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Full text of "Repertorium der literarischen arbeiten aus dem gebiete der reinen und angewandten mathematik. "Originalberichte der verfasser," gesammelt und hrsg"

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REPERTORIUM 









DER LITERARISCHEN ARBEITEN 



AUS DEM GEBIETE DER 



KEINEN UND ANGEWANDTEN 

MATHEMATIK 



„ORIGINALBERICHTE DER VERFASSER" 



GESAMMELT UND HERAUSGEGEBEij 



VON 



Dr. LEO KOENieSBERÖER, und Dr. GUSTAV ZEUNER, 

Prof. d. MatH^atik a. d. Univ. z.Wien Prof. d. Mechanik a. d. Folyt^chnikum z. Dresden 



ERSTER BAND. 




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LEIPZIG, 

DRUCK UND VERLAG VON B. ö. TEUBNER. j 

1877. I 



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cx. <\ -VV. 



2.05. 3 5^ 







Vorwort zum ersten Bande. 



Indem die Unterzeichneten beim Erscheinen des ersten Bandes 
des Repertoriums nochmals auf den vor einem Jahre veröflfentlichten 
Prospect und auf das dem ersten Hefte dieses Bandes beigegebene 
Vorwort verweisen, erlauben sich dieselben nur noch hinzuzufügen, 
dass Plan und- Anlage des Unternehmens auch fernerhin beibehalten 
werden soll, so lange -eine rege Theilnahme der Mathematiker, wie 
sie bis jetzt in erfreulichster Weise sich bekundet, eine Billigung 
des vorgesteckten Zieles und der bei der Gründung maassgebend 
gewesenen Motive erkennen lässt. 



Wien-Dresden, am 15. Mai 1877. 



Die Herausgeber. 



L. Fuchs: lieber die linearen Bifterenzialgleiehungen zweiter 
Ordnung, welche algebraische Integrale besitzen, und 
eine neue Anwendung der Invariantentheorie. 

(Borchardt's Jouimal Band 81 S. 97 sqq.) • 



1. 



Es sei 



d^u , du , ^ 

— ;2 + i>i Tt^ + 2^0«* = 



*^^) dz^ ' ^1 dz 

eine lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit rationalen 
Coefficienten, welcher eine Wurzel u der irreductiblen algebrai- 
schen Gleichung: 

(1) ÄmU"^ + Am-iU"^"-^ + . . + ^iM + JLo = ; 

deren Coefficienten rationale Functionen von ^ sind, genügt, so ge- 
nügen ihr die sämmtlichen Wurzeln derselben Gleichung (S. S. 100). 

Besitzt die Gleichung (1) zwei Wurzeln w^, Wg; deren Quotient 
nicht für jedes ^ constant ist, so bilden w^, u^ ein Fundamental- 
system von Integralen, d. h. jedes Integral der Differenzialgleichung 
hat die Form c^u^ + ^2^2? ^^ ^1; % constant sind (s. die Abhand- 
lung des Verfassers im 66. Bande des Borchardt'schen Journals 
No. 2*). Hieraus ergiebt sich, dass in diesem Falle die sämmt- 
lichen Integrale der Differenzialgleichung algebraisch sind (S. S. 100). 

Ist der Quotient je zweier Wurzeln *der Gleichung (1) für je- 
des ^ constant, so hat sie die Form: 

(la) .^ Ämvr' + ^ = , 

und die Differenzialgleichung wird durch die Wurzel einer rationalen 
Function befriedigt. — Dieser Satz wird (S. 100—101) aus einem 
allgemeineren auf S. 99 bewiesenen* hergeleitet, welcher folgender- 
massen lautet: Besitzt die irreductible Gleichung (1) zwei Wurzeln 
^i; **2; deren Quotient eine rationale Function j von z , so ist j 
eine ganzzahlige Wurzel der Einheit. 



*) Es sollen im Folgenden die Arbeiten des Verfassers im Borchardt'schen 
Journal einfacher durch blosse Angabe des Bandes, in welchem sie enthalten 
sind, bezeichnet werden. , 

Bepertorium far reine und angewandte Mathematik. 1 



#r« 



2 L. Fuchs. 

Hiernach sind alßo, wenn die Differenzialgleichung (-4.) alge- 
braische Integrale besitzt, zwei Fälle zu unterscheiden: 

1) Sie wird durch die Wurzel 9 einer rationalen Funktion be- 
friedigt. In diesem Falle ist es möglich aber nicht nothwendig) dass 
die Differenzialgleichung {Ä) noch ausserdem ein algebraisches Inte- 
gral ^ besitzt, ohne dass — constant ist, dass also der Differenzial- 
gleichung nur algebraische Integrale genügen. Tritt dieses ein, so 
hat die Differenzialgleichung ein Fundamentalsystem von Integralen, 
welches aus zwei verschiedenen Wurzeln rationaler Functionen 
besteht*). 

2) Die Differenzialgleichung wird durch die Wurzeln einer irre- 
ductiblen algebraischen Gleichung befriedigt, von denen mindestens 
der Quotient zweier nicht fiir jedes constant. In diesem Falle 
sind die sämmtlichen Integrale algebraisch. 

Der mit 1) bezeichnete Fall ist leicht zu erledigen nach einem 
für lineare Differenzialgleichungen einer beliebigen Ordnung gültigen 
Verfahren. Sind nämlich a^, a^, • • a^ die sämmtlichen singulären 
Punkte einer solchen Differenzialgleichung, so hat eine ihr genügende 
Wurzel einer rationalen Funktion die Form: 

wo «1, «2; • * '^^ rationale Zahlen, g{ß) eine ganze rationale Funktion 
bedeutet (S. 101). Es werden zunächst (S. 102) gewisse algebraische 



*) Man erkennt dieses am einfachsten folgend ermassen: 
Nach (B. 66 No. 4) hat ip in der Umgebung eines singulären Punktes a der 
Differenzialgleichung die Form 

(1) 1/; = Ci «3P + Cj {z — afx{z) , 

wo Ci und Cj Constanten und x{z) eine nach ganzen positiven Potenzen von z — a 

fortschreitende Reihe darstellt, welche für z=^a nicht verschwindet. Hieraus er- 

d /'iff\ . • , . 

giebt sich, dass ~TZ\ — ) in der Umgebung eines jeden der singulären Punkte 

a mit einer Potenz von z — a multiplicirt eindeutig wird. Da diese Function 
algebraisch und für alle übrigen endlichen Werthe von z eindeutig ist, so ist 
sie Wurzel einer rationalen Funktion. Bezeichnen wir dieselbe mit t, so er- 
giebt sich aus einem Satze von Abel (vergl. Liouville Journal de l'ecole poly- 
tech. cah. 22 p. 131), dass 

= ftdz = (5« -f C , 



^/' 



wo ß eine. rationale Punktion und C eine Constante bedeutet. Demnach ist 

(2) T/; = ß(pt + C(p . 



L. Fuchs. • 3 

Gleichungen rationale Wurzeln besitzen müssen, welche die Expo- 
nenten «1, «2; •• ^Q liefern. Alsdann hat ein bestimmtes System 
linearer Gleichungen endliche Lösungen zuzulassen, welche die 
Werthe der Coefficienten von g{0) gewähren. 

2. 

Bei der Behandlung des Falles 2) voriger Num. ist es zweck- 
mässig die DiflFerenzialgleichung (Ä) durch die Substitution 

in eine Differenzialgleichung 

(^) j^-Py 

zu verwandeln. Der Untersuchung werden gewisse aus einem Fun- 
damentalsysteme von Integralen der DiflFerenzialgleichung (J5) y^ , y^ 
gebildete Formen zu Grunde gelegt. Es sei nämlich i] ein alge- 
braisches Integral dieser DiflFeren ialgleichung, welches einer irre- 
ductiblen Gleichung * -' 

(1) Amr" + ^m-ir~' H — I- A = 

mit rationalen Coefficienten genügt. .Unter den Wurzeln derselben 
seien i^, %, 1^2, • •, i^„_i so beschaflfen, dass nicht der .Quotient 
zweier derselben für jedes constant ist, so wird ihre Gesammt- 
heit (S. 111) als das reäticirte Wurzelsystem der Gleichung (1) be- 
zeichnet 

Das Product 

n = rinin2 •••; fl»-i 

ist eine algebraische Funktion, welche für jeden Umlauf von z in 
sich selbst multiplicirt mit einer Einheitswurzel übergeht, d. h. 
Wurzel einer rationalen Funktion (S. 114). Andererseits ist rii als 
Integral der Differenzialgleichung {B) der Form c,ij/i + Ci^y^ , wenn 
Cti, Ci2 Gonstanten bezeichnen. Demnach ist H = fiy^^y^) eine aus 
Vi) Vi gebildete Form nf^ Grades. — Während also in dem Falle, 
dass die Differenzialgleichung (B) durch die *Wurzel einer rationalen 
Function befriedigt wird, eine lineare Form c^y^ + ^22/2 gleich der 
Wurzel einer rationalen Function ist, so sind in dem allgemeineren 
Falle, so fem die Differenzialgleichung nur algebraische Integrale 
hat, Formen höheren Grades gleich Wurzeln rationaler Functionen. 
— Der niedrigste Grad einer Form dieser . Art werde mit N bezeich- 
net (S. 116). Es wird nachgewiesen (S. S. 123 Satz II), dass die Zahl 



4 • L. FüCHs. 

N niemals grössef' als zwölf y und weiter (S. S. 126), dass sie eine 
gerade Zahl sei. 

Bezeiclinen wir den Complex aller Formen, welche Wurzeln 
rationaler Functionen aequivalent sind, mit O, so zeichnen sich 
imter diesen diejenigen aus, welche nur die Glieder des reducirten 
Wurzelsystems einer irreductiblen Gleichung als Factoren enthalten, 
welcher ein bestimmtes Integral gentigt, und zwar diese Glieder 
alle und jeden zur ersten Potenz. Dieselben werden Primformen 
genannt (S. 114). Jede Form des Complexes O lässt sich in ein 
Product von Primformen zerlegen (S. 115).' Die Zahl -W ist auch 
der «liedrigste Grad einer Primform (S. 116). 

3. ' 

Nach Ermittelung der eben angegebenen oberen Grenze für 
die Zahl N werden im Wesentlichen zwei Methoden angewendet, 
um über die Frage zu entscheiden, ob die DiflFerenzialgleichung 
{B) algebraische Integrale habe oder nicht. 

I. Methode. 

Eine aus einem Fundamentalsysteme von Integralen der Diflfe- 
renziaJgleichung (B) y^, y^ gebildete Form ftten Grades genügt 
einer linearen Diflferenzialgleichung /Lt + 1 ^^^ Ordnung mit rationalen 
Coefficienten, welche in der Arbeit S. 129 als Diflferenzialgleichung 
((7) bezeichnet ist. Dieselbe ist übereinstimmend mit der linearen 
Differentialgleichung, welcher yf^ genügt, wo y ein beliebiges Inte- 
gral der Differenzialgleichung (B) ist (S. 129 — 131). 

Wird also die Differentialgleichung {B) nur durch algebraische 
Integrale befriedigt, so muss die Differenzialgleichung ((7) für 
fi = N, demnach, wenn nicht iV^= 1, d. h. schon der Differenzial- 
gleichung {B) eine Wurzel einer rationalen Function genügt, für 
einen der geradzahligen Werthe von ft die nicht die Zahl 12 über- 
steigen, durch die Wurzel einer rationalen Function befriedigt wer- 
den (S. 131). 

Erfolgt dieses für /li = 1 oder für einen der angegebenen Zah- 
lenwerthe von ft die grösser sind als 2, so hat auch umgekehrt die 
Differenzialgleichung {B) algebraische Integrale (S. 131). Dieser 
Satz ergiebt öich aus dem folgenden: Ist eine aus dem Funda- 
mentalsysteme j/i, 2/2 gebildete Form höheren als zweiten Grades 
und nicht Potenz einer Form zweiten Grades Wurzel einer ratio- 
nalen Function, so hat die Differenzialgleichung {B) ein algebrai- 
sches Integral, ein Satz, welcher S. 127 — 128 bewiesen ist. 



L. Fuchs. 5 

Hat aber die Diflferenzialgleichung (C) zuerst für ft = 2 eine 
Wurzel (p einer rationalen Function zum Integral, so ist (p{^y eine 
rationale FtmMion und 

eine constante Zahl L Ist nun 

dz 



if- 
J ^ 



gleich dem Logarithmus einer algebraischen Funktion, so sind die 
Integrale der Diflferenzialgleichung (B) algebraisch (S. 131). Der 
Beweis dieses Satzes gründet sich auf die S. 117 — 118 gemachten 
Entwickelungen. 

Hiermit ist die Untersuchung der Frage, wie die Diflferenzial- 
gleichung (B) beschaffen sein müsse, um algebraische Integrale zu 

r dz 
besitzen, bis auf die Betrachtung von I —t-t , die im letztangege- 
benen Falle nöthig wird, auf die in No. 1 dieser Notiz angeführte 
Aufgabe zurückgeführt, nämlich zu bestimmen, unter welchen Um- 
ständen eine . lineare Diflferenzialgleichung durch die Wurzel einer 
rationalen Funktion befriedigt wird, d. h. nach S. 102 zu unter- 
suchen, ob ein bestimmtes System linearer Gleichungen endliche 
Lösungen zulässt. 

Es wird (S. 132 — 134) nachgewiesen, dass bei der Anwendung 
dieser Methode die Diflferenzialgleichung (C) nicht aufgestellt zu 
werden braucht, dass man vielmehr ein derselben gleichbedeutendes 
sich unmittelbar darbietendes System von Diflferenzialgleichungen 
der Rechnung zu Grunde legen kann. 

n. Methode. 

Diese stützt sich auf Entwickelungen, welche der Verfasser im 
Bande 75 des Borchardt'schen Journals S. 208 sqq. in Bezug auf 
die Coefficienten der linearen homogenen Relationen gegeben hat, 
durch welche die zu den verschiedenen singulären Punkten einer 
linearen Diflferei^zialgleichung gehörigen Fundamentalsysteme der- 
selben mit einander verbunden werden; Einwirkungen, durch 
welche diese Coefficienten aus^ den in den Coefficienten der Diflfe- 
renzialgleichung enthaltenen Constanten bestimmt werden. 

Indem nun (S. 138 — 140) direct die Einwirkungen der ver- 
schiedenen Umläufe von ;?, als eben so vieler mit einem Funda- 
mentalsysteme y^j j/2 ausgeführter linearer Substitutionen, auf eine 



6 L. FüCHs. 

aus j/i, j/2 gebildete Form untersucht werden, erhalten wir ein ge- 
wisses System von Gleichungen zwischen den Coefficienten jener 
linearen Relationen, den Coefficienten der Primform niedrigsten 
Grades, und den in P enthaltenen Constanten. Es lässt sich dem- 
nach bestimmen, wie diese Constanten beschaffen sein müssen, da- 
mit die Differenzdalgleichung {B) algebraische Integrale besitze. 

Der Verfasser bemerkt jedoch (S. 141), dass .die erste Methode 
vor dieser den Vorzug besitze, die endgültige Entscheidung auf ein 
System dlgehraiscJier linea/rer Gleichungen zurückzuführen, während 
die zweite Methode die Untersuchung transscendenter Gleichungen 
erforderte. Indessen wo die Gesetze dieser transscendenten Punk- 
tionen sich einer ähnlichen Einfachheit erfreuen wie die Gauss'schen 
77- Funktionen, könne diese^ Methode nicht ohne Vortheil angewen- 
det werden. 

Ist umgekehrt die Differenzialgleichung (B) gegeben, und soll 
entschieden werden, ob diese algebraische Integrale besitzt, so lässt 
die zweite Methode Vereinfachungen zu (S. S. 141—142), indem ge- 
lehrt wird eine Tabelle von ähnlicher Beschaffenheit aufzustellen, 
wie die auf S. 126, und die Relationen zwischen den zu den 
verschiedenen singulären Punkten gehörigen Fundamentalsystemen 
auf dieselbe anzuwenden. 

4. 

Es ist in No. 2 dieser Notiz das Resultat erwähnt worden, dass 
die Zahl N nicht grösser als 12 sei. Dasselbe ist eine unmittel- 
bare Folge von Entwickelungen, welche sich auf die Eigenschaften 
derjenigen algebraischen Funktionen, welche der Differenzialgleichung 
(J5) genügen, und die Natur der binären Formen, welche aus einem 
Fundamentalsysteme y^, j/g derselben überhaupt beziehen (S. 102 
— 126). Die hauptsächlichen Elemente dieser Entwickelungen 
sind die folgenden: 

Sind die sämmtlichen Integrale der Differenzialgleichung (B) 
algebraisch, so ist jedes Integral derselben eine rationale Funktion 
von und einem beliebigen anderen Integrale (S. 107). 

Wenn ein algebraisches Integral y auf einem gewissen Wege 
in yj übergeht, wo j constant, so ist j eine primitive ganzzahlige 
Ite Wurzel der Einheit, es ist l Divisor des Grades m der irre- 
ductiblen algebraischen Gleichung, welcher y genügt, und jedes In- 
tegral hat die Form 



r 



I- 



L. Fuchs. 7 

worin «', ß> Constanten, ii){jf) eine ganze rationale Funktion von 

y* vom Grade -^ 1 mit in z rationalen Coefficienten bedeutet. 

Die Grösse c^ ist ebenfalls constant, wenn Z>2'(S. 108). 
Die Function 

ist ebenfalls ein Integral der Diflferenzialgleicliung (B) (S. 108—109). 
Ist F(i/) ein Integral, welches nicht gleich y multiplicirt mit 
einer Gonstanten und 

1) («) F(t,)^.ß'y^-'t(if') 03' constant) , 

so sind die Glieder der Reihe 

(ß) F(y), F(i,j), Fiiff), . . ., F(yj'-^) 

nur um constante Factoren verschieden. 

2) Ist F(tf) nicht der Form (a) und l eine ungerade Zahl, so 
ist kein Glied der Reihe (/3) gleich einem anderen multiplicirt mit 
einer Gonstanten. 

3) Ist F(]f) nicht der Form (a) und l eine gerade Zahl, so ist 
kein Glied der Reihe 

(y) i^G/), F(yi), F(y/), ..,Ft//"') • 
gleich einem anderen multiplicirt mit einer Go&stanten. Dagegen ist 

' F^yP'^*) F(yiO (S. 110-111). 

Der Grad m der irreductiblen algebraischen Gleicheng, wel- 
cher ein algebraisches Integral der Differenzialgleichung (B) genügt, 
ist für alle Integrale unverändert derselbe. Man kann daher mit 
Recht m den zur Diflferenzialgleichung (J5) gehörigen Grad nennen 
(S. 111). 

Ist y, j/i, 2/2; ••> Vn—i das reducirte Wurzelsystem einer irre- 
ductiblen algebraischen Gleichung mten Grades, welcher das Inte- 
gral y genügt, und j, j^ j^ . . ., die Zahlen, mit welchen irgend 
welche der Glieder dieses Systems multiplicirt die anderen Wurzeln 
derselben Gleichung reproduciren, so sind diese Zahlen Einheits- 
wurzeln. Sie seien resp. ite, ü^te, ügte, . . ., primitive Wurzeln der 
der Einheit, und unter den Zahlen l, \, l^y , , ,, l di^ grösste, so 
ist l ein Multiplum von l^, ij, . . ., und es liefert das System: 

Vh Vih Vif 9 • •> yij'~^ (i = 0, 1, 2, . ., n — 1) 
die sämmtlichen Wurzeln der Gleichung (S. 111 — 113).» 

Die Zahl l wird der Index des reducirten Wurzelsystems ge- 



8 L. Fuchs. 

nannt, es ist also das Product aus der Gliederzahl des reducirten 
Wurzelsystems in den Index desselben gleich dem Grade der Glei- 
chung (S. 113). 

Von jeder Form des in No. 2 dieser Notiz mit bezeichneten 
Complexes gilt der Satz, dass sie alle solche Linearfactoren, welche 
zusammen das reducirte Wurzelsystem einer irreductiblen Gleichung 
bilden, gleich oft enthält (S. 115). 

Gehört eine Form dem Complexe O an, so gehört auch jede 
Covariante derselben dem Complexe O an (S. 106). 

Die Hesse'sche Covariante einer Primform niedrigsten Grades 
ist ebenfalls eine Primform (S. 116). 

Die Linearfactoren einer Primform niedrigsten Grades bilden 
ein reducirtes Wurzelsystem mit kleinster Gliederanzahl N. Es 
wird der Index desselben mit L (S. 115) bezeichnet. 

Es sei rj ein Linearfactor einer Primform niedrigsten Grades 
0(y^, 2/2), g irgend ein Factor der Hesse'schen Covariante ^(^i, 2/2) 
derselben. Ist 

wo ß> constant und 

so ist JV^=4 (S. 119). 

Ist kein g Factor der Form (d), und ^> 2, und setzt manA=Y ^^^^ 

. L, je nachdem L gerade oder ungerade, so ist A Divisor von 2N — 4 
(S. 121) und W{y^, y^) der !Form 

A' = ^^^^ (S. 122). 

Die Hesse'sche Covariante ^1(2/1, y^ der Hesse'schen Covariante 
^(2/1; 2/2) t^^ <^i® Form 

^i(!/i, 2/2) = (2/12/2)'-' ^/(y/,!//), 

WO ^1' (2/1'^, 2/2^) ^^^ solche Potenzen von y^, y^ enthält, deren Ex- 
ponenten Vielfache von X sind (S. 122). 

Die Zahl A ist kleiner als 6 (S. 122). 

Die Zahl N ist nicht grösser als 12 (S. 123). 

Die Co Varianten niedrigem als ^ten Grades einer Primform 
niedrigsten Grades müssen identisch verschwinden (S. S. 9.8). 



L. Fuchs. 9 

Mit Hülfe der Eigenschaften der Primformen niedrigsten Gra- 
des wird eine Tabelle für die möglichen Gestalten derselben her- 
geleitet (S. 123 — 126), aus welcher sich namentlich ergiebt, dass 
N von den die Zahl 12 nicht übersteigenden Werthen nur die ge- 
radzahligen annehmen kann. 

5. 

Zum Schluss noch einige besondere Resultate, welche zeigen, 
wie man in concreten Fällen aus den in der Arbeit entwickelten 
Principien einfache Mittel der Entscheidung gewinnen kann, ob die 
Dififerenzialgleichung (B) algebraische Integrale hat. 

Sind die Integrale der Dififerenzialgleichung (B) sämmtlich al- 
gebraisch, so gehört sie zu der Klasse der Dififereiizialgleichungen (12) 
No. 4 der Arbeit in B. 66, und es müssen die Wurzeln der zu den 
einzelnen singulären Punkten gehörigen determinirenden Fundamen- 
talgleichungen nach (B. 66 No. 6 II) rationale Zahlen sein (s. S. 
104 der vorl. Arbeit). Ist dieses erfüllt, und irgend einer der 
Nenner dieser auf ihre kleinste Benennung gebrachten Zahlen 
grösser als 10, so besitzt die Dififerenzialgleichung (B) kein alge- 
braisches Integral, wenn nicht diese selber oder die Dififerenzial- 
gleichung (C) für (1 = 2 durch die Wurzel einer rationalen Func- 
tion befriedigt wird (S. S. 134—135). 

Sind die Nenner derselben Zahlen sämmtlich von den Zahlen 
1, ^, 4 verschieden, und wird die Dififerenzialgleichung (C) für 
(1 = 2 durch die Wurzel einer rationalen Function befiüedigt, so 
genügt der Dififerenzialgleichung (B) entweder überhaupt kein al- 
gebraisches Integral oder die Wurzel einer rationalen Function 
(S. 135-136). 

Sind sämmtliche Nenner gleich 2, ferner — die in algebrai- 

schem Sinne grössere der beiden Wurzeln — , 1 der zum .sin- 

gulären Punkt a» gehörigen determinirenden Fundamentalgleichung, 

z. 

endlich j/a das zu — als Exponent gehörige Integral (s. B. 66 
No. 5), und setzt man voraus, dass für alle singulären Punkte der 
Coefficient von (0 — aO"~i~^ ^ ^^^ Entwicklung von —^ nach 

steigenden Potenzen von — a» verschwindet, so wird die Dififeren- 
zialgleichung (B) durch die Quadratwurzel einer rationalen Function 
befriedigt (S. S. 137-138). 

Heidelberg. L. Fuchs. 



10 F. Klein. 

F. E!lein: Ueber binäre Formen mit linearen Transformationen 
in sich selbst. (Mathematische Annalen IX. p. 183—209.) 

Die von Riemann in die Functionentheorie eingeführte Vor- 
stellung, die Werthe einer complexen Variabein nicht durch die 
Punkte der Ebene sondern durch die Punkte der Kugel zu repräsen- 
tiren, wird im gegenwärtigen Aufsatze dazu verwerthet, gewisse 
algebraische Formen zu studiren, zu denen namentlich diejenigen 
gehören, die, im Sinne dieser Repräsentation, durch die Ecken der 
regulären Körper vorgestellt werden. Der Verf. ist zu diesen Un- 
tersuchungen indirect, durch Probleme der projectiyen Geometrie 
geführt worden. Er hatte sich mit der allgemeinen projectiven 
Massbestimmung beschäftigt (Ueber die sog. Nicht-Euklidische 
Geometrie, Math. Ann. IV, VI) und insbesondere die bez. Bewegungen 
betrachtet, vernjöge deren die zugehörige fundamentale Fläche 
zweiten Grades in sich übergeführt wird. Wenn man diese Fläche 
insbesondere als eine Kugel voraussetzt, so zeigte sich, dass die ge- 
nannten Transformationen der Fläche in sich mit denjenigen über- 
einstimmen, welche sie erfährt, wenn man die im* Riemann'schen 
Sinne über die Kugel ausgebreitete complexe Variable beliebigen 
linearen Transformationen unterwirft. 

So im Besitze eines neuen Mittels zur Untersuchung der linearen 
Transformationen einer einzelnen Variablen, stellte sich der Verf. 
die Aufgabe: 

Alle endlichen Gruppen zu construiren, welche aus derartigen 
Transformationen zusammengesetzt sind, 

und dann ferner: 

Diejenigen algebraischen Formen, welche durch die Transforma- 
tionen einer solchen Gruppe in sich übergeführt werden, soweit es durch 
blosse Anwendung der geometrischen Anschauung gelingen wollte, nach 
verschiedenen Richtungen zu untersuchen. 

• Es sei hier nur angegeben, dass die gesucHten Gruppen wesent- 
lich durch diejenigen Bewegungen vorgestellt werden können, welche 
die regulären Körper in sich überführen. Die Ecken der letzteren 
geben daher ausgezeichnete Beispiele der in der zweiten Frage- 
stellung verlangten Formen. — Von ilfcien untersucht der Verf. 
insbesondere eine der zwölften Ordnung, welche durch die Ecken 
des regulären Ikosa£der's repräsentirt wird. Es gelingt ihm, das 
Formensystem, welches im Sinne der Invariantentheorie der betr. 
Form zugehört, durch wesentlich geometrische Mittel erschöpfend 



F. Klein. — L. Schläfli. 11 

anzugeben. Er discutirt sodann den Affect der Auflösbarkeit der 
betr. Gleichung und giebt insbesondere Resolventen sechsten und 
fünften Grades an (die eine sehr einfache geometrische Bedeutung 
haben). Die dabei auftretenden Formeln stimmen merkwürdiger- 
weise, wenn -man von der Bedeutung der vorkommenden 'Grössen 
und der aus ihr hervorgehenden Ableitung der Formeln absieht, 
genau überein mit Formeln, welche von Kronecker, Hermite 
und bes. Brioschi bei Untersuchungen über die Auflösung der all- 
gemeinen Gleichung fünften Grades gegeben worden sind, so dass 
die letzteren in der*hier gegebenen Theorie eine durchaus anschau- 
liche und selbst elementare Interpretation finden. 

Noch sei der an verschiedenen Stellen der vorliegenden Arbeit 
hervorgehobene und präcisirte Umstand genannt, dass die regulären 
Körper als Bilder algebraischer Formen, freilich bei anderen Frage- 
stellungen aber unter zum Theil ähnlichen Gesichtspunkten, durch 
Schwarz betrachtet worden sind (Borch. Joum. Bd. 75). 

Endlich mag einer einfachen Durstellung des Formensystems 
der binären cubischen und biquadratischen Form gedacht werden, 
welche in § 4 der vorliegenden Arbeit abgeleitet wird, nachdem 
sie der Verf. bereits früher (Programmschrift, Erlangen 1872) mit- 
getheilt hatte. Die Verschwindungspunkte einer binären cubischen 
Form werden durch drei aequidistante Punkte des Kugeläquators 
vorgestellt; die cubische Covariante ist dann durch die drei diame- 
tral gegenüberliegenden Punkte, die Hesse'sche Form durch Nord- 
und Südpol gegeben. Um die biquadratische Form zu repräsentiren, 
gehe man von der zugehörigen Covariante sechsten Grades aus. 
Sie kann vorgestellt werden. durch die sechs Durchstosspunkte der 
Kugel mit einem concentrischen, rechtwinkligen Axenkreuze. Die 
vier Punkte der Grundform, sowie die vier Punkte der Hesse'schen 
Form erhalten mit Bezug auf dasselbe eine symmetrische Anordnung. 

München. . F. Klein. 



L. Schläfli: Correzione alla Memoria intitolata; quand'd che 
dalla superflcie generale di terz'ordine si stacca iin pezzo 
rientrante? (Annali di matematica t. 6.) 

Ein Briefwechsel mit Herrn Felix Klein in München über 
die unpaarige Natur der Ebene in Bezug auf den für geometrische 
Zwecke etwas veränderten Riemann 'sehen Begriff des Zusammen- 
hanges machte mir klar, dass die unbegrenzte Sbene sich ähnlich 



12 L. ScHLÄFLi. — P. Gordan. 

verhält -wie das mit einer einzigen Randcurve versehene endliche 
Stück einer Ebene, wenn man sich nicht entschliessen will, je4en 
Punkt der Ebene doppelt zu zählen, jenachdem er ihrer Oberseite 
oder ihrer Unterseite angehört. Ich sah nun ein, dass ich in einer 
in den Annali di Matematica veröflFentlichten und im September 
1872 geschriebenen Abhandlung über die Anzahl der Zusam- 
menhangsarten , welche jeder der fünf Arten der allgemeinen Fläche 
dritten Grades besonders zukömmt, alle fünf Zusammenhangszahlen 
um 1 zu gering angesetzt hatte, und dass sie in 7, 5, 3, 1, — 1 
zu verbessern sind. Wohl spät nach der gewonnenen Einsicht und 
nachdem Herr Klein schon längst seine Ansichten von der Sache 
veröflFentlicht hatte, schrieb ich wegen dieser Verbesserung im Sep- 
tember 1875 den oben angezeigten kleinen Artikel. 

Bern.. L. Scliläfli. 



F. Gordan: Das Formensystem binärer Formen. (Teubncr 1875.) 

Im 69. Bde. des Borchard tischen Journals habe ich den Be- 
weis gegeben, dass es für jede binäre Form eine endliche Anzahl 
von Covarianten und Invarianten giebt, durch welche sich alle 
übrigen als ganze Functionen ausdrücken lassen; oder, wie ich mich 
ausdrückte, dass das Formensystem einer binären Form endlich ist. 
Seit jener Zeit bemühte ich mich, die hierbei eingeschlagenen Me- 
thoden möglichst zu vereinfachen und den Zusammenhang zwischen 
allen Formenbildungen zu ergründen. Besonders war es mir darum 
zu thun, in dem gewonnenen System alle überflüssigen Formen aus- 
zuscheiden und das kleinste Formensystem zu erhalten. Dieser Plan 
ist mir nicht gelungen, ich erreichte vielmehr nur eine engere Um- 
grenzung meines Systems, indem ich eine Reihe von Formen durch 
andre ausdrückte, welche früher für irreducibel galten. 

Den Satz über die Endlichkeit der Formensysteme kann ich 
für Formen mit mehr als 2 Variabein allgemein nicht beweisen, 
doch gilt er für alle quadratischen Formen und ausserdem für 
die cubischen und biquadratischen ternären. — Alle meine Unter- 
suchungen gehen im Wesentlichen von der Darstellung der Inva- 
rianten durch symbolische Producte aus. C leb seh hat nämlich 
(vergl. seine „Invarianten binärer Formen" Teubner) den Beweis 
geliefert, dass alle Invarianten und Covarianten sich als Aggregate 
symbolischer Determinantenproducte darstellen lassen. Nach diesem 



P. GOBDAN. — M. BriOSCHI. 13 

Satze bedurfte es nur einer Ausbildung der Rechnung mit Symbolen, 
um Beziehungen zwischen Invariaijten und Covarianten aufzustellen. 
Von wesentlichem Einfluss hierauf waren die Untersuchungen von- 
Formen mit mehreren Reihen Veränderlicher. Jede binäre Form 
mit 2 Reihen Veränderlicher lässt sich (vergl. Clebsch's Buch) 
in eine endliche Reihe ^itwickeln, deren Glieder Pplaren von For- 
men mit einer Reihe" Variabein sind. Die Invarianten und Cova- 
rianten von Formerf mit mehreren Reihen Veränderlicher sind daher 
simultane Invarianten und Covarianten von Formen mit einer Reihe 
Veränderlicher. 

Eine binäre Form mit 3 Reihen Variabler lässt sich auf mehrere 
Weisen als Summe von Polaren darstellen 5 vergleicht man dieselben 
unter einander, so gelangt man zu Relationen zwischen symbolischen 
Producten, welche in andrer Weise nur schwer zu erhalten sind. 
Diess ist das Verfahren, welches ich fast immer angewandt habe, 
um zu prüfen, ob sich eine Form durch andre ausdrücken lasse. 
Eine volle Sicherheit gewährt es allerdings nicht, eine solche ist 
aber auch in nächster Zeit von keiner andern Methode zu erwarten. 

Wie in früheren Arbeiten die Formen 5. und 6. Grades, so 
ha,jbte ich hier besonders die vom 7. Grade im Auge; ich habe alle 
diejenigen Covarianten und Invarianten des Systems der Form: 

f=al 

angegeben, welche sich nicht durch Symbole der quadratischen 
Covariante: 

(/*, f)' = aM^^if 
ausdrücken lassen. Die übrigen entstehen dadurch, dass man die 
gefundenen Formen mit dieser Covariante in bekannter Weise com- 
binirt. Ihre Anzahl ist sehr gross und es ist mir nicht gelungen, 
die zwischen ihnen bestehenden Beziehungen aufzustellen. 

Erlangen. P. Gordan. 



M. Brioschi: Siir une formule de transformation des fonctions 
elliptiques. (Comptes Rendus de TAcaddinie des Sciences — 9 No- 
vembre 1874 No. 19, 25 Janvier 1875. No. 4.) 

In una delle lettere dirette da Jacobi a Legendre, pubblicate 
alcuni anni ora sono dal Sigr. Bertrand*), nelle quali quell' 

*) Annales de Tficole Normale Superieure. T. VI. Annöe 1869. Bor- 
chardt, Journal für Mathematik. Band 80. 



14 M. Bbioschi. 

illustre geometra, con una semplicitä e con üna modestia ammirabili, 
confidava al fondatpre della teQ;ria delle funzioni elittiche le sue 
scoperte suUa trasformazione delle funzioni stesse, si leggono le^ se- 
guenti parole: 

„Vous auriez voulu que j'eusse donne la chaine des idees qui 
„m'a conduit ä^ mes theoremes. Cependant la route que j'ai suivie 
„n'est pas susceptible de rigueur geometrique^ La chose etant 
„trouvee, on pourra y substituer une autre süt laquelle on aurait 
„pu y parvenir rigoureusement. Ce n'est donc que pour vous, Mon- 
„sieur, que j'ajoute le suivant." 

„La premiere chose que j'avais trouvee (dans le mars 1827) 

„c'etait Fequation T = F-t -j— : de lä je reconnus que pour un 

„nombre n quelconque, la transformation etait un problfeme d' Analyse 
„algebrique determine, le nombre des eonstantes arbitraires ^galant 
,,toujours celui des conditions. Au moyen des coefficients indeter- 
„mines, je formai les transfonnations relatives aux nombres 3 et 5. 
„L'equation du quatrieme degre ä laquelle me mena la premiere ayant 
„presque la meme forme que celle qui sert ä la triseetion, j'y soup- 
„fonnais quelque rappori Par un tatonnement heureux, je remar- 
„quais dans ces deux cas Tautre transformation complementaire pour 
,,la multiplication. Lä j'ecrivis ma premiere lettre ä Mr. Schu- 
hmacher, la methode etant generale et verifiee par des exemples*)". 
Nel primitivo concetto e nei risultati dapprima ottenuti la 
trasformazione delle funzioni elittiche per quindi considerata come 
un problema di analisi algebrica. Anche Abel nella sua memoria 
— Solution d'un pröbleme generale concemant la transformation des 
fonctions elliptiques — essendosi posto il problema ,^Trouver tous 
„les cas possibles .dans lesquels on pourra satisfaire ä requation 
„diflferentielle: 

dy , dx * 

== -T* a 



„en mettant pour y une fonction algebrique de x rationnelle ou 
„irrationelle" aggiunge: „La methode qui s'oflre d'abord pour re- 
„soudre le pröbleme- dans le cas oü y est rationelle est celle des 
„coefficients indetermines ; or on serait bientot fatigue ä cause de 
„1' extreme complication des equations ä satisfaire **y^ 



*) Lettern 3. povta la data di Koenigsberg — 12 Aprile 1828. 
**) Abel: Oeuvres complätes. T. 1. pag. 263. 



M. Bbioschi. # . 15 

Sebbene perö egli non ricorra al metodo dei coefficienti inde- 

terminati, la via da lui addottäla nel S. 3. de! suo — Precis cPune 

theorie des fonctions elliptiques*) — allo scopo di stabilire la „Propriete 

generale de la fonction rationnelle y =^ i^ix) qui satisfait ä une 

equation de la forme: 

dy _ dx ^i 

- c 



essendo basata suUa considerazione di una proprietä delle radici 
della equazione y == ^(^), puö dirsi appartenga ancora alF analisi 
algebrica. 

Eisenstein ritornava due volte sulP argomento nelle sue — 
Beiträge zur Theorie der elliptischen Functionen — cioe al capitolo III. 

— Fernere Bemerkungen m den Transformationsformeln — ed al 
capitolo V. — Ueber die Differentialgleichungen ^ welchen der Zahler 
und der Nenner hei den elliptischen Transformationsformeln genügen"^*) 

— applicando in conclusione tanto nell'uno che nelFaltro caso il 
metodo dei coefficienti indeterminati; limitandosi perö in questi 
lavori come in altri ad esporre il concetto piattosto che a svilup- 
parlo ed n renderlo fecondb. 

Lo scopo delle due Note la una presentata alF Accademia delle 
scienze col titolo — Sur uneformule de transformation des fonctions 
elliptiques — era appunto quello di mostrare come con piccola 
difficoltä si possano determinare le formole generali di trasforma- 
zione pel caso di n numero primo per mezzo di sole considerazioni 
di analisi algebrica. — Jo aveva giä seguando la stessa via pubbli- 
cate neir anno 1864***) alcune formole per la moltiplicazione le 
quali conducono a quelle trovate in altro modo dal Sigr. Kiepert 
nella sua memoria — Wirkliche Ausführung der ganzzahligen Mul- 
tiplication der elliptischen Funktionenf), — ed aveva anche dimostrato 
Tuso' delle medesime in alcuni problemi geometrici. 

Nelle ricerche piü recenti ho addottato come forma canonica 
delF integrale elittico la: 

(1) , ^^ 



*) Abel: Oeuvres complötes. T. 1. pag. 372. 
**) Eisenstein: Mathematisclie Abhandlungen, Seite 169, 207. — 
Enneper: Elliptische Funktionen, Theorie und Geschichte S. 382. 

***) Sur quelques formules pour la multiplication des fonctions elliptiques. 
Comptes Rendus de rAcad^mie des Sciences. 7. Novembre 1864. No. 19. 
t) Borchardt, Journal für Mathematik. Band 76. 1873. Seite 21. 



16 ^ M. Bbiobchi. 

nella quäle ^g, g^ sono gli invarianti di una forma binaria biqua- 
dratica f{x^,x^. E noto che il Stgr. Hermite*) giuuse a quella 
forma trasformando Kntegrale: 

X* CbXa ^^ Xa OX* 

per mezzo della: 

essendo h Fhessiano della forma f. 

Dalla (1) ponendo x = — i^, 5^2 = 3^? 93 = — ^ si ottiene, 
facendo astrazione da un coefficiente costante, Faltra forma ca- 

nonica delP integrale elittico: 

dz 



y2t + ssz — z^ 

che incontrasi nelle ricerche geometriche suUe curve piane del 

terzo ordine. 

Supponendo: • 

dy dx 

le proprietä della funzione razionale y = il^{x) che scradisfa alla 
equazione superiore sono le seguente: 

1. Essendo n numero primo, si ha: 

y 2"* 

nella quäle J7 e un polinomio del grado w, e T un polinomio del 
grado — - — =v. 

2. Ponendo g)(x^ = 4a;^ — ^2^ — 5^3? ®' 

si ottiene per U il valore seguente: 

(2) ü= g>{x){r' — TT') — ^<p\x)Tr + \(2v+l)x + 2a,]T' 
essendo 

rpf dl rpf/ a 1 

dx ^ dx^ 

3. Posto: 

J7 = /p" + a^ic" ~- ^ + «2^** •" ^ + • • • + «n 
e: 

(3) V=^{x) {ir^—UU'') - iip\x) Uü' + [{2n + l)x + 2a,] U^ 



*) Sur la th^orie des fonctions homogenes ä. deux ind^termin^es. Journal 
de Grelle. T. 52. 



M. Bbioschz. 17 

si ha la equazione identica: 

(4) F— xU' + ^G, UT^ + G^T^ = 

dalla quäle si deducono i valori dfeUe indeterminate a^, a^y ... a^, 
G^y Gq. Le calcolazioni occorenti sono della piü grande facilitä vista 
la relazione di forma esistente fra i polinomj U, F. Per w = 3 
si haimo le relazioni modulari: 

V — Y^'s«!^ + 5^3«! — -^^^^ = ^' 
G^ = I20a^^ ^ 9g, ; G, = - 280a,' + 42^2«^ - 21g,, 
per w == 5: 

«1^ — öjfg V + AOg, «1» — S^r/ai^ + 8g,g,a, — bg,^ = , 

Ö2 = -^(80ai^-395r2a,+40^3); G,=-140<+1125r2a,-1955r3. 

Queste formole speciali furono giä ealcolate dal Sgr. Müller nella 
sua dissertazione inaugurale — De transformatione functionum el- 
Upticarum — (1867) giovandosi delle proprieta delle funzioni pe- 
riodiche. 

Dimostrasi facilmente come le relazioni (2), (3), (4) risolvano 

il problema qui considerato. Posto infatti 

« 

si ha: 

log y = i log 0(» — ^ log g){x) 
per la quäle: ^ 

e da questa^ 

(f-)V(^) + if<P'i^) = 2y + ^a, + -^G,. 
Ma se t/ = -^r sostituendo si ha: 

9>(^)[(^)'- 2 ©'] + i9'(^)[? - 2 ^] 

= ^ ^ + -J- ^2 ^ n" ^3 "^ 

la quäle, osservando essere «^ = 2«!, riducesi, per le relazioni (2) 
(3), alla equazione identica (4). 

Milano. M. Brioschi. 



Repertorium für reine und angewandte Mathematik. 



18 A. Cayi.b?, 

A. Cayley: On the geometrical represeutation of Cauchy's theo- 
rems of Boot-limitation. (From the Cambridge Philosophical 
Transactions , Vol. XII, Part- II.) 

There is contained in Cauchy^s Memoir „calcul des indices des 
fonctions", joum. de Tecole polytech. t. XV (1837) a general theo- 
rem, which, though including a well-known theorem in regard to 
the imaginary roots of a numerieal equation, seems itself to have 
been almost lost sight of. In the general theorem (say Cauchy's 
two-curve theorem) we have in a plane two curves P=0, ^ = 0, 
and the real intersections of these two curves, or say the „roots", 
are divided into two sets according as the Jacobian 

d^P . dyQ — da^Q . dyP 

is positive or negative, say these are the Jacobian -positive and the 
Jacobian-negative roots: and the question is to determine for the 
roots within a given contour or circuit, the difference of the num- 
bers of the roots belonging to the two sets respectively. 

In the particular theorem (say Cauchy's rhizic theorem) P and 
Q are the real part and the coefficient of i in the imaginary part 
of a function of a; + iy with, in general, imaginary coefficients 
(or, what is the same thing, we have 

■P + ^ö = /"(^ + iy) + i<P (^ + *«/);. 
where /*, g) are real functions of ic + iy)* ^^^ roots of necessity 
are of the same set: and the question is to determine the number 
of roots within a given circuit. 

In each case the required number is theoretically given by the 

P 
same rule, viz., considering the fraction ^, it is the excess of the 

number of times that the fraction changes from + to — over the 
number of times that it changes from — to +; as the point (x, y) 
travels round the circuit, attending only to the changes which take 
place on a passage trough a point for which P is = 0. 

In the case where the circuit is a polygon, and most easily 
when it is a rectangle the sides of which are parallel to the two 
axes respectively, the excess in question can be actually determined 
by means of an application of Sturm's theorem successively to each 
side öf the polygon, or rectangle. 

In the present memoir I reproduce the whole theory, presenting 
it under a completely geometrical form, viz. I establish between the 
two sets of roots the distinction of right' and fc/?-handed: and 



A. Caylbt. 19 

• 

(availing myself of a notion due t<j Prof. Sylvester) I give a geo- 
metrical form to the theoretic rule, making it depend on the „inter- 
calation" of the interseetions the two curves with the circuit: I also 
complete the Sturmian process in regard to the sides of the rectangle; 
the memoir contains further researches in regard to the curves in 
the case of the particular theorem; or say as to the rhizic curves 

P = 0, ö = o. 

The general theory may be explained as follows: 
Consider in a plane two curves P= 0, Q = (P and Q each 
a rational and integral function of x, y), which to fix the ideas 
I call the red curve and the bitte curve resjectively (it is assumed 
throughoud that the two curves häve no points, or at least no real 
points, of multiple intersection; i. e. they nowhere touch each other, 
and neither curve passes trough a multiple point of the other curve), 
the curve P = divides the plane into two sets of regions, say a 
positive set for each of which P is positive, and a negative set for 
each of which P is negative: it is of course immaterial whiche set 
is positive and which negative, ßince writing — P for P the two 
sets would be interchanged: but taking P to be given, the two sets 
are distinguished as above. And we may imagine the negative 
regions to be coloured red, the positive ones being leffc uncoloured, 
or say they are white. Similarly the curve Q =^0 divides the plane 
into two sets of regions, the negative regions being coloured blue, 
and the positive ones being left uncoloured, or say they are white. 
Taking account of the twofold division, and considering the coin- 
cidence' of red and blue as producing black, there will be four sets 
of regions, which for convenience may be spoken of as säbky gules, 
a/rgent, amre: viz. in the figures we have 

sable, shown by cross lines 

[- gules, „ „ vertical lines 

-| — |- argent, left white 

-| azure, shown by horizontal lines, 

sable and argent ( and + +) being thus positive colours, 

and gules and azure ( 1- «uid -) ) negative colours. 

Consider any point of intersection of the two curves. There 
will be about this point four regions, sable and argent being op- 
posite to each other, as also gules and azure; whence selecting an order 

sable, gules, argent, azure; 

2* 



20 A. Cayley. 

if to have the colours in this order we have to go about the point, 
or root, right-handedly, the root is right-handed: but if left-handedly, 
then tiie root is left-handed: or, what is more couvenient, going 
always right-handedly, then, if the order of the colours is 

sable, gules, argent, azure, 

the root is right-handed; but if the order is 

sable, azure, argent, gules, 
the root is left-handed. 

The distinction of rigth- and left-handed corresponds to the sign 
of the Jacobian 

and we may (reversing if necessary the original sign of one of the 
functions) assume that for a right-handed root the Jacobian is 
positive, for ^ left-handed one, negative. 

I consider a trajectory whieh may be either an unclosed curve 
not cutting itself or eise a circuit, viz. this is a closed curve not 
cutting itself. A circuit is considered as described right-handedly: 
an unclosed trajectory is considered as described according to a 
currency always determinate pro hoc vice: viz. one extremity is se- 
lected as the beginning and the other as the end of the trajectory: 
but the currency may if necessary or convenient be reversed: thus 
if an unclosed trajectory forms pari of a circuit the currency is 
thereby determined: but -the same unclosed trajectory may form 
part of two opposite circuits and as such may have to bß taken 
with opposite currencies. It is assumed that a trajectory does not 
pass through any intersection of the P and Q curves. 

A trajectory has its P- and ^-sequence, viz. considering in 
Order its intersections with the two curves, we write down a P for 
each intersection with the red curve and a Q for each intersection 
with the blue curve, thus obtainiug an intermingled series of P's 
and §'s, which is the sequence in question. In the case of a 
circuit, the sequence is considered as a circuit, viz. the first and last 
terms are considered as contiguous, and it is immaterial at what 
point the sequence commences. The sequence will of course vanish 
if the trajectory does not meet either' of the curves. 

A P- and ^-sequence gives rise to an „intercalation", viz. if in 
the sequence there occur together any even number of the same 
letter these are omitted (whence also any odd number of the same 
letter is reduced to the letter taken once): and if by reason of an 



A. Cayley, 21 

Omission there again occur an even numbre of the same letter these 
are omitted: and so on. The intercalation contains therefore only 
the letters P and Q alternately: viz. in the case of an unclosed 
trajectory the intercalation may contain an even number of letters 
beginning with the one and ending with the other letter, and so 
containing the same number of each letter — or it may contain an 
odd number of letters, beginning and ending with the same letter, 
and so containing one more of this than of the other letter; say 
the intercalation is PQ or QP, or eise PQP or QPQ. The inter- 
calation may vanish altogether, thus is the sequence were QPPQ 
this would be the case.' 

In the case of a circuit the intercalation cannot begin and end 
with the same letter, for these, as contiguous letters, would be 
omitted; and since any letter thereof may be regarded as the com- 
mencement it is PQ or QP indifferently. A little consideration 
will show that the whole number of letters must be evenly even, 
or, what is the same thing, the number of each letter must be 
even. Thuij^ imagine the circuit beginnii^ in sable, and let the 
intercalation begin with PQ] viz. P we pass from sable to azure, 
and Q we pass from azure to argent; in order to get back into 
sable we must either retum the same way (Q argent to azure, P 
azure to sable), but then the sequence is PQQP, and the inter- 
calation vanishes; here the number of letters is 0, an evenly even 
number; or eise we must complete the cycle of colours P argent to 
gules, Q gules to sable; and the sequence and therefore also the 
intercalation then is PQPQ, where the number of letters is 4, an 
evenly even number. 

In the case of- any trajectory whatever, the half number of 
letters in the intercalation is termed the „index^^, viz. this is either 
an integer or an integer + ^. But in the case of a circuit the 
index is an even integer, and the half-index is therefore an integer. 
The ind& may of course be = 0. 

But we require a further distinction; instead of a P- and Q- 
sequence we have to consider a> +P- and ^-sequence. To explain 
this observe that a passage over the red curve may be from a 
negative to a positive colour (azure to sable or gules to argent), 
this is -f- P, or from a positive to a negative colour (sable to azure 
or argent to gules), this is — P. And so the passage over the 
blue curve may be from a negative to a positive colour (gules to 
sable or azure to argent), this is -f- Q, or eise from a positive to 



22 ^' Caylet. 

a negative colour (sable to gules or argent to azure), this is — Q. 
The sequence will contain the P and Q intermingled in any man- 
ner, but the signs will always be -| altemately; for + (Por Q), 

denoting the passage into a positive colour, must always be im- 
mediately succeded by -- (P or Q), denoting the passage into a 
negative colour. WhencC; knowing the sequence indepencjently of 
the .signs, we have only to prefix to the first lettfer the sign 
-f- or — as the case may be, and the sequence is then completely 
determined. 

Passing to a + intercalation, observe that in omitting any even 

number of P^s or ^'s, the omitted signs are always -| 1 ••• 

or eise 1 h ' ' ' f ^^^* ^® omitted signs begin with one sign 

and end with the opposite sign. Hence the signs being in the first 
instance alternate, they will afker any Omission remain altemate; 
and the letters being also altemate, the intercalation can contain 
only + P and — Q or eise — P and -f- Q. Hence in the case 
of a circuit the intercalation is either (+ P — Q), say this is a 
positive circuit, or eise ( — P+ Q), say this is a negative circuit. 
There is of course the neutral circuit (Pö)o) ^^^ which the inter- 
calation vanishes. 

Consider a circuit not containing within it any root; as a simple 
exemple let the circuit lie whoUy in one colour, or whoUy in two 
adjacent colours, say sable and gules: in the former case the se- 
quence, and therefore also the intercalation, vanishes: in the latter 
case the sequence is + $ — Q, and therefore the intercalation 
vanishes: viz. in either case the intercalation is {PQ)q. 

Consider next a circuit containing within it one right-handed 
root; for instance let the circuit lie whoUy in the four regions ad- 
jacent to this root, cutting the two curves each twice; the sequence 
and therefore also the intercalation is +P — Q -{- P — Q] viz. this 
is a positive circuit (+ P — ö)i> where the subscript number is 
the half index, or half of the number of P's or of ^s. Similarly 
if a circuit contains within it oiie left-handed root, for instance if 
the circuit lies wholly in the four regions adjacent to this root, 
cutting the two curves each twice, the sequence and therefore also 
the intercalation is — P+ö — P+§, viz. this is a negative 
circuit ( — P+ 01 : and the consideration of a few more particular 
cases leads easily to the general and fundamental theorem: 

Ä circuit is positive (+ P — Q)d or negative ( — P-f- Q)d ac- 
cording as it contains mthin it more right-handed or more leß-handed 



A. Cayley. 23 

roots; and in either case the half -index 8 is eqtial to the excess of the 
number of one over fhat of the other sei of roots. If the drcuit is 
neutral (PQ)o, then there a/re tvithin it as many left-handed a$ right- 
handed roots. 

Consider now F(/) = {Zy 1)** a rational and integral function 
of Zy of the Order n with in general imaginary (complex) coefficients, 
or, what is the same thing, let F{z) = f{z) -f- i(p{ß)y where the 
fiinctions /", q) are real*). Writing herein z = x '\- iy let P, Q be 
the real part and the coefScient of the imaginarypart in the function 
F{x '\- iy): or, what is the same thing, assnme 

P + i ö = fix + iy) + i(p(x + iy)y 

then it is clear that to any root a + iß (real or imaginary) of the 
equation F(z) = 0, there corresponds a real intersection, or root, 
X =: a, t/ = j3, of the curves P = 0, ^ = 0. The functions P, Q 
as thus serving for the determination of the roots of the equation 
F(js) == are termed „rhizic fiinctions*' and similarly the curves 
P = 0, Q = are „rhizic curves". The assumed equation shows 
at once that we have 

dy(P + iQ) = id,(P + iQ) y 
or, what is the same thing, 

dyP d^Qy d^P=dyQ. 

And we hence see that 

^-^^ = (4P)* + {dyFf, or {dM + {dyQf 

is positiv: viz. that the roots P= 0, ^ = are all of them right- 
handed (the essential thing is that they are same-handed; for by 
reversing the signs of P and Q they might be made left-handed: but 
it is convenient to take them as right-handed): hence the theorem 
— which in the general case, P and Q arbitrary functions, serves to 
determine the diflPerence of the number of the right and left-handed 
roots — in the particular case, where P and Q are rhizic functions 
serves to determine the number of intersections of the curves P = 0, 



*) It Ib asBnmmed that the equation F{z) =»0 has no equal roots: this 
being so, the curves P = 0, Q =^ will have no point of multiple inter- 
section; which accords with the assumption made in the general case of two 
arbitrary curves. 



24 A. Cayley. — A. Mayeb. 

Q = 0: or, what is the same thing^ the number of the (real or 
imaginary) roots of the equation F(/) = 0, viz. we thus determine 
the number of roots within a given circuit. 

Cambridge. A. Cayley. 



A. Mayer: Direote Begründung der Theorie der Berührnngs- 
transformationen. (Math. Annalen VIU. p. 304—312.) 

Nach der Definition von Lie bilden die 2n + 1 Gleichimgen: 

/ = Z, Xi'=^Xi, p: = Pi 

eine Berührungstransformation, so oft Zy X^, . . . X»; Pi; . . . Pn 
solche Functionen der 2w + 1 unabhängigen Variabein Zy x^^ ... a;«, 
Pu '- Pn sind, dass identisch 

(1) dZ — ^ FidXi =^qUz — ^pidxh 

wird. Aus dieser Forderung ergibt sich eine Reihe charakteristi- 
scher Relationen für die Functionen Z, X, P, die von Lie gefunden 
wurden, indem er die in der Bedingung (1) enthaltene Aufgabe als 
einen speciellen Fall des Pfaff sehen Problems auffasste und auf 
dieselbe die Resultate anwandte, die Olebsch für das letztere Pro- 
blem gewonnen hat. Die vorliegende Note- lehrt, wie man auch 
ganz direkt aus der Formel (1) die in Rede stehenden Relationen 
ableiten kann. 

Bezeichnet man durch das Zeichen 

d 

die Operation 
und setzt: 

SO sind diese, zur Erfüllung der Forderung (1) noth wendigen und 
hinreichenden Relationen die folgenden: 

[ZX,-] = [X,X*] = [XtP.] = \PiP,] = 0, 

[P*Xi] = 9, [ZPk] qPk 

und es zeigt sich, dass das Problem (1) nur noch von der Auf- 
lösung endlicher linearer Gleichungen abhängt, so oft man n -{- 1 



A. Mayeb. 25 

von einander unabhängige Functionen Z, X^, . . , Xn gefunden hat, 
die paarweise den Gleichungen 

[ZX,]=0, [X,Z,] = 
genügen. 

Verbindet man diese Resultate mit der Cauchy 'sehen Inte- 
grationsmethode der partiellen DiflFerenzialgleichungen 1. Ordnung, 
welche, wenn man jetzt p^, ... pn als die Diflferenzialquotienten 
der unbekannten Function nach x^, . . . Xn ansieht, die vollständige 
Integration der gegebenen Gleichung 

Xj = const. 

zurückführt auf die Ermittelung aller Lösungen F der linearen 
Diflferenzialgleichung 

[X,F] = , 

SO erhält man sofort den wichtigen Satz von Lie, daas es zur voll- 
ständigen Integration einer gegebenen partiellen DifFerenzialgleichung 
1. Ordnung 

^0(^7 ^1? • • • ^ny Pif ... Pn) = COUSt. 

nur nöthig ist, irgend n von einander wie von Hq unabhängige 
Functionen H^, , . . Hn zu finden, welche die 7" Bedingungen 

(2) [fl;-fl*] = o 

identisch erfüllen, ein Satz, der die Jacofci'sche Methode zur Inte- 
gration der Gleichung Hq = const. von der sehr störenden Be- 
schränkung befreit, dass die Functionen JSq, JS^, ... Hn gerade in 
Bezug auf 0, Pi, ... Pn von einander unabhängig sein mussten. 

Bedenkt man andrerseits, dass umgekehrt aus einer vollständigen 
Lösung der partiellen Differenzialgleichung Hq = const. sich immer 
n von einander wie von Hq unabhängige Functionen H^^ ... H„ 
ableiten lassen, die allen Bedingungen (2) genügen, so gelangt man 
zu einer allgemeineren Form des Fundamentaltheorems der Jacobi- 
Hamilto naschen Theorie, wonach die Auffindung aller Lösungen 

F der Gleichung 

[HoF] = 

zurückgeführt werden kann auf die vollständige Integration der 
partiellen Differenzialgleichung 

Hq = const. 

Genügen auch diese Sätze schon, um die Wichtigkeit der Theorie 
der Berührungstransformationen ausser Zweifel zu stellen, so tritt 
doch die wahre Bedeutung, die diese Theorie für die partiellen 



26 -^' Mayek. 

DifiFerenzialgleichungen 1. Ordnung besitzt, vollkommen klar erst in 
der grossen Lie'schen Arbeit über Berührungstransformationen zu 
Tage, zu der die hierniit angezeigte Note nur einen erläuternden 
Zusatz bringen sollte, dessen einziger Zweck es war, die schönen 
Untersuchungen von Lie von der weitaus complicirteren Theorie 
des allgemeinen Pfaf fischen Problems unabhängig zu machen. 

Leipzig. A. Mayer. 



A. Mayer: Ueber eine Erweiterung der Lie'sohen Integrations- 
methode. (Math. Annalen VIII. p. 313—318.) 

Das Pundamentaltheorem, welches der Li ersehen Integrations- 
methode der partiellen Diflferenzialgleichungen 1. Ordnung, wie sie 
in den Math. Annalen VI. p. 162 auseinandergesetzt worden ist, 
zu Grunde liegt, kann bei Einführung des Jacob loschen Zeichens 

also ausgesprochen werden: 

Die vollständige Integration der gegebenen partiellen Diflfe- 
renzialgleichung 1. Ordnung mit n unabhängigen Variabein g^i,... qn 

^lÖl; • • • Qny Pu • • • Pn) = COnst., 

in der p^, , . . pn die Diflferenzialquotienten der gesuchten Function 
nach gl, ... qn bedeuten, lässt sich auf die vollständige Integra- 
tion einer partiellen DiflFerenzialgleichung 1. Ordnung mit nur noch 
n — r unabhängigen Variabein zurückführen, sobald man zu der 
gegebenen Function H^ r andere Functionen H2, ... i?r+i der 
Variabein q und p hinzugefunden hat, welche die Bedingungen 

(HiH,) = 

erfüllen und von einander wie von H^ unabhängig sind hinsichtlich 
der Variabein p. 

Nun gibt es zwar eine ganze Reihe von Methoden, welche 
lehren, wie man unabhängige Functionen finden kann, welche 
paarweise mit H^ und mit einander verbunden, den Bedingungen 
(HiHk) = Genüge leisten. Aber bei keiner von diesen Methoden 
ist man a priori sicher, dass die Functionen,, zu denen man ge- 
langt, auch wirklich gerade in Bezug auf die Diflferenzialquotienten 
p von einander unabhängig sein werden. Es war daher von grösser 
Wichtigkeit zu zeigen, dass diese Forderung der Unabhängigkeit 



A. MaYES. SOPHUS LiE. 27 

hinsichtlich der p überflüssig ist und dass der Satz auch dann noch 
richtig bleibt, wenn die Functionen H^y H^, ... Ifr-f i nur über- 
haupt von einander unabhängig sind. Diesen Nachweis liefert die 
vorliegende Note und verschafft hierdurch der Lie'schen Methode 
dieselbe Allgemeinheit, die durch Lie der Jacobi^schen Methode 
zu Theil geworden ist. 

Leipzig. . A. Mayer. 



Sophus Lie: Allgemeine Theorie der partiellen Differenzial- 
gleiohungen 1. Ordnung. (Math. Annalen Bd. IX, p. 245—296.) 

Nach einer gedrängten Darstellung der von Jacobi und 
Glebsch herrührenden Theorie vollständiger Systeme von linearen 
partiellen Diflferenzialgleichungen wird das folgende Problem gestellt: 

Problem 1. Bestimme alle Gleichungssysteme der Form 

fk{x^ . . . XnPi . . . p,^ = (Ä; = 1 . . . m) 
vermöge deren die Dififerenzialrelation 

identisch stattfindet. 

Es ergißt sich, dass jedes solches Gleichiingssystem n Glei- 
chungen der Form 

Xk = -T— (h = ah .. .1) 



dp 



k 



enthält; wobei ab , , ,lm . , .t eine Permutation der Zahlen 
1 2 ... w sind; und H irgend eine Function von pa - ^ .pi 
Xm* ' o Xt bezeichnet, die hinsichtlich der p homogen von erster 
Ordnung ist. 

Beschränkt man sich für einen Augenblick auf w = 3 und fasst 
dabei x^x^x^ als Cartesische Punktcoordinaten im Baume auf, PiP^P^ 
als Bestimmungsstücke einer durch den Punkt x^x^x^ gehenden 
Ebene 

i?i« — x^) + JP2« — ^2) +i>3« — ^3) = , 

so kann diese Theorie folgendermassen interpretirt werden. Die 
Grössen Xj^x^x^ PiP^Pd ^^^^ Bestimmungsstücke eines Flächenele- 
ments; 'die Gleichung Epdx = sagt, dass die beiden benachbarten 
Elemente xp und x '\- dx p -{' dp vereinigt liegen. Das gestellte 



28 SOPHUS LiE. 

Problem kommt darauf hinaus, alle Schaaren von Plächenelementen 
zu finden, in denen jedes Element mit allen benachbarten Ele- 
menten derselben Schaar vereinigt liegt. Und der gefundene Satz 
lehrt, dass die Elemente, die eine Fläche bedecken, oder eine 
Curve umhüllen oder endlich durch einen Punkt gehen, die allge- 
meinste Schaar der verlangten Eigenschaft bilden. — Ist n eine be- 
liebige Zahl, so Hesse sich eine entsprechende Interpretation ent- 
wickeln,, indem man nämlich die Betrachtungen der modernen 
Mannigfaltigkeitslehre benutzte. In diesem Referate wird es doch 
zweckmässig sein, eine rein analytische Darstellung zu geben. 
Problem 2. Vorgelegt seien q Gleichungen 

die hinsichtlich der p homogen von nuUter Ordnung sind. Man 
soll in allgemeinster Weise n — q weitere Gleichungen finden, 
welche zusammen mit den gegebenen, die Relation Updx = 
identisch befriedigen. 
Seien 

Fl = Ö^i , . . . Fq == ttq 

die vorgelegten Gleichungen; gelingt es solche weitere Punktionen 
Fq^ij , , . Fn 2.U finden, dass eine Relation der Form 

(1) Updx = 0iöf Fl H h 0n dFn • 

stattfindet, so bilden die Gleichungen 

(2) -^3+1 ^^^ ^2-1-1; • • • -^« ^^ ^» 

zusammen mit F^ = a^, . . . Fq = aq ein Gleichungssystem der ver- 
langten Art. Wir sagen in diesem Falle, dass die Gleichungen (2) 
eine Tollständige Lösung der vorgelegten Gleichungen bilden. Ist 
zuerst eine vollständige Lösung gefunden, so bestimmt man durch 
ausführbare Operationen — Variation der Constanteh — das all- 
gemeinste Gleichungssystem der verlangten Art. 

Man beweist, dass Functionen F und O, die (1) erfüllen, 
durch die folgenden Relationen verknüpft sind 

(FiF,) = (FiOt) = i^iO,) = , {FiOi) = 1 

dass femer jedes Grössensystem jP0, welches diese Bedingungen 
erfüllt, wirklich die Gleichung (1) befriedigt. Nun aber kann man, 
wenn überhaupt q -{- m Grössen F^ , . . FqQ^ . . . 0m vorgelegt 
sind, welche (3) befriedigen, immer, indem man successiv eine An- 



SoPHÜS LiK. 29 

zahl vollständiger Systeme aufstellt und jedesmal eine Lösung be- 
stimmt, weitere Functionen -F5-1-1 . . . FnOm-\-i . . . ^n finden, welche 
dieselben Kelationen erfüllen. 

Hieraus schliessen wir zunächst, dass jede Gleichung F^ = a^ 
vollständige Lösungen besitzt, und dass die Bestimmung einer 
solchen nur die Integration gewöhnlicher DifiFerenzialgleichungen 
verlangt. 

Wir schliessen femer, dass jedes Gleichungssystem 

Fl -= ai, . . . j; = «5 {FiF,) = 

vollständige Lösungen besitzt, deren Bestimmung nur die Integra- 
tion gewöhnlicher Differenzialgleichungen verlangt. 

Sei jetzt vorgelegt ein Gleichungssystem der Form 

(4) Pk — hk (jPg+i . ..pn OOf'OCn) (1c=l ...q) 

wo 

(Pi — Äf; Pk — h)=0 

ist. Es lässt sich beweisen, dass der Ausdruck 

ii = h^dXi -| 1- hqdXq + Pq^idXq^i -| PndXn 

auf eine (n — q) gliedrige Form 

Sl = 0,dF, H h On^.dFn^q 

gebracht werden kann. Die Grössen F und Q sind definirt durch 
die Gleichungen 

(Pk - h, F) = 0, 0* - h, a>)= , 

(FiF,) = = {Fi0k) = i^iOjt) = 0, (FiOi) = 1, 

Ist ein Grössensystem F0 gefunden, welches diese Relationen 
erfüllt, so befriedigen die Gleichungen 

zusammen mit (4) die Relation 2Jpdx = 0] sie bilden, sage ich, 
eine vollständige Lösung der vorgelegten Gleichungen. Von einer 
gegebenen vollständigen Lösung geht man über zu der allgemeinsten 
vollständigen Lösung, indem man die Gleichung 

9^dF, + h On-.,dFn^q = 0,' dF,' + h 0'n^qdF'n^q 

in allgemeinster Weise befriedigt. Wie dies geschieht, ist aus der 
Theorie des Pfaff'schen Problems bekannt. 

Sei endlich vorgelegt ein Gleichungssystem der Form 



30 SoFBÜfl LiE. 

2), — Ä,(iCj4-i . . . i»nPi . . .'Pq'g,i . . . p«) (i = g . . . g ) 

WO 

(a;* — 9*, i)f — Ä,) = 0, 0,- — *,-, i)r — Ar) = 0. 
Es wird bewiesen, dass der Ausdruck 

sich auf eine (w — g') gliedrige Form 

bringen lässt; die Integration des Gleichungssystems (5) wird auf 
diejenige eines Systems der Form (4) zurückgeführt. 
Sind nun r ganz beliebige Gleichungen 

i^i = 0, . . . Fr^O 

vorgelegt, so beweist man, dass jedes Gleichungssystem 

Fi = 0...jF; = *r+i = 0...*„ = 0, ' 

das den Ausdruck Updx identisch verschwinden lässt, sämmtliche 

Gleichungen der Form 

(F,F,) = ' 

enthält. Durch Anwendung dieses Satzes gelingt es, das allge- 
meine Problem 2 durch ausführbare Operationen auf den speciellen 
Fall zu reduciren, dass die vorgelegten Gleichungen die Form (5) 
oder noch einfacher, die Form (4) besitzen, und da dieses specielle 
Problem schon erledigt ist, so ist hiermit eine allgemeine Behand- ^ 
lungsweise des allgemeinen Problems 2 gefunden. 



Die entwickelte Integrationsmethode verlangt eine grosse Anzahl 

Integrations- Operationen. Einfacher sind die folgenden Methoden. 

Handelt es sich darum pn — ä„ = zu integriren, das heisst 

auf eine (w — 1) gliedrige Form 

zu bringen, so weiss man, dass die Grössen Fi und -^— ^ — Lösungen 

von 

(i>« — Ä», ?7) = 0, ^Vic-^ = 

k * 

sind. Bezeichnet man daher mit 



SOPHUS LiK. 31 

ein beliebiges System Lösungen dieser Gleichungen, so kann V 
immer die Form 

*t=:2n— 3 

erhalten. Wählt man insbesondere die Grössen 

derart, dass sie durch die Substitution ic« = a = const. die Werthe 

Pl Pn-2 

^ ^ Pn^l Pn-1 

annehmen, so ist 

und also bestimmen die Gleichungen 

dl = «1 . . . d„_i = a«— 1 

eine vollständige Lösung von pn — Ä« = . Dies ist die Cauchy'sche 
Methode in ihrer wahren Allgemeinheit. 
Soll man andererseits das System 

Pi —^K = . . . 2)9 — Ä« = , wo {jpi — hi^ pk — hk) = 0; 

integriren, oder anders ausgesprochen, soll man den Ausdruck 

F= hj^dx^ -| 1- hqdXq + JP«+i dxq^i H 1- PndXn 

auf eine (n — q) gliedrige Form 

bringen, so sind Fi und * ein System Lösungen von 

n — q 
(Pn — hn,ü) = . . . (Pn-q+l — K^q + U U) = 0,^Pk -j— = . 

Bezeichnet man daher überhaupt mit d^ . . . d2n— 29— i ein System 
Lösungen dieser Gleichungen, so besteht immer eing Relation der 
Form 

*c=s2n — 2o— 1 
F= p ^ßt(<»i . • . d2n-25-l)rf<»*. 

Wählt man insbesondere die Grössen 

dj . . . d„_<^d«— 3-1-1 . . . d2«_25— 1 

derart, dass sie durch die Substitution rr^ = «j, . . ., Xq = Uq die 
Werthe 

Pi Pn—q—l 



y 



0?! • • • Xn^q 



Pn-a 1>»~. 



n 



32 SoFHüs Lni. 

annehmen, so verschwinden die n — q — 1 letzten Glieder in der 
letzten Gleichung, und es kommt 

und also bestimmen die Gleichungen 

eine vollständige Lösung von p^ — \=^ . . . , pq — hq = 0. Dies 
ist die vom Verfasser erweiterte Cauchy'sche Methode. 

Noch einfacher ist die folgende vom Verfasser herrührende 
Integrationsmethode des Systems 

Vi — Äj = . . . _p<y '— Äj = , 
wo 

(p.- — h, Pk — Ä*) = 0. 

Man bezeichne diejenige Function, in welche ^{x^ . . . Xn Pi " • Pn) 
durch die Substitution 

übergeht, mit O^, und bilde sodann die Gleichung 

p-^nh^j!^==0=p-^h. 

Ist nun 



{"■■■■- '-ir '-r) 



w 

eine Lösung von 

(6) (fi,-h„W)^0...(p,-h„W) = 2^*4^ = 0, 

SO ist auch 

(7) (i>-Ä, TF(*)) = 0. 

Sind Wi .... Tr2n — 2g— 1 ein System Lösungen von (6), so sind 

Wi ... . W2n — 2q — i eiu Systcm Lösungen von (7).- Nimmt man 
dagegen eine beliebige Lösung W von (7) und führt auf sie die in- 
verse Substitution 



r*== 



^k—^k 



X 

aus, so ist die hervorgehende Function W^'^^ im Allgemeinen keine 
Lösung von (6). Wählt man indess ein System Lösungen 

O?! . . . ß)n — 5 C^n—q-\-l ••• 02*1 — 25 — 1) 

welche die Eigenschaft besitzen, durch die Substitution x^ = a^ .... 
Xq = üq die Werthe 



SOFBUS LiE. 33 

Pg^l Pn-1 . 

XqA^l .... Xn ■ — • • • • 

^^ ^ Pn Pf. 

anzunehmen, so sind die Grössen 

ix) ix) 

(Ol .... (02n — 2q — l 

ein System Lösungen von (6). Hiermit ist die Integration des 
Systems p^ — Ä^ == ,,.. Pq — ä^ = auf diejenige von p — h = 
zurückgeführt. 

Vermöge dieses Satzes kann die Integration der Gleichung 

Pn K(Pi . . . JP« - 1 Xi ... Xn) = y 

nachdem eine Function N gefunden ist, welche die Gleichungen 

(Pn — An, ^■) = , ^Pi "ä^ = 

k 

erfüllt, auf diejenige einer Gleichung zwischen (w — 1) Variabein 

Pn-l — Jin-l(Pi "... i?n-2 ^i -. OOn-l) = . 

zurückgeführt werden. Um diese reducirte Gleichung zu integriren, 
kann man zunächst eine Lösung der Gleichungen 

suchen, und sodann eine aequivalente Gleichung zwischen n — 2 
Variabein aufstellen 

Pn—2 — Ä«~2(i>i '" Pn-^B O^i -• ^ZJ«— 2) = 0. 

Diese Gleichung wird in entsprechender Weise auf eine zwischen 
n — 3 Variabein reducirt u. s. w. ' Zuletzt kommt man zu einer 
gewöhnlichen DifiFerenzialgleicliung zwischen 2 Variabein. Ist sie 
integrirt, so findet man successiv durch ausführbare Operationen voll- 
ständige Lösungen aller aufgestellten Gleichungen, insbesondere auch 
eine vollständige Lösung von jp„ — ä„ = . 

Es ist unmöglich gewesen, in diesem kurzen Referate die Be- 
ziehungen zwischen den hier dargestellten und den von Jacobi, 
Mayer u. s. w. herrührenden Theorien auseinanderzusetzen. 

Christiania. Sophus Lie. 



1 Bepertoriam für reine und angewandte Mathematik. 

I 



34 P. Mansion. 



F. Mahsion: Theorie des öquations aux dörivöes partielles du 
Premier ordre. (Paris 1875. Prix 6 frcs.) 

Ce memoire contient le. resume des recherches de Lagrange, 
Pfaff, Jaeobi, Bour, Weiler, Clebseh, Korkine, Boole, 
Mayer, Cauchy, Serret et Lie, jusqu'en 1872 sur les equations 
aux derivees partielles du premier ordre. 

Nous avons groupe les travaux des ces geometres dans les sub- 
divisions suivantes: 

Introduetion. Generation des equations aux derivees partielles 
du premier ordre (§§ 1—4). 

Livre I. Methode de Lagrange et de Pfaff (§§ 5 — 15). 

Livre IL Methode de Jacobi (§§ 16—27). 

Livre m. Methode de Cauchy et de Lie (§§ 28—32). 

Appendice. Methode de Lie comme synthese des idees ante- 
rieures (§ 33). 

Cet arrangement est rigoureusement didactique, c'est-ä-direy 
que du commencement ä la fin nous penetrons de plus en plus 
profondement dans notre sujet. II est en meme temps historique 
dans ses grandes lignes, ä une exception pres: la methode de 
Cauchy est anterieure de beaucoup ä tous les travaux resumes 
dans • notre livre deuxieme. Nous avons ete amenes ä placer la 
methode de Cauchy ä la fin de notre memoire, avec celle de Lie, 
parce que cette derniere est la suite naturelle de la premtiere, et 
que, reunies, elles constituent une etude plus approfondie dela 
question de Tintegration des equations aux derivees partielles que 
les methodes de Lagrange, de Pfaff, de Jacobi et de Bour. 

Dans notre Introduetion, nous donnons d'abord, d'apres La- 
grange (1772 et 1774) et Lie (1872), la definition du probleme 
de Tintegration des equations aux derivees partielles du premier 
ordre. Nous indiquons ensuite, d'apres Jacobi, deux moyens ge- 
neraux et tres-simples de faire disparaitre la variable independante 
des equations en question. Nous montrons, contrairement ä Tavis 
de Bertrand et d'autres geometres, que le second procede de trans- 
formation de Jacobi n'est pas illusoire (§ 1)*). Les deux para- 
graphes suivants contiennent la theorie des equations aux derivees 



*) M. M. Lie et Mayer partagent cette mani^re de voir (Mathematische 
Annalen, t. IX, p. 366). 



, P. Mansion. * 35 

partielles, ä 3 ou ä (w + 1) variables, teile que Ta decouverte La- 
grange en 1774, au moyen de sa feeönde methode de la Variation 
des constantes arbitraires. Nous avons ajoute toutefois ä Pexpo- 
sition de Lagrange diverses remarques empruntees ä Jacobi et 
une methode tres-simple de generätion d^s equations simultanees. 
Le demier paragraphe est consacre aux vues de Lie sur le sujet 
traite dans les numeros precedents et ä Fexplication du paradoxe 
relatif aux constantes supplementaires. 

Le livre premier contient Tanalyse des tra"^aux de Lagrange 
et de Pf äff. Nous avons expose, avec predilection, ces recherches 
dejä anciennes, d'abord parce qu'elles contiennent le germe de maintes 
decouvertes ulterieures, ensuite parce qu'elles sont susceptibies d'une 
foule d'applications que Ton. traite plus simplement, par ces me- 
thodes, que par les methodes plus savantes de Jacobi ou de 
Cauchy. 

Le premier chapitre traite des equations lineaires, dont La- 
grange a trouve la theorie en 1779 et en 1785. Notre exposition 
ne difiFere de celle de nos devanciers qu'en ce que nous employons 
davantage la theorie des determinants fonctionnels. «Dans le der- 
nier paragraphe, nous donnons l'extension de la theorie de La- 
grange falte par Jacobi, en 1827. II est assez etonnant que ces 
recherches du geometre de Berlin soient passees sous silence dans tous 
les traites, et meme dans les*memoires recents de Graindorge et 
Imschenetsky, car seules, elles fönt comprendre Fetroite con- 
nexion qui existe entre les equations aux derivees partielles et les 
^stfemes d'equations differentielles du premier ordre (voir le n^ 32). 
En passant, nous avons fait connaitre sous quel point de vue Lie 
considere les equations lineaires (n^ 23)*). 

Le second chapitre contient Tanalyse des travaux de Lagrange 
sur les equations non lineaires. C'est en 1772 que le geometre de 
Turin trouva le moyen de ramener Integration des equations non 
lineaires äv trois variables ä celle des equations lineaires ä quatre 
variables. II revint sur le meme sujet en 1774, pour faire connaitre 
les diverses integrales des equations aux derivees partielles, et en 
1806, pour expliquer un singulier paradoxe que presente la theorie 
de Fintegrale generale. Nous faisons connaitre la methode de La- 



*) D'apres M. Mayer, qui nous a ecrit ä ce sujet, nous aurions du pro- 
fiter davantage, dans ce chapitre, du Memoire de Jacobi, intitule Düucida- 
tiones, etc. (Journal de Grelle, t. XXIII, p. 1—104). 



86 * P. Mansiov. 

« 

prange «ou« ses diverses formes. En premier lieu, le grand geo- 
nietr<^ observo qu'integrer F^quation 

c'est trouver une valeur de p, teile que 

dz =^ pdx -\- xdy 

Boit intögrable. Ensuite, il indique le üioyen general pour trouver 
une val(Mir de p avec une constante arbitraire, ce qui est le germe 
(1(^ la mt'tJiode de Jacohi. Enfin, il montre comment on peut de- 
duirn la valeur la plus generale de is, de la valeur la plus generale 
•tlo Pj CO qui est le germe de la methode de Pfaff, 

Jacobi, en efFet, en appliquant la methode de Lagränge, 
Süua sa dernitjre forme, aux equations ä n variables independantes, 
a tUt^ anien<?, en 1827, & refaire en sehs inverse tous les calculs de 
IMaff. Nous exposons ce curieux travail de Jacobi dans notre 
cluipitre IIT. Le geom^tre de Berlin ramene Fintegration d*une 
tuiiuxtion non lint^ire a celle d'un Systeme d'equations simultanees 
dont la Solution est plus generale que celle de requation donnee. 
lN)ur piu'tioulariaer cette Solution et en deduire Tintegrale cherchee, 
il est forc^^ de faire \\n changement de variables: (2n — 1) variables 
»i|, . . ., ^Hf Pif . . ., |)„_i sont remplacees par les constantes de Tin- 
tt^gration dee (Equations simultanees auxiliaires, et la question se 
rftln^no dt"^» lors a riiit<^gration d'ui^f equation differentielle totale 
u {UM — 1) variables. 

IMrtff, d^s 1814, avait suivi precisement une reute inverse, 
eommo nous le montrons dans le ehapitre suivant.. Pour integrer 
l\H)uation. 

Pm '**" X\ß% ^\% • • *f •**«) Pij • • •> Pm — 1^ 

il iHniÄid^re rAjuation ditferentielle totale 

^ :?w viwriaWes, it. u\, . . ., ••'•' A» •-•ji^— i, ^t la transfonne en 
um* autn* dt^ memo forme a ^^2m — 1) variables. CTest precisement 
ot^lU^ quo Jftoobi » trouvee en goneralisant les demieres recherches 
do Lagriinge^ et Pfaff v arrive en integnint le meme svsteme 
d'equaiions que Jacobi, Les deux methodes sont donc idenüqnes. 
sauf que Tuiie est. plus elairement que 1 auire> la generadisation de 
la methode tle Lagrange« et que Pfaff traite, en ontre. le pro- 
bleuie g^Wral de Tintegnition des eijuations differentielles totales^ 
qui lH>rte $%>n iH>ttu l^uis notrv^ ex)H>sition des travaux de Pfaff, 
nous nous aiilous de divers tvrits ik* Gauss« de Jaeobi et de 



«I 



J 



P. Mansion. 37 

Cayley. Le dernier paragraphe du chapitre IV contient, outre le 
Probleme inverse de Pf äff, la^ simplification introduite dans toute 
cette theorie, par Femploi des valeurs initiales des variables comme 
constantes arbitraires. Le problfeme general de Pf äff conduit ä 
integrer n systemes d'equations simultanees dont chacun ne peut 
«tre forme qu'a^res Tintegration complete de tous les precedents. 
Jacobi, en 1836, profitant d'une idee de H^ilton, montra que 
Fon peut former immediatement ces n systemes, si Ton prend, 
comme nous venons de le dire, les valeurs initiales Hes variables 
pour constantes arbitraires ; de plus, sll s'agit de Fintegration d'une 
equation aux derivees partielles, il n'y a plus qu'un Systeme ä inte- 
grer. Oauchy, longtemps aupara^ant, en 1818, etait arrive ä ce 
demier resultat, en employant aussi les valeurs initiales des variables 
comme constantes. C'est ä lui, d'ailleurs, qu'est due Tintro- 
duction de cette idee dans la science, mais Jacobi semble avoir 
ignore les travaux de Cauchy. 

Tel est le cycle des recherches exposees dans notre livre pre- 
mier. Nous avons Joint ä chaque theorie les applications que Ton 
rencontre ordinairement dans les traites, outre Celles qui se trou- 
vent dans les memoires de Lag ränge. De plus, nous avons donne 
dans un paragraphe special Tintegration d'une dquation tres-remar- 
quable, due ä Schlaf li, et publice par lui en 1868. 

Le livre second est consacre ä la methode de Jacobi et de 
Bour, aux perfectionnements de cette methode dus ä Weiler. et ä 
Clebsch, enfin aux methodes de Korkine, de Boole et de Mayer 
qui s'y rattachent de tres-pres. 

La Nova methodus de Jacobi a ete trouvee par lui en 1838 
et publice par Clebsch en 1862. Nous la faisons connaitre dans 
nos deux premiers chapitres. Notre exposition ne differe de celle 
de Graindorge et Imschenetsky qu'en ce que nous avons reuni 
dans un chapitre special, le premier, tout ce qui se rapporte aux 
conditions d'integrabilite. En nous eloignant un peu de nos prede- 
cesseurs et de Jacobi sur ce point, on trouvera* peut-etre que nous 
avons abuse des notations symboliques. Toutefois, le lecteur qui 
se sera familiarise avec ces notations reconnaitra que, seules, elles 
peuvent conduire naturellement ä la demonstration des principes 
de la methode de Jacobi. Dans le chapitre III, nous donnons 
Textension de cette methode aux equations simultanees, due äBour, 
en corrigeant la petite erreur qui s'est glissee dans Fexposition de 
ce dernier et dans celle des auteurs qui Font suivi. Cette erreur 



38 P* Mansion. 

a ete signalee par Mayer, en 1871. Au point de vue historique, 
il Importe de remarquer que les^travaux de Bour ne procedent* 
pas de ceux de Jacobi, qui n'orit ete publies qu'en 1862. Liou- 
ville, Bour et Donkin ayaient trouve, vers 1853 et 1854, les 
theoremes fondamentaux de la Nova metJwdus, sans avoir connais- 
saace de celle-ci. Dans le chapitre .IV, nous reptoduisons des cal- 
culs d'une admirabte elegance, dus ä Clebsch, et publies en 1866, 
oü Teminent algebriste fait connaitre une notable simplification de 
la methode'de Jaeobi, trouvee par Weiler en 1863*). 

Les chapitres V et VI sont consacres ä des methodes oü Ton 
procede par changement de variables. Dans la methode de Kor- 
kine (1868), qui s'applique# aux equations simultanees nön 
lineaires, on dispose de la fonetion arbitraire, qui entre dans Tin- 
tegrale generale de Tune des equations donnees, de maniere ä sa- 
tisfaire aux autres equations; on transforme ainsi le Systeme en 
un autre qui contient une equation.et une variable de moins. Les 
calculs auxquels nous avons ete conduit pour demontrer les prin- 
cipes de cette methode, auraient ete extremement longs, si nous 
n'avions largement employe la theorie des determinants. La me- 
thode de Boole (1863), qui sapplique seulement aux equations 
lineaires, procede ä peu pres comme celle de Korkine. Elle est 
exposee dans le demier paragraphe du chapitre V. La methode de 
Mayer (1872), qui vient ensuite, s'applique aussi aux equations 
lineaires, dont eile ramene Integration a celle de certains systemes 
d'equations differentielles totales. Ghaque fois que Ton parvient a 
integrer une equation de Tun de ces systemes, on le transforme en 
un autre Systeme contenant une equation et une variable de moins. 
Les nouvelles variables sont les valeurs initiales des variables pri- 
mitives. En outre, au moyen d'une transformation de variables 
d'un genre tout different, on peut faire en sorte de n'avoir ä con- 
siderer qu^un seul Systeme. Quand il s'agit des equations lineaires 
auxquelles conduit la methode de Jaeobi, un theoreme de Mayer, 
analogue a celui de Poisson et Jaeobi, dont il est un coroUaire, 
introduit de nouvelles simplifications**). 



*) M. M. Weiler (Journal de Schlömilch, 1875, t. XX, pp. 83 sqq. 
271 sqq.) et Mayer (Mathem. Ann. t. IX, p. 346 sqq.) ont expose de nouveau 
cette simplification, .qui n*est pas identique a celle de Clebsch. 

**) M. Mayer m'apprend que malheureusement j'ai laisse une erreur se 
glisser dans mon exposition de sa mdthode. 



P. Mansion. • 39 

Les methodes de Jacobi, de Clebsch et de Mayer, eonduisent 
ä chercher une integrale de systemes de 2(n — 1), 2(n — 2), . . ., 2 
equations differentielles ordinaires, ces systemes etant respectivement 
pour les trois methodes, au nombre de: 

l,2,3,...,(n-2), (w~l), 

1, 2, J, .. ., 2, 2, 

Les equations sont supposees ne pas contenir explicitement lä va- 
riable dependante. La methode de Lie, dont nous parlerons plus 
bas, exige precisement le meme nombre d'integratipns que celle de 
Mayer. 

Le livre troirsieme contient d'abord Texpose de la methode de 
Cauchy. L'illustre geometre l'a trouvee des 1818, en partant de 
deux idees principales; Fune est le changement de variables, qu'il 
semble emprunter ä Ampere, plutöt qu'ä Lagrange ou ä Pfäff, 
car il parait avoir ignore les. recherches de celui-ci; Tautre est Tin- 
troduetion immediate dans le ealeul des valeurs initiales des variables, 
comme on le fait dans la theorie des integrales definies. Si les 
recherches de Cauchy n'etaient anterieures ä Celles de Jacobi sur 
la methode de Pf äff, on les prendrait pour une exposition simpli- 
fiee de tous les travaux analyses dans notre livre premier, y com- 
pris la theorie des equations lineaires de Lagrange. Quand il 
s'agit de trouver les integrales de ces equations, supposees ä trois 
variables, Lagrange et Monge cherchent d'abord les courbes qui 
peuvent engendrer les surfaces representees par les integrales. Une 
idee analogue donne ä Cauchy les courbes ou varietes ä une di- 
mension, appelees caracteristiques par Lie, qui engendrent, pour 
ainsi dire, Tintegrale des equations non lineaires. Pf äff et Jacobi 
etaient forces, dans la suite de leurs calculs, d'egaler ä des con- 
stantes n de leurs (2w — 1) variables auxiliaires. Cauchy, des le 
debut, ne prend que (w — 1) variables auxiliaires, et il suppose im- 
mediatement que ce sont les valeurs initiales des anciennes variables, 
ce qui le dispense du circuit par lequel Jacobi est arrive, plus tard, 
au meme resullat. Cauchy a donne une forme plus generale ä sa 
methode, en 1841; les valeurs initiales des variables peuvent etre 
a volonte de nouvelles variables ou des constantes d'integration. 
Cest ce travail de 1841, auquel on n'a pas accorde suffisamment 
d' attention, qui est la base de notre exposition. Nous avons pu, 
gräce ä lui, donner, avec une entiere rigueur, la theorie de Inte- 
gration d'une equation aux derivees partielles^ dans les cas les plus 



L 



40 , P« Mansion. 

singulierS; par exemple^ dans le cas des equations semi-lineaires de 
Lie (1872), rencontre incidemment par Serret en 1861; Tintegrale 
de ces equations est donnee par m relations entre (n + 1) variables 
et n constantes arbitraires. Mayer a montre, en 1871, que la 
methode de Pf äff, modifiee par Jacobi, ne donne jamais Tintegrale 
complete des equations homogenes par rapport aux quantites p] il 
en est de meme de la methode primitive de Cauchy. Mais quand 
on laisse ä cette methode toute son elasticite, si j'ose ainsi dire, 
eile conduit, sans calcul/ aux modificaidons de la methode de Pf äff 
et Jacobi, proposees par Mayer, et Darboux. 

La methode generale de Cauchy se prete tres-bien aussi ä 
ime exposition rigoureuse des recherches de Serret (1861), relatives 
au cas oü la methode de Cauchy semble en defaut, Nous donnons 
ces recherches dans le chapitre IT. 

Le chapitre suivant contient, d'apres Mayer, un expose de la 
methode de Lie (1872) consideree comme une extension de la me- 
thode de Cauchy. Dans cette methode, on ramene Tintegration 
de (m + 1) equations a (n "{- m) variables independantes ä Celles 
d'une equation unique contenant n variables independantes, soit en 
cherchant une integrale de m equations, soit apres une simple trans- 
formation de variables. Dans ce demier cas, on voit -clairement 
que la methode de Lie est la suite naturelle de celle de Cauchy. 
Combinee avec celle de Jacobi, eile s'applique ä uneseule equa- 
tion ä (w -f- 1) variables, surtout dans les cas les plus defavorables. 

Enfin, dans un court appendice, nous donnons, au moyen des 
idees de Lie lui-meme, un aper^u synthetique des methodes prin^ 
cipales, qui permet au lecteur d'entrevoir leur fusion prochaine, 
entre les mains du geometre norwegien.*) 

Gand. P. Mansion. 



*) Aux Berits de M. Lie, cites, page 272, il faut encore ajouter mainte- 
nant le suivant: Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster 
Ordnung (Math. Ann. t. IX, p. 245—296). 



P. Mansion. 41 



F. Mansion: Sur la^möthode de Cauohy pour Tintögration 
d'une öquation aux dörivöes partielles du premier ordre. 
Note presentee par M. Hermite. (Comptes rendus de l'Aca- 
d^mie des scienses de Paris, 1875, 2^ semestre, t. LXXXI, p. 790 — 793.) 

Kesume de la partie la plus originale de notre Memoire sur les 
equations aux derivees partielles (n°^ 4, 5, 107, 108, 111, 129). Voici 
Tidee fondamentale qui est exposee dans ce petit article: une equa- 
tion aux derivees partielles ä (n + 1) variables du premier ordre 
et les equations canoniques correspondantes representent les meines 
Clements, en nombre oo^**, dans un espace ä oo** + ^ dimensions. 
Pour deduire une integrale complete de Fequation aux derivees par- 
tielles du Systeme integral des equations canoniques, il suffit d'associer 
d'une maniere convenable les oo^** elements, ce que permet la me- 
thode de Cauchy dans tous les cas; par exemple, dansteux qui 
ont ete examines recemment par Mayer etDarboux, et qui sem- 
blent exceptionnels. 

a 

Gand. P. Mansion. 



F. Mansion: Introduction ä la thöorie des deternlinants, 

ä lusage des etablissements d'instruction moyenne. 

(Gand, Hoste, 1876. Mons, Manceaux, 1876. 28 p. in 8*^. Prix: fr. 0.50.) 

F. Mansion: Elements de la th^orie des determinants d'apres 
Baltzer et Salmon. (ibid. 1875, 44 p. in 8^. Prix: fr. 1. 25.) 

Le premier de ces ecrits est extrait de la Bevue de Vlnstructimi 
publique en Belgique (t. XVIJI, 1875; t. XIX, 1876), le second, de 
la Nouvelle Correspondance mathematique (t. I, 1874 — 1875); toute- 
fois le tirage ä part de celui-ci contient de plus que le texte public 
dans le Journal deux belies demonstrations, dues ä Janni, Tune du 
theoreme de Bezout sur Telimination, Tautre des proprietes des 
determinants nuls, L'ordre des matieres est le meme dans les deux 
opuscules: I. Definitions et proprietes immediates. IL Calcul des 
determinants. III. Applications ä la resolution des equations line- 
aires et ä Telimination. Denis V Introduction , nous n'employons pas 
la theorie des permutations et nous ne parlons que de determinants 
ä 4 ou ä 9 elements, les seuls qui soient vraiment utiles dans 



i 



42 P. Mansion. 

« 

renseignement moyen. Dans les Elements, au' contraire, nous avons 
recours ä la theorie generale des permutatfons. 

Nous pensons avoir simplifie deux points dans les Elements 
1- Nous disons qu'une permutation a««', 6^^', Cyy' . . .,. d'elemeiits ä 
deux indices, est paire ou impaire suivant que le nombre des de- 
rangements des premiers indices aßy . . ., et des seconds a/3'y'... 
est pair ou impair. Cette maniere de definir les permutations paires 
et impaires rend plus facile la demonstration des proprietes des 
determinants qui decoulent immediatement de la definition et peut 
s'etendre aux permutations d'elements a 3, 4, . . . indices. 2- La 
regle de la multiplication des determinants, supposee connue par 
induction, se demontre tres simplement, a posteriori en faisant usage, 
d'une maniere systematique, d'une notation deja ancienne, savoir 

[aha] pour ^ + ^i^2^3* 

La comparaison de nos Elements avec ceux de divers professeurs 
(Hattendorf, Studnicka, Günther, Dieckmann, Meilberg) nous 
y a fait decouvrir quelques lacunes. Nous en signalerons deux. 
Nous aurions du consaerer quelques pages ä Tapplication de la 
theorie des determinants aux fractions continues et ä la discussion 
des equations du premier tiegre. 

9 

. Gand. P. Mansion. 



P. Mansion: New Demonstration of the Fundamental Froperty 
of Linear Differential Equations. (Messenger of Mathcmatics. 
New Series, t. IV, n^ 48, p. 177—178. 1875.) 

F. Mansion: Demonstration de la propriöte fondamentale des 
öquations difförentielles Unfaires. (Archiv der Mathematik 
und Physik, gegründet von Grüner t, fortgesetzt von Hoppe, Th. 
LVI, p. 99—100.) 

On sait, depuis Brisson et Cauchy, qu'une equation diflPeren- 
tielle lineaire ä coefficients constants: 

f>'-\- Ay + 42y" + Ay +Ay = o 

peut se mettre sous la forme 

(i) — «i) (D — a,)(D- a,) (D-a^)y^O 
D etant un signe de derivation. Nous avons demontre qu'il en est 
de meme si les coefficients sont variables (Mem. en 8- de TAcad. 
de Btux. t. XXII), et que a^ est necessairement tel que / — a^i2 = 0, 



' P. Mansion. 43 

z etant une Solution de particuHere de requation donnee. Dans une 
note subsequente (Bulletins de Bruxelles, 2® Serie, t. XXXVIII), 
nous avons verifie a posteriori que si a^ satisfait ä une pareille 
relation, (D — a^y est un des facteurs symboliques de Requation 
donnee. La demoüstration donnee dans le Messen ger est une 
simplification de celle des Bulletins. Ces trois premieres preuVes 
du theoreme fondamental ont un defaut commun: elles supposent 
qu'une equation d'ordre w a n Solutions distinctes, pour proüver 
J'existence d'un seul facteur symbolique (2) — a)y, La quatrieme 
demonstration donnee dans le Journal de M. Hoppe n'oflPre pas 
cet inconvenient et complete les trois autres. 

Gand. P. Uansion. 



F. Mansion: Sdr une question de maximum appel^e Probleme 
d'Huygens. (Nouvelle Correspondance mathematique t. I. p. 
X93— 194.) 

Les sommes a? + 2/ + ^ + ^; xy '\' xz -\' xu -{-yz + 2/^ + ^^7 
xyz + xyu -\- xzu -j- yzu prennent leur valeur minima, quand 
X == y = z == u, si xyzu est constant. Par suite il en est de meme 
de (1 + ;z;) (1 + y) (1 + ^) (1 + ^)- L'expression 

^= („ + .)(./^S+. )(. + ,) = (, + ^) (, + |.)'(,+ £) (, + I) 

a laquelle conduit le probleme d'Huygensest donc maxima quan'd 
x:a = y:x == z:y = b:z. On trouve ainsi, par * Falgebre elemen- 
taire la Solution d'une question qu'il est tres penible de traiter 
completement par le calcul differentiel (voir Picart, Nouv. Ann. 
de.Mathem., 1874, p. 212—219). 

Gand. P. Mansion. 



M. Noether: Ueber die singulären Werthsysteme einer algebrai- 
schen Function und die singulären Funkte einer algebrai- 
schen Curve. (Math. Annal. IX, p. 166—182.) 

Dieser Aufsatz beabsichtigt, in der Theorie der algebraischen 
Curven die Beschränkungen aufzuheben, welche sich die bisherigen 
geometrischen Arbeiten (mit Ausnahme weniger neuerer Arbeiten 



44 M. NOBTHEK. 

über rationale Transformation) durcli Ausschliessen der singulären 
Punkte aus Mangel einer geometrisch -algebraischen Theorie der- 
selben auflegen mussten. - . 

Auch in der Functionentheorie hat sich die Nothwendigkeit 
gezeigt, an Stelle des von Fall zu Fall variirenden Puiseux 'sehen 
Verfahrens zur Aufstellung der Reihenentwicklungen, die in einem 
singulären Werthsystem einer algebraischen Function stattfinden, eine 
allgemein gültige analytische Methode für diese Entwicklungen zu 
setzen. Durch den Gedanken successiver eindeutiger Transformationen' 
ist diese Methode geschaffen worden. Statt wie früher (wenn x, y 
die Variabein {x = 0, y = 0) das singulare Werthsystem und dabei 

i^j = ist) direct eine Transformation. 

y = yocR 

vorzunehmen, führt man nun successive Transformationen der Form 

/ y 

aus, wobei die transformirte Function y eine niedrigere Singularität 

in dem Werthsystem (x = 0, y = 0), nämlich die von (^jo ? erhält. 

Man führt die Transformationen so weit, bis in dön entsprechenden 
Werthsystemen der resultirenden Function jede Singularität zum 
Verschwinden gebracht ist; und da sich die nach ganzen Potenzen 
der Variabein gehenden Entwicklungen in jenen Werthsystemen 
dann direct anschreiben lassen, so ergeben sich durch Rückwärts- 
verfolgen der einfachen Transformationen oder gelegentliche üm- 
kehrung der Entwicklungen auch die ursprünglich geforderten Reihen- 
entwicklungen der Function y. 

Die Ausführungen dieser Methode finden sich bei H. Ham- 
burger (Ztschr. f. Math. u. Phys. XVI, ISTl), bei H. Königsberger 
in dessen Buch „Vorlesungen über die Theorie der elliptischen 
Functionen", und nochmals neuerdings bei H. Stolz (Math. Ann. 
VIII). Ausserdem ist zugleich der dem Verfahren zu Grunde lie- 
gende Gedanke, der der Untersuchung der singulären Werthsysteme 
durch successive Transformationen, auch in einer 1871 von mir ver- 
öffentlichten Note (Gott, Nachr. 1871, p. 267, „lieber die algebr. 
Functionen", Note 2) angegeben. 

Aber dieser Gedanke reicht noch weiter: die successiven Trans- 
formationen allein liefern schon, ohne dass man bis zu den Reihen- 
entwicklungen vorzuschreiten braucht, die Definition der singulären 
Punkte. Denn wenn einem gewöhnlichen vielfachen Punkte P durch 



M. NOETHEB. *45 

die Transformation nur mehrere einfache Punkte entsprechen, so 
verbinden sich diese, wenn P zu einem singulären Punkte P' wird, 
selbst wieder zu einem singulären Punkte Q der transformirten 
Cu^ve; und man kann die Singularität P' auffassen als die Ver- 
bindung des gewöhnlichen vielfachen Punktes P mit der Singularität 
des Punktes Q. Ein singulärer Punkt besteht dann aus einer end- 
lichen Zahl gewöhnlicher vielfacher Punkte, die nur in bestimmten 
Richtungen unendlich nahe an einander gerückt sind, ohne dass 
hierdurch ein Punkt von einer höheren Ordnung der Vielfachheit 
wird. 

Um indess diese Definition geometrisch auch im Einzelnen und 
vollständig durchzuführen, wird es nöthig, zunächst die Plücker'sche 
Auffassung der Entstehung einer algebraischen Curve aus ihren 
Elementen weiter durchzubilden. Man denkt sich hiernach das Fort- 
schreiten auf der Curve so: in einem Punkt P nmimt man eine be- 
stimmte Richtung t an; ein darauffolgender, P benachbarter, Punkt 
P' wird in dieser Richtung t angenommen und dann durch P' eine 
Richtung t\ die t benachbart ist, etc. Die Curve kann dabei als 
durch die Punkte P,JP',.., oder auch als durch die Geraden t, t' ... 
erzeugt gedacht wenden; oder endlich auch als durch die Combination 
der Punkte P und Erzeugenden t erzeugt. Indem wir die letztere 
Auffassung annehmen, nennen wir ein Curvenelement der Curve die 
Comtnnation eines Punktes P mit einer durch P gehenden Richtung t 
(also nicht etwa die Verbindungslinie zweier Punkte oder den Schnitt 
zweier Erzeugenden). Aus solchen aufeinanderfolgenden Curven- 
elementen lassen wir die Curve entstehen', losgeht dann also im 
Allgemeinen eine Erzeugende t durch zwei aufeinanderfolgende Punkte, 
gehört aber nur zu einem Element oder einem Punkt P, d. h. berührt 
in einem Punkte P; und umgekehrt ist ein Punkt im Allgemeinen 
der Schnitt zweier aufeinanderfolgenden Erzeugenden, aber der Be- 
rührungspunkt einer Erzeugenden. 

Im Besonderen können nun zwei Curvenelemente einer Curve 
(ob aufeinanderfolgende Elemente oder nicht) ihren Punkt gemein 
haben, oder sie können ihre Richtung gemein haben, oder sie 
können-. endlich Punkt und RicHtung gemein haben (also dann zu- 
sammenfallen, obwohl sie hierdurch nicht zu aufeinanderfolgenden 
Elementen werden). Wir. nennen einen Punkt P der Curve einen 
Jc-elemmtigenj wenn h der Curvenelemente (ob verschiedene oder auf- 
einanderfolgende) den Punkt P gemein haben. Es gibt dann k 
Richtungen durch P, welche zusammen mit P je ein Element der 




46* M. NOETHEB. 

Curve bilden, d. h. Tc Erzeugende der Curve, welche dieselbe in die- 
sem Punkte P berühren'^ und jede Gerade der Ebene, welche durch 
P geht (einzelne ausgenommen), triflFt die Curve in Je mit P m- 
sammenfallenden Punkten, da sie hier 1c Elemente der Curve trifft. 

Ein gewöhnlicher Ä-elementiger Punkt, d. h. ein solcher, dessen 
k Elemente alle endlich verschiedene Richtungen besitzen, wird ein 
h-f acher Punkt genannt. 

Gehören aber zu einem Punkte P 1c aufeinanderfolgende Curven- 
elemente, so sagen wir, dass die Curve in P noch einen Qc — 1)- 
fachen Verzweigungspuißt besitzt, eine Bezeichnung, der wir auch 
die durch 1c — 1 einfache Ver^weigungspunkte äquivalent setzen.*) 
Man hat dann, von diesen k' Elementen herrührend, fc' + 1 ^^f" 
einander folgende Erzeugende der Curve, welche durch P gehen. 

Ebenso kann auch eine Richtung t zu l Curvenelementeu gehören. 
Sind darunter V Äfeinanderf olgende, so trifft die Z-elementige Gerade 
tf hiervon herrührend, die Curve in Z' -|- 1 aufeinanderfolgenden 
Punkten, berührt aber nur in V derselben, etc. Und diese Ver- 
hältnisse können sich nun noch combiniren. Insbesondere kann die 
Tangente eines Curvenelementes eines Ä- elementigen Punktes P 
selbst wieder eine mehrelementige sein, also auch zu Curvenelementeu 
gehören, die ihren Punkt* dem Punkte P henadibart haben, etc. 

Diese Verhältnisse werden aber alle durch die eindeutigen Trans- 
formationen, da dieselben aufeinanderfolgende oder getrennte Ele- 
mente der Curve bezüglich wieder in solche überführen, völlig klar 
gestellt. Insbesondere wird unter Zugrundelegung der angedeuteten 
Auffassung in der Arbeit* der allgemeine Satz bewiesen: 

Ein beliebig singulärer k-elementiger Punkt ist als Grenzfall eines 
k- fachen Punktes zu definiren, zu welchem zunächst eine Anzahl 
von einfachen Verzweigungspunkten tritt, und an welchen weiter 
eine Reihe von Z-, m-, . . . elementigen Punkten (Z + *^ + • * • < *) 
unendlich nahe heranrückt. 
Durch diesen Satz, dessen algebraische und geometrische Be- 
gründungen sich völlig decken, wird die Behandlung der Probleme 
in verschiedenen Theorien der algebraischen Curven von dem Auf- 
treten singulärer Punkte unabhängig gemacht, vielmehr auf' die bei 
gewöhnlichen vielfachen Punkten zurückgeführt. So erwähnen wir 



*) Man wird beachten, dass diese „Verzweignngspunkte der Curven" nur 
einen Theil der in der Functionentheorie ebenso benannten „Verzweigungs- 
punkte" der zugehörigen algebr. Function ausmachen. 



M. NOETHER. — H. DiTRfeGE. 47 

die Untersuchung der Resultante der Elimination aus zwei speciellen 
Gleichungen, besonders solcjien, die sich im Unendlichen speciell 
verhalten; wir erwähnen ferner das prpjectivische VerhalteÄ der 
Curven, wie es in den Plücker'schen Gleichungen auftritt, also 
die Bestimmung der Klasse der Curve etc, und endlich das Ver- 
halten einer Curve bei rationalen Transformationen überhaupt, 
worauf schon oben hingedeutet worden ist. 

Erlangen. M. Noether. 



H. Durdge: Ueber die Doppeltangenten der Curven vierter 
Ordnung mit drei Doppelpunkten. (Sitzungsber. der 

Wiener Acad. Bd. 72. Abth. II. Octobe^r 1875.) 

In Vorstehendem wurden, die Curven vierter Ordnung mit drei 
Doppelpunkten mit Hülfe Stein er'scher Verwandtschaft behandelt. 
Zuvörderst sei aber bemerkt, dass bei Abfassung dieses Aufsatzes 
übersehen worden war, dass einige der mitgetheilten Resultate be- 
reits in Fiedlers Bearbeitung von Salmons „Higher plane Curves", 
pag. 321 enthalten sind. Man findet dort schon angegeben die 
Gleichungen der vier Doppeltangenten und die des Kegelschnittes, 
der die acht Berührungspunkte der Doppeltangenten enthält. Es 
ist daher nur über die weiteren Resultate zu berichten. 

Es wurde ein System von Curven 4. Ordnung, alle mit den 
nämlichen Doppelpunkten p, q, r betrachtet, welches geometrisch 
so definirt werden kann. Man geht von einer bestimmten Curve 

W aus, die die specielle Eigenschaft besitzt, dass ihre Tangenten ' 
in den Doppelpunkten zugleich Wendetangenten sind. Schneidet 
man diese Curve. mit irgend einer Geraden (r, so bilden alle Curven 
4. Ordnung mit Doppelpunkten m p, g, r, welche durch die Schnitt- 
punkte von W und G gehen, einen Büsöhel. Gibt man der Ge- 
raden G alle möglichen Lagen, und bestimmt für jede den zuge- 
hörigen Büschel, so bilden alle diese Büschel das betrachtete 
System. Ein solches System enthält nur eine Curve TFund ist durch diese 
individualisirt. Bei zwei demselben Systeme angehörigen und die Curve 

TT auf den Geraden G und G' schneidenden Curven liegen ihre eigenen 
Schnittpunkife ebenfalls in einer Geraden T, und ö, G\ F treffen sich 
in einem Punkte. Lässt man eine Curve das betrachtete System 
durchlaufen, so beschreiben bei jeder Doppeltangente die beiden 
Berührungspunkte einen Kegelschnitt ä, und diese vier Kegelschnitte 



48 H. DüBJfeöB, 

S gehen auch durch die Doppelpunkte. Durchläuft die Curve einen 
der vorhin erwähnten Büschel, so dreht sich jede Doppeltangente 
ausserdem um einen festen Punkt, und diese vier Punkte liegen auf 
der dem Büschel zugehörigen Geraden G. Bestimmt man för eine 
Curve C und für die ihr zugehörige Curve W resp. die Kegel- 
schnitte 2 und Uwy welche die Berührungspunkte der bezüglichen 
vier Doppeltangenten enthalten, so haben diese beiden Kegelschnitte 
eine doppelte Berührung, und die Berührungssehne ist die der Curve 
C angehörige Gerade G, 

^ Sucht jaan bei einem gegebenen Kegelschnitte K die vier 
Kegelschnitte auf, welche den K doppelt berühren und zugleich 
einem gegebenen Dreiecke pqr umschrieben sind, und bestimmt 
dann durch p, q, r als Doppelpunkte und durch fünf jener Be- 
rührungspunkte eine Curve 4. Ordnung, so geht diese auch durch 
die drei übrigen Berührungspunkte. . . Nimmt man aber an Stelle 
von K den Kegelschnitt 27«,, welcher die Berührungspunkte der 
Doppeltangenten einer Curve TF enthält und im p, q, r die Doppel- 
punkte der letztern, so ist die erwähnte Curve 4. Ordnung die 
Curve W selbst. Die vier den 27«, doppelt . berührenden Kegel- 
schnitte sind identisch mit den Kegelschnitten S, von denen 
jeder durch die Berührungspunkte einer Doppeltangente und durch 
die Doppelpunkte geht; und die Berührungssehnen sind die Doppel- 
tangenten der Curve W. 

Die Curven W haben femer die Eigenschaft, dass der durch 
die Berührungspunkte ihrer Doppeltangenten gehende Kegelschnitt 
27«, zugleich derjenige ist, der von den sechs Tangenten in den 
Doppelpunkten eingehüllt wird.. 

Indem nun noch auf den Fall eingegangen wurde, dass die 
Curve 4. Ordnung drei Rückkehrpunkte hat, ergab sich die folgende 
Kegelschnittbeziehung. Zu jedem einem Dreiecke pqr eingeschrie- 
benen Kegelschnitte gehört ein bestimmter dem Dreiecke umschrie- 
bener Kegelschnitt, welcher den erstem doppelt berührt, und um- 
gekehrt. Die Berührungspunkte sind jedesmal imaginär, wenn das 
Dreieck reell ist; die Berührungssehne aber trifft die Seiten des 
Dreiecks in den Punkten, die bezüglich der Ecken desselben Har- 
monisch zugeordnet sind zu den Berührungspunkten des eingeschrie- 
benen Kegelschnittes, und durch dieselben Punkte gehen auch die 
in den Ecken des Dreicks an den umschriebenen Kegelschnitt ge- 
legten Tangenten. Es mag gestattet sein hieran noch folgendes 
anzuschliessen. Bei einer Curve 4. Ordnung mit drei Spitzen p, q, r 



H. DüKÄGE. — M. Krause. 49 

haben die beiden Kegelschnitte, von denen der eine durch die 
Spitzen und durch die Berührungspunkte der Doppeltangente geht, der 
andere die Seiten des Dreiecks pq^r in den Punkten berührt, in 
denen diese Seiten von den Rückkehrtangenten getroffen werden, 
mit einander eine doppelte Berührung, und die Berührungssehne ist 
die Doppeltangente der Curve 4. Ordnung. Hieraus ergibt sich, wenn 
die Spitzen und die Rückkehrtangenten reell gegeben sind, eine 
einfache Construction für die Doppeltangente, die alsdann ima- 
ginäre Berührungspunkte hat. 

Für die den Curven 4. Ordnung mit drei Spitzen dualistisch 
gegenüberstehenden Curven 3. Ordnung mit einem Doppelpunkte 
hat man die folgenden Eigenschaften: Wenn man bei einer Curve 
3. Ordnung mit einem Doppelpunkte die beiden Kegelschnitte auf- 
sucht, von denen der eine die drei Wendetangenten und die Tan- 
genten des Doppelpunktes berührt, der andere aber dem Dreiecke 
der Wendetangenten umschrieben ist und in den Ecken desselben 
diejenigen Geraden zu Tangenten hat, welche diese Ecken mit den 
gegenüberliegenden Wendepunkten verbinden, so hat der letztere 
Kegelschnitt mit dem ersteren eine doppelte Berührung, und ihre 
gemeinschaftlichen Tangenten sind die Tangenten des Doppelpunktes. 
Bei dem zuerst genannten Kegelschnitte gehen die Geraden, welche 
die Durchschnitte je zweier Wendetangenten mit den Berührungs- 
punkten auf der dritten Wendetangente verbinden, alle drei durch 
den Doppelpunkt. Je zwei Wendetangenten werden durch die von 
ihrem Durchschnittspunkte nach dem Doppelpunkte und nach dem 
dritten Wendepunkte gehenden Strahlen harmonisch getrennt. 

Prag. H, Durege. 



M. Krause: Ueber die Discriminante der Modulargleichiingen 
der elliptischen Functionen. (Math. Annalen. Bd. YIII.) 

Bei Einführung der bekannten Hermite'schen 9? -Function 
haben die Wurzeln der Modulargleichungen der elliptischen Func- 
tionen, welche zu einer Transformation wten Grades gehören, vor- 
ausgesetzt, dass n eine unpaare Zahl ohne quadratischen Theiler ist, 
die Form: 



(I) A""^) 



Bepextorinm ffir reine und angewandte Mathematik. 4 



L 



50 M. Eraüsb. — A. Radicks. 

wo d ein beliebiger Theiler von n, dd^ =n ist und | eine jede ganze 
Zahl kleiner d^ bedeuten kann. 

Der Verfasser der obigen Abhandlung stellt sich die Aufgabe^ 
alle t zu finden y für welche zwei solcher Wurzeln einander gleich 
werden. Die Lösung dieser Aufgabe gibt zu gleicher Zeit die 
Wurzeln der Discriminante der Modulargleichung , da diese ja 
nichts anderes sind; als die zugehörigen Functionen q)(r). 

Es wird nun zuerst gezeigt, dass diese Grossen t einer qua- 
dratischen Gleichung genügeil: 

und dann die hinreichenden und nothwendigen Bedingungen auf- 
gestellt, denen die Coefficienten dieser Gleichung Genüge leisten 
müssen. Hierbei bleibt der Fall ausgeschlossen, dass P^ Q, R mit 
n denselben gemeinsamen Theiler haben. 

Breslau. M. Krause. 



A. Ba dicke: Ueber die mathematische Darstellung der Bie- 
mann*schen P- Function. (Programm der Realschule I. 0. zu 
Bromberg, Ostern 1876.) 

Eine der wichtigsten Aufgaben der neueren Functionentheorie ist 
bekanntlich die, Functionen, die durch gewisse charakteristische 
Eigenschaften entweder eindeutig oder n- deutig oder bis auf eine 
oder mehrere willkürliche Constante definirt sind, mathematisch dar- 
zustellen. Im Grjinde genommen geht man bei den verschiedenen 
Methoden, die zur Erreichung dieses Zieles angewendet werden, 
von demselben Satze aus, der zugleich an sich die mathematische 
Darstellung der einfächsten Gattung von Functionen liefert, dem 
Satze nämlich, „dass eine in der ganzen unendlichen Ebene überall 
eindeutige und stetige Function eine Constante ist* ^ Sobald man 
dann von der darzustellenden Function w weiss, dass sie, mit einem 
gewissen durch seine analytische Form gegebenen Factor M mul- 
tiplicirt, ein in der ganzen Ebene eindeutiges und stetiges Product 
liefert, so ist. die Function w durch den Ausdruck M~^ bis auf 
einen willkürlichen constanten Factor mathematisch dargestellt In 
den meisten Fällen reicht man freilich mit dieser einfachen Be- 
trachtung nicht aus, sondern man ist genothigt, eine Gleichui^, 
meist eine Differenzialgleichung herzuleiten, der die Function Ge- 
nüge leistet^ und diese dann aufzulösen. Aber die • Coefficienten 



A. Radicke. 51 

dieser Gleichung werden auch dann nur vermittelst des obigen all- 
gemeinen Princips zu bestimmen sein. Ein vortreffliches Beispiel 
für diese Method« findet sich in der bekannten Biemann'schen 
Abhandlung über die Gauss 'sehe Function F(cc, ß,y,x) aus dem 
Jahre 1857 (Ber. der Soc. der Wiss. zu Göttingen), in der die 
Zweige einer durch ihre charakteristischen Eigenschaften gegebenen 
Function P als Particularlösungen einer gewissen linearen homogenen 
Differenzialgleichung 2. Ordnung erkannt werden; da letztere 
durch Reihen oder bestimmte Integrale integrirt werden kann, so 
ist hierdurch die Darstellung der Zweige gewonnen. 

Eine andere Methode zur Darstellung eben dieser Zweige der 
Riemann'schen Function P ist in der in der üeberscjirift genannten 
Arbeit zur Anwendung gekommen. Sie dürfte deshalb auf einiges 
Interesse Anspruch machen, weil sie eine ganz unmittelbare Folge 
des vorangeschickten allgemeinen Princips ist. Der Verfasser zeigt 
nämlich, dass aus den Zweigen P«, P"', P^, P/*', Pr, Pr durch 
wiederholte Differenziation resp. Integration in gewissen besondem 
Fällen, und im allgemeinen Falle durch diejenige Rechnungsoperation, 
welche von Liouville die Differenziation mit beliebigem Index ge- 
nannt ist, neue Functionen sich ergeben, die ebenso, wie die vor- 
hin besprochene Function w, durch einfache Multiplication mit 
einem Factor M constant werden. Wendet man dann auf diese . 
neuen Functionen die inversen Rechnungsoperationen an, so hat 
man die Darstellung der Zweige P« etc. selbst. Wenn beispiels- 
weise von dem Ausdruck JD^ • P" gefunden ist, dass er, mit üf mul- 
tiplicirt, ein in der ganzen Ebene eindeutiges und stetiges Product 
liefert, so wird P^ gleich D^^ ' [M~^^} vermehrt um seine com- 
plementäre Function sein. Wir können auf die Details dieser Me- 
thode natürlich nicht näher eingehen, verweisen vielmehr in Betreff 
derselben auf die Arbeit selbst und begnügen uns damit, hier noch 
folgendes Resultat hervorzuheben: Das allgemeine Integral der 
Differenzialgleichung der hypergeometrischen Reihe 

x(l - x)y'' + (y - (a + /J + l)x)i/ — aßy = 

kann, wi^ bekannt, in drei verschiedenen analytischen Formen dar- 
gestellt werden: #• 

(I) CF(cc,ß,y,x) + C'x''rF{a + 1 - y, ^ + 1 _ y, 2 - y, ^) 

1 X 

(n) oJ*1fi-\\-t)y-^-\l-xt)-'^dt+G; fifi-^(\—t^^^ 

CO' 






52 



A. RaDICKE. — V. SCBLEOBL. 



(HI) 



.»-y, 



[x-'-'-^il-xf-'] 



worin CC C^Cx C^G.^ willkürliche Constante bedeuten. 

Während aber die beiden Ausdrücke I und 11 nur eine be- 
schränkte Gültigkeit haben^ so dass für die Umgebung von x = \ 
und für sehr grosse Werthe der Variablen andere Darstellungs- 
formen noth wendig werden, gilt der Ausdruck III unbeschränkt 
für die ganze unendliche Ebene, und es ergeben sich aus ihm die 
für die einzelnen Gebiete convergenten Reihen, je nachdem man 
unter dem Zeichen D nach steigenden Potenzen von x, \ — x oder 

entwickelt. Durch den Ausdruck III ist also die in Rede stehende 



X 



Function ebenso allgemein definirt, wie durch die Differenzialglei- 
chung oder durch Riemann's P, während die Definition durch die 
hypergeometrische Reihe oder durch das ihr proportionale bestimmte 
Integral gewissen Beschränkungen unterworfen ist. 

Bromberg. A. Radicke.' 



V. Schlegel: Die Elemente der modernen Geometrie und Al- 
gebra. Nach den Frincipien der Grassmann'sohen Axis- 
dehnungslehre und mit Berücksichtigung verwandter 
Methoden dargestellt. A. u. d. T. System der Raum- 
lehre. 2. Theil. (Leipzig. Teubner. 1875.) 

• 

Der Zweck dieses Werkes ist, die in Grassmann's Ausdehnungs- 
lehre niedergelegten Ideen in ähnlicher Weise fiir die Lehren der 
modernen Geometrie und Algebra zu verwerthen, wie es im 1. Theil 
für die Elemente der Geometrie geschehen war. Im Allgemeinen 
lässt sich die Stellung, welche Grassmann's Arbeiten gegenwärtig 
zu den Leistungen der Zeitgenossen einnehmen, am besten durch 
die Worte charakterisiren, mit welchen ein Aufsatz der Math. An- 
nalen über die mathematischen Arbeiten von Clebsch (Bd. 7, S. 12) 
der Grassmann'schen Leistungen ged^^t: „Man beginnt erst in 
der letzten Zeit, auf die Grassmann'schen Arbeiten zurückzugehen 
und bemerkt, dass Grassmann bereits in den vierziger Jahren 
eine Reihe sehr umfassender Ideen concipirte, welche der Process 
allgemeiner geometrischer Entwickelung erst in der Zwischenzeit 
ausgebildet, zum Theil aber noch gar nicht berührt hat". Da das 



V. Schlegel. 53 

Studium der Grassmann'schen Originalwerke einerseits durch die 
grosse Allgemeinheit und den abstracten Charakter der Untersuchung, 
andererseits durch den Mangel einer befriedigenden Gliederung 
grosse Schwierigkeiten bietet, so war es von vornherein das Streben 
des Verfassers, einerseits durch stufen weises Aufsteigen vom Spe- 
ciellen zum Allgemeinen, andererseits durch Einfügung des ganzen 
Stoflfes in ein logisch gegliedertes System eine leicht fassliche und 
übersichtliche Darstellung zu erreichen. Form und Inhalt des 
zweiten Bandes ist hiemach mehrfach durch die .Rücksicht auf den 
ersten bestimmt worden. 

üeber den Inhalt dieses zweiten Bandes ist Folgendes zu be- 
merken. Die der Ausdehnungslehre eigenthümlichen Operationen 
(die sich als Erweiterungen des gewöhnlichen Multiplicationsbegriffs 
darstellen und die Besonderheit bieten, dass sie im Allgemeinen 
nicht an Zahlen, sondern an Raumgrössen ausgeführt werden) 
waren zwar bereits im 1. Bande vollständig aufgestellt und mannig- 
fach angewendet worden. Es fehlten jedoch einige für den Inhalt 
des 2. Bandes wesentliche Anwendungen, welche nunmehr in der 
Einleitung vorangeschickt sind. Es wird hier zuerst der Begriff des 
unendlich fernen Punktes' erörtert, und seine Identität mit dem der 
Strecke nachgewiesen. Daim folgt die Zurückführung der Massbe- 
ziehungen auf projectivische, zunächst für das Gebiet der Geraden. 
Ferner wird die Curve n. Grades (a) als Function eines variablen 
Punktes x dargestellt, und für die Gleichung derselben die allge- 
meine Form aa?" = gefunden, eine Form, durch welche (mit ver- 
änderten Exponenten von a und x) nicht nur alle aus der Func- 
tion ableitbaren Formen (Invarianten, Covarianten etc.) sich dar- 
stellen lassen, sondern welche sich auch unmittelbar in jede be- 
liebige Coordinaten-Gleichung verwandeln lässt. Endlich werden 
aus einem allgemein aufgestellten Multiplicationsbejgriff die verschie- 
denen in der Ausdehnungslehre verwendeten MultipHcationen (ein- 
schliesslich der algebraischen) durch Specialisirung abgeleitet, wobei 
sich die völlige Gleichberechtigung aller dieser MultipHcationen 
herausstellt. 

Die 1. Abtheilung, welche eine Lücke des 1. Bandes auszufüllen 
bestimmt ist, behandelt die elementaren Eigenschaften der Kegel- 
schnitte, indem dieselben als Resultate der Bewegung eines Punktes 
mit Rücksicht auf einen festen Kreis betrachtet werden. Es er- 
geben sich aus dieser Form der Darstellung mancherlei die An- 
schaulichkeit und Kürze betreffende Vortheile. 



L 



54 ^* Schlegel. 

Die 2. Abtheilung (Projectivität von Punkten und Linien) be- 
handelt nach einander Halbirungspunkte und -Linien^ harmonische^ 
involutorische und projectivische Punktreihen und Strahlenbüschel; 
wobei die Begriffe der Involution und Projectivität auf Vereine von 
Punkten, die nicht in einer Geraden liegen, und von Geraden, die 
nicht durch einen Punkt gehen, ausgedehnt werden. Den Schluss 
bilden die Eigenschaften des Pascarschen und des Brianchon 'sehen 
Sechsecks. — Die in dieser Abtheilung erscheinenden Methoden 
und Bezeichnungen haben äusserlich eine nicht geringe Aehnlich- 
keit mit denen der neueren analytischen Geometrie, wie sie nament- 
lich von Hesse ausgebildet worden. Doch besteht ein wesentlicher 
begrifflicher Unterschied. Die symbolischen Gleichungen- von der 
Form a = 0, durch welche sonst Punkte und Linien dargestellt 
werden, sind nur abgekürzte Bezeichnungen für mehr oder weniger 
verwickelte Ooordinatenausdrücke. Es muss nun, nachdem der 
wesentliche Charakter dieser Ausdrücke durch die Abkürzung ver- 
schwunden ist, als ein weiterer Fortschritt in der Bezeichnung an- 
gesehen werden, wenn es gelingt, diese einfachen Symbole ohne 
den Umweg durch die Ooordinatenausdrücke zu erlangen. Zu diesem 
Fartschritte führen aber die Methoden der Ausdehnungslehre ganz 
von selbst, da sie eben lehren, dieselben Rechnungen mit Punkten 
und Linien auszuführen, welche sonst an den symbolischen Glei- 
chimgqn dieser Gebilde vollzogen werden. Diese gedankliche Ver- 
einfachung bewirkt gleichzeitig einen engeren Anschluss der geo- 
metrischen Deutung an die Rechnung, als er bisher möglich war, 
und an vielen Stellen eine bedeutende Vereinfachung der Betrach- 
trachtungen wie der Rechnungen. 

Die 3. Abtheilung enthält die Lehre von den zusammengesetzten 
Grössen, an deren Spitze sich vermöge seiner besonderen einfachen 
Eigenschaften der Kreis stellt. Hier werden vorzugsweise die Sätze 
über Systeme von Kreisen, die sich in 2 oder 1 Punkte schneiden, 
abgeleitet. — Es folgt die Lehre von den Determinanten. Der Be- 
griff der ursprünglichen Einheiten, wie ihn die Ausdehnungslehre 
aufstellt, erweist sich hier als ein besonders fruchtbarer, indem er 
nicht nur eine sehr einfache Definition (die Determinante ist der 
Zahlfactor eines äusseren Productes aus n linearen Factoren, deren 
jeder aus denselben n Einheiten abgeleitet ist) und eine angemessene 
und bequeme Bezeichnung herbeiführt, sondern auch alle Deter- 
minantensätze in kürzester und klarster Weise liefert. Der Grund 
dieser Erscheinung liegt darin, dass alle Regeln und Sätze über 



^ V. SCHLEOEL. 55 

Determinanten in den Eigenschaften der äusseren Multiplication 
ihren Ursprung haben^ und dass die ursprünglichen Einheiten die 
natürlichen Objeete dieser Operation sind. Der Verfasser gelangt 
zu dem Schluss^ dass die äussere Multiplication dieser Einheiten 
für die- .Determinautenlehre von ähnlicher Bedeutung sei, wie das 
Rechnen mit Polynomen fiir die Theorie der dekadischen Zahlen. 
Der Begriff der Functionsdeterminante, speciell^ der Hess ersehen 
Determinante (für welche sich, wenn aa;** die gegebene Function 
und p die Zahl der Variablen ist, der ähnliche Ausdruck a^x^^^^^^ 
ergibt), führt schliesslich auf die Lehre von den räumlichen Fwnctionm, 
Nachdem die allgemeinen Bildungsgesetze der abgeleiteten Formen 
(Invarianten, Covarianten etc.) erörtert worden sind, werden die 
binären Formen 2. 3. und 4. Grades, die Systeme ihrer Formen, 
sowie die wichtigsten simultanen Systeme, und ihre geometrische 
Bedeutqug betrachtet, von den temären Formen die quadratischen, und 
die simultanen Systeme von 2 und 3 solchen Formen. Den Schluss 
bildet die Erweiterung der in der Einleitung gegebenen projectivischen 
Darstellung der] Massbeziehungen für daß Gebiet der Ebene. — 
Das Eigenartige der Darstellung in diesem Abschnitt besteht in der 
aus den Gesetzen der Ausdehnungslehre mit Nothwendigkeit sich er- 
gebenden Bezeichnungsweise, welche an die Stelle der sonst üblichen 
Symbolik tritt. Indem ferner die symbolischen Rechnungen durch 
die oben erwähnten Multiplicationen ersetzt werden, ergibt sich die 
geometrische Bedeutung der Formen, sowie ihr Zusammenhang 
untereinander mit einer überraschenden Einfachheit, ohne dass man 
nothig hat, die complicirten Goordinatenausdrücke zu bilden. So 
sagt z. B., wenn a ein Punktepaar, und x und y Punkte auf derselben 
Geraden sind, die Gleichung axy = 0, dass x und y mit a harmonisch 
sind, (a/3)a»0, dass a und ß harmonische Punktepaare sind, 
(ctß)a^ =^0, dass das Paar (aß) mit den Paaren a und ß gleich- 
zeitig harmonisch ist, (ccßy) = 0, dass die drei Paare a, /3, y in- 
volutorisch sind, etc. Hierbei ist (aß) simultane Invariante zweier, 
(aßy) dreier, (aß)oi? simultane Co Variante von zwei binären qua- 
dratischen Formen. — Weniger wichtig für geometrische Zwecke er- 
scheint die Formenbildung durch Multiplication von Determinanten; 
dieselbe ist jedoch im paralleler Darstellung beigefügt, da sie vor- 
läufig für manche algebraischen Untersuchungen noch nicht zu ent- 
behren ist. Auch auf die canonischen Formen wird wenig Werth 
gelegt; dieselben werden (mit geometrischer Interpretation) zwar ge- 
bildet, jedoch für die Folge nicht weiter benutzt. Im Ganzen tritt 






56 V« Schlegel. — R, Hoppe. 

durch den Wegfall der Coordinaten eine schärfere Scheidung ein 
zwischen den wesentlichen Eigenschaften einer Form und denjenigen, 
welche eben nur in besonderen Beziehungen der Coordinaten be- 
stehen. Es würde die üebersichtlichkeit und Fasslichkeit der Lehren • 
der modernen Algebra ungemein erhöhen, wenn diese Scheidung 
des geometrisch Wichtigen von dem rein Algebraischen zur allge- 
meinen Durchführung gelangte, und wenn die so verschie4enartige, 
willkürliche und complicirte Symbolik der verschiedenen Autoren 
einer einheitlichen, sachgemässen und einfachen Bezeichnungsweise 
Platz machte, wie sie herzustellen im letzten Theile dieses Buches 
versucht worden ist. Die Hauptbedingimg für das Gelingen einer 
wirklich nützlichen Reform auf diesem Gebiete scheint die Emanci- 
pation von den Coordinaten zu sein. Denn bei allem Nutzen, den 
die Coordinaten auf anderen Gebieten gewähren, ist doch nicht zu 
übersehen, dass diese dem Gegenstande der Untersuchung fremden 
Gebilde hier nur zu oft den Blick vom Wesentlichen ablenken, 
ganz abgesehen von der Weitläufigkeit der • Bezeichnungen und 
Rechnungen, die sieh von ihrem Gebrauche nicht trennen lässt. 

Waren. V. Schlegel. 



B. Hoppe: Zum Problem des dreifach orthogonalen Flächen- 
systems. (Grunert's Archiv LV. 362—391. LVI. 153—162. 250 
—266. LVn. 89—106. 255—276. 366—384. LVIII. 37—48. . 

Das genannte Problem wird vermittelt durch die Darstellung 

eines der Variation fähigen Systems von Krümmungslinien auf einer 

mitvariirenden Fläche. Ein solches System wird gewonnen unter 

Zugrundelegung der ihm entsprechenden Indicatrix der Normale, 

d. i. eines beliebig gegebenen orthogonalen Curvensystems auf der 

Kugel für den Radius = 1. Zuerst nämlich bestimmt eine lineare 

Differenzialgleichung 2. Ordnung 

/^N d^m . dm dlogM dm d , dM 

^ ^ dudv "^ du dv dv du ° MNdv 

den einen Hauptkrümmungsradius m, woraus dann der andere n ge- 
mäss der Relation * 

dM ^ d(Mm) 

dv dv 

• 

ohne neue Integration folgt, und nachher ergeben sich sofort durch 
blosse Quadratur die Gleichungen der Fläche 



E. Hoppe. 57 



X 



y(^"lf"^** + ^-if ^^)' y = etc. 



in Parametern der Krümmungslinien w, v. Hier sind die Richtungs- 
cosinus der Normale p, g[, r^ und demnächst die Grössen 

'"-m'+m'+m'-^ ^ - (t )■ + (if )' + (i^r 

als gegeben in u, v zu betrachten. Da die Integration der Gl. 
(8) 2 willkürliche Functionen einführt, so löst sie die Aufgäbe, 
die Plächenfamilie von gemeinsamer Indicatrix des Nprmalensystems 
zu bestimmen. Man kann nun von da zu der weitern Untersuchung 
schreiten, welche dreifach orthogonalen Plächensysteme eine Flächen- 
schaar aus jener Familie besitzen, indem man alle hinzugetretenen 
Constanten mit einem dritten Parameter w variiren lässt, und für 
u und V Functionen von (w, w) und (v, w) substituirfc. Die Be- 
dingungsgleichungen der Orthogonalität nach w sind dann wieder 
linear, die Integrationen haben meist keine Schwierigkeit, und es 
handelt sich mehr um Scheidung der Fälle der Vereinbarkeit und 
Unvereinbarkeit. In dieser Weise sind in den 5 ersten Artikeln 2 
Flächenfamilien behandelt, beide von der Eigenschaft, dass die 
rechte Seite der Gl. (8) null ist. Bei der ersten besteht die stereo- 
graphische Projection des Systems der Indicatricen aus 2 Kreis- 
schaaren, bei der zweiten aus einer Schaar Gerader und ihren pa- 
rallelen Trajectorien. Der 6. Artikel sucht die Familie, welcher die 
Flächen 2. Grades angehören; der 7. die orthogonalen Flächen- 
systeme, deren eine Schaar selbst 2. Grades ist. 

Berlin. ß. Hoppe. 



B. Hoppe: Beispiel einer einseitigen Fläche. (Grunert's Arch. 

LVn. 328—334.) 

Betrachtung der geschlossenen Fläche 
X = cos u cos 2t; ; y = cos m sin 2t; ; je? = sin w (cos v — cos u sin v) 
deren eine Seite stetig in die andere verläuft. 

Berlin. R. Hoppe. 



58 B. ^OPFB. — F. BaCHMAHV. — L. BUBHESTEB. 

B. Hoppe: Ueber die Symmetriepunkte des Dreiecks. (Gnmert's 

Arch. 422.) 

Die Symmetriepunkte werden nach barycentrischer Bestimmung 
definirt. Die Betrachtung knüpft sich hauptsächlich an die Be- 
ziehung zwischen Punkten und yon denselben erzeugte Linien für 
reciproke Belastung der Ecken. Insbesondere werden die Kegel- 
schnitte untersucht; welche Geraden als reciproke Linien entsprechen. 

Berlin. • R. Hoppe. 



F. Baohmann: Arithmetische Sleioigkeiten. (Zeitschrifb für Math, 
und Physik, 20. Jahrg.) 

Unter diesem .Titel habe ich zwei kleine Bemerkungen ver- 
öffentlicht ^ deren erste die Aufgabe löst: alle diejenigen pythagori- 
sehen Zahlen explicite zu bestimmen, bei welchen die kleineren 
beiden zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind. ' 

In der zweiten beweise ich den Satz, dass der Quotient 

1 .2.3. ..2a . 1.2. 3. ..26 

1.2.3...a.l.2.3...(a + 5).1.2.3...6 

eine ganze Zahl sei. Dieser Satz, von Catalan scheinbar aus der 
Theorie der elliptischen Functionen erhalten, findet sich in den 
Nouv. annal. de math. par M. Gerono t. 13 als question 1135 auf- 
gestellt; ein Beweis desselben ist bisher daselbst nicht gegeben wor- 
den, denn der Satz, welchen Bourguet ebend. t. 14 pag. 89 be- 
wiesen hat, enthält jenen, wie Catalan pag. 179 richtig bemerkt, 
keineswegs als einen speciellen Fall. 

Münster. P. Bachmann. 



