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ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL
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MADRID
CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8.
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ADVERTENCIA
Los originales para la Revista de la Academia
se han de entregar completos, en la Secretaría de
la Corporación, antes del día 20 de cada mes,
pues de otro modo quedará su publicación para
ol mes siguiente. :
REVISTA
DE LA
REAL ACADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID
ART. 117 DE LOS ESTATUTOS DE LA ACADEMIA
«La Academia no adopta n LS, é
las opiniones de sus individuos; cada
autor es responsable de lo que con
tengan sus escritos.»
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REAL ACADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES
DE
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MADRID
ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL
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REAL ACADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID
ACADÉMICOS DE NÚMERO
Excmo. Sr. D. José Echegaray, Presidente.
Zurbano, 56.
Excmo. Sr. D. Eduardo Saavedra, Vicepresidente.
Fuencarral, 74.
Sr. D. Joaquín González Hidalgo.
Fuentes, 9.
Excmo. Sr. D. Daniel de Cortázar.
Velázquez, 16.
Excmo. Sr. D. José Rodríguez Carracido, Bibliotecario.
Orellana, 10.
Excmo. Sr. D. Francisco de P. Arrillaga, Secretario,
Valverde, 26.
Excmo. Sr. D. Julián Calleja y Sánchez, Tesorero.
Argensola, 6.
Ilmo. Sr. D. Eduardo Torroja y Caballé, Contador.
Requena, 9.
Excmo. Sr. D. Amós Salvador y Rodrigáñez.
Carrera de San Jerónimo, 53-
Excmo. Sr. D. Juan Navarro-Reverter.
Barquillo, 15.
Excmo. Sr. D. Lucas Mallada.
Atocha, 118. '
Excmo. Sr. D. Santiago Ramón y Cajal.
Príncipe, 49-
Ilmo. Sr. D. Pedro Palacios.
Monte Esquinza, 9.
Sr. D. Blas Lázaro é Ibiza.
Palafox, 19.
Excmo. Sr. D. José Muñoz del Castillo.
Quintana, 38.
Ne AE
Excmo, Sr. D. Leonardo de Torres y Quevedo.
Válgame Dios, 3.
Sr. D. José María de Madariaga, Vicesecretario.
Zurbano, 18.
Ilmo. Sr, D. José Rodríguez Mourelo.
Piamonte, 14.
Excmo. Sr, D. José Marvá y Mayer.
, Campomanes, 8.
Ilmo. Sr. D. Rafael Sánchez Lozano.
Génova, 17.
Sr. D. José Gómez Ocaña.
Atocha, 127 dupdo.
Sr. D. Vicente Ventosa y Martínez de Velasco.
Amnistía, 10.
Sr. D. Nicolás de Ugarte y Gutiérrez.
Cervantes, 3. — Alcalá de Henares.
Excmo. Sr. D. Gustavo Fernández y Rodríguez.
Fuencarral, 51.
Ilmo. Sr. D. Vicente de Garcini.
Alarcón , 1.
Sr. D. Miguel Vegas.
Bezis
Ilmo. Sr. D. Juan Fages y Virgili.
San Bernardo, 18.
Sr. D. Blas Cabrera.
Paseo de Martínez Campos. 1.
Sr. D, Enrique Hauser.
Zorrilla, 33,
Ilmo. Sr. D. Eduardo Mier y Miura.
Serrano, 29.
ACADÉMICOS ELECTOS
Ilmo. Sr. D, Ignacio Bolívar.
Paseo de Martínez Campos, 17.-
Ilmo. Sr. D. Bernardo Mateo Sagasta.
Casa de Oficios. —Moncloa.
Ilmo. Sr. D, Pedro de Avila y Zumarán.
Travesía de la Ballesta, 8,
La ME
Sr. D. Ignacio González Martí.
Hernán Cortés, 7.+
Excmo. Sr. D. Manuel Benítez y Parodi.
Plaza de la Lealtad, 4.
Sr. D. Eduardo León y Ortiz.
Fuencarral, 19 y 21.
La Academia está constituida en tres Secciones:
1.2 CIENCIAS EXACTAS.—Sres. Saavedra, Presidente,
Vegas, Secretario; Arrillaga, Torroja, Navarro-Reverter,
Torres Quevedo, Ventosa, Ugarte, Fernández y Rodrí-
guez y Garcini.
2.2 CIENCIAS FÍSICAS.— Sres. Carracido, Presidente;
Mourelo, Secretario; Echegaray, Salvador, Muñoz del Cas-
tillo, Madariaga, Marvá, Fages, Cabrera, Hauser y Mier.
3.2 CIENCIAS NATURALES.— Sres. Hidalgo, Presidente;
Gómez Ocaña, Secretario; Cortázar, Calleja, Mallada,
Cajal, Palacios, Lázaro y Sánchez Lozano.
ACADÉMICOS CORRESPONSALES NAGIONALES
Sr. D. Andrés Poey. París,
Sr. D. Eduardo Boscá y Casanoves. Valencia.
Ilmo. Sr. D. Luis Mariano Vidal. Barcelona.
Excmo. Sr. D. Leopoldo Martínez Reguera. Madrid.
Excmo. Sr. D. Rogelio de Inchaurrandieta. Madrid.
Sr. D. Ramón de Manjarrés y de Bofarull. Sevilla.
Excmo. Sr. D. Modesto Domínguez Hervella. Madrid.
Sr. D. Salvador Calderón y Arana. Madrid,
Ilmo. Sr. D. Ricardo Vázquez-IIlá y Martínez. Valladolid.
Sr. D. Zoel García de Galdeano. Zaragoza.
Sr, D. Eduardo J. Navarro. Málaga.
Ilmo. Sr. D. José María Escribano y Pérez. Murcia.
Sr. D. Lauro Clariana y Ricart. Barcelona.
Excmo. Sr. D. Rafael Breñosa y Tejada. Segovia.
Edo
Excmo. Sr. D. Joaquín María de Castellarnáu y Lleopart.
Segovia.
Excmo. Sr. D. Juan Bautista Viniegra y Mendoza, Conde
de Villamar, Almirante de la Armada.
Excmo. Sr. D, Rafael Pardo de Figueroa. Puerto Real.
Sr. D. Juan Vilaró Díaz. Habana.
Excmo. Sr. D. Pablo Alzola y Minondo. Bilbao.
Excmo, Sr, D. Joaquín de Vargas y Aguirre. Salamanca.
Excmo. Sr. D. José J. Landerer. Valencta.
Sr. D, José Eugenio Ribera. Madrid.
Sr. D. Tomás Escriche y Mieg. Barcelona.
Sr. D. Eugenio Mascareñas. Barcelona.
Sr, D, Juan J. Durán Loriga. Coruña.
Sr. D. Bernabé Dorronsoro. Granada,
Sr. D. Esteban Terradas. Barcelona,
Sr. D. Ventura Reyes Prosper. Toledo.
ACADÉMICOS CORRESPONSALES EXTRANJEROS
Anguiano (A.). Méjico.
Lemoine (V.). Reims (?).
Collignon (E.). París.
Barrois (Ch.). Lille.
Hoonholtz, Barón de Teffé (A. L. de). Río de Janeiro (?).
Gomes Teixeira (F.). Porto.
Príncipe de Mónaco (S. A. el). Mónaco.
Choffat (P.). Lisboa.
Arata (P. N.). Buenos Altres.
Carvallo (M.). Paris.
Enestróm (G.). Estocolmo.
Ferreira da Silva (A. J.). Porto.
Pina Vidal (A. A, de). Lisboa.
Brocard (H.). Bar-le-Duc.
Ocagne (M. d”). París.
Romiti (G..). Pisa.
Wettstein Ritter von Westersheim (R.). Viena.
Engler (A.). Berlin.
Guedes de Queiróz, Conde de Foz (G.). Lisboa.
Rayleigh (Lord). Salisbury.
Arrhenius. (S.). Estocolmo.
Ramsay (G.). Londres.
Castanheira das Neves (J.). Lisboa.
Pilsbry (E.). Filadelfia.
Porter (C. E.). Santiago de Chale.
Herrero Ducloux (E.). La Plata (República Argentina).
Chervin (A.). París,
Urbain (G.). Paris.
Moureu (C.). Paris.
Sarasin (E.). Ginebra.
Guye (F. A.). Ginebra.
Guimaráes (R.). Lisboa.
Capellini (J.). Bolonia.
Academia Mejicana de Ciencias Exactas, Físicas y Natu-
rales. Méjico.
Pr e PE
I— Conferencias sobre Fisica matemática.
Teoría de los torbellinos.
POR JosÉ ECHEGARAY.
Conferencia décimoquinta.
SEÑORES:
En la confusión del movimiento de un sistema compuesto
de muchos puntos materiales, ya sea un sistema discontinuo,
ya sea un sistema continuo, como es el que consideramos
al estudiar el de un flúido continuo y perfecto, la manera de
darnos cuenta de lo que tal movimiento pueda ser, y de
construir en cierto modo su imagen, es, como hemos dicho en
alguna de las conferencias anteriores, considerar en la masa
flúida un sistema de líneas y particularizar el movimiento
general en cada una de ellas.
Estas líneas pueden ser de muchas clases, y vamos á se-
ñalar algunas de ellas, á las que ya hemos hecho referencias
repetidas en las conferencias precedentes.
1.” Las trayectorías.—Podemos escoger en el flúido, en
un instante cualquiera, que no hay inconveniente en consi-
derar como el instante inicial, y aun en corresponder al tiem-
po t=0, puesto que el origen del tiempo es arbitrario; po-
demos, repito, escoger un punto a y seguirlo en su movi-
miento, y determinar su trayectoría y las magnitudes mecá-
nicas que á esta trayectoría se refieren,
o 0
Esto ya lo hemos explicado en otras conferencias. Hemos
supuesto que el punto no era un punto geométrico, sino un
elemento de flúido, y al acompañarle en su marcha, hemos
seguido su movimiento de traslación, hemos observado la
torsión, por decirlo de este modo, del filete flúido, que esla
que constituye en cada instante un elemento de torbellino, y
por último hemos hecho notar la expansión ó contracción
de dicho filete tlúido.
Y de tal estudio dedujimos dos clases de movimiento: el
rotacional y el irrotacional. ;
2. Una curva cualquiera.—Podemos considerar en un
instante determinado, no un punto, sino una línea, que para
más sencillez podemos suponer cerrada; línea que marchará
con el flúido, como si fuera un hilo de elementos infinita-
mente pequeño. |
Y demostramos que, dada la definición del flúido perfecto
y la continuidad y uniformidad de las integrales de Lagran-
ge, este hilo flúido conservaba, si se nos permite la palabra,
su personalidad, por más que sea palabra atrevida en este
caso.
Podrá variar la forma de su curva, pero siempre estará
compuesta de los mismos elementos flúidos, condensados ó
dilatados, trazando sus trayectorías propias y girando ó no
girando, según sea el movimiento rotacional ó irrotacional.
Con la imaginación podemos suponer, que acompañamos
al punto cuando se trata de una trayectoría; ó á todos los
puntos de la línea, que ahora consideramos, y á un conjunto
de rectas con orientaciones determinadas en cada instante,
que serán los ejes de otros tantos elementos de torbellinos.
Más aún, demostramos en otra conferencia, que para estas
curvas cerradas no sólo persistía en cada curva la materia
del fiúido, sino cierta magnitud dinámica á que dábamos el
nombre de circulación, y que podíamos asemejar al trabajo
de las velocidades de sus diferentes puntos, consideradas
como fuerzas á lo largo de dichas curvas.
AI
Era el alma dinámica, y valga la imagen, de la línea, y se
conservaba integra, mientras el cuerpo variaba de forma,
aunque conservando siempre su materia tlúida.
Claro es que éstas son imágenes, analogias, semejanzas,
acaso fórmulas nemotécnicas del fenómeno físico, y nada más.
En esta clase no podemos dar otra transcendencia á cier-
tas analogías.
Y por de contado, no debe olvidarse, una vez más lo re-
petimos, que se trata de un caso ideal y de condiciones é
hipótesis, que algunas veces podrán verificarse con cierta
aproximación, pero que en la realidad compleja de los tenó-
menos á otros fenómenos, se enlazan; y en ellos veremos
rotas estas curvas, dispersos sus elementos y cambiando á
cada instante la supuesta constancia de la circulación.
La viscosidad, el rozamiento, todos estos fenómenos toda-
vía no bastante estudiados, vienen á quebrantar las condi-
ciones del flúido perfecto y del problema ideal que ahora
estudiamos.
3.2 Línea de corriente. —Para nuestro caso aún hay otra
clase de curvas más importantes que las que acabamos de
señalar, que son las líneas de corriente.
Fijemos bien las ideas, porque vamos penetrando cada
vez más en la materia propia de este curso, y no quisiera ni
por un momento perder la claridad y la precisión posibles á
que aspiro.
Imaginemos el sistema de Euler.
Consideremos un instante determinado del tiempo f.
Cada punto del flúido ocupará una posición determinada
del espacio, y al pasar por este punto tendrá una velocidad
determinada V cuyas tres componentes hemos designado
siempre por 1, v, w.
Sea, pues, la figura 36.
Sean A un punto del flúido en dicho instante, y V la velo-
cidad de ese punto ó elemento del flúido al pasar por la po-
sición A.
A
En el intervalo df, el punto A con la velocidad V habrá
descrito un elemento infinitamente pequeño de su trayectoría
AB =V di
y habrá venido á parar á la posición B.
Pigura 36.
En ese mismo instante f, pasará por B otro elemento de
fluido con una velocidad V” que diferirá de V en una canti-
dad infinitamente pequeña.
Mientras el elemento que estaba en A pasa de A á B, el
elemento correspondiente á B pasará de B á C.
Y el elemento flúido que en el instante f estaba en C, des-
cribirá en el intervalo dt otro elemento CD con la velo-
cidad V”.
Y así sucesivamente.
De este modo podemos imaginar una línea flúida A, B, C,
DA correspondiente al instante f y al intervalo d!.
Pasando al límite, este polígono infinitesimal se conver-
tirá en una curva MABCDN, en todos los puntos de la
cual la tangente coincidirá con la velocidad del elemento
E
fltido que en el mismo instante t pasa por dicho punto.
| Será, pues, una envolvente de velocidades para el ins-
tante f.
Y como esta línea, es fácil trazar otras infinitas en el flúi-
do para el instante considerado f.
Podemos designarlas con el no.nbre de líneas de corriente
para un instante determinado ?.
Para otro instante, el sistema de estas líneas en general
será distinto, á menos que el movimiento no sea permanente.
Claro es que cada elemento AB es un elemento de trayec-
toría: de la trayectoría que pasa por A; pero, en general, la
línea ABC ....., que hemos llamado de corriente, no coinci-
dirá con ninguna trayectoría.
Este punto lo aclararemos después.
4.0 Línea de torbellinos.—Lo que hemos explicado para
un instante cualquiera sobre las líneas de corriente, ó envol-
ventes de velocidades, podemos repetir casi palabra por
palabra, para las líneas de torbellinos, y la misma figura 36
puede servirnos.
Supongamos el mismo instante t.
El elemento flúido que pasa por A, en el movimiento fo-
tacional tendrá tendencia á girar, y ejecutará un giro infini-
tamente pequeño, que si el vector de giro es G, tendrá por
valor
Got,
Sea AG dicho eje.
Tomemos sobre él un elemento infinitamente pequeño
A a, y repitamos para el elemento que pasa por a lo mismo
que hemos dicho para el elemento que pasa por A.
Este elemento flúido que pasa por a tenderá también á
girar con una velocidad G” distinta de la anterior. Sea a G'
dicho eje de rotación. :
Tomemos sobre él la magnitud ab, también infinitamente
pequeña, y repitamos para el punto b lo dicho para A y a.
De este modo tendremos un poligono mabc ....., que en
E aa
el límite se convertirá en una curva su Aaben, que tendrá
esta propiedad. La tangente en todos sus puntos será el eje
de rotación, es decir, el eje del torbellino infinitamente pe-
queño que pasa por dicho punto.
Como la curva anterior ABC ..... era la envolvente de
las velocidades para el instante £, la curva Aabc..... será la
envolvente de los ejes de los torbellinos de todos sus puntos.
Le daremos el nombre de línea ó filete de torbellinos.
Hemos señalado cuatro clases de curvas: Las trayec-
rías; una curva cualquiera; las líneas de corriente y las líneas
de torbellinos.
Hablemos ahora de su expresión analítica, es decir, de
sus ecuaciones; aunque ya sobre esto hemos dicho algo, que
repetiremos en forma sucinta.
