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Full text of "Raum. Zeit. Materie. Vorlesungen über allgemeine Relativitätstheorie"

°AK ST. HDSF 




Ex Libris 
ALBERT E. CUMMINQS 

REMOTE STORAGE 



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II B RARY 

OF THE 
UNIVERSITY 
OT ILLINOIS 

531.51 

W54r 

1919 



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RAUM • ZEIT- MATERIE 



VORLESUNGEN ÜBER 
ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE 



VON 



HERMANN WEYL 



DRITTE, UMGEARBEITETE AUFLAGE 




^ 



BERLIN 

VERLAG VON JULIUS SPRINGER 

1919 



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Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, 
vorbehalten. 

Copyright 1919 by Julius Springer in Berlin. 



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Meiner Frau gewidmet 



Aus dem Vorwort zur ersten Auflage. 

Mit der Einst ein sehen Relativitätstheorie hat das menschliche Denken 
über den Kosmos eine neue Stufe erklommen. Es ist, als wäre plötzlich 
eine Wand zusammengebrochen, die uns von der Wahrheit trennte: nun 
liegen Weiten und Tiefen vor unserm Erkenntnisblick entriegelt da, deren 
Möglichkeit wir vorher nicht einmal ahnten. Der Erfassung der Vernunft, 
welche dem physischen Weltgeschehen innewohnt, sind wir einen gewal- 
tigen Schritt näher gekommen. 

Wenngleich in jüngster Zeit eine ganze Reihe mehr oder minder 
populärer Einführungen in die allgemeine Relativitätstheorie erschienen ist, 
mangelte es doch bislang an einer systematischen Darstellung. Darum hielt 
ich es für angezeigt, die vorliegenden, von mir im Sommersemester 191 7 
an der Eidgen. Technischen Hochschule Zürich gehaltenen Vorlesungen 
herauszugeben. Zugleich wollte ich an diesem großen Thema ein Beispiel 
geben für die gegenseitige Durchdringung philosophischen, mathematischen 
und physikalischen Denkens, die mir sehr am Herzen liegt; dies konnte nur 
durch einen völlig in sich geschlossenen Aufbau von Grund auf gelingen, 
der sich durchaus auf das Prinzipielle beschränkt. Aber ich habe meinen 
eigenen Forderungen in dieser Hinsicht nicht voll Genüge tun können: 
der Mathematiker behielt auf Kosten des Philosophen das Übergewicht. 

Die beim Leser vorausgesetzten Vorkenntnisse beschränken sich auf 
ein Minimum. Nicht nur die spezielle Relativitätstheorie ist ausführlich 
abgehandelt, sogar Maxwellsche Theorie und analytische Geometrie sind 
kurz, unter Herausarbeitung der wesentlichsten Züge, entwickelt. Das lag 
im Plane des Ganzen. Die Begründung des Tensorkalküls — durch den 
allein die in Frage stehenden physikalischen Erkenntnisse ihren natur- 
gemäßen Ausdruck finden können — nimmt einen verhältnismäßig breiten 
Raum ein. So wird das Buch hoffentlich geeignet sein, den Physikern 
dieses mathematische Hilfsmittel vertrauter zu machen und zugleich als 
Lehrbuch unter der studierenden Jugend für die neuen Ideen zu wirken! 

Den Herren Bär und Hiltbrunner bin ich, dem einen für Korrektur- 
hilfe, dem andern für Anfertigung der Figuren, zu Dank verpflichtet; dem 
Verlage für die unter den heutigen Umständen bewundernswerte rasche 
Drucklegung und gute Ausstattung des Buches. 

Ribnitz in Mecklenburg, Ostern 19 18. 



Vorwort zur dritten Auflage. 

Obschon dies Buch die Frucht der Erkenntnis in harter Schale bietet, 
ist es doch manchem, wie mir verschiedene Zuschriften zeigten, ein Trost- 
büchlein in wirrer Zeit gewesen; ein Auf blick aus dem Trümmerfeld der 
uns unmittelbar bedrängenden Gegenwart zu den Sternen, das ist: der 
unzerbrechlichen Welt der Gesetze; Bekräftigung des Glaubens an die 
Vernunft und eine alle Erscheinungen umspannende, nie gestörte, nie zu 
störende >harmonia mundi«. 

Den Zusammenklang noch reiner zu stimmen, ist mein Bestreben in' 
der neuen, dritten Auflage gewesen. Während die zweite ein unveränderter 
Abdruck der ersten war — bis auf die Korrektur eines Versehens auf 
pag. 183 — , habe ich jetzt eine gründliche Umarbeitung vorgenommen, 
von der vor allem das IT. und IV. Kapitel betroffen wurden. Die von 
Herrn Levi-Civita im Jahre 191 7 gemachte Entdeckung des Begriffs der 
infinitesimalen Parallelverschiebung gab den Anstoß zu einer erneuten 
Untersuchung der mathematischen Grundlagen der Riemannschen Geometrie. 
Der hier in Kapitel II gegebene Aufbau der reinen Infinitesimalgeometrie, 
bei welchem sich jeder Schritt in voller Natürlichkeit, Anschaulichkeit und 
Notwendigkeit vollzieht, ist, glaube ich, das in allen wesentlichen Stücken 
endgültige Ergebnis dieser Untersuchung. Einige Unvollkommenheiten, 
welche meiner ersten Darstellung in der Mathematischen Zeitschrift (Bd. 2, 
19 18) noch anhafteten, sind beseitigt worden. Das IV. Kapitel, dessen 
Hauptteil der Eihsteinschen Gravitationstheorie gewidmet ist, hat zunächst 
durch Berücksichtigung der in der Zwischenzeit erschienenen wichtigeren 
Arbeiten, namentlich derjenigen, welche sich auf das Energie-Impulsprinzip 
beziehen, eine ziemlich tiefgreifende Umgestaltung erfahren. Dann aber ist 
eine neue, vom Verfasser herrührende Theorie hinzugefügt worden, welche 
aus der in Kapitel II vollzogenen Erweiterung der geometrischen Grundlage 
über den Riemannschen Standpunkt hinaus die physikalischen Konsequenzen 
zieht und sich anheischig macht, aus der Weltgeometrie nicht nur die 
Gravitations-, sondern auch die elektromagnetischen Erscheinungen abzu- 
leiten. Steckt diese Theorie auch gegenwärtig noch in den Kinderschuhen, 
so bin ich doch überzeugt, daß ihr der gleiche Wahrheitswert zukommt 
wie der Ein stein sehen Gravitatiohstheorie — mag nun dieser Wahrheits- 
wert ein unbegrenzter sein oder, wie es wohl wahrscheinlicher ist, begrenzt 
werden müssen durch die Quantentheorie. — 

Herrn Weinstein danke ich für seine mir bei der Durchsicht der 
Korrekturbogen gewährte Hilfe. 

Acla Pozzoli bei Samadejn, August 1919. 

Hermann Weyl. 



Inhaltsverzeichnis. 

Seite 
Einleitung I 

Kap. I. Der Euklidische Raum: seine mathematische Formalisierung 
und seine Rolle in der Physik. 

§ I. Herleitung der elementaren Raumbegriffe aus dem der Gleichheit .... 10 

§ 2. Grundlagen der affinen Geometrie 14 

§ 3. Idee der n-dimensionalen Geometrie. Lineare Algebra. Quadratische Formen 20 

§ 4. Grundlagen der metrischen Geometrie 24 

§ 5. Tensoren 30 

§ 6. Tensoralgebra. Beispiele 38 

§ 7. Symmetrie-Eigenschaften der Tensoren 48 

§ 8. Tensoranalysis. Spannungen . 51 

§ 9. Das stationäre elektromagnetische Feld 57 

Kap. II. Das metrische Kontinuum. 

§ 10. Bericht über Nicht-Euklidische Geometrie 68 

§ 11. Riemannsche Geometrie '. 75 

§ 12. Fortsetzung. Dynamische Auffassung der Metrik 85 

§ 13. Tensoren und Tensordichten in einer beliebigen Mannigfaltigkeit 92 

§ 14. Affin zusammenhängende Mannigfaltigkeit IOO 

§ 15. Krümmung 105 

§ 16. Der metrische Raum 108 

§ 17. Riemannscher Raum 116 

Kap. III. Relativität von Raum und Zeit. 

§ 18. Das Galileische Relativitätsprinzip 124 

§ 19. Elektrodynamik zeitlich veränderlicher Felder. Lorentzsches Relativitäts- 
theorem 134 

§ 20. Das Einsteinsche Relativitätsprinzip 142 

§ 21. Relativistische Geometrie, Kinematik und Optik 151 

§ 22. Elektrodynamik bewegter Körper 159 

§ 23. Mechanik des Relativitätsprinzips 166 

§ 24. Die Materie 170 

§ 25. Die Miesche Theorie 175 

Schlußbemerkungen 184 

Kap. IV. Allgemeine Relativitätstheorie. 

§ 26. Relativität der Bewegung, metrisches Feld und Gravitation 185 

§ 27. Einsteins Grundgesetz der Gravitation 196 



VIII Inhaltsverzeichnis. 



§ 28. Statisches Gravitationsfeld. Zusammenhang mit der Erfahrung 207 

§ 29. Gravitationswellen 213 

§ 30. Strenge Lösung des Einkörperproblems 217 

§ 31. Weitere strenge Lösungen des statischen Gravitationsproblems ...... 223 

§ 32. Gravitationsenergie. Die Erhaltungssätze 231 

§33. Über die Zusammenhangsverhältnisse der Welt im Grolien 235 

§ 34. Die Weltmetrik als Ursprung der elektromagnetischen Erscheinungen . . . 242 

§ 35. Materie, Mechanik und mutmaßliches Weltgesetz 253 

Literatur . 264 

Sachregister ...... - 1 268 



Die Formeln sind in jedem Kapitel durchnumeriert. Formelverweise beziehen sich, 
wenn nichts anderes bemerkt ist, jeweils auf das gleiche Kapitel. 



Einleitung. 

Wir pflegen Zeit und Raum als die Existenz/*?/-///«?// der realen Welt, 
die Materie als ihre Substanz aufzufassen. Ein bestimmtes Materiestück 
erfüllt in einem bestimmten Zeitmoment einen bestimmten Raumteil: in 
der daraus resultierenden Vorstellung der Beilegung gehen jene drei 
Grundbegriffe die innigste Verbindung ein. Von Descartes wurde es als 
Programm der exakten Naturwissenschaft aufgestellt, alles Geschehen von 
diesen Grundbegriffen aus zu konstruieren und damit auf Bewegung zu- 
rückzuführen. — Die tiefe Rätselhaftigkeit des Zeitbewußtseins, des zeit- 
lichen Ablaufs der Welt, des Werdens ist vom menschlichen Geist, seit 
er zur Freiheit erwachte, immer empfunden worden; in ihr liegt eines 
jener letzten metaphysischen Probleme, um dessen Klärung und Lösung 
Philosophie durch die ganze Breite ihrer Geschichte unablässig gerungen 
hat. Der Raum ward durch die Griechen zum Gegenstand einer Wissen- 
schaft von höchster Klarheit und Sicherheit. An ihm hat sich in der 
antiken Kultur die Idee der reinen Wissenschaft entfaltet, die Geometrie 
wurde zu einer der mächtigsten Kundgebungen des jene Kultur beseelen- 
den Prinzips der Souveränität des Geistes. An die Geometrie hat sich, 
als die kirchlich-autoritative Weltanschauung des Mittelalters in die Brüche 
ging und die Wogen des Skeptizismus alles Feste hinwegzureißen drohten, 
der Wahrheitsglaube wie an einen Fels geklammert; und es konnte als 
das höchste Ideal aller Wissenschaft aufgestellt werden, »more geometrico« 
betrieben zu werden. Was endlich die Materie betrifft, so glaubten wir 
zu wissen, daß aller Veränderung eine Substanz, eben die Materie, zu- 
grunde liegen müsse, daß jedes Stück der Materie als ein Quantum sich 
messen lasse und ihr Substanzcharakter seinen Ausdruck finde in dem 
Gesetz von der Erhaltung des in allen Veränderungen sich gleich blei- 
benden Materiequantums. Dieses unser bisheriges Wissen von Raum und 
Materie, durch die Philosophie vielfach als apriorische Erkenntnis von un- 
bedingter Allgemeinheit und Notwendigkeit in Anspruch genommen, ist 
heute vollständig ins Wanken geraten. Nachdem die Physik unter den 
Händen Faradays und Maxwells der Materie als eine Realität anderer 
Kategorie das Feld gegenübergestellt hatte, nachdem auf der andern Seite 
die Mathematik durch ihre logische Minierarbeit im letztvergangenen Jahr- 
hundert in aller Heimlichkeit das Vertrauen in die Evidenz der Eukli- 
dischen Geometrie untergraben hatte, kam in unsern Tagen der revolu- 
tionäre Sturm zum Ausbruch, der jene Vorstellungen über Raum, Zeit 

Weyl, Raum, Zeit, Materie. 3. Aufl. I 



2 Einleitung. 

und Materie, welche bis dahin als die festesten Stützen der Naturwissen- 
schaft gegolten hatten, stürzte; doch nur, um Platz zu schaffen für eine 
freiere und tiefere Ansicht der Dinge. Diese Umwälzung wurde im we- 
sentlichen vollzogen durch die Gedankenarbeit eines einzigen Mannes, 
Albert Einstein. Heute scheint die Entwicklung, was die Grundideen 
betrifft, zu einem gewissen Abschluß gekommen zu sein; doch einerlei 
ob wir bereits vor einem neuen Definitivum stehen oder nicht — auf 
jeden Fall muß man sich mit dem Neuen, das da emporgekommen ist, 
auseinandersetzen. Auch gibt es kein Zurück ; die Entwicklung des wissen- 
schaftlichen Gedankens mag über das jetzt Erreichte abermals hinaus- 
gehen, aber eine Rückkehr zu dem alten engen und starren Schema ist 
ausgeschlossen. 

An den Problemen, die hier aufgeworfen werden, haben Philosophie, 
Mathematik und Physik ihren Anteil. Uns soll aber vor allem die mathe- 
matisch-physikalische Seite der Fragen beschäftigen; auf die philo- 
sophische werde ich nur ganz nebenher eingehen, aus dem einfachen 
Grunde, weil in dieser Richtung etwas irgendwie Endgültiges bisher nicht 
vorliegt und ich selber auch nicht imstande bin, auf die hergehörigen 
erkenntnistheoretischen Fragen solche Antworten zu geben, die ich vor 
meinem Erkenntnisgewissen voll verantworten könnte. Die Ideen, welche 
es hier darzustellen gilt, sind nicht aus einer spekulativen Versenkung 
in die Grundlagen physikalischer Erkenntnis hervorgegangen, sondern 
haben sich im Ausbau der lebendig vorwärts drängenden Wissenschaft, 
der die alte Schale zu eng wurde, an konkreten physikalischen Problemen 
entwickelt; eine Revision der Prinzipien wurde jedesmal erst nachträglich 
vollzogen und nur so weit, als es gerade die neu aufgetauchten Ideen er- 
heischten. Wie die Dinge heute liegen, bleibt den Einzelwissenschaften 
nichts anderes übrig, als in diesem Sinne dogmatisch zu verfahren, d. h. 
in gutem Glauben den Weg zu gehen, auf den sie durch vernünftige, 
im Rahmen ihrer eigentümlichen Methoden emporkommende Motive ge- 
drängt werden. Die philosophische Klärung bleibt eine große Aufgabe 
von völlig anderer Art, als sie den Einzelwissenschaften zufällt; da sehe 
nun der Philosoph zu; mit den Kettengewichten der in jener Aufgabe 
liegenden Schwierigkeiten behänge und behindere man aber nicht das 
Vorwärtsschreiten der konkreten Gegenstandsgebieten zugewandten Wissen- 
schaften. 

Gleichwohl beginne ich mit einigen philosophischen Erörterungen. Als 
Menschen in der natürlichen Einstellung, in der wir unser tägliches Leben 
führen, stehen uns in Akten der Wahrnehmung leibhaftig wirkliche Körper- 
dinge gegenüber. Wir schreiben ihnen reale Existenz zu und wir nehmen 
sie hin als prinzipiell so beschaffen, so gestaltet, so gefärbt usw., wie 
sie uns da in der Wahrnehmung erscheinen (prinzipiell, d. h. vorbehalt- 
lich aller als möglich zugegebenen Sinnestäuschungen, Spiegelungen, 
Träume, Halluzinationen usf.). Sie sind umgeben und durchsetzt von 
einer ins Unbestimmte verschwimmenden Mannigfaltigkeit analoger Wirk- 



Einleitung. ? 

lichkeiten, die sich alle zusammenfügen zu einer einzigen, immerdar vor- 
handenen räumlichen Welt, zu der ich selber mit meinem Einzelleib 
gehöre. Es handle sich hier nur um diese körperlichen Dinge, nicht 
um all die Gegenständlichkeiten andrer Art, die wir als natürliche Men- 
schen sonst noch uns gegenüber haben: Lebewesen, Personen, Gebrauchs- 
gegenstände, Werte, solche Wesenheiten wie Staat, Recht, Sprache u. dgl. 
Wohl bei jedem theoretisch gerichteten Menschen beginnt die philo- 
sophische Selbstbesinnung damit, daß er irre wird an dieser Weltanschau- 
ung des naiven Realismus, auf die ich da eben kurz hingewiesen habe. 
Man sieht ein, daß eine solche Qualität wie etwa -»grün* nur als Kor- 
relat der Grün-Empfindung an dem in der Wahrnehmung sich gebenden 
Gegenstande Existenz besitzt, daß es aber sinnlos ist, sie als eine Be- 
schaffenheit an sich daseienden Dingen an sich anzuhängen. Diese Er- 
kenntnis von der Subjektivität der Sinnesqualitäten tritt bei Galilei (wie 
bei Descartes und Hobbes) in engster Verbindung auf mit dem Grund- 
satz der mathematisch- konstruktiven Methode unserer heutigen qualitäts- 
losen Physik, nach der z. B. die Farben »in Wirklichkeit« Ätherschwin- 
gungen, also Bewegungen sind. Erst Kant vollzog innerhalb der Philo- 
sophie mit völliger Klarheit den weiteren Schritt zu der Einsicht, daß 
nicht nur die sinnlichen Qualitäten, sondern auch der Raum und die 
räumlichen Merkmale keine objektive Bedeutung im absoluten Sinne be- 
sitzen, daß auch der Raum nur eine Form unserer Anschauung ist. Inner- 
halb der Physik ist es vielleicht erst durch die Relativitätstheorie ganz 
deutlich geworden, daß von dem uns in der Anschauung gegebenen 
Wesen von Raum und Zeit in die mathematisch konstruierte physikalische 
Welt nichts eingeht. Die Farben sind also »in Wirklichkeit« nicht ein- 
mal Ätherschwingungen, sondern mathematische Funktionsverläufe, wobei 
in den Funktionen, den drei Raum- und der einen Zeitdimension ent- 
sprechend, vier unabhängige Argumente auftreten. 

In prinzipieller Allgemeinheit: die wirkliche Welt, jedes ihrer Be- 
standstücke und alle Bestimmungen an ihnen, sind und können nur ge- 
geben sein als intentionale Objekte von Bewußtseinsakten. Das schlecht- 
hin Gegebene sind die Bewußtseinserlebnisse, die ich habe — so wie 
ich sie habe. Sie bestehen nun freilich keineswegs, wie die Positivisten 
vielfach behaupten, aus einem bloßen Stoff von Empfindungen, sondern 
in einer Wahrnehmung z. B. steht in der Tat leibhaft für mich da ein 
Gegenstand, auf welchen jenes Erlebnis in einer jedermann bekannten, 
aber nicht näher beschreibbaren, völlig eigentümlichen Weise bezogen 
ist, die mit Brentano durch den Ausdruck -»intentionales Objekt* be- 
zeichnet sein soll. Indem ich wahrnehme, sehe ich etwa diesen Stuhl, 
ich bin durchaus auf ihn gerichtet. Ich »habe* die Wahrnehmung, aber 
erst wenn ich diese Wahrnehmung selber wieder, wozu ich in einem 
freien Akt der Reflexion imstande bin, zum intentionalen Objekt einer 
neuen, inneren Wahrnehmung mache, »weiß* ich von ihr (und nicht 
bloß von dem Stuhl) etwas und stelle dies fest, was ich da eben gesagt 



a Einleitung. 

habe. In diesem zweiten Akt ist das intentionale Objekt ein immanentes, 
nämlich wie der Akt selber ein reelles Bestandstück meines Erlebnis- 
stromes; in dem primären Wahrnehmungsakt aber ist das Objekt trans- 
zendent, d. h. zwar gegeben in einem Bewußtseinserlebnis, aber nicht 
reelles Bestandstück. Das Immanente ist absolut, d. h. es ist genau das, 
als was ich es da habe, und dieses sein Wesen kann ich mir eventuell 
in Akten der Reflexion zur Gegebenheit bringen. Hingegen haben die 
transzendenten Gegenstände nur ein phänomenales Sein, sie sind Erschei- 
nendes — in mannigfaltigen Erscheinungsweisen und »Abschattungen«. 
Ein und dasselbe Blatt sieht so oder so groß aus, erscheint so oder so 
gefärbt, je nach meiner Stellung und der Beleuchtung; keine dieser Er- 
scheinungsweisen kann für sich das Recht beanspruchen, das Blatt so zu 
geben, wie es »an sich« ist. — In jeder Wahrnehmung liegt nun weiter 
unzweifelhaft die Thesis der Wirklichkeit des in ihr erscheinenden Ob- 
jekts, und zwar als Teil und inhaltliche Fortbestimmung der General- 
thesis einer wirklichen Welt. Aber indem wir von der natürlichen zur 
philosophischen Einstellung übergehen, machen wir, über die Wahrneh- 
mung reflektierend, diese Thesis sozusagen nicht mehr mit; wir kon- 
statieren kühl, daß in ihr etwas als wirklich »vermeint« ist. Der Sinn 
und das Recht dieser Setzung wird uns jetzt gerade zum Problem, 
das von dem Bewußtseins -Gegebenen aus seine Lösung finden muß. 
Ich meine also keineswegs, daß die Auffassung des Weltgeschehens als 
eines vom Ich produzierten Bewußtseins -Spiels gegenüber dem naiven 
Realismus die höhere Wahrheit enthalte; im Gegenteil. Nur darum han- 
delt es sich, daß man einsehe, das Bewußtseins-Gegebene ist der Aus- 
gangspunkt, in den wir uns stellen müssen, um Sinn und Recht der 
Wirklichkeitssetzung auf eine absolute Weise zu begreifen. Analog steht 
es auf logischem Gebiet. Ein Urteil, das ich fälle, behauptet einen 
Sachverhalt; es setzt diesen Sachverhalt als wahr. Auch hier entsteht 
die philosophische Frage nach dem Sinn und Recht dieser Wahrheits- 
thesis; auch hier leugne ich nicht die Idee der objektiven Wahrheit, 
aber sie wird zum Problem, das ich von dem absolut Gegebenen aus zu 
begreifen habe. — Das »reine Bewußtsein« ist der Sitz des philosophi- 
schen a priori. Hingegen muß und wird die philosophische Klärung 
der Wirklichkeitsthesis ergeben, daß keiner jener erfahrenden Akte der 
Wahrnehmung, Erinnerung usw., in denen ich Wirklichkeit erfasse, ein 
letztes Recht dazu gibt, dem wahrgenommenen Gegenstände Existenz 
und die wahrgenommene Beschaffenheit zuzuschreiben; dieses Recht kann 
von einem auf andere Wahrnehmungen usw. sich stützenden immer wie- 
der überwogen werden. Es liegt im Wesen eines wirklichen Dinges, ein 
Unerschöpfliches zu sein an Inhalt, dem wir uns nur durch immer neue, 
zum Teil sich widersprechende Erfahrungen und deren Abgleich un- 
begrenzt nähern können. In diesem Sinne ist das wirkliche Ding eine 
Grenzidee. Darauf beruht der empirische Charakter aller Wirklichkeits- 
erkenntnis x ). 



Einleitung. e 

Die Urform des Bewußtseinstromes ist ' die Zeit. Es ist eine Tat- 
sache, sie mag so dunkel und rätselhaft für die Vernunft sein wie sie 
will, aber sie läßt sich nicht wegleugnen und wir müssen sie hinnehmen, 
daß die Bewußtseinsinhalte sich nicht geben als seiend schlechthin (wie 
etwa Begriffe, Zahlen u. dgl.), sondern als jetzt- seiend , die Form des 
dauernden Jetzt erfüllend mit einem wechselnden Gehalt; so daß es nicht 
heißt: dies ist, sondern: dies ist jetzt, doch jetzt nicht mehr. Reißen 
wir uns in der Reflexion heraus aus diesem Strom und stellen uns seinen 
Gehalt als ein Objekt gegenüber, so wird er uns zu einem zeitlichen 
Ablauf, dessen einzelne Stadien in der Beziehung des früher und später 
zueinander stehen. 

Wie die Zeit die Form des Bewußtseinstromes, so, darf man mit 
Fug und Recht behaupten, ist der Raum die Form der körperlichen 
Wirklichkeit. Alle Momente körperlicher Dinge, wie sie in den Akten 
äußerer Wahrnehmung gegeben sind, Farbe z. B., haben das Auseinander 
der räumlichen Ausbreitung an sich. Aber erst indem sich aus allen 
unseren Erfahrungen eine einzige zusammenhängende reale Welt aufbaut, 
wird die in jeder Wahrnehmung gegebene räumliche Ausbreitung zu einem 
Teil des einen und selben Raumes, der alle Dinge umspannt. Dieser 
Raum ist Form der Außenwelt; das will sagen: jedes körperliche Ding 
kann, ohne irgendwie inhaltlich ein anderes zu sein als es ist, ebenso- 
gut an jeder anderen Raumstelle sein als gerade an dieser. Damit ist 
zugleich die Homogenität des Raumes gegeben, und hier liegt die eigent- 
liche Wurzel des Kongruenzbegriffs. 

Wäre es nun so, daß die Welt des Bewußtseins und der transzen- 
denten Wirklichkeit völlig voneinander geschieden sind oder vielmehr 
nur das stille Hinblicken der Wahrnehmung die Brücke zwischen ihnen 
spannt, so bliebe es wohl dabei, wie ich es eben dargestellt habe: auf 
der einen Seite das in der Form des dauernden Jetzt sich wandelnde, 
aber raumlose Bewußtsein, auf der andern die räumlich ausgebreitete, 
aber zeitlose Wirklichkeit, von der jenes nur ein wechselndes Phänomen 
enthält. Ursprünglicher aber als alle Wahrnehmung ist in uns das Er- 
leben von Streben und Widerstand, des Tuns und Leidens*). Für einen 
in natürlicher Aktivität lebenden Menschen dient die Wahrnehmung vor 
allem dazu, ihm den bestimmten Angriffspunkt seiner gewollten Tat und 
den Sitz ihrer Widerstände in bildhafter Klarheit vor das Bewußtsein zu 
rücken. Im Erleben des Tuns und Erleidens werde ich selbst mir zu 
einem einzelnen Individuum von psychischer Realität, geknüpft an einen 
Leib, der unter den körperlichen Dingen der Außenwelt seine Stelle im 
Raum hat und durch den hindurch ich mit andern Individuen meines- 
gleichen in Verbindung stehe; wird das Bewußtsein, ohne doch seine 
Immanenz preiszugeben, zu einem Stück der Wirklichkeit, zu diesem be- 



*) Unsere Grammatik hat nur die Verbformen des activum und passivum; es gibt 
keine zum Ausdruck eines Geschehens, geschweige denn eines Sachverhalts. 



6 Einleitung. 

sonderen Menschen, der ich bin, der geboren ward und sterben wird. 
Anderseits spannt aber dadurch auch das Bewußtsein seine Form, die 
Zeit, über die Wirklichkeit aus: in ihr selber ist darum Veränderung, 
Bewegung, Ablauf, Werden und Vergehen; und wie mein Wille durch 
meinen Leib hindurch als bewegende Tat in die reale Welt wirkend hin- 
übergreift, so ist sie selber auch wirkende (wie ihr deutscher Name > Wirk- 
lichkeit« besagt), ihre Erscheinungen stehen in einem durchgängigen 
Kausalzusammenhang untereinander. In der Tat zeigt sich in der Physik, 
daß kosmische Zeit und Kausalität nicht voneinander zu trennen sind. 
Die neue Weise, in der die Relativitätstheorie das Problern der Verkopp- 
lung von Raum und Zeit in der Wirklichkeit löst, fällt zusammen mit 
einer neuen Einsicht in den Wirkungszusammenhang der Welt. 

Der Gang unserer Betrachtungen ist damit klar vorgezeichnet. Was 
über die Zeit für sich zu sagen ist und über ihre mathematisch -begriff- 
liche Erfassung, möge noch in dieser Einleitung Platz finden. Weit aus- 
führlicher müssen wir dann vom Räume handeln. Das I. Kapitel ist dem 
Euklidischen Räume gewidmet und seiner mathematischen Konstruktion. 
Im II. Kapitel werden die Ideen entwickelt, welche über das Euklidische 
Schema hinausdrängen und im allgemeinen Riemannschen Raumbegriff 
ihren Abschluß finden. Darauf wird in einem III. Kapitel das eben er- 
wähnte Problem der Verkopplung von Raum und Zeit in der Welt zu 
erörtern sein; von hier ab spielen die Erkenntnisse der Mechanik und 
Physik eine wichtige Rolle, weil dieses Problem seinem Wesen nach, wie 
bereits betont, an die Auffassung der Welt als einer wirkenden geknüpft 
ist. Die Synthese der im II. und III. Kapitel enthaltenen Gedanken wird 
uns dann in dem abschließenden Kapitel IV zu Einsteins allgemeiner Re- 
lativitätstheorie führen, in der in physikalischer Hinsicht eine neue Theorie 
der Gravitation enthalten ist. Von den Umwälzungen, die unsere Vor- 
stellungen von Raum und Zeit darin erfahren, wird der Begriff der 
Materie sozusagen zwangsläufig miterfaßt werden; so daß, was darüber 
zu sagen ist, an der gehörigen Stelle im III. und IV. Kapitel zur Sprache 
kommen soll. — 

Um an die Zeit mathematische Begriffe heranbringen zu können, müssen 
wir die ideelle Möglichkeit, in der Zeit ein streng punktuelles Jetzt zu 
setzen, die Aufweisbarkeit von Zeitpunkten zugeben. Von je zwei ver- 
schiedenen Zeitpunkten wird dann immer der eine der frühere, der andere 
der spätere sein. Von dieser »Ordnungsbeziehung« gilt der Grundsatz: 
Ist A früher als B und B früher als C, so ist A früher als C. Je zwei 
Zeitpunkte AB, von denen A der frühere ist, begrenzen eine Zeitstrecke] 
in sie hinein fällt jeder Punkt, der später als A, früher als B ist. Daß 
die Zeit Form des Erlebnisstromes ist, kommt in der Idee der Gleichheil 
zum Ausdruck: der Erlebnisgehalt, welcher die Zeitstrecke AB erfüllt, 
kann an sich, ohne irgendwie ein anderer zu sein als er ist, in irgend 
eine andere Zeit fallen; die Zeitstrecke, die er dort erfüllen würde, ist der 
Strecke AB gleich. In der Physik ergibt sich daraus für die Gleichheit 



Einleitung. n 

von Zeitstrecken der objektiven Zeit, unter Hinzuziehung des Kausalitäts- 
prinzips, das folgende objektive Kriterium. Kehrt ein vollständig isoliertes 
(keine Einwirkung von außen erfahrendes) physikalisches System einmal 
genau zu demselben Zustand zurück, in dem es sich bereits in einem 
früheren Moment befand, so wiederholt sich von da ab die gleiche zeit- 
liche Zustandsfolge, und der Vorgang ist ein zyklischer. Ein solches 
System nennen wir allgemein eine Uhr. Jede Periode hat die gleiche 
Zeitdauer. 

Auf diese beiden Relationen, früher-später und gleich, stützt sich die 
mathematische Erfassung der Zeit durch das Messen. Wir versuchen, das 
Wesen des Messens kurz anzudeuten 3 ). Die Zeit ist homogen, d. h. ein 
einzelner Zeitpunkt kann nur durch individuelle Aufweisung gegeben 
werden, es gibt keine im allgemeinen Wesen der Zeit gründende Eigen- 
schaft, welche einem Zeitpunkt zukäme, einem andern aber nicht. In rein 
logischer Fassung: jede auf Grund der erwähnten beiden Urrelationen 
rein logisch zu definierende Eigenschaft kommt entweder allen Zeitpunkten 
oder keinem zu. Ebenso steht es noch mit den Zeitstrecken oder Punkte- 
paaren : es gibt keine auf Grund jener beiden Urrelationen zu definierende 
Beziehung zwischen zwei Punkten, die nicht für jedes Punktepaar AB 
[A früher als B) erfüllt wäre, wenn sie für ein solches besteht. Anders 
wird die Sache aber, wenn wir zu drei Zeitpunkten übergehen. Sind irgend 
zwei Zeitpunkte OE, von denen O der frühere ist, gegeben, so ist es 
möglich, jeden Zeitpunkt P relativ zu der Einheitsstrecke OE auf begriff- 
liche Weise festzulegen; d. h. es ist möglich, rein logisch aus den Ur- 
relationen eine Beziehung / zwischen drei Punkten zu definieren, für welche 
folgendes gilt: i) zu je zwei Punkten A und B, von denen A der frühere 
ist, gibt es einen und nur einen Punkt C, so daß zwischen A, B und C 
die Beziehung / statthat, in Zeichen: 

AC= t AB; 
2) es ist 

(*) OP= t ■ OE. 

Und übrigens kann es bei gegebenen Punkten OEP auch nur eine solche 

Relation geben. Denn wäre /* eine zweite, so käme die durch 

/• AB = t* • AB 
erklärte Eigenschaft der Zeitstrecke AB = OE und folglich wegen der 
Homogenität jeder Zeitstrecke zu; also drücken dann die Gleichungen 

AC=tAB und AC = /* • AB 
beide dieselbe Relation aus. Die Zahl ist nichts anderes als ein zu- 
sammengedrängtes Symbol für eine derartige Relation / und ihre logische 
Definition auf Grund der Urbeziehungen. Bei gegebener Einheitsstrecke 
OE wird durch (*) eine umkehrbar- eindeutige Korrespondenz zwischen den 
Zeitpunkten P und den Zahlen t hergestellt ; wir sprechen von P geradezu 
als dem »Zeitpunkt t*\ genauer heißt / die Abszisse von P. Die Logik 
wird hier zur Arithmetik. 



g Einleitung. 

Durch diese prinzipielle Formulierung des Messens, meine ich, wird 
es begreiflich, wie die Mathematik zu ihrer Rolle in den exakten Natur- 
wissenschaften kommt. Für das Messen wesentlich ist der Unterschied 
zwischen dem > Geben* eines Gegenstandes durch individuelle Aufweisung 
einerseits, auf begrifflichem Wege anderseits. Das letzte ist immer nur 
relativ zu Gegenständen möglich, die unmittelbar aufgewiesen werden 
müssen. Deshalb ist mit dem Messen immer eine Relativitätstheorie ver- 
knüpft. Ihr Problem stellt sich allgemein für ein beliebiges Gegenstands- 
gebiet so: i) Was muß aufgewiesen werden, um relativ dazu auf begriff- 
lichem Wege jeden Gegenstand P des in Frage stehenden Gebietes geben 
zu können ? Das Aufzuweisende heißt das Koordinatensystem, die begriff- 
liche Definition die Koordinate (oder Abszisse) von P in jenem Koordi- 
natensystem. Zwei verschiedene Koordinatensysteme sind objektiv völlig 
gleichwertig, es gibt keine begrifflich zu erfassende Eigenschaft, welche 
dem einen zukäme, dem andern nicht; denn dann wäre zu viel unmittelbar 
aufgewiesen. 2) Welcher gesetzmäßige Zusammenhang findet zwischen den 
Koordinaten eines und desselben willkürlichen Gegenstandes P in zwei 
verschiedenen Koordinatensystemen statt? 

Hier im Gebiet der Zeitpunkte beantwortet sich die erste Frage dahin : 
das Koordinatensystem besteht aus einer Zeitstrecke OE (Anfangspunkt 
und Maßeinheit); die zweite aber durch die Transformationsformel 

/ = at' + b [a > o) , 

in welcher a, b Konstante sind und /, /' die Koordinaten desselben will- 
kürlichen Punktes Pin einem ersten, > ungestrichenen«, und einem zweiten, 
> gestrichenen « Koordinatensystem. Dabei können als charakteristische 
Zahlen a, b der Transformation für alle möglichen Paare von Koordinaten- 
systemen alle möglichen reellen Zahlen auftreten, mit der Beschränkung, 
daß a stets positiv ist. Die Gesamtheit dieser Transformationen bildet, 
wie das im Wesen der Sache liegt, eine Gruppe; d. h. 

1) die »Identität« t = t' ist in ihr enthalten; 

2) mit jeder Transformation tritt ihre Inverse in der Gruppe auf, 
d. h. diejenige, welche die erstere gerade wieder rückgängig macht. Die 
Inverse der Transformation (ä, b) : 

t = at' + b 



ist 



L 1 at'' 



t' = -t- 



3) mit zwei Transformationen ist in der Gruppe auch immer diejenige 
enthalten, welche durch Hintereinanderausführung jener beiden Trans- 
formationen hervorgeht. In der Tat: durch Hintereinanderausführung der 
beiden Transformationen 

t=at'-\-b, t'=a't"-\-b' 



Einleitung. g 

entsteht 

wo 

a* = a • a , £* = («£') + b 

ist; und wenn a und a positiv sind, ist auch ihr Produkt positiv. 

Die in Kap. III und IV behandelte Relativitätstheorie wirft das Re- 
lativitätsproblem auf nicht bloß für die Zeitpunkte, sondern für die ge- 
samte physische Welt. Es stellt sich aber heraus, daß es gelöst ist, sobald 
es einmal für die Formen dieser Welt, Raum und Zeit, seine Lösung 
gefunden hat: auf Grund eines Koordinatensystems für Raum und Zeit 
läßt sich auch das physikalisch Reale in der Welt nach allen seinen Be- 
stimmungen begrifflich, durch Zahlen, festlegen. — 

Alle Anfänge sind dunkel. Gerade dem Mathematiker, der in seiner aus- 
gebildeten Wissenschaft in strenger und formaler Weise mit seinen Begriffen 
operiert, tut es not, von Zeit zu Zeit daran erinnert zu werden, daß die 
Ursprünge in dunklere Tiefen zurückweisen, als er mit seinen Methoden 
zu erfassen vermag. Jenseits alles Einzelwissens bleibt die Aufgabe, zu 
begreifen. Trotz des entmutigenden Hin- und Heischwankens der Philo- 
sophie von System zu System können wir nicht darauf verzichten, wenn 
sich nicht Erkenntnis in ein sinnloses Chaos verwandeln soll. 



Kapitel I. 

Der Euklidische Raum: seine mathematische Forma- 
lisierung und seine Rolle in der Physik. 

§ r. Herleitung der elementaren Raumbegriffe 
aus dem der Gleichheit. 

Wie wir in der Zeit ein streng punktuelles Jetzt gesetzt haben, so 
setzen wir in der kontinuierlichen räumlichen Ausbreitung, die ebenfalls 
unendlicher Teilung fähig ist, als letztes einfaches Element ein exaktes 
Hier, den Raumpunkt. Der Raum ist nicht wie die Zeit ein eindimen- 
sionales Kontinuum, die Art seines kontinuierlichen Ausgebreitetseins läßt 
sich nicht auf das einfache Verhältnis von früher und später zurückführen ; 
wir lassen dahingestellt, in was für Relationen diese Kontinuität begriff-r 
lieh zu erfassen ist. Hingegen ist der Raum wie die Zeit Form der 
Erscheinungen, und damit ist die Idee der Gleichheit gegeben : identisch 
derselbe Gehalt, genau dasselbe Ding, welches bleibt, was es ist, kann so 
gut an irgend einer andern Raumstelle sein als an der, an welcher es 
sich wirklich befindet; das von ihm dann eingenommene Raumstück ©' 
ist demjenigen © gleich oder kongruent, welches es wirklich einnimmt. 
Jedem Punkt F von © entspricht ein bestimmter homologer Punkt F r in ©', 
der nach jener Ortsversetzung von demselben Teile des gegebenen Gehalts 
bedeckt sein würde, der in Wirklichkeit F bedeckt. Diese »Abbildung«, 
vermöge deren dem Punkte P der Punkt P' entspricht, nenne ich eine 
kongruente Abbildung. Bei Erfüllung geeigneter subjektiver Bedingungen 
würde uns jenes Materiale nach seiner Ortsversetzung genau so erscheinen 
wie das tatsächlich gegebene. Es ist der Glaube vernünftig zu recht- 
fertigen, daß ein als starr erprobter Körper — d. i. ein solcher, der, wie 
wir ihn auch bewegen und bearbeiten mögen, uns immer wieder genau so 
erscheint wie er vorher war, wenn wir uns selber zu ihm in die richtige 
Situation bringen — in zwei Lagen, die wir ihm erteilen, diese Idee 
gleicher Raumstücke realisiert. Den Begriff der Gleichheit will ich neben 
dem schwer zu analysierenden des kontinuierlichen Zusammenhangs dem 
Aufbau der Geometrie zugrunde legen und in einer flüchtig hingeworfenen 
Skizze zeigen, wie auf diese alle geometrischen Grundbegriffe zurückgeführt 
werden können. Dabei schwebt mir als eigentliches Ziel vor, unter den 
kongruenten Abbildungen die Translationen herauszuheben; erst von diesem 
Begriff aus soll dann eine strenger geführte axiomatische Begründung der 
Euklidischen Geometrie anheben. 

Zunächst die gerade Linie\ Ihre Eigentümlichkeit ist, daß sie durch 
zwei ihrer Punkte bestimmt ist ; jede andere Linie kann noch unter Fest- 



§ i. Herleitung der elementaren Raumbegriffe aus dem der Gleichheit. 1 1 

haltung zweier ihrer Punkte durch kongruente Abbildung in eine andere 
Lage gebracht werden (Linealprobe). Also: sind A, B zwei verschiedene 
Punkte, so gehört zu der geraden Linie g = AB jeder Punkt, der bei 
allen kongruenten Abbildungen in sich übergeht, die A und B in sich 
überführen (die gerade Linie »weicht nach keiner Seite aus«). Kinematisch 
ausgedrückt, kommt das darauf hinaus, daß wir die gerade Linie als Ro- 
tationsachse auffassen. Sie ist homogen und ein Linearkontinuum wie die 
Zeit: sie zerfällt durch einen beliebigen ihrer Punkte A in zwei Teile, 
zwei »Halbgeraden«. Gehören B und C je einem dieser beiden Teile 
an, so sagt man, A liege zwischen B und C\ die Punkte des einen 
Teils liegen rechts, die des andern links von A (dabei wird willkürlich 
bestimmt, welche Hälfte die linke und welche die rechte heißen soll). 
Die einfachsten Grundtatsachen, welche für diesen Begriff des »zwischen* 
gelten, lassen sich in solcher Vollständigkeit, wie es für den deduktiven 
Aufbau der Geometrie nötig ist, exakt formulieren. Daher sucht man 
in der Geometrie (unter Verkehrung des wahren anschaulichen Verhält- 
nisses) auf den Begriff des »zwischen«, auf die Relation »A gehört der 
Geraden B C an und liegt zwischen B und C«, alle Kontinuitätsbegriffe 
zurückzuführen. Sei A' ein Punkt rechts von A. Durch A' zerfällt die 
Gerade g gleichfalls in zwei Stücke; wir nennen dasjenige, dem A an- 
gehört, das linke. Liegt hingegen A' links von A, so dreht sich die 
Sache um. Bei dieser Festsetzung gelten dann analoge Verhältnisse nicht 
nur hinsichtlich A und A', sondern irgend zweier Punkte der geraden 
Linie. Durch das links und rechts sind die Punkte der Geraden genau in 
der gleichen Weise geordnet wie die Zeitpunkte durch das früher und später. 

Links und rechts sind gleichberechtigt. Es gibt eine kongruente Ab- 
bildung, die A fest läßt, jedoch die beiden Hälften, in welche die Gerade 
durch A zerfällt, vertauscht; jede Strecke AB läßt sich verkehrt mit sich 
zur Deckung bringen (so daß B auf A und A auf B fällt). Hingegen läßt 
eine kongruente Abbildung, die A in A überführt und alle Punkte rechts 
von A in Punkte rechts von A, alle Punkte links von A in Punkte links 
von A, jeden Punkt der Geraden fest. Die Homogene'ität der geraden 
Linie kommt darin zum Ausdruck, daß man die Gerade so mit sich zur 
Deckung bringen kann, daß irgend einer ihrer Punkte A in irgend einen 
andern A' übergeht, die rechte Hälfte von A aus in die rechte Hälfte 
von A' aus und ebenso die linke in die linke (Translation der Geraden). 
Führen wir für die Punkte der Geraden die Gleichheit AB = A' B' 
durch die Erklärung ein: sie besagt, daß AB durch eine Translation 
der Geraden in A' B' übergeht, so finden hinsichtlich dieses Begriffs die 
gleichen Umstände statt, wie sie für die Zeit galten. Sie ermöglichen 
die Einführung der Zahl, die Herstellung einer umkehrbar -eindeutigen 
Korrespondenz zwischen den Punkten auf der geraden Linie und den 
reellen Zahlen unter Zugrundelegung einer Einheitsstrecke OE. 

Betrachten wir die Gruppe der kongruenten Abbildungen, welche die 
Gerade g fest lassen (d. h. jeden Punkt von g in einen Punkt von g 



1 2 Der Euklidische Raum. 



überführen)! Unter ihnen haben wir die Rotationen als diejenigen her- 
vorgehoben, welche nicht nur g als Ganzes, sondern jeden Punkt von g 
einzeln an seiner Stelle lassen. Wie können wir in dieser Gruppe die 
Translationen von den Schraubungen unterscheiden? Ich will hier einen 
ersten Weg einschlagen, der auf einer rotativen Auffassung nicht nur 
der Geraden, sondern auch der Ebene beruht. 

Zwei von einem Punkt O ausgehende Halbgerade bilden einen Winkel. 
Jeder Winkel kann verkehrt mit sich zur Deckung gebracht werden, so 
daß der eine Schenkel auf den andern fällt und umgekehrt. Ein rechter 
Winkel ist mit seinem Nebenwinkel kongruent. Ist also // eine Gerade, 
die in A auf g senkrecht steht, so gibt es eine Rotation um g (Um- 
klappung), welche die beiden Hälften, in die h durch A zerfällt, ver- 
tauscht. Alle auf g in A senkrecht stehenden Geraden bilden die Ebene E 
durch A senkrecht zu g. Je zwei dieser senkrechten Geraden gehen 
auseinander durch Rotation um g hervor. Bringt man g irgendwie mit 

sich verkehrt zur Deckung, so daß A 
in A übergeht, die beiden Hälften, 
in die g durch A zerfällt, aber 
miteinander vertauscht werden, so 
kommt dabei die Ebene E notwen- 
dig mit sich selbst zur Deckung. 
Auch durch diese Eigenschaft zu- 
sammen mit der Rotationssymmetrie 
läßt sich die Ebene erklären: zwei 
Fig. i. kongruente rotationssymmetrische 

Tische sind eben, wenn ich dadurch, 
daß ich den einen mit vertikaler Achse verkehrt auf den andern stülpe, 
die beiden Tischplatten zur Deckung bringe. Die Ebene ist homogen. 
Der Punkt A auf E, der hier zunächst als >Zentrum« erscheint, ist in 
keiner Weise vor ihren übrigen Punkten ausgezeichnet; durch jeden von 
ihnen, A\ geht eine gerade Linie g hindurch von der Art, daß E aus 
allen Geraden durch A' senkrecht zu g besteht. Die aus den sämtlichen 
Punkten A' von E in dieser Weise hervorgehenden senkrechten Geraden g 
bilden eine Schar paralleler Geraden; in ihr ist die Gerade g, von der 
wir ausgingen, in keiner Weise ausgezeichnet. Die Geraden der Schar 
erfüllen den ganzen Raum, so daß durch jeden Raumpunkt eine und nur 
eine Gerade der Schar hindurchgeht. Sie ist unabhängig davon, an 
welcher Stelle A der Geraden g die obige Konstruktion ausgeführt wird: 
ist A* irgend ein Punkt von g, so schneidet die auf g in A* errichtete 
Normalebene nicht nur g, sondern alle Geraden der Parallelenschar senk- 
recht. Diese aus den sämtlichen Punkten A* von g entstehenden Normal- 
ebenen E* bilden eine parallele Schar von Ebenen; auch sie erfüllen 
den Raum einfach und lückenlos. Es bedarf nur noch eines kleinen 
Schrittes, um von dem so gewonnenen Raumgerüst zum rechtwinkligen 
Koordinatensystem zu gelangen. Hier benutzen wir es jedoch, um den 




§ i. Herleitung der elementaren Raumbegriffe aus dem der Gleichheit. j2 

Begriff der räumlichen Translation festzulegen : die Translation ist eine kon- 
gruente Abbildung, die nicht nur^-, sondern jede Gerade der Parallelenschar 
in sich überführt. Es gibt eine und nur eine Translation, welche den belie- 
bigen Punkt A von g in den beliebigen Punkt A* derselben Geraden überführt. 
Ich will noch einen zweiten Weg angeben, um zum Begriff der Trans- 
lation zu gelangen. Das Hauptkennzeichen der Translation ist, daß in 
ihr alle Punkte gleichberechtigt sind, daß von dem Verhalten eines Punktes 
bei der Translation nichts Objektives ausgesagt werden kann, was nicht 
auch für jeden andern gelte (so daß auch bei gegebener Translation die 
Punkte des Raumes nur durch individuelles Aufweisen [>dieser da«] von- 
einander unterschieden werden können, während z. B. in einer Rotation 
sich die Punkte der Achse durch die Eigenschaft, daß sie an ihrer Stelle 
bleiben, vor allen übrigen auszeichnen). Indem wir dieses Kennzeichen 
in den Vordergrund stellen, ergibt sich die folgende Erklärung der Trans- 
lation, die von dem Begriff der Rotation ganz unabhängig ist. Bei 
einer, kongruenten Abbildung gehe der beliebige Punkt P in P' über; wir 
wollen PP' ein Paar zusammengehöriger Punkte nennen. Hat eine zweite 
kongruente Abbildung die Eigenschaft, daß sie jedes Paar zusammen- 
gehöriger Punkte wiederum in ein solches Paar überführt, so soll sie mit 
der ersten vertauschbar genannt werden. Eine kongruente Abbildung 
heißt eine Translation, wenn es mit ihr vertauschbare kongruente Ab- 
bildungen gibt, welche den beliebigen Punkt A in den beliebigen Punkt B 
überführen. — Daß zwei kongruente Abbildungen /, II miteinander ver- 
tauschbar sind, besagt, wie man sofort auf Grund der Erklärung beweist, 
daß die durch Hintereinanderausführung der Abbildungen /, II ent- 
stehende kongruente Abbildung mit derjenigen identisch ist, die durch 
Hintereinanderausführung dieser beiden Abbildungen 77, I in umgekehrter 
Reihenfolge hervorgeht. Es ist eine Tatsache, daß eine Translation (und 
zwar, wie sich gleich zeigen wird, nur eine) existiert, welche den belie- 
bigen Punkt A in den beliebigen B überführt. Es ist eine Tatsache, 
daß, wenn % eine Translation ist, A und B irgend zwei Punkte, nicht 
bloß (laut Definition) überhaupt eine mit % vertauschbare kongruente Ab- 
bildung existiert, die A in B überführt, sondern daß insbesondere diejenige 
Translation, welche A nach B bringt, die geforderte Eigenschaft besitzt. 
Eine Translation ist daher mit allen Translationen vertausch bar; und eine 
kongruente Abbildung, die mit allen Translationen vertauschbar ist, not- 
wendig selber eine Translation. Daraus folgt, daß diejenige kongruente 
Abbildung, die durch Hintereinanderausführung zweier Translationen ent- 
steht, und ebenso die »Inverse« einer Translation (d. i. diejenige Abbil- 
dung, welche die Translation gerade wieder rückgängig macht) eine Trans- 
lation ist: die Translationen bilden eine »Gruppe*-'*). Es gibt keine Trans- 
lation, die den Punkt A in A überführt, außer der Identität, die jeden 
Punkt festläßt. Denn wenn eine solche Translation P in P' überführt, 
so muß es nach Definition eine kongruente Abbildung geben, die A in 
P und gleichzeitig A in P' verwandelt; mithin muß P' mit P identisch sein. 



»4 



Der Euklidische Raum. 



Es kann daher auch nicht zwei verschiedene Translationen geben, welche 
A in einen anderen Punkt B überführen. 

Ist so der Begriff der Translation unabhängig von dem der Rotation 
begründet, so läßt sich der obigen rotativen Auffassung von Gerade und 
Ebene eine translative gegenüberstellen. Sei eine Translation, die den 
Punkt A in A T überführt. Diese selbe Translation wird A t in einen 
Punkt A a , A a in A 3 überführen usf. ; durch sie wird A aus einem ge- 
wissen Punkt A- x hervorgehen, A-. t aus A- a usf. Damit erhalten wir 
zwar noch nicht die Gerade, aber eine Folge äquidistanter Punkte auf 
ihr. Nun existiert jedoch, wenn n eine natürliche Zahl ist, eine Trans- 
lation — , die bei «-maliger Wiederholung a ergibt. Verwenden wir, 

n a . 

vom Punkte A unsern Ausgang nehmend, — in der gleichen Weise wie 

eben a, so erhalten wir eine «-mal so dichte Punkterfüllung der zu kon- 
struierenden Geraden. Nehmen wir hier für n alle möglichen ganzen Zahlen, 
so wird diese Erfüllung, je größer n wird, um so dichter werden, und alle 
Punkte, die wir erhalten, verfließen zu einem Linearkontinuum, in das sie 
sich unter Aufgabe ihrer selbständigen Existenz einbetten (ich appelliere hier 
an die Anschauung der Kontinuität). Die gerade Linie, können wir sagen, 
entsteht aus einem Punkte durch immer wiederholte Ausführung derselben 
infinitesimalen Translation und ihrer Inversen. Eine Ebene aber entsteht 
durch Translation einer Geraden g an einer andern h\ sind g, h zwei 
verschiedene, durch den Punkt A gehende Gerade, so übe man auf g 
alle Translationen aus, welche h in sich überführen; die sämtlichen so 
aus g entstehenden Geraden bilden die Verbindungsebene von g und h. 
Es kommt erst Ordnung in den logischen Aufbau der Geometrie, 
wenn man den allgemeinen Begriff der kongruenten Abbildung zunächst 
zu dem der Translation verengert und diesen als Grundstein des axio- 
matischen Fundaments verwendet (§§ 2, 3). Doch kommen wir dadurch 
nur zu einer rein translativen, der -»affinen*. Geometrie, in deren Rahmen 
hernach der allgemeine Begriff der Kongruenz wieder eingeführt werden 
muß (§ 4). Nachdem die Anschauung uns die nötigen Unterlagen ge- 
liefert hat, treten wir mit dem nächsten Paragraphen in die Domäne der 
deduktiven Mathematik hinüber. 

§ 2. Grundlagen der affinen Geometrie. 

Eine Translation oder Verschiebung des Raumes wollen wir bis auf 
weiteres als einen Vektor bezeichnen; später freilich werden wir mit diesem 
Namen eine allgemeinere Vorstellung verbinden. Daß bei der Ver- 
schiebung a der Punkt P in Q übergeht, werde auch so ausgedrückt: Q 
ist der Endpunkt des von P aus aufgetragenen Vektors 0. Sind P und Q 
irgend zwei Punkte, so gibt es eine und nur eine Verschiebung a, die 
P in Q überführt; wir nennen sie den durch P und Q bestimmten Vektor 

und bezeichnen ihn mit PQ. 



§ 2. Grundlagen der affinen Geometrie. j e 



Diejenige Translation c, die durch Hintereinanderausführung zweier 
Translationen o und 6 entsteht, werde als die Summe von a und b be- 
zeichnet: C = a-f-b. Aus der Definition der Summe ergibt sich i) die 
Bedeutung der Multiplikation (Wiederholung) und der Teilung eines Vektors 
durch eine ganze Zahl; 2) der Sinn der Operation — , welche den Vektor a 
in den inversen — verkehrt; 3) was unter dem Vektor o zu verstehen 
ist, nämlich die alle Punkte festlassende »Identität«. Es ist 0. -f- o = 0, 

a -}- ( — a) = o. Weiter folgt daraus die Bedeutung des Symbols ± — 

H 

= Aa, in welchem m und n irgend zwei natürliche Zahlen sind und A 

m 
den Bruch dr — bezeichnet. Durch die Forderung der Stetigkeit ist 
n 

damit auch festgelegt, was unter dem Vektor Aa zu verstehen ist, wenn A eine 

beliebige reelle Zahl. Wir stellen folgendes einfache Axiomensystem der 

affinen Geometrie auf. 

I. Vektoren. 

Je zwei Vektoren a und b bestimmen eindeutig einen Vektor a -f- 6 als 
ihre » Summe «; eine Zahl X und ein Vektor a bestimmen eindeutig einen 
Vektor Aa, das »X-fache von a« [Multiplikation). Diese Operationen ge- 
nügen folgenden Gesetzen. 

a) Addition. 

1 . -f- b = b -f- a [kommutaiives Gesetz). , 

2. (a + b) + c = a + (6 + c) [assoziatives Gesetz). 

3. Sind a und C irgend zwei Vektoren, so gibt es eine?i und nur einen £ , 
für rvelchen die Gleichung + 5 = C gilt. Er heißt die Differenz c — a 
von c und a. [Möglichkeit der Subtraktion.) 

ß) Multiplikation. 

1. (A + ,«)a = (Ao) + [ua) [erstes distributives Gesetz). 

2. A(jua) = [Xf.i)a [assoziatives Gesetz). 

3. ia = a. 

4. A(a + b) = (Ao) -f- (Ab) [zweites distributives Gesetz). 

Die Gesetze ß) folgen für rationale Multiplikatoren A, fx aus den 
Additionsaxiomen, falls wir die Multiplikation mit solchen Faktoren wie 
oben aus der Addition erklären. Gemäß dem Prinzip der Stetigkeit 
nehmen wir sie auch für beliebige reelle Zahlen in Anspruch, formu- 
lieren sie aber ausdrücklich als Axiome, da sie sich in dieser Allge- 
meinheit rein logisch nicht aus den Additionsaxiomen herleiten lassen. 
Indem wir darauf verzichten, die Multiplikation auf die Addition zurück- 
zuführen, setzen sie uns in den Stand, aus dem logischen Aufbau der 
Geometrie die schwer zu greifende Stetigkeit ganz zu verbannen. 4. faßt 
die Ähnlichkeitssätze zusammen. 

y) Das »Dimensionsaxiom*, das hier seine Stelle im System findet, 
werden wir erst hernach formulieren. 



r 
l6 Der Euklidische Raum. 

II. Punkte und Vektoren. 

1. Je zwei Punkte A und B bestimmen einen Vektor a; in Zeichen 
»-»■ 

AB = a. Ist A irgend ein Punkt, a irgend ein Vektor, so gibt es einen 

»>->■ 
und nur einen Punkt B, für tvelchen AB = a ist. 

2. Ist AB = a, BC = 6 , so ist AC=a-\-h. 

In diesen Axiomen treten zwei Grundkategorien von Gegenständen auf, 

die Punkte und die Vektoren; drei Grundbeziehungen, nämlich diejenigen, 

welche durch die Symbole 

„ •»-*■ 

(1) a + b = c, b = /o, AB = a 

ausgedrückt werden. ' Alle Begriffe, die sich allein mit ihrer Hülfe rein 
logisch definieren lassen, gehören zur affinen Geometrie; alle Sätze, welche 
sich aus diesen Axiomen rein logisch folgern lassen, bilden das Lehr- 
gebäude der affinen Geometrie, das somit auf der hier gelegten axio- 
matischen Basis deduktiv errichtet werden kann. Übrigens sind unsere 
Axiome nicht alle logisch unabhängig voneinander, sondern die Additions- 
axiome für Vektoren (Tor, 2. und 3.) folgen aus denen, (II), welche die 
Beziehung zwischen Punkten und Vektoren regeln. Es lag uns aber daran, 
daß die Axiome / über Vektoren für sich schon ausreichen, um alle Tat- 
sachen, welche nur die Vektoren (und nicht die Beziehungen zwischen 
Punkten und Vektoren) betreffen, aus ihnen zu folgern. 

Aus den Additionsaxiomen la läßt sich schließen, daß ein bestimmter 
Vektor o existiert, der für jeden Vektor a die Gleichung + o = a 

erfüllt; aus den Axiomen II ergibt sich weiter, daß AB dann und nur 
dann dieser Vektor o ist, wenn die Punkte A und B zusammenfallen. 

Ist O ein Punkt, C ein von o verschiedener Vektor, so bilden die End- 
punkte P aller Vektoren OP von der Form £e (£ eine beliebige reelle 
Zahl) eine Gerade. Durch diese Erklärung wird die translative Auffassung 
der Geraden in eine exakte, nur die Grundbegriffe des affinen Axiomen- 
systems benutzende Definition gekleidet. Diejenigen Punkte P, für welche 
die Abszisse £ positiv ist, bilden die eine Hälfte, diejenigen, für welche 
£ negativ ist, die andere Hälfte der Geraden von O aus. Schreiben wir 
e x statt C und ist C a ein weiterer Vektor, der nicht von der Form £e, ist, 

so bilden die Endpunkte P aller Vektoren OP von der Form £ x e, + 5 3 e 2 
eine Ebene (translative Entstehung der Ebene durch Verschiebung einer 
Geraden längs einer andern). Verschieben wir endlich die Ebene E längs 
einer durch hindurchgehenden, aber nicht in E gelegenen Geraden, so 
durchstreicht sie den ganzen Raum. Ist mithin e 3 ein Vektor, d*er nicht 
unter der Form %^ -\- £ a e 3 enthalten ist, so kann jeder Vektor auf eine 
und nur eine Weise als eine lineare Kombination 

von c,, c B , e 3 dargestellt werden. Es ergeben sich hier naturgemäß 
folgende Begriffsbestimmungen. 



§ 2. Grundlagen der affinen Geometrie. I n 

Eine endliche Anzahl von Vektoren c,, e 3 , ••-, Ca heißt linear un- 
abhängig, wenn 

(2) &< + &«• H hl*e* 

nur dann = o ist, falls sämtliche Koeffizienten i; verschwinden. Unter 
dieser Voraussetzung bilden, wie wir uns ausdrücken wollen, die sämt- 
lichen Vektoren von der Form (2) eine h- dimensionale lineare Vektor- 
Mannigfaltigkeit, und zwar diejenige, welche von den Vektoren e x , C,, 
• • •, Ca -»aufgespannt* wird. Eine ^-dimensionale lineare Vektor-Mannig- 
faltigkeit 9Ji kann, unabhängig von der besonderen »Basis« e,-, folgender- 
maßen gekennzeichnet werden: 

1. Die beiden Grundoperationen: Addition zweier Vektoren und Mul- 
tiplikation eines Vektors mit einer Zahl führen nicht aus der Mannigfaltig- 
keit heraus; d. h. die Summe zweier zu 3K gehöriger Vektoren wie auch 
das Produkt eines zu ÜDJ gehörigen Vektors mit einer beliebigen reellen 
Zahl liegt stets wieder in 2J£. 

2. Es existieren in 9ft wohl h linear unabhängige Vektoren, aber je 
« -f- 1 sind voneinander linear abhängig. 

Aus der 2. Eigenschaft (die aus unserer ursprünglichen Definition mit 
Hülfe der elementarsten Sätze über lineare Gleichungen folgt) entnehmen 
wir, daß die Dimensionszahl h für die Mannigfaltigkeit als solche charakte- 
ristisch ist und nicht abhängig von der speziellen Vektorbasis, durch 
welche wir sie »aufspannen«. 

Das in der obigen Tabelle der Axiome noch ausgelassene Dimensions- 
axiom kann jetzt so formuliert werden: 

Es gibt n linear unabhängige Vektoren, aber je n -f- 1 sind voneinander 
linear abhängig, 

oder: die Vektoren bilden eine «-dimensionale lineare Mannigfaltigkeit. 
Das führt für n = 3 auf die affine räumliche Geometrie, für n = 2 auf 
die ebene, für « = 1 auf die Geometrie der Geraden. Bei der deduk- 
tiven Behandlung der Geometrie wird es aber zweckmäßig sein, den Wert 
von n unbestimmt zu lassen und so eine »«-dimensionale Geometrie« zu 
entwickeln, in welcher die der Geraden, der Ebene und des Raumes als 
die speziellen Fälle n = 1, 2, 3 enthalten sind. Denn wir sehen (hier 
für die affine, hernach für die vollständige Geometrie), daß in der mathe- 
matischen Struktur des Raumes nichts liegt, was uns nötigt, bei der 
Dimensionszahl 3 stehen zu bleiben. Gegenüber der in unsern Axiomen 
ausgedrückten mathematischen Gesetzmäßigkeit des Raumes erscheint seine 
spezielle Dimensionszahl 3 als eine Zufälligkeit, über die wir in einer 
systematischen deduktiven Theorie hinwegschreiten müssen. Auf die damit 
gewonnene Idee einer «-dimensionalen Geometrie kommen wir noch im 
nächsten Paragraphen zurück 4 ). Zunächst müssen wir die begonnenen Er- 
klärungen vervollständigen. 

Ist O ein beliebiger Punkt, so erfüllen die sämtlichen Endpunkte P 
der von O aus aufgetragenen Vektoren einer «-dimensionalen linearen 

Weyl, Raum, Zeit, Materie. 3. Aufl. 2 



lg Der Euklidische Raum. 



Vektor-Mannigfaltigkeit äft, wie sie durch (2) dargestellt ist, ein h-dimensio- 
nales lineares Punktgebilde] wir sagen, es werde vom Punkte O aus durch 
die Vektoren C, , e 3 , • • •, Ca aufgespannt. (Das 1 dimensionale Gebilde 
heißt Gerade, das 2 dimensionale Ebene.) Der Punkt O spielt auf dem 
linearen Gebilde keine ausgezeichnete Rolle; ist O' irgend ein Punkt des- 

selben, so durchläuft O'P, wenn für P alle möglichen Punkte des linearen 
Gebildes eintreten, die gleiche Vektor-Mannigfaltigkeit 9ft. Tragen wir 
die sämtlichen Vektoren der Mannigfaltigkeit ÜDJ einmal von einem Punkte O, 
ein andermal von einem beliebigen andern Punkte O' auf, so nennen wir 
die beiden entstehenden linearen Punktgebilde zueinander parallel. Darin 
liegt insbesondere die Definition paralleler Geraden und paralleler Ebenen. 
Derjenige Teil des durch Abtragen aller Vektoren (2) von O aus ent- 
standenen ^-dimensionalen linearen Gebildes, den wir erhalten, wenn wir 
die £ der Beschränkung 

unterwerfen, werde das von O aus durch die Vektoren e x , e 3 , • • • , tk 
aufgespannte ^-dimensionale Parallelepiped genannt. (Das 1 dimensionale 
Parallelepiped heißt Strecke, ein 2 dimensionales Parallelogramm. — Alle 
diese Begriffe tragen die Beschränkung auf den uns anschaulich gegebenen 
Fall n = 3 nicht in sich.) 

Einen Punkt O zusammen mit n linear unabhängigen Vektoren e x . e 2 , 
• • • , e» nennen wir ein Koordinatensystem (©). Jeder Vektor J kann 
auf eine und nur eine Weise in der Form 

(3) E = l I e I + ^ 2 e 2 H \- £„e„ 

dargestellt werden; die Zahlen £,• nennen wir seine Komponenten in dem 

Koordinatensystem ((£). Ist P ein beliebiger Punkt und OP gleich dem 
Vektor (3), so heißen die £,• außerdem die Koordinaten von P. Alle 
Koordinatensysteme sind in der affinen Geometrie gleichberechtigt: es 
gibt keine affingeometrische Eigenschaft, durch welche sich das eine von 
dem andern unterschiede. Ist 

O'- e' c' • • • e' 
ein zweites Koordinatensystem, so werden Gleichungen gelten 

n 

(4) ti=^Jakiti, 

in denen die ff** ein Zahlsystem bilden, das wegen der linearen Un- 
abhängigkeit der t'i eine von o verschiedene Determinante besitzen muß. 
Sind £,• die Komponenten eines Vektors j im ersten, f / im zweiten Ko- 
ordinatensystem, so besteht der Zusammenhang 

(5) £=J£V/*&, 



§ 2. Grundlagen der affinen Geometrie. \q 

wie man findet, indem man die Ausdrücke (4) in die Gleichung 

i i 

einsetzt, a,, a a) •••, a H seien die Koordinaten von O' im ersten Ko- 
ordinatensystem. Sind x t - die Koordinaten eines beliebigen Punktes im 
ersten, x\ im zweiten Koordinatensystem, so gelten die Gleichungen 

m 
( 6 ) x,= ^}cak x' k + cti . 

Denn x; — «,• sind die Komponenten von 

OP = OP — ob' 

im ersten, x'i im zweiten Koordinatensystem. Die Transformationsformeln (6) 
für die Koordinaten sind also linear; diejenigen (5) für die Vektorkompo- 
nenten entstehen aus ihnen einfach dadurch, daß die von den Variablen 
freien konstanten Glieder or,- gestrichen werden. — Es ist eine analytische 
Behandlung der affinen Geometrie möglich, bei der jeder Vektor durch 
seine Komponenten, jeder Punkt durch seine Koordinaten repräsentiert 
wird. Die geometrischen Beziehungen zwischen Punkten und Vektoren 
drücken sich dann aus als solche zwischen ihren Komponenten bzw. Ko- 
ordinaten bestehende Zusammenhänge, die durch beliebige lineare Trans- 
formation nicht zerstört werden. 

Die Formeln (5), (6) lassen noch eine andere Deutung zu: sie können 
als die Darstellung einer affinen Abbildung in einem bestimmten Ko- 
ordinatensystem aufgefaßt werden. Eine Abbildung, d. i. ein Gesetz, das 
jedem Vektor j einen »Bild «-Vektor r/, jedem Punkt P einen »Bild«- 
Punkt P 1 zuordnet, heißt linear oder affin, wenn durch die Abbildung die 
affinen Grundbeziehungen (1) nicht zerstört werden — wenn also das 
Bestehen von (1) die gleichen Relationen für die Bild -Vektoren und Punkte 
zur Folge hat: 

o'-fb'=c', V=Xa', A'P'=a' — 

und wenn außerdem das Bild keines von o verschiedenen Vektors = o 
ist, oder anders ausgedrückt : wenn aus zwei Punkten nur dann der gleiche 
Bildpunkt hervorgeht, falls sie selber identisch sind. Zwei Figuren, die 
durch affine Abbildung auseinander hervorgehen, sind affin. Sie sind vom 
Standpunkt der affinen Geometrie einander völlig gleich; es kann keine 
affine Eigenschaft geben, welche der einen zukäme, der andern aber nicht. 
Der Begriff der linearen Abbildung spielt also für die affine Geometrie 
die gleiche Rolle wie die Kongruenz in der vollständigen Geometrie; 
daraus geht seine prinzipielle Bedeutung hervor. Linear unabhängige 
Vektoren gehen durch affine Abbildung wieder in linear unabhängige über; 
ein ^-dimensionales lineares Gebilde in ein ebensolches Gebilde; parallele 
in parallele; ein Koordinatensystem 0|c x , e a , •••, e„ in ein neues Ko- 
ordinatensystem O' e', , e' 2 , • • •, e«. Die Zahlen 0*/, er,- mögen die gleiche 



20 Der Euklidische Raum. 



Bedeutung haben wie oben. Der Vektor (3) verwandelt sich durch die 
affine Abbildung in 

f— ££<*-&< H hi4 

Setzen wir die Ausdrücke von e£ ein, benutzen zur Darstellung der affi- 
nen Abbildung das ursprüngliche Koordinatensystem 0\t 1} C 3 , • • •, e„ 
und verstehen unter £,• die Komponenten irgend eines Vektors, unter 
£/ die seines Bildvektors, so ist also 

(5') . r# =£«**!*. 

Geht P über in P', so der Vektor OP in 0'P'\ daraus folgt: sind *,- 
die Koordinaten von P, x'i die von P ', so gilt 

n 

x'i = ^a ik Xk + Ott. 

In der analytischen Geometrie pflegt man die linearen Gebilde durch 
lineare Gleichungen für die Koordinaten des »laufenden Punktes« zu 
charakterisieren. Darauf werden wir im nächsten Paragraphen genauer 
eingehen; hier finde nur noch der Grundbegriff »lineare Form«, auf dem 
diese Darstellung beruht, seinen Platz. Eine Funktion Z(f) — deren 
Argument £ alle Vektoren durchläuft, deren Werte aber reelle Zahlen 
sind — heißt eine Linearform, wenn sie die Funktionaleigenschaften besitzt : 

Z(a + b) = Z(a) + Z(o); Z(Act) = l -Z(o). 

In einem Koordinatensystem e x , C 2 , •••, t n ist jede der n Vektorkompo- 
nenten £,• von £ eine solche Linearform. Für eine beliebige Linearform Z 
gilt, wenn £ durch (3) definiert ist, 

L[i) = &£%) + $M**) + • • • + UL{t») ; 
setzen wir also Z(e,-) = «,-, so erscheint die Linearform, in Komponenten 
dargestellt, unter der Gestalt 

tfxlx + ^.&H h a »%"\ 

die ai sind ihre konstanten Koeffizienten. Umgekehrt wird durch jeden 
Ausdruck dieser Art eine Linearform gegeben. Mehrere Linearformen 
L X ,L„ • • ,Za sind linear unabhängig, wenn keine Konstanten lt existieren, 
für welche identisch in £ die Gleichung 

KLM + KLM H h hz*tö = o 

besteht, außer A/=o. n + 1 Linearformen sind stets linear abhängig 
voneinander. 

§ 3. Idee der n-dimensionalen Geometrie. Lineare Algebra. 
Quadratische Formen. 

Um die Raumgesetze in ihrer vollen mathematischen Harmonie zu 
erfassen, müssen wir von der besonderen Dimensionszahl n = 3 abs- 
trahieren. Es hat sich nicht nur in der Geometrie, sondern in noch er- 



§ 3- Idee der «-dimensionalen Geometrie. Lineare Algebra. Quadratische Formen. 2 I 

staunlicherem Maße in der Physik immer wieder gezeigt, daß, sobald wir 
die Naturgesetze, von denen die Wirklichkeit beherrscht ist, erst einmal 
völlig durchdringen, diese sich in mathematischen Beziehungen von der 
durchsichtigsten Einfachheit und vollendetsten Harmonie darstellen. Den 
Sinn für diese Einfachheit und Harmonie, den wir heute in der theo- 
retischen Physik nicht missen können, zu entwickeln, scheint mir eine 
Hauptaufgabe des mathematischen Unterrichts zu sein; sie ist für uns eine 
Quelle hoher Erkenntnisbefriedigung. Die analytische Geometrie, in so 
gedrängter und prinzipieller Form vorgetragen, wie ich es hier versuche, 
gibt einen ersten, aber noch unzulänglichen Begriff davon. Doch nicht 
nur um solcher Zwecke willen müssen wir uns über die Dimensionszahl 
« = 3 erheben, sondern wir benötigen für spätere konkrete physikalische 
Probleme, wie sie die Relativitätstheorie mit sich bringt, in der die Zeit 
zum Raum hinzutritt, die vierdimensionale Geometrie. 

Man braucht keineswegs die Geheimlehren der Spiritisten zu Rate zu 
ziehen, um sich den Gedanken einer mehrdimensionalen Geometrie an- 
schaulich näher zu bringen. Betrachten wir z. B. homogene Gasgemische 
aus Wasserstoff, Sauerstoff, Stickstoff und Kohlensäure. Ein beliebiges 
Quantum eines solchen Gemisches ist charakterisiert durch die Angabe, 
wieviel Gramm jedes Gases in ihm enthalten sind. Nennen wir jedes 
solche Quantum einen Vektor (Namen können wir geben, wie wir wollen) 
und verstehen unter Addition die Vereinigung zweier Gasquanten im 
gewöhnlichen Sinne, so sind die sämtlichen auf Vektoren bezüglichen 
Axiome / unseres Systems mit der Dimensionenzahl n = 4 erfüllt, wenn 
wir uns erlauben, auch von negativen Gasquanten zu reden. 1 gr reinen 
Wasserstoffs, 1 gr Sauerstoff, 1 gr Stickstoff und 1 gr Kohlensäure sind 
vier voneinander unabhängige > Vektoren«, aus denen sich alle andern 
linear zusammensetzen lassen, bilden also ein Koordinatensystem. — Oder 
ein anderes Beispiel: Auf jeder von 5 parallelen Stangen ist eine kleine 
Kugel verschiebbar. Ein bestimmter Zustand dieser primitiven > Rechen- 
maschine« ist gegeben, wenn die Stelle, an der sich jede der 5 Kugeln 
auf ihrer Stange befindet, bekannt ist. Nennen wir jeden solchen Zustand 
einen »Punkt« und jede simultane Verschiebung der 5 Kugeln einen 
»Vektor«, so sind unsere sämtlichen Axiome erfüllt mit der Dimensions- 
zahl n = 5. — Man sieht schon hieraus: es lassen sich anschauliche 
Gebilde mancherlei Art konstruieren, die bei geeigneter Namengebung 
unseren Axiomen genügen. 

Viel wichtiger aber als diese etwas spielerischen Exempel ist das 
folgende, welches zeigt, daß unsere Axiome die Operationsbasis für die 
Theorie der linearen Gleichungen charakterisieren. Sind a t - und a gegebene 
Zahlen, so nennt man bekanntlich 

(7) «, ** + «**• + h ct n x„ = o 

eine homogene, 

(8) a 1 x, + a 3 x 2 -f- • • • + ct„x M = a 



2 2 Der Euklidische Raum. 



eine inhomogene lineare Gleichung für die Unbekannten X{. Zur Behand- 
lung der Theorie der linearen homogenen Gleichungen ist es gut, für ein 
Wertsystem der Variablen x; einen kurzen Namen zu haben ; wir bezeichnen 
es als > Vektor«. Mit diesen Vektoren soll so gerechnet werden, daß unter 
der Summe der beiden Vektoren 

K, a a , ••, a n ) und (£ x) b a , •••, b n ) 
der Vektor 

[a s -f- b x1 a 2 -{-Z> 2 , ■■■ •, a n -f- b n ) 

verstanden wird und unter dem A-fachen des ersten der Vektor 

(Xa t) Xa 2 , ■ •-, la„). 

Dann sind die Axiome / über Vektoren erfüllt mit der Dimensionszahi n. 

Cx = (i> °, °, "•> °)> 
e, = (o, i, o, • • •, o), 



e„ = (o, o, o, • • •, i) 
bilden ein System unabhängiger Vektoren; die Komponenten eines be- 
liebigen Vektors (x I , x 3 , • • •, x„) in diesem Koordinatensystem sind die 
Zahlen Xi selber. Der Hauptsatz über die Lösung linearer homogener 
Gleichungen läßt sich jetzt so aussprechen: Sind Z x (rJ, Ate), • • •, Za(j) 
h linear unabhängige Linearformen, so bilden die Lösungen £ der Glei- 
chungen 

Ate) = °> Ate) = o, ... -, Mi) = o 

eine (n — ^)-dimensionale lineare Vektor-Mannigfaltigkeit. 

In der Theorie der inhomogenen linearen Gleichungen wollen wir ein 
Wertsystem der Variablen Xi lieber als einen »Punkt« bezeichnen. Sind 
xi und x'i zwei Lösungssysteme der Gleichung (8), so ist ihre Differenz 

X t X x} X t X a ) * *-*j %n Xfi 

eine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung (7). Wir wollen 
deshalb diese Differenz zweier Wertsysteme der Variablen Xi einen »Vektor« 
nennen, und zwar den durch die beiden »Punkte« (#/) und (x'i) bestimmten 
Vektor, und über die Addition von Vektoren und ihre Multiplikation mit 
einer Zahl die obigen Verabredungen treffen. Dann gelten die sämtlichen 
Axiome. Für das besondere Koordinatensystem, das aus den oben an- 
gegebenen Vektoren e,- besteht und dem »Anfangspunkt« O = (o, o, • • •, o), 
sind die Koordinaten eines Punktes (xi) die Zahlen Xi selber. Der Haupt- 
satz über lineare Gleichungen lautet: Diejenigen Punkte, welche h unab- 
hängigen linearen Gleichungen genügen, bilden ein (n — /^-dimensionales 
lineares Punktgebilde. 

So würde man auch ohne Geometrie von der Theorie der linearen 
Gleichungen her auf die natürlichste Weise nicht nur zu unsern Axiomen 
geführt werden, sondern auch zu den weiteren Begriffsbildungen, die wir 
an sie angeschlossen haben. Ja es wäre sogar in mancher Hinsicht 
zweckmäßig (wie namentlich die Formulierung des Satzes über homogene 
Gleichungen zeigt), die Theorie der linearen Gleichungen auf axiomatischer 
Basis in der Weise zu entwickeln, daß man die hier von der Geometrie 



§3- Idee der »-dimensionalen Geometrie. Lineare Algebra. Quadratische Formen. 23 

her gewonnenen Axiome an die Spitze stellt. Sie würde dann gültig sein 
für irgend ein Operationsgebiet, das jenen Axiomen genügt, und nicht 
bloß für die »Wertsysteme von n Variablen«. Freilich ist der Übergang 
von einer solchen mehr begrifflichen zu der üblichen, von vornherein 
mit Zahlen x,- operierenden mehr formalen Theorie ohne weiteres dadurch 
zu vollziehen, daß man ein bestimmtes Koordinatensystem zugrunde legt 
und nun statt der Vektoren und Punkte ihre Komponenten und Koor- 
dinaten benutzt. 

Aus alle dem geht hervor, daß die ganze affine Geometrie über den 
RaUm nur dieses lehrt (man wird uns ohne genauere Erklärung verstehen), 
daß er ein dreidimensionales lineares Größengebiet ist. Alle die anschau- 
lichen Einzeltatsachen, deren in § 1 Erwähnung geschah, sind nur Ver- 
kleidungen dieser einen einfachen Wahrheit. Ist es nun auf der einen Seite 
außerordentlich befriedigend, für die vielerlei Aussagen über den Raum, 
räumliche Gebilde und räumliche Beziehungen, aus denen die Geometrie 
besteht, diesen einen gemeinsamen Erkenntnisgrund angeben zu können, 
so muß auf der andern Seite betont werden, daß dadurch aufs deutlichste 
hervortritt, wie wenig die Mathematik Anspruch darauf machen kann, das 
anschauliche Wesen des Raumes zu erfassen: von dem, was den Raum 
der Anschauung zu dem macht, was er ist in seiner ganzen Besonderheit 
und was er nicht teilt mit »Zuständen von Rechenmaschinen« und »Gas- 
gemischen« und »Lösungssystemen linearer Gleichungen«, enthält die Geo- 
metrie nichts. Dies »begreiflich« zu machen oder ev. zu zeigen, warum 
und in welchem Sinne es unbegreiflich ist, bleibt der Metaphysik über- 
lassen. Wir Mathematiker können stolz sein auf die wunderbare Durch- 
sichtigkeit der Erkenntnis vom Räume, welche wir gewinnen; aber wir 
müssen uns zugleich sehr bescheiden, da unsere begrifflichen Theorien 
nur imstande sind, das Raumwesen nach einer Seite hin, noch dazu seiner 
oberflächlichsten und formalsten, zu erfassen. — 

Aus dem Gebiete der linearen Algebra haben wir, um von der affinen 
zur vollständigen metrischen Geometrie überzuleiten, noch einige Begriffe 
und Tatsachen nötig, die sich auf bilineare und quadratische Formen 
beziehen. Eine Funktion Qfet)) zweier willkürlicher Vektoren r; und t) 
heißt, wenn sie eine lineare Form sowohl in j wie in t) ist, eine Bilinear- 
form. Sind bei Benutzung eines bestimmten Koordinatensystems £,• die 
Komponenten von £, rj t - die von ty, so gilt eine Gleichung 

n 

1, k = 1 
mit konstanten Koeffizienten an. Wir wollen die Form *nicht-ausgeartet* 
nennen, wenn sie für einen Vektor £ identisch in t) nur dann verschwindet, 
falls l = o ist. Das ist dann und nur dann der Fall, wenn die homo- 
genen Gleichungen 

n 
^a ik §1 = O 



24 



Der Euklidische Raum. 



die einzige Lösung £,- = o besitzen oder wenn die Determinante | aik | =|= ° 
ist. Aus der Erklärung geht hervor, daß diese Bedingung des Nicht-Ver- 
schwindens der Determinante bei beliebiger linearer Transformation erhalten 
bleibt. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn Q{tyl) = (?(£t)) ist; an 
den Koeffizienten gibt sich das durch die Symmetrie-Eigenschaft aui = 0/4 
kund. Aus jeder Bilinearform Q(% t)) entsteht eine nur von einem variablen 
Vektor j abhängige quadratische Form 

n 
i, k = i 

Auf diese Weise entsteht jede quadratische Form insbesondere aus einer 
und nur einer symmetrischen Bilinearform. Die eben gebildete quadratische 
Form Q(%) kann nämlich auch durch Identifizierung von £ und t) erzeugt 
werden aus der symmetrischen Form 

\{Q{n) + Q{n)l 

Daß aus zwei verschiedenen symmetrischen Bilinearformen nicht dieselbe 
quadratische Form hervorgehen kann, ist bewiesen, wenn man zeigt, daß 
eine symmetrische Bilinearform £?(£t)), die identisch in £ der Gleichung 
Qiltl = ° g enu gt, identisch verschwinden muß. Dies geht aber aus der 
für jede symmetrische Bilinearform gültigen Relation 

(9) Q(i +*h i +•¥) "*- Q(n) + 2 öfe« + Q(n) 

hervor. Ist Qfe) das Zeichen für eine beliebige quadratische Form, so 
bedeutet (?(£t)) immer, ohne daß wir es jedesmal erwähnen, diejenige 
symmetrische Bilinearform, aus welcher (?(rj entsteht. Daß eine quadratische 
Form nicht-ausgeartet sei, soll bedeuten, daß jene symmetrische Bilinear- 
form nicht-ausgeartet ist. Eine quadratische Form (?(£) ist positiv- de finit, 
wenn sie der Ungleichung Q{%) ^> o für jeden Vektor £ 4= ° genügt. Eine 
solche ist gewiß nicht-ausgeartet; denn für keinen Vektor £ 4= o kann 
dann (?(£t)) identisch in \) gleich o sein, da es für t) ==£ positiv ausfällt. 

§ 4. Grundlagen der metrischen Geometrie. 

Um den Übergang von der affinen zur metrischen Geometrie zu be- 
werkstelligen, müssen wir noch einmal aus dem Born der Anschauung 
schöpfen. Ihr entnehmen wir (für den dreidimensionalen Raum) die Er- 
klärung jener Größe, die man als das skalare Produkt zweier Vektoren 
a und b bezeichnet. Nach Wahl eines bestimmten Einheitsvektors messen 
wir die Länge von a und die (mit dem richtigen Vorzeichen zu ver- 
sehende) Länge der senkrechten Projektion von 6 auf a und multiplizieren 
diese beiden Maßzahlen miteinander. Dabei sind also nicht bloß, wie in 
der affinen Geometrie, parallele Strecken ihrer Länge nach zu vergleichen, 
sondern solche von beliebiger Richtung gegeneinander. Für das skalare 
Produkt gelten folgende Rechengesetze: 

la ■ 6 = X[a • b) ; (0 + 0') • b = (0 • b) + (o'- b) 



§ 4- Grundlagen der metrischen Geometrie. 2 5 

und das analoge in bezug auf den zweiten Faktor; außerdem das kom- 
mutative • b = 6 • Q. Das skalare Produkt von a mit sich selbst, 
• = a 3 , ist stets positiv, außer wenn a = o, und gleich dem Quadrat 
•der Länge von a. Diese Gesetze besagen: das skalare Produkt zweier 
willkürlicher Vektoren j • t) ist eine symmetrische Bilinearform, und die 
aus ihr entstehende quadratische Form ist positiv-definit. Man erkennt 
also: nicht die Länge, sondern das Quadrat der Länge eines Vektors 
hängt in einfacher, rationaler Weise von dem Vektor selbst ab, ist nämlich 
eine quadratische Form; das macht den eigentlichen Inhalt des Pytha- 
goreischen Lehrsatzes aus. Das skalare Produkt ist nichts anderes als die 
symmetrische Bilinearform, aus welcher diese quadratische Form entsteht. 
Wir formulieren demnach folgendes 

Metrische Axiom : Nach Wahl eines von o verschiedenen Einheitsvektors C 
bestimmen je zwei Vektoren £ und t) eindeutig eine Zahl (j • t}) = Q[£t))\ 
sie ist in ihrer Abhängigkeit von den beiden Vektoren eine symmetrische 
Bilinearform, die aus ihr entstehende quadratische Form (j • j) = Q(^) 
positiv-definit. Q{t) ist = 1. 

Q nennen wir die metrische Fundamentalform. Jetzt gilt: Eine affine 
Abbildung, die allgemein den Vektor £ in j' überführt, ist eine kongruente, 
wenn sie die metrische Fundamentalform invariant läßt: 

(10) e« — cwj/ 

zwei Figuren, die durch kongruente Abbildung ineinander übergeführt werden 
können, sind kongruent*). Bei unserm axiomatischen Aufbau definieren 
wir durch diese Aussagen den Begriff der Kongruenz. Liegt irgend ein 
Operationsbereich vor, in welchem die Axiome des § 2 erfüllt sind, so 
können wir eine beliebige positiv-definite quadratische Form in ihm wählen, 
sie zur metrischen Fundamentalform »ernennen« und auf Grund ihrer den 
Begriff der Kongruenz so definieren, wie es eben geschehen ist: dann ist 
durch jene Form in den affinen Raum eine Metrik eingetragen, und zwar 
gilt jetzt die gesamte Euklidische Geometrie. Wieder ist die Formulierung, 
zu der wir gelangt sind, nicht an eine spezielle Dimensionszahl gebunden. 
Aus (10) folgt mittels der Relation (9) des § 3, daß für eine kongruente 
Abbildung allgemeiner 

gdt. . 

Da der Begriff der Kongruenz durch die metrische Fundamentalform 
definiert ist, so ist es kein Wunder, daß diese in alle Formeln eingeht, 
welche die Maße geometrischer Größen betreffen. Zwei Vektoren a und 0' 
sind dann und nur dann kongruent, wenn 

Q(a) = G(a'). 
Wir könnten daher Q(a) als Maßzahl des Vektors einführen; wir be- 



*) Wir unterdrücken hier den Unterschied zwischen direkter und spiegelbildlicher 
Kongruenz. Er findet schon für affine Abbildungen, und zwar im «-dimensionalen so 
gut wie im dreidimensionalen Räume, statt. 



2 6 Der Euklidische Raum. 



nutzen aber statt dessen die positive Quadratwurzel aus Q{a) und 
nennen diese die Länge des Vektors a (das ist jetzt Definition), damit 
die weitere Bedingung erfüllt ist, daß die Länge der Summe zweier paral- 
leler und gleichgerichteter Vektoren gleich der Summe der Längen der 
beiden Einzelvektoren ist. Sind et, b ebenso wie et', b' je zwei Vektoren 
von der Länge I, so ist die von den beiden ersten gebildete Figur dann 
und nur dann kongruent mit der aus den beiden letzten bestehenden, wenn 

Q(a, b) = Q(a\ V) 
ist. Wieder aber führen wir nicht diese Zahl Q(a, b) selbst als Maßzahl 
des Winkels ein, sondern eine Zahl #, welche mit ihr durch die trans- 
zendente Funktion cos zusammenhängt: 

cos# = Q(a, b), 
damit der Satz gilt, daß sich bei Aneinanderlegung zweier Winkel in der 
gleichen Ebene die Maßzahlen der Winkel addieren. Der von zwei be- 
liebigen Vektoren a und b (=f= o) gebildete Winkel # berechnet sich dann aus 

Q(o, b) 

(II cos & =. — — 

VQ{aa)-Q{bb) 
Insbesondere heißen zwei Vektoren o, b senkrecht zueinander, wenn 
Q(ab) = o ist. Diese Erinnerung an die einfachsten metrischen Formeln 
der analytischen Geometrie mag genügen. 

Daß der durch (n) definierte Winkel zweier Vektoren immer reell 
ist, beruht auf der für jede quadratische Form Q, die für alle Argument- 
werte ^ o ist, gültigen Ungleichung 
(™) Q>(ab)^Q(a)-Q(b). 

Sie ergibt sich am einfachsten, wenn man bildet: 

Q(Xa + txb) = l*Q(a) + 2lnQ(ab) + ii*Q{b)^o. 
Da die hier hingeschriebene quadratische Form von X und /u nicht 
Werte beiderlei Vorzeichens annimmt, kann ihre » Diskriminante « 
Q*(üb) — Q(a) ■ Q(b) unmöglich positiv sein. 

n unabhängige Vektoren c» bilden ein Cartesisches Koordinatensystem, 
wenn für jeden Vektor 
(13) l = ^e, + * 2 e 3 H h x H t n 

£(?) = *:+*: + ••• + *« 

ist, d. h. wenn 

<?(e,-,e*) = {•{; = ;[,} 

ist. Alle Cartesischen Koordinatensysteme sind vom Standpunkt der me- 
trischen Geometrie aus gleichberechtigt. Den sich aufs engste an die 
geometrische Anschauung anschließenden Beweis, daß solche Systeme 
existieren, wollen wir sogleich nicht bloß für eine definite, sondern eine 
beliebige nicht-ausgeartete quadratische Form erbringen, da später in der 
Relativitätstheorie gerade der indefinite Fall von entscheidender Wichtigkeit 
wird. Wir behaupten: 



§ 4- Grundlagen der metrischen Geometrie. ■ 27 

Zu einer nicht- aus gearteten quadratischen Form Q kann man ein solches 
Koordinatensystem e,- einführen, daß 

(M) Q{l) = *,** + «,*:H h tnxl (e t - = ± 1) 

wird. 

Beweis: Wir wählen einen beliebigen Vektor c,, für den Q{t t ) 4= ° 
ist; indem wir ihn mit einer geeigneten positiven Konstanten multipli- 
zieren, können wir noch erreichen, daß (2(eJ = ± 1 ist. Ein Vektor j, 
für den (?( e iE) = o ist, wollen wir auch hier zu c x orthogonal nennen. 
Ist J* ein zu C x orthogonaler Vektor, x z eine beliebige Zahl, so gilt für 

(15) f = ^ I e 1 +J* 
der »Pythagoreische Lehrsatz«: 

Q{£) = x\Q{t x ) + 2x l Q{t l i*) + Q{?) — ±<H- öd*)- 
Die zu c t orthogonalen Vektoren bilden eine lineare [n — i)-dimensio- 
nale Mannigfaltigkeit, in welcher Qfe) eine nicht-ausgeartete quadratische 
Form ist. Da unser Satz für die Dimensionszahl n = 1 selbstverständlich 
ist, dürfen wir annehmen, er gelte für n — 1 Dimensionen (Schluß von 
n — 1 auf n). Danach existieren n — 1 zu c t orthogonale Vektoren e 2 , 
• • ■ , t n derart, daß für 

l* = x* *, H h ** ** 

die Formel gilt 

und daraus erhalten wir für Qfe) die gewünschte Darstellung. Es ist 

<2(e,-) = «/, Ö(e/,e*) = o (i^k). 

Daß die c,- alle voneinander linear unabhängig sind und sich jeder 
Vektor j in der Gestalt (13) darstellen läßt, ist eine Folge dieser Rela- 
tionen; sie liefern 

(16) */= fi/-ö(e«, 5). 

Für den indefiniten Fall ist ein wichtiger Zusatz zu machen : Die An- 
zahlen r und s der positiven und negativen unter den Vorzeichen £,• sind 
durch die quadratische Form eindeutig bestimmt] ich will sagen, sie habe 
r positive und 5 negative Dimensionen. (Man pflegt s den Trägheits- 
index der quadratischen Form zu nennen, und der eben behauptete Satz 
ist unter dem Namen des Trägheitsgesetzes bekannt. Auf ihm beruht 
z. B. die Klassifizierung der Flächen 2. Ordnung.) Wir können die An- 
zahlen r und s in folgender Weise invariant charakterisieren: Es gibt r 
wechselseitig zueinander orthogonale Vektoren C, für die Q[l) ^> o ist; aber 
für einen zu diesen orthogonalen, von o verschiedenen Vektor j gilt not- 
wendig Q(i) <^ o — sodaß mehr als r derartige Vektoren e nicht existieren 
können. Entsprechend für s. 

r Vektoren von der gewünschten Art werden durch diejenigen r Grund- 
vektoren ti des der Darstellung (14) zugrunde liegenden Koordinaten- 
systems geliefert, denen die positiven Vorzeichen €,■ korrespondieren ; die zu- 



2 g Der Euklidische Raum. 



gehörigen Komponenten #/(*'== 1,2, • -,r) sind bestimmte Linearformen von J 
[vergl. (16)]: Xi = Li{%). Ist nun e,-(/ = 1, 2, • •, r) irgend ein System von 
Vektoren, die wechselseitig zueinander orthogonal sind und der Bedingung 
Q[ti) ^> o genügen, und f ein zu diesen e,- orthogonaler Vektor, so können 
wir eine lineare Kombination 

mit nicht lauter verschwindenden Koeffizienten bestimmen, welche den r 
homogenen Gleichungen genügt 

4(9) = 0, •-., lm = °. 

Dann fällt, wie aus der Normaldarstellung hervorgeht, Q{\)) negativ aus, 
es sei denn, daß ^ = o ist. Mittels der Formel 

QW - (*;e(ej + • • • + kq(<4 - a**ö(s) 

folgt jetzt die Behauptung (?(e)<Co, außer für den Fall, daß \) = o; 
Ä f ae ••• = A r = o wird; dann aber muß nach Voraussetzung fi =j= o, 
also £ = o sein. 

In der Relativitätstheorie •wird der Fall einer quadratischen Form von einer nega- 
tiven und tt-i positiven Dimensionen von Bedeutung. Im dreidimensionalen Raum ist 
bei Benutzung affiner Koordinaten 

— x\ -f- x\ -f- x\ = o 

die Gleichung eines Kegels mit der Spitze im Nullpunkt, der aus zwei durch das ver- 
schiedene Vorzeichen von x z unterschiedenen Mänteln besteht, die nur im Nullpunkt 
miteinander zusammenhängen. Diese Trennung in zwei Mäntel liefert in der Relativitäts- 
theorie den Gegensatz von Vergangenheit und Zukunft ; wir wollen sie hier statt durch 
Kontinuitätsmerkmale auf elementarem Wege analytisch zu beschreiben versuchen. — 
Sei also Q eine nicht-ausgeartete quadratische Form von nur einer negativen Dimension. 
Wir wählen einen Vektor C, für welchen Q[t) = — 1 ist. Die von o verschiedenen Vek- 
toren £, für welche ö(j) = ° lsi t niögen >negative Vektoren« genannt werden. Nach 
dem eben geführten Beweis des Trägheitssatzes kann kein negativer Vektor der Glei- 
chung Q{t%) = o genügen. Sie zerfallen daher in zwei getrennte Klassen oder > Kegel« 
gemäß der Fallunterscheidung: Q{t%) <C o oder^> o; c selbst gehört dem ersten, , — e dem 
zweiten Kegel an. Ein negativer Vektor £ liegt »im Innern« oder > auf dem Mantel« seines 
Kegels, je nachdem (?(jXo oder = o ist. Um zu zeigen, daß die beiden Kegel un- 
abhängig sind von der Wahl des Vektors e, muß man beweisen: Aus Q(e) = Q{t') = — 1. 

O(e'r) 
Q(E) = o folgt, daß das Vorzeichen von - gleich dem von — Q[tt') ist. 

Jeden Vektor £ kann man in zwei Summanden zerlegen 

l = xt + l* 

derart, daß der erste proportional, der zweite J* orthogonal zu e ist. Man hat zu 
diesem Zwecke nur x = — Q{t%) zu nehmen, und es wird dann 

Ott --*•+■$«•}. 

(>&*) ist, wie wir wissen, notwendig =s o; schreiben wir dafür Q*, so zeigt die Gleichung 

e* = * 3 + C(r : ) = ö 2 (er ; ) + ö(E), 

daß Q* eine quadratische Form von g ist (übrigens eine ausgeartete), die der iden- 
tischen Ungleichung 0*(|) ^ o genügt. Wir haben jetzt 



§ 4- Grundlagen der metrischen Geometrie. 2Q 

G(Ö - - ** + Ö*(Ö ^ °> Ö(e') = - <' 2 + G*(e') < o. 
{^ = -ö(ej)} {*' = -G(ee')} 

Ans der auf (?* anwendbaren Ungleichung (12) folgt 

{Q*(l'l)}*t=Q*(t')-Q*(l)<e"x*; 
mithin hat 

-Q[t'l) = e'x-Q*[t'l) 

das Vorzeichen des ersten Summanden e'x. 

Wir lenken zu dem uns gegenwärtig interessierenden Fall einer positiv- 
definiten metrischen Grundform zurück. Benutzen wir zur Darstellung einer 
kongruenten Abbildung ein Cartesisches Koordinatensystem, so werden 
die Transformationskoeffizienten er,-* in Formel (5'), § 2 so beschaffen sein 
müssen, daß identisch in den £ die Gleichung 

r, 2 + £; a n h &* = £ 2 +'&+••• + e 

besteht. Das liefert die »Orthogonalitätsbedingungen« 

Sie besagen, daß beim Übergang zur inversen Abbildung die Koeffizienten a t jt 
sich in am verwandeln: 

n 
k = i 

Daraus folgt noch, daß die Determinante <d = \oiik\ einer kongruenten 
Abbildung mit der ihrer inversen identisch ist, und da ihr Produkt = 1 
sein muß, demnach i = ±i wird. (Das eine oder das andere Vor- 
zeichen wird eintreten, je nachdem es sich um eigentliche oder spiegel- 
bildliche Kongruenz handelt.) 

