. La muí- 
tiplieacióii por O da, al principio, una imagen falsa que 
con dificultad corrige el niño, pues siente horror á la 
nada; nos advioite de que el proceso no os razonativo 
sino figurativo. La mente no se aviene contra lo que es 
conuiu y corrieníOj do que O y 8, han de dar O y no 8; 
la imíijíen, por otra parte, de suma O -[-8:== 8 contri- 
buye al error. Nu obstante, el niño sabe que ocho re- 
cejf nada, es nada; ó que nada veces ocho, es nad<i j 
que O es el símbolo do la nada- 

For lo demás, las causas anotadas on el cálculo 
mental y las operaciones, retardan la multiplica- 
ción. El tipo verbo motor aparece, en estos casos, 
no precisamente por naturaleza congénita, sino para 
llenar, con movimientos recordativos, el tiempo que 
necesita la imagen para formarse; si la presencia 
7x8 evoca inmediatamente la imagen 56, se dice 
siete por ocho 56. Un mismo niño es verho motor ó 
visual según la dificultad que presentan los guarismos 
quo se multiplican. Kn la ])resoncia Ü X 3, se ve 9 y se 
escribe sin articular palabra; en 7x8, se ve 56 y se 



— lOJ — 



escribe Articulando desde la primei'ii cifra. Sin duda, 
la articiilación en alta vo2, debido al hábito adquirido 
estudiando las tablas, lleva con uiás ib y seguridad, 
al producto. 



Idet 



larta 



EXPEIEIMENTII X ^ 

clú Ihieitl ( Comparación visiva de ig'iialdad y des- 
igualdad K — Desde esto experimento comensíatiiüS una 
serie de iuvestigaeioiies acerca de la noción de espacio 
que juega tanio jiapcl en la solución do problemas 
métricos ygeonictricos. El sentido coiuñn es un auxi- 
liar pitderoso del juicio matemático y decide con fre- 
cuencia la exactitud de las operacionos y los resulta- 
dos, é indirectamente, del acierto do las combina- 
ciones. 

El estudiante recordado por Pizzukno, no hubiese 
afirmado, después de maduros cálculos, que mift hal- 
dosft y wi^rftíf de O.Oom^ bastaba para un sali>n de 
7x5m*, si hubiese |)odi do Ibruuir imáfjenes ináa ó 
menos exactas del jiatio y de la baldosa.^'* 

Al observar, la línea ae proyecta en la retina y deja 
una imagen apercibida en los ncuronos asociados de 
la primera categoría, al mismo tiempo que nuestros 
ojos realizan un uiovimienío de acomodación para 
percibirla. Al observar otra linca, so verifican los 
mismos fenómenos por las mismas vías ; si coinciden 
las líneas son iguales; si el movimiento do acomoda- 
ción \'aría y la primer imagen no so sobrepone exacta- 
mente á la segunda, liay diferencia. La exactitud de- 
pendo, pues, de la intensidad con que so retiene la 
imagen, fenómeno exclusivamento de atención y do 
la suficiente aptitud i>aru ajjreeiar diferencias de aeo- 
mofl ación del ojo. 

La apreciación de igualdad ó pequeñas diferencias, 
varía con la dhUim'ia entre las líneas ó entro las líneas 
y el observador ; con hi ¡/mieión de la u na respecto á 
la otra; con la longitud do las líneas. 



(I) (Revista Sarmiento) - Vurank 1900, p. I50I. 



— 104 - 

Partí realizar nuestro experimento, trazíiiuos on una 
pizarra sin rayas, seis líneas distribuidas de esta ma- 
nera: 



--.J 



Hay dos longitudes: las líneas más cortas miden 
15 cms., las más larjías 17 cms. 

Hay dos eomparacionos 1 y 3 de desigualdad ; 1 y 2 
de igualdad ; se anota con -]-, las contestaciones exac- 
tas ; con ^, las equivocadas. 

Se dice al niño : 

Compare V, las líneas ajd; diga si son del mifi- 
mo largo ó no. El niño contesta, después de un tiem- 
po á vepes cHjrto, á veens muy largo : ¡fon iffKale<í ó no 
son ¡(lítales, indicando la más larga. 

Es colocado á 8 mis. de distancia; iluminación 
buena : posición vertical ; vista perpendicular al pla- 
no de la pizarra. 

AI tratar del espír'Utt de la niattm/ftica en el capí- 
tulo III, dijimos que la comparación es característica 
de dicha ciencia, que reduce todas sus leyes, princi- 
pios y operaciones á ecuaciones; de aquí, pues, que 
nos hayamos detenido en una serie de experimentos 
comenzando. por el más sencillo. 

ExPKRiMKN 10 XIL — Identificación auditiva. — De 

este experimento no obtuvimos el resultado que eápe- 
fábamos y lo suspendimos en 4*^ grado. Además, no 
disponíamos do un resonador á péndulo sino de un 
timbre eléctrico á cuyos sonidos, con el cronómetro, nos 
era difícil darle duración exacta. 



— 105 — 



I 



Llumado el niño é instruido acerca de lo que so 
Iratiibii, debía escuchar dos loques j decimos si la 
dunieión era ig'ual, ó más larga una que otra; loeá- 
banio-s el timbro 3" y tocábamos una segunfla vez, 
después de 4" de espera. Nos proponíamos medir el 
grado de atención auditiva, y la extensión do la ima- 
gen retenida ; los dos sonidos despiertan y se asocian 
á dos imágenes lineales de puntos, vistáis horizontal- 
mnnte en el espacio que el niño eorupara, midt> y su- 
perpone como en el experinionío XI. Xo obstante 
*er esto lo común, lio observado alumnos ( verbo-mo- 
íores ) ([ue contaban en voz baja y la coincidencia ó 
no coincidencia de las dos veces sugería la respues- 
ta. El contar, m un hábito, y mientras la enunciación 
no tiene más de dos sílabas y es ( en este caso ), llana, 
el tiempo que transcurre entre una y otra, es cons- 
tante. El experimento dio: 5" grado positividad por 
ciento : varones 28, mujeres 27; fi° grado : varones 

155, mujeres 41. 
Exi'EiííMENTu XITI. — NeprodurcitÍH n'nwa de línea. 
— Dada una línea, reproducirla igual En un pi- 
zarróu sin rayas, tí-aKamos con tiza blanca, una vertical 
de 17 ctms. que conservábamos cubierta por un cartón; 
colocamos el niño á tros metros de distancia, inme- 
diato á otra júzarra ; lo podíamos que oljservaso has- 
ta volver á cubrir la línea, oculta ahora tras el car- 
■ tón y trazase luego, una igual en la pizarra que tenía 
^ corea. La observación duraba 4". Excepto tres ( po- 
sición horizontal ) los demás alumnos reprodujeron 
la dirección vertical, trazando una sola línea del mis- 
mo grueso, sin npresurar la mano, pero movida con 
más rapidez al principio que al terminar. 

■ El fenómeno so produce do la misma manera quo 
en la comparación visiva; sólo que, aquí, el tiempo es 
hmitado y una imagen interna evoca una imagen 
táctil ( memoria muscular ) on un sitio cuyos elemen- 
H tos no varían : la misma pizarra, el mismo color, 
^ tiza, etc. Hay un proceso comparativo no ya entre 
dos figuras, sino entre un recuerdo y la línea que se 




— 106 — 

traza, ala que se asocia un niovimieiito que por ser 
do dirección i'inica y sin rolacionos ( aosoluto ) no 
ofreco difit^ultad. No obstonto, la fatiga, por falta de 
hábito muscular, puede contener el oiovimíento é in- 
ducir una apreciación falsa entre la duración del mo- 
vimiento ( imagen longitudinal táctil ) y el recuerdo 
que se tiene do la asociación. Los errores no deben 
atribuirse tanto á defectos de la vista como á la dis- 
tancia í ' • y al recuerdo muscular, pues al reproducir 
so vo una línea en circunstancias oonipietamente idén- 
ticas que evitan la ambigüedad de las impresiones re- 
tinianas. 

Exi'KiUMEXTd XIV. — Aprertaeión reíatíva de lon- 
(/itiid. — Repartida á los niños una hoja de papel y 
dispuestos según nuestras indicaciones, señalamos en 
el pizarrón del frente una lonj|itud horizontal de 3 
metrcts ; los niños ( máximo 36 on asientos separados ) 
á quienes exigimos reconcentrada atención, debían 
resolver lasveces que una regla de pino á base cua- 
drada, cupiese en dicha longitud, después de comparar 
visuaímenle, 15". 

Mostrábamos la regla en posición horizontal y á dos 
metros do la pizarra ; hicimos el experimento, dos ve- 
ees : primero, con una regla do 0.50 ms. ; después, 
con una regla de 0.^5, dimonsionos ignoradas por el 
niño. Calculada la medida, en completo silencio, la 
escribían en el papel. 

La clave del proceso la dan algunos, les más in- 
teligentes, que no se limitaron á la notación del nú- 
mero como lo habíamos indicado, sino que de raotu 
propio, redactaron razón amientüs como estos : : Tie- 
ne 3 metros y cabrá 7 veces ja regla grande < Luis Cal- 
vi ) >. í El pizarrón mide 4 metros do largo y la vara 
medio metro ; asi que está 8 veces ( José JRespuela )-■. 
< L^n pizarrón tiene 2 metros de largn, y hay ima 
regla como de 0,5U mts. de largo; cabrá en el piza- 



(I) EsCnerao de acomadaciiin y ¿ngalá de convergencia. V'^aie fMícrnpwm 
y t UAcrop»ia>, pig. [32 en BOUROON, % Pf^crptten viiDclle de li'espáce>, l9Qt. 



— 107 — 



mn, esa regla» diez veces. ( Adalgisa Cavallini ) ?■. 

I« La regla pardee que mido 0.50 ni. y ol pizurrón 
8 m. ; así que la regla está eontenida 7 venes en fil 
pizarrón (Juan J. Marín ) *. 
De consiguiente, una parte de las niños, calcularon 
según una unidad de niedidaj el largo d^l pizarrón y 
de la regla y luego hicieran la integración dy iniiignnejs 
á que están liabituados; la regla cabe, en el metro, 
tanto,, en tantos metros, cabrá tanto. Es un proceso 
d« varios pasos y complejo, que no se supondría 
desde que puede elegirse un camino tan corto como el 
do super]}Ouer la imagen retiniana déla regla conser- 
vando el ojo su aeomodaeión y f'onvergeneia á impre- 
I sienes iguales y sucesivas do la arista do la pizarra 
lasla agotar la longitud. 
La educación de nuestra percepción especial í James, 
p. 638 ), comprende dos procesos : reducción de las di- 
ferentes sensaciones ú una medida ronuin ; reunirías 
en un determinado espacio para compararlas. Medir 
entre sí las sensaciones especiales, es producir una 
serie consecutiva de sensaciones diferentes. Para 
aplicar la misma cosa á diíorentos dimensiones, e.< in- 
dispensable e] movimiento (^ue nos da la noción 
• exacta dn espacio: abstractamente considerado, el mo- 
vimiento de la imagen sobro el objeto, debiera ser 
exacta como la del objeto mismo sobre el objeto. Pero 
la movilidad del órgano que lleva la superficie ace- 
b'rn inincnsaménto el resultado. La inteligencia es 
reproductiva y no productiva del proceso; su fimeión 
se limita á recordar la sensación precedente con la que 
se asocia la del momento. 

»Hay error eií que deben atribuirse á alteraciones 
cnngénitas del ói'gano, pues no se explica la enormi- 
dad de ciertas integi'aoionos, tan distantes del caso 
■ real. La falta de tiempo nos ha impedido averiguar 
con exámenes detenidos, la causa ; no obstante, nun- 
ca olvidemos que ol objeto de nuestro estudio, son 
hs todúx no los individuos y que en un todo escolar 
no debe exigirse similitud de tipos. 
Los niños de proceso más largo, sin duda, poseen 



108 



en sus mentes, la imagen del metro, más viva que la 
que puede dejar la regla que se presenüi por prime- 
ra vea ; de ahí que sea más í'ík'il á clases ejercitadas, 
superponer al objeto una rf^proseutacicm más antigua 
y más segura que una reciente; lo demás, la división 
de metros entre metros, es una integración hecha por 
el proceso autouiátifo de la división, donde las Imá- 
genes geoiviétric-as son innecesarias. 

ExPEKiMKNTO X^' — Aprectaeión relativa du espa- 
cio gi(peri¡dtd. — Es colectivo como el anterior, hecho 
simultáneamente eon los alumnos de una clase prepa- 
rada para reproducir inmediatamente lo que requirié- 
semos do olla. 

Tomiiraos en el pizarrón del frente ( posición por- 
pendieidar) una superficie equivalente al ancho, 
1.40 mts., por el largo 3 mts. Mostramos una tabla 
cuadrada de 0.2U X ti-0 mts*; el niño, observando una 
y otra supeí'ficie, cuyas dimensiones ignoraba, durante 
un máximo de ::Í0 segundos, debía escribí]- las veces 
que el pizarrón contenía á la tabla. 

La mente puede emplear varios procedimientos: 
P La i>i zarra y la tabla evocan la imagen de un 
paralológramo ; se recuerda la fórmula del área; se cal- 
cula el largo y el ancho; se obtiene dos superficies 
aproximadas; so reducen á una unidad común de me- 
dida y por último, so divide la superfieio mayor por la 
menor. Siendo el más exacto, pero usable sólo en 3% 
4", 5" y fi°, es eliminado porque se elige ol metro como 
unidad de medida; la pizari'a da metros, pero la tabla 
da fracciones y la reducción, el uso mental de la 
coma, etc., presenta tm cúmulo de obstáculos que el 
niño difícilmente salva. 

2^ La pizarra y la tabla evocan la figura de un 
paralelógramo ; se recuerda el área comu producto de 
las dos dimensiones ; so toma la tabla como unidad de 
medida; se apUca mentalmente, al largo y al alto en la 
forma indicada por el experimento anterior y obtení- 
dus las dos dimensiones, se integra por la operación 
de multiplicar. Sin embargo, este procedimiento, que 



— 109 — 

"sólo podrían usar dnl 8"" grado adelanto donde eonoeen 
el niofln o;i-áfico de ddtpi'niinar la siipni-fic-ií" del in* rii 
dius', suele olvidarse nor l;i idea errónea que se onn- 
serva de la unidad di> medida y porque en las clases de 
geometría se at-ost uní bra á medir linealmente }' no con 
I superficies, los costados de las figiiros. 

8° ¡Se ve uuíi superficie y se pretende saber cuán- 
tas veees contiene ú otra. FA ni fio a|dica la imagen de 
la menor m sobre la mayor, siguiendo el rumbo ti h 



hasta agotar el espacio. Es el más usado porque exi- 
gfe menoí; reeonoeimienfo intelectual: pero es el más 
lalso, porque en una superficie <írande y Usa las seña- 
les é, f, (j, A, donde se apoya la ateneión, se burran no 
• bien ei ojo ejecuta un movimiento; entonces, recurro 
al punto íi, que por su distancia no puede sugerir imá- 
genes exactas r!e espacio como las que da un ]>unto de 
jiartida, para medir el espacio g k. 

B 4" Se ven dos superficies y cálculos semejantes 
^que se hicieron alguna vez, dejaron recuerdos masó 
monos vagos de imágenes y cantidades que la mente 
se esíuorza poner en claro; so consigue precisar un 
miniero que nuestro aentido común admite, forma di- 
H recta que sin hacer uso de los medios que la instruc- 
" ción ha puesto al alcance del niño, resulta del liábito 
que aprovecha con éxito el ejercitado é inteligente; 
pero recurre al método que asegura la exactitud, de 
modo que los retardados trabajan por el tanter}, apro- 
ximándose á veces, á veces alejándose enormemente 
de la verdad. 

Hay buen niimero de niños qne no fijan la atención 
5" para escribir luego respuestas do azar. 



- lio — 



ExptRiMESTu XVI — ^ipreciación relativa de volu- 
men. — Ks euleetivo como el anterior. Presentamos un 
cajón de caras rectíingulares cuyo volumen es 

0.21 X 0.18 XU.3ti,mts'' 

en una mano, de modo que puedan observarse sus 
tres dimensiones ; un cubito de O.OS^ mts-^ en la otra. 
Pedimos la atención durante 20" para que calpulasen 
cuántos cubos se necesitarían para llenar td cajón, ig- 
norando do anibüs las medidas. Luego escriben la 
cantidad en el papel que cada uno tiene sobre el pu- 
pitre. 

Hemos notado más dificultad para apreciar la ex- 
tensión con meriidas pequeñas que grandes. El 5* y 
6" grado dieron la superficie v el cubaje en números 
compuestos, el largo en cantidades fraccionarias; no 
obstante la inexactud, supone atención más detenida, 
lo qLH3 concuerda con la mayor inteligencia de los que 
lo han hecho. 

El niño puedo emplear los mismos procedimientos 
del cálcuki superficial. Sin embargo, p(»r las razones 
expuestas en el experimento anterior, usa sólo dos : el 
de toma]' como unidad de medida el mismo cubo ó del 
sentido eomtm. 

Los experimentos acerca del espacio á una, dos y 
tres dimensiones, nos demttestran la imposibilidad do 
medir con ciei'ta lógica la longitud, la superficie y el 
volumen de los cuerpos mientras no se recurre al 
procedimiento de la unidad lineal. 

La simple vista nos dará siempre cálculos aventu- 
rados tanto más deficientes cuanto las dimensiones 
sean en veií do una dos, en vez de dos tres. La 
apreciación lineal proporciona cierta cantidad de po- 
sitivos y aproximaciones por exceso ; la de superficie 
dos casos positivos en 210 alumnos y muy pocos exce- 
sos ; la do volumen ningún positivo y un porcentaje 
mínimo do excosos. La tercera dimensión ( James ) 
es un elemento originario de todas nuestras sensacio- 
nes, teniendo por objeto disminuir el valor especial del 
campo visivo. 



— 111 — 



acertado, pues, tomarla regla, la tabla ó ol eiibu 
como medida, calcular las vecGS que linoalmente están 
contenidas en cada dimensión y liieo-o hacer uso fie la 
multiplic'neiúu. Es el método qup prücurarenios familia- 
rí»ar entre los educandos, que, además, hi que no sucede 
con los otros, es aplicable á las superficies ó volúmenes 
que no presentan la forma do un rectángulo, ó de un 
cubo; sabiondo que la superficie de un triángulo es 

— ^— , la mente sitúa dichas líneas en la figura y las 

mide con la anidad (la tabla ) cuya ijiiagen superpone 
hasta agotarlas; el pruducto, derivado por discrimina- 
ción habitual y mecánica, da el resultado. El niño 
debe convencerse, inductivamente, c|uo el producto do 
■ios líneas da una .superficie; de tres un volumen. 

Ex PKíii I M tLN TO XVII. — Co mpantrió n ó t*'rm {no fijo. 
— Este experimento es el XV euuii>licado en cuanto á 
las representaciones, pero simple en cuanto á la discri- 
minación, cuyo tiempo tratamos do determinar. Es, 
por decirlo así, una apreciación del sentido común 
adquirid»» bajo la infiueucia do los factores escolar, 
doméstico y social. 

El niño, solo en nuestro gabinete, era invitado á re- 
solver el siguiente problema, que leíamos en voa clara 
vienta: Un patifi de S¡,^j metros ik' larpo por 5,5 de 
anvho, nect'sitnvií mda ó mt-nos, p>ira ser embaldosa- 
do, de 200 biddosiig de un det'i metro aiadntdo de 
aitperpeie? 8i la respuesta, era positiva, debía contes- 
^ar al nusmo problema pero con 900 btddoms. Ai 1** y 
^° propusimos esta otra cuestión: Si 15 ovejas cues- 
tan 3H %, 13 ovejas ct>.tt(iráu anís ó inerion'/ muy 
simple al parecer, perú que á los pequeños exige una 
serie de integraciones que no acostumbran. 

El tiempo es contado desde que se dice 200 ó 900 
hiista que el niño contesta ; en 1" y 2^ grado desde 
que decimos mds ó metion. . , 

Para el I*' caso los alumnos siguen tres procedimien- 
tos : uno, de los más, cunsiste en obtener una superficie 
.aproximada del patio multiplicando 8.5 X 5.5, opera- 



^ 112 - 

eión intermnipida para muchos por til decimal que no 
saben desprendorso de él, pues en aprec-iacíones gran- 
des no sería causa de orror; luego, reducir losLuetros 
á dmsl que da la cantidad de baldosas. El otro, reduce 
8.5 mts. y 5.5 mts. á dras.; multiplica 80 X 50 y ob- 
tiene el número di? baldosas ; el tercero, da una mpre- 
sentación del patio más ó menos inexacta peniiiese 
la refiere á superficies conocidus cuando no son enor- 
mes; pero puede mentalDieute, admitir de 8,5x5-5 
una superficie que os de 8 X 12; la forma os sugestiva. 
En cuanto á la baldosa, la imnoreii de las que comi'm- 
mento vo, se impone á hi de lus dimensiones dadas, 
motivo de nuevos eri'ores. La superjiosieión mental 
ofrece nuevos inconvenientes, por cuanto la visión 
interna no proporciona á la atención sino puntos do 
apoyo siempre fugaces que ne permiten retener á la vez 



o — I -^ ' T " — ' ■* 

las distancias a t, a d y c d. Entonces, con los recuerdos 
que dejaron ejercicios y liábitof? pasados ( sentido co- 
nu'in) se calculan aintóticamente bis baldosas de un 
costado y si ntétic amento el niímero do filas quo 
cubren el j>Btio. La multiplicación da el resultado 
quG so compara abstractamente con 201); no hay, 
de consiguiente, comparaciiin visual de superficie sino 
la más exacta de números. 

Si cualquier niño do l"y 2' grado viese las quince 
y las trece ovejas, inmediatamente asociaría el valor 
á la cantidad ; ]jero abstractamente, la idea de proble- 
ma perturba sus discriminaciones más simples y el 
número 38, cantidad innocosaria, distrae la atención, 
complica el proceso, el niño juzga qué papel desem- 
peña el precio en la elaboración de la respuesta. Evi- 
dentenicnte, es más fácil contestar á ¿valen más 15 ó 
13 ovejas?* Ni quince ni trece despiertan una imagen 
exacta de la cantidad de ovejas, pero dan inmediata- 
mente la idea de mayor y menor porque 13 deterntñitt 
siempre una colección más pequeña de cosas que 15 



113 — ■ 



r¿ la qué se asocia en la misma ])roporción el valor, 
puesto que se trata de especies idénticHS, Lu com- 
leitm es returdadti por la introduct-ión del término 
tquo lleva ol procoso inmediatamente por atro ca- 
mino, de saÍDorruánlo cuestan 13, que suele producir 
el olvido del punto de comparación 15, De este des- 
vío hay quo volver, descartarlo y continuar la inte- 
gración. Hemos elegido los números 38, 15 y 13 
I para impedir que el niño hiciera operaciones y obli- 
garlo á comparar imágenes, asociando tnmaños. 
pl 
tri 



h 
^ 



Experimento XVUL — Proceso de integración coni- 

leja. — ( Identificación secundaria, discriminación cen- 
tral). De caráctor individual, llamamos uno por 
uno á los alumnos de I" grado : en presencia nues- 
tra, propusimos el siguiente problema, leído con voz 
clara y pausada: Pedro tenía 15 naranjas en una ca- 
nasta, 22 en otra; regaló 17 ^i cuántas íe quedaron V 
¿qtié operaciones debe hacer? Tomamos el tiempo 
de reacción desde el momento que preguntamos: ¿qué 
operaciones debe hacer'-' hasta eontestarnos. 

La prej^unta determina la fusión de imájgronos quo 
el enunciado deja aisladtus, pero prontas á conjugarse. 
El niño debe ver dos canastas separadas ; luego, dis- 
minuir cierta cantidad do fruta á una; luego, juntar 
las dos en una ; luego, dar nombre á las operaciones. 
Pero la pregunta, siendo inmediata, no deja que se 
produKca la iuíagon do la disminución y determina ol 
caso de saber etidntits mn las naranjas para saber 
cmíntm quedan, pregunta de forma general y residuo 
de hábitos domésticos y escolares. 

A los demás grados dictamos: Si 12 ovejas cuestan 
72 pesos ¿cuánto costarán 8'/ Es el caso del experi- 
mento Xlll (1° y 2** grados) pero de integración más 
larga. 

Los alumnos debían escribir el resultado y el razo- 
namiento. iJadü el carácter colectivo y simultáneo, no 
tomamos tiempo do reacción. Hasta ahora, las discri- 
minaciones han sido de carácter periférico; ésta de 
carácter interno, da la forma fundamental del méto- 

£its, áe la Aritmitica, 8 




114 — 



do matoiiiático por escoloneiíi, el dofluetivo, reduciendo 
las eonujiínieiones á la itnidaci, toninndo la abstracción 
de las Ciintidades comu elementos discriminalivos y 
no bis imáo-enes. sin las porfcpciones do un nümpro 
compuesto do unidades que sabemos (•unstantemenle 
iguales, eiial si por delante tuviéramos tableros dindi- 
do8 en casillas, nunca mayor una qae oti'a y marcadas 
on gruesas líneas. De aquí, un motivo poderoso para 
disociar Bstas determinantes do las cosas [fe^ de aüo- 
ciaeión debida á las variaciones de las eoneoniitaneias 
Jamkíí, p. 366 K 

El caso matemático se independiza del objeto más 
pronto que ol caso físieo, vital ó económico, porque 
sólo aprecia una diferencia de la cantidad, para lo 
quo dispone de una escala tan perfecta como la del 
número manejado enlutar del objeto mismo, pero cuya 
cualidad, la dimensión, nunca es vaga. El niño se des- 
prende, en la deducción, de las imágenes 12 ovejas y 
8 ovejas, porque 12 y 8 dan la misma diferencia de 
valor. Pero 12 y 8, comparados ontre sí, dan una dife- 
rencia iudetorniinada. y necesitamos lo cuntrario; do 
aquí la necesidad de unir los dos términos á un ele- 
mento común; so presenta menos complicado, tfno el 
generador mismo de las cantidades, puesto que por su 
agregación sticesiva formamos los números. 

Ei valor de 12 da inmediatamente el valor de tino; 
el valor de ttno da inmedíatamentG el valor de 8, Toda 
la dificultad, pues, consiste en recordar un dato ó co- 
nocimiento que el problema no da, contra la creencia 
común de que los proporciona siempre todos. El niño 
posee el liábito de valorizar into conociendo el costo 
de fl," de valuriüar h cñoocjendo el costu de uno ; al ha- 
llar h por medio de «, asocia mediante una integración 
de cociente y producto, tres elementos. Otra vía que 
pretendiera seguir, produciría la difusión y el error. 

Diiíeil es este primer paso de la ¡ibstraeeión, por 
donde, desprendiéndonos de los métodos prehistóricos 
de la objetividad, penetramos on el inmenso campo de 
ia lógica deductiva, rápida, exacta, nuestra guía por 
excelencia. Pero, cuántos ensayos, cnánta.s trepidacio- 



— 115 - 



'nes, cuántos fracasos para vencer el primer obstáculo, 
para salvar el umbral, para habituaruos al ambientel 

■ Y cuánto descuido, maestros de á", de 3", de 4" ¿rrado, 
voBiJtros que con culpable frecuencia no encontráis 
transiciones de una integración ú otra y sin ejercicios 
previos, sin discrtminacioneíí separadas de los elemen- 
tos, dictáis de buena!?! á primeras un problema que 
■ exige la actividad de las representaciones más diver- 
sas y complejas que en la mentó del niño no formasteis 
todavía, no obstiUite creer en vuestra ingenua since- 
ridad, io contrario ! 

™ Exi'ERiMENTü XIX. — Poder ircor dativo. — Prepa- 
rado cada alumno con papoi j lápiz dolante de su 
pupitre y explicado lo que se iba á hacer, pedimos 
atención siniuitánea ; leímos dcsjiaeio, en voz alta 
y clara, el Siguiente enunciado: Un individmi tema 

■ en un vorrití J^ 2 ovejas : m otro :¿()3; ett otro 17; 
vendió 220 á 2 pesos cada nna; 50 se murieron t/ el 
resto l(is vendió á mi peso if mtídío cada una: ¿qité 
vaíor saco de sus ovejan? Después de 30" volvimos á 
leerlo, cuidando de que no se tomasen apuntes lo que, 
por otra parte, obtuviníos con simples indicaciimes. 
H Terminada la lectura los alumnos debían de reprodu- 
™ eir el enunciado. 

En este experimento debe estudiarse ; 

1" La reproducción ]>or vía auditiva de las canti^ 
dades, dol punto de vista de las eiíVas. del orden y 
de la especio que determinan (integración pe rif erica), 
2° La reproducción coordinada y lógica de las 
partes, 'que depende de una discrtrninitción (f^jneral 
del problema (comjjrensión). 
Sin esto segundo, debido á la intensidad de laaton- 

Ición voluntaria, ia multitud do iraáí^enGs que evocan los 
datos dol problema oi'iginarían numornsas confusiones. 
La discriminación suele hacerse mientras se escribe; 
pntonces, al^un recuerdo que no es posible coordinar, 
se elimina. Los ahimno.s inteligentes iiresentan más 
equivocaciones en la integración [leriteriea. porque 
dedican más atención á la trama lógica que á las ci- 



— 116 — 

fras. Para recordarse procede de dos maneras: ó bien 
retoniondo los sonidos y las imágenes en el ordon 
sucesivo que se itrodiicnn; ni monos consciente y el 
más difícil; 6 bien, dividiendo ol pi-ublcma en partes: 
a) Tenía en un corral 122 ovejus; en otro 203: nn otro 
17; integración de nmmí ton treii (frminos; b) vendió 
220 á 2 pesos c/u, resta; c) niurierttn 50, rest-a; d} 
vendió el reato á 1 .50 $ c/u. ej La prowunta indica dos 
valores no .wr-niros á sumarse. De todo, queda este 
concepto: sumur tres «rupos do ovejas; restar dos por 
venta y nuierte; queda uno; hay dos precios, se desea 
saber qué valor sacó el dueño. Suponiendo una con- 
fusión en las últimas asociaciones, la lógica nos dice 
que las ovejas muertas no tienen valor y que 3 S y 
1.50 S deben asociarse á g:rupos de ovejas vivas. 

Al 2° GK.viíO dimos el problema en esta forma: f>i 
individuo tenia en un corral 122 (nejas; en otro 20H; 
en otro 17 ; 50 se murieron y el resto lo vendió ti 2 
•pems cin i qué valor sacú ? 

En el 5", once dírnt de,<tpiiés, repetimos el experimento 
para deducir las consecuencias que anotamos más 
adelante. 



ExPEKiMENTo XX, — Aptitud treafrtí — ( Simultáneo 

Í'^ colectivo). Preparados los alumnos para escribir, so 
es pide que tbnimlen con la mayor libertad de espíritu 
un problema acerca de la pizarra que tienen al frente. 
Nos proponemos averiguar: 

I'' Kl número de combinaciones, que sin forzarla, 
puede su mente croar. 

á"^ El grado de coordinación j lógica al relacionar 
los datos entre sí- 

3^ La mayor ó menor eorrospondeneia del dato 
con el objeto (grado de exactitud de la asociación K 

La edad, el ejereieto, la cultura, el desarrollo natural 
de la inteligenciaj el í^rado, los conocimientos que se 
poseen, concurren k mejorar el invento. La comparación 
por grados y seceos nos hará ver las diferenciíis acerca 
do un punto iraportantisimo del proceso matemático: 
la combinación. 



117 



C. — CLASIflCAlJIÜN I>F. LA APTITI'P MATF.JIVTICA, UET. 

Niso. — Es la que obtuvo diariamonte durante ol año 
promediiida con la de dos exámenos: -Julio y Noviem- 
bre, Ks, do consiguiente, un sruarisrao sintético que ex- 
presa en un grado cnsi niáxinio de aproxinmeión, la 
IinleligeneiíL del niño, aquilatada día á tlía, hora á hora. 
So clasifica sea;ún los eonociniientos que tidquiere, 
de íi cuerdo con un progniina cuya parte prinei pal os 
la operaeión (enteros, fraeeiones, denominados). La 
escala es de O á 5; O sitrnifiea adeismo raatemátieo y 
corresponde al menos inleli<íente; 5 indica aptitudes 
especiales y corresponde al más inteligente. Don y tres 
índiean al tipo nonuid, que no descuella, pero que tam- 
poco pertenece á la familia de los retardado.? é imbeci- 
loides: progresa por el trabajo y la constancia, es un 
jiroducto genuino del ejercicio. Agregamo.'í á nuestros 
cuadros, esta columna para establecer una relación 
entre los resultados que arrojan los experimentos y 
la inteligencia. La comparación visiva de línea, por 
ejemplo, da mayor número de positivu?; en las clasi- 
ficaciones 2 y 3 lit que con raxón puedo entoncesí 
K' considerarse una habilidad adquirida por ol ojercicio. 

" tuía 



III 



Computacidn numérica de los experiTnentos, — Pskome- 
tiíía t iiíENinuArioN-^Litó cuadros resumen nuestras 
experiencias, sobre lodos los niños do la escuela divi- 
dida en grados y sexos; hemos escrito, junto al niimei'o 
de orden, el nombre abreviado del abnnno y su edad. 

Estos experimentos, en detalle, significan, pedogógi- 
camentG poco; peroreunidos y computados, dan Ia apti- 
tud matemática en todas las fases de su inmenso arco 
reflejo ; de la rapidez y exactitud en asociar este cúmu- 
lo de recuerdos en un momento dado, depende la rapi- 
dez y exactitud de integraciones de cualquier otro 
orden, l'na coma olvidada ]H>r deficiencias de la me- 
moria muscular, basta para que un resultado sea falso 
y encauce la mente por otras vías. 



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CAPITULO V 

Bcsuitados de hi ex periiiientadóii. — Observaciones 
psU'0[ieda£:dfieAS de earáeter ctiIeetÍTO. 



I 



Identificación primaria. — Damos*, en una serie de cua- 
dros, los tíómputOís atítíiTa de la aptitud do los niños se- 
gún fi\ grado y los &exos, que eonsidoramos importan- 
tes para el educacionista, dada la simplicidad de ca- 
sos que CLtalquier escuela puede reproducir. Haya ó 
no anürnialus, retardados, inteligentes, precoces, más 
j avenes ó más viejos, do un sexo ó de otro, rada cua- 
dro es la característica de un grado cuya enseñanza 
dii'jge nn maestro. Observemos sólo, que no todos los 
alumnos hicieron su aprendizaje en esta escuela; lo 
que no deja de sor un inconveniente para ciertos cál- 
culos como ios dü lii edad. 

Número t¿tr«/ií»mys-.— Cantidad do alumnos experi- 
mentados; 



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Edad. — Media do las edades de cada grado ( loma- 
das en Noviembre, al terminar los cursos): 



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14.1 


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15.3 



Raiséii de las edades entre 1- y 6» grciAo f K^í^^'f ' l'^ 

•^ " \ Mujeres 2. 

Este cuadro y algunos de integración, nos indi- 
can: 1" Que ol cerebro de la mujer se organíüa en 
loa primeros años y dentro de la evolución natu- 
ral, antes que el del hombre; 2" Que el ejereieio des- 
arrolla más rápidamente al del hombre que al do la 
mujer; S" Quo, no obstante el ina^reso á los 6 años, 
se concluyo el G" grado á ios 15, edad para emprender 
con éxito los estudios secundarios; 4" Que del primer 
grado, sólo puede egresarse cumplidos los 8 años; 5" 
Que hay una diferencia constante entre la edad de un 
grado y la do otro, á })artir dol 2°, lo quo indica que 
el 1° es de adaptación intelectual. Los niños se acó» 
modan para ascender la escala, según una ley fija. 

Contar (Exp. I). — Razón de los tiempos medios en- 
tre 1*76" grado: 

Varotiea. , .. ,. 2.3 

Mujeres 1.5 

El desarrollo intelectual de los varones, es de consi- 
guiente, casi doble, comparado con el de la mujer, 
en cuanto á rapidez. 



— 149 - 



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IÍQ6íta que debían Cüiitarüc y un núnieru iiumidi'; cúiiio exctíun, la dife- 
rencia entre 31 y un m'itnero niiivor: P, indiea varones; .V. niñas; 
cnaoH ~, positivos, es decir. nÜtos que hati fontado la cifra exacta; 
dt/ercnfiH mAj-ima, sij^no -|-, difíTPnt'ía fntre 31 y el iit'imero más 
alto de la columna; ügno — , la diferencia entre el número más bajo 
y 31. 

Observaciones. — 1" Los varones cuentan con más 
exactitud que las niñas ( más fuerza de atención \. 
Menos errores y niíls positividad. 

2' La acomodación y convergencia do la vista en los 
varones es más rápida j se fatiga menos que en la 
niña, por el hecho de que aquéllos tienden á producir 
cantidades más altas que éstas. ( Más excesos y me- 
nos deficiencias). 

3* Los varones cuentan más rápidamente que las ñi- 
flas (tiempos de reaceii'm, menores; integración intelec- 
tual más rápida. V, por línea 0^657" ; Ji/, por línea 
0J(t4" ). 

4* Hay tendencia en uno y otro sexo, á contar 
siempre más y no mimos de la cantidad fija. En el 
varón más quo en la mujer. 

5' Las dilereneias máximas, no obstante las even- 
tualidades á que están sujetas, nos indican, otra vez, 
la propensión á contar con más exactitud los varo- 
nos que las niñas; aquéllos presentan cifríxs notable- 
mente favorables á la aproximación en la deficiencia 
ó en el exceso. 

6* Los grados indican una tendencia no bien defi- 
nida á ser más exactos á medida que del 1" se va al 
6**. Las variantes, son muchas; una, puede ser el ejer- 
cicio- For nuestra poca cantidad do alumnos varones, 
so altera fácilmente un porcentaje, cuando entre ellos 
figura un imbeciloide, ó cuando una circunstancia 
cualquiera, la desatención casual, oblig'a á cometer 
errores no habituales, á uno ó dos alumnos. El expe- 
rimento fué hecho en dos días. Notamos en ciertas 
horas, á pesar dol silencio y la buena luz, que clases 
examinadas por niños separados, prestaban menos 
atención. 

T" Kl primer grado tiendo á contar siempre menos 



— t52 - 



de la cantidad exacta; loa demás, á contar siempre 
más, resultado no del ejoreicio sino de la organízacióD 
del cerebro por la edad. 

8* El tiempo de reacción presenta las mismas flue- 
tuíiciones que la positividad entre un grado j otro, 
excepto el 1". Lo que indica que una vez adquirida 
la aptitud en 2" airado, la rapidez depende de la inteli- 
gencia del niño, puesto que todos los alumnos están 
sujetos á una misma cantidad de ejercicio diario. Nue- 
vos experimentos resolverán esto punto. 

9* Lm diferencias mtltñnmH eonürnian las dos con- 
clusiones anteriores: la exactitud no depende tanto 
del grafio como de disposiciones congénitas. 

10* ¿La exactitud es proporcional al tiempo de reac- 
ción V Acerca de este punto croemos que cada niño 
representa una constante ( coeficiente de positividad ) 
que sólo el ejercicio modiflca: prolonj^arla ó retardarla 
voluntnj'iamento, os causa de error. En nuestros ex- 
perimentos, el niño usó esa constante constante de 
discriminación espuntánea dentro de la que cabe el 
máximum de exactitud. La observación detallada de 
los cuadros indica lo que acabamos de apuntar. El 
I" grado da positivos en 26" y 40"; da negativos: 28, en 
m'\ 34, en 75"; 39, en 32". El 3"^ grado tí. dapn.si- 
tivos en 14"» 15", 23" y da negativos: 33, en 28"; 32, 
en 25"; 36, en 22"; 32, en 15"'. El 6" grado da posi- 
tivos en 11", 14", 21", 29"; da negativos: 39, en 40": 
34, on 25"; 32, en 14"; 32, en 13". 

11" La duración do los tiempos es medida por el 
tiempo que se emplea en articular las palabras; de 
modo que el niño que usa un lenguaje espacioso ó no 
vocaliza con facilidad, retarda esta operación verbo- 
moíorovisual. Así, nos explicamos como el menor 
tiempo de reacción empleado en casos positivos, no 
ofrece una graduación del 2" al 6** grado. 

12** La integración do la mujer oscila más que la 
del hombro. 

Leútcba de cuatro CANTiuADEs. — 1010; 2101: 1934: 
9030, en primer grado; 1010; 2101; 121)34957; lOlOlOl, 
en los demás. (Exp. Ü). 





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— 157 — 



^rvaciones.—i^ En los hábitos, la mujer reae- 
ciona eon más exactitud que el hombro. L;i loctuní 
de 12W234957 preseiitu 584.3 do positividad en la 
primera, 626.2 en el segundo. 

2* Las cantidades que presentan lugares ocupados 
por ceros, alternados eon cifras de valor significativo, 
son más difícüos de leer; la positividad disminuye 
cuanto mayor es el número de aquéllos. 

S** En la lectura de números que exiiEfen discrimi- 
naciones de orden superior (ateneión intensa y dis- 
cernimiento ) los varones integran eon más exactitud. 

4" El hábito comete menos equivocaciones que la 
conciencia. 

o" Los varones discriminan más rápidamente que las 
niñas. 

B"* La positividad aumenta y el tiempo de reacción 
disminuye dei 1" al fi" grado. 

7" La integración do las niñíis, excepto las del primer 
grado, oscila nmcho más que la de los varones; en 
las ra¿iximas y en las mínimas, presentan extremos 
más altos y más bajos. 

8* Cada niño forma conciencia acerca de un número, 
dentro de uri determinado tiempo que nosotros damos 
á elegir: de consiguiente, la positividad on un mismo 
grado, no es proporcional al tiempo de reacción. 

( Kxp. III). — Repküih'cción auditiva üel númrko 

1()()1 KS í"' (ilíAOO Y IWIlÜUl EN LOS ÜE.uAs. — DeL 

NUMERO 1021 EN 1° Y 2"*. ~- En los grados más ade- 
lantados, 5" y 6°, los niños que reproducían mal el 
número^ al verlo duspmés de escrito, se convencían de 
que estaba mal; lo borraban una, dos, tres veces, con- 
vencidos siempre de que la reproducción era falsa, y 
al dar-^^e por vencidos, domostraban su asombro. 

Kl hecho pruoba ; 1° Que la escritura de números, 
es un acto reflejo inconsciente; 2" La necesidad de 
entretener el hábito eon ejercicios adecuadoSt periódi- 
camente hechos. 3" t,íuo todo hecho positivo de ca- 
rácter aritmético que so acostumbra a producir por 
hábito, tiende á ser negativo cuando se trata de pro- 
ducirlo conciontemonte. 



— J59 — 



hservacioneit. — 1" Este experimento 7 los que si- 
guen» demuestran que los varones son del tipo auditivo 
j las niñas del tipo visual. 

2" El proceso psíquico, cuanto más complicado se 
presenta es más exacto en el varón que en la mujer. 

3" La rapidez y la exactitud en el hábito, son di- 
rectamento proporcionales. La escritura de números 
es una integración que se debe al hábito do la repre- 
sentación visiva. 

4* La audición de un número con lugares ocupados 
por ceroa despierta dos ó más imágenes tanto más dis- 
tintas y difíciles de fusionar cuanto más distantes están 
las cifras significativas. Los niños, al oir í/í(7 uno, vea 
1000 y I y tienden á la asociación gráfica lOüOl, for- 
ma que presentan más ó menos las equivocaeionos. 

5* Cuando la audición no despierta imágenes da- 
is ó las despierta parcialmente, los varones repro- 
ducen mayor número dn cifras que las mujeres. 

6° La audición de un número con ceros, despierta 
varias imágenes de conjunto; las que corresponden á 
las cifras ó períodos de la derecha, son más claras é 
intensas que las que corresponden á los períodos de 
la izquierda. 

7* Niños que escriben por audición lüOl ó 1021 es- 
criben bien cualquier número de tres ó cuatro cifras. 

8* El olvido persistente de los ceros en el período 
de la derecha (101 por lÜOU 121 por 1ÜÍ21 ) es una 
L4Ísión típica de los monos inteligentes. 

íl" Cuando un poi'contaje negativo no altera la ]iro- 
resión decreciente de los tiempos medioa, la integra- 
ción es inconscientü. 



- 161 



La razan de los liempojí medios ontre 2" y G" Cirado es ; 

Varones , , ...,.,. 2.5 

Mujííres ..,..,.. 1.6 



Observaciones. — 1° La positividad de esta reacción 

importiintísima, prasonta dos crisis una en 3" S y otra 

i€n 5" qutí debe ati-ibuirse á la onsoñanzíi extensiva j 

'no intensiva do la aritmética (ojercicios donde se prae- 

tiea poco la escritura de númeroa grandes) con los qiio 

lee recorran touchas vías sin freinienlar, especialracnte, 

Tiirie:iina. La causa de estas crisis que oportuiiamcnte 

obsiírvarcraoí* mi otras discriminación os, no puade ser 

•otra porque la reproducción es un hábito y el tiempo 

medio continúa su ]>rogrosión decrocionte. 

2* Los varones integran, en ia reacción audoviso- 
motora con más exactitud j rapidez que las niñas. La 
reacción interna de los varones es más intensa que la 
do bis mujeres. 

3" Cuando la audicii>n despierta varias imágenes 
asociadas sueosivamonte en un conjunto, las do los 
extremos, la primera y la última, so conservan con 
más intonsidiid y h\ prinu^ra ( izquierda í más que la 
última. 

4* La rf3produccióii auditiva del primer período de 
la izquierda, es más exacta que la de lo.s demíis. 

5" En la e.scritura pur audición de un númorri de va- 
rias cifras, las equivocaciones crecen á medida que 
vamos de ia primera á la penúltima. 

En un grado, esta proi^resión do los errores es más 
re2;ular en la nuijer que en el varón. 

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— 162 



fi* Lfi íiudicinn da inmediatamente el número de ci- 
fras distril)uítlns en poríodos, indopeadionteaiente de 
las imiiyencs de las ciíras, que so mueven siiptM-po- 
niéndüse las del extremo isíquierdo á las del derecho 
conservando, en el período, su posición relativa: no 
así las quo con mucho menos frocuencíaj se superponen 
du derecha á izquienhu 

Así, la eítVa 9 del poríudo !i;-57 ocupa el lugar del 4 
del período 427 ; la eifra 3 del período í)87 ocupa el 
lugar de la cifra 2 del período 427 ; pero la cifra 4 del 
período 427 ocupa ol lugar de la cifra 7 y á veces de 
la cifra 3 del período yíÍ7. 

7" Las cifi-as de un período no se permutan sino 
excepcional mente dentro del mismo período. 

Esto hecho so explica considerando que el lugar de 
una cifra traspuesta es fijado por su denommaeión ter- 
minal, rejíetida en cada período y no por la denomi- 
nación del período, enunciado aolo una voz. Así, la 
palabra cientos en tmevecientoít y ciditrocifntos no pue- 
de evocar otras cifras que ít y 4, nuere con más in- 
tonsidnd que 4. La denominación mil del período ^34^ 
no solo no locahza las cifras 9, 3 y 4; tampoco el perío- 
do U34, puesto que su lugar á la izquierda y no á la 
derecha, se debe al tiempo asociado á la sucesión 
acústico-visual. 

8" Toda cifra de un período izquierdo que aparece 
en Lin período derecho, está en los dos períodos, 

9" Las imágenes del primer período izquierdo tienden 
á substituir, en el mismo orden, á las de! derecho, 
con tanta intensidad que á veces ocupa, solo, el cam- 
po de la atención é impide, á eiortos niños, reprodu- 
cirlo, aun en pfirte. 

10* Las equivocaciones del período de la izquierda 
se dcl>en no á superi>os¡eión de cifras del período de 
la derecha sino á simple trasposición de cifras de un 
I>oríodo á otro ó á la introducción de cifras nuevas. 

11* La introducción de cifras ajenas al número (O, 
5, 6, etc. en nuestro caso > que presenta para cada 
grado, porcentajes mínimos, debe considerarse un fe- 
nómeno de paramnesia gráfica. 



12* La repetición do una cifra del mismo orden den- 
tro del período, sugiere la reproducción de la cifra que 
la antecede en ol periodo de la izquierda. 

Así, la d.unominaci(>n ^iete de la primer cifra de la 
derecha en el período de ia derecha, tiende á robus- 
tecer la imagen asociada 37 del período 937 y no á 
formar la 27 del período 427. 

13* Cada jurado integra con más rapidez que el an- 
terior, lo (|ue indica la comunidad de vías de esto pro- 
ceso y los demás do carácter matemático, pues la 
lectura j escritura de números desde 3" grado, no 
constituye un objeto directo de las clases de aritmética. 




— 164 - 



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166 



Obaervaciones , — I"* Las niñas retionen con iiiás 
exactitud que los varones las imágenes visuales ; ge- 
nemlizíindo, quizá, toda percepción. La atención vi- 
siva de la mujer es mucho más intensa que la del 
varón. 

2' La asociación g-ráfico- visiva es la más rápida y 
exacta de cunntsis puede realizar nuestro cerebro, 

S*" La atención óptica sigue una progresión paralela 
á la edad del I** al 6" grado. 

4* Eu los varones, la iisoeiación audo-motora es más 
exacta que la viso-motora, fenómeno inverso al déla 
mujer. 

5* Los eiTores sonde euatro clascg: do permutación, 
de sustitución, de eliminación y do agregación. 

6* La primera cii'ra de la iüquierda es reproducida 
oon más exactitud que las demás. 

7** Las cifras centrales son reproducidas c-on monos 
exactitud que las extremas. 

8* Probablemente, la repercusión ój)tica ( ecos ópti- 
cos, imágonoíi quo aparecen y desaparecen sucesiva- 
mente, produciendo momentos de mayor intensidad 
separados por momentos de menor intensidad ) es máa 
Frecuento on el varón que nn la nmjer. 

9'* El olvido del punto decimal por parte do los va- 
rónos, en grados como el 5° (43 °lo) donde se trabaja 
con decimales, explica por qué la niña conquista fácil- 
mente las pnsi ciónos del varón no t)bstante un razo- 
namiento más tardío. El olvido de una coma en un 
prnbloiiia, es causa más eficiente para trastornar una 
integ]'ación quo la insuficiencia lógica. Estos hechos 
indican, evidentemente, el método de iustruceión para 
uno y otro sexo, 

lO" La introducción de cifras extrañas al numero, 
siendo más frecuente que eu el caso auditivo, da un 
porcentaje mínimo. 

1 1* La fidelidad con que conservan el numen) do 
cifras, á pesar de los cambios y olvidos, indica que la 
atención sintética determina, primeramente, la exten- 
sión y os más educada que la analítica, 

12* La reproducción es con más frecuencia, de las 



— 167 — 

cü'ras f'GTit mies q lio de las extremas ; dv. las dy la iz- 
í|uier(l:i rjtm las do la tlMX'cha. 

13'- La mayor parto di* kis errores quo coniot.en los 
varonos, son do permutación de cifras ; ios de las ni- 
ñas, tlt^ suRtitiieión. 

LfíB primaros eseriljün 7ü4 pnr 407; las segundas 
%H'yS01 ó <i8Jíf)87 poi' ti8rí407. 

14'* Las cifras do la ÍKf|uierda conservan más el or- 
den que de las de la de rocha. 

lo" Las permutas y sustituciones, contrariamente á 
lo (|UP sucede on ol caso anterior, so hacen indistin- 
tamente, de derecha á izquierda, do Í7,quierda á dore- 
cha, dentro ó fufira del niismu líoríodo. 

16" La imagen do las t-ilVas de la izquierda es más 
viva y persistente qae la de la derecha. 

Calculo mental. — í Exp. VI. 23-}- 16). — Razón do 
los tiempos medios entre 1<* j 6" Grado: 

VartHies , 2.3 

ÍIii j*Mvs ...,..-.,-.... 2.2 

Suma mental de 23 -\- 16 sobre 100 alumnos 



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— 168 - 



Ohservacione.K. — \^ Los varones integran con más 
exiictitud y rii|ikk'Z que las niñas. El ciuidro denota 
una crisis de inesiictituci, en 3'^'' grado I; dn i*eapcióii 
tardío en 3° S y 4°, cor]'espondiento á los varones. 
Unii crisis do reacción tardía en 5" y íi° eorre^pon- 
diente á los vnronfs. 

2" La exactitud c^í prog-resiva de 1° á 6" grado y el 
tiempo de integración más rápido. 

3"* En I"*" grado ías niñas discriminan con más exac- 
titud que los varones, 

4" Las máximas y im'nimas, dentro de las que os- 
cilan los tiempos do integración de la mujer, distan 
más que his del varón. 

5* La edad y el grado no modifican la amplitud de 
las oscilaciones. Mientras en íi" varía de 3 á 45 en 3" 
8 varía de 2 á 15 (mujeres); mientras en 1" grado 
( varones \ vnría de 3 á 35 en 4° varía de 3 á 55. 

(>* No obstante la falta do relación entro la oxacti- 
tud y el tiempo, las reacciones mínimas suelen ser 
positivas, las máxiraaíi negativas. 

Calculo jiektal. — { Exp. Vil y 1) ). — Tenía la 
íntima convicción que ejercicios eonio : ((8xy — 2): 
10 X 7 — 1 ) : 6, desde 2" á 6" grado, darían ol 
máximo de positividad y se resolverían un segun- 
do después de preguntados; había observado esos 
ejercicios y notaba miiclias manos levnntndas y bue- 
nos resultados. Hecha la investigación individual 
en 185 alumnos sólo 65 dioron positivos. ¿Cómo. pues, 
fenómeno tan extraordinario: Ahora, so explica. To- 
dos levantan la mano, pero el maestro, por hábito 
ajeno á sus inteneiones, pregunta al mejor. La cla- 
se conoce á sus matemáticos, y enunciado el resultado, 
repite. Si ca.sualmento fuera malo, lo que por excep- 
ción snecdc, la clase repite, repite hasta dar con otro 
matemático cuya respuesta inicia otra serie de resul- 
tados; la clase se divide, entonces, en dos bandos, 
orientados por dos niños. Preguntad á un mediocre, 
cuya mano se levanta á la [liir del más inteligente y 
os dirá cualquier exti-avagancja, cantidades fuera del 



— 169 - 

sentido común que el maestro reprocha con un sim- 
ple : no es eso, sin parar mientes en lo que indicaría la 
simplificación de los ejercicios hasta darlos al alcance 
de la mayoría. 

La simulación de las aptitudes dificulta no poco la 
tarea de un maestro imprevisor. 

He aquí, la luz que proyectan los cómputos: 



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1"' Grado » Vai'ones 25 



Mujeros 0. 



Observaciones — 1" Los varones calculan con más 
axaetitud quo las niñas, lo quo responde al mayor 
frado de atención interna de los prinitims. No sucodo 
lo mismo en la rcííitación de tablas, integración peri- 
férica por hábito, 
á" La positividad os una consecuencia del ejercicio. 
H 3" Xo hay relación entro la positividad j los 
™tiempos, 

4" La repetición ( en el cálculo mental ) no tlismi- 
nuye los tiempos, pero aumenta la positividad dol 
grado. 

tó* Los casos de reacción inr-omplota (ce) son tan 
■eeucntos como los de jiositividad. 
6* De 1° á 3"' ffrado, on la inteirración sucesiva de 
nágonos ifíualos {tablas), la positividad y los tiern- 
os disminuyen eti la mujer mientras la positividad 
aumenta en el varón. Este fenómeno que so debo al 
carácter extensivo quo toma la enseñanza al pasar 
de un grado inferior á uno superior, nos indica decre- 
cimiento intelectual en la niujor, puesto que las inte- 
gracíonGS superiores uo ¡medcn, por concomitancia, 



— 172 - 

mantener la intensidad de las periféricas de 1*' grado. 
La precocidad, de consiguiente, resultaría tan desalen- 
tadora como el X , símbolo del imbeciloide. 