En cuanto á las ecuaciones de las trayectorias resultan de
integrar las ecuaciones del movimiento expresadas en las
variables de Lagrange.
Hemos dicho que, sia, b, c son las coordenadas de un
punto inicial, dichas integrales tendrán la forma
Xx =f, (a, b, C, 1),
y =f, (a, DC; t)
z= e (OAUNENA
y que las ecuaciones ordinarias de la trayectoria correspon- j
diente al punto (a, b, c) se obtendrán eliminando f entre las
tres ecuaciones anteriores, con lo cual obtendremos en ge-
neral dos ecuaciones en x, y, Z.
F, (Ya a, E) = 0
ESOS y, 2) 4/00) = 0;
que serán las ecuaciones ordinarias de dicha curva.
NT
También dijimos que se podían obtener en el sistema
de Euler. AE
Sobre esto insistiremos en breve.
De todas maneras, estas trayectorias en general no pue-
den conocerse sin integrar las ecuaciones diferenciales, salvo
en casos particulares de la práctica.
Cuando consideramos una curva arbitraria en el instante
inicial, el problema que se nos plantea es el siguiente: cono-
cer las ecuaciones de dicha curva en un instante cualquiera.
También hemos resuelto ya este problema.
Si las ecuaciones de la curva en el momento inicial son:
1 (a, b, c) O,
Pa (a, b, c) 10;
uniendo á estas dos ecuaciones las integrales generales de
Lagrange antes escritas,
> OA)
y = fa (a, b, C, t),
ES = fa (a, b, C, t),
para un instante cualquiera f, no habrá más que eliminar
entre las cinco ecuaciones precedentes a, b, c y tendremos
dos ecuaciones en x, y, 2, É
dy (x, y, 2, t) — 0,
da (x, y, 2, t) == 0,
que serán las ecuaciones ordinarias de la curva en el ins-
tante f que se considera.
Rxuv, AcAD. Dx Ciencias. —X.—Julio, Agosto y Septiembre 1911. 2
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Claro es que f en ambas ecuaciones debe considerarse
como un parámetro, es decir, como una constante que mar-
ca el momento para el cual queremos determinar la forma y
la posición que ha tomado la curva inicial.
Las únicas variables serán Xx, y, z
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Figura 37.
Con igual facilidad podríamos resolver el problema ha-
biendo elegido las variables de Euler.
E
+ E
Pasemos á las curvas envolventes de velocidades en un
instante cualquiera f; es decir, que cada curva ha de a
- de esta propiedad.
En el instante £, si a (fig. 37) es un punto de dicha curva
AB, la tangente en a debe tener la dirección de la veloci-
dad V para dicho punto a.
Si ab es el elemento infinitamente pequeño ds de la cur-
va, y sus componentes son dx, dy, dz, como puede supo-
nerse que este elemento ab coincide en dirección con V, los
“tres puntos a,b, V estarán en línea recta, y tendremos evi-
dentemente, como se ve en la figura, que las tres compo-
> O) >
-nentes de ds serán proporcionales á las tres componentes
de V siempre para el tiempo ?.
De modo que deberemos tener
Ó expresando que UV, w dependen, en el sistema de Euler,
de x, y, z y del tiempo,
Xx E 9y pio! 92
ESA ACA IA O EA O
que son dos ecuaciones diferenciales en x, y, z. En estas
ecuaciones, f es una constante, es el valor del tiempo para
el instante que se considera.
Tales ecuaciones expresan, pues, una propiedad carac-
terística de estas curvas envolventes de velocidades ó curvas
de corriente, según las hemos llamado.
Como es propiedad de todas las curvas de corriente,
claro es que no caracterizan dichas ecuaciones ninguna de
ellas, sino que las comprenden á todas; como sucede con
todas las ecuaciones diferenciales que expresan una propie-
dad de toda una familia de curvas, superficies ó sistemas.
La integración de las ecuaciones anteriores, ó, si se quie-
re, de estas dos, que son equivalentes, |
Ao E)
Na ld)
dará dos ecuaciones con dos. constantes arbitrarias AUS
ecuaciones que podremos representar por
EOS Y, Ly == C,
Es (0,2, = Cal
ases HEN) ui
Esta será la forma general de todas las curvas de co-
rriente.
Si queremos caracterizar una, la que pasa, por ejemplo,
por el punto cuyas coordenadas sean Xo, Yo, Zo, no tendre-
mos más que substituir estos valores en vez de x, y, z, y de
este modo obtendremos los valores de C, y C,, es decir:
F, (Xo, Yo» Zo» 1 e
F, (CA Co.
Con lo cual, las ecuaciones para el punto (Xo, Yo, Zo) en
el instante f serán:
1 (0552; t) =F, Vos t),
F, (68 y, 2, t) = F, (Xo, Yo, 20» £).
Es decir, dos ecuaciones con tres variables, que son las
que en el sistema ordinario definen una curva.
Ocurre preguntar:
Y si las funciones F tienen más de una determinación,
¿cuál de ésta representará los valores de C, y C,?
En el problema analítico esto dependería de las integra-
les generales de las ecuaciones del movimiento, y además
de la integración de las dos últimas ecuaciones á que veni-
mos refiriéndonos; pero en el problema mecánico, ó mejor
dicho, en la práctica, esta indeterminación no cabe, porque el
fltido no puede moverse en un instante más que de una
sola manera.
En todo caso, el armonizar el problema analítico con el
problema mecánico, es punto digno de consideración, pero
en que por ahora no podemos fijarnos.
Por lo demás, debemos repetir aquí lo que hemos dicho
varias veces: para la determinación de todas estas curvas,
hemos de suponer integradas las ecuaciones diferenciales del
movimiento, ya en las variables de Lagrange, ya en las va-
E
riables de Euler; porque de otro modo, y viniendo á las cur-
vas de corriente, no conoceremos la forma analítica de las
tres funciones
CSI bd ME td)
y no podremos integrar las dos últimas ecuaciones que he-
mos escrito.
Todos estos son estudios interesantes, pueden enseñarnos
propiedades del tlúido en movimiento; mas para la integra-
ción de las ecuaciones de éste, al menos por el pronto, no
pueden servirnos.
La forma de las dos ecuaciones diferenciales últimas será
la misma para todas las curvas de corriente y para todos los
instantes, mas para cada instante C, y C, serán diversas
en cada curva, según hemos indicado. Y como de un ins-
tante á otro varía £, la magnitud y la posición de las curvas
de corriente variará también.
Si se nos permite una imagen que materialice el movi-
miento del flúido, podemos decir que en cada momento el
flúido se compone de infinitos rios infinitamente estrechos y
en contacto continuo.
Pero de un instante á otro, en el espacio, el cauce de cada
río cambia, las líneas de corriente son otras.
Los puntos que constituyen cada línea de corriente segui-
rán formando una línea continua, como demostramos en otra
conferencia; pero ya esa línea no será una línea de corriente,
envolvente de velocidades, sino que cada punto formará
parte de otro río, siguiendo otro cauce instantáneo en el es-
pacio.
Permítaseme otra observación más para concluir este
punto. |
Al integrar las dos ecuaciones precedentes hemos dicho
que de un momento á otro varía f, que es el tiempo, y que
como fentra en las ecuaciones, las curvas de corriente va-
riarán de un instante á otro; pero si £ no entrase en dichas:
ecuaciones diferenciales, sus integrales serían las mismas
para todos los instantes y las curvas de corriente serían in-
variables también. Y esos infinitos ríos, infinitamente estre-
chos, á que antes nos referíamos, tampoco cambiarían con
el tiempo, siempre irían por el mismo cauce; puede decirse
que la forma del movimiento sería permanente, Y este es.
precisamente el nombre que se da al movimiento” en- -estos :
casos:.movimiento permanente.
Esta condición especial de dicho movimiento simplifica:
mucho el problema, y su estudio forma un capítulo impor-
tantísimo de la hidrodinámica; pero es Eo en que no
podemos detenernos.
Antes de pasar adelante, para evitar confusiones á: los
alumnos, debemos insistir sobre: un punto, que no Ao de
tener importancia. | :
Si en un instante £, y para un punto a, dicho punto a reco-
rre, en el intervalo df, el elemento infinitesimal ab corres -
pondiente á la línea de corriente A B, en tal instante es evi-
dente que el elemento ab también pertenecerá á la trayecto-
ría que pasa por a; de modo que en ese instante ó en ese
intervalo, la línea de corriente AB y la trayectoría a T, que
pasa por a, estas dos líneas, repetimos, serán tangentes en
a, Ó si se quiere, tendrán el elemento común ab.
Pero no hay que creer por eso que ambas líneas se con-
funden.
La línea de corriente es AabB, y la ie del punto a
será otra línea distinta abT, tangente en a á la primera.
Sólo se confundirían en el caso del movimiento perma-'
nente, porque en este caso cada línea de corriente es una
trayectoría, como vamos á demostrar desde luego, y conto
geométricamente más que se demuestra se ve por intuición.
Si acudimos á la representación analítica, la misma duda;
aparece al pronto, y del mismo modo se desvanece, como
pasamos á indicar.
Para el punto a, el elemento ab es El mismo en la línea de
corriente y en la trayectoría, y por lo tanto, la misma pro-
porcionalidad existirá, ya se considere una ú otra de ambas
líneas, según se ve en la figura, entre las componentes 9x,
dy, 92 de ds y las componentes u, v, w de la velocidad V.
De modo que, al parecer, para la trayectoría a T tendre-
mos las mismas ecuaciones diferenciales que para la línea de
corriente aB, á saber: las que teníamos antes:
ny si las ecuaciones diferenciales son las mismas, las mis-
mas parece que deben ser las integrales. |
Pero este razonamiento es falso, porque en las ecuaciones
precedentes
A A NAT 9Z
n(xy, 2,8) (VE Do w(x,y, 2,1)
aplicadas á la línea de corriente AB, el tiempo es una cons-
tante; las únicas variables de la integración son x, y, z
Y en estas ecuaciones aplicadas á la trayectoría, el tiempo
es una variable. Es la variable independiente de la integra-
ción, y hay que obtener, no dos funciones en Xx, y, z, sino
tres ecuaciones que nos den x, y, z, en función de f. Es
volver á las variables de Lagrange partiendo de la notación
de Euler.
Como que, en Higos; las ecuaciones que tenemos que in=
tegrar son
9X dy OZ
fs E e A E
it MOS ZE) MOS) 2,1)
porque, evidentemente,
9 9 |
LEA de
u Y w
toda vez que
IX ME 9y e 22 ES
IT A AAA
de donde se deducen las anteriores.
De modo que, como hemos dicho, no son dos ecuaciones
diferenciales, sino tres, con tres funciones X, y, Z, y una va-
riable independiente f.
Al paso que para la linea de corriente tenemos que inte-
grar dos ecuaciones diferenciales que han de darnos, por
ejemplo, dos funciones y, z, en valores de una variable in-
dependiente x. Como que se trata de una curva indepen-
diente del tiempo: la curva AB.
Para otro instante £, la trayectoría del punto a siempre
será 4 T, como se ve en la figura; el elemento ab en este
caso será el a” b”, y la curva de corriente será A' B”, que no
será la transformada de AB.
Esta se habrá transformado en otra curva continua que pa-
sará por a”, por ejemplo, la A, B,.
De modo que ni siquiera el elemento a'b” será la trans-
formación de ab.
Este alemento a” b” substituirá, como antes decíamos, en
el contacto con la trayectoría al elemento ab, pero no estará
formado de los mismos elementos flúidos que éste.
Todas estas son consideraciones elementales, sencillísi-
mas, pero son puntos sobre los que conviene llamar la aten-
ción de los principiantes, siquiera sean completamente ocio-
sas, no ya para los maestros, sino para los que están versa
dos en estos problemas.
A
Y pasemos ya á las líneas de torbellino, que en la figura
36 representábamos por Aabcn. Es decir, era esta línea una
de las líneas de torbellino, la que en el instante f pasaba por
el punto A.
Tanto la definición geométrica de esta línea de torbelli-
nos, como de la línea de corriente MN, en la misma figura, si
hemos de decir lo cierto, dejaban bastante que desear. Eran
más bien intuiciones que definiciones exactas; porque para
definirlas era forzoso demostrar que, respecto á la línea de
corriente, sea cual fuere la ley de los elementos AB, BE:
CD....., al tender éstos á O, nos ibamos á encontrar con una
línea límite independiente de aquella ley de decrecimiento; y
otro tanto podemos decir y aún con más razón respecto á la
línea de torbellino mn; porque aún más arbitraria parece la
ley de los elementos Aa, ab, bc.....: Al fin, en la línea de co-
rriente, los elementos eran caminos recorridos por un ele-
mento flúido en intervalos iguales df. Aquí ni aun eso,
porque estos elementos son direcciones de ejeces sucesivos
de giro.
Pero así como hemos dado rigor analítico á la definición
de las líneas de corriente, podemos dar rigor analítico á la
definición de las líneas de torbellino.
Y la definición será enteramente análoga; diremos que
una línea de torbellino, en un instante dado, es aquella en
que la tangente en cualquier punto á dicha línea es precisa-
mente el eje del torbellino infinitesimal que corresponde al ex-
presado punto. Es decir, la recta alrededor de la cual el ele-
mento de flútido tiende á girar, Ó como decíamos, el filete
flúido tiende á retorcerse.
Si aún queremos más clarídad, podemos decir que la lí-
nea de torbellino tiende á retorcerse alrededor de sí misma,
es decir, de sus propias tangentes.
Las ecuaciones diferenciales de las líneas de torbellino
las encontraremos del mismo modo que hemos encontrado
las ecuaciones diferenciales de las líneas de corriente, y
e A
análoga á la figura 37 será la figura 38, de que vamos á ser-
virnos ahora. :
Sea un punto a del tlúido, y vamos á determinar la línea
de torbellino mn, que pasa por dicho punto. 13
El elemento ab de dicha línea debe coincidir en direc-
ción, según lo dicho, con el eje del torbellino ó vector-torbe-
z
Figura 38.
llino correspondiente á dicho punto a, eje que hemos na
sentado por a G.
O de otro modo, la tangente en a á la línea mn debe ser
el eje del torbellino en a.
Puesto que los tres puntos a, b, G están en línea recta,
sus coordenadas deben ser proporcionales si se refieren al
punto a como origen.
O si se quiere decir de otro modo, las componentes de
ab = ds que son dx, dy, dz deben ser proporcionales á las
componentes del eje del torbellino a G que hemos AE
por £, n, .¿ Tendremos, pues,
= Mi =
y sustituyendo por £, 1, $ sus valores
* 9w dv du 9w 9v du
8 = —= = —, M= TT IT == — — —
9y 90Z 90Z IX 9X 9y
resultarán
9X dy hatá Do
3w OE dw — 93y du *
9y A II AX 9y
Como suponemos para la aplicación de estas ecuacio-
nes, que el problema está resuelto y que conocemos en un
instante cualquiera £, los valores de 1, v, w. en función de
x, y, z, £, claro es que los denominadores de las ecuaciones:
precedentes serán funciones perfectamente conocidas de x,
y, 2, t; bastará derivar con relación á x, y, z los valores co-;
nocidos de u, v, w, y hecha la substitución de las derivadas
que entren en los denominadores, tendremos las ecuaciones
diferenciales
EA dy el 92
My (26, y, 2, £) IN CARA AN
Estas serán las ecuaciones diferenciales de las líneas de
torbellino, é integradas darán las dos ecuaciones con dos
constantes arbitrarias que definirán dichas líneas.
Y podemos repetir palabra por palabra todo lo que diji-
mos en las líneas de corriente.
Así, por ejemplo, para cada punto del flitido (Xo, Yo» Zo)
en un instante £,, substituyendo las coordenadas de dicho
punto en ambas ecuaciones, que podemos representar por
Ty (x, y, 2, t) Sn Ci,
va (X, J, Z, t) e Ca;
O
tendremos
+1 (co Yo» Z0> lo) = Cu
*3 (o, Yo» Z0> 1) E Cas
que nos darán los valores C,, C, de dichas constantes.
Y las ecuaciones de la línea de torbellino que pasa por
(Xo, Yo» 20) SErán
Ty (x, y, Z; to) = sy (ac Yo» 20» 0)
- Ta (X, Y, 2 Lo) = +2 (Mor ¡Pos Zo» Lo)
Esto nos prueba, suponiendo, como decíamos antes, que
las funciones 7 no tengan más que una determinación, ó que
se puede escoger una sin ambigiiedad, que por cada punto
del ilúido, en cada instante, no pasa más que una línea de
torbellino.