Ii. Bnrmester: Einematisoh-geometrisohe Untersuchungen der 
Bewegung gesetsmässig- veränderlicher Systeme (dritte 
lüttheüung). (Zeitschrift far Mathem. und Physik, Bd. 20, 

S. 381 — 422, nebst 2 Tafeln.) 

In der Geometrie der Bewegung wurde bis jetzt vorzugsweise 
die Bewegung der starren ebenen und räumlichen Systeme erforscht 
und vom kinematischen Standpunkte aus besonders auf die praktische 



L. BUBHESTEB. 59 

Yerwerthung Bücksicht genommen. Die Emporsteigung zur höheren 
Allgemeinheit erfordert die Aufhebung der Schranken^ welche die 
bisherigen Grundlagen umschliessen; daher bildet dem Wesen dieser 
Disciplin gemäss die Voraussetzung bewegter gesetzmässig-veränder- 
licher Systeme das unbegrenzte fruchtbare Fundament^ auf dem sich 
die höheren Stufen kinematisch-geometrischer Forschung entwickeln. 
Die Ergebnisse sind in jeder Hinsicht von hoher Allgemeinheit, weil 
sie auf der breiten Basis der Annahme bewegter veränderlicher 
Systeme •stehen; und die Gesetze, welche sich ergeben, liefern einen 
unermesslichen Reichthum kinematisch -geometrischer Beziehungen, 
die specialisirt auch för die Bewegung starrer Systeme gelten. Für 
die ersten Behandlungen der Bewegung veränderlicher Systeme schien 
mir die synthetische Methode am zweckmässigsten, weil sie durch 
die Anschauung zur geometrischen Klarheit und besseren üeber- 
sichtlichkeit führt-, daher sind die fundamentalen Beziehungen und 
die wichtigsten Folgerungen durch rein -synthetische Betrachtungen 
abgeleitet, in denen zugleich die Directive für eine höhere analytische 
Behandlung liegen. Die Einwirkung der kinematischen Methode 
auf die analytische Mechanik wird in der Folge grossen Nutzen 
bringen und die bekannten Sätze der Phoronomie werden sich als 
Glieder eines umfassenden grossen Organismus manifestiren. 

In den beiden ersten Abhandlungen (Zeitschrift f Math. u. 
Phys. Bd. 19.), welche der oben genannten dritten Mittheilung vor- 
angehen, wurden die Grundzüge der Bewegung ebener Systeme 
untersucht, welche in ihren verschiedenen Phasen ähnlich, affin, 
oder coUinear bleiben. In der dritten Abhandlung wird die Unter- 
suchung der collinear- veränderlichen ebenen Systeme besonders in 
Hinsicht auf das wichtige Princip der Umkehrung der Bewegung 
fortgesetzt, und hierauf werden unsere synthetischen Betrachtungen 
auf die Bewegung der coUinear-veränderlichen räumlichen Systeme, 
so wie der kreisverwandt-^eränderlichen ebenen ^lysteme ausgedehnt. 
Bei einem coUinear-veränderlichen System bleibt eine Gerade wäh- 
rend der Bewegung in allen Systemphasen eine Gerade; bei dem 
kreisverwandt -veränderlichen System bleibt jeder Kreis in allen 
Phasen des Systems ein Kreis, der,- wenn sein Durchmesser unend- 
lich gross wird, in eine Gerade übergeht. Eine Gerade, welche wir 
als einen unendlich grossen Kreis ansehen, verwandelt sich durch 
den Üebergang von einer Phase zur anderen in einen Kreis. Durch 
die Untersuchung der Bewegung des kreisverwandt- veränderlichen 
Systems werden die ersten Stadien des Weges eröfl&iet, der zu den 



n 



60 L. BubHestes. 

höheren Stufen kinematisch geometrischer Beziehung führt. Die 
Kreisverwandtschaft ist ein besonderer Fall der Verwandtschaft 
zweiten Grades. Es bleibt dann noch für die nächste Folge die 
Behandlung der Bewegung solcher veränderlicher Systeme, deren 
Phasen in Verwandtschaft zweiten Grades stehen, um durch Ueber- 
tragung von hieraus zu der Cremo na 'sehen Verwandtschaft zu ge- 
langen. Damit ist dann der Weg zu der höchsten Stufe kinematisch- 
geometrischer Beziehungen, der Bewegung rational -veränderlicher 
Systeme gebahnt, deren Phasen in Cremona'scher Verwaadtschaft 
bleiben. 

Im ersten Theile der dritten Abhandlung wird die Bewegung 
der coUinearen ebenen Systeme^ behandelt und der nachstehende 
fundamentale Satz, zu dem sich der duale von selbst gesellt, ab- 
geleitet. 

Sind drei Punkte eines collinear-veräfiderlichen ebenen Systems fest, 
so sind alle Bahncurven der beweglichen Systempunkte entdeckende 
Curven in coUinearen ebenen Systemen, welche die drei festen Punkte 
als selbstentsprechende Punkte besitzen. 

Auf diesen wichtigen Satz kann jede conplane Bewegung eines 
collinear- veränderlichen ebenen Systems zurückgeführt werden; denn 
während jeder unendlich kleinen Bewegung bleiben drei System- 
punkte (die CoUineationspole) fest. Ferner ergibt «ich aus diesem 
fundamentalen Satz die Umkehrung der Bewegung. In einem 
collinear-veränderlichen ebenen System mit drei festen Punkten be- 
schreiben die Punkte -4, £, (7 . . . einer Systemcurve K, deren 
Phasen K^, K^j K^ ... sind Bahncurven a, 6, c . . .; denken wir uns 
diese Phasen erstarrt, so kann man dieselben als Bahncurven der 
Punkte einer Curve L ansehen, deren Phasen die Curven a, &, c . . . 
sind, und einem anderen collinear-veränderlichen System angehört-, 
T^elches dieselben drei festen Punkte besitzt. Da dieCurvenJ^j, JEgj^a«-- 
und die Curven abc:. dieselbe Curve k umhüllen, so kann die HüU- 
bahncurve k auf zweierlei Weise erzeugt werden, d. h. wir erhal- 
ten dieselbe Curve k, wenn die Bewegung umgekehrt wird. Eine 
Systemcurve K, deren Punkte Ä, B,C . . sich auf Bahncurven a, 6, c . . 
bewegen, welche mit K zusammenfallen, erzeugt eine HüUbahncurve 
k, die mit K identisch ist, und alle Phasen K^, jKg, K^ . . liegen in 
K] hüllen diese selbst ein. Solche Curven eines veränderlichen Sy- 
stems, welche sich* in sich selbst bewegen, werden SelhsthiUlcurven 
genannt und zeichnen sich durch viele interessante Eigenschaften 
aus. Als besonderer Fall solcher Curven treten die Kegelschnitte 



L. BUBMESTER. 61 

auf, welche in zwei festen Punkten die von (iiesen nach dem dritten 
festen Punkt gehenden beiden Geraden berühren, und diese Kegel- 
schnitte haben bei der Bewegung eines rotirenden starren ebenen 
Systems die in sichl selbst bewegten Kreise als Analogen. Bei der 
allgemeinen conplanen Bewegung eines coUinear-veränderlichen ebe- 
nen Systems beschreiben die drei CoUineationspole eine dreitheilige 
Curve in der festen Ebene und in dem veränderlichen System. Die 
iBrste wird die CoUineationspolbahn, die zweite die CoUineationspol- 
curve genannt, und weitere Darlegungen liefern die wichtigen Sätze: 

Bei der Bewegung eines coUine(w -veränderlichen ebenen Systems 
rolU die CoUineationspoleurve auf der CoUineationspolbahn, 

Eine Phase K^ einer in einem collinear -veränderlichen ebenen 
System S liegenden Curve K, welche eine Hüllbahncurve h erzeugt, kann 
als die Hüllbahnearve von der einem collinear -ver (inderlichen ebenen 
System 2] zugewiesenen Curve k angesehen werden; dabei bewegen sich 
die Punkte des Systems U auf solchen Curven, die, wenn sie dem System 
S angehörten, Punkte umhüllen , und die PJiase o^, der bei der ersten 
Bewegung auf der CoUineationspolbahn co rollenden CoUineationspoleurve 
o des Systems S ist bei der zweiten Bewegung die CoUineationspolbahn, 
auf der die Curve co des Systems E roUt 

Diese beiden wichtigen Sätze, von denen der zweite das Princip 
der ümkehrung der Bewegung in sich trägt, gelten ganz allgemein 
für jede eindeutige Verwandtschaft, also auch für die Bewegung 
eines ebenen Systems, dessen Phasen in Cremona'scher Verwandt- 
schaft stehen. 

In dem zweiten Theil werden die Grundgesetze der bewegten 
coUinear-veränderlichen räumlichen Systeme in analoger Weise wie 
im ersten 'Iheil synthetisch abgeleitet und die wichtigsten Folgerungen 
aus dem nachstehenden fundamentalen Satz gezogen: 

Sind vier Punkte eines coUinear-veränderlichen räumlichen Systems 
fest, so sind alle Bahncurven der beweglichen Systempunkte entsprechende 
Curven in collinearen räumlichen Systemen, welche die vier festen Punkte 
als selbstentsprechende Punkte besitzen. 

Durch eine briefliche Mittheilung des Herrn Reye bin ich nach 
dem Erscheinen meiner Abhandlung belehrt worden, dass dieser 
wichtige Satz schon in v. Staudt's Beiträgen zur Geometrie der 
Lage (Heft HI, S. 332) enthalten ist; und es ist zu bedauern, dass 
die unübersehbare Fruchtbarkeit desselben, welche sich durch die 
kinematisch-geometrische Interpretation ergibt, nicht früher entdeckt 
wurde. Durch die synthetischen Darlegungen ist dieser Satz zwar 



62 L. BUBMESTEB. 

nur für vier reelle, so wie für zwei reelle und zwei imaginäre feste 
Punkte bewiesen; analytisch lässt sich auch leicht seine Gültigkeit 
nachweisen, wenn alle vier Punkte imaginär sind. Jede unendlich 
kleine Bewegung eines collinear-veränderliche9 räumlichen Systems 
kann als eine solche mit vier festen angesehen werden. Die Um- 
kehr der Bewegung ergibt sich in gleicher Weise wie für das ebene 
System, zu den SelbsthüUcurven treten hier als Analogon die SeJbst- 
hüllflächm ; femer folgt aus jenem fundamentalen Satz die Eigen- 
schaft eines tetraedralen Strahlencomplexes, dass derselbe wandelnd 
in sich selbst übergeht. 

Der dritte Theil enthält die Gxundbeziehungen der Bewegung 
des kreisverwandt- veränderlichen Systems, welche durch Inversion 
aus der Bewegung des ähnlich-veränderlichen ebenen Systems ab- 
geleitet werden. Das Fundament der Folgerungen bildet der Satz: 

Sind zwei Punkte eines Jcreisverwandt^veränderlichen eienen Systems 
fest, so sind alle Bahncurven der beweglichen Systempunkte entdeckende 
Curven in hreisverwandten Systemen^ welche diese festen Punkte als 
selbstentsprechende Punkte besitzen. 

Da im ähnlich-veränderlichen ebenen System die logarithmischen 
Spiralen SelbsthüUcurven sind, so ergibt sich durch Inversion, dass 
im kreisverwandt- veränderlichen ebenen System logarithmische Doppel- 
spiralen als SelbsthüUcurven auftreten. 

Durch stereographische Projection wird zu der Bewegung kreis- 
verwandt-veränderlicher ebener Systeme auf der Eugelfläche das Ana- 
logon erhalten. Bei der Bewegung des kreisverwandt-veränderlichen 
Systems tritt zum ersten Male die hohe Allgemeinheit hervor; denn 
hier ändern sich alle Kreise und alle Gerade gehen in Kreise über, 
wenn sich das System aus einer Phase in die andere bewegt. Im 
coUinear-veränderlichen Syste^ verändert sich die Punktreihe, aber 
nicht der gerade Träger derselben, eine Gerade bleibt in allen 
Systemphasen eine Gerade. Durch diese höhere Auffassung werden 
wir zu wichtigen interessanten Ergebnissen geführt, welche uns eine 
inhaltsreiche Perspective für die Weiterforschung in dem frucht- 
reichen Gebiete der kinematischen Geometrie ero&en; und wir wer- 
den zu der Erkenntniss geführt, dass auch in dieser Richtung viele 
Schätze verborgen Hegen, die erst durch tiefere Forschung gehoben 
werden. 

Dresden. L. Burmester. 



J. EOBTEWEO. 63 



D. J. Eorteweg: Ueber einige Anwendungen eines besonderen 
Falles der homographischen Verwandtschaft (der Affinität). 

' (Zeitschrift für Math, und Phys. Jahrg. 21. Heft 1.) 

Den bereits von Möbius und Chasles ausgesprochenen ein- 
fachen Theoremen über die Lehre der Affinitöt ein neues anzureihen, 
war Zweck der Abhandlung. Dazu wurde der Begriff von affinen 
Figuren eingeführt, welche sich nämlich durch Affinität von einan- 
der ableiten lassen, wie z. B. alle Tetraeder, alle Parallelepipede, 
alle EUipsoide, etf. Bezeichnet man jetzt allgemein mit An eine 
Figur affin mit einer gegebenen Figur A^ so kann folgendes Theorem 
in allgemeinster Form ausgesprochen werden: 

Steht irgend eine Figur Ap zu einer andern Figur Bp in einer 
Beziehung, welche durch affine Projection nicht geändert unrd, und ist 
Ap die grösste von allen Figuren An die in dieser Beziehung denkbar 
sind, so ist Bp die kleinste aller Figuren Bn, die mit Ap in gleich- 
artige Beziehung gebracht werden können. 

Es folgt z. B. aus diesem Theoreme uimiittelbar, dass: das 
grosste EUipsoid in einem Tetraeder so gelegen sein muss, dass 
das Tetraeder zu den kleinsten gehört, die um das Ellipsoid be- 
schrieben werden können. Oder gilt es das §rösste Ellipsoid, wel- 
ches die sechs Kanten eines Tetraeders (und nicht ihre Ver- 
längerungen) berührt, so wird dieses Tetraeder das kleinste sein 
müssen, dessen Kanten (und nicht ihre Verlängerungen) Tangenten 
des EUipsoids sind. 

Es wird weiter die Affinität auf die Mechanik angewendet und 
einige Sätze angeführt, die aber grösstentheils schon mehr oder 
weniger deutlich ausgesprochen in Culmann's stjatischer Graphik 
vorkommen. Es ergibt sich daraus z. B.: 

In jedem Tetraeder sind die Axen des Centralellipsoids mit den 
Axen des grössten eingeschriebenen EUipsoids gleichgerichtet; beide 
ElBpsoide werden gleichzeitig zu Rotationskörpern. 

Breda. J. Korteweg. 



64 S. GÜNTHBB. 

8. Günther: Ein Btereometrisohes Problem. (Archiv der Mathem. 
und Physik, Band 67.) * 

Im 56. Bande der gleichen Zeitschrift hatte Bender die Frage 
discutirt, wie viel congruente Kugeln mit einer Kugel des nämlichen 
Radius zur Berührung gebracht werden können. Sein Resultat, 
welches die Maximalzahl 12 ergab, war richtig, allein die Begrün- 
dung erschien nicht streng genug. In der vorliegenden Arbeit ward 
demzufolge erstlich durch directe Berechnung gezeigt, dass es in 
der That nicht mehr als 12 solche Kugeln geben könne, dann aber 
auch ein Weg angegeben, welcher die betreffende Anzahl direct 
finden lehrt. 

München. S. Günther. 



8. Günther: Auflösung eines besonderen Systemes linearer Glei- 
chungen. (Archiv der Mathem. und Physik, Bd. 57.) 

In seiner bekannten Untersuchung über die Portpflanzung des 
Schalles war Lagrange auf ein gewisses System trigonometrischer 
Gleichungen geführt worden, mit dessen Auflösung sich später 
Grelle und Unferdinger eingehend beschäftigt haben. Das be- 
treffende System stellt sich dar als specieller Fall des nachstehen- 
den allgemeineren: 

«2,1^^1 + «2,2^^ H h öt2,nÄJn — (h,nä^n-{-l <h,2X2n-l 

Ö2n — 1,1^^1 + Öt2n— 1,2^^2 H h ^^2»»— l,n^« + Ö^2n — M^^n-l-l H 

-f- «2»»— 1,2^^2 n—1 -^ fhn— l,1^2n = -42n — 1 j 
Ö2n,l^l + (hH,2002 H h a2n,niX^n — Ö2»,n^n+1 

Lässt sich auch keine explicite Auflösung dieses Systemes er- 
bringen, so gelingt es doch, die resultirenden Determinanten erheb- 
lich zu vereinfachen, und indentificirt man die erhaltenen B.elationen 
mit den von Lagrange erhaltenen Werthen, so ergeben sich ge- 
wisse interessante Relationen für Determinanten, deren Elemente 
gewisse goniometrische Ausdrücke darstellen. 

München. S. Günther. 



S. GüMTH£B. 



65 



S. Günther: Das iudependente Bildungsgesetz der Eettenbrüche. 

(Denlcschriffcen der math.-phys. Klasse der k. k. Academie der Wissen- 
schaften zu Wien. Oct. 1875.) 

In der geschichtlichen Einleitung zu diesem Aufsatze werden 
die Bemühungen aufgezählt, das independente Bildungsgesetz der 
Näherungs-Zähler und Näherungs-Nenner eines Kettenbruches aus- 
zumitteln. Dieselben zerfallen in drei Kategorieen, je nachdem 
man nämlich direct auf combinatorischem Wege oder aber, wie 
dies Bin et und Zehfuss thaten, durch Auflösung einer trinomi- 
schen linearen Differenzengleichung zum Ziele zu gelangen suchte; 
an dritter Stelle endlich erscheint die eigentHche Determinanten- 
Darstellung. Da jedoch auch diese keinen*Einblick in die Bildungs- 
weise der betreffenden Ausdrücke verstattet, so wird sie hier ledig- 
lich zur Basis für eine weitere Entwicklung genommen. Sobald 
man^ was sehr einfach geschehen kann, den Kettenbruch auf die 
reducirte Form (vom durchgehenden Partialzähler 1) gebracht hat, 
handelt es sich offenbar noch darum, die allgemeinere symmetrale 
(gauche) Determinante von voller Diagonale 



e - 


«1 


...0 





«1 


z • 


—«2 ... 








«2 


...0 











0...e 


— «n 1 








... a„. 


-1 a« 








0...0 


CCn Z 



in eine nach Potenzen von ^ fortlaufende Reihe zu entwickeln, so 
zwar, dass der Coefficient jeder einzelnen Potenz in geschlossener 
Summenform sich darstelle. Mit Hülfe eines neuen Lehrsatzes wird 
diese independente Darstellung erbracht und auf dieselbe dann, ein 
Schema zur praktischen Berechnung gegründet. Dass dasselbe mit 
den anderen bekannten Verfahrungsweisen in Ansehung der prakti- 
schen Verwendbarkeit zum mindesten concurriren könne, wird an 
einem complicirteren Beispiele direct nachgewiesen. 

München. S. Günther. 



Bepertorium für reine und angewandte Mathematik. 






66 S. Günther. 

S. Günther: Lehrbuch der Determinantentheorie für Studirende. 

(Erlangen 1875. Verlag von Eduard Besold.) 

Dieses Buch ist bestimmt, zwischen den zahlreichen guten 
Elementardarstellungen, welche unsere Literatur besitzt, und dem 
grossen Handbuch von Baltzer ein Mittelglied zu bilden, auf wel- 
ches hauptsächlich der akademische Unterricht des ersten Jahres sich 
stützen kann. Dasselbe zerfällt in 9 Kapitel. Das erste sucht von 
der historischen Entwickelung des Determinantencalculs in dejn durch 
die Namen Leibnitz und Cauchy fixirten Zeiträume Rechenschaft 
zu geben, und zwar werden hiebei einige bisher unbekannte Lei- 
stungen der Hindenburg'schen Schule ihrem wahren Werthe nach 
gewürdigt. Das zweite Kapitel enthält eine ausführliche Darstellung 
der eigentlichen Elemente; das dritte unter dem Titel „Determinanten 
von besondrer Form" die Lehre vom Differenzenproduct, den ad- 
jungirten, symmetrischen und symmetralen Determinanten, wobei 
a\if die Behandlung der sogenannten orthosymmetrischen Determi- 
nanten ein besonderes Gewicht gelegt wird. Das vierte Kapitel 
bietet einen kurzen Abriss der Theorie der Determinanten vom 
dritten und höheren „Rang^^ in einer gegen die bahnbrechenden 
Arbeiten italienischer Mathematiker der Bezeichnung nach verbesserten 
Form. An fünfter Stelle wird die Lehre von der Elimination im 
weitesten Sinne mit Anwendungen auf die Fürsten aussehe Methode, 
die independente Darstellung der Bernou Hirschen Zahlen, recur- 
rirende Reihen, Discriminanten etc., vorgetragen. Das sechste Ka- 
pitel enthält eine umfassende Theorie der Kettenbruchdeterminanten, 
das siebente eine Anzahl geometrischer Beispiele: Dreiecksinhalt, 
Tetraedervolumen, Hauptaxenproblem. Dann folgt die Theorie der 
Functionaldeterminanten, welche nach Begründung der Hauptsätze 
die Transformation der bestimmten Integrale, das Krümmungsmass 
und die Lehre von der Hesse 'sehen Determinante erledigt Das 
neunte Kapitel endlich behandelt „lineare Substitutionen" und schliesst 
mit der Darstellung der Untersuchungen von Weierstrass über 
bilineare Functionen. 

München. S. Günther. 



A. Pbingsheih. 61 



A. Fringsheim: Zur Transformation zweiten Grades der hyper- 
eUiptischen Functionen erster Ordnung. (Math. Annalen 
Bd. IX.) 

Wie Herr Professor Koenigsberger im 67. Bande des Crell er- 
sehen Journals gezeigt hat, geht eine hyi3erelliptisclie Thetafunction 
mit zwei Variablen durch eine Transformation zweiten Grades in ein 
Aggregat von vier Theta-Quadraten oder von zwei Theta-Producten 
über, je nachdem gewisse mit nt, tt, p, q bezeichnete, für die 
Transformation charakteristische ganze Zahlen, die aus den Charak- 
teristiken m^^j m/, Wj^, ^2^ des zu transformirenden ^x{v^,v.^) und 
den Transformations-Zahlen des Schemas 

^11 ^12 — <^i2 — <^ll 

^21 ^22 ^22 ^21 

/ r 

(>21 (^22 ^22 ^21 

r f 

Qi\ Qi2 Qu Qn 
zusammengesetzt sind, sämmtlich gerade sind oder nicht. Ich be- 
fasse mich hier speciell mit der ersten Klasse von Transformationen, 
also mit Transformations-Gleichungen von der Form 

(I) E . »x{y^, <) = {a)&.\v„ V,) + {ßW(v„ V,) + (y)»r\v„ v,) 

und leite zunächst aus deren Betrachtung einen Beweis des für alle 
Transformationen zweiten Grades gültigen Satzes her, dass — 
bei jeder Transformation zweiten Grades der hyperelliptischen 
Functionen erster Ordnung aus dem Aiisdrucke für eine trans- 
formirte '9' -Function sich drei und immer nur drei weitere trans- 
formirte '9' -Functionen durch Substitution von halben Perioden 
ableiten lassen. ^ 

Die Untersuchung der Grössen m, tt, )), C| für alle 15 Hermite'- 
schen Repräsentanten der nicht aequivalenten Transfornyitions-Klassen 
lehrt nämlich, dass es für jede Transformation zyeiten Grades ge- 
rade 4 Indices A von der Beschaffenheit gibt, dass ttt, tt, p, q 
sämmtlich gerade Zahlen werden, dass mithin 4 transformirte d'- 
Functionen in der Form (I) erscheinen. Daraus folgt zunächst, dass 
aus, einem Transformations- Ausdrucke von der Form (I) sich höch- 
stens noch drei weitere durch Substitutionen halber Perioden her- 
leiten lassen; und da diese Eigenschaft offenbar unabhängig vom 
Index X und dieser besonderen Gestalt der Transformations -Glei- 
chung ist, vielmehr lediglich auf der Beziehung der Argumente 




68 A. Pbinoshkim. 

v^, V2 und v^y V2 beruht, so gilt dieselbe für jede beliebige Trans- 
formation 2. Grades. Andererseits lässt sich zeigen, dass die 
Anwendung aller 15 möglichen Substitutionen halber Perioden auch 
nicht weniger als drei Veränderungen auf den Index k hervorbringen 
kann, woraus dann unmittelbar der obige Satz in seiner ganzen 
Allgemeinheit folgt. Derselbe lässt schliesslich noch eine Erweiterung 
auf Transformationen von beliebigem paaren Grade zu, sofern man 
nur diejenigen Transformationen aüsschliesst, bei denen alle Trans- 
formations -Zahlen durch 2 oder eine Potenz von. 2 theilbar sind 
(was bei Transformationen zweiten Grades vermöge der Bedingungs- 
gleichung 2Ja{Qia^ia — ^laQia) = 2 uicht stattfinden kann). 

Eine weitere Betrachtimg, die sich unmittelbar an die Trans- 
formations - Gleichungen von der Form (I) anknüpfen lässt, bezieht 
sich auf die linearen homogenen Relationen, wie sie zwischen ge- 
wissen Combinationen von 4 Theta- Quadraten stattfinden. — Da 
die Wahl der Indices a, /3, y, d in (I) einzig und allein durch die 
Bedingung beschränkt ist, dass zwischen den betreffenden 4 Theta- 
Quadraten^ keine Jineare Relation stattfindet, so folgt aus der Un- 
möglichkeit, für a, /3, y, ö vier Indices ungerader •9' -Functionen 
zu wählen, dass zwischen den Quadraten von je vier ungeraden -ö'-Func- 
tionen eine solche Relation stattfinden muss. Combinirt man nun die 6 
ungeraden •^'-Functionen sechsmal zu je 4, in der Weise, dass man 
die Indices cyclisch vorrücken lässt, bestimmt alsdann die Coeffi- 
cienten der Gleichungen von der Form: 

(«) ^J{v,,v,) + (ß) ^/K , V,) + (y) ^/K, V,) + (d) &3\V„ V,) = 

durch Substitution halber Perioden und Nullsetzen der Argumente, 
wendet alsdann auf jede der resultirenden 6 Gleichungen alle 15 
möglichen Substitutionen halber Perioden , an, so erhält man im 
Ganzen 96 homogene lineare Relationen von je 4 -ö*- Quadraten in 
einer sehr übersichtlichen Zusammenstellung. Dieselben sind den 
von Rosenlkain in seinem „Memoire sur les fonctions de deux 
variables et ä quatre periodes etc.'' S. 425 erwähnten aequivalent; 
behufs der Vergleichung .hat man nur festzuhalten, dass den von 
Rosenhain für seine g?- Functionen gewählten Indices 

0,0 0,1 0,2 0,3 1,0 1,1 1,2 1,3 2,0 2,1 2,2 2,3 3,0 3,1 3,2 3,3 

der Reihe nach die -ö*- Indices 

Ol 03 12 i.l-14t.l3i.02 2 i.24 23 Ol 34 i.3 4 5 

entsprechen (wobei der Factor, i oder das Zeichen — sich selbstver- 
ständlich auf die betreffende -ö'-Function, nicht auf den Index bezieht). 



A. Fbinosheim. 



69 



Ich betrachte schliesslich noch den speciellen Fall von Trans- 
formationen zweiten Grades, welcher die .transformirte hyperellip- 
tische 'ö'-Function als ein Product zweier elliptischen '&•- Functionen 
und somit die von Jacobi (in Grelle 's Journal Bd. 8) auf rein 
algebraischem Wege hergestellte Reductiön gewisser hyperelliptischer 
Integrale auf elliptische liefert. Die nothwendige und hinreichende 
Bedingung für dieses Zerfallen der transformirten hyperelliptischen 
Functionen , in Producte von elliptischen Functionen ist die, dass 
der transformirte Modul r^^ = ist und dass mithin ftuC^/, ^2) 
vermöge der Gleichung 

für die NuUwerthe der Argumente verschwindet. Da aber, wie 
Herr Koenigsberger gezeigt hat, ein gerades transformirtes •9' für 
die NuUwerthe der Argumente nur dann verschwinden kann, wenn 
es sich in der Form (I) darstellt, und ausserdem für keine der 
15 Repräsentanten-Transformationen ^i^iv^y v^) in der Form (I) er- 
scheint, so folgt, dass man, um Transformationen von der ge- 
wünschten Beschaffenheit zu erhalten,- jene Repräsentanten -Trans- 
formationen noch mit solchen Linear- Transformationen combiniren 
muss, dass tn, n, p, q für den Index 14 sämmtlich gerade Zahlen 
werden. Ich zeige nun, dass man hierbei leicht auf die folgenden 
4 Linear-Systeme geführt wird: 

1 10 
010 
001 
000 

welche der Reihe nach mit den vier Grundformen der 15 Repräsen- 
tanten combinirt, 15 neue Transformations-Systeme zweiten Grades 
liefern, die der obigen Bedingung genügen. Die Festsetzung 

liefert »dann für diese 15 Transformationen 15 verschiedene Be- 
dingungsgleichungen von der Form 

g?(x^, A^, ft^, x^A^,Ä^|[t^, k^yi^) = (wo (p eine Linearfunction bedeutet), 
unter denen sich auch die von Jacobi behandelte Bedingung 

ft^ _ ^2;^2 

befindet. Diesen einen Fall führe ich nun vollständig durch, be- 
diene mich jedoch hierbei nicht der betreffenden unter den eben er- 



1010 




0101 




0010 




0001 










1000 




1000 







1 100 




0100 


1 




0010 




1010 


1 




001 1 




0101 



70 A. PRINGBHEIM. 

wähnten Transformationen, sondern — um schliesslich genau das 
Jacobi'sche Resultat zu erhalten — einer daraus durch ein neues 
Linear-System abgeleiteten, nämlich der Transformation 

2 00' 

1 100 
I 2000 
1 1111 

welche ebenfalls ^niv^, v^) in der Form (I) liefert und für 
^u(0;0) = ö die Bediogung [i^ = x^k^ gibt. Ich berechne nun die 
Ausdrücke der transformirten Theta's mit den Indices 23, 5, 0, 
führe darauf die Integrale ein, und drücke die O'-Functionen mit 
den Argumenten v^, v^ und v^\ v<l durch die oberen Integralgrenzen, 
die mit Null-Argumenten durch die Integralmoduln aus. Die auf 
diese Weise resultirenden, ziemlich complicirten algebraischen Be- 
ziehungen geben die Reduction einer Summe von zwei hyperellipti- 
schen Integralen von der Form: 

/dx j^ /* dx 
yW{^ J VW) 

1 

(wo R{x)-x{l- x){l-K'x){l~l^x){l-Kn^x)), 
und ebenso 

J* xdx j^ /* xdx 

1 

auf je eine Summe von zwei elliptischen Integralen von der Form: 

yi Vi 



J V{i - y"-) (1 - c'y') J y(i - 



dy 



y') (1 - i'y') 

U 

Jacobi gibt die Reduction eifies solchen hyperelliptischen Integrals. 
Um diese zu erhalten, hat man nur X2 = 1 zu setzen, wodurch 
2/2 = — 2/1 wird: alsdann gehen die erwähnten algebraischen Be- 
ziehungen genau in die von Jacobi gegebenen über, sobald man 
die Jaco hinsehen Bezeichnungen in der richtigen Weise einführt. — 
Endhch wird noch erwähnt, dass die auf zwiefache Weise zu er- 
möglichende Bestimmung der Constanten Ä, B — einmal durch 
Einsetzen der algebraischen Transformations- Ausdrücke, dann auch 
vermöge der Beziehung zwischen %, V2 und v^\ v^ — eine Be- 
ziehung für die Periodicitäts-Moduln der hyperelliptischen .Integrale 
von der Eigenschaft /Lt^ «= x^A^ liefert. Dieselbe lautet 



n 



A. Pbingbheim. — Hamburger. 71 

^Li. _ _ _^n_+J^^i2_ = __ ^A 

-^21 -^21 + 2/1^22 

WO K^i, K^2, K21, K^ die bekannten, sog. reellen Periodicitäts- 
Moduln des betreffenden hyperelliptischen Integrales bedeuten. 

Berlin. A. Pringsheim. 



Hamburger: Zur Theorie der Integration eines Systems von 
n linearen partiellen Differenzialgleichungen erster Ord- 
nung mit 2 unabhängigen und n abhängigen Veränder- 
lichen. (Borch. J. Bd. 81. S. 243—280.) 

Hinsichtlich der Systeme simultaner partieller DifFerenzial- 
gleichungen, in welchen die Zahl der Gleichungen mit der Anzahl 
der abhängigen Variablen übereinstimmt, sind dem Verf. ausser der 
von Jacobi (Grelles J. Bd. IL S. 321) ausgeführten Integration 
einer besonderen Klasse derselben, nämlich der s simultanen Glei- 
chungen : 

{A^ . . An, B^ , , Bs Functionen von x^ . . Xn, z^ . . z^ 

keine allgemeineren Untersuchungen bekannt geworden. Man kann 
indess die Methoden von Monge und Ampere zur Integration par- 
tieller Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit 2 Veränderlichen 
und namentlich die Erweiterung derselben durch Herrn Natani 
(Die höhere Analysis in 4 Abtheilungen. Berlin 1866, p. 365 — 390) 
auf Gleichungen höherer Ordnung und mit mehr unabhängigen 
Variablen als Beiträge zur Theorie der simultanen partiellen Diffe- 
renzialgleichungen bezeichnen. 

In der vorliegenden Abhandlung, welche durch die erwähnten 
Natani'schen Untersuchungen veranlasst ist, wird zunächst folgen- 
des System von n linearen partiellen Differenzialgleichungen mit x 
und y als unabhängigen ^ und z^ , . 0n als abhängigen Variablen be- 
trachtet: 

(1) ^\ 

wo px = -o — , 2x == —^ — , und die Coefficienten a, a, e Functionen 



72 Hambuboer. 

von xy^i . . 0n bedeuten. Die Aufgabe ist, die Integration des 
Systems (1), wenn möglich, auf die Integration von Systemen 
totaler Differenzialgleichungen zurückzuführen. Zu dem Ende ad- 
dirt man die mit l^ . ,ln multiplicirten Gleichungen (1) zu einander 
und setzt die Coefficienten der p und q in der resultirenden Glei- 
chung den entsprechenden Coefficienten in der identischen Glei- 
chung 

+ ^iKdy -] h Q.nKdy 

proportional. Hierdurch ergeben sich zur Bestimmung der Ver- 
hältnisse der Grössen l die n Gleichungen 

l,{a\ ~ a» + . . . + ln{a- - a» = (s = 1, 2 . . w) , 
wo n bestimmt ist durch die Gleichung wten Grades 

m= : =0, 

a^ — a^u • • • «** — a^a 

I n n^ n n~ 

und für die Verhältnisse der Grössen A wird erhalten: 

Aj : • • : An = ^i«} + • • + InCi'l : • • : l^a\ + • • + In^l 

= Wi H \r in«? '-' kcci H h InCCl . 

Führt man noch em v = — z , so lauten die zu inte- 

?i«}H — h^««; 

. . grirenden Systeme totaler Diflferenzialgleichungen 

(2) dy = iidx , l^disii -f- • • +^»^^« = l^vdx . 

Die Anzahl derselben ist gleich der Zahl der verschiedenen Wurzeln 
der Gleichung f{^) = Oy also im Allgemeinen gleich w, der Fall 
gleicher Wurzeln macht besondere Erörterungen erforderlich, die 
wir hier übergehen; nur sei im Allgemeinen bemerkt, dass die An- 
zahl der Systeme (2) verringert wird und zwar für jede Ä-fache 
Wurzel |Lt um Je — 1, dass aber in den Fällen, wo das System der 
zugehörigen Verhältnisse der Grössen l unbestimmt wird, indem die 
l sich als lineare homogene Functionen vom s derselben (1 < s ^ &) 
sich ausdrücken , die Anzahl der Gleichungen des entsprechenden 
Systems (2) sich um s — 1 vermehrt. • In dem besonderen Falle, 
dass das Verhältniss aj. : a^ für alle i und Je constant ist, werden 
alle Grössen l und also auch A willkürlich und man erhält statt 
der n Systeme (2) ein einziges System von n + 1 totalen Diflferen- 
zialgleichungen zwischen den w + 2 Variablen xyz^ . . ^«, also ein 



HAMBUSaEB. 73 

System gewöhnlicher DiJBFerenzialgleichungen. Dieser Fall tritt nur 
ein bei dem oben erwähnten Jac ob i 'sehen System simultaner par- 
tieller Differenzialgleichungen mit 2 unabhängigen Veränderlichen. 

Betreffs des Zusammenhangs der Integrale der Systeme (2), 
ihre Integrabilität vorausgesetzt, itiit den Integralen des Systems 
(1) wird ein alle in Betracht kommenden Fälle umfassender Satz 
bewiesen, welcher für den Fall lauter ungleicher Wurzeln der Glei- 
chung /*(/x) = folgendermassen lautet: 

Sind die beiden Integrale des der Wurzel fik entsprechenden 

Systems (2) 

u^ = const. , w* = conet. , 

dann stellen 

wo q>i . . (pn willkürliche Functionen bezeichnen, die allgemeinen 
Lösungen des Systems (1) dar. Es folgt alsdann die Angabe der 
Bedingungen, welche die Coefficienten des Systems (1) erfüllen 
müssen, wenn die Systeme (2) unbeschränkt integrabel sein sollen, 
wobei nur der Fall lauter ungleicher Wurzeln der Gleichung 
f{fi) = in Betracht gezogen ist. Die Zahl der Bedingungen re- 
ducirt sich bedeutend, wenn die Coefficienten des Systems (1) die 
Functionen z^ , . Zn selbst nicht enthalten und in dem besonderen 
Falle, wo die Coefficienten a und a sämmtlich constant und die e 
blosse Functionen von x und y sind, lässt sich die Integration durch 
blosse Quadraturen bewerkstelligen. 

Eine directe Bestätigung und zugleich Erweiterung der im 
Vorhergehenden erlangten Ergebnisse wird dadurch gewonnen, dass 
nunmehr die Form 

(3) 9? {F(ocyz^ ...Zn)y fiocyz^ . . , Zn)) = , 

in welcher die allgemeinen Lösungen des Systems (1) erscheinen, 
selbst zum Ausgangspunkt der Untersuchung genommen wird. 
Durch partielle Differenziation der Gleichung (3) nach x und y und 
Elimination der willkürlichen Function (p gelangt man zu einer 
'partiellen Differenzialgleichung, in welcher die partiellen Deri- 
virten p, q theils linear, theils in den Verbindungen prQs — QrPs 
auftreten, während die aus der Form (3) resultirende partielle 
Differenzialgleichung in dem Falle einer einzigen abhängigen 
Variablen z{n = 1) bekanntlich stets lineftr ist. Andererseits be- 
stehen zwischen den Coefficienten gewisse Relationen, deren Zahl 

— ^— r — - ist. Stellt man nun die Bedingung, dass die in Bede 



L 



'74 Hambuboeb. 

stehende partielle Differenzialgleichung linear sein soll, so erhält 
man zwischen den Coefficienten der p und q in derselben eine An- 
zahl Relationen, identisch mit denen, welche von den entsprechen- 
den Coefficienten der aus (1) durch Multiplication mit den Grössen 
l und Addition entstandenen Gleichung vermöge der Wahl der l 
erfüllt werden. Von diesem Gesichtspunkte erhellt die eigentliche 
Bedeutung der oben angewandten Multiplicatoren l Die Glei- 
chungen F = const., f = const. erweisen sich als die Integrg,Ie eines 
Systems zweier totaler Differenzialgleichungen , welches dem System 
(2) aequivalent ist. Auch die Nothwendigkeit des Auftretens von 
Integrabilitätsbedingungen in dem Falle w > 1 ergibt sich als eine 
unmittelbare Folge der Integralform (3). In dem allgemeinen Falle, 
in welchem die Coefficienten der Verbindungen prQ^ — qrPs in der 
aus (3) resultirenden partiellen Differenzialgleichung nicht ver- 
schwinden, lässt sich ebenfalls leicht ein System zweier totaler 
Differenzialgleichungen aufstellen, dessen Integrale F = const., 
f = const. sind. Hierdurch ist ein Weg für die Integration eines 
Systems von n partiellen Differenzialgleichungen gegeben, von denen 
die Ate die Form hat: 

(4) a\p, + .. -f a^p, + a^q, -f .. + a^q, +j;,ß',^SPrQs — qrPs) = 

r, a 

(r, s = 1, 2 . . n) 

Die allgemeinen Lösungen haben wieder die Form (3). Da 
* 

von den oben erwähnten — - Relationen zwischen den Coefficien- 

ten der aus (3) abgeleiteten partiellen Differenzialgleichung durch die 
Wahl der auch hier angewandten Multiplicatore% ? nur n befriedigt 
werden können, so bleiben von den Coefficienten in (4) selbst noch 

2 Relationen zu erfüllen, abgesehen von den Integra- 
bilitätsbedingungen, welche von den Systemen totaler Differenzial- 
gleichungen, auf deren Integration die Integration von (4) zurück- 
geführt wird, befriedigt werden müssen. 

Es folgt eine Anwendung dieses Integrationsverfahrens auf die 
Integration einer partiellen Differenzialgleichung wter Ordnung, 
deren Form, als eine Verallgemeinerung der Ampere'schen Glei- 
chung, von Herrn Nat^ni herrührt, und für deren Integration er 
zugleich einen Weg angegeben hat. Für die lineare partielle Diffe- 
renzialgleichung wter Ordnung (verallgemeinerte Monge^sche), die 
in der ersteren als specieller Fall enthalten ist, hat Herr Natarii 




Hambubgeb. — A. Mayeb. 75 

die Rechnung ausgeführt und die in der vorliegenden Abhandlung 
auf anderem Wege erhaltenen Resultate stimmen mit den Natani'- 
schen überein. 

Schliesslich sei noch bemerkt, dass die in den allgemeinen 
Entwicklungen angewandten Principien in ihrer Geltung keineswegs 
auf die Zahl von 2 unabhängigen Variablen beschränkt sind, dass 
jedoch die Zahl der von den Coefficienten zu erfüllenden Bedingungen 
mit der Zahl der unabhängigen Variablen in progressiver Weise 
wächst und so der Bereich der Anwendbarkeit dieses Integrations- 
verfahrens immer mehr verengt wird. Indem ferner nach der 
Lagrang ersehen Methode ein System nicht linearer partieller Diffe- 
renzialgleichimgen leicht auf ein System linearer zurückgeführt wird, 
liegt auch die Integration des ersteren Systems unter gewissen 
Integrabilitätsbedingungen in unserer Hand — ein Gegenstand, dessen 
Erörterung für eine andere Gelegenheit vorbehalten bleibt. 

Berlin. Hamburger. 



A. Mayer: Ueber die Weiler'sehe Integrationsmethode der par- 
tiellen Differenzialgleiehungen erster Ordnung. (Mathem. 
Ann. Bd. IX. S. 347—370.) 

Im 20. Bande der Zeitschrift für Mathematik und Physik hat 
Herr Weiler eine neue, veränderte Darstellung seiner bereits 1863 
in demselben Journale veröffentlichten Integrationsmethode der par- 
tiellen Differenzialgleichungen 1. Ordnung gegeben. Diese Methode, 
die es zum ersten JMale aussprach, dass man zur vollständigen 
Lösung einer gegebenen partiellen Differenzialgleichung 1. Ordnung 
mit weit weniger Integrationen auskommen könne, als nach der 
Metliode von Jacobi nöthig sind, war früher ganz imverständlich 
geblieben und würde daher kaum dauernde Beachtung gefunden 
haben, wenn nicht Clebsch (Borchardt's Journal 65) gezeigt 
hätte, dass sich entsprechende Integrations Vereinfachungen auch 
durch geschickte Modification der Jacobi'schen Methode erzielen 
lassen. Neuere Arbeiten haben gelehrt, dass sich die Anzahl der 
zur vollständigen Lösung einer partiellen Differenzialgleichung 1. Ord- 
nung erforderlichen Integrationen noch weiter erniedrigen lässt. Da 
es aber nicht nur auf die Anzahl, sondern auch auf die Ordnung 
dieser Integrationen ankommt und letztere bei der Methode von 



i 



76 A. Mayer. — H. Dur^ge. 

Weiler, wi^ bei der von Clebseh zwischen bestimmten Grenzen 
varüren kann, .so besitzen diese Methoden auch jetzt noch nicht bloss 
historischen Werth. Die Weil er 'sehe Methode zeichnet sich überdies 
vor allen anderen Methoden noch besonders, dadurch aus, dass sie zum 
grössten Theile auf ganz anderer Grundlage beruht. Aus diesen Gründen 
schien es wünschens werth, die Weil er 'sehe Methode von den Un- 
klarheiten und zum Theil auch Unrichtigkeiten zu befreien, die auch 
in der neuen Weil er 'sehen Bearbeitung das Verständniss noch 
ausserordentlich erschweren, und den Versuch zu machen, den eigen- 
thümlichen Weg, den diese Methode einschlägt, in möglichst klarer 
und präciser Weise auseinanderzusetzen. 

Leipzig. A. Mayer. 



H. Dnröge: Ueber die nichtpolaren Discontinuitäten. (Sitz.-Ber. 
der Wiener Acad. Bd. 73. Februar 1876.) 

Es wird bei der speciellen Function 



c — e 



X 



in welcher c eine beliebige Constante bedeutet, untersucht, wel- 
cher Art die Annäherung der Variablen an den Nullpunkt sein 

muss, damit diese Function unendlich gross werde, e' also den 
willkürlich vorgeschriebenen Werth c annehme. Dies tritt ein, wenn 
z eine die Ordinatenaxe im Nullpunkte berüljrende archimedische 
Spirale durchläuft und sich auf dieser sprungweise dem Nullpunkte 
nähert. Die Gestalt der Spirale und die auf ihr zu machenden 
Sprünge sind in bestimmter Weise von dem vorgeschriebenen Werthe 
c abhängig. 

Prag. H. Durege. 



j 



M. Krause — F. Klein. 77 

M. Krause: Ueber die Discriminante der Modulargleichungen 
der elliptischen Functionen (Fortsetzung). (Math. Annal«n. 
Bd. IX.) 

Diese Arbeit schliesst sich aufs engste an eine frühere des Ver- 
fassers an (Math. Ann» Bd. VIII). 

Zunächst wird der in der letzteren unbeachtet gebliebene Fall, 
dass Pj Qj R mit n einen gemeinsamen Theiler haben, betrachtet. 
Es folgt dann eine Angabe der Methode, wie sämmtliche Gleichungen 
Pr^ + 2^r -|- i? = aufgestellt werden können, zu deren Wurzeln 
Functionen ^(r) gehören, die von einander verschiedene Lösungen 
der Discriminante sind. Drittens wird festgestellt, wie vielfach eine 
jede Wurzel der Discriminante ist und auf Grund dieser Resultate 
letztere in Factoren zerlegt, die lauter von einander verschiedene 
Wurzeln besitzen. Endlich folgen numerische Beispiele für die 
Transformationszahlen n = 15, 21, 31, 33, 35. 

Es sei schliesslich bemerkt, dass die beiden zusammengehörigen 
Arbeiten eine Verallgemeinerung derjenigen Sätze enthalten, die 
Hermite (Comptes rendus 1859, tome 49) für Primzahltransforma- 
tionen ohne Beweis aufgestellt hat. 

Breslau. M. Krause. 



F. Klein :^ Ueber den Zusammenhang der Flächen. (Mathematische 
Annalen. Bd. IX. S. 476—482.) 

Die Lehre vom Zusammenhange der Flächen wurde ursprüng- 
lich von Riemann zum Zwecke functionentheoretiöcher Unter- 
suchungen, entwickelt und unterliegt daher, sowie sie gewöhnlich 
vorgetragen wird, implicite mannigfachen, duKih das besondere Ziel 
bedingten Beschränkungen, von denen sie befreit werden muss, 
wenn sie auf alle die Gebilde angewandt werden soll, mit denen 
sich die Geometrie beschäftigt. Der Verf. wurde zu der hiermit 
ausgesprochenen Auffassung geführt, als er es unternahm (Math. 
Ann. Bd. VI), für die von ihm ebenda bestimmten, gestaltlich unter- 
schiedenen Typen der Flächen dritter Ordnung den Zusammenhang 
'abzuzählen. Indem er glaubte, einem analogen Versuche Schläfli's 
(Annali di Matematica. T. V) entgegentreten zu müssen, entwickelte er 
(Math. Ann. Bd. VII) eine Methode, um den Zusammenhang solcher 



78 F. Klein. — -L. Schläpli. 

Flächen zu bestimmen, die sich durchs Unendliche erstrecken, und 
hob andererseits hervor, dass bei diesen Untersuchungen nicht so- 
wohl von der Fläche schlechthin als von der Flächens^'^e gesprochen 
werden muss, so dass also solche Flächen, bei denen man von einer 
Seite ohne Ueberschreitung etwaiger Randcurven auf die andere 
Seite gelangen kann,, als Doppelflächm zu betrachten sind. [Schläfli 
hat neuerdings (Annali. T. VI) die Richtigkeit der gegen seine erste 
Abzahlung gemachten Einwände anerkannt; seine nun gegebenen 
Resultate sind von den bez. des Verf. nur dadurch unterschieden, 
dass Schläfli gewisse nach Zweckmässigkeitsrücksichten zu treflFende 
Festsetzungen anders auswählt als der Verf.] — Tn der gegen- 
wärtigen Notiz hat der Verf. zunächst selbst eine Uebereilung zu be- 
Vichtigeö, die ihm in dem genannten Aufsatze (Math. Ann. Bd. VII) 
begegnet war (eine genauere Auseinandersetzung wüf de hier zu weit 
führen); sodann erläutert er den Begriflf der Doppelfläche ausführ- 
licher, indem er für denselben eine Definition aufstellt, die ihn als 
unabhängig erscheinen lässt von der Art oder selbst der Existenz 
des die Fläche umgebenden Raumes. Er wird dadurch über- 
haupt verwendbar für zweifach ausgedehnte beliebige Mannigfaltig- 
keiten, und so verwerthet ihn der Verf. beispielsweise dazu, um 
die Liniencongruenzm erster Ordnung und Klasse, die getrennte 
(reelle oder imaginäre) Directricen besitzen, auf ihren Zusammen- 
hang zu untersuchen. 

München. F. Klein. 



L. Schläfli: Ueber die Convergenz der Entwicklung einer arbi- 
trären Function f{cc) nach den Bessel'schen Functionen 



a a 



liß^x), I{ß^x), I(ß,x), ..., 
wo ßi, ßi, ^3 , ... die positiven Wurzeln der Gleiohiin« 

I{ß) = 6 vorstellen. (Mathem. Aimalen. Band X. Heft 1.) 

Die Arbeit hat in Bezug auf den gebrauchten Integrationsweg 
Gemeinschaft mit der Abhandlung von Hermann Hankel im 
8. Bande der Annalen (S. 471. Die Fourier'schen Reihen und 
Integrale fiir Cylinderfunctionen), unterscheidet sich aber, wie mir 
scheint, durch einen naturgemässeren Gang und näheren Anschluss 
an das sichere analytische Gebiet. 

Bern. L. Schläfli. 



J 



L. KOENIGSBERGER. 79 

L. Eoenigsberger: Ueber die allgemeinsten Beziehungen zwi- 
schen hyperelliptisehen Integralen. (Journal für reine und 
angew. Mathematik. Band 81. Heft 3.) 

Der Inhalt dieses Aufsatzes wurde einer ausführlicheren Dar- 
stellung einer allgemeinen Theorie der hyperelliptischen Integrale 
entnommen und musste daher mit der Angabe wenigstens derjenigen 
Bezeichnungen und Theoreme beginnen, welche zur Lösung des 
Reductionsproblems der Transformation sowie zur Aufstellung der 
allgemeinsten Beziehungen zwischen hyperelliptischen Integralen 
nöthig waren. 

Die Integrale der drei Gattungen stellten sich der Definition 
gemäss, für keinen Punkt der zur Irrationalität 



gehörigen Riemann'schen Fläche unendlich zu werden, oder für 
einen Punkt z^ derselben algebraisch unendlich von der ersten Ord- 
nung zu sein, oder endlich für zwei beliebig gewählte Punkte Aqx- 

selben ;s?jL , «1 "j/i? (;^i) ; z.^, a^yUiz^ so logarithmisch unendlich zu 
werden, dass die Coefficient^n A und B der logarithmischen Glieder 

A log (z — z^ und B log {z — z^ 

sich zu Null ergänzen, in der folgenden Form dar: 



/W -fi 







d0 



, 2«,JS(«.)^ 



(«-2ir iz — g^yYB(F)- 



jjU) — Tir # i -BC^)^ + «i-Bfe)* -BW^ + «ä-B(^.)'^ 



de + I{z) 



-^f[ 



z — Z^ 



^' +/(^); 



YW) 



das Hauptintegral dritter Gattung soUte als Coefficienten der loga- 
rithmischen Glieder die positive und negative Einheit haben; dieses 
und seine successiven Differenzialquotienten . nach einem der Un- 
stetigkeitspunkte z^ lieferten in linearer Verbindung mit bestimm- 
ten Cpefficienten versehen ein bestimmtes hyperelliptisches Inte- 
gral, welches in einem Punkte z^^ der weder ein Verzweigungs- 
punkt noch der unendliche entfernte Punkt sein sollte, wie eine 
vorgelegte Function algebraisch und logarithmisch unendlich, im 



80 



L. KOENIOSBEBOEB. 



Punkte 02 logarithmisch unendlich ist, abgesehen von einem Integrale 
erster Gattung, dessen Coefficienten unbestimmt bleiben. Diese 
Darstellung liefert aber ein Mittel, jedes hyperelliptische Integral, 
welches in den Punkten j^^, 0^) • • • ^v unendlich wird wie resp. 

Äalog{0 — 0a) + BaiZ — ^a)"^ + Ca{0 — 0a)'~^ -\ \- Ka{iS — 0a)~''^ 

in der Form einer Summe von einzelnen hyperelliptischen Integralen 
darzustellen, von denen jedes in einem ;s?a- Punkte in der vorgeschrie- 
benen Weise und in einem willkürlich angenommenen, aber für 
alle diese Integrale demselben Punkte logarithmisch unendlich wird; 
der Nachweis dass es nur ein solches hyperelliptisches Integral 
gibt und dass keilie andere Function noch diesen Bedingungen ge- 
nügt, liefert das Di richle tische Princip für diese Klasse doppel- 
blättriger Rie mann 'scher Flächen, genau wie ich es für elliptische 
Integrale in jmeinen „Vorlesungen über die Theorie der elliptischen 
Functionen" durchgeführt habe. Das allgemeine hyperelliptische 
Integral muss nun auf feste Normalformen gebracht werden, und 
es wird die Bestimmung der Coefficienten in der Zerlegungsformel 

F{z)dz C^yE(Zi)dz 



VBiz) {z — Zi) yB{z) 



+ 



k^P-^^)zP-^dz 



• • • 



+ 



+ 



ip-i)gPdz 






V-BW 



+ ••• + 



VW) 
VW) 



+^[mvW)]ä^, 



wenn 



;w= >w^''-C, ä'*>=>4"-c, /•w=>/•,(^)-^(^), 



1 1 

Fr(,t) = 



• • • -f- B2p— iz + B^p j 

2ü — 2r — 1 . j^ , 2ü — 2r ü ^ . , 2ü — 2r -f 1 t> ,^ « 



H 1 2 ^r-2t i 2~ 

gesetzt wird, durch die Beziehungen gegeben 

c = r -^(Q 1 



Br — l 






J V 



{t)dt 



l/^öö J VW) 



Zg 



J(*-4)-' 



7(t') 

»0 — 



F(t) 



{t)dt 



/ Fv{t)d 
VW) 



OD 



t-i 



L. KOENIGSBERGER. 81 

und ähnliche Ausdrücke für die Grössen Tc und f{d), somit auf die 
Herstellung der Coefficienten der um die Unstetigkeitspunkte von F{ß) 
und den unendlich entfernten Punkt genommenen Entwicklungen 
gewisser Functionen zurückgeführt, wie es 'Herr Weierstrass in 
seinen Vorlesungen für die elliptischen Integrale und Herr Fuchs 
in seiner Arbeit über die Periodicitätsmoduln der hyperelliptischen 
Integrale in ähnlicher Form für hyperelliptische Integrale gethp^n 
haben. Nach Herstellung des allgemeinen hyperelliptischen Inte- 
grales aus gegebenen Discontinuitäten und Zerlegung desselben in 
feste Normalformen, mussten die Relationen ermittelt werden, welche 
sich mit Anwendung des bekannten Princips der Integration von 

ergeben, worin I und I^ zwei aus beliebig gegebenen Disconti- 
nuitäten construirte, zu derselben Fläche gehörige hyperelliptische 
Integrale 'bedeuten, und die geschlossene Integration über die ge- 
sammte Begrenzung der nach Ausschliessung der ünstetigkeiten in 
eine einfach zusammenhängende Fläche verwandelten Riemann'schen 
Fläche auszudehnen ist; das gewonnene allgemeine, in den Nach- 
richten der Göttinger Societät vom April v. J. veröffentlichte Re- 
sultat, über das weiter unten referirt wird , wird für die in der vor- 
liegenden Arbeit angestellte Untersuchung nur in dem speciellen 
Falle gebraucht, welcher für solche Hauptintegrale, deren Periodicitäts- 
moduln an einem gesammten Querschnittssystem verschwinden, den 
bekannten in der Form 



/ 



^dH{!S, z„ z^ =fdH(t, tu Q 



enthaltenen Satz von der Umkehrung der Grenzen und Unstetigkeits- 
punkte lieferte. Sodann wird noch das AbeTsche Theorem, das 
gleich nachher für die betrachteten Hauptintegrale gebraucht wird, 
für das allgemeine hyperelliptische Integral in der Art entwickelt, 
dass man dasselbe aus einer Summe von solchen Integralen zu- 
sammensetzt, die nur in zwei Punkten logarithmisch unendlich 
werden. 

An die Erwähnung des Additionstheorems der hyperelliptischen 
Integrale, welches zeigt, dass einer transcendenten Beziehung, näm- 
lich einer additiven Verbindung gleichartiger hyperelliptischer Inte- 
grale eine algebraische Beziehung zwischen den oberen und unteren 
Grenzen jener Integrale entsprechen kann, knüpft sich die Frage, 

Bepertorinm fQr reine und angewandte Mathematik. 6 



82 I^* KoENiaSBEBGEB. 

allgemein die Bedingungen dafür zu untersuchen, dass für eine ad- 
ditive Verbindung gleichartiger und ungleichartiger hyperelKptischer 
Integrale verschiedener Ordnung, elliptischer Integrale, algebraischer 
Functionen der Integralgrenzen und Logarithmen von algebraischen 
Functionen dieser Grössen algebraische Beziehungen zwischen den 
Grenzen dieser Integrale bestehen, und es wird gezeigt, mit Hülfe 
von Betrachtungen, wie sie Abel für elliptische Integrale angestellt, 
dass das allgemeine Transformationsproblem auf die Untersuchung 
eines Systems von Diflferenzialgleichungen 

dz, , dz, , , dzp f,{Y,)dY, , f, {Y,)dY, , 



Yr{^ yR{z,) yB{zp) YR'AY,) vrJy;) 

foiYp)dYp 



+ 



V^AY^) 



z^dzi . z^dz, . , Z pdzp ^ fiiYj)dYj^ . f, (Y,)dY, . 



yB(z,) VB^ V^izp) V^^iY,) VB^{Y,) 

fAYp)dYp 



+ 



VBAYp) 



3 



^i^~'^^i , z/-Uz, , . . . , 'P '^' _ fp-i(Y,)dY, fp^ i{Y,)dY , 

, . , fp-i(Yp)dYp 
"^ "^ VBAYp) 

führt, worin F^, 1^2; •• • ^p ^^® Lösungen einer Gleichung ^ten 
Grades sein sollen, deren Coefficienten rational und symmetrisch aus 



^i; ^2, • • . ^P> VWh)^ y^W, • . . ViiM 

zusammengesetzt sind, während die zugehörige Irrationalität mit 
Hülfe eben dieser Grössen rational von den resp. Y abhängen 
sollen. 

An diese Reduction des allgemeinen Transformationsproblems 
auf das rationale, wie es wegen der Natur der Grössen r^, Zg, .. . Yp 
genannt werden kann, knüpft sich nun naturgemäss die Frage nach 
der allgemeinsten Relation zwischen hyperelliptischen Integralen. 
Abel hat sich in seiner berühmten Arbeit „precis d'une theorie des 
fonctions elliptiques" mit der Frage beschäftigt, welches die allge- 
meinste Beziehung zwischen einer beliebigen Anzahl von elliptischen 
Integralen mit derselben Variabein und demselben Modul sei und 
zeigte, dass, mit Zugrundelegung der von ihm gewählten Bezeich- 
nungen für das elliptische Integral erster und drittem Gattung, die- 
selbe durch die Gleichung 



L. EoEHIOBBEBaEB. 83 

ßn{oc) ^ n («i) ^ JT.Ca^) ^^^ TT («,) 



' A^') — q){x)Jx J ' 



dargestellt werde, in welcher die Parameter a^, «g? • • • ^» ^®^ Glei- 
chung 

genügen müssen, worin die eine der Functionen f(x)j q>(x) grade, 
die andere ungrade ist. 

Mit Hülfe des oh»n hewiesenen Transformationssatzes führt 
man die analoge Frage für hyperelliptische Integrale auf die ein- 
fachere zurück, wann ein hyperelliptisches Integral mit der oberen 

Integrationsgrenze z^ und der Irrationalität yi?(^) einer algebraisch- 
logarithmischen Function gleich sein kann, welche selbst oder für 

welche das Argument der Logarithmen rational aus ^j und yjR{z^ 
zusammengesetzt ist, und man findet leicht durch Einführung sol- 
cher hyperelliptischen Hauptintegrale dritter Gattung, deren Perio- 
dicitätsmoduln an allen Querschnitten eines Systems verschwinden, 
vermöge des Satzes von der Vertauschung der Grenzen und Un- 
stetigkeitspunkte als allgemeinste zwischen gleichartigen hyperellipti- 
schen Integralen und algebraisch-logarithmischen Functionen statt- 
findende Relation 



worin /S^, jS^, . . . j3p_i Constanten vorstellen, deren Bedeutung mit 
der aufgestellten Bedingung des Verschtvindens der Periodicitäts- 
moduln an einem gesammten Querschnittssystem zusammenhängt, 
und »1, «2, ... ar der Gleichung genügen 

Dresden. L. Koenigsberger. 



84 L. KOEMIOSBEROEH. 

L. Eoenigsberger: Ueber die Entwicklung der hsrperellipti- 
sclien Integrale erster und zweiter Gattung in Beihen. 

(Mathematische Annalen. Band IX. Heft 4.) 

Herr Hermite hat in einem in den Annali di Matematica 
(Ser. IL a. t. IL F. IL) veröffentlichten Briefe an Herrn Brioschi 
zwischen den Coefficienten der im Bereiche des Nullpunktes gültigen 
Maclaurin'schen Entwicklung der Functionen 

_^ C ^^ , ^ y^ ^n+l 

y^_ x^) (1 — M«aj2) J }/(l — x^ (1 - ««««) ^ " ' 



e 

X 



yä 



— x^) (1 — x'a;«) J 1/(1 — a;>) (1 — x«a;*) -^ ^* 





und den Coefficienten der Reductionsformel des Integrals 



X 

f 



(«»«")•*+ ^d« 



^ Vd - x") (1 - «»a;») 



a; 



P„ V(l - rr^ (1 - x'a.=') - A /' - ^^ p = + B„ r twf «1^ 

^ y(l — a;*)(l ~ n^x^) J y{\ — aj*)(l — x'a;*) 

ü 

auf ein Integral erster und zweiter Gattung und einen algebraischen 
Theil die Beziehungen gefunden 

Herr Thomae hat gleichzeitig diesen Gegenstand im Journal für 
reine und angewandte Mathematik (Bd. 80) behandelt und ist zu 
demselben Resultate gelangt. Es schien inir nun nicht uninteressant, 
die eigentliche Quelle jener Relationen, aus der diese ohne weitere 
Rechnung sich unmittelbar ergeben, in den Formen der Reductions- 
coefficienten zu bezeichnen, wie sie Herr Weierstrass aufgestellt 
hat (s. Vorl. 14 meiner „Vorlesungen über die Theorie der ellipti- 
schen Functionen"); da nämlich — ich habe dies in der vorliegen- 
den Arbeit nicht weiter ausgeführt — 

J |/(i — ai«) (1 — x*a;«) " 2 J y<i _ x*) (1 — x*a;*) 

2« + 4r.(n) /» ^ x2n + 2 

- —~- / = + ^4— ^/^">(^') l/(l-:r*)(l-xV) 

ist, worin nach den obigen Bezeichnungen von Hermite 



J 



L. EoENiaSBERaER. 



85 






wenn 



Jfc(») = — kj^n) = _ 



IW = _ Z^(«) = 



f^(x') = -U^)(a^) 



,«+1 



■J/<(1 — (1 -. «»0 



j y*ä- 



ed« 



(1 — x«*) 



00 



♦— 1 



Vhi -t) (1- inj J Vtir- t) (i - x' 



*) 



00 



1—1 



.«+1 



■|/«(i — 0(1 — «»*) 



J (r-"a;«)y<(l 



(2« 



t) (1 — x«Q 



00 



»— 1 



gesetzt wird, so wird vermöge der Substitution i^ = w^, ti = x~"^i;~^ 



jfc(«)== 



|/(^ 



») (1 - X»tt») 



oo 



U 



— 2n--3 



also 



2 t;» /•_ 



dv 



V(l - t;*)(l - «-»i?») 



^2«+4^2n+3 



^.= 



|/(1 



1 /• dv 

-^ v^) (r-^^^v) j ü*V(r— v*)(i — x*v' 





t? 



2n+l 



Man sieht hieraus leicht, dass 

dv 

v^y{i — v'){i — x«t?^ 



ist und mit Hülfe der Beziehung 

dv 

v^y(i - i?»)(i — x»«' 



_ ^2 r !L'^ 

J 1/(1 ~ v^) (1 







•/(l -^ t?«) (1 - x^t?«) 
V 



») (1 - x««?*) 

folgt somit unmittelbar 

J |/(1 - t;2) (1 _ ^2^2) »^ ^ ^ V ^ .^ ' 



genau in derselben Weise ergibt sich die zweite Relation. 

Um nun festznistellen, dass in diesen Formen der Beductions- 
coefficienten der eigentliche Grund jener Beziehungen liegt, ent- 
wickelte ich für hyperelliptische Integrale die in dem obenstehenden 




/ 



86 L. EOENIOSBEBOEB. 

Referate bezeichnete Reductionsformel auf die Normalform erster, 
zweiter, dritter Gattung und auf einen algebraischen Theil, zu der 
ich wegen häufig vorkommender Anwendungen der entwickelten 
Ausdrücke eine Discussion über das Verschwinden der einzelnen 
Integrale der verschiedenen Gattungen hinzufügte, und leitete nun 
mit Hülfe dieser Reductionsformel vermöge der Uebertragung der 
Reihenentwicklung aus dem Bereiche des unendlich entfernten Punktes 
auf den des Nullpunktes für hyperelliptische Integrale die beiden 
folgenden Relationen her: 

Wenn 

und die reciproke Irrationalität 

i^i (5) = S,p-i r^+' + ^2,-2 r^ + •••• + JB, f-f Bot' + Ät, 
so ist für r = 0, 1, 2, . , .J) — 1 

- ,_ du 

]/Ä, («) 

00 



und für r = p, p -{- 1, , , , .2p — 1 



/ 



du 



oo 


wenn In und kj die Coefficienten der Integrale zweiter und erster 
Gattung in dem hyperelliptischen Integrale 



sind. 



VW) 



Dresden. L. Koenigsberger. 



L. EoENIOSBlSItOES^ 87 

\ 

1 
1 

L. Eoenigsberger: Beziehungen zwischen den Feriodioitäts- 
moduln zweier hyperelliptischer Integrale. (Nachrichten der 
Göttinger Societät. Apriil 1875.) 

Die Anwendung des bekannten Princips der Integration von 

worin J und J^ beliebige zu derselben Irrationalität gehörige hyper- 
elliptische Integrale bedeuten, ausgedehnt über die gesammte Be- 
grenzung der nach Ausschliessung der Unstetigkeitspunkte einfach 
zusammenhängend gemachten Riemann'schen Flä'che^ liefert die 
allgemeinsten Beziehungen zwischen den Periodicitätsmoduln dieser 
beiden hyperelliptischen Integrale. Man findet, dass, wenn das zur 
Irrationalität 



YR\z) = yA {z — aj {z — a^ {z — a2i,+i) 

gehörige Integral J{ZyZ^ auf festbestimmten Blättern in den Punkten 

unendlich werden* soll wie die Functionen 

95? i? - 5?)-* + 6? (^ - i?)-* + •••• + «9 (« - h)-\ 

a^\^%{z — a^'i-\-\{z — a^~^'\'C^{z — a^ 2 -j ^^^(gr — a^) 2 

und das zu derselben Irrationalität gehörige Integral J{Zy Sa) in den 
Punkten 

äi; 82; • • • • ä^; &> S2? • • • • ö»j ^1 » ^2? • • • • ^2p4-i; <^ 

wie die Functionen 

a; iog(5 - s,) + -Bj' (^- 5,)- » + c?,' (i^ - g,)-^ + . • • • + K' (z - s,)-*; 

aglog(z — ag)2+h^'(z — a^) 2+c/(^— a^) '2^ ^%^(js—ag) T 

-i i. i. ^ 

ilfo'log;?2 -^M^Z2 +¥2^^ -\ \-Md'Z2y 

wenn ferner die Stetigkeitssprünge von 

J{ZyZo) an dem Querschnitte a* mit J^ , an 6* mit J^ , 
die von 

I(z,ta) Sin dem Querschnitte a* mit /^ , an 6^^ mit Jj^ 



[ 



88 L. EoENIQSBlAaER. — G. ZeUNER. 

bezeichnet werden, der Ausdruck 



h2iVK-\''^.) 



von einer Summe von Integralen abgesehen, welche von einem 
Punkte des Querschnittssystems aus auf der einfach zusammenhän- 
genden Fläche genommen bis zu den Punkten z^, z^y > . * Zm, «i, «2? 
. . . a2j9+i? *3C) führen, durch einfache algebraische Zusammensetzungen 
der Entwicklungscoefficienten der Integrale um die einzelnen singu- 
lären Punkte bis zu bestimmt angebbaren Grenzen hin genommen 
ausdrückbar isi Die bekanntlich von Herrn Weierstrass für 
hyperelliptische Integrale entwickeltever allgeraeinerte Legend re' sehe 
Relation bildet einen speciellen Fall der in dieser Notiz angegebenen, 
welche ebenso die bekannte Beziehung für hyperelliptische Haupt- 
integrale in sich schliesst. 

Dresden. L. Koenigsberger. 



Gustav Zeuner: Ueber die Wirkung des DrosselnB und den 
EinflusB des schädlichen Baumes auf die bei Dampf- 
maschinen verbrauchjbe Dampfmenge. 

(Civilingenieur. Bd. XXI. 1875.) 

Bei der Anwendung der mechanischen Wärmetheorie zur Be- 
urtheilung der Vorgänge im Cylinder der Dampfmaschinen ist die 
Schwierigkeit noch nicht überwunden worden, mit Sicherheit die 
Dampfmenge zu ermitteln, welche während des Dampfeinströmens 
in den Cylinder, während der Admission^ vom Kessel nach dem 
Cylinder strömt. Das Gewicht des Dampfes, oder sofern der Dampf 
nass ist, das Gewicht von Dampf und Wasser, welches pro Kolben- 
schub oder wenn man will, pro Sekunde dem Cylinder zugeführt 
wird, erscheint aber gerade in den Hauptgleichungen der auf die 
mechanische Wärmetheorie begründeten Dampfmaschinenlehre und 
daher haben diese Gleichungen zunächst nur rein theoretischen 
Werth und sind für den praktischen Gebrauch noch nicht genügend 
geeignet. 

Der Dampfverbrauch einer Dampfmaschine wird wesentlich ab- 
hängen: von der Grösse des schädlichen Raumes und der Beschaf- 
fenheit des Dampfes, der dort vom vorigen Schübe zurückgeblieben 
ist und fernerhin von der DiflFerenz zwischen dem Druck im Kessel 



G. Zeüner. 89 

und dem Druck im Cylinder während der Admission; der letztere 
Druck ist immer der kleinere und wird umsomehr herabgezogen, je 
mehr man die Widerstände im Dampfzuflussrohr, durch Verstellen 
einer Klappe oder eines Ventiles (das Drosseln), erhöht. 

Der Einfluss des schädlichen Raumes und der bemerkten Druck- 
differenz ist zuerst von Clausius (Anwendung der meph. Wärme- 
theorie auf die Dampfmaschine) und später von mir (Grundzüge der 
mech. Wärmetheorie. 2. Aufl.) auf anderm Wege dargelegt worden. 
Diese altern Untersuchungen gelten aber ausdrücklich nur unter der 
Voraussetzung, dass der einströmende Dampf trocken gesättigt oder 
nass ist und dann auch nur unter der Annahme, dass sich dieser 
Dampf im Cylinder während der Admission nicht etwa überhitzt. 

In meiner Abhandlung, über deren Resultate hier referirt wer- 
den soll, habe ich nun die Untersuchungen auch auf den zuletzt 
genannten Fall ausgedehnt und weiterhin noch die Aufgabe unter 
der Voraussetzung behandelt, dass der Kesseldampf schon im über- 
hitzten Zustande in den Cylinder eingeführt wird. Die Grundlagen 
für diese Untersuchungen bildeten meine früher erschienenen Ab- 
handlungen: „Theorie der überhitzten Wasserdämpfe" (Zeitschrift 
des Vereines deutscher Ingenieure. Bd. XL 1866) und „Ueber das 
Verhalten der überhitzten und gemischten Wasserdämpfe" (Civil- 
ingenieur. Bd. XIII. 1867). 

Beim Einströmen des Dampfes in den Dampfinaschinen-Cylinder 
hat man es mit einem nicht umkehrbaren Prozess zu thun; man 
kann zwar die Wärmemenge darstellen, die während der Admission 
dem Kessel mitgetheilt wird und ebenso die Arbeit, welche gewon- 
nen wird; beides, Wärme und Arbeit stehen aber nicht in der ein- 
fachen Beziehung zu einander, wie beim umkehrbaren Prozess, denn 
der Admissionsdruck ist nicht mit dem Drucke identisch, unter 
welchem im Kessel die Dampfbildung erfolgt, derselbe ist sogar 
veränderlich. Denkt man sich aber, am Ende der Admission die 
Dampfmasse im Cylinder in den Gleichgewichtszustand übergegangen, 
den Gleichgewichtsdruck als identisch mit dein mittlem Admissions- 
druck und nun die ganze Masse auf umkehrbaren Wegen in den 
Anfangszustand zurückgeführt, so lässt sich die angedeutete Bezie- 
hung doch bestimmen und zwar nach dem Satze, dass bei jedem 
Kreisprozesse, bei welchem der vermittelnde Körper in den Anfangs- 
zustand zurückkehrt, die gewonnene (resp. aufgewandte) Arbeit in 
Wärme ausgedrückt gleich der gesammten mitgetheilten (resp. ab- 
geleiteten) Wärmemenge ist, selbst auch dann, wenn in einem solchen 



_ I 



90 Cr. Zeuneb. 

Kreisprozesse einzelne nicÄ^ umkehrbare Theile vorkommen. Mit 
Hülfe dieses Satzes ist nun das Problem in der in Rede stehenden 
Abhandlung gelöst worden. 

Als gegeben ist angesehen worden : der Kesseldruck p^ und die 
spez. Dampfmenge X2 (Dampfgewicht in der Gewichtseinheit Mischung 
von Dampf ynd Wasser) oder sofern der Dampf durch einen Ueber- 
hitzer geführt wurde, die Ueberhitzungstemperatur 4; femer ist be- 
kannt der Druck Pq und die spez. Dampfmenge Xq der Mischung im 
schädlichen Räume beim Beginn des Kolbenhubes und endlich der 
mittlere Admissionsdruck p^ sowie das Volumen Vq des schädlichen 
Raumes und das Volumen V, welches der Kolben während der Admission 
zurücklegt. Als zu bestimmen ist anzusehen, das Gewicht Gq des an- 
fänglich im schädlichen Räume vorhandenen Dampfgemisches, das Ge- 
wicht G des vom Kessel gelieferten Dampfes und der Zustand des 
Dampfes im Cylinder am Ende der Admission und zwar die spez. Dampf- 
menge X oder sofern dieser Dampf überhitzt ist, seine Temperatur ty. 

Bezeichnet nun das spez. Volumen des Wassers, v das des 
Dampfes und setzt man v — ö = «; ist femer q die Flüssigkeits- 
wärme, Q die innere latente Wärme des Dampfes, r die Verdampfungs- 
wärme, A das Wärmeaequivalent der Arbeitseinheit und benutzt 
man die angegebene Bezeichnung für den Admissionsdampf , dieselben 
Buchstaben aber unter gleicher Bedeutung mit dem Index 2 ver- 
sehen für den Kesseldampf und mit dem Index für die Masse im 
schädlichen Räume, so ergibt die Rechnung, wie in der Abhandlung 
gezeigt wird: 

(1) • Vo ^ Goi^o% + <f) ■ 

(2) F+ Fo = G(a;M + ö) 

(3*) G[x,r, + q^-q]^r^ + G,[{^ - ^^^u, -{- q - q,]. 

Die erste Gleichung gibt Gq, die dritte G und die zweite gibt 
schliesslich X] die Gleichungen gelten aber nur, wenn sowohl der 
Kesseldampf, wie der Dampf im Cylinder am Ende der Admission 
nass oder trocken gesättigt ist. 

Ist dagegen der Kesseldampf vor dem Eintritt in den Cylinder 
auf die Temperatur 4 überhitzt, der Admissionsdampf aber schliess- 
lich nass, was eintreten wird, wenn im schädlichen Räume viel 
Wasser zurückgeblieben ist, so gelten die Gleichungen (1) und (2) 
auch hier, Gleichung (3*) ist dagegen durch die folgende zu ersetzen : 

(3") G[<i(«.-«+r, + s,-s]-Fi+e,[({— ^■')i.«,+s-sj, 



J 



G. Zeuneb. 91 

wobei Cp die spez. Wärme des Dampfes bei constantem Drucke 
darstellt. 

Tst endlich nicht nur der Kesseldampf, sondern auch der Dampf 
im Cylinder am Ende der Admission überhitzt, was immer dadurch 
angedeutet wird, dass die vorstehenden Gleichungen bei numerischen 
Rechnungen auf den unmöglichen Werth x > l führen, so gelten 
die Gleichungen: 

(P) V^ = G^(x^u, + a) 

(20) V+ro^{G + G,)v, 

(3«) (G + Go) (Aa: — Ay) = G^, [l:, ~ «0 ~ ^OPo ^ ^^O^P] y 

WO Vy das spez. Volumen des überhitzten Admissionsdampfes darstellt, 
und Ay die Gesammtwärme desselben sowie k^ die des Kesseldampfes 
ist. Da für überhitzte Wasserdämpfe allgemein die Gleichungen: 

pv =S{T — ß pp) und A = Jo 4- 4.Apv 

gelten, in welchen B, ß und Jq bekannte constante Grössen sind, 
so lassen sich die Gleichungen (2°) und (3°) in solcher Art umfor- 
men, dass aus denselben das spez. Volumen Vy und die Temperatur ty 
des überhitzten Admissionsdampfes sich schliesslich ergibt. 

Ein weitererer noch möglicher vierter Fall, dass der Dampf im 
schädÜQhen Räume schon überhitzt ist, ist in der Abhandlung un- 
berücksichtigt gelassen, weil dieser Fall bei Dampfmaschinen kaum 
vorkommen dürfte. 

In der Abhandlung sind dann zahlreiche numerische Beispiele 
berechnet und tabellarisch zusammengestellt. Statt auf die Ergeb- 
nisse dieser Rechnungen hinzuweisen, mögen hier, weil nur auf 
diesem Wege der überaus complicirte Vorgang sich klar legen lässt, 
einige wenige Fälle herausgehoben werden. 

Der Kesseldruck sei in allen folgenden Fällen 4 Atmosphären 
(10334 Kil), der Druck im schädlichen Räume 0,2 Atmosph. (Con- 
densations -Dampfmaschine) und der Admissionsdruck 3,5 Atmosph.; 
es sei ferner Vq = 0,2 . F, welche Beziehung man erhält, wenn man 
4 fache Expansion und -wie gewöhnlich den schädlichen Raum 0,05 
vom Cylinderinhalte annimmt. 

1. Fall. Der Kesseldampf sei nass, die spez. Dampfmenge be- 
trage x^ = 0,90; der Dampf im schädlichen Räume sei trocken ge- 
sättigt, also Xq = 1] hier erhält man unter Benutzung meiner 
Dampftabellen aus Gleichung (1), (2) und (3*): 

Go = 0,0265 r Kil; G = 2,5550 F und a? = 0,914. 



92 Cr. ZeUNEB. 

Demnach findet während der Admission ein theilweises Verdampfen 
statt. 

2. Fall. Der Kesseldampf sei nass und zwar sei wieder X2 = 
0,90, der im schädlichen Räume zurückgebliebene Dampf enthalte 
aber sehr viel Wasser, es sei Xq = 0,01; hier ergeben dieselben 
Gleichungen: 

Go = 2,6178 F; G = 3,0007 F und r» = 0,419. 

Der Dampfverbrauch dieser Maschine wird also durch das im schäd- 
lichen Räume zurückgebliebene Wasser sehr bedeutend (gegen den 
vorigen Fall um 1 7,5 7o) erhöht und es findet während der Admission 
eine sehr beträchtliche Condensation statt; beim Beginn der Ex- 
pansion befindet sich sogar mehr Wasser als Dampf im Cy linder! — 
Die Annahme, dass anfänglich im schädlichen Räume die spez. 
Dampfmenge nur Xq = 0,01 betragen könne, scheint mir keines- 
wegs ausserhalb der Möglichkeit zu liegen, denn das Volumen dieses 
Dampfes vom Drucke von 0,2 Atmosph. berechnet sich zu 0,987 Vq 
Cub.-Meter und das des vorhandenen Wassers zu 0,013 F^ und der 
letztere Werth ist recht wohl denkbar. Uebrigens beleuchtet vor- 
stehendes Beispiel die interessanten Untersuchungen Illeck's über 
den Einfluss der Cylinderwandungen auf den Dampf im Cylinder 
der Dampfmaschinen (Civilingenieur. Bd. XXII. 1876). 

3. Fall. Der Kesseldampf sei auf ^ = 250^ überhitzt, die spez. 
Dampfmenge im schädlichen Räume sei Xq === 1] hier ergibt die 
Gleichung (3^) im Verein mit (1) und (2) x <= 1,114; ein Zeichen, . 
dass die Gleichungen (l*'), (2*^), (3*^) in Anwendung kommen müssen. 
Man erhält durch diese: 

G^ ^ 0,0265 F; G = 1,7364 F und ty = 264^8. 

Während der Admission findet also eine weitere Ueberhitzung um 
14^,8 statt. 

4. Fall. Der Kesseldampf sei wieder auf t^ = 250® überhitzt, 
die spez. Dampfmenge betrage aber, wie im zweiten Falle, nur 
iro==0,01; hier ergibt Gleichung (3^) mit (1) und (2): 

(?o = 2,6178 F; G = 2,4581 F und a; = 0,464. 

Es findet also hier wieder eine sehr beträchtliche Condensation 
während der Admission statt, trotz der starken Ueberhitzung des 
Kesseldampfes; die per Schub erforderliche Dampfmenge wäre aber 
sogar geringer, als die Dampf- und Wassermenge, welche der frische 
Dampf im schädlichen Räume schon vorfindet; die DampfrneBge ist 




J 



G. Zeuner. — R. Ferbini. 93 

selbst geringer, wie im Falle 1, woraus eben zum Theil schon der 
Vortheil der überhitzten Dämpfe sich erklärt. 

Die Untersuchungen der besprochenen Abhandlung gewinnen 
vielleicht noch einigen Werth, wenn die Lösung der Frage über 
den Einfluss der Cylinderwandungen auf den im Dampfcylinder 
arbeitenden Dampf, weiter vorgeschritten ist, eine Frage, die ganz 
vorzugsweise Hirn seit Langem mit schonen Erfolgen auf experi- 
mentellem Wege verfolgt hat und die in neuester Zeit von Illeck 
(a. a. 0.) eine neue Auffassui^ erfahren hat. 

Dresden. Gustav Zeuner. 



B. Ferrini: Sulla correzione della temperatura di un liquide nel 
quäle non si possa affondare a sufficienza ü termometro. 

(Nota letta air Istituto Lombardo di Scienze e lettere il 18 Feb- 
brajo 1875.)' 

In questa nota considerando le condizioni di equilibrio termico 
della colonetta termometrica sporgente del liquido, mostro che Tan- 
damento della temperatura lungo la medesima pu5 esprimessi con 
sufficiente esattezza, con una funzione della forma (Jx == <Jo H" ^^ "f" ^^7 
essendo 8q la temperatura al piede del filetto termometrico esterno, 
öx quella corrispondente air altezza x sub livello del liquido esplo- 
rato, a e 6 due costanti da determinarsi. — Adottata questa fun- 
zione e calcolata in relazione ad essa la correzione da applicarsi alF 
osservazione termometrica sono condotto al seguente metodo speri- 
mentale. 

Si cominci ad immergere il termometro nel liquido fino alla 
divisione piü bassa della sua scala e, fatta la lettura, sia l la lun- 
ghezza (espressa in gradi) del filetto termometrico sporgente. Poi 
si affondi il termometro quanto lo concede la profondita del vaso e si 
osservino Talzamento s della sommitä della colonetta die mercurio, e 
la lunghezza V della parte che verrä ad emergere dal liquido. La cor- 
rezione da applicarsi alla prima lettura per avere la temperatura del 
liquido e detta della: 

Molti raffronti sperimentali mi hanno comprovato Taccordo di 
questa formola coi risultati di fatta. 

Milano. R. Ferrini. 



94 R. FeKRINI. 

R. Ferrini: Tecnologia del Calore. (Milano. — Ulrico Hoepli 1876.) 

In questo libro" ho avuto di mira di presentare i principii che 
reggono la Tecnologia del Calore appoggiati alle moderne teorie. 
Perciö partendo della teoria di Zeuner snlV efflusso dei fluidi e sem- 
plificando il metodo tenuto da Grashof ne ho fatto Tapplicazione al 
calcolo d'un Camino, d\in ventilatore meccanico, dei condotti di di- 
stribuzione d'aria calda d un calorifero, d'un termotifone, d'nn camino 
di richiamo e dei condotti di ventilazione. La formola che ho ot- 
tenuta per il calcolo d'un camino mi ha permesso di dimostrare il 
vantaggio dei camini divergenti su quelli a sezione costante e piü 
ancora sui convergenti, ed inoltre di discutere di nuovo la quistione 
se vi sia una temperatura di massima efficacia per il camino. Fa- 
cendo sentire che del resto non interessa punto di raggiungerla, 
trovo che tale temperatura esiste ma non e costante, come una 
volta si credeva, ma di versa secondo le condizioni particolari del 
Camino; perö sempre elevatissima e tale che per ottenerla bisogne- 
rebbe' sagrificarvi quasi tutto TefiFetto utile del combustibile. 

Considerando piü innanzi il problema della potenza da darsi 
agli apparecchi di scaldamento per gli ambienti ho cominciato a 
porre la quistione se possa sempre ammettersi raggiunta la fase di 
regime nel disperdimento del calore traverso le pareti. Ho segnato 
nei due casi che durante gli intervalli di inazione Tambicule non 
riceva piü calore o che ne continui a ricevere per alcun tempo in 
quantitä decrescente, il metodo per calcolare Tabbassamento di tem- 
peratura che ne conseguirä, quindi per decidere se dopo alcune ri- 
prese di attivitä le pareti saranno p no condotte allo stato di tras- 
missione permanente e nel caso affermativo per calcolare la perdita 
di regime che si avrä in uno dei periodi di riposo. Quindi ho dato 
la maniera di assegnare la potenza degli apparecchi pel caso in cui 
non vi sia una tal perdita di regime, pel caso in cui vi sia e pel 
caso infine che non si possa mai ritenere raggiunto lo stadio di 
regime nella trasmisaione. 

Da ultimo ho applicato i principii della termodinamica al cal- 
colo degli essiccatoi tanto ad aria fredda che ad aria calda. 

Milano. R. Ferrini. 



J 



R. FeBRINI. — V. LlGüINE. 95 

B. Ferrini: SuUa temperatiira delle flamme. (Nota critica letta air 
Istituto Lombardo di Scienze e lettere il 10 Febbrajo 1876.) 

In questa nota presi ad esaminare il metodo proposto del Sig. 
Professore H. Valerius nel Moniteur Industriel Beige del 1 Settembre 
1875 per il calcolo delle temperature di combustione, mostrando 
ch' esso non e attendibile e che i fatti della dissociazione sono 
aucora troppo poco conosciuti per potervisi basare con sicurezza il 
calcolo di quelle temperature. 

Milano. * R. Ferrini. 



V. Liguine: Sur les systömes de tiges articul^es. (Nouvelles An- 
nales de Math^matiques. T. XIV." P. 529 — 560.) 

L'etude recente des divers systemes de tiges articulees, ä liaison 
complete, a commence par celle des systemes ä six tiges, et meme 
parmi toutes les dispositions connues actuellement, la plupart ne 
sont encore que des systemes de ce genre particulier ou des com- 
binaisons simples de ces systemes. 

Ces divers systemes ä six tiges ont ete inventes, pour la plu- 
part, independamment Tun de Tautre et figurent ainsi dans la question 
comme des dispositions isolees et distinctes, dont rien ne parait in- 
diquer une liaison mutuelle. Je me suis propose, dans ma Note, 
de les etudier sous un point de vue completement general, ce qui 
m'a permis : 1^ d'indiquer les conditions caracteristiques qui distinguent 
le genre de systemes a six tiges, etudie jusqu'a present, de toutes 
les autres dispositions possibles du meme nombre de tiges, et qui 
assignent certaines limites aux recherches de nouvelles combinaisons 
utiles du meme genre; 2^ de decrire un Systeme dont les dispositions 
connues ä six tiges*) ne sont que de simples cas particuliers; 3^ de 
passer bri^vement en revue, en discutant ce Systeme general, tous 
les systfemes connus ä six tiges, et d'exposer ä cette occasion quelques 
observations nouvelles relatives ä ces demiers. 



*) Le Systeme proposä r^cemment par M. Eempe, que j'ai decrit dans le 
n^ 7 de ma Note, ne doit pas compter dans ce nombre, car il präsente un 
type tont ä fait exceptionnel, qui ne se rattache pas du tout ä. tous les autres 
systämes connus ä. six tiges, puisqu'il ne jouit pas de la propridtä fondamentale, 
commune ä ces derniers, d'avoir constamment trois articulations en ligne droite 
pendant le mouvement. 







96 V. LiauiNE. 

Pour abreger le langage, je nomme tout Systeme articule ä six 
tiges et ä liaison complete element articulß, 

Chaque element articule se compose necessairement de six tiges 
et de sept articulations, en comptant les points oü sont r^unies trois 
tiges pour deux articulations. Comme Ta dejä fait observer M. Syl- 
vester, tous les flements et systemes articules auxquels on a ete 
conduit par la decouverte de M. Peaucellier peuvent, en derniere 
analyse^ etre consideres comme des assemblages de couples de tiges 
ou de dyadeSj c'est ä dire de systemes de deux tiges reunies par 
une articulation, systemcS dont le compas ordinaire fournit un 
exemple tres-connu; et c'est en vertu de cette propriete que M. Syl- 
vester avait meme propose de donner ä ces dispositions le nom de 
dyadismes. En se playant ä ce point de vue, on obtient pour les 
elements en question le mode de generation general suivant. 

Prenons une dyade ou un couple de tiges, et imaginons que 
Ton rend fixe son articulation; nommons cette articulation fixe le 
point dPappui et les deux tiges qui y sont reunies les connecteurS' 
Prenons ensuite un second couple et joignons, au moyen de deux 
articulations, ses deux tiges aux deux tiges du premier couple, en 
articulant les extremites libres des tiges de Tun des deux couples ä 
deux points quelconques des deux tiges de Tautre couple ou aux 
extremites libres de ces dernieres tiges; nommons les deux tiges de 
ce nouveau couple les premiers guides, et Tarticulation qui les 
reunit le premier pole; nous aurons forme ainsi un quadrilatere 
articule qui a pour cotes les deux connecteurs et les deux guides, 
ou certaines parties de ces tiges. Prenons enfin un troisieme couple 
et adaptons ses extremites libres, au moyen d'articulations, ä deux 
points de deux cotes adjacents*) du quadrilatere mentionne, ou aux 
extremites des prolongements de deux cotes adjacents, si ces pro- 
longements existent; donnons aux tiges de ce troisieme couple et 
ä Tarticulation qui les Joint les noms de deuxiemes guides et de 
deuxieme p6le\ nous aurons forme par lä un second quadrilatere 

*) Cette derniere restriction est inutile pour les äläments que je nomme 
plus loin de la premi^re espece et qui, comme on yerra, sont de beaucoup les 
plus importants, puisqu'elle y est remplie d'elle-mßme; mais, pour ceux de la 
deuxieme espece, il y a lieu de la faire, car dans ces derniers, parmi les quatre 
modes possibles de jonction du troisieme couple, il y a deux dispositions oü 
les extremites libres des deuxiemes guides s'articulent ä deux cöt^s opposäs du 
premier quadrilatere, et dans ces deux cas on obtiendrait, au lieu du second 
quadrilatere, un pentagone articulö, ce qui compliquerait beaucoup les rai- 
sonnements. 



r^v^' 



V. LlOUINS. 97 

articule, ayant un sommet et iin angle communs avec le premier; 
mais les droites qui forment ce nouveau quadricatere peuvent etre 
differentes. H est clair, en effet, que la jonction du troisieme couple 
ä Tassemblage des deux premiers peut s'effectuer de trois mameres 
distinctes: les extremites libres de ce troisieme couple peuvent etre 
jointes ou aux deux premiers guides, ou aux deux connecteurs, ou 
ä Tun des premiers guides et ä un connectetur adjacent; dans le 
premier cas le nouveau quadrilatere sera forme par les quatre guides^ 
dans le second par les deux connecteurs et les deux deuxiemes guides, 
dans le troisieme par trois des quatre guides et Tun des co\mecteurs. 
Dans tous les cas, la.reunion considere de trois couples formera un 
element ä six tiges et ä sept articulations, et Ton remarquera que 
cet element est toujours compose de deux quadrilateres articules. 
Nous dirons que Telement est de la premiere espece, quand le mode 
de jonction du troisieme couple rentre dans les deux premiers des 
trois cas cites, et qu'il est de la deuxieme espece, lorsque ce mode 
de jonction rentre dans le demier de ces cas. üne autre distinction 
qu'il est encore utile de faire dans le cas oü le troisieme couple est 
adapte aux deux premiers guides est relative ä la position du point 
d'appui par rapport au second quadilatere articule; le point d'appui 
peut etre situe ä Texterieur ou ä Tinterieur de ce quadrilatere: dans 
le premier cas, Telement sera dit positif, dans le second, negatif, 

ly apres ce qui vient d'etre dit, parmi les six tiges de chaque 
element^ il y a ä distinguer les deux connecteurs, les deux premiers 
et les deux deuxifemes guides, et parmi ses sept articulations on 
distingue le point d'appui et les deux poles. Les distances dy point 
d'appui aux deux pöles seront dites les iras de Telement; en con- 
siderant ces bras comme des rayons vecteurs partant d'une m^me 
origine fixe, le but de chaque element consiste ä etablir une relation 
constante entre ces rayons vecteurs, qui permette d'aperer une cer- 
taine transformation sur les coordonnees polaires, de maniere que. 
Tun des pöles decrivant une ligne donnee, Tautre decrive une seconde 
ligne, liee ä la premiere par la loi de transformation qui convient 
ä Telement considere. 

Si maintenant on compare Telement . general que nous venons 
d'obtenir par la voie de composition de trois couples de tiges avec 
les Zements qui ont ete propos^s depuis la decouverte de M. Peau- 
cellier, on voit immediatement que ces demiers ne sont tous que 
des Varietes du premier, caracterisees par les deux proprietes par- 
ticulieres que voici: P ils sont tous de la premifere espece; 2^ quel 

Bepertorinm für reine und angewandte Mathematik. 7 



98 V. LlGÜINE. 

que soit le mouvement de relement, trois des sept articulations^ le 
point d'appui et les deux poles, restent constamment en ligne droite 
pendant ce mouvement. 

D'autre part, si Ton examine attentivement et d'une maniere 
generale les conditions süffisantes pour que le point d'appui et les 
deux poles d'un element de la premiere espece restent constamment 
en ligne droite, on reconnait qu'il suffit pour cela: 1® ou que dans 
une seule position de Tappareil les deux quadrilateres articules, 
dont Telement est toujours compose, soient semblables et sembla- 
blement places; 2® ou que dans une seule position de Tappareil les 
tois sommets des deux quadrilateres, qui representent le point 
d'appui et les deux poles, soient en ligne droite, et les deux dia- 
gonales de cbaque quadrilatere se coupent ä angle droit On par- 
vient ä ces conditions par des considerations tres simples de la 
geometrie elementaire et en s'appuyant sur la propriete suivante: 
de quelque maniere que Ton deforme un quadrilatere dont les dia- 
gonales se coupent ä angle droit et dont les cötes ont des lon- 
gueurs invariables, ses diagonales resteront . toujours perpendicu- 
laires eutre elles. 

Cela pose, on voit que Fon peut former un element de la 
premiere espece, dont le point d'appui et les deux poles restent 
constamment en ligne droite, de deux manieres distinctes: ou en 
construisant un quadrilatere quelconque et en menant par un point 
de Tune de ses diagonales deux droites paralleles ä deux c6t4s 
aboutissant ä Tune des extremites de cette diagonale jusquä la 
rencontre avec les deux autres cotes, ou en construisant un qua- 
drilatere ä diagonales rectangulaires et en joignant un point de 
Tune de ces diagonales ä deux points situes ä la fois sur deux 
cotes aboutissant ä Tune des extremites de cette diagonale et sur 
une meme perpendiculaire ä cette demiere droite. C'est dans le 
dernier de ces deux modes de generation que rentrent les Clements 
qui ont ete etudies depuis la decouverte de M. Peaucellier; par 
consequent, le type le plus general de ce genre sera Telement re- 
presente sur les fig. 1 ou 2 et que je nomme par cette raison element 
generalise; dans ces figures, Ä designe le point d'appui, P le pre- 
mier, P^ le deuxieme pole, AN, AN' representent les connecteurs, 
PIf, PN' les Premiers, Pi-3f, PiM' les deuxiemes guides. La loi 
de la transformation effectuee par cet element sur les bras ou rayons 
vecteurs AP = q, AP^ = q^ consiste en ce que, pendant toute la 
duree d'un mouvement quelconque de Fappareil, il existe entre ces 



J 



V. LlOUINE. 



99 



bras la relation 



g[(p-}-gi)' + Wi' — 'w'] _ w^ 



[ 



n 



(9 T ^i) (P* + n' -- c') • 

oü m = PiM, m^ = PM^ n = PN^ c = AN et oü il faut prendre 
les signes superieurs quand Telement est positif (fig. 1), et les 



Fig. 1. 





signes inferieurs quand il est negatif (fig. 2). II est digne de re- 
marque que la relation (l) est tout ä fait independante des gran- 
deurs des tiges P^M, PM, PN\ AN' aituees de Tautre cöte de 

* 

la diagonale AP, et que, par consequent, cette relation reste iden- 
tiquement la meme pour tous les elements de differents parametres 
que Ton obtient en changeant arbitrairement le lieu du point N' 
sur la droite Nv indefininiment prolongee. 

Je fais voir ensuite comment les differents elements connus 
(elemwt de M. Peaucellier generalise, indique par M. Sylvester; 
element propose par M. Mannheim pour deerire une anallagmatique 
du quatrieme ordre; inverseur de M. Peaucellier; element de 
M. Sylvester servant ä realiser un Systeme circulo-circulaire c'est 
ä dire une disposition propre ä transformer un mouvement circulaire 
en un autre mouvement circulaire; extracteur binome quadratique 
de M. Sylvester; element pantographique) se dedij^ent de V element 
generalise, et j'ajoute ä cette occasion quelques observations sur 
plusieurs proprietes de ces varietes. 

MaiS; comme il a ete dejä dit plus haut, tous ces elements 
connus sont de la premiere espece, cjest ä dire que, dans tous ces 
appareils, les deuxiemes guides sont toujours adaptes par leurs ex- 
tremites libres, ou aux deux connecteurs ou aux d*ux premiers guides. 
Aprfes avoir examine les appareils de ce genre, il est naturel de se 

demander si Ton ne pourrait pas obtenir d'autres dispositions nou- 

»7* 



100 V. LlOÜINE. 

velles et utiles parmi les elements de la deuxieme esp^ee, oü les 
extremites libfes des deuxiemes guides s'appuient sur un connecteur 
et un premier guide adjacent. L'analyse de cette question nous 
apprend qu'en se bomant au meme degre de simplicit^ que pour le 
cas des elements de la premiere espece, c'est a dire en ne consi- 
derant que les elements de la deuxieme espece, jouissant de la 
propriete que leur point d'appui et leurs deux pöles restent con- 
stamment en ligne droite peudant le mouvement de Tappareil, les 
seuls elements auxquels on se trouve conduit sont Textracteur bi- 
nome quadratique de M. Sylvester et Felement pontographique 
sous une forme particuli^re servant ä doubler les rayons vecteurs^ . 
ce qui nous indique une propriete curieuse de ces deux Clements, 
de pouvoir servir en meme temps d'elements de la premifere et de 
la deuxieme espece. On ne retrouve ainsi, parmi les elements de 
la deuxieme espece, que des varietes dejä connues, ce qui montre 
que cette seconde Solution possible du probleme est sterile, et que, 
autant que Ton se borne ä cette classe simple d'flements, dont le 
point d'appui et les deux pöles sont assujettis ä rester constamment 
en ligne droite, de nouvelles dispositions ne peuvent etre cherch^es 
que parmi les Clements dje la premiere espece. 

Les syst^mes ä six tiges formant, comme je Tai dejä observe, 
la grande majorite de tous les types proposes des syst^mes articules en 
general, il ne me restait ä decrire qu'un tres-petit nombre de dis- 
positions ä huit tiges (protracteur de M. Peaucellier; Systeme de 
M. Sylvester) et ä quatre tiges (systemes de M. M. Roberts et 
Hart), pour donner en meme temps, par mon travail, une enume- 
ration compl^te des types des systemes articules actuellement con- 
nus, enumeration qui peut etre utile aux personnes s'occupant de 
la question; c^est ce que j'ai fait dans un appendice place ä la fin 
de ma Note. En discutant ä cette occasion le Systeme ä quatre 
tiges de M. Hart je fais observer que, parmi tous les systemes 
imaginables de tiges articulees propres ä resoudre rigoureusement 
la question de la transformation d'un mouvement circulaire en mou- 
vement rectiligne, celui de M. Hart est forme du plus petit nombre 
possible de tiges. 

Les divers systemes- ä quatre, six et huit tiges, decrits dans 
ce trav|,ü, epuisent, je crois le nombre total des types connus de 
systemes articules, «c'est ä dire des systemes simples et essentielle- 
ment distincts qui ont ete proposes; tous les autres systemes connus 
n'en presentent que des combinaisons plus ou moins compliqu^es. C'est ä 



1 



V. LiouiNE. — A. Flieoner. 101 

cette seconde classe de systemes combiues ou multiples qu'appartiennent, 
par exemple, les divers. conicographes de M. M. Peaucellier, Syl- 
vester, Hart, etc. ä 15, 13, 11, 9, 7 tiges; le paradooce dnema- 
tique de M. Sylvester ä 73 tiges obligeant deux points non lies 
entre eux ä rester ä luje distanee invariable et servant ä realiser 
le mouvement d'un ou de plusieurs points suivant la ligne des cön-, 
tres; les systemes de M. Sylvester ä 25 tiges, pour produire un 
mouvement suivant une parallele ä la ligne des centres, et ä 43 
tiges pour produire un mouvement suivant une droite formant-un 
angle donne avec la ligne des centres; les divers systemes servant 
ä Textraction des racines, etc. II est evident que la theorie de ces 
^ systemes multiples ne presente aucune difficulte des que Ton con- 
nait les proprietes des systemes simples qui les constituent. 

Odessa, . V. Liguine. 



A. Fliegner: Der Einfluss von Erweiterungen in Bohrleitungen. 

• (CiviUngenieur 1875. Bd. XXI .'s. 97.) 

Die Arbeit enthält die Ergebnisse einer längeren, zunächst nur 
mit Wasser angestellten Versuchsreihe, welche den Einfluss plötz- 
licher und allmähliger Erweiterungen in Rohrleitungen genauer fest- 
stellen sollte. 

Vorausgeschickt ist eine Beschreibung und Abbildung des 
neuen hydraulischen Apparates in der mechanischen Sammlung des 
Zürcher Polytechnikums, nebst Erläuterung über die Art seiner Be- 
nutzung. Mit demselben geht ein Ueberdruck von rund 40"* Wasser- 
säulen zu erreichen. 

Für die Zwecke der vorliegenden Untersuchung war an diesem 
Apparate zunächst ein Messingrohr von 10,ii™°* Durchmesser be- 
festigt. An dasselbe münden allmählige Verengungen auf 2,22; 5,i5, 
7,72*"™ geschraubt, und davon allmählige Erweiterungen auf den 
Durchmesser eines darüber gesteckten weiteren Rohres von 15,q8°^. 
Liess man die allmähligen Erweiterungen fort, so hatte man Aus- 
fluss durch eine plötzliche Erweiterung. 

Um bei Bestimmung des zugehörigen Widerstandscoefficienten 
von allen Widerständen innerhalb der engsten Stelle unabhängig 
zu sein, wurde der an jener Stelle disponible Gesammtdruck direct 
durch Beobachtung von Druck und Geschwindigkeit ermittelt. Der 



102 A. Fliegneb. 

Rohrreibungswiderstand im- vorderen Rohre wurde auch in Abzug 
gebracht. 

Für die' plötzliche Erweiterung nimmt mit zunehmendem dis- 
poniblem Drucke der Widerstandscoefficient g zunächst aus dem 
unendlichen kommend ab, bis angenähert auf den gewöhnlich 
dafür angegebenen Werth ^ = (m — 1)^, worin m den Quotienten 
des weiteren Querschnittes durch den engeren bedeutet. Nachher 
steigt g wieder, eine Folge der im Wasser stets absorbirten Luft 
Bei dem mit zunehmendem disponiblem Drucke auch zunehmenden 
Vacuum in der Erweiterung wird nämlich schliesslich so viel Luft 
frei, dass sie nicht mehr vollständig absorbirt werden kann, und 
dass im äussersten Querschnitte dem Wasser viel kleine, fein ver- 
theilte Luftbläschen beigemischt sind. Dadurch vergrössert sich 
sein Volumen, und die unter Annahme constanten Volumens ange- 
stellte Rechnung ergibt g zu gross. 

Die Ungleichheit von g und 5^, und zwar stets in dem Sinne 
^5 > So (eiiiige beobachtete geringe Abweichungen lassen sich leicht 
anderweitig erklären) ist dann nachgewiesen als Folge davon, dass 
jedenfalls stets, wenn eine Flüssigkeit in einen miL gleicJiartiger 
Flüssigkeit gefüllten Baum ausströmt, der' Druck im bewegten Strahle 
in der Mündungsebene grösser ist als in der umgebenden ruhenden 
Flüssigkeit. Die Richtigkeit dieser Behauptung ist zunächst durch 
einige ^ wenige directe Druckmessungen gezeigt*); dann durch 
einige Beobachtungen über das Aussehen des Strahles in der Er- 
weiterung, welches durch einige Figuren veranschaulicht ist. Bei 
einigen Versuchen zeigte sich um den austretenden Strahl ein 
wasserfreier Raum, der aber mit Wasserdämpfen und freigewordener 
Luft angefüllt ist, so dass in ihm der absolute Nulldruck noch 
nicht erreicht war. 

Bei allmäMigen Erweiterungen legt sich die Curve 5 als Func- 
tion der disponiblen Druckhöhe auch asymptotisch an die verticale 
Axe, sinkt jedoch schneller und unter den Werth von g^? ^^^ zwar 
um so tiefer, je allmähliger die Erweiterung ist. Nachher steigt 
sie aber wieder und ist bald identisch mit der für die gleiche plötz- 
liche Erweiterung gefundenen Curve. Das Letstere rührt daher, 
dass sich bei grösseren Druckhöhen der Strahl nicht mehr an die 



*) Eine inzwischen mit Wasser angestellte, vielleicht später einmal zu 
veröffentlichende Versuchsreihe, hat obigen Satz far alle erreichten inneren 
und äusseren Pressungen bestätigt. 



A. FUEGNEB. — W. FbÄNKEL. 103 

Wandungen der allmähligen Erweitemfig anlegt, sondern frei durch- 
strömt, wie bei einer plötzlichen. 

Eine Verringerung der Länge des äusseren Rohres vergrösserte 
bei allen Erweiterungen den Widerstandscoefficienten, weil die frei- 
gewordene Luft in einem kürzeren Rohre nicht mehr so vollständig 
wieder absorbirt werden kann. 

Bei praktischen Rechnungen darf man doch unbedenklich den 
alten Werth des Widerstandscoefficienten für plötzliche Erweiterungen 
benutzen, da er nur bei ganz kleinen, kaum je vorkommenden Pres- 
sungen erheblich grösser ist. Dieselben Coefficienten empfehle ich 
auch zur Sicherheit bis auf Weiteres für die allmählige Erweiterung. 
Im t^ebrigen ist es aber rathsam, in einer Rohrleitung jede Er-_ 
Weiterung zu vermeiden. 

Zürich. A. Fliegner. 



W. Franke 1: Anwendiing der Theorie des augenblicklichen 
Drehpunktes auf die Bestimmung der Formänderung von 
Fachwerken. — Theorie des Bogenfachwerks mit zwei 
Gelenken. (Civilingenieur 1875. Bd. XXI. S. 615 mit 1 Tafel.) 

Kennt man die äusseren Kräfte, welche auf ein aus anein- 
ander gereihten Dreiecken bestehendes, also statisch bestimmtes 
Fachwerk wirken, so lassen sich die inneren Kräfte, d. h. die Züge 
oder Drücke in den einzelnen Fachwerkstäben finden. Sind auch 
die Querschnitte der Constructionstheile bekannt, so beÄchnen sich 
leicht die Längenänderungen der letzteren. 

Durch die Längenänderung der einzelnen Stäbe entstehen De- 
formationen des Fach Werkes, wobei jeder Knotenpunkt desselben 
einen gewissen Weg beschreibt. Es ist einleuchtend, dass man 
diese Wege bestimmen kann, indem man zunächst nur einen der 
das Fach werk bildenden Stäbe als elastisch, die übrigen dagegen 
als absolut starr ansieht, und die durch die Längenänderung dieses 
einen Stabes hervorgerufenen partiellen Deformationen bestimmt. 
Die wirklichen Deformationen des Fachwerkes, d. h. die wirklichen 
Wege seiner Knotenpunkte, ergeben sich durch geometrische Sum- 
mirung der so gefundenen Partialresultate. 

Bei nur kleinen Formenänderungen des Fachwerkes, wie sie 
in der Praxis vorkommen, kann man den Weg, welchen irgend ein 



L 



104 W- Pbänkel. 

Knotenpunkt bei der Längeaänderung nur eines Stabes beschreibt, 
als kleinen Kreisbogen ansehen, dessen Mittelpunkt nach dem Satze 
von dem augenblicklichen Drehpunkte leicht zu finden ist. Zu die- 
sem Zwecke denke man sich durch den elastischen Stab einen ge- 
raden Schnitt geführt, wielcher ausser diesem nur noch zwei andere 
Stäbe trifft, und fixire femer das Fach werk in seiner Ebene durch 
Festhalten der beiden Enden irgend eines seiner starren Stäbe. 
Dann ist der der Lcmgenänderung irgend eines Stabes entsjgrechende 
augenblickliche Drehpunkt für die sich bewegenden Knotenpunkte des 
Fachwerkes identisch mit dem Durchschnitte der beiden übrigen vom 
Schnitt getroffenen Stabe (also auch identisch mit dem bei der be- 
kannten Kitt er 'sehen Momentenmethode zu wählenden Drehpunkte. 

Die Grösse des Drehungswinkels ergibt sich aus dem Quotienten 
der Stablängenänderung durch die Länge der Senkrechten von 
dem augenblicklichen Drehpunkt auf die Richtung des Stabes. 
Die Grösse des Weges ist hiemibh ebenfalls bestimmt. ^ 

Der genannte Satz lässt sich mit Nutzen in allen den Fällen anwen- 
den, wo es sich um Bestimmung von Formänderungen von Fachwerken 
handelt, sei es um z. B. bei bekannten äusseren Kräften die Durch- 
biegungen von Trägem zu finden, oder auch um, bei gegebenen 
Bedingungen für die möglichen Deformationen, einzelne etwa noch 
unbekannte äussere Kräfte zu bestimmen. Letzteres kommt z. B. 
bei der Untersuchung von Bogenf ach werken vor, für deren Kämpfer 
die Bedingung gilt, dass die Länge der sie verbindenden Bogen- 
sehne unverändert bleibe. 

Für derartige Bogenf ach Werkuntersuchungen, wie solche am 
Dresdner Polytechnikum bereits im Wintersemester 1874 mehrfach 
durchgeführt worden sind, wird ein ausführliches Beispiel gegeben 
und zum Schlüsse noch ein graphisches Verfahren auseinander- 
gesetzt, welches in bequemer Weise gebraucht werden kann, wenn 
es sich darum handelt, die Resultante der äussern Kräfte nach den 
Richtungen dreier durchschnittenen Stäbe zu zerlegen, und hierbei 
entweder zwischen der Resultante und' den betreffenden Stäben oder 
zwischen den Stäben unter sich spitze Schnitte entstehen. 

Dresden. W. Fränkel. 



W. Fränkel. 105 

W. Fränkel: Ueber die ungünstigste Belastung von Bogenträgem 
mit zwei Gelenken, (Civilingenieur 1875. Bd. XXI. S. 585 

mit 2 Tafeln.) 

Bei der Berechnung von Bogenträgem mit zwei Gelenken hat 
man sich gewöhnlich mit der Annahme einer gleichförmigen Be- 
triebsbelastung begnügt. Die Resultate, zu welchen man auf diese 
Weise gelangt, können jedoch bedeutend von denjenigen abweichen, 
welche man erhalten würde, wönn man als zufallige Last den wirk- 
lichen Eisenbahnzug zu Grunde gelegt hätte, und selbst wenn 
man sich mit der Voraussetzung einer gleichförmigen Belastung zu- 
frieden stellen wollte, bliebe immer noch die Frage offen, wie gross 
dieselbe anzunehmen sei, damit sie für die Berechnung aller Con- 
structionstheile genüge. 

Der vorliegende Aufsatz verschafft hierüber einige Aufklärung. 
Die Untersuchung beschränkt sich jedoch nur auf flache Bogen- 
träger, wie solche meist Anwendung gefunden haben. Femer wird 
der Querschnitt constant vorausgesetzt . und die vertheilende Wir- 
kung etwaiger Zwischenträger (z. B. Schwellenträger bei Eisen- 
bahnbrücken) nicht in Betracht gezogen. 

Unter Zugrundelegung eines vereinfachten, angenäherten Aus- 
druckes für den Horizontalschub des Bogens werden zunächst Re- 
geln und einfache geometrische Constructionen entwickelt zur Ein- 
Stellung eines Systems von Einzellasten, wenn dieselben die stärk- 
sten Pressungen beziehentlich Spannungen in den einzelnen Gurt- 
feldem oder den Füllungsgliedern des Bogenträgers hervorrufen 
sollen. Diese Maximal-Inanspruchnahmen werden dann mit den- 
jenigen grössten Pressungen bez. Spannungen verglichen, welche in den- 
selben Constructionstheilen bei einer am ungünstigsten vertheilten^feicfc- 
förmigen Belastung entstehen. Durch Gleichsetzungder beiden Resultate 
ist es dann möglich, diejenige gleichförmige Belastung zu berechnen, 
welche bezüglich der ungünstigsten Wirkung auf den Bogenträger 
aequivalent mit dem gegebenen System von Einzellasten ist. 

In zwei mitgetheilten Beispielen ist als Betriebslast ein au^ 
schweren Lokomotiven und Tendern bestehender Eisenbahnzug zu 
Grunde gelegt, und die Rechnung für die Querschnitte im Scheitel, 
im Kämpfer und in einem Abstände a? = 0,5 a beziehentlich 0,6 a 
(worin a die Helbsehne des Bogens bedeutet) vom Scheitel durch- 
geführt. In diesen beiden letztem Querschnitten entstehen nämlich 
die Maxima maximorum der Gurtpressungen, 

Die Zahlenresultate sind folgende: 



106 



W. Fraxkel. 



Beispiel I. Spannweite 2«= 20», Pfeil 6=2»«, Trägerhohe h= 



2in 



Quer- 



Aequivalente gleichförmige Betriebslast k 
in Tonnen pro laufenden Meter -Gleis, 



Entsprechendes k in 



schnittslage | welche im Bogentrager dieselbe grösste Tonnen pro laufenden 



X 1 

m — — 

a 


Pressung wie der LokomoÜYzug erzeugt. , 
Im Obergorte ! Im Dntergnrte 


Meter Gleis fBr einen 
geraden Balken. 


m — O 
m — 0,5 
m — 0,6 
m= 1 


6,070 
6,275 

5,370 


6,220 
6,348 
6,341 
5,370 


I 5,436 
5,760 

6,500 



Quer- 
schnittslage 

X 

m = — 
a 



Aeqnivalente gleichförmige Be- 
triebslast k in Tonnen pro Ifdn. Entsprechendes k in Tonnen pro 
Mt.Gleis, welche im Bogentrager laufenden Meter Gleis für einen 
dieselbe grösste Transversalkraft 'I geraden Balken. 

Q wie der Lokomotivzug erzeugt, i 



für max (+ Q) j für "inax (— Q) 



für max (+ Q) für max (— Q) 







m = 
m = 
m = 1 



0,5 



8,112 
9,000 

9,800 



8,112 

11,503 

7,239 



8,112 
7,160 
6,500. 



8,112 
10,930 

oo 



Beispiel IL Spannweite 2a = 50"*, Pfeil ?; = 5™, Trägerhohe Ä=— 



5m 



Quer- 
schnittslage 

X 

m = ~ 

II 



Aequivalente gleichförmige Betriebslast k 

in Tonnen pro laufenden Meter Gleis; 
welche im Bogentrager dieselbe grösste 
Pressung wie der Lokomotivzug erzeugt. 



ii 



Im Obergurte 



Im Untergurte 



m = 
m == 0,5 
m = 0,6 
m = 1 



5,098 
5,278 

4,882 



5,460 

5,660 

4,882 



Entsprechendes k m 

Tonnen pro laufenden 

Meter Gleis für einen 

geraden Balken. 



4,970 



5,320 



Quer- 
schnittslage 

X 

m — — 

a 


Aequivalente gleichförmige Be- 
triebslast k in Tonnen pro Ifdn. 
Mt. Gleis, welche im Bogentrager 
dieselbe grösste Trans ve^salkraft 
Q wie der Lokomotivzug erzeugt. 


Entsprechendes k in Tonnen pro 
laufenden Meter Gleis für einen 
geraden .Balken. . 




far max (+ 


für max (— Q) \ 






m — 
m — 0,5 
m — 1 


6,180 

6,928 
. 7,124 


6,180 
8,545 
6,227 


6,14 
5,67 
5,32 


6,140 
7,690 

oo 



Dresden. 



W. FränkeL 



0. Mohr: ^ 107 

O.Mohr: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. (Zeitschr. des Archi- 
tekten- und Ingenieur- Vereins zu Hannover. Jahrgang 1874 und 1875.) 

Für die Behandlung desjenigen Theils der Theorie des Fach- 
werks, welcher die" von der Elasticität und von der Temperatur ab- 
hängigen Formveränderungen der Construction in Betrachtung zieht, 
also insbesondere für die Bestimmung der Spannungen in statisch 
unbestimmten Fachwerken fehlte es bis jetzt an einer allgemeinen 
Methode. Man nahm an, dass die Figur der Construction und 
'namentlich die Art ihrer Unterstützung einen wesentlichen Einfluss 
auf die Form der Resultate ausüben müsse und beschränkte sich 
daher auf die Untersuchung besonderer Fälle. Trotzdem ist es so 
wenig gekingen, diesen Rechnungen eiq^ einfache Form zu geben, 
dass man in der Regel von ihrer Anwendung gan*^ absah und mit 
mehr oder weniger ungenauen Annahmen sie zu umgehen suchte. 
In der vorliegenden Arbeit ist der Versuch gemacht worden, die 
bezeichnete Lücke auszufüllen und ein Verfahren zu entwickeln, 
welches bei allgemeiner Anwendbarkeit die für den praktischen Ge- 
brauch erforderliche Einfachheit und Bequemlichkeit gewährt. 

Jedes Fachwerk enthält eine bestimmte von der Zahl der Knoten- 
punkte und der Stützen abhängige Anzahl von Constructionstheilen, 
deren Längen zur geometrischen Bestimmung der Constructions- 
figur nothwendig sind, nie statische Ermittelung der Spannungen 
ides Fachwerks aus den gegebenen Belastungen ist eine bestimmte 
oder eine unbestimmte Aufgabe, je nachdem das Fachwerk nur die 
eben genannten nothwendigen Constructionstheile oder ausser diesen 
noch überzählige Theile enthält. Im letzteren Falle können die 
Spannungen der nothwmdigen Constructionstheile ausgedrückt wer- 
den als Functionen der gegebenen Belastungen und der unbekannten 
Spannungen der überzähligen Theile. Die in diesen Gleichungen 
vorkommenden Constanten lassen sich mit den einfachsten Mitteln 
der angewandten Statik und in der Regel am bequemsten auf gra- 
phischem Wege bestimmen. 

Die Beziehungen zwischen den Längenänderungen der über- 
zähligen und denjenigen der nothwendigen Constructionstheile er- 
geben sich aus einer statischen Betrachtung, bei welcher das Princip 
der virtuellen Geschwindigkeiten zur Anwendung* kommt. Indem 
man in die genaniilen Beziehungen, die Ursachen der Längenände- 
rungen einführt, gewinnt man Gleichungen, in welchen die Span- 
nungen der überzähligen Constructionstheile, die einzigen Unbekann- 



108 0. Mohr. 

teri sind und zwar enthalten diese Gleichungen ausser den auf jene 
Ursachen sich beziehenden gegebenen Grössen nur die bereits oben 
erwähnten Constanten. Es bleibt also nur noch übrig, eine Gruppe 
von linearen Gleichungen aufzulösen, deren in der Regel kleine 
Anzahl mit derjenigen der überzähligen Constructionstheile überein- 
stimmt. 

Die gleichförmige Anwendung dieses Verfahrens auf alle Arten 
von Fachwerken, also auf das Balkenfachwerk, das Bogenfachwerk 
und auf das continuirliche Balkenfachwerk, bietet,- wie an Beispielen 
gezeigt wird, 'keine Schwierigkeit. 

Im Anschluss an diese Untersuchung wird eine grajohische Be- 
handlung der Theorie der elastischen Linie des Balkenfachwerks 
entwickelt, welche nach F^rm und Inhalt an die im Jahrgänge 1868 
derselben Zeitschrift veröffentlichte Theorie der elastischen Linie 

des homogenen Balkens sich anschUesst. 

» 

Dresden. 0. Mohr. 



O. Mohr: Ueber die Zusammensetzung der Kräfte im Baume. 

(OivilingenieTir Band XXII. Heft 2. 1876.) " 

Das in dieser Arbeit dargelegte neue Verfahren zur Bestimmung 
der mit der Centralaxe eines gegebenen Kräftesystems zusammen-, 
fallenden resultirenden Kraft B und des zugehörigen Kräftepaares 
M besteht in Folgendem: 

Sind Ä, B und Cdie Mittelkräfte der Prcjectionen des Kräfte- 
systems auf die drei Ebenen XY, XZ und YZ eines rechtwink- 
ligen Coordinatensystems; femer D, E, F die durch die Projectionen 
Ä und Bj A und C, B und G bestimmten drei Kräfte; endlich 
G\ B\ Ä'y die dritten Projectionen der Kräfte D, E und F] so ist 
jedes der drei Kräftesysteme: 

E) Bf — B y 

F, A, - A', 

gleichwirkend mit dem gegebenen System, wenn man mit — A', 
— B\ — C Kräfte bezeichnet, welche nur durch den entgegen- 
gesetzten Sinn von Ä, B\ C sich unterscheiden. Die Kräfte D, 
E und F stimmen nach Sinn, Grösse und Richtung mit der Kraft 
R überein, und die C#ntralaxe ist der Schnitt der drei Ebenen, 



( 
i 

' 



J 



0. MöHB. — L. SOHNCKE. 109 

welche man durch die Kanten des Prismas BEF normal zu den 
gegenüberliegenden Seitenflächen legen kann. Endlich ergibt sich 
das Kräffcepaar M als Projection eines jeden der drei Paare: 

Ay A y 

B, - B', 

C, - C, 

auf eine zu H normal gestellte Ebene. 

Dieses Verfahren führt unmittelbar auf das in dem Lehrbuch 
der Statik von Möbius entwickelte NuUsystem, Denn die drei 
Schnittpunkte der Kräfte F, E und D beziehungsweise mit den 
Ebenen XF, XZy YZ sind offenbar die Nullpunkte der Coordinaten- 
ebenen. Es lassen sich also die Beziehungen des Nullsystems auf 
die weiteren Umformungen des Kräffcesystems sofort anwenden. 

Dresden. 0#Mohr. 



Xieonhard Sohnoke: Die unbegrenzten regelmässigen Punkt- 
systeme als Grundlage einer Theorie der Erystallstruktur. 

(83 Seiten. 2 Tafeln. Karlsruhe 1876. Braun. Separatabdruck aus 
dem 7. Heft der Verhandlungen des naturwissenschaftl. Vereins zu 
Karlsruhe. — Ein Auszug davon in PoggendoriTs Annalen der Physik. 
Ergänzungsband 7. Seite 337.) 

Die neuere Physik hat sich mit Vorliebe damit beschäftigt, die 
theoretischen Vorstellungen über die moleculare Beschaffenheit der 
Gase, und in geringerem Grade auch der Flüssigkeiten, auszubilden, 
während sie die der festen Körper weniger beachtet. Und doch 
verspricht gerade die Entwicklung einer Molekulartheorie der festen 
Körper, unH zwar vornehmlich der Krystalle, die tiefste Einsicht in 
das Wesen der Molekularkräfte. — Es liegt zwar eine, in ihren 
Ursprüngen auf Haüy zurückgehende, aber. klar zuerst von Dela- 
fosse ausgesprochene und wesentlich von Frankenheim und 
Bravais ausgebildete Theorie der Krystallstruktur vor, die bei den 
Mineralogen eine ziemliche Verbreitung gefunden hat; doch hat die 
Physik im Ganzen wenig Notiz von ihr genommen; und in der That 
lassen sich erhebliche Einwendungen gegen sie machen. Ihr zu- 
folge liegen die Schwerpunkte der Krystallmoleküle in den Schnitt- 
punkten dreier Züge von je äquidistanten und parallelen Ebenen, 



i 



110 L. SoHIfCKE. 

d. h. sie bilden ein räumliches Punktnetz mit parallelepipedischen 
Maschen oder ein sogenanntes Eaumgitter] die Moleküle selbst aber 
sind sämmtlich parallel gelagert. 

Diese Grundhypothese erscheint willkürlich; ihre Berechtigung 
erhält sie erst nachträglich dadurch, dass die Eintheilung der Raum- 
gitter nach dem verschiedenen Grade ihrer Symmetrie genau auf die 
7, in der Mineralogie als Krystallsysteme bekannten, Abtheilungen 
führt. Jedoch gibt es kein Raumgitter mit solcher Symmetrie, wie 
sie den halbflächigen Krystallen zukommt, so dass sich Bravais 
bei letzteren genöthigt sieht, den halbflächigen Charakter in die 
einzelnen Moleküle zu verlegen, diese selbst aber nach einer voll- 
flächigen Strukturform, d. h. nach einem Raumgitter, angeordnet 
zu denken. 

Hiemach wird man zugeben, dass eine andere Theorie, die 
ebenfalls m# Noth wendigkeit auf die bekannten Krystallsysteme 
führen würde, als gleichberechtigt mit der Bravais'schen Theorie 
erachtet werden müsste; dass sie aber sogar für die wahrschein- 
lichere erklärt werden müsste^ wenn sie ausserdem noch den Vor- 
zug einer evidenteren Grundhypothese hätte, und wenn^sie die halb- 
flächigen Krystallgestalten ohne Hülfshypothese mit umfasste. 

Diese Eigenschaften besitzt die von mir entwickelte Theorie 
der Kry Stallstruktur; sie ist viel allgemeiner als die Bravais'sche, 
denn unter den aus ihr folgenden zahlreichen StmJcturforfnen sind alle 
Raumgitter mit enthalten. Der Grundgedanke der neuen Theorie ist 
folgender: 

Dass die congruenten Grundgebilde, aus denen ein Kry stall 
aufgebaut ist (mag man nun die chemischen Moleküle selbst, oder 
Complexe von solchen als diese Krystallelemente ansehn), regel- 
mässig angeordnet sein müssenj darf wohl als selbstverständlich gel- 
ten. Es handelt sich nur darum, den Begriff der regelmässigen 
Anordnung schärfer zu fassen. Dabei sind besonders • zwei Um- 
stände zu beachten. 1) In einem Krystall existirt kein physikalisch 
ausgezeichneter Ort, namentlich kein Mittelpunkt von physikalischer 
Bedeutung. 2) Ein beliebig kleines Bruchstück eines Krystalls hat 
immer noch alle den Krystall charakterisirenden physikalischen' 
Eigenschaften, auch wenn die natürlichen Krystallflächen beseitigt 
sind; und zwar ist es gleichgültig, an welcher Stelle das Stück 
aus dem Krystall herausgenommen ist. — Somit erscheint die äussere 
Kry stallform nur als eine mit den physikalischen Eigenschaften 
gleichwerthige Eigenschaft, nämlich als eine Folge der Struktur. 



L. SOHKCKI:;. 111 

Wenn man es also, wie hier, nur mit der Struktur zu thun hat, 
so kann mau sich von der Betrachtung der Exystallbegrenzung da- 
durch unabhängig machen, dass man den Kry stall als von unbe- 
grenzter Ausdehnung voraussetzt; und dies ist um so gerechtfertigter, 
als, den Molekularabständen gegenüber, die endlichen Dimensionen 
des Krystalls jedenfalls für ungemein gross gelten müssen. Wenn 
man nun, zur Vereinfachung, jedes Krystallelement durch seinen 
Schwerpunkt ersetzt, so lautet — .auf Grund der vorhergehenden 
üeberlegungen — die Hypothese folgendermassen: 

Kry stalle — unbegrenzt gedacht — sind regelmässige y unendliche 
Punktsysteme, d, h. solche, hei denen um jeden Punkt herum die An- 
ordnung der übrigen dieselbe ist, wie um jeden anderen Punkt Hier- 
durch ist die Erjnittelüng aller für die krystallisirten Körper mög- 
liehen Strukturformen auf die Lösung der Aufgabe zurückgeführt: 
Alle OberJiaupt möglichen regelmässigen Punktsysteme von allseitig un- 
endlicher Ausdehnung zu finden. 

Eine hiermit nahe verwandte, wenn auch sehr fremdartig 
klingende, Aufgabe hat nun Herr Camille Jordan schon vor meh- 
reren Jahren in seiner Abhandlung Sur les groupes de mouvements 
gelöst. Ohne auf diese Aufgabe näher einzugehn, will ich nur her- 
vorheben, dass ihre Lösung die krystallographische Aufgabe zugleich 
mit löst; jedoch ist sie viel allgemeiner, so dass die für meinen 
Zweck brauchbaren Resultate erst aus der Gesainmtheit der Jordani- 
schen herausgeschält werden mussten. Auch bedurften sie einer 
Umdeutung aus dem Bewegungsproblem in das geometrische Pro- 
blem der Punktsysteme, sowie mehrfacher Zusätze und Verbesse- 
rungen. Die letzteren habe ich in einem Anhange meiner Abhand- 
lung zusammengestellt. 

. Auf eine vollständige Mittheilung der Resultate muss ich an 
dieser Stelle verzichten, denn es ergeben sich nicht weniger als 54 
unbegrenzte, regelmässige Punktsysteme, welche in 8 Abtheilungen 
zerfallen. Um das Eintheilungsprincip zu verstehn, denke man sich 
ein solches Punktsystem starr gemacht und aus seiner bisherigen 
Lage herausgerückt; dann bilden die zuvor von Systempunkten be- 
setzt gewesenen Orte des Raumes ein ihm congruentes System; die- 
ses heisse das feste System, gegenüber dem herausgenommenen be- 
weglichen. In welchen Systempunkt des festen Systems man nun 
einen beliebigen Systempunkt des beweglichen auch legen mag: 
immer kann man, wegen der Hegelmässigkeit, bewirken, dass beide 
Systeme zur Deckung kommen. Die zur Herbeiführung der Deckung 



l 



112 



L. SOHNCKE. 



erforderliclien Bewegungen (Deckbewegungen) sind nun theils Schie- 
bungen, theils Drehungen oder Schraubungen um gewisse, im festen 
System gegebene, gerade Linien als Axen. Ich bezeichne nun eine 
solche Gerade, um welche entweder eine Drehung allein oder eine 
Drehung mit gleichzeitiger Verschiebung längs dieser Geraden (d. h. 

eine Schraubung) um — • 360^ ausgeführt werden muss, damit das 

System mit sich selbst wieder zur Deckung gelange, als eine n- 
mhlige Äxe des Systems. Ein und dasselbe Punktsystem kann Axen 
von mehrerlei Zähligkeit zugleich enthalten; jedoch gibt es nur 2, 
3,4 und 6 zählige Axen. Kommen nun die meistzähligen Axen 
eines Systems nur -nach einer Bichtung verlaufend vor, so nenne 
ich diese Bichtung die der Hauptdooe, Als Eintheilungsgrund dient 
nun das Vorhandensein oder Fehlen einer Hauptaxe, und nächstdem 
die Zähligkeit der Axen. Die 8 Abtheilungen sind folgende: 



Ä) Systeme mit 
Hauptaxe. 



?; 



jt 



B) Systeme ohne 
Hauptaxe. 



1. Die Hauptaxe ist 2-zählig. 
9 ^ 

V* >; }} V ^ 

^' ?; V n " ;? 

5. Es finden sich gar keine Axen. 

6. Es finden sich nur 2- zählige Axen nach 3 
senkrechten Bichtimgen. 

7. Es finden sich. 2- und 3-zählige Axen, resp. 
parallel den Kanten und Diagonalen eines 
Würfels. 

8. Es finden sich 4- und 3-zählige Axen, resp. 
parallel den Kanten und Diagonalen eines 
Würfels. 



Jedes dieser Pmktsysteme ist entweder ein Baumgitter ^ oder es 
besteht aus mehreren (bis 24) ineinander gestellten congruenten Bcmn- 
gittern. Von obigen Abtheilungen entsprechen durch den Charakter 
ihrer Symmetrie die 7. und 8. dem regulären Krystallsystem, und 
zwar erstere ausschliesslich den halbäächigen Gestalten; die ersten 
6 Abtheilungen entsprechen, der Beihe nach, dem monoklinen, 
rhomboedrischen, quadratischen, hexagonalen, triklinen, rhombischen 
Krystallsystem. Die zahlreichen Punktsysteme innerhalb der ein- 
zelnen Abtheilungen, sowie die möglichen Winkel- und Dimensionen- 
verschiedenheiten eines und, desselben »Punktsystems, geben Elechen- 
schaft von den zahlreichen verschiedenen Typen, die innerhalb 



L. SOHNCKE. 113 

desselben Krystallsystems möglich sind. Dm hemiedrischen Krystall- 
gestalten entsprechen mhlreiche Systeme. Besonders wichtig ist ferner 
der Umstand, dass, bei nicht wenigen Punktsystemen, die Punkte 
eine schraubenförmige Anordnung besitzen. Es ist mir nämlich be- 
reits gelungen, die an gewissen Krystallen beobachtete Drehung 
der Polarißß.tionsebene mit grosser Wahrscheinlichkeit als Folge 
dieser schraubenförmigen Struktur nachzuweisen. (Zur Theorie des 
opt. Drehvermögens von Krystallen. Mathem. Ännalen Bd. IX. 
S. 504.) — Mit besonderer Leichtigkeit erklären sich femer die 
nicht selten vorkommenden Zwischenformen zwischen zwei Krystall- 
systemen, welche von beiden Systemen gewisse Eigenthtimlichkeiten 
an sich tragen. Einer solchen Zwischenform entspricht nämlich ein 
Punktsystem, welches weniger Axen besitzt als die congruenten Baum- 
gitter, aus denen es aufgäxzut ist. 

Die auf Krystallflächen hervorrufbaren Äetisfiguren müssen noth- 
wendiger Weise in nahem Zusammenhange mit der Struktur stehn. 
Daher ist es nicht wunderbar, dass als Aetzfiguren gerade solche 
Vielecke auftreten, wie sie die regelmässigen ebenen Punktsysteme 
zusammensetzen, die ich früher ermittelt habe. (Die regelm. ebenen 
Punktsysteme von unbegrenzter Ausdehnung. Borchardt's Journal 
f. Math. Bd. 77. S. 47.) 

Schliesslich sei noch erwähnt, dass diese Theorie eine geometrisch 
scharfe Formulirung des Begriffs der Isom^orphie an die Hand gibt: 
äwei Substanzen sind isomorph, wenn sie in gleichen oder doch nahe 
gleichen Struhturformen kryställisiren. 

Die von mir vertretene Theorie ist vorläufig eine rein geo- 
metrische; es wäre ein grosser Schritt, wenn es gelänge, sie zu 
einer mechanischen zu erheben dadurch, dass man nachwiese: die 
regelmässigen Punktsysteme seien stabile Gleichgewichtslagen für 
congruente, mit gewissen (vorläufig noch unbekannten) Kräften auf 
einander wirkende Körperchen. 

Carlsruhe. L. Sohncke. 



/ ^ 



Bepertorinm für reine und angewandte Mathematik. 8 



114 * L. SOHNCKE. 

* 

Leonhard Sohnoke: Universalmodell der Baumgitter. (Carls 
Repertorium för Experimentalphysik. Bd. XII. 1876. 6 Seiten.) 

Wenn eine Schaar unendlich vieler Parallelebenen gleichen Ab- 
standes geschnitten wird von zwei analogen Schaaren irgend wel- 
chen anderen je gleichen Abstandes, so bildet die Gesainmtheit der 
Schnittpunkte ein Punktnetz mit parallelepipedischen Maschen oder 
ein Baumgitter, Bravais hat bewiesen, dass es vierzehn wesentlich 
verschiedene Arten Von Raumgittern giebt, die sich jedoch in sieben 
engere Abtheilungen, genau entsprechend den sieben Krystallsystemen, 
zusammenfassen lassen. Die Raumgitter spielen nun aber nicht 
bloss in der Bravais 'sehen, sondern auch in der kürzlich von mir 
aufgestellten viel allgemeineren Theorie der Krystallstruktur 'eine 
hervorragende Rolle, indem es sich zeigt, dass alle allseitig unbe- 
grenzten regelmässigen Punktsysteme aus ineinander gestellten con- 
gruenten Raumgittern bestehn oder sich, in speci eilen Fällen, auf 
ein einzelnes Raumgitter reduciren. — Bei der Schwierigkeit, welche 
es hat, sich Schaaren von räumlich vertheilten discreten Punkten 
anschaulich vorzustellen, habe ich es nicht für überflüssig gehalten, 
ein Modell zu construiren, welches gestattet, alle vierzehn möglichen 
Arten von Raumgittern zur Anschauung zu bringen. Die Einrich- 
tung dieses beweglichen Modells ist in der Abhandlung genauer 
beschrieben, und seine specielle Einstellung für die vefrschiedenen 
Gitterarten ungegeben. Die Abhandlung ist von einer Abbildung 
des Modells begleitet. 

Carlsruhe. L. Sohncke. 



Leonhard Sohnoke: Zur Theorie des optischen Drehvermögens 
von Erystallen. (Mathem. Annalen von C. Neumann. Bd. IX. 
S. 504—529. 1876.) 