7* La integración periférica de número (tablas y 
operaciones) siendo exacta en la mayor parte de los 
niños, presenta reacciones de tiempo muy diversas, 
lo cual influyendo directamente en el poder de asi- 
milación, da la medida de la aptitud matemática. 

8" La mayor parte de los niños dan la tabla de 
multiplicar y no la de sumar. 

Operaciones. — ínter/ración de suma, resta y inul- 
tipUcación. — (Exp. VlII, IX y X). — Razón de los 
tiempos medios entre 2° y 6° gi-ado : 

Varones 1.2 

Mujeres 2.3 



173 - 



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Observaciones. — Las tres oporacioiies prosontan fe- 
nómenos idénticos. 

I"- Los varones intGj?rtiii con más exactitud y rapi- 
ÚBZ quo las niñas, incluso el priniier grado. 

2* La positividad, de 1° á 6° grado, crece y el tionipo 
medio disminuye. 

3' Los tiempos mínimos dan integraciones positivjis, 
los máximos dan negativos. 

4" Hay dos crisis, una de positividad en 4** grado 
corres])ondíentc á las niñas con rolacíóti á la suba 
del tiempo medio; otra do positividad en S*' Dorado I 
correspondiente íi los varones y también relacionada 
con una suba del tiempo medio- 

La exactitud no sigue una progresión paralela á la 
rapidez. 

G" Las máximas y mínimas dentro de las que osci- 
lan los tiempos de integración, distan más en la mujer 
que en el varón. 

7" La positividad es inversa á los tiempoSj entre 
niños ó grados dilerentes. 




8* Los negativos en esto y otros experimentos, indi- 
can la necesidud de ejercitar directa 6 infüreetamente, 
pero todos los unos y con Ul tVecupncia posible, al 
alumno, on todos los conocimientos de los prog:rama3 
anteriores, para alcanzar un máximo de positividad 
©n el 6"*. 

9** Xo obatanto alííunas exeepeiones, la suma es una 
operación más fácil que la rosta; la resta más fácil 
que la multiplicaeión, de acuerdo eon la positividad 
que presenta cada una en cada grado. 



Comparacián visiva de ICnea (Exp. XI) 







Positividad por 


"/, EN LOS CABOS 




(.íRADOS 


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77 


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91 



Obm)'vacione.í. — V^ La aptitud do distinguir diferen- 
cias entre dos hachos simjílcs y semejantes, debe atri- 
buirse no tanto al desarrollo intelectual como al hábito 
de un determinado sentido. Así, la positividad no pro- 
Lsenta una progresión paralela á ios grados. 



Etu, ét la AriimtUcti 



12 



^ ISO — 



Obsei'Vffeiones, — l^ Los niños menores de 8 afiog 
obtienen, tnomo exacta, de los cuprpos, una imagen 
siempre más pequeña de la roal, 6, en otros términos, 
consideran, til objeto más pequeño de lo que es. (Mi- 
eropsia infantil ), 

Este importante fenómeno, ya notado por James» 
suministra indicaciones preciosas para h\ enseñanza 
de inateriíiB como la escritura, la lecturii, el ílibujo. 
Desde luego, la necesidad do que toda figura hecha 
para sor reproducida, tenga proporciones mayores de 
lo común. 

2* El 2" grado pres.enta algo así como una reacción 
por exceso ( macropsia infantil) á la deficiencia del 
primero, para aproximarso los dem:iíi, sij^tiiendo esto 
movimiento de finjo y reflujo, á la medida exiicta. 

3* Casi podría asegurtirse que la mujer reproduce 
las imágenes con más exactitud que el varón, sin que 
los grados presenten, excepto los dos primeros, pro- 
gresión. La rejietición del ó" grado confirma esta 
creencia. 

4" Los varones, exce,pto los de primer grado, co- 
meten más errores por deficiencia que las ñiflas y más 
errores por deficiencia que por exceso, salvo la inevi- 
table crisis de uno ó dos grados. 

5" Acaso la exactitud de esta prueba revelo el desa- 
rrollo do la identificación primaria en detrimento de 
la secundaria, según direcciones opuestas y no para- 
lelas. 

Es un hecho comprobado que la generalidad de los 
artistas guardan adversión profunda á los estudios do 
lógica rigurosa. La excepción, constituiría el caso de 
los genios como Goethe y Wagner. 

6" La distancia entre una reproducción máxima y 
mínima (distancia entro un exceso máximo y una 
deíieiencia máxima) es en cada grado, excepto el 1* 
y í2^, mayor en la mujer que en el varón, lo quo indica 
menos estabilidad intelectual ( eentralidad ) en aquélla 
que en éste. 



- 181 — 



Apreciación de extensión lineal (Exp. XIV) 





Término medio de la longitud, dada por grado 

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GRADOS 


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11.84 


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6.66 1 12.35 


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- 183 — 



Obsetifaciones. — I* El error que cometen los alum- 
nos al ealc'Lilar ima longitud, os, generaliuentLí, por 
ixeeso. La exagoración do este proceso os mayor en 

niña que en ol varón. 

2* La exactitud tiende á notarse más en los g*i'a- 
dos '¿°, 4°, Ó" y 6°, que en los 1*" y 2*, considerados al 
efecto, como dos gruptís, dentro do los que no hay pro- 
gresión, lo quo nos indica que ol proceso ha sido, en 
casi todos los niños, primario y que la positividad, en 
este caso, no puede sino depender del ejercicio. 

3* Los niños han rriducido las longitudes (unidad 
de medida y extensión á medir ) al raotro, calculadas 

Ícon admirable aproximación. 
I 4* Cuando las unidades de medida guardan entre 
sí, relaciones que varían entre 1 y ¿, ol cálculo de una 
dimensión es hecho, en los diversos casos; con la misma 
exactitud. 

6* Cuanto más grande es la unidad de medida y más 

pequeña la longitud, siendo ésta siempre mayor que 

iquélla; ó cuanto más grande os la longitud y más 

pequeña la medida, desde un límite determinado, la 

inexactitud croco. 

6' Entre la apreciación máxima y mínima de los 
varones, en cada grado, hay menos distancia quo entre 
apreciación máxima y nu'nima de las niñas. 



186 — 



XI 

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— 187 — 



Obnervaí' iones. — 1» El error que cometen los niños 
al^propjfir un volumen es por deficienciaj juzgando 

(con más aproxíniaeión los varones. 
\ 2* De 1* á B** gmdo, hay corrección gradual de 
juicio, tocante á apreciación volumétrica de las cosas. 
k pesar de las ose ilaciones ó crisis de la línea do pro- 
' erosión. 

3* La aptitud para calcular á simple vista un volu- 
len, es, aproximadamente, la misma que para cal- 
ima superficie. 

Los varones calculan cifras más altas que las 
mujeres, lo que puede considerarse como uiui exte- 
riorizaciún segura de mayor inteligencia en cualquiera 
de los dos sexos. 
5* La distancia entre el cálculo volumétrieo má- 
imo y miniuKJ, de un mismo grado, es mayor en 
la mujer qiio en el varón. 

6* Él mínimo do amplitud oscilatoria (distancia en- 
tre la máxima y la mínima de un grado) ó, en otros 
términos, cuando la centrnlidad es mayor indicsa 
que el grado, siendo do intelectualidad más fija, posee 
un criterio más elevado y es más apto á la asimilación 
de loa conocimientos. 



— lafí - 



Comparación á término fijo 



XVII ) 



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Observaciones. — 1* Este experimento nos revela que 
si el niño es deficiente ni ealctiltir una superficie con 
los objetos á la vistíi, esa deficiencia es inueho mayor 
cuando do los objetus no posee sino la imn«ren interna. 
Kl patio necesitaba 4675 baldosas. A la pregunta 
necesitarin mm ó menos de 900, sólo 22 de los 219 
niños contestaron í««íí, la mayor parto de B'^ y 5** 
grado y empleando tiempos ^generalmente mayores, 
comparados con los de los que contestaron menos. 

2" Nos revela, también, confrontando este experi- 
mento con ol XV, que la deficiencia es tanto más 
grande cuanto mayor la direreneia entre la unidad de 
medida y la superficie á medir, no obstante el cono- 



— 18^ — 



eimionto exacto áp las dimeusiones en el segundo caso 
(Exp. XVU). 

3" Lii cantidad do res|>uesta3 negativas á la jjre- 
gunta: sa necedtarían nuís ó menos de ¿OObnldoms, 
eoufírma de un modo absoluto la general ineptitud 
de la mente á retener las dimonsiones exactas de 
una imagen y comparar las unas con las otras, desde 
que hay una especio de obsesión á la igualdad ~ ^ 1, 
corregida muy lentamente por la edad y el ejercicio 
como lo prueba la marcha llena de oscilaciones ( va- 
cilaciones ) de l^á 6"" grado. 

4* Los varones discriminan con más rapidez y pre- 
sentan mayor positividad que las mujeres. 

5'' La di.seriminaciói], positiva ó uogativa, suele ser 
inmediata y suele no .serlo. La inmediata nos indica 
juicios ya formados y reacción inconsciento, exacta ó 
no exacta, pero extraña á la vacilaciún. La mediata 
nos indica una integración coiiRciento, exacta ó falsa, 
según la concurrenciit de los elenientos asociados para 
determinar el juicio, poro no siempre exenta do duda. 

6' ¡Sin que implique una conclusión, las reaccio-. 
nes mediatas son más propias do los niños inteli- 
gentes, excepto ar|uello.s que deben címsidorarse 
como rjj . Xo obstante, im niño inteligente, si está 
habituado á integraciones de la misma especie (caso 
Briosso de 6° grado ) puede automáticamente y con 
segundad consciente, ciar una respuesta positiva. 

7* Do 1° á 2° grado ( un año de ejercicio más y diez 
do edad \ la mente mejora en exactitud y rapidez, no- 
tablemente, la integración de earácíor subjetivo, des- 
pertando las palabras, imágenes de extensión más 
aproximadas á la verdadera. 



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) por 22 que es igual ; 

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veces más 6 sea 8 im 

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:iiestaii 73 t-entavos, 8 nuranjas c( 
lUíplieado por 72 igual á &76. 


8.... 8 +8X12= 9S. 


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ovejas cueataa 72 8, 
r'idido por 72 =: 9 S. 

-12.... 731 - üi 

'c ovejas cueataa 73 í 
íualáíí $. 

— 12ov.... 72 8 — 
ovejas cuestan 72 S, 
¡a S veces más í» sea 

- 12 ov.... 72$ - 

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ovejas cuestan 72 J. 

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- Tabones. 

, 8 ovejas costaráa 8 veces menos 


ov -==9$ 

$, 8 ovojaa coatarán B dividido por 


8ov 8 : 72 = 60$. 

8 ovejas coataráa tanto como aea 
8 dividido por !2 es i^asl á 60 S. 


1 ov.... 72-H 12-6S. 
8 ov.... 8X6 :^ 48 S. 


i — 8 ov. ... 8 -r 72 =9, 
8 ovejaa costarán 8 ^ 72 = 9 $, 


■ 8 ov. . . . 12 T-^^^^^^^ 


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Si 12 ovejas cuestan 72 $, 8 ovejas costarán 72 -i- 8 = 9 $. 



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Si 12 ovejas cuestan 72 $, 8 ovejas costarán 72 -r- 8 = 9 S. 



Niñas. — ^. ^. - 12 ov. . . . 72 S — 8 ov. . . . 72 : 8 = 9 
Si 12 ovejas cuestan 72 $, 8 ovejas costarán 8 veces menos ó sea 
72 : X 8 = $ 9. 

C. B. — 12 ovejas. . . . 72 S — 8 ov. . . . 8 : 72 :;i: 9 $. 
Si 12 ovejas cuestan 72 $, 8 ovejas costarán 8 veces menos ó 
«ea 8 dividido por 72 que es igual á 9 $. 

L. ií. — 12 ov. . . . 72 S — 8 ov. . . . 72 : 8 = 9 S. 

Si 12 ovejas cuestan 72 $, 8 ovejas costarán 72 : 8 = 9 S. 

72 
J. C. - 12 ov. . . . 72 $ — 8 ov. . . . — — 9 S. 

8 

12 ovejas cuestan 72 $, 8 ovejas costarán 8 veces menos ó sea 
72 dividido por 8 = 9 $. 

72 
M. L. ry. — 12 ov. . . 72 $ — I ov. . . . — — 6 

12 

1 ov.... 6 $ — 8 ".... 8 X 6= 48. 
Si 12 ovejas cuestan 72 $, 1 oveja costará 72 : 12 = 6. 
Si 1 una oveja cuesta 6 $, 8 ovejas costarán 8 X 6 = 48. 

E. C?. — 12 ov. . . . 72 $ — 8 ov. ... 8 X 72 = 576. 
Si 12 ovejas cuestan 72 $, 8 ovejas costarán 8 multiplicado por 
72 que es igaal á 576. 

Jf. tf. — 12 ov. . . 72 $ — 8 ov . . . 8 : 72 = 9 $. 
. Si 12 ovejas cuestan 72 $, 8 ovejas costarán 8 veces menos 6 
sea 8 dividido por 72 igual á 9 $. 

M. L. 12 ov 72 S 

12 

1 ov — 

72 

8X72 

8 ov -^^ — = 29 $. 

12 



Ens. d* la Aritmilica. 13 



— 19+ — 



Si 12 ovejas cuestan..., 72 8,8 ovejas costarán 8 muUipticad» 
por 72 y flívitlido por J 2 y cosUrán entre t*ido 29 S. 



C. M. — 12 ov. . . 72 S — 8 ov. ., , 8 : 72 = 71. 
Si 12 ovejas euestati 72 S, S ovejas cúst&ráit 8 vet&s menos 6 sea. 
8 flividíílo por 72 que es igual á 71 $. 



/i. O. — 12 ov 72 S 

72 

1 ov , — 

12 

8X73 

8 ov .... -^^^ = 29S 

12 



A. N. — Bi 12 ovejas cuestan 72 $, 1 oveja me costará 72 sobre 
12. Si una oveja me cuesta 72 sobre 12. S oveja.s me costarán 8 
multiplicaiio por 72ydiviilido por l:í une es ig-ual á 29 $. 



R. O. — 12 ov. 



72 S 



8 ov. 



Si 1 2 ovejas cuentan 72 S, 8 ovejas costarán 8 veces menos 6 sea 
72 dividida por 8 que es igual á 9 $. 



J. F. — 12 ov. . . 72-1 ov 



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72 
8 

1 ov. .. 6 — 8ov.... 8X6 = 48*. 
Sí 12 ovejas cuestan S 72. 1 oveja coataiá 12 veces menos ó sea 
12 disidido por 72 que cu igual » S 6. í>i I oveja ínesu $ 6. 8 ove- 
jas costarán 8 veces más é aea 8 multiplicado por 6 que es ignai 
áS-J8. 

/í. í'. — 12 ov. . , . 72 S — 8 ov. . . . — = 9 S 

8 

Si IdovojaH (.'ueatan 3 72, 8 orejas costuran 72 vecee menos & 
sea 72 dividido por 8 = S 9. 

72 

S. E. y. - 12 ov . . . 72 .S — 8 ov . - 8 = 9 S 

8 
Si 12 ovejas cuestan 72 S, 8 ovejas costarán 72 divíJido por& 
igual á 9 S. 

R. A. Y. ~ 12 ov. . . , 72 S - 8 ov. . . . 8 -. 73 = 9 $ 
íji 12 ovcjüB vülcn 72 $, y ovejas costarán 8 veces menos ó sea 
B dividido por 72 .^ que es i^'^unl á !;} $. 



— 195 — 



3er Orado Superior. — Varones, — L, C, — ]2 ov.... 
72S — 8 ov 8 : V¿ = & %. 

Si 12 ovejas cuestan 72 $, 8 {>veja.s (tostarán 8 vbl'^s mt>nos ó lo 
que es igaal 8 dividido por 12 que es i^'ual á 6. 

^P P, C. — Si 12 ovejas cnestan 72 $, 8 ovejas costarán 8 veces 
menos ó lo que 69 ¡goal á 72 dividido por 8=9$. 

■ AT. <7. -- 12 ov. , . . 72 S - H ov 8 : 73 = 9 
Si 12 cuestan 72 §,8 dvejiu costarán menos ó aea la división de 
8 entre 72 = 9. 



I T. J. — Si 12 ovejas valen 72 $, 8 ovejas valdrán 72 veces menos 
5 sea 72 : 8 = 9$ que valen las 8 ovejas. 
fu 



V. M. — 12 ov 72 $ — 8 ov. . . . 72 : B ^ S 9 

Si 12 ovejas cuestan 72 S, 8 ovej»s costarán S 72 : 8 = í 9. 

J. J. M.— Si 12 ovejas i'uestan 72 $, 1 oveja costará "2 dividido 
íor 12 igual á 6 | y 8 ovejas costarán 6 X ^ — '*®' 



J. ií. — 12 ov. . . . 72 S — S ov. . . . 72 : B = 9 S. 
Si 12 ovejas cuestan 7¿ 3,8 ovejas costarán 72 «lividido entre 6 
^ne es igual á 9 S. 

f ff. S. — 12 ov. . . . 72 S — 8 ov. ... 8 : 72 = 9 1 

.Si ¡2 ovejas cuestan 72 %^ Bovi^jas contarán 72 vecen menos ó sea 
72 sobic 8 qae es Í5,'ual á 9 S. 

f. M. - 12 ov ... 72 $ — 12 ov. ... 72 : 8 — 8 
Si 13 ovejas constan 72 S., 72 menos 8 será ig^o&l 8 $, 



SrÑAS. — C. J. - 12 ov 72$ 

72 
^"" ñ 

8 ov -^^^^- " 48 $ 

12 

$i 12 ovejfts cuestati 72 $, 1 oveja costará 12 veces menos ó sea 
72 sobre 12 y 8 ovejas costarán 8 veces más ó sea 8 moltiplieado 
por 72 y dividido por 12 qne es igual á 48 S. 



— 196 — 

M. B. — Si 12 ovejas euesUn 72 $, 8 ovejas costarán 8 veces 
menos ó lo que es lo mismo. 8 díviiSiJo entre 72 que as igual 4 9$. 



L. Y. ií. — 12 ov . . . . 72 S - 8 ov 72 : 8 = 9 | 

Sí 12 ovpjaa cuestan 72 S, 8 ovejas costarán 8 voces menos ó lo 
qttu es igual 72 : 8 = Sí $, 

Á. C. — 12 ov 72 S — 8 ov 8 X 72 X 576- 

Si 12 ovejas cupstan 72 S, 8 ovejas costaran 8 veces más 6 sea 8 
p«r 72 que es í^fual á 576. 

E. de la A. — Si 12 ovejas cuestan 73 $, 1 oveja costará 12 veee* 
menos 72 : 12 = 6 Si si 1 oveja cuesta 6 S, S ovejas costarAn 8 
veces más ó lo que ps igual 6 X ^ =; 48 í. 



1'. ¿\ — 12 ov. . , . 73 S — 8 ov. . . . 8 : 72 == 64. 
iSi 12 üvejae ctiestaii 72 S, H costarán 72 veces menos ó Como sea 
72 ilivídiilu por 8 que es íg^Ual á 64 $. 



T. O. — 12 ov. . . 72 S - 8 ov . . , 72 : 8 — ff $. 
!5i 12 ovejos cuestan 72 $, 8 ovejas costarán 72 vet-es menos ósea 
72 mültiplieadu por uno y diviiliUt> por 8 que es íguíil á 9 $ . 



fí. G. — 12 ov 72 S — 8 ov T2 + 72 = 864 

Si 19 ovejas cuestan 72 S, H ovejas coatará o 73 -j- 72 = 864, 



ií. <V. — 12. . . . 72 — S. , . . 73 : a = 9. 

Si 12 ovejas enestan 72 S, 8 ovejas cosiarátt 8 veces ttiils 6 loque 
es lo mismo 72 dividido por 8 que es i-jual á 9 $ que cuestan las 
8 ovejas, 

M, P. Y. - n ov. . . 72 J — 8 OT 7^ : S = 9. 

Si 12 ovejas cuestan 72 $, H ovejas costarán 7^ veces menos b 
sea la división de 72 por 8 ig'oal á 9 $. 



D. L. — V¿ov . . . 72 S — 8 ov. . . . 8 : 72 = 9 S 
Si 12 ovejiís cuestan 72 $, 8 ovejas costarin 8 Te««« menos ó lo 
que es lo mismo 72 dividido por 8 qne es igual á 9 S. 



Á. M. — / íá ov. 



72 



8 

8 ov — = 

73 



tí vl2 ov,... 72 — 8 ov "X8 = 

h 12 ov 72 — 8 ov. . . . 72 X ^ = 576 



197 



Si 13 ovpjaa cucatnii 7:i S, >^ ovejas costarán 72 veces masó sea 
72 muhipliuadü por 8 que es igual á 57C $ quo cuestan [os 
8 ovejas. 



M. E. r^. — 13 ov Ta $ — H ov . . . . 7á T et = í» $ 

Si 12 ovejas cuestan Tii S, las 8 ovejas costarán 8 veces menos 
ó lo que es [o mismo 7:2 (lividido eutrc B que es i^ual ú 9 $. 



E. E. !\ — 12 ov. ... 72 * — 8 ov T2 • ñ — 9 

Si iá ovejas cuestan 72 $. 8 ovejas costarán 8 veces menos ó lo 

r]ae es lo mismo 12 tS que es Id que cuestan las 12. dividido por 8 

ii^ual á f) S que cuestan 8 ovejas. 



C. /A — 12 ov. . . . 7í $ — H ov B : la r= 

^Si 12 ovejas cuestan 72 I, 8 ovela?; contarán 8 veces naeno» Ó lo 
ee igual 8 dividido por 72 — 0. 



M. .V. íf. — 12 ov. . . . 72 .í ~ 8 ov 72 : 8 — 9 S. 

Si 12 ovejas ciie.stan 72 ?. h ovejas costaráR 72 veces meno."! 6 
lo qae «s lo mismo 72 dividido entre 8 que es i^ial á t> 3. 



"^2 

a, T. — 12 ov. . . 72 S — 8 ov. . . . = 9 $ 

8 

Si 12 ovejas cuestan 72 S. 8 costarán 8 veces menos ig^al á 9 $ 
que ea lo qne i-aestan 8 ovejas. 



A'. J' — 12 ov. . . . 72 8 — 8 ov. . . 8 — 72 — 84. 
Si 12 ovejas cnej^tan 72 St B ovejaN coatarái] tanto como Bca ta 
resta de TÁ menos 8 qne es igual á 9 S- 



J. K — 12 ov. . . . 7ü S — 8 ov 72 : 8 = fl S. 

8i 19 ovejas cuestan 72 $, 6 ovejas costarán 72 veces menos ó lo 
que «H lo míüino 72 dividido entre 8 que t.% igual á £> S que cuoatati 
laa 8 oveja-s. 



E. W. 



V2 ov. 



■S — 8 ov 



72 



8 ov 



— 198 — 

Si 12 ovejas cuestan 73 S, I oveja costará 73 veces menos o sea 
72 sobre 1. >Si una oveja cuesta 7á sobre 1, 8 ovejas caatarán 8 veces 
más ósea 72 dividido per Sigoalá 9 3. 



Á. íi.^ U 12 

72....... 72 : 12 = 6 

6... 6XS = 4í(S 

Si 12 oveJBB cuestan 73 5, es igual á 72 dividido entre 12 qne da 
6 $ y laego hay que multiplicar 8 por 6 queda 4b $, 

M. /?. J, — 12 ov . . . . 72 S — 8 ov 72 : 8 = fi S. 



A. de M, — 12 ov. 



1 12X72 

72 S — 1 ov... =8 ov... -^^ 
72 8 



1.08 



Si 12 ovejas valen 72 9, 1 oveja valdrá 12 veces menos 6 lo que 
gea, 1 sobre 72. Ocho ovejas valdrán 12 veces mas ó b que sea 12 
por 72 y dividido por 8 que es igual á 1.06 ceutavos. 



4". arado, — Varones. — i?. B. — üi doce ovejas cuestan 72 S, 
8 costarán tanto como sea el cociente úo las siguientes Csntídade* 
que cetas son 72 entre 8 que es Igual á 8 pesos. 



M. B. — Si 12 ovejas cuestan 3 72 una ov<3Ja eo&tará 12 veces 
menos. 

C. C, — .Si 12 ovejas cuestan 72 $ 8 costarán 8 veces más y 1 
oveja 8 vecoa menos igual á ^4. 

R. E. — .Si 12 ovejas cuestan 72 $, 8 ovejas coetaran tanto eomo 
sea la división de 12 dividido entre 72. 

L. E. F. ~ Si 12 ovejas ... 72 $ — 1 ov 72 vece» menos ó 

sea 72 dividido X 1^ QH'' ^^ igii^l á ^■ 
Si 1 ov..., íF 5 8 ov.... jcXS = I'- 

B, G, — Si 12 ovejas cuestan 72 pesos, una oveja costará 72 divi- 
dido por 12., sí 1 oveja cuesta 6 pesos 8 ovejas costarán 8 veces m¿$. 

F. M. — Si 12 ovejas en están 72 $, 1 oveja costará 72 veces me- 
nos ó sea 72: entre 12= J-. 1 oveja cuesta j-, 8 oi-cjas costarán x 
veces más ó sea igual á j-X^ = ''• 



lyy 



M. — Si 12 ovejas cuestan 72 $ cuánto costarán 8 ovejas ; le 
testo ¿12 — 4^8 y si cuestan 72 J costarán 7 sobre 13 ¡(¿^ual á 

8 S una oveja costará. Si una oveja cueata tí x, 8 oveja* cyslarán 

^^^ veces más ó es igual á .r. 



42 



L. M. H. — Si la ov. . , . 72 S — 1 ov. ... ^ = 6 

12 

1 ov.... 6 8- 8ov.... SX^X-iS. 

Si 12 ovejas ciiGstau 72 $. B ovl'jqs costiván 72 veces 8 menos ó 
lo que será igual al resultado qne ilan las operaciones ya indi- 
icadas. 



^^ E. S. — Si 12 ovejas cuestan 72 S, 1 oveja costará tanto como 

I sea ta división de -- =8, 1 oveja cuestas, ocho ovejas costarán 
1 la 

B por 8 = 64. 



I 



R. A.— Si 12 ovejos cnestan S 72 una oveja coít tara $ 72 menos, 
ovejas costarán 8 veces más, 

J. P. — Si 12ov.... 72 S — 1 ov..-. Z^ =0 

12 
1 ov ... 6 S .... 8ov.... 8X6= 48 S 
Si doce ovejas cuestan setenta y dos peaos ocho ovejas costarán 
clro veces más v «na ocJio veces menos. 



Niñas. — M. A. —Si 12 ovejas cuestan 72 S, 8 ovejas costarán 
73 veces más ó lo que ea lo mismo 72 X ^ ^ 



M. M. A. — Si lá ovejas costarán 72 S, 1 oveja costará tanto 
como sea 72 : 13 ^ Sí I oveja cueata tanto, 8 coatiuñ tatito como 
lea lo que cuesta 1X8== 



Bini 



S'. C. — Si 12 ovejas cuestan 73 $, 1 oveja costará 8 veces 
enos . , . . 



A, C. — Si 12 ovejas cuestan 72 S, cnanto costaráti 8 y 1 cuesta 
8 veces menos. 

J. C. — Si ílofo ovejas caestan 72 -S, 8 ovejas costarán tanto 
como sea !a división de 72 entre 8. 



M. C — Si doce oveja» cnestan aeteaia y dos pesos y se quiere 
I «aber cuánto cuestan oc lio para esto tengo que dividir aetenta y doa 
doce. 



- 200 — 



L. F. — Si 1:2 ovejas encatan $ 7á, una costara — que es igrnal 

12 
á. 8, ahora sí 8 orejas lo divido 72 : 12. 



A.G. — Si 12 ovejas cuestan 72, $, 8 ovejas costarán 8 veces 
menos. 

Jí- G. -— Si doce ovejas cnefltan setenta y dos pesos, ocho ovejas 
costarán ocho veces menos. 



E. L.^Hi 12 ovejas cuentan 72 S, 8 ovejas costarán 8 veces 
para esto se divide el valor de las 12 ovejas por 8 y eso es lo que 
va á costar las B ovejas. 



T". 3/. — Si 72 ovejas cnestan 12 S y quieren saber pu.into cues- 
tan 8. Costarán 1 oveja cofstará 72 veces incn(»B ei una oveja cues- 
ta 72 veces menos 8 ovejas costarán 8 veces más. 



S. M. — Si 12 ovejas cuestan 72 S, 8 ovejas costarán 8 vecea 
más que 72. 

M, H. - Sabemos que la ovejas cuestan S 72 ; fttiora qniero sa- 
ber cuánto cuestan 8. Si 12 ovejas cuestau $ 72. una oveja costará 
73 veces menos 6 sea 72 «lividídu por 12. Si tina oveja cuesta jt, 8 
ovejas costarán ocho veces mas ó sea j- por 8. 



E. M. R, — Si 12 ovcjiís cuestan 72 S 8 ovejas costarán 8 

veces menos 6 lo que es lo mismo 7á ; 8 := 



M.S,S.— 12 ov. 
I ov . 



72 í — 1 ov 
8 I - 6 ov 



72: 12 = S 
. 8X6 = 48 % 



H. U. — Si 12 ovejas valen 72 S, 1 valdrá 12 S menos y 8 ovejas 
8 veces más, 



.V. M. {'. — >SÍ 12 ov. . . . 73 í — 1 ov. , 
8 costarán 8 veces más. 



72 
13 



= 8 



Si 12 ovejas cuestan 72 S y quiere saher cuánto costarán &. para 
esto teng'o que dividir lo que valen las 12 por 8, 



M. V. — Si 13 ovejas coestan 79 I, 8 ovejas costarán 8 vece» 
menos ó lo que es lo mismo, 8 dividido por 12 que es igual. 




I 



8X« = 48 $. 



Si 12 ovejas mi? cuestan 73 $, 1 oveja me costará menoB 6 sea 
72 ilivuljdQ por 12 = S 6 que mo cuesta una. 

yabenjuB (|ue I oveja cuesta seis pesos, 8 costarán niAs ó sea 
8X 6 = 48 8 que niíí ciiestum las H ovejas. 



73 



6 ^ 



I 
F. J/. — Si 12 ovejai caestaii 72 ?, una costará — 
12 
Si 1 oveja cuesta 6 $, 8 ov^ejas costaráu ñ veces más 6 sea 
8 X 6 ^ 48 S . . . 



72 : 12 = 9$ 



J. R. - láov.... 72 8 — 1 ov. 

8 ov.... exe — 'is S 

Se trata fie saber ol valor fie 8 ovejas sat>icTnlo que 12 ovejas 
cueatau 73 S, Si 13 ovejas euoston 72 $, una oveja que es menos 
costara tonto como sea 73 dividiHo entre 12^$ G que <'3 el vater 
de una oveja. R ovejas costarán tanto cotuo sea ñi jiroducto de 
el valor de 1 \mr 8 ovejas r= 48 jwísos. 



F. P. — I. Se trata de averiguar e¡ valor de 8 ovejas teniendo el 
, valor de 12. 

11. Eiatos conocidoi : ov, S 72 y 8 ov. 

III. " desconocidos ; valor de 8 ovejas 

27 

IV. Valor de ona oveja ^ — -^ X 

12 
V. Valor de 8 ovejas j- X 8 = ^ 

Valor de una ov. ^:^ — = $ 6 
12 
" « 8 " ^ 6X8=48$ 



8i deieo hallar el valor de 8 ovejas teniendo de 12 que es ? 72; 
tengo primerainente que hallar el valor de 1 oveja que es igual á 

i^ =r $ este resultado lo inulliplico por la cantidad de ovejas ó 
sea 8 y me da $ 48 valor Je la? 8 ovejas. 



202 — 



A. P. — 12ov.... 73 S 
8 ov X % 

1 ov... 1^X^ = 81. as 

12 

8X1-33 = 

Si flábémos que 72 % equivalen á 13 ovejas, 6 Dvejas eqaíral- 

drán á — ^— que rae dará un igual de S 1.33 cada oveja v 8 

72 
costarán 1.83X 8 ^ lu.64. 



3f. — 12 ov. 



í2 S — 1 ov 



6 % 



Si 12 ovcjns han rostadó 72 $ y ee des^A saber cuánto cac«taQ 
8. Aveiig-uo prÍTiK'rú ruánto cuesta iitift que ea 6 S, Inego 8 ovejas 
costarán 48 S, basóndtime eti la multiplicación de 6X ^• 



F. 1\ - láov 72 S — I ov, 



6 8 



8 ov.... 6X.s = 4aS 
SabemoB que X2 ovejas cuestan 72 % y queremos saber el 
valor de 8 tendremos que bascar primeramente el valor de ana 

qie será el reüultadu de Iíl división de _ = 6 $. Sabemos que (I 

12 
valor de una oveja es fi t para Babor el valor de 8 ovejas tendre- 
mos qne multipliear SX^^'^S que es valor 8 ovejas. 



NlÜAS. 


— C. 


A. 


— 12 


ov. . 


72 


72 








1 


ov . . . 




= 6 



12 



72 



8¡ 12 ovejas coeatan $ 72. í ov. costará monos 6 sea — que es 
igual ft € que cuesta cada oveja 



B. A. — 12 ov 



72 S 



1 ov..., Z^ = 6 
12 



8 ov..., 8X,6 = 48S 
Si aabemoa que 12 ovejaü han costado 72 S y s0 desea sa* 
ber f iiántu cucstao 8 ; tendretna<< que itna oveja costará el nñmero 
de ellas por los peatis que es G $ cada una, ahora 8 eosfarán lo que 
vale una por ei ni'inipro de ovejas. 



— 203 



M. J. ^ 12 ov, , . . 72 S — 8 üv — — b$ 

12 
8 X » = 48 
Sí 12 ovejas cuestan 7á S, H ovejas temlrán que costar tanto 
f«iniO 79 contenga á 12 costará cada oveja y sean (i $¡ y multi- 
plico 6 X ^ ^ 'í'* 1"^ ^^ 1** ^l**^ cuestan ias H ovejas. 



73 



IJf. £. — ]2ov,... S 72 - 1 ov.... :^= 6$ 
12 
I ov..., S 6 — 9 ov.. 8X6—48 
Como sé q\io 12 o vejan cuestan 72 $, para salier cuánto cuestan 
ovejas tengo que averiguar cnanto cuesta 1 oveja, para esto 
divido 72: 12 ;= 6 S. luejü^o si 6 $ cuesta 1 oveja, 8 ovejas costa- 
niti más. es decir 8 X ^ — 48- 



I 



s.a— 12 ov.. 



7a 



$ 72 — 1 OT.... If = 68 

12 
8 ov.... 8X6 = 48 S 
En este problema »e desea saber cuánto costarán 8 ovejas y sa- 
bemos que 12 valen § 72, 1 oveja valdrá 12 veces menos para sa- 
ber cuánto vala caifa nnm. pero se desea antier cuñnto valen H 
raldrán 8 veces más que es igual á 48 3. 

If E. a — 12 ov. . . , 72 S - 8 üv. . , . iiX^ = $ 48 
I 12 

Si 19 ovejas cuestan 72 ,|. 8 ovejas costarán menos ó sea 72 que 
es lo t|UP lian costado 72 por 8 y sobre 12 y tengo que es igual á 
48 S que han costado laa 8 ovejas. 



^f,E.f^— 12 ov. 



72 $ — 1 ov 



la 



a ov..... 6X*^= -lí^S- 

Si 13 ovejas cuestan 72 $, una oveja costará tantos pesos 
Como sea las veces que 12 esté contenido en 72 que es íg'Unl á 6 I? 
que cuesta rniia unn^ puro coinu de^eamoü saber cuánto nos 
costarán 8, no» bastará innUíptícur lu que «uesta una (tur 6 que 
igual á 48 |. 



Z,ü. — 12 ov.. . S 72 



7-? 
1 OV..., Í^=z6$ 

12 

8 ov.... 8X 6 = ^8$ 

Se desea saber cuánto costarán 8 ovejas ai 12 cuestan 72 $. 

^ara esto me bastará dividir 72 por 12 que es igual á 6 $. Y para 

'•aber cnanto cuestan 8 tendré que mnllíplicar 8X® L]ue ea igual 

á 48 y es lo que vnleu las 8 ovejas. 



— 204 - 



F. /).' T. - 19ov ... § 72 



1 ov. 



6 S 



1 ov 6 $ — 8 ov. 

Sé qae 12 ovcj&s kau eú»ta.do 72 $, para Kabi?r cuánto cuestan 
8 ovejas y aé que ona vule 6 $ teng'o que mnltiiiücar 6X 8^-i^. 



J, jV. f". — 12 ov. . . . 7á S - H ov. . . . 72 : 8 = » S 
Sabi?raort que 12 ovejas cup^stan 72 J, y como el probleroa pide 
cuánto costarán 8, para saberlo tüiulré que efectiiaJ* la> sigiiífetite 
iJiviaión 72 : 8 = á 9 S que es b que cuestan 8 ovejas. 



C. K— U ov 72 S — 1 ov 72 : lá = 6 8 

8 ov.,,. costaran 8X6 = 48 * 
Si 12 ovejas cuestan 72 $, una oveja costará lanto como 72con- 
Unga á 12 que os íg^ual á 6 $ pero como nos pide H ovejas é»taí 
costarán G veces más ó sea 6X 8^488 que cuestan las 8 ovejas. 



A. rff M. — V2 0V.... 72 $ — 1 ov. . . . Ir — 6 S 

12 

8 ov 8X6 = -18 S 

Si 12 ovejas cuestan 72 S, I oveja eostará tanto como sea el 
pocicrilp ih dividir 72 entre TJ ó sea 6 ?. 

Aliorii, ai una oveja cuesta 6 S, B ovejas costarán 6 veces más ó 
Nna fí X^ <iu<^ ^^ igual á 48 S. 



A, (i. . - 73 : 12 = 8 e Cftila oveja ; B X S tí = 48 $. 

8¡ lú «vejas eaestan 72 S y desíeatno-i saber cuánto costarán 8 
i!(' (dlik!« tih' bastiirá hiillar el preí'io do cada una y lueg'o iiinlti- 
pliciirlú por las 3 ovejas hallando asi til precio de éstas. 



/, K. - 13 ov. . . . í 72 ^ 8 óv. . . , 72 X 8 = 576 S 
Si 7i} $ t^iiitstiin 12 ovejas, 8 ovejas costarán 12 veceü más que c$ 
SiíUfti a ft7fl $, 



a/i. --19 0V, ,. 7fl« — 8ov. 



72 



= 9 S 



Sfibiend» tiirr lii« l'J ovejas cuestan 72 $,8 ovejas coBtaráti tanto 
como 8 ("Nle eutiténido en 72 que es igual á í) $. 



A. L — 18 iiv .... 72 S - 8 ov. ... TaX*" = ^"^ 

Sabemos i)n{i 12 <>vejnH «^uüHtan 72 S, 8 ovejas co&tardn tanto 

como sea la nnilliplirainíin «le 73 por 8 que es ii|:ua! á S 57rt i|ue 

eg lo qite eueslau ui» H U'\'OJflS. 




- e ov ... lÍKZH = 9.8i 

8 
Se Jesea saber cuánto costarán 8 ovejas sabiendo que 10 ovejas 



cuestan ;{ 72 ; subcmos que 
8 



72 es el valor de 12 ovejas el de 8 



t«ri ignul á 



.!. M.~ 12 ov. 



S 73 - 8 ov. 



73 
8 



9S 



Si 12 me cuestftD 72 $ ; 8 me roatarán 8 veces metió* puesto que 
lotí menos ovejas ; teng^o pues que dividir 72 entre 8 y tne da 
S que v^alen 8 ovejm. 



V. O.— 12 ov.... 72 $ — 1 ov.... _— tí § 

lá 
1 ov..., 6 $ — 8 ov....Xfi = -18 
Si 12 ovejas costaron 72 $, «na coatarú tunta como acá el cu- 
|«ionttí de diviilir 72 entre 12 = G que es el rolor de uua, ahora si 
vtta cucata G $. 8 ovejas costarán tanto como seí el pruducto de 
8X8=-Í8 ?. 



S. P. — 12 ov 



72 S — 8 ov 



72 
8 



3 S 



Si 12 ovejos cuestan 72 $. H ovejas que son menos, costarán me' 
72 

8 



72 
Laos 6 sea — igual 'á 9 $. 



J. i?. — 12 ov. . . 72 í — 11 ov. . , IB = e 3. 

12 
1 ov. . 6 S — íi ov. . . . 8 X 6 = 48 S 
Si 12 ovejas cuestan 72 pesos, para saber cuánto cuestan B, pri- 
h-taero tendré que saber el valor de una nas lo hallaré dividiendo 
'72 entre: 13 ^6 que strá el valor de 1 oveja. Ahora, si 1 cuesta 
6 $, 8 co.^t&rá(i 6 veces más qu(r ea igaal á 48 S lo que cuestan 
las 8 ovejuR. 



— 206 — 

^, S — 12 ov. ... 73 S — 8. ... $ 9 

Como 80 qoe 12 ovejas cuestan 1^2 S y nuisicra saber ctiánt» 
cuestan 8, debo üividir S 72 entre 8 y mu da ptn- resultado $ 9 
que éa lo iitte cuestan las 8 ovejas. 



T. S. - 12 ov 72 S — 1 ov l^ — ^G 

12 

1 ov 6 $ — 8 ov. .. 8X6 = 48 

Como ñé que 12 ovejas cuestan 72 $, una costará tanto como 
sea 12: 12 = fi S que üs lo que vale tina oveja, ahora laa 8 coata- 
rán tanto como sea el producto de nuillipUcar et número de las S 
ovejasX^ $ Q^c COEtalia una que es igual á 48 S. 



R. T.^ 12 ov. . . 72 S 



8 ov. . 



72 



=:9 S 



Si sabemo'i que lá üvejas cuestan 72 $, 8 tendrAii que eostar 
menos ó sea dividir— quees ig^ual á 9 S que cuestan las 8 ovejas. 



C. T. - 12 ov 



72 8 -- e ov . . 



72X8 



48 



12 



Si 12 ovejas cuestan 7:^ $, 8 ovejas eqstarán tantos pesos como 
sea el producto de 72 X*^ sobre ducí^ que es igual á 48 S. 

12 V ft 

Sabemos que 12 ovejas cuestan 72 $; 8 ovejaa eostarán — r.^^ 



TÉ 



que es igual % 1,S3 quo en lo qa^ euefita ana. 



72$ - 1 ov.. ..If. 
13 

8 ov.... 11X^ = 848 

Si 12 ovejas cuestan $ 72, una costará 12 veces menos, 6 cos- 
tarán 8 vece."! más que una que ea igaal á 48 S. 



9° QtaíLo, — Varones. — K L. — Debo ante todo saber cuánto 
me cuesta una ov^ja. para lo cual diviilo 72 que es valor de 12; 
efectuado e!;to multiplico por 8; y luego tengo Lo pedido. 



J?. £. — Conozco el valor Je 12 ovejas porqne toda el problema 
que es de 72 $, pero conozco el de 8 ovejas y tenifo primeramente 
que plantear lI problema y digo ; 12 ovejas cuesitmi 72 S, 1 coatará 



— 207 - 



!tine es ::= é 6 v entonces si 1 cuesta 6 S, 8 costarán 7 vecea más 
12 
t6 Iq que es lú mismo 8 X6 = *8i v^ot de l&s 8 ovejas. 



A. L. — Tengo f[m> hallar el prwiti de una para saber el de laa 

y digro : Si 12 oveías mo uaestan 7á 5, una mo costará 72 ; 13 

l«e es igv&l á 6 S una y las 8 aeran fi X 6 ^ 48 S, precio de laa 8, 



^H J, P. S. —Sabemos qne 12 ovejas que ae supone que un señor las 
tiene y las ha comprado en 73 S y luego quiere ver cuanto le 
cuestan 8, luego este scuur tendrá que gastar menos por las ove- 
ja» son menos ó nea lo que le cacistan laa 12 que es 72 $ dividido 
entre 8 y e« igual A, O $. 



' //. fí. — 12 ovejas, cuestan, scg^iin el problema | 72 y tengo que 
saber cnanto costarán 8 do ellas; pero sin saberla que cuesta una 
no pudre saber lo que eucslíin 8; efectivamente, hay que resolverlo 
por el métuiio de la unidad. Rt'prescntamos por el mimcro de pesos 
que costarán las ü ; si i¿ cuistau 72 S, 1 o sea la duoileciiua 

73 



(»artG db éstas coatará 12 veces menos ó sea 

7¿ 

ran 8 veces más que una igual á — X ^ =^* 



Aliora 8 costa- 



la 



B. L. — Si 12 oveja» cuestan 72 J,, 8 ovejas que es un número 
menor de ovejas costarán menos ó lo qae es lo mismo 72 : 12 qne 
será loque cuesta cada una pero como son 8 multiplico y me dará 
■ lo que cuestan juntas las ocho. 



J.€. C.^Si 12 ovejas cuestan 72 S tina costará 72 veces menos 

72 
sea - = 6 pesos, 8 ovejas costarán 8X 6^ 48 pesos. 

12 



^m R. R. — Si 12 ovejos cuestan 72 S, una oveja costará 12 ve- 
^H(es menos, ea decir — que es igual á 6 $ qne es lo que cuesta ana 

oveja; abura para saber lo qu^.' cuestan 8 multiplico lo qne cuesta 
una ó sea 6 $X^ qu^* ^*^u las ovejas y tengo 48 $ que cuestan 
^^as ocho ovejaSi 

M. V. —.Si las 12 ovejas v^alen % 72. Para saber el valor de 8 de 
ella.H primeramente tendremus tjue buscar el valor Je una en este 
caso podemoí! representarlo por i x }. Si 12 ovejas cuestan $79, 



^ 20» — 

nnA cn^t&ra 12 vee6« menos ó lo qne ea lo mistao que — ign*] 

12 
fx). Como s&bemoB que ntiA oveja caestA {-x} pesos; 8 oveJAS 
eostAránS veces taíA lo qae es i^&l i j^^^^^ peao&, ralor de 
las ovejas. 



SiSaíí — J/. 1. — Si las 12 ovejas cuestan $ 72, ana oveja eo*- 

72 72 

tara 12 ve<!«H laenos ó — ; ahora »í nna cuesta — las 8 ovejas eosta- 

12 12 

72 

rán 8 veces más 6 sea __ multiplíeado por 8. 

12 

F. de T. — 12 ov 72 S — 8 üv. . . . 73 X 8 =576 $ 

Como el problema dic« que J2 orejas cuestan 3 72 y &e desea 

sal>(?r cuánto cuestan 8 ovejas nos bastará multiplicar 72 X® P&r& 

saber lo que valen 8 ovejas qae es igual á 576 S. 



S. S. — 12 ov. 
1 qv. . 



$ 72 - 8 ov... 
12X8 

7a 



»$ 



$ U33 



/f, E. — Fara saber lo ([üe me cuestan la$ 8 ovejas, tengo que 

72' 
hallar el valor lie una oveja para esto divido — ^6 que es lo que 



me cuesta cada oveja. 



12 



O. C. — Sé que 12 ovejas le cueaian 72 S, 8 ovejíis le costarán 8 
reces meaos ó sea igual á la dil'ereacía ó división de 8; 82= £j. 



E. C — Para saber caAotü cueHtan 8 ovejas tengo prinñero qoe 
hallar el valor de 1 para lo cual digo: si 12 ovejas cuestan se- 
gún el problema $ 72, una oveja, <]ue son menos que 12, costarán 
tanto como las veces que 12 este contenido en 72 que oa íg^nal & 
i 6 qne es el valor de una oveja. Entonces : si nna oveja vale $ 8, 
oclio ovejas que son más, valdrán S veces más ó sea fiX8= I 48 
qne es el valor de tas 8 ovejas. 



J. C. ^SiI2 orejas cnestan 72 $, 8 que son menos eostarin 

72 

— =:^ ; ahora si 1 cncsta 6 S ; 8 qae son más será igrial i 

b 

eX8 = -*s 



— 209 — 

C. F. — Si 12 oviíjas cuestan S 7á, ana fostará menos, ca decir 

72 

-^ :^ 6 ?, ahora, si se desea saber ctiánto costarán 8; vafdrán más 

2 

sea 6 X S igual a -ÍS $ «jae ca lo qoe piíie el problema. 



E. £, — ¡>i 12 ovejas cuestan 72$, una uveja que es 12 veces 

72 
aenos fostará - = 6, también pregunto cuánto coatarán 8. Si una 

12 

reja cuesta G $. 8 eüstarón 8 vecea más ó soa 8 X (J = ^9 $ <li^ 

ÍH lo que cuestan las & ovejas. 



1/. />. J/. — ( tostando 12 ovejas 72 $ ; para liatlar el precio 
3c ücho ten^o que liailar prinuTO el precio de 1 oveja. Para esto 
diviiio lo que valen las 12 ovejaíi sobre 12 que e9;=6 5. Si nna vale 
6, tS valiirán 8 veces man qm? ca iguala 4tí S. 



G. O. — Si 12 ovejas cuestan 72 $,, 1 oveja costará menos Ó sea 
= 6 y acostarán 6 vetes más ó sea Hy(^ti = ifi J, que es lo 
|tie cuestan laa H ovejas. 



.1/. h. P. — Si 12 ovi'jaa cuestan 72 $, 8 que son menos costarán 

72 
)ce víces menos ó sea — qne es igual 6 $. Alictra si una cuesta 6 $, 

12 

'8 que son más costarán también 8 veces más ó sea8X*^ l"^ ^^ 

iííaal á $ 4H. 



t/. /*. ~ Si 12 ovejas cuentan 72 S. 8 costarán menos ó lo que es 

7-3 

mismo — = 8 qoe es lo que cuesta una, asi que las 8 me cos- 
ía 
irJn 6 vecea más ó sea 9 X ^ = ^tí. 



A. de las S. —Costando 12 ovejas 72 3, pata saber cuánto me 

72 
SslArá tina tengo qiie--=:e$. Ahora para saber cuanto encataa 

12 

tciígo que multiplicar 6X8= "IS $ que ea lo quL' cuestan las 

ovejas á 6 S caiia una. 



M. li. — Si 12 ovejas cuestan 72 S, una oveja que es menos cos- 
í.rft menos ó sea 6 $. Y sí una oveja cuesta S 6 ; 8 ovejas que 



Ett.r, dÉ la Arítmitica 



!•» 



— 211 — 



EXPERHÍKNTO XIX 

fl" Clrado. — Vahonbe. — A. B. — Un individuo tenía en uit corral 
l2á, en otro 127- en otro 128, en otro 203, y se le muriuTOU 50 y 
I sacó Je las demás 2 pesos. 

//. C — Un individuo tenia en un corral Í22 ovejas, en otro 203, 
y eiitílro 17, y dftspués si? le iimrieron 5(3 3' las que quedaron las 
vendió a dos pesos cada una. ,;('uál es el valor que sacó? 



D. C-^Un individuo tGtiia en nn corral 222, en otro 127, y en 
«trú 17, s« le murieron 5ü y las que quedaron \di» vendió á ra7.ón de 
, dos pesos cada una. 

Á. C. — Un individno tenia en un corral 120, en otro corral 223, 
[y en otro corral 17, y luarieron 50 ovíjas. 



fi. C— Un individuo tenía 122 ovejná en un corral y 17 caba- 
llos y »e le murieron 50, y el resto ¡o vendió á 2 pesos cada una. 
¿Cuánto aacü? 

I J. í*. — Un imlivirtuo tenia en un corral 1Í2 ovejas, en otro 203, 
en el Otro 17 y se le muriertin 30, y le restó 57, y después las 
vendió. 

L. E. — Un individuo tenía en un corral 222 ovejas, en otro 132, 
I fn otro 120, en otro y20 y en otro 17. 



A, F. — tJn individuo tenia en un corral 122 ovejas, en otro 203, 
en otro 13 y se lo miiríerüii 50. y vcniüó el r<?9to á ilos pesos ca- 
< da ana. 

M, I. — Un individuo TenÍA en nn corral 1*30 ovAJas, en otro 230 
y en otro 17, se le nmrieron 50 y la.s vendió á dos pesos cada una. 
¿Cuánto recibió? 

.1. J. — Un luitnbre tenia en nn corral 122 ovejas, en otro 203, 
|:»e le murierotí 44, y el resto lo vendió á dos (lesos cnda nna. ¿Cuaa- 
I'to lunero sacó ? 

P. L. — Un indivídiiu tenía en un corral 120 ovejas, en otro 17, 
[fji olro 222, pero se le niurierun iíO y todas las que le quedaron á6 
Lyesta \a& veníiió á dos peKOs cada una. ñ Cuánto sacó ? 



P. Jf. — Un individuo tenia en un corral 122 facas, 203 oveJMy 
l7eaba11oBy 50 se murieron, y la» vendió á doR pesos cada una. 



- 212 - 

C. C. N. — Un ^eñor tenía en an corral 122 ovejas, en otro 903, 
en otro 17 y 50 se murieron. 3' el rístantc lo vendiü á Jos pesoa ca- 
da una. 

./. J. O. — Un individuo tenia en un L-orml 120 ovejas y se le 
murieron 17. y lus ijue quedaron Las vendió cada una s. ra^.on «le 

dos JieHDK. 

íí. R. — Un iudividiio tenia en nn corral 122 ovejas, en otro 203 
y ei! el otro 17. y se le murieron 50, y el reato lo vendió á dos pe- 
üOH cada una, 



S. G. S. — Un individuo tenía ca un corral 450 ovejas, en otro 
903 y en otro 17, y se le murieron 50, (Cuántas le íiuedaron? 



.7. A, V. — Un iitdividiio tenía en nn corral 323 ovejas, 17 ea- 
ballos y 50 %e le murieron, y lo reütante los vendió á ríos pe»oii 
enda iina. 

Niñas. — M. E. B. — Un inilividna tenia en uu eorral 2'>3 ovejas, 
en otro lUíl, en otro 17 y un hombre saoít iji). ¿ Cuántas le restan? 

M, C— tJri individuo tenia 122 ovejas, 102, más 17 y 50 se le 
murieron y las vendió á dos pesos. ¿Cuanto será el valurV 

M, A. C, — Un individuo tenía en un corral 12;i ovejas, ci> oiro 
TM y en otro 13, se le murieron 50 y las vendió Á dos peso*. 

7. G. — Va señor tenia en un corral 122 ovejas, en otro 103. y 
122, en otro 17, deapnós las vendió A dos pesos cada unn. ¿Cuán- 
to jfnoó ? 

C. fí. — Uu individuo tiene 122 ovejos, 50 eabailos y 17 ovejas y 
murieron 150 o ve jan, 

/?. i. — Un individuo tenia 123 o ve jas-]- 103 — 17 — 5t) se imi- 
rieron. ¿ Cnanto es el valor? 

7. 7.^. —Un individuo tenía 123 ovejas, el 2" 323 ovejas, el 3° 
250 ovejas. 



A, L. ^- Un señor tenía en primer corral 122 ovíja^ en otro 103. 
en otro IT y se le murieron 50. y las vendió cada nna ti do« 
pesos. 



— 214 - 

NtsAs— .V. A. A. — Un intlividoo tenía 132 ovejas en un copral. 
en otro 203, en otrg 17- ilei^pués vendió 15 d jiesOfi 2 cada atia. 
(lespiiéi se le muñeron 50 y obtuvo ln mitad. ¿Cuánto Vfntlió por 
el íísto dft ias ovejas*!* 

C. H. — Hn Tnilivicliii> tenia en un corral 12-3 ovejas, cri otro 303, 
en otro 17. vendió 220 á '1 pesos cada una, el rí'sto lo vendió á I.SÍ) 
y se le murieron 50 ovejti!^. ¿ Qué valor sacó con el resto de &us 
ovejas ? 

L. J5. — Un individuo tenía 230 vaeas en nn corral, 250 <>n otro, 
vendió ¿20 y el reato lu vendió apeaos 1.60 eada ano. ¿Qué resul- 
tado obtuvo? 