Todo ello supone que el problema ha sido resuelto, es
decir, que las ecuaciones diferenciales del movimiento se
han integrado, y que se conocen las expresiones de 1, V, W
en funciones de las variables de Euler x, y, 2, f.
De no ser así, ni conoceremos las funciones A, puesto
que no conocemos las funciones u, v, w; ni podremos inte-
erar las dos ecuaciones diferenciales, ni podremos hallar las
funciones 7 tampoco; pero sabremos que existen aunque no
las conozcamos, y que expresan propiedades perfectamente
definidas del movimiento del flúido, y podremos construir
toda una teoría de las líneas de torbellino, que es precisa-
mente lo que vamos á hacer en las conferencias siguientes.
Por eso llamábamos la atención de nuestros lectores
diciéndoles: Sin integrar las ecuaciones difrenciales de un
sistema, fundándonos sólo en esas ecuaciones diferenciales,
OA
se puede construir, si vale la palabra, toda una teoría de
muchas de las propiedades del sistema, que las ecuaciones
diferenciales representan.
Este es precisamente el caso de la célebre teoría de los
torbeilinos de Helmholtz y Thonsom; porque, como vere-
mos en la conferencia próxima, vamos á partir, para estable-
cer esta teoría del teorema de Helmholtz, que ya hemos de-
mostrado, á saber: toda línea flúida, cerrada, se conserva en
el movimiento del flúido, aunque variando de forma y posi-
ción, como nueva línea flúida cerrada; los mismos elementos
de flúido entran en una que en otra, su individualidad es
permanente, y además la cantidad, á que hemos dado el
nombre de circulación de la línea, conserva tanibién un valor
numérico constante.
¿Y cómo demostramos este teorema?
Sin integrar las ecuaciones diferenciales fundamentales.
Diferenciando, con relación al tiempo, la circulación, que
representábamos por /, y sustituyendo, en vez de
21 9v 90w
o
sus valores, deducidos de dichas ecuaciones diferenciales.
De las ecuaciones diferenciales nos servíamos directa-
mente.
Si esto pudiera hacerse siempre y para todas las propie-
dades de un sistema, el cálculo integral habría llegado á su
perfección.
Mejor dicho, el cálculo integral seria inútil, porque de las
ecuaciones diferenciales deduciríamos todas las propiedades
de las ecuaciones finitas; pero esto requiere estudio más de-
tenido, porque ocurre esta pregunta:
Las ecuaetones diferenciales por el pronto sólo expresan
una propiedad del sistema finito; ¿estarán todas escritas en
esta propiedad única?
NAS 1 a
Pretender contestar á la pregunta precedente sería sepa-
rarnos por completo de la materia de estas conferencias, y
aun del objeto de esta asignatura, que no es de cálculo di-
ferencial é integral, sino de Física matemática. Advirtamos,
sin embargo, de paso, que las propiedades dependientes del
valor de las constantes arbitrarias no pueden estar esplícita-
mente expresadas en las ecuaciones diferenciales.
Volvamos, pues, á la teoría de los torbellinos, y no nos
dejemos arrastrar por el torbellino de nuestro propio pensa-
miento. |
Pero son tantos los problemas de análisis que nos van
saliendo y que han de salirnos al encuentro, que con toda
sinceridad hemos de confesar que la tentación es muy fuerte.
Resistámosla y volvamos al objeto principal de este curso.
31 —
IL— Conferencias sobre Fisica matemática.
Teoría de los torbellinos.
Por José ECHEGARAY
Conferencia décimosexta.
SEÑORES:
Los hechos aislados, por numerosos que sean, jamás lle-
ean á constituir una ciencia, como muchas piedras sueltas
en un solar no constituyen un edificio.
Para constituir éste es preciso agrupar las piedras dentro
.de una unidad arquitectónica.
Para formar una ciencia es preciso reunir los hechos en
-una ó en varias unidades.
Esta es la labor de la intelectualidad; por qué la ciencia
es de fabricación humana. |
En rigor es un gran simbolismo intelectual de fenómenos
exteriores, que serán lo que fueren, pero en cuyo fondo ja-
más podemos penetrar.
Estas grandes unidades, en que los hechos van poco á
poco fundiéndose, forman las pequeñas leyes Ó las grandes
leyes de la ciencia humana. :
La ley supone algo constante, invariable y en muestro len-
guaje, tan pobre, como soberbio, algo eterno.
Las leyes son, si se nos permite emplear el lenguaje mo-
'derno, las invariantés de los fenómenos.
Y apliquemos estas ideas generales y que á decir verdad,
-de puro sabidas, son ya vulgarísimas; apliquemos estas
0 a
ideas, repito, al problema general de la hidrodinámica y al
problema particular de los torbellinos en que venimos ocu-
pándonos en esta nueva serie de conferencias.
Buscábamos una representación material, ó al menos, re-
presentaciones parciales, del problema del movimiento á que
se vea sujeta, por la acción de fuerzas determinadas, una
masa finita Ó infinita del flúido, que designábamos con el
nombre de flúido perfecto.
Y en la variedad confusa, y dado lo imperfecto de nues-
tros sentidos, podemos decir caótica, de los diferentes ele-
mentos de tlúido, habíamos ido poniendo cierto orden; y en
la confusa variedad nos empeñábamos en ir marcando algo
constante é invariable.
Y decíamos: una línea fluida, es decir, compuesta de ele-
mentos flúidos infinitamente pequeños, durante todo el mo-
-vimiento estará siempre compuesta de los mismos elementos
flúidos: conservará, digámoslo así, su individualidad.
Entiéndase bien; sucederá esto en las hipótesis estableci-
das respecto á la naturaleza de dicho tlúido y de las fuerzas
que sobre él actúan; en el problema general de la hidrodi-
námica esto no sucederá.
Y lo que hemos dicho de una línea flúida, pero con las
mismas hipotéticas restricciones, sucederá con una superfi-
cie flúida.
También la superficie cambia de un momento á otro de
posición, de forma, y de velocidad cambian sus diferentes
puntos; pero en todos estos diferentes estados la superficie
estará formada de los mismos elementos flúidos que en el
primer instante.
Y sigamos resumiendo: el teorema de Helmholtz que de-
pi ea
mostramos en una de las conferencias precedentes, es el teo-
rema fundamental de la teoría de los torbellinos.
Una línea flúida, cerrada, no sólo conserva en el movi-
miento todos sus elementos flúidos, sino que conserva cons-
DD
Figura 39.
tante cierta magnitud determinada, que es la integral á lo
largo de dicha línea
rey +
G
y que hemos representado por /.
Estos principios generales los hemos aplicado, después
de decir algo sobre las trayectorías de los diferentes puntos,
á las líneas de velocidades ó lineas de corriente y á las líneas
de torbellino.
Mas, entre uno y otro caso, hay una diferencia fundamental.
Sea (fig. 39) AB una línea de velocidades ó línea de co-
rriente; es decir, una línea que en el instante f, que conside-
Rry. AcaD. DE CiENCcIAS, —X.—Julio, Agosto y Septiembre, torr. 3
ds PU Má
ramos, sea la envolvente de las velocidades del tlúido en sus
diferentes puntos a, b.... De modo que la velocidad del flíi-
do en a sea aV, tangente en a á AB; la velocidad en b será
bV”, tangente en bá la misma línea A B, y así sucesivamente.
Si del instante £ pasamos al instante f, la línea de co-
rriente A B, conservando su individualidad, como antes de-
ciamos, habrá pasado á la posición 4'B”. Los elementos de
ésta serán los mismos elementos flúidos de AB, por ejem-
plo: el elemento a” será el elemento a, el b' será el b, y así
sucesivamente.
Estos elementos se habrán condensado ó dilatado, según
cierta ley que supondremos continua; pero, si la línea de
corriente AB se ha transformado en la A*B”, no conservará
la propiedad en esta transformación de ser línea de corriente.
Las velocidades en el nuevo instante f” no serán tangentes
á A'B' como lo eran á AB.
Por ejemplo: la velocidad a” será V, que forma un ángu-
lo finito con la tangente en a”.
De igual modo la velocidad en b', á saber, V,' tampoco
será tangente á A”B” en dicho punto b”, sino que formará
cierto ángulo con esta última tangente. ]
¿En suma, la línea de corriente, al pasar del tiempo f al
tiempo f”, conserva sus elementos tlúidos :-pero no conserva
su propiedad “de ser línea de corriente; esta es propiedad
de un instante; la pierde en el movimiento.
¿Sucede lo mismo con la línea de torbellino?
Esto es lo que vamos á ver.
Sea (fig. 40) A B una línea de torbellino.
. Los ejes para los diferentes puntos a, b, ..... de esta línea
serán las tangentes 4G,bG,, á la línea AB en los puntos
a, b, porque ya sabemos, por definición, que las. líneas de
Mo Ria
torbellino son las envolventes de los ejes de giro de cada
elemento flúido. |
Cuando el tiempo varía y pasa del instante definido por f
á otro instante cualquiera £', la línea A B, como línea flúida,
vendrá á tener la forma y ocupar la posición A“B”.
Figura 40.
El punto a, vendrá á ocupar la posición a”; el b, la posi-
ción b”, y asi sucesivamente, y se plantea el mismo problema
que en las líneas de corriente.
¿Cuál será el eje de torbellino para el punto a”, para el b'
y para todos los demás?
¿Serán las tangentes en a”, b”, ó formarán ángulo finito con
dichas tangentes?
Vamos á demostrar desde luego, que se verifica la primera
de dichas hipótesis, es decir, que los nuevos ejes de torbelli-
no a” G”, b' G/.... son precisamente las tangentes en a, b'....
De suerte que las líneas de torbellino en el movimiento,
se conservan como tales líneas de torbellino, lo contrario de
lo que sucedería con las líneas de corriente.
pl ls
Esta circunstancia es la que da importancia extraordinaria
al movimiento rotacional y á las líneas que en los diferentes
instantes lo representan, y es lo que viene á constituir en su
desarrollo la teoría de los torbellinos.
Hay varias demostraciones; pero la que podemos llamar
demostración clásica, aunque á decir verdad no es una de-
mostración directa, porque hay, en cierto modo, que dar un
rodeo, es sumamente sencilla y sumamente ingeniosa.
Necesitamos, para desarrollarla, explicar un nuevo con-
cepto, de esta serie de movimientos del flúido que conside-
ramos.
Necesitamos definir lo que se entiende por superficie de
torbellinos en un instante dado.
Se llama en un instante £ superficie de torbellinos una su-
perficie tal, que si en ella se toma un punto cualquiera y se
traza para este punto el eje del torbellino que le correspon-
de, este eje es siempre tangente á la superficie.
Para imaginar una de estas superficies de torbellinos, su-
pongamos en el instante £ una curva cualquiera, AB (fig. 41).
Y por todos los puntos de esta línea a, b, C, ....., hagamos
pasar en el titido, otras tantas líneas de torbellino ad, bb,
Esto es posible:
1.2 Porque estamos suponiendo que existe en la región
del flúido que se considera, el movimiento que hemos lla-
mado rotacional.
2.2 Porque por cada punto del flúido en cada instante
pasa una línea de torbellino, y una sola.
Pero dada la ley de continuidad que suponemos, el con-
junto de líneas aa”, bÚ' ....., constituirán evidentemente una
superficie S¿, que será una superficie de torbellinos tal como
la hemos definido.
7 en
Porque cualquier punto a, de esta superficie estará sobre
una línea de torbellino a a”, y el eje correspondiente á a,,
por ser la línea a a”, un? línea de torbellino será tangente
á dicha línea: y como la línea está sobre la superficie, a, G
será tangente la superficie.
Como esta propiedad subsiste para todos los puntos de la
Figura 4l.
superficie S¿, dicha superficie será, según definición, una
superficie de torbellinos.
Y recíprocamente, toda superficie de torbellinos la podre-
mos considerar en general de este modo, como se compren-
de inmediatamente.
Ahora bien; esta superficie de torbellinos tiene una pro-
piedad importantísima que la define en forma muy senci-
lla, y de la que se deducen otras propiedades muy impor-
tantes.
Tracemos en la superficie de torbellinos S, una línea cerra-
da BO
da cualquiera L, y determinemos, siempre para el instante £,
el valor 7 de la circulación sobre dicha línea, es decir,
1 all (1Ix + VIY + w92)
l£s
en que 4, v, w, serán las componentes de la velocidad para
los diferentes puntos de dicha línea L; por eso en la expre-
sión anterior ponemos £ como determinando la línea de in-
tegración.
La propiedad á que nos referimos, y que es fundamental,
es la siguiente:
En una superficie de torbellino S¿ para toda línea cerra-
da L que en ella se trace, el valor de la circulación es nulo,
es decir,
1: =,0.
Y recíprocamente, si para toda línea cerrada, que en una
superficie se trace, el valor de la circulación es nulo, la su-
perficie es una superficie de torbellinos.
Vamos á demostrar primero la proposición directa.
Hemos demostrado, aplicando el teorema de Stokes, que
el valor de la circulación en una línea es igual al flujo del
vector de torbellino, que pasa por el interior de dicha
línea.
Si consideramos la linea cerrada L, trazada sobre una su-
perficie de torbellino, el valor 7 de la circulación sobre dicha
línea será igual al flujo del vector torbellino sobre una su-
perficie cualquiera que pase por L , y podemos suponer que
esta superficie es la misma superficie torbellino S,. Es de-
cir, el flujo, á través de dicha superficie, de todos los vecto-
res torbellinos de, d'g”..... de los diferentes puntos d, d”....,
comprendidos en L; pero todos estos vectores dy, d'g”.....
son tangentes á la superficie por definición de ésta; luego
sus componentes normales serán nulas, y, por lo tanto, el
flujo en cuestión será nulo también, y nula será la circula-
AE ¡e
ción / sobre la línea L. Con lo cual queda demostrada la
proposición directa, á saber: la circulación, vara todas y
cada una de las líneas cerradas que se tracen en una super-
ficie de torbellino, es nula.
Pasemos á la demostración de la proposición inversa.
Si una superficie S¿, siempre en un momento determina-
do, es tal que la circulación de cualquier línea L trazada so-
bre esta superficie es nula, la superficie es una superficie
torbellino.
En efecto, puesto que la línea L es arbitraria, podemos
suponer que es infinitamente pequeña, y alrededor de cada
punto d podemos suponer un contorno infinitamente peque-
ño que tienda á confundirse con dicho punto.
Pero la circulación, en este circuito infinitamente peque-
ño, es nulo por hipótesis: no infinitamente pequeño, sino
nulo en absoluto; luego el flujo del área que comprende
será, no infinitamente pequeña, sino nula.
Por fin, la componente normal del torbellino medio corres-
pondiente á esta área, será igual á cero, lo que nos demues-
tra que el torbellino será perpendicular á la normal. Es de-
cir, tangente á la superficie.
Queda, pues, demostrada la proporción inversa puesto
que, en todos los puntos el torbellino es tangente á la su-
perficie y esta es la definición de la superficie de torbellinos.
Una supertficie-torbellino se conserva como superficie flúi-
da en los diferentes instantes del movimiento; pero además,
y esto es importantísimo, se conserva como superficie de
torbellinos. |
En efecto, sea (fig. 42) S una superficie de torbellino co-
rrespondíente al instante f.
Mae
En otro instante £” todos los elementos del flúido que
constituian S constituirán otra superficie tlúida S”.
Pero esta superficie continuará siendo una superficie de
torbellinos en el nuevo instante f.
Y la demostración es bien sencillla. Toda línea cerrada s
trazada en la superficie S, por ser esta una superficie de tor-
Z
Figura 42.
bellinos, tiene una circulación nula. Es decir, que si repre-
sentamos el valor de esta circulación por /, tendremos
== 05
La línea s, como está sobre la superficie S, se transforma-
rá en el movimiento en otra línea cerrada s”, que estará evi-
dentemente sobre la superficie S”, transformada de S.
Pero sabemos, por el teorema de Helmholtz, que la circu-
lación de toda línea cerrada en su movimiento, es constante.
Luego la circulación de s”, transformada de s, será nula
como la circulación en ésta.
Llamándola /s», tendremos
Lo = 0.
IA
Pero la línea s” es arbitraria en la superficie S”, porque la
slo es en S; por lo tanto, la superficie S” cumple con esta
condición: que la circulación de toda línea s* trazada en ella
es nula, de donde resulta que la superficie S” es una super-
ficie-torbellino.
En suma, las superficies de torbellinos conservan este ca-
rácter en todas sus transformaciones durante el movimiento.