Für die analytische Behandlung der metrischen Geometrie ergeben 
sich zwei Möglichkeiten. Entweder man unterwirft das zu benutzende 
affine Koordinatensystem keiner Einschränkung; dann gilt es, eine Theorie 
der Invarianz gegenüber beliebigen linearen Transformationen zu ent- 
wickeln, in welcher aber zum Unterschied von der affinen Geometrie ein 
für allemal eine bestimmte invariante quadratische Form, die metrische 
Grundform 

n 

Qii) *=*2gi&U 

als absolutes Datum zur Verfügung steht. Oder aber man benutzt von 
vornherein nur Cartesische Koordinatensysteme; dann handelt es sich um 
eine Theorie der Invarianz gegenüber orthogonalen Transformationen, 
d. h. solchen linearen Transformationen, deren Koeffizienten die Neben- 
bedingungen (17) erfüllen. Wir müssen hier, um spätere Verallgemeine- 
rungen, die über die Euklidische Geometrie hinausführen, daran anknüpfen 
zu können, den ersten Weg einschlagen. Er erscheint auch algebraisch 
von vornherein als der einfachere, da es leichter sein wird, einen Über- 



3° 



Der Euklidische Raum. 



blick über diejenigen Ausdrücke zu gewinnen, .die bei allen linearen 
Transformationen ungeändert bleiben, als über diejenigen, welche sich 
nur gegenüber den orthogonalen Transformationen invariant verhalten 
(einer Klasse von Transformationen, die durch nicht leicht zu beherrschende 
Nebenbedingungen eingeschränkt sind). Wir werden hier die Invarianten- 
theorie, als * Tensorrechnung* , in solcher Gestalt entwickeln, daß sie uns 
die sachgemäße mathematische Fassung nicht nur der geometrischen, 
sondern auch aller physikalischen Gesetze ermöglicht. 

§ 5. Tensoren. 
Zwei lineare Transformationen 

(18) tr>JB<&* (l«*l*°) 

(18') *-J?*?fc (l«?l*°) 

k 

der Variablen '% bzw. v\ in die Variablen £, rj heißen kontragredient zu- 
einander, wenn dabei die bilineare Einheitsform £r}i£,* in sich übergeht: 

i 

(19) 2nt&~22*?.> 

i i 

Das Verhältnis der Kontragredienz ist daher ein wechselseitiges. Gehen 
durch ein erstes Paar kontragredienter Transformationen A, A die Va- 
riablen £, rj in £, rj über, diese durch ein zweites Paar 2>, B in f, /;, so 
folgt aus 

i i t 

daß die beiden zusammengesetzten Transformationen, welche | direkt 

in f , bzw. rj in rj überführen, gleichfalls zueinander kontragredient sind. 
Die Koeffizienten zweier kontragredienter Substitutionen genügen den 
Bedingungen 

, \ "<C7 r-^k *k fl (/ = k) 

(ao) 2^^ = ^ = {o[/^k)- 

Setzt man in der linken Seite von (19) nur für die £ ihre aus (18) zu 
entnehmenden Ausdrücke in £ ein, so erkennt man, daß die Gleichungen 
(18') durch Auflösung aus 

(21) rji= yja}rj k 

k 

hervorgehen. Zu einer linearen Transformation gibt es also eine und 
nur eine kontragrediente. Aus demselben Grunde wie (21) gilt 



r-^Äs*. 



§ 5- Tensoren. 3 1 

Durch Einsetzen dieser und der Ausdrücke (21) in (19) ergibt sich, daß 
die Koeffizienten außer (20) auch den Bedingungen 

(20') • yja' r a^ = 6 l k 

r 

genügen. Eine orthogonale Transformation ist eine solche, die zu sich 
selber kontragredient ist. Unterwirft man eine Linearform der Variablen 
£' einer beliebigen linearen Transformation, so transformieren sich die 
Koeffizienten kontragredient zu den Variablen, oder sie verhalten sich, 
wie man auch zu sagen pflegt, kontravariant zu diesen. 

Relativ zu einem affinen Koordinatensystem 0\ e,, e a , •• •, C„ hatten 
wir bis jetzt eine Verschiebung j durch diejenigen eindeutig bestimmten 
Komponenten £' charakterisiert, die sich aus der Gleichung 

ergeben. Gehen wir zu einem andern affinen Koordinatensystem 
^' e u C 2) ■•*> c « über, wobei 

k 
sei, so erfahren die Komponenten von 5, wie aus der Gleichung 

i i 

hervorgeht, die Transformation 

k 

sie transformieren sich also kontragredient zu den Grundvektoren des 
Koordinatensystems, verhalten sich kontravariant zu diesen und mögen 
daher genauer als kontravariante Komponenten des Vektors £ bezeichnet 
werden. Im metrischen Raum können wir eine Verschiebung aber auch 
relativ zum Koordinatensystem durch die Werte ihres skalaren Produkts 
mit den Grundvektoren e,- des Koordinatensystems charakterisieren: 

&.F- b • *) • 
Bei Übergang zu einem andern Koordinatensystem transformieren sich 
diese Größen — das ist aus ihrer Definition sofort ersichtlich — , wie 
die Grundvektoren selber, >kogredient« zu den Grundvektoren, d. i. nach 
den Gleichungen 

k 

sie verhalten sich >kovariant«, und wir nennen sie die kovarianten Kom- 
ponenten der Verschiebung. Der Zusammenhang zwischen den kovarianten 
und den kontravarianten Komponenten wird durch die Formeln vermittelt 



[*«) &=^(e,--e*)£*=J£W 



, 2 Der Euklidische Raum. 



bzw. nach den dazu inversen (durch Auflösung hervorgehenden) 

(22') S'=J£V'*S*. 

k 

In einem Cartesischen Koordinatensystem stimmen die kovarianten Kom- 
ponenten mit den kontravarianten überein. - — Es sei noch einmal be- 
tont, daß uns im affinen Raum nur die kontravarianten Komponenten 
zur Verfügung stehen, und wo deshalb in der Folge von Komponenten 
einer Verschiebung ohne Zusatz die Rede ist, sind darunter immer wie 
früher die kontravarianten zu verstehen. 

Es wurden schon im vorhergehenden Linearformen einer oder zweier 
willkürlicher Verschiebungen ins Auge gefaßt. Von 2 können wir zu 3 
und mehr Argumenten übergehen ; nehmen wir beispielsweise eine Tri- 
linearform A[£ty%). Stellt man in einem beliebigen Koordinatensystem 
die zwei Verschiebungen £, ty durch ihre kontravarianten, $ durch ihre 
kovarianten Komponenten dar, §', rf bzw. £*, so drückt sich A alge- , 
braisch als eine Trilinearform dieser drei Reihen von Variablen mit be- 
stimmten Zahlkoeffizienten aus: 

(23) 2 <&&?&• 

ikl 

Die analoge Darstellung in einem andern, überstrichenen Koordinaten- 
system sei 

(»3') sai^t. 



r~l T-i- 
tki 

Zwischen den beiden algebraischen Trilinearform en (23) und (23') besteht 
dann der Zusammenhang, daß die eine in die andere übergeht, wenn 
man die beiden Variablenreihen £, rj kontragredient, die Variablenreihe K 
aber kogredient zu den Grundvektoren transformiert. Auf Grund dieses 
Zusammenhangs kann man, wenn die Koeffizienten a t -k bekannt sind und 
die Transformationskoeffizienten a t - des einen in das andere Koordinaten- 
system, die Koeffizienten 04* von A im zweiten Koordinatensystem be- 
rechnen. Hiermit sind wir zu dem nicht auf die metrische Geometrie 
beschränkten, sondern nur den affinen Raum voraussetzenden Begriff des 
*r-fach kovarianten, s-fach kontravarianten Tensors (r + s)-ter Stufe « ge- 
langt, dessen Erklärung wir jetzt in abstracto angeben wollen ; um der ein- 
facheren Ausdrucksweise willen spezialisieren wir aber die Anzahlen r und s 
etwa wie in dem eben angeführten Beispiel: r = 2, 5=1, r -{- j = 3. 
Eine vom Koordinatensystem abhängige Trilinearform dreier Reihen 
von Variablen heißt ein zwiefach kovarianter, einfach kontravarianter 
Tensor 3. Stufe, wenn jene Abhängigkeit von folgender Art ist: die Aus- 
drücke der Linearform in irgend zwei Koordinatensystemen 

gehen ineinander über, wenn man zwei der Variablenreihen (nämlich die 



§ 5- Tensoren. 33 

ersten beiden, £, rj) kontragredient, die dritte kogredient (sc. zu den Grund- 
vektoren des Koordinatensystems) transformiert. Die Koeffizienten der Li- 
nearform heißen die Komponenten des Tensors in dem betr. Koordinaten- 
system ; und zwar nennen wir sie kovariant in den Indizes ik, die mit den 
kontragredient zu transformierenden Variablen verknüpft sind, kontravariant 
in den andern, hier dem einen Index l. 

Die Terminologie rechtfertigt sich dadurch, daß die Koeffizienten 
einer Unilinearform sich kovariant verhalten, wenn man die Variablen 
kontragredient transformiert, kontravariant, wenn man sie kogredient 
transformiert. Kovariante Indizes werden dem Koeffizientenzeichen immer 
unten, kontravariante oben angehängt. Variable mit unteren Indizes sollen 
stets kogredient, solche mit oberen Indizes stets kontragredient zu den 
Grundvektoren des Koordinatensystems transformiert werden. Ein Tensor 
ist vollständig bekannt, wenn seine Komponenten in einem Koordinaten- 
system gegeben sind (vorausgesetzt natürlich, daß das Koordinatensystem 
selber gegeben ist); diese aber können willkürlich vorgeschrieben werden. 
Aufgabe der Tensorrechnung ist es, Eigenschaften und Relationen von 
Tensoren aufzustellen, die unabhängig sind vom Koordinatensystem. Im 
übertragenen Sinne werden wir in Geometrie und Physik eine Größe als 
Tensor bezeichnen, wenn sie eindeutig und ohne Willkür eine vom Koordi- 
natensystem in der geschilderten Weise abhängige algebraische Linearform 
bestimmt, durch deren Angabe die Größe selbst vollständig charakterisiert 
ist. So haben wir oben eine Funktion dreier Verschiebungen, die homo- 
gen-linear von jedem ihrer Argumente abhängt, als einen Tensor 3. Stufe, 
und zwar als einen zwiefach kovarianten, einfach kontravarianten dar- 
gestellt. Dies war möglich im metrischen Raum, wie es denn dort über- 
haupt in unserm Belieben steht, jene Größe durch einen nullfach, ein- 
fach, zweifach oder dreifach kovarianten Tensor zu repräsentieren; im 
affinen Raum hätten wir sie jedoch nur in der letzten Weise, als einen 
kovarianten Tensor 3. Stufe ausdrücken können. 

Erläutern wir die allgemeine Erklärung sogleich durch einige Bei- 
spiele, wobei wir noch auf dem rein affinen Standpunkt verharren. 

1) Stellen wir eine Verschiebung a in einem beliebigen Koordinaten- 
system durch ihre (kontravarianten) Komponenten a* dar und ordnen ihr 
mit Bezug auf dieses Koordinatensystem die Linearform 

«*£ +« 2 £,H r-a-5. 

der Variablen £,• zu, so entsteht ein kontravarianter Tensor 1. Stufe. 
Fortan gebrauchen wir das Wort » Vektor* nicht mehr synonym für 
»Verschiebung«, sondern für »Tensor 1. Stufe«, so daß wir sagen: die 
Verschiebung ist ein kontravarianter Vektor. — Das Gleiche gilt für die 
Geschwindigkeit eines sich bewegenden Punktes; denn diese entsteht, 
wenn man die unendlichkleine Verschiebung, welche der sich bewegende 
Punkt während des Zeitelements dt erfährt, durch dt dividiert (im Limes 
für dt = o). Der jetzige Gebrauch des Wortes Vektor ist mit dem 

Weyl, Raum, Zeit, Materie. 3. Aufl. 3 



34 



Der Euklidische Raum. 



üblichen in Einklang, nach welchem es nicht bloß eine Verschiebung 
deckt, sondern jede Größe, die (ev. nach Wahl einer Maßeinheit) ein- 
deutig und ohne Willkür durch eine Verschiebung repräsentiert werden 
kann. 

2) Man pflegt gewöhnlich den geometrischen Charakter der Kraft 
darin zu erblicken, daß sie eine derartige Repräsentation gestattet. Dieser 
Darstellung der Kraft tritt aber eine andere gegenüber, von der wir heute 
glauben, daß sie dem physikalischen Wesen der Kraft besser gerecht 
wird, weil sie auf dem Begriff der Arbeit beruht, der in der neueren 
Physik statt des KraftbegrifTs immer deutlicher als der entscheidende und 
primäre in den Vordergrund getreten ist. Wir führen als Komponenten 
einer Kraft in einem Koordinatensystem 0\ e,- diejenigen Zahlen pi ein, 
welche angeben, eine wie große Arbeit die Kraft bei jeder der virtuellen 
Verschiebungen e« ihres Angriffspunktes leistet. Durch diese Zahlen ist 
die Kraft vollständig charakterisiert; ihre Arbeit bei der willkürlichen 
Verrückung 

E = ^ I e I + ^c 2 H h£"e„ 

ihres Angriffspunktes ist dann = sJfiiÜ'. Es folgt daraus, daß in zwei 

i 

verschiedenen Koordinatensystemen 

i i 

gilt, falls die Variablen £' (ihrer Behaftung mit oberen Indizes gemäß) 
kontragredient zum Koordinatensystem transformiert werden. Danach ist 
die Kraft ein kovarianter Vektor. Der Zusammenhang dieser Darstellung 
mit der üblichen durch eine Verschiebung wird zur Sprache kommen, 
wenn wir von dem gegenwärtig eingenommenen Standpunkt der affinen 
Geometrie zur metrischen übergehen. Die Komponenten eines kovarianten 
Vektors transformieren sich bei Übergang zu einem neuen Koordinaten- 
system kogredient zu den Grundvektoren. 

Zwischenbemerkungen. Da die Transformationen der Komponenten ai 
eines kovarianten und b 1 ' eines kontravarianten Vektors kontragredient zu- 
einander sind, ist JV a t -b 1 ' eine durch diese beiden Vektoren unabhängig 

t 
vom Koordinatensystem bestimmte Zahl. Hier haben wir das erste Bei- 
spiel einer invarianten Tensoroperation vor uns. In das System der Ten- 
soren reihen sich die Zahlen oder Skalare als Tensoren o Ur Stufe ein. 

Es ist schon früher erklärt worden, wann eine Bilinearform zweier 
Variablenreihen symmetrisch heißt und wann eine symmetrische Bilinear- 
form nicht-ausgeartet ist. Schiefsymmetrisch ist eine Bilinearform F(^rj), 
wenn sie bei Vertauschung der beiden Variablenreihen in ihr Negatives 
umschlägt: 

an ihren Koeffizienten a,-jk gibt sich das durch die Gleichungen aj,i = — a,k 



§ 5- Tensoren. 35 

Kind. Diese Eigenschaften bleiben erhalten, wenn die beiden Variablen- 
•eihen derselben linearen Transformation unterworfen werden. Es ist also 
;ine vom Koordinatensystem unabhängige Eigenschaft von kovarianten 
)der kontravarianten Tensoren 2. Stufe, schiefsymmetrisch zu sein oder 
symmetrisch oder (symmetrisch und) nicht-ausgeartet. 

Da durch kontragrediente Transformation zweier Variablenreihen die 
jilineare Einheitsform in sich übergeht, gibt es unter den gemischten 
d. i. einfach kovarianten, einfach kontravarianten) Tensoren 2. Stufe einen, 
ien » Einheitstensor*, der in jedem Koordinatensystem die Komponenten 

5.* _ « (f .—■ k ) hat 
5 ' — o [i f k) üat ' 

3) Die in einem Euklidischen Raum herrschende Metrik weist je zwei 
Verschiebungen 

i i 

eine vom Koordinatensystem unabhängige Zahl als ihr skalares Produkt zu: 

(£•»)) = JSr*£V 1 gn = [U ■ e*) . 
8 

Die rechts stehende Bilinearform hängt daher vom Koordinatensystem in 
solcher Weise ab, daß durch sie ein ko varianter Tensor 2. Stufe gegeben 
ist, der metrische Fundamentaltensor. Durch ihn ist die Metrik vollständig 
charakterisiert. Er ist symmetrisch und nicht-ausgeartet. 

4) Durch eine -»lineare Vektor- Abbildung*, wird jeder Verschiebung £ 
eine Verschiebung r/ in linearer Weise zugeordnet, d. h. so, daß der 
Summe £ + 1} die Summe j'-f-r/, dem Produkt Af das Produkt Ar/ 
entspricht. Solche lineare Vektor-Abbildungen wollen wir, um uns eines 
kurzen charakteristischen Namens bedienen zu können, Matrizen nennen. 
Gehen die Grundvektoren e,- eines Koordinatensystems durch die Ab- 
bildung in die Vektoren 

e ;- = ^aUk 

k 

über, so verwandelt sie allgemein die beliebige Verschiebung 

(24) i—JBVu in t-2&*= 2?Jt?tk- 

i i ik 

Wir können die Matrix daher in dem gewählten Koordinatensystem durch 
die Bilinearform 

a 

kennzeichnen. Aus (24) geht hervor, daß für zwei Koordinatensysteme 
(unter Verwendung der früheren Bezeichnungen) der Zusammenhang 

ik ik 

besteht, wenn 



36 



Der Euklidische Raum. 



i i 

ist; also wird 

3 »* 

falls die ty kogredient, die |* kontragredient zu den Grundvektoren trans- 
formiert werden (diese Zusatzbemerkung über die Transformation dei 
Variablen versteht sich nachgerade von selbst, so daß wir sie in Zukunft ir 
ähnlichen Fällen einfach fortlassen). Auf solche Art ist die Matrix als eh 
gemischter Tensor 2. Stufe dargestellt. Insbesondere entspricht der >Iden 
tität«, die jeder Verschiebung | sie selber zuordnet, der Einheitstensor, 

Wie die Beispiele von Kraft und Metrik zeigen, tritt in den Anwen- 
dungen häufig der Fall ein, daß die Darstellung der geometrischen odei 
physikalischen Größe durch einen Tensor erst möglich ist nach vorher- 
gegangener Wahl einer Maßeinheit, einer Wahl, die nur individuell, durcl 
Aufweisung vollzogen werden kann; bei Abänderung der Maßeinheit mul- 
tiplizieren sich die darstellenden Tensoren mit einer universellen Kon- 
stanten, dem Verhältnis der beiden Maßeinheiten. 

Der Erklärung des Begriffes Tensor ist offenbar das folgende Kriteriurr. 
äquivalent: eine vom Koordinatensystem abhängige Linearform mehreret 
Variablenreihen ist ein Tensor, 7venn sie immer dadurch einen vom Koordi- 
natensystem unabhängigen Wert annimmt, daß man für jede kontragredientt 
Variablenreihe die Komponenten eines willkürlichen kontravarianten Vekton, 
einsetzt, für eine kogrediente aber die Komponenten eines beliebigen kovarianten 
Vektors. 

Kehren wir jetzt von der affinen zur metrischen Geometrie zurück, sc 
sinkt, wie die Ausführungen zu Anfang des Paragraphen lehren, der Unter- 
schied von kovariant und kontravariant, der in der affinen Geometrie die 
Tensoren selber betrifft, zu einem bloßen Unterschied der Darstellungs- 
weise herab. Statt von kovarianten, gemischten und kontravarianten Ten- 
soren wird man hier also lieber nur von den kovarianten, gemischten und 
kontravarianten Komponenten eines Tensors sprechen. Es läßt sich dieser 
Übergang zwischen den Tensoren verschiedenen Kovarianzcharakters nach 
dem Obigen einfach so formulieren: Deuten wir in einem Tensor die 
kontragredienten Variablen als kontra Variante Komponenten einer willkür- 
lichen Verschiebung, die kogredienten als kovariante Komponenten einer 
willkürlichen Verschiebung, so verwandelt er sich in eine vom Koordinaten- 
system unabhängige Linearform mehrerer willkürlicher Verschiebungen; 
indem wir nun die Argumente nach Gutdünken durch ihre kovarianten 
oder kontravarianten Komponenten repräsentieren, gehen wir zu anderen 
Darstellungen desselben Tensors über. Rein algebraisch vollzieht sich 
die Verwandlung eines kovarianten Index in einen kontravarianten, indem 
man in der Linearform die betreffenden Variablen |' nach (22) durch 
neue £,- ersetzt; die invariante Natur dieses Prozesses beruht auf dem 
Umstand, daß diese Substitution kontragrediente Variable in kogrediente 



§ 5- Tensoren. -yy 

überführt. Der umgekehrte Prozeß wird nach den inversen Gleichungen (22') 
vollzogen. An den Komponenten selber geschieht (wegen der Symmetrie 
der gik) der Übergang von kontravariant zu kovariant, das »Herunter- 
ziehen des Index«, stets nach dem Schema: 

a' wird ersetzt durch a t - = ^g,;a J , 

j 
einerlei ob die Zahlen a' noch mit weiteren Indizes behaftet sind oder 
nicht; das Heraufziehen des Index durch die inversen Gleichungen. 

Wenden wir das Gesagte insbesondere auf den metrischen Funda- 
mentaltensor an, so erhalten wir 

2**?n* =°2?n* =J£W »l?^». 

ik i k ik 

Seine gemischten Komponenten sind also die Zahlen <$*, seine kontra- 
varianten die Koeffizienten g ik der zu (22) inversen Gleichungen (22'). 
Aus der Symmetrie des Tensors ergibt sich, daß auch diese wie die gik 
der Symmetrie-Bedingung g ki = g ik genügen. 

Hinsichtlich der Bezeichnung werde für immer die Verabredung ge- 
troffen, daß wir die kovarianten, gemischten und kontravarianten Kom- 
ponenten desselben Tensors mit dem gleichen Buchstaben kennzeichnen 
und durch die Stellung des Index oben oder unten angeben, ob die 
Komponenten hinsichtlich dieses Index kontra- oder kovariant sind, wie 
es das folgende Beispiel eines Tensors 2. Stufe zeigt: 

ik ik ik ik 

(wobei die Variablen mit unteren und mit oberen Indizes durch (22) 
gekoppelt sind). 

Im metrischen Raum entfällt nach dem Gesagten der Unterschied 
zwischen einem kovarianten und einem kontravarianten Vektor; hier können 
wir eine Kraft, die nach unserer Auffassung von Hause aus ein kovarianter 
Vektor ist, auch als einen kontravarianten, durch eine Verschiebung, 
repräsentieren. Denn hatten wir sie oben durch die Linearform ^.pi% 1 

i 

mit den kontragredienten Variabein £' dargestellt, so können wir diese 
jetzt durch (22') in eine solche mit den kogredienten £/ verwandeln: 
Jy>'£. Dann gilt 

JEf& =2*»?? =2&*t*? «STa?; 

j* ik ik i 

die repräsentierende Verschiebung p ist also dadurch bestimmt, daß die 
Arbeit, welche die Kraft bei einer willkürlichen Verschiebung j leistet, 
gleich dem skalaren Produkt der Verschiebungen p und j ist. 

In einem Cartesischen Koordinatensystem, in welchem der Funda- 
mentaltensor die Komponenten 



3 8 Der Euklidische Raum. 



gik ~ lo(» =M) 

hat, lauten die Koppelungsgleichungen (22) einfach: £,•= £'. Beschränken 
wir uns auf den Gebrauch Cartesischer Koordinatensysteme, so fällt 
nicht nur für die Tensoren, sondern auch für die Tensorkomponenten 
der Unterschied zwischen kovariant und kontravariant dahin. — Es ist 
aber zu erwähnen, daß die bisher auseinandergesetzten Begriffe hin- 
sichtlich des Fundamentaltensors ga nur voraussetzen, daß er symme- 
trisch und nicht-ausgeartet ist, während der Einführung eines Carte- 
sischen Koordinatensystems der weitere Umstand zugrunde liegt, daß die 
korrespondierende quadratische Form positiv- definit ist. Das ist nicht 
gleichgültig. In der Relativitätstheorie tritt zu den drei Raumkoordinaten 
als vierte gleichberechtigt die Zeitkoordinate hinzu, und die Maßbestim- 
mung, die in dieser vierdimensionalen Mannigfaltigkeit gilt, beruht nicht 
auf einer definiten, sondern einer indefiniten Form (Kap. III). In dieser 
Mannigfaltigkejt werden wir also, wenn wir uns auf reelle Koordinaten be- 
schränken, kein Cartesisches Koordinatensystem einführen können; aber 
die hier entwickelten Begriffe, die auf die Dimensionenzahl n = 4 zu 
spezialisieren sind, behalten ihre volle Anwendbarkeit. Außerdem spricht 
die Rücksicht auf die algebraische Einfachheit des Kalküls, wie schon 
am Schluß von § 4 erwähnt wurde, gegen die ausschließliche Benutzung 
Cartesischer Koordinatensysteme. Endlich und vor allem aber ist es für 
spätere Erweiterungen, die über die Euklidische Geometrie hinausführen, 
von großer Wichtigkeit, daß schon hier der affine Standpunkt selbständig 
und unabhängig von dem metrischen zu voller Geltung gebracht wird. 
Die geometrischen und physikalischen Größen sind Skalare, Vektoren 
und Tensoren: darin spricht sich die mathematische Beschaffenheit des Raumes 
aus, in welchem diese Größen existieren. Die dadurch bedingte mathe- 
matische Symmetrie ist keineswegs auf die Geometrie beschränkt, sondern 
kommt im Gegenteil erst in der Physik recht zur Geltung: weil die Natur- 
vorgänge in einem metrischen Raum sich abspielen, ist die Tensorrechnung 
das natürliche mathematische Instrument zum Ausdruck der Gesetzmäßig- 
keit, welche diese Vorgänge beherrscht. 

§ 6. Tensoralgebra. Beispiele. 

Addition von Tensoren. Durch Multiplikation einer Linearform, Bi- 
linearform oder Trilinearform . . . mit einer Zahl, ebenso durch Addition 
zweier Linearformen oder zweier Bilinearformen ... entsteht immer wie- 
derum eine derartige Form. Vektoren und Tensoren kann man also mit 
einer Zahl (einem Skalar) multiplizieren und zwei oder auch mehrere 
Tensoren der gleichen Stufe addieren. Diese Operationen werden an den 
Komponenten durch Multiplikation mit der betr. Zahl, bezw. durch Addi- 
tion ausgeführt. Im Gebiete der Tensoren jeder Stufe gibt es einen 
ausgezeichneten Tensor o, dessen sämtliche Komponenten verschwinden; 



§ 6. Tensoralgebra. Beispiele. 30, 

zu einerri beliebigen Tensor der gleichen Stufe addiert, ändert er diesen 
nicht. — Der Zustand eines physikalischen Systems wird durch die 
Angabe der Werte gewisser Skalare und Tensoren beschrieben; daß ein 
aus ihnen durch mathematische Operationen gebildeter invarianter (d. h. 
nur von ihnen , nicht aber von der Wahl des Koordinatensystems abhängiger) 
Tensor = o ist, darin besteht allgemein die Aussage eines Naturgesetzes, 
Beispiele. Die Bewegung eines Punktes wird analytisch in der Weise 
dargestellt, daß man den Ort des beweglichen Punktes, bzw. dessen 

Koordinaten X{ als Funktionen der Zeit / angibt. Die Ableitungen — 

sind die kontravarianten Komponenten u* des Vektors »Geschwindigkeit*. 
Durch Multiplikation mit der Masse m des bewegten Punktes, einem Skalar, 
der die Trägheit der Materie zum Ausdruck bringt, erhält man den »Impuls* 
(oder »Bewegungsgröße*). Durch Addition der Impulse mehrerer Massen- 
punkte, bezw. aller derer, aus denen man sich in der Punktmechanik 
einen starren Körper zusammengesetzt denkt, erhält man den Gesamt- 
impuls des Punktsystems oder des starren Körpers. Bei kontinuierlicher 
Massenausbreitung sind die Summen durch Integrale zu ersetzen. Das 
Grundgesetz der Bewegung lautet, wenn G' die kontravarianten Kom- 
ponenten des Impulses eines Massenpunktes, p* die der Kraft sind: 

dG £ 

(25) ~äT == ^ ] &=*""* 

Da nach unserer Auffassung die Kraft von Hause aus ein kovarianter 
Vektor ist, ist dieses Grundgesetz nur in einem metrischen, nicht in einem 
rein affinen Raum möglich. Dasselbe Gesetz gilt für den Gesamtimpuls 
eines starren Körpers und die an ihm angreifende Gesamtkraft. 

Multiplikation von Tensoren. Durch Multiplikation zweier Linearformen 
y g t - £*', ^.bj rf der Variablen £ und rj erhält man eine Bilinearform 

i i 

ik 
und damit aus den beiden Vektoren a und b einen Tensor 2. Stufe c. 
(26) aibk = Cik. 

Durch die Gleichung (26) wird ein invarianter Zusammenhang zwischen den 
Vektoren a und b und dem Tensor c dargestellt; d. h. bei Übergang zu 
einem neuen Koordinatensystem gelten für die(überstrichenen) Komponenten 
dieser Größen im neuen Koordinatensystem genau dieselben Gleichungen 

äibk = Ca. 
In derselben Weise läßt sich z. B. die Multiplikation eines Tensors 1. Stufe 
mit einem Tensor 2. Stufe (allgemein eines Tensors beliebiger Stufe mit 
einem Tensor beliebiger Stufe) vollziehen; durch Multiplikation von 



4 o 



Der Euklidische Raum. 



worin die griechischen Buchstaben, je nachdem sie ihre Indizes oben oder 
unten tragen, kontragredient oder kogredient zu transformierende Variable 
bedeuten, entspringt die trilineare Form 

iki 

und somit durch Multiplikation der beiden Tensoren i. und 2. Stufe ein 
Tensor c der 3. Stufe: 

*i • °k = c ik ' 

An den Komponenten ist diese Multiplikation, wie man sieht, einfach da- 
durch auszuführen, daß jede Komponente des einen Tensors mit jeder 
Komponente des andern multipliziert wird; die Indizes müssen dabei völlig 
getrennt gehalten werden. Es ist noch zu beachten, daß beispielsweise die 
in bezug auf den Index / kovarianten Komponenten des soeben gebildeten 
Tensors 3. Stufe 

C L = a ii>k durch cm = ßibki 
gegeben sind. In solchen Multiplikationsformeln ist es also ohne weiteres 
gestattet, irgend einen Index auf beiden Seiten der Gleichung von unten 
nach oben oder von oben nach unten zu schaffen. 

Beispiele schiefsymmetrischer und symmetrischer Tensoren. Aus zwei 
Vektoren mit den kontravarianten Komponenten a', b' entsteht durch 
Multiplikation in der einen und andern Reihenfolge und nachfolgende 
Subtraktion ein schiefsymmetrischer Tensor 2. Stufe c mit den kontra- 
varianten Komponenten 

c ik = a i b k — a k b\ 

In der gewöhnlichen Vektorrechnung tritt dieser Tensor auf als »vekto- 
rielles Produkt« der beiden Vektoren a und b. Zeichnet man im drei- 
dimensionalen Raum einen bestimmten Schraubungssinn aus, so ist es 
nämlich möglich, eine einfache umkehrbar-eindeutige Korrespondenz 
zwischen diesen Tensoren und den Vektoren herzustellen, die es gestattet, 
den Tensor c durch einen Vektor zu repräsentieren. (Im vierdimensio- 
nalen Raum ist dies schon deshalb ausgeschlossen, weil dort ein schief- 
symmetrischer Tensor 2. Stufe 6 unabhängige Komponenten besitzt, 
ein Vektor aber nur 4; ebenso in Räumen von noch höherer Dimensions- 
zahl.) Für die Dimensionszahl 3 aber beruht die erwähnte Darstellung 
auf folgendem. Benutzen wir lediglich Cartesische Koordinatensysteme 
und führen neben a und b noch eine willkürliche Verschiebung £ ein, 
so multipliziert sich beim Übergang von einem Cartesischen Koordinaten- 
system zu einem andern die Determinante 



= ; 33 £ I + ' 3i r + '"£ ; 



a l a' a* 

b l b' b 3 

v r £ 3 

mit der Determinante der Transformationskoeffizienten. Für eine Ortho- 



§ 6. Tensoralgebra. Beispiele. 41 

gonale Transformation ist aber diese Determinante = ± 1. Beschränken 
wir uns auf die > eigentlichen« orthogonalen Transformationen, für welche 
diese Determinante = -f- 1 ist, so bleibt jene Linearform der £ also 
ungeändert; demgemäß ist durch die Formeln 

c a3 = c*, c 3I = c* a , c ia = c* 
ixt dem schiefsymmetrischen Tensor c ein Vektor c* in einer Weise 
/erknüpft, die invariant ist gegenüber eigentlichen orthogonalen Trans- 
formationen. Der Vektor c* ist senkrecht zu den beiden Vektoren a und 
£, und seine Größe ist (nach elementaren Formeln der analytischen Geo- 
metrie) gleich dem Flächeninhalt des von den Vektoren a und b aufge- 
spannten Parallelogramms. — Die Ersetzung der schiefsymmetrischen 
Tensoren durch Vektoren in der üblichen Vektorrechnung mag im In- 
teresse der Bezeichnungsökonomie gerechtfertigt sein. Sie verdeckt aber 
in mancher Hinsicht das Wesen der Sache und gibt z. B. in der Elektro- 
dynamik zu den berüchtigten Schwimmregeln Anlaß, die keineswegs ein 
Ausdruck dafür sind, daß in dem Raum, in dem sich die elektrody- 
namischen Vorgänge abspielen, ein ausgezeichneter Schraubungssinn 
herrscht, sondern nur notwendig werden, weil man die magnetische Feld- 
stärke als Vektor betrachtet, während sie in Wahrheit (wie das sog. 
vektorielle Produkt zweier Vektoren) ein schiefsymmetrischer Tensor ist. 
Wäre uns eine Raumdimension mehr beschert, so hätte es niemals zu 
einem solchen Irrtum kommen können. 

In der Mechanik tritt das schiefsymmetrische Tensorprodukt zweier 
Vektoren auf 1) als Drehimpuls (Impuhmoment) um einen Punkt O: Befindet 
sich in P ein Massenpunkt und sind § x , £ 2 , £ 3 die Komponenten von 

OP, ferner u' die (kontravarianten) Komponenten der Geschwindigkeit 
jenes Punktes im betrachteten Moment, m seine Masse, so ist der Drehimpuls 
definiert durch 

L ik = m {u'' §* — u k £'). 

Der Drehimpuls eines starren Körpers um einen Punkt O ist die Summe 
der den einzelnen Massenpunkten des Körpers zugehörigen Drehimpulse. 
2) tritt es auf als Drehmoment einer Kraft. Greift diese im Punkte P 
an und sind/' ihre kontravarianten Komponenten, so ist dasselbe definiert 
durch 

q* = /|* — pkf. 

Durch Addition erhält man daraus das Drehmoment eines Kräftesystems. 
Für einen Massenpunkt wie auch für einen frei beweglichen starren Körper 
gilt neben (25) das Gesetz 

d T ik 

M %-- ■#•; 

für Drehung eines starren Körpers um den festgehaltenen Punkt O gilt 
allein das Dreh-Gesetz (27). 

Ein weiteres Beispiel eines schiefsymmetrischen Tensors ist die Dreh- 



42 



Der Euklidische Raum. 



geschwindigkeil eines starren Körpers um den festen Punkt O. Geht bei 
einer Drehung um O allgemein der Punkt P über in P' , so entsteht der 

Vektor OP } also auch PP' durch eine lineare Abbildung aus OP. 

Sind £' die Komponenten von OP, dt;' die von PP, v\ die Kompo- 
nenten jener linearen Abbildung (Matrix), so gilt 

(28) ar-jsv** 1 . 

k 
Wir fassen hier lediglich unendlichkleine Drehungen ins Auge; sie sind 
unter den infinitesimalen Matrizen durch die weitere Eigenschaft ausge- 
zeichnet, daß identisch in £ 

« ik 

wird, und das liefert 

i 

Setzen wir die Ausdrücke (28) ein, so kommt . 

ik ik 

Das muß identisch in den Variablen £' gelten, und daher ist 

vm + v ik = o ; 
der Tensor mit den kovarianten Komponenten v,k ist also schief- 
symmetrisch. 

Bei der Bewegung eines starren Körpers erfährt der Körper während 
der unendlichkleinen Zeit dt eine unendlichkleine Drehung. Wir brauchen 
den eben gebildeten infinitesimalen Drehungstensor v nur durch dt zu 
dividieren, um (im Limes für dt = o) den schiefsymmetrischen Tensor 
»Winkelgeschwindigkeit« zu erhalten, den wir wiederum mit v bezeichnen 
wollen. Die Formeln (28) gehen dabei, wenn u' die kontravarianten, «,• 
die kovarianten Komponenten der Geschwindigkeit des Punktes P be- 
deuten, über in die Grundformel der Kinematik des starren Körpers: 

(2 9) Ui =]j?Vik$ k . 

k 
Die Existenz der »momentanen Drehaxe« folgt aus dem Umstand, daß 
die linearen Gleichungen 

k 
mit den schiefsymmetrischen Koeffizienten i>ik im Falk n = 3 stets 
Lösungen besitzen, die von der trivialen £*= £ a = £ 3 = o verschieden 
sind. — Auch die Winkelgeschwindigkeit pflegt meistens als ein Vektor 
dargestellt zu werden. 

Endlich bietet das bei der Drehung eines Körpers auftretende Trägheits- 
moment ein einfaches Beispiel für einen symmetrischen Tensor 2. Stufe. 



§ 6. Tensoralgebra. Beispiele. 47 

Befindet sich im Punkte P, zu dem vom Drehpunkt O aus der Vektor OP 
mit den Komponenten £' führt, ein Massenpunkt von der Masse m, so 
nennen wir den symmetrischen Tensor, dessen kontravariante Komponenten 
durch #/£'£* gegeben sind (Multiplikation!), die »Rotationsträgheit« des 
Massen punktes (für den Drehpunkt O). Die Rotationsträgheit T ik eines 
Punktsystems oder Körpers ist definiert als die Summe dieser für seine 
einzelnen Punkte P zu bildenden Tensoren. Die Definition weicht von 
der üblichen ab; sie ist aber die richtige, wenn man Ernst damit macht, 
die Rotationsgeschwindigkeit als einen schiefsymmetrischen Tensor und 
nicht als einen Vektor aufzufassen (wie wir alsbald sehen werden). Für 
Drehung um O spielt der Tensor T ik die gleiche Rolle wie der Skalar m 
für Translationsbewegung. 

Verjüngung. Sind a k die gemischten Komponenten eines Tensors 
2. Stufe, so ist ^a) eine Invariante. Sind also a { die gemischten Kom- 

i " 

ponenten desselben Tensors nach Übergang zu einem neuen Koordinaten- 
system, so ist 

i i 

Beweis: Die Variablen £'", y,- der Bilinearform 

ik 

sind den kontragredienten Tranformationen 
zu unterwerfen, um sie in 
überzuführen. Daraus ergibt sich 

ik 
r ik \ r ', 

und das ist wegen (20') 

= S* 

i 

Die aus den Komponenten af einer Matrix gebildete Invariante ^ a i 

i 

heißt die Spur der Matrix. 

Wir können aus diesem Satz sogleich eine allgemeine Rechenoperation 
für Tensoren, die »Verjüngung«, herleiten, die als zweite neben die 
Multiplikation tritt. Indem wir in den gemischten Komponenten eines 



44 Der Euklidische Raum. 



Tensors einen bestimmten oberen mit einem bestimmten unteren Index 
zusammenfallen lassen und nach ihm summieren, erhalten wir aus dem 
gegebenen Tensor einen neuen, von einer um 2 geringeren Stufenzahl; 
z. B. aus den Komponenten a l ™ ik eines Tensors 5. Stufe die Komponenten 

(3°) J£J a Air = Ai 

r 

eines Tensors 3. Stufe. Der durch (30) dargestellte Zusammenhang ist 
invariant, d. h. drückt sich in der gleichen Weise nach dem Übergang 
zu einem neuen Koordinatensystem aus: 

(31) 2fi*> - &• 

r 

Wir brauchen, um das einzusehen, nur zwei willkürliche kontravariante 
Vektoren £', rf und einen kovarianten £,• zu Hülfe zu nehmen, mittels 
ihrer die Komponenten 

hu 

eines gemischten Tensors 2. Stufe zu bilden und auf ihn unsern eben 
bewiesenen Satz 

r r 

anzuwenden; dann ergibt sich, wenn wir die c durch (30), die c durch 
(31) definieren, die Formel 

hil hil 

Es sind also in der Tat ~c l ki im neuen Koordinatensystem die Komponenten 
desselben Tensors 3. Stufe, dessen Komponenten im alten = c l hi sind. 
Beispiele für diese Operation der Verjüngung sind uns im vorigen 
schon in Hülle und Fülle begegnet. Immer wo nach gewissen Indizes 
summiert wurde, trat in dem allgemeinen Summenglied der Summations- 
index doppelt, einmal unten und einmal oben auf; jede solche Summation 
ist die Ausführung einer Verjüngung. So z. B. in Formel (29): aus v& 
und !'" kann man durch Multiplikation den Tensor 3. Stufe vut% 1 bilden; 
indem man dann k mit / zusammenfallen läßt und über k summiert, 
ergibt sich der verjüngte Tensor 1. Stufe »/. Führt eine Matrix A die 
beliebige Verschiebung j in r/ = A (5), eine zweite Matrix B diese f ' in 
j" = B (5') über, so entspringt aus beiden Matrizen eine zusammengesetzte 
BA, welche direkt f in j" = BA{i) überführt. HatA die Komponenten 
a n B die Komponenten &f t so sind die Komponenten der zusammen- 
gesetzten Matrix BA: 

A = 2%*' 

r 

Auch hier handelt es sich um Multiplikation mit nachfolgender Verjüngung. — 



§ 6. Tensoralgebra. Beispiele. 45 

Der Prozeß der Verjüngung kann gleichzeitig für mehrere Indexpaare vor- 
genommen werden. Aus den Tensoren 1., 2., 3., ••• Stufe mit den ko- 
varianten Komponenten a,-, a t k, og&y ' ' ' erhält man so insbesondere die 
Invarianten 



2 ai a ' ' 2 aik a ' k » ^S*j*i & 



.iki 

1k 1kl 



Wenn, w'e wir hier annehmen, die dem metrischen Grundtensor ent- 
sprechende quadratische Form positiv-definit ist, sind diese Invarianten 
alle positiv; denn in einem Cartesischen Koordinatensystem stellen sie 
sich direkt als die Quadratsummen der Komponenten dar. Die Quadrat- 
wurzel aus diesen Invarianten mag, wie im einfachsten Falle des Vektors, 
als der Betrag oder die Größe des Tensors 1., 2.,» 3., ••• Stufe be- 
zeichnet werden. 

Wir treffen jetzt und für alle Zukunft die Verabredung: wenn in einem 
mit Indizes behafteten Formelglied, das die Komponenten eines Tensors 
bedeutet, ein Index doppelt, oben und unten vorkommt, so ist stets ge- 
meint, daß über ihn summiert werden soll, ohne daß wir es für nötig 
finden, ausdrücklich ein Summenzeichen davor zu setzen. 

Die Operationen der Addition, Multiplikation und Verjüngung setzen 
nur die affine Geometrie voraus; ihnen liegt kein »metrischer Fundamental- 
tensor < zugrunde. Dies ist allein für den Prozeß des Übergangs von ko- 
varianten zu kontravarianten Komponenten und seine Umkehrung der Fall. 

Die Eulerschen Kreiselgleichungen. Zur Einübung der Tensorrechnung 
wollen wir die Eulerschen Gleichungen der kräftefreien Bewegung eines 
starren Körpers um einen festen Punkt O herleiten. Wir schreiben die 
Grundgleichungen (27) kovariant: 

dLik 

multiplizieren sie zur bequemeren Zusammenfassung mit den kontra- 
varianten Komponenten w ik eines beliebigen konstanten (von der Zeit 
unabhängigen) schiefsymmetrischen Tensors und verjüngen in bezug auf 
i und k. Ist Hik gleich der über alle Massenpunkte zu erstreckenden 
Summe 

m 

gesetzt, so ist 

\L ik w ik = H ik w ik = H 

eine Invariante, und unsere Gleichungen können wir in die Formel ver- 
einigen: 

1 \ dH 

Führen wir die Ausdrücke (29) für «,• ein und den Trägheitstensor T, 
so wird 



j.6 Der Euklidische Raum. 



(33) H ik =v ir T r k . 

Bisher haben wir angenommen, daß ein im Räume festes Koordinaten- 
system benutzt wird. Die Trägheitskomponenten T ändern sich dann mit 
der Massenverteilung im Laufe der Zeit. Benutzen wir aber statt dessen 
jetzt ein im Körper festes Koordinatensystem und verstehen unter den bis- 
herigen Zeichen die Komponenten der betreffenden Tensoren in bezug auf 
dieses Koordinatensystem, kennzeichnen hingegen die Komponenten der- 
selben Tensoren in bezug auf das raumfeste Koordinatensystem durch 
Überstreichen, so bleibt wegen der Invarianz von H die Gleichung (32) 
bestehen. Die 7}* sind nunmehr Konstante; dafür 'sind aber die w ik mit 
der Zeit variabel. Unsere Gleichung ergibt 

t -1 ' dHik »_i_ TT ^^ 

dw ik . ..... 

Um zu bestimmen, wählen wir zwei willkürliche im Körper feste 

Vektoren, deren ko Variante Komponenten im körperfesten Koordinaten- 
system = |/, bezw. r]i sind. Diese Größen sind also Konstante, ihre Kom- 
ponenten fj, rji im raumfesten Koordinatensystem aber Funktionen der 
Zeit. Es ist 

und daraus durch Differentiation nach der Zeit: 



dt) 



(35) . ¥:-^£<£*+>-3 

B. 



Nun ist nach Formel (29) z. B. 

dt 
Für die rechte Seite der Gleichung (35) bekommt man so 

w ik [vi r \ r rik + P« r £/iÜr)f 

und da hier eine Invariante steht, können wir die gestrichenen Kom- 
ponenten wieder durch die ungestrichenen ersetzen: 

&17* -jr = »* {ir*]kVi r + lir\ r Vk r ) • 

Dies gilt identisch in § und rj\ also, wenn Htk beliebige Zahlen sind, 

Hik d -^ = w ik {v?H rk +V k *Hi r ). 

Nehmen wir darin für die Hu insbesondere die vorher so bezeichneten 
Größen, so ist damit das zweite Glied in (34) bestimmt, und unsere 
Gleichung lautet 



§ 6. Tensoralgebra. .Beispiele. aj 



identisch in dem schiefsymmetrischen Tensor «/"*; daher 



d[H ik -H kt ) , / 9fBrk + 



+ 



f VfHrk + Vk r H ir \ 
\— Vk r Hri — vrH kr J 



dt 

Man führe den Ausdruck (33) für Zfo ein; da wegen der Symmetrie 
von Tik auch 

v r k H ir =v r k v i i T rs 

symmetrisch ist in i und £, zerstören sich die beiden hinteren Glieder 
der in der geschweiften Klammer stehenden Summe. Setzt man den 
symmetrischen Tensor 

< **r = Srs v* v' k = [v v) ik , 
so lauten unsere Gleichungen schließlich 

j t [vtr n - v kr m = {w) ir n - (™y* r n. 

Es ist bekanntlich möglich, ein Cartesisches Koordinatensystem, be- 
stehend aus den > Hauptträgheitsachsen«, einzuführen, so daß darin 

<?«■*={ / • ~L k \ und T * = ° ( für ; " 4= *) 

ist. Schreiben wir dann T z anstelle von T*, analog für die übrigen 
Indizes, so gewinnen in diesem Koordinatensystem unsere Gleichungen 
die einfache Gestalt 

{T;+T k )^={T k -T t ){vv) ik . 

Das sind die Differentialgleichungen für die Komponenten Vik der un- 
bekannten Winkelgeschwindigkeit — Gleichungen, die sich bekanntlich 
durch elliptische Funktionen von / lösen lassen. Die hier auftretenden 
Hauptträgheitsmomente T, hängen mit den sich nach den üblichen Defini- 
tionen ergebenden T* durch die Gleichungen zusammen 

Die von uns gegebene Behandlung des Rotationsproblems läßt sich 
im Gegensatz zu der üblichen Wort für Wort von dem dreidimensionalen 
auf mehrdimensionale Räume übertragen. Das ist ja freilich in praxi 
völlig belanglos. Aber erst die Befreiung von der Beschränkung auf eine 
bestimmte Dimensionszahl, die Formulierung der Naturgesetze in solcher 
Gestalt, daß ihnen gegenüber die Dimensionszahl als etwas Zufälliges 
erscheint, bürgt uns dafür, daß ihre mathematische Durchdringung voll- 
ständig gelungen ist. — 

Das Eindringen in den Tensorkalkül hat — abgesehen von der Angst 
vor Indizes, die überwunden werden muß — gewiß seine begrifflichen 
Schwierigkeiten. Formal ist aber die Rechenmethodik von der äußersten 
Einfachheit, viel einfacher z. B. als der Apparat der elementaren Vektor- 
rechnung. Zwei Operationen: Multiplikation und Verjüngung: Neben- 
einanderschreiben der Komponenten zweier Tensoren mit lauter ver- 



48 Der Euklidische Raum. 



schiedenen Indizes — Identifizierung zweier Indizes oben und unten, 
dann (stillschweigend) Summation nach ihm. Es ist vielfach versucht 
worden, in unserm Gebiet eine solche invariante, mit den Tensoren selbst 
und nicht mit ihren Komponenten arbeitende Bezeichnungsweise aus- 
zubilden, wie sie in der Vektorrechnung besteht. Was aber dort am Platze 
ist, erweist sich für den viel weiter gespannten Rahmen des Tensorkalküls 
als äußerst unzweckmäßig. Es werden eine solche Fülle von Namen, 
Bezeichnungen und ein solcher Apparat von Rechenregeln nötig (wenn 
man nicht doch immer wieder auf die Komponenten zurückgreifen will), 
daß damit ein Gewinn von sehr erheblichem negativem Betrag erreicht 
wird. Man muß gegen diese Orgien des Formalismus, mit dem man 
heute sogar die Techniker zu belästigen beginnt, nachdrücklich protestieren. 

§ 7. Symmetrie -Eigenschaften der Tensoren. 

Aus den Beispielen des vorigen Paragraphen geht mit aller Deutlich- 
keit hervor, daß die symmetrischen und die schiefsymmetrischen Tensoren 
2. Stufe, wo sie in den Anwendungen auftreten, völlig verschiedene 
Größenarten darstellen. Der Charakter einer Größe ist demnach im all- 
gemeinen noch nicht vollständig durch die Angabe beschrieben, sie sei ein 
Tensor so und sovielter Stufe, sondern es treten Symmetrie- Merkmale hinzu. 

Eine Linearform mehrerer Variablenreihen heißt symmetrisch, wenn sie 
sich bei Vertauschung irgend zweier dieser Variablenreihen nicht ändert; 
schiefsymmetrisch, wenn sie durch diesen Prozeß stets in ihr Negatives 
umschlägt. Eine symmetrische Linearform ändert sich nicht, wenn man 
die Variablenreihen irgendwie untereinander permutiert; eine schiefsymme- 
trische ändert sich nicht, wenn man mit den Variablenreihen eine gerade 
Permutation vornimmt, sie nimmt das entgegengesetzte Vorzeichen an, wenn 
jene einer ungeraden Permutation unterworfen werden. Die Koeffizienten 
diki einer symmetrischen Trilinearform (um die Anzahl 3 wiederum als 
Beispiel zu gebrauchen) genügen den Bedingungen 

, ciiki = dku = auk = ciku = aiki = auk , 

von den Koeffizienten einer schiefsymmetrischen Trilinearform können nur 
die mit drei verschiedenen Indizes behafteten 4= ° se i n > un d s * e erfüllen 
die Gleichungen 

aiki = o,ku = auk = — cikii = — aiki = — auk • 

Es kann also im Gebiet von n Variablen keine (nicht-verschwindenden) 
schiefsymmetrischen Formen von mehr als n Variablenreihen geben. Wie 
eine symmetrische Bilinearform vollständig ersetzt werden kann durch die 
quadratische Form, welche aus ihr durch Identifizierung der beiden Va- 
riablenreihen hervorgeht, so ist auch eine symmetrische Trilinearform ein- 
deutig bestimmt durch die kubische Form einer einzigen Variablenreihe 
mit den Koeffizienten aan welche aus der Trilinearform durch den gleichen 
Prozeß entsteht. Nimmt man in einer schiefsymmetrischen Trilinearform 



? 


?* S'j 


*■ 


r ; * t?' 




^ £ / 



§ 7. Symmetrie-Eigenschaften der Tensoren. 40 

ikl 

die 3 ! Permutationen der Variablenreihen £, rj, £ vor, versieht die so ent- 
stehenden Formen jeweils mit dem positiven oder negativen Vorzeichen, 
je nachdem die Permutation gerade oder ungerade ist, so steht sechsmal 
die ursprüngliche Form da. Addiert man alles, so erhält man für diese 
die folgende Schreibweise: 

(36) F*=j t Jjfaw 

Die Eigenschaft einer Linearform, symmetrisch oder schiefsymmetrisch 
zu sein, wird nicht zerstört, wenn jede Variablenreihe der gleichen linearen 
Transformation unterworfen wird. Infolgedessen hat es einen Sinn, von 
symmetrischen und schief symmetrischen kovarianten oder kontravarianten Ten- 
soren zu sprechen. Im Gebiete der gemischten Tensoren aber haben diese 
Ausdrücke keinen Sinn. Die symmetrischen Tensoren geben zu keinen 
weiteren Bemerkungen Anlaß; etwas ausführlicher müssen wir bei den 
schiefsymmetrischen kovarianten Tensoren verweilen, weil diese eine ganz 
besondere Bedeutung haben. 

Durch die Komponenten £' einer Verschiebung wird die Richtung 
einer Geraden samt Richtungssinn und Größe festgelegt. Sind £', rf irgend 
zwei voneinander linear unabhängige Verschiebungen, so wird von ihnen, 
wenn man sie von einem beliebigen Punkt O aufträgt, eine Ebene auf- 
gespannt. Die Größen 

gr)* — !*qf = |» 

bestimmen durch ihr Verhältnis in der gleichen Weise die > Stellung« 
dieser Ebene (eine »Flächenrichtung«), wie die £' durch ihr Verhältnis 
die Richtung einer Geraden (eine »Linienrichtung«) bestimmen. Die §** 
sind dann und nur dann alle = o, wenn die beiden Verschiebungen 
£', rf linear abhängig sind und also keine zweidimensionale Mannig- 
faltigkeit aufspannen. Mit zwei linear unabhängigen Verschiebungen £ 
und tj ist in der aufgespannten Ebene ein Drehungssinn verknüpft: der 
Sinn derjenigen Drehung in der Ebene um O, welche die Richtung von £ 
durch einen Winkel <^ 180 in die Richtung von rj überführt; und außer- 
dem eine bestimmte Maßzahl (Größe), nämlich der Flächeninhalt des 
von £ und rj aufgespannten Parallelogramms. Trägt man zwei Verschie- 
bungen £, rj von einem beliebigen Punkt O, zwei Verschiebungen £„,, rj^ 
von einem beliebigen Punkt 0+ ab, so sind diese dem einen und dem 
andern Paar zugehörigen Dinge: Ebenenstellung, Drehsinn und Größe 
dann und nur dann miteinander identisch, wenn die § ik des einen und 
andern Paares miteinander übereinstimmen: 

§V — SV— &£.-"* £{«£. 

Wie also die |» die Richtung einer Geraden samt Richtungssinn und 

Weyl, Raum, Zeit, Materie. 3. Aufl. a 



5° 



Der Euklidische Raum. 



Größe bestimmen, so die £'* die Stellung einer Ebene samt Umlaufssinn 
und Größe; man sieht die volle Analogie. 

Um ihr Ausdruck zu geben, könnte man das erste Gebilde ein ein- 
dimensionales, das zweite ein zweidimensionales Raumelement nennen. Wie 
das Quadrat der Größe eines eindimensionalen Raumelements durch die 
Invariante 

gegeben wird, so das Quadrat der Größe des zweidimensionalen Raum- 
elements nach den Formeln der analytischen Geometrie durch 

man kann dafür auch schreiben 

In dem gleichen Sinne sind die aus drei unabhängigen Verschiebungen 
§1 r], £ entspringenden Determinanten 

g* g* gl 

^**' = rf v\ k tf 

P £* P 

die Komponenten eines dreidimensionalen Raumelements, dessen Größe 
durch die Quadratwurzel aus der Invariante 

gegeben ist. Im dreidimensionalen Raum ist diese Invariante 

und da § ikl = ± £" 3 ist, je nachdem ikl eine gerade oder ungerade 
Vertauschung von 123 ist, so bekommt sie den Wert 

wo g die Determinante der Koeffizienten gu der metrischen Fundamental- 
form ist. Das Volumen des Parallelepipeds wird somit 

v r s 3 

>3 



= Vg • abs. 



V 



£ 3 



Das befindet sich in Übereinstimmung mit elementaren Formeln der 
analytischen Geometrie. — In einem mehr als dreidimensionalen Raum 
können wir dann weiter zu vierdimensionalen Raumelementen übergehen, usf. 
Wie nun ein kovarianter Tensor 1. Stufe jedem eindimensionalen Raum- 
element (jeder Verschiebung) in linearer, vom Koordinatensystem unab- 
hängiger Weise eine Zahl zuordnet, so ein schiefsymmetrischer kovarianter 
Tensor 2. Stufe jedem zweidimensionalen Raumelement, ein schiefsymme- 
trischer kovarianter Tensor 3. Stufe jedem dreidimensionalen Raumelement 



§ 8. Tensoranalysis. Spannungen. e I 

usf.; das geht aus der Schreibweise (36) unmittelbar hervor. Aus diesem 
Grunde halten wir uns für berechtigt, die kovarianten schiefsymmetrischen 
Tensoren schlechtweg als lineare Tensoren zu bezeichnen. Von Operationen 
im Gebiet der linearen Tensoren erwähnen wir die beiden folgenden: 

(37) a i&k — a k bi= dk. 

(3 8 ) a i°ki + a k bu -f- aibik = Ciki\ 

die erste e r zeugt aus zwei linearen Tensoren 1. Stufe einen solchen 
2. Stufe, die zweite aus einem linearen Tensor 1. und einem 2. Stufe 
einen solchen 3. Stufe. 

Zuweilen treten kompliziertere Symmetrie- Bedingungen auf als die bisher 
betrachteten. So spielen im Gebiet der Quadrilinearformen F(§ rj g r[) 
diejenigen eine besondere Rolle, welche den Bedingungen genügen: 

( 39l ) *iy§?n'l = *&w'r) = - fQkftf; 

(39J r&1 in)=**[$nS4)\ 

( 3 9 3 ) *i$ir*f) + sßnv) + m*fv?) = o. 

Es zeigt sich nämlich, daß zu jeder quadratischen Form eines willkürlichen 
zweidimensionalen Raumelements 

eine und nur eine diesen Symmetriebedingungen genügende Quadrilinear- 
form F gehört, aus der durch Identifizierung des zweiten Variablenpaars 
2? rf mit dem ersten £ rj jene quadratische Form entseht. Ko Variante 
Tensoren 4. Stufe mit den Symmetrie-Eigenschaften (39) hat man demnach 
zur Darstellung von Funktionen zu benutzen, die quadratisch von einem 
Flächenelement abhängen. 

Die allgemeinste Gestalt der Symmetriebedingung für einen Tensor F 
der 5. Stufe — wir halten uns an ein bestimmtes Beispiel — dessen 1., 2. 
und 4. Variablenreihe kontragredient, dessen 3. und 5. kogredient zu 
transformieren ist, lautet so: 

^e s F s = o; 

darin bedeutet S alle Permutationen der 5 Variablenreihen, bei denen die 
kontragredienten untereinander vertauscht werden und ebenso die kogre- 
dienten, Fs diejenige Form, die durch die Permutation »S aus F entsteht, 
es ein System bestimmter Zahlen, die den Permutationen S zugeordnet 
sind. Die Summation erstreckt sich über alle Permutationen »S. Der Symme- 
triecharakter einer bestimmten Art von Tensoren drückt sich in einer oder 
mehreren solchen Symmetriebedingungen aus. 

§ 8. Tensoranalysis. Spannungen. 

Größen, die den von Ort zu Ort wechselnden Zustand eines räumlich 
ausgebreiteten physikalischen Systems beschreiben, haben nicht einen Wert 

4* 



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52 



Der Euklidische Raum. 



schlechthin, sondern nur »in jedem Punkte«; sie sind, mathematisch aus- 
gedrückt, »Funktionen des Orts«. Je nachdem es sich um einen Skalar, 
Vektor oder Tensor handelt, sprechen wir von einem skalaren, Vektor- 
oder Tensor-Feld. Ein solches ist also gegeben, wenn jedem Punkte des 
Raumes oder eines bestimmten Raumgebietes ein Skalar, Vektor oder 
Tensor der betr. Art zugeordnet ist. Benutzen wir ein bestimmtes Ko- 
ordinatensystem, so erscheinen dann der Wert der skalaren Größe, bzw. 
die Werte der Komponenten der vektoriellen oder tensoriellen Größe 
in diesem Koordinatensystem als Funktionen der Koordinaten eines in 
dem betreffenden Gebiete variablen Raumpunktes. 

Die Tensoranalysis lehrt, wie durch Differentiation nach den Raum- 
koordinaten aus einem Tensorfeld ein neues in einer vom Koordinaten- 
system unabhängigen Weise hergeleitet werden kann. Sie ist wie die 
Tensoralgebra von äußerster Einfachheit: sie kennt nur eine Operation, 
die Differentiation. 

Ist 

cp = /{x I x a :-**A =/(*) 

ein gegebenes Skalarfeld, so ist die einer infinitesimalen Verrückung des 
Argumentpunktes, bei welcher dessen Koordinaten xi die Änderung dx t - 
erfahren, entsprechende Änderung von cp gegeben durch das totale Diffe- 
rential 

d/==^-dx z -i-^dx 2 -{ h ¥- d x n . 

ox z ox 2 0X„ 

Der Sinn dieser Formel ist der, daß, wenn Jxi zunächst die Kompo- 
nenten einer endlichen Verrückung sind und df die zugehörige Änderung 
von y, der Unterschied zwischen 

Jf und ^ ~- Jxi 

i Xi 

mit den Verrückungskomponenten nicht nur absolut zu o herabsinkt, sondern 
relativ zu der Größe der Verrückung, die etwa durch j Jx z | -f- | Jx a | -f- ••• 
+ | Jx n | gemessen werde. Wir ordnen diesem Differential die Linearform 

der Variablen f' zu. Führen wir die ganze Konstruktion noch in einem 
andern, überstrichenen Koordinatensystem durch, so geht aus der Be- 
deutung des Differentials hervor, daß die erste Linearform in die zweite 
übergeht, wenn die |' der zu den Grundvektoren kontragredienten Trans- 
formation unterworfen werden. Es sind daher 

bx t ' bx a ' ' bx n 

die kovarianten Komponenten eines Vektors, der aus dem Skalarfeld cp 
in einer vom Koordinatensystem unabhängigen Weise entspringt. In der 



§ 8. Tensoranalysis. Spannungen. 57 

gewöhnlichen Vektorrechnung tritt er als Gradient auf und wird durch 
das Symbol grad (p bezeichnet. 

Diese Operation läßt sich sofort von einem skalaren auf ein beliebiges 
Tensorfeld übertragen. Seien z. B. ff&{x) die in bezug auf /', £ kovarianten, 
in bezug auf h kontravarianten Komponenten eines Tensorfeldes 3. Stufe; 
dann ist 

eine Invariante, wenn wir unter den £/, die Komponenten eines willkür- 
lichen, aber konstanten, d. h. vom Orte unabhängigen kovarianten Vektors 
verstehen, unter t]'\ C' die Komponenten je eines ebensolchen kontra- 
varianten Vektors. Die einer infinitesimalen Verrückung mit den Kom- 
ponenten dxi entsprechende Änderung dieser Invariante ist gegeben durch 

vt 



~j±ui?i* t , 



und folglich sind 






die Komponenten eines Tensorfeldes 4. Stufe, das in einer vom Koordi- 
natensystem unabhängigen Weise aus dem gegebenen entspringt. Das 
ist der Prozess der Differentiation] durch ihn wird, wie man sieht, die 
Stufenzahl des Tensors um 1 erhöht. Es ist noch zu bemerken: wegen 
der Unabhängigkeit des metrischen Fundamentaltensors vom Ort erhält 
man z. B. die in bezug auf den Index k kontravarianten Komponenten 
des eben gebildeten Tensors, indem man unter dem Differentiations- 

zeichen den Index k nach oben schafft: -r — ; die Verwandlung von 

OXl 

kovariant in kontra variant und die Differentiation sind vertauschbar. Die 
Differentiation kann rein formal so ausgeführt werden, als ob der betr. 
Tensor mit einem Vektor multipliziert würde, dessen kovariante Kom- 
ponenten 

l4 ° j ö*' hx' '"' lx n 



sind; dabei wird der Differentialquotient ~- als symbolisches Produkt 

N Xi 

von / mit - — behandelt. Den symbolischen Vektor (40) findet man in 

Xi 

der Literatur öfter mit dem geheimnisvollen Namen »Nabla- Vektor« belegt. 
Beispiele. Aus dem Vektor mit den kovarianten Komponenten m ent- 

springt der Tensor 2. Stufe - — = u,-k. Daraus bilden wir insbesondere 

*x k 

(4I) Ir-r 2 - 

hx k *x; 



54 



Der Euklidische Raum. 



Diese Größen sind die kovarianten Komponenten eines linearen Tensors 
2. Stufe; in der gewöhnlichen Vektorrechnung tritt er (mit entgegen- 
gesetztem Vorzeichen) als Rotation (rot oder curl) auf. Hingegen sind 
die Größen 



a \bxi i>x t ) 



die kovarianten Komponenten eines symmetrischen Tensors 2. Stufe. Bedeutet 
der Vektor u die Geschwindigkeit kontinuierlich ausgebreiteter, sich be- 
wegender Materie als Funktion des Orts, so gibt das Verschwinden dieses 
Tensors an einer Stelle kund, daß die unmittelbare Umgebung der Stelle 
sich wie ein starrer Körper bewegt ; er verdient daher, als » Verzerrungs- 
Tensor* bezeichnet zu werden. Endlich aber entsteht aus u x k durch 
Verjüngung der Skalar 

hu* 

bx~ £ ' 

in der Vektorrechnung als Divergenz (div) bekannt. 

Aus einem Tensor 2. Stufe mit den gemischten Komponenten S* 
entspringt durch Differentiation und Verjüngung der Vektor 

hxi 
Sind Vik die Komponenten eines linearen Tensorfeldes 2. Stufe, so 
entsteht entsprechend der Formel (38), in der wir b durch v und a durch 
den symbolischen Vektor »Differentiation« ersetzen, aus ihm der lineare 
Tensor 3. Stufe mit den Komponenten 

Der Tensor (41), rot, verschwindet, wenn m Gradient eines Skalarfeldes 
ist; der Tensor (42) verschwindet, wenn v;k die rot eines Vektors */,- ist. 
Spannungen. Ein wichtiges Beispiel für ein Tensorfeld bilden die 
Spannungen in einem elastischen Körper; von diesem Beispiel her haben 
die Tensoren ihren Namen erhalten. In einem elastischen Körper, an 
dessen Oberfläche Zug- oder Druckkräfte angreifen, auf dessen Inneres 
außerdem irgendwelche an den einzelnen Teilen der Materie angreifende 
»Volumkräfte« (z. B. die Schwerkraft) wirken, stellt sich ein Gleich- 
gewichtszustand her, in dem die durch die Verzerrung beanspruchten 
Kohäsionskräfte der Materie jenen eingeprägten Kräften das Gleichgewicht 
halten. Schneiden wir ein beliebiges Stück J der Materie in Gedanken 
aus dem Körper heraus, lassen es erstarren und entfernen die übrige 
Materie, so werden die eingeprägten Volumkräfte für sich an diesem 
Stück der Materie sich nicht das Gleichgewicht halten; sie sind aber ins 
Gleichgewicht gesetzt durch die auf die Oberfläche Q des Stückes J 
wirkenden Druckkräfte, die von dem weggeschnittenen Teil der Materie 
auf J ausgeübt werden. In der Tat haben wir uns, wenn wir auf die 



§ 8. Tensoranalysis. Spannungen. cc 

atomistische Feinstruktur der Materie nicht eingehen, vorzustellen, daß 
die Kohäsionskräfte nur in der unmittelbaren Berührung wirksam sind, 
so daß also die Einwirkung des weggeschnittenen Materieteils auf J durch 
solche oberflächlichen Druckkräfte muß ersetzt werden können; und zwar 
darf, wenn <§ do die auf ein Oberflächen dement do wirkende Druck- 
kraft ist, © also den Druck pro Flächeneinheit bedeutet, © nur abhängen 
von der Stelle, an der sich das Flächenelement do befindet und von der 
ins Innere "on J gerichteten Normalen n dieses Flächenelements (welche 
die »Stellung« von do charakterisiert). Für © schreiben wir, um die 
letztere Abhängigkeit auszudrücken, ©„. Bedeutet — n die der Normale 
n entgegengesetzte Normalenrichtung, so folgt aus dem Gleichgewicht für 
eine kleine, unendlich dünne Scheibe, daß 

(43) ©-« = — ©« 

sein muß. 

Wir benützen Cartesische Koordinaten x s} x a , x $ . Die Druckkräfte 
pr,o Flächeneinheit an einer Stelle, welche gegen ein Flächenelement 
daselbst wirken, dessen innere Normale in die Richtung der positiven x t , 
bzw. x 2 , bzw. # 3 -Achse fällt, mögen mit <©,, © 2 , © 3 bezeichnet werden. 
Wir wählen irgend drei positive Zahlen a t1 a a} a 3 und eine positive Zahl €, 
die gegen o konvergieren soll (während die a t - festbleiben). Wir tragen 
vom betrachteten Punkt O aus in Richtung der positiven Koordinaten- 
achsen die Strecken 

OP x = ea i: OP, = ea„ OP 3 = ea 3 
ab und betrachten das infinitesimale Tetraeder OP z P a P 3 mit den »Wänden« 
OP a P 3 , OP 3 P z1 OP x P a und dem »Dach« P,P a P 3 . Ist / der Flächen- 
inhalt des Daches und er,, cr 2 , a 3 die Richtungskosinusse seiner inneren 
Normalen n, so sind die Flächeninhalte der Wände 

— /• «1 (=£sX<* 3 )> — /-« 2 > — /-« 3 - 
Der Druck auf die Wände und das Dach beträgt also insgesamt bei un- 
endlich kleinem e: 

/{©„-(« I @ x +a 2 @ 2 + a 3 ©3)}. 

/ ist von der Größenordnung £ 3 ; die auf das Tetraedervolumen wirkende 
Volumkraft ist aber nur von der Größenordnung e 3 . Daher muß zufolge 
der Gleichgewichtsbedingung 

@« = a, 6, + « a © 3 + a 3 <S 3 

sein. Mit Hilfe von (43) überträgt sich diese Formel unmittelbar auf 
den Fall, daß das Tetraeder in einem der übrigen 7 Oktanten gelegen 
ist. Nennen wir die Komponenten von ©,• in bezug auf die Koordinaten- 
achsen S tt , S{ 2 , S,- 3 und sind £', rf die Komponenten zweier beliebiger 
Verschiebungen von der Länge 1, so ist 



(44) iSü*?! 



k 



c() Der Euklidische Raum. 



die in die Richtung von t] fallende Komponente derjenigen Druckkraft, 
die gegen ein Flächenelement mit der inneren Normale £ stattfindet. 
Die Bilinearform (44) hat also eine vom Koordinatensystem unabhängige 
Bedeutung, und Sa sind die Komponenten eines Tensorfeldes »Spannung«. 
Wir operieren hier auch weiter mit rechtwinkligen Koordinatensystemen, 
so daß wir zwischen kovariant und kontravariant nicht zu unterscheiden 
brauchen. 

Wir bilden den Vektor ©'• mit den Komponenten S lt ; »S 2 ,, S v -. 
Die in die Richtung der inneren Normale n eines Flächenelements fallende 
Komponente von ©' r ist dann gleich der ^-Komponente von ©„. Die 
.Xj- Komponente der Gesamt-Druckkraft , die auf der Oberfläche ß des 
herausgeschnittenen Materiestücks J liegt, ist daher gleich dem Ober- 
flächenintegral der normalen Komponente von ©',, und das ist nach dem 
Gaußschen Satz gleich dem Volumintegral 

— /div@; • dV\ 

y 

das gleiche gilt für die x a - und ^-Komponente. Wir haben also den 
Vektor p mit den Komponenten 



A 



V 



hS*i 



4* ^x k 



zu bilden (das ist, wie wir wissen, ein invariantes Bildungsgesetz); einer 
Volumkraft von der Richtung und Stärke p pro Volumeinheit sind die 
Druckkräfte ® in dem Sinne äquivalent, daß für jedes herausgegriffene 
Stück Materie J 

(45) J<5nd0=JpdV 

ist. Ist ! die eingeprägte Kraft pro Volumeinheit, so lautet die erste 
Gleichgewichtsbedingung für das erstarrt gedachte Materiestück 

y 
und da dies für jeden Teil J zutreffen muß: 

(46) • p + f = o. 

Wählen wir einen beliebigen Anfangspunkt O und bedeutet r den 

Radiusvektor OP nach dem Argumentpunkt P, die eckige Klammer das 
»vektorielle* Produkt, so lautet die zweite Gleichgewichtsbedingung, die 
Momentengleichung : 

/[r, <S n ]do+f[T,l}dV=o 1 

ß y 

und da allgemein (46) gilt, muß also außer (45) auch noch 
/fr, ©„] do =/[r, p] dV 



§9« Das stationäre elektromagnetische Feld. e.n 

sein. Die #, -Komponente von [r, <5„] ist gleich der in der Richtung n 
genommenen Komponente von # a ©' 3 — * 3 ©al daher ist nach dem Gauß- 
schen Satz die x x -Komponente der linken Seite 

= -/div(x,©' 3 -*3©;ur, 

7 
und es kommt die Gleichung 

div (* a © 3 - x 3 61) = - {x,p 3 - x 3 p,). 

Die linke Seite ist aber 

= {x a div © 3 — x 3 div © 2 ) + (© 3 ' • grad x a — @' 2 • grad # 3 ) 

= — (*./ 3 ~ *sA) + ( 5 *3 ~ ^3») ' 
Demnach ergibt diese Gleichgewichtsbedingung, wenn wir außer der x z - 
noch die x a - und ^-Komponente bilden: 

o 23 = o 3 , , S 3J = S 13 , S ia = o ai , 
d. h. die Symmetrie des Spannungstensors S. Für eine beliebige Ver- 
schiebung mit den Komponenten £'' ist 

die in die Richtung von £ fallende Komponente der Druckkraft pro 
Flächeneinheit, welche gegen ein senkrecht zu dieser Richtung gestelltes 
Flächenelement wirkt. (Hier darf nun wieder ein beliebiges affines Koor- 
dinatensystem benutzt werden.) Die Spannungen sind einer Volumkraft 
vollständig äquivalent, deren Dichte p sich nach den invarianten Formeln 

n 5»* 

(47) -A = H- 

0X& 

berechnet. — Im Falle eines allseitig gleichen Drucks p ist 

St -p-d t , // _-_. 

Durch das Vorige hat nur der Begriff der Spannung seine exakte 
Formulierung und mathematische Darstellung gefunden. Zur Aufstellung 
der Grundgesetze der Elastizitätstheorie ist es weiterhin erforderlich, die 
Abhängigkeit der Spannung von der durch die eingeprägten Kräfte be- 
wirkten Verzerrung der Materie zu ermitteln. Wir haben keinen Anlaß, 
hier darauf näher einzugehen. 

§ 9. Das stationäre elektromagnetische Feld. 

Wo bisher von mechanischen oder physikalischen Dingen die Rede 
war, geschah es zunächst zu dem Zweck, zu zeigen, worin sich deren 
räumliche Natur kundgibt: nämlich darin, daß sich ihre Gesetze als in- 
variante Tensorrelationen ausdrücken. Wir hatten dadurch aber zugleich 
Gelegenheit, die Bedeutung der Tensorrechnung an konkreten Beispielen 
klar zu machen und spätere Auseinandersetzungen vorzubereiten, die sich 



«j8 Der Euklidische Raum. 



gründlicher mit physikalischen Theorien — um ihrer selbst willen und 
wegen ihrer Bedeutung für das Zeitproblem — befassen werden. In 
dieser Hinsicht wird nun namentlich die Theorie des elektromagnetischen 
Feldes, das vollkommenste Stück Physik, das wir heute kennen, von größter 
Wichtigkeit werden. Hier betrachten wir sie nur insofern, als die Zeit 
noch nicht in Frage kommt, d. h. wir beschränken uns auf zeitlich un- 
veränderliche stationäre Verhältnisse. 

Das Coulombsche Gesetz der Elektrostatik läßt sich folgendermaßen 
aussprechen: Sind im Raum irgendwelche Ladungen mit der Dichte q 
verteilt, so üben sie auf eine Punktladung e die Kraft 

(48) ft mn e • (f 

aus, worin 



(49) « = -/ 



••* £V. 



47tr' 

Hier bedeutet r den Vektor OP, der vom »Aufpunkt« O, in welchem Gs 
bestimmt werden soll, zum Argument- oder »Quell «-Punkt P führt, nach 
dem integriert wird; r seine Länge; dV das Volumelement. Die Kraft 
setzt sich also aus zwei Faktoren zusammen, der Ladung e des kleinen 
Probekörpers, die nur von dessen Zustand abhängt, und der »Feldstärke« 
@, welche im Gegenteil allein durch die gegebene Ladungsverteilung im 
Raum bestimmt ist. Wir machen uns die Vorstellung, daß auch dann, 
wenn wir an keinem Probekörper die Kraft ® beobachten, durch die im 
Räume verteilten Ladungen ein »elektrisches Feld« hervorgerufen wird, 
das durch den Vektor @ beschrieben ist; an einer hereingebrachten 
Punktladung e gibt es sich durch die Kraft (48) kund. © können wir 
aus einem Potential *) — cp ableiten nach der Formel 

(50) @ = grad cp , — 47t cp = / — dV . 

Daraus folgt, 1) daß (S wirbelfrei ist, und 2) daß der Fluß von @ durch 
irgend eine geschlossene Oberfläche gleich den von dieser Oberfläche 
umschlossenen Ladungen ist, oder daß die Elektrizität Quelle des elek- 
trischen Feldes ist; in Formeln 

(51) rot (S = o , div (S = Q . 

Aus diesen einfachen Differentialgesetzen geht rückwärts wieder das 
Coulombsche Gesetz hervor unter Hinzunahme der Bedingung, daß das 
Feld (S im Unendlichen verschwindet. Machen wir nämlich zufolge der 
ersten dieser Gleichungen (51) den Ansatz 6 = grad cp, so ergibt sich 
aus der zweiten zur Bestimmung von cp die Poissonsche Gleichung 
4 cp = Q } deren Lösung durch (50) geliefert wird. 

Das Coulombsche Gesetz ist ein Fernwirkungsgesetz : in ihm erscheint 



*) Um späterer Zwecke willen (§ 25) muß ich hier die übliche Bezeichnung 9p des 
Potentials in — qp abändern. 



§ 9- Das stationäre elektromagnetische Feld. 50 

die Feldstärke an einer Stelle abhängig von den Ladungen an allen 
andern Stellen, den nächsten und fernsten, im Raum. Im Gegensatz 
dazu drücken die viel einfacheren Formeln (51) Nahewirkungsgesetzc aus: 
da zur Bestimmung des Differentialquotienten einer Funktion an einer 
Stelle die Kenntnis ihres Wertverlaufs in einer beliebig kleinen Umgebung 
dieser Stelle genügt, sind durch (51) die Werte von q und @ an einer 
Stelle und deren unmittelbarer Umgebung miteinander in Zusammenhang 
gebracht. Diese Nahewirkungsgesetze fassen wir als den wahren Ausdruck 
des in der Natur bestehenden Wirkungszusammenhanges auf, (49) aber 
nur als eine daraus sich ergebende mathematische Konsequenz ; auf Grund 
der Gesetze (51), die eine so einfache anschauliche Bedeutung haben, 
glauben wir zu verstehen, woher das Coulombsche Gesetz kommt. Gewiß 
folgen wir hier vor allem einem erkenntnistheoretischen Zwang; schon 
Leibniz hat die Forderung der Kontinuität, der Nahewirkung als ein 
allgemeines Prinzip formuliert und sich aus diesem Grunde mit dem 
Newtonschen Fernwirkungsgesetz der Gravitation, das ja dem Coulomb- 
schen völlig entspricht, nicht befreunden können. Daneben kommt aber 
die mathematische Durchsichtigkeit und der einfache anschauliche Sinn 
der Gesetze (51) in Betracht; immer wieder machen wir in der Physik 
die Erfahrung, daß, wenn wir erst einmal dazu gelangt sind, die Gesetz- 
mäßigkeit eines bestimmten Erscheinungsgebietes völlig zu durchdringen, 
sie sich in Formeln von vollendeter mathematischer Harmonie ausspricht. 
Schließlich legt, was das Physikalische betrifft, die Maxwellsche Theorie 
in ihrer Weiterentwicklung beständig Zeugnis davon ab, von wie unge- 
heurer Fruchtbarkeit der Schritt von der alten Fern Wirkungsvorstellung 
zu der modernen der Nahewirkung war. 

Das Feld übt auf die Ladungen, welche es erzeugen, eine Kraft aus, 
deren Dichte pro Volumeinheit durch die Formel 

(52) ö=e<$ 

gegeben ist: so werden wir die Gleichung (48) in strenger Weise zu 
deuten haben. Bringen wir einen geladenen Probekörper in das Feld 
hinein, so gehört auch seine Ladung mit zu den felderzeugenden La- 
dungen, und die Formel (48) wird nur dann zur richtigen Bestimmung 
des vor dem Hineinbringen des Probekörpers herrschenden Feldes @ 
dienen können, wenn die Probeladung e so schwach ist, daß sie das Feld 
nur unmerklich verändert. Es ist das eine Schwierigkeit, die sich durch 
die ganze experimentelle Physik hindurchzieht: daß wir durch das Herein- 
bringen des Meßinstruments die ursprünglichen Verhältnisse, welche ge- 
messen werden sollen, stören ; daher stammen zum guten Teil die Fehler- 
quellen, auf deren Elimination der Experimentator so viel Scharfsinn 
verwenden muß. 

Das Grundgesetz der Mechanik : Masse X Beschleunigung = Kraft 
lehrt, was für eine Bewegung der Massen unter dem Einfluß gegebener 
Kräfte (bei gegebenen Anfangsgeschwindigkeiten) eintritt. Was aber Kraft 



6o Der Euklidische Raum. 



ist, lehrt die Mechanik nicht; das erfahren wir in der Physik. Das Grund- 
gesetz der Mechanik ist ein offenes Schema, das einen konkreten Inhalt 
erst gewinnt, wenn der in ihm auftretende Kraftbegriff durch die Physik 
ausgefüllt wird. Die unglücklichen Versuche, die Mechanik als eine ab- 
geschlossene Disziplin für sich zu entwickeln, haben sich daher auch 
niemals anders zu helfen gewußt als dadurch, daß sie das Grundgesetz 
zu einer Worterklärung machten: Kraft bedeutet Masse X Beschleunigung. 
Hier in der Elektrostatik erkennen wir aber für ein besonderes physika- 
lisches Erscheinungsgebiet, was Kraft ist und wie sie sich gesetzmäßig 
durch (52) aus den Zustandsgrößen Ladung und Feld bestimmt. Sehen 
wir die Ladungen als gegeben an, so liefern die Feldgleichungen (51) 
den Zusammenhang, durch welchen die Ladungen das von ihnen erzeugte 
Feld determinieren. Was aber die Ladungen betrifft, so weiß man, daß 
sie an die Materie gebunden sind. Die moderne Elektronentheorie zeigte, 
daß das in einem ganz strengen Sinne verstanden werden kann: die 
Materie besteht aus Elementarquanten, den Elektronen, die eine völlig 
bestimmte unveränderliche Masse und dazu eine völlig bestimmte unver- 
änderliche Ladung besitzen. Wo immer wir das Auftreten neuer Ladungen 
beobachten, beruht dies lediglich darauf, daß positive und negative Ele- 
mentarladungen, die vorher so nahe beieinander waren, daß sie sich in 
ihrer Fern Wirkung vollständig kompensierten, auseinandertreten; es »ent- 
steht« daher bei solchen Prozessen auch immer gleichviel positive und 
negative Elektrizität. Damit schließen sich die Gesetze zu einem Zykel: 
die Verteilung der mit ein für allemal festen Ladungen versehenen Ele- 
mentarquanten der Materie und (wie man bei nicht- stationären Verhält- 
nissen hinzufügen muß) ihre Geschwindigkeiten bestimmen das Feld ; das 
Feld übt auf die geladene Materie eine durch (52) gegebene pondero- 
motorische Kraft aus; die Kraft bestimmt nach dem Fundamentalgesetz 
der Mechanik die Beschleunigung und damit die Verteilung und Ge- 
schwindigkeit der Materie im nächsten Moment. Erst dieser ganze theo- 
retische Zusammenhang ist einer experimentellen Nachprüfung fähig — 
wenn wir annehmen, daß die Bewegung der Materie das ist, was wir 
direkt beobachten können (was übrigens auch nur bedingt zugegeben 
werden kann) ; nicht aber ein einzelnes, aus diesem theoretischen Gefüge 
herausgerissenes Gesetz! Der Zusammenhang zwischen der unmittelbaren 
Erfahrung und dem, was die Vernunft begrifflich als das hinter ihr 
steckende Objektive in einer Theorie zu erfassen sucht, ist nicht so ein- 
fach, daß jede einzelne Aussage der Theorie für sich einen unmittelbar 
in der Anschauung zu verifizierenden Sinn besäße. Wir werden im 
folgenden immer deutlicher sehen, daß Geometrie, Mechanik und Physik 
in dieser Weise eine unlösbare theoretische Einheit bilden, etwas, das 
man immer als Ganzes vor Augen haben muß, wenn man danach fragt, 
ob jene Wissenschaften die in allem subjektiven Bewußtseins-Erleben sich 
bekundende, dem Bewußtsein transzendente Wirklichkeit vernünftig deuten : 
die Wahrheit bildet ein System. — Im übrigen ist das hier in seinen 



§ g. Das stationäre elektromagnetische Feld. 6 1 

ersten Zügen geschilderte physikalische Weltbild charakterisiert durch den 
Dualismus von Materie und Feld, die sich in gegenseitiger Wechselwirkung 
befinden; erst durch die Relativitätstheorie ist dieser Dualismus, und zwar 
zugunsten einer reinen Feldphysik, überwunden worden (vgl. § 24). 

Die ponderomotorische Kraft im elektrischen Feld ist schon von Faraday 
auf Spannungen zurückgeführt worden. Benutzen wir ein rechtwinkliges 
Koordinatensystem x 1} x a , x , in welchem E t1 E a , E 3 die Komponenten der 
elektrischen Feldstärke sind, so ist die ^/-Komponente der Kraftdichte 



„ ßE s , bE, , bEA 



Durch eine einfache, die Wirbellosigkeit von (5 berücksichtigende Umrech- 
nung findet man daraus, daß die Komponenten pi der Kraftdichte sich nach 
den Formeln (47) aus einem Spannungstensor ableiten, dessen Komponenten 
Sik in dem folgenden quadratischen Schema zusammengestellt sind: 



(53) 



\{E\+E\-E\), -A&, ~E Z E 3 

-E a E t , \[E\ + E\-E\), -E,E 3 
-E 3 E X1 -E 3 E 2 , L(E\+El-El) 



Wir sehen, daß die Symmetriebedingung Sa = S t & erfüllt ist. Vor allem 
ist aber von Wichtigkeit, daß die Komponenten des Spannungstensors 
an einer Stelle nur von der elektrischen Feldstärke an dieser Stelle ab- 
hängen. (Sie hängen zudem nur von dem Feld, nicht auch von der 
Ladung ab.) Immer wenn eine Kraft/ sich nach (47) auf Spannungen S, 
die einen symmetrischen Tensor 2. Stufe bilden, zurückführen läßt, welcher 
nur von den Werten der den physikalischen Zustand beschreibenden Zustands- 
größen an der betreffenden Stelle abhängt, werden wir diese Spannungen 
als das Primäre, die Kraftwirkungen als ihre Folge zu betrachten haben. 
Mathematisch erhellt die Berechtigung dieser Auffassungsweise daraus, 
daß die Kraft / sich aus der Spannung durch Differentiation ergibt ; die 
Spannungen liegen also gegenüber den Kräften sozusagen um eine Diffe- 
rentiationsstufe weiter zurück und hängen trotzdem nicht, wie es für ein 
beliebiges Integral der Fall wäre, von dem ganzen Verlauf der Zustands- 
größen, sondern nur von ihrem Wert an der betr. Stelle ab. Daraus, daß 
sich die elektrostatischen Kräfte, welche geladene Körper aufeinander aus- 
üben, auf einen symmetrischen Spannungstensor zurückführen lassen, folgt 
noch, daß die resultierende Gesamtkraft wie auch das resultierende Dreh- 
moment verschwindet (weil das über den ganzen Raum erstreckte Integral 
einer Divergenz stets o ist); das besagt, daß sich ein abgeschlossenes 
System geladener Massen, das anfangs ruht, nicht aus sich selbst als 
Ganzes in translatorische oder rotatorische Bewegung versetzen kann. 

Der Tensor (53) ist natürlich unabhängig von der Wahl des Koordi- 
natensystems. Führen wir das Quadrat des Betrages der Feldstärke ein 

| E | a = E,E'', 



62 Der Euklidische Raum. 



so ist in der Tat 

S,k — \gik | E | 2 — EiEk- 

das sind die kovarianten Spannungskomponenten nicht nur in einem Cartesi- 
schen, sondern in einem beliebigen affinen Koordinatensystem, wenn die 
Ei die kovarianten Komponenten der Feldstärke sind. Die anschauliche Be- 
deutung der Spannungen ist überaus einfach. Benutzen wir an einer Stelle 
rechtwinklige Koordinaten, deren x t - Achse in die Richtung von (5 weist: 

M, = | £ f , E m = o , £3=0, 

so finden wir: sie bestehen aus einem Zug von der Stärke ^\E\* in 
Richtung der Kraftlinien und einem Druck von der gleichen Stärke 
senkrecht zu ihnen. 

Die elektrostatischen Grundgesetze können wir in invarianter Tensorgestali 
jetzt so zusammenfassen: 

. üEi hEa bcp 

I 5 -r — = o , bzw. Ei = — \ 

OXk QXi OXi 



(54) 



« £--« 



[ (IH) Si k = ±g ik \E\*-E i Ek. 

Einem System einzelner Punktladungen e z , e a , e 3 , ... kommt die 
potentielle Energie 

Sx/ft r ik 

zu; na bedeutet die Entfernung der beiden Ladungen ti und et. Dies 
besagt, daß die virtuelle Arbeit, welche die an den einzelnen Punkten 
angreifenden (von den Ladungen der übrigen Punkte herrührenden) Kräfte 
bei einer infinitesimalen Verrückung der Punkte leisten, ein totales Diffe- 
rential, nämlich = dU ist. Für kontinuierlich verteilte Ladungen geht 
diese Formel über in: 

JJ ö7trpp' 

beide Volumintegrationen nach P und P' erstrecken sich über den ganzen 
Raum, rpp< ist die Entfernung dieser beiden Punkte. Unter Benutzung 
des Potentials cp können wir dafür schreiben 

U=-\f Q cpdV. 

Der Integrand ist cp • div @. Zufolge der Gleichung 

div (f/>©) = cp • div @ -f- @ • grad (p 

und des Gaußschen Satzes, nach dem das über den gesamten Raum 
erstreckte Integral von div [cp @) gleich o wird, ist 

—fQ(p dF = f(® • grad cp) dV = f\ E \*dF: 

(55) v=*Ji\E\ijr. 



- 



§ 9- Das stationäre elektromagnetische Feld. 63 



Diese Darstellung der Energie setzt unmittelbar in Evidenz, daß die 
Energie einen positiven Betrag besitzt. Führen wir die Kräfte auf 
Spannungen zurück, so müssen wir uns vorstellen, daß diese Spannungen 
(wie die Spannungen des elastischen Körpers) überall mit positiver poten- 
tieller Spannungsenergie verbunden sind; der Sitz der Energie wird also 
im Felde zu suchen sein. Darüber gibt die Formel (55) völlig befrie- 
digende Rechenschaft; sie lehrt, daß die mit der Spannung verbundene 
Energie pro Volumeinheit f|.£| a beträgt, also genau gleich dem Zug 
und Druck ist, welche in Richtung und senkrecht zu den Kraftlinien 
stattfinden. Wieder ist es natürlich entscheidend für die Zulässigkeit 
dieser Auffassungsweise, daß die erhaltene Energiedichte nur von dem 
Werte der das Feld charakterisierenden Zustandsgröße @ an der betr. 
Stelle abhängt. Es kommt jetzt nicht nur dem Gesamtfeld, sondern 
auch jedem Stück des Feldes ein bestimmter potentieller Energieinhalt 
f\ | E j 3 dV zM. In der Statik spielt nur die Gesamtenergie eine Rolle; erst 
wenn wir hernach zur Betrachtung veränderlicher Felder übergehen, werden 
sich unzweifelhafte Bestätigungen der Richtigkeit dieser Auffassung einstellen. 
Auf Leitern sammeln sich im statischen Feld die Ladungen auf der 
Oberfläche, und im Innern der Konduktoren herrscht kein elektrisches 
Feld. Dann reichen die Gleichungen (51) aus, um das elektrische Feld 
im leeren Raum, im »Äther«, zu bestimmen. Befinden sich aber Nicht- 
Leiter, Dielektrika, im Felde, so ist die Erscheinung der dielektrischen 
Polarisation zu berücksichtigen. — Zwei an den Stellen P t und P % be- 
findliche Ladungen + e und — e, ein »Quellpaar«, wie wir kurz sagen 
wollen, erzeugen ein Feld, das aus dem Potential 






entspringt, in welchem r. und r 3 die Entfernungen der Punkte P l} P, 

vom Aufpunkt O bedeuten. Das Produkt aus e und dem Vektor P z P a 

heiße das Moment m des Quellpaares. Lassen wir die beiden Ladungen 

an einer Stelle P in bestimmter Richtung zusammenrücken, indem wir 

dabei die Ladung gleichzeitig so wachsen lassen, daß das Moment m 

konstant bleibt, so entsteht im Limes die »Doppelquelle« vom Moment m, 

deren Potential durch 

nt , 1 
grad/> — 

4 7t r 

gegeben ist. In einem Dielektrikum hat nun ein elektrisches Feld zur 
Folge, daß in den einzelnen Volumelementen desselben derartige Doppel- 
quellen entstehen ; diesen Vorgang bezeichnet -man als Polarisation. Ist m 
das elektrische Moment der Doppelquellen pro Volumeinheit, so gilt dann, 
für das Potential statt (50) die Formel 

(56) — 47tcp =) — dV-\- Im -grad/> dV. 



64 Der Euklidische Raum. 



Vom Standpunkt der Elektronentheorie können wir diesen Vorgang ohne 
weiteres verstehen. Stellen wir uns etwa vor, daß ein Atom aus einem 
ruhenden, positiv geladenen >Kern« besteht, um den ein Elektron von 
der entgegengesetzten Ladung in einer Kreisbahn rotiert. Im Zeitmittel 
für einen vollen Umlauf des Elektrons wird dann die mittlere Lage des 
Elektrons mit der des Kerns zusammenfallen und das Atom nach außen 
als völlig neutral erscheinen. Wenn aber ein elektrisches Feld wirkt, so 
übt dieses auf das negative Elektron eine Kraft aus, die zur Folge haben 
wird, daß seine Bahn zum Atomkern exzentrisch liegt, etwa eine Ellipse 
wird, in deren einem Brennpunkt der Kern sich befindet. Im Mittel für 
solche Zeiten, die groß sind gegenüber der Umlaufszeit des Elektrons, 
wird das Atom dann wirken wie ein ruhendes Quellpaar; oder wenn wir 
die Materie als kontinuierlich behandeln, werden wir in ihr kontinuierlich 
verbreitete Doppelquellen annehmen müssen. Schon vor einer genaueren 
atomistischen Durchführung dieses Gedankens werden wir sagen können, 
daß wenigstens in erster Annäherung dabei das Moment pro Volum einheit m 
der erregenden elektrischen Feldstärke (S proportional sein wird : m = x @, 
wo x eine Materialkonstante bedeutet, die von der chemischen Beschaffenheit 
der Substanz, nämlich dem Bau ihrer Atome und Moleküle, abhängt. Da 

,. /rtt\ . 1 , divm 
divl — I = ttt • grad 1 

ist, können wir die Gleichung (56) ersetzen durch 

Pq — divm ... 
— 47t cp — I dV. 

Für die Feldstärke © = grad cp ergibt sich daraus 

div@ = q — divm. 
Führen wir also die > elektrische Verschiebung« 

3) = @ + m 
ein, so lauten die Grundgleichungen jetzt 
(57) rot(S = o, div3) = £. 

Sie entsprechen den Gleichungen (51); in der einen von ihnen tritt aber 
jetzt die Feldstärke ($, in der andern die elektrische Verschiebung 2) auf; 
die Ladungen sind die Quelle der elektrischen Verschiebung. Bei der 
obigen Annahme m = xGsi erhält man, wenn man die Materialkonstante 
e = 1 + x, die sog. Dielektrizitätskonstante einführt, das Materialgesetz 

{58) £=£@. 

Durch die Beobachtung bestätigen sich diese Gesetze aufs beste. Der 
von Faraday experimentell nachgewiesene Einfluß des Zwischenmediums, 
der sich in diesen Gesetzen kundgibt, ist, wie man weiß, für die Aus- 
bildung der Nahewirkungstheorie von großer Bedeutung gewesen. — Auf 
eine entsprechende Erweiterung der Formeln für Spannung, Energie und 
Kraft können wir hier verzichten. 



§ 9- Das stationäre elektromagnetische Feld. 65 

Es versteht sich aus dieser Herleitung, daß (57), (58) keine streng 
gültigen Gesetze sind, sondern sich auf Mittelwerte beziehen, zu bilden 
für Räume, die viele Atome enthalten, und für Zeiten, die groß sind 
gegenüber den Umlaufszeiten der Elektronen im Atom. Als die exakten 
Naturgesetze sehen wir nach wie vor (51) an. Unser Absehen hier und 
im folgenden ist durchaus auf die exakten Naturgesetze gerichtet. Es 
bilden aber, wenn man von den Erscheinungen ausgeht, solche »phäno- 
menologischen« Gesetze wie (57), (58) den notwendigen Durchgangspunkt 
von dem, was die Beobachtungen direkt ergeben, zu der exakten Theorie. 
Im allgemeinen können wir erst von ihnen aus uns eine derartige 
Theorie erarbeiten. Diese wird sich dann als gültig erweisen, wenn es 
gelingt, unter Zuhilfenahme bestimmter Vorstellungen über die atomi- 
stische Konstitution der Materie von ihr aus durch Mittelwertbildung 
wieder zu den phänomenologischen Gesetzen zu gelangen. Es müssen 
sich dabei, wenn der Atombau bekannt ist, zugleich die Werte der in 
diesen Gesetzen auftretenden Materialkonstanten ergeben (in den exakten 
Naturgesetzen kommen keine solchen Konstanten vor). Da die Gültigkeit 
der Materialgesetze wie (58), die den Einfluß der Materie nur in Bausch 
und Bogen berücksichtigen, bei Vorgängen, für welche die feinere Struktur 
der Materie nicht gleichgültig ist, sicher versagt, müssen sich aus einer 
solchen atomistischen Theorie ferner die Grenzen der Gültigkeit der 
phänomenologischen Theorie ergeben und diejenigen Gesetze, welche 
jenseits dieser Grenzen an ihre Stelle treten. Die Elektronenthecrie hat 
in alle dem große Erfolge aufzuweisen, wenn sie auch wegen der Schwierig- 
keit, über den feineren Aufbau des Atoms und die Vorgänge im Innern 
desselben Aufschluß zu erhalten, noch lange nicht zum Abschluß ge- 
kommen ist. — 

Der Magnetismus scheint nach den ersten Erfahrungen an permanenten 
Magneten nur eine Wiederholung der Elektrizität: auch hier das Cou- 
lombsche Gesetz! Sogleich aber macht sich ein charakteristischer Unter- 
schied geltend: man kann positiven und negativen Magnetismus nicht 
voneinander trennen; es gibt keine Quellen, sondern nur Doppelquellen 
des Magnetfeldes; der Magnet besteht aus unendlichkleinen Elementar- 
magneten, deren jeder schon positiven und negativen Magnetismus in sich 
trägt. De facto ist aber die Magnetismusmenge in jedem Materiestück 
= o, und das heißt denn doch: es gibt in Wahrheit gar keinen Magne- 
tismus. Die Aufklärung brachte die Entdeckung der magnetischen Wirkung 
des elektrischen Stromes durch Örsted. Die im Biot-Savartschen Gesetz 
niedergelegte genaue quantitative Formulierung dieser Wirkung führt ebenso 
wie das Coulombsche auf zwei einfache Nahewirkungsgesetze: bedeutet i 
die Dichte des elektrischen Stroms, £ die magnetische Feldstärke, so gilt 

(59) rot# = 3, div$ = o. 