A. C — Un individuo tenía en un corral 202 ovejas, en otro 172 
caballos y 72 vacas, ac le murieroii 50 y la vendió i 2 jjesüs enda 
una y el reato á pesos 2.50. 



M, L. G, — Un individuo tenia en un corral 203 ovejas, en otro 22, 
en otro 117, en otro 1¿!2, en otro 75 y en otro 215. ¿Cuántas 
o vi jas ? 

E, G. — Un individuo tenía en un corral I áá ovejas vendiendo a 
pCBos 2 cada una. ¿ Cuánto dinero obtuvo ai 50 sa le murieron y el 
resto lo vendió á peaos 1 cada una ? ,:, Cuánto dinero obtuvo en las 
ovejas ? 

M. If. — Un individuo tenia 203 ovejas ennn corral, en otro áóO, 
eíi otro Iflá, en el otro á02 y perdió de hu resto 150 y se le mu- 
rieron 50 ovejas. ^; Cuánta ganancia obtuvo con sos ovejas? 



M, L. — Un individuo tenia en nn corral 3li0 ovejas y en otro 
670 y cu la resta 7 y vendií!) 8» y en otro 50 vacas. 



C. M. — Un individuo tenia en nn corral 2t>fi ovejas, en otro 124 
y en otro 17, la« vendií* por 50 peRos cada aua y se le murieron 50, 
y de resto le quedaron 12-1. tjuiere saber cuántná üveja.s le que- 
daron 'í 

A. i). —Un individuo vendió una vez 122 ovejas. 203 en otro, 
en otro 17 y Ifi quedaron 220 y se lo murieron SO. ¿ Qtié valor 
sacó del resto de kus ovejas ? 



R. O. — Vn individuo tenía en un corral 2fl3 ovejas, en otro 123j 
y en el otro 17. Vendió 50 á 1.50 pesos. ¿Cuánta ganancia oblU'i 
\o de sus ovejas ? 



— 215 — 

J. P. — Un indiviiluo tema en un carral \22 ovejas, pu «jtro 12í}. 
r«n otro 17. se le njuripriTii 50. y ni resto lo vpmiifr á ptisds 1.50, 
¿ Ctiánti» obtuvo por e] valor ríe uus ovejas ? 

R. R. — Un iniüviduo l#níú 127 vacas. laS vacas y las vendió en 
pesos 17, pusos 12 y so ]<• muricrün 50. El resto lu vendió (;ii pe- 
tos 1.50. ,! Cuftnto obtuvo en todo ? 



a, /í. .'». — Un individuo tenia en un corral 120 ovejas, en otro 
17, en oti'O á03 y vendió 55, y cadn. una \& vendió á 2 pesos, el resto 
lú vendió á Loó pesoB cada una. Se le murieron áO. ¿ Cuánto obtu- 
vo por Ea venta? 

' R. V. — Un individuo tiene en un corral 123 ovejas, en otro 203, 
en el otro 17. vendió 50 ovejas y después que vendió 50 ovejas se le 
mmieron 50 orejas, después vendió á peso.s 2 cada oveja. ¿ Por 
cnanto vt^müó el resto de las ovejas si se le habían macrio 50 ovejas. 
;, Cuánto dinero obtuvo fsc señor ? 



3'' Orado Superior. — Varokes — L. G. — Un individuo te- 
nia l'2-2, en otro eorral 17, cu el otro curral 203 y vendió 2Ü0 ¡i pesoa 
2 eada una. y después al cabo úe poco tiempo se le murieron 50 
ovejas. 

P. C. — Vn individuo tenía en an corral 150, en otro 20.'í, en otro 
íliO. Se I"* murieron 20, i;l restante lo vendió á 2 pesos y medio. 
|¿<Jne resiiltiido ítacó de su rebafio? 



J/. O. — Vn individuo tenía en un corral V2-¿ -|-203 + 17 + 230, 
I y se le muricrou 50 y las vendió á 2 pesos, y despuóa ijue se le 
lutirierou óO, las vendió á 1.50. 



T. J. — Un individuo tenia *?n un corral 122 ovejas, en otro 303 
y en otro 17, de éstas vendió 220 á 2 pesos cada una y se le mu- 
tieron 50, las otras las vendió á 1.50 cts, ¿Que producto saeó de 
*us ovejas ? 



V. M. — ^i tenia un individuo en unoK cuantos corrales varia.* 
ovejas, en el primero se encontraban 122. en otro a 13, cu otro 17 
y después vendió unas cuantas á pesos 1.50 y se le murieron 60. 
¿Cuánta liabra ijanado por todo? 



J. J. M, — Un individuo tenía en un corral 127 ovííjas, en otro 
20íi, en otro 200 y se le murieron 50 y el rosto lo vendió á 1.50. 
¿ Cuál es la ganancia ? 



— 21b — 

J. it. — Un individuo tenia 122 ovejas en corral, otro 17. en el 
otro 213, {les(iu¿8 vendió 2áO ovejas k jiesos '¿ ni/n. y después al cu- 
bo (le poco tiempo se le murieron 50. 



H. S. — Uti iiulividuo tenia 132 ovejas en un corral, en otro ál-J, 
después tenia 17, m le ninrieron 50, veniUo cada niia á 1.50. ¿Qué 
resultado sacó de su rebano í* 



F, M. — Un individuo tenia en un corral 120 ovejas, 200 en otro 
y murieron 50, y vendió^ 5if á 2 pesos y medio cada una. 



Njñas — C". A. -- Un individuo tenia en un corral 1¿5Í oveja'*, en 
otro SOB y en otro 17. se le lunrieicm 2áü y ei resto lo vendió á 2 
pesos cada animal, lue^'o »c le murieron 50 anímale» y el re.sto ¡o 
volvió á vender á 1,50 pe^oB, ¿Qué ganancia sacó de ens ovejas? 

JE. A— t'n individuo tenía en on corral I2á ("arneros. en otro 213, 
en otro 17. vendió i}3ü á raRÓn d© 2 jiésos cada ano; 50 se le mn- 
rieron y el resto lo vendió á 1,50. ¿Cuánto Bacíí de las ovejas? 

L. R — Un imlividuu tenia en un corial 122 ovejas, en otroSOS, 
en ütrn 17, vendió 320 y 50 se murieron y las restantes á 1.50. ¿Qué 
producto «acó este in<Jiv¡duo? 

A, 6'. — Un individuo tenía en un corral i TiO ovejas. 50 carneros, 
en otro lOtí y en otro 213, vendió síáO, 50 se le murieron y el resw) 
lo vendió a 1,50, ,; Cuánto saPÓ por todo»? 



E. <le la A. — Un individuo tenia 120 ovejas en un corral, 122 
en el otro y en otro 17, vendió á¿fJ á pesos á caiia una. Se le mu- 
rieron 50 y 1*3 qne le qui^daron las vendió á 1.50 pesos. ,; Cnanto 
^nó? 

/. E. — Un individuo tenia en un corral 132 ovejas, en olro 213, 
en otro 17, vendió J2dO á 2 pesos cada una y 50 se \m murieron y 
el resto las vendió á pe^kos 1.50. ¿Cuánto sacó de las ovejas? 

T. G. — Un individuo tenía en un carral las ovejas, en otro 213, 
en otro 17. De todas eRtaa ovejas i*e lo murieron 50 y 120 fueroa 
vendidas por pesos 1.25 cadn una. ¿Cuánto sacó de sus ovejas? 



D. O. — Un estanciero tenia 125 animales, en otro 203 y en otro 
17, se le murieron 50, y el resto lo rendíft ¿ pesos 2 cada ani- 
mal. ¿Qué ganancia »a.eb de su& ovejas. Luego cuátUa.^ ovejiLf le 
quedan en el corral ? 



— 217 - 

H. G. — Un individuo tenia en un cornil l23(H'eJHs, 20'J t^ii nlro, 
rendió 50. f,iiw ])io«1ucto sacó cstr iruliviiluo"' 



3/. ¡. — Vn imlivitlüo tenia en un corrat ]32 ovejas, en otro 203, 
en otro 17. Vendió 220 ú 2 peans cada una. se muríiírün 50. ¿Qué 
,iinporl:« sacó ? 

A. M. — Un inJividiin tprtia en un corral i'SO ovpjas, en otro á7 
vendió 50, y se le niuriprnu 27, y el resto ¡jue Ir quedó las veu- 
Íii> á uti peso y iiiedío cada una. ¿Cuantas uvejas le liabrán qiic- 
fdado y 



E. O. — Un individuo tenia ni un eorral 222 ovejas, en otlo 203^ 
'en otro 17. en otro 220 y se le uiurifrüu 3(1, costando cada oveja 
!l.fiO, ¿ Cuántas ovejas se linu perdido? 



M. T. O, — Un individuo tenia en un forral lá2 ovejas y en otro 
2ü;i lun^'i) se le niuriercm i 7 y las vondíó áá pesos nids* una. pero 

I el 2^ iiidividuu Re vendió el reato que eran iTápcRiís l.yU, ;, Cuán- 
tas vi>i.-es haiíran pido vendidas y niáiiras nnirieron''' 



E. P. — Un itiílividuo tenia cu un corral 122 ovejas y vendió 220 
\i. ra7Ón de á peM«s cada oviija; eu el prírapr corral 122. en el se- 
[ündo corral 17, se murieron 50. ¿Qué proilucto -sacó de la venia? 



C H —Un indi\'i(ino tenia en un corral 122 ovejas y 120 en 
otro, y so murieron 50 y á él le restó pesos 1.50. ¿ Cnñutas le que- 



laron i 



M. H, — t'a individuo tcnift en un corrai 122 ovejas, en el pri- 
Fmero habiall-'l. en el seg^undo 17, y vendió 220 á dos pesos cada 
«na, Se inurieroii, 60, ¿ Qué importancia saed '/ 



Ti. T, — Un estanciero tenia 122 ovejas en un corral, 113 en otro, 
[Si/4 en ptrn, 17 n\ oír». 

Se je murieron fiO, vendió 175, Cada ana la vendió á dos pesos, 
k Cuántas ovejas le quedan en. el corral ? 



iV, 7", — Un individuo tenia en uu corral 122 ovejas, en otro 213, 
en otro 17. Vendió 220 ovejas A dos pesos cada una y 50 ae ie 
JOiurieron, el resto lo vendió A pesos 1,50, ¿Cuánto sacó de las 
tovejas 'i 



— 218 — 

J- r. — Un imtividuo tenia en uii corral 120, en otro 203, en otro 
222, cti otro 17, las vt»nflió á pesos '2.50 y se le murieron 50, el resto 
lií vpíhIíó á pesos 1.50. ¿Cuánto gané? 



E. IV. — Si un indiviituo tiene tanUa ovejas y se leí psrdid tsutr 
tas y ganó tivnto por una parte de clliu, no podría haMT ganado 

mucho en cUíta. 

€. M. — Un individuo tenia 132 ovejas en un corral, 2líi en olro^ 
17 en otro y 224 en otro, Me lo murieron 50; caita una la vendió 
á pesos 2. ¿Cuántas ovejas le (juednron en el corral'^ 



A. R. — t'n indivtrlno tenia en un eorral 23 oveja^i. más 213. más 
17, más 220 y vendió cada una á pesos 2.50; so le murieron 17 y 
las otras a penos 1.50 cada una. ¿ Cuñotas le quedaron ? 



M. E. A. — \'n indi vid uo tcnií» 122 ov(?ja3 en un eorral- en otro 



213, en otro 17, de liis e nales votulió r1 resto li pesos 1.50. 
habrá ganado t'l iudividno de la^ ovejas? 



Cuiinto 



Á^ de iV. — Uniudiviiluo tenía en hu corral 122 ovej**. en otro 
203, ee le murieron 17 ux-ejas, vendió 320 á dos pesos eada una y 
las que le quedaron las vendía á pesos 1.50. ¿Cuanto safO ilc 
sns ovejas ? 

4" Grftdo. — Varones. — f(. B. —\'n individuo tenia en un co- 
rral 122 ovojus. en otro 20y y en otro 17, vendió i'2i1 « df>s poAOR 
cada una, st* murieron 50 y el resto Jo vendió á pesos láíji. ¿ Qué 
ganancia sisró ilc las ovejas ? 

M. li, — Vt\ liimibre tema en uu corral 122 ovejas, en otro 203, 
^n otru 17 y vendió 220 ¿ dos peaos cada nna. y se lo murieron 50, 
y el resto la vondtó á pesos 1.50, ¿ Que provecho sacó de las ove- 
jas que le quedaron ? 



C\ C. — Un individuo teniü en un corral 122 ovejas, en el otro 
303, y en el olro 17, vendió 220 ¿ du$ pesos cada una, 50 se iuD> 
ñeroñ y el resto á. 1.50 cada una. ¿ Qué valor sacó de siis ovejas? 



i?. E. — Tu individuo tenia 122 oveiiiü, en otro 203 y en ofm 17. 
Vendió 220 y se le murieron 50, el rosto lo vendió Á 1.50 cada 
una. ¿i^ue valor sacó dií sus ovejas? 



— 2rj — 

i. /■'. — Un iiKÜvJdtio teíiiu en lili corral 122 ovejas, en otroí03, 
ín otro 17. vphJíó :J50 3 duí [tosos cada una, 50 se murieron y el 
rtstü 1.50. ¿ijué liilor saüó de sus ovejas? 



(i. — Un iínlividno tenia en un eorral 220 ovejas, otra ve?, 203 
[otra 17. 8P le mitrirrojj 50 ovL>jas y las dcniíVs qne le qucda- 
jh las vendió á pesos 1.50 cada tina. ¿Que valor sacó de las oveias? 



F, M<tn. —En nn corral había 12^ ovejas, en otro &03, en otro 17 
vímiíó 230 ovejas á do8 pesos cada «na, 50 se le murieron y el 
jfesto lo veniiiú á ].50 cada ana. ¿Qaé valor ríacó de sns ovejas 'í 






F. M. — Un iniiividuo tenía en un corral VI'l ovejas, en otro 203, 
en otro J7 y vendió ááO ádos pesos, y ae le iiiurieron óOy la restan- 
te la vendiá á pesos l.óO. ¿ l^ilé valor recibió d(? sus ovejas 'i 



£f. M. H. — Un indivídno tf nia en un corral <i\ 1° 122 ovnjas, el 2" 
13, el 3" 17 tí vejas, la(*iíO vendió 220 á itos pcsi>.s cada una, después 
«t le murieron 50 ovejas. ¿Cuánto ganó, caáiiías le quedaron y las 
que le (¡uedaron las vendié á pesos 1,50. ¿ Que valar anco de las 
vejas ? 

It. S. — Vñ homlire tenía en un corral 122 ovejas, en otro 308. civ 

Dtro 17, vendió á20 á dos pesos cada una y ae le iniirieroii 50 y el 

'resto lo vendió á pesos 1.50 caída una. f;Qtié valor sai?» de las ovejas? 



R. V- — Un imlividuo tenia en un corral 122 ovejas, en otru 203. 
Vii otro 17, vendió 220 á dos pesos cada una y el resto lo veniiió íl 
pesos 1.50. 8a mn riera ti 50: ¿ Qué valor sacó de sus ovejas ? 



J. f. — Un estanciero lenta en uii corral 122 ovejtus, en otro 203 

en otro IT. se le tniiríúron 320 y las quii le quedaron las vendió á 

los pesos catlii una, y de his que le quedaron se le murieron 50 y las 

'que le quedaron las vciidió A pesos 1.50. ¿Cnanto ganft de la ovejas 

que lo quedaron ? 



t 



NiSas. — M. ^. — Un imlividuo tenia cu uti corral 139 ovejas, en 
tro 203. en otru 17, se It; itjurieron 50 y vendió 220 á des pesos. 
Qué valor sacó de sns ovejas 'i 



M. K A. — l'n individuo tenia en un corral 122 ovejas, eti otro 
303, en otro 17, vendit^ 220 á ilos pesos eaila una y se murieron 50, 
y el resto lo vendió á. 1.50. ¿ Quti valor sacó de sus orejas ? 



— 220 — 

S. C. — Vñ indírídiio tenia 10-2 ovejav 203 y otro 17 y 22 otro y 
las vendió A dos pe*os. y se le raurieron 50- *i^iido I su) qui^ retríbió 
lie %m ov€J4L8 y el restante la vetidiú á I .^. 



Á. C. — En un corml había 123 ovejas, «•n otro áO;i y en otro 17. 
vendió 220 cada una á dos pesos, se Ip manaron SO y Á restg á 1,50. 



J. C. — Lin individuo tenia en un corral 220 ovejas, en otro 2ü9y 
en otrg 17. vendió 220 á doa pesos y se !c murieron 200 y el resto 
liis vfndió á jiPisofl (.50. ¿Qué valor sacó de sus ovejas? 



M. V, — Vn individuo teníii en uti corral 122 ovejas, en otro 20íi. 
en otro 17. vendió 220 a dos pesos cada una. se murieron óO ovejas 
y toda» las otras que le quedó liis vendía a pcsus 1.50 cada una. 
¿Qué valor sacó de sus ovejas? 



L. F. — Un individuo tenía en nn cornil 122 ovejas, fn oiro 2tja y 
en otro 17 ovejos; vendió 220, se le murieron 60 ovejas y \ds vendió 
á pesos l-5tj. ;; Quú valor saí-ó i!e *us ovejas ? 



A. G. — Un individuo tenia en un coirral 122 ovejas, en orrcí 203 y 
en otro 17 ovejas. Vendió 22(Jíi dospesüs cuda una y se le miirinron 
50, el resto lo vendió a 1.50. ¿Qué vabr aiicó de tas ovejas? 



ÍL tí. — Un individuo tenia en un corral 122 oveja*, eii otro 203 y 
en otro 17. vendió 220 á dos jíwos y se le murieron 50. y el restante 
lo vendió á [)esos LáO. ¿Cuánto g'aiió df sii?i ovejas? 



E. L, — l'ii individuo tenia en on eoFral 122 oví'jas. en ntrtí 233 
y en otro 17, vendió 220 ovejas a ilos fiesos cada unn y .^MJse mu- 
rieron y le quedaron 17. ¿Qiié valor reeiliió de las ovejas qof le 
quedaron ? 



T. M. — Un individno tenia en un corral 122 ovejas, en otro 203, 
en i>tro 3 7, vendió 220 li dus pesos y se \<s luiirieron. 50. el re<tiHoJ 
vendió á pesos 1.50. ¿ Qué valor sacó de sus ovejas ? 



-W. //. — Un individuo tenia en un corral 20.5 ovejas., oii oiro I' 
en otro l-¿2. Vendió 22(i ovejas á dos posos. 50 si* morieron y 
resto á pesos 1.50 eadii una. ¿Qué valor sacó de sus ovejas? 



_^^^ _ 221 — 

E. .1/. J{. — Til imlis-iiluo tenia 20a ovejas en uti fiorral, en otro 
I2á y pri utro 17. vendiú üSO á dns posos c'ii.. áí) sn murieron y el 
rPíitü á pesos 1.50 c a. ;, t/uii valor sacó ile sus ovejas ■• 



Jí. íí. ér. — ün individuo tenía en un corral V22 ovejas, en otro 
);j. en ütrtt 17, vendió 220 a dos pesos c/u„ 50 se niaríeron y el 
fftto á 1.50 c/u. ¿QiK' valor suco de sus ovejas? 



J/, //. U. — Ka tiQ corral había 122 ovejas, en otro tfnia 203 y 
en otro 17 y las vendió a 10 pesos, ilespués se le murieron 50, veu- 
^_di6 220 4 dos pesoü y c¡ resto lo vendi6 ú 1.50. ¿ Cuáittu saeó de 

t 



M. M. V. — Uti individuo tenia lá3 ovejas, en otro lOít. í?n otro 
í. vendiíi a70 á dos pesos, 50 se le nmrieron y el reato á 1,5<J. 



t(¿Bé valor saeó de sys ovejas ? 



M. V. -- r'n individuo tenia en un corral \22 ovejas, en uno tenia 
203. en el otro 17. kr le murieron 17 y el resto que le queda lo ven- 
dió á dm jjesos. ¿ t¿ii6 valor sacó de lo que le qviedó * 

I .1/. /. r, ^ITn individuo t&nifl en un corral 122 ovejas, en otro 
203, en otro 17. vendió 920 li dos pesos cmla una, se murieron 50 y 
el resto lo vendió á pesos 1.50. ¿ í}tié valor sncó de las que le que- 
daron i 



I 6' Orado.— Varoses. — S. C,^ Va iudividuo-veadió 122 ove- 
¡&s, 2UÜ vai'Bs y 17 eaballos : ae le murieron 9íi, ¿ qué valor le re* 
sultó ? 

f 2" rezj. — ( Uctubre 24 ). — Un individuo tenia en un corritl 
122 oveja», en otro 20^1 ovejas y en otro 17. we le murieron bO y el 
resto las veadió á S 2 cada una, ¿ qué valor le rcsulfó ? 



J. ii,— l'n individuo tenia en un corral, ovejas; cri el primer corral 
tema 220 ovejas, mi el segundo ¿í03 y por último en el tercero 17 
' ívejas, vendió 220 ovejas á 3 pesos, se le murieron 50 y el reato lo 
rendió á I peso eada una? 

( 2* vez ). — Un lioinbrp tenía en un corral ovejas, en el primero 
122 ovejas, en e! segundo 203, y en e! tercero 17, vendió 220 á 2 
pesios cada una, se le muripron 50 y el resto las vendió á 1 peso 
tfldá ana, ¿ qué valor sacó de su« ovejas ? 



P. P. — l^n individuo tenia 122 ovejas, más 323, más 17- Una 
vez vendió 220 á .S 2 p o, so le uiurierou 50 y el resto lo vendió 
á S 1 cu. ¿Cnanto ganó con sae ovejas? 



— 222 — 



( a" í.f2/ — Un individuo tenia en un corral 133 ovejas, en otr» 
203 y en otro 17. Vendií" 32<) á $ 2 r u, 5Í> se le murieron y el resto 
id Vendió á l.»0. ¿Cuánto sacó d<; 8U3 ovejas? 



A. P. — ün itiJividüg tetiia en un coi'rral 133 oveja?, en Oi 
20S y en otro 17 ; vendió 330 ú $ 3 c'u, 50 so nmrierony Ub dfl> ' 
má* á $ 1.50. ¿ Qm'í produelu Bncó de eilas ? 

( 2" tez ). — Un lionibrp tenía en uti corral 123 ovejas, en otro 
203 y en otro 17; vendió 330 4 $2 en. 60 se le murieron, y el 
resto lo vendió á $ 1.50, ¿Qué prodneto nbcó de ellas? 



M. R. M. — Un indivitino tenia 122 oveja» en un corral, *?n otro 
£03, Tendió 230 á $ 3 cu, se le mürieríui 50 v el resto las vendió i 
$ 1. 50 e/u. 

f 2" PézJ. — Un individuo tenia 135 ovejas en un corral, en otm 
303 y en otro 17 ; vendió 230 ñ S 3 e u, 50 se marieron y el resto 
las vendió á S 1.50 en. 



F. T. Un indivíiluü tenia en un corral 230 ovejas, vendió 50, 
otro 17 , .. 

( 2" i>es ). — Un individuo tenia en un eorral 220 oveja», vendió 
122, se le mnrieron 23 y el resto las vendió á S 1 .50 e/a. 



/'", iU, — { S" f'«i }. t'n individuo tenia en mi corral 102 ovejas, 
en otii» 330 y en otro 17. 350 se le Jiiurieron y el resto las vendió 
á $ 1.50 cu. ¿ Que ganancia jucú de ellas ? 



Niñas. " C A. — Un individuo tenia en un corral 120 ovejas, 
en otro 303, vendió 330 á yazón de $ 1.50 y se la murieron 17. 

{ '¿'^ Tez). — Un individuo tenia en un corral 203. en otro 17 y 
en el otro l(iO, vendió 330 á $ 3 c u, y 50 á % 1.50. ¿ Cuáato- 
aacó ? 



H. A. — Un individuo tenía en un corral 213 ovejas, en otro 217 

y se le murieron 50, ¡ qué valor sacará de ellas eí las vendió á 
1 3 e/D ? 

( 3" vez ). — Uu individno tenía en un corral 122 ovejas, en otro- 
203, se le niurierotí 17 y 250 liis vendió á S 5, después se le murie- 
ron 50 y las volvió á vender á $ 2 c u. ¿ Qué príiducto sacó de ellas ? 



M. A. — ün individuo tenia en un corral 120 ovejaa. en otro 303^ 
las vendió 320 á .? 4 c ii. ¿ Qué valor sacó de sus oveja* ? 



— 22J' — 

(2* r« ). — Cn imtividuo tí?nia on un i'orral 123 ovejas, en otro 
303, en oiro 17; vendió 220 y 50 sí II' iiiprieron, el resto tas ven- 
dió i$ 1.50. ¿ Cnanto sacó de sus ovejas? 



3/. 1. Ji.~ Va sndivifluo tenia 250 ovejas, se \e muderoíi 150 y 
vendió 7 y vendida S 1.50 r'ti. ¿ Qué vator sacó de sus oveja* ? 

{ 2" peí ). - Un individuo tenia enirn corral 250 ovejas, se le nia- 
rieron &üy vendió 50 á S 7 c'n. ¿Qué valor sacó de sus ovejas ? 

S, C, — Fn individuo tenia en un corral 102 ovejas, en otro 502. 

( '¿'^ vez ). — Fn iniJividno tenía en un forral 122 ovejas, en otro 
203, en otro 17 ; vendió 222 ovejas á S 2 c/u. se le niurieroii 50 y 
el reato las vendió a $ l.&O. ¿ Cuánto recibió ? 

M, E. G,~- Ihi individuo leivía e» un eorrnl 122 ovejas, en otro 213 
y en oiro 17 ; vemlió 220 á .? 2 cu, M se le niurieron. ¿Qué valor 
sacó do ellae? 

( 2» rc-í K — Un inJividuo tenia en un corral 122 ovejaB, en otro 
203 y on otro 17 : venilió 21X1 a J 2 e ii. 50 se le marieron y el reato 
lo vemiiíi á § 1,50 e u- ¿ Que valor sacó de ellas? 



M, E. C. —Vn individuo tenia 122 ovejai, después 203 y inAs 
tarde 17; vendió 220 á $ 2 p u, y el resto a S 1.50. ¿Qai valor 
socó de e*tíi venta ? 

(2* rez } -Un indiviiluo tenia eti un eorral 122 ovejas, después 
203 y despnf^s 17; vendió 200 á S 2 e/u, se In murieron 50 y el 
resto lo vende a $ 1 .50. ¿ Qué valor sacó de esa venta ? 



Z. D. — Un individuo tenía ea un corral 120 ovejas, en otro 
2ft^. en otro 17 y vendié 220 á-Sí a, se te murieron 50 y el resto 
vendió a $ 1 . 5Ó. 

F. íh I\ — Un individuo venrfió 1:^2 ovejas, otro 17 y otro 08, 
y vendió 17 y sp le murieron íííí. /, Qué valor sacó de sua ovejas ? 

( i?* PM }. — l'n inJividiio tenia en tía corral 122 ovejas, en otro 
54, vendió 22 á $ 2 c'a, y so le murieron ■!, ¿ Qwe valor sacó de 
au9 ovejas? 

M. J. F. — Un hombre tenia en un carral 92 ovejas, en otro 
203, en otro 17 ; se le murieron íJá, vendiéndolas cada una á $ 3 y 
el resto á $ 1 .50. ¿ i}m trannneia Jiaeó de sus ovejas ? 

\ ■>* ti*£ ). — Un iiHÜvidiiu tema cu un corral 122 ovejas, en otro 
20;í y otro 17. se le murieron 220 y el resto las venilíó á S 2 c/u. 
¿ Qiiií valor sacó de su.s ovejas 'í 



:24 _ 



C í',— Un individuo tenía en sn corral 210 ovejas, SK)0 y 310 ae 
les murieron y el rosto lo vemiió á 1 50 i*ada unii, ¿ Cuánto i;&ii6? 

^2" rt2j—\.'n individuo tnnia en ííh corral: en uno 17 ovejas, en 
otro 203 y «mi otro 113: se U' niuricron láO y el resto las vendió á 
2 |>esoa rada uiiü. ¿ Qué valuí- sacó de snsj ovejas? 

Á. de ^f.—\1n individuo tenia 122 ovejiís, otro 17, otro 203: ven- 
dió 220 á razón de 2 pesos y se Jes ran rieron 100, y el resultado lo 
vcndiá á l-óO peaos. ¿ Que valor sacó d<? las ovejas V 



A. G.—Vq individuo tenia en an corral 120 ovejas, «n otro 203, 
y en otro 17; se le perdieron 50 y el resto lo vemiió ápeso* 1.50 ca- 
da liua. ¿ Cuánto reL'iUe por sus ovejas ? 

( 2"^ rez ) — Un individuo tenia tii un eorral J9á ovejas, en otro 
SO'A, en otio 17; vendió *Í20 á 2 pesos cada una y se le perdieron 50, 
y ÉÍ restn lu veiidíú á pesos 1.50 ea.ua. una. ¿Qul> vulor sacó de sua 
ovejas V 

/. A'. I" II iniiividuo conijiró 122 ovejas, &oa, mus 17; vendió 220 
ovejas cada una & 2 pesos, más 50 ovejas qne se le murieron. 

C. £,— Un individuo tenia en un corral 123 ovejas, en otro 203; 
vendió 220 íi pesos 2.50 cada tina. 50 se te murieron y el resto lip 
vendió k 2 pesos, f, Cuánto reeíliió por todas ? 

A. L. — Un individuo tenia en un conal 222 ovejas, ou atro 32t); 
424 vendió, cnda una a. peaoü 1; se te niuricron y las que (incitaron 
que eran 60 a pesos 1. ¿ Caántas le (lucdaron V 

f2* ve^J—Vn individuo tenía en un corral 122 ovejas, e:i otro 
120, en otro 17: se le niurierim 50 y el resto lo vendió á pesos 1.50. 



J. M.—Vii individuo tenia en un rorral 122 ovejas, en otro 153 y 
17 vendió, 20 á 2 pesos cada una y 50 se le murieron y el resto lo 
vendió ú pesos 1,52 cada una. ¿Qué valor aaró de sus ovejas? 



M. L. yf.— Un individuo tenía en un corral 122 ovejas, vendió 203 
y murieron 50, y el resto lo vemiió a 2 pesas cada una. ¿Cuántas 
le quedaron ? 

A. Jtf.^Un hombre tenia 122 ovejas en nn corral, en otro 203, en 
el otro 17; vendió 50 á raaón de 2 pesoH cada una; 122 se If? murie- 
ron y el reiíto lo vendió á razón dí^ pesos 1.50 cada una. 

('i'- Pí'*r^— Un individtto tenia en un corral ¡32 ovejas, en el otro 
203 y en otro 17, Vendió 220 á pesos 1.50 cada una; fA} se le murie' 
ron y el resto lo vendió á 2 pesos. ¿ Cuánto ganó entre todo ? 



- 225 — 

V. O. — Un individuo tenia en uu corral 122 ovejas, en otro 203 
y en otro 17; vendió 220 á razón de pesos 1.50 cada nna, y se le mu- 
rieron 100. 

^2" vez)— Un individuo tenía on un corral 122 ovejas, en otro 203 
y en otro 17; vendió 220 á razón de 2 pesos cada una. Se le mu- 
rieron 50 y el resto las vendió á pesos 1.50. ¿Qué producto sacó 
de ellas ? 



S. P. — ün individuo tenía en un corral 215 ovejas, en otro y el 
tercero 17; vendió 200 á 2 pesos cada una y el resto lo vendió á 1 
peso cada oveja. 

(2* vez)—Vn individuo tenía en un corral 200 ovejas, en otro 203 
y en otro 12; vendió 2,50 á 2 pesos cada una y el resto lo vendió á 
1 peso. ¿Qué producto sacó de su venta? 



J. fí. — Un individuo tenia en un corral 122 ovejas, eu otro 20, en 
otro 17; vendió 220. 5 se murieron y las demás las vendió á 2 pesos 
cada una. ¿Qué valor sacó de sus ovejas? 

(2» rez) — L'n individuo tenia en un corral 210 ovejas, en otro 203 
y en otro 17; vendió 220 á 2 pesos cada una y 50 se murieron. 
¿Qué valor sacón de sus ovejas? 



A. S. — Un individuo tenia en xm corral 250 ovejas y en otro 303. 
¿ Cuántas vendió y qué producto sacó do todas ellas ? 



T. .S'.— Un labrador tenía 120 ovejas, vendió 20 y 12 se le murie- 
ron, el resto lo vendió á ps. 1.20 cada una. ¿ Cuánto habrá sacado 
entre todo ? 

(2* vez) — Un individuo tenia en un corral 120 ovejas, en otro 160 
y en otro 112: vendió 20 J á dos pesos cada una, se le murieron 150 
y el resto las vendió. ¿Cuánto habrá sacado por todo? 



jR. T.— Un señor tenía 220 ovejas en el primer corral, en el se- 
guniio 122 y en el tercero 17; las 220 las vendió á 2 j)esos cada una, 
y se le murieron 202 y el resto las vendió á 1 peso cada una. ¿Cuán- 
to ganó? 

( 2-' vez ) — Un señor tenía en el primer corral 203 ovejas, en el 
segundo 122 y en el tercero 1200, y de estas las vendió á dos pesos 
cada una; 50 se le murieron y el resto las vendió á i)esos 1.50 cada 
una. ; Cuánto recibió ? 



C. T. — Un individuo tenía en un corral 122 ovejas, en otro 17 y 
en otro 203; vendió 220 ovejas á razón de 27 ))esos cada una; se le 
murieron 50 animales y el resto lo vendió á 120 pesos. 

Ens. de la Aritmética 15 



- 226 - 

( 2* i'e^ )— Un individao tenia en Tin corral 122 ovfijas. en otro 2Í^ 
y en utro 7Q: se le muriLTon I5() y el resto io vendió á razúii úe dos 
pesos cada una. ;. Qn*? valor sacó Je ellas í' 

F. de T.—Vn imlividuo tiene en un corral 250 ovejas, en otro 
209 y en «tro 30;i, en otro . ¿ Cu tinto ganó vendiendo á 1 peso 

cada oveja ? y el rosto lo vemiió á 

(i" (fcr) — Un individuo tenía en nn corral 122 ovejas, en otro 
203 y en otro 17; vendió 50 á 2 pesos eada nna y el resto á 1 peso. 
¿Cnanto sacó de las ovejas? 

S. & — L'n individno tenia en un corral 220 o\'ejas: %'endió 2S0 á 
3 pe«OB eada ana; 50 ñf murieron y el resto á pesos 1.50 cada una. 
¿ Qné valor sacó fie sus ovejas V 

3/. T. LK — Un individuo tenia en un íorral 2000 ovejas, 173 cor- 
deros en utro, 17.0ÜO cnotro, 3iíÜ se murieron y el restólo vendió 
á ITpesoií cada uno. ¿ Qué venta lii/.o ? 



6" Orado. -Varones.— F. L. — Un individuo tenia 220 ovejas 
vendió 117, st' le nmrievon 36; las domáa las vendió á 2 pesos 
cada una, ¿ Cuánto ganó ? y ¿ cniíntas le (luedaron ? 



It H. E.— Uti inflividiio tenía en nn corral 122 ovejas, en otro 
203, en otro 17. de la» cualcR ií20 vondió á 2 pesos cada una ; se le 
murieron óüy el resto la-s vendió á 1 peso cada uno. ¿ Qaé ganan- 
cia obtuvo lie ellas? 

A, L.— Un individuo tenía en un corral 122 ovejas, en otro 203 y 
en otru 220 y las vendió á 2 pesos eada una. Se le murieron 50 y 
el resto lo vendió á 1 peso. ¿ Qué ganancia obtuvo ? 



J, P. H.-- En un corral liabín 122 ovejas, en otro 103. en otro 17; 
se le murieron 30, el resto las vendió á 2 pesos. ¿Cuánto es la ga- 
nancia ? 



H. B.~ Un individno tenia 122 ovejas enon corral, 103 en otro 
y 73 en otro ; 200 se murieron y ai resio las vendió k 2 pesos cada 
una. i Cuánto dinero obtuvo ? 



H, L. — Un individno tenia 122 ovejas en un corral, lOíí en 
otro y 117 en otro, de las cuales vendió 230 y las vendió íi 2 peso* 
cada una y se le murieran 50. El resto las vondió á I pesct 
cada una. ^ ^'u^^ ^'^ '^ ganancia? 



- 227 — 



J. C. C— En im corral había 122 ovejas, 320 en otro 22. 320 laa 
vcnriiü en 1 peao, 40 se njiirieron. ¿ Que ganancm sac6 'í 



fi. R.— Vn individuo tema en un corral 122 ovejas, en otro 203, 
en otro 17, vendió 220 ¿2 pesos cada una. 50 murieron y el resto 
.lo vendió á 1 peso y medio eada una ¿ Qué g-ananeia obtuvo 'í 



M. V.— Un individuo tenia en iiu corral 126 ovejas, en otro 207 
y en el otro 27 ; se le murieron 150 y el resto lo vendió á 1.50 pe- 
sos. ¿ Cuál es la ganancia del individuo V 



N'reAs. — M. I. — Fn señor tenia «n un corral 203 ovejas, en otro 
1^2, t'n otro 17, di* todas, estas vetidiá 220 á 7 pesos y se !e han 
muerto 50. ¿ Caántas ovejas le «¡neilaron y cuántas lin vendido ? 



//. J?.— L*n individuo lenta en un cornil 220 ovejoj, en otro 303 
en utro 17 ; vendió 50 á 2 pesos cada una. Se pregunta ¿ qué 
manda socó ? 



Q. C— Vn iniIividiHi tenia en íin corral 122 ovejas, en otro 150 y 
en el último corral 17. las vendió á 2 pesos cada ana ; 59 se le mu- 
rieron. ¿ Cuántas le quedaron ? 



P £. T.— Vü hombre tenia en un corrii! 122 ovejas ; 23 ge le nmrie- 
ri>n. 50 vendió tas primeras á2 pesos cailaiina. Sepregnnta, ¿qné 
ganancia ? 



A. C. — Un individuo tíniu en un corral 122 ovejas, en otro 213 y 
otro 50, se murieron 70 ovejas y el resto á 1 peso cada una. 



C. F.— Un individuo tenia en un corral 122 oveja», en otro 213 y 
en otro 57 ; vendió 220 ovejas á raüón de 21 pesos cada una. 



(I E.B. — I'n indivittuo tenia varias ovejas en el primer corral, 
tenia 122, en el 2" 203 y en el 'ó" 16 ; se mnricron 50. Cada una la 
vendió á 2 pesos. Se pregunta ¿ qué ganant-ia sacó ese individuo 
3e sus ovejas ? 



.V. L. M.— Un individuo tenia en on corral 120 ovejas, en otro 
203 y en otro 17 ; vcmlió 220 A razón de 2 pesos caila una. Se mu- 
rieron 50 y el resto lo vendió á 1.50 pesos cada una. 



— 22d — 

ir, O.— Iln ¡iKÜvidiio tenía en an corral lá2 ovejas, y en otro 17 : 
vemliñ 50 á Ü ¡tesos t-üda, ütiü. l>> ijin^dó de resto unii. en wtru 203. 
¿ Cuantu {;anó y iiiántas ovejas le fiuedarün 'i 



M. B. P.~ Un imlividuo tcníiv i>n un corral 23í ovejas, en o(ro 
213 ovejas y en otro 17 ; 50 se murieron, las que quedaron las ven- 
dió á 23 posos cíida nnii,. ¿ Cuántas le quedaron y cuántas ganó en 
la venta? 

/. /'.— Un iniliviiiuo tenia 122 ovejas en nn corral, vn otro 117, 
en otro ] 7 ; vendió bO » 2 \K'9üs cada una. ¿ Cuánto <í& la diferenda 
si el reijtülo vendió á 1 peso? 



A. lie los ÍT.— Un individnií reiiia 122 ovejas, en otro 208 y en otro 
50- éste vendió l'¿ó á 3 ^lusos sí» le muiieion 50 y i^l rpsio *iuc le 
(jHcdi) ;,,.,.';' ¿ Cuíintw gaw éste ? 

M. B. — !^n índividiiu tenia cu nn corral y¿(> ovejaa, on olro «Jttí 
y en otro 17 ; 50 ovejas sí miiríenm. El resto que le quedó las veii- 
íijó a 1 pe^o y nitslio cada una. 

H. V.— Vn soñor trnia tn un iiorral 122 ovejas, en otro 203 y cu 
olro 17. Veníiií) 220 á 2J)0 pesos eada tina : 50 se ttinrievün y el 
resto á pesos l.áü. ¿Cuánto gnnú por todo? 



y. C. — Un individuo tenía en un rorral 122 oví/jas. fu utro 215 
y cti otro IT, _v vemlio 22 ovejas á raíim *ii' 2 pi'Hus cntla tina : «e le 
murieron fJO. ¿ Cuiintas ovejas le lian quiilado y cuántas vendin? 



L. C— (En un porral había 208 uvéjas ). 

Un itvilividno tenía en nti corral 203 ovejas, en olru tenia 1Ü4 y 
en el ^tro 17 ; cada utia ¡as vendió á pc&us 2.50, se le ptirdicron M 
ovejas y el resto las vendió cada una á 1 . áO peiOB. ¿ Cuántas ove* 
jas le qnedarotí ? 

M. (i. — Un individuo tenia en un corral 210 ovejas, cfi otro 122 
y en otro 17, pero vendió 5U á pegos l.ó eada una y se k luti- 
ri^ron. ;. Cuántas uvaj as le quedaron & esc individuo y tnántae lit 
vendí lio? 



A. E. L.— Un individuo tenia en un corral 132 ovejas, en otrn 
220: las vendió á rasión de 21 pesos. Se murierun 50 y el resto la* 
vendió á rajtón de 1 peso cada una. ¿ Cuántas le quedaron ? 



— 22^) - 

M. M. D. — Un individuo tenía en un corral 122 ovejas, en otro 
213 y en otro 17 ovejas; y vendió 22 ovejas á razón de 2 pesos 
cada una y perdió 50. ¿Cuántas ovejas le han quedado y cuántas ha 
vendido ? 



Experimento XX. { fma(/ ¿nación creadora). 

2" Orado. — Yauones. — A. B. — Una pizarra mide cuatro me- 
tros. ¿ Cuánto medirán cinco pizarras del mismo iarfjor ? 



H. G. —Ese pizarrón tiene 18 lincas 3' 150 cuadritos. ¿Cuántos 
cuadriles y líneas hay en 80 pizarrones? 



I). B. C. — Si un pizarrón tiene 4 metros de largfo, 40 pizarrones 
¿ cuántos metros tendrán ? 



A. B. C. — Un director tenía cincuenta pizarras y le costó cada 
una veinte y cuatro pesos. ¿Cuánto le costarán los 50 pizarrones? 



S. C. — El pizarrón mide de larjsro 4 centímetros, de ancho 1 Vg. 
J. C. — Esa figura debe de medir 4 metros. 



L. E. — Un pizarrón vale $ 10.50. ¿ Quiero saber cuánto valdrían 
8 pizarrones ? 

A. F. — Una pizarra mide de largo 5 metros y de ancho dos 
metros. 

M. J. — Esta pizarra tiene cinco metros de largo y uno y medio 
de ancho, ¿ cuántos metros tendrán ? 



A. J. -- La cuarta parte del pizarrón tiene 142 lineas. ¿ Cuántas 
lincas tendrá todo el pizarrón ? 



P. L. I). — Si este pizarrón mide de longitud G^TS. ¿Cuanto me- 
dirán 18 pizarrones ? 



— 230 — 

F. M. — Si una pizarra tiene 150 cuadros, 4 pizarras tendrán 
150 X 4 = 600. 

C. C. X. — Ese pizarrón tiene 100 cuadritos cuadrados. 



J. O. — En un pedazo del pizarrón. Cuántas letras y en todo 
junto, ¿ cuántas letras caben ? 



J. R. — Si un pizarrón vale 10 pesos, 44 pizarrones ¿ cuánto val- 
drán ? 

S. G. S. — El pizarrón mide de largo un metro y medio y de 
ancho cuatro. Es cuadrilongo, tiene muchos cuadros. 



J. A. r. — Si un pizarrón cuesta 20 pesos, 18 pizarrones costa- 
rán más ó menos. 



Niñas. — M. E. B. — Un naranjero tenia dos canastas de fru- 
tas : la primera tiene 556 naranjas y la segunda 436. ¿ Cuántas tie- 
nen las dos ? y ¿ cuántas más la primera que la segunda? 



M. C. --Si en un pizarrón hay 459 cuadritos. ¿ Cuántos cuadri- 
tos habrá en 249 pizarrones ? 



M. A. C. — Ese pizarrón tiene 3 metros de largo y de ancho 
1 ¿. ¿ Cuántos metros tiene ? 

J. G. ~ Un pizarrón tiene 70 cuadros. ¿ Cuántos cuadros tendrán 
8 pizarrones ? 

('. G. — El pizarrón tiene 80 cuadritos. ¿ Cuántos tendrán 100 
cuadritos ? 

A. L. — Si esc pizarrón tiene 20 cuadritos, en 5 hileras de cua- 
dritos. ¿Cuántos cuadritos cabrán? 



Y. L. — Si un pizarrón mide de ancho 100 centímetros, ¿ cuán- 
tos medirán 2560 pizarrones ? 

A. M. — El pizarrón tiene 300 cuadritos. ¿Cuántos cuadritos ten- 
drán 4 pizarrones ? 




f M. T.—Ehtñ pi%arr6n vale b peüos, ¿ Curtnto eoataráti 7 ])Ík«- 
TTOties ? 



P 3''f QTftdO I. — Varones. ~/f. P. C~Un comerdante fuiíipro 
19 retacos Je tela piíra camisas, caria uno costalm 13.50 y tetiia 
18 mcirüs, ¿Cuánto íüstaron los m retozos y cuánto un nutro? 

í i»', y. — Este pixarróti niitíe 18tii. de largo y de ancho 12 m. ¿ Coa! 
ea la Baperflcic ? 

V. C. — Cada metro Jol ¡li^ajión (¡ene 20 naadritus, ¿Cuántos 
"ritos tendrán 3 metros y humIíu ? 




fr. — Hallar ta sujierficie del pizarrón de furnia rectanetilar, 
ue mide lie lar^-u 3"'&0 y de nnclio l'"bO. ¿ Ctiál es la supcf' 
cié ? 

,4. J. M, — l'n pizarrón tiene de líirj^o 4 luet- y de ancho 2. 
Deaéo saber ¿coál tía la sujierlicie? 



C J, B. — Si de Íarg:u itiide4 met, de alto 2 niet. ¿Cnanto medi- 
rá la superficie ? 



I 



B. V. -- ¿Cuál es el volumen de un pizarrón qu<? dé largo mide 
8,50. de alto 1.05 y de ancho 10 metros. ¿ Cuál ea su superticie ? 



£/. Z. — Va poiiícrciante c(impr&, primero 185 vacas, 21.702 ove- 
jas, 34áfiO caballos y por üii compró 1H74 toros. Si una \'nca va- 
ió 55 $. una oveja $ í.tíñ, un raljalld $ BO, un toro 185$ ¿Cuán- 
to gastó ? 



NiSas. — A. J. — Un señor compré una vesc 30 vaens á S 10 
cada una y 60 bueyes a S 11, ¿ Cuánto gastó 'í 



- 232 — 

C. li. — Hallar la superficie de un pizarrón rectangular que mide 
de largo 3. n5 centímetros y de ancho 1.50. ¿Cuál es la superficie 
de ese pizarrón ? 

//. li. ¿ Cuál es el volumen de un pizarrón que mide de ancho 1 .25 
y do largo 4 metros ? 

A. C. — ¿Cuál será la superficie de un pizarrón de forma rec- 
tangular si de ancho mide 3 met. y de alto 1.50 met.? 

M. L. G. — En este pizarrón hice una circunferencia que medía 
alto 24 cent., de ancho 24. ¿ Quisiera saber cuánto mide entre 
todo el alto y el ancho ? 

E. G. — El pizarrón de forma rectagular mide de largo 2 metros 
y de alto 1 met. ¿Cuánto mide la superficie del pizarrón? 

M. L. — Un pizarrón mide de largo 21 cent., de ancho 22. de 
superficie 5. ¿ Cuánto medirá entre todo ? 

C. ^f. ¿ Cuál es el volumen de un cubo cuyo largo mide 3.43 
metros, su alto 2.29 met. y su ancho 3.94 mts.? 

A. Q. — ¿ Cuánto medirá la superficie de un pizarrón cuadran- 
gular que mide de alto 1.50 y de ancho 3.75 ? 

^- Q- — ¿ ^uál será la superficie de un pizarrón ? 

J. r. —¿Cuánto debe medir esa pizarra si mide de largo 8.50 met. 
y de alto 1.50 met. ? 

R. li. —¿Cuáles la superficie del pizarrón cuj'O largo mide 3 
metros y de ancho 7 met. y 8 cent.? 

."í. K. S. — ¿ Qué superficie tendrá ese pizarrón rectangular que 
mide 4 metros de largo y 1 . 50 de ancho ? 

/?. r. — Cuadrado de 5, más cuadrado de 95, menos la mitad de 
8. menos 10. dividido por 2, más cubo de 11, multiplicado por el 
cuadrado de 4. más 8, menos 9. 



3" Orado Superior. — Vahoxks. —L. J. C. — El pizarrón de 
una escuela mide de largo 5 mts. y de ancho 3 mts. y es pintado 
por S 0.50 el metro. ¿Cuánto contará toda la pintura ? 



- 233 - 

P. C. — Pn señor tiene un pizarrón ife forma rectaTigalar, supo- 
inijiio que midiera de largo 5 metriís y de aního 1 y mcflio. Tk-sea 
f(í.liof ¿ ciiúntos cnadritüs de 3 <:%%, de ludo serán necít?«arios para 

7'. J, — Cuánto iiiiporta un pi/.arn'in rectanícriJlarcuvas dinicnsio- 
les aun 4 metros de basej á.Oü de altura, saliieiiflo que A tleciitie- 

""tro cuadrudo do niaiiera ha restado 0.Ü4 cenlavíjs y 0.0¿ de pin- 
tura ; por winiitipción fuó necesario jingar al carrero, que teaia ijue 
caminar 10 ruadras $ loro. ¿Cuánto importa dieiio ¡liKarrén en 

"francos ? 

r. M. — .Si una pitarra de foniia ciiadriloneft tiens \ iuis.de 
|'l>{lsn por 2 ints. \\c altura. ¿ Cuánta niaitcra «ie retanifo será nuce- 
{enrio pafa fabricarla, (•oütarido <e\ nirtro i % 'i ¿ Cuaiitu debe pa- 
garse al pintor costando úl nieti'o $ 0.25 ? 

J. J. J/.— El pizarrón (le clase mide 4 jnetro.s. ¿ Cuántos cín- 
ftimefros cDuilrado!* medirá y euántos cuadritos de un docimciro a(í 
Jpodrán hai'er de til ? 

J. ¡i. —Han pasaihi seis niñas al pisrarrón y titne quehacer cada 
niño -lil i)«ntos de diferentes colons. el .'iet,'uiidu hino IW, el íi" 81, 
el 4" líH, el 5" 4tX) y por tin 10. ;, Ciúnto;! son lus puntos rjue han 
dibujado entre tof; ¡¡¡eis uítlús ? 

P ¡1. S. ~ Hallaf la altura del piscarrón saüicniio que la superficie 
mide 4 ni* v Ü nietroü de ancho. 



F. M. — Vü p¡?;arróji reetang'ular mide i metros de Ancho por 5 
<1e larg^o y se ha pintado con una capa de¡ pintura negra, sabiciulo 
ciiic tiu nietrií vale $ 3.10 y se ha querido ]niitiir otro que lienc 10 

Íjuetros pur dos de ancho. ¿ Cuánto se haljrá gastado en este pi- 
tarrón ? 



NiSas — f. A^ — iCní[ mr& el área del pizarrón de 3e"" fira- 
tto si \n» dimenaiflucsson : de allnra mide 2 nietrus y de base ó 



H. it. — .Se qniere ])intar con ])inuira nefra una pizarra qiu; 
tiernf T) metros de larj^o y íüiiúnierirlo tiue ten^a 3 itifitroa de anrlio, 
el pintor tieeesfta 8 tarritos de pintura barniz. ¿ Cuániu debo 
pagar al pintor el dneüo ? 



L. B. — Hé comprado un pizarrón que mide 75^85 cm. de 
falto por i25"'7'3 cm. de ancho ; pagué al carpintero 8 S poi" el 



- 23+ — 



metro y al pintor 0,20 cts. por 
me vendrá á costar el piznrión 
pintura ? 



el iiu'tro de pintura. ¿ Cuánto 
ron lofi g-astoB de carpintería y 



A, 6'. — Hay un pizarrón que tiene i'™50 cmL Je lar^o por 
1 , 20 cm, lie ancho y sp qiiitre renovar este pizarrón porque se ha 
roto. ¿ Cuál e» 6) área total átil víejg y cuántos cnadritos di^ 
C^IS cm* se iic(!esitaii para íuliririo ? 



E. de tu A. — Un hombre comiiró un pi/.arrón de 6 50 nits. de 
larfro por (1.75 mta. dn ancho: lo Inzo pintar y le cobraron $ 2.75 
piiiel metro ('«aiirado de pintura y por llevarlo á su casa 2.G0$> 
¿ Cuánto gastó pür totto ? 

J. Es. Va pistarrtm deforma cuadri Ioniza mide 5 m. de larg» 
y se <iuiere pintar. ¿ Cuántws kilos de pintura se necesitan ? 

T, G, — En el salón de ^•■'' firado se enenentrn un plunrrón de 
forma reftíitigulnr, que ni ido ile larg-o 5 metros y de anclio 1.8Ü 
cvntimetros : d este pizarrón le quieren piriinr de eolor negro. De- 
searía salier ^, cuánto se eubrará por la (liiittira BabÍt*ntto que el 
metro cuadrado cuesta S 1 ,05 ? 



/J. G. — ¿Cuál M el área ile un piíanón que tiene la foniiii 
de an cundrilongo, sabiendo que mide 8 metros de tarjjo y tí de 
ancho ? 

ií. G. — Un señor compró un pííarrón de 5 mts. ik« laigo, 4 de 
ancho y lo qncria hacer pintar y le cobraban por el metro cuadra- 
do de pintura i.. 'VOS. ¿Desea saber cuánto le costará luicíendo pin- 
tar todo el pizorrón. 

M. J. — En el 3« grado hay un ])Í7.arriin de 4 metros de lado 
por dos de ancho. ¿ Cuál será su superñcie y cuanto se ijflsiara 
para hacerlo pintar valiendo 1 . 50 S el metro ? 



ff. L. — Ün señor comji'rfi un piziirrón cuadrilongo, teníendc de 
largo 5 metros y de ancho '2 mts. y quiere pintarlo con piatura 
negra: ibsea saber cuánin pintura será necesaria para pintarlo 
y cuántos cuadrítos de 0.2 mtíi. serán necesarios para llenarlo? 



J. M. — Un pizaiTftn tiene de larpro 8 mts., <\e ancho 3 y de 
espesor Ü.02 etm. y lo han hecluí pintar con utia pintura negra qua 
cuesta 2 S el frasco : al pintor le pairaron 12 $ y al carfiiniero ^ 
pesos y 50. ¿Cuánto habrá pairailo por el pizarrón ? 



235 



E. O. — Uti pizarrón iiiisle di? largo O.ll cerníjiiPtros y df iiiiehtí 
0.08 por niotro^ y 2.50 }»or el luiítro' dt> carfiintoria! ¿Cuánto 
tPttdrá que pagar el dueño y se cobran por í1 trabajo 6.50 ? 

M. T. fJ. —Tengo un pijíarrón du fonim reetang'nlar <¡üp mide de 
altura un nifitro y íte base dos metros, por el itietm d(* pintura 
me han cobraiju 0,30, ahora qoiero saber ¿cuánto me Im costado U 
pintura del pizarrón enltro? 