Diejenigen Kry stalle, welche die Polarisationsebene des Lichts 
drehn, verrathen bekanntlich durch die Lage gewisser Krystall- 
flächen auch äusserlich einen schraubenförmigen Bau, so dass man 
schon aus. ihrer äusseren Betrachtung entnehmen kann, ob sie rechts 
oder links drehend wirken. Hiermit ist also der innigste Zusammen- 
hang des Drehvermögens mit der Struktur bewiesen. Trotzdem ist 
es unter den bisherigen Versuchen einer Theorie jener Drehung nur 



L. SOHNCKE. 115 

der Briot'sche, welcher auf jenen Zusammenhang überhaupt Rück- 
sicht nimmt. Herr Briot findet, dass die schraubenförmige An- 
ordnung des Aethers keinerlei Wii:kung übt auf Strahlen, die der 
Schraubenaxe parallel sind, dass sich aber ein zur Schraubenaxe 
senkrechter Strahl in zwei entgegengesetzt rotirende elliptische 
Strahlen von verschiedener Geschwindigkeit theilt, wodurch eine 
Drehung der Polarisationsebene eintreten muss. In Folge dessen 
nimmt Briot an, im Quarz sei der Aether nach Schraubenlinien 
von durchweg gleichem Drehungssinn, aber verschiedener Richtung, 
geordnet, nämlich so, dass die Schraubenaxen mit den Radien der 
sechsseitigen Basis des Quarzprismas der Reihe nach zusammen- 
fallen. Obgleich nun der hieraus si(fli ergebende Drehungsbetrag 
der Polarisationsebene mit dem beim Quarz beobachteten hinreichend 
übereinstimmt, so ist diese Theorie doch wenig wahrscheinlich, denn 
sie bleibt den Nachweis gänzlich schuldig, wie die — durch die 
Trapezflächen des Quarz sich verrathende — Anordnung der Massen- 
theilchen nach Schrauben, deren Axen der Hauptaxe parallel sind, 
im Aether schraubenförmige Anordnungen senkrecht zur Hauptaxe 
erzeugen könne. 

Mir ist es nun auf einem völlig anderen Wege gelungen, die 
Drehung der Polarisationsebene in den allernächsten Zusammenhang 
mit der schraubenförmigen Anordnung der Krystallelemente zu 
bringen, und zwar mit Hülfe einer interessanten Entdeckung, welche 
Herr Reusch 1869 gemacht hat. Schichtet man nämlich eine 
grössere Anzahl Blättchen zweiaxigen Glimmers" von möglichst glei- 
cher, sehr geringer Dicke in der Weise aufeinander, dass jedes fol- 
gende gegen das vorhergehende um 60^ (oder 45^) immer in dem- 
selben Sinn gedreht ist, so zeigt dies Präparat fast dieselben optischen 
Erscheinungen wie eine senkrecht zur Axe geschnittene Quarzplatte, 
und zwar wie ein rechts- oder linksdrehender Quarz, je nach dem 
Sinne der wendeltreppenformigen Aufschichtung. Nur in sofern 
weicht das Verhalten dieser Glimm ercombination von dem des Quarz 
ab, als sich im Polarisationsapparat, bei Drehung der Combination 
in ihrer Ebene, kleine Aenderungen der Parbenerscheinung einstellen. 
Jedoch vermuthet Reusch, dass sich das Verhalten der Glimmer- 
combination dem des Quarz um so mehr nähern wird, je dünner 
die Lamellen und je grösser die Zahl der Umgänge. — Von diesen 
Thatsachen gehe ich aus. Den Haupttheil meiner Abhandlung bil- 
det die ausführliche Entwicklung der Theorie der Glimmercombination 
für senkrechten Durchgang der Strahlen; und zwar genügt es schon, 

8* 



116 L. SOHNCKE. 

eine nur aus 3 Blättchen aufgeschichtete Combination (1 Triade) 
zu betrachten; es ist dann leicht, von ihr zu den Combinationen 
mit mehr Blättchen uberzugehn. Die für die Drehung durch eine 
Glimmercombination entwickelte Formel wende ich dann auf den 
Fall an, dass die Blättchendicke, multiplicirt mit ein^r von der 
_ optischen Beschaffenheit der Blättchen abhängenden Zahl, klein ge- 
gen die Wellenlänge ist. In diesem Fall ergibt sich für die Drehung 
der Polarisationsebene dasselbe Gesetz, , welches beim Quarz als das, 
von Herrn Boltzmann vervollständigte, Biot'sche Gesetz bekannt ist, 
Ist es nun hiernach schon nicht unwahrscheinlich, dass dem 
Quarz eine solche Struktur, wie sie durch die Glimmercombination 
von Reu seh im Groben verkörpert ist, zuzuschreiben sei, so er- 
wächst dieser Hypothese über die Quarzstruktur ihre wahre Be- 
rechtigung doch erst aus der von mir entwickelten allgemeinen Theorie 
der Kry Stallstruktur. Diese sieht einen Krystall als endlichen Theil 
eines unbegrenzten regelmässigen Punktsystems an, d. h. eines 
solchen, in dem die Punktvertheilung. um jeden Punkt herum die- 
selbe ist wie um jeden anderen. Unter den aus diesem Grundsatz 
sich ergebenden 54 verschiedenen Punktsystemen, deren Eintheilung 
in Gruppen auf die bekannten Krystaillsysteme führt, finden sich 
nun nicht wenige mit einer schraubenförmigen Anordnung der Punkte. 
Legt man durch einen Punkt eines solchen Schraubensystems senk- 
recht zur Schraubenaxe eine Ebene, so ist sie in ihrer unendlichen 
Ausdehnung mit unendlich vielen Punkten besetzt; sie heisse eine 
Molekularebene, In den einfachsten Fällen besteht dann das ganze 
schraubenförmige Punktsystem aus lauter äquidistanten*, zur Schrau- 
benaxe senkrechten, congruent besetzten Molekularebenen, deren 
jede folgende gegen die vorhergehende immer um denselben Winkel 
(von 60^ oder 90^ oder 120^) in demselben Sinn gedreht ist. Solche 
Systeme bieten also die überraschendste Analogie zu der Glimmer- 
combination mit unendlich dünnen Blättchen dar. Die Ueberein- 
stimmung geht aber noch weiter. Nämlich in complicirteren Fällen 
treten an die Stelle jeder solchen Molekularebene zwei derselben, 
congruent und pai:.allel besetzt, jedoch. so, dass im Allgemeinen die 
Punkte der einen nicht vertikal über denen der anderen liegen, 
wenn die Schraubenaxe vertikal steht. Jetzt ist jedes Ebenenpaar 
gegen das vorhergehende um stets denselben Winkel gedreht. Weil 
jedes einzelne Ebenenpaar den geometrischen Charakter des mono- 
klinen Krystallsystems besitzt, so ist es» nun vollständig geeignet, die 
Stelle des einzelnen doppelbrechenden Blättchens der Glimmer- 



L. SOHNCKE. M. CaNTOR. 117 

combination von Reu seh zu vertreten. Der Abhandlung ist die 
Abbildung eines Punktsystems beigefügt;^ welches möglicher Weisß 
der Quarzstruktur zu Grunde liegen könnte. 

Es ist wichtig hervorzuheben, dass — abgesehen von den 2 
Abtheilungen der Punktsysteme, welche dem triklinen und mono- 
klinen Krystallsystem entsprechen — in keiner der übrigen Abthei- 
lungen schraubenförmige Punktsysteme fehlen, selbst nicht in jener 
Abtheilung, die dem regulären Krystallsystem entspricht. Hiermit 
ist die Möglichkeit gegeben, auch bei regulär krystallisirenden Kör- 
pern, wie z. B. beim chlorsauren Natron, das Drehvermögen auf 
eine schraubenförmige Struktur zurückzuführen. 

Carlsruhe. * L, Sohncke. 



M. Cantor: Die Bömisohen Agrimensoren iind ihre SteUiing in 
der Geschichte der Feldmesskiinst. (Eine historisch -mathe- 
matische Untersuchung. Leipzig 1875. Druck und Verlag von B. 
G. Teubner. 186 S. Text; 46 S. Anmerkungen; 6 S. Sachverzeichniss 
für den Text; 6 lithographirte Tafeln.) ^ 

„Die Römer haben für die Feldmesskunst der Griechen und 
für unmittelbar oder mittelbar damit Zusammenhängendes, wel- 
ches ihnen seit dem Beginne der chiistlichen Aera zufloss, eine auf- 
bewahrende Mittelstelle abgegeben. Sie ähneln darin den Arabern, 
nur dass sie weniger in sich aufnahmen, entsprechend ihrer geringen 
mathematischen Begabung. Hinzuerfunden haben sie so gut wie 
Nichts, höchstens einige Operationen wirklicher Feldmesskunst. Weg- 
gelassen haben sie von dem, was sie sich angeeignet hatten, auch 
nicht viel; die falschen, meistens altegyptischen Näherungsformeln 
vor Allen haben sie niemals ausser Uebung treten lassen. Was für 
die Römer gilt, bleibt wahr fiir ihre Schtiler im Mittelalter. Ein- 
zelne hervorragende Geister ausgenommen, nimmt das Verständniss 
des Aufbewahrten immer mehr ab, aber die Menge des Aufbewahrten 
bleibt. Sie ist nicht gross, doch immerhin erheblicher, als man 
sonst wohl annahm. Dass überhaupt irgend etwas von Geometrie 
in die wissenschaftliche Barbarei des frühsten Mittelalters hinüber 
sich retten konnte, das ist das unschuldige Verdienst der römischen 
Agrimensoren," 



118 M. Cantob. 

So lautet der letzte Absatz des oben genannten Buches, und 
da ich auch heute kaum wüsste, den wesentlichen Inhalt d.er ganzen 

' Untersuchung deutlicher in wenigen Sätzen darzustellen, so wird 
man mir verzeihen müssen, wenn ich den Bericht über meine Arbeit 
mit diesem wörtlichen Selbstcitate beginne. Ich knüpfe daran so- 
fort eine Bemerkung über den Gang der Untersuchung. Es galt 
mir, den Nachweis zu führen, wie gewisse geometrische Dinge sich 
von Schriftsteller zu Schriftsteller, von Volk zu Volk vererbten, 
und so war es in der Natur des StoflFes von selbst begründet, wenn 
in einem ersten Capitel die egyptischen Anfänge der geometrischen 
Wissenschaft und des Rechnens, soweit es hier ii^ Betracht kam, 
erörtert würden; wenn ein zweites Capitel die Feldmesskunst der 
Griechen behandelte; wenn ein drittes, ein viertes Capitel den Rö- 
mern und deren Schülern sich zuwendeten; wenn in jedem folgenden 
Capitel auf die früheren zurückgegriflFen wurde, um die Ueberein- 
stimmung des aller Orten Gelehrten mitunter bis auf den Wortlaut 

'genau hervortreten zu lassen. Aeussere Gründe boten die Veran- 
lassung, dass von diesem Gange so weit abgewichen wurde, dass 
jenes erste egyptische Capitel in Wegfall kam. Die auch heute noch 
nicht vollendete Herausgabe des mathematischen Papyrus Rhind 
legte mir eine zu grosse Beschränkung in der Auswahl des in jenem 
ersten Capitel zu verwerthenden Materials auf, als dass nicht ein 
unziemliches Missverhältniss der Ausdehnung sich hätte ergeben 
müssen, welches ich zu vermeiden wünschte, sei es auch nur, um 
bei flüchtigen Leser^ den Argwohn nicht aufkommen zu lassen, von 
den Egyptern sei in der That nicht mehr zu sagen, als hier auf 
wenigen Seiten geboten wird. Darum zog ich es vor, das, was aus 
bisherigen Veröffentlichungen, insbesondere von Lepsius und Aug. 
Eisenlohr, zur freien Verfügung stand, in das Capitel, welches 
mit dem Griechenthume, sowie theilweise in das, welches mit den 
Römern sich beschäftigt, hineinzuverarbeiten, und somit besitzt mein 
Buch neben einer kurzen Einleitung, in welcher die Aufgabe ge- 
stellt, den Verdiensten eines namhaften Vorgängers, Fr. Hultsch 
die gerechte Würdigung ertheilt und den Vorstehern mehrerer Biblio- 
theken pflichtschuldiger Dank erstattet wird, nur drei Capitel: 

1) Heron von Alexandrien S. 6 — 63. 

2) Römische -Feldmessung S. 63 — 139. 

3) Die Schüler der Römer S. 139 — 185. 

In diesem Referate, wo es auf stylistische Abrundung weniger an- 
kommt, als auf möglich scharf hervortretenden Inhalt, will ich von 



M. Cantoe. 119 

der angedeuteten Viertheilung im Gegensatze zu dem Buche , selbst 
Gebrauch machen. 

Die Egypter legten sich schon vor dem Jahre 1700 v. Chr. 
Fragen vor, welche auf Ausmessung grad- und krummlinig begrenzter 
Figuren und Körper sich bezogen. Unter den Figuren scheinen sie 
das Dreieck in erster Linie beachtet zu haben, und zwar das gleich- 
schenklige Dreieck, dessen Seiten a, a, h heissen mögen und dessen 

Fläche Ws -y- berechnet wurde. Aus dem gleichschenkligen Drei- 
eck entstand durch Abstumpfung das gleichschenklige Paralleltrapez, 
dessen Seiten a, a, \^ h^ ^i® Fläche 7" ^ errechnen liessen. 

Dieselben falschen Näherungsformeln erhielten sich bis nach 100 
V. Chr., wenn auch eine gewisse Aenderung sich dadurch kund 
zu geben scheint, dass allmälig nicht das Dreieck, sondern das Trapez 
als die primäre Figur aufgefasst wurde, von welcher das Dreieck 
. nur den speciellen Fall der einen verschwindenden Parallele dar- 
stellt, dem Begriffe nach ein gewisser Fortschritt, während zugleich 
ein Rückschritt darin sich offenbart, dass bei dem Trapeze die Be- 
dingung des Parallelismus zweier Seiten, der Gleichheit def anderen 
beiden in Wegfall kommt und allgemein aus den einander gegen- 
überliegenden Seiten %, «2 ^^<i ^i> ^2 ^^® Fläche des Vierecks mit 

^ l" ^ • ^ T" ' gewonnen wird. Zusammengesetztere Figuren wer- 

den zum .Zwecke der Berechnung durch Hülfslinien . in Dreiecke und 

-Vierecke zerlegt. Von Wichtigkeit ist noch, dass in der ältesten 

Zeit bereits ein Name, merit, für die oberste Linie jeder solchen 

gradlinigen Figur auftritt. Der Kreis wird quadrift als \-^d) , wo 

d den Durchmesser bedeuten soll, eine Formel, welche dem Werthe 

yj = 3,1604 .... entspricht. Das Rechnen der Egypter war 

zu derselben frühen Zeit ein bereits sehr entwickeltes. Bruchrech- 
nungen gehörten namentlich zu dem täglichen Bedürfnisse und wur- 
den so bewältigt, dass die vorkommenden Brüche stets in Gestalt 
von Summen einfacherer Brüche, welche nur die Einheit zum Zähler 
haben, behandelt wurden. Zu einer solchen Rechnungsweise war 
aber unbedingt Eines noth wendig: die Möglichkeit, jeden beliebigen 
Bruch in eine Summe von Partialbrüchen, oder wie ich lieber sage, 
von Stammbrüchen zu verwandeln. Das ist eine Aufgabe, welche 
Jahrtausende lang wiederkehrt, wenn auch unter den im Drucke 



120 M. Cantor. 

bekannten Schriftstellern erst Leonardo^on Pisa 1202 eine Me- 
thode dazu lehrt, auf deren möglicherweise uralten Ursprung ich 
hingewiesen habe. Als charakteristisch für dieselbe möchte ich die 
Benutzung von ein für alle Mal ausgerechneten Hülfstabellen her- 
vorheben. Setze ich noch hinzu, dass jede Aufgabe des ältesten 
. bekannten egyptischen Uebungsbuches die Auflösui^ durch die Worte 
„Mache es so" einleitet, so dürfte in diesem Referate genug gegeben 
sein. Egyptisch freilich ist noch mancherlei, worauf hier nicht aus- 
führlicher eingegangen werden kann, so auch die Einrichtung des 
Schaltjahres von 366 Tagen, welches alle 4 -Jahre wiederkehrend 
die Ordnung der Jahreszeiten und des kirchlichen Jahres unverrückt 
feststellt, eine Einrichtung, welche am 7. März 238 v. Chr. vielleicht 
unter dem Einflüsse des geistvollen Chronologen Eratosthenes 
durch das Edict von Canopus ins Leben gerufen wurde, wenn auch 
nur, um bald wieder ausser Uebung zu kommen. 

Die Griechen verkörpern sich für den bei der gegenwärtigen 
Untersuchung vorliegenden Zweck in die eine Persönlichkeit des 
Heron von Alexandrien, eines Schriftstellers, der etwa um 100 
V. Chr. muthmasslich ein officielles Werk über Feldmesskunst und 
Feldmess Wissenschaft verfasste, die einzige derartige Schrift aus 
alexandrinischer Zeit, welche in umfangreichen Ueberresten zu uns 
gelangt ist. Feldmesskunst und Feldmesswissenschaft unterscheide 
ich dabei so, dass ich unter Ersterer die auf dem Felde selbst zu 
vollziehenden Operationen, als Abstecken von Geraden nach be- 
stimmter Richtung, von rechten Winkeln, u. s. f. verstehe, unter 
Letzterer dagegen die Kenntniss von Formeln zur Berechnung ins- 
besondere von Flächenräumen verschiedener, durch gradlinige Be- 
stimmungsstücke gegebener Figuren. Heron von Alexandrien, ein 
vielseitiger Gelehrter, dessen sämmtliche uns erhaltenen Werke 
verdienter Besprechung unterzogen wurden, hat sowohl in der Feld- 
messkunst als in der Feldmesswissenschaft Bedeutendes geleistet. 
Ersterer ist seine Dioptrik gewidmet, d. h. die Lehre von der An- 
wendung der Dioptra, eines feldmesserischen Werkzeuges, in welchem 
der Uranfang unserer Theodolithen nicht zu verkennen ist* Letztere 
bildet den . Gegenstand einer Anzahl anderer Abhandlungen, theil- 
weise' auch der Dioptrik. Die Hauptaufgabe, welche ich mir nun 
in dem Capitel über Heron von Alexandrien stellte, bestand darin: 
nachzuweisen, was er den Egyptern entnahm, vorbereitend zu ord- 
nen, was spätere Zeiten ihm entnehmen sollten, ausser dem Zusam- 
menhange auf Einzelheiten aufmerksam zu machen, deren Ursprung 



*i 



M. Cantoe. 121 

man noch nie so weit zurück verfolgt hatte. Als egyptisch zeigte 
sich sofort die stylistische Form von dem einleitenden „Mache es so!" 
bis zu der als xoQV(pi^ benannten Scheitellinie; egyptisch ist die fast 
durchgängige Benutzung von Summen von Stammbrüchen; egyptisch 
ist die Zerlegung von Figuren durch Hülfslinien in Elementarfiguren; - 
egyptisch sind die falschen Näherungsformeln für die Fläche von 
Dreiecken und Vierecken. Eine Anzahl von mit dem Kreise sich 
beschäftigenden Aufgaben benutzen Formeln, welche auf den Werth 
jr = 3 herauskommen. Dieser Werth ist allerdings, so viel wir 
wissen, nicht egyptisch, dagegen habe ich an anderer Stelle, in einer 
ausfuhrlichen Recension von Oppert: L'etalon des mesures Assy- 
riennes (Zeitschr. Math. Phys. XX., histor.-literar. Abth. S. 149 — 165) 
den Nachweis zu fuhren gesucht, dass hier ein babylonischer Bau- 
stein mitten unter anderartigem Gemäuer zu erkennen sei. Darf 
ich heute eine bisher nicht veröffentlichte Bemerkung hinzufugen, 
so ist es die, dass ein auffallender Unterschied zwischen egyptischer 
und babylonischer Kreisrechnung bestand, wofern wirklich 7t = 3 
babylonischer Herkunft ist. Die Egypter, das habe ich in meinem 
Buche hervorgehoben, „dachten die Zahl jt als Quadratzahl, wodurch 
eine formliche Umwandlung des Kreises in ein Quadrat leichter 
möglioh war, als unter* jeder anderen Voraussetzung", oder anders 
gesagt: die Egypter hatten keine andere Absicht als die der that- 
sächlichen Herstellung eines dem Kreise gleichflächigen Vierecks. 
Die Babylonier dagegen suchten die Länge des Kreisumfanges zum 
Durchmesser in Beziehung zu setzen. Die griechische Geometrie 
wechselte in ihren Auffassungen. Den Egyptem folgend, suchten um 
430 V. Chr. ein" Bryson, ein Antiphon, ein Hippokrates von 
Chios den Kreis in ein ihm gleichflächiges Quadrat zu verwandeln 
und nannten diese Aufgabe „Tetragonismus" mit einem ihre Me- 
thoden überlebenden Namen; nachher gelangte die babylonische 
Auffassungs weise zur Geltung, und von ihr aus fand Archimed 

Ä = Y in einer Abhandlung, welcher er aber auch statt des üblichen 

Namens einen neuen: den der Kreismessung beilegte. Von den 
geometrischen Eigenthümlichkeiten des Heron, welchje auf spätere 
Nachfolger sich vererbt haben ^ mögen an- dieser Stelle nur einige 
wenige hervorgehoben werden: die Formel für die Dreiecksfläche 
aus den 3 Seiten des Dreiecks; eine näherungsweise ziemlich zutref- 
fende Berechnung des gleichseitigen Dreiecks als -r + 75 <iös Qua- 
drates der Seite; eine Gleichung, welche den Zusammenhang der 



122 M. Cantob. 

Seite ttg des regelmässigen Achteckes und des Durchmessers d^ des 

umschriebenen Kreises durch (y) =1/2 (^V + ^ "f" (^) ^^^~ 

stellt; eine Regel zur Construction des regelmässigen Achteckes vom 
«.Quadrate aus^ indem aus jedem Eckpunkte des Quadrates mit dessen 
halber Diagonale im Halbmesser Kreisbögen beschrieben werden, 
welche auf den Quadratseiten die 8 Eckpunkte des verlangten Acht- 
eckes als Durchschnittspunkte hervorbringen. Die bdden letzten 
Diüge stehen zwar an verschiedenen Orten, erweisen aber ihren 
sachlichen Zusammenhang durch die Möglichkeit, den Beweis für 
Beides an einer und derselben Figur, an zwei einander symmetrisch 
durchsetzenden Quadraten zu führen. Endlich berichte ,ich aller- 
dings wiederum in sehr zusammengeschrumpftem Auszuge über 
Dinge, welche man früher noch nicht bis in die vorchristliche 
Aera verfolgen zu können glaubte. Dazu gehören gewisse trigono- 
metrische Kenntnisse, da man Formeln für die Fläche jedes regu- 
lären Vielecks vom Dreieck bis zum Zwölfeck aus der Seite berech- 
net, femer Formeln für die Fläche von Kreisabschnitten, für die 
Länge von Kreisbögen, für den Rauminhalt von Kugelcalotten, 
mögen sie noch so sehr den Charakter ungenügender Näherung an 
sich tragen, nicht wohl unter einer andern Rubrik wird junter- 
bringen können. Dazu gehört das erstmalige Vorkommen der Quadrat- 
wurzel aus der negativen Einheit, herbeigeführt durch den Mangel 
an richtiger Determination für die Länge gewisser Stücke, welche 
bei einer die Pyramide betreffenden Aufgabe in Rechnung kommen, 
und umgangen durch die wenn auch nicht ausdrücklich benutzte 

Annahme ]/ — 1 == -1. Dazu gehört die Auflösung der unreinen 
quadratischen Gleichung, welche durchaus unentbehrlich war, um 
unter Voraussetzung der gegebenen Summe von Kreisfläche, Peri- 
pherie und Durchmesser den letzteren allein zu berechnen. Auch 
, hier seien zwei ergänzende Bemerkungen erlaubt; die eine, dass die 
gegebene Summenzahl so recht Zeugniss davon gibt, wie hier eine 
vorzugsweise algebraische Aufgabe vorlag^ da Flächen und Längen 
geometrisch nicht homogen, auch nicht addirt werden können, die 
andere, dass gezeigt werden kann, dass die Auflösungsmethod.e durch- 
aus mit derjenigen übereinstimmt, welche Nesselmann (Algebra 
der Griechen S. 319) bei Diophant zu enthüllen wusste. ' Wichtig 
wäre auch die Methode der Quadratwurzelausziehung des Heron» 
wenn es gelänge, sie zu ermitteln. Leider war dieses bisher 
nicht der Fall und nur das negative Ergebniss konnte festge- 



M. Cantob. 123 

stellt werden, dass Heron's Methode eine andere gewesen sein muss 
als die Theon's von Alexandrien, d. h. als die moderne Methode. 
Den Bömern ist der . räumliche Haupttheil des Buches gewid- 
met. Es galt dabei zuerst ins Klare ju kommen über den verschieden- 
zeitigen und nach meinem Dafürhalten auch verschiedenseitigen Ur- 
sprung der Feldmesskunst und der Feldmesswissenschaft der Römer. 
Für jene nehme ich eine etruskische, für diese eine alexandrinische 
Herkunft an; jene in das graue Alterthum urdenklicher Väterzeiten 
sich verlierend, diese an ein ganz bestimmtes Ereigniss, an den 
durch Cäsar geführten alexandrinischen Krieg anknüpfend, nach 
welchem, um nicht zu^sagen in dessen Folge, alexandrinische Chro- 
nologie und Geodäsie nach Rom übersiedelten. Mit dem altetruskischen 
Ursprung der Feldmesskunst bei den Römern hängt der Name des 
hauptsächlichen dabei benutzten Apparates „Groma" zusammen, 
welches keineswegs, wie immer angenommen worden ist, mit „Gno- 
mon" gleichbedeutend ist, sondern sachlich und lautlich durchaus 
"von dem Sonnenzeiger zu unterscheiden, vielmehr eine Art von Win- 
kelkreuz gewesen ist. Der alexandrinische Ursprung der Feldmess- 
wissenschafk lässt sich noch genauer als heronischer Ursprung be- 
zeichnen,, indem es gelingt, zwischen den Schriften römischer Feld- 
messer und den heronischen Werken vollständige Texlesgleichungen 
herzustellen, d. h. zu einer überwiegend grossen Anzahl römischer 
Stellen die griechischen Paragraphe anzugeben, aus denen sie oft in 
wörtlicher Uebersetzung entnommen sind, ein noch weit überraschen- 
deres Zusammentreffen, nachdem es aus einzelnen bestimmten An- 
gaben gelungen ist, den Beweis zu führen, dass wir nicht einmal 
diejenige Ausgabe helx)nischer Schriften besitzen, welche damals 
nach Rom gekommen ist. Die römischen Schriftsteller, welche zu 
diesem vergleichenden Endzwecke einer gründlicheji Durchsicht unter- 
zogen wurden, sind theils solche, welche zu den eigentlichen soge- 
nannten Agrimensoren gehören und insbesondere in einer im VI. 
oder VII. Jahrhundert entstandenen Handschrift, dem Codex Arce- 
rianus der Wolfenbüttler Bibliothek enthalten sind, theils andere, 
welche wie der Bauschriftsteller Vitruvius, der die Landwirthschaft 
behandelnde Columella, der Wasserbaumeister Frontinus, der 
vielseitig gewandte Boetius, vielleicht auch der Militärschriftsteller 
Hyginus sich nur nebensächlich mit geometrischen Dingen beschäf- 
tigten. Der Letztgenannte wird in meinem Buche noch für die 
gleiche Persönlichkeit wie ein zu Trajans Zeiten lebender Feldmesser 
gleichen Namens gehalten. Erst nach vollendetem Drucke meiner 



124 M. Cantoe. 

Untersuchungen erschien in dem Rheinischen Museum für Philologie 
(Jahrgang 1875, Bd. XXX, S. 469) ein Aufsatz von H. Droysen 
der den Militärschriftsteller in die Zeit zwischen 240 und 267, also 
um anderthalb Jahrhunderte später zu verweisen sucht. Unter den 
bei jener Durchsicht bemerkenswerth erschienenen, vielfach noch nie 
beachteten Dingen zum Zwecke dieses Berichtes eine Auswahl zu 
treflFen, föllt mir schwer. Ich muss der Hauptsache nach hier auf 
mein Buch selbst verweisen und möchte nicht einmal für Einiges, 
welches ich in mein Referat aufnehme, den Anspruch auf besondere 
Wichtigkeit erheben. Bei Vitruvius z. B. fand sich allein eine 
Kreisberechnuüg vor, welche von der Voraussetzung jr = 3^ aus- 
geht. Denselben Werth 7t =^ 3^ hat, wie ich zeigte, noch Albrecht 
Dürer benutzt, und mir schien dieses ein Beweis von der conser- 
vativen Kraft solcher Volksschichten, welche nur übungsmässig nicht 
auf wissenschaftliche Gründe hin Rechnungsverfahren sich aneignen. 
Mochte mir auch kein Zwischenglied zwischen Vitruvius und 
Albrecht Dürer bekannt sein, ich zweifelte nicht an der Möglich- * 
keit, ein solches aufzufinden. Max Curtze hat, wie er in einer 
Besprechung meines Buches in der Jenaer Literaturzeitung ankündigt, 
das Material in Händen, jene Lücke genügend auszufüllen, und ich 
sehe der Veröffentlichung dieses Materials in Grunert's Archiv mit 
Spannung entgegen. Bei Boetius konnte auf die merkwürdige 
Figur zweier einander durchsetzender Quadrate hingewiesen werden, 
deren Bedeutung aus unseren obigen Bemerkungen über Heron's 
Achteckconstruction einleuchtend für Boetius selbst verloren v ge- 
gangen war, da er die Figur überhaupt nicht mit Geometrischen 
sondern mit der Darstellung eines arithmetischen Gegenstandes : der 
achteckigen Zahlen in Verbindung bringt. Eben bei Boetius fand 
sich auch der Wortlaut einer Aufgabe, welche es möglich machte, 
einen Schreibfehler im Codex Arcerianus zu verbessern, der an sich 
höchst nebensächlich dadurch zu nie geahnter Bedeutung sich erhob, 
dass auf die abschreibende Wiederholung desselben eine ganze Be- 
weisführung einer historisch wichtigen Thatsache sich aufbauen liess. 
Der Schreibfehler findet sich in einer der Ueberschrift zufolge von 
Nipsus herrührenden Aufgabe und wurde dann später im Kloster 
Bobbio, wo der Codex am Ende des X. Jahrhunderts sich befand, 
von Gerbe rt abgeschrieben, dabei aber so wenig daran gedacht, 
dass hier ein Wort weggefallen sein könne, dass vielmehr aus dem 
an sich widersinnigen Zusammenhange eine neue selbstverständlich 
falsche Definition ihren Ursprung nahm. Zu den Schriftstellern des 



M. Gantor. 125 

Codex Arcerianus gehört auch Frontinus, oben als Wasserbau- 
meister bezeichnet. Es ist gelungen, aus einer handschriftlichen 
Randbemerkung zu Gerbert's Geometrie den Nachweis zu fuhren, 
dass ein von mancher Seite angezweifeltes geometrisches Werk des 
Frontinus thatsächlich im XII. Jahrhunderte noch vorhanden war; 
es ist vielleicht sogar gelungen, ein Stück desselben mitten in der 
praktischen Geometrie des Leonardo von Pisa wieder zu entdecken. 
Ein grösseres Bruchstück derselben alten Sammelhandschrift der 
Wolfenbüttler Bibliothek führt entstellte Autorennamen, welche von 
philologischer Seite als richtig Epaphroditus und Vitruvius 
Ruf US lautend^ gelesen worden sind. Dieses Bruchstück habe ich 
zum ersten Male vollständig veröffentlicht, zum ersten Male mit 
Rückblick auf seine Quellen zu erläutern gesucht. Aus demselben 
geht mit unzweifelhafter Gewissheit hervor, dass die Verfasser 1) eine 
Formel kannten zur Darstellung einer Polygonalzahl aus ihrer Seite; 

2) eine Formel zur Darstellung der Seite aus der Polygonalzahl; 

3) eine Formel zur Auffindung der Pyramidalzahlen aus den zuge- 
hörigen Polygonalzahlen und ihren Seiten; 4) eine Summenformel 
für die Reihe der Kubikzahien. Nicht minder unzweifelhaft ist es, 
dass alle diese Dinge ursprünglich in griechischem Texte vorgelegen 
haben müssen, wenn auch nicht die geringste Spur auf den Namen 
des eigentlichen Erfinders zurückweist. Nur dass die Griechen sich 
mit den figurirten Zahlen vielfach beschäftigten, steht fest, und eine 
dem griechischen Geiste verwandte Methode, die Kubikzahlensummen 
zu finden, nachträglich wiederherzustellen, ist mir, wie ich mir 
schmeichle, gleichfalls gelungen. In allen diesen römisch -geometri- 
schen Schriftstücken lassen sich, wie zum Schlüsse bemerkt werden 
mag, in Nachachmung der heronischen Schriften bestimmte Wort- 
formen, aber auch bestimmte Hauptabschnitte erkennen. Die Schei- 
tellinie heisst Vertex oder coraustm, letzteres eine offenbare Ver- 
ketzerung aus xoQvöros (sc. yQa(i(irj)y wie Gottfried Hermann 
bereits 1840* bemerkt hat. Das „Mache es so" kehrt als S. Q. d. h. 
sie quaeVes wieder. Die gemeinten Abschnitte, von denen allerdings 
bei dem einen Schriftsteller der Eine, bei dem anderen der Andere 
bevorzugt wird, sind Maassbestimmungen, geometrischen Definitionen, 
der Feldmesskunst, der Feldmesswissenschaft und der Lehre von den 
figurirten Zahlen gewidmet. Leider sind ims Stücke über Feldmess- 
kunst nur in sehr geringfügigen Ueberresten erhalten, so fest es steht, 
dass dergleichen z. B. aus der Feder eines Frontinus, eines Baibus, 
eines Celsus vorhanden gewesen sein müssen. 



^K» 



126 M. Cantor. 

Die Schüler der Bömer, welche dem letzten Abschnitte meines 
Buches Ueberschrift und Inhalt gaben^ sind der Zeit wie dem Baume 
nach über viele Jahrhunderte,^ über weite Ländergebiete zerstreut. 
Auch war es nicht meine Absicht jeden einzelnen Autor zu nennen, 
geschweige denn eingehend zu behandeln, der in diesem oder je- 
nem Sinne Abhängigkeit von Römischer Geometrie erkennen lassen 
mag. Nur einzelne Vertreter wurden ausgewählt, manche wegen 
ihrer eigenen geistigen Bedeutung, manche ich könnte fast sagen 
zufällig und beispielsweise. Die sogenannten Aufgaben zur Ver- 
standsschärfung stehen an der Spitze dieses Abschnittes. Ich durfte 
mich der alten ehemals Reich enauer Handschrift dieser Aufgaben 
bedienen, welche gegenwärtig der Staats- und Hofbibliothek in 
Karlsruhe angehört, und welche, wenn sie es auch unentschieden 
lässt, wer der Sammler jener Aufgaben war, doch dafür die Ge- 
wissheit liefert, dass jene Sammlung um das Jahr 1000 vorhanden 
war, denn in jener Zeit ist die Handschrift selbst entstanden. Mag 
es nun in vielen anderen Beziehungen von keineswegs geringer 
Tragweite sein, ob die Sammlung noch weiter zurück bis auf 
Alcuin geht, was dem inneren Gehalte wie dej Form nach gar 
wohl möglich ist, für die Geschichte der Mathematik und für die 
besondere Aufgabe, welche ich mir in meinem Buche gestellt hatte, 
ist es ziemlich* müssig auf diese Frage sehr grosses Gewicht zu 
legen. Dagegen ist die Entstehung der Aufgaben unter Benutzung 
römischer Quellen laut zu betonen. Der Nachweis einer dieser Auf- 
gaben in einem rechtswissenschaftlichen Werke aus Trajans Zeiten 
war für mich selbst eine der freudigsten Ueberraschungen. Diese 
Aufgabe heute noch in allen Uebungsbüchern mit geringen Aus- 
nahmen als Lehrmittel verwerthet gehört freilich nicht der Geo- 
metrie sondern der Theilungsrechnung an; sie bietet eine um so 
willkommenere Controle des Ursprungs auch der geometrischen 
Aufgaben, welche daneben stehen. Ungleich bedeutender ist die 
Geometrie Gerberts. Ich hatte auch hier die Annehmlichkeit 
einer handschriftlichen Quelle mich bedienen zu können. Daä einzige 
vollständige Exemplar von Gerberts Geometrie entstanden in der 
ersten Hälfte des XII. Jahrhunderts, war mir aus der Bibliothek 
des Benediktinerstiftes zu St. Peter in Salzburg zur Verfügung ge- 
stellt, und so konnte ich nicht nur die Frage entscheiden, ob über- 
haupt eine einheitliche Geometrie Gerberts existire, sondern auch 
die Frage nach der Entstehungszeit jener Geometrie. Dass ich die 
erstere Frage bejahte bedarf keiner Rechtfertigung, Es müsste 



M. Cantor. 127 

doch komisch sein^ wenn moderne Zweifelsucht über das, was ein 
geometrischer Schriftsteller aus dem Jahre 1000 etwa verfasst' 
haben kann oder nicht kann, besser unterrichtet zu sein wähnte, 
als die in mathematischen Dingen gar nicht ungeübte, an Gerbert 
noch voll Pietät sich erinnernde Mitte des XII. Jahrhunderts, und dass 
damals die Geometrie der salzburger Handschrift als die Ger her ts 
gedacht wurde, bezeugt ohne Möglichkeit des Widerspruchs der 
Anfang dieser Handschrift, deren vortrefflich facsimilirte Wieder- 
'gabe auf der letzten Figurentafel meines Buches jeden Leser in 
den Stand setzt sich durch eigene Anschauung von der Folgerichtig- 
keit meiner Schlüsse zu überzeugen. Daneben habe ich nicht ver- 
säumt auch die Bemängelungen, welche gegen die Zusammen- 
gehörigkeit so verschiedenartiger Abschnitte, als in der sogen. 
Geometrie des Gerbert vereinigt wären, gerichtet zu werden pfle- 
gen, zu erörtern. Die Verschiedenartigkeit ist vorhanden, aber 
sie ist nicht grösser als in den heronischen Schriften, als in deren 
römischen Nachbildungen, welche selbst wieder Gerbert als Quelle 
dienten. Alle jene früher genannten Theile, Maasse und Definitionen, 
praktische und rechnende Geometrie und Arithmetik finden sich seit 
langer Zeit zuerst wieder vereinigt, in meinen Augen eine zuver- 
lässigere Unterstützung der Annahme eines einheitlichen Verfassers 
als der entgegengesetzten Annahme. Ist aber Gerbert der Ver- 
fasser der ihm zugeschriebenen Geometrie, so ist deren Abfassungs- 
zeit leicht und genau zu bestimmen. Textvergleichungen waren 
zwischen Römern und Heron auch schon von Hultsch angestellt 
worden, wenn auch nicht so vollständig wie von mir, Textverglei- 
chungen Gerberts mit den Römern sind nirgend veröffentlicht * 
gewesen. Sie beweisen aber, dass Gerbert den Codex Arcerianus 
mit seinem Schreibfehler innerhalb einer Aufgabe des Nipsus sich 
aneignete, dass er dagegen die Geometrie des Boetius, gius welcher 
jener Schreibfehler ihm verständlich werden musste, nicht kannte, 
als er seine Geometrie verfasste. In Bobbio lebte Gerbert 981 
und 982, die Geometrie des Boetius fand er 985 (nach Anderen 
982) in Mantua. Zwischen 981 und der Reise nach Mantua fällt 
demnach die Arbeitszeit, welche Gerbert auf seine Geometrie ver- 
wandte. Die Textvergleichungen bieten aber auch noch mehr. Für 
fast den ganzen eigentlich feldmesserischen Theil von Gerberts 
Geometrie fehlen uns die römischen Quellen. Werden sie auch 
Gerbert gefehlt habißn? Ich habe zu zeigen gesucht, dass diese 
Annahme nicht wohl gewagt werden kann. Gerbert wird gerade 



n 



128 M. Cantor. — B. Engelmann. 

in der Feldmesskunst am wenigsten als Orginalschriftsteller zu ver- 
muthen sein. Was von diesem Gegenstande bei ihm erhalten ist, 
kann uns folglich wahrscheinlich ersetzen, was in römischer Form 
verloren gegangen ist, und eine nicht geringe Bestätigung dieser 
Meinung gewährt das wiederholte Auftreten von durch Gerbert 
beschriebenen feldmesserischen Arbeiten bei Leonardo von Pisa. 
Nenne ich hier nur noch die Namen Herrmannus Contractus, 
Johannes Widmann von Eger, Gregorius Reysch, in deren 
Werken mehr oder weniger von den Römern aus übermitteltet* 
heronisches Material nachgewiesen wird, so habe ich damit ein Ge- 
rippe auch des letzten Abschnittes meines Buches hergestellt. 
Einem wahren Körper kann es nicht zu gleichen den Anspruch er- 
heben, auch wenn ich hinzufüge, dass hier zur vollen Wahrheit 
gelangt, was ich in den an die Spitze dieses Referates gestellten 
Schlussworten gesagt habe; dass es sich zeigt, dass das Alte nach- 
grade verständnisslos und immer verständnissloser aufbewahrt wird, 
dass selbst Gerbert, sonst ein Riese unter Zwergen, nicht ganz 
von Irrthümem frei zu sprechen ist, wie sein ängstliches Kleben 
an jenem Fehler des Nipsus' veranschaulicht. 

Heidelberg. M. Cantor. 



B. Engelmann: Abhandlungen von Friedrich Wilhelm Bessel. 
(in drei Bänden. -^ Erster Band: I. Bewegungen der Körper im 
Sonnensystem. II. Sphärische Astronomie. — Mit dem Bildniss Bessel's 
und 2 lithogr. Tafeln. Leipzig, W. Engelmann. 1875.) 

Die Entwickelung und der heutige Zustand der modernen 
Astronomie als Bewegungslehre der Gestirne beruhen wesentlich 
auf den Forschungen und Arbeiten von Gauss und Bessel. Wenn 
ersterer, der mehr abstracten und speculativen Richtung seines 
Geistes folgend, die ' allgemeinen Wahrheiten der Mathematik vor- 
zugsweise auf die Untersuchung der Bewegungsefscheinungen im 
Sonnensystem anwandte, die astronomischen Probleme, die sich 
hier bieten, gewissermassen als die lehrreichsten und fruchtbringend- 
sten Beispiele betrachtete, an denen die Kraft der Analyse zu üben 
und zu erproben war, so fasste Bessel, als reiner Astronom, dem 
die Mathematik nur Mittel zum Zweck war, die astronomische 
Wissenschaft in so fern in weiterem Sinne, als er die Grundlagen 



RüD. Engelmann. 129 

prüfte und in Vielem neu baute, die zur Erkenntniss der schein- 
baren und wahren Bewegungen der Himmelskörper überhaupt führen. 
Zwar blieb auch er dem Gebiet nicht fremd, welches Gauss, vor 
allem in der Theoria motus schöpferisch umgestaltete; indessen be- 
ziehen sich doch seine grössten und erfolgreichsten Leistungei; nicht 
hierauf; der mehr praktischen Natur Bessels war Bedürfniss und 
seine innere Entwickelung wie äusserer Lebensgang brachten es 
mit sich, dass er, von der Beobachtung und ihrer Kritik ausgehend, 
in stetiger Folge fest begründete Thatsachen an einander reihend, 
bemüht war die Fundamente zu legen wie die besonderen Normen 
aufzustellen, nach denen die cölestischen Erscheinungen im Ein- 
zelnen und bis ins Einzelne zu verfolgen und zu begreifen sind. 
So finden wir seine bedeutungsvollsten Thaten im Bereiche der 
Theorie der Instrumente, der sphärischen und Stellar-Astronomie. 
Auch in der reinen Mathematik, der ja manche Untersuchungen 
B es sei's angehören, lässt sich das Bestreben, welches die Anwendimg 
auf eine besondere, rein astronomische Aufgabe im Sinne hat, meist 
nicht verkennen. Für beide Männer kehren sich gewissermassen 
Mathematik und Astronomie in ihrer Bedeutung und Verwerthung 
um: für den Einen ist häufig das Zweck, was für den Anderen 
Mittel; und ähnlich spricht sich die verschiedene Geistesrichtung 
auch in den von Beiden mit Vorliebe gepflegten nicht mathematisch- 
astronomischen Disciplinen aus; bei Gauss im Magnetismus, bei 
Bessel in der Geodäsie und Präcisions-Physik. 

Das Studium der Originalarbeiten BesseTs war bisher, bei 
ihrer Zerstreuung in den verschiedenen zum Theil nicht leicht zu- 
gänglichen Zeitschriften und Werken, mehr erschwert, als es ihre 
Bedeutung und die Nöthigung des häufigen Gebrauchs wünschens- 
werth machte und eine ausgewählte, systematisch geordnete Samm- 
lung erschien schon seit längerer Zeit fast als ein Desideratum der 
Astronomie. In der Ausgabe, deren erster Band jetzt vorliegt, hat 
sich der Herausgeber bemüht, den wesentlichsten Anforderungen, die 
an eine solche Sammlung zu stellen wären, zu genügen, und bei 
aller Rücksicht auf praktische Verwendbarkeit doch ein möglichst 
vollständiges Bild der Thätigkeit des grossen Königsberger Astro- 
nomen zu geben. Sämmtliche Werke, Abhandlungen, Beobach- 
tungen, Bemerkungen etc. wieder abzudrucken, wie es mit der Aus- 
gabe von Gauss' Werken die Göttinger Gesellschaft der Wissen- 
schaften gethan, konnte nicht die Absicht sein; sowohl der besondere 
praktische Zweck und die Natur der BesseTschen Arbeiten, 

Bepertorium fflr reine und angewandte Mathematik. 9 



130 RuD. Enoelmann. 

wie die relativ beschränkten Mittel des Einzelnen verhinderten die«. 
Es sollte vielmehr nur das gebracht werden, was auch heute noch, 
30 Jahre nach BesseTs Tode, unbestrittenen Werth besitzt; ausge- 
schlossen wurden sämmtliche populäre Schriften und Aufsätze, ferner 
alle die Resultate von Beobachtungen in der Form von Katalogen, 
Tafeln oder umfangreichen numerischen Rechnungen enthaltende 
Zahlensammlungen. Aus den selbständigen Werken wurden nur die 
allgemeiner ' gehaltenen Kapitel und theoretischen Untersuchungen 
genommen, das Detail der Beobachtungen, numerischen Rechnungen 
und Tafeln weggelassen oder thunlichst gekürzt; letzteres gilt auch 
von einzelnen Abhandlungen, welche auf Grund und im Anschluss 
an theoretische Betrachtungen einen speziellen Fall ausführlich be- 
handeln. Der Wunsch auch die Recensionen und Anzeigen der 
Schriften Anderer zu bringen, konnte aus vorzugsweise räumlichen 
Gründen zunächst nicht zur Ausführung gelangen. Auf diese Weise 
wurde es möglich in 3 Quartbänden massigen Umfanges von den 
nahezu 400 betragenden Drucksachen BesseTs etwa 170 Abhand- 
lungen, Auszüge aus grösseren Werken, Briefe und kleinere Be- 
merkungen von Bedeutung aufzunehmen. Sie sind in die 8 Ab- 
theilungen: I. Bewegung der Körper des Sonnensystems, IL Sphä- 
rische Astronomie (I.Band); IIL Theorie der Instrumente, IV. Stellar- 
Astronomie, V. Mathematik (2. Band); VI. Geodäsie, VII. Physik, 
VIII. Verschiedenes (3. Band) vertheilt und in jeder Abtheilung die 
dem Gegenstande nach zusammengehörigen, in möglichst chrono- 
logischer Folge geordnet. Den einzelnen Stücken oder Gruppen 
sind Literaturnachweise, namentlich aus den astron. Nachr. Bd. 1 — 85 
und dem Briefwechsel mit 01b er s beigefügt. 

Die g!*osse Zahl der verschiedenartigen und wichtigen Ab- 
handlungen, welche der vorliegende erste Band enthält, verbietet 
genaueres Eingehen auf den Inhalt der einzelnen Stücke; es können 
im Folgenden wesentlich nur die Titel der umfangreicheren Ab- 
handlungen angeführt werden. I. Bewegung der Körper im Sonnen- 
system. 1. Abh. „Berechnung der Harriot'schen und Torporley'- 
schen Beobachtungen des Cometen von 1607; erste Arbeit B esseis 
vom Jahr 1804 (aus dem 10. Bd. der monatl. Corresp.) und aus 
diesem Grunde vollständig abgedruckt; spätere Bahnbestimmungen 
(z. B. der Cometen von 1769, 1807, des Olbers'schen) finden sich 
in vorliegender Sammlung nicht. Abhh. 2 — 8 enthalten Beiträge 
zur Berechnung parabolischer und elliptischer Cometenbahnen und 
die Auflösung der Kepler'schen Aufgabe. Abh. 9 „Entwicklung 



RuD. Engelmann. 131 

einer allgemeinen Methode, die Störungen der Cometen zu be- 
rechnen" (Abschnitt 3 aus der bekannten Schrift über den grossen 
Cometen von 1807), nebst kurzen Nachträgen dazu (Abhh. 10 und 
11); Abh. 12 „Beitrag zu den Methoden, die Störungen der Co- 
meten zu berechnen" (Astr. Nachr. 14. Bd.). Abhh. 13 und 14 re- 
produciren die bekannten Abhandlungen aus dem 13. Bd. der Astr. 
Nachr.: „Beobachtungen über die physisch? Beschaffenheit des 
Halley'schen Cometen und dadurch veranlasste Bemerkungen" (mit 
2 Tafeln), und: „Bemerkungen über mögliche Unzulänglichkeit der 
die Anziehungen allein berücksichtigenden Theorie der Cometen", 
Abh. 16 „Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, 
welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht" (Abhandlungen der 
Berliner Academie 1824), nebst der Tafel der mit I^ und I^ be- 
zeichneten Functionen. — Abhh. 17 — 22 behandeln den Saturn und 
seinen hellsten (6.) Trabanten. Die erste Abh. (17) „Untersuchungen 
über den Planeten Saturn, seinen Ring und seinen (vierten) älteren 
Trabanten" findet sich im Königsberger Archiv f. Math, und Na- 
turwiss.; die drei folgenden: „Bestimmung der Bahn des Hugeni'- 
schen Saturnsatelliten" nebst 2 Fortsetzungen (Astr. Nachr. Bde. 9 
und 11) leiten in fortschreitender Näherung die Bahnelemente des 
hellsten Trabanten und die Saturn-Masse ab; welchen Abh. 21 
„Bestimmung der Lage und Grösse des Saturnsringes und der 
Figur und Grösse des Saturn" (Astr. Nachr. Bd. 12) die Con- 
stanten der Lage und Dimensionen von Ring und Hauptkörper (wie 
die drei vorangehenden aus Beobachtungen am Königsberger Helio- 
meter) hinzufügt. Abh. 22 endlich, die umfangreichste des Bandes, 
entwickelt die vollständige Theorie der Bewegungen des Saturn- 
systems (Astr. Nachr. Bd. 28). — Die Abh. (23) „Ueber den gegen- 
wärtigen Zustand unserer Kenntniss der Sonnenbewegung und die 
Mittel zu ihrer Verbesserung" (Astr. Nachr. Bd. 6) beschliesst die 
L Abtheilung. — Die Sphärische Astronomie (Abth. ü) behandelt 
nach einigen kürzeren auf die Mondbewegung bezüglichen Aufsätzen, 
von denen Abh. 26 „Vorausberechnung der Stembedeckungen" 
(Astr. Nachr. Bd. 7) hervorgehoben sei, zunächst in 8 Stücken die 
astronomische Refraction. „Li Abh. 28 „Einige Resultate aus 
Bradley's Beobachtungen" (Königsberger Archiv) wird, neben an- 
dern Constanten, auf Grund der Laplace'schen Theorie die Re- 
fractionsconstante abgeleitet, während in Abh. 32, Disquisitiones 
de refr actione institutae (Fundam. astr. Sect. IV) Bessel seine 

eigene Theorie entwickelt und die Constanten bestimmt, welche in 

9* 



132 RuD. Engeliiakn. 

Abh. 33. Refractio astronomica (Tabb. Regiom.) durch geringe Aen- 
derungen noch vollständiger mit den (Königsberger) Beobachtungen 
in Uebereinstimmung gebracht werden, die dann zur Construction 
der (hier weggelassenen) noch heute fast allgemein angewandten 
Refractionstafeln führen. Als besondere Aufgabe ist in den Abhh. 
27 und 31 der Einfluss der Strahlenbrechung auf Micrometer- 
Beobachtungen (Mon. Corresp. XVII. und Astr. Nachr. 3. Bd.) dar- 
gestellt — Es folgen dann (Abhh. 35 — 46) die Arbeiten, welche 
sich auf die Constanten der Aberration, Nutation und Praecession, 
deren theoretische Ableitung, numerische Bestimmung und Einfluss 
auf die Oerter der Himmelskörper beziehen und die sich haupt- 
sächlich in den Fundamentis astr. und den Tabb. Regiomont. fin- 
den. Als wichtigste Arbeit auf diesem Gebiet mag hier nur die 
bekannte Preisschrift (Abh. 37): „Untersuchung der Grösse und 
des Einflusses des Vorrückens der Nachtgleichen" erwähnt werden. 
— Die letzten Stücke (47 — 51) der II. Abtheilung handeln über 
verschiedene besondre Aufgaben der sphärischen Astronomie, so 
Abh. 48 „Ueber die Bestimmung der Polhöhe durch das Passagen- 
instrument" (Astr. Nachr. Bd. 3), Abh. 51 „über die scheinbare 
Figur einer unvollständig erleuchteten Planetenscheibe" (Astr. Unter- 
suchungen). 

Den Abhandlungen selbst geht die unvollendete Autobiographie 
Sessels „kurze Erinnerungen an Momente meines Lebens (Jugend- 
zeit — erste 25 Jahre)", der sich ergänzende Worte des Heraus- 
gebers anschliessen, voran. Als mehr künstlerische Beigabe hat 
dieser 1. Band das Portrait Bessels in Lichtdruck, nach dem be- 
kannten Wolf-MaudePschen Bild, erhalten. 

Leipzig. Rud. Engelmann. 



r 



H. SCHBÖTEB. 133 



H. Schröter: Jacob Steiner's Vorlesungen über synthetische 
Geometrie. (II. Theil: Die Theorie der Kegelschnitte gestützt 

auf projectivische Eigenschaften. Auf Grund von üniversitätsvorträgen 
und mit Benutzung hinterlassener Manuscripte Jacob Steiner's be- 
arbeitet. Zweite Auflage. Leipzig, Druck und Verlag von B. G. 
Teubner. 1876.) 

Während noch vor wenigen Jahrzehnten die Studirenden der 
Mathematik an den deutschen Universitäten und polytechnischen 
Hochschulen zumeist auf ausländische, insbesondere französische 
Lehrbücher angewiesen waren, um das in den Vorlesungen Vor- 
getragene zu vervollständigen oder durch Selbststudium grössere 
wissenschaftliche Gebiete sich zu erschliessen, besitzt gegenwärtig 
die deutsche mathematische Literatur eine Reihe von ausgezeichneten 
Werken, welche die bisherige Lücke ausfüllen und wesentlich zur 
Anregung und Verbreitung mathematischer Studien beitragen. Wir 
brauchen unter den zahlreichen und täglich sich vermehrenden 
literarischen Erscheinungen dieser Art nur zu erinnern an Hessens 
analytische Geometrie des Raumes, Baltzer's Determinanten, Di- 
richlet's Zahlentheorie (hrgg. v. Dedekind) und partielle Differen- 
zialgleichungöü (hrgg. v. Hattendorff), an Durege's elementare 
und Königsberger's auf die neueren Principien der Litegral- 
rechnung gestützte Theorie der elliptischen Functionen, an Kirch- 
hofes Mechanik, Clebsch's Theorie der algebraischen Formen und 
analytische Geometrie (hrgg. v. Lindemann), Clebsch's und Gor- 
dan's Theorie der AbeTschen Funktionen, die inhaltreichen Lehr- 
bücher von Salmon-Fiedler und viele andere, um die reichen 
Hülfsquellen anzudeuten, welche gegenwärtig den Studirenden für 
ihre mathenmtische Ausbildung zu Gebote stehen. 

Verhältnissmässig am spärlichsten ist die synthetische Geometrie 
in dieser Hinsicht bedacht worden, wie sie auch als selbstständiger 
Vorlesungsgegenstand erst ip jüngster Zeit auf den deutschen Hoch- 
schulen sich eingebürgert hat; und doch übt die neuere synthetische 
Geometrie auf die Jünger der Wissenschaft eine ganz besondere 
Anziehungskraft aus, indem sie fast voraussetzungslos, wie die 
Zahlentheorie und an die ersten Elemente anknüpfend nicht als ein 
fertig abgeschlossenes aber todtes Kunstwerk ihnen entgegen tritt, 
wie das alte Euclidische System der Geometrie, sondern als ein 
reiches und fruchtbares Feld lebendiger Forschung, welches lohnen- 



134 H« SCHRÖTEB. 

den Gewinn verspricht von einer die Phantasie und den Verstand 
in gleicher Weise anregenden Arbeit. 

Das oben angezeigte in zweiter Auflage erscheinende Werk ist 
bestimmt, einer der fruchtbarsten und wichtigsten Quellen für die 
synthetische Forschung einen leichteren Zugang und weitere Ver- 
breitung zu verschaffen und aus derselben die zunächst sich dar- 
bietende Theorie der Kegelschnitte in unabhängiger und vollstän- 
diger Weise abzuleiten. Es erfüllt damit ein Versprechen, welches 
Steiner selbst in seiner „systematischen Entwicklung der Abhäugig- 
keit geometrischer' Gestalten von einander" zwar gegeben, aber in 
früheren Jahren unter dem Drange neuer Entdeckungen verschoben, 
in späterer Zeit wohl öfters auszuführen gewünscht, aber schliesslich 
nicht mehr vermocht hat.'^ Das der ersten Auflage des Buches voraus- 
geschickte Vorwort gibt über die Entstehung desselben und den 
Inhalt so ausführlichen Aufschluss, dass wir auf dasselbe verweisen 
können und an dieser Stelle nur die Hauptabschnitte kurz charakte- 
risiren wollen. Entsprechend dem Sinne Steiner 's und abweichend 
von seiner früheren Darstellung wird das Operationsfeld auf die 
Ebene allein beschränkt; die beiden einfachsten Grundgebilde — die 
gerade Punfctreihe und das ebene Strahlbüschel, projectivisch auf 
einander bezogen — bilden das einzige Handwerkszeug, mit wel- 
chem der umfangreiche und vielgestaltige Bau einet Theorie der 
Kegelschnitte ausgeführt wird. Der erste Abschnitt ist daher der 
Betrachtung dieser beiden Grundgebilde gewidmet, denen sich die 
Doppelgebilde des Punkt- und Strahlsystems (der Involution) an- 
schliessen. Die neuerdings veröffentlichten Versuche die projectivi- 
sche Geometrie ohne jede Benutzung von metrischen Begriffen auf- 
zubauen schienen dem Herausgeber weder so gelungen, noch in 
pädagogischer Hinsicht so empfehlenswerth, dass er ihnen vor der 
älteren Steiner'schen Darstellung den Vorzug zu geben geneigt 
gewesen wäre. In dem zweiten Abschnitt werden die Kegelschnitte 
selbst gewissermassen organisch erzeugt und ihre zahllosen Eigen- 
schaften sowohl descriptiver als metrischer Art, welche früher zer- 
streut und isolirt dastanden, treten jetzt in einen naturgemässen 
und nothwendigen Zusammenhang und erscheinen oft als besondere 
Fälle allgemeinerer Beziehungen, welche ihr wahres Wesen auf- 
schliessen. Die Polaritätsbeziehungen bilden den eigentlichen Kern, 
um welchen sich die ^meisten jener Eigenschaften gruppiren. Sie 
erklären auch die Identität der beiden Erzeugnisse, welche aus den 
ursprünglichen Elementen einander gegenüberstehend hervorgehen. 



r 



H. Schröter. 135 

Der dritte Abschnitt untersucht die zu Gruppen zusammentretenden 
Kegelschnitte (Büschel und Schaaren), ein reiches Feld der Unter- 
suchung, auf welchem eine geschickte Handhabung der synthetischen 
Methode sich als besonders erspriesslich erweist. Wiederholt bietet 
sich hier eine besondere gegenseitig eindeutige Abhängigkeit von 
Punkten der Ebene dar, welche unter dem Namen der „Steiner'- 
schen Verwandtschaft" bei geometrischen Untersuchungen in neuerer 
Zeit mit Erfolg angewendet ist. 

Von den Gebilden einfacher Mannigfaltigkeit wendet sich nun 
die Betrachtung im vierten und letzten Abschnitte zu den Gebilden 
doppelter Mannigfaltigkeit (Netzen) und zwar zuerst zu dem ein- 
fachsten Gebilde dieser Art, dem Polarsystem oder Involutionsnetz. 
Die aus den Eigenschaften von Pol und Polare in Bezug auf einen 
Kegelschnitt sich ergebende Abhängigkeit der Punkte und Strahlen 
in der Ebene von einander lässt sich unabhängig vom Kegelschnitt 
auffassen und definirt das Polarsysteni, dessen Kern auch ein imagi- 
närer Kegelschnitt sein kann. Die wesentlichsten Eigenschaften des 
reellen Kegelschnitts bleiben im Polarsystem erhalten. Den Schluss 
bildet die -Untersuchung eines Kegelschnittnetzes, welches von drei 
beliebig gegebenen Kegelschnitten ausgehend eine doppelt-unendliche 
Mannigfaltigkeit derselben hervorruft. Den Kern des Netzes bildet 
die Tripelcurve, eine allgemeine Curve dritten Grades, deren wesent- 
lichste Eigenschaften aus dieser Quelle fliessen. 

Die zweite Auflage des Buches unterscheidet sich von der er- 
sten nicht hinsichtlich der Anordnung und Behandlung des Stoffes, 
sondern nur durch Vermehrung desselben an einzelnen Stellen und 
eine sorgfältige Durcharbeitung. Als nützliche Zugabe erscheinen 
die „Aufgaben und Sätze", welche den drei ersten Abschnitten zur 
Uebung und Anwendung der dargelegten Methoden und Betrach- 
tungen hinzugefügt sind und hoffentlich manche neue Anregung zu 
synthetischen Untersuchungen bieten werden. 

Druck und Ausstattung des Buches entsprechen den anerkann- 
ten Leistungen der berühmten Verlagshandlung. 

Breslau. * H. Schröter. 



136 Ax. Hasnack. 



Ax. Harnaok: Ueber die Verwerthuiig der elliptischen Fiinotio- 
nen für die Geometrie der Curven dritten Grades. 

(ifath. Annal. Bd. IX. S. 1 — 54.) 

. Zur Theorie der temären oubischen Formen. 

(Math. Annal. Bd. IX. S. 218 — 240.) 

In diesen Aufsätzen behandelt der Verfasser die Geometrie der 
Curven dritten Grades auf Grund ihrer Darstellbarkeit durch ellip- 
tische Functionen. Die imaginären Elemente einer Klassencurve 
werden, wie das zuerst von Hm. Klein (Math. Annal. Bd. VII) an- 
gegeben worden ist, durch ihre reellen Träger repräsentirt, so dass 
das binäre Gebiet der Curve durch ein reelles temäres Gebiet ersetzt 
ist. Dem zufolge erhalten auch die complexen Werthe des Inte- 
grales ihr anschauliches Bild in einem reellen Punkte der Ebene. 
Die geometrische Interpretation der allgemeinen linearen Beziehung 
zuoischen diesen Farameterwerthen badet den Gegenstand der Unter- 
suchung. Dieselbe umfasst die Theorie der ein- und mehrdeutigen 
algebraischen Transformationen der Curve in sich selbst und löst 
ein Integrationsproblem, welches mit der Theorie der temären cubi- 
schen Form aufs engste verbunden ist. Die allgemeine algebraische 
Behandlung dieses letzteren Problemes ist in der zweiten Abhand- 
lung gegeben; sie fuhrt zugleich auf neue Relationen zwischen den 
Formen des cubischen Systemes. 

* Die einfachste Beziehung zwischen den Parametern zweier 
Curvenpunkte, wobei zwei einander zugeordnete Werthe um die 
Grösse der halben Perioden des Integrales differiren, deckt sich mit 
der geometrischen Eigenschaft jfiorrespondirender Punkte^'. Sie fuhrt 
zu einer Unterscheidung der verschiedenen Gattungen involutorischer 
Strahlsysteme, aus denen die Curve dritter Ordnung erzeugt werden 
kann, und identificirt die drei Arten der quadratischen Trans- 
formation eines elliptischen Integrales mit dem üebergange zu den 
drei Klassencurven (Cayley 'sehen Curven), welche mit einer ge- 
gebenen Ordnungscurve (Hesse'schen Curve) „conjugirif' sind. 

Die Zuordnung zweier Curvenelemente nach dem Gesetze, dass 
das Element init dem Argument u in das Element + w + C' über- 
geführt wird (wobei C eine beliebige Grösse innerhalb des Perioden- 
parallelogrammes bedeutet) erschöpft die Gruppen' der eindeutigen 
algebraischen Transformation der Curve in sich selbst, welche ent- 
sprechend dem positiven oder negativen Vorzeichen des Ausdruckes 



Ax. Habnack. 137 

+ u-\-Cin zwei verschiedene Reihen zerfallen. Durch diese ein- 
deutigen Transformationen können im allgemeinen die reellen Ele- 
^niente in imaginäre transformirt werden, deren reelle Träger dann 
jedesmal auf einer algebraischen Curve sechster Klasse (12. Ord- 
nung) gelegen sind, während umgekehrt die eine Gruppe derjenigen 
imaginären Elemente, deren Träger die Tangenten dieser Curve 
bilden, in das reelle Elementensystem übergeführt wird. 

Die covarianten Beziehungen dieses Büschels von Cufven sechster 
Glasse zur Fundamentalcurve sind in den beiden Sätzen enthalten: 
1) Unter den sechs Tangenten, welche sich von einem beliebigen 
Punkte der Curve dritter Ordnung an irgend eine Curve ziehen 
lassen, kann immer ein Quadrupel von Linien gebildet Werden, für 
welches in allen Punkten der Cg ein gleiches Doppelverhältniss be- 
steht. 2) Auf jeder Geraden in der Ebene bestimmen drei tan- 
girende Curven des Büschels drei Punkte, von denen jeder har- 
■ monisch gelegen ist zu je einem der drei auf dieser Geraden be- 
findlichen Punkte der Fundamentalcurve in Bezug auf die beiden 
anderen. Zufolge der ersten Eigenschaft wird auch die algebraische 
Gleichung des Curvenbüschels durch ein Eliminationsverfahren ge- 
wonnen, während die zweite seine Differenzialgleichung in der 
Form eines zur Fundamentalcurve covarianten Connexes liefert, 
dessen Hauptcoincidenz demnach mit Hülfe des algebraischen Eli- 
minationsverfahrens integrirt ist. 

Die Verbindung zweier Curvenpunkte, deren Parameter u und 
V in der Beziehung zu einander stehen, dass t? = pw + C? führt 
nur in -dem Falle, dass q eine rationale Zahl bedeutet, zu alge- 
braischen Curven; in allen übrigen Fällen werden die Curven 
transscendent. Für jeden Werth von q ergibt sich aber eine Schaar 
von Curven, von denen immer je sechs eine beliebige Gerade der 
Ebene tangiren. Diese Gruppen von je sechs Punkten auf einer 
Geraden sind co Variante Formen zu den drei Fundamentalpunkten: 
Die Differenzialgleichungen aller dieser Curvenschaaren sind folg- 
lich als Connexe im temären cubischen Formensysteme enthalten. 
Man gewinnt die Gleichung dieser Connexe, deren Hauptcoinci- 
denzen durch diese Betrachtungen integrirt sind, indem man die 
cubische Gleichung bildet, durch welche die Werthe des überall 
endlit^hen elliptischen Differenziales in den Schnittpunkten einer 
Geraden mit der Fundamentalcurve dargestellt werden; dabei wird 
die schneidende Gerade in einem beliebigen ihrer Pwnkte unend- 
lich wenig gedreht. Diese. Gleichung schliesst alle im Vorstehen- 



138 Ax. Habnack. 

den angeführten Sätze in sieh und darf somit als die Grundlage 
der Parameterdarstellung der Curven dritten Grades betrachtet 
werden. * , 

Leipzig. Ax. Harnack. 



Ax. Harnack: Ueber eine Behandlungs weise der algebraischen 
Differenziale in homogenen Coordinaten. (Math. Annalen. 
Bd. IX. S. 371-424.) 

Die Darstellung der zu einer Curve wter Ordnung gehörigen 
Integrale vermittelst homogener Coordinaten ist zuerst von Aron- 
hold (Grelle's Journal f. M. B. 61) gegeben worden. Die Me- 
thoden, welche in diesem Aufsatze zur Auswerthung der Integrale 
vom Geschlecht ^ = verwandt worden sind, habe ich in erwei- 
terter Fassung auch der Behandlung irrationaler Integrale von be- 
liebigem Geschlechte zu Grunde zu legen versucht. Dieselben lie- 
fern bei der Untersuchung des Additionstheoremes einen neuen Be- 
weis des Ab eV sehen Satzes. 

Die Zurückführung einer Summe von irrationalen Integralen 
auf eine Summe von rationalen lässt sich nämlich vermöge der 
homogenen Darstellung mit einer Eigenschaft algebraischer Func- 
tionen allgemeinerer Art identificiren, welche für einen speciellen 
Fall bereits von Jacobi (Crelle's Joum. Bd. 13 und 14) erkannt 
worden ist. Indem dieser Jacoln'sche Satz auf eine reducihle 
algebraische Curve angewandt wird, d. h. auf eine solche, welche 
in das Product zweier zerfällt, gewinnt derselbe eine neue Gestalt, 
die sich in Bezug auf die algebraischen Differenziale in der Form 
aussprechen lässt: 

• ,.Jede auf die ScfinittpunJctsysteme der Fundamentaleurve mit 
„einem beliebigen Curvenpaare bezügliche Integralsumme Jcann direct 
„durch die Summe neuer Integrale dargestellt werden, welche längs 
„derjenigen Curve, die auf der ersten die UnendlichJceitspunkte des In- 
yftegrales bestimmt, innerhalb der nämlichen Grenzen und auf den ent- 
„sprechenden Integrationswegen hinerstreckt sindJ' 

Dieser Satz umfasst das AbeTsche Theorem, da man die Un- 
endlichkeitspunkte eines Integrales stets durch rationale Curven 
ausschneide» kann. Die Erweiterung des Jacobi'schen Satzes ge- 
währt ferner ein Mittel, um diese Summe von rationalen Integralen 



Ax. Harnack. 139 

nach logarithmischen und algebraischen Functionen zu entwickeln, 
wofür in der vorliegenden Arbeit die allgemeinen Formeln aufge- 
stellt werden. 

Ausser der Summe der DifiPerenzialwerthe für ein gegebenes 
Schnittpunktsystem werden sodann die symmetrischen Functionen 
überhaupt gebildet, die sich aus den Differenzialwerthen zusammen- 
setzen lassen, welche durch eine beliebige Gerade und eine zu 
dieser benachbarte auf der Fundamentalcurve bestimmt sind. 
Diese symmetrischen Functionen, enthalten in den Coefficienten der 
Gleichung taten Grades, deren Wurzeln die w Differenzialwerthe dar- 
stellen, führen zur Integration von Differenzialgleichungen, welche 
als Hauptcoincidenzen von Connexen auftreten. Zur Bildung dieser 
Gleichung dient die für alle Resultantenbildungen sehr zweckmässige, 
zuerst von Battaglini (Giornale di matematiche Vol. IX) benutzte 
Symbolik, vermöge deren die allgemeine Curve wten Grades sym- 
bolisch wie ein Product von n verschiedenen geraden Linien be- 
handelt wird. Es folg#aus dieser Betrachtungsweise der Satz, dass 
die t^ Werthe des DififerenziaJes, welche dadurch entstehen, dass 
man die Curve durch eine gerade Linie schneidet und diese Linie 
um einen ihrer Punkte unendlich wenig dreht, durch n Dififeren- 
ziale . ausgedrückt werden können, welche längs geraden Linien er- 
streckt sind, von denen jede bezüglich durch einen der n Schnitt- 
punkte hindurchgeht. Der Zuwachs jedes algebraischen DiflFeren- 
ziales bei der Bewegung einer schneidenden Geraden ist also durch 
den Zuwachs eines rationalen Diflferenziales darstellbar. 

Das gestellte Problem, die symmetrischen Functionen zu ent- 
wickeln, ist für den Kegelschnitt, und für die allgemeinen Curven 
dritter und vierter Ordnung durchgeführt. Insbesondere wird bei 
diesen Untersuchungen das überall endliche elliptische Integral in nahe 
Beziehung zu dem einfachen Integrale vom Geschlecht jp = gesetzt, 
wodurch auch für die algebraischen Rechnungen ein Zusammen- 
hang zwischen den Differenzialen von verschiedenem Geschlechte 
hergestellt wird. Dieser Zusammenhang, welcher auch bei der 
Battaglini'schen Symbolik hervortritt, gründet sich, entsprechend 
dem Gedanken, welcher dem Beweise des AbeTschen Theorems zu 
Grunde gelegt wurde, auf die Ableitung von Curven höheren Gra- 
des aus dem Producte von Curven niederer Ordnung. 

Leipzig. Ax. Harnack. 



140 J. Weyrauch. 



Jakob J. Weyrauch: Neue Theorie der überhitzten Dämpfe, 
nebst weiteren Beiträgen zur Theorie der Dämpfe. (Sc- 
paratabdr. a. d. Ztschr. d. Vereins deutscher iDgenieure. Berlin, 
Commissionsverlag vqn Gaertner, 1876.} 

In dieser Brochüre wird zunächst bewiesen, dass das Hirn'sche 
Gesetz, wonach die isodynamische Curve wie bei permanenten auch 
bei überhitzten Dämpfen eine gleichseitige Hyperbel sein soll, theo- 
retisch unhaltbar ist. Der Beweis stützt sich darauf, 1) dass bei 
Annahme des Hirn 'sehen Gesetzes eine gewisse Grösse constant 
sein müsste, welche bei Pressungen zwischen 0,1 und 14 Atmos- 
phären von 217 bis 103 variirt, 2) dass im gleichen Falle die 
Claus ins 'sehe Temperaturfunction h mit der Pressung p wachsen 
müsste, während bekanntlich das Gegentheil richtig ist. — Beim 
Beweise werden' auch die in der Theorie der gesättigten Dämpfe 
gebräuchlichen empirischen Formeln verwendet, die letzteren sind 
aber genau genug, und der Einfluss etwaiger Abweichungen lässt 
sich genügend controliren, um den Schluss unbeeinträchtigt zu 
lassen, dass das Hirn 'sehe Gesetz in der theoretischen Wärmelehre 
aufzugeben ist. 

Die ersten Untersuchungen, überhitzte Dämpfe betreflfend, 
nahmen das Hi mische Gesetz zum Ausgangspunkt, und die von 
Zeuner, Hirn und Schmidt entwickelten Zustandsgieichungen er- 
kannten es an. Aus diesen und andern Gründen, welche in der 
Brochüre ersichtlich sind, wird es wünschenswerth, die bisherigen 
Ausgangspunkte für die theoretische Untersuchung der überhitzten 
Dämpfe durch neue zu ersetzen, umsomehr als mittelst jener die 
Zustandsgieichung auf ziemlich complicirte Weise erlangt werden 
muss, auch schliesslich gewisse Widersprüche entstehen und in- 
teressante Eigenschaften im Dunkel bleiben. Dagegen bestätigen 
die von mir angestellten Rechnungen, dass die Zeuner'schen 
Formeln für alle praktischen Zwecke unbedingt zuverlässig und 
empfehlenswerth sind. *" 

Eine neue Zustandsgieichung lässt sich auf Grund folgender 
Erwägung einführen. Ist eine Flüssigkeit im Verdampfen begriffen, 
so besteht eine Zeit lang überhaupt keine Beziehung zwischen spe- 
cifischem Volumen v und Temperatur T (oder zwischen v und p), 
es kann also solange auch kein Gesetz von der Art des Mariotte- 
Gay-Lussac'schen bestehen. Erst im Augenblicke, wo nur noch 



1 



n 



J. Weyrauch. 141 

reiner gesättigter Dampf vorhanden ist, beginnt eine Beziehung 
zwischen pj v, T. In diesem Augenblicke ist aber keineswegs 
pv^=RT. Wenn nun gleich zu Anfang, in dem Punkte, von 
welchem an das Mario tte-Gay-Lussac'sche Gesetz denkbar wäre, 
dasselbe nicht zutrifft, so kann natürlich, selbst wenh die Aen- 
derungen von nun ab in analoger Weise wie nach diesem Gesetze 
vor sich gehen, der Ausdruck des Letzteren nicht mehr gültig sein, 
und es müssen, wenn diese Ursache allein entgegen wirkt, die Ab- 
weichungen in der Nähe des Sättigungspunktes am grössten sein, 
was sich auch bei allen gasförmigen Körpern bestätigt hat. Neh- 
men wir nun an, es wirke wirklich die genannte Ursache allein 
entgegen, so folgt: 

Das Prodtid am Pressung und Volumendiflerenz des überhitzten 
und gesättigten Dampfes ist direct proportional der JJä)erhitzung 

(1) P{v - s) =- Rf, 

hierin ist ü eine Gonstante, s das dem Drucke p entsprechende 
Sättigungsvolumen, r die Ueberhitzung, das heisst die Erhebung 
der augenblicklichen Temperatur T über die zu p gehörige Sät- 
tigungstemperatur T'. 

Wird in (1) gesetzt x=T—r so folgt 

pv^B{T-r + ^). 

Setzt man femer die nur von p abhängige für Wasserdampf jeder- 
zeit leicht berechenbare Abweichung gegen das Mariotte-Gay- 
Lussac'sche Gesetz im Sättigungspunkt 

rpf PS p 

so folgt als zweite Form der Zustandsgieichung 

(2) pv = R(T—P). 

Die Zeuner'sche Zustandsgieichung ist ebenfalls von dieser Form, 
sie ergibt sich als specieller Fall von (1) und (2), wenn die Be- 
dingung „Cp constant für alle Pressungen und Temperaturen^^ ein- 
geführt wird, was Zeuner mit Recht als praktisch zulässig an- 
nimmt. 

Setzt man in (1) — == z, so folgt als dritte Form der Zu- 

standsgleichung 

(3) V ^=rz '{' s 

ganz entsprechend der für nasse D§,mpfe geltenden Formel 

V 'BBS xn -^^ ö 






142 J. Weyrauch. 

indem sowohl ^, s als n^ Functionen von p allein sind (0 con- 
stant). Auf diese Aehnlichkeit der Formeln überhitzter und nasser 
Dämpfe, welche fortwährend zu Tage tritt, soll unten noch kurz 
zurückgekommen werden. 

Mittelst Formel (3) und nach den Zeuner'schen Tabellen für 
gesättigte Dämpfe sind die Volumina des überhitzten Wasser- 
dampfes für solche Werthe von r bestimmt worden, für welche 
Hirn t; durch directe Wägungsversuche ermittelt hat. Leider sind 
diese Versuche nicht genügend, um aus der sehr befriedigenden 
üebereinstimmung mit der Rechnung einen weitgehenden Schluss 
zu empfehlen. Ich bin der Ansicht, dass der oben ausgesprochene 
Satz und die darauf basirten Formeln für die überhitzten Dämpfe 
mit ähnlicher Annäherung gelten wie das Mariotte-Gay-Lus- 
sac'sche Gesetz für die sogenannten permanenten Gase. — Die 
Zusammenstellung zeigt, wie vorzüglich auch die Zeuner'sche 
Gleichung ipit den Versuchen stimmt, in theoretischer Beziehung 
bleibt aber doch vorzuziehen, dass dieser Anschluss mit einer {R) 
anstatt mit drei verfügbaren Constanten erzielt wird. 

Von der aufgestellten Zustandsgieichung wird u. A. Gebrauch 
gemacht, um aus den Hir naschen Wägungsversuchen die speci- 
fischen Wärmen bei constantem Druck und bei constantem Vo- 
lumen für reinen gesättigten Wasserdampf abzuleiten. Sind letztere 
zur Unterscheidung von den allgemeineren Grössen Cp, c» durch 
Cp, Cr, bezeichnet, so lassen sich die Resultate von 0,1 bis 14 At- 
mosphären auf drei bis vier Dezimalen genau durch folgende Glei- 
chungen wiedergeben 

c; = 0,4304 4- 0,0003779 i 
c, = 0,3045 + 0,0003308 t' . 

Speciell beim Druck einer Atmosphäre findet sich mit t' = 100 
c^ = 0,4682, während Regnault bei gleichem Druck für ub€r1\itzten 
Wasserdampf {t von 122 bis 232) in vier Versuchsreihen 0,4688, 
0,4811, 0,4808, 0,4796 fand. Der früher von Kirchhoff ange- 
nommene Werth für niedrige Temperaturen Cp = 0,305 dürfte wohl 
zu klein sein. Da Regnault die erste der angeführten Zahlen 
für weniger zuverlässig hält als die übrigen, so kann man schliessen, 
dass auch für Wasserdampf ähnlich wie bei der Kohlensäure Cp 
mit der üeberhitzung zunächst wächst. — Es zeigt sich dann, dass 

der Quotient -— von r = an, wo sein Werth für p zwischen 



J. Weybauch. 143 

0,1 und 14 Atmosphären von 1,3995 bis 1,3659 variirt, mit der 
Ueberhitzung abnimmt, was ganz gut mit der Naumann'schen 

c 
Formel stimmt, nach welcher -^ für alle dreiatomigen Dämpfe 

mit unendlicher Ueberhitzimg den Werth K= 1,3333 . . erreichen soll. 

Im Weiteren folgt die Ableitung der Hauptgleichungen für den 
Wärmeverbrauch und die Energie oder innere Arbeit. Es ergeben 
sich hierfür mehrere Formen und werden alle Gleichungen für beide 
Grenzzustände (permanente Gase und gesättigte Dämpfe), in welchen 
sie auf die bekannten Formeln führen müssen, geprüft. Wie zu 
erwarten, zeigt sich, dass die isodynamische Curve nur für unend- 
liche ueberhitzung das Gesetz der gleichseitigen Hyperbel befolgt, 
während das Hi mische Gesetz dies allgemein verlangt. Am Schlüsse 
des ersten Theils werden noch einige Formeln iiir die Gesammt- 
wärrae, Dampfwärme (Mehrbetrag an Energie in 1 Kil. Dampf vom 
Zustand p, v, t gegenüber 1 Kil. Wasser von p = l Atm., t == 0^) 
sowie ein praktisches Beispiel gegeben, und das Verhältniss der 
aufgestellten Gleichungen zu den im Jahre 1866 von Hirn und 
Cuzin veröffentlichten Versuchsresultaten dargelegt. 

Im zweiten Theil erweisen sich die Gleichungen für überhitzte 
Dämpfe als ein Bindeglied zwischen den sonst so sehr abweichen- 
den Formen der Gleichungen für perjnanente Gase und nasse Dämpfe. 
Sie nehmen je nach der Umformung bald den einen bald den an- 
dern analoge Formen an. Die Aehnlichkeit der ganzen Verhält- 
nisse mit denjenigen nasser Dämpfe scheint für den ersten Augen- 
blick besonders überraschend; aber auch die Vorbedingungen sind 
in beiden Fällen durchaus nicht so verschieden als man gewöhnlich 
annimmt Wird einer Flüssigkeit bei bestimmtem Drucke p ge- 
nügend Wärme zugeführt, so tritt zuerst Verdampfung ein, es ist 

T 

jif (Verhältniss der augenblicklichefi Temperatur T zur Temperatur 

in rein gesättigtem Zustand T') constant gleich 1, und das Mischungs- 
verhältniss y (Verhältniss des augenblicklichen Dampfgewichts x 
zum Dampfgewicht im rein gesättigten Zustand 1) variabel. Wenn 

alle Flüssigkeit verdampft ist, dann tritt Ueberhitzung ein, man hat -- 

T . 
constant gleich 1 und -^ variabel. Für reinen gesättigten Dampf ist 

"T- = 7^ "^^ !• ^^s Temperatur verhältniss ^ spielt bei überhitzten 






144 J« Weyrauch. 

Dämpfen eine ganz ähnliche Rolle wie das Mischungsverhältniss 

sc 

Y bei nassen Dämpfen. 

Es werden nun die gegenseitige Lage der verschiedenen Drack- 
curven, sowie die Verhältnisse der Wärmeökonomie, der Ver- 
dampfung und Condensation oder üeberhitzung, der AeiI8erung der 
innern Arbeit und Temperatur für die besonders interessirenden um- 
kehrbaren Zustandsänderungen untersucht üeberall zeigt sich, dass 
die Ableitungen für überhitzte Dämpfe fast mit denselben Worten ge- 
führt werden können wie diejenigen für nasse Dämpfe. Von be- 
sonderem Interesse ist das Verhalten beider Dampfarten der soge- 
nannten „NuUcurve" gegenüber. Letztere hat die Eigenschaft, dass 
bei ihrem Durchschreiten 

auf jeder a^iabatischen Curve nasser Dämpfe . . dx =^0 

yy „ Curve constanter specifischer Dampf menge d^ == 

„ „ ädiabatischen Curve überhitzter Dämpfe . <?r == 

„ „ Curve constanter üeberhitzung .... dQ = 

und für das jp des Durchschnitts von NuUcurve und 

Grenzcurve Ä = 0. 

Alle diese DiiBFerenziale, sowie h, wechseln auf der NuUcurve ihr 
Vorzeichen. 

Clausius hat bekanntlich zuerst nachgewiesen, dass bei ge- 
gebenem p das Vorzeichen von. h dahin massgebend ist, ob reinem 
gesättigtem Dampf bei der Expansion Wärme zuzjiführen oder zu 
entziehen ist, damit er in rein gesättigtem Zustand bleibe, und dafür, 
ob solcher Dampf bei der Expansion ohne Wärme-Zu- oder Abfuhr 
sich condensirt oder überhitzt. Man erhält nun u. A. folgenden all- 
gemeinen Satz: Expandirt nasser oder überhitzter Dampf, so findet 
Verdampfung bezw. Zunahme der üeberhitzung statt, solange der 
Zustandspunkt p, v den Raum links der NuUcurve durchläuft, es 
findet Condensation bezw. Abnahme der Üeberhitzung statt, wenn 
sich der Zustandspunkt rechts der NuUcurve bewegt. — Soll wäh- 
rend der Expansion eines beliebigen Dampfes die specifische Dampf- 
menge bezw. die üeberhitzung constant bleiben, so muss Wärme 
entzogen werden, so lange der Zustandspunkt ^, t; in den Raum 
links der NuUcurve fällt, es muss Wärme zugeführt werden, wenn 
der Zustandspunkt rechts der NuUcurve liegt. 

Viele der im zweiten Theil abgeleiteten Sätze finden sich ohne 
Rücksicht auf die gegebene Theorie der überhitzten Dämpfe; so auch 
der folgende: Jeder überhitzte Dampf, d. h. jeder bestehende gas- 



J. Weyrauch. — H. Weber. 145 

formige -Körper, kann, wenn von aussen Wärme weder zugeführt 
noch entzogen wird, sowohl durch genügende Compression als durch 
genügende Expansion in den gesättigten Zustand und zur Conden- 
sation gebracht werden. 

Stuttgart. J. Weyrauch. 



H. WebjBr: Bernhard Biemann's gesammelte mathematiciche 
Werke und wissensohaftlieher Nachlass. (Herausgegeben 
unter Mitwirkung von R. Dedekind von H. Weber. Leipzig 1876, 
Teubner.) 

Die jetzt zum ersten Mal erscheinende Gesammtausgabe von 
Riemann's Werken enthält in drei Abtheilungen zunächst die von 
Riemann selbst publicirten Abhandlungen, femer die nach seinem 
Tode in verschiedenen Zeitschriften bereits abgedruckten nachge- 
lassenen Arbeiten und endlich in der dritten Abtheilung alles was 
aus dem handschriftlichen Nachlass irgend zur Veröffentlichung ge- 
eignet schien. s 

üeber den Inhalt der beiden ersten Abtheilungen, der seit 
längerer oder kürzerer Zeit Gemeingut der Mathematiker ist, aus- 
führlicher zu reden ist wohl hier nicht erforderlich. Diese Abhand- 
lungen sind in unveränderter Form zum Abdruck gekommen; nur 
einzelne kleine üngenauigkeiten sind, sofern dieselben zur Kennt- 
niss der Herausgeber kamen und für unzweifelhaft gehalten werden 
konnten, verbessert worden. Einzelne Zusätze, die sich auf hand- 
schriftliche Bemerkungen Riemann 's gründen, und nothwendige 
Erläuterungen sind in Schlussnoten beigefügt. Von diesen Zusätzen 
und Erläuterungen hebe ich die zu der Dissertation (Grundlagen für 
eine allgemeine Theorie -der Functionen einer veränderlichen com- 
plexen Grosse) und zu der Abhandlung „üeber die Darstellbarkeit 
einer Function durch eine trigonometrische Reihe" hervor. Die ein- 
zige Abhandlung, welche etwas umfassendere Aenderungen erfahren 
hat, ist die „üeber die Fläche vom kleinsten Inhalt bei gegebener 
Begrenzung", für welche ein ausgeführtes Manuscript von Riemann 
nicht vorliegt, und welche der Herausgeber K. Hattendorff einer 
neuen Bearbeitung unterworfen hat. 

Von erheblicherem Interesse für die Leser dieses Blattes dürfte 
ein kurzer Bericht über den Inhalt der hier zum ersten Male ver- 

Bepdrtorium fttx reine imd angewandte Mathematik. 10 



L 



14G H. Weber. 

öffeBÜichten Abhandlungen aus dem Nachlass sein, welche die- dritte 
Abtheilung des Werkes bilden. Es ist bekannt, dass die zusammen- 
hängende schriftliche Darstellung seiner Untersuchungen Rieraann 
stets grosse Mühe machte, und dass seine Forschungen der Dar- 
stellung immer weit voraus waren; ferner dass er in den letzten 
Jahren seines Lebens durch seinen Gesundheitszustand sehr häufig 
an zusammenhängendem Arbeiten gehindert war. Hieraus erklärt 
sich die BeschafiFenheit des grössten Theils des Nachlasses, der 
ausser den Formeln für die Herstellung des Zusammenhangs ausser- 
ordentlich wenige Anhaltspunkte bietet. So musste Viel^, was in 
sehr fragmentarischer Gestalt vorlag^ in die Sammlung mit aufge- 
nommen und der Gedankengang so gut als möglich hergestellt wer- 
den, und Manches mag in den Papieren noch verborgen sein, dessen 
Entzifferung, noch nicht gelungen ist. 

Hiernach gehen wir zur Besprechung der einzelnen Abhand- 
lungen der dritten Abtheilung über. 

Die erste derselben „Versuch einer allgemeinen Auffassung der 
Integration und Differentiation" ist eine Erstlingsarbeit aus Rie- 
mann's Studienzeit und geht von Anschauungen aus, die schwerlich 
auf Zustimmung rechnen dürfen, die auch der Verfasser selbst ohne 
Zweifel sehr bald fallen gelassen hat. Es schien daher anfangs 
zweifelhaft, ob es billig sei, diese Arbeit, die zu einer Veröffent- 
lichung jedenfalls nicht bestimmt war, mit zum Abdruck zu bringen. 
Beim genaueren Studium derselben überzeugte ich mich aber doch, 
dass sowohl die Methoden als die Resultate ein hinlängliches Inter- 
esse bieten, um einen Abdruck mit einem Vorbehalt zu rechtfertigen, 
und dass die Untersuchung jed,enfalls für Riemann^s Entwicklungs- 
gang charakteristisch ist. Er bedient sich, um zu einer allgemeinen 
Definition der derivirten Functionen zu gelangen, der Entwicklung 
einer Function in eine nach vorwärts und rückwärts nach gebrochenen 
Potenzen der Variabein fortlaufenden Reihe, eine Entwicklung, welclie 
nach der einen Seite hin stets divergirt, und welchen gleichwohl 
eine selbständige Bedeutung zugesprochen wird. Werden diese Ent- 
wicklungen aber nur in formeller Hinsicht zur Anwendung gebracht, 
so wird gegen dieselbe und gegen die daraus gezogenen Resultate 
wohl kaum Etwas einzuwenden sein, wenn auch eine grosse Frucht- 
barkeit derselben nicht mehr zu erwarten ist. Die Definition der 
vten Ableitung einer Function z nach der Variabein jr, auf welche 
diese Betrachtungen führen, ist folgende: 



H. Weber. 147 






worin h und Ä» willkürliche Constanten sind. Diese Definition gilt 
zunächst für negative v. Für die Ableitungen mit positiver oder 
verschwindender Ordnungszahl erhält man den Ausdruck aus dem 
Satze 



welche für jedetf positive ganzzahlige m gilt. 

Diese Definition hat die Eigenschaft^ dass sie für ein ganz- 
zahliges positives , verschwindendes oder negatives v den vten DiiSFe- 
renzialquotienten^ die Function z selbst oder'.deren -^vfaches Inte- 
gral liefert. Die Anzahl der willkürlichen Constanten ist unendlich, 
ausser wenn v ganzzahlig ist. Für ein negatives ganzzahliges v ist 
diese Anzahl endlich (= — i»); für ein positives ganzzahliges oder 
verschwindendes v fallen diese Constanten sämmtlich weg. Ueber- 
dies gelten die fundamentalen Sätze über die Ableitungen mit ganz- 
zahligem Index auch für diese allgemeinen derivirten Functionen. 

Die folgende .Abhandlung „Neue Theorie des Rückstandes in 
electrischen Bindungsapparaten '^ enthält eine weitere Ausführung 
und Anwendung der Gedanken , welche Riemann schon in seinem 
Vortrag bei der Göttinger Naturforscherversammlung skizzirt hatte 
(Nr. II» der ersten Abtheilung). Diese Abhandlung war bereits im 
Jahre 1854 zu einer Publication in Poggendorffs Annalen be- 
stüaunt; die aber nicht zur Ausführung kam, vermuthlich weil 
Riemann nicht auf eine ihm vorgeschlagene Veränderung eingehen 
wollte. Der Grundgedanke, von dem Riemann in der Theorie der 
in Rede stehenden Erscheinungen ausgeht, steht in genauem Zu- 
sammenhang mit seinen naturphilosophischen Ideen, welche für ihn, 
wie aus einem Briefe hervorgeht, geradezu den Ausgangspunkt 
seiner Betrachtungen bildeten. Es wird dabei ausser den gewöhn- 
lichen electrischen Anziehungs- und Abstossungskräften, die dem 
Coulomb'schen Gesetz gemäss wirken, noch eine andere (antelectri- 
sche) Kraft angenommen, mit welcher sich die ponderable Materie 
dem electrisch Sein widersetzt, eine Kraft, welche bei den guten 
Leitern sehr klein, bei den sogenannten Nichtleitern sehr gross ist, 
und weiche sich als ein Widerstreben des Körpers gegen das Ein- 
dringen von Spannungselectricität äussert. Die Componenten dieses 
Theils der electromotorischen Kraft sind proportional den partiellen 

10* 



148 H. Weber. 

Ableitungen der electrischen Dichtigkeiten, genommen nach den 
Coordinaten. Es ergibt sich aus diesen Annahmen ein System von 
zwei linearen partiellen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung zur 
Bestimmung der electrischen Spännung und Dichtigkeit, mit dessen 
Integration in einigen der einfachsten Fälle sich der Rest der Ab- 
handlung beschäftigt. Die Ergebnisse der Theorie stehen, soweit 
eine Vergleichung möglich ist, mit den Thatsachen in gutem Ein- 
klai^. 

Von der dritten Abhandlung dieses Abschnittes „Zwei allge- 
meine Lehrsätze über lineare Dififerenzialgleichungen mit algebrai- 
schen Coefficienten" liegt ein im ersten Theil vollständig ausgeführtes 
Manuscript vor, welches aus dem Jahre 1857 stammt, also aus dem- 
selben Jahre, in dem die Abhandlung über Abersche Functionen 
veröffentlicht wurde. Es scheint auch ein innerer Zusammenhang 
zwischen beiden Untersuchungen zu bestehen, worüber jedoch leider 
nur ungenügende Andeutungen vorliegen. Die Abhandlung enthält 
eine Verallgemeinerung der Untersuchungen, welche der Verfasser 
früher (IV. Abhandlung der ersten Abtheilung) auf die Gauss 'sehe 
JF-Function angewandt hat. Es wird hier ein System von n Functionen 
einer unabhängigen Veränderlichen definirt durch eine beliebige An- 
zahl gegebener Verzweigungspunkte und durch sein Verhalten in 
der Umgebung derselben, ferner durch die Bedingung dass durch 
einen Umlauf um einen Verzweigungspunkt die Functionen des Sy- 
stems in lineare Combinationen ihrer selbst übergehen. Ferner 
wird gezeigt, dass, wenn die V^rzweigungspunkte, die ünstetigkeits- 
exponenten und die Substitutionen, vermittelst deren die einzelnen 
Zweige des Functionensystems um die Verzweigungspunkte herum 
mit einander zusammenhängen, mit gewissen, durch die Natur der 
Aufgabe geforderten Beschränkungen beliebig gegeben sind, die n 
Functionen des Systems als particulare Lösungen einer linearen 
Differenzialgleichimg nier Ordnung mit rationalen Coefficienten an- 
gesehen werden können, falls die Summe der Unstetigkeitrfexponenten, 
welche eine ganze Zahl sein muss, nicht grösser als n — 1 ist. Ist 
diese Summe kleiner als n — 1, so bleibt eine entsprechende Anzahl 
von Coustanten in der Differenzialgleichung unbestimmt, und es 
lässt sich dieser Fall ohne Integration auf den zurückführen, wo die 
erwähnte Summe ihren Grenzwerth n — 1 erreicht, wovon ein Bei- 
spiel sich in der Abhandlung „Ueber die Fläche vom kleinsten In- 
halt bei gegebener Begrenzung" findet. Obwohl die linearen Diffe- 
renzialgleichimgen mit rationalen Coefficienten in neuerer Zeit mehr- 



H. Weber. 149 

fach Gegenstand eingehender Untersuchungen gewesen sind, ist diese 
schöne Verallgemeinerung der Theorie der hypergeometrischen Reihe 
meines Wissens bis jetzt nirgends aufgestellt worden. 

Die nächste, in lateinischer Sprache geschriebene Abhandlung 
enthält die Beantwortung einer von der Pariser Akademie gestellten 
Preisfrage, welche von Riemann im Jahre 1861 eingereicht wurde. 
Durch die Güte des beständigen Sekretärs der Akademie konnte bei 
der Herausgabe das Originalmanuscript zu Grunde gelegt werden. 
Es handelt sich um die Aufgabe, alle Fälle zu ermitteln, in denen 
in einem unbegrenzten homogenen Medium die Temperatur als 
Function der Zeit und nur zweier Variabein dargestellt werden kann, 
so dass ein System isothermer Curven während der ganzen Dauer 
der Wärmebewegung die Eigenschaft der Isothermen behält. Rie- 
mann behandelt die Aufgabe in der Weise, dass er zunächst ganz 
allgemein die Eigenschaften eines auch nicht homogenen Mediums 
und des Anfangszustandes aufsucht, welche der gestellten Forderung 
genügen und dann diejenigen Fälle aussondert, in denen das Medium 
homogen wird. 

Durch die erste Untersuchung ergeben sich gewisse Formen 
einer linearen partiellen DiflFerenzialgleichung mit veränderlichen 
Coefficienten und es handelt sich dann weiter darum, die Fälle zu 
ermitteln, in welchen diese Differenzialgleichung sich durch Ein- 
führung neuer Variabein so transformiren lässt, dass sie constante 
Coefficienten erliält, resp. in die Form übergeht 

Diese Aufgabe lässt sich reduciren auf die Frage, in welchen Fällen 
ein homogener Diflferenzialausdruck zweiter Ordnung mit variabeln 
Coefficienten Sht^idSidSi sich in die Form Z'dfiz^t^ bringen lässt, 

und damit ist die Untersuchung auf eine Bahn gebracht, welche 
sich Riemann durch seine Untersuchungen über die Hypothesen 
der Geometrie (Abhandlung XIH. der zweiten Abtheilung) schon 
geebnet hatte. Sie ist angeknüpft an die Theorie des Krümmungs- 
masses von allgemeinen Mannigfaltigkeiten, für welche die Grund- 
lagen in der erwähnten Abhandlung enthalten sind. Leider sind 
diese Wege nur angedeutet und aus den wenigen noch vorhandenen 
Manuscriptblättern ist es bis jetzt nur theilweise gelungen, die noch 
erforderlichen sehr verwickelten Rechnungen herzustellen, welche zu 
dem Endresultat führen. Die Anmerkungen zu dieser Abhandlung 



150 H. Weber. 

enthalten theils Erläuterungen zu den angewandten allgemeinen 
Sätzen über das Erümmungsmass^ theils^ soweit sie gelungen ist; 
die Ausführung der erwähnten Rechnungen. 

Das Fragment „SuUo svolgimento del quoziente di due serie 
ipergeometriche in frazione continua" ist von H. A* Schwarz in 
Göttingen bearbeitet. Nur für den Anfang liegt ein in italienischer 
Sprache geschriebenes ausgeführtes Manuscript vor. Der Rest musste 
aus einigen Formeln und Zeichnungen ergänzt werden. Riemann 
untersucht darin mit seinen Methoden die Convergenz der von Gauss 
aufgestellten Entwicklung des Quotienten zweier hypergeometrischer 
Reihen in einen unendlichen Kettenbruch, und gelangt zu dem Re- 
sultat, dass diese Convergenz immer stattfindet mit Ausschluss der- 
jenigen Argumentwerthe welche reell und grosser als 1 sind; ein 
Resultat, welches auf anderem Wege von L. W. Thome gefunden 
ist (Borchardt^s Journal Bd. 67). 

Der kleine Aufsatz „üeber das Potential eines Ringes" be- 
schäftigt sich mit der Aufgabe der Integration der DiflFerenzial- 
gleichung 

dx^ ■*" dy^ "^ dz' ~ 

unter der Voraussetzung, dass die Function V an der Oberfläche 
eines durch Rotation eines Kreises um eine die Peripherie nicht 
schneidende Axe entstandenen Ringes gegeben ist. Nachdem einige 
allgemeine Gesichtspunkte über die bei der Integration dieser Diffe- 
renziajgleichung auftretenden Reihen gegeben sind, werden zunächst 
für den vorliegenden Fall die geeigneten Variablen eingeführt, welche, 
eine Separation ermöglichen/ und hierauf wird die Integration durch 
eine besondere Klasse von hypergeometrischen Reihen, welche sich 
durch ganze elliptische Integrale darstellen lassen, ausgeführt. Die- 
selbe Aufgabe ist bekanntlich Gegenstand einer von Riemann un- 
abhängigen eingehenden Untersuchung von C. Neumann. 

Dem folgenden Aufsatz „Gleichgewicht der Electricität auf 
Cylindem mit kreisförmigem Querschnitt und parallelen Axen" liegen 
einige Notizen zu Grunde, welche, wie es scheint^ als Vorbereitung 
zu einer Vorlesung dienten. Derselbe ist namentlich desshalb von 
Interesse, weil darin die sinnreiche Methode zu erkennen ist, deren 
Riemann sich bei der Lösung von Abbildungsaufgaben bediente, 
die immer anwendbar ist, wenn das abzubildende Gebiet von gerad- 
linigen Strecken und von Kreisbogen begrenzt ist, mag dasselbe 
null einfach oder mehrfach zusammenhängend sein. Es wird nament- 



1^^ 



H. Wkbeb. 151 

lieh auch das Verständniss der Abhandlung „Ueber die Fläche vom 
kleinsten Inhalt bei gegebener Begrenzung '^ durch dieses kleine 
Fra.gment wesentlich gefordert. 

Zu der zuletzt erwähnten Abhandlung über die Fläche vom 
kleinsten Inhalt .liessen sich aus einigen im Nachlass gefundenen 
Andeutungen noch zwei schöne Beispiele herstellen, von denen das 
erste die Minimalfiäche betrifft, welche von drei geraden Linien 
begrenzt ist, von denen eine die beiden anderen schneidet, das 
zweite die (zweifach zusammenhängende) Minimalfläche, welche be- 
grenzt ist von zvvei in parallelen Ebenen gelegenen geradlinigen 
Polygonen. In dem letzteren Fall lässt sich die Aufgabe allgemein 
auf Quadraturen zurückfuhren und erfordert nicht die Integration 
von linearen Differenzialgleichungen. 

In der folgenden Nummer sind zwei Fragmente zusammen- 
gestellt, welche sich mit der Frage beschäftigen, was aus den von 
Jacobi aufgestellten Reihen aus der Theorie der elliptischen Func- 
tionen wird, wenn der Modul der von Jacobi mit q bezeichneten 
Grösse gegen 1 convergirt. Im ersten dieser Fragmente werden die 
in § 40 der Fundamenta aufgestellten Reihen von diesem Gesichts- 
punkt aus untersucht, und da diese Reihen im Grenzfall zum gröss- 
ten Theil nicht mehr convergiren, so werden sie zunächst einer 
Integration unterworfen. Geht man in den so gebildeten Reihen 
zur Grenze über, so entstehen Functionen, welche in jedem noch 
so kleinen Intervalle unendlich viele Unterbrechungen der Stetig- 
keit haben. Es scheint, dass der hauptsächlichste Zweck dieser 
Untersuchung der war, Beispiele solcher Functionen für die Ab- 
handlung „Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine tri- 
gonometrische Reihe" (Abhandlung XII. des zweiten Abschnitts) zu 
finden. Im zweiten Fragment werden die Reihen für log jfc, log h' 

log — selbst, ohne vorhergegangene Integration vom gleichen Ge- 
sichtspunkt aus untersucht. Es zeigt sich dabei, dass, wenn das 
Periodenverhältniss der elliptischen Functionen sich einem reellen 
rationalen Werth annähert, die imaginären Theile dieser Reihen 
sich bestimmten endlichen Grenzwerthen nähern, während die reellen 
Theile zum Theil verschwinden, zum Theil in bestimmter Weise 
unendlich werden. Diese Untersuchung findet sich im Nachlass auf 
einem kaum leserlichen Blatte, dessen Bedeutung erst kurz vor dem 
Abdruck erkannt wurde.* Es blieb daher keine Zeit übrig, die 
Correctheit der Formeln in den reellen Theilen genau zu prüfen. 



152 H. Wkbkb. 

Ein Commentar zu diesem Fragment von R. Dedekind behandelt 
die Frage nach einer andern strengen Methode und liefert die 
Endformeln in einer von der Riemann'schen verschiedenen Form. 
Es scheint, dass die Formeln von Riemann in den reellen (un- 
endlich werdenden) Bestandtheilen nicht alle ganz richtig sind^ 
während es die imaginären Theile unzweifelhaft sind. Der erwähnte 
Commentar enthält ausserdem noch eine interessante Anwendung 
der von Riemann benutzten Metibode auf die Theorie der unend- 
lich vielen Formen der Theta-Function. 

Das folgende kurze Fragment aus der Analy sis Situs enthält leider 
nur einige Begriflfsbestimmungen und wenige Andeutungen über 
diese tiefsinnigen und wichtigen Untersuchungen, welche auf eine 
Verallgemeinerung der Theorie des Zusammenhangs hinzielen, die 
Rfemann zum Ausgangspunkt seiner functionentheoretischen 
Betrachtungen gemacht hat. Nur ein Theil der hier aufgestellten. 
Begrifife und Sätze gestattet noch eine Anschauung im Räume von 
drei Dimensionen, während die übrigen ganz abstrackt gefasst 
werden müssen. Bezüglich der mehrfach ausgedehnten Mannigfal- 
tigkeiten wird eine Definition aufgestellt, welche bei begrenzten 
Räumen noch anschaulich ist: 

„TFeww im Innern einer stetig ausgeddmten MannigfaUigheit mit 
Hülfe von m festen für sich nicht begrenzenden n-Strecksstücken jedes 
unbegrenzte n-Streck begrenzend ist, so hat diese MannigfaUigJceit einen 
m -f- 1- fachen Ztisammmhang nter Dimension, Eine stetig ausge- 
dehnte Mannigfaltigkeit heisst einfach zusammenhängend, wenn der 
Zusammenhang jeder Dimension einfach isif^. 

Weiterhin wird diese Definition noch etwas anders gefasst und 
einige Folgerungen bezüglich der Zerlegung von Mannigfaltigkeiten 
durch Querschnitte daran geknüpft. So ist z. B. der Raum einer 
Kugel einfach zusammenhängend, der Raum einer Hohlkugel ein- 
fach zusammenhängend in der ersten, zweifach zusammenhängend 
in der zweiten Dimension, weil jede im Innern der Hohlkugel ge- 
schlossene Linie die Begrenzung einer im Innern verlaufenden Fläche 
bildet, während erst mit Zuziehung einer bestimmten im Innern 
geschlossenen Fläche jede andere solche Fläche die vollständige 
Begrenzung eines inneren Raumtheiles bildet. Umgekehrt ist der 
von einer Ringfläche begrenzte Raum einfach zusammenhängend in 
der zweiten, zweifach zusammenhängend in der ersten Dimension. 
Die Hohlkugel wird durch einen Querschnitt von einer Dimension, 
der ringförmige Raum durch einen von zwei Dimensionen in einen 



fT 



H. Weber. 153 

einfach zusammenhängendeD Raum verwandelt Ein Querschnitt 
von einer Dimension verwandelt den ringförmigen Raum in einen 
in der ersten Dimension dreifach zusammenhängenden Raum. Dies 
zur Erläuterung des allgemeinen Satzes. 

„Der Zusammenhang eines^ n-Strecks wird durch jeden einfach 
zusammenhängenden n-m-streckigen Querschnitt entweder in der mten 
Dimension um 1 erniedrigt oder in der m — Iten Dimension um 1 
erhöht'^ 

Die beiden folgenden Aufsätze sind einer Vorlesung über 
Ab ersehe Functionen entnommen, welche Riemann in den Jahren 
1861 und 1862 gehalten hat; der Bearbeitung liegt ein Heft von 
G. Roch zu Grunde. Der erste derselben enthält einen sehr ele- 
ganten Beweis der Convergenz der jp-fach unendlichen Theta-Reihen 
auf Grund eines allgemeinen Satzes, durch den die Untersuchung 
der Convergenz einer unendlichen Reihe mit positiven Gliedern zu- 
rückgeführt wird auf die Untersuchung der Convergenz eines be- 
stimmten Integrals. ^ 

Der zweite dieser Aufsätze behandelt diejenigen Functionen, 
welche Riemann unter dem Namen „AheVsche Functionen" ausge- 
zeichnet hat, für den Fall jp = 3. Es sind das die Quadratwurzeln 
aus solchen Functionen (p (vergl. Theorie der Ab einsehen Functionen, 
YI. Abhandlung der ersten Abtheilung), welche in p — 1 Punkten 
unendlich klein von der zweiten Ordnung werden, welche im All- 
gemeinen in endlicher Zahl existiren. Im Falle p = 3 beträgt 
diese Zahl 28, entsprechend den 28 ungeraden Theta-Functionen 
(und, geometrisch, entsprechend den 28 Doppeltangenten einer 
Curve 4. Ordnung). Die Bestimmung dieser Functionen hängt 
von^ einer Gleichung des 28. Grades ab. Nimmt man aber 6 
derselben als bekannt an, so lassen sich die übrigen mittelst einer 
Gleichung vierten Grades bestimmen. Für die Theorie der üm- 
kehrung der algebraischen Integrale ist die Zuordnung dieper Func- 
tionen -zu den ungeraden Theta-Functionen von besonderer Wichtig- 
keit und diese Aufgabe ist der Hauptgegenstand des vorliegenden 
Aufsatzes. 

In einem Anhang sind endlich die Fragmente zusammengestellt, 
die sich auf Ri em an ns philosophische Spekulationen beziehen. 
Diese Forschungen haben Riemann während eines grossen Theils 
seines Lebens begleitet und haben einen erheblichen Theil seiner 
Gedankenarbeit in Anspruch genommen. Auf das Nähere dieser 
eigenthümlichen und tiefsinnigen Weltanschauung einzugehen, dürfte 



154 H. Webeb. 

hier um so weniger am- Platze sein, als die ohnehin schon äusserst 
knappe und lückenhafte Darstellung kaum einen verkürzenden Aus- 
zug gestattet, der nicht der Gefahr eines entstellefiden Missver- 
ständnisses ausgesetzt wäre. Nur das Eine mag angeführt sein, 
dass in den naturphilosophischen Untersuchungen Riemanns 
Hauptziel djfs ist, die Vorstellung von einer Ferne Wirkung zu be- 
seitigen, und zu ersetzen durch eine andere, nadi welcher die Ma- 
terie nur auf ihre unmittelbare Umgebung einwirkt. Dieser Zweck 
wird erreicht durch die Annahme eines den Raum stetig erfüllen- 
den Stoffes, welcher Träger der Gravitationskraft, der Licht- und 
Wärmebewegung und der electrischen Wirkungen ist, der aber 
wesentlicTi verschieden ist von der ponderablen Materie. Die Kör- 
peratome sind nach Riemanns Auffassung Punkte, in welche 
dieser hypothetische Stoff fortwährend einströmt und aus der Er- 
scheinungswelt verschwindet. Die Ursache der Einwirkung der 
Körperatome auf einander wird in dem Widerstand gesucht, mit 
dem sich dieser Stoff einer Formänderung entgegensetzt. 

Den Schluss des ganzen Werkes bildet eine von Dedekind 
verfasste Schilderung von Riemanns Lebenslauf. Diese biogra- 
phische Skizze, welche sich hauptsächlich auf Briefe und andere 
Mittheilungen der Familie gründet, hat nicht den Zweck, die wissen- 
schaftliche Stellung und Bedeutung Riemanns zu beleuchten; sie 
soll seinen Verehrern und Freunden ein Bild geben von dem Le- 
bensgang und der Persönlichkeit des in jeder Hinsicht ausgezeich- 
neten, leider so früh dahingegangenen Mannes. Es ist das Bild 
eines stillen, einfachen Gelehrtenlebens, mannigfach bedrückt und 
beengt durch die Ungunst der Verhältnisse, aber .wunderbar aus- 
gerüstet von der Natur zum Eindringen in die Tiefen der Wissen- 
schaft und erfüllt vom reinsten und ernstesten Streben nach der 
Erkenntniss der Wahrheit. 

Königsberg. H. Weber. 



r^ 



J. Frischauf« /155 



J.^ Frischauf: Elemente der absoluten Geometrie. , (Leipzig 

1876, B. G. Teubner. VI u. 142. S. 8.) 

Die Elemente der Geometrie des Euclides sind (trotz aller 
Strenge in der Deduction) in den Grundbegriffen und ersten Vor- 
anssetzungen dunkel und .unklar. Besonders die Begriff^ der Ge- 
raden imd Ebene, der Parallelensatz und das Unendliche bilden die 
Hauptschwächeri der euclidischen Behandlung. Durch die Be- 
mühungen von Gauss, W. und J. Bolyai und Lobatschewsky 
wurde in die Parallelenfrage eine Klärung der Ansichten gebracht; 
in der vorliegenden Schrift werden die innig verknüpften Voraus- 
setzungen der Geraden und des Unendlichen in ihrem Zusammen- 
hange erörtert und dadurch die oben erwähnten Arbeiten ergänzt. 
Von der Kugelfläche ausgehend, werden im ersten Buche nach 
einer, von Leibniz zuerst angedeuteten, von W. Bolyai und 
Lobatschewsky durchgeführten, Methode die .Gerade *und Ebejae 
mit ihren Fundamentaleigenschaften abgeleitet und dann im zwei- 
ten Buche die sogenannte absolute Geometrie des J. Bolyai oder 
Pangeometrie des Lobatschewsky entwickelt. Die Thatsache, 
dass das Parallelenaxiom aus der Voraussetzung der Congruenz 
und dem Axiom der Geraden nicht deductiv gefolgert werden kann, 
sondern mit Hülfe der Erfahrung (Beobachtung) bewiesen werden 
müsse, kann als das wichtigste Resultat des zweiten Buches angesehen 
werden. Die Grundzüge einer analytischen Geometrie bilden den 
Schluss dieses Buches. 

Das drijkte Buch „Endlicher Raum und absolute Geometrie." 
beendet zunächst die Fragen nach den Principien. Die Geometrie 
des endlichen und unbegrenzten Raumes, welche von F. Klein 
als (theoretisch) gleichberechtigt mit der euclidischen und nicht- 
euclidischen Geometrie hingestellt wurde, erscheint hier als ein 
Theil der Untersuchungen der Geometrie des unendlichen Raumes. 
Die Fragen nach dem Axiom der Geraden und der Anzahl ihrer 
unendlich fernen Puükte werden vollständig erledigt. Nun folgen 
die analytische Behandlung der Flächen constanter Krümmung, die 
Theorien von Riemannund Helmholtz. Von ersterer werden der 
Standpunkt und die darauf bezüglichen Arbeiten angeführt, letztere 
wird vollständig jedoch in bedeutend vereinfachter Weise entwickelt. 
Aus dieser Untersuchung wird das wichtige Resultat gefolgert, dass 
die Voraussetzungen der Anwendbarkeit der Rechnung und der 



L 



156 



J. Frischauf. — 0. Boethig. 



Existenz von Differenzialquotienten mit den Voraussetzungen der 
Congruenz und der Existenz unendlich kleiner* ähnlicher Figuren (d. i. 
Figuren, auf welche die euclidische Geometrie angewendet werden 
kann) identisch sind. Einige Sätze von Beltrami's Theorie der 
Räume constanter Krümmung bilden den Schluss der vorliegenden 
Schrift*). 



Graz. 



J. Frischauf. 



Oscar Hoethig: Die Probleme der Brechung und Keflexion. 

(Leipzig 1876, Teubner.) 

Das Werk ist aus dem Wunsche entstanden, alle Probleme der 
Brechung und Reflexion nach einer einheitlichen Methode zunächst 
streng zu lösen, Vernachlässigungen aber in bestimmt definirter 
Weise erst dann an die allgemeinen Losungen anzubringen, wenn 
besondere Umstände dazu Veranlassung geben. 

Die in Betracht zu ziehenden Probleme zerfallen hier in zwei 
Gruppen. Die erste ist zusammengefasst in das Problem des Durch- 
gangs der Strahlen, Die andere ist Problem der Bildpunkte und 
Bilder genannt. 

Das Problem des Durchgangs der Strahlen lässt sich so aus- 
sprechen: ■ ' • 

Aus einem Mittel fallen Strahlen auf die Trennungsfläche dieses 
Mittels von einem folgenden, verlaufen nach beliebig vielen Brechungen 
ußd Reflexionen an beliebigen Flächen durch die verschiedenen Mittel 
und fahren aus in ein letztes Mittel, Welches sind die Gleichungen 
der die einzelnen Mittel durchlaufenden, besonders der im letzten Mittel 
ausfahrenden Strahlen? 

Die Lösung dieses Problems ist in eindeutiger Weise gegeben, 
so weit dies im Allgemeinen möglich ist, also so weit, dass nur 
noch die Besonderheiten eines speciellen Problems in vorgeschrie- 
bener Weise in die allgemeinen Lösungen einzufuhren sind. Das 
zweite Problem, das der Bildpunkte und Bilder , enthält schon eine 
an die Lösung des ersten angebrachte Vernachlässigung. Es lehrt 
nämlich die Abhandlung des Herrn Kummer, „allgemeine Theorie 

*) Berichtigungen: S. 73, Z. 11 ist der Factor \ wegzulassen. S. 75 
Z. 9 lies dJ ==^ statt dJ —. S. 133, Z. 10 ist zwischen die Worte: „Raum** 
und „von" einzuschalten: „als (geometrischen) Ort im Räume". 



r 



0. RöTHiG. ^ 157 

der gradlinigen Strahlensysteme" (Borehardt's Journal für reine und 
angewandte Mathematik. Band 57), deren Kenntniss hier voraus- 
gesetzt wird, dass in jedem Strahle eines gradlinigen Strahlen- 
systems zwei in Bezug auf ihre Realität noch zu untersuchende 
Punkte bestehen, in welchen die Querschnitte eines unendlich dün- 
nen Strahlenbündels unendlich kleine gerade Linien von der Ord- 
nung der grössten Ausdehnung eines beliebigen anderen Querschnitts 
sind. Hier werden nun die nach Vollendung des Durchgangs in 
das eine Auge eines im letzten Mittel befindlichen Beobachters ge- 
langenden Strahlen als ein unendlich dünnes Strahlenbündel ange- 
sehen, oder, was dasselbe ist, der Radius der Pupille wird als eine 
imendlich kleine Grösse erster Ordnung betrachtet. Von den Quer- 
schnitten in den beiden oben erwähnten von Herrn Kummer mit dem 
Namen Brennpunkte bezeichneten Punkten wird angenommen, dass 
das Auge sie als Punkte empfindet, und den Ort des leuchtenden 
Punktes des ersten Mittels in einen dieser Punkte versetzt, die 
desshalb hier BildpunJcte genannt werden. In dieser Auffassung 
ist das Problem gestellt und im Allgemeinen gelöst. Vielleicht 
wird man eine genauere Darstellung des Zusammenhangs der hier 
gegebenen Resultate mit den von Herrn Kummer gefundenen ver- 
missen, besonders auch vielleicht eine nähere Angabe der Länge 
der geraden Linien, welche das Auge hier als Punkte empfinden 
soll. Ich habe dies unterlassen, in der Meinung, dass ein mit den 
Resultaten der Arbeit des Herrn Kummer vertrauter Leser diese 
Fragen selbst erledigen wird, um so mehr, als dies erst für spe- 
cielle Probleme einen Werth hat. 

Es erschien nun zunächst als das Wichtigste, die bisher be- 
kannten Resultate specieller Probleme der Brechung und Reflexion 
aus den allgemeinen Lösungen herzuleiten, vor allen also das von, 
Gauss in seinen dioptrischen Untersuchungen gestellte und nähe- 
rungsweise gelöste Problem erst streng zu behandeln imd dann mit 
einer fest definiiten Näherung die Gauss 'sehen Formeln abzuleiten. 
Der grösste Theil des Werkes beschäftigt sich mit dieser Aufgabe 
und zwar, der Wichtigkeit des Gegenstandes entsprechend, in der 
Weise, dass die strengen Lösungen dieses Problems für sich selbst, 
also unabhängig von den allgemeinen Lösungen aller Probleme des 
Durchgangs der Strahlen, hergeleitet werden. Die Herleitung ist 
in einer Form gegeben, welche das Verständniss dieser Theile des 
Werkes auch denen zugänglich macht, welche von der Differenzial- 
recbnung noch keine Kenntniss haben. 



L 



158 0. ROTHIG. KOSTKA, 

»' 

Auch die geometrischen von Gauss und Anderen gefundenen 
Relationen^ die Häuptpunkte etc.^ sind gegeben. Sie entstehen hier 
dadurch, dass besondere Werthe des Lifiearverhältnisses von Bild 
und Gegenstand in Betracht gezogen werden. Als solche sind hier 
nur die Werfhe 1, cx>, betrachtet, welche zu den bekannten 
Punkten der Axen führen. Man ersieht aber hieraus sofort, dass 
jeder andere bestimmte Werth zu einem neuen Punkte und dem- 
nach zu neuen geometrischen Relationen und neuen ConstructioneiL 
des zu einem gegebenen Punkte gehörigen Bildpunktes führen muss. 

Berlin. • Oscar Röthig. 



KoBtka: Ueber die Bidstimmung von syminetrisolien Functionen 
der Wurzeln einer algebraischen Gleichung durch deren 
Coeffioienten. (Journal f. d. reine und angewandte Mathematik 
Bd. 81 , S. 281 bis 289.) 

Die bekannte Aufgabe: „eine symmetrische rationale Function 
der Wurzeln einer algebraischen Gleichung durch die Coefficienten 
dieser Gleichung auszudrücken" wird gewöhnlich durch successive 
Division oder Ermittelung eines Entwicklungscoefficienten gelost 
In der vorliegenden Abhandlung wird dadurch, dass die symme- 
trische Function durch den Quotienten zweier altemirenden ersetzt 
wird, eine einfache Regel hergeleitet, nach welcher das Resultat 
ohne Divisionen in Form eines Aggregats von Determinanten leicbt 
angegeben werden kann. 

Sei - 

seien a^, «j, . . ««— i ganze positive Zahlen (oder auch a^ == 0) und 
zwar ccQ<i a^<i' * ««— i ; seien /3^, ß^j ß^ ' - diejenigen nach der 
Grösse aufsteigend geordneten ganzen Zahlen, welche mit den a 
zusammen die Zahlenreihe 0, 1, 2, .. ««— i einfach ausfüllen; und 
werde endlich die Determinante 






= (/*i;ft?ft; ••) 



gesetzt, wobei a« = 1 , «n+Ä = ==* a— *: dann ist das Detenni* 
nantenverhältniss 



J 



EOSTKA. — HEI4MEBT. 159 

( V -4- ^r *o 'T *** T *• — ^ 

^ JL •*'l •*'S • • **'« 

V -4- T «• 1 /y* ^ 

Zrf m «^l •*'» • • •^'n 

Wenn femer- 

eine rationale symmetrische Function der x, deren Glieder nur durch 
die verschiedenen Permutationen der Exponenten sich unterscheiden, 
und wenn y der grösste dieser Exponenten: so multiplicire man F 

mit x^x^^x^ . . rr»"" ; jedes Glied, in dem dann gleiche Exponenten 
vorkommen, lasse man unberücksichtigt; in Jedem der übrigen zähle 
man die Anzahl r der Inversionen der Exponenten und bilde die 
Reihe derjenigen nach der Grösse aufsteigend geordneten Zahlen 
Ä; ßij •• ßv} wßlche mit den Exponenten zusammen die Zahlen- 
reihe 0, 1,-2, ... y -^ n — 1 ausfüllen; dann ist: 

Dies sind die beiden Hauptresultate der Untersuchung. Der Rest 
des Aufsatzes beschäftigt sich mit der Frage, wie aus der Form 
einer der im Ausdruck von F vorkommenden Determinanten deren 
Vorzeichen bestimmt werden kann, und gibt endlich einige An- 
wendungen jener Resultate. 

Insterburg. Kostka. 



Helmert: Ueber die Formeln für den Durchschnittsfehler. 

(Astr. Nachr. Nr. 2039, S. 353 — 368.) 

Eine wichtige Aufgabe der Methode der kleinsten Quadrate ist 
bekanntlich die Ermittlung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers 
Q aus den Verbesserungen A der Beobachtungsgrössen l. Am schärf- 
sten erfolgt diese Rechnung mittelst der Quadratsumme [AA], allein 
sie ist etwas mühsam und man hat daher Formeln aufgestellt, um 
Q aus [val. abs. A] zu erhalten: Peters für directe Beobachtungen 
einer Unbekannten, Lüroth für vermittelnde Beobachtungen mehrerer 
Unbekannten. Diese Formeln erschienen dem Verf. nicht als ganz 
zweifellos begründet. Der Aufsatz gibt nun eine strenge Ableitung 
der betreffenden Formeln für verschiedene Fälle, wobei sich heraus- 



160 Helmekt. 

stellt, dass nur die Peters 'sehe Formel beibehalten werden darf, 
während sich für eomplicirtere Fälle der Ausgleichung neue Formeln 
ergeben, die so zusammengesetzt sind, dass ihre Anwendung schwer- 
lich rathsam erscheinen dürfte. Unter Voraussetzung des Gauss'- 
sehen Fehlergesetzes ist namentlich 

Q = 0,84535 [val. abs. X] : 
2*' yi - (al [cca] + 2athlaß] + 6i[^/J] + . . .) 

1 

V 

bei n vermittelnden Beobachtungen gleicher Genauigkeit; «jt, hk, . • 
sind die Coefficienten der Unbekannten in der iten Fehlergleichung 
und [aa]j [ccß] etc. die in dieser Bezeichnung wohlbekannten De- 
terminantenquotienten der allgemeinen Auflösung der Normälglei- 
chungen. Für directe Beobachtungen folgt aus dem Vorstehenden 
die Formel von Peters: 

Q = 0,84535 [val. abs. A] : y«(w— 1). 

Der Aufsatz gibt auch eine directe Entwicklung der Formel 
für Q bei bedingten Beobachtungen, vergleicht femer die ältere 
Formel mit dem neuen Ergebniss und macht den Versuch einer 
Aufstellung brauchbarer Näherungsausdrücke. Ueber die Art der 
Entwicklung der strengen Formeln mag nur soviel bemerkt werden, 
dass dabei die Benutzung von Discontinuitätsfactoren zur Noth- 
wendigkeit wurde und zum Glück die Ausführung der Integrationen 
auf keinerlei Schwierigkeit stiess. 

Aachen. Helmert. 



Helmert: Der Einfluss der BOhiefen' Stellung der Latte bei Di- 
stanzmessungen, und eine empirische Formel für den 
mittlem Fehler der DistanzmesBung an dem Tachymeter 
von Q, Starke. (Zeitschr. des österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1875. 
S. 154—157.) 

In dem Aufsatz wird angenommen ^ dass bei dem Ablesen der 
beiden Distanzfäden eines Fadendistan^messers die vom Gehülfen 
vertical zu haltende Latte im Allgemeinen eine kleine und für beide 
Fädenablesungen verschiedene Schiefe d habe. Setzt man dieselbe gleich 

iiöö d®^ I^^i^g® (vielleicht etwas zu hoch gegriflfen?), so ist das 



Helmebt. 161 

Quadrat des mittlem Fehlers der Distanz in Metern gleich 

(2m2 + y) sin2a« + ^ a^cos«*, . 

worin a die Ablesungsdifferenz, m die mittlere Zielhöhe und a die 
Neigung der mittlem Visur sind und ferner die DistaÄzmesser- 
constante h gleich 200 (entsprechend dem Tachymeter) angenommen 

ist. Der Coefficient — des zweiten Gliedes ergab sich aus Be- 
obachtungen, über die in der Zeitschr. f. Vermessungswesen 1874 
S. 334 berichtet worden ist. In seiner allgemeingültigen Gestalt 
heisst das erste, die Lattenschiefe berücksichtigende Glied: 

jÄj2sin2d(2m2 + y)sin2a2. 
Aachen. Helmert. 



Helmert: Ueber die günstigste Wahl der Kardinalpiinkte bei 
dem Abstecken einer Traee. (Zeitschr. des Hannover. Arch.- 
u. Ing.-Ver. 1875. S. 337 — 349.) 

Die definitive Absteckung einer Trace beginnt bekanntlich mit 
der Fixirung einiger wenigen Punkte, welche zur Construction nach 
geometrischen Regeln gerade ausreichen. Dass man diese Kardinal- 
punkte bei Absteckung einer Geraden möglichst an deren Enden 
zu legen habe, ist nicht zweifelhaft, weil andernfalls eine Ver- 
grösserung der in der Fixirung der Kardinalpunkte auf dem Terrain 
begangnen Fehler für die äusseren Theile der Geraden eintreten 
wird. Weniger einfach und in die Augen springend ist die Regel 
bei Absteckung von Kreisbögen. Sie abzuleiten ist Zweck des Auf- 
satzes und es stellt sich heraus, dass es nicht rathsam ist, einen 
Kreisbogen aus zwei Tangenten oder Punkten zu entwickeln, die 
einen Centriwinkelabstand von mehr als 90^ haben. Die günstigste 
Lage der Elemente wird im Aufsatze für verschiedene Fälle abge- 
leitet und die Uebersicht durch Tabellen gefördert, welche die 
maximalen Oturvenverschiebungen, denen man unter Umständen aus- 
gesetzt ist, angeben. Gegenüber andrer Anschauung betont Verf. 
noch besonders, dass nicht die Kürze der Tangenten und die damit 
verbundene Unsicherheit der Richtung derselben einen vorherrschend 
schädlichen Einfluss auf die Lage der Kreisbögen äussert, sondern 
dass vielmehr die radialen Verschiebungen der Tangenten in Ver- 

Bepertorium für reine und angewandte Mathematik. 11 



162 



Helmbrt. 



bindung mit grossen Centriwinkeln die Ursache beaehtenswerther 
Aenderungen in der Lage der Kreisbögen bilden, dass man daher 
auch bei langen Tangenten Veranlassui^ haben kann, die mitge- 
theilten Regeln zu beachten. 

Auf Schluss des Aufsatzes gibt Verf. ein Verfahren an, einen 
Kreisbogen von bestimmtem Radius mehr als 2 Terrainpunkten mög- 
lichst genau anzupassen. 

Aachen. Helmert. 



Helmert: Einfache Ableitung Gauss'soher Formeln für die Auf- 
lösung einer Hauptaufgabe der sphärischen Geodäsie. 

(Zeitschr. f. Vermessungswesen. 1875. S. 153 — 156.) 

Gauss gibt am ^nde des ersten Theils seiner geodätischen 
Untersuchungen mehrere Auflösungen der Aufgabe der geodätischen 
üebertragung der geographischen Coordinaten auf der Kugel ohne 
Beweis. Die vierte dieser Auflösungen., zu scharfer Rechnung bei 
der jetzigen Einrichtung der Logarithmentafeln bequem geeignet, 
wird hier vom Verf. abgeleitet. Demselben kam es dabei mehr 
darauf an, recht einfach und mit geringem Formelapparat zu arbei- 
ten, als durch Kürze zum Ziele zu gelangen. 

Aachen. Helmert. 



■ 

Helmert: Nachrichten über einen Mikroskoptheodolit. (Zeitschr. 
f. Vermessungswesen. 1875. S. 327 — 341.) 

Der Theodolit ist aus dem Institut von Starke und Kam- 
merer in Wien und überrascht bei geringen Dimensionen durch die 
ausgezeichnete Theilung seines Theilkreises von 16 Ctm. Durch- 
messer. Verf. theilt mit, in welcher Weise über die Güte der Thei- 
lung und Genauigkeit der Winkelbeobachtung Aufschluss erhalten 
worden ist; die angewandten und durchaus bekannten Methoden 
sind solche , welche in der Praxis immer ohne Weiteres benutzt 
werden können. Für den periodischen Fehler des Theilkreises fand 
sich (am Mittel der Angaben beider Mikroskope) 

— 0",84 C0S2J. -t- r,ll sin2^ - 0^75 cos4^ -f 1",97 sin4^; 

der zufällige Theilungsfehler ist wesentlich kleiner als 1" und der 



HeLHERT. — L. BoLTZliANN. 1G3 

mittlere Einstellungsfehler eines Theilstriches + 1",6. Abgesehen 
vom periodischen Theilungsfehler , welcher mittelst vier Kreis- 
stellungen eliminirt Averden kann, ist unter günstigen Luftverhält- 
nissen der mittlere Fehler einer einmaligen Richtungsbeobachtung 

±r. 

Aachen. Helmert. 



Ludwig Boltzmann: Zur Integration der partiellen Differenzial- 
gleichungen erster Ordnung. (Wien. Sitz.-Ber. LXXII (2) 471.) 

Die Integration der allgemeinen partiellen Di£ferenzialgleichung 
1. Ordnung mit 2 independenten Yariabeln x, y und einer depen- 
deuten z 

(1) ^(^7 y, ^, i>, g) = o, 

wobei jp a= ^ ^ g «= — ist, lässt sich bekanntlich auf die des Sy- 
stems simultaner linearer partieller Differenzialgleichungen: 

(2) ft^P.H+PsIf 

n p ^ I p ^3 

wobei Qi = — « Pö— , V2*= — ö ^ö-~» P, =^5— ' 

P2 = ö— ist; zurückführen. 

Wenn bloss die Gleichungen (2) gegeben sind, so sind die 
Grössen ät, p und q natürlich noch nicht vollständig, als Functionen 
von X und y bestimmt. Dazu ist vielmehr noch noth wendig, die 
zu einem bestimmten Werthe des y (z. B. ^) gehörigen Werthe 
von 0, p, q als Functionen von x zu keniftn. Sei für y = y^ etwa 
Ä? = 9?(a;), jp = ;|f(ip), q = ti^), so werden diese Anfangsbedingungen 
dann und nur dann auch eine Lösung der Gleichung (1) liefern, 

wenn x{^) = -^^ und ^(rr) durch die Gleichung: 



O 



{^.f.9>{^),^\i^i^) = 



bestimmt ist. Das Problem die Gleichung (1) zu integriren, ist 



164 L. BOLTZMANN. 

also identisch mit dem Probleme, Auflösungen der Gleichungen (2) 
von der geschilderten Beschaffenheit zu finden. In der vorliegenden 
Abhandlung wird nun eine einfache Methode gelehrt, nach welcher 
dies bewerkstelligt werden kann und welche in der Einführung 
von z und p als independenten Variabein beruht und gezeigt, dass 
diese Methode sehr naturgemäss zu dem bekannten Jacob loschen 
vollständigen Integrale der Gleichung (1) führt. Dieselbe Methode 
wird dann auch auf partielle, nichtlineare Differenzialgleichungen 
mit beliebig viel Independenten übertragen. 

Wien. L. Boltzmann. 




Ludwig Boltzmann: Bemerkungen über die Wärmeleitungen 
von Gasen. (Wien. Sitz.-Ber. LXXn-(2) 458.) 

Es wird gezeigt, dass man nach der Annahme, die innere Be- 
wegung der Gasmoleküle trage gar nicht zur Wärmeleitung der 
Gase bei, für deren Wärmeleitungsconstante Werthe erhält, die klei- 
ner als die experimentell gefundenen sind. Macht man jedoch, wie 
es Maxwell (phil. mag. 4. ser. vol. XXXV) thut, die Annahme, 
dass beim Vorgange der Wärmeleitung in einem Gase sich die leb. 
Kraft progressiver Bewegung, welche durch einen Querschnitt hin- 
durchgeleitet wird, zur gesammten leb. Kraft, welche hindurch- 
geleitet wird, verhält, wie die im Gase enthaltene leb. Kraft pro- 
gressiver Bewegung zur gesammten darin enthaltenen leb. Kraft, 
so bekommt man zu grosse Wärmeleitungsconstanten. Nimmt man 
hingegen an, die innere Bewegung der Moleküle trage nur ^^ von 
dem Betrage zur Wärmeleitung bei, den sie nach MaxwelTs An- 
nahme dazu beitragen würde, so bekommt man für die Wärme- 
leitungsconstante nicht bloss der Luft, sondern auch aller übrigen 
Gase Werthe, welche gut mit den von Stefan, Kundt, Warburg 
und Winkelmann experimentell gefundenen übereinstimmen. 

Wien. L. Bcrltzmann. 



L. BoLTZUANN. 165 



Ludwig Boltzmann: Ueber das Würmegleiohgewioht von Ga- 
sen, auf welche äussere Kräfte wirken. (Wien. Ber. LXXII 

(2) 427.) 

Die Formel, welche ich in der Abhandlung „Weitere Studien 
über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen" Wien. Sitz.-Ber. 
LXVI. für die Wahrscheinlichkeit der verschiedenen Positionen, 
Geschwindigkeiten und Geschwindigkeitsrichtungen der Atome eines 
Gases (letzterer Begriff im Sinne der neuern Gastheorie) aufgestellt 
habe, wandte ich schon dort auch auf ein Gas an, welches dem 
Einflüsse der Schwere unterworfen ist. Ich habe jedoch ihren Be- 
weis dort nur für den Fall durchgeführt, dass ausser den zwischen 
den Atomen ein und desselben Moleküls und den zwischen den 
Atomen zweier gefade zusammenstossender Moleküle wirksamen 
Kräften keine anderen Kräfte auf die Gasatome wirksam sind. Wir 
wollen solche andere Kräfte immer als „äussere Kräfte" bezeichnen. 
Den ersten Beweis, dass dieses Wahrscheinlichkeitsgesetz den Be- 
dingungen des Wärmegleichgewichts genügt, hat Burbury (Nature 
Nr. 293, Bd. XII, 107) gegeben. In der Abhandlung, welche den 
Gegenstand dieses Referates bildet, wird nur der Beweis geliefert, 
dass es den Bedingungen des Wärmegleichgewichtes auch im Falle 
des Vorhandenseins äusserer Kräfte nicht nur genügt, sondern dass 
es auch das einzige Wahrscheinlichkeitsgesetz ist, welches diesen 
Bedingungen genügt. Dieser Beweis wird ganz analog geführt, wie 
er in der Eingangs citirten Abhandlung (Wien. Sitz.-Ber. LXVI) 
im Falle des Mangels äusserer Kräfte geführt wurde. " Im Falle ein- 
atomiger Gasmoleküle bezeichnet f{t, x, y, z, u, v, w) dx dy dz du dv dw 
die Anzahl der Gasmoleküle, deren Coordinaten und Geschwindig- 
keitscomponenten parallel den Coordinatenaxen zur Zeit t zwischen 
den Grenzen 

X und X -{- dx u und u -}- du 

y und y -\- dy v und v '\- dv 

z und z -^ dz w und w + dw 

liegen. Diese Anzahl verändert sich während einer sehr kurzen 
Zeit dt, theils vermöge der Wirksamkeit der innern und äussern 
Kräfte, theils vermöge der Zusammenstösse der Moleküle, theils auch 
vermöge des geradlinigen Fortfliegens derselben. Alle diese Ver- 
änderungen werden nach den bekannten Methoden der mathemati- 
schen Physik berechnet und daraus eine partielle Differenzialgleichung 



166 ^- BOLTZMANN. 

für die Function f{tj x, y^ z, w, v, w) gewonnen, in welcher jedoch 
auch bestimmte diese Function enthaltende Integrale auftreten. 
Die allgemeine Integration dieser partiellen Differenzialgleichung 
unter beliebigexi Anfangsbedingungen (d. h. also für eine beliebige 
anfängliche Vertheilung der Gasmoleküle in dem Gefösse, welches 
das Gas enthält), gelingt zwar nicht, doch lässt sich aus derselben 
der Beweis liefern, dass der Werth einer gewissen Grösse (der 
Entropie) in Folge der Molekularbewegung nur abnehmen kann. 
Der analytische Ausdruck für diese Grösse ist derselbe, wie im Falle 
keiner äusseren Kräfte. Nachdem dies festgestellt ist, kann für 
die Function f{oo, x, y, Zy u, v, w) d. h. für die nach langer Zeit 
sich einstellende Zustandsvertheilung leicht eine Functionalgleichung 
gewonnen werden, deren Auflösung dann die Wahrscheinlichkeit 
der verschiedenen Positionen Geschwindigkeiten und Geschwindig- 
keitsrichtungen der Atome im Zustande des Wärmegleichgewichtes 
liefert. Was das Resultat anlangt, mag hier bemerkt werden, 
dass als Geschwindigkeitsrichtung für jedes Atom jede Richtung im 
Räume gleich wahrscheinlich erscheint, die mittlere lebendige Kraft 
für jedes Atom gleich ist und auch das Verhältniss der Wahrschein- 
lichkeit der verschiedenen leb. Kräfte zu der der mittleren durch 
das Vorhandensein der äusseren Kräfte nicht verändert wird. Nur 
die Dichte des Gases wird an verschiedenen Stellen verschieden sein. 