Podemos decir, por modo abreviado y por analogía, que
toda superficie-torbellino es una invariante respecto á dicha
propiedad.
Y fundándonos en esta propiedad de toda superficie-tor-
bellino,podemos demostrar otra propiedad análoga respecto
á toda línea-torbellino.
FA
+ *
Sea S (fig. 43) una superficie torbellino en un instante
Figura 43.
dado, y sea en el mismo instante S, otra superficie-torbelli-
no: supongamos que se cortan según la línea A B.
Lo Y
Decimos que. esta linea 4.B será una línea-torbellino. -
En efecto; tomemos (fig. 43) un punto:a de dicha línea
AB, é imaginemos el eje torbellino ag, correspondiente á
este punto a.
Por ser la superficie S una superficie-torbellino, el vectot
torbellino as estará en el plano tangente á S en el punto a.
Pero como podemos repetir el mismo razonamiento res-
pecto á la superficie S,, resulta que ag también estará en
el plano tangente á S, en a, y si está en los dos planos tan-
gentes será su intersección, la cual es, como se sabe, la tan-
gente en a de la intersección AB de las dos superficies. |
Luego, en todos los putos dela línea 4 B, la tangente '
coincide con el vector torbellino, y por lo tanto, la línea AB
es una línea-torbellino.
Queda, pues, demostrada esta proporción que antes enun-
ciamos: la intersección de dos superficies de torbellinos es una
línea-torbellino.
Consideremos ahora otro instante f' y supongamos que en
este instante la superficie flúida S se ha convertido en la
superficie S”, y la S, en la S”,.
Si estas dos superficies se cortan según A” B”, evidente-
mente A'B' será la transformada en el movimiento de A B.
Esto es evidente: todo punto de A B, por estar en S en el
instante £, estará en S” en el instante £”; y por estar en $, en
aquel primer instante, estará en S”, en el segundo instante;
y si está en S” y en S”,, estará en su intersección 4"B'.
De modo que todo punto de AB viene á parar á un punto
de A'B', ó si se quiere, esta última es, en el movimiento, la
transformada de AB.
Ahora bien, siendo S* y S”, superficies de torbellinos, su
intersección, según hemos demostrado, será una línea de
torbellino; luego A“B* lo es.
EMO
Y por fin, la transformada de 4B, que es 4'B', es una
línea-torbellino.
Queda, pues, demostrada la proposición que habíamos
enunciado al empezar este análisis: Toda línea de torbellino
conserva este carácter en su movimiento.
Hemos definido lo que se entiende por superficie de torbe-
llino. En la figura 41 estudiamos esta clase de superficies
Figura 44.
flúidas; pero en esta figura A B era una línea cualquiera, ce-
rrada ó no cerrada.
Ahora vamos á estudiar un caso particular, pero impor-
tantísimo, fundamental pudiéramos decir, de las superficies
de torbellinos.
Sea A B (fig. 44) una línea cerrada cualquiera; por sus di-
se Y e
ferentes puntos A, B .... hagamos pasar, como antes hacía-
mos, una serie continua de líneas de torbellino A4', BB'.....
Estas líneas 44”, BB'....., como la AB es cerrada, for-
marán una especie de tubo AB A'B”, cuyas generatrices se-
rán todas, líneas de torbellino.
La superficie así formada, por su figura especial, recibe
precisamente este nombre, y se
llama tubo de torbellino Ó abrevia-
damente ¿ubo-torbellino.
Claro es, que en el flúido, ó al
menos en la región de éste, en que
el movimiento es rotacional, se
pueden formar infinitos tubos de
torbellinos, tantos como líneas ce-
rradas AB puedan imaginarse.
Tendremos, pues, en una región
de movimiento rotacional, infinitos
tubos de torbellinos: en tubos de
de Ss torbellinos puede descomponerse
dicha región.
En general, no podrán cortarse unos con otros; porque de
lo contrario, por cada punto de intersección pasarían dos
líneas de torbellino, la de uno y la de otro tubo, lo cual,
dadas las hipótesis establecidas, es imposible; pues por
cada punto sólo puede pasar una línea de torbellino.
Si se cortan, las intersecciones serán líneas de torbellino,
como indica, por ejemplo, la figura 45, en que los dos tubos
de torbellino se cortan según ab, Ab"; pero estas son dos
líneas de torbellino, y la contradicción que antes señalába-
mos desaparece.
Volvamos á la figura 44 y vamos á demostrar una pro-
piedad importantísima de los tubos de torbellinos.
Consideremos dos líneas cualesquiera bd, b'd' rodeando
ambas por completo, en curva Cerrada, el tubo en cuestión
ABA'B:.
NS me
Interrumpamos por un pequeñísimo intervalo ae la línea
bd, y por otro intervalo muy pequeño también a'e' la lí-
nea b'd'. Por último, unamos los puntos a, a”; e, e” por dos
líneas cualesquiera fnfinitamente próximas aa”, ee.
Habremos formado así una línea continua aa b'de' e dba
que podemos suponer que se recorre, por ejemplo, en el
sentido de las flechas.
Esta línea, trazada toda ella sobre la superficie del tubo,
constituye, como vemos, una línea cerrada.
Luego. su circulación [ será, como antes demostramos,
igual á cero.
Es decir,
circulación (aa'bd'Y e edba) = 0.
O descomponiendo en partes y escribiendo / en vez de
la palabra circulación:
I(ada)+1(ab'd'e) + 1(e'e) + I(edba=0.
Observemos ahora que, como las dos líneas aa”, ee” es-
tán infinitamente próximas, y en el límite se confunden, y
para medir la circulación en cada una hay que tener en cuen-
ta que están recorridas en sentido contrario, según las fle-
chas marcan, los elementos de ambas integrales / serán
iguales y de signos contrarios. Siendo como siempre u, V, w
las componentes de la velocidad del punto flúido, serán am-
bos elementos ñ
el de aa .....49x + vIy + w9z
y el de e"8..... —49dx — V0y —WO9z
iguales y de signos contrarios, de modo que en la ecuación
precedente
1 (aa) +1 (e e)
= AG =
se destruirán y la ecuación quedará reducida á
I(4b' de) + I(edba) =0
Ó bien
I(ab'd'e)= -—I(edba)
Pero si invertimos el sentido de la circulación en el se-
gundo miembro, esto equivale, como dijimos en momento
oportuno, á cambiar el signo de la integral; luego tendre-
mos, por último,
I(a'v'd'e)=1(abde)
ó representando, para abreviar, cada curva por solo dos le-
tras y teniendo en cuenta que el límite los intervalos ae,
a' e”, desaparecen y las curvas quedan cerradas,
I(bd) =1(0'd.
De donde resulta este teorema, que es capital en la teoría
de los torbellinos:
Dado un tubo de torbellinos cualquiera, todas las curvas
cerradas que lo abarquen bd, b' d'..... á manera, por decirlo
así, de cinturón, tienen ¿gual circulación flúida. |
La circulación alrededor de todas estas líneas es constan-
te para todo el tubo; es, en cierto modo, una constante del
tubo, una invariante, pudiéramos decir también.
Pero hay más, y aquí los teoremos se van generalizando:
Todo lo que hemos dicho se refiere á un momento deter-
minado f. Si consideramos otro instante cualquiera f', el
tubo podrá tener otra posición y otra forma, pero obser-
vemos:
A
1.2 Que continuará siendo un tubo, porque su directriz
AB era cerrada y cerrada será en otro momento cualquiera.
2.” Que las generatrices del tubo (curvilíneas en general)
serán generatrices del tubo transformado, y como eran lí-
neas de torbellino en el instante £, seguirán siendo líneas de
torbellino en el instante £.
3.” Que por lo tanto, el tubo de torbellino primitivo con-
tinuará siendo tubo de torbellino.
Y 4.” Y esto es muy digno de consideración: Que el va-
lor de la circulación del primer tubo, será el mismo para el
segundo. Es decir, para el instante f'.
En efecto, cualquier curva de circuito bd, del primer tubo,
se convertirá, en el instante £f”, en curva de circuito del nue-
vo tubo torbellino. Pero sabemos, que la circulación de una
curva cerrada conserva un valor constante en el movimien-
to; luego la curva de circuito de dicho segundo tubo tendrá
el mismo valor para su circulación que la del primero, y
como esta es la que mide la circulación del nuevo tubo, am-
bos tendrán el mismo valor 1.
Si para abreviar las explicaciones llamamos momento del
tubo á la circulación l para una de sus curvas de circuito,
que será el mismo que para otra cualquiera, podremos de-
cir que el movimiento no altera el valor del momento de un
tubo torbellino y resulta esta proporción importantisima y
curiosa: Que un tubo torbellino, en el movimiento de un flúi-
do perfecto, se conserva como tubo-torbellino y conserva «el
valor de su momento.
Entre los tubos torbellinos hay una clase muy importante
que son los que podemos llamar infinitamente estrechos, los
que llamaba Helmholtz «Wirbelfaden», verdaderos filetes de.
torbellino, que se pueden aproximar tanto como se quiera á
una línea torbellino.
E O e
A éstos se les puede aplicar todo lo que hemos dicho para
el tubo torbellino de sección finita.
Sea AB (fig. 46) un tubo torbellino infinitamente estrecho.
Las generatrices, por decirlo así, ac, bd..... del tubo serán
liíneas-torbellinos. Es decir, que si trazamos en a, por ejem-
plo, el eje ag del torbellino correspondiente al punto a, esta
pa dé
Figura 46.
línea será tangente á la línea ac, y lo mismo podremos decir
para otro punto cualquiera de la superficie del tubo.
Supongamos que se traza por a un plano perpendicular á
as, el cual determinará una sección ab del tubo torbellino
infinitamente estrecho. La llamaremos sección recta del tubo,
y como el tubo es infinitamente estrecho y los ejes de los
torbellinos varían por la ley de continuidad, todos los ejes
de torbellinos de los diferentes puntos de la sección ab se-
rán próximamente paralelos al elemento ac.
Por eso podemos decir que esta sección es la sección recta
del tubo. |
o OA
Como en el caso general, la circulación del tubo, ó el mo-
mento del tubo, 6 la intensidad del tubo, que todos estos
nombres recibe la cantidad á que nos referimos, estará re-
presentada por el valor / de la circulación medida en la cur-
va ab, la cual, como sabemos, tiene el mismo valor para
otra sección oblicua cualquiera Ó para otra curva de doble
curvatura, con tal que forme circuito cerrado alrededor del
tubo.
Aquí, como en el caso general, este momento ó intensidad
puede medirse, según el teorema de Stokes, de dos modos:
ó por la circulación I de la curva ab, ó por el flujo de torbe-
“Ilinos sobre los puntos de la superficie ab.
Llamando Y, á la proyección normal del eje-torbellino de
cualquier punto de ab sobre la normal á esta sección, y lla-
mando 2; al área de la sección recta ab, tendremos:
alle Q, 90.
ad
Mas para todos los puntos de la sección ab, los ejes tor-
bellinos son próximamente iguales y paralelos, y además
normales á dicha sección ab; luego, tomando el eje Q corres-
pondiente á un punto interior o de ab, la integral doble pue-
de sustituirse por el área multiplicada por este valor medio
del eje torbellino. En suma, el momento del tubo infinita-
mente estrecho será:
1=20095.
Es decir; que el momento ó la intensidad de un filetc torbe-
llino, es igual á dos veces el área de su sección recta por el
valor del eje-torbellino de un punto cualquiera o del filete,
que puede estar dentro del mismo ó en la superficie, toman-
do, por de contado, este punto o en dicha sección recta. Y
resulta esta propiedad importantísima: Como en otra sección
cualquiera cd, la medida del momento del tubo debe ser
Rev. Acap. Ciencias.-—X.—Julio, Agosto y Septiembre, 1911. 4
a:
siempre la misma, y para dicha sección. llamando 95, al
área y Q, al torbellino, su valor es
Q,95,
tendremos
L=035=0 097
Es decir, que en un tubo torbellino infinitamente estrecho
el producto del área de cualquier sección recta por el eje del
torbellino que le corresponde, es una cantidad constante,
característica, por decirlo así, del tubo torbellino.
Si el tubo estrecha y la sección recta disminuye, aumenta
el valor del eje del torbellino.
Si la sección ensancha, el valor del eje disminuye para
que el producto quede invariable.
Es lo mismo, y valga esta imagen, que si el tubo fuese
una cañería sin rozamiento y por ella circulase con movi-
miento permanente un líquido sin viscosidad. La continuidad
del flúido exigirá que el producto de la sección por la velo-
cidad fuese constante.
Este tubo, infinitamente estrecho, sigue al tlúido en su mo-
vimiento. Si en el instante ¿era AB, en el instante 2” será
A'B'; continuará siendo tubo de torbellino, continuará sien-
do infinitamente estrecho y su intensidad Ó momento que-
dará invariable.
Puede decirse que
005
conserva el mismo valor en todos los puntos del tubo y en
todas las posiciones de éste.
+
De aquí se deducen algunas consecuencias importantes
en las que sin embargo no podemos detenernos.
A e
Diremos tan solo que los tubos de torbellinos, de sección
finita Ó infinitemente estrecha no pueden terminar brusca-
- mente en el interior del flúido, sino que, Ó bien terminan
en las superficies límites, ó vienen á cerrarse formando una
línea continua.
Porque en efecto, si han llegado á un punto A y para
fijar las ideas suponemos que se trata de un tubo infinita-
mente estrecho, como los ejes de los torbellinos son conti-
nuos en valor y dirección, más allá del punto A, en la masa
flúida habrá un eje de torbellino que se enlazará con el del
punto A, y á él corresponderá una sección determinada que
satisfaga á la ecuación que antes establecimos.
Basta para nuestro propósito esta indicación general, de
la que se deduce que el área del torbellino no puede anu-
larse, única manera de que el torbellino se interrumpiera:
para que en
095 = Q, 95,, UE MI
sería preciso que tuviésemos Q, = oo y puesto que las dos
secciones están infinitamente próximas, dada la continuidad
de los ejes de torbellino, no puede ser 2 finito y Q, infinito.
En la conferencia próxima continuaremos estudiando es-
tos movimientos singularísimos de un flúido perfecto que, á
decirverdad, no sabemos si en la Naturaleza se realizaran, y
en cambio sabemos, que en la mayor parte de los casos que
tenemos á la vista, no se realizan; pero que aproximada-
mente pueden realizarse y aun se han ideado experiencias
para conseguirlo.
MM. — Conferencias sobre Fisica matemática.
Teoría de los torbellinos.
Por JosÉ ECHEGARAY
Conferencia décimoséptima.
SEÑORES:
La ciencia, como tantas veces hemos dicho, no es un con-
junto de hechos, una especie de almoneda del Cosmos, si
se nos permite expresarnos de esta manera.
Por los hechos empieza; pero, buscando analogías y re-
laciones y rasgos comunes de familia, si vale la palabra, los
agrupa y clasifica, y este agrupamiento, y esta clasificación
constituyen un primer esfuerzo de la ciencia para formarse
como tal ciencia; porque si varios hechos se agrupan bajo
una rúbrica común, será porque en todos ellos se encuen-
tra algo que á todos pertenece, y de este modo empieza á
dibujarse la unidad sobre la variedad.
Y de este modo, repetimos, empiezan á dibujarse las le-
yes de la Naturaleza; que después de todo, las leyes natu-
rales vienen á expresar lo constante en lo variable, lo uno
en lo múltiple, la unidad en la variedad, como antes de-
cíamos.
Al principio, estas leyes son un tanto vagas; son, en
cierto modo, leyes de la cualidad; pero luego se hacen más
precisas, y en las ciencias superiores, quiero decir, en las
ciencias más perfectas, se convierten en leyes matemáticas.
Leyes de la cantidad, leyes del orden, y, á veces, leyes de
E > E
la distribución geométrica, que todas ellas, á las leyes nu-
méricas pueden referirse por procedimientos matemáticos.
Y como decíamos en una de las conferencias anteriores,
si para ciertas escuelas se ha llegado á la perfección única
accesible, cuando los fenómenos se han expresado por
fórmulas matemáticas, para otras escuelas más exigentes, con
las fórmulas matemáticas no basta; son precisas las repre-
sentaciones sensibles de los fenómenos.
Para unos, las fórmulas.
Para otros, las fórmulas y la representación plástica y
sensible.
Las ideas que preceden nos han guiado, en las conteren-
cias anteriores, al estudiar el problema del movimiento de
un tlúido perfecto.