Die zweite Gleichung sagt die Nicht- Existenz von Quellen des Magnet- 
feldes aus. Die Gleichungen (59) sind ein genaues Seitenstück zu (51) 

Weyl, Raum, Zeit, Materie. 3. Aufl. e 



66 Der Euklidische Raum. 



unter Vertauschung von div und rot. Diese beiden Operationen der 
Vektoranalysis entsprechen sich in derselben Weise, wie in der Vektor- 
algebra skalare und vektorielle Multiplikation (div ist skalare, rot vektorielle 
Multiplikation mit dem symbolischen Vektor »Differentiation«). Die im 
Unendlichen verschwindende Lösung der Gleichungen (59) bei gegebener 
Stromverteilung lautet daher auch ganz entsprechend zu (49): 

< 6 °» « =/S iäF - 

das ist eben das Biot-Savartsche Gesetz. Man kann diese Lösung aus 
einem »Vektorpotential« — f ableiten nach den Formeln 



$ = — rotf, — A 7t\=J— 



dV. 



Schließlich lautet die Formel für die Kraftdichte des Magnetfeldes ganz 

analog zu (52): 

(61) p = [*$]. 

Es ist kein Zweifel, daß wir durch diese Gesetze die Wahrheit über den 
Magnetismus erfahren. Sie sind keine Wiederholung, aber ein genaues 
Seitenstück der elektrischen; sie entsprechen ihnen wie das vektorielle 
Produkt dem skalaren. Es läßt sich aus ihnen mathematisch beweisen, 
daß ein kleiner Kreisstrom genau so wirkt wie ein kleiner, senkrecht 
durch den Kreisstrom hindurchgesteckter Elementarmagnet. Wir haben 
uns infolgedessen nach Ampere vorzustellen, daß die magnetische Wirkung 
magnetisierter Körper auf Molekularströmen beruhe ; nach der Elektronen- 
theorie sind diese ohne weiteres gegeben durch die im Atom umlaufenden 
Elektronen. 

Auch die Kraft p des Magnetfeldes kann auf Spannungen zurück- 
geführt werden, und zwar ergeben sich für die Spannungskomponenten 
genau die gleichen Werte wie im elektrostatischen Felde: man braucht 
nur © durch $ zu ersetzen. Wir werden infolgedessen für die Dichte 
der im Felde enthaltenen potentiellen Energie hier genau den entsprechen- 
den Ansatz f|) 2 machen; seine volle Rechtfertigung findet er erst in der 
Theorie der zeitlich veränderlichen Felder. 

Aus (59) folgt, daß der Strom quellenfrei verteilt ist: div § = o. Das 
Strömungsfeld kann daher in lauter in sich zurücklaufende Stromröhren 
zerlegt werden; durch alle Querschnitte einer einzelnen Stromröhre fließt 
derselbe Gesamtstrom. Aus den Gesetzen des stationären Feldes geht in 
keiner Weise hervor und es kommt für sie in keiner Weise in Betracht, 
daß dieser Strom elektrischer Strom im wörtlichen Sinne ist, d. h. aus 
bewegter Elektrizität besteht; dies ist aber zweifellos der Fall. Im Lichte 
dieser Tatsache besagt das Gesetz div 8 = o, daß Elektrizität weder 
entsteht noch vergeht. Nur darum, weil der Fluß des Stromvektors $ 
durch eine geschlossene Oberfläche Null ist, kann die Dichte der Elektrizität 
allerorten unverändert bleiben — es handelt sich jetzt ausschließlich um 



§ 9- Das stationäre elektromagnetische Feld. 67 

stationäre Felder! — , ohne daß Elektrizität entsteht oder vergeht. — Das 
oben eingeführte Vektorpotential f genügt ebenfalls der Gleichung divf = o. 
3 ist als elektrischer Strom ohne Zweifel ein Vektor im eigentlichen 
Sinne des Worts. Dann geht aber aus dem Biot-Savart'schen Gesetz hervor, 
daß ^j nicht ein Vektor, sondern ein linearer Tensor 2. Stufe ist, dessen 
Komponenten in irgend einem (Cartesischen oder auch nur affinen 
Koordinatensystem) Hik heißen mögen. Das Vektorpotential f ist ein 
wirklicher Vektor. Sind <jp,- seine kovarianten Komponenten und s l die 
kontravarianten der Stromdichte (der Strom ist von Hause aus wie die 
Geschwindigkeit ein kontravarianter Vektor), so enthält die folgende Tabelle 
die endgültige (von der Dimensionszahl unabhängige) Form der Gesetze 
des Magnetfeldes eines stationären elektrischen Stromes: 

(62, I — — + h — — = o, bzw. Hik~T^- — -£- 

0*i OXk OXl . ÖXk ÖXi 

und 

(62,11) TZ-^ 5 '- 

Die Spannungen bestimmen sich aus 

(62, m) S? = H ir H kr -\6i k \H\ ', 

wo \H\ den Betrag des Magnetfeldes bedeutet: 

\H\*=\H ik H*. 

Der Spannungstensor ist symmetrisch, da 

H ir H r k = H[H kr = g~*H ir H kt . 

Die Komponenten der Kraftdichte sind 

(62, IV) pi = H ik s k , 

die Energiedichte . = \ \ H\ a . 

Das sind die Gesetze, wie sie für das Feld im leeren Raum gelten; 
wir betrachten sie wie im elektrischen Fall als die allgemein gültigen 
exakten Naturgesetze. Für eine phänomenologische Theorie muß aber 
wieder die der dielektrischen Polarisation analoge Erscheinung der Magneti- 
sierung beachtet werden; hier tritt dann wie 2) neben @ die »Magnet- 
induktion« 93 neben der Feldstärke £ auf, es gelten die Feldgesetze 

rot £ = 8 , div 93 = o 

und das Materialgesetz 

(63) 8 — f*$; 

die Material konstante [.1 heißt magnetische Permeabilität. Während aber 
das einzelne Atom durch die Wirkung der elektrischen Feldstärke erst 
polarisiert (zu einer Doppelquelle) wird, und zwar in Richtung der Feld- 

5* 



58 Das metrische Kontinuum. 



stärke, ist das Atom wegen der in ihm befindlichen rotierenden Elek- 
tronen von vorn herein ein Elementarmagnet (wenigstens bei den para- und 
ferromagnetischen Körpern). Aber alle diese Elementarmagnete heben ihre 
Wirkungen gegenseitig auf, solange sie ungeordnet sind und alle Stellungen 
der Elektronen-Kreisbahnen im Durchschnitt gleich oft vorkommen. Die 
einwirkende magnetische Kraft hat hier lediglich die Funktion, die vorhan- 
denen Doppelquellen zu richten. Damit hängt es offenbar zusammen, daß 
der Geltungsbereich der Gleichung (63) ein viel engerer ist als der der ent- 
sprechenden Gleichung (58). Ihm sind vor allem die permanenten Magnete 
und die ferromagnetischen Körper (Eisen, Nickel, Kobalt) nicht unterstellt. 
Zu den bisherigen tritt in der phänomenologischen Theorie als weiteres 
das Ohmsche Gesetz 

% = (j® (o = Leitfähigkeit); 

es sagt aus, daß der Strom dem Potentialgefälle folgt und ihm bei ge- 
gebener Leitersubstanz proportional ist. In der atomistischen Theorie 
entspricht dem Ohmschen Gesetz das Grundgesetz der Mechanik, nach 
welchem die auf die »freien« Elektronen wirkende elektrische und mag- 
netische Kraft deren Bewegung bestimmt und so den elektrischen Strom 
erzeugt. Infolge der Zusammenstöße mit den Molekülen wird dabei 
keine dauernde Beschleunigung eintreten, sondern (wie bei einem schweren 
fallenden Körper infolge des Luftwiderstandes) sich alsbald eine mittlere 
Grenzgeschwindigkeit herausbilden, die man wenigstens in erster Annä- 
herung der treibenden elektrischen Kraft (5 proportional setzen kann; so 
wird das Ohmsche Gesetz verständlich. 

Wird der Strom durch ein galvanisches Element oder einen Akkumulator 
erzeugt, so wird durch den sich abspielenden chemischen Prozeß zwischen 
Anfang und Ende der Drahtleitung eine konstante Potentialdifferenz auf- 
recht erhalten, die »elektromotorische Kraft«. Da die Vorgänge, die sich 
in dem Stromerzeuger abspielen, offenbar nur von einer atomistischen 
Theorie verstanden werden können, ist es phänomenologisch am ein- 
fachsten, ihn durch einen Querschnitt im geschlossenen Leitungskreis zur 
Darstellung zu bringen, über den hinüber das Potential einen Sprung 
erleidet, welcher gleich der elektromotorischen Kraft ist. 

Dieser kurze Überblick über die Maxwellsche Theorie des stationären 
Feldes wird uns für das Folgende genügen. Auf Einzelheiten und konkrete 
Anwendungen können wir uns hier natürlich nicht einlassen. 

Kapitel IL 
Das metrische Kontinuum. 

§ 10. Bericht über Nicht-Euklidische Geometrie 1 ). 

Der Zweifel an der Euklidischen Geometrie scheint so alt zu sein 
wie diese selbst und ist keineswegs erst, wie das von unsern Philosophen 



§ io. Bericht über Nicht-Euklidische Geometrie. ÖQ 

meist angenommen wird, eine Ausgeburt moderner mathematischer 
Hyperkritik. Dieser Zweifel hat sich von jeher an das V. Postulat des 
Euklid geknüpft. Es besagt im wesentlichen, daß in einer Ebene, in 
der eine Gerade g und ein nicht auf ihr gelegener Punkt P gegeben 
sind, nur eine einzige Gerade existiert, welche durch P hindurchgeht 
und g nicht schneidet; sie heißt die Parallele. Während die übrigen 
Axiome des Euklid ohne weiteres als evident zugestanden wurden, haben 
sich schon die ältesten Erklärer bemüht, diesen Satz auf Grund der übrigen 
Axiome zu beweisen. Heute, wo wir wissen, daß das gesteckte Ziel nicht 
erreicht werden konnte, müssen wir in diesen Betrachtungen die ersten 
Anfänge der »Nicht-Euklidischen« Geometrie erblicken, d. h. des Aufbaus 
eines geometrischen Systems, das zu seinen logischen Grundlagen die 
sämtlichen Axiome des Euklid mit Ausnahme des Parallelenpostulats an- 
nimmt. Wir besitzen von Proklus (5. Jahrh. n. Chr.) einen Bericht über 
derartige Versuche. Proklus warnt darin ausdrücklich vor dem Mißbrauch, 
der mit Berufungen auf Evidenz getrieben werden kann, (man darf nicht 
müde werden, diese Warnung zu wiederholen ; man darf aber auch nicht 
müde werden, zu betonen, daß trotz ihres vielfachen Mißbrauchs die Evi- 
denz letzter Ankergrund aller Erkenntnis ist, auch der empirischen) und 
besteht auf der Möglichkeit, daß es »asymptotische Gerade« geben könne. 
Dazu mag man sich folgendes Bild machen. In einer Ebene sei eine 
feste Gerade g } ein nicht auf ihr gelegener Punkt P gegeben und eine 
durch P hindurchgehende, um P dreh- 
bare Gerade s. In ihrer Ausgangslage 
möge sie etwa senkrecht auf g sein. 
Drehen wir jetzt s, so gleitet der Schnitt- 
punkt von s und g auf g entlang, z. B. 

nach rechts hinüber, und es tritt ein *\~ 

bestimmter Moment ein, wo dieser Fig. 2. 

Schnittpunkt gerade ins Unendliche ent- 
schwunden ist: dann hat s die Lage einer »asymptotischen« Geraden. 
Drehen wir weiter, so nimmt Euklid an, daß im selben Moment schon 
ein Schnittpunkt von links her auftritt. Proklus dagegen weist auf die 
Möglichkeit hin, daß man vielleicht erst durch einen gewissen Winkel 
weiter drehen muß, ehe ein Schnittpunkt auf der linken Seite zustande 
kommt. Dann hätten wir zwei »asymptotische« Gerade, eine nach 
rechts s' und eine nach links s". Liegt die Gerade s durch P in dem 
Winkelraum zwischen s" und s' (bei der eben geschilderten Drehung), 
so schneidet sie g\ liegt sie zwischen s' und s", so schneidet sie nicht. 
— Eine nicht-schneidende muß mindestens existieren; das folgt aus den 
übrigen Axiomen Euklids. Ich erinnere an eine aus dem ersten Elementar- 
unterricht in der Geometrie vertraute ebene Figur, bestehend aus der 
Geraden h und zwei Geraden g und g 1 , die h in A und A' unter gleichen 
Winkeln schneiden, g und g 1 werden beide durch ihren Schnitt mit h in 
eine rechte und eine 'linke Hälfte zerlegt. Hätten nun g und g' etwa einen 



70 Das metrische Kontinuum. 




auf der rechten Seite von h gelegenen Schnittpunkt S gemein, so würde 
sich, da (s. Fig. 3) BAA'B' kongruent zu CÄAC ist, auch auf der 

linken Seite ein solcher Schnittpunkt S* er- 
geben; dies ist aber unmöglich, da durch 
zwei Punkte S und S* nur eine einzige Gerade 
hindurchgeht. 

Die Versuche, das Euklidische Postulat zu 
erweisen, setzen sich unter den Arabern und 
unter den abendländischen Mathematikern des 
Mittelalters fort. Wir nennen nur, sofort in die 
neuere Zeit hinüberspringend, die Namen der letzten bedeutendsten Vor- 
läufer der Nicht-Euklidischen Geometrie: den Jesuitenpater Saccheri (Be- 
ginn des 18. Jahrh.), die Mathematiker Lambert und Legendre. Saccheri 
weiß, daß die Frage der Gültigkeit des Parallelenpostulats der andern äquiva- 
lent ist, ob die Winkelsumme im Dreieck gleich oder kleiner als 1 8o° ist. Ist 
sie in einem Dreieck = 1 8o°, so ist sie es in jedem, und es gilt die Eukli- 
dische Geometrie; ist sie in einem Dreieck <^ 180 , so ist sie in jedem 
Dreieck <C 180 . Daß sie > 180 ausfällt, ist aus dem gleichen Grunde 
ausgeschlossen, aus dem eben gefolgert wurde, daß nicht alle Gerade durch 
P die feste Gerade g schneiden können. Lambert entdeckte, daß unter 
der Voraussetzung einer Winkelsumme <d 180 in der Geometrie eine 
ausgezeichnete Länge existiert; es hängt das eng mit der schon von Wallis 
gemachten Bemerkung zusammen, daß es in der Nicht-Euklidischen Geo- 
metrie (ganz so wie in der Geometrie auf einer festen Kugel) keine ähn- 
lichen Figuren verschiedener Größe gibt: wenn es also so etwas gibt 
wie Gestalt unabhängig von Größe, so besteht die Euklidische Geometrie 
zu Recht. Außerdem leitete Lambert eine Formel für den Dreiecksinhalt 
her, aus welcher hervorgeht, daß dieser Inhalt in der Nicht-Euklidischen 
Geometrie nicht über alle Grenzen wachseh kann. Es scheint, daß sich 
durch die Untersuchungen dieser Männer allmählich in weiteren Kreisen 
der Glaube an die Unbeweisbarkeit des Parallelenpostulats Bahn gebrochen 
hat. Die Frage hat damals viele Gemüter bewegt; d'Alembert be- 
zeichnete es als einen Skandal der Geometrie, daß sie noch immer nicht 
zur Entscheidung gebracht sei. Die Autorität Kants, dessen philosophisches 
System die Euklidische Geometrie als apriorische, den Gehalt der reinen 
Raumanschauung in adäquaten Urteilen wiedergebende Erkenntnis in An- 
spruch nimmt, konnte den Zweifel nicht auf die Dauer unterdrücken. 

Auch Gauß ist ursprünglich noch darauf aus gewesen, das Parallelen- 
axiom zu beweisen; doch hat er bald die Überzeugung gewonnen, daß 
dies unmöglich sei, und hat die Prinzipien einer Nicht-Euklidischen 
Geometrie, in welcher jenes Axiom nicht erfüllt ist, bis zu einem solchen 
Punkte entwickelt, daß von da ab der weitere Ausbau mit der nämlichen 
Leichtigkeit vollzogen werden kann wie der der Euklidischen Geometrie. 
Er hat aber über seine Untersuchungen nichts bekannt gegeben; er 
fürchtete, wie er später einmal in einem Privatbriefe schrieb, das »Ge- 



§ io. Bericht über Nicht-Euklidische Geometrie. 71 

schrei der Böoter« ; denn es gäbe nur wenige, welche verstünden, worauf 
es bei diesen Dingen eigentlich ankäme. Unabhängig von Gauß ist 
Schweikart, ein Professor der Jurisprudenz, zu vollem Einblick in die 
Verhältnisse der Nicht-Euklidischen Geometrie gelangt, wie aus einem 
knapp gehaltenen, an Gauß gerichteten Notizblatt hervorgeht. Er hielt 
es wie Gauß für keineswegs selbstverständlich und ausgemacht, daß in 
unserm wirklichen Raum die Euklidische Geometrie gilt. Sein Neffe 
Taurinus, den er zur Beschäftigung mit diesen Fragen anregte, war zwar 
im Gegensatz zu ihm ein Euklid-Gläubiger; ihm verdanken wir aber 
die Entdeckung, daß die Formeln der sphärischen Trigonometrie auf einer 
Kugel vom imaginären Radius V — 1 reell sind und durch «sie auf ana- 
lytischem Wege ein geometrisches System konstruiert ist, das den Axiomen 
des Euklid außer dem V. Postulat, diesem aber nicht genügt. 

Vor der Öffentlichkeit müssen sich in den Ruhm, Entdecker und Er- 
bauer der Nicht-Euklidischen Geometrie zu sein, teilen der Russe Nikolaj 
Jxvanowitsch Lobatschefskij (1793 — 1856), Professor der Mathematik in 
Kasan, und der Ungar Johann Bolyai (1802 — 1860), Offizier der öster- 
reichischen Armee. Beide kamen mit ihren Ideen um 1826 ins Reine; 
die Hauptschrift beider, die der Öffentlichkeit ihre Entdeckung mitteilte 
und eine Begründung der neuen Geometrie im Stile Euklids darbot, 
stammt aus den Jahren 1830/31. Die Darstellung bei Bolyai ist besonders 
durchsichtig dadurch, daß er die Entwicklung so weit als möglich führt, 
ohne über die Gültigkeit oder Ungültigkeit des V. Postulats eine Annahme 
zu machen und erst am Schluß aus den Sätzen dieser seiner > absoluten« 
Geometrie, je nachdem ob man sich für oder wider Euklid entscheidet, 
die Theoreme der Euklidischen und der Nicht-Euklidischen Geometrie 
herleitet. 

Wenn so auch das Gebäude errichtet war, so war es noch immer 
nicht definitiv sichergestellt, ob sich schließlich nicht doch einmal in der 
absoluten Geometrie das Parallelenaxiom als ein Folgesatz herausstellen 
würde; der strenge Beweis der Widerspruchslosigkeit der Nicht- Euklidischen 
Geometrie stand noch aus. Er ergab sich aber aus der Weiterentwicklung 
der Nicht-Euklidischen Geometrie fast wie von selbst. Der einfachste 
Weg zu diesem Beweis wurde freilich, wie das oft geschieht, nicht zuerst 
eingeschlagen; er ist erst von Klein um 1870 aufgefunden worden und 
beruht auf der Konstruktion eines Euklidischen Modells für die Nicht- 
Euklidische Geometrie 2 ). Beschränken wir uns auf die Ebene! In einer 
Euklidischen Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten x 1 y zeichnen 
wir den Kreis U vom Radius 1 um den Koordinatenursprung. Führen 
wir homogene Koordinaten ein, 

x 3 x 3 

(so daß also die Lage eines Punktes durch das Verhältnis von drei Zahlen 
x , : x a : x 3 charakterisiert ist), so lautet die Gleichung des Kreises 



72 



Das metrische Kontinuum. 



*i 



3 | 2 

*2 + *3 = ° • 



Die auf der linken Seite stehende quadratische Form werde mit £1 (x) 
bezeichnet, die zugehörige symmetrische Bilinearform zweier Wertsysteme 
x t ; x\ mit Q [xx'). Eine Abbildung, die jedem Punkt x einen Bildpunkt 
x' durch die linearen Formeln 



X{ =^CtikX k 



( I ««* I 4= °) 



k=i 



zuordnet, heißt bekanntlich eine Kollineation (die affinen Abbildungen 
sind spezielle Kollineationen). Sie führt jede Gerade Punkt für Punkt 
wieder in eine Gerade über und läßt das Doppelverhältnis von 4 Punkten 
auf einer Geraden ungeändert. Wir stellen jetzt ein Lexikon auf, durch 
das die Begriffe der Euklidischen Geometrie in eine fremde Sprache, die 
»Nicht-Euklidische«, übersetzt werden, deren Worte wir durch Anführungs- 
striche kennzeichnen. Das Lexikon besteht nur aus drei Vokabeln. 
»Punkt« heißt jeder Punkt im Innern von U. 

»Gerade« heißt das innerhalb U verlaufende Stück einer Geraden. 
Unter den Kollineationen , welche den Kreis U in sich überführen, gibt 

es zwei verschiedene Arten: solche, welche 
das Innere von U auf das Innere abbilden, 
und solche, die das Innere auf das Äußere 
abbilden. Die Kollineationen der ersten Art 
nennen wir »kongruente« Abbildungen und 
zwei aus »Punkten« bestehende Figuren »kon- 
gruent«, wenn sie durch eine solche Abbildung 
ineinander übergeführt werden können. Für 
diese »Punkte« und »Geraden« und für diesen 
Begriff der »Kongruenz« gelten die sämtlichen 
Axiome Euklids mit Ausnahme des Parallelen- 
postulats. In Fig. 4 ist ein ganzes Büschel 
von »Geraden« durch den »Punkt« P ge- 
zeichnet, die alle die eine »Gerade« g nicht schneiden. Die Widerspruchs- 
losigkeit der Nicht -Euklidischen Geometrie ist damit erwiesen; denn es 
sind Dinge und Beziehungen aufgewiesen, für welche bei geeigneter 
Namengebung die sämtlichen Sätze jener Geometrie erfüllt sind. — Die 
Übertragung des Kleinschen Modells auf die räumliche Geometrie ist 
offenbar ohne weiteres möglich. 

Wir wollen in diesem Modell noch die Nicht-Euklidische Entfernung 
zweier »Punkte« 




Fig. 4- 



A = ( Xl 



"3" 



*x — — 1 X\ • X% • Jvj I 



bestimmen. Die Gerade AÄ schneide den Kreis U in den beiden Punkten 
B t} B a . Die homogenen Koordinaten yt jedes dieser beiden Punkte 
haben die Form 

Vi = Ixi + l'xl , 



§ io. Bericht über Nicht-Euklidische Geometrie. j? 

und das zugehörige Parameterverhältnis X : X' ergibt sich aus der Glei- 
chung Q{y) = o: 

x _ — n(xx') ± vn'(xx') — si(x) ßfrö 

V ~~ Q{x) 

Das Doppelverhältnis der vier Punkte AÄ B 1 £ 2 ist daher 



n{ X x') — yn*(xx') - Q[x) n[x') ' 

Diese von den beiden willkürlichen »Punkten« A, Ä abhängige Größe 
ändert sich nicht bei einer »kongruenten« Abbildung. Sind AÄ A" irgend 
drei, in der hingeschriebenen Reihenfolge auf einer »Geraden« gelegene 
»Punkte«, so ist 

[AA"] = [AÄ]-[ÄA"]. 
Die Größe 

\ lg [AÄ] = ÄÄ = r 
hat also die Funktionaleigenschaft 



AA' +ÄA" =AA". 

Da sie außerdem für »kongruente« Strecken AÄ den gleichen Wert hat, 
ist sie als die Nicht-Euklidische Entfernung der beiden Punkte AÄ an- 
zusprechen. Indem wir unter lg den natürlichen Logarithmus verstehen, 
erhalten wir in Einklang mit der Erkenntnis Lamberts eine absolute Fest- 
legung der Maßeinheit. Die Definition läßt sich einfacher so schreiben: 

n{xx') 

(i) (Sof r = ,- • ((£oj = Cosinus hyperbolicus.) 

Vi2[x) • il[x) 

Diese Maßbestimmung ist unter Zugrundelegung eines beliebigen reellen 
oder imaginären Kegelschnitts £2(x) = o vor Klein bereits von Cayley 
als »projektive Maßbestimmung« aufgestellt worden 3 ) ; aber erst Klein er- 
kannte, daß sie für einen reellen Kegelschnitt zur Nicht-Euklidischen 
Geometrie führt. 

Man muß nicht wähnen, das Kleinsche Modell zeige, daß die Nicht- 
Euklidische Ebene endlich sei. Vielmehr kann ich, Nicht-Euklidisch ge- 
messen, auf einer »Geraden« dieselbe Strecke unendlich oft hintereinander 
abtragen; nur im Euklidischen Modell Euklidisch gemessen, werden die 
Abstände dieser »äquidistanten« Punkte immmer kleiner und kleiner. Für 
die Nicht-Euklidische Ebene ist der Grenzkreis U das unerreichbare 
Unendlichferne. 

Die Cayleysche Maßbestimmung für einen imaginären Kegelschnitt 
führt auf die gewöhnliche sphärische Geometrie, wie sie auf einer Kugel 
im Euklidischen Raum Geltung hat. Die größten Kreise treten darin 
an Stelle der geraden Linien, es muß aber jedes aus zwei sich diametral 
gegenüberliegenden Punkten bestehende Punktepaar als einzelner »Punkt« 



74 



Das metrische Kontinuum. 



betrachtet werden, damit sich zwei > Geraden« nur in einem »Punkte« 
schneiden. Wir projizieren die Kugelpunkte durch geradlinige Strahlen 
vom Zentrum auf die in einem Kugelpunkte, dem Südpol, gelegte Tan- 
gentenebene: in dieser Bildebene fallen alsdann je zwei diametral gegen- 
überliegende Punkte zusammen. Die Ebene müssen wir aber wie in der pro- 
jektiven Geometrie mit einer unendlich fernen Geraden ausstatten, die das 
Bild des Äquatorkreises ist. Wir nennen zwei Figuren in dieser Ebene 
jetzt »kongruent«, wenn ihre durch die Zentralprojektion auf der Kugel 
entstehenden Bilder im gewöhnlichen Euklidischen Sinne kongruent sind. 
Unter Anwendung dieses »Kongruenz «-Begriffs gilt dann in der Ebene 
eine Nicht-Euklidische Geometrie, in der alle Axiome Euklids erfüllt sind 
mit Ausnahme des V. Postulats. An dessen Stelle tritt aber hier die 
Tatsache, daß je zwei Gerade ohne Ausnahme sich schneiden, und in 
Übereinstimmung damit ist die Winkelsumme ^> 180 . Das scheint mit 
einem oben erwähnten Euklidischen Beweis in Widerspruch zu stehen. 
Die Antinomie löst sich dadurch, daß in der jetzigen, »sphärischen« 
Geometrie die Gerade eine geschlossene Linie ist, während Euklid, ohne 
es allerdings in den Axiomen auszusprechen, stillschweigend voraussetzt, 
daß sie eine offene Linie ist, nämlich durch jeden ihrer Punkte in zwei 
Hälften zerfällt. Nur unter dieser Voraussetzung ist der in seinem Be- 
weis gezogene Schluß zwingend, daß der auf der »rechten« Seite gelegene 
hypothetische Schnittpunkt »S von dem auf der »linken« Seite gelegenen 
S* verschieden ist. 

Wir benutzen im Raum ein Cartesisches Koordinatensystem x z x 3 # 3 , 
dessen Nullpunkt im Kugelzentrum liegt, dessen x 3 - Achse in die Verbindungs- 
linie Nord- Südpol fällt und welchem als Maßeinheit der Kugelradius zu- 
grunde liegt. Sind x z , x a , x $ die Koordinaten irgend eines Kugelpunktes: 

n(x) = x\ + xi + xi = i, 

so sind — , — die erste und zweite Koordinate des Bildpunktes in 

X 3 X 3 

unserer Ebene x 3 = i ; x t : x a : x 3 ist also das Verhältnis der homo- 
genen Koordinaten des Bildpunktes. Kongruente Abbildungen der Kugel 
sind lineare Transformationen, welche die quadratische Form Q(x) in- 
variant lassen; die »kongruenten« Abbildungen der Ebene im Sinne 
unserer »sphärischen« Geometrie sind also durch solche lineare Trans- 
formationen der homogenen Koordinaten gegeben, welche die Gleichung 
R(x) = o, die einen imaginären Kegelschnitt bedeutet, in sich überführen. 
Damit ist unsere Behauptung betreffs des Zusammenhanges der sphärischen 
Geometrie mit der Cayleyschen Maßbestimmung bewiesen. Im Einklang 
damit lautet die Formel für die Entfernung r zweier Punkte A, Ä hier 

2) cos r = , — • 

Zugleich haben wir die Entdeckung des Taurinus bestätigt, daß die Nicht- 



§ ii. Riemannsche Geometrie. 75 

Euklidische Geometrie identisch ist mit der sphärischen auf einer Kugel 
vom Radius V — 1 . 

Zwischen die Bolyai-Lobatschefskysche und die sphärische Geometrie 
schiebt sich als Grenzfall die Euklidische ein. Lassen wir nämlich einen 
reellen Kegelschnitt durch einen ausgearteten in einen imaginären über- 
gehen, so verwandelt sich die mit der zugehörigen Cayleyschen Maßbe- 
stimmung ausgestattete Ebene von einer Bolyai-Lobatschefskyschen durch 
eine Euklidische hindurch in eine sphärische. 

§ 11. Riemannsche Geometrie. 

Die für uns vor allem bedeutsame Weiterentwicklung der Idee der 
Nicht-Euklidischen Geometrie durch Riemann knüpft an die Grundlagen 
der Infinitesimalgeometrie, insbesondere der Flächentheorie an, wie sie von 
Gauß in seinen Disquisitiones circa superficies curvas gelegt worden sind. 
Die ursprünglichste Eigenschaft des Raumes ist die, daß seine Punkte 
eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit bilden. Was verstehen wir darunter? 
Wir sagen z. B., daß die Ellipsen (nach Größe und Gestalt, d. h. wenn 
man kongruente Ellipsen als gleich, nicht-kongruente als verschieden be- 
trachtet) eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit bilden, weil die einzelne 
Ellipse innerhalb dieser Gesamtheit durch zwei Zahlangaben, den Wert 
der halben großen und kleinen Achse, festgelegt werden kann. Die Gleich- 
gewichtszustände eines idealen Gases, deren Verschiedenheit etwa durch 
die Unabhängigen: Druck und Temperatur charakterisiert werde, bilden 
eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, ebenso die Punkte auf einer Kugel 
— oder die einfachen Töne nach Intensität und Qualität. Die Farben 
bilden gemäß der physiologischen Theorie, nach der die Farbwahrnehmung 
bestimmt ist durch die Kombination dreier chemischer Prozesse auf der 
Retina, des Schwarz-Weiß, Rot- Grün und Gelb-Blau-Prozesses, deren jeder 
in einer bestimmten Richtung mit bestimmter Intensität vor sich gehen 
kann, eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit nach Qualität und Intensität, 
die Farbqualitäten jedoch nur eine zweidimensionale; es findet dies 
seine Bestätigung durch die bekannte Maxwellsche Konstruktion des Farb- 
dreiecks. Die möglichen Lagen eines starren Körpers bilden eine sechs- 
dimensionale Mannigfaltigkeit, die möglichen Lagen eines mechanischen 
Systems von n Freiheitsgraden allgemein eine «-dimensionale. Für eine 
n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist charakteristisch, daß man das einzelne 
zu ihr gehörige Element (in unsern Beispielen: die einzelnen Punkte oder 
Zustände, Farben oder Töne) festlegen kann durch die Angabe der Zahl- 
werte von n Größen, den »Koordinaten*, die stetige Funktionen innerhalb 
der Mannigfaltigkeit sind. Dabei ist aber nicht erforderlich, zu verlangen, 
daß die ganze Mannigfaltigkeit mit allen ihren Elementen umkehrbar- 
eindeutig und stetig in dieser Weise durch die Wertsysteme von n Koor- 
dinaten repräsentiert werde (z. B. ist das ausgeschlossen für die Kugel, 
« — 2), sondern es kommt nur darauf an, daß, wenn P ein beliebiges 



76 



Das metrische Kontinuum. 



Element der Mannigfaltigkeit ist, jedesmal eine gewisse Umgebung der 
Stelle P umkehrbar-eindeutig und stetig auf die Wertsysteme von n Koor- 
dinaten abgebildet werden kann. Ist x§ ein System von n Koordinaten, 
x* irgend ein anderes, so werden die Koordinatenwerte x t - und x* des- 
selben Elementes allgemein durch Relationen 

(3) *i =M x **t •• x *) (* = ! 1 2 > • • • > ») 

miteinander verknüpft sein, die nach den x* auflösbar sind und in denen 
die fi stetige Funktionen ihrer Argumente bedeuten. Solange wir von 
der Mannigfaltigkeit nichts weiter wissen, sind wir nicht imstande, irgend 
ein Koordinatensystem vor den andern auszuzeichnen. Zur analytischen 
Behandlung beliebiger stetiger Mannigfaltigkeiten wird also eine Theorie 
der Invarianz gegenüber beliebigen Koordinatentransformationen (3) nötig, 
während wir uns im vorigen Kapitel zur Durchführung der affinen Geo- 
metrie auf die viel speziellere Theorie der Invarianz gegenüber linearen 
Transformationen stützten. 

Die Infinitesimalgeometrie beschäftigt sich mit dem Studium von Kurven 
und Flächen im dreidimensionalen Euklidischen Raum, der auf die Cartesi- 
schen Koordinaten x, y, z bezogen werde. Eine Kurve ist allgemein eine 
eindimensionale Punktmannigfaltigkeit; ihre einzelnen Punkte können durch 
die Werte eines Parameters u voneinander unterschieden werden. Befindet 
sich der Kurvenpunkt u an der Raumstelle mit den Koordinaten xyz, so 
werden x, y, z bestimmte stetige Funktionen von u sein: 

(4) X = x[u), y = y(u), Z = z{u) } 

und (4) ist die > Parameterdarstellung« der Kurve. Deuten wir u als 
Zeit, so gibt (4) das Gesetz der Bewegung eines Punktes, welcher die 
gegebene Kurve durchläuft. Durch die Kurve selbst ist aber die Parameter- 
darstellung (4) nicht eindeutig bestimmt; vielmehr kann der Parameter u 
noch einer beliebigen stetigen Transformation unterworfen werden. 

Eine zweidimensionale Punktmannigfaltigkeit heißt Fläche] ihre Punkte 
können durch die Werte zweier Parameter u I} u a unterschieden werden, 
und sie besitzt daher eine Parameterdarstellung der Art: 

(5) x = *(*i*.)f y =y("iV a ), z = z{u x u a ). 

Wieder können die Parameter »,, */ a noch einer beliebigen stetigen Trans- 
formation unterworfen werden, ohne daß die so dargestellte Fläche sich 
ändert. Wir wollen annehmen, daß die Funktionen in (5) nicht nur stetig, 
sondern auch stetig differentiierbar sind. Von dieser Darstellung (5) einer 
beliebigen Fläche geht Gauß in seiner allgemeinen Theorie aus; die Para- 
meter u I} « 3 bezeichnet man daher als Gaußsche (oder krummlinige) 
Koordinaten auf der Fläche. — Ein Beispiel: Projizieren wir wie im 
vorigen Paragraphen die Punkte der Einheitskugel um den Nullpunkt des 
Koordinatensystems vom Zentrum auf die Tangentenebene z = 1 im Südpol, 
nennen xyz die Koordinaten eines beliebigen Kugelpunktes und u I} ?/, 
die x- und y- Koordinate des Projektionspunktes in dieser Ebene, so ist 



§n. Riemannsche Geometrie. nn 



(6) *= . ' , y — . ' , z = — _. 

Das ist eine Parameterdarstellung der Kugel; sie erfaßt jedoch nicht die 
ganze Kugel, sondern nur eine gewisse Umgebung des Südpols, nämlich 
die südliche Halbkugel bis zum Äquator, aber mit Ausschluß desselben. 
Eine andere Parameterdarstellung liefern die geographischen Koordinaten 
Länge und Breite. 

In der Thermodynamik benutzen wir zur graphischen Darstellung eine 
Bildebene mit einem rechtwinkligen Koordinatenkreuz, in der wir den 
etwa durch Druck p und Temperatur & gegebenen Zustand eines Gases 
repräsentieren durch einen Punkt mit den rechtwinkligen Koordinaten /, -fr. 
Das gleiche Verfahren können wir hier anwenden: dem Punkt u x u a auf 
der Fläche ordnen wir in einer »Bildebene« den Bildpunkt mit den recht- 
winkligen Koordinaten u z u a zu. Die Formeln (5) stellen dann nicht nur 
die Fläche, sondern gleichzeitig eine bestimmte stetige Abbildung dieser 
Fläche auf die #,# a -Ebene dar. Beispiele solcher ebenen Abbildungen 
krummer Flächenstücke sind jedermann in den geographischen Karten 
geläufig. Eine Kurve auf der Fläche ist mathematisch gegeben durch 
eine Parameterdarstellung 

(7) »: = ^M, *,==*.(')i 

ein Flächenstück durch ein »mathematisches Gebiet« in den Variablen u t u a , 
das mittels Ungleichungen zwischen u z , u a charakterisiert werden muß; 
graphisch gesprochen also: durch die Bildkurve, bzw. das Bildgebiet in 
der « X « a -Ebene. Bedeckt man die Bildebene nach Art des Millimeter- 
papiers mit einem Koordinatennetz, so überträgt sich dieses vermöge der 
Abbildung auf die krumme Fläche als ein aus kleinen parallelogram- 
matischen Maschen bestehendes Netz, das von den beiden Scharen von 
»Koordinatenlinien« u t = konst., bzw. u a = konst. gebildet wird. Wird 
dies Raster hinreichend fein genommen, so ermöglicht es einem Zeichner, 
jede in der Bildebene gegebene Figur auf die krumme Fläche zu über- 
tragen. 

Der Abstand ds zweier unendlichnaher Punkte auf der Fläche: 

(«i»*.) und («, + <**,, *. + <fo.) 
bestimmt sich aus 

ds**** dx" + dy* + dz*, 

wenn man darin 

(8) dx = ^-du 1 + ^du a 

und entsprechende Ausdrücke für dy, dz einsetzt. Es ergibt sich für 
ds* eine quadratische Differentialform 

(9) ds* =J?g ik dmduk {gki = gik) , 

i, k = 1 






78 



Das metrische Kontinuum. 



deren Koeffizienten 

bx bx by by bz bz 

buibuk buibuk bttibuk 

im allgemeinen keine Konstante, sondern Funktionen von u x1 u 2 sind. 
Für die Parameterdar Stellung (6) der Kugel findet man z. B. 

(IO) äS = -. 3 iTi • 

Gauß erkannte, daß diese metrische Fundamentalform bestimmend ist für 
die Geometrie auf der Fläche. Kurvenlängen, Winkel und die Größe 
gegebener Gebiete auf der Fläche hängen allein von ihr ab; die Geo- 
metrie auf zwei Flächen ist also dieselbe, wenn für sie bei geeigneter 
Parameterdarstellung die Koeffizienten gik der metrischen Fundamental- 
form übereinstimmen. Beweis: Die Länge einer beliebigen durch (7) 
gegebenen Kurve auf der Fläche wird geliefert durch das Integral 



f«=fV%*>-. 



dt dt 

Fassen wir einen bestimmten Punkt P° = (u°, «°) auf der Fläche ins 
Auge und benutzen für dessen unmittelbare Umgebung die relativen 
Koordinaten 

vi — u° = dui ; x — x° = dXy y — y° = dy } z — z° = dz, 

so gilt um so genauer, je kleiner du I} du ai die Gleichung (8), in der die 
Werte der Ableitungen an der Stelle P° zu nehmen sind; wir sagen, sie 
gilt für > unendlichkleine« Werte du x und du a . Fügen wir die analogen 
Gleichungen für dy, dz hinzu, so drücken sie aus, daß die unmittelbare. 
Umgebung von P° eine Ebene ist und du z , du 2 affine Koordinaten in 
ihr*). Demnach können wir in der unmittelbaren Umgebung von P° 
die Formeln der affinen Geometrie anwenden. Wir finden für den Winkel ß 
zweier Linienelemente oder infinitesimaler Verschiebungen mit den Kompo- 
nenten du sy du a1 bzw. öu x j öu af wenn wir die zu (9) gehörige sym- 
metrische Bilinearform 

5, gik dm ö tik mit Q [dd) 

8 



*) Dabei machen wir die Voraussetzung, daß die zweireihigen Determinanten, 
welche aus dem Koeffizientenschema dieser Gleichungen gebildet werden können, 

bx by bz 
bui b «1 b «1 
bx by bz 
bu, d« 2 . d*/ 2 

nicht alle drei verschwinden; diese Bedingung ist für die regulären Punkte der Fläche, 
in denen eine Tangentenebene existiert, erfüllt. Die drei Determinanten sind dann 
und nur dann identisch o, wenn die Fläche in eine Kurve ausartet, nämlich die 
Funktionen x, y, z von «1 und Ua in Wahrheit nur von einem Parameter, einer Funktion 
von «1 und « 2 , abhängen. 



§ II. Riemannsche Geometrie. yn 

bezeichnen : 

cos u = , ; 

VQ{dd)Q[dö) 

und für den Flächeninhalt des unendlichkleinen Parallelogramms, das von 
diesen beiden Verschiebungen aufgespannt wird, 



Vi 



du z du a 
öu, 6u„ 



wenn g die Determinante der ga bedeutet. Der Inhalt eines krummen 
Flächenstücks ist demnach gegeben durch das über das Bildgebiet zu 
erstreckende Integral 

SSY~gduju t . 

Damit ist die Gaußsche Behauptung erwiesen. Die Werte der erhaltenen 
Ausdrücke sind natürlich unabhängig von der Wahl der Parameter- 
darstellung; diese ihre Invarianz gegenüber beliebigen Transformationen 
der Parameter kann analytisch ohne weiteres bestätigt werden. Alle geo- 
metrischen Verhältnisse auf der Fläche können wir im > Bilde« verfolgen; 
die Geometrie in der Bildebene fällt mit der Geometrie auf der krummen 
Fläche zusammen, wenn wir nur übereinkommen, unter dem Abstand ds 
zweier unendlich naher Punkte nicht den durch die Pythagoreische Formel 

■ ds 3 = du\ + du\ 

gelieferten Wert zu verstehen, sondern (9). 

Die Geometrie auf der Fläche handelt von den inneren Maßverhält- 
nissen der Fläche, die ihr unabhängig davon zukommen, in welcher Weise 
sie in den Raum eingebettet ist; es sind diejenigen Beziehungen, welche 
durch Messen auf der Fläche selbst festgestellt werden können. Gauß 
ging bei seinen flächentheoretischen Untersuchungen von der praktischen 
geodätischen Arbeit der Hannoverschen Landesvermessung aus. Daß die 
Erde keine Ebene ist, kann durch die Vermessung eines hinreichend großen 
Stücks der Erdoberfläche selbst ermittelt werden ; wenn auch das einzelne 
Dreieck des Triangulationsnetzes so klein genommen wird, daß an ihm 
die Abweichung von der Ebene nicht in Betracht fällt, so könnten sich 
doch die einzelnen Dreiecke nicht in der Weise in der Ebene zu einem 
Netz zusammenschließen, wie sie es auf der Erdoberfläche tun. Um das 
noch etwas deutlicher darzutun, zeichne man auf einer Kugel vom Radius 1 
(der Erdkugel) einen Kreis f mit dem auf der Kugel gelegenen Mittel- 
punkt P\ ferner die Radien dieses Kreises, d. h. die von P ausstrahlenden 
und an der Kreisperipherie endenden Bogen größter Kreise auf der Kugel 

I sie seien < — 1 • Durch Messen auf der Kugel kann ich nun fest- 
stellen : diese nach allen Richtungen ausgehenden Radien sind die Linien 
kleinster Länge, welche vom Punkte P zu der Kurve f führen; sie haben 



30 Das metrische Kontinuum. 



alle die gleiche Länge r\ die Länge der geschlossenen Kurve f ist = s. 
Läge nun eine Ebene vor, so folgte daraus, daß die »Radien« gerade 
Linien sind, die Kurve ! also ein Kreis, und es müßte s = 2 nr sein. 
Statt dessen aber findet sich, daß s kleiner ist, als es dieser Formel ent- 

r 

spricht, nämlich = 4 n sin — • Damit ist durch Messung auf der Kugel 

festgestellt, daß sie keine Ebene ist. Nehme ich hingegen ein Papier- 
blatt, auf das ich irgendwelche Figuren zeichne, und rolle es zusammen, 
so werde ich durch Ausmessen der Figuren auf dem zusammengerollten 
Blatt die gleichen Werte finden wie vorher, wenn das Zusammenrollen 
mit keinen Verzerrungen verbunden war: auf ihm gilt genau die gleiche 
Geometrie wie in der Ebene; durch seine geodätische Vermessung bin 
ich außerstande, festzustellen, daß es gekrümmt ist. So gilt allgemein 
auf zwei Flächen, die durch Verbiegung ohne Verzerrung auseinander 
hervorgehen, die gleiche Geometrie. 

Daß auf der Kugel nicht die Geometrie der Ebene gilt, besagt, ana- 
lytisch ausgedrückt: es ist unmöglich, die quadratische Differentialform (10) 
durch irgend eine Transformation 



«1 =« I («i«*) 
« 2 = u a {u*u*) 



u* = u*[ü z u a ) 



auf die Gestalt 



(du*)'+(du* a ) 



zu bringen. Zwar wissen wir, daß es an jeder Stelle möglich ist, durch 
eine lineare Transformation der Differentiale 

(n) du* = ahdUt + a„du a (i = 1, 2) 

dies zu erzielen; aber es ist ausgeschlossen, die Transformation dei 
Differentiale dabei an jeder Stelle so zu wählen, daß die Ausdrücke (11 
für du*, du* totale Differentiale werden. 

Krummlinige Koordinaten werden nicht nur in der Flächentheorie, 
sondern auch zur Behandlung räumlicher Probleme verwendet, namentlich 
in der mathematischen Physik, wo man häufig in die Notwendigkeit ver- 
setzt ist, sich mit dem Koordinatensystem vorgegebenen Körpern an- 
zupassen; ich erinnere an die Zylinder-, Kugel- und elliptischen Ko- 
ordinaten. Das Quadrat des Abstandes ds* zweier unendlich benachbarter 
Punkte im Raum wird bei Benutzung beliebiger Koordinaten x t x a x 3 stets 
durch eine quadratische Differentialform 

3 
(12) *Sgikdxjdxk 

ausgedrückt. Glauben wir an die Euklidische Geometrie, so sind wir 
überzeugt, daß jene Form sich durch Transformation in eine solche Gestalt 
überfuhren läßt, daß ihre Koeffizienten Konstante werden. 



§ II. Riemannsche Geometrie. 8l 

Nach diesen Vorbereitungen sind wir imstande, die Riemannschen 
Ideen, die von ihm in seinem Habilitationsvortrag >Über die Hypothesen, 
welche der Geometrie zugrunde liegen« 4 ) in vollendeter Form entwickelt 
wurden, voll zu erfassen. Aus Kap. I ist zu ersehen, daß in einem viei>- 
dimensiorfalen Euklidischen Raum auf einem dreidimensionalen linearen 
Punktgebilde die Euklidische Geometrie gilt; aber krumme dreidimensio- 
nale Räume, die im vierdimensionalen Raum ebensogut existieren wie 
krumme Flächen im dreidimensionalen, sind von anderer Art. Ist es 
nicht möglich, daß unser dreidimensionaler Anschauungsraum ein solcher 
gekrümmter Raum ist? Freilich: er ist nicht eingebettet in einen vier- 
dimensionalen; aber es könnte sein, daß seine inneren Maß Verhältnisse 
solche sind, wie sie in einem »ebenen« Raum nicht stattfinden können; 
es könnte sein, daß eine sorgfältige geodätische Vermessung unseres 
Raumes in der gleichen Weise wie die geodätische Vermessung der Erd- 
oberfläche ergäbe, daß er nicht eben ist. — Wir bleiben dabei, daß er 
eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit ist; wir bleiben dabei, daß sich 
unendlichkleine Linienelemente unabhängig von ihrem Ort und ihrer 
Richtung messend miteinander vergleichen lassen und daß das Quadrat 
ihrer Länge, des Abstandes zweier unendlich benachbarter Punkte bei Be- 
nutzung beliebiger Koordinaten xi durch eine quadratische Differential- 
form (12) gegeben wird. (Diese Voraussetzung hat in der Tat allgemein 
ihren guten Sinn; denn da jede Transformation von einem auf ein anderes 
Koordinatensystem lineare Transformationsformeln für die Koordinaten- 
differentiale nach sich zieht, geht dabei eine quadratische Differentialform 
immer wieder in eine quadratische Differentialform über.) Was wir aber 
nicht mehr voraussetzen, ist, daß sich diese Koordinaten insbesondere 
als affine Koordinaten so wählen lassen, daß die Koeffizienten gak der 
Fundamentalform konstant werden. 

Der Übergang von der Euklidischen zur Riemannschen Geometrie 
beruht im Grunde auf dem gleichen Gedanken wie die Nahewirkungs- 
Physik. Durch die Beobachtung stellen wir z. B. fest (Ohmsches Gesetz), 
daß der in einem Leitungsdraht fließende Strom proportional ist zu der 
Potentialdifferenz am Anfang und Ende der Leitung. Aber wir sind über- 
zeugt, daß wir nicht in diesem auf einen langen Draht sich beziehenden 
Messungsergebnis das allgemein gültige exakte Naturgesetz vor uns haben, 
sondern dieses aus jenem sich herleitet, indem wir das Ohmsche Gesetz, 
so wie es aus den Messungen abgelesen wird, auf ein unendlichkleines 
Drahtstück anwenden. Dann kommen wir zu jener Formulierung (Kap. I, 
S. 68), die der Maxwellschen Theorie zugrunde gelegt wird. Aus dem 
Differentialgesetz folgt rückwärts auf mathematischem Wege unter Voraus- 
setzung überall homogener Verhältnisse das Integralgesetz, das wir direkt 
durch die Beobachtung feststellen. Genau so hier: Die Grundtatsache 
der Euklidischen Geometrie ist, daß das Quadrat der Entfernung zweier 
Punkte eine quadratische Form der relativen Koordinaten der beiden 
Punkte ist [Pythagoreischer Lehrsatz). Sehen wir aber dieses Gesetz nur 

Weyl, Raum, Zeit, Materie. 3. Aufl. 6 



g 2 Das metrische Kontinuum. 



dann als streng gültig an, wenn jene beiden Punkte unendlich benachbart 
sind, so kommen wir zur Riemannschen Geometrie] zugleich sind wir damit 
einer genaueren Festlegung des Koordinatenbegriffs überhoben, da das so 
gefaßte Pythagoreische Gesetz invariant ist gegenüber beliebigen Trans- 
formationen. Es entspricht der Übergang von der Euklidischen »Fern«- 
zur Riemannschen »Nahe «-Geometrie demjenigen von der Fernwirkungs- 
zur Nahewirkungs-Physik ; die Riemannsche Geometrie ist die dem Geiste 
der Kontinuität gemäß formulierte Euklidische, sie nimmt aber durch 
diese Formulierung sogleich einen viel allgemeineren Charakter an. Die 
Euklidische Fern -Geometrie ist geschaffen für die Untersuchung der geraden 
Linie und der Ebene, an diesen Problemen hat sie sich orientiert; sobald 
man aber zur Infinitesimalgeometrie übergeht, ist es das Natürlichste und 
Vernünftigste, den infinitesimalen Ansatz Riemanns zugrunde zu legen: 
es wird dadurch keine Komplikation bedingt, und man ist vor unsach- 
gemäßen, fern-geometrischen Überlegungen geschützt. Auch im Riemann- 
schen Raum ist eine Fläche als zweidimensionale Mannigfaltigkeit durch 
eine Parameterdarstellung xi = Xi(u s u a ) gegeben; setzen wir die daraus 
sich ergebenden Differentiale 

dxi = r — - du. + r — - du. 
du z o« 3 

in die metrische Fundamental form (12) des Riemannschen Raumes ein, 
so bekommen wir für das Quadrat des Abstandes zweier unendlich be- 
nachbarter Flächenpunkte eine quadratische Differentialform von du x , du a 
(wie im Euklidischen Raum) : die Metrik des dreidimensionalen Riemann- 
schen Raums überträgt sich unmittelbar auf jede in ihm gelegene Fläche 
und macht sie damit zu einem zweidimensionalen Riemannschen Raum. 
Während also bei Euklid der Raum von vornherein von viel speziellerer 
Natur angenommen ist als die in ihm möglichen Flächen, nämlich als 
eben, hat bei Riemann der Raumbegriff gerade denjenigen Grad der 
Allgemeinheit, der nötig ist, um diese Diskrepanz völlig zum Verschwin- 
den zu bringen. — Das Prinzip, die Welt aus ihrem Verhalten im Un- 
endlichkleinen zu verstehen, ist das treibende erkenntnistheoretische Motiv 
der Nahewirkungsphysik wie der Riemannschen Geometrie, ist aber auch 
das treibende Motiv in dem übrigen, vor allem auf die komplexe Funk- 
tionentheorie gerichteten grandiosen Lebenswerk Riemanns. Heute er- 
scheint uns die Frage nach der Gültigkeit des »V. Postulats«, von dem 
die historische Entwicklung, an die Euklidischen »Elemente« anknüpfend, 
ausgegangen ist, nur als ein bis zu einem gewissen Grade zufälliger An- 
satzpunkt. Die wahre Erkenntnis, zu der man sich erheben mußte, um 
über den Euklidischen Standpunkt hinauszugelangen, glauben wir, ist uns 
von Riemann aufgedeckt worden. 

Wir müssen uns noch davon überzeugen, daß die Bolyai-Lobatschefsky- 
sche Geometrie so gut wie die Euklidische und die sphärische (auf die 
als eine Nicht-Euklidische Möglichkeit übrigens erst Riemann hingewiesen 



§ II. Riemannsche Geometrie. g ? 

hat) als spezielle Fälle in der Riemannschen enthalten sind. In der Tat, 
benutzen wir als Koordinaten eines Punktes der Bolyai-Lobatschefskyschen 
Ebene die rechtwinkligen Koordinaten w, « 2 jenes Bildpunktes, der ihm 
in dem Kleinschen Modell entspricht, so ergibt sich für den Abstand ds 
zweier unendlich benachbarter Punkte aus (1): 

Der Vergleich mit (10) bestätigt wiederum den Satz von Taurinus. Die 
metrische Fundamentalform des dreidimensionalen Nicht- Euklidischen 
Raumes lautet genau entsprechend. 

Wenn wir im Euklidischen Raum eine krumme Fläche herstellen 
können, für die bei Benutzung geeigneter Gaußscher Koordinaten u t u, 
die Formel (13) gültig ist, so besteht auf ihr die Bolyai-Lobatschefsky- 
sche Geometrie. Solche Flächen kann man sich in der Tat 
verschaffen; die einfachste ist die Umdrehungsfläche der 
Traktrix. Die Traktrix ist eine ebene Kurve von der neben- 
stehenden Gestalt, mit einer Spitze und einer Asymptote; sie 
ist geometrisch dadurch charakterisiert, daß die Tangente 
vom Berührungspunkt bis zum Schnitt mit der Asymptote 
eine konstante Länge besitzt. Man lasse sie um ihre Asym- 
ptote rotieren : auf der entstehenden Drehfläche gilt die Nicht- 
Euklidische Geometrie. Dieses durch seine Anschaulichkeit 
ausgezeichnete Euklidische Modell derselben ist zuerst von 
Beltrami angegeben s j. Es leidet freilich an gewissen 
Übelständen; es ist erstens (in dieser anschaulichen Form) auf die zwei- 
dimensionale Geometrie beschränkt, und zweitens realisiert jede der beiden 
Hälften der Umdrehungsfläche, in welche sie durch ihre scharfe Kante 
zerfällt, nur einen Teil der Nicht-Euklidischen Ebene. Von Hubert wurde 
streng bewiesen, daß eine singularitätenfreie Fläche im Euklidischen 
Raum, welche die ganze Lobatschefskysche Ebene realisiert, nicht vor- 
handen sein kann 6 ). Beide Übelstände besitzt das elementargeometrische 
Kleinsche Modell nicht. 

Bislang sind wir rein spekulativ vorgegangen und ganz in der Domäne 
des Mathematikers geblieben. Ein anderes ist aber die Widerspruchs- 
losigkeit der Nicht- Euklidischen Geometrie, ein anderes die Frage, ob sie 
oder die Euklidische im wirklichen Räume Gültigkeit besitzt. Schon Gauß hat 
zur Prüfung dieser Frage das Dreieck Inselsberg, Brocken, Hoher Hagen 
(bei Göttingen) mit großer Sorgfalt gemessen, aber die Abweichung der 
Winkelsumme von 180 innerhalb der Fehlergrenzen gefunden. Loba- 
tschefsky schloß aus dem geringen Betrag der Fixsternparallaxen, daß 
die Abweichung des wirklichen Raumes vom Euklidischen außerordentlich 
gering sein müsse. Auf philosophischer Seite ist der Standpunkt ver- 
treten worden, daß durch empirische Beobachtungen die Gültigkeit oder 
Ungültigkeit der Euklidischen Geometrie nicht erwiesen werden könne. 

6* 




8 4 



Das metrische Kontinuum. 



Und in der Tat muß zugestanden werden, daß bei allen solchen Beob- 
achtungen wesentlich physikalische Voraussetzungen, wie etwa die, daß 
die Lichtstrahlen gerade Linien sind, und dgl., eine Rolle spielen. Wir 
finden damit aber lediglich eine schon oben gemachte Bemerkung be- 
stätigt, daß nur das Ganze von Geometrie und Physik einer empirischen 
Nachprüfung fähig ist. Entscheidende Experimente sind also erst dann 
möglich, wenn nicht nur die Geometrie, sondern auch die Physik im 
Euklidischen und im allgemeinen Riemannschen Raum entwickelt ist. 
Wir werden bald sehen, daß es auf sehr einfache und völlig willkürlose 
Weise gelingt, beispielsweise die Gesetze des elektromagnetischen Feldes, 
die zunächst nur unter der Voraussetzung der Euklidischen Geometrie 
aufgestellt sind, auf den Riemannschen Raum zu übertragen. Ist dies 
aber geschehen, so kann sehr wohl die Erfahrung darüber entscheiden, 
ob der spezielle Euklidische Standpunkt aufrecht zu erhalten ist oder ob 
wir zu dem allgemeineren Riemannschen übergehen müssen. Wir sehen 
aber, daß für uns an dem Punkte, an dem wir jetzt stehen, diese Frage 
noch nicht spruchreif ist. 

Zum Schluß stellen wir noch einmal die Grundlagen der Riemann- 
schen Geometrie in geschlossener Formulierung und unter Abstreifung 
der speziellen Dimensionszahl n ==■ 3 vor Augen. 

Ein n-dimensionaler Riemannscher Raum ist eine n-dimensionale Mannig- 
faltigkeit', aber nicht eine beliebige, sondern eine solche, der durch eine 
positiv-definite quadratische Differentialform eine Maßbestimmung aufgeprägt 
ist. Die beiden Hauptgesetze, nach denen jene Form die Maßgrößen 
festlegt, sind die folgenden (die x t - bedeuten irgendwelche Koordinaten):" 

1. Ist g die Determinante der Koeffizienten der Fundamentalform, 
so ist die Größe irgend eines Raumstücks gegeben durch das Integral 

(14) JVg äx x dx, . . . dx n , 

das zu erstrecken ist über dasjenige mathematische Gebiet der Variablen */, 
welches dem Raumstück entspricht. 

2. Bedeutet Q[dö) die der quadratischen Fundamentalform entspre- 
chende symmetrische Bilinearform zweier an derselben Stelle befindlichen 
Linienelemente d und d, so ist der von ihnen gebildete Winkel 6 zu 
berechnen aus 

(15 cosfl = --= ^ ; 

VQ(dd)-Q(öö) 

Eine in dem «-dimensionalen Raum liegende w-dimensionale Mannig- 
faltigkeit (1 ^ m ^ n) ist gegeben durch eine Parameterdarstellung: 

Xi = *,(*i u a ...u m ) (i = 1, 2, . . . , n) . 

Aus der metrischen Fundamentalform des Raumes entsteht durch Ein- 
setzen der Differentiale 

dxi = — du z + — du, H h — du m 

OU. QU. " tu m 




§ 12. Fortsetzung. Dynamische Auffassung der Metrik. 85 

die metrische Fundamentalform dieser /w-dimensionalen Mannigfaltigkeit; 
sie ist damit selber ein Riemannscher w-dimensionaler Raum, und die 
Berechnung der Größe eines beliebigen Stücks von ihr geschieht nach 
der auf sie übertragenen Formel (14). So kann die Länge von Linien- 
stücken, der Inhalt von Flächenstücken usw. ermittelt werden. 

§ 12. Fortsetzung. Dynamische Auffassung der Metrik. 

Wir kehren noch einmal zur Flächentheorie im Euklidischen Raum 
zurück. Die Krümmung einer ebenen Kurve kann als Maß dafür, wie 
stark die Kurvennormalen divergieren, in folgender Weise definiert wer- 
den. Wir tragen den zur Kurve 
in einem beliebigen Punkte P 
senkrecht stehenden Vektor »Nor- 
male« von der Länge 1 von einem 
festen Punkt O aus ab: Op, und 
erhalten dadurch einen Bildpunkt 
p zu P auf dem Einheitskreis um O. 
Durchläuft P ein kleines Bogen- 
stück J s der Kurve, so wird der Fig. 6. 

Bildpunkt / einen Bogen Ja jenes 

Kreises durchlaufen; Ja ist der ebene Winkel, welchen die in den sämt- 
lichen Punkten des Kurvenbogens errichteten Normalen miteinander bilden. 

Ja 
Der Limes des Quotienten —— für ein Bogenstück As, das auf einen Punkt P 

zusammenschrumpft, ist die Krümmung in P. Ganz analog definiert Gauß 
die Krümmung einer Fläche als Maß der Divergenz ihrer Normalen. An- 
stelle des Einheitskreises um O tritt die Einheitskugel; einem kleinen 
Flächenstück do entspricht durch das gleiche Abbildungsprinzip ein Stück 
dieser Kugel dco ; dco ist gleich dem räumlichen Winkel, welchen die in 
den Punkten von do errichteten Normalen miteinander bilden. Das Ver- 

. dio . 
hältnis -7— in der Grenze für unendlichkleines do ist jdie Gaußschc 

Krümmung. Gauß machte die wichtige Entdeckung, daß diese Krümmung 
durch die inneren Maßverhältnisse der Fläche allein bestimmt ist und aus 
den Koeffizienten der metrischen Fundamentalform als ein Differential- 
ausdruck 2. Ordnung berechnet werden kann. Die Krümmung bleibt dem- 
nach ungeändert, wenn man die Fläche verbiegt, ohne sie zu verzerren. 
Damit war auf geometrischem Wege eine Differentialinvariante der qua- 
dratischen Differentialformen von zwei Variablen entdeckt, eine Größe 
nämlich, die aus den Koeffizienten der Differentialform in solcher Weise 
gebildet ist, daß sie für zwei Differentialformen, die durch Transformation 
auseinander hervorgehen (und für Argumentpaare, die sich durch die 
Transformation entsprechen) gleiche Werte besitzt. 

Riemann gelang es, den Begriff der Krümmung auf quadratische 



g5 Das metrische Kontinuum. 



Differentialformen von drei und mehr Variablen zu übertragen; es stellte 
sich heraus, daß sie dann kein Skalar mehr ist, sondern ein Tensor (mit 
dem wir uns in § 15 dieses Kapitels beschäftigen werden). Genauer 
verhält es sich so, daß ein Riemannscher Raum an jeder Stelle in jeder 
Flächenrichtung eine bestimmte Krümmung besitzt. Der Euklidische 
Raum ist dadurch charakterisiert, daß er überall und in jeder Rich- 
tung die Krümmung o besitzt. Für die Bolyai-Lobatschefskysche wie 
für die sphärische Geometrie aber besitzt die Krümmung einen von 
Ort und Flächenrichtung unabhängigen konstanten Wert a\ und zwar 
einen positiven im Falle der sphärischen, einen negativen im Falle 
der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie (sie kann also, wenn die Einheit 
des Längenmaßes geeignet gewählt wird, = ± 1 angenommen werden). 
Hat der «-dimensionale Raum die konstante Krümmung a, so hat seine 
metrische Fundamentalform bei Einführung geeigneter Koordinaten x,- 
notwendig die Gestalt 



i 

sie ist also vollständig eindeutig bestimmt. Ist der Raum überall in 
allen Richtungen homogen, so muß seine Krümmung eine Konstante sein 
und seine metrische Fundamental form demnach die angegebene Gestalt 
besitzen: ein solcher Raum ist notwendig Euklidisch, sphärisch oder 
Lobatschefskysch. Unter diesen Umständen haben nicht nur die Linien- 
elemente eine von Ort und Richtung unabhängige Existenz, sondern eine 
beliebige, endlich ausgedehnte Figur kann kongruent ohne Änderung ihrer 
Maß Verhältnisse an einen beliebigen Ort verpflanzt und in eine beliebige 
Richtung gestellt werden. Damit kehren wir zu dem Begriff der kon- 
gruenten Abbildung zurück, von dem unsere Betrachtungen über den 
Raum in § 1 ihren Ausgang nahmen. Innerhalb der drei möglichen 
Fälle ist der Euklidische dadurch charakterisiert, daß sich aus der Gruppe 
der kongruenten Abbildungen die Gruppe der Translationen mit den be- 
sonderen, in § 1 auseinandergesetzten Eigenschaften heraushebt. Die 
hier zusammengestellten Tatsachen sind in Riemanns Vortrag kurz er- 
wähnt, von Christoffel, Lipschitz, Helmholtz und Sophus Lie eingehender 
begründet worden. 7 ) 

Der Raum ist Form der Erscheinungen und, sofern er das ist, notwendig 
homogen. Damit scheint es, als ob aus der ganzen Fülle der möglichen 
Geometrien, welche der Riemannsche Begriff umfaßt, von vornherein nur 
die erwähnten drei speziellen Fälle in Betracht kämen und alle übrigen 
als bedeutungslos unbesehen fallen gelassen werden müßten: parturiunt 
montes, nascetur ridiculus mus! Riemann dachte darüber anders, die 
Schlußworte seines Vortrags geben darüber Auskunft. Sie konnten von 
seinen Zeitgenossen in ihrer Tragweite nicht verstanden werden und sind 



§ 12. Fortsetzung. Dynamische Auffassung der Metrik. 8y 

damals ungehört verhallt. Erst heute, nachdem uns Einstein dureh seine 
Gravitationstheorie die Augen geöffnet hat, sehen wir, was eigentlich 
dahinter steckt. Zu ihrem Verständnis bemerke ich vorweg, daß Riemann 
dort den kontinuierlichen Mannigfaltigkeiten die diskreten, aus einzelnen 
isolierten Elementen bestehenden gegenüberstellt. Das Maß eines jeden 
Teiles einer solchen Mannigfaltigkeit ist durch die Anzahl der zu ihm 
gehörigen Elemente gegeben. So trägt eine diskrete Mannigfaltigkeit zu- 
folge des Anzahlbegriffs das Prinzip ihrer Maßbestimmung, wie Riemann 
sagt, a priori in sich. Nun zu Riemanns eigenen Worten: 

»Die Frage über die Gültigkeit der Voraussetzungen der Geometrie 
im Unendlichkleinen hängt zusammen mit der Frage nach dem innern 
Grunde der Maßverhältnisse des Raumes. Bei dieser Frage, welche wohl 
noch zur Lehre vom Raum gerechnet werden darf, kommt die obige 
Bemerkung zur Anwendung, daß bei einer diskreten Mannigfaltigkeit 
das Prinzip der Maß Verhältnisse schon in dem Begriffe dieser Mannig- 
faltigkeit enthalten ist, bei einer stetigen aber anders woher hinzu- 
kommen muß. Es muß also entweder das dem Räume zugrunde liegende 
Wirkliche eine diskrete Mannigfaltigkeit bilden, oder der Grund der 
Maßverhältnisse außerhalb, in darauf wirkenden bindenden Kräften, gesucht 
werden. 

»Die Entscheidung dieser Fragen kann nur gefunden werden, indem 
man von der bisherigen durch die Erfahrung bewährten Auffassung der 
Erscheinungen, wozu Newton den Grund gelegt, ausgeht und diese, durch 
Tatsachen, die sich aus ihr nicht erklären lassen, getrieben, allmählich 
umarbeitet; solche Untersuchungen, welche wie die hier geführte von 
allgemeinen Begriffen ausgehen, können nur dazu dienen, daß diese 
Arbeit nicht durch die Beschränktheit der Begriffe gehindert und der 
Fortschritt im Erkennen des Zusammenhangs der Dinge nicht durch über- 
lieferte Vorurteile gehemmt wird. 

»Es führt dies hinüber in das Gebiet einer anderen Wissenschaft, in 
das Gebiet der Physik, welches wohl die Natur der heutigen Veranlassung 
nicht zu betreten erlaubte — 

Sehen wir von der ersten Möglichkeit ab, es könnte »das dem Räume 
zugrunde liegende Wirkliche eine diskrete Mannigfaltigkeit bilden« — 
obschon wir es durchaus nicht abschwören wollen, heute im Angesicht 
der Quantentheorie weniger denn je, daß darin vielleicht einmal die 
endgültige Lösung des Raumproblems gefunden werden kann — , so 
leugnet Riemann also, was bis dahin immer die Meinung gewesen war, 
daß die Metrik des Raumes von vornherein unabhängig von den physi- 
kalischen Vorgängen, deren Schauplatz er abgibt, festgelegt sei und das 
Reale in diesen metrischen Raum wie in eine fertige Mietskaserne ein- 
ziehe ; er behauptet vielmehr, daß der Raum* an sich nichts weiter als eine 
völlig formlose dreidimensionale Mannigfaltigkeit ist und erst der den Raum 
erfüllende materiale Gehalt ihn gestaltet und seine Maßverhältnisse be- 
stimmt. Es bleibt die Aufgabe, zu ermitteln, nach welchen Gesetzen 



88 Das metrische Kontinuura. 



dies geschieht; jedenfalls aber wird sich die metrische Fundamentalform 
im Laufe der Zeit ändern, wie sich das Materiale in der Welt ändert. 
Die Möglichkeit der Ortsversetzung eines Körpers ohne Änderung seiner 
Maßverhältnisse ist zurückgewonnen, wenn der Körper das von ihm 
erzeugte »metrische Feld« (welches durch die metrische Fundamentalform 
dargestellt wird) bei der Bewegung mitnimmt; genau so wie eine Masse, 
die unter dem Einfluß eines von ihr selbst erzeugten Kraftfeldes eine 
Gleichgewichtsgestalt angenommen hat, sich deformieren müßte, wenn 
man das Kraftfeld festhalten und die Masse an eine andere Stelle des- 
selben schieben könnte, in Wahrheit aber bei (hinreichend langsamer) 
Bewegung ihre Gestalt behält, da sie das von ihr selbst erzeugte Kraft- 
feld mitnimmt. Wir wollen den kühnen Gedanken Riemanns von dem 
durch die Materie erzeugten metrischen Felde etwas genauer erläutern und 
zeigen, daß, wenn diese Ansicht zutrifft, irgend zwei Raumstücke, die durch 
stetige Deformation ineinander übergeführt werden können, als kongruent 
bezeichnet werden müssen in dem von uns zugrunde gelegten Sinne, daß 
derselbe materiale Gehalt so gut das eine Raumstück wie das andere 
erfüllen kann. 

Zur Vereinfachung unserer prinzipiellen Auseinandersetzung nehmen 
wir an, daß das Materiale allein durch skalare Zustandsgrößen wie Massen- 
dichte, Ladungsdichte usw. beschrieben werden kann. Wir fassen einen 
bestimmten Moment ins Auge; in ihm wird die Ladungsdichte q z. B. 
bei Zugrundelegung eines bestimmten räumlichen Koordinatensystems eine 
bestimmte Funktion /(x J x a x 3 ) der Koordinaten xi sein, bei Benutzung 
eines andern Koordinatensystems xf aber durch eine andere Funktion 
/*[x*x*x*) dargestellt werden. — Eine Zwischenbemerkung. Es ent- 
springt bei Anfängern daraus oft Verwirrung, daß sie nicht beachten: in 
der mathematischen Literatur werden die Buchstaben durchweg zur Be- 
zeichnung der Funktionen benutzt, in der physikalischen und auch mathe- 
matisch-physikalischen durchweg zur Bezeichnung der -»Größen*. So 
gebraucht man in der Thermodynamik etwa für die Energie eines Gases 
einen bestimmten Buchstaben, sagen wir E, einerlei ob man sie als 
Funktion von Druck p und Temperatur -0- oder als Funktion des Volu- 
mens v und der Temperatur d- auffaßt. Der Mathematiker aber schreibt 
mit zwei verschiedenen Zeichen: 

Die partiellen Ableitungen — , r-g- . die eine ganz verschiedene Bedeu- 

tung haben, treten infolgedessen in den Physikbüchern unter der gemein- 

samen Bezeichnung — - auf; es muß dann aber durch einen angehängten 

Index (nach dem Vorgang von Boltzmann) oder durch hinzugefügte Text- 
worte angegeben werden, daß im einen Falle bei der Differentiation p, 
im andern Falle v konstant gehalten wird. Die mathematische Symbolik 



§ 12. Fortsetzung. Dynamische Auffassung der Metrik. ßn 

ist ohne solchen Zusatz eindeutig*). — Wir legen weiter, obschon sich 
die Dinge in Wirklichkeit komplizierter verhalten, eine möglichst einfache 
geometrische Optik zugrunde, deren Grundgesetz besagt: der Lichtstrahl 
von einem Licht aussendenden Punkt M zu einem Beobachter in P ist 
eine »geodätische« Linie, die unter allen Verbindungslinien von M mit P 
die geringste Länge besitzt; von der endlichen Ausbreitungsgeschwindig- 
keit des Lichtes sehen wir ganz ab. Dem auffassenden Bewußtsein 
schreiben wir lediglich ein optisches Wahrnehmungsvermögen zu und 
vereinfachen es uns zu einem »Punktauge«, das die Richtungsunterschiede 
der auftreffenden Lichtstrahlen, welche durch die aus (15) zu bestimmen- 
den Winkel gegeben werden, unmittelbar wahrnimmt und dadurch ein 
Richtungsbild der umgebenden Gegenstände gewinnt (wir ignorieren die 
Qualitäten der Farbe). Nicht nur die Wirkung der physischen Dinge 
aufeinander, sondern auch die psychophysische Wechselwirkung wird von 
dem Gesetz der Kontinuität beherrscht: die Richtung, in der wir Gegen- 
stände wahrnehmen, ist nicht durch deren Ort bestimmt, sondern durch 
die Richtung des von ihnen auf der Netzhaut auftreffenden Lichtstrahles; 
also durch den Zustand des optischen Feldes in der unmittelbaren Be- 
rührung mit dem Leibe jenes rätselhaften Realen, in dessen Wesen es 
liegt, daß ihm eine gegenständliche Welt in Bewußtseinserlebnissen »er- 
scheint«. Daß aber ein materialer Gehalt O derselbe ist wie der materiale 
Gehalt Ö', kann offenbar nichts anderes heißen, als daß zu jedem Stand- 
punkt P gegenüber O ein Standpunkt P' gegenüber O' gehört (und um- 
gekehrt) derart, daß ein Beobachter in P' von O' das gleiche Richtungs- 
bild empfängt, wie es ein Beobachter in P von O erhält. 

Wir legen ein bestimmtes Koordinatensystem Xt zugrunde ; die skalaren 
Zustandsgrößen wie die Elektrizitätsdichte q stellen sich dar durch be- 
stimmte Funktionen 

die metrische Fundamentalform sei 

3 
Sfa dxi dxk 1 

wo die gik gleichfalls (im Sinne der »mathematischen« Bezeichnungsweise) 
bestimmte Funktionen von x z # a x 3 bedeuten. Ferner sei irgend eine 
stetige Abbildung des Raumes auf sich selber gegeben, durch die jedem 
Punkt P ein Punkt P' zugeordnet ist. Unter Benutzung des vorliegenden 
Koordinatensystems und der Bezeichnungen 

P=( Xl x,x 3 ), /"— &44) 

werde diese Abbildung dargestellt durch 

(16)] x';= cpifax^xj. 

*) Es soll hier natürlich an der »physikalischen« Bezeichnungsart durchaus keine 
Kritik geübt werden; sie ist den Zwecken der mit Größen operierenden Physik Yöllig 
angemessen. 



QO 



Das metrische Kontinuum. 



Durch sie gehe ein Raumstück © über in ©'; ich will zeigen, daß in 
dem erläuterten Sinne ©' kongruent <S ist, falls Riemanns Ansicht zutrifft. 
Ich benutze ein zweites Koordinatensystem, indem ich dem Punkte P 
die durch (16) gegebenen Zahlen odi als seine Koordinaten zuordne; (16) 
sind dann die Transformationsformeln. Derjenige mathematische Bereich 
in drei Variablen, als welcher sich <S in den Koordinaten x' darstellt, 
ist identisch mit demjenigen, als welcher sich ©' in den Koordinaten x 
darstellt. Ein beliebiger Punkt P hat in x' die gleichen Koordinaten wie 
P' in x. Ich denke mir nun den Raum auf eine zweite Weise durch 
einen materialen Gehalt erfüllt, und zwar so, wie es durch die Formeln 

£ ==/{x\x' 2 x' 3 ) im Punkte P 

und die analogen für die übrigen skalaren Größen dargestellt wird. Wenn 
die Maßbestimmung des Raumes unabhängig von dem erfüllenden Mate- 
rialen vorgegeben ist, wird die metrische Fundamentalform wie bei der 
ersten Erfüllung den Ausdruck haben: 

üSjga dxi dxk = SVifc [A x \ x \) dx) dx'k ; 
ik ik 

dabei ist auf der rechten Seite die Transformation auf das zweite Koor- 
dinatensystem vollzogen. Wenn aber die Maßverhältnisse durch den 
materialen Gehalt bestimmt werden — und wir wollen jetzt mit Riemann 
annehmen, daß sich die Sache so verhält — , so wird, da die zweite Er- 
füllung sich genau so in den Koordinaten x' ausdrückt wie die erste in 
den Koordinaten x, bei dieser zweiten Erfüllung die metrische Funda- 
mentalform lauten: 

^Sgik {x' x x' 2 x' 3 ) dx'i dx'k • 
ik 

Nach unserem Prinzip der geometrischen Optik wird dann einem Beob- 
achter in P' der im Raumstück <&' bei der ersten Erfüllung vorhandene 
Gehalt genau so erscheinen wie einem Beobachter in P das gemäß der 
zweiten Erfüllung im Raumstück <§ vorhandene Materiale. Trifft jedoch 
die alte »Mietskasernen «-Auffassung zu, so ist das natürlich^nicht der Fall. 
Die einfache Tatsache, daß ich eine Plastelinkugel in meiner Hand 
zu einer beliebigen Mißgestalt zerdrücken kann, die ganz anders aussieht 
als eine Kugel, scheint den Riemannschen Standpunkt ad absurdum zu 
führen. Dies ist jedoch nicht beweisend; denn es wird wohl, wenn Rie- 
mann recht hat, u. a. eine ganz andere Deformation der inneren atomistischen 
Struktur des Plastelins nötig sein, als ich durch meine Hand bewirken 
kann, damit die verdrückte Gestalt einem Beobachter von allen Seiten 
als kugelförmig erscheint. Die Sache ist eben die, daß einem Raumstück 
an sich überhaupt keine visuelle Gestalt zukommt, sondern die letztere 
von dem das Raumstück erfüllenden materiellen Gehalt abhängt, und 
zwar so, daß ich durch eine geeignete Erfüllung ihm jede beliebige 
visuelle Gestalt erteilen kann. Dafür kann ich dann auch an irgend 
zwei verschiedenen Raumstücken durch geeignete Erfüllung des einen 



§12. Fortsetzung. Dynamische Auffassung der Metrik. gi 



und andern die gleiche visuelle Gestalt hervorzaubern. Einstein hat dem 
Riemannschen Gedanken zum Siege verholfen (ohne freilich direkt durch 
Riemann beinflußt zu sein); von dem durch Einstein gewonnenen Stand- 
punkt rückschauend aber erkennen wir, daß aus diesem Gedanken eine gül- 
tige Theorie erst entspringen konnte, nachdem die Zeit als vierte zu den 
drei Raumdimensionen in solcher Weise hinzugetreten war, wie es die sog. 
spezielle Relativitätstheorie lehrt. Da der Begriff > Kongruenz« nach Riemann 
überhaupt zu keiner Metrik führt, auch nicht zu der durch eine quadratische 
Differentialform geregelten allgemeinen Riemannschen Metrik, so muß in der 
Tat »der innere Grund für die Maßverhältnisse« ganz wo anders gesucht 
werden. Er liegt nach Einstein in den »bindenden Kräften« der Gravitation. 
In der Einsteinschen Theorie (Kap. IV) spielen die Koeffizienten g& der 
metrischen Fundamentalform die gleiche Rolle wie in der Newtonschen 
Gravitationstheorie das Gravitationspotential; die Gesetze, nach denen das 
raumerfüllende Materiale die Metrik bestimmt, sind die Gravitationsgesetze. 
Das Gravitationsfeld bewirkt ein solches Verhalten der Lichtstrahlen und der 
»starren« Körper, die wir als Maßstäbe verwenden, daß sich, wenn wir die 
Maßstäbe und Lichtstrahlen in gewohnter Weise zur Ausmessung von Gegen- 
ständen benutzen, eine Maßgeometrie als gültig erweist, die in den der Be- 
obachtung zugänglichen Gebieten sehr wenig von der Euklidischen abweicht. 
Die Maß Verhältnisse kommen aber nicht auf Rechnung des Raumes als Form 
der Erscheinungen, sondern auf Rechnung des durch das Gravitationsfeld 
bestimmten physikalischen Verhaltens von Maßstäben und Lichtstrahlen. 

Nach den durch Riemann gewonnenen Erkenntnissen machten sich 
die Mathematiker an den formalen Ausbau seines geometrischen Gedanken- 
systems; Christoffel, Ricci, Levi-Civita nahmen daran vor allem teil 8 ). 
Die eigentliche Weiterführung hatte er aber mit den letzten Worten deutlich 
genug in die Hände eines nach ihm kommenden, seinem mathematischen 
ebenbürtigen physikalischen Genies gelegt. Nach 70 Jahren ist das von ihm 
Prophezeite durch Einstein in Erfüllung gegangen. 

Bei der durch Einsteins große Konsequenzen angeregten erneuten Prü- 
fung der mathematischen Grundlagen ergab sich dem Verf. die Bemerkung, 
daß die Riemannsche Geometrie das Ideal einer reinen Infinitesimalgeome- 
trie erst zur Hälfte erreicht; es gilt, noch ein letztes ferngeometrisches 
Element auszuscheiden, das ihr von ihrer Euklidischen Vergangenheit her 
anhaftet. Riemann setzt nämlich voraus, daß man irgend zwei Linien- 
elemente auch an verschiedenen Stellen des Raumes messend miteinander 
vergleichen kann; die Mög/ifhheit eines solchen Fernvergleichs kann in einer 
reinen Nahegeometrie nicht zugestanden werden', es ist nur ein Prinzip zu- 
lässig, das die Übertragung einer Maßstrecke von einem Punkte nach 
den unendlich benachbarten ermöglicht. 

Nach diesen vorbereitenden Bemerkungen gehen wir jetzt an den 
systematischen Aufbau der reinen Infinitesimalgeometrie heran 9 ), der sich 
naturgemäß in drei Stockwerken vollziehen wird: vom jeder näheren Be- 
stimmung baren Kontinuum über die affin zusammenhängende Mannigfal- 



92 



Das metrische Kontinuura. 



- 



tigktii zum metrischen Raum. Diese Theorie, in der, wie ich glaube, eine 
große Gedankenentwicklung ihr Ziel erreicht und das Ergebnis derselben 
seine endgültige Gestalt gewonnen hat, ist eine wirkliche Geometrie, eine 
Lehre vom Raum selbst, und nicht bloß wie die Geometrie des Euklid 
und fast Alles, was sonst unter dem Namen Geometrie betrieben wird, 
eine Lehre von den im Räume möglichen Gebilden. 

§ 13. Tensoren und Tensordichten in einer beliebigen Mannig- 
faltigkeit. 

n dimensionale Mannigfaltigkeit. Dem eben skizzierten Aufbau gemäß 
setzen wir vom Räume zunächst nur voraus, daß er ein n dimensionales 
Kontinuum ist. Er läßt sich danach auf «Koordinaten x w x m ...x m be- 
ziehen, deren jede in jedem Punkt der Mannigfaltigkeit einen bestimmten 
Zahlwert besitzt; verschiedenen Punkten entsprechen verschiedene Wert- 
systeme der Koordinaten. Ist x^x 9 ... x n ein zweites System von Koordi- 
naten, so bestehen zwischen den x- und den ^-Koordinaten desselben 
willkürlichen Punktes Beziehungen 

(17) xi =/i(x t x a ...x„) (i = 1, 2, . . . , n\ 

die durch gewisse Funktionen /,• vermittelt werden; von ihnen setzen wir 
nicht nur voraus, daß sie stetig sind, sondern auch, daß sie stetige Ableitungen 

er* = M 

tix& 

besitzen, deren Determinante nicht verschwindet. Die letzte Bedingung 
ist notwendig und hinreichend, damit im Unendlichkleinen die affine Geo- 
metrie gilt, damit nämlich zwischen den Koordinatendifferentialen in beiden 
Systemen umkehrbare . lineare Beziehungen statthaben: 

(18) dxi=^a k dx k . 

k 

Die Existenz und Stetigkeit höherer Abteilungen nehmen wir an, wo wir 
ihrer im Laufe der Untersuchung bedürfen. Auf jeden Fall hat also der 
Begriff der stetigen und stetig differentiierbaren Ortsfunktion, ev. auch der 
2, 3, ... mal stetig differentiierbaren einen invarianten, vom Koordinaten- 
system unabhängigen Sinn ; die Koordinaten selber sind derartige Funktionen. 
Begriff des Tensors. Die relativen Koordinaten dxi eines zu dem 
Punkte P = (xij unendlich benachbarten Punktes P' = (#,• + dx,) sind 
die Komponenten eines Linienelementes in P oder einer infinitesimalen Ver- 
schiebung PP' von P. Bei Übergang zu einem anderen Koordinaten- 
system gelten für diese Komponenten die Formeln (18), in denen a& die 
Werte der betreffenden Ableitungen im Punkte P bedeuten. Die infini- 
tesimalen Verschiebungen werden für die Entwicklung des Tensorkalküls 
die gleiche Rolle übernehmen wie die Verschiebungen in Kap. I. Es ist 
aber zu beachten, daß hier eine Verschiebung wesentlich an einen Punkt 



§ 13. Tensoren und Tensordichten in einer beliebigen Mannigfaltigkeit. q* 

P gebunden ist, daß es keinen Sinn hat, von den infinitesimalen Verschie- 
bungen zweier verschiedener Punkte zu sagen, sie seien gleich oder un- 
gleich. Man könnte ja freilich auf die Festsetzung verfallen, infinitesimale 
Verschiebungen zweier Punkte gleich zu nennen, wenn sie dieselben Kom- 
ponenten haben; aber aus dem Umstand, daß die ct\ in (18) keine Konstante 
sind, geht hervor, daß, wenn dies in einem Koordinatensystem der Fall 
ist, es in einem andern Koordinatensystem keineswegs zu gelten braucht. 
Wir können demnach nur von der infinitesimalen Verschiebung eines 
Punktes, nicht aber wie in Kap. I. des ganzen Raumes sprechen; infolge- 
dessen auch nicht von einem Vektor oder Tensor schlechthin, sondern 
von einem Vektor oder Tensor in einem Punkte P. Ein Tensor in P 
ist eine vom Koordinatensystem, auf das man die Umgebung von P be- 
zieht, abhängige Linearform mehrerer Reihen von Variablen, wenn jene 
Abhängigkeit von folgender Art ist: die Ausdrücke der Linearform in 
irgend zwei Koordinatensystemen x und x gehen ineinander über, wenn 
man gewisse der Variablenreihen (die mit oberen Indizes) kogredient, die 
andern (mit untern Indizes) kontragredient zu den Differentialen dx, trans- 
formiert, die ersteren also nach der Gleichung 

(19) £' = ^?(*k 1 , die zweiten nach & = ^ctj & ■ 

k k 

Unter a* sind dabei die Werte dieser Ableitungen im Punkte P zu ver- 
stehen. Die Koeffizienten der Linearform heißen die Komponenten des 
Tensors in dem betreffenden Koordinatensystem; sie sind kovariant in 
denjenigen Indizes, die zu den mit oberen Indizes behafteten Variablen 
gehören, kontravariant in den übrigen, — Die Möglichkeit des Tensor- 
begriffs beruht auf dem Umstände, daß der Übergang von einem zum 
andern Koordinatensystem für die Differentiale in einer linearen Trans- 
formation sich ausdrückt. Es wird hier Gebrauch gemacht von dem über- 
aus fruchtbaren mathematischen Gedanken, ein Problem durch Rückgang 
aufs Unendlichkleine zu >linearisieren«. Die ganze Tensoralgebra, durch 
deren Operationen lediglich Tensoren im selben Punkte P miteinander zu 
verknüpfen sind, kann jetzt völlig ungeändert aus Kap. I. herübergenommen 
werden. Auch hier wollen wir Tensoren 1. Stufe Vektoren nennen. Es 
gibt kontravariante und kovariante Vektoren; wo das Wort Vektor ohne 
näheren Zusatz gebraucht wird, ist darunter stets ein kontravarianter Vektor 
zu verstehen. Unendlichkleine Größen dieser Art sind die Linienelemente 
in P. Mit jedem Koordinatensystem sind n »Einheitsvektoren« e,- in P 
verbunden, nämlich diejenigen, welche in dem betreffenden Koordinaten- 
system die Komponenten 



Ci 


«1 


°, 


0, .. 


M © 


*. 


°» 


i) 


0, .. 


., O 


e. 


0, 


°, 


0, .. 


M 1 



94 



Das metrische Kontinuum. 



besitzen. Aus ihnen läßt sich jeder Vektor | in P linear zusammen- 
setzen; denn sind §' seine Komponenten, so gilt 

f_=re I + s ea e a + ... + ^c Ä . 

Die Einheitsvektoren e« eines andern Koordinatensystems x gehen aus den 
C,- nach den Gleichungen hervor 

k 

Die* Möglichkeit des Übergangs von kovarianten zu kontravarianten Kom- 
ponenten eines Tensors kommt natürlich hier nicht in Frage. Je zwei 
(voneinander linear unabhängige) Linienelemente mit den Komponenten 
dx, f öxi spannen ein Flächenelement auf mit den Komponenten 

dxidxk — dxkdxi = J xa , 

je drei solche Linienelemente ein dreidimensonales Raumelement, usf. In- 
variante Differentialformen, die je einem willkürlichen Linienelement, 
bzw. Flächenelement, usw. in linearer Weise eine Zahl zuordnen, sind 
»lineare Tensoren« (= kovariante schiefsymmetrische Tensoren, siehe § 7). 
Die alte Festsetzung über das Fortlassen von Summenzeichen wird beibe- 
halten. 

Begriff der Kurve. Ist jedem Wert eines Parameters s ein Punkt' 
P = P(s) in stetiger Weise zugeordnet, so ist, wenn wir s als Zeit deuten, 
damit eine »Bewegung« gegeben; wir wollen diesen Namen in Ermanglung 
eines andern Ausdrucks in rein mathematischem Sinne auch dann an- 
wenden, wenn wir uns einer solchen Deutung des Parameters s enthalten. 
Bei Benutzung eines bestimmten Koordinatensystems erhalten wir eine 
Darstellung 

(20) Xi = Xi(s) 

der Bewegung durch n stetige Funktionen Xi(s), von denen wir annehmen, 
daß sie nicht nur stetig, sondern stetig differentiierbar sind. Beim Über- 
gang vom Parameterwert s zu s -f- ds erfährt der zugehörige Punkt P 
eine infinitesimale Verschiebung mit den Komponenten dxt. Dividieren 
wir diesen Vektor in P durch ds, so erhalten wir die »Geschwindigkeit* 

dxi 
einen Vektor in P mit den Komponenten — — = u l . Zugleich ist (20) 

eine Parameterdarstellung der Bahnkurve der Bewegung. Zwei Bewegungen 
beschreiben dann und nur dann dieselbe Kurve, wenn die eine Bewegung 
aus der andern dadurch hervorgeht, daß man auf den Parameter s eine 
Transformation ausübt ^ = to(&) f die durch eine stetige (und stetig difFe- 
rentiierbare) monotone Funktion w vermittelt wird. Für die Kurve sind 
in einem Punkte nicht die Geschwindigkeitskomponenten selber, sondern 
nur ihr (die Kühlung der Kurve kennzeichnendes) Verhältnis ist bestimmt. 
Tensoranalysis. Ein Tensorfeld gewisser Art ist in einem Raumgebiet 
gegeben, wenn jedem Punkt P dieses Gebiets ein Tensor der betreffenden 
Art in P zugeordnet ist. Relativ zu einem Koordinatensystem erscheinen 






§ 13. Tensoren und Tensordichten in einer beliebigen Mannigfaltigkeit. , qc 

die Komponenten des Tensorfeldes als bestimmte Funktionen der Koordi- 
naten des variablen »Aufpunktes« P\ wir setzen sie als stetig und stetig 
differentiierbar voraus. Die in Kap. I, § 8 entwickelte Tensoranalysis 
läßt sich auf ein beliebiges Kontinuum nicht ungeändert übertragen. Bei 
Konstruktion des allgemeinen Prozesses der Differentiation benutzten wir 
nämlich damals willkürliche kovariante und kontravariante Vektoren, deren 
Komponenten vom Orte unabhängig waren. Diese Bedingung ist wohl 
gegenüber linearen, nicht aber gegenüber beliebigen Transformationen in- 
variant, da bei solchen die c4 keine Konstante sind. In einer beliebigen 
Mannigfaltigkeit läßt sich infolgedessen, wie wir jetzt zeigen wollen, nur 
die Analysis der linearen Tensorfelder begründen. Aus einem Skalarfeld/ 
entspringt auch hier, unabhängig vom Koordinatensystem, durch Diffe- 
rentiation ein lineares Tensorfeld i. Stufe mit den Komponenten 

aus einem linearen Tensorfeld i. Stufe/,- ein solches 2. Stufe: 

(«) ' fr^M—p; 

aus einem solchen 2. Stufe /,-& ein lineares Tensorfeld 3. Stufe: 

usf. 

Ist (p ein gegebenes Skalarfeld im Raum und bedeuten x t - und x,- 
irgend zwei Koordinatensysteme, so wird in dem einen und andern das 
Skalarfeld sich durch eine Funktion der x,- bzw. x t - darstellen: 

cp = /(* I * 2 • • • x„) = f{x s x a •••*„). 

Bilden wir den Zuwachs von <jp bei einer infinitesimalen Verschiebung 
des Argumentpunktes, so kommt 



*f öXi *f dxi 



)araus geht hervor, daß — die Komponenten eines kovarianten Ten- 

sorfeldes 1. Stufe bilden, das in einer von jedem Koordinatensystem 
unabhängigen Weise aus dem Skalarfeld cp entspringt. Hier haben wir 
ein einfaches Beispiel zum Begriff Vektorfeld; zugleich zeigt sich, daß 
die Operation »grad« invarianten Charakter trägt nicht nur gegenüber 
linearen, sondern beliebigen Koordinatentransformationen, wie wir be- 
hauptet hatten. 

Um zu (22) zu gelangen, machen wir folgende Konstruktion. Vom 
Punkte P = P QO ziehen wir die beiden Linienelemente mit den Kom- 
ponenten dxi und dx;, die zu den unendlich benachbarten Punkten P 10 
und P 01 führen. Wir verschieben (variieren) das Linienelement dx in 



96 



Das metrische Kontinuum. 



irgend einer Weise so, daß sein Anfangspunkt die Strecke P 00 P 01 be- 
schreibt; in seiner Endlage sei es übergegangen in P ol P 1Z . Diesen Prozeß 
bezeichnen wir als die Verschiebung d. Die Komponenten dx,- mögen 
dabei die Zuwächse ddx,- empfangen haben, so daß 

ddxt = {*(/>„) - MhS - hrK j - *.■(/;.)} 

ist. Jetzt vertauschen wir d und ö. Durch eine analoge Verschiebung d 
des Linienelements dx an der Strecke P 00 P JQ entlang, bei der es schließ- 
lich in die Lage P JO P[ 1 übergeht, erfahren die Komponenten desselben 
den Zuwachs 

ddxt = {xtip-j - Xi [p 10 )} - w#y - Xi (p 00 )} . 

Daraus folgt 

(24) ddxt - ddxi = *,-(/>„) - x^) . 

Dann und nur dann, wenn die beiden Punkte P lt und P[ t zusammen- 
fallen, wenn also die beiden Linienelemente dx und dx bei ihren Ver- 
schiebungen d bzw. d das gleiche unendlichkleine »Parallelogramm« 
überfahren — und so wollen wir den Prozeß leiten — , gilt 

{25) ödx,- — ddxi = o . 

Ist nun ein kovariantes Vektorfeld mit den Komponenten /,• gegeben, so 
bilden wir die Änderung der Invariante df=fi dxi bei der Verschiebung ö: 

öd/ = dfi dxi -\-fi ödxi . 

Vertauschen wir d mit ö und subtrahieren, so kommt 

J/=(öd— dd)f = [dfi dxi — dfi öxi) +fi{ödx t - — ddx-j , 

und wenn beide Verschiebungen das gleiche infinitesimale Parallelogramm 
durchfegen, insbesondere 

(26) Jf = dfi dxi - dfi dxi = [%£- - p) dXi öx k . 

\OXk OXif 

Traut man diesem vielleicht allzu gewagten Operieren mit unendlich- 
kleinen Größen nicht, so ersetze man die Differentiale durch Differential- 
quotienten. Da sich ein unendlichkleines Flächenelement nur als Teil 
(oder genauer: als Limes des Teils) einer beliebig kleinen, aber endlich 
ausgedehnten Fläche fassen läßt, lautet die Überlegung dann so. Es sei 
jedem Wertepaar zweier Parameter s, t (in einer gewissen Umgebung von 
5 = o , / = o) ein Punkt (s t) unserer Mannigfaltigkeit, zugeordnet ; die 
Funktionen Xi = Xi(st), welche diese (über eine Fläche sich verbreitende) 
»zweidimensionale Bewegung« in irgendeinem Koordinatensystem Xt dar- 
stellen, seien zweimal stetig differentiierbar. In jedem Punkte {st) ge- 
hören dazu die beiden Geschwindigkeitsvektoren mit den Komponenten 

d x * dx ' 

-7- und -3—.. Wir können die Zuordnung so wählen, daß sich für 
ds dt 

s = o , / ob o ein vorgeschriebener Punkt P = (00) ergibt und jene 



§ 13- Tensoren und Tensordichten in einer beliebigen Mannigfaltigkeit qj 

beiden Geschwindigkeitsvektoren in ihm mit zwei willkürlich vorgegebenen 
Vektoren »', v* zusammenfallen (es gentigt ja dazu, die x t - als lineare 

Funktionen von s und / anzusetzen), d bedeute die Differentiation — , 

ds 

ö aber — . Dann ist 
dt 

,, jdx; x tfidxidxk . , d'xi 

dj f r*fi*> d ^ = hx- i 7J~dT +/i d7Is- 

Durch Vertauschung von 6 und d und nachfolgende Subtraktion kommt 

• v " J J J \^ xk bx J ds dt 

Indem wir s = o, / = o setzen, erhalten wir zum Punkte P die von 
zwei willkürlichen Vektoren u, v daselbst abhängige Invariante 



(r*-rV 

\öxk itXil 



Der Zusammenhang mit der infinitesimalen Betrachtung besteht darin, 
daß diese hier in strenger Form für die unendlichkleinen Parallelogramme 
durchgeführt wird, in welche die Fläche Xt = x t - (st) durch die Koordi- 
natenlinien s ~= const. und / = const. zerlegt ist. 

Ich erinnere in diesem Zusammenhang an den Stokesschen Satz. Das 
invariante lineare Differential f,dxi heißt integrabel, wenn sein Integral 
längs jeder geschlossenen Kurve, der > Integralwirbel « , =o ist (was, 
wie man weiß, nur für ein totales Differential der Fall ist). Man spanne 
in die geschlossene Kurve eine beliebige Fläche ein, zu geben durch 
eine Parameterdarstellung x t - = xi (s t), und zerlege sie durch die Koordi- 
natenlinien in infinitesimale Parallelogramme. Der Wirbel um die Be- 
grenzung der ganzen Fläche läßt sich dann zurückführen auf die einzelnen 
Wirbel um diese kleinen Flächenmaschen herum, deren Wert für jede 
Masche durch unsern (mit dsdt zu multiplizierenden) Ausdruck (27) ge- 
liefert wird. So kommt eine differentiale Zerlegung des Integralwirbels 
zustande, und der Tensor (22) ist an jeder Stelle das Maß für die dort 
vorhandene »Wirbelstärke«. 