Eine Unrichtigkeit bei Auflösung der Functionalgleichung (dass 
h a priori unabhängig von xyz angenommen wird) kann leicht ver- 
bessert werden. Dies, sowie die Auflösung der Functionalgleichung 
im Falle strömender Bewegung des Gases werde ich in einer dem- 
nächst zu erscheinenden Abhandlung behandeln. Daselbst werde 
ich auch die Einwände Loschmidt's (Wien. Sitz.-Ber. LXXIII (2)) 
besprechen. 

Meine Abhandlung enthält noch die Behandlung des analogen 
Problems für Gase mit mehratomigen Molekülen und einen Anhang, 
worin die Unmöglichkeit negativer innerer Arbeit nachgewiesen wird. 

Wien. L. Boltzmann. 



r 



S. Günther. 



167 



S. Günther: Ueber aufsteigende Kettenbrüehe. (Zeitschr. f. Math, 
u. Phys. 21. Band. S. 178—191.) 

Nach einer kurzen historischen Einleitung wird zunächst für 
den Zähler des aufsteigenden Kettenbruches 

h + • 



&i + 



ctg 



ein 



das bestimmende System binomischer recurrirender Gleichungen auf- 
gestellt; so findet sich 



JPn = 



6,-1 
63 


...0 

1 ...0 

«3 ... 







&»_iO 
6. 


... ttn — l- 

...0 


-1 



3^n == % 0^2 • • • ^n—l^n 



Mit Hülfe dieser Formeln wird alsdann die Umwandlung eines auf- 
steigenden Kettenbruches in einen absteigenden gelehrt, und von der 
resultirenden Formel ein mehrfacher Gebrauch gemacht, indem er- 
stens eine altemirende Reihe in einen Kettenbruch und ein solcher 
von bestimmter Form in ein Aggregat umgesetzt wird. Hierauf wird 
ein von F. Lucas ohne Beweis aufgestellter Satz verificirt und mit 
Hülfe desselben eine ganze Zahl durch einen Kettenbruch von be- 
liebiger Gliederzahl dargestellt. Weiterhin wird der aufsteigende 
und im Anschluss an ihn auch der absteigende Kettenbruch von 
eingliedriger Periode summirt und ein Theorem von Siacci be- 
wiesen. Der letzte Paragraph verallgemeinert den von Seidel ein- 
geföhrten Begriff der Aequivalenz unendlicher Gebilde; dieser Be- 
griff * gestattet die Umformung einer convergirenden Potenzreihe in 
einen aufsteigenden und dann sofort wieder in einen absteigenden 
ebenfalls^ convergirenden Kettenbruch; aß Beispiele sind die hyper- 
geometrische und die Sinusreihe gewählt, für welch' letztere nahezu 
ohne alle Zwischenrechnung die elegante Beziehung 

sinÄ: = a?ll! — (1!)V| (3! + ÜiC^) — (3!)V1(5! + 3!a^) 

sich ergibt. Endlich wird noch eine Erweiterung des Aequivalenz- 
begriffes angedeutet und durch das Beispiel zweier unendlich fort- 
laufender Entwicklungen von der Beschaffenheit belegt, dass der nte 
Näherungswerth der einen dem 2'*"~^ten der anderen jeweilig gleich ist. 

München. S. Günther. 



Twr 



168 S. GÜNTHEB. 

S* Günther: VenniBOhte Untersuchung«!! zur Geschichte der 
mathematischen Wissenschaften. (Leipzig 1876. Verlag y. B. 
6. Teubner.) 
Da die sieben Kapitel, in welche dieses Werk zerfallt, sach- 
lich nicht zusammenhängen, so geben wir ihre Analyse gesondei;!^: 
Kap. I. Die geschichtliche Eniwickelung der Lehre von den 
Sternpolygonen und Stempolyedern in der Neuzeit Es wird zunächst 
des Zusammenhanges wegen ein kurzes Resume über diejenigen 
Resultate geliefert, welche sich dem Verf. bei einer (im 6. Jahrg. 
des Bulletino Boncompagni abgedruckten) Untersuchung über die 
Entwickelung des nämlichen Gegenstandes im Alterthum und 
Mittelalter ergeben hatten; diese Resultate lassen sich (S. 4) in 
folgende beide Sätze zusammendrängen: 1. „Man kannte um 1500 
von Sternfiguren das sternförmige Fünfeck, die beiden Siebenecke, 
das Achteck und Neuneck, während zugleich unrichtigerweise auch 
ein Sternsechseck aufgezählt wurde, dem jedoch, aus zwei getrenn- 
ten gleichseitigen Dreiecken bestehend, gerade die charakteristische 
Eigenschaft der Stempolygone, sich in einem Zuge beschreiben zu 
lassen, abging". 2. „Man hatte angefangen, allgemeine Unter- 
suchujigen über die Winkelsumme der Stempolygone anzustellen, 
und besass eine inductive Kenntniss der wichtigen Thatsache, dass 
in jedem Stempolygon der höchsten Art diese Summe den con- 
stanten Werth 180® behauptet, ungerade Eckenzahl vorausgesetzt.*' 
Im Anschluss hieran werden die noch ziemlich unvollkommenen. 
Darstellungen des Gegenstandes bei Lucas de Burgo, Bouvelles, 
Reysch, Barbaro, Peletier und Clavius besprochen, bis dann 
bei Petrus Ramus erstmalig die Auffassung des Pentagramms als 
eines Sternvielecks hervortritt. Nachdem in einem Schaltparagraph 
die mystischen Spielereien eines Paracelsus, Aisted und Kircher 
kurz berührt sind, lernen wir in Albert Girard einen genialen 
Geometer kennen, der zuerst zur Concipirung des allgemeinen Viel- 
ecksbegriflfes durchgedrungen ist, während auf der anderen Seite 
Broscius noch in den antiken Anschauungen sich befangen zeigt, 
dabei aber doch die metrischen Relationen der Theorie beträchtlich 
erweitert. Die nächsten 5 Paragraphen beschäftigen sich aus- 
schliesslich mit Kepler. Nachdem auf eine bislang in dieser Hin- 
sicht unbeachtet gebliebene Stelle im „Mysterium cosmographi- 
cum" aufmerksam gemacht worden, beschäftigt sich die Darstel- 
lung ausführlich mit Kepler's schönen Arbeiten über Winkelthei- 
lung, welche ihn zu einer eingehenden analytischen und geometrischen 



S. Günther, 169 

Discussion aller Sternvielecke der ersten 15 Ordnungen veranlassten. 
Auch die eigenthümliche astrologische Deutung, welche der grosse 
Mann diesen Gebilden unterlegte, findet hier ihre Stelle; alsdann 
wird gezeigt, dass zwei Stempolyeder — nach der Wienerischen 
Terminologie das zwj3lfeckige und zwanzigeckige Stemzwölfflach 
— von Kepler aufgefunden und in ihrer wahren Natur erkannt 
worden sind; ein anderes, das sterneckige Zwölfflach, hatte schon 
ein Jahrhundert früher der Künstler Jamnitzer bemerkt. — Von 
Kepler springt die Erzählung mit Uebergehung eines Zeitraumes 
von 100 Jahren zu der schönen Abhandlung Meister 's über, in 
welcher sich zuerst eine geschlossene auf kinematischer Basis auf- 
gebaute Theorie der irregulären Vielecke im allgemeinsten Sinne 
des Wortes vorgetragen findet; an seine Neuerung knüpföti gewisse 
Bemerkungen von L'huilier, Gauss und Möbius an, um als- 
dann den durch Poinsot eingeleiteten gewaltigen Fortschritt richtig 
zu würdigen, wird eine kurze üebersicht über die Entwicklung 
der Stereometrie eingeschaltet, die natürlich durch zwei Marksteine, 
das durch Maurolycus zuerst erkannte und von Meister fort- 
gebildete duale Princip * und den Descartes-Euler'schen Satz, 
charakterisirt ist Es folgt Poinsot, dessen zahlentheoretischer 
Erfindungsgang genau gekennzeichnet wird, während bei der Bil- 
dung der vier regelmässigen Polyeder von Sternform auch geo- 
metrische Betrachtungen nicht entbehrt werden konnten. Die Frage, 
ob ausser den vier von ihm entdeckten noch andere reguläre Stem- 
vielflache existirten, ward von Poinsot unbeantwortet gelassen, 
von Cauchy aber aufs Einfachste im verneinenden Sinne erledigt. 
Eine isolirte Stellung nehmen die im Folgenden charakterisirten 
Leistungen dreier deutscher Mathematiker ein: Krause entwickelt 
eine kurze phoronomische. Theorie der Sternpolygone als Theil 
seines geometrischen Hauptwerkes, E. Schröder sucht, gestützt 
auf das später sogenannte „Gesetz der Permanenz", die Lehre von 
den Stern Vielecken in wesentlich neuer Art zu formuliren, und 
Jacobi gibt seine elegante Vorschrift zur Inhaltsbestimmung solcher 
Gebilde, die später von Hermes vervollkommnet wird. Während 
dann Bertrand den erwähnten Cauchy'schen Beweis durch einen 
übersichtlicheren ersetzt und Cayley die von Poinsot angedeutete 
Ausdehnung des Euler'schen Theoremes rectificirt, erscheint 1864 
das zusammenfassende Werk Wiener's „üeber Vielecke und Viel- 
flache". Im Hinblick auf den durch diese Schrift markirten vor- 
läufigen Abschluss fasst sich die fernere Darstellung kurz. Die Regeln von 



170 S. Günther. 

Möbius zur Inhaltsbestimmung wie immer gestalteter Polygone und 
Polyeder werden ausführlich die planimetrischen Untersuchungen von 
Keinen, Druckenmüller, Unf erdinger, Steinhauser, Muir und 
Pagni nur kurz erörtert; der letzte Paragraph beschäftigt sich mit den 
vielversprechenden Aussichten, welche durch die neuesten Arbeiten von 
He s sei und Hess über gleicheckige und gieichkantige Polygone, 
gleicheckige und gleichflächige Polyeder der allgemeinen Theorie 
der sternförmigen Gebilde eröflEhet zu werden scheinen. 

Dem Kapitel sind 6 Noten angehängt. Die erste gibt eine 
kurze Biographie des wackeren und viel zu wenig bekannten pol- 
nischen Geometers Brocki (Broscius), die zweite registrirt einige 
Fälle, in denen Sternvielflache „unbewusst" schon früher auftraten, 
die dritte* handelt von einigen unvollkommenen älteren Methoden 
zur Inhaltsbestimmung der Sternvielecke. Während dann in der 
vierten und fünften bezüglich eine Anwendung dieser Gebilde in 
der „natürlichen Magie" und in der theoretischen Mechanik ge- 
schildert wird, finden in der letzten Gauss' pentagramma mysticum 
und die schöne Auflösungsmethode einer cubischen Gleichung ihren 
Platz, welche Clebsch im 4. Bande der „Mathem. Annalen" auf 
das gewöhnliche Pentalpha gegründet hat. 

Kap. IL Die Lehre von den aufsteigenden Kettenbrüchen in ihrer 
geschichtlichen Entimckelung, Ein historischer Abriss des Auftretens 
der Reihe 

"^ ! (n = 1, 2 ... . oo) . 

Das erste Auftreten dieser analytischen Form wird bei den He- 
bräern und Griechen, in gewissem Sinne auch schon bei den Aegyp- 
tern, signalisirt, indem nämlich all diesen Völkerschaften das Be- 
streben gemeinsam ist, complicirtere Brüche durch Zerlegung in 
Einheitsbrüche zu vermeiden. Nicht minder lässt sich die Mi- 
nutienrechnung der Römer als Rechnung mit aufsteigenden Ketten- 
brüchen betrachten; aus Julius Frontinus und Victorius, welch 
letzterer 



('t) 



1 +- 



setzt, werden einige charakteristische Beispiele angeführt. Hierauf 
tritt die Darstellung in die Discussion des speciellen Falles eines 
Constanten a ein, indem die beiden geschichtlichen Werthe a = 60 
und a = 10 gesondert gefolgt werden. Es wird gezeigt, wi.e die 



S. Günther. 171 

aller Wahrscheinlichkeit nach von den Chaldäern stammenden sechzig- 
theiligen Brüche die Grundlage des astronomischen Calculs -der 
Griechen bildeten, wobei der hierauf bezüglichen Arbeiten von 
Theon, Barlaam und Maximus Planudes ausführlich gedacht 
wird. Der allgemeinste Fall der aufsteigenden Kettenbrüche tritt 
uns in der „Denominationsmethode" des Arabers AI Kalsadi und 
bereits in einem hohen Grade der Ausbildung bei Leonardo Fi- 
bonacci entgegen, um dann freilich für 5 Jahrhunderte fast ganz 
zu verschwinden. Es wendet sich desshalb die Darstellung nun- 
mehr zur Entstehungsgeschichte der Decimalbrüche, welche zuerst 
bei Johannes Hispalensis auftreten und durch den Einfluss des 
Dioskurenpaares Peurbach-Regiomontan wenigstens auf trigono- 
metrischem Gebiete die Alleinherrschaft erringen. Auf algebraischem 
gelangen sie zuerst bei Card an zum Durchbruch, an dem sich 
dann Buckley, Stevin und Recorde anschliessen. Mit der durch 
Kepler zum wissenschaftlichen Gemeingute erhobenen abgekürzten 
Multiplication und Division verlässt die Schilderung dieses Special- 
kapitel, um sich nach einer kurzen Erwähnung der sogenannten 
„wälschen Praktik" den bahnbrechenden* Arbeiten von Lagrange 
und Lambert zuzuwenden. .Dieselben scheinen bislang dem mathe- 
matischen Publikum gänzlich unbekannt geblieben zu sein, obschon 
sie das höchste Intereses zu erregen geeignet scheinen. Lagrange 
entwickelt nämlich eine vollständige Theorie der aufsteigenden 
Kettenbrüche, in der sich u. a. bereits die Umwandlung solcher 
Formen in gewöhnliche Kettenbrüche, Wenn schon noch nicht in 
expliciter Gestalt, vorfindet, Lambert dagegen fasst den Gegen- 
stand mehr von der praktischen Seite auf, bemerkt aber dabei doch 
den theoretisch wichtigen Umstand, dass ein Bruch nur auf eine 
Wei»e in einen absteigenden Kettenbruch von reducirter Form, 
wohl aber auf unendlich viele Arten in solche aufsteigende Ketten- 
brüche transformirt werden kann. Besprochen werden weiter die 
Leistungen von Druckenmüller, Heiss, Matthiessen; als ge- 
schlossenen Wissenszweig behandeln unser Thema Kunze und 
Lemkes; den von Lagrange angedeuteten Fundamentalsatz stellt 
Schlömilch in entwickelter Gestalt hin. Das Kapitel schliesst mit 
der independenten Determinanten-Darstellung der Näherungswerthe 
eines aufsteigenden Kettenbruches. 

Note 1 handelt von Leonardo's Verfahren, Brüche in Aggre- 
gate von Stammbrüchen umzusetzen, Note 2 von einer sonderbaren 
Bezeichnungsweise Michael StifeFs, Note 3 von dem Abriss der 



172 S. Günther. 

römischen Bruchrechnung, welchen der Augsburger Arzt und Mathe- 
matiker Henisch noch im Jahre 1606 zu liefern für nöthig fand. 
In Note 4 wird die im Texte vorgetragene Thatsache, der zufolge 
Praetorius der eigentliche Erfinder der abgekürzten Decimalbruch- 
rechnung gewesen sein soll, dahin corrigirt, dass mit Hinweis auf 
neuere erst während de» Druckes bekannt gewordene Forschungen 
Rudolph Wolfs die Priorität für Bürgi in Anspruch genommen 
wird. Note 5 endlich gibt einige genauere Nachweisungen betreffs 
der wälschen Praktik und Note 6 eine gedrängte Analyse des für 
die Zahlentheorie hochwichtigen Werkes von Druckenmüller über 
„Kettenreihen". 

Kap. III. Das Newton'sche Parallelogramm und die Cramer- 
Piiiseux'sche Begeh Hin Beitrag zur Geschichte der Fundiom- 
tlieorie. Das kräftige mechanische Hülfsmittel, welches Newton 
in seinem „Methodus fluxionum et serierum infinitarum' zur Reihen- 
entwickelung impliciter Functionen angegeben hatte, war erst durch 
eine gelegentliche Bemerkung von Clebsch aus langer Vergessen- 
heit hervorgezogen worden. Hier wird nun zuerst an einer Reihe 
von Beispielen gezeigt, wie Newton aus einer gegebenen algebrai- 
schen Gleichung zwischen x und y die eine unbekannte nach (ganzen 
oder gebrochenen) Potenzen der andern entwickeln lehrte. Sein 
Verfahren ward von Colson, S'Gravesande und Stirling auf- 
genommen, jedoch nicht eben wesentlich gefördert; in Deutschland 
fand es zuerst geringen Anklang. Erst Kästner brachte dasselbe 
durch seine sehr ausführliche Behandlung in Aufnahme; ihm zu- 
folge schreibt man die verschiedenen in der Gleichung f{x, y) = 
auftretenden Potenzen der Unbekannten in der hier angedeuteten 

Weise • 

oc^ o(?y^ oi?y^ oi?y^ ... *• 

ix? o(?y^ a?y^ x^y^ . . . 

x^ x^y^ x^y^ x^y^ . . . 

^O^yO yl y2 y3 _ 

und verfahrt dann weiter nach einem Satze, welchem wir (S. 147) 
nachstehende Fassung ertheilt haben: „Man wähle den auf der 
Ordinatenaxe dem Anfangspunkte zunächst liegenden Punkt zum 
Drehpunkte eines Lineales. Dann bewege man das Lineal so lange 
der Richtung des Uhrzeigers entgegen, bis er einen (oder mehrere) 
markirte Punkte trifft. Den entferntesten derselben mache man 
zum neuen Drehpunkt und fahre mit dieser Operation so lange fort. 



S. GÜNTHEB. 173 

bis man den am weitesten von der Ordinatenaxe entfernten Punkt 
triflPt. Alle so erreichten Zahlenwerthe setze man einander gleich; 
jede der Gleichungen liefert einen brauchbaren Werth von m — y 
provisorisch gleich aop^ gesetzt — , wofern die Reihe aufsteigen soll. 
Für absteigende Reihen verfahre man ebenso, indem nur der Dreh- 
sinn der entgegengesetzte wird; der Schlusspunkt der Drehung muss 
mit dem vorigen zusammenfallen, und es erscheinen so sämmtliche 
markirte Punkte durch ein geschlossenes Polygon von den übrigen 
abgeschieden." Bei der weiteren Erörterung werden auch die Com- 
mentare von Pfeiffer und Holland sowie auch im Anschluss an 
das Compendium von Hausen die Lehre von der allgemeinen 
Reihen-Reversion beigezogen. Zu derselben Zeit resp. etwas früher 
beschäftigten sich auch de Gua und Cr am er mit diesen Fragen; 
aus dem grossen Werke des letzteren wird ein ausführlicher Auszug 
gegeben. Crabier wendet anstatt des Rechteckes ein dreieckiges 
Schema, das „triangle arithmetique" an und schreibt also: 

y^ xy^ oi?y a? 
y^ xy x^ 
^y X 
1. 

Dabei erreicht er ersichtlich den Vortheil, dass sämmtliche Glieder 
ein und derselben Horizontalen die gleiche Dimension besitzen. Im 
steten Anschluss an das Original wird nun gezeigt, wie Gramer 
mit Hülfe seines instrumentalen Verfahrens zwei der wichtigsten 
Probleme der Curvenlehre auflöst: Die Entscheidung des Charakters 
(ob parabolisch oder hyperbolisch etc.) der verschiedenen Curven- 
zweige einer- und die Feststellung von Kriterien für die merk- 
würdigen Curvenpunkte andererseits. Diese Methode Cramer's nahm 
genau ein Jahrhundert später Puiseux aus einem anscheinend ganz 
verschiedenen Gesichtspunkte wieder auf, indem er eine wichtige 
Frage der Functionenlehre behandelte. Die Gleichung f(Uy 0)^=0 
führt er durch eine^ Substitution auf die Form 

f{b + ß, u + a)^ AßP + EBß^ar = 

über und sucht nun in dieser Gleichung die Glieder niedrigster 
Dimension zu separiren, was denn auch mit Hülfe des Newton - 
Cr am er 'sehen Verfahrens leicht gelingt. Nachdem noch kurz von 
der ablehnenden Haltung Lagrange's gegen jene Methode die Rede 
gewesen, wird mit weniger Worten des 'in neuester Zeit sich an- 
bahnenden Verschmelzungsprocesses zwischen Curventheorie und 



174 S. Günther. 

Functionenlehre im Biemann'achen Sinne Erwähnung gethan. Ein 
Schlussparagraph gibt von den nur in sehr geringer Anzahl vor- 
handenen literarischen Hülfsmitteln Rechenschaft, welche bei Aus- 
arbeitung des Kapitels zur Disposition standen. 

In zwei sich anschliessenden Noten wird zuerst der höchst 
originellen Anwendui^ gedacht, welche in Taylor 's „Methodus in- 
crementorum" von der New tonischen Regel auf die Behandlung 
totaler Diflferenzialgleichungen gemacht wird; an zweiter Stelle fin- 
det man eine Ehrenrettung Kästner^s gegen die nicht immer ge- 
rechtfertigten Angriffe neuerer Mathematiker, — voran Hermann 
HankeTs. 

Kap. IV. HistoriscJie Stadien über die magischen Qticcdrate, Diese 
Studien beginnen mit der durch La Loubere's Vermittelung, dem 
Occidente zugekommenen indischen Methode zur Bildung der magi- 
schen Quadrate von ungerader Zellenzahl, deren angebliches hohes 
Alter allerdings durch keine triftigen Gründe bekräftigt wird. Die 
Methode wird beschrieben und ein Beweis dazu gegeben. Alsdann 
folgen die Araber, über deren desfallsige Bemühungen uns Ibn 
Khaldoun und die Schriften der „Ig^uteren Brüder" einige freilich 
dem Mathematiker wenig genügende Nachweisungen aufbewahrt 
haben. In ein eigentlich wissenschaftliches Geleise tritt diese Dis- 
ciplin erst mit der Specialabhandlung des — vermuthlich dem Be- 
ginne des 15. Säculums angehörigen — Byzantiners Manuel Mosch o- 
pulos; diese Abhandlung wird wörtlich abgedruckt. In derselben 
finden sich zwei Vorschriften für die Quadrate von (2n -f- 1)* und 
zwei andere für diejenigen von (4w)^ Zellen; diese 4 Regeln werden 
discutirt und mit Beweisen versehen, welche auch zur Constatirung 
einiger nicht uninteressanter algebi:3,ischer Relationen führen. Im 
Abendland lässt sfch ein — noch dazu ganz unvollständiges — 
Zauberquadrat erst 1515 in einem venetianischen Rechenbuche nach- 
weisen, wenn man nicht das wahrscheinlich noch um ein Jahr früher 
enstandene Quadrat von 16 Zellen auf Dürer 's bekanntem Stiche 
„die Melancholie'^ ausnimmt. Als astirologische Spielerei fassen diese 
Zahlenschemate Paracelsus und Agrippa v. Nettesheim, als 
arithmetisches Problem dagegen Adam Riese auf. -Eine durchweg 
neue Bearbeitung fand hingegen unser Problem bei dem auch sonst 
hochberühmten Arithmetiker Michael Stifel, der den allmälichen 
Aufbau der magischen Quadrate von aussen her (durch sogenannte 
Umläufe) lehrte; da derselbe nach der Weise seiner Zeit die ge- 
gebenen Vorschriften weder allgemein fasst, noch auch beweist, so 



S. Günther. 175 

inusste ein eingehender Excurs über die Richtigkeit derselben wie 
auch über ihren eventuellen Ursprung, eingeschoben werden. Ebenso 
findet sich bei Stifel zuerst eine Ausdehnung, insofern nämlich 
Quadrate gebildet werden^ bei welchen alle derselben Reihe ange- 
hörigen Zahlen ein constantes Product ergeben. Die an* Stifel sich 
anschliessenden Namen, Spinola, Henisch^ Lochner^ Faulhaber, 
Remmelin sind mit Ausnahme des letztgenannten^ dessen Träger 
die magischen Quadrate mit den Polygonalzahlen in Verbindung ge- 
setzt zu haben scheint, ziemlich bedeutungslos. Dagegen tritt uns 
jetzt eine Reihe französischer Mathematiker entgegen, von denen 
jeder einzelne die in Rede stehende Lehre, sei es nach Form oder 
Inhalt, beträchtlich gefördert hat. Bachet de Meziriac verwan- 
delt' eine Regel des Moschopulos in die (in einem der vorstehen- 
den Referate geschilderte) Terrassenmethode, Frenicle zieht den 
jener Methode zu Grunde liegenden weit allgemeineren Grundsatz 
ans Licht — dass man es nämlich nicht sowohl mit einem magi- 
schen Quadrate als vielmehr eigentlich mit einer magischen Eugel 
zu thun habe — imd entwickelt neue elegante Regeln für gerad- 
zellige Quadrate, De la Hire und Sauveur lehren jedes Zauber- 
quadrat allgemein bilden. Um nämlich ein Quadrat von v? Zellen 
zu erhalten, construiren sie zwei Quadrate der Art, dass in keiner 
Reihe jedes einzelnen die nämliche Zahl mehr als einmal vorkommt, 
in das erstere dagegen nur die Zahlen bis n; in das zweite blos 
die Zahlen 1 . n, 2.n, ...n.n eingehen; haben dann homologe 
Zellen resp. die Zahlen 'p und ^, so hat die entsprechende Zelle 
des Hauptquaolrates durch die Zahl (jp + q) ausgefüllt zu werden. 
Auch berichtigt De la Hire einen Irrthum Poignard's. Es folgt 
weiter d'Ons-en-Bray, der aus einem vorliegenden magischen 
Quadrate durch „Ränderung^^ ein neues herstellen lehrt, und Rallier 
des Ourmes, der in ausführlicher und höchst eleganter Weise ein 
Resume über alle bis zu seiner Zeit bekannt gewordenen Leistungen 
gibt. — Diesen Koryphäen Frankreichs stehen in Deutschland nur 
Kochanski's „Erfindung^' sogenannter Subtractionsquadrate und 
die gelegentlichen Bemerkungen v. Claussberg's gleichzeitig gegen- 
über; in den sechziger Jahren erscheint dann freilich Leonhard 
Euler 's grosse — leider geradezu unbekannt gebliebene — Ab- 
handlung, welche allerdings über ihren eigentlichen Vorwurf sehr 
bald hinausgeht und desshalb hier verhältnissmässig kurz bedacht 
werden musste. Nachdem weiter von Franclin's Construction.(4w)^- 
zelliger Quadrate und seinen magischen Kreisen wie von den fluch- 



176 S. Günther. 

tigen Andeutungen Vieth's und Lorenz's die Rede gewesen, findet 
die Erzählung in Mollweide 's compendiöser „Dissertatio de quadratis 
magicis^^ ihren Uebergangspunkt zur neuesten Zeit. Der praktischen 
Bücher von Hohndell und Zuckermandel wird nur kurz, der 
grösseren Schrift von Hügel und der Aufsätze von Drach, Homer 
und Thomschon ausführlicher gedacht, obgleich diese letzteren 
eigentlich nur Fortführungen des Sauveur 'sehen Grundgedankens 
darbieten. Eine Analyse des interessanten Programms von v. Pessl, 
in welchem zur Vermeidung naheliegender Inconsequenzen dem magi- 
schen Quadrate der magische Cy linder substituirt wird, beschliesst 
das Kapitel, welchem sich 6 Noten anreihen. 

Note 1 bespricht eine vermuthlich auf magische Quadrate hin- 
deutende Schachaufgabe aus einem arabischen Autor, Note 2 sucht 
die Lebenszeit des Moschopulos zu fixiren, Note 3 gibt die kriti- 
schen Nachweisungen zu dem in der Arbeit abgedruckten Texte 
jenes Schriftstellers, Note 4 erwähnt einiger magischer und numis- 
matischer Anwendungen der Zauberquadrate, Note 5 weist die von 
Einzelnen hervorgehobene Aehnlichkeit zwischen dem den magischen 
Quadraten zu Grunde liegenden algebraischen Probleme und den 
Euler'schen Sätzen über die 9 Richtungscosinus als nicht bestehend 
zurück. Note 6 endlich bespricht die mit Erfolg gekrönten Be- 
mühungen von Wenzelides, magische und zugleich symmetriscbe 
Rösselsprünge anzufertigen, und erörtert die Frage, ob und wie 
man eventuell rein theoretisch diese Aufgabe in Angriff nehmen 
könne. 

Kap. V. Skizzen atis der Logarithmotechnie des si^zeknten und 
achtzehnten Jahrhunderts, Es wird hier zunächst Klage darüber er- 
hoben, dass die unrichtige Behauptung von einer Identität der 
Napier'schen und der sogenannten natürlichen Logarithmen selbst 
bei Leuten, wo man dergleichen nicht erwarten sollte, wie Mon- 
tucla, Morgan, Hoefer sich vorfindet und überhaupt immer wie- 
der auftaucht. So hat z. B. ganz kürzlich Dubois einer die Sache 
ganz correct behandelnden Untersuchung Wackerbarth's den un- 
gerechtfertigsten Widerspruch gegenüber gestellt. Hier wird nun 
gezeigt, wie schon lange Zeit vor Wackerbarth jene Frage zum 
Austrag kam; Kästner und Karsten disputirten über dieselbe, 
Gehler schrieb eine eigene Schrift darüber, Biot, an den sich 
Bernhard anschloss, stellte den Streitpunkt ausser allen Zweifel. — 
Weiterhin wird die schöne Methode besprochen, welche der Berliner 
Astronom Jean Bernoulli zur Bestimmung der sogenannten Pro- 



S. Günther. 177 

portionaltheile in Vorschlag brachte, und welche auf einer für jene 
Epoche höchst bemerkenswerthen Ausnützung der Kettenbrüche be- 
ruhte. — Drittens : Eine kurze Geschichte derjenigen Versuche, 
welche schon vor Gauss den schwachen Punkt der logarithmischen 
Rechnung — Unanwendbarkeit bei Additionen und Subtraktionen — 
zu beseitigen bestimmt waren. Nachdem von den desfallsigen Be- 
mühungen Leonelli's und A. v. Humboldt 's gesprochen ist, ver- 
weilt die Darstellung ausführlicher bei den anscheinend ganz in 
Vergessenheit gerathenen goniometrischen Methoden von Musche- 
lius V. Moschau, Christian Wolf und Delambre, deren Werth 
sowohl gegenseitig als auch in ihrem Verhältniss zu der Neuerung ^ 
der Gauss 'sehen Logarithmen abgewogen wird. 

Note 1 behandelt die Manier Biots, durch Reihenentwicklung 
zu Napier's Endformel zu gelangen, Note 2 bespricht Ludlam's 
Verwendung der Eu 1er 'sehen Kettenbruch- Algorithmen zu optischen 
Zwecken, Note 3 einige geometrische Versuche des obengenannten 
schlesischen Mathematikers Muschel, Note 4 erwähnt eines Ver- 
suches des Erlanger Professors Poezinger, aus den Logarithmen 
♦von {x + 1) denjenigen von x selbst zu finden. 

Kap. VL Zur Gescldchte der jüdischen Astronomie im Mittel- 
alter, Vorliegendes Kapitel ist im wesentlichen eine Widerlegung 
eines Ausspruches von C. v. Littrow. Derselbe hatte nämlich in 
seinem Schriftchen „üeber das Zurückbleiben der Alten in den 
Naturwissenschaften" von einer „Formel" gesprochen, welche der 
jüdische Polyhistor Maimonides für das den Monatsanfang rituell 
bedingende Erscheinen der Mondessichel vorgetragen haben soll — ein 
Factum, das, wenn richtig, für die Geschichte der mittelalterlichen 
Mathematik selbstverständlich von der hö(^hsten Bedeutung sein 
würde. Um einen Einblick in die Verhältnisse zu erhalten, bedarf 
es natürlich genauer Kenntniss der hebräischen Chronologie, welche 
denn auch in der That durch eine unlängst erschienene Monojgraphie 
von Schwarz in bequemer Weise vermittelt wird. Ehe jedoch die 
fernere Darstellung auf diese sich stützen darf, müssen einige von 
bedeutenden Fachmännern — Slonimski und Steinschneider — 
gegen dieselbe geltend gemachte Bedenken gewürdigt werden. Ob- 
gleich an eine sachgemässe Kritik solch' penibler Detailfragen nicht 
gedacht werden kann, ergibt sich doch die Gewissheit, dass zu dem 
hier angestrebten Zwecke unbedenklich auf das Schwarz'sche Werk 
zurückgegriflPen werden dürfe. An der Hand desselben wie auch 
anderer Quellen wird dann jene Meinung Littrow's als eine völlig 

Bepertorium für reine und angewandte Mathematik. 12 



178 S. GÜNTHEB. 

haltlose erkannt; es liegt derselben eine Verwechselung zweier den 
jüdischen Astronomen eigenthümlicher unter sich aber total ver- 
schiedener Verfahrungsweisen zu Grunde. 

£ine Note beschäftigt sich mit einem neuen Angriffe gegen 
Schwarz, der jedoch viel zu wenig sachlich erscheint, um ernst- 
haftere Erwägung nothwendig zu machen. 

Kap. VII. Qmllenmässige Darstellung der Erfindungsgeschichte 
der Pendeluhr Im auf Huyghens. So oft auch schon die Frage nach 
dem eigentlichen Erfinder dieses hochwichtigen Instrumentes venti- 
lirt worden, so hat man es doch durchweg versäumt, eine unend- 
* lieh fleissige Quellenarbeit des bekannten holländischen Mathematikers 
van Swinden gebührend zu berücksichtigen. Dies wird hier, 
natürlich unter steter* Beiziehung neuerer Untersuchungen, nach- 
geholt. Es zeigt sich, dass von den Prioritätsansprüchen der Eng- 
länder Harris und Hooke wie auch des Italieners Sanctorius 
nicht wohl im Ernste gesprochen werden kann, dass vielmehr ausser 
Huyghens nur folgende drei Candidaten in Frage kommen können: 
Galilei, Jobst Bürgi, Johann Hevelius. Mit Bezugnahme auf 
den Briefwechsel des Ersteren wird nun gezeigt, dass er allerdings 
ein — noch heutzutage in Florenz befindliches — Modell angefertigt 
habe oder, was wahrscheinlicher ist, durch seinen Sohn Vincenz 
habe anfertigen lassen, bei dem jedoch nur die üebertragung der 
Bewegung auf ein Zeigerwerk von der Maschine selbst besorgt wurde, 
während das Pendel durch menschliche Beihülfe in Bewegung er- 
halten werden musste. Dass Galilei trot^ allen Nachsinnens mit 
einer Beseitigung dieses letztgenannten Uebelstandes nicht mehr zu 
Stande gekommen sei, erscheint sicher, —r Von Bürgi hatte es in 
letzter Zeit R. Wolf sehr wahrscheinlich gemacht, dass ihm die 
Verfertigung einer wirklichen Pendeluhr gelungen sei, wobei er sich 
auf ein der Wiener Schatzkamiüer angehöriges und muthmasslich 
von dem Hofmechaniker Rudolph 's IL herrührendes Exemplar eines 
solchen Zeitmessers berufen konnte. Allein die von van Swinden 
diplomatisch erhärtete Thatsache, dass man am Ende des siebzehnten 
Jahrhunderts mit Vorliebe aus älteren Uhren die Unruhe entfernt 
und ohne sonst etwas zu verändern statt ihrer ein Pendel eingehängt 
habe, macht Wolf 's an sich höchst plausibel erscheinende Deduction 
illusorisch. — Was schliesslich Hevel anlangt, so unterliegt es 
kaum einem Zweifel, dass er die von allen praktischen Astronomen 
seiner Zeit geübte primitive Methode der Zeitbestimmung durch eine 
automatisch arbeitende Pendeluhr zu verbessern sich bestrebte und 



S. Günther. — R. Wolf. 179 

Zu der Zeit, als Huyghens ihm den glücklichen Erfolg seiner Mühe 
brieflich mittheilte, bereits zu* einer partiellen Realisirung seiner 
Idee durchgedrungen war. Einejeigentliche Pendeluhr hat aber auch 
er nicht erfunden, und es bleibt so Huyghens der hohe Ruhm 
seiner genialen Neuerung ohne jede Einschränkung erhalten. 

Note 1 bespricht die Beziehung der Pendeluhren zu dem so- 
genannten „Uhrengleichniss" Note 2 gibt eine Bemerkung Nelli's 
über Sanctorius. In der dritten Note wird nach den Aufklärungen 
von Reusch gezeigt, wie nicht sowohl Gründe wissenschaftlicher 
Natur als vielmehr die verdächtige Haltung des Vatikans dem Brief- 
wechsel Galilei's mit Holland so rasch eine Grenze setzten. Note 
4 handelt von den oben namhaft gemachten Pendelbeobachtungen 
der Astronomen, Note 5 gibt einen Auszug aus einer jüngst publi- 
cirten und für die Geschichte der Pendeluhr bedeutsamen Studie 
von Studnicka über den böhmischen Mechaniker Marek. In Note 
6 endlich wird nachgewiesen, dass die Hypothese Veladini's, wie 
Galilei doch noch an seinem Modell eine Hemmungsvorrichtung 
angebracht habe, an sich zwar sehr geistreich sei, dem geschicht- 
lichen Sachverhalte aber keineswegs entspreche. 

München. S. Günther. 



Budolf Wolf: Astronomische Mittheüungen Nr. 1—40. (Viertel- 
jahrsschriffc der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich 1866 — 1876.) 

Beim Abschlüsse der vierten Decade meiner „Astronomischen 
Mittheilungen" dürfte es eine gewisse Berechtigung haben, einen 
kurzen Rückblick auf Entstehung und Inhalt derselben zu werfen. 
— Die erste Veranlassung zu dieser, nunmehr bald« volle 100 
Octavbogen füllenden Publication war folgende: Als ich 1852 in 
den Mittheilungen der Naturforschenden Gesellschaft zu Bern die 
Abhandlung „Neue Untersuchungen über die Periode der Sonnen- 
flecken und ihre Bedeutung" veröffentlicht, und darin den Nachweis 
geleistet hatte, dass die von Schwabe aus seinen Beobachtungen 
wahrscheinlich gemachte Periodicität in der Häufigkeit der Sonnen- 
flecken wirklich bestehe,* ja' sich rückwärts bis auf die Zeit der 
Entdeckung der Sonnenflecken verfolgen lasse, — dass die Sonnen- 
fleckencurve jederzeit mit der Curve der magnetischen Declinations- 

Variationen parallel gelaufen sei, — dass die gemeinschaftliche mitt- 

12* 



180 R. Wolf. 

lere Länge der beiden Perioden aber nicht nur, wie Schwabe, 
Sabine und Lamont gemeint hatten, etwas mehr als 10 Jahre, 
sondern volle 11 y^ Jahre betrage, — dass die Sonne zu den 
veränderlichen Sternen zu gehören scheine, — dass die Pleckenmaxima 
auf Jahre häufiger Nordlichter und Erdbeben fallen dürften, — und 
dergleichen, so wurden die Resultate meiner Untersuchungen vieler- 
orts noch mit einem gewissen Misstrauen aufgenommen. Dies war 
der nächste Grund, dass ich mich 1856 bei üebernahme der Re- 
daction der Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in 
Zürich alsbald entschloss in einer Reihe von Artikeln theils die 
seitherigen Beobachtungen und Untersuchungen zu.publiciren, theils 
namentlich auch die von mir bereits benutzten oder noch weiter 
erhältlichen Materialien aus älterer Zeit als eine Art Sonnenflecken- 
Literatur öflPentlich vorzutragen. Als sodann später die eidgenössi- 
sche Sternwarte gebaut und wenigstens soweit ausgerüstet wurde, 
dass auch andere Beobachtungen und Untersuchungen von wissen- 
schaftlichem Werthe gemacht werden konnten, — als es mir gelang 
eine kleine historische Sammlung auf derselben anzulegen, — als 
mir einige CoUegen und frühere Schüler in freundlicher Weise ver- 
wandte Arbeiten zur Publication übergaben, — als ich zu verschie- 
denen Vorträgen und historischen Arbeiten Veranlassung erhielt, 
die sich ebenfalls zur Aufnahme zu eignen schienen, — etc., er- 
weiterte sich nach und nach das Gebiet meiner Mittheilungen, wenn 
auch der ursprüngliche Gegenstand immer noch dominirte. — Um 
nun auf den Inhalt dieser Mittheilungen einzutreten, so ist zunächst 
zu erwähnen, dass sie meine täglichen Zählungen der Sonnenflecken 
für die Jahre 1849 — 1875 geben, jeweilen für trübe Tage aus den 
Beobachtungsregistem der Herren Schwabe in Dessau, Weber in 
Peckeloh, Schmidt in Athen, etc., möglichst ergänzt, — früher je 
zwei Zahleji g und f, von denen die erste je die Anzahl der an dem 
betiieflPenden Tage sichtbaren Gruppen, die zweite aber die Anzahl 
der in diesen Gruppen auftretenden Flecken und Punkte gab, — 
später ausserdem noch die aus ihnen nach der Formel 

r = Tc{g + lO,f) 
berechneten sog. Relativzahlen, wo Tc ein correspondirenden Be- 
obachtungen entnommener, von Beobachter und Instrument ab- 
hängiger, für mich bei einem Vierfüsser «ait 64 f acher Vergrösserung 
der Einheit gleicher Erfahrungsfactor ist, — sowie die Monats- und 
Jahresmittel dieser Relativzahlen. — Im Fernern geben die Mit- 
theilungen in Verbindung mit der bis jetzt 343 Nummern zählen- 



R. Wolf. 



181 



den Sonnenfleckenliteratur nicht nur die Belege für die oben er- 
wähnten Aufzählungen, sondern auch eine üebersicht aller mir zu- 
gänglichen älteren Beobachtungen der Sonnenflecken, — darunter 
viele Reihen früher nicht publicirter Aufzeichnungen, von welch 
letztern hier namentlich die Serien 



Harriot. .• 
Kirch . . 
Plantade . 
Hagen . . 
Staudacher 
Horrebow . 
Mallet . . 
Bodc. . . 



1611-1613 
1700—1748 
1705—1726 
1739—1751 
1749—1799 
1767—1776 
1773—1777 
1774-1822 



Heinrich . 
Flaugergues 
Tevel . 
Pastorff 
Adams . 
Both. . 
Schwabe 
etc. 



1781-1818 
1788—1830 
1816—1836 
1819-1833 
1819—1823 
1825—1826 
1826-1848 



erwähnt werden »mögen, welche ich theils durch meine Freunde und 
Mitarbeiter im Auszuge erhielt, theils durch üebersendung der be- 
trefifenden Manuscripte selbst auszuziehen im Falle war. — Um die 
theils bereits früher gedruckten, theils von mir neu publicirten 
Reihen, welche doch immerhin (abgesehen von vielen brauchbaren 
Bemerkungen) für die Jahre 1749—1848 im Ganzen für volle 13424 
Tage wirkliche Fleckenzählungen ergaben, zu einem homogenen 
Ganzen zu verarbeiten, leisteten die von mir schon 1850 eingeführten, 
bereits oben erwähnten Relativzahlen ausgezeichnete Hülfe, und es 
wurde mir möglich nicht nur für mehr als 2^1^ Jahrhunderte alle 
Epochen der Maxima und Minima festzulegen, sondern auch für die 
zweite Hälfte dieser Zeit homogene mittlere Relativzahlen abzuleiten, 
und so z. B. die folgende Tafel zu erstellen: 



Aeltere Reihe 



Minima 



Maxima 



Minima 



Neuere Reihe 



Maxima 



1610,8 
1619,0 
1634,0 
1646,0 
1665,0 
1666,0 
1679,5 
1689,6 
1698,0 
1712,0 
1723,5 
1734,0 



8,2 
16,0 
11,0 
10,0 
11,0 
13,5 
10,0 

8,5 
14,0 
11,6 
10,5 



1615,6 
1626,0 
1639,5 
1649,0 
1660,0 
1675,0 
1685,0 
1693,0 
1705,5 
1718,2 
1727,5 
1738,7 



10,5 
13,5 

9,5 
11,0 
15,0 
10,0 

8,0 
12,5 
12,7 

9,3 
11,2 



1745,0 
1755,2 
1766,5 
1775,5 
1784,7 
1798,3 
1810,6 
1823,3 
1833,9 
1843,5 
1856,0 
1867,2 



Wellen- 
höhe 



10,2 

11,3 

9,0 

9,2 

13,6 

12,3 

12,7 

10,6 

9,6 

12,5 

11,2 



1750,3 

1761,5 

1769,7 

1788,4 

1798,1 

1804,2 

1816,4 

1829,9 

1837,2 

1848,1- 

1860,1 

1870,6 



11,2 

8,2 

8,7 

9,7 

16,1 

12,2 

13,5 

7,3 

10,9 

12,0 

10,5 



78,1- 

104,7 

151,3 

132,7 

72,5 

49,2 

71,4 

139,6 

121,1 

94,7 

135,3 



Mittel 11,20 
#2,11 



11,20 
±2,06 



11,11 
±1,54 



10,94 

±2,52 



104,60 
± 33,45 



182 R. Wolf. 

WO die unter Wellenhöhe eingeschriebene Zahl die Differenz der 
Relativzahlen des Minimums und Maximums ist, und die den Mittel- 
werthen in + beigefugten Zahlen ihre, entsprechend den mittleren 
Fehlern berechneten Schwankungen geben. Das Gesammtmittel aller 
44 Bestimmungen für die Länge der Periode beträgt 

11,111+2,030 

so dass für die mittlere Länge der Periode immer noch der 1852 
erhaltene Werth zu Recht besteht, dagegen als neueres Ergebniss 
hinzutritt, dass derselbe in der einzelnen Erscheinung etwa zwischen 

9,08 und" 13,14 

seh wankt, wofür in der That auch noch die zuverlässigsten Be- 
stimmungen der neuesten Zeit Belege bieten, da gerade jetzt ein 
Minimum entweder schon eingetreten ist oder in nächster Zeit ein- 
treten wird, obschon seit dem letzten Minimum, erst 9,3 Jahre 
verflossen sind, während dem Minimum von 1843 erst in 12,5 Jahren 
das Minimum von 1856 folgte. Für die mittlem Epochen für Mini- 
mum und Maximum erhält man aus dem zweiten Theile der Epochen- 
tafel 

1810,53 und 1815,10 

woraus hinwieder hervorgeht, dass durchschnittlich einem Minimum 
in 4y2 Jahren ein Maximum, diesem dagegen erst in GYg Jahren 
ein neues Minimum folgt, — also die Sonnenfleckencurve wesent- 
lich rascher ansteigt als abfällt. — Die sich anlehnenden Unter- 
suchungen über die in gewissen Zacken der Sonnenfleckencurve an- 
gedeuteten Gesetze, — über kleinere und grössere, z. B. gewissen 
Planetenjahren entsprechende, der Hauptperiode untergeordnete und 
muthmasslich ihre Schwankungen bedingende Perioden, — über die 
Möglichkeit die Sonnenfleckencurve durch eine Formel darzustellen, 
oder die sämmtlichen Epochen aus den Normalepochen abzuleiten, 
— etc. dürfte es genügen nur beiläufig zu erwähnen, da sie bis jetzt 
noch nicht zu abschliessenden Resultaten geführt haben; dagegen 
ist hervorzuheben, wie es mir 1859 nicht nur gelang nachzuweisen, 
dass der von Carrington bei dem Minimum von 1856 bemerkte, 
scheinbar sprungweise Wechsel in der heliocentrischen Breite der 
Flecken auch bei dem durch Böhm beobachteten Minimum von 1834 
in ähnlicher Weise stattfand, sondern dass ich durch Zusanunen- 
stellung aller bekannt gewordenen Bestimmungen über die Rotations- 
dauer der Sonne dieses Gesetz mit dem durch Carrington und 
Spörer aufgefundenen Zusammenhang zwischen Breite der*Plecken 



R. WoLp. 183 

und Ergebniss für Rotationszeit in Verbindung brachte. — Von noch 
grösserer Bedeutung sind die fortgesetzten Untersuchungen über den 
Zusammenhang zwischen der Häufigkeit der Sonnenflecken und der 
Grösse der täglichen Bewegungen der Magnetnadel. Namentlich 
gelang es mir von 1859 Ijiaweg an vielfachen Beispielen zu zeigen, 
dass sich die mittlere magnetische Declinationsvariation v durch die 
einer einfachen Scalenreduction entsprechende Formel 

V =^ a -{- b . r 

aus der entsprechenden Sonnenfleckenrelativzahl r berechnen lasse, 
— dass in dieser Formel der Werth von 6, wenigstens für das 
ganze mittlere Europa, nahe an 0,045 falle, a dagegen für ver- 
schiedene Orte wesentlich verschiedene Werthe besitze, so z. B. 
gegenwärtig für 

Barnaoul . . . . a = 2',74 München . . . . a = 6\56 

Berlin ....... 6,64 Paris 9,28 

Christiania. ..... 4,62 Peking 2,69 

Göttingen ...... 7,89 Petersburg 5,89 

Kremsmünster .... 5,83 Prag 5,89 

London 6,96 Toronto 7,72 

Mailand 5,62 Wien 4,79 

Mannheim 5,68 etc. 

betrage,^ — nahe wie wenn a von der Lage des betreflPenden Ortes 
gegen den magnetischen Hauptpol abhängig wäre. — Ein von mir 
1857 angelegter und seither durch meinen CoUegen Fritz mit un- 
säglicher Mühe vervollständigter Nordlicht- Catalog ergab eine merk- 
würdige Bestätigung für das von mir schon 1852 vermuthete Zu- 
sammentreflFen von Flecken- und Nordlicht-Häufigkeit, — während 
dagegen allerdings die Versuche, welche theils^ ich selbst, theils die 
Herschel, Gautier, Fritzsch, Koppen, Meldrum, Klein, etc. 
machten den Sonnenfleokenwechsel auch in den Erdtemperaturen, 
Regenmengen, Cyclonen, Cirruswolken, etc. nachzuweisen; bis jetzt 
nur theil weisen Erfolg hatten, aber doch immerhin zur genauem 
Kenntniss mehrerer Anomalien führten, die in der Folge eine nicht 
unbedeutende Rolle spielen dürften. — Noch könnte mehrerer in 
meinen Mittheilungen enthaltener Specialuntersuchungen über die zu- 
weilen in der Richtung nach der Sonne hin sichtbaren sog. Licht- 
flocken, über die Durchgänge anderer fremder Körper durch dift 
Sonne, etc. gedacht werden; es ist jedoch, wenn dieser Rückblick 
nicht eine unerlaubte Länge erhalten soll, an der Zeit das Haupt- 



184 B. Wolf. 

gebiet zu verlassen, und noch einiges Andere kurz zu erwähnen^ 
das ebenfalls Gegenstand meiner Mittbeilungen bildete: Bei Anlass 
des 1863/4 erfolgten Bezuges der neuen eidgen. Sternwarte gab ich 
eine kurze Geschichte der altem Sternwarten Zürichs, und beschrieb 
den Neubau, soT^ie seine Ausrüstung; seither fügte ich von Zeit zu 
Zeit Bruchstücke eines räsonnirenden Verzeichnisses der durch An- 
kauf und Schenkung bereits nicht unbedeutend gewordenen Sammlung 
von Instrumenten, Apparaten und Abbildungen bei, das für Lieb- 
haber der Geschichte nicht ohne Interesse sein dürfte. Letztere fin- 
den auch in den Mittheilungen ziemlich ausgedehnte historische Stu- 
dien über die Herschel, Zach, Schwabe, Schweizer, — über 
den immerwährenden Kalender Regiomontans, die sog. Prostaphä- 
resis, den Bürgi'schen Canon Sinuum, die Erfindung der Mikro- 
meter, Transversalen, Vernier's und Pendeluhren, etc. — während 
sich die praktischen Astronomen an die vorläufigen Mittheilungen 
über die geographische Lage der Sternwarte halten können, femer 
an die im Detail gegebenen Untersuchungen über den Einfluss der 
Ocularstellung und Fadenbeleuchtung auf die Personalgleichung, an 
die Beschreibung des Hipp 'sehen Pendels und seinen Gebrauch zur 
Bestimmung der Personalcorrection, etc., — und die zahlreichen Freunde 
der Hypsometrie mehrere Vergleichungsreihen gewöhnlicher Baro- 
meter und Aneroide finden, welche ihnen Aufschluss über die Con- 
stanz der Letzteren und ihr Verhalten auf Bergreisen geben. — 
Zum Schlüsse habe ich noch beizufügen , * dass die Mittheilungen 
ausser meinen eigenen und den bereits erwähnten Arbeiten von Fritz 
auch noch einige andere Einsendungen enthalten, so namentlich 
mehrere einlässliche Studien von Weilemann über die Befraction 
und über die Beziehungen zwischen Barometerstand, Temperatur 
und Höhe in der Atmosphäre, — und eine längere Arbeit von W. 
Meyer über die Geschichte der Messung und Berechnung der 
Doppelsterne, die zugleich eine Reihe von ihm am Zürcher Refractor 
ausgeführter Bestimmungen enthält, üeber verschiedene grössere, 
und ziemlich wichtige Resultate versprechende Untersuchungen, die 
ich schon seit einiger Zeit theils zur weiteren Verwerthung meines 
Sonnenflecken- und Variations-Materiales , theils zur Ausnutzung 
längerer Beobachtungsreihen am Zürcher Meridiankreise, in Arbeit 
genommen und für eine neue Decade der Mittheilungen bestimmt 
Jiabe, werde ich, so Gott will, später Bericht erstatten. 

Zürich. Rudolf Wolf. 



C. Malagola. 185 

Carlo Malagola: Bei documenti trovati tQtimamente intomo la 
dimora dl Nicolö Copemico in Bologna. 

. . . Una parte dei documenti, che io scopersi nelV Archivio di famiglia 
del Sigr. Conte Comm. Giovanni Malvezzi de' Medici, Senatore del 
Begno, riguarda il sommo Copernico, Faltra le persone che con 
lui ebbero relazione in Bologna, e massime il fratel suo Andrea, lo 
zio materno Luca Watzelrode, vescovo di Warmia e singolar 
protettore delF astronomo immortale, Alberto Bischoff eFa- 
biano de Lusianis, canonici varmiensi e coUeghi di Nicolö, 
Erasmo de Beke, egli pure canonico di Warmia, Scipione dal 
Ferro, maestro di aritmetica e geometria nel nostro famosissimo 
Studio, e Tastronomo Domenico Maria Novara, il nome del 
quäle e strettissimamente congiunto a quello dello scopritore del 
vero sistema deir Universo. 

II periodo di tempo che il celebre polacco passo in Italia, e 
massimamente in Bologna, rimase sino ad ora pieno di forti incer- 
tezze e di oscuritä, perche non conoscendosi di quello che tre no- 
tizie autentiche, gli scrittori füron costretti a vagare sopra suppo- 
sizioni. Ora Tessere stati i documenti scoperti da me i primi che 
siensi trovati intomo air immortale astronomo in Italia,* e cio che 
da loro una qualche importanza, la quäle e forse accresciuta dalle 
molte notizie su quel tempo della vita del Copernico, in cui fu 
allo Studio di Bologna, che possono ricavarsi da questi documenti, 
interpretandoli cogli statuti del 1491 della Nazione Allemanna presso 
il nostro Studio, alla quäle Nicolö appartenne. Appunto per 
questo il Prof. Massimiliano Curtze, illustre scrittore, ed editore 
delle opere del grande torunese, annunziando all' Imp. Societä Co- 
pernicana di Scienze ed Arti di Thom, in Prussia, la scoperta di 
questi documenti, giudicava che apportassero tal copia di notizie 
sul periodo sopradetto, quäle non avemmo sinora di nessun altro 
della vita di questo grand'uomo. Tra le molte notizie di lui, non 
prima conosciute, mi sembrano da notare queste principalmente: 

1-) che Nicolö giä si trovava nella nostra cittä nell 1496, 
mentre prima non s'aveva memoria di lui in Bologna che del 1497; 

2-) che in questa nostra cittä nel 1496 si ascrisse alla Nazione 
Allemanna e che perciö diede opera nel nostro Studio alle leggi, 
dovendo quelli che vi si aggregavano essere in forza degli statuti, 
„iw hoc alma urbe studentes in iure canonico vel dviW; 



186 C. Malagola. — N. Malvezzi. 

3-) che il Copernico in Bologna non fu laureato dotiore di 
Diritto Canonico, siccome da molti si e creduto. Trälascio di anno- 
verare le molte altre cose principali giacche anche di esse parlerö 
diffusamente ove pubblichero i citati documenti intorno a Nieolö 
Gopernico. Gli altri che piü sopra ricordai, porgono molte e si- 
cure notizie delle persone che in Bologna ebbero relazione col 
Copernico, di alcune delle quali si aveva appena memoria, di altre 
neppure era conosciuto il nome. 

Ho pur cercato di dare, nel libro dove stampero questi docu- 
menti, un idea di Bologna alla fine del secolo XV., ed anche volli 
aggiungere nuove notizie suir ellenismo in Bologna sino a tutto 
il secolo XVI, e la storia della Nasione Allemanna dal 1200 
in poi alla quäle appartenne il fiore degli illustri Tedeschi di 
quel tempo. Fra essi, a cagione d' esempio, voglio ricordare il 
Cardin ale Nieolö da Cusa (di cui produrrö in luce le autentiche 
memorie, che potei rinvenire) stimato il predecessore del Copernico 
neir idea del moto della terra. II libro dove usciranno in luce tutti 
questi documenti insieme a molti altri che riguardano Bartolomeo 
Barbazza, Nieolö Leoniceno, il Beroaldo seniore, Gian Bat- 
tista Guarino, Francesco Filelfo e Antonio ürceo Codro 
(del quäle anche trovai volgarizzamenti inediti dal greco e molte 
edizioni dl opere rarissime e sconosciute) sarä fra breve pubblicato 
dagli editori bolognesi Fava e Garagnani in un volume di piü che 
500 pagine in 8^ al prezzo di L 12, .col titolo „DcMa Vita e delle 
Opere di Antonio ürceo Codro, maestro di greco in Bologna a Nieolö 
Copernico^, 

Bologna. Carlo Malagola. 



Conte Nerio Malvezsi: Lettere d* illustri astronomi (Kepler, 
Tycho Brahö etc.) trovate in Bologna. 

Neir Archivio di mio padre Conte Giovanni Malvezzi de' 
Medici, Senatore delRegno, trovai un fascicolo contenente moltissime 
lettere dirette da celebri astronomi nel finire del sedicesimo, e sul 
principiare del diciassettesimo secolo a Giovanni Antonio Magini 
padovano e professore per molti anni nella üniversitä di Bologna. 
Non occorreranno molte parole a dimostrare Timportanza per la 
storia delV astronomia delle lettere rinvenute, poiche a ciö bastano 
i nomi dei loro autori, Tycho Brahe, Kepler, Scheiner, Mal- 
cot, Van Roomen, piü conosciuto sotto il nome di Adriano Ro- 



N. Malvezzt. 187 

manO; Cristoforo Clavio, Giovanni Lheureux noto col nome 
di Macario, Muzio Oddi, Francesco Stelluti, Altobelli, 
Finck; e molti altri illastri scienziati e matematici italiani^ tedeschi 
inglesi di quei tempi. 

Alcune lettere contengono figure geometriche, e tra le altre 
quelle di Muzio Oddi, e dello Stell uti, ed in parecchie si leg- 
gono lunghi calcoli astrologici ed astronomici. 

Le lettere di Xj^ho Brahe sono assai lunghe e conten- 
gono interessanti particolari della sua vita privata e scientifica. 
üna di esse dev' essere tra le ultime dettate dair astronomo, poiche 
porta la data del 1601, anno in cui avvenne la morte di lui in 
Praga. 

Le lettere di Kepler meritano molta attenzione in quanto 
chiariscono aLcuni punti della sua vita famigliare. Esse furono 
scritte nel 1610, allorquando il sommo astronomo aveva terminati 
gli studi sovra il pianeta Marte, e stava lavorando col valido sus- 
sidio delle carte e degF istrumenti del celebre Tycho alla compila- 
zione delle tavole rodolfine. 

Noterö che se le lettere Kepleriane non varranno ad accre- 
scere la fama del loro autore, che giä pervenne alla massima altezza, 
gioveranno al maggiore onore deir astronomo padovano, e quindi 
della üniversitä bolognese in cui questi per ben ventinove anni 
lesse astronomia. Imperocche Kepler chiese a lui molti consigli 
nella compilazione della sua opera sopra Marte, e sembra ancora 
la inviasse a Bologna. „Obsecro propter nostra studia*' scrive 
Kepler al Magini, „ut eadem lima totum (opus) percurras" e 
finisce la lettera dicendo: „vale, vir celeberrime, et perge censendo 
mihi prodesse". Queste parole, pure considerando lo stile ampoUos* 
del seicento, bastano a provare in quanta stima fosse dal sommo 
scienziato tenuto il nostro Magini. Si puö parimente confermare 
nel modo piü sicuro ciö che scrisse il Weidler, nella sua Historia 
Astronomica, intomo alF invito fatto da Kepler al Magini di an- 
dare in Germania ad aiutarlo nella compilazione delle tavole ro- 
dolfine. Si puö argomentare che Kepler avesäe avuto in animo di 
far stampare qualche sua opera a Bologna, e certamente che vi- 
veva in grandissima penuria. Spesso egli insiste suUe difficoltä 
della vita, che a lui tolgono, come esprimesi, la tranquilla serenitä 
della mente. E ben si comprende come di essa non potesse godere, 
se, come egli scrive, fortemente pativa di fame! Aggiungerö che 
presso le lettere Kepleriane stanno le bozze delle risposte del 



188 N. Malvezzi. 

Magini; fortunata combinazione che aiutera a meglio chiarire le 
relazioni corse tra i due scienziati^ tanto piü che neir opera di 
Hansch ,^EpistoIae ad Kepplerum etc. Lipsiae 1718" non trovasi 
alcuna lettera del Magini. 

Una lettera del dotto Scheiner da Ingolstadt 1613 tratta 
della famosa questione di priorita agitata tra lui e Galileo sopra 
la scoperta delle macchie solari, e si rileva che il Magini prese le 
parti di Scheiner. ^ 

Le lettere di Oristoforo Clavio accennano alle fiere dis- 
pute che questi ebbi coUo Scaligero, che viene chiamato „arro- 
gantissimo nelle sua falsitä". 

Interessantissima e una lettera di Muzio Oddi, del valentissimo 
ed infelice geometra^ ed elegante scrittore^ che passo tanti anni in 
carcere nel castello di Pesaro^ e mai cesso tra le angoscie della 
prigionia gli studii. La lettera e del 1609 anno in cui il carcere 
fu mutato in esiglio ed andö ad insegnare matematiche a Milano. 
Scrive gli: „Giunsi finalmente a Milano^ luogo del mio confino^ 
„dove con la grazia d'Iddio pare che Taria nii conferisca, e tut- 
„tavia mi pare di ripigliare forze e migliorar la complessione. 
„Vedrö se posso ordinäre un poco le cose mie e buscar un poco 
„di quiete d'attendere coUe matematiche di ^passare questo esiglio 
„con manco travaglio di quello che forse alcuni hanno creduto^^ 

La lettera delP eruditissimo Francesco Stelluti di Fabri- 
ano, tra i primi ammesso nella Academia de' Lincei^ quelle del 
Malcot, Famico di Kepler, quelle del celebre Adrian o Romano e 
di tutti gli altri matematici saranno certo di valido soccorso alla 
storia deir astronomia. 

• lo giä ebbi Tonore di annunziare alla Regia Deputazione di 
Storia Patria la scoperta di tanti preziosi documenti. Ora attendo 
alla loro pubblicazione, sperando di fare cosa grata agli studiosi 
di scienze matematiche, ed ho fede che non sarä per mancarmi 
Tappoggio dei dotti tedeschi, ed anzi invoco per il mio lavoro il 
sussidio validissimo della loro dottrina. 

Bologna. * Conte Nerio Malvezzi. 



S. Günther. 189 

S. Günther: Sulla possibilit^ di dimostrare Passioma delle pa- 
rallele mediante considerazioni stereometriohe. Gomple- 
mento alla geometria assoluta di Bolyai. Traduzione dal 
Tedesco di Alfonso Sparagna. (Giomale 4^ Matematiche 

diretto dal Prof. G. Battaglini, Vol. XL p. 1—11.) 

Man weiss, dass in der Pangeometrie von Lobatschewsky und 
Bolyai an die Stelle der Ebene die „Grenzfläche", an diejenige 
der Geraden die „Grenzlinie" tritt, und dass ein aus drei Grenz- 
linien gebildetes Dreieck die Winkelsumme 180® besitzt. Der Unter- 
schied zwischen Ebene und Grenzfläche liegt, wie nicht minder be- 
kannt, in dem Umstände, dass erstere „umkehrbar ist", letztere da- 
gegen nicht. Es wird nun hier direkt der Nachweis zu fuhren 
gesucht, dass mit Zugrundelegung der Definition „die Grenzfläche 
ist eine Eugelfläche von unendlich grossem Radius" unmittelbar jene 
Eigenschaft eines Grenzliniendreiecks, aber zugleich im nämlichen 
Augenblicke die Umkehrbarkeit der Grenzfläche, d. h. ihre Identität 
mit der Ebene, erhalten werde. 

Nach Voraussendung einer historischen Einleitung, welche be- 
sonders an einen in ganz ähnlichem Sinne gehaltenen Beweis von 
Baltzer (Grunert's Archiv, Bd. XVI. S. 129) erinnert, wird auf 
einer Kugelfläche _ ein gleichseitiges Dreieck abgesteckt, was ohne 
alle Voraussetzungen möglich ist. Durch diese drei Punkte lassen^ 
sich unendlich viele Kugeln hindurchlegen, und die Mittelpunkte 
all dieser Kugeln liegen auf einer Curve; dass dies eine Gerade, 
kommt nicht einmal in Betracht, sondern lediglich der Umstand, 
dass, wenn von einem beliebigen Punkte der Curve nach ent- 
gegengesetzten Richtungen fortgegangen wird, die Vereinigung in 
dem Einen unendlich entfernten Punkt der Linie erfolgen muss. In- 
dem dann noch der Begriff des Winkels und seines Drehsinnes in 
einer den speciellen Verhältnissen der Aufgabe angepassten Weise 
definirt ist, lässt sich zeigen: Der ursprünglich positive Winkel des 
gleichseitigen Kugeldreiecks wird immer kleiner, je weiter das Kugel- 
centrum auf der vorhin erwähnten Curve hinausrückt, erscheint aber 
das Centrum auf der der Anfangsrichtung entgengesetzten Seite, so 
ist nunmehr der Winkel negativ. Da nun. im sphärischen Dreieck 
die Winkelsumme = 180^ -f- ^> so ist im Dreieck von drei gleichen 

Seiten und Winkeln ein Winkel = 60® + — : dieser Excess s ist auf 

o 

der einen Seite abnehmend positiv, auf der anderen zunehmend 



190 S. GÜMTHEB. 

negativ^ muss also durch Null hindurchgehen. In dem Momente 
aber^ wo dies geschieht^ liegt das variable Centrum im Unendlichen^ 
die Kugelfläche verwandelt sich in die Grenzfläche^ deren zwei Seiten 
aber bei der Congruenz des positiv und negativ unendlich entfernten 
Punktes ebenfalls congruiren müssen, die drei Seitenkreise gehen 
über in Grenzlinien, und es ist somit der Beweis geführt, dass der 
Grenzfläche der nichteuclidischen und der Ebene der euclidischen 
Geometrie die nämliche Pundaijientaleigenschaft zukommt. Was für 
ein einziges Individuum gilt, ist aber nach den Ergebnissen Legen- 
dre's für jedes willkürliche Dreieck richtig. 

Benützt wurde bei der oben angedeuteten Entwicklung einzig 
und allein eine Formel der sphärischen Trigonometrie; man weiss, 
dass sämmtliche Relationen dieser Disciplin von dem Parallelen- 
Axiom vollkommen unabhängig sind. 

Amberg. S. Günther. 



8. Güntlier: Das allgemeine Zerlegnngsproblem der Determi- 
nanten. (Arch. d. Math. u. Phys. Th. 59. S. 130—146.) 

Die bekannten Zerlegungssätze von Laplace und Jacobi wer- 
den hier in elementarerer und umfassenderer Weise abgeleitet, als 
dies gewöhnlich geschieht. Handelt es sich zunächst darum, die 
Determinante U + «1,1 «2,2 . . . «„,„ in ein Aggregat von zweigliedrigen 
Produkten zu zerfallen, so dass der eine Faktor eine ünterdeter- 
minante vom pten, der andere eine solche vom (n — |))ten Grade 
ist, so müssen zwei arbiträre Bedingungen aufgestellt werden. Hält 
man daran fest, dass die erste Colonne «1,1 «2,1 . . . a«,i diesen ihren 
Platz auch in der ersten Faktor-Determinante jedes Einzelproduktes 
behaupten und dass als erstes Glied der Zerlegung, wie es üblich 
ist, 2;'+ ^M^2,2 . . .%,i»>< 2;'+ Op-i-i, jö + iap-{-2,j» + 2 . . . «»,» ange- 
sehen werden soll, so gelangt man zu einem anscheinenden neuen 
Satze, welcher sich in Form nachstehender Identität aussprechen 
lässt: 

-2 + «1,1 . . . a„,« 

= 2?(-l)'- "" -■ X 

(s, = ? + l, l + 2...n—p+l) 

^ i «Uffl«,», • • . «p,»p_, X 2/ + «p + i, 2 «pH- 2, s . . • «»,» 



S. Günther. — L. KoENiasBSBaER. 191 

+ 2;(-i)^ *==' -• X 

^+ap-|- 1,1 0^+2,^1 . . . Ö^n,/„_j5_i X ^ it 0^1,2 02,3 • • • (^p,n» 

Die hier noch gebliebene Beschränkung betreffs der constanten ersten 
Vertikalreihe lässt sichvleicht fortheben, indem man nur die Deter- 
minante, deren Vorzeichen bestimmt werden soll, mit einer in der 
Normalform 2J + (IijCLii,ii ... cln,n vorgelegten Hülfsdeteriüinante 
vergleicht. Zum Schluss wird noch gezeigt, wie man sich bei der 
allgemeinen Zerlegung einer Determinante in eine Summe aus Pro- 
dukten von beliebig vielen ünterdeterminanten zu verhalten habe, 
und dass die hiebei zur Anwendung kommende combinatorische 
Methode die richtige sei, erhellt u. a. auch daraus, dass die daraus 
resultirenden Formeln für die Anzahl der bei der Zerlegung auf- 
tretenden Aggregatglieder mit den von Jacobi zum gleichen Zwecke 
gegebenen übereinstimmen. 

Amberg. S. Günther. 



L. Eoenigsberger: Referate aus den hinterlassenen Papieren 
von P. Biohelot. 

Die mir von Frau Geheimräthin Richelot übertragene Durch- 
sicht der Papiere des verstorbenen ausgezeichneten Mathematikers 
F. Richelot hat mich erkennen lassen, dass es den vielen Schülern 
und Verehrern jenes um die Verbreitung der mathematischen Wissen- 
schaften in Deutschland so hochverdienten Mannes gewiss nicht un- 
erwünscht und für den Fortschritt der Mathematik durch Anregung 
zu weiteren Untersuchungen sicher zweckmässig sein würde, von 
der grossen Anzahl einzelner von Richelot angestellter Unter- 
suchungen, die meistens bei der Leetüre der Arbeiten anderer Mathe- 
matiker entstanden oder zum Zwecke der Vorlesungen ausgearbeitet 
worden, fortlaufende Referate mit genauer Angabe der benutzten 
Methoden und gefundenen Resultate in dieser Zeitschrift zu ver- 
öffentlichen, während ich möglicher Weise, wenn es meine Zeit ge- 
statten wird, später durch Unterstützung von Seiten jüngerer Kräfte 
in der Lage sein werde, grössere Veröffentlichungen von Vorlesungen, 
die in vielfachen und verschiedenartigen Ausarbeitungen vorliegen, 
als Lehrbücher der analytischen Mechanik, Variationsrechnung etc. 
zu bewerkstelligen. 



192 L. EOENIOSBERGER. 

I. Geometrische Interpretation der Transformation des elliptischen 
Integrales erster Gattung auf die Normalform, 

Werden die Lösungen des Polynoms vierten Grades jB(^) mit 
a -j- (^lif i + l>iif c + c^if d -f- d^i 

bezeichnet und durch die entsprechenden Punkte A, B, C, D im 
;e?-6ebiete dargestellt^ so fuhrt bekanntlich die Substitution 

f-— ^ — ^ B — z 
^~ B ^C A^ z 

auf die Gleichung 

r_dz_^ r 1? 

J B{z)^ J {{B -B){C- A)]^ [f (1 - S) (1 - k^)]^' 



»0 ^o 

worin 



y,^B-C A-B 



A — C B -~ B 

ist. Es kommt darauf an, den analytischen Modul von J zu be- 
stimmen^ woraus sich dann unmittelbar, wenn z = D gesetzt wird, 

der analytische Modul von ^ ergibt; nun sieht man aber, dass, 

wenn der die Grösse repräsentirende Punkt mit Z bezeichnet wird, 

BZ 

. . AG BZ AZ 
^^^'i = BCÄZ = BC^ 

AC 

wird, und aus dieser Form von mod. g lässt sich leicht ein geo- 
metrisches Criterium dafür ableiten, ob diese Grösse kleiner, gleich, 
grösser als die Einheit ist. Denn denkt man sich A und B durch 
eine Grade verbunden, so ist bekanntlich ein Kreis, dessen Durch- 
messer in dieser Linie liegt, der geometrische Ort der Punkte Zj 

B Z 

für welche das Verhältniss -j-^ der Entfernungen desselben von A 

und B constant ist und es wird dieses constante Verhältniss von 
Null durch die Einheit bis Unendlich zunehmen, wenn der Kreis 
sich von dem Punkte B an zu dem unendlichen Kreise, welcher 
die in der Mitte von AB errichtete Grade ist, erweitert und von 

da an bis zum Punkte A hin zusammenzieht, und daher mod. t, von 

AC , . , 

Null durch -^-7^ bis Unendlich stetig wachsen. Dasselbe leitet 

Eichel dt auch unmittelbar aus dem analytischen Ausdrucke für £ 
ab, indem er bemerkt, dass, wenn z =^ x -^ yi gesetzt wird, die 
Gleichung 



L. E0ENIG8BEHOER. 193 

{(a-xy + (a,-yy} {(h - cf -{- (b, - c.f) (mod.ty 

-{{i-^y + ih-yf] {{a-cy + ia,-c,y}=o 

für ein constantes 5 die Gleichung eines Kreises ist, welcher mit 
den beiden Punkten, dessen Coordinaten x = a, y = cti] x=^by 
y = bi die ideale Secante 

gemeinschaftlich hat. 

Die Entscheidung der Frage, ob mod. g kleiner, gleich, grosser 
als die Einheit ist, wird sich liun leicht treffen lassen. Zieht man 
nämlich die zu den Punkten Ä und B gehörige ideale Secante, so 
kann der Kreis, der durch C geht und den Richelot den Einheits- 
kreis nennt, entweder rechts oder links von derselben liegen oder 
diese selbst ist als ein solcher anzusehen; liegt nun der Punkt Z 
im ersten Falle innerhalb, auf oder ausserhalb des Einheitskreises, 
so ist mod. g resp. kleiner, gleich, grösser als die Einheit; dasselbe 
findet im zweiten Falle statt, wenn Z ausserhalb, auf oder inner- 
halb des Einheitskreises liegt und im dritten Falle, wenn Z rechts 
von MNy auf Jf JV, links von MN sich befindet. Nun ist ferner 

mod. p derjenige Werth von mod. £;, welcher zu dem Punkte D 

gehört, und es ist daher leicht zu entscheiden, wann mod. Vj ^ 1 

ist, wenn man nur dasselbe Criterium, das' für Z benutzt wurde, 
auf D anwendet; .zugleich ersieht man hieraus, wie man es durch 
geeignete Wahl des Punktes C oder 2), als zum Einheitskreise ge- 
hörig, einrichten kann, dass mod. -^ respective zu D oder C gehörig, 

nicht 'ein ächter Bruch also mod. P 5^ 1 wird. 

Wenn die Anzahl der Punkte A, B^ C, D , , . H ganz beliebig 

ist,, so sieht man für den Fall, dass man von der Transformation 

c, _ A--- P B r- Z 
^~ B — P ' A- Z 

ausgeht, in welcher P einer der Punkte C, D, , , .JS ist, dass man 
für P nur denjenigen Punkt zu wählen hat, der die Eigenschaft 
hat, dass der durch ihn laufende, zur Schaar der Kreise, welche die 
Linie MN zur gemeinschaftlichen idealen Secante haben, gehörige 
Kreis, dem Punkte B am nächsten liegt, in der Art dass zwischen 
ihm und B keiner der zu den andern Punkten zugehörigen Kreise 
liegt. Dies Resultat hält Richelot aus dem 'Grunde für „ein nicht 
unwichtiges*', weil die Berechnung des Integrales 

Bepertorium für reine und angewandte Mathematik. 1^ 



X94 L. EOENIGSBEBGEB. 

P 

/* F(z) dz 

[ J {(z-A){z^B)fz-C) .,.(z-H)}^ ' 



\ 



ß 

wo F{^) eine ganze rationale Function von z ist, durch eine con- 
vergente Reihe und die Reduction dieses Integrales auf die Form 



/ 



^(t)d^ 



{£(1 ~S){i-K'S){i-Kn)-.. }^ ' 



wo mod. ^1^ ^ 1, mod. k2^ <^ l, ... und 9(5) eine rationale Function 
von g ist, davon abhängen. • 

Die Anwendungen dieser Resultate auf den Fall von nur reellen 
Lösungen des Polynoms vierten Grades R{z) sind zu einfach und 
zu bekannt, als dass eine Hervorhebung derselben nöthig erscheinen 
sollte. 

IL Conforme Abbildimg des Integrales 

z 

dz 



J 



yz(t - z){i— yi'^z) 
. 

für beliebige x^. 

„Im 45. Bande des Crelle'schen Journals habe ich gezeigt, wie 
„eine jede reelle oder imaginäre Grösse in der Form 

sin am (u -}- iv, x) 

„unzweideutig dargestellt wird, falls x ein positiver ächter Bruch 
„ist; dieselbe Aufgabe für ein beHebiges x hat Heine in einer Ab- 
„handlung im 53. Bande desselben Journals behandelt, welche den 
„Titel führt: Reduction der elliptischen Integrale auf ihre kanonische 
„Form. Wenn ich im Folgenden auf diesen. Gegenstand zjirück- 
„komme, so wird die Einfachheit der Darstellung und seine An- 
„wendung auf die zur Begründung der Theorie der elliptischen 
„Functionen erforderliche conforme Abbildung des elliptischen Inte- 
„grales es entschuldigen." 

Diese' einleitenden Worte Richelots und die Ausarbeitung, 
von der ich im Folgenden ein gedrängtes Referat gebe, sind in den 
Osterferien des Jahres 1872 niedergeschrieben. 

Sei 

12 = X -{- yiy w =^ ti -{- vi, x^ == p(cos a -{- i sin a), 

1 — x^ =s= Xj^ = (? (cos ß — i sin ß) , 
worin , • 

— ;r<«<;r, — 7t<ß<C7t 
ist, ferner 



L. EOENIOSBEROEK. IT) 5 



x^ * * dz -r^ 1 /* dz 






yz{i-z){i-^^,'z) 



bei denen der Integrationsweg durch positive ächte Bruchwerthe 

von y^ führen soll, so sieht man aus Betrachtungen, wie sie aus 
der Theorie der complexen Integrale geläufig sind, dass während w 
in dem Integrale 



^J'Vz{l^2){l- 



^ = w 

yi^z) 


von bis K geht, das Stück der positiven Äbscissenaxe von 
bis 1 durchlaufen wird, und dass einem Fortschreiten der Variabein 
w von bis iK^ die ganze negative a;-Axe als Bildcurve zugehört. 
Verändert sich jedoch w so von Jf bis K -{- iK^, dass u = K bleibt, 
und V von bis K^ so stetig fortgeht, dass sin am (i;, xj durch 
positive ächte Bruchwerthe stetig von bis 1 wächst, so wird die 
entsprechende ;s^-Linie der durch die Gleichung 

' ^ ' ^ 9 sm a 

definirte Kreis sein, welcher durch die Punkte 

x = 0, y = 0] x=l, t/ = 0; ir = -y-, y = — 

hindurchgeht. 

Verändert sich endlich w stetig so von JE" + ^-^ ^^s iK^^ dass 
V == K^ bleibt, und u von K bis so abnimmt, dass sin am {u, x) 
durch positive ächte Bruchwerthe von 1 bis stetig abnimmt, so 

wird der entsprechende Punkt im a;y- Gebiete vom Punkte x = 



cos a 

Q ' 



y = bis unendlich in einer Graden fortschreiten, die rück- 

wärts verlängert durch den Anfangspunkt der Coordinaten hindurch- 
geht, und es ist aus der allgemeinen Abbildungstheorie bekannt, 
dass das ganze so begrenzte rry- Gebiet in jeder Stelle mit Aus- 
nahme der vier Ecken conform durch das bezeichnete endliche 
Curvenviereck im «^t?- Gebiete abgebildet ist. 

Es erübrigt noch die durch w = u -]' vi bezeichneten Integrale 
für alle vier Seiten der gefundenen Figur in geeigneter Form zu 
entwickeln, wobei man sich leicht überzeugt, dass dies im Wesent- 
lichen nur auf die eine Aufgabe zurückkommt, das Integral 

13* 



196 I^- KOENIGSBERGER. 



v?l7rr 



dz 



für einen durch positive ächte Bruchwerthe stetig fortlaufenden In- 
tegrationsweg und für < a < ä zu bestimmen. Richelot setzt 
nämlich^ um das vorgelegte Integral in die Form 

U±W' 

zu bringen, worin U und TJ' reell bleiben, so lange z ein positiver 
ächter Bruch ist, 

1 — %^z = — Q&'^z = r (cos ^ — i sin ^) 

oder, wenn man von dem speciellen unmittelbar zu behandelnden 

Falle a «== absieht, 

1 sin ^ 



Q sin (cf -f- 1/>) ' 
woraus sich nach leichter Rechnung, wenn a > angenommen wird, 

Jl^ r dz^ 

2 J yz{\ ~ ^) (1 - ^'z) 





r (co8^ + tsin^Wi/> 

1 sina / \ 2 2 / ^ 

2 j/l — 2^co8a-|-^*^/ y8iDa.8iiii/>.8in{a + i/;J^.8inj 



• TT/ 



ergibt, während der Fall a < sich auf diesen zurückführen lässt, 
wenn man nur statt der drei Grössen a, /S, ^ drei andere Grossen 
— «', — /3', — ^' einführt. 
Die Integrale 



^j 1 sin« / 

*^ f/l — 2 ^ cos a+V fc/ 



cos -^ a^ 

2 



//l — 2^coscif + ^* t/ ]/8ina.8in^.8in(a + ^).8in(j3 — 1^) 
' 

C 8in^di/> 

*w 1 Bin« # 2 

2 l/l— 2^008« + ^^ .y y8ina.8in^.8in(a-|-i/>).8in(j3 — i/;) 



sollen nun in eine zu ihrer Berechnung geeignete Form gebracht 
werden. Zu diesem Zwecke setzt Richelot 




. /a + /J\ . -^ 
. ^ . /« + ^\ 



sm 9? 



I 



L. KOENIGSBERGRB. 197 



und erhält durch eine geschickte, mit Hülfe logarithmischer Diffe- 
renziation angestellte Substitutionsrechnung, nachdem 

-^ 8in -— coß I — —-!-) 

2 o 2 \ 2 / 



sm 

X^ = : ;—;r: X,^ 



/a + ß\ a . '^i a , (a + ß\ 

sin ^ cos — - sm -— cos ~ 

2 2 . 2 2 2 



^^~ . /«+|5\ '^^ ~" • (^ + ß\ 



. |5 /« + P\ 
,n £ cos (--j 



Bin TT cos I — ~— ^ J sin 



2 A \ tt f 2 



2 



cos |- sm \^) 008 I sm (— -^^ j 

gesetzt worden, worin, weil cos ( T^H > ist, 

0<fi^<A«<x«<l, 
das folgende Kesultat 




sm — 
U= 1/ —. ?-x-.-r-X 



ß . 2/«+|3\ 
co8^sm»(-^j 



1 >^__ (1 — X'8in^y)(fy 

i/l -2^008« + 9*^ J 1/(1 — X« sin^qp) (1 — X^ sin»^) (1 — /«,« sin»g)) 
'^ 




sm^—- 



""-" 00.1.^4»)'^ 



. ß 9> 

sm — 
2 



/sin* 9 (^ qp 
1/(1 — X« ^rn^tp) (1 — X« sin» 



^1 — 2^ cos « + 9» J |/(1 — X« sin»^)) (1 — X« sm»^) (1 — fi» sin*g)) 



Ebenso erhält man, da eine Vertauschung der Grössen a und 
ß die drei Grössen x^, A*, /x^ in ftj^ A^*, x^ überführt, 

"Vv'.(i-.)(?-..f^ ° ^* ± '^^'' 





worin 



. |5 

sm ~ 

coB - Sin (-nJlj 

(l — ij'gin*^»)^^) 




^1 — 2<jco8(3 + ff« J V(l — fij'Bi 



8m V) (1 — ij * sin«©) (1 — X » sinV) 
u 



m 



198 



L. KOEXIGSBERGER. 



üi' = 




Sin* 



ß 



i ""m 



cos 



sm- 



j/l — 2acosß + a^ 



91 

J Vit- 





sin^ cpdcp 



^i^sin^qp)(l — /li*8iii*qp)(l — Ki^sin^qp) 



worin (p^ und ^j durch eine Gleichung zusammenhängen, die aus 
der obigen zwischen g? und ^ unmittelbar herzuleiten ist. 
Setzt man endlich noch die ursprüngliche Variable 

= sin^;|r, 

so folgt aus den obigen Substitutionsformeln 



X . t/1 — X^sin^cp 
smy = —~ smcp 1/ r-^2 > 



wobei hervorzuheben dass 



x 



V^ 



iL 



somit die ganze Transformation in x, A, ft ausgedrückt ist, und 
wir erhalten daher, wenn x, A, /x, x^, A^, ft^ positiv angenommen 
werden, 







yi_^e±»«sin2;g 




sin — sin —^ 
X^sin^9 + t ^^ — . sin'y |<icp 



. /« + (5\ 



1/(1 — X« 8in«^)(l — X^ sin»(l — «t« %m^(p) 



Diese Formeln liefern nun Richelot unmittelbar die Glei- 
chungen der transcendenten Ourven, welche die Bilder der genann- 
ten Begrenzungsstücke sind. Dem Begrenzungsstück von x = 0y 
y = bis a? «= 0, y = X nämlich entspricht das Bild, welches für 
positive g?-Werthe durch die Gleichungen 






u = 



' (1 — X^sin^ q>)d(p 



D(p 







V = + 



'iiXyyi^ — X* 



/sin^ q>dq> 



bestimmt ist, wenn 



u 



r 



L. EoHlNIGSBRRaER. 199 

D(p = y(l — x^ sin^9) (1 — A^ sin^g?) (1 — ft^ sin^9)) 

gesetzt wird. 

Dem Begrenzungsstück von x = bis x = — <x> entspricht 
das Bild, dessen Gleichungen sindj 







«; = 4- 





wenn man 



9i 



/x-iAj /*8in*9<29 



A 9 = y(l — ^1^ sin^9)) (1 — X^ sin^9) (1 — ^l^ %vo?q>) 
setzt. 

Zu dem oben bezeichneten Kreisbogen gehört als Bild das Be- 
grenzungsstück 

^ ji^ /^ (l — ;i^8in«y)<£y , ji^ /' (1 — X^^%m^ip)d<p 
^~V~9J ^9> "^]/ij A9 



I • 



7t 



• 9i 

' = ± — vT^J ^^ - — v^ — J A9 '. 

' ^ ^ ü 

Endlich entspricht dem Stück der genannten unendlichen Gra- 
den das Bild, dessen Gleichungen 

X /•(! — X^ sin^q))dcp , /m- /* (1 — Xj^sin^cp) dy 



U 



_x_ /*(! — ;i^ sin'q)) dtp . fi / 



V^J ^9> VöJ A9 

y ü 

TT A 

~2 ~2 

--npT""-/ ^^ - — 7^ — J ^^^ 

Es würde noch erübrigen, nicht bloss, wie bisher geschehen, 
u und V für die Grenze des Flächenstückes sondern für jeden Punkt 
innerhalb derart zu bestimmen, dass 

=^ X '{■' yi =^ sin^ am (u + vi, x) 
ist. 

„Diese Aufgabe hat nun Heine in der angeführten Abhand- 

„lung gelöst und zugleich für ein anderes Gebiet, nicht für das 

„icy- Gebiet, wenn 



200 L. KOBNIOSBEBGER. 

X -^ yi =^ sin^am(w + viy x) 

„sondern für das a?}/- Gebiet, wenn 

X -^^ yi = sin am {u + t;i, x) 

„gegeben ist, jene vier Grenzlinien direct bestimmt. Es sind die 
„positive y-Halbaxe, die positive rr-Halbaxe von a; = bis x = 1, 
„der Bogen einer bestimmten Lemniscate und eine von 

, . 1 e^ 

X 4- tu = — = — 

' ^ X Q 

„in's Unendliche laufende Grade, die rückwärts verlängert durch 
„den Anfangspunkt der Coordinaten geht. Wenn man in unsern 

„früheren Begrenzungsstücken x + yi für Yx -f- yi also 

x^ — y^ für X 
2xy für y 

„einführt, so gelangt man in der That zu den He ine 'sehen." 
Dresden. L. Koenigsberger. 



Anmerkung zu dem Beferate S. 138. 

Die Erweiterung des dort erwähnten Jacob i'schen Satzes ist, 
wie ich erst später gefunden habe, in anderer Fassung und mit 
andersartigem Beweise von Liouville gegeben worden in seinem: 
„Memoire sur quelques propositions generales de geometrie etc." 
Journal de Mathematiques Tome VI. 1841. 

Leipzig. Ax. Harnack. 



H. G. Zeüthen. 201 



n. G. Zeuthen: Sur une belasse de points singuliers de surfaoes. 

(Mathematische Annalen IX.) 

— Note sur les singnlarites des courbes planes. 

(Mathematische Amialen X.) 

— B^vision et extension des formules num^riques de la throne 

des surfaces röoiproques. (Mathematische Annalen X.) 

On sait que M. Salmon a trouve*) — ä une pres — les re- 
lations qui ont lieu entre les nombres des singnlarites ordinaires 
dune surface algebrique; M. Cayley a trouve**) celle qui restait 
encore, et en meme temps il a etendu cette theorie par Tintroduetion 
de plusieurs singnlarites extraordinaires; le nombre de celles-ci a 
ete augmente ensuite par moi.***) Immediatement apres j'ai ex- 
prime toutefoisf) quelques doutes sur plusieurs des coefficients des 
termes introduits par M. Cayley et moi. C'est pour cette raison 
que j'ai entrepris une nouvelle et uniforme deduction par le principe 
de correspondance des formules dont il s'agit, et une etude detaillee 
de toutes les singularites auxquelles j'avais egard, y compris plu- 
sieurs singularites nouvelles. Les resultats de ce travail, assez long 
et penible, sont consignes au troisieme des memoires nommes ci- 
dessus: les deux autres en sont des precurseurs. 

Les points singuliers dont je m'occupe dans le premier memoire 
sont les points doubles ä un seid plan tangent (double), qui est le lieu 
de droites rencontrant la surface en quatre points coincidents, et qui, 
de son cöte, n'a qu'un seul point de contact. Je prouve, au moyen 
de series, que le plan tangent en un de ces points a les proprietes 
reciproques ä Celles de son point de contact: les nombres des 
points doubles et stationnaires de la courbe double, des points 
doubles et stationnaires de la courbe cuspidaley et des points d'in- 
tersection de ces deux courbes qui sont reunis en un des points 
singuliers qui nous occupent, sont egaux, respectivement, aux nom- 
bres des plans tangents doubles et stationnaires de la developpable 



*) Transactioms of the Royal Irift-h Academy, vol. 23. — Voir aussi les 
deux premiöres ^ditions de „Geometry of three Dimensions", 

**) Ä Memoir on the Theory of Redprocdl Surfaces, Philosophical Trans- 
actions 1869 et 1871. 

***) Sur les droites multiples des surfaces. Mathematische Annalen t. IV. 
t) Note sur la theorie des surfaces reciproques. Mathematische Annalen 
t. IV, p. 636. 

Bepertoriam für reine und angewandte Mathematik. 14 



202 n. G. Zeuthen. 

bitangente, des plans tangents doubles et stationnaires de Tenveloppe 
des plans tangents stationnaires de la snrface, et des plans tangents 
, communs ä ces deux developpables, qui coincident avec le plan 
tangent au point singulier. — J'etudie ensuite les contaets de la 
courbe de contact des glans tangents doubles et de la courbe para- 
bolique avec la courbe double et la courbe cuspidale. - 

L^etude des autres points singuliers d'une surface se fait, dans 
le troisieme memoire, par la discussion des degenerations que subit 
un cone circonscrit pour des positions particulieres du sommet: il 
s'agit notamment, si Fon remplace les cones par leurs sections pla- 
nes, de la determination du nombre de points doubles et stationnaires 
qui se confondent en un point singulier superieur, et celui des 
tangentes doubles .et stationnaires qui se confondent en une tangente 
singuliere superieure. Cette determination se fait par des theoremes 
trouves et demontres par MM. Cayley, Nöther, Halphen et 
Stolz, auxquels il m'etait commode toutefois pour mon but de 
donner une nouvelle forme, ce que j'ai fait dans la ,^Note sur les 
singularites des courhes planes^'. Malheureusement, un moyen de fa- 
ciliter ulterieurement la determination de ces „equivalents plücke- 
riens" m'a echappe alors: je pense ä la relation entre les quatre 
equivalents d'une brauche complete que M. Smith a exposee dans 
une belle et complete discussion des singularites superieures des sur- 
faces, publice, dans le vol. 6 des „Proceedings of London Mathe- 
matical Society", en meme temps, a peu pres, que ma Note. Ce 
manque n'a aucune influence sur mon troisieme memoire, oü je me 
contente, pour ces determinations, d'un renvoi ä la Note. 

Afin d'indiquer ici les nouvelles formes des equations des MM. 
Salmon et Cayley — oü toutefois seulement des termes intro- 
duits par M. Cayley et moi sont älteres — auxquelles a conduit 
„la revision et Textension" entreprises dans le troisieme memoire, 
je renvoie, pour la plupart des notations, ä la troisieme edition de 
la j^Geometry of three Dimensions^^ de M. Salmon.*) Les miennes 
n'en diflferent que par les circonstances que je designe par k ei h 
les nombres pltickeriens des generatrices doubles des cones pro- 
jetant la courbe double et la courbe cuspidale (et non pas seule- 
ment les nombres des points doubles apparents de ces courbes), que 
je n'ai pas besoin du nombre &• des points „de singularite inexpH- 



*) p. 539 et 549. Voir aussi redition allcmaude, due ä M. Fiedler, da 
mßme livre, p. 605 et 616. 



r 



H. G. Zeuthen. 203 

quee", regardant ces points comme faisant partie des singularites 
dejä introduites par les notations de % ^ B\ et que je fais Tusage 
analogue des notations k'j h\ % et B,^ Je designe encore par U 
le nombre des points uniplanaires, par le nombre des plans dont 
les sections ont des points triples en des points simples de la sur- 
face, par ü' et 0' les nombres des singularites reciproques, et par 
ff d, g^ e et i eeux des points doubles et stationnaires de la courbe 
double^ des points doubles et stationnaires de la courbe cuspidale, et 
des points d'intersection de ces deux courbes qui se trouvent aux 
points doubles a un seul plan tangent^ dont nous avons parle dans 
le compte rendu du premier des trois memoires. Selon le resultat 
principal de celui-ci nous n' avons pas besoin de notations /*', d'^ g\ 
e et i'j dont les significations ne diflfereraient par de celles de /) 
dj Qy e et i. Avec ces notations on aura les equations suivantes: 

a = a j 

n(n — l) = a + 26 + 3c, 
a(a— l) = w + 2d' + 3x', 

c — X = d(n — a) j 
6(& - 1) = 2 + 2Ä + 3{y + i:'[f,'(v - 4) + 2Vn + d], 
c(c— l) = r + 2Ä + 303 + 2(7 + 6), 
a(n - 2) = [x - :B - i:(n + 2t)] + p + 2(y + i:[x([i - 2)'], 
5(w - 2) = p + 2/3 + 3y + 3< + 90' + 2:[y((i - 2)], 
c(n — 2) = 2(^+4/3 + y + 8x' + 165'+ 120'+ 2;^(ft-2), 
o(n — 2)(w — 3) = 

2{d-3Z7-2;[^^ + 2.^ + 3vg+4fcl> + 6,,g+Hl%--i> + g]) 

+ 3[ac — 30-x — ^(xs)] + 2[ab - 2q - j — i:(xtr)] 
+ 2:[x((i - 2) {(i - S)] , 

6(w - 2) (n - 3) = 4 (ä — 3< — 30' — 2: p-^P^] 

- £' [u + 2 r (£ - 3) + 3 "l^L^ + ij' g' + 6 ^^^^] - f] 

+ [ab — 2q—j — i:(xy)^ 

+ 3[&c-3/3 — 2^-120' — 2?(y«)—2;'(«;'+4i?' + 4g') — i] 
+ 90' + 2;[Kft-2)(^-3)], 

c(n — 2)(w — 3) 
= 6 JÄ — 6x' - 125' — C7' — 40' — 2: [--f^^] — -^'(r) - g] 

+ [ac — 3(y — X — 2:{xz)'\ 

+ 2[6c-3|3-2y-120'-2:(j^«) — 2;'(«;'+4V+40-i] 
+ 18Ö' + 2:K^-2)(^-3)], 

14* 



L 




204 H. a. Zeuthen. 

(? + 2r- 3c- 4/ ~ 3;c' - 14 f7' + 20'- 2:'(2^' + r +8i?'+ 110 

= 0'+2r' — 3c' — 4j — 3;t: — 14^7+20— 2:(2/i + i/ + 8i2 +1U); 
et Celles qui en resultent par le principe de dualite. 

Abstraction faite des differences dues aux alterations des no- 
tations et aux nouveaux termes que nous avons introduits, les for- 
mules indiquees ici diflerent de Celles qu'on trouve aux endroits 
cites par plusieurs termes ^ontenant % ^ B\ rjf et £'. 

Dans les formules indiquees ici on a suppose que les singuläri- 
tes se presentent.de la maniere la plus generale que permetleur 
definition; mais en ayant egard ä Torigine des termes respectifs on 
trouve sans difficulte les mödifications que peuvent subir les formu- 
les en des cas particuliers. Le memoire contient aussi des exemples 
de ces mödifications. 

Les formules ne sont pas toutefois la seule fruit qui j'ai cher- 
chee par mon travail. Les proprietes des points et plans singuliers 
dont la connaissance etait necessaire pour la determination directe 
des coefficients des formules, auront, je le suppose, quelque interet 
ä elles. Reciproquement, ces proprietes sont assurees par leur ap- 
plication ä la deduction des formules numeriques, qui permettent 
plusieurs verifications. 

Une grande partie de ces proprietes ont egard aux plans tan- 
gents stationnaires et doubles de la surface qui ont les diflPerents 
points singuliers pour points de contact, et aux branches de la 
courbe cuspidale et double qui sont tangentes aux plans singuliers. 

On troiive, par exemple, que chacun des deux plans tangents 
en un point biplanaire est en general (si Ton regarde la surface 
comme lieu de points) plan tangent quadruple de Tenveloppe des 
plans tangents stationnaires-, les generatrices de contact, mais non 
pas les branches correspondantes de Tarete de rebroussement de la 
developpable, passent par le point biplanaire. Les deux plans tan- 
gents comptant pour trois plans tangents menes a la surface par 
les droites qui s'y trouvent, le principe de dualite monire qu'un plan 
biponctuel contient deux points qui sont en general (si Ton regarde 
la surface comme enveloppe de plans) des points triples de la sur- 
face (ä un seul plan tangent), et des points quadruples de la 
courbe cuspidale. Les plans et points singuliers dont j'ai rendu 
compte ici remplacent les plans et les points „of unexplained singu- 
larity". 

Oopenhague, en aoüt 1876. H. G. Zeuthen. 



J 



W. Fiedleb. 2üO 



L 



W. Fiedler: Die darstellende Geometrie in organischer Verbin- 
dung mit der Geometrie der Lage. Für Vorlesungen an 
technischen Hochschulen und zum Selbststudium. Zweite 
Auflage. Mit 260 Holzschnitten und 12 lithogr. Tafeln. (LIV. 7(51.) 
Leipzig. Druck und Verlag von B. G. Teubner. 1875. 

Das Buch entspricht, nachdem es^ in der zweiten Auflage wesent- 
lich erweitert worden ist, den Vorlesungen über darstellende Geo- 
metrie und Geometrie der Lage, welche ich seit 1864 an den tech- 
nischen Hochschulen von Prag und Zürich gehalten habe. Es giebt 
die neue Grundidee, der ich in diesem Theile meiner Lehrthätigkeit 
Bahn zu brechen gesucht habe, in seinem Titel an. Die consequente 
Durchführung derselben hat eine neue Gliederung des Stoffes in 
beiden behandelten Gebieten bedingt und vielfach neue Gesichts- 
punkte und Methoden für die Untersuchung eröffnet; ich will ver- 
suchen, davon Rechenschaft abzulegen, kann aber dabei leider nicht 
so kurz sein als ich wünschte. Der Umfang des behandelten Ideen- 
kreises wird das entschuldigen. 

Einer Einleitung über Aufgabe, Methode und Entwickelungs- 
gang der darstellenden Geometrie und über die perspectivische Raum- 
ansicht als allgemeine Voraussetzung derselben folgen die drei Theile 
des Buches: I. Die Methodenlehre, entwickelt an der Untersuchung 
der geometrisdien Elementarformen und ihrer einfachen Verbindungen. 
IL Die constructive Theorie der krummen Linien und Flächen. Und 
IIL Die Geometrie der Lage und die projectivischen Coordinaten. 

Von der Centralprojection als dem einfachsten Abstractum des 
Sehprozesses ausgehend behandelt der erste Theil nach einander: 
A. Die Centralprojection als Darstellungsmethode und nach ihren all- 
gemeinen Gesetzen. B. Die constmctive Theorie der Kegelschnitte. 
C. Die centrische Collineation räumlicher Systeme als TJieorie der Mo- 
deüierungsmethoden. D. Die Grundgesetze der orthogonalen Parallel- 
prqjection, ihre Transformationen und die Axonometrie. Alle die all- 
gemeinen Darstellungsmethoden für ebene Abbildung und für Mo-' 
dellierung werden begründet und an den Raumelementen Punkt, 
gerade Linie und Ebene, an ihren einfachen Verbindungen, den 
Winkeln und Ecken, den Polygonen und Polyedern, sowie an der 
Kreislinie und ihren Abbilduii^en nach aller Mannichfaltigkeit ihrer 
Verwendung entwickelt. Dabei ergeben sich die Grundbegriffe und 
die fundamentalen Theorien der Geometrie der Lage als der natur- 



206 W. Fiedleb. 

gemässe Ausdruck der allgemeinen Gesetze der Centralprojeetion so- 
fort im Abschnitt A,, sodass die Theorie der Kegelschnitte in B. als 
ein umfassendes Beispiel ihrer Anwendung erscheint; sie führen 
auch von der centrischen CoUineation in der Ebene als dem Aus- 
druck der durch die Centralprojection vermittelten Beziehung ebener 
Figuren im Abschnitt C. zu der centrischen CoUineation der Räume, 
aus welcher alle für Kunst und Technik verwendeten Modellierungs- 
methoden entspringen. Die verschiedenen Formen der Anwendung 
der Parallelprojection ergeben sich dann in D. sehr kurz und voll- 
ständig und damit ist die Ausrüstung für die Lösung aller gewöhn- 
lichen Aufgaben der darstellenden Geometrie im Gebiete der Theo- 
rien der krummen Linien und Flächen in dem erweiterten Sinne 
gewonnen, wo sie auch die selbständige Begründung und Entdeckung 
derjenigen Eigenschaften derselben einschliesst, deren Kenntniss zu 
jenen Zwecken nothwendig oder vorzugsweise nützlich ist, und die 
man gemeiniglich von anderswoher entlehnt, um nur ihren con- 
structiven Gebrauch zu zeigen. 

In solchem Sinne werden im zweiten Theil nach einander be- 
handelt: A. Die Curven und die developpabeln Flächen. B. Die krum- 
men Flächen im Allgemeinen und die Flächen zweiten Grades insbe- 
sondere, ' C. Die unndschiefen Eegelflächen. D. Die Botationsflächen; 
überall nur vordringend bis zu den Elementen der Lehre von der 
Krümmung der Flächen, also in Einschränkung auf den gewöhn- 
lichen Umfang des Materials der darstellenden Geometrie an den 
technischen Hochschulen und in den entsprechenden Lehrbüchern. 
In der consequenten Durchführung der doppelten Auffassung einer 
Curve als Ort ihrer Punkte und als Enveloppe ihrer Schmiegungs- 
ebenen respective Tangenten und einer Fläche als Ort von aufge- 
schriebenen Curven und als Enveloppe von umgeschriebenen Deve- 
loppabeln, in der dadurch bedingten eingehenden Behandlung der 
Curven und ihrer Tangentenflächen im ersten Abschnitt und auf 
Grundlage derselben weiterhin, sowie namentlich in dem Streben 
nach Entwicklung strenger Constructionen aus den notly«rendigen 
Bestifnmungsstücken liegen aber überall die Nöthigungen zu ganz 
selbständigem und vom Hergebrachten sehr abweichendem Vorgange. 

Endlich wird in dem gerade hierdurch vorbereiteten dritten 
Theil die systematische Entwicklung geometrischer Theorien wieder 
aufgenommen, zu welcher die beiden ersten Abschnitte der Methoden- 
lehre bereits geführt haben; nämlich in der Durchführung der Geo- 
metrie der Lage als der rein wissenschaftlichen Fortsetzung der 



W. Fiedler. " 207 

darstellenden Geometrie in den drei Abschnitten: A. Grundlagen und 
Coordinaten. B. Die Parameter der Gebilde und die Prajectivität; 
Erzeugnisse der projectivischen Gebilde erster Stufe. C. Die prqjectivi- 
sehen Gebilde zweiter und dritter Stufe und die Erzeugnisse ihrer Ver- 
bindung. 

Nach dieser Uebersicht ist es erforderlich, auf eine Reihe von 
Einzelheiten näher einzugehen, um die Ideenentwicklung zti ver- 
deutlichen — zuerst aus der Methodenlehre. In den §§. 1 — 14 wird 
die Centralprojection als unabhängige Darstellungsmethode entwickelt; 
die Bestimmung der geraden Linie und der Ebene, sowie deren Ver- 
wendung, insbesondere die charakteristische Benutzung der Flucht- 
elemente zur Lösung von Aufgaben mit Winkelbestimmungen — 
man sehe die einfachen Constructionen für eine Ebene, welche eine 
gegebene Gerade enthalten und mit einer bestimmten Ebene einen 
vorgeschriebenen Winkel einschliessen soll, in §. 10, 8 und 9 — , 
sodann die Relation der Rechtwinkligkeit zwischen Linien und Ebe- 
nen, die ümlegung und Aufrichtung ebener Systeme und die Trans- 
formationen der Centralprojection werden gegeben, letztere speciell 
entwickelt bis zur Erledigung des Hauptproblems der praktischen 
Perspective, der Auftragung aus den Coordinaten nach drei zu einan- 
der rechtwinkligen Axen unter Benutzung der reducierten Distanz. 

Nach der Zusammenfassung der Beziehungen zwischen Original 
und Bild eines Systems in dem Begriff der centrischen Collineation 
in §. 14 wird auf die Untersuchung des Zusammenhangs zwischen 
Bild und Original- einer geraden Punktreihe näher eingegangen und 
als erste die Frage nach dem Gesetz der Abhängigkeit zwischen 
Bild und Original einer Strecke beantwortet; man erhält damit so- 
gleich die einfachen Mittel zur Bestimmung der entsprechend glei- 
chen Strecken von gegebenem Anfangspunkt mit Hilfe der Gegen- 
punkte oder des Flucht- und des Verschwindungspunktes, aber auch 
ebenso einfache zur Bestimmung der entsprechend gleichen Strecken 
von gegebenen Längen, speciell von der Länge Null; durch Beides 
den deutlichen üeberblick des doppelten Systems der entsprechend glei- 
chen Strecken, die anschauliche Grundlage für die spätere so wichtige 
Theorie der Involution von vereinigten Punktreihen. Man erhält 
ferner das Gesetz, nach welchem das Theilungsverhältniss einer 
Strecke sich beim Uebergang zum Bilde ändert — wenn die Strecke 
den Gegenpunkt ihrer Geraden zur Mitte hat, so ändert sich nur 
sein Zeichen — und den fundamentalen Satz (§. 16) von der Un- 
veränderlichkeit des Doppelverhältnisses von vier Elementen eines 



208 



W. Fiedleb. 



Elementargebildes erster Stufe beim Uebergang zur Projection, also 
die Definition der Projectivität von solchen Gebilden sowie ihre Con- 
struetion aus drei entsprechenden Elementarpaaren (§§. 17, 18). In 
der Anwendung auf Büschel werden die entsprechenden Recht- 
winkelpaare als die den Gegenpunkten der Reihen gleichbedeutenden 
Elemente erkannt. Der Projectivität der Reihen entspricht die Auf- 
gabe: Man bestimme die Distanz, den Durchstoss- und den Flucht- 
Punkt einer Geraden, wenn für drei Punkte derselben die Bilder 
und die Tafelabstände gegeben sind — eine Bestimmung, welche 
die fundamentale durch das Projectionscentrum oder den Distanz- 
kreis mit Durchstosspunkt ' und Fluchtpunkt als speciellen Fall in 
sich enthält. 

Die Anwendung des gefundenen Projectivitätsgesetzes auf die 
centrische CoUineation ebener Systeme (§. 19) führt sofort zur Auf- 
stellung des Begriffs der Charakteristik einer CentralcoUineationj sie 
ist das constante Doppelverhältniss, welches je zwei entsprechende 
Elemente in den vereinigten projectivischen Reihen auf Strahlen aus 
dem Centrum oder in den vereinigten projectivischen Büscheln aus 
Punkten der Axe der CoUineation mit den sich selbst entsprechen- 
den Elementen derselben bestimmen, oder das Theilverhältniss der 
Gegenpunkte respective der entsprechenden Rechtwinkelpaare in Be- 
zug auf die Letzteren; und sie ist auch die Charakteristik der ent- 
sprechenden Centralprojectionen, weil sie das Theilverhältniss des 
Winkels zwischen Bild- und Original -Ebene, des Drehungswinkels 
bei der Umklappung, durch die nach ihrer Schnittiinie gehende pro- 
jicirende Ebene ist (§. 19, 5); sie wechselt bei entgegengesetzter 
Umklappung nur ihr Zeichen. Dies führt zur Eintheilung der Col- 
lineationen und Projectionen nach den Zahlwerthen der Charakte- 
ristik und zur Untersuchung der den Grenzwerthen 0, ex», ^ 1 ent- 
sprechenden Fälle, der CoUineationen mit singulären Elementen 
(§. 19, 8 und §. 21, f. g), sowie des Falles von der Charakteristik 
— 1 oder der Involution (§. 20); endlich der Specialfalle der Affinität 
und Aehnlichkeit, der axialen und der centrischen Symmetrie sowie 
der Congruenz (§. 21) — die Symmetrien ebener Systeme sind be- 
sondere Fälle ihrer Involution^ die Centralprojectionen symmetrischer 
Figuren sind Involutionen, Halbierung geht über in harmonische 
Theilung. So schliesst der Abschnitt A. mit der Lösung der Auf- 
gabe von der Bestimmung entsprechender Elemente und der Her- 
stellung der centrisch collinearen Lage für zwei ebene Systeme, von 
denen vier Punkte des einen und die entsprechenden des andern in 



W. Fiedleb. 209 

allgemeiner Lage gegeben sind, d. h. den letzten Theil betreffend 
mit der allgemeinen Auflösung des sogenannten umgekehrten Pro- 
blems der Perspective (§. 22, Fig. 43); endlich mit einer Uebersicht 
(§. 23), welche in den vorhergehenden Entwicklungen auch pro- 
jectivisch reciproke Systeme in der Form der Orthogonalsysteme 
aufweist und die allgemeine Bestimmung reciproker Ebenen sowie 
den Nachweis von drei Formen specieller Reciprocität mit singulären 
Elemehten gibt. 

So hat die Entwicklung der Centralprojection als Methode der 
Darstellung in zwingender Weise zu den Grundlagen der neuern 
Geometrie hingeführt, auch — wie noch ausgeführt werden mag — 
zu der Construction der Doppelelemente in vereinigten projectivischen 
Gebilden erster Stufe; denn sie zeigt in der centrischen Collineation 
ebener Systeme diese Vereinigung mit stets reellen zu den Gegen- 
punkten respective den nicht entsprechenden Rechtwinkelstrahlen 
symmetrischen Doppelelementen, und führt durch den besondern Fall 
der Involution ebener Systeme zu der Bemerkung, dass bei der ent- 
gegengesetzten Zusammenlegung beispielsweise projectivischer Reihen 
mit ihren Gegenpunkten die entsprechenden Nullstrecken nicht zur 
Deckung kommen statt wie bei der involutorischen Collineation stets 
reelle Doppelpunkte zu liefern; sowie dazu, dass hierbei stets die 
vereinigten Gebilde der ersten Stufe von entgegengesetztem Sinne 
sind und dass bei der entgegengesetzten Umlegung mit der üeber- 
einstimmung des Sinnes im Falle der Involution die Vereinigung der 
Doppelpunkte in der Mitte der Gegenpunkte, bei jeder andern cen- 
trischen Collineation aber -die Lage derselben zwischen den Gegen- 
punkten statt ausserhalb ihrer Strecke verbunden ist; d. h. man ist 
durch die constructiven Facta zu der Einsicht gedrängt, die eine 
Ueberlegung der correspondirenden Bewegung in projectivischen Ge- 
bilden sofort begründet, dass bei entgegengesetztem Sinn Doppel- 
punkte ausserhalb der Strecke der Gegenpunkte existiren müssen, 
während sie bei gleichem Sinn nur zwischen den Gegenpunkten 
existiren können und somit zur Steiner'schen Construction derselben 
aus Differenz und Product oder aus Summe und Product ihrer Ab- 
stände von den Gegenpunkten (§. 19, 13 f.). 

Derselbe Weg vom Besonderen zum Allgemeinen wird auch in 
der Theorie der Kegelschnitte im Abschnitt B. verfolgt. Von den 
Kreisprojectionen (§. 24) als Curven, die ebensowohl aus projectivi- 
schen Büscheln wie aus projectivischen Reihen entstehen, von den 
Kegelschnittbüscheln und Schaaren (§. 25) mit vier reellen gemein- 




210 W. Fiedler. J 

Samen Punkten respective Tangenten über die praktischen Con- 
structionsformen aus fünf reellen Elementen (§§. 26, 27) zum Be- 
weis der Identität von Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse 
(§. 28), zur Benutzung der Kegelschnitte für die Lösung aller Auf- 
gaben zweiten Grades (§. 29); sodann zur Untersuchung des Kegel- 
schnitts als Involutionsfigur oder als sich selbstentsprechend in der 
involutorischeh CoUineation mit einem beliebigen Pol als. Centrum 
und der zugehörigen Polare als Axe derselben (§. 30), zur Bösung 
der Probleme über die involutorischen Gebilde erster Stufe (§. 31), 
zur Theorie der harmonischen Pole und Polaren (§. 32) und zu den 
Constructionen mit imaginären Bestimmungselementen in conjugirten 
Paaren, also auch den Büscheln und Schaaren von Kegelschnitten 
mit nur zwei reellen und mit vier nicht reellen gemeinsamen Ele- 
menten (§§. 32, 34). Weiter folgen im Ausbau von Einzelheiten 
das Princip der ßeciprocität als besondere Form des in d^r Schluss- 
übersicht des Abschnittes A. hervorgehobenen Gesetzes der Dualität 
(§• 33), die Lehre von der Durchmesserinvolution, von Axen und 
Asymptoten, nebst der Beziehung der Affinität zwischen Kreis und 
Ellipse (§. 34), die Theorie der Brennpunkte und Directrixen (§. 35) 
und endlich die der Osculation von Kegelschnitten, speciell die des 
Osculationskreises (§. 36). Die allgemeine Untersuchung der Be- 
ziehungen zweier Kegelschnitte, welche hier praktisch entbehrliiSi 
ist, bleibt unerledigt, bis es möglich ist, sie für reelle und nicht 
reelle Kegelschnitte gleichzeitig zu entwickeln, d. h. bis zur Theorie 
von zwei vereinigt liegenden Polarsystemen im dritten Theil (§. 162); 
nur ein Theil dieser Untersuchung, die Bestimmung des gemein- 
Samen Tripels, wird früher erfordert und daher in der benöthigten 
speciellen Form entwickelt, nämlich bei der Theorie der Flächten 
zweiten Grades respective der Kegelflächen zur Bestimmung der Axen 
im zweiten Theil (§. 97); diese specielle Form, zu welcher sehr ein- 
fache Ueberlegungen führen, wird dann später in der That als iden- 
tisch mit der allgemeinen erkannt. 

Der kurze Abschnitt von der centrischen CoUineation rämnlicher 
Systeme, der nun folgt, hat in diesem Zusammenhang hervorragende 
Bedeutung; er gibt die einfachsten Constructionsmethoden (§. 40), 
die Eintheilung der Reliefs nach den Werthen der Charakteristik 
— bildliche und nichtbildliche (§. 41), je nachdem dieselbe positiv 
oder negativ ist — , den Fall der involutorischen centrischen Col- 
lineation (§. 42) und die Erörterung der speciellen Fälle der Affinität, 
Aehnlichkeit, Symmetrie und Congruenz. Die Centralprojectioa er- 



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W. Fiedler. 211 

scheint als unendlicli dünnes Relief — Anlass zur Unterscheidung 
sichtbarer und unsichtbarer Pigurentheile. Durch eilte Parallel- 
projection kann eine Raumform nicht bestimmt werden, dazu ist die 
Combination derselben mit einer zweiten auf dieselbe oder auf eine 
andere Ebene erforderlich; es wird gezeigt, dass nur für die ortho- 
gonale Parallelprojection die Charakteristik einfach dem Cosinus des 
Winkels zwischen Bild- und Original-Ebene gleich ist (§. 43), und 
damit der reelle Vorzug derselben vor andern Parallelprojectionen be- 
zeichnet. Am Schlüsse ein Blick auf die allgemeine Bestimmung 
räumlicher coUinearer und reciproker Systeme aus fünf entsprechen- 
den Elementenpaaren; dann zurück zum speciellem Ausbau der Lehre 
von der Parallelprojection (§. 46 f.), zuerst der orthogonalen. Im 
Ausgang von drei zu einander rechtwinkligen Projectionsebenen und 
ihren Durchschnittslinien zeigt sich, dass die sechs Halbirungsebenen 
ihrer Winkel, die vier Schnittlinien derselben zu dreien oder die 
Halbirungsaxen, und deren durch den Anfangspunkt gelegte Normal- 
ebenen für den ersten Zielpunkt der Untersuchung, die Darstellung 
des ebenen Systems, von entscheidender Bedeutung sind: Sie liefern 
die Spuren, die Affinitätsaxen zwischen den in derselben Tafel ver- 
einigten Projectionen in Paaren, die Axen- und die Würfel-Punkte, 
so wie vier Gerade, welche den Letzteren in dem Orthogonalsystem 
entsprechen, das den Fusspunkt der Normale zur Ebene aus dem 
Coordinatenanfangspunkt zum Centrum und die Länge dieser Nor- 
male zur Distanz hat (§. 51). Im dritten Theil (§. 161, 3 f.) wird 
dann erkannt, dass die hier elementar entwickelten Relationen ihren 
Grund in dem Umstände haben, dass die drei Projectionsebenen mit 
der Normale der Originalebene und mit ihrer Parallelebene durch 
den Anfangspunkt ein Orthogonalsystem im Strahlenbündel bestim- 
men, und es ergeben sich bezügliche Vervollständigungen. Ich darf 
wohl erwähnen, dass die Erkenntniss dieses Zusammenhangs im 
Jahre 1857 mir die Ueberzeugung gab, das wissenschaftliche Stu- 
dium der darstellenden Geometrie sei von dem der Geometrie der 
Lage nicht zu trennen, und dass ich von da ab die Idee dieses Zu- 
sammenhangs pädagogisch entwickelt habe, natürlich unter Voran- 
stellung der Centralprojection als der fundamentalen Methode; meine 
Programmschriffc von 1860 „Die Centralprojection als geometrische 
Wissenschaft" beschränkt sich zwar auf die Entwicklung der con- 
structiven Elemente und die Anwendungen auf die geradlinigen 
Flächen, aber sie enthält auch die Idee der Transformationen in der 
Centralprojection als Quelle der Constructionsvortheile, und sie fügt 



k 



212 W. Fiedler. 

ZU einer schon früher veröflfentlichten Anwendung der Affinitätsaxen 
die Anmerkung von der Analogie der Winkelhalbirungsebene zwischen 
zwei Projectionsebenen mit der zweiten Parallelebene der Central- 
projection hinzu, die in dem Satze liegt, dass zwei Gerade, Ebenen, 
Kegel, Regelflächen in diesen Ebenen einen gemeinsamen Querschnitt 
haben, wenn in Parallelprojection ihre zwei betreffenden Spuren, in 
Centralprojection ihre Spuren und Fluchtlinien verkehrt zusammen- 
fallen. Besondere Aufmerksamkeit ist noch im Schlussabschnitt des 
ersten Theils der geometrischen Durchbildung der orthogonalen (§. 60) 
und der schiefen (§. 61) Axonometrie (Letztere auf Grund des Pohlke'- 
schen Satzes) gewidmet; für die Letztere gibt eine Erörterung 
Steiners in der „Systemat. Entwickeluug" die ausreichende Grund- 
lage, wenn man die entsprechenden Rechtwinkelpaare projectivischer 
Strahlbüschel zu bestimmen versteht. 

Ich kann nun über den zweiten Theil ziemlich kurz berichten; 
wenn er auch in der Anordnung ganz von den früheren Lehrbüchern 
abweicht, so hat er doch mit ihnen in der Hauptsache das Material 
gemein, nur mit Ausnahme des ersten Abschnittes. Derselbe stellt 
zur ebenen Curve sofort die nichtebene oder der Kürze zu Liebe 
jyRatimcurve^^ (§. 63), zeigt als deren natürliche Singularitäten ihre 
stationären Elemente auf und merkt an, dass die beiden Operationen 
der Abwickelung der developpabeln Fläche in eine ihrer Tangential- 
ebenen und der Bildung der Eichtungshegel an einem Punkte der 
Curve als Spitze — Operationen, bei denen jene Singularitäten er- 
halten bleiben und welche die darstellende Geometrie wesentlich zur 
Untersuchung dieser Raumformen benutzt — einander genau nach 
dem Gesetz der Dualität entsprechen; er zeigt die Untersuchung der 
Kegel (§. 64) als übereinstimmend mit der ihrer ebenen Querschnitte 
bezüglich der projectivischen Eigenschaften ijnd geht daher von der 
Behandlung der Kegelflächen durch das Problem der Abwickelung 
(§. 71) — unter genauer aber ganz elementargeometrischer Unter- 
suchung des Gesetzes, nach welchem der Krümmungsradius einer 
Curve sich bei ihrer Abwickelung mit einer sie enthaltenden deve- 
loppabeln Fläche verändert (§. 72) — zur gemeinen Schraubenlinie 
(§. 73) als der geodätischen Curve des geraden Kreiscylinders und 
ihrer Tangentenfläche über. Bei den Kegelflächen ist besonders 
dem allgemeinen Zusammenhang von zwei behebigen Querschnitten 
in centralprojectivischer Darstellung, den Bildern der Asymptoten 
und den Asymptoten der Bilder und ihrer directen Ableitung mittelst 
der centrischen CoUineation (§. 66), sorgfältige Erledigung gegeben; 



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W. Fiedleb. 213 

bei der Schraubenlinie ist Anlass, von den Singularitäten des Bildes 
d. i. den Inflexionsstellen respective Doppelpunkten (und im U eber- 
gange von den einen zu den andern stationären Punkten) und den 
Doppeltangenten, sowie von den Singularitäten der ebenen Quer- 
schnitte ihrer entwickelbaren Fläche den Grund der Entstehung und 
damit die constructive Bestimmung anzugeben. Diese entwickelbare 
Fläche besitzt ein System von Doppelcurven und die Schraubenlinie 
eine mehrfach berührende developpable Fläche und zeigt daher nament- 
lich in der axonometrischen und centralen Projectiou die Relationen 
der Originalcurve mit der Doppelcurve und beliebigen ebenen Quer- 
schnitten der Developpabeln; dem entspringt z. B. die Anregung 
zur Lösung des allgemeinen Problems : Diejenige developpable Fläche 
zu bestimmen, welche zwei willkürlich gegebene Raumcurven ent- 
hält (§. 74, 4). Die Abwickelung der developpabeln Schraubenfläche 
zeigt §. 77. Nach einer kurzen Erörterung der hier einschlagenden 
metrischen Begriffe: Haupt- u. Bi-Normale, Polarlinie (Krümmungs- 
axe) und Polarfläche, Evolute und Evolvente, rectificirende, cyclifi- 
cirende etc. Developpable (§. 78) folgt die Lehre von den Durch- 
dringungen der Gylinder und ^ Kegel (§. 79), speciell derjenigen vom 
zweiten Grade (§. 80); zuerst die allgemeine Construction ihrer Punkte 
und Tangenten, speciell der unendlichen Aeste und Asymptoten, sodann 
für Kegel zweiten Grades speciell die beiden Formen ihres Zerfallens 
durch Auftreten von zwei Doppelpunkten, nämlich in zwei Kegel- 
schnitte, wenn die Verbindungsgerade der Doppelpunkte nicht selbst 
zur Durchdringung gehört, und in eine Gerade und eine Raumcurve 
dritter Ordnung, wenn es der Fall ist. Diese Gurve dritter Ordnung wird 
zunächst in ihren verschiedenen Formen untersucht; man erkennt von 
ihren allgemeinen Eigenschaften, dass sie keine stationären Elemente, 
keine Doppelcurve und keine doppelt berührende Developpable besitzen 
kann und ist dadurch veranlasst, die allgemeinen descriptiven Ge- 
setze aufzusuchen (§. 82 f.), nach welchen aus den Eigenschaften 
des Bildes der Raumcurve d. h. seinen Charakteren und Singulari- 
täten und aus denen des ebenen Querschnitts speciell der Spur ihrer 
Tangentenfläche auf die Charaktere und Singularitäten der Baum- 
curve und ihrer Tangentenfläche selbst geschlossen wird, unter 
Beschränkung jedoch auf die neun allgemeinen Charaktere, welche 
allein bei den hier zur Untersuchung stehenden einfachen Fällen 
der Curve dritter Ordnung und der Curve vierter Ordnung erster 
Art — auch die stationäre Tangente ist hier nicht möglich — her- 
vortreten. Es werden auch die Modificationen angegeben, welche in 



• 

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214 W. Fiedler. 

diesen Beziehungen für besondere Lagen des Projectionscentrums 
oder der Schnittebene eintreten, z. B. also (§. 84) die Entstehung 
der Spitzen erster und zweiter Art im Bilde einer Curve, später 
(§. 86, 7) die Endstellen in den Kegelsehnittbildem der Curve vierter 
Ordnung erster Art erklärt. Demnächst folgt die Anwendung, zuerst 
auf die Fälle der Durchdringung von Kegeln zweiten Grades mit 
einem Doppelpunkt, der entweder ein Knoten oder isolirt oder ein 
stationärer Punkt ist — im letzteren Falle wird der Doppelkegel- 
schnitt der Tangentenfläche, die involutorische CoUineation derselben 
und der Curve für die nicht singulare Kegelspitze als Centrum und 
die Ebene der Doppelcurve als Ebene der CoUineation, sowie die 
CoUineation und Reciprocität aller solcher Curven und ihrer Deve- 
loppabeln unter einander nachgewiesen (§. 85). Ein Theil dieser 
Eigenschaften wird endlich als allgemein den Curven vierter Ordnung 
erster Art ohne singulare Punkte angeh'örig erwiesen durch nähere 
Untersuchung des bekannten Falles der Durchdringung zweier Kegel 
zweiten Grades, welche eine gemeinsame Hauptebene haben (§. 86) ; 
es ergibt sich, dass im Allgemeinen durch eine solche Curve vier 
Kegel zweiten Grades, doppelt projicirende Kegel derselben, hin- 
durchgehen, und dass ihre developpable Fläche sich in vier ebenen 
Curven vierter Ordnung sechster Classe selbst durchdringt, die in 
den durch die Tripel jener Kegelspitzen bestimmten Ebenen liegen; 
man findet einfache Regeln, nach welchen diese Ebenen und die 
fehlenden beiden Kegelspitzen oder das Quadrupel in jedem Falle 
construirt werden, spwie Regeln zu ihrer Benutzung zur genauen 
und raschen Construction der Curve uud ihrer Tangentenflächen 
selbst. Frezier in seinem „Traite de stereotomie" (Liv. I, Ch. VI 
bis VIII der Ausgabe von 1754) htt, wie ich glaube, zuerst und 
bis zu meinem Buche auch zuletzt die Symmetrieverhältnisse dieser 
Curven betrachtet, indem er, man kann sagen, um kurz zu sein, die 
Querschnittscurven von zwei Quadrupelebenen mit den Kegelflächen 
zu einer Namengebung der einzelnen Fälle benutzt. Die Tangenten- 
fläche der Curve zieht er nicht in Betracht und die Zusammen- 
fassung zu einer allgemeinen Theorie war auch seinem Zeitgenossen 
D. Bernoulli in Basel, an den er sich gewandt, nicht gelungen; 
zu ihrer Entdeckung erschien die allgemeinere AuflEassung vom 
Standpunkte der Theorie der Flächen zweiten Grades nöthig, und 
sie blieb Poncelet's berühmtem „Supplement*^ vorbehalten. 

Der Abschuitt B. gibt nach Vorausschickung allgemeiner Be- 
griffe und Erklärungen die constructive Theorie und Behandlung 



r 



W. Fiedler. 215 

der Flächen zweiten Grades, und zwar zuerst die der geradlinigen 
(§. 89 f.) unter Benutzung der beiden Regelsehaaren derselben; so- 
dann die allgemeine Theorie auf Grund der involutorischen CoUi- 
neation solcher Flächen zu sich selbst für jeden Punkt des Raumes 
(§. 94) als Centrum oder Pol und seine Polarebene als Collineations- 
ebene. Ich hebe, um den Charakter der Behandlung näher zu be- 
zeichnen, die strenge Construction der Schnittpunkte und Tangential- 
ebenen eines einfachen Hyperboloids mit einer Geraden (Tafel VII); 
die Bestimmung der Hauptaxen der Flächen zweiten Grades aus 
zwei conjugirten Diametralschnitten (Tafel X) nebst Angabe der 
speciellen Form, welche sie bei Rotationsflächen annimmt; die Be- 
handlung der Flächen zweiten Grades mit elliptischen Punkten als 
Reliefs der Kugel in §. 98, und die Erledigung des Problems der 
gemeinsamen Developpabeln von zwei Flächen zweiten Grades in §. 101 
hervor^ welche natürlich die Kenntniss respective Bestimmung des 
gemeinsamen Quadrupels harmonischer Pole (§. 100) ebenso wie 
dasjenige der Durchdringungscurve erfordert. Am Schlüsse des Ab- 
schnittes wird die doppelte Entstehung einer krummen Fläche als 
Ort von Punkten und als Enveloppe von Ebenen allgemein erwiesen 
(§. 102), wobei sich die Theorie von der Involution der conjugirten 
Tangenten in einem Punkte der Fläche, die Lehre von den Haupt- 
tangentencurven und die Grundeigenschaften der geodätischen Linien 
und der l^^rümmungslinien derselben ergeben (§. 103). So schliesst 
der Abschnitt mit d,em unendlich dünnen Bündel der Normalen 
einer Fläche mit seinen beiden Doppelgeraden. 

Es folgt der Abschnitt von den windschiefen Begel flächen ^ be- 
ginnend mit der doppelten Erzeugung solcher Flächen aus drei 
Leitcurven oder Leitdeveloppabeln; für diese wird die Regel von 
der Bestimmung des Grades (§. 106), die Construction der Berüh- 
rungsebenen und Berührungspunkte durch die Projectivität (§. 107) 
(sie gestattet eine interessante Anwendung der Ebene Hx'y für Tan- 
gentialebene eines Punktes und Normalebene der Erzeugenden als 
xis und xy — siehe Zusatz zu p. 415, 6 — , welche auch M. Mann- 
heim ausgedehnt und glücklich benutzt hat), sodann die der Hyper- 
boloide und Paraboloide, welche längs Erzeugenden berühren, der 
Strictionslinie (§. 108), der singulären Erzeugenden etc. entwickelt, 
werden auch die Aufgaben über ihre Beziehungen zu den Elementar- 
formen, zu developpabeln und krummen Flächen erörtert. Die Bei- 
spiele der beiden windschiefen Schraubenflächen, der * Wölbflächen 
des schiefen Durchganges und des Eingangs in den runden Thurm, 






216 W. Fiedler. 

das schräge Kreisconoid, das Cylindroid und das Normalenbündel 
dienen zur Erläuterung. Zuletzt wird die Regelfläche dritten Grades 
in ihren beiden allgemeinen Hauptformen dargestellt und theoretisch 
untersucht; die Construction führt auf ihre projectivischen Erzeu- 
gungsweisen; für sie ist das längs einer Erzeugenden osculirende 
Hyperbolid streng construirt und sie gibt endlich Anlass zur Ent- 
stehung der Curve vierter Ordnung zweiter Art. 

Bei den Eotationsfläch^n (§. 115 f.) bietet zunächst das Problem 
ihrer Darstellung in Centralprojection eine nützliche Anwendung 
der Construction der Kegelschnitte aus Pol und Polare mit der In- 
volution harmonischer Pole in dieser und den Endpunkten der zu 
ihr parallelen Sehne durch jenen dar: Die Parallelkreise erscheinen 
als ein System von Kegelschnitten, welche in der Fluchtlinie der 
Normalebenen zur Axe der Fläche ein und dieselbe durch die ßecht- 
winkel- Involution am zugehörigen CoUineationscentrüm bestimmte 
Involution harmonischer Pole haben; ihre zu derselben parallelen 
Sehnen liefert das Bild desjenigen Meridians, für welchen die Axe. 
die ^alllinie zur Bildebene ist. Unter den üblichen Problemen 
bieten wieder für die Centralprojection der ebene Querschnitt und 
der Berührungskegel aus gegebenem Punkte durch ihre orthogonalen 
Symmetrieen Gelegenheit zu vortheilhafter Verwendung der Gesetze 
der Involution ebener und räumlicher Systeme. Zu den gewöhn- 
lichen Problemen der Schattenconstruction, welche in der Bestimmung 
der Berührungskegel und der Normalen der Flächen vom Leucht- 
punkte aus aufgehen, werden für paralleles Licht und in parallel- 
projectivischer Darstellung die der Beleuchtungsconstrudionen (§. 124 f.) 
hinzugefügt, die Bestimmung der Linien gleicher vorgeschriebener 
Intensität der objectiven Beleuchtung, d. h. der Berührungscurv.en der 
Flächen mit umschriebenen Developpabeln, deren Richtungskegel Ro- 
tationskegel von gegebenem Winkel um den Lichtstrahl als Axe 
sind; ihre Construction wird für alle die behandelten Flächenarten 
hier auf Grund sehr einfacher Betrachtungen erledigt. Immer bieten 
die Rotationsflächen im Allgemeinen mehr als andere das Beispiel rein 
graphischer so zu sagen empirischer Behandlungsweise; nur das System 
der zu behandelnden Probleme und der Constructionsmittel sondert 
sich auch hier in zwei einander dual gegenüberstehende Gruppen. 

Wenn nun im dritten Theil die rein wissenschaftliche Ent- 
wickelung der Untersuchung ausschliesslich wieder aufgenommen 
.wird, so ist 'durch alles Vorhergehende dieser Darstellung der Geo- 
metrie der Lage von vornherein eine von dem Hergebrachten ganz 



W. Fiedlee. 217- 

abweichende Situation bereitet und eine in mancher Beziehung eigen- 
thümliche Aufgabe gestellt. Ich entspreche derselben mit der ge- 
botenen Kürze wesentlich durch die Anwendung der gemischten die 
synthetisch construirenden und die analytischen üntersuchungsmittel 
combinirenden Methode, Zu ihr führt sofort die Wiederaufnahme der 
Untersuchung hin, obwohl sie naturgemäss einer sorgfältigen Prü- 
fung der Fundamente und somit der von den Voraussetzungen der 
Elementargeometrie unabhängigen Begründung der Projectivität ge- 
widmet ist; sie eröffnet mit der wesentlich von v. Staudt gegebenen 
von den perapectivischen Dreiecken etc. zur harmonischen Theilung 
und zur Projectivität und Involution*) der' Elementargebilde erster 
Stufe führenden Ableitung (§. 133 f.); sie schliesst an die Involution 
dieser ElementärgeBilde in Zusammenfassung und Weiterbildung von 
vorher schon vielfach benutzten Ergebnissen die geometrische Theorie 
der imaginären Elemente an (§. 135 f.), um dieselbe soweit zu führen, 
dass dem Satze Credit gegeben ist, wonach die Projectivität der 
Gebilde die projectivische Einordnung ihrer imaginären Elemente 
mit urafasst und durch solche Elemente in gleicher Weise bestimm- 
bar ist. Um die imaginären Elemente vollends einzubürgern, wird 
später (§.1^51, 7 f.) gezeigt, wie aus dieser geometrischen Theorie 
der analytisch geometrische Ausdruck derselben und umgekehrt aus 
diesem ihre constructive Bestimmung hervorgeht. Auf diese Unter- 
suchung des Imaginären gründet sich zunächst die genaue Zählung 
der reellen und der imaginären Elemente in den Elementargebilden 
der vier Stufen, welche die Möglichkeit der projectivischen Cor- 
respondenz der Elemente zwischen zwei solchen Gebilden abstract 
beweist. Die Uebereinstimmung der Ergebnisse der neuen Entwicke- 
lung mit denen der ursprünglichen auf die Elementargeometrie und 
Trigonometrie gegründeten gibt zugleich die Gewähr dafür, dass 
diese und die projectivische Geometrie, insofern sie an der per- 
spectivischen Raumansicht festhält, mit einander in Einklang stehen. 
Und dazu kommt nun noch der Nachweis, dass aus den fundamen- 
talen geometrischen Bestimmungsmethoden dfer ßaumelemente die 
analytischen sich ganz direct vollständig und allgemein ergeben. 
Dieselben Projöctivitätsrelationen oder Doppelverhältnissgleichheiten, 
durch welche aus drei, vier und fünf unabhängigen Elementenpaaren 



*) Hier ist auf p. 508 am Schlüsse von 11. im Druck die Zeile wegge- 
blieben, welche den Begriff der Charakteristik allgemein begründet: 

Also (Fl F^ AÄ)7\{F^F^ B'ß)7\iF,F^ BB'). (Charakteristik z/ §. 19). 