E. f. — Una pitarra me cuesta S 0.20. 
! 18á4 piü arras ? 



Cuánto me cogitarán 



C. R. — Un señor vendió un pizarr6ii rectangular que mide 8 
metros de largo, ¿ Cuál es el aneJio ? 

.V, J?. — Enana ])ieza liay un pizarriSii que mide de larg^o 5 me- 
tros, se ijuiere saber fiiantu mide cíe atielio; luego ae quiere saber 
cuánta piulnra se neeositw ¡niru pintará todoV 

/f. T. — La pitarra ile í-Inse en que nosotros escribimos, es de 
fanna cuadrilonga: mide de altura ::J metros.de Imsc 5 metros. 
¿Cuál será el área lie este cuadrilongo '' 



A". 7'. — Un jiiünrróii de forma reí'tnng'ular sp quiere pintar eon 
pintura neíjra y este tiene de altura 105 et'iiliiwelros y ¡te aiielio 140 

Icen time tros. ¿ 8p quiere saber cuál seiá el áre.T de este ]>iiíarr6n ? 
/. V. — ¿Cuál será e! área de un píj-arrón que tiene la forma 
de un rectángulo, sabiendo que mUle d mellos de uUuru y 10 me- 
tros de bnsc ? 

E. K'. — .Si un pizarrón mide dií largo 2 metros y 95 eentíjue- 
I tros, de ancho 1 in. y 15 eentímctros. ^.Se desea saber cuántos fen- 
^Ktimctros de largo y de ancho ? 

C. .V. — Un piKarrón que mide de largo R luts. y lie ancho 3 mts. 
35 cmts.. y ha sido pintado por la sumn de 2 S 40 cents. ¿ Se ile- 
sea saber cuál es la suma de toda la pintura que haya sido necesa- 
ria para concluir ile pintarlo 'i 

\í. K ,J.— El pizarrón de nuestra clase mide 5 m. de altura y 8 de 
I base. ¿ Cuál será e! área del pizarrón ? 



A. (le M. — Una pizarra tiene S m. 50 centi?. de largo por 5 me- 
Itros de alto, es de forma rectangular ; por 1 metro* iJe pintura le 



— 236 - 

han cobrados 0.40 y por la madera S 0.30. para colocarlo han 
cobrado S .3.50. ¿Se quiere saber cuánto debe pagar por todo el 
dueño del pizarrón, si debe pagarlo on £ V 



4° Grado. — Varones. — R. B. — ¿Cuál es la superficie de éste 
que mide 3 metros de largo por 1 metro y 25 de ancho ? 

M. B. — ¿Qué superficie tendrá un pizarrón que tiene de largo 
7.50 mis. y de ancho 2 mts. ; pero una parte de él está rota en una 
superficie que tiene 50 cms. de lado ? 



C. C. — Hallar la superficie de un pizarrón que lo cruzan en el 
m*dio 4 listones de cuadrados de 0.02 cada cuadrado, y cada listón 
del cuadrado tiene 50 euadraditos. ¿ Cuál es la superficie del lu- 
gar que queda después de los cuadros ? 



R. E.— Un pizarrón tiene de largo 2.87 y de ancho 1.27. está 
cubierto por 4 lincas de cuadrados, teniendo cada una de las líneas 
50 euadraditos. ¿ Cuántos euadraditos entrarán enlodo el pizarrón? 

/>. /•'. — Hallar el volumen del pizarrón de clase que mide de 
largo 3.50 cent, y de ancho 1.50 cent. 

B. G. — ¿ Cuál será el área del pizarrón del frente que mide de 
largo 3.50 mets. y de ancho 1.50 mets. y ha costado el metro de ma- 
dera para construirlo .S 0.20 cents? 

F. M. — Si de largo tiene 3 met.. de ancho 1.10, ¿ cuántos cuadra- 
dos podrán entrar en él si cada uno mide de lado 60 cent ? 



F. M. — Una figura tiene de longitud 2.87 y ancho 1.64. ¿Cuál 
es su superficie y entran cuadrados de 0.16 cent, de lado ? ¿ cuán- 
tos cuadrados entran en la superficie ? 

T. M. — Hallar el área de un pizarrón de 3 met. de largo y 1.30 
de ancho. 

. L. M. ft".— Hallar la superficie de un pizarrón de laclase que 
mide de largo 2.87 y do alto 1.29. 

Ji. S. — Un pizarrón que tiene 3 met. de largo y de ancho 2.80. 
de forma rectangular hallar la superficie. 



237 



B. Q, — Encontrar la superficie de un pizarrón que mide de lar- 
go 2 niet. 75 y de ancho 1 met. 50. 



J. P. — Encontrar el volumen de un pizarrón de forma de un 
paralelepípedo que mide de largo 2.40 cent., de ancho 1.00 cent, y 
espesor 0.03 cent. 



Niñas. — M. A. — ¿Cuál será ia superficie de un pizarrón negro 
que tiene por dimensiones 2.25 met. de largo por 1.50 met. de 
ancho. 

M. A. — Hallar el área de un pizarrón de forma cuadrangular 
que mide un lado 5 metros. Hallar su área ? 



•>■. C. C. — Hallar el área lateral de un pizarrón que mide de 
largo 3 m. y de ancho 1.50. 



A. C. — En un pizarrón que tiene 3 metros de alto, 4.2 de 
ancho y 6 metros de largo. ¿ Cuántas reglas de 0.40 centímetros 
entran en toda su superficie ? 



J. C. — Un pizarrón de 3 metros de largo por 1.25 de alto. ¿Cuán- 
tos cuadritos de madera de 0.15 centímetros de lado por 0.23 de 
alto entran y sabiendo que cada nno cuesta 0.05 centavos ? 



M. C. C. — ¿Cuál será el área de un pizarrón de forma de un 
rectángulo, que mide de largo 2.8 y de ancho 1.25 ? 



/.-. F. — Cuál será el área de un pizan'ón negro de forma de un 
rectángulo que mide alto 1.25? 



A. G. — ¿Cuál será la superficie de un pizarrón que tiene de 
largo 8 *'2 por 1 '2? Dar la superficie en met*. 



B. ir'.— ¿Cuál será la superficie del pizarrón del frente que mide 
de largo aproximadamente 2.50 metros y de ancho 1.50 metros? 



E. Fj. L. — Hallar el área total de un pizarrón del salón, que 
tiene de largo 2 metros 50. de ancho 1 metro 50 y de espesor 0.02 
metros. Se ha pintado este mismo con pintura de color negro y se 
ha pagado por esta pintura 0.20 el metro*. 



- 238 — 

r. M. — l^uiero encontrarla supertícte del pizarrón quf.' tiene 
larg^o 4.50 y de andio 2.50. 



8. M. — Hallar el área de um pizarrón rectangular que mide de 
largo 2,75 por 1.30 ancho. 

M. B. — Encontrar el aren de un pizarrón que tiene la forma de 
UtiprisTlla de bftse ret-'tangular y eiiyas dimensíoties son i un lado 
de la base 0,017 y de altura 0.53. 

K, M. R, — ¿Cuál iferá la Boperlicíe de una pizarra qae tiene 
de ancho 3 uietros y de largo 1.2&? 



^f. C, S. — Encontrar la superficie úe un pizarrón qae mide de 
ancho 1.50 rntR. y de largo 2. SO 

S. h'. S. — ¿ Cuál será el área toCal <\'i- un jiizarrón que mide de 
largo mts. y de ancho 17? 

G. S, — ¿ Cuál será el área de un pizarrón que tiene de lartro 3.80 
centímetros y de altü 1.50, dedueiendu la parte enadricnlada que 
tiene de ¡ar^-^o 3.60 y de alto 0.20 fentimetrot.? 



M. tí. tf. — Encontrar ol área de un pizarrón cuyas díjijenaio- 
nes son: de largo i.bO y de ancho 2 metros. 

.V. M, r. — ¿ Cuál será el área de un pizarrón que tiene 2.80 
de largo por 1,20 de ancho que es de forma rectangular ? 



M. V. —Hallar el área Ititeral de un pizarrón que mide de Iwgo 
3 metros v de ancho 2 me tros. 



M. J. V. ^- ¿ Cuántos cuadritos de 10 centímetros por lado en- 
tran en on pizarrón que tiene de largo 3 metros v ancho I me- 
tro 5Ü ? 



5" Grado, — Varomes. — S. C. — Hallar el volumen de un pka- 
rron que tiene 3 metros de largo, 1 metro y mertio de ancho y 
10 centinietros de espesor. 



— 239 - 

K M. — i Qué volumen ocupará un pizari-riu, de tijrina de un pa- 
riilolepípedo, el larg'o de id lüiile 4 íiietrus, í.d alto LÜO y el espesor 
0.05 metros, sabiendo que lo que oeiipa ló cent ¡metros y medio no 
esiito ? 



.A //. J?. — ;, Coa! sí'ra til peso de un pizan-ón d*? nogal, sabiendu 
queiiene 0.2700 eetitm' 3' la densidad de la madera? 



P. P. — L'na piaarra tiene 3 metros i¡e larg^o por 2 metros de 
'aticho. por 0,10 metros de espesor ; ¿ cuál será el volumen? ¿Ciiáa- 
^ tos cubitos de 008 raetrus de lado podrá contener y cuál será su 
peao si fílese do nofíal ? {Lf^x.) 



A. f. — Hallar el volumen de una pizarra de 3 motros de largo 
por ).75 de ancho por O.Oíi de espesor. ^. Cnát será su peso si la 
densidad es de 0.832 v cuántos cuerpos de torran i!e conos trun* 
eos que tienen de diámetro liase mayor de 0.03, lic la menor 0.025 
y de altura 0.104 cabrian ? 



y. A. M. — Hallar el área del pizarrón de 5" grado que tiene las 
[BÍguientea dimenKÍonc<t : de largo s.T y de ancho 1.80. 

P. J. T. — Hallar el área del pizarrón que tiene de largo 'á me- 
l'tros, y medio de ancho, siendo de forma rectangular, 



XtsAS. — C, M. A. — Hultar o I área de utt pizarrón que tieue 
centímetros de baso v la altura 3,bO centímeti*os. 



B. A. — El pizarrón mayor de 5" Grado tiene la forma de un 
paralelepípedo de base reetangulai'', midienilo 3 metros de ancho, 
2 iuctro.s de laríjo y un decímetro y medio de espesor. Se de- 
sea saber el volumen y cuántoa ciíadrodos entran midiendo na 
Fiado 0.25 

M. A. — ¿Cvt»l será el volumen de nn pizarrón iiue tiene la 
r forma de un parale lep i ¡iodo sahiendo *]»<• si fuera de agua pesaria 
M.Sfiíí kílóg- ? ¿Si fuera de madera, cuánto pesaría ? (1"'. de la nia- 
Idera x). 



M. J. V. — Se degea sahci- cuút es el área de un pizarrón qne 
lanide de largo 3,005 metros y de ancho 1.30 metros. 



— 2IU 



tí, <". — ;, CiuU será el área de una pizarra de forma rpct un ¡rn- 
lar, ti?tii<'inlü d<; larjL'a á • i metros y ftiu-lio l.-2-l metros? Si ijni- 
sitra j'ornirln Uü itiíueru y etida metro vale .? 4.00 : ¿ euántu g^énero 
entrará v cuánto me valijrñ ? 



•U. IJ. r.— Hallar el volumen y peso rte un [lirarrún que tie- 

no la ftiniia da un poralf»lepipíi(Ío de íar^o 4 metros, ilc «nchu 

2.5í> nit'tros y tle esjuísor O.Oi mítrüs sabiendo íitíe la densi- 
dad de la malcría con que ístá hecho es de 3-95? 



M. E. C — Hiillar la snpprfipic de uu pizarróii que tiene 8 
metros lio largíJ por l.r>0 ilc aitclui y averiguar ¿ cuántas baldosas 
de un cetjtim,' eíibrán "■' 



if, D.— E\ pizarrón di? n" grado midfi Ü tiietvois dy tartro y de 
atifífiü l.ári Sa stijieiiit'ie total ca de 4 tu.*; s¡ ipiiiu-ramof 
fonarlo ctin cüCü piin/.íi ¿coátil'ís Jtictros necesitaríainutí, pabiímlo 
<!Uc el metro li*" este tíéiiüi'o cuesta 35 S ? 



F. dv /*.— ¿Cuál será el volumen y peso de una pizarra de 
forma de un finrulelepipcdo que tiene íí luetnis «le lavg^o por 1.50 
metros ile ani'lio y ¡lo espesor 0.03 metros, siendo la densidad de 
la madera de 5.401' 



M. J F. — Cuántos cubitos üobrán en la superficie de un pízA- 
rrúii. si gti el volumen de un cajoncito entraa 20, sabiendf» que 
la superficie es de 8 m.' ? 



C. F. — ¿ í^oé vohiiiien tendrá un piíarrótide 3 metros, de larifo, 
1.50 de ancho y O 04 mefrue de esiiesor, suponiendo füMe d# 
cobre, cuya detiaidad es 8.80, cuánto posará? 



A. de M. — ¿ Qíté volumen tcadrá un pixarróu de 0.0(3 mc- 
tfoH lie espesor, l.(i5 de ancho y .1,25 de larg^u 'i ¿Cuántas lineas 
entr.Ki de 0.001 lie anclio cotocadus á 0.04 ile distancia y qué 
caoridaí] de letraü de imprenta cabrían si mide csila nna 0.0004 
m.^ de superficie y üc colocan á 0. 008 de distancia? 



.4. fr. — Vt% pizarrón tiene de largo 3,47 ujutrus y de aurlio 
1.50 metros, ¿cuál es la superticie y qué luijar ticupará en él un 
cuadniílo eoni¡MieBto ile 15 cuadrados más pequeños que tniden de 
lado 0.07 metros. 



— 241 — 



I. E. — E] pizarrón adapta la forma de tin rectángulo, mi- 
diendo de base 2.5Ú metros y de altura «> metros. ¿Cnftl es Ift 
íapcriicie ? 



C. L. — En un pis;u:rrí)Tii de forma de un juitiiija (|ue mide de 
irgo 3 inelroa 50 por ] .25 metros de alto, por 0.2i) de ancho, en- 
ran 50 cuadrados. ¿ Cuantos entrarían eiendo el prisma doble ? 



J, M. — Oaál Bírá el voluraotí de un pizarrón de fümia rectan- 
Cfular, midiendo Ib base 4 metros y la altura ó; además, se «lesea 
saber puántos cajonea eabráii cunocieniio que tiene la fomia de un 
^■cuadrado y que midü de lado 0.12 metros ? 

M. L. M. — Hallar et volumen de un pizarrón que tiene de 
largo 3 mctroa, de ancho B metros y de espesor 0. 15 metros. ¿Cuál 

I era su pe^o ai en vck de madera fuese do hierro Densidad de 
ate j? 
Á, J . M, — Se desea saber qué cantidad de barniK se necesita 
lara barnizar un pizarrón de 12 metros de largo por B de ancho; 
ai se sabe qne emplea medio lirro para bamiíar uno de 3 metros 
de liirgo por ITiO metros de anehíi y. ¿qné eantidad de tiempo se 
empleada para secarse ai es que el segundo pizarrón tarda una 
hura tiO' y 6" ? 



■ I'. <i. — 8e desea saber cuál aera la superficie del pizarrón 
sabiendo que tiene 5.45 de largo por 3,28 de alto, sabiendo que 
' É de éflte se linlln ocupado? 



' S. P. — Hallar el volumen de un pizarrón que tiene la formo 
de un paralelepipcdo, que tiene de largro 3 metros, deauíhoO.OS 
y de e«pc»ar O.CM metros, ¿cabiendo que la densidad de la pizarra 
es de 2.70. ¿Cuál es sa peso? 

P J. K Jí. — Deseo .sabor ruánlas pitarras de 0.12 metros por 

Indo, podré sacar de un pizarrón que tiene forma rectangular, sa* 

hiendo qne mide de larg:o 3 nvetros, de anL'ho 1.50 y de espesor 

^0.015 metros. 



T. S. — Vn piíanón tío hase cuadrangrular mide 3 metros de an- 
cho por 0. 50 m. ite larjro, pudiendo escribir en él 5 niños ; en uno de 
8 (le largo por 7 de ancho, ^;ruántos niños podrán escribir sabiendo 
el largo y ancho del pizarrón ? 



Ens, Je ia Aritmética 



tti 



- 242 - 

R. T.~ Hallar el volnmen y la snperfide de mi pkarrón que 
adopta la fortiia de un priema rectangular, que mide de Bltura- 
2.76 metros y de base 0.98 meiríis, ¿cuál es la Buperírde y el 
volumen ? 

C, T. — Hallar el volumen de una ijizarra que tiene la furnia 
di un paralelepípedo y mide de largo 2 50 metros, de ancho 1,2Ü 
metros y de espesor 0.0& centímetros : calcular el peso y au den- 
aidad sea igual á x. 



F. de T. — Hallar el voliimeu <le una pizarra que tfenela forma 
de un rectáng^ulo, que tiene de larg-o 3.25 juetros y de ancho 1 me- 
tro, sabjettdo que la densidad de la madera es x. 



S. S. — Hallar la superficie de una pizarra que tiene de larg:o 
3.50 metrofij ¿cuál 5cr& el ancho? Averiguar eí volumen, siendo 
ta densidad de la madera :r. 



M. T. ZJ . — Hallar el volumen y el peso de un pizarrón que 
mide 2.50 m. de largo por 1,50 metros de altara y 0.07 de es- 
pesor. 



fi" Orado.— Varones. — F. L. — Deseo saber qué cantidad de 
pínTura será nocesaria para pintar el pizarrón de tí" g-rado { pin- 
tarlo de untado l. suponiendo que tiene de largo 3.30 y de ancho 
1.45; sabiendo que 1 gramo es suficiente para 0.000(M)2 metros 
cuadrados de pi7,arrón. 



R. E, — £n un pizarrón de 3 metros de largo por 1.5Ú de ancho 
cabrán cuadrados que tienen 0.2d de lado: igualmente cuantas 
varillas prismáticas de 0.50 de largo y 0.04 de espesor y. por lílti' 
nio, cuántas tablas de la misma longitud del pizarrón y de O ;10 
de ancho se necesitarán para que el pizanón, así construido, tenga 
1 . 50 de ancíio ? 

T. L, — Averiguar la sapertície de la pizarra del 6* grado quf 
tienen metros de lojigítud por 1 50 de ancho y á mas, averi- 
guar cuánto costaría para pintarlo, sabiendo que el pintor cobra 
0.05 centavos por centímetro- ? 



J. P. S — Una pizarra de 3 metros de largo por 1.80 centí- 
metros de ancho, ae desea saber cuántos cubos de 0.08 centime- 
tros de lado cabrán y cuántas reglas de 0.40 centímetros en su 
aaporñcte ? 



— 243 



H. B — En una pizarra de 3 metros de larg^o jtor 1 metro y 'áO 
de ancho, se dibujan diferentes tii^nims ; una linea de forma Vec- 
taiiíifular de 0.006 milímetros de ancho por 0.21 de largo, un trián- 
í,tilo lie 0.3 centímetros ile base y r|Uf! su altura es inrual á la raíz 
íiibica de O ^OÜOISd ; una circunferencia de 0.25 m. de radio y un 
coadrftdo lie 0,09 de !ado. ,; Qué superficie del pizarrón quedará 
desocupada ? 



R, L. —Se quiere saber cuánto cobrará un «rarpintercv para Hacer 
un pizarrón de 3 metros do largo por 1 metro 50 eentimetros de 
ancho, la madera será de pino de tea y cabiendo que el decímetro 
cuesta II. !0 centavos, y de espesor tiene la madera 0.04 cení ¡me- 
tros y al miümo tiempo cuánto cobrara un pintor para pintarlo al 
óleu. sabiendo que cobra por ül decímetro $ 0.20 ? 



" J. C. C, — ¿ í^ué capacidad tendrá el pizarrón del frente supo» 

niéndolo hueco y cuya forma es la de un paralelepípedo y sus di- 
I laensiancs son 24 metros de lariío, 1 .50 metros de ancho y 0.05 de 
I espesor ? 



li. li. — Un pizarrón tiení de largo 7 metros y de ancho 5 y 
flitÍHl marcadas en &l lineas en el sentido de md longitud — cada 
OOft ár ladi<itancia de 0.05 eentimetrOii. Deseo saber cudntns líneas 
habrá y cuántos cuadrados habría si se trar^arau líneas perpendi- 
culares á las primeras á <lisl:ancia.s también de 5 ceatimctroB ? 



I 

P*lg|tr&p, de 6" grado, si tiene de superficie 4 metros, 3750 t'enti- 
I WélSeos y de ani'ho I metro 35 ; y etiántos cuadrados de cartón i^e 

necesitarán para cubrir la tercera parte de dicha pitarra, ú tiene 

cada uno de lado 0.15 metros ? 



NiíiAs. — M. I, — ¿Cuál será el Sargo de una parte del pi- 



//, E. — Hallar el úrea de una pitarra que tiene de largo 3 
metros 50, de alto I metro 30 centímetros y de ancho 0.05. 



r O. C. — ¿Cual aera la superficie de una pitarra de 3 metros de 
largo por 1 metro y ' i de alto y 14 centímetros de espesor? 



r A . C. — Deseo saber cuántOB pedazos de. madera de , 20 centí- 
metros de ancho por 31 de larg-o, se necesitarán para cubrir un 
pizarrón que tiene 3 metros de largo y un metro y medio de 

' icho? 



244 



E, C. — Sobre un pizarrón que tiene í metros &i de largo por 
1.30 metros de alto, se dibujau on una mitad cuadrados de O.iO 
centimetroa de lado, se desea saber ta cantidad qae &<! pudran 
dibujar; y en la otra mitad cuadrilongos di? 0.025 por 0,105. 
Averiguar también la cantidad de cuadrííonguü que se podrán di- 
bujar. 

C F. — Hallar el volumen y ireadel pizarrón menor de 6* gra- 
do, considerándolo nn prisma, cuya base es de fonua de un caa- 
drilongo; que tiene de base 1 metro 3p y de altnra 0.03 centí- 
metros, ana de las caras de aUurs 2 metros 45. 



E. tí. —Hay una pizarra que tiene de lar^ 2 metros 30 j" de 
ancho 1 metro -ÍO. ;. cuántos cuadrados se podnan dibajar en su m- 
pcrfíde sabiendo que ciida iruadrado tlt^ne de lado 0.05? 

M. L. M, — ¿Cuántos grnpos di lineas y cuántas letras cabrán 
en la pizarra sabiendo qne tiene 20 Unías y cada g^nipo tiene 5 
líneas v si cada una de estas tienen 62 letras ? 



G. O. — Cfilenlar el mímero de pedazos de maderas <>uadrangD< 
lares que cabrán en un pizarrón, sabiendo que ano de sus tadofi 
mide 25 cenitmiitros y et área lateral del pizarrón e« de & me- 
tro* 50 ? 



M. B. P, — Deseo Haber cual de ambas saperficies será mayor ^ 
si la ucupada por 20 cuadrados de 0,4 eentimetros de lado ^ 
de nti pizarrín de 5 metros de Inr^o por 1 . 60 de aacho. 



J. i'. ^ Deseo saber la superficie que tiene una pizarra de 3.30 
de largo por 1 . 1 5 de andiu y cuántas pitarras más pequeña.^ en- 
trarían en ésta. 



A, á. de loa S. — Se desea hallar la superficie lateral del pi- 
zarrón que tiene de alto 1 . 30 y de largo 4 metros. 

M. 5. —Hallar el volumen de un pizarrón cuya forma es (a de 
un paralelepipeifo. teniendo las siguientes dimensíonea : l&r^ 3 
metros 50 centimetros, de ancho J . 80 y de espesor 0.06eeiitime- 



troB. 



H. V. — Un pizarróti tiene las siguientes dimensittnes : 3 me- 
tros por 1.50 centímetros, cuánto costará el barnic sabiendo que 
na tarro vale $ 1 . 20 y alcanza para barnizar 1 met.' ? 



— 245 — 

T. C. — ¿ Cuál será el volumen de una pizarra que adopta la 
forma de un paralelepípedo, midiendo de largo 3 metros y de ancho 
4 metros ? 

L. C. — Se tiene un pizarrón, sabiendo que tiene 3.78 metros 
por 1.50 y su espesor 0.08, se desea encontrar su volumen y 
¿cuántos pizarrones se harán con 0.0150 decímetros de ma- 
dera? 



A. T. L. — Cuál será el volumen del pizarrón, que tiene la 
forma de un paralelepípedo, si sus dimensiones son : largo 4 metros, 
ancho 2 y alto . 08 centímetros y cuántos cuadrados de 1 dem. 
de lado entran ? 

M. 31. D. — Hallar el volumen de un pizarrón que tiene de 
largo 2.50 metros, de ancho 1 V» metros y de espesor 0.08 centí- 
metros, adoptando la forma de un paralelepípedo. 



„ 24t) — 



Proceso de discriminacidn central (Exp. XVUIk — El 

primer grado dübíu darnos, como término medio de la 
integración explicada on el capítulo procedente, la 
respuesta : de sumar y restar ( + I y obtuvimos, en 100, 
el resulttido que expresa este euadro : 



+ 


+ 


+ 


— 


1 Tiempo nie- 
S/ dioaereac- 

ciñn, ' 


Tiempo 

minimo 


Tiempo 
máximo 

1 


V 


U 


V 


M 


V 


M 


V 


H 


V M 


V 


M 


i 


H 


\y 


M 


17 


31 





15! 

1 


n 


8 


50 


ai 


10 


15 


8 


4 i 


1 


1 


1 

40 


7 



£1 signo +, indica que la respuesta fui' lic sumar y resíar; et 
de rentar j aumur; el — , de fratar; el X- ^^ muitiplicnr. 



Observaciones — 1" Los tiempos mínimos correspon* 
den á casos positivos- í^i la evocación de las imáge- 
nes no es inmediata, concluye por ser falsa: la apti- 
tud diseriniinativa, es un hábito trabajado por la edad 
y el ejercicio que evita el error, más que la medita- 
ción reposada. 

2* Cuando la proposición no evoca imágenes ola- 
ras, tiende á concebirse una respuesta consciente peí 
no libro de duda. 

3" La niña, en primer grado, al dar más positivos 
y reacciones de tiempo más cortas, prueba lo que 
veníamos notando en los experimentos anteriores, que 
el desarrollo de las vías centrales de asociación, se an- 
ticipa en un sexo que presenta hasta los 8 años, una 
inteligencia más formada, pero que avanza, comparada 
con la del varón, muy lentamente. 

El análisis de las integraciones de 2", 3", 4', ó" y 
ñ° grado, donde dimos un problema al alcance de los 
alumnos, es decir, de una forma ya ejercitada por ellos, 
arroja el siguiente cuadro: 



- 248 — 



EXPUCACIÓN Dfe LOS NÚMEftOS ORDINALES DEL CUADRO 

I— Bien discriniinailo. 
II— Discriminación incompleta. 

Eacríbifron : 

III— Si 1^3^"^'*'j^'' 

" } naranjas cuestan 72 cU, ó $, 8 costarán S veces wímoa 

IV— 72 

^— ^ 7> n !! ■> n ?i ?^^ * = *í^- 

VI— „ „ „„.,„, Specííma*, 

Vil — IntDordinacLÓn compLeta (Díalogia). 
'ÍII — Alteraron el enunciado, 8Ím]jlíñcanda el problenia- 

IX — Olvidaron lo8 datos. 

X' — „ laa denominaciones. 

XI— Inversión de términos en las operaemneá (12:72). 
Xll — Operaciünes mal hechas. 
LUÍ— No hicieron las operacionea. 
[IV Dificri mi nación incorrecta en la discriminación compleja, 



Observaciones,—!^ La positividad de los grados 2". 

S", 4", 5° y 6°, no obstante la aparente sencillez del 
problema, en la combinación de división y multipli- 
cación, nos indica que los maestros se engañan á 
menudo al juzgar las aptitudes de sus alumnos como 
buenas. 

2* La positividad dol 5" y 6°, comparada á la del 
40 y grados anteriores, presenta la razéu^, en tiem- 
pos» probablemente mucho menores, demasiada mejo- 
ría dol proceso razonativo que debe atribuirse ó la 
forma adoptada para enseñar la aritmética en dichos 
grados, el de ejercicios y problemas de tipo variado y 
á repetición constante, 

S" En discriminaciones erróneas, se aproxima más 
á la positiva y puedo considerarse como el último paso 
ó paso á la lógica, cuando el niño determina el sen- 
tido do la operación, comparando la proposición dol 
problema con el resultado á obtenerse. 

4' En los primeros grados, cuando las proposicio- 
nes evocan imágenes de la misma especie, resultan 
muy indeterminadas tocante á extensión, á punto de 
considerar mayores las que son menores y viceversa. 
De lo cual se induce que el 2° y "A"' grado, en los pro- 



— 249 — 

blemas de condiciones implícitas donde la compara- 
ción de dos grupos de cosas no puede ser clara sino 
mediante la reducción, á uno, debe formar hábito, 
razonando con los objetos ó sus representaciones, á la 
vista, lo mismo que se hace on 1" y 2" con los proble- 
mas do suma y resta, antes de que las soluciones sean 
abstractas ó capaz, el niño, de las imágenes sugeridas 
por las palabras. 

5* La objetivación de los problemas de suma y 
resta no basta para formar el hábito de resolver pro- 
blemas do tipo diferente como los do multiplicación, 
división y sus combinaciones; porque las vías do inte- 
gración son también diferentes ; porque cada vía forma 
su capacidad abstracta ( capacidad para conducir sen- 
saciones é integrar, sin el estímulo de la poreepción, 
término á que aspira la enseñauíia matemática, desde 
quo so propone la rapidez y generalización) por el 
ejercicio concreto; la exactitud, exige, así mismo, la 
objetivación de los problemas de multiplicación, divi- 
sión y sus combinaciones, antes de que el niño se ejer- 
cite en resolverlos abstractamente. 

6* El proceso abstracto sigue una rápida progre- 
sión ascendente del 1° al 5" grado, lo que debe atri- 
buirse ó, mejor dicho, comprueba el desarrollo ó mieli- 
nizacíón rápida de las fibras de proyección y asocia- 
ción, provocada on parte, por el trabajo de la escuela 
y en parte por la edad. *" 



(I) VULPIUS O. t Esamen inicToiciípico de 22 cortes, en lerie, de cerrbroí de 
ilifereneu edades*. En SotfRV (Anatom. <■! Plijra. des Abre» tangen.», páj;. ''^O. 




Gráfica tfsl raionBiniíiitD. í^r grados. (VinnH) 





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- 251 - 



Del 5° al ii", la nrogresiün, on los varones, ns mí- 
nima, debido á que la mente ha alcanzado on ese tipo 
de abstracción, ol máximo do positividad ; está prepa- 
rada para integraciones más coiiipkyas. 

7* De la diseriminaeiún errónoa, do que hornos 
hablado on 6, á la discriminación exacta, la mente 
pasa por la discriminación incompleta, es decir, que 
sin terminar la reacción, las porciones integradas son 
bueníis. Kstos niños han escrito : sí 12 ovejas cuestan 
72S,itnaiUíe^t(Ti Í2 veres utenoíi; Ñ rnesfan mtis; ó for- 
mas más ó menos parecidas. 

Esta transición está marcada en el cuadro columna II: 
en 4° grado, entre H" y 5"' onctmtramos el 41 "i o de 
razonamientos incompletos (v.) mientras el 'd'*y 5" no 
presenta caso alguno: pero, en cambio, el Á° en 
columna 111, grafio nu'ninio de integ'raciún errónea, da 
el 55 Vo! rI '5" ¡i^radOj en columna I. razonamiento com- 
pleto, da el 87 "/u- El 4" en columna III da el 8 "/o, 
en columna I el 33 "/o- 

Hay pues, un admirable ejemplo de reijularidad en 
la marcha del razonamiento abstj'acto hacia hx porfec- 
do lo erróneo á lo incompleto ; do lo incompleto 
i lo completo, siendo ol 4°, grado de transición 6 crisis. 

8* La incoordinación (cuando el proceso no da mo- 
mentos discrimi nativos parciales) no obedece á pro- 
gresión alguna (columna Vil) del 2" al (>" grado ; debe 
atribuirse, pues, á una causa fisiológica, accidental 
ó congénita, no educativa. (Niños retarrlados, anémicos, 
débiles do inteligencia, desdoblamiento de la persona- 
lidad por enfermedades recientes, ó alimentación escasa, 
etc., etc). La deficiencia es propia do uno como de otro 
3iX9 sin que eí ]>orcentaje favorezca ningimo; pero on 
la TjlTqer, la desintegración central, la doble pei-sonalí- 
dad, la infantilisiaGión es mucho más frecuente. 

9* De los y años adelante, la aptitud do los varones 
para el razonamiento abstracto, es do una positividad, 
en absoluto, superior á la de las mujoros. 

10* El olvido de los datos y las denominaciones, 
exteriorizan una aptitud deficiente para las integracio- 
nes centrales. 



- 252 



11* Retardan y aún inhibon el proceso abstracto 
de integración, las operaciones mal hechas, (integra- 
ción periférica ó identificación primaria). Así la colum- 
na I aumenta su porcentaje á medida que la XII ío 
disminuyo ; en 3° L puede notarse que la discrimina- 
ción lia sido completa on oí 12 °/o varones, en el 18 7o 
mujeres, y en la columna XII, haciendo mallas ope- 
raciones el oü "/o varones; el 43 %i mujeres. Hay, pues, 
una constante reciprocidad entro las dos cohimnas. 

12* A medida que el niño perfecciona la intetjraeión 
central, relega la periférica, de carácter automático; 
tiende á no realizarla, prefiriendo, en stibstitiición, la 
fórmula Confirma lo de que ol hombro á medida que 
su aptitud para pensar aumenta, para recordar pala- 
bras ó retener percepciones, disminuye. 

13* Kn los primeros grados, se nota una argumenta- 
ción deficiente y pobre de palabras, tendiente á justi- 
ficar la operación con la operación misma; en los gra- 
dos superiores, por el contrario, se nota exceso de 
explieanión, oual si so temiera dejar puntos obscuros. 

14* El lenguaje, en los grados superiores, es inco- 
rrecto del punto de vista de la construcción y abundan- 
cia de palabras ; pocas veces por la propiedad. 

15* Kl razonamiento consta de dos partes, cada parte 
con una proposición y una conclusión : 

ti) Si 12 ovejas cuestan 72 pesos, 
(tj una oveja costará 12 veces menos 6 6$. 
c} ¡Si una oveja cuesta B pesos. 
d) 8 ovejas costarán ocho veces más ó 48 pesos. 
m) Redundancias ó exceso de palabras. 

Escribieron por cada 100, la paile: 



- 253 — 





2' 


3^ I. 


3* 


1 

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4- 


6° 


6" 


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V 


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1 
100 


100 


100 


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77 


89 


b 








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25 


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8 


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86 


87 


48 


77 


64 


c 


5 





12 


1 








41 


16 


B7 


20 


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63 


d 


11 


BH 


19 


1 
31 


u 


11 


66 

1 


42 


: 87 


47 


77 


m 


m 


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— 






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" 


5 


87 


J 
55 88 


42 



Las caluinnas byd deben ser explíeiUis pudiendo 
ser implícita^; his proposiciones a y i\ Iti c más que la 
a. Pocos niños (de o*' y G") coiiiprcncSiei'oii á a implí- 

uiioiite; muehos á f, sin dejar por eso, do sor com- 
leto el ruzonaniiento y exacta la conclusión d. El olvi- 
do de 6 y d produjo el rasión anijer.to incompleto ó la 
dislogia, con frecuencia, jmr fusión de lo.s términos de 
una proposición con los do una eon(_-lusión V. g, (it} 
¿i¿ 1¿ ovfjas cueiitmi 72 pesos (d y b) S ovejas costarán 
72 dividido por S, etc. 

16" La mujer, cuyo porcontajo do diserirai naciones 
completas, es menor que ol de los \'aronoí*, presenta, 
así misniü, un porcentaje mayor do diseriniinacionos 
incorrectas dentro de las cnin])letas. Así, en 5°grado, 
los varones, de 87 casos de diseriminacioni'iS completas, 
25 son incorrectas ; las mujeres, de 48 casos de discri- 
minaciones coniplotaF!, 24 son incorrectas. 

17* El grado donde la conclusión h, fué discriminada 
mayor número de veeofi, presenta también, mayor nú- 
mero de discriminaciones completas. 

18* La conclusión (/, es diseriuiinada mayor número 
de voces quo la conclusión b y la proposición a mayor 
número de veces que 6, (■ y d,y más veces en los grados 
inferiores quo en los superiores, debido á que éstos 



254 



la considerun como explícita en el enunciado del 
probloniii. 

19'* Kl cxneso de explicación en mentes que se orga- 
niKnn, (lobo considerarse como el signo de la mayor 
aptitud para discriminar y, de consiguiente, de la ma- 
yor ¡lotencia intelectual. 

•li)^ Hiiy casos, nu frecuentes, de discriminaeión com- 
pleta, por hábito operativo. La integración es periférica 
y no central. Tal iicontece en la solución de C. T., 
niña de 5" grado. Sí Í2 ovejas cuestan 72 pesoji, 
H ovejas costarán tantos pesos comú sea el producto de 
72yCSxúbre 12 gue es iffital tí 48. 

31* Las dismnesias intermi tenías, son tan comunes 
(faíi^ja mentaly), que gran ptiJ'te de los resultados ne- 
gativos deben aíribuírsolra; no de otro modo se explica 
que varios niños, intorrogados dos meses después {mu- 
ses de vacaciones) acerca del mismo problema, lo dis- 
criminasen con facilidad. 

2^* Hemos notado que una parte de los alumnos, 
escriben sin interrupción su.s razonamiontog, hasta 
terminarlos; otra parte, llega á un punto, borra, vuelve 
atrás, y toma otro camino; otra parte, vuelvo atrás, 
toma otro camino, borra y vuelve otra vez al primero. 
A la primer categoría j)ertenecen los que dominan 
el caso hasta discriminarlo automáticamente ó alum- 
nos incapaces de nicditacñones ordenadas. A la se- 
gunda categoría, pertenecen alumnos cuya vía de 
integración está forraándose; penetran por una y á 
I)oeo andar, evocadas asociaciones extrañas al propósito 
que se persigue, se notan equivocados y vuelven para 
tomar otro. Es cuando el ejercicio es verdaderamente 
provechoso, pues, esté elaborando unidades psíquicas, 
organizando memorias que no existen, A la tercera 
categoría, pertenecen alumnos, que á la menor resis- 
tencia vuelven atrás, antes de saber si la vía que se 
sigue es equivocada; sin que deje de haber meditación, 
la atención interna carece de intensidad y persistencia. 

23* Un análisis que comience en la forma condicio- 
nal, con la palabra si, indica desde luego, que la mente 
distingue la proposición de la conclusión y que no 



— 255 — 

rastroeará partes tan distintas, como con frecuencia 
'sucede en las ciemostraciones geométricas de carácter 
gráfico. 

24* Todo progreso, en c4 desarrollo de las aptitudes 
centrales, es permanente en el varón; en la mujer va- 
riable y regresivo. Puede olvidar en fi" procedimientos 
fáciles adquiridos on 3". 

25* La centralidad, en un grado, (cuando entre la 
niííxiraa y la mínima, la oscilación de los tiempos os 
de poca amplitud >, es pedagógicamente, del más alto 
significado, pues revela la homogeneidad psíquica ne- 
cesaria para una enseñanza do buenos frutos. 

Potencia mnésica. ( Exp. XIX ). — El poder recordati- 
vo, (MüKSELLi ), ' ' *so relaciona directamente con la con- 
ciencia; do aquí que Ihs dísiimesias sean un factor de 
primísima importancia en ol estudio de las discrimina- 
ciones erróneas. El fonónieno en 219 niños do una es- 
cuela, diferentes en edad, sexo y grado de instrucción, 
presenta fases curiosas que nos pruponemos analizar 
brevemente, puesto quo no os incumbencia do esto libro 
laeer estudios de psiquiatría. 

En 2° (frado se observa que la mayor parte de los 
ilunmos no reproducen la pregunta y que el olvido 
de las pro]}osiciones os do la última á la primera, de 
modo que la primera ha sido escrita por todos. El 
lenguaje es correcto ; las palabras, casi siempre, del 
modelo; los números 17, 50 y 2, en casos oxcepcionalas, 
son substituidos por oíros. No así 122 j 203; pero 
nunca por mi moros de más de tres cifras, rara vez de 
dos. En ningún enunciado una ¡iroposición aparece 
coul'undida con otra (fusión ó trasposición de partos); 
ocupan ol orden /(, c, d y e del original. De modo, que, 
si hay reproducciones incompletas y paramnesias acer- 
ca de ía proposición tt no hay dislogías. 
f El 3^'^ (frado inferior no presenta una reproducción 
tan regular como el 2°, pero, sí, más completa. Pocos 
olvidaron la pregunta, muchos la preposición c, quo 



(I) E. HORSBU.I. — iManujIí ái SemejoliCH, etc. i L* dintatiít, p. 72S. 1. II. 



— 256 — 



por íisemejarse á la d, es un ffietor perenne de pertur- 
bación, prüvoc'undo fusiones, trastrocara ion tos do eon- 
ci^pto y dislogias do las partos centrales i, c y d: 
conservan la integridad de su significado, las exti-emas, 
la a particularmente, que aparece en lodos los rnun- 
cindos. El número reproducido más á menudo, es 50; 
los de la proposición a lo sou con monos fidelidad qiio 
en 2" ííi'ado; pero nunca exceden de tres las eüras si 
bien disniiimyen á dos. Tienden á usar un lenguaje 
propio^ menos correcto que el modelo. En casos no 
comunes, so escriben 50 y 17 pesos cada oveja y se 
olvida, casi siempre, el punto deeinial, en 1.6Ü. 

Como en 2° grado, la denominaciou ovejas, se cani-r 
bia, á veces, por caballos, vaca^. bnei/es, hecho que sólo 
encontramos repetido en 5" grado- 
La maestra de 3'"^ grado superior, me decfii, en el 
momento de la prueba: es un ejercicio que hacenins 
con frecuencia, no costará á los alumnos rej)rodu<"Ír 
exactamente el enunciado quo Vd. lee. No obstante, 
sólo el 11 "/o de los varones y el 24 "/o de las niujeres,,^ 
respondieron á la seg:uridad y buena fe do mi inter- 
locutora, lo que demuestra la facilidad con que nos 
engañamos, acerca do los alumnos, atribuyéndoles 
capacidades quo no tienen ; y sobro ellas, quizá, des- 
cansa el armazón de nuestros ¡irocedi mientes sin saber 
luego á que achacar, el fracaso de enseñanzas ó asi- 
milaciones tardías y poco sólidas. 

La reproducción de las proposiciones ofrece los mis- 
mos aspectos que el grado anterior; la & perturba y 
desaparece á menudo. La reproducción de los números 
es mucho más fiel: 50 y 17, aparecen en todos los 
enunciados; l'22yl.5U, sin olvidar el punto deeiniaL 
con frecuencia; el 2 suele substituirse por 2,50 en l<is 
precios; el 203 por 213; hay permutas en el orden 
de las cantidades 2VA, 122 y 17 en vez de 122, 203 
y 17; se observa que la reproducción exacta de la 
proposición a (de los números y su orden) es inrlicio 
seguro de la reproducción exacta do torio el problen»! 
ó, por lo menos, de su concepto totalizado. El lenguaje 
tiende á ser propio y más incorrecto que un los gra- 



- 257 — 

dos anteriores. Hay un enunciado sin números, do 
una niña clasificada eon 1 (jjoeo intellofentB). 

El 4° ff¡'adt\ presenta un fonónienü singular de 
actividad roproductora quo consideramos como un 
caso do hi^fnt} nenia colectiua, tanto más, cuanto el 
5" grado nof* ofrt'ce el fenómeno inverso. Hechos, á 
prima l'acie, üxtraordínarios; y que pueden ser indi- 
cio de una crisis fisiológica, la proximidad del cre- 
tinismo transitoriOj ó una nueva orientación de las 
funciones psicülógtcas, ó el destronaniionto de la in- 
tegración periférica por la central, de la memoria 
por la riizón. 

Recordamos que en el experimento XVllI, el 4° 
grado presenta crisis, una transición marcada entre la 
discriminación errónea y la completa con su 41 "/o do 
discriminaciones incompletas (véanse las gráficas). 

El enunciado, es reproducido, en casi la totalidad 
de los casos, fielmente, tocante á números, palabras, 
prnposieionos, conceptos y hasta signos, pues, ninguno 
olvidó iof3 ¿ ? do la pregunta; sólo tres, alteraron el 
orden de las cantidades ; cinco sub&stituyeron una por 
otra y varios fueron deficientes en lapj'egunta. Ningiin 
caso do fusión ; por lo tanto el área mnésica, es de más 
amplitud que en cualquiera de los otros grados. 

El S^ grado^ presenta, cumo dijimos, de un modo 
extraordinario, fenómenos inversos al 4". Numerosos 
casos de (unnemu incompletas c kipommmiu difums 
que el B'* grado mejora de una manera apenas notable; 
estas crisis no pueden, por su carácter colectivo, ser 
sino transitorias y debidas á una causa fisiológica 
también transitoria, pero inevitable en la evolución 
psicogónica del individuo. Kn uu principio, nuestra 
tendencia fué atribuirlas al .tcltork moral, profiuida 
emoción de los alumnos al ser exsüuinado.s por perso- 
nas extraíias con quienes acostumbran más respeto; 
pero estaban prevenidos do quo no se trataba de un 
examen sino de un experimento; por otra parte, los 
demás grados presentarían la misma tensión psíquica. 
¿Menos conscientes? Quizás produjera, la conciencia, 
atención espeetante é inhibiera, como consecuencia, 



Ehs. dt $a AritmttUa. 



17 



— 258 — 



las vías de fijación. ^ Pero no sería más acertado pen- 
sar, de alumnos que presentan una edad media de 
1S.5 á 14 años, en uua intoxicación transitoria del 
cerebro por aquella crisis pareial del organismo, que 
ha de darnos al hombre más hombre, á la mujer más 
mujer, al cerebro más reflexivo '? Sea cual fuere la 
causa, ol becho existe y para eliminar la emoción, re- 
petimos once días después, j ya familiarizados con 
los experimentos, el mismo. La nueva reproducción 
comparada á la anterior, alumno por alumno, presenta 
las mismas deficiencias ; la per|uoña mejora, por ser 
pequeña y siempre inferior al 4" grado j aún 3*'' grado, 
debe atribuirse, á la repetición de vías, pues, la primera 
fijación, no obstante el tiempo transcurrido, debió 
dejar un estado de vibración latente que debía intensi- 
ficar al activo, engendrado por las renovadas impresio- 
nes. Así, J. R. en la 1* y 2" vez, da el precio de mi peso 
por cada oveja, de las restantes. N. A. M. se olvidó una 
y otra voz de la pregunta. F. T, en los dos casos presen- 
ta amnesia parcial, hiponmesia y paramnesia; en los 
dos casos dice tenía en ttn corral 220 ovejas 

{50 
— — en vez de: tenía en un cof^ral 122 ovejas, 

en otro 203 y en otro 17, vendió 220 ..... C. A. pre- 
senta en diferentes números y proposiciones, las mis- 
mas incoherencias, confusiones y paramnesias. AI. I. B. 
reproduce, en los dos casos, idénticas fases de la dism- 
nesia : Un individuo tenía 250 ovejas y se mttrie- 

í 15<' ,■• í 7 , í 150 
ron V vendió — a [ 

valor mrú de s.}is ovejas? C. F. presenta tantos casos 
de permuta la 2* voz como la 1* y la elipsis en las dos, 
de la proposición 6- El área mnésiea de A. L. es más 
reducida la 2" ves que la 1". Podríamos continuar este 
análisis comparativo; pero es innecesario para demos- 
trar la profunda perturbación transitoria del acto mné- 
sico que señala una etapa en la evolución del 
organismo. 

Las dismnesias de este grado, son de varios géneros; 
pero generalmente anmesias incompletas generaliza- 



peaos cada una ¿qué 



- 259 



dns. Todos, excepto uno, presentan el enunciado sin 
una proposición j una ó varias de las restimtos, ineom- 
) ilotas La primera en ningún caso se olvidó; pero, re- 
jirorlucida con muchas alteraciones. Titeante á números 
se presentan casos notables de substitución y jjormutas 
en la casi totalidad de los enunciados. Por priinf!ra vea 
notamos niimeros de más de tres cifras. Una niña re- 
produce . . tenia en un corral 2000 orejan, 17 H vorde- 
ro» ; en otro 17000, en otro 320. Se murieron ¡f el 
rusto lo vendió ó 17 % c/u 

A menudo, se expresan valores en cantidades enteras 
de dos cifras y á veces de tres. El lenguaje no tiende á 
ser propio y la dislogia es característica de los enuncia- 
dos. ^'^olvGmos á repetirlo, la perturbación es tan anor- 
mal que ningún grado la presenta semejante. 

Recordemos qtie esta crisis audo-reproductiva, se 
presenta también en la escritura del número 937427 
Y que es un signo de aptitudes intelectuales menos 
desarrolladas. Sin embaído, da, el o" grado, el 87 y 
48 "/o de discriminaciones completas. 

El 6'° ¡frailo reacciona hacia la normal, pero no tan- 
to como para considerarse fuera de la crisis. El len- 
guaje, correcto, tiende á ser propio; así, nótese bien, 
los alumnos no reproducen las palabras del modelo 
pero sí el concepto; los primeros grados reproducen 
las palabras. Es una prueba de que la atención se di- 
rige á las ideas dentro do una actividad que es cen- 
tral y no periférica. El número 17 aparece en casi 
todos los emmciados; eon frecuencia el 50; luego el 
122; ocho veces el 203 ( en 33 alumnos) substituido 
á menudo por 213 y 113, caso de percepción auditiva 
deficiente y no de amnesia acústica. 

Hay frecuente olvido de una proposición central la 
d, más que la í» y fusión ó trastrücamiento de los tér- 
minos, de la 6, c y d. 

Con todo, constatemos, la poca energía de las im- 
presiones acústicas para evocar imágenes, reforzarlas 
3- formar un sistema orgánico que, diferenciándose, 
pueda contribuir á la reproducción exacta- 

De aquí la ventajosa superioridad de la autolectura 



— 260 



de que el niño tenga en sus manos gI texto y lea en 
él los enunciados, lo ciiíil no significa que no eduque- 
mos su oído con ejercicios apropiados, sobro todo, en 
cuanto atañe al lenguaje matoniático, ( reprodueeión 
de números, expresiones, signos, íoi-mulas, etc. ). Es 
incierto, pues, que las percepciones é imágenes acús- 
ticas, como dico MuRSBLij, so presten más que las vi- 
sivas á cimentar la memoria conservadora. 

La reproducción del número 203 por audición de 
un problema que contenga también iú número 221), da 
lugar, en dit'orontos personas, á actos ninésieos do eineo 
categorías: 

1* categoría, personas que reproducen . . 203 

2' > > > » .. 213 

3* > > » > . . 220 

4* > cualquier número . . 75 

5* » > * . . ninguno 

Por visión, daría lugar á los tres casos siguientes: 

1* reproducción ..... ................ 203 

2" » ( muy rara Tez ) ■ 220 

S"* > ... ninguno 

La reproducción por vía acústica, lo dijimos en dos 
experimentos anteriores, integra con las imágenes de 
la vía visiva; es más compleja que la que principia por 
una impresión rctiniana. Los casos de la segunda ca- 
tegoría se deben á defectos de percepción: aosci^nto.t 
tres y doncientosi trece se asemejiín bastante para pro- 
ducir faeilmente una asociación difusa. Los ca-sos de 
la 3* categoría, permuta y trasposición de cantidades, 
se deben á la noción mal conservada do espacio y 
tiempo. Los de la 4** y 5* categoría, deben atribuirse á 
una defectuosa asociación de los centros sensoriales 
acústico y visivo ó á un estado euternxizo de lti.s cé- 
lulas correspondientes; las sensaciones del primer cen- 
tro, no evocan con intensidad bastante para diferen- 
ciarlas, las imágenes del segundo centro. 

Decimos, en consecuencia, á los efectos de la ense- 
ñanza, que, desde que el niño retiene con más facilidad 



— 261 — 



números enteros de pocas cifras, cuando nupstro pro- 
pósito sea la cultura do la integración central, no debe 
dictarse enunciados de cantidades irregulares y mu- 
chas cifras (lo hacemos notar como un principio en el 
capítulo de la estética ) á fin do quo la reproducción 
de ciertas imágenos, de valor pedagógico discutible, no 
perturbo ó retardo la totaliicaeión del concepto ( raüo- 
nainiento). 

Damos el resultado de nuestra investigación, en dos 
cuadros, uno de reproducción suficiente, otro, insufi- 
ciente, total ó en parte, dividiéndolos, al efecto, en las 
cinco proposiciones indicadas anteriormente. 

La solución exacta de un problema exige la fijación 
en nuestro cerebro, no tanto de los términos del enun- 
ciado como del concepto, por dos vías, la auditiva ó 
la visual. 

La discriminación central será tanto más deficiente, 
incorrecta ó difícil cuanto más tonga, después de es- 
critos los datos en la figura ó el papel, que recurrir 
á la lectura del enunciado. De aquí que atribuyamos 
extraordinario valor á la retención del concepto. 



262 





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240 




67 


44 


6' 


243 


130 




55 


16 



Retordemos que el enunciítdo del problema leído al 2" grado, 
eareda de la proposición II, que hubiera aomentado el n cimero de 
reiiroducciones exactas. 



8l£nl&o«do de oada oolnmna 

SUFICIENTE 

I — Beprodoccián exacta de todo eí snun ciado. 
11^ „ 



Un individuo tenía en uh ron'al 
122 enejas, e» otro 203 y en otro 17. 
„ vendió 220 á 2 $ c/u. 
„ 50 te muritfon . 
„ el testo lo vendió d J.50 cfu. 
„ ¿Qué eoíor soca ríe »jí* ovejasP 



iNSüFi Cíente 

VII — Ríproriucción de II (tUemiulo el t>fiiof de uno ó más tirminot, 
VIII — „ „ „ auwcnUifído el miiHero de téttninQB, 

IX — „ „ „ disminuyendo el ttúmti'Q de tirminott. 



— 265 — 

X — Beproduccién de Ultíl/rratufo el titlor de ¡os nümerog. 
XI — „ „ „ iftC&mpleUi. 

XTI — ,, „ IV iilterando et valor de 50. 

Xni — „ „ V incompleta i alieyanáo et ealor dé l.ñO. 

XIV — „ incoherente ó amnetia ea»Í total. 

XV — Amnesia total, 

XVI — Representación drl concepto del problema. (Todas sus par- 
tes sin otra aUcriición que la de lus valores). 
XVn — „ cahcrente pero altetfinda el conctpto t¡ simpíi- 

^firando el prohtvitifi. 
^VlXl— Alterarí¿n de los dtíttomimicianen. 
XlX^ÓÍíiídt» dt lítti denominaciones. 



Nota (i^^LlamamoB exactn, á la reproducción de los númerua y 

del contepto de cada parte, 
6^— El enunciado consta de cinco proposiciones, 
ej — Las proposiciones ds la columiia I, m bou contadas 

en n, III, JV, V V VI. 



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266 



Obmrvaciont's. — 1* A medida que la positividad de 
la integración central crece, disminuye la de la tne- 
moria periférica. 

2* El niño que reproduce bien la proposición n del 
problema, reproduce ol concepto de las demás partes 
y el general. 

3* La exactitud de la parte reproducida está en rela- 
ción con el grado de diferencia que ésta parte presenta 
con las demás en cuanto á términos y significado (Ley 
del contraste). 

4"^ Los alumnos, reproducen con más exactitud el 
concepto que el enunciado, de modo que tienden ala 
tütiüizaeión de las ideas y no de los términos; pero la 
memoria del concepto, la del enunciado completo y la 
do las proposiciones, siguen una dirección casi para- 
lóla, del 2" al ti" grado, como se observa en el dia- 
grama. 