Auf die gleiche Weise steigt man zur nächst höheren Stufe (23) auf. 
Statt des infinitesimalen Parallelogramms wird man dabei ein durch drei 
Linienelemente d, d, b aufgespanntes dreidimensionales Parallelepiped zu 
benutzen haben. Die Rechnung sei kurz angedeutet: 

(28) b (fik dxi 8xk) = t^ dxi dxk bxi -\-fik (b dxi -dxk + bdxf dx { ) . 

OXi 

Wegen /*,• = — /« ist der zweite Summand rechts 

(29) =fik(bdxröxi — bdxrdxk). 

Nimmt man in (28) die drei zyklischen Vertauschungen von d 1 6, b vor 
und addiert, so zerstören sich die aus (29) entspringenden 6 Glieder zu 
je zweien wegen der Symmetriebedingungen (25). 

Weyl, Raum, Zeit, Materie. 3. Aufl. n 



98 



Das metrische Kontinuum. 



Begriff der Tensor dichte. IstfW&dx — ich schreibe kurz dx für das 
Integrationselement dx z dx a . . . dx H — eine Integralinvariante, so ist SB 
eine Größe, die vom Koordinatensystem in der Weise abhängt, daß sie 
sich bei Übergang zu einem andern Koordinatensystem mit dem absoluten 
Betrag der Funktionaldeterminante multipliziert. Fassen wir jenes In- 
tegral als Maß eines das Integrationsgebiet erfüllenden Substanzquantums 
auf, so ist SB dessen Dichte. Eine Größe der beschriebenen Art möge 
deshalb als skalare Dichte bezeichnet werden. Das ist ein wichtiger Be- 
griff, der gleichberechtigt neben, den des Skalars tritt und sich durchaus 
nicht auf ihn reduzieren läßt. In einem analogen Sinne wie von einer 
skalaren können wir auch von einer tensoriellen Dichte sprechen. Eine 
vom Koordinatensystem abhängige Linearform mehrerer Reihen von Vari- 
ablen, die teils mit oberen teils mit unteren Indizes behaftet sind, ist 
eine Tensordichte im Punkte P, wenn aus dem Ausdruck dieser Linear- 
form in einem ersten Koordinatensystem ihr Ausdruck in einem beliebigen 
anderen, dem überstrichenen Koordinatensystem durch Multiplikation mit 
dem absoluten Betrag der Funktionaldeterminante 

J = abs. |a*| 

und Transformation der Variablen nach dem alten Schema (19) hervor- 
geht. Der Gebrauch der Worte Komponenten, kovariant, kontravariant, 
symmetrisch, schiefsymmetrisch, Feld usw. wie bei Tensoren. Mit der 
Gegenüberstellung der Tensoren und Tensordichten glaube ich den 
Unterschied zwischen Quantität und Intensität, soweit er physikalische 
Bedeutung hat, in strenger Weise erfaßt zu haben: die Tensoren sind die 
Intensitäts-f die Tensordichten die Quantitätsgrößen. Die gleiche ausge- 
zeichnete Rolle, welche unter den Tensoren die kovarianten schiefsym- 
metrischen spielen, kommt unter den Tensordichten den kontravarianten 
schiefsymmetrischen zu , die wir darum kurz als lineare Tensor dichten 
bezeichnen wollen. 

Algebra der Tensordichten. Wie im Gebiet der Tensoren haben wir 
hier die folgenden Operationen: 

1. Addition von Tensordichten der gleichen Art, Multiplikation einer 
Tensordichte mit einer Zahl; 

2. Verjüngung; und 

3. (nicht etwa Multiplikation zweier Tensordichten miteinander, son- 
dern) Multiplikation eines Tensors mit einer Tensordichte. Denn durch 
Multiplikation zweier skalaren Dichten z. B. würde ja nicht wieder eine 
skalare Dichte entstehen, sondern eine Größe, die sich beim Übergang 
von einem zum anderen Koordinatensystem mit dem Quadrat der Funk- 
tionaldeterminante multipliziert. Multiplikation eines Tensors mit einer 
Tensordichte liefert aber stets eine Tensordichte (deren Stufenzahl gleich 
der Summe der Stufenzahlen der beiden Faktoren ist) ; so geht z. B. aus 
einem kontravarianten Vektor mit den Komponenten f und einer ko- 



§ 13. Tensoren und Tensordichten in einer beliebigen Mannigfaltigkeit. qq 

Varianten Tensordichte mit den Komponenten tD,* in einer vom Koordi- 
natensystem unabhängigen Weise eine gemischte Tensordichte 3. Stufe 
mit den Komponenten f'ti)&i hervor. 

Die Analysis der Tensordichten läßt sich in einer beliebigen Mannig- 
faltigkeit nur für lineare Felder begründen. Sie führt zu folgenden diver- 
genzartigen Prozessen : 

(30) j— = tt) , 

Q%i 

(31) TT^rty 



Durch (30) wird aus einem linearen Tensordichte-Feld tu' der 1. Stufe 
ein skalares Dichtefeld tt> erzeugt, durch (31) aus einem linearen Feld 
2. Stufe (to*' = — to'*). ein solches der 1. Stufe usf. Die Operationen 
sind vom Koordinatensystem unabhängig. Von einem Feld 1. Stufe tt)', das 
aus einem Feld 2. Stufe Xo ik nach (31) entsteht, ist die Divergenz (30) 
= o; analog für die höheren Stufen. Den Beweis der Invarianz von (30) 
erbringen wir durch folgende Betrachtung, die aus der Theorie der Be- 
wegung von kontinuierlich ausgebreiteten Massen bekannt ist. 
Ist £'" ein gegebenes Vektorfeld, so wird durch 

(33) x i = x i -\-l~ i 'dt 

eine infinitesimale Verschiebung der Punkte unseres Kontinuums erklärt, 
bei welcher der Punkt mit den Koordinaten %i in den Punkt mit den 
Koordinaten #,• übergeht; den konstanten infinitesimalen Faktor 6t mag 
man als das Zeitelement deuten, während dessen diese Deformation vor 
sich geht. Die Abweichung der Abbildungsdeterminante 



A = 



*xA . . .. *? 

- — von 1 ist = / • r — 

OXk 0X{ 



Durch die Verrückung gehe ein Teilstück' & des Kontinuums, dem bei 
der Darstellung durch die Koordinaten x,- das mathematische Gebiet X 
der Variablen xi entspricht, in das unendlich wenig davon verschiedene 
Gebiet % über. Ist 8 ein skalares Dichtefeld, das wir als Dichte einer 
das Kontinuum erfüllenden Substanz auffassen, so ist das in & vor- 
handene Substanzquantum 

mm'j n i(p)dx s 

das & erfüllende Quantum aber 

= fä{x)dx =f^[x)Adx, 

wo in dem letzten Ausdruck für die Argumente Xi von 3 die Werte (32) 
einzusetzen sind. (Ich verschiebe hier das Volumen gegen die Substanz; 
man kann statt dessen natürlich auch die Substanz durch das Volumen 
strömen lassen; dann ist g£' die Stromstärke.) Für den Zuwachs an 

7* 



jq Das metrische Kontinuum. 



Substanz, den das Gebiet © durch die Verschiebung gewonnen hat, er- 
gibt sich das nach den Variablen x t - über X zu erstreckende Integral von 

*(*).^-8(*), 

für den Integranden aber findet sich 

Folglich wird durch die Formel 

-r = tu 

ein invarianter Zusammenhang hergestellt zwischen den beiden skalaren 
Dichtefeldern 3, tu und dem kontravarianten Vektorfeld mit den Kom- 
ponenten £''. Da sich nun jede Vektordichte 10' in der Form 3£'" dar- 
stellen läßt — denn definiert man in einem bestimmten Koordinatensystem 
eine skalare Dichte 8 und ein Vektorfeld £ durch g = i , g* = to', so gilt 
in jedem die Gleichung tu' = 3£' — , ist der gewünschte Beweis erbracht. 
Wir sprechen im Anschluß an diese Überlegung das später oft zu 
benutzende Prinzip der partiellen Integration aus: Verschwinden die Funk- 
tionen tu' am Rande eines Gebietes @J, so ist das Integral 

ötü' . 
, - — dx = o . 

© ÖX£ 

Denn dieses Integral, mit dt multipliziert, bedeutet die Änderung, welche 
das > Volumen« fdx jenes Gebiets bei einer infinitesimalen Deformation 
erleidet, deren Komponenten = dl-to' sind. 

Ist des Divergenzprozesses (30) Invarianz erkannt, erheben wir uns 
von da aus leicht zu den höheren Stufen, zunächst zu (31). Wir nehmen 
ein kovariantes Vektorfeld /»• zu Hilfe, das aus einem Potential / ent- 
springt: /,• = ~ , bilden die lineare Tensordichte 1. Stufe tt>'*/» und 
deren Divergenz 



«/ GH 



bxi ' bx& 

Die Bemerkung, daß die ft in einem Punkte P willkürlich vorgeschriebene 
Werte annehmen können, schließt den Beweis ab. Auf gleiche Art er- 
steigen wir die 3. Stufe usf. 

§ 14. Affin zusammenhängende Mannigfaltigkeit. 

Begriff des affinen Zusammenhangs. Der Punkt P einer Mannigfaltig- 
keit hängt mit seiner Umgebung affin zusammen (wollen wir sagen), wenn 
von jedem Vektor in P feststeht, in welchen Vektor in P' er durch 
Parallelverschiebung (ungeänderte Verpflanzung) von P nach P 1 übergeht; 
dabei bedeutet P 1 einen beliebigen der zu P unendlich benachbarten 
Punkte 10 ). Von diesem Begriff verlangen wir x nicht mehr und nicht 



§ 14- Affin zusammenhängende Mannigfaltigkeit. IOI 

weniger, als daß er alle diejenigen Eigenschaften besitzt, die ihm in der 
affinen Geometrie des Kap. I zukamen, d. h. wir postulieren: Es gibt ein 
Koordinatensystem, bei dessen Benutzung die Komponenten eines jeden Vektors 
in P durch infinitesimale Parallelverschiebung nicht geändert werden. Ein 
solches Koordinatensystem heißt geodätisch in P. Was folgt daraus für 
ein beliebiges Koordinatensystem Xi? In ihm habe der Punkt P die 
Koordinaten x°, P' die Koordinaten x°-\-dx t ; g seien die Komponenten 
eines beliebigen Vektors in P, g + dg die Komponenten des aus ihm 
durch Parallelverschiebung nach P 1 hervorgehenden Vektors. Da erstens 
durch die Parallelverschiebung von P nach P' die sämtlichen Vektoren in 
P auf die sämtlichen Vektoren in P' linear oder affin abgebildet werden, 
muß dg linear von den g abhängen: 

(33) dg = - df r g. 

Zweitens ergibt sich aus der an die Spitze gestellten Forderung, daß die 
dy'r Linearformen der Differentiale dx t - sind: 

(33') d fr = P'rsdx s , 

deren Zahlkoeffizienten [~, die » Komponenten des affinen Zusammenhangs* , 
der .Symmetriebedingung 

(33") P'sr = Pr S 

genügen. 

Um dies zu beweisen, sei x~i ein in P geodätisches Koordinatensystem; 
es gelten Transformationsformeln (17), (18). Aus der geodätischen Natur 
des Koordinatensystems x, folgt, daß bei Parallelverschiebung 

dg=d{aig)=da i r .g 

ist. Fassen wir die g als Komponenten dx? eines Linienelements in P 
auf, so muß demnach 

— dy'rdxr = _ _ dx r dx t 
bx r dx s 

sein (für die 2. Ableitungen sind natürlich deren Werte an der Stelle P 
zu setzen). Daraus geht die Behauptung hervor, und zwar bestimmt sich 
die symmetrische Bilinearform 

(34) — PrsÖXrdXs aUS — s — '—ÖXrdXs 

hx r hx s 

durch Transformation nach (18). — Die Konsequenzen sind damit voll- 
ständig erschöpft. Sind nämlich V' r , beliebig vorgegebene Zahlen, welche 
der Symmetriebedingung (33") genügen, und definieren wir den affinen 
Zusammenhang durch (33), (33'), so liefern die Transformationsformeln 

O __ — I r-j- "" — 

Xi X{ X{ — I rs Xr X s 

ein geodätisches Koordinatensystem x,- in P, da für sie die Gleichungen (34) 
in P erfüllt sind. 



102 Das metrische Kontinuum. 



Die Formeln, nach denen sich die Komponenten des affinen Zusammen- 
hangs P' rt bei Übergang von einem zum andern Koordinatensystem trans- 
formieren, sind aus der obigen Betrachtung leicht zu entnehmen; wir 
werden aber von ihnen keinen Gebrauch zu machen haben. Jedenfalls 
sind die T nicht die Komponenten eines (in i kontra-, in r und s kovari- 
anten) Tensors im Punkte P\ wohl besitzen sie diesen Charakter gegenüber 
linearer, verlieren ihn jedoch gegenüber einer beliebigen Transformation. 
Denn in einem geodätischen Koordinatensystem verschwinden sie sämtlich. 

Was unter Parallelverschiebung eines kovarianten Vektors & im Punkte P 
von dort nach dem unendlich benachbarten Punkte P' zu verstehen ist, 
ergibt sich eindeutig aus der Forderung, daß bei der simultanen Parallel- 
verschiebung dieses Vektors £,- und eines beliebigen kontravarianten rf das 
invariante Produkt ^rf ungeändert bleibe: 

daher 

(35) *i —22*r4r- 

r 

Ein kontravariantes Vektorfeld g werden wir im Punkte P stationär 
nennen, wenn die Vektoren in den zu P unendlich benachbarten Punkten P' 
aus dem Vektor in P durch Parallelverschiebung hervorgehen, wenn also 
in P die totalen Differentialgleichungen 

dg + dfrf = o (oder £ + rv,f = o) 

erfüllt sind. Es gibt offenbar ein derartiges Vektorfeld, das im Punkte P 
selbst beliebig vorgeschriebene Komponenten besitzt (eine Bemerkung, 
von der bei einer späteren Konstruktion Gebrauch zu machen sein wird). 
Der gleiche Begriff ist für ein kovariantes Vektorfeld aufzustellen. 

Wir beschäftigen uns fortan mit einer affinen Mannigfaltigkeit; in ihr 
steht jeder Punkt P mit seiner Umgebung in affinem Zusammenhang. Bei 
Benutzung eines bestimmten Koordinatensystems sind die Komponenten ["**, 
des affinen Zusammenhangs stetige Funktionen der Koordinaten xi. 
Durch geeignete Wahl des Koordinatensystems kann ich die P' r * wohl 
an einer einzelnen Stelle P zum Verschwinden bringen; es ist aber im 
allgemeinen nicht möglich, das Gleiche simultan für alle Punkte der 
Mannigfaltigkeit zu erzielen. Es gibt keine Unterschiede unter den ver- 
schiedenen Punkten der Mannigfaltigkeit hinsichtlich der Natur ihres 
affinen Zusammenhangs mit der Umgebung; in dieser Hinsicht ist die 
Mannigfaltigkeit homogen. 

Geodätische Linie. Führt ein Punkt bei seiner Bewegung einen (irgend- 
wie veränderlichen) Vektor mit, so erhalten wir zu jedem Wert des Zeit- 
parameters s nicht nur einen Punkt 

P= (s): xi = xi{s) 
der Mannigfaltigkeit, sondern außerdem einen Vektor in diesem Punkte 



§ 14. Affin zusammenhängende Mannigfaltigkeit. 103 

mit den von s abhängigen Komponenten v' = v'(s). Der Vektor bleibt 
im Momente s stationär, wenn 

ist. (Hier atme auf, wem immer das Operieren mit Differentialen un- 
sympathisch ist; hier haben sie sich glücklich in Differentialquotienten 
verwandelt.) Bei beliebiger Mitführung des Vektors besteht die linke 
Seite V von (36) aus den Komponenten eines mit der Bewegung invariant 
verknüpften Vektors in (s), der angibt, in welchem Maße sich der Vektor 
W an dieser Stelle pro Zeiteinheit ändert. Denn beim Übergang vom 
Punkte P = (s) zu P' = (s + ds) geht der Vektor v { in P über in den 
Vektor 

dif \ 
v* -f- -r - ds 
ds 

in P 1 . Verschieben wir aber v { ungeändert von P nach P' } so erhalten 
wir dort 

V' -f- 6V = V 1 — P' a ßV a dXß. 

Der Unterschied dieser beiden Vektoren in P', die Änderung von v 
während der Zeit ds, hat demnach die Komponenten 

dv* , * 

—rds — ovi = V l ds. 

ds 

Rein analytisch kann man den invarianten Charakter des Vektors V am 
leichtesten so einsehen: Man nehme einen willkürlichen kovarianten Vektor 
§i in P = (s) zu Hilfe und bilde die Änderung der Invariante £,■ v* beim 
Übergang von (s) zu (s-j-ds), wobei der Vektor f; ungeändert mit- 
genommen werde; dann kommt 

d{hv { ) 



ds 



= &K 



Verschwindet V für alle s, so gleitet der Vektor v bei der Bewegung 

mit dem Punkte P an der Bahnkurve entlang, ohne sich zu ändern. 

dx t - 
Jede Bewegung führt den Vektor ihrer Geschwindigkeit u* = — 

mit sich; für diesen besonderen Fall ist V der Vektor 

Tri du { . . d'xi . dx a dx* ■ 

u =77 + r " ,uuf = 1? * p f Ji ^s : 

die Beschleunigung, welche die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit- 
einheit mißt. Eine Bewegung, in deren Verlauf die Geschwindigkeit 
beständig ungeändert bleibt, heißt eine Translation', die Bahnkurve einer 
Translation, eine Kurve also, die ihre Richtung ungeändert beibehält, 
eine gerade oder geodätische Linie. Beruht doch gerade in dieser Eigen- 
schaft gemäß der translativen Auffassung (vergl. Kap. I, § 1) das Wesen 
der geraden Linie. 



104 



Das metrische Kontinuum. 



Die Analysis der Tensoren und Tensordichten läßt sich in einer affinen 
Mannigfaltigkeit ebenso einfach und vollständig wie in der linearen Geo- 
metrie des Kap. I entwickeln. Sind beispielsweise /,- die in i kovarianten, 
in k kontravarianten Komponenten eines Tensorfeldes 2. Stufe, so nehmen 
wir im Punkte P zwei willkürliche Vektoren, einen kontravarianten § und 
einen kovarianten r] zu Hilfe, bilden die Invariante 

und ihre Änderung bei einer unendlich kleinen Verrückung d des Argument- 
punktes P, bei welcher i; und rj parallel mit sich verschoben werden. 
Es ist 



also sind 



x k "./ * r r j* 1 r k ■? 



bxi 



die in il kovarianten, in k kontravarianten Komponenten eines Tensor- 
feldes 3. Stufe, das aus dem gegebenen Tensorfeld 2. Stufe in einer vom 
Koordinatensystem unabhängigen Weise entspringt. Charakteristisch sind 
hier die Zusatzglieder, welche die Komponenten des affinen Zusammen- 
hangs enthalten und in denen wir später mit Einstein den Einfluß des 
Gravitationsfeldes erkennen werden. Nach der angegebenen Methode 
kann in jedem Fall der Prozeß der Differentiation an einem Tensor voll- 
zogen werden. 

Wie in der Tensoranalysis die Operation »grad« als die ursprüngliche 
auftritt, aus der alle übrigen sich herleiten, so liegt der Analysis der 
Tensordichten die durch (30) erklärte Operation »div« zugrunde. Sie 
führt zunächst für die Tensordichten aller Stufen zu Prozessen ähnlichen 
Charakters. Will man z. B. die Divergenz einer gemischten Tensordichte 
tOi 2. Stufe bilden, so nimmt man ein in P stationäres Vektorfeld {?*' zu 
Hilfe und konstruiert von der Tensordichte £'tt>,- die Divergenz: 



bXk ö Xk 



0X k \ OXkj 



Diese Größe ist eine skalare Dichte, und demnach, da die Komponenten 
eines in P stationären Vektorfeldes daselbst beliebige Werte annehmen 
können, 

(37) \5£~'ri«e 

OXk 

eine kovariante Tensordichte 1. Stufe, die aus tt>« in einer von jedem 
Koordinatensystem unabhängigen Weise entspringt. 

Aber man kann nicht nur durch Divergenzbildung einer Tensordichte 
zu einer solchen von einer um 1 geringeren Stufenzahl herabsteigen, 



§ 15- Krümmung. 105 

sondern auch durch Differentiation aus ihr eine Tensordichte bilden, deren 
Stufenzahl um 1 höher ist. Bedeutet 3 zunächst eine skalare Dichte, so 
rufe man wiederum ein in P stationäres Vektorfeld £'' zu Hilfe und bilde 
die Divergenz der Stromstärke #£': 



Xi ÖXi \ÖXi I 



üx t - ö 

dann erhält man in 

v I xr» 

OX; 

die Komponenten einer kovarianten Vektordichte. Um die Differentiation 
von der skalaren auf eine beliebige Tensordichte, z. B. die gemischte 
tOi von 2. Stufe auszudehnen, bedient man sich in nun schon geläufiger 
Weise zweier in P stationärer Vektorfelder £' und rj t -, von denen dieses 
kovariant, jenes kontravariant ist, und differentiiert die skalare Dichte kOv §'i]k- 
Verjüngung der durch Differentiation entsprungenen Tensordichte nach 
dem Differentiationsindex und einem kontravarianten führt zur Divergenz 
zurück. 

§ 15. Krümmung,. 

Sind P und P* zwei durch eine Kurve verbundene Punkte, in deren 
erstem ein Vektor gegeben ist, so kann man diesen parallel mit sich 
längs der Kurve von P nach P* schieben. Die Gleichungen (36) für 
die unbekannten Komponenten v' des in beständiger Parallelverschiebung 
begriffenen Vektors gestatten nämlich bei gegebenen Anfangswerten von 
v l eine und nur eine Lösung. Die so zustande kommende Vektor- 
übertragimg ist jedoch im allgemeinen nicht integrabel; d. h. der Vektor, 
zu dem man in P* gelangt, ist abhängig von dem Verschiebungswege, 
auf dem die Übertragung vollzogen wird. Nur in dem besonderen Fall, 
wo Integrabilität stattfindet, hat es einen Sinn, von dem gleichen Vektor 
in zwei verschiedenen Punkten P und P* zu sprechen; es sind darunter 
solche Vektoren zu verstehen, die durch Parallel Verschiebung auseinander 
hervorgehen. Alsdann heiße die Mannigfaltigkeit Euklidisch-affin. Erteilt 
man allen Punkten einer derartigen Mannigfaltigkeit eine unendlichkleine 
Verschiebung, jedoch so, daß die Verschiebung eines jeden durch den 
»gleichen* infinitesimalen Vektor dargestellt wird, so ist mit dem Räume 
eine infinitesimale Gesamt- Translation vorgenommen. Mit ihrer Hilfe 
lassen sich gemäß dem Gedankengang des Kap. I (wir verzichten hier 
darauf, den Beweis strenge durchzuführen) besondere, »lineare« Koordi- 
natensysteme konstruieren, die dadurch ausgezeichnet sind, daß bei ihrer 
Benutzung gleiche Vektoren in verschiedenen Punkten gleiche Kompo- 
nenten besitzen. In einem linearen Koordinatensystem verschwinden die 
Komponenten des affinen Zusammenhangs identisch. Je zwei solche 
Systeme hängen durch lineare Transformationsformeln zusammen. Die 
Mannigfaltigkeit ist ein affiner Raum im Sinne von Kap. I: die Integra- 



jq6 Das metrische Kontinuum. 



bilität der Vektorübertragung ist diejenige infinitesimalgeometrische Eigen- 
schaft, durch welche die »linearen* Räume unter den affin zusammen- 
hängenden ausgezeichnet sind. 

Doch ist jetzt die Aufmerksamkeit auf den allgemeinen Fall zu lenken; 
da dürfen wir nicht erwarten, daß ein Vektor, durch Parallelverschiebung 
an einer geschlossenen Kurve herumgeführt, in seine Ausgangslage zurück- 
kehrt. Wie beim Beweise des Stokesschen Satzes spannen wir« in die 
geschlossene Kurve eine Fläche ein und zerlegen sie durch die Para- 
meterlinien in unendlich kleine Parallelogramme. Die Änderung eines 
beliebigen Vektors beim Umfahren der Fläche wird zurückgeführt auf 
die Änderung beim Umfahren jedes solchen von zwei Linien dementen 
dxt und öxi in einem Punkte P aufgespannten infinitesimalen Parallelo- 
gramms; sie gilt es jetzt zu bestimmen. Wir werden konstatieren, daß 
der Zuwachs z/j = (z/£'), den dabei ein Vektor £ = (!'") erfährt, aus % 
durch eine lineare Abbildung, eine Matrix z/F hervorgeht: 

(38) ^ = ^F(rJ; J& = JF$p. 

Ist z/F = o, so ist die Mannigfaltigkeit an der Stelle P in der von 
unserm Flächenelement eingenommenen Flächenrichtung »eben*-', trifft 
dies für alle Elemente einer endlich ausgedehnten Fläche zu, so kehrt 
jeder Vektor, der längs des Flächenrandes parallel verschoben wird, zu 
seiner Ausgangslage zurück. — 4 F hängt linear von dem Flächenele- 
ment ab: 

(39) JF = Fikdxidxk = \Fikdxik {4xik = dxiöxk — dx&dx,-; 

F# = — Fi*) . 

Die hier auftretende Differentialform charakterisiert die Krümmung, die 
Abweichung der Mannigfaltigkeit von der Ebenheit an der Stelle P in 
allen möglichen Flächenrichtungen; da ihre Koeffizienten keine Zahlen, 
sondern Matrizen sind, könnte von einem > linearen Matrix-Tensor 2 . Stufe* 
gesprochen werden, und es würde dadurch die Größennatur der Krüm- 
mung in der Tat am besten bezeichnet. Gehen wir aber von den Ma- 
trizen auf ihre Komponenten zurück — es seien Fpk die Komponenten 
von Füi oder auch die Koeffizienten der Form 

(40) 4Fp = Fßikdxidxk — , 

so ergibt sich, wenn e* die zum Koordinatensystem gehörigen Einheits- 
vektoren in P sind, die Formel 

(41) ^l = Fpiuta^dxidxk • 

Daraus geht hervor, daß F*& die in a kontra-, in ßik kovarianten Kom- 
ponenten eines Tensors 4. Stufe sind. Ihr Ausdruck durch die Kom- 
ponenten V rs des affinen Zusammenhangs lautet: 

w ^HS-S) +(ry >- r "^ ) - 



% i$. Krümmung. 107 

Sie erfüllen danach die Bedingungen der > schiefen« und der »zyklischen« 

Symmetrie : 

(43) fpju = — Fßa ; Fß,-k + F" k? -{- F%^ = o . 

Das Verschwinden der Krümmung ist das invariante Differentialgesetz, 
durch welches sich die Euklidischen Räume unter den affinen im all- 
gemeinen Sinne der Infinitesimalgeometrie auszeichnen. 

Zum Beweise der ausgesprochenen Behauptungen bedienen wir uns 
desselben Verfahrens der doppelten Durchfegung eines unendlichkleinen 
Parallelogramms, das wir auf S. 96 zur Herleitung des Wirbeltensors 
benutzten ; wir verwenden die damaligen Bezeichnungen. Im Punkte P OQ 
sei ein Vektor £ = %(P 00 ) mit den Komponenten £' gegeben. Im End- 
punkte P IO des Linien elements dx bringen wir denjenigen Vektor %[P t0 ) 
an, der aus ihm durch Parallelverschiebung längs des Linienelementes 
hervorgeht; heißen seine Komponenten §' ' + </£', so ist also 

d^ = -dy a ^ = -Y a ^d Xi . 

Bei der vorzunehmenden Verschiebung ö des Linienelements dx (die 
keineswegs eine Parallelverschiebung zu sein braucht) bleibe der Vektor 
im Endpunkt immer durch die angegebene Bedingung an den Vektor im 
Anfangspunkt gebunden; dann erleiden die d§ a bei der Verschiebung 
den Zuwachs 

Bleibt insbesondere der Vektor im Anfangspunkt des Linienelements 
während der Verschiebung zu sich selbst parallel, so ist hier <5$ r durch 

— &7P& zu ersetzen; in der Endlage P 0J P II des Linienelements er- 
halten wir dann im Punkte F OI denjenigen Vektor %[P ot ), der aus ${P ot ) 

durch Parallel Verschiebung längs F 00 F ol hervorgeht, in F tJ den Vektor 

j (/*„), in welchen %{P OI ) durch Parallelverschiebung längs P OI P Il über- 
geht, und es ist 

ddp = {§*(!>„) - £{J£jj - {?[P so ) - §*{P 00 )} . 

Heißt der aus %[P IO ) durch Parallelverschiebung längs P 10 P 11 zustande 
kommende Vektor £ t (P x , ), so erhält man durch Vertauschung von d und 
ö einen analogen Ausdruck für „ 

• ddp = {!»(/>„) - §«(/».)} - {£«(/>J - ?(P 00 )} . 

Durch Subtraktion bildet man 

J£ a = ddp — ddp = JFp& , 

und dabei sind Jp die Komponenten eines Vektors J% in P ll} der 
Differenz der beiden Vektoren £ und £„, im selben Punkte: 

Da im Limes P lt mit P = P 00 zusammenfällt, sind damit unsere Be- 
hauptungen erwiesen. 



jq8 Das metrische Kontinuum. 

Die infinitesimale Überlegung verwandelt sich in einen strengen Be- 

« . d 

weis, sobald wir wie früher d und o im Sinne der Differentiationen — 

d ds 

und — deuten. Um die Schicksale des Vektors r bei dem infinitesi- 
dt e 

malen Schiebungsprozeß wiederzugeben, empfiehlt sich folgende Kon- 
struktion. Es sei jedem Wertepaar s, t nicht nur ein Punkt P = (st), 
sondern außerdem ein kovarianter Vektor mit den Komponenten fi[st) 
in diesem Punkte zugeordnet; ist £'" ein beliebiger Vektor in P, so ver- 
stehen wir unter d(fi^) denjenigen Wert von — ^ — , der sich ergibt, 

wenn £?' beim Übergang vom Punkte (st) zum Punkte (s + ds, t) unge- 
ändert mitgenommen wird. d(/i^') ist selbst wieder ein Ausdruck von 
der Form /,£'", nur daß jetzt statt fi andere Funktionen /} von s und / 
stehen. Wir können deshalb auf ihn von neuem den gleichen Prozeß 
oder den analogen ö anwenden. Tun wir das letztere, wiederholen den 
ganzen Vorgang in umgekehrter Reihenfolge und subtrahieren, so be- 
kommen wir zunächst 

öd(M') = ddfr? + äfid? + i/id? +fidd? 

und darauf wegen 

dd/ t =^4 = ^4=dd/r. 

J dtds dsdt J 

j(M') = (dj—dön/i?) =f t -j?. 

Dabei ist J^ genau der oben gefundene Ausdruck. Die erhaltene In- 
variante lautet im Punkte P = (oo) 

F}ikfa^U l V k \ 

sie hängt von einem willkürlichen kovarianten Vektor mit den Komponenten 
fi daselbst ab und von drei kontravarianten §, u, v\ die F^a sind demnach 
die Komponenten eines Tensors 4. Stufe. 

§ 16. Der metrische Raum. 

Begriff der metrischen Mannigfaltigkeit. Eine Mannigfaltigkeit trägt 
im Punkte P eine Maßbestimmung, wenn die Linienelemente in P sich ihrer 
Länge nach vergleichen lassen; wir nehmen dabei im Unendlichkleinen 
die Gültigkeit der Pythagoreisch -Euklidischen Gesetze an. Es bestimmt 
dann jeder Vektor £ in P eine Strecke] und es gibt eine nicht-ausgeartete 
quadratische Form £ a derart, daß zwei Vektoren £ und i) dann und nur 
dann dieselbe Strecke bestimmen, wenn £ a = t) a ist. Durch diese Forderung 
ist die quadratische Form nur bis auf einen von o verschiedenen Proportio- 
nalitätsfaktor bestimmt. Indem man ihn festlegt, wird die Mannigfaltigkeit 
im Punkte P geeicht. Die Zahl £ a nennen wir alsdann die Maßzahl des 
Vektors £ oder, da sie nur von der durch £ bestimmten Strecke abhängt, 



§ i6. Der metrische Raum. 109 

die Maßzahl l dieser Strecke. Ungleiche Strecken haben verschiedene 
Maßzahlen; die Strecken in einem Punkte P bilden daher eine eindimen- 
sionale Gesamtheit. Ersetzen wir die Eichung durch eine andere, so geht 
die neue Maßzahl l aus der alten / durch Multiplikation mit einem von 
der Strecke unabhängigen konstanten Faktor X 4= o hervor: l=Xl. Die 
Verhältnisse zwischen den Maßzahlen der Strecken sind von der Eichung 
unabhängig. . Wie also die Charakterisierung eines Vektors in P durch 
ein System von Zahlen (seine Komponenten) von der Wahl eines Koordi- 
natensystems abhängt, so ist die Festlegung einer Strecke durch eine Zahl 
von der Eichung abhängig; und wie die Komponenten eines Vektors beim 
Übergang zu einem andern Koordinatensystem eine lineare homogene 
Transformation erleiden, so auch die Maßzahl einer willkürlichen Strecke 
beim >Umeichen«. — Zwei Vektoren j und t) in P, für welche die zu 
£ 2 gehörige symmetrische Bilinearform £ty verschwindet, nennen wir zu- 
einander senkrecht] diese Wechselbeziehung wird von dem Eichfaktor nicht 
beeinflußt. Daß die Form £ 2 definit sei, ist für alle unsere mathema- 
tischen Entwicklungen gleichgültig; doch möge man im folgenden in erster 
Linie immer an diesen Fall denken. Hat sie p positive, q negative Di- 
mensionen (p-hq=n) i so sagen wir kurz, die Mannigfaltigkeit sei in dem 
betreffenden Punkte (/ + ^)-dimensional. Ist p 4= q, so wollen wir durch 
die Forderung p^>q das Vorzeichen der metrischen Fundamentalform £ 2 
ein für allemal festlegen; das Eichverhältnis X ist dann stets positiv. 
Nach Wahl eines bestimmten Koordinatensystems und Festlegung des Eich- 
faktors sei für jeden Vektor £ (mit den Komponenten §'): 

(44) ? 3 =J£W''£* {gki = gik). 

ik 

Wir nehmen jetzt an, unsere Mannigfaltigkeit trage in jedem Punkte 
eine Maßbestimmung. Eichen wir sie überall und legen in sie ein System 
von n Koordinaten Xg hinein — das muß geschehen , um alle vorkommenden 
Größen durch Zahlen ausdrücken zu können — , so sind die ga in (44) 
völlig bestimmte Funktionen der Koordinaten *,•; wir nehmen an, daß sie 
stetig und stetig differentiierbar sind. Da die Determinante der^y* nirgendwo 
verschwindet, werden dann die ganzen Zahlen / und q in der ganzen 
Ausdehnung der Mannigfaltigkeit die gleichen sein; wir setzen p^>q voraus. 

Damit eine Mannigfaltigkeit ein metrischer Raum sei, genügt es nicht, 
daß sie in jedem Punkte eine Maßbestimmung trägt, sondern es muß 
außerdem jeder Punkt mit seiner Umgebung metrisch zusammenhängen. 
Der Begriff des metrischen ist analog dem des affinen Zusammenhangs; 
wie dieser die Vektoren betrifft, so jener die Strecken. Ein Punkt P hängt 
also mit seiner Umgebung metrisch zusammen, wenn von jeder Strecke 
in P feststeht, welche Strecke aus ihr durch kongruente Verpflanzung von 
P nach dem beliebigen zu P unendlich benachbarten Punkte P' hervor- 
geht. Die einzige Forderung, welche wir an diesen Begriff stellen (zu- 
gleich die weitgehendste, die überhaupt möglich ist), ist diese: Die Um- 



j jq Das metrische Kontinuum. 



gebung von P läßt sich so eichen, daß die Maßzahl einer jeden Strecke 
in P durch kongruente Verpflanzung nach den unendlich benachbarten 
Punkten keine Änderung erleidet. Die Eichung heißt dann geodätisch in 
P. — Ist aber die Mannigfaltigkeit irgendwie geeicht, ist ferner / die 
Maßzahl einer beliebigen Strecke im Punkte P, l-\-dl die Maßzahl der 
aus ihr durch kongruente Verpflanzung nach dem unendlich nahen Punkte 
P 1 entstehenden Strecke in P 1 , so gilt notwendig eine Gleichung 

(45) dl= — Idcp , 

wo der infinitesimale Faktor dcp von der verpflanzten Strecke unabhängig 
ist; denn jene Verpflanzung bewirkt eine ähnliche Abbildung der Strecken 
in P auf die Strecken in P '. dg) entspricht den dy x r der Vektorver- 
schiebungs-Formel (33). Wird die Eichung gemäß der Formel / = Xl in 
P und den Punkten seiner Umgebung abgeändert (das Eichverhältnis X ist 
eine positive Ortsfunktion), so kommt statt dessen 

dX 

dl — — ld(p , wo (46) dg) = dg> r- 

ist. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß sich d!p } 
durch geeignete Wahl von X, im Punkte P identisch mit Bezug auf die 

infinitesimale Verschiebung PP' = (dxi) zu Null machen läßt, ist offenbar 
die, daß dcp eine lineare Differentialform ist: 

(45') dcp = cpidxi. 

Mit (45), (45') sind die Konsequenzen der an die Spitze gestellten Forderung 
erschöpft. — ■ Alle Punkte der Mannigfaltigkeit gleichen einander vollständig 
hinsichtlich der in ihnen herrschenden Maßbestimmung und der Natur 
ihres metrischen Zusammenhangs mit der Umgebung. 

Wir fassen zusammen. Die Metrik einer Mannigfaltigkeit wird re- 
lativ zu einem Bezugssystem (= Koordinatensystem -j- Eichung) charakte- 
risiert durch zwei Fundamentalformen , eine quadratische Differentialform 
Q = ^gikdxjdxk und eine lineare dcp = ^Jcpjdxj; sie verhalten sich in- 

ik i 

variant bei Übergang zu einem neuen Koordinatensystem ; bei Abänderung 
der Eichung nimmt die erste einen Faktor X an, der eine positive stetig- 
differentiierbare Ortsfunktion ist, die zweite vermindert sich um das Diffe- 
rential von \gX. In alle Größen oder Beziehungen, welche metrische 
Verhältnisse analytisch darstellen, müssen demnach die Funktionen gm, 
g>i in solcher Weise eingehen, daß Invarianz stattfindet 1. gegenüber be- 
liebiger Koordinatentransformation {-»Koordinaten-Invarianz*-) und 2. ge- 
genüber der Ersetzung von gm, cp t - durch 



h-gik, q>i 



X bxS 



letzteres, was für eine positive Funktion der Koordinaten X auch sein 
mag {■> Eich- Invarianz«), 



§ i6. Der metrische Raum. III 

Wie wir in § 15 die Änderung eines Vektors bestimmten, der, sich 
selbst parallel bleibend, ein unendlichkleines, von den Linienelementen 
rix;, öx£ aufgespanntes Parallelogramm umfährt, so haben wir hier die 
Änderung /ll der Maßzahl / einer Strecke bei dem analogen Prozeß zu 
berechnen und finden dafür aus dl = — Idcp: 

8dl— — dldcp — lödcp = Idcpdcp — Iddcp , also 

(47) J l = 6dl — dö l = — Ucp , wo 

Jcp = (Öd — dö) cp =zf ik dxidx k , fik = r-- — -~^ 

ist. Der lineare Tensor 2. Stufe mit den Komponenten fik kann demnach 
in Analogie zu der in § 15 hergeleiteten » Vektorkrümmung*, des affinen 
Raums als > Streckenkrümmung •« des metrischen Raums bezeichnet werden. 
Die Gleichung (46) bestätigt analytisch, daß er von der Eichung unab- 
hängig ist; er gentigt den invarianten Gleichungen 

*>fki ' Vu . tyjk _ 
bxi hxk bxi 

Sein Verschwinden ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, 
daß sich jede Strecke von ihrem Ursprungsort in einer vom Wege unab- 
hängigen Weise nach allen Punkten des Raumes verpflanzen läßt. Dies 
ist der von Riemann allein ins Auge gefaßte Fall; ist der metrische Raum 
ein Riemann scher ; so hat es einen Sinn, von der gleichen Strecke in den 
verschiedenen Punkten des Raumes zu sprechen, die Mannigfaltigkeit läßt 
sich so eichen (> Normaleichung >), daß dcp identisch verschwindet. (In 
der Tat folgt aus f,k = o, daß d<p ein totales Differential , Differential 
einer Funktion lg X ist ; durch Umeichen mittels des Eichverhältnisses X 
läßt sich dann dcp überall zu Null machen.) Bei Normaleichung ist im 
Riemannschen Raum die metrische Fundamentalform Q bis auf einen 
willkürlichen konstanten Faktor bestimmt, den man durch einmalige Wahl 
einer Streckeneinheit (gleichgültig an welcher Stelle, das Normalmeter läßt 
sich überallhin transportieren) festlegen kann. 

Affiner Zusammenhang eines metrischen Raums. Und nun kommen 
wir zu jener Tatsache, ich möchte sie die Grundtatsache der Infinitesimal- 
geometrie nennen, welche den Aufbau der Geometrie zu einem wunderbar 
harmonischen Abschluß bringt, in einem metrischen Räume läßt sich der 
Begriff der infinitesimalen Parallelverschiebung auf eine und nur eine 
Weise so fassen, daß er außer unserer früheren Forderung noch die er- 
füllt (sie ist ja beinahe selbstverständlich): bei Parallelverschiebung eines 
Vektors soll auch die durch ihn bestimmte Strecke ungeändert bleiben. Das 
der metrischen Geometrie zugrundeliegende Prinzip der infinitesimalen 
Strecken- oder Längenübertragung bringt also ohne weiteres ein solches 
der Richtungsübertragung mit sich; ein metrischer Raum trägt von Natur 
einen affinen Zusammenhang. 

Beweis: Wir legen ein Bezugssystem zugrunde. Bei allen Größen 



1 1 2 Das metrische Kontinuum. 



a' } die (vielleicht neben anderen) einen oberen Index, i, tragen, definieren 
wir das Herunterziehen des Index durch die Gleichungen 

<*i = ^gija J ' \ 

und den umgekehrten Prozeß des Hefaufziehens durch die dazu inversen 
Gleichungen. Soll der Vektor £' im Punkte P — (x,) durch die zu er- 
klärende Parallelverschiebung nach P' — (x t - + dx t ) in den Vektor £■' + //| l " 
in P' übergehen: 

dg = — dfü§ k , df k = FkrdXr, 

so muß dabei für die Maßzahl 

nach der aufgestellten Forderung die Gleichung gelten 

dl = — /dcp, 
und das ergibt 

a&d?+ &?dg» = - tä?g*)dq>. 
Der erste Term links ist 

= - 2U k dfk = - ag&Jyu — - ftPMu + dyki)\ 
also kommt 

dynt + dy k i = dgtk + gikd<p 
oder 

(48) Si.kr + F"*> = ^ + #* (f r . 

Nehmen wir in dieser Gleichung mit den Indizes ikr die drei zyklischen 
Vertauschungen vor, addieren die beiden letzten und subtrahieren davon 
die erste, so ergibt sich unter Berücksichtigung des Umstandes, daß die 
f in ihren beiden hinteren Indizes symmetrisch sein müssen, das Resultat 



r/, 



{49) r ** = f fe + 1k " ^) + ~ Agir v* + gkr(pi " gik(p 

und daraus bestimmen sich die PV* gemäß der Gleichung 
(50) V r>ik =grJ s ik oder aufgelöst f r ** = fT*>U» 

Diese Komponenten des affinen Zusammenhangs aber erfüllen alle auf- 
gestellten Forderungen. Mit dem durch sie gegebenen affinen Zusammen- 
hang ist der metrische Raum »von Natur« ausgestattet; und es überträgt 
sich dadurch auf ihn die ganze Analysis der Tensoren und Tensordichten 
samt allen früher entwickelten Begriffen wie geodätische Linie, Krüm- 
mung usw. Verschwindet die Krümmung identisch, so ist der Raum ein 
metrisch -Euklidischer im Sinne des Kap. I. 

Für die » Vektorkrümmung* haben wir hier noch eine wichtige additive 
Zerlegung herzuleiten, durch welche die Streckenkrümmung als ein in 
ihr enthaltener Bestandteil nachgewiesen wird. Das ist ja nur natürlich, 



§ i6. Der metrische Raum. in 



da die Vektorübertragung automatisch die Streckenübertragung mitvoll- 
zieht. Benutzen wir das auf die Parallelverschiebung bezügliche Symbol 
d = öd — dö wie früher, so gilt, wie wir sahen, für die Maßzahl / 
eines Vektors £': 

(4?) ji=- 14% Am = - &?)'*• 

Genau so, wie wir gefunden hatten, daß, wenn fi irgendwelche Ortsfunk- 
tionen sind, 

ist, erkennen wir, daß 

und die Gleichung (47) liefert dann folgendes Ergebnis: setzt man für 
den Vektor J = (f) : 

so erscheint z/j in eine zu j senkrechte und eine zu £ parallele Kom- 
ponente *z/j bzw. — £ • |^/(jp zerspalten. Damit geht eine analoge Zer- 
legung des Krümmungstensors Hand in Hand: 

(51) ^=*/?»-iaS/». 

Hier wird man den ersten Bestandteil *F als •»Richtungskrümmung* be- 
zeichnen; sie ist erklärt durch 

*Jl = *Fp ik t a ^dxidxk. 

Daß *Ji senkrecht zu £ ist, spricht sich in der Formel aus: 

•JPfoSm&dxfdxi = *Fapa§'§Pdx i dxj k = o. 

Das System der Zahlen *P a ßH ist also nicht bloß in bezug auf * und k, 
sondern auch in dem Indexpaar er, ß schiefsymmetrisch. Daraus folgt 
noch, daß insbesondere 

*Flik = o 
ist. 

Zusätze. Wählt man Koordinatensystem und Eichung in der Um- 
gebung eines Punktes P so, daß sie in P geodätisch sind, dann gilt dort 
(p { = o, T r ik = o oder, was nach (48) und (49) auf dasselbe hinauskommt, 

die Linearform drp verschwindet in P und die Koeffizienten der quadra- 
tischen Fundamental form werden stationär; mit andern Worten, es treten 
im Punkte P diejenigen Verhältnisse ein, die sich im Euklidischen Raum 
durch ein einziges Bezugssystem simultan für alle Punkte erreichen lassen. 
Es ergibt sich daraus noch folgende explizite Erklärung der Parallelver- 
schiebung eines Vektors im metrischen Raum: Ein geodätisches Bezugs- 
system in P erkennt man daran, daß relativ zu ihm die r/>,- in P ver- 

Weyl, Raum, Zeit, Materie. 3. Aufl. 8 



U4 



Das metrische Kontinuum. 



schwinden und die ga stationäre Werte annehmen. Ein Vektor wird vom 
Punkte P nach dem unendlichen, benachbarten P parallel mit sich ver- 
schoben, indem man seine Komponenten in einem zu P gehörigen geo- 
dätischen Bezugssystem ungeändert läßt. (Es gibt stets geodätische Bezugs- 
systeme; die Willkür in der Wahl eines solchen hat auf den Begriff der 
Parallelverschiebung keinen Einfluß.) 

Da bei einer Translation X{ = x t -{s) der Geschwindigkeitsvektor 

dxi 
u i = — 7 ^ parallel mit sich fortwandert, gilt für sie in der metrischen 
äs 

Geometrie: 

(5*) - A ~ 1 + {**<) {c Pi u>) = o. 

Haben in einem Moment die u l solche Werte , daß UiU* = o ist (ein 
Fall, der eintreten kann, wenn die quadratische Fundamentalform Q 
indefinit ist), so bleibt diese Gleichung während der ganzen Translation 
erhalten; die Bahn einer derartigen Translation bezeichnen wir als geo- 
dätische Nulllinie. Die geodätischen Nullinien ändern sich, wie eine kurze 
Rechnung zeigt, nicht, wenn man, die Maßbestimmung in jedem Punkte 
festhaltend, den metrischen Zusammenhang der Mannigfaltigkeit irgendwie 
ändert. 

Tensorkalkül. Zum Begriffe des Tensors gehört es, daß seine Kom- 
ponenten nur vom Koordinatensystem, nicht von der Eichung abhängig 
sind. In übertragenem und erweitertem Sinne wollen wir aber von einem 
Tensor auch dann sprechen, wenn eine von Koordinatensystem und Eichung 
abhängige Linearform vorliegt, die sich beim Übergang von einem zum 
andern Koordinatensystem in der alten Weise transformiert, bei Abände- 
rung der Eichung aber den Faktor l e annimmt (X = Eichverhältnis); wir 
sagen dann, er sei vom Gewichte e. So sind die g,& die Komponenten 
eines symmetrischen kovarianten Tensors 2. Stufe vom Gewichte 1. .Wo 
von Tensoren ohne näheren Zusatz die Rede ist, versteht es sich von 
selbst, daß diejenigen vom Gewichte o gemeint sind. Die in der Tensor- 
analysis besprochenen Beziehungen sind von Eichung und Koordinaten- 
system unabhängige Relationen zwischen Tensoren und Tensordichten 
in diesem eigentlichen Sinne. Den erweiterten Tensorbegriff wie auch den 
analogen der Tensordichte vom Gewichte e sehen wir nur als einen 
Hilfsbegriff an, den wir lediglich um seiner rechnerischen Bequemlich- 
keit willen einführen. Diese Bequemlichkeit aber beruht darauf, daß 
1) erst in diesem erweiterten Reich das -»Jonglieren mit Indizes*, möglich 
ist: durch Herabziehen eines kontra Varianten Index an den Komponenten 
eines Tensors <? ter Stufe entstehen die hinsichtlich dieses Index kovari- 
anten Komponenten eines Tensors (e + i) ter Stufe; und umgekehrt. 2) Es 
bedeute g die Determinante der ga } noch mit dem Vorzeichen + oder 
— versehen, je nachdem die Anzahl q der negativen Dimensionen gerade 

oder ungerade ist, und Vg die positive Wurzel aus dieser positiven Zahl g\ 



§ l6. Der metrische Raum. j j e 



dann entsteht aus jedem Tensor durch Multiplikation mit V ' g eine lensor- 
dichte, deren Gewichfum ~ höher ist', aus einem Tensor vom Gewichte — ^ 
insbesondere eine Tensordichte im eigentlichen Sinne. Der Beweis be- 
ruht auf der sofort einleuchtenden Tatsache, daß Vg selber eine skalare 
Dichte vom Gewichte •£- ist. Die Multiplikation mit Vg deuten wir stets 
dadurch an, daß wir den zur Bezeichnung einer Größe verwendeten la- 
teinischen Buchstaben in den entsprechenden deutschen verwandeln. — 
Da in der Riemannschen Geometrie durch Normaleichung die quadratische 
Fundamentalform Q vollständig bestimmt ist (von dem willkürlichen kon- 
stanten Faktor braucht nicht weiter die Rede zu sein), fällt hier der 
Unterschied des Gewichts von Tensoren hinweg ; da sich dann jede Größe, 
die durch einen Tensor darstellbar ist, auch durch diejenige Tensordichte 
repräsentieren läßt, die aus ihm durch Multiplikation mit Vg entspringt, 
verwischt sich dort der Unterschied zwischen Tensoren und Tensor- 
dichten (ebenso wie der zwischen kovariant und kontravariant). Daher ist 
es verständlich, wenn bislang (so auch noch in der i. Auflage dieses 
Buches) das Eigenrecht der Tensordichten neben den Tensoren nicht 
zur Geltung gekommen ist. 

Der Tensorrechnung bedienen wir uns in der Geometrie hauptsächlich 
zum internen Gebrauch, d. h. zur Herstellung von Feldern, die invariant 
aus der Metrik selber entspringen. Dafür ein paar Beispiele, die später 
von großer Wichtigkeit werden! Die metrische Mannigfaltigkeit sei (3 + 1)- 
dimensional und demnach — g die Determinante der ga • In diesem Raum 
ist (wie in jedem andern) ,die Streckenkrümmung mit den Komponenten 
fik ein lineares Tensor feld 2. Stufe im eigentlichen Sinne. Aus ihm ent- 
springt der kontravariante Tensor/' 16 vom Gewichte — 2, der wegen seiner 
von o verschiedenen Gewichtszahl ohne wirkliche Bedeutung ist; aber 
durch Multiplikation mit Vg erhalten wir in \ ik eine lineare Tensordichte 
2. Stufe im eigentlichen Sinne. 

(53) I - \M ik 

ist die einfachste skalare Dichte, die sich bilden läßt, und f\dx also die 
einfachste, mit der Metrik einer (3 + i)-dimensionalen Mannigfaltigkeit 
verknüpfte Integralinvariante. Hingegen ist das in der Riemannschen 
Geometrie als »Volumen« auftretende Integral JVgdx in der allgemeinen 
Geometrie völlig bedeutungslos. Aus f'* können wir noch durch Diver- 
genz die Stromstärke (Vektordichte) 

eugen. — In der Physik aber benutzen wir die Tensorrechnung, nicht 
den metrischen Zustand, sondern um physikalische Zustandsfelder im 
etrischen Raum, wie z. B. das elektromagnetische, zu beschreiben und 
ihre Gesetze aufzustellen. Nun wird sich freilich am letzten Ziel unserer 

8* 




j j 5 Das metrische Kontinuum. 



Untersuchung herausstellen, daß diese Unterscheidung zwischen Geometrie 
und Physik ein Irrtum ist, daß die Physik gar nicht über die Geometrie 
hinausragt: die Welt ist eine (3 + i)-dimensionale metrische Mannig- 
faltigkeit, und alle in ihr sich abspielenden physikalischen Erscheinungen 
sind nur Äußerungsweisen des metrischen Feldes; insbesondere ist die 
quadratische Fundamentalform das Bestimmende des Gravitationsfeldes, 
die lineare dcp das Bestimmende des elektromagnetischen Feldes; selbst 
die Materie löst sich in »Metrik« auf und ist nicht etwas Substanzhaftes, 
das daneben »im« metrischen Räume existiert. 

Doch das ist jetzt noch Zukunftsmusik; vorerst bleiben wir dabei, 
die physikalischen Zustände als Fremdzustände im Räume zu betrachten. 
Nachdem der Aufbau der Infinitesimalgeometrie abgeschlossen ist, sammeln 
wir im letzten Paragraphen noch eine Reihe von Bemerkungen über den 
Spezialfall des Riemannschen Raumes und allerlei Formeln, von» denen 
später Gebrauch zu machen sein wird. 

§ 17. Riemannscher Raum. 

Die allgemeine Tensoranalysis ist bereits in der Euklidischen Geo- 
metrie von großem Nutzen, wenn man Rechnungen nicht in einem Car- 
tesischen oder affinen, sondern in einem krummlinigen Koordinatensystem 
durchzuführen hat, wie das in der mathematischen Physik häufig der Fall 
ist. Um diese Verwendung des Tensorkalküls zu illustrieren, wollen wir 
die Grundgleichungen für das elektrostatische Feld und das Magnetfeld 
stationärer Ströme hier in allgemeinen krummlinigen Koordinaten hin- 
schreiben. 

Es seien zunächst Ei die Komponenten der elektrischen Feldstärke 
in einem Cartesischen Koordinatensystem; indem man die von der Wahl 
des Cartesischen Koordinatensystems x 1 x i x z unabhängige quadratische und 
lineare Differentialform 

ds* = dx\ + dx\ + dx\ , bzw. E x ix x + Bjx % + E 3 dx 3 

auf beliebige krummlinige (wiederum mit X{ bezeichnete) Koordinaten 
transformiert, mögen sie übergehen in 

ds* = gikdxidxk und E,-dxi. 
Dann sind E t - in jedem Koordinatensystem die Komponenten desselben 
kovarianten Vektorfeldes. Aus ihm bilden wir eine Vektordichte mit den 
Komponenten 

Das Potential — cp transformieren wir als einen Skalar auf die neuen 
Koordinaten; die Dichte q der Elektrizität aber definieren wir durch die 
Festsetzung, daß die in irgend einem Raumstück enthaltene elektrische 
Ladung •=fqdx 1 dx^dx 3 sei; dann ist q kein Skalar, sondern eine ska- 
lare Dichte. Die Gesetze lauten: 



§ 1 7» Riemannscher Raum. 117 



E — -^ b — — ^^ = 

l und et = E& k — \ö k i<5, wo <& = Ei® , 



(54) 



sind die Komponenten einer gemischten Tensordichte 2. Stufe, der Span- 
nung. — Zum Beweise genügt die Bemerkung, daß diese Gleichungen, 
so wie wir sie hingeschrieben haben, absolut invarianten Charakter be- 
sitzen, für ein Cartesisches Koordinatensystem aber in die früher aufge- 
stellten Grundgleichungen übergehen. 

Das Magnetfeld stationärer Ströme hatten wir in den Cartesischen 
Koordinatensystemen durch eine invariante schiefsymmetrische Bilinear- 
form Hikdxidxk charakterisiert. Indem wir sie auf beliebige krummlinige 
Koordinaten transformieren, erhalten wir in Hik die gegenüber beliebigen 
Koordinatentransformationen kovarianten Komponenten eines linearen Ten- 
sorfeldes 2. Stufe, des »Magnetfeldes«. Ähnlich ermitteln wir die Kom- 
ponenten cp t - des Vektorpotentials, als eines kovarianten Vektorfeldes, in 
einem beliebigen krummlinigen Koordinatensystem. Außerdem führen 
wir eine lineare Tensordichte 2. Stufe ein durch die Gleichungen 

Die Gesetze lauten dann 

• „ _ ^pi _ öqp* , b&ii , bffß \H ik _ 

bxjt bx t - ' bxi bxjt bxi 



(55) 



OXk 

©? = Hirtf* - irf® , © = £234" 



&' sind die Komponenten einer Vektordichte, der »elektrischen Strom- 
stärke«; die Spannungen ©,• haben den gleichen Invarianzcharakter wie 
im elektrischen Felde. — Man spezialisiere diese Formeln z. B. für den 
Fall der Kugel- und Zylinderkoordinaten; das ist ohne weitere Rech- 
nungen möglich, sobald man den Ausdruck von ds* t des Abstandsquadrats 
zweier Nachbarpunkte, in jenen Koordinaten besitzt, den man durch eine 
einfache infinitesimal-geometrische Betrachtung gewinnt. 

Von größerer prinzipieller Wichtigkeit ist aber dies, daß wir in (54) 
und (55) die Grundgesetze des stationären elektromagnetischen Feldes 
bereit haben für den Fall, daß wir aus irgendwelchen Gründen genötigt 
wären, die Euklidische Geometrie für den physikalischen Raum aufzugeben 
und durch eine Riemannsche Geometrie mit anderer metrischer Fundamental- 
form zu ersetzen. Denn auch unter solchen allgemeineren geometrischen 
Verhältnissen stellen unsere Gleichungen wegen ihrer invarianten Natur 
»objektive«, von jedem Koordinatensystem unabhängige Aussagen über 



j j g Das metrische Kontinuum. 



den gesetzmäßigen Zusammenhang zwischen Ladung, Strom und Feld dar. 
Daß sie die natürliche Übertragung der im Euklidischen Raum gültigen 
Gesetze des stationären elektromagnetischen Feldes sind, darüber ist kein 
Zweifel möglich ; ja, es ist geradezu wunderbar, wie einfach und zwanglos 
diese Übertragung sich aus dem allgemeinen Tensorkalkül ergibt. Die 
Frage, ob der Raum Euklidisch ist oder nicht, ist völlig irrelevant für 
die Gesetze des elektromagnetischen Feldes. Die >Euklidizität« drückt 
sich in allgemein-invarianter Form durch Differentialgleichungen 2. Ordnung 
für die gtk aus (Verschwinden der Krümmung), in diese Gesetze gehen aber 
nur die ga und deren i. Ableitungen ein. — Eine derartig einfache Über- 
tragung ist aber, wohlgemerkt, nur für die Nahewirkungsgesetze möglich. Die 
Herleitung der dem Coulombschen und dem Biot-Savartschen entsprechen- 
den Fernwirkungsgesetze aus diesen Nahewirkungsgesetzen ist eine rein 
mathematische Aufgabe, die im wesentlichen auf Folgendes hinauskommt: 
An die Stelle der gewöhnlichen Potentialgleichung Zl (p = o tritt in der 
Riemannschen Geometrie als ihre invariante Verallgemeinerung — siehe 



(54) — die Gleichung 



H*Vä-'- ! 



hXi 



d. i. eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung, deren Koeffizienten 
aber keine Konstanten mehr sind. Von ihr ist die an einer beliebig vor- 
gegebenen Stelle unendlich werdende > Grundlösung« zu ermitteln, welche 

der Grundlösung — der Potentialgleichung entspricht ; deren Bestimmung 

r 

ist ein schwieriges mathematisches Problem, das in der Theorie der par- 
tiellen linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung behandelt wird. Die- 
selbe Aufgabe stellt sich auch schon bei Beschränkung auf den Euklidi- 
schen Raum ein, wenn man statt der Vorgänge im leeren Raum die in 
einem inhomogenen Medium (z. B. in einem Medium mit örtlich veränder- 
licher Dielektrizitätskonstante) zu untersuchen hat. 

Nicht so günstig steht es mit der Übertragung der elektromagnetischen 
Gesetze, wenn sich der wirkliche Raum als ein metrischer von noch all- 
gemeinerer Natur, als es Riemann annahm, herausstellen sollte. Dann 
dürften wir nämlich ebensowenig wie von den Strecken von Strom und 
Ladung die Möglichkeit einer vom Orte unabhängigen Eichung voraus- 
setzen. Es ist unfruchtbar, diesen Gedanken weiter zu verfolgen; die 
wahre Lösung des Problems liegt nach den Andeutungen am Schluß des 
vorigen Paragraphen ja doch in ganz anderer Richtung. 

Machen wir lieber über den Spezialfall des Riemannschen Raums noch 
einige Bemerkungen! Die Maßeinheit (das cm) sei ein für allemal fest 
gewählt (natürlich als die gleiche an allen Orten); dann ist seine Metrik 
beschrieben durch eine invariante quadratische Differentialform gihdxidxk 
oder, was dasselbe besagt, ein kovariantes symmetrisches Tensorfeld 
2. Stufe. In den Formeln der allgemeinen metrischen Geometrie sind 



§ 1 7- Riemannscher Raum. 1 1 g 

tiberall die Größen (jp,-, die jetzt = o sind, zu streichen. So bestimmen 
sich die Komponenten des affinen Zusammenhangs, die hier » Christoffeische 

Dreiindizessymbole*- heißen und mit j | bezeichnet zu werden pflegen, aus 

(Wir fügen uns diesem Brauch, so schlecht sich die Bezeichnungsweise 
unsern Regeln über Indexstellung anpaßt, um die Übereinstimmung mit 
der Literatur aufrecht zu erhalten.) 



Für spätere Rechnungen notieren wir die folgenden Formeln 
I 

Vi 






(58, *-*"*», ^f -*/»*, 



Ve ix, 

Sie gelten, weil \ g eine skalare, \ g • g' eine Tensordichte ist und daher nach den 
Regeln der Tensordichten-Analysis die mit \ g multiplizierten linken Seiten dieser 
Gleichungen ebenfalls Tensordichten sind. Benutzen wir aber ein im Punkte P geo- 
dätisches Koordinatensystem j— - — = ol, so wird alles zu Null; folglich gelten die 

Gleichungen wegen ihres invarianten Charakters auch in jedem andern Koordinaten- 
system. Ferner ist 

Denn das totale Differential einer Determinante von n 2 (unabhängig veränderlichen) 
Elementen g ik ist = G 1 dg ik , wo G' die zum Element g ik gehörige Unterdetermi- 
nante bedeutet. — Ist t 1 (= t ') irgendein symmetrisches System von Zahlen, so 
ist stets 

(59) * k dgik = -\kdg ik - 

Denn aus 

folgt 

gijd^ =- - ^ dg ir 

Multipliziert man diese Gleichungen mit t^ (die Bezeichnung ist nicht mißzuverstehen, da 

t'* = ^,t' V = ^t''"=r/), 

so ergibt sich die Behauptung. Insbesondere kann man statt (58) auch schreiben 



I 20 Das metrische Kontinuum. 



Die kovarianten Krümmungskomponenten R a ß;x. genügen im Riemannschen Raum, 
in welchem wir den Buchstaben R statt F verwenden, den Symmetriebedingungen: 
R aßki — ~ R aßik I R ßaiA ~ ~~ R a(iiJk > 

R aßi* + R aikß+ R akßi = ° I 

(denn die >Streckenkrümmung« verschwindet). Es ist leicht zu zeigen, daß aus ihnen 
noch die weitere folgt 11 ) 

R ikaß = R aßii- 
Diese Bedingungen zusammen lehren nach einer Bemerkung auf S. 51, daß der 
Krümmungstensor vollständig charakterisiert werden kann durch die von einem will- 
kürlichen Flächenelement abhängige quadratische Form 

$ R a()i* Jx a? Jx ik ^ x ik = ** *** - ^k **} ■ 

Dividiert man sie durch das Quadrat der Größe des Flächenelements, so hängt der 
Quotient nur von dem Verhältnis der d ' x ik , d. i. der Stellung des Flächenelements 
ab ; diese Zahl nennt Riemann die Krümmung des Raumes an der Stelle P in der 
betreffenden Flächenrichtung. Im zweidimensionalen Riemannschen Raum (auf einer 
Fläche) gibt es nur eine Flächenrichtung, und der Tensor reduziert sich auf einen 
Skalar (Gaußsche Krümmung). In der Einsteinschen Gravitationstheorie wird der ver- 
jüngte Tensor 2. Stufe 

R iak = R iki 

der im Riemannschen Raum symmetrisch ist, von Wichtigkeit; seine Komponenten 
lauten 

ö f ik\ ö { ir\ [ik\ (rs) f »VI (ks) 

Nur der zweite Term auf der rechten Seite läßt hier die Symmetrie in bezug auf i 
und k nicht unmittelbar erkennen; er ist aber nach (57) 

2 bxj-bxjk 
Endlich können wir durch abermalige Verjüngung noch den Krümmungs-Skalar 

(61) R = i kR ik 

bilden. — Im allgemeinen metrischen Raum drückt sich der analog gebildete Krüm- 
mungsskalar F durch den nur von den g ik abhängigen Riemannschen Ausdruck R, 
der dort keine selbständige Bedeutung hat, wie eine leichte Rechnung lehrt, folgen- 
dermaßen aus: 

ö(lW) (n-i)(n -2) 



(62) F= R - { n - 1) ^^*p - f- "l- ' toi*** • 



Im metrischen Raum gilt für zwei Vektoren £', rf bei Parallelver- 
schiebung 

d&rf) + (l^'V9> = ° . 
im Riemannschen fällt das zweite Glied weg. Daraus folgt, daß sich 
im Riemannschen Raum die Parallelverschiebung eines kontravarianten 
Vektors £ in den Größen £,• = gik£ k genau so ausdrückt wie die Parallel- 
verschiebung eines kovarianten Vektors in seinen Komponenten £,: 



§ 17. Riemannscher Raum. — 1 2 1 



d%i — f J dxafy = o oder dgt — j \ dx a ^ = o. 
Für eine Translation gilt demnach 

denn es ist — Gl. (48) — 

rcra-& 

und daher für irgend ein symmetrisches System von Zahlen t a ß: 

Da die Maßzahl des Geschwindigkeitsvektors während der Translation 
ungeändert bleibt, gilt 

,, > dxi dx k 

(65) gik ~Js ~ds == C ' 

Setzen wir die metrische Fundamentalform der Einfachheit halber als 
positiv-definit voraus, so kommt jeder Kurve Xt = Xi(s)[a ^s ^ &] eine 
(von der Parameterdarstellung unabhängige) Länge zu: 
b 



fire« («-»$■$) 



Benutzt man die Bogenlänge selbst als Parameter, so wird Q = 1. Die 
Gleichung (65) sagt aus, daß eine Translation ihre Bahnkurve, die geo- 
dätische Linie, mit konstanter Geschwindigkeit durchläuft, daß nämlich 
der Zeitparameter 5 der Bogenlänge proportional ist. Die geodätische 
Linie besitzt im Riemannschen Raum nicht nur die Differential eigenschaft, 
ihre Richtung unverändert beizubehalten, sondern auch die Integraleigen- 
schaft ', daß Jedes Stück von ihr kürzeste Verbindungslinie seines Anfangs- und 
Endpunktes ist. Doch ist diese Aussage nicht ganz wörtlich zu verstehen, 
sondern in demselben Sinne, wie wir etwa in der Mechanik sagen, daß 
im Gleichgewicht die potentielle Energie ein Minimum ist, oder von einer 
Funktion f[xy) zweier Variablen sagen, sie habe dort ein Minimum, wo 
ihr Differential 

ox öy 

identisch in dx, dy verschwindet; während es in Wahrheit heißen muß, 
daß sie dort einen > stationären« Wert annimmt, der sowohl ein Minimum 
wie ein Maximum wie auch ein > Sattelwert« sein kann. Die geodätische 
Linie ist nicht notwendig eine Kurve kürzester, wohl aber eine Kurve 
stationärer Länge. Auf der Kugeloberfläche z. B. sind die größten Kreise 
die geodätischen Linien; nehmen wir auf einem solchen Kreis zwei Punkte 



122 Das metrische Kontinuum. 



A und B an, so ist der kleinere der beiden Bögen AB zwar in der Tat 
kürzeste Verbindungslinie von A und B\ aber auch der andere Bogen 
ist eine geodätische Verbindungslinie von A und B, er hat nicht kürzeste, 
sondern stationäre Länge. — Wir benutzen diese Gelegenheit, um in 
strenger Form das Prinzip der unendlichkleinen Variation darzulegen. 
Gegeben sei eine beliebige Kurve in Parameterdarstellung 

Xi = Xi(s), (cf^sf^b) 

die »Ausgangskurve«. Um sie mit Nachbarkurven zu vergleichen, be- 
trachten wir ferner eine beliebige einparametrige Kurvenschar 

X{ = Xi{s\ s) (a ^ s ^ b) . 

Der Parameter s variiert in einem Intervall um s = o; x,(s; s) sollen 
Funktionen sein, die sich für s = o auf xi (s) reduzieren. Da alle Kurven 
der Schar den gleichen Anfangspunkt mit dem gleichen Endpunkt ver- 
binden sollen, sind Xi(a; s) und x,(i>', s) unabhängig von s. Die Länge 
einer solchen Kurve ist gegeben durch 

6 

Z(s)=fYQds. 

a 

Wir nehmen noch an, daß s für die Ausgangskurve die Bogenlänge be- 

dxi 
deutet, somit Q = i ist für e = o. Die Richtungskomponenten -j- für 

ds 

die Ausgangskurve e = o mögen mit u l bezeichnet werden. Wir setzen 

ferner 

das sind die Komponenten der »unendlich kleinen« Verschiebung, durch 
welche die Ausgangskurve in die einem unendlich kleinen Wert von e 
entsprechende »variierte« Nachbarkurve übergeht; sie verschwinden an 
den Enden. 

[de/t^o 4 

ist die zugehörige Variation der Länge. ÖZ = o ist die Bedingung da- 
für, daß die Ausgangskurve in der Kurvenschar stationäre Länge besitzt. 
Wenden wir das Zeichen ÖQ im gleichen Sinne an, so ist 

6 b 

(66) SL =m ds = i f SQ,ls ' 

a a 

da für die Ausgangskurve Q = i ist. Es gilt 

dQ _ üggß dxi dxa dx£ dxk d'xj 

de bx t - ds ds ds ds ds ds 

und also (im zweiten Glied werden »Variation« und »Differentiation«, 
d. h. die Differentiationen nach s und s vertauscht) 



§ 17. Riemannscher Raum. 123 

Xi aS 

Setzen wir dies in (66) ein und formen das zweite Glied durch eine 
partielle Integration um unter Berücksichtigung des Umstandes, daß die 
£'" an den Enden des Integrationsintervalls verschwinden, so kommt 

b 



^s^->- 



Die Bedingung ÖL = o ist demnach dann und nur dann für jede be- 
liebige Kurvenschar erfüllt, wenn (63) gilt. In der Tat, wäre für einen 
Wert s = s zwischen a und b einer dieser Ausdrücke, z. B. der erste 
(;' = 1) von o verschieden, etwa ^> o, so kann man um s ein so kleines 
Intervall abgrenzen, daß in ihm jener Ausdruck durchweg ^> o bleibt. 
Wählt man für £' eine nicht-negative Funktion, welche außerhalb dieses 
Intervalls verschwindet, alle übrigen £'" aber = o, so kommt ein Wider- 
spruch zu der Gleichung ÖL = o zustande. 

Aus dem Beweise geht noch hervor, daß eine Translation unter allen 
denjenigen Bewegungen, welche während derselben Zeit a ^ s ^ b vom 

selben Anfangspunkt zum selben Endpunkt führen, durch die Eigenschaft 

t 
ausgezeichnet ist, dem Integral J Qds einen stationären Wert zu erteilen. — 

a 

Es wird manchen (trotz redlicher Bemühungen des Verfassers um 
anschauliche Klarheit) entsetzt haben, von welcher Sintflut von Formeln 
und Indizes hier der leitende Gedanke der Infinitesimalgeometrie über- 
schwemmt wurde. Es ist gewiß bedauerlich, daß wir uns um das rein 
Formale so ausführlich bemühen und ihm einen solchen Platz einräumen 
müssen; aber es läßt sich nicht venneiden. Wie jeder Sprache und Schrift 
mühsam erlernen muß, ehe er sie mit Freiheit zum Ausdruck seiner Ge- 
danken gebrauchen kann, so ist auch hier der einzige Weg, den Druck 
der Formeln von sich abzuwälzen, der, das Werkzeug der Tensoranalysis 
so in seine Gewalt zu bringen, daß man sich durch das Formale unbe- 
hindert den wahrhaften Problemen zuwenden kann, die uns beschäftigen: 
Einsicht in das Wesen von Raum, Zeit und Materie zu gewinnen, sofern 
sie am Aufbau der objektiven Wirklichkeit beteiligt sind. Für den, der 
auf solche Ziele aus ist, müßte es eigentlich heißen: das Mathematische 
versteht sich immer von selbst. — Unsere Ausrüstung ist beendet. Nach 
langwierigen Vorbereitungen können wir jetzt die Fahrt antreten ins Land 
der physikalischen Erkenntnis — auf Wegen, die das Genie Einsteins 
uns gewiesen hat. 



124 



Relativität von Raum und Zeit. 



Kapitel III. 
Relativität von Raum und Zeit. 

§ 18. Das Galileische Relativitätsprinzip. 

Schon in der Einleitung ist besprochen worden, in welcher Weise 
wir mittels einer Uhr die Zeit messen und nach Wahl eines beliebigen 
Anfangspunktes in der Zeit und einer Zeiteinheit jeden Zeitpunkt durch 
eine Zahl / charakterisieren können. Aber in der Verbindung von Raum 
und Zeit liegen neue schwierige Probleme, welche den Gegenstand der 
Relativitätstheorie bilden; ihre Lösung, eine der größten Taten der mensch- 
lichen Geistesgeschichte, knüpft sich vor allem an die Namen Kopernihus 
und Einstein. z ) 

Durch eine Uhr werden unmittelbar nur die zeitlichen Verhältnisse 
solcher Ereignisse festgelegt, die jeweils gerade dort geschehen, wo sich 
die Uhr befindet. Indem ich aber als naiver Mensch mit voller Selbst- 
verständlichkeit die Dinge, die ich sehe, in den Zeitpunkt ihrer Wahr- 
nehmung setze, dehne ich meine Zeit über die ganze Welt aus: ich 
glaube, daß es einen objektiven Sinn hat, von einem Ereignis, das 
irgendwo vor sich geht, zu behaupten, es geschehe >jetzt!« (in dem 
Augenblick, in dem ich das Wort ausspreche); daß es einen objektiven 
Sinn hat, von irgend zwei an verschiedenen Orten vorgefallenen Ereignissen 
zu fragen, ob das eine früher oder später als das andere geschehen sei. An 
dieser These wollen wir hier zunächst festhalten. Jedes raum-zeitlich streng 
lokalisierte Ereignis, wie etwa das Aufblitzen eines sofort wieder ver- 
löschenden Fünkchens, geschieht in einem bestimmten Raum-Zeit-Punkt 
oder Weltpunkt: »hier-jetzt«. Nach der eben ausgesprochenen These 
kommt jedem Weltpunkt eine bestimmte Zeitkoordinate t zu. 

Nun handelt es sich weiter darum, den Ort eines derartigen Punkt- 
ereignisses im Räume festzulegen. Wir schreiben z. B. zwei Massenpunkten 
in einem bestimmten Moment eine Entfernung zu. Wir nehmen also 
an, daß die Weltpunkte, die einem bestimmten Moment t entsprechen, 
eine dreidimensionale Punktmannigfaltigkeit bilden, in welcher die Eukli- 
dische Geometrie gilt (wir greifen, was den Raum betrifft, in diesem 
Kapitel wieder auf den Standpunkt von Kap. I zurück). Wir wählen eine 
bestimmte Maßeinheit für die Länge und ein rechtwinkliges Koordinaten- 
system im Momente / (etwa eine bestimmte Ecke des Hörsaals). Dann 
kommen jedem Weltpunkt, dessen Zeitkoordinate den Wert / hat, drei 
bestimmte Raumkoordinaten x z x a x 3 zu. 

Fassen wir aber jetzt einen andern Moment /' ins Auge. Wir nehmen 
an, es habe einen objektiven Sinn, zu sagen, wir messen im Momente t' 
mit der gleichen Längeneinheit wie im Momente / (mittels eines »starren«, 
sowohl zur Zeit / wie zur Zeit /' vorhandenen Maßstabes); diese Längen- 



§ 18. Das Galileische Relativitätsprinzip. 



125 



einheit sei neben der Zeiteinheit ein für allemal fest angenommen (cm, 
sec). Dann können wir aber noch die Lage des Cartesischen Koordinaten- 
systems wiederum beliebig wählen, unabhängig von der Wahl zur Zeit /. 
Erst wenn wir der Überzeugung sind, es habe einen objektiven Sinn, von 
zwei zu beliebigen Zeiten geschehenden, > punktförmigen« Ereignissen zu 
behaupten, sie geschehen an derselben Raumstelle, von einem Körper zu 
behaupten, daß er ruhe, können wir die Lage des Koordinatensystems 
zu allen Zeiten auf Grund der willkürlich gewählten Lage in einem be- 
stimmten Moment objektiv, ohne neue Aufweisungen individueller Gegen- 
stände festlegen: nämlich durch die Forderung, daß das Koordinaten- 
system dauernd ruhe. Pann bekommen wir also nach Wahl eines 
Anfangspunktes der Zeitrechnung und eines Cartesischen Koordinaten- 
systems in diesem Anfangsmoment zu jedem Weltpunkt vier bestimmte 
Koordinaten : die Zeitkoordinate / und die Raumkoordinaten x I x a x 3 . 




Fig. 7. 

Um der Möglichkeit der graphischen Darstellung willen unterdrücken wir 
eine Raumkoordinate, nehmen den Raum somit nur zweidimensional, als 
eine Euklidische Ebene an. 

Wir verfertigen uns ein graphisches Bild, indem wir in einem Raum 
mit dem rechtwinkligen Achsenkreuz x 1 x a t den Weltpunkt durch einen 
Bildpunkt mit den Koordinaten x t x a t repräsentieren. Von allen sich 
bewegenden Massenpunkten können wir dann in diesem Bilde den > gra- 
phischen Fahrplan« konstruieren; die Bewegung eines jeden wird dar- 
gestellt durch eine »Weltlinie«, deren Richtung beständig eine positive 
Komponente in Richtung der /-Achse besitzt. Die Weltlinien ruhender 
Massenpunkte sind Gerade parallel zur /-Achse; die Weltlinie eines in 
gleichförmiger Translation begriffenen Massenpunktes ist eine Gerade. 
In einem Schnitt / = konst. kann die Lage aller Massenpunkte im gleichen 
Moment / abgelesen werden. Wählen wir Anfangspunkt der Zeitrechnung 
und Cartesisches Koordinatensystem auf eine andere Weise und sind 



126 Relativität von Raum und Zeit. 

x t x a t\ x\ x' a t' die Koordinaten eines" willkürlichen Weltpunktes bei der ersten 
und zweiten Wahl des Koordinatensystems, so gelten Transformationsformeln 

x t = a lt x[ +(*„*; + «, 

(I) < x 2 = a at x\ + or 22 * 2 + a a 

t= 't'+a, 

wo die a und a Konstante bedeuten, die a,k aber insbesondere die 
Koeffizienten einer orthogonalen Transformation bilden. Die Weltkoor- 
dinaten sind also in objektiver Weise, ohne Hinweis auf individuelle 
Gegenstände oder Geschehnisse festgelegt bis auf eine beliebige Trans- 
formation von dieser Gestalt. Dabei ist noch abgesehen von der will- 
kürlichen Wahl der beiden Maßeinheiten. Bleibt der Anfangspunkt in 
Raum und Zeit ungeändert: a t = a a = a = o, so sind x\x' a t' die Ko- 
ordinaten in bezug auf ein geradliniges Achsensystem, dessen /'-Achse 
mit der /-Achse zusammenfällt, während die Achsen x[x a aus x 1 x a 
durch eine Drehung in ihrer Ebene / = o hervorgehen. 

Schon eine geringe Besinnung zeigt, daß die eine der angenommenen 
Voraussetzungen: der Begriff der Ruhe habe einen objektiven Inhalt, 
nicht zutreffend ist*). Wenn ich mit jemandem eine Verabredung treffe, 
wir wollen uns morgen an > derselben« Stelle wieder treffen wie heute, 
so heißt das: in derselben materiellen Umgebung, an dem gleichen Ge- 
bäude in der gleichen Straße (die nach Kopernikus morgen ganz wo' 
anders im Weltenraum sich befindet als heute); und das hat seinen guten 
Sinn zufolge des glücklichen Umstandes, daß wir hineingeboren sind in 
eine wesentlich stabile Umwelt, in der alle Veränderung sich anschließt 
an einen viel umfassenderen Bestand, der seine (teils unmittelbar wahr- 
genommene, teils erschlossene) Beschaffenheit unverändert oder fast unver- 
ändert bewahrt. Die Häuser stehen still; das Schiff fährt mit soundsoviel 
Knoten Geschwindigkeit : das verstehen wir im täglichen Leben immer relativ 
zu der > dauernden wohlgegründeten Erde«. Objektive Bedeutung haben nur 
die relativen Bewegungen der Körper (Massenpunkte) zueinander, d. h. die Ent- 
fernungen und Winkel, welche sich aus den gleichzeitigen Lagen der Massen- 
punkte bestimmen, in ihrer funktionalen Abhängigkeit von der Zeit. Es ist 
also jedes (der Anschaulichkeit wegen materiell gedachte) dauernd vorhan- 
dene Cartesische Koordinatensystem jedem andern gleichberechtigt. Der 
Zusammenhang der Koordinaten desselben Weltpunktes mit Bezug auf das 
eine und da§ andere zweier solcher Systeme wird durch Formeln geliefert: 

f *x = «xx W *'. + « I2 (O *\ + «x (O . 

W x a = a ai (/') x\ + a 22 (/') x' a + « 3 (/') , 

[ t = t' -\- a, 

wo die a,- und qt& irgendwelche stetige Funktionen von /' sein können, 
von denen die a,-* für alle Werte von /' die Koeffizienten einer orthogonalen 

*) Darüber war bereits Aristoteles völlig im klaren, wenn er »Ort« [xonos) als 
Beziehung eines Körpers zu den Körpern seiner Umgebung bezeichnet. 



§ 18. Das Galileische Relativitätsprinzip. 127 

Transformation bilden. Tragen wir die Flächen /'=konst. sowie x' t am 
konst. und jc a = konst. in unsere graphische Darstellung ein, so sind 
zwar die Flächen der ersten Schar wiederum Ebenen, die mit den Ebenen 
/ = konst. zusammenfallen, hingegen die beiden andern sind krumme 
Flächen; die Transformationsformeln sind nicht mehr linear. 

Unter diesen Umständen kann es sich bei der Untersuchung der Be- 
wegung eines Systems von Massenpunkten, etwa der Planeten, nur darum 
handeln, das Koordinatensystem so zu wählen, daß die Funktionen x t (t), 
x, (/) , welche die Raumkoordinaten der Massenpunkte in Abhängigkeit 
von der Zeit darstellen, möglichst einfach werden oder doch möglichst 
einfachen Gesetzen genügen. Dies war die von Kepler außerordentlich 
vertiefte Entdeckung des Kopernikus, daß in der Tat ein Koordinaten- 
system existiert, für das die Gesetze der Planetenbewegung eine ungeheuer 
viel einfachere und durchsichtigere Form annehmen, als wenn man sie 
auf die ruhende Erde bezieht. Die Tat des Kopernikus wurde vor allem 
dadurch zur Weltanschauungswende, daß er sich von dem Glauben an die 
absolute Bedeutung der Erde frei machte. Seine Betrachtungen wie auch 
die Keplers sind rein kinematischer Natur. Newton krönte ihr Werk, 
indem er den wahren Grund für die kinematischen Keplerschen Gesetze 
in dem dynamischen Grundgesetz der Mechanik und dem Attraktions- 
gesetz auffand. Man weiß, wie glänzend sich diese Newtonsche Mechanik 
am Himmel und auf Erden bestätigt hat. Da ihr, wie wir überzeugt 
sind, universelle, nicht auf das Planetensystem beschränkte Geltung zu- 
kommt, ihre Gesetze aber keineswegs invariant gegenüber den Trans- 
formationen (II) sind, so wird durch sie in absoluter, von jedem Hinweis 
auf individuelle Gegenständlichkeit unabhängiger Weise eine viel vollstän- 
digere Festlegung des Koordinatensystems möglich als auf Grund der zu 
dem »Relativitätsprinzip« (II) führenden kinematischen Auffassung. 

An der Spitze der Mechanik steht das Galileische Trägheitsprinzip'. Ein 
Massenpunkt, der sich kräftefrei, ohne jede Einwirkung von außen bewegt, 
führt eine gleichförmige Translation aus. Seine Weltlinie ist mithin eine 
Gerade, die Raumkoordinaten #,, x a des Massenpunktes lineare Funktionen 
der Zeit /. Gilt dieses Prinzip in bezug auf die beiden durch (II) verbun- 
denen Koordinatensysteme, so müssen also x t und * a in lineare Funktionen 
von /' übergehen, wenn man für x' x1 x', lineare Funktionen von /' einsetzt. 
Daraus folgt ohne weiteres, daß die a,* Konstante und a x , or a lineare 
Funktionen von / sein müssen ; d. h. das eine Cartesische Raumkoordinaten- 
system bewegt sich relativ zu dem andern in gleichförmiger Translation. 
Und nun zeigt sich umgekehrt: liegen zwei solche Koordinatensysteme (£, (£' 
vor und gilt das Trägheitsprinzip und die Newtonsche Mechanik in bezug 
auf (£, so gilt sie auch in bezug auf (£'. Zwei für die Mechanik »zulässige« 
Koordinatensysteme hängen demnach durch die Formeln zusammen 

[ x t = a„ x[ + a ia x' 3 -f y t t' + a x , 
(III) \ * a = a ai *; + «„*, + }', /' + «,, 

l / = /' + a , 



128 Relativität von Raum und Zeit. 

in denen die a,* konstante Koeffizienten einer orthogonalen Transformation 
sind, a, a t - und y t - aber beliebige Konstante; und jede Transformation 
von dieser Art stellt den Übergang von einem zulässigen Koordinaten- 
system zu einem andern dar [Galilei-Newtonsches Relativitätsprinzip). Das 
Wesentliche daran ist, wenn wir von der ja selbstverständlichen Will- 
kürlichkeit der Achsenrichtungen im Raum und des Anfangspunktes ab- 
sehen, daß Invarianz stattfindet gegenüber den Transformationen 

(i) x t =x' 1 + y I t', x, = <-\-y,t', t = t'. 

In unserm graphischen Bild (s. Fig. 7) würden x\ x' a t' die Koordinaten 
in bezug auf ein geradliniges Achsenkreuz sein, bei welchem die x'^ x' a 
mit den x z , x^ Achsen zusammenfallen, hingegen die neue /'-Achse eine 
irgendwie geänderte Richtung hat. Daß sich die Gesetze der Newton- 
schen Mechanik bei diesem Übergang vom Koordinatensystem E zu E' 
nicht ändern, sehen wir so ein. Nach dem Attraktionsgesetz ist die 
Gravitationskraft, mit der ein Massenpunkt in einem Augenblicke auf 
einen andern wirkt, ein vom Koordinatensystem unabhängiger Vektor im 
Raum (so wie der Vektor, welcher die simultanen Lagen der beiden Massen- 
punkte miteinander verbindet). Dieselbe Größennatur muß auch jede 
Kraft von anderer physikalischer Herkunft besitzen, das gehört mit zu 
den Voraussetzungen der Newtonschen Mechanik; sie verlangt zur Aus- 
füllung ihres Kraftbegriffs eine dieser Voraussetzung genügende Physik. 
Man überzeuge sich etwa in der Elastizitätstheorie davon, daß die 
Spannungskräfte (zufolge ihres Zusammenhanges mit den Deformations- 
größen) von der geforderten Art sind. — Die Masse ist ein vom Koordi- 
natensystem unabhängiger Skalar. Endlich ist wegen der aus (1) für die 
Bewegung eines Massenpunktes sich ergebenden Transformationsformeln 
dx t dx\ dx a dx' a t d*x x d*x[ d'x^ d*x' a 

~dt"~lt r ^~ y " ~dl^~'dT + n '' 'Jr = ~d7 T ' ~d~r"dT° 

zwar nicht die Geschwindigkeit, wohl aber die Beschleunigung ein vom 
Koordinatensystem unabhängiger Raumvektor. Demnach hat das Grund- 
gesetz »Masse mal Beschleunigung = Kraft« die behauptete invariante 
Beschaffenheit. 

Nach der Newtonschen Mechanik bewegt sich der Schwerpunkt jedes 
abgeschlossenen, keiner Einwirkung von außen unterliegenden Massen- 
systems in gleichförmiger Translation. Betrachten wir die Sonne mit 
ihren Planeten als ein solches System, so hat es also keinen Sinn, zu 
fragen, ob der Schwerpunkt des Sonnensystems ruht oder sich in gleich- 
förmiger Translation befindet. Wenn die Astronomen trotzdem behaupten, 
daß die Sonne sich auf einen Punkt im Sternbild des Herkules zu bewege, 
so stützen sie diese ihre Behauptung auf die statistische Beobachtung, 
daß die Sterne in jener Gegend sich im Durchschnitt von einem gewissen 
Zentrum aus zu entfernen scheinen — so wie eine Baumgruppe aus- 
einander tritt, der ich mich nähere; daraus folgt ihre Aussage, wenn es 
sicher ist, daß die Sterne im Durchschnitt ruhen, d. h. daß der Schwer- 






§ 18. Das Galileische Relativitätsprinzip. I2Q 

punkt des Fixsternhimmels ruht: es handelt sich also um eine Aussage 
über die relative Bewegung des Schwerpunktes des Sonnensystems zu dem 
des Fixsternhimmels. 

Man muß sich, um den wahren Sinn des Relativitätsprinzips auf- 
zufassen, durchaus daran gewöhnen, nicht »im Raum« und nicht »in 
der Zeit«, sondern »in der Welt«, in Raum-Zeit zu denken. Nur das 
Zusammenfallen (bzw. das unmittelbare Benachbartsein) zweier Ereignisse 
in Raum-Zeic hat einen unmittelbar evidenten Sinn; daß sich hier 
Raum und Zeit nicht in absoluter Weise voneinander trennen lassen, ist 
eben die Behauptung des Relativitätsprinzips. Im Sinne der mecha- 
nischen Weltauffassung, nach der alles physikalische Geschehen letztlich 
auf Mechanik zurückgeht, nehmen wir an, daß nicht nur die Mechanik, 
sondern die gesamte physikalische Gesetzmäßigkeit der Natur dem Galilei- 
Newtonschen Relativitätsprinzip Untertan ist, daß es also unmöglich ist, ohne 
Aufweisung individueller Gegenständlichkeiten unter den für die Mechanik 
gleichberechtigten Bezugssystemen, von denen je zwei durch Transformations- 
formeln (III) verknüpft sind, eine engere Auswahl zu treffen. Dann wird 
durch diese Formeln in genau dem gleichen Sinne die Geometrie der 
vierdimensionalen Welt festgelegt, wie durch die Gruppe der Übergangs- 
substitutionen, die zwischen zwei Cartesischen Koordinatensystemen ver- 
mitteln, die Euklidische Geometrie des dreidimensionalen Raumes fest- 
gelegt wird: eine Beziehung zwischen Weltpunkten hat dann und nur 
dann eine objektive Bedeutung, wenn sie durch solche arithmetische Re- 
lationen zwischen den Koordinaten der Punkte definiert ist, die invariant 
sind gegenüber den Transformationen (III). Vom Räume sagt man, er 
sei homogen in allen Punkten und in jedem Punkte homogen in allen 
Richtungen; diese Behauptungen sind aber nur Teile der vollständigen 
Homogene'üätsaussage, daß alle Cartesischen Koordinatensysteme gleich- 
berechtigt sind. Ebenso wird durch das Relativitätsprinzip festgestellt, 
in welchem genauen Sinne die Welt (= Raum-Zeit als »Form« der Er- 
scheinungen, nicht ihrem »zufälligen«, inhomogenen materialen Gehalt 
nach) homogen ist. 

Es ist merkwürdig genug, daß zwei mechanische Vorgänge, die kine- 
matisch vollständig gleich sind, in dynamischer Hinsicht verschieden sein 
können, wie die Gegenüberstellung des viel weiteren kinematischen 
Relativitätsprinzips (II) und des dynamischen (III) lehrt: eine für sich allein 
existierende rotierende Flüssigkeitskugel oder ein rotierendes Schwungrad 
ist an sich nicht von einer ruhenden Kugel oder einem ruhenden Schwung- 
rad verschieden; trotzdem plattet sich die »rotierende« Kugel ab, die 
ruhende nicht; trotzdem treten in dem rotierenden Schwungrad Span- 
nungen auf, ja es zerspringt bei hoher Rotationsgeschwindigkeit, an einem 
ruhenden geschieht nichts dergleichen. Als die Ursache dieses verschie- 
denen Verhaltens können wir nur die » Weltmetrik*- bezeichnen, die sich 
in den Zentrifugalkräften als eine wirkende Potenz offenbart. Von hier 
aus fällt ein helles Licht zurück auf den Riemannschen Gedanken: wenn 

Weyl, Raum, Zeit, Materie. 3. Aufl. q 



j 2 Relativität von Raum und Zeit. 

der Metrik (hier freilich der Weltmetrik, nicht dem metrischen Fundamental- 
tensor des Raumes) etwas genau so Reales, durch Kräfte auf die Materie 
Wirkendes entspricht wie etwa dem Maxwellschen Spannungstensor, so 
muß man annehmen, daß auch umgekehrt die Materie auf dieses Reale 
zurückwirkt. Erst in Kap. IV werden wir diese Idee wieder aufnehmen. 
An den Transformationsformeln (III) heben wir zunächst nur ihre 
Linearität hervor: sie besagt, daß die Welt ein vierdimensionaler affiner 
Raum ist. Zur systematischen Darstellung seiner Geometrie benutzen wir 
demnach neben den Weltpunkten die Welt- Vektoren oder Verschiebungen. 
Eine Verschiebung der Welt ist eine Abbildung, die jedem Weltpunkt P 
einen Weltpunkt P' zuordnet; aber eine Abbildung von besonderer Art, 
nämlich eine solche, die sich in einem zulässigen Koordinatensystem durch 

Gleichungen , ,. . 

Xi = xi + a t - {t = o, i, 2, 3) 

ausdrückt; dabei bedeuten x t - die vier Zeit-Raum-Koordinaten von P (es 
ist x anstelle von / geschrieben), x*i diejenigen von P' in jenem Ko- 
ordinatensystem, die ai sind irgendwelche Konstanten. Der Begriff ist 
unabhängig von der Wahl des zulässigen Koordinatensystems. Die Ver- 

Schiebung, welche P in P' überführt, wird mit PP' bezeichnet. Es gelten 
für die Welt-Punkte und -Verschiebungen die sämtlichen Axiome der 
affinen Geometrie mit der Dimensionszahl n = 4. Das Galileische Trägheits- 
prinzip ist ein affines Gesetz; es sagt, durch welche Bewegungen die 
geraden Linien unseres vierdimensionalen affinen Raums »Welt« realisiert 
werden, nämlich durch die kräftefrei sich bewegenden Massenpunkte. 

Von dem affinen Standpunkt gehen wir zum metrischen über. Aus 
unserer graphischen Darstellung, die (mit Unterdrückung einer Koordinate) 
ein affines Bild der Welt entwarf, lesen wir ihre wesentliche metrische 
Struktur ab, die ganz anders ist als die des Euklidischen Raumes: die 
Welt ist »geschichtet«; die Ebenen t= konst. in ihr haben eine absolute 
Bedeutung. Nach Wahl einer Maßeinheit für die Zeit kommt je zwei 
Weltpunkten A } B ein bestimmter Zeitunterschied zu, die Zeitkomponente 

des Vektors AB = %; sie ist, wie allgemein die Vektorkomponenten in 
einem affinen Koordinatensystem, eine lineare Form /(j) des willkürlichen 
Vektors J. Der Vektor £ weist in die Vergangenheit oder die Zukunft, 
je nachdem tfe) negativ oder positiv ist. Von zwei Weltpunkten A, B 
ist A früher, gleichzeitig oder später als B, je nachdem 

t{AB) > o, = o oder < o 

ausfällt. — In jeder »Schicht« aber gilt die Euklidische Geometrie; 
sie beruht auf einer definiten quadratischen Form, die jedoch hier nur 
definiert ist für diejenigen Weltvektoren j, die in einer Schicht liegen, d. h. 
der Gleichung /($) = o genügen (denn es hat nur einen Sinn, von dem 
Abstand der gleichzeitigen Lagen zweier Massenpunkte zu reden). Während 
also der Euklidischen Metrik eine positiv-definite quadratische Form zu- 
grunde liegt, beruht die Galileische Metrik 



§ 18. Das Galileische Relativitätsprinzip. 131 

1. auf einer Linearform /(g) des willkürlichen Vektors j (der »Zeitdauer« 
der Verschiebung £), und 

2. einer nur innerhalb der dreidimensionalen linearen Mannigfaltigkeit 
aller Vektoren J, welche der Gleichung /(j) = o genügen, definierten positiv- 
definiten quadratischen Form (jj) (dem Quadrat der > Länge« von f). 

Zur anschaulichen Darlegung physikalischer Verhältnisse können wir 
die Einführung eines bestimmten Bezugsraumes nicht entbehren. Sie 
hängt ab von der Wahl einer willkürlichen Verschiebung C in der Welt 
(derjenigen, in welche bei der graphischen Darstellung die Zeitachse 
hineinfällt) und wird dann durch die Übereinkunft bewerkstelligt, daß alle 
Weltpunkte, die auf einer Geraden der Richtung c liegen, in denselben 
Raumpunkt fallen. Es handelt sich also, geometrisch gesprochen, um 
nichts anderes als den Vorgang der Parallelprojektion. Zum Zwecke 
einer angemessenen Formulierung schicke ich darüber einige geometrische 
Erörterungen voraus, die sich auf einen beliebigen n - dimensionalen affinen 
Raum beziehen. Knüpfen wir im Interesse der Anschaulichkeit zunächst 
an den Fall n = 3 an. Es sei im Raum eine Schar von Geraden ge- 
zogen, die dem Vektor e (4= o) parallel sind. Blickt jemand in Richtung 
dieser Strahlen in den Raum hinein, so werden für ihn alle diejenigen 
Raumpunkte zusammenfallen , die in Richtung einer solchen Geraden 
hintereinander liegen; dabei ist es durchaus nicht nötig, eine Ebene zu 
geben, auf die projiziert wird. Wir definieren also: 

Es sei gegeben ein von o verschiedener Vektor e. Von zwei Punkten 
»-*■ 
A und A', für die AA' ein Multiplum von e ist, werde gesagt, sie fallen 

in ein und denselben Punkt A des durch c bestimmten Unterraums. 
Wir können A darstellen durch die zu e parallele Gerade, auf der alle 
jene im Unterraum zusammenfallenden Punkte A, A', . . . liegen. Da 
jede Verschiebung £ des Raumes eine zu e parallele Gerade wieder in 
eine solche überführt, ruft £ eine bestimmte Verschiebung £ des Unter- 
raums hervor; aber je zwei Verschiebungen £, r/ fallen im Unterraum 
zusammen, wenn ihr Unterschied ein Multiplum von e ist. Der Über- 
gang zum Unterraum, die »Projektion in Richtung von e«, werde an 
den Symbolen für Punkte und Verschiebungen durch Fettdruck gekenn- 
zeichnet. Durch Projektion gehen 

Aj, 1 + Ifc AB über in Ag, g + 1), AB; 

d. h. die Projektion trägt affinen Charakter, und im Unterraum gilt die 
affine Geometrie mit einer um 1 geringeren Dimensionszahl als im ur- 
sprünglichen > Vollraum«. 

Ist der Raum ein metrischer im Euklidischen Sinne, d. h. liegt ihm 
als metrische Fundamentalform eine nicht-ausgeartete quadratische Form 
Qfe) = (££) zugrunde — für die Anschauung halte man sich an den 
Fall, wo Q positiv-definit ist, die Ausführungen gelten aber allgemein — , 
so werden wir den beiden Punkten des Unterraums, als die wir zwei zu e 
parallele Gerade erblicken, wenn wir in der Richtung von C in den Raum 



j ., 2 Relativität von Raum und Zeit. 



hineinschauen, offenbar einen Abstand gleich dem senkrechten Abstand der 
beiden Geraden zuschreiben. Das werde analytisch formuliert. Voraus- 
gesetzt ist: (ee) = e 4= o. Jede Verschiebung £ kann in eindeutig be- 
stimmter Weise in zwei Summanden gespalten werden 

(2) £ = £e + £*, 

deren erster proportional, deren zweiter orthogonal zu c ist: 

(3) (S*e) = o, £=j(je). 