Bepertorium'fOr ruiuo imd angewandte Mathematik. 15 



.218 W. Fiedler. 

in zwei projectivischen Gebilden erster zweiter und dritter Stufe zu 
einem beliebigen Element des einen Gebildes das entsprechende des 
andern construirt wird, führen sofort (§. 138 f.) zur Bestimmung 
eines Elements in einem Elementargebilde erster, zweiter, dritter 
Stufe in Bezug auf drei, vier und respective fiinf feste Elemente 
desselben durch Zahlen, die ich als die projectivischm Coordinaten 
dieses Elements bezeichne, weil sie dieser ihrer Entwickelung gemäss 
beim üebergang zu einem projectivischen System nicht geändert 
werden. Ich leite aus ihnen durch rein projectivische Prozesse die 
Gleichungen der Elemente oder die Bedingungen des Ineinanderliegens 
von. Punkt und Gerade, Strahl und Ebene, Punkt und Ebene als 
lineare homogene Gleichungen mit zwei, drei und vier Variabein ab, 
deren Coefficienten zugleich die Coordinaten der dargestellten Ele- 
mente sind, wenn man noch die harmonische Trennung der beiderlei 
Einheits-Elemente durch die Fundamental-Elemente voraussetzt. Die 
Construction eines durch seine Coordinaten oder also durch seine 
Gleichung gegebenen Raumelements erfolgt im Gebilde erster Stufe 
als die Construction des vierten Elementes zu drei gegebenen aus 
seinem durch das Verhältniss seiner Coordinaten bestimmten Doppel- 
Verhältnisse und sie erfolgt durch eine zwei- respective dreimalige 
Wiederholung dieser Construction mit den Verhältnissen von zwei 
der drei Coordinaten zur dritten respective vierten in den Gebilden 
zweiter und im Gebilde dritter Stufe. Die Erwartung, dass im Ge- 
bilde vierter Stufe, d. h. für die gerade Linie als Raumelement, die 
vierfache Anwendung dieser Construction zur Bestimmung aus den 
Coord^iaten genügen müsse, leitet zur Benutzung von zweien der 
projicirenden Ebenen der Geraden aus den Fundamentalpunkten oder 
von zweien ihrer Durchstosspunkte mit den Fundamentalebenen, als 
welche je durch zweifache Anwendung jener Construction bestimm- 
bar sind; und es ergeben sich als die zweimal drei Coordinaten der 
ersteren die Strahlencoordinaten pik und als die zweimal drei Coor- 
dinaten der letzteren die Strahlencoordinaten ^a; aus dem Umstände 
aber, dass diese Durchstosspunkte in jenen projicirenden Ebenen 
liegen, folgt zugleich die Gruppe der diese Coordinaten verbindenden 
Relationen, nämlich die Proportionalität der pa und äj^ und der 
NuUwerth der Summe der Producte der drei complementären Paare 
der einen wie der andern (§. 145). 

Besondere Festsetzungen über die Lage 'des Einheitspunktes 
oder der Einheitsgeraden respective Einheitsebene in Bezug auf die 
Fundamentalpunkte führen auf diejenigen Formen der allgemeinen 



W. Fiedler. 219 

Coordinatenbestimmung, die man als Dreilinien- und Vierebenen- 
respectiye Dreipunkt- und Vierpunkt-Coordinaten und als Flächen- 
respective Volum en-Coordinaten bezeichnet hat; die Annahme, dass 
eines der Fundamentalelemente unendlich fem liege, gibt specielle 
Coordinatensysteme, unter denen die Cartesischen und die Tlücker'- 
sehen Coordinaten des Punktes und der Geraden respective des 
Punktes und der Ebene der Annahme entsprechen, dass die eine 
Fundamentallinie respective Fundamentalebene \inendlich fern sei. 
Diese Letzteren auf die Bestimmung der geraden Linie angewendet 
liefern die sechs Coordinaten der Geraden in derjenigen Form, in 
welcher sie von Plücker 1865 zuerst gegeben wurden, inde'ss die 
allgemeine Entwickelung die geometrische Begründung und Deutung 
der algebraischen Abkürzungssymbolik z. B. gibt, als welche Cayley 
1859 zuerst die sechs Coordinaten der geraden Linie im Ba.um ein- 
geführt hatte. 

Von den linearen homogenen Gleichungen zu den allgemeinen 
homogenen Gleichungen zwischen projectivischen Coordinaten über- 
führend, schliesst der erste Abschnitt des dritten Theils mit der 
geometrischen Deutung solcher Gleichungen und ihrer Combinationen: 
Ebene Curven und Kegelflächen, krumme Flächen, Liniencomplexe, 
Congruenzen, Regelflächen, Raumcurven, entwickelbare Flächen etc. 

Im unmittelbaren Anschluss hieran beginnt der zweite Abschnitt 
mit der Erörterung über die Anzahl der linearen Bestimmungsele- 
mente solcher Raumformen d. i. über die Gliederanzahl ihrer Glei- 
chungen und mit der daraus entspringenden Feststellung der Begriffe 
von Gebilden erster, zweiter etc., allgemein Jeter Stufe aus solchen 
Formen wie ihrer Gleichungen (§. 147), welche diejenigen der Ele- 
mentargebilde der gleichhohen Stufen als specielle Fälle umfassen. 
Daraus entspringt die Frage nach der geometrischen Bedeutung der 
Parameter in der Gleichung des Gebildes, Die Grundlage für die all- 
gemeine Beantwortung derselben wird gefunden (§. 148) durch die 
geometrische Deutung des Parameters im Elementargebilde erster Stufe 
als negatives Theilungsverhältniss des beweglichen Elementes in Be- 
zug auf die bestimmenden oder fundamentalen Elemente des Gebildes; 
eine ihrer ersten Anwendungen ist die Bestimmung des Doppelver- 
hältnisses einer Geraden mit einem Tetraeder aus ihren sechs auf 
dasselbe bezogenen Coordinaten zum neuen Erweis des schon früher 
abgeleiteten Satzes, dass die Durchstosspunkte der Geraden mit den 
Flächen und ihre projicirenden Ebenen aus den Ecken Gruppen von 

gleichen entsprechenden Doppelverhältnissen sind. Diese Deutung 

16* 



220 W. Fiedler. 

liefert, angewendet auf die Beziehungen der Elementargebilde erster 
Stufe zu Curven und Flächen die Theorie der Polaren (§.: 149) und 
mit dieser den Satz, dass die gleichnamigen Polaren eines Elementes 
in Bezug auf die Formen eines Gebildes Äter Stufe ein Gebilde Jcter 
Stufe mit den nämlichen Parametern, dass also die linearen Polaren 
ein Elementargebilde dieser Stufe mit denselben Parametern bilden; 
sodass die verlangte geometrische Deutung der Parameter für die . 
allgemeinen Gebilde mit der Deutung derselben für die Elementar- 
gebilde schon erledigt ist. 

D^mit ist es an der* Zeit, die Parametergkichungen der Pro- 
jectivität der Elementargebilde erster Stufe und im Falle des Inein- 
anderliegens derselben die Parametergleichung ihrer Involution auf- 
zustellen und zu discutiren (§. 151), um ihre Coefficienten geometrisch 
zu deuten und dadurch die möglichen Vereinfachungen zu erkennen. 

Der üebergang von diesen Parametergleichungen zu den Coor- 
dinatengUiehungen der Prqjectivität zeigt dann sofort, dass die lineare 
Substitution für die Variabein der allgemeine algebraische Ausdruck 
für den üebergang von einem System zu einem ihm projectivischen 
System ist; man erhält so (§. 152) die allgemeinen Gleichungen der 
Collineation und der Reciprocität für die Gebilde der drei ersten 
Stufen und sofort auch die geometrische Deutung ihrer sämmtlichen 
Coefficienten, d. h. den Zusammenhang mit dem Vorgange der Con- 
structionen;- und im speciellen Falle der Congruenz der Systeme in 
deckender Lage auch die Transformation der Coordinaten (§. 153), 
im allgemeinen Falle die Einsicht, dass die Algebra der linearen 
Substitutionen die analytische Geometrie der projectivischen Eigen- 
schaften enthält, eine Einsicht, welche, hier durch Anwendungen auf 
Curven und Flächen zweiten Grades erläutert wird (§. 154). 

Die Untersuchung wendet sich (§. 155) zu den Verbindungen 
p'ojectivischer Gebilde erster Stufe und ihren Erzeugnissen, den Curven, 
Kegeln und windschiefen Regelflächen zweiten Grades und aus den 
Elementargebilden, wie zu denen aus projectivischen Gebilden 
aus Curven oder Flächen, insbesondere auch den Curven'erzeu- 
gungen aus projectivischen Involutionen von Büscheln oder Reihen. 
Sie leitet sodann weiter aus der dabei stattfindenden perspectivischen 
Lage der Gebilde mit den Erzeugnissen die projectivische Be- 
ziehung von Element zu Element zwischen Gebilden und Erzeug- 
nissen und zwischen je zwei Erzeugnissen ab und kommt von diesen 
Projectivitäten zu neuen Erzeugnissen: Curven, entwickelbare Flächen 
ynd windschiefe Regelflächen; ein näher untersuchtes Beispiel von 



W. Fiedler. 221 

allgemeiner Art ist die Erzeugung der Curve vierter Ordnung zweiter 
Art aus einer Kegelfläche zweiter Classe und einer ihren Tangential- 
ebenen projectivisch zugeordneten Regelschaar (§. 157); das nütz- 
lichste specielle ist die projectivische Zuordnung der Regeischaaren 
eines einfachen Hyperboloids; eine genaue Figur verdeutlicht die 
zahlreichen Relationen, welche auf die Lehre von den projectivischen 
Reihen und Tangentenschaaren am Kegelschnitt und auf die Theorie 
der doppeltberührenden Kegelschnitte führen. Eine daran sich an- 
schliessende Betrachtung der höhern Involutionen beendigt den Ab- 
schnitt. Das wichtige allgemeine Princip der projectivischen Verbindung 
der Erzeug^iisse zu neuen Erzeugnissen wird bei den folgenden Stufen 
nicht weiter systematisch entwickelt; das hier Gegebene kann ge- 
nügen, um dazu anzuleiten. 

Der Schlussahschnitt untersucht zuerst die projectivischen Elemen- 
targebilde zweiter Stufe uud die Erzeugnisse ihrer Verbindung: Die 
in einander liegenden collinearen Ebenen und Bündel, ihre sich selbst 
entsprechenden Elemente, die bekannte üeberführung in die per- 
spectivische Lage unter neuem Gesichtspunkt (§. 159); die in ein- 
ander liegenden reciproken Gebilde zweiter Stufe (§. 160), ihre ein- 
ander involutorisch zugeordneten drei Elementenpaare, Pol- und 
Polar-Kegelschnitte und Kegel und ihre Beziehungen zu der involu- 
torischen Verwandtschaft zweiten Grades, in welcher die einander 
doppelt conjugirten Punkt- und Linien -Paare der Gebilde stehen; 
sodann die üeberführung der reciproken Systeme aus der allgemeinen 
in die involutorische Lage oder das Polarsystem und die Eigenschaften 
desselben mit besonderer Hervorhebung des Orthogonalsystems, 
dessen Directrixkegel nach dem imaginären Kugelkreis im Unend- 
lichen geht, und seiner Beziehungen zur Metrik (§. 161). Die oflFen- 
bare Analogie der Eigenschaften des Polarsystems im Gebilde 
zweiter Stufe zur Involution der Gebilde erster Stufe führen weiter 
zur Untersuchung von zwei in einander liegenden Polarsystemen (§. 162), 
ihres gemeinsamen Tripels harmonischer Pole und Polaren, ihrer 
drei Paare von Strahlen mit einerlei Involutionen harmonischer Pole, 
nnd drei Paare von Punkten mit einerlei Involutionen harmonischer 
Polaren, also zur Erledigung einer Hauptgruppe unter den Be- 
ziehungen von zwei Kegelschnitten in der allgemeinsten Form; in 
Anwendung auf das Orthogonalsystem liefert dies die Hauptstücke 
der Theorie der Kegel zweiten Grades. 

Zwei niM in einander liegende recipvJce Gebilde zweiter Stufe 
erzeugen eine Fläche zweiten Grades durch Verbindung ihrer ent- 



^ 



222 W. Fiedler. 

sprechenden Elementenpaare*, es wird dadurch sofort auch die ein- 
deutige ebene Abbildung dieser Flächen vermittelt^ und Anlass gegeben 
zur analytischen Darstellung des Erzeugnisses reciproker Gebilde zwei- 
ter Stufe überhaupt (§. 163). Die Untersuchung wendet sich endlich 
zu den Erzeugnissen von zwei nicht in einander liegenden colUnearen 
Gebilden zweiter Stufe, den Raumcurven dritter Ordnung und den 
developpabeln Flächen dritter Classe und den mit ihnen verbun- 
denen Strahlencongruenzen dritter Classe erster Ordnung und dritter 
Ordnung erster Classe, insbesondere auch dem Nachweis der Iden- 
tität der Curve dritter Ordnung mit der Rückkehrkante der deve- 
loppabeln Fläche dritter Classe (§.* 165). Im Anschluss daran werden 
die projectivischen Verbindungen zwischen den Flächen zweiten Grades 
und den Strahlencongruenzen mit Elementargebilden zweiter Stufe 
und unter sich, so wie zwischen Curven dritter Ordnung und De- 
veloppabeln dritter Classe mit Elementargebilden erster Stufe, mit 
den früheren Erzeugnissen von einfach unendlicher Elementenzahl und 
unter einander überblickt und ihre Parameterdarstellung begründet. 

Für die Elementargebilde dritter Stufe wird zuerst (§. 166) die 
Collineation und der tetraedrale Complex nebst den beiden speciellen 
Fällen der colUnearen Involution, der centrischen und der geschaarten, 
sodann die Beciprocität untersucht (§. 168) und auch die Letztere 
zu vollständiger Erledigung der fundamentalen Fragen geführt; man 
weist die vier Paare der sich involutorisch entsprechenden Elemente 
und ihre Gruppirung zum Tetraeder nach und erhält durch die Wahl 
desselben zum Fundamentaltetraeder die einfachsten Gleichungen 
der Reciprocität und natürlich auch der Pol- und der Polar-Fläche. 
Die Betrachtung der doppelt conjugirten Elemente ordnet den Punkten 
und den Ebenen des Raumes je einen tetraedralen Complex in Be- 
zug auf das Tetraeder der involutorischen Elemente zu und die 
Verbindungsebenen und Schnittpunkte entsprechender Elemente iu 
dieser Zuordnung erlauben die directe Cönstructioii jenes Tetraeders 
durch diejenigen beiden Gegenkanten, welche der Pol- und der Polar- 
fläche nicht angehören, und damit auch die Construction dieser beiden 
Flächen selbst; endlich wird deren Verwendung zur Construction 
entsprechender Elemente der Reciprocität gezeigt. 

Es folgt die Theorie des räumlichen Polarsystems (§. 169) und 
die üeberführung reciproker Räume aus der allgemeinen Lage in 
die involutorische; die Untersuchung von zwei Polar Systemen, die 
kurze Behandlung der Büschel und Schaaren von Flächen zweiten 
Grades mit einer besonders eingehenden constructiven Erörterung der 



W. Fiedleb. 223 

Schaar der Confocalen mit den Doppelcurven ihrer gemeinsamen 
Developpabeln im endlichen Raum; endlich die involutorische Reci- 
procität des NuUsystems und der lineare Complex (§. 170). 

" Den so untersuchten projectivischen Verbindungen zu zweien 
schliesst sich zuletzt als Vertreter der projectivischen Verbindungen 
zu dreien die Untersuchung der Fläche dfitter Ordnung aus drei 
colUnearen Bündeln (§. 171) mit der eindeutigen ebenen Abbildung 
derselben an; ihre analytische Ausdrucksform erweitert die Erzeu- 
gung sofort auf projectivische Flächenbündel und das Buch schliesst 
mit einem üeberblick und Ausblick auf die projectivischen Ver- 
bindungen der Elementargebilde zu vier, fünf und sechs und auf die 
Möglichkeit analoger Verbindungen von Gebilden feter Stufe aus 
Flächen — als dem wolU natürlichen Abschluss dieser Idee^ient- 
wickelung. 

Ich denke, es ist schon aus diesem Üeberblick ersichtlich, dass 
die Entwickelung der Geometrie der Lage aus der engen Verbindung 
mit der darstellenden Geometrie wesentliche Vortheile empfangt, 
die ihrerseits der Elemente der Geometrie der Lage selbst bedarf^ 
um nicht bei verschiedenen wichtigen Gelegenheiten Sätze ohne 
Beweis oder auf Grund von ihrer Methode gänzlich fremdartigen 
Beweisen benutzen zu müssen. Dass die Verbindung beider Dis- 
ciplinen eine natürlich -organische und nicht etwa nur durch locale 
Verhältnisse oder in individueller Anschauung begründete ist, dafür 
bot allerdings sjchon die Geschichte ihrer Entwickelung die deut- 
lichsten Belege dar; aus dieser habe auch ich sie zuerst gewonnen. 
Die Durchfuhrung war aber nicht möglich ohne vielfache Aenderungen 
und Neuschöpfungen in allen Theilen beider Wissenschaftsgebiete. 

Einiger Unterlassungen will ich noch hier gedenken, die, ob- 
wohl ^u Gunsten der Kürze gemacht, mir doch auch bei der jetzigen 
Durchprüfung meines Buches wiederum als solche erschienen sind. 
Ich rechne, dahin, dass die Lehren von der Affinität, Aehnlichkeit und 
Congruenz der Gebilde zweiter und dritter Stufe nicht trotz der viel- 
fachen Beiträge der beiden ersten Theile noch in zusammenfassender 
Wiederholung im dritten Theil bei §. 159 und §. 167 als Specialfälle 
der CoUineation eingehend behandelt worden sind — eine solche Be- 
handlung hätte auch Anlass gegeben zur Erörterung der Speciali- 
täten, welche den Erzeugnissen der projectivischen Verbindung 
solcher Gebilde eigen sind, also den bezüglichen Congruenzen und 
Oomplexen, Curven dritter Ordnung, Developpabeln dritter Classe etc., 
sie bietet für die Anwendung der gemischten Methode ein ausge- 



1 



224 W. Fiedler. 

zeichnet lehrreiches Beispiel in den Chasle stachen Sätzen über die 
Bewegung starrer Systeme. Auch hätten die Complexe, welche sich 
bei so wichtigen Gelegenheiten wiederholt darbieten, vielleicht noch 
etwas eingehender behandelt werden dürfen. Der üebergang von 
den Parameter- zu den Coordinaten-Gleichungen konnte weiter ver-^ 
folgt werden. Oder es hätte bei der Theorie von zwei vereinigten 
Polarsystemen in der Ebene (§. 162) auf die noch nirgends ange- 
gebenen interessanten Beziehungen der Tangenten der Directrix- 
kegelschnitte in den gemeinschaftlichen Punkten zum gemeinsamen 
Tripel und damit auf die Verbindung dieser Lehre mit den Kegel- 
schnitten F und Q des §. 154 eingegangen werden können, etc. 
Aber ich habe auf die Vollständigkeit und Systematik der Ideen- 
entwickelung innerhalb des behandelten (^bietes mehr Werth gelegt 
als auf die des Materials, an welchem sie darzustellen war. 

So mag nur noch erwähnt werden, dass über 1500 methodisch 
geordnete, fast durchweg in eigener Lehrerfahrung erprobte Auf- 
gaben und Beispiele für alle Stufen der Uebung die Entwickelung 
begleiten; die beiden letzten betreffen die Fläche dritter Ordnung 
mit vier Doppelpunkten und ihre eindeutige ebene Abbildung durch 
Inversion, sowie die Congruenz der Verbindungsstrahlen entsprechen- 
der Punkte, ein räumliches Analogon der Curve dritter Classe mit 
Doppeltangente, der allgemeinen Form der Steiner'schen Hypo- 
cycloide (sie wollen überall bis zur eignen Untersuchung hinlei- 
teu); femer, dass über die zu Vergleichendan Quellen ein Literatur- 
verzeichniss (p. 731—743) getreue Auskunft gibt, wo auch die ältere 
Geschichte der darstellenden Geometrie nähere Berücksichtigung 
gefunden hat; und endlich, dass ein alphabetisches Sachenregister 
(p. 744 — 754) zur Bequemlichkeit des Nachschlagens hinzugefügt ist. 

Zürich-Unterstrass. * Wilh. Fiedler. 



W. Fiedler. Notiz über algebraische Kaumcurven, deren System 
zu sich selbst dual oder reciprok ist. (Yierteljahrsschriffc 
der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich. 20. Jahrg. p. 173 — 79.) 

Die einundzwanzig Charaktere des Systems einer Raumcurve — 
insofern wir dazu auch die bestimmenden Charaktere der sie doppelt 
berührenden entwickelbaren Fläche und die der Doppelcurve ihrer 



J 



W. Fiedler. 225 

eigenen Tangentenfläche rechnen — wie es geschehen muss — , sind 
bekanntlich durch vierzehn Gleichungen mit einander verbunden, 
welche ihre darstellend geometrischen Beziehungen ausdrücken.^ Die 
Notiz entwickelt, dass es Raumcurven aller Ordnungen gibt, deren 
System zu sich selbst dual ist, d. h. bei welchen einander gleich 
sind: Ordnung der Curve und Classe ihrer Tangentenfläche, Ordnung 
der Doppelcurve und Classe der doppelt berührenden Developpabeln, 
Zahl der stationären Punkte und der stationären Schmiegungsebenen 
der Curve, Zahl der Doppelpunkte und Doppelschmiegungsebenen 
derselben, Zahl der stationären Punkte der Doppelcurve und der 
stationären Ebenen der doppelt berührenden Developpabeln, der drei- 
fachen Punkte der erstem und der dreifachen Ebenen der letztern, der 
Classe von jener und der Ordnung von dieser; die Zahl der scheinbaren 
Doppelpunkte der Curve und (nach einem uneig^ntlichen Ausdruck, den 
ich der Kürze wegen mir erlaube) der scheinbaren Doppelebenen 
der Developpabeln, die Zahl der scheinbaren Doppelpunkte der 
Doppelcurve und der scheinbaren Doppelebenen der doppelt be- 
rührenden Developpabeln. 

Solche Curven sind die Raumcurve d^tter. Ordnung und die 
Raumcurve vierter Ordnung erster Art mit Spitze (Salmon 1849), 
und die Curve vierter Ordnung zweiter Art mit zwei stationären 
Tangenten (Cayley 1865). Hier werden die sämmtlichen Curven 
fünfter und sechster Ordnung aufgezählt, welche dieselben Eigen- 
schaften besitzen und Beispiele von den entsprechenden Curven der 
Ordnungen sieben bis neun gegeben, speciell die vom Geschlecht 
Null unter ihnen. Ich zeige, dass unter den Curven fünfter Ordnung 
allein noch eine Species*) von so vollständiger Dualität des Systems 
auftritt, wie sie die Cayley 'sehe Species der Curven vierter Ordnung 
zweiter Art besitzt; eine Curve nämlich, bei der zu allem Vorigen 
auch die Ordnung und Classe die Zahl der scheinbaren Doppelpunkte 
und der stationären Punkte bei der Originalcurve und der Doppel- 
curve ihrer Tangentenfläche übereinstimmen, während zugleich 
diese Doppelcurve keine dreifachen Punkte enthält. Das Problem 
wird in diesem Falle bestimmt, man erhält sieben Gleichungen für 
ebenso viele Unbekannte, welche nur diese Lösungen zulassen. Diese 
beiden sind also die einzigen algebraischen Raumcurven, welche den 



*) Sie kommt wohl zuerst vor — jedoch nur mit den 13 Charakteren, die 
man damals kannte — in der Abhandlung von Schwarz „Crelle's Journal'* 
Bd. 64, p. 14. 




226 W. Fiedler. E. Hess. 

Doppelcurve ihrer Developpabeln und der Bückkehrkante ihrer 
doppelt berührenden Developpabehi gleichartig sind, so dass sie 
durch diese und die aus ihnen in gleicher Art entspringenden, etc. 
in steter Selbstwiederholung den Raum anfüllen. Man weiss, dass 
die Schraubenlinie dasselbe nur hinsichtlich der Doppelcurve ihrer 
Developpabeln thut. 

Zürich-Unterstrass. Wilh. Fiedler. 



E. Hess: lieber zwei Erweiterungen des Begriffs der regel- 
massigen Körper. (Sitzungsberichte der Gesellschaft zur Beför- 
derung der gesammten Naturwissenschaften zu Marburg. 1875. 

• S. 1 — 20.) 

I. Die erste Erweiterung des Begriffs der regelmässigen Körper 
besteht darin, die Beschränkung, dass die Oberfläche eines solchen 
Körpers contimiirlich sein soll,, aufzuheben. 

Die Betrachtung d^r höheren Arten der ebenen regulären Poly- 
gone führt bereits darauf, ein System von p concentrischen n Ecken 
der aten Art, deren Umfang continuirlich ist und dejen Kanten als 
innersten Flächentheil ein reguläres p n Eck der 1 ten Art ein- 
schliessen, während zugleich die Eckpunkte vermöge ihrer Verbin- 
dung durch die äussersten Diagonalen ein reguläres pn^ck der Iten 
Art bilden, als ein reguläres pnT&ek der paten Art mit discontinuir- 
Hohem Umfange aufzufassen. 

Analog lassen sich auch im Baume die möglichen Systeme, 
welche durch entsprechende concentrische Anordnung der regulären 
Polyeder mit continuirlicher Oberfläche entstehen, als reguläre Körper 
mit discontinuirlicher Oberfläche ansehen. 

Ein solches discontinuirliches, reguläres Polyeder kann nur aus 
einem der Platonischen Polyeder entweder durch passende Erwei- 
terung der Grenzflächen oder durch Legen von Diagonalebenen er- 
halten werden. Denn einmal müssen die Grenzflächen solcher Po- 
lyeder als innersten Körpertheil (innerste Zelle) ein Platonisches 
Polyeder einschliessen, und zweitens müssen die Ecken so auf einer 
Kugel liegen, dass sie, durch Ebenen verbunden, gleichfalls ein 
Platonisches Polyeder bilden. Bemerkenswerth ist, dass die eine 
dieser beiden Eigenschaften hier nicht, wie in der Ebene, die andere 
bedingt. 



E. Hess. 227 

Nach diesen Festsetzungen ergeben sich als mögliche dis- 
continuirliche, reguläre Polyeder nur drei, nämlich die concentrisch- 
regelmässigen Anordnungen des regulären Tetraeders zu 2, zu 5 
und zu 10. 

* Der erste dieser Körper (Keplers Stella octangula) lässt sich 
aus dem regulären Octaeder oder dem. Würfel, die beiden anderen 
aus dem Icosaeder oder dem Pentagondodecaeder leicht herleiten. 
Die beiden Systeme von je 5 concentrischen regulären Tetraedern, 
die aus dem Icosaeder oder dem Pientagondodecaeder entstehen und 
die sich, während bezüglich ihre Eckpunkte und die Ebenen ihrer 
Grenzflächen zusammenfallen, zu einander wie rechts und links ver- 
halten, bilden, während jedes von ihnen ein discontinuirlicher, regu- 
lärer Körper ist, msammen ein System von 10 concentrischen regu- 
lären Tetraedern, den dritten der erwähnten Körper. Bei demselben 
fällt in jedem der 20 Eckpunkte, die den Ecken eines Pentagon- 
dodecaeders entsprechen, je eine Ecke des ersten und zweiten Systems, 
und ebenso in jeder der 20 Grenzflächen (des innem Icosaeders) je 
eine Grenzfläche des ersten und zweiten Systems zusammen. 

Dieser letztere Körper lässt sich auch durch 5 Systeme von 
je 2 sich regelmässig kreuzenden Tetraedern gebildet ansehen, oder 
endlich auch als ein durch 20 Flächen begrenztes 20Eck, wobei 
jede Grenzfläche als ein aus zwei sich kreuzenden regulären Drei- 
ecken bestehendes (discontinuirliches) Sechseck der 2ten Art, jede 
Ecke als eine durch zwei sich kreuzende reguläre, dreiflächige Ecken 
gebildete (discontinuirliche) sechsflächige Ecke der 2ten Art zu be- 
trachten ist. Nach dieser letzten Auffassung sind die Grenzflächen 
und Ecken dieses Körpers, der im Uebrigen alle Eigenschaften eines 
regulären Polyeders besitzt, nicht in dem üblichen Sinne regulär 
— ein Umstand, der für die zweite, unter II zu besprechende Er- 
weiterung des BegriflFs eines regelmässigen Körpers von Bedeutung ist. 

Bei den bisher festgehaltenen Definitionen sind die erwähnten 
drei Systeme von regulären Tetraedern, welche sich selbst polar- 
reciprok in Beziehung auf eine concentrische Kugel entsprechen, die 
einzig möglichen discontinuirlichen, regulären Polyeder. Denn die 
allein noch in Betracht kommenden Systeme von je 5 regulären 
Octaedern und je 5 Würfeln, die sich auf bekannte Weise aus dem 
Icosaeder oder Pentagondodecaeder herleiten lassen, besitzen immer 
nui* je eine der beiden oben erwähnten Eigenschaften. 

11.^ Die zweite Erweiterung des Begriffs eines regelmässigen 
Körpers besteht darin, einen regelmässigen Körper als einen solchen 



228 E. Hess. 

ZU definiren, der zugleich gleichecJcig und gleich flächig ist] der also 
lauter gleiche (eongruente oder symmetrisch gleiche), aber nicht 
nothwendig (im üblichen Sinne) reguläre Ecken hat und von lauter 
gleichen (congruenten oder symmetrisch gleichen), aber ebenfalls 
nicht nothwendig regulären Flächen begrenzt ist. ' 

Die gleicheckigen Polyeder, deren erste Arten zuerst Hessel be- 
trachtet hat, und die ihnen in Beziehung auf eine concentrische 
Kugel polar entsprechenden gleichflächigen Polyeder enthalten die 
s. g. halbregulären oder Ärchimedeischen Körper als besondere Fälle 
in sich, indem bei den gleicheckigen Polyedern die ron einander 
verschiedenen Grenzflächen, bei den gleichflächigen die von einander 
verschiedenen Ecken regulär sein müssen. Die Construction der 
gleicheckigen, wie der gleichflächigen Polyeder lässt sich auf be- 
stimmte Eintheilungen der Oberfläche der Kugel, welche bezüglich 
dem gleicheckigen Körper um-, dem gleichflächigen ^'^geschrieben 
ist, in entsprechende sphärische Polygone zurückführen. 

Die zugleich gleicheckigen und gleichflächigen Polyeder umfassen 
einmal die bekannten 5 Platonischen, sowie die 4 von Kepler 
und Poinsot entdeckten regulären Polyeder höherer Art, indem 
bei diesen die gleichen Ecken, wie die gleichen Flächen beide re- 
gulär sind. 

Was die übrigen zugleich gleicheckigen und gleichflächigen 
Polyeder anlangt, so wird in der Abhandlung gezeigt, dass unter 
denen erster Art nur noch die Gruppen der s. g. rhombischen und 
quadratischen Sphenoide den aufgestellten Bedingungen genügen, wo- 
bei die quadratischen Sphenoide einen besonderen* iPall der rhom- 
bischen darstellen und als weitere Specialität das reguläre (Pla- 
tonische) Tetraeder enthalten. 

Von den ausserdem möglichen, zugleich gleicheckigen und 
gleichflächigen Polyedern höherer Art und zwar zunächst den conti- 
nuirlichen ' werden alsdann vorläufig vier solcTier wie es scheint, 
bisher noch nicht berücksichtigter Polyeder abgeleitet und beschrie- 
ben, und in Betreff der sämmtlichen hierher gehörigen Körper, sowie 
der genauen und vollständigen Entwickelung auf eine demnächst 
erscheinende grössere Abhandlung verwiesen. 

Schliesslich wird auch noch kurz auf die zugleich gleicheckigen 
und gleichflächigen Polyeder mit discontinuirlicher Oberfläche einge- 
gegangen, zu denen ausser den unter I aufgeführten zahlreiche 
andere Gruppirungen, u. A. die ebenfalls schon erwähnten Systeme 



E. Hess. 229 

Ton je 5 sich kreuzenden Octaedern und Würfeln, sowie bestimmte 
Gruppirungen von rhombischen un^ quadratischen Sphenoiden ge- 
hören. 

Marburg. E. Hess. 



£. Hess: Ueber die zugleich gleicheckigen und gleichflächigen 

Polyeder; Kassel 1876. Theodor Kay. 95 S. 11 Fig. auf 2 Tafeln. 

• 

Die genannte Schrift enthält die vollständige Ableitung und Be- 
schreibung derjenigen convexen, und continuirlichen Polyeder, welche 
zugleich gleichecJcig und gleichflächig sind. 

In Betreff der Definitionen der gleicheckigen und der gleich- 
flächigen Körper erlaube ich mir hier, auf den zweiten Theil des 
vorstehenden Berichtes über meine Abhandlung: „Ueber zwei Erwei- 
terungen des Begriffs der regelmässigen Körper^' zu verweisen. 

Die Schrift beschränkt sich auf die Betrachtung der hierher 
gehörigen convexen und continuirlichen Körper, d. h. solcher, deren. 
Grenzflächen und Ecken einerseits nur ausspringende ebene und 
Flächen-Winkel darbieten, andererseits ununterbrochen zusammen- 
hängen, während die Ableitung und Beschreibung der hierher ge- 
hörigen nicht convexen und discontinuirlichen Polyeder einer weiteren 
Abhandlung vorbehalten wird. 

Im §. 1 werden die derarttgen Polyeder erster Art hergeleitet, 
zu denen, wie bereits in der erwähnten Abhandlung gezeigt wurde, 
ausser den 5 Platonischen Körpern die Gruppen der rhombischen 
und quadratischen Sphenoide gehören. 

Um die hierher gehörigen Polyeder höhere7' Art zu erhalten, 
^erden im §. 2 zunächst die verschiedenen Arten der Herleitung 

IC 

vermittelst der synthetischen und analytischen Methode besprochen. 
Das fiir die folgenden Untersuchungen gewählte Verfahren besteht 
darin, die vollständigen Raumfiguren zu betrachten, die durch die 
Ebenen der Grenzflächen der gleichflächigen Polyeder erster Art ge- 
bildet werden, ein Verfahren, das sich zugleich constructiv sehr ein- 
fach und vortheilliaft handhaben lässt, indem man nur auf der Ebene 
einer der gleichen Grenzflächen die Spuren aller übrigen zu con- 
struiren braucht. 

Im §. 3 wird von der Bestimmung der Art eines Polygons, 
einer Ecke, eines Polyeders gehandelt, und bietet sich hierbei häufig 
Gelegenheit, auf Beziehungen, die in einer früher erschienenen Schrift 



230 E. Hess. 

des Verfassers {E, Hess: Ueber gleicJwckige und gleicJikantige Poly- 
gone. Kassel 1874. Theodor Kay) entwickelt sind, zu verweisen. 
Die s. g. erweiterte Eule rasche Formel wird sodann in weit grösserer 
Allgemeinheit abgeleitet, als es bisher geschehen ist, und endlich 
werden die Fälle genauer erörtert, in denen das polar-reciproke 
Entsprechen der Polyeder ein vollständiges und ungestörtes ist. 

Durch die Anwendung der angegebenen Methoden der Unter- 
suchung auf die verschiedenen gleichflächigen Polyeder hat sich das 
Resultat ergeben, dass nur bestimmte Körper einer Gruppe desselben, 
nämlich der des (12 + 20 + 30) ecJcigm (2 X 60) Flachs solche zu- 
gleich gleicheckige und gleichflächige Körper liefern. Es wird daher 
im §. 4 diese Gruppe der gleichflächigen und der ihnen polar ent- 
sprechenden gleicheckigen Körper genauer besprochen, indem die 
sämmtlichen hierher gehörigen Körper zusammengestellt und" die wich- 
tigsten auf die Lage und Beschaffenheit der Ecken, Flächen, Radien 
und Axen bezüglichen Relationen übersichtlich angegeben werden. 
Auch werden die Eckencoordinaten und Flächengleichungen der 
3 einfachsten und im Folgenden vorzugsweise in Betracht kommen- 
den Körper, des Pentagondodecaeders, Icosaeders und Triacontaeders 
in Beziehung auf ein rechtwinkliges, durch 3 s. g. 2gliedrige Axen 
gebildetes Coordinatensystem aufgestellt. 

In den §§. 5, 6 und 8 folgt sodann die genaue und systema- 
tische Untersuchung der vollständigen Figuren, welche durch die 
Ebenen der Grenzflächen eines Penftigondodecaeders, Icosaeders und 
Triacontaeders entstehen. Aus denselben ergeben sich, abgesehen 
von den nicht convexen und discontinuirlichen Polyedern, die bei- 
läufig erwähnt werden, im Ganzen 8 zugleich gleicheckige und gleich- 
flächige Körper höherer Art. Vier (mit (I) bis (IV) • numerirte) 
sind die Kepler-Pqinsot'schen Körper, die sich zu je zweien polar- 
reciprok entsprechen, zwei weitere, (V) und (VII), entstehen aus der 
vollständigen Figur des Icosaeders und ferner zwei, (IX) und (XI), 
aus der des Triacontaeders. Die den Körpern (V) und (VII) be- 
züglich polar entsprechenden (VI) und (VIII) werden im §. 7, und 
ebenso die den Körpern (IX) und '(XI) bezüglich polar entsprechen- 
den (X) und (XII) im §. 9 auf zweifache Weise_ hergeleitet und 
beschrieben. Die Gesammtzahl der hierher gehörigen Körper be- 
trägt also 12, und sind dieselben auch die einzig möglichen der- 
artigen Körper, wie am Schlüsse der Schrift gezeigt wird. 

Ich begnüge mich, diese 8 neuen Körper ((V) bis (XII)) im 
Folgenden in übersichtlicher Zusammenstellung aufzuführen: 



E. Hess. 231 

(V). Das 60 eckige Stern- 20 Flach der 5ten Art; dasselbe ist 
begrenzt von 20 Neunecken der 2ten Art, die als innersten Körper- 
theil ein Icosaeder einschliessen, und hat 60 gleichschenkelig-drei- 
flächige Ecken, die den 60 Ecken einer bestimmten Varietät eines 
(12 + 20 + 30) flächigen 60 Ecks entsprechen. 

(VI). Das 60 flächige Stern- 20 Eck der 5ten Art, welches dem 
vorigen polar entspricht; seine 20 Ecken sind neunflächig von der 
2ten Art und entsprechen den Pentagondodecaederecken, seine 
60 Grenzflächen sind gleichschenkelige Dreiecke und schliessen als 
innersten Körpertheil ein bestimmtes (12 -|- 20 -f- 30) eckiges 
60 Flach ein. 

(VIT). Das 60 eckige Stern- 20 Flach der 25ste^i Art, welches 
von 20 Neunecken der 4ten Art (Icosaederflächen) bejgrenzt ist und 
60 gleichschenkelig-dreiflächige Ecken hat, die wie die Ecken einer 
bestimmten Varietät eines (12 + 20) flächigen (12 X 5) Ecks liegen. 

(VIII). Das 60 flächige Stern -20 Eck der 25sten Art, dem 
vorigen polar entsprechend, mit 20 neunflächigen Ecken der 4ten 
Art, welche wie die Ecken eines Pentagondodecaeders liegen und 
60 gleichschenkelig - dreiseitigen Grenzflächen, die ein bestimmte^ 
(12+30)eckiges (12x&) Flach (einPyramidendodecaeder) einschliessen. 

(IX). Das (2x60)eckige Stern - SOFlach der löten Art, dessen 
30 ein Triacontaeder einschliessende Grenzflächen Zwölfecke der 
3ten Art, dessen 60 rechte und 60 linke Ecken ungleichseitig drei- 
flächig sind und wie die Ecken eines bestimmten (12 + 20 + 30)- 
flächigen (2 X 60) Ecks liegen. 

(X). Das (2 X 60) flächige Stern -30 Eck der 15ten Art, der 
polare Körper des vorigen, mit 30 zwölfflächigen Ecken der 3ten Art 
und (2 X 60) (d. h. 60 rechten und 60 linken) ungleichseitigen drei- 
eckigen Grenzflächen. Die Ecken entsprechen den Ecken eines 
(12 -|- 20) flächigen 30 Ecks, die Flächen schliessen eine bestimmte 
Varietät eines (12 -f 20 + 30) eckigen (2 X 60) Flachs ein. 

(XI). Das (2X60) eckige Stern - SOFlach der 45sten Art, 
welches von 30 Zwölfecken der 5ten Art (Triacontaederflächen) be- 
grenzt ist und (2 X 60) ungleichseitig- dreiflächige Ecken hat, die 
wiederum den Ecken eines bestimmten (12 -f- 20 -|- 30) flächigen 
(2 X 60) Ecks entsprechen. 

(XII). Das (2 X. 60) flächige Stern -30 Eck der 45sten Art, 
dem vorigen polar entsprechend. Seine Ecken, welche wie die des 
Körpers (X) liegen, sind zwölfflächig von der 5ten Art, und seine 
(2 X 60) ungleichseitig-dreieckigen Grenzflächen schliessen als inner- 



232 E. Hess. — J. Weyrauch. 

sten Körpertheil wiederum eine bestimmte Varietät eines (12 + 
20 + 30) eckigen (2 X 60) Flachs ein. 

V ^^ ^^ 

Mit Rücksicht auf die Entstehung dieser Körper kann man die 
(V) bis (VIII) und die (IX) bis (XII) je in eina Gruppe von zwei 
Paaren passend vereinigen. 

Auf weitere Einzelheiten der Schrift einzugehen, gestattet der 
Umfang dieses Berichtes nicht. Es sei daher nur noch erwähnt, 
dass für die meisten dieser Körper die Anzahl der Doppelpunkte, 
Flächen- und Eckendoppelkanten, Doppelebenen (über die Definitionen 
s. S. 29 — 34) bestimmt und Beziehungen zwischen diesen Werthen 
und den die Art der Polyeder bestimmenden Zahlen entwickelt sind. 

In den beigegebenen Figuren sind die Grenzflächen dieser Körper 
mit Benutzung der Entstehung derselben aus den die innersten 
Kerne bildenden gleichflächigen Polyedern erster Art gezeichnet; 
und endlich ist am Schlüsse der Schrift auch die zwiefache Art der 
Darstellung dieser Körper durch Papp- oder Fadenmodelle kurz 
angegeben. 

Marburg. E. Hess. 



Dr. J. Weyrauch: Festigkeit und Dimensionenberechnung der 
Eisen- und Stahlconstructionen mit Kücksicht auf die 
neueren Versuche; Ein elementarer Anhang zu allen Lehr- 
büchern über Eisen- und Stahlconstructionen von Dr. phil. 
Jakob J. Weyrauch, Professor an der polytechnischen 
Schule in Stuttgart. (Mit 4 lithographirten Tafeln. Leipzig 18t6. 
B. G. Teubner.) 

In neuerer Zeit sind in Deutschland, England, Schweden, Ame- 
rika umfassende und zum Theil ausgezeichnete Versuche über die 
Festigkeitseigenschaften von Eisen und Stahl als Constructions- 
material angestellt worden. Vorstehende Brochüre soll zunächst die 
greifbaren Resultate dieser Versuche übersichtlich, ohne viel Details, 
aber soweit vorführen, dass der ausführende Ingenieur damit auf 
den heutigen Standpunkt der Beurtheilung gestellt wird. Hieran 
schliesst sich eine systematische Darstellung der Dimensionen- 
berechnung von Eisen- und Stahlconstructionen, wie sie den neuen 
Resultaten entsprechend vorzunehmen ist. 



J. Weyrauch. 233 

Wenn man von der Festigkeit eines Stabes bei irgend einer Bean- 
spruchungsart (Zug, Druck u. s. w.) spricht,*) so versteht man 
darunter gewöhnlich diejenige Beanspruchung pro Quadrateinheit, 
welche gerade an der Zerstörungsgrenze liegt, setzt aber dabei still- 
schweigend^ eine ruhende oder doch ganz allmählich anschwellende 
Belastung voraus. In Wirklichkeit ist diö Festigkeit t bei einmaliger 
Beanspruchung eine Function der Geschwindigkeit des Anschwellens 
der Belastung, so zwar, dass t von unendlich langsam anschwellen- 
der (ruhender) bis zu möglichst schnell anschwellender (stossender) 
Belastung stetig abnimmt. 

Indessen die Veränderlichkeit von t ist doch nur gering, so- 
lange die Anschwellung nicht sehr schnell erfolgt, und es kann dann 
für praktische Bedürfnisse t als constant angenommen werden. Ganz 
falsch aber war die bis vor Kurzem allgemein gemachte Voraus- 
setzung, dass ein Körper, der eine gewisse Beanspruchung einmal 
aushält, diese Beanspruchung auch beliebig oft aushalten müsste, 
gleichgültig in welchen Intervallen die einzelnen Beanspruchungen auf 
einander folgen. 

Schon die alltägliche Erfahrung lehrt das Fehlerhafte dieser 
Anschauung. Will man einen eingespannten Stab mit der Hand 
abbrechen, und es genügt ein einfacher Zug nicht, so lässt man mehr- 
mals nach und zieht von Neuem, und wenn auch das nicht hilft, 
so tritt vielleicht der Bruch durch Hin- und Herbiegen ein. Die 
Kraft unsers Armes ist im letzten Falle nicht grösser wie im ersten, 
aber man braucht eben nicht dieselbe Kraft, die Festigkeit hat nicht 
immer denselben Werth, sie nimmt mit der Anzahl der Bean- 
spruchungen ab, und ist auch von anderen Umständen abhängig. 

Wie wichtig dieser Umstand für unsre grossen Bauwerke z. B. 
für Brücken ist, braucht nicht erst auseinandergesetzt zu werden. 
Es ist nun das Verdienst von A. Wöhler, schon im Jahre 1858 
darauf hingewiesen zu haben, dass es für eine zuverlässige Grundlage der 
Berechnung von Eisen- und Stahlconstructionen nöthig sei. Versuche 
über die Widerstandsfähigkeit des Materials gegen häufig wieder- 
holte Anstrengungen zu machen. Diese Versuche wurden von 
Wöhler selbst in den Jahren 1859 — 70 auf Veranlassung des 
preussischen Handelsministeriums in umfassender Weise ausgeführt 
Sie zeigten, dass allerdings eine gewisse Beanspruchung t das Ma- 



*) Auf einige Verhältnisse, welche nicht nur für die Ingenieurmöchanik 
von Bedeutung sind, mag hier kurz hingewiesen werden. 

Bepertorium für reine und angewandte Mathematik. 16 



234 J. Weyrauch. 

terial schon bei einmaliger Wirkung zu zerstören im Stande ist, 
dass aber auch geringere Beanspruchungen als t (unter Umständen 
bis weit unter ^ t, bei Wechsel von Zug und Druck sogar bis fast 
\ t) die Zerstörung bewirken können, wenn sie genügend oft wieder- 
holt werden. 

Damit war definitiv der neue Gesichtspunkt gewonnen. Der 
Wechsel in der Gruppirung der Molecüle, welcher durch die wech- 
selnde Beanspruchung bedingt ist, wirkte offenbar ungünstig auf die 
Widerstandsfähigkeit des Materials ein; dann muss die Zerstörung 
um so leichter möglich sein, je grösser die Differenzen in der Be- 
anspruchung, weil dem entsprechend auch die Stellungsänderungen 
der Molecüle wachsen. Wo hl er konnte folgendes allgemeine Gesetz 
aufstellen und experimentell nachweisen: 

Der Bnich des Materials lässt sich nicht f}ur durch eine den 
Werth t überschreitende ruhende Belastung, sondern auch durch viel- 
fach wiederholte Spannungen, von denen Iceine diesen Werth erreicht, 
herbeiführen. Die Differenzen der Spannungen sind dabei für die 
Zerstörung des Zusammenhangs insofern massgebend, als mit ihrem 
Wachsen die Minimälspannung, welche den Bru^h noch herbeifuhren 
kann (die FestigJceit), sich verringert. 

Durch die Beanspruchung t wird das Material schon bei ein- 
maliger Wirkung zerstört, kleinere Beanspruchungen als t können 
durch vielfache Wiederholungen zerstören , je kleiner die Bean- 
spruchung, um so mehr Wiederholungen sind nöthig. Umgekehrt 
, darf die Beanspruchung um so grösser sein, je weniger Wiederholugen 
wir beabsichtigen. Man sieht also, dass es bei Beurtheilung des 
Sicherheitsgrades einer Construction auch abgesehen von Stössen 
uüd andern Einflüssen sehr, darauf ankommt, ob die Construction 
nur eine gewisse Zeit in Betrieb bleiben soll, wie Eisenbahnschienen, 
Axen, oder ob unbeschränkte Dauer von ihr verlangt wird, wie von 
Brücken, Gebäuden u. s. w. 

^ Zur weiterer Präcisirung des Wohl er 'sehen Gesetzes, besonders 
in theoretischer Beziehung, bleibt noch Raum genug. Es fragt sich, 
welchen Einfluss Schnelligkeit der Aufeinanderfolge, Geschwindigkeit 
des Anschwellens und Dauer der einzelnen Beanspruchungen haben. 
Die beiden letzten Einflüsse sind übrigens auch in Bezug auf den 
Specialfall t der Festigkeit noch nicht festgestellt und gleichwohl 
ging man von dieser Grösse bisher bei fast allen Dimensionen- 
berechnungen aus. Genügende Vorsicht vorausgesetzt, ist die Kennt- 



J. WeYHAÜCH. 235 

niss dej hier erwähnten Verhältnisse praktisch von geringer Be- 
deutung. 

Soviel ging aus den Wohl er 'sehen Versuchen und aus später 
von Spangenberg (ebenfalls im Auftrage des preussischen Handels- 
ministeriums) angestellten hervor, dass die bisherige Dimensionen- 
berechnung trotz bedeutender Materialverschwendung unter Umstän- 
den geradezu gefährlich werden kann. Es wurden denn auch bald 
von verschiedenen Seiten neue Verfahren vorgeschlagen, wobei es 
sich zunächst darum handelte, die je nach den Umständen zu er- 
wartende Festigkeit anzugeben. Alle Verfahren, von denen indess 
keines genügend ausgebildet ist, sind in einem Anhange zu meiner 
Brochüre vorgeführt und einer Kritik unterworfen worden. 

Bei Aufstellung neuer Formeln für die Festigkeit hat man na- 
türlich vom Wo hl er 'sehen Gesetze auszugehen; die speciellen Ver- 
suchsresultate Wo hier 's jedoch sind nur mit Vorsicht zu verwenden, 
und es darf ihnen nicht mehr Gewicht beigelegt werden, wie etwa 
den Resultaten Rondelets oder Bruneis oder eines Andern für 
die frühere Dimensionenberechnung. Die allgemeinen Formeln än- 
dern sich dann nicht durch neue Versuche, ebenpo wenig wie früher 
eine neue Versuchsreihe den damaligen Gang der Dimensionen- 
berechnung ändern konnte. 

Die in der Brochüre angewandte, äusserst einfache Berechnungs- 
weise gründet sich auf zwei Formeln für die Festigkeit, von wel- 
chen die erste von Launhardt, die zweite mit ähnlichem Gedanken- 
gang vom Verfasser aufgestellt ist. 

Fassen wir eine bestimmte Construction ins Auge. Ein Con- 
structionstheil kann entweder immer in gleicher Richtung oder 
abwechselnd in entgegengesetzten Richtungen (z. B. auf Zug und 
Druck oder auf Schub in zweierlei Sinn) beansprucht werden. Es 
bedeute für die zu erwartende Beanspruchungsarf, sagen wir für 
Schub, t die gewöhnliche Festigkeit bei ruhender Belastung („Trag- 
festigkeit"), u die Festigkeit, wenn der Körper nach jeder Bean- 
spruchung in einerlei Richtung wieder in den spannungslosen Zu- 
stand übergeht („Ursprungsfestigkeit'^*),. s die Festigkeit, wenn ab- 
wechselnd gleich grosse Beanspruchungen in entgegengesetzten 
Richtungen stattfinden (,, Schwingungsfestigkeit ^^). Ist nun q> da« 
Verhältniss der äussersten Grenzspannungen, welche der Constructions- 
theil zufolge der statischen Berechnung auszuhalten hat — der klei- 
neren zur grösseren — , so ist die zu erwartende Festigkeit („Arbeits- 
festigkeit'*) 

16» 



236 J. Weyrauch. 

bei Beanspruchung in einerlei Richtung, q> positiv, 

bei Beanspruchung in entgegengesetzten Richtungen, 9 negativ, 

t, u, s sind specielle Fälle der Arbeitsfestigkeit a, sie müssen durch 
Versuche ermittelt werden. 

Um zu zeigen, wie gut die Launhardt'sche Formel mit den 
Versuchen, soweit solche vorliegen, stimmt, diene Folgendes. Hat 
der Stab einen Querschnitt von einer Quadrateinheit, und wechseln 
die Beanspruchungen auf Zug allein zwischen c und a, so hat man 

fp = —, Es ist nun z. B. für Krupp'schen Federgussstahl, 

wenn c = 250 400 600 1100 

a nach Versuchen 500 700 800 900 1100 
a nach Formel 500 711 800 900 1100, 

wobei, da es sich nur um einen Vergleich handelt, die Original- 
zahlen Wöhlers, Centner per Quadratzoll angebend, stehen geblie- 
ben sind. 

* Nachdem die Festigkeit, welche ein bestimmter Constructions- 
theil den zu erwartenden Beanspruchungen entgegensetzen wird, 
ermittelt werden kann, hat es keine Schwierigkeit mehr, unter" Be- 
rücksichtigung sonstiger Einflüsse und nach Wahl geeigneter Sicher- 
heitscoefflcienten die zulässige Beanspruchung h pro Quadratcentimeter 
feötzustellen. So kann man für eiserne Brücken- und Hochbauconstru- 
ctionen, von welchen unbeschränkte Dauer verlangt wird, und wobei 
die neuen Resultate besonders wichtig sind, allgemein setzen. 

6 = 700 (1 + 0,5 9) Kil. 

wonach h zwischen 350 und 1050 Kil. variirt, während bisher con- 
stant h = ca. 700 angenommen wurde. — Die Besprechung der 
Festigkeitseigenschaften und praktische Erfahrung liefern Anhalts- 
punkte genug, die Sicherheitscoefficienten für alle Fälle passend zu 
wählen. 

Nach Ableitung der zulässigen Beanspruchung wird die An- 
wendung der vorgeführten Berechnungsweise bei den verschiedenen 
Constructionssystemen angedeutet und durch Beispiele erläutert. 
Eine ganz besondere Aufmerksamkeit ist den Nietverbindungen zu- 
gewandt, die derselben sehr bedürftig waren. Obschon auch hier 
der gegenwärtige Standpunkt der Theorie volle Berücksiclitigung 



J. Weyrauch. — F. Klein. 237 

fand, glaube ich nicht, dass die Einfachheit der Anwendung ge- 
litten hat. 

Die gewohnten Methoden der statischen Berechnung bleiben 
durch die neue Dimensionenfeststellung ganz ungeändert. Für die- 
jenigen, welche die statische Berechnung graphisch vorzunehmen 
pflegen, enthält die besprochene Brochüre Alles, was zur vollstän- 
digen Berechnung einer Brücken- oder Hochbauconstruction nach 
Vollendung des Kräfteplans zu thun übrig bleibt. Bei der bisherigen 
rohen Dimmsionenheicechnung waren die genauen statischen Berech- 
nungen ziemlich zwecklos. 

In den Werken über Eisen- und Stahlconstructionen findet sich 
gewöhnlich nur sehr wenig über die Festigkeitseigenschaften des 
Materials und eine neue Dimensionenberechnung konnte natürlich 
noch nicht berücksichtigt werden. Der Verfasser darf daher hoflfen, 
mit dieser Brochüre, welche sich als Anhang zu jedem Lehrbuche 
benutzen lässt, einem wirklichen Bedürfnisse entsprochen zu haben. 

Genf, August 1876. J. Weyrauch. 



F. Klein: Eine neue Belaticu zwischen den Singularitäten einer 
algebraischen Ourve. Math. Annalen. X. p. 199—209. (Erlanger 
Berichte. Deo. 1875.) 

Anknüpfend an Zeuthen's Untersuchung der Curven vierter 
Ordnung (Math. Ann. VlI) entwickelt der Verf. mit Hülfe elemen- 
tarer Continuitätsbetrachtungen den folgenden Satz: 

Wenn eine Curve von der Ordnung n und der Glosse h nur ein- 
fache Singularitäten hesitd, und es bezeichnet r die Zahl der reellen 
Spitzen, w' die ZaJil der reellen Wendepunkte, d" die Zahl der 
isolirten reellen Doppelpunkte und t" diejenige der isolirten reellen 
Doppeltangenten y so ist: 

n + w' + 2r = k-{-r' + 2d'\ 

Es scheint diese Relation, sobald es sich um gestaltliche 
Untersuchung algebraischer Curven handelt, eine fundamentale Be- 
deutung zu besitzen. 

München. F. Klein. 



238 ^- Klein. 



F. Klein: Ueber den Verlauf der Abel'schen Integrale bei den 
Gnrven vierten Grades. (Math. Annalen. X. p. 365—397.) 

— Ueber eine neue Art von Biemann'Bchen Flächen. (Zweite 

Mittheilung.) (Math. Annalen. X. p. 398 — 416.) 

— Ueber den Verlauf der Ab einsehen Integrale bei den Curven 

vierten Grades. (Zweiter Aufsatz, noch nicht erschienen.) 
^(Math. Annalen. XI.) 

Die Absicht, welche ich mit den vorgenannten Arbeiten ver- 
folge, ist zunächst die, die mannigfachen Resultate, welche die 
Functionentheorie für die Lehre von den algebraischen Curven ge- 
liefert hat, an den Curven selbst möglichst zur unmittelbaren An- 
schauung zu bringen. Ich kann aber nicht zweifeln, dass dieser 
Weg, je länger man ihn verfolgt, um so mehr über sein nächstes 
Ziel hinausführt; indem neue Fragestellungen entstehen, kann ein 
Portschritt der Theorie nicht ausbleiben. In dieser Hinsicht möchte 
ich hier vor Allem auf die von mir in den genannten Aufsätzen 
festgehaltene, dem geometrischen Vorstellungskreise entnommene 
Methode der Continuität aufmerksam machen; ich lasse die Curven 
vierten Grades, welche zu untersuchen sind, bald in ein Kegelschnitt- 
paar, bald (in dem zweiten Aufsatze) in einen doppelt zählenden 
Kegelschnitt mit acht Scheiteln (sommets) übergehen [der dann als 
eine hyperelliptische Curve vom Geschlechte 3 zu betrachten ist] und 
studire die Fragen, welche zu erledigen sind, vorab an diesen spe- 
ciellen Fällen, um von ihnen zum allgemeinen Falle aufzusteigen. 

Bereits bei einer früheren Gelegenheit (Math. 'Annalen VII. 
p. 558) habe ich die Riemann'schen Flächen, welche ich in den 
hier vorliegenden Aufsätzen fortwährend gebrauche, definirt und an 
einigen speciellen Fällen erläutert; sie werden von denjenigen reellen 
Punkten gebildet, welche den imaginären Tangenten der alge- 
braischen Curve angehören. In der speciell auf sie bezüglichen, 
diesmaligen Mittheilung erläutere ich gewisse allgemeine Fragen; 
ich bespreche die Anordnung ihrer Blätter und deren Verzweigung; 
ich bestätige durch directe Abzahlung die Richtigkeit derjem'gen 
Zusam'menhangszahl, welche den betr. Flächen vermöge ihrer Be- 
ziehung zu den gewöhnlichen ßiemann'schen Flächen beizulegen 
ist. Ich erläutere diese Verhältnisse insonderheit an den Curven 
dritter Ordnung, die, als Curven sechster Classe bereits sechs über- 
einander liegende Flächen -Blätter darbieten können, und erhalte 



F. Klein. 239 

dadurch namentlich auch eine Discussion der Lage ihrer imaginären 
. Wendetangenten, die vielleicht an sich von Interesse ist. 

In dem ersten Aufsatze: üeber den Verlauf der AbeTschen 
Integrale etc. benutze ich sodann diese neue Riemann'sche Fläche, 
um bei den Curven vierter Classe den Verlauf der überall endlichen 
Integrale zur Anschauung zu bringen, indem ich nämlich diejenigen 
auf der Fläche verlaufenden Curven zeichne, längs deren der reelle 
oder der imaginäre Theil der, einer bestimmten Zerschneidung der 
Fläche entsprechenden, Normalintegrale constant ist. Es waren 
dazu einige gestaltliche Untersuchungen über Curven vierter Classe 
nothwendig, auf die ich hier nur verweisen kann, ohne auf sie 
näher einzugehen. Ich habe sodann meine Aufmerksamkeit nament- 
lich darauf gewandt, die imaginären Bestand theile zu bestimmen 
welche in den Perioden der Normalintegrale enthalten sind. In 
solcher Weise gelange es mir, Sätze über die Realität gewisser Be- 
rührungscurven zu gewinnen. Eine Curve vierter Ordnung (und 
von solchen mag jetzt die Rede sein) besteht, wenn sie keinen sin- 
gulären Punkt hat, aus 4 oder 3, 2, 1, Ovalen, und, wenn die 
Zügezahl 2 ist, muss man unterscheiden, ob sich die betr. 2 Ovale 
einschliessen oder ausschliessen. Im ersteren Falle nenne ich die 
Curve (nach Zeuthen) eine Gürtelcurve und bezeichne sie mit V, 
während die Zahlen I, II, III, IV den anderen Curven bez. mit 
4, 3, 2, 1 Zügen beigelegt sein mögen (wobei dann die Curven ohne 
reelle Züge vorab noch ausgeschlossen sind). Dies vorausgesetzt, 
gelten folgende Sätze (p. 396): 

Von den 63 Systemen viermal die Curve berührender Kegel- 
schnitte sind in den Fällen I, 11, III, IV, V bez. reell: 

63, 31, 15, 7, 15. 

Für die 64 Systeme sechsmal berührender Curven dritter Ord- 
nung werden diese Zahlen: 

64, 32, 16, 8, 16. 

Unter den 728 Systemen viermal osculirender Curven dritter 

Ordnung sind immer und nur: 

26 
reell. 

Endlich finden sich unter den 4096 dreimal hyperosculirenden 

Curven dritter Ordnung in den verschiedenen Fällen 

512, 256, 128, 64, 128 
reelle. 



240 F. Klein. — K. Becker. 

Bei diesen Untersuchungen war ich noch nicht auf diejenigen 
Fragen eingegangen, welche mit der Unterscheidung der sogenann- 
ten '^'-Charakteristiken zusammenhängen. Sie nehme ich in dem 
zweiten Aufsatze „Ueber AbeVsche Integrale etc." in Angriff, be- 
schränke mich aber dabei zunächst auf Curven mit vier reellen 
Zügen. Unter Voraussetzung derjenigen Zerschneidung der .zugehö- 
rigen ßiemann'schen Fläche, welche ich in dem ersten Aufsatze an- 
gab, schreibe ich die Charakteristiken wirklich an, welche den 28 
(in diesem Falle reellen) Doppeltangenten zukommen, und bestimme 
den ausgezeichneten Kegelschnitt, dessen drei Berührungspunkte 
nach Clebscli -Gordan als untere Grenzen der Normalintegrale 
beim Jakobi 'sehen Umkehrprobleme zu wählen sind. 

München. F. Klein. 



K, Becker: Die ■ Grundlagen der Geometrie. (Zeitschrift f. Mathe- 
matik u. Physik, XX, 6, p. 445.) 

Die Untersuchungen Riemann's „Ueber die llypothesen, wel- 
che der Geometrie zu Grunde liegen" zerfallen in einen rein wissen- 
schaftlichen und einen speculativ philosophischen Theil. Man kann 
nun in dem letzteren Theile, wie der Verfasser, ein entschiedener 
Gegner ßiemann's und seiner Nachfolger, sowie aller „absoluten" 
Geometrie sein, ohne das grosse Verdienst zu verkennen, welches 
sich Riemann erworben hat durch Aufwerfung der Frage: 

„Welches sind die nothwendigeii und hinreichenden Voraus- 
setzungen, die wir über den Raum selbst machen müssen^ damit 
die Sätze der Geometrie ohne weitere Axiome begründet werden 
können?" 

Es ist Helmholtz gewesen, welcher vor allem die Beantwor- 
tung dieser Frage zum Gegenstande seiner Untersuchungen „über 
die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie" gemacht hat, Unter- 
suchungen, die leider wegen ihrer rein analytischen Natur bisher 
ohne Einfluss auf die wissenschaftliche Bearbeitung der Geometrie 
selbst bleiben mussten. Verfasser sucht nun dasselbe Ziel auf rein 
geomekischem Wege zu erreichen, indem er sechs Postulate auf- 
stellt, und zeigt, dass dieselben hinreichen, die übrigen Axiome 
Euklids zu beweisen. Dabei geht er von dem Gedanken aus: „Sollen 
die Eigenschaften der geometrischen Figuren als nothwendige Folgen 
der Natur des Baumes erscheinen, was sie doch ohne Zweifel sind, so 



J 



J. DlENGEB. 241 

dürfen auch keine anderen Voraussetzungen genmcht werden, als solche, 
welche sich auf den Baum selbst bezieh^i" 

Mannheim. Johann Karl Becker. 



Die Laplace'sche Methode der Ausgleichung von Beobach- 
tungsfehlem bei zahlreichen Beobachtungen. Von Dr. 
J. Dienger in iKarlsrühe. (Denkschriften der math. naturwiss. 
Klasse der k. Akademie der Wissenschaften in Wien. Bd. XXXIV.) 

In dem 4. Kapitel der Theorie analytique des probabilites (1812, 
S. 304 ff.) hat Laplace von der „Wahrscheinlichkeit der Fehler der 
mittlem Resultate einer grossen Zahl von Beobachtungen, und von 
den vortheilhaftesten mittlem Resultaten" gehandelt. Er ist jedoch 
thatsächlich nicht über den Fall zweier Unbekannten hinausge- 
gangen, so dass es immerhin wünschenswerth schien, die Aufgabe 
in vojler Allgemeinheit, natürlich ermöglicht durch die jetzigen 
Hilfsmittel dejr Algebra, zu lösen. Diese Auflösung hat sich die 
vorliegende Abhandlung gestellt. 

Die Aufgabe selbst stellt sich in folgender Form dar. Die 
Werthe der «Grössen 

^1? ^'2? • • •? ^^» \ ) 

sollen bestimmt werden unter der Voraussetzung, man habe für die 
s Grössen 

P>i +pV^2 + • . . +P':^^^n + Ar, WO r = 1 , 2, . . ., 5 (2) • 

durch unmittelbare Beobachtung die Werthe JB^, . . ., Bs erhalten. 
Die p und Ä sind bekannte Zahlen; 5>m und schliesslich s eine 
sehr grosse Zahl. 

Da,, wenn die B genau richtig gefunden wären, zwischen den 
p und Ä Bedingungsgleichungen bestehen müssten, was nicht an- 
genommen wird, so müssen wir nothwendig die B als mit Fehlern 
behaftet ansehen. Ist Sr der Fehler, den man bei der Beobachtung, 
welche Br ergab, begeht, und kennt man die richtigen Werthe der 
Uy so ist 

e, = p\r)^^ + p(r)^^ + . . + P^^^n + Ar — Br , (3) 

wo diese richtigen Werthe von, u eingesetzt sind. Da man letztere 
nicht kennt, so muss man sich mit Wahrscheinlichkeiten behelfen, 



Bf 



242 



J. DlBNGEB. 



und die Laplace'sche Methode besteht nun darin , dass man die u 
derart bestimmt, dass die nGröösen 

Ea = /^h, + y'fs, + . . . + y':^es, a = 1, 2, . . ., n (4) 

die unter den gegebenen Umständen wahrscheinlichsten Werthe an- 
nehmen, wobei die ns Grössen y vorläufig noch beliebig (aber be- 
stimmt gedacht) bleiben. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, bei 
der r^^ Beobachtung einen Fehler x zu begehen, durch fr(x)dx 
bezeichnet werden. 

Die Methode, die zur Auflösung der so ausgedrückten Aufgabe 
angewendet wird, weicht von der Laplace'schen ab, und ist in 
ihrem Wesen die von Poisson in seinem bekannten Werke be- 
folgte, natürlich für diesen allgemeinen Fall erweiterte. So wird 
gefunden, dass 

+00 

W= I ' ' — / • • / 9 cos (9 — cc^q^ — . . — anqn)da^..dan (5) 



— 00 



(6) 



die Wahrscheinlichkeit angiebt, es sei zugleich 

^1 = iii ^2 = 3^2» • • •? ^» = ä'«? * 
wo 



Xi 



Xi 



«1 



x^ 



COS9, 



if 



fr(x)cos{aM^'>+")xdXj sing?, 



U' 



fr (x) sin(ai//)-f")^^5 



9rJ ' ' ' ' ' ^» 

a?i Xi 

w 

Q = Q1Q2 " Q»7 9^ = 9^1 + 9^2 + • • 9^M 

und wo x^ und X2 die äussersten Grenzen bedeuten, zwischen denen 
die Beobachtungsfehler schwanken können. 

Wird vorausgesetzt, dass s sehr gross ist, so findet sich nun, 
dass die Grösse (5) ein Maximum ist, wenn 

q, = Ukrrl'K '",qn= 2W;\ (7) 

wo kr ==fxfr(x)dx uud das Summenzeichen sich auf r = 1, 2, . . .5 s 



Xi 



bezieht. Führt man diese Werthe in (6) ein, so ergeben sich n Glei- 
chungen zur Bestimmung der w, welche die lineare Form haben — 
ein Vorzug, der mit der hier beliebten Art der Auflösung unserer 
Aufgabe bezweckt war. 



J. DlENaEB. 243 

In Bezug auf die Wahrscheinlichkeit der u selbst ist damit 
Nichts entschieden, und es muss dies bei der ganzen Untersuchung 
wesentlich festgehalten werden. 

Setzt man in (6) 

q,n = Ukry^'^^ + U , (8) 

so ist hiernach der wahrscheinlichste Werth von |,« Null. Werden 
überdies die vorhin bestimmten Werthe der u durch Z/j, . . ., Un 
bezeichnet, so ergiebt das Einsetzen von (8) in (6) ein System von 
Gleichungen, die für die u die Werthe 

Ui + Vi, • • •; Vn + Vn 
liefern, wo nun 

(9) 

vx^/;W + • • + vn^yi''¥:^ = 5»; 

Gleichungen, welche den Zusammenhang zwischen den iy und | 
geben. Erstere Grössen haben offenbar den Charakter von Ver- 
besserungen (Fehlern), welche an die U anzubringen sind, wenn 
die Enm. die | von ihren wahrscheinlichsten Werthen abweichen. 

Für die weitere Entwickelung war es nun von Wichtigkeit in 
dem Ausdrucke von W, der durch Einführung von (8) umgestaltet 
war, und hiess 



— oo 



die I durch die rj zu ersetzen. Darin war 

2h} =fx'fr(x)dx — \Jxfr{x)dxf . 

Diese Einführung verwandelt 

IX («iyj.^> + • • • + «n/;>)' in SS A* «.«* ; 

wo Äi^ == 2]h}y^^'y^^J y und die Summenzeichen S sich auf i= !,• •, n\ 

k= !,•••, w beziehen. Diese Summe lässt sich bekanntlich in der 
Form SpiZ} darstellen, und um nicht Fremdes • citiren zu müssen, 
wurde die Umwandlung allgemein betrachtet (§. 3). Diese, der Natur 
der Sache nach, sehr weitläufige Untersuchung mag hier übergangen 
werden. So findet sich nun 



- i ■ V 



244 



J. DlENGEB. 






M= 






(10) 



, p = 



Ai^Xy •••, -4i,n 



Die (10) drückt die Wahrscheinlichkeit aus, dass den ü die Ver- 
besserungen iy beizulegen seien — immer natürlich in dem hier 
gemeinten Sinne. 

Daraus wird dann in bekannter Weise abgeleitet, dass 

' ^ ■ (11) 



^'f 



d0 







die Wahrscheinlichkeit ist, es liege die an Ui anzubringende Ver- 
besserung zwischen 



2q 



^/^Jk 



Y: 



WO 



T 



und + 2(> 



-Di,i, •••, 2)i,n 



dT 
dB 



t,l ; 



(12) 



T 



Qr ist natürlich eine beliebige Grösse. 

Die Grossen y sind bis jetzt ganz beliebig. Eö wird nun ge- 
zeigt, dass die Grösse 



dT 

dDi,i 
T 



(13) 



zu einem Minimum wird, wenn 



(r) 

^'- hl- 



(14) 



Den Nachweis führt die Abhandlung in der Weise, dass sie zeigt, 
es sei dann jeder DiflFerentialquotient von (13) nach jedem y Null. 
Die Art der Nachweisung ist eine dem besonderen Falle angepasste, 
die sich nicht mit kurzen Worten anführen lässt. 

So gelangt endlich die ganze Untersuchung zu dem folgenden 
Hauptergebnisse. 



J. Dienger. 245 

Bestehen s-Beobachtungsgleichungen 

in denen die B durch unmittelbare Beobachtungen gefunden wur- 
den, und wo die durch (3) bestimmten s die Beobachtungsfehler 
darstellen, wenn die u genau bekannt sind, und man will nun die 
u so bestimmen, dass n Kneare Funktionen (4) dieser Beobachtungs- 
fehler ihre theoretisch wahrscheinlichsten Werthe [die (7)] annehmen, 
so wird dies am zweckmässigsten geschehen aus folgendem System: 

: (15) 

WO rii^ = SrOrP^pJp^^^ , gM =h\ dr = Ar — Br. 

Diese Bestimmung der w hat die Eigenschaft, dass, wenn die 
linearen Formen (4) etwas von ihren wahrscheinlichsten Werthen 
abweichen, die Aenderungen der u, die davon die Folge sind, in 
den möglichst engsten Grenzen eingeschlossen bleiben. Die Grösse 
A, die in (15) wegfällt, bleibt unbestimmt. In dem besonderen 
Falle: fr{— x) = fr{+ x}, ist Ä^ = . 

Es wird nun noch gezeigt, dass man auf einem durchaus ver- 
schiedenen Wege zu demselben Ergebnisse gelangen kann, indem 
man die unbestimmten Grössen a so bestimmt, dass der mittlere 
Werth von UarSr ein Minimum wird. 

Nunmehr wird (§. 8) die Aufgabe derart behandelt, dass man 

die wahrscheinlichsten Werthe der u selbst ermitteln will. Für den 

Fall, dass 

9 x^ 

2hyn 

fallen die jetzt ermittelten Werthe mit obigen zusammen (wobei 
jedoch s nicht sehr gross sein muss). Die „zweckmässigsten" Werthe 
sind also jetzt auch die wahrscheinlichsten. 

Zum Schluss wird nun noch die Bestimmung von h vorgenom- 
men, wenn man (16) voraussetzt (Methode der kleinsten Quadrate). 
Doch muss hier s immerhin als sehr gross angenommen werden. 
Für die eigentliche Laplace'sche Methode bleibt h^ unbestimmbar, 
kommt übrigens in dem Hauptergebniss (15) thatsächlich nicht vor. 
— Damit ist die gestellte Aufgabe vollständig gelöst. 

Karlsruhe. J. Dienger. 



246 



S/ Günther. 



S. Günther: Zur Geschichte der deutschen Mathematik im fünf- 
zehnten Jahrhundert. (Zeitschrift für Mathematik und Physik. 
20. Jahrgang.^ 

Die an mathematischen Antiquitäten reiche Stadtbibliothek zu 
Nürnberg bewahrt auch eine interessante geometrische Incunabel, 
die „Geometria deutsch", ein Büchlein von nur 8 Blättern, ohne 
irgendwelche Angabe über Entstehungszeit, Verfasser, Druckort etc. 
Aus äusseren und inneren Gründen erschien es angezeigt, anzu- 
nehmen, dass das Schriftchen in den letzten Jahren des angegebenen 
Jahrhunderts in einer oberdeutschen Stadt gedruckt worden sei; der 
Inhalt bezieht sich auf einige geometrische Aufgaben einfachster 
Natur: Verzeichnung einer Senkrechten, Theilung eines Winkels in 
zwei gleiche Theile etc. Für tc findet sich der Werth Sy,, das re- 
guläre Achteck wird richtig mit Hülfe eines geometrischen Satzes 
verzeichnet, auf dessen Genesis durch die neuesten Untersuchungen 
M. Cantor's ein unerwartet helles Licht gefallen ist, für das Siebeneck 
gilt die bekannte Näherung, dass seine Seite der halben Dreiecks- 
seite gleich sei, das Fünfeck wird in der später durch den Namen 
Albrecht Dürer 's bekannter gewordenen Weise gebildet. Zum 
Schluss wird dem Zeitgeist durch Verfertigung des Bisses für einen 
Wappenschild und einen Tumierhelm Rechnung getragen. 

In der angeführten Arbeit wird der Originaltext vollständig 
wiedergegeben und mit Anmerkungen begleitet. Im Anschluss an 
die Thatsache, dass jene Verzeichnung des regelmässigen Fünfecks 
mit Hülfe nur einer einzigen Zirkelöflfnung geleistet wird, schliesst 
sich eine kurze geschichtliche Entwickelung der früher in hohem 
Ansehen stehenden Geometrie Einer Zirkelöflfnung an, welche der 
Namen Abul-Wasa, Cardanus, Tartaglia, Benedictus etc. 
Erwähnung zu thun hat und mit Steiner's berühmtem Werke ihren 
natürlichen Abschluss findet. Bei Gelegenheit der erwähnten Sieben- 
ecksconstruktion wird ferner gezeigt, wie sich dieselbe aus einem 
von Weihrauch für das reguläre Vierzehneck aufgestellten Theo- 
reme naturgemäss herleiten lässt. 

München. S. Günther. 



M. CURTZK. . 247 

M. Curtze: Bemerkungen zu dem Aufsatze Günther' s: „Zur 
Geschichte der deutschen Mathematik im fünfzehnten 
Jahrhujidert." (Schlömilch , Zeitschrift, XX., 3, Eist. Lit. Abth. 
57—60.) 

Zum Theil Berichtigungen^ zum Theil weitere Ausführungen 
der Arbeit Günther's. Nachweis, dass das Buch. ^Geometria deutsch^ 
den Bibliographen wohl bekannt, dass es handschriftlich noch ältere 
in deutscher Sprache verfasste Geometrieen giebt, und Darlegung 
des Weges, durch welchen Egen zur Kenntniss der Thatsache 
kam, dass Cardan durch Tartaglia zu den Problemen, die Auf- 
gaben der Geometrie mit nur einer Zirkelöflfnung auszuführeu, an- 
gereizt wurde. Nebenbei wird die Erfindungsgeschichte der Auf- 
lösung der Gleichungen 3. Grades dem Werke von Hankel gegen- 
über richtig gestellt. 

Thorn. M, Curtze. 



M. Curtze: Beliqulae Copemioanae. Nach den Originalen in 
der Universitäts-Bibliothek zu Upsala herausgegeben. Mit 

einem Holzschnitt und einer lithographirten Tafel. Leipzig, Verlag 
von B. G. Teubner. 1875. IV. 67 S. gr. 8. Preis 1,60 JC 

Bei Gelegeilheit der von dem Herausgeber besorgten Säcular- 
ausgabe der Revolutiones von Copernicus waren demselben die dem 
grossen Astronomen einst gehörenden, jetzt in Upsala aufbewahrten 
Bücher auf hohe Verwendung des Fürsten Reichskanzlers zur Dis- 
.Position gestellt. Obschon nun in denselben eine ziemliche Anzahl 
von Notizen sich finden, die für die oben erwähnte Ausgabe mit 
Nutzen hätten gebraucht werden können, so Hessen die Umstände 
die Benutzung damals nicht zu. Deshalb hat der Verfasser in diesem 
Büchlein, das ein Separatabdruck aus Schlömilch's Zeitschrift für 
Mathematik ist, nachträglich die betreffenden Notizen herausgegeben 
und mit ausführlichen historischen und sachlichen Bemerkungen 
versehen. Das Buch zerfällt in 5 Capitel nach den verschiedenen 
Büchern, denen die handschriftlichen Notizen des Copernicus ent- 
nommen sind. Das erste betrachtet die Randbemerkungen in dem 
Ae^Lxov xatä (Sxoi%aCGiv des Johannes Crastonus (Mutine 1499), 
soweit dieselben nicht rein philologischen W^erth haben; d. h. vor- 
zugsweise Bemerkungen über den altgriechischen Kalender. Das 



248 M. CüRTZE. 

zweite nimmt von einer Note des Copernicus in der Editio Prin- 
ceps des Euklides von 1482 ausgehend, worin derselbe von dem 
Werke des Nikomedes tcsqI xoyxosvdäv ygafi^äv als einem ihm 
bekannten handelt, Veranlassung, die Geschichte der Trisection des 
Winkels bei den Griechen und Arabern näher zu erläutern. Dabei 
wird aus dem Liber trium fratrum zum ersten Male ein Abschnitt 
über die Trisection veroflfentlicht, der im Wesentlichen mit dem 
von Copernicus commentirten identisch ist, und dem letztern Ab- 
schnitte wahrscheinlich als Quelle gedient bat. Das dritte Capital 
handelt über die Einzeichnungen des Copernicus in die Tabide 
Astronondce Alfonsi Begis und der Tabule directionum profectio- 
numque des Regiomontan. Hierin sind die Notizen sehr zahlreich 
und für das Verständniss der Revolutiones und deren Entstehungs- 
geschichte von höchster Wichtigkeit, Darunter finden sich auch 
Beobachtungen aufgezeichnet, die gleichfalls ihre Verwendung in dem 
grossen Werke gefunden haben, dazu eine Venusbeobachtung vom 
Jahre 1532, die späteste, welche bis jetzt von ihm bekannt gewor- 
den. Eine grosse Reihe von astronomischen Tafeln, Vorarbeiten 
für die Tafeln der Revolutionen, sowie eine ältere Form des letzten 
Capitels dieses Werkes kommen ebenfalls zum Abdruck. Auch wird 
der Nachweis geführt, dass weder Maurolykus noch Rheticus 
die Einführung der Secanten in die Trigonometrie gebührt, sondern 
Copernicus, dessen Secantentafel, an die bekannte Tangententafel, 
die Tabula foecunda des Regiomontan, angelehnt, ebenfalls abge- 
druckt ist. Eine Tafel benutzt schon zweite Differenzreihen zur 
Interpolation. Capitel 4 enthält dann astrologische Bemerkungen 
des Copernicus zu dem Albohazen Hali filius Abenragel von 
1485; das erste Mal, dass solche Notizen entdeckt und veröffentlicht 
worden sind. Sie sind sämmtlich astrologisch-medicinischen Inhalts 
und aus dem Quadripartitum des Ptolemaios entnommen. Daran 
schliessen sich im fünften und letzten Capitel noch einige Bemer- 
kungen über den Folianten V. I. 1. 17. der Universitätsbibliothek 
zu üpsala an, der Werke des Pontanus, des Bessarion und Araii 
phaenomena graece enthält. Mit wenigen Ausnahmen sind die von 
Copernicus hier abgedruckten Notizen zum ersten Male veröffent- 
licht; sie bilden eine nothwendige und wichtige Ergänzung zu der 
Säcularausgabe der Revolutionen. Ein Namen- und Sachregister 
schliesst den Band. 

Thorn. M. Curtze. 



M. CüBTZE. G. SxDLKÄ. 249 

M. Curtze: Hat Copernious die Einleitung in sein. Werk selbst 
gestriohen oder nicht? 

In der Originalhandschrift der Revolutiones des Copernicus 
befindet sich eine von den frühem Ausgaben unterdrückte Einleitung^ 
die erst 1854 von den Polen veröflfentlicht wurde. Cantor hatte 
die Ansicht aufgestellt, diese Einleitung sei von Copernicus selbst 
gestrichen und an ihre Stelle die Widmung an Papst Paul III. ge- 
treten. Der Verfasser der kurzen Note versucht seine abweichende 
Meinung in Kürze darzulegen und kommt zu dem Schlüsse, dass 
diese Einleitung ohne Erlaubniss des Copernicus, ja ohne dass er 
davon wusste, durch Rheticus auf Anrathen des Osiander ge- 
strichen sei. 

Thorn. ^ M. Curtze. 



G. Sidler: Zur Dreitheilung eines Kreisbogens. (Programm der 
Kantonschnle in Bern, 1876.) 

Die Lösung der Aufgabe, von einem gegebenen Kreisbogen 
den dritten Theil abzuschneiden, wird durch drei Punkte dargestellt, 
die Ecken eines dem Kreis eingeschriebenen regulären Dreiecks, 
oder algebraisch ist die Aufgabe vom dritten Grade. Es wird geo- 
metrisch gezeigt, dass die bekannten Hülfskurven, Conchoiden des 
Nikomedes, Kreisconchoiden, rechtwinklige Hyperbel, jedesmal alle 
drei Lösungen ergeben. 

Von den Sätzen, die dabei abfallen, hebe ich hervor: Eine Hy- 
perbel, deren Excentricitätsverhältniss =2 sei, werde von einem 
Kreisbüschel geschnitten, dessen Grundpunkte der eine Brennpunkt 
E der Hyperbel und der Scheitel des zu diesem Brennpunkt con- 
vexen Zweiges seien: so triflffc jeder Büschelkreis die Hyperbel ausser 
in noch in den Ecken eines regulären Dreiecks ABC] die Strah- 
len, die von E nach J., JB, (7 gehen, treffen die Hyperbel je noch 
in einem zweiten Punkte Ä,B',C% dies Dreieck A' B' C ist eben- 
falls ein reguläres, der demselben umschriebene Kreis gehört dem- 
selbenBüschel an und schneidet den Kreis ABC orthogonal. 

Eine Hypocykloide mit vier Rückkehrpunkten (Astroiden) ist 
von der vierten Klasse. Wählt man den Punkt P auf dem der 
Curve eingeschriebenen concentrischen Kreise, so kann man von 

Bepertorium für reine und angewandte Mathematik. 17 



n 



250 Gr. SiDLER. — Mischer. 

den vier durch P gehenden Tangenten die eine sofort angeben, es 
ist die Gerade, für welche P die von den beiden Rückkehrtangenten 
begrenzte Strecke halbirt. Die drei übrigen Tangenten treffen den 
Ereis ausser in P noch in den Ecken A, B, C eines regulären 
Dreiecks. Sei Q der Symmetriepunkt von P in Bezug auf die eine 
Rückkehrtangente und ein Schnittpunkt der andern Rückkehr- 
tangente mit dem Kreise, so ist Bogen {OA, OB, OC) = % Bogen OQ. 

Bern. 6. Sidler. 



Mischer: Die Bewegung materieller Funkte auf vorgeschrie- 
benen beweglichen Bahnen. 

(Zeitschr. f. Math. u. Physik, Juniheft 1876.) . 

Sind q die independenten Coordinaten eines auf eine bestimmte 
irgendwie bewegliche Fläche oder Curve angewiesenen materiellen 
Punktes, der dem Einfluss beliebiger Kräfte unterliegt, und hängen 
seine auf ein festes System bezogenen Coordinaten: x, y, z mit den 
q und d^r Zeit t ganz allgemein durch die Gleichungen: 

x = A^ (t, ^1, gg), 
y = A^ (t, q^y q^\ 
z = A^(t, gi, q^, 

zusammen, so findet man, durch Anwendung der zweiten Lagrange'- 
schen Form des d'Alembert'schen Princips, als erste Bewegungs- 
gleichung, der die, für den Fall, dass der q zwei sind, hinzutretende 
zweite ganz analog ist: 

/, dA dA , , dA j dA , dA , dA , , dA , dA /\ , i\ 

dt dt dt 

Hier deuten die Accente die Differentiation nach der Zeit, das 
Zeichen ^ aber das nur durch ein A ohne Index angezeigte Vor- 

o rr 

kommen dreigliedriger Summen links an; Q ist gleich ^• 

Es ergeben sich nun die folgenden Resultate: 

1. 

Die Bewegungsgleichungen sind linear, wenn die Bahn des 
Punktes eine Gerade oder eine Ebene, oder die Fläche eines Kreis- 
cy linders oder eine auf einer solchen Fläche verzeichnete Curve ist. 

Es hängt also nur von den geometrischen Eigenschaften der 
Bahn ab, ob die Gleichungen zu den linearen gehören oder nicht. 







Mischer. — Heinr. Streitz. 251 

2. 

Die Zeit kommt dann nicht explicite in den Bewegungsglei- 
chungen YOXj wenn der Punkt von constanten Kräften beeinflusst 
wird und die Bahn eine ausschliesslich translatorische Bewegung 
hat, 3ie mit constanter Beschleunigung — welche auch gleich Null 
sein kann — erfolgt. 

Von den nicht ausschliesslich translatorischen Bewegungen der 
Bahn ist (mit einer einzigen Ausnahme) die Rotation mit constanter 
Winkelgeschwindigkeit um eine feste Axe, längs welcher allein 
Kräfte wirken dürfen, eine Rotation, mit welcher ein constant be- 
schleunigtes Fortschreiten in der Richtung jener Axe verbunden 
sein kann, diejenige, unter deren Voraussetzung t nicht explicite 
in den Bewegungsgleichungen erscheint. Es kommt hierbei also 
auf die mechanischen Eigenschaften des Systems an. 

Minden i. Westf. Mischer. 



Heinr. Streintz: Ueber die Temperaturvertheilung im Lei- 
tungsdrahte eines galvanischen Stromes. 

(Auszug aus dem am 12. Aug. 1876 der Redaction von Pogg. 
Ann. d. Phys. u. Chemie eingesandten Manuscripte.) 

Wird durch einen Draht ein galvanischer Strom geleitet, so 
erhöht sich dessen Temperatur so lange, bis der stationäre Zustand 
eintritt, bis nämlich in jedem körperlichen Elemente des Drahtes 
durch den Strom gerade so viel Wärme erregt wird, als durch die 
umliegenden Theilchen gegen die Oberfläche, und durch diese in 
das umgebende Medium abgeführt wird. 

Sieht man von den Enden des Drahtes ab, so ist die Rechnung 
ein Probliem der Ebene. Bezeichnet man mit Je das Wärmeleitungs- 
vermögen, mit u die Temperatur in irgend einem Punkte des Quer- 
schnittes, so stellt der Ausdruck 

^ ij^^ + ip) ^"^ ^y '^^ 

die Menge dar, um welche einem Flächenelemente von den um- 
liegenden mehr Wärme zugeführt als abgeführt wird. 

Durch den galvanischen Strom wird nach dem J pul ersehen 
Gesetze während derselben Zeit erregt 

wi^ dx dy dt 

17* 



252 Heinr. Streintz. 

Für den stationären Zustand muss die Summe beider Ausdrücke 
der Null gleich sein, daher 

Als Integral der Gleichung ergibt sich 

u = A — — r^ + jB log nr. 

Da aus leicht erkennbaren physikalischen Gründen ^ = sein 
muss, so bleibt nur Ä zu bestimmen. 

Ist die Oberflächentemperatur t des Drahtes gegeben, und 
heisst der Halbmesser a, so wird 

w = r + -j- (a^ — r^). L 

Führt man aber statt t den Coefficienten der äusseren Wärme- 
leitungsfähigkeit H ein, so tritt die Bedingungsgleichung 

hinzu, in welcher U die Temperatur des umgebenden Mediums be- 
deutet, und man erhält 

«=C^+^«+i^(o*-r«). n. 

Zur numerischen Berechnung müssen h und J bekannt sein 
Jy ursprünglich durch Widerstand, Stromstärke und Leitungsver- 
mögen ausgedrückt, kann aber auch durch die erreichte Oberflächen- 
temperatur und Ä ausgedrückt werden. Aus dem Vergleiche von 
I und II folgt nämlich 

Ji bestimmte ich experimentell dadurch, dass ich durch eine 
dickwandige Messingröhre heisses Wasser von bekannter Temperatur 
strömen liess und an der äusseren Mantelfläche die Temperatur 
beobachtete. Die Theorie ergibt fiir diesen Fall 



Cj (tj — ü) (logn Cj — logn c^) 
worin r^ und Tg die Temperaturen, c^ und Cg ^^^ Halbmesser des 
äusseren und inneren Umfanges bezeichnen; aus den Beobachtungen 
folgt dann 

Ä = 0-00078 

Man kann nun für einen Messingdraht berechnen, um wie viel 
die Temperatur im Centrum höher ist als an der Oberfläche, ufid 



Heins. Stbbintz. — M. Merbiman. 253 

erhält wenn a = • 25 Mm., r = 55« • 5 C, ü' = 18« C. 

w^ — r = 0«.0037 C. 

Ohne weitere Beobachtungen zu machen^ kann man nun die 
angegebene Temperaturdiffefenz auch für andere Drähte rechnen. 

Schliesslich muss ich noch erwähnen, dass auch E dl und im 
Maihefte von Pogg. Ann. eine Berechnung der Temperaturvertheilung 
im galvanisch erwärmten Drahte geliefert hat, doch ist seine Ab- 
leitung von der hier gegebenen gänzlich verschieden 5 auch sind die 
erhaltenen Gleichungen nicht so allgemein, und endlich basiren die 
numerischen Daten auf ganz andei^en Experimenten ^ als den von 
mir angewendeten, so dass ich keinen Anstand nahm, meine schon 
vor dem Erscheinen von Edlunds Arbeit fertigen Untersuchungen 
dennoch der OeffenÜichkeit zu übergeben. 

Graz. Heinr. Streintz. 



Merriman: On the Moments and Heactions of Continuous 
Girders. By Mansfield Merriman, C. E., Instructor in Civil 
Engineering in the Sheffield Scientific School at New 
Haven, U. S. A. — From Journal of the Franklin Institute 1875. 
vol. LXIX, p. 206, p. 255. 

This is an investigation of the relations of the moments and 
reactions of continuous girders of equal spans. The girder is con- 
sidered as loaded uniformly troughout its whole length, unifom\ly 
in a Single span, or with a single load applied at any point, and 
tables are given exhibiting the moments and reactions at all Sup- 
ports due to either of there loads. The tables or triangles are 
shown to be subject to simple laws resulting from the properties 
of the Clapeyronian numbers, by which they may be readily exten- 
dend to include any number of spans. Girders with the two end 
spans different in lenght from the central ones are also discursed 
and general formulae for the moments and reactions due to any 
kind of loading are presented. 

New-Haven. Merriman. 



254 Mebriman. — Gordan. 



Merriman: On the Flexiire of Continuous Girders. By Mans- 
field Merriman C. E., Instructor in Civil Engineering in the 
Sheffield Scientific School at New Haven, U. S. Ä. — From 
Lond. Edin. and Dubl. Philosophical Magazine 1875. 4. vol. 50, p. 179. 

This article discusses in a general m anner the determination 
of exterior and interior forces • due to any kind of loading in a 
continuous girder of any number and lengths of spans. Forniulae 
for the moments at the Supports are deduced in terms of two kinds 
of quantities, one defending upon the load and its position and the 
other only upon the number s and lengths of the spans. The method 
is entirely general and is shown to be applicable even to the dis- 
cussion of girders with horizontally fastened ends. Ä number of 
Problems are given to show the readiness with which the formulae 
apply to particular cases. 

New-Haven. Merriman. 



Gerd an: Ueber den Fundamentalsatz der Algebra. 

(Mathematische Ann. 10. Bd.) 

Der Verfasser hat den 2. Beweis (algebraischen) von Gauss 
des Satzes: 

„Jede rationale und ganze Function einer Variabein x ist in 
lineare Factoren zerlegbar'^ 
in einigen wesentlichen Punkten vereinfacht. 

Gauss untersucht solche Resolventen einer Gleichung f{pc) = 
mit reellen Coefficienten, aus deren Wurzeln sich die Werthe von 
Summe und Produkt von zweien der Wurzeln von f berechnen 
lassen. Unter denselben befindet sich, wie Gauss zeigt, mindestens 
eine, deren Discriminante nicht verschwindet, von deren Wurzeln 
also Summe und Produkt zweier Wurzeln von f rational abhängen. 

Der Verfasser dagegen untersucht die Resultante B,{u) von: fix) 
und fix + u). Es gibt stets einen Werth von w, für welchen 
It{u) = ist und daher f{x) und f{x + u) einen gemeinsamen 
Factor haben; f{pc) ist also in Factoren zerlegbar. Wir setzen 
f{x) = gipc) h{x) und unterscheiden die beiden Fälle, wo die Coeffi- 
cienten in g (also auch in K) reell oder imaginär sind. 



[■ 



P. Gokdan. — P. Gordan u. M. Noetheb. 255 

Jedesmal kann die Auflösung von f auf die einer Gleichung 
niedrigeren Grades zurückgeführt werden. Ist g reell, so ist dies 
sofort klar; andern Falls ist auch u imaginär und zwar, wie sich 

zeigt, rein imaginär, so dass 9 [^ -\- -^) ^^^ reelle Coefficienten 
besitzt. 

Erlangen. P. Gordan. 



F. Gordan und M. Noether: Ueber die algebraisohen Formen, 
deren Hesse 'sehe Determinante identisch versohwindet. 

(Math. Ann. X. pag.'547.) 

Die Frage nach der Bedeutung des identischen Verschwindens 
der Hesse'schen Determinante einer Form, welche wir in diesem 
Aufsätze erledigen, ist schon seit lange gestellt: Hesse hat sie zu- 
erst im 42sten, daon im 56sten Bd. des Crelle-Borch. J. behandelt 
und sie dahin beantwortet, dass sich die homogene Form von r Va- 
riabein durch lineare Substitution in eine solche von weniger als 
r Variabeln transformiren lasse, oder, was dasselbe ist, dass die 
Beziehungen zwischen den Polaren der Form lineare seien. Wie 
mir H. Christoffel vor längerer Zeit, zugleich unter Angabe des 
Satzes, dass sich jene Transformation jedenfalls durch eine rationale, 
eindeutig umkehrbare Substitution erreichen lasse, mitgetheilt hat, 
sind die Mängel des Hesse'schen zweiten Beweises, die in einer 
unzulässigen Auflösung eines Systems linearer Gleichungen liegen, 
gleich nach dem Erscheinen dieses Aufsatzes bemerkt worden, und 
wurde damals von H. Weierstrass ein Zweifel an der Richtigkeit 
des He SS e'schen Satzes geäussert. Indess sind die falschen Beweise 
in mehrere Lehrbücher übergegangen. 

Zur Behandlung der Frage nach der Richtigkeit des Satzes 
boten sich sehr verschiedenartige Methoden dar, die das Gemeinsame 
hatten, zwar je eine Reihe von Eigenschaften der Formen zu liefern 
oder einzelne Formengebiete zu erledigen, ohne aber den letzten 
Schluss zuzulassen. Eine solche Erledigung der cubischen ter- 
nären und quaternären Formen im Sinne des Hesse'schen Satzes, 
mittelst einiger Determinantenrelationen, ist von H. Pasch (Borch. 
J. 80) veröfifentlicht worden. Die ternären Formen überhaupt hat 
H. Gordan, ebenfalls unter Bestätigung des Satzes, erledigt (Sitz.-Ber. 
der phys.-med. Soc. Erlangen v. 13, Dec. 1875), hauptsächlich durch 



i 



' "^ 



256 M. NOETHEB. 



eine besondere Darstellung der Determinante eines Products von 
Formen und einzelne Schlüsse über die Gestalt der zwischen den 
Polaren bestehenden Relation. 

Nachdem H, Gordan und ich durch eine Vergleichung unserer 
verschiedenen, einzeln nicht zum Ziele führenden, Methoden erkannt 
hatten, dass die Betrachtung der Relation zwischen den Polaren 
^ selbst, nicht der Determinante, den Ausgangspunkt der Untersuchung 

zu bilden hat, nahmen wir die Untersuchung nun gemeinsam von 
dieser Seite her auf, indem wir die Frage nach allen Formen stellten, 
zwischen deren Polaren Relationen bestehen. Das Besiiltat zunächst 
ist Folgendes: 

„Der Hesse'sche Satz gilt für alle binären, ternären und qua- 
ternären Formen, dagegen nicht mehr für die Formen von mehr als 
vier Variabein und zugleich von höherer als der zweiten Ordnung. 
Für diese Fälle lassen sich ganze Classen von Formen aufstellen, 
deren Determinante verschwindet, ohne dass zwischen ihren Polaren 
lineare Relationen stattfinden." 

Ich deute auch den Weg an, auf welchem dieses Resultat er- 
halten wird: 

Wir nehmen unter den Relationen zwischen den Polaren /j. der 

Form f eine solche von möglichst niedriger Dimension in den 
/"., x(f.) = heraus. Wenn nun die gy den Functionen h (a;), 

welche keinen Factor gemeinsam haben sollen, proportional sind, 
so dass sich die Relation auch 2Jh /*. = schreibt, so betrachten 

wir die Uneare partielle Diflferenzialgleichung 

2Jh ö— = 0. 
t 

Die wesentliche Eigenschaft der ganzen Lösungen dieser 
Gleichung ist in der für alle X gültigen Relation ausgesprochen: 

Diesen Gleichungen genügen auch die Functionen h selbst, was 

z. B. durch die Beziehimg h Qi) = ohne Weiteres zur Erledigung 
aller ternären Formen führt. Im Allgemeinen dienen die Glei- 
chungen 

2j h -^ — = 

i ox. 



M. NoETHEB. — S, GUNPELFINGER. 257 

%\xt Begrenzung der Functionen h . Zur weiteren Ausscheidung 
der ganzen Functionen In, wird eine Transformation verwandt: 

in welcher die Substitutionsdeterminante und eine Reihe ihrer ünter- 

determinanten verschwinden, bei der also jedem Werthe % unendlich 

viele Werthsysteme x entsprechen. Diese Beziehung muss unter den 

verschiedenen Annahmen verfolgt werden, dass das |- Gebiet eine, 

zwei, drei • . . . Dimensionen hat. Wir erhalten indess die allgemeine 

Erledigung dieses A-Problems nur für ein em/acÄ-unendliches S-Gebiet, 

(i) 
für mehr Dimensionen nur Eigenschaften der Ä -Functionen. 

Zu einem Theil solcher Functionen li gehören neue Functio- 
nen f zu, definirt durch die partiellen Differentialgleichungen für f\ 

0,(0 

Die Lösungen ergeben sich in demselben Umfange, wie das 
A- Problem gelöst ist. So erwähne ich, dass für die allgemeinste 
quinäre Form /*, deren Hesse'sche Determinante identisch ver- 
schwindet, entweder der Hesse'sche Satz gilt, oder sie muss von 
der Form sein: 

wo . ö = ^3 Pj -f- ^r^ Pg + x^ Pg 

die P^. beliebige ganze homogene Functionen gleicher Ordnung von 
x^ x^ und die Function 9 von ^, x^^ x^ ebenfalls beliebig ist. 
Erlangen. M. Noether. 



Gundelfinger: Vorlesungen über analytisch^ Geometrie des 
Baumes, insbesondere über Oberflächen zweiter Ordnung, 
von Otto Hesse. Bevidirt und mit Zusätzen versehen von 
S. Gundelfinger. Dritte Auflage. 

(Leipzig, B. G. Teubner 1876.) 

Unter den Aenderungen, welche der Berausgeber der dritten 
Auflage bei der Revision vorgenommen, sind ausser zahlreichen 
kleineren Zusätzen — vgl. beispielsweise SS. 85. 88. 129. 164 — 165, 
179 — 180. 249 — besonders folgende hervorzuheben: 



^ 



258 S. GüNDELPINGFR. 

Der Verfasser hatte mehrere wichtige Sätze über die Focal- 
enrven und die reellen Kreisschnitte der Oberflächen zweiter Ord- 
nyng entweder nur historisch angeführt oder ungenügend bewiesen. 
Diese Lücken wurden durch theilweise Umarbeitung der Vorlesungen 
24. und 28. ausgefüllt. (Cfr. SS. 349 — 353. 399. 402. 403. 406 
bis 409.) Gleichzeitig ist als eine unmittelbare Anwendung von 
Formeln aus. der letzterwähnten Vorlesung 28 eine Untersuchung 
über die partielle Differentialgleichung für den Parameter einer- 
Dupin'schen Flächenschaar auf den Seiten 441 — 448 eingefügt 
worden.*) 

Da die Theorie der quadratischen Formen als die Quelle fast 
sämmtlicher Ausführungen des Werkes zu betrachten ist, so hat der 
Herausgeber den weiteren Ausbau dieser Theorie auf Grund der 
Arbeiten von Kronecker und Weierstrass unternehmen zu müssen 
geglaubt, und zwar in besonderen Supplementen, um die Originalität 
der darauf bezüglichen Untersuchungen Hessens nicht zu schädigen. 
Es würde dem Zwecke der vorliegenden Mittheilung widersprechen, 
im Einzelnen anzuführen, was diesen Supplementen im Vergleiche 
mit bereits bekannten Ergebnissen eigenthümlich ist. Nur so viel 
möge im Allgemeinen bemerkt werden, dass es dem Herausgeber 
bei sämmtlichen Zusätzen überhaupt weniger darauf ankam, neue 
geometrische Sätze zu gewinnen, als vielmehr die algebraischen Ent- 
wickelungen weiter zu führen oder wenigstens formal zu verein- 
fachen. Derselbe verweist in dieser Hinsicht namentlich auf. das 
dritte Supplement, in welchem die Lehre vom Flächenbüschel zweiter 
Ordnung ohne Zuhilfenahme von Theoremen aus der analytiscJien 
Geometrie der Ebene behandelt ist. 

Tübingen. S. Gundelfinger. 



*) Bei dieser Gelegenheit sei auf ein sinnentstellendes Versehen aufmerk- 
sam gemacht, das leider in einigen Exemplaren nicht mehr berichtigt werden 
konnte. Auf Seite 448, Z. 13 v. u. ist nämlich anstatt „dass" zu lesen: dass 
unter anderen. 



I 



H. Weisenbokn. 259 

n. Weissenborn: Griindzüge der analytischen Geometrie der 
Ebene für orthogonale und homogene Funkt- und Linien- 
Coordinaten. Von Dr. Hermann Weissenborn, Professor 
am Grossherzoglichen Realgymnasium zu Eisenaeh. (Leipzig, 
Druck und Verlag von B. G. Teubner. 1876. 236 S. 8.) 

Nachdem schon früher Möbius und Plücker sich trimetrischer 
Coordinaten bedient hatten, ward neuerdings, namentlich durch 
Balmon-Fiedler's „Analytische Geometrie der Kegelschnitte", die 
Aufmerksamkeit wieder auf diese Methode gelenkt und der Vortheil, 
den sie bei geometrischen Untersuchungen bietet, besonders wenn 
die Gleichungen in homogener Form dargestellt worden, immer 
mehr anerkannt. Da jedoch in dem Fiedler' sehen Werke seiner 
ganzen Anlage nach die Lehre von den trimetrischen und homoge- 
nen Coordinaten nur verwebt und verflochten in diejenige der Carte- 
sischen Coordinaten vorkommen konnte, so regte sich der Wunsch, 
erstere für sich als ein zusammenhängendes Ganzes dargestellt zu 
sehen. Dies bezwecken deim auch zwei in den letzten Jahren er- 
schienene Werke: die „Elemente der analytischen Geometrie in 
homogenen Coordinaten, von R. Heger. 1872", und die „Elemente der 
analytischen Geometrie in homogenen Coordinaten, von L. Sehende 1. 
1874". Aus gleicher Absicht auch ist meine Schrift hervorgegangen. 
Sie verfolgt daher dasselbe Ziel, wie die bisher genannten, unter- 
scheidet sich aber gleichwohl von ihnen in mehrfacher Beziehung. 

Hinsichtlich der Darstellung nämlich schien es mir nicht zweck- 
mässig, die Lehre von den homogenen Coordinaten für »ich allein 
zu geben, wie es Heger und Schendel thun, vielmehr knüpfe ich 
lieber, wie Fiedler, an die Theorie der orthogonalen Coordinaten 
als die bekanntere an, schicke aber alle diejenigen Sätze, auf welche 
später Bezug genommen wird, zu einem Ganzen zusammengefasst, 
im 1. Abschnitt voraus, und nehme in diesen auch die Lehre von 
den orthogonalen Linien- Coordinaten auf. Im 2. Abschnitt, der 
Theorie der homogenen Coordinaten, sehe ich nicht, wie Schendel, 
Flächen als Coordinaten an, sondern es schien mir natürlicher, den 
Weg einzuschlagen, welchen Heger betreten hat. Dieser nämlich 
bedient sich der von Plücker angewandten homogenen Linien- 
Coordinaten, jedoch mit der Modification, dass als solche nicht die 
Abstände einer Geraden von den drei Ecken eines Fundamental- 
dreiecks angesehen werden, sondern die Quotienten dieser Abstände 
und der Entfernung der Geraden vom Coordinaten-Anfangspunkt. 






260 H. Weissenbo&n. 

Unter dieser Voraussetzung wird die Lage einer Geraden durch ihre 
Coordinaten eindeutig bestimmt. Während ich mich daher in dieser 
Hinsicht an das Verfahren Heg er 's anschliesse, gehe ich noch einen 
Schritt weiter und nehme auch bei den trilinearen Punktcoordinaten 
nicht die linearen Entfernungen eines Punktes von den Seiten eines 
Fundamentaldreiseits, sondern die Quotienten aus diesen und den 
Abständen des Coordinaten- Anfangspunktes von den Seiten des Drei- 
seits als Coordinaten des Punktes an. Denn es war mir im Voraus 
gewiss, dass eine üebereinstimmung der Gesetze über Punkt- und 
Linien-^Coordinaten nicht erzielt werden könne, wenn unter ersteren 
lineare Strecken, unter letzteren aber Verhältnisse zweier Strecken 
verstanden werden, und die weitere Untersuchung, namentlich rück- 
sichtlich der Beständigkeit der Coefficientensumme bei der Trans- 
formation einer Kegelschnittsgleichung auf ein neues Dreieck, be- 
stätigte diese Ansicht. 

Hinsichtlich des Inhalts unterscheidet sich meine Schrift von 
den oben genannten dadurch, dass ich den Gegenstand in einer 
andern Richtung behandele. Es lag nämlich nicht in meiner Ab- 
sicht, auf das Einzelne einzugehen, sondern nur den Leser bekannt 
zu machen mit dem Gebrauche der verschiedenen hier angewandten 
Coordinaten, und ihn in den Stand zu setzen, die speciellen Lehren 
der ebenen analytischen Geometrie selbst abzuleiten. Meine Schrift 
soll daher nur die „Grundzüge" dieser Disciplin, oder die wichtigsten 
allgemeinen Sätze enthalten. Zu diesen rechne ich einmal diejenigen, 
welche dazu dienen, die bei analytisch-geometrischen Untersuchungen 
auftretenden nächsten Fragen zu beantworten. Eine der ersten der- 
selben schien mir die zu sein, ob und unter welchen Umständen 
eine Gleichung 2. Grades einen Kegelschnitt, und wann sie den 
einen oder anderen repräsentirt. Aus diesem Grunde habe ich, unter 
besonderer Berücksichtigung der Discriminante und ihrer Partial- 
Determinanten, die Classification der Kegelschnitte ausführlich be- 
handelt, wobei ich in dem Falle, dass ihre Gleichung in orthogona- 
len Linien- Coordinaten gegeben ist, um die Analogie mit der bei 
orthogonalen Punkt-Coordinaten durchgeführten Untersuchung auf- 
recht zu erhalten, ein anderes Verfahren einschlagen musste, als 
Plücker im 2. Theile seiner „Analytisch-geometrischen Entwicke- 
lungen'^. Als ebenfalls wichtige allgemeine Sätze erschienen mir 
ferner diejenigen, welche die harmonischen und anharmonischen 
Verhältnisse betreffen, da sie den Ausgangspunkt für die Lehre von 
den polaren und collinearen Eigenschaften bilden; von einer Erörte- 



H. Weissenborn. 



261 



rung der letzteren habe ich jedoch, wenigstens vorläufig, abgesehen, 
um so mehr, als man dieselbe bei Heger und in synthetischer 
Darstellung in meiner „Projection in der Ebene. 1862" durchgeführt 
findet. Sodann glaubte ich auch, da von den hier in Betracht ge- 
zogenen vier Arten von Coordinaten-Systemen, orthogonale und 
homogene Punkt- und Linien-Coordinaten, die eine leichter zur Auf- 
findung der einen, die andere leichter zur Auffindung der anderen 
Eigenschaft führt (wofür der letzte Artikel je vom 1. und 2. Ab- 
schnitt ein Beispiel bietet), den Weg angeben zu sollen, wie man 
von dem einen System zu einem anderen übergeht. Ich habe des- 
halb der Transformation der Gleichungen, namentlich derjenigen 
2. Grades, auf eine andere Art von System besondere Aufmerksam- 
keit geschenkt und die auch hier sich zeigende Bedeutung der Dis- 
criminante und ihrer Paijial-Determinanten hervorgehoben. Da end- 
lich auch bei Beibehaltung derselben Art von Coordinaten-System 
die Wahl der Axen bei orthogonalen, des Fundamental-Dreiseits 
oder -Dreiecks bei homogenen Coordinaten nicht gleichgültig ist, so 
habe ich diese Fälle mit in das Bereich meiner Untersuchung 
gezogen; und zwar beschränke ich mich beim Uebergange von einem 
orthogonalen Punkt- oder Linien-System auf ein gleichartiges ande- 
res auf den für meine Zwecke allein in Betracht kommenden Fall, 
dass die neuen Axen den ursprünglichen parallel laufen, ausftihrlich 
dagegen Tjehandele ich die Verhältnisse, welche stattfinden, wenn 
eine homogene Gleichung in eine ebensolche, aber auf ein anderes 
Dreiseit oder Dreieck bezogene, transformirt wird. Sind nämlich 
die Seiten gu des ursprünglichen, und die Seiten Qk des neuen Drei- 
seits repräsentirt durch die Gleichungen bezüglich 

gk = \^ky + ikX—\-=Oy ^i = ^it/ + xi^j —■ 1 = 0, 



setzt man die Determinanten 



ljl91 


- 


1 e; 9; 


lE«^» 


-», 


1 e; 5; 


1 Es^s 


« 


1 E'a ^; 



2)', 



und bezeichnet man femer mit S)^p den Werth von 2), welcher ent- 
steht, wenn ^p, jp statt t^tj it eingesetzt wird, mit 2)Jp den Werth 
von 2)', welcher entsteht, wenn ^p, jp statt ^i, jj eingesetzt wird 
(wo t und p je eine der Ziflfem 1, 2, 3 sind), so dass also z. B. 



1 ?; 9; 




1 h^t 


1 h \ 


35 • 


1 e; ^'2 


1 Es ^3 




i h ^3 



= ®', 



12 



T 



262 H. WeISSENBORN. — C. MoSHAMMEß. 

ist, so finden zwischen den beiden Arten von Determinanten ^tp, 
^tp eine Reihe gegenseitiger Beziehungen statt, deren Bedeutung 
bei der Transformation besonders hervortritt, welche aber wohl auch 
für andere Untersuchungen von Interesse sein könnten. Indem ich 
so die Umformung der Gleichungen ausfuhrlich behandelt habe, ge- 
dachte ich zugleich dem Leser gewissermassen einen praktischen 
Dienst zu erweisen dadurch, dass er in den Stand gesetzt wird, ohne 
Weiteres, falls es wünschenswerth erscheint, von einem System auf 
ein anderes überzugehen, indem er Alles, was in diesem Falle zu 
wissen nöthig ist, gegeben vorfindet, so dass er der Mühe des Trans- 
formirens überhoben ist und das Buch gleichsam zum Nachschlagen 
benutzen kann. Vielleicht auch darf ich hofifen, dass die Ergebnisse 
der Transformationen als Beispiele für die Gesetze der linearen 
Substitution nicht unwillkommen sein werden, obschon sie ohne 
Anwendung dieser Theorie gefunden worden sind. 

Ich habe nämlich absichtlich keine anderen Vorkenntnisse vor- 
ausgesetzt als die ersten Begriffe der Cartesischen Geometrie und 
die Elemente der Lehre von den Determinanten. Denn ich war der 
Ansicht, je leichter verständlich die Schrift sei, um so mehr werde 
sie zur weiteren Ausbildung des hier befolgten Verfahrens anregen 
und zur Förderung analytisch-geometrischer Forschungen beitragen. 
In wie weit es mir gelungen ist, dieses Ziel durch meine Arbeit, 
bei welcher mir ausser den oben genannten Werken von Heger 
und Fiedler noch Stammer 's „Lehrbuch der analytischen Geo- 
metrie. 1863", sowie die Werke über Determinanten von Baltzer 
und Günther von Nutzen gewesen sind, zu erreichen, möge der 
Leser entscheiden. 

Eisenach. H. Weissenborn. 



Moshammer, C: Zur Geometrie dec Schraubenbewegung und 
einer Begelfläche dritter Ordnung. 

— Zur Geometrie ähnlicher Systeme und einer Fläche dritter 
Ordnung. 

(Sitzungsberichte der k. k. Academie d. W. in Wien, März- und 
Juni-Heft 1876.) 

■Die Achsen, mittelst welcher durch Schrauben-Bewegung eine 
Strecke MN auf der Geraden G in eine vorgeschriebene Lage M' N' 



K. MOSHAMMER. 263 

auf & gebracht wird, erfüllen eiwe Begelfläche F^ dritter Ordnung, 
deren einfache Leitende durch die Stellung der den ^ (MN, M'N') 
normal halbirenden Ebenen E und deren Doppelgerade ox normal 
zu E durch das Gentrum der Strecke zwischen den Punkten der 
(kürzesten) Distanz, G von &', bestimmt ist. 

Die Doppelebenen des involutorischen Büschels, welches aus 
ox die Erzeugenden projicirt, sind Symmetralehenen zur F^\ die orth. 
Projectionen der i^g-Curven zweiter Ordnung auf die Ebenen E 
sind Kreise etc. 

Die Rotationsachsen, mittelst welcher eine (unbegrenzte) Gerade 
(t in eine vorgeschriebene Lage G gebracht wird, bilden die beiden 
Regeischaaren eines hyperbolischen Paraboloids, dessen Asymptot- 
Ebe'nen den <^ ((?, (?') und seinen Nebenwinkel normal halbiren. 

Die Bestimmung der eingangs genannten Achsen zu zwei sich 
schneidenden Geraden 6r, G' führt auf ein, gegenüber dem bisher 
Bekannten, sehr einfaches Verfahren, zur Ermittlung der sich selbst 
entsprechenden Geraden zweier einstimmig congru£nter Raumsysteme 
(GentralacJise der Bewegung). 

Bezüglich zweier allgemein liegender entgegengesetzt congruentcr 
(symmetrischer) Uaumsysteme S, S' gilt der Lehrsatz: 

j, Entspricht dem ebenen Systeme e in 8 das System e in S' und 
dreht man S' um die Linie (e, e)j so beschreibt der Doppelpunkt 
(Symmetralcentrum) zu S, S' eine Gerade normal zu e, welche den 
sich seihst entsprechefiden Punkt m der beiden durch Umklappung von 
e nach e einstimmig congruenten ebenen Systeme enthält. Die sich 
selbst entsprechende Gerade zu S, /S" erzeugt in einer Ebene normal 
zu e einen Strahlbüschel zweiter Ordnung^ welcher eine Parabel vom 
Scheitel m umhüllt, deren Brennpunkt auf jener Geraden liegt j die 
durch Umklappung von e nach e im entgegengesetzten Sinne in den 
vereinten Systemen e, e sich selbst entspricht'^ ; woraus eine einfache 
Bestimmung der Doppelelemente zu ä, S' (Punkt, Gerade, Ebene) 
resultirt. 

Sind MN, M' N' homologe Strecken zweier im Quotienten v 
ähnlicher Reihen auf 6r, G' und benennt man die Stellung der Ebenen, 
welche -^{MN, M' N') und seinen Nebenwinkel normal halbiren 
beziehungsweise mit u, u , femer die durch die Leitenden G,G\u 
und G, G\ u bestimmten Regeischaaren mit @, ©', so werden 

durch eine Gerade I '^^j die zwischen G, G' liegenden Strecken 



264 C. Mqshammeb. — 0. A. Bjerknes. 

der Schaar \^A im Verhältniss | T ^^ [ getheilt und die Achsen, 
mittelst welcher durch Botation von G um je eine derselben (Ä) durch 

^ {m^M' + ^r} ^^ ^'^ ''' (rtge^ngLtztl P^'P^^^'' 
Lage Jcommen, erfüllen eine Eegeljßäche | p' [ ; welche die | , A als 

Doppelgerade und die Stellung | ^, \ sowie einen Kreis K (Ort der 

Aehnlichkeitscentra zu G, (?') als einfache Leitende hat. 

Die orth. Projectionalen der jF!j-Curven zweiter Ordnung auf 
die Ebene K sind Kreise etc. 

Bezüsrlich zweier allgemein liegender { . , , ahn- 

^ ° ° l entgegengesetzt 

licher Baumsysteme 8, S' resultirt der Lehrsatz: 

„Entspricht dem ebenen Systeme e in S das System e in 8' und 

dreht man 8" um die Linie (e, e), so beschreibt der Doppelpunkt 

(Aehnlichkeitscentrum) \ ,, | ^u 8, 8' einen Kreis K normal zur Ebene 

Cy dessen Durchmesser-Endpunkte die zwei sich selbst entsprechenden 
Funkte der beiden in der Ebene e, durch zweifache Umklappung von 
e nach c, vereinten ebenen Systeme sind. 

Bei genannter Drehung des Systems 8' erzeugt die sich selbst ent- 
sprechende Gerade \.,\ zu S, S' eine Begelfläche \ -J, \ mit dem 

Kreisschnitte K und der Doppelgeraden in e normal zur Ebene K etc. 
Auf Grund dieses Gesetzes ergiebt sich ebenfalls eine sehr einfache 
Bestimmung der Doppelelemente zu zwei allgemein liegenden 

{, , > ähnlichen Raumsystemen. 
entgegengesetzt] 

Graz. G. Moshammer. 



C. A. Bjerknes: Forelöbige ^ Meddelelser om de Exäffcer, der 
opstaa, naar kugleformige Legemer, idet de üdföre Dila- 
tations- og Kontraktions-Svingninger, beväge sig i et in- 
kompressibelt Flnidum. (Videnskabsselskabets Forhandlinger 
i Christiania, Aar 1875. Pag. 386—401.) 

Die unten besprochenen „vorläufigen Mittheilungen über die 
Kräfte (Druckkräfte), die entstehen, wenn kugelförmige Körper, 




C. A. SjERKNEä. 265 

indem sie Dilatations- und Contractions-Schwingungen ausfuhren, 
in einer incompressiblen Flüssigkeit sieh bewegen" wurden im Sep- 
tember 1875 der Wissenschaftsgesellschaft in Christiania vorgelegt. 
Sie können als Fortsetzung einer anderswo — bei Gelegenheit der 
Versammlung der skandinavischen Naturforscher in Christiania im 
Sommer 1868 — gegebenen Mittheilung aufgefasst werden, welche 
die gleichzeitige Bewegung mehrerer Kugeln zum Gegenstand hatte; 
der betreflFende Aufsatz wurde in den in dem folgenden Jahre heraus- 
gegebenen Verhandlungen unter dem Titel: „om den samtidige Be- 
vägelse af kugleformige Legemer i et inkompressibelt Fluidum" 
publicirt, Pag, 205—257. 

Den erwähnten neuen Mittheilungen schliessen sich ferner zwei 
frühere, beide in den Verhandlungen der Wissenschaftsgesellschaft 
veröffentlichte, Abhandlungen an, von welchen die erste, aus dem 
Jahre 1863, eine Verallgemeinerung des Dirichlet'schen Kugel- 
problems giebt, indem jetzt die in der Flüssigkeit bewegte Kugel 
zugleich das Volumen ändern darf. Sie ist unter dem Titel: „om 
de indre Tilstande i et inkompressibelt Fluid um, hvori en Kugle 
beväger sig, idet den forandrer Volum", Pag, 13 — 43, erschienen. 
Die zweite, die im Jahre 1871 der Gesellschaft vorgelegt wurde, 
setzt ein System von gleichzeitig bewegten und veränderlichen 
Kugeln voraus; und in dieser letzten Abhandlung, betitelt: „sur les 
mouvements simultanes de corps spheriques variables dans un fluide 
indefini et incompressible% premier memoire, Pag. 327 — 406, wie 
in den zukQnftigen folgenden Memoiren, werden dann die Beweise 
der in den beiden oben genannten Mittheilungen gegebenen Resul- 
tate sowohl als die Vervollständigung derselben zu suchen sein. 

I. 

Es gehört eine Kugel S^ einem System von m Kugeln, die sich 
gleichseitig unter Aenderung ihrer Volumen in einer unendlichen, in- 
kompressiblen Flüssigkeit bewegen. Die 5ten Potenzen der Verhältnisse 
zwischen Radien und Centraldistanzen sollen ausser Betracht gelassen 
werden. Alsdann bestehen die folgenden Bewegungsgleichungen: 

VU dt V""'" dtj da' dt y"^' dt) db> d« V ' dt) de, ' 

V if W 

wo 

(2) Stg = j-^ f2nqdl • Zgtpi ^^ + Axq Sg <pk q>, ;^ 

m 

und ^g = Mff-i- ^mg . 

Repertorium für reine und angewandte Mathematik. * 18 



i 



266 C. A. Bjebknes. 

M bedeutet die Masse der Kugel 8g,. m^ diejenige der von 
ihnen verdrängten Flüssigkeit; 3R^ ist somit eine ideelle Masse^ in- 
dem man sich die wirkliche mit der halben von ihrer Stelle ver- 
drängten Flüssigkeitsmasse vergrössert zu denken habe, q ist die 
Dichtigkeit der Flüssigkeit, qg übrigens die veränderliche Dichtig- 
keit der Kiigel selbst. Von den Grössen a^, bg^ Cg, dg bezeichnen 
die drei ersten die Coordinaten in einem rechtwinkligen Coordinaten- 
system des Mittelpunkts g, die letzte den Badius der Kugel 8g, 
Tkg ist der Abstand zwischen den den Kugeln Sk und Sg zugehöri- 
gen Mittelpunkten h und g] t bedeutet, wie gewöhnlich, die Zeit. 
Der am Summenzeichen angebrachte untere Index g giebt femer 
an, dass dem Je der Werth g nicht zu ertheilen sei; sonst darf Je unter 
der Summation sämmtliche übrige Werthe in der Reihe 1, 2, 3, ... w 
beigelegt werden. 

Die Operation 9?* ist auf folgende Weise zu verstehen: 

9,, = 9,(0) + 9,(1), 
wo tpf) 4V*, 

/ , d ^ d , d\ 

die accentuirten Buchstaben Derivirten nach der Zeit bezeichnend: 
9)^0) hiernach nur ein Factor. Die zusammengesetzte Operation q)kg)g 
wird endlich dem Obigen zufolge durch 

g>,g>, = 9,(0)9,(0) + 9,(0)9,(1) + 9,U)9,(«) + ^(i)9,(.) 

ZU definiren sein. 

Führt man die Rechnungen aus, wird man einerseits 

'kg 'kg 



andererseits 



9'i''-r •= — i<^*'«* "^ <^8 (si, rts,) , 

kg '*» 

9,(0)9,(0) J- = diäk-dia,.^, 

kg 'kg 

^k^^g^-r = ^ ^*^* • ^^'^^ ' ir COS (4, Tgk), 
^9 kg 

^k^^Ty- = i ^i^9 • dkSk • :^ cos (5;, Tkg), 

'kg ^kg 

^k^^fj^ = i ^*«* • ^14 • ^ fcos (si, Sg) + 3cos {Sk, Tkg) cos Sg, rgk)) 

^kg ^kg \ J 

erhalten. 



r 



C. A. BjERKNES. 267 

Sg ist dann die absolute Geschwindigkeit des Mittelpunkts g] 
ißgt ^gk) bedeutet den Winkel, welchen die Geschwindigkeitsrichtung 
in g mit der Centrallinie rgk bildet, von g nach k gerichtet; (sk, Tkg) 
ebenso den Winkel, welchen die Geschwindigkeitsrichtung in Tc mit 
Vjcg bildet, die Centrallinie jetzt umgekehrt gerichtet, von h nach g. 
Man hat sodann auch cos {Sg, Tgk) = — cos (Sgy Tkg). 

Mittelst dieser Formeln wird man nun q>k — und q>kVg — er- 

halten, und, indem man ferner in der Gleichung (2) einsetzt, den 
Werth von Slg, Diese Grösse lässt sich übrigens auch entwickelt 
aujf folgende neue Weise schreiben: 

ß. = - 2, (2'^«'^^' • li ^^0^^ *) •" ^, 

+ %c[ {bdl ' dld^k •{- äi • dl ctg) ' -^ Sk cos (si, ng) 



(2') 



+ %qdl *dl '-^>jk cos (jky Tkg) 



% 



^ffk 



+ nqdidl • ^ 5? (Scos^ («i, n^) — l)^ 



jk in der obigen Gleichung bedeutet die Totalacceleration im Mittel- 
punkte k. 

Den Gleichungen (1) zufolge werden die partiellen Derivirten von Slg 

dSl^ dSl^ dSl„ 

da/ d&/ "5^ 

als die drei Componenten nach den Achsen X, F, Z einer auf der 
ideellen und veränderlichen Masse Wg wirkenden äusseren Kraft 
aufgefasst werden können. Als die auf derselben Masse ÜJi^ oder 

Mg + ~ wirkenden Componenten der beschleunigenden Kraft dürfen 



\^^^ dt) ' dt \^^^ dtj> dt V^^^ dt ) 



dann - 

dt 

angesehen werden. 

Das Potential £lg der eingeführten ideellm, äusseren Kraft ist 
in dem Vorstehenden unter zwei verschiedenen Formen dargestellt 
(2) und (2'). Die letzte Darstellung des Potentialausdrucks, (2')^ 
eignet sich besonders für die Untersuchung der Kraft selbst in dem 
gegebenen Zeitmomente*^ die erste (2) ist bequemer um die mittleren 
WertJie derselben Kraft oder der Kräfte, aus welchen sie weiter be- 
steht, im Laufe eines Intervalls zu bestimmen, in welchem gewisse 

18* 



^ 



268 0. A. ßjERKNES. 

Wege durchlaufen werden und die Intensität der veränderlichen, 
besonders periodisch veränderlichen Kraftwirksamkeit gewisse Aen- 
derungen erleidet. 

Die Ausdrücke des Potentials Slg in den beiden Formen zeigen, 
dass man, sofern nur^ wie eben vorausgesetzt, die 5ten Potenzen der 
Verhältnisse zmschen den Badien und Centraldistanzen ausser Betracht 
gdassen werden, den Fall, wo mehrere Kugeln vorhanden sind, unr 
mittelbar auf den einfacheren zurückfuhren kann, wo es bloss zwei 
giebt, Sg und Sk ; denn die Kräfte sind dann von einander unabhängig. 
In Allgemeinheit wird somit im Folgenden nur die Wirksamkeit 
zweier Kugeln auf einander in Betracht gezogen werden. 

Der Potentialausdruck in der letzten Form (2') zeigt ferner an, 
dass die Kraft auch unabhängig von der GesdvwindigTceit ist, womit 
die von jener angegriffene Kugel Sg sich fortbewegt, 

Sie ist aber nicht unabhängig von der Geschwindigkeit, womit 
das Volumen derselben Kugel sich ändert. Auch besteht, wie aus 
dem Potentialausdruck in der ersten Form erhellt, die Unabhängig- 
keit von der fortschreitenden Bewegung der Kugel Sg nicht mehr 
für die mittlere Kraft im Laufe einea Zeitintervalls. Das Princip 
der gleichen Wirkung und Gegenwirkung ist endlich für die Wechsel- 
wirkung der zwei Kugeln nur in besonderen Fällen gültig. 

Nach der Gleichung (2) besteht das Potential Slg aus zwei 
Theilen, von welchen der erste eine vollständige Derivirte in Be- 
ziehung auf die Zeit ist; der letzte 

k 

bestimmt einen andern^ mehr symmetrisch-gebildeten Theil der ideellen, 
äusseren Kraft, welche dadurch bemerkenswerth ist, dass sie nach 
dem Princijpe der gleichen Wirkung und Gegenmrkung (iir sich allein agirt. 
Es seien nun nach dem Vorhergehenden nur die zwei Kugeln 
Sg lind Sk gegeben. Der Abstand zwischen den Mittelpunkten k 
und g darf so gross im Verhältniss zu deren Geschwindigkeiten, 
oder also zu den Wegen, die sie in der Zeiteinheit beschreiben, an- 
genommen sein, dass diese letzten mit dem Cubus des.Central- 
abstandes dividirt ausser Betracht gelassen werden können. Auf die 
veränderliche Masse SD?^ wirkt dann eine Kraft der ersten Art 

und ebenso eine der zweiten Art 



C. A. Bjerkneb. 269 

beide folglich umgekehrt wie die Quadrate der Abstände, Diese 
Kräfte sind abstossend oder anziehend, je nachdem die obigen Aus- 
drücke entweder positiv oder negativ sind. 

Es soll besonders angenommen werden, dass die Kugeln gleich- 
zeitig wachsen und abnehmen, oder auch, dass das Volumen der 
einen wächst, während dasjenige der andern abnimmt oder umge- 
kehrt, anders ausgedrückt, dass sie eins oder entgegengesetzt pülsiren. 
Die Volumänderungen sollen ferner in kurzen Perioden vor sich 
gehen, und der Einfachheit wegen zugleich die Erweiterungen und 
Zusammenziehungen der beiden Kugeln dasselbe Gesetz befolgen, nur 
durch ihre Grösse modificirt, so dass 

-^=4-—. 

g * 

Man wird dann die erste der eben genannten Kräfte als eine 
oscillatorische — Oscillationen hervorbringende — Kraft auffassen 
können, während die zweite dagegen eine stetig fortbewegende ist. 

Wegen der oscillatoriscJwn Theilkraft wird Sk gegen Sg eine 
Abstossung ausüben, wenn das Volumen der ersten am kleinsten 
ist; in den Zeiten aber, da sein Volumen wieder am grössten wird, 
zieht sie die Äj^-Kugel an. Es findet dieses auch statt, wenn Sg, 
welche der Kraftthätigkeit von Sk ausgesetzt ist, sein Volumen 
darunter nicht ändern möchte. Diese Kraft, für sich allein, bringt 
doch nur eine Oscillation hervor; denn der mittlere Werth im Laufe 
einer Schwingungsperiode ist Null. 

Ganz anders verhält sich die zweite, die stetig fortbewegende 
Kraft Dieser zufolge werden für eins-Pulsationen eine Anziehung 
für .entgegengesetzte eine Abstossung zu Stande kommen. Die Ein- 
wirkung auf Sg ist Null, wenn unter den Pulsationen von Sk das 
Volumen von Sg ungeändert bleibt. 

Am Anfang und am Ende der halben Schwingui^sperioden ist 
die oscillatorische Kraft dominirend. Sind also Sk und Sg eins 
pulsirende Kugeln, so wird das Verhältniss das folgende sein, unter 
der gleichzeitigen Erweiterung fangen sie trotz der stetig wirkenden 
Anziehung an sich von einander zu entfernen, aber schon ehe das 
Maximum von Volumen erreicht ist, kehren sie dann wieder um, 
und nehmen eine Bewegung gegen einander an. Am Ende der 
ersten halben Periode sollten sie hiemach, wenn jetzt die Pulsationen 
aufhörten, und damit, auch die Kraft selbst, mit gleichmässiger Ge- 



270 C. A. BjnuoES. 

schwindi^^it sich gegen einander bis mm Contact bewegen; an 
diesem Zeümomenie können sie doch möglicherweise sich iioch im 
grosseren Abstände von einander befinden als am Anfang der Zeit. 
Unter der gleichzeitigen Znsammenziehung werden sowohl die oscil- 
latorische als die stetig fortbewegende Kraft eine Nähenmg der 
zwei Engeln veranlassen. Die Kugeln tcerden somit in der ganzen 
Zeit, wenn sie eins pidsiren, von einander tceg und gegen dnander 
osciUiren, indem sie doch darunter einander stets anziehen. Werden 
die Anziehungen gestört, treten die Oscillationen hervor. 

lian sieht auf ähnliche Weise, dass andererseits unter den ent- 
gegengesetzten Pulsationen y die Kugeln mit einander oscUliren müssen j 
beide zu derselben Seite, so beide zn der en%egengesetzten, die 
Kugel, deren yeränderliches Volumen sein Minimum erreicht hat, 
immer die andere, welche gleichzeitig am grössten ist^ forttreibend, 
während diese ihrerseits die kleinste in ihrer Bewegung nach sich 
ziehen wird. Unter diesen Oscillationen aber werden die zwei Kugeln 
einander zugleich abstossen. Auch hier besteht sonst ein Unterschied 
zwischen den beiden Halbtheilen einer Schwingungsperiode. Wenn 
an ihrem Anfang z. B. das Volumen von Sk ein Minimum, dasjenige 
von Sg ein Maximum ist, so wird in der ersten halben Periode die 
Kugel Sg sowohl wegen der oscillatorischen als der stetig fort- 
bewegenden Kraft sich yon Sk entfernen. Die anzüglich grosse 
5jy -Kugel dagegen wird die kleine Sk in den ersten Momenten nach 
sich ziehen, bringt aber dann eine Umkehrung zu Stande, und so 
dass Sk am Ende derselben halben Periode, wenn die Pulsationen 
und folglich auch die Kraft aufhört, mit gleichmässiger Geschwindig- 
keit, ob auch möglicherweise von einer näher liegenden Stellung ab, 
sich schliesslich von der Kugel Sg entfernen wird. In der zweiten 
Halbperiode werden die Rollen vertauscht. 

Auch die Kräfte vierten Grades sind von Interesse zu studiren, 
namentlich wegen der Aehnlichkeit, welche zwischen diesen und 
denjenigen, womit zwei MagneCe in der Feme auf einander einwirken, 
zum Vorschein kommt. Denkt man sich, dass die beiden Kugeln 
Sg und Sk jede nach ihren Bichtungslinien oscüUren, so wird die 
mittlere Wirkung einer auch hier auftretenden oscillatorischen Kraft, 
sofern man von einer begleitenden fortschreitenden Bewegung ab- 
sieht — anfanglich weil diese noch sehr klein ist, später weil ihre 
Wirkung besonders betrachtet werden kann — gleich Null, und es 
bleibt allein eine stetig fortbewegende Kraft zurück, die. dem Po- 
tentiale 



» 



^C. A. Bjebknes. 271 

kg 

entspricht. Sind nun, unter den gleichzeitigen periodischen Schwin- 
gungen — die schon existirenden fortschreitenden Bewegungen wie 
früher nicht berücksichtigt — zur selben Zeit die Richtung der 
Bewegung der Kugel Sg gg\ diejenige der Kugel Skj IcTc, so kann man 
sich die Kugeln als Magnete vorstellen^ deren Orientation durch gg 
und hh' bestimmt sei, g und Ü zum Beispiel die beiden Nordpole 
angebend. Nur darf man sich alsdann die Erscheinung umgekehrt 
denken: gleiche Talen ziehen einander an, ungleiche stossen einander ab. 

Hier wie bei der Anziehung einer Kraft zweiten Grades bei eins 
Pulsationen, der Abstossung bei entgegengesetzten kommt also ein sehr 
bemerkenswerthes Gegensatzverhältniss 0u den Kräften der Natur hervor. 

Wenn man nicht den mittleren Werth im Laufe einer Schwin- 
gungsperiode, wodurch ein Theil der ganzen Kraft, der für die fort- 
schreitende Bewegung ohne Einfluss ist, abgesondert wird, sondern 
den Werth selbst der Kraft vierten Grades sucht, so hat man diese 
durch das Theilpotentig-l 

ZU bestimmen. Auch hier Jcann man die Kraft mit derjenigen ver- 
gleichen, welche ein Magnet St gegen einen anderen Sg ausübt; nur darf 
man sich jetzt denken, dass der letzte, wie auch ^eine Bewegung 
sein mag, immer in Beziehung auf den ersten parallel und entgegen- 
gesetzt orientirt sein soll; die magnetische Achse in St darf ferner zu 
jeder Zeit mit der Geschwindigkeitsrichtung des Mittelpunkts k zu- 
sammenfallen. 

Diese Kraft vierten Grades hat übrigens die beachtungswerthe 
und sehr wichtige Eigenschaft, auf welche sonst schon in 1868 
aufmerksam gemacht worden ist, dass eine Summe von drei, jede 
von derselben Intensität^ aber drei gegen einander senkrecht stehen- 
den Richtungen entsprechend, den Werth Null hat. Die Summe 
der zugehörigen cos \Sk, rkg) wird nämlich alsdann 1, und das 
obige Theilpotential muss somit verschwinden. 

IL 

Um die mittelst Pulsationen zweier Kugeln entstehenden oscüla- 
forischen Kräfte experimentell nachzuzeigen, wurde durch Einblasen 
oder Aussaugung von Luft durch vertical aufsteigende Kautschuk- 
röhre, die in zwei ursprünglich gleich grosse von Wasser ganz um- 
gebene und in derselben Tiefe liegende Ballons einmündeten, 



272 C. A. Bjerknes. 

gleichzeitige Pulsationen hervorgehraeht. Der kleinste Diameter der 
Ballons war hierunter 1" (Zoll), der grösste 2^". Der Abstand 
zwischen den Rohrachsen 2^". Zwei horizontal mit der Centrallinie 
parallel laufende Glasstangen auf jeder Seite der Kautschukrohre, wo 
eben diese in die Ballons einmündeten, dienten dazu, vier quer 
über den Stangen angebrachte sehr leichte Messinghaken zu führen. 
Diese wurden unter den Versuchen gegen die Seiten der Rohre 
angelegt, um deutlicher zu zeigen, indem sie der eine nach dem 
andern zur Seite geworfen würden, wie die Rohre und mithin 
auch die Ballons zum Anfang bewegt wurden. 