En la confusión del movímiento buscábamos, en primer
lugar, la ley del fenómeno; y nos daba esta ley la aplica-
ción de la hipótesis mecánica, ó sea de la mecánica racional
al equilibrio y al movimiento del flúido en cuestión.
Y la aplicación de la mecánica clásica nos procuraba la
ley suprema del movimiento del flúido; es decir, nos ofrecía
la solución del problema. Y esta solución la podíamos ex-
presar de dos modos, según las variables que escogíamos.
Si escogíamos las variables de Lagrange, teníamos un
sistema de ecuaciones, de las que podíamos deducir las
coordenadas x, y, z de cualquier punto en función de las
coordenadas a, b, c de este punto en el origen del movi-
miento, de las velocidades iniciales y del tiempo como única
variable independiente para cada sistema de a, b, c.
Si escogíamos las variables de Euler, los principios de la
mecánica racional nos daban todavía otro sistema de ecua-
ciones, de las que era posible deducir las componentes
u, v, w de la velocidad, en función de las coordenadas x, y
z de cada punto y además del tiempo.
A AU
Uno ú otro grupo de ecuaciones expresan la ley del fenó-
meno.
Pero, obedeciendo á la segunda de las dos tendencias
que antes indicábamos, al deseo de buscar representaciones
materiales, al afán de ir penetrando en el movimiento del
flúido, para ver si en la variedad del movimiento hay algo
constante y permanente, formas ó magnitudes, emprendimos
el estudio, no ya de las integrales, sino de ciertas propieda-
des deducidas de las mismas ecuaciones diferenciales; y lle-
samos á una serie de consecuencias, que se traducen por
algo permanente en la variabilidad, al parecer confusa, de
los movimientos del flúido.
Y antes de seguir adelante corriendo el peligro de que se
nos acuse de pesadez, vamos á hacer el resumen de las con-
secuencias obtenidas hasta ahora.
No; en el movimiento del flúido perfecto, v dentro de las
hipótesis establecidas y tantas veces recordadas, no todo es
confusión, no se mezclan caprichosamente los elementos del
flúido; bien, al contrario, guardan cierto orden y cierta for-
mación, como ejército bien disciplinado, si no es exceso de
retórica expresarnos de este modo.
1.2 Cuando en un momento cualquiera varios elementos
flúidos, infinitamente pequeños, forman una línea, en el res-
to del movimiento la línea flúida camina y se deforma, pero
no se deshace, ni los elementos flúidos se dispersan, destru-
yendo la continuidad.
Podemos decir que hay conservación de líneas.
Así una línea cerrada continúa siendo una línea cerrada.
2.2 Cuando en un momento dado, para un valor £ del
tiempo, diferentes elementos infinitamente pequeños del 1lúi-
do, constituyen lo que podemos llamar una superficie flúi-
A
da, y si se tratara, por ejemplo, de un líquido, podríamos de-
cir una superfie líquida, esta superficie en el resto del movi-
miento cambiará en general de posición, de forma, de mag-
nitud, pero se conservará como superticie flúida y estará for=
mada por los mismos elementos flúidos que al principio.
Lo que decíamos de la conservación de la línea, pode-
mos decir de la conservación de la superficie.
No se desgarrará, no se deshará, no se pulverizará en
polvo ilúido.
Si era, por ejemplo, una superficie cerrada, continuará
siendo cerrada y los elementos flúidos que estaban dentro
de ella, dentro de ella seguirán y no penetrarán los que es-
taban fuera.
Y así en el fiúido perfecto y en las hipótesis particularísi-
mas que estamos considerando, se ve desde luego, que en
el sistema hay cierta especie de organización y cierto esfuer-
zo de la Naturaleza hipotética, que hemos forjado, al esta-
blecer las condiciones de flúido perfecto, cierto esfuerzo, re-
petimos, á procurar la conservación de algo: hasta aquí una
especie de conservación geométrica.
3.2 Una línea cerrada, no sólo conserva su substancia
fiñida, la misma siempre, y siempre bajo forma de línea ce-
rrada, sino que lleva consigo, por decirlo de este modo, á
través del movimiento, una constante numérica á que se da
el nombre de circulación y que se obtiene, como hemos ex-
plicado, determinando algo así como el trabajo de las velo-
cidades de sus diferentes puntos á lo largo de la expresada
línea.
Conserva ésta, si la imagen vale, el cuerpo, que es el
fiúido, el alma, que es el valor de la circulación.
4.2 Sila línea que consideramos no es una línea cual-
quiera, sino una /ínea-torbellino, no sólo se conserva en el
movimiento como línea flúida en que permanecen todos los
elementos de dicho flúido, sino que se conserva siempre
como línea-torbellino. Es constante la substancia y es cons-
de
tante la propiedad de la rotación alrededor de sus tan-
gentes.
5." De una propiedad análoga goza toda superficie-torbe-
llino, y ya sabemos lo que dicha denominación significa: para
cada punto de la superficie el eje torbellino es tangente á la
misma.
Pues bien, tal superficie flúida se conserva en el movi-
miento como superficie flúida, compuesta siempre de los
mismos elementos del flúido y siempre como superficie-
torbellino.
Podemos repetir lo que hemos dicho hace un momento:
se conserva la materia, se conserva la forma superficial y se
conserva la propiedad que constituye el movimiento llamado
rotacional.
6.” La intersección de dos superficies de torbellinos es
una línea-torbellino, y cuando las superficies se mueven, su
intersección representa el movimiento de la intersección pri-
mitiva, siempre con el carácter de línea-torbellino.
7." Un tubo torbellino estará definido por una serie con-
tínua de líneas de torbellinos que se apoyan sobre una línea
cerrada.
Sobre un tube torbellino, todas las líneas cerradas que lo
abarcan como cinturón dan un valor único á la circulación
de dichas líneas. Es en cierto modo un número característico
del tubo, y en el movimiento del flúido todo tubo se conser-
va como tubo-torbellino y su momento ó intensidad se con-
serva constante.
Podíamos repetir, empleando la imagen que antes empleá-
bamos, que en el tubo torbellino hay algo así como un prin-
cipio de organización hidrodinámica, á saber: que en su
movimiento como flúido conserva la forma general de su or-
ganismo; hace más que los seres vivos, porque conserva la
substancia tlúida que lo constituye y conserva lo que pu-
diéramos llamar su alma, que es su momento ó intensidad, Ó
sea la circulación de cualquier circuito que lo abarque.
ps e
8... Lo que hemos dicho de un tubo cualquiera podríamos
repetir de un tubo infinitamente estrecho.
El momento en este caso tiene otra expresión más sencilla
que para los tubos de dimensiones finitas.
Dicho momento ó intensidad, es el producto del área
de cualquier sección recta, por el eje del torbellino corres-
pondiente á cualquier punto de esta sección recta; por ejem-
plo, de un punto central.
9.” Finalmente, es propiedad muy importante, que estos
tubos no pueden terminar bruscamente en el interior del
ilúido: ó han de llegar á los límites de la masa flúida, ó han
de cerrarse en sí mismos.
Hemos hecho el resumen de las principales propiedades,
las más elementales de la teoría de los torbellinos, esco-
siendo las demostraciones más sencillas y, por decirlo así,
más plásticas; pero hay otros métodos analíticos de demos-
tración por todo extremo elegantes; por ejemplo, las demos-
traciones de Kirchhoff, Helmholtz y Cauchy.
Los que quieran ampliar las ideas Ó nociones que hemos
expuesto, pueden consultar las obras que en otras conferen-
cias citamos, y sobre todo la de Poincaré y la mecánica de
Appell.
Todo lo que hemos dicho se aplica al flúido perfecto en
general, pero los resultados obtenidos se simplifican notable-
mente en el caso particular de que sea permanente el movi-
miento.
Del movimiento rotacional en el caso del movimiento per-
manente.—Supongo que mis alumnos por el estudio de los
flúidos, enla Mecánica racional, saben lo que se entiende
por movimiento permanente. Además, aunque de paso, lo
hemos definido en otra conferencia, y es tan sencillo, que en
cualquier momento puede definirse. El nombre lo indica;
de
es un movimiento, que en cualquier instante es igual á sí
mismo, es lo que era en todos los instantes anteriores.
Si se nos permite la imagen, podremos decir: que toman-
do dos instantes 1 y £”, los dos movimientos pueden super-
ponerse y coinciden matemáticamente.
En cada punto la velocidad es siempre la misma, en mag-
nitud y en dirección, aunque será distinta de un punto á
otro. Las mismas son las aceleraciones, las mismas cada
línea-torbellino, cada superficie-torbellino y cada tubo.
Un río de régimen permanente, con la misma forma, las
mismas orillas, las mismas líneas de corriente, las mismas
velocidades, nos da una imagen, aunque imperfecta, del
movimiento permanente.
Una circunstancia importantísima encontramos en este
movimiento, que no encontrábamos en el movimiento ge-
neral.
A saber, que las trayectorias y las líneas de corriente coín-
ciden; lo mismo da decir línea de corriente para un momen-
to dado, que trayectoria.
Y esto se desprende de la definición analítica del movi-
miento permanente.
Porque la definición analítica sería esta: que para cada
punto de coordenadas x, y, z, las componentes de la veloci-
dad son independientes del tiempo.
El tiempo no influye sobre el movimiento permanente.
En el movimiento general u, v, w, son funciones de x,
IZ,
ZE)
v =%,(x, y, 2,1) (movimiento general).
w=09s (%, Y) 2 l)
EA
En el movimiento permanente la £ no entra en estas ecua-
ciones; y tenemos
uU= Q1 (x, y, 2)
v =0w,(x, y, 2) (movimiento permanente).
W= Y (x, y, z)
Así es, que las ecuaciones diferenciales de corriente, que
como vimos en otra conferencia eran
AFA EUSaea e BR UEBIO tn 10
el (x, y, 2, t) 142 (x, y. 2, t) Ps ES Y, 2, t)
en que debíamos considerar á f como una constante, en este
caso son las mismas, pero no contienen f.
Y del mismo modo las ecuaciones de las trayectorias, sien-
do las trayectorias independientes de f, porque siempre son
las mismas, coinciden con las anteriores. :
A este resultado podemos llegar, por consideraciones geo-
métricas, acaso no tan rigurosas en el concepto de algunos,
como las consideraciones analíticas; pero con mucha más
claridad plástica.
En efecto.
Sea (fig. 47), un punto A del flúido en un instante f.
El elemento flúido que pasa por este punto, tendrá deter-
minada velocidad V, y en un intervalo de tiempo infinita-
mente pequeño df, describirá un elemento
AB =Vat,
que será evidentemente un elemento de su trayectoria.
Pero aquí se presentan dos casos, según sea el movimien-
to general, ó sea el movimiento permanente.
1.2 Si el movimiento es general, AB será evidentemen-
te un elemento de la trayectoria que pasa por A; pero en el
punto B se separarán la línea de corriente BCD y la trayec-
toria, B GD:
Porque, en efecto, en el instante £, si para el punto A la
dirección de la velocidad es AB y la dirección de la veloci-
dad en este instante para el punto B, es BC, la línea de co-
rriente, ó dos elementos consecutivos de ella serán AB, BC,
E
Figura 47.
Pero como el elemento flúido llega á B en el instante
it + dt, la velocidad del elemento que pasa por B habrá
cambiado de dirección y no será BC sino BC”.
Era BC en el instante +. Es BC” en el intante t + dí y
precisamente para este momento BC” es el camino que sigue
la partícula fiúida que partió de A en dicho instante +; como
antes decíamos, ABC era la corriente del flúido, es decir, la
corriente de velocidades para el instante 7 y ABC” esla tra-
yectoria.
2.” Pero si el movimiento es permanente, la dirección de
la velocidad en B es siempre BC, lo mismo en el instante f
que en el instante f£+- dE. |
De modo que, BC” coincide con BC, y ABC es al mis-
mo tiempo la línea de corriente Ó de velocidades, que pasa
A UTE
por A, y la trayectoria del elemento flítido que pasa por este
punto A.
Estas consideraciones simplifican los resultados que antes
obtuvimos, y nos suministran un nuevo concepto geométri-
co, el de superficies de corriente y de torbellino al mismo
tiempo, Ó, si se quiere, de corriente, de trayectoria y de tor-
bellino.
Sea (fig. 48) 44,437 una línea de torbellido en un ins-
tante dado f.
Figura 48.
Tomemos en esta línea una serie de puntos, tantos como
se quieran, A, Ay, As ..... y pasemos del instante fá una se-
rie de instantes sucesivos Í + d f.....
El punto A en esta serie de instantes seguirá su trayecto-
O
ría, que representaremos por A C, y que, como el movi-
miento es permanente, será la línea de corriente ó de velo-
cidades que pasa por el punto A. Si se nos permite la com-
paración, A C, será como una cañería por donde el flúido
circula constantemente.
El elemento flúido, situado en A, nunca abandona esta
cañería; lo que hace es pasar de AáByáC.....
Y como el movimiento es permanente, mientras el ele-
mento que estaba en B pasa á C, el que estaba en A pasa
á B, y otro elemento de la cañería viene á A en sustitución
del que ha pasado á B.
Si pudiéramos con la vista seguir al flúido en esta cañe-
ría, hasta podríamos creer que dicho flúido estaba inmóvil.
Lo que hemos dícho para el punto A podemos repetir
para el punto A;,, trazando la trayectoria Ó línea de veloci-
dades ó cañería infinitamente estrecha A, B, C..
Y otro tanto puede repetirse para el punto A, ó elemento
que en él se encuentre en el instante f; y en suma, para todos
los puntos de la línea de torbellino A 7.
Ahora bien, el lugar geométrico de todas las líneas A C,
A, C;,, Az Co» ....., que á la vez son lineas de corriente y tra-
yectorias, forman una superficie S, que es en cierto modo
una hoja fiúida del movimiento, y para abreviar, este nom-
bre podemos darle: hoja flúida del movimiento permanente.
Ahora bien, como para el instante £ + d £ el punto A vie-
ne á B, el A, al B,, el A, al B, y así sucesivamente, la lí-
nea de torbellino 7 se habrá transportado á B T,, y en el
instante siguiente se transportará á C T,; siempre apoyán-
dose sobre laslineas EC. O Cs
En resumen, sobre cada hoja flúida, según el nombre que
les hemos dado, están las diversas posiciones de la línea de
torbellino T, que ha servido de directriz á la superficie S,
las lífieas ¡de icorriente ¿CNELICOS cum. y las trayectorias de
los diferentes puntos de la linea de torbellino, que son estas
mismas líneas de corriente.
RE
El flúido que en un instante se encuentra en una hoja
fiúida, no la abandona nunca.
Y si consideramos una serie de hojas flúidas análogas á la
aten 0), e podemos decir, que el movimiento per-
manente se realiza por hojas flúidas de líneas de torbe-
llino.
La hoja S siempre se conserva ella misma, sin que el
fido que está en ella pase á S,, S) .....
Veamos ahora cuál será la ecuación de dichas hojas flúi-
das, que representan un papel importante en estas cues-
tiones.
o
ES
Recordemos las ecuaciones generales del movimiento de
un flúido en el sistema de Euler, que eran las siguientes:
Linea a e
2 dx dx d y azi Nat:
os Mi Eo Cel A
p dy dx dy dz dt
DI E AE A A
aa dx d y dz dt
¿== (0),
de d (pu) d (p v) d (2 w)
—— Ye ALA A E AL = 0,
dí E ao A d y A da
Estas ecuaciones tienen, como dijimos en otra ocasión,
forma regular para ser integradas.
Las funciones desconocidas son 4, V,w, p, e, y no entran
en dichas ecuaciones más que estas cantidades como funcio-
nes desconocidas.
Además las variables independientes x, y, z, y por fin, las
derivadas de aquellas funciones con relación á estas varia-
bles independientes.
e Ge
Fácilmente se pueden poner bajo otra forma que tiene im-
portancia para nuestro objeto.