Wir nennen £ die Höhe der Verschiebung £ (den Höhenunterschied von 
A und B, wenn £ = AB). Es gilt 

(4) (sd = <r + (sV). 

£ kann vollständig charakterisiert werden durch Angabe seiner Höhe £ 
und der durch £ im Unterraum hervorgerufenen Verschiebung g; wir schreiben 

Der Vollraum ist > zerspalten« in Höhe und Unterraum, der > Lage- 
Unterschied« £ zweier Punkte im Vollraum in den Höhenunterschied £ 
und Lagenunterschied £ im Unterraum; nicht nur die Behauptung des 
Zusammenfallens zweier Punkte im Raum hat einen Sinn, sondern auch 
die Aussage: zwei Punkte fallen im Unterraum zusammen, bzw. befinden 
sich in der gleichen Höhe. Jede Verschiebung j des Unterraums wird 
durch eine und nur eine zu e orthogonale Verschiebung £* des Vollraums 
hervorgerufen; die Beziehung zwischen £* und 5 ist umkehrbar-eindeutig 
und affin. Durch die Definitionsgleichung 

(n) = teV) 

erteilen wir dem Unterraum eine auf der quadratischen Fundamentalform 
(£j) beruhende Metrik. Dann geht (4) über in die Pythagoreische Funda- 
mentalgleichung 

(5) (S£)='r + (SS), 

die sich für zwei Verschiebungen bei einer ohne weiteres verständlichen 

Bezeichnung zu 

(5') M = eSv + («) 

verallgemeinern läßt. 

Diese Ausführungen sind hier, soweit sie den affinen Raum betreffen, 
unmittelbar anzuwenden: der Vollraum ist die vierdimensionale Welt, e 
ist irgendein in die Zukunft weisender Vektor, der Unterraum das, was 
wir gemeinhin den Raum nennen. Je zwei Weltpunkte, die auf einer 
zu C parallelen Weltgeraden liegen, fallen in den gleichen Raumpunkt. 
Dieser Raumpunkt kann durch die zu e parallele Gerade graphisch dargestellt 
werden, und er kann durch einen ruhenden Massenpunkt, d. h. einen solchen, 
dessen Weltlinie eben jene Gerade ist, dauernd markiert werden. — Was 
aber die Metrik betrifft, so ist diese nach dem Galileischen Relativitäts- 



§ i8. Das Galileische Relativitätsprinzip. 133 

prinzip von andrer Art, als wir eben angenommen hatten; darum sind 
folgende Modifikationen anzubringen. Jede Weltverschiebung j hat eine 
bestimmte Zeitdauer /(rj = / (welche an Stelle der »Höhe« in unsern 
geometrischen Auseinandersetzungen tritt) und erzeugt im Unterraum eine 
Verschiebung g; spaltet demnach gemäß der Unterscheidung von Zeit und 
Raum nach der Formel 

Insbesondere kann jede Raumverschiebung 5 durch eine und nur eine 
Weltverschiebung J* hervorgerufen werden, welche der Gleichung /(f *) = o 
genügt. Durch die für solche Vektoren J* definierte quadratische Form 
(?*£*) empfängt der Raum seine Euklidische Metrik: 

teö =*&•**)• 

Der Raum ist abhängig von der Projektionsrichtung; in der Wirklichkeit 
kann die Projektionsrichtung durch irgend einen in gleichförmiger Trans- 
lation begriffenen Massenpunkt (oder den Schwerpunkt eines abgeschlos- 
senen isolierten Massensystems) festgelegt werden. 

Wir haben diese Dinge mit solcher pedantischen Genauigkeit auseinander- 
gesetzt, um für das Einsteinsche Relativitätsprinzip, dem gegenüber unsre 
Anschauung zunächst in ganz anderm Maße als gegenüber dem Galilei- 
schen versagt, wenigstens mit einer abgeklärten, auf diesen Fall ohne 
weiteres übertragbaren mathematischen Begriffsbildung gewappnet zu sein. 

Wir lenken zurück ins physikalische Fahrwasser. Durch die Ent- 
deckung der endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes wurde der 
naiven Ansicht, die Dinge seien gleichzeitig mit ihrer Wahrnehmung, der 
Boden entzogen. Da wir kein rascheres Zeitübertragungsmittel besitzen 
als das Licht selber (oder die drahtlose Telegraphie), ist es natürlich un- 
möglich, die Lichtgeschwindigkeit durch Messung der Zeit festzustellen, 
welche vergeht, bis das von einer Station A ausgesandte Lichtsignal 
bei einer andern Station B eintrifft. Roemer (1675) erschloß sie aus 
der scheinbaren Unregelmäßigkeit in der Umlaufszeit der Jupitermonde, 
welche genau die Periode eines Jahres aufwies; denn es erschien absurd, 
einen Wirkungszusammenhang zwischen Erde und Jupitermond anzu- 
nehmen, der die Periode des Erdumlaufs als eine Störung von so er- 
heblicher' Größe auf die Jupitermonde überträgt. Fizeau bestätigte die 
Entdeckung durch irdische Messung; seine Methode beruht auf dem ein- 
fachen Gedanken, die Empfangsstation B mit der Sendestation A zusammen- 
fallen zu lassen und den Lichtstrahl von A durch Spiegelung nach A 
zurückzuleiten. Nach diesen Messungen haben wir anzunehmen, daß das 
Licht sich um das Erregungszentrum in konzentrischen Kugeln mit einer 
konstanten Geschwindigkeit c ausbreitet. In unserer graphischen Darstellung 
würde (wiederum mit Unterdrückung einer Raumkoordinate) die Aus- 
breitung eines im Weltpunkt O gegebenen Lichtsignals durch den in Fig. 7 
eingetragenen geraden Kreiskegel mit der Gleichung 

(6) c > t *-[ x \ + x\) = o 



jj a Relativität von Raum und Zeit. 



abgebildet werden: jede Ebene / = konst. schneidet den Kegel in dem 
Kreis derjenigen Punkte, bis zu denen im Momente / das Lichtsignal 
gelangt ist; der Gleichung (6) (mit dem Zusatz / ^> o) genügen alle und 
nur die Weltpunkte, in denen das Lichtsignal eintrifft. Wieder entsteht 
die Frage, was für ein Bezugsraum dieser Beschreibung des Vorganges 
zugrunde liegt. Die Aberration der Fixsterne zeigt, daß die Erde relativ 
zu ihm sich so bewegt, wie es nach der Newtonschen Theorie der Fall 
ist, d. h. daß er mit einem zulässigen Bezugsraum im Sinne der New- 
tonschen Mechanik zusammenfällt. Nun ist die Ausbreitung in konzen- 
trischen Kugeln aber gewiß nicht invariant gegenüber den Galilei-Trans- 
formationen (III) ; denn eine schief gezeichnete /'-Achse schneidet in unserer 
Figur die Ebenen / = konst. in Punkten , die exzentrisch zu den Aus- 
breitungskreisen liegen. Trotzdem ist dies kein Einwand gegen das 
Galileische Relativitätsprinzip, wenn gemäß den Vorstellungen, welche die 
Physik lange beherrscht haben, die Fortpflanzung des Lichtes in einem 
materiellen Träger geschieht, dem Lichtäther, dessen einzelne Teile gegen- 
einander bewegbar sind. Es verhält sich dann mit dem Licht genau so, 
wie mit den konzentrischen Wellenkreisen auf einer Wasserfläche, die 
durch einen hineingeworfenen Stein erzeugt werden; aus diesem Phänomen 
kann gewiß nicht der Schluß gezogen werden, daß die hydrodynamischen 
Gleichungen dem Galileischen Relativitätsprinzip widerstreiten. Denn 
das Medium selber, das Wasser bzw. der Äther, dessen einzelne Teile, 
von den verhältnismäßig kleinen Schwingungen abgesehen, gegeneinander 
ruhen, gibt dasjenige Bezugssystem ab, auf welches sich die Aussage der 
konzentrischen Ausbreitung bezieht. 

Zur weiteren Diskussion dieser Frage wollen wir die Optik in den- 
jenigen theoretischen Zusammenhang einfügen, in den sie seit Maxwell 
unlösbar hineingehört: die Theorie zeitlich veränderlicher elektromagne- 
tischer Felder. 

§ ig. Elektrodynamik zeitlich veränderlicher Felder. 
Lorentzsches Relativitätstheorem. 

Der Übergang von den stationären elektromagnetischen Feldern (§ 9) 
zu zeitlich veränderlichen hat folgendes gelehrt. 

1. Der sog. elektrische Strom besteht tatsächlich aus bewegter Elek- 
trizität: ein geladener rotierender Drahtring erzeugt ein Magnetfeld nach dem 
Biot-Savartschen Gesetz. Ist die Ladungsdichte £, die Geschwindigkeit D, 
so ist die Stromdichte 3 dieses Konvektionsstromes offenbar = q ö ; doch 
muß sie, damit das Biot-Savartsche Gesetz genau in der alten Form 
gültig bleibt, in einer andern Maßeinheit gemessen werden, es ist also 

gt> . . 

zu setzen 8 = — , wo c eine universelle Konstante von der Dimension 
c 

einer Geschwindigkeit ist. Das schon von Weber und Kohlrausch an- 
gestellte, später von Rowland und Eichenwald wiederholte Experiment 
ergab für c einen Wert, der innerhalb der Beobachtungsfehler mit der 



§ 19. Elektrodynamik zeitlich veränderlicher Felder. Tic 

Lichtgeschwindigkeit tibereinstimmt 1 ). Man bezeichnet - = q' als das 

elektromagnetische Maß der Ladungsdichte und, damit auch in elektro- 
magnetischen Maßeinheiten die elektrische Kraftdichte = q'Q£' ist, (£' = c (£ 
als das elektromagnetische Maß der Feldstärke. 

2. Durch ein veränderliches Magnetfeld wird in einem homogenen 
Draht ein Strom induziert. Er kann auf Grund des Materialgesetzes 
g = a @ und des Faradayschen Induktionsgesetzes bestimmt werden, welches 
aussagt, daß die induzierte elektromotorische Kraft gleich der zeitlichen 
Abnahme des durch den Leiter hindurchtretenden magnetischen Induktions- 
flusses ist; es gilt also 

(7) fvix—±jB.4. 

(links steht das Linienintegral über eine geschlossene Kurve, rechts das 
Oberflächenintegral der normalen Komponente der Magnetinduktion 93, 
erstreckt über eine in diese Kurve eingespannte Fläche). Der Induktions- 
fluß ist durch die Leiterkurve eindeutig bestimmt, weil 

(8') div 93 = o 

ist (es gibt keinen wahren Magnetismus). Der Stokessche Satz ergibt aus 

(7) das Differentialgesetz 

,~\ „. 1 d 93 

(8) r0te + __ =o . 

Die im statischen Falle gültige Gleichung rot @ = o erweitert sich also 
durch das auf der linken Seite hinzutretende, nach der Zeit differentiierte 

Glied — — • Auf ihm beruht unsere "ganze Elektrotechnik , und die 

Notwendigkeit seiner Einführung ist daher durch die Erfahrung auf das 
beste gestützt. 

3. Hypothetisch war hingegen zu Maxwells Zeit dasjenige Glied, durch 
welches Maxwell die magnetische Grundgleichung 

(9) rot£ = 3 

erweiterte. In einem zeitlich veränderlichen Feld, etwa bei der Entladung 
eines Kondensators kann nicht div 8 = o sein, sondern es muß statt 
dessen die > Kontinuitätsgleichung < * 

1 bo 

(10) — -^- + divg = o 

c 0/ 

gelten, in der die Tatsache, daß der Strom aus bewegter Elektrizität be- 
steht, zum Ausdruck kommt. Da q = div 2) ist, wird mithin nicht 3, 

wohl aber 3 -\ — - quellenfrei sein, und es liegt demnach sehr nahe, 

c dt 

die Gleichung (9) im zeitlich veränderlichen Feld durch 

1 ä$ 

(11) „*$____ = « 



j^ö Relativität von Raum und Zeit. 

zu ersetzen. Daneben gilt nach wie vor 

(u') div$ = (>. 

Aus (n) und (n'j folgt jetzt umgekehrt die Kontinuitätsgleichung (10). 

Auf dem nach der Zeit differentiierten Zusatzgliede r— (dem Maxwell- 

schen » Verschiebungsstrom «) beruht es, daß elektromagnetische Erregungen 
im Äther mit der endlichen Geschwindigkeit c sich ausbreiten; es bildet 
also die Grundlage der elektromagnetischen Lichttheorie, welche die 
optischen Erscheinungen in so wunderbarer Weise hat deuten können, 
und findet in den bekannten Hertzschen Versuchen und der modernen 
drahtlosen Telegraphie eine direkte experimentelle Bestätigung (und tech- 
nische Ausnutzung). Danach ist es auch klar, daß diesen Gesetzen der- 
jenige Bezugsraum zugrunde liegt, in welchem der Satz von der kon- 
zentrischen Ausbreitung des Lichtes gültig ist, der »ruhende« Lichtäther. 
— Zu den Maxwellschen Feldgleichungen (8) und (8'), (n) und (n') 
treten die Materialgesetze. 

Wir wollen aber hier nur die Zustände im Äther betrachten; da ist 
2) = ©, £ = 93, 
und die Maxwellschen Gleichungen lauten 



(12») 



rot (s H — = o , div 93 = o ; 

rot 93 — = 8 div @ = o . 

c ot 



Die atomistische Elektronentheorie betrachtet sie als die allgemein gültigen 
exakten Naturgesetze. Sie setzt außerdem 3 = — , wo ö die Geschwindig- 
keit der Materie bedeutet, an der die elektrische Ladung haftet. 

Die auf die Massen wirkende Kraft besteht aus dem vom elektrischen 
und vom Magnetfeld herrührenden Bestandteil; ihre Dichte ist 

(13) * = ?« + [»»]. 

Da 3 zu Ö parallel ist, ergibt sich für die pro Zeit- und Volumeinheit 

an den Elektronen geleistete Arbeit der Wert 

p. = otät) = ^(3@) = g- (£'. 

Sie wird zur Erhöhung der kinetischen Energie der Elektronen verwendet, 
die sich durch die Zusammenstöße zum Teil auf die neutralen Moleküle 
überträgt. Phänomenologisch tritt diese verstärkte molekulare Bewegung 
im Innern des Leiters als Joulesche Wärme in Erscheinung. In der Tat 
lehrt ja die Beobachtung, daß § • @' die pro Zeit- und Volumeinheit 
vom Strom erzeugte Wärmemenge ist; dieser Energieverbrauch muß durch 
die stromerzeugende Maschine gedeckt werden. Multiplizieren wir die 
Gleichung (i2j) mit — 93, die Gleichung (12h) mit (5 und addieren, so 
kommt 



§ 19. Elektrodynamik zeitlich veränderlicher Felder. 137 

- c • div[(SS3] - ^ (i (S 3 + {93 a ) = ,(»£) . 
Setzen wir 

und integrieren über irgend ein Volumen V, so lautet diese Gleichung 
— jJlVdV+ cjs„ do =fc (I @) </F ; 

V S V 

das zweite Glied links ist das über die begrenzende Oberfläche £2 von V 
erstreckte Integral der nach der inneren Normale genommenen Kompo- 
nente S n von 6. Auf der rechten Seite steht hier die im Volumen V 
pro Zeiteinheit geleistete Arbeit; sie wird kompensiert durch die Abnahme 
der in V enthaltenen Feldenergie fWdV und durch die von außen dem 
Raumstück V zufließende Energie. Unsere Gleichung enthält also das 
Energiegesetz ; durch sie bestätigt sich endgültig unser früherer Ansatz für 
die Dichte W der Feldenergie und ergibt sich ferner, daß cS, der sog. 
Poyntingsche Vektor, den Energiestrom darstellt. 

Die Feldgleichungen (12) sind von Lorentz unter der Voraussetzung, 
daß die Verteilung der Ladungen und des Stromes bekannt ist, in folgen- 
der Weise integriert worden. Der Gleichung div 93 = o wird durch den 
Ansatz 

(14) — 8 = rot f 

( — f = Vektorpotential) genügt. Durch Einsetzen in die erste Gleichung 

ergibt sich dann, daß ($ r- wirbelfrei ist, und also kann man setzen 

(15) @ — -i--=grady 

( — cp das skalare Potential). Die Willkür, mit der die Bestimmung von 
f behaftet ist, können wir zur Erfüllung der Nebenbedingung 

±^ + divf = o " 

ausnutzen, die sich hier als die zweckmäßige erweist (während wir im 
stationären Feld div f = o nahmen). Führen wir die Potentiale in die 
beiden letzten Gleichungen ein, so liefert eine einfache Rechnung 

{l6) -ffi+j,-,, 

(.6') _£;£| -M-,. 

Eine Gleichung von der Form (16) zeigt eine Wellenausbreitung mit der 
Geschwindigkeit c an. In der Tat: wie die Poissonsche Gleichung Jcp =q 
die Lösung hat 

— 4;c(f = I — dV } 



Ij3 Relativität von Raum und Zeit. 



so lautet die Lösung von (16): 



= j'_H) 



A7tW = I dV\ 

*/ r 

hier steht auf der linken Seite der Wert von g> in einem Punkte O zur 
Zeit /; r ist die Entfernung des Quellpunktes /*, über den integriert 
wird, vom Aufpunkt O, und unter dem Integral tritt der Wert von y im 

Punkte P zur Zeit / auf. Ebenso ist die Lösung von (16') 



f'(' 



dV. 



Das Feld in einem Punkte hängt also nicht ab von der Ladungs- und 
Stromverteilung im gleichen Moment, sondern maßgebend ist für jede 

Stelle der Augenblick, der um so viel ( — ) zurückliegt, als die mit der 

Geschwindigkeit c sich ausbreitende Wirkung gebraucht, um vom Quell- 
punkt bis zum Aufpunkt zu gelangen. 

Wie der Potentialausdruck (in Cartesischen Koordinaten) 

b'cp b'cp b*cp 
T öx t öx\ öx 3 

invariant ist gegenüber linearen Transformationen der Variablen x l x 2 x 3 , 
welche die quadratische Form 

xl + xl + xl 

in sich überführen, so ist der beim Übergang vom statischen zu einem 
zeitlich veränderlichen Feld an seine Stelle tretende Ausdruck 

i d a <p d a <jp d a (jp d'gp 
~ "7 ö?" + bx^t bxl^ Jxl 

invariant gegenüber solchen linearen Transformationen der vier Koordinaten 
/, x I x a x 3 , den sog. Lorentz-Transformationen, welche die indefinite Form 

(i7) -, 3 / 3 + * 2 + * 2 + * 3 

in sich überführen. Lorentz und Einstein erkannten, daß nicht nur die 
Gleichung (16), sondern das ganze System der elektromagnetischen Gesetze 
für den Äther diese Invarianzeigenschaft besitzt, daß sie sich nämlich aus- 
drücken durch invariante Relationen zwischen Tensoren in einem vierdimen- 
sionalen affinen Raum mit den Koordinaten /, # x x a x 3 , in den durch die 
Form (17) eine (indefinite) Metrik eingetragen ist: Lorentz- Einsteinsches 
Relativitätstheorem. 

Zum Beweise ändern wir die Maßeinheit der Zeit, indem wir setzen 
ct = x . Die Koeffizienten der metrischen Fundamentalform sind dann 

gik = (i 4= k) ; gu = Bt , 



§ 19. Elektrodynamik zeitlich veränderlicher Felder. 13g 

wo * = — 1 , € t = e a = e 3 = + 1 ist. Beim Übergang von den in 
bezug auf einen Index i kovarianten zu den kontravarianten Komponenten 
eines Tensors ist die * te Komponente also lediglich mit dem Vorzeichen e t - 
zu multiplizieren. Die Kontinuitätsgleichung der Elektrizität (10) gewinnt 
die gewünschte invariante Form 

wenn wir 

s° = q' **, s a , s 3 gleich den Komponenten von 3 

als die vier kontravarianten Komponenten eines Vektors in jenem vier- 
dimensionalen Raum einführen, des »Viererstroms«. Parallel damit — 
vgl. (16), (16') — müssen wir 

<p° = q> und die Komponenten von f: 9p 1 , gp", q> 3 

zu den kontravarianten Komponenten eines vierdimensionalen Vektors 
vereinigen, den wir als elektromagnetisches Potential bezeichnen; von 
seinen kovarianten Komponenten ist die o te cp = — q>, die drei andern 
9>i > 9a » 9>3 sm d gleich den Komponenten von f. Dann lassen sich die 
Gleichungen (14), (15), durch welche die Feldgrößen 83 und (S aus den 
Potentialen entspringen, in der invarianten Form schreiben 

(•8) »J&_^ = ^,, 

wo 

@ = (^o, *-t ^30), ® = (^ 3 , f 3 >, *;.) 

gesetzt ist. In dieser Weise hat man also elektrische und magnetische 
Feldstärke zu einem einzigen linearen Tensor 2. Stufe F, dem »Felde«, 
zusammenzufassen. Aus (18) ergeben sich die invarianten Gleichungen 

, , *F k i . bFu bF,k 

(I9) W-+.K+T*." « 

und dies ist das erste System der Maxwellschen Gleichungen (12,). Den 
Umweg über die Lorentzsche Lösung mit Hilfe der Potentiale haben wir 
lediglich eingeschlagen, um naturgemäß auf die richtige Art der Zusammen- 
fassung der dreidimensionalen Größen zu vierdimensionalen Vektoren und 
Tensoren geführt zu werden. Bei Übergang zu kontravarianten Kompo- 
nenten ist 

© = {F ot , F oa , F° 3 ) , 83 = {F* 3 , F 3 \ F") . 

Das zweite System der Maxwellschen Gleichungen lautet jetzt in invarianter 
vierdimensionaler Tensorschreibweise: 

(.0 *£-*•■ 

Führen wir den vierdimensionalen Vektor mit den kovarianten Kompo- 
nenten 

(2!) p i =F ik S k 



i-;<> 



Relativität von Raum und Zeit. 



(und den kontravarianten 

f = F ik s k ) 

ein — nach früherem Brauch lassen wir die Summenzeichen wieder fort — , 
so ist p° die »Leistungsdichte«, die Arbeit pro Zeit- und Volumeinheit: 
p° = (g@) [die Zeiteinheit ist hier dem neuen Zeitmaß x Q = et anzu- 
passen], und f\ p 3 , p 3 sind die Komponenten der Kraftdichte. 

Damit ist das Lorentzsche Relativitätstheorem vollständig bewiesen. 
Zugleich aber bemerken wir, daß die erhaltenen Gesetze genau so lauten 
wie die Gesetze des stationären Magnetfeldes [§9, (62)], nur vom drei-, 
dimensionalen auf den vierdimensionalen Raum übertragen. Es ist kein 
Zweifel, daß in der vierdimensionalen Tensorformulierung ihre wahre 
mathematische Harmonie, die nicht vollkommener sein könnte, zutage tritt. 

Daraus ergibt sich noch weiter, daß wir genau wie im dreidimensio- 
nalen Fall die »Viererkraft« /,• aus einem vierdimensionalen symmetrischen 
» Spann üngstensor« S herleiten können: 

(22) —p. = oder —p'=~-, 

OXk OXk 

(22') S? = F ir F k '-\ö k \F\\ 

Das (hier nicht notwendig positive) Quadrat des Feldbetrages ist 

\F\ 3 = \F ik F ik . 

Wir wollen die Formel (22) durch direktes Ausrechnen bestätigen. Es ist 

ISf hF kr . hF ir . .JA, 

- = Fir — h F kr — - F kr • 

\X]k hxk hxt bx t - 

Der erste Term rechts ergibt 

— F ir s r = —pi\ 

der zweite wird, wenn man den Faktor von F kr gleichfalls schiefsym- 
metrisch schreibt, 

3 \l>Xt bx r ) 

und liefert mit dem dritten vereinigt 

-»^^1 »^* ■ hF H Y 
\bx r ^ bXi ^ IXkl' 
der dreiteilige Ausdruck in der Klammer ist nach (19) = o. 

| F\* ist = S5 2 — (S 3 . Sehen wir zu, was die einzelnen Komponenten 
von S li bedeuten, indem wir gemäß der Scheidung in Zeit und Raum 
den Index o von den übrigen 1, 2, 3 trennen. 
S°° ist = der Energiedichte W= -|((£ 3 + 93 3 ), 
S oi = den Komponenten von © = [@83], (», k = 1, 2, 3) 

S lk = den Komponenten des Maxwellschen Spannungstensors, 



- 



§ 19- Elektrodynamik zeitlich veränderlicher Felder. 141 



.der sich aus dem in § 9 angegebenen elektrischen und magnetischen Be- 
standteil zusammensetzt. Die o te der Gleichungen (22) enthält demnach 
das Energiegesetz. Die 1., 2., 3. haben eine völlig analoge Gestalt. 

Bezeichnen wir einen Augenblick die Komponenten des Vektors — © mit 

G 1 , G*, G 3 und verstehen unter ffl den Vektor mit den Komponenten 

5", S", S i3 , 
so haben wir 

(«3) -/>' = -^ + divt<0. (<=I, 2, 3 ) 

Die Kraft, welche auf die in einem Raumgebiet V enthaltenen Elektronen 
wirkt, erzeugt eine ihr gleiche zeitliche Zunahme des Bewegungsimpulses 
derselben. Diese Zunahme wird nach (23) ausgeglichen durch eine ent- 

sprechende Abnahme des im Felde mit der Dichte — verteilten Feld- 
impulses und den Zustrom des Feldimpulses von außen. Der Strom der 
* -ten Impulskomponente ist gegeben durch t^, der Impulsstrom selber ist 
demnach nichts anderes als der Maxwellsche Spannungstensor. Der Satz 
von der Erhaltung der Energie ist nur die eine, die Zeitkomponente eines 
gegenüber Lorentztransformationen invarianten Gesetzes, dessen Raumkom- 
ponenten die Erhaltung des Impulses aussagen. Die gesamte Energie so- 
wohl als der gesamte Impuls bleiben ungeändert; sie strömen nur im 
Felde hin und her und verwandeln sich aus Feldenergie und Feldimpuls 
in kinetische Energie und kinetischen Impuls der Materie et vice versa. 
Das ist die einfache anschauliche Bedeutung der Formeln (22). Ihr ge- 
mäß werden wir in Zukunft von dem Tensor 5 der vierdimensionalen 
Welt als dem Energie-Impuls-Tensor oder kurz Energietensor sprechen. Aus 

der Symmetrie desselben hat sich ergeben, daß die Impulsdichte = — j mal 

dem Energiestrom ist; der Feldimpuls ist daher sehr schwach, er konnte 
aber als Druck des Lichtes auf eine spiegelnde Fläche nachgewiesen 
werden. — 

Eine Lorentztransformation ist linear, sie kommt daher (wenn wir in 
unserer graphischen Darstellung wiederum eine Raumkoordinate unter- 
drücken) auf die Einführung eines andern affinen Koordinatensystems 
hinaus. Überlegen wir uns, wie die Grundvektoren t' , t\, t' a des neuen 
Koordinatensystems liegen zu denen des alten e„ , C, , C a , d. i. zu den 
Einheitsvektoren in Richtung der x (oder t), x z , x a Achse! Da für 

? =* e + * x e x -f-* a e 2 = *X + « +****> 

-*:+*:+*; = -:C+*; a +*; 3 [=ete)] 

sein soll, ist Q(t' ) = — 1. Der von O aus aufgetragene Vektor t' oder 
die /'-Achse liegt demnach im Innern des Kegels der Lichtausbreitung, 
die Parallelebenen t' = konst. liegen so, daß sie aus dem Kegel Ellipsen 



142 



Relativität von Raum und Zeit. 



ausschneiden, deren Mittelpunkte auf der /'-Achse liegen (s. Fig. 7), die 
*J, x' a Achse haben die Richtung konjugierter Durchmesser dieser Schnitt- 
ellipsen, so daß die Gleichung jeder von ihnen 

*i 9 + *a 9 = konst. 
lautet. 

Solange man an der Vorstellung des materiellen, schwingungsfähigen 
Äthers festhält, kann man in dem Lorentzschen Relativitätstheorem nur 
eine merkwürdige mathematische Transformationseigenschaft der Max- 
wellschen Gleichungen erblicken; das wahrhaft gültige Relativitätstheorem 
bleibt das Galilei-Newtonsche. Es entsteht aber die Aufgabe, nicht nur 
die optischen Erscheinungen, sondern die gesamte Elektrodynamik und 
ihre Gesetze als die Konsequenz einer dem Galileischen Relativitätsprinzip 
genügenden Äthermechanik zu deuten, indem man die Feldgrößen in 
einen bestimmten Zusammenhang mit Dichte und Geschwindigkeit des 
Äthers bringt. Vor Maxwells elektromagnetischer Lichttheorie hat man 
diese Aufgabe bekanntlich für die optischen Erscheinungen mit teilweisem, 
aber niemals endgültigem Erfolg zu lösen versucht; für das umfassende 
Gebiet, in das nach Maxwell die optischen Erscheinungen eingeordnet 
sind, hat man diesen Versuch nicht mehr unternommen 3 ). Vielmehr be- 
gann sich die Vorstellung des im leeren Raunte existierenden Feldes, das 
keines Trägers bedarf, allmählich durchzusetzen; ja schon Faraday hatte 
in klaren Worten die Auffassung ausgesprochen, daß sich nicht das Feld 
auf die Materie stützen müsse, sondern umgekehrt die Materie nichts 
anderes sei als Stellen des Feldes von besonderem singulären Charakter. 

§ 20. Das Einsteinsche Relativitätsprinzip. 

Halten wir zunächst noch an der Äthervorstellung fest! Es muß mög- 
lich sein, die Bewegung eines Körpers, z. B. der Erde, relativ zum ruhenden 
Äther zu konstatieren. Die Aberration leistet das nicht; durch sie wird 
vielmehr nur dargetan, daß jene relative Bewegung im Laufe des Jahres 
wechselt. Es seien A x OA a drei feste Punkte der Erde, welche ihre Be- 
wegung mitmachen; sie mögen in gerader Linie, und zwar in der Be- 
wegungsrichtung der Erde, in gleichem Abstand A x O = OA a = l auf- 
einanderfolgen, und v sei die Translationsgeschwindigkeit der Erde durch 

v 
den Äther; — = q ist (voraussichtlich) sehr klein. Ein in O aufgegebenes 

C l 
Lichtsignal wird in A nach Ablauf der Zeit , in A z nach Ablauf 

/ . C ~ V 

der Zeit — ; — eintreffen. Leider kann man diesen Unterschied nicht 
c -f- v 

konstatieren, weil man über kein rascheres Signal als das Licht selber 

verfügt, um nach einem andern Orte die Zeit zu übermitteln. Wir helfen 

uns durch den Fizeauschen Gedanken: wir bringen in A x und A^ je 

einen kleinen Spiegel an , der den Lichtstrahl nach O reflektiert. Wird ■ 



§ 20. Das Einsteinsche Relativitätsprinzip. 



143 



im Momente o das Lichtsignal in O gegeben, so wird das vom Spiegel 
A^ reflektierte zur Zeit 

+ 



c — v 



C — V 



C + V 

in O wieder eintreffen, das vom Spiegel A t reflektierte aber zur Zeit 

1 l 2lc 

C -\- V c — V c" — V* 

Jetzt ist kein Unterschied mehr vorhanden. Nehmen wir aber einen dritten, 

die Translationsbewegung durch den Äther gleichfalls mitmachenden Punkte 

auf der Erde an, so daß OA = / ist, aber die Richtung OA mit der 

Bewegungsrichtung einen Winkel & einschließt! In der Figur sind O, 0\ 

O" die sukzessiven Orte des 

Punktes O zur Zeit o, wo das 

Lichtsignal abgeschickt wird, im 

Augenblick /, in welchem es von 

dem an der Stelle A' befindlichen 

Spiegel A reflektiert wird, und 

schließlich zur Zeit f + /", wo es 

wieder in O eintrifft. Aus der 

Figur geht die Proportion hervor 

OA': 0"A' = 00': 0"0'\ 
folglich sind die beiden Winkel bei Ä einander gleich : der reflektierende 
Spiegel muß, wie im Falle der Ruhe, senkrecht zu der starren Verbin- 
dung OA gestellt werden, damit der Lichtstrahl nach O zurückkommt. 
Eine elementare trigonometrische Rechnung 
liefert für die scheinbare Fortpflanzungsge- 
schwindigkeit in der Richtung &: 




A* 



(24) 



2/ 



t + f 



Beobachter 



V 



l 

I 

* Lichtquelle 

Fig. 9. 



Vr a — f a sin a # 

Sie ist also abhängig von dem Richtungs- 
winkel ■#; durch ihre Beobachtung muß 
sich Richtung und Größe von v feststellen 
lassen. 

Die Ausführung dieser Beobachtung ist 
der berühmte Michelsonsche Versuch *). Es 
werden zwei mit O starr verbundene Spiegel 

A t A* in den Entfernungen /, i* angebracht, der eine in der Bewegungs- 
richtung, der andere senkrecht zu ihr. Die ganze Montierung ist um O 
drehbar. Mittels einer halbdurchlässig versilberten, den rechten Winkel 
bei O halbierenden Glasplatte wird in O ein Lichtstrahl in zwei gespalten, 
deren einer auf A, deren anderer auf^4* zuläuft; dort werden sie reflek- 
tiert und bei ihrer Ankunft in O mittels jener halbversilberten Glasplatte 
wieder in eine einzige Strahlenrichtung vereinigt. Es tritt Interferenz ein 



I aa Relativität von Raum und Zeit. 



(/ und l* sind nahezu einander gleich) wegen der aus (24) sich ergebenden 
Wegdifferenz 

2/ 2/* 



i-? 2 Vi-q' 

Dreht man jetzt das Gerüst langsam um 90 , bis A* in die Bewegungs- 
richtung fällt, so geht diese Wegdifferenz stetig über in 

2 / 2 l* 

es tritt demnach eine Verminderung um 

ein. Damit muß eine Verschiebung der Interferenzstreifen verbunden sein. 
Obwohl die numerischen Verhältnisse so liegen, daß noch 1 °/ der zu er- 
wartenden Verschiebung im Michelsonschen Interferometer wahrgenommen 
iv er den müßte, zeigte sich bei Ausführung des Experiments keine Spur davon. 
Dieses seltsame Ergebnis suchte Lorentz durch die kühne Hypothese 
zu erklären, daß ein starrer Körper durch seine Bewegung relat iv zum 
Äther in der Bewegungsrichtung eine Kontraktion im Verhältnis 1 : Vi — q* 
erfährt. In der Tat würde dies den negativen Ausfall des Michelsonschen 
Experiments erklären. Denn dann hat in der ersten Lage OA in Wahr- 
heit die Länge /Vi — q 2 , OA* die Länge /*; in der zweiten Lage 
aber OA die Länge /, hingegen OA* die Länge /* Vi — q", und der 

■ . • 2 (/-/*) 

Gangunterschied ergäbe sich in beiden Fällen = . - • Auch er- 

Vi — q* 
hielte man bei Drehung eines starr mit O verbundenen Spiegels in allen 
Richtungen die gleiche scheinbare Fortpflanzungsgeschwindigkeit Vc * — z/ 2 
und keine Abhängigkeit von der Richtung wie nach (24). Immerhin er- 
schiene es theoretisch noch möglich, an der gegenüber c verminderten 
scheinbaren Fortpflanzungsgeschwindigkeit V^ 2 — v a die Bewegung zu 
konstatieren; aber wenn der Äther die Maßstäbe in der Bewegungsrich- 
tung im Verhältnis 1 : Vi — q* zusammendrückt, so braucht er den Gang 
der Uhren nur noch im gleichen Verhältnis zu verlangsamen, um auch 
diesen Effekt zu zerstören. Tatsächlich hat nicht nur der Michelsonsche, 
sondern haben eine ganze Zahl weiterer Versuche, einen Einfluß der Erd- 
bewegung auf kombinierte mechanisch-elektromagnetische Vorgänge festzu- 
stellen, ein negatives Ergebnis gehabt*). Es wäre also die Aufgabe der 
Äthermechanik, nicht nur die Maxwellschen Gesetze zu erklären, sondern 
auch diese merkwürdige Wirkung auf die Materie, die so erfolgt, als hätte 
der Äther sich ein für allemal vorgenommen: Ihr verflixten Physiker, 
mich sollt ihr nicht kriegen! 

Die einzig vernünftige Antwort aber auf die Frage: Wie kommt es, 
daß eine Translation im Äther sich nicht von Ruhe unterscheiden läßt? 



§ 20. Das Einsteinsche Relativitätsprinzip. 14g 

war die, welche Einstein gab: weil er nicht existiert] (Der Äther ist immer 
eine vage Hypothese geblieben, und noch dazu eine, die sich so 
schlecht als möglich bewährt hat.) Dann aber liegt die Sache so: für 
die Mechanik hat sich das Galileische, für die Elektrodynamik das Lo- 
rentzsche Relativitätstheorem ergeben. Hat es damit wirklich seine Rich- 
tigkeit, so heben sie sich gegenseitig auf und bestimmen einen absoluten 
Bezugsraum, in welchem die mechanischen Gesetze die Newtonsche. die 
elektrodynamischen die Maxwellsche Form haben. Die Schwierigkeit, den 
negativen Ausfall aller Experimente zu erklären, die darauf aus sind, 
Translation von Ruhe zu unterscheiden, wird nur dann überwunden, wenn 
man für die gesamten Naturerscheinungen eines dieser beiden Relativitäts- 
prinzipe als gültig ansieht. Das Galileische kommt für die Elektrodyna- 
mik nicht in Frage; es würde fordern, daß in der Maxwellschen Theorie 
die Glieder nicht auftreten, durch welche sich die zeitlich veränderlichen 
Felder von den stationären unterscheiden : es gäbe keine Induktion, es gäbe 
kein Licht und keine drahtlose Telegraphie. Hingegen läßt die Loren tz- 
sche Kontraktionshypothese schon vermuten, die Newtonsche Mechanik 
lasse sich derart modifizieren, daß sie dem Lorentz-Einsteinschen Rela- 
tivitätstheorem genügt, die dabei auftretenden Abweichungen aber nur von 

der Größenordnung l — ) werden; dann liegen sie für alle irdischen und 

planetarischen Geschwindigkeiten v weit unter der Grenze der Beob- 
achtungsmöglichkeit. Das ist die Lösung Einsteins 6 ), welche mit einem 
Schlage alle Schwierigkeiten behob: die Welt ist ein vierdimensionaler 
affiner Raum, dem durch eine indefinite quadratische Form 

Qil) = (K) 
von einer negativen und drei positiven Dimensionen eine Maßbestimmung 
aufgeprägt ist. Alle physikalischen Größen sind Skalare und Tensoren 
dieser vierdimensionalen Welt, alle Naturgesetze invariante Relationen 
zwischen diesen. Die einfache konkrete Bedeutung der Form Qfe) ist 
die, daß ein in dem Weltpunkt O abgeschicktes Lichtsignal in allen und 

nur den Weltpunkten A ankommt, für welche J = OA dem einen der 
beiden durch die Gleichung Q(i) = o definierten Kegelmäntel (vgl. § 4) 
angehört. Dadurch ist der »in die Zukunft geöffnete < der beiden Kegel 
Q{l) ^ o vor dem in die Vergangenheit geöffneten in objektiver Weise 
ausgezeichnet. Wir können Q{jc) durch Einführung eines geeigneten » nor- 
malen*. Koordinatensystems, bestehend aus dem Nullpunkt O und den 
Grundvektoren e* auf die Normalform bringen 

(OA, OA) = -xl+x\+x\+x\ 

(x{ die Koordinaten von A); dabei soll noch der Grundvektor e dem in 
die Zukunft geöffneten Kegel angehören. Unter diesen normalen Koordi- 
natensystemen läßt sich in objektiver Weise keine engere Auswahl treffen, 
sie sind alle gleichberechtigt. Legen wir irgend eines von ihnen zu 

Weyl, Raum, Zeit, Materie. 3. Aufl. IO 



146 



Relativität von Raum und Zeit. 



Grunde, so ist x als die Zeit, sind #, x a x z als Cartesische Raumkoordinaten 
anzusprechen, und alle auf Raum und Zeit sich beziehenden geläufigen 
Ausdrücke sind in diesem Bezugssystem wie sonst zu verwenden. 

Der negative Ausfall des Michelsonschen Versuches ist jetzt klar. Denn 
wenn die Wirkungsweise der Kohäsionskräfte der Materie wie die Aus- 
breitung des Lichtes dem Einsteinschen Relativitätsprinzip gemäß erfolgt, 
so müssen die Maßstäbe so funktionieren, daß objektive Feststellungen 
keinen Unterschied zwischen Ruhe und Translation ergeben können. 
Nachdem die Maxwellschen Gleichungen, wie schon Lorentz erkannte, dem 
Einsteinschen Relativitätsprinzip genügen, ist der Michelsonsche Versuch 
geradezu ein Beweis dafür, daß die Mechanik der starren Körper in Strenge 
nicht dem Galileischen , sondern dem Einsteinschen Relativitätsprinzip 
gemäß sein muß. 

Mathematisch ist dieses ersichtlich von viel größerer Einfachheit und 
Durchsichtigkeit als jenes 7 ); die Weltgeometrie ist durch Einstein-Min- 
kowski der Euklidischen Raumgeometrie viel näher gerückt worden. 
Übrigens kommt, wie man leicht zeigen kann, die Galileische dadurch 
als Grenzfall der Einsteinschen Weltgeometrie heraus, daß man c gegen 
co konvergieren läßt. In anschaulicher Hinsicht aber mutet es uns zu, 
den Glauben an die objektive Bedeutung der Gleichzeitigkeit abzulegen; in 
der Befreiung von diesem Dogma liegt die große erkenntnistheoretische Tat 
Einsteins, die seinen Namen neben den des Kopernikus rückt. Die am 
Schluß des vorigen Paragraphen gegebene graphische Darstellung zeigt 
ohne weiteres, daß die Ebenen x' = konst. nicht mehr mit den Ebenen 
x = konst. zusammenfallen. Jede Ebene x' = konst. . trägt zufolge der 
in der Welt herrschenden, auf Q[%) beruhenden Metrik ihrerseits eine 
solche Maßbestimmung, daß die Ellipse, in der sie den »Licht-Kegel« 
schneidet, ein Kreis ist, und in ihr gilt die Euklidische Geometrie. Ihr 
Durchstoßpunkt mit der a^-Achse ist der Mittelpunkt der Schnittellipse. 
So wird auch im gestrichenen Bezugssystem der Vorgang der Lichtaus- 
breitung zu einem in konzentrischen Kreisen sich vollziehenden. 

Suchen wir zunächst die Schwierigkeiten zu beheben, die für unsere 
Anschauung, unser inneres Erleben von Raum und Zeit in dem von Ein- 
stein herbeigeführten Umsturz des Zeitbegrififs zu liegen scheinen! Nach 
der gewöhnlichen Auffassung ist es so: Schieße ich von einem Punkte O 
aus in allen Richtungen, mit allen möglichen Geschwindigkeiten Kugeln 
ab, so erreichen sie alle Weltpunkte, die später als O sind; in die Ver- 
gangenheit aber kann ich nicht schießen. Ebenso ist ein in O statt- 
findendes Ereignis nur auf das, was in späteren Weltpunkten geschieht, 
von Einfluß, während an der Vergangenheit »nichts mehr geändert 
werden kann« ; die äußerste Grenze erreicht die Gravitation nach dem 
Newtonschen Attraktionsgesetz, nach dem das Ausstrecken meines Armes 
z. B. im selben Moment bereits seine Wirkung auf die Planetenbahnen 
beginnt, deren Verlauf ein wenig modifizierend. Unterdrücken wir wieder 
eine Raumkoordinate und benutzen die graphische Darstellung, so be- 



§ 20. Das Einsteinsche Relativitätsprinzip. \aj 

ruht also die absolute Bedeutung der durch O laufenden Ebene / = o 
darauf, daß sie die » zukünftigen*- Weltpunkte scheidet, welche von 
Wirkung empfangen können, und die -»vergangenen*, von denen aus eine 
Wirkung nach O gelangen kann. Nach dem Einsteinschen Relativitäts- 
prinzip tritt an die Stelle der trennenden Ebene / = o der Lichtkegel 

3 I 3 3 i2 

* x -f- x\ — et = o 
(der im Grenzfall c = oo jene doppelt überdeckte Ebene ergeben würde). 
Danach ist es klar, wie die Dinge jetzt liegen: Die Richtung aller in O 
geschleuderten Körper muß in den vorderen, der Zukunft geöffneten Kegel 
hineinweisen (so auch die Richtung der Weltlinie meines eigenen Leibes, 
meiner »Lebenslinie«, wenn ich mich in O befinde); nur auf die Ereignisse 
in solchen Weltpunkten, die im Innern dieses vorderen Kegels liegen, 
kann das, was in O geschieht, von Einfluß sein; die Grenze wird von der 
durch den leeren Raum erfolgenden Ausbreitung des Lichtes gegeben*). 
Befinde ich mich in O, so teilt O meine Lebenslinie in Vergangenheit 
und Zukunft; daran ist nichts geändert. Was aber mein Verhältnis zur 
Welt betrifft, so liegen in dem vor- 
deren Kegel alle diejenigen Welt- ' 
punkte, auf welche mein Tun und 
Lassen in O von Einfluß ist, außer- 
halb desselben alle die Ereignisse, 
die abgeschlossen hinter mir liegen, 
an denen »jetzt nichts mehr zu än- 
dern ist«: der Mantel des vorderen 
Kegels trennt meine aktive Zukunft 
von meiner aktiven Vergangenheit. Fi S- IO * 

Hingegen sind im Innern des hinteren 

Kegels alle die Ereignisse lokalisiert, die ich entweder leibhaftig miterlebt 
(mitangesehen) habe, oder von denen mir irgend eine Kunde gekommen 
sein kann, nur diese Ereignisse haben möglicherweise Einfluß auf mich 
gehabt; außerhalb desselben aber liegt alles, was ich noch miterleben 
werde oder doch miterleben würde, wenn meine Lebensdauer unbegrenzt 
wäre und mein Blick überall hindringen könnte: der Mantel des hinteren 
Kegels scheidet meine passive Vergangenheit von meiner passiven Zukunft. 
Auf dem Mantel liegt das, was ich augenblicklich sehe oder sehen könnte; 
er ist also eigentlich das Bild meiner räumlichen Umwelt. Daß man in 
diesem Sinne zwischen aktiver und passiver Vergangenheit und Zukunft 
unterscheiden muß, darin liegt die erst durch das Einsteinsche Relativitäts- 
prinzip zum Ausdruck gekommene grundsätzliche Bedeutung der Römerschen 




*) Auch die durch den leeren Raum erfolgende Ausbreitung der Gravitation muß 
natürlich nach der Einsteinschen Relativitätstheorie mit Lichtgeschwindigkeit erfolgen: 
das Gesetz für das Gravitationspotential muß sich in analoger Weise modifizieren wie 
dasjenige für das elektrostatische beim Übergang von statischen zu zeitlich veränder- 
lichen Feldern. 



148 



Relativität von Raum und Zeit. 



Entdeckung der endlichen Lichtgeschwindigkeit. Die durch O hindurch- 
führende Ebene t = o in einem zulässigen Bezugssystem kann irgendwie 
so gelegt werden, daß sie den Lichtkegel Qfe) = o nur in O schneidet 
und somit den Kegel der aktiven Zukunft von dem Kegel der passiven 
Vergangenheit trennt. 

Zu einem Körper, der sich in gleichförmiger Translation befindet, 
kann immer ein solches zulässiges Bezugssystem (== normales Koordinaten- 
system) eingeführt werden, in welchem er ruht. In diesem Bezugssystem 
besitzen dann die einzelnen Stellen des Körpers bestimmte Entfernungen, 
ihre geradlinigen Verbindungslinien bilden gewisse Winkel miteinander usw., 
die alle nach den Formeln der gewöhnlichen analytischen Geometrie aus 
den Raumkoordinaten x z x a x 3 der betr. Punkte in dem jetzt zugrunde ge- 
legten Bezugssystem zu berechnen sind. Ich will sie die Ruhmaße des 
Körpers nennen (insbesondere ist danach klar, was die Ruhlänge eines 
Maßstabes ist). Ist jener Körper eine Uhr, in welcher sich ein periodischer 
Vorgang abspielt, so kommt dieser Periode in dem Bezugssystem, in 
welchem die Uhr ruht, eine durch den Zuwachs der Koordinate x während 
einer Periode bestimmte Zeitdauer zu, die •» Eigenzeit* der Uhr. — Stoßen 
wir den ruhenden Körper in einem und demselben Augenblick an ver- 
schiedenen Stellen an, so werden sich diese Stellen in Bewegung setzen; 
aber da die Wirkung sich höchstens mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten 
kann, wird die Bewegung erst allmählich den ganzen übrigen Körper in 
Mitleidenschaft ziehen. Solange die um die einzelnen Stoßpunkte mit 
Lichtgeschwindigkeit sich ausbreitenden Kugeln sich noch nicht über- 
decken, bewegen sich die mitgerissenen Umgebungen der Stoßpunkte voll- 
ständig unabhängig voneinander. Daraus geht hervor, daß es starre Körper 
im alten Sinne gemäß der Relativitätstheorie nicht geben kann; d. h. es 
gibt keinen Körper, der bei allen Einwirkungen, denen man ihn aus- 
setzt, objektiv immer derselbe bleibt. Wie können wir aber trotz- 
dem unsere Maßstäbe zur Raummessung verwenden? Ich gebrauche ein 
Bild. Erhitzen wir ein im Gleichgewicht befindliches, in ein Gefäß ein- 
geschlossenes Gas an verschiedenen Stellen gleichzeitig durch Stichflammen 
und isolieren es dann adiabatisch, so wird es zunächst eine Folge kom- 
plizierter Zustände durchlaufen, die den Gleichgewichtssätzen der Thermo- 
dynamik nicht genügen. Schließlich aber wird es zur Ruhe kommen in 
einem neuen Gleichgewichtszustand, der seiner jetzigen, durch die Er- 
wärmung erhöhten Energie entspricht. Von einem zur Messung brauch- 
baren starren Körper (insbesondere einem linealen Maßstab) verlangen 
wir, daß er immer wieder, wenn er in einem zulässigen Bezugssystem zur 
Ruhe gekommen ist, der gleiche ist, der er vorher war, d. h. die gleichen 
Ruhmaße (Ruhlänge) besitzt; von einer richtig gehenden Uhr, daß sie 
immer wieder, wenn sie in einem zulässigen Bezugssystem zur Ruhe ge- 
kommen ist, dieselbe Eigenzeit hat. Wir dürfen annehmen, daß die Maß- 
stäbe und Uhren, welche wir verwenden, mit hinreichender Annäherung 
dieser Forderung genügen. Nur wenn wir (in dem angezogenen Vergleich) 



§ 20. Das Einsteinsche Relativitätsprinzip. 



I4Q 



das Gas hinreichend langsam, streng genommen: unendlich langsam er- 
wärmen, wird es eine Folge thermodynamischer Gleichgewichtszustände 
durchlaufen; nur wenn wir die Maßstäbe und Uhren nicht zu stürmisch 
bewegen, werden sie in jedem Augenblick ihre Ruhlänge und Eigenzeit 
bewahren. Freilich sind die Beschleunigungsgrenzen, innerhalb deren 
diese Annahme ohne merklichen Fehler gemacht werden darf, sehr weit 
gesteckt. Endgültiges und Exaktes darüber kann aber erst eine auf den 
physikalischen und mechanischen Gesetzen beruhende durchgeführte Dyna- 
mik ergeben. 

Um die Lorentz- Kontraktion vom Standpunkt der Einsteinschen 
Relativitätstheorie anschaulich zu verstehen, denken wir uns folgenden 
ebenen Vorgang. In einem tauglichen Bezugssystem (Koordinaten /, x lf x 9 
unter Unterdrückung einer Raumkoordinate), auf das sich die im folgenden 
gebrauchten Raum -Zeit- Ausdrücke beziehen, ruhe ein ebenes Papierblatt 
(mit den rechtwinkligen Koordinaten x t1 .xj, auf das eine geschlossene 
Kurve © gezeichnet ist. Außerdem habe man eine kreisförmige Platte, 
die einen um den Mittelpunkt dreh- 
baren starren Zeiger trägt; dreht 
man diesen langsam herum, so 
beschreibe die Zeigerspitze den 
Rand der Platte: so erweist sich, 
daß sie in der Tat ein Kreis ist. 
Die Platte bewege sich nun auf 
dem Papierblatt in gleichförmiger 
Translation; rotiert währenddes der 
Zeiger langsam, so wird seine Spitze 
beständig den Rand der Platte 
durchlaufen: in diesem Sinne ist 
sie auch in der Translation eine 

Kreisscheibe. In einem bestimmten Moment falle der Rand der Scheibe 
genau mit der Kurve (£ zusammen. Messen wir (£ mittels ruhender 
Maßstäbe aus, so finden wir, daß (£ kein Kreis, sondern eine Ellipse ist. 
Der Vorgang ist in der Figur graphisch dargestellt. Es ist dasjenige 
Bezugssystem t'x\x' 2 hinzugefügt, in welchem die Scheibe ruht. Der Schnitt 
einer Ebene /' = konst. mit dem Lichtkegel ist in diesem Bezugssystem 
ein > augenblicklich vorhandener Kreis«; der über ihm in Richtung der 
/'-Achse errichtete Zylinder stellt einen im gestrichenen System ruhenden 
Kreis dar, grenzt demnach das Weltgebiet ab, das von unserer Kreis- 
scheibe bestrichen wird. Der Schnitt dieses Zylinders mit der Ebene / = o 
ist in der Figur kein Kreis, sondern eine Ellipse; der über ihr in Rich- 
tung der /-Achse errichtete gerade Zylinder ist die dauernd vorhandene, 
auf dem Papierblatt gezeichnete Kurve. 

Da das Verhalten der Maßstäbe und Uhren vor Aufstellung der physi- 
kalischen Gesetze einigermaßen problematisch bleibt, ist theoretisch die 
Bemerkung von Interesse, daß wir zur Festlegung der Raum-Zeit-Koordi- 




Fig. 11. 



^o 



Relativität von Raum und Zeit. 



naten in einem zulässigen Bezugssystem prinzipiell mit viel einfacheren 
Meßinstrumenten ausreichen, die wir von vornherein vollständig beherrschen : 
nämlich mit Lichtsignalen und kräftefrei sich bewegenden Massenpunkten, 
selbst wenn uns für die letzteren nur ein enger Geschwindigkeitsbereich 
zur Verfügung steht. Die Weltpunkte bilden eine vierdimensionale Mannig- 
faltigkeit; das ist vielleicht die sicherste Tatsache unseres gesamten Tat- 
sachenwissens. Sind Xi (i = o, i, 2, 3) irgendwelche Koordinaten zur 
Festlegung dieser Punkte (im allgemeinen Riemannschen Sinne), so er- 
halten wir, wenn wir diese zugleich als Cartesische Koordinaten in einem 
vierdimensionalen Euklidischen Raum deuten, eine stetige Abbildung der 
Welt auf einen derartigen Euklfdischen Bildraum. Das Koordinatensystem 
möge ein lineares heißen, wenn es die ganze Welt umkehrbar-eindeutig 
und stetig auf einen Euklidischen Bildraum in der Weise abbildet, daß 
die Weltlinien aller kräftefrei sich bewegenden Massenpunkte im Bilde als 
gerade Linien erscheinen. Daß es derartige Koordinatensysteme gibt, ist 
der Inhalt des Galileischen Trägheitsgesetzes. Durch die Forderung der 
Linearität ist aber das Koordinatensystem bis auf eine lineare Transformation 
bestimmt; d. h. sind in einem zweiten linearen Koordinatensystem x'i die 
Koordinaten desselben willkürlichen Weltpunktes, der im ersten die Ko- 
ordinaten X{ besitzt, so müssen die x'i lineare Funktionen der x t - sein. 
Denn zwei lineare Koordinatensysteme liefern zwei Euklidische Abbilder 
der Welt; diese beiden Euklidischen Räume sind somit durch Vermittlung 
der Welt umkehrbar-eindeutig und stetig so aufeinander abgebildet, daß 
Gerade in Geraden übergehen. Dann gehen aber auch Ebenen in Ebenen 
über und parallele Gerade (d. h. Gerade, die in einer Ebene liegen, aber 
keinen Punkt gemein haben) in parallele Geraden. Daraus folgt nach einem 
wichtigen, zuerst von Möbius durch seine »Netzkonstruktion« bewiesenen 
Satz der Geometrie, daß diese Abbildung eine affine im gewöhnlichen 
Sinne ist 8 ). Die Möbiussche Netzkonstruktion kann so eingerichtet werden, 
daß die Richtungen der bei ihr benutzten Geraden einem vorgegebenen, 
beliebig schmalen Richtungskegel entnommen werden; so daß jenes geo- 
metrische Theorem bestehen bleibt, auch wenn man nur von denjenigen 
Geraden, deren Richtungen diesem Kegel angehören, weiß, daß sie durch 
die Abbildung wieder in Gerade übergeführt werden. 

Das Galileische Trägheitsgesetz allein beweist also schon vollständig, 
daß die Welt affin ist; mehr aber läßt sich aus ihm auch nicht ablesen. 
Die metrische Grundform (jj) der Welt wird jetzt wie oben durch den 
Vorgang der Lichtausbreitung erklärt: ein in O aufgegebenes Lichtsignal 

trifft in dem Weltpunkt A dann und nur dann ein, wenn £ = OA dem 
einen der beiden durch (££) = o definierten Kegelmäntel angehört. Da- 
durch ist die quadratische Form bis auf einen konstanten Faktor fest- 
gelegt; um ihn zu bestimmen, muß eine individuelle Maßeinheit willkürlich 
gewählt werden. 



§21. Relativistische Geometrie, Kinematik und Optik. 151 

§ 21. Relativistische Geometrie, Kinematik und Optik. 

Einen Weltvektor j nennen wir räum- oder zeitartig, je nachdem (jj) 
positiv oder negativ ist. Die zeitartigen Vektoren weisen teils in die 
Zukunft, teils in die Vergangenheit. Wir nennen die Invariante 



(25) js = v-( U ) 

für einen in die Zukunft weisenden zeitartigen Vektor £ die Eigenzeit des- 
selben; setzen wir 

j = Js • e, 

so ist C, die »Richtung« der zeitartigen Verschiebung J, ein in die Zu- 
kunft weisender Vektor, welcher der normierenden Bedingung (ee) = — 1 
genügt. 

Wie in der Galileischen, so müssen wir auch in der Einsteinschen 
Weltgeometrie, um alteingewurzelte Vorstellungen und Ausdrücke über 
Raum und Zeit anwenden und den Zusammenhang mit der Anschauung 
herstellen zu können, eine Zerspaliung der Welt in Raum und Zeit vor- 
nehmen, durch Projektion in Richtung eines in die Zukunft weisenden 
zeitartigen Vektors e, der durch die Bedingung (ee) = — 1 normiert sei. 
Der Vorgang der Projektion ist in § 18 eingehend besprochen; die auf- 
gestellten Fundamentalformeln (3), (5), (5') sind hier mit e = — 1 an- 
zuwenden*). Weltpunkte, deren Verbindungsvektor zu e proportional ist, 
fallen in denselben Raumpunkt, den wir materiell durch einen ruhenden 
Massenpunkt dauernd markieren können, graphisch durch eine zu e par- 
allele Weltgerade darstellen. Der dreidimensionale Raum JS e > der durch 
die Projektion entsteht, trägt eine Euklidische Metrik, da für jeden zu t 
orthogonalen Vektor £*, d. h. jeden Vektor j*, welcher der Bedingung 
(£*e) = o genügt, (j*j*) positiv ist (außer für j* = o; vgl. § 4). Jede 
Verschiebung £ der Welt spaltet sich nach der Formel 

dt ist ihre Zeitdauer (»Höhe« wurde sie in § 18 genannt), J die von 
ihr hervorgerufene Verschiebung im Raum R t . 

Bilden e,, e,, e 3 ein Koordinatensystem in R t , so bilden die zu e = e 
orthogonalen Weltverschiebungen e, , e 2 , e 3 , durch welche jene Raum- 
verschiebungen hervorgerufen werden, zusammen mit e ein -»zu H e ge- 
höriges* Koordinatensystem für die Weltpunkte. Es ist normal, wenn die 
drei Vektoren t,- in JB e ein Cartesisches Koordinatensystem bilden; auf 
jeden Fall aber hat in ihm das Koeffizientensystem der metrischen Funda- 
mentalform die Gestalt 



*) Die Maßeinheiten von Raum- und Zeitlängen sind dabei so gewählt, daß die 
Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum = 1 wird. Will man auf die traditionellen Ein- 
heiten des CGS- Systems geführt werden, so muß man die Normierung (ee) = — 1 
ersetzen durch (ee) = — <^, und es ist e = — c* zu nehmen. 



152 



Relativität von Raum und Zeit. 



I 


o 


o 





o 


gxx 


612 


&IZ 


o 


41 1 


63 3 


&*3 



£31 £33 £33 

Die Eigenzeit ds eines in die Zukunft weisenden zeitartigen Vektors j 
(% = ds - e) ist gleich der Zeitdauer von j in dem Bezugsraum JB e , in 
welchem 5 keine räumliche Verschiebung hervorruft. — Wir werden im 
folgenden mehrere Zerspaltungen nach den Vektoren e, e', ••• neben- 
einander zu betrachten haben; immer soll dabei e (ohne oder mit Index) 
einen in die Zukunft weisenden, zeitartigen, der Normierungsbedingung 
(ee) = — 1 genügenden Weltvektor bezeichnen. 

Sei Ä'ein Körper, der in ü e , K' ein Körper, der in JR t < ruhe. K' führt 
in JB e eine gleichförmige Translation aus. Ist in -R e > d. h. also bei Zer- 
spaltung nach dem Vektor e: 

(26) e = h\ht>, 

so erfährt K' in JB e während der Zeitdauer h die Raumverschiebung hb', 
es ist demnach ö die Geschwindigkeit von K' in JB e oder die Relativ- 
geschwindigkeit von K' in bezug auf K. Ihre Größe v bestimmt sich 
aus v* = (bö). Nach (3) ist 



= h*(i — v l 



Vi —v- 

Erfährt K' zwischen zwei Augenblicken seiner Bewegung die Weltver- 
schiebung ds ■ e', so zeigt (26), daß h • ds = dt die Zeitdauer dieser 
Verschiebung in M t ist; zwischen Eigenzeit ds und Zeitdauer dt der 
Verschiebung in JB e besteht demnach die Beziehung 



(27) 








h = 


- (e'e) 


anderseits 


gilt 


nach 


(5) 










1 = 


- (e'e') 


= h a - 


->*"(** 


also 












(28) 








h — - 


1 



(29) ds = dtVi — v\ 

Da (27) symmetrisch in e und e' ist, lehrt (28), daß die Größe der 
Relativgeschwindigkeit von K' in bezug auf K gleich derjenigen von K in 
bezug auf K' ist; die vektoriellen Relativgeschwindigkeiten selber lassen 
sich nicht miteinander vergleichen, da die eine im Raum K t , die andere 
im Raum JB e < liegt. 

Betrachten wir drei Zerspaltungen, nach e, e,, e 2 . A^, R 3 seien 
zwei Körper, die bzw. in JR tl , M t3 ruhen. In JJ e sei 



* Vi 

e 9 = K I K ». . K = 



Vi 



§ 21. Relativistische Geometrie, Kinematik und Optik. 



153 



Dann ist 

-(c i C a ) = ^^ a {i-(ö I Ö 3 )}. 

Bilden also die Geschwindigkeiten ö x und ö a von K x und K a in B t , 
deren Größe v t) v a ist, den Winkel # miteinander und ist v xa = z> 31 die 
Größe der Relativgeschwindigkeit von A" a in bezug auf K x (oder umge- 
kehrt), so gilt die Formel 
. . I — v z v a cos & I 

gemäß der sich die Relativ geschwindigkeit zweier Körper aus ihren Ge- 
schwindigkeiten bestimmt. Setzen wir für jede der Geschwindigkeitsgrößen 
z>« 1) unter Benutzung des Tangens hyperbolicus: 

v = $g u , 
so erhalten wir 

©of^ ©of« 3 — ©in?/, ©in« a cos# = (£of// ia . 

Diese Formel geht in den Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie 
über, wenn man die hyperbolischen durch die entsprechenden trigono- 
metrischen Funktionen ersetzt; also ist u ia die dem Winkel # gegenüber- 
liegende Seite in einem Dreieck der Bolyai- 
Lobatschefskyschen Ebene, dessen beide an- 
deren Seiten — u t , u a sind. 

Neben den Zusammenhang (29) zwischen 
Zeit und Eigenzeit stellt sich der zwischen 
Länge und Ruhlänge. Wir legen den Bezugs- 
raum JB e zugrunde. In einem destimmten Mo- 
ment mögen sich die einzelnen Massenpunkte 
des Körpers in den Weltpunkten O, A, ... 
befinden; die Raumpunkte O, A, ... von M t} 
in denen sie liegen, bilden eine Figur in M t , 
der wir Dauer verleihen könnten, wenn der 
Körper K' in dem betrachteten Momente einen 
»Abdrucke im Raum R t hinterließe, wie dies 

durch das am Schluß des vorigen Paragraphen besprochene anschauliche 
Beispiel illustriert wird. Fallen anderseits in dem Raum R t >, in welchem 
K' ruht, die Weltpunkte O, A, ... in die Raumpunkte O', A\ ..., so 
bilden O', Ä, ... die Ruhgestalt des Körpers K' (man vergleiche die 
Figur, in der »orthogonale« Weltrichtungen als senkrechte gezeichnet 
sind). Zwischen demjenigen Teil von R t , den der Abdruck einnimmt, 
und der Ruhfigur des Körpers in R t < besteht eine Abbildung, durch 
welche allgemein die Punkte A, A' einander zugeordnet sind; sie ist 
offenbar affin (es handelt sich in der Tat um nichts anderes als um 
orthogonale Projektion). Da die Weltpunkte O, A gleichzeitig sind bei 
Zerspaltung nach e, so ist 

OA = 1 = o | j in R t ; i = OA. 




i54 



Relativität von Raum und Zeit. 



Nach der Grundformel (5) ist 

ÖA = (u) = fes) , 
0'A'° = (SS) + (se') 2 - 
Bestimmen wir aber nach (5') (je') in JS t , so kommt 

(so = *(**); 

also wird 



1 — V 

Benutzen wir in -B e ein Cartesisches Koordinatensystem x z x a x 3 mit O 
als Anfangspunkt, dessen x x -Achse in die Richtung der Geschwindigkeit ö 
fällt, und sind x t x 9 x 3 die Koordinaten von A, so haben wir 

Ö£= x\ +x\-\-x\, 



X, 



0'A'=^ Vi + xl-hxl=x[ 2 + x^ + x' 3 % 



wenn man 
(3i) 



Vi — v' 



setzt. Indem man in JB e jedem Punkt mit den Koordinaten (x x) x 2 , x 3 ) 
den Punkt mit den aus (31) sich ergebenden Koordinaten (x' x ,x' 2 ,x 3 ) 
zuordnet, führt man eine Dilatation des Abdrucks in Richtung der Körper- 
bewegung im Verhältnis 1 : Vi — v" durch. Unsere Formeln besagen, 
daß dadurch der Abdruck in eine zur Ruhegestalt des Körpers kon- 
gruente Figur übergeht: das ist die Lorentz- Kontraktion. Insbesondere be- 
steht zwischen dem Volumen V, das der Körper K' in einem bestimmten 
Augenblick im Raum JR t einnimmt, und seinem Ruhvolumen V die Be- 
ziehung . 

V= V Vi—v 3 . 

Alle optischen Winkelmessungen durch Anvisieren stellen die Winkel 
zwischen Lichtstrahlen in demjenigen Bezugsraum fest, in welchem das 
(aus starrem Material gebaute) Meßinstrument ruht. Diese Winkel sind 
es auch, wenn wir das Meßinstrument durch das Auge ersetzen, welche 
maßgebend sind für die von einem Beobachter anschaulich erfaßte Gestalt 
der in seinem Gesichtsfeld befindlichen Gegenstände. Um den Zusammen- 
hang zwischen Geometrie und Beobachtung geometrischer Größen herzu- 
stellen, müssen wir daher noch auf optische Verhältnisse eingehen. 

Die einem Lichtstrahl entsprechenden Lösungen der Maxwellschen 
Gleichungen haben sowohl im Äther wie in einem homogenen Medium, 
das in einem zulässigen Bezugsraum ruht, diese Form, daß die Kompo- 
nenten der Zustandsgrößen (bei komplexer Schreibweise) alle 

= konst. c** ie ( p ) 

sind, wo = ©(/*), die durch diesen Ansatz nur bis auf eine additive 
Konstante bestimmte >Phase«, eine Funktion des als Argument auftretenden 






§21. Relativistische Geometrie, Kinematik und Optik. icc 

Weltpunktes ist. Nach Ausführung irgend einer linearen Transformation der 
Weltkoordinaten werden die Komponenten im neuen Koordinatensystem 
abermals die gleiche Gestalt besitzen, mit derselben Phasenfunktion 0. 
Die Phase ist demnach eine Invariante. Für eine ebene Welle ist sie 
eine lineare und, wenn wir absorbierende Medien ausschließen, reelle 
Funktion der Weltkoordinaten von P und die Phasendifferenz in zwei 
beliebigen Punkten Q(B) — @(A) mithin eine Linearform der willkür- 

liehen Verschiebung £ = AB, also ein kovarianter Weltvektor. Stellen 
wir diesen durch die korrespondierende Verschiebung I dar (wir sprechen 
kurz von dem »Lichtstrahl I«), so ist also 

Q{B) - Q(A) = (is) . 

Spalten wir nach einem zeitartigen Vektor e in Raum und Zeit und setzen 

(32) I = V |yO 

in solcher Weise, daß der Raumvektor in i? e die Länge 1 besitzt, 
so ist die Phasendifferenz 

Daraus geht hervor, daß v die Frequenz bedeutet, q die Fortpflanzungs- 
geschwindigkeit und a die Richtung des Lichtstrahls im Räume R t . Im 
Äther ist, wie sich noch aus den Maxwellschen Gleichungen ergibt, die 
Fortpflanzungsgeschwindigkeit q = 1 oder 

(XI) = o . 

Spalten wir die Welt auf zweierlei Art, einmal nach e, ein andermal 
nach c', in Raum und Zeit und unterscheiden die auf die eine und andere 
Spaltung bezüglichen Größen durch den Akzent, so ergibt sich nun sofort 
aus der Invarianz von (II) das Gesetz 

(33) ,.£_;) -•.(£ r ,). 

Fassen wir zwei Lichtstrahlen I, , I a mit den Frequenzen v x , 1> 2 ins Auge, 
so ist 

Bilden jene also den Winkel to miteinander, so gilt 

fcosw \ , , fcosw' } 

(34) v l v,{-^--i) = v 1 v a [-,^-i\. 

Für den Äther lauten diese Gleichungen 

\35i g = g [—. ^ ^ r x y 2 sin — = r I y a sin 



i 5 6 



Relativität von Raum und Zeit. 



Um endlich den Zusammenhang zwischen den Frequenzen v und v' an- 
zugeben, nehmen wir einen Körper an, der in Jß e ' ruht; er habe im 
Raum JR t die Geschwindigkeit ö, so daß wie früher 

(26) c' = h | /it> in B t 

zu setzen ist. Aus (26) und (32) folgt 

v'=-(U') = r/ l {i- {a ^}. 

Bildet demnach die Richtung des Lichtstrahls in M t mit der Geschwin- 
digkeit des Körpers den Winkel #, so ist 

v cos# 



(36) 



v Vi— z/ 3 

(36) ist das Dopplersche Prinzip. Da beispielsweise ein Natrium- 
molekül, in einem zulässigen Bezugsraum ruhend, immer objektiv das- 
selbe sein wird, so besteht dieser Zusammenhang zwischen der in einem 
ruhenden Spektroskop beobachteten Frequenz v' eines ruhenden und v 
eines mit der Geschwindigkeit v sich bewegenden Natriummoleküls; & ist 
der Winkel, welchen die Bewegungsrichtung des Moleküls mit dem in 
das Spektroskop eintretenden Lichtstrahl bildet. — Setzen wir (36) in (33) 
ein, so bekommen wir eine Gleichung zwischen q und q'\ sie gestattet 
aus der Fortpflanzungsgeschwindigkeit q' des Lichtes in einem ruhenden 
Medium, z. B. in Wasser, die Fortpflanzungsgeschwindigkeit q im bewegten 
zu berechnen ; v ist jetzt die Strömungsgeschwindigkeit des Wassers, # der 
Winkel, den die Strömungsrichtung des Wassers mit dem Lichtstrahl ein-* 
schließt. Lassen wir insbesondere diese beiden Richtungen zusammen- 
fallen und vernachlässigen höhere Potenzen von v (das ja in praktischen 
Fällen sehr klein ist gegen die Lichtgeschwindigkeit), so bekommen wir 

q = q'-\-v[i —q'*)\ 

nicht mit ihrem vollen Betrage v, sondern nur mit dem Bruchteil 1 s 

n = — r der Brechungsindex des Mediums j addiert sich die 

Geschwindigkeit des Mediums zur Fortpflanzungsgeschwindigkeit. Dieser 

» Mitführungskoeffizient '« 1 ■= war bereits lange vor der Relativitäts- 

n 

theorie von Fizeau experimentell dadurch festgestellt worden, daß er zwei 
der gleichen Lichtquelle entstammende Strahlen, deren einer durch ruhen- 
des, deren anderer durch fließendes Wasser läuft, zur Interferenz brachte. 
Daß die Relativitätstheorie dieses merkwürdige Resultat erklärt, zeigt, 
daß sie für die Optik und Elektrodynamik bewegter Medien Geltung hat 
(und daß in solchen nicht etwa, wie man nach der in ihnen gültigen 
Wellengleichung vielleicht vermuten könnte, ein Relativitätsprinzip gilt, 
das aus dem Lorentz-Einsteinschen hervorgeht, wenn man c durch q er- 



§21. Relativistische Geometrie, Kinematik und Optik. 157 

setzt). Die Formel (34) endlich wollen wir für den Äther q = q = 1 
spezialisieren — vgl. (35): 

tu (1 — p cos #,)(! — g co s S.) . , w' 

sin — »■ = 5 sin — • 

2 1 — z/ 2 

Ist der Bezugsraum jß e derjenige, auf welchen sich die Planetentheorie 
bezieht (und in dem der Schwerpunkt des Sonnensystems ruht), der 
Körper die Erde (auf der sich das Beobachtungsinstrument befindet), 
v ihre Geschwindigkeit in 2? e , w der Winkel in -R e , den die zum Sonnen- 
system gelangenden Strahlen zweier unendlichentfernter Sterne miteinander 
bilden, #,, # a die Winkel, welche diese Strahlen mit der Bewegungs- 
richtung der Erde in JB e einschließen, so bestimmt sich der Winkel w', 
unter dem die Sterne von der Erde aus beobachtet werden, durch diese 
Gleichung, co können wir freilich nicht messen, aber wir beobachten die 
mit den Änderungen von #, und # 9 im Laufe des Jahres verbundenen 
Änderungen von io' (Aberration). — 

Die Formeln für den Zusammenhang zwischen Zeit und Eigenzeit, 
Volumen und Ruhvolumen gelten auch für ungleichförmige Bewegung. Ist 
dl die unendlichkleine Verschiebung, welche ein sich bewegender Massen- 
punkt in einem unendlichkleinen Zeitraum in der Welt erfährt, so wird 
durch 

dl = ds • U , (uu) = — 1 , ds > o 

Eigenzeit ds und Weltrichtung u dieser Verschiebung erklärt. Das über 
irgend ein Stück der Weltlinie erstreckte Integral 

fds=fV-(dz, dl) 

ist die während dieses Teiles der Bewegung verfließende > Eigenzeit« ; sie 
ist unabhängig von jeder willkürlichen Zerspaltung der Welt in Raum 
und Zeit und wird bei nicht zu stürmischer Beschleunigung durch eine 
mit dem Massenpunkt verbundene Uhr angegeben werden. Benutzen wir 
irgendwelche lineare Koordinaten x,- in der Welt und die Eigenzeit s als 
Parameter zur analytischen Darstellung der Weltlinie (so wie wir in der 
dreidimensionalen Geometrie die Bogenlänge gebrauchen), so sind 

dxi __ i 

ds ~~ U 

die (kontravarianten) Komponenten von u, und es ist ^uju' = — 1. 

i 

Zerspalten wir die Welt nach e in Raum und Zeit, so gilt 

i 



u = 



Vi— v* 



Vi-v" 



in -R e , 



wo ö die Geschwindigkeit des Massenpunktes ist, und zwischen der wäh- 
rend der Verschiebung dl verfließenden Zeit dt in R t und der Eigen- 
zeit ds besteht der Zusammenhang 

(37) ds = dtVi — v\ 



158 



Relativität von Raum und Zeit. 



Liegen zwei Weltpunkte A, B so zueinander, daß AB ein in die Zukunft 
gerichteter zeitartiger Vektor ist, so kann A mit B durch Weltlinien ver- 
bunden werden, deren Richtung überall gleichfalls dieser Bedingung ge- 
nügt; es können also in A abgehende Massenpunkte nach B gelangen. 
Die von ihnen dazu benötigte Eigenzeit ist abhängig von der Weltlinie; 
sie ist am längsten für einen Massenpunkt, der in gleichförmiger Trans- 
lation von A nach B fliegt. Denn zerspalten wir so in Raum und Zeit, 
daß A und B in den gleichen Raumpunkt fallen, so ist diese Bewegung 
die Ruhe, und die Behauptung geht aus der Formel (37) hervor, welche 
lehrt, daß die Eigenzeit s hinter der Zeit / zurückbleibt. — Der Lebens- 
prozeß eines Menschen kann sehr wohl mit einer Uhr verglichen werden. 
Von zwei Zwillingsbrüdern, die sich in einem Weltpunkt A trennen, bleibe 
der eine in der Heimat (d. h. ruhe dauernd in einem tauglichen Bezugs- 
raum), der andere aber unternehme Reisen, bei denen er Geschwindig- 
keiten (relativ zur »Heimat«) entwickelt, die der Lichtgeschwindigkeit 
nahekommen; dann wird sich der Reisende, wenn er dereinst in die 
Heimat zurückkehrt, als merklich jünger herausstellen denn der Seßhafte. 
Ein Massenelement dm (eines kontinuierlich ausgedehnten Körpers), 
das sich mit einer Geschwindigkeit von der Größe v bewegt, nimmt in 
einem bestimmten Moment ein Volumen dV ein, das mit seinem Ruh- 
volumen dV durch die Formel zusammenhängt: 



dV= dV Vi—v*. 

Für Dichte -jj- — u und Ruhdichte -jrr = ft gilt demnach die Gleichung 
dV dV n 



f.t = f.i Vi — v*. 

f.i ist eine Invariante, [x u mit den Komponenten fi u' also ein durch 
die Bewegung der Masse unabhängig vom Koordinatensystem bestimmter 
kontravarianter Vektor, der »materielle Strom«. Er genügt der Kon- 



tinuitätsgleichung 






11- 



Dieselben Bemerkungen finden Anwendung auf die Elektrizität: haftet sie 
an der Materie und ist de die elektrische Ladung des Massenelementes 

dm. so besteht zwischen Ruhdichte p. = -777- und Dichte = — r der 

dv Q äv 

Zusammenhang 

Qo = Q Vi — v*, 
und 

sind die kontra Varianten Komponenten des »elektrischen (Vierer-) Stroms« ; 
das entspritht genau dem Ansatz in § 19. In der phänomenologischen 
Maxwellschen Theorie der Elektrizität wird die verborgene Bewegung der 






§ 22. Elektrodynamik bewegter Körper. 



159 



Elektronen als Bewegung der Materie nicht mit berücksichtigt, folglich 
haftet dort die Elektrizität nicht an der Materie. Die einem Stück Materie 
zukommende Ladung kann dann nicht anders erklärt werden als: die- 
jenige Ladung, welche sich gleichzeitig in demselben Raumstück befindet, 
das in dem betr. Moment von der Materie eingenommen wird; daraus 
geht hervor, daß sie nicht wie in der Elektronentheorie eine durch das 
Materiestück bestimmte Invariante ist, sondern abhängig von der Zer- 
Spaltung der Welt in Raum und Zeit. 

§ 22. Elektrodynamik bewegter Körper. 

Mit der Zerspaltung der Welt in Raum und Zeit ist eine Zerspaltung 
aller Tensoren verbunden; wie diese geschieht, wollen wir zunächst rein 
mathematisch betrachten, um sie dann auf die Herleitung der elektro- 
dynamischen Grundgleichungen für bewegte Körper anzuwenden. Es 
handle sich um einen «-dimensionalen metrischen Raum, den wir als 
»Welt« bezeichnen, mit der metrischen Grundform (ff). Sei C ein Vektor 
in ihm, für welchen (ec) = e =f= o ist: nach ihm spalten wir in bekannter 
Weise die Welt in Zeit und Raum M e . e l7 e a , ..., e«_ x möge irgend 
ein Koordinatensystem im Raum -B e sein und e,, e a , ..., C Ä _ X diejenigen 
zu e = C orthogonalen Verschiebungen der Welt, welche C x , e 3 , ..., 
e«_! in -B e hervorrufen. In dem »zu JB e gehörigen« Koordinatensystem 
t { [i = o, 1, 2, ..., n — 1) für die Welt hat das Schema der kovarianten 
Komponenten des metrischen Fundamentaltensors die Gestalt 



e o o 

£ll £l3 



(« = 3) 



«53 1 <533 

Wir fassen als Beispiel einen Tensor 2. Stufe ins Auge, der in diesem 
Koordinatensystem die Komponenten 7}* besitze. Er spaltet, wie wir be- 
haupten, in einer durch e allein bestimmten Weise nach dem folgenden 
Schema 



T 


T T 

■'01 ■* 03 


T 

■* 10 

T 


T T 

-* 11 13 

T T 

-* 91 33 



in einen Skalar, zwei Vektoren und einen Tensor 2. Stufe in JR t , die 
hier durch ihre Komponenten im Koordinatensystem e,-(z'= 1, 2, ... , n — 1) 
charakterisiert sind. 

Spaltet nämlich die beliebige Weltverschiebung £ nach C wie folgt: 

und gilt bei Zerlegung in einen zu C proportionalen und einen zu t ortho- 
gonalen Summanden 



l6o Relativität von Raum und Zeit, 

so ist, wenn j die Komponenten |* hat: 

1=0 1=1 1=1 

Ohne Benutzung eines Koordinatensystems läßt sich daher die Zerlegung 
des Tensors so darstellen. Sind £, t) zwei willkürliche Verschiebungen 
der Welt und setzen wir 

(38) E = £e + j*, 9 = ^ + 9*, 

so daß j* und t)* orthogonal zu e sind, so ist die zum Tensor 2. Stufe 
gehörige Bilinearform 

Tfä) = trj r(ee) + n r(j*e) + g T[i\?) + r(j*ij*) . 

Wir bekommen also, wenn wir für zwei beliebige Verschiebungen des 
Raumes £, \) unter £*, t)* die zu e orthogonalen Verschiebungen der Welt 
verstehen, welche sie hervorrufen, 

1. einen Skalar T{tt) = J=iJ, 

2. zwei Linearformen (Vektoren) im Raum JB e , definiert durch 

L[i)=T{l*t), L'{i)=T{t?), 

3. eine Bilinearform (Tensor) im Raum JB e , definiert durch 

Tfei)) = T[f\)*). 

Sind J, 1} beliebige Weltverschiebungen, welche J, bzw. t) in iJ e hervor- 
rufen, so muß man in diesen Definitionen £*, t)* nach (38) durch £ — |e, 
t) — 17 e ersetzen, wo 

£ = y(je), 7 ? = -l(^e). 

Setzen wir noch 

rfce) = Zfc), r(ej) = Z'(j), 

so erhalten wir dann 



(39) 



i(g) = Zfc) - ^ (je) , i'(rj>= z'fc) - ^ fce) ; 

T(0 = rfeü) - -j (tie) Zfc) - -i- (je) Z'fo) + ^ (gejfee) 



Die auf der linken Seite stehenden Linear- und Bilinearformen (Vektoren 
und Tensoren) in JR t können durch die auf der rechten Seite stehenden, 
aus ihnen eindeutig sich bestimmenden Vektoren und Tensoren der Welt 
repräsentiert werden. In der obigen Komponentendarstellung kommt das 
darauf hinaus, daß z. B. 

000 



T = 



T T 
T T, 



repräsentiert wird durch 



Txi ?™ 
o T„ T„ 

Man sieht sofort ein, daß in allen Rechnungen die Tensoren des Raumes 
durch die repräsentierenden Welttensoren ersetzt werden können; doch 



§22. Elektrodynamik bewegter Körper. 16 1 



werden wir hier nur davon Gebrauch machen, daß, wenn ein Raumtensor das 
l fache eineV andern ist, das gleiche für die repräsentierenden Welttensoren gilt. 
Legen wir dem Rechnen mit Komponenten ein beliebiges Koordinaten- 
system zugrunde, in welchem 

e = (e°,e% ...,«—), 
so ist die Invariante 

J= Tike*e k und e = e c et . 

Die beiden Vektoren und der Tensor in JR t aber haben gemäß (39) zu 
Repräsentanten in der Welt die beiden Vektoren und den Tensor mit 
den Komponenten 

L'. Li eiy Li = litt, 

e 

Li \ Li //. Li = Tkic \ 

e 

e e 

Im Falle eines schiefsymmetrischen Tensors wird J = o und L' = — L ; 
unsere Formeln reduzieren sich auf 

L: Li= Tue* 

T: Tik+ <i L *- e * L < . 
e 

Ein linearer Welttensor 2. Stufe spaltet im Raum in einen Vektor und 
einen linearen Raumtensor 2. Stufe. — 

Die Maxwellschen Feldgleichungen für ruhende Körper sind in § 19 
zusammengestellt worden. Von H. Hertz rührt der erste Versuch her, sie 
in allgemein gültiger Weise auf bewegte Körper auszudehnen. Das Fara- 
daysche Induktionsgesetz lautet: Die zeitliche Abnahme des von einem 
Leiter umschlossenen Induktionsflusses ist gleich der induzierten elektro- 
motorischen Kraft: 

(40) -^^- t fB n do=f®dx: 

Dabei muß, wenn sich der Leiter bewegt, das Flächenintegral links er- 
streckt werden über eine in den Leiter eingespannte Fläche, die sich 
irgendwie mit dem Leiter mitbewegt. Da das Faradaysche Induktions- 
gesetz experimentell gerade an solchen Fällen geprüft wird, wo die zeit- 
liche Änderung des vom Leiter umschlossenen Induktionsflusses durch die 
Bewegung des Leiters bewirkt wird, war Hertz nicht im Zweifel darüber, daß 
auch im Falle eines bewegten Leiters dieses Gesetz zu postulieren ist. Die 
Gleichung div 93 = o bleibt bestehen; die Vektoranalysis lehrt, daß man, 
sie berücksichtigend, das Induktionsgesetz (40) in die differentielle Formel 

(41) lOt« wm — — ^ + — rot[öüB] 

c ö/ c 

kleiden kann, in der ^r— den nach der Zeit an einer festen Raumstelle 

Weyl, Raum, Zeit, Materie 3. Aufl. II 



IÖ2 



Relativität von Raum und Zeit. 



genommenen Differentialquotienten bedeutet und ö die Geschwindigkeit 
der Materie. 

Gleichung (41) hat merkwürdige Konsequenzen. Denken wir uns 
(Wilsonscher Versuch) zwischen zwei Kondensatorplatten ein homogenes 
Dielektrikum, das sich mit der konstanten Geschwindigkeit Ö von der 
Größe v zwischen ihnen bewegt; die beiden Kondensatorplatten seien 
leitend verbunden, und es herrsche ein homogenes Magnetfeld H parallel 
den Platten, senkrecht zu ö. Aus (41) folgt dann, daß in dem Raum 



[öS3] sich aus einem Potential ableitet; da 



zwischen den Platten 

dieses an den leitend verbundenen Platten = o sein 
muß, folgt leicht 

(g = -l[ö93]. 

Es entsteht also senkrecht zu den Platten ein homo- 
genes elektrisches Feld von der Stärke 

E = —vH {(i = Permeabilität). 

Folglich muß auf den Platten eine statische Ladung 
mit der Oberflächendichte 




Fig. 13- 



e/u 



vH (s = Dielektrizitätskonstante) 



auftreten. Ist das Dielektrikum ein Gas, so müßte dieser Effekt auch 
bei beliebiger Verdünnung sich zeigen, da bei unendlicher Verdünnung 
«ju nicht gegen o, sondern gegen 1 konvergiert. Dies hat nur einen 
Sinn, wenn man an den Äther glaubt; dann heißt das, daß der Effekt 
auftritt, wenn der Äther zwischen den Platten sich relativ zu ihnen und 
dem außerhalb der Platten ruhenden Äther bewegt. Zur Erklärung der 
Induktion aber müßte man annehmen, daß der Äther bei der Bewegung 
des Leitungsdrahtes von diesem mitgerissen wird*). Die Beobachtung, der 
Fizeausche Versuch der Lichtfortpflanzung im strömenden Wasser und 
der Wilsonsche Versuch selber 9 ) zeigen aber die Unrichtigkeit dieser An- 
nahme ; wie bei Fizeaus Versuch der Mitführungskoeffizient 1 5 auf- 
tritt, so ist bei der gegenwärtigen Anordnung nur eine Aufladung von 
der Größe 



beobachtet worden, welche verschwirldet, wenn efi=i wird. Das scheint 
in unlösbarem Widerspruch zur Tatsache der Induktion des bewegten 
Leiters zu stehen. 



*) Und ö in (41) bedeutete nicht die Geschwindigkeit der Materie, sondern des. 
Äthers, aber relativ wozu? 



§ 22. Elektrodynamik bewegter Körper. ißs 

Die Relativitätstheorie bringt hier die volle Aufklärung. Setzen wir 
wieder, wie in § 19, ct = x und fassen, wie dort @ und 93 zum Felde F t 
so auch 2) und $ zu einem schiefsymmetrischen Tensor 2. Stufe ff zu- 
sammen, so lauten die Feldgleichungen 



(42; 



*Fki , üFu , IFjk 
bx, bxjk bxi 

bff'* 



mit \„ — *' 

k OXk 



Sie gelten, wenn wir die Fat als die kovarianten, ff'* als die kontra- 
varianten Komponenten je eines Tensors 2. Stufe auffassen, die ** aber 
als kontravariante Komponenten eines Vektors in der vierdimensionalen 
Welt, wegen ihres invarianten Charakters in einem beliebigen affinen 
Koordinatensystem. Die Materialgesetze 

aber besagen : spalten wir die Welt derart in Raum und Zeit, daß die Materie 
ruht, und spaltet dabei F in (§ | S8, ZT in 2) j $ und 5 in £ j 8, so gelten 
jene Beziehungen. Benutzen wir nunmehr ein beliebiges Koordinaten- 
system und hat in ihm die Weltrichtung der Materie die Komponenten u' } 
so formulieren sich diese Tatsachen nach unsern obigen Ausführungen so: 

(43) ff i *=eF i * t 

wo Fi* = F»**, ff? = ff ik u* 

ist; 

(44) F ik - (utF k * - u k F?) = ft {H ih - [uiff? - u A ffi*)} 
und 

(45) U — Ui{s k u k ) = oFt*. 

Das ist die invariante Form jener Gesetze. Für die Durchrechnung ist es 
noch bequem, (44) durch die unmittelbar daraus sich ergebenden Gleichungen 

(46) Fkiui -f- Ftfik + Pik ui= p {Hkim + Hu Uk + Hik ut) 

zu ersetzen. Sie gelten ihrer Herleitung nach nur für Materie, die in gleich- 
förmiger Translation begriffen ist; wir dürfen sie aber auch als gültig be- 
trachten für einen in gleichförmiger Bewegung befindlichen Einzelkörper, 
der durch leeren Raum von andern, sich mit andern Geschwindigkeiten 
bewegenden Körpern getrennt ist; endlich auch für beliebig bewegte 
Materie, wenn deren Geschwindigkeit zeitlich und örtlich nicht zu rasch 
veränderlich ist. 

Nachdem wir so die invariante Gestalt gewonnen haben, können wir 
jetzt nach einem beliebigen e spalten; in JB e mögen die Meßinstrumente, 
die zur Messung der ponderomotorischen Wirkungen des Feldes benutzt 
werden, ruhen. Wir verwenden ein zu R t gehöriges Koordinatensystem 
und setzen also 



164 Relativität von Raum und Zeit 

tö„ /?„ ^,) = (i? 33 , b 31 , JB I3 ) = g 

{H xo ,H„,H i0 ) = {n x1 I> 8 , 1> 3 ) =2) 

(zr a3 , #,,, zr„) = {n ai , g 3I> g I3 ) = $ 

*°=<>; (**, *°, S*) = (8\ 8% 8*) = 8 



m _ • »1 » . » , = : 1 

Vi-v a ' y Vi-* 3 VT^T 2 

dann ergeben sich zunächst wiederum </*V Maxwellschen Feldgleichungen, 
die somit nicht nur für ruhende, sondern auch für bewegte Materie in 
unveränderter Form gültig sind. Verstößt aber das nicht aufs krasseste 
gegen die Induktionsbeobachtungen, die doch ein Zusatzglied wie in (41) 
zu fordern scheinen? Nein; denn durch diese Beobachtungen wird in 
Wahrheit nicht die Feldstärke @ bestimmt, sondern der im Leiter fließende 
Strom; der Zusammenhang zwischen beiden ist aber für bewegte Körper 
ein anderer, nämlich durch die Gleichung (45) gegeben. 

Schreiben wir von den Gleichungen (43), (45) die den Indizes /= 1,2, 3 
entsprechenden Komponenten hin, von (46) die, welche 

(/£/) = (230), (310), (120) 

korrespondieren (die andern sind überschüssig), so ergibt sich, wie man 
ohne weiteres übersieht, folgendes. Wird 





@ + [öö] 


= <£*, 


5> + [*£] = 


= $*, 






33 -[*<£] 


= 93*, 


*- 


[»91« 


= #* 




gesetzt, so ist 

2>* = 


= £@*, 


83* = 


= A***. 






Zerlegen wir 


außerdem 8 


in den 


>Konvektionsstrom« C und 


»Leitungs- 


ström« 8*: 




8 = 


c + s*; 










c = e*i>, 


<?* = 


1 — V* 


= Q — 


(»•*), 




so ist ferner 




8* — 


<7@* 









vi 

Jetzt klärt sich alles auf: der Strom ist teils Konvektionsstrom, rührt her 
von der Bewegung der geladenen Materie, teils Leitungsstrom, bestimmt 
durch die Leitfähigkeit a der Substanz. Der Leitungsstrom berechnet 
sich aus dem Ohmschen Gesetz, wenn die elektromotorische Kraft nicht 
durch das Linienintegral von @, sondern von @* definiert wird. Für 
G* aber gilt genau die zu (41) analoge Gleichung 

rot@*=-^ + rot[öö] 



§22. Elektrodynamik bewegter Körper. 165 

[c ist jetzt durchgängig = 1 genommen) oder, integral geschrieben wie (40), 

-l/B H do=fd*dx. 

Damit ist die Faradaysche Induktion in bewegten Leitern vollkommen 
erklärt. Was den Wilsonschen Versuch betrifft, so gilt nach der jetzigen 
Theorie rot (S = o , und es wird demnach (£ = o sein zwischen den 
Platten. Daraus ergibt sich aber für die konstanten Beträge der einzelnen 
Vektoren (von denen die elektrischen senkrecht zu den Platten, die mag- 
netischen parallel den Platten senkrecht zur Geschwindigkeit gerichtet sind): 

JE* = v£* = v pH* = fiv[£T+ vD) 

D = D* — vH=eE* — vH. 

Setzen wir den Ausdruck von £* aus der ersten Gleichung ein, so kommt 
D = v{[€(J. — \)H+ efivB], 

I E(XV 

Das ist der Wert der flächeuhaften Ladungsdichte, die sich auf den 
Kondensatorplatten herstellt; er stimmt mit den Beobachtungen überein, 
da wegen der Kleinheit von v der Nenner in unserer Formel außer- 
ordentlich wenig von 1 verschieden ist. 

Die Grenzbedingungen an der Grenze der Materie gegen den Äther 
ergeben sich daraus, daß die Feldgrößen F und H keine sprunghafte 
Änderung erleiden werden, wenn man mit der Materie mitgeht; wohl 
aber werden sie im allgemeinen an einer festen, zunächst im Äther ge- 
legenen Raumstelle einen Sprung in dem Momente erleiden, wo sich die 
Materie über diesen Punkt hinüberschiebt. Ist s die Eigenzeit eines 
Materieelements, so muß also 

dF ik bF-jt . 

= u 

ds bxi 

überall endlich bleiben. Setzen wir 

*Fik _ IWü . *F tt \ 
b Xl \ö*. ö*J' 

so sieht man, daß dieser Ausdruck 

= *F? hFf 
bxk üx t - 

ist. @* kann folglich keine Flächenwirbel besitzen (und 8 keine Flächen- 
divergenz). 

Die Grundgleichungen für bewegte Körper sind in der hier gegebenen 
Form im wesentlichen schon von Lorentz vor der Entdeckung des Relativitäts- 
prinzips aus der Elektronen theorie hergeleitet worden. Das ist aber kein 
Wunder, da ja die Maxwellschen Grundgesetze für den Äther dem Relativitäts- 
prinzip genügen und die Elektronentheorie durch Mittelwertbildung aus 



1 56 Relativität von Raum und Zeit. 

diesen Gesetzen die für die Materie gültigen herleitet. Der Fizeausche, 
der Wilsonsche und noch ein analoger, der Röntgen- Ei chenwaldsche 
Versuch I0 ) beweisen, daß für das elektromagnetische Verhalten der Materie 
das Relativitätsprinzip Geltung besitzt; die Probleme der Elektrodynamik 
für bewegte Körper waren es, die Einstein zu seiner Aufstellung führten. 
Minkowski verdanken wir die klare Einsicht, daß die Grundgleichungen 
für bewegte Körper durch das Relativitätsprinzip eindeutig festgelegt sind, 
wenn man die Maxwellsche Theorie für ruhende Materie zugibt ; von ihm 
rührt die endgültige Formulierung her"). 

Es handelt sich jetzt endlich darum, die Mechanik, die in ihrer 
klassischen Form dem Prinzip nicht Genüge leistet, ihm zu unterwerfen 
und zu untersuchen, ob sich die dazu nötigen Modifikationen in Einklang 
mit der Erfahrung befinden. 

§ 23. Mechanik des Relativitätsprinzips. 

Als maßgebend für die ponderomotorische Wirkung des elektromagneti- 
schen Feldes haben wir in der Elektronentheorie einen Vektor p gefunden, 
dessen kontravariante Komponenten 

pi = F ik Sk==QoF ik Uk 

sind. Er erfüllt also die Gleichung 

(47) fut = {pu) = °; 

u ist die Weltrichtung der Materie. Spalten wir irgendwie in Raum 

und Zeit 

(48) { !•*♦*• 

so ist p die Kraftdichte und, wie aus (47) oder 

h{X — (}»)} = o 

hervorgeht, X die Leistungsdichte. 

Das Grundgesetz der dem Einsteinschen Relativitätsprinzip gemäßen 
Mechanik erhalten wir durch die gleiche Methode wie im vorigen Para- 
graphen die elektromagnetischen Grundgleichungen für bewegte Körper: 
wir nehmen an, daß das Newtonsche Gesetz in demjenigen Bezugsraum, 
in welchem die Materie ruht, seine Gültigkeit behalte. Wir fassen die 
Materiestelle m ins Auge, die sich in einem bestimmten Weltpunkt O 
befindet, und spalten nach ihrer Weltrichtung u in Raum und Zeit, m ruht 
momentan in JBu. (x Q sei in M u die Dichte der Materie im Punkte O. 
Nach Verlauf der unendlichkleinen Zeit ds habe m die Weltrichtung u + du. 

Aus (uu) = — 1 folgt 

(u • du) = o ; 

mithin gilt bei der Spaltung nach u: 

U = 1 | o , du = o | dt) , p = o | p . 
Aus 

u + da = 1 1 dt> 



§ 23. Mechanik des Relativitätsprinzips. 167 

geht hervor, daß dabei d\> die von m (in jB u ) während der Zeit ds ge- 
wonnene Relativgeschwindigkeit ist. Es kann kein Zweifel sein, daß das 
mechanische Grundgesetz lautet: 

d\> 

Daraus folgt aber sofort die von jeder Zerspaltung unabhängige invariante 

Form 

. . du 

(49) P°dJ =r > 

fi ist die Ruhdichte, ds die während der unendlichkleinen Verschiebung 
des Masseteilchens, bei welcher seine Weltrichtung den Zuwachs du, er- 
fährt, verfließende Eigenzeit. 

Die Zerspaltung nach u wäre eine solche, die während der Bewegung 
des Masseteilchens wechselt. Spalten wir aber jetzt in Raum und Zeit 
nach irgend einem festen zeitartigen, in die Zukunft weisenden, der 
normierenden Bedingung (ee) = — 1 genügenden Vektor C, so zerlegt 
sich (49) nach (48) in 



(5o) 



— / * \ - 

ds [yTzr^l ~~ p ' 



Bedeutet bei der jetzigen Zerspaltung / die Zeit, dV das Volumen und 
dV das Ruhvolumen des Masseteilchens in einem bestimmten Augen- 
blick, m = !-t dV aber dessen Masse, 

pdV=%, XdV=A 

die auf das Masseteilchen einwirkende Kraft und deren Leistung, so liefern 
unsere Gleichungen durch Multiplikation mit dV } wenn man noch be- 
achtet, daß 

„, d ,/ - d d 

ist, und daß die Masse m während der Bewegung erhalten bleibt: 

J? *(*%)-»; 

Das sind die mechanischen Gleichungen für den Massenpunkt Die Impuls- 
gleichung (5 2) hat gegenüber der Newtonschen nur die Änderung erfahren, 
daß der kinetische Impuls des Massenpunktes 

nicht = «J. sondern = . 