Wurde nun im Laufe einer kurzen Zeit der eine Ballon Ä an- 
geblasen, so dass sein Volumen plötzlich wuchs, während dasjenige 
4er andern B ungeändert blieb, so wurde bei Ä selbst in horizon- 
taler Richtung nur eine sehr schwache Bewegung bemerkt, während 
B dagegen in starke Bewegung kam; B wurde von A entfernt und 
nachher angezogen; der äussere Haken an dem ^-Rohre wurde somit 
erst zur Seite geworfen, darauf der innere. Wurde nun wieder der 
Ballon Ä mit grosser Geschwindigkeit ausgeleert, während B wie 
früher am Volumen ungeändert war, so blifeb die -4 Kugel, deren 
Volumen jetzt plötzlich abnahm, wie in dem vorigen Fall beinahe 
ganz ruhig; während B sich erst Ä näherte, und späterhin sich 
wieder davon entfernte: es wurde jetzt der innere an dem JB-Rohre 
anliegende Haken zur Seite geworfen, alsdann der äussere, üebrigens 
wurde die sodann eingeleitete Oscillation wegen der Elasticität der 
Röhre in einiger Zeit fortgesetzt. 

Sehr deutlich und in üebereinstimmung mit der vorigen Theorie 
zeigten sich auch die Oscillationen, wenn die beiden Ballons gleich- 
zeitig ausgeblasen oder geleert wurden, indem man sie entweder 
eins oder entgegengesetzt pulsiren Hess. Im ersten Fall oscillirten 
sie dann von einander weg und gegen einander, im zweitißn dagegen 
mit einander, erst zur einen, demnächst zu der anderen Seite u. s. w. 
Anders ausgedrückt, eins pulsirende Kugeln oscillirten efitgegengesetjst, 
entgegengesetzt pulsirende oscillirten eins. Eine in dem Zeitmomente 
kleine Kugel suchte die andere, gleichviel ob gross oder klein, hierunter 
wegzutreiben, und die grosse schien ihrerseits die andere Kugel stets in 
ihrer Bewegung nach sich ziehen zu wollen; ganz so wie in der 
obigen Theorie vorausgesetzt worden war. 

Bei diesen Versuchen konnten dagegen die stetig wirkenden 
Attractionskräfte für eins -Pulsationen, die stetig wirkenden Re- 
pulsionskräfte für entgegengesetzte nicht mit Bestimmtheit beob- 



1 

C. A. Bjebknes. 273 

achtet werden.^ Es müsste dann dieses unter dem einzelnen Pul- 
sationsschlag der Fall sein, bei welchem die beiden Kugeln vom 
kleinsten zum grössten Volumen übergingen. Die Haken wurden 
dann zu jeder Seite ^" geworfen, zuerst auf der äusseren, dann 
auf der inneren Seite. Die Ballone aber schlugen unter *der Be- 
wegung gegen einander bestimmt an und bildeten später, in ihrer 
grössten Grösse schliesslich in Ruhe gekommen, einen bleibenden 
Kanal zwischen einander ^^* breit. Nachdem die Ballons in dem 
ersten Augenblicke von einander abgestossen waren, wurden sie also 
später über die ursprüngliche Gleichgewichtstellung wieder zurück- 
geführt, als ob die Attraction in den letzten Zeitmomenten das 
üebergewicht erhalten hatte, wenigsteps so weit, dass eine nach 
innen (gegen einander) gerichtete Bewegung beim Aufhören der von 
den Pulsationen bedingten Kraft dadurch eingeleitet worden war. 
Genauer besichtigt, hatte man doch hier noch keinen Beweis; denn 
wegen der Elasticität der Rohre, wie klein sie auch war, und der 
Wirkung des Auftriebes, musste doch nach der ersten Abstossung 
ein üebergang über die Gleichgewichtslage, ob auch möglicherweise 
weniger hervortretend, in der That eintreten; auch war kein 
Unterschied in den Längen, in welchen die Haken zu beiden Seiten 
geworfen wurden. Die Versuche dürfen übrigens mit tiefer ein- 
gesenkten Ballons wiederholt werden. 

Die mit den Pulsationen verbundenen stetig mrkenden ÄUractionen 
oder Bepulsionen experimentell nachzuweisen, scheint überhaupt nicht 
geringen Schwierigkeiten unterworfen zu sein. Eine Illustration der 
hierher gehörenden Sätze wird man dennoch mit Leichtigkeit erhalten, 
indem man die Bewegungen genauer studirt, die eintreten werden, 
wenn man gleichzeitig oder nach bestimmten Zeitverläufen Kugeln in 
Walser niederfallen lässt Hat man hier nicht eigentliche Volum- 
veränderungen der Körper selbst, so werden doch die weggedrängten 
Wasservolumina geändert, und das namentlich so, dass die Geschwin- 
digkeit, womit diese Aenderungen vor sich gehen, an zwei Zeit- 
momenten Null ist, wenn die Kugeln die Oberfläche des Wassers 
zuerst berühren, und wenn sie eben vollständig eingetaucht worden 
sind. Man wird sich auch die Vorstellung von zwei veränderlichen 
Kugelsegmenten machen können, deren Massen constant seien, gleich 
denjenigen der Kugeln selbst, wozu sie gehören. Sonst werden an 
der Seite der Pulsationen auch die vermittelst der Fallbewegungen 
und zum Theil der folgenden Aufsteigungen wegen des Auftriebs 
entstandenen parallelen Geschwindigkeiten oder Osdllationen das 




274 0. A. Bjebkmes. 

Ihrige beitragen, um die neuen Bewegungen hervorzubringen; denn 
so wie die Versuche angestellt worden sind, werden infolge der hier 
benutzten Theorie die Wirkungen der beiden Ursachen leider wesent- 
lich dieselben sein, und eine Absonderung namentlich der letzten 
von ihnen ist uns bis jetzt nicht gelungen. 

Lässt man eine Kugel A ganz in der Nähe einer auf die 
Oberfläche des Wassers ruhenden jB-Kugel niederfallen, oder wird 
sie langsam und mit gleichmässiger Geschwindigkeit herunter ge- 
führt, so findet für die JB-Kugel keine andere Bewegung statt als 
eine sehr schwache Oscillation; sie entfernt sich- anfänglich ganz 
wenig und kehrt so beinahe in die vorige Lage zurück; erst später- 
hin wird sie mit einer Strömyng des Wassers etwas von der -4.-Kugel 
weggetrieben. Nach der oben dargestellten Theorie darf auch keine 
stetig wirkende Attraction oder Repulsion vorhanden sein, wenn 
von den zwei Kugeln nur die eine pulsirt, die andere aber zur selben 
Zeit das Volumen nicht verändert. 

Lässt man dagegen zwei gleich grosse und schwere Kugeln (Esche) 
A und jB, z. B. in einem Abstände von einander etwas geringer als 
der Diameter und übrigens von einer geringen Höhe über der 
Oberfläche, gleichzeitig ins Wasser niederfallen, so^ werden sie sich 
gegen einander bis zum Contact bewegen. Man hat hier die Analogie 
mit den eins- pulsir enden Kugeln, die einander anziehen sollen. Nach 
dem Vorigen dürften ja unter dem einzelnen Pulsationsschlag, wobei 
sowohl ^ als jB — hier die weggedrängten Wassermassen — ver- 
grössert wurden, die beiden erst ein kleines Stück entfernt werden, 
und dann wieder, etwas früher als das Ende der halben Periode, 
umkehren, so dass sie schliesslich, wenn jetzt die Kraft aufhörte, 
mit gleichmässiger Geschwindigkeit sich gegen einander bewegen 
mussten. Was man besonders sieht, ist sodann nur die nach vol- 
lendetem Durchbruch eingeleitete annähernde Bewegung der beiden 
Kugeln, nachdem die Kraft selbst schon aufgehört hat zu wirken. 
Nach dieser Zeit wirkt doch noch stets eine Kraft vierten Grades, 
um dieselbe annähernde Bewegung zu befördern. 

Ist B etwas schwerer als A, und lässt man sie wieder gleich- 
zeitig niederfallen, während sie in Berührung sind oder doch in 
grösserer Nähe von einander — B sonst ein wenig höher liegend 
als A — , so bewegt B sich halb und oft ganz rund um die Kugel A 
herum und kommt auf der andern Seite auf. Die zwei Kugeln ver- 
tauschen also hierunter ihre Plätze; selbstverständlich trägt die 
-4#Kugel, die als die leichtere eigentlich am stärksten be«vegt wird, 



G. A. Bjebknes. 275 

durch ihre Bewegung auch zu diesem Rundgehen bei. Ist A wesent- 
lich leichter als B, A z, B. eine Kugel von Guttapercha, während 
B von Holz ist, so wird man die -4 -Kugel sehen, sich mit 
grosser Geschwindigkeit über die schwerere JB- Kugel hinbewegen. 
Diese Erscheinungen treten dagegen, wie früher bemerkt, gar nicht 
ein, ob die eine, selbst die ganz leichte Guttaperchakugel, sich auf der 
Oberfläche des Wassers in Ruhe befand, während man die schwerere 
Kugel, und zwar in grosser Nähe der ersten, darin niederfallen liess. 

Ist die eine der Kugeln im Verhältniss zu der andern klein, 
so ist es femer diese kleine Kugel, die überhaupt, wie in dem oben 
beschriebenen Falle, unter der gleichzeitigen Bewegung sich der 
andern mit der grössten Geschwindigkeit nähern wird. 

Statt die Kugeln niederfallen zu lassen, kann man sich auch so 
einriohten, dass sie von unten gegen die Wasserfläche heraufsteigen 
müssen. Werden gegen die Wände des Gefässes zwei hohle und 
leichte Guttaperchakugeln sehr nahe an einander mit unbedeutendem 
Druck festgehalten, und werden sie dann beide auf einmal losge- 
lassen, so sieht man sie kurz nachher, indem sie die Oberfläche des 
Wassers durchbrechen, gegen einander bis zum Contact zu bewegen. 
Die weggedrängten Wasservolumina nehmen hier, dem vorigen Falle 
entgegengesetzt, gleichzeitig ab, man hat aber wieder, was den eins- 
Pulsationen entspricht. 

In dem Obigen hat man allein die Wirkungen der einzelnen 
Pulsalionsschläge untersucht; die verdrängten Wasser volumina wurden 
zu gleicher Zeit entweder vergrössert oder verkleinert. Macht man 
aber die Fallhöhe hinlänglich klein, so tritt gleich eine Oscillation 
der Kugeln ein, das heisst, es kommt auch eine fortgesetzte Pulsation 
der verdrängten Wasservolumina zu Stande; und obwohl die Intensität 
der Kraft im Zeitmomente bedeutend abgeschwächt werden muss, 
wird man doch sehr deutlich die scheinbare Anziehung der beiden 
Kugeln beobachten können. 

KuchAhstossungen wirdi man in ähnlicher Weise darstellen können, 
indem man die Kugeln, die eine nach der andern, von einer geringen 
Höhe fallen lässt, so dass die letzte die Wasserfläche in demselben 
Augenblicke auf dem Niedergehen berührt, wo die erste unter dem 
Aufsteigen dieselbe wieder durchbricht. Die eine Kugel kann auch 
ganz hinabgetaucht gehalten werden, während die andere beispiels- 
weise mit einem Viertel ihres Volumens niedergesenkt ist; werden 
sie dann losgelassen, so kommt eine entgegengesetzte Oscillation der 
beiden zu Stande, die weggedrängten Wasservolumina pulsiren auch 



276 C. A. ßjERKNES. 

entgegengesetzt^ und man wird die zwei Kugeln sich von einander 
entfernen sehen. 

Wie im Falle der Anziehung bei eins-Pulsationen zugleich eine 
Kraft vierten Grades attractiv auftritt — indem die Kugeln dann 
auch eins-oscilliren würden, beide gegen die Centrallinie senkrecht — , 
so wird ebenso im Falle der Abstossung wegen entgegengesetzter 
Pulsationen — infolge der damit verbundenen entgegengesetzten 
Oscillationen senkrecht gegen dieselbe mittlere Centrallinie — eine 
Repulsion vierten Grades hinzukommen. Zwei verschiedene Kräfte 
werden einander mithin auch diesmal in ihrer Wirksamkeit unter- 
stützen; denn wegen des geringen Abstandes darf man wohl die 
Kraft des höheren Grades nicht als verschwindend gegen die erste 
ansehen. Streng genommen hat man sodann in^den letzten Ver- 
suchen, eben so wenig als in den früheren, welche die Anziehungen 
illustriren sollten — abgesehen selbst von andern Einwänden — , 
einen experimentellen Beweis einer gesonderten Wirkung gefunden 
der aus den Pulsationen allein entstandenen Kraft zweiten Grades 
einerseits und derjenigen vom vierten auf der andern Seite, die mehr 
unmittelbar mit den Oscillationen in Zusammenhang steht. Bis 
weiter werden wir sie darum, wie schon früher gesagt, eher als 
Illustrationen wie als eigentliche Verificationen der gewonnenen 
Sätze ansehen. 

Es wird sich doch zeigen, indem wir sie späterhin, mit Hilfe 
des Herrn Prof. Schiötz, vervollständigen und genauer beschreiben 
wollen, wie genau sie in der That unsern hydrodynamischen Theo- 
remen sich anschliessen. Auch die eigenihümlichen Anziehungen 
und Abstossungen bei gleich tönendem Glasrohre, die nach den 
Dvorak'schen Versuchen stattfinden (Poggendorfs Annalen 1876), 
können hier zur Bestätigung dienen; sie sollen zugleich in Verbin- 
dung mit unsern Sätzen gebracht werden. Doch muss bemerkt 
werden, was sonst nicht anders zu erwarten sei, dass die Erschei- 
nungen in grosser Nähe auch die Kenntniss der Kräfte vom 5ten 
und noch höherem Grade erfordern werden. Die Dvorak'schen 
Versuche waren übrigens zu der Zeit, als die Mittheilungen der 
Wissenschaftsgesellschaft vorgelegt wurden, noch nicht veröflFentlicht; 
sie können somit erst später in dieser Verbindung berücksichtigt 
werden. 

Ghristiania. C. A. Bjerknes. 



R. LiPSCHlTZ. 277 

B. Lipschitz: Beitrag zu der Theorie der Krümmung. 

(Borchardt's Journal f. Math. Bd. 81. p. 230.) 

Sobald n veränderliclie Grössen x^, x^j ... Xn als unabhängige 
Functionen von n veränderlichen Grössen y^^ y^y ... y„ gegeben sind, 
so kann die Beziehung zwischen dem einen und dem andern System 
auf eine zweifache Art aufgefasst werden. Entweder man legt der 
Betrg,chtung nur eine Mannigfaltigkeit der nten Ordnung zu Grunde 
und denkt sich, dass dasselbe Individuum der Mannigfaltigkeit so- 
wohl durch das Werthsystem x^, x^^ ... Xn wie auch durch das 
Werthsystem y^, y^, ... y», bezeichnet sei. Dann drückt die Beziehung 
zwischen den x^y x^, ... Xn und den ^i, 2/2^ ••• J/« eine Beziehung 
zwischen zwei verschiedenen Darstellungen desselben Individuums 
der einen Mannigfaltigkeit aus. Oder man legt der Betrachtung 
zwei verschiedene Mannigfaltigkeiten der wten Ordnung zu Grunde, 
wobei ein Individuum der einen durch das Werthsystem x^y x,^, ,,, Xny 
ein Individuum der andern durch das Werthsystem yi, y<i, •-» yn be- 
zeichnet wird. Alsdann bedeutet die Beziehung zwischen den 
x^y x^y ... Xn und den y^y y^y ... y« eine Beziehung eines Individuums 
der einen Mannigfaltigkeit auf ein Individuum der andern Mannig- 
faltigkeit. 

Beide Arten der Auffassung haben sich an der Untersuchung 

von räumlichen Gebilden entwickelt. Ein Beispiel der ersten Art 
entsteht, indem ein Punkt im Räume durch drei Coordinaten x^y x^y x^ 
eines Systems und durch drei Coordinaten y^, y^y y^ eines andern 
Systems bestimmt wird; ein Beispiel der zweiten Art, indem zwei 
Oberflächen so auf einander bezogen werden, dass ein Punkt der 
einen einem Punkte der andern entspricht. Wenn man das Quadrat 
der Entfernung von zwei benachbarten Punkten im Räume, oder, 
was dasselbe ist, das Quadrat des Linearelements im Räume zuerst 
durch die Coordinaten i^, x^y x^ und dann durch die Coordinaten 
Vi.} 2^2? Vz ^^^ einem und demselben der benachbarten, Punkte 
ausdrückt, so wird dasselbe bei dem ersten Coordinatensystem gleich 
einer positiven quadratischen Form der drei Differentiale dx^y dx.^y dx^, 
bei dem zweiten Coordinatensystem gleich einer positiven quadra- 
tischen Form der drei Differentiale dy^y dy^y dy^. Sind x^, x^y x^ 
rechtwinklige Coordinaten, so hat die betreffende Form in Folge des 
Pythagoräischen Lehrsatzes die Gestalt dx\ -j- dx\ + dx\. Immer 
geht die erste quadratische Form vermöge der Einführung des 
zweiten Systems in die zweite quadratische Form über, weil die 
beiden Formen die verschiedenen Ausdrücke desselben geometrischen 



I 



278 R- LiPSCHlTZ. 

Begriffs sind. Wenn dagegen zwei Oberflächen Punkt für Punkt 
auf einander bezogen werden, und wenn zu den einander benach- 
barten Punkten Ä^^\ Ä^^\ Ä^^^ der ersten Oberfläche respective die 
Punkte B^^\ B^^\ B^^^ der zweiten Oberfläche gehören, so wird die 
Beziehung derselben zu einander durch die Forderung, dass das 
Quadrat des Abstandes von je zwei benachbarten Punkten oder das 
Quadrat des Linearelements für die erste Oberfläche gleich dem Quadrate 
des Abstandes der zwei zugehörigen Punkte oder dem Quadrate des 
betreffenden Linearelements für die zweite Oberfläche gleich sein 
soll, einer wesentlichen Einschränkung unterworfen. Ist diese For- 
derung für zwei bestimmte Oberflächen erfüllt, so müssen die Qua- 
drate der elementaren Strecken A^^^ A^^\ A^^"^ A^^\ J[^^) J.<i> respective 
den Quadraten der correspondirenden elementaren Strecken B^^^B^^\ 
jg(2)jg(3)^ £(3)_g(i) gleich sein, und daher sind die elementaren Drei- 
ecke J.(^> J[<2> J.^^) und JB^^> B^^^ B^^^ einander congruent. Man darf 
jetzt ein Stück der ersten Oberfläche durch ein System von will- 
kürlich angenommenen Punkten in ein System von elementaren 
Dreiecken zerlegen. Demgemäss liefern die auf der zweiten Ober- 
fläche befindlichen zugehörigen Punkte ein System von correspon- 
direnden elementaren Dreiecken, diese Dreiecke bilden aber ein 
bestimmtes Stück der zweiten Oberfläche, und zwar ist bei der ge- 
troffenen Voraussetzung jedes Dreieck des ersten Systems dem zu- 
geordneten Dreiecke des zweiten Systems congruent. Alsdann sieht 
man, wie das betreffende Stück der ersten Oberfläche durch Biegung 
und ohne Dehnung in die Gestalt des zugeordneten Stückes der 
zweiten Oberfläche gebracht werden kann. 

Es sei nun eine beliebige Oberfläche im Baume gegeben. In 
irgend einem Punkte derselben werde eine Normale errichtet, durch 
die Normale eine beliebige Ebene gelegt, für die auf der Oberfläche 
entstehende Schnittcurve der Erümmungskfeis bestimmt, und das 
System der beiden auf einander senkrecht stehenden Normalebenen 
aufgesucht, für welche die zugeordneten Krümmungsradien die Eigen- 
schaften des Maximums oder Minimums haben, das heisst, die Haupt- 
krümmungsradien ausmachen. Hiermit sind die Gnmdbegriffe der 
Theorie der Krümmung definiri Ihre analytischen Ausdrücke richten 
sich nach der Wahl des Coordinatensystems, und ergeben sich in 
Bezug auf ein bestimmtes Coordinatensystem x^^ a?2, x^ unmittelbar, 
nachdem für dasselbe die quadratische Form der drei .Differentiale 
dXj^, dx^, dx^ gebildet ist, welche das Quadrat des Linearelements 
im Räume bedeutet, und nachdem die in Rede stehende Oberfläche 



R. LipscHiTz, 279 

durch das Constantsetzen einer angemessen gewählten Function der 
drei Variabein x^, x^, % dargestellt ist. Durch die Anwendung 
eines neuen Coordinatensystems y^, y^j y^ verwandelt sich vermöge 
einer vorhin gemachten Bemerkung die quadratische Form der drei 
Differentiale dx^, dx,^, dx^ in eine quadratische Form der drei Dif- 
ferentiale dy^, dy^, dy^, und gleichzeitig die eingeführte constant zu 
setzende Function der. x^j x^, x^ in eine constant zu setzende 
Function der y^, y^j j/3. Die analytischen Ausdrücke für die Grund- 
hegriffe der Theorie der Krümmung haben aber zu der neuen quadra- 
tischen Form und der constant zu setzenden Function der y^, y^, y^ 
eine gleiche allgemeine Beziehung, wie zu der ursprünglichen quadratischen 
Form und der constant zu setzenden Function der x^, x^, x.^; sie be- 
sitzen deshalb die Eigenschaft, in dieser Hinsicht invariant zu sein. 
Dies gilt auch von den Coefficienten der quadratischen Gleichung, 
deren Wurzeln die negativ genommenen reciproken Werthe der 
beiden Haupt-Krümmungsradien sind. Zwischen den beiden Coef- 
ficienten der erwähnten Gleichungen existirt jedoch ein Unterschied, 
welcher durch die Disquisitiones generales circa superficies curvas 
von Gauss berühmt geworden ist. Bei einer ohne Dehnung aus- 
geführten Biegung der Oberfläche ändert sich zwar der erste Coef- 
ficient, welcher der Summe der reciprokön Werthe der Hauptkrüm- 
mungsradien gleich ist, aber nicht der zweite Coefficient, welcher 
dem Producte der reciproken Werthe der Hauptkrümmungsradien 
gleich ist, und das Krümmungsmass der OberfläcKe in dem betreffenden 
Punkte constituirt. Denn das Krümmungsmass ist eine Invariante in 
Bezug auf diejenige quadratische Form von zwei Differenzialen, welche 
das Quadrat des Linearelements für die betreffende Oberfläche darstellt 
Nach Hervorhebung dieser allgemeinen Gesichtspunkte ist zu 
erwähnen, dass die vorliegende Abhandlung an eine Verallgemeine- 
rung der Theorie der Krümmung anknüpft, welche in den Aufsätzen 
Entwickelung einiger Eigenschaften der quadratischen Formen von 
n Differenzialen, Borchardt^s Journal Bd. 71, pag. 274 und pag. 288 
mitgetheilt ist. Daselbst erscheint an der Stelle der drei Coordinaten 

eines Punktes im Räume ein System von w Variabein x^, x^, ... Xn, 

* 

an der Stelle von dem Quadrate des Linearelements im Räume eine 
wesentlich positive quadratische Form der ^Differentiale dx^, dx^, ... dXn, 
bei der die Coefficienten in beliebiger Weise von den Variabein 
x^y rcg, . . Xn abhängen, und die mit 2f(dx) bezeichnet ist, an der 
Stelle der konstant zu setzenden Function, welche die Gleichung der 
Oberfläche ergiebt, ein System von l constant zu setzenden Functionen 



280 ß- lilPSCHlTÄ. 

der Variabein oc^, x.^y ...a:„. Namentlich zeichnet sich nun der 
Fall aus, in welchem die Zahl l der gegebenen Functionen gleich 
der Einheit ist. Alsdann tritt für eine dort mit & bezeichnete 
Grosse eine Gleichung des (n — l)ten Grades auf 

deren n — 1 Wurzeln eine Verallgemeinerung der negativ genom- 
menen reciproken Werthe der Hauptkrümmungsradien bilden. Bei 
der Voraussetzung, dass n = 3 und 2f(dx) = dx\ + dx\ + dx\ sei, 
gehen jene Wurzeln in diese Werthe selbst über, und die in Rede 
stehende Gleichung wird zu einer Darstellung der vorhin besprochenen 
quadratischen Gleichung. 

Die Coefficienten der für einen beliebigen Werth der Zahl n 

angeführten Gleichung, das heisst die Quotienten ~y^, ^'"—fi — ; 

haben die Eigenschaft, dass diejenigen unter ihnen, deren Zeiger eine 
gerade Zahl ist, und die Producte aus irgend zweien von ungeradem 
Zeiger in Bezuxß auf die quadratische Form 2f(dx) und die hinzugefugte 
constant zu setzende Function der Variabein x^,x^,,,, Xn invariant sind. 
In den angeführten Aufsätzen ist auf die quadratisch^ Form 
von n — 1 Diflferentialen hingewiesen, in welche die Form 2f(dx) 
übergeht, sobald* die- in dem Oonstantsetzen der bezeichneten Function 
bestehende Gleichung angewendet wird. Man darf annehmen, dass 
jene Function, die y^ heissen soll, zu einem System von n unab- 
hängigen Functionen y^, 2/2? ••• 2/n der Variabein x^, x^j ... Xn ge- 
hört, dass die x^, x^, ... Xn als Functionen der y^^ y^^ ... y„ ange- 
sehen werden, dass durch die Substitution dieser Variabein die 
quadratische Form 2f(dx) sich in die quadratische Form 2g(dy) 
der Differentiale dy^, dy^^ ... dy« verwandelt, und dass aus der 
letztern, indem y^ = const. und dy^^ = gesetzt wird, die erwähnte 
Form der (w — 1) Diflferenziale dy^, ... dyn entsteht, welche mit 

2g(dy) notirt werden möge. Unter der Voraussetzung, dass w = 3 

und 2f(dx) == dx] + dx] + dx] sei, wird 2g(dy) der Ausdruck von 
dem Quadrate des Linearelements für die Oberfläche y^ = const,, 
und bei der erwähnten zugehörigen quadratischen Gleichung ist der 

Coefficient -^ oder das Krümmungsmass in einem Funkte der Ober- 



fläche eine Invariante der Form 2g{dy), während der Coefficient 
-j~y oder, genauer gesprochen, das Quadrat dieses Coeffici^pten, diese 
Eigenschaft nicht hat. Aus dieser Beobachtung entspringt für einen 



R. LiPSCHlTZ. * .281 

beliebigen Werth der Zahl n die Frage nach den Merkmalen der- 
jenigen Coefficienten oder derjenigen Verbindungen von Coefficienten, 
welche nicht nur mit Rücksicht auf die Form 2f(dx) und die con- 
stant m setzende Function y^, sondern cmch in Bemg auf die Form 
2g{dy) von n — 1 Differentialen invariant sind. Bei der Voraus- 
setzung, dass die Form 2f(dx) eine Form mit Constanten Coef- 
ficienten oder in eine solche Form transformirbar ist, zeigte es sich, 

dass die sämmtlichen Coefficienten von geradem Zeiger -— - , -^ ; • • • 

diese Eigenschaft besitzen. 

Unter der gleichen in Betreff der Function 2f{dx) geltenden 
Annahme wird in der gegenwärtigen Abhandlung für die Coefficienten 
von ungeradem Zeiger der Satz bewiesen, das5 alleFroducte von zwei 

solchen Coefficienten — ^^ L ^ ^* "^ ^ , iei denen- die Summe der 

Zeiger 2r -f- 2s + 2 gleich der Zahl w + 1 oder grösser als diese 
Zahl istj Invarianten der Form 2g{dy) sind. Hieraus folgt eine 
eigenthümliche Bestimmung für die Coefficienten von ungeradem Zeiger, 

mit Ausnahme des ersten Coefficienten -y^, vermittelst invarianter 

Verbindungen. Hier möge nur das Ergebniss angeführt werden, 
dass, wenn ß die grösste ungerade Zahl bedeutet, welche nicht über 
n — 1 liegt, und wenn die vermöge des erwähnten Satzes invariante 

Verbindung j^ einen von Null verschiedehen Werth hat, der Coef- 

Do 
ficient -^ durch die Ausziehung der Quadratwurzel aus der so eben 

charakterisirten Invariante entsteht, und alle übrigen Coefficienten 

von ungeradem Zeiger, den Coefficienten -^ ausgenommen, mit 

Hälfe von dieser Quadratwurzelgrösse und von Invarianten der Form 
2g{dy) rational darstellbar sind. Wenn jetzt die sämmtlichen Coef- 

ficienten von geradem und ungeradem Zeiger ^, -^, ••• — j^ — 

JJq JJq Uq 

ins Auge gefasst werden, so zeigt sich, dass dieselben, wofern die 
Quadratwurzel aus einer Invariante ebenfalls als eine Invariante 
betrachtet wird, an der Eigenschaft des Krümmungsmasses Theil 

nehmen, in Bezug auf die zugehörige Form 2g(dy) invariant zu 
sein. Von diesen sämmtlichen Coefficienten trennt sich daher auf 

das schärfste der Coefficient ■— . Seine Bedeutung für den Fall 

JJq 

einer im Räume angenommenen Oberfläche ist vorhin hervorgehoben. 

Bepertorium für reine und angewandte Mathematik. 19 



282 R« LlPSCHITZ. — A. TOEPLER. 

Ausserdem weiss man^ dass die charakteristische Bedingung für eine 
Oberfläche, die bei gegebener Begrenzui^ den kleinsten Inhalt hat, 
oder eine Minimalfläche, in dem Verschwinden dieses Coefficienten 
besteht. Diejenige Gleichung^ welche bei der zu Anfang erwähnten 
Verallgemeinerung der Theorie der Krümmung dieser Gleichung 
entspricht, liefert aber auch die partiellen Differenzialgleichungen 
des Variationsproblems, auf welches sich die Ausdehnung der Theorie 
der Minimalflächen bezieht, die in einem Aufsatze von gleicher 
Ueberschrift in Borchardts Journal f. Math. Bd. 78 auseinander 
gesetzt ist. 

Boenkeim bei Königsberg i. Pr. R. Lipschitz. 



A. Toepler: Zur Theorie der stationären elektrischen Strömung 
in gekrümmten, leitenden Flächen. 
(Herrn Poggendorff für die Annalen übergeben.) 

Nachdem schon von Heine (Journal für Mathematik, Bd. 79) auf 
die Uebereinstimmung des Problems der elektrischen Strömung in 
ebenen Flächen mit dem der conformen Abbildung aufmerksam ge- 
macht worden war, hat Kirchhoff in einer sehr bemerkenswerthen 
Abhandlung (Monatsber. d. Kgl. Ak. d. Wissensch. zu Berlin, 19. Juli 
1875) gezeigt, dass diese uebereinstimmung für beliebige gekrümmte, 
leitende Flächen stattfinden muss, so dass, wenn man in einem be- 
stimmten Falle das eine Problem gelöst hat, man auch die Lösung 
des anderen besitzt. Ich habe nun in einem wie oben betitelten 
Aufsatze nachgewiesen, dass sich die in Rede stehende Beziehung 
auf einfachem Wege unmittelbar aus der Definition der conformen 
Abbildung einerseits und der Strömung als einer längs der Kraft- 
richtung verlaufenden Bewegung andererseits ableiten lässt. Aus 
dieser Betrachtungsweise ergiebt sich zugleich eine sehr einfache 
Beziehung für den Leitungswiderstand zweier auf einander abgebil- 
deten Flächen.*) 

Ich gehe von der Vorstellung aus, dass zwei beliebige, in der 
leitenden Fläche liegende, geschlossene Curven, welche sich nicht 
schneiden, mit constantem aber verschiedenem Potential besetzt wer- 
den, wodurch eine Strömung in dem Aussenf elde entsteht. Ein 

*) Die von mir mitgetheilte Betrachtungsweise habe ich, soweit sie sich 
auf ein einziges Elektrodenpaar bezieht,' schon früher gekannt und in Vor- 
lesungen benutzt, ohne dieselbe indessen zu verallgemeinem und zu pnbliciren. 



A. TOBPLER^ 283 

System unendlich benachbarter Stromlinien und Linien gleichen 
Potentials zerlegt das Stromfeld in rechteckige Flächenelemente. 
Die conforme Abbildung dieses Liniensystems auf eine zweite 
Fläche zerlegt diese ebenfalls in rechteckige Elemente, welche wegen 
der Aehnlichkeit mit den entsprechenden Elementen des Originals 
gleichen Widerstand haben für Elektricitätsbewegung, welche übef 
entsprechende Seiten ein- und austritt, (wobei selbstverständlich 
gleiches specifisches Leitungsvermögen und gleiche, unendlich kleine 
Flächendicke vorausgesetzt wird). Dieser Umstand gefügt, um zu 
zeigen, dass das System der Bildcurven wieder ein System von 
Stromlinien und Linien gleichen Potentials einer möglichen Elektri- 
citätsbewegung in der Bildfläche ist, und zwar derjenigen Elektri- 
citätsbewegung, bei welcher die Elektricität auf den Bildern der 
Ein- und Ausströmungscurve ein- und austritt. Dies ist in göome- 
trischer Fassung die von Kirchhoff ausgesprochene Beziehung, bei 
welcher vorausgesetzt wird, dass auch die Grenzen der auf einander 
bezogenen Fläiehen Bilder zu einander sind. 

Bei der Ableitung des Satzes denke icjj mir die Bildfläche längs 
der Stromlinienbilder aufgeschnitten, so dass getrennte, unendlich 
dünne Leiterstreifen zwischen den Bildern der Ein- und Ausströ- 
anungscurve entstehen. Auf diese Streifen kann man die bekannten 
T^ormeln anwenden, welche für die Elektricitätsbewegung zwischen 
uliendlich nahen Stromlinien gelten. Unter der Voraussetzung, dass 
auf den Enden aller Streifen constante, aber beiderseits verschiedene 
Potentialwerthe bestehen, dass also die Bilder der Ein- und Aus- 
strömungscurve die Elektricität zu- und abführen, ergibt sich, dass 
die Bilder aller Linien constanten Potentials selbst constantes Po- 
tential annehmen. Hieraus folgt aber sofort, dass die durch jene 
Formeln ausgedrückte Elektricitätsbewegung fortbesteht, wenn die 
getrennt gedachten Streifen wieder leitend vereinigt werden, womit 
der Satz bewiesen ist. 

Da diese Schlussfolgerung durchaus unabhängig ist von dem 
Umstände, ob die Flächenelemente kleine Grössen derselben Ord- 
nung sind oder nicht, so kann man unmittelbar auf die Fälle über- 
gehen, in denen die Ein- und Ausströmung auf ungeschlossenen 
Curven, durch den Flächenrand, oder durch Punkte erfolgt. Für 
letztere werden unendlich kleine geschlossene Kreise substituirt. 
Sind mehr als zwei Curven für die Ein- und Ausströmung vorhan- 
den, so zeigt dieselbe Betrachtungsweise, dass die conforme Abbil- 
dung die Elektricitätsbewegung in der Bildfläche für denjenigen Fall 

19* 



284 A. TOEPLEB. 

darstellt; dass die constauten Potentialdifferenzen der Ein- und Aus- 
strömungscurven im Bilde proportional sind den Potentialdifferenzen 
der entspreclie;iden Curven des Originals. 

Für den Leitungswiderstand der Flächen zwischen einem ein- 
zigen Elektrodenpaar ergiebt die obige Betrachtung folgende Lehrsätze: 

Geschieht die Strömung zwischen Curven, welche Bilder von ein- 
ander sind, so ist der Widerstand des Bildes gleich dem des Originals. 

Geschieht die Ein- und Ausströmung so, dass. an die aufein- 
ander bezogenen Flächen dieselben unendlich dünnen Zuleitungs- 
drähte von cylindrischem Querschnitt senkrecht in entsprechenden 
Punkten angelegt werden, so ist der Widerstand des Bildes gleich 

dem des Originals, vermehrt um die Grösse ,^ ^Oßißiy wobei ß^ 

und ß^ die bei der Abbildung der Elektrodenkreise stattfindenden 
linearen Bildgrössenverhältnisse, h und 8 das Leitungsvermögen und 
die unendlich kleine Flächendicke bedeuten. Dieser letztere Satz, 
welcher selbstverständlich experimentell nur angenähert bestätigt 
werden könnte, erklärt jenes auffallende Resultat, welches Boltz- 
mann für den Widerstand* der Kugelfläche fand, dass derselbe näm- 
lich nicht abhängt vom Kugelradius, sondern nur von der gradlini- 
gen Entfernung derjenigen Punkte, welche man als Elektrodenpunkte 
wählt. Er ist derselbe für alle durch zwei feste Raumpunkte ge- 
legte Kngelflächen. Es ergiebt sich femer, dass dieselbe Beziehung 
auch gültig ist für alle unendlichen Cy linderflächen, wenn die beiden 
festen Elektrodenpunkte ihrer Querschnittscurve angehören. 

Endlich habe ich noch bemerkt, dass ein System von Strom- 
linien und Linien gleichen Potentials auch nach Vertauschung des 
Sinnes dieser Curven eine mögliche Elektricitätsbewegang darstellt, 
ein Umstand, welcher bei physikalischen Untersuchungen meines 
Wissens bisher keine Anwendung fand. Kirchhoff hat gezeigt, 
wie man mit grosser Schärfe die Linien gleichen Potentials einer 
gegebenen Plächenströmung mit dem GaFvanometer aufsuchen kann. 
Würde die eben bemerkte Vertauschung physikalisch vollzogen, so 
würde dieselbe Methode sich auch für die experimentelle Feststellung 
der Stromlinien verwenden lassen, und hierdurch wäre die Möglich- 
keit geboten, Abbildungsprobleme unter Umständen mit erheblicher 
Genauigkeit in der bereits von Kirchhoff angedeuteten Weise ex- 
perimentell zu behandeln. 

Dresden. A. Toepler. 



G. KiBcÄttopj«. 285 

G. Kirchhoff: lieber die Keflexion iind Brechung des Lichts 
an der Grenze krystallinischer Mittel. (Abhandlungen der 
Eönigl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1876.) 

Der Zweck dieser Abhandlung ist es, die von F. Neumann 
entwickelte und später von Mac Cullagh behandelte. Theorie der 
Reflexion und Brechung des Lichts an der Grenzfläche krystallinischer 
Mittel in einer neuen Form darzustellen, welche die nicht zu über- 
treffende Einfachheit derselben deutlicher als bisher hervortreten 
lässt. Diesen Zweck glaubt der Verfasser erreicht zu haben, indem 
er die Grundhypothese der Theorie anders ausgesprochen und das 
zu behandelnde Problem etwas allgemeiner gefasst hat, als es von 
den genannten Forschern geschehen ist. Die Grundlage der durch- 
geführten Betrachtungen ist die Annahme, dass der Aether in Be- 
zug auf die Lichtschwingungen sich wie ein fester elastischer Körper 
verhält, auf dessen Theile keine andern Kräfte wirken, als die durch 
die relativen Verschiebungen bedingten, während auf die Flächen, 
die die Grenzen heterogener Mittel bilden, auch Druckkräfte, die 
andern Ursprungs sind, ausgeübt werden, und zwar Druckkräfte, 
die bewirken, dass bd der Reflexion und Brechung der transver- 
salen Lichtwellen keine longitudinalen Wellen entstehen. Die Be- 
dingungen zwischen den Verrückungen, die hiernach an der ebenen 
Grenze zweier verschiedenen, krystallinischen Mittel zu erfüllen sind, 
bestehen in 4 linearen homogenen Gleichungen. Es wird eine par- 
tikuläre Lösung der für die Schwingungen geltenden Diff'erential- 
gleichungen untersucht, die diesen Grenzbedingungen genügt, un'd 
die ein System ebener Wellen darstellt, die theils in dem einen, 
theils in, dem andern Mittel sich bewegen. Eine von diesen Wellen 
kann beUebig gegeben sein: beliebig in Bezug auf ihre Richtung 
und in Bezug auf das Gesetz, welches die Grösse der Verrückung 
eines Punktes mit der Zeit verbindet; die Richtungen der andern 
Wellen sind dann durch die Wurzeln zweier biquadratischen Glei- 
chungen bestimmt, von denen die eine auf Wellen in dem einen, 
die andere auf Wellen in dem andern Mittel sich bezieht. Eine 
Wurzel der einen dieser Gleichungen führt auf die gegebene Welle 
zurück; es besteht daher das ganze System aus 8 Wellen, von denen 
4 dem einen, 4 dem andern Mittel angehören. Für jede dieser 
Wellen ist mit ihrer Richtung die Richtung der Verrückung voll- 
ständig, und die Grösse der Verrückung in jedem Augenblick bis 
auf eine multiplicative Constante bestimmt. Nennt man diese Con- 

Repertorinm für roiue und aQgewaudte Mathematik. 20 






286 Ö. KlBCHHOPP. 

stante die Amplitude der Welle (indem man einen bei Sinns- 
schwingungeh üblichen Ausdruck auf Schwingungen allgemeinerer 
Art überträgt), so bestehen zwischen den Amplituden der 8 Wellen 
4 lineare, homogene Gleichungen; neben der Amplitude der gege- 
benen Welle können also noch die Amplituden von 3 andern will- 
kürlich gewählt werden. Haben die beiden biquadratischen Glei- 
chungen nur reelle Wurzeln, so sind in jedem Mittel 2 einfallende 
Wellen vorhanden und 2, die reflektirt oder gebrochen sind; um 
Fälle zu erhalten, die durch das Experiment verwirklicht werden 
können, hat man dann im Allgemeinen die Amplituden von 3 ein- 
fallenden Wellen gleich Null zu setzen, so dass nur eine einfallende 
Welle übrig bleibt. Aber die biquadratischen Gleichungen können 
auch complexe Wurzeln haben; das Entsprechende tritt bei isotropen 
Mitteln ein, wenn totale Reflexion stattfindet. Um dann auf Fälle 
zu kommen, die der Beobachtung zugänglich sind, hat man die 
Constanten, die die Bedingung, dass nur eine einfallejide Welle da 
sei, noch unbestimmt lässt, so zu wählen, dass die Verrückung 
nirgend unendlich wird; es ist dabei die Aufgabe zu lösen, eine 
Function eines complexen Arguments zu finden, deren reeller Theil 
für reelle Werthe des Arguments gegeben ist, und die nicht unend- 
lich wird für Werthe des Arguments, deren imaginärer Theil gleich 

y — 1, multiplicirt mit einer positiven Grösse, ist. 

Bei der Ableitung der Gleichungen zwischen den Amplituden 
eines Systemes von 8 zusammengehörigen Wellen brauchte der 
Begriff der Strahlen nicht zu Hülfe gezogen werden. Bei der Ent- 
scheidung der Frage, ob eine Welle eine einfallende ist oder eine 
reflektirte oder gebrochene, kann derselbe nicht umgangen werden. 
Er ist daher auch in Betracht gezögen und definirt. Sucht man 
für eine gegebene ebene Welle die auf die Zeiteinheit bezogene 
Arbeit des Druckes, der von den relativen Verschiebungen der 
Aethertheile herrührt und auf ein Element einer beliebigen Ebene 
wirkt, so ergiebt sich dieselbe gleich Null, falls die Ebene einer 
gewissen Richtung parallel ist; diese Richtung ist die des Strahles, 
der zu der Welle gehört. 

Berlin. G. Kirchhoff. 



R. Claüsiüs. 287 

E. Clausius: lieber die Ableitung eines neuen eleotrodynamischen 
Grundgesetzes. (Borchardt's Journal Bd. 82.) 

In dieser Abhandlung giebt der Verf. die Ableitung des Grund- 
gesetzes, welches er schon im Dec. v. J. und in etwas vereinfachter 
Form im Febr. d. J. vorläufig veröffentlicht hatte. 

Bekanntlich hat zuerst W. Weber versucht, alle electrodyna- 
mischen Erscheinungen auf ein Grundgesetz zurückzuführen, welches 
die Kraft bestimmt, die zwei bewegte Electricitätstheilchen auf ein- 
ander ausüben. Seien nämlich e und e die beiden in Puncten con- 
centrirt gedachten Electricitätstheilchen und r ihr gegenseitiger Ab- 
stand zur Zeit t, so sollen die Theilchen nach Weber eine Abstossung 
von der Stärke 



r 






auf einander ausüben, worin c eine Constante ist. 

Bei der Ableitung dieser Formel ist Weber von der Vorstel- 
lung ausgegangen, dass bei einem galvanischen Strome in jedem 
Leiterelemente gleiche Mengen von positiver und negativer Electri- 
cität sich mit gleichen Geschwindigkeiten nach entgegengesetzten 
Seiten bewegen. Da diese Doppelbewegung eine sehr complicirte 
ist, so hat der Verf. sich die Frage gestellt, ob man nicht auch 
aus einer einfachen strömenden Bewegung alle electrodynamischen 
Erscheinungen erklären könne. 

Dieser letzteren Vorstellung von nur Einer Strömung hat in 
neuerer Zeit C. Neu mann nach dem Vorgange von Biemann eine 
bestimmtere Form gegeben, indem er annimmt, dass die negative 
Electricität fest an die ponderablen Atome gebunden sei und nur 
die positive Electricität im festen Leiter strömen könne, und diese 
Vorstellung legt der Verf. seinen Betrachtungen zu Grunde. 

Er untersucht zunächst, ob die We herrsche Formel auch mit 
dieser Vorstellung vereinbar sei, findet aber, dass sie unter der 
Voraussetzung von nur Einer strömenden Electricität zu Kräften 
fuhren würde, welche in der Wirklichkeit nicht stattfinden. Dasselbe 
stellt sich für ein€ von Riemann aufgestellte Formel, welche in 
neuester Zeit von Hattendorff veröffentlicht ist, heraus. 

Der Verf. schreitet dann dazu, selbst eine Formel abzuleiten, 
welche ebenfalls alle bis jetzt bekannten electrodynamischen Er- 
scheinungen erklärt, und auch unter der Voraussetzung von nur 
Einer strömenden Electricität zu keinen Widersprüchen führt. Er 

20* 



288 ' ß. Claüöiüä. 

wählt zuerst ein specielles Cbordinatensystem und stellt einen Aus- 
druck auf, welcher ausser den Coordinaten der Electricitätstbeilchen 
die Geschwindigkeits- und Beschleunigungscomponenten d. h. die 
DiflFerentialcoefficienten erster und zweiter Ordnung der Coordinaten 
nach der Zeit enthält, und in welchem alle möglichen Glieder mit 
Diflferentialausdrücken bis zur zweiten Ordnung vorkommen, mit 
Ausnahme solcher Glieder, die sich durch einfache geometrische 
Betrachtungen sofort als unmöglich ergeben. Diesen Ausdruck über- 
trägt er dann auf ein beliebiges rechtwinkliges Coordinatensystem, 
in welchem die beiden Electricitätstbeilchen zur Zeit t die Coordi- 
naten X, y, z unda;',. 2/'; ^' haben, und gelangt dadurch zu folgendem 
Resultate. 

Wenn die drei in die Coordinatenrichtungen fallenden Com- 
ponenten der Kr^-ft, welche das Theilchen e von dem Theilchen e' 
erleidet, durch Xee', Yee und Zee dargestellt werden, so lässt 
sich X in nachstehende Summe zerlegen: 

(1) x=^ + X, + X, + X3 

und zur Bestimmung von X^, Xg und Xg gelten die Gleichungen 

(2) i, - B 37 + -Bi 35T + Bi a 3i 3i 

/f\\ * "Y^ fy ClOC I -ry Ol X I -j-j (JbT O/X €18 

(6) A3 = i^s -^ + if4 ^^ + i^5 ^, ^ ^ 

+ |c.|fS+[o.£.+c.(^y+c;](S)'+o.,^.S)(«-»-). 

^.v ^ -jy dr dx' ds j. ^ dr dx>ds* 

W ^^ — ■^^d's~dtdt'^^'^di'~di~di 

ds ds' 



+ (^3 £|f + C^9 COS aY^-^') 



dt dt 



^Hierin bedeuten ds und ds' die von den beiden Electricitätstbeilchen 
während der Zeit dt zurückgelegten Bahnelemente, und b den Winkel 

zwischen den Richtungen derselben. JB, B^ B^ und (7, C^ — C^ 

stellen unbestimmte Functionen des Abstandes r dar, um deren Be- 
stimmung es sich im Folgenden handelt. 

Um die in Xg vorkommenden Functionen zu bestimmen wird 
zunächst der Satz angewandt, dass ein in einem ruhenden Leiter 
stattfindender geschlossener und constanter galvanischer Strom auf ein 
ruhendes Electridtätstheilchen keine bewegende Kraft ausüht 



R. ClAüsius. 289 

Um die in X^. vorkommenden Functionen zu bestimmen wird 
der umgekehrte Satz angewandt^ dass ehie rvh^nde Eledricitätsmcnge 
auf einen in einem rulienden Leiter stattfindenden geschlossenen und 
Constanten galvanischen Strom keine Kraft ausübt 

um ferner die in X3 vorkommenden Functionen zu bestimmen 
wird aus der Ampere'schen Theorie der Ausdruck derjenigen pon- 
deromotorischen Kraft , welche zwei geschlossene galvanische Ströme auf 
einander ausüben ^ als sicher angenommen, und dann wird noch der 
Satz angewandt, dass ein in einem ruhenden Leiter stattfindender ge- 
schlossener und constanter galvanischer Strom einen anderen in einem 
ruhenden Leiter stattfifidenden geschlosseneii galvanischen Strom in seiner 
Intensität nicht zu ändern sucht. . 

Um endlich in X^ noch eine weitere Bestimmung von noch 
unbestimmt gebliebenen Functionen auszuführen, wird für geschlos- 
sene Leiter aus der_ Inductionstheorie der Satz angewandt, rfoss, 
wenn entweder der Leiter s in einer bestimmten Lage in der Nähe des 
Leiters s' verharrt, aber im letzteren die Stromstärke von Null bis zu 
einem gegebenen Werthe wächst, oder die Stromstärke in s' unverän- 
derlich diesen Werth hat, aber s sich aus unendlicher Entfernung bis 
zu jener Lage heranbewegt, in beiden Fällen eine gleich grosse In- 
ductionsudrkuHg in s stattfindet. 

Durch diese Sätze, welche alle als zuverlässig betrachtet wer- 
den dürfen, werden die obigen achtzehn unbestimmten Functionen 
von r auf fünf reducirt, und wenn diese mit E, F, G, H 
und J bezeichnet werden, so lautet der Ausdruck von X folgender- 
maassen: 

,^v Y X — x' j^ d\J{x —x)\ ds^ _, d*[G{x —x')] /ds'\^ 

(p) A — — ^p h - eis'- dt "■" ds'^ ' \dt) 

, d \G{x — x')\ d^s' 1 d ( jrdxX -, d^ f\_ dx\ 

H 57 di'^ '^dlK^'di) ^di \7 'dt) 

, ( k{X'-x)d^r^ . dFdx . d^iEjx — x) \\ds ds 
'I 2r» dsds' ' ds^ ds ' dads' ]dtdi^ 

worin k eine Constante bedeutet. 

Um die hierin noch vorkommenden unbestimmten Functionen 
ebenfalls zu bestimmen, wird nun die Annahme gemacht, dass die 
Kräfte, welche zwei Electricitätstlieilchen e und e auf einander aus- 
üben, fiir sich allein dem Prindp von der Erhaltung der Energie 
genügen. Hierdurch reducirt sich die vorige Gleichung auf folgende: 



290 



R. Clausius. 



(6) 






+ 



(2 a; 



\ds'^\dt) '^ ds' dt^j^ 



worin R die einzige noch übrig bleibende unbestimmte Function 
von r ist. 

Nennen wir nun die Grösse, deren negatives Differential die 
während eines Zeitfelementes dt bei der Bewegung der Electricitäts- 
theilchen von den Kräften gethane Arbeit darstellt, das Potential 
der Theilchen auf einander, so wird das Potential ausgedrückt durch 



ee 



Lr \2r 



k d^{r^ , d^B\ ds ds 



r dsds 



'r + 



dsds 



) dtny 



Dieses Potential können wir in zwei Bestandtheile zerlegen, das 
electfostatische Potential U und das electrodynctmisdie Potential F. 
Dann gelten die Gleichungen: 



(7) 
(8) 



r 



Y^_ //fc d^(r^ . d^E \d8ds 
\2r dsds' "■ dsds j dt dt 



Der hier gegebene Ausdruck des electrodynamischen Potentials 
ist bei der Annahme von nur Einer im festen Leiter beweglichen 
Electricität der einzig mögliche. 

Die in ihm noch vorkommende, mit R bezeichnete unbestimmte 
Function von r lässt sich aus den Wirkungen geschlossener Ströme 
überhaupt nicht bestimmen, und man ist daher, wenn man auch 
sie noch bestimmen will, für jetzt auf Wahrscheinlichkeitsgründe 
au gewiesen.' 

Macht man die Annahme, dass die Abhängigkeit der Kraft 
von der Entfernung nach einem einheitlichen Gesetze stattfinden 
müsse, so gelangt man zu dem Schlüsse, dass 

(9) B = \r 

zu setzen ist, worin \ eine Constante bedeutet. Dadurch geht (8) 
über in: 

Sucht man femer noch durch Bestimmung der Constanten \ 
diesen Ausdruck möglichst einfach zu machen, so findet man zu- 



R. Clausius. • 291 

nächst; dass zwei Werthe sich, in dieser Beziehung besonders aus- 
zeichnen, nämlich k^ == und \ = — Ic, welche geben: 

(11) r=-hfpp,^j\%. 

^ ■ 2r dsds dt dt 

/^o\ ir 7. ee' dr dr ds ds 

^ ^ r ds ds' dt dt ' 

Diese beiden Formeln sind äusserlich nahe gleich einfach; benutzt 
man sie aber zu Rechnungen, indem man aus ihnen die Kraftcom- 
ponenten zu bestimmen sucht, so findet man, dass für diese aus 
der ersteren Formel viel einfachere Ausdrücke entstehen, als aus 
der letzteren, und man wird also, wenn mah dasjenige Kraffcgesetz 
erhalten will, welches, während es allen bis jetzt bekannten Erschei- 
nungen entspricht, zugleich möglichst einfach ist, Ä^ = oder, was 
auf, dasselbe hinauskommt, i? = zu setzen haben. 

Da der Ausdruck des electrodynamischen Potentials kürzer und 
übersichtlicher ist, als diejenigen der Kraft<jomponenten, so ist er 
ganz besonders dazu geeignet, die verschiedenen bis jetzt aufgestell- 
ten electrodynamischen Grundgesetze, (mit Ausnahme des Gauss- 
schen, welches dem Princip von der Erhaltung der Energie nicht 
genügt,) unter einander zu vergleichen, und es möge hier eine Zu- 
sammenstellung der Art Platz finden. Die zur Bestimmung des 
electrodynamischen Potentials dienende Gleichung ist 

1) nach Weber*); 

TT L^jif^y 

^ ~ c^ r \dt) y 

2) nach Riemann"**): 

*^~~~~^T\\dt dt) "^ \dt dt) "^ \di dt) ]^ 

3) nach den hier ausgeführten Entwickelungen 
a) in allgemeinster Form: 



F = 



k d^(r^) , d^R\ dsds' 



, / k d^ (r^) , d^M \ d 

~ ^^ \2r dsds' "•" dsds') d 



t dt 



h) in vereinfachter Form: 

^ , /k_ d^ jr") , , d^r \ ds d£ 

^ ~ ^^ \^r dsäs + '^i dsds) dt dt' 



*) Pogg. Ann. Jubelband S. 212. 

**) Schwere, Electricität und Magnetismus, nach den Vorlesungen von 
Bernh. Riemann bearbeitet von Hattendorff, Hannover X876, S. 326. 



/ 



292 R- Clausius. 

c) in einfachster und daher wahrscheinlichster Form: 

^ , ee' d^ (r*) ds ds' 

*" 2r dsds' dt dt 

Dem letzten Ausdrucke kann man auch folgende Gestalt geben: 

/h\\ -TT TT ee (dx dx t_dy dy' i_dz dz\ 

^^^^ .^'^~\Ji'dt'^di'dt'^~di Tt) ' 

oder, wenn man mit v und v diö Geschwindigkeiten der beiden 
Electricitätstheilchen und mit s den Winkel zwischen ihren Bewe- 
gungsrichtungen bezeichnet: 

(14) *V=h — vv cos £. 

Um nun aus dem electrostatischen und electrodynamischen Po- 
tential wiederum Kraftcomponenten abzuleiten, hat man Gleichun- 
gen anzuwenden, in denen das electrodynamische Potential in der- 
selben Weise vorkommt, wie in den auf allgemeine Coordinaten 
bezüglichen mechanischeli Grundgleichungen von Lagrange die 
lebendige Kraft. Für die in die aj-Richtung fallende Componente 
der Kraft, welche das Theilchen e erleidet, lautet die Gleichung: 

^^°} ^^^ dx dt' rl" 

Durch Ausführung der hierin angedeuteten Diflferentiationen erhält 
man für X den unter (6) gegebenen Ausdruck. 

Setzt man in diesem Ausdrucke JK = und nimmt mit ihiu 
noch die vorher bei V angewandten Umformungen vor, so erhält man : 

k d^{r^)dsds\ t d (\ dx' 




^~ dx y'^' ^j^ dsds dt dt) '^ dt\r dt) 



d^ 



dF \j-~''^ [dt It '^ li Tt "^ Ti ~dt)j ~ '^ di\T 11) 

dl. , , 

^'/i 7 ' \ T d /l dx\ 

und Gleichungen derselben Art lassen sich natürlich auch für die 
beiden anderen Coordinatenrichtungen bilden. 

Will man nun das auf zwei einzelne Electricitätstheilchen be- 
zügliche Grundgesetz dazu anwenden, die ponderomotorische Kraft 
zwischen zwei galvanischen Stromelementen ds und ds' zu bestimmen, 



R. CuLUSius. — A. Weiler, 293 

so hat man in jedem Stromelemente die bewegte positive und die 
ruhende negative Electricitiit zu betrachten, und die Kräfte auszu- 
drücken, welche die beiden Electricitätsmengen des einen Strom- 
elementes von den beiden Electricitätsmengen des anderen erleiden. 
Bestimmt man auf diese Weise die iC-Componente der Kraft, welche 
das Stromelemeüt ds von dem- Stromelemente ds' erleidet, und 
wendet dabei für X den unter (6) gegebenen allgemeinen Ausdruck 
an, so hebt sich in der zu bildenden Summe die unbestimmte 
Function B auf, und man erhält folgenden ganz bestimmten Aus- 
druck, worin. i und i' die Stromintensitäten bedeuten: 

Ä;ü' dsds' \ -j — cos e — 
\ dx 

welcher Ausdruck der einzige ist, der «ich mit den beiden An- 
nahmen, dass nur Eine Electricität im festen Leiter beweglich sei, 
und dass die gegenseitigen Einwirkungen zweier Electricitätstheil- 
chen für sich allein dem Princip von der Erhaltung der Energie 
genügen, vereinigen lässt. 

Bonn. R. Clausius. 




A. Weiler: Integration der partiellen Differentialgleichung erster 
Ordnung von unbeschränkter Allgemeinheit. (Zeitschr. für 
Mathem. und Physik 1875, S. 271—299.) 

Die Integration der partiellen Differentialgleichung erster Ord- 
nung in ihrer allgemeinsten Form lässt sich auf die Integration 
partieller Differentialgleichungen zurückführen, in welchen die Dif- 
ferentialquotienten der abhängigen Veränderlichen nur linear vor- 
kommen. Auf diesem Wege hat Lagrange die Integration der 
partiellen Differentialgleichung f{zyxqp) = ausgeführt, wo 

dz T dz 1 i • 1 

— = g und — z=p gesetzt ist. 

Es handelt sich darum, die partielle Differentialgleichung mit 
mehr als drei Veränderlichen ebenso zu integriren, wie Lagrange 
die partielle Differentialgleichung mit drei Veränderlichen integrirt 
hat. Die von Jacobi gegebene Methode ist erst nach dessen 
Tode im Druck veröffentlicht worden. Ich hatte schon vorher in 
Grunert's Archiv, Jahrg. 1859, eine andere Methode gegeben, und 
da es sich zeigte, dass dieselbe vollkommenere Besultate liefert als 
die Jacobi'sche, so habe ich sie weiter ^ausgearbeitet und in der 



294 A. Weileb. 

Zeitschr. für Mathem. und Physik, Jahrg. 1863, verötfentlicht. Wie- 
wohl diese Methode schou damals Anerkennung gefunden hat, so 
ist sie doch nur theilweise verstanden und gewürdigt worden. In 
der neuen Bearbeitung, welche ich gleichfalls in der Zeitschr. für 
Mathem. und Physik, Jahrgang. 1875, gegeben h^be, ist man meinen 
Aufstellungen zwar einen Schritt weiter, aber doch wieder nur theil- 
weise gefolgt (vgl. Repert. S. 75). Ich ergreife deshalb gern diese 
Gelegenheit, diejenigen Resultate, durch welche sich meine Methode 
vor allen andern auszeichnet, unabhängig von deren Begründung, 
in Kürze mitzutheilen. 

Ich schreibe die zu integrirende Gleichung 

WO f eine beliebige Function ist, und die partiellen DiflFereiitial- 

d z d 2 (l z 

quotienten -^— -= — • • • ^ — abkürzend gleich P1P2" »Pn gesetzt sind. 

Es handelt sich um die Herleitung eines Vollständigen Integrals. 
Man denkt sich unter demselben eine .Gleichung zwischen den Ver- 
änderlichen 3 x^x^.'^Xny welche der partiellen Differentialgleichung 
/ == Genüge leistet, und zugleich n willkürliche Beständige enthält. 
Nachdem man ein vollständiges Integral aufgefunden hat, erhält man 
das allgemeine Integral durch eine bekannte algebraische Operation. 

Man sucht die partiellen Differentialquotienten PiP>i-"Pn als 
Function von zx^x^.-.Xn darzustellen, und erhält alsdann das voll- 
ständige Integral durch die Integration der vollständigen Differen- 
tialgleichung 

dz = Pi dx^ -\- p^dx^ + •••+!?« dxn- 
Schreibt man die zu integrirende Gleichung /* = in der Form 
9?i = Ci, wo c^ irgend eine der in der Gleichung f=0 vorkom- 
menden Beständigen ist, so hat man, um die vorliegende Aufgabe zu 
lösen, n — 1 andere ähnliche Gleichungen 92 = ^j 9^3 = ^3 • • • 9« =^» 
aufzustellen, in welchen Cg^s.-.^n willkürliche Beständige, und q>^ 
<P3'"^n ebenso wie g)^ bestimmte Functionen der 2w -|- 1 Verän- 
derlichen Xj^X2 ..,XnPiP2'"Pn siud. ludcm man diese Gleichungen 
mit der Gleichung q)^ = c^ in Verbindung bringt, erhält man durch 
die algebraische Auflösung der Gleichungen die partiellen Differen- 
tialquotienten p^p2 ..,pn als Function der Veränderlichen z x^X2»> »Xn^ 

Zur Bestimmung der Funktion y^ 92 • • • 9^» habe ich partielle 
Differentialgleichungen von linearer Form aufgestellt. Die Function 
g?2 ist eine Lösung einer partiellen Differentialgleichung mit 2n 
unabhängigen Veränderlichen. Die Function 93 ist eine gemeinsame 



A. WEU.KK. ' 295 

Lösung von 2 partiellen Differentialgleichungen mit je 2n — 2 unab- 
hängigen Veränderlichen, die Function q)^ eine gemeinsame Lösung 
von 3 partiellen Diflferentialgleichungen mit je 2w — 4 unabhängigen 
Veränderlichen. Die Function g)„ schliesslicb ist eine gemeinsame 
Lösung von n — 1 partiellen DifiFerentialgleichungen mit je 2w — 
2(n — 2) = 4 unabhängigen Veränderlichen, Schreibt man das voll- 
ständige Integral in der Form g? = c, wo c eine willkürliche Be- 
ständige ist, so kann man die Function <p als die gemeinsame 
Lösung von n partiellen DifiFerentialgleichungen mit je 2 unabhängigen 
Veränderlichen auffassen. Die partiellen DifiFerentialgleichungen der 
nach einander zu integrirenden Systeme haben also beziehungsweise 
2w, 2n — 2, 2w — 4... 2 unabhängige Veränderliche. 

Wenn ich das in Abrechnung bringe , was ich über die Anzahl 
der unabhängigen Veränderlichen in den zu integrirenden Systemen 
partieller DifiFerentialgleichungen gesagt habe, so sind die im Vor- 
stehenden angegebenen Operationen übereinstimmend mit den nach 
der Jacobi'schen Methode vorgeschriebenen. Jacobi hat aber die 
zu integrirenden Systeme nicht in ihrer einfachen Gestalt aufgestellt. 
Denn die von Jacobi aufgestellten partiellen DifiFerentialgleichungen 
eöthalten ausnahmslos eine unabhängige Veränderliche mehr als die 
von mir aufgestellten. Dieselben haben nicht, wie die obigen 
2n, 2n^ — 2, 2w — 4...2, sondern 2w + 1; 2w — 1, 2w — 3. ..3 
unabhängige Veränderliche. 

Für den besonderen Fall, dass die unabhängige Veränderliche 
12 in der Gleichung f=0 fehlt, hat auch Jacobi die zu integriren- 
den Systeme in ihrer einfachen Gestalt gegeben. Für diesen Fall 
ist die Anzahl der unabhängigen Veränderlichen der obigen partiellen 
DifiFerentialgleichungen um die Einheit kleiner als in der allgemeinen 
Aufgabe. Die partiellen DifiFerentialgleichungen der nach einander 
zu integrirenden Systeme haben beziehungsweise nur noch 2n — 1, 
2n — 3, 2n — 5...1 unabhängige Veränderliche. Diese für den 
besonderen Fall giltigen Systeme sind in der That nicht wesentlich 
verschieden von denjenigen, welche auch Jacobi für diesen Fall 
aufgestellt hat. 

Die Jacobi'sche Methode beschränkt sich im Wesentlichen 
darauf, die Systeme, partieller DifiFerentialgleichungen aufzustellen, 
welche nach einander integrirt werden sollen, und überlässt die 
Integration der Lösung der besonderen Aufgabe, in welcher die 
Function f nicht mehr unbestimmt ist. Man kann aber die Inte- 
gration der Systeme auch dann, wenn die Gleichung f^^O die uu- 



296 • A. Weiler. 

bestimmte Form hat, bis zu einem vorgerückten Punkte verfolgen, 
was Jacobi nicht bemerkt hat. Um dem Leser ein Verständniss 
von der Beschaffenheit der von mir aufgefundenen Resultate geben 
zu können, bin ich genötbigt, auf eine Eigenschaft der vorliegenden 
Systeme einzugehn; und vor Allem muss ich auf die Zählung der 
unabhängigen Veränderlichen in den zu integrirenden Systemen 
zurückkommen. 

Es ist oben bemerkt worden, dass die Function 93 eine gemein- 
same Lösung von 2 partiellen Differentialgleichungen mit je 2n — 2 
unabhängigen Veränderlichen ist. Diese partiellen Differentialglei- 
chungen enthalten im Ganzen 2n — 1 unabhängige Veränderliche. 
Wir haben aber von vornherein angenommen, dass jede eine unab- 
hängige Veränderliche weniger, also deren 2w — 2 habe, weil 
man einen partiellen Differentialquotienten der Function g>^ durch 
Elimination wegbringen kann. Die betreffende unabhängige Vear- 
änderliche kommt dann freilich noch in den Coefficienten der par- 
tiellen Differentialgleichung vor; allein sie hat dann die Bedeutung 
einer unbestimmten Beständigen oder eines Parameters. Femer ist die 
Function q)^ eine gemeinsame Lösung von 3 partiellen Differential- 
gleichungen mit je 2w — 4 unabhängigen Veränderlichen. Diese 
partiellen Differentialgleichungen enthalten im Ganzen 2w — 2 unab- 
hängige Veränderliche. Da man aber je 2 partielle Differential- 
quotienten der Function qp^^ durch Elimination wegbringen kann, so 
haben wir von vornherein jeder partiellen Differentialgleichung 2 
unabhängige Veränderliche weniger, also deren 2w — 4 gegeben. 
Diese 2 unabhängigen Veränderlichen kommen dann in der partiellen 
Differentialgleichung als Parameter vor. Die Function g>,-f 2 ist eine 
gemeinsame Lösung von i + 1 partiellen Differentialgleichungen 
mit je 2w — 2i unabhängigen Veränderlichen. Im Ganzen enthalten 
diese partiellen Differentialgleichungen 2w — i unabhängige Ver- 
änderliche. Da man aber je i partielle Differentialquotienten der 
Function g>i + 2 durch Elimination wegbringen kann, so haben wir 
von vornherein angenommen, dass jede partielle Differentialgleichung 
i unabhängige Veränderliche weniger, also deren 2n — 2i habe. 
Diese i unabhängigen Veränderlichen kommen dann in der partiellen 
Differentialgleichung als Parameter vor. 

Ich kann mich jetzt über eine wichtige Eigenschaft der vor- 
liegenden Systeme verständlich machen. Die Function 9, -1-2 wird 
durch ein System von i -\- 1 partiellen Differentialgleichungen be- 
stimmt mit je 2n — 2i unabhängigen Veränderlichen. Die Anzahl 



A. Weil»». 297 

der Losungen einer partiellen Differentialgleichung mit 2w — 2i 
unabhängigen Veränderlichen ist bekanntlich 2n — 2i — 1. In das 
System führen wir die 2n — 2i — 1 Lösungen der letzten Gleichung 
als neue Veränderliche anstatt derjenigen 2w — 2i — 1 Veränder- 
lichen ein, welche auch in den andern i partiellen Differentialglei^ 
chungen als solche vorkommen. Die letzte Gleichung fällt dann 
weg, und die eine noch übrige der 2n — 2i Veränderlichen dieser Glei- 
chung, welche in den andern i partiellen Differentialgleichungen als 
Parameter vorkommt, fiillt aus denselben von selbst hinaus. Nach 
vollzogener Transformation hat man ein System von i partiellen 
Differentialgleichungen anstatt des ursprünglichen von i + 1 par- 
tiellen Differentialgleichungen. Jede der i partiellen* Differential- 
gleichungen hat wieder 2w — 2i Veränderlich^; aber die Anzahl der 
Parameter ist um die Einheit kleiner als in den partiellen Differen- 
tialgleichungen des ursprünglichen Systems. In gleicher Weise führt 
man das neue System von i partiellen Differentialgleichungen zurück 
auf eines von i — 1 partiellen Differentialgleichungen. Die Anzahl 
der unabhängigen Veränderlichen ist wieder 2w — 2i; allein die 
Anzahl der Parameter ist um 2 Einheiten kleiner als in den 
ursprünglichen i + 1 partiellen Differentialgleichungen. Schliesslich 
behält man nur eine partielle Differentialgleichung mit 2n — 2i 
unabhängigen Veränderlichen ; aber die Anzahl der Parameter ist 
um i Einheiten kleiner als in den ursprünglichen i -|-1 partiellen 
Differentialgleichungen. 

Diese Eigenschaft des vollständigen Systems habe ich bei der 
Integration der Gleichung ip^ = c^ verwerthet. Die Function gjg ist 
durch eine einzige partielle Differentialgleichung bestimmt, die 
Function 9)3 durch ein System von 2 partiellen Differentialgleichun- 
geuj die Function 9)4 durch ein System von 3 partiellen Differen- 
tialgleichungen, die Function 9« schliesslich durch ein System von 
n — 1 partiellen Differentialgleichungen. Indem man das vollstän- 
dige Integral der Gleichung q>^ = c^ in der Form 9? = c schreibt, 
erhält man zur Bestimmung von <p ein System von n partiellen 
Differentialgleichungen. Bei der Bestimmung von 9^2 und tp^ habe ich 
an diesen Systemen Nichts geändert. Bei der Bestimmung der 
übrigen Functionen q>^,.. q>n ^ aber ergiebt sich eine wesentliche 
Vereinfachung, da ich an die Stelle dieser Systeme jedesmal ein 
System von nur 2 partiellen Differentialgleichungen gesetzt habe. 
Diese neuen Systeme sind identisch mit denjenigen, welche man 
auf dem vorstehend beschriebenen Wege aus den ursprünglichen 



298 



A. Weileb. — H. W. Lloyd Tanneb. 



herieiten könnte. Dieselben sind also vor den ursprünglichen Systemen 
darin ausgezeichnet, dass die Anzahl der in einer partiellen Differen- 
tialgleichung vorkommenden Parameter um ebenso viele Einheiten 
kleiner geworden ist, als die Anzahl der partiellen Differentialglei- 
chungen abgenommen hat. Zur Herstellung der neuen Systeme 
bedarf es keiner Integration. Es ergeben sich dieselben durch be- 
stimmj;e algebraische Operationen aus den ursprünglichen Systemen. 

Mannheim. A. Weiler. 



H. W. Lloyd Tann er.- The Solution of partial differential 
equations of the second order, with any number of 
variables 9 when there is a general first integral. 

(Proceedings. Lond. Math. Soc. Vol. VIL) 

We take z for dependent variable: x^y x^ . . , Xn for independent 
variables: ^— is represented by pi\ and ^ — ^— by Ski» 

In the fiirst part of the paper we seek the form of the equation 
of the second order which has a first integral of the form 

(1) F{u^,u^y...%in) = 

where F is arbitrary, and ii^y u.^...Un are n independent functions 
of ZyX^y , .Xn, Pi - » 'Pn' Such au equation consists of at most 

-TT ' 7-.xi + 2'*'"^ terms. One factor of each of these is the deter- 

minant 



»11 ; 



'12> 



^12? • • • • öl) 
^2*2? • • • • ^2k 



>«n 



Slny "2n> • • • • 

or a minor of this determinant. The other factor is a function of 
the derivatives of w, . . . w„, whose form is specified for each term. 
In the second part of the paper we start with an equation of 
the second order and seek to determine its first integral (1), should 
there be one; viz. we seek to find u^ . . . w«. For this purpose, 

— i — ~ -: linear equations of the first order can be employed. 

Of this System w, and only n equations are independent: and their 



H. W. Lloyp Tanner. — F. Caspary. 299 

coefflcients are expressed directly or indirectly in terms of the 
coefficients of the given eqiiation of the second order. There is 
always a second set of equations corresponding to another first 
integral: but, except possibly in one case, there are jiot more than 
-two first integrals. The case of the equation with two independent 
variables is discussed as an example of the general theory. 

In the third part we consider the theory of the second inte- 
gration; viz. the integratipn of (1). If there be only one first 
integral (as distinguished from two identical first integrals) we can- 
not get a general integral of (1) but can find as many particular 
Solutions as we please. 

If two first integrals occur, the arguments of one fumish the 
equations required to integrate the other. In this case it would 
appear to employ a generalisation of a method proposed by Imsche- 
netsky*) for the case of two independent variables. 

If the two first integrals be identical, the complete primitive 
is found by equating to constants the diflferent arguments of F\ 
hence deducing Values of jp^, i>2 • • P» ^^ terms of x^, x^, . . . Xny ^; 
and integrating the expression 

d0 — Pi dx^ — . . • — jö„ dXn 

which is then an exact diflferential. 

H. W. Lloyd Tanner. 



F. Csfipary: Die Eriinimiingsniittelptiiiktsfläche des elliptischen 
Paraboloids. . (Borchardt's Journ. Bd. 81. S. 143 ff.) 

Die Krümmungsmittelpunktsflächen sind seit ihrer Einführung 
in die Wissenschaft durch Monge in Bezug auf ihre allgemeinen 
Eigenschaften zwar vielfach behandelt, indess nur diejenigen für die 
Oberflächen zweiter Ordnung durch C leb seh (Borchardt's Journ. 
Bd. 62 S. 64 ffl) zum Gegenstande speciellerer Untersuchungen 
gemacht worden. Jedoch lassen sich die letzteren nur auf die 
Mittelpunktsflächen zweiten Grades anwenden und sind nicht aus- 
reichend für die anderen, weil die Specialitäten der Flächen zweiter 



*) Etüde sur les m^thodes d'int^gration des Equations aux däriv^es par- 
tielles du second ordre d*une fonction de deux variables indäpendantes. — 
Chapitre IV. 



. I 



300 F. Caspakv. 

Ordnung ohne Mittelpunkt durchgehends die Resultate bedeutend 
modificiren und nicht unQfheblich vereinfachen. 

Die in der üeberschrift genannte Abhandlung, aus einer von 
der philosophischen Faeultät der Berliner Universität preisgekrönten 
Arbeit des Verfassers hervorgegangen, beschäftigt sich ausschliess- 
lich mit der Krümmungsmittelpunktsfläche des elliptischen Parabo- 
loids. .Sie stellt in ihrem ersten Theile die Coordinaten durch zwei 
Parameter dar, zeigt die vorläufige Beziehung der Fläche zum Nor- 
malenproblem, leitet eine für die Aufstellung und Discussion der 
Fläche fundapientale Gleichung ab und giebt in Punktcoordinaten 
die Darstellung derselben in schliesslicher Endform. In dem zwei- 
ten Theile der Arbeit werden die singulären Ebenen, Curven und 
Punkte der Fläche, und in weiterer Ausführung die Beziehungen 
derselben zum Normalenproblem entwickelt, femer wird die Doppel- 
curve der Fläche nebst ihren Singularitäten, und die polare reciproke 
Fläche abgeleitet und behandelt. Bemerken möchte ich noch, dass 
die Discussion der Fläche durch die Untersuchung einer binären 
Form fünften Grades geschieht. 

§ 1. Durch die beiden Grössen u und v, welche die Parameter 
der beiden zu dem gegebenen Paraboloide 

confocalen Flächen zweiten Grades bedeuten, werden die Coordina- 
ten jeder der zwei Schalen der Fläche der Centra*) getrennt ausge- 
drückt, und nach Einführung des Parameters A (S. 144) ergiebt sich 
als gemeinsame Gleichung beider Schalen, oder als Gleichung • der 
Fläche der Centra: 

^ 6 (a - i) r^ = — (2Z+ 3A + a) (A -f- h)\ 

Durch eine einfache lineare Transformation von A und Z gehen 
diese Gleichungen, wenn a — b = 26 gesetzt wird, in 

, 2ada? = (2z + 3^ — ö) (^ + df 

^ 26dy^ = -(20 + 3^1 + ö) (ii - df 

über, und die durch die Formeln (13) der Arbeit definirten Grössen 
p und q gestatten diese Coordinaten auch in rationaler Form dar- 
zustellen. 



« 



) So wird, Kürze halber, die Fläche der Erümmuugsmittelpunkte genannt. 



F. Caspart. 301 

Drückt man durch die Relationen ^ welche die Coordinaten des 
Paraboloids mit denen der Fläche der Centra verbinden, die ersteren 
durch die letzteren aus, so gehen die Gleichungen des Paraboloids 
und der confocalen Flächen in 

(a + 1)' (b + xy = (a + xy + (6 + xy -2 J(Z+ JA) -= 0, 

^^^ . (5H^ + (y+^s + ^ = 05 

oder in - 



^^^ i T<.x8 + 7 ^ISTa + ^^ «= 



(5) 



über. Die Bemerkung, dass von diesen beiden Formen die zweite 
die nach yi genommene partielle Ableitung der ersten ist, zeigt, dass 
das Eliminationsresultat von ft aus (5) mit der Discriminante von 
iß(ft) identisch ist. Diese ist aber in den Coordinaten aj, y, z vom 
16. 'Grade und da sie den Faktor x^y^^ absondert, folgt, dass der 
andere Faktor nämlich die Fläche der Centra vom neunten Grade ist. 
Andererseits zeigt das. Verhältniss der beiden Gleichungen (4) zu 
einander, dass die Fläche der Gentra die Enveloppe der durch 

dargestellten Paräboloidenschaar ist Dieser Satz wird später (p. 188) 
dazu benutzt, die, Gleichung der Fläche der Centra in Ebenencoor- 
dinaten S, iy, t, d' zu erhalten, denn es folgt aus ihm, dass die 
redproke Polare der Fläche der Centra die Enveloppe der Parabo- 
hidenschtzar ' 

(±+31 12 ^ (P±}1 ^2 _ 2 g (^ _ gA) = 

Ui 

sei, woraus als Gleichung der Polarfläche sich ergiebt: 

(6) H(Ut,^)=iW(ci-hy-2t^iH'+ari^^2abt^^^^ 

Die Fläche der Centra ist also neunten Grades und vierter Classe. 
Die erste der Gleichungen (5) bestimmt auch die fünf Normalen, 
welche von einem Punkte dies Raumes an das elliptische Paraboloid 
gezogen werden können und zeigt in Verbindung mit der zweiten 
Gleichung, dass von jedem Punkte der Fläche der Centra zwei dieser 
Normalen in eine zusammenfallen. Dadurch ist die vorläufige Be- 
ziehung zum Normalenprobleme gegeben. 

Bepertorium für reine und angewandte Mathematik. 21 



302 F. Caspary. 

§ 2. Wie bemerkt, sind durch die Gleichungen (3) beide Schalen 
der Fläche der Centra dargestellt; sollen jene Gleichungen nur eine 
Schale charakterisiren, so schreibe ich für den Parameter ft den 
Buchstaben m, Substituirt man in ^{^) für die Cpordinaten die 
aus (3) hervorgehenden Werthe, nachdem man ft durch tw ersetzt 
' hat, so erhält man eine Gleichung in [i, m und 0, welche für ft 
vom fünften Grade ist. Diese Gleichung erweist sich für die ge- 
sammte Untersuchung von fundamentaler Bedeutung, und um. sie 
in einfachster Form zu erhalten, erwähnt die Arbeit eine zweite 
Erzeugungsweise der Fläche der Centra, welche für deren schliess- 
liche Darstellung in Punktcoordinaten ebenfalls verwandt wird. 
Wie' bekannt, lassen sich durch die Schnittcurve zweier Flächen 
zweiten Grades ^ «= und Je = vier Kegel zweiten Grades legen, 
deren Spitzen harmonische Pole der Fläche A^ -f- ;|j == sind. Be- 
deutet ^ = das gegebene elliptische Paraboloid und x = eine 
Kugel mit dem Mittelpunkte (X, F, Z) und dem Badius r, so 
ergiebt sich für die die vier Kegelspitzen liefernde Gleichung vier- 
ten Grades: 

■^ W = - 7(A) + r^?(A) = 
' (6) 7(A) = A{(A + 6)X^ + (A + a)r-(2^+A)(A + a)(XH-i)}, 
^(A)= (A + a)(A + 6). 

Hat ^(A) zwei bezw. drei gleiche Wurzeln, wodurch das Ver- 
schwinden ihrer Discriminante, bezw. ihrer beiden Invarianten I^ 

und J3 bedingt wird, so berührt die Kugel das Paraboloid einfach 
bezw. stationär. In dem letztern. Falle ist das Kugelcentrum ein 
Hauptkrümmungsmittelpunkt des Paraboloids. Es wird nun gezeigt, 
dass die die einfache bezw. stationäre Berührung ausdrückenden 

Bedingungen -jr^ = bezw. -yrr = 0, Gleichungen ergeben, welche 

mit (4) identisch sind. Jene Bedingungen, vorerst in fi statt in A 
ausgedrückt, werden für diese Gleichungen benutzt und liefern, ohne 
erhebliche Rechnung, ^(ji) in folgender Form: 

§ 3. Da das Eliminationsresultat von r^ aus Jg = und /^ = 
die Fläche der Centra ohne überflüssigen Faktor ergiebt, und die 
genannten Gleichungen bezw. vom zweiten und dritten Grade in 



F. Caspaet. 



303 



r^ sind, so erfordert die Aufstellung der gesuchten Fläche, das 
Eliminationsresultat aus einer Gleichung zweiten und einer dritten 
Grades in eine solche Form zu bringen, welche für den vorliegen- 
den Fall keine weitere Grademiedrigung izulässt. Zu dem Ende 
werden einige Invariantenrelationen abgeleitet,, mit deren Hilfe 
folgende Covariantenidentität bewiesen wird : 

(8) Z32 + J.C^^ = — 16S/.U. 

Hierbei ist gesetzt: 

(9) ^ = «0 «2 - »1* 5 <^i == (&oS + fti'jK — Kh^ + hvX + (&2I+MK ; 
03=3^2.01 — 453.^; 



/^3 = 


■■Si 


1 a^2 ^0, 


— 4^ 




dSs 

^ al 





2 


1 dS^ ^ dC, 
^ drj drj 




1 ^-^a 


■3" drj 









während R die Resultante von iS« = und & = bedeutet. Benutzt 



'2 



wird die Identität (8) nur für den speciellen Fall S = 1, rj = 0. 

Transformirt man ^(A) in ^(ft), was durch eine lineare Substitution 

mit der Determinante + 1 geschieht, so wird Jg = I2 und I^ ==^ 7g, 
wobei unter Jg und J3 die Invarianten von ^(ft) verstanden sind. 
Statt nun diese^ Invarianten direkt aus der Form von ^(/x) herzu- 
stellen, welche die Coordinaten x, y, ^ enthält und dann die Elimi- 
nation von r^ vorzunehmen, benutze ich die Darstellung von ^{11) 
"in m und Zy drücke in diesen Parametern die aus (8) für § = 1, 
^ = hervorgehenden Bildungen aus, und weise nach, dass letztere 
sich in einfachster Weise aus drei Formen A, B^ und F zusammen- 
setzen lassen, welche sich aus Funktionen von m und ^ leicht in 
solche von x, y, umformen lassen. Auf diese Weise findet man, 
wenn man mit Sg ^^^ ^3 diejenigen Ausdrücke bezeichnet, die aus 



Jg und J3 hervorgehen, wenn man r^ — Po^ = 9 = ~ setzt und 
homogen macht: 

(10) Äs = -f + 18|«i}(5 - 3(J2) - 54|»/*(w2 - d«) {g + 2w»)^ . 
B = m^ -{- m0 -\- d*. 

Bezeichnet man den Factor von Sg in ^3, nachdem man S==^> 
ij = gesetzt hat, mit 3. 6*. ^i, so ergiebt sich: 

ÜTj = 3.6* (^ — 24J5M*); O3 = ISrg»; 
r= 45« — 3<rJ5*« — 3(m^ — d«)(^ + 2w)^ 

21* 



1 



304 F. Caspary. 

wobei r = die noth wendige und hinreichende Bedingung dafür 
ist, dass ^2 Factor von S^ sei. Femer erhält man: 

Nachdem noch gezeigt ist, dass B^, F und BF rationale und ganze 
Funktionen von x, y, z sind, werden für dieselben die folgenden 
Werthe gefunden: 

..^B''=zS'\-'i8J)-28\z^-W)^V, 

6r=^)S-16*D+16(JV'-13*2)=Tr, 

S=ax^-\-'by^ , D^=^ax^ — hy^, 

woraus die Fläche der^Centra 

(12) F{x, y, 0) = 21lP-8 VW^ = 

hervorgeht. Da ?7 vom vierten, Fund TF vom dritten Grade sind, 
ergiebt sich jP = als Oberfläche neunten Grades. Hiermit schliesst 
der erste Theil der Arbeit. 

In dem zweiten Theile wird die Discussion der Fläche -jP = 
gegeben und dieselbe durch die Untersuchung der binären Form 
Si(^) = geleistet. Es werden der Reihe nach die Punkte aufge- 
stellt, von denen aus von den fünf an das Paraboloid zu ziehenden 
Normalen drei, zweimal zwei, einmal zwei und einmal drei, end- 
lich vier Normalen in eine einzige zusammenfallen, und die Bedeu- 
tung dieser Punkte für F = untersucht. 

§ 4. Auf der Fläche der Centra giebt es ausser der unendlich 
entfernten Ebene, welche längs dreier Geraden osculirt, sechs sin- 
gulare Ebenen, welche die Fläche in einer Parabel osculiren und 
in einer Curve dritten Grades (Parabelevolute) schneiden. Von 
jedem Punkte der sechs Parabeln und von allen Punkten der unend- 
lich entfernten Ebene fallen drei Normalen in eine zusammen. 

Von den sechs singulären Ebenen sind zwei reell und vier ima- 
ginär; ich unterscheide sie als singulare Tangentialebenen erster und 
zweiter Art. Die in je einer dieser Ebenen liegenden Parabeln und 
Curven dritten Grades schneiden sich in zwei Punkten und berühren 
sich in zwei andern. Femer berühren in jeder der beiden singulären 
Tangentialebenen erster Art zweimal zwei Kegelschnitte zweiter Art 
in zwei Punkten einander und den in der singulären Tangential- 
ebene erster Art gelegenen Kegelschnitt. Die beiden gemeinschaft- 
liehen Tangenten in den Berührungspunkten der Kegelschnitte sind 
die Durchschnittslinien von zweimal zwei singulären Tangentialebenen 



F. Caspary. 305 

zweiter Art und zugleich die gemeinschaftlichen Tangenten jedes 
Kegelschnitts in den Berührungspunkten mit der in seiner Ebene 
liegenden Curve dritten Grades. Die vier singulären Tangential- 
ebenen zweiter Art schneiden sich in einem Punkte, welcher auf 
der Schnittlinie der beiden singulären Tangentialebenen erster Art 
liegt. Längs der vier singulären Kegelschmtte zweiter Art durch- 
schneiden sich die beiden Schaalen der Fläche . der Centra unter 
rechtem Winkel. 

§ 5. Von jedem Punkte der beiden in den singulären Tan- 
gentialebenen erster Art liegenden Curven dritten Grades und von 
jedem Punkte der durch U=0, W = 0. oder F = dargestellten 
Doppelcurve der Fläche der Centra fallen zweimal zwei Normalen 
zusammen. Ferner giebt es zwölf Punkte, von denen einmal 
zwei und einmal drei Normalen in je eine zusammenfallen. Von 
diesen zwölf Punkten sind zwei die Kückkehrpunkte der in den 
beiden singulären Tangentialebenen erster Art liegenden Curven 
dritten Grades, und zugleich die Berührungspunkte der Schnittlinie 
jener beiden Ebenen mit diesen Curven. Diese zwölf Punkte 
sind die Schnittpunkte jedes der sechs singulären Kegelschnitte 
erster und zweiter Art mit derjenigen Curve dritten Grades, welche 
mit ihm in derselben singulären Tangentialebene liegt. Von zwei 
Geraden der Fläche der Centra und vier Punkten fallen vier Nor- 
malen in eine zusammen. Die zwei Geraden sind die conjugirt 
imaginären Graden, längs deren die unendlich entfernte Ebene die 
Fläche der Centra osculirt; und die vier Punkte sind diejenigen, in 
welchen die singulären Kegelschnitte die in ihren Ebenen liegenden 
Curven dritten Grades berühren. 

§ 6. Die durch den Schnitt von ?7 = und W=0 darge- 
stellte Doppelcurve zwölften Grades besitzt sieben Doppelpunkte und 
j^M/'ö?/* Rückkehrpunkte, die gleichzeitig die sieben Doppelpunkte rön 
Z7=0 und die zwölf Berührungspunkte von U=0 mit W=0 
sind. Andererseits sind die zwölf Kückkehrpunkte auch identisch 
mit den zwölf Punkten, in welchen die sechs singulären Kegel- 
schnitte die mit ihnen in derselben singulären Tangentialebene 
-liegenden Curven dritten Grades schneiden. Die vier Berührungs- 
punkte dieser Curven sind vier von den sieben Doppelpunkten der 
Doppelcurve, während die drei übrigen Doppelpunkte die Schnitt- 
punkte der drei Geraden sind, in welchen die unendlich entfernte 
Ebene die Fläche der Centra osculirt. Wegen der genannten Anzahl 
von Doppel- und Rückkehrpunkten ergiebt sich das Geschlecht der 



n 



306 F. CaSPARY. — G. EßCHEBICH. 

Doppelcurve als Null, Daraus folgt, dass die Coordinaten dieser 
Curve, die sich als irreductibeler Durchschnitt zweier Flächen dritten 
und vierten Grades ergiebt, sich als rationale Functionen eines 
Parameters darstellen lassen. In der That erhält man bei Anwendung 
homogener Coordinaten als Gleichung der Doppelcurve: 

Y^x = 2d yi {f + P)8(r* ~ 4r2p + V) rl, 

yhy = 28Yd{f — V)\r^ + 4.rH^ + V)rl, 
2z ==^8 {32r *Z* _ (r* + i*)^ } (r* + 1% 
^ = r 2p (r* + V) 2. 
und für die abwickelbare reciproke Polarfläche ergiebt sich: 

I = - l/^(r* _ 4r2i2 ^ j4) (^2 ^ ^2)^ 

(14) n=^^yh{r^ + Arn' + V) (r« - P\ 

%'=\28Y8{f^ + V)rl. 

Aus je dreien der die Ordnung, Classe, Geschlecht, Anzahl 
der Doppel- und Rückkehrpunkte angebenden Zahlen, folgen die 
anderen Charakteristiken der Doppelcurve, wie sie in der Arbeit 
erwähnt sind. 

§ 7. Die in (6) angegebene zu jP = reciproke polare Fläche 
jEf = besitzt sechs Doppelpunkte und einen triplanaren Punkt, 
womit ich einen solchen Punkt als dreifachen bezeichne, dessen 
Osculationskegel dritten Grades in drei Ebenen degenerirt. Diese 
Singularitäten reichen hin, um die Classe von 11=0 oder die 
Ordnung von F= von 36 auf 9 zu reduciren. 

Berlin. F. Caspary. 



G. Escherich: Ableitung des allgemeinen Ausdruckes für das 
£rtinimungsmaa8S der Flächen. (Grunert's Archiv. 57. Theil. 
1875.) 

Gauss entwickelt in den „ Disquisitiones generales circa super- 
ficies curvas" zuerst den Ausdruck für das Krümmungsmaass unter 
der Voraussetzung die Gleichung der Fläche habe die Form z==f{x,y), 
transformirt dann die so erhaltene Formel in die Variablen p,q und 
zeigt, dass sich dieselbe durch die alleinigen Grössen E,F,G dar- 
stellen lasse. Bei dieser Transformation sind die schleppenden Rech- 



G. Escherich. 



307 



nungen des art. 10 nicht zu umgehen und ich versuchte deshalb 
in der genannten Abhandlung den Ausdruck Gauss' direkt zu ent- 
wickeln. 

Sind jp,g die Coordinaten eines Punktes der Fläche, jp'g' die ent- 
sprechenden der Kugel, so ist das Krümmungsmaass*) 

dp dq dq dp 
Hieraus findet man durch eine leichte Rechnung 



Jc(EG-F^) = 



dA 
dp ' 

dA 



dB_ 

dp ' 

dB 



c 

dC^ 
dp 

dC 



dq ^ dq ^ dq 



Die rechts stehende Determinante 3. Grades lässt sich aber in 



d^x 
dp^ 

d^x 






d^ 
dp^ 

d'y 



+ C 

+ c 



d^ 
dp^ 

d^z 



d^x 

dp dq 

d^x 






d'y 
dp dq 

d'y 



+ G 

+ C 



d^z 

dpdq 

d^z 



dpdq ' "^ dp dq^^ ^ dp dq' ^"^ dq^ ' "^ dq^ ' ^ dq^ 
verwandeln, welche selbst wieder, wie man sogleich erkennt, sich 
durch eine Determinante 6. Grades darstellen lässt, sodass 



k {EG — jP^) = 



dx 
dp' 

dy 
di' 

dz_ 
dp' 



dx d^x 



dq' 

dy^ 
dq' 

dz_ 
dq' 



dp"" 

d^ 

dp^ ' dpdq 



d^x 
dp dq 

d'y 



, 



, 



, 



d^ 

dp^ ' 

d^x 
dp dq ' 

d'y 
dp dq ' 

d^z 



d^z 

dpdq 

d^x 

dq^ 

d^ 
dq^ 

d\z 



dpdq' dq} 



, , 





, , 





, , 





dx 


dx 


' dp' 


dq 


dy 
'• dp' 


dy 
8q 


dz 

' dp' 


dz 

dq. 



wird. 

Multiplicirt man die vierte, fünfte und sechste Zeile dieser 
Determinante mit — 1 und die derart transformirte mit der ursprüng- 
lichen, so erhält man für [7c {EG — F^)f eine „ Determinante gauche", 
deren jedes Element durch die alleinigen Grössen E,FyG sich aus- 
drücken lässt. Die positive Quadratwurzel der Determinante gauche 
gibt dann Ic {EG — 2^), also l nur durch EyF,G ausgedrückt. 

Graz. . G. Escherich. 



*) Ich gebrauche durchwegs die Bezeichnungen der Disquisitiones generales. 



^ 



308 G^. Escherich. 

G. Escherich: Beiträge zur Bildung der symmetrischen Func- 
tionen der Wurzelsysteme und der Resultante simultaner 
Gleichungen. (Denkschriften der k. Akademie in Wien. Bd. XXXVI, 
1876.) 

Eine kleine Vereinfachung in den Methoden,' welche von Cauchy 
und AbelTransou zui: Berechnung der symmetrischen Functionen 
der Wurzeln einer Gleichung aufgestellt wurden, führten zu einem 
Analogon derselben in der Theorie^ der simultanen Gleichungen. 

Es seien 

simultane Gleichungen mit den Unbekannten x^,x^..,Xn* Ihre 
Endgleichungen 

JF\ K) = , ^2 (^2) = . . . Fn (a?„ ) = 

nach Xi,x^.,,Xn seien vom Grade ft und besässen bezüglich die 

Wurzelsysteme 

aj, aj . . . «^ 



fjL^ n n . 

Bezeichnet dann 2) (a?i , a?2 . . . ä;„) die Functionaldeterminante von 
/i> /2 • • • /»> so besteht, wie Jacob i bei dem Falle zweier Gleichungen 
schon zeigte, stets eine Function (x^^ X2 . .. Xn)^ welche keine 
Wurzeln der Gleichungen enthält und für welche 

um nun die A- formige symmetrische Funktion 

2? 3r(«*S «*'... aj. ; ... aj;i, a*^. . . a*i) 

welche durchaus nicht ein einfachster Typus sein muss , zu berechnen, 
subtrahire man von beiden Seiten der obigen Gleichung (A — 1) z. B. 
die (A— 1) ersten Glieder der Summe rechts; dadurch ergibt sich: 






G. Escherich. 309 

Multiplicirt man in dieser Gleichung den Ausdruck links mit 

und bezeichnet in der Entwicklung des so gefundenen Productes 
nach fallenden Potenzen der a? den Coefficienten von fx^ x^ ...a^J""^, 

* 

welcher eine Function der Wurzeln aj, «J ^.. a^~^ sein wird, mit 
^ («}, «^ ... a^""^), so ist die (A — 1) förmige symmetrische Function: 

gleich der gegebenen A- förmigen, also die Berechnung dieser auf 
die jener zurückgeführt. 

Das auseinandergesetzte Verfahren lässt in manchen Fällen er- 
hebliche Vereinfachungen zu, so auch bei den einfachsten Typen 
der symmetrischen Functionen. Denn dann erlauben die Sätze 
Schlaefli's und Betti's über den Grad, das totale und partiale 
Gewicht bei symmetrischen Functionen, schon während der Aus- 
führung der Rechnungen Glieder zu vernachlässigen. Auch für den 
Fall, dass die gegebene symiAetrische Function von der Form: 

ist, lässt sich die Rechnung erleichtern. Dies führt zur allgemeinen 
logarithmischen Berechnungs weise der Resultante, der sich im Falle 
zweier Gleichungen schon Lagrange bedient hatte. 

Die Eigenschaften der Function legen noch ein anderes Ver- 
fahren zur Berechnung der symmetrischen Functionen nahe, das 
gewissermassen ein Analogon zur Methode Borchardt's für die 
Berechnung der symmetrischen Functionen der Wurzeln einer Gleichung 
bildet. In der 

1 

(*}-«}) ( tj-aj). . .( tl-«i) ( tl-af) ( tl-aly. -^ t^.^) ( t^,-a'[) ( 4'-<)- ' "( C"«'^) 

welche ausser dem angeschriebenen noch alle Glieder umfassen soll, 
die aus ihm durch alle möglichen Vertauchungen der simultanen 
Wurzelsysteme erhalten werden, sind nämlich die Coefficienten in 
ihrer Entwickelung nach fallenden Potenzen der t gleich den Coeffi- 
cienten, welche in der analogen Entwickelung von 

— wo 77 nach Jacobi das Differenz -Product bezeichnet — , zu dem- 



310 Cr. ESCHEBICH. M. AlL^. 

selben Producte der t gehören. Der letztere Ausdruck besitzt aber, 
da IP («J, aj ... «5*); als die Discriminante von F^ {x^ = sich 

durch die Coefficienten von F^ ausdrücken lässt,. in seinen Ent- 
wicklungs-Coefficienten keine Wurzeln der vorgelegten Gleichungen. 
Schliesslich wird in der Abhandlung aus der Formel Jacobi's, 
welche derselbe seiner Lösung des Gramer' sehen Paradoxons zu 
Grunde legte, durch passende Specialisirung jene Relation Liou- 
ville's abgeleitet, welche dieser durch sein Eliminations -Verfahren 
erhielt und aus welcher er durch einen üebergang von (n + 1) zu 
n Dimensionen die Jacobi'sche folgerte. Es wird gezeigt, dass 
sich aus dieser Li ouville' sehen Formel mittelst der gewöhnlichen 
Regeln alUe Resultate gewinnen lassen, zu welchen Liouville 
durch sein Eliminations-Verfahren gelängte, so dass im Grunde die 
merkwürdige Formel Jacobi's die Quelle ist, aus der auch Liou- 
ville's Eliminations-Methode fliesst. 

Graz. G. Escherich. 



M. Allä: Ein Beitrag zur Theorie der Funotionen von drei Ver- 
änderlichen. (Sitzb. d. kais. Acad, d. W. in Wien. Bd, LXXII. 
Juniheft 1875). 

Um die Theorie der Functionen dreier Veränderlichen in ähn- 
licher Weise geometrisch zu interpretiren, wie dies für Functionen 
von 2 Veränderlichen zu geschehen pflegt, werden als Hauptmomente 
der Betrachtung die Anordnung der Functionswerthe und die Aende- 
rung derselben beim Uebergange von einem Punkte des Raumes 
zu einem beliebigen Nachbarpunkte ins Auge gefasst. 

Durch Einführung von Niveauflächen wird die Betrachtung von 
3 fach unendlich vielen Functionswerthen auf die Betrachtung ein- 
fach unendlich vieler Niveauflächen zurückgeführt; Form und Auf- 
einanderfolge der Niveauflächen vervollständigt das geometrische 
Bild einer Function dreier Veränderlichen. 

Li dieser Hinsicht kommt für jeden Punkt des Raumes zu- 
nächst die Steigung der Function nach irgend einer mit r bezeich- 
neten Richtung in Betracht, welche für die' beiden Normalenrich- 
tungen der durch diesen Punkt gelegten Niveaufläche beziehungs- 
weise ein Maximum oder Minimum ist, während sie für alle in die 



i 



M. All^. 311 

Tangentialebene dieses Punktes der Niveaufläche fallenden Rich- 
tungen verschwindet. 

Der absolute Betrag der Maximal- oder Minimal -Steigung vv^ird 
durch die positive Quadratwurzel 



i/(ii)'+(ii)'+©'-» 



bestimmt und die Steigung nach irgend einer Richtung erscheint 
als Projection der Maximal- oder Minimal - Steigung auf diese 
Richtung. 

Mit Hülfe zweier Kugeln vom Durchmesser A, welche die 
Niveaufläche eines ' Raumpunktes in diesem beiderseits berühren, 
wird die Steigung nach irgend einer von diesem Punkte ausgehenden 
Richtung dem absoluten Werthe nach durch das innerhalb einer 
dieser Kugeln auf dieser Richtung liegende Segment dargestellt. 

Um das Gesetz, welches die Werthe des Diflferentialquotienten 

j^ für alle von einem bestimmten Punkte ausgehenden Richtungen 

verbindet,' mit einem Male zu überschauen, wird für jede Richtung 
ein von dem festen Punkte ausgehender Fahrstrahl B construirt, 
so dass 



d^u . 1 

5r^ ~ ± Ä^ 



je nachdem 



ist. 

Der geometrische Ort der Endpunkte aller dieser Fahrstrahlen 
ist durch die Gleichung 

9 

3) + 1 = ^^' + BY"" + CZ^ + 2« YZ+ 2ßZX + 2yXY 

bestimmt, in welcher die Coefficienten der von dem festen Punkte 
gerechneten Coordinaten XYZ des Fahrstrahl -Endes die auf diesen 
Punkt bezogenen Derivirten zweiter Ordnung bedeuten. 

Die Unterscheidung der hier zu betrachtenden Fälle wird durch 
die Natur des Asymptoten- oder charakteristischen Kegels von 3) 
bedingt, der reell oder imaginär aiÄfällt, je nachdem 

4) D = (ß^ - ÄC) (f — AB) - (ßy - aAy ^ 

wobei der Zwischenfall 2) = 0, welchem ein Zerfallen dieses Kegels 
in ein reelles oder imaginäres Ebenenpaar entspricht, eine besondere 
Beachtung verdient. 



312 M. ÄLLi. 

Wird 3) als Gleichung der charaMeristischen Fläche des zweiten 
Diflferentialquotienten bezeichnet^ so liefert die Betrachtung der 
einzelnen Fälle folgende Ergebnisse. 

Die charakteristische Fläche ist für 

a) Z) < ein System von zwei conjugirten Hyperboloiden und 
die Seiten des gemeinschaftlichen reellen charakteristischen 
Kegels bezeichnen jene Richtungen, nach welchen der zweite 
DiflFerentialquotient mit Zeichenwechsel verschwindet. 

b) Z)>0 AB — y^>0 ein dreiaxiges EUipsoid mit imagi- 
närem charakteristischem Kegel, dessen Spitze allein reell ist, 
und der zweite DiflFerentialquotient kann das Zeichen nicht 
ändern, weil qr für keine reelle Richtung verschwindet. 

c) 2) = AB — y* < ein System von zwei conjugirten 
hyperbolischen Cylindern mit gemeinschaftlicher Axe. Die 
beiden reellen Ebenen, in welche der charakteristische Kegel 
zerfällt, schneiden sich in dieser Axe. Der zweite DiflFerential- 
quotient verschwindet mit Zeichen Wechsel, so oft eine Rich- 
tung in eine der beiden Ebenen fällt. 

d) Z) = AB — y^ < ein elliptischer Cylinder. Axe des- 
selben ist die reelle Schnittlinie des imaginären Ebenen- 
paares, in welches der charakteristische Kegel ausartet. Der 
zweite DiflFerentialquotient ändert das Zeichen nicht. 

e) D = weil AB — f = AC — ß^'^^O ßy — aA = 
ein System von zwei parallelen Ebenen die zu beiden Seiten 
des Ausgangspunktes von demselben gleichen Abstand be- 
sitzen. Der charakteristische Kegel ist in eine durch den 
Ausgangspunkt gehende reelle und doppelt zu zählende Ebene 
ausgeartet, welche mit den beiden früher genannten parallel 
ist. Der zweite DiflFerentialquotient ändert das Zeichen nicht 
und verschwindet für jede Richtung welche durch den Aus- 
gangspunkt gehend in die doppelte Ebene fällt. 

Eine andere geometrische Construction des zweiten DiflFerential- 
quotienten einer Function dreier Veränderlichen nach einer beliebigen 
Richtung erhält man, wenn derselbe direct als Pahrstrahl q einer 
Fläche dargestellt wird. Setzt jnan nämlich 

so erhält man bei passender Wahl der Axen als Gleichung dieser 
Fläche 

(x^ -f r^ + z^)3 = (^0 x^ + B,Y^ + Co zy 



M. Allä. 313 

dieselbe Gleichung, durch welche Plücker die Hauptparameter der 
linearen Complexe einer dreigliedrigen Gruppe dargestellt hat. 

Zum Schlüsse wird die Bedeutung der Singularitäten der Niveau- 
flächen berührt. 

Graz. • M. Alle. 



M. AUä: Zur Theorie des Gauss'sohen Exümmiingsniasses. (Sitzb. 
d. kais. Acad! d. W. in Wien. B. LXXIV. 5Wheft 1876.) 

Wenn für einen Punkt einer Oberfläche die Indicatrix eine 
Ellipse ist^ so kann das Krümmungsmass für diesen Punkt durch 
die Fläche dieser Ellipse und durch die Fläche der Indicatrix einer 
Kugel vom Halbmesser 1, welche die Oberfläche in dem betrachteten 
Punkte berührt, ausgedrückt werden. 

Bezeichnet man nämlich das Krümmungsmass mit h und die 
beiden der Oberfläche und der Kugel im Berührungspunkte ent- 
sprechenden Indicatrix -Flächen oder ihre Projectionen auf die XY- 
Ebene bezüglich mit E und K, so ist 

Für eine dreifache ebene Mannigfaltigkeit existirt ein geometrisches 
Gebilde welches vollständig die Stelle der auf die XF- Ebene proji- 
cirten Indicatrix spielt. 

Es ist dies^eine centrische Fläche 2. Ordnung, und wenn man 
in dem Falle als dieselbe ein Ellipsoid ist, das Voluipen desselben 
wieder mit E und das Volumen jenes EUipsoides, welches an die 
Stelle der früheren Kugel- Indicatrix -Projection tritt, mit K be- 
zeichnet, so wird für eine solche dreifache ebene Mannigfaltigkeit 
das Krümmungsmass wieder durch 1) ausgedrückt, oder wenn man 
die beiden Volumina durch dreifache Integrale darstellt, so erscheint 
die Quadratwurzel aus dem Krünimungsmasse in diesem Falle als 
das Verhältniss zweier dreifachen Integrale. Ebenso kann das 
Krümmungsmass einer n fachen ebenen Mannigfaltigkeit, welche durch 
die Gleichung u=f {x^'x^^'Xn) aus einer n -f- Ifachen Mannig- 
faltigkeit ausgeschieden wird für den Fall als die aus den partiellen 
Derivirten der zweiten Ordnung von f gebildete quadratische Form 
durch eine Summe positiver Quadrate darstellbar ist durch das Ver- 



314 M. Allä. 

hältniss zweier w fachen Integrale ausgedrückt werden und ergibt 
sich dabei diejenige Gleichung, welche die Verallgemeinerung des 
BegriflFes der Hauptkrümmungen enthält. 

Graz. . M. Alle. 



M. Allä: Ueber die Bewegnngsgleiehungen eines Systems von 
Punkten. (Sitzb. d. kais. Acad. d. W. in Wien. Bd. LXXIII. 
Januarheft 1876.) 

Unter der Voraussetzung, dass die Kräftefunction von den 
Coordinaten der bewegten Punkte und der expliciten Zeit abhängt, 
dagegen die Componenten der Geschwindigkeiten nicht enthält, 
können die Bewegungsgleichungen eines Systems von Punkten auf 
eine Form gebracht werden, welche in dem einfachsten Falle eines 
einzigen Punktes mit einer Kräftefunction die nur die Coordinaten 
enthält, mit der von Lame in seinen „Le§ons sur les coordonnes 
curvilignes" (1859 pag. 168) angegebenen Form zusammenfallt 

Den Ausgangspunkt für die Ableitung bildet die Lagrange'sche 
Form der Bewegungsgleichungen und wenn die allgemeinen Coordi- 
naten, welche die Lage des Systems bestimmen mit q^ bezeichnet 

dT 
werden, T die lebendige Kraft vorstellt, j)^ = "^7^ gesetzt wird, 

wenn dann die q\ ==^ -jr- als Functionen der q. sowohl als der 

^ % dt ^» 

expliciten Zeit aufgefasst werden und das Integral der Lagrange' sehen 
Gleichungen, welches an die Stelle des Prihcips der lebendigen Kraft 
tritt durch 

1) ■ T-V='m 

dargestellt wird, wo V die Kräftefunction und 

2) * - -/l? * 

so werden die Bewegungsgleichungen 

3) 4?L + |^=^(i^__fA,'.. 

^ dt ' d<ii ^ \dq. dqj ^ J 

J -^ 

Sie werden erfüllt durch die beiden Systeme von Gleichungen 

.V _ d(p_ ^ _^®_ 

^^ ^i ~ dq. dt ~ ^^i' 



M. ÄLLi. — G. BiAsi. 315 

wo q) eine zu bestimmende Function der q. und von t ist, för welche 
man aus 4) die bekannte partielle Differentialgleichung findet, von* 
welcher Hamilton die Lösung mechanischer Probleme gemacht hat, 
und die Gleichungen 4) werden durch einige Transformationen in 
die bekannte canonische Form der Bewegungsgleichungen übergeführt. 

Die Einführung gewöhnlicher krummliniger Coordinaten zeigt 
dann die Bedeutung des ersten Systemes der Gleichungen 4). 

Wählt man nämlich statt der Coordinaten q. krummlinige Coor- 
dinaten von der Art, dass jeder Punkt des Raumes als Durchschnitt 
dreier Flächen 

dargestellt wird, so sind die Grössen 

Bqq dQi dQi dQs ^Qi ^Qi 

proportional der Drehungsgeschwindigkeiten um die Normalen der 
3 Flächen im Durchschnittspunkte, daher das 1. System der Glei- 
chungen 4) ausdrückt, dass der betrachteten Bewegung ein Geschwin- 
digkeitspotenzial zukomme. 

Graz. M. Alle. 



G. Biasi: II calcolo siille inoognite delle equazioni algebriche 
— Studi analitici — . 84 pag. in 8® (Verona, H. F. Münster 1876). 

L'impossibilitä di risolvere algebricamente le equazioni di grado 
superiore al quarto da una parte, e la possibilitä di determinare con 
ogni approssimazione le radici di una equazione a coefficienti 
numerici dalF altra, mi condussero a studiare la teoria delle equa- 
zioni algebriche sotto un altro punto di vista. 

Considerando le radici delle equazioni come risultati di operazioni 
numeriche, le incognite delle equazioni stesse possono essere trattate 
come funzioni semplici dei coefficienti; le quaü, espresse con sim- 
boli adatti, possono sostituire le espressioni generali, che si cercano 
coUa risoluzione algebrica, ove su quelle funzioni si possano eseguire 
i calcoli, che si sogliono eflfettuare suUe funzioni algebriche. La 
risoluzione delle equazioni puö dunque essere sostituita dal seguente 
problema : stabilire le regole per il calcolo delle incognite considerate 
come funzioni semplici dei coefficienti. 



316 ö. BiAsi. 

II problema, nella sua massima generalita, cousisterebbe nel 
determinare i coefficienti deir equazione: 

essendo ^ una funzione algebrica qualunque delle incognite x^y iCg^ . . . . 
di date equazioni algebriche: 

/i(a;i) = 0, f,(.x,)^0, 

Le trasformazioni, che hanno per iscopo di eseguire sopra l'incognita 
d'una ' equazioni una determinata operazione^ ne sono un caso 
particolare. 

Limitando il problema generale ai casi fondamentali: 

+ 1 

le note relazioni fra i coefficienti d'una equazione e le somme delle 
potenze simrli d^le sue radici ofiErono un mezzo elementare di 
risolvere il problema stesso. Se non che la complicazione eccessiva 
dei calcoli rende un tal metodo inopportuno nei casi particolari, e 
inadatto a stabilire la forma generale deir equazione che da il 
risultato deir operazione. 

Un metodo piü semplice per la formazione dell' equazione che 
da la diflferenza delle incognite di due equazioni proposte (onde si 
ottiene anche l'equazione per la somma) si ha coir uso del risultante 
delle due equazioni e deir operazione diflferenziale : 

dove a, b, . . . , l denotano le radici di una delle equazione proposte. 
Un' altra forma generale della stessa equazione avrebbe i coefficienti 
della forma: 



2 






dove il simbolo ö/'SJ;;; indica una funzione simmetrica delle radici 
facilmente esprimibile per mezzo dei coefficienti. Quest ultima forma 
presenta il vantaggio di poter determinare nel modo piü completo 
il numero delle radici comuni alle due equazioni, distinguendo tutti 
i gruppi di radici eguali. 

I diflferenti termini del risultante, aggruppati secondo i loro 
gradi rispetto alle radici, oflFrono invece i coefficienti della equazione, 
che da il quoziente delle incognite. Anche quessa equazione ci 
somministra dei criteri pei* riconoscere Tesistenza di radici comuni 
alle due equazioni; i quali se danno una soluzione del problema 



G. BiAsi. 317 

meiro completa di quella fornitaci dair equazione precedente ed 
hanno lo svantaggio di cotitenere dei fattori superflui^ sono per 5 di 
piü facile applicazione. 

Nel caso particolare delle equazioni binomie, denotando con ä 
e con M rispettivamente il massimo divisore e il minimo multipla 

comuni ai numeri m e fi,si trova facilmente che la somma yÄ + }/B 
h una radice d"'^, il cui radicando dipende da un' equazione di grado 

M, e che il prodotto yÄ . yB ha M valori distinti ripetuti 6 volte. 
Applicando i principi precedentemente esposti alla risoluzione 
• algebrica delle equazioni, ottenni per Tincognita deir equazione di 
secondo grado le forme: 

x^ä + yb, x^iVÄ+YBy, 

e per quella della cubica, la forma: 

dove Ä dipende dai coefficienti per mezzo d'una equazione lineare 
e By C sono le due radici d'una equazione quadratica. L'equazione 
di quarto grado, per mezzo della sostituzione z ^= a? - — ^x^ ha una 
risoluzione della forma: 

z = A + B, 

dove Ä e B sono le incognite di due equazioni di secondo grado. 
Se poi Tequazione del quarto grado manca del secondo e del quarto 
termine, la sua incognita si puö determinare direttamente nella 
forma: 

a? = y J[ + yb. 

II continuo uso delle funzioni simmetriche rendeva necessaria 
qualche semplificazione nella teoria delle funzioni stesse, e piü di 
tutto importava evitare, quanto fosse possibile, la rappresentazione 
delle funzioni simmetriche delle radici per mezzo dei coefficienti. 
A tale scopo adottai, per le funzioni 'simmetriche della forma 

^ a^J'*. ..., la notazione: 

nella quäle j), r, ^, .... indicano gli esponenti, e ä, (>, r,... sono 
indici che esprimono quante volte il relativo esponente sia ripetuto. 
Con questa notazione si ha: 

Bepertorinm für rcino und angewandte Mathematik. 22 



L 



318 Cr. BiAsi. — R. Enoelmann. 

dove, potendosi trovare degli esponenti eguali o nuUi, ries(9ono 
necessarie le riduzioni: 



ppt... __. /'^ + 9\ « p '••• 
opr... __ /m — n — Q ^ 5^** •• 



essendo m ii gradp delF equazione, e denotando in generale con 

Ä(Ä; — 1) .... (A; — i + 1) 
I 11 iiuiiicru uji^urutu 



© 



5 ) il numero figurato 123 



La suesposta notazione per le funzioni simmetriclie mi condusse 
ad una forma generale della trasformata di Tschirnhaus. Infatti sia 
f{x) == Tequazione proposta del grado m ed 

rincognita della trasformata; allora indicando con ^^ Tespressione: 



n,< 



^^ p r nq .. ,' 



n, % 



dove il segno sommatorio s'estenda a tutti i termini che si possono 
ottenere dando a jp, r, . . . i valori della serie 0, 1, 2, .... w, sotto 
la condizione jr +?+••••= ^; la trasformata di Tschirnhaus 
diviene: 

L'ultimo termine ^^ h il risultante delle due equazioni f{x) = 

n, m 

y = o. 

Verona. G. Biasi. 



B,. Engelmann: Abhandlungen von F. "W. Bessel. Herausgegeben 
von Dr. Rud. Engelmann. — Zweiter Band: III. Theorie der 
Instrumente. IV. Stellarastronomie, V. Mathematik. — Mit 2 Tafeln 
nnd verschiedenen Holzschnitten. Leipzig. W. Engelmann 1876. 
(Erster Band besprochen in dieser Zeitsch. LS. 128.) 

In keinem Theil astronomischer Forschung hat Bessel in 
schöpferischer Weise Grösseres geleistet, als in der Stellarastrononiic 
und der ihr zu Grunde liegenden Them^ic der Instrumente] hier trafen 
alle Anlagen und Neigungen zusammen, um mittelst neuer oder 



R. Enoelmann. 310 

wesentlich verbesserter älterer Messaparate, ausgehend von sorg- 
fältiger Beobachtung und deren strenger Kritik^ und durch An- 
wendung zum Theil eigenthümlicher Methoden der Reduction und 
Rechnung, epochemachende Resultate zu gewinnen. Zum ersten 
Mal betonte Bessel die Nothwendigkeit das Instrument, wie es 
vom Künstler dem Astronomen überliefert wird, als etwas Unvoll- 
kommenes, Unfertiges anzusehen, welches erst in der Hand und 
durch die Prüfung des aufmerksamen Beobachters zu dem wird und 
das leistet, was es leisten soll und kann. Frühere hatten das astro- 
nomische Instrument nur als Mittel zum Zweck betrachtet; eine 
Untersuchung des Mittels, wodurch das vorgesetzte Ziel erreicht 
werden sollte, erschien überflüssig; Bessel erst' behauptete und be- 
wies durch die That, dass eine astronomische Beobachtung erst 
dann einen Werth erhält, wenn der Astronom denkend beobachtet, 
wenn er weiss, was beobachtet werden soll und welches die Beobach- 
tungsmittel sind; wenn er sein Instrument so zu sagen geistig für 
eine Grösse gleicher Ordnung wie das zu beobachtende Object hält; 
es als ein Individuum betrachtet, dessen Eigenthümlichkeiten, Vor- 
züge und Mängel untersucht und erst erkannt und geprüft sein 
müssen, ehe die Beobachtung eine wahrhaft zuverlässige und brauch- 
bare wird. — Ergibt sich diese Auffassung der astronomischen 
Beobachtung schon aus der Art und Weise, wie Bessel im Beginn 
seiner praktisch-astronomischen Thätigkeit ältere und kleinere In- 
strumente behandelt, z. B. Sextanten, Mauerkreis, Kreismikrometer und . 
später den Prismenkreis (vgl. die Abb. 52—58 und 72), ,so tritt sie 
noch deutlicher hervor, als nach Berufung nach Königsberg und 
Einrichtung der neu erbauten Sternwarte (1813) anfangs im DoUond'- 
schen Mittagsfernrohr und Cary'schen Kreis, später (1820) im 
Reichenbach'schen und seit 1842 besonders in dem neuen Repsold'- 
schen Meridiankreis stetig sich verfeinernde Hilfsmittel in seine 
Hand kamen. Mit jedem neuen und besseren Instrument* wächst 
wie die Lust so auch die Fähigkeit und Kraft, stets Vollkommeneres 
zu erreichen, jeden Apparat nach seiner mathematischen Idee wie 
individuellen Beschaffenheit immer gründlicher 'kennen zu lernen 
und vollständiger zu benutzen. Noch die letzte Arbeit über den 
Einfluss der Schwere auf die Gestalt eines vertikalen Kreises (Abh. 76), 
die speciell durch das Studium des Repsold'schen Kreises hervor- 
gerufen ward, legt Zeugniss dafür ab, wie er besonders das Meri- 
dianinstrument (in den Abh. 59 — 65) in allen seinen Theilen und 

mit den dazu gehörigen Hilfsapparaten (Uhren, Abh. 66 und 67) 

22* 



320 R. Engelmann. 

ZU höchster Leistungsfähigkeit auszubilden bestrebt war. — Wie 
von den feststehenden Meridianinstrumenten, so gilt dies auch von 
dem beweglichen Aequatoreal und vor allem von dem complicirtesten 
mikrometrischen Apparat, dem Heliometer. Die Darstellung der 
Theorie eines mit einem Heliometer versehenen Aequatorealinstru- 
ments (Abh. 70), wie die Besondere Untersuchung des Königsberger 
Heliometers (Abh. 71) — noch von Fraunhofer 1824 begonnen 
und zum Theil unter Benutzung BesseTscher Ideen. 1829 vollendet 
— sind für Jahrzehnte Ausgangspunkt und Grundlage der meisten 
ähnliehen Arbeiten gewesen und sind es in vieler Hinsicht auch 
noch jetzt. 

Bildete für Bessel das Instrument an und für sich immer 
einen Gegenstand höchsten Interesses, so vergass er doch nie, dass 
es nur das Mittel zur Erlangung astronomischer Resultate sei; im 
Grunde nur das Ttfaterial abgebe, um das^ Gebäude sicher und har- 
monisch daraus zu erbauen. Wenn aber BesseVs Arbeiten beson- 
ders im Gebiete der Stellar astronomie die Fundamente geliefert 
haben, auf denen spätere Zeiten weiter bauten, so ist der Grund 
dazu nicht am wenigsten in der Meisterschaft zu suchen, mit 
welcher er das Instrument selbst theoretisch beherrschte und prak- 
tisch benutzte. Der Zusammenhang zwischen der Untersuchung der 
astronomischen Instrumente und den aus dieser Untersuchung abge- 
leiteten Resultaten ist überall ein so enger, dass man vom Helio- 
meter z. B. nicht sprechen kann, ohne an die Parallaxe von 61 Cygni 
oder an die Untersuchungen über p Ophiuchi; von den beiden 
Meridiankreisen nicht, ohne an die Arbeiten über die Fundamental- 
sterne oder die veränderlichen Eigenbewegungen zu denken. — 
Mit — freilich fruchtlosen — Untersuchungen über FixsternparaJl- 
axen hatte sich Bessel schon zur Zeit seines Lilienthäler Aufent- 
halts beschäftigt (vgl. Abh. 77 — 79). Besonders war es der durch 
starke "Eigenbewegung ausgezeichnete Doppelstern 61 Cygni, der 
ihn anzog und dessen Oerter und Abstände von benachbarten Sternen 
er zu verschiedenen Zeiten bestimmte (Abh. 80 — 82); aber ein 
Erfolg für die Ermittelung seiner Entfernung zeigte sich erst, als 
er das Heliometer zur mikrometrischen Vergleichung benutzen konnte. 
Das Endresultat, dessen Ableitung die Abh. 83 und 84 mit allem 
nöthigen Zahlendetail enthalten, eine Parallaxe von 0".348 oder 
eine Entfernung von 592000 Erdbahnhalbmessern, war zum ersten 
Male eine Zahl, welche das ihr zugebrachte Vertrauen durchaus 
verdiente; wenn schon neuere Untersuchungen sie um etwa 0'M6 



R. Engelmann. '321 

vergrössert, die Entfernung also dem entsprechend verkleinert haben. 
— Die Meridianinstrumente der Königsberger Sternwarte dienten 
für Jahrzehnte dem von Bessel gesetzten Hauptzwecke, der Ab- 
leitung möglichst genauer Positionen einer verhältnissmässig nur 
geringen Zahl von (36) Fundamentalstemen, als . Grundlage aller 
weiteren Beobachtungen und aus Beobachtungen gezogenen Schlüsse 
im Fixstern- wie im Sonnensysteme. Zweimal, für 1815 und 1825, 
bestimmte er die Rectascensionen ; öfter noch, für 1815, 1820 und 
1840 (letztere Beobachtungen von Prof. E. Luther berechnet), die 
Declinationen dieser Sterne (Abh. 86 — 91). — Diese Bestimmungen 
bilden auch einen Theil der Grundlagen zu der umfangreichsten und 
zeitraubendsten von Bessel unternommenen Arbeit, zu seinen 
Zonenbeobachtungen. Von August 1821 bis Januar 1833 hat er, 
unterstützt von Argelander und Busch, in 536 Sitzungen 75011 
Beobachtungen der Sterne bis zur 9. Grösse gemacht, dieselben 
reducirt und veröffentlicht (in den Königsberger Beobachtungen, 
7 — 17. Abtheilung); ein glänzender Beweis ausserordentlicher Energie 
und unermüdlichen Fleisses. In engstem Zusammenhang damit stehen 
die von der Berliner Akademie nach BesseFs Plan seit 1828 heraus- 
gegebenen, die Zone von — 15 bis + 15^ der Declination umfassen- 
den Himmelskarten, die, von verschiedenen Astronomen bearbeitet, 
allerdings erst lange nach BesseTs Tode (1859) vollendet wurden. 
Ueber diese beiden Unternehmen, ihr Entstehen, Art der Bearbei- 
tung, Fortschritt und Abschluss (für die Zonen) berichten die Abh. 
92 — 99. — Der Besitz des Heliometers veranlasste 1830 und 31 dTe 
genauen Messungen einer Anzahl von (37) Doppelsternen, deren 
Vergleichung mit den nahe gleichzeitig von Struve am Fadenmikro- 
meter des Dorpater Refractor erhaltenen die Thatsache ergab, dass 
die Königsberger Distanzen fast ohne Ausnahme erheblich grösser 
als die Dorpater gemessen wurden, während die Positionswinkel im 
Allgemeinen übereinstimmten (s. Abh. 101 und 102). Diese eigen- 
thümüche seither noch oft beobachtete Erscheinung verfolgte Bessel 
noch weiter in dem Doppelstern p Ophiuchi (Abh. 103); während 
Struve auch durch Messung an künstlichen Doppelsternen die Sich- 
tigkeit der von ihm gemessenen Distanzen zu beweisen suchte, 
schloss Bessel seine eigenen Untersuchungen in der Üeberzeugung, 
dass seine Messungen als frei von constanten Fehlern zu betrachten 
seien. — Die Verbindung heliometrischer Vergleichungen schwächerer 
mit häufig am Meridiankreis beobachteten helleren Sternen ergab 
ferner (1840) ein sehr genaues Verzeichniss von 53 Sternen der 



322 U. Engblmann. 

Plejaden- Gruppe, welches für viele praktische Zwecke auch heute 
noch von grösstem Werthe ist. Der betreffenden Abhandlung 104 
hat der Herausgeber zu grösserer Brauchbarkeit eine Karte hinzu- 
gefügt, welche (zum Theil nach eigenen Beobachtungen) die meisten 
Sterne bis zur 11. Grösse in dieser Gegend enthält. — Die letzte 
Abhandlung endlich aus dem Gebiete der Stellarastronomie (105) 
legt die epochemachenden Untersuchungen ausführlich dar, welche 
ß es sei über die Veränderlichkeit der Eigenbewegungen der Fix- 
sterne, speciell des Procyon und Sirius anstellte und die ihn be- 
kanntlich zu der Ueberzeugung und dem Nachweis führten, dass 
die beobachteten Abweichungen nur durch Annahme relativ naher 
und dunkler Massen zu erklären seien, die mit den genannten hellen 
Sternen in physischem Connex ständen. 

Die Arbeiten aus der reinen Mathematik, welche die letzte 
Abtheilung des 2, Bandes enthält, und zu denen Bessel mit wenigen 
Ausnahmen bei Behandlung astronomischer Probleme geführt wurde, 
können hier nur kurz erwähnt werden. Obschon die Natur und 
Leistun'gen BesseVs nicht wesentlich charakterisirend, haben manche 
von ihnen doch, eine selbständige, nach Inhalt wie Methode werth- 
volle Bedeutung erlangt. Hauptsächlich sind es die auf die Inte- 
grallogarithmen (BesseTsche Functionen) bezüglichen Arbeiten 
(Abh. 106—108); zum Theil auch die Abhandlung über die Zahlen- 
fakultäten (109), sowie die sich mit der Entwickelung von Functionen 
zweier Winkel beschäftigenden (117 und 121), welche zu ähnlichen 
Untersuchungen von mathematischer Seite auch später anregten. — 
Die, gleichfalls umfangreicheren, Arbeiten über die Bestimmung des 
Gesetzes einer periodischen Erscheinung (118) und über die Wahr- 
scheinlichkeit der Beobachtungsfehler (119) sind zwar nach Form 
und Methode mathematischer Natur, Bessel wurde zu ihnen aber 
doch durch wesentlich astronomische Probleme veranlasst. — Einige 
kleinere geometrische Aufsätze (110, 114—116) finden sich als 
gelegentliche Mittheilungen in Briefen an 01b ers, zwei andere 
(113 und 114) behandeln die Pothenot'sche Aufgabe. 

Leipzig. R. Engelmann. 



F. Klein. 323 

F. Klein: Ueber lineare Differentialgleichungen. (Erlanger Bericht 
vom 26. Juni 1876. — Abgedruckt in den Mathem. Annalen XI. 
S. 115—118.) 

Bekanntlich hat in einer Abhandlung*) in Borchardt's Journal 
Bd. 81^ Hr. Fuchs -die Aufgabe, bei einer vorgelegten linearen 
DiflFerentialgleichung zweiter Ordnung mit rationalen Coefficienten 
zu entscheiden, ob sie durchaus algebraische Integrale besitzt, da- 
durch auf eine Zahl immer durchführbarer Versuche zurückgebracht, 
dass er folgendes Theorem bewies: Sind y^, y^ zwei unabhängige 
Integrale der von ihrem zweiten Gliede befreiten Differentialgleichung^ so 
gibt es gewisse ganze binäre Formen fdfi, yg), welche gleich sind Wur- 
zeln aus rationalen Functionen der unabhängigen Veränderlichen, Die 
Zahl dieser „Primformen'* erweist sich nämlich, sofern man in 
jedem Falle nur die niederste beibehält, als endlich. 

Ich bemerkte nun sofort, als ich diesen Sommer zum Studium 
der genannten Fuchs'schen Arbeit veranlasst wurde, dass diese 
Primformen keine anderen sind als eben die „binären Formen mit 
linearen Transformationen in sich", welche ich im neunten Bande 
der Mathematischen Annalen behandelt habe (vergl. das Referat 
im ersten Hefte dieses Repertoriums) und deren Beziehung zu den , 
linearen Differentialgleichungen mit algebraischen Integralen durch 
das Ineinandergreifen meiner Arbeit mit den Untersuchungen von 
Schwarz über die hypergeometrische Reihe (Borchardt's Journal 
Bd. 75) bereits angezeigt war. Hieraus ergab sich mir das Re- 
sultat, dass die Liste der Primformen niedersten Grades, wie sie 
Fuchs angibt (p. 126 seiner Arbeit), noch zu reduciren ist**); es 
gelang mir aber namentlich auch, fast ohne Rechnung, die betr. 
Differentialgleichungen unrklich zu bilden und ihre Integrale anzu- 
schreiben. 

Handelt es sich nun darum, bei einer vorgelegten DiflFerential- 
gleichung zu untersuchen, ob sie durchaus algebraische Integrale 



*) Ueber diejenigen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche alge- 
braische Integrale besitzen, und eine neue Anwendung der Invariantentheorie. 
— Vergl. auch das Referat im ersten Hefte dieses Repertoriums. 

**) Das Gleiche behaupten Camille Jordan (Comptes Rendus 13. März 
1876) und Pepin (Ebenda, 5. Juni 1876). Aber ihre Angaben sind nicht 
richtig, was hinsichtlich der Behauptungen von Pepin bereits Fuchs gezeigt 
hat (Comptes Rendus, 26. Juni, 3. Juli 1876). Nach C. Jordan würde der 
auf das Ik98aeder bezügliche Fall keine selbständige Bedeutung haben. 



324 F. Klein. — E. Edlünd. 

besitzt, so bietet sich die Methode der directen Coefjßcientenvergleiehung. 
Aber ich bin auf eine Darlegung dieser Methode noch nicht ein- 
gegangen; ich kann für's Erste nur aussprechen, dass sie in jedem 
Falle vermöge einer endlichen Anzahl ausführbarer Operationen 
zum Ziele fuhrt. 

München. F. Klejn. 



E. Edlund: Ud^er die Abhängigkeit der oontacteleotromotorisolieii 
Kraft von der Temperatur. (Fogg. Ann. B. 169. S. 448.) 

Wir werden uns vorstellen, dass zwei verschiedene Leiter ]H 
und N mit einander in Berührung seien, und dass M auf ein. 
elektrisches Molekül m eine grössere Anziehung als N ausübe. Hier 
mag im Vorbeigehen bemerkt werden, dass die Anziehung, welche, 
ein Körper auf ein in seiner unmittelbaren Nähe belegenes elek- 
trisches Molekül ausübt, nicht nur von der Beschaffenheit der Moleküle 
des Körpers, sondern auch von deren gegenseitiger Lage und Ent- 
fernung abhängen muss. Wir wollen nun annehmen, dass das 
Molekül m auf derselben Seite der Contactfläche wie N und in der 
Entfernung r von derselben Fläche gelegen sei, und dass r nicht 
grösser sei als die Entfernung, in welcher die molekularen Kräfte 
wirken können. Es ist dann einleuchtend, dass die Anziehungskraft, 
welche das Molekül m nach der Berührungsfläche zu führen sucht, 
wächst, wenn die Entfernung von dieser Fläche abnimmt; die Kraft 
erreicht ihr Maximum, wenn m sich auf der Berührungsfläche selbst 
befindet, nimmt aber wieder ab, sobald m davon entfernt wird und 
in M eindringt. Schliesslich wird die Kraft unmerklich, wenn das 
Molekül m so weit in M eingedrungen ist, dass die Entfernung 
von der Contactfläche die Grösse des Wirkungsradius der molekularen 
Anziehungskräfte erreicht. Uebrigens muss das Gesetz, nach wel- 
chem die Anziehung zunimmt, wenn m sich in N befindet und sich 
der Berührungsfläche nähert, dem Gesetz gleich sein, nach welchem 
die Anziehung abnimmt, wenn m sich in M befindet und sich von 
der genannten Fläche entfernt. Die Anziehung, die das Molekül 

m der Berührungsfläche zu nähern strebt, kann dann mit — aus- 
gedrückt werden, worin n die Potenz bezeichnet, nach welcher die 
Anziehung abnimmt, wenn die Entfernung grösser wird, und a 
eine Constante ist. Wenn das Molekül m in der Entfernung r — q 



E. EdluxVd. 325 

von der Berührungsfläche belegen wäre, so würde die Anziehung 

mit -, und in der Entfernung r -\- q mit ausgedrückt 

(r — of (r + q) 

werden. Wenn wir uns nun vorstellen, dass das Molekül m während 

der Zeit t^ in der Entfernung r — q und daiiach während eben so 

langer Zeit in der Entfernung r -\- q sich befände, so würde die 

mittlere Anziehung während der Zeit 2^q gleich sein 






t 



wo höhere Potenzen von q zu vernachlässigen sind, weil angenom- 
men wird, dass q ausserordentlich klein ist. Maa erhält also 
hieraus, dass die mittlere Anziehung, die das Molekül m der Be- 
rührungsfläche zu nähern sucht, wenn dasselbe Molekül währeüd 
der einen Hälfte der Zeit sich in der Entfernung r — q und während 
der andern Hälfte in der Entfernung r -{- q belegen wäre, grösser 
ist als wenn dasselbe sich während der ganzen Zeit in der Ent- 
fernung r befände. Wenn nun das Molekül m in der Zeit 2^^ um 
seine ursprüngliche Gleichgewichtslage eine geschlossene Bahn be- 
schreibt, welche von einer Ebene, die durch die Gleichgewichtslage 
des Moleküls geht und mit der Berührungsfläche zwischen M und 
N parallel ist, in zwei gleiche Hälften geschnitten wird, so ist die 
Veränderung der Entfernung von der Berührungsfläche oder q eine 
Function der Zeit t, und für entsprechende Punkte in jeder Hälfte 
der Bahn gleich gross, obgleich mit entgegengesetzten Zeichen. 
Der Zuwachs der mittleren Anziehung', welche in Folge der Bewe- 
gung des Moleküls um seine Gleichgewichtslage entsteht, kann 
dann durch 






2«^ 



ausgedrückt werden. 

Wenn das Molekül m in derselben Zeit 2^q um die Gleich- 
gewichtslage eine mit der vorigen gleichförmige Bahn beschreibt, doch 
mit einer tangentialen Geschwindigkeit, die in jedem Punkt p Mal 
grösser als vorher ist, so ist die Entfernung von der Gleichgewichts- 
lage in jedem Punkt auch p Mal grösser als in dem entsprechenden 
Punkt der vorigen Bahn; aber die Veränderungen in den Entfer- 
nungen des Moleküls von der Berührungsfläche werden dann auch 
2^ Mal grösser als vorher und können deshalb durch pQ ausgedrückt* 
werden. Der Zuwachs der mittleren Anziehung, der durch die Be- 



326 E. Edlund. 



^ «/ß'ä'. 



wegung des Moleküls um seine Gleichgewichtslage entstellt, wird 
folglich in diesem Falle ^ i 

n{n + 1) 

Die ganze Anziehung A, welche das Molekül m erfahrt, während 
es in derselben gegebenen Zeit gleichförmige Bahnen mit verschie- 
dener Geschwindigkeit um seine Geschwindigkeitslage beschreibt, kann 
also, wenn C eine Constante bezeichnet, durch 

r» y * r^ J 
ausgedrückt werden. 

Was hier angeführt worden ist, kann natürlich auf jedes 
beliebige Molekül, das sich der Berührungsfläche nahe genug be- 
findet, angewandt werden. 

Wir nehmen nun an, dass das elektrische Fluidum aus dem 
Lichtäther besteht und dass die Wärme eines Körpers, wenigstens 
zu einem gegebenen Theile, durch die Schwingungen der Aether- 
moleküle um ihre Gleichgewichtslagen verursacht wird.*) Die 
Wärmemenge, welche der Körper enthält, wird dann durch die 
Summe der lebendigen Kraft der Moleküle bestimmt, und seine Tem- 
peratur ^ von dem absoluten Nullpunkt an gerechnet, kann als dieser 
Summe proportional betrachtet werden; denn die Abweichung, die 
hiervon stattfinden kann, wirkt nicht auf das erzielte Resultat ein. 
Wenn der Körper bei gewöhnlicher Temperatur eine unbedeutende 
Erhöhung seines Wärmegrades erhält, z. B. von 16 bis 20 Graden, 
so hat man keine physikalischen Gründe für die Annahme, dass 
die Schwingungszeit der Moleküle dadurch merkbar verändert wird- 
Dagegen sind die Amplituden der Moleküle durch die kleine Tem- 
peraturerhöhung vergrössert worden, während die Bahn übrigens 
mit der bei der niedrigen Temperatur gleichförmig verbleibt. Die 
Schwingungsbahnen der Aethermoleküle erfüllen auch die gestellte 
Bedingung, dass sie von einer Ebene, die durch die Gleichgewichts- 
lage der Moleküle geht, und mit der Berührungsfläche zwischen M 



*) Die Wärme, welche ein Körper besitzt, wird ohne Zweifel zum Theil 
auch von den Schwingungen der eigenen Moleküle des Körpers verursacht. 
Die Veränderung der Anziehung, welche durch die Vennehrung der lebendigen 
, Kraft der materiellen Moleküle entsteht, braucht man, wenn von einem 
thermoelektrischen Ringe die Rede ist, doch nicht in Betracht zu ziehen, weil 
die Wirkung dieser Veränderung für den ganzen Ring gleich Null wird. 