Si representamos, siguiendo en este caso, y en otros mu-
chos, las notaciones de Mr. Appell en su Mecánica racio-
nal, por W la velocidad del elemento de flúido que ocupa en
el instante £ el punto (x y,z), como las componentes de
esta velocidad las hemos representado por u, v, w, tendremos
evidentemente:
W? = u? — Y? + w?,
ó también
De aquí se deduce una identidad, restando de
d d el
Aaa + y lo el primer lugar d -=——= y
dz dx
als d y
du dv dw
después su igual uy —— V— +Ww-—--,á Saber:
a s OSE Al 0408 de 0453
sE
y simplificando
U—— + V —— +W— =
den Pel dos Du) da deal mad
du d v du dw
vV (| —— == — w| — —= —
mo a EE) (7 a,
pero los paréntesis del último miembro, según la notación
adoptada para los torbellinos, son precisamente — 2 É Zi
luego tendremos por último,
d E
du du du 2
UU —— PV =—— + W — = ————— + 2 (8, w—£E0v),
ON dy dz dx 39 rá )
y sustituyendo este valor en la primera de las cinco ecuacio-
nes del movimiento, resultará
4 W? 200
Repitiendo los mismos cálculos para las otras dos ecuacio-
nes del movimiento, obtendremos
po dy d y
el de d o
o dz OR dz
Todo esto que hemos explicado, son puras transforma-
ciones analíticas, en que no hemos hecho otra cosa, que in-
troducir nuevas cantidades W, (, 1, £, enlazadas con U,V, W
por ecuaciones de forma conocida.
Pero hemos de aplicar estas ecuaciones al caso de los tor-
bellinos, y este caso depende de varias hipótesis, que vamos
REV. ACAD. DE CIENCIAS. —X.—Julio, BSO y Septiembre, 1911, 5
a 5 UNÍA
á suponer satisfechas para las fórmulas precedentes, con lo
cual aquellas fórmulas generales serán aplicables á la teoría
de los torbellinos que vamos estudiando.
En primer lugar, admitíamos que para las fuerzas que ac-
tuaban sobre el flúido existía una función de fuerzas, que
llamábamos U; de modo que tendremos
a
dx d y dz
Además, dentro de la misma teoría de los torbellinos, con-
siderábamos el caso particular del movimiento permanente,
de modo que u, v, w eran funciones de x, y, 2, pero inde-
pendientes del tiempo; de donde resulta
Más aún, como prescindimos de la temperatura, puesto
que la consideramos constante, ó mejor dicho, igual Á cero,
para no complicar el movimiento general del fiúido con los
supuestos movimientos vibratorios del calor, la ecuación
e =$ (9)
nos permite simplificar los primeros miembros de las tres
primeras ecuaciones del movimiento, según ya hemos hecho
en otra ocasión.
Porque en efecto tendremos, representando por P la in-
tegral
p=/. dp pis P dp
ao P, F(p)
Ó llamando f, (p) á la integral en p
P= f. (Pp) —f (P.).
a 0
Ahora bien, p es función sólo de x, y, z, y no de £, porque
el movimiento es permanente; luego por las reglas de la di-
ferenciación resultará
AP _dhi(p) dp AP _df(p) dp 4P_ df( dp
dx dp aba ay do dy: dz AO E
toda vez que f,(p,) es una constante.
Y como evidentemente, según resulta de la integral primi-
tiva, la derivada de P con relación á p es Ó bien da
P
tendremos
df, (p) AN
dp e
y las tres ecuaciones anteriores se convertirán en
de el aledpsd da da PO) ap
O ar
Introduciendo todas estas modificaciones en las tres pri-
meras ecuaciones generales del movimiento, se transforma-
rán éstas en las siguientes:
dp dU al w)
KT == —— — MA — 2 (nw — Ev)
a dx ar
¡Emi AENOR Debe
dime dl)
a a NE NE 1, 8).
GS
Aa EUA
RI Mi A
ax dx alos
dp dU e E
A A A E SEL == 2 (¿E w — $01)
dy d y d y
dp dU a w:)
>= — Ll — —_————— =2 nua— V).
dz EZ diz Un 21)
Las tres cantidades P, U, > W? están diferenciadas en
los primeros miembros de las tres ecuaciones, respectiva-
mente, con relación á x, y, 2; luego podemos escribir
d(P + W-=8)
=2 ((1—71W),
dx S e)
diia,
2 E
2(<w—¿u)
aya
a(P4>3 WU)
= 2 (94€ v).
dz E )
Y si representamos por una letra la cantidad comprendida
dentro del paréntesis en los primeros miembros, habremos
reducido las tres primeras ecuaciones del movimiento á una
forma sencillísima.
Haciendo, pues
P4 WU =H
00
resultará
dH
=—— =2(6vV—0“qw
po (E 1, W)
dH
A ;
y = 26910 0
o o 0)
dz ,
No olvidemos que H es una función de x, y, z en que no
entra el tiempo.
Y si el problema estuviera resuelto sería una función co-
nocida de estas tres variables x, y, 2, porque, en efecto,
P es f a y por lo tanto, una función de p, la cual, re-
J) JD
suelto el problema, es una función conocida de Xx, y, 2.
W es la velocidad en cada punto, y será también una
función de x, y, z sin que entre el tiempo ni en p ni en u, v,
w, pues el movimiento es permanente.
Por último, U es la función de fuerzas, que por definición
es función de las tres variables independientes X, y, 2.
Y no olvidemos tampoco, y esto es importantísimo, que
las tres ecuaciones anteriores, que son las tres primeras del
movimiento, se refieren á un caso particular, cuyas condi-
ciones hemos fijado y eran:
1.2 Que las fuerzas tenían una potencial.
2.2 Que p era función de p.
3. Que el movimiento era permanente.
*
-
Y ahora volvamos á nuestro objeto y á la figura 48.
Recordemos, ante todo, que hemos considerado dividida
la masa fiúida en hojas ó superficies S, S,, S3..... en cada
0) es
una de las que se encuentran situadas las líneas de torbelli-
nos T, T,, T,..... para los diferentes instantes del tiempo.
Más claro; la línea de torbellino T, que corresponde al
instante f, se mueve en la superficie S ocupando las posicio-
nes T,, T3..... Cuando 7, pasa á T, es sustituida por T y
ésta por otra anterior.
Para un observador que pudiera distinguir estas diver-
sas líneas de torbellino, todas parecerían inmóviles, porque
cuando una abandona su posición es sustituida idéntica-
mente por otra. y |
Además, las líneas de velocidades, ó sean las trayectorias,
también se encuentran sobre dicha superficie $; por lo tanto,
estas superficies son fijas en el espacio y el movimiento se
verifica sobre cada superficie sin salir de ella, y gráficamen-
te puede representarse este movimiento por el de las líneas
de torbellino que se sustituyen unas á otras.
Lo mismo puede repetirse para las demás superficies ú
hojas flúidas S,, S»....., que son otras tantas superficies de
movimiento, en las cuales el flúido se desliza.
Ahora bien, al empezar esta digresión dijimos, que nues-
tro objeto era determinar la ecuación de las superficies $.
Precisamente vamos á demostrar que la ecuación de cual-
quiera de estas superficies es
HE CS
siendo C una constante arbitraria, distinta para cada supei-
ficie S, S,, S,, y que por su valor en cierto modo las carac-
teriza.
Ya sabemos que si el problema estuviera resuelto, H se-
ría una función de x, y, z que se podría conocer sin difi-
cultad, bien acudiendo á la expresión de H, que es función
de u, v, w, de p y de U; ya, si se quiere, al segundo miem-
bro, que si se expresa en función de x, y, z poniendo por
u, v, w, £, 1, € sus valores en x, y, z, se convertirá en una
Eo A
función de estas variables, idéntica á la del primer miembro,
Pero la torma de las ecuaciones (1), nos demuestran in-
mediatamente cuál sea la ecuación de las superficies $.
Y llegamos á esta demostración sin pasar por las inte-
orales del problema, con sólo poner las tres primeras ecua-
ciones diferenciales bajo dicha forma (1). :
He aquí la demostración:
Vamos á demostrar, primero: que todas las líneas de tor-
bellino están sobre la superficie H == C.
Partamos del punto A y recorramos un arco infinitamente
pequeño A A, sobre la linea-torbellino.
Las componentes de este arco serán las que se deducen
de las ecuaciones diferenciales de la línea-torbellino
dx d dz
EIN E NN
€ 7 d
p)
en que llamamos 4 al valor común de los tres quebrados, así,
pues,
de ME ay Mins 6 0 MS:
Por otra parte, si en la ecuación 4H = C damos á la cons-
tante C, lo cual siempre es posible, un valor tal que la su-
perficie determinada por dicha ecuación pase por el punto
A, diferenciando H, es decir, pasando en la superficie
H=C del punto A á otro infinitamente próximo, ten-
dremos:
dH dH dH
dE dx + dy dy + dE dias
Y sustituyendo en vez de las dx, dy, dz, de esta última
ecuación, los tres valores antes escritos, que corresponden al
punto A,, resultará
dH Ent dH
d H
=— -— m2. + 5),
dx r d y o pea
e Ta
ó bien
MA
(Bios dy dz
Pero esta expresión, vamos á demostrar, que resulta igual
á cero, lo cual nos probará que el punto 4, se encuentra
en la superficie A= C, y que, por lo tanto, el elemento
A A, está todo él en dicha superficie.
Y como partiendo del punto A,, podemos demostrar que
el punto A, se encuentra en la superficie de que se trata, y
así sucesivamente habremos probado que toda la línea de
torbellino 7, se encuentra en la superficie H= C que pasa
por el punto A.
Sólo nos queda por demostrar, que la última expresión, ó
lo que es lo mismo, su paréntesis, es igual á cero. Para ello
multipliquemos las ecuaciones (I) por £, 1, €, y sumemos:
resultará,
dH dH dH
E Edo
= 2 (Ev — Enw + aw — n£u + Enu — E Ev),
en que el segundo miembro se reduce idénticamente á cero.
Tendremos, pues, lo que nos proponíamos demostrar:
dA
0
o
dH a A
dx E dy EE
Lo mismo que hemos demostrado, que la línea-torbellino
T, está contenida en la superficie H = C, correspondiente
al punto A, podemos demostrar, que la trayectoria A C, Ó
línea de corriente, está situada en dicha superficie. Basta
para ello ver que sustituyendo en la diferencial de A,
Cunas di
dH
— q — dz,
dx d y 0 dz
PEA
en vez de dx, dy, dz, los valores del punto B, esta expre-
sión se reduce á cero. Pero las ecuaciones de la línea de co-
rriente, ó de la trayectoria, sabemos que son
siendo 7 el valor común de los tres quebrados.
Y de aquí se deduce
MA O A E
que sustituidos en la diferencial de A dan
dH dH dH
-—— pu UV --—— po,
A OS
Ó bien
e dH dH
, A
dx dy dy
Todo queda reducido á demostrar que esta expresión, ó el
paréntesis, se reduce idénticamente á cero; porque esto nos
demostrará que los incrementos infinitamente pequeños, á
partir de A, en la línea de corriente A C, es decir, las com-
ponentes del elemento AB, satisfacen á la ecuación diferen-
cial de H= C; es decir, que son incrementos de las coor-
denadas de A en esta superficie. Y así en esta superficie
estará el punto B y el elemento AB.
Partiendo de B, demostrariamos que el elemento BC es-
taba todo él en dicha superficie, y continuando de este
modo resultaría que toda la línea de corriente A C estaría en
la superficie H = C que pasa por el punto A.
e
Vamos á demostrar ahora, partiendo de las ecuaciones (1),
que
es igual á cero. E
Basta para ello multiplicar las ecuaciones (Í) por 4, v, w y
sumar. Tendremos:
dH el dH
— u wW
dx d y dz
(vu — qwu + £wv— Luv + qwua — ¿vw);
,
pero el segundo miembro es idénticamente nulo porque se
destruyen sus términos dos á dos; luego resultará
ae ón CA
ales dy az
que es precisamente lo que nos proponíamos probar.
Tendremos, pues, que el punto B estará en la superficie
HA = C que pasa por el punto A y como otro tanto podria-
mos demostrar para el punto C y para todos los puntos de
esta línea de corriente, resulta demostrado que dicha línea
AC está por completo en la superficie H = C perteneciente
al punto A.
En suma; en dicha superficie se encuentran la línea de
torbellino A T y la línea de corriente A C.
Si repetimos la demostración partiendo de los puntos
A,, A»..... de AT, que todos están en la superficie A == C del
punto A, demostraremos que todas las líneas de corriente
AGB As Bois. están en dicha superficie.
Y si se repite todavía esta misma demostración, partiendo
de los puntos B, C..... veríamos del mismo modo, que en la
E AN
misma superficie se encuentran todas las líneas de torbelli-
AS E AN
Resulta, pues, en resumen, que H = C es la ecuación de
cualquiera de las hojas S, S,, $; .....
A cada hoja corresponderá un valor determinado de la
constante C.
Si el problema estuviera resuelto, como H no contiene
más que las componentes de la velocidad, la presión p y la
potencial U, que son funciones de x, y, z el primer miembro
sería la ecuación de dichas hojas en las coordenadas ordi-
narias.
Y con esto damos por terminado el estudio preparatorio
de los torbellinos, ó sea de los movimientos rotacionales,
sin perjuicio de ampliarlo más adelante.
de O
IV.— Conferencias sobre Fisica matemática.
Teoría de los torbellinos.
Por JosÉ ECHEGARAY
Conferencia décimooctava.
SEÑORES:
En las últimas conferencias hemos demostrado ciertas pro-
piedades fundamentales y verdaderamente muy curiosas de
la teoría de los torbellinos, ó sea del movimiento rotacio-
nal de un flúido perfecto.
Esta idea del flúido perfecto es una creación ideal del ma-
temático: en la Naturaleza no conocemos ningún flúido per-
fecto; de modo que las consecuencias á que hemos llegado,
son puramente hipotéticas y al venir á la realidad, ó no se
verificarán, Ó sólo se verificarán de una manera aproximada.
Sucede, con la teoría de los torbellinos, lo que con tantas
otras teorías de la ciencia, empezando por las Matemáticas
puras, con la Mecánica racional y con casi todas las teorías
de la Física Matemática.
La inteligencia humana, apoyándose en la lógica y sir-
viéndose de la imaginación, crea mundos especiales dota-
dos de ciertas leyes; mundos que el sabio hace brotar de la
nada, en las regiones, en los dominios, pudiéramos decir, de
su cerebro.
Y desarrolla esos mundos ideales de su propia creación,
y les aplica las matemáticas, y obtiene fenómenos diversos.
Y luego, cuando cree tener bastante avanzada su Obra,
Le E
aplica esta creación ideal con todas sus leyes y todos sus
accidentes, á los fenómenos del mundo real, para ver si el
mundo ideal, que ha creado, se ajusta más ó menos íntima-
mente al mundo de la realidad, ó á algún pedazo de esto que
llamamos Naturaleza.
Y sino hay tal ajuste, si no hay coincidencia, ó por lo
menos paralelismo entre ambos órdenes de fenómenos, si al
determinar las constantes del mundo ideal, para que se aco-
mode al mundo de la realidad, es imposible obtener de una
manera concordante los coeficientes de las fórmulas mate-
máticas, el trabajo será perdido, al menos para la práctica,
la teoría inútil, el esfuerzo pura gimnasia del entendimiento
y de la imaginación. Pero esta gimnasia tiene su utilidad, no
lo olvidemos.
Mas si, por el contrario, la creación ideal se ajusta á los
hechos reales y cada combinación de estos últimos tiene un
simbolismo propio y adecuado en una combinación de los
primeros, si por diversos caminos se llega á los mismos
coeficientes numéricos, y aplicando las fórmulas matemáticas
se consigue prever nuevos hechos y nuevos fenómenos,
antes jamás observados, entonces la teoría es buena, legiti-
ma y fecunda. Y puede creerse, que durará mucho tiempo,
hasta que la realidad inagotable del Cosmos se desborde y
se aleje de aquel símbolo científico, como una curva se des-
borda y separa del círculo osculador, que en buena parte
del curso de la primera á ella puede sustituirse con venta-
ja, y que siempre quedará como aproximación de una ley
más complicada, como primer grupo, si se nos permite la
imagen, de varios términos de una serie convergente.
Y así, viniendo á nuestro objeto, decimos una vez más,
que aun cuando la teoría de los torbellinos suponga cier-
tas hipótesis y sea, en toda su pureza, una teoría ideal, aun
con estas restricciones puede tener y tiene verdadera impor-
tancia én el estudio de la hidrodinámica Ó, mejor dicho, de
los flúidos reales.
Las curvas, filetes, ondas y remolinos, que forma un ci-
garro al arder, .y que se elevan por el espacio, no son, se-
guramente, torbellinos de la teoría ideal; pero cierta tenden-
cia hay en ellos á esta creación idealista.
Y otro tanto podemos decir de las burbujas de hidrógeno
sulfurado, al estallar y elevarse en anillos por el espacio. Y
aparatos se han construído para expulsar, de una caja llena
de humo, algo así como anillos que representan, hasta cier-
to punto, curvas cerradas de torbellino.