IÖ8 Relativität von Raum und Zeit. 

ist. Die Energiegleichung (51) mutet zunächst fremd an; entwickelt man 
aber nach Potenzen von z>, so ist 

m , mv* , 

■■ m-\-— j , 



Vi— v* 2 

und wir werden unter Vernachlässigung der höheren Potenzen von v und 

des konstanten Gliedes auf den klassischen Ausdruck für die kine- 
tische Energie zurückgeführt. 

Wie man sieht, sind die Abweichungen von der Newtonschen Mechanik, 
wie wir vermuteten , nur von der Größenordnung des Quadrats -der an 
der Lichtgeschwindigkeit gemessenen Geschwindigkeit des Massenpunktes; 
bei den kleinen Geschwindigkeiten, mit denen wir es in der Mechanik 
stets zu tun haben, wird daher experimentell kein Unterschied festzustellen 
sein. Er wird erst bei Geschwindigkeiten merklich werden, die der Licht- 
geschwindigkeit nahekommen; bei diesen nimmt der Trägheitswiderstand 
der Materie gegen die beschleunigende Kraft in solcher Weise zu, daß 
die Lichtgeschwindigkeit niemals erreicht wird. In den freien negativen 
Elektronen, die sich in den Kaihodenstrahlen und der von einem radio- 
aktiven Körper ausgehenden /?-Strahlung bewegen, haben wir Korpuskeln 
kennen gelernt, deren Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit vergleich- 
bar ist; für sie ist nun in der Tat durch Versuche von Kaufmann, Bucherer, 
Ratnowsky, Hupka u. a. das von der Relativitätstheorie geforderte Verhalten 
bei longitudinaler Beschleunigung durch ein elektrisches und transversaler 
Beschleunigung durch ein Magnetfeld experimentell festgestellt worden. 
Eine weitere Bestätigung, welche die Bewegung der im Atom umlaufenden 
Elektronen betrifft, hat sich neuerdings aus der Feinstruktur der vom 
Atom ausgestrahlten Spektrallinien ergeben 12 ). 

Erst wenn wir denjenigen Grundgleichungen der Elektronentheorie, 
die wir in § 19 auf eine dem Relativitätsprinzip genügende invariante 
Form gebracht haben, die Gleichung s i =Q u i 1 die Aussage, daß die 
Elektrizität an der Materie haftet, und die mechanischen Grundgleichungen 
hinzugefügt haben, erhalten wir einen zyklisch geschlossenen Gesetzes- 
zusammenhang, in dem eine wirkliche, von Bezeichnungskonventionen 
unabhängige Aussage über den Verlauf von Naturerscheinungen- enthalten 
ist. Erst jetzt also können wir eigentlich behaupten, für ein gewisses 
Gebiet, das der elektromagnetischen Vorgänge, die Gültigkeit des Rela- 
tivitätsprinzips nachgewiesen zu haben. 

Im elektromagnetischen Feld leitet sich der ponderomotorische Vektor/,- 
ab aus einem nur von den lokalen Werten der Zustandsgrößen abhängigen 
Tensor Sm nach den Formeln 

Gemäß der universellen Bedeutung, welche wir dem Energiebegriflf in 
der Naturwissenschaft zuschreiben, haben wir anzunehmen, daß dies nicht 



§ 23. Mechanik des Relativitätsprinzips.. 160 

nur fiir das elektromagnetische Feld, sondern für jedes physikalische Er- 
scheinungsgebiet zutrifft, und daß es überhaupt zweckmäßig ist, auf diesen 
Tensor statt auf die ponderomotorische Kraft als die ursprüngliche Größe 
zurückzugreifen. Für jedes Erscheinungsgebiet handelt es sich darum, 
zu ermitteln, in welcher Weise der Energie-Impuls- Tensor (dessen Kompo- 
nenten Sa stets der Symmetriebedingung genügen müssen) von den 
charakteristischen Feld- oder Zustandsgrößen abhängt. Auch die linke 
Seite der mechanischen Gleichungen 

dui 

kann ohne weiteres auf einen >kinetischen« Energie-Impuls-Tensor zurück- 
geführt werden: 

U ik = t* UiU*. 
Es ist nämlich 

de? a(/i «*) j>«, 

T = Vi ~~ " + t*o U *s 

OXk OX/i dXk 

Das erste Glied auf der rechten Seite ist = o wegen der Kontinuitäts- 
gleichung der Materie, das zweite wegen 

k cu t - öu,- dxk dm, 

bxjt oxk ds ds 

= fj —±-' Demgemäß besagen die mechanischen Gleichungen, daß der 

gesamte Energie-Impuls-Tensor 

Tik = Uik + Si k , 

zusammengesetzt aus dem kinetischen U und dem potentiellen 5, den Er- 
haltungssätzen genügt: 

^ — = °- 
ox k 

Damit hat das Prinzip von der Erhaltung der Energie seine beste 
Formulierung erfahren; es ist aber nach der Relativitätstheorie unlöslich 
verknüpft mit dem Prinzip von der Erhaltung des Impulses, und dem 
Begriff des Impulses muß eine ebenso universelle Bedeutung zukommen wie 
dem der Energie. Drücken wir den kinetischen Tensor an einer Welt- 
stelle in einem solchen normalen Koordinatensystem au?, relativ zu dem 
die Materie daselbst momentan ruht, so nehmen seine Komponenten 
eine außerordentlich einfache Gestalt an: es ist U ott — f.t (oder = c'fi 0l 
wenn das C G ^-System benutzt wird, in welchem c nicht = 1 ist), und 
alle übrigen Komponenten verschwinden. Dies legt den Gedanken nahe, 
daß die Masse als zusammengeballte potentielle Energie aufzufassen ist, 
die durch den Raum fortschreitet. 



170 



Relativität von Raum und Zeit. 



§ 24. Die Materie. 

Den eben ausgesprochenen Gedanken genauer auszulegen, knüpfen wir 
an die Bewegung eines Elektrons an. Bisher haben wir uns vorgestellt, 
daß in seiner Bewegungsgleichung (52) für die Kraft ^ß diejenige 

<ß = e (@ + [*#]) (e = Ladung des Elektrons) 

einzutreten hat, die sich aus dem von außen angelegten elektrischen und 
magnetischen Feld @ und ^> ergibt. Tatsächlich unterliegt aber das Elek- 
tron während der Bewegung nicht nur der Einwirkung dieses äußeren, 
sondern auch des von ihm selbst erzeugten und mitgeführten Feldes. 
Bei dessen Ermittlung tritt uns die Schwierigkeit entgegen, daß wir die 
Konstitution des Elektrons nicht kennen, daß uns insbesondere die Natur 
und Gesetzmäßigkeit des Kohäsionsdrucks unbekannt ist, der das Elektron 
entgegen den enormen Fliehkräften der in ihm zusammengedrängten ne- 
gativen Ladung zusammenhält. Jedenfalls ist aber das ruhende Elektron 
mitsamt seinem elektrischen Felde (dies rechnen wir durchaus mit zum 
Elektron) ein in statischem Gleichgewicht befindliches physikalisches System, 
und darauf allein kommt es an. Wir benutzen ein normales Koordinaten- 
system, in welchem das Elektron ruht. Sein Energietensor habe die Kom- 
ponenten tik. Daß im Elektron Ruhe herrscht, drückt sich dadurch aus, 
daß der Energiestrom mit den Komponenten t„i [i = 1, 2, 3) verschwindet. 
Die o u der Gleichgewichtsbedingungen 

( 53) & = • 

ergibt dann, daß die Energiedichte t QO von der Zeit x Q unabhängig ist. 
Wegen der Symmetrie sind auch die Komponenten 4, (1 = i, 2, 3) der 
Impulsdichte = o. Ist t^ der Vektor mit den Komponenten /„, / ia , / I3 , 
so liefert die Gleichgewichtsbedingung (53) [$ = 1): 

div t (l > = o . 
Danach ist beispielsweise 

div {x a tW) = x a div **> -f- /„ = t ia , 
und weil das Integral einer Divergenz Null ist (wir dürfen annehmen, daß 
die / im Unendlichen mindestens in 4. Ordnung verschwinden), kommt 

ft ia dx x äx x dx 3 = o . 
Auf gleiche Weise findet man, daß zwar nicht die tu (für z, k = 1, 2, 3), 
wohl aber ihre Volumintegrale ffa d V Q verschwinden. Diese Umstände 
dürfen wir für jedes im statischen Gleichgewicht befindliche System als 
zutreffend erachten. Das gewonnene Resultat läßt sich in einem beliebigen 
Koordinatensystem durch die invarianten -Formeln ausdrücken: 

(54) f*ikdV = E Q muk {i,k = o, 1, 2, 3) . 
E ist der (im Bezugsraum, in welchem das Elektron ruht, gemessene) 
Energieinhalt, M§ sind die kovarianten Komponenten der Weltrichtung des 
Elektrons und dV das (gemäß der Vorstellung, daß der ganze Raum an 



§ 24- Die Materie. i y i 



der Bewegung des Elektrons teilnehme, berechnete) Ruhvolumen eines 
Raumelements. (54) gilt streng bei gleichförmiger Translation; wir werden 
die Formel aber auch auf ungleichförmige Bewegung anwenden dürfen, 
wenn u räumlich und zeitlich nicht zu rasch veränderlich ist. Dann 
aber sind die Komponenten 

- . _ &/* 

der ponderomotorischen Wirkung, welche das Elektron auf sich selbst 
ausübt, nicht mehr = o. 

Setzen wir das Elektron als völlig masselos voraus und ist /,• die von 
außen einwirkende > Viererkraft«, so erfordert das Gleichgewicht, daß 

(55) / + /=o 

wird. Wir spalten nach einem festen C in Raum und Zeit: 

n = h\h», p = (f) = i\p : 

und integrieren (55) nach dem Volumen dV = dV Vi — v*. Da bei 
Benutzung eines zu R t gehörigen normalen Koordinatensystems 

J}' d V =ff dx, dx 9 dx 3 = — J x -y° dx i dx * dx 3 

= --£-{e o *y vt=7*) = - j- t [E u<) 

ist (x = t die Zeit), so kommt dann 
d l E„\> 



Uv?h)-'H>") 



Diese Gleichungen sind gültig, wenn die von außen angreifende Kraft ^ 

(im Vergleich zu — - , a = Elektronenradius) nicht zu groß ist und ihre 

Dichte im Bereich des Elektrons wesentlich konstant. Sie stimmen aber 
genau mit den mechanischen Grundgleichungen überein, wenn nur die 
Masse m ersetzt wird durch E . Mit andern Worten: die Trägheit ist 
eine Eigenschaft der Energie. — In der Mechanik wird jedem materiellen 
Körper eine unveränderliche Masse m zugeschrieben, die zufolge der be- 
kannten Art und Weise, wie sie in das Grundgesetz der Mechanik eingeht, 
die Trägheit, den Widerstand der Materie gegen beschleunigende Kräfte 
darstellt. Die Mechanik nimmt diese träge Masse als etwas Gegebenes 
hin, für das sie nach keiner weiteren Erklärung sucht % Hier aber er- 
kennen wir: die in dem materiellen Körper enthaltene potentielle Energie 
ist die Ursache dieser Trägheit, und zwar entspricht im CGS-System, in 
welchem die Lichtgeschwindigkeit nicht = 1 ist, der Energie E die Masse 

/5«) m — h ' 



iy2 Relativität von Raum und Zeit. 

Damit ist eine neue, rein dynamische Auffassung der Materie ge- 
wonnen*). Wie wir uns in der Relativitätstheorie von dem Glauben 
haben befreien müssen, daß wir einen Raumpunkt zu verschiedenen Zeiten 
wiedererkennen können, so hat es jetzt auch keinen Sinn mehr, von » der- 
selben* Stelle der Materie zu verschiedenen Zeiten zu sprechen. Das Elektron, 
das man sich früher wohl als einen substantiellen Fremdkörper im sub- 
stanzlosen elektromagnetischen Felde vorstellte, erscheint uns nunmehr 
als ein gegen das Feld keineswegs scharf begrenzter kleiner Bezirk, in 
welchem die Feldgrößen und die elektrische Dichte enorm hohe Werte 
annehmen. Ein solcher »Energieknoten« pflanzt sich durch den leeren 
Raum nicht anders fort wie eine Wasserwelle über die Seefläche fort- 
schreitet; es gibt da nicht »ein und dieselbe Substanz« , aus der das 
Elektron zu allen Zeiten besteht. Es existiert nur der potentielle, nicht 
daneben noch ein kinetischer Energie-Impuls-Tensor. Die Spaltung zwischen 
beiden, die in der Mechanik auftritt, ist nur die Scheidung zwischen der 
breit und dünn im Felde verteilten Energie und der in den Energieknoten, 
den Elektronen und Atomen zusammengeballten; die Grenze zwischen beiden 
ist durchaus fließend. Es ist die Aufgabe der Feldtheorie, zu erklären, 
warum das Feld eine derartige körnige Struktur besitzt und jene Energie- 
knoten sich im Hin- und Herströmen von Energie und Impuls dauernd 
erhalten (wenn auch natürlich nicht völlig unveränderlich, so doch mit 
einem außerordentlich hohen Grad von Genauigkeit): darin besteht das 
Problem der Materie. Die Maxwell-Lorentzsche Theorie kann es schon 
deshalb nicht lösen, weil in ihr der Kohäsionsdruck fehlt, welcher das 
Elektron zusammenhält. Was wir gemeinhin Materie nennen, ist seinem 
Wesen nach atomistisch\ denn die diffus verteilte Feldenergie pflegen wir 
nicht als einen materiellen Körper anzusprechen. Freilich sind die Atome 
und Elektronen keine letzten unveränderlichen Elemente, an welchen die 
Naturkräfte nur von außen anpacken, sie hin- und herschiebend; sondern 
sie sind selber kontinuierlich ausgebreitet und in ihren feinsten Teilen 
feinen fließenden Veränderungen unterworfen. Nicht das Feld bedarf zu 
seiner Existenz der Materie als seines Trägers, sondern die Materie ist 
umgekehrt eine Ausgeburt des Feldes', die Formeln, welche die Kompo- 
nenten des Energietensors Ta durch die Zustandsgrößen des Feldes aus- 
drücken, lehren, nach welchen Gesetzen das Feld mit Energie und Impuls, 
d. h. mit Materie verknüpft ist. Da keine strenge Grenze zwischen der 
diffusen Feldenergie und derjenigen der Elektronen und Atome besteht, 
müssen wir den Begriff der Materie, falls er einen exakten Sinn behalten 
soll, weiter fassen als bisher: Materie nennen wir fortan dasjenige Reale, 
welches dargestellt wird durch den Energie-Impuls-Tensor. In diesem 
Sinne ist auch das optische Feld z. B. mit Materie verknüpft. Wie sich 



*) Schon Kant lehrt in den »Metaphysischen Anfangsgründen der Naturwissen- 
schaft«, daß die Materie einen Raum erfüllt nicht durch ihre bloße Existenz, sondern 
durch repulsive Kräfte aller ihrer Teile. 



§24- Die Materie. 173 

so die Materie, prinzipiell gesprochen, im Felde auflöst, löst sich die 
Mechanik in der Physik auf. Denn das Erhaltungsgesetz der Materie 

das mechanische Grundgesetz, stellt, wenn man die T,k durch die Feld- 
größen ausdrückt, einen differentiellen Zusammenhang zwischen diesen dar, 
muß also aus den Feldgleichungen folgen. Die Materie in dem weiten 
Sinne, wie wir jetzt das Wort nehmen, ist dasjenige, von dem wir direkt 
durch unsere Sinne Kunde erhalten. Fasse ich ein Stück Eis an, so 
nehme ich den an der Berührungsstelle zwischen jenem Körper und meinem 
Sinnesleib fließenden Energiestrom als Wärme, den Impulsstrom als Druck 
wahr; der optische Energiestrom an der Oberfläche des Sinnesepithels 
meines Auges bestimmt die optischen Wahrnehmungen, die ich habe. 
Hinter dieser uns durch die Sinnesorgane direkt offenbarten Materie 
verborgen aber steckt das Feld. Für die Aufdeckung seiner eignen Ge- 
setzmäßigkeit und der Gesetze, nach welchen es die Materie bestimmt, 
ist die Maxwellsche Theorie der erste glänzende Anfang; aber hier stehen 
wir mit unserer Erkenntnis noch nicht am Ziel. 

Nach der Formel (56) müssen wir, um die Trägheit der Körper zu 
erklären, ihnen einen sehr beträchtlichen Energieinhalt zuschreiben: in 
1 kg Wasser stecken 9 ■ io a3 Erg. Diese Energie ist zu einem kleinen 
Teil die Kohäsionsenergie des Körpers, welche die Moleküle zusammen- 
hält, zu einem größeren die intramolekulare Energie, welche die Atome 
im Molekül bindet und die z. B. bei einer Explosion plötzlich frei wird, 
zu einem noch größeren die intraatomistische, welche die Bausteine des 
Atoms, die negativen Elektronen und den positiven Atomkern aneinander 
bindet und deren allmähliches Freiwerden wir in dem radioaktiven Zerfall 
beobachten; sie ist endlich zum weitaus größten Teil die Eigenenergie des 
Atomkerns und der Elektronen selbst; die letztere tritt nur in der Trägheit 
zu .Tage, da wir bislang keine Mittel kennen — Gott sei Dank! — , sie 
zur »Explosion* zu bringen. Die träge Masse verändert sich mit dem 
Energieinhalt', erwärmt man einen Körper, so nimmt seine träge Masse 
zu, kühlt man ihn ab, so vermindert sie sich; freilich ist dieser Effekt 
zu klein, um der direkten Beobachtung zugänglich zu- sein. 

Die hier nach Laue I3 ) allgemein für ein im statischen Gleichgewicht 
befindliches System durchgeführte Überlegung wurde zuerst, noch vor der 
Einsteinschen Entdeckung des Relativitätsprinzips, am Elektron unter Zu- 
grundelegung spezieller Voraussetzungen über dessen Konstitution an- 
gestellt: man nahm es als eine auf der Oberfläche oder im ganzen Innern 
gleichförmig geladene Kugel an, die durch allseitig gleichen, gegen- 
wirkenden Kohäsionsdruck zusammengehalten wird. Die daraus sich er- 

gebende »elektromagnetische Masse« — ,° befindet sich in numerischer 

Übereinstimmung mit der Erfahrung, wenn man dem Elektron einen 



174 



Relativität von Raum und Zeit. 



Radius von der Größenordnung io -I 3 cm zuschreibt. Man darf sich nicht 
wundern, daß schon vor der Relativitätstheorie eine derartige Deutung 
der Elektronenträgheit möglich war; denn indem man Maxwellsche Elektro- 
dynamik trieb, stand man ja schon immer für dieses Erscheinungsgebiet 
unbewußt auf dem Boden des Relativitätsprinzips. Die allgemeine Er- 
kenntnis von der Trägheit der Energie verdanken wir Einstein und Planck 14 ); 
Planck stützte sich bei der Entwicklung der Dynamik auf einen — im 
Gegensatz zum Elektron — vollständig bekannten, freilich im gewöhn- 
lichen Sinne nicht-materiellen » Probekörper <, die Hohlraumstrahlung im 
thermodynamischen Gleichgewicht, wie sie sich nach dem Kirchhoffschen 
Gesetz in jedem von gleichmäßig temperierten Wänden umgebenen Hohl- 
raum ausbildet. 

In denjenigen phänomenologischen Theorien, in denen wir von der 
atomistischen Struktur der Materie absehen, denken wir uns die in den 
Elektronen, Atomen usw. aufgespeicherte Energie stetig über den Körper 
Verteilt; wir haben sie einfach dadurch zu berücksichtigen, daß wir in den 
Energie-Impuls-Tensor — bezogen auf ein Koordinatensystem, in welchem 
die Materie ruht — als Energiedichte die Ruhmassendichte |U einführen. So 
haben wir z. B. in der Hydrodynamik bei Beschränkung auf adiabatische 
Vorgänge zu setzen 



— ^o 


o o o 


O 


p o o 


O 


o p o 


O 


o o p 



T*\ = 



P ist der allseitig gleiche Druck; der Energiestrom ist bei adiabatischen 

Vorgängen o. Um die Komponenten dieses Tensors in einem beliebigen 

Koordinatensystem hinzuschreiben, setze man noch f.i = u* — p\ dann 

erhält man die invarianten Gleichungen 

(58) T/ l = u*u i u k -\-pö^ 

oder T ik = p* uiUk -\-p-g,k- 

Die Ruhmassendichte ist 

TikU l u k = [i* — / = {.i , 
und sie (nicht fi*) ist also bei inkompressibeln Flüssigkeiten konstant zu 
setzen. Wirkt auf die Flüssigkeit keine Kraft, so lauten die hydrodyna- 
mischen Gleichungen , 

Tf 

"> — = °* 

Auf ähnliche Weise, wie es soeben mit der Hydrodynamik geschah, 
kann auch der Elastizitätstheorie eine dem Relativitätsprinzip entsprechende 
Form gegeben werden IS ). Es bliebe endlich noch übrig, das Gesetz der 
Gravitation, das in seiner Newtonschen Form durchaus an das Newton- 
Galileische Relativitätsprinzip gebunden ist, dem Einsteinschen anzupassen. 
Sie birgt aber ihre besonderen Rätsel in sich, auf deren Lösung wir im 
letzten Kapitel zu sprechen kommen. 



§ 25. Die Miesche Theorie. I 75 

§ 25. Die Miesche Theorie. 

Innerhalb der Elektronen kann die Maxwell-Lorentzsche Theorie nicht 
gültig sein; auf dem Standpunkt der gewöhnlichen Elektronentheorie 
müssen wir daher das Elektron als etwas a priori Gegebenes, als einen 
Fremdkörper im Felde behandeln. Es ist aber von Mie eine allgemeinere 
Elektrodynamik aufgestellt worden, auf Grund deren es möglich scheint, 
die Materie aus dem Felde zu konstruieren ,6 ). Wir wollen ihre Grund- 
lagen hier kurz entwickeln — als Beispiel einer den neuen Ideen über 
die Materie völlig konformen physikalischen Theorie, das uns hernach 
noch gute Dienste leisten soll, und um an ihr zugleich das Problem der 
Materie genauer zu formulieren. 

Wir halten daran fest, daß die in Betracht kommenden Zustands- 
größen sind: 1) der vierdimensionale Stromvektor s, die »Elektrizität«, 
und 2) der lineare Tensor 2. Stufe F, das »Feld«. Ihre Eigengesetzlichkeit 
ist ausgesprochen in den Gleichungen 

ÖXi 

oF k i . oFu oF ik 
2 - \-- \-- — = o. 

0X t - OXk OXi 

Die Gleichungen 2) sind erfüllt, wenn F sich aus einem Vektor q>i ab- 
leitet nach den Formeln 

3) F ik = z^ r*- 

OXk OXi 

es folgt umgekehrt aus 2), daß ein Vektor <p existieren muß derart, daß 
die Gleichungen 3) bestehen. Ebenso ist 1) erfüllt, wenn s sich aus 
einem schiefsymmetrischen Tensor 2. Stufe // in folgender Weise ableitet: 

oH ik 

es folgt umgekehrt aus 1 ), daß ein diesen Relationen genügender Tensor H 
notwendig existiert. 4) stimmt formal mit dem zweiten System der 
Maxwellschen Gleichungen überein. Lorentz nahm an, daß allgemein, 
nicht bloß im Äther, sondern auch im Gebiet der Elektronen, H ' = F 
ist. Wir machen nach Mie die allgemeinere Voraussetzung, daß H keine 
bloße Rechengröße ist, sondern eine reale Bedeutung hat und seine Kom- 
ponenten daher universelle Funktionen der ursprünglichen Zustandsgrößen 
s und F sind. Konsequenterweise müssen wir aber dann die gleiche 
Voraussetzung auch hinsichtlich (p machen! Die entstehende Größen- 
tabelle 

<P 1 F 

s | H 

enthält in der ersten Zeile die Intensitätsgrößen, sie sind durch die 
Differentialgleichungen 3) miteinander verknüpft; in der zweiten Zeile die 



iy6 Relativität von Raum und Zeit. 

Quantitätsgrößen, für welche die Differentialgleichungen 4) gelten. Spalten 
wir in Raum und Zeit und wenden die schon in § 19 verwendeten Be- 
zeichnungen an, so haben wir die wohlvertrauten Gleichungen vor uns 

1) -^7 + divS =0, 

2) — -+- rot @ =0 (div S5 = o) , 
0/ 

3) |t-{-gradr/>=:© (-rotf = 8), 

4 ) ___ rot £ = — 3 (div$ = e). 

Kennen wir die universellen Funktionen, welche g> und H durch ^ und F 
ausdrücken, dann haben wir in den nicht eingeklammerten Gleichungen, 
jede Komponente besonders gezählt, 10 > Hauptgleichungen« vor uns, 
durch welche die Ableitungen der 10 Zustandsgrößen nach der Zeit in 
Abhängigkeit von diesen selbst und ihren räumlichen Ableitungen gesetzt 
werden; also jene Form der Naturgesetze, welche durch das Kausalitäts- 
prinzip gefordert wird. Das Relativitätsprinzip aber, das hier in einen 
gewissen Gegensatz zum Kausalitätsprinzip tritt, fordert, daß die Haupt- 
gleichungen von den eingeklammerten > Nebengleichungen« begleitet werden, 
in denen keine nach der Zeit differentiierten Glieder auftreten. Die Ver- 
söhnung des Widerstreits liegt darin, daß die Nebengleichungen über- 
schüssig sind. Aus den Hauptgleichungen 2) und 3) folgt nämlich 

A(S3 + rotf) = o, 

aus 1) und 4) 

dp &/,.,*».» 

bt bt K ' 

Ein Vergleich der Mieschen mit den Lorentzschen Grundgleichungen 
der Elektronentheorie ist lehrreich. Bei Lorentz treten 1), 2) und 4) 
auf, und das Gesetz, nach welchem H durch die ursprünglichen Zustands- 
größen sich bestimmt, lautet einfach 2) = @, £ = S3. Hingegen werden 
dort cp und f durch die Gleichung 3) rechnerisch definiert, und es fehlt 
ein Gesetz, das die Abhängigkeit dieser Potentiale von den Zustands- 
größen des Feldes und der Elektrizität festlegt. An dessen Stelle tritt 
die Formel für die Dichte der ponderomotorischen Kraft und das mecha- 
nische Grundgesetz für die Bewegung der Elektronen unter dem Einfluß 
dieser Kraft. Da nach unserer neuen Auffassung aber das mechanische 
Gesetz sich aus den Feldgleichungen ergeben muß, ist eine Ergänzung 
nötig, die von Mie eben in der Annahme, daß cp und f eine reale Be- 
deutung in dem angegebenen Sinne haben, gefunden wurde. Wir können 
die Miesche Gleichung 3) aber in einer ganz analogen Form aussprechen 



§25. Die Miesche Theorie. \n-j 

wie das Grundgesetz der Mechanik. Der dort auftretenden pondero- 
motorischen Kraft stellen wir hier die » elektrische Kraft* @ gegenüber. 
Im statischen Falle besagt 3), daß 

(59) ® — grad9> = o 

ist, d. h. daß der elektrischen Kraft (£ durch einen > elektrischen Druck*. <p 
im Äther das Gleichgewicht gehalten wird. Allgemein aber entsteht eine 
resultierende elektrische Kraft, welcher nun nach Gleichung 3) die Größe f 
als > elektrischer Impuls* zugehört. Es ist wunderbar zu sehen, wie in 
der Mieschen Theorie die Grundgleichung der Elektrostatik (59), die am 
Anfang der Elektrizitätslehre steht, plötzlich eine viel anschaulichere Be- 
deutung gewinnt, indem das Potential als elektrischer Druck auftritt; das 
ist der gesuchte Kohäsionsdruck, welcher das Elektron zusammenhält. 

Das Bisherige gibt nur ein leeres Schema, das seine Ausfüllung finden 
muß durch die noch unbekannten universellen Funktionen, welche die 
Quantitäts- mit den Intensitätsgrößen verknüpfen. Ihre Ermittlung kann 
bis zu einem gewissen Grade noch rein spekulativ geschehen durch die 
Forderung, daß für den Energie-Impuls-Tensor Tu der Erhaltungssatz (57) 
gültig sein muß (also durch die Forderung der Geltung des Energie- 
prinzips). Denn das ist gewiß eine notwendige Bedingung, damit sich 
überhaupt ein Zusammenhang der Theorie mit der Erfahrung herstellen 
läßt. Das Energiegesetz muß die Form haben 

— + div@ = o, 

wo W die Energiedichte, <S der Energiestrom ist. In der Maxwellschen 
Theorie findet man es, indem man 2) mit $, 4) mit ® multipliziert und 
addiert : 

(60) $ *® + ® ^ + div [C$] = - (Gl) . 

dt 0/ 

In dieser Beziehung tritt auf der rechten Seite noch die Arbeit auf, welche 
zur Erhöhung der kinetischen Energie der Elektronen oder nach unserer 
jetzigen Auffassung zur Erhöhung der potentiellen Energie des Feldes im 
Gebiet der Elektronen verwendet wird. Hier muß dieses Glied also sich 
gleichfalls noch zusammensetzen lassen aus einem nach der Zeit differen- 
tiierten Term und einer div. Behandeln wir aber die Gleichungen 1) und 3) 
ganz analog, wie wir eben mit 2) und 4) verfahren sind, d. h. multipli- 
zieren 1) mit cp und 3) skalar mit S, so kommt 

(61) <p h £ + 8^+ div (cp&) = (&$). 

Die Addition von (60) und (61) ergibt das Energiegesetz; es muß dem- 
nach der Energiestrom 

<S = [<S$]-fy« 
sein und 

9><$e + 3(Jf + #(523 + (£($$> = ÖW 

Weyl, Raum, Zeit, Materie. 3. Aufl. 12 



jnß Relativität von Raum und Zeit. 

das totale Differential der Energiedichte. Daß für den Energiestrom zu 
dem im Äther gültigen Glied [(& §] noch ein zu 8 proportionaler Term <p 8 
hinzutritt, ist ohne weiteres verständlich ; denn mit dem sich bewegenden 
Elektron, welches den Konvektionsstrom 8 erzeugt, strömt dessen Energie- 
inhalt. Im Äther wird das Glied [@4?] von S überwiegen, im Elektron 
aber behauptet das andere cp8 bei weitem den Vorrang. In der Formel 
für das totale Differential der Energiedichte treten als unabhängig variierte 
Zustandsgrößen £, f; 9, $ auf. Um da Ordnung zu schaffen, führen 
wir anstelle von £ und $ bzw. cp und @ als Unabhängige ein; damit 
wird erreicht, daß die sämtlichen Intensitätsgrößen als unabhängige Variable 
fungieren. Man hat zu bilden 

(62) L = W— <£$ — gg>; 
dann ist 

ÖZ = ($d» - 5><J6) + (*<Jf — QÖg>). 
Kennt man Z als Funktion der Intensitätsgrößen, so sind durch diese 
Gleichung die Quantitätsgrößen als Funktionen derselben bestimmt. Statt 
der zehn unbekannten universellen Funktionen haben wir jetzt nur noch 
eine, Z\ das ist die Leistung des Energieprinzips. 

Kehren wir zur vierdimensionalen Schreibweise zurück, so ergibt sich 

(63) öZ = \H ik &F ik + £6q>i. 

Daraus geht hervor, daß 6L, mithin Z, die •> Hamiltons che Funktion*-, 
eine Invariante ist. Die einfachsten Invarianten, welche sich von einem 
Vektor mit den Komponenten <jp 2 -und einem linearen Tensor 2. Stufe mit den 
Komponenten F t -& bilden lassen, sind die ins Quadrat erhobenen Beträge 

des Vektors cp*\ <Pt' c P'\ 

des Tensors F ik : 2Z°=\F tk F ik , 

des Vektors Fikcp k und 

des Tensors 3. Stufe mit den Komponenten Fki<pi-\- Fucpk + Fikcpi. 

Wie in der dreidimensionalen Geometrie der wichtigste Kongruenzsatz 
aussagt, daß ein Vektorpaar 0, im Sinne der Kongruenz vollständig 
charakterisiert ist durch die Invarianten o 3 , ob, ü 2 , so läßt sich in der 
vierdimensionalen Geometrie leicht zeigen, daß die eben angegebenen 
Invarianten die aus einem Vektor cp und einem linearen Tensor 2. Stufe F 
bestehende Figur im Sinne der Kongruenz vollständig festlegen. Jede 
Invariante, insbesondere die Hamiltonsche Funktion Z, muß sich mithin 
durch jene vier Größen algebraisch ausdrücken lassen. Auf die Bestim- 
mung dieses Ausdrucks reduziert die Miesche Theorie das Problem der 
Materie. Die Maxwellsche Theorie des Äthers, nach der freilich Elektronen 
nicht möglich sind, ist in ihr als der Spezialfall Z = Z° enthalten. 
Drückt man auch W und die Komponenten von © vierdimensional aus, 
so erkennt man, daß sie die (negative) o te Zeile in dem Schema 

(64) Ti k = F ir H k - + cp t s k - Z • d* 



§25. Die Miesche Theorie. 17g 

bilden. Die Tf sind also die gemischten Komponenten des Energie- 
Impuls-Tensors, welcher nach unseren Rechnungen dem Erhaltungssatz (57) 
für i = o und demnach auch für /= 1, 2, 3 genügt. Der Beweis, daß 
seine kovarianten Komponenten der Symmetriebedingung Tjh = Tik ge- 
nügen, wird im nächsten Kapitel nachgeholt werden. 

Die Feldgesetze können in ein sehr einfaches Variationsprinzip, das 
Hamiltonsche Prinzip, zusammengefaßt werden. Wir betrachten als unab- 
hängige Zustandsgröße jetzt allein das Potential mit den Komponenten cp,- 
und definieren das Feld durch die Gleichung 

bcfs ö (p k 
Fik = x > * 

Xk Xi 

In die Gesetze geht die invariante Hamiltonsche Funktion L ein, welche 
vom Potential und Feld abhängt. Wir definieren den Stromvektor s und 
den schiefsymmetrischen Tensor H durch (63). Ist bei Benutzung eines 
beliebigen linearen Koordinatensystems 

da) = y g dx dx x dx a dx 

das vierdimensionale > Volumelement« der Welt ( — g die Determinante 
der metrischen Fundamentalform), so ist das über irgend ein Weltgebiet 
erstreckte Integral fL dio eine Invariante ; sie heißt die in dem betr. 
Gebiet enthaltene Wirkungsgröße. Das Hamiltonsche Prinzip behauptet, 
daß die Änderung der gesamten Wirkungsgröße bei jeder infinitesimalen 
Variation des Feldzustandes, welche außerhalb eines endlichen Bereichs 
verschwindet, Null ist: 

(65) ö I Ldu) = I dZdio = o . 

Das Integral ist hier über die ganze Welt zu erstrecken, oder, was das- 
selbe besagt, über ein endliches Gebiet, außerhalb dessen die Zustands- 
variation verschwindet. Diese wird dargestellt durch die infinitesimalen 
Zuwächse dcpi der Potentialkomponenten und die damit verknüpfte un- 
endlich kleine Änderung des Feldes 

xrp _ *(<??*•) *>(<?<?*) . 

Orik — -r z , 

OXk ö Xi 

d(pi sind Raum-Zeit-Funktionen, die nur innerhalb eines endlichen Be- 
reichs von o verschiedene Werte annehmen. Setzen wir für ÖL den 
Ausdruck (63) ein, so kommt 

hXk 

Auf Grund des Prinzips der partiellen Integration (S. 100) ergibt sich 

t/ ÖXjt J OXk 

und es ist demnach 



180 Relativität von Raum und Zeit. 

Während 3) durch Definition sichergestellt ist, liefert somit das Hamilton- 
sche Prinzip die Feldgleichungen 4). In der Tat, wäre z. B. an einer Stelle 

etwa ^> o, so können wir um diese Stelle eine Umgebung abgrenzen, in 
der jene Differenz durchweg positiv ist.. Wählen wir dann für ö<p t eine 
nicht-negative Funktion, die außerhalb der erwähnten Umgebung ver- 
schwindet, und d cp a = d cp 3 = d cp 4 =0, so ergibt sich ein Widerspruch 
zu der Gleichung (65). — 1) und 2) folgen aus 3) und 4). 

So drängt sich denn schließlich die Miesche Elektrodynamik in das 
einfache Wirkungsprinzip (65) zusammen — ganz analog, wie auch die 
Entwicklung der Mechanik schließlich im Wirkungsprinzip gipfelte. Wäh- 
rend aber in der Mechanik zu jedem vorgegebenen mechanischen System 
eine bestimmte Wirkungsfunktion Z gehört, die es aus dessen Konstitution 
zu ermitteln gilt, haben wir es hier mit einem einzigen System, der Welt, 
zu tun. Das eigentliche Problem der Materie hebt damit erst an: es 
handelt sich darum, die der Welt zukommende Wirkungsfunktion, die 
> Weltfunktion« Z zu bestimmen; ihm stehen wir vorerst noch ratlos 
gegenüber. Wählen wir in willkürlicher Weise ein Z, so erhalten wir 
eine von dieser Wirkungsfunktion beherrschte »mögliche« Welt, in der 
wir uns (wenn uns nur die mathematische Analysis nicht im Stiche läßt) 
vollständig auskennen — besser als in der wirklichen. Es käme aber 
natürlich darauf an, unter all diesen möglichen Welten die einzige exi- 
stierende wirkliche herauszufinden; nach allem, was wir von den Natur- 
gesetzen wissen, muß das ihr zukommende Z durch einfache mathema- 
tische Eigenschaften ausgezeichnet sein. Wieder ist die Physik, heute 
als Feldphysik, auf dem Wege, die Gesamtheit der Naturerscheinungen 
auf ein einziges Naturgesetz zurückzuführen, ein Ziel, dem sie schon einmal, 
als die durch Newtons Principia begründete mechanische Massenpunkt- 
Physik ihre Triumphe feierte, nahe zu sein glaubte. Doch ist auch heut 
dafür gesorgt, daß unsere Bäume nicht in den Himmel wachsen. Vor- 
läufig wissen wir nicht, ob wir mit denjenigen Zustandsgrößen, welche der 
Mieschen Theorie zugrunde liegen, zur Beschreibung der Materie ausreichen, 
ob sie tatsächlich rein »elektrischer« Natur ist. Vor allem aber hängt die 
dunkle Wolke aller jener Erscheinungen, mit denen wir uns heute not- 
dürftig vermittels des Wirkungsquantums auseinandersetzen, über dem Land 
der physikalischen Erkenntnis, wer weiß welch neuen Umsturz drohend. 

Versuchen wir es einmal mit dem folgenden Ansatz für Z: 

(67) L-\\F\ 2 + w(y— 9i gJ) 

(w eine willkürliche Funktion einer Variablen), der sich zunächst als der 
einfachste, über die Maxwellsche Theorie hinausgehende darbietet, — ob- 



§25. Die Miesche Theorie. l8l 

schon durchaus kein Grund vorliegt, anzunehmen, daß die Weltfunktion 
in Wirklichkeit diese Gestalt besitzt. Wir beschränken uns auf die Be- 
trachtung statischer Lösungen, für die 

25 = ^> = o , g = f = o 
ist. Wir haben 

@ = grad <p , div $ = q 

2> = @ , q = —w'(rp) 

(der Akzent bedeutet die Ableitung). Gegenüber der gewöhnlichen Elektro- 
statik im Äther ist hier das Neue, daß die Dichte q eine universelle 
Funktion des Potentials, des elektrischen Drucks <jp ist. Es ergibt sich 
als >Poissonsche Gleichung < 

J (p -\- w' [cp) = o . 

Eine (im Unendlichen verschwindende) Lösung dieser Gleichung stellt 
einen möglichen elektrischen Gleichgewichtszustand, ein mögliches für 
sich existenzfähiges Korpuskel in der Welt dar, die wir jetzt konstruieren. 
Das Gleichgewicht wird nur dann stabil sein können, wenn die Lösung 
Kugelsymmetrie hat. In diesem Fall lautet die Gleichung, unter r den 
Radius vector verstanden, 

^ ^('S)*"« — 

Soll (68) eine bei r = oo reguläre Lösung 

(69) -<p = ^ + -%+••• 

r r r 

besitzen, so findet man durch Einsetzen dieser Potenzentwicklung in das 
erste Glied der Gleichung, daß die Entwicklung von w'(cp) mit der 
Potenz r~~ 4 oder einer noch höheren negativen beginnt, daß folglich w (x) 
für x = o mindestens von 5 ter Ordnung o sein muß. Unter dieser Voraus- 
setzung hat aber die Gleichung 00 * bei r = o und 00 x bei r = 00 regu- 
läre Lösungen. Man wird (als »allgemeinen« Fall) erwarten dürfen, daß 
diese beiden eindimensionalen Lösungsscharen (innerhalb der zweidimen- 
sionalen Gesamtschar aller Lösungen) eine endliche oder jedenfalls eine 
diskrete Anzahl von Lösungen gemein haben. Diese würden die ver- 
schiedenen möglichen Korpuskeln (Elektronen und Atomkerne?) darstellen. 
Es ist freilich nicht ein Elektron oder ein Atomkern allein auf der Welt; 
aber die Abstände zwischen ihnen sind im Vergleich zu ihrer eigenen 
Ausdehnung doch so groß, daß durch ihre gegenseitige Einwirkung der 
Feldverlauf im Innern des einzelnen Elektrons oder Atomkerns nicht 
wesentlich modifiziert wird. Ist cp die ein solches Korpuskel darstellende 
Lösung (69) von (68), so ist die Gesamtladung desselben 



= — 47t I w'{<p) r* dr = — ä,it • r* —■ 



= 47ie 

r = 00 



182 Relativität von Raum und Zeit. 

seine Masse aber berechnet sich als das Integral der Energiedichte W, 
die aus (62) hervorgeht: 

00 

Masse = 47t /{|(grad <jp) a + w{cp) — cp7v'(cp)} r* dr 

o 

00 

= 47t I {w(cp) — \(pw'{<p)} *' 2 dr. 

o 

Wir können also aus den Naturgesetzen die Masse und Ladung des Elektrons, 
die Atomgewichte und Atotn ladungen der einzelnen existierenden Elemente 
berechnen, während wir bisher diese letzten Bausteine der Materie immer 
als etwas mit seinen numerischen Eigenschaften Gegebenes hingenommen 
haben. Zwar bleibt das einstweilen nur ein Programm, solange wir die 
Weltfunktion L nicht kennen; der eben zugrunde gelegte spezielle An- 
satz (67) sollte nur dazu dienen, klar zu machen, ein wie tiefes und 
gründliches, auf Gesetze basiertes Verständnis für die Materie und ihre 
Konstitution uns die Kenntnis der Wirkungsfunktion eröffnen würde. Im 
übrigen kann die Diskussion derartiger willkürlich gewählter Ansätze nicht 
weiter führen, sondern es werden neue physikalische Einsichten und Prin- 
zipien nötig sein, die uns den richtigen Weg zur Bestimmung der Hamilton- 
schen Funktion weisen. 

Um das Wesen der reinen Feldphysik, welche durch Mie für das Ge- 
biet der Elektrodynamik in ihrem allgemeinen Ansatz realisiert wurde, 
ex contrario deutlich zu machen, stellen wir dem in ihr gültigen Wir- 
kungsprinzip (65) dasjenige gegenüber, von welchem die Maxwell- Lorentz- 
sche Theorie beherrscht wird, die neben dem elektromagnetischen Felde 
eine sich bewegende Substanz kennt. Diese Substanz ist ein dreidimen- 
sionales Kontinuum; ihre Stellen können also in stetiger Weise auf die 
Wertsysteme von drei Koordinaten aßy bezogen werden. Wir denken 
uns die Substanz in infinitesimale Elemente zerlegt; jedem Substanzelement 
kommt dann eine bestimmte unveränderliche positive Masse dm und eine 
unveränderliche elektrische Ladung de zu; ihm korrespondiert als Aus- 
druck seiner Geschichte eine mit Durchlaufungssinn versehene Weltlinie, 
oder besser gesagt, ein unendlich dünner »Weltfaden«. Teilen wir diesen 
in kleine Abschnitte und ist 



ds = V — gik dxi dxk 

die Eigenzeit-Länge eines solchen Abschnitts, dco aber sein vierdimen- 
sionales Volumen, so führen wir durch die invariante Gleichung 

(70) dmds = f.i dco 

die Raum -Zeit- Funktion (x der Ruhmassendichte ein. Das über ein 
Weltgebiet HL erstreckte Integral 

/ f.i dco = I dmds = I {dm I V — gik dx t - dxk) 



§ 25. Die Miesche Theorie. 183 

nenne ich die Substanzwirkung der Masse. Im letzten Integral bezieht 
sich die innere Integration über denjenigen Teil der Weltlinie eines be- 
liebigen Substanzelements von der Masse dm, der dem Gebiete X ange- 
hört, die äußere bezeichnet Summation über alle Substanzelemente. Rein 
mathematisch stellt sich dieser Übergang von Substanz-Eigenzeit- zu ge- 
wöhnlichen Raum-Zeit- Integralen folgendermaßen dar. Wir führen zu- 
nächst die »Substanzdichte« v der Masse durch die Gleichung ein: 

dm = v da dß dy 

(gegenüber beliebigen Transformationen der Substanzkoordinaten aßy 
verhält sich v wie eine skalare Dichte). Auf jeder Weltlinie einer Sub- 
stanzstelle [aßy) zählen wir die Eigenzeit s von einem bestimmten An- 
fangspunkt aus (der aber natürlich von Substanzstelle zu Substanzstelle 
stetig variieren soll). Dann sind die Koordinaten xi des Weltpünktes, in 
welchem sich die Substanzstelle [aßy) im Augenblick s ihrer Bewegung 
(nach Verlauf der Eigenzeit s) befindet, stetige Funktionen von aßys, 
deren Funktionaldeterminante 



i(x x x x a x 3 ) 



den absoluten Betrag <d 



b[aßys 
besitze. Die Gleichung (70) besagt dann 

Auf analoge Art ist die Ruhdichte q q der elektrischen Ladung zu er- 
klären. Als Substanzwirkung der Elektrizität setzen wir an: 



j (dej rpi dxi) , 



wo die äußere Integration sich wieder über alle Substanzelemente, die 

innere aber jeweils über denjenigen Teil der Weltlinie eines mit der 

Ladung de behafteten Substanzelementes erstreckt, der im Innern des 
Weltgebiets X verläuft. Wir können dafür auch schreiben 

I de ds • (pi u l = / q vr cpjdtt) = / s' fp t da) , 

dxi 
wenn u' = —^- die Komponenten der Weltrichtung sind und r = Q u' 
ds 

die Komponenten des Viererstroms (reiner Konvektionsstrom). Endlich 

tritt neben der Substanz- auch eine Feldwirkung der Elektrizität auf, für 

welche die Maxwellsche Theorie den einfachen Ansatz 

macht. Das Hamiltonsche Prinzip, welches die Maxwell-Lorentzschen 
Gesetze zusammenfaßt, lautet dann wie folgt: 

Die Gesamtwirkung, d. i. die Summe aus Feld- und Substanzwirkung 



184 



Relativität von Raum und Zeit. 



der Elektrizität plus der Substanzwirkung der Masse erleidet bei einer be- 
liebigen [außerhalb eines endlichen Gebiets verschivindenden) Variation des 
Feldzustandes [der cpi) und einer ebensolchen raumzeitlichen Verschiebung der 
von den einzelnen Substanzstellen beschriebenen Weltlinien keine Änderung. 
Dieses Prinzip liefert offenbar zunächst durch Variation der <jp, die 
Gleichungen 

• hF ik 

— — = s' = Q U l . 

Halten wir hingegen die cp t - fest und variieren die Weitlinien der Sub- 
stanzelemente, so bekommen wir, indem wir (wie in § 17 bei Bestim- 
mung der kürzesten Linien) Differentiation und Variation . vertauschen und 
darauf partiell integrieren: 

d I (pidxi = I (d (pi dxi + epi ddxi) — / (<5 cpi dx t - — öxid(pi) 

J \dxk oxil 

Dabei sind dx t - die Komponenten der infinitesimalen Verschiebung, welche 
die einzelnen Punkte der Weltlinie erfahren. Demnach ist 

ö I (de I cfi dxi) = deds • Fik u 1 ' dxk = I Q Fik u'öxk • da> . 

Variieren wir ebenso die Substanzwirkung der Masse (diese Rechnung 
wurde in § 1 7 schon allgemeiner, für variable ga durchgeführt), so gehen 
die mechanischen Gleichungen hervor, welche in der Maxwellschen Theorie 
zu den Feldgleichungen hinzutreten: 

du{ " _ . _, - 

^0-^= Pi 1 Pi = Qo F ik u k = Fik s k . 

Und damit ist jener ganze zyklisch geschlossene Gesetzeszusammenhang 
gewonnen, von welchem auf S. 168 die Rede war. — Die Existenz des 
Elektrons vermag diese Theorie natürlich nicht zu erklären, da in ihr 
Kohäsionskräfte fehlen. 

An dem eben formulierten Wirkungsprinzip fällt auf, daß neben die 
Substanzwirkung der Masse nicht ebenso eine Feldwirkung tritt, wie das 
bei der Elektrizität der Fall ist; diese Lücke wird im nächsten Kapitel 
ausgefüllt werden, wo sich das Gravitationsfeld als dasjenige zeigen wird, 
was der Masse in der gleichen Weise entspricht wie das elektromagnetische 
Feld der elektrischen Ladung. 



Die große Erkenntnis, zu der wir in diesem Kapitel gelangt sind, ist 
die, daß der Schauplatz der Wirklichkeit nicht ein dreidimensionaler 
Euklidischer Raum ist, sondern die vierdimensionale Welt, in der Raum 
und Zeit in unlöslicher Weise miteinander verbunden sind. So tief die 
Kluft ist, welche für unser Erleben das anschauliche Wesen von Raum 



§ 26. Relativität der Bewegung, metrisches Feld und Gravitation. 185 

und Zeit trennt — von diesem qualitativen Unterschied geht in jene 
objektive Welt, welche die Physik aus der unmittelbaren Erfahrung 
herauszuschälen sich bemüht, nichts ein. Sie ist ein vierdimensionales 
Kontinuum, weder >Raum« noch »Zeit«; nur das an einem Stück dieser 
Welt hinwandernde Bewußtsein erlebt den Ausschnitt, welcher ihm ent- 
gegenkommt und hinter ihm zurückbleibt, als Geschichte, als einen in 
zeitlicher Entwicklung begriffenen, im Räume sich abspielenden Prozeß. 
Diese vierdimensionale Welt ist metrisch, wie der Euklidische Raum; 
aber die quadratische Form, welche die Metrik bestimmt, ist nicht positiv- 
definit, sondern hat eine negative Dimension. Dieser Umstand ist zwar 
mathematisch belanglos, aber für die Wirklichkeit und ihren Wirkungs- 
zusammenhang von tiefer Bedeutung. Es war nötig, den in mathema- 
tischer Hinsicht so einfachen Gedanken der metrischen vierdimensionalen 
Welt nicht nur in isolierter Abstraktion zu erfassen, sondern ihn in seine 
wichtigsten Konsequenzen für die Auffassung der physikalischen Vorgänge 
zu verfolgen, um zu einem lebendigen Verständnis seines Inhalts und 
seiner Tragweite zu gelangen; das sollte hier in aller Kürze versucht 
werden. Es bleibt merkwürdig, daß die dreidimensionale Geometrie der 
statischen Welt, die schon von Euklid in ein vollendetes axiomatisches 
System gebracht wurde, für uns einen so einleuchtenden Charakter besitzt, 
während wir uns der vierdimensionalen erst in zähem Ringen und im 
Anschluß an ein ausgedehntes physikalisch-empirisches Material haben 
bemächtigen können. Erst mit der Relativitätstheorie ist unsere Natur- 
erkenntnis (darf man sagen) der Tatsache der Bewegung, der Veränderung 
in der Welt vollständig gerecht geworden. 



Kapitel IV. 
Allgemeine Relativitätstheorie. 

§ 26. Relativität der Bewegung, metrisches Feld und 
Gravitation x ). 

In so vollendeter Weise auch immer das Einsteinsche Relativitäts- 
prinzip, das wir im vorigen Kapitel entwickelt haben, den aus der Er- 
fahrung gewonnenen, den Wirkungszusammenhang der Welt präzisierenden 
Naturgesetzen gerecht wird — in erkenntnistheoretischer Hinsicht können 
wir uns nicht mit ihm zufrieden geben. Greifen wir noch einmal auf 
den Anfang des letzten Kapitels zurück! Wir lernten damals ein »kine- 
matisches« Relativitätsprinzip kennen. x 1 x a x z1 t waren die Raum-Zeit- 
Koordinaten eines Weltpunktes, bezogen auf ein bestimmtes dauernd vor- 
handenes Cartesisches Koordinatensystem im Raum, x' t x' 9 x' 31 t' die 
Koordinaten desselben Punktes in bezug auf ein zweites solches System, 
das zu dem ersten in beliebiger Bewegung begriffen sein kann; zwischen 
ihnen bestehen die Transformationsformeln (II), S. 126. Wir sahen mit 



1 85 Allgemeine Relativitätstheorie. 

voller Evidenz ein, daß zwei physikalische Zustandsverläufe objektiv in 
keiner Weise voneinander verschieden sind, wenn die Zustandsgrößen für 
den einen sich durch dieselben mathematischen Funktionen von x\ x',*'^ ? 
darstellen, die in den Argumenten x I x a x $ , t den andern Verlauf be- 
schreiben. Es müssen also auch die Naturgesetze in dem einen System 
unabhängiger Raum-Zeit-Argumente genau die gleiche Form besitzen wie 
in dem andern. Freilich: die Tatsachen der Dynamik scheinen jener 
Forderung ins Gesicht zu schlagen, und unter dem Zwange dieser Tat- 
sachen hat man sich seit Newton dazu entschließen müssen, nicht der 
Translation, wohl aber der Rotation eine absolute Bedeutung zuzuschreiben ; 
doch hat die Vernunft dieses ihr durch die Wirklichkeit zugemutete Ab- 
strusum niemals recht verdauen können (trotz aller philosophischen Recht- 
fertigungsversuche, vgl. z. B. Kants > Metaphysische Anfangsgründe der 
Naturwissenschaften«), und das Problem der Zentrifugalkraft ist immer 
wieder als ungelöstes Rätsel empfunden worden 2 ). 

Indem wir aber die in Kap. II dargestellten Riemannschen Ideen, 
statt auf den dreidimensionalen Euklidischen Raum, auf die vierdimensio- 
nale Einstein-Minkowskische Welt, von welcher das vorige Kapitel han- 
delte, anwenden, gelangen wir zu einer überraschenden Lösung, die uns 
gleichfalls von Einstein aufgedeckt wurde. Wir ziehen dabei vorläufig 
nicht den allgemeinsten Begriff der metrischen Mannigfaltigkeit heran, 
sondern bleiben bei der Riemannschen Auffassung stehen. Die Welt- 
punkte, haben wir danach anzunehmen, bilden eine vierdimensionale Man- 
nigfaltigkeit, welcher durch eine nicht-ausgeartete quadratische Differen- 
tialform Q von einer positiven und drei negativen Dimensionen*) eine 
Maßbestimmung aufgeprägt ist. Bei Benutzung irgendeines Koordinaten- 
systems x t -(i = 0,1,2,3) (i m allgemeinen Riemannschen Sinne) sei 

( 1 ) Q =^J g ik dxi dx k . 

ik 

Die Naturgesetze drücken sich jetzt als Tensorrelationen aus, die gegen- 
über beliebigen stetigen Transformationen der Argumente Xi invariant 
sind; dabei treten dann aber neben den übrigen physikalischen Zustands- 
größen die Koeffizienten g& der quadratischen Differentialform (1) auf. 
Der oben aufgestellten Relativitätsforderung wird demnach im Einklang 
mit den Erfahrungstatsachen Genüge geleistet, wenn wir die gik in genau 
der gleichen Weise wie etwa die Komponenten cp z - des elektromagnetischen 
Potentials (welche die Koeffizienten einer invarianten linearen Differential- 
form V f (fi dxi bilden) als physikalische Zustandsgrößen betrachten , denen 



*) Wir lassen gegenüber dem vorigen Kapitel die Änderung eintreten, daß wir 
die metrische Fundamentalform mit dem entgegengesetzten Vorzeichen versehen. Die 
frühere Festsetzung war die bequemere zur Darstellung der Zerspaltung der Welt in 
Raum und Zeit, für die allgemeine Theorie erweist sich die gegenwärtige als die 
zweckmäßigere. 



§ 26. Relativität der Bewegung, metrisches Feld und Gravitation. 187 

etwas Reales entspricht, das > metrische Feld«. Es besteht unter diesen 
Umständen sogar Invarianz nicht bloß gegenüber den erwähnten Trans- 
formationen (II), die nur in bezug auf die Zeitkoordinate völlig willkür- 
lichen (nicht-linearen) Charakter tragen, sondern gegenüber allen Trans- 
formationen überhaupt. Die Auszeichnung der Zeitkoordinate in (II) ist 
ja in der Tat mit den durch das Einsteinsche Relativitätsprinzip ge- 
wonnenen Erkenntnissen unverträglich. Indem wir aber statt (II) ganz 
beliebige Transformationen zulassen, auch solche, die in den Raumkoordi- 
naten nicht-linear sind, behaupten wir, daß die Cartesischen Koordinaten- 
systeme an sich in keiner Weise vor irgendeinem > krummlinigen« Koordi- 
natensystem ausgezeichnet sind. Damit fällt die Existenz einer von der 
Physik unabhängigen Geometrie im alten Sinne, und gerade weil wir uns 
von dem Dogma der Existenz einer solchen Geometrie noch nicht frei 
gemacht hatten, waren wir durch vernünftige Überlegung auf das Rela- 
tivitätsprinzip (II) und nicht sofort auf das Prinzip der Invarianz gegenüber 
beliebigen Transformationen der vier Weltkoordinaten gekommen. In Wahr- 
heit beruht aber das räumliche Messen auf einem physikalischen Vorgang: 
der Reaktion der Lichtstrahlen und starren Maßstäbe auf die gesamte 
Körperwelt. Bereits in § 20 trat uns dieser Gesichtspunkt entgegen, vor 
allem aber können wir an die Ausführungen von § 12 anknüpfen; denn in 
der Tat sind wir hier zu Riemanns »dynamischer« Auffassung gelangt als 
einer notwendigen Konsequenz der Relativität aller Bewegung. Das Ver- 
halten der Lichtstrahlen und Maßstäbe wird außer durch ihre eigene Be- 
schaffenheit bestimmt durch das »metrische Feld«, genau so wie das 
Verhalten einer elektrischen Ladung außer von dieser selbst von dem 
elektrischen Feld abhängt. Wie aber das elektrische Feld seinerseits er- 
zeugt wird von den Ladungen und durch seine Vermittlung also eine 
ponderomotorische Wechselwirkung der Ladungen aufeinander zustande 
kommt, müssen wir hier annehmen, daß das metrische Feld (oder, mathe- 
matisch gesprochen, der Tensor mit den Komponenten ga) erzeugt wird 
durch das Materielle, welches die Welt erfüllt. Wir verweisen auf das 
am Schlüsse des vorigen Paragraphen aufgestellte Wirkungsprinzip, in 
dessen beiden, auf die Substanz bezüglichen Teilen das metrische Feld 
in der gleichen Weise der Masse gegen übertritt wie das elektrische Feld 
der elektrischen Ladung. Die im vorigen Kapitel über die Weltmetrik 
gemachte, der Euklidischen Geometrie im dreidimensionalen Raum ent- 
sprechende Annahme, daß es spezielle Koordinatensysteme gibt, die 
»linearen«, in welchen die metrische Fundamentalform konstante Ko- 
effizienten hat, -ist dieser Auffassimg gegenüber nicht mehr aufrecht zu 
erhalten. 

Durch ein einfaches anschauliches Beispiel kann man sich klar machen, 
wie die geometrischen Verhältnisse durch Bewegung in Mitleidenschaft 
gezogen werden. Man versetze eine ebene Scheibe in gleichförmige 
Rotation. Ich behaupte, wenn in demjenigen Bezugsraum, relativ zu dem 
hier von gleichförmiger Rotation gesprochen wird, die Euklidische Geo- 



l88 Allgemeine Relativitätstheorie. 

metrie gilt, sie auf der rotierenden Scheibe, wenn diese mittels mitbe- 
wegter Maßstäbe ausgemessen wird, nicht mehr gilt. Man betrachte 
nämlich einen um das Rotationszentrum beschriebenen Kreis auf der 
Scheibe. Sein Radius hat den gleichen Wert, ob ich ihn mittels ruhen- 
der oder mitbewegter Maßstäbe messe; denn die Bewegungsrichtung ist 
senkrecht zu der Längserstreckung des an den Radius angelegten Maß- 
stabes. Hingegen ergibt sich für die Kreisperipherie mittels der mit- 
bewegten Maßstäbe wegen der Lorentz-Kontraktion, welche sie erfahren, 
ein größerer Wert. Auf der rotierenden Scheibe gilt somit nicht mehr 
das Euklidische Gesetz, daß der Umfang des Kreises = 2 7t mal dem 
Radius ist. 

Wenn in einem Speisewagen, der durch eine scharfe Kurve fährt, die 
Gläser umfallen, oder ein in Rotation versetztes Schwungrad zerspringt, 
so haben wir darin nach der hier skizzierten Auffassung nicht, wie nach 
Newton, die Wirkung einer > absoluten Rotation« zu erblicken, die es 
nicht gibt, sondern des »metrischen Feldes«. Sofern der Zustand dieses 
Feldes, das etwas physikalisch Reales ist, nicht beharrt, sondern der 
gegenwärtige sich aus vergangenen unter dem Einfluß der in der Welt 
vorhandenen Massen, der Fixsterne, herausgebildet hat, ist jene Erschei- 
nung also zum Teil eine Wirkung der Fixsterne, relativ zu denen die 
Rotation stattfindet*). — 

Zur allgemeinen Relativitätstheorie, die wir jetzt aus der im vorigen 
Kapitel entwickelten »speziellen« mit Einstein herzuleiten im Begriffe 
sind, erheben wir uns am besten in zwei Stufen. 

I. Wir vollziehen, dem Geiste der Kontinuität gemäß, den gleichen 
Übergang für die vierdimensionale Welt, der uns in Kap. II von der 
Euklidischen zur Riemannschen Geometrie führte. Dabei tritt eine quadra- 
tische Differentialform (1) als metrische Grundform auf. Es ist ohne 
weiteres möglich, die physikalischen Gesetze dieser Verallgemeinerung 
anzupassen. Dabei ist es angemessen, die Quantitätsgrößen durch Ten- 
sordichten sfatt wie in Kap. III durch Tensoren zu repräsentieren, was 
durch Multiplikation mit Vg erreicht wird [g die negative Determinante 
der gik). So werden insbesondere Massen- und Ladungsdichte /t und q 
statt durch die Formel (70), § 25 durch 

dm ds = (idx , de ds = q dx . (dx = dx Q dx z dx a dx 3 ) 
zu erklären sein; die Eigenzeit ds längs der Weltlinie bestimmt sich aus 
ds 9 = gik dxi dx k . 

*) »Zum Teil« darum, weil die Massenverteilung in der Welt das metrische Feld 
nicht eindeutig bestimmt; sondern beide sind in einem Moment unabhängig vonein- 
ander und zufällig (genau wie Ladung und elektrisches Feld), die Naturgesetze lehren 
lediglich, wie sich aus einem solchen Anfangszustand beider alle übrigen (vergangenen 
und zukünftigen) Zustände zwangsläufig entwickeln. Daß die Welt, wie wir sie tat- 
sächlich vorfinden, im Großen genommen, stationär (in Ruhe) ist, kann, wenn über- 
haupt, nur als statistisches Gleichgewicht verstanden werden. Vgl. darüber § 33. 



§26. Relativität der Bewegung, metrisches Feld und Gravitation. 189 

Die Maxwellschen Gleichungen lauten 

Ptfc — * \ — > ~x — 9 ' 

OXk OXi QXk 

(fi sind die Koeffizienten einer invarianten linearen Differentialform <jp,- */*,-, 
% ik bedeutet nach früherer Konvention Vg • F ik . In der Lorentzschen 
Theorie wird für 0' der Ansatz gemacht 



= QU 1 ' 



(*=£) 



Die ponderomotorische Kraft pro Volumeinheit (eine kovariante Vektor- 
dichte in der vierdimensionalen Welt) bestimmt sich aus*) 

(2) & = — &*»*, 

und die mechanischen Gleichungen lauten allgemein 

(3) ■*(£-{'.'}«■•')-*' 

dabei ist stets pi u' = o. Wir können ihnen die frühere Form geben, 
wenn wir neben den p{ die Größen 

(4) {'fy^r.^S-^y.. _ 

— vgl. § 17, Gl. (64) — als die Komponenten p t - einer aus dem 
metrischen Felde entspringenden > Scheinkraft« einführen; denn dann 
lauten jene Gleichungen 

dui , - 

*?? -* + **;• 

Die einfachsten Beispiele solcher »Scheinkräfte« sind die Zentrifugal- und 
Coriolis-Kraft. Vergleichen wir die Formel (4) für die aus dem metrischen 
Felde entspringende > Scheinkraft« mit der für die ponderomotorische Kraft 
des elektromagnetischen Feldes, so zeigt sich eine vollständige Analogie. 
Wie nämlich die Vektordichte mit den kontravarianten Komponenten §' 
die Elektrizität charakterisiert, so wird, wie wir gesehen haben, die sich 
bewegende Materie durch die Tensordichte mit den Komponenten 
$,- = (imu k beschrieben. Den Komponenten Fa des elektrischen Feldes 
entsprechen hier als Komponenten des metrischen Feldes die Größen 



*T {'.'} 



Wie die Feldkomponenten F durch Differentiation aus dem elektromagne- 
tischen Potential cpi entspringen, so die T aus den gik\ diese bilden so- 
mit das Potential des metrischen Feldes. Die Kraftdichte ist das Produkt 
aus elektrischem Feld und Elektrizität auf der einen Seite, aus metrischem 
Feld und Materie auf der andern Seite: 



*) Änderung des Vorzeichens wegen Änderung des Vorzeichens der metrischen 
Fundamentalform ! 



igo Allgemeine Relativitätstheorie. 

pi = - Fiki*, bzw. pi = t%% £ . 

Verlassen wir die Vorstellung einer unabhängig von den physikalischen 
Zuständen existierenden Substanz, so tritt an deren Stelle die durch den 
Zustand des Feldes bestimmte allgemeine Energie-Impuls-Dichte %,. Nach 
der speziellen Relativitätstheorie genügt sie dem Erhaltungssatz 



ÜXk 

Diese Gleichung ist jetzt nach Formel (37), § 14 zu ersetzen durch die 
allgemein invariante 

(5) ^-17^=0. 

Würde auf der linken Seite nur das erste Glied stehen, so würde auch 
jetzt % den Erhaltungsgesetzen genügen. Statt dessen kommt aber ein 
zweiter Term hinzu: die > reale« Gesamtkraft 



Pi 



ö£? 



hXk 

verschwindet nicht, sondern ihr muß durch die aus dem metrischen Felde 
entspringende »Scheinkraft« 

1 QXi 

das Gleichgewicht gehalten werden. 

Diese Formeln erweisen sich auch in der speziellen Relativitätstheorie 
als zweckmäßig, wenn man sich auf ein krummliniges oder krummlinig 
bewegtes oder beschleunigtes Koordinatensystem zu beziehen hat. Um 
den schlichten Sinn unserer Ausführungen deutlich zu machen, wollen 
wir auf diesem Wege die Zentrifugalkraft bestimmen, die in einem rotie- 
renden Bezugssystem auftritt. Verwenden wir ein normales Koordinaten- 
system für die Welt: /, x x1 x a , x 3 , führen aber an Stelle der Cartesischen 
Raumkoordinaten Zylinderkoordinaten r, z, 6 ein, so ist 

ds* = dt a — {dz' + dr' + rV0 a ) . 

Wir machen, unter to eine konstante Winkelgeschwindigkeit verstanden, 
die Substitution 

= d'-\-(x)t\ t=f 

und lassen hernach die Akzente wieder fort; dann kommt 

ds* m*df{l —r'to*) — 2r*wdddt—{dz*-\-dr* + r*dd*). 

Setzen wir einen Augenblick 

t = x , = x l3 z = x„r = x z , 

so ist für einen in dem jetzt benutzten Bezugssystem ruhenden Massen- 
punkt u x = w 3 = u 3 = o und daher 



§ 26. Relativität der Bewegung, metrisches Feld und Gravitation. i q i 

Für die Komponenten der Zentrifugalkraft gilt die Formel (4): 

und da die Ableitungen von g 00 = 1 — r 2 w 3 nach *<,*,.*■, verschwinden und 

ö* 3 ör 

ist, ergibt sich bei Rückkehr zu den gewöhnlichen Maßeinheiten, in denen 
die Lichtgeschwindigkeit c nicht =1 ist, und wenn man die kontra- 
varianten Komponenten statt der kovarianten benutzt, statt der Indizes 
o, 1, 2, 3 aber die bezeichnenderen /, 0, 2, r: 



(.trio 




p' = p° = p' = o, 



Zwei eng miteinander zusammenhängende Umstände sind für die 
» Scheinkräfte < des metrischen Feldes charakteristisch. Erstens: die Be- 
schleunigung, welche sie einem an einer bestimmten Raum-Zeit-Stelle be- 
findlichen (genauer: diese Stelle mit bestimmter Geschwindigkeit passie- 
renden) Massenpunkt erteilen, ist unabhängig von dessen Masse — oder 
die Kraft selber ist der trägen Masse des Massenpunktes, an welcher sie 
angreift, proportional. Zweitens', bei Benutzung eines geeigneten, näm- 
lich eines geodätischen Koordinatensystems an einer bestimmten Raum- 
Zeit-Stelle verschwinden jene Kräfte vollständig (vgl. § 14). Gilt die 
spezielle Relativitätstheorie, so kann dieses Verschwinden simultan für 
alle Raum-Zeit-Punkte durch Einführung eines linearen Koordinatensystems 
erreicht werden, aber auch im allgemeinen Falle können wenigstens für jede 
einzelne Stelle durch ein zu dieser Stelle gehöriges geeignetes Koordinaten- 
system die sämtlichen 40 Komponenten l~«p des metrischen Feldes zum 
Verschwinden gebracht werden*). 

Die erwähnten beiden Umstände treffen nun aber erfahrungsgemäß zu 
für die Gravitationskraft. Darin, daß ein gegebenes Gravitationsfeld jeder 
Masse, die man in das Feld bringt, die gleiche Beschleunigung erteilt, 
liegt ja gerade das eigentliche Rätsel der Schwerkraft. Im elektrostatischen 
Felde wirkt auf ein schwach geladenes Probekörperchen die Kraft e • (?, 
wo die elektrische Ladung e nur vom Probekörper, die elektrische Feld- 
stärke @ nur vom Felde abhängt. Wirken keine weiteren Kräfte, so er- 
teilt diese Kraft dem Probekörper von der trägen Masse m eine Be- 
schleunigung 6, welche sich durch die Grundgleichung der Mechanik 



*) Es liegt demnach im Wesen des metrischen Feldes, daß es nicht durch einen 
gegenüber beliebigen Transformationen invarianten Feldtensor V beschrieben werden 
kann. 



IQ2 Allgemeine Relativitätstheorie. 

tnb = eQt bestimmt. Im Gravitationsfeld gilt etwas ganz Analoges. Die am 
Probekörper angreifende Kraft ist = g®, wo^, die »Gravitationsladung«, 
nur vom Probekörper, & aber nur vom Felde abhängt; die Beschleunigung 
bestimmt sich auch hier durch die Gleichung mb = g ©. Nun stellt sich aber 
die merkwürdige Tatsache heraus, daß die »Gravitationsladung« oder 
■»schwere Masse*- g gleich der » trägen Masse* m ist. Von Eötvös ist die empi- 
rische Geltung dieses Gesetzes in neuerer Zeit aufs genaueste geprüft worden 3 ). 
Die einem Körper an der Erdoberfläche durch die Erddrehung erteilte Zentri- 
fugalkraft ist der trägen, sein Gewicht der schweren Masse proportional. 
Die Resultierende aus beiden, die scheinbare Schwere, würde für ver- 
schiedene Körper verschiedene Richtung haben müssen, wenn nicht durch- 
weg Proportionalität zwischen schwerer und träger Masse besteht. Daß 
eine solche Richtungsverschiedenheit nicht stattfindet, konstatiert Eötvös 
an dem empfindlichsten Instrument, der Drehwage; es wird dadurch die 
träge Masse eines Körpers mit derselben Genauigkeit gemessen, mit der 
wir durch eine Präzisionswage sein Gewicht bestimmen. — Die träge 
Masse eines Körpers hat nach dem Grundgesetz der Mechanik universelle 
Bedeutung; sie regelt sein Verhalten gegenüber allen auf ihn stattfindenden 
Kraftwirkungen, welchen physikalischen Ursprungs sie auch sein mögen; 
seine schwere Masse ist aber nach der gewöhnlichen Auffassung (wie die 
elektrische Ladung) auf ein spezielles physikalisches Kraftfeld , das der 
Gravitation bezogen. Vom Standpunkt einer solchen Auffassung aus muß 
aber die Identität zwischen träger und schwerer Masse unverständlich 
bleiben; ihr kann nur eine Mechanik gerecht werden, die von vornherein 
neben der trägen Masse die Gravitation enthält. Das ist mit der Mechanik 
des allgemeinen Relativitätsprinzips der Fall, wenn wir annehmen, daß 
die Gravitation genau so wie die Zentrifugal- oder Corioliskraft mit in 
jener » Scheinkraft* drin steckt, die dem metrischen Feld entspringt. — 
Die Gravitationskräfte genügen erfahrungsgemäß auch der zweiten Forde- 
rung, daß sie an einer Raum-Zeit-Stelle durch Einführung eines geeigneten 
Koordinatensystems zum Verschwinden gebracht werden können. Ein 
geschlossener Kasten, ein Lift, dessen Seil gerissen ist und der reibungs- 
los im Schwerefeld der Erde abstürzt, ist ein anschauliches Beispiel eines 
solchen Bezugssystems. Alle frei fallenden Körper werden in diesem 
Kasten zu ruhen scheinen, die Vorgänge werden sich trotz der wirkenden 
Schwerkraft relativ zu dem Kasten genau so abspielen, als wenn der 
Kasten ruhte und kein Schwerefeld vorhanden wäre. 

II. Der unter I. geschilderte Übergang von der speziellen zur all- 
gemeinen Relativitätstheorie ist eine rein mathematische Angelegenheit. 
Unter Einführung der metrischen Grundform (i) können wir die Natur- 
gesetze so formulieren, daß sie invariant sind gegenüber beliebigen Trans- 
formationen; das ist eine mathematische Wesensmöglichkeit, es liegt darin 
gar keine besondere Eigentümlichkeit dieser Gesetze. Ein neues physi- 
kalisches Moment kommt erst durch die Annahme hinein, die Weltmetrik 
sei nicht a priori fest gegeben, sondern jene quadratische Grundform werde 



§ 26. Relativität der Bewegung, metrisches Feld und Gravitation. \gj 

durch die Materie nach allgemein invarianten Gesetzen bestimmt. Erst 
dadurch erheben wir uns zu einer Theorie, die den Namen einer allge- 
meinen Relativitätstheorie wirklich verdient und nicht nur das mathe- 
matische Gewand einer solchen erborgt hat. Erst sie ermöglicht es, das 
Problem der Relativität der Bewegung zu lösen. Erst sie führt jene 
schon unter I. erwähnte Analogie zu Ende, nach der sich das metrische 
Feld zur Materie verhält wie das elektrische zur Elektrizität. Und nur 
wenn wir sie akzeptieren, ist die am Schluß des vorigen Absatzes an- 
gedeutete Theorie möglich, nach der die Gravitation eine Äußerungsweise 
des metrischen Feldes ist; denn wir wissen aus der Erfahrung, daß das 
Gravitationsfeld sich durch die Massenverteilung (nach dem Newtonschen 
Attraktionsgesetz) bestimmt. Weniger in der Forderung der allgemeinen 
Invarianz, sondern in dieser Annahme erblicke ich daher den eigentlichen 
Kern der allgemeinen Relativitätstheorie. Stellen wir uns auf diesen 
Standpunkt, so sind wir nicht mehr berechtigt, die aus dem metrischen 
Feld entspringenden Kräfte als Scheinkräfte zu bezeichnen; sie haben 
dann eine genau so reale Bedeutung wie die ponderomotorischen Kräfte 
des elektromagnetischen Feldes. Diesem Umstände Rechnung tragend, 
wollen wir in Zukunft vom Gravitations- statt vom metrischen Felde 
sprechen. Auch Coriolis- und Zentrifugalkraft sind reale Kraftwirkungen, 
die von dem Gravitationsfeld auf die Materie ausgeübt werden. Während 
sich unter I. die mathematisch leicht zu lösende Aufgabe stellte, die be- 
kannten Naturgesetze (wie die Maxwellschen Gleichungen) von dem spe- 
ziellen Fall eines konstanten metrischen Fundamentaltensors auf den all- 
gemeinen zu übertragen, haben wir zur Durchführung des jetzt entwickelten 
Gedankens das invariante Gravitationsgesetz zu ermitteln, nach welchem 
die Materie die Komponenten V^ des Gravitationsfeldes bestimmt und das 
in der Einsteinschen Theorie an die Stelle des Newtonschen Attraktions- 
gesetzes tritt. Hierfür bieten uns die bekannten Feldgesetze keinen An- 
haltspunkt. Trotzdem gelang es Einstein, dies Problem in zwingender 
Weise zu lösen und zu zeigen, daß sich der Ablauf der Planetenbewe- 
gungen aus dem gefundenen Gesetz ebensogut erklärt wie aus dem alten 
Newtonschen, ja daß sich die einzige, bisher nicht befriedigend erklärte Un- 
stimmigkeit, welche das Planetensystem gegenüber der Newtonschen Theorie 
aufweist, ein Vorrücken des Merkur-Perihels um den Betrag von 43" pro 
Jahrhundert, quantitativ richtig aus seiner Gravitationstheorie ergibt. 

So fällt uns durch diese Theorie, die eines der mächtigsten Zeugnisse 
für die Kraft spekulativen Denkens ist, mit der Lösung des Problems 
der Relativität aller Bewegung (einer Lösung, die allein imstande ist, 
unsere Vernunft zu befriedigen) zugleich die Lösung des Rätsels der Schwer- 
kraft als eine reife Frucht mit in den Schoß 4 ). Man sieht, wie bedeut- 
same Argumente hier, zu den in Kap. II besprochenen hinzutretend, 
dem Riemann-Einsteinschen Standpunkt der allgemeinen Relativität zum 
Durchbruch verhelfen. Auch darf man behaupten, daß erst dieser Stand- 
punkt dem Umstände völlig gerecht wird, daß Raum und Zeit dem mate- 

Weyl, Raum, Zeit, Materie. 3. Aufl. \X 



I Q4 Allgemeine Relativitätstheorie. 

rialen Gehalt der Welt als Formen der Erscheinungen gegenübertreten: 
nur die physikalischen Zustandsgrößen können gemessen, d. h. aus mate- 
riellen Geschehnissen abgelesen werden, nicht aber die vier Weltkoordi- 
naten, die vielmehr a priori in willkürlicher Weise den Weltpunkten zu- 
geordnet werden, um die Darstellung der in der Welt ausgebreiteten 
Zustandsgrößen durch mathematische Funktionen (von vier unabhängigen 
Variablen) zu ermöglichen. 

Während das Potential des elektromagnetischen Feldes von den Koeffi- 
zienten einer invarianten linearen Differentialform der Weltkoordinaten 
(fidxi gebildet wird, besteht das Potential des Gravitationsfeldes aus den 
Koeffizienten einer invarianten quadratischen Differentialform. In diese 
Erkenntnis von grundsätzlicher Bedeutung hat sich in dem Aufstieg, den 
wir hier vollzogen, allmählich der Pythagoreische Lehrsatz verwandelt. 
Sie kommt uns in der Tat nicht aus der Beobachtung der Gravitations- 
erscheinungen im eigentlichen Sinne (Newton wurde den Beobachtungen 
durch Einführung eines einzigen Gravitationspotentials gerecht), sondern 
aus der Geometrie, den Erfahrungen des Messens. Die Einsteinsche 
Gravitationstheorie entspringt eben durch das Zusammentreten zweier Er- 
kenntnisgebiete, die bis dahin in der historischen Entwicklung völlig ge- 
trennt verlaufen waren; wir könnten diese Synthese durch das Schema 

Pythagoras Newton 

Einstein 
andeuten. 

Um die Werte der Größen gik aus unmittelbar beobachtbaren Tatsachen 
zu entnehmen, benutzen wir wie in der speziellen Relativitätstheorie Licht- 
signale und kräftefrei sich bewegende Massenpunkte. — Die Weltpunkte 
seien irgendwie auf Koordinaten Xi bezogen. Die durch einen Weltpunkt 
O hindurchgehenden geodätischen Linien 

(6) 7F + 1 i\-J7-dt = °' ^77rf7 = C=konst ' 

zerfallen in zwei Klassen, diejenigen mit raumartiger und die mit zeit- 
artiger Richtung (C <C o bzw. C ^> o). Die letzteren erfüllen einen 
> Doppelkegel < mit Knotenpunkt in 0, der von aus in zwei einfache 
Kegel zerfällt, den in die Zukunft und den in die Vergangenheit ge- 
öffneten. Der erste enthält alle Weltpunkte, die zur > aktiven Zukunft* 
von O gehören, der andere alle Weltpunkte, welche die »passive Ver- 
gangenheit*- von O ausmachen. Der begrenzende Kegelmantel wird von 
den geodätischen Nullinien (C=o) gebildet; auf seiner »zukünftigen« 
Hälfte liegen alle Weltpunkte, in denen ein in O gegebenes Lichtsignal 
eintrifft, allgemeiner die strengen »Einsatzpunkte« einer jeden in O aus- 
gelösten Wirkung. Die metrische Fundamentalform bestimmt demnach 
allgemein , welche Weltpunkte untereinander in Wirkungszusammenhang 
stehen. Sind dx t - die relativen Koordinaten eines zu O unendlich 
benachbarten Weltpunktes 0\ so wird O' von einem in O aufgegebenen 



§ 26. Relativität der Bewegung, metrisches Feld und Gravitation. ig 5 

Lichtsignal dann und nur dann passiert, wenn gikdxidxk = o ist. Durch 
Beobachtung der Lichtankunft in den zu O benachbarten Punkten können 
wir also das Verhältnis der Werte der g;k im Punkte O feststellen; und 
wie in O, so in jedem andern Punkt. Mehr aber läßt sich aus dem Vorgang 
der Lichtausbreitung überhaupt nicht entnehmen ; denn es geht aus einer 
Bemerkung auf S. 114 hervor, daß die geodätischen Nullinien nur von dem 
Verhältnis der g& abhängig sind. — In Anbetracht dieser Umstände ist 
vielleicht der Name »Gravitationsfeld« für dasjenige Reale, was durch die 
metrische Fundamentalform dargestellt wird, zu einseitig und würde besser 
durch » Äther* ersetzt. In der Tat spielt dieser > Äther« die gleiche Rolle 
wie der Äther der alten Lichttheorie und der »absolute Raum« der Newton- 
schen Mechanik; nur ist er freilich etwas ganz anderes als ein substantieller 
Träger. 

Den durch die Beobachtung der Lichtausbreitung noch unbestimmt ge- 
lassenen Pfoportionalitätsfaktor in den gik wählen wir zunächst willkürlich. 
Die so erhaltenen Werte g% werden dann noch nicht die richtigen, der 
Normaleichung entsprechenden sein, sondern diese entspringen aus jenen 
nach der Formel ga = Xgfk, welche die unbekannte positive Raum-Zeit- 
Funktion X enthält. Indem wir aber zwei nur unter dem Einfluß des Gravi- 
tationsfeldes sich bewegende Massenpunkte, die O in zwei verschiedenen 
Weltrichtungen passieren, in der unmittelbaren Umgebung von O verfolgen, 
wird es uns gelingen, das Differential 

(d. i. die Werte seiner Koeffizienten) in O zu ermitteln. Geschieht dies 
nicht nur in O, sondern in allen Weltpunkten, so ist damit IgX bis auf 
eine additive, X selbst also bis auf eine multiplikative Konstante bestimmt. 
Die letztere muß durch individuelle Wahl einer Maßeinheit festgelegt werden. 
Wir führen für die Weltlinie des einen, O passierenden Massenpunktes 
die »falsche Eigenzeit« s* durch 

ds* 2 = gikdxidxk 

ein und setzen in O (mit einer ohne weiteres verständlichen Bezeichnung) 



* U ~~ ds* 9 ~*~\ i I ds* ds* 



dxi 

dS' 



Dieselbe Weltlinie soll bei Benutzung der aus ds 3 = Xds* 2 sich ergeben- 
den richtigen Eigenzeit .r als Kurvenparameter der geodätischen Gleichung (6) 

genügen. Indem wir darin ds durch X und ds*, \ . \ durch X und j . \ 



ausdrücken : 



ergibt sich 



13" 



ig6 Allgemeine Relativitätstheorie. 

(8) -y = U* + au 1 (mit a = -^-1 • 

»', £7' sind aus der Beobachtung zu entnehmen, A r und a sind unbekannt. 
Haben für den zweiten Massenpunkt v'\ V { } ß dieselbe Bedeutung wie 
«*', 17*, a für den ersten, so gilt außerdem 

(9) |=p- + /?z><\ 

Sind die beiden Weltrichtungen u und z> der Massenpunkte voneinander 
verschieden, so bestimmen die Gleichungen 

au { — ßv { =■ V 1 — U l 

eindeutig die Zahlen a und /?, und darauf liefert (8) oder (9) das ge- 
wünschte Resultat. 

§ 27. Einsteins Grundgesetz der Gravitation. 

Nach der Newtonschen Theorie wird der Zustand der Materie durch 
einen Shalar, die Massendichte [i, charakterisiert, und auch das Gravitations- 
potential ist ein Skalar 0\ es gilt die Poissonsche Gleichung 

(10) JO = 47tk/t (z/ = divgrad; k die Gravitationskonstante). 

Dies ist das Gesetz, nach welchem die Materie das Gravitationsfeld 
bestimmt. Nach der Relativitätstheorie kann die Materie im strengen 
Sinne nur durch einen symmetrischen Tensor 2. Stufe T,k, oder besser 
noch, durch die zugehörige gemischte Tensordichte $* zureichend be- 
schrieben werden, und im Einklang damit besteht auch das Potential des 
Gravitationsfeldes aus den Komponenten eines symmetrischen Tensors gik- 
Anstelle der einen Gleichung (10) wird also in der Einsteinschen Theorie 
ein System von Gleichungen zu erwarten sein, deren linke Seiten Diffe- 
rentialausdrücke 2. Ordnung in den g& sind und auf deren rechter Seite 
die Komponenten der Energiedichte % auftreten; dies System muß 
natürlich invariant gegenüber beliebigen Koordinatentransformationen sein. 
Um das Gravitationsgesetz zu finden, knüpfen wir am besten an das am 
Schluß von § 25 formulierte Hamiltonsche Prinzip an. Da bestand die 
Wirkungsgröße aus drei Teilen, der Substanz- und Feldwirkung der 
Elektrizität und der Substanzwirkung der Masse oder Gravitation. Hier 
fehlt ein vierter Term: die Feldwirkung der Gravitation, welche wir jetzt 
zu ermitteln haben. Bevor dies aber geschieht, wollen wir noch die 
Änderung berechnen, welche die Summe der uns schon bekannten drei 
ersten Terme erfährt, wenn wir die Potentiale g),- des elektromagnetischen 
Feldes und die Weltlinien der Substanzelemente ungeändert lassen, aber 
die gm, die Potentiale des metrischen Feldes, einer unendlich kleinen virtuellen 
Variation d unterwerfen; eine Möglichkeit, die sich ja erst in der all- 
gemeinen Relativitätstheorie darbietet. 



§ 27. Einsteins Grundgesetz der Gravitation. 107 

Die Substanzwirkung der Elektrizität erleidet dabei keine Änderung, 
die Änderung des in der Feldwirkung auftretenden Integranden 

ist 

\{Ygt{FikF») + {F ik F ik )dVg) • 

Hier ist dei erste Summand in der geschweiften Klammer = ^dF", 
und dafür findet man wegen 

F rs _ gri^F ik 

sogleich den Wert 

*VgF*rFfdg\ 

der zweite Summand ist nach § 17, (58') 

= — <Bg,/tög ik . 

Es ergibt sich also schließlich für die Variation der Feldwirkung 



■f\®ikd/*äx =ß&*dg tk dx 



[vergl. § 17, (59)], wenn 

(11) ©f = |@^-^>^ 

die Komponenten der Energiedichte des elektromagnetischen Feldes sind*). 
Plötzlich begreifen wir (aber erst hier, wo uns die Variation der Welt- 
metrik ermöglicht ist), woher eigentlich die komplizierten Ausdrücke (n) 
für die Energie-Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes kommen. — 
Für die Substanzwirkung der Masse erhalten wir ein entsprechendes 
Resultat; es ist 

dVgikdxidxk = j — '—-: = {dsuU^dgik, 

also 

J ( d J ^ gik dXi dXk ) wm J*l t "*"* ^ gik dx ' 

Für die Gesamtänderung des uns schon bekannten Teils der Wirkungs- 
größe bei Variation des metrischen Feldes kommt demnach 



f\V**ta 



(12) J\%'*ög ik dx 

wo %i die Tensordichte der Gesamtenergie bedeutet. 

Das noch fehlende vierte Glied der Wirkungsgröße,' die Feldwirkung 

der Gravitation, wird ein invariantes Integral I Qbdx sein müssen, dessen 
Integrand (3 aus den Potentialen g,-& und den Feldkomponenten j J- 

*) Das entgegengesetzte Vorzeichen wie in Kap. III wegen Änderung des Vor- 
zeichens der metrischen Fundamentalform! 



jq8 Allgemeine Relativitätstheorie. 

des Gravitationsfeldes (aus den ga und ihren Ableitungen i. Ordnung 

-^- z= g ik r \ aufgebaut ist; nur dann, sollte man meinen, werden sich 
ox r ' I 

als Gravitationsgesetze Differentialgleichungen von keiner höheren als der 

a. Ordnung ergeben. Ist das totale Differential jener Funktion 

(13) d® = | ® k dg ik + 1 W k > r dg iktr (©*'' = OF, m- = $'*.'•), 

so erhält man für eine infinitesimale Variation öga, die außerhalb eines 
endlichen Gebiets verschwindet, durch eine partielle Integration 

(14) df&dx =fe [®\ ik dg ik dx , 

wo die > Lagrangeschen Ableitungen« [ÖJ]" 6 , die symmetrisch in den i 
und k sind, aus der Formel 

x r 

zu berechnen sind. So werden denn die Gravitationsgleichungen in der 
Tat die von vornherein vorausgesehene Form * 

(15) [<&]? = -£? 

annehmen; und es wundert uns nun auch gar nicht mehr, daß durch 
Variation der g& an den ersten drei Bestandteilen der Wirkungsgröße 
nach (12) gerade die Energie-Impulskomponenten als Koeffizienten 
herausspringen. — Leider existiert aber eine skalare Dichte ($, wie wir 
sie wünschen, überhaupt nicht; denn man kann ja an jeder vorgegebenen 

Stelle durch geeignete Wahl des Koordinatensystems alle j \ zum Ver- 
schwinden bringen. Wohl aber haben wir im Skalar R der Riemann sehen 
Krümmung eine Invariante kennen gelernt, welche die 2. Ableitungen 
der gm nur linear enthält; es ließe sich sogar zeigen, daß sie die einzige 
Invariante dieser Art ist. Und infolge jener Linearität lassen sich in dem 

invarianten Integral l\R} / gdx durch partielle Integration die Ableitungen 
2. Ordnung herausschaffen. Wir bekommen dann 



(\RYgdx =JQt>dx 



-+- einem Divergenzintegral, d. h. einem Integral, dessen Integrand die 

Gestalt r — besitzt; hier hängt nun & nur von den gm und deren 

1. Ableitungen ab. Für Variationen 8gik } die außerhalb eines endlichen 
Bereichs verschwinden, ist daher 



df^RVgdx = öf®dx, 



§ 27. Einsteins Grundgesetz der Gravitation. iqq 



weil nach dem Prinzip der partiellen Integration 

'ö((5to'") 



r 



dx = o 



ist. Nicht I &dx selber, wohl aber die Variation d I Qbdx ist eine In- 
variante, und darauf kommt es ja in dem Hamiltonschen Prinzip allein 
an. Wir brauchen daher kein Bedenken zu tragen, I Gfrdx als die Wirkungs- 
größe des Gravitationsfeldes einzuführen ; und dieser Ansatz ist der einzige, 
der sich als möglich herausstellt. So werden wir zwangsläufig zu eindeutig 
bestimmten Gravitationsgleichungen (15) geführt. Aus ihnen geht hervor, 
daß jede Art von Energie gravitierend wirkt', nicht bloß die in den 
Elektronen und Atomen konzentrierte Energie, die Materie im engeren 
Sinne, sondern auch die diffuse Feldenergie (denn %- t sind die Kompo- 
nenten der Gesamtenergie). 

Bevor wir die Rechnungen durchführen, welche nötig sind, um die 
Gravitationsgleichungen in expliziter Form hinschreiben zu können, wollen 
wir zunächst noch prüfen, ob wir im Falle der Mieschen Theorie zu ana- 
logen Resultaten gelangen. Die in ihr auftretende Wirkungsgröße I2dx 

ist eine Invariante nicht nur gegenüber linearen, sondern beliebigen Trans- 
formationen; denn 2 ist rein algebraisch (ohne Tensoranalysis) zusammen- 
gesetzt aus den Komponenten cp t - eines kovarianten Vektors (des elektro- 
magnetischen Potentials), den Komponenten F& eines linearen Tensors 
2. Stufe (des elektromagnetischen Feldes) und den Komponenten g& des 
metrischen Fundamentaltensors. Wir setzen das totale Differential dieser 
Funktion 

(16 ÖQ = \% ik 8g ik + <5 ß, ö 2 = l&*öFu + #d(pi 



jk 



und bezeichnen alsdann die Tensordichte £/ als Energie oder Materie. 
Wir bringen dadurch nur wiederum zum Ausdruck, daß sich das metrische 
Feld (mit den Potentialen g^) zu der Materie (*$.'*) ebenso verhält wie das 
elektromagnetische Feld (mit den Potentialen g>t) zum elektrischen Strom 
(§'). Wir haben aber jetzt die Verpflichtung, nachzuweisen, daß die gegen- 
wärtige Erklärung genau zu den in § 25, (64) angegebenen Ausdrücken 
für Energie und Impuls führt; damit wird dann auch der damals noch 
schuldig gebliebene Beweis für die Symmetrie des Energietensors erbracht. 
Wir können nun hier nicht mehr, wie es oben im besonderen Falle der 
Maxwellschen Theorie geschah, das Geforderte durch direkte Rechnung 
erreichen, sondern bedienen uns dazu der folgenden schönen Überlegung, 
deren Keime bei Lagrange zu finden sind, die aber in vollkommenster 
Form von F. Klein auseinandergesetzt wurde 5 ). 

Mit dem Weltkontinuum nehmen wir eine infinitesimale Deformation 
vor, durch welche allgemein der Punkt (**) in den Punkt (*,-) übergeht: 



200 Allgemeine Relativitätstheorie. 

(17) x,== X t -\- S- j; l '{x X t * 2 x 3 ) 

(e ist der konstante infinitesimale Parameter, dessen höhere Potenzen in, 
allen Rechnungen zu streichen sind). Wir stellen uns vor, daß die Zu- 
standsgrößen von der Deformation mitgenommen werden, so daß also 
nach Ausführung der Deformation die neuen q>; (wir nennen sie <jp z ) solche 
Funktionen der Koordinaten sind, daß zufolge (17) die Gleichung besteht: 

( 1 8) cpi (x) dxi = (pi [x) dxi 

und im gleichen Sinne auch die symmetrische und schiefsymmetrische 
bilineare Differentialform mit den Koeffizienten gik, bzw. F& ungeändert 
bleibt. Die Änderungen (fi{x) — cp,[x), welche die Größen cpi an einer 
festen Weltstelle [x,) durch die Deformation erfahren, bezeichnen wir mit 
dcpi', entsprechende Bedeutung haben ögn und dPa. Setzen wir in die 
Funktion 2 an Stelle der alten Größen <pi usw. die durch die Deformation 
daraus entstandenen cpi • • • ein, so möge die Funktion ß = S -f- dß her- 
vorgehen; dabei ist öü durch (16) gegeben. Ferner sei 3£ ein beliebiges 
Weltgebiet, das durch die Deformation in 3£ übergeht. Durch die Defor- 
mation erleidet die Wirkungsgröße 



/ Qdx eine Änderung ö' I Qdx 



gleich dem Unterschied des Integrals von 2 über 3£ und des Integrals 
von S über 3£. Daß die Wirkungsgröße eine Invariante ist, drückt sich 
in der Gleichung aus: 

(19) d'f%dx = o. 

Jene Differenz zerlegen wir natürlicherweise in zwei Teile: 1) die Differenz 
des Integrals von S und S über 3£, 2) die Differenz des Integrals von 
£ über 3£ und X. Für den ersten Teil können wir, da 3E nur infinitesi- 
mal von X verschieden ist, setzen 



der zweite ist auf S. 



3E 

bestimmt worden. 

Um die Betrachtung durchzuführen, müssen wir jetzt zunächst die 
Variationen öcpi, dga, dFa berechnen. Wenn wir einen Augenblick 
<P;{x) — y>i{x) = ö'cp,- setzen, gilt wegen (18): 





dCüdx 

1 


= fö2dx, 


oc 


zu 








c 


f- 


OXi 



§ 27. Einsteins Grundgesetz der Gravitation. 201 

d' ' (pi-dxi + S(p r d^ r = o, also 



dqp,- = <5' cpi — {</>,-(*) — 9«(*)} = d'cpi — €• r-^ £' 



und da 

ist, mit Unterdrückung des selbstverständlichen Faktors «: 

Ebenso kommt 

Dabei ist 

wegen ^ = r 2 -r 1 - auch (21) ö^ = 



ÜX& ÜX; bXk bXi 

denn weil die erste Relation invarianter Natur ist, folgt aus ihr 
Ä»W = »£§ _ »!*£> , also auch £,(») . *-f^> _ »fiä . 

ÖJC* bXi ° X * "*' 

Durch Einsetzen findet man 

_ 62 = (£* + $'*/■„■ + **y,) ^ + (IS«/» ^ + +)?. 

ö .#£ #/ 

Beseitigen wir die Ableitungen der £ r durch partielle Integration und 
setzen zur Abkürzung 

fß* { = fc{ + 7T y g* + ^ f i _ jjg 
so erhalten wir eine Formel von folgender Gestalt: 

(22) — ö' fzdx = f h J&J>l dx +f{ti £) äx = o. 

Nun folgt daraus zunächst in bekannter Weise, wenn wir die §* geeignet 
wählen, und zwar so, daß sie außerhalb eines endlichen Gebiets ver- 
schwinden, und für X eben dieses Gebiet wählen: daß an jeder Stelle 

(23) tf = o 

ist. Mithin ist in (22) auch der erste Summand = 0; die so entstandene 
Identität gilt für beliebige Größen §* und jedes endliche Integrationsge- 
biet 36. Also muß, da das Integral einer stetigen Funktion über jedes 
Gebiet nur dann verschwindet, wenn die Funktion selber = o ist, 



202 Allgemeine Relativitätstheorie. 

bx& ' bx& ö #£ 

sein. Hier können nun an einer Stelle £' und r — beliebige Werte an- 

OXt 

nehmen; infolgedessen ist 

©?s=0, r = O 

Damit. sind wir zu dem gewünschten Resultat gelangt: 

Diese Überlegung liefert uns aber zugleich die Erhaltungssätze für 
Energie und Impuls, die wir in § 25 durch Rechnung gefunden hatten: 
sie sind in den Gleichungen (23) enthalten. Für die Änderung der Wir- 
kungsgröße der ganzen Welt bei einer, außerhalb eines endlichen Welt- 
gebiets verschwindenden, unendlichkleinen Deformation finden wir 



(24) fd2dx = f\Z ik ög ik dx + fd 2dx 



Hier fällt infolge der Gleichungen (21) und der Gültigkeit des Hamilton- 
schen Prinzips 

(25) Jd 2dx=o 

(den Maxwellschen Gleichungen) der zweite Teil weg; der erste aber ist, 
wie wir schon oben berechnet haben, 

So ergeben sich als eine Folge der Gesetze des elektromagnetischen Feldes 
die mechanischen Gleichungen < 

(26) ^^«»». w -». - 

OXk QXi 

(Wegen des durch die Gravitation bedingten Zusätzgliedes können diese 
Gleichungen in der allgemeinen Relativitätstheorie nicht mehr gut als 
Erhaltungssätze bezeichnet werden; die Frage, ob sich wirkliche Erhal- 
tungssätze aufstellen lassen, wird erst in § 32 geprüft werden.) 