E. Edlund. 327 

und N parallel ist, in zwei gleiche Hälften getheilt werden. Ist 
dagegen der Temperaturzuschuss gross, so zeigt die Erfahrung, dass 
nicht nur die Schwingungszeit der Moleküle abnimmt, sondern auch, 
dass die Moleküle des Körpers ihre Lage verändern und sich von 
einander entfernen. Man kann also nur für kleine Temperatur- 
zuschüsse die obenstehende Schlussfolge zur Berechnung der An- 
ziehungsveränderung anwenden. Es ergiebt sich von selbst, dass p^ 
der lebendigen Kraft der Aethermoleküle proportional ist, und dass 
also, wenn T die absolute Temperatur des Körpers bezeichnet, 
mau^)^ = fT schreiben kann, wo f eine Constante bedeutet. Wenn 
Aq die Grösse der Anziehung bei der Temperatur T^, und A^ bei 
der etwas höheren Temperatur T^ ist, so erhält man also: 

^1 - A = -D« (^1 - ^o)5 
wo D eine neue Constante bezeichnet. 

Wenn die Berührungsfläche bei gewöhnlicher Temperatur eine 
kleine Erhöhung ihres . Wärmegrades erhält, so wachsen also die 
Anziehungskräfte, welche das elektrische Fluidum zu dem Leiter, der 
die stärkere Anziehung ausübt, zu führen suchen, und dieser Zu- 
wachs der Anziehung muss dem Temperaturunterschiede, wenn dieser 
nicht zu gross ist, annäherungsweise proportional sein. 

Wir wollen uns nun denken, dass z. B. der Leiter M in zwei 
Theile M^ und M^^ getheilt sei, von welchem M^ eine höhere Tem- 
peratur als Jiji habe, doch so, dass dieser Temperaturüberschuss 
so gering ist, dass die materiellen Moleküle im Theile M^ deshalb 
ihre gegenseitigen Lagen und Entfernungen nicht merkbar verän- 
dern. Die in der vorhergehenden Formel eingehende Constante a 
ist also in diesem Falle gleich Null, und folglich erhält man für 
die Berührung zwischen dem wärmeren und dem kälteren Theile 
von ilf, dass A^ — -^o = 0- Hierbei kann allerdings bemerkt wer- 
den, dass der Theil M^ sich von If^ darin unterscheidet, dass 
die eigenen Moleküle des ersteren in stärkeren Schwingungen als 
die des letzteren begriffen sind; aber dieser Umstand braucht nicht 
in Betracht genommen zu werden, weil, wie oben schon bemerkt 
worden, die Wirkung hiervon für einen gamen Ring gleich Null 
wird. Ist der Temperaturüberschuss, welchen M-^ besitzt, gering, 
so verhalten sich also Jf^ und M^^ hinsichtlich ihrer Anziehung 
gegen ein elektrisches Molekül nicht als zwei verschiedene Metalle. 
Die verschiedene Temperaturvertheilung in einem und demselben 
Leiter vermag folglich nicht die elektrische Flüssigkeit in Bewegung 
zu setzen. Sollte dagegen M^ eine so bedeutend höhere Temperatur 



• 328. . E. Edlünd. 

als Mii Haben, dass dessen Moleküle dadurch ihre Gleichgewichts- 
lagen und gegenseitigen Entfernungen merkbar verändern, so kann 
das Verhältniss sich anders gestalten. Es kann dann geschehen, 
dass die Anziehung, welche M^ auf ein in der Nähe der Berührungs- 
fläche gdegenes elektrisches Molekül ausübt, nicht mehr eben so 
gross ist wie die Anziehung, welche von M^i ausgeht, und dass also 
der Theil M^ hinsichtlich seiner Anziehung gegen ein elektrisches 
Molekül gewissermassen sich so verhält, als wäre er von einem an- 
dern Sto^e als ilfii. 

Jn ejnem aus zwei verschiedenen Metallen M und N bestehen- 
den Rii%e, dessen eine Löthstelle eine unbedeutend höhere Tem- 
peratur als die andere besitzt, muss also ein elektrischer Strom 
entstehen, dessen Stärke dem Temperaturunterschiede annäherungs- 
weise proportional ist; welches Resultat bekanntlich mit der Er- 
fahrung ^übereinstimmt. 

Wenn die eine Löthstelle eine bedeut^d höhere Temperatur 
als die andere erhält, so wird die lebendige Kraft der Aethermole- 
küle, die sich an der Löthstelle befinden, im Verhältniss dazu ver- 
grössert. Dies kann nun dadurch geschehen, dass die Schwingungs- 
zeit abnimint, während die Amplituden entweder sich vergrössern, 
unverändert beibehalten oder sogar kleiner als vorher werden. Wenn 
das letztgenannte stattfindet, so wird die Wirkung der Anziehungs- 
kraft, welche die elektrischen Moleküle von N nach M zu führen 
sucht, bei der höheren Temperatur geringer als bei der niedrigen, 
und in dem thermoelektrischen Ringe entsteht deshalb ein Strom, 
der in entgegengesetzter Richtung gegen denjenigen Strom läuft, 
welcher durch einen kleineren Temperaturunterschied zwischen den 
beiden Löthstellen erzeugt wird. Hierin kann man die Ursache zu 
der bekannten Veränderung der Stromesrichtung sehen, welche 
mehrere Metallcombinationen bei grossem Temperaturunterschied 
zwischen den Löthstellen zeigen. 

Nimmt man also an, dass die elektrische Flüssigkeit aus dem 
Lichtäther besteht, so kann es als bewiesen angesehen werden, dass 
die contactelektromotorische Kraft sich mit der Temperatur ver- 
ändern muss; ein Verhältniss, das von Le Roux (Annales de 
chimie et de ph. (4) T. 10) auf experimentellem Wege schon dar- 
gelegt worden ist. 

Stockholm. E. Edlund. 



R. Claüsiüs. . 329 

Bi Claus ius: Ueber die Behandlung . der zwischen linearen 
Strömen und Leitern stattfindenden ponderomotorischen und 
electromotorischen Kräfte nach dem electrodynamischen 
Grundgesetze. (Verhandlungen des naturhist. Vereins der preuss. 
Rheinlande und Westfalens Bd. XXXIII, 1876.) 

In dieser Abhandlung wird das in einer früheren Abhandlung, 
über welche S. 287 berichtet wurde, abgeleitete electrodynamische 
Grundgesetz dazu angewandt, die zwischen zwei linearen galvanischen 
Strömen stattfindenden ponderomotorischen Kräfte und die von einem 
linearen Stroijie auf einen linearen Leiter ausgeübte Inductions- 
wirkung zu bestimmen. 

Wenn Xee die ic-Componente der Kraft ist, welche ein zur 
Zeit t im Punkte x, y, z befindliches bewegtes Electricitätstheilchen 
e von einem anderen um die Strecke r von ihm entfernten, im 
Punkte x\ y\ z' befindlichen bewegten Electricitätstheilchen e erleidet, 
so gilt nach dem Grundgesetze die Gleichung: 

d — 

,^^ -y^ r r^ 7 /dx dx , d_ydy^ j^ dzdz\'^ , d /l dx\ 

^^) ^— """ä^ \J-~^\di~dt'^~di dt '^'di'dtjj ~^di\V~dt/ 

Dieses Gesetz unterscheidet sich von denjenigen, welche W. 
Weber und Riemann aufgestellt haben, wesentlich dadurch, dass 
seine Anwendbarkeit nicht, wie die der letzteren, an die Bedingung 
gebunden ist, dass ein galvanischer Strom aus zwei gleich starken 
nach entgegengesetzten Richtungen gehenden Strömen von positiver 
und negativer Electrieität bestehe. Es ist ursprünglich ^unter der 
Voraussetzung abgeleitet, dass nur die positive Electrieität ström/e, 
und die negative in Ruhe bleibe, es kann aber auch dann ange- 
wandt werden, wenn man für beide Electricitäten Bewegungen, und 
zwar mit beliebigen Geschwindigkeiten, annimmt. Da nun in der 
That, wenn man sich auch der von C. Neumann gemachten Voraus- 
setzung anschliesst, dass die negative Electrieität fest an die pon- 
derablen Atome gebunden sei, damit nicht für alle Leiter die Be- 
wegung der negativen Electrieität ausgeschlossen ist, indem in den 
electrolytischen Leitern, bei welchen die Electricitätsleitung durch 
Bewegungen der Atome vermittelt wird, jedenfalls beide Electri- 
citäten als bewegt angenommen werden müssen, so wird in der vor- 
liegenden Abhandlung die allgemeinere Voraussetzung gemacht, dass 
beide Electricitäten nach entgegengesetzten Richtungen strömen mit 
Geschwindigkeiten, welche für den Leiter s mit c und c^ und für 



330 



R. Clausius. 



den Leiter s' mit c' und c/ bezeichnet werden. Will man dann für 
feste Leiter die negative Electricität als ruhend betrachten, so 
braucht man nur c^ und q' gleich Null zu setzen. 

Ferner wird angenommen, dass die beiden Leiter in Bewegung 
und die Stromintensitäten i und i' in ihnen veränderlich sein können. 

Unter diesen allgemeinen Voraussetzungen wird nun zunächst 
die ponderomotorische Kraß abgeleitet, welche das Stromelement ds 
von dem Stromelemeilte ds' erleidet. Es stellt sich dabei heraus, 
dass diese Kraft davon, ob man beide Electricitäten oder nur Eine 
als strömend annimmt, ferner davon, ob die Stromelemente in Ruhe 
oder Bewegung sind, und ob die Stromintensitäten .in ihnen ,con- 
stant oder veränderlich sind, unabhängig isi Bezeichnet man die 
drei Componenten der Kraft mit ^dsds', ridsds' und ^dsds\ so 
gelten für |, i^; S folgende schon früher gegebene Gleichungen, 
worin (ss') den Winkel zwischen den Richtungen der Elemente ds 
und ds' bedeutet: 

-ö— COS (ss ) - 



• •/ 



I = Icii 



(2) 



ri = Teil' 



• 'f 



g= Jcii 



ds 

r , ^ 

ä7 <50S («« ) - 

r / f\ r dz 

-ö— cos (ss ) 5— ^ 

dz ^ ^ 08 



ds ds 




8 



Die durch diese Gleichungen bestimmte Kraft liegt in der durcli 
r und cifs' gelegten Ebene und ist auf ds senkrecht, während die 
von Ampere angenommene Kraft in die Richtung von r fällt. 
Ferner unterscheidet sie sich von der letzteren dadurch, dass sie 
für den Fall, wo die Richtungen von ds und ds' mit r zusammen- 
fallen, Null wird, während nach Ampere in diesem Falle eine 
Abstossung oder Anziehung stattfindet, je nachdeni die Ströme 
gleich oder entgegengesetzt gerichtet sind. Bestimmt man dagegen 
aus den obigen Gleichungen durch Integration die Kraft, welche 
ein geschlossener Strom s' auf ein Stromelement ds ausübt, so 
erhält man dasselbe Resultat, wie nach der Ampere'schen Theorie. 

Was nun die von einem Strome s' in einem Leiter s inducirte 
eledromotorische Kraft anbetrifft, so möge dieselbe mit E bezeichnet 
werden, so dass die von dem Stromelemente ds' in dem Leiter- 



elemente ds inducirte electromotorische Kraft durch 



d^E 

dsds 



7 dsds' 



R. Clausiüs. 331 

dargestellt wird. Ferner mögen, da die Elemente ds und ds' als 
bewegt vorausgesetzt werden, die von ihnen während des Zeitele- 
mentes dt beschriebenen Bahnelemente mit dö und dö' und ihre 
Geschwindigkeiten mit y und y' bezeichnet werden. Der Winkel 
zwischen ds und dö' soll durch {sö') und der zwischen dö und ds' 
durch (ös') dargestellt werden. Endlich ist in Bezug auf die in 
den Gleichungen vorkommenden veränderlichen Grössen, wie z. B. 
r, zu bemerken, dass sie einerseits von den durch die Bogenlängen 
s und s' bestimmten Stellen, welche wir in den beiden Leitern be- 
trachten, abhängen, und andererseits für gegebene Stellen der Leiter 
mit der Zeit veränderlich sind. Hierauf sollen sich die durch 

ö-, ö— , und 07 angedeuteten Differentiationen beziehen. Dann lautet 

die betreffende Gleichung: 

d^E , r d_ f i' -cos {s8') \ I •' ^ /y cos {gs')\ 

dsds |_ ^*v^ r J~^ dsy r J 

.f d /y'cos(s<j') j_ {c' — c/) cos (s8') \"[ 
ds* \ r ' r j Y 

Hieraus kann man durch Integration die inducirte electromo- 
torische Kraft für jedes Stück des inducirenden Stromes und des 
inducirten Leiters berechnen. Dabei ist zu bemerken, dass, wenn 
der- inducirende Strom 5' geschlossen ist, das Glied, welches den 
Differentialcoefficienten nach 5' enthält, das Integral Null giebt, und 
ebenso, wenn der inducirte Leiter 5 geschlossen ist, das Glied, wel- 
ches den Differentialcoefficienten nach s enthält, das Integral Null 
giebt. Sind beide geschlossen, so erhält man einfach: 

(4) E hl-JJ^^^^dsds', 

worin zur Andeutung der Differentiation nach t auch das aufrechte 
d statt des runden d angewandt werden kann. 

Nachdem die ponderomotorische und die electromotorische Kraft 
bestimmt sind, kann man auch die von diesen Kräften während des 
Zeitelementes dt gethane Arbeit leicht angeben, und zwar erhält 
man dafür folgende Ausdrücke. 

Arbeit der zwischen zwei Stromeletnenten ds und ds' wirkenden 
ponderomotmischen Kräfte: 

kW ds ds' dt [ß-^ (^.21^\ _ ^ /y^5L(fl)\ _ ^ /y>^\ 

Arbeit der von den Ele^nenten ds und ds' in einander inducirten 
electromotorischen Kräfte: 



/ V — 1 



332 B». Claüsiüs. 



I d /(c — c,)co8(ss')\ , d /(c' — c/) cos (ss')\n ^ 

+ rs[—r ) + w7(: — ~^)\\' 

Arbeit aller stoischen den Elementen ds und ds tvirJcenden Kräfte: 
- kdsds'dtl§-^ ^i- coB{ss') \^.., rd_ / y coB (<rO ^ {c -c) CO. {ss-) \ 

, ^ /y' cos («(?') I (c' — c/ cos (ss')\n 1 
+ J7\ r + — r jj ) • 

Bei der Integration dieser Ausdrücke nach s und s' treten für 
den Fall, dass die eine oder andere dieser Curven geschlossen ist, 
die schon vorher erwähnten Vereinfachungen ein, indem dann die 
Glieder, welche die Form von Differentialcoefficienten nach resp. s. 
oder s' haben, den Werth Null geben. Sind s und 5' beide geschlossen, 
so bleiben nur die Integrale der Glieder übrig, welche Differential- 
coefficienten nach t enthalten. Führt man dann noch das Zeichen 
w ein mit der Bedeutung: 

(5) ^^kfj^^dsds 

und bezeichnet die auf die Zeit dt bezügliche Arbeit der pondero- 
motorischen Kräfte mit dAp, die der electromotorischen Kräfte mit 
dAe und die aller Kräfte einfach mit dA, so lauten die Gleichungen: 

(6) dAp== ii'dw 

(7) dAe = — d(itw) — ii'dw 

(8) dA = — d(nw). 

Bekanntlich hat F. Neumann eine Grösse eingeführt, welche 
dazu bestimmt ist, durch ihr negatives Differential die bei einer un- 
endlich kleinen Lagenänderung der Ströme von den ponderomoto- 
rischen Kräften gethane Arbeit darzustellen, und welche er das 
Potential der Ströme auf einander genannt hat. Der Ausdruck dieses 
Potentials ist: 

^^^^dsds' 



- ''''Iß 



r 
oder unter Anwendung des durch (5) definirten Zeichens ttr. 



— ii'w. 



Wenn man die Ströme in der bekannten Weise durch magnetische 
Flächenpaare ersetzt, und für die darauf gedachten Magnetismus- 
mengen das Potential von der gewöhnlichen, bei Agentien, welche 



n 



R. Claüsius. 333 

sich einfach nach dem umgekehrten Quadrate der Entfernung an- 
ziehen oder abstossen, gebräuchlichen Art bildet, so erhält man 
einen Ausdruck, welcher sich durch eine leichte mathematische 
Transformation in die Gestalt des vorigen Ausdruckes bringen lässt. 
Die durch diesen Ausdruck dargestellte Grösse möge daher das 
magnetische Potential der Ströme genannt werden, um sie von dem 
gleich zu besprechenden anderen Potential zu unterscheiden. 

Bei der Aufstellung des neuen electrodynamischen Grundgesetzes 
hat der Verf. eine Grösse gebildet, welche er das eledrodynamische 
Potential der Electricitätstheilchen e und e' auf einander genannt 
und durch folgenden Ausdruck dargestellt hat; 



^dx dx' , dy dy' i^dz dz\ 
1^ ~dt '^ IJ ~dt '^ 'dt ~dt) 



Von dieser Grösse hat er nachgewiesen, dass ihr negatives Diflferen- 
tial die Arbeit darstellt, die während der Zeit dt von den Kräften, 
welche "die Theilchen auf einander ausüben, geleistet wird. Da nun 
bei geschlossenen Strömen dieselben Electricitätsmengen, welche 
einmal in ihnen sind, auch in ihnen bleiben, so kann man unter 
Anwendung des vorigen Ausdruckes auch das electrodynamisclie Po- 
tential geschlossener Ströme auf einander bilden, und dieses Potential 
muss ebenfalls jener Bedingung genügen, dass die von allen Kräften, 
welche die Ströme auf einander ausüben, während der Zeit dt ge- 
leistete Arbeit durch das negative Diflferential des Potentials dar- 
gestellt wird. Bezeichnet man dieses electrodynamische Potential 
mit Wy so erhält man die Gleichung: 

(9) W = Jcii'Jj'^^ ds ds', 

oder unter Berücksichtigung von (5): 

(10) W=ii'w. 

Aus der Vergleicung dieses für W geltenden Ausdruckes mit 
dem vorher für das magnetische Potential angeführten ergiebt sich, 
dass das electrodynamische Potential dem magnetischen Potential 
dem absoluten Werthe nach gleich, dem Vorzeichen nach aber ent- 
gegengesetzt ist. 

Betrachtet man nun endlich die oben gegebenen Ausdrücke der 

während der Zeit dt gethanen Arbeit, so sieht man, dass die Arbeit 
aller von geschlossenen Strömen auf einander ausgeübten Kräfte in 
der That durch das negative Differential des electrodynamischen Po- 
tentials dargestellt wird. Der für die Arbeit der ponderomotorischen 

Bepertoriam für reine und angewandte Mathematik. 23 



334 S. Clausius. — S. Günther. — L. Köniqsbergeb. 

Kräfte gegebene Ausdruck ii'dw dagegen ist nur dann das negative 
Differential des magnetischen Potentials, wenn die Stromintensitäten 
constant sind, oder wenigstens ein constantes Product haben. 

Bonn. R. Clausius. 



S. Günther: Adolph Zeising als Mathematiker. (Zeitschrift für 
Mathematik und Physik, 21. Jahrgang.) 

Kurze Schilderung der Verdienste, welche der genannte Gelehrte 
um die Begründung der mathematischen Aesthetik sich erworben. 
Es werden mit kurzen Worten die wichtigsten Abhandlungen 
Zeising's angeführt, in welchen er für sein Princip, das Gesetz 
des goldenen Schnittes regle das ganze weite Gebiet des Schönen, 
Propaganda zu machen suchte. Manche seiner Aufstellungen wer- 
den geradezu verworfen, andere, wie die auf architektonische Ver- 
hältnisse und die mathematische Theorie der Blattstellung bezüglichen, 
vollkommen anerkannt. Zum Schluss folgt dann noch eine gedrängte 
Analyse derjenigen Arbeiten, welche ein allgemeineres Studium der 
geometrischen Formenlehre — ohne specielle Rücksicht auf die 

. Theilung nach - äusserem und mittlerem Verhältniss — zum Gegen- 
stande haben. 

Es möge an dieser Stelle noch bemerkt werden, dass, wie uns 
von competenter Seite mitgetheilt wird, dem Zeising'schen Theorem 
eine allgemeinere rein psychologische Bedeutung innewohne, dass 
aber der Urheber darin fehlte, nur immer nach Bestätigungen der 
Norm zu suchen, Ausnahmen aber gänzlich ausser Acht zu^ lassen. 
Ferner sei eines dem Grundgedanken nach verwandten Versuches 
des Franzosen Lagout gedacht, auf welchen uns Professor Favaro 

»in Padua aufmerksam machte; dessen „esthetique nombree, appli- 
cation de Tequation du beau ä Tanalyse^^ (Paris 1863) vermag sich 
jedoch trotz manches geistreichen Raisonnements mit der consequent 
durchgeführten Systematik des deutschen Forschers nicht zu messen. 

Ansbach. S. Günther. 



li. Königsberger: tJeber die Beduction hyperelliptischer Inte- 
grale auf algebraisch -logarithmische Fanctionen. (Mathe- 
matische Annalen Band XL) 
Die fundamentalen Untersuchungen von ClebscJi haben gelehrt, 

dass, wenn y mit x durch eine algebraische Gleichung n*^' Ordnung 



r 



L. KÖNIQSBERQER. 335 

(a) F{x,y) = 

von der Art verbunden ist, dass x und y sich als rationale Func- 
tionen einer Hülfsvariabeln t ausdrücken, lassen, die Curve (a) die 

höchste Anzahl der Doppelpunkte nämlich 

iin-l)(n- 2) 
besitzt, und dass umgekehrt, wenn diese Anzahl der Doppelpunkte 
erreicht wird, sich x und y als rationale Functionen einer andern 
Variabein darstellen lassen, so dass in diesem Falle 



/' 



f{x,y) äx, 



worin f{x,y) eine rationale Function von x und y bedeutet, auf 
das Integral einer rationalen Function von t also auf eine alge- 
braisch-logarithmische Function dieser Variabein reducirbar ist, sich 
somit auch algebraisch -logarithmisch durch x und y ausdrücken 
lässt. Eine andere Frage tritt auf, wenn es sich nicht um die ganze 
Klasse der zugehörigen Ab eT sehen Integrale handelt, sondern um 
specielle Integrale aus den verschiedenen Klassen, und in dem Sinne 
kann man sich die Aufgabe stellen, aus der Gattung der hyper- 
elliptischen Integrale der verschiedenen Ordnungen diejenigen zu 
charakterisiren, welche auf algebraisch -logarithmische Functionen 
reducirbar sind. Herr Tchebichef hat sich im 18. Bande des 
Li ouvill ersehen Journals mit der Reduction von Integralen der Form 



/ 



Foix) dx 
IM 



auf algebraisch -logarithmische Functionen beschäftigt und sich 
stützend auf die Liouville'schen Untersuchungen gezeigt, wie, 
wenn die Reduction möglich ist, der algebraische Theil dieses Inte- 
grals bestimmt, die Anzahl der einzelnen logarithmischen Ausdrücke 
ermittelt und die Form der letzteren festgestellt werden kami; in 
einer folgenden Arbeit desselben Journals hat derselbe unter der 
Annahme, dass die Bedingungen erfüllt sind, in dem einfachsten 
Falle der elliptischen Integrale auch die logarithmischen Ausdrücke 
wirklich zu finden gelehrt. Herr Weierstrass ging in den Monats- 
berichten der Berliner Akademie — vom Jahre 1857 — näher auf 
diese letzte Arbeit Tchebichefs ein, und indem er den von dem- 
selben eingeschlagenen Weg nicht für den naturgemässen hält, 
sondern die Frage für elliptische Integrale bereits durch die von 
Abel in seiner letzten unvollendet gebliebenen Arbeit über die all- 
gemeinsten zwischen elliptischen Integralen und algebraisch-loga- 

23* 



336 L. EÖNIGSBESGEK. 

lithmischen Functionen stattfindenden Relationen entwickelten Prin- 
cipien für erledigt betrachtet, zeichnet er einen Weg für die Behandlung 
dieser Frage für elliptische .Integrale vor, der sich, wie er hervorhebt 
auch für hyperelliptische Integrale durchfuhren lässi Das Charakte- 
ristische der Weierstrass'schen Untersuchung besteht darin, dass 
das vorgelegte elliptische Integral dadurch dass für das elliptische In- 
tegral erster Gattung eine Variable u -eingeführt wird, in bekannter 
Weise, von einem in u linearen Posten abgesehen, in eine Summe 
von E(u)y einer Reihe von Functionen der Form i7(w, a«) und einem 

1 d sin am u ,. -. . . rni *i 

aus Sin am u und — ^ rational zusammengesetzten 1 neu zer- 
legt wird, und nun aus der Annahme, dass das Integral auf eine 
algebraisch-logarithmische Function reducirbar sein soll, durch Ver- 
gleichung der Perioden der elliptischen Functionen und der Loga- 
rithmen die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen für die 
Reduction ermittelt werden. 

Ich nehme die Untersuchung für die Reduction der hyper- 
elliptischen Integrale beliebiger Ordnung auf, ohne das Umkehrungs- 
problem dieser Gattung Abel' scher Integrale zu benutzen, sondern 
suche direct mit Benutzung der früher von mir in den Annalen 
ausgeführten Reductionsformeln der allgemeinen hyperelliptischen 
Integrale auf die Integrale der drei Gattungen und den algebraischen 
Theil, sowie mich stützend auf die von mir vor Kurzem im Journal 
für Mathematik behandelte Zurückführung des allgemeinen Trans- 
formationsproblems auf das rationale und die dort aufgestellte all- 
gemeinste Relation zwischen hyperelliptischen Integralen die noth- 
wendigen und hinreichenden Bedingungen für die Reduction eines 
hyperelliptischen Integrales beliebiger Ordnung auf algebraisch- 
logarithmische Functionen herzuleiten. 

Der von Herrn Fuchs zuerst ohne jede Beschränkung aus- 
gesprochene Satz, dass die Determinante der zwischen den Ver- 
zweigungspunkten genommenen Integrale erster und zweiter Gattung 
stets einen von Null verschiedenen, von den Verzweigungspunkten 
völlig unabhängigen Werth besitzt, liess für die auf algebraische 
Functionen reducirbaren hyperelliptischen Integrale 

F{z)dz 



f- 



yB{z) 



wenn 
und 



i ' 



^2? • • • ^f 



L. KÖNIGSBERGÜE. ' 337 

die Werthe von z bedeuten, für welche F {z) unendlich wird, die 
nothwendigen und hinreichenden Bedingungen bei Anwendung be- 
kannter Bezeichnungeh in der Form finden 

r_FW_l _ r -^^'^^ 1—0 r ^^*) 1 n 



'wenn 



B{z) = Az^p+^ + B^8P + B,zP-^ -\ h B^p^tz + ^2^ 

i ^2 •^'•-^ 

und 

r = 0, 1,2, • • • p — 1; p, • • • 229 — 1 

gesetzt wird; der algebraische Werth des Integrales nimmt dann 
die Form an 



Um in ähnlicher Weise die Bedingungen für die Reduction 
eines hyperelliptischen Integrales auf algebraisch - logarithmische 
Functionen zu finden, wird wiederum das Integral in die Summe 
yon p Integralen erster, p Integralen zweiter, n Integralen dritter 
Gattung und einem algebraischen Theile zerlegt und gezeigt, dass, 
wenn sich diese Summe in einen algebraisch -logarithmischen Theil 
umwandeln soll, nach Elimination der nicht von einander unab- 
hängigen Coefficienten der Integrale dritter Gattung je ein Complex 
von diesen mit ganzzahligen Coefficienten versehenen Integralen 
einem Logarithmus einer aus z und l/ii (^ rational zusammen- 
gesetzten Function gleich sein muss, und dass somit vermöge des 
Satzes von der Vertauschung der ünstetigkeitspunkte und Grenzen 
der Integrale dritter Gattung die zu je einem Complex gehörigen 
Ünstetigkeitspunkte Lösungen einer Gleichung von der Form 

p^~q^B(z) = 

sein müssen, worin p und q rationale Functionen von z bedeuten; 
bat man nun geprüft, ob die Grössen je eines Complexes Lösungen 



338 Ij. Königsbebger. 

einer so gestalteten Gleichung sind — und die Methoden, wie dies 
geschehen muss, werden angegeben — , dann hat man zu unter- 
suchen , ob einerseits die bei der Reduction sich ergebenden Coeffi- 
cienten der Integrale zweiter Gattung verschwinden, andererseits ob 
di^ dabei resultirenden Coefficienten der Integrale erster Gattung 
absolut gleich sind, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen, den 
Coefficienten derjenigen Integrale erster Gattung, welche der Satz 
von der Vertauschung der ün Stetigkeitspunkte und der Grenzen der 
Integrale dritter Gattung noch einführte, indem diese Vertauschung 
ohne Werthveränderung nur für solche hyperelliptische Hauptintegrale 
dritter Gattung gültig ist, deren Periodicitätsmoduln an einem ge- 
sanroiten Querschnittssystem verschwinden; für die Form der letzteren 
Coefficienten werden verschiedene Formen gefunden. Sind alle diese 
Bedingungen befriedigt, so sind nicht bloss die logarithmischen 
Functionen, sondern auch die algebraischen Theile unmittelbar hin- 
zuschreiben, so dass die Erfüllung der auch als hinreichend er- 
kannten Bedingungen zugleich das Transformationsresultat liefert. 
Das gesammte Ergebniss lässt sich folgendermassen aussprechen: 

Man bilde die Gleichung 

und suche dieselbe durch Systeme von ganzen Zahlen jP^, Tg . . T„ zu 
befriedigen; mögen sich nur n — h solcher Systeme finden lassen 

-^11 ^12 ' ' ' Tin 



welche von einander unabhängig sind, und mögen sich aus diesen 
n — Iv Gleichungen die Relationen ergeben * 



^[Tm-]-'-r[w]+-+'"-"[i^ 






Fo suche man den grössten gemeinsamen Theiler zwischen den 
Zahlen 



L. KÜNlGSBEKGliK. 339 

worin i eine der Zahlen 1, 2, ... 7c bedeuten soll; sei derselbe 8i 
und werde 



^ _ /(O ^^i ^ /(») K-ki __ Äi) 



% 



gesetzt. Lassen sich nun Gleichungen von der Form finden 
welche aus den resp. Werthen 



mit der entsprechenden Vielfachheit 

/2) ^(2) .(2) 

h 7 hy ' " K-k 



fik) Äk) Ak) 



' 1 ' n—k 

nur noch Verzweigungswerthe zu Lösungen haben, so bilde man 
die Summe 

dann wird i (^) das Aggregat der im reducirbaren hyperelliptischen 
Integrale vorkommenden logarithmischen Glieder darstellen. Setzt 

man sodann 

dLjz) 
dz 




SO müssen ferner die Bedibgungen befriedigt sein 



340 Ij. KÖNIGSBERdER. 






>a » 



für die Werthe r = 0, 1," 2, • -^ — 1, und 







für die Werthe r = Py p -^ 1, •.. 2p — 1; sind alle diese Be- 
dingungen erfüllt, siD ist der'Werth des algebraischen Theiles jenes 
hyperelliptischen Integrales 



n 
a 




Fit) f_jt^-\ _ \m^ f ät -^ 1^^ 



-Kl«) 



'« » 



welcher mit L (^) vereinigt die algebraisch -logarithmische Dar- 
stellung des" gegebenen Integrales liefert. 

Dresden. L. Königsberger. 



L. Elönigsberger: Beferate aus den hinterlassenen Papieren 
von P. Biehelot. Trigonometrische Form der hyperellip- 
tischen Integrale der ersten , zweiten und dritten Gattung. 

(Der Inhalt der folgenden Mittheilung ist in den Michaelisferien 1874 

niedergeschrieben.) 

Richelot führt zuerst für die Lösungen a^^ a^, , . , a,^^ des Poly- 
noms 2n^^ Grades 

E {z) = {z — aj (^ — ag) . . . (^ ~ aj 

eine Reihe ^von Moduln, analog dem Modul des elliptischen Inte- 
grals, durch folgende Betrachtungen ein. Transformirt man das 
hyperelliptische Integral durch den linearen Ausdruck 



^1 «2 

^1 ^^,-a2„ 


«1 — «2» 
o>i — a^ 


oder durch 




p ^2 - «4 


«3 «2n 


' ^2-«3n 


»3 «4 


u. s. w. oder endlich durch 





L. KÖNIGSBERGKK. 341 



wodurch den Werthen 



^n — 1 ~ ^2n— 2 ^2 n—l ^2n 



^n- 1 "^ ^iJw ^2 n—l "" ^2 n^2 



^1 = «2 ^2 = 0^4 ^„-1 = «2n--2 

^i = «i ^2 = «3 ^„--I = a2«-1 

'^1 ^2n ^2 "^2n n—l "^2» 

für die Grössen g sämmtlich resp. die Werthe Null, die Einheit 
und oo zugeordnet werden, so erkennt man leicht, dass für die 
erste Transformation sich 



^1 =«3 




1 «3 «2» «1 «2 ,2 
^1 «3— «2 «l-«2» ^* 


^1 —«4 




1 «4 »2n «1 H jj.2 
fx «4 «2 «1 «2» ^* 


^1 «2, 


«— 1 


1 «2«^1 «2n «1 «2 JJ.2 

fl «2n-l «2 «1 «2« ^^'^ ^ 


rechen, 


für die 0weite Transformation 


^2 —«5 

# • • 




1 «5 «2n «3 «4 ^^2 
& «6 -«4 «3 -«2» *^ 


^2 «2n-l 


1 »2n^l—«2» «^3 --«4 ,„ 

^2 «2n-l ^4 «3 «2n ^^~ ^ 


^2 — «1 




1 «1 «2n «3 «4 ,2 
t, «1 «4 «J «2« ^^ 


^2 «2 




1 «2 -«2» «3~«4 JJ.2 
& «2 «4 «3 «2« ^*' 



u. s. w. endlich für die letzte 

1 «1— «2n «2n-l-«2«-2 ,« 

^ ^ = ai -r = = Aj« 

= /T 1 ___ ^2 "~ ^2» ^2tt— 1 -"^2«— 2 __ TT 2 

'""^ ^ fn-1 ~«2-«2«-2 «2n-l-«? ^"""^^ 



"2» 



• .^ 



^2n— 3 ~~ ^2» ^2 n—l "~ *2n— 2 



^ ^_^ *■ asn — o zn An— x sn — s 7.9 



n — l 2n— 3 ^ ^ a„ _ — ä « tt« ^ — a^ 2n— 32n— 3 ' 

»n—l "2n— 3 **2n— 2 **2 n — 1 **f 



diese (n — 1) (2w — 3) Werthe h^ werden Moduln genannt und vor 



342 L. KÖNIÖSBERGER. 

Allem die Beziehungen, die zwischen ihnen stattfinden, aufgesucht. 
Mit Hülfe der Substitution 



a 



erhält man leicht die Ausdrücke 

<*2 — ^i ,« «4 — ^ ,0 «2n — 2"'^2n— 8 



7.2 "^ ^ ,2 **^4 '^S 10 -2n — 2 -an- 

lÄ «2— a^' 3A «4— «A 2n-3A a2n-2'~^i 

und somit, wenn h und i weder 1 noch 2 sind, 

a[ — a^ , , «i — «2 
^A — «2= p ^ »i — 0^2= 1-2 

also 

< - < = K — «2) ("4" " 4r) *' 

daraus ergiebt sich aber sofort für alle von 1 und 2 verschiedenen 7* 

1.2 _1.2 ^2 

,2 __ ''^U '^13 "^lÄ 



3A 1.2 __T.2 T.2 

'^14 '^lÄ '^IS 



T.2 / T.2 T.2 7.2 1.2 1.2 

^16 ~ ^15 ^Ih 7.2 "^12n — 2""^12n— 3 '^Jh 

1.2 T.2 T2~ ; '^2n— 3Ä r.2 r.2 t.2 

^16"~^1A ^15 '^12n-2""'^lA '^12n— 2 



Um den Fall ä = 1 und = 2 zu erledigen, beachte man, dass 



7J.2 ^ 3 Z.2 «_ _i L 

32 a^ — a^ ' 31 a^ — aj 



ist und dass, wenn oben Ä = 4, i == 3 gesetzt wird, 
wird, so dass 

,2 _^ ^ls~^U 7.2 ^13-^14 



und ähnlich 



T.2 T.2 7.2 T.2 

'*^15~"^16 7Q '^15 '^16 



Z.2 ^^ ^^ ^^ Z.2 ,— 



*!5 ' " 4(i-*!6) 

u. s. w., endlich 

^2 1.2 1.2 __.T.2 

,2 ^12n-3~"^12n-2 72 ^i2n~-3 ^12n-2 

'^2n~32 T.2 > 'S «—31 t.2 f^ t.2 >| 

«^12n—3 '^12n-3 l,^ «'12 n— 2/ 



L. KÖNIGSBERGEB. 343 

folgen. Somit sind sämmtliche Moduln durch die Modulreihe 

7. 2 X. 2 1.2 

'^13 i '*'14 7 • • • • "'i2n~l 

ausgedrückt, also durch 2w — 3 Moduln, die offenbar von einander 
unabhängig sind, da sie ausser a^' und «3' jeder eine andere Grösse 
%'> ^Z?-- ö4»— 1 enthalten und diese von einander unabhängige Grossen 
vorstellen. 

Richelot stellt sich nun die Aufgabe, die hyperelliptischen 
Integrale erster, zweiter und dritter Gattung mit Hülfe der oben 
eingeführten Moduln in trigonometrische Form umzusetzen und zwar 
definirt derselbe als Integrale erster, zweiter und dritter Gattung 
nach Herrn Weierstrass (Theorie der AbeFschen Functionen, 
Journal für Mathematik) die Integrale 

J ^-«2A ww/ ' J ^-«2Ä-i ww/ ' J ^-« Vöw; ' 

worin 

P(^) = _ agn (^ — %) (^ — 0^4) (ß — CI>2n-2) 

Q(ß) =T= (^ — «0 (^ — «3) (^ — ö^2n-l) (^ — «2») 

und a eine willkürliche Zahl ist. Ich will bemerken, um eine Ver- 
gleichung mit den von Riemann definirten Integralen der drei 
Gattungen zu gestatten, dass die von Richelot aufgenommenen 
Integrale erster Gattung 

/'p 'p ^P 

^p-«2 W(^^)/ V 'p-^^^^i'pV ''"'J ^i»-«2n-2W(^^y 
'^p <Hp <hp 

' für alle Punkte der zu YWßj gehörigen Riemann'schen Fläche 
endlich sind, die Integrale zweiter Gattung 

^p *p *p 

<^ip (hp <Hp 

nur in den resp, Verzweigungspunkten «1,03, «2n— 1 algebraisch 

unendlich ufid zwar von der — ^ten Ordnung werden, während end- 
lich die Integrale dritter Gattung 



'P 



J ^p-<^\Q{^p)) 



<hp 



344 L. EÖNIOSB£RGEB. 

nur im Punkte z = a und zwar auf beiden Blättern logarithmiscli 
unendlich werden. 

Setzt man nach Richelot 

ii =sin>i =- 



^1 —«2 




«1 


«2« 


h ^2n 




«1 


-«2 


h — H 




«s 


«2n 


h ~" ^2» 




«S 


-«4 


«»-J 


«2» 


— 2 


^2n-'l ®2n 


««-1- 


-<hn 


^2n-.l ^2n— 2 



S»-i=sin^9>n-i= 

und führt zuerst die erste Transformation durch, welche mit Weg- 
lassung des Index 1 bei z und (p die Form hat 



^ — «2 «1 — «2» ^-2 



s^sm^g?, 

^ — «2n »1 — «2 

so folgt durch logarithmisches Diflferentiiren 
oder 

wofür, weil 

ist, auch 

/ "2» \ ^ „ ,„ /(« -a j....(^-«,,) g _d^_ /P(^)Y 

V(«l - «2«) («2 - «2„y '^ V« - «3)- - (^ - ««» - t)/ ' '- «' ^*? (^)/ 

gesetzt werden kann. 

Beachtet man nun aber, dass, weil 

^-«2Ä ri l-^msinV 



«^«2A — 1 1 — Äfg^^jSin^g) 

sein muss und sich hieraus wegen der entsprechenden Werthe z = a2y 

q> = 

d^ — Ä« 



C = * ^* 



r 



ergiebt, 



«2~"^2Ä-l 



2 



^--«2Ä «2-«2A l--Ä;i2A8i»'9> 



z — a 



2 



2A--1 a2""'*2A--i 1 — ^i2Ä_lS'n*9? 



L. KÖNIGSBERGEB. 345 

folgt, SO wird jeder Factor des obigen Ausdruckes für Ä = 2, 4, 
•••2w — 1 trigonometrisch umgeformt sein, nur fürÄ = wwird, wie 
leicht zu sehen, 



sein, und man wird somit auch den vorher gefundenen Ausdruck 
gelten lassen können, wenn man nur Äi2n = setzt; man erhält 
somit 



(^~«3)(^-«5)---(^-*^2«^l) 






2 ^ -'. -^ 2 

so dass sich, wiemi 

2 ^2n / («2 - ^4) K - ^e) " • (^2 - ^2n~2) \^ _ ^ 

«1 - «2« \K - S)(S - ^s) • • • (^2 — «2n-l)/ . ^^ 

gesetzt wird, mit Wiedereinführung der Grössen 0^ und 9?^ der 
gesuchte Ausdruck 

ergiebt. Zur Umformung des Integrales 



«1 



braucht man nur vor der Integration die obige Gleichung mit 



,8, 



^= \J2r — 2 ' — ö 

^1 — «2r— 2 1 — Äigr— 2®^^*9'i 



ZU multipliciren, in welcher offenbar 



r _ Z.2 «2» -«2 

U2r— 2 ~ fl/12r— 



2r— 2 "— «'12r— 2 « „ 

»2n '*2r— 2 



sein muss, und erhält somit 









«2n~^2 ^ . Ai2r-2SiP'yi<^yi T^ / ^— ^La^^^Vi V 
«2«-«2r-2 ^^,y 1— Ä;^2r-2 8i»'9?l 2 \1 ~ ^?2A-2SinVi/ 







346 IJ- KÖNIGSBERGEB. 

In dem Falle, dass It{z) nur 2n — 1 lineare Factor en hat, ändert 
sich nichts als dass man überall a2n== ^>c) zu setzen und den Grenz- 
werth zu nehmen hat, wobei die Factoren 

«2n — «2 



^2n "" ^2r 



der Einheit gleich werden. 

Um nun die übrigen Integrale erster Gattung in z^^ g.^,,,.Zn—\ 
ebenso umzuformen, hat man nur nöthig die Indices 

1, 3, 5, . . . . 2n — 3, 2w — 1 
und die Indices 

2, 4, 6, . . . . 2w — 4, 2w — 2 

cyclisch zu vertauschen, und erhält allgemein 






Vp 



Chp 



^2n-^2p ^ Php-12r^^^^p^ JJ 

«2n «2r J ^ —Mp^lir^^^ 'f'p 1 



1— ^2jt^l2A8iöVp ^^ 







'^^^XU-l^'Pp, 



so sind (n — 1)^ Integrale erster Gattung in die' canonische Form 
umgesetzt. 

Die hyperelliptischen Integrale zweiter Gattung werden ebenso 
einfache Formen annehmen; man braucht n,ur vor der Integration 
der ersten Reihe mit 

Z^ — «2 «2n — «2 'fcl2r-l8ill^9'i 



ZU multipliciren und erhält 



Zi 



Vi 

.2 



^ ^2n - «2 j^ Al2r-lSm>id y, jV /j^ 



— ^12/,8^'1^9'i 







oder wieder durch cyclische Vertauschung der Indices 



.^ 



L. EÖNiaSBEBQER. g^^ 

xp 









^2«~«2p ,^ rj^,^^l2r-l^^p TT / 1-^2^-1 2Ä Sin Vp 

Um endlich das hyperelliptische Integral dritter Gattung um- 
zuformen, wird man vor der Integration der ersten Reihe mit 



^1 — «2 

zu multipliciren haben; es mögen 

., = « und &=,:^-V- 



^ 3 — Og 



vermöge dejr Substitution 

^1 - «2n ' «1 - «2 ~ ^^ 

entsprechende Werthe sein, so dass 

sin^«,, = ^ "^^^^ ^-=1^ 

wird, dann ergiebt sich 

^1 — « 2 ___ ^7 sin^yt 

^1 — a 1 — /:^i2 sin* «12 sin^g?! 

und daraus 

«2» ~ «2 C 



^2» — ^ ^^2 sin^aja ' 

SO dass 

^1 - ö ^2 «2» - « 1 -'^'i2 8in*ai2 8in'9i 

folgt. Bedenkt man femer dass 

- a — «2« ^^2 sin* «12 ' a^-^ a^^ a — a^^ 

ist, so folgt mit Benutzung aller dieser Werthe 



J z,-a\Q {z,^J 



flfj 




Vi 



— A;*i2sin''ai2sin*9ijt X l ^ 



1 L_.iVi:«^ -/ 1-A;^28in^«.28in*9ailr-T2 ^, -,„ 

/c*i2BinX2 «!-«,„ y ^ Vl-^i2/,-i8i^^ 9i 






348 li* EÖNIGSBEBOEB. 

and wieder allgemein 



J K-a \Q(z\J 



Vp 



1- 



^lp-1 2p 8^«^* «2P-1 2p "2p-l-^2n 



f ^Ip^l sin' «gj^i 2p Bin« 9^ d qp^ 

•^2jo — 12p / ^ 

/ 1— ^p-12p Bi»*«2p^l2p ßi"^p 



X 



fj ( l-^2p-i2A8^n«y^ V 



Alle diese Transformationsformeln gelten auch fiir den Fall, 
dass It{z) vom 2w — l*®*^ Grade ist, wenn man nur 02*1 = <3o setzt und 
zu den Grenzwerthen übergeht. 

Dresden. L. Konigsberger. 



Berichtigung: 
p. 132 vorletzte Zeile: statt Mauderschen lies MandeVachen. 



n. Schubert: Allgemeingültige Formeln und Vorstellungen der 
abzählenden Geometrie. (Erste Abhandlung der „Beiträge 
zur abzählenden Geometrie") (Math. Ann. Bd.lO,S 1—112.) 

Die vorliegende Abhandlung ist die erste von drei Abhand- 
lungen, welche aus der von der Königlichen Akademie zu Kopen- 
hagen Januar 1875 gekrönten Preisschrift allmählich herausgewachsen 
sind. Das Thema dieser Preisschrift verlangte die Ausdehnung der 
Charäktmstikmtheorie auf die Systeme desjenigen geometrischen 
Gebildes, welches aus den Punkten und den Schmiegungsebenen 
einer ciibischm Raumcurve besteht, und die Bestimmung der Cha- 
rakteristiken der als elementar zu betrachtenden Systeme. Bei der 
Auffindung der Methoden, durch welche man die in diesem Thema 
steckenden Fragen zu lösen vermag, erkannte der Verfasser, dass 
allen geometrischen Anzahl-Bestimmungen gewisse allgemeine Formeln 
zu Grunde liegen, von denen man bisher nur wenige, z. B. das 
Chasles'sche Correspondenzprincip, aufgestellt hatte. Von diesen 
fundamentalen Formeln wird ein Theil im Uten Abschnitt der vor- 
liegenden Abhandlung aus dem Prineip von der ErJialtung der An- 
zahl, der andere Theil im Illten Abschnitt aus dem Chasles* sehen 
Correspondenzprincip abgeleitet, nachdem im Iten Abschnitt eine ein- 
heitliche Terminologie für die geometrischen Grundgebilde und Grund- 
bedingungen, sowie eine gewisse Symbolik für gegebene Bedingungen 
entwickelt ist. 

Der Abhandlung geht eine allgemeine Einleitung voran, in 
welcher der Verfasser die Entwicklung der Abzählungsmethoden 
seit der unter dem Namen „ Charakteristikentheorie '^ bekannten 
Schöpfung Chasles' (Comptes rendus Februar 1864) darstellt, und 
zugleich angiebt, welche Stellung die Resultate der drei Abhand- 
lungen, theils durch Form, theils durch Inhalt, gegenüber den be- 
kannten Resultaten der abzählenden Geometrie einnehmen. 

Die im ersten Abschnitt begründete Symbolik macht ein Rechnen 
mit Bedingungszeichen möglich, welches sich als sehr fruchtbringend 
erweist. Wir benutzen diese Symbolik auch in dem vorliegenden 
Referate, weil ohne dieselbe die Mittheilung auch nur der wichtigsten 

Bepertorinm für reine und angewandte Mathematik. 24 



n 



350 H. Schubert. 

Resultate der Abhandlung zu lang würde: Wir lassen die Regeln, 
auf denen die Symbolik fusst, hier folgen, mit dem Bemerken, 
dass die ersten Keime derselben sich bei Halphen finden im Bull, 
de la Soc. math. Tome I, Heft 5. 

1) Sagt eine Bedingung nichts anderes aus, als da^s mehrere 
von einander unabhängige Bedingungen zugleich erfüllt werden 
sollen, so heisst sie zusammengesetzt, im entgegengesetzten Falle 
einzeln. Einzeln heisst also namentlich auch die Gesammtheit zweier 
von einander abhängiger Bedingungen.» Z. B. Für eine Plancurve ist 
die Bedingung P, durch einen gegebenen Punkt zu gehen, einzeln, 
ebenso die Bedingung ft-, dass sie ihre Ebene durch einen gegebenen 
Punkt schicke, und die Bedingung v, dass sie eine gegebene Gerade 
schneide. Einzeln ist auch die Bedingung, eine gegebene Fläche 
an zwei Stellen zu berühren. Zusammengesetzt ist die Bedingung, 
dass die Plancurve durch einen gegebenen Punkt gehe, und zugleich 
eine gegebene Gerade schneide. 

2) Jede definirte einzelne Bedingung erhält als Symbol einen 
Buchstaben mit oder ohne unteren Index. Z. B. die eben definirten 
Bedingungen haben die Symbole P, ft-, v, 

3) Das Product mehrerer Bedingungssymbole bedeutet diejenige 
zusammengesetzte Bedingung, welche verlangt, dass die von diesen 
Symbolen dargestellten Bedingungen zugleich erfüllt werden sollen. 
Z. B. Pv bedeutet für die erwähnte Plancurve, dass sie durch einen 
gegebenen Punkt gehen, und eine gegebene Gerade schneiden soll. 

4) Die nie Potenz eines Bedingungssymbols bedeutet demge- 
mäss, dass die von diesem Symbol bezeichnete Bedingung wmal 
erfüllt werden soll, wobei übrigens die gegenseitige Lage der 
n Gebilde, welche diese >*mal zu erfüllende Bedingung etwa ver- 
ursachen sollten, ganz willkürlich ist. Z. B. ^^ bedeutet für die 
Plancurve, dass ihre Ebene durch drei beliebig gegebene Punkte gehe. 

5) Giebt die Definition eines Gebildes demselben die Constanten- 

zahl c — z. B. c = — S — 2 k bei einer Plancurve nter 

Ordnung mit d Doppelpunkten und x Spitzen in fester Ebene — , 
so bildet die Gesammtheit aller derjenigen Gebilde dieser Definition, 
welche eine gewisse a fache einzelne oder zusammengesetzte Bedingung 
erfüllen, ein (c — a)stufiges System, das heisst eine Gesammtheit von 
oo<^-^ Elementen. Z. B. alle Kegelschnitte, welche die dreifache 
zusammengesetzte Bedingung Pi/ erfüllen, bilden ein System (8 — 3)ter 
Stufe. 



j 



H. Schubert. 351 

6) Jeder a fachen Bedingung ist hinsichtlich eines hinzuzudenken- 
den Systems ater Stufe eine gewisse Anzahl mgehörigj nämlich die 
Zahl derjenigen Gebilde des Systemes, welche diese Bedingung er- 
füllen. Das Symbol einer Bedingung soll zugleich auch immer die so 
zugehörige Anzahl bedeuten, Z. B. Pv bedeutet zugleich die Anzahl 
derjenigen Kegelschnitte eiues dreistufigen Systems, welche die drei- 
fache Bedingung Pv erfüllen. 

7) Wenn hinsichtlich jedes a stufigen Systems eine Gleichung 
zwischen den Anzahlen besteht, welche gewissen Bedingungen zu- 
gehören, so nennen wir, der Kürze wegen, diese Bedingungen selbst 
durch die Gleichung von einander abhängig, und die Function, welche 
eine der Bedingungen von den andern abhängig darstellt, Modul 
dieser Bedingung. Z. B. für jede Plancurve ater Ordnung sind die 
Bedingungen P, ^Vj ^^ (vergl. 1)) von einander abhängig durch die 
unten folgende Relation: 

P = ^v — a . fi^. 

8) Aus einer für ein Gebilde mit der Constantenzahl c aufge- 
gestellten Gleichung ater Dimension zwischen afachen Bedingungs- 
symbolen erhält man also immer eine Identität, wenn jedes dieser 
Symbole gleich der Zahl der Gebilde gesetzt wird, welche die von 
diesem Symbole dargestellte a fache Bedingung, und ausserdem eine 
beliebig gewählte einzelne oder zusammengesetzte (c — a) fache Be- 
dingung erfüllen. Z. B. für die cubische Plancurve mit Doppelpunkt 
erhält man aus der in 7) angegebenen Gleichung eine Identität, 
wenn man jede der 3 zweifachen Bedingungen P, [iv, [i^ gleich der 
Zahl der Plancurven setzt, welche P, resp. [iv, resp. fi^ und ausser- 
dem die Bedingung v^ erfüllen, d. h. 9 gegebene Gerade schneiden. 
Man hat nach des Verfassers Tabellen Pv^ = 1392, ^i;^« = 2040, 
^2^9 ^ 216. In der That ist: 

1392 = 2040 — 3 . 216. 

9) Hieraus folgt, dass bei einem Gebilde mit der Constanten-: 
zahl c die Richtigkeit einer Gleichung zwischen afachen Bedingungs- 
symbolen nicht beeinträchtigt wird, wenn jedem Symbole ein und 
dasselbe, sonst ganz willkürliche, etwa ftfache Bedingungssymbol 
hinzugesetzt wird, oder, wie wir sagen, wenn die Gleichung mit 
der zugehörigen ^fachen Bedingung muUiplicirt wird. Daraus er- 
wächst nämlich eine Gleichung (a -f- 6)ter Dimension, aus welcher 
man immer eine Identität erhalt, wenn jedes der (a -j- &) fachen 

Symbole gleich der Zahl der Gebilde gesetzt wird, welche die von 

24* 



^ I 



1 



352 H. Schubert. 

diesem Symbole dargestellte (a4"^)f3<che Bedingung, und ausserdem 
eine beliebig gewählte, einzelne oder zusammengesetzte (c — a — 6)faciie 
Bedingung erfüllen. Z. B. Aus der oben erwähnten Gleichung 

P = fiv — a . ^^ 

folgt unter anderen: 

/iti/P = ft^v^ — a , ^^Vj 

ft* war gleich Null zu setzen, weil durch 4 beliebige Punkte keine 
Ebene gelegt werden kann. Man erhält also auch durch Potenzirung 
mit 2 eine richtige Gleichung, nämlich: 

P^ == ^^v^ — 2a . ft^v. 

10) Bezeichnet e die endliche Anzahl derjenigen Gebilde eines 
einstufigen Systems von Gebilden JT, welche die Definition von F 
vollkommen erfüllen, dabei aber in einer angegebenen Weise specieller 
sind (Ausartungen) j so soll sz die Zahl derjenigen Gebilde JT be- 
zeichnen, welche auf dieselbe Weise specieller sind und zugleich 
die Bedingung erfüllen. Derartige Ausartungssymbole ez können 
auch in die eben besprochenen Gleichungen ater Dimension, d. h. 
Gleichungen zwischen a fachen Bedingungen eintreten, nur dass J3 
dann eine (a — l)fache Bedingung sein muss. 

. 11) Soll eine Gleichung ater Dimension nicht für alle, sondern 
nur für gewisse a stufige Systeme gelten, so muss dies besonders 
hervorgehoben werden. In diesem Falle erleiden die obigen Regeln 
über' die symbolische Multiplication einige leicht erkennbare Modi- 
ficationen. 

Jedes beliebig definirte Gebilde von der Constantenzahl c kann 
als Raumelement aufgefasst werden. In Bezug auf dasselbe ist der 
Raum dann von c Dimensionen. Den modernen Anschauungen der 
Geometrie gemäss, werden Punkt, Ebene, Strahl mit den bezüglichen 
Constantenzahlen 3, 3, 4 als die drei Hauptelemente des Raumes be- 
trachtet, und zwar alle drei mit völlig gleichem Anrecht auf Ur- 
sprünglichkeit. Jedes System von Hauptelementen heisst Ort Es 
giebt also Punktörter und Ebenenörter nuUter hii dritter Stufe, 
Strahlenörter nuUter bis vierter Stufe. Die Oerter werden durch die 
endliche Anzahl — Grad — ihrer gemeinsamen Elemente mit gewissen 
speciellen Oertern, den sogenannten Grundgebilden charakterisirt. Für 
die Grundgebilde wird die aus der folgenden Tabelle ersichtliche 
Terminologie eingeführt. 



J 



H. Schubert. 



353 



Grundgebilde. 





des Punktes. 


der Ebene. 


des Strahls. 


nuUter Stufe 


Punkt 


Ebene 


Strahl 


erster Stufe 


Punklaxe 


Ebenenaxe 


Strahlbüschel 


zweiter Stufe 


Punktfeld 


Ebenenbündel 


1 Strahlenfeld 
1 Strahlenbündel 


dritter Stufe 


Punktraum 


Ebenenraum 


Strahlenaxe 


vierter Stufe 






Strahlenraum 



Jedes dieser 14 Grundgebilde erzeugt eine einem Orte aufer- 
legbare Grundbedingung, nämlieh diejenige, welche verlangt, dass 
der Ort mit diesem als gegeben betrachteten Grundgebilde ein Ele- 
ment gemeinsam haben soll. Die Namen der so erzeugten Grund- 
bedingungen sind den Namen der 14 Grundgebilde .nachgebildet, 
wie die folgende Zusammenstellung zeigt. 



Grundbedingungen. 
A. Für Punktörter. 



i?o Raumbedingung, 
p^ Peldbedingung c, 
P2 Axenbedingung Cgy v, 
jPg Punktbedingung (7, P, 77. 



B. Für Ebenenörter. 



60 Kaumbedingung, 

e^ Bündelbedingung ft, 

ßg Axenbedingung (ig, v\ 

^3 Ebenenbedingung M\ P', n\ 



C. Für Strahlenörter. 



I 



Sq Raumbedingung, 
5i Axenbedingung g, 
$2 Feldbedingung ge, q, 
Sn Bündelbedingung gp, q\ 
«3 Büschelbedingung ^„ t, ß, 
54 Strahlbedingung 6r, T, JB, S. 



Der Index i des jeder Grundbedingung vorgesetzten Symbols 
giebt an, dass ihre Dimension für einen Ort ater Stufe i — a ist. 



^ 



354 H. Schubert. 

Die nachgesetzten Symbole sind die für die folgenden Formeln vor- 
zugsweise verwendeten, und zwar bezeichnet immer das nte Symbol 
die einem Orte {n — l)ter Stufe zugeschriebene Gründbedingung. 
Z. B. P bedeutet, dass ein Punktort erster Stufe, also eine Curve, 
durch einen gegebenen Punkt gehen soll 5 Qs bedeutet, dass ein 
Strahlenort nuUter Stufe, d. h. eine Gruppe von endlich vielen 
Strahlen, aus einem gegebenen Strahlbüschel einen Strahl ent- 
halten soll. 

Ein Ort ater Stufe, dessen Element die Constantenzahl c hat, 
hat mit jedem von demselben Elemente erzeugten Grundgebilde 
6ter Stufe ein System von 00"* + ^ — '^ Elementen gemein, also eine 
endliche Anzahl, wenn h = c — a ist. Diese endliche Anzahl heisst 
Grad des Ortes. Z. B. Bei einer Fläche wter Ordnung rten Ranges 
mter Klasse ist der Punktort zweiter Stufe und wten Grades, der 
Ort der Tangenten dritter Stufe und rten Grades, der Ort der 
Tangentialebenen zweiter Stufe und mten Grades. Eine Gruppe von 
a Punkten ist ein Punktort nuUter Stufe aten Grades. Ein Strahlen- 
ort zweiter Stufe (Congruenz) hat zwei Gradzahlen, den Bündelgrad 
und den Feldgrad, Ein Ort ater Stufe, dessen Element die Con- 
stantenzahl c besitzt, hat mit einem von demselben Elemente er- 
zeugten Grundgebilde 6ter Stufe im Allgemeinen kein Element gemein, 
wenn a + 6 < c ist; der Ort erfüllt vielmehr dadurch, dass er ein 
Element mit einem solchen GTundgebilde gemein hat, eine (c — a— V)- 
fache Grundbedingung. 

Wenn ein Hauptelement selbst mit einem Buchstaben bezeichnet 
ist, so soll die diesem Hauptelement zukommende einfache Grund- 
bedingung mit demselben Buchstaben, und die mehrfachen Grund- 
bediiygungen mit denjenigen Symbolen bezeichnet werden, welche aus 
diesem Symbole ebenso hervorgehen, wie die in obiger Tabelle nach- 
gesetzten ersten Symbole aus c, ^^ g hervorgehen. Z. B. Die Feld- 
bedingung des Strahles h heisst Äg, seine Strahlbedingung H. 

Ein Ort heisst einem Grundgebilde incident"^), wenn jedes seiner 
Elemente zugleich Element des Grundgebildes ist. Z. B. Eine Plan- 
curve ist ihrer Ebene incident, sowohl wenn man die Curve als 
Punktort und die Ebene als Punktfeld, wie auch, wenn man die 
Curve als Ort ihrer Tangenten und die Ebene als Strahlenfeld 
auffasst. 



*) Dieser Ausdruck ist in letzter Zeit von Sturm und Anderen eingeführt. 
Er lässt sich leicht von Oertern auf Systeme übertragen, die statt von Haupt- 
elementen, von beliebigen Gebilden erzeugt werden. 



H. Schubert. 355 

Mit Hilfe der eingefülirten Begriffe lässt sich jetzt der Inhalt 
des Uten und Illten Abschnittes der vorliegenden Abhandlung kurz 
so angeben. 

Der zweite Abschnitt entwickelt ausser den nahe liegenden 
Gleichungen, welche zwischen den sämmtlichen Grundbedingungen 
eines Hauptelements bestehen, namentlich die sämmtlichen Gleichungen, 
welche zwischen den Grundbe(Jingungen aller möglichen Grund- 
gebilde und den Grundbedingungen aller möglichen ihnen incidenter 
Oerter bestehen; dann folgen Anwendungen der gefundenen Formeln, 
welche zu neuen, für gewisse Fragen der abzählenden Geometrie 
wichtigen Kesultaten führen. 

Der dritte Abschnitt entwickelt die sämmtlichen Gleichungen, 
welche zwischen den Grundbedingungen eines aus zwei Haupt- 
ielementen bestehenden Gebildes F und den Grundbedingungen seiner 
Coincidenz bestehen, d. h. desjenigen specielleren Gebildes JT, bei dem 
die beiden Hauptelemente unendlich nahe liegen. Die so gefundenen 
€!orres][)onden2formeln erledigen die von Salmon und Zeuthen 
angebahnte Erweiterung des Chasles'schen Correspondenzprincipes 
vollständig. In den folgenden Anwendungen dieser Formeln werden 
mehrere bekannte, bisher ungelöste Probleme gelöst. 

Die Quelle für die Formeln des zweiten Abschnittes ist einzig 
das Prindp xion der Erhaltung der Anzahl oder, wie es wegen seiner 
Anwendungen auch genannt werden könnte, das Frincip der speciellen 
Lage. Dasselbe lautet: 

„Die räumliche Lage der Gebilde, welche gewisse, einem Ge- 
bilde r auferlegte Bedingungen verursachen, ist für die Anzahl der 
Gebilde T, welche diese Bedingungen erfüllen, gleichgültig, sobald 
diese Anzahl überhaupt endlich bleibt." 

Nach diesem Principe bleibt z. B. die Zahl der Strahlen, welche 
eine beliebige zweifache Bedingung Z erfüllen, und zwei gegebene 
Gerade schneiden, erhalten, wenn man diesen beiden gegebenen 
Geraden die specielle Lage zweier sich sehneidender Geraden ertheilt, 
die Zahl ist also gleich der Summe der beiden Zahlen, von denen 
die erste angiebt, wieviel Strahlen Z erfüllen, und durch einen ge- 
gebenen Punkt gehen, die zweite angiebt, wieviel Strahlen Z er- 
füllen, und in einer gegebenen Ebene liegen. 

Sobald man nach diesem Principe im zweiten Abschnitte die 
Formel niedrigster Dimension zwischen Grundbedingungen gewonnen 
hat, erhält man die Formeln höherer Dimension sehr leicht durch 
symbolische Multiplication mit den Grundbedingungen, 



356 H. Schubert. 

Die Formeln zwischen den Grundbedingungen eines Punktes c 
lauten (wegen der Bezeichnung der Grundbedingungen vergleiche 
man die obige Tabelle): 

C "—^ Cg ■ (/ "• C Cg ~~~ v^'» 

Für die Ebene fi reciprok: 
Für den Strahl g 

f=9p+9e] 

99p=99e = ^^ = 9s; 

99s = V = 9e^ = /ä» = 9^9e = 1/ = G; g^ge = 0. 
Ist ein Punkt c und ein Strahl g einander incident^ so hat man 
zunächst: 

og = Cg + ge = c^ + ge^ 

Daraus folgt mit Benutzung der obigen Formeln durch symbo- 
lische Multiplication: 

C9p = C +gs = c^ +ig^ 
cgs=Cg + G==^ (?g + \^. 

Durch dualistische Uebertragung erhält man die analogen Formeln 
für eine Ebene yi, und einen Strahl g^ die einander incident sind. 

Für einen Punkt c und eine Ebene ft, die einander incident 
sind; hat man: 

c^ — c^^ + c\j? — ft'^ = 0, 
also auch 

c^ft — c^\j? + Cft^ = 0. 

Für zwei Strahlen g und Ä, die sich schneiden, lautet die 
Formel niedrigster Dimension zwischen den Grundbedingungen: 

G- — gsh-\- gphe + geh^, — ^tä, + JJ= 0. 

Daraus folgen: 

Gh — gs Qip + K) + {g^ + ge) h — gS=- 0, 
Ghp — gshs-{-geJS=0, 
Ghe — gsh+ gpH = 0, 

und endlich: 

Ghs — gsH=0. 

Diese Formeln sind ganz allgemein. Die beiden in Betracht 
kommenden Hauptelemente können also ganz beliebigen Systemen 
angehören. So giebt die obige Formel 



H. Schubert. 357 

z. B. für eine kubische Plancurve ;mit Spitze die Zahl derjenigen 
Curven, welche ihre Spitze in einem gegebenen Punkt haben, und 
eine beliebige 7 fache Bedingung Z erfüllen, sobald man kennt 
erstens die Zahl derjenigen, welche Z erfüllen, ihre Spitze in einer 
gegebenen Geraden haben, und ihre Ebene durch einen gegebenen 
Punkt schicken, zweitens die Zahl derjenigen, welche Z erfüUefa, 
ihre Spitze in einer gegebenen Ebene haben, und ihre Ebene durch 
eine gegebene Gerade schicken, drittens die Zahl derjenigen, welche 
Z erfüllen, und deren Ebene gegeben ist. 

Aus den obigen Formeln resultiren die Formeln zwischen den 
Grundbedingungen eines Grundgebildes und denen eines demselben 
incidenten Ortes nullter Stufe aten GradeSj indem immer der Factor 
a zu denjenigen Gliedern hinzutritt, welche eine Grundbedingung 
dieses Ortes gar nicht enthalten. Z. B. Für einen Punktort nullter 
Stufe aten Grades mit den Grundbedingungen c, Cgy C, welcher 
einem Punktfelde fi incident ist, hat man die Formel: 

C — ^Cg + ft^c — a. fi^ = 0. 

Auch die Formeln zwischen den Grundbedingungen eines Grund- 
gebildes und denen eines ihm incidenten Ortes von höherer als der 
nullten Stufe haben einen gewissen Zusammenhang mit den obigen 
Stammformeln. Wir erwähnen hier nur die Gleichungen, welche 
die Grundbedingungen einer Ebene ft mit den Grundbedingungen v, 
P des Punktorts, und mit den Grundbedingungen Qj q\ t, T des 
Tangentenorts (vgl. die obige Tabelle der Grundbedingungen) einer 
in dieser Ebene liegenden Plancurve ater Ordnung &ten Ranges 
verbinden: 

P= fiv — « • ft^ 

t^llQ, 

Von den Anwendungen, welche auf diese Formeln folgen, führen 
wir hier nur eine an. Bei einem einem Grundgebilde incidenten Orte 
nullter Stufe aten Grades lassen sich diejenigen zusammengesetzten 
Grundbedingungen des Ortes, welche mehr als a symbolische Einzel- 
Factoren besitzen, durch diejenigen, welche a oder weniger als a 
Einzel-Factoren enthalten, und durch die Grundbedingungen des 
Grundgebildes ausdrücken. Die hierauf bezüglichen Formeln werden 
für einen in einer Ebene ^ liegenden Strahlenort nullter Stufe 
dritten Grades (z. B. für die drei Wendetangenten einer kubischen 



^ 



358 H. Schubert. 

Plancurve mit Doppelpunkt) entwickelt; Es mögen f^fp^f^jf^jF 
die Grundbedingungen dieses Strahlenorts bezeichnen. Dann hat 
man, den oben besprochenen Formeln gemäss: 

fp = ^f — 3ft% 

Hieraus werden auf verschiedenen Wegen alle Formeln ge- 
wonnen, welche die Symbole f^fe^, wo m + ** > 3 ist, durch die 
Symbole f"^fe% wo m + n ^ 3 ist und durch die Potenzen von fi 
ausdrücken. Beispielsweise folgen hier zwei solcher Formeln: 

f' = 15 ffe' + 50 ilffe - GOilfe' + 15 U^ - 210 (l'ffe - 90 (l^ 

+ 360ftY„ 

Den Schluss des Uten Abschnitts bilden zwei weitere An- 
wendungen, deren Auseinandersetzung hier zuviel Raum kosten 
würde. 

Der III te Abschnitt entwickelt die sämmtlichen Formeln zwischen 
den Grundbedingungen eines aus - zwei Haiiptelementen zusammen- 
gesetzten Gebildes und denen seiner Coincidenz d. h. desjenigen 
specielleren Gebildes, bei dem diese beiden Hauptelemente unendlich 
nahe sind. Die Hilfsmittel zur Ableitung dieser Formeln sind einzig 
und allein das ursprüngliche Chasles'sche Correspondenzprincip, 
die symbolische Multiplication, über welche oben gesprochen ist, 
und die auf dem Princip von der Erhaltung der Anzahl beruhen- 
den Formeln des Uten Abschnitts. Sobald die letztern als bekannt 
angesehen werden, erscheinen die sänuntlichen hier entwickelten 
Correspondenz-Formeln als blosse Umformungen der Chasles' sehen 
Correspondenz formet. Damit ist dann, wie schon erwähnt ist, die 
Erweiterung des Correspondenz-Princips in der von Salmon und 
Zeuthen angebahnten Richtung vollständig erledigt. Wir lassen 
hier einige Correspondenzformeln für das Punktepaar*) und das 
Strahlenpaar folgen mit dem Bemerken, dass aus den ersten Formeln 
alle übrigen durch blosse symbolische Multiplication erhalten werden 
können. 

Die beiden Punkte eines Punlctepaars seien c und c?, ihr Ver- 



*) Inzwischen hat der Verfasser auch CoiTespondenzformeln für Gruppen 
von beliebig vielen, in einer Geraden befindlichen Punkten abgeleitet, 



H. Schubert. 359 

bindungsstrahl g, so dass, gemäss den obigen Festsetzungen, seine 
einzelnen Grundbedingungen sind: 

c, c^ e% d, d\ ä^y 9,ge, 9py 9s , G. 
Die Coincidenz dieses Punktepaares heisse s und zwar mögen 
bei 6 die Punkte c und d im Punkte h unendlich nahe liegen. Dann 
gelten folgende Formeln: 

(1) c + d — 9 = s, 

(2) x^-\-d^+9e^9p = B9, 

(3) cd — 9e = ab, 

(4) , (?-\.d^ + 9s = S9p , 

(5) cd9 — g, = elg == ege + £&^ 

(6) (?d + cd?- cd9=^'El\ 

Daraus folgen andere durch Eliminationen, z. B. 

(7) c^^cd+d^--9p = Bh + 69, 

(8) c^ + c^'d + cd"" + d^ = 69p + 6h9 + £61 

An diese Formeln schliesst sich eine Erörterung über die Ueber- 
setzung derselben in Worte*), wobei namentlich darauf aufmerksam 
gemacht wird, dass die Coincidenz des Punktepäars in drei Gattungen 
zerlegt werden kann, je nachdem man als VerbindungsstraÜl jeden 
aus einer endlichen Anzahl von Strahlen, oder jeden aus oo\ oder 
jeden aus oo^ durch die Coincidenzstelle gehenden Strahlen aufzu- 
fassen hat. Im zweiten Falle erfüllt die Coincidenz die Grund- 
bedingung 9, im dritten Falle die Grundbedingung 9p von seihst. 
Fasst man z. B. jeden Punkt einer Fläche mit jedem Punkt einer 
Raumcurve als Punktepaar zusammen, so erhält man ein dreistufiges 
System von Punktepaaren, dessen Coincidenzen in den Schnittpunkten 
der Fläche und der Rauihcurve liegen, und zwar derartig, dass 
jeder durch einen Schnittpunkt gelegte Strahl als Verbindungsstrahl 
einer Coincidenz aufzufassen ist. Folglich erfüllt hier jede Coincidenz 
die Bedingung 9p von selbst. 

Auf die Behandlung des Punktepaars folgt eine sehr eingehende 
Behandlung des Strahlenpaars, Die beiden Strahlen desselben heissen 
9 und h, - Es giebt <x>^ Strahlen, deren jeder \^ und h zugleich 
schneidet. Die von diesen schneidenden Strahlen gebildete lineare 
Congrueng habe die Grundbedingungen ß und B, wo ß resp. JB 
bedeutet, dass die Congruenz einen ihrer Strahlen in einem gegebenen 



*) In einer Abhandlung, welche im XI. Bande der Math. Ann. (S. 323) 
erscheint, sind viele Punktepaar-Formeln in Worten ausgesprochen. 



n 



360 



H. Schubert. 



Strahlbüscliel resp. in einem gegebenen Strahle besitze. Die Coin- 
cidenz dieses Strahlenpaars heisse f, und zwar mögen bei € die 
beiden Strahlen g und h im Strahle Je unendlich nahe liegen. Eine 
zweite Ausartung <S des Strahlenpaars entsteht dadurch, dass die 
beiden Strahlen g und h im Schnittpunkte c und der Schnittebene ft 
sich schiieiden, ohne im allgemeinen unendlich nahe zu sein. Eine 
höhere Ausartung aö entsteht dadurch, dass g und h sich schneiden, 
und zugleich unendlich nahe sind» Zwischen g, Ä, /S, 6^ s bestehen 
die beiden Beziehungen: 

9) ^ + Ä-^ = a, 

10) ß = a^e. 

Von Formeln höherer Dimension erwähnen wir: 

11) ß^==B + ge + K + cö, 

12) ß^^JB + g^ + h^ + ii0, 
gh = B -{-TzB, . - 

g\ + gpti = (?(i + shp — sTce + eßhy 

9^ + i^'Ä + \g%^ + Ä, + i (ft - c)2 <y = Bß^ - eßh + 2ak% 

gehe = fi^ö + sßhe -— sTz,, 

gphp = c^ö + £/SÄi, — aÄ,, 

G + 5^*^ + ö'.Äe + gphp + gh, + H= aß' - 2aß'Jc + St/SÄ^ 

Die Formel (19) repräsentirt das Correspondenzprincip im 
Strahlenraume. Im Anschluss an diese Entwicklungen wird darauf 
aufmerksam gemacht, dass gerade so wie zwischen den Grund- 
bedingungen eines Kegelschnitts und zwischen denen einer quadrati- 
schen Fläche*) gewisse allgemeine Relationen bestehen, dass so 
auch die Grundbedingungen einer linearen Congruenz durch gewisse 
Beziehungen mit einander verbunden sind. Von. diesen ist die Be- 
ziehung niedrigster Dimension folgende: 

ß (ß^ — B) (ß^ — 3B) = 0. 

In ähnlicher Weise werden dann das aus Punkt und Strahl, 
sowie das aus Punkt und Ebene bestehende Paar behandelt. 



13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 



(20) 



*) Man vergleiche des Verfassers Abhandlung über Moduln bei Flächen 
zweiter Ordnung, Math. Ann. Bd. X, S. 318, oder das Referat hier S. 364. 



H. SCHUBEBT. 361 

Aus den Strahlenpaar-Pormeln ergeben sich unmittelbar alle 
Zahlen, welche angeben, wieviel lineare Congruenzen ihre beiden 
erzeugenden Axen irgend welche Grundbedingungen erfüllen lassen, 
zugleich gegebenen Strahlbüscheln Strahlen zuführen, und dabei 
auch gegebene Strahlen enthalten. Von solchen Zahlen führen wir 
hier beispielsweise an, dass es 14 lineare Congruenzen giebt, welche 
jedem von 8 gegebenen Strahlbüscheln einen Strahl zuzuführen ver- 
mögen, und dass es 38 lineare Congruenzen giebt, welche jedem 
von 6 gegebenen Strahlbüscheln einen Strahl zuführen, imd dabei jede 
ihrer beiden erzeugenden Axen einen gegebenen Strahl schneiden 
-lassen. 

Eine zweite Anwendung der Strahlenpaar-Pormeln constatirt 
die Abhängigkeit der auf das Stürmische Problem der räumlichen 
Projectivität (Math. Ann. Bd. YI) bezüglichen Anzahlen von ein- 
ander, und bestimmt einige neue, diesem Probleme angehörige 
Anzahlen. 

Hierauf folgt die Aufdeckung des natürlichen Zusammenhangs 
der Correspondenz-Formeln für ein Paar von Gebilden mit den 
Frodtwtensätzen dieses Gebildes. Unter Productensatz ist nämlich 
im allgemeinen jeder Satz zu verstehen, welcher Bedingungen des 
Systems derjenigen Elemente, welche zweien von ein und demselben 
Elemente erzeugten Systemen gemeinsam sind, durch Bedingungen 
dieser beiden Systeme ausdrückt, im speciellen Falle also die Zahl 
der zweien Systemen gemeinsamen Elemente durch Anzahlen aus- 
drückt, welche jedem dieser beiden Systeme angehören. Die Producten- 
sätze für Systeme xon Punkten und Ebenen stecken in dem Bezou ti- 
schen Satze vom Grade der Eliminationsgleichung. Die Producten- 
sätze für Systeme von Strahlen sind erst von Halphen präcis auf- 
gestellt (Comples rendus Bd. 68, S. 141 und Bd. 74, S. 41) und 
von ihm und Zeuthen bewiesen. Hier ergiebt sich jeder Producten- 
satz für Hauptelemente als ein sehr specieller Fall einer der obigen 
Correspondenzformeln, indem immer alle Glieder der linken Seite 
bis auf eins oder zwei verschwinden. An die Ablesung der Produkten- 
sätze aus den Correspondenzformeln wird ein aus dieser Ablesung 
resultirender Beweis des Halphen'schen Satzes angeschlossen, in 
welchem von der Bedingungssymbolik und den Formeln des Ver- 
fassers absichtlich nichts vorausgesetzt wird. 

Die Punktepaar-Formel erster Dimension 

c + d — g = s 
löst ohne Schwierigkeit die bis dahin ungelösten, von Salmon auf- 



362 H. Schubert. 

gestellten (Salmon-Fiedler's Raumgeometrie IL Th., IL Aufl., Ar- 
tikel 44n) Probleme ß, y, d, s, f. 

Es ergeben sich folgende Zahlen: 
Eine Fläche nter Ordnung besitzt 

5n (w — 4) (7-n— 12) 
fünfpanktig berührende Tangenten; und 

2n{n — 4:){n — b) (w + 6) (3w — 5) 

an einer Stelle vierpunktig, an einer andern Stelle zweipunktig be- 
rührende Tangenten; und 

^n (n — 4) (n - 5) (n^ + 3n^ + 29n— 60) 

an zwei Stellen dreipunktig berührende Tangenten; und 

4^n (w — 4) (w - 5) (w — 6) {n' + 9n' + 20w — 60) 

an einer Stelle dreipunktig und an zwei Stellen zweipunktig be- 
rührende Tangenten; imd 

^n (n— 4) (w-5) (n— 6) (w-7) (n^ + 6n^ + 7n — 30) 

an vier Stellen zweipunktig berührende Tangenten.*) Diese Resultate 
sind vom Verfasser zugleich auch durch die Gott. Nachr. (Februar 
1876) publicirt. Inzwischen hat derselbe die Untersuchungen über 
die* Tangenten-Singularitäten der Fläche w^er Ordnung fortgesetzt in 
den Math. Ann. Bd. 11, S. 323. Eine weitere Anwendung der 
Punktepaar-Formeln führt zu den Anzahlen, welche sich auf die 
Berührung von Elementen zweier Curven- oder Flächen- Systeme 
erster Stufe beziehen. Von diesen Anzahlen stecken einige in den 
von Fouret aufgestellten Formeln für die implexes de surfaces. Hier 
mag als Beispiel folgender Satz Platz finden: 

„Die Berührungspunkte von allen möglichen zwei sich be- 
rührenden Flächen zweier Flächensysteme (fe-j, Vj, q^) und (ji^, v^, Q2) 
bilden eine Raumcurve vom Grade: 

Die Abhandlung schliesst mit der Besprechung der eigentlichen 
Charakteristikentheorie der drei Hauptelemente, welche durch die 
bekannten Productensätze erledigt ist. 

Die beiden anderen Abhandlungen der „Beiträge zur abzählenden 
Geometrie", welche auf diese erste Abhandlung bald folgen sollten, 
sind noch immer nicht publicirt, weil eine zeitraubende Amtsthätig- 

*) Inzwischen hat der Verfasser die analogen Zahlen für den Liniencomplex 
wten Grades bestimmt. (Math. Ann.) 



j 



H. Schubert. 363 

keit dem Verfasser wenig Zeit für die Eedaction seiner Unter- 
suchungen übrig lässt. 

Die zweite Abhandlung bestimmt, wie schon in dieser ersten 
angegeben wird, für die Plancurve dritter Ordnung mit Spitze sach- 
lich alle Zahlen, welche angeben, wieviel solcher Curven im Räume 
alle möglichen fundamentalen Bedingungen erfüllen. Unter funda- 
mentaler Bedingung wird jede Bedingung verstanden, welche für die 
Ebene der Curve, oder für ihren Punktort, oder für ihren Tangenten- 
ort oder für die 3 Ecken und die 3 Seiten ihres Singularitäten- 
Dreiecks Grundbedingungen sind, wo unter Singularitäten-Dreieck 
das aus Spitze, Rückkehrtangente, Wendepunkt, Wendetangente ge- 
bildete Dreieck zu verstehen ist. Bei dieser Gelegenheit werden 
auch die 13 fundamentalen Ausartungen dieser Curven ' mit ihren 
Eigenschaften, sowie gewisse räumliche Beziehungen des Singula- 
ritäten-Dreiecks aufgefunden. In derselben Weise wird in dieser 
Abhandlung die Plancurve dritter Ordnung mit Doppelpunkt be- 
handelt. . ' 

Die dritte Abhandlung findet bei der Jcubische>i Eaumcurve 11 
verschiedene Ausartungen, sowie deren Eigenschaften. Ferner werden 
hier von den 5374 Elementarzahlen der kubischen Raumcurve 5335 
sachlich bestimmt, wo unter Elementarzahl jede Zahl zu verstehen 
ist, die angiebt, wieviel Curven durch gegebene Bedingungen be- 
stimmt sind, welche für ihren Punktort, ihren Tangentenort und 
ihren Schmiegungsebenenort Grundbedingungen sind. Von diesen 
Zahlen greifen wir, um Beispiele zu geben, einige beliebig heraus. 

Es giebt 2200800 kubische Raumcurven, welche 6 gegebene 
Ebenen berühren, und 6 gegebenen Punkten Tangenten zuschicken, 

Es giebt 288360 kubische Raumcurven, welche 8 gegebene 
Ebenen berühren und durch 4 gegebene Geraden Schmiegungsebenen 
schicken; 

Es giebt 11424 kubische Raumcurven, welche durch 1 ge- 
gebenen Punkt gehen und 10 gegebenen Punkten Tangenten zu- 
schicken-, 

Es giebt 144 kubische Raumcurven, welche durch 3 gegebene 
Punkte gehen, 2 gegebene Ebenen zu Schmiegungsebenen haben, 
und 2 gegebene Ebenen berühren. * 

Hamburg. H. Schubert. 



364 H. Schubert. 

H. Schubert: Moduln vielfacher Bedingung bei Flächen zweiter 
Ordnung. (Math. Ann. Bd. X, S. 318—364.) 

-Für ein a stufiges System von quadratischen Flächen jFg he- 
zeichne immer das SymboJ 

die Zahl derjenigen Flächen des Systems, welche durch 6 gegebene 
Punkte gehen, c gegebene Gerade und a — 6 — c gegebene Ebenen 
berühren. Jedes dieser 

. i(a+l) (a-j-2) 

Symbole heisse eine afache Charakteristik der F2» Ferner soll ein 
elementarer Modul einer der JPg auferlegten a fachen Bedingung 
Ba eine solche ganze lineare Function der a-fachen Charakteristiken 
bedeuten, welche in jede^n beliebigen a stufigen Systeme die Zahl 
der die Bedingung Ba befriedigenden Flächen auszudrücken vermag, 
oder, was dasselbe ist, welche angiebt, wieviel Flächen die Be- 
dingung Ba und ausserdem eine ganz beliebig gewählte (9 — a) fache 
Bedingung Z erfüllen, sobald man für jedes in dem Modul vor- 
handene Symbol 

^b yc ^a-b-^o 

die Anzahl der Flächen einsetzt, welche durch b gegebene Punkte 
gehen, c gegebene Gerade berühren, a — b — c gegebene Ebenen be- 
rühren J* und ausserdem jene Bedingung Z erfüllen. 

Durch diese Definition gewirmen gewisse von Halphen (Bull, de la 
Soc. math. de France, tome II, und Comptes rendus, Band 76, 
S. 1074 — 1077) ausgesprochene Resultate folgende Gestalt: 

- j,Jede einer F^ auferlegte afache Bedingung besitzt einen ele- 
mentaren ModuV^ 

Die Richtigkeit dieses Satzes*) für a = \ war schon von 
Chasles beobachtet. Von vielfachen unzerlegbaren Bedingungen 
jedoch waren bisher nur sehr wenige hinsichtlich ihrer elementaren 
Moduln untersucht. 

In der vorliegenden Abhandlung leitet deshalb der Verfasser 
die elementaren> Moduln einer grossen Gruppe solcher Bedingungen 
ab. Die dieser Gruppe angehörigen Bedingungen, welche Ba^ir- 

*) Sein Analogon für Kegelschnitte ist in letzter Zeit namentlicli von 
Lindemann (Vorles. üb. Geom. vonClebsch, S.403 u.f.), von Halphen (Comptes 
rendus, 4 sept., 13 nov. 1876) und von Schubert (Gott. Nachr. November 1876) 
besprochen. 



H. SCHUBEHT. 365 

hedingungen genannt werden, erhält man in folgender Weise. Man 
ordne von den cx)^ in einer F2 liegenden Geraden je zwei sich 
schneidende einander zu. So erhall/ man 00^ der jPg angehörige 
Geradmpaare. Polglich ist jede Bedingung, welche eine F^ dadurch 
erfüllt, dass eines ihrer 00* Geradenpaare eine (a + 2) fache Be- 
dingung erfüllt, für die F^ afach. So erwachsen der F^ aus den 
3- bis 7 fachen Grundbedingungen des Geradenpaars gewisse 1- bis 
5 fache Bedingungen, welches die untersuchten Faarbedingungen sind. 
Dabei war unter Grundbedingung des Geradenpaares jede Bedingung 
zu verstehen, welche sich aus Grimdbedingungen'*') der 4 Haupt- 
elemente des Geradenpaares, nämlich seiner beiden Geraden, deren 
Schnittpunkt und deren Schnittebene, zusammensetzt. 

Durch die auch in den Math. Ann. Bd. X, S. 27 u. f. auf- 
gestellten, allgemeinen Beziehungen zwischen den Grundbedingungen 
incidenter Hauptelemente, gelingt es dem Verfasser, die sämmt- 
lichen Paarbedingungen durch gewisse unter ihnen, welche Haupt- 
bedingimgen genannt werden, auszudrücken. Die sämmtlichen 
Hauptbedingnngen setzen sich aus ft, v, q und 7 Hauptbedingungen 
«usammen, welche wesentliche genannt werden. Für die 7 wesent- 
lichen Hauptbedingungen erhält der Verfasser die folgenden elemen- 
taren Moduln: 

1) Die Bedingung y, dass die jFg ei^e gegebene Ebene in irgend 
einem Punkte einer auf der Ebene gegebenen Geraden berühren soll, 
hat den Modul: 

2) Die hierzu reciproke Bedingung /, dass die JPg eine ge- 
gebene Gerade in einem auf ihr gegebenen Punkte berühren soll, 
bat den Modul: 

3) Die Bedingung d, dass die F2 einen Strahl eines gegebenen 
Strahlbüschels enthalte, hat den Modul: 

4) Die Bedingung x, dass die JPg ^^® gegebene Gerade ent- 
halte, hat den zuerst von Hurwitz in Hildesheim bestimmten 
Modul: 

x = ^ [2i/»-3i/2 ^— 3i/2 Q + 3v(i^ + 2v(iQ + 3i/(>2— 2^»-2(>3]. 

*) Die Definition der Grundbedingungen der Hauptelemente ist in des 
Verfassers „Beiträgen zur abzahlenden Geometrie" (Math. Ann. Bd. X, S. 18) 
und auch in dem, in dieser Zeitschrift befindlichen Eeferäte über diese Ab- 
handlung angegeben. 

Bepertorinm für reine und angewandte Mathematik. 25 



366 H. Schubert. 

Die Bedingung w, dass die jPg eine gegebene Ebene in einem 
auf ihr gegebenen Punkte berühre, hat den Modul: 

w = ^ [—2v^ + 3i/V + 3i/« ^-^3i/^2-3t/()2 + 2/it» + 2^»]. 

6) Die Bedingung y, dass die jPg eine gegebene Gerade ent- 

* 

halten und dabei eine gegebene, durch die Gerade gehende Ebene 
in einem gegebenen, auf der Geraden liegenden Punkte berühren 
soll, hat unendlich viele elementare Moduln, welche man s'ämmtlich 
erhält, wenn man in: 

y = I [2v^(i + 2v^Q — 3i/V' - 6i/V(> — Sv^Q^ + 2vft' + Gvii^q 

+ «,. V+a,W 

den beiden willkürlichen Coefficienten a^ und cc^ alle möglichen Werthe 
beilegt, und 

F.— 2v' — bv^(i — bv^(} + 6vV + 8vV(> + 6i/'(>' 
— 4v/x^ — Gvfi^Q — ßvfiQ^ — 4vp^ 4" 4ft^(> 4* 4fi()^, 

Tr=2t/V — 2i/^p — 3vV + 3^V + 2V — 2i;(>3 
einsetzt. 

7) Die Bedingung Z, dass die jP^ zwei gegebene, sich schnei; 
dende Gerade enthalten soll, hat unendlich viele elementare Moduln, 
welche man sämmtlich erhält, wenn man in 

Z=^ [2v^ — v^li — v^Q + 2i/V^ — 2i/V(> — 2i/V(>^ 
— 4/x*() — 4ft(>*] 

+ ß,.vW+ß,.(iW+ß,.QW 
+ ß,. ^* (2^-v) + /J«. (»* (29-1;) 

den 8 willkürlichen Coefficienten ß^ . . . . ß^ alle möglichen Werthe 
beilegt, und für V und W die eben unter 6) angegebenen Functionen 
einsetzt. Die Mittel zur Ableitung dieser und der Moduln der übrigen 
Paarbedingungen werden dem Verfasser geliefert sowohl durch die 
allgemeinere Fassimg, welche derselbe im III. Abschnitte seiner 
„Beiträge zur abzählenden Geometrie" dem Corre^pondenzprindpe 
giebt, wie auch durch das Prindp von der Erhaltung der Anzahl 
(Beitr. z. abz. Geom. §. 7). 

Die willkürlichen Coefficienten, welche bei den oben angegebenen 
Moduln fürvj/ und für is auftreten, weisen darauf hin, dass zwischen 
den 15 vierfachen Charakteristiken der jPg 2 und nicht mehr als 2 von 
einander unabhängige Relationen bestehen, nämlich 

F=0 und TF=0, 



H. SCHUBKÄT. 367 

und dass zwischen den 21 fünffachen Charakteristiken 8 und nicht 
mehr als 8 von einander unabhängige Relationen bestehen, nämlich 
die 6, welche sich aus F== und W=0 durch Multiplication mit 
ft, Vy Q ergeben, und ausserdem: 

2^^ — fi^v = sowie 

Es sind also höchstens 13 vierfache und höchstens 13 fünffache 
Charakteristiken von einander unabhängig. Im Anschluss an diese 
Resultate beweist der Verfasser den allgemeinen Satz, dass bei jedem 
Gebilde mit der Constantenzahl c die höchste Zahl der von einander 
unabhängigen a fachen Charakteristiken gleich der höchsten Zahl 
der von einander unabhängen (c — a) fachen Charakteristiken ist. 
Da. femer gezeigt wird, dass zwischen den 3 einfachen, den 6 zwei- 
fachen und den 10 dreifachen Charakteristiken der F2 keine Rela- 
tionen bestehen, so giebt jener Satz das Resultat, dass zwischen den 
28 sechsfachen Charakteristiken 18, zwischen den 36 siebenfachen 
30, zwischen den 45 achtfachen Charakteristiken 42. von einander 
imabhängige Relationen bestehen müssen. . Diese Relationen kann 
man durch gewisse Eliminationen aus den Elementarzahlen (Borch. 
J. Bd. 71, S. 383) der F^ leicht erhalten. 

Diese Resultate für die jPg hängen mit den analogen Resultaten 
für den Kegelschnitt im Baume durch eine der drei Ausartungen der 
F2 zusammen, nämlich durch diejenige, auf welcher die Punkte zwei 
zusammenfallende Ebenen bilden, und die Tangenten die sämmt- 
lichen 00^ Secanten eines in ihnen liegenden Kegelschnitts sind. 

Die Charakteristiken des Kegelschnitts im Räume setzen sich 
aus den 3 Bedingungen m, n, r zusammen, wo m bedeutet, dass 
der Kegelschnitt seine Ebene durch einen gegebenen Punkt schicke, 
n bedeutet, dass er eine gegebene Gerade schneide, r bedeutet, dass 
er eine gegebene Ebene berühre. 

Der Verfasser findet, dass zwischen den 3 einfachen und den 
6 zweifachen Charakteristiken des Kegelschnitts keine Relation be- 
steht, dass aber zwischen den 10 dreifachen Charakteristiken eine, 
und nur eine Relation besteht. Diese heisst: 

K^ 2n^ — 3wV + 3wr^ — 2r^ — 6mn^ + 4mnr -|- 12m^n 

— 8m^r = 0. 

Aus dieser Formel erhält man die speciellere, in Clebsch- 
Lindemann's Werke auf S. 406 mit Nr. 11 bezeichnete Cremona- 

26* 



368 H. Schubert. — E. Bebtini. 

Hälphen'sche Formel, wenn man die Ebene des Kegelschnitts als 
fest annimmt, d. h. m = setzt. 

Zwischen den 14 vierfachen Charakteristiken bestehen 4, und 
nur 4 von einander unabhängige Relationen, nämlich ausser 

mB. = 0, njR = 0, ri? = 

noch eine von diesen unabhängige. Daraus folgt nun, dass beim 
Kegelschnitt im Räume höchstens: 

3 einfache, 6 zweifache, 9 dreifache, 10 vierfache 

Bedingungen von einander unabhängig sind, woraus wir mit Hilfe 
des oben erwähnten allgemeinen Satzes femer schliessen können, 
dass auch höchstens 

3 siebenfache, 6 sechsfache, 9 fünffache 
Bedingungen von einander unabhängig sein können. 

Hamburg. H. Schubert 



E. Bertini: Sistema simultaneo di due forme biquadratiche binarie 

(pubblicato nel giornale di Napoli t. XIV e riprodotto nei Mathe- 
matische Annalen t. Xl). 

I metodi esposti nella importantissima opera di Clebsch Tlmyrie 
dei' binären algebraischen Formen sono applicati alla ricerca del 
sistema simultaneo di due forme biquadratiche. Si dimostra che 
questo sistema si puö ridurre a sole 30 forme, proprieta gia data 
da Gor d an (Math. Ann. t. 2 p. 273). Si stabiliscono inoltre varie 
relazioni sussistenti fra le forme del sistema e in particolare quella 
unica che ha luogo fra gli otto invarianti. 



E. Bertini: Sopra una olasse di trasformazioni univoche involii- 
torie. (Annali di Matematica t. VIII.) 

« 

Lo scopo di questo lavoro e la determinazione -delle trasfor- 
mazioni univoche, le quali sono anche involutorie (cioe tali che due 
punti si corrispondono in doppio modo), nel caso particolare studiato 
da Jonquieres (Nouvelles Annales de Mathematiques, 1864), nel quäle 
alle rette corrispondono curye di ordine n aventi a comune un 



J 



E. BeKTINI. — LÜROTH. 369 

punto (n — ly^^ e 2 (w — 1) punti semplici. Lo studio di tutti i casi 
che si possono presentare conduce alle seguenti proprietä, nelle 
quali per curva punieggiata unita s'intende una curva, di cui ciascun 
punto corrisponde a se stesso: 

a) Ogni trasformazione involutoria di Jonquieres che ammette 
una curva punteggiata unita di genere p > 0, e deducibile con 
successive trasformazioni quadratiche dalla trasformazione involutoria 
d' ordine p -{- 2 che ammette una curva punteggiata unita d' ordine 
2> + 2 con un (solo) punto p^^^ nel punto (p -j- 1)^^^^ della trasfor- 
mazione. 

b) Ogni altra trasformazione involutoria di Jonquieres e dedu- 
cibile con successive trasformazioni quadratiche dall' omologia 
armonica. 

Si osserva ancora che ogni trasformazione univoca involutoria 
che ammette una curva punteggiata unita di ordine n e necessaria- 
mente una trasformazione di Jonquieres. 

Pisa. E. Bertini. 



Lüroth: Das Imaginäre in der Geometrie und das Rechnen mit 
Würfen. (Zweite Abhandlung.) (Math. Annalen Bd. XI. S. 84.) 

Die erste Abhandlung obigen Titels (erschienen im VIII. Bande, 
S. 145 der math. Annalen) giebt eine Darstellung der von v. Staudt 
vorgeschlagenen Darstellung des Imaginären in deir Geometrie und 
des von demselben Geometer erfundenen Rechnens mit Würfen. Die 
oben angeführte zweite Abhandlung beschäftigt sich mit einer von 
Klein vorgeschlagenen Interpretation des Imaginären mit Hilfe 
cyklisch-projectivischer Punktreihen. Der erste Theil der Arbeit ist 
der näheren, rein geometrischen Betrachtung dieser Punktgruppen 
gewidmet. Sind mit a^ ag . . . a« die Punkte einer Gruppe bezeichnet, 
so heisst sie oyTäisch-projectivisch, wenn a^Og ... an7\^2 ^3 ••• ^« ^s^- 
Es zeigt sich; dass die Gruppe vollständig und eindeutig bestimmt 
ist, wenn drei, in der Geraden aufeinanderfolgende Punkte derselben 
gegeben sind, und dass jeder andere, nicht zur Gruppe gehörige 
Punkt der Geraden eine neue Gruppe bestimmt, von der gesagt wird, 
sie gehöre mit der gegebenen zu derselben cyTdischm Involution. 
Bei der Betrachtung von cyklisch-projectivischen Punktgruppen eines 



370 LÜBOTH. 

Kegelschnittes ergiebt sich eine vollständige Analogie mit den regulären 
Polygonen, die einem Kreis eingeschrieben sind, indem jede cyklisch- 
projectivische Gruppe auf einem Kegelschnitt aus den Ecken eines 
regulären Polygons durch Projection abgeleitet werden kann. In 
Folge dessen gehört, wie zu jedem regulären Bjreispolygon die 
unendlich ferne Gerade, so zu jeder, cyklischen Involution eines 
Kegelschnittes eine Gerade, die umgekehrt, wenn sie gegeben ist, 
die cyklische Involution eindeutig bestimmt. 

Im zweiten Theil der Arbeit wird der Nachweis geführt, dass 
mit Hilfe der cyklisch-projectivischen Gruppen eine consequente 
Interpretation des Imaginären in der Geometrie durchgeführt werden 
kann, bei der, ebenso wie bei der v. Staudt'schen, die für reelle 
Gebilde gültigen Sätze ihre Gültigkeit beibehalten, und die, bei 
blosser Anwendung des Reellen bleibenden, Ausnahmen beseitigt 
werden. 

Karlsruhe. Lüroth. 



L ü r o t h : Vergleiohung zweier Werthe des wahrscheinlichen 
Fehlers. (Astron. Nachrichten Nr. 2078, Bd. 87.) 

Gegenstand dieser Abhandlung ist wesentlich die Vergleichung 
der Wurzel q = 0,47694 der Gleichung 



Q OD 

/e~** dx = I e — 



flO 

*" dx 
0- f 



mit der Wurzel Qp der Gleichung 






''v 



in der p eine positive ganze Zahl bezeichnet. Es ergiebt sich durch 
einen allgemeineren Satz über .Wurzeln solcher Gleichungen ein- 
fach, dass 

dagegen, auf einem complicirteren Wege, die genauere Begrenzung 



'>^<»-<»y|- 



LüEOTH. — M. NOETHER. 371 

I 

Die Zahl q wird gebraucht bei Berechnung des wahrschein- 
lichen Fehlers bei p überschüssigen Beobachtungen, wenn man das 
Präcisionsmaass als bekannt annimmt, während Qp anzuwenden ist 
bei unbestimmt gelassenem Pr^cisionsmaasse. 

Earlsrjihe. Lüroth. 



M. Noether: «Zur Eliminationstheorie. (Sitzungsber. der phys.-mcd, 
Soc. in Erlangen am 4. Dec. 1876.) 

Ein algebraisches Gebilde, von m Dimensionen und vom Grade 
(i, das durch irgend ein System von Gleichungen zwischen den 
Variabein 

•A/i • f^^y • • • • »A/f 

gegeben ist, kann, mittelst Elimination einiger der Variabein, durch 
ein Gleichungssystem der Form definirt werden: 

WO, wenn (a^i =^ a?2 = . . . = i^?;» + 2 = 0) kein Werthsystem des Ge- 
bildes ist, f eine homogene Function ^'^, die ^ solche Functionen 
Q^, q) eine solche (q — 1)'^ Ordnung von x^y iCg? • • ^»» + 2 sind. 

Für das Schnittgebilde zweier solcher Gebilde, bez. von den 
Dimensionen m, n und den Graden fi, v, existirt der Satz, dass der 
Grad desselben = 11, v ist (vorausgesetzt, dass m -\- n^r — 1, und 
dass die beiden Gebilde nicht ein solches von wenigstens m -{- n 
— r -j- 2 Dimensionen gemein haben). Aber dieser Satz war bisher 
nicht streng bewiesen worden. Erst H. Halphen hat in einem Auf- 
satze im Bull. d. 1. Soc. math. d. France, t. II, p. 34, die Idee zu 
einem Beweis gegeben, indem er durch Zufügung weiterer Variabein 
und einer Reihe von linearen Gleichungen die Eliminationsaufgabe 
auf eine solche von einer Variabein aus zwei Gleichungen zurück- 
zubringen sucht. In der vorliegenden Note wird der Beweis in einer 
für alle Fälle gültigen, strengen Gestalt geführt. 

Erlangen. M. Noether. 



L 



372 



Helhebt. 



Helmert: Ueber die Wahrscheinlichkeit der FotenEsummen der 
Beobachtungsfehler nnd über einige damit im Zusammen- 
hange stehende Fragen. (Zeitschr. f. Math. u. Phys. v. Schön- 
milch, 1876. S. 192—218.) 

Die absoluten Werthe von n Beobachtungsfehlem (wahren 
Fehlem) seien e^ . . . a«, die Summe ihrer m'«'* Potenzen nöm, der 
durchschnittliche Werth aller möglichen n0m gleich nSm- Die Wahr- 
scheinlichkeit, dass [£"»] zwischen nlöm ^) und n\0m + -^j lieg«; 

werde mit 9? (0m)n ^m bezeichnet. Hierdurch ist zugleich die Wahr- 
scheinlichkeit der Differenz S,„ — <?* = «^m charakterisirt. Betrachtet 
man aber verschiedene hohe Potenzsummen, so sind offenbar deren 
Wm nicht vergleichbar. An Stelle der Abweichungen Wm setzt mau 
daher besser andere, Vm^ wofür 

Der vorliegende Aufsatz beschäftigt sich damit^ zunächst die 
einfachen Fälle zu betrachten, wo n = 1 oder 2, m = 1, 2 oder 3 
ist und die Wahrscheinlichkeit eines Beobachtungsfehlers s entweder 
constant ist oder der Gauss'schen Exppnentialfunction folgt. Für 
diese Fälle werden die Wahrscheinlichkeitsfunctionen g)(ö) und g>(v) 
abgeleitet und letztere auch graphisch dargestellt. Die weitere Be- 
handlung der Fälle n > 2 und m > 3 ist unterlassen und nur der 
Fall m = 2 für beliebiges w, als zu eleganter Formel führend, be- 
handelt. 

Ist Ä die Präcision der Beobachtungen, so wird für diesen Fall 



9K)n*2 = 



^-1 



fpiv^^dv., 



2 



© 



„\\(l+.v,Y-^e-i" + -''dv 



0(1) 

Vg > — 1. 



Die Annäherung an die Gauss'sche Pehlerfunction ist Gegen- 
stand weiterer Untersuchung. Da sie evident ist, die andern nicht 
behandelten Fälle aber ein ganz ähnliches Verhalten andeuten, so 
ist auch für diese einigermaassen der Grad dep Annäherung an diese 
Function bei wachsendem n charakterisirt. Mit Hülfe von Dis- 
continuitätsfactoren wird schliesslich für beliebig denkbares Fehler- 



Helmebt. 373 

gesetz noch nachgewiesen, dass die in Rede stehenden Wahrschein- 
lichkeitsfunctionen, wenn nur n nicht zu klein ist, die Form der 
Gauss'schen Function annehmen. 

Zwei vorletzte §§. des Aufsatzes beschäftigen sich mit deV 
Frage der günstigsten Hypothesen zur Berechnung des Genauigkeüs- 
maasses. Man kann sich die Fälle hierbei sehr verschieden denken. 
Zur absolut günstigsten Hypothese kann man nur gelangen, wenn alle 
e einzeln gegeben sind. Bei constanter Fehlerwahrscheinlichkeit 
setzt man dann den 

Maximalbeob.-Fehler a = dem beobachteten grössten s. 

Bei Vorhandensein des Gauss 'sehen Fehlergesetzes ist dagegen 
bekanntlich nach Gauss zu nehmen die Präcision 



'•-Vwy 

Sind die Fehler einzeln nicht gegeben, sondern nur [f] oder 
[a^] oder irgend eine andere Potenzsumme, so erhält man nur eine 
relativ günstigste Üypothese. 

Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit constant, so ist zu setzen 

a = y (m -{- l) 0m , falls n gross. 
Bei kleinen n gilt diese Formel nicht. Man hat 
a = £ für w = 1, m beliebig 

a = y^ fürn = 2, m = 1 bis 3. 

Diese günstigste Berechnung scheitert für n > 2 daran, dass es 
schwer ist, allgemeine Formeln zu gewinnen. Man wird sich daher 
begnügen, eine praktisch bequeme Hypothese zu substituiren und an- 
nehmen, dass öm gleich Sm sei-, für grosse n erhält man damit 
zugleich wieder die relativ günstigste Hypothese. Man setzt also 

a = }/ (m + 1) ö,a 

und hat den Exponenten m möglichst hoch zu nehmen (falls man 
die Wahl hat), um der besten Hypothese möglichst nahe zu kommen. 
Besteht das Gauss'sche Fehlergesetz für die Beobachtungsfehler 
€, so ist 



»"-f„0+^')l 



wobei 



7 ^ 

h"' = -- genähert, 

m 



'"^-y^' ^"=^' 



n gross, 



374 Helmebt. 



a= 1.2.3 



... ( — 2 — ) / — ; we ungerade 



m 



a = 1 . 3 . 5 . . . (m — 1) 2 ^' m gerade 

^=1.3.5.'..(2m— 1)2-^ 

Ist n klein; so geben diese Formeln nicht die relativ günstigste 
Hypothese, da man diese aber für beliebige kleine n nicht ermitteln 
kann; behält man die Formeln als praktisch-bequeme Hypothese bei, 
was um so zulässiger ist, als dieselbe sich der relativ-günstigsten 
mit wachsendem n rasch zu nähern scheint. 

Ein letzter § giebt nun noch den wahrscheinlichen Fehler der 
Hypothesen an (für Gauss'sches Gesetz der Beobachtungsfehler). Ist 
^m gegeben, so sind bei grossen n die wahrscheinlichen Grenzen 
von h und der wahrscheinlichste Werth desselben (s. o.) 

j7^ fl + 0,6745 l/Ei^ 

Durch Betrachtung des Falles w = 1 , m = 1 bis 3, wird noch 
gezeigt, dass diese Formel auch bei kleinen n als eine Näherung 
brauchbar ist. 



Helm er t: Die Genauigkeit der Formel von Feters zur Berechnung 
des wahrscheinlichen Beobaohtungsfehlers directer Be- 
obachtungen gleicher Genauigkeit. — Die Berechnung des 
wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers aus den Quadraten 
der Verbesserungen directer Beobachtungen gleicher Ge- 
nauigkeit und die Fechner'sche Formel. — Die Be- 
rechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers aus 
den ersten Potenzen der Differenzen gleich genauer di- 
recter Beobachtungen. (Astronomische Nachr. Nr. 2096 — 2097, 
Bd. 88, S. 115.) 

Die Peters'sche Formel lautet: es ist der wahrscheinliche Be- 
obachtungsfehler 

9 = 0,845351;^^=^^, 
^ ' yn(n— 1) ' 



Helmert. 375 

wo A die Verbesserungen der n Beobachtungswerthe auf ihr arith- 
metisches' Mittel sind. Der mittlere Fehler dieser Bestimmung 
von Q wird nun zunächst in der Abhandlung aufgesucht und ge- 
funden gleich 

y^ + aresin — n + }/n(«--2) 
2 ' n— 1 ' 
n 

oder in immer ausreichender Näherung 



Hiemach berechnet sich derselbe gleich (je nach der ange- 
wandten Formel) 

+ 0,756 Q oder 0,756 (> bei w = 2 

0,525 0,534 3 

0,430 0,436 4 

0,373 0,378 5 

0,250 0,252 10 

0,756 : Yn— 1 (x> 

Der wahrscheinliche Fehler in der Bestimmung von q folgt 
hieraus durch Multiplication mit' 0,67449 solange n gross ist; ist 
« = 2, so hat man ihn nach dieser Regel gleich + 0,510(>, während 
eine strenge Ableitung + 0,443 ^ ergiebt. 

Die günstigste Berechnung ties wahrscheinlichen Beobachtungs- 
fehlers Q erfolgt mittelst des mittlem Fehlerquadrates ft^ nach den 

Formeln : 

Q = 0,67449 ^ 

.-i/„^(i±)/^). 

Das Wurzelglied in den Parenthesen ist selbst wieder der mittlere 
Fehler der Bestimmung. Diese Formeln werden scharf begründet 
bezw. verbessert. Zunächst wird zu dem Zweck die Wahrscheinlich- 
keit des Fehlersystems Ai....A« abgeleitet und gefunden 



Mvs) 



-\-""' dl....di.-,- 



Daraus folgt sofort als günstigste Hypothese für h^ oder jt* 

2Ä» w— 1 f^ 



rlr. 



i' 






376 Helmebt. 

Als Wahrscheinlichkeit einer Summe [XX] = 6 ergiebt sich weiter 
derselhe Werth, wie für die Wahrscheinlichkeit einer Quadratsumme 
[^J von n — 1 wahren Fehlern t gleich 6 zu sein, d. i. nach der 
oben citirten Abh. in Schlom. Zeitschr. 



m 



3 

" e -da. 



Ä»-l .-y- -A'ö 



Hiermit berechnet sich nun auch der mittlere Fehler in der 
Bestimmung von ft, den die oben angegebene Formel nicht correct 
giebt, trotzdem der mittlere Fehler für ft* ganz richtig ist, weil sie 
aus diesem unter der nicht immer zulässigen Voraussetzung be- 
rechnet ist, dass derselbe klein sei. Man erhält genauer 

Q = 0,67449 )/iiiL 
mit dem mittlem Fehler 



±9 



2_- A2i_i/.;«_:. 

/n— 1\ r « — 1 



Folgende Tabelle zeigt den mittlem Fehler in der Bestimmung 
von Q^ berechnet nach der altern und nach der zuletzt angegebenen 
Formel: 

+ 0,707 Q und + 0,636 9 bei » = 2 
0,500 0,477 3 

0,408 0,397 4 

0,354 0,346 1 5 

0,236 0,234 10 

0,707 : Vw — 1 00 

Aus diesem mittleren Fehler folgt der wahrscheinliche durch 
Multiplication mit 0,67449, wenn n gross ist; ist w = 2, so giebt 
diese Regel + 0,477 q anstatt des strengen Werthes + 0,382 (>.' 

Fe ebner hatte im Jubelbande von Pogg. Ann. folgende Formel 
angegeben: 



if = 0,67449 [val abs A] jZ-^jy^-xf;^ 



(« + 2«--4) 

Diese Formel wird in der Abh. streng abgeleitet und gefunden 



Q == 0,67449 [val abs A] |/^ 



^ : (n — 1) 



»; . »«^ 7 L J ■/ J • 

r . r « + 2 aresin + 2 Vn (n — 2) 



1 



J 



Hklbcebt. 377 

Es ist jedoch kein irgend erheblicher Unterschied zwischen 
diesem und dem Fechn er 'sehen Ausdruck, den man auch wie folgt 
schreiben kann: 

o - 0,84686 — i^"^ J 



|/,(._i^)- 



Diese Formel schliesst sich für kleine n eng an die beste Be- 
rechnung von 9 an, im Gegensatz zur Peters 'sehen Formel. .Für 
grosse n fallt sie mit dieser zusammen. Der mittlere Fehler in 
dieser Berechnung von q wird gleich 



±>y2-y2 



8 (n — 1) 



also 

+ 0,636 (> bei w = 2 

0,486 . 3 

0,408 4 

0,359 5 

0,246 10 

0,756 : Yn—i cx) 

Der wahrscheinliche Fehler folgt hieraus bei grossen n durch 
Multiplication mit 0,67449; bei w = 2 giebt diese Regel + 0,477 q 
anstatt des strengen + 0,382 q. 

Der letzte Theil der Abhandlung giebt strenge Beweise einer 
von Herrn von Andrae aufgestellten Formel für die Berechnung 
von 9, die derselbe nur aus einer unvollständigen Induction gezogen. 

Es ist, wenn [d] die Summe der — ^-^ BeobachtungsdiflFerenzen 

(nach dem absoluten Werth genommen) bezeichnet 

Q = 0,84535 -^r^< . 

^ ' n (n — 1) 

mit dem mittleren Fehler 



l/-^—n + 2(n — 2)yS — ^n + 6 ^ 



— 9 ' w (n ^ 1) 

Speziell hat man den letztem gleich 

+ 0,756 Q hei n=f 2 

0,525 3 

0,425 4 

0,366 5 

0,241 10 

0,715 iVw— 1 oü. 



378 Helmert. 

Ist n klein, so ist Fechner's Formel schon der Genauigkeit 
wegen vorzuziehen; wegen ihrer weit grösseren Bequemlichkeit wird 
man sie immer vorziehen. 

Der wahrscheinliche Fehler in der Bestimmung von q folgt 
aus dem mittleren durch Multiplication mit 0,67449; ist w = 2 so 
giebt diese Kegel + 0,510 q anstatt des strengen Werthes + 0,443 9. 



Helmert. Untersuchung über den Einfluss eines regelmässigen 
Fehlers im Gange der Ooularröhre des Visirfemrohrs auf 
Messungen, insbesondere auf das geometrische Nivellement. 

(Zeitschr. des Arch. und Ing.-rVer. zu Hannover. XXII. Heft 3.) 

Eine mündliche Mittheilung des Herrn Director Cohen Stuart 
aus Delft verfolgend, untersucht Verf. den Einfluss einer Abweichung 
der Bichtung der Bewegung der Ocularröhre von einer corrigirten 
Visiraxe. Es findet sich, dass ein aus Zielhöhendifferenzen abge- 
leitetes Nivellementsresultat frei von den durch die Bewegung der 
Ocularröhre entstehenden Fehlern bleibt, solange diese Bewegungen 
als- geradlinig angesehen werden können und sobald entweder die 
corrigirte Visiraxe sich auf eine Ocularstellung für sehr entfernte 
Objecte bezieht, oder die Summen der Rück- und Vorwärts-Ziel- 
distanzen gleich gross genommen werden. 

Bislang fehlte bei der Theorie des Nivellements geradezu jede 
Untersuchung in dieser Beziehung, und man nahm nur an, dass ein 
Nivellirinstrument auf richtige Ocularröhrenbewegung untersucht 
sein müsse, ohne von. dem Falle eines Fehlers zu reden. 

Die Untersuchung wird durchgeführt für ein Visirfernrohr, dessen 
Ocular ausserhalb des Fadenkreuzes liegt und für ein solches, dessen 
Ocular dieses Kreuz einschliesst — Huyens'sches Ocular. Für 
diesen Fall wird auch der Begriff Visiraxe definirt, was unseres 
Wissens noch nicht geschehen war. Endlich wird auch kurz der 
Fall besprochen, wo das Objectiv beweglich ist, wie bei englischen 
und amerikanischen Instrumenten. 



j 



Helmebt. 379 

Helmert. Zur Untersuchung der NivelUrfemrohre. (Zeitschr. f. 
Vermessungswesen. 1876. S, 34 — 38.) 

Wenn man ein in Ringen drehbares Fernrohr während der 
Beobachtung dreht, so beschreibt das Bild in der Regel einen Kreis, 
welcher davon herrührt, dass nicht nur der optische Mittelpunkt des 
Objectes, sondern auch der des Oculars excentrisch liegen. Per Aufsatz 
beschäftigt sich mit der Bestimmung derartiger Excentricitäten bei 
drehbaren und nicht drehbaren Fernröhren und zieht auch ein 
Beispiel für einen concreten Fall herbei. 



Helmert. Ueber das Vertioalaxensystem des Repetitionstheodoliten. 

(Zeitschr. f. Vermessungswesen 1876. S. 296—300.) 

Dieser Aufsatz behandelt zwei Fälle : denjenigen, wo man beim 
Beginne der Arbeit die Repetitionsaxe vertical stellt und denjenigen, 
wo man (wie es meist geschieht), die Alhida'denaxe vertical stellt. 
Letzterer Fall ist der ungünstigere, sobald beide Axen einen kleinen 
Winkel mit einander einschliessen, was schon daraus folgt, dass 
im ersten Falle die Alhidadenaxe zwar immer schief irt, aber ihre 
Lagen einen Kegel mit verticaler Axe bilden, während im andern 
Falle dieser Kegel schief liegt. 

Repetirt man bei verticaler Repetitionsaxe wmal, so ist die aus 

der Axen-Convergenz v folgende Verbesserung des einfachen Winkels 

. nÄ 



(I) ^ 



sm 



n . A 

sin -- 

2 



sin ( ^ "^ ^ 2 "^ ) ^^* ^ """ ^^^ ( ^ ~^ ^ 2 ^ )^^*^ 



worin z und / die Zenithdistanzen für das linksliegende und rechts- 
liegende Object des Winkels A sind und w der horizontale Winkel 
zwischen der Verticalebene von v bei der ersten Einstellung aufs 
linksliegende Object und der Verticalebene durchs linksliegende 
Object ist. 

Repetirt man aber, nachdem anfangs die Alhidadenaxe vertical 
gestellt worden ist, so hat man dieselbe Grösse gleich 

(II) — I — V I sin(J. + w?)cot/ — sin«e;cotj8^|. 

Während I mit n abnimmt, thut II wegen des hinzugetretenen 
Gliedes dies nicht. I lässt sich durch geeignete Wahl von n ver- 
nichten oder nahezu vernichten, dagegen II aber nicht. 



380 Helmebt. 

Helmert. Zu Galles Methode der Nordlichtshöhen. (Astr. Nachr. 

2070.) 

Galle nimmt bei seiner Bestimmung der Höhe der Nordlicht- 
strahlen an^ dass sie die Richtung der magnetischen Inclinations- 
nadel normal unterhalb auf der Erdoberfläche haben. Der Aufsatz 
leitet aus der Gauss'schen Potentialfunction für die erdmagnetische 
Kraft die Aenderung der Inclination mit der Meereshöhe ab. Die- 
selbe erweist sich nicht geradezu als in allen Fällen zu vernach- 
lässigen. 



Helmert: Constante Fehler in Comus Bestimmung der Licht- 
geschwindigkeit. (Astr. Nachr. 2072.) 

Verf. fand bei näherer Untersuchung der Cornu'schen Beob- 
achtungswerthC; dass sie regelmässige^ von der Drehgeschwindigkeit 
des Rades abhängende Abweichungen untereinander zeigen. Welches 
der richtige' Werth der Lichtgeschwindigkeit ist, lässt sich schwer 
angeben und jedenfalls dürfte der von Comu aus allen Beobachtungen 
abgeleitete Werth nicht ganz das hohe Maass von Zutrauen verdienen, 
das man ihm sonst wohl beizulegen geneigt ist. 



Helmert: Discussion der Beobachtungsfehler in Eoppe*8 Ver- 
messung der Gotthardtunnelaxe. (Zeitschr. f. Yermessmigs- 
wesen. 1876. S. 146 — 155.) 

Es werden zuerst ausführlich die Verbesserungen der Horizontal- 
winkel discutirt Dieselben befolgen nicht streng das Gauss'sche 
Gesetz, sondern häufen sich etwas an um den mittleren Fehler 
herum. Deutet dies auf constante Fehler, welche den Richtungen 
im Netz anhaften, so zeigt dies noch schärfer die Vergleichung des 
wahrscheinlichen Fehlers einer Richtungsbeobachtung nach der Netz- 
ausgleichung mit derjenigen nach der Stationsausgleichung, 1",04 
gegen 0",88. Im letzteren Werth stecken ausserdem noch systema- 
tische Theilungsfehler, welche aus den Messungen nachgewiesen und 
geschätzt werden. Schliesslich ergiebt sich + 0",8 als wahrschein- 
licher Betrag der constanten Fehler der Richtungen im Netze. 



J 



Helmebt. 381 

Die trigonometrischen Höhenmessungen waren von Koppe nach 
der Hypothese 

Gewicht = 100 : (Distanz in Kilometern)* 

ausgeglichen worden. Die Verbesserungen der Höhen zeigen, dass 
es besser ist, die Gewichte proportional den Quadraten dieser Werthe 
zu nehmen — es wachsen also die Höhenfehler mit den Quadraten 
der Distanz ; ein Umstand^ der darauf hinweist^ dass sie wesentlich 
von der Refraction herrühren. 



Helmert: Näherungsformeln für die Gauss'sohe Frojeotion der 
nannover*sohen Landesvermessung. (Zeitschr. f. Yermessungs- 
wesen 1876. S. 238— 253.) 

Die Gau SS 'sehe Projection des EUipsoids auf die Ebene ist 
wenig bekannt in der Praxis, weil die Formelentwicklungen etwas 
umständlich sind. Beschränkt man sich aber auf Gebiete von 
400 '^ Längen- und Breitenerstreckung, so lässt sich die Sache sehr 
einfach dserstellen. Man hat dann aus Gauss^ Untersuchungen nur 
zu adoptiren, dass innerhalb dieser Ausdehnung ein merklicher 
Unterschied zwischen den Dimensionen auf dem Ellipsoid und einer 
conformen Uebertragung auf eine Kugel mittlerer Krümmung nicht 
existirt. Darf man also das beobachtete Netz als auf dieser Kugel 
liegend annehmen, so handelt es sich nur darum, es conform von 
der Kugel auf die Ebene zu übertragen. Die sehr einfachen Ent- 
wickelungen zeigen einen innigen Zusammenhang mit den Formeln 
für rechtwinklige sphärische Coordinaten nach Soldner, so dass der 
Uebergang aus einem System ins andere sehr leicht ist. Die Be- 
nutzung der Gauss'schen Formeln erscheint aber dem Verf. be- 
quemer als diejenige der Soldner'schen, was ausführlicher zu 
begründen versucht wird. Für die Correction der gemessenen 
Richtungswinkel, welche Gauss' Projection heischt, giebt Verf. eine 
graphische Tabelle, die innerhalb der gesteckten Grenzen völlig 
ausreicht. 



Bepertorium ftir reine und angewandte Mathematik. 26 



382 HeLMEBT. 

Helmert: Zur Herstellung graphischer Tabellen mit swei Ein- 
g^Lngen. (Ztschr. f. Vermessmigswesen 1876. S. 24 — 34.) 

Ist w eine Function der Argumente u und t;, gegeben durch die 
Gleichung 

F (Wy u, v) = 0, 

so werden die Linien, welche alle Punkte mit den rechtwinkhgen 
Coordinaten u uud v för einen constanten M;Werth enthalten, im 
Allgemeinen Curven sein. Bildet man aber die Curven dadurch ab, 
däss man als rechtwinklige Coordinaten nicht u und t?, sondern 
X = fi{u) und y = ^2(1;) nimmt, so lassen sich die Functionen f^uadf^ 
unter Umstanden so wählen, dass die Curven in Gerade übergehen. 
Der Aufsatz untersucht, vom Einfachen zum Schwierigeren aufstei- 
gend, die Bedingungen dazu. Im Allgemeinen hängt die Möglich- 
keit der Abbildung durch Gerade ab von der Gleichung 

dF du 

du dx /./ N » 

dv dy 

worin f{w) eine beliebig zu wählende Function und w aus F{w^ w, t?) = 
zu entnehmen ist. In dieser Gleichung müssen sich die Variablen 

derart sondern lassen, dass u und -^ links, t? und -^ rechts stehen, 

wenn die gewünschte Abbildung möglich sein soll. Die Integration 
links und rechts ergiebt dann sofort auch die Functionen /i xmAf^, 

Der Aufsatz behandelt auch die. Abbildung durch Kreise, be- 
schränkt sich aber auf den Fall concentrischer Kreise. Solche sind 
immer möglich, wenn parallele oder in einem Punkt sich schneidende 
Gerade möglich sind. 

Selbstverständlich ist auch des Falles gedacht, dass u oder v 
als Functionen, w^ v oder w, w als Argumente genommen werden. 

Als Beispiel dient das graphische Einmaleins, welches auf einem 
Kärtchen in vier verschiedenen Formen dargestellt ist. 

Aachen. Helmert. 



Guido Haück. 383 



Guido Hauok: Grandzüge einer axonometrisohen Theorie der 
darstellenden Perspective. I.' Planperspectivey ü. Fer- 
spectivische nnd projeetivisohe Collineation im Baume. 

(Zeitscliriffc für Mathematik und Physik 1876. Bd. 21, S. 81—99 u. 
S. 402—462, mit 2 Tafeln.) 

Eine eigenthümliche Erscheinung auf dem Gebiete der de- 
scriptiven Geometrie ist die Axonometrie, welche zuerst von Weiss - 
bach auf die orthogonale Parallelperspective beschränkt — , von 
Pohlke durch den nach ihm benannten Satz auf die allgemeine 
Parallelperspective übertragen wurde und in Folge der Leichtigkeit 
und Handlichkeit ihrer Anwendung eine überraschend schnelle 
Carriere gemacht hat. Während jedoch alle übrigen Theile der 
descriptiven Geometrie sich von einem gemeinsamen Gesichtspunkt 
aus betrachten lassen, insofern sie sich alle unter die Rubrik ;,geo- 
metrische Verwandtschaften" unterordnen lassen, stand die Axono- 
metrie seither noch ausserhalb dieses Verbandes. Dies war eine 
Lücke, .deren Ausfüllung um so Wünschenswerther erschien, als die 
einseitige Beschränkung der Axonometrie auf die Parallelperspective 
nicht in ihrem Wesen begründet ist. Denn definirt man die Axono- 
metrie allgemein als Methode, welche lehrt, perspectivische Bilder 
von Objecten, die durch die rechtwinkligen Coordinaten ihrer Punkte 
gegeben sind, dadurch zu verfertigen, dass die projicirenden Parallele- 
pipeda der einzelnen Objectpunkte abgebildet werden: so reicht 
diese Methode bis auf Desargues zurück, welcher in seiner „Me- 
thode universelle de mettre en perspective les objets donnes reelle- 
ment ou en de vis etc." (Paris 1636) die Centralperspective in dem 
genannten Sinne behandelte. 

Der Verfasser machte sich demgemäss zur Aufgabe, 1) die 
Methode der Axonometrie in der Art für die Centralperspective zu 
verallgemeinern, dass namentlich für die zwei Kernpunkte der mo- 
dernen Axonometrie, nämlich die von Weissbach eingeführten 
rationalen Verhältnisse der Massstäbe und den von Pohlke ent- 
deckten und verwertheten Satz Analoga in der Centralperspective 
sich ergeben, — 2) die wichtigsten Formeln und Constructionen 
der parallel-perspectivischen Axonometrie als specielle Fälle der zu 
findenden centralperspectivischen nachzuweisen, — 3) diese ganze 
neue Theorie der Axonometrie auf der Grundlage der allgemeinen 
CoUineationsverwandtschaft aufzubauen. 

26* 



384 ^hnDO Hauck. 

Ueber den Anknüpfungspunkt der Axonometrie an die Theorie 
der CoUineation räumlicher Systeme konnte nicht lange ein ZweiM 
bestehen. Dieser Anknüpfungspunkt musste wohl in der Möbius- 
schen Pundamentalconstiruction coUinearer Systeme (Baryeentr. Calcul 
S. 329) zu suchen sein. 

• Ist O^xyz ein rechtwinkl. Coordinatensystem, auf welches das 
Originalsystem bezogen wird, und ist der Dreistrahl Slyi,rit, dessen 
coUineare Abbildung , sind femer F^F^F^ diejenigen Punkte des 
griechischen Systems, welche den unendlich fernen Punkten der 
lateinischen Achsen entsprechen, G^G^Gi^ diejenigen Punkte des 
lateinischen Systems, welche den unendlich fernen Punkten der 
griechischen Achsen entsprechen, und bezeichnet man die Seiten 
des Dreikants ß, |i^5 init w^^'^^'^^u ^^ Abscissen der Punkte F^F^F^ 
mit /i/2^3 {FluchUtrecken) y die Abscissen der Punkte G^G^G^ mit 
9i929^ (Gegenstrecken): so ist das Bildsystem vollständig bestimmt, 
wenn die 9 Grössen w^^'^^^'^^^ifJ^J^g^g^g^ gegeben sind. Man kann 
alsdann von jedem durch seine Coordinaten gegebenen Punkt 
das Bild durch eine einfache Construction finden, indem man das 
Bild des projicirenden Parallelepipedons des Punktes construirt Die 
genannten 9 Grössen werden daher als axonometr. Grundeonstanten 
bezeichnet, und es handelt sich nun darum, die Beziehungen auf- 
zusuchen, die zwischen denselben für die einzelnen Specialfälle der 
coUüiearen Verwandtschaft bestehen. 

Es ergiebt sich z. B. für die centarische CoUineation die Be- 
dingung, dass die zwei Dreiecke F^F^F^ und G^G^G^ ähnlich sind, 
dass also: 

^'(9i + gi) =/? + /!- 2fifk cos way 
wo A ein unbestimmter Factor ist. — Greht die centrische CoUinea- 
tion in die Planjperspective über, so kommt die weitere Bedingui^ 
hinzu: 

Es dürfen daher bei der Planperspective 6 Grundeonstanten (z. B. 
fif2fz9i929^ beliebig gewählt werden; die 3 übrigen sind dann 
Functionen der 6 wiUkürlich gewählten. Man erhält so z. B. fol- 
genden Satz, welcher als Analogon zu dem Pohlke'schen Satz in 
der Parallelperspective angesehen werden kann: 

„Zieht man in einer Ebene von einem Punkt Sl aus unter be- 
liebigen Winkeln gegen einander drei Strecken von beliebiger Länge, 
jedoch so, dass das von den Endpunkten F^F^F^ gebildete Dreieck 




Guido Hauck. 385 

spitzwinklig ist: so können die drei Strecken jederzeit als das per- 
spectivische Bild eines rechtwinkl. Achsensystems — und die drei 
Endpunkte als die Fluchtpunkte der drei Achsen angesehen werden. 
Die zugehörigen Gegenstrecken findet man durch folgende Gon- 
struction: Beschreibe über den drei Seiten des Dreiecks F^F^F^ nach 
aussen Halbkreise^ welche von den Verlängerungen der drei Höhen 
des Dreiecks in AiA^A^ geschnitten werden. Verbinde diese drei 
Punkte mit den Ecken des Dreiecks, so sind je zwei von derselben 
Ecke ausgehende Verbindungslinien gleich und repräsentiren die 
gesuchten Gegenstrecken.^' 

Specialisirt man die allgemeine Gentralperspective dadurch, dass 
man für die einzelnen Perspectivarten der ParallelpeYspective (Ortho- 
gonalpersp., Malerische Persp., Eskarppersp., MiUtärpersp., Cavalier- 
persp.) Analoga in der Centralpersp. aufstellt: so treten zu den 
obigen Beziehungen noch weitere hinzu. So erhält man z. B. für 
die Orthogonaipersp, (Gentralstrahl senkrecht zur Bildebene) die Be- 
ziehungen: 



cos Wik = — 



2 



fi fk V \ 9i gl 9iJ \9i gl 9i/ 



9i 9k 

Für die malerische Persp. kommt man auf die allgemein übliche 
(Desargues'sche) Methode, u. s. w. 

Jede dieser einzelnen Perspectivarten lässt sich dann unmittelbar 

für die ParäUelpersp. specialisiren, indem man /i und gi= oo und die 

f. 
Verhältnisse -^ = pi setzt. So gehen z. B. die zuletzt genannten 

9i 

Formeln für die Parallelperspective in die Weissbach 'sehen For- 
meln über. — 

In den genannten zwei Abhandlungen erfährt nun diese axono- 
metrische Theorie folgenden Gang der Entwicklung: 

Die erste Abhandlung beschränkt sich auf die Planpersp., indem 
sie zuerst die Gonstruction des Bildes lehrt, wenn die Grund- 
Constanten gegeben sind« Sodann werden die Grundeonstanten als 
Functionen der Orientirungsconstanten (d. h. derjenigen Grössen, 
durch welche die Lage des Projectionscentrums und der Bildebene 
zum Originalcoordinatensystem O^xt/z bestimmt ist), entwickelt und 
einfache Gonstructionsverfahren (z. B. Herstellung von Beductions- 
massstäben) zur praktischen Ausführung der Methode gelehrt. 
Hierauf folgt die Elimination der Orientirungsconstanten, die will- 



n 



386 Guido Hauck. 

kürliche Wahl der Grundeonstanten und die Entwicklung der Orien- 
tirungsconstanten als Functionen der willkürlich gewählten Gnind- 
constanten. Schliesslich werden die allgemeinen Formeln und Con- 
structionen specialisirt 1) für die einzelnen Perspectivarten, — 2) fiir 
die Parallelperspective. 

Die 2t4mte Abhandlung überträgt zuerst die analytischen und 
graphischen Resultate der ersten Abhandlung auf die centrische 
CoUineation räumlicher Systeme (Reliefpersp.) und verallgemeinert 
sie sodann für die projectivische CoUineation, wobei sie auf die 
Möbius'sche Fundamentalconstruction stösst und ein einfaches Ver- 
fahren lehrt, zwei durch 5 Paare entsprechender Punkte gegebene 
centrisch-collineare Systeme in perspectivische Lage überzuführen, 
was jederzeit auf doppelte Weise (directe und inverse Lage) ge- 
schehen kann. — Es folgt sodann die Transformation des axono- 
metrischen Coordinatensystems auf das conaxiale Cartesische Coordi- 
natensystem, und werden im Zusammenhang damit die Beziehungen 
aufgestellt, die zwischen den axonometrischen Grundeonstanten ob- 
walten müssen, damit einem gegebenen Ellipsoid als coUineare Ab- 
bildung ein bestimmter Flächentypus, namentlich eine Kugelfläche, 
entspreche. — Die Leichtigkeit, mit welcher sich diese Aufgabe er- 
ledigt, ist eben durch das axonometrische Princip bedingt, nach 
welchem die Bildfigur auf dasjenige Coordinatensystem bezogen wird, 
dessen Achsen die Abbildungen der Coordinatenachsen der Original- 
figur sind. Bezieht man aber nun die Bildfigur auf ein vollkommen 
willkürliches Coordinatensystem, so erhält man die coUineare Ver- 
wandtschaft dargestellt durch drei lineare Relationen der aUgemein- 
sten Form zwischen den Coordinaten zweier entsprechender Punkte. 
Da diese Darstelluügsweise den gewöhnlichen Ausgangspunkt bei der 
analytischen Untersuchung der coUinearen Verwandtschaft bildet, so 
ergiebt sich die Aufgabe, diese Bestimmungsart der CoUineation mit 
der axonometrischen Methode in Beziehung zu setzen, d. h. die 9 
axonometrischen Grundeonstanten auszudrücken als Functionen der 
in jenen Relationen enthaltenen 16 Coefficienten. Bei der Losung 
dieser Aufgabe wird namentlich auch der Unterschied zwischen 
gleichstimmiger und ungleichstimmiger ColUneation genauer be- 
leuchtet. 

Nachdem noch die in der allgemeinen Theorie mit inbegriffene 
CoUineation ebener Systeme berührt ist und die wichtigsten dies- 
bezüglichen Fragen erörtert sind, werden im Schlussparagraphen 
die axonometrischen Coordinaten mit den Chasles 'sehen und den 



Guido Haück. — R. Stübm. 387 

von Fiedler als Bindeglied der analytischen und constructiven Me- 
thode aufgestellten projeetivischen Coordinaten in Beziehung gesetzt, 
— wie denn auch der Verfasser einen Hauptvorzug dieser axono- 
metrischen Behandlung der CoUineation darin sieht, dass sie ein 
Bindeglied zwischen der analytischen und constructiven Theorie der 
CoUineation bildet. 

Tübingen. G, Hauck. 



B. Sturm: SuUe forze in equilibrio. (Ann. di Matern, (ser. II) YII, 
217—246.) 

Möbius hat in seinem Lehrbuch der Statik den Satz gefunden, 
dass die Actionslinien von vier Kräften im Gleichgewichte derselben 
Schaar eines Hyperboloids — Regelschaar — angehören. Es wird 
nun in dem vorliegenden Aufsatze zuerst bewiesen, dass Kräfte auf 
vier Geraden einer Regelschaar im Gleichgewicht sind, wenn ihr 
Kräftepolygon sich schliesst; der Schluss des Axen- oder Momenten- 
polygons folgt dann von selbst. Ein solches geschlossenes Kräfte- 
polygon lässt sich auf dem Hyperboloide selbst construiren, was 
zu einem einfachen Beweise des bekannten Chasles*schen Satzes 
fuhrt. Sodann wird eine einfache — wie es scheint, noch nicht 
hervorgehobene — lineare Construction der linearen Congruenz und 
des linearen Complexes aus 4, bez. 5 Geraden besprochen; mit Hilfe 
derselben gelingt es die Sätze — die Möbius wohl richtig erkannte 
aber damals (1837), wo die Vorstellungen der Lineargeometrie noch 
fehlten, noch nicht befriedigend beweisen konnte — , dass nämlich 
die Actionslinien von 5, bez. 6 äquilibrirten Kräften in derselben 
linearen Congruenz, demselben linearen Complexe sich befinden, und 
die Umkehrungssätze nachzuweisen, indem das einfache Mittel der 
Theilung der einen Kraft angewandt wird. Es folgen dann weitere 
Sätze über den Ort der Wirkungslinie einer Kraft, die mit theil- 
weise ganz, theil weise nur durch ihre Actionslinien gegebenen Kräften 
äquivalent (oder im Gleichgewicht) ist. 