5" El poder mnésico do los varones, por vía auditiva, 
dentro de un número fijo de repeticiones, es más in- 
tenso que el de las mujeres, tanto para las palabras y 
téraiinoe como para el concepto, 

6' Los casos de dislogia ó amnesia casi total, no 
ofrecen progresión del 2" al 6° grado ; tampoco ofrecen 
progresión los casos de recuerdo completo. Estos fe- 
nómenos, no deben pues, atribuirse, sino en mínima 
parte, á la acción educativa. 

7* En una proposición de varios números, las ma- 
yores' alteraciones se producen en el valor de las canti- 
dades y no en su número. Cuando no sucede así, el 
error es por disminución y no por aumento. Si debe 
escribir tros números reproduce dos y no cuatro. 

8* La jiaranmesia. fusión y trasposición de partes en 
la reproducción do los problemas, son más frecuentes 
f|ue las amnesias incompletas. 

9" Como el acto mnésico comprende varios pasos: 
a} percepción: 6 > fijación; c} conservación; d) evo- 
cación; e) reproducción, es posible que la mujer ^'^ 



(I) Httcho qne notamoB en la c1a«e de canto ; la niña ha<^e el nniaono, a] pia- 
no, con mucha más facilidad que el v«rAn. £1 varón atiplado ca de m^&r oiiíir 
gu* tí dt voM m6aríteM«da. 



— 267 — 

perciba las impresiones con una RXaplitud mayor que 
el varón, lo que eximiéndola do unii atoncíón más 
larga (R v G.v.rAiJ daría una fijación lucnos intonsa. 
De aquí, la oxactituti de lo que dice ^ot.j.iKH ( ' I, qtu- 
la conservación de las i ¡n presiones es inversa á la fa- 
cilidad de percihir. 

fmaginaDJdn creadora. — (Poder inventivo}. Experi- 
mento XX. 

Un problema es de riqueza creadora, euando en ma- 
yor número de proposiciones, ofrece mayor númwo 
de operaciones combinadas en pocas palabras y con- 
ceptos implícitos, tratando de resolver cuestiones, que 
al observar el objeto (tema) monos saltan á la vista. 

Los términos de un problema imaginado por los 
alumnos, son, en parte, sugeridos por la enseñanan 
que se da al grado- No os otra la causa de la intro- 
ducción en los dol 5", de la densidad y en los del 3" 
y 4" de las medidas de superfíeie. En este caso, la 
imaginación es pobre si combinaciones do otro orden 
no enriquecen el enunciado, porque sólo reconstruye 
asociaciones con elementos afines é inmediatos. 

Hemos considerado tres aspectos, cada uno impor- 
tante desdo el punto de vista do la invención. A veces, 
el problema que presenta sólo una combinación, 
puede ser íruto de un trabajo mas interesante y origi- 
nal que ol do varias combinacionos. Do aquí el atrac- 
tivo de la idea que más se aparta de las impresiones 
diariamente recibidas, do la idea nueva. La imagina- 
ción puede considerai-se como procoso roviviscente de 
integraciones (imágenes) antcrioruionte constituidas 
en cuyo caso no es sino la memoria: ó como aptitud 
pai'a corregir y combinar imágenes on cuyo caso, es 
un proceso do ideación que termina por dar una ima- 
gen nueva y sintética. La construcción será tanto más 
bella y rica cuanto más mediatas, menos afines ó de- 
rivadas sean las imágenes asociadas. 



(i) V, SOLUBK. El Prohienta dt ¡a numoria, 
Bibliotitck CÍéOtíñca-ñ\í¡náfiCa. 



p. 269, Trad. di R. Rubio.* 



— 268 - 



Poco tócanos decir acerca del lenguaje, muy correc- 
to en cuanto á con-stnieción y eoneordaneia y li- 
jnitadísimo el niuuero de enuneiiidos con exceso de 
palabras ó ropetición do frases aclaratorias de con- 
ceplos; de modo qiio el infantilismo psíquico es una 
peculiaridad que no encontramos sino muy raramente. 

La incoordinación, en progresión decreciente del 2" al 
6" grado, oiVeco un porcentaje bajo, 11 ^/o en éste, 
43 '^Vj en aquél. Excopcionaliiionto han Rscrito canti- 
dades de muchaíi cifras ó decimales de más de tres; 
hay tendencia á evitar operaciones largas- 

El ^^ i/rndo comienza los enunciados, casi siempre, 
con estas palabras: ^S'f nn pizarrón efe para valorizar 
la extensión ó precio de muchos, anuncio indiscutible 
de que la integración central comienza. No presentan 
más de uua combinación, la operación de multiplicar, 
porque, probablemente, á fin de año los problemas 
dados por la maestra eran de esa única especie. No 
hay organizneión espontánea do asociaciones mediatas; 
la suma y resta so recordaron en tres casos. El lengua- 
je, do forma simple y constniceiones diroctas, no ofrece 
disgramatiquismos, presentando admirablemente or- 
denadas las partes, á punto de no ofrecer un caso con 
exceso do palabras. Debemos, pues, considerar típico 
de este grado, todo problema explícito de una proposi- 
ción correctamente redactado en el menor número po- 
sible de palabras. 

El J"" Grado /, no comienza con enunciados como 
el 2°; más extensos, ti'atan de resolver cuestiones acer- 
ca de la piznrra nna. Pero la poderosa sugestión del 
ambiento escolar conserva á la imaginación su carác- 
ter de reproductora, on el ñj "o; concluyen con esta pre- 
gunta ¿íUfáles la siiperfície del pizarrón? dadas las 
dos dimensiones; porque alas medidas de superficie 
ha dedicado el maestro mayor tiempo. No obstante, 
hay más variedad de asuntos que en 2" grado; la 
operación dominante es la multiplicación. En la mayo- 
ría de los casos el problema es una eombinación; pero 
los hay de dos en bastante número, aunque ninguno 
de tres. Con datos innecesarios, se presentan más abun- 



- 269 — 



dantes que en 2" y hay easos incompletos. El lenguaje 
no es tan üorreclo ; se emplean palabras que la elari- 
dad del eoncepto no exilie, j se suprimen otras nece- 
sariais; se hasen trasposieiones de vocablos, frases é 
ideas que afectan la comprensión y estética del prolile- 
nia, siendo las relaciones, mediante el régimen, mal 
establecidas con frecuencia. 

Los varones presentan enunciados de mayor exten- 
sión que las niñas; á pesar de todo, nunca de forma 
complicada y los elementos asociados para la combi- 
lación, pueden considerarse adquisiciones recientes, 
jvocadas por la percepotón. Se notan ensayos más 
jos con el concurso de imágenes fijadas en tiera- 
)BTnte ó monos remotos, ])ero de dudoso éxito. Un niño 
i be ¿mtfl !sem la superficie de mi pizarrón? sin más 
'datos que esa pregunta; otro ¿cíuíntú debe medir esa 
piztimt si mide de Ittrgo H^ñO mU. y de aíto Í,o0 nitít. ? 

fi Hay un elevado porcentaje de i>r(jblGmas cuyos da- 
tos no corresponden al objeto, no obstante tener el 
objeto á la \ista. 

El ti'^ gradii S., do un salto se coloca á una extra- 
ordinaria distancia del inferior, á causa, sin duda, de 
la variedad do problemas por olios resueltos rompiendo 
el ambiento monótono de los programas y de las 
jeries adaptadas á la lección. En un lenguaje que se 
'aparta del íormulismo de los enunciados anteriores, 
so asocian con sorpi'ondento seguridad elementos me- 
diatos que exigen al lector un detenido análisis i)ara 
descubrir las relaciones. Hay riqueza de expresión, 
sintaxis natural correcta, un solo caso de asintatismo, 
dos, á menudo tras, cuatro y basta seis combinaciones, 
y el ambiente escolar no ha sugerido en la mayoría 
de los casos, al problema; hay datos y relaciones que 
iniiican una vasta mentalidad y fácil integración de 
imágenes relacionadas de una manera indirecta ó difí- 
cil do descubrir. Hay palalu'as, en muchos enunciados, 
que la claridad del concepto no exige y se nota la ten- 
dencia á especificar demasiado, opuesta á la que la ma- 
temática pretende, la compresión en el menor númeru 
de palabras. 



— 270 — 



Escriben en tereera pomonn, nira vüü en primera, 
nuneu en segunda, abusan de la t/ y del ente; ía con- 
cordancia entre el sujeto y el atributo falta á menudo, 
pero, el coneepto, se eonser\^a lógieo: aspecto dol len- 
guaje adolescente cuando comienza íl ser original. 

El 4" ffrado, no obstante haber servido, las medi- 
das de volumen, de tema Ciisi exclusivo á las leccio- 
nes de los últimos meses del año, no presenta sino dos 
enunciados do esta especie. Hay así como una crisis 
regresiva en el poder de lii imaginación que lo apro- 
xima al 2° grado. Vuelvo á imponerse el lonnulismo: el 
lenguaje pierde la originalidad tan de manifiesta en el 
r,n*adr} anterior, se torna correcto y comienza por ¿CufU 
.sit'/ví Ih .KHpt'rficie de un phan'ón, etc. No hay variedad 
específica; los mejores problemas solo ofrecen una 
combinación, muchos con datos innecesarios (ne- 
cesidad que siente el alumno de dar ampUtud á su 
creación, pero contrariada por un proceso de lógica, 
inseguro). 

Pocas voces se nota exceso de palabras: hay uno 
que otro enunciado rico en proposiciones y que trata, 
como en 3" 8, del costo para pintarlo; poro resulta de- 
fleiente en datos (como el de la niña K. E. L.). 

El .'>'^ y ú" (/nido roacciünanpi'esentando los fenóme- 
nos del 3" S., poro con más intensidad, el o", inclinado 
á los volúmenes, el fj" íi varias especies de enunciados 
sin preferir ninguno; pocas veces de una combinación, 
tendiendo á las múltiples, lógicamente conexionadas 
j correctamente escritas en lenguaje propio. La notable 
riqueza imaginativa de estos problemas comparada á 
la pobre de los enunciados del 4", 3" 1 y 2° so debe á 
la clase de problemas que en forma sistemática resuel- 
ven durante el ano. Dejan en la mente la impresión 
de multitud de imágenes y procesos varios que en un 
momento dado, so integran sin trabajo ;d rededor de 
un determinado objeto y sirven á las creaciones más 
curiosas y bellas. No precisamente, porque < la impre- 
sión renovada, ocupa exactamente las mismas partes 
nerviosas de la impresión primitiva (Bain) caso de los 
enunciados del 4° y 2° grado, sino porque los educan- 




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(leseom poner una integra- 
ción pura constituir otra con elementos de varias; 
mientras una asoeiaciún se mantenga entera, la cons- 
trucción interna ps imposible. 

Este y el X VIH, son experimentos que solos, basta- 
rían para demostrar líi absoluta superioridad de los 
procedimientos que emplea la escuela para enseñtir 
aritmética, ejereícios y problemas seriados d mid- 
ti¡des comhinacíones y de especie variable {series de 
■ecapitnlaeióní. 

Resumimos en varios cuadros y diagramas el examen 
analítico que hemos hecho de los problemas; las cifras 
son elocuentes, por cuanto permiten comparaciones que 
las palabras no pondrían de manifiesto con tanta 
claridad. 



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Riqueza imaginativa por et número de 
combinaciones sobre 100 



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— 274 — 



Expresión y lógica p. "/« 





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Coirespondencia 
de los datos 
can el objeto. 


Incompletos 
(■«intatmnio). 


L<Í£lcoi 


Enoncíados con 
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100 66 

88 89 


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24 -22 



SIOMFICADO DE LAS COLUMNAS DEL CUADRO 

I, Correspondencia mire Ins áoloe j/ el nhjeto.^íio corresponden 
loB datoB con el objeto, en el siguiente problema Je H. R. {4" Gra- 
do): Encontrar el área de un piKurrdn cujas dimensiones ton : IXOIT 
de base y de altura 0.53. 

n. Eni4nc{tt(io incompleío. (De comprejisiÁn inipl¡t*ita).--V. g.. el 
enunciado de H. C. dp S** Clriido: Eae pizarrón tiene 18 líneas y 150 
cuadraditoa ¿cuántos cuadraditos y lineas liay en 80 pizarrones? 

m, Pr&blemen) departes bien ttsocittdtts ¡f con dntos íifjicietitei 
para reitoherh (lógico). 

Observaciones — 1' Los alumnos presentan más ló- 
gica en los problemas inventadoR quo en los reprodu- 
cidos por audición. 

á* La cori'GspondeiK-ÍH de los datos con ol objeto. 
asociación reveladora de Isi intensidad con que se coa- 



tí t) En el iitiiu liaíi(a un pÍEarnín de liu djinennonct mái it üieiiOs ¡mltcsdaa 
pof el adlmno. 



275 



servan imágenes y relaciones dadas por una percep- 
ción anterior, presenta, en todos los grados, un alto por- 
centaje de oxactitud en progresión creciente, del 2" al 
í)% con sus momontos do crisis. Los varones, menos 
casos negativos que las mujeres. 

3* La eoordinaeión de concepto ofrece la misma 
mareha progresiva del 2** al (3" grado, los varones en 
cifras más altas que las mujeres, 

4* El exceso de enunciado, en reducido núraoro de 
problemas, revela un área limitadíide la diseriminaeión 
general, la progresión ereciente se debe á que los ]jro- 
bleiuas de 2" grado son do una proposieión; los de ñ", 
de varias; el 4^ efí anormal, porque la mayor parte de 
los enunciados son simples. 

5"- Los casos de asiiitatisrao, en verdad, como los 
anteriores si considerásemos á los enunciados, no do- 
ficienles sino como excesos sobre cero, so producen 
liDÍcamentc donde hay problenuis de una eombina- 
ciún. 

tí* Ei grado de infantilismo do la imaginación ma- 
temática puede medirse por el número de combinacio- 
nes que presenta un problema de propia creación. 

7* El infantilismo intelectual se mantiene por un 
sistema de ejcrcitación pobre, ó se vuelvo á él por una 
crisis fisiológica transitoria. 

8" La imaginación de los varones es más rica y 
extensa que la de la mujer, á veces, como 2 á 1 . 

9* La progresión, tacante á números ó combina- 
ciones, es constante de 2° á 6** grado. Las 417 del 
3° 8. y las 550 del 5" y ñ°, indican que las 217 del 
4° y las 208 del 3° L, con ejercicios adecuados, sin 
grandes esfuerzos, pueden duplicarso. 

10" Desde que el área imaginativa del 3" S. pudo 
llegar hasta las combinaciinifS nniltiples presentando 
sólo el 20 "/(, de probleina.s á una com.binaci6n, la 
de los grado.s superiores j)uede ex teu dorso nuis y la 
de los inferioros puedo llegar á dos y tres combina- 
ciones con un porcontíije mayor que el que da una 
combinación. 

1 1" En las operaciones domina absolutamente la 



— 276 — 



de multiplicar, gxíjiíq los probleuiíis una ó varias, 
fenómeno que debe atribuirse ai carácter de las series 
que han resuelto los grados durante el año. 

12* La operación de resta snln aparece en seis 
casos sobre 180 niños, combinada con la multiplica- 
ción ; la división, sola, en 2 cíisos; la suma, en siete; 
combinadas con otras operaciones, en catorce. 

13" En problemas de más do dos operaciones 
pocas veces aparecen con tres diferentes. Las eom- 
binacionos ^ ^ >C '• i ^ i X., etc., de asociacioues 
mediatas, sugeridas por el ambiento escolar d^ una 
manera indirecta, no presentan ningún caso. 

14™ Todos los casos comienzan con el s.igno X, 
operación de ambiente no solo escolar, sino social y 
doméstico. Indicaría, pues, mayor potencia creadora 
la combinación que comenzase por -f- — ó :, tanto 
más, cuuuto se prestan á las formas implícitíu? y á 
enunciarlos euyi> sentido ( construcción í es propio 
de la multiplicación, como en este: Si 25 pizarrones 
costaron 1175 S. ¿cuántos se comprarían con oHTO Sr 

15" La H, reditcción de denominados de una es- 
pecie á otra, enseñan/.a hecha en 4° grado, prueba de 
una factura más elevada del problema, sólo aparece 
en 5" y 6° grado, que utiliza la relación entre las me- 
didas de peso, volumen y capacidad. 

16* Los cuadi'os y diagramas, desde el punto de 
vista pedaífótTico, reflejando la especie de ejercicios 
con que el maestro hace trabajar al niño, nos indi- 
can la preparación dominante en cada grado, acerca 
de la solución de problemas y los vacíos que deben 
salvar las nuevas lecciones, 

17* Los diaí^ramas indican que cuanto más inten- 
sos son el razonamiento y la imaginación, do menos 
área os la niomoria de los términos. 

18" El medio, no es explotable desde ol punto 
do \nsta sistemático. Hay, excepto en 5" y 6°, muy 
poca variedad de enunciados y ninguno que presente 
mayor comj>licacÍón que la do los problemas que 
acostumbra á dar ol maestro. l)e modo que sujetar 
la enseñanza á los enunciados que espontáneamente 





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16.4 ■ 




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17.5 ■ 




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MuBirag-orri . 


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Marin. , . . 


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24 


Tinittti R... 


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15 + 


92 — 




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19.4 




25 


Timiíti C. . 


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28 + 


12 + 


57 -(-1 


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19.6 




36 


Di TomüB. , 






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27 


Diibarry- - ■ 


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22 + 


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17 




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42 + 




18.1 




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Bevua. 


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- 13 


25 + 


18 + 


79 + 


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19.4 




31 


Pifco 1 


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- 14 ' lí> 4- 


8."& + 


77 + 


-^ - 


— 


16.5 




32 


Peirano 


- 


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- 13 44 -1- 


25 4- 


70 — 


— 


— 


17-4 




33 


Martines . . . 


- 


— 





- 25 31 + 


34 Ju 


116 + 


— 


- - 


16 




34 


Trono - . . 








- 17 1 4U + 


46 — 


203 - 




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18.4 


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^ 279 — 

OftíeíTí/cíOíieí, — 1" La repotieión, cuando no es in- 
mediata, no mejora la integración. 

Experimento del practicante Jorge Mieli 

INTEGRACIÓN HE LA MISMA SUMA 





PusSlTlVIliAD 


TiEMfM MEDJO 




por "/o 




í Varoiicsi. . , ...,., 

Abril 1903 í 

( Mujeres. ... . , . . , 


80 
47 


21" 

98" 


( Varones. .,...,-.. 
Noviembre 1902 

1 Mujeres , . . . 


77 
&3 


33" 
62" 



Ti'dos los niíioa que ingresaron á este ^ratlo, ile otra» eaeiielaa, 
dierQti auino-s equivocadas. 



EXPEIÍIMENTI) 1" 


Positividad 


POR "lo 


Tiempo 

UEDIO 


(PARA COMPAHAR) 


V 




M 


V 


M 




j, 2" cf" 4" 


r 


íí" H" í" 






Lectura de 4 cantidades . . 
Operación de suma 

,, „ resta 

., multiplicapión. 


80 JOO 100 100 
71 
100 

57 


96 


100 í)3 62 
48 
51 
58 


21 
27 

25 
77 


23 
32 
23 

88 




2" 2" .?• 


r 


2* 3' 






Comparación visiva.. . > - 
Eeproducción tie linea : 


57 85 71 


93 


68 89 




- 


Tolal ele longitud errónea 
en luiiis 


letíO 




1640 











280 - 



Cinco meses después (on Abril) sometimos el ti* 
grado k la misniti reaeción, j obtuvimos el cómputo 
siguiente: 



EXPERIMENTO 2" 



PüsriivruAiJ POR "L 



I Tiempo 
i HEBín 







\" 






M 


V 


M 




í" 


2» 3» 


^..jr» 


2* .-i. 4» 






Lectura ^6 4 cantidades, , 
Operaeión de Huma. ... 

,, resta. -..,.. 

„ iTiultíplicafÉón. 


100 100 100 100 

100 

71 

71 


93 


96 96 Ú9 
65 

m 

48 


U 

26 
19 
92 


18 
39 
■24, 

&8 




J* 


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.?» 


í" 


2' 3» 






Comparación viaiva 

Eeproducción de linea: 


85 


ltX> 


85 


9^ 


56 92 




— 


Total de longitud errónea 
en tnnis, ............. 




1385 






1133 







Alumnos más y menos inteligentes. ~ Paru esta apre- 
ciación nos htm guiado las chisificaciones que en 
Aritmética han obtenido los nluumos al terminar el 
año escolar. Hemos elegido, para hacer los cuadros, 
los tres niños de clasificación mm alta y los tres de 
ciasifieacióii más baja, de cada grado, separando los 
sexos. 

Cómputos: 



— 281 — 



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— 284 — 

i) Para la oJad, lieinos dividido las Bam&s por el número ifh 
alumno II. 

6) Para los errores en el cimtat\ hemos anniado la difereneia 
entre 31 y el número eürrespondiente á cailaaluiiano. Notemos que 
los más inteüg'cntea han dado solo íj;eeeoii; Iüb menos, ilejiciettc(a« 
y mnv poeos excesos. 

c) Ea la lectura de números, hemos contado los casos positivos. 

dj En ta reprüdueciÓH auditk'n de números, humos contado los 
casos positivos. 

é) CtHcala mental: Experimentü VIL Contamus los caaos po- 
KÍtivoB. 

f) En las ü¡ierúcíonen etmtamos los caso» posilivoa. 

g) En la compiirncutn Pinina contamos los positivos- Aquí eon- 
firmamos que la comparación visiva ñv. ifjualrlait es mAs exacta en 
los (nás ínteligenteH ; no asi la de diferencia, que en Iñs mujeres pre- 
sentalja mas positivos. La |iotíttÍvidad en este experimento, &m& 
un sig^no de mayor iaieligeticía en las mujeres, no asi en los varones, 

kj EiT la reproducciÓH dt- t/nra, s«Tiiftmo9 las diferencias entre 
la longitud reproducida por el alumno y 17, la de la linea. 

f) Quntpttraeión <f término fijo. Contamos loa positivos. 

,/) La pru^'resióu de tos tiempos en la reacción de lectura de 
números, indícA los jifrados que ejeríltaron ó no la numeración. 
El S" S., 4", 5".y tí", que dan mejores integraciones eentrales, bajan 
en la po^^itividad de laa periféiíras y alargan los tiempos de reacción. 

í') En el raciücínio hemos eontado el número de etisos positivos. 

Ra la memoria, los casos ite reproducción completa del cont-epto. 

Se nota, lo que por otra parte ya hornos observado, que cuanti) 
más aumenta el raciocinio más disminuye la memoria «le palabras y 
signos. 

1) La inmginación. por el número de combinacíonea del proble* 
ma (;ue dio el alumno. 

lu) Dentro del mismo sexo leen mejor las cantidades, los más 
inteligentes ; en diferentes sexos, leen mejor las mujeres que lo» 
varones. 

^i) Se observa más estabilidad (centralidad > intclertual en el 
varón que en la mujer, lu que iire.scnta csxsos de mayor intíjligend* 
pomo, asi mismo, easos de ce que no presenta el hombre. Esta 
instabilidades peculiar al mismo individuo ; asi. días hay que so 
inteligencia es de ura lucidez admirable y días en qn^ es W 
contrario. 



Resumen. — Cuadros tfenerales. — En dos hemos resu- 
mido la jiositividad y los tiempos, á fin de que pue- 
dan compararse grados y sexos, en cada experi- 
mento. 



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— 291 — 



Observaciones. — 1* El niño que preaenta largas reac- 
ciones en la operación do suma, las presenta largas 
en los demás casos de cai'ácter matemático. 

2* Pero la rapidez individual, para los diferentes 
casos, no as paralela. Para unos, la reacción de sunia 
es más corta que la do multiplicación ó resta; para 
otros, la de multiplicación ó resta, es más corta que 
ia de suma. 

3* Los negativos en las operaciones, se generalizan 
á los demás casos del procoso matemático. 

4* La distancia entre la velocidad máxima y mínima 
para uno mismo, modifica lentamonte de ttn grado á 
otro; ol ejorcieio es, pues, poco eficaz contra tacto- 
res como la depresión fisiológica, ])obro/ja orgánica, 
anormalidad permanente ó temporaria del cerebro. 

S'^ La positividad generalizada, es característica de 
las montes sintéticas, niños distinguidos en todas las 
asignaturas. 

6"* El coeñciente dy positividad de cada grado, para 
un mismo fenomono, varía con el ejercicio hasta ol 
límite que señalan las condiciones físicas del alumno, 
exteriorizadas, generalmente, por la edad. 

7" En el varón hay menos causas perturbadoras de 
la integración consciente, que en la mujer. 

8" Las dificultades que parece ofrecer el estudio 
de la matemática comparada con otras asignaturas, 
se deben á lo hmitado de su lenguaje. Un punto 
histórico pormittí varias formas de integraeióu para 
explicarlo; un punto matemático oo permito más que 
una. En un campo estrecho, las dislogias son más 
frecuentes. Un razonamiento, composición de carácter 
matemático, ofrece más dificultades que un razona- 
miento, composición de carácter geográfico (descrip- 
tivo). 

9* Todo conocimiento adquirido jujr el niño conserva 
su positividad y so intensifica sin otro ejercicio que el 
que indirectamente permite ima forma sintética, á la 
que sirvo do apoyo. Lo opuesto sucede á la niña; 
el ejercicio indirecto no sirve de fijación á las integra- 
ciones mediatas que llegan con los consiguientes tras- 



— 289 



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— 294 — 



mandáronlos grupos de 6 ó 7 niños para que escriban 
5 unidades 8 décimos; 96 unidades 3 décimos: 8 cen- 
tesimos, ek. Al cabo de vointo minutos, la mayoría 
de la claso eíseribe decimales; esta adquisición rápida 
de un conocimiento, sin estirar los procesos hiista la 
fatiga, es amena: entrar al terreno de la aplicación 
sin detenerse on las reglas, destinar todo el tiempo po- 
sible al ejercicio variado, es tarea fácil y, de consi- 
guiente, entretenida; por otra parte, no procuramos 
en matemática, sino el mber hacer. 
Carecen de belleza, ejercicios y problemas como estos: 

a) Un individuo que tiene un terreno con un área 
de 345 hectómetros cuadrados y (>74 decámetros, ha 
comprado otro terreno lindero de forma retangular de 
SB95 metros de frente por 2T4B metros de fondo. 
ftCuál es el área total? 

o) Mtütipliear — X — X 

^ ' 200 "^ 141 ^ 1.365 

c) Un triángulo tiene 967,4357 metros do base por 
322,072 de altura. ¿Cuál os la superficie? 

a} Dividir 8.707.596,03 por <»J5. 

e} Dividir — 725 por — í>. 

/> Heducir — X — 

'^ 7 '^ 79 81 



á forma simple. 



128 X 9 4- 76 X 229 



ff) En un granei'o había 85.927 bolsas de trigo : 
se perdieron por lluvia 7.424 liolsas: por ol fuego 
5.702; se vendieron á Hodríguesí 6.728; á Lobos 7.202, 
¿Cuántas quedaron buonns en el granero? 

hj Un comerciante ha vendido 42.35 metros de 
una pieza de género ; 6;-1.48ít de otra ; 14(>,525 de otra 
pieiía. ¿Cuántos metros ha vendido? 

Las consecuencias so agravan con series de 20, 30, 
40 ejercicios ó problciiiiis de la misma especie y largos, 
números que no exigen más que una operación y nin- 



- 295 — 



gún esfuerzo puní deseubrirla. Cutindo el onuneiado no 
i3s dü imaginaciíju ni agrciía eonoeimientos, es insulso 
y vulgar. • 

Por desgracia, abundan coleedones do esta natu- 
ral esía sin el mérito siquiera de la graduación; la ca- 
rátula anuncia IXXX) problemas no siendo, en verdad, 
sino p-iuf'uonta ó eicn, 

A los cfeetosí de la educación raatomática es lo mis- 
mo: <un naranjo tieno tres ramas, la una con 75 
frutos; la otra con 62; la otra con 119. fiCuánUis na- 
ranjas carga el árbol y» que: <un campo se divido en 
tres ensenadas ; en la primera pacen 7:2H ovejas; en 
la segunda 150; en la tercera 957. ¿Cuántas ovejas hay 
en el campos ^- 

Las cuostionoR matcTuáticas son susceptibles de si- 
metría como las arquítoeíónicas, para producir fenóme- 
nos estéticos correspondientes. 

Los datos dol prublcnuí /í, evidentemente, no ar- 
monizan con la operación acostumbrada de los tende- 
ros, que nunca miden un género hasta los milímetros, 
mucho menos en cantidades que pasen de cien metros. 

El ejercicio d, cuyo prujiósito es ejercitar la división 
do decimales, presenta un dividendo do siete cifras 
correspondientes á la parto entera y sólo dos á la frac- 
cionaria, y un divisor con dos cifras docimales. No se 
descubre el propósito do taiita desproporción en un 
caso que, inmediatamente, se reduce á divisiiín de en- 
teros. Es indiscutihle la belleza del problema de los 
volúmenes de los poliedros regulares, por la relación 
constante de los elementos ; uno. da el valor de los 
demás. Los alumnos no disiuuilan la resistencia á 
usar el valor 3,141 rpítáfí de n en problemas como: 
<r. cuántos litros de vino contendrá una pipa cuya 
distancia do baso A base es l,íi2 metros; cuyo fondo 
tiene O.bfi metros do diámetro y cuyo medio, su parte 
más ancha, U,75 de diámetroy> donde las cantidades 
no exceden de dos cifras ; nos hemos visto obhgados á 
substituirlo por 3,14, 

Son agradíibles ciertas armonías casuales, pero exac- 
tas como las que presentan las cantidades del caso 



— 2% — 

7° de elección, pruüba 111, ílundeá41 es multiplicador 
y divisor á la vez, en dos casos: la correlación entre 
el dato y el lieelio, tiene todo el prestigio dfi lo que no 
es monlira^ do lo que ¡^0 siente niíignífieo y grande 
como In ley natural, aplicada á la solución de un pro- 
blema. La instintiva propensión del espíritu, en pre- 
sen <?i a do cantidades abstractas, es traducirlas á líneas 
ó voliimonüs; .so explican sus afectos por aqiidlos 
datos que guardan entro sí una relación próxima á la 
unidad, como en ■.' el voltunon de una bnlita es 
0,UHHKI(Mj;]34í)33; ficuál es su radio? > á pesiar de las 
13 cifras decimalos. Es, de eonsiyfuiente. aplicable á la 
matemática elemental, la observación do Witmkk: ''' 
que en la relación 1 : r. á una variación constante 
de T responde una variación constante del valor estéti- 
co: 1 y T son, respoftiv'amente, las línea.s do un ret^tán- 
gulo. Cuanto niüyor r ujenos agradable una figura 
que se aparta constan tómente de las perfecciones del 
cuadrado. Un ])rüblema donde las cantidades dedos 

cifras se alternan con las de nueve í 1 : r ^ I: donde 
junto á números enteros como 5, 8, VI hay decimales 

957 

como 2,045789 ó fracciones como quo dan idea do 

lo imperfecto; donde jujito á un data que vale 3 hay 
otro de la misma especie que vale 857.862 unidades 
(1 ; r ^ -'1 : 857.8t):2 ), no ])iu>de ser agradable. 

Un texto, especie de maestro, debe í<omett?rse á un 
examen escru[)uloso do-^ído estos puntos dt^ vista, antesí 
de ir á manos del alumno, porque os, ima vez adoptado, 
la guía forzn.sa iln la clase; faLal es presumir los ííen- 
timiontos que puedo engendrar hacia la asijauatura, 
si descuida arjuellas condiciones que exigimos al pro- 
fesor. 

Son atrayontes : 



ti \ cZiir rtperimentalen aesiheijk t, ele Phil. Stnd. IK, p- * 



297 — 



a) 

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+ 

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5 X 7 X la X!&i 

iSXííá : 2 X ai 



Pcirquijt un trabajo oii aparioucia largo y ñislidioso, 
f s, sin einljargo, breve. En efecto, el denominador del 
primer quebrado se reduce inmedititumente á 1 y el 



numerador á 
brado á — ; 



13X*^l 



13 



_ 13X^1 



40 40 

el tercero á ál X 2 X 12 



; el segundo que- 



6) Después de diez segundos de soltada la pie- 
dra se poroibe el choque; so quiere saber la profun- 
didad del pozo. 

Porque siendo un problema vulgar y aparentomente 
fácil, oxigp la combinación de numerosos conocimientos 
para resolverse. 

f.'> — 7^9 dividido por ■ - í(. 
Porque inmediatamente da 81 y permite reconcen- 
trar la atención en el propósito del ejercicio, que ea 
la división do los sijinos. 

d) En un corral hay 36 patas y 14 eabeaas; 
lantos son los pavos y cuántos los conejos*? { El 
^Sbrral sólo tieno dos clases de animales). 

Porque siendo, en verdad, soncillu y pudiéndose 
resolver por el tanteo, el amor propio del nifio (juoda 
comprometido ante ciertas dificultades para relacionar 
los datos. 

ej Es más agradable por la forma sintética y 
goneralizadora, por el horÍKonto niatoinátíco que abro 
en el campo délas fracciones, el ejercicio: 

4 i + r, 1 _ 2 - 

5 5 5 



¡¡ X Y X - 



298 



quü el riiUiiio cüvidiíin en cuatro : 



10 



9 — - 



23 ^ 7 ^ 9 ~ ^ 

4" 8 : 1 = y 

que no ofrecen combinaciones, pero sí im caniinu tri- 
nado para un nunmi'oso grupo de aptitndas, y para 
otras, una tVititJTiHU KiiiHíi de trabajo. I*or eso Hf.rbkhto 
Si'KNCEtt ' ' ' dice una indisLíUtible verdad canudo afir- 
ma que la l'ucnto primitiva (ensoñamos d niños) del 
pla<'er estético on las Rcnsneiones simples, es eso eaníc- 
ter do conibinar-ióii quo las haeo propias para ejercitar 
las laf'ultades do la manera más complotay i^oij los 
menores obstácLilüs posibles, á la que iigre^a una se- 
gunda fuente de jdacer, el despertar de las diversas 
emociones agradables, ligadas á la experiencia j)or 
com)>inaeiones particulares del género |)resentado. Hay 
motivo para creer que son formas bellas las que ejer- 
citan eficazmente el mayor número de aptitudes (cen- 
tros ])sfquicüs) enjuego y no recargan sino el más 
pequeño número. La elevación del sentimiento es pro- 
porcional ni alejamiento de la sensación simple, á la 
conipliíjidad en cuanto co.ntiene una variada suma 
de elementos eajiaces de una emoción y on cuanto es 
un délul reflojo del enorme agregado de elementos 
análogos, acumulados por la materia, 
m Precisamente, el caso de los mereicios que propicia- 
mos como el 13 de la serie 77, una reproducción 
de todos los conocimientos aritméticos, combinados 
en esa vasta complejidad de casos, pero de tal manera 
que las reducciones son simples á punto de que un 



(I) CuLUNS. Rmamen de lu fi(os. il<: H. Sp., |)ág. 439, vei>n'>n ei|>«ñola de 



— 299 — 

aliunno de 6° grado puede olí tu iier una eaiitidiid exac- 
ta y simple como 15 »/» en meaos de 20 minutos de 
trabajo. La simplu'klad de los resultados os el mayor 
de lüH atractivos hacia problemas de oporacionescom- 
plir-adas, á puntn de ser solícitamente prñfei'idos aquo- 
Ilo.s que dan O, 1, 2, eantidjj.des enteras pequeñas, des- 
pués de engorrosas incursirmos á través de decimales, 
quebrados ó (cantidades enteras. 

Sólo ol principio de Speíícer puede explicar la 
predilección de jiivencs va iniciados en el espíritu de la 
niatiíuuitiea, por problemas que exigen conocimientos 
de geometría y de física, breve» en el enunciado, exu- 
berantes en el razonamiento, como aquellas tubero- 
sas de voltmien pequeñísimo que poseen una rirpioza 
alimenticia enorme. Así, no podemos menos dn llamar 
niaravilloso al problema de Ritt: < 'ale ular la flecha 
de la pítfte ¡infante (/(■ nmt esfera de maderu cuya den- 
sidad es 0,840625. 

Pero, las combinaciones no deben ser tales ni en 
tanto número para presentar obstáculos invencibles 
alaíimmo; el etet-to sería contrajíí-oductínte; no deben 
fatifí'arse las aptitudes descubridoras, con un trabajo 
infruelutiso. 

(. Veenios quo lo poético y maravilloso es tan propio 
do la matemática como de cu ilipiier otra asigaatura; 
depende do cómo se la trate: el campo os. como decía 
Rirt uTRií, una talda dividida en porciones ó cuadros, 
sobre la que el actor puede jugar lo mismo el vulgar 
juego de damas, que el regio del ajedrez. Toda cues- 
tión matemática tiene cierto grado de misterio y su 
rasgo milagroso, ha.sta conocer el mecanismo f|iie la 
explica. Hon condiciones quo estimulan la curiosidad 
y satisfecho el por qué, se resuelven estéticaraento 
por la admiración. 



Un ejereiciü como 



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resuelto así: 



— 5UÜ — 



e4 64 ^ ^ ^ 

5 /^ S ^ 5 ^ 5 ^ 5 
I6 161616JB 

abobo 



etc. 



haciendo líis uperacionea 'iHnrtifíidíis pura obtün^r ü1 
resultado 256, es aburridor y ahogLi toda emulación 
nacida do la curiosidad ; puro rosuolto de esta manera: 



UX 



5 X le 



4* = 256 



es nov^edoso y agradable. 

De aquí que los ejercicios y problemas dados al azar, 
que no combinan ciorto niiniL'ru de nociones como las 
de la divisibilidad, del cálculo mental, de los resul- 
tados exactos; que obligan á tan largaa y enfadosas 
como inútiles opc3raciones: que interrumpen un pro- 
ceso razonativo, con una intejiraeión operativa : que 
no tienden al método algebraico cuyo rasgo siuipático 
es la letra, son de resultados didácticamente negativos; 
interminables sumas de ocho ú nueve términos con 
seis cifras cada uno para que un niño de segundo grado 
raKuue el jjnjblema, 'Cn un campo hay « ovejas, en 
otrit b ovMJas, en otro c, en otro d, en otro i^, etc. 
¿Cuántas ovejas un todos?> no puedo ser más vulgar 
y contrajirodiicente; el niño concluye por desdeñar 
una clase en que se siento lurturado; las expresiones 
«¡Oh. anlmétiea ahora! ¡Qué leo! Mejor es..-.> 
(aquí la asignatura más amena), son conocidas para 
que nos detengamos á explicar el significado. 

La enseñanza debe sus éxitos á la repetición; repe- 
tir diez, quince, veinte, cien veces un conocimiento 
durante la clase, en la semana, en el mes, en el año, 
pero jam/ís en la mixtua forma, he ahí lodo para 
sentirse salisfeelio. ¿ Qué se necesita y Ingenio. El 
maestro que carezca de ingonio es un verdugo, 



— JOl 



Otras circunstancias contribuyen á la sensación 
estética: la comodidad dentro del aula; abundaneia 
de pizarrones: tconaar pocoy f^orcitar mucho; plan- 
toaciones ordtmadas; niiiueros elaros: suficientes pa- 
sos en el razonamiento; dipción matemática y cuanto 
indicaremos ai tratar de la enseñanza on cada grado. 

Observé un proicsur que aecidcrntalmento daba ela- 

■fles en 4", 5° y 6"^ grados y olegía do tema los puntos 

rmás abstractos de la aritmética; mantenía la atención 

de los alumnos una hora y al terminar no so notaba 

cansancio; la silenciosa admiración no concluía; du- 

I raba en los patios, en la callOj en las casas. Pero el 

profesor V. enseñaba el mínimo connín múltiplo de 

eantidarles do uno, dos ó tres guarismos, tiza en mano, 

de la siguiente manera: M. C, M, es. . . etc. 

Para haUar el M. C. M. de 2, 3, 4, 5, b, 7, 8, % 
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 dio-o: 

Eí menor número divisible por 20 es 20. 

El nienfU' minicro divisiljle por 19 y 20 es 19 X 20 ^= 
19X2X2X5. 

Ei menor número divisible por 18, 19 v 20 os 19 X 
2X2X5X3X3 puesto que 3 X 3 X 2 =^ 18. 

El menor número di\risible por 17, 18, 19 y 20 es 
17 X 19 X 2 X 2 X 5 X 3 [)uesto que 17 os i>nmo, y 
no ostá en 19X20X9. Al producto anterior, para 
que sea divisible por 16 =^ 4 X 4 solo falta el factor 4; 
el M. C. M. es, de eonsiguionte: 

17 X 19 X 2 X 2 X o X 3 X '^ X 4 

15^3X5, está contenido ; 
14 = 2 X 7, agrega el factor 7 ; 
12 = 3 X 4, está contenido, 

11 por no estar, se agrega como factor; 10 igual 2X 
5, esta contenido: 9, 8, 7, 6. 5, 4, 2 factores de 18, 16, 
14, etc. respectivamente están contenidos porque es- 
tán sus múltii>lüs; luego el M. C. M. délos números 
de 2 á 20 6.9 el producto ; 

20 X 19 X 17 X 9 X 4 X 11 X 7 



— 302 - 



n 



Investigaciún experimental. — La exprírimontíición es- 
tética desdi.' Fkchnkk rjiie lii inieió <"( 1871 Xnr r.f- 
perimentttlen Aesthetik ), híista micstms días, si bien 
ha sido variada j cuenta tmbajos anterioras como los 
de Wolf, Zeising, Witmer, posten oros como los do 
Cohn, Major, Pierce, en el ciinipo matemático lia sido 
nula. 

Sin embargo, hay inducciones qno puedon utilizarse 
con provecho. Hemos aplicado en 5" y H" grado el 
método de la elección de problemas conocidos para 
que indicaran aquellos qiio más fuesen de sti agrado 
y pü]' qué razón; el residtado de la onquéte hoidiu el 
25 de Noviembre, es decir, á fines del curso escolar, os 
satisfactoria; los alumnos, con aijuella espontaneidad 
do criterio tan fecunda para ol pedagogo, se encarga- 
ron de dictarnos los principios i¡ue con avidex bus- 
cábamos en íius trabajüi*, en stii* maniíostacioncs, cu 
sus gustos para el canevás del método. 



1. De estos dos ejercicios : 

a ) Reducir : 

( 4 + 6 + 7 + 8 ) : ( a + 10 + 1 1 -f ja ) 
(4 + ft + 7 + 8> : (18 4- 50 + 22 + 26) 



á simple. 



b} Sumar: 

is ~'~ 11 "■" la "•" 7 "" 11 ' 13 ' 7 
Indicar el que fuese más agradable. 

11. De los cuatro problemas : 



(I) LakiIUiíR l>e ManCki.S. — L' esthét. Bxp^r. en L'^nnéc Pt.jcliola[H]ae 
VI. ann.V pÍRt. 144 á 190. 



~ 3ÜJ - 



u) Siendo seis micrones ei largo de un bacteiio 
¿cuántos entran, puostos en fila, en un decí- 
metro lineal V 

bj Un ftbsorvadoi' toma tros temperaturas durante 
el día: á las 7 a. iii, ori de 22 yriidos, ú las 
2 ]t. 111. dt' H4 ¡u'i'iuloB, á las O p, ii». de 2l> grados. 
(¡.Ciml os la ttímperalura media ? 

f ) Hay dos ejércitos en marcha liaeia Pretoria ; el 
ejército boer está 120 kilóuietros más próximo 
á la citídad, que el de lord Rohorísy lleva una 
marcha de ^5 kil*'iinetros por (h'a. fja distaneia 
enti'fí el cnmpnniento boer y I'n'toria, es de 
450 kilóinetros : ¿cuándo el ejército inglés, an- 
dando 35 kilómetros por día, alcanza al boerT* 
A qué velocidad debe ir el ejército buer para 
que el euctieiitro con íA enemigo sea en Pre- 
toria y 

d) A cada dos vueltas del caballo, la cadena de bal- 
des de una noria da una conq)letn. Los baldes 
suu ipiinr^ey cada uno echa á la pileta tres li- 
tros de ligua, t^e quiere fsaber cuántas vueltas 
dará el eabnllo para llenarbí st sos dimensio- 
nes son 3,75 metros do largo, 2 de nncho y 
1,5 de alto. 

III. De tndos los problemas que han rtisiiolto duran- 
te el año, dar el enunciado del que pareeiu más 
bonito y ha llamado más la atención. 

El íj" grado ha resuelto 74 serios, entro ojoreicios y 
problemas H05, déla Stnh'.^tg Aritmt'ücaY el o*" grado, 
50 series (3ÍH> ejercicios y problemas ) del mismo libro; 
los ejercicios varísin rlesdo la más simfde suma de en- 
teros hasta las formas cotnple;ías con términos frac- 
cionarios y operaciones exponenciales ; y desde la 
escritura do cantidades hasta la solución de ecuacio- 
nes simultáneas. Los ]>roblomas, desde una á diez 
ibinaciones de especie y tipo diferentes con recui'- 
goométrieos y leyes físicas. 
Resultado de la investigación. Estética esperimen- 
'tal |Kir el método de la elección ( \Vuk¡) de Fechner: 



Í04 



GRAU03 


I «lífictsa 

1 1 


il^ficmfl 1 


tu eri|[í«nMi 


* 


á 


• * \ ' d\ 


cjerti- pro- 


5* 

Yaronet 

Xiñas. 

8' 

Varones 

Niña-!. .-,.... 



16 

6 
12 


8 

1 

5 

1 


9 

1 
5 


1 
3 

3 


1 
8 

1 


8 

la 

7 
8 


1 
3 

3 
5 


5 
91 

4 
12 


Totales. . . 


43 


U 


17 


6 


12 


31 


12 


45 



(Alimón aliininos eligieron do>) letras » la vpk). 



I-/as razónos acerca de la elección en la prueba í¡f II 
se resumen así: 

1. A. í. Elige I a, [íorque es más complicado. II d, 
porque es más complieado y exige más estudia. 

2. O. C. Elige I a, jiorque es más fácil de hacer. II 
íí, por su raxonamiento complicado. 

3. E. C. Elige I a, por el paréntesis y la cancela- 
ción. II e, prn-quo j)arecí3 muy difícil y es muy taeil. 

4. C F. I b, porque me prosontaba bastante difi- 
cultad para resolverlo, nunca hallaba el M. C. M. bien: 
y desde un dia que lo hice sola, me gustó más que 
otro ejercicio. U d, portiuo no presenta dificultades 
y se presta á un buen análisis. 

a. B, P. Ib. porque ofrece dificultad, no el proce- 
dimiento, sino las operaciones. 11 n, porrpiG es más 
difícil y puede hacerse con él un buen razonaniientú. 

6. J. P. I a, porque es un enso de división de que- 
brados que multiplico en cruz j se cancela muy fáeÜ- 
mente mientras que el otro cuesta más. 11 d. por- 
que el procedimiento es más lindo ; porque cuesta 
menos; porque es más claro que los otros. 

7. -.4 fie los S, I a, porque es ejercicio, por la regla 



— 505 - 



'que se debe aplicar \ií\vti resolverlo, por las operacio- 
nes mentales ; por lu simplificación. II d, por lo lindo 
de lo enunciado; por hi plantoación, por hi soncilloj! do 
las opfiraeiones ; por la fórmula que hay que aplicar 
en ol voliimun de la pilota. 

rt. H. E. I h, porqui' tiene más divisiones. 11 h, 
porrino lo he eomprondido con más iacüidtid y d, jMir- 
que no tiene tantas operacionos, 

9. E. B. I rt, jxorque hay que hacer más oj>eracio- 
nes yes más difícil. II a, porque se resuelve por el 
método de la unidad. 

10. R. F. I f), jjnrque no m más qtto suma y no 
hay más que hallar el M. C. M. II b, porque hay que 
hallar la media. 

U. M. B, I a, pnrqno(?s mejor y más fiU-il. II cí, 
■porque hay que aplicar fornnilas de volúmenes. 

VI. T. f\ 1 f/, porque no so hace más que una 
simple eancelación. II n, porque es uno do los más 
sencillos. 

líl L. C. 1. 1), por el númoro de operaciones que 
se hac'd. 11 f, porque para hacerlo so hacen hnstan- 
tes operaciones, 

14. M. I). I ri., porque tiene complicaciones y re- 
solviendo á uno y otro, me ha parecido más lindo ol 
a. II (/, porque se resuelvo con pensar un poco y para 
razonarlo se presta nuicho. Kl II c, no me giista 

rque no lo he podido resolver de.spués de ensayarme 
ta diez veces. El II b, me gusta porque se presta 
á resolverlo, El II a, no me gusta porque cuando he 
ti'atado de resolverlo se me hun presentado dificulta- 
des y lo he aprendido á fuerza de estudiarlo muchas 
|Yecea seguidas. 

15. M. M. I (f, porque tiene menos operaciones 
quehacer. H A, por las raulüplicucíones, sumas y 
restas. 

16. G. D, No da razones. 

17. F. L. 1 a, porque es sencillo y curioso á la voz ; 
[se necesita pensar, pues, á simple vista, se diría que 

es — . II í/, porque es menester razonar mucho para 



— 306 — 



darse cuenta de lo primero que hüy que hacer ; porque 
es útil. ITI a, porquo es necesario y difícil : poro no 
se prc¡?entan ciisos pura aplicarlo ; os interesante no 
obstante las operneiones con decimales. 

18. H. 1*1 I a, porque es largo y hay una linda 
comJj ¡nación de operaciones. II d, porque hay opera- 
ciones alternadas que no son cansadoras. 

19. A. L. 1 f), porque es más comprensible y no 
prosouta dificultades como el a. II d, porque exige 
un buen razonamiento, porque os un problema do bus- 
car y pensar lo que á simple vista parece difícil- 

2(j. ,/. P. S. 1 út, porque hay trabajo para hacerlo, 
mientras que el otro se saca mcntalnionte. II f, por- 
que hay que trabajar para hai-crlo y con todas osas 
operaciones se aprende más. 

21. IL B. 1 a, porque sus operaciones son tan 
sencillas como el método para hacerlo. U «. sucede 

10 mismo que en ol anterior. 

22. Jt Íj. i a, porque puede resolverse en un ins- 
tante mientras que el b exige muchas operaciones. 

23. li. R. Nü da razones. 

24. A, F, I a, por ios paréntesis; por la división 
de quebrados, II d^ por las distintas operaciones y 
ejGreieius para resolverlo; por las caneelaeiunes, 

25. J- ''. I «, porque se [luede factorear. 11 d, por- 
que es muy dii'ícil al parecer ; hay ipio pensar y des- 
arrolla la inteligencia. 

26. J/. G. I fí, por sencillo y hacer desaparecer pa- 
réntesis. II «, porque hay que aplicar medidas métricas. 

27. M. A. 1 a, ])or lo breve de la operación. II d. 
porque Juiy que sumar y restar quebrados. 

28. B. A. la, por los paréntesis y los quebrados. 

11 n, por el razonamiento que so liace. 

29. G. A. 1 a, porque hay que suprimir parénte- 
sis y dividir quebrados. II h, porque el enunciado 
es bonitit. 

30. M. B. 1 ff, porque es más rápido. II n y c, no 
da razón. 

31. *V. C L a, porque trata de paréntesis. II ff, por- 
que se trata de mierones. 




^ ^ jn común 

lomiufidor. II (/, no dieo por qut>. 
83. J)e P. I íi, por la simplificadón. 
redueeiontís. 

34. J. T. 1 h, ]»orr|uolenfín quo reducir á un común 
denominador por ol M. Ü, M. II d, no dÍco porqué. 

35. M, D. I fí, porque hay que despejar paréntesis 
'y haeer simpUfíetiduties. U r, por su Ibrma y las ope- 
raciones quo hay quo hacer. 

36. M, D, 1 a, porque como existe el paréntesis 
es fáeileonfundirse,i)et'o siendo experto no se contundo. 
II rt, por sor bonito y breve. 11 d^ por sor menoB con- 
fuso que el c, y ínás aplicable. 

37. A. O. I &, porque no tiene paréntesis y hay 
que sumarlo no más. II d, porque el enunciado tiene 
más fj-raeia y rs algo fácil. 

38- ./. A'. 1 It, porque es un poco más difícil y se 
requiere más reflexión. II «, porque no hay que ha- 
cer tantas operaciones. 

39. C. L. la, por las operaciones cortas y pocas. 
'II i', porque su enunciado es hndo. 

40. A. L. 1 (I, jiurque ht^y que suprimir paréntesis, 
[II rt, porque es más fácil; flf, por las reducciones. 

41. M. L. M. I a, por sus operaciones. II c, por 
su enunciado. 

42. V. O. Ib, porque aplica el M. C. M. y lasope- 
racione.'í resultan breves. U tí, porque hay variedad 
en las operaciones. 

43. ./. R. 1 a, porque se hace más ligero y no 
lieno tantas operaciones. II íí, por ser breve, casi 
mental y el d s^i no tuviera tantas ojieraeiones. 

44. A. iS\ i (/, porque estoy acostumbrado á ha- 
cerlo. II rf, por el enunciado; a, por las reducciones. 

45. 7' S. 1 «, por los paréntesis y las roduccio- 
ntis. II a, por sus coniparaeioncs, por sor fácil y claro, 

46. R. T. I h, porque hay que reducirlo á un co- 
niún denominador. II c, por sus combinaciones. 

47. Di 7\ 1. a, porque tiene pocas oporaciones. 
JI d, por el enunciado. 

48. 7\ IJ. I H, porque hay que suprimir paréntesis 



1 



— 308 — 

y diTidir quebrados ( simplificación pur divisibilidad). 
11 c, porque ea algo complicado. 

4y. S, C. I fi!, porque hay quo simplificar y es sim- 
ple. II d, jiorquo es sintético y Iniy que liiicor ponas 
operaeíoiies. 

50. F. M, 1 (/, porquo no hay más que sumar y 
dividir quebrados. II a, porque la forma es bonita. 

51. J. R. I íi, porque lu siinjdifieaeión es corta y 
fácil. IJ (L porque tiene larga solución. 

52. F. P. 1 a, por tener una siniplifíciaeión bastan- 
te buona. II d, porque ]iay que aplitíar fórmulas:. 

53. N, M. I a, porque es de fácil solución- II '/, 
porque es de fácil .solución. 

FiíUEBA 111. Los 53 alumnos dieron los siafuienlos 
problemas coraentados de la manera que se indiea: 



6° GRADO 



1. Am. Imaz. De todos los problemas del año me 
lia gustado: El 20 "/o de un carifauíento de trigo viene 
averiado; está contenido en 45,2(50 bolsas ¿cuantas 
son las bolsas ochadas á perder i* 

Pú¡-(pte es ti que me parece tmíít difícU. 

2. O. Cairo. De todos los problemas que compren- 
do esta aritmética me gusta el que tnás hace meditar 
por Hu estructura : Un viajero trajo un monstruo cuya 
cabeza tenía 7 decímetros, la cola tan lars^a como la 
cabeza más la mitad del cuerpo y el cuerpo tan larjía 
como la cabeza y la cola juntas. 8e quiere saber cuál 
es la longitud de la cola y cuál la del cuerpo. 

3. E. Crüttwjim. V]l ojorcieio que más me gusta es ; 

P.OQOQg X 0.0003 X ^ : 0.t)QO& X & 
0,00tK)l X 0.50 

reducirlo á su menor expresión. 