Aus dem durch Hinzufügung der Wirkungsgröße des Gravitationsfeldes 
ergänzten Hamiltonschen Prinzip 



[27) öf(Q + ®)dx=o, 



in welchem nun elektromagnetischer und Gravitations-Feldzustand unab- 
hängig voneinander virtuellen unendlichkleinen Veränderungen unter- 
worfen werden dürfen, entspringen neben den elektromagnetischen Ge- 
setzen noch die Gravitationsgleichungen (15). Wenden wir die obige zu 



§ 27. Einsteins Grundgesetz der Gravitation. 203 

(26) führende Überlegung auf & statt auf S an — es gilt ja für die 
durch unendlichkleine, außerhalb eines endlichen Bezirks verschwindende 
Deformation des Weltkontinuums bewirkte Variation ö auch hier 

df® dx = df\R Vgdx = o — , 
so fließen daraus die zu (26) analogen mathematischen Identitäten: 



Ö Xk 2 Ö Xi 



[©]«!» = o. 



Der Umstand, daß © außer den ga noch deren Ableitungen enthält, 
macht dabei gar nichts aus. Die mechanischen Gleichungen (26) sind 
demnach ebensowohl eine Folge der Gravitationsgleichungen (15) wie der elek- 
tromagnetischen Feldgesetze. 

Die wunderbaren Zusammenhänge, welche sich hier zeigen, können, 
unabhängig von der Frage nach der Gültigkeit der Mieschen Elektro- 
dynamik, folgendermaßen formuliert werden. Der Zustand eines physi- 
kalischen Systems wird relativ zu einem Koordinatensystem beschrieben 
durch gewisse raumzeitlich variable Zustandsgrößen cp (das waren oben 
die cp/). Außer ihnen kommt das durch seine Potentiale ga zu charak- 
terisierende metrische Feld in Betracht, in welches das System eingebettet 
ist. Die Gesetzmäßigkeit der Vorgänge im System wird beherrscht von 

einer Integralinvariante 1 2 dx; die skalare Dichte ß ist dabei eine Funk- 
tion der cp und ihrer Ableitung 1., eventuell höherer Ordnung; außerdem 
der gik, doch gehen nur diese Größen selber, nicht auch ihre Ableitungen 
in S ein. Wir bilden das totale Differential der Funktion 8, wobei wir 
nur denjenigen Teil explizite hinschreiben, welcher die Differentiale dgik 
enthält: 

ÖQ = \V k dg ik +d 2. 

Dann ist £* die Tensordichte der mit dem physikalischen Zustand des 
Systems verknüpften Energie [Materie). Die Bestimmung ihrer Kompo- 
nenten ist damit ein für allemal auf die Bestimmung der Hamiltonschen 
Funktion S zurückgeführt; nur die allgemeine Relativitätstheorie, welche 
die Variation der Weltmetrik ermöglicht, führt zur wahren Definition der 
Energie. Die Zustandsgesetze ergeben sich aus dem »partiellen« Wir- 
kungsprinzip (25), in welchem nur die Zustandsgrößen cp zu variieren 
sind; es fließen daraus so viele Gleichungen her, als Größen cp vorhanden 
sind. Die hinzutretenden 10 Gravitationsgleichungen (15) für die 10 Po- 
tentiale gik ergeben sich, wenn man das partielle zum totalen Wirkungs- 
prinzip (27) erweitert, in welchem nun auch die g;k mitzuvariieren sind. 
Die mechanischen Gleichungen (26) sind sowohl eine Folge der Zustands- 
wie der Gravitationsgesetze; man könnte sie als die Eliminante aus beiden 
bezeichnen. In dem System der Zustands- und Gravitationsgesetze sind 
daher vier überschüssige Gleichungen enthalten. In der Tat muß die allge- 



204 Allgemeine Relativitätstheorie. 

meine Lösung vier willkürliche Funktionen enthalten, da die Gleichungen 
ja zufolge ihrer invarianten Natur das Koordinatensystem der x t - vollständig 
unbestimmt lassen und mithin durch willkürliche stetige Transformation 
dieser Koordinaten aus einer Lösung der Gleichungen immer wiederum 
Lösungen hervorgehen (die aber objektiv denselben Weltverlauf darstellen). 
Die alte Einteilung in Geometrie, Mechanik und Physik muß in der Ein- 
stein sehen Theorie durch die Gegenüberstellung von physikalischem Zu- 
stand und metrischem oder Gravitationsfeld ersetzt werden. 

Der Vollständigkeit halber kehren wir noch einmal zu dem Hamilton- 
schen Prinzip der Maxwell- Lorentzschen Theorie zurück. Variation der 
q>i liefert die elektromagnetischen, Variation der ga die Gravitationsgesetze. 
Da die Wirkungsgröße eine Invariante ist, ist die unendlichkleine Ände- 
rung, welche an ihr eine infinitesimale Deformation des Weltkontinuums 
hervorruft, = o; dabei sollen elektromagnetisches und Gravitationsfeld 
sowie die Weltlinien der Substanzelemente von der Deformation mitge- 
nommen werden. Jene Änderung besteht aus drei Summanden: denjenigen 
Änderungen, die durch die betreffende Variation des elektromagnetischen 
und des Gravitationsfeldes und der Substanzbahnen je für sich hervor- 
gebracht werden. Die beiden ersten Bestandteile sind o zufolge der 
elektromagnetischen und der Gravitationsgesetze; also verschwindet auch 
der dritte Bestandteil, und es ergeben sich so die mechanischen Glei- 
chungen als eine Folge der beiden eben erwähnten Gesetzesgruppen. 
Frühere Rechnungen rekapitulierend, können wir diese Herleitung im 
einzelnen so bewerkstelligen: Aus den Gravitationsgesetzen folgen die 
Gleichungen (26) oder 

(.8) flUl+ ,„M = -\^—^-&l®'?\; 

(Qxk OXi i 

darin ist <S* die Tensordichte der elektromagnetischen Feldenergie, 

äs QXi 

und M die linke Seite der Kontinuitätsgleichung der Materie: 

OX, 

Zufolge der Maxwellschen Gleichungen ist in (28) die rechte Seite 

Multipliziert man darauf (28) mit u { und summiert nach i, so kommt 
M = o; und somit sind wir bei der Kontinuitätsgleichung der Materie 
und den mechanischen Gleichungen in ihrer gewöhnlichen Form angelangt. 
Ist jetzt der volle Überblick darüber gewonnen, wie sich die Ein- 
steinschen Gravitationsgesetze in das Gefüge der übrigen physikalischen 
Gesetze einordnen, so bleibt uns zum Schluß noch die peinliche Auf- 
gabe, den expliziten Ausdruck der [&]f zu berechnen. Wir müssen dabei 



§ 27. Einsteins Grundgesetz der Gravitation. 205 

natürlich von der Definition des Skalars R = g k Rik der Riemannschen 
Krümmung ausgehen; die R,& sind in § 17, (60) angegeben. Zunächst 
ist durch partielle Integration (Abspaltung einer Divergenz) 

(29) f±RVgdx in f®dx 

überzuführen. Dies geschieht auf Grund der Gleichungen: 

Die Differenz der in ihnen rechts an erster Stelle auftretenden Terme 
kommt in RVg vor und ist bei der Umgestaltung (29) durch die umge- 
kehrte Differenz der in jenen: Gleichungen an zweiter Stelle auf der rechten 
Seite auftretenden Summanden zu ersetzen. Diese sind aber nach § 17, 

(57'), (57") 



Subtraktion des ersten Ausdrucks vom zweiten liefert 

2 
und wir finden somit 



;en Ausdrucks vom zweiten liefert 

^m-mr;}). 

iit 
Weiter ist die Variation von © zu berechnen: 

-^^'i':!)-l:K^«l;l)'i:}-(")(:) j (« 

Das 4. Glied kann geschrieben werden 
und vereinigt sich mit dem zweiten zu 



(?) 



das erste aber wird bei geeigneter Abänderung der Indizesbezeichnung 



{';) 



2o6 Allgemeine Relativitätstheorie. 

Durch Vertauschung von Differentiation und Variation und nachfolgende 
partielle Integration ergibt sich daher 

^=/(-^r;}+,ir/}-{;ir;} + {?}{7})^^F)-- 

=fRikd{g ik Vg)dx. 
Nach Definition ist dies 

=/[$]'* *gik dx = -f[<&] a dg* dx , 

und es findet sich daher, da die Rui im Riemannschen Raum symme- 
trisch sind: 

[&h = Virii Hk R - na) = I gik n - «/* , 

[©]* = i df SR — 8t* , 
und <ÄV Gravitationsgleichungen lauten 



(3i) 



** — faf«««* 



Hierbei ist natürlich (genau wie in den elektromagnetischen Glei- 
chungen über die Einheit der Ladung) über die Einheit der Masse in 
rationeller Weise verfügt. Behalten wir die Einheiten des CG^-Systems 
bei, so wird rechts eine universelle Konstante 8/rx als Faktor hinzuzu- 
fügen sein. Es könnte von vornherein noch zweifelhaft sein, ob x positiv 
oder negativ ist, und ob nicht in den Gleichungen (31) die rechte Seite 
mit dem entgegengesetzten Vorzeichen zu versehen ist. x wird sich aber 
im nächsten Paragraphen auf Grund der Erfahrung, daß Massen sich 
anziehen und nicht abstoßen, in der Tat als positiv herausstellen. — 
Man beachte in mathematischer Hinsicht, daß die exakten Gravitations- 
gesetze nicht linear sind; wenn auch linear in den Ableitungen der Feld- 

k o mp o n en t e n {-},so d oo hni e htindi e S en s e lb , Ve, Ung e n . r a ie 

Gleichungen (31), d. h. setzen k = i und summieren nach /, so kommt 
— SR = $ = £<; deshalb kann man für (31) auch schreiben 

(32) ^ = £*-l#S. 

In der ersten Arbeit 6 ), in welcher Einstein, noch nicht geleitet vom 
Hamiltonschen Prinzip, die Gravitationsgleichungen aufstellte, fehlte rechts 
das Glied — |d*£; erst hernach erkannte er, daß es durch den Energie- 
Impulssatz gefordert wird 7 ). Der ganze hier dargestellte, vom Hamilton- 
schen Prinzip beherrschte Zusammenhang ist erst in weiteren Arbeiten 
von H. A. Lorentz, Hubert, Einstein, Klein und dem Verf. zutage ge- 
treten 8 ). 

Damit haben wir die Grundlagen der Einsteinschen Gravitationstheorie 
entwickelt. Jetzt fragt es sich, ob die Erfahrung diese rein spekulativ 
gewonnene Theorie bestätigt, vor allem, ob die Planetenbewegung aus ihr 



§ 28. Statistisches Gravitationsfeld. Zusammenhang mit der Erfahrung. 207 

ebensogut (oder noch besser) wie aus dem Newtonschen Attraktions- 
gesetz erklärt werden kann. §§ 28 — 31 handeln von der Lösung der 
Gravitationsgleichungen; die Weiterfuhrung der allgemeinen Theorie wird 
erst im § 32 wieder aufgenommen. 

§ 28. Statisches Gravitationsfeld. Zusammenhang mit der 

Erfahrung. 

Um den Zusammenhang mit den am Planetensystem gewonnenen Er- 
fahrungen herzustellen, spezialisieren wir zunächst die Einsteinschen Gesetze 
auf den Fall des statischen Gravitationsfeldes 9 ). Dieser ist dadurch 
charakterisiert, daß bei Benutzung geeigneter Koordinaten die Welt sich 
in Raum und Zeit zerspaltet, daß also für die metrische Grundform 

3 
ds 2 = / V/ a — äa% da 9 =]£ y ik dx t dx k 

i, k=x 

gilt: 

<Too =/ 2 ; goi = gio = o ; &&= — ym («, k = 1, 2, 3); 

und daß dabei die auftretenden Koeffizienten /, yik nur von den Raum- 
koordinaten x z x a x 3} nicht von der Zeit / = x abhängen, da 2 ist eine 
positiv-definite quadratische Differentialform, welche die Metrik des Raumes 
mit den Koordinaten x z x^x 3 bestimmt; f ist offenbar die Lichtgeschwin- 
digkeit. Das Maß / der Zeit ist (nach Wahl der Zeiteinheit) durch die 
aufgestellten Forderungen vollständig festgelegt, die Raumkoordinaten 
jc, x, x 3 hingegen nur bis auf eine beliebige stetige Transformation dieser 
drei Koordinaten untereinander. Im statischen Fall liefert die Weltmetrik 
also außer der Maßbestimmung des Raumes noch ein Skalarfeld / im Raum. 
Bezeichnen wir die auf die ternäre Form da 2 bezüglichen Christoffel- 
schen Dreiindizes- Symbole durch einen angehängten * und durchlaufen 
die Indexbuchstaben i, &, l bloß die Ziffern 1, 2, 3, so folgt aus der 
Definition leicht: 



{?}-». (VI- IV) 
Col-f (Vi-** 



Darin sind /,• = ~- die kovarianten Komponenten des dreidimensionalen 

VXi 

Gradienten, /' = y'*fk die zugehörigen kontravarianten ; Vyf = f' sind 
die Komponenten einer kontravarianten Vektordichte im Raum. Für die 
Determinante y der fa gilt Vg = / Vy . Setzen wir ferner 

oxk \ r ) oxiOXk \ r ) öx r 



208 Allgemeine Relativitätstheorie. 

(auch der Summationsbuchstabe r durchläuft nur die drei Ziffern i, 2, 3) und 

so erhalten wir zwischen den Komponenten JR,-jt und P,* des Krüm- 
mungstensors 2. Stufe, der zur quadratischen Fundamentalform ds 2 bzw. 
do" gehört, durch eine einfache Rechnung die Beziehungen: 

Rik = Pik 7- ; 

Bio = Bot = o i • 

^=/-^ [X = <*/)■ 

Für ruhende inkohärente (nicht durch Spannungen aufeinander ein- 
wirkende) Materie ist £° = ^ die einzige von o verschiedene Kompo- 
nente der tensoriellen Energiedichte; es ist daher auch £ = (i. Ruhende 
Materie erzeugt ein statisches Gravitationsfeld. Von den Gravitations- 
gleichungen (32) interessiert uns nur die I I ; sie liefert 

(33) Jf*=\fi 

oder mit Hinzufügung des konstanten Proportionalitätsfaktors 8ttx: 

(33') Z//=47TX^. 

Nehmen wir an, daß ds 2 (bei geeigneter Wahl der Raumkoordinaten 
x z x a x ) unendlich wenig von 

(34) c 2 dt 2 -{dx\ + dx\ + dx\) 

abweicht — dazu müssen die das Gravitationsfeld erzeugenden Massen 
unendlich schwach sein — , so ergibt sich, wenn wir 



setzen (<D unendlich klein): 

bx 2 bxl ' bx 



IO) ^(2) = --^ + — -^H-— - r == 4 7TX^, 



3 

und f.i ist das *>fache der Massendichte in den gewöhnlichen Maßeinheiten. 
Tatsächlich trifft diese Annahme nach allen unsern geometrischen Erfah- 
rungen innerhalb des Planetensystems mit großer Annäherung zu. 

Da die Massen der Planeten gegenüber der felderzeugenden, als 
ruhend zu betrachtenden Sonnenmasse sehr klein sind, können wir jene 
wie »Probekörper«, die in das Gravitationsfeld der Sonne eingebettet sind, 
behandeln. Die Bewegung eines jeden von ihnen ist dann (von den gegen- 
seitigen Störungen abgesehen) durch eine geodätische Weltlinie in diesem sta- 
tischen Gravitationsfeld gegeben. Sie genügt als solche dem Variationsprinzip 

dfds = 0, 



§ 28. Statisches Gravitationsfeld. Zusammenhang mit der Erfahrung. 209 



wobei die Enden des betreffenden Weltlinienstücks fest bleiben. Im sta- 
tischen Falle ergibt sich dafür 

dfVf — v*dt=o, 



(do\* ^y dxidxk 



das Quadrat der Geschwindigkeit ist. Dies ist ein Variationsprinzip von 
derselben Form wie das der klassischen Mechanik; als > Lagrangesche 
Funktion« tritt 

auf. Machen wir die gleiche Annäherung wie soeben und bedenken 
noch, daß bei unendlich schwachem Gravitationsfeld auch die auftretenden 
Geschwindigkeiten unendlich klein (gegenüber c) sein werden, so ist 

V/ 2 — v a = Vc*+2(D— V' = c -f- — (O — {*'), 
und da jetzt 

gesetzt werden darf, ergibt sich 

dj^^xf-^dt^o; 

d. h. der Planet von der Masse m bewegt sich nach den Gesetzen der 
klassischen Mechanik, wenn man annimmt, daß eine Kraft mit dem 
Potential mO auf ihn einwirkt. Damit ist der vollständige Anschluß an 
die Newtonsche Theorie erreicht: O ist das Newtonsche Potential, das der 
Poissonschen Gleichung (10) genügt, k = c*x die Newtonsche Gravi- 
tationskonstante. Für 8tdc ergibt sich aus dem bekannten numerischen 
Wert der Newtonschen Konstante k der Zahlwert 



Die Abweichung der metrischen Fundamental form von der »Eukli- 
dischen« (34) ist also immerhin so beträchtlich, daß sich die geodätischen 
Weltlinien in dem Maße, wie die Planetenbewegung es zeigt, von der 
geradlinig-gleichförmigen Bewegung unterscheiden — obwohl die im Räume 
gültige, auf do* beruhende Geometrie in den Abmessungen des Planeten- 
systems nur ganz unerheblich von der Euklidischen abweicht (die Winkel- 
summe in einem geodätischen Dreieck von diesen Abmessungen ist nur 
sehr wenig von 180 verschieden). Es liegt das vor allem daran, daß 
der Radius der Erdbahn etwa 8 Lichtminuten beträgt, die Dauer des Erd- 
umlaufs hingegen ein ganzes Jahr! 

Wir wollen die exakte Theorie der Bewegung eines Massenpunktes 
und der Lichtstrahlen im statischen Gravitationsfeld noch etwas weiter 

Weyl, Raum, Zeit, Materie. 3. Aufl. 14 



2 i o Allgemeine Relativitätstheorie. 



verfolgen. Die geodätischen Weltlinien können nach § 17 durch die 
beiden Variationsprinzipe 

(35) dfVQJs=o oder ö/Qds = o, Q =*&**** 

gekennzeichnet werden. Das zweite setzt voraus, daß der Parameter s 
in geeigneter Weise gewählt ist. Für die »Nullinien«, die der Bedingung 
Q = o genügen und das Fortschreiten eines Lichtsignals angeben, kommt 
nur das zweite in Betracht. Die Variation muß so vorgenommen werden, 
daß die Enden des betrachteten Weltlinienstücks ungeändert bleiben. Unter- 
werfen wir nur x Q = / einer Variation, so ist im statischen Fall 

(36) äf Qäs = [,r%öx.]-,f£( r %)ö*.äs. 

Also gilt 

/ a ^ = konst. 
ds 

Bleiben wir zunächst beim Fall des Lichtstrahls stehen, so können wir, 
indem wir die Maßeinheit des Parameters s geeignet wählen — bis auf 
eine willkürliche Maßeinheit ist s durch das Variationsprinzip selbst 
normiert — , die rechts auftretende konst. = 1 machen. Nehmen wir 
jetzt die Variation allgemeiner so vor, daß wir die räumliche Bahnkurve 
des Strahles unter Festhaltung der Enden abändern, hinsichtlich der Zeit 
aber die Nebenbedingung, daß für die Enden öx Q — o sein soll, fallen 
lassen, so lautet das Prinzip, wie aus (36) hervorgeht, 

Ö/Qds = 2 [oV]= 26/ dt. 

Wird die variierte Bahn insbesondere gleichfalls wie die ursprüngliche mit 
Lichtgeschwindigkeit durchlaufen, so gilt auch für die variierte Weltlinie 

Q = o, da =fdt, 

und wir erhalten dann 

(37) öfdt=df^ = o. 

Durch diese Gleichung wird nur die räumliche Lage des Lichtstrahls fest- 
gelegt; sie ist nichts anderes als das Fermatsche Prinzip der kürzesten 
Ankunft. In der letzten Formulierung ist die Zeit ganz eliminiert; sie 
gilt für ein beliebiges Stück der Bahn des Lichtstrahls, wenn dieses im 
Raum irgendwie unter Festhaltung seiner Enden unendlich wenig ver- 
lagert wird. 

Benutzt man für ein statisches Gravitationsfeld irgendwelche Raum- 
koordinaten x z x 2 x 3 , so kann man sich zur graphischen Darstellung eines 
Euklidischen Bildraums bedienen, indem man den Punkt mit den Ko- 
ordinaten x 1 x a x 3 durch einen Bildpunkt mit den Cartesischen Koordinaten 
x t x a x 3 zur Darstellung bringt. Trägt man in diesen Bildraum den Ort 
zweier ruhender Sterne S I , S 9 und eines ruhenden Beobachters B ein, 
so ist der Winkel, unter welchem die Sterne dem Beobachter erscheinen, 



§ 28. Statisches Gravitationsfeld. Zusammenhang mit der Erfahrung. 2 I I 

nicht gleich dem Winkel der geraden Verbindungslinien BS l} BS a , 
sondern man muß B mit S x \ S a durch die aus (37) sich ergebenden 
gekrümmten Linien kürzester Ankunft verbinden und den Winkel, den 
diese in B miteinander bilden, durch eine weitere Hilfskonstruktion 
vom Euklidischen Maß auf das durch die metrische Grundform da' 
bestimmte Riemannsche Maß [vgl. §11, Formel (15)] transformieren. Die 
so bestimmten Winkel sind es, welche die anschaulich erfaßte Lage der 
Gestirne zueinander bestimmen, sie sind es, die an dem Teilkreis des 
Beobachtungsinstrumentes abgelesen werden. Während B, S 1} S a unver- 
rückt ihre Stelle im Raum behalten, kann dieser ^ SiBS a sich ändern, 
wenn große Massen in die Nähe des Strahlengangs gelangen. In dem 
erörterten Sinne ist die Behauptung zu verstehen, daß durch das Gravi- 
tationsfeld die Lichtstrahlen gekrümmt werden. Doch sind die Strahlen 
nicht, wie wir in § 12 zu vorläufiger Orientierung angenommen hatten, 
geodätische Linien in dem Raum mit der metrischen Grundform da*, sie 
machen nicht das Integral / da, sondern das Integral 



m 



zum Extremum. Die Krümmung der Lichtstrahlen findet insbesondere in 
dem Gravitationsfeld der Sonne statt. Legen wir der graphischen Dar- 
stellung die Koordinaten x T x 2 x 3 zugrunde, auf welche sich die soeben 
hergeleitete, mit der Newtonschen identische Näherungstheorie bezieht, 
so ergibt die numerische Rechnung für einen unmittelbar an der Sonne 
vorübergehenden Lichtstrahl eine Ablenkung von 1,7". Eine Ende Mai 
19 19 stattfindende totale Sonnenfinsternis (die Beobachtung des Sternorts 
von Fixsternen in unmittelbarer Nähe der Sonne ist ja nur bei verfinsterter 
Sonne möglich) soll dazu benutzt werden, diese Folgerung aus der allge- 
meinen Relativitätstheorie empirisch zu prüfen; mehrere Expeditionen sind 
ausgerüstet. 

Ein anderer, durch die Einsteinsche Gravitationstheorie geforderter 
optischer Effekt im statischen Feld, der unter günstigen Umständen viel- 
leicht gerade noch der Beobachtung zugänglich ist, beruht auf dem an 
einer festen Raumstelle zwischen der kosmischen Zeit dt und der Eigen- 
zeit ds bestehenden Zusammenhang 

ds =fdt. 

Sind zwei ruhende Natriumatome objektiv einander gleich, so muß der 
Vorgang in ihnen, der zu den optischen Wellen der Z>-Linie Anlaß gibt, 
in beiden die gleiche Frequenz, gemessen in Eigenzeit, besitzen. Zwischen 
den Frequenzen t x , r a in kosmischer Zeit besteht daher, wenn / an den 
betreffenden Stellen, an denen sich die Atome befinden, die Werte / x , /, 
hat, der Zusammenhang 

14* 



212 Allgemeine Relativitätstheorie. 

Die von einem Atom ausgehenden Lichtwellen haben aber natürlich in 
dem ganzen Raum, in kosmischer Zeit gemessen, überall die gleiche Fre- 
quenz. Indem man also das Licht der Natrium-Z>-Linie, das von einem 
Stern großer Masse herkommt, mit dem von einer irdischen ausgesandten 
in demselben Spektroskop vergleicht, muß jene Linie gegenüber dieser 
eine kleine Verschiebung nach dem Rot hin zeigen, da / in der Nähe 
großer Massen einen etwas kleineren Wert besitzt als fern von ihnen. 
Die Größe der zu erwartenden Abweichung liegt an der Grenze des 
Beobachtbaren; es kommt die Vermischung mit dem Dopplereffekt und 
die Unsicherheit des irdischen Vergleichsmaterials hinzu. Experimente 
auf dem Mount Wilson haben keine Rotverschiebung erkennen lassen xo ) ; 
man wird aber weitere Versuche abzuwarten haben. 

Eine dritte Möglichkeit der Kontrolle durch die Erfahrung ist diese. 
Nach Einstein ist die Newtonsche Planetentheorie nur eine erste An- 
näherung; es fragt sich, ob die Abweichungen der strengen Einsteinschen 
Theorie von dieser groß genug sind, um einen mit unsern heutigen Hilfs- 
mitteln wahrnehmbaren Einfluß hervorzubringen. Offenbar werden in dieser 
Hinsicht die Chancen für den sonnennächsten Planeten, den Merkur, am 
günstigsten liegen. In der Tat hat Einstein "), indem er die Approximation 
einen Schritt weiter fortsetzte, und Schwarzschild I2 ), indem er in aller 
Strenge das von einer ruhenden Masse erzeugte kugelsymmetrische 
Gravitationsfeld und die Bahnkurve eines Massenpunktes von unendlich- 
kleiner Masse in diesem Felde bestimmte, gefunden, daß die Bahnellipse 
des Merkur (außer den von den übrigen Planeten hervorgebrachten Stö- 
rungen) in Richtung der Bahnbewegung eine langsame Drehung erfahren 
muß, welche pro Jahrhundert 43" ausmacht. Seit Leverrier ist ein Betrag 
genau von dieser Größe in den säkularen Störungen des Merkurperihels 
bekannt, der durch die Störungstheorie nicht erklärt werden konnte; es 
wurden die mannigfachsten Hypothesen ersonnen, um diese Diskrepanz 
zwischen Theorie und Beobachtung zu beseitigen 13 ). — Auf die von Schwarz- 
schild angegebene strenge Lösung kommen wir im übernächsten Para- 
graphen zurück. 

So ist denn der Perihelvorgang des Merkur bisher die einzige em- 
pirische Bestätigung der Einsteinschen Gravitationstheorie; es steht also 
mit ihrer experimentellen Prüfung zurzeit noch erheblich schlechter als 
mit der speziellen Relativitätstheorie. So radikal die Umwälzung ist, 
welche die Gravitationstheorie für unsere Vorstellungen von Raum und 
Zeit bedeutet, so winzig sind die tatsächlichen Abweichungen, welche sie 
für die beobachtbaren Erscheinungen mit sich bringt. Aber jedenfalls 
liefert sie ebensoviel und (hinsichtlich des Merkur) noch etwas mehr als 
die Newtonsche Theorie. Ihre eigentliche Stütze findet sie aber weniger 
in der Erfahrung als in ihrer eigenen inneren Folgerichtigkeit, durch welche 
sie der klassischen Mechanik ganz erheblich überlegen ist, und darin, daß 
sie in einer die Vernunft aufs höchste befriedigenden Weise das Rätsel 
der Relativität der Bewegung und der Gravitation auf einen Schlag löst. 



§ 29. Gravitationswellen. 2 1 3 



Nach der gleichen Methode wie für den Lichtstrahl können wir auch 
für die Bewegung eines Massenpunktes im statischen Gravitationsfeld ein 
nur die räumliche Bahnkurve betreffendes Minimalprinzip, das dem Fermat- 
schen der kürzesten Ankunft entspricht, aufstellen. Ist der Parameter s 
die Eigenzeit, so wird 

(38) <2=i, und / a -^ = konst. = -^ 

ist das Energieintegral. Jetzt benutzen wir das erste der beiden Variations- 
prinzipe (35) und verallgemeinern es wie oben in der Weise, daß wir die 
räumliche Bahnkurve unter Festhaltung ihrer Enden, x = t aber ganz 
beliebig variieren. Es lautet dann 

( 39 ) #^tH-A/f 

Um die Eigenzeit zu eliminieren, dividieren wir die erste der Gleichungen 
(38) durch die ins Quadrat erhobene zweite; es kommt 

wo 

(40) liefert das Geschwindigkeitsgesetz, nach welchem der Massenpunkt 
seine Bahn durchmißt. Variieren wir insbesondere so, daß auch die va- 
riierte Bahnkurve nach dem gleichen Gesetz mit der gleichen Konstante E 
durchlaufen wird, so folgt aus (39): 

dff Udt = o 

oder schließlich, indem wir dt durch das räumliche Bogenelement da aus- 
drücken und so die Zeit ganz eliminieren: 

6fyU~do = o. 

Nachdem hieraus die Bahnkurve des Massenpunktes ermittelt ist, ergibt 
sich der zeitliche Ablauf der in dieser Bahnkurve vonstatten gehenden 
Bewegung aus (40): 

da 

Für E = o kommen wir auf die Gesetze des Lichtstrahls zurück. 

§ 29. Gravitationswellen. 
Es ist Einstein gelungen 14 ), unter der Voraussetzung, daß das er- 
zeugende Energiefeld %, unendlich schwach ist, die Gravitationsgleichungen 



2i a Allgemeine Relativitätstheorie. 

allgemein zu integrieren. Die gm werden unter diesen Umständen bei 
geeigneter Wahl der Koordinaten sich von konstanten Werten gm nur 
um unendlichkleine Beträge ym unterscheiden. Wir betrachten dann die 
Welt als eine > Euklidische« mit der metrischen Fundamentalförm 

M gikdxidxk 

und ym als die Komponenten eines symmetrischen Tensorfeldes 2. Stufe 
in dieser Welt. Die im folgenden auszuführenden Operationen sind 
immer solche, denen die metrische Fundamentalform (41) zugrunde liegt; 
wir befinden uns augenblicklich wieder auf dem Boden der speziellen 
Relativitätstheorie. Das Koordinatensystem denken wir uns als ein 
»normales« gewählt, so daß gm = o ist für / 4= k und 

o 000 

6 OO * All «J 3 63 3 — ~ * • 

x ist die Zeit, x 1 x a x 3 sind Cartesische Raumkoordinaten; die Licht- 
geschwindigkeit ist = 1 genommen. 
Wir führen die Größen 

ein und behaupten zunächst, daß es keine Einschränkung enthält, anzu- 
nehmen, es sei 

1 \ ° ^* 

( 4 2 T7 = 0. 

OXk 

Ist dies nämlich nicht von vornherein der Fall, so können wir das ge- 
wählte Koordinatensystem unendlich wenig so abändern, daß (42) besteht. 
Die zum neuen Koordinatensystem x hinüberführenden Transformations- 
formeln 

x { = X{-\- ^{x x z x a x 3 ) 

enthalten die unbekannten Funktionen £'", welche unendlichklein der gleichen 
Größenordnung sind wie die y. Wir bekommen neue Koeffizienten gm, 
für die nach früheren Formeln 



ist, also hier 






1 \ — , \ Ä St ■ . Ä SJk 1 \ ~ 1 \ b t' — 

y*(x) - yik[x) wm.~SL+J£ i y[x) - y{x) = -i = S % 

OXk Xi X{ 



und es kommt 



byi __ hyj_ _„w bs by by _bä 
bxjt oxi bx t -' bx; bx; bxi 

Dabei bedeutet [7 für eine beliebige Funktion/ den DifTerentialoperator : 

VJ bx,-\ e »xj »K \ix",ix',^bx;l 



§ 20. Gravitationswellen. 2 1 5 



Die gewünschte Bedingung wird also im neuen Koordinatensystem reali- 
siert sein, wenn man die £' aus den Gleichungen 

bestimmt, die sich durch retardierte Potentiale lösen lassen (vgl. Kap. III, 
S. 137 u. f.). Dadurch ist dann das Koordinatensystem, wenn man die 
linearen Lcrentz-Transformationen frei gibt, nicht nur bis auf Unendlich- 
kleines 1., sondern sogar 2. Ordnung genau festgelegt; es ist sehr be- 
merkenswert, daß eine solche invariante Normierung möglich ist. 

Jetzt berechnen wir die Krümmungskomponenten R,&' } da die Feldgrößen 

j I unendlichklein sind, kommt hier bei Beschränkung auf die Glieder 

1. Ordnung: 

, U«l JL M, 

dx r \r) 0Xk\r) 

IrJ \ÖXk bxt bx r f 

PI = ! /M 4- b J!*L _ Srs *Yf*\ 
\r\ ' 2 \ö** bx t - 8 bx s f 

Daraus ergibt sich, wenn wir die Gleichungen (42) oder 

ö yt b~y 

öxk b Xi 



Es ist 



heranziehen : 



Ebenso kommt 



Das Resultat ist 



b_ 

bx, 



jik) ■ b'y tfT 
\r) bx;b%k 

b lir\ _ ay 

bxi- \r) bxibxk 



Infolgedessen gilt R = — f/ 7 y und 

Die Gravitationsgleichungen aber lauten 

(43) iP>*--T?, 

die sich sofort durch retardierte Potentiale integrieren lassen (vgl. S. 137 

u. f.; wir gebrauchen hier dieselben Bezeichnungen): 

x «/ 2 itr 

Jede Änderung der Materieverteilung bringt demnach eine Gravitations- 
wirkung hervor, die sich im Raum mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. 



2l6 



Allgemeine Relativitätstheorie. 



Schwingende Massen erzeugen Gravitationswellen. Freilich kommen in 
der von uns zu überblickenden Natur nirgendwo so starke Massen - 
Schwingungen vor, daß die daraus resultierenden Gravitationswellen der 
Beobachtung zugänglich sind. 

Die Gleichungen (43) entsprechen vollständig den elektromagnetischen 

und wie die Potentiale <p' des elektrischen Feldes der Nebenbedingung 
—~ s= o zu genügen haben, weil der Strom r diese Beziehung erfüllt: 

Xi 

hs { 

•R = °' 
so waren hier die Nebenbedingungen (42) für das System der Gravitations- 
potentiale \pi einzuführen, weil sie für den Materietensor bestehen: 

hT? __ 

Im materiefreien Raum können sich ebene Gravitationswellen fort- 
pflanzen ; diese erhalten wir durch den analogen Ansatz wie in der Optik : 

lp* = a f . ^o'o + oi-f: + «2*2 + <*3*l)V— i. 

Die Oi und a,- sind Konstante; die letzteren genügen der Bedingung 
a,a'= o. a =v ist die Frequenz der Schwingung, a J x t -f- a 9 x a -f- a 3 x 3 =konst. 
sind die Ebenen konstanter Phase. Die Differentialgleichungen ^ ip,- = o 
sind identisch erfüllt, die Nebenbedingungen (42) verlangen 

(44) cnctk = o. 

Ist die *j-Axe die Fortschreitungsrichtung der Welle, so haben wir 



er» = a. 



a n = v, 



und die Gleichungen (44) besagen 

(45) af = a] oder a oi = — ö,/. 

Es genügt demnach, den Raumteil des konstanten symmetrischen Tensors a: 



a xi a x: 

a„, a„. 



'33 



anzugeben, da die a mit einem Index o nach (45) sich aus diesem be- 
stimmen; der Raumteil aber unterliegt keiner Einschränkung. Er spaltet 
seinerseits nach der Fortschreitungsrichtung der Welle in drei Summanden : 



o o 
o o 



+ 



"13 

o 



+ 



00 o 
o a„„ a„. 



a a 
"3« **3 



Die Tensorschwingung läßt sich demnach in drei voneinander unabhängige 



§ 30. Strenge Lösung des Einkörperproblems. 2 I 7 

Bestandteile zerspalten: eine longitudinal-longitudinale, eine longitudinal- 
transversale und eine transversal-transversale Welle. 

Von der näherungsweisen Integration der Gravitationsgleichungen hat 
H. Thirring zwei interessante Anwendungen gemacht. Er hat mit ihrer 
Hilfe den Einfluß der Rotation einer großen schweren Hohlkugel auf die 
Bewegung von Massenpunkten in der Nähe des Kugelmittelpunktes unter- 
sucht 15 ) und dabei, wie zu erwarten war, eine Kraftwirkung von der 
gleichen Art wie die Zentrifugalkraft festgestellt. Daneben tritt aber 
noch eine Kraft auf, die nach dem gleichen Gesetz den Körper in die 
Äquatorebene der Rotation hineinzuziehen sucht, wie die Zentrifugalkraft 
ihn von der Achse zu entfernen strebt. Zweitens hat er (zusammen mit 
J. Lense) den Einfluß der Eigenrotation der Zentralkörper auf ihre Planeten, 
bzw. Monde studiert 16 ); für den 5. Jupitermond erreicht die durch die 
Rotation des Jupiter hervorgerufene Störung einen solchen Betrag, daß 
vielleicht ein Vergleich mit der Beobachtung möglich ist. 

Nachdem wir in §§ 28, 29 uns mit der näherungsweisen Integration 
der Gravitationsgleichungen beschäftigt haben, die durch Beschränkung 
auf die linearen Glieder zustande kommen, wollen wir jetzt versuchen, 
strenge Lösungen zu ermitteln; dabei fassen wir aber nur die Gravitations- 
Statik ins Auge. 

§ 30. Strenge Lösung des Einkörperproblems I7 ). 
Für ein statisches Gravitationsfeld ist 

ds* =fdxl — do% 

wo da* eine positiv-definite quadratische Form der drei Raumvariablen 
x t x a x 3 ist; die Lichtgeschwindigkeit f hängt gleichfalls nur von diesen 
ab. Das Feld ist kugelsymmetrisch, wenn bei geeigneter Wahl der Raum- 
koordinaten / und da' invariant sind gegenüber linearer orthogonaler 
Transformation derselben. Damit dies der Fall ist, muß / eine Funktion 
der Entfernung 

r = Vx\ -f- x\ -f- x\ 

vom Zentrum sein, da' aber besitzt notwendig die Gestalt 
(46) X {dx' x + dx\ + dx\) + / (x t iix, + x, dx, + x 3 dxj% 

worin X und / gleichfalls Funktionen von r allein bedeuten. Ohne daß 
diese Normalform zerstört wird, kann man die Raumkoordinaten noch einer 
Transformation unterwerfen, die darin besteht, daß man x It x a} x 3 ersetzt 
durch Tx t , Tx a , tx 3 mit einem Proportionalitätsfaktor r, der eine will- 
kürliche Funktion der Entfernung r ist. Indem man über ihn geeignet 
verfügt, kann man offenbar erreichen, daß X = 1 wird; dies sei geschehen. 
Wir haben dann also mit den Bezeichnungen von § 28 

y,-k = — gik = d{* -f- / • XiXk (*', * mm i, 2, 3) . 
Wir wollen jetzt dieses kugelsymmetrische Feld so bestimmen, daß 



2 1 8 Allgemeine Relativitätstheorie. 

es den homogenen Gravitationsgleichungen genügt, welche dort gelten, wo 
keine Materie vorhanden ist, d. h. wo die Energiedichte $* verschwindet. 
Jene Gleichungen sind zusammengefaßt in dem Variationsprinzip 

d f®dx=o. 

Das Gravitationsfeld, das wir finden, ist das von ruhenden Massen erzeugte 
die kugelsymmetrisch um ein Zentrum verteilt sind. Bedeutet der Akzent 
Ableitung nach r, so bekommen wir 



und daher 



Da aus 



|£* = /' Xa XiXk + / (r>,- Xk + d«* Xi ) 
ox a r 

[VI"*" '^r* '*** + *& '*■ M, « = i, 2, 3,) 



*a =J£yaßx( > , 

wie man sich durch Einsetzen überzeugt, 



i 



-x aj h* = i +/r' 



folgt, ist mithin 

f / k | __ i *a / XjXk+ 2lrÖj k 

l a j = ~ 2 r A 9 

Es genügt, die Berechnung von © für den Punkt # r = r, # 2 = o, x 3 = o 
durchzuführen. An dieser Stelle sind von den eben berechneten Drei- 
indizes-Symbolen 

(Ylrf {7}-{V}-£. 

alle übrigen = o. Von den o enthaltenden Dreiindizes-Symbolen sind 
nach § 28 

CT=lV}-£. (VHP. 

alle andern = o. Von den ^ sind die in der Hauptdiagonale stehenden 
(*' = k) gleich 

/*, -V, -I, .-!, 

die seitlichen (/' =J= k) sind o; für die in der Hauptdiagonale stehenden 
g tk findet man daher die Werte 



1 . 1 



.3 1 



für die seitlichen o. Die Definition (30) von % liefert daher hier: 



§ 30. Strenge Lösung des Einkörperproblems. 



219 



2 

vi: 



1 

7 

1 

1? 



vKivi+ivffr.mr;) 

IVKIVWV}) 

Die in der ersten und zweiten Zeile stehenden Glieder ergeben zusammen 

({VMoWr;}-^ 1 :})-. 

in diesem Produkt ist aber der zweite Faktor = o. Da [§ 17, GL (57)] 

1=0 ' 

ist die Summe der in der dritten und vierten Zeile stehenden Tenne 

a lr J' 

Erstrecken wir das Weltintegral von & nach der Zeit x Q über ein festes 
Intervall, nach dem Raum über eine von zwei Kugelflächen begrenzte 
Schale, so lautet, da das Integrationselement 

dx = dx dQ r*dr (d£2 = räumlicher Winkel) 

ist, die zu lösende Variationsgleichung 

df®r*dr=o; 
also, wenn wir 

lr 3 lr 3 I 1 \ 

setzen, 

öj wdt r dr = o . 

Darin dürfen wir J und w als die unabhängig zu variierenden Funktionen 
betrachten. 

Indem wir w variieren r ergibt sich 

J' = o , J = konst. ; 
bei geeigneter Wahl der Maßeinheit der Zeit also 

J =z hf= I . 

Partielle Integration liefert 

fwJ'dr = \wd\ — fJw'dr. 
Daher kommt, wenn wir J variieren, 



2 2o Allgemeine Relativitätstheorie. 

w' = o , w = konst. = — 2 m . 
Aus der Definition von w und J = i folgt nunmehr 



f—, * m A a = — 

J r I y. 



Unsere Aufgabe ist damit vollständig gelöst. Die Maßeinheit der Zeit ist 
so gewählt, daß die Lichtgeschwindigkeit im gravitationslosen Raum = i 
ist. Bedeutet w die felderzeugende Masse in gr, so ist die Konstante m 
von der Dimension einer Länge = v.m ', wir nennen sie den Gravitations- 
radius der Masse. Denn nach (33') ist der Fluß des Feldes f' durch eine 
beliebige, die Massen umschließende Fläche (strenge, nicht näherungsweise) 

= x / ju dx s dx a dx 3 . Wenden wir diese Bemerkung auf eine unendlich- 
große Kugel an und setzen 

m = l (X dx t dx, dx 3 , 

so erhalten wir, wie behauptet, tn = xm . Da /* nicht negativ werden 
kann, zeigt sich übrigens, daß bei Verwendung der hier eingeführten 
Koordinaten für das von Materie freie Raumgebiet überall r }> 2 m 
sein muß. Weitere Aufklärung darüber gibt der in § 3 1 durchzuführende 
besondere Fall der Flüssigkeitskugel, wo wir das Gravitationsfeld auch 
innerhalb der Masse bestimmen werden. Die gefundene Lösung dürfen 
wir für das Schwerefeld der Sonne außerhalb derselben benutzen, wenn wir 
die Einwirkung der Planeten und der fernen Fixsterne vernachlässigen. 
Die Bewegung eines Planeten (dessen Masse wir unendlichklein gegen- 
über der Sonnenmasse annehmen) wird durch eine geodätische Weltlinie 
dargestellt. Von deren vier Gleichungen 

d*Xi , jiß) dx a dxß _ 
~d7 T "*" I i J ~ds~ ~di~° 

liefert die dem Index i — o entsprechende im statischen Gravitationsfeld, 
wie wir oben sahen, das Energieintegral 

/ 9 ^ = konst. 

ds 



oder da 






Die den Indizes /= 1, 2, 3 entsprechenden Gleichungen liefern für ein 
kugelsymmetrisches Feld, wie die hingeschriebenen Werte der Dreiindizes- 
Symbole ohne weiteres erkennen lassen, die Proportion 
d*x, d'x„ d*x. 



ds' ' ds* ' ds 



. o X, . X m 



§ 3°. Strenge Lösung des Einkörperproblems. 22 1 

und daraus in bekannter Weise die drei Gleichungen, welche den Flächen- 
satz enthalten: 

» ^-ä7- x '^r ==konst - 

Gegenüber der Newtonschen Theorie besteht hinsichtlich dieses Satzes nur 
der Unterschied, daß nicht nach der kosmischen Zeit, sondern der Eigen- 
zeit s des Planeten differentiiert werden muß. Wegen des Flächensatzes 
erfolgt die Bewegung in einer Ebene, die wir zur Koordinatenebene x 3 = o 
wählen können. Führen wir in ihr Polarkoordinaten ein: 

x t = r cos </> , x a = r sin cp , 
so lautet das Flächenintegral 

(47) r 3 ^ = konst. = b . 

ds 

Für das Energieintegral aber kommt, da 

dx\ -f- dx\ = dr* -f- r' d(p* , x z dx t -f- # a dx a = r</r , 
da' = (dr* + rVr/> 3 ) + l[rdr)* = h* dr* + r'dcp* ist: 

Da fh = 1 ist, folgt durch Einsetzen des Wertes von / a 

W -? + ($" + ^—>(£)* — *-*»«. 

Diese Gleichung zeigt gegenüber der Energiegleichung in der Newtonschen 
Theorie nur den einen Unterschied, daß im letzten Gliede links der eine 
Faktor r durch r — 2 m ersetzt ist. 

Die weitere Behandlung geschieht genau wie in der Newtonschen 

Theorie. Wir setzen -—• aus (47) in (48) ein: 
ds 



b* (r — 2 tri) 



IdrV 2tn b'(r- 

[dsj == —- E -— — 



oder statt r die reziproke Entfernung q = — benutzend , 



r 



Wollen wir die Planetenbahn ermitteln, so eliminieren wir die Eigenzeit, 
indem wir diese Gleichung durch die quadrierte Gleichung (47) dividieren: 

{dQ\* 2 m E 

XdTp) -.l^«-F..7< + 2mQ ' 

In der Newtonschen Theorie fehlt das letzte Glied rechts. Für die 
numerischen Verhältnisse, die bei einem Planeten vorliegen, hat das 
Polynom 3. Grades in q auf der rechten Seite drei positive Wurzeln 
Q ^>Q t y> Q m und ist also 

= 2m(Q — Q)[Q t — Q)[Q — Q m )\ 



22 2 Allgemeine Relativitätstheorie. 

q bewegt sich zwischen q t und Q a . Die Wurzel q ist sehr groß gegen- 
über den beiden andern. Wir setzen wie in der Newtonschen Theorie 

— = all — e) , — = all + e) 
und nennen a die halbe große Achse und e die Exzentrizität; dann ist 

2 



Ci-r-^ 



a\x—e) 
Vergleichen wir die Koeffizienten von q* miteinander, so kommt 

Qo + ?i + £* = 

2 711 

(p drückt sich durch q mittels eines elliptischen Integrals i. Gattung 
aus, daher ist q umgekehrt eine elliptische Funktion von (p. Die Be- 
wegung hat genau den gleichen Typus wie die des sphärischen Pendels. 
Um einfache Näherungsformeln zu finden, machen wir die gleiche Sub- 
stitution, wie sie zur Bestimmung der Keplerschen Bahnellipse in der 
Newtonschen Theorie benutzt wird: 

* 2 2 

Dann ist 

dd 



"\v 



2m{Qo -ei±^-<LLzJk C0 J 



Das Perihel ist charakterisiert durch die Werte = o, 2 7t, ...; der 
Zuwachs des Azimuts <jp für einen vollen Umlauf von Perihel zu Perihel 
wird also durch das obige Integral, genommen in den Grenzen von o 
bis 2 7r, geliefert. Mit bei weitem ausreichender Genauigkeit ist er 

271 



Wir finden aber 



y„{ t .-*±±) 



eo _£ 1 ±^ = fe + ei + eJ _ |(?i + ea)=i L__X_ 



Infolgedessen ist jener Zuwachs 

^ 2 TV 



/6m 



27t ( 3» ) 



und das Vorrücken des Perithels pro Bahnumlauf 

tTtm 
Ä «(,-,f 

m, der Gravitationsradius der Sonne, kann nach dem dritten Keplerschen 



§ 3 1 - Weitere strenge Lösungen des statischen Gravitationsproblems. 223 

Gesetz noch durch die Umlaufszeit T des Planeten und die halbe große 
Achse a ausgedrückt werden: 

47r a a 3 

Einen mit den feinen astronomischen Beobachtungsmitteln sicher kon- 
statierbaren Betrag erreicht dieses Vorrücken des Perihels nur für den 
sonnennächsten Planeten, den Merkur (s. oben). l8 ) 

§ 31. Weitere strenge Lösungen des statischen Gravitations- 
problems. 

In einem Euklidischen Räum mit den Cartesischen Koordinaten x z x^ x 3 
lautet die Gleichung einer Rotationsfläche, welche die ,x 3 -Achse zur Dreh- 
achse hat, 

x 3 =E{r), r = Vx\+x\\ 

auf 'ihr ist also das Quadrat des Abstandes da zweier unendlich benach- 
barter Punkte 

Im kugelsymmetrischen statischen Gravitationsfeld ist auf einer durch 
das Zentrum gehenden Ebene (x 3 = o) 

da' = [dx\ + dx\) + l(x, dx t +x a dx a )% 
wo 

h 3 — 1 _ 2m- 

r* r a (r — 2 m) 

Die beiden Formeln kommen zur Übereinstimmung, wenn man 

F' (r) = V 2m . FW = ySm{r-2m) 
' r — 2 m 

setzt. Die Geometrie in jener Ebene ist also die gleiche, wie sie im 
Euklidischen Raum auf dem einschaligen Rotationspar aboioid 



z = V&m(r — 2/h) 

Eine geladene Kugel erzeugt außer dem kugelsymmetrischen Gravi- 
tationsfeld auch ein ebensolches elektrostatisches Feld; da sich beide 
Felder gegenseitig beeinflussen, können sie nur simultan bestimmt werden. 20 ) 
Verwenden wir wie für die übrigen Größen so für die Elektrizität die ge- 
wöhnlichen Maßeinheiten des CGS- Systems (und nicht die sonst hier zu- 
grunde gelegten Heavisideschen, die über den Faktor 47t anders verfügen), 
so lautet in dem von Massen und Ladungen freien Gebiet das Integral, 
das für den Gleichgewichtszustand einen stationären Wert annimmt: 



/{«'-«*£k 



224 Allgemeine Relativitätstheorie. 

Die Bezeichnungen sind dieselben wie oben, O ist das elektrostatische 
Potential. Als Wirkungsfunktion des elektrischen Feldes ist gemäß der 
klassischen Theorie das Quadrat des Feldbetrages zugrunde gelegt. Die 
Variation von w ergibt, ebenso wie im ladungslosen Fall, 

J' = o , J = konst. =: c t 



Variation von <Z> aber: 



d /r*<D'\ e 

-— I — -r— = o und daraus <Z> = — • 
dr\ J I r 

Für das elektrostatische Potential erhält man demnach die gleiche Formel 
wie ohne Berücksichtigung der Gravitation; die Konstante e ist die das 
Feld erzeugende elektrische Ladung. Variiert man endlich d % so kommt 



w _ x __ 



und daraus 

w = 2 m — 






In / a tritt, wie man sieht, außer dem von der Masse w abhängigen 

SXM 

Glied noch ein elektrisches Zusatzglied auf. Wir nennen xm — m 

Vx 

den Gravitationsradius der Masse z« n , e a = e den Gravitationsradius 

c 

der Ladung e . In Entfernungen r der Größenordnung w ist das Massen- 
glied, in Entfernungen der Größenordnung e das elektrische Glied der i 
vergleichbar. / 3 bleibt für alle Werte von r positiv, wenn e ^> m ist; 
unter diesen Umständen können also Masse und Ladung auf einen Punkt 

e 
zusammengedrängt sein. Für ein Elektron ist der Quotient — von der 

m 

Größenordnung io 2 °. Daß am Elektron eine derartige reine Zahl auftritt, 
die von ganz anderer Größenordnung als i ist, macht die in der Mie- 
schen Theorie enthaltene These, daß alle aus den Maßgrößen des Elektrons 
und der Atome bestimmten reinen Zahlen sich als mathematische Kon- 
stante aus den Naturgesetzen ergeben müssen , einigermaßen bedenklich ; 
so schwer es uns freilich auf der andern Seite fällt, zu glauben, daß dem 
Weltbau gewisse reine Zahlen von zufälligem numerischen Wert zugrunde 
liegen. — In Entfernungen, die mit 



m n c 



vergleichbar sind, werden das Massenglied und das elektrische Glied im 
Gravitationspotential / von der gleichen Größenordnung; erst wenn r 
vielmal größer ist als a 7 gilt das Superpositionsprinzip in dem Sinne, daß 
das elektrostatische Potential in gewöhnlicher Weise durch die Ladung, 
das Gravitationspotential durch die Masse bestimmt ist. Demnach wird 



§31- Weitere strenge Lösungen des statischen Gravitationsproblems. 225 

man a als Radius der Wirkungssphäre betrachten können; diese Größe tritt 
in jenen früher erwähnten Theorien, die auf Grund spezieller Ansätze den 
Energieinhalt des Elektrons ermitteln, als Elektronenradius auf. Es besteht 

das Verhältnis 

a\ e = e'.m oder e = Vam . — 

Das im Innern massiver Körper herrschende Gravitationsfeld ist nach 
der Einsteinschen Theorie erst bestimmt, wenn die dynamische Kon- 
stitution der Körper vollständig bekannt ist; in den Gravitationsgleichungen 
sind ja die mechanischen, also im statischen Fall die Gleichgewichtsbe- 
dingungen mit enthalten. Die einfachsten Verhältnisse, welche wir ins 
Auge fassen können, liegen vor, wenn die Körper aus einer homogenen 
inkompressiblen Flüssigkeit bestehen. Der Energietensor einer Flüssigkeit, 
auf welche keine Volumkräfte wirken, wird nach § 24 durch die Glei- 
chungen geliefert 

lik = fi* Ui u k — pgik i 

in denen die u t - die kovarianten Komponenten der Weltrichtung der 
Materie sind, der Skalar p den Druck bedeutet und /u* sich aus der 
konstanten Dichte [i durch die Gleichung f.i* = fi + p bestimmt. Wir 
führen die Größen 

ft* u t - = Vi 

als Unabhängige ein und setzen 

Vg 
Dann ist, wenn wir nur die g ik variieren, hingegen die Vi nicht: 

Folglich können wir die Gravitationsgleichungen in die auf diese Art der 
Variation sich beziehende Formel zusammenfassen 

Es ist aber wohl zu beachten, daß dieses Prinzip, wenn in ihm die Vi als 
Unabhängige variiert werden, nicht die richtigen hydrodynamischen Glei- 

Vi 

chungen ergibt (statt dessen käme = = o , womit nun gar nichts an- 

V Vi v' 

zufangen ist). Diese, d. s. die Erhaltungssätze für Energie und Impuls, 
sind ja aber bereits in den Gravitationsgleichungen mitenthalten. 

Im statischen Fall ist v t = v a = z> 3 = ö und alle Größen sind 
unabhängig von der Zeit; wir setzen v = v und wenden das Variations- 
zeichen ö in dem gleichen Sinne wie in § 27 an, für eine Änderung, 
die durch infinitesimale Deformation hervorgerufen wird, wobei wir 
uns aber auf eine rein räumliche Verschiebung beschränken. Dann ist 

dZ = \V k dgi k -hdv [ h = j), 

Weyl, Raum, Zeit, Materie. 3. Aufl. je 



22Ö Allgemeine Relativitätstheorie. 

wobei öv nichts anderes bedeutet als den Unterschied von v an zwei 
Raumstellen, die durch die infinitesimale Verschiebung auseinander her- 
vorgehen. Indem wir jetzt den Schluß, durch den wir in § 27 den 
Energie-Impuls-Satz gewannen, umkehren, folgern wir aus der Gültigkeit 
jenes Gesetzes, d. i. 

fV k dg ik -dx=o 

und der Gleichung, welche die invariante Natur des Weltintegrals von 8 
zum Ausdruck bringt: 

f ö 2 • dx = o , 

daß öv = o ist. Und das bedeutet, daß v in einem zusammenhängenden , 
von Flüssigkeit erfüllten Raumgebiet einen konstanten Wert besitzt. Das 
Energiegesetz ist identisch erfüllt, und das Impulsgesetz drückt sich am 
einfachsten in dieser Tatsache aus. 

Eine einzige im Gleichgewicht befindliche Flüssigkeitsmasse wird hin- 
sichtlich Massenverteilung und Feld Kugelsymmetrie besitzen. Speziali- 
sieren wir auf diesen Fall, so haben wir für ds* den gleichen, die drei 
unbekannten Funktionen X, /, f enthaltenden Ansatz zu machen wie zu 
Beginn des § 30. Setzen wir von vornherein X — 1 , so entgeht uns 
diejenige Gleichung, welche durch Variation von X entspringt. Für sie 
ist offenbar jene Gleichung ein voller Ersatz, welche die Invarianz der 
Wirkungsgröße bei infinitesimaler räumlicher Verschiebung in radialer 
Richtung aussagt, d. h. der Impulssatz v = konst. Das zu lösende Varia- 
tionsproblem lautet jetzt 

ö f\d' w -\- r* (i % /4 — r'vk) dr = o; 
dabei sind zf und h zu variieren, 

ze;ist=:(i-^)r. 
Beginnen wir mit der Variation von 4\ es kommt 

w — jU r=o, 7v = — r ä , 



3 



(49) 



± = 1 -^r'< 

h* 3 



Die Flüssigkeitskugel habe den Radius r=r . Wir sehen, daß er notwendig 

bleiben muß. Dabei ist für Energie und Masse die aus der Gravitations- 
theorie '" sich ergebende rationelle Einheit zugrunde gelegt. Für eine 
Wasserkugel ist jene obere Grenze beispielsweise 

= 1/ -~ = 4 • io 8 km = 22 Lichtminuten. 



§ 3 1 - Weitere strenge Lösungen des statischen Gravitationsproblems. 22 7 

Außerhalb der Kugel gelten unsere früheren Formeln, insbesondere ist 

dort 

i 2m . 

Die Grenzbedingungen verlangen, daß h und / stetig über die Kugel- 
oberfläche hinübergehen und der Druck p daselbst verschwindet. Aus 
der Stetigkeit von h ergibt sich zunächst für den Gravitationsradius m 
der Flüssigkeitskugel 



Die zwischen r und f.i bestehende Ungleichung zeigt, daß der Radius r Q 
größer sein muß als 2 m. Bevor wir also, aus dem Unendlichen kommend, 
an die früher erwähnte singulare Kugel r = 2 tn gelangen , geraten wir 
in die Flüssigkeit hinein, und in ihr gelten andere Gesetze. Gehen wir 
zur Grammeinheit über, so ist (i Q durch 8 ttx^u zu ersetzen, und m ist = x w , 
wenn m die gravitierende Masse bedeutet; dann findet sich 

Mo = Po * — — - * 

Da 

P-tf/- — 

eine Konstante ist und an der Kugeloberfläche den Wert ~-° annimmt, 

K 
wo h den aus (49) zu entnehmenden Wert von h daselbst bedeutet, so 
ist im ganzen Innern V 



(50) 






* = (j" +/)/ = 


K 


Die 


Variation 


von h 


liefert 

2J' 


. 


Da aus 


(49) 




h* ~~ 3 T 




folgt, findet man 


sofort 












3 v 
J = — — h -4- konst 

2^0 



Zieht man noch den Wert (50) der Konstanten v heran und ermittelt 
den Wert der auftretenden Integrationskonstanten durch die Randbedingung 
J = 1 auf der Kugeloberfläche, so kommt 



j = ih -*° 



>_»' 



2hh n 



!$' 



228 Allgemeine Relativitätstheorie. 

Endlich ergibt sich aus (50) jetzt 



/ = Pe 



3*-<*. 



[x t dx t -f- x a dx a + x 3 äx 3 Y 



Damit sind die metrische Fundamentalform des Raumes 

( 51 ) dG * = (dx\ + dx\-\-dxl)^ 

das Gravitationspotential (oder die Lichtgeschwindigkeit, /) und das 
Druckfeld p bestimmt. 

Führen wir im Raum eine überschüssige Koordinate 

* 4 = Va* — r* 
ein, so ist - 

(52) *i+*'+*3+*4 =«') 

darum 

x z dx 1 -f- x 2 dx 3 -f- x z dx 3 -j- # 4 d?* 4 = o , 

und (51) verwandelt sich in 

da" 1 = dx\ + dx\ + rf*£ + dx\ . 

Im ganzen Innern der Flüssigkeitskugel gilt die räumliche sphärische Geo- 
metrie, nähmlich dieselbe 7oie auf der -»Sphäre*- (52) im vierdimensionalen 
Euklidischen Raum mit den Cartesischen Koordinaten x t : Die Flüssigkeit 
bedeckt eine Kalotte dieser Sphäre; der Druck in ihr ist eine lineare ge- 
brochene Funktion der »vertikalen Höhe« z=x A auf der Sphäre: 

A = z — z ° 

A'o 3* — * 
Übrigens geht aus der Formel noch hervor, da der Druck / nicht auf 
einer Breitenkugel z — const. durchs Unendliche hindurch von posi- 
tiven zu negativen Werten übergehen darf, daß 3 z Q ^> a sein muß, und 
die oben gefundene Schranke a für den Radius der Flüssigkeitskugel ver- 
kleinert sich dementsprechend auf 2a JL . 

3 
Diese Ergebnisse über die Flüssigkeitskugel sind zuerst von Schwarz- 
schild gewonnen worden 21 ). Nachdem die wichtigsten Fälle des kugel- 
symmetrischen statischen Gravitationsfeldes erledigt waren, gelang es dem 
Verfasser, das allgemeinere Problem des rotations-{zy\mder-)symmetrischen 
statischen Feldes zu lösen 2a ). Hier mögen nur die einfachsten Resultate dieser 
Untersuchung eine kurze Erwähnung finden. Es handle sich zunächst um 
ungeladene Massen und um das Gravitationsfeld in dem von Materie freien 
Raum. Aus den Gravitationsgleichungen ergibt sich dann, daß unter Einfüh- 
rung gewisser Raumkoordinaten r, 0, 2, der kanonischen Zylinderkoordinaten, 

ds*=f*dt*—do 2 , do*=h{dr*-\-dz' 1 )-\- 1 - < !ß- 



§31- Weitere strenge Lösungen des statischen Gravitationsproblems. 220 

wird. ist ein Winkel, der mod. 2 rt zu nehmen ist; d. h. Werten von 0, 
welche sich um ganzzahlige Vielfache von 2 tc unterscheiden, entspricht 
derselbe Punkt. Auf der Rotationsachse wird r = o . h und / sind 
Funktionen von r und z. Wir bilden den wirklichen Raum auf einen 
Euklidischen ab, in welchem r, 0, z Zylinderkoordinaten sind. Das kano- 
nische Koordinatensystem ist eindeutig bestimmt bis auf eine Verschiebung 
in Richtung der Rotationsachse : z' = z -f- konst. Wenn h = / = 1 ist, 
stimmt da* mit der metrischen Grundform des Euklidischen Bildraums 
überein. Das Gravitationsproblem kann in ebenso einfacher Weise wie 
nach der Newtonschen Theorie gelöst werden, wenn die Massenverteilung 
im kanonischen Koordinatensystem bekannt ist. Überträgt man nämlich 
die Massen in unsern Bildraum, d. h. bringt in ihm eine solche Massen- 
verteilung an, daß die in irgend einem Stück des wirklichen Raums ent- 
haltene Masse gleich der Masse in dem korrespondierenden Stück des 
Bildraums ist, und ist dann ip das Newtonsche Potential dieser Massen- 
verteilung im Euklidischen Bildraum, so gilt die einfache Formel 

(53) f=e^\ 

Auch die andere noch unbekannte Funktion // läßt sich durch Lösung 
einer gewöhnlichen Poissonschen Gleichung (in der Meridianebene = o) 
bestimmen. — Handelt es sich um geladene Körper, so existiert das 
kanonische Koordinatensystem gleichfalls. Nimmt man an, daß die Massen 
gegenüber den Ladungen zu vernachlässigen sind, d. h. daß für ein be- . 
liebig herausgegriffenes Raumstück der Gravitationsradius der in ihm 
enthaltenen elektrischen Ladungen immer vielmal größer ist als der Gravi- 
tationsradius der in ihm enthaltenen Massen, und bedeutet cp das nach 
der klassischen Theorie berechnete elektrostatische Potential der in den 
kanonischen Bildraum übertragenen Ladungen, so gelten für / und für 
das elektrostatische Potential O im wirklichen Raum die Formeln 



(54) <Z> = ^tg(^), 






cos 



(?*) 



Die Einordnung des kugelsymmetrischen Falls in diese allgemeinere Theorie 
gestaltet sich nicht ganz einfach; es ist dazu eine ziemlich komplizierte 
Transformation der Raumkoordinaten erforderlich, auf die wir hier nicht 
eingehen wollen. 

Wie die Gesetze der Mieschen Elektrodynamik, so sind auch die Ein- 
steinschen Gravitationsgesetze nicht-linear. Diese Nicht-Linearität macht 
sich in denjenigen Abmessungen, welche der direkten Beobachtung zu- 
gänglich sind, nicht merkbar, weil in ihnen die nichtlinearen Glieder voll- 
ständig gegenüber den linearen zu vernachlässigen sind; das hat zur Folge, 
daß wir in dem Kräftespiel der sichtbaren Welt das Superpositionsprinzip 
durchweg bestätigt finden. Höchstens für die seltsamen Vorgänge inner- 
halb des Atoms, von denen wir uns heute noch kein klares Bild machen 



230 Allgemeine Relativitätstheorie. 

können, kommt jene Nicht-Linearität möglicherweise in Betracht. Bei 
nichtlinearen Differentialgleichungen liegen, namentlich was ihre Singulari- 
täten betrifft, im Vergleich zu den linearen äußerst komplizierte, un- 
erwartete und vorerst noch ganz und gar unbeherrschbare Verhältnisse 
vor, und es liegt nahe, diese beiden Dinge: das sonderbare Verhalten 
nichtlinearer Differentialgleichungen und die Eigentümlichkeiten intra- 
atomistischer Vorgänge in Zusammenhang miteinander zu bringen. Die 
Gleichungen (53), (54) bieten ein schönes und einfaches Beispiel dafür 
dar, wie sich das Superpositionsprinzip in der strengen Gravitations- 
theorie modifiziert: die Feldpotentiale / und <Z> hängen in dem einen 
Falle durch die Exponentialfunktion, in dem andern durch die trigono- 
metrischen von derjenigen Größe ip } bzw. cp ab, welche dem Superpositions- 
prinzip genügt. Zugleich aber zeigen jene Formeln deutlich, daß von der 
Nicht-Linearität der Gravitationsgleichungen für das Verständnis der Vor- 
gänge im Atom und der Konstitution des Elektrons nichts zu erhoffen 
ist. Denn die Abweichungen zwischen cp und O werden erst dort merklich, 

Vx ... . 

wo — cp Werte annimmt, die mit 1 vergleichbar sind. Das ist aber 

selbst im Innern des Elektrons nicht der Fall; damit jene Abweichung 
für den Bau des Elektrons bedeutungsvoll würde, müßte vielmehr seine 
Ladung e Q auf einen Bereich zusammengedrängt sein, dessen Radius die 
Größenordnung des Gravitationsradius 

Vx 

e = — e a ~ io~33 cm 
c 

dieser Ladung hätte. 

Bei der Ermittlung der bisher angegebenen strengen Lösungen der 

Gravitationsgleichungen handelte es sich immer um eine Fragestellung der 

folgenden Art. Bekannt sei, daß ein > kanonisches Koordinatensystem« 

existiert, in welchem die invariante quadratische Form Tikdxtdxk der 

Materie eine besondere Gestalt annimmt (z. B. eine Kombination von 

äxl, dx\-\- dx\-\- dx\, (x I dx 1 -{- x a dx,-\- x 3 dx 3 ) 2 



ist mit Koeffizienten, die nur von r = Vx\ -f- x\ -f- x\ abhängen : Kugel- 
symmetrie); dann existiert ein den Gravitationsgleichungen genügendes 
Schwerefeld g,jt dx t - dxk , welches in den kanonischen Koordinaten die 
gleiche Normalform annimmt, und es sollen aus bekannten Ansätzen für 
die Tik in diesem kanonischen Koordinatensystem die g& ermittelt werden. 
Wie wir in § 1 5 in dem Verschwinden des Riemannschen Krümmungstensors 
4. Stufe die allgemein invariante Bedingung dafür erkannten, daß sich 
eine quadratische Form mittels Einführung kanonischer Koordinaten 
auf die »Euklidische«, durch konstante Koeffizienten ausgezeichnete Gestalt 
bringen läßt, so kann man sich hier die mathematische Aufgabe stellen, 
analog die invarianten Bedingungen dafür zu ermitteln, daß sich der 
quadratischen Form der Materie durch Transformation auf geeignete Ko- 



§ fl. Gravitationsenergie. Die Erhaltungssätze. 2 3 I 

ordinaten die gewünschte besondere Gestalt verleihen läßt. Wenn dies 
gelungen ist, können wir die Probleme, welche hier gelöst wurden, in 
einer dem Gedanken der allgemeinen Relativität besser entsprechenden 
Weise formulieren, nämlich so, daß wir dabei von besonderen »kanonischen« 
Koordinatensystemen keinen Gebrauch mehr machen. 

Es ist klar, daß die statischen Differentialgleichungen der Gravitation 
die Lösungen nicht eindeutig bestimmen können , sondern daß Rand- 
bedingungen im Unendlichen hinzutreten müssen. Die von uns gefundenen 
Lösungen waren von solcher Art, daß die metrische Fundamentalform im 
räumlich Unendlichen gegen die für die spezielle Relativitätstheorie cha- 
rakteristische 

dx\ — {dx\ -f- dx\ + dx\) 

konvergiert. Diese Lösungen dürfen wir als die physikalisch richtigen 
ansprechen, sofern wir annehmen, daß (bei Zugrundelegung der kano- 
nischen Koordinaten) sich in weiter Entfernung große Massen befinden, 
die im ganzen ruhend und gleichmäßig verteilt sind. Durch diese An- 
nahme kommen wir um das Problem der Randbedingungen in analoger 
Weise herum wie in der Elektrostatik, wenn wir alle Kraftlinien auf einer 
großen Metallkugel enden lassen. Die prinzipielle Frage ist damit aber 
nicht erledigt; ihre Beantwortung wird jedoch offenbar erst möglich sein, 
wenn wir uns über die Zusammenhangsverhältnisse der Welt im großen 
klar geworden sind; ein dunkles Problem, in das wir auf einen engen 
Weltbezirk beschränkte Wesen kaum anders als auf spekulativem Wege 
jemals werden Licht bringen können. 

§ 32. Gravitationsenergie. Die Erhaltungssätze. 

Ein isoliertes System durchfegt im Laufe seiner Geschichte einen »Welt- 
kanal« ; außerhalb desselben, nehmen wir an, verschwindet die Stromdichte 8 1 ' 
(wenn nicht exakt, so doch in solcher Stärke, daß die folgende Über- 
legung ihre Gültigkeit behält). Aus der Kontinuitätsgleichung 

(55) ^ =0 

folgt, daß der Fluß der Vektordichte £' durch jede den Kanal durch- 
setzende dreidimensionale »Fläche« denselben Wert e besitzt. Damit 
e auch dem Vorzeichen nach bestimmt ist, werde im Kanal als Richtungs- 
sinn der von der Vergangenheit in die Zukunft führende festgelegt. Die 
Invariante e ist die Ladung unseres Systems. Erfüllt das Koordinaten- 
system die Bedingungen , daß jede » Ebene « x = const. den Kanal in 
einem endlichen Bereich durchschneidet und diese Ebenen, nach wachsen- 
dem x geordnet, in der Richtung Vergangenheit -> Zukunft aufein- 
ander folgen, so können wir e durch die Gleichung berechnen: 



/ 3° dx l dx, dx 3 = e , 



2-i2 Allgemeine Relativitätstheorie. 

wobei sich die Integration über eine beliebige der Ebenen x = const. er- 
streckt. Dieses Integral e- = e (* ) ist demnach von der >Zeit« x Q unab- 
hängig, wie sich auch unmittelbar aus. (55) durch Integration nach den 
»Raumkoordinaten« x z x a x 3 ergibt. Das Gesagte gilt allein auf Grund 
der Kontinuitätsgleichung; die Substanzvorstellung und der auf ihr be- 
ruhende Ansatz der Lorentzschen Theorie ¥ = Qu' kommen dafür gar 
nicht in Frage. 

Gilt ein ähnlicher Erhaltungssatz für Energie und Impuls / Die Gleichung 
(26) läßt das wegen des für die Gravitationstheorie charakteristischen 
Zusatzterms jedenfalls nicht erkennen. Es gelingt nun aber, auch diesen 
Zusatzterm in Gestalt einer Divergenz zu schreiben. Wir legen ein be- 
stimmtes Koordinatensystem zugrunde und nehmen mit dem Weltkonti- 
nuum eine infinitesimale Verschiebung im eigentlichen Sinne vor, d. h. 
wir wählen die Deformationskomponenten £'" in § 2 7 als Konstante. Dann 
ist selbstverständlicherweise für irgend ein endliches Gebiet 3£ 



V f®dx = o 



x 



(das gilt für jede Funktion der g,k und ihrer Ableitungen, mit Invarianz- 
eigenschaften hat das gar nichts zu tun ; ö' bezeichnet wie in § 2 7 die 
durch die Verschiebung bewirkte Variation). Es ist also für die Ver- 
schiebung 

J ö Xk J 

i.. i 

Setzen wir nach Früherem 

(13) 9® '"-i ©"' <W + I ©°** &gaß,k , 

so liefert eine partielle Integration 

, / ö 9 fci = / »W^fid ,; + f m „, ^ dx _ 

Nun ist hier, wo die | konstant sind: 

«*,'-.-£>.. 

Führen wir die Größen 

© d* — - <&**' k -^ BBS t* 

ein, so besteht demnach die Gleichung 

Da dies für ein beliebiges Gebiet X gilt, muß der Integrand verschwinden. 



§ 32- Gravitationsenergie. Die Erhaltungssätze. 233 

In ihm bedeuten die £' willkürliche konstante Zahlen; also erhalten wir 
vier Identitäten: 

3 L J bXi bXk 

Nach den Gravitationsgleichungen ist hier die linke Seite 

und die mechanischen Gleichungen (26) gehen infolgedessen über in 

(56) ^T = °' woUf.^S* + t* . 

Es zeigt sich : wenn wir die nur von den Potentialen und Feldkomponenten 
der Gravitation abhängigen t,- als die Komponenten der Energiedichte des 
Gravitationsfeldes ansprechen, bekommen wir für die gesamte, mit »physi- 
kalischem Zustand« und »Gravitation« verknüpfte Energie reine Divergenz- 
gleichungen. * 3 ) 

k • 

Dennoch scheint es physikalisch sinnlos zu sein , die t/ als Energie- 
komponenten des Gravitationsfeldes einzuführen; denn diese Größen bilden 
weder einen Tensor noch sind sie symmetrisch. In der Tat können durch 
geeignete Wahl eines Koordinatensystems alle t,- an einer Stelle stets zum 
Verschwinden gebracht werden ; man braucht dazu das Koordinatensystem 
nur als ein geodätisches zu wählen.- Und auf der andern Seite bekommt 
man in einer »Euklidischen«, völlig gravitationslosen Welt bei Benutzung 
eines krummlinigen Koordinatensystems t/, die verschieden von o sind, 
wo doch von der Existenz einer Gravitationsenergie nicht wohl die Rede 
sein kann. Sind daher auch die Differentialrelationen (56) ohne wirkliche 
physikalische Bedeutung, so entsteht doch aus ihnen durch Integration 
über ein isoliertes System ein invarianter Erhaltungssatz. 24 ) 

Ein isoliertes System mitsamt seinem Gravitationsfelde durchfegt während 
seiner Bewegung in der Welt einen Kanal. Außerhalb des Kanals, in 
der leeren Umwelt des Systems, verschwindet, wie wir annehmen, die 
Tensordichte St,- und das Gravitationsfeld. Wir können dann solche Koor- 
dinaten x = /, x t x, x 3 benutzen, daß die metrische Fundamentalform 
dort konstante Koeffizienten bekommt, insbesondere die Gestalt annimmt 

df — [dx\ + dx\ + dx\) . 

Die Koordinaten sind dadurch außerhalb des Kanals bis auf eine lineare 
(Lorentz-) Transformation festgelegt, und es verschwinden dort auch die t*. 
Wir nehmen an, daß jede der »Ebenen« /=const. mit dem Kanal nur 
einen endlichen Schnittbereich gemein hat. Integrieren wir die Gleichungen 
(56) nach x 1 x 7 x 3 über eine solche Ebene, so ergibt sich, daß die Größen 



Ji= I Vif dx x dx 3 dx 3 



2 i.A. Allgemeine Relativitätstheorie. 

1 7 '• 
unabhängig sind von der Zeit: ' = o. Wir nennen J Q die Energie, 

«/, J„ J 3 die Inipulskomponenten des Systems. 

Diese Größen haben eine vom Koordinatensystem unabhängige Be- 
deutung. Ich behaupte zunächst, daß sie ihren Wert behalten, wenn das 
Koordinatensystem innerhalb des Kanals irgendwie abgeändert wird. 
Seien x t - die neuen, außerhalb des Kanals mit den alten übereinstimmen- 
den Koordinaten. Ich lege zwei »Flächen« 

x Q = const. = a , bzw. x Q — const. = a [a ={= a) , 
welche sich im Kanal nicht schneiden (es genügt dazu offenbar, a und 
a hinreichend verschieden voneinander zu wählen). Ich kann dann ein 
3. Koordinatensysteme* konstruieren, das in der Umgebung der ersten Fläche 
mit den x;, in der Umgebung der zweiten Fläche mit den x t - und außer- 
halb des Kanals mit beiden übereinstimmt. Formulieren wir die Tatsache, daß 
die Energie-Impulskomponenten J* in diesem System für x*=a und x* = a 
die gleichen Werte annehmen, so ergibt sich das behauptete Resultat J t - = J t - . 
Infolgedessen braucht das Verhalten der J t - nur noch bei linearer Koor- 
dinatentransformation untersucht zu werden. Solchen gegenüber ist aber 
der Begriff eines Vektors mit konstanten (ortsunabhängigen) Komponenten 
invariant. Wir nehmen einen beliebigen Vektor p l dieser Art zu Hilfe, bilden 
U* = U*/'und erschließen aus (56): 

-r =0 . 

<sx k 
Durch die gleiche Argumentation, die oben auf den elektrischen Strom 
angewendet wurde, folgt daraus, daß 



/ 11° dx T dx 2 dx 3 = J,p i 



eine Invariante gegenüber linearen Transformationen ist. Die J t sind 
demnach die Komponenten eines konstanten kovarianten Vektors in der » Eu- 
klidischen«. Umwelt des Systems; dieser Energie-Impuls- Vektor ist durch 
den Zustand des physikalischen Systems eindeutig bestimmt. Die Rich- 
tung desselben gibt im großen ganzen die Richtung an, in welcher sich der 
Kanal durch die Umwelt hindurchzieht (eine rein deskriptive Angabe, 
die schwer in eine exakte, der mathematischen Analyse zugängliche Form 
zu kleiden ist). Die Invariante 



yji -j\-j\-j\ 



ist die Masse des Systems. 

Für das statische Feld ruhender, kugelsymmetrisch verteilter Körper 
gilt nach § 30 bei Verwendung der dort benutzten Koordinaten & = o, 
daher auch t° = o, und als Körpermasse liefert unsere jetzige Erklärung 
den Wert 25 ) 



§ 33- Über die Zusammenhangsverhältnisse der Welt im Großen. 235 



(57) Jo=f%l<i*, 



dx 2 dx 3 



Genau dieselbe Zahl war es (und diese exakte Übereinstimmung ist sehr 
befriedigend), welche damals als die das Gravitationsfeld erzeugende 
Masse m Q auftrat. Jedoch ist auf eine Diskrepanz mit den Ansätzen der 
Substanzphysik aufmerksam zu machen. Bei Spezialisation auf den sta- 
tischen Fall liefert nähmlich die u definierende Gleichung 

dm ds = f.i dx Q dx x dx a dx 3 : f dm = (.1 dx x dx a dx 3 
und %* = nu t -u* : £° = p . 



Hier erscheint also als Masse eines ruhenden Körpers nicht das Integral 
(57), sondern 

/ 7 ^o (ix z. &*% d x 3 • 

So unscheinbar dieses Anzeichen auch sein mag: es verrät sich darin 
die tiefe unheilbare Fehlerhaftigkeit der ganzen Substanz-Vorstellung. 



§ 33. Über die Zusammenhangsverhältnisse der Welt im Großen. 

Die allgemeine Relativitätstheorie läßt es durchaus dahingestellt, ob 
die Weltpunkte in umkehrbar-eindeutiger und stetiger Weise durch die 
Werte von 4 Koordinaten x, dargestellt werden können. Sie setzt ledig- 
lich voraus, daß die Umgebung eines jeden Weltpunktes eine umkehrbar- 
eindeutige stetige Abbildung auf ein Gebiet des vierdimensionalen »Zahlen- 
raumes« gestattet (wobei unter > Punkt des yierdimensionalen Zahlenraumes« 
jedes Zahlenquadrupel verstanden ist) ; über den Zusammenhang der Welt 
im ganzen macht sie von vornherein keine Annahmen. — Wenn wir in 
der Flächentheorie von einer Parameterdarstellung der zu untersuchenden 
Fläche ausgehen, so bezieht sich diese auch immer nur auf ein Flächen- 
stück, nicht aber auf die ganze Fläche, die im allgemeinen keineswegs 
eindeutig und stetig auf die Euklidische Ebene oder ein ebenes Gebiet 
abgebildet werden kann. Von denjenigen Eigenschaften der Flächen, die 
bei allen eineindeutigen stetigen Abbildungen erhalten bleiben, handelt 
die Analysis saus; die Geschlossenheit ist z. B. eine derartige Analysis- 
situs-Eigenschaft. Jede Fläche, die aus der Kugel durch stetige Defor- 
mation hervorgeht, ist auf dem Standpunkt der Analysis situs von der 
Kugel nicht verschieden, wohl aber z. B. der Torus. Auf dem Torus 
gibt es nämlich geschlossene Linien, welche den Torus nicht in mehrere 
Gebiete zerlegen, auf einer Kugel existieren derartige Linien nicht. Aus 
der Geometrie auf der Kugel ging jene »sphärische Geometrie«, welche 
wir in § 10 mit Riemann der Bolyai-Lobatschefskyschen gegenüberstellten, 
dadurch hervor, daß wir je zwei einander diametral gegenüberliegende 
Kugelpunkte identifizierten. Die so entstehende Fläche % ist von der 
Kugel gleichfalls im Sinne der Analysis situs verschieden, und zwar durch 



2 t 6 Allgemeine Relativitätstheorie. 

diejenige Eigenschaft, welche man als ihre Einseitigkeit bezeichnet. Denkt 
man sich ein kleines, auf einer Fläche liegendes, beständig im gleichen 
Sinne rotierendes Rädchen während der Rotation über diese Fläche hin- 
bewegt, wobei der Mittelpunkt eine geschlossene Bahn beschreibe, so 
sollte man erwarten, wenn das Rädchen wieder an seinen Ausgangsort 
zurückkehrt, so rotiere es hier im gleichen Sinne wie im Anfang seiner 
Bewegung. Ist dies der Fall, welche geschlossene Kurve der Mittelpunkt 
des Rädchens auch auf der Fläche beschrieben haben mag, so heißt sie 
zweiseitig; im andern Falle aber einseitig. Daß es einseitige Flächen gibt, 
ist zuerst von Möbius bemerkt worden. Die oben erwähnte Fläche £5 
ist einseitig, während die Kugel natürlich zweiseitig ist. Man sieht das 
ohne weiteres ein, wenn man den Mittelpunkt des Rädchens einen größten 
Kreis durchlaufen läßt; auf der Kugel muß der ganze Kreis durchlaufen 
werden, ehe diese Bahn sich schließt, auf % jedoch nur der halbe. — 
Ganz analog wie eine zweidimensionale kann nun auch eine vierdimen- 
sionale Mannigfaltigkeit sehr verschiedenerlei Analysis-situs-Beschaffenheit 
besitzen. Aber auf jeder vierdimensionalen Mannigfaltigkeit läßt sich die 
Umgebung eines Punktes gewiß in stetiger Weise durch 4 Koordinaten 
darstellen derart, daß verschiedenen Punkten dieser Umgebung immer 
verschiedene Koordinatenquadrupel korrespondieren. Genau in diesem 
Sinne ist die Benutzung der 4 Weltkoordinaten zu verstehen. 

Von jedem Weltpunkt geht der Doppelkegel der aktiven Zukunft und 
der passiven Vergangenheit aus. Während in der speziellen Relativitäts- 
theorie diese durch ein Zwischengebiet getrennt sind, ist es hier an sich 
sehr wohl möglich, daß der Kegel der aktiven Zukunft über den der 
passiven Vergangenheit hinübergreift; es kann also prinzipiell geschehen, 
daß ich jetzt Ereignisse miterlebe, die zum Teil erst eine Wirkung meiner 
künftigen Entschlüsse und Handlungen sind. Auch ist es nicht aus- 
geschlossen, daß eine Weltlinie, obschon sie in jedem Punkte zeitartige 
Richtung besitzt, insbesondere die Weltlinie meines Leibes, in die Nähe 
eines Weltpunktes zurückkehrt, den sie schon einmal passierte. Daraus 
würde dann ein radikaleres Doppelgängertum resultieren, als es je ein 
E. T. A. Hoffmann ausgedacht hat. Tatsächlich kommen ja so erhebliche 
Variabilitäten der ga, wie dazu erforderlich wären, in dem Weltgebiet, in 
welchem wir leben, nicht vor; doch hat es ein gewisses Interesse, diese 
Möglichkeiten durchzudenken mit Rücksicht auf das philosophische Pro- 
blem des Verhältnisses von kosmischer und phänomenaler Zeit. So Para- 
doxes da zutage kommt, ein eigentlicher Widerspruch zu den in unserem 
Erleben unmittelbar gegebenen Tatsachen tritt nirgendwo hervor. 

In § 25 sahen wir, daß ohne Berücksichtigung der Gravitation die 
elektrodynamischen Grundgesetze (nach Mie) eine solche Gestalt besitzen, 
wie sie durch das Kausalitätsprinzip gefordert ist: die Ableitungen der 
Zustandsgrößen nach der Zeit drücken sich aus durch diese Größen selber 
und ihre räumlichen Differentialquotienten. Diese Tatsachen bleiben be- 
stehen, wenn wir die Gravitation mit hereinziehen und somit die Tabelle 



§ 33- Über die Zusammenhangsverhältnisse der Welt im Großen. 237 

der Zustandsgrößen <jp,-, Fu durch die gm und j 1 erweitern. Wegen 

der allgemeinen Invarianz der Naturgesetze muß aber die Behauptung 
dahin formuliert werden, daß aus den Werten der Zustandsgrößen für 
einen Moment alle diejenigen Aussagen über sie, welche invarianten Cha- 
rakter tragen, auf Grund der Naturgesetze folgen; und es muß ferner 
beachtet werden, daß diese Behauptung sich nicht auf die Welt als 
Ganzes, sondern nur jeweils auf einen durch 4 Koordinaten darstellbaren 
Ausschnitt beziehen kann. Wir verfahren mit Hubert folgendermaßen* 6 ). 
In der Umgebung des Weltpunktes O führen wir 4 Koordinaten xt ein, 
so daß in selber 

ds* = dxl — [dx\ 4- dx\ -f- dx\) 

wird. Wir können in dem dreidimensionalen Raum x = o um O eine 
solche Umgebung 91 abgrenzen, daß in ihr durchweg — ds 9 positiv-definit 
bleibt. Durch jeden Punkt dieser Umgebung ziehen wir die zu jenem 
Raum orthogonale geodätische Weltlinie, die zeitartige Richtung besitzt. 
Diese werden eine gewisse vierdimensionale Umgebung von O einfach 
überdecken. Wir führen jetzt neue Koordinaten ein, die freilich in dem 
dreidimensionalen Raum 91 mit den bisherigen übereinstimmen; wir schreiben 
nämlich demjenigen Funkte P, zu welchem wir gelangen, wenn wir von 
dem Punkt P = (x z x a x 3 ) in $1 auf der durch ihn hindurchlaufenden 
orthogonalen geodätischen Weltlinie so weit gehen, daß die Eigenzeit des 
durchlaufenen Bogens P Q P gleich x a ist, jetzt die Koordinaten x x x x a x 3 
zu. Dieses System von Koordinaten ist von Gauß in der Flächentheorie 
eingeführt worden. Da auf jeder der geodätischen Linien ds" = dxl ist, 
muß bei Benutzung dieses Koordinatensystems identisch in allen vier 
Koordinaten 

(58) &. = 1 

sein. Weil die Linien orthogonal sind zu dem dreidimensionalen Raum 
x a — o, ist für x a = o: 

(59) gt * SS &» SB ' &*■•©■. 

Da ferner diejenigen Linien, welche man erhält, wenn man x t x a x 3 kon- 
stant läßt und nur x Q variiert, geodätisch sind, muß (siehe die Gleichung 
der geodätischen Linien) 



werden, mithin auch 



{7} = 



(t = O, I, 2, 3) 



o o 
i 



= o . 



Unter Berücksichtigung von (58) folgt daraus 



(*' = x > 2 > 3) 1 



2 ? 8 ' Allgemeine Relativitätstheorie. 

und wegen (59) ist infolgedessen nicht nur für x = o, sondern identisch 
in allen vier Koordinaten 

(60) g oi = o (/== 1, 2, 3). 

Wir haben folgende Figur vor uns: eine Schar von geodätischen Linien 
mit zeitartiger Richtung, welche ein gewisses Weltgebiet einfach und lücken- 
los überdecken und eine ebensolche einparametrige Schar von dreidimen- 
sionalen Räumen x = konst. Gemäß (60) sind diese beiden Scharen 
überall zueinander orthogonal ; und die auf den geodätischen Linien durch 
zwei der > parallelen« Räume x = konst. abgeschnittenen Bogenstücke 
haben alle die gleiche Eigenzeit. Benutzen wir dieses besondere Koor- 
dinatensystem, so ist 

hgik \i k 



ö* ,*=!, 2, 3 ), 

und die Gravitationsgleichungen gestatten, die Ableitungen 

außer durch die <jp,- und ihre Ableitungen auszudrücken durch die ga } 
deren Ableitungen 1. und 2. Ordnung nach x t x t x 3 und die j | selber. 
Indem wir also die 12 Größen 

gik, {' Q | (*', *■=*> 2 > 3) 

neben den elektromagnetischen als die Unbekannten betrachten, geht das 
gewünschte Resultat hervor (wobei x die Rolle der Zeit spielt). Der 
von einem Punkt O' mit positiver ^„-Koordinate gelegte Kegel der pas- 
siven Vergangenheit wird aus SR ein gewisses Stück SR' herausschneiden, 
das mit dem Mantel jenes Kegels zusammen ein endliches Weltgebiet & 
(eine Kegelhaube mit Spitze in O') begrenzt. Wenn unsere Behauptung, 
daß die geodätischen Nullinien die Einsatzpunkte jeder Wirkung bezeichnen, 
streng richtig ist, muß der Satz gelten, daß durch die Werte der erwähnten 
1 2 Größen, dazu der elektromagnetischen Potentiale (p t - und Feldgrößen F,k 
in dem dreidimensionalen Raumgebiet 9V deren Werte im Weltgebiet © 
vollständig bestimmt sind. Er ist bisher nicht bewiesen worden. Auf 
jeden Fall aber erkennt man, daß die Differentialgleichungen des Feldes 
die vollständigen Naturgesetze enthalten und nicht etwa noch eine weitere 
Eingrenzung durch Randbedingungen im räumlich-Unendlichen oder dgl. 
stattfinden kann. 

Einstein gelangte bei kosmologischen Betrachtungen über den Zu- 
sammenhang der Welt im großen 3? ) zu der Vermutung, daß sie räumlich 
geschlossen sei. Wie in der Newtonschen Gravitationstheorie das in der 
Poissonschen Gleichung ausgesprochene Nahewirkungsgesetz das Newton- 
sche Attraktionsgesetz nur nach sich zieht, wenn man die Bedingung 
hinzufügt, daß das Gravitationspotential im Unendlichen verschwindet, so 



§ 33- Über die Zusammenhangsverhältnisse der Welt im Großen. 2 39 

sucht Einstein zunächst auch in seiner Theorie die Differentialgleichungen 
durch Randbedingungen im räumlich-Unendlichen zu ergänzen. Der Un- 
möglichkeit gegenüber, solche Bedingungen allgemein invarianten Charakters 
zu formulieren, welche mit den astronomischen Tatsachen im Einklang 
stehen, findet er als einzigen Ausweg die Annahme, daß die Welt räumlich 
geschlossen sei; denn unter dieser Annahme fallen Randbedingungen 
natürlich fort. Dieser Argumentation kann ich zufolge dem oben Aus- 
geführten keine Beweiskraft zugestehen, da die Differentialgleichungen für 
sich schon ohne Randbedingungen die vollständigen, jede Unbestimmtheit 
ausschließenden Naturgesetze enthalten. Um so mehr Gewicht besitzt 
eine andere Überlegung, die von der Frage ausgeht: Wie kommt es, daß 
unser Fixsternsystem, mit relativen Sterngeschwindigkeiten, die außer- 
ordentlich klein sind (gegen die Lichtgeschwindigkeit), besteht und sich 
erhält und nicht längst in die Unendlichkeit auseinander gestoben ist? 
Es gewährt dieses System durchaus den gleichen Anblick, wie ihn die 
Moleküle eines im Gleichgewicht befindlichen Gases einem Beobachter 
von entsprechend kleineren Dimensionen darbieten würden. Auch im Gas 
ruhen die einzelnen Moleküle nicht, aber unter den Geschwindigkeiten 
sind gemäß dem Maxwellschen Verteilungsgesetz die kleinen ganz außer- 
ordentlich viel zahlreicher vertreten als die großen, und die Verteilung 
der Moleküle über das Gasvolumen ist eine im Mittel gleichmäßige, so 
daß beobachtbare grobe Dichteverschiedenheiten außerordentlich selten 
sind. Ist diese Analogie stichhaltig, so könnten wir den Zustand des 
Fixsternsystems und seines Gravitationsfeldes nach den gleichen statistischen 
Prinzipien verstehen, die uns lehren, daß ein abgeschlossenes Gas sich 
fast immer im Gleichgewichtszustand befindet. Das wäre aber nur dann 
möglich, wenn die gleichmäßige Verteilung ruhender Sterne in einem sta- 
tischen Gravitationsfeld als idealer Gleichgewichtszustand mit den Gravi- 
tationsgesetzen verträglich ist. In einem statischen Gravitationsfeld ist 
die Weltlinie eines ruhenden Massenpunktes, d. h. eine Linie, auf welcher 
x z x Q x 3 konstant bleiben und nur x variiert, eine geodätische, wenn 



o o 
i 



(i= 1, 2, 3) 



und daher 



[7H> 



^00 

bxi 



ist. Eine ruhende Massen Verteilung ist mithin nur dann möglich, wenn 

V^oo = / = konst. = 1 
ist. Die Gleichung 

(33) df = f /u (f.i = Massendichte) 

zeigt dann aber, daß der ins Auge gefaßte ideale Gleichgewichtszustand 
mit den Gravitationsgesetzen, wie wir sie bisher angenommen haben, 
unverträglich ist. 



2 aq Allgemeine Relativitätstheorie. 

Bei der Herleitung der Gravitationsgleichungen in § 27 haben wir 
aber eine kleine Unterlassungssünde begangen. Es ist nicht R die einzige 
von gik, ihren 1. und 2. Differentialquotienten abhängige und in den 
letzteren lineare Invariante, sondern die allgemeinste Invariante dieser 
Art hat die Gestalt aR-\-ß, wo a und ß numerische Konstante sind. 
Infolgedessen können wir die Gravitationsgesetze so verallgemeinern, daß 
wir R durch R -f- X (© durch ($ + | A Vg) ersetzen , wo X eine uni- 
verselle Konstante bedeutet. Ist sie nicht = o, wie wir bis anhin voraus- 
gesetzt haben, sondern ^ o, so können wir sie = 1 nehmen; dadurch 
wird dann, nachdem durch das Relativitätsprinzip die Zeiteinheit, durch 
das Gravitationsgesetz die Masseneinheit auf die der Länge zurückgeführt 
war, auch noch die Längeneinheit in absoluter Weise festgelegt. Bei 
dieser Modifikation ergeben die Gravitationsgleichungen für ruhende inko- 
härente Materie (£° = fj. = (a, q Vg } alle übrigen Komponenten der Tensor- 
dichte S£ = o) unter Benutzung der Gleichung / = 1 und der Bezeich- 
nungen aus § 28: 

X = f.i Q [anstelle von (33)] und 

(61) Pn — ly ik = o . (z, k = 1, 2, 3). 

Jener ideale Gleichgewichtszustand ist unter diesen Umständen also mög- 
lich, wenn die Masse sich mit der Dichte A verteilt. Der Raum muß 
dann metrisch homogen sein; und in der Tat sind die Gleichungen (61) 
erfüllt für einen sphärischen Raum vom Radius a = V2/L Wir können 
also im Raum vier an die Bedingung 

(62) ** + ^ + ^ + ^ = a * 

geknüpfte Koordinaten einführen, für die 

do* = dx\ + dx\ + dx\ + dx\ 

wird. Der Raum stellt sich als geschlossen und daher endlich heraus. 
Wenn dieses nicht der Fall wäre, könnte man sich auch kaum vorstellen, 
wie ein statistisches Gleichgewicht zustande kommen sollte. Noch wäre zu 
fragen, ob die Punkte des Raumes den der Bedingung (62) genügenden 
Wertequadrupeln xt umkehrbar-eindeutig entsprechen oder ob je zwei 
Wertsystemen 

(x t x 2 x 3 x 4 ) und (— x s , —x a} —x 3 , — x 4 ) 

derselbe Punkt entspricht. Diese beiden Möglichkeiten sind analysis-situs- 
mäßig verschieden , wenngleich . beide Räume (im Gegensatz zum zwei- 
dimensionalen Fall) zweiseitig sind. Je nachdem die eine oder andere 
zutrifft, wäre die Gesamtmasse der Welt in gr: 

Tt'a , rca 

— , bzw. — • 
2X 4>c 

Die zentral- symmetrischen Lösungen der modifizierten homogenen 
Gravitationsgleichungen, die einer masseleeren Welt entsprechen würden, 
ergeben sich aus dem Variationsprinzip (Bezeichnungen siehe § 30): 



§33- Über die Zusammenhangsverhältnisse der Welt im Großen. 24 1 

Öf{2wJ'+XJr*)dr=o. 

Die Variation von w ergibt wie früher J = 1 ; die Variation von J hin- 
gegen 

{63) w' = — r". 

2 

Verlangen wir Regularität bei r = o, so folgt daraus 

* 3 

(64) -L= r=I _4,.. 

Der Raum läßt sich kongruent auf eine »Sphäre« 

(65) x\ + x\+x\ + x\ = Z a* 

vom Radius a V 3 im vierdimensionalen Euklidischen Raum abbilden (wobei 
unserm Zentrum einer der beiden Pole auf der Sphäre entspricht, dessen 
erste drei Koordinaten x t , x a , x 3 = o sind). Aber da /auf der »größten 
Kugel« jc 4 = o, welche man als Äquator oder Raumhorizont für jenes 
Zentrum bezeichnen könnte, = o wird, daselbst die metrische Fundamen- 
talform der Welt also singulär wird, so sieht man, daß die Möglichkeit einer 
statischen leeren Welt den Naturgesetzen, die wir hier als gültig betrachten, 
widerstreitet 38 ). Zum mindesten am Horizont müssen sich Massen befinden. 
Die Rechnung läßt sich am einfachsten durchführen, wenn wif (lediglich 
zur Orientierung) dort eine inkompressible Flüssigkeit annehmen. Das zu 
lösende Variationsproblem lautet nach §31 bei Verwendung der damaligen 
Bezeichnungen und unter Hinzufügung des A-Gliedes 

dfld'w -f Li + —)r'J — r'v/i) dr=o\ 

gegen früher ist also nur die Änderung eingetreten, daß die Konstante fi 

l 

durch /* -| zu ersetzen ist. Wie dort folgt 

2 

W* — l^oH ) r* = o , w = — iM-\- 

(66) __ 1+ - _ r . 