In der zweiten Hälfte werden unter Benutzung der Grassmann'- 
schen geometrischen Addition von Strecken, von welcher die Kräfte- 
componirung ein Specialfall ist, mehrere — zum Theil ohne Beweis 
mitgetheilte — analytische Resultate von Möbius, Sylvester, 
Cayley (Lehrb. der Statik; Comptes rendus Bd. 52, 61) nachgewiesen: 



1 



388 R- Stüem. 

so die 1; 2; 3 Gleichungen zwischen den Coordinaten der Actions- 
linien von 6, 5, 4 äquilibrirten Kräften, die Ausdrücke für die Inten- 
sitäten dieser Kräfte. Besonders wird der Fall von vier £[räften 
eingehender behandelt und unter anderm ein irrthümlicher Schluss 
von Möbius, der für die Wirkungslinien von 4 Kräften im Gleich- 
gewichte eine Gleichung für genügend hielt, richtig gestelli Es 
findet sich dabei Gelegenheit, das „Doppelverhältniss von 4 Geraden 
im Räume" zu benutzen. 



B. Sturm. Das Problem der CoUineation. (Math. Ann. X, 117—146.) 

— On correlative Fenoils. (Proc. Lond. Mathematical Soc. VII, 175—194.) 

— Ueber correlative oder reciproke Bündel. (Der Redaction der 

Math. Ann. übersandt.) 

Schon längere Zeit habe ich mich mit Untersuchungen über 
die Lage von Trägern projectiver Gebüde beschäftigt; zuerst nahm 
ich (Math. Ann. I, 533) das Problem der ebenen Homographie oder 
Projectivität vor, das auch von Chasles, Jonquieres, Cremona^ 
Hesse behandelt ist, und gab eine vollständige synthetische Auf- 
lösung desselben. 

Es sind in zwei (identischen oder verschiedenen) Ebenen zwei 
Gruppen von jeö Punkten gegeben, die einander zugeordnet sind; 
es sollen solche Paare von „associirten" Punkten gefanden werden, 
aus denen die homologen Punkte der Gruppen durch entsprechende 
Strahlen projectiver Strahlbüschel projicirt werden. Je nachdem 
(^ == 3, 4, 5, 6, 7 ist, ist jedem Punkt der einen Ebene jeder der andern; 
eine Curve 2. 0.; ein einziger Punkt associirt, der eine Curve 5. 0. 
durchläuft, wenn jener sich auf einer Geraden bewegt; bilden die 
Punkte jeder Ebene, welche associirte besitzen, eine Curve 3. 0.; 
existiren drei Paare associirter Punkte. 

Darauf (Math. Ann, VI, 513) nahm ich die beiden Gruppen in 
zwei Bäumen an und suchte solche associirte Geraden, aus denen 
homologe Punkte durch entsprechende Ebenen projectiver Ebenen- 
büschel projicirt werden. Wenn <^ = 3, 4, 5, 6, 7, so ist einer Geraden 
des einen Raumes jede im andern; ein Reye 'scher Complex 2. Gr.; 
das Sehnensystem einer cubischen Raumcurve; eine Regelschaar; 
eine einzige Gerade associirt. So viel hatte schon Herr H. Müller 
(Math. Ann. I, 413) gefunden. Ist er = 8, 9, 10, 11, so bilden die 



R. Stukm. 389 

Geraden jedes ßaumes, welche eine assöciirte besitzen^ einen Complex 
4. Gr., eine Congruenz 6. 0. 10 Kl., eine Regelfläche 20. Gr., 'sind 
in der Zahl 20 vorhanden. Ausserdem wurden noch die Gebilde 
ermittelt, welche, je nachdem der Fall ist, einem Büschel, Bündel, 
einer Ebene, einem speciellen linearen Complexe associirt sind. 
Herr Schubert hat mit Hilfe seiner Correspondenzprincipien im 
Strahl enraume noch weitere Folgerungen hieraus gezogen (Math. 
Ann. X, 88). 

In dem ersten der 3 Aufsätze der üeberschrift werden nun für 
die beiden räumlichen Punktgruppen solche Paare von associirten 
Punkten gesucht, aus denen die homologen Punkte durch ent- 
sprechende Strahlen collinearer Bündel projicirt werden. Je nachdem 
ö = 4, 5, 6, 7 ist, ist jedem Punkte des einen Raumes jeder im 
andern; eine cubische Raumcurve associirt, welche eine Fläche 5.0. 
erzeugt, wenn jener Punkt eine Gerade durchläuft; bilden die Punkte 
jedes Raumes, welche einen associirten besitzen, eine Fläche 2. Gr.; 
giebt es 4 solche Punkte in jedem Räume. 

Wären in dem einen Räume statt Punkte Gerade gegeben, so 
hätten wir es mit redproken oder correlativen Bündeln zu thun, und 
zu diesen bin ich — auf Herrn Hirst's Veranlassung — in der 
weiteren Untersuchung übergegangen. Zunächst kann man die Grund- 
elemente mischen: k Punkte, l Gerade in dem einen Räume, ihnen 
homolog k Gerade, l Punkte im andern. Verlangt man, dass ein 
Strahl des einen Bündels und eine Ebene des andern, die nach 
homologen Grundelementen geben, in der Correlation sich entsprechen, 
so ist das eine doppelte Bedingung; deshalb findet, wenn eine Solche 
Bedingung neu hinzutritt, eine Erniedrigung um zwei Stufen statt; 
wie das auch das CoUineationsproblem zeigt. Man erhält eine ein- 
fache Bedingung, wenn man blos verlang, dass zwei Strahlen der 
beiden Bündel,* die nach gegebenen Punkte, oder zwei Ebenen, 
welche nach gegebenen Geraden gehen, conjugirt seien; d. h. dass 
einer und infolge dessen jeder dieser beiden Strahlen in der dem 
anderii entsprechenden Ebene liege, bez. eine und deshalb jede der 
beiden Ebenen den der andern entsprechenden Strahl enthalte. Wir 
haben also k Punkte -4,-, l Gerade ai, m Punkte %, n Gerade üi im 
Baume A, ihnen homolog k Gerade &,, l Punkte Bi, m Punkte S5„ 
n Gerade 6,- in B, Diese BeschaJBfenheit der Grundelemente heisse 
die Signatur [klmn]. Es sind solche assodirte Punkte -4, B gesmhty 
dass wünschen, ihren Bündeln eine Corrdation möglich ist, in welchei' 



^ 



390 R. Stübm. 

die AÄij Bhi und die Äai, BBi sich entsprechen, die A%i, Bf8i, 
sowi^ die A(Xi, Bhi conjugirt sind. 

Herr Hirst, der mich auch zu dieser Aufnahme conjugirter 
Elemente aufforderte, hat nämlich sich' mit verwandten Unter- 
suchungen beschäftigt: er hat die Anzahl der Correlationen zwischen 
zwei festen Bündeln A, B ermittelt für den Fall, da*ss c; = 2 äj + 
2? + m + w = 8 ist, oder vielmehr das duale Problem der Corre- 
lation zweier festen Ebenen behandelt (Proc. Lond. Math. Soc. V, 
40; Annali di Matem. (ser. II) VI, 260). Indem er sich dann zur 
Betrachtung der Correlation räumlicher Systeme wandte (worüber 
eine erste Mittheilung Proc. Lond. Math. Soc. VI, 7), ergab sich 
die Lösung des oben gestellten Bündelproblems oder des dualen als 
wünschenswerth. Wenn w = 0, so gelingt es mit Hilfe bekannter 
Eigenschaften der cubischen Fläche, der cubischen Raumcurve und 
der eindeutigen Raumtransformationen das Problem zu lösen; die 
Resultate sind in jedem Falle fast durch alle Signaturen gleich und 
zwar folgende: 

1) (? = 2A + 2? + m = 8. Jedem B ist jeder A durch eine 
Correlation zugeordnet, Ausnahme [2200] (Hirst). 

2) <y == 9. Einem B ist eine Fläche 3. 0. associirt, Ausnahme 
[3110], [2210]. 

3) cy = 10. Einem B entspricht eine cubische Raumcurve 
Ausnahme [3200]; einer Geraden h eine Fläche 10. 0.; Ausnahme 
[4100], [1400], [3200], [2300], [3120], [1320], [2220]. 

4) (^ = 11. Jedem Punkte B ist ein und nur ein Punkt A 
associirt; wodurch sich eine eindeutige Transformation zwischen A 
und B ergiebt; keine Ausnahme. Einer Geraden 6 ist eine Curve, 
einer Ebene ß eine Fläche 11. 0. associirt; in jedem Räume giebt 
es eine Curve 10. 0., deren jedem Punkte nicht nur ein Punkt, 
sondern eine ganze cubische Raumcurve entspricht. [3210], [2310] 
bilden Ausnahmen. 

5) (^ = 12. Die Punkte in jedem Räume, welche associirte 
besitzen, erzeugen eine Fläche 4. 0. und einem ebenen Schnitte 
der einen entspricht eine Curve 14. 0. auf der andern; Ausnahme 
[3300]. 

6) cy == 13. Die Punkte, welche associirte besitzen , erzeugen 
eine Curve 6. 0. 

7) (? =s 14. Es giebt 4 Paare associirter Punkte. 

Ueber diese engere Untersuchung handelt der zweite Aufsatz 
der üeberschrift, doch ohn>e at^führliche Beweise, 



R. Sturm. 391 

Um aber das allgemeinere Problem zu lösen ^ benutze ich — 
wie Hirst — das Verfahren der Charakteristikentheorie. Hirst 
betrachtet, indem er bei festen Scheiteln Aj B — ich dualisire, 
wie gesagt, seine Untersuchung — c; = 7 annimmt^ das entstehende 
Gorrelationssystem. Ein solches System enthält eine Zahl von 
Correlationen, bei denen noch zwei gegebene Strahlen oder zwei 
gegebene Ebenen conjugirt sind; diese Zahlen nennt er die Charak- 
teristiken des Systems: es sind die gesuchten Zahlen für <y =: 8. 
Ausserdem enthält das System zweierlei ausgeartete Correlationen, 
die eine mit einem singulären Strahle (Axe), die andere mit einer 
singulären Ebene in jedem Bündel. Auf diese hat er — unab- 
hängig von ihm hat sie auch Fiedler gefunden: Darst. Geom. 
2. Aufl. — zuerst aufmerksam gemacht, femer zwei Relationen 
zwischen ihren Zahlen und den Charakteristiken gefunden. Jene 
werden direct ermittelt, diese dann berechnet, und ähnlich geschieht 
es im Räume. 

Die Correlation verwandelt sich bei diesen Ausartungen in 
eine Projectivität der Ebenenbüschel um die singulären Axen, bez. 
der Strahlbüschel in den singulären Ebenen. Ich bilde nun, durch 
Fallenlassen einer einfachen Bedingung, in den verschiedenen Pro- 
blemen ebenfalls Correlationssysteme, in denen die Charakteristiken 
die Zahlen der Correlationen sind, bei welchen conjugirte Strahlen, bez. 
Ebenen durch gegebene Punkte, bez. gegebene Gerade gehen; wobei 
die Scheitel im allgemeinen beweglich sind. Während Hirsts 
Relationen dieselbe Gestalt haben, wie die für Kegelschnittssysteme, 
treten hier — infolge dieser Beweglichkeit — ,noch weitere Glieder 
zu. Z. B. bei [Jclmn]a^s ist in B ein Punkt B, in. A eine Gerade ä 
gegeben. Die Correlationen der Bündel der Punkte Ä auf a und des 
festen Bündels B erzeugen das System; tcsb, hß seien die Zahlen 
von dessen exceptionellen Correlationen mit singulären Strahlen, bez. 
Ebenen, fts, vs die Charakteristiken d. h. die Zahl der Ä auf a, die 
dem B für [it, ?, m + 1? wjg, bez. [Je, ?, w, n + IJg associirt sind, also 
die' Ordnungen der hierfür dem B associirten Flächen; so hat man: 

2^8 = ^8 + ^8B + iß, 

2^8 = v^ + Ag^; 
worin ^, die Hirst'sche Zahl der Correlationen für [Jclmn\ bei 
festen Scheiteln, hinzutritt. 

Diese additiven Glieder, wie hier gg, sind stets aus der vor- 
hergehenden Untersuchung bekannt, die Ausartungszahlen sind zu 
ermitteln, woraus ^ und v berechnet werden; dass v für [klmn] 



392 R. Stübm. 

ft für [kf l,m — 1, w + 1] wird, sowie dass die Zahleuwerthe für 
n = schon anderweitig gefunden sind; dient als ControUe. 

Die Ausartungszahlen ar und X lassen sich mit Hilfe meiner 
in diesem Referate zuerst genannten Abhandlungen über projective 
Ebenen- und Strahlenbüschel ermitteln. Doch ist die Arbeit sehr 
mühsam und habe ich sie nur in dem leichteren Falle der Corre- 
lationen mit singulären Axen ganz durchgeführt ^ im andern nur 
angefangen. Man kann vielmehr die Charakteristikentheorie — imd 
diese Idee verdanke ich Hirst — fortsetzen und, indem wiederum 
eine einfache Bedingung fallen gelassen wird, Systeme von aus- 
gearteten Gorrelationen der einen und der andern Art bilden. In 
solchen Systemen giebt es Ausartungen vom 2. Typus von nur einer 
Art, in welche beide Ausartungen vom 1. Typus degeneriren. Sie 
enthalten in jedem Bündel einen singulären Strahl und eine durch 
ihn gehende singulare Ebene. Hirst und Fiedler haben diesen 
zweiten Typus beschrieben. Für jedes solche System lässt sich je 
nur eine den früheren Formeln analoge Formel aufstellen, die an- 
dere wird illusorisch. Infolge dessen ist es doch nothwendig, die 
Ausartungen des 1. Typus für n = zu ermitteln; da wird aber, 
wie man a priori einsehen kann, die Zahl der Correlationen mit 
singulären Ebenen, die sonst grössere Schwierigkeiten bereitet, in 
den meisten Fällen 0, in den übrigen bietet sich keine . grosse 
Schwierigkeit. Es verbleibt dann noch die wesentlich einfachere 
directe Ermittelung der Zahlen der Ausartungen des 2. Typus, bei 
denen es sich nur um reine Lagenbedingungen handelt. Also aus 
diesen Zahlen und denen der Ausartungen des 1. Typus für n = 
werden die übrigen Zahlen dieser Ausartungen berechnet, aus diesen 
dann die Zahlen der allgemeinen Correlationen. 

Im allgemeinen ergiebt sich, dass für n =: 1, 2, 3 ... die Zahlen 
für w = sich verdoppeln, vervierfachen u. s. w. und zwar mit um 
so weniger Ausnahmen, je grösser ist. Anderseits wachsen die 
Ausnahmen mit n und spätestens bei n =» 8 haben sie die Regel 
unterdrückt 

Als Beispiel wählen wir die Signaturen [000 n]: 

Für w = 8, 9, 10, 11 ist einem Punkte B jeder Punkt einfach, 
eine Fläche 6. 0., eine Curve 18. 0., eine Gruppe von 32 Punkten 
associirt. Die Ordnung der Fläche, Curve, die bei w «= 10, 11 
einer Geraden associirt ist, ist 40, 132; die bei »=11, 12 einer 
Ebene associirte Fläche, Curve hat die Ordnung 132, 476. Bei 
n "= 12, 13; 14 erzeugen die Punkte jedes Raumes, welche associirte 



R. StUBM. — EOSTKA. 393 

besitzen, eine Fläche 256., eine Curve 1008. O. und sind in der Zahl 
2384 vorhanden. 

Mit Hilfe der Correlationen mit singulären Ebenen erhalten 
wir z. B. folgende Sätze: 

Man habe zwei Gruppen von einander zugeordneten Geraden 
üiC^ . . .dn'y bi 62 • • • b«' ^s sollen projective Strahlbüsehel (4,a) — 
d. h. dessen Scheitel A und Ebene «ist — und {B, ß) gefanden 
werden, so dass a,- und % von homologen Strahlen getroffen werden 

n = 6; JByß fest; die Punkte A erzeugen eine Fläche 4. Ordnung. 

w = 7; B, ß fest; die A erzeugen eine Curve 8. Ordnung. 

nB=8; Bj ß fest; es giebt 6 Strahlbüschel (A^ a). Bios B 
oder ß fest; die A erzeugen eine Fläche 16. 0. 

n = 9; JB oder ß fest; die A erzeugen eine Curve 42. 0.; B auf 
einer Geraden oder ß um eine Gerade beweglich; die A erzeugen eine 
Fläche 96. 0. 

n = 10; B oder ß fest; es giebt 60 Büschel (A, a). B oder ß 
auf oder um eine Gerade beweglich, bez. B auf einer Ebene oder 
ß um einen Punkt beweglich; die A erzeugen eine Curve, bez. eine 
Fläche 280. 0. 

n = 11; die Punkte A, B erzeugen eine Fläche 440. 0.; soll B 
auf einer Ebene liegen oder ß durch einen Punkt gehen, so erzeugen 
die A eine Curve 900. 0. 

w = 12; die A,B erzeugen eine Curve 1560. 0. 

w= 13; es giebt 3120 Paare von Büscheln (4, «) {B^ ß). 

Die Ebenen a umhüllen das duale Gebilde zu dem von den A 
erzeugten. 

Diese Untersuchungen, sowie die weiter ausgeführten des 
zweiten Aufsatzes enthält die dritte in der Ueberschrift genannte 
Abhandlung. 

Darmstadt. B. Sturm. 



Kostka: U^ber Botohardt*« Function. (Journal f. d. reine u. angew. 
Mathematik, Bd. 82, S. 212—229.) 

In Folge einer Aufforderung des Hm. Professor Borchardt 
habe ich in dem vorliegenden Au&atz es unternommen, den Zähler 
der bekannten Erzeugenden Function* aller ganzen symmetrischen 
Verbindungen genauer zu entwickeln. Derselbe hat die Form: 



394 KOSTKA. 

wobei FH(t)^t^f(t)'-h.V^-^f(t) 

f(t) = a^ + a^t + ,..an^ 
und n das DiflFerenzenprodukt der t bedeutet. Dividirt man Z durch 
f(k) f(h) • • • f(W} so erhält man Borchardt's Function. Auf 
das Interesse einer solchen Entwicklung hat schon vor längerer Zeit 
Hr. Cayley und neuerdings wieder Hr. Paä de Bruno aufmerksam 
gemacht. ' 

Mit Hilfe der Multiplicationsregel der Determinanten und des- 
jenigen Satzes, über welchen ich in dieser Zeitschrift Bd. I, S. 158 f. 
berichtet habe, erhält Z die Form 

I. Z = 2]B.C, 
worin die Grossen B Determinanten bedeuten, welche aus den 
Coefficienten von f(t) zusammengesetzt sind, die C aber symmetrische 
und homogene Funktionen der t Wenn man mit Ch die Summe 
der Combinationen der t ohne Wiederholung zur h*^ Klasse be- 
zeichnet, so wird jedes C durch eine Determinante der c von der 
Beschaffenheit daxgestellt, dass die Indices der c in jeder Zeile eine 
aufsteigende, in jeder Colonne eine absteigende Reihe bilden; und 
zwar ist die Reihe der Differenzen zwischen, je zwei auf einander 
folgenden Indices bei allen Zeilen dieselbe, und ebenso erhält man 
nur eine derartige Reihe von Differenzen für alle Colonnen. Die 
Form I, deren Bildungsgesetz leicht übersichtlich ist, soll nun ver- 
glichen werden mit der Form 

IL Z=2Ä,T, 

in welcher jedes T eine jener bekannten symmetrischen Grund- 
functionen, deren Glieder sämmtlich aus einem einzigen durch Per- 
mutation der Exponenten entstehen, und Ä den zugehörigen Factor 
bedeutet, der natürlich eine ganze Function der a sein wird. 

Zunächst zeigt sich, dass die Formen I und II in der Anzahl 
der Glieder sowol im ganzen als in den einzelnen Dimensionen über- 
einstimmen; die weitere Betrachtung gliedert sich dann naturgemäss 
in zwei Theile: 1) üeberführung einer Function C in ein Aggregat 
der T; 2) Zusammensetzung der Ä aus den B, resp. Darstellung 
der B in entwickelter Form. Für die Losung dieser beiden Auf- 
gaben werden in der Abhandlung Regeln angegeben, welche hier 
nicht ins einzelne verfolgt werden können. Erwähnt sei nur, dass 
qII nicht gelungen ist, ein wirkliches, durchsichtiges Bildungsgesetz 



EOSTKA. 



395 



für n aufzustellen; vielmehr hat die Untersuchung nur dahin ge- 
führt, dass der Factor irgend einer bestimmten Function T im 
Werthe von Z ohne Eenntniss der übrigen Glieder von 11 nach 
übersichtlichen Bechenregeln ermittelt werden kann; auch ist gezeigt, 
dass die Aufgabe, sämmtliche Glieder von Z nach diesen Regeln zu 
berechnen, wegen des sehr symmetrischen Baues der untersuchten 
Function sich nahezu um die Hälfte reducirt Indessen scheint mir 
die Meinung nicht ungerechtfertigt) dass die Functionen C sich 
ebenso gut zu symmetrischen Grundfunctionen eignen als die T, und 
dass bei Untersuchungen von allgemeiner Natur die Form I, deren 
Bildungsgesetz klar liegt, vor II den Vorzug verdient. Freilich wird 
der üebergang auf II nothwendig sein, wenn Borchardt's Function 
dem Zwecke dienen soll, für den sie eigentlich aufgestellt ist, näm- 
lich durch Entwickelung nach fallenden Potenzen der t die sym- 
metrischen Functionen der Wurzeln von f(t) == durch die Coeffi- 
cienten auszudrücken; doch ist es mir nicht vergönnt gewesen, nach 
dieser Richtung hin das Thema weiter zu verfolgen« 



Eostka: Ueber ein bestinunteB Integral. (Schlömilch's Zeitschrift far 
Mathematik u. Physik.) 

Die kurze Abhandlung gibt den Beweis des Satzes: „Wenn 
f(0) = ^ + an^is^-^ -f . . «1^ -f- «0 = ö 
nur solche Wurzeln fiir jer^, . . . Zn liefert, deren reelle Theile gleiches 
Vorzeichen haben, so ist 



+ «> 



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(^« + ;^ (g* + ^1) . . . (z' + ^2) 



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396 KOSTKA. — R. ENaELMANN. 

wobei + Ä oder — ä zu nehmen ist, je nachdem die reellen Theile 
der Zh sämmÜich positiv oder sämmtlich negativ, und wo a» "= 1 
und a-h = «n+A = zu setzen sind." 

Angegehen ist dieser Integralwerth hereits von Hm. M a t thie s s e n 
im Jahrg. 1867 d. Schlöm. Zeitschrift, und nur weil der Beweis sich 
etwas einfacher gestalten lässt, bin ich nochmals darauf zurück- 
gekommen. Von Interesse ist vielleicht die Schlussbemerkung, dass 
aus jenem Integralwerth n Verhältnisse von Determinanten der a 
sich ergeben, welche, falls alle a reell sind, sämmtKch positiv oder 
sämmtlich negativ sein müssen, je nachdem alle reellen Theile der 
Wurzeln von f(z) = positiv oder negativ sind. 

Insterburg. Eostka. 




R. Engelmann: Abhandlungen von Fr. W, Bessel. Herausgegeben 
von R. Engelmann. Dritter Band: VI. Geodaesie. VII. Physik. 
VIII. Verschiedenes. — Literatur. — Mit einem Bildniss Bessel's 
aus dem J. 1839, fünf lithographirten Tafeln und dem Facsimile eines 
Briefes an Encke. Leipzig, Engelmann 1876. (Zweiter Band, be-, 
sprechen in dieser Zeitschr. I. Bd. 2. Hffc. S. 318.) 

Bei dem verschiedenartigen und reichen Inhalt des vorliegenden letzten 
Bandes der Bess ersehen Abhandlungen kann hier nur das Wesent- 
lichste der Arbeiten über Geodaesie , Physik und verschiedene Theile 
der Astronomie kurz berichtend dargelegt werden. — Die VI. Ab- 
theilung, Geodaesie, enthält neben rein theoretischen Aufsätzen und 
Abhandlungen über Berechnung geodätischer Vermessungen (125 — 
129) und über den Einfluss der Unregelmässigkeiten der Figur der 
Erde auf geodätische Arbeiten (130) hauptsächlich die Arbeiten, 
die sich auf die Ermittelung, der wahrscheinlichsten Figur der Erde 
aus den von verschiedenen Seiten unternommenen Gradmessungen 
beziehen (131 — 134). Die Grundlagen, aus denen Bessel seine bis 
vor Kurzem allgemein angenommenen Constanten des Erdsphäroids 
ableitete, haben bekanntlich die peruanische, Ir und 2. indische, 
französische, englische, hannoversche, dänische, preussische, russische 
und schwedische Gradmessung geliefert; die Constanten, die sich 
aus ihrer Verbindung und nach Berücksichtigung eines Fehlers der 
französischen Gradmessung ergaben, sind: Halbe Achse (a) des Erd- 



sphäroids 3272077,1, halbe kleine Achse (l) 3261139,3 Toisen, 

a_ _ 299,15 
h 298,16* 

In mehr ttls einer Hinsicht massgebend für alle späteren wurde 
die in Verbindung mit Baeyer 1831 — 34 ausgeführte Gradmessung 
in Ostpreussen; sowohl die Originalität und Schärfe der Beobachtungs- 
und Reductions -Methoden, wie die durch Repsold's Kunst im 
Basisapparat wesentlich geförderte Genauigkeit der geodätischen — 
wie auch der astronomischen — Messungen und die Sicherheit der 
hieraus gezogenen Schlüsse und Resultate haben dieser eine der 
ersten Stellen unter allen neueren und jedenfalls die erste unter 
den Gradmessungen aus dem 1. Drittel des 19. Jahrhunderts ver- 
schafft. Aus dem umfangreichen, von Bessel und Baeyer hierüber 
veröffentlichten Werke (Berlin, 1838) findet sich das Hauptsächliche 
in Abh. 135 des vorliegenden Bandes; nur die eigentlichen Be- 
obachtungen und numerischen, den speciellen Fall dieser Grad- 
messung betreffenden Daten wurden ausgeschlossen* dagegen Alles 
von allgemeinerem Interesse, Entstehung und Plan der Gradmessung, 
Untersuchunga- und Beobachtungsmethoden, RechnungsvOrschriften, 
sowie die Endresultate unverkürzt wiedergegeben. 

Zwar nicht in beabsichtigtem und directem, aber in einem 
durch das gemeinsame Ziel doch erkennbaren Zusammenhang mit 
den geodätischen Arbeiten stehen die Untersuchungen über die Länge 
des einfachen Sekundenpendels (Abh. 137), die Bessel im Jahre 
1826 an einem nach seinen Angaben von Repsold construirten 
Pendelapparat in Königsberg (später, 1835, auch in Berlin) anstellte. 
Diese grosse Arbeit gilt mit Recht als Muster einer exacten Unter- 
suchung im Gebiete der Präcisions-Fhysiky sowohl nach Anordnung 
und Ausführung der Beobachtungen, wie hinsichlich der theoretischen 
Behandlung der Beobachtungsresultate. Abgesehen von verschiedenen 
zum Theil wenig einflussreichen Störungen, denen die Bewegung 
eines Pendels zufolge seiner Construction unterworfen ist, zeigte 
und berücksichtigte er zuerst den nicht unerheblichen Einfluss, den 
die Luft als mitschwingende Masse auf die Pendelbewegung ausübt, 
und der mathematisch in einem bisher vernachlässigten Glied der 
Reduction auf den leeren Raum, physikaUsch in einer Vermehrung 
des Trägheitsmoments des Pendels zum Ausdruck kommt. In einer 
spätem Abhandlung kam er nochmals auf diesen Gegenstand zurück 
(Abh. 138). — Die Pendelversuche und der Besitz des vortrefflichen 
Pendelapparats führten Bessel zur Behandlung der Frage, ob die 

Bepertorium far reine und angewandte Mathematik. 27 



n 



398 B. Enoelmanw. 

Kraft; mit welcher die Erd« Körper von verschiedener Begehaffen-* 
heit anzieht, für alle als gleich anzusehen sei. Di« Untersnchung 
von 13 Körpern von sehr verschiedenem specifischen Gewiöht (Wasser 
— Eisen) bestätigten das schon von Nevfton aus freilich sehr rohen 
Versuchen gefundene Resultat der Proportionalität von Masse und 
Anziehung (Abh. 139). 

Verschiedene kleinere, zum Theil durch die Reduction der 
Meridian-Höhen veranlasste Arbeiten behandeln meteorologische und 
physikalische Instrumente und deren Berichtigung; so giebt Abh. 141 
die bekannte Calibrirungs-Methode für Thermometer; in Abh. 142 
ist eine Tafel für die Reduction der Abwägungen, in 143 die Re- 
duction beobachteter Barometerhöhen entwickelt; zwei umfang- 
reichere (145 und 146) behandeln barometrische Höhenmessungen. 

In dem Aufsatz 144, Bemerkungen über eine angenommene 
Atmosphäre des Mondes, zeigt Bessel, dass die Dichtigkeit einer 

solchen im günstigsten Fall ^r^, wahrscheinlich aber geringer als 



500? — o o 9^ 

der Erdatmosphäre sei. Drei kurze Aufsätze (14/1' — 149) beitiehien 
über das Nordlicht vom 18. October 1836, Irrlichter und eine bei 
einer Feuersbrunst wahi^enommene Lufterscheinung. — In den Jahren 
1835 — 38 wurde die preussische Längeneinheit neu festgestellt und 
alle hierauf wie auf die Anfertigung genauer Copien dea neUien 
Normalmasses bezüglichen Untersuchungen in einer besonderen 
Schrift (Berlin, 1839), ihre wesentlichen Resultate aber in den 
Astron. Nachrichten mitgetheilt (Abh. 150). Die Entwicklung des 
S^hwereeinflusses auf die Figur eines geraden Stabes findet sich als 
besondere Beilage zu der genannten Schrift (Abh. 151). — Die letzte 
Abhandlung (152) der Physik stellt die Grundformeln d^r Dioptrik 
in einer der Möbius'schen ähnlichen Art, mit Hülfe von Eetjben- 
bruchsentwickelung, dar; Bessel leitete sie bei der Untersuchung des 
Königsberger Heliometers ab (vgl. Abh. 71). 

Die letzte, VIIL Abtheilung des 3. Bandes der Abhandlungen 
um&sst eine Reihe von grösseren und kleineren Aufsätzen und Ar- 
beiten aus verschiedenen Theilen der Astronomie, die sich theils 
nicht ohne Zwang einer der früheren Abtheilungen eino]*dBen liessen, 
theils noch nachträglich und bei einer genauen Durchsieht aller 
Schriften als ^wünschenswerth zur Aufnahme herausstellten. Unter 
den grösseren mögen die Arbeiten: „über die Figur des Satums, 
mit Bücksicht auf die Attraction seiner Ringe" (154) — eine der 
frühesten theoretischen Untersuchungen Bessels aus dem Jahre 



R. Ekoblicank. 399 

1807 — y ferner die BeobftclitungeB und BetraeMungen über die 
^^pers5nliche Gleichung bei Durckgangsbeobaohtungen^ (161 ^ mit 
2 Nachträgen), die Untersuchung ,,über den Einfluss der Ver- 
änderungen des Erdkörpers auf die Polhöhen" (16*2), die „Be- 
trachtungen üb. die Methode der Vervielfältigung der Beobachtungen" 
(163), „über die Bestimmung der Libration des Mondes durch Be- 
obachtungen" (164) und „über Sternschnuppen" (165), hier nament- 
lich erwähnt werden. Die umfangreichste Abhandlung, die „Analyse 
der Knsterniese*^ (169)r ^^t, wie die über den „Einfluss der Strahlen- 
brechung auf Mikrometerbeobachtungen" (Auszugs 167), die „Be- 
stimmung der Masa<e des Jupiter" (168), die „Neue Berechnungsart 
für die Methode der Entfernungen des Mondes Yon anderen Himmels- 
körpern", sowie zwei kürzere Aufsätze, von denen der zweite — 
die Beobachtung des Mercur-Durchganges am 5. Mai 18S2 ■— die 
erste zuverlässige astronomische Untersuchung mid Bestimmung 
der Irradiation enthält (171)^ den Astronomischen Untersuchungen 
(Königsberg, 1841,, 42) entnommen. — Ausser einigen Aufsätzen 
biographischer Natur: Erinnerungen anF. W. Flemming (180, nur 
zum Theil von Bessel), Sir William He»achel (181), Ueber 
Olbers (182) sind schliesslich noch einige Stücke nicht -astrono- 
mischen Inhalts, die zur Beurtheilung BesseTs in anderer Hin- 
sicht aber nicht ohne Interesse schienen, mit aufgenommen worden: 
ein Au&akz über Erman's* Beise in Sibirien und Kamtschatka (183), 
über Uebervölkerung (184) imd endlich ein Schreiben an die E,e- 
daction der Königsberger Allgemeinen Zeitung (185), welches den 
Menschen und Politiker Bessel trefflich charakterisirt. 

Den Absehluss vorliegender Ausgabe bilden IMeratur-Venseich' 
nisse^ zunächst ein „allgemeines Verzeiehniss der Schriften BesseFs", 
von dessen 487 Nummern Bessel selbst 401 angehören, die übrigen 
86 Mittheilungen seiner Methoden, Formeln, Beobachtungen, sowie 
Auszüge und Uebersetzungen aus seinen Schriften und Abhandlungen 
enthalten. Als zweites schliesst sich noch die Literatur über Bessel, 
mit 25 Nummern, an. — Dem 3. Band ist überdiess noch ein Bildniss 
aus dem Jahre 1839 (Lichtdruck nach dem Jensen'schen Oel- 
gemälde), sowie das Facsimile eines Briefes an Encke beigegeben. 

R. Engelmänn. 



27 



400 S. GüNTäER. 

S. Günther; Note sur Jean-Andrö Segner, premier fondateur de 
Ia mötöorologie mathömatique. (Bulletino di bibliografia e di 
storia delle scienze matematiclie e fisiche, Aprilhefk 1876.) 



Die Idee, meteorologische Veränderungen auf die durch Mond 
und Sonne bedingte Ebbe und Pluth der Atmosphäre zurückzufuhren, 
findet sich nahezu bei allen Fachschrifkstellem aus' der zweiten 
Hälfte des vergangenen Jahrhunderts , allein es scheint bisher all- 
gemeine Unkenntniss darüber geherrscht zu haben, wer als der 
Erste die bezüglichen Verhältnisse mathematisch untersucht habe. 
Vorliegende Abhandlung vindicirt dies Verdienst dem tüchtigen 
Pressburger Andreas Segner, der folgeweise mathematische Pro- 
fessuren zu Jena, Halle und Göttingen bekleidete. In einem ein- 
führenden Paragraphen werden kurz die nicht unbeträchtlichen 
Leistungen, welche dieser produktive Gelehrte besonders im Fache 
der Mechanik und Optik bethätigte, skizzirt; alsdann wird das 
Jenaische Universitätsprogramm, welches die durch kosmische Ein- 
flüsse bedingten Oscillationen des Barometerstandes rechnerisch be- 
handeln lehrt, wörtlich abgedruckt. Als positiv interessant wird 
an demselben die mathematische Einkleidung des physikalischen 
Problems und die Einführung der Nebenbedingungen in die aufge- 
löste Differentialgleichung hervorgehoben; als Mängel sind zu ver- 
zeichnen die Ignorirung des Mariotte'schen Gesetzes, Vernach- 
lässigung mehrerer integrirender Nebenumstände und irrthümliche 
Auffassung der Halley'schen Erklärung der Passatwinde. Da 
natürlich auch das numerische Resultat ein viel zu erhebliches ist 
werden zur Vergleichung die von Laplace für den nämlichen Zweck 
aufgestellten complicirten Formeln sowie deren Ausrechnui^ durch 
Bouvard reproducirt. Als Anhang folgt die Bemerkung, dass noch 
vor Letzterem ein deutscher Astronom, Namens Stark, bei Beant- 
wortung einer von der kurbayrischen Akademie gestellten Preisfrage 
zu analogen Ergebnissen gelangt ist. 

Ansbach. S. Günther. 



S. Günther: Anfänge und Entwicklnngsstadien des Coordinaten- 
principes. (Denkschriffcen der natorforschenden Gesellschafb zu 
Nürnberg. 6. Band.) 

Diese Arbeit, welche eine Menge da und dort verstreuter Ein- 
zelbemerkungen zu sammeln und durch neu aufgefundene Materialien 



S. Günther. 401 

ZU verbinden bestimmt ist, zerfällt' naturgemäss in drei Theile: 
Alterthum, Mittelalter, Neuzeit bis zum Jahre 1636. Was den ersten 
anlangt, so galt es eigentlich einzig und allein kritisch zu unter- 
suchen, ob die mannigfachen Fakta, welche eine bewusste oder un- 
bewusste Anwendung des Coordinatenprincipes bei den Griechen zu 
involviren schienen, wirklich in diesem Sinne gedeutet werden dürfen. 
Diese Untersuchung lehrte, dass bei den allein in Frage kommen- 
den Vertretern der reinen Mathematik, Archimedes und Apollo- 
nius, hievon gar keine Rede sein kann, und auch im Gebiete der 
angewandten Mathematik nur in sehr beschränktem Masse. Erst 
bei Eratosthenes und Hipparch tritt die Bestimmung eines 
Ortes der Sphäre durch zwei Bögen grösster Kreise bestimmt hervor; 
die Idee einer Ortsbestimmung durch Punktcoordinaten in der Ebene 
dagegen dürfte sich einzig und allein in der Geodaesie des Alexan- 
driners Hero (100 v. Chr.) finden. — Was nun das Mittelalter 
anbelangt, so ist es dem Verf. gelungen, das Verbindungsglied 
zwischen jenen ersten Anfängen und der bereits ziemlich fortge- 
schrittenen Auffassung Nicole Oresme's aufzufinden. Ein latei- 
nischer Münchener Codex (Nr. 14436) des ehemaligen Emeram- 
Elosters zu Regensburg enthält nämlich als Zugabe zum Somnium 
Scipionis des Macrobius einen Auszug aus Plinius, welcher die 
Bahnen der Planeten im Thierkreis beliandelt und — was bis jetzt 
nicht nachweisbar gewesen sein dürfte — graphisch durch Abscisse 
und Ordinate darstellt. Würde man einen beliebigen Meridanschnitt 
durch die Zodiakalzone führen und von diesem aus. die Gürtelfläche 
wie den Mantel eines abgestumpften Kegels nach der Tangential- 
ebene des Aequatorpunktes abrollen, so bekäme man etwa jene 
Zeichnung, und zwar würde die Aufschlitzungslinie die Ordinaten- 
axe, der Parallelkreis von 66^30' Südpol-Distanz die Absclssenaxe 
vorstellen. Der astronomischen Entstehung gemäss werden x und 
y beziehungsweise als latitudo und longitudo bezeichnet, und es 
erscheint so nicht unmöglich, dass jene allgemeinere Terminologie 
des Oresme — latitudines - Coordinaten — unmittelbar auf jenen 
Vorläufer im zehnten Jahrhundert zurückleitet. — Dass der genannte 
französische Geometer um die Mitte des vierzehnten Säculums den 
Coordinatenbegriff soweit ausgebildet hatte, als die Beschränkung 
auf den ersten Quadranten zuliess, war bereits seit längerer Zeit 
durch die umfassenden Forschungen Curtze's bekannt, und so 
musste sich an dieser Stelle die Darstellung darauf beschränken, 
von jenen Arbeiten Bericht zu erstatten, einzelne ferner liegende 



402 S. GÜNTJ^B. A. TOEPLEE. 

Gesichtspunkte hervorzuheben und zumal auf Beziehungen jener alten 
Ldire von den ^latitudines" zu neueren Doktrinen hinzuweisen. — 
In 4er sogenannten, Neuzeit ragt besonders Fermat's Name hervor; 
er operirte, wie dies zuerst von Baltzer nachgewiesen wurde^ mit 
den Coordinaten ganz in unserem Sinne und wandte dieselben viel- 
fach bei seinen Untersuchungen über algebraische Ouryen an; wie 
viel Gewicht seine Zeitgenossen auf diese Versuche legten^ geht 
u. a. aus der hier ausführlicher erörterten Thatsache hervor, dass 
der bekannte Compendienschreiber Herigone -selbst nach d^in 
Jahre 1636 die Coordinaten nicht mit Des carte s'; sondern lediglich 
mit Fermät^s Namen in Verbindung bringt. In jenem Jahre 
erschien des Erstgenannten ^^Geometria^', und damit endet die Vor- 
geschichte des CoordinatenprincipeS; um in dessen Geschichte über- 
zugehen. Damit endet denn auch naturgemäss unsere Erzählung; 
aus der jedenfalls so viel hervorgeht, dass die Coordinatengeometrie 
keine ^^proles sine matre creata^^ genannt werden dürfe, wie dies 
* von Chasles und im Anschluss an ihn auch von Anderen ge- 
schehen ist. 

Ansbach. S. Günther. 



A. Toepler: Bemerkung zur Foiirier'schen Beihe. (Notiz in No. XXVI 
u. XXVII des Anzeigers der kaiserl. Akademie d. Wissensch. zu Wien 
vom 7. Dec. 1876.) 

Ich habe darauf aufmerksam gemacht ^ dass durch Anwendung 
der Methode der kleinsten Quadratsumme derCoef&cient der Fouri er- 
sehen Reihe bei endlicher Gliederzahl bestimmt ist; bevor überhaupt 
die Darstellbarkeit von Functionen durch die Beihe mit unendlicher 
Gliederzahl bewiesen ist. 

Es sollen die Coefficienten a und h der nach ganzen Vielfachen 

von -j- fortschreitenden Beihe : 



Ti H* ^a* sin -^ + ^6* cos -^ 



welche sich auf beliebige, endliche Gliederzahl (w und n) erstreckt, 
so bestimmt werden , dass die Beihe für alle Werthe des x inner- 
halb des Intervalles von — ^ bis ^- J. eine gegebene Function 
r^ »^jP(a/) mit möglichst grosser Annäherung darstellt. Dies er- 
fordert, dass das Integral: 



\ 



A. ToEPLEÄ. 403 



= / I Fix) — y g^ sin -^ — ^6* cos -^1 rfa? 



ein Minimum werde, wobei die Coefficienten a und 6 als unabhängige 
Veränderliche zu betrachten sind. 

. Die Differentiation liefert w + n Bedingungsgleichungen, in 
welchen jedoch die Integrale der Glieder von der Form sin . cos, 



nx 



femer sin . sin und cos . cos ungleicher Vielfacher von —j-^ zwischen 

den Gränzen verschwinden. Die Gleichungen reduziren sich auf 
die Gestalt: 

JFix) sin ^dx = a, j^l^^dx und 

-Ä ' ^Ä 

■\-Ä ■\-A 



Ff ix) cos ^dx = h /"cos ^-^f'dx 



— A —A 

Aus diesen gehen die a und b als die bekannten Fourier'schen 
Coefficienten hervor. Es ist dabei gleichgültig, ob man in der Beihe 
eine begränzte oder unbegränzte Gliederzahl annimmt. Jeder be- 
liebige Complex von Gliedern beider Arten, selbst ein einzelnes Glied 
fahrt zu demselben Coefficienten. Hat überhaupt eine Function f(x) 
die Eigenschaft, dass 

A 

f(ßx) fQox) da? «= 



s> 



A 



uud ^^Jfö^H. einen bestimmten, endlichen Werth besitzt, wobei 



jO 



unter g und Tc zwei von einander verschiedene ganze Zahlen zu ver- 
stehen sind, so ist ohne Weiteres ersichtlich, dass nach derselben Me- 
thode die Coefficienten der Beihe 



k 
^akfQcx) 





so bestimmt werden können, dass die Reihe eine gegebene Function 
mit möglichst grosser Annäherung zwischen x = und a? = -4 dar- 
stellt, wobei stets die Werthe der Coefficienten von der Anzahl der 
Beihenglieder unabhängig sind. 



404 



A. TOBPLBR. — G. ESCBBICH. 



Nach einer Bemerkung von Prof. Boltzmann*) steht diese 
Eigenschaft bei der Fourier 'sehen Reihe im Zusammenhange mit 
dem bekannten Satze^ dass die mittlere lebendige Kraft der schwingen- 
den Bewegung eines materiellen Punktes gleich ist der Summe der 
mittleren lebendigen Kräfte der einfachen Pendelschwingungen, in 
welche jene Bewegung zerlegt werden kann. Es lässt sich unter 
dieser Voraussetzung zeigen, dass der Ausdruck 

/ ^F(x) - ajt sin -x"|d^ 







ein Minimum ist, wenn at gleich dem CoefGcienten des entsprechen- 
den Gliedes in der für F(x) gesetzten Fourier'schen Reihe wird; 
dies drückt in der That die obige Eigenschaft aus. Indessen wird 
bei dieser Betrachtungsweise die Entwicklung der Fourier'schen 
Reihe vorausgesetzt, während die in Rede stehende Eigenschaft für 
Reihen mit begränzter Gliederzahl unter den bezeichneten Bedingungen 
ausgesprochen werden kann, bevor die Darstellbarkeit von Functionen 
in unendlicher Reihe erwiesen ist 

Dresden. Toepler. 



G. Esoherich: Flächen n. Ordnung mit einer Symptosen-Axe. 

(Gninert's Archiv. Theü LX.) 

Als ich, durch die Abhandlung Stein er's „Allgemeine Be- 
trachtungen über doppelt berührende Kegelschnitte" angeregt, die 
einander einbeschriebenen Flächen IL Ordnung zu behandeln ver- 
suchte, bedurfte ich bei dem gewählten Gange der Untersuchung 
verschiedener Sätze über jene Lage zweier Flächen IL Ordnung, bei 
welcher sie sich in ebenen Curven schneiden. Da die hierbei auf- 
getauchten Fragen meines Wissens nirgends in rein geometrischer 
Weise besprochen waren, so versuchte ich dies in der obigen Ab- 
handlung. Ich war hiebei besonders bemüht, die Darstellung so 
einzurichten, dass eine Unterscheidung, ob einzelne Elemente der 
auftretenden Gebilde reell oder imaginär sind, überflüssig würde. 
Nach Ableitung der allgemeinen Eigenschaf ken untersuche ich dann, 
unter welchen Umständen einzelne dieser Gebilde reell oder ima- 
ginär sind. 



♦) Anzeiger der Wiener Akad. II vom 11. Jan. 1877. 



6. ESÜHEBICH. 405 

G. Esoherioh: Die reciproken linearen Fläohensysteme. (Erscheint 
in den Sitzungsberichten von 1877 der kaiserl. Akademie in Wien.) 

Hiemit habe ich aus naheliegenden Analogien zwei solche 
lineare Flächensysteme bezeichnet, deren Parameter durch nur eine 
lineare Gleichung an einander geknüpft sind. Ich erörtere zunächst 
die geometrische Bedeutung dieser Verbindungsweise der Parameter. 
Die hiebei erhaltenen Gleichungen führen zu der Erkenntniss, dass 
in jedem der beiden linearen Systeme sich ein dreifach unendliches 
System von Flächen vorfindet, dessen einzelne Flächen als den ein- 
zelnen Punkten des Raumes zugeordnet erscheinen. Die Punkte 
des Raumes, welche in ihren zugeordneten Flächen dieser Systeme 
liegen, bilden eine Fläche, deren Ordnung gleich der Summe der 
Ordnungen der beiden * linearen Systeme ist. Diese Fläche nenne 
ich das Erzeugniss der beiden reciproken linearen Systeme. Durch 
jeden Punkt dieser Fläche gehen seine beiden ihm zugeordneten 
Flächen der beiden Systeme und jede Schaar dieser Flächen, welche 
demselben linearen Systeme angehört, umhüllt*) eine neue Fläche. 
Diese beiden Eingehüllten fallen zusammen, wenn die beiden re- 
ciproken Systeme aus demselben linearen Flächensysteme der III. 
Stufe abgeleitet werden. Bilden überdies in diesem Falle die Con- 
stant-en der reciproken Beziehung eine symmetrische Determinante, 
so wird die Eingehüllte mit dem Erzeugniss der beiden reciproken 
Systeme identisch (Polarsystem); bilden die Constanten eine „schief e^^ 
Determinante, so entspricht immer irgend einem Punkte des Raumes 
in beiden Systemen dieselbe Fläche und jeder Punkt Hegt in seiner 
zugehörigen Fläche (Nullsystem). 

Ausgehend von der Gleichung der von den beiden reciproken 
Systemen erzeugten Fläche, erörtere ich nun die Frage, ob auch 
umgekehrt jede Fläche (w + nf^ Ordnung sich durch zwei reciproke 
lineare Flächensysteme darstellen lässt. Während nun für zwei 
reciproke lineare Systeme von höherer als der II. Stufe dies un- 
mittelbar aus der Form der Gleichung einleuchtet, erscheint dies 
fraglich bei zwei reciproken Flächenbündeln. Für diesen Fall hat 
schon Reye**) nachgewiesen, dass sich die Fläche {m + «)*®' Ord- 
nung dann durch zwei reciproke Bündel m*®' und n**' Ordnung her- 
stellen lässt, sobald sich auf derselben eine Punktgruppe (m, m, m) 
oder (w, w, n) vorfindet. Er hat femer gezeigt, dass auf jeder 

*) Dies Wort in etwas weiterer Bedeutung als gewöhnlich genommen. 
•*) Math. Annalen Bd. II. 



406 Cr. ESCHEBICH. 

Fläche nicht nur, wie selbstverständlich, die Gruppe (1^ 1, 1), sondern 
auch (2, 2, 2) existirt, dass also jede Fläche auf zwei Arten durch 
reciproke Bündel erzeugt werden kann. Die Fragen nun, welche 
Reye hiebei als der Erledigung bedürftige hinstellte, ob sich 
auf einer Fläche (ni + n)^^ Ordnung immer eine (m, m, w) con- 
struiren lässt, oder welche derartigen Gruppen sich auf ihr vor- 
finden, suche ich vollständig zu beantworten^ Ich zeige auf Grund 
einiger von Reye bei dieser Gelegenheit gegebenen Sätze, dass sich 
mit Ausnahme der Fläche sechszehnter jede Flache n^^ Ordnung 
nur durch Bündel 1*®' bis 7*^ und zu ihnen reciproke (w — 1)**' bis 
(n — 7)**' Ordnung erzeugen lässt, und dass die Fläche sechszehnter 
Ordnung auch durch zwei reciproke Bündel 8*®' Ordnung hergestellt 
werden kann. 

Im Anschlüsse hieran bestimme ich die Anzahl der Knoten- 
punkte, welche von den beiden eine gegebene Fläche erzeugenden 
Bündeln willkürlich auf derselben angenommen werden darf. Damit 
ist bekannt, wie viele von den eine Fläche (m + w)*®T Ordnung be- 
stimmenden Punkten man bei der Construction derselben aus dieser 
Anzahl von Punkten zu Ejiotenpunkten zweier reciproker Bündel 
verwenden darf, welche die Fläche hervorbringen sollen. Diese Zahl 
ist bei zwei reciproken Bündeln m*®' und w*®' Ordnung : 

i (3N(n) + 3N{m) - iV^(» + w) } — 2 

wenn eben diese Zahl eine ganze Zahl ist oder, wenn dies nicht 
zutrifft: 

i { 3N{n) + 3 JV(m) — i^(n + w) - 1 } -^ 2 

wo aber dann noch ^eine Cöordinate eines anderweitigen End^en- 
punktes disponibel bleibt. Da aber in diesem Falle sich für eine 
directe Construction der gesuchten Fläche {m + »)*•' Ordnung aus 
den gegebenen N{m + n) Punkten die Verfügbarkeit über diese eine 
Cöordinate nicht auswertiien lässt, so wird man durch N{n -^ tn) — 1 
der gegebenen Punkte einen Flachenbüschel (m 4* »)**' Ordnung 
legen und dann im diesem die Fläche suchen, w^elcfae durch den 
ansgeschiedenen Punkt hindurchgeht. Denn bei der Construetion 
einer Fläche (m + n)*®' Ordnung ans nur N{m + n) — 1 Punkten 
darf man 

i {3JSr(n) + 3N(m)—N{n + w) + 1 } — 2 

derselben zu Knotenpunkten der beiden reciproken Bündel wählen, 
mit deren Wahl aber die Fläche vollständig bestimmt ist. Je nach 
der verschiedenen Yertheüung dieser Zahl der verfügbaren Knoten- 



6. EsCBJÜUCB. 407 

punkte unter die N(n -{' m) -—l Punkte erhält man verschiedene 
Flächen (m + w)*®' Ordnung, welche also den gesuchten Flächen- 
büschel bilden. 

Dieses Verfahren wird nun zur Construction der allgemeinen 
Fläche IIL Ordnung am 19 gegebenen Punkten eingeschlagen. 

Ich zeige also KUY(kder8t eine Gonstraction der Fläche III. Ord- 
nung aus 18 gegebenen Punkten. In diesem Falle darf man nach 
den obigen Angaben sieben der gegebenen Punkte zu Ejiotenpunkten 
der beiden reciproken Bündel wählen. Ich bestimme sie zu Knoten- 
punkten des Bündels der U. Ordnung. Da nun ein Flächenbündel 
zu seinem Polarenbündel bezüglich irgend eines Punktes projectivisch 
ist, so reducirt sich die gestellte Aufgabe auf folgende: 

JDen Mittelpunkt eines zu einem gegebenen reciproken Strahlen- 
bündels zu finden, wenn . von jeder Ebene des gesuchten Bündele^ 
welche einem von elf bestimmten Strahlen des gegebenen entspricht, 
ein Punkt gegeben ist." 

Eine einfache Discussion dieser Aufgabe lehrt, dass der ge- 
suchte Punkt ein bestimmter von den vier Ausnahmepunkten eines 
tetraedalen quadratischen Complexes ist, zu dessen Construction man 
durch Lösung der folgenden Aufgabe gelangt: 

„Zu einem gegebenen Systeme ein reciprokes zu construiren, 
wenn einem gegebenen Punkte des ersten eine bestimmte Ebene des 
gesuchten zugewiesen und wenn von jeder Ebene des gesuchten 
Systems, welche einem von elf bestimmten Punkten des ersten ent-. 
sprechen soll, ein Punkt gegeben ist." 

Diese Aufgabe ist in der allgemeineren enthalten: 

„Zu einem gegebenen Systeme ein reciprokes zu construiren, 
wenn von jeder der fünfzehn Ebenen des gesuchten Systems, welche 
einem von fünfzehn bestimmten Punkten des ersten entspricht, ein 
Punkt gegeben ist." 

Diese Aufgabe löse ich durch ein stufenförmiges Verfahren, 
welches mit jedem Schritt von einem angenommenen Systeme, in 
welchem fünf Ebenen des gesuchten Systems durch fünf der ge- 
gebenen Punkte willkürlich gelegt und den bestimmten fünf Punkten 
des gegebenen Systems zugewiesen wurden, zu einem neuen führt, 
in welchem immer zwei weitere Ebenen durch die ihnen bestimmten 
der fünfzehn gegebenen Pimkte gehen. 

— Nebenbei bemerkt ist mit der Lösung dieser Aufgabe nicht 
allein der gesuchte Mittelpunkt des Strahlenbündels, sondern auch 
eine, allerdings nichts weniger als elegante, punktweise Construction 



408 0. EscHEHicH. — E. Hess. 

der T'Iäche der 11. Ordnung aus neuen gegebenen Punkten gefunden, 
und die Aufgabe erledigt: 

Es sind zweimal vierzehn Punkte J^j, -^g . . . A^^^j SCj, Sl^ . . . Ä^^ 
gegeben, man soll zwei Punkte und (7 finden, welche die Mittel- 
punkte zweier reciproker Strahlenbündel sind, dergestalt, dass den 
Strahlen OÄ^y OA^ . . . 0-4.,4 des einen im anderen Ebenen entsprechen, 
welche bezüglich durch Ä^, Slg • • • ^i4 gehen. — 

Ich zeige nunmehr, wie sich zu jedem Strahle des' Strahlen- 
bündels die entsprechende Fläche des Flächenbündels und ihre 
Durchschnittspunkte finden lassen. Diese Constructionen können 
ebenso wie alle vorhergehenden mit blosser Hilfe von Lineal und 
Cirkel ausgeführt werden. 

Nach Losung dieser vorbereitenden Aufgaben gehe ich an die 
Construction der allgemeinen Fläche lU. Ordnung aus neunzehn 
Punkten. Zu diesem Behufe lege ich durch achtzehn derselben zwei 
Flächen UI. Ordnung d. h. es werden die sie erzeugenden reciproken 
Bündel in der gelehrten Weise construirt und ich zeige dann, wie 
man mit Hilfe derselben eine beliebige Zahl von Punkten der ge- 
suchten Fläche construiren könne. Eine bestimmte Anzahl solcher 
hinzugewonnener Punkte genügt jedoch, um zwei reciproke Bündel 
festzulegen, welche die gesuchte Fläche erzeugen. 

Die Möglichkeit, auch die hiebei aufgetauchte Aufgabe: 

„Wenn von sechs Durchschnittspunkten einer Curve III. Ord- 
nung und eines Kegelschnittes zwei bekannt sind, den durch 
die vier anderen bestimmten Kegelschnittsbüschel zu construiren" 

blos mit Lineal und Cirkel lösen zu können, verstattet es, diese ganze 
Construction der allgemeinen Fläche HI. Ordnung durch nur diese 
Hilfsmittel ausführen zu können. 

Graz. G. Escherich. 



B. Hess: Ueber einige merkwürdige, nicht oonvexe Polyeder. 

(Sitznngsberichte der Gesellschafc zur Bef5rderang der gesammten 
Naturwiflsenschaften zu Marburg. No. 1. Jan. 1877. S. 1 — 13.) 

Der Verfasser hat durch die Ausdehnung seiner Untersuchungen 
üher die zugleich gleicheckigen und gleichflächigen Polyeder (vgl. diese 
Berichte I^ S. 229 ff.) auf die nicht convexen^ sowie auch auf die 



E. Hess. 409 

nicht eontinuirlichen Polyeder eine Anzahl von Körpern erhalten, die 
noch nicht berücksichtigt zu sein scheinen, obwohl sie in ver- 
schiedener Hinsicht merkwürdige und ausgezeichnete Eigenschaften 
besitzen. In dem vorliegenden Berichte werden die hierhergehörigen 
nicht convexen, aber eontinuirlichen Polyeder unter Angabe, einiger 
ihrer wichtigsten Eigenschaften kurz aufgeführt. 

Zuerst werden einige Definitionen und Sätze, die sich zumal 
auf die Bestimmung der Art eines nicht convexen Polyeders be- 
ziehen, vorausgeschickt und sodann kurz das Verfahren entwickelt, 
durch welches man die hierhergehörigen Polyeder auffinden und 
näher bestimmen kann. Das Verfahren beruht auf der Eigenschaft 
der zugleich gleicheckigen und gleichflächigen Polyeder höherer 
Art, vermöge deren der innerste Kern ein gleichMchiges, die äussere 
Hülle ein gleicheckiges Polyeder der ersten Art bildet. 

Die auf diese Weise erhaltenen, nicht convexen Polyeder zer- 
fallen in zwei Hauptgruppen, in eigentliche und uneigentliche Polyeder,' 
d. h. in solche, welche das von Moebius sog. Gesetz der Kanten 
erfüllen und in solche, bei denen dies nicht der Fall ist. 

Die betreffenden uneigentlichen Polyeder, welche sog. Möbius- 
sche Körper sind, d. h. solche, bei denen die Oberfläche sowohl 
durch die Aussen- , wie* durch die Innenseite jeder Grenzfläche ge- 
bildet wird, deren Oberfläche und körperlicher Inhalt hiemach Null 
ist, werden nur kurz erwähnt, dagegen wird auf die hierher ge- 
hörenden eigentlichen^ nicht convexen Polyeder etwas genauer ein- 
gegangen. 

Diese letzteren werden in zwei Classen eingetheilt. Für die 

Polyeder der ersten Classe ist die die Art bestimmende Zahl J^ < — , 

wenn K die Summe der Kanten bedeutet, für die der zürnten Classe 

dagegen ist -4 = — ; dabei ist zugleich für die ersteren Oberfläche 

und körperlicher Inhalt von Ifull verschieden, für die der zweiten 
Classe dagegen gleicht Null, obwohl diese letzteren das Gesetz der 
Kanten erfüllen, also keine Mö bin s'schen Polyeder sind. 

Die Zahl der Polyeder der ersten Classe beträgt 4, indem 
durch Anwendung des angegebenen Verfahrens aus der Gruppe des 
(6 + 8 + 12) eckigen (2 X 24) Flachs Zivei, sich gegenseitig polar 
entsprechende und aus der Gruppe des (12 + 20 + 30) eckigen 
(2 X 60) Flachs ebenfalls Zioei solcher Polyeder erhalten werden, 
von denen aber jedes sich selbst polar reciprok entspricht. 



410 E. Hess. — S. Öünther. 

Die Polyeder der . ßweiten Classe haben, wie ^ortert, die Eigen- 
schaft, das» die Oberfläche und der körperliehe Inhalt gleich Nuü wird. 
Jede der gleichen Grenzflächen setzt sich nämlich aus einer Anzahl 
positwer Zellen (mit dem gemeinsamen Coefficienten + 1) ^^^ einer 
ebenso grossen Anzahl von negativen^ Zellen (mit dem Coefficienten 
— 1) zusammen, welche bezüglich den ersteren entgegengesdgt gleich 
sind, so dass hiernach der Inhalt jeder Grenzfläche Null wird. Für 
sämmtliche hierhergehörige Polyeder erhält der innerste Kern d. h. 
die innerste körperliche Zelle, so wie auch diesem anliegende Zellen 
den Coefficienten Null* dieselben bilden also Locher des Polyeders. 

Als solche ni(M convexe Polyeder der zweiten Classe werden 
aus der Gruppe der gleichflächigen Polyeder mit Hauptaoce zwei 
Gruppen von Körpern erhalten, für welche der Verfasser mit Rück- 
sicht auf ihre kronenförmige Gestalt den Namen Stephanoide yot* 
schlägt. ' 

Aus der Gruppe des (6 + 8 + 12) eckigen (2 X 24) Flachs er- 
geben sich femer zwei nicht eonveie Polyeder der 2. Classe, welche 
sich polar entsprechen und zu den beiden ersten, oben erwähnten 
der 1. Classe in naher Beziehung steheQ. 

Endlich liefert die Gruppe des (12 + 20 + 30) eckigen 
(2 X 60). Flachs noch 5 solcher Polyeder, von denen sich je zwei 
polar entsprechen, während der 5. sich selbst entspricht. 

Auf die nähere Beschaffenheit der abgeleiteten Polyeder kann 
hier nicht eing^angen werden; es möge daher nur noch erwähnt 
werden, dass die inneren Kerne und äusseren Hüllen derselben in 
vielen Fällen durch die archimedeischen^ in einzelnen Fällen sogar 
durch die regulären (platonischen) Varietäten von gleichflächigen^ 
bezw. gleicheckigen Polyedern gebildet sind. 

Aus der Beschaffenheit dieser inneren Kerne und äusseren Hüllen 
ergibt sich auch die am Schlüsse erwähnte Darstellung dieser Polyeder 
durch Papp- oder^Eadenmodelle. 

Marburg. ' E. Hess. 



S. Günther: Note sur Ift rösolntioxi de T^quation ind^t^rminöe 

^ — ha? «=s az en nombres entiers. (Journal de math^m. pures 
et appliqu^es, Octobre 1876.) 

Das Bestreben, auch nicht homogene Gleichungen zweiten Grades 
in's Bereich der Betrachtung zu ziehen, Hess die vorstehend ge- 



S. Günther. 411 

nannte Gleichung bald als eine leicht losbare erkennen. Setzt man 
den eingliedrig'periodiselien Eettenbrach 

a. — ... — b 

so besteht die Relation 

Öa« = Ö« — &«2-i, 
welche an diesem Orte auf zwiefache Weise ^ durch Determinanten, 
wie durch direkte algebraische Umformung, hergeleitet wird. Da, 
wie hieraus ersichtlich, der constante Partialzähler ein f&r allemal 
gegeben ist, so handelt es sich weiterhin blos darum, die Grosse a 
aus der Gleichung 

^ (i+i/F">)-^-(i-] /F">r- . 

ZU bestimmen, wo ä nach Grelle allgemein eine durch a ohne Rest 
theilbare Zahl Yorstelli 

Es wird gezeigt, wie sich diese Aufgabe stets auf die Lösung 
der fundamentalen Gauss'schen Congruenz u^ ^ av (mod b) zurück- 
führen lässt, femer werden die Fälle ausgeschieden, in welchen eine 
Losung überhaupt nicht möglich ist, und zuletzt wird jeder mög- 
liche Fall durch ein Yollständiges Zahlenbeispiel erläutert. — An- 
gehängt ist eine algebraische Notiz von Prof. Mansion in Gent. 



S. Günther: Kritik der Batuntheorieen von H^lmholts tind Sohmitz- 
Dxunont. (ZeitBchr. f. d. Bealschulwesen, 1. Jahi^. 6. u. 7. Hft.) 

Dieser Aufsatz soll eine vergleichende Kritik zweier modernen 
Raumtheorieen liefern, wie solche einerseits von Seite der empiristi- 
schen, andererseits von derjenigen der idealistischen Schule auf- 
gestellt wurden; die beiden Arbeiten von Helmholtz (in dessen be- 
kannten populären Vorträgen, 3. Heft) und von Schmitz- Dumont 
(Zeit und Raum, Leipzig* 1876) können mit Fug als für jede dieser 
beiden verschiedenen Auffassungsweisen des Raumes ch»*akteristisch 
gelten. 

Es wird der Nachweis zu führen gesucht, dass der BegrifiP der 
ortsverschiedenen Identität (Congruenz) auch von solchen Organismen 



412 S. Günther. 

durch logische Schlüsse erreicht werden könne und müsse ^ welche 
durch ihre subjectiven Zustände an 'der anschauenden Erkenntniss 
jenes Begriffes gehindert sind, im üebrigen aber denselben Denk- 
gesetzen gehorchen, wie wir Menschen. Wäre es gelungen darr 
zuthun, dass jene Geometrie, welche die von Helmholtz suppo- 
nirten „Plächenwesen^* auf ihre specielle wie immer gestaltete Wohn- 
fläche begründen sollen, principiell von der unsrigen sich nicht 
unterscheide, so würde hieraus auch mit Noth wendigkeit folgen, 
dass, einen „unebenen^^ Raum in Riemann^s Sinne als existirend 
vorausgesetzt, die darin lebenden Individuen gleichwohl in das 
Wesen eines krümmungslosen (eudidischen) Raumes mit unbe- 
schränkter Transponibilität der Körper sich hineinzudenken im 
Stande wären. 

Indem die zweitgenannte Untersuchung die Existenz eines drei- 
dimensionalen ebenen Raumes als aprioristische Denknothwendigkeit 
zu begründen unternimmt, tritt sie gegen die Helmholtz'sche Lehre 
in Opposition. Es gelingt ihr, bei manchen dem ersten Versuche 
noch anhaftenden Mängeln, beachtenswerthe Gründe für jene Be- 
hauptung beizubringen; jedoch soll und kann nicht geleugnet werden, 
dass die Anschauung der Raum Verhältnisse bei solchen Organisationen 
eine total verschiedene sein könne, welche mit durchaus abweichenden 
Perceptions- und Denkorganen operiren müssen. 



S. Günther: Neue Methode der directen Stimmation periodischer 
Kettenbrüche. (Zeitechr. f. Math. u. Phys. 22. Jahrg. 1. Hffc.) 

Die einzige bislang bekannte Methode, jenes Problem in völlig 
expliciten Formeln zu lösen, rührt von Oettinger her; dieselbe 
leidet aber an dem üebelstand, die bekannte Summenformel für 
den eingliedrig-periodischen Kettenbruch zu verwenden und somit 
also einen Specialfall der erst zu erledigenden Aufgabe als bereits 
bekannt vorauszusetzen. Diese neue Behandlung geht aus von der 
Identität eines aufsteigenden und absteigenden Kettenbruches; es ist: 

Ä I _r P« "T r" ''i ^^^ '^i P« "~ „ R iR ^iPiPs „RR 



S. Günther. — A. Favabo. 413 

Der linkssteigende aufsteigende Kettenbruch ist rein periodisch 
und besitzt nebst p vollkommenen Perioden noch eine unvollständige 
von q Theilbrüchen; der rechtsstehende gewöhnliche Kettenbruch 
ist unrein periodisch, doch umfasst auch seine Periode je n Glieder, 
und nach p Perioden folgen noch (q — 1) Theilbrüche. Der Aus- 
druck zur rechten Hand ist leicht in independente Form zu bringen; 
um alsdann den absteigenden Kettenbruch auf die Normalform 

Oj — ... 

ZU bringen, hat man nur das Gleichungssystem der 2n ün- 
Ibekannten a, ß 

aißi^ißi^i=^ bi, «f+i/Sf + ßi+i = a» (n + i = i) 

zu lösen. Nachdem a und ß allgemein durch Determinanten dar- 
gestellt und in die Summenformel eingesetzt sind, ist der angestrebte 
Zweck völlig erreicht. — Aus diesem Resultat fliesst dann ohne 
Weiteres ein Satz für zweigliedrig-periodische Kettenbrüche, der von 
Kahl und dem Referenten früher mit Hilfe verwickelterer Be- 
trachtungsweisen bewiesen worden war. 

Ansbach. S. Günther. 



A. Favaro: Saggio di cronografia dei matematioi dell* antiohitft. (A, 

600 a. C. — A. 400 d. C.) 

(Padova, premiata tipografia Francesco Sacchetto, 1875.) 

II presente lavoruccio, steso per celebrare una festa di famiglia, 
non era certamente destinato dair autore al pubblico scientifico, eppure 
successivamente se ne occuparono il Cantor nella Zeitschriß für 
Mathematik und Physik (XX. Jahrg. Hist. Lit. Abth. S. 20), il 
Günther neir Archiv der Mathematik wnd Physik (LVIII. Theil, Lit. 
Ber. CCXXX, S. 14—17) ed il Curtze nel Jahrbuch Ober die Fort- 
schritte der Mathematik (VII. Bd., Jahrg. 1875, S. 1 — 2): alcuni 
appunti mossi dal primo e dalV ultimo di questi scrittori decisero 
autore ad esprimere i suoi intendimenti intomo a questo saggio, 
cosa, dalla quäle si sarebbe astenuto se le sue intenzioni fossero state 
piü giustamente interpretate. 

Per quanto Consta air autore, prima di lui non si era peranco 
pensato ad applicare i metodi grafici agli studi cronologici, che certa- 

Bepertorium für reine und angewandte Mathematik. 28 



414 A.. Pavaro. 

mente in questo senso non devono intendersi i tentativi fatti per 
Taddietro dal Luini, dal Priestley, dal Quetelet e dal PoggendorfF: 
per dare quindi un saggio di questa nuova applicazione egli scelse 
i dieci secoli che comprendono alV incirca le autichitä classiche 
greca e romana e eompilö un eleneo degli scienziati che in questo 
lungo periodo si occuparono di scienze matenratiche pure od appli- 
cate e ne distribui i nomi in un rettangolo sopra uno dei cui lati 
segnö cento divisioni ognuna delle quali corrisponde ad un decennio 
Per facilitare il coUocamento a posto dei singoli nomi, per ognuna 
delle divisioni segnate sopra uno dei lati dei rettangolo condusse 
una parallela alF altro lato, cosicche riesce anche piü facile al lettore 
J assegnare V epoca nella quäle visse un dato personaggio, la quäle 
ricerca e anche agevolata perciö che i varii nomi sono disposti nel 
rettangolo secondo Y ordine alfabetico. Parve air autore che per tal 
modo si possa ruiscire ad una rappresentazione grafica, la quäle si 
presti in modo assai opportuno ad un giudizio sintetico intorno alle 
stato delle scienze in una determinata epoca, risultando con una 
semplice occhiata evidenti i nomi di quelli che contemporaneamente 
le coltivavano. 

Naturalmente riferendosi ad epoche cosi remote sarebbe fuori 
di luogo il pretendere che la rappresentazione grafica si prestasse 
ad assegnare Y anno di nascita o di morte, giacche questi dati nella 
maggior parte dei casi non sono somministrati dalla storia e la 
rappresentazione grafica non puö crearli: la data relativa ai varii 
nomi e quella che presso gli scrittori piü autorevoli si trova esposta 
ed in pressoche tutti i casi niuno saprebbe dire se essa si riferisca 
alla nascita, a qualche fatto importante della vita, od alla morte. 
La fretta poi coUa quäle, indipendentemente dalla sua volontä, Y autore 
dovette pubblicare per quel dato giomo il suo lavoro, non gli per- 
mise una esatta correzione, ciocche per qualche nome aperse Y adito 
ad errori ortografici, i quali tuttavia non hanno alcuna Influenza 
sulla essenza dello scritto e suUo scopo propostosi dair autore, che 
e quello, lo ripetiamo, di porgere una nuova applicazione dei me- 
todi grafici. 



A. Favaro: Sulla ipotesi geometrica nel Menone di Flatone. 

(Padova, Tipografia dei Seminario. 1875.) 

Nel dialogo platonico che s' intitola da Menone, chiede questi 
a Socrate se la virtü possa o meno insegnarsi, o se non insegnandosi 



A. Favaro. 415 

essa possa almeno venir praticata, ovvero, se non potendosi ne 
icsegnare ne praticare^ essa yenga da natura agli uomini od in quäl 
altro modo. Dopo una lunga disquisizione, affermando Socrate che 
ricercare ed apprendere e solo un ricordarsi e Menone riehiedendolo 
di porgere una dimostrazione di questo suo asserto, il Filosofo fa 
chiamare uno dei servi di Menorfe ed in un lungo interrogatorio 
prova trovarsi esso a conoscenza di talune proprieta geometriche, 
delle quali a priori il servo istesso avrebbe potuto ritenersi affatto 
digiuno. U autore riproduce questo interrogatorio, illustrandolo con 
opportune figure geometriche che non si trovano nel testo platonico 
e giunge finalmente al passo il quäle sollevö tante e cosi ammate 
discussioni e che il prof. Perrai deir Universitä di Padova tradusse 
come segne ^Ma almeno rimetti qualche poco del tuo imperio sovra di 
me, ' e permeUi che per via 6t ipotesi consideriamo s' ella si possa inse- 
gna/re o per quäl altro modo s' a^uisti, E qmnX io dico per via d' 
ipotesi, dico al modo che spesso praticano i geometri, qtiando si do- 
manda loro per esempio d' una figura, se sia possibiU in un dato dr- 
colo iscriverla come triangolo: un d' essi in tal caso ci risponderebbe: 
i' non so se questo sta; ma i' la prendo per un' ipotesi in quanto giova 
alla soluzione presente. Se questa figura e tale che su le sm linee 
date descrivendo un cerchio avanzi tanto spazio quanto sia quelh della 
figura inscritta, parmi si ottenga un risultato e oppostamente un altro y 
se cid non sia possibilCy accada: posta qussta ipotesi adunque, voglio 
dirti quanto risulta ddlla inscrizione della figura nel cerchio ^ e se la 
sia possibile o no. 

Ora ritiene Y autore evidente che Socrate, giovandosi, per chiarire 
il suo concetto, d' un esempio tratto dalla geometria, ne agevolasse 
al suo interlocutore la intelligenza, mantenendolo nelF ordine stesso 
di idee tracciato neir interrogatorio del servo, si servisse anzi deir 
ultima figura che rimaneva tuttavia segnata sulla sabbia innanzi ad 
ambedue. Osservando dapprima come la essenza della ipotesi geo- 
metrica non abbia nel caso attuale importanza alcuna, ma solo im- 
porti di verificare se di ipotesi realmente si tratti, nel senso che 
di tale artifizio approfittano i geometri, con quello che v^ aggiunge 
il filosofo ogni difficoltä potrebbe dirsi tolta completamente. Chiesto 
al geometra se sia possibile di inscrivere quel triangolo in un dato 
cerchio, questi avrebbe risposto: io non so se ciö sia, ma lo suppongo, 
poiche tale ipotesi mi giova per il progresso della soluzidne. Se 
questa figura proposta e tale che adattata sul diametro del cerchio, 
avanzi tanto spazio che basti per adattarvi una figura uguale alla 

28* 



416 A. Favaro. 

precedente, si ottiene un risultato, vale a dire la figura proposta 
trasformata nel triangolo puö essere inscritta nel cerchio ed oppo- 
staihente avviene se ciö non ha luogo, vale a dire non e possibile 
la inserizione del triangolo, qualora non si verifichi V accennata con- 
dizione. 

L' autore dimostra in seguito che la ipotesi e geometricamente 
esatta., e passa poi in breve rassegna alcune delle diverse inter- 
pretazioni date al passo medesimo. Osserva pertanto non doversi 
qui trattare di questione involuta, perciö che pönendo Piatone in 
bocca a Socrate un esempio tratto dal dominio delle matematiche 
onde lllustrare un concetto filosofico, ripugna il pensare che, mentre 
a chiarire che cosa intendano i geometri quando formulano una 
ipotesi, si prestano esempii tratti dalla parte piü elementare delle 
matematiche, Socrate dovesse sceglierne uno la cui interpretazione 
presentasse difficoltä maggiori che non il concetto ch' esso era de- 
stinato a chiarire. L' autore accenna ancora all' importanza del passo 
sotto il punto di vista della storia delle matematiche. 




A. Favaro: Notizie storiohe stille frazioni continue dal Becolo 
deoimoterzo al decimosettimo. 

(Bulletino fli Bibl. e Storia delle Scienze Mat. e Fis. Roma 1875.) 

Sono note le contraddizioni nelle quali 'caddero piü volte gli 
storici delle scienze matematiche, i quali si fecero a studiare V origine 
delle frazioni continue: sino al Libri era generalmente invalsa V 
opinione che questa forma analitica fosse stata trovata dal Brouncker: 
Libri aveva accennato come un tale onore dovesse invece attribuirsi 
air italiano Cataldi, fatto che venne in seguito sostenuto e vittorio- 
samente dimostrato dal Grunert 

II Cantor ed il Martin avevano accennato di volo ad una certa 
forma di frazioni affatto speciale offerta da Leonardo Pisano nel suo 
Liber Ähhacij ma non riconoscendo in tal fatto tutta la importanza 
del quäle h meritevole. 

Ora r autore, seguendo in parte le traccie segnate dal Günther 
nei suoi ^Beiträge mr Erfindungsgeschichte der Kettenbrüche* si e pro- 
posto di sviluppare * la storia delle frazioni continue dal decimoterzo 
al decimosettimo secolo, ma in ciö fare egli non si e vietata una 
breve escursione nei tempi che - precedono e susseguono questo 



A. Favabo. ^ 417 

periodo. Prendendo le mosse dagli antichi Greci, egli. dimostra che 
se riuscirebbe malagevole provare indiscutibilmente che gli antichi 
fossero in possesso delle frazioni continue, tuttavia il fatto che la 
maggior parte dei valori approssimati da essi usati sono vere fra- 
zioni d' approssimazione, dimostra che quei matematici giä le cono- 
sceyanO; od almeno aveyano in cio un tatto singolare ed e ad ogni 
modo accertato che essi possedevano gli stessi mezzi per rappresentare 
sotto forma piü comoda il rapporto che passa fra due grandi nu- 
meri^ benche non si possa con tutta esattezza precisare Y artificio 
del quäle a tale scopo facevano uso. A dimostrazione del suo assunto 
cita r autore i doli della cronologia degli antichi Greci e segnala 
la proposizione prima del libro settimo di Euclide siccome quella 
che contiene in se stessa il metodo ancora oggidi generalmente seguito 
per trasformare una frazione comune in una continua. ün altro 
indizio deir antichitä della forma analitica in questione lo ricava 
r autore dalla soluzione data da Teone del problema di trovare 
in modo approssimato il lato d' una superficie che non ha radice 
esatua« 

Passa quindi a prendere in esame le opere di Leonardo Pisano 
e dei matematici arabi, dai quali, secondo ogni probabilitä, apprese 
il Fibonacci gran parte del tesoro di che egli seppe arricchire 
rOccidente, e, tradotti nel linguaggio algebrico modemo i risultati 
ai quali erano pervenuti, ne mostra lo stretto nessö con quanto ci 
tramandarono fra Luca Pacioli, TOrtega, P. Galigai, F. Peli- 
ciano da Lazisio/ G. Cardano, N. Tartaglia, R. Bombelli, 
G. Unicorno ed altri, giungendo senza interruzioni al Cataldi, 
Del Cataldi si occupa V autore in modo assai particolareggiato, 
esponendo un passo nel quäle si contiene la invenzione delle frazioni 
continue, commentandolo algebricamente e porgendo anCora una idea 
del cammino seguito dal matematico bolognesse onde pervenirvi. 

Contempöraneamente al Cataldi, in Germania ed in Gianda 
lo Schwenter ed Alberto de Girard avevano accennato ad una 
forma analitica che ha coUe odierne frazioni continue una grandissima 
affinita ed anche di questi si occupa V autore. 

Dopo ciö si arriva al Brouncker ed al Wallis e nelle ricerche 
che si riferiscono al metodo col quäle il primo di essi sarebbe 
arrivato alle frazioni continue, V autore dissente profondamente da 
quanto scrissero in proposito altri matematici, provando il suo assunto 
con documenti e dimostrazioni irrefragabili. 

L'Huygens chiude la serie degli scienziati, i quali potrebbero 



418 . ^' Favabo. 

vantare qualche pretesa alla invenzione delle frazioni continue, alle 
quali egli sarebbe pervenuto disegnando di costruire una rappresen- 
taziöne del moto dei pianeti ed il lavoro si ehiude con brevi cenni 
dati al fine di porgere una idea della parte che le frazioni continue 
furono chiamate a rappresentare nello sviluppo successivo delle ma- 
tematiehe per opera d' Eulero, dei BernouUi e di Lagrange. 

In tutto il corso del lavoro, 1' autore si e astenuto dal soUevare 
odiose questioni di prioritä, dalle quali del resto fa rifuggire V 
assoluta originalitä della via seguita da pressoche tutti i citatii 
matematici. 



A. Favaro: Lezioni di Statica Grafica. 

(Padova, premiata tipografia F.- Sacchetto. 1877.) ^ 

Corrispondentemente al metodo da lui seguito nell' insegnamento 
della Statica grafica al quäle attende nella Universitä di Padova fin 
dair anno 1870 — 71, V autore ha diviso queste sue lezioni in tre 
parti; cioe Geometria di Posizione, Calcolo grafico e Statica grafica. 
Fin da bei principio egli ebbe motivo di riconoscere che troppo 
scarso era il numero dei suoi allievi, i quali conoscessero la lingua 
tedesca con profonditä sufficiente da essere al caso di consultare 
con profitto la magistrale opera del Culmann e perciö egli penso 
di redigere ad uso dei suoi Scolari un riassunto degli scritti originali 
che gli servono di guida per le lezioni, citando scrupolosamente in 
capo ad ogni paragrafo le fonti alle quali attinse. Per la Geo- 
metria di Posizione egli si valse in particolar modo deir opera di 
V. Staudt e di quella del Reye e per il Calcolo grafico e la 
Statica grafica di quella del Culmann, tenendo conto anche di 
tutte le pubblicazioni che da altri autori erano state fatte intorno 
ai medesimi argomenti. 

Per quanto riguarda in particolare la Statica grafica, nel pre- 
sente volume si occupö esclusivamente della parte teorica, riservan- 
dosi di pubblicarne le applicazioni in altro volume che vedrä la luce 
entro il 1878. 



i 



A. Favaro. 419 

A. Favaro: Intorno al probabile ailtore di una predizione di terre- 

moto riferita da Petrarca. 

(Venezia, tip. Grimaldo e C. 1876.) 
I 

Quantunque dal titolo apparisca che questo lavoro sia estranep 
alle matematiche, pure esso ne interessa la storia, giacche vi si 
contengono notizie intorno adunVescovo d'Isola che fu discepolo 
di Andalö di Negro matematico ed astronomo genovese (Jel secolo 
decimoquarto. Intorno a questo vescovo somministrarono notizie 
inesatte il Tiraboschi, lo Spotorno ed il Libri, tratti in errore 
dal P. Ximenes, il quäle alla sua volta lo fu da un catalogo 
di manoscritti magliabechiani compilato dal Targioni-Tozzetti: 
ne tuttavia puo dirsi che il presente scritto soddisfi a tutte le 
esigenze, ma maggior copia di materiali non riusci V autore a rac- 
cogliere e ciö non pertanto giudicö opportuno di pubblicare quei 
pochi dei quali venne a cognizione nella speranza di animare altri 
a studii ulteriori i quali approdino a qualche cosa di piü concreto, 
somministrando esatte nozioni intorno a questo personnaggio, il 
quäle a piü titoli deve destare un certo interesse in quanti si occu- 
pano con amore della storia delle scienze. 

Padova. A. Favaro. 



Enrico Giordani: I sei cartelli di matematica disfida, prima- 
mente intorno alla generale risoluzione delle equazioni cubiche, di 
Lodovico Ferrari, coi sei contro-cartelli in risposta di Nicolö 
Tartaglia, comprendenti le soluzioni dei quesiti dalV una e dall' 
altra parte proposti. Raccolti, autografati e pubblicati da Enrico 
Giordani Bolognese. Premesse notizie bibliografiche ed illustra- 
zioni sui cartelli medesimi, estratte da documenti giä a stampa ed 
altri manoscritti favoriti dal Comm. Prof. Silvestro Gherardi, 
Preside deir Istituto Teenico Provinciale di Firenze. Milano, 1876. 
R. Stabilimento litograficodi Luigi Ronchi, e Tipografia degli In- 
gegneri.. 



La disputa accompagnata da sfide, che ebbero fra loro Nicolo 
Tartaglia e Lodovico Ferrari in occasioiie della scoperta, fatta dal 



418 . A. Favabo. 

vantare qualche pretesa alla invenzione delle frazioni continue, alle 
quali egli sarebbe pervenuto disegnando di costruire una rappresen- 
taziöne del moto dei pianeti ed il lavoro si chiude con brevi cenni 
dati al fine di porgere una idea della parte ehe le frazioni continue 
furono chiamate a rappresentare nello sviluppo successivo delle ma- 
tematiche per opera d' Eulero, dei BernouUi e di Lagrange. 

In tutto il corso del lavoro, F autore si e astenuto dal soUevare 
odiose questioni di prioritä, dalle quali del resto fa rifuggire T 
assoluta originalita della via seguita da pressoehe tutti i citati 
matematici. 




A. Favaro: Lezioni di Statica Grafica. 

(Padova, premiata tipografia F.* Sacchetto. 1877.) ^ 

Corrispondentemente al metodo da lui seguito neir insegnamento 
della Statica grafica al quäle attende nella Universitä di Padova fin 
dair anno 1870—71, T autore ha diviso queste sue lezioni in tre 
parti, cioe Geometria di Posizione, Calcolo grafico e Statica grafica. 
Fin da bei principio egli ebbe motivo di riconoscere che troppo 
scarso era il numero dei suoi allievi, i quali conoscessero la lingua 
tedesca con profonditä sufficiente da essere al caso di consultare 
con profitto la magistrale opera del Culmann e perciö egli pensö 
di redigere ad uso dei suoi Scolari un riassunto degli scritti originali 
che gli servono di guida per le lezioni, citando scrupolosamente in 
capo ad ogni paragrafo le fonti alle quali attinse. Per la Geo- 
metria di Posizione egli si valse in particolar modo deir opera di 
V. Staudt e di quella del Reye e per il Calcolo grafico e la 
Statica grafica di quella del Culmann, tenendo conto anche di 
tutte le pubblicazioni che da altri autori erano state fatte intorno 
ai medesimi argomenti. 

Per quanto riguarda in particolare la Statica grafica, nel pre- 
sente volume si occupö esclusivamente della parte teorica, riservan- 
dosi di pubblicarne le applicazioni in altro volume che vedrä la luce 
entro ü 1878. 



A. Favaro. 419 

A. Favaro: Intomo al probabile ailtore di una predizione di terre- 

moto riferita da Petrarca. 

(Venezia, tip. Grimaldo e C. 1876.) 

Quantunque dal titolo apparisca che questo lavoro sia estraneo 
alle matematiche, pure esso ne interessa la storia, giacche vi si 
contengono notizie intorno adunVescovo d'Isola che fu discepolo 
di Andalo di Negro matematico ed astronomo genovese ^l secolo 
decimoquarto. Intomo a questo vescovo somministrarono notizie 
inesatte il Tiraboschi, lo Spotorno ed il Libri, tratti in errore 
dal P. Ximenes, il quäle alla sua volta lo fu da un catalogo 
di manoscritti magliabechiani compilato dal Targioni-Tozzetti: 
ne tuttavia puo dirsi che il presente scritto soddisfi a tutte le 
esigenze, ma maggior copia di materiali non riusci V autore a rac- 
cogliere e ciö non pertanto giudicö opportuno di pubblicare quei 
pochi dei quali venne a cognizione nella speranza di animare altri 
a studii ulteriori i quali approdino a qualche cosa di piü concreto, 
somministrando esatte nozioni intorno a questo personnaggio, il 
quäle ä piü titoli deve destare un certo interesse in quanti si occu- 
pano con amore della storia delle scienze. 

Padova. A. Favaro. 



Enrico Giordani: I sei cartelli di matematica disfida, prima- 
mente intomo alla generale risoluzione delle equazioni cubiche, di 
Lodovico Ferrari, coi sei contro-cartelli in risposta di Nicolö 
Tartaglia, comprendenti le soluzioni dei quesiti dalV una e dalK 
altra parte proposti. Raccolti, autografati e pubblicati da Enrico 
Giordani Bolognese. Premesse notizie bibliografiche ed illustra- 
zioni sui cartelli medesimi, estratte da documenti giä a stampa ed 
altri manoscritti favoriti dal Oomm. Prof. Silvestro Gherardi, 
Preside deir Istituto Teenico Provinciale di Firenze. Milano, 1876. 
R. Stabilimento litograficodi Luigi Ronchi, e Tipografia degli In- 
gegneri.. 



La disputa accompagnata da sfide, che ebbero fra loro Nicolö 
Tartaglia e Lodovico Ferrari in occasioiie della scoperta, fatta dal 



418 . A. Favabo. 

vantare qualche pretesa alla invenzione delle frazioni continue, alle 
quali egli sarebbe pervenuto disegnando di costruire una rappresen- 
taziöne del moto dei pianeti ed il lavoro si chiude con brevi cenni 
dati al fine di porgere una idea della parte che le frazioni continue 
furono chiamate a rappresentare nello sviluppo successivo delle ma- 
tematiche per opera d' Eulero, dei BernouUi e di Lagrange. 

In tutto il corso del lavoro, Y aiitore si e astenuto dal soUevare 
odiose questioni di prioritä, dalle quali del resto fa rifuggire V 
assoluta originalita della via seguita da pressoehe tutti i citati 
matematici. 




A. Favaro: Lezioni di Statica Grafioa. 

(Padova, premiata tipografia F.- Sacchetto. 1877.) ^ 

Corrispondentemente al metodo da lui seguito neir insegnamento 
della Statica grafica al quäle attende nella Universitä di Padova fin 
dair anno 1870 — 71, V autore ha diviso queste sue lezioni in tre 
parti, cioe Geometria di Posizione, Calcolo grafico e Statica grafica. 
Fin da bei principio egli ebbe motivo di riconoscere che troppo 
scarso era il numero dei suoi allievi, i quali conoscessero la Hngua 
tedesca con profonditä sufficiente da essere al caso di consultare 
con profitto la magistrale opera del Culmann e perciö egli pensö 
di redigere ad uso dei suoi Scolari un riassunto degli scritti originali 
che gli servono di guida per le lezioni, citando scrupolosamente in 
capo ad ogni paragrafo le fonti alle quali attinse. Per la Geo- 
metria di Posizione egli si valse in particolar modo dell' opera di 
V. Staudt e di quella del Reye e per il Calcolo grafico e la 
Statica grafica di quella del Culmann, tenendo conto anche di 
tutte le pubblicazioni che da altri autori erano state fatte intorno 
ai medesimi argomenti. 

Per quanto riguarda in particolare la Statica grafica, nel pre- 
sente volume si occupö esclusivamente della parte teorica, riservan- 
dosi di pubblicame le applicazioni in altro volume che vedrä la luce 
entro il 1878. 



A. Favaeo. 419 

A. Favaro: Intomo al probabile ailtore di una predizione di terre- 

moto riferita da Petrarca. 

(Venezia, tip. Grimaldo e C. 1876.) 
I 

Quantunque dal titolo apparisca che questo lavoro sia estraneo 
alle matematiche, pure esso ne interessa la storia, giacche vi si 
contengono notizie intorno adunVescovo d'Isola che fu discepolo 
di Andalo di Negro matematico ed astronomo genovese (Jel secolo 
decimoquarto. Intomo a questo vescovo somministrarono notizie 
inesatte il Tiraboschi, lo Spotorno ed il Libri, tratti in errore 
dal P. Ximenes, il quäle alla sua volta lo fu da un catalogo 
di manoscritti magliabechiani compilato dal Targioni-Tozzetti: 
ne tuttavia puö dirsi che il presente scritto soddisfi a tutte le 
esigenze, ma maggior copia di materiali non riusci V autore a rac- 
cogliere e ciö non pertanto giudicö opportuno di pubblicare quei 
pochi dei quali venne a cognizione nella speranza di animare altri 
a studii ulteriori i quali approdino a qualche cosa di piü concreto, 
somministrando esatte nozioni intorno a questo personnaggio, il 
quäle ä piü titoli deve destare un certo interesse in quanti si occu- 
pano con amore della storia delle scienze. 

Padova. A. Favaro. 



Enrico Giordani: I sei cartelli di matematica disfida, prima- 
mente intorno alla generale risoluzione delle equazioni cubiche, di 
Lodovico Ferrari, coi sei contro-cartelli in risposta di Nicolo 
Tartaglia, comprendenti le soluzioni dei quesiti dalV una e dalL' 
altra parte proposti. Raccolti, autografati e pubblicati da Enrico 
Giordani Bolognese. Premesse notizie bibliografiche ed illustra- 
zioni sui cartelli medesimi, estratte da documenti giä a stampa ed 
altri manoscritti favoriti dal Comm. Prof. Silvestro Gherardi, 
Preside deir Istituto Teenico Provinciale di Firenze. Milano, 1876. 
R. Stabilimento litograficodi Luigi Ronchi, e Tipografia degli In- 
gegneri.. 



La disputa accompagnata da sfide, che ebbero fra loro Nicolo 
Tartaglia e Lodovico Ferrari in occasioiie della scoperta, fatta dal 



418 A. Favabo. 

vantare qualche pretesa alla invenzione delle frazioni continue, alle 
quali egli sarebbe pervenuto disegnando di costruire una rappresen- 
taziöne del moto dei pianeti ed il lavoro si ehiude con brevi cenni 
dati al fine di porgere una idea della parte ehe le frazioni continue 
furono chiamate a rappresentare nello sviluppo successivo delle ma- 
tematiche per opera d' Eulero, dei BernouUi e di Lagrange. 

In tutto il corso del lavoro, Y autore si e astenuto dal soUevare 
odiose questioni di prioritä, dalle quali del resto fa rifuggire V 
assoluta originalitä della via seguita da pressoche tutti i citati 
matematici. 



A. Favaro: Lezioni di Statica Grafica. 

(Padova, premiata tipografia F.- Sacchetto. 1877.) ^ 

Corrispondentemente al metodo da lui seguito neir insegnamento 
della Statica grafica al quäle attende nella üniversita di Padova fin 
dall' anno 1870 — 71, V autore ha diviso queste sue lezioni in tre 
parti, cioe Geometria di Posizione, Calcolo grafico e Statica grafica. 
Fin da bei principio egli ebbe motivo di riconoscere che troppo 
scarso era il numero dei suoi allievi, i quali conoscessero la lingua 
tedesca con profonditä sufficiente da essere al caso di consultare 
con profitto la magistrale opera del Culmann e perciö egli penso 
di redigere ad uso dei suoi Scolari un riassunto degli scritti originali 
che gü servono di guida per le lezioni, citando scrupolosamente in 
capo ad ogni paragrafo le fonti alle quali attinse. Per la Geo- 
metria di Posizione egli si valse in particolar modo delV opera di 
V. Staudt e di quella del Reye e per il Calcolo grafico e la 
Statica grafica di quella del Culmann, tenendo conto anche di 
tutte le pubblicazioni che da altri autori erano state fatte intorno 
ai medesimi argomenti. 

Per quanto riguarda in particolare la Statica grafica, nel pre- 
sente volume si occupö esclusivamente della parte teorica, riservan- 
dosi di pubblicame le applicazioni in altro volume che vedrä la luce 
entro il 1878. 



A. Favako. 419 

A. Favaro: Intomo al probabile ailtore di una predizione di terre- 

moto riferita da Petrarca. 

(Venezia, tip. Grimaldo e C. 1876.) 

Quantunque dal titolo apparisca che questo lavoro sia estranep 
alle matematiche, pure esso ne interessa la storia, giacche vi si 
contengono notizie intorno ad unVescovo d'Isola che fu discepolo 
diAndalo diNegro matematico ed astronomo genovese (Jel secolo 
decimoquarto. Intorno a questo vescovo somministrarono notizie 
inesatte il Tiraboschi, lo Spotorno ed il Libri, tratti in errore 
dal P. Ximenes, il quäle alla sua volta lo fu da un catalogo 
di manoscritti magliabechiani compilato dal Targioni-Tozzetti: 
ne tuttavia puo dirsi che il presente scritto soddisfi a tutte le 
esigenze, ma maggior copia di materiali non riusci V autore a rac- 
cogliere e cio non pertanto giudicö opportuno di pubblicare quei 
pochi dei quali venne a cognizione nella speranza di animare altri 
a studii ulteriori i quali approdino a qualche cosa di piü concreto, 
somministrando esatte nozioni intorno a questo personnaggio, il 
quäle ä piü titoli deve destare un certo interesse in quanti si occu- 
pano con amore della storia delle scienze. 

Padova. A. Favaro. 



Enrico Giordani: I sei cartelli di matematica disfida, prima- 
mente intorno alla generale risoluzione delle equazioni cubiche, di 
Lodovico Ferrari, coi sei contro-cartelli in risposta di Nicolö 
Tartaglia, comprendenti le soluzioni dei quesiti dair una e dall' 
altra parte proposti. Raccolti, autografati e pubblicati da Enrico 
Giordani Bolognese. Premesse notizie bibliografiche ed illustra- 
zioni sui cartelli medesimi, estratte da documenti giä a stampa ed 
altri manoscritti favoriti dal Comm. Prof. Silvestro Gherardi, 
Preside delF Istituto Teenico Provinciale di Firenze. Milano, 1876. 
R. Stabilimento litograficodi Luigi Ronchi, e Tipografia degli In- 
gegneri.. 



La disputa accompagnata da sfide, che ebbero fra loro Nicolö 
Tartaglia e Lodovico Ferrari in occasioiie della scoperta, fatta dal 



426 



A. Cati.et/ 



A. Cayley: On the analytical forms called Trees, with application 
to the theory of Chemical combinations. (From the Report 
of the British Association for the advancement of Science for 1875, 
pp. 267—306.) 

I have in two papers "On the Analytical forms called Trees," 
Phil. 'Mag. vol. XIII. (1857) pp. 172—176, and ditto, vol. XX. (1860) 
pp. 337 — 341, considered this theory, and in a paper „On the 
Mathematical Theory of Isomers," ditto, vol. XLVII. (1874) p. 444, 
pointed out its connexion with modern chemical theory. In parti- 
cular as regards the paraffines (7„^2« + 2? we have n atoms of carbon 
connected by w — 1 bands, under the restriction that from each 
•carbon-atom there proceed at most 4 bands (or, in 'the language 
of the papers first referred to, we have n knots connected by n — 1 
branches), in the form of a tree; for instance, w == 5, such forms 
(and the only such forms) are 




a<t 



»4 



a» 



to 



24 



2o 



S4 



^3 



4 
S 



And if (under the foregoing restriction of only 4 bands from 
a carbon-atom) we connect with each carbon-atom the greatest 
possible number of hydrogen- atoms (as shown in the diagrams by 
the affixed numerals), we see that the number of hydrogen-atoms is 
12 (==2»5-j-2), and we have thus the representations of three 
different paraffines, C^Si2- I^ should be observed that the tree- 
symbol of the paraffine is completely determined by means of the 
tree formed with the carbon-atoms, or say of the carbon-tree, and 
that the question of the determination of the theoretic number of 
the paraffines CnH2n + 2 is consequently that of the determination 
of the number of the carbon-trees of n knots, viz. the number of 
trees with n knots, subject to the condition that the number of 
branches from each knot is at most = 4. 

In the paper of 1857 (which contains no application to che- 
mical theory) the number of branches from a knot was unlimited; 
and moreover the trees were considered as issuing each from one 
knot taken as a root, so that, w = 5, the trees regarded as distinct 
(instead of being as above only 3) were in all 9. 



1 

J 



A. Cayt.ey. 427 

To count the trees on the principle first referred to, we re- 
quire the notions of „centre" and „bicentre'*, due, I believe, to 
Sylvester^ and to establish these we require the notions of „main 
branch" and „altitude": viz. in a tree, seleeting any knot at pleas- 
nre as a root, the branches which issue from the root, each with 
all the branches that belong to it, are the main branches, and the 
distance of the furthest knot, measured by the number of inter- 
mediate branches, is the altitude of the main branch. Thus in the 





A 

left-hand figure, taking A as the root, there are 3 main branches 
of the ältitudes 3, 3, l respectively: in the right-hand figure, taking 
A as the root, there are 4 main branches of the ältitudes 2, 2, 1, 3 
respectively, and We have then the theorem that in every tree there 
is eithef one and only one centre, or eise one and only one bi- 
centre; viz. we have (as in the left-hand figure) a centre A which 
is such that there issue from it two or more n^in branches of 
ältitudes equal to each other and superior to those of the other 
main branches (if any); or eise (as in the right-hand figure) a bi- 
centre A3^ viz. two contiguous knots, such that issuing from A 
(but not counting -4.JB), and issuing from B (but not counting JB-4), 
we have two or more main branches, one at least from A and one 
at least from JB, of ältitudes equal to each other and superior to 
those of the other main branches in question (if any). 

Hence, since in any tree there is a unique centre or bicentre, 
the question of finding the number of distinct trees with n knots 
is in fact that of finding the number of centre- and bicentre-trees 
with n knots; or say it is the problem of the „general centre- and 
bicentre-trees with n knots'': general , inasmuch as the number of 
branches from a knot is as yet taken to be without limit; or since 
(as will appear) the number of tjie bicentre-trees can be obtained 
without difficulty when the prohlem of the root-trees is solved, the 
problem is that of the „general centre-trees with n knots". It will 
appear that the Solution depends upon and is very readily derived 
from that of the foregoing problem of general root-trees, so that 
this last has to be considered, not only for its own sake, but with 



428 



^. Catley. 



a view to that of the centre-trees. And in each of the two 
Problems we doubly divide the whole System of trees according to 
the number of the main branches (issuing from the root or centre 
as the case may be), and according to the altitude of the longest 
main branch or branches, or say the altitude of the tree; so that 
the Problem really is, for a given number of knots, a given number 
of main branches, and a given altitude, to find the number of root- 
trees, or (as the case may be) centre-trees. 

We next introduce the restriction that the number of branches 
from any knot is equal to a given number at most; viz. according 
as this number is = 2, 3 or 4, we have; say oxygen-trees, boron- 
trees*), and carbon- trees respectively; and these are as before root- 
trees or centre- or bicentre-trees, as the case may be. The case 
where the number is 2 presents no difficulty : in fact if the number 
of knots be = w, then the number of root-trees is either ^(tt + 1) 
or ^w; viz. n = 3 and w = 4, the root-trees are 





and the number of centre- or bicentre-trees is always = 1: viz. n 
odd, there is one centre-tree; and n even, one bicentre-tree; the case 
is considered only as a particular case of the general theorem. 
The number is = 3 is analytically interesting: although there may 
not exist, for any 3-valent dement, a series of hydrogen Compounds 
BnIIn + 2 corresponding to the paraffines. The case where the 
number is = 4, or say the carbon-trees, is that which presents the 
chief chemical interest, as giving the paraffines (7njB2n4-2 5 and I 
call to mind here that the theory of the carbon-root trees is 
established as an analytical result for its own sake and as the 
foundation for the other case, but that it is the number of the" 
carbon centre- and bicentre-trees which is the number of the 
paraffines. 

The theory extends to the case where the number of branches 



*) I should have said nitrogen- trees; but it appears to me that nitrogen 
is of necessity 5-valent, as shown by the Compound, Ammonium -Chloride, 
=> HN^ Cl: of course the word boron is used simply to stand for a 3-valent 
element. 



PJI«HB|i ft 



A. OaYLBY. — G. V. SCHIAPARELLI, 429 

from a knot is at most = 5; or = any larger number; but I have 

not developed the formula. 

As regards the analytical theory: considering first the case of 

general root-trees, we endeavour to find for a given altitude 1^ the 

number of trees of a given number of knots n and main branches 

a, or say the generating function 

where the eoefficient ^ gives the number of the trees in question. 
And we assume that the problem is solved for the cases of the 
several inferior altitudes 0, 1, 2, 3 ... ^ — 1. This being so, we 
are able to form the generating function for the case of an altitude 
N and the formula with a shght modification becomes applicable 
to centre-trees. The bicentre-trees can be taken account of se- 
parately without much difficulty; and the general problem is 
thiis solved. 

Cambridge. A. Cayley. 



Schiaparelli, G. V. Di alcune questioni concementi il movimento 
degli occhi. (Annali di Offcalmologia del Profess. A. Quaglino. 
Anno V. Fascicolo 2 e 3. Milano 1876.) 

Lo scopo di questa breve Memoria e di rischiarare alcuni dubbi, 
che erano stati proposti suUa teoria geometrica del movimento degli 
occhi, quäle e sviluppata da Helmholtz nel §. 27 della Physiologische 
Optik. Queste spiegazioni, che sono di carattere afifatto elementare, 
non avrebbero merit^to di essere citate nel presente Giornale, se 
come loro conseguenza non mi fosse riuscito di presentare tutta la 
teoria geometrica della roteazione deir occhio intomo alla linea vi- 
suale (cioe del fenomeno appellato Bollung dagli offcalmologi tedeschi) 
in una legge molto semplice, dalla quäle tutte le proposizioni re- 
lative a quella teoria si deducono facilmente e brevemente. 

Sopra una superficie sferica, concentrica al centro del moto rota- 
torio del bulbo si projettino i movimenti di questo, e s' indichi col 
punto fisso Ä la direzione primaria della linea visuale; con un altro 
punto mobile J5 di quella superficie designiamo la direzione che 
prende la stessa linea visnale durante un suo movimento qualunque. 
Chiamo arco, vettore del punto B V arco ^^ di circolo massimo, il quäle 

Bepertorium fttr reine und angewandte Mathematik. ^ 29 






^L : - 430 Cr. V. SCHIAFABELLI. — M. DisiB^ AnDB]£. 



r 



t^ si moverä esso pure intomo al suo estremo fisso Ä, variando ad 



k: 












f' 

i»'^ 



I; ' ogni momento di direzione e di lunghezza. Nel moversi di B V arco 

vettore descriverä suUa snperficie sferica un' area in modo simile a 
quelle, che fanno i raggi vettori dei pianeti nei piani delle loro or- 
bite. Ciö posto, ed ammesso che il movimento deir occhio abbia 
luogo esattamente secondo le leggi di Donders e di Listing, la 
sua roteazione intomo alla linea visüale si farä secondo quest' altra 
legge:, 

„Nel passare della linea visuale (o del punto B) da una 
posizione qualunque ad un' altra qualunque, percorrendo qualunque 
via intermedia: la roteazione deir occhio intomo alla linea visuale 
si fa sempre in senso contrario al moto deir arco vettore intomo 
alla posizione primaria Ä] e questa roteazione e ad ogni istante pro- 
porzionale all' area descritta dair arco vettore intomo ad -4, per 
modo che la roteazione cresce di un grado ogni volta che V area 

predetta cresce di ^^^ di tutta la superficie sferica/' 

Questa proposizione vale, qualunque sia il movimento di B 
rispetto ad vi e qualunque sia la natura della curva percorsa da B 
sulla sfera. Quando la descrizione delle aree si fa in senso opposto, 
anche la roteazione cambia di segno. Si puö cosi facilmente calco- 
lare la quantitä di roteazione (o Bollung) deW! occhio fra due fasi 
qualunque di movimento. Come caso particolare si deducono le 
formule date da Helmholtz pel calcolo di ciö ch' egli chiama Rad-- 
drehung, e pel calcolo delY incUfia^ione diDonders. E facilmente si 
pDssono anche derivame dimostrazioni dei teoremi eleganti sulla~ 
rotazione' deir occhio, che Helmholtz ha sviluppato a pag. 467 — 468 
e 487 — 495 del suo grande Trattato. 

Milano, Marzo 1877. G. V. Schiaparelli. 



D^sirö Andrö: Döveloppements en söries des fonotions elliptiques 
et de leurs puissances. 

I. Si Ton designe par tc un exposant entier et positif, et par 
Afa;), ii(x)j v{x) les trois fonctions elliptiques, on peut, comme on 
le sait, en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de Xj 
ecrire: 



D^siB^ Andriö. 431 

On sait de plus que, dans ces developpements, les coefficients 
A^^\ B^^\ C^^^ sont des polynomes entiers en A^, de teile sorte 
que Ton a * 

? '9>0 ' '3,1 ' '3,2 • 

M. Desire Andre s'est propose de trouver la forme generale des 

coefficients a^^]., ß^^l^ y^'^\ regardes comme des fonctions de g, les 

indices % et i etant supposes constants. Ses resultats ont ete pre- 
sentes ä Tacademie des scien'ces de Paris dans la seance du 10 Juillet 
1876 et son travail fait Tobjet d'un memoire insere in extenso dans 
les annales scientifiques de TEcole normale superieure. 

Nous allons exposer d'abord, le plus bri^vement possible, la 
methode employee dans ce travail. Nous ferons connaitre ensuite 
les resultats obtenus. 



II. La determination des coefficients' du developpement d'une 
fonction quelconque revient au calcul des derivees successives de cette 
fonction. Dans le cas particulier des fonctions elliptiques et de leurs 
puissances^ tout se ramene au calcul des derivees d'ordre pair. 
Uauteur du memoire s'occupe donc en premieur lieu de ces derivees, 
et, afin de conduire de front tout ce qui est relatif aux trois . fonc- 
tions elliptiques, il etudie, non pas ces fonctions elles-memes, mais 
une fonction ^>{x)^ qui satisfait ä Vequation differentielle 

(II) = -D + Fg,^ + Ö9,*, 

et qui contient les trois fonctions elliptiques comme cas particuliers. 

II est tres-facile de voir que les derivees d'ordre pair de ^>'^{x) 

sont des polynomes entiers en 9?, pairs ou impairs suivant que 

Texposant n est lui-meme pair ou impair; et, comme tout se passe 

29* 






.Ht- 



g% 



\. 



432 « DäsiR^ Andb^. 

ä tres-peu pres de la meme maniere dans les deux cas, nous pouvons, 
dans ce resume, n'en considerer qu'un seul, supposer que Texposant 
7t et impair est egal ä 2|) + 1, et ^crire 

M. Desire Andre dispose en un triangle, analogue au triangle 
de Pascal; tous les coefficients F correspondant au developpement 
de 9^^ + ^ de teile sorte que chaque ligne horizontale presente les 
coefficients d'une meme derivee et chaque colonne verticale les 
coefficients d'une meme puissance de 9?; puis il montre que chaque 
F de ce triangle est egal ä la somme des trois F les plus voisins 
de la ligne horizontale immediatement superieure multiplies respective- 
ment par des facteurs determines. 

II s'ensuit que F^^^^'^^^ est un polynome dont les differents termes 

presentent chäcun un coefficient numerique et une puissance d'ex- 
posant positif ou nul de chacune des quantites V, D, G. Si 
Ton n'a effectue aucune reduction, le nombre des termes de ce 
polynome est egal au nombre des chemins qui remontent, con- 
formement ä la loi de formation des F, du polynome considere 

•^i^r ^^ au polynome initial F^^^'^^K Si Ton figure chacun de ces 
chemins par des points marquant les F oü il passe et par des 
traitS; verticaux ou obliques, joignant ces points successifs, on 
obtient une ligne presentant des traits de trois sortes et formant 
ce que l'Äuteur appelle un chemin ternaire. Le terme du polynome 
qui correspond ä ce chemin est le produit des facteurs apportes 
respectivement par chaque trait et chaque point. Quant au polynome 

F^^^^\ il est la somme de tous ces produits. 

Ce meme polynome F^^^-^^ est homogene et du degre q par 

rapport aux quantites F, 2), G, Son terme general est represente 
par Texpression 



qir,% 



dans laquelle /^^^ designe un coefficient numerique, e la difference, 

prise en valeur absolue, des deux nombres r et p, G et D deux j 

entiers egaux Tun ä 6 et Tautre ä zero. Ce terme general est la '{ 

somme de tous les termes du polynome considere qui proviennent 
des chemins temaires presentant chacun q — e — 2i traits verticaux. 
Si, dans chacun de ces chemins, on supprime tous les traits ver- 



DiSsiBiä AndbiS. 433 

tieaux, ainsi que tous les points qui les sunuontent immediatement^ 
piiis qu'on rapproche les tron9ons restants, on forme de nouveaux 
chenyns, dits chemins binaires, parce qu'ils ne contiennent plus que 
deul sortes de traits. Les termes provenant de tous les chemins 
ternaires qui se reduisent ainsi ä un meme chemin binaire ont uue 
somme dans laquelle les quantites correspondant aux points et aux 
traits de ce chemin binaire se mettent en facteur commun; et il 
en resulte que cette somme se presente sous la forme d'un produit 
de deux facteurs dont le premier ne depend pas de g, tandis que 
le second en depend. 

En etudiant. dans cette somme partielle, mise ainsi sous la 
forme d'un produit, le facteur qui depend de g, on constate qu'il 
est le terme general du developpement, suivant les puissances 
croissantes de la variable, d'une certaine fraction rationelle. II en 
est de meme de la somme partielle que noüs considerons. De meme 

encore du coefficient f^^^ . ^^ pris dans tout son ensemble. La fraction 

rationelle qui correspond ä ce demier cas est la fonction geheratrice 

de /"^^^i"^^ considere comme fonction de q, les indices p, r, i etant 

supposes constants. M. Desire Andre forme le denominateur de 
cette fraction, il le donne tout decompose en facteurs du premier 
degre, et il montre que le numerateur est un'-polynome d'un degre 
inferieur au degre du denominateur. 

Puisque le denominateur de cette fraction rationnelle se presente 
ainsi tout decompose en facteurs du premier degre, il suffit d'appli- 
quer les proprietes connues des series recurrentes proprement dites 
pour obtenir le terme general du developpement de la fraction, et 
c'est en operant ainsi que Tauteur parvient ä la forme analytique 

generale du coefficient / ^"V regarde comme une fonction de g, 

tous les autres indices etant supp&ses constants. 

On connait ainsi la forme analytique de tous les coefficients 

des derivees d'ordre pair de 9?*^"*'\a?). En y rempla^ant F, G, D 
par les quantites convenables, on arrive aux derivees d'ordre pair 
des puissances (2p + \y^^ des trois fonctions elliptiques. II en 
resulte que Ton connait la forme analytique des coefficients des 
puissances successives de x dans les developpements consideres. 

Seulement ces coefficients ne sont pas encore ordonnes par 
rapport aux puissances de x^: ils presentent des puissances de Ä^, 
de 1 + ^^ dß 1 — ^^ ^6 2&^ — 1, de 2 — h^. On suppose toutes 



t'»»'"r:T?*r^ , 



434 D^siR^ Andb]£. 

ces puissances developpees, on groupe les termes renfermant une 
meme puissance de Tc^, et Ton parvient finalement a la forme ana- 
lytique generale des coefficients a^^. ; /3^^^. ^^, y(2p+J)^ 

C'est une methode absolument semblable qui conduit ä la forme 
analytique generale des coefficients a ^V/'l i; T^^^r 



III. Voici les resultats, tout nouveaux, selon nous, auxquels 
M. Desire Andre est parvenu en suivant la voie que nous venons 
d'indiquer: 

Chacun des' coefficients a^^\, ß., y^'^l. oü q est seul variable, 

est le terme general d'une serie recurrente proprement dite. 

Cette Serie recurrente est definie par Tune ou Tautre des deux 
equations 

fj^[0-{2t + 1)«]'+' X ff^[z-(2t + lyf +'+'-' = 

o p-\-l 

suivant que p est egal ä 2jo + 1 ou ä 2p, 

Dans le cas oü tc est egal ä 2^ + 1 , chacun des coefficients 

a^'^l, ß^^'l y^^l est de la forme 

* p4-1 



p 

dans le cas oü ä est egal ä 2jp, chacun de ces coefficients est au 
contraire de la forme 



p _ h^^ p_±i 



V ^/g)(2o'^+2',s.(^)(20% 



les expressions IS^iq), S^(g') representant deux polynömes entiers en 

g, le premier toujours du degre i, le second du degre ^ + i — t 

II suffit evidemment de remplacer p par zero dans la premiere 
de ces formules pour obtenir les resultats relatifs aux fonctions 
elliptiques elles-memes^ et de remplacer dans la seconde p par 
Tunite pour obtenir les resultats relatifs aux carres de ces fonctions. 



I 



1 



Mischer. — Mabtin Ebaüse. 435 

Mischer: Die Gresetze der Bewegung punktueller Massen. (Progr. 

m 

des Gymn. u. der Realschule 1. 0. zu Minden, 1877.) 

Die Arbeit enthält eine Erweiterung einer in Schlömilch's 
Zeitschrift früher von mir veröffentlichten Abhandlung (die Be- 
wegung materieller Punkte auf vorgeschriebenen beweglichen 
Bahnen), worüber ich bereits in diesem Repertorium referirt habe. 
Der Calcül ist voUständig^angegeben und die Methode auf mehrere 
Aufgaben der Mechanik angewendet. 

Es wird gezeigt; dass die in jener Abhandlung aufgestellten 
Bewegungsgleichungen die ganze Mechanik eines Massenpunktes ent- 
halten. Ferner wird (ein dort nur kurz berührter Punkt) folgendes 
Resultat gewonnen: 

Die Zeit tritt auch dann nicht explicite in die Bewegungs- 
gleichungen ein, wenn ein mit der Bahn fest verbundener Punkt Cf 
sich entweder in einer Graden mit constanter Geschwindigkeit oder 
in einer Parabel wie ein geworfener Punkt bewegt, Wege, deren 
Ebenen der Richtung der das Mobile beeinflussenden constanten 
Kraft — nur eine solche darf wirken — parallel sein müssen. 
Dabei darf die Bahn mit constanter Winkelgeschwindigkeit um eine 
durch 0' gehende, der Richtung jener Kraft parallel bleibende Axe 
rotiren. 

Die behandelten Aufgaben sind folgende: 

1) Das sphärische Pendel. 

2) Bewegung eines schweren Punktes auf einem Kreiscylinder, 
für verschiedene Bewegungsgesetze des letzteren. 

3) Bewegung eines schweren Punktes auf einer rotirenden 
Geraden. 

Minden i. Westf. Mischer. 



Martin Krause: Algebraische Untersuchungen aus der Theorie 
der elliptischen Functionen. (Math. Annalen, Bd. XII, S. 1—22.) 

Neben anderen Gleichungen haben in der Theorie der elliptischen 
Functionen diejenigen Gleichungen Beachtung gefunden, welche 
zwischen dem Producte des ursprünglichen Moduls in dessen com- 
plementären und dem Producte des transforinirten in dessen com- 
plementären bestehen. Die Theorie derselben ist für einen unpaaren 



W. I • 



436 Mabtin Krause. — Hambübgeh. 

TransformatioDsgrad n, der keinen quadratischen Theiler enthält, 
von den Herren Hermite, Joubert, Königsberger begründet- | 

worden ; beschränkt sich jedoch auf die Gleichungen selbst^ während : 

die Discriminante unberücksichtigt bleibt. Die oben erwähnte Ar- 
^beit hat den Zweck, diese Lücke auszufüllen. Es wird in derselben 
zunächst die Form der Discriminante festgestellt, dann eine Methode 
zur Bestimmung der von einander verschiedenen Wurzeln derselben j 

gegeben und endlich nach Lösung des allgemeinen Problems der j 

Wurzelentwickelung fixirt, wie vielfach eine jede dieser Wurzeln ist. } 

Als Beispiele sind die Transformationszahlen bis 30 gewählt i 

worden. ! 



Breslau. * Martin Krause. 



Hamburger: Ueber das Ffaff'BChe Problem. (Gninert's Archiv, Theil 
LX, 185—214.) 

In der Abhandlung „üeber totale und partielle Differential- 
gleichungen*' Borch. J. Bd. 58) hat Herr Natani zuerst die Lösung 
des Pfaff 'sehen Problems auf die successive Integration integrabler 
Systeme totaler Differentialgleichungen zurückgeführt, derart dass 
von jedem Systeme nur je eine Lösung erforderlich ist. Nach ihm 
hat Clebsch im 60. und 61. Bande des Borch. Journ. die Lösung 
desselben Problems durch die successive Aufstellung simultaner par- 
tieller Differentialgleichungen, von denen je ein Integral zu er-, 
mittein ist, bewerkstelligt. Vorliegende Abhandlung bezweckt, eine 
Darstellung des Problems zu geben, welche auf direktem Wege zu 
der Natani'schen Form der Lösung und zu den anderen jon Hrn. 
Natani wie von Clebsch gefundenen Resultaten führt. Als Aus- 
gangspunkt dient folgender Satz: 

Besteht die Transformation 

wo Xi . . Xn beliebige Fuiictionen von x und C/j ..[/,,%.. Us eben- 
falls Funktionen von x bedeuten, die vorstehender Gleichung genügen, 
so gelten als analytische Folgen derselben stets die n Identitäten 



j^Kdxx "~ dxi ) ^^^ — 







I 

] 



I 

i 
\ 
I 



Hamburger. 437 

Aus diesen ergeben sich unmittelbar die zur Lösung des Pfaff- 
schen Problems nacheinander aufzustellenden Systeme integrabler 
Diflferentialgleichungen. 

, Es werden nacheinander behandelt 

1) der Fall einer geraden Anzahl der x unter der Voraus- 
setzung, dass die Determinante der Grössen 

/. N dX.i dXx 
^ ^ dxx dxi 

nicht verschwindet. 

* 

2) der allgemeinere Fall, in welchem der vorhergehende als 
besonderer Fall enthalten ist, und welchen Clebsch den „deter- 
minirten Fall" des Pf äff 'sehen Problems nennt. 

3) der Fall einer ungeraden Anzahl der x unter der Voraus- 
setzung, dass die Determinante 

(l:l)..(l»),-Xi 

V ' * '/* \' * ' * * von Null verschieden ist. 
(wl)..(nw), — Xn 

X^ , . Xny 

Derselbe dient als Beispiel für die Behandlung des allgemeineren 
von Clebsch sogenannten „indeterminirten Falles" des Pf äff 'sehen 
Problems, auf welchen in der vorliegenden Arbeit nicht näher ein- 
gegangen wird. 

Zum Schluss folgt eine Anwendung auf die Integration der 
partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung 

d. h. auf die Transformation 

d0 — Pidx^ , . — PndXn = D^dtii + • • • Un+ldUn^l 
mit der Bestimmung, dass w^ die gegebene Function 9? sei. 

Berlin. Hamburger. 



1 



Inhaltsverzeichniss. 



Seite 

M. All^l'Ein Beitrag zur Theorie der Functionen von drei Veränderlichen 310 

Zur Theorie des Gauss'schen Erummungsüiasses 313 

Ueber die Bewegungsgleichungen eines Systems von Punkten 314 

Andr^y Dösirö : Däveloppements en series des fonctiqns elliptiques et de 

leurs puissances • 430 

P. Bachmann: Arithmetische Kleinigkeiten 58 

K. Becker: Die Grundlagen der Geometrie 240 

G« Bertini: Sistema simultaneo di dne forme biquadratiche binarie . . 368 

Sopra una classe di trasformasdoni univoche involutorie . . . 368 

G« Biasi: II calcolo sulle incognite delle equazioni algebriche — Studi 

analitici — 315 

€• A. BJerknes: ForelÖbige Meddelelser om de Kräfter, der opstaa, naar 
kugleformige Legemer, idet de udfäre Dilatations- ogN Kontraktions- 
Svingninger, beväge sig i et inkompressibelt Fluidum 264 

L. Boltzmann: Zur Integration der partiellen Differenzialgleichungen 

erster Ordnung 163 

Bemerkungen über die Wärmeleitungen von Gasen . . . . 164 

— - Ueber das Wärmegleichgewicht von^ Gasen, auf welche äussere 
Kräfte wirken 165 

M« Brioschi: Sur une formule de transformation des fonctions elliptiques 13 

L« Burmester: Kinematisch-geometrische Untersuchungen der Bewegung 

gesetzmässig veränderlicher Systeme 58 

M« Cantor: Die Römischen Agrimensoren und ihre Stellung in der Ge- 
schichte der Feldmesskunst 117 

F« Caspar j: Die Krümmungsmlttelpunktsfläche des elliptischen Para> 

boloids 229 

A. Cayley: On the geometrical representation of Cauchy's theorems of 

Koot-limitation 18 

An elementary treatise on EUiptic Functions 422 

On the analytical forms called trees with application to the 

theory of chemical combinations 426 

B« Clansins: Ueber die Ableitung eines neuen electrodynamischen Grund- 
gesetzes 287 

Ueber die Behandlung der zwischen lineiEuren Strömen und 

Leitern stattfindenden ponderomotorischen und electromotorischen 
Kräfte nach dem electrodynamischen Grundgesetze 329 



Inhaltsyerzeichniss. 439 

Seite 

M« Curtze: Bemerkungen zu dem Aufsatze Günther's: „Zur Geschichte 

der deutschen Mathematik im fünfzehnten Jahrhundert** 247 

Beliquiae Gopemicanae 247 

Hat Copemicus die Einleitung in sein Werk selbst gestrichen 

oder nicht? 249 

J« Dienger: Die Laplace^sche Methode der Ausgleichung von Beobach- , 

- tungsfehlern bei zahlreichen Beobachtungen 241 

H. Dnr^ge: üeber die Doppeltangenten der Curven vierter Ordnung mit 

drei Doppelpunkten -47 

üeber die nichtpolaren Discontinuitäten 76 

£• Edlund: TJeber die Abhängigkeit der contactelectromotorischen Erafb 

von der Temperatur 324 

R. Engelmanii: Abhandlungen von Friedrich Wilhelm Bessel 128. 318. 396 
G« Escherich : Ableitung des allgemeinen Ausdruckes für das Krümmungs- 

maass der Flächen 306 

Beiträge zur Bildung der symmetrischen Functionen der Wurzel- 
systeme und der Resultante simultaner Gleichungen 308 

Flächen II. Ordnung mit einer Symptosen-Axe 404 

7 Die reciproken linearen Flächensysteme . . . . . . . . 405 

A« Favaro: Saggio dl cronografia dei matematici dell' antichitä . . . 413 

. Sulla ipotesi geometrica nel Menone di Piatone 414 

Notizie storiche suUe frazioni continue dal secolo decimoterzo 

al decimosettimo 416 

Lezioni di Statica Grafica 418 

Intorno al probabile autore di una predizione di terremoto 

riferita da Petrarca . . . . 419 

R« Ferrini: Sulla correzione della temperatura di un liquido nel quäle 

non si possa affondare a sufficienza il termometro 93 

Tecnologia del calore 94 

Sulla temperatura delle fiamme 96 

W« Fiedler: Die darstellende Geometrie in organischer Verbindung mit 

der Geometrie der Lage 206 

Notiz über algebraische Raumcurven, deren System zu sich 

selbst dual oder reciprok ist 224 

A« Fliegner: Der Einfluss von Erweiterungen in Rohrleitungen .... 101 
W« Frftnkel: Anwendung der Theorie des augenblicklichen Drehpunktes 

auf die Bestimmung der Formänderung von Fachwerken. — Theorie 

des Bogenfach Werkes mit zwei Gelenken 103 

üeber die ungünstigste Belastung von Bogenträgem mit zwei 

Gelenken 105 

J« Frischauf: Elemente der absoluten Geometrie . 155 

L. Fuchs: üeber die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, 
welche algebraische Integrale besitzen und eine neue Anwendung der 

Invariantentheorie 1 

E, Giordani: I sei cartelli di matematica disfida, primamente intorno 
alla generale risoluzione deUe equazioni cubiche, di LodoTico Ferrari, 



p^ 



c^sj^.*rT^vii. 



K'-; 



440 Inhaltsyerzeicbniss. 

Seite 

coi sei contro-cartelli in risposta di Nicolb Tartaglia, comprendenti 

le Boluzioni dei quesiti dair una e dair altra parte proposti .... 419 

P. Gordan: Das Formensystem binärer Formen ..;...... 12 

Ueber den Fi^ndamentalsatz der Algebra 254 

u. M. Noether: üeber die algebraischen Formen, deren Hesse- 
sche Determinante identisch verschwindet 256 

S. Günther: Ein stereometrisches Problem .64 

Auflösung eines besonderen Systems linearer Gleichungen . . 64 

Das independente Bildungsgesetz der Kettenbrüche .... 65 

Lehrbuch der Determinantentheorie . 66 

üeber aufsteigende Kettenbrüche 167 

Vermischte Untersuchungen der mathematischen Wissenschaften 168 

Sulla possibüitä di dimostrare l'assioma delle parallele mediante 

considerazioni stereometriche 189 

Das allgemeine Zerlegungsproblem der Determinanten . . . 190 

Zur Geschichte der deutschen Mathematik im fünfzehnten Jahr- 
hundert 246 

Adolph Zeising als Mathematiker 334 

Note sut Jean- Andre Segner, premier fondateur de la mdt^oro- 

logie math^matique 400 

Anfänge und Entwicklungsstadien des Coordinatenprincipefr . 400 

Note sur la rdsolution de requation indetermin^e. y* — hx^ = az 

en nombres entiers 410 

Kritik der Baumtheorien von Helmholtz und Schmitz -Dumont 411 

Neue Methode der directen Summation periodischer Ketten- 
brüche 412 

Gandelflnger: Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes, ins- 
besondere über Oberflächen zweiter Ordnung, von Otto Hesse . . . 256 

M. Hamburger: Zur Theorie der Integration eines Systems von n linearen 
partiellen Differenzialgleichungen erster Ordnung mit 2 unabhängigen 
und n abhängigen Veränderlichen i . . . . . 71 

üeber das Pfaff'sche Problem 436 

A. Harnack: üeber die Verwerthung der elliptischen Functionen für die 

Geometrie der Curven dritten Grades 136 

üeber eine Behandlungsweise der algebraischen Differenziale 

in homogenen Coordinaten 138 

Guido Hauck: Grundzüge einer axonometrischen Theorie der darstellen- 
den Perspective. 1. Planperspective, 11. Perspectivische und projecti- 

vische Collineation im Baume 383 

Helmert: üeber die Formeln für den Durchschriittsfehler ...... 159 

Der Einfluss der schiefen Stellung der Latte bei Distanzmessungen 

und eine empirische Formel für den mittleren Fehler der Distanz- 
messung an dem Tachymeter von G. Starke 160 

üeber die günstigste Wahl der Cardinalpunkte bei dem Ab- 
stecken einer Trace 161 

Einfache Ableitung Gauss'scher Formeln für die Auflösung 

einer Hauptaufgabe der sphärischen Geodäsie 162 



InhaltsyerzeichnisB. 441 

f Seite 

Ilelmert: Nachrichten über einen Mikroskoptheodolit 162^ 

lieber die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobach- 
tungsfehler und über einige damit im Zusammenhang stehende Fragen 372 

^ Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des 

wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers difecter Beobachtungen gleicher 
Genauigkeit. — Die Berechnung des wahrscheinlichen* Beobachtungs- 
fehlers aus den Quadraten der Verbesserungen directer Beobachtungen 
gleicher Genauigkeit und die Fechner'sche Formel. — Die Berechnung 
de» wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers aus den ersten Potenzen 
der Differenzen gleich genauer directer Beobachtungen 374 

Untersuchung über den Einfluss eines regelmässigen Fehlers 

im Gange der Ocularröhre des Visirfemrohrs auf Messungen, ins- 
besondere auf das geometrische Nivellement 378 

Zur Untersuchung der Nivellirfemrohre ........ 379 

Ueber das Verticalaxensystem des Repetitionstheodoliten . . 379 

Zu Galles Methode der Nordlichtshöhen '. 380 

Constante Fehler in Comus' Bestimmung der Lichtgeschwindig- 
keit 380 

Discussion der Beobachtungsfehler in E'oppe's Vermessung der 

Gotthardtunnelaxe : 380 

' — — Näherungsfbrmeln für die Gauss'sche Projection der Hannover- 
schen Landesvermessung 381 

:— Zur Herstellung graphischer Tabellen mit zwei Eingängen . 382 

E. Hess: Ueber zwei Erweiterungen des Begriffs der regelmässigen Körper 226 
Ueber die zugleich gleicheckigen und gleich flächigen Polyeder 229 

Ueber einige merkwürdige, nicht convexe Polyeder .... 408 

R« Hoppe: Zum Problem des dreifach orthogonalen Flächensystems . . 56 

Beispiel einer einseitigen Fläche 67 

Ueber die Symmetriepunkte des Dreiecks 58 

G« Kirchhoff: Ueber die Reflexion und Brechung des Lichts an der Grenze 

krystallinischer Mittel ; 285 

F* Klein : Ueber binäre Formen mit linearen Transformationen in sich selbst 10 

Ueber den Zusammenhang der Flächen 77 

Eine neue Relation zwischen den Singularitäten einer algebrai- 
schen Curve 237 

—^ Ueber den Verlauf der AbeFschen Integrale bei den Curven 

* vierten Grades. — Ueber eine neue Art von Riemann'schen Flächen. 
— Ueber den Verlauf der AbePschen Integrale bei den Curven vierten 

Grades (zweiter Aufsatz) . 238 

: Ueber lineare Differentialgleichungen . . . .^ 323 

L« Koenigsberger: Ueber die allgemeinsten Beziehungen zwischen hyper- 
elliptischen Integralen 79 

Ueber die Entwicklung der hype/elliptischen Integi*ale erster 

und zweiter Gattung in Reihen . . ^ 84 

— Beziehungen zwischen den Periodicitätsmoduln zweier hyper- 
elliptischer Integrale 87 

— Referate aus den hinterlassenen Papieren von F. Richelot . . 191 



/ 



Inhalte rerzeichnisB. 



Tgei: Referate ans den hinterlaBBenen Papieren ron F. EicEelot. 
netriBche Focm der hyperelliptischen Integrale der ersten, 

und dritten Gattung ' . . 340 

eher die Reduction hTperelliptiBcher Integrale aof algebmisch- 

nische FunctJonen 334 

;: Ueber einige Anwendungen eines beBondem Falles der 

iphkchen Terwandtaohaft (der Affinität) 63 

er die Bestimmung von symmetrischen Functionen der Wurzeln 

^ebraischen Gleichung durch deren CoetBcienten 158 

;ber Borchardt'B Function 393 

iber ein bestimmtes Integral 395 

üeber die Discriroinante der Modulargleichnngen der ellip- 

?unctionen 49. 77 

IgebraiBche Untersuchungen aus der Theorie der elliptischen 

len 435 

; Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen 
:^Dng 27 

Sur le aystfeme de tigea articulÖes 95 

i: Beitrag zu der Theorie der Krümmung 277 

IS Imaginäre in der Geometrie und das Bechneu mit Würfen 3G9 
ergleicbung zweier Werthe des wahrscheinlichen Fehlers . . 370 
: Dei documenti intomo la dimora di Nicolb Copernico in 
185 

Lettere d'illustri aatronomi (Kepler, Tycho Brah^ ete.) trovate 

na 186 

Theorie des äqnations aux däriväes partielles da premier ordre 34 
ir la m^Üiode de Cauch; ponr l'intägration d'une ^quation _ 

T^ea partielles du premier ordre 41 

trodaction ä la th^rie des däterminantB; Elements de la 

les d^terminants d'apres Baltzer et Salmon 41 

äw Demonstration of the Fundamental Property of Linear 
ial Gc|uations; Demonstration de la propri^t^ fondamentale 

itiona diff^rentielles lin^aires 42 

ur une queation de maiimum appellde Probleme d'Huyghens 43 
irecte Begründung der Theorie der BerührungstnuiBfonnationen 
eher eine Erweiterung derLie'schen Integrationsmethode 26 

eher die Weiler'sche Integrationsmethode der partiellen Diffe- • 

eichungen erster Ordnung 75 

Dd the Momente and Beactions of Continuone Girders . . . ' 253 

1 the Flexure of Continnons Qirders 254 

ä Bewegung materieller Punkte auf vorgeschriebenen beweg- 

Bahnen 250 

ie Gesetze der Bewegung punktueller Massen 436 

eiträge zur Theorie des Fachwerks 107 

sber die Zusammenset^nng der Kr9fte im Baume .... 108 
ler: Zur Geometrie der Scbranbenbewegung und einer Regel- 
itter Ordnung 262 



1 



Inhaltsverzeichniss. 443 

Seite 

M. Noether: üeber die singulären Werthsysteme einer algebraischen 

Function und die singuläxen Punkte einer algebraischen Curve . . 43 

— : Zur Eliminationstheorie 371 

A. Fringsheim: Zur Transformation zweiten Grades der hyperelliptischen 

Functionen erster Ovdnung. 67 

A. Badicke: Üeber die mathematische Darstellung der Riemann'schen 

P-Function 50 

0, Boethig: Die Probleme der Brechung und Reflexion 156 

G. y • Schiaparelli : Di alcune questioni concementi il movimento degli occhi 429 
L. Sehläfli: Correzione alla Memoria intitolata: quand' e che dalla super- 

ficie generale di terz' ordine si stacca un pezzo rientrante? . «• . . 11 
lieber die Convergenz d6r Entwickelung einer arbiträren Function 

f (x) nach den Besserschen Functionen 

wo Pi , p2 , ^3 , . . . . die positiven Wurzeln der Gleichung I {§) = 

vorstellen . . .' 78 

V« Schlegel : Die Elemente der modernen Geometrie und Algebra ... 52 
M* Schröter: Jacob Steiner 's Vorlesungen über synthetische Geometrie . 133 
H. Schubert: Allgemeingültige Formeln und Vorstellungen der abzählen- 
den Geometrie , . . , . 349 

Moduln vielfacher Bedingungen bei Flächen zweiter Ordnung. 364 

G." Sidler: Zur Dreitheilung eines Kreisbogens . 249 

L. Sohncke : Die unbegrenzten regelmässigen Punktsysteme als Grundlage 

einer Theorie der Krystallstruktur 109 

Üni Versalmodell der Baumgitter 114 

Zur Theorie des optischen Dreh Vermögens von Krystallen . . 114 

H. Streintz: Ueber die Temparaturvertheilung im Leitungsdrahte eines 

galvanischen Stromes 251 

B. Starm: SuUe forze in equilibrio 387 

Das Problem der CoUineation 388 

On correlative Pencils '. 388 

üeber correlative oder reciproke Bündel 388 

H. W* Lloyd Tanner: -The Solution of partial differential equations of 

the second order, with any number of variables, when there is a 

general first integral 298 

A. Toepler: Zur Theorie der stationären elektrischen Strömung in ge- 
krümmten, leitenden Flächen* 282 

Bemerkung zur Fourier'schen Reihe 402 

H. Weber: Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke und 

wissenschaftlicher Nachlass 145 

A, Weiler: Integration der partieUen Differentialgleichung erster Ordnung 

von unbeschränkter Allgemeinheit 293 

Weissenhom: Grundzüge der analystischen Geometrie der Ebene für ortho-' 

gonale und homogene Punkt- und Linien -Coordinaten 259 

T. Weyrauch: Neue Theorie der überhitzten Dämpfe, nebst weiteren 

Beiträgen zur Theorie der Dämpfe i . . . . 140 



InhRJtaverieichniBB. 

Festigkeit und DimensionenbereciiiinDg der Eisen- and 
ictionen mit BückBicht auf die neueren Yersuche . . , 

nouuBclie Mittheilun^n 

}er die Wirkung des Droaaelna und den Eiufluss des scbäd- 
lea auf die bei Dampfmatcbinen verbrauchte Dampfmenge 

Sur une clas&e de points aingnliars de surfaces. — Note 
ularit^B des courbes planes. — Revision et extension des 
im^riques de la thäorie des surfaces r^ciproquee . . . ', 



BerichtigungeD. 
i 6 Y. untea, lies: Culmann's graphische Statik statt „ets 

nel (2) lies F-f Fo = {6+Go) (xu+a) statt G {xu+o) 

le 18 V. unten, lies: des Bichtungskegels. 

le 6 T. oben, lies: Hyperboloid. 

le 19 T. unten, lies: „oder" statt der (Anfadgawort). 

le 10 T, outen, streiche „and" vor ans. 

le 1 V. unten, lies: „der" statt den. 

le ^ T. unten, fehlt ein Komma nach Classe. 

le 4, T. oben. Der Scblosssatz sollle kurz heissen: Man 

ibenlinie dasselbe thnt. 



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