P<irqite tiene ejercicios de dividir quehrados con dt- 
cimalcs y dtn plificitción, 

4. Carmen Fas. El ejercicio: Reducir á fracción 
simple: 



— 30^ 



5 ^ 3 ^ 51 


' X ' 
17 ^ 21 


56 21 a 

á5 '^ Ü2 ^ W 


' X ' 

9 ^ 58 



'orqite hay tpie cnnrelm: 

5. BL ParúílL El del núm. 2, 
Porfjue es más complicado. 

6. J. Palavec. De todos niG gusta : 
2 — 0.3 X -í 



2 — 0.3 X 



1 



4 1 



a — Q.3 X i 

2X^ 



dóspués de substituir 



2 + 



0.3 X J • , 1 

- por su Igual -g-' 



7. A dt' los Santos. Uno do los que más me han 
agradado es: ;. Cuáritas btíctáreiis huyen un campo 
cuadrado cuyo lado norte mido "2 kilómetros y Ü hoctó- 
metros y 

^: Cuánto costará cercado con cinco filas de alambre, 
sabiendo que el rollo de :Í41 metros vale .f 2,41 ; cada 
poste eoloeudú íi 10 metros y agujereado vale 1,5(J; 
cada hoyo vale 10 centavos y los torniquetes, coloca- 
dos á cada 241 metrüsj, valen 0,40 cada uno"? 
i Púy lú luido de ¡o enuncindo, pomo ser mut/ Itirtfo, 

por la planteacióti que es (matante íar^íi, por la senei- 
I Hez de sus operaciones, por lo lindo de su análisis. 
^v 8. Hbrt. Esp. Juan so propone ceñir por su círculo 
HInáximo, un globo de 8 deeinielros di? diámetro con 
^una cuerda, de <r ciecímelros: pero le faltan 7 deeí- 
ruétros para alcanzar- ^Q.ué longitud tiene ol meri- 
diano del globo y la cuerda? 

Porqne tiene operaciones didintns. 



Eus, de ia Arilmttica 



ab 



^ 310 — 

9. E. Brogífini, Un estanciero ha vendido 79.000 
kilogramos de lana cruza fina á 5,íiÜ tos lU kilogra- 
mos y 62.0(MJ cruza gruesa á 4,30 ¿ á cuánto ha ven- 
dido término medio y total de la operación > 

No da razones. 

10, M. Barhagelata. ¿ Cuántos kilogramos de agua 
desalojaría una caja do sólidos {que cayera á una 
fuente completamente llena ), con tres conos, tros ci- 
lindros, una esfera, cuatro jñrámides triangulares y 
cinco paralelepípedos, siendo, ta caja un cubo sin lapa 
de 0,50 metros do altura construido con latón de 3 
milímetros de espesor; los conos y los cilindros, de 
0,187 metros do altura y 0,05 metros de radio en la 
base; la esfera el mismo radio; las pirámides la misma 
altura de los cilindros con el trián^íulo de la base de 
Oj09 metros de altura por 0,08 de lado, los paralele- 
pípedos 0,187 metros de largo por 0,05 de alto y 0,04 
de ancho 'i' 

Porque trata mnrho del volitmen de muchas nter- 
pos (jeomctrivos. Y tamh'tñi tiuhu los prohUtnas y 
ejercicios donde haya incóynUait que se resuelvan ¡i&r 
ecuficínneit. 

IL R. Vlerno. 



El ejercicio; 



8 ^ 19 4 9 



1 15 24 36 

38 ^ 16 '^ 13 '^ 7 



Porque trata de simplificación y división de que- 
brados. 

12. T. CaUoni. ¿Qué velocidad tendrá una bala 
que á los seis segundos se ve caer sobre un blanco que 
está situado á 3.000 metros y 

Porque es uno de loa ¡irohlenms qne durante el tolo 
me ha rostado hastautt truhiijo ¡.utrn ImccrJo, 

13. L. Cidderazzo. Sabiondo que una bala deínsil 
recorre íjl i metros por segundo ¿á qué distancia es- 
taría una paloma que ene después de 24 terceros do 
dispararle el tiro ? 



- 311 — 



Porque parta- difícil ; pero es todo lo contrario y 
\yara hacerlo dt'hemoit ttplicar un difmjo. 

14. M. Dupont. El tuismo del niiin. 10. 
Porque hay que h<dlar el Vülunien de IH ruf^rpú» $0" 

pnrntlam&nte y ver los kilógra7nv8 de ayna que aesalo" 
jarían. 

15. M, Morm. Hacer desaparecerlos denomin adoros 

4 " 5 * 



en 3 



Por todas las operaciones qve hay que hacer. 

16. G. Oliva. /, Cuántos kilógranuis do agua desalo- 
jaría una caja de sólidos (que cayeran á una fuente 
coni pie tum ente llena ) con tres conos, tres cilindros, 
una etífera, cuatro pirámides trianífularos y cinco pa- 
raleiepípodos, siendo ia cuja un cubo sin tapa do U,50 
metros de altura construido con latón do B milímetros 
de espesor; los couos y los cilindros do 0,187 metros 
de altura y 0,05 metrotí do radio en la base; la esfera 
el mismo radio; las pirámides la misma altura de los 
cilindros con el tríán^ulu de la base de 0,01) metros de 
altura por 0,08 de lado, los paralelepípedos 0,187 me- 
tros de de largo por 0,05 de alto y 0,(i4 de ancho V 

Porque haq que aplicar fúrmnhu. 

17. Francisco Lty^ttTa. i Con qué siembras podrían 
benefíciarso y do qué manera 35 hectáreas do campo 
de modo, que deducidos lus gastos, dejaran un producto 
líquido de "2.5(X) pesos al año 'í 

£¡st6 alumno da las siguientes y curiosas explicacio- 
nes que transcribimos textualmente : < Ningún pro- 
blema me lia llamado tanto la atención como ésto, ni 
ninguno rao ha dado más que pensar; en este proble- 
ma es necesario meditar mucho y pensar más, porque 
el alumno tiene que dar su idea, suponer que el cíim- 
po es arrendado ó el chacarero es dueño. En el pri- 
mer caso, tiene que avaluarlo, en el segundo liene que 
darse cuenta qué beneficios le aportará al príjpietario 
silo arrondara; tiene que averiguar mucho, preguntar 
el precio del terreno, el lugar donde so encuentra, con 
qué siembra podría benefíciarso; es sabido que hay 



}12 - 



muchas elasea do pastos, cereales, logumbres; pero 
tiene quo dejar un producto de 2.500 pesos en un 
año y on 35 cuadras- 

V Es claro, había divergencias en ia clase; pero esto 
es [jreeisumente In que hace razonar puesto que Cíiíla 
ahimno sostendría su idea y para sostenerla so requie- 
re saber razonar y de esa diseusióa tiene que salir la 
verdad *. 

* Aquí hay uiueho que pensar, hay que ver el nú- 
mero fio pBones que se va á necesitar, los salarios, los 
gastos do etíraida, ol prePto de la semilla, la cantidad, 
cómo se va á vender la cosecha, con qué utilidades para 
la sociedad, aunque esto último punto no lo haría el 
chacarero; j>e!*o un estudiante debe fiacerlo, para que 
aprenda á sombrar cosas útiles para la sociedad. Tiene 
que tener en cuenta que el trig'o no da lo que da la 
alfalfa ó vice versa; tiene que tener en cuenta lo quíj 
puede producir la cuadra y lo más serio es quo 2-i>t.H> 
pesos tiene que g'anar, ni un centavo más ni menos. 
Además, desj)ieríu un cierto amor al trabajo, [luesto 
qno el alumno mismo observa y razona las utiHdadfS 
que trae ó quo no trae la industria y su mente se en- 
riquece de conocimientos vastísimos, tanto matemáti- 
cos como oeoniunicos; matemáticos, porque hay quo 
hacer gran número de operaciones ; económicos, por- 
que al hacer el problema, ol alumno se considera ó 
debe considerarse como chuca re ro >. 

18. J?. Espolie. El mismo del núm. 2, 5 y 13. 

No da razonen. 

Ifl. A. Lombardo. Un hombre hace herrar bu caballo; 

consiente en pagar rz^ de centavo por el primer ela- 

por el cuarto y así sucesivamente; cada herradura 
tiene 8 clavos. ¿ Cuánto costó horrarlo V 

Porqtte jMtrece á ñmple vista iruu¡ difícil; pero no 
hatf iiuts f/í/f aplicar laia fórmidn t¡ne el (tutor da 
en Jñ piiijina úgniente y Jo ¡pte mtís llama la atención 



— 313 - 



eM que cnalqiñertt á ñmplf vista, cree que al kenxtdor 
no le conviene y sin emhanjú saca un hittm ¡trecio: es, 
como digOt un problemita de edndinrlo d fondo. 

20. ,1, P- Silva. Se cuenta la siguítinta anécdota del 
tonor De Lucia- Un empresario de San Petorsijtirgo, 
agradecido por los rublos quo había ganado durante 
las noches que cantó ol anista, quiso obsoqniai'lo. 

El artista pi-eu-untó qué trozo de los que había can- 
tado entusiasmó ai imolico. 

— Con Cido e .Xfar ha delirado, dijo. 

— ft Desde el principio ?* 

— Desde el principio, no; pero ol entusiasmo fué 
creciendo á cada nota alta quf Vd. daba. I^a ovación 
se produjo cuando el sal final. 

— ¿ Cuánto croe Vd. que pueda valer cada nota de 
Cielo e Mar si cantase de nuevo Giorondti ? Hay 2fí3 
notas. 

— Cien francos. 

— Bien, cuente Vd. solanionte las altas quo pasen de Fw, 
1 



avalúo la primera on 



10000 



do franco, la segunda en 



— de franco, la tercera en — , 



la cuarta on 



8 



10000 

y vaya creciendo del mismo modt» hasta el momento 
de la ovación. Sume, después todo, y con la cantidad 
quo resulte, compro un anillo quo luciré cuando estre- 
ne //*¿s en el Constan z i de Roniü. 

De Lucia dejé al empresario al^o desconcertado ; 
más fué su confusión cuando contó las notas y resul- 
taron 3¿; mucho más, cuando el cajero dijo el precio 
do la joya. ^: De qué valor sería el anillo con quo ol 
empresario debía obsequiar al célebre tenor f 

Porque es tm pruhletiiH que al leerlo parece mitif di- 
fícil; pero despftes de pensar >j apUrar la fórmula de 
las protjreít iones sale muy sencilhK 

21. H. Briosso. El ojrecicio : 

2X3X'4X5:8X7X8 



8 X tO X 11 X 12 M3 X 14 X J5 X IB 

Por la facilidad en resolverlo. 



— 31+ - 

22. R. Lftatf'a. El ejercieio niim. íi y el de los nú- 
meros 2, 5, 13 y 17. 

iVo da rnzoni'if^ 

23. IL Reina. El ejercicio del núra. 21. 
No da razones. 

24. A. Vázquez. El mismo dolos núms. 2, 5, 13, 17 
y 22, - 

Por fos priucipim de laa ifitialdiides que se aplican. 
Pof el ntzinniinij'nto tan t',vten!<o. 

25. Jnan (\tt'¡m dnupi. El mismo délos niiins, 2, 
5, 13, 17, 22 y 24. 

Porque es el qne ni fía se me ha grabado en la ■me- 
moria 1/ que me parecía iinpmiMe t'ti un principia. 

26. María García, El misino de lo.s iiüms. 2. 5, 
13, 17, 22, 24 y 2a. 

Porque nos ha costado mas aprenderlo y porque hay 
igualdades. 



5" GRADO 

27. Cruz Almetjra. Padre é hijo tienen junto.'? 92 
años; el hijo nadó cuando el padre tenía 30 años; 
edad del uno y del otro. 

No da razones. 

28. B. Alori, ¿Qué volumen ocupará la siguionte 
bebida para cüiiibatir la anemia on un niño de 4 años: 

Jambe cascara de naranja amarga. 500 grms. 

Tintura ruibarbo . 10 > 

Citrate de hierro amoniacal 5 > 

sabiondo que la densidad de la mezcla os 0,98? 
Por el razonamiento que se hace. 

29. G. Ahumada. 



Valorizar: 



, h a 
ni n -\- — X « 



\a — 6 ) m X w 
siendo m = 1 ; n = 2 ; a = 3 ; 6 ^ 4. 

Porq ai' h at/ qae h ttp i ini ir p a rtnt es is y valor iza r la» 

letrus. 



315 - 



3U. M. Biique.ro. ¿Cuántos osterios hay en 3.40(3 de- 
cínietroíj rtúhicosV 

Por la relación con los esíerioü. 

31. S. CalderaziK En un corral hay gíiUinas y palos 
en todo W cabezas; hay '22 |í;itQs monos que crallinas. 
¿Cuántos son los patos y cuántas las gallinas? 

Mi' (insta pi/rt/ue fjí mnt/ chhtoso. 

32. M. C^astrú. Un agricultor sembró 3 cuadras de 
trigo; en la primera arrojó 34.H75 granos; en la se- 
gunda 71.432 V en la tercera 50.743. Los pájaros m 
comieron 22.820 granos; 17.43U se malograron y el 
resto brotó produciendo dos espigas cada planta con 
35 granos cada una. í Cuántas ianogas habrá recogido 
si cada fanega contiene 197.470 granos? 

N^ú da razones. 

33. /'. De Prato. Un montón de 139 duraznos se 
distribuye en dos canastas do modo que la una con- 
tenga 25 más que la otra. ¿Cuántos lleva cada ca- 
nasta? 

Por la e.tplh'aeión. 

34. J. FerioU. 

o.ooá , .-, 5 0.02 

--- + 8 X 

Reducir : -5 ¡ 



3 



X 



(3X4 + 2) (8-7) 

ai 



Parqtuí hat} qitf igualnr las cifras decimales; admite 
niuehtt simprificucion y hay que dividir qnelirados. 

35, V, I'ermttidi/z. Él vidumen de una tiza cilindrica 
es de 3.193 nim''; Ui suporfieio de la bage 45 mm-. 
¿Cuál es la altura? 

Xa da razones, 

3fj. A, Demarta. El mianio del núm. 32. 

Por la bonita redacción de su enunciado ; por su li- 
ffereza en laa opei'dc iones; por su ej'plieución fácil de 
conijjrender. 

3í. .4. Guilla nd. En un corral hay 3fí patas y 14 
eabezas. ¿Cuántos son los pavos y cuántos los conejos? 

Porrjue tiene mitekas ineógnitas y el enunciado es 
muy hndo y corto. 



— 316 — 

38. J. Kriueck. Se tiene un globo aerostático es^ 
férieo de 4 metros de diámetro que se llena de hicU-ó- 
geno impuro que pesa ICK) gramos el m-*: el tafetán do 
la cnibiorta pesa ¿50 gramos cada metro cuadrado. 
¿Cuál es el peso total del globo? 

Porque el enitncuido es bonito tf porfpie haj/ que ha- 
llar V()lu7nen y área. 

39. C. Labiimo. ¡áiendo a = y b == &, valorizar: 



8 -J- 6 



+ 



ci — b ' a — b 



tí+ ft 



íi — 1 ' (1 — 2 ' a — 3 

AV< da razones. 

4t). A. Lastra. El mismo de los núms. 32 y 36. 

Pon/ue hatf que piautear lo ipualdad. 

41 . M. L. Marín, El misma do los núms. 32, 3(i y 40. 
No da razones. 

42. T" Oraycn, El mismo del ni'im. 37. 
No da razones. 

43. J. Rodríguez. Una fuento desagota 324 litros por 
hora, f, Qué tiempo empleará para llcmar un depósito 
cilindrico de 3 metros de radio y 5 de altura? 

Porque trata de medidas de cayaridifd : haif que re- 
$úlverit> tomando romo base el otfi/n destihtda t/ ríííis re- 
dncriones me t/uífan y además t¡i*r eít corto y fáciL 

44. .4. Sánchez. íáeis seguiidus dei^piife de ver el fo- 
gonazo se oye el tiro. ;,Qué distimcia hay entre el ea- 
Kador y ol observador ? 

No da razonen. 

45. El mismo de los núms. 3:2, 36, 4(í y 41. 
/^or .'í/'.'í combinacioneí!. 

46. li. Timóte. ^Cuántas botellas de 0.90 litros de 
capacidad se net-esitíiti para embotellar el vino de una 
vasija crmica truneada de 4,75 metros de altura cuya 
base mayor tiene 1 metro do radio y cuya base menor 
13t de diáTnetro:-* 

Porque tiene m/is difindtttdeii. 

47. F. Di Tomás. El niiwmo del núm. 44. 



— 317 — 

No dn nizoiif-s. 
48. T. íhdxtrn/. El mismo del núm. 46. 
Portjue se irfticiona el volumen con la capacidad, 
4y. ÍS. Cámpora. El d do II. 

Porque es sintético y hay que efectuar pocas opera- 
ciones. 

50. F. Márquez. ¿Cuánto átddo fénico se necesita 
psira proptirní' 2(t litros de dpsiüfectante sabiendo qiio 
cinco partes dD aquella substancia es suficiente en ItW 
partes de íig^uaV 

Por sff eonintrtfcción. 

51. /. Rtdtut. 



Valorizar: " ^■^^^ j X — }J eon uúuieros. 
3 

No da rosones. 

52. P. Pico. VA mismo do los núms. 44 y 47. 
Porqfte hay (ftw /lacer variah- operaciones. 

53. iYcífor Martínez, El t¿ de II, 
Poj-fjHé se sabe hacer y es fácil. 



111 



Resultados y observaciones. — La tendencia es bien 
marcada al problema pinturesco y complicado por su 
razunitmionlo, poro sencillo por sus operaciones, nt pro- 
blema que eoníenga datos geométricos y exija mayor 
estiifrzo mental. Lop que eligieron ojercictüs, han pre- 
feridu la fornuí compleja quo se reduce por eso mágico 
procedimiento de las cancelaciones, al que el niño pro- 
FeBa el admirable afecto quo so .siente por el arte de la 
prest idigitaeión. 

8iu ombar^íu, no todos hicieron el trabajo con el em- 
peño que .se pedía; han escrito el primer problema que 
recordaron sin hallar una razón que excusase su pre- 
lereiieia; son alumnos incajiaces de sensación e.stética 
matemática: se ex[>lica entonces una elección con el 
solo propósito de salvar un compromiso. El indiferente 



318 



matemdtuo existe como el indiferente ( Biset ) para 
otra manifestación del saber humano. Se earaet eriza 
por su apatía haeia la novedad; sentirse fastidiado aún 
junto al entusiasmo de sus compañeros^ por eualquior 
esíneráo qne debe hacei*, intelectual 6 mecánico. Por 
otra parte, la elección de un problema sencillo puede 
atribuirse ano haber comprendido el problema ditícil: 
en este caso, la atención se dirige donde la coneieneia 
descubre los rasgos interesantes de la eonihinación. El 
punto de indiferencia por osta circunstancia, varía; 
donde unos \cn complicaciones odiosas otros oneiien- 
tran atractivos. Pero, desde que el fenómeno estético 
es aquí emotivo intelectual, más elevado do consiguien- 
te, que ol perceptivo, sólo alumnos retardados (jue nun- 
ca constituyen la mayoría, dan razones controvertidas, 
liesunnóndoks, han manifestado afecto hacia las si- 
guientes cualidades del problema: 

A: Favorafdes á la ctdtttra dd alumno 

I Por la.'j muchas combinaciones, dificultades, 
viiriortad, razonamiento complicado, lindo 

análisis 30 

11 Por las operacionov^ cortas . . 12 

III Por las simplificaciones (factoreo, cancela- 
ción ) 28 

lY Por exigir meditación y esfuerzo 8 

V Por el enunciado chistoso, bello ó curioso. . 20 
Vi Porque se emplean ecuaciones, hay que 

usar ó valorizar fórmulas 15 

VII Porque no can.sa 3 

VIII Por el enunciado corto (sintético) ........ 4 

IX Por la claridad 4 

X Por la utilidad 1 

XT Porque parece difícil y es fácil 7 

Xil Porque emplea el método de reducción á la 

unidad 1 

Total de opiniones 133 



— 319 — 

B: Contrariar ú la cultura del alumno 

I Por ser fácil, sencillo y tener pocas combina- 
ciones .... , i 1 

TT Por l;is imtchíis openicíones 3 

III Por no exigir meditación y esfuerzo 3 

IV Por el onimfiado corto { fácil) , 2 

V Por r.izones vagas ó incoherentes- . , 10 

Total do opiniones 29 

Este cóm])uto da, conJí'sadas por los alumnos, las 
condioiunos de un problema niatoniático para tener á su 
favor la atención, el esfuersíu y lu siinpatíii de los edu- 
candos. 

yin embargo, propiciar leyes estéticas sería proten- 
sión que nunca al>rií;';unos; pero la belleza, sujeta á re- 
laciones determinadas, para sentirla la mayoría de los 
educandos que componen una clase, existe. l']l caso nía- 
temático es, como el objeto, suceptible do descomposi- 
ción y análisis, conibinaciún do jíocos ó de nmchos ele- 
mentos se«'iiu ]>ropósitos detormi nados, para producir 
percepciones sintetizaliles (sincrasis percejttiva ) í-n 
otras y capaces do ¡irovocar einnciones mas ó monos 
intensas; á los estímulos do la atención, es proporcio- 
nal el recuerdo. Es lógico presumir que los casos de 
asimboiía, reveladores del ti]Hi indiferente, sean más 
niunerosos en matemátiea que en asiyrnaturas fáciles 
de objetivar. 

La conciencia estética (PjkrceJ '-^^ es un estado ob- 
tenido por la realización de una toudoncia desinteresa- 
da y la acción de los elementos de una cosa bella; favo- 
reciendo osa tendencia, deduce Des Bakí/els { L'an. 
p»i/rh., PXK), pái^. ISdi la extraordinaria importancia 
de la unidad dentro <lo lo variado, pue.sto que un 
soln elemento no puede sufíerir una apercepción. 

El ejercicio I a (suponeniiüs siompre ca.süs que el 
niño, por sus conocimientos, comprendo, de otro modo 
la elección sería imposible) puede resolverse: 



( I t (Ac-stheiici of «ímpl'-v forints), II P*yh. Re». ISW pág. 270. 



320 - 



44-6 + 7 + 8 



25 ; 9 + 10 + 11 + 12 = 42; 

IH + 20 + i>2 + 24 = K4 I « = "^ '' ^ 



2o : 42 = 0.59523 ; 25 : 84 = 0.2976: I a == 



25:B4 

0.5952S 



0.297Í5 



procedimieato |)or el que deja de ser atrayenta para sor 
l'nstidioso; presentii todos los rasgos que enajenan la 
voluntad; se prefinna el I b; pero un alumno mas 
observador, haría: 



25 : 4a _ 42 _ 35X8^ _ .,, 
25 : 84 35 42X25 "' 
84 

el caso varía fuiídamenlalniente. 

Un alumno atento, de vista matemátiea educada, 
ve sin escribir, un quebrado dividido por otro; 

4 + 6+7+8 _ 4 + 6 + 7 + H 

í> + ID + 11 + 12 ■ 18 + 20 +22 + 24 

caní^ela mentalmente los numeradores ; observa que 18 
+ 20 + 22 + 24 es dublé de 'J + 10 + 11 + 12, sim- 
plifica los denominadores j sin la tiza ni uiús tiempo 

1 1 
que veinte segundos, reduce todo á y : ^^ ^ 2; para 

el operador el ejercicio no puede ser más hermoso, 
largn en ai>ariencia, cortísimo en realidad, porque la 
división do fracciones es una multiplicación de divisor 
invertido; porque si se cancelan lus iiiiisuios factores 
del numeradtu- y denominador el valor de la fracción 
no varía; jrorquo 4 + 6+7 + 8 es igual á sí mismo; 
porque cuando una expresión tiene sus términos res- 
ptíftivauíeute dos, tres, cuatro veces mayores á los de 
Otra, es dos, tros, cuatro veces mayor que aquélla. Si 
un término cualquiera de (4 + 6-^7-]-8):(9+lU 
+ U + 12 ) hubioso variado en una unidad, en voz 
de 4 un 5, en vez de í> un 10, el ejercicio perdía sus en- 
cantos, no presentaba ta oportunidad de descubrir 
relaciones y poner á contribuciijn importantes princi- 



- 321 - 



pios aritmóticos. En cambio, el I 6, hubiera llamado 
á sí todas las simpatías por sor. on verdad, la suma de 

tr^ quebrados, puesto que vh, ^(,7 .« ^^^ ininodiata- 



mente 



17 3 25 



13' 13 «^ 13 
28 8 101 



109 



13 , 1, j 11 la suma ^y , y y ^ la suma — ; esta 



rediiceiiin monta 1 de siete tériiiinus á tres es la parte 
atrayento; os simpátiea, así mismo, la reducción de 
17 .' 4 28 , o 6 109 , ,- 4 , . , ' tQ i 

13 ~l~ ií ~l~ T P'^^'^*'** ^^^^ ^^^ ^^^^ 1^^ ^^ pequeño es- 
fuerzo mentalj aplicando principios de las fracciones, 
se reducen los siete sumandos á una expresión de 

4 ñ 4 

Operaciones fáciles; pero la suma ^^ 4" n "'^ T ^^ ^'^^' 
lidiosa por lo vnlíjar del procedimiento. 

El problema II a, no ofroee ermibinaciones; es un 
easü dü roducción particularizado con multiplicación 
por líH) y lÜfM) y los misterios de lo inmensamente 
pcquerio hacia lo que existe prejuicios indescifraliles 
y vivamente interosanteí;. Eá curioso para mentes 
juveniles, que en un decímetro, extensión pequeña, 
quepan railes de organismos que so imaginan siempre 
grandes. 

Han bastado estos hechos para obtener 17 votos de 53, 

VÁ problema II A, comparado á los demás, ofrece 
pocos atractivos. Domasiadu ox]ilíeito, sin comphca- 
eiones; exige puco osl'utírzu mental; un rasgo simpá- 
tico presenta: la sencillez de las operaciones; do los 
cuatro, obtuvo menor número de votos, 6. 

El II tí, ]) resunta mejor en uncía do; rico en combi- 
naciones, sobrio on cantidades; aparentemente difícil^ 
ao presta, á una bella discusión; pero sin el ;ruxÍlio de 
las líneas gee métricas, enyo uso, por desgracia, no bs 
familiar á los alumnos, no os claro, y confuso apa- 
rece, porque los datos no se suceden en orden conti- 
nuo corno en el II d; difícil, de consiguiente, resol- 
verlo en los seis casos secundarios: 

1° Distancia sobre la línea R. P., entro los dos 
ejéreitos; entre los ejércitos y Pretoria. 



— J22 - 



2" Ventaja, en la marcha del ejército inglés y tiem- 
po que necesita para salvar los 120 kilómetros que le 
separan del boors, partiendo los dos, ai mismo tiempo. 
en el sentido R. P. (1" cuestión ). 

di° Los dos ejércitos llegan al mismo tiempo al pun- 
to P., suliondo al mismo tiempo de sus campamentos. 
Los dos marchan un número igual de días. 

4^ El ejército inglés, que conserva su velocidad, 

emplea ~ días para llegar á P. 

5' Entonces el ejército boers recorre R. P., ó 45C> 

570 

kilómetros en -^ días para ser alcanüado en P. 

6° La velocidad, por días, del ejército boers es 
450 ; ... kilómetros ( 2* cuestión ). 

Asimismo, obtuvo 12 votos. 

El II d, presenta ima objetividad inmediata; es va- 
riadísimo eu eombinaeioneSj corto de enunciado; inte- 
resante on la forma ; las relaciones fáciles de esta- 
blecer ; las operaciones no exigen tiempo ; los datos 
armonizan con los hechos y los siete casos secunda- 
rios se presentan en orden sucesivo : 

a} 1" Forma de la pileta. 

2" V^ohimen de un paralelepípedo (la pileta ). 
3"* Reducción de los metros' á decímetros' 
(¿cuántos decímetros^ hay en 3,75 X - 
X 1,*5 inc'tros'^yji 
4° Capacidad de la pileta (litros de agua que 
puede contener). 
b) F Número de litros que echa á la pileta, en 
cada vuelta, la cadena do baldos. 
2*^ Número de litros que ochan los arcaduces 
en cada vuelta del caballo, 
r) Número de veces que la capacidad de la pileta 
contiene la cantidad de litros que extrae del 
pozo cada vuelta del caballo ( solución dn la 
cuestión ). 

Del problema fundamental, pues, nacen siete se- 
cundarios sin más esfuerzo que un poco de meditación 



— 323 — 

nunca entorpecida par cantidades asimétricas ó lar- 
giTis opei'acionos. Este problema obtuvo una mayoría 
absoluta de votos, 81 sobre 53. 

Dejamos constancia de nuestras observaciones sin 
otro proposito que (íemostrur la existencia de un sen- 
timiento estético matemático, sujeto á principios que 
una invostigación vasta y detenida podría establocer 
en beneficio de la enseñanza do una asignatura tan 
útil al hombro y U\n imporí;mte á la ciiltiira y ele- 
vación do las i'acoltades. 

Para nosotros, los caracteres estéticos de una cosa, 
no son sino estímulos reunidos para fijar la atención 
sobro esa cosa y cuyo valor puedo apreciarse por el 
tiempo que cautivan sin violentar, de modo que el 
fenómeno, psíquicamente, so subordina á la ley psi- 
coiisica do Wk(!KRj para producir asimilaciones má- 
ximas. 



IV 



El gusto por la aritmética.— De los labios del maestro 

suele pender esta pre^^unta: ¿cómo haré para dar una 
clase bonita? 

Si el profesor de matemática, á la proparaciíjn cien- 
tífica une el conocimiento de los métodos; si inspira 
confianza á sus alunmos y un noble entusiasmo por 
la asignatura enardece su coraaón; sí lleva fijo el 
propósito do enseñar algo, á sus alumnos, el éxito 
de la enseñanza es seguro. 

Nada carece de cualidades que produzcan en un 
momento darlo la emoción de lo bello; la tarea es 
combinar las clrcunstimcias que hacen agradable un 
determinado fent'imono y dejan en el espíritu, latente 
el deseo. Todo procedimiento pedagógico trata de 
resolver esto primor punto. 

Para maníimor el amor a la matemática (Dadkat) 
es necesario poner de relieve la admirable oncadena- 
ción de las verdade.s, el maravilloso mecanismo del 
razonamiento, la simplicidad do los medios de inves- 



— 324 - 



tigaciÓTi, la ocasión de uiimorosos descubrimiontos 
inseparables del placer que procuran; poro es nece- 
sario que el orden y la claridad presidan al trabajo, 
que las aplicaciones sean interesantes, variadas, al 
alcance intelectual del alumno. La sensación estética, 
es producida por la variedad de los ejercicios, por la 
amplitud quo se da á las lecciones, por el problema 
queso resuelva, por Los juegos de lóo^ea, ¡Jor el fácil 
arribo á una solución que parecía difícil mediante 
eumbinaeíones halladas con esfuerzos rigurosamente 
individuales. Lo vulgar, la divagaeióíi, lo incoherente, 
lo difuso no provocan sino hiistío, aburrimiento y 
odio hacia lo que debe, por lo menos, g'ustarse una 
voz. 

La bondad matemátiea del problema, eon el que 
simpatiza el estudiante antes que con la proposición 
ó el teorema, consisto en la sorpresa que produce la 
exactitud do su método sin dejar vestigios de duda; el 
comenzar con una cuestión que no se sabe por donde 
tomarla y concluir, mediante propio razonn miento, 
por alcanzarla do un modo perfecto ; vencer tales di- 
ficultades, es propio del luuubrc; reflexiona, el or- 
gullo no le permito avcuturar juicios, llega á ser un 
caso de preinatttm mttdnres eon el carácter formado 
y una alta estima de sí mismo. 

De manera que un problema es tanto más be- 
llo cuanto más combinaciones ofrece pnra respon- 
der á una pregunta y más ingenio exige, dentro 
do sus conocimientos, al alumno, para resolverlo. Con- 
dición no única, pero fundamental: ])or el contrario, 
fatigan y desconciertan las series de un sólo tipo de 
problemas, ^lorque carecen del atractivo do la novedad. 
Ayrada lo ipte se comprende ^ no es trivial. 



CAPITULO VII 



EDAD Y TIEÍWPO 



Economía de esfuerzo y tiempo. Desde la aplicación 
dtil ]>rinctpt[) do Fi;.staluzzi, ia onseñanza de lix arit- 
méticíi ha. variado: la Bdad no es un obstáculo para 
comenzar el estudio de la numoratiión á los siete años 
y concluir el de las operaciones á Los nueve con no- 
ciones, además, dol sistema mótrico y fracciones. A los 
tres aílos el niño tiene idea de cantidad, de poco 
7 mucho; á loa cuatro, sin otra acción que la 
doméstica, sabe contar los dedos hasta cuatro; 
distingue una copa, tros naranjas, dos .gallinas; á los 
seis cuenta liasta diez, á veces quiíifo, veinte, treinta, 
formando conscientemante grupos do ocho, doce, veinte 
cosas. Adquiere estos conocimientos sin método es- 
colar, [)or adaptación espuntánoa al ambiento, del 
mismo modo que aprf.^nde nombres y cualidades de un 
objeto. Ingresa, pui!S, á la escuela primaria con la 
idea de número; perdido será aquel tiempo que algu- 
nos peda;^ogo3 pretenden destinar al conooimiento 
filosófico de I. *' * 

¿Estos fenómenos sustentan la teoría do los que 
piensan que á 5 ó 6 años debe eonunzar la ense- 
ñanza de la aritraética y El principio de nuestros mó- 
I todos es la rapidez. Antes de los 7 años, la abstrae- 




— ^26 ~ 

eión es difícil; necesario oJ empleo de objetos, es 
forzoso detenerse en eantidíides pequeñas por la difi- 
CLiltud do ilustrar números grundes. Se llega á los 
mismoB resultados en dos ó tres nños, empezando á 
los sois de edad; eu uno ó dos finos, empezando á 
los siete. De aquí, quo nos decidamos por oÍ tiem- 
po mínimo, á fin de no obligiir la mente á esfuer- 
zos irrealizables; nada adelantamos con que en un 
año de Irabaju euente hasta 5U ó 100, si en ese mis- 
mo tiempo, á mayor edad, conseguimos eso y cnianto 
la edad puede darnos. La ecnnomki del tiempo * ' * ¿/ dt-f 
esfnet'zo, nos parece on metodología, una ley de fun- 
damental importancia. El espíritu de la matemática, 
hemos dicho, es de caráeter deductivo j abstraelo: 
no es tal mientras no se desprende de la percepejón. 
mientras no trabajen las vías corticales. ' 

fi Cuándo ol niño es capaz do estas integraciones? 

El problema es de fisiü-])stcología. Las leyes de la 
evolución histolósrica, dice Si-inkt en su bella mono- 
grafía L'ftqe Scalttire, ostiín destinadas á jugar un 
papel importante en edueaeión y puede que en lo fu- 
furo sean de una nplieación constante. Los fenómenos 
más elevatios de nuestra inteligencia se deben á la 
actividad do los ncuronos corticales, que funcionan 
sólo cuando las regiones á que pertenet-en se asocian 
mediante las fibras de las zonas intermediarias, he- 
cho que eumienza á realizarse, según parece, inten- 
sivamente de los 7 á los 8 años (Funis). 

El estudio anatómico y fisiolugieo de las fibras tan- 
genciales, dice SouKYíobr. cit,, pág. 8010 de la corteza 
cerebral pemiite entrever la excepcional iniportancift 
de estos elementos para la teoría de las funciones 
superiores de la inervación central. Tucziík descubre 
que á su desaparición en la parte frontal, se debe la 
demencia paralítica; confirma el descubrimiento Z\- 
CHEK y atribuye á la misma causa alteracione.'í men- 
tales de otro carácter como las psicosis epilépticas y 



ll) Principio tamliicn lralA<do tn W>' por |. M RiCB lEconoinv of time : 
Teachftig»- Fotum XXII ríe 706 á 712. 



527 



la ioeura senil. Los cilindro-ejes, tríinsmiien el fenó- 
meno dinámico de la célula nerviosa cuando están 
mieli ñipados, hecho qut.! se realiza intensamonte á la 
edad precitada y coincide (Edjngkr) ''> con la ma- 
yor densidad de las zonas fibrilares de la corteza. 
Un indivitiuo á diferentes épocas, presenta estados 
intelectuales diferentes, lo que no es sino una conse- 
cuencia de la teoría do Flechísig acerca de la evolu- 
ción histológica del cerebro humano, confirmada por 
el estudio comparativo hecho en diversas clases do 
vertebrados. 

La corteja se dJTÍdo en dos sonas, la de los centros 
de proyección y la de los centros do asociación com- 
prendiendo la primera cuatro regiones, esfeniíf senso- 
riales: la segunda, el substrae to anatómico déla ex- 
periencia hunianaj esferiiíf intgíectualeit. La actividad 
de estas regiones i-osponden á nn orden cronológico, 
á diferentes edades del individuo, que solicitan, cuan- 
do principian á trabajar, todas las impresiones perifé- 
ricas, produciéndose el fenómeno denominado por 
Ramón y Ca,;al, do avalancha de conditccián. 

Hemos dicho y volvemos á repetirlo, el niño es 
antes de eieila edad y cierto desarrollo psíquico, un 
tipo senaovisual y no nfmholo i'üuaL Al período se- 
cundario, ol de las discriminaciones superiores, hay 
que llevar productos perfectamente elaborados (sín- 
tesis hechas) deí punto de vista periféiico para que 
no entorpezca, cualquier deficiencia de hñhito opera- 
tiro, al proceso deductivo. h2 examen ¡¡siconiétrico 
anunciii la preparación pura el ostndio superior de 
la matemática, cuando Ins integraciones periféricas 
arrojan un nuixirao do positividad en tiempos mi- 
nínios- 

Del trabajo de Senkt anotamos las siguientes pro- 
posiciones: 

1' Esfuerzos anticipados do la inteligencia ex- 
ponen el cerebro á una ruina segura. 



f T 't lOrgani n^rvoit cenliiiJi ücH'dDrtia c (l«^li antitialik, lü^'.pág. 31 <. 



328 



2^ Lft evolución ontogénica revela etapas progre- 
sivas en la evolución del tuerebro. 

ii" A los 5 años el nino es un somí-niiicroecfalo 
y, do eonsjsruionto, su cerebro no ostá en condicionos 
de eximírsele trabajos tan robustos como los de la 
abstracción. Solo á los 7 '/'^ años posee un cráneo 
nnrnial. * '' 

4" VA cnrebro fireee rápidamente hasta los 7 años; 
con más liMititud después (Bovn, Schwalbe). 

5" Los niños precoces presentan más ó menos 
acentuados, síntomas de hidrocefalia que favorece la 
adquisición do la lueninijitis tuberculosa, razón por 
la que no eonvieno enviar los niños á la escuela á 
fin do precaverlos contra la enlernicdad, no permi- 
tiendo que el trabajo debilite el organismo. 

ü" Entro los 4 y 7 años, el orfjnnismo crece rápi- 
damente. Distraer energía para el trabajo intelectual 
es detener esc importante fenómeno fisiolóifico. 

T" En el nifin, ha-sia la edad do 7 años, predo- 
mina la memoria de las pei-cepciones; ía de las ideas 
ú organizada croco rápidamente de los 8 á los 14 
años. (líiiGAs, Bol'rpon). 

S°' Esto desarrollo coincide con la evolución del 
encéfalo y la solrladura definitiva de la porción ba- 
silar. 

9" Do los 5 á los fi años, la atención os objetiva. 
A los 7, resisto quince minutos un solo toma con 
alternaciones abstractas. 

10" Como preventivo contra el histerismo, la neu- 
rastenia, el raquitismo, etc. Conviene dedicar el pe- 
ríodo de la adolescencia á la educación física. 

Dijimos al principio del capítulo que el aprendi- 
zaje de números mayores de 50 ó 10(J; el orden de 
las cifras ; la adición y resta obljtrnn á generaliza- 
ciones de que .solo son capaces los centros más avan- 
zados do la corteza cerebral. Se explica entonces, 



íM I' TesruT. «TraUdto ili Analomia uraanu*. Vol. II, part«2», püj;. 280. 
I 2) TOPINAND. tElem. d' Anlhinp. Gener»., pi£. 6Z4. 



- 329 — 

cómo los que íidmiten niños de 5 años en Iti escuela 
piiímaria, enseñan la numcraeión en tres añus. El 
primer grado do la escuela que dirigimos, ]>resonta 
en Noviembre (los cursos comienzan en Marito) una 
edad media de 7.7. 

La señoiita Martínf^í ha eonsejíuido, en niños de 
primera sección, con un año de eDseñanza simultánea, 
sin forzar las aptitudes, porque la maestra se coloca 
siempre á la altura da sus alumnos y todo conoci- 
miento es indicado por la preparación del ^rado, que 
escriban cantidades de cuatro curas y hagan sumas y 
substracciones como las que indican los RX])erimentos 
VI y Vil del cuadro ó del programa transcripto en el 
capítulo U. 

La observación experimental do un grado corres- 
ponde á los conocimientos que debe adquirii-se: la 
materia del pri tuero no es la de aprender cantidades 
hastíi 100, sino hasta lO.CMJíj; ui sumar números de 
una cifra sino de varias. Ingresan, en efecto, niños de 
seis años, porque el reglamento los acepta; pero re- 
piten el curso en la 1* ó 2* sección por la natural 
marcha de las cosas, pues nuestro sistemti siumltá- 
neo no esfuerza las aptitudes; el niño apremio hasta 
donde permiten sus alcances: á la ¿* sección, engendro 
de las circunstancias, van los retardados y los que la 
edad impido ol dcsarrullo que se exige en "2" grado. 
El I""' grado es de nivelación á tiempo determinado, 
peso á aquellos que, no entendiendo razónos, se ora- 
]>eñan en anticipar el trabajo intelectual do los niños. 
Por el contrario, los de 7 ú 8 años cursan sin sacri- 
ficio, el 1" y jjasan al 2° sin repetir, Oe modrt que los 
grados ofrecen una edad constante de: 



(Noviembre) I""' grado vai-ones 7.8 años. Niñas 7. 7 

0<t 



2« grado 
3" grado L 
3*' grado S. 
4° gi'ado 
5"^ grado 
B" grado 



10.1 
11 

Í2 

12 7 
13.5 
15.1 



JÜ.l 

> 11.15 

> 12.5 
» 13 

» 14.1 
» 15.3 



- SiO 



Si 7 íiñíjs es hi edad normal, hay, sin embargo, 
en las escuelas argén tinaos, numerosos c-asos de retarda- 
dos (no siompre inteligencias apocadas) y un reducido 
número de proeoces, c-onir» puede observarse en los 
cuadros pnic-omótrieos, si se relaciona la edad y A 
grado. El niño E. L., de 2° grado, por ejemplo, pasa 
al 3" á los 10 años: estuvo en condición es de cursar 
el 2", sólo después do repetir tres años el 1**. P. L-, es 
un CRSO do procoeidíid; ingresó al 1"^ grado á los 6 
añoB, á los 7 estuvo en 2" grado j á los 8 va al 3"*. 

Si los niflos de 6 fuesen capaces de comprender el 
programa que correspondo, á nuestro entender, al pri- 
mer grado, los cui'Süs no presentarían la media quo 
acallamos de apuntar: contar hasta lO.OLKJ -. adición 
j resta de números cuyas sumas ó restas parciales 
no pasan de 1 ü : en segundo grado, las cuatro opera- 
ciones y problemas de combinación ; en tercer grado, 
los decimales, quebrados y problemas de combinación; 
en cuarto grado, pesas y medidas, relaciones con la 
densidad y problemas correspondientes; en quinto 
gradOv divisibilidad, igualdades, ejercicios de abrevia- 
ción, problemas de interés, compañía, mezcla, conibi- 
naeiones con la geometría; on sexto grado, recapitu- 
lación y síntesis. 

Para una misma edad los lenómenos de integra- 
ción ofrecen, en la mayoría, un mismo aspecto, si 
bien hay, ya digimos, quien á los 6 hace lo que otros 
á los 8; pero la prudente selección del examen re- 
tiene al retardado y el precoz no abusa de sus ap1ituda% 
contenida por una ensoñanKa siempre moderada. Si 
reglamentariamente la escuela matricula niños de 
6 años, en el cuadro de promedios se observa que 
en 2" grado, on Noviembre, es de 10 años ; se observa 
que sólo dos ingresaron al "2° de 7 años; aquellos 
quo anticiparon su entusiasmo escolar repitieron el 
primer grado ó cursaron la segunda sección, que es 
la primera ampliada. La estadística es, pues, absoluta; 
aplicando la ley económica del tiempo, que considera 
necesario dos para aprender los números y las 
cuatro operar-iones de enteros, el estudio de la arit- 



— 331 — 

métiea debe coraenaar a los ^iete /y medio, principin 
de la seíTunda íafancia marcada por una crisis fisío- 
lóurlca probablüujente general del or(ranismo ' ' ^ (sa- 
gtinda deiitíeión. mielinizacíón de las fibras do proyec- 
ción, luoviniiento del corazón más lonto, ote). 

El consejo superior do instrucción púldica do Fran- 
cia en las sesiones de I )ieiernbre de 1886 y Enero de 
1887/2' con una sénsaieü di^^na de elogio, resolvió 
dividir las escuelas elementales en tros cursos y dis- 
tribuir el programa por edades: el artículo 10 esta- 
blece: 

La duración de los estudioí^ es como sigue : seccióa 
infantil, uno á dos años, secfún intrresen íos niños de 
fí ó ó años de edad. Curso eleaiental, dos años, do 
7 á y años de edad- Curso medio, dos aftos: de í) 
áll años. Curso superior, dos años, de 11 á 18 
años. 

El prosírama de aritiiiética adaptado á la edad, es 
(pág. 350 de la ob. ejt.) de 5 á 7 años: ndrneros hasta 
1IH> y ejercicios eorrespnndientQs. De 7 á íí aftcts: nu- 
meración oral y escrita; cálculo mental; tablas do 
suma y multiplicación: división con divisor que no 
pase de dos cifras; problemas; unidades métricas. De 
9 á 1 1 años: revisión; la división : fracciones comu- 
nes y decimales; re*íla del tres é interés. Hiniema de 
pesas y medidas; problemas y soluciones razonadas. 
Cálculo mental Do 11 á 13 años: revisión: proce- 
dimientos rápidos i>ara las operaciones; números pri- 
mos y divisibilidad; descomposición do losí números: 
m. e. d. : problemas de interés, descuento, etc.; siste- 
ma métrico; nociones do contabilidad. 

Esta distribución supone que do los 5 á los 7 años 
no se puede aprender mas que de los íj á los 7. 

Constatan nuestros roaristros do asistencia y exá- 
menes, que soto cxcepf*ionalment« un niño eurtta los 
seis 3:rados en se i? años; loa que terminaron tí" tarado 
en 1902 llevan de vida eeicolar: 



( 1 1 ft SEXrr, «E4aud<« f H«taei4n*, pk-t- lOft, FUtol. <1< I* 9* Maoelau 



t 1 1 «RrgliiiTIMll I 



«kri 



ifWtaiakret, ^f. im 



- Í32 — 



ALUMNOS 


AJCOS 


ALÜKKOS 


AS os 


ALITUNOS 


AÑOS 


E. C. (M.) 


7 


M. 31. (il.í 


7 


J. c. 


iV.) 


Jt 


E. C. » 


6 


L. L. . 


8 


R. R. 


> 


H 


E. V. , 


8 


M. S. . 


G 


R S. 


» 


8 


J. I. . 


8 


L. C. . 


9 


E. L. 


» 


10 


A. 8. • 


8 


H. K. . 


8 


A. L. 


• 


7 


G. 0. . 


8 


C, T. . 


9 


U. B. 


> 


6 


T. C. . 


7 


E. B. . 


9 


R, E. 


• 


í4 


J. R . 


10 


A. L. . 


tí 








AdelosS.1 


9 


0. C. . 


9 








M. D. . 


6 


M. R . 


8 








X. I. > 


8 













Compárese esta estíidística con las edades del 
cuadro cürrespondiente. 

El tiempo se relaciona erm la cantidad de conofi- 
mientos que so quieren transmitir, la naturaleza de 
éstos y la edad para adquirirlos. Hemos dado nuestro 
progrania. y creemos como tantos pedagogos y autori- 
dades en la enseñanza, que el período primario no debe 
aljareai- menos ni más, teniendo en cuenta que los 
7 ü 8 años do que disponemos son. por otra parte, 
exigencia natiiml de materias ajenas á la aritmética, 
que sólo pueden estudiarse en 6" grado, á los 12 ó 13 
años, no obstante su carácter primario. 

De la instrucción priniaria á la secundaria.— El perío- 
do secundario se caracteriza más par la aptitud al 
razonamiento complejo que por los conücimientoa que 
el joven lleva á primer año; la monte se eleva del 
análisis objetivo á la generalización abstracta y el 
proceso do la deducción ocupa un hiarar definitivo en 
el campo de la lógica, eon el concurso constante del 



— 333 — 



as toma, dol principio y del teorema previamenie de- 
mostnidos. 

Cuanto la instriiprión prinniria tiene de exteusivo 
lo tieno la serundana, de iníeusivo. La distriliución de 
las asiíínaturas obedece al principio de la menor dis- 
persiljilidad. ^:Es lógico que cada aurso estudie y re- 
pila durante dos ó tres años, diez ó doce ramos sin 
más tiempo á veces, para cada iiuo, que una hora 
cada semana"? 

Instrtieeión ni educación puede haber njereiíando 
las aptitudes con tanta intermitencia. La p.sícaloy:ía 
nos da la raxón del aprendizaje difuso; el espíritu 
no se orienta hacia ningún ramo, la atención no for- 
ma campo y las ideas adquieren un carácter parasi- 
tario dentro del que no pueden extractifiearse las 
diroetrices. No bien un rumbo encauza la actividad, 
otro la señala opuesto lado, sin lletrar nunca el mo- 
mento de aquella emoción estética quo euciende los 
afectos para una deternn'nada categoría do leñóme- 
nos. Es sÍL!,'nificativo que los alumnos intelinrentes, 
no obstantes los protcranias eneiclupédicos, uuiestren 
piedileeción ]íor un ramo alN^uo dedican todas sus 
ñoras, tratando al restti, del punto do vista del com- 
promiso contraído para ostudiarío. Son, en el campo 
mental dol alumno, ramos de sostén ó decorativos. 
Cada curso debe estudiar, sejíún nosotros, cuatro asig- 
naturas, las que la evolución histórica indicase, ocu- 
pando cada una sois ó más horas por semana. El 
áijjrebra, por ojomplo, no figuraría en á" año con dos 
liora.^, en 3" con dos, ni en 4* con 1 ; sino on á"* ó 3° 
con seis horas; poco tiempo, entóneos, basta para do- 
minar sin (£1.1111,^1, un estudio que agobia á menudo, 
hasta el desaliento. 

En el primor año, la aritmética pierde ose cai'ácter 
eminentemente práctico, do inducción y aprioristico, 
para ser razonada con el concurso constante del axio- 
ma, del principio j del teorema proviamonte demos- 
trados. El nuevo ciclo, retorna las cuestiones do la 
escuela primaria, teoriza los númor-os y las operaciones; 
entra en minuciosos análisis ; escudriña ni por que do 



— ii^ - 

las propiedades, acomete un trabajo que exige una 
honda penetración. Pedagósficamente, la fecha viene 
indicada. ¿ Razones de otro urden la establecen y El 
ciclo primario, decíamos en la aoní'ercneía nacional de 
profesores reunidos en Buenos Aires, ' ' ' está deter- 
minado por la evolución fisiolóa;ic¡i del cerebro y la 
escolar ; es un período en que se ejercita la observa- 
ción y la mente no adquiere sino materia prima; en 
que las puertas del alma están abiertas, jiero las vías 
de ideación casi cerradas. Período objeiivo, en que 
trabajan extraurdinariamentelas neuronas de percep- 
ción on su tarea de prejjarar el terreno á las aptitudes 
elaborativas de la esfera más avanzada, que anuneian 
el segundo ciclo. 

El período secundario comienza por el estudio de la 
Aritmética razonada. La esiieriencia enseña que 
el 1° y 2^ ano de los Colegios Nacionales son amplia- 
ciones del b'' y ñ° grado do la escuela primaria como 
lo dijera el rector de la sección Oeste doctor Bbltr.'^n. 
¿ Por qué f Porque las aulas están ocupadas por alum- 
nos do 11 y 12 años que no han cursado sino el 4" 
grado- 8o acusa, luegu,^ la escuela común deprojior- 
cionar elementos que no saben leer ni escribir. Kí 
eolegio ha desnaturalizado su enseñanza por tenor que 
adaptarse á los alumnos y no los alumnos al eolegio; 
allí están los textos cada vez más siuq>les, cada vea 
más reducidos ; la aritmética practica, más o menos 
abstracta y primarizada. El eminonte catedrático doctor 
iLnKKüNSD Ramos Me.iía, cuenta, con asombro, la 
ineptitud de osos jóvenes para razonar problemas sen- 
cillos y las dificultades quo encuentran para com- 
prender nociones corno las de las íuedidas de super- 
ficie y de volumen. La causa es sólo una : el ingreso 
prc'ínaturo. Pasan de un curso á otro por la casuali- 
dad, por una ingeniosa urdimbre de intrigas, é indi- 
gestos de una alimentación sin tiempo ni cerebro para 
metabolizarla ; truecan, así, los afectos en odio á la 
ciencia que no han podido convertir siquiera en bolo 



i i ) Conferencia» ítnualcí J.; t'ioreiorrs, 1902, un voluFn>T. pág, 2*5 í. 



- 335 — 

y así llegan al momento de elegir civri'era. Sigiion, 
como es natural, el camino de la menor resistencia, van 
á la Facultad con esa adversión, em]iedernida ya, A 
conocimientos í'undainentales quo nunea quiíniíicaron. 
Así se forman honilures útiles, <:cci'ebros armados* 
para emprender la explotación de nuestras tan decan- 
tadas riquezas, con el consentimiento de padres j 
autoridades. 

Desde años atrás observamos, bajo el nombro do 
cirtinismo fransiforío^ un fonúmono Ími)ortante en la 
evolución unt(i<jréniea de los varones, tratado por otra 
parte, en el XlII Conf^reso Internacional de Medicina 
de París, Aiíosto do 1900, y que motivó, entre nosotros, 
interesantísimas observaciones de R. íSiiNErr y M, Ij. Bk- 
NÍTi-iz. ^' ' Bsta pit i cOMx di' l(t ¡mhertad tiene síntomas 
característicos : decadencia de la razón, indiferencia, 
abulia notable, carácter irraseíblo, híiraganoría mor- 
bosa, megolonianía, estupor quo comienza á los 
12 ó 13 años, dura uno ó dos, para volver á la normali- 
dad, pero definido ya el elevado fenómeno de la aso- 
ciación seleeltVii. Este período crítico, observable ¡lío- 
neraiinente en 5" grado, se llamó do crftifúsmn tran- 
üitorh, y marca la terminación del cielo primario. He 
aquí como, otra veü, los datos de la fisÍülo;j:ía confir- 
man los de la observación. Huee quince años que se 
estudian biü tiinciones del cuerpo tiroidoy desde cua- 
tro ó cinco se connco su importancia como re;y'uIador de 
las funciones corticales, por las relaciones con la cir- 
culación cerebral y el cuerpo pitatturjo, estudiadas on 
1892 por ScuoENEMAXjí. Después do numerosas inves- 
tigaciones anatómicas y experimentales ( 1894 ), Ak- 
DRtiíZEK establece dos acciones del cuerpo pituitario: 
una trófica sobro el sistema nervioso, otra destructiva 
de las substancias tóxicas quo segrega la actividad de 
las células nerviosas. Por otra parte, en numerosas 
autopsias, ha observado quo toda lesión de la glándula 
tiroidc produce, no sólo retardo físico sino psíquico y 
hasta la idiotez y el cretinismo, liixperiencias de Mu- 



(1 ) fíevisia fitiiaífai-ia \\r Dolor», pág. 255. 