Befindet sich die Flüssigkeit zwischen den beiden Breitenkugeln x A = konst., 
welche den Radius r (<^aV 3) besitzen, so verlangt der stetige Anschluß 
an (64), daß die Konstante 

ist. y? w i r d ( m erster Ordnung) o für einen Wert r — b zwischen r 

h , 

Weyl, Raum, Zeit, Materie. 3. Aufl. iß 



242 Allgemeine Relativitätstheorie. 

und aV^. Der Raum läßt sich daher immer noch auf die Sphäre (65) 
abbilden, aber diese Abbildung ist in der von Flüssigkeit erfüllten Zone 
nicht mehr kongruent. Die Gleichung für J (S. 227) liefert jetzt ein 
/, das auf dem Äquator nicht verschwindet. Die Grenzbedingung ver- 
schwindenden Drucks ergibt eine transzendente Relation zwischen fi Q 
und r , aus welcher hervorgeht: soll der Massenhorizont beliebig schmal 
genommen werden, so muß die zur Verwendung kommende Flüssigkeit 
eine entsprechend große Dichte haben derart, daß die Gesamtmasse 
nicht unter eine gewisse positive Grenze sinken kann. 29 ) 
Die allgemeine Lösung von (63) lautet 

1 r ~ 2tn k ~ , , , 

TT =/ =1 —r [m = konst. . 

h r 6 

Sie entspricht dem Fall, daß um das Zentrum eine Massenkugel liegt. 
Nur in einer Zone r Q 5^ r !fS r x , in welcher dieses / 3 positiv ist, kann 
die Welt masseleer sein; es ist wiederum ein Massenhorizont erforderlich. 
Vielleicht sind wir, den eben angestellten Betrachtungen nachhängend, 
allzusehr den Lockungen einer sich ins Leere emporschwingenden Phan- 
tasie gefolgt. Doch helfen sie verdeutlichen, was alles auf Grund der 
neu gewonnenen Auffassungen über Raum und Zeit im Bereiche der 
Möglichkeit liegt. Die ihnen zugrunde liegende Annahme ist jedenfalls die 
einfachste, auf Grund deren es verständlich werden kann, daß in der tat- 
sächlich vorgefundenen Welt hinsichtlich des elektromagnetischen und des 
Gravitationsfeldes im Großen statische Verhältnisse herrschen und daß 
gerade diejenigen Lösungen der statischen Gleichungen gelten, welche im 
Unendlichen verschwinden bzw. gegen die Euklidische Metrik konvergieren. 
Auf der Sphäre werden nämlich jene Gleichungen eine einzige Lösung 
besitzen (hier kommen Randbedingungen gar nicht in Frage, sie werden 
ersetzt durch die Forderung der Regularität auf dem ganzen geschlossenen 
Gebilde); lassen wir die Konstante X beliebig klein werden, konvergiert 
die sphärische Lösung gegen diejenige in der beim Grenzübergang sich 
ergebenden unendlichen Welt, welche im Unendlichen die erwähnten Grenz- 
bedingungen befriedigt. 

§ 34. Die Weltmetrik als Ursprung der elektromagnetischen 
Erscheinungen. 3 °) 

Wir erheben uns zu einer letzten Synthese. Um den physikalischen 
Zustand der Welt an einer Weltstelle durch Zahlen charakterisieren zu 
können, muß nicht nur die Umgebung dieser Stelle auf ein Koordinaten- 
system bezogen, sondern müssen außerdem gewisse Maßeinheiten fest- 
gelegt werden. Es gilt, eine ebenso prinzipielle Stellungnahme zu diesem 
zweiten Punkt, der Willkürlichkeit der Maßeinheiten, zu gewinnen, wie 
sie die in den vorigen Paragraphen dargestellte Einsteinsche Theorie 
hinsichtlich des ersten Punktes, der Willkürlichkeit des Koordinaten- 
systems, einnimmt. Auf die Geometrie und den Begriff der Strecke 



§ 34- Die Weltmetrik als Ursprung der elektromagnetischen Erscheinungen. 243 

angewendet (Kap. II), bewirkte dieser Gedanke, nachdem der Schritt von 
der Euklidischen zur Riemannschen Geometrie vollzogen worden, den 
endgültigen Durchbruch zur reinen Infinitesimalgeometrie. Nehmen wir an, 
mit allen Überbleibseln der »Fern Vorstellungen« aufräumend, daß die Welt- 
geometrie von dieser Art ist, so erscheint die Weltmetrik außer von der 
quadratischen (1) noch von einer linearen Differentialform (pidxi abhängig. 
Diese Erweiterung betrifft zunächst nur, genau so wie der von der 
speziellen zur allgemeinen Relativitätstheorie führende Schritt, das welt- 
geometrische Fundament der Physik. — Die Newtonsche Mechanik wie 
auch die spezielle Relativitätstheorie nahmen an, daß die gleichförmige 
Translation ein ausgezeichneter Bewegungszustand eines Achsenkreuzes 
von Vektoren ist, daß also die Lage der Achsen in einem Moment ihre 
Lage in allen andern Momenten bestimmt. Dies ist aber mit dem evi- 
denten Prinzip der Relativität der Bewegimg unverträglich. Doch konn- 
ten wir, ohne in krassesten Konflikt mit den Tatsachen zu kommen, 
diesem Prinzip nur dann genügen , wenn wir den Begriff der infinitesi- 
malen Parallelverschiebung eines Vektorkreuzes aufrecht erhielten ; aber 
wir mußten den affinen Zusammenhang , welcher diese Verschiebung be- 
stimmt, als etwas physikalisch Wirkliches ansehen, das in naturgesetzlicher 
Abhängigkeit von den Zuständen der Materie steht. Die empirisch be- 
kannten Eigenschaften der Gravitation , namentlich die Gleichheit der 
trägen und schweren Masse, lehrten endlich, daß dieser affine Zusammen- 
hang geradezu mit dem Gravitationsfeld zu identifizieren ist; und so 
gewann die allgemeine Relativitätstheorie über ihre ursprüngliche welt- 
geometrische hinaus noch eine spezifisch physikalische Bedeutung. — Von 
der gleichen Evidenz wie die Relativität der Bewegung ist das Prinzip 
von der Relativität der Größe; man muß den Mut haben, dieses Prinzip, 
nach welchem durch die Größe eines Körpers in einem Augenblick seine 
Größe in einem andern Moment ideell nicht bestimmt ist, trotz der 
Existenz der starren Körper aufrecht zu erhalten.*) Aber man wird es, 
ohne mit solchen grundlegenden Tatsachen in krassen Widerspruch zu 
kommen, nicht durchführen können, wenn man nicht an dem Begriff der 
infinitesimalen kongruenten Verpflanzung dennoch festhalten wollte; d. h. 
man wird der Welt außer ihrer Maßbestimmung in jedem Punkte einen 
metrischen Zusammenhang zuschreiben müssen. Nur darf man darin keine 
»geometrische« Eigenschaft erblicken, die der Welt als Form der Er- 
scheinungen an sich zukommt, sondern ein Zustandsfeld von physikali- 
scher Realität. Und waren vorher die Koeffizienten der quadratischen 
Fundamentalform gikdxidxk als die Potentiale des Gravitationsfeldes er- 
kannt, so liegt es jetzt sehr nahe, die Koeffizienten der linearen Funda- 



*) Es sei in diesem Zusammenhang daran erinnert, daß das räumliche Richtungs- 
bild, das ein Punktauge mit gegebener Weltlinie in jedem Augenblick von einem ge- 
gebenen Weltgebiet empfängt, nur vom Verhältnis der g ik abhängt, da dies von den 
für die Ausbreitung des Lichtes maßgebenden geodätischen Nullinien gilt. 

16* 



244 Allgemeine Relativitätstheorie. 

mentalform (f; dx t - mit den elektromagnetischen Potentialen zu identifizieren. 
Dann entspringen auch das elektromagnetische Feld und die elektro- 
magnetischen Kräfte aus der Weltmetrik. Nun sind uns in der Natur 
aber gar keine andern wahrhaft ursprünglichen Kraftwirkungen bekannt 
außer der Gravitation und den elektromagnetischen; von allen andern 
weiß die statistische Physik plausibel zu machen, daß sie durch Mittel- 
wertbildung auf diese zurückgeführt werden können. Da wir zudem 
nach der Mieschen Theorie hoffen dürfen, die Materie afe Energieknoten 
im gravi-elektromagnetischen Felde zu verstehen, so gelangen wir zu der 
Konsequenz : Die Welt ist eine (3 + Ij-dimensionale metrische Mannig- 
faltigkeit; alle physikalischen Erscheinungen sind Äußerungen der Welt- 
metrik. (Während die alte Auffassung besagte : Das vierdimensionale 
metrische Weltkontinuum gibt den Schauplatz der physikalischen Erschei- 
nungen ab; die physikalischen Wesenheiten selber aber sind etwas, was 
>in« dieser Welt existiert, und wir müssen sie nach Art und Zahl so 
hinnehmen, wie die Erfahrung sie uns kennen lehrt; es gibt da nichts 
weiter zu »begreifen«.) Synonym mit dem Worte Metrik wollen wir den 
Terminus »Zustand des Weltäthers« gebrauchen, um dadurch den realen 
Charakter der Metrik anzudeuten ; doch darf man sich durch diesen Aus- 
druck nicht zu falschen Bildern verführen lassen. Nachdem die Miesche 
Theorie den Dualismus von Materie und Feld überwunden hatte, trat in 
der allgemeinen Relativitätstheorie der neue Gegensatz von > physikali- 
schem Zustand« und »Gravitation« hervor, der in § 27 aufgestellt wurde 
und sich dort am deutlichsten in der Zweiteilung der Hamiltonschen 
Funktion ausspricht. Auch dieser Zwiespalt wird durch die neue Auf- 
fassung überwunden und ein völlig einheitlicher und in sich folgerichtiger 
Standpunkt gewonnen. Der Traum des Descartes von einer rein geo- 
metrischen Physik scheint in wunderbarer, von ihm selbst freilich gar 
nicht vorauszusehender Weise in Erfüllung zu gehen. Scharf sondern 
sich die Intensitäts- von den Quantitätsgrößen. 

Die lineare Fundamentalform cpidxt ist nur bestimmt bis auf ein 
additiv hinzutretendes totales Differential, erst der aus ihr sich ableitende 
Tensor der Streckenkrümmung 

_ ö cpi ö cp k 

Ö Xk Xi 

ist frei von Willkür. Genau so steht es nach der Maxwellschen Theorie 
mit der elektromagnetischen Potentialform; der elektromagnetische Feld- 
tensor, welchen wir früher mit Fik bezeichnet haben, ist jetzt zu identi- 
fizieren mit der Streckenkrümmung f&. Das 1. System der Maxwellschen 
Gleichungen 

(67) l^ + ^ + ^^o 

ist, wenn unsere Auffassung vom Wesen der Elektrizität zutrifft, ein 
Wesensgesetz, dessen Gültigkeit noch völlig unabhängig davon ist, welche 



§ 34- Die Weltmetrik als Ursprung der elektromagnetischen Erscheinungen. 245 

Naturgesetze den Wertverlauf der physikalischen Zustandsgrößen in der 
Wirklichkeit beherrschen. In einer vierdimensionalen metrischen Mannig- 
faltigkeit ist die einfachste Integralinvariante, welche überhaupt existiert, 

(68) fUx — lffaPdx, 

und gerade sie liegt als Wirkungsgröße der Maxwellschen Theorie zu- 
grunde! Wir dürfen demnach wohl behaupten, daß der gesamte Er- 
fahrungsschatz, der in der Maxwellschen Theorie niedergelegt ist, zu- 
gunsten der weltmetrischen Natur der Elektrizität spricht. Und da sich 
in einer Mannigfaltigkeit von mehr oder weniger als 4 Dimensionen über- 
haupt keine Integralinvariante von so einfachem Bau konstruieren läßt, 
eröffnet der neue Gesichtspunkt nicht bloß ein tieferes Verständnis für 
die Maxwellsche Theorie, sondern es wird von ihm aus auch der bisher 
immer als > zufällig« hingenommene Umstand begreiflich, daß die Welt 
vierdimensional ist. In der linearen Fundamentalform cptdxi bleibt will- 
kürlich ein additiv hinzutretendes totales Differential, nicht aber ein Pro- 
portionalitätsfaktor ; die Wirkungsgröße ist eine reine Zahl. So muß es 
aber auch sein, wenn die Theorie imstande sein soll, von derjenigen 
atomistischen Struktur der Welt Rechenschaft zu geben, welcher nach 
den Ergebnissen der jüngsten Zeit (Quantentheorie) die fundamentalste 
Bedeutung zukommt. 

Der statische Fall liegt vor, wenn sich Koordinatensystem und Eichung 
so wählen lassen, daß die lineare Fundamentalform = cp dx wird, die 
quadratische 

dabei sind cp und / von der Zeit x nicht abhängig, sondern nur von 
den Raumkoordinaten x I x 2 x 3 , da' ist eine positiv-definite quadratische 
Differentialform in den drei Raumvariablen. Diese besondere Gestalt 
der Fundamentalform wird (von ganz speziellen Fällen abgesehen) durch 
Koordinatentransformation und Umeichen nur dann nicht zerstört, wenn 
x für sich eine lineare Transformation erleidet, die Raumkoordinaten 
gleichfalls nur unter sich transformiert werden und das Eichverhältnis 
eine Konstante ist. Im statischen Fall haben wir also einen dreidimen- 
sionalen Riemannschen Raum mit der metrischen Fundamentalform da' 
und zwei Skalarfelder in ihm: das elektrostatische Potential cp und das 
Gravitationspotential oder die Lichtgeschwindigkeit /. Als willkürliche 
Maßeinheiten sind zu wählen die Längen- und die Zeiteinheit (cm, sec); 
da' ist von der Dimension cm 3 , f von der Dimension cm- sec -1 , und 
(p hat die Dimension sec -1 . Soweit in der allgemeinen Relativitäts- 
theorie überhaupt von einem Raum die Rede sein kann (nämlich im 
statischen Fall), stellt sich dieser also, wie wohl zu beachten ist, als ein 
Riemannscher heraus und nicht als ein metrischer Raum jener allgemei- 
neren Beschaffenheit, in welchem die Streckenübertragurg nicht integrabel 
ausfällt. 



2^6 Allgemeine Relativitätstheorie. 

Um zu prüfen, ob die neue Hypothese über das Wesen des elektro- 
magnetischen Feldes die Erscheinungen zu erklären vermag, müssen wir 
ihre Konsequenzen ziehen. Als Naturgesetz wird dabei ein Hamilton- 
sches Prinzip fungieren, welches besagt, daß die Änderung der Wirkungs- 
größe fy&dx bei jeder unendlich kleinen Variation der Weltmetrik, die 
außerhalb eines endlichen Gebiets verschwindet, Null ist. Die Wirkungs- 
größe ist eine Invariante, SB demnach eine aus der Metrik entspringende 
skalare Dichte (im eigentlichen Sinne). Mie, Hubert und Einstein setzten 
die Wirkungsgröße als eine Invariante gegenüber Koordinatentransforma- 
tion voraus; hier tritt die weitere Einschränkung hinzu, daß sie auch in- 
variant sein muß gegenüber dem Prozeß des Umeichens, bei welchem 
9>«> gik ersetzt werden durch 

(69) q> £ — j — , bzw. Xgik 

[X eine willkürliche positive Ortsfunktion). Wir setzen voraus, daß' SB 
ein Ausdruck 2. Ordnung ist, d. h. aufgebaut einerseits aus den gik und 
deren Ableitungen 1. und 2. Ordnung, anderseits aus den </>,- und deren 
Ableitungen 1. Ordnung. Das einfachste Beispiel ist die Maxwellsche 
Wirkungsdichte I. Doch soll die Untersuchung hier ganz allgemein ge- 
führt werden, ohne daß wir uns von vorn herein auf einen bestimmten 
Ansatz für SB festlegen. Nach der in § 27 angewendeten Kleinschen 
Methode (die erst jetzt zu voller Auswirkung gelangen wird) leiten wir 
zunächst einige mathematische Identitäten her, die für jede aus der Metrik 
entspringende skalare Dichte SB gültig sind. 

I. Erteilen wir den die Metrik relativ zu einem Bezugssystem be- 
schreibenden Größen av, gik beliebige unendlich kleine Zuwächse öffii, 
ögik und bedeutet 3£ ein endliches Weltgebiet, so ist es der Effekt der 
partiellen Integration, daß das Integral der zugehörigen Änderung (5 SB 
von SB über das Gebiet 3£ in zwei Teile zerlegt wird: ein Divergenz- 
integral und ein Integral, dessen Integrand nur noch eine lineare Kom- 
bination von öcfi und öga ist: 

(70) fdfßdx *=pJ^l-dx +f{Wöcpi+\W k dg lk )dx. [SB**' = SB'*.] 

Dabei sind W die Komponenten einer kontravarianten Vektordichte, 
SB* aber die einer gemischten Tensordichte 2. Stufe (im eigentlichen 
Sinne). Die <?b* sind lineare Kombinationen von 

Öcp a , Ög a p Und Ögaß.i \ga(i, i = ~~ V, 

wir deuten das durch die Formel an: 

oV = [ta) dcp a + (kaß) dg a(i + {Haß) dg aft , ,-. 

Die (5ü* sind durch die Gleichung (70) erst dann eindeutig bestimmt, 
wenn die normierende Bedingung hinzugefügt wird, daß die Koeffizienten 
[kiaß) symmetrisch in den Indizes k und / sind; bei dieser Normierung 



§ 34- Di e Weltmetrik als Ursprung der elektromagnetischen Erscheinungen. 247 

sind (Jö* die Komponenten einer Vektordichte (im eigentlichen Sinne), 
wenn man örp,- als die Komponenten eines kovarianten Vektors vom Ge- 
wichte o, ögik als die Komponenten eines Tensors vom Gewichte 1 
auffaßt. 

Wir drücken zuvörderst aus, daß I SS&dx eine Eichinvariante ist, sich 

also nicht ändert, wenn die Eichung der Welt infinitesimal abgeändert 
wird. Ist das Eichverhältnis zwischen der abgeänderten und der ursprüng- 
lichen Eichung X = 1 -f- 7r, so ist tt ein den Vorgang charakterisierendes 
infinitesimales Skalarfeld, das willkürlich vorgegeben werden kann. Bei 
diesem Prozeß erfahren die Fundamentalgrößen nach (69) die folgenden 
Zuwächse 

(7 1 ) igik = ngtk , d cpi = — — • 
Substituieren wir diese Werte in <5ü*, so mögen die Ausdrücke 

(72) 3*(7r) = 7r.3* + ^.&*« 

x a 

hervorgehen; sie sind die Komponenten einer von dem Skalarfeld tz 

hnear-differentiell abhängigen Vektordichte. Daraus folgt noch, da - — 

die Komponenten eines aus jenem Skalarfeld entspringenden kovarianten 
Vektorfeldes sind: §> k ist eine Vektordichte, f)* a eine kontravariante Ten- 
sordichte 2. Stufe. Die Variation (70) des Wirkungsintegrals muß wegen 
seiner Eichinvariänz für (71) verschwinden: 

'f. hxk J \ oxi ' I 

Formt man den ersten Term des zweiten Integrals noch durch partielle 
Integration um, so kann man statt dessen schreiben: 

X X 

Daraus ergibt sich nun zunächst die Identität 

(74) Gf + **-f 

in der aus der Variationsrechnung bekannten Weise: Wäre die auf der 
linken Seite stehende Ortsfunktion an einer Stelle (#,-) von o verschieden, 
etwa positiv, so kann man eine so kleine Umgebung X dieser Stelle ab- 
grenzen, daß jene Funktion in ganz 3E positiv bleibt. Wählt man in (73) 
für 3£ dieses Gebiet, für it aber eine außerhalb X verschwindende Funk- 
tion, welche innerhalb 26 durchweg ^> o ist, so verschwindet das erste 
Integral, das zweite aber fällt positiv aus — im Widerspruch mit der 
Gleichung (73). Nachdem dies erkannt ist, liefert (73) die Gleichung 



248 Allgemeine Relativitätstheorie. 



/ 



b (8* {7t) — TT tu*) , 

— d x = o 5 



bXk 
3E 

sie gilt bei gegebenem Skalarfeld n für jedes endliche Gebiet 3£, und 

infolgedessen muß 

, , b (ä* (n) — jt tu*) 
( 75 ) > 1 = o 

OXk 

sein. Setzen wir (72) ein und beachten, daß an einer Stelle die Werte 

von TV. - — , r — r — beliebig vorgegeben werden können, so zerspaltet 
dx,- oxiOXk 

sich diese eine Formel in die folgenden Identitäten: 
75 x,», 3 r~ = t— ; $< + -^- = tu* ; h«? + fc?« = o . 

' ' Xk Ö Xk ox tt 

Nach der dritten ist fy k eine lineare Tensordichte 2. Stufe. Die erste 
ist in Anbetracht der Schiefsymmetrie von fi eine Folge der zweiten, da 

ö 2 fj g l* _ 
ö x a ö 2jJ 
ist. 

II. Wir nehmen mit dem Weltkontinuum eine infinitesimale Deforma- 
tion vor, bei welcher der einzelne Punkt eine Verrückung mit den Kom- 
ponenten §' erfährt; die Metrik werde von der Deformation ungeändert 
mitgenommen, ö bezeichne die durch die Deformation bewirkte Ände- 
rung irgendeiner Größe, wenn man. an derselben Raum-Zeit-Stelle bleibt, 
d' ihre Änderung, wenn man die Verschiebung der Raum-Zeit-Stelle mit- 
macht. Dann ist nach (20), (20'), (71) 



:?6) 



d £ r ö q>t \ brt 






+ 



bx} 1 






Darin bedeutet tc ein durch unsere Festsetzungen noch willkürlich ge- 
lassenes infinitesimales Skalarfeld. Die Invarianz der Wirkungsgröße 
gegenüber Koordinatentransformation und Abänderung der Eichung kommt 
in der auf diese Variation sich beziehenden Formel zum Ausdruck: 

(7 7) d'fm dx = J{^^5 + «s sbJ dx = . 

Will man nur die Koordinateninvarianz zum Ausdruck bringen, so hat 
man it = o zu wählen; aber die so hervorgehenden Variationsformeln 
(76) haben keinen invarianten Charakter. In der Tat bedeutet diese 
Festsetzung: es , sollen durch die Deformation die beiden Fundamental- 
formen so variiert werden, daß die Maßzahl / eines Linienelements un- 
geändert bleibt : ö' l = o . Nun drückt aber nicht diese Gleichung den 
Prozeß der kongruenten Verpflanzung einer Strecke aus, sondern 



§ 34- Die Weltmetrik als Ursprung der elektromagnetischen Erscheinungen. 24g 

— 

d'i = _ i{<ptffx t ) = - %,-£'") • 

Wir müssen demnach in (76) nicht n = o, sondern it = — (<jP»£') wählen, 
damit invariante Formeln zustande kommen, nämlich die folgenden: 

Die durch sie dargestellte Änderung der beiden Fundamentalformen ist 
eine solche, daß die Metrik von der Deformation ungeändert mitgenommen 
und jedes Linienelement kongruent verpflanzt erscheint. Auch analytisch 
erkennt man leicht den invarianten Charakter; an der zweiten Gleichung 
(78) insbesondere, indem man den gemischten Tensor 

einführt, sie lautet dann 

— ögik = §a + £»/ • 

Nachdem die Eichinvarianz unter I. ausgenutzt ist, können wir uns in 
in der Formel (76) darauf beschränken, für tc die eben besprochene, 
vom Standpunkt der Invarianz allein mögliche Wahl zu treffen. 
Für die Variation (78) sei 

2B£* + <5r/ = ©*(£). 

<S A (if) ist eine linear-differentiell von dem willkürlichen Vektorfeld £' ab- 
hängige Vektordichte; ich schreibe explizite 

(der letzte Koeffizient ist natürlich symmetrisch in den Indizes aß). 
Darin, daß <Sf(£) eine von dem Vektorfeld £'" abhängige Vektordichte 
ist, spricht sich am einfachsten und vollständigsten der Invarianzcharakter 
der in dem Ausdruck von ©*(£) auftretenden Koeffizienten aus, und ins- 
besondere geht daraus hervor, daß <&f nicht die Komponenten einer ge- 
mischten Tensordichte 2. Stufe sind; wir sprechen hier von einer »Pseudo- 
Tensordichte«. Führen wir in (77) die Ausdrücke (70), (78) ein, so ent- 
steht ein Integral, dessen Integrand lautet 

Wegen 

^i"ß 1 r 1 r 

Xf 

und der Symmetrie von So"/ 9 ist 



2 eo Allgemeine Relativitätstheorie. 

Üben wir auf das letzte Glied unseres Integranden noch eine partielle 
Integration aus, so erhalten wir daher 



/ffl^=B-i-+/[»» 



3E 3E 

Nach der oben angewendeten Schlußweise entspringen daraus die Iden- 
titäten : 



und 



( 8 ° i,»,3,4) 



(79) ["*, d.i. (g _r-,o^ +/»»* = 

(80) -^— _o. 

Die letzte zerspaltet sich in die folgenden vier: 

(S? + $J°) + ^- = o ; iQfr + #>« + $?»' = 5 • 

Ersetzt man in ( 3 ) nach ( 4 ) 

#%"? durch — $fr — ^"^ , 
so geht daraus hervor, daß 

schiefsymmetrisch ist in den Indizes a/?. Führen wir |v statt £>" ein, 
so enthalten ( 3 ) und ( 4 ) also lediglich Symmetrie-Aussagen, ( a ) aber geht 
über in 

(8.) «. + »»!_+ »^-»b». 

Daraus folgt (,), weil wegen der Symmetriebedingungen 

V& 1 * = o a 3 &f y =p . st 

Beispiel. Für die Maxwellsche* Wirkungsdichte gilt, wie man sofort 
einsieht, 

infolgedessen : 

f = o , &'* = f» ; @* = I<$* — /*, f*« , die Größen £ = o . 

Unsere Identitäten liefern also 

*-£. S~> ***« 



§ 34- Di e Weltmetrik als Ursprung der elektromagnetischen Erscheinungen. 2 5 1 

Die in der letzten Zeile stehenden beiden Formeln haben wir früher, die 
erste auf S. 197, die zweite auf S. 140, durch Rechnung gefunden; die 
letzte drückte damals aus, daß zwischen der Maxwellschen Tensordichte 
<3* der Feldenergie und der ponderomotorischen Kraft der geforderte Zu- 
sammenhang besteht. 

Feldgesetze und Erhaltungssätze. Nimmt man in (70) für ö eine be- 
liebige Variation, die außerhalb eines endlichen Gebiets verschwindet und 
für 36 die ganze Welt oder ein solches Gebiet, außerhalb dessen ö = o 
ist, so kommt 

jdWdx =f{W f ö <pi + 1 W k dgik) dx . 

Ist ySS dx die Wirkungsgröße, so erkennt man daraus, daß in dem Ha- 
miltonschen Prinzip die folgenden invarianten Gesetze enthalten sind: 

to\ = o , SBf = o , 

von denen wir die ersten als die elektromagnetischen, die zweiten als 
die Gravitationsgesetze zu bezeichnen haben. Zwischen den linken Seiten 
dies« Gleichungen bestehen 5 Identitäten, die unter (74) und (79) auf- 
geführt sind. Es sind also unter den Feldgleichungen 5 überschüssige 
enthalten, entsprechend dem von 5 willkürlichen Funktionen abhängigen 
Übergang von einem Bezugssystem zu einem beliebigen anderen. 

Nach (7S 2 ) haben die elektromagnetischen Gesetze die folgende Ge- 
stalt: 

(82) |^ = «■■ [und (67)] 

dxi 

— ganz im Einklang mit der Maxwellschen Theorie: 8' ist die Dichte 
des Viererstroms, die lineare Tensordichte 2. Stufe tf* die elektromagne- 
tische Felddichte. Ohne noch die Wirkungsgröße zu spezialisieren, können 
wir aus der Eichinvarianz allein die ganze Struktur der Maxwellschen 
Theorie ablesen. Die besondere Gestalt der Hamiltonschen Funktion 
SB beeinflußt allein die Formeln, nach denen sich Strom und Feld- 
dichte aus den Zustandsgrößen <jp,-, g,k des Weltäthers bestimmen. Im 
Falle der Maxwellschen Theorie im engeren Sinne (SB = I), die ja nur 
im leeren Raum gültig ist, wird, wie es sein muß, f) ik — f*, 8' = o. 

Wie die 8' die Dichte des Viererstroms konstituieren, so wird das 
Schema der <§* als die Pseudotensordichte der Energie zu deuten sein: 
im einfachsten Falle 303 = I stimmt diese Erklärung mit den Maxwell- 
schen Ausdrücken überein. Es gelten allgemein nach (75 x ) und (80 ,) 
die Erhaltungssätze 

ö*- 08? = _ 

Und zwar folgen die Erhaltungssätze auf doppelte Weise aus den Feld- 
gaetzen. Es ist nämlich nicht nur 



2 = 2 Allgemeine Relativitätstheorie. 



b»i __ Ott)'" 
Ö Xi ÜXi ' 



sondern auch = — 



ö©f . , ö! 



nicht nur = - , sondern auch = T" SS<* — fikXo k . 

oxk oxk ™ ;• 

Die Gestalt der Gravitationsgleichungen geht aus (81) hervor. Die Feld- 
gesetze und die zu ihnen gehörigen Erhaltungssätze lassen sich nach (75) 
und (80) übersichtlich zusammenfassen in die beiden Gleichungen 

a3*» = &©'(£) __ 

Ö #/ b Xi 

Die enge Beziehung, die zwischen den Erhaltungssätzen von Energie- 
Impuls und der Koordinateninvarianz besteht, wurde schon früher von 
uns erkannt. Zu diesen vier tritt aber als fünfter der Erhaltungssatz der 
Elektrizität hinzu, und ihm muß konsequenterweise eine Invarianzeigen- 
schaft entsprechen, die eine fünfte willkürliche Funktion mit sich bringt; 
als solche erscheint hier die Eichinvarianz, Übrigens gewannen wir früher 
den Erhaltungssatz für Energie-Impuls aus der Koordinateninvarianz nur 
dadurch, daß die Hamiltonsche Funktion aus zwei Teilen, der Wirkungs- 
funktion des Gravitationsfeldes und der des > physikalischen Zustandes<, 
bestand; beide Teile mußten auf verschiedene Weise behandelt und dye 
Teilergebnisse in geeigneter Weise zusammengefügt werden (§ 32). Kenn- 
zeichne ich diejenigen Größen, welche aus SB £* + ö t) k entstehen, wenn 
ich die Variation der Fundamentalgrößen aus (76) mit rc = o statt aus 
(78) entnehme, durch einen vorgesetzten Stern, so gelten allgemein zu- 

folge der Koordinateninvarianz die > Erhaltungssätze« — — - = o. Aber 

bx k 

für die seit § 27 zugrunde gelegte zweiteilige Wirkungsfunktion sind *@* 
nicht die Energie-Impulskomponenten. Wohl haben wir für den Gravita- 
tionsbestandteil (SB = ©) die Energie durch *<3^ definiert (§ 32), für den 
elektromagnetischen Bestandteil aber (SB = S, § 27) SB* als Energie- 
komponenten eingeführt. Dieser zweite Bestandteil Q enthält nur die 
gik selber, nicht deren Ableitungen; für eine solche Größe ist nach (80 J 
SB'? = @*. Dadurch können wir [unter Benutzung derjenigen Transfor- 
mation, welche die Fundamentalgrößen bei einer infinitesimalen Abänderung 
der Eichung erfahren) die beiden verschiedenen Definitionen der Energie 
einander angleichen, wenn auch nicht ganz ausgleichen. Erst hier lösen 
sich diese Diskrepanzen, da wir erst auf Grund der neuen Theorie zu einer 
Erklärung des Stromes 8', der elektromagnetischen Felddichte tf* und der 
Energie ©* kommen, welche nicht mehr an die Voraussetzung gebunden 
ist, daß die Wirkungsgröße aus zwei Teilen zusammengesetzt ist, von 
denen der eine die cp,- und ihre Ableitungen, der andere die Ableitungen 
der gik nicht enthält. Die virtuelle Deformation des Weltkontinuums, 
welche zur Definition von ©* führt, muß dabei Metrik und Linienelemente 
in unserem und nicht im Einsteinschen Sinne *ungeändert* mitnehmen. 



§ 35- Materie, Mechanik und mutmaßliches Weltgesetz. 253 

Die Erhaltungssätze für 8' und @* sind dann ebenfalls an keine beson- 
dere Annahme über die Zusammensetzung der Wirkungsgröße gebunden. 
Von der in § 27 vertretenen Auffassung haben wir uns abermals, nach- 
dem schon in § 32 die Totalenergie eingeführt war, zu einem höheren 
und das Ganze einheitlicher umfassenden Standpunkt erhoben. Was die 
Einsteinsche Gravitationstheorie für die Gleichheit von träger und schwerer 
Masse leistet: daß sie nämlich deren Übereinstimmung als wesensnot- 
wendig erkennt, nicht aber als Ausfluß eines unbegriffenen Naturgesetzes, 
das leistet die hier entwickelte Theorie für die in der Struktur der Max- 
wellschen Gleichungen und den Erhaltungssätzen zum Ausdruck kommenden 
Tatsachen. Die jetzt gewonnenen Resultate erscheinen mir als eine außer- 
ordentlich starke Stütze unserer Hypothese vom Wesen der Elektrizität. 

§ 35. Materie, Mechanik und mutmaßliches Weltgesetz. 

Wir müssen jetzt zeigen, daß im Rahmen der neuen Theorie für 20 
ein Ansatz möglich ist, der in den durch die Erfahrung bestätigten Kon- 
sequenzen mit der Einsteinschen übereinstimmt. Rechnerisch am be- 
quemsten durchzuführen ist der folgende (von dem ich nicht behaupte, 
daß er in der Natur realisiert ist): 

(83) ä— ■- T f*n<3F+/flL 

I ist die Maxwellsche Wirkungsdichte; F der Skalar der Krümmung 
(§17, (62)], eine Invariante vom Gewichte — 1; die positive Konstante 
ß eine reine Zahl. Es folgt 

<5SB = - \Fd(FV~g) + \F'dV} + ßdt. 

Wir nehmen an, daß — F positiv ist; dann kann die Eichung durch 
die Forderung, daß — F gleich einer vorzugebenden positiven Konstanten 
2X ist, eindeutig festgelegt werden. Dadurch erreichen wir, daß die 
Feldgleichungen die 2. Ordnung nicht übersteigen. Wir dividieren d2B 
durch 2I und erhalten 

Benutzen wir für F die Formel § 17, (62), lassen die Divergenz 

fort, die ja bei der Integration über die Welt verschwindet, und führen 
durch eine partielle Integration das Weltintegral von 6\^RVg) über in 
das Integral von ö& (§ 27), dann lautet unser Wirkungsprinzip 

(84) dfodx = o , und es ist Sß = & + — iVg + «1 — liyitfVg. 

Der Aufbau dieser Hamiltonschen Funktion $8 ist klar: ® und a\ sind 
die klassischen Terme der Einsteinschen Gravitations- und der Maxwell- 
schen Elektrizitätstheorie. Zu dem ersten tritt hinzu das kosmologische 



2 ca Allgemeine Relativitätstheorie. 

Glied %hVg, das sich hier ganz zwangsweise ergibt, zu dem zweiten der 
einfachste Term, der nach der Mieschen Theorie überhaupt zur Maxwell- 
schen Wirkungsdichte hinzukommen kann: {cpifp'jVg (mit dem negativen 
Koeffizienten — $ versehen). Danach steht schon fest, daß bei Annahme 
dieses Wirkungsprinzips nichts von unsern bisherigen Untersuchungen 
preisgegeben zu werden braucht. 

Variation der cpi liefert die Maxwellschen Gleichungen 

ÖXk 

und dabei ist hier einfach 

Variation, der g,-* liefert die Gravitationsgleichungen 

(85) 9f{/ - öi = ccZi, 

Die Erhaltung der Elektrizität drückt sich in der Divergenzgleichung 

(86) AMfl _ . 

aus; sie folgt einerseits aus den Maxwellschen Gleichungen, muß ander- 
seits aber auch nach unsern allgemeinen Resultaten aus den Gravitations- 
gleichungen hergeleitet werden können. In der Tat: verjüngen wir diese 
nach ikj so kommt 

R-¥2l = \{cp i( p i ) 

und daraus in Verbindung mit — F = 2X abermals (86). Für die Pseudo- 
tensordichte von Energie-Impuls findet man, wie zu erwarten, 

6? = o fcj + {® + j* V} tf - \ ^ ®«A *} • 

Aus der Gleichung ö' IfQdx = o für eine Variation <$', die durch eine 

Verschiebung im eigentlichen Sinne hervorgebracht wird [Formeln (76) 
mit |* = konst, n = o], erhält man nämlich zunächst 



(87) 



ö(*®7£ 



wo 

Um die Erhaltungssätze zu gewinnen, muß man nach Früherem die 
Maxwellschen Gleichungen in der Form schreiben 

— j? — = °' 



§35- Materie, Mechanik und mutmaßliches Weltgesetz. 255 

darin /r = — (</>,•£') setzen und die so hervorgehende Gleichung mit cc 
multipliziert zu (87) addieren. Dann kommt in der Tat 

In @ f - ist der erste Teil a5£/ die Energie des materiellen Vorgangs, der 
zweite, in geschweifte Klammern gesetzte der durch das kosmologische 
Glied ergänzte Einsteinsche Ausdruck für die Gravitationsenergie. Auch 
Xi besteht noch wieder aus zwei Teilen, der Maxwellschen Energiedichte 



Ckr 



(88) 167 - \irf 

und dem nur im Innern eines materiellen Teilchens (Elektron oder 
Atomkern) merklichen Mieschen Gliede 



i 



li 



(89) $(<Pr» r )di — <Pi* 

Sein Vorzeichen ist solcher Art, daß es im statischen Fall einen allseitig 
gleichen, den Coulombschen Fliehkräften entgegenwirkenden Druck ergibt. 

— ist der Größenordnung nach gleich dem Quadrat des Weltradius R, 

u demnach ~R' 2 , wo R' = ftVß. Unserer Theorie liegt eine bestimmte 
Elektrizitätseinheit zugrunde; sie sei in gewöhnlichen elektrostatischen 
Einheiten = e. Da in (85) bei Benutzung dieser Einheiten statt der 

2 x 

Konstanten a rechts -=■ auftritt, ist 
c 



2if 3 x eVx 



C ' 2 

unsere Einheit ist diejenige Elektrizitätsmenge, deren Gravitationsradius 

— 1/ — ~ R' ist; sie ist daher ebenso wie das Wirkungsquantum 1 von 

f 2 

kosmischer Größe. Das > kosmologische« Moment, das Einstein erst 
nachträglich seiner Theorie einfügte, haftet der unseren von ihren ersten 
Grundlagen her an. — Ersetzt man, der ermittelten Größenordnung Rech- 
nung tragend, in der Wirkungsdichte 93 die rp' zunächst durch VI • <p' 
und läßt dann die Konstante X unendlich klein werden, so ergeben sich 
in der Grenze genau die für den Äther gültigen Maxwell- Einsteinschen 
Gesetze, und die Feldkomponenten der Gravitation, das sind die Kom- 
ponenten des affinen Zusammenhangs l~J* werden wie in der Einsteinschen 

Theorie = j | . Der Umstand, daß in Wahrheit ^±0 ist, soll darüber 

hinaus die Existenz des Kosmos (räumliche Geschlossenheit der Welt) und 
die Existenz der Materie ermöglichen; beides geht Hand in Hand, da 
unser Wirkungsprinzip die Größe des Elektrons in Abhängigkeit setzt von 
der Größe des Weltraums (vgl. S. 261). 



2 e6 Allgemeine Relativitätstheorie. 

Die statische Welt ist von Hause aus geeicht; es fragt sich, ob für 

diese ihre Eichung F = konst. ist. Die Antwort lautet bejahend. Eichen 

wir nämlich die statische Welt um auf die Forderung F = — i und 

kennzeichnen die dadurch hervorgehenden Größen durch Überstreichung, 

so ist 

Fi *>F . .. 

<Pi = —-j, wo Fi= — gesetzt ist (i = i, 2, 3), 

~gik = - Fg*, also ~g ik = -^ , Yg = F'Vg, 
und die Gleichung (86) liefert 

Daraus folgt aber F= konst. — Bezeichnen im statischen Fall <d q> und 
[cpcp) diejenigen Invarianten im dreidimensionalen Raum mit der metrischen 
Fundamentalform do a , welche 

rr> b> a> l*2\\(*v 



+ — — 4- 



.2 ' 



K)+K)+K) 



im Euklidisch-Cartesischen korrespondieren, so lautet die (°) te der Gravi- 
tationsgleichungen 

Hier ist wichtig, daß die rechte Seite positiv ist; dies bedeutet, daß die 
Masse von materiellen Teilchen positiv ist und solche Teilchen anziehende, 
nicht abstoßende Gravitationskräfte aufeinander ausüben. 

Indem wir voraussetzen, daß unser Wirkungsprinzip die Existenz 
materieller Teilchen ermöglicht, wollen wir die mechanischen Gleichungen 
aufstellen, welche die Bewegung solcher Teilchen regeln. Tatsächlich 
haben wir bisher überhaupt noch keine haltbare Herleitung dieser Glei- 
chungen im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie gegeben; das soll 
hier endlich nachzuholen versucht werden. Der Vorstellung einer sich 
bewegenden Substanz dürfen wir uns dabei nicht bedienen; die ihr ent- 
sprechenden Ansätze (§ 26) 

dmds = udx, £/ = (iUiU k 

sind nämlich hier ganz unmöglich, weil sie den zu fordernden Invarianz- 
eigenschaften widersprechen. Denn nach der ersten Gleichung ist (M eine 
skalare Dichte vom Gewichte |, nach der zweiten aber vom Gewichte o, 
da %i eine Tensordichte im eigentlichen Sinne ist. Und man sieht, daß 
diese Ansätze in der neuen Theorie aus dem gleichen Grunde unmöglich 
sind, infolge dessen sie in der Einsteinschen, wie am Schluß von § 32 
erwähnt, zu einem falschen Wert der Masse führen. Es hängt das offen- 
bar aufs engste damit zusammen, daß jetzt das Integral / dmds überhaupt 



§ 35» Materie, Mechanik und mutmaßliches Weltgesetz. 257 

keine Bedeutung hat, also auch nicht als »Substanzwirkung der Gravitation« 
eingeführt werden kann. Den ersten Schritt zu einem wirklichen Beweis 
der mechanischen Gleichungen haben wir bereits in § 32 getan; dort 
wurde der spezielle Fall erledigt, daß der Körper vollständig isoliert ist, 
auf ihn gar keine äußeren Kräfte einwirken. 

Wir ersehen daraus sogleich, daß wir ausgehen müssen von den für 
die Gesamfenergie €>/ gültigen Erhaltungssätzen 

(90) YV^ ' 

dXk 

Es werde um das materielle Teilchen ein Volumen 42 abgegrenzt, dessen 
Dimensionen groß sind gegenüber dem eigentlichen Konzentrationskern 
des Teilchens, klein gegenüber denjenigen Abmessungen, in denen das 
äußere Feld sich merklich ändert. Bei der Bewegung beschreibt 42 in 
der Welt einen Kanal, in dessen Innern der Stromfaden des Materie- 
teilchens hinfließt. Das Koordinatensystem, bestehend aus der »Zeit- 
koordinate« x Q = t und den »Raumkoordinaten« x 1 x 3 x 3l sei so beschaffen, 
daß die Räume x = konst. den Kanal durchschneiden (der Durchschnitt 
ist das oben erwähnte Volumen 42). Die in einem Räume x = konst. 
über 42 zu erstreckenden Integrale 



J <B°dx t dx a dx 3 = fi, 



welche Funktionen der Zeit allein sind, stellen die Energie (i = o) und 

den Impuls (/' = 1, 2, 3) des materiellen Teilchens dar. Integrieren wir 

die Gleichung (90) im Räume x = konst. über 42, so liefert das erste 

d h 
Glied (k = o) die zeitliche Ableitung -~ , die Integralsumme über die 

drei letzten Glieder aber verwandelt sich nach dem Gaußschen Satz in 
ein über die Oberfläche von 42 zu erstreckendes Integral — Ki\ Kt hängt 
demnach nur von dem Feldverlauf im Äußern des Teilchens (auf der 
Oberfläche von 42) ab, nicht aber von den singulären Zuständen, die im 
Innern der Kapsel 42 herrschen. So kommen die mechanischen Glei- 
chungen zustande 

~dt - Ki - 

auf der linken Seite stehen die Komponenten der » Trägheitskraft* , auf 
der rechten die Komponenten der äußeren » Feldkraft*. Nicht auf der 
Trennung von Energie-Impuls in solche des äußeren Feldes und des Teil- 
chens (wie wir die Sache in § 24 darstellten), sondern auf dieser durch 
die Scheidung von Zeit und Raum bedingten Gegenüberstellung des 
ersten und der drei letzten Glieder in den Divergenzgleichungen der 
Erhaltungssätze beruht in Wahrheit der Gegensatz von kinetisch und 
potentiell, welcher im Grundgesetz der Mechanik zum Ausdruck kommt. 

Weyl, Raum, Zeit, Materie. 3. Aufl. iy 



258 Allgemeine Relativitätstheorie. 

Diese Auffassung wurde am deutlichsten von Mie in dem 3., von »Kraft 
und Trägheit« handelnden Teil seiner bahnbrechenden »Grundlagen einer 
Theorie der Materie« vertreten. 31 ) Es gilt jetzt, diesen Standpunkt für 
das gegenwärtig angenommene Wirkungsprinzip durchzuführen. 

Wir denken uns den außerhalb des Kanals herrschenden Wertverlauf 
der gik glatt über den Kanal ausgedehnt, indem wir die feine tiefe Furche, 
welche die Bahn des Materieteilchens in das metrische Antlitz der Welt 
reißt, ausglätlen, und behandeln den Stromfaden des Teilchens als eine 
Linie in diesem (fortan allein benutzten) ausgeglätteten metrischen Felde; 
ds sei das zugehörige Eigenzeit-Differential (die Eichung ist ein für alle- 
mal durch F= — 2X normiert). Wir können zu einer Stelle des Strom- 
fadens ein solches (»normales«) Koordinatensystem einführen, daß dort 

ds 2 = dx\ — [dx\ -f- dx\ -f- dx\) 

wird, die Ableitungen -~£ verschwinden und die Richtung des Strom- 
fadens durch 
(91) dx '. dx t : dx a : dx, = 1:0:0:0 

gegeben ist. Dann fällt in den Oberflächenintegralen, welche die Kom- 
ponenten Ki der Feldkraft definieren, der von der Gravitationsenergie 
herrührende Anteil fort; denn deren Komponenten hängen nicht nur linear, 

sondern quadratisch von den Ableitungen —^ ab. Ebenso fällt der 

Anteil (89) fort, der nur innerhalb des Teilchens merklich ist, es bleibt 
allein das Maxwellsche Glied (88). Setzen wir quasistationäre Bewegung 
voraus, so dürfen wir annehmen, daß die innere Konstitution des Teil- 
chens von derjenigen nicht abweicht, die es im isolierten ruhenden 
Zustand besitzt. In seinem Innern herrsche Ruhe. Von den über Ü, 
erstreckten Integralen der §' wird dann nur das dem Index / = o 
korrespondierende von Null verschieden sein; dieses aber ist gleich der 
Ladung e. Aus den Maxwellschen Gleichungen geht hervor, daß das 
elektromagnetische Feld auf der Oberfläche von Q sich in die Form 
setzen läßt jfa +/»*, wo fa konstant ist und//* das auf Q. sehr schwache, 
von dem Teilchen herrührende statische Feld ist. (Unsere Voraussetzungen 
bedingen, daß das Teilchen nicht »strahlt«.) Da die Komponenten der 
Maxwellschen Energiedichte quadratisch vom Felde abhängen, setzt sich 
demnach jede derselben aus drei Termen zusammen gemäß der Formel 

C/+/] 2 =/ 2 +2//+/ 2 . 

Von ihnen liefert jeweils das erste Glied keinen Beitrag, da der Fluß 
eines konstanten Vektors durch eine geschlossene Oberfläche o ist; das 
letzte ist zu vernachlässigen, da es das schwache Feld/ im Quadrat enthält; 
es bleibt nur das mittlere. Dies aber liefert nach dem Gaußschen Satz 

Ki = ef oi . 



§ 35- Materie, Mechanik und mutmaßliches Weltgesetz. 259 

Somit lauten die mechanischen Gleichungen 

(92) ^7 - 'M 

In einem statischen isolierten System sind Jt die Komponenten eines 
gegenüber linearer Transformation kovarianten Vektors, und es ist in 
demjenigen Koordinatensystem, in welchem das System ruht,y i =y 3 =y 3 = o 
[J = m). Dies trifft nach Voraussetzung auch bei quasistationärer Be- 
wegung zu; es ist infolgedessen für jedes Koordinatensystem, sofern man 
annehmen darf, daß es aus dem » normalen < durch eine Transformation 
hervorgeht, die im unendlich dünnen Querschnitt des Stromfadens als 
linear betrachtet werden kann, 

eine Formel, die also nicht nur an der ins Auge gefaßten Stelle des 
Stromfadens gilt, sondern auch an den Stellen vorher und nachher, ob- 
wohl für diese unser Koordinatensystem nicht normal ist. Infolgedessen 
geht (92) über in 

(93) -gy- = 'M 

Die ote dieser Gleichungen liefert — = o, also ist die Masse m = konst. 
In einem beliebigen Koordinatensystem aber verwandeln sie sich zu 
i \ d[mui) , üg a ß , k 

(94) -jr-*-di m " u '-*/"*- 

Denn die Beziehungen (94) sind invariant gegenüber Koordinatentrans- 
formation und stimmen für das normale Koordinatensystem mit (93) 
überein. Von ihnen kann man die dem Index t = o entsprechende fort- 
lassen, wenn das Gesetz von der Konstanz der Masse hinzugefügt wird. 
Die 5 Erhaltungssätze haben uns demnach geliefert: 

* *l»**-4*»' (,--.,., 3) 

äs oxi m 

und e = konst., m = konst. 

Diese Herleitung ist nicht eben sehr streng; es liegt das aber wegen des 
approximativen Charakters der mechanischen Gleichungen in der Natur 
der Sache. Es ist noch einmal zu betonen, daß sich die Größen jft, 
fik auf die glatt über den Kanal ausgedehnten äußeren Felder beziehen, 
nicht auf die im Kanalquerschnitt stark veränderlichen Felder, welche 
im Innern des Kanals wirklich vorhanden sind. 

Mit demselben Grad von Plausibilität wie in der Einsteinschen Theorie 
dürfen wir aus unsern Ergebnissen schließen, daß eine Uhr bei quasi- 
stationärer Bewegung diejenige Eigenzeit fds angibt, welche der Nor- 
mierung F. = konst. entspricht. Würde bei der Bewegung einer Uhr 

17* 



2ÖO Allgemeine Relativitätstheorie. 

(eines Atoms) mit unendlich kleiner Periode die von ihr während einer 
Periode zurückgelegte Weltstrecke sich von Periode zu Periode kongruent 
verpflanzen im Sinne unserer Weltgeometrie, so würden zwei Uhren, 
welche von dem gleichen Weltpunkt A mit derselben Periode ausgehen, 
d. h. welche während ihrer ersten Periode kongruente Weltstrecken in A 
zurücklegen , beim Zusammentreffen in einem späteren Weltpunkt B im 
allgemeinen verschiedene Perioden besitzen. In dieser Weise kann sich 
der Umlauf der Elektronen im Atom also jedenfalls nicht vollziehen, da 
die Atome Spektrallinien bestimmter Frequenz aussenden, unabhängig 
von ihrer Vorgeschichte. Es liegt aber auch durchaus nicht im Sinne 
unserer Theorie, daß sie a priori von Uhren ein derartiges Verhalten 
voraussetzt; vielmehr läßt sich darüber nur auf Grund der Naturgesetze 
entscheiden. Und es zeigt sich bei dem jetzt als gültig vorausgesetzten 
Wirkungsprinzip, daß der Vorgang nicht in einer kongruenten Verpflan- 
zung besteht, sondern: die während einer Periode zurückgelegte Welt- 
strecke bewahrt ein konstantes Verhältnis zu dem an jeder Stelle vor- 

i 

handenen Krümmungsradius der Welt / . Übrigens leisten die ge- 

V — F 

wonnenen Erhaltungssätze, welche besagen, daß die zeitliche Änderung 
von Ladung, Masse und Periode (in dem angegebenen Sinne) verschwin- 
det, wegen ihrer nur approximativen Geltung im Grunde nicht das Ge- 
ringste für das Verständnis der Tatsache, daß alle Elektronen die gleiche 
Ladung und Masse, alle Atome derselben chemischen Konstitution die 
gleiche Masse und die gleichen Spektrallinien besitzen. Diese Tatsachen 
können allein in dem Umstände begründet sein (und daraus folgen sie 
allerdings mit Notwendigkeit) , daß die Naturgesetze nur eine diskrete 
Zahl von statischen Lösungen zulassen. 

Von neuem erhebt sich hier das Problem der Materie, das wir am 
Schluß von Kap. III im Rahmen der Mieschen Theorie formulierten. 
Man könnte glauben, daß seine Lösbarkeit auf Grund des Wirkungs- 
prinzips (84) verneint werden müßte; denn in § 25 stellte sich heraus: 
wenn zu der Maxwellschen Wirkungsdichte ein Glied hinzutritt, das 
lediglich eine Funktion von q = VgPj-qp 1 ist, so muß diese Funktion für 
q = o mindestens in 5. Ordnung verschwinden. Doch entsprang diese 
Bedingung daraus, daß Regularität der kugelsymmetrischen statischen 
Lösung im Unendlichen gefordert werden mußte. Hier aber, bei Be- 
rücksichtigung der Gravitation und des kosmologischen Gliedes, werden 
jene Lösungen zweifellos nicht zu einem unendlichen, sondern zu einem 
geschlossenen Raum führen, so daß> ganz andere Regularitätsforderungen 
zu stellen sind. Die Durchführung des Ansatzes 32 ) zeigt in der Tat, 
daß die zur Verfügung stehenden Konstanten gerade in solcher Anzahl 
vorhanden sind, daß eine diskrete Zahl regulärer Lösungen zu erwarten 
ist; wennschon die gegenwärtigen Hilfsmittel der Analysis zum Nachweis 
ihrer wirklichen Existenz und zur approximativen Beherrschung derselben 



§35- Materie, Mechanik und mutmaßliches Weltgesetz. 26 1 

kaum ausreichen werden. Die Behauptung ist aber nur dann richtig, 
wenn auch die in das Wirkungsprinzip eingehende reine Zahl ß nicht 
einen von vorn herein vorgegebenen numerischen Wert hat; nur für 
gewisse singulare Werte dieser Konstanten, die »Eigenwerte«, existiert 
eine reguläre statische Lösung. Nur so kann man auch vielleicht be- 
greifen, daß am Elektron, wie wir früher sahen, reine Zahlen auftreten, 
deren Größenordnung gänzlich von 1 verschieden ist. Die den verschie- 
denen möglichen Eigenwerten entsprechenden Korpuskeln müßten aber 
doch alle, sich gegenseitig feine Modifikationen der inneren Struktur auf- 
zwingend, neben- oder ineinander in der gleichen Welt existieren; merk- 
würdige Konsequenzen scheinen da aufzudämmern für die Organisation 
des Weltalls, die uns vielleicht seine Ruhe im großen, Unruhe im kleinen 
verständlich machen können. Unser »Weltgesetz« aber müßte so formu- 
liert werden: Jede außerhalb eines endlichen Weltgebiets verschwindende 
Variation, für welche öjldx verschwindet, macht auch die Variation von 
fF*Y~gdx zu Null. 

Das bisher diskutierte ist dasjenige, mit dem neuen Grundsatz der 
Eichinvarianz verträgliche Wirkungsprinzip, welches der Maxwell-Einstein- 
schen Theorie am nächsten kommt. Wir sahen, daß es mit allen Er- 
fahrungen, über welche jene Theorie Rechenschaft gibt, gleichfalls im 
Einklang steht, hinsichtlich der tiefer greifenden Fragen, der kosmologi- 
schen und des Problems der Materie, ihr aber entschieden überlegen ist. 
Ich glaube trotzdem nicht, daß die Hamiltonsche Funktion (83) der Wirk- 
lichkeit entspricht. Wohl werden wir annehmen dürfen, daß 23 die Ge- 
stalt besitzt Wyg , wo W eine in rationaler Weise aus den Krümmungs- 
komponenten gebildete Invariante vom Gewichte — 2 ist. Solcher In- 
varianten lassen sich nur einige wenige (4, wenn ich nicht irre) aufstellen, 
aus denen sich jede mittels numerischer Koeffizienten linear zusammen- 
setzen läßt. Eine ist die Maxwellsche 

(95) l = \fikf ik , 

eine andere die eben benutzte F*. Die Krümmung aber ist von Hause 
aus ein linearer Matrix-Tensor 2. Stufe: Fi&dxidxjt. Nach dem gleichen 
Gesetz, nach welchem (95), das Quadrat des absoluten Betrages, aus der 
Streckenkrümmung /,* hervorgeht, können wir aus der totalen Krümmung 
bilden: 

(96) JF a F*. 

Die Multiplikation ist hier als Zusammensetzung der Matrizen zu deuten ; 
(96) ist daher selber wiederum eine Matrix. Erst ihre Spur Z ist ein 
Skalar, und zwar ein Skalar vom Gewichte — 2. Die beiden Größen 
L und / erscheinen mir als die einzigen Invarianten der geforderten Art, 
welche auf natürliche Weise aus der Krümmung gebildet sind, und nur 
in einer vierdimensionalen Welt existieren überhaupt Invarianten von so 
natürlichem und einfachem Bau. Ich glaube also, daß W eine lineare 



262 Allgemeine Relativitätstheorie. 

Kombination von L und / ist; das Weltgesetz lautet dann: Für jede 
unendlich kleine virtuelle Veränderung der Metrik, die außerhalb eines 
endlichen Gebiets verschwindet, und bei welcher die Wirkungsgröße j\ dx 
ungeändert bleibt, verschwindet auch die Variation von jQdx. Akzeptiert 
man dies Gesetz, so lauten die Maxwellschen Gleichungen wie oben: 
bei Normierung der Eichung durch F = konst. ist 3' gleich einem kon- 
stanten Multiplum von Vgcp' und f) ik = f*. Die Gravitationsgesetze 
stimmen im statischen Fall auch hier in erster Annäherung - mit dem 
Newtonschen überein. Aber in der Frage der mechanischen Gleichungen 
und des Zusammenhangs der durch Maßstäbe und Uhren gewonnenen 
Meßresultate mit der quadratischen Fundamentalform ds 2 scheint der 
Anschluß an die alte Theorie unterbrochen zu sein; hier kann man auf 
neue Ergebnisse stoßen. Augenblicklich steckt die Theorie aber noch 
ganz und gar in den Kinderschuhen. Daß es mathematisch schwierig 
ist, selbst diejenigen Tatsachen aus ihr zu gewinnen, welche sich aus 
älteren, nicht so umfassenden Theorien ohne weiteres ablesen ließen, ist 
natürlich kein Einwand gegen das Neue. Bei einer Theorie, die alles 
enthalten soll, die Organisation des Kosmos so gut wie die feinen Struk- 
turbeschaffenheiten der Atome, kann man es kaum anders erwarten. Die 
brennendste Frage, welche sich erhebt, ist die: ob das angenommene 
Weltgesetz von sich aus imstande ist, die Existenz des Wirkungsquantums 
und die vom Wirkungsquantum beherrschte Mechanik des strahlenden 
Atoms zu erklären. — 

Unser Weg erklomm eine solche Höhe, daß es von hier aus schwer 
wird, wieder zu der vertrauten Fülle der Erscheinungen herabzu- 
steigen, mit denen uns die Wirklichkeit umgibt. Der Glaube erscheint 
nicht mehr verwegen, wir seien imstande, das Wesen der physischen 
Welt, der Materie und der Naturkräfte, so vollständig zu begreifen, daß 
sich aus dieser Einsicht mit vernunftmäßiger Notwendigkeit die Gesetze 
eindeutig ergeben, welche den Ablauf der Naturvorgänge regeln. Wer 
auf den durchmessenen Weg zurückschaut und in einem einzigen Blick 
das Ganze umspannt, was nur sukzessive und in ein gegliedertes Mannig- 
faltige aufgelöst zur Darstellung kommen konnte, muß von dem Gefühl 
errungener Freiheit überwältigt werden — ein festgefügter Käfig, in den 
das Denken bisher gebannt war, ist gesprengt — ; er muß durchdrungen 
werden von der Gewißheit, daß unsere Vernunft nicht bloß ein mensch- 
licher, allzumenschlicher Notbehelf im Kampf des Daseins, sondern un- 
geachtet aller Trübungen und alles Irrtums doch der Weltvernunft ge- 
wachsen ist und das Bewußtsein eines jeden von uns der Ort, wo das 
Eine Licht und Leben der Wahrheit sich selbst in der Erscheinung ergreift. 
Ein paar Grundakkorde jener Harmonie der Sphären sind in unser Ohr 
gefallen, von der Pythagoras und Kepler träumten. 

Daß solchem Stolz die nur allzunötige Bescheidung nicht fehle, sei 
diese Betrachtung hinzugefügt. Je weiter sich die Physik entwickelt, um 



§ 35- Materie, Mechanik und mutmaßliches Weltgesetz. 263 

so deutlicher wird es, daß die Beziehungen zwischen der Wirklichkeit, 
die jeder von uns lebt, und jenen objektiven Wesenheiten, von denen 
die Physik in mathematischen Symbolen handelt, durchaus nicht so ein- 
fach sind, wie es der naiven Auffassung erscheint, und daß von dem 
Inhaltlichen jener unmittelbar erfahrenen Wirklichkeit in die physikalische 
Welt im Grunde nichts eingeht. Wir hatten erkannt, daß Physik und 
Geometrie schließlich zusammenfallen, daß die Weltmetrik eine, ja viel- 
mehr die physikalische Realität ist. Aber letzten Endes erscheint so diese 
ganze physikalische Realität doch als eine bloße Form ; nicht die Geo- 
metrie ist zur Physik, sondern die Physik zur Geometrie geworden. Wir 
haben nicht mehr wie nach alter Anschauung einen leeren Raum als die 
Form, in deren Rahmen sich eine Materie von gediegener Wirklichkeit 
konstituiert, und als den Schauplatz, auf welchem sich die wirklichen 
Geschehnisse, das sind dieser Materie Veränderungen abspielen; sondern 
die gesamte physische Welt ist zur Form geworden, der aus ganz andern 
Bezirken als denen der Physis ihr Inhalt zuwächst. Die Physik hat für 
die Wirklichkeit keine weitergehende Bedeutung wie die formale Logik 
für das Reich der Wahrheit. Was die formale Logik lehrt , gründet ge- 
wiß im Wesen der Wahrheit, und keine Wahrheit verletzt ihre Gesetze. 
Ob aber eine konkrete Behauptung wahr ist oder nicht, darüber lehrt 
sie schlechterdings nichts, das Inhaltliche der Wahrheit läßt sie gänzlich 
dahingestellt; der Grund der Wahrheit eines Urteils liegt in der beur- 
teilten Sache und nicht in der Logik. Ich meine, daß die Physik es nur 
mit dem zu tun hat, was in einem genau analogen Sinne als formale 
Verfassung der Wirklichkeit zu bezeichnen wäre. Ihre Gesetze werden 
ebensowenig in der Wirklichkeit jemals verletzt, wie es Wahrheiten gibt, 
die mit der Logik nicht im Einklang sind; aber über das inhaltlich- Wesen- 
hafte dieser Wirklichkeit machen sie nichts aus, der Grund der Wirklich- 
keit wird in ihnen nicht erfaßt. Wenn es der Wahn der scholastischen 
Methode ist, aus bloß Formalem Wesenhaftes deduzieren zu wollen, so 
ist die Weltanschauung, welche man als Materialismus bezeichnet, nur 
eine Spielart der Scholastik. 



Literatur. 

Einleitung und Kapitel I. 

i) Die präzise Fassung dieser Gedanken lehnt sich aufs engste an Husserl an, 
>Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie« (Jahr- 
buch f. Philos. u. phänomenol. Forschung, Bd. I, Halle 19 13). 

2) Eine eingehende Analyse dieses Problems , insbesondere der begrifflichen 
Schwierigkeiten, welche mit dem Kontinuum verbunden sind, enthält die Schrift des 
Verfassers >Das Kontinuum« (Leipzig 1918). 

3) Helmholtz hat in der Arbeit Ȇber die Tatsachen, welche der Geometrie 
zugrunde liegen« (Nachr. d. K. Gesellschaft d. Wissenschaften zu Göttingen, math.- 
physik. Kl., 1868) den ersten Versuch gemacht, die Geometrie auf die Eigenschaften 
der Bewegungsgruppe zu stützen. Eine schärfere mathematische Fassung und Lösung 
fand dieses »Helmholtzsche Raumproblem« in den Arbeiten von S. Lie (Berichte d. 
K. Sachs. Ges. d. Wissenschaften zu Leipzig, math.-phys. Kl., 1890) mit Hilfe der von 
Lie geschaffenen Theorie der kontinuierlichen Transformationsgruppen (man vgl. Lie - 
Engel, Theorie der Transformationsgruppen Bd. 3, Abt. 5). Im Geiste der Mengen- 
lehre sind die zugrunde liegenden Voraussetzungen dann von Hubert weitgehend ein- 
geschränkt worden (Grundlagen der Geometrie, 3. Aufl., Leipzig 1909, Anhang IV). 

4) Für die systematische Behandlung der affinen Geometrie, unter Abstreifung 
der speziellen Dimensionszahl 3, ist wie für das Gesamtgebiet des geometrischen 
Kalküls Grass mann s »Lineale Ausdehnungslehre« (Leipzig 1844) das bahnbrechende 
Werk. In der Konzeption des Begriffs einer mehr als dreidimensionalen Mannigfaltig- 
keit sind Grassmann sowohl als Riemann durch die philosophischen Ideen 
Herbarts beeinflußt. 

Kapitel II. 

1) Zu genauerer Orientierung sei auf das in der Teubnerschen Sammlung »Wissen- 
schaft und Hypothese« (Bd. IV) erschienene Buch von Bonola und Liebmann, 
»Die Nicht-Euklidische Geometrie«, verwiesen. 

2) F. Klein, Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie, Math. Ann. Bd. 4 
(1871), S. 573. Vgl. auch die ferneren Abhandlungen in Math. Ann. Bd. 6 (1873), 
S. 112 und Bd. 37 (1890), S. 544. 

3) Sixth Memoir upon Quantics, Philosophical Transactions, t. 149 (1859). 

4) Mathematische Werke (2. Aufl., Leipzig 1892), Nr. XIII, S. 272. Als besondere 
Schrift herausgegeben und kommentiert vom Verf. (Springer 1919). 

5) Saggio di interpretazione della geometria non euclidea, Giorn. di Matern, t. VI 
(1868), S. 204; Opere Matern. (Höpli 1902), t. I, S. 374. 

6) Grundlagen der Geometrie (3. Aufl., Leipzig 1909), Anhang V. 

7) Vgl. die Zitate Kap. I, 3 ). Christoffel, Über die Transformation der homogenen 
Differentialausdrücke zweiten Grades, Journ. f. d. reine und angew. Mathematik Bd. 70 
(1869); Lipschitz, im gleichen Journal Bd. 70 (1869), S. 71, und Bd. 72 (1870), S. 1. 

8) Christoffel, I.e. 7 ). Ricci und Levi-Civita, M6thodes de calcul diffe'- 
rentiel absolu et leurs applications, Math. Ann. Bd. 54 (1901). 

9) Von wichtigem Einfluß auf die Ausbildung dieser Geometrie waren die schon 
im Zeichen der Einsteinschen Gravitationstheorie erschienenen Arbeiten: Levi- 
Civita, Nozione di parallelismo in una varietä qualunque . . ., Rend. del Circ. Mat. 
di Palermo, t. 42 (1917), und Hessenberg, Vektorielle Begründung der Differential- 
geometrie, Math. Ann. Bd. 78 (191 7). Zu vollständigem Durchbruch kam sie in der 
Abhandlung des Verf. »Reine Infinitesimalgeometrie«, Math. Zeitschrift Bd. 2 (1918). 

10) Der Begriff der Parallelverschiebung eines Vektors wurde für die Riemann- 
sche Geometrie von Levi-Civita aufgestellt in der unter 9) zitierten Abhandlung; 



Literatur. 265 

zu seiner Herleitung nahm aber Levi-Civita an, daß der Riemannsche Raum in einen 
höherdimensionalen Euklidischen eingebettet ist. Eine direkte Erklärung des Begriffs 
wurde vom Verf. in der I. Aufl. dieses Buchs mit Hilfe des geodätischen Koordinaten- 
systems gegeben ; zu einem axiomatischen Grundbegriff, der für die Stufe der affinen Ge- 
ometrie charakteristisch ist, wurde er in der unter 9) zitierten Abhandlung »Reine In- 
finitesimalgeometrie« erhoben. Siehe außerdem J. A. Seh outen, Die direkte Ana- 
lysis zur neueren Relativitätstheorie, Verh. d. Akad. v. Wetensch. te Amsterdam, 1919. 
11) Hessenberg, I.e. 9 ), S. 190. 

Kapitel III. 

1) Wegen der Literatur zu der »speziellen Relativitätstheorie«, um die es sich in 
diesem Kapitel handelt, verweisen wir ein für allemal auf das Buch von Laue, Die 
Relativitätstheorie I (3. Aufl., Braunschweig 19 19). 

2) Helmholtz, Monatsber. d. Berliner Akademie, März 1876, oder Ges. Ab- 
handlungen Bd. I (1882), S. 791. Eichenwald, Annalen der Physik Bd. II (1903), S. I. 

3) Das gilt nicht ganz ohne Einschränkung; siehe A. Korn, Mechanische Theorie 
des elektromagnetischen Feldes, eine Reihe von Abhandlungen in der Physikalischen 
Zeitschrift, Bd. 18, ig u. 20 (1917/19). 

4) A. A. Michelson, Sill. Journ. Bd. <22 (1881), S. 120. A. A. Michel son und 
E. W. Morley, ebenda Bd. 34 (1887), S. 333. E.W. Morley und D.C.Miller, 
Philosophical Magazine Bd. 8 (1904), S. 753 und Bd. 9 (1905), S. 680. H. A. Lorentz, 
Arch. N6erl. Bd. 21 (1887), S. 103 oder Ges. Abhandl. Bd. I, S. 341. Seit Aufstellung 
der Relativitätstheorie durch Einstein ist das Experiment vielfach diskutiert worden. 

5) Vgl. z. B. Trouton und Noble, Proc. Roy. Soc. Bd. 72 (1903), S. 132. 
Lord Rayleigh, Philos. Mag. Bd. 4 (1902), S. 678; D. B. Brace, ebenda Bd. 7 
(1904), S-317, Bd. 10 (1905), S. 71 u. 591; B. Strasser, Annal. d. Physik Bd. 24 
(1907), S. 137. Des Coudres, Wiedemanns Annalen Bd. 38 (1889), S. 71. Trouton 
und Rankine, Proc. Roy. Soc. Bd. 8 (1908), S. 420. 

6) Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annal. d. Physik Bd. 17 (1905), S. 891. 

7) Die mathematische Durchbildung der Relativitätstheorie, namentlich ihre Auf- 
fassung als Weltgeometrie, verdankt man erst H. Minkowski. Siehe dessen Abhand- 
lung »Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Kör- 
pern«, Nachr. d. K. Ges. d. Wissensch. zu Göttingen, 1908, S. 53, oder Ges. Abhandl. 
Bd. n, S. 352- 

8) Möbius, Der baryzentrische Calcül (Leipzig 1827; oder Werke, Bd.I), Kap. 6 u. 7. 

9) Wilson, Philosoph. Transact. (A) Bd. 204 (1904), S. 121. 

10) Röntgen, Sitzungsber. d. Berliner Akademie 1885, S. 195; Wied. Annalen 
Bd. 35 (1888), S. 264, und Bd. 40 (1890), S. 93. Eichenwald, Annalen d. Physik 
Bd. 11 (1903), S. 421. 

11) Minkowski 1. c. 7 ). 

12) W. Kaufmann, Nachr. d. K. Gesellsch. d. Wissensch. zu Göttingen 1902, 
S. 291; Ann. d. Physik Bd. 19 (1906), S. 487, u. Bd. 20 (1906), S. 639. A. H. Bucherer, 
Ann. d. Physik Bd. 18 (1909), S. 513, u. Bd. 29 (1909), S. 1063. S. Ratnowsky, 
Determination experimentale de la Variation d'inertie des corpuscules cathodiques en 
fonetion de la vitesse, Dissertation, Genf 191 1. E. Hupka, Ann. d. Physik Bd. 31 
(1910), S. 169. G. Neumann, Ann. d. Physik Bd. 45 (1914), S. 529, mit Nachtrag von 
C. Schaefer, ibid. Bd. 49, S. 934. — Zur Atomtheorie vgl. K. Glitscher, Spektro- 
skopischer Vergleich zwischen den Theorien des starren und des deformierbaren Elek- 
trons, Ann. d. Physik Bd. 52 (1917), S. 608. 

13) Die Relativitätstheorie I (3. Aufl., 1919), S. 229. 

14) Ernstein 1. c 6 ). Planck, Bemerkungen zum Prinzip der Aktion und Reaktion 
in der allgemeinen Dynamik, Physik. Zeitschr. Bd. 9 (1908), S. 828; Zur Dynamik 
bewegter Systeme, Ann. d. Physik Bd. 26 (1908), S. I. 

15) Herglotz, Ann. d. Physik Bd. 36 (191 1), S. 453. 

16) Ann. d. Physik, Bd. 37, 39, 40 (1 912/13). 



2 66 Literatur. 

Kapitel IV. 

i) Vgl. für diesen Paragraphen wie für das ganze Kapitel bis § 33 A. Einstein, 
Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie (Leipzig, Joh. Ambr. Barth, 1916); 
Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie (gemeinverständlich; Samm- 
lung Vieweg, 3. Aufl. 1918). E. Freundlich, Die Grundlagen der Einsteinschen 
Gravitationstheorie (2. Aufl., Springer 1917). M. Schlick, Raum und Zeit in der gegen- 
wärtigen Physik (2. Aufl., Springer 1919). E. Kretschmann, Über den physikalischen 
Sinn der Relativitätspostulate, Ann. Phys. Bd. 53 (1917), S. 575. G. Mie, Die Einsteinsche 
Gravitationstheorie und das Problem der Materie, Phys. Zeitschr. Bd. 18 (1917), S. 551/556, 
574/580 und 596/602. F. Kottier, Über die physikalischen Grundlagen der all- 
gemeinen Relativitätstheorie, Ann. d. Physik Bd. 56 (1918), S. 401. Einstein, Prin- 
zipielles zur allgemeinen Relativitätstheorie, Ann. d. Physik Bd. 55 (1918), S. 241. 

2) Schon Newton empfand die Schwierigkeit; am nachdrücklichsten ist sie von 
E. Mach ausgesprochen worden. Vgl. die eingehenden Literaturangaben bei A. Voss, 
Die Prinzipien der rationellen Mechanik, in der Mathematischen Enzyklopädie, Bd. IV 
Art. I, Absatz 13 — 17 (phoronomische Grundbegriffe). 

3) Mathematische und naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn VIII (1890). 

4) Über andere Versuche (Abraham, Mie, Nordström), die Theorie der 
Gravitation der durch die spezielle Relativitätstheorie geschaffenen Lage anzupassen, 
orientiert übersichtlich M. Abraham, Neuere Gravitationstheorien, Jahrbuch der Radio- 
aktivität und Elektronik, Bd. XI (1915), S. 470. 

5) F. Klein, Über die Differentialgesetze für die Erhaltung von Impuls und 
Energie in der Einsteinschen Gravitationstheorie, Nachr. d. Ges. d. Wissensch. zu 
Göttingen 1918. Vgl. dazu die allgemeinen Formulierungen von E. Noether, In- 
variante Variationsprobleme, am gleichen Ort. 

6) Einstein, Zur allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzungsber. d. Preuß. Akad. 
d. Wissenschaften 191 5, 44, S. 778, mit Nachtrag auf S. 799. 

7) Einstein, Die Feldglefchungen der Gravitation, Sitzungsber. d. Preuß. Akad. 
d. Wissensch. 19 15, S. 844. 

8) H. A. Lorentz, Het beginsel van Hamilton in Einsteins theorie der zwaarte- 
kracht, Versl. d. Akad. v. Wetensch. te Amsterdam, XXIII, S. 1073; Over Einsteins theorie 
der zwaartekracht I, II, III, ibid. XXIV, S. 1389, 1759, XXV, S. 468. Tresling, ibid., 
Nov. 1916; Fokker, ibid., Jan. 1917, S. 1067. Hubert, Die Grundlagen der Physik, 

1. Mitteilung, Nachr. d. Gesellsch. d. Wissensch. zu Göttingen 191 5, 2. Mitteilung 1917. 
Einstein, Hamiltonsches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie, Sitzungsber. d. 
Preuß. Akad. d. Wissensch. 1916, 42, S. IUI. Klein, Zu Huberts erster Note über 
die Grundlagen der Physik, Nachr. d. Ges. d. Wissensch. zu Göttingen 19 18, und die 
unter 5 ) zitierte Arbeit. Weyl, Zur Gravitationstheorie, Ann. d. Physik Bd. 54 (1917), 
S. 117. 

9) Nach Levi-Civita, Statica Einsteiniana , Rend. della R. Accad. dei Lincei 
1917, vol. XXVI, ser. 5 a , 1° sem., pag. 458. 

10) St. John, Astrophys. Journal, Nor. 1917, S. 249. Über Verschiebungen der 
Sonnenlinien aus teilweise unaufgeklärten Ursachen vgl. die dort zitierten Arbeiten 
von Halm und Adams. 

11) Einstein, Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1915, 47, S. 831. 

12) Schwarzschild, Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1916, 7, S. 189. 

13) Am meisten Beachtung fand die Hypothese von H. Seeliger, Das Zodiakal- 
licht und die empirischen Glieder in der Bewegung der inneren Planeten, Münch. 
Akad. Ber. 36 (1906). Vgl. dazu E. Freundlich, Astr. Nachr. Bd. 201 (Juni 1915), 
S. 49- 

14) Einstein, Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1916, S. 688; dazu die 
Ergänzung: Über Gravitationswellen, ebenda 1918, S. 154. Ferner Hubert, 1. c. 8 ), 

2. Mitteilung. 

15) Phys. Zeitschr. Bd. 19 (1918), S. 33. 



Literatur. 



267 



16) Phys. Zeitschr. Bd. 19 (1918), S. 156. Vgl. auch de Sitter, Planetary motion 
and the motion of the moon according to Einstein's theory, Amsterdam Proc. Bd. 19, 
1916. 

17) Vgl. Schwarzschild I.e. 12 ); Hubert I.e. 8 ), 2. Mitt.; J. Droste, Versl. 
K. Akad. van Wetensch. Bd. 25 (1916), S. 163. 

18) Vom «-Körper- Problem handelt J. Droste, Versl. K. Akad. van Wetensch. 
Bd. 25 (191 6), S. 460. 

19) L. Flamm, Beiträge zur Einst ein sehen Gravitationstheorie, Physik. Zeitschr. 
Bd. 17 (1916;, S. 449. 

20) H. Reißner, Ann. d. Physik Bd. 50 (1916), S. 106—120. Weyl, 1. c. 8 ). 
G. Nordström, On the Energy of the Gravitation Field in Einstein's Theory, Versl. 
d. K. Akad. v. Wetensch. Amsterdam, Vol. XX, No. 9, 10 (26. Jan. 1918). 

21) Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1916, 18, S. 424. 

22) Weyl 1. c. 8 ), §§ 5, 6. Dazu eine Bemerkung in Ann. d. Physik Bd. 59 (1919). 
— Eine Reihe schöner Untersuchungen über die strengen Lösungen der statischen 
Gravitationsgleichungen verdankt man Levi-Civita: ds* einsteiniani in campi newto- 
niani, Rend. Acc. dei Lincei, 191 7/1 9. 

23) Einstein, Grundlagen [I.e. I )], S. 49. Der hier durchgeführte Beweis nach 
Klein, I.e. 5 ). 

24) Zur Diskussion über den physikalischen Sinn dieser Gleichungen siehe Schrö- 
dinger, Phys. Zeitschr. Bd. 19 (1918), S. 4; H. Bauer, ebenda S. 163; Einstein, 
ebenda S. 115, und endlich die Arbeit von Einstein, Der Energiesatz in der all- 
gemeinen Relativitätstheorie, in den Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1918, 
S. 448, welche die volle Abklärung brachte und der wir hier folgen. Vgl. ferner 
F. Klein, Über die Integralform der Erhaltungßsätze und die Theorie der räumlich- 
geschlossenen Welt, Nachr. d. Ges. d. Wissensch. zu Göttingen 1918. 

25) Vgl. dazu G. Nordström, On the mass of a material system according to 
the Theory of Einstein, Akad. v. Wetensch. Amsterdam, Vol. XX, No. 7 (29. Dez. 1917). 

26) Hubert 1. c. 8 ), 2. Mitt. 

27) Einstein, Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wissensch. 191 7, 6, S. 142. 

28) Vgl. dazu jedoch de Sitters Mitteilungen im Versl. d. Akad. v. Wetensch. 
te Amsterdam 191 7 wie seine zusammenfassende Artikelreihe On Einsteins theory of 
gravitation and its astronomical consequences (Monthly Notices of the R. Astronom. 
Society); ferner F. Klein, I.e.* 4 ). 

29) Weyl, Physik. Zeitschr. Bd. 20 (1 919), S. 31. 

30) Die in den beiden folgenden Paragraphen enthaltene Theorie wurde vom 
Verf. entwickelt in der Note »Gravitation und Elektrizität <, Sitzungsber. d. Preuß. 
Akad. d. Wissensch. 1918, S. 465. Vgl. auch Weyl, Eine neue Erweiterung der Re- 
lativitätstheorie, Ann. d. Physik Bd. 59 (1910). Einer ähnlichen Tendenz scheint die 
(mir in wesentlichen Punkten unverständlich gebliebene) Theorie von E. Reichen- 
bächer (Grundzüge zu einer Theorie der Elektrizität und Gravitation, Ann. d. Physik, 
Bd. 52 [1917], S. 134) entsprungen zu sein. 

31) Ann. d. Physik Bd. 39 (1913). 

32) Vgl. die zweite der unter 3o ) zitierten Arbeiten des Verf., S. 129. 



Sachregister. 



(Die Zahlen verweisen, wenn nichts anderes bemerkt ist, auf die Seiten des Buchs.) 



Abbildung, affine 19. 
— , kongruente 10, 25. 
— , lineare Vektor- 35. 
Aberration 134, 157. 
Abszisse 7. 
Addition von Tensoren 38. 

— von Tensordichten 98. 

— von Vektoren 15. 

Äther (als substantielles Medium) 134, 145 ; 

(in freierem Sinne) 162, 195. 
affine Abbildung 19. 

— Geometrie (linear -Euklidische) § 2; 
(infinitesimale) § 14. 

— Mannigfaltigkeit 102. 

affiner Zusammenhang (der Begriff) iooj 
(eines metrischen Raumes) m. 

aktive Vergangenheit und Zukunft 147, 236. 

Analysis situs 235. 

assoziatives Gesetz. 15. 

asymptotische Gerade 69. 

Ausbreitung elektromagnetischer Störungen 
138. 

— von Gravitations-Störungen 215. , 

— des Lichtes 133. 

Axiome der affinen Geometrie 15. 

— der metrischen Geometrie 25. 

Beschleunigung 103. 

Betrag eines Tensors 45. 

Bewegung (im rein mathematischen Sinne) 

94- 
Bewegungsgröße 39. 
Bezugssystem 110. 
— , geodätisches 1 13. 
bilineare Form 23. 
Biot-Savartsches Gesetz 65. 
Bolyaische Geometrie § 10. 

Cartesisches Koordinatensystem 26. 
Cayleysche Maßbestimmung 73. 
Christoffeische Dreiindizes-Symbole 119. 
Corioliskraft 189. 
Coulombsches Gesetz 58. 

definit 24. 

Dichte (allgemeiner Begriff) 98 ; (der Elek- 
trizität und der Masse, auf Grund der 
Substanzvorstellung) 182, 188. 



Dielektrikum 63. 

Dielektrizitätskonstante 64. 

Differentiation von Tensoren und Tensor- 
dichten 53, 95, 99, 104. 

Dimension 17, 75. 

— , positive und negative, einer quadra- 
tischen Form 27. 

distributives Gesetz 15. 

Divergenz (div) 54; (allgemeiner) 99, 104. 

Dopplersches Prinzip 156. 

Drehaxe 42. 

Drehgeschwindigkeit 41. 

Drehimpuls 41. 

Drehmoment einer Kraft 41. 

Dreiindizes-Symbole 119. 

Druck, allseitig gleicher 57. 

— , elektrischer 177. 

— , hydrostatischer 174, 228. 

eben 106. 

Ebene (im Euklidischen Raum) 12, 16. 

— , Nicht-Euklidische : Beltramisches Mo- 
dell 83; Kleinsches Modell 72; me- 
trische Fundamentalform 83. 

Eichung 108. 

— , geodätische HO. 

Eigenzeit 151, 188. 

Einheitstensor 35. 

Einkörperproblem 217. 

einseitige Fläche 236. 

Einsteinsches Gravitationsgesetz 206; mo- 
difiziertes 240. 

— Relativitätsprinzip, spezielles § 20; all- 
gemeines § 26. 

elektrischer Druck 177. 

— Feldstärke 58. 

— Impuls 177. 

— Kraft 177. 

— Ladung 58; (als Substanz) 182; (all- 
gemein) 231. 

— Strom 65, 134. 

— Verschiebung 64. 

elektromagnetisches Feld 139; (sein Ur- 
sprung aus der Weltmetrik) 244. 

— Potential 139, 244. 

— und elektrostatische Maßeinheiten 135. 
elektromotorische Kraft 68. 

Elektron 60, 170, 181, 260. 



Sachregister. 



269 



elektrostatisches Potential 58. 

Energie (besitzt Trägheit) 171; (wirkt gravi- 
tierend) 199; (Totalenergie eines Sy- 
stems) 234. 

Energiedichte (im elektrischen Feld) 63; 
(im magnetischen Feld) 66. 

Energie- Impulssatz (im Rahmen der spe- 
ziellen Relativitätstheorie: 1. des elek- 
tromagnetischen Feldes) 141, (2. all- 
gemein) 169; (im Rahmen der allge- 
meinen Relativitätstheorie: 1. des 
physikalischen Vorgangs) 202, (2. des 
totalen Systems inkl. der Gravitation; 
233, 251. 

Energie-Impuls-Tensor (vgl. alle Hinweise 
des vorigen Stichworts). 

— des elektromagnetischen Feldes 141, 
197, 250. 

— des Gravitationsfeldes 233. 

— einer inkompressibeln Flüssigkeit 174, 
225. 

— , kinetischer und potentieller 169. 
Energiestrom 137. 
Eötvösscher Versuch 192. 
Erhaltungssatz der Elektrizität (differentielle 
Formulierung) 135, 251 ; (integrale) 231. 

— für Energie und Impuls (vgl. Energie- 
Impulssatz; differentiell) 169,251; (inte- 
gral) 233. 

Euklidische Geometrie §§ 1 — 4. 

— Mannigfaltigkeit Kap. I; (vom Stand- 
punkt der Infinitesimalgeometrie) 105. 

Faradaysches Induktionsgesetz 135, 165. 

Feld (allgemeiner Begriff) 52. 

— , elektromagnetisches 139. 

— , metrisches oder Gravitations- 88, 187. 

Feldenergie (des elektromagnetischen Fel- 
des) 137; (des Gravitationsfeldes) 233. 

Feldimpuls 141. 

Feldkraft (im Gegensatz zur >Trägheits- 
kraftt) 257. 

Feldstärke, elektrische 58. 

— , magnetische 65. 

Feldwirkung der Elektrizität 181. 

— der Gravitation 199. 
Fermatsches Prinzip 210. 
Fläche 76. 

Flächenelement (in der Euklidischen Geo- 
metrie) 50; (allgemein) 94. 

Form, bilineare 23. 

— , lineare 20. 

— , quadratische 24. 

Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravi- 
tation 215. 



Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes 

»33» 207. 
Fresnelscher Mitführungskoeffizient 156. 
früher und später 6, 147. 
Fundamentalform, metrische (einer linearen 
Mannigfaltigkeit) 25; (allgemein) 110. 
Fundamentaltensor, metrischer 35. 

Galileisches Relativitätsprinzip § 18. 

— Trägheitsgesetz 127. 
Gaußsche Krümmung 85. 
geodätisches Bezugssystem 113. 

— Eichung 1 10. 

— Koordinatensystem 101. 

— Linie (allgemein) 102; (imRiemannschen 
Räume) 121. 

— Nullinie 114. 
Geometrie, affine § 2. 

— auf einer Fläche 78. 
— , Euklidische §§ 1—4. 

— , Infinitesimal-, §§ 13 — 16. 

— , «-dimensionale 21. 

— , Nicht-Euklidische (Bolyai-Lobatschefs- 
kysche) § 10. 

— , Riemannsche §§ II, 12. 

— , sphärische 74. 

gerade Linie (in der Euklidischen Geo- 
metrie) 10, 16; (allgemein) 102. 

Geschwindigkeit 33, 94. 

Gewicht von Tensoren und Tensordichten 
114. 

gleich (von Vektoren) 105; (von Zeit- 
strecken) 6. 

gleichzeitig 124, 146. 

Gradient 53; (allgemein) 95. 

Gravitationsenergie 233. 

Gravitationsfeld 193. 

Gravitationsgesetz, Einsteinsches2o6; (mo- 
difiziertes) 240; (allgemeinste Form) 250. 

— , Newtonsches 196. 

Gravitationskonstante 209. 

Gravitationspotential 189. 

Gravitationsradius einer Ladung 224. 

— einer Masse 220. 
Gravitationswellen 216. 
Gruppe 8, 14. 

Hamiltonsche Funktion 178. 

— s Prinzip (im Rahmen der speziellen 
Relativitätstheorie: I. nach Mie) 179; 
(2. nach Maxwell -Lorentz) 182; (im 
Rahmen der allgemeinen Relativitäts- 
theorie) 203, 246. 

homogene lineare Gleichungen 21. 

Homogenität des Raumes 5. 



270 



Sachregister. 



Homogenität der Welt 129. 
homolog 10. 
Hydrodynamik 174, 225. 
hydrostatischer Druck 174, 228. 

jetzt 6, 124. 
Impuls, elektrischer 177. 
— , mechanischer 39, 234. 
Impulsdichte 141 (vgl. Energie -Impuls- 
tensor). 
Impulsmoment 41. 
Impulsstrom 141. 
Induktion, magnetische 67. 
Induktionsgesetz 135, 165. 
Infinitesimalgeometrie §§ 13 — 16. 
infinitesimale Verschiebung 92. 
inhomogene lineare Gleichungen 21. 
integrabel 97, 105. 
Intensitätsgrößen 98. 
Joulesche Wärme 136. 

Kathodenstrahlen 168. 
Kausalitätsprinzip 176, 236. 
kinetischer Energie-Impulstensor 169. 
kogrediente Transformation 31. 
kommutatives Gesetz 15. 
Komponenten, kovariante und kontravari- 
ante, einer Verschiebung 31. 

— eines Tensors (in einer linearen Mannig- 
faltigkeit) 33; (allgemein) 93. 

— eines Vektors 18. 

— des affinen Zusammenhangs 10 1. 
kongruent 10, 88. 

— e Abbildung 25. 
Kontinuitätsgleichung der Elektrizität 135. 

— der Materie 158. 
Kontinuum 75. 

kontragrediente Transformation 30. 
Kontraktionshypothese 144. 
kontravariante Tensoren 32; (allgemein) 93. 
Konvektionsstrom 134, 164. 
Koordinaten (in ein linearen Mannig- 
faltigkeit) 18; (allgemein) 75. 

Koordinatensystem 8, 18, 75. 

— , Cartesisches 26. 

— , normales 145. 

kovariante Tensoren 32; (allgemein) 93. 

Kraft 34. 

— , elektrische 177. 

— , ponderomotorische (des elektrischen 
Feldes) 59; (des Magnetfeldes) 66; (des 
elektromagnetischen Feldes) 177; (des 
Gravitationsfeldes) 1 89. 

— : Feldkraft und Trägheitskraft 257. 

Kreisel 45. 



Krümmung der Lichtstrahlen im Gravi- 
tationsfeld 211. 

— , Gaußsche 85. 

— : Richtungskr. in; Streckenkr. m; 
Vektorkr. 106, m. 

— , Riemannsche 120. 

Krümmungs-Skalar 120. 

kugelsymmetrisches Gravitationsfeld 217. 

Kurve 76, 94. 

Ladung 58; (substantiell aufgefaßt) 182; 
(allgemein) 231. 

Leitfähigkeit 68. 

Leitungsstrom 164. 

Lichtäther 134. 

Lichtstrahl 154; (krümmt sich im Gravi- 
tationsfeld) Sil. 

Lichttheorie, elektromagnetische 136. 

Linearform 20. 

lineare Gleichung 21. 

— s Punktgebilde 18. 

— r Tensor 51, 94. 

— Tensordichte 98. 

— Vektorabbildung 35. 

— Vektormannigfaltigkeit 17. 
linear unabhängig 17. 

Linie, gerade (in der Euklidischen Geo- 
metrie) 10, 16; (allgemein) 102. 

— , geodätische 102. 

Linienelement (in der Euklidischen Geo- 
metrie) 50; (allgemein) 92. 

Lobatschefskysche Geometrie § 10. 

Lorentz-Einsteinsches Relativitätstheorem 
138. 

Lorentz-Kontraktion 144, 149, 154. 

— -Transformation 138. 

Magnetinduktion 67. 
magnetische Feldstärke 65. 

— Permeabilität 67. 
Magnetisierung 67. 
Magnetismus 65. 
Mannigfaltigkeit 75. 

— , affin zusammenhängende § 14. 
— , metrische § 16. 
Masse (beruht auf Energie) 171, 234. 
— , gravitationsfelderzeugende 220. 
— , träge und schwere 192. 
Maßbestimmung (in einem Punkte] 108. 
— , Cayleysche 73. 
Maßeinheit 36; (ihre Relativität) 242. 
— , elektrostatische und elektromagnet. 135. 
Maßzahl einer Strecke 109. 
Materie § 24; (das Problem der Materie) 
181, 260. 



Sachregister. 



271 



Matrix 35. 

Maxwellsche Spannungen 61, 66, 140. 

— Theorie (stationärer Fall) §9; (allge- 
mein) § 19; (Übertragung der statio- 
nären Gleichungen auf den Riemann- 
schen Raum) 116; (im Rahmen der 
allgemeinen Relativitätstheorie) 189; 
(Herleitur.g aus der Weltmetrik) 245, 25 1 . 

— Wirkungsdichte 245. 
mechanisches Grundgesetz (Newtonsches) 

39) 59! ( m der speziellen Relativitäts- 
theorie) 167; (in der allgemeinen) 189; 
(Herleitung aus den Feldgesetzen) 257. 

Mechanik des Relativitätsprinzips § 23. 

Messen 7. 

metrisches Feld 88, 187. 

— Fundamentalform (tensor) 25, 35. 

— Zusammenhang 109. 
Metrik 25; (allgemein) 108. 
Michelsonscher Versuch 143. 
Miesche Theorie § 25; 199. 
Multiplikation eines Tensors mit einer 

Zahl 38. 

— von Tensoren 39. 

— einer Tensordichte mit einer Zahl 98. 
— einem Tensor 98. 

— eines Vektors mit einer Zahl 15. 

Newtonsches Gravitationsgesetz 196. 

nicht- ausgeartete Bilinearform und quadra- 
tische Form 23. 

Nicht - Euklidische Ebene (Beltramisches 
Modell) 83; (Kleinsches Modell) 72; 
(metrische Fundamentalform) 83. 

— Geometrie § 10. 

Normaleichung des Riemannschen Raums 

in. 
normales Koordinatensystem 145. 
Nullinien, geodätische 114. 

Ohmsches Gesetz 68. 

parallel 12, 18. 

Parallelenpostulat 69. 

Parallepiped 18. 

Parallelogramm 18. 

Parallelprojektion 13 1. 

Parallelverschiebung, infinitesimale (eines 

kontravarianten Vektors) 100; (eines 

kovarianten) 102. 
partielle Integration (Prinzip.derselben) 100. 
passive Vergangenheit und Zukunft 147. 
Perihelbewegung des Merkur 212, 222. 
Permeabilität, magnetische 67. 
Phase 154. 



Planetenbewegung 220. 

Polarisation 63. 

ponderomotorische Kraft des elektrischen, 
des magnetischen und des elektro- 
magnetischen Feldes 59, 66, 136. 

des Gravitationsfeldes 189. 

positiv-definit 24. 

Potential, elektromagnetisches 1,39. 

— , elektrostatisches 58. 

— des Gravitationsfeldes 189. 
— , retardiertes 138. 

— , Vektor- 66. 

potentieller Energie-Impulstensor 169. 
Poyntingscher Vektor 137. 
Produkt, skalares 24. 

— eines Tensors mit einer Zahl 38. 

— von Tensoren 39. 

— einer Tensordichte mit einer Zahl 98. 
— mit einem Tensor 98. 

— eines Vektors mit einer Zahl 15. 
— r, vektorielles 40. 

Projektion 131. 
Punktgebilde, lineares 18. 
Pythagoreischer Lehrsatz 25, 82, 194. 

quadratische Form 24. 
Quantitätsgrößen 98. 

Raum (als Form der Erscheinungen) 5 ; 

(als Projektion der Welt) 132, 151. 
— , Euklidischer §§ 1 — 4. 
— , metrischer § 16. 
— , »-dimensionaler 21. 
— , Riemannscher 1 1 1 ; §17« 
raumartiger Vektor 151. 
Raumelement 50, 94. 
rechter Winkel 12, 109. 
Relativgeschwindigkeit 152. 
Relativität der Bewegung 126, 186. 

Größe 243. 

Relativitätsprinzip, Einsteinsches (spezielles) 

§ 20; (allgemeines) § 26. 
— , Galileisches § 18. 
Relativitätstheorem, Lorentz-Einsteinsches 

138. 
retardiertes Potential 138. 
Richtungskrümmung 113. 
Riemannsche Geometrie §§ 11, 12. 

— Krümmung 120. 
— r Raum m; § 17. 
Rotation (rot) 54; (allgemein) 95. 

— (im geometrischen Sinne) 1 2 ; (im kinema- 
tischen) 42; (Relativität derselben) 187. 

Rotverschiebung der Spektrallinien in der 
Nähe großer Massen 212. 



272 



Sachregister. 



Ruhe 125. 
Ruhdichte 158. 
Ruhlänge 148. 
Ruhvolumen 154. 

Schiefsymmetrisch 34, 48. 
schwere Masse 192. 
senkrecht 12, 26; (allgemein) 109. 
Skalar 34. 
skalare Dichte 98. 
— s Produkt 24. 
Skalarfeld 52. 
später 6. 

Spaltung von Tensoren nach Raum und 
Zeit 159. 

— von Vektoren 132, 151. 
Spannungen, elastische 54. 
— , Maxwellsche 61, 66, 140. 
Sphäre 228. 

sphärische Geometrie 74- 

Spur einer Matrix 43. 

stationärer Vektor 102, 103. 

statisches Gravitationsfeld § 28; 245. 

stetiger Zusammenhang 92. 

Strecke (in der Euklidischen Geometrie) 
18; (allgemein) 108. 

Streckenkrümmung m. 

Stokesscher Satz 97. 

Strom, elektrischer 65, 134; (konvektiver) 
134; (Leitungsstrom) 164. 

Stufe von Tensoren 32. 

Substanz 182. 

Substanzwirkung der Elektrizität und Gravi- 
tation (= Masse) 183. 

Subtraktion von Vektoren 15. 

Summe von Vektoren 15. 

— — Tensoren 38. 

Tensordichten 98. 

symmetrisch 24, 48. 

Tensor (im linearen Raum) 32; (allge- 
mein) 93. 
Tensordichte 98. 

Tensorfeld 52; (allgemein) 94. • 
träge Masse 171, 192. 
Trägheit (als Eigenschaft der Energie) 

171; 
Trägheitsgesetz der quadratischen Formen 

27. 
Trägheitsindex 27. 
Trägheitskraft 257. 
Trägheitsmoment 42. 
Trägheitsprinzip, Galileisches 12 7. 
Traktrix 83. 



Translation eines Punktes (im geometrischen 

Sinn) 103; (kinematisch) 127. 
— des Raumes 12, 1x5. 

Uhr 7, 148, 260. 
unabhängige Vektoren 17. 

Vektor 14, 33; (allgemein) 93. 
Vektorabbildung, lineare 35. 
Vektordichte 98. 
Vektorfeld 52, 94. 
Vektorkrümmung III. 
Vektormannigfaltigkeit, lineare 17. 
Vektorpotential 66. 
vektorielles Produkt 40. 
Vergangenheit, aktive und passive 147, 236. 
Verjüngung von Tensoren 43, 93. 

Tensordichten 98. 

Verschiebung des Raumes 14. 

— , elektrische 64. 

— , infinitesimale, eines Punktes 92. 

, eines Vektors 100. 

Verschiebungsstrom 136. 
Verzerrungstensor 54. 
Viererkraft 140. 
Viererstrom 139. 

Welt (= Raum-Zeit) 129. 

Weltgesetz 180, 261. 

Weltpunkt 124. 

Wilsonscher Versuch 162. 

Winkel 12; (Winkelmessung) 26, 84. 

— , rechter 12, 109. 

Wirklichkeit 4, 6, 184, 263. 

Wirkungsgröße 179, 246; (vgl. Hamilton- 

sche Funktion). 
Wirkungsprinzip (vgl. Hamiltonsch. Prinzip) . 
Wirkungsquantum 244, 262. 

Zahl 7. 

Zeit 5, 151. 

zeitartiger Vektor 151. 

Zentrifugalkraft 190. 

Zerspaltung der Welt in Raum und Zeit 
151, 159, 207. 

Zukunft, aktive und passive 147, 236. 

Zusammenhang, affiner 100. 

— , metrischer 109. 

— , stetiger 92. 

Zusammenhangsverhältnisse einer Mannig- 
faltigkeit im Großen 235. 

— der Welt 240. 

zweiseitig 236. 

zwischen 11. 



Druck von Breitkopf & Härtel in Leipzig.