Aun en las teorías del éter, á veces, asalta la tentación de
imaginar, que está poblado de torbellinos de diversas for-
mas y, por fin, no hace muchos años que la estabilidad de
los átomos de la Química se asemejaba á la estabilidad de
los tubos y anillos, que para los torbellinos demostrábamos
en las últimas conferencias.
Las condiciones, que definían el flúido perfecto, eran apli-
cables al movimiento más general de esta substancia, así
como á la naturaleza de las fuerzas que sobre él debieran
actuar; mas al estudiar la teoría de los torbellinos, aún pre-
cisábamos más aquellas condiciones á que acabamos de re-
ferirnos.
Decíamos, por ejemplo, que las fuerzas X, Y, Z, habían
de tener una potencial U; y aún debíamos agregar que esta
función había de ser uniforme y continua. Todo ello para
que de este modo las aceleraciones tuvieran una potencial,
es decir, para que las tres primeras ecuaciones del movi-
«miento se expresasen de este modo:
dol dO AMO daa
di? ax are A eN dz
JUN YO MA
Expresiones en las que O pudiera considerarse como una
función uniforme y continua de X, y, Z. |
Decimos que pudiera considerarse y nada más, porque en
general dicha función Q será desconocida para nosotros, á
menos que no hayamos de antemano resuelto el problema.
Pero, aun sin resolverlo, si Q puede considerarse como
tal función uniforme y continua de x, y, z, f, sin necesidad
de pasar por la integración podemos demostrar, como he-
mos demostrado, muchas propiedades de los torbellinos.
Todo esto, que vamos indicando con cierta vaguedad, se
refiere á cuestiones muy delicadas; pero en que no pode-
mos detenernos, porque sería alejarnos á gran distancia de
nuestro objeto. :
Agreguemos, sin embargo, á lo dicho, alguna otra nueva
observación.
Decíamos en otra conferencia, que había tres problemas
entre los que existían grandes analogías analíticas:
El de transformación de figuras.
El de deformaciones de sistemas elásticos.
Y el de movimientos de flúidos.
En todos ellos se pasaba de un sistema de puntos á otro.
Ya sean estos sistemas, puntos de una figura, ya elementos
de un sólido elástico, ya elementos tlúidos del tlúido en mo-
vimiento.
Y de un sistema se pasaba á otro por tres ecuaciones, que
expresaban las coordenadas del segundo sistema en función
de las coordenadas del primero, según explicábamos deta-
lladamente en otra ocasión.
Si, por eiemplo, a, b, c, eranlas coordenadas de un pun-
to de la primera figura, y Xx, y, z las del punto correspon-
diente á éste, en la figura transformada, las fórmulas de
transformación serían,
e
x=fx (a, b, c),
y=f, (a, b, E), (1)
Z =f2 (a, b, c).
Y en el caso del movimiento de un flúido podríamos repe-
tir otro tanto, sólo que, en el segundo miembro, debería en-
trar el tiempo f como una constante, que por su valor deter-
mina el momento á que se refiere el segundo sistema, es decir,
E)
y=f, ds b, C, 1) (2)
2 Y OO Ce
Claro es que, tanto en el grupo (1) como en el grupo (2),
á cada punto a, b, c, corresponde un punto x, y, z; y claro
es todavía que, tanto en el sistema (1) como en el siste-
ma (2), es decir, en los dos problemas de transformación de
figuras y de movimiento de un flúido, las fórmulas de trans-
formación son las mismas para todos los puntos.
En el grupo (1) por definición del problema, porque
todos los puntos se transforman por la misma ley analítica.
En el grupo (2), porque son las integrales de Lagrange y to-
das las trayectorías están dentro de estas fórmulas, sin más
que variar para cada instante las coordenadas iniciales a, b, c.
Pero hay algo sobre lo cual llamamos la atención de
nuestros alumnos en otra conferencia y que ahora debemos
recordar, toda vez que se ha de enlazar con lo que dijimos
al principio de ésta.
En el grupo (1), cuando sólo se trata de transformación
de figuras y es un problema que nosotros planteamos, por
decirlo de este modo, con entera libertad, con entera liber-
tad podemos escoger la forma de las funciones f, y podemos
establecer la siguiente condición fundamental:
Que x, y, z, sean uniformes,.con relación á a,b, c, y re-
ciprocamente, que si del grupo (1) despejásemos a, b,c, en
AED" PAGADA
función de x, y, z, fuesen a, b, c, uniformes, con relación
á Xx, y, z, también.
Más claro: que á un punto de la segunda figura, sólo co-
rresponde un punto de la primera, y que á un punto de la
primera, sólo corresponde un punto de la segunda. Se co-
rresponden, pues, por manera unívoca.
Pero en el grupo (2), las funciones /, no dependen de
nuestra voluntad, son integrales que se deducen de las ecua-
ciones diferenciales, que hemos establecido.
Y estas diferenciales y estas integrales, contienen fuerzas
que en el problema general pueden ser cualesquiera y cabe
esta duda: ¿Las funciones f del grupo (2) serán uniformes,
es decir, á cada sistema a, b, c, sólo corresponderá un sis-
tema Xx, y, z, y recíprocamente?
Y si esto no siempre sucede, ¿qué condiciones deberán
verificarse para que tal uniformidad recíproca subsista?
Este es un problema de análisis, que no podemos tratar
aquí; pero que debíamos recordar, y aun más, que debíamos
recomendar á nuestros alumnos.
Es problema, que depende de la teoría general de la inte-
gración deecuaciones diferenciales, y sobre el cual, prescin-
diendo de trabajos especiales y ateniéndonos á la teoría or-
dinaria, debemos recordar los métodos, tan generales como
profundos de Cauchy, que los aficionados á estas materias
de la ciencia pura, pueden encontrar en varias obras de las
que no citaré más que tres:
El cálculo diferencial é integral de Humbert.
El de Jordán y el de Coursat, que ya he citado en otras
Ocasiones.
Allí verán los teoremas que se llaman de existencia de las
integrales, y cuando son holomorfas, y cómo pueden ob-
tenerse series convergentes que las expresen, y cómo se pro-
cura extender la serie de Taylor.
Pero todo esto, con ser de suma importancia para nuestro
caso, por su extensión, porque son problemas que no de-
Rev. ACAD. DE Ciencias. —X,—Julio, Agosto y Sepfiembre, 1911» Ei
ero, A
ben tratarse á la ligera y por ser materia que corresponde á
otra asignatura, no puede ser desarrollado en estas confe-
rencias.
Demos, por supuesto, que se verifican las condiciones in-
dispensables para que los teoremas, relativos á la teoría de
los torbellinos que hemos citado, sean rigurosamente exac-
tos, y continuemos nuestra tarea.
Dos clases de movimientos, según hemos dicho, pueden
presentarse en el movimiento de un flúido perfecto.
Los movimientos rotacionales, en que cada elemento del
fiñido gira, en un intervalo di, un ángulo infinitamente pe-
queño.
Y movimientos ¿rrotacionales en que los movimientos de
rotación desaparecen y los elementos del flúido sólo expe-
rimentan movimientos de traslación, y contracciones Ó ex-
pansiones, paralelamente á los tres ejes de un elipsoide, de-
terminado en cada instante para cada punto.
Los primeros movimientos, es decir, los rotacionales, se
presentan y, como hemos visto, subsisten, cuando los tres
binomios, ó por lo menos uno, 4
AE du dw dv du
dy az eos dy
tienen valores finitos, porque entonces la rotación, por uni-
dad de tiempo, será finita también.
El movimiento irrotacional se presenta cuando los tres bi-
nomios anteriores son nulos y, por lo tanto,
de
de dudo dy
dy dao az de a dy
Ar A
En todo punto, ó en toda extensión, en que los valores
de u, v, w, en función de x, y, z, satisfagan idénticamente
_álas tres condiciones anteriores, el movimiento del flúido
será irrotacional.
- En un flúido, ¿pueden presentarse, á la vez, ambos mo-
vimientos ?
Una región del flúido, ¿puede estar sujeta á movimiento
rotacional, es decir, que todos sus elementos giren y otra
porción del ilúido á movimiento irrotacional?
Parece que sí, y que esto depende de las condiciones ini-
ciales; porque si en el instante inicial, = o, en ciertas re-
giones del flúido, se verifican las condiciones precedentes,
que son las que expresan que la velocidad tiene una poten-
cial; esta condición subsistirá en todo el movimiento que
emana de dicha región, y esta porción del flúido conservará
constantemente su movimiento irrotacional.
Y si en el resto del flúido los binomios anteriores tienen un
valor finito, el movimiento en toda esta región será rotacio-
nal en cierto instante y continuará siéndolo para tal porción
del fiúido durante todo su movimiento; entiéndase que nos
referimos al flítido, no al espacio geométrico.
Lo hemos demostrado; los movimientos rotacionales, en
las condiciones tantas veces explicadas, ni se crean ni se
anulan: sería preciso, por ejemplo, someter de nuevo al sis-
tema á fuerzas que no tuvieran una potencial.
Sería preciso, y valga este caso, que apareciesen roza-
mientos ó viscosidades.
Pero sobre todo esto, si tenemos tiempo, algo diremos en
otra ocasión.
Por ahora, admitiremos la posibilidad de la coexistencia
en un flúido de los movimientos rotacionales € irrotaciona-
les, merced á las condiciones iniciales del sistema.
Cierto es, que aquí aparece como la sómbra de una duda;
porque para dicho instante inicial, aunque las velocidades
sean continuas y, por lo tanto, lo sean sus componentes u,
pS Ss A
v, W, y aunque sean continuas sus derivadas, con relación
á x, y, z, una discontinuidad aparece, que no deja de infun-
dir cierta inquietud en el ánimo, del que aspira á la cleridadr
absoluta en todas estas materias.
Los binomios citados, que expresan cantidades propot-
cionales á las componentes £, z, € de la rotación, en un
dominio del flúido, tienen valores finitos, y de pronto, Ó
lentamente, se anulan y se conservan nulos en todo el resto
de la masa ilúida.
Esta discontinuidad claro es que se explica en parte
por discontinuidad en las fuerzas iniciales; pero parece
que exigiría más amplias explicaciones, siquiera tales dis-
continuidades se presenten en otros muchos problemas de
la Física matemática, como tendremos ocasión de observar.
Sin ir más lejos, en la Electroestática y aun en la Hidrodi-
námica, el movimiento de las ondas presenta problemas
análogos.
Las observaciones que preceden nos deca á dividir
este estudio elemental, que estamos haciendo, de la Hidro-
dinámica en tres grupos ó partes distintas:
Primero. Estudio del movimiento rotacional.
Segundo. Estudio del movimiento irrotacional.
Tercero. Caso en que, en un mismo flúido, existen estos
dos movimientos.
Este caso, que es el más general, es importantísimo, y no
sé si en el curso presente podremos estudiarlo, al menos en
su parte elemental, ó si nos veremos obligados á dejarlo
para el curso inmediato.
De los movimientos rotacionales de las líneas, tubos y su-
perficies de torbellino, ya hemos dicho algo, al menos lo
más esencial.
Debemos ahora hacer un estudio, siquiera sea muy rápi-
do, de los movimientos irrotacionales.
e POE
Movimientos irrotacionales de un flúido perfecto.—Vamos
á empezar del mismo modo que empezamos en los movi-
mientos rotacionales. Por el movimiento de una curva cerra-
da y por el estudio de su circulación.
Sea (fig. 49) un espacio E del flido que consideramos, en
que el movimiento es irrotacional.
Figura 49.
E imaginemos en este espacio una curva cerrada C.
Si para diferentes puntos de esta curva a, b, c....., las velo-
cidades de los elementos flúidos infinitamente pequeños que
ocupan dichas posiciones a, b, c.... tienen en un instante ?,
las velocidades V, V”, V”....., sabemos que se llama circu-
lación, en el instante f, de la curva C, la integral relativa á
toda la extensión de la curva de los productos de cada ve-
locidad V, proyectada sobre el elemento a b, por la longitud
de dicho elemento.
Así, que si llamamos « al ángulo V a b, tendremos
circulación de C en el instante £ = Ñ V cos ads.
JC
SO
De suerte, que considerando á V como una fuerza, esta
integral representaría el trabajo de las fuerzas V á lo largo
de la curva C.
Y como sabemos, que el trabajo de una resultante es igual
á la suma de los trabajos de las componentes, llaman-
do u, v, w, las componentes de V, y dx, dy, dz, á las com-
ponentes de a b = (s, también podremos escribir la expre-
sión anterior en esta forma:
Ele C= [((uax + vay 4 wd)
HE
que es la que hemos empleado en conferencias anteriores.
El teorema de Helmholtz nos demuestra que, si el movi-
miento es rotacional, la expresión anterior es constante para
todos los instantes.
Y ahora vamos á demostrar, que en el movimiento irrota-
cional dicha integral es nula, aunque sólo en ciertos casos,
que esto luego lo explanaremos.
Así, pues, el valor de la circulación caracteriza y distin-
gue unos movimientos de otros.
Para los rotacionales es constante en cualquier momento.
Para los irrotacionales también es constante; pero su valor
es nulo.
Vamos á demostrar el terorema para este último caso y
podemos darle una forma más precisa; según hace monsieur
Appell.
Si la curva cerrada C se contrae según C”*, C”, hasta con-
densarse en un punto P y si la superficie, que engendra en
este movimiento, está toda ella en el espacio irrotacional, sin
salirse nunca de él, todo esto, en un instante determinado £,
para ese instante, la circulación en la línea C, será igual á
cero.
La demostración es bien sencilla.
Y al principio parece inmediata.
ad SA, E
Porque, en efecto, como el movimiento es irrotacional,
para todos los puntos de la curva C, debemos tener
du _ de due _dw dv _dw
dy ala dx Waz dy
luego udx + vdy + wdz es una diferencial exacta de x; y, Z.
Si representamos esta función por e (x, y, 2) tendremos
audx + vdy + wdz =d0(x,y,2).
Por consiguiente, el valor de la circulación sobre la curva
C, será
cit Ci fcuax+ vay +wdo)= | d9(x,9,2)
.) C y C
y como la integral de la diferencial de una función, es esta
función, entre los límites que marca la integral, suponiendo
que el origen de la integral sobre la curva es a, resultará:
cir. C=[0(x, y, 2)]c
Si tomamos dos puntos infinitamente próximos: a que es
el origen de la curva y cuyas coordenadas representaremos
por Xx, y, z; y a, que supondremos, que es el último punto
de la curva C al cerrarse, de modo que en el límite a, se
confunde con a, y designamos por X., Y», Z2 las coordena-
das de a, podremos escribir
(051
A O E E y,2)| 0d 6 (Xo, Ya» 22) FO (X1, Yi, 21).
a
Pero en el límite, a, coincide con a; luego la expresión
anterior se reduce á la siguiente
C= E E EAN
que parece ser siempre igual á cero, con lo cual quedaría
A
demostrado el teorema; pero la demostración no es correcta
y el teorema no queda demostrado en general.
Si la función + fuese uniforme, es decir, si no tuviera más
que un valor para cada sistema de valores de x, y, z, co-
rrecta sería la demostración, porque al tender x,, y», Za, ha-
cia Xx,, Y,, 21, la función e tendería hacia el mismo valor que
tuvo en el punto de partida.
Pero el estudio de las funciones demuestra, que no todas
las funciones son uniformes, y la verdad es que no sabemos
si la función o lo es.
Debemos, pues, desechar esta demostración ilusoria y
acudir á otra que sea correcta y en que se salve este caso de
excepción. 1
Suponiendo, que la superficie engendrada por la curva C,
según hemos dicho, al contraerse por ley de continuidad y
reducirse á un punto P, está toda ella comprendida en la
parte irrotacional del tlúido, para toda ella, es decir, para to-
dos los puntos de esta superficie, el eje del torbellino y su
proyección sobre la normal serán nulos.
Ahora bien; el teorema de Stokes nos ha demostrado que,
en general, la circulación sobre la curva C es igual al doble
del flujo del torbellino.
Representando por Q,, la proyección del eje de torbellino,
tendremos:
CIA > 0,du
o NS)
Mas acabamos de decir que Q,, es nula en toda la superti-
cie S, porque toda ella está en la región irrotacional; luego
todos los elementos de la integral se reducirán á cero, y ten-
dremos
ci (COS
que es precisamente lo que queríamos demostrar.
La condición de que la superficie $ esté toda ella dentro
de la región irrotacional es importantísima, mejor dicho, es
“esencial, como vamos á ver, profundizando más en el pro-
blema; porque en este caso, por la demostración anterior,
resulta que la función « es uniforme.
Pero si la condición no se cumpliera, podría no serlo, y
entonces la circulación no sería nula, puesto que la función y
para el punto a y para el punto a,, tendría valores no infini-
tamente próximos, sino distintos.
Mas para comprenderlo bien, necesitamos entrar en algu-
nas consideraciones sobre las diferentes clases de espacios
que pueden considerarse en este orden de problemas que
estudiamos.
1.2 Se dice que un volumen ó espacio es simplemente
conexo cuando toda línea cerrada, que se trace en este volu-
men ó espacio, puede reducirse á un punto por continuidad,
sin salir de dicho espacio.
Por ejemplo, una esfera ó un elipsoide es un volumen
simplemente conexo. Así vemos en la figura 49, que toda
línea C trazada en el interior del volumen E, recogiéndose
por la ley de continuidad, pasa de Cá C* yá C”, hasta
anularse en el punto P.
En cambio, el volumen que se designa con el nombre de
toro, no es una superficie simplemente conexa.
En efecto, en la figura 50 y en el volumen E, engendra-
do, como se sabe, por un círculo proyectado en e y que gira
alrededor de una recta proyectada er O, es decir, en dicho
volumen podemos trazar una serie de líneas C que, por con-
tinuidad, puedan confundirse en un punto P; pero pueden
trazarse otras infinitas C”, que dentro del toro dan vuelta al
eje O, ias cuales no pueden anularse sin salirse del expre-
sado volumen, como vemos en Cy transformada de C”.
En suma, que el foro, como antes decíamos, no es un vo-
lumen simplemente conexo.
2.2 Un volumen es doblemente conexo cuando no es sín-
Figura 50.
plemente conexo, como antes explicábamos; pero que por
medio de una sección Ó corte, á modo de muro ó tabique de
ama
Fiaura 5l.
separación, puede convertirse en volumen simplemente
conexo.
El foro se encuentra en este caso.
Así vemos en la figura 51, que representa un foro, que
dando un corte, según ab, que para más claridad desdobla-
remos en dos secciones infinitamente próximas: la una ab,
pair Amo
para cerrar el volumen por la izquierda; la otra, a” b”, para
cerrar el volumen por la derecha; el volumen que de este
modo resulta es simplemente conexo.
Figura 52.
Toda línea que se trace en el interior de ab c“b* a” c, por
ejemplo, la línea e, podrá, por continuidad y sin salir del ex-
presado volumen, recogerse y anularse en un punto P.
Figura 52 bis.
3.2 Asimismo, un volumen ó espacio será triplemente
conexo, cuando por un corte ó sección se convierta en un
espacio doblemente conexo, y por dos secciones en un es-
pacio simplemente conexo.
De este modo, en la figura 52, si imaginamos un tubo a b
BO
que viene á enlazar dos partes a, b, de un toro1T, el espa-
cio será triplemente conexo; porque cortando el tubo a b por
una sección c d, resulta un toro con dos apéndices (figu-
Figura 52 tercera.
ra 52 bis), que es como el foro primitivo, el cual es doble-
mente conexo.
Figura 53.
Y cortando, además, por cd” (fig. 52) resulta (fig. 52 ter
cera) un volumen simplemente conexo.
Toda línea e puede condensarse en un punto P sin salir
del espacio que recubre.
4.7 En general, un espacio ó volumen es n veces coñe-
xo, cuando por una sección se convierte en un volumen
n — 1 veces conexo y por n — 1 secciones se convierte en
un volumen simplemente conexo.
Oy
Por ejemplo, la figura 53, que es un toro T con dos tubos
ab, a b',es un volumen conexo de cuarto orden, porque
necesita tres secciones, Ss, s”, s””, para convertirse en supet-
ficie simplemente conexa (fig. 53 bis).
Todas estas consideraciones son puramente geométricas,
independientes de la teoría de los torbellinos y de toda otra
teoría mecánica ó de Física matemática, así es que muchas
veces tendremos que acudir á la anterior clasificación; pero
Figura 53 bis,
se aplica también á los movimientos irrofacionales de un
fiúido y dan sentido riguroso á teoremas, que de otro modo
quedarían en cierta vaguedad, y cuyos enunciados aún po-
drían ser inexactos.
Dijimos que la circulación, es decir, el coeficiente numé-
rico que la representa, para una curva cerrada cualquiera,
que trazásemos en un volumen ó espacio lleno de tlúido
sin movimiento rotacional, era ¡gual á cero. Es decir,
$] cuax 4 vay q vaz = O
y E
EP O LEN
lo contrario de lo que sucedía, cuando el flúido en la región
considerada estaba dotado de movimiento rotacional.
Pero este teorema, así expresado, es falso en unos casos,
aunque para otros sea exacto.
La circulación de una curva cerrada en un espacio irrota-
cional, démosle este nombre, para abreviar la explicación,
puede no ser igual á cero.
Depende, como vamos á ver, de la naturaleza del espacio.
Si el espacio ó volumen es simplemente conexo, el teorema
es rigurosamente exacto dentro de las hipótesis: la circu-
lación de la curva cerrada es nula.
Por eso dimos rigor al enunciado, diciendo: que era pre-
ciso que se tratase de una curva que, recogiéndose por la ley
de continuidad, pudiera reducirse á un punto, sin salir del
espacio considerado.
Vamos á precisar más estas ideas.
Tomemos, para fijar los conceptos, una superficie doble-
mente conexa. El foro, por ejemplo.
Ya hemos dicho, que en este volumen, ó espacio, con esta
forma determinada, es decir, en su interior, pueden trazarse
dos clases de líneas, unas como C (fig. 54), que por conti-
nuidad y sin salir del volumen pueden recogerse y anularse
en un punto o.
Para estas líneas, la circulación es nula, porque en todos
los puntos del interior del toro, suponemos que el movi-
miento del fltido que lo rellena es irrotacional; así es que,
la curva C, al recogerse en un punto o, va trazando una su-
perficie que está toda ella, en el instante que se considera,
sumergida, por decirlo así, en un movimiento irrotacional,
y como no hay rotación para ninguno de sus puntos, el eje
del torbellino es constantemente nulo, y es nulo el flujo de
e er PUE
los torbellinos á través de dicha superficie, con lo cual, se-
gún el teorema de Stokes, es nula la circulación. La demos-
tración que dimos es rigurosa.
Figura 54.
Pero hemos visto, que en el interior del foro se pueden
trazar (fig. 55) otras líneas L que envuelvan el eje del toro A.
Figura 55.
Y para estas líneas L, la demostración es de todo punto
inaceptable.
En efecto, sea la línea L (fig. 55) trazada en el interior del
toro T.
Pod
Para calcular la circulación de dicha línea L será preciso,
como antes hacíamos, recoger dicha línea, hasta que se con-
centre en un punto y aplicar á ella y á la superficie que
traza el teorema de Stokes.
Y la circulación que buscamos, para dicha línea L, será
igual al flujo á través de la superficie.
Mientras L se mueve en la zona a b c, que está dentro
del espacio en que el movimiento es irrotacional, el flujo
es nulo.
Pero al continuar la línea su transformación y penetrar en
el espacio A, no sucederá lo mismo.
Porque no ha de olvidarse que suponemos que en el in-
terior del foro T, el movimiento es irrotacional. Pero fuera
del foro, en A y 5, es rotacional el movimiento del flúido.
Por eso, al transformarse la línea L en a” b” c', ya no
puede decirse que el flujo es nulo, porque para el espacio A
no es nulo el eje del torbellino en cada punto.
Luego lo natural es que á la superficie engendrada por la
línea L corresponda un flujo finito, que será precisamente la
circulación de la línea propuesta £.
Más adelante precisaremos esto mismo por medio de un
ejemplo.
Deducimos de lo dicho, y volviendo á la figura 54, que
en el toro, espacio ó volumen doblemente conexo, hay dos
clases de líneas: la línea C, cuya circulación es nula, y la
línea £ (fig. 54), que da vuelta al eje del foro y que en ge-
neral tendrá un valor determinado, que representaremos
por p.
Mas aquí debemos consignar un teorema importante.
Todas las líneas de esta segunda categoría, £, £” ....., que
dan vuelta al eje del foro una sola vez, y que quedan cerra-
das con esta sola vuelta, tienen el mismo valor para su cit-
culación (fig. 54 y 56).
Si la circulación de L es y, la circulación de otra cual-
quiera L” será y.
a
La demostración es bien sencilla.
Demos al foro (tig. 56) una sección A B, que es la mis-
ma de la figura 54.
Interrumpamos la línea £ (fig. 56) en los puntos a, a' infi-
nitamente próximos á la sección A B, é interrumpamos asi-
mismo otra línea cualquiera de esta misma clase Z' en los
puntos b, b”, también infinitamente próximos á dicha sec-
ción A B.
Figura 56.
Unamos por una línea los puntos a, b, por otra los a” db”,
y Observemos:
1." Que la sección A B, como ya hemos explicado otras
veces, convierte al foro, espacio de doble conexión, en un
espacio de conexión sencilla, como se ve desde luego en la
figura 54.
2... Que rebajado el grado de conexion del toro, la línea
aL a'b'L'baes una línea cerrada de primera especie, ó
mejor dicho, una línea trazada en un espacio de conexión
sencilla.
Luego, según lo demostrado, la circulación, á lo largo de
esta línea cerrada en cualquier sentido, por ejemplo, en el
que marca la flecha, será nula, y tendremos:
y cit (alba Liba)= 0:
Rgv. AcaD. DE Crirncias.—X.— Juliv, Agosto y Septiembre, 1911.
=]
OS
Y descomponiendo en varias partes
cir. (aLa') + cir. (ab) + cir. (b"L*b) + cir. (ba)=0.
Pero cir. (a*b”) y cir. (ba) son cantidades iguales y de
signos contrarios, porque ab y a'b' son dos líneas infinita-
mente próximas que casi coinciden, y que en el límite coin-
cidirían por completo.
Y además, como indican las flechas de la figura 56, el pun-
to móvil las recorre en sentido contrario; luego las dos inte-
erales, circuculación (a*b”) y cir. (ba) Ó
[¡uax+ro wan y | (dx + vay + vda
.Ja'b' ) ba
= [| (udx vay waz)
«) ab
serán iguales y de signo contrario y se destruirán.
La circulación á lo largo de la línea que consideramos que-
dará reducida á
cir. (aLa") +cir. (b"L'b) =0,
Ó bien
cir. (aLa*) =— cir. (9'L'b).
Y como cambiando el sentido del movimiento se cambia
el signo á la integral, cambiando la flecha de b” L” b, con lo
cual el sentido será el mismo en a £L a' que en b L/ b”, ten-
dremos:
caia) CUENTE 0!)
Ó abreviadamente:
CC
En suma: todas las líneas cerradas, que dan una sola vuel-
o O ÑÁ
ta al eje del toro, tienen el mismo valor para su circulación,
que es un módulo constante y. para todas ellas.
Claro es que si dan dos vueltas, como en la segunda, se
repiten los mismos incrementos de la integral acumulados al
resultado de la primera vuelta, el valor de la circulación
será 2 y. Si dan tres vueltas, la circulación será 3 , y en
general, para n vueltas, el valor de la circulación será n po.
Como cambiando el sentido de la circulación, ó sea el
movimiento del punto que recorre la línea, (dx, dy, dz)
cambian de signo, los elementos de la integral cambiarán de
signo también y cambiará de signo el valor de la circulación.
Así, si el módulo es y y el punto recorre m veces la línea
en el sentido directo, que es el que nos ha servido para cal-
cular y, y n en sentido contrario, el valor de la circula-
ción será
Mp=N y =(mM—H) y.
Todos estos resultados pueden generalizarse, como vere-
mos en la conferencia próxima.
AS
V—El Profesor D. Juan Fages.
Por JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO.
Apenas pasa año sin que la muerte deje claros en la hueste
de los cultivadores de las ciencias en España, y es el presen-
te señalado, hasta el momento actual, por cruel y sañudo,
como si el destino se complaciera en arrebatar á la vida las
inteligencias llegadas apenas á la plenitud de su desarrollo,
cuando más sazonados y maduros frutos podían dar, en el
momento que por el trabajo realizaban cumplidamente las
esperanzas puestas en ellas y alcanzaban aquellos ideales
alentadores de sus anhelos de saber y de camino la perso-
nalidad científica del investigador original en las materias de
las ciencias positivas. Llegaron á tanto, cada uno por su vía,
los dos Profesores de la Universidad de Madrid D. Salvador
Calderón y Arana, que lo fué de Mineralogía, y D. Juan Fa-
ges y Virgili, de Análisis Químico, fallecidos con cortos días
de intervalo y bien poco después de haber publicado sus
mejores obras; Calderón, la magnífica descripción de Los
Minerales de España; Fages, el capital estudio de Los Mé-
todos indirectos de la Quimica analítica, muy pronto tradu-
cido en lengua alemana y en todas partes celebrado.
Mas ni al uno ni al otro fueles dado gozar las alegrías del
vencimiento, ni aun saborear el triunfo de tantos años de an-
siedades y de labor incesante, sólo para conseguir aquella
cortísima porción de gloria correspondiente á su meritísimo
esfuerzo; parece como si las cosas estuviesen arregladas para
arrebatarlos á la vida al llegar su entendimiento á la pleni-
tud del vigor, cuando, ya hecho y afianzado, podía entre-
garse á la producción científica. Fueron dos adalides de la
verdad y por ella trabajaron con el mayor desinterés, ansio-
sos tan sólo de alcanzarla y que los suaves resplandores de
= MUl ==
su pura llama iluminasen aquellas inteligencias tan bien cul-
tivadas, mostrándose á ellas, en regiones ya más superio-
res, vestida de luz, para indicarles nuevos caminos y hori-
zontes sin fin, tan claros y hermosos, cuanto hermosa y clara
es la ciencia.
Bastantes puntos de contacto pudieran notarse en la res-
pectiva labor científica de los profesores Calderón y Fages,
aun cuando los aparten la diversidad de las aptitudes y de las
aficiones. Llevóle al primero su vocación por los campos de
la Geología, y consagró su vida y su actividad á los estu-
dios petrográficos, en los cuales fué excelente investigador,
capaz de estudiar los pormenores de menos bulto, como de
elevarse á los conceptos de orden muy superior, relativos á
la formación de los complejos agregados constitutivos de las
rocas. Dedicóse el segundo á la Química, y fué consumado
analista, de una elegancia y pulcritud en el trabajo, de tan
rigurosa escrupulosidad en las determinaciones cuantitativas,
que nadie podía superarle; bien es cierto que su investiga -
ción analítica iba guiada por el más perfecto y acabado co-
nocimiento de las doctrinas generales de la ciencia y de sus
principios, desde donde bajaba hasta las operaciones pecu-
liares del análisis, y no hubo quien mejor se diese cuenta de
ellas, ni con mayor acierto supiese considerarlas aplicación
de leyes superiores, explicándolas y mostrándolas conse-
cuencia suya, sujetas á ellas y no rutinarias prácticas mecá-
nicas, auxiliares y no principales en cuanto atañe á la carac-
terización de las especies químicas.
No están tan separados como á primera vista parece el
análisis petrográfico y el análisis químico, antes bien, en va-
rias cosas se asemejan en esta nota fundamental común:
ambos son trabajo de diferenciación metódica en cuanto á su
tin y también en cuanto á su procedimiento. Se investiga en
ambas disciplinas partiendo de las leyes y de los principios
generales de la ciencia, y los datos adquiridos en la paciente
labor del petrógrafo y del analista, sirven á su vez de apoyo
— 102 —
y primera materia de las grandes hipótesis y de las teorías
más transcendentales, y el haberlo así entendido y tomado
por norma de sus investigaciones, es lo que tienen de común
los profesores Calderón y Fages. Jamás fué en ellos rutina
la práctica de los métodos, sino fruto sazonado de los razo-
namientos, y así los extremaban hasta conocer sus límites y
los afinaban á cada punto para saber su alcance y eficacia en
los casos más variados, siempre en consonancia con los
principios teóricos originarios.
Cuando Fages murió, el día 4 del último mes de Agosto,
sólo contaba cuarenta y nueve años de su edad, ocho en el
magisterio de la cátedra de Análisis Químico general en la
Universidad de Madrid y dos como individuo de la Real '
Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales; su vida
ha sido bién aprovechada en los trabajos de laboratorio y
nada fácil hasta lograr el puesto oficial que había conquis-
tado. En los últimos años concediéronsele á su mérito hono-
res tales como las vicepresidencias de la Sociedad Española
de Fisica y Química y de la Sección de Ciencias Físico-Quí-
micas de la Asociación