— 336 — 

RAToFF demuestran que á consecuencia de la tiroideoe- 
tornía, se produce uu profíresivo debilitamiento y la 
muerto de las células nerviosas por intoxicación. 
Marinkscu dieo que la extirpación produce la muerte 
del sistema nervioso cenlrtü y todo desorden ( coto 
por ejemplo ), el infantilismo. En relación este cuerpo 
con la liipóñsis cerebral, las alteraciones son sincró- 
nicas y SG explica entonces como las perturbadones 
tiroideas producen el embotamiento psíquico, más, si 
se considera como un verdadero divertíeulum de la 
irricjación sanguínea del cerebro. Ahora bien, á una 
edad comprendida entre los doce y catorce años, el 
cuerpo tiroidc sufre una parálisis en sus funciones y 
los niños temosos enñaquecen ; el tejido adiposo dis- 
minuye ; el sistema piloso se desarrolla ; la voz, baja 
una octava ; los signos de la virilidad hacen su apari- 
ción • los sentimientos y descns de otro orden ya, son 
más intensos; en fin, toda una metamórfmis t^ue la 
naturaleza produce para anunciarnos otro cerebro, 
oti'as enero^ías para el trabajo, la pubertad, al hombre. 

Según Naecke, la ]íubortad es tan soUdaria de la 
madurez de losneurones afectados por las impresiones 
genésicas, como la de los órjJianos mismos de la gene- 
ración. < Ciertas asociaciones, dice Dallemagne, que 
son las que forman los elementos do las oporaeiones 
nuis elevadas del semtimionío y de la inteligencia, es- 
tán Riihordinadas al desarrollo tardío de algunas ramas 
colaterales entre regiones nerviosas liasta entonces 
independientes unas de otras (penetraciones intracere- 
bralos, fibras tangenciales ). 

Desde el punto de vista físico, una estadística de 
Bíjwoicn y Baxter sobre 250.00ÍJ niños, nos da los 
siguientes preciosos datos acerca del promedio de ere- 
cimiento animal : 



A los 10 años es de 5.1 cent. 

*»ll » »> 4.1 > 

»*12 » >» 4.6 > 

» » 13 > » » 5.3 » 

> > 14 » > > 6.9 > 



— n7 — 

De modo que, resumiendo tenemos : 

De O á 5 años el promedio es 1 1 . íí cent. 
» (> * 14 > > 



14 > 15 



0.1' 

6.9 



Luego, estos datos, también confirman el período 
crílieo y Broca da de 8 á 9 años, una capacidad cra- 
neana de 1477 cent.^; de 11 á 15 afios do i;^y7; dis- 
minuyo. Los macrocéfalos rauoron, genei-alm'.mto, por 
cualquier enfermedad que produce la meninifitis, por 
lo que sería un pelÍLrro sómeler en estos momentos 
al cerebro, más si es de un joven intelig'ente, á las ex- 
tors(t>ne.s del estudio. Todo iio.s indica, pues, que hay 
un memento fisiolói^ico. un punto en la evolución 
ontogénica del educando, (pie ¡ndicji la oportunidad de 
someter el cerebro á las complicadas tarcas d(d razo- 
namiento abstracto. Entonces principia el sojximdo 
eiclo do la enseñanza, ciclo en que la mente combina 
sensaciones y elmbora el producto más anhelado por 
la Humanidad : la ídm. 

Sexet (L' An;0 .scolaire) indica en la evolución bio- 
lógica del individuo, crisis periódicas que influyen de 
un modo decisivo sobre las aptitudes intelectuales del 
individuo. Así, el crociíniento del cráneo es conside- 
rable on el primof año ; lento hastia los diez; de diez 
á quince rocrudoco; "> el jieso y la densidad del ce- 
rebro sufren una crisis ú los 14 años, pues aumentan 
el 47d de los 4 á los 7: el 15, de los 7 á los 14; solo 
es el á Ví5 fio los 14 á los 30. Por otra parte, las voli- 
ciones, expresión selectivo -sintética de nuestra acti- 
vidad nerviosa, se orientii n se^fiín tres rumbos, eorres- 
pondiontes á otros tantos períodos do la vida. '^' El 
primero, os de orden nutritivo ; el segundo, do orden 
genésico; el tercero, de orden intelectual. De uno á 
otro, el sujeto recorro mu chas fa.^ses : mionlras el ca- 
rácter se debilita on unos, en otros aumenta; pero es 



( I I Eitadi'iücii de QLiet>;lnt en iTopinaid— Elem. d'Anthri. pá£. M9. 
(S) Dai^BHAQKB. «Ph^síologiie de la vnlnnté». Parí» 1900, pá);. 165. 



— 338 - 

ovidonte la oriontación únicn on el momento en que 
cada período nace, para conceder luego, cierta activi- 
dad i'i la etapa superior. 

Estos cambios concuerdan con la crisis anatomo- 
fisiolófiica de la talla, do la voz, do las seereeíoues. 
del sistema piloso, de las formas y resultaría, de con- 
siguiente, perturbador todo osfuerzo que contrariara 
un momento la voluntad cuya orientación la in- 
dican circunstancias inoludiblcs de la evolución or- 
gániea. No es posiblo pretender que un período acabe 
para empezar otro; pero debe esperarse la crisis. 
¡Cuántos contratiempos sufren nuestros cursos for- 
mados por jóvenes inteligentes y trabajadores entre- 
gados en apariencia á los más bellos raciocinios de la 
ciencia y atacados de reponte por una contagiosa 
enfermedad de amor! (Megalomanía de la orientación 
genésica definida por Senkt en un trabajo titu- 
lado Evúlnción psicoh'igica individual). < ' ' 

Es inevitable, ¿tionviono y es posible retardarla? 
Es prudente impedir que aparezca al mi.smo tiempo 
que el cerebro se entrega á las altas especulaciones 
dol espíritu que, por otra parto, no serán tales, mien- 
tras el joven no experimente la emoción dol período 
genésico. 

Terminemos este ca]>ítulo con un pintoresco período 
de Ramón y Ca.ial: *^* el diverso comportamiento do 
los estudiantes de las dos clases (objetiva una, la 
otra abstracta y deductiva), mo reveló una verdad que 
posteriores observaciones han ratificado; y es que los 
niños do 10, 11 y 12 años, son incapaces, salvo esccp- 
cionos honrosas, de comprender la utilidad dol estudio 
do las lenguas y do las matemáticas- Sólo el temor 
al maestro, puede obligar á galopines, todavía en la 
fase musevlar del deasarrollo, á aguantar á pie fir- 
me, tiradas de verbos latinos y series inacabables de 
demostraciones. Así que el infante no bien cuenta con 



( t 1 «AritiivM de CríiaínalagÍA, medL Icpal y psii, niim. 12. pájf. 71Í. 

( 2) «Reenenlof de mi vida, en «Nuestro Tietn^iü», «ño U, núcu. 21 pííg VS! . 



— 339 — 



la inipunidad, revélase ruidosamente su íntima natu- 
raleza do mono y de diablo, de ángel ó de fiera ; el 
profesor, víctima de sti bondíicl y do una funesta 
ley do segunda onseñanza, pasa las áfi Caín, para hñ- 
cerae respetar y comprenditr. Fuerza es convenir en 
que, á tan temprana edad, la tioma inteligencia se 
deleita solamente ó por lo menos se interesa por 
aquellas ciencias que ami)lían la explicación empírica 
del mundo conienüada por el niño, tales eomo la geo- 
grafía, la astronomía, la geometría y la historia, dis- 
ciplinas por las cuales debería inaugurarse la llamada 
segunda enseílanza, reservando las matemáticas para 
los últimoH cursos. 

Los sexos.— La sinopsis de las edades nos suminis- 
tra datos diferenciales de importancia, acoren de los 
sexos, pues á partir dt-l S"''griulo, la progresión mental 
de lit nuijer, comparada con la del varón, aparece retar- 
dada. La escuela que diriginios es mixta y los dos 
sexos sometidos á una misma disciplina, á una mis- 
ma enseñanza, á un mismo criterio, no puede sino 
suministrar observaciones diferenciales de carácter 
psíquico. 

El retardo no puede atribuirse á la incapacidad de 
percibir sino de integrar los elementos para una sín- 
tesis deductiva. La niña es más apta que el varón 
'para percibir las cualidades externas de las cosas y su 
vocabulario es uluiiidante en oste terreno, por lo que 
pedagogos iraprosionistas, le asignan inteligencia 
más plástica. Ño puede explicarse de otra manera, el 
hecho proyecta mucha Itií!, que h\ representación vi- 
sual do los números O, 8 5 4 O 7 y íí H o 4, dé ma- 
yoría absoluta án positivos en la mujer, mientras que 
en la auditiva, el porcentaje favorece al hombro. Es un 
caso do imagen óptica retenida que luego debe reprodu- 
cir la mano de cada niño. La impresión, evidentemente, 
es más pronta y viva en un caso que en otro. La 
generalización comprueba lo que afirmamos. ^:Quó 
conocimientos la retrasan, puos? El de carácter abs- 
tracto, el matemático. La repetición de grado so debe, 
— hemos examinado las planillas de clasificaciones co- 



— 34Ü - 

rrospüiiíli entes á nueve ¡iñoa — en casi todos los casos, 
á los aplazaniiGntos de jíVritmétíeLí y Geometría, si se 
exceptúa el i"' grado donde la lectura y la escritura 
exio;en más esí'uei'zos do asoeiaeión. For otra parte, 
en 1" y 2'* grado dichas asignaturas son objetivas, no 
exigen sino procesos simples de conciencia; de aquí 
que las edades no ofrezcan desnivelaciones y la de la 
mujer tienda á sobreponerse á la del varón. ¿Existo 
en la mujer una psicosis de la pubertad l* Muchos sig- 
nos de orden anatómico y fisiológico nos anuncian 
(juo no; la voluntad genésica misma no es explo.siva 
como la del liombre. "> Si el instinto déla materni- 
dad absorbo el niíis largo período de su vida, lo haee 
de una manera lenta y constante. La evolución es 
progresiva, sus deseos débiles, su orientación la mis- 
ma en cualquier sentido, apta para cualquier estí- 
mulo, incapaz do sugestionarse á sí uiisuia, abandonar 
un rumbo para entregarse exclusivamente (i otro. 
No hay crisis metami'u'ficaSj hay una evolución jamás 
interrumpida por regresiones accidenlíiles ; conserva, 
de consiguiente, sus rasgos infantiles, apenas modifi- 
cados, mucho más allá délos 15 años y una niña in- 
teligente en 4" grado, la hallamos inteligente on los 
demás años sin sorprenderla débil un solo día, mien- 
tras la enseñanza conserva su espíritu primario. Xo 
bien aborda la Aritmética, el Algebra y la 1 ieometría 
desde el punto de vista racional que exigen los cursos 
secundarios, la ínfeiioriclad se manifiesta, porque el 
campo de la conciencia si se ha extendido, no ha tras- 
puesto los imibrales infantiles y queda en la lucha, 
vencida por dificultados abrumadoras. Coincide acaso 
esto con el crecimiento regular, pero no rápido del ee- 
robro: la conservación de la voz blanca, del cuerpo 
tiroide y las pocas fluctuaciones que safro el desarro- 
llo general del organismo. Las curvas do crecimiento 
del encéfalo {Sexet obr. cít., p. 6t}) de 7 á 20 años 
recorren una A^ertical de 93 á 100 en las mujeres ; do 
83 á 100 en los varones. 



íl) JoabkyRüIíX. tPiycholoETe de l'ijiit, leincl.» Varis I^^, {lág. 69. 



— 341 - 

Nuestros cuadi'os de reiifcionc?g la dnn retardada en 
todos los casos, lo tjue eon firma los apuntos hechos 
acorea de la edad. La edueucíón matomátLca de la 
mujer será eficaz mioatras* cíonservo el espíritu prima- 
rio : inductiva, apriorístiea y de integraciones cortas. 

IT 

Horarios: distribticidn del tiempo. —Hornos estable- 
cido que la aptitud matemática es un caso de in- 
tegración eotisciente á vía única que ae adquiere 
según la ley del hábito, por el ejercicio sino inten- 
sivo, sin intermitencias. La enseñanza evoluciona; 
opueütü mente al defectuoso sistema de la polil'ui'cación 
se reconcentra paní dar, con pocos conucimientos, 
vuelo á las aptitudes. De aquí, pues, que la educación 
matemáticíi consista en la solución de problemas sobro 
la base de los números, las operaciones, las lo rundas 
y los principios aplicados al hábito do descubrir rela- 
ciones y asociar los datos que constituyen la solución. 
El espíritu matemático se formaj no sülamf>nte con la 
enseñanza de casos típicos, á que rel'erir las di- 
versas cuestiones, tarea tan ardua como infructuosa, 
sino mediante ejercicios que cambian de t'oruia cada 
instante, que no vuelven, quisüá, á repetirse nunca, pero 
evocatriees. La matemática, uno do los tres ramos fun- 
damentales del saijer comuna debo ocupar el tiempo 
necesario para que la integración consciente sea un 
modo del trabajo raontat. Los diferentes tipos do 
horarios concuerdan on darlo mayor tiempo que á 
otras asignaturas, generalmente una clase por día: en 
primero y segundo grado, que exigen intermitencias 
breve.s, suelen sor dos. 

El cuadro siguiente permite comparar los diversos 
criterios con que ha sido tratada la distribución del 
tiempo semanal "'': 



(lí L^j íSiriiElai comqntí tle í{a««aühiiiaelt& y de los {iu<-bla!i germanicen «c 
dit^iden Eti !t frta.áoi y ngnf.gan ün suli(iritnitTk) ¡ i*l tir^mpo ilet "" y *" grado, u 
de I^' y HA' rn Ma««»cliys!iet|$, y de ZOCf en Ala<ní«nid, ttlá^i 100' p^a la geo- 
metrifi- VfíÉ6 • Reports npan a courte», et&, por J. T, Priiíck, 1M9'>. 



Eits dt la AritmiUía 



^ 343 - 



No nos parece nimia bi distribución de las hoi-ívs ; 
desdo luego está fuora de loda discusiói], la convenion- 
cia de repartir las semanales en seis días. Do pri- 
mero á sexto grado, los lecciones duran 25 minutos 
como en la escuela nonnal del Paraná, sistema gene- 
ralizado on el país. Sin embargo, se acostumbra 
hacerlas de veinte y aun quince minutos en 1^ y 2® 
grado (provincia de Buenos Aires J; de una hora, en 
5°yG°. La atoneión do Ioíí alumnos de 12, V¿ j 14 
años, puedo resistir una hora rica en ejereieios 
y aplicaciones ( variedades sobre el mismo tema ); y la 
de niños de 7 á 8 años, cuyo proceso razonativo ea 
largo, no decae en 25 ó 30 minutos, tinmpo indispen- 
sable para dar carácter pedaí^ógico á una lección. 
Los grados inferiores con horario discíintinuo, dan 
dos lecciones do aritmética, una por la mañana y otra 
por la tarde; los superiores ima. ¿Cuáles horas del 
día se prestan al trabajo matemático, la mañana ó la 
tardo V ¿Las primeras horas? 

Recordemos que el cerebro repara sus pérdidas con 
oxígeno y substancias azoadas, elementos llevados por 
la sangre y adquiridos del aire y de la alimentación; 
que el airo do la mañana es más rico en oxígeno pero 
la alimentación más escasa: qiio el sueno de la noche 
lia reparado los efectos de la fatiga vesperal; quo la 
enseñanza matemática es, generalmente, un caso de 
integración completa, un ejercicio de lógica deductiva, 
mientras quo la de las demás asignaturas os de induc- 
ción, más concreta, excita menos centros de asociación 
para una función única y, de consiguiente, no fa- 
tigosa. 

Las escuelas nórmalos del país, á imitación de la 
del Paraná, excepto dificultados insalvables, dan 
las lecciones en la primera hora de la mañana. 
f. Hay razones para hacerlo '? Nuestros experimentos 
dan más casos positivos en los momentos de mayor 
silencio y en los días de trancpdlirlad atmosférica, sin 
ser extraño al éxito, la salud y el bienestar orgánico; 
supuestas buenas condiciones físicas, el momento más 
favorable al proceso consciente os la mañana, después 



— 34+ - 

de ocho ó niievü horas de reposo, cuando los centros no 
han sido excitados sino por püqueños estímulos, nece- 
sarios, ]>or otra parte, para desentumir un estarlo pro- 
pio á toflu óriííino que después de un período lar^o 
de trabajo an entrega á un período hir<íO de reposo; 
los maestros pueden comprobar el hecho, observando 
la actitud, tranquila y soporífera de los grados en la 
P hora, que no debo conlundirse con estados de aten- 
ción. Pero la actividad de la mañana lucha con el in- 
conveniente de la aumentación, por lo común incom- 
pleta, del desayuno que no proveo á la santíre de 
eleiiiOQtos que reparen con ventaja las pérdidas del 
cerebro. La actividad del corobro es una conseeueiX' 
eia de la irrigación sanguínea, y de la eliminación 
de las toxinas que los neurones secretan durante el 
trabajo inteloctunl '^*. 

En las horaá matutinas, el tejido nervioso contiene 
un mínimo de substancias nocivas; la sangre es más 
pura y so siente la eabesía mtís Ikiann. El trabajo 
intelectual inteiiso, disminuye la asimilación del ázoe 
y dol ácido t'üslorípo, destruyendo ]jor defiíHente rep;i- 
ción, la all>timina del [irotoplasma cehilar ( investiga- 
ciones experimentales de Donoeks, Líyassün, Spkck K 
Los estudios que exigen un gran esi'uerzo de aten- 
ción y fatigan rápidamente ol cerebro, corao la pro- 
duceiim científica y la solución de problemas de ma- 
temática, son más IVuetuosof?, de consiguiente, por la 
mañana *^'. Descansado ol cerebro y nutridas las 
células, son más capaces do esfuerzos que cuando 
las ha faíisrado un día de continuas excitaciones. En 



(I) Acüfoa de U acorta tr-'tRra d« Ia* glindolai llroídt y plluitaiiiL «obre loa 
«lenienCoH ncrvinsciis j* a4iu]i]actrin Je uxij^edo de la í^orricDEc sanguínea y d^í^-trno 
CÍJilt de l04 pruduirta;! c:it.il)<>IÍL-oii de ia aciivldad n?JViO«-i, toxtMa*! h<«n i^KrifO 
nuinrroíoa aiitortus, nnrre cüos L. L AirnHIKi'BH < The mof (ik, afif^. and crniMian 
n( rmuinn oT itie (Miun^ry lindif and ítn reliiilans tú Ihe (*r>iTtral n«tvnu3 lysleiTi » 
(Brit. í«ifrf. /(I«í- p. -Í4 j If594, K, GUEV « Eicpo*é de* donnri^ ««(j^r Hítenteles sur 
ei correr, fmition rhcZ lea animnux » — \'^^1 ., V'ASSALB E Gbkehauí f Sqrli 
leUetd d>íU'e*túp. d'^líe Ehiand, parotíraidee» — I89j. Acmci ár U* faniMone:» »Id 
cercbra y el rrletdballitain' nrgáilico: J. SOL'NIT « ^iat. nerveait c«nirail t ( lS'^i>t y. 124 y 
La liellü inofingran^ de BBLHOXnO: cR^iiporti trp le funiioni cerebruh i^iitic^Bi 
hío» — Ri*. »p, di ffcn- (ISWi) p. 657. 

( 2 1 (El mítodo en el r<ímd)ii », por Cu VOT D.i unes, p, J-l , 



— 345 — 



las eseuelas donde los fisiólogos han podido interve- 
nir, la niuñana se consagra á los estudios que exigen 
tensión cerebral ( GuyüT Dauhrs J. 

Nuestros experimentos proyectan alg-una liiii; las 
causas son tantas y tan complejas qup uo os fácil 
atribuirles fenómenOvS tteterminadus. La naturaleza 
del día es do influencia notaltle; el viento norte, el 
calor, la atniósíci'a pesada, retardan el tienij» do reac- 
ción y producen casos de amnesia intermitente y aten- 
ción expectante. Ahora, si consideramos que estos 
estados del ambiente son más comunes ú la tarde, 
os previsor el horario matinal. No perdamos de vista 
el objeto pedat^ógico, dentro do ía enseñanza siuuiltá- 
nea tic nuestros experimentos ; un ^rado será siempre 
una infusa mezcla do caracteres instables. 

ExPKKmEKTOS ACElíCA ÜK IJ\S HORAS MÁlS FAVORABLES 

AL TKABAJü.— Para establecer las horas más favora- 
bles al trabajo mental, elegimos 20 niños, diez varó- 
nos y diez mujeres, del 3'% 4'\ 5" y 6" grado, some- 
tiéndolos durante 16 días, mañana y tarde, de 9 á 10 
y de 2 Va á 3 '/j, horas centrales de clase, á la siguiento 
prueba. 

Cada niño, separado de lus demás y en nuestra ofi- 
cina, debía sumar las siguiontcs cantidades : 

765 

898 
+ 755 

698 

779 

846 



Para prevenirnos 


do la 


simulación, altei 


estas otras : 






a 




h e 


779 




756 846 


765 




889 765 


^H 898 




T56 898 


^B 




689 755 


^H 698 




797 698 


^^^ 




864 889 



— 346 



d 


e 


/ 


954 


589 


898 


879 


798 


698 


778 


787 


765 


596 


965 


755 


949 


499 


779 


387 


873 


958 



que exigen el mismo esfuerzo, comprobado en un pro- 
fesor, hábil operacionista, que adicionó los casos, em- 
pleando 9 segundos cada vez. No obstante, para más 
seguridad, las sumas que dábamos á la mañana cier- 
tos días, las dábamos á la tarde, ciertos otros. 

El grado de exactitud, lo obteníamos contando el 
número de cifras exactas del resultado ; si esto debía 
ser 4762 y el niño daba 4661, contábamos dos cifras 
exactas. ; si daba 4762 contábamos cuatro cifras 
exactas. Tiempo de reacción, tiempo que el niño 
empleaba en hacer la suma. 

Para determinar la causa de las alteraciones de la 
exactitud y velocidad, anotamos cad», vez, la presión 
barométrica, la temperatura y estado de la atmósfera. 

El resultado se computa en estos dos cuadros: 



347 - 



Varones 



Los 10 alumnos han hecho 10 sumas ; el resultado de cada suma, 
tiene 10 cifras ; las diez hacen un total de 40, de las cuales 
corresponden al buen resultado : 



J>ÍA 


L 


lío 

d« cifras qae 

corres^] on den al 

buen resultado. 


^ de rcACctAn 
lünmno 


1 


TARDIi 




¡Maflana 


Tarde 


MkAana Twdc^ 


BarAmt, 


Terni'lr. 


Bariimt. 


Tertn'tr. 


Junio 


13Í 


31 


35 


40.4 


43.0 


755 


13 


1 

762 , 


14 


n 


16 


35 


31 


31.3 


33,6 


764 


11 


763 


14 


n 


10 


87 


35 


3Ü.3 


26.3 


762 


11 


791 1 


14 


n 


17 


33 


35 


82.0 


36.5 


761 


14 


, 768 


16 


!* 


19 


30 


86 


92.0 


38,8 


760 


9 


772 


10 


n 


32, 


38 


36 


24 3 


26.5 


766 





764 


10 


» 


'i 


38 


81 


97 2 


26.4 


760 


9 


1 759 


9 


tf 


i& 


as 


84 


24,9 


25,8 


767 


5 


787 


7 


n 


26, 


36 


86 


35. 


22.0 


767 


11 


' 765 


15 


7t 


27 


36 


37 


22.2 


34 7 


769 


^ 


■ 769 


U 


Julio 


16 


3B 


31 


32.9 


25,9 


780 


6 


776 


8 


ü 


18 


38 


82 


29.8 


28,0 


771 


7 


769 


U 


1* 


20 


35 


84 


20.9 


19.7 


769 


10 


769 


13 


s 


21 


39 


2Í} 


33.8 


21.6 


772 


10 


772 


13 


ñ 


22 


34 


81 


33,4 


20.4 


773 


.0 


772 


U 


n 


23 


35 


S2 


20.0 


22.1 


773 


12 


772 


14 


i 


546 


525 


419.9 1416.8 





- 348 — 



Mujeres 

Las diez alumnas han hrrlio. cada atz, 10 coinaB con 4 cifras 
cada una, ó sea un total de 40, de las cuales corresponden al 
buen resultado: 



día 



I No 

! de cifras que 
I corresponden al 
buen resultado. . 



Tiempo 

de rcaccíi'.n 

cada 

alumna 



MAÑANA 



TARDK 





M anana 


Tarde 


Mañiina 


Tarde 


Barónit. 


Term'ti 


•. Bar6mt. 


¡Terra'tr. 


Junio 


i3:¡ 


32 


25 


1 

55.5 

II 


64.3 


765 

1 


13 


II 

1 762 


14 


n 


ii 

15: 


33 


29 


!! 
52.2 

'i 50.8 


50.0 


764 

1 


11 


762 


14 


jj 


16, 


33 


31 


44.0 


762 


11 


1 761 
1 759 


14 


n 


17 1 


31 


30 


1 ^'-^ 


47.9 


' 761 


14 


15 


n 


19! 


34 


29 


; 42.5 


44.0 


, 760 


9 


|! 772 


10 


» 


22,, 


28 


31 


42.7 


44.7 


1 766 


9 


;; 764 


10 


n 


2a 


30 


29 


1 54.0 


52.1 


1 760 


9 


¡i '59 


9 


» 


25i 
1 


37 


37 


1 46.8 

( 


46.9 


767 


5 


,. 767 

i- 


7 


» 


26 ¡ 


36 


32 


1 38.0 


40.0 


767 


11 


, 766 


15 


• 


27, 


32 


33 


39.0 


40.1 


769 


7 


;, 769 


11 


Julio 


16; 


36 


33 


li 38.3 

,1 


36.4 


780 


6 


1 776 


8 


n 


18'! 


23 


27 


i 48.5 


41.4 


771 

1 


7 


1 769 


11 


n 


20i 


34 


34 


37.8 


30.2 


769 


10 


1 769 


13 


n 


21! 

il 
22 j 


33 


32 


¡' 44.5 


42.3 


! 772 


10 


; 772 


13 


j> 


34 


33 


!• 46.8 


-10.4 


' 773 


10 


1 772 


14 


» 


23 1 

ll 

1. 


37 


35 


35.7 


35.4 


1 773 


12 


1 772 

ll 


14 






523 


! 500 

1 


.719.5 


700.1 











349 



Eti los varónos, honios notado, más fijos, positivi- 
dad T tiempo, que en las mujei-GSt. Ksas dos condi- 
ciones fundaméntalos do la aptitud matoniática se 
exteriorizan en algunos niñus, con regidaridad ailmí- 
rable, á punto de ofrecer solo positivos y osciiacbnos 
de tiempo, apenas perceptibles. Por el contrario, on 
otros, se notan cosos de exactitud asociada á la rapi- 
dez, unos días; equivocac-ionos asneiadas ¡i la lentitud 
olvüti. Hay quien ot'reeo una positividad constante: 
pero la reacción osciía entre 55" y [21". Sin embargo, 
dentro de tales sinuosidades os posible distinguir la 
linea correspondiente al funcionamiento normal del 
cerebro (coeficiente de positividad de cada niño). Así 
la niña Cu. . ., cuyo tiempo mínimo, en un caso exacto, 
fué 17" y máximo, en un ca¡?o negativo, 75", presenta 
su normal entre 22 y 25 segundos; la niña A. M., 
cuyo tiempo mínimo, en un caso exacto, fué do 55" y 
máximo, en un caso positivo, 97". presenta su normal 
entre (H y 71 segundos. Todiis las aptitudes, fijas 
como oscilantes, varían con la repetición de las sumas 
tan sólo una vez cada tres días,^ de una manera 
notable hacia la exactitud y rapidez que no pueden 
alterar lapsos de completo descanso (días que media- 
ron entre el 29 de Junio y IB de Julio); fenémeno 
tanto más notable, cuanto que dadas el 17 do -Julio 
sumas que no exigían más esfuerzo que las anteriores, 
pero sin ofrecer la misma sucesión guarítmica. alar- 
garon inmediatamente los tiempos y disminuyeren la 
positividad (obsérvense los cuadros). La emoción, en 
los primeros casos, ha proJueidn notables efectos en 
niños como Fernán rlez, quien hizti |)or segunda voz 
la operación, empleó ñií", tiempo máximo de sus in- 
tegraciones y cotiicnaó la primera vez. por la izquierda. 

Él primer día, día de asimilación., del punto de vista 
pedagógico, las reacoionos son conijilctamente favora- 
bles á ía mañana. Los denuís. dfuií de e.ríerwri:nción 
del fonorimietito presentan alternativas. Es fácil no- 
tar mentes vesperales y montes nuitutinas, más aptas 
para estorioriüar á la tarde y más aptas para exteriori- 
zar á la mañana como De Miguel que ofrece sus posi- 



350 — 



tivos por la liirdR, prosentando, las niñas, fenómenos 
pocas veces paralólos al varón. Las inteligencias ins- 
tables, es docir, poco robustas, son las más sensibles 
á las inñuencias exógenas. Notemos, paní que la di- 
ferencia entro adquirir ol conocimiento y ejoteriori- 
zarlo sea rada profunda, que el primer caso positivo en 
cada niño, se ]>rodujo siem])]'e á la mañana. 

Si generalizando el fenómeno consideramos, dada 
la unidad de vías para toda clase do integraciones 
psH|uic.as, que lo que ¡sucede oon la suma do igual ma- 
nera sucederá proporeionalmentc á la complejidad, 
con cualquier otra reacción do carácter matemático, 
las cifras del cómputo nos revelan: 

1^ Que la aptitud es más exacta por la mañana 
que por la tarde (atonción máa intensa). 

2" Que por la tarde es más rájiida sin que esta 
rapidcü compenso la mayor positividad do la mañíuia, 
pues 27" (varónos t ú favor de la tarde no dan los 21 
positivos á favor de la mañana; ni 194" (mujeres) á 
favor de la tardo, dan los 22 positivos á favor de la 
mañiinn, 

3" Que las variantes barométricas coinciden con 
las variantes de la aptitud. Tanto la baja como la suba 
de |)resión es contraria á la positividad y rapidez en 
perjuicio de la tarde. 

4" Que la estabilidad barométrica coincide con 
la estabilidad mental ; los números que expresan la 
exac-itituri, son los mismos por la mañana que por la 
tarde, en algunos casos con pequeñísimas diferencias. 

5° Que la ínfluoncia do las variaciones tormométricas 
es casi nula. En cambio, la acción del tiempo sereno 
ó nublado, del viento sud ó norte que suele coincidir 
con la suba o baja de la columna barométrica, pro- 
duce alteraciones notables en ol trabajo mental por 
la influencia directa sobre la digestión de los alimen- 
tos y la circulación de la sangre, 

Ks fácil explicarse de esta manera, estados hiperhé- 
micos, estados anémicos y estados tóxicos en los ox- 
tractos celulares de la substancia gris, unos y otros 
contrarios á un trabajo normal de los nouroues. El 



- 351 — 

viento sud, normaliza la actividad del cerebro; ol nor- 
te desintfigra los estados conscientes en medio de iinn 
oscitación poderosa de los instintos. Confirman nues- 
tras ob-servaeiones las eistadisticas de Vuceticu ' ' ' 
acerca de los suieidios en la provincia de Buenos 
Aires, durante diez años, en proporción á veces de 3 
con viento norte, contra 1 con viento sud. 8Í se con- 
sidera al suicidio como un renómeno degenerativo y 
no atávico, eu individuos cuyos centros inhibitorios 
no presentan la cohesión suficiente para resistir á 
todíís los transtornos de carácter moral ó fisiolóifieo, so 
comprenderá que su etiología, es la misma de las ba- 
jas de exactitud y rapidez en el aprendizaje y exte- 
riorización de ios conocimientos. Las corrientes cáli- 
das determinan estados tendientes á la sub-con- 
cióncia. 

t>° Xo dejaremos de anotar, do paso, la compro- 
bación que obtuvimos de las perturbaciones que pro- 
duce en la mente la emoción. 

En una do nuestras conferencias psi cepeda góticas 
á la que asistía un público de 50í) personas, pedimiis 
á íí de los 20 experimontados, Julia Rodrígucü y Ro- 
gelio Balado, alumnos del 5" y ó" grado rospectiva- 
mcute, que repitiesen una do las sumas, la d, que 
habítm hecho durante un mes con los resultados que 
consigna el cuadro. 

Emplearon 45" la primera, 25" ol segundo, uno y 
otro con tres cifras equivocadas en el resultado. La 
noíable diferencia de esta reacción con las acostum- 
bradas, se debe al estado emocional do los alumnos, 
examinados ante un público al que nunca se habían 
presentado. 

La marcha de las reacciones para cada alumno du- 
rante los Iñ días de prueba, se exprosa en este cuadro: 



( í ) Archivos lie ps¡qai«tría, e.tv, Rueños Airea, S«pliembre de I90Ji. 



— 354 — 

Las gastritis, digestiones tardías, afecciones hepáticas 
todo cuanto impida rápida circulación de sangre pura re- 
tarda el ])roceso de integración consciente- Los órga- 
nm de tiitestro ciferpo, son tantas variables cu^oit pro- 
ductos Ueradm por ht mnifre al cerebro^ hacenvariav .*íf 
función. La luz en aulas frescas y bien oxigenadas, es 
un poderoso estimulante de la actividad; eireunstaiicias 
favorables á un máximo de rapidez j trabaje eonseiento, 
serían, pues: </_^ Aulas espaciosas iluminadas y fres- 
Ciis; h) Estabilidad barométrica, día sereno, sin viento 
y primaveral; c) La primera y segunda hora del ho- 
rario escolar dedicadas al ejercicio físico; d} La au- 
sencia de ruidos, fábricas, talleres 6 multitudes; 
e) Buena alimentación una ó dos horas antes de 
conionzar e! tral>ajo. 

Horas de clase.— Las horas de clase varían según 
las estaciones y los lugares; generalmente de 8 
á U y de 2 á 4. La cuestión de los horarios ha sido 
ampliamente debatida en nuestro país. Dentro de las 
razones fisiológicas, los pedíigogos aconsejan el dis- 
cuntinuü (véase la enqu&te ministerial llíOl); donde 
razones de otro orden aconsejan el continuo, comen- 
zar la onseflauza de la matemática, un trabajo eiui- 
nentomento inteloetual, á la primera hora, es necesario 
de cualquier punto de vista, de acuerdo con la íey 
(R. Senet): para qne la intensidad de ht atención 
jjermmiezea constante en tiempos n'presi'ntado>¡ por 
tma progresión aritiju'tica : — 1, 2. 3. 4 .,,.,. , .la 
intenñdad del esfaerzo debe anmentar según la pro- 
gresión geométrica: íf i; 2: 4: 8. ..... . ó bien., ^i 

loa tiempos mnnentan como 1. 2. 3. 4 la 

atención decrece como 1 : |: |: ^ '•' 

Además, la intensidad varía con el grado, la ense- 
ñan^.a y las edades. Un niño de 7 aüos y del iirimor 
grado que presenta en 25 minutos, durante una clase 
de aritmética, 12 intermitenciaSj uno de 9 años y de 
segundo grado presenta sólo 6 si fuera considerado 
con ía misma ajjtitud y en la misma lección. Damos, 



(I| R. SHjfET. íEvoludiín y edocaciflnj I90I, p. HO. 



— 355 — 



para mayor claridad, un cuaílrito do observacio- 
nes bochas ol 6 de Noviembre á la tardo, en cuií- 
tro alumnos, dos varones y dos inujei-es, de 2° grado 
y cuatro de primero : D. C. { '2° grado ), es un cuso 
de abstracción pensante de atención filosófica y con- 
templativa; durante los 22 minutos no articuló pa- 
labra; si su mente parecía ocupada en asuntos 
ajenos á la clase, no dejó, sin embargo, de levantar una 
vez la mano ni do responder bien á las preguntas que 
se le dirigían. A. M., os un caso do atención fija y 
asimiladora con breves intermitencias. P. M., es un 
caso de atención inquieta 6 distracción activa incapaz 
de atender 30 segundos eonsocutivosj poro que asimila 
cuanto nuevo transmite ol maestro y levanta iíi mano 
á todas las preguntas simultáneas. J. A., es un caso 
de atención impotente é inquíetii. Levanta la mano» 
pero asimila poco. Acompaña lus momentos de aten- 
eión con frecuentes bostezos. El asunto do clase era 
«el origen del metro*, bastante abstracto y soporí- 
fero. Los momentos de atención eran producidos por 
cambios de ejercicios, do ilustración ó do sistema 
de preguntas, tros fundamentales y catorce socuu- 
darias. íi, M, (v. de primor grado), es un caso de aten- 
ción impotente é inquieta; á los Ifi minutos la distracuíón 
es completa, «mira y no vc>, resiste toda clase de 
estímulos, no levanta más la mano, A. R., os un caso 
do atención fija y asimiladora; las intormitencias se 
producen 12 minutos después de comenzada la clnso. 
E. 8., es nn caso de impotencia adquisitiva con largos 
períodos de atención soporífera, atención y distracción 
á la vez. A. C, es un caso de atención asimiladora á 
cortas intermitencias. 

El asunto era lectura de números de tros y cuatro 
cifras; operaciones de suma y resta; tablas y pro- 
blemitas. Los momentos de atención eran producidos 
por ilustraciones, interrogatorios, actitudes y ejerci- 
cios alternados cada ;Í5" término medio. Hubieron 
ocho cambios fimdanien tales y treinta y dos secunda- 
rios; de consigiiieníe, los estímulos pueden conside- 
rarse intensivamente dobles do los del 2° grado. 



— 356 — 

Las intermitencias anotadas, son de tres clases : á 
largo período (de 30" á 2 minutos); á corto período 
(de 8" á30"); é ilimitadas ó completas (cuando la 
atención es imposible). Marcamos las primeras con 
el signo -j- ; las segundas con el signo — y las últimas 
con el signo co : 




Las intermitencias de A. R. se presentan en este orden : 

+ - + 

Las de E. S., inmediatamente después de comenzar ia clase, en 
este orden : 

+ + -+ «- oc 

Las de M. G. : 

1-- + + + +- + + + oo-cx 

Las de A. M., después de ocho minutos de comenzar la clase : 

+ 



Estos hechos, al poner de manifiesto diver- 
sos grados de atención, indican la imposibilidad 
de que ésta se mantenga más de una hora con 



-^ 357 — 

sólo brevGS intormitencías y que un iiñsmo fema, 
no obstante la vnnodfid do los ojereícioa üon qijo so 
le trate, pueda interesar máR do :í<>, 31), 40 minutos, lo 
qtie debe tenorse prosenía para no empeñarse en 
transmitir conocimientos á una clase fatigada. 

Sin embargo, os prudente no exagerar la importan* 
cia didáctica de la distribución horal, tanto mas cuanto 
que la enseñanza prasenta hoy la faz lialanadora do 
ser variada y alternar ©1 ejercicio de unas aptitudes 
con el de otras, -lo quo provione la fatiga, siempre que 
una clase duro de 25' á 50'. Nunca dobe interesar tanto 
como el ra(''íodü y el número de horas semanales 
que se dediquen ¿ la asignatura, en los primeros g-ra- 
doSj sobro todo, donde la nnseñanssa cifra sus éxitos 
en el ejercicio y los osfueraos que no pasan do los cen- 
tros sensoriales y, de cünsiiruieule, sin asociaciones 
superiores que la compliquen. 



m 



La fatiga y la saturación mental. — La superalimenta- 
ción del espíritu es tan dar'iina como la superalimen- 
tación orgánica. ¿De cuántas honis diarias de trabajo 
matemático es capa?i un alumno quo divide su actividad 
entreoirás materias? r.Ks lo mismo dedicarlas á un 
mínimo de tópicos que á un máximo? Deben evacuarse 
estas preguntas para rebatir la teoría de aquellos que 
creen posible adquirir nociones de un ramo dedicando 
á su enseñanza, una hora ]>or semana ó bien dos ó 
tres por día. La aritmética no toma al horario es- 
colar, más de lOü horas anuales, 13 días do los H(í5, 
considerados do doce horas. Kvidonlemonte, esas IfiO 
horas dejan de formar la aptitud ^ ' ^ quo nos propo- 



1 3 ]■ Eftt aptitud ^^ la haljilJc^^d íÍ^ hti ^^rgano par& haccir c^on rapidcc y perfec- 
ción iiiid Cosa. Cotño fenfimeno psicológico, Ij íacilíáad! adquirida por los cetllFOfl 
nerVíAtCif p^r» intej^ar (! fnr'nar condencia) acere a de un 1ir:cho, 9<i; debe á la ma- 
yor SBRl* ílcíiiífUícirBiiímtJt ordüFiaíJos ( »¡flli*tis I <\uñ coniErya la mamtjrba pr!TO de 
tal manara c^ncpara concarrír á ta formación de ani idea Ó solucirSn de Un juicio 
lo hace, ayiomaücamcnte, pot lerJc* atocisd»*. 



¿"hí. di ia Ai'ilnttiieif 



33 



- 358 - 

nemas (la adquisición del conocimiento es tanto más 
rápida cuanto mejor es la aptitud) si su distribución 
se aleja de una noraial que puede ser el horario de 
6 horas semanales. 8i la reducimos á tres mésesela 
saturación no permite adquirir conocimientos^ porque 
inútil todo lo que se pretenda inculcar fuera de cier- 
tas horas; si la ampliamos á dos ó tres años, una 
hora ó media por semana, la saturación nunca lleo^a 
á producirse y los efectos del ejercicio se borran por 
el largo reposo. El hábito se forma- entre una má- 
xima y una mínima de ejercicio, fuera de cuyos lími- 
tes no hay positividad aprociable. 



m. 



De a á ni cuanto menor tiempo se dedique al ramo 
la adquisición se reduce hasta llegar é. o y con efec- 
tos negativos, olvido, más allá de m .• los mismos re- 
sultados se obtienen on el sentido an cuando el tiempo 
aumenta. Representando la normal ab el máximum 
de adquisición, ésta se produciría en a cuando el 
alumno dedica semanalmente un número de horas 
que permita constante ejercicio sin llegar á la fatiga, 
cuyo síntoma característico es la imposibilidad do 
atender y la amnesia. Cuando la aptitud está formada, 
un mismo esfuerzo permite mucho más campo y 



— 359 — 

mayor número de horas continuas. Un ingeniero de- 
dica con éxito ocho horas del día á estudiar quince 
ó veinte cuestiones diferentes para llegar á una con- 
clusión. Luego es diverso dedicar cinco horas á un 
sólo tema que á varios. Poro siempre es ventajoso dis- 
tribuir tema y horas en temas y días que sumados 
den lo mismo; los resultados son más positivos. 

Así, la suma de quebrados puede enseñarse, al 3" 
grado, en dos horas j más una de ejercicios fuera de 
clase. El fruto, sin embargo, nunca sería sazonado 
como cuando osas dos horas se convierten en cuatro 
lecciones á 24 horas de distancia una de otra. 

Hemos comprobado los fenómenos de saturación y 
la fatiga, en los exámenes. Alumnos inteligentes que 
pretendieron aprender en dioa días, numerosos y varia- 
dos puntos del programa, no sólo frustraron sus inten- 
tos sino que olvidaron nociones conocidísimas, de tres 
ó cuatro años atrás. La amnesia general, disfasias, 
shadiglio, apropiada denominación de Mosso, ^ ' ' ha 
sido, en pruebas escritas y orales, un fenómeno que 
con frecuencia ha llamado la atención de los profesores. 
Dificultad para tener presente las palabras, para coor- 
dinar oraciones simples, para hacer aso de los adjeti* 
vos, para producir el juicio menos costoso sobro un 
hecho, para trazar la fijí'ura menos complicada en el 
])izarrón. Una alumna de 3" año, no recuerda la ca- 
pital de Alemania; otra del mismo curso, dice Broma 
por Bowmannj nombro enunciado por ella misma re- 
petidas veces en las lecciones de anatomía; otra, no 
puede definir lo que es circunferencia; otro, joven 
notable por su inteligencia, rompe la hoja do papel 
porque se le van las ideas á pesar de /tafter.*e mntado 
estudiando. Otro, so torna paragráfico ; dice 45 y es- 
cribe dos veces 43; otro, no puedo dibujar una sec- 
eión del tubo digestivo, figura familiar á su memo- 
ria, que reproducía en menos de un minuto, durante 
las clases de práctica; otro, do letra bella, escribe en 



i t) La Paiitá, p 3tQ, Siai/íglía tv traduce b<i«teto; pero et l«etor labrá dar & 
ta paialira, la a,mt>li<ud rte jiigiúficadt» tjne en este c^íD liene, 



— 3fjO — 

rasgos qiiü revelan una profunda alteración muscular 
do los dedos. Oeasioniilmentü, estos fenómeíios se aso- 
cian á la afasia (James í '■' * do la quo liemos observado 
un oaso emocional, de carácter extraordinario en ima 
niña M. M., á punto de no articular una palabra de 
temas fáciles para su inteligencia. Tales lieehos in- 
diean que la asimilación es una línea parabólica cuyos 
puntos marcan ordenadas de tiempo que se alejan de 
im máximo de horas anuales regularmente distriínti- 
das en días. Los fenómenos de la memoria, cuales 
fueran, están sometidos al mismo principio. Aun tra- 
tándose do una sola verdad, so la puede retener mu- 
cho más tiempo cuando so la trata por cortos períodos 
ú reg-ulures intermitencias, rpie cuando se la trata á 
largos períodos, supuesta una constante on las tioras. 
La saturación ( máxima aproximación de los elemen- 
tos nerviosos producida por el trabajo segiin R. Cajal) 
es un punto más nllá del quo la adqni-gición es penosa 3*^ 
produce la fatiga. Las células hipertrofiadas, se rela- 
jan; toda función se irregularixa: la intei<ración os do- 
Iorosay seintorrumpe con frecuencia sucesiva; ím pro- 
duce la ofuscación que impide coordinar y todo concluye 
en la parálisis de las exjiansionos protoplasmáticas del 
neunin, estrechadas unas contra otras y la exaspera- 
ción euiocional de un individuo conciente de saber lo 
quo no puedo docir: los desvanecimientos y valiidos, 
inapetencias, nostalgias, jaquecas, agotamiento general, 
palidez en el rostro, anuncian, por otra parto, la ane- 
mia y la intoxicación cerebral que coinciden con una 
disminución rápida del pulso como lo constatan las ta- 
blas de .wrmenage '^J de N. Vaschioe, quo en Vi días do 
traba,jo intelectual recargado, do 7'2 bajaron á 57 y el 
último día de fi7 ( 8 a. m. ) á 57 ( 1 de la noche ), lo que 
no puede ser sino una difieultad para el trabajo do los 
centros que exigen, ante todo, excelente y abundante 
sangre. 



(I > PriftcifiU di Esiiologia, verii'^in italiana de G. Pefrurí y Tamburint, I90I, 

( 2 I N, VAáCHlD£. litflttettct du íravaii mtelieciitei. L'minée r«ycli. páj¡. IM 
I»S. 



— 361 — 

Durante los exámenes, oímos contiiuiamonte excla- 
maciones que atestiguan un malestar profundo dtsl es- 
píritu : t por fin no estudiaré más física^, * cuándo do- 
jaré este libro >, % cuándo uo tendré que venir más á la 
escuela >, ■» quisiera tirarme en una silla y no levantiir- 
me más:», í mo fastidian tantos mapas >; -¡Tener que 
leer todo estob Hay para cada individuo (Tanzi) 
un coeficiente de perfección que no puede excederse 
por el mínimo de separación á quo íian Uos^ado las cé- 
lulas asociadas para tui determinado trabajo. 

La aptitud no crece proporcionalinente al trabajo (A. 
MoKso). Comparable el del cerebro al muscular, las ce- 
lobres experiencias de Maooiüra '" demuestran quo el 
agotamiento de la fuerza parsi una misma cantidad do 
ejercicio en tiempos sucesivos, mientras la roparacina 
del descanso y el alimento no ha sido completa, varía. 
Quien haya ascendido la falda de una montaña, habrá 
notado que la parto próxima á la cima exige un es- 
fuerzo mucho mayor que líis del misoio declive, pero 
escaladas antes. La labor aún pequeñísima, de un ór- 
gano cansado, produce efectos clesastrusos < ^ \ lo que se 
debe á la clase de sustancias quo consumo. Si la 
fiíttíía auruenta, el poder excitante de un mismo es- 
tímulo disminuye hasta la ineficacia. Todo trabajo 
durante la fatiga, no sólo rinde monos sino que es 
nocivo al organismo y, por eonsiguiento, las fuerzas 
se restablecen más lentamente. Bi podemos, sin fas- 
tidiarnos, resolver 25 problemas en 10 horas, al- 
ternando una de trabajo con una do descanso, loa 
resultados serán muy inferiores procediendo de otra 
manera, trabajando cinco horas seguidas, con el grave 
inconveniente de que la fatiga conserva casi todos sus 
electos durante un tiempo más largo del que ocu- 
pamos en trabajar. 

Nos parece innecesario otro orden do eonsideraeio- 



( 1 ) L< if£g'i átlta fatita. istud, ntt muse, tittrncttio. — R. Accacl, Jéí Líned. 
Vot- V, VSiSS. 

(2) A. MOSSO - f La Fatka» - Milano, \9fíl. pig. Ifi. 



— 362 — 

nes que demuestr.en que el aprendizaje de la matemá- 
tica resulta de un trabajo hecho todos los días por 
la mañana, en correspondencia con la edad y á pe- 
queñas y ordenadas dosis hasta poseer, el último año, 
sintéticamente, el espíritu, los métodos y la aptitud 
para combinar sin esfuerzo, una suma de conocimien- 
tos que debe servirnos para resolver problemas de 
dificultades correlativas á otra especie de integra- 
ciones. 



CAPITULO VIH 
RASGOS PSICO^MORALES COLECTIVOS 



Primer grado. — Son cuarenta y dos niños en seis filas 
de bancos tipo norteamericano, á 50 cms. una de otra. 
En las paredes del frente y de la deroclia, piza- 
rrones do madera ( 4, 5 ó 5 por 1,40 ) pintados de 
negro é iluminados por luz izquierda; la sala mide 
6,5X8X5 y el escritorio ocupa un ángulo. El grado 
se divide en dos secciones, inferior y superior; la ense^ 
íVanaa no es común á los 42 alumnos; ofrece elineon- 
yeniente del trabajo pmivo para una parte de la clase, 
inadmisible dentro de un sistema do instrucción mo- 
delo; durante el año, cada alumno, recibe de las 
250 loeeionos, sólo 180 y aprende en proporción á la 
asistencia. El maestro no abandona el frente, enseña 
de pie; parco en ademanes, comunica poco y cifra el 
éxito, en la claridad y corrección del íonguajo con que 
transmito los conocimientos á sus educandos, mitad 
mujeres, mitad varones cuya edad oscila entro 6 y 8 
años, cuya inteligencia entre el imbociloido y el precoz; 
cuya raza entro el indio y el sajón, y cuyos hogares 
entre el estrecho del obrero y el confortable del pu- 
diente. Las caras acusan profundas diferencias étnicas; 
probableraonto, sus antenatos fueron itahanos, unos; 
españoles, otros; inglese-s, africanos, tehuelehes, gua- 
raníes ; las razas que se disputaron el mundo en luchas 
formidables, vencidas y vencedoras, yacen juntas en 
el reducido espacio del aula, dispuestas á transformarse 
sometidas á una acción única. ¿Los resultados, el 
éxito, las modificaciones serán las mismas? ¿No choca- 



— 364 - 



rán cualquier momento en un incontenible despertar 
del pasadol* ¡iCada uno de estos niños, producto ela- 
borado por cien épocas distintas, no mostrarán unos, lu 
maravillosa plasticidad del cerebro latino, otros la in- 
vencible torpeza de las aptitudes indias, otros la poten- 
cia elaboradora del aloniáni' Todo sucede en esta pro- 
niJscuidad suigénerls de costumbres y energías que la 
escuela clasifica y selecciona durante la paciente labor 
do varios años, para que la tardía actividad de 
éste no estorbe el crecimiento rápido do aquél. Este 
damero refleja al hogar con asombrosa exactitud; 
aquí anémicos!, allí rosados, máí< allá raquíticos, débi- 
les, rolliüos, enl'ermi^os, delgados, fuertes, flora varia- 
dísima para im campo tan pequeño que denunr-ia 
hombre, buenos y malos cuidados, vida antihigiénica, 
alimentación sana, tratamientos duros, severas ó blan- 
das direcciones; ¿cómo dentro de la forma simultánea 
se cultivará esta Cijieceiún tan diversa de cerHbros, 
de inteligencias latentes é inteligencias activas, de 
impávidos y de vivarachosV A la escuela argentina 
acuden los productos de la vieja Km-opa segregados 
por la lucha y arrojados por la necesidad á las jilayas 
de América y los quo sobreviven del indio. La iusTrue- 
ción del primer grado es un problema do solución 
escabrosa, para que el niño, de robusta constnución 
cerebral, no sufra las consecuencias del contacto con 
el niño, liereditaríamento obtuso. Es chocante á los 
ojos de un pedagogo, el aspecto quo presenta el aula 
primaria do una escuela crmuin, con niños cuya edad 
varía cié 5 á 1*2 años, con niños cuyo carácter varía 
de la mansedumbre á la indocilidad. Hemos observa- 
do hasta cuatro hermanitos de fi, 7, 9 y 1 1 opu|:iando 
la misma fíla de bancos sin poderse aventajar los unos 
á los otros mientras sus t'oni|jañeros cursaban ya el 2*', 
3<j y 40 j^j^ los países americanos, la enseñanza simul- 
tánea exige, por lo menos, grados de dos categorías : 
el do los inteligeníos y el do los retardados. Sin em- 
bargo, la It-y, por ese concepto tan equivocado que se 
tiene de la democracia, nunca hará esta división lan 
favorable á los intereses de lajuveníud. 



365 — 



La clase ríe aritmétiea descifra (enómonos curiosos; 
pronto debe lucharse con la rapidez pon que aprenden 
cineo ó sois niños j la integración tardm y laboriosa 
de oeho 6 nuevo, para dar con ol justo modiü. Aquella 
niñita rubia y pálida, de complexión débil, hija do un 
robusto artesano belga, ia más atenta, al parecí?]', dol 
grado, uo eompriíude como una bolita más una bcdita 
son dos bolitas: aquel varoncito de tez morena, t'routal 
deprimido, quo no fija dos minutos la atención, tieno 
í) aflos y hace tres que cursa la primera sección; aquel 
otro pcqueñito, de 5 años y medio, apareutcmente jie- 
sadü, es una inteligencia encantadora y cursará el año 
próximo el 2° grado; aquella niña quieta^ de fisonomía 
atrayente, conducta ejemplar, hija do sicilianos, os un 
caso típico de dismnesia, é incoordinación; aquella 
otra, suma con extraordinaria rapidez, escribe her- 
mosos númeroB y la emücíona cualquier in.'íiííniflcan- 
cia; óste, rosta por la izquierda y después de siete meses 
escribe el dos así : S ; aquél es un caso de evolución 
embriológica detenida, mezcla la operación de suma 
cfm la do resta; aquel otro, traza siete rayas, luego 
cuatro, suprime do las siete cuatro para obtener la 
diferencia 7—4. 

Des]>ués de oclio minuto.? la desatención se conta- 
gia: dos ó trR.s dan vuelta; otro ríe, otro toma eí lápiü, 
otro hace guíñ:idas, otro se levanta, sacudo los dedos, 
pide licencia, repara la fatiga del descanso rnuseiilar; 
á los veinte, todos están inquietos corno una aurora 
boreal. El maestro interrumpe la lección con voces de 
orden; lo qun enseña, es tal vez muy sabido; sus pre- 
guntas son, tal vez, mal distribuidas: su clase no es, 
tal vez, suficientemente ilustrada; falta, tai vez, aquel 
rasgo de originalidad que en un momento dado so* 
duce la atención y excita el cerebro ; tal vea, no 
mira á todos sin dirigirse á ninguno, variando el 
cuadro de su enseñanza cada veinte segundos; tal vez, 
se empeña en razonar «si im ramito vale 6 cts. ^cuánto 
cuestan 2456?i' [ Cuántas causas para que el frío inva- 
da una clase poco ha risueña, ocupada en asimilar 
conocimientos 1 Pero un hábil gjro, una mutación opor- 



366 



tuna do los ejercicios, una palabra, una respuesta, un 
cambio de voz, vuelve todo á la atención dol primer 
momento que comenzó á desintegrarse por el niño B, 
una mente obtusa, distraída poruña pajita en la boea, 
ó rascándose el cuello, ó mirando un papel sobre el 
piso. Una pregunta sacude su espíritu ensimismado 
y vago; levanta la mano y la maestra comete el repro- 
chable error do preg-iintarle siílo en estos casos; no con- 
testa y aentado vuelve á fijar sus ojos en cualquier 
cosa, su pensamiento, en lo que no podemos suponer. 
La selección normaliza una marcha tan poco rítmica; 
pasan unos, repiten otros j el 2° grado ofrece aspecto 
intelectual más homogéneo; reacciones largas, pero una 
positividad fija y sin oo . 

Segundo grado. — Espacio y distribución de los alum- 
nos, como en primer grado. La sección es una ; casi 
una edad, casi una estatura, cada niño ocupa un banco 
separado de los demás. 

La inteligencia se normaliza, no encontramos 
casos extraordinariamente retardados ó precoces; niños 
que no pueden integrar una suma concreta de números 
dígitos ó cuya atención dura segundos, ó cuya aptitud 
abstracta está inhibida por un denso velo de agnosias 
ó asimbolías ; notaremos rostros regulares, ojos vivos, 
facciones más ó menos bollas, miradas más ó menos 
inteligentes; aquí, como antes, las razas del orbe se han 
dado cita y yacen confundidas bajo la acción directriz 
de un maestro ; las razas del orbe no nos ofrecen ya 
sus abortos, los peregrinos ejemplares do sus restos 
atavieos, que la educación, indtilmento fatigada para 
mejorarlos, abandonó, como medallones de raüas 
en decadencia solamente preciosos alas investigaciones 
del sabio ; poro hieren el oído, el vocabulario de la 
sandia, la zanagorifi, la alberja, la conviniencia, el 
7neistro, el tnáis, ei pimi y el palla, 

Pocos estigmas, más viveza intelectual, uno que 
otro inquieto, turbulento y distraído, retoño moral de 
las primeras sublevaciones del hombre contra su des- 
considerado cacique ; observadores, plasticidad ner- 



- 367 — 



viosa, vasta meniüria, pero febricionte ; necesitados de 
mover sus pies y sus manos, do tratar cada minuto un 
toma nuevo, de rehuir ciertas enseñanzas y adaptarse 
á otraSj de preguntar y respondió- sin gobierno, haoer 
sus deberes sin estímulos, fuera de todo régimen si- 
multáneo, dentro del aula anarquista de Tolstoí. Y 
los hay á la inversa, quietos, atentos, de mirada es- 
poctanto y tardíos en recoger las ideas que el maestro 
siembra con extraordinaria abundancia ea este grado 
donde la actividad periférica se intensifica y presenta 
otros aspectos la central. 

El varón, menos sujeto que la mujer, más omprí?n- 
dedor, menos disciplinado, comienza á düerenciarse, 
piensa más ; sus ideas son set^uras, alcanzan mayor 

Eositividad y los tiempos de reacción son más cortos, 
la niña, que con su admirable íncidoz nos engañara 
en primer ^rado, mostrándonos aptitudes que no pro- 
sumíamos en el varón, se infantihza, no avanza, queda 
atrás, abandona el campo de la lucha psieogénica, al 
sexo fuerte. 

Aquí como allá, la lección sin variedades y pobre 
do Gjorcicios, produce la fatiga del descanso ; se ven 
manos que bajan á los asientos; cabezas que dan 
vuelta; codos de punta sobre loa pupitres ; dedos en 
los dientes, ó que restreg;an los ojos ó que mesen los 
cabellos ; manos conteniendo los carrillos hinchados 
por el airo ó la respiración do las narices: píos que no 
encuentran apoyo y piernas enroscadas ó que hacen 
ángulos, desde el agudo al obtuso, en toda clase de pla- 
nos. Luego, quien so levanta como pinchado y acusa 
un tirón de pelos ; otro que celebra las muecas de un 
gracioso ; otro que sopla el ojo de una pluma cargada 
de tinta ; otro que levanta bruscamente la mano para 
decir ¿ quiero que vaya á afuera V sin otra neeesi dad 
que la de moverse ; otro que con el lápiz dibuja en la 
tapa negra del tintero, pensando, mientras suba ape- 
nas, en lo que comerá después de clase. Suele sor 
el maestro ciego, sordo y mudo ; enseña al vacío. 
Su ingenio nada hace para cambiar un ambiente 
donde se aprende la dislracción. La distracción, á 



— 368 — 



veeea, obedece á ctiusfis de difícÜ análisis. Poca luz^ 
lii humodiid, una llovizna, un nublado, la inquietud 
orgánica quo precodo á los cambios atinosfórieos, va- 
rían el campo de la iitención á cada segundo, ó no 
se exterioriza ("ontra los apuros del maestro» que 
agotn tuda su liabiüdací para conseguir las miradas 
do sus educandos. Poro los educandos, esta ve», son 
obstinados á todos los empeños y recursos. 

AptituileM.—No obstante la selección que el examen 
hizo en primer grado, las aptitudes matemáticas del 
2" ¡Lirado son varias ; no podría sino vagamente, su- 
ponerse, no la cantidad de conocimientos sino la ap- 
titud para aprender ; punto quo interesa, porque de 
él depende el éxito, midiendo la extensión y tiempo 
de la enseñanza que el maestro da. Los pedagof^os 
han dteho á una : averigüese lo que el niño sabeante^ 
de coíiitmcftr un prwjrama : la indicación pestaloz- 
ziana no tieno el alcance trascendental de esta otra, 
encoadrada dentro do la fisiología cerebral: avtrí- 
ifi'tese la aptUitd dd niño para aprender, autas de co- 
menzar una anseñatizti. 

El primer trabajo del maestro os, no con rápidos 
exámenes colectivos que á nada concluyen y forman 
creencias equivocadas acerca de la capacidad de los 
niños, sino con detenidas observaciones individuales, 
estudiar el aspecto matemático de las intelioron- 
cias, desde el pnnto do vista de la integración peri- 
férica y central, las diversas especies de conoci- 
mientos que van á inteusifiearso ó que se suponen 
adquiridos, para servir do baso á los nuevos ; como 
dirección, rocórronse los cuadros psicométricos que 
coiTGsponden al 2° grado. 

El maestro, cronógrafo en mano y un pizarrón de- 
lante, examinará con las precauciones que el c^iso 
recomienda, uno á uno sus alumnos, para formar la 
planilla de positividad y reacciones ; este experimen- 
to, repetido periódicamente, proporciona, por compa- 
ración, datos seguros del adelanto de los alumnos y 
de la bondad de los métodos empleados. El progreso, 
en los diversos órdenes de enseñanza matemática, lo 



369 



determina la disminución de casos negativos, tiempos 
de roaeeíón más cortos, y adquisición do nuevos cono- 
cimientos, es decir, conocimientos que daban una reac- 
ción X y de positividad 0. Los programas indican 
la enseílanza, el maestro distribuyo la materia. 

Sí el cálculo mental (14 + 5 } U — 1 - 10 -f^ 2 ) : 8 
da, enunciado en lü", So^/o de net^ativos, será inútil 
empeñarse en un ejercicio que no produce integracio- 
nes ; alargaremos el tiempo y simplifiearemos el 
caso para graduar la complicación. Bi el más precoz 
emplea 15 " para comprender una idea, nosotros no 
la transmitiremos en 12"; nos coioearenujs en la 
reacción media del grado. Si una integración do su- 
ma exige 55" y da líO^.c, de positivos, uo nos ein- 
poñaromos, que porque haya 5 ó 6 niños que roaedonan 
positivamente á los 20", en ejorcitaf el grado con 
eieniplos fatigosos para la atención y que no alcanzan 
el fin deseado, pues no se aprendo lo difícil sino por 
lo fácil; lo difícil es compuesto, lo fácil son las par- 
tes quo aü atildas hacen el compuesto. 

En primer grado, el propósito déla enseñanza ma- 
temática era la numeración y las tablas ; on segundo 
grado, es la operación, conionzando ol análisis do pro- 
blemas á soluciones escritas. La experimentación 
reconoce este carácter especial á los programas, para 
graduar velocidad, cahdad y cantidad do los ojor- 
cicios. 

El 22 de Abril, ol 2*> grado de la escuela quo diri- 
gimos que comenzó el 16 de Marzo á estudiar los nú- 
meros' desde lO.tKHt, arroja, en numeración ( escritura 
de números al dictado, sin repetición y á cada 5", 
experimento de la practicante señorita Ana Eouekn ) 
el siguiente resultado ; 



370 





K 


■ 


^ . j 




w. _: 




O ^ 




*s ^ 




o i < 




a 3 




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« «a 


KÚUEROS 


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K« . 


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„ W se-i 




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DICTADOS 


Ss 


DICTADOS 


Q u e¡ 


□ICTAAOS 


U " o 6 

22 H 01 




« 




C ^ B 




D P 8 




n 




Z=-S 




55=^5 


589630 





6O0O0 


26 


14«5(.ÍIOO 


54 


8Ü456 


10 


2660913 


26 


124000 


55 


smsQ 


10 


4000 


27 


134480000 


59 


763566 


13 


2000 


20 


660000 


60 


13866741 


13 


5300 


29 


976000000 


66 


6830 


15 


lOOüOQO 


30 


756870000 


68 


um 


15 


989000 


33 


76856000 


69 


16680 


15 


75890 


33 


56961000 


70 


6748 


17 


300U0 


;í3 


15800000 


79 


12500 


17 


56900 


m 






15300 


17 


50000 


33 






989632 


18 


90000 


m 






3550 


20 


15666933 


33 






6810 


20 


123000 


37 






76942 


ao 


1846765 


39 






75982 


20 


9900 


40 






76500 


20 


12000 


40 






56300 


20 


12000000 


40 






087765 


20 


700000 


40 






18830 


22 


486000 


40 






14830 


22 


15600 


43 






145664785 


23 


284630 


46 






2600 


26 


998000 


46 






336680 


26 


74eOOO 


46 






1586& 


26 


876000 


46 






17989 


26 


lOlXKKHX) 


46 






B9768 


26 


15000000 


46 






99700 


26 










5S600 


26 











Sí se considera que las neiíostdades diarias exigen 
con más frencuencia la escritura de 12.000 y no do 
16.830, se verá como la falta de ejereitación en un co- 
nocimiento considerado más fácil, lleva á resultados 
difícilos ; porque la positividad so debe á hábitos de 
la mano, la vista y el oído, que fijan las cifras y no 
del oído solo. La practicante Egurp;?i al dar sus lec- 
ciones, ejercitó pocas veces la escritura de números 
terminados en cero y con ceros intermediarios. El 



— 371 -^ 

cuadro que damos como ejemplo de una investiga- 
ción rápida, noí? ofrece el grado de eonocimicntos 
asimilados por los alumnos, en un mes, acerca de la 
nimierac'ión, susceptibles de compararse con la posíti- 
vidad que presentan las cantidades de cuatro cifras 
aprendidas en primor grado, punto de apoyo de la 
nueva enseñanza que comenzó con números de eineo 
cifras. 



Tercer grado I. — Pocos dejan ol segundo en condicio- 
nes de cursar el %^ superior. Los que saltan encuentran 
luego dificultades que retardan el proceso matcmátieo. 
La positividad se acentúa, se acentúa la rapidez; sub- 
siste, sin embargo, la amplitud de las oscilaciones entre 
la máxima y la mínima, que denuncia un psiquismo 
variable aunque rara voz incoherente. Suelo sor la 
segunda etapa de la selección; aquellos niños que 
salvaron el 2** grado con una mente de proceso lontí- 
simo, los detiene en 3" I una enseñanza de carácter más 
abstracto, general y complejo, donde la imaginación, 
para resolver los casos, juega un papel más importante 
que en loa años anteriores. 

De aquí que, lo que no sucede en 2°, el 3", suele ofre- 
cer un buen grupo de ropeti dores 6 del punto de 
vista cerebral, retardados. 

La misma aula, la misma luz, bancos más grandes, 
mayor cantidad de pizarrones, sin que dejen de existir 
los mismos motivos para distraerse, el del chichisveo 
cuando á la lección falta interés ó es deficiente el des- 
arrollo. La ilustración os necesaria á la comprensión, 
pero no improscindiblo si la reemplaza un lenguaje 
correctamente bello, enaltecido por un tranquilo sen- 
timiento de entusiasmo. 

Los niños entran dispuestos al trabajo ó á distraerse, 
Lpero todos á tomar posiciones que no son las de la 
atención. No obstante esta indisciplina de la actividad, 
el luminoso comienzo de la lección por una maestra 
que á cada 8 segundos cambia de ejercicios, sin rega- 
[tear la mirada y la voz á su grado, fascina á aquellos 
niños que levantan, cual si lo ordenara una sola volun- 



— 372 



tad, las manos a cada pregunta; quo resuelven el 
problema comenzando con el jíí condicional del razona- 
miento : que silenciosos y suspensos, seducidos pui* la 
claridad de los interrogatorios, la habilidad de los do- 
dos manejando la tiza j trabajando en la negra exten- 
sión de la pizarra, sin dar la espalda, mirando á la 
clase y escribiendo, resisten 5 minutos de oxplieaeión 
sin bajar los ojos ; que entran á clase con alma anar- 
quizada para ser en un momento, cautivos de la 
amenidad. 

Pasan 112 minutos; dos, de los ^, se distraen, uno 
que necesitamos marcar eon el oo j otro con el -{- de 
la atención intermitente. 

La variedad continúa ; problemas siempre verídicos, 
de dos, tres v cuatro combinaciones que los alumnos 
resuelven mental uion te en 8 ó 9 segundos. La maestra 
pide, luego, problemas acoroa de lo que enseño ; cinco 
no levantan la mano, pero el resto da enunciados, 
unos originaKsimos, otros imitación do los que oyeron 
poco antes. La maestra, inagotable fuente de recursos, 
domina siempre, no llama la ;i tención eon voces de 
orden, ó fulminando al inquieto con un ¡ silencio! sino 
con nuevos y sorprendentes ejercicios que dan á la 
enseñanza los múltiples aspectos del iris, los varia di js 
matices do la atrayonto flor, sin, empero, apartarse 
del tema ni romper la nnidad del todn. 

Dos minutos : pasaron sois alumnos á la pizarra : 
resolvieron dos problemas y ya otros seis, los subs* 
tituyen- 

Próxima á terminar, aumenta la distracción intermi- 
tente de los retai-dadüs, extendida, en este monumto 
(30' ) íi seis, quo no hablan, no incomodan. ])ero llevan 
el pulgar á la boca, agitan la piorna izquierda como 
un péndulo, sobre la derechaj rascan la oreja, se esti- 
ran contra el espaldar .... Pero, seis, en 40, después 
de 25 minutos, es el éxito y la estabilidad intelectual 
del grado cuya conciencia brota vigorosa al calor de 
una lección, que siembra la verdad en abundancia, que 
gradúalas dificultades, y no olvida el principio : antes 
la percepción, después la idea y por fin la coasecuencia. 



— 373 — 

Estos niños, extraordiniiriümente ^-isunños cuando 
sus ojos se deleitan on al<*o nuovo, cuando sus oídos 
escuchan cosas quo nunca oyeron; no dispuestos á la 
pasividad de los grados anteriores, que alternan rasaos 
geniales de observación con explieaciones de l<i más 
grosera imbecilidad, elaboran esa oriontación abstracta 
del procoso matemático que tantas sorpresas nos re- 
serva para el 4" y 5** grado. 

No obstante, sorprenden al maestro, casos de re- 
gresión intnlectual en niños de malos antecedentes 
hereditarios: aleoliolistas, sifih'ticos, neurasténicos (*> 
razas inferiores, (.-ursan normalmente el 1** y 2*^ s^aáo. 
En 3°, exteriorizan una perturbación notable de las 
vías de asociación : dismnesias y disgnosias imposibles 
de corregir. La niña C, por ejemplo, operaciones que 
supo hacer dos años antes, hoy ofrece estos curiosos 
í'enómenos : 



735 1 a 


133 


93 


135 


13 


1508 1 9 


12 241 ' 

05 

1 


005 


~or' 


05 
2 


01 ' 


U 249 
23 

2 



Comparada la niña con el varón, constatamos en 
19 exporimentos la superioridad de las aptitudes 
perceptivas de aquélla. Debe considerarse como una 
simulación Jioroditaria para disimular ru inferioridad 
para el razonamiento deductivo. En este grado el fe- 
nómeno presenta una recrudescencia no común á los 
demás. 

Tercer grado S. — La promiscuidad de las ragas dis- 
minuye y triunfa un tipo único, ol europeo ; des- 
aparece el indio, dosiiparoce el negro y desaparece el 
mulato, no pudiendo resistir con su carga de atavis- 
mos, el esfuerzo de dos ó tres mil años de civilización. 
Liesde este grado, la escuela es implacable enemiga 
de las cárceles, por la conciencia que forma. El anal- 
fabetismo no desaparece mientras el individuo no es 
bastante culto para contener las impulsiones do sus 
instintos. El leer y escribir, no constituyen un rasgo 
de diferenciación moral. 



Ehx^ ifs íit Ariimitita 



U 



- 374 — 



Las caras rtcusan unn, selección étnica acentuada, 
Abimdiin los blancos y trigueños, liis cabezas rubias ó 
castañas, las frentes aljoviídadiis y sin senos. No las 
afean asimetrías laterales, ni orejas simiescas, ni 
prognatiñmns, ni labios g^ruesos, ni pómulos exagera- 
dos, ni narices tapirianas ó sudanesas, ni ojos impá- 
vidos ü especiantes, ni bocas de extraordinaria aber- 
tura. Los apellidos italianos, ÍVaneeses, ó innrloses 
se densifican por segregación de los españoles cío las 
razas autóctonas ó más ó menos mezeladas con el godo. 
Los niños de poca edad, son tipo?; europeos; los de más 
edad, cruza indiana, mentes tardías que repitiendo 
dos ó tres veces cada grado, llegan al 8'', •4"' ó 5^, 
tras empeños que revelan niásla inconsciente eonslaneia 
del que no vislumbra el mañana ni se asigna misión 
en lo futuro, que la voluntad del joven que aspira 
á ser. 

Lasí inteligencias tienden á nivelarse y reaccionan 
en tiempos do poca amplitud oscilatoria y dentro de 
una positividad homogénea. De modo, que el coe- 
ficiente de la aptitud colectiva, poco difiero del in- 
dividual. La atención no exige tanta objetividad ni 
cambio de ejercicios á cada 3U segundos, ni interrogato- 
rios rápidos y respuestas cortas. Puede, el maestroj 
proyectíir más lejos sus abstracciones ; explicar du- 
rante dos ó tres minutos á condición de que no diva- 
gue, pues, los alumnos, son sensibles á un lenguaje 
correcto y nutrido cuando no altera la unidad del 
tenuí ; son sensibles á la belleza de una elocuencia 
cálida pero tranquila, sin exagei-aciones, que denote 
vasto saber, y deseos de instruir. El aula poco varia 
tocante a luz, aire, útiles y distribución de los alum- 
nos, menos numerosos que en 2", pues sin perder el 
carácter simultáneo, la enseñanza es más individual ; 
los niños exteriorizan sus conocimientos con perío- 
dos gramaticales relativamente largos ; es necesario el 
examen profundo, y se juzga todo esfuerzo de resul- 
tados positivos, como una prueba de mayor capaci- 
dad. Por eso, la iiaraganería comienza aquí, y suele 
diferenciar inteligencias y caracteres para una nueva 



— 375 - 

esi>i"r*ir! de selecdón que no depende do la ínoptitud 
lu'reditaria sino adquirida. 

Ciertos casos poilurbadoros de la eentralidad del 
grado, deben atribuirse á causas aecidentaíes y no 
congráitas : crisis dol dosarniUo, onfemiedades en ges- 
tación, alteraciones pasajeras en el funcionamiento do 
im órgano ; miseria orgánica por alimentación ó hi- 
giene deficientes. 

El razonamiento arriesga ol vuelo ; en los labios del 
escolar hay sietajire un < ay por qué ? > pronto á 
confundir las afirmaciones del maestro poco exporto 
ó á darniüttvos al avisado, para lanzara los cerebros 
en la i limitada y regeneradora investigación de his 
causas que tan amplios horizontes abre al joven 
espíritu. 

No obstante, este grado está expuesto á perder su 
plasticidad y á infantilizarse, dirigido por un maestro 
poco genoralÍKador y aferrado á los procedimientos del 
primero y segundo grado, demasiado objetivo, para 
penetrar las vías centrales c impedir la regresión á. 
punto do no distinguir esta clase de las anteriores, 
sino por el tamaño de los alumnos. Es frecuente man- 
tenerlos en la identificación primaria, en el análisis 
de iiechos matemáticos simples^ de ima ó dos combi- 
naciones, .sin exigir otro concurso que una asociación 
inmediata de percepciones visuales. 

El 3'='^ grado S hace del niño im joven capaz de 
concebir abstractamente, fenómenos complejos. Aquí, 
donde la selección concluye de romper la tenacidad 
do los malos instintos que la herencia grabó á fuego 
en la resaca humana, más conviene la sucesión de loa 
conocimientos que la ilustración, y la atención do- 
pende monos de artificios disciplinarios que do proce- 
dimientos claros. 



Cuarto grado. — La generalización toma, en este 
grado, amplitud, gracias á la suma do conoci- 
niiontos que el educando trae de S""" grado acerca de las 
operaciones, el sistema métrico y la geometría cuyas 
bellas y curío.sas combinaciones abren un mundo 




376 



lleno de novedad para el espíritu. Ln selecpión, ]>or 
otra purte, nos pro]>oreir>na un (.'unjunto de elementos 
reflexivos con dejos íidoloscentos. Las vías del juicio *" 
entran en un período de asombroso movimiento, es 
espontáneo el análisis de toda afirmación, hecho 6 
fenómeno antes de admitirse como verdad ; la repre- 
sentación do lo abstracto no exige fatigosos esfuerzos ; 
la relación y ia proporcionalidad, mejor apreciadas; 
nnnea un contrasentido y ¿si á veces pierde en exacti- 
tud y rapidez la identificación primaria, grana en in- 
tensidad la secundaria. El niño ha observado la natu- 
raleza y descubierto hechos en cantidad suficiente 
para cambiar su actitud pasiva por la activa, sintema- 
tiüando, construyendo ó inventando mediante ol ejer- 
cicio de sus aptitudes internas. Ordena y generaliza 
para descubrir verdades, ó imagina y concibo, sou- 
saciones, para crear hechos nuevos. La meditación 
es constructiva y repara los daños de las operaciones 
analíticas, por ende, destructivas de la investigación. 
Trabaja, pues, una aptitud interna que denominamos 
comhinatrh, y rjue, siendo innumerables las imáge- 
nes que pueden recibirse del exterior, al infinito llegan 
sus creaciones ; sabemos perfectamente la cantidad de 
permutas que con unas cuantas cualidades se pueden 
hacer ; la idea es tanto ]nás rica y genial cuantos 
más elementos constituyen la combinación ( idoa )» de 
cualquiera de los tres órdenes de fenómenos : inor- 
gánicos, biológicos ó sociales. La mente descubre, 
además, por ol método comjiarativo, i-el aciones entre 
Los fenómenos que ella misma acaba de diferenciar: 
es un nuevo aspecto do la síntesis ó fusión de las 
imágenes tjue caracteriza, en este grado, el despunte 
de un cerebro vigoroso. Pero junto átodn esto, germina 
también ol engaño ; en un buen terreno brotan todas 
las semillas. 

El simulador eonscionto, es un fruto que madura en 
4° grado. El interés de no repetir el curso, el criterio 



( I ) Váase cuadros de la memaria, U imaginscino y el raxana.(nÍento. 



— 377 - 

más exacto de lo futuro. Li vi dti Mprociadfi dnl punto 
fie vista do la nocetiidad, perspoetivas sombrías ó risue- 
ñas vistas al través del caudal paterno, vuelve á estos 
jóvenes, característicos, ó indiferentes, (> fumistas^ ' * para 
establecer eurripntt^s más ñ menos sim]>áti('as entre 
ellos y el superior. Kl soplón, oxifjo al niaesti'o, una 
adaptación especial de la vista para no ser víetima dnl 
que á toda costa quiere dar pruebas de no sor indo- 
lente ó apocado de espíritu. Juega toda clase do 
argucias pura hacer bien un problr-nia ó presentar 
nn deber digno de una alabanza. Los astutos recurren 
al más inteligente y se apropian de su trabajo, unos 
con descaro, otros con disimulo ; si se les manda al pi- 
zarrón, llevan apuntes donde monos se los imagina: en 
el libro do enunciados, en un papel de inofensivo as- 
pecto, en la mano, en la uña... ol rofiuamiento dejiende 
de lamas ó menos perspicacia deí maestro ; artiftcius 
que no prevenidos ¿'i tiempo, por contagio, envician é 
infantil izan á todo el grado. VA niño, con la idea impe- 
rativa de demostrar su pericia de aprovechado, no 
deja de levantar la mono ; al preguntársele, da res- 
puestas según la aeei>tación de las respuestas do sus 
compañeros acerca del mismo ptmto ; ó la fina acui- 
dad de su oído le permite, alentado por un rápido ba- 
lance de las Gxtorioriiíaciones parásitas de los soplones, 
orientarse para no rpiedar mal conceptuada dos]iués 
de una contestación descabellada. Kl ti¡io hftrfttfdn, 
tipo étnico { C. O. BuNGE ) f-* que desde esto grado 
se acentúa enérgicamente, obcecado, á veces, por la 
megalomanía y una tendencia irresistible al juego, 
taras probablonionto, no muy distantes en la línea 
filogenética, (jue reviven al ealoi' de cualquier psicosis 
transitoria, trata do pasar desapercibido, achicándose 
donde alguitm pueda llamarlo ¡ü trabajo, escondiendo 
la cabeza tras las espaldas del comjjaflero, llamando 
la atención lo menos posible ó, si este ardid no surte 



(1} Cla»i()CBCi6n iNasCNIFRDS. Parle [ del libro t^raulacii^ti ik k Locar». 
(2} C. O. BuNGE. tNueilra Araérrca» 



378 — 



efecto, haciéndose fumista. El earacletísuuo, á voces 
calmoso, á veces activo, domina á sus compafioros : 
es el más inteligente del grado ó el más impulsivo, 
juez y parte en todas las lida=j, solieitado en todas 
las dudas, meneiir en buenos y malos actos, jefe de 
motín en la insiibordiníición, presidente en las reu- 
niones, y su juicio requerido en toda clase de traba- 
jos, suele concluir todas las disputas. Narid'/ pitra ret/, 
forma amljiente y el ambiente lo eleva. La mujer es, 
por lo común, raimetisita; nunca se eleva tm brazos 
do la oposición sino á favor de la corriente más 
fuerte. Los estigmas hereditarios de orden ético, des- 
puntan aquí y acentúan la tendencia natural de cada 
yú. El avaro y el pródigo, el sincero y el mentiroso, el 
pedante y el modesto, el leal y el hipócrita, el gra- 
cioso y el coquetón, el apático y el entusiasta, el envi- 
dioso y el generoso, el orgullosoyol servil, ol ambi- 
cioso y el humilde son tipos, dentro de esta variadísima 
flora, extraños á los caracteres de raaa y disting:uidos 
con dificultad por rasgos fisiognómicos. Son indivi- 
dualidades que actúan sobro el medio escolar dán- 
dolo alnuí y im colorido suigénoris, que repei'cute en 
todos los niomontos de ima lección. 

Los indiferentes, amorfos ( Rihot ) ó filisteos (NoR- 
iiAU ) equilibran la propulsión de los característicos 
como lastre de una clase á cuya gravedad amolda el 
maestro su on-señanna ; cunslituyen el substrátum 
sobre el que viven y actúan los característico.s á cuyo 
peso ceden siempre. No obstante, bajo la impresión de 
una enseñanza que revele, por sobre todo, la ]}re- 
paración del maestro y el deseo de que aj)rendan 
unos y otros, son capaces del núsnio entusiasmo, sin 
que, desjnics de esta breve cereliración colectiva, que- 
den los uúsmos sedimentos en todos los espíritus. Los 
preludiudores del gonio ( característico mayores de 
Lngegnieuos ) ya notorios on esto grado, elaboran idoas 
sintéticas maríivillosas, conjug'ando las variadas y 
múltiples imágenes retenidas por una memoria privi- 
legiada de concepto. Estas portentosas floraciones dei 
la adolescencifi, Ins frustra una dirección apática, ruti- ■ 



379 — 



naria é infantil del enseñante, característico que no se 
prepara y se indiferentiza. 

Se inicia una selección que analiza condiciones de 
otra cutegroría. En 1°, 2" y Sagrado, era la aptitud 
adquisitiva, evocadora y reproductriz de percopcin- 
nes más ó menos complejas; en 4*^, 5" y i>° es la 
aptitud razonativa y creadora de cuestiones más 
ó menos abstractas. Así como el atavismo étnico po- 
saba en aquéllos, en éstos pesa la psicopatía pa- 
terna. En adelante, del punto do vista do las ideas 
comunes adquiridas del aiubíonte uo escolar, se doflnen 
dos categorías de alumnos : aquellos para quienes loa 
factores físico, doméstico y social constituyen una es- 
cuela de útiles enseñanzas, y aquellos para quienes 
constituyen una escuela de ionoraiieía, mali>dií'eneia 
ó frivolidad. Hoj^'ares donde .se hacen cuatro horas 
diariiis de chismo y diatriba contribuyen con una ins- 
trucción negativa y jveligrosa, á neutralizar los esfuer- 
zos de la escuela ; hogares donde se lee La N.-vción 
y libros de ciencia popular : donde se conversa á la 
mesa, de los acontecimientos políticos, ííeo«?ráfieos y 
comerciales del día; dondo las revistas no escasean, hay 
una biblioteca, se ocupa ol tiempo on extender el 
campo del sabor útil y no de la raalodiconcia; don- 
de, en fin, la ignorancia vulgar no existe, contri- 
buyen con una instrucción positiva y restauradora á 
facilitar los esfuerzos do la escuela. Así, preguntad á 
un grado el jirecio do la lana, cómo se la acondiciona, 
cuántas veces al uño se esquila, donde se teje, el ancho 
y la profundidad del río que corre á unas cuantas 
cuadras de la ¡joblaeión, el objeto de un Banco ó de 
una sociedad anónima, qué es una acción, un divi- 
dendo, un cheque, acerca de la guerra que acaba de 
estallar ó ol descubrimiento que acaba do hacerse y 
otros conocimientos vulgares ó del día que hacen fe- 
cunda la labor del maestro dentro do una gran oeo- 
nouiía de tiem|)o, unos os responderán, otros, con la 
consiguiente admn'aeión, del maestro j)Oco exiierto en 
psicología hunuma, os mirarán interrogativamente 
como diciéndoos: ¿ eso nos lo enseñasteis? Esta nueva 



J80 



faz de la i>repM rabión es un carácter m&readísimo 
de l¡i mentulidiul de los dos sexos. La niñu es, por lo 
eomún, extraña á toda ediicaeión que no sea escolar, 
doméstica y soejal adaptada á sus tendencias mater- 
nas ó do pariire ( Si-enceh ). líl varón, por lo con- 
trario, 09 un admirable aprendiz en la gran escuela 
do la naturaleza* Uno y otro caso, exigen del maesti'O 
lecciones distintas, del punto de vista de la extensión. 

Quinto y sexto grado. - Estos grados suele decirse, ca- 
racterizan la faz su])erior de la enseñanza primaria. 
Algo hay do cierto, porque, del punto de vista mateiuá- 
tico, el ciclo de las operaciones concluye en 4'Vg:rado, 
el de las deducciones en problemas • múltiplemente 
combinados, comienza en 5' para dar al raciocinio 
una robustez extraordinariai^ No obstante, constitm'do 
el primero, por jóvenes de cuarto grado diversamente 
dirigidos, suele manifestarse desnivelado en cuanto 
á edad y preparación. La ley distingue tres catego- 
rías de escuelas : infantiles, elementales y graduadas, 
distribuidas en la proporción do 25, o y í ; la últi- 
ma forma 5" con alumnos reclutados en el 4" de las 
otras cinco. 

Al comenzar el curso, so tropieza con aptitudes 
dosaiToUadas de diferente manera y nutridas hasta 
donde permite la habilidad do quien educa. Hay, 
por eso, jóvenes incapaces de atención ; que adicio- 
nan quebrados sumando los denominadores; que es- 
criben decimales de no más do dos cifras; que ignoran 
las formas complejas ; que confunden las medidas 
cúbicas con las do superÜeie y longitud ; que de todo 
poseen referencias indeterminadas, pocas veces exactas. 

La orientación genésica despunta acompañada de 
crisis psicopáticas y fisiológicas que anuncian el período 
nubil. Entonces, el infantilismo reversivo estalla como 
una epidemia ; ia atención es tanto más penosa cuanto 
más abstracta y menos novelesca es la enseñanza ; la 
megalomanía y eí coquetismo se manifiesta en todas 
sus formas y donde la idea obsédanle no encuentra 
ambiente propicio, se exterioriza la impavidez de los 



— 381 — 



ojos y uníi necesidad de moverse, moverse para no 
permanecer fijo on un lugar. La epidemia, si no se 
la j)revi0ne, de uno pasa á dos, se contagia y el grado 
se vuelve una gran familia do protestantes contra ol 
trabajo, dispuestos á díir expansión á sus inslintos 
atávicos con actos de indisciplina socializada. Cuando 
el mal avanza hasta ese pnnto, ningún esfuerzu que 
no venga de la acción amable ó enérgica de un pro- 
fesor de bien cimentada autoridad, constante y metó- 
dica, dará otro cauce al espíritn do sus alumnos, sp- 
grogando aquel elemento alrededor del que se coloniza 
el grado. Hin estas perturbaciones, la marcha es 
tranquila y el maestro dispone rápidamente las inte- 
ligencias para la enseñanKa provechosa y fortificante 
de un período que penetrando los misterios de la vida, 
propiira para afrontarla con las armas de un criterio 
cultivado. 

La actitud de los alumnos es monos receptiva y 
más reproductora ; la üfilfuctwity se la íiomete á cons- 
tantes pruebas de examen, se aciiraulan dificultades 
para que las venza, allanándolas el maestro en con- 
tados casos. La habilidad dol educacionista no con- 
siste tanto en luicer una explicación rigurosamente 
metódica como en no agotar la poderosa onergía néu- 
rica de sus discípulos, infantiíizando la enseñanza, 
dando á lo pueril las proyecciones do lo trascendental, 
tratando lo insignificante con la solemnidad de lo 
grande. Hacer del interés seis casos, detenei-se en 
cada uno cual si constituyera un capítulo de Aritmé- 
tica, volver á los quebrados dentro do las formas 
simples, generalizar excepcionalmente, mantener el 
curso á la capa temiendo al avance, es arruinarlo. 
No hay, entonces, sino un quinto grado nominal. 

El B" grado, en otras naciónos el 7" ó ol tí", cierra 
el ciclo de la instrucción primaria. A él llegan jóve- 
nes que resistieron todas las pruebas de selección á 
que fueron sometidos en 1", 2**, 3", 4" y 5° grado. La 
edad varía de 1 2 á 18 años, las aptitudes ofrecen un 
mismo grado de desarrollo, las condiciones necesarias 
para emprender un estudio razonado y abstracto del 



382 — 



ciclo seeimdario. De aquí, que sea erróneo pretender 
una edad fija entre dos ciclos, cuando la escuela, cuja 
acc'ión no es forzada, pone de manifiesto hechos dife- 
rentes, inteligencias tempranas é inteligencias tardías, 
que alcanzan la misma potencia analítica, la misma 
fuerza de integración á edades diferentes. Acierta 
toda ley de enseñanza que divide los eonoeimientos 
en ciclos, como sostuvimos en la Conferencia Nacional 
do profesores, convocada en 1902 por el Ministro de 
Instrucción Pública, sin que la edad intervenga como 
factor determinante ¡lara detenei- al niilo en un curso 
si la madurez de su cerebro indica que la hora de darle 
otra orientación ha sonado, ó no ha sonado si la acti- 
vidad sinérgica do sus centros no responde al coefi- 
ciente de reacción que necesita para no hallarse 
extrañado en ambientes escolares que se los ha per- 
vertido á menudo, priraarizándolos. 

FA tema constante de las lecciones de ñ° grado, es 
la serie sintética dn ejercicios y prohlemmt entre ellos, 
el mayor número de típicos ; los alumnos poseen co- 
nocimientos para resolverla, pero que posibíeraonte no 
dominan. F^l prohloma, al evocarlos por necesidad 
durante la solución, los fija ; ese esfuerzo personal so- 
bre los detalles, da á la aptitud proyecciones tales que 
los tiempos se acortan y la positividad aumenta con 
maravillosa rapidez. 

El carácter de las lecciones os de examen, í apren- 
dizaje por el examen) más que de explicación. Los 
conocimientos nuevos, se transmiten cireunstancial- 

mente nunca en época fija. El alumno, verbigracia, 

10 * 
aprende la simplificación de -— ^ el día que el liliro de 

ejercicios y problemas, presente el caso. Entonces la 
lección, dejando los demás problemas de la serie, hace 
tema de la multiplicación y división de las potencias 
á base constante ; el éxito de este procedimiento, du-; 
rante cuatro años, ha sido asombroso ; tanta ejercita- 
Dión en las fornias sintéticas, da á los cerebros una 
robustez tal, tal fuerza de comprensión, dominio tal 
de los detalles, que los peligros de la infantilizaeión 



— 383 — 



se alejan para siempre, y para siempre aquellos ca- 
sos paradojalcs de niños que olvidan la suma de 
quebrados, que escriben nuil una cantidad, que redu- 
cen las medidas cúbicas como las lineales, que se 
acollonan delante de una fracción compleja, que no 
resuelven sino problemas á condiciones explícitas de 
dos combinaciones y que creen haber traspuesto el 
Hiraalaya cuando llegan á comprender un problema 
que juzgaron difícil, después do dos lecciones emplea- 
das por el maestro en explicarlo. 

Porque hay, vuelvo á repetirlo, maestros dominados 
por el espíritu de grandeza, que dan trascendencia 
monumental á lo pueril, y tal vez, comienzan por : 
lo qtte vo^ tí enseíutf ú Vds, es difícil, p renten atención. 
En mi cuaderno d{> apuntes del año 1897, tongo ano- 
tado un caso típico de aparatosidad : un ]iroblema de 
proivorciones compuestas (no las habíamos suprimido 
entonces) ocupó durante una semana á los alumnos de 
todo el grado, porque la forma adoptada [lara resol- 
verlo era social, cada uno aportaba su grano de ob- 
servaciones y pareceres, pero, en resumidas cuentas 
era ol maestro que enseñaba á dosis homeopáticas, 
satisfecho, luego, de que sus educandos repitiesen el 
análisis como cosa j)ropia. i Resolvían problemas de 
la regla do tres compuesta ! 

Este grado, al que los niüos llegan curados de 
la crisis que se anunciara en 4° por la pereza epi- 
démica, la megalomanía, una irresistible tendencia 
al juego y al ambulisrao (vagabundaje), pierde el 
hábito de la atención si no eá dirigido por un hi- 
minoso característico; si se da una enseñanza es- 
trecha, si el maestro no exterioriza en todos los mo- 
mentos, una vasta ilustración, si ajusta sus éxitos al 
esfuerzo de la preparación hecha sobre un texto ; la 
trivialidad, los titubeos, la distribución irregular de 
las preguntas, la voz débil de profesor y alumnos, 
lecciones sin sujetarse al horario, ideas sin proyec- 
ciones; la despreocupación, ostentada en deseos mal 
contenidos de concluir, ó en ol desorden con que so 
hacen todas las cosas, hasta el punto de preguntar á 



— 384 — 



la clase ¿qm teni'mo» para hop?; la falta do color, 
de novedad, de eohereiieia y de entusiasmo repercute 
desastrosamente en el espíritu íícneral de la clase, 
de la que so apodera un tedio irrespetuoso que 
Be tratará inútilmente de impedir que crezea con 
amonestaciones y griterías. La disciplina, conse- 
cuencia de la buena enseñanza, es la atención que el 
niño presta á las explicaciones. Por eso, obtener 
quieludj buena postura, silencio, modales urbanos, 
limpieza, ademanes correctos, es formar el hábito 
de la atención, á la que os directamente proporcio- 
nal el aprendizaje. Después, estímulos: los estímulos 
son muchos; desdo luei^o, el alma del maestro en el 
auna de cada niño; un alma febril para que la de 
los alumnos Hea también febril á cuyo estado llega 
cuando del punto de vista de su mayor i^encraliza- 
ción, se domina la asignatura y se sabe el procedi- 
miento corto y ameno para enseíiarla en consonan- 
cia con el conocimiento que so tiene de cada educando, 
cuando en iodo lugar y tiempo la vista y el pensa- 
miento está on cada alumno, de cada alumno se 
sabe lo (pie aprende y lo que elabora, sin, empero, 
dirigirse más á tmo que á otro. Es afligente la si- 
tuación creada por profesores que toman asiento en 
un banco desocupado; que desde allí, casi ocultos, 
de espaldas á la clase ó de flanco sobre el pupi- 
tre, interrotí-an flemáticamente á jóvenes que no ven; 
que permiten á sus alumnos, libertades, en aparien- 
cia, de muy sanas intenciones, como que en efecto, 
la conflanzít nunca lle;ía hasta el recíproco tuteo ó 
che; quo permiten hablar y pedir el lápiz, la goma, 
el cuaderno porque lo necesitan, sin previa aulori- 
zaciíui, mientras se está dando la clase. Es cierto, 
no incomodan, hay una admirable familiaridad entre 
quien enseña y quien aprende. Poro el alumno, in- 
defectiblemente, se acostumbra al derecho de dis^ 
traerse ol momento que lo creyere oportuno, sin ser 
incómodo, dasdo que para ello basta no gritar; toma 
tan á pecho su papel de ])ersona i^rande que no co- 
meto nunca actos que le rebajen: entonces esnece- 



^ 385 — 



sario dar lecciones do tal muñera, interegan tes que 
hagan iiii|ju!íiblei el «spoutáíieo ejercicio del derecho 
á la diptracciÓQ. Poro, ¡lecciones modelos! ; semejante 
propósito os la otoi'na quimera do la i>f!dago*»;ía. Liie^o, 
debe rocurrirseal artificio; el discípulo no dobe tener 
atribuciones do muestro. El respeto recíproco cuando 
no so lo ha iuipiteslo contundentemente, es el po- 
deroso cinientílrior de la atención. A lo-s 14 años 
se está on eondiciones de distinguir al ignorante deí 
sabio y se es cafiaz de sentir el respeto que uocesa- 
riamento impone el talento; el talento es una ga- 
rantía di; primor orden, al frente de un sexto grado. 
La inihntiíizaeión, comienza por eso contagio do la 
indiíeroncia que produce la masa de los alumnos 
amorfos dirigida por un mal característico, incapaz 
do una fuerte corriente excitadora que vueh'a acti- 
vas las tuerzas latentes de cada cerebro. 

A veces, se cometo el ingenuo error de creer ú 
todos los alumnos igiuales, de referirlos todos á un 
tipo creado por la imaginación del que ve todas las 
cosas desde la silbi del gabinete; no pueden sino 
resultar conceptos falsos, falsas intuiciünes acerca de 
la mitcliedunibro estudiantil. 

La posibilidad de una escuela de niños atentos, 
formales, respetuosos, obedientes, susceptibles de 
todos los aprendizajes» ávidos de aprender; que al 
dejar el aula, en los patios, en la calle ó en sus 
casas han de conversar del conocimiento adquirido 
horas antes, ó disctitir una cuestión á tratarse horas 
después; de niños jamás enfermos, siempre sonro- 
sados, extraños al calor, al frío, al viento norte, á 
las calmas que pi-eceden á la tempestad, á los acon- 
tecimientos del hogar y de la población, á las crisis 
periódicas déla adolescencia, al espíritu de bi raza 
que empuja ó detiene, sólo puede suponerla un maes- 
tro que ignora los principios elementales de la fisio- 
logíaj que atravesó las aulas con los ojos vendados, 
que nunca quiso comprender el significado de las 
manifestaciones varias de 4ü niño.s, excitados por 
una misma pregunta, por un mismo objeto: que nos 



- 386 - 



habla de las cosas humanas desdo las nubes. Ües- 
graetadíimente, abundan nstos comentadores de es- 
cuelas ideales para quienes ni siquiera hay rostros 
diferentes ; para quienes el educando es siempre in- 
teligente, sumiso y trabajador, á quien basta 
una indieaeiíjn tan solo, para que so lance sin ma- 
yores estímulos, briosaraonto por la vía del perfec- 
cionamiento, desde que comprende que por alK se 
aseiende la empinada falda, por allí se va, seguro, 
á la conquista del premio. Alma buena por excelen- 
cia, meritorio, acreedor á nuestros respetos, intere- 
sado en el por quó de las cosas, él mismo indica 
nuestro jirogrania, él mismo nuestros métodos, él 
mismo, ya no nuestro alumno sino nuestro compañero, 
se empefla en qiio los buenos propósitos triunfen ; 
nunca una mueca indiscreta desprestigia su dignidad 
de ])erl'octo caballero; fermenta en nuestras ma- 
nos, una colección de sabios, moralistas y super- 
hombres. Pero la realidad es otra; tan bellas cua- 
lidades las ofrecen especímenes rarísimos que el 
ambiente aplasta ó adaptji. Triunfan cuando cir- 
cunstancias combinadas del individuo, el hogar y la 
escuela íavoreeen una voluntad elástica para re- 
sistir los choques y volver á su primer posición. 
Concebir una colectividad con las fíhacionos físico- 
morales de un individuo, es un error sobro todo en 
nuestra heterogénea América, que lleva derecho al 
fracaso. 

Volviendo á nuestro programa, de complejidad apa- 
rente en presencia de los resultados, afirmamos sin 
recelo, que puedo haber inca])acidad en los maestros 
para desarrollarlo, pero no en los alumnos para 
aprenderlo. 



ÍNDICE 



Páginas 



Prólogo IX 

Clasifícacíón de las asignaturas del punto de vista pedagó- 
gico XV 

Árbol genealógico de la Matemática xvi 



CAPÍTULO I 

HISTORIA DE LA MATEMÁTICA. 

I. — Consideraciones históricas. — Evolución de la matemá- 
tica 1 

Evolución histórica de la Aritmética y el Álgebra 4 

Evolución histórica de la Geometría 10 

II. — Evolución liistórica de ia enseñanza de ia matemática 
elemental de carácter primario. —Propósito de la 

educación: orden histórico y orden lógico 12 

Los primeros pasos en la enseñanza de la Aritmética. 14 

La enseñanza de la Aritmética después del siglo XV.. 17 

Los nuevos procedimientos 21 

A los autores de metodologías 29 

Bibliografía 32 



CAPÍTULO II 

ESPÍRITU DE LA MATEMÁTICA. 

I. — Carácter y división.— Faz concreta y faz abstracta, faz 

inductiva y faz deductiva de las cuestiones 33 

División de la matemática 35 

Espíritu de la Aritmética y del Algebra 36 

Espíritu de la Geometría 37 

Las aplicaciones 39 



- 388 — 

Páginas 

II. — Espíritu de la enseñanza del punto de vista primario. — 

Fases de la evolución mental •. • • • ^ 

Lo más posible con lo menos posible; eeonomia de 

tiempo y fuerza en la adquisición de nn conocimiento 43 

Deficiencias de la enseñanza 45 

Bibliografía 48 

CAPÍTULO III 

PSICOLOGÍA. 

El proceso matemático del ponto de rista fisiológico. 

I. — El fenómeno matemático.— Desarrollo intensivo y ex- 

tensivo 49 

Integración concicnte, asociación organizada, idea, sín- 
tesis, substrátam, identificación primaria y secun- 
daria 51 

Mecanismo del proceso psíquico 53 

La aptitud: facilidad para crear ideas, etiología del fe- 
nómeno 55 

II. — Desintegración del proceso matemático. — La compren- 
sibilidad. — Representaciones ó imágenes. — Efectos 

de la atención 58 

La abulia 60 

La asimbolia y la agnosia. — Tipos de Lemaitre 62 

La amnesia y espectación 66 

La emoción y la anemia 68 

Las paranoias rudimentarias 70 

CAPÍTULO IV 
El proceso matemático del panto de vista experimental. 

I. — El estudio de la Psicología.— Teoría y experimentación. 

— Psicología escolar colectiva 73 

Psicoraetría del punto de vista pedagógico 77 

II. — Explicación circunstanciada de los experimentos : 

Experimento I : contar 82 

., II : lectura de cuatro números 83 

„ III : reproducción auditiva del número 

1001001 87 

„ IV : reproducción auditiva del número 

937427 K9 

„ V : reproducción visiva del número 

0.683407 90 



^^^^^^^^^^V 389 ^^^^1 

^^^^^^^^Experimexito VI : reacción mental de. la suma 9íi-|-16, 
^^^L^^ „ Vn ; ¡nteírrapi6n mental dp operaciones 
^^^^^^ «^oiubiDailaa ....._,...,.......... 

^^^^H „ Vm : )ntc<!rraciúii de 9um& ..... 

^^^^^1 „ IX : intciyrración de reata. . , 

^^^^^1 „ K : opcracíün de njultipUear . .......... 

^^^^^1 XI : identílicadón primada <le espacio It- 

^^^^^^^ 

^^^^^H „ XII : id C! 11 1 lujación auditiva, 

^^^^^1 XIII : reprodupi'ión vt&íva de hnea. .. .. 
^^^^^1 „ XIV : apreciación relativa Je loa^ttad . 
^^^^^H H XV r aprecfacii>n relativa de espacio aa- 


lúi ^^M 
104 ^^M 

lio ^^M 
111 ^^B 

118 ^H 

115 ^^B 

116 ^^M 

117 ^H 

117 ^^1 

126 ^H 

132 ^^H 

18Q ^^M 
140 ^^M 

143 ^^M 

144 ^^B 

147 ^^1 
143 ^^B 

^^B 
^^B 

157 ^^B 
157 ^^1 

^^B 


^^^^^1 „ XVI ; apreciación relativa de volumen. . 
^^^^^^B „ XVII : cümpar&ción li térmínu lijo. ..... 

^^^^H „ XVÍII: discriniinaeión central 

^^^^V -n XIX : poder recordacivo. . 

^ „ XX : aptittrd crcatria .....,., . . 

^^P Cl&ííticactón de la aptitud raatcTnátlca dol niño. , , . . . 

i m. — Computación nuinéricia de Ins flxperlmentoí. — Psico- 

fc iin'tría ..... ... 


1^^ Cuadro N"""* 1 y 2. — Primer ¡irado ... .... 

^^^^^ y, „ 3 y 4, — Segundo y^rado 

^^^^^K „ ñy 6. -- Tercer gradu L. . 

^^^^H ^ 7 y 8. — Terciar grado S ...... 

^^^^^H „ i) y 10. — Cuarto grado. 

^^^^^H f, 11 y 13. ~ Quinto "Tado ............... 

^^^^^V „ 13 y 1 4. — Sexto grado. .... 

^^^^^H „ „ lüy IG. Alumnos más inteligentes 

^^^^^H „ „ 17 y 18. — Alumnos meaos inteligentes.. 

^^^P V 

^^i RESULTADOS DE LA EXPERIMENTACIÓN. 

^^^^^p Olf8er>'HCloiié$ psUnlógiens de earácter cfflectlro, 

^^^ I. — tdentlflcación primaria. — Nümuro de alamnoa 

^^B Pidnid 


^^H Experimento I - contar . . ............. 

^^H Observaciones y diagramas.. . 

^^1 Experimento 11 : lectaro de cantidadeíi . . 

^^^1 Ol)ti''TVFi"ir>n'"r V dinj^mniAH , , 


^^H Experimento lll : reproducción auditiva de los nú- 
^^B mef 08. ..... ....... 





— 390 — 

Experimento IV : reprodacción ando -motora de 837427 

y observaciontís , 160 

„ V : reprodacción vísíimotora de los nú- 
meros y obRcrvaciones ,,..... 164 

„ VI y VJI : cálculo mental y observado- 

nei ....... ........ Hi7 

„ Vni, IX y X : operaciones, diagramas 

comparativos de positividad y tiempo, 

obsL'rvacioncB , , .......... f . , 1 7á 

^ XI : comparación de espacio» lineales y 

observaciones 1 77 

„ Xri ; reproducción visoiiiotora de espa- 
cio lineal y observacionea ITÍJ 

„ XIV : apreciación de extensión lineal y 

observacionea .......... . ÍH1 

„ XV y XVI : apreciación tic estensión su- 

perficial y volumétrica, observaciortc» . líSl 
., XV'II : aprei^iación interna (Ir espacio por 

comparación y oliBervacionCB.. IbH 

I(. " Proceso central. — üatoN del expiTimento XVllI : para 

determinar el grado de raüioiiamiento de los alomuos 190 
Datos del experimento XLX : para determinar el grado 

de memoria de los alumnos 211 

Datos del experimento XX : para determinar e! grado 

de imagioadón creadora de los alumno»., .,......, 23ÍI 

El raKonamiento de io* niños. -- Observaciones y dia- 
gramas ....-,,..,......,.....,.. 24fi 

La memoria de los nüios. — Observaciones, .......... 355 

La imaginación creadora de los niños. — Observacio- 
nea y diagramas IK? 

Repeticifcn de esperintentos, — Observaciones 277 

Alumnos más inteligentes y menos intelig'eiites. — Di- 
ferencias atribuibtes al sexo. — Diagramas. .... . . 9K0 

Observacione» generales acerca de la aptitud matemá- 
tieai^ sdgÚD los grados y sexos. ,....., ¿^ 



CVÍ'ÍTI'LO VI 

ESTÉTICA DE LA MATEMÍÍTICA. 



El procedimiento ameno y ta belleza de los problemas. 

Condii'iones estéticas de un ejt'rciciu ó proldema.. 

Investigación experimental - . 

BeialtaJdoa y obetirvovíontis ....... 



308 
817 



— 391 — ^^ 

CAPÍTULO vn 

EDAD Y TIEMPO. 

Eco momia de esfuerzo y tiempo. — La edad escotar . . . 325 

De la instrucción primaria á la secundaria. — Psicosis 
de la pubertad. — Acción trófica de los glándulas ti- 
rolde y pituitaria. , , Sí12 

Los texos. ^ Aptitiide» y tendencias de cada uno. . . . 339 
IL ^ Horarios : distribución del tiempo semanal. — La acti- 
vidad del ccrehro por la mañana y por la tarde. — 
El viento norte y la presión baroraéírica 341 

Experimento at-erca de las ¡joras niáa favorables al 

trabajo mental ............. ,....,... 345 

Horas de clase y duración de la» lecciones. 'óM 

III. ~ La fatiga y la saturación nientai ..,,.., , , 'óbl 

CAPÍTULO VIII 

RASGOS PSICO-MORALES COLECTIVOS. 

Primer grado, — Factor étnico, .icción doméstica, social 
y cHcylar. — Atávicos, degenerad u.'i y normales 36a 

Segundo grado. — EaKas, — Factores de adaptación, — 

-iptitiulcs . . , ,.,,....,.,... 36(3 

Tercer grado I. — Et espirita inquieto de Iüa eduean- 

dug. — La dirección del maestro hábil 371 

Tercer grado S. — La selección étnica. — Nivelación 

de las ¡[iieligenciaa -..,....,,.......,.. B73 

Cuarto grado. ^ Nueva orientación del espíritu y los 
sontintienios. — El Rimalador, el aoplón y el indolen- 
te. ^Acción del hogar ,,.'...,.,.... 375 

Quinto y sexto grado- — Crisis p si contó rales. — Infanti- 
lixacióii de la ensertauza. — Forma del método. — 
Cüodicione.'i del maestro que dirige estos grados. — 
Las escuelas vistas á través de niños ideales. ...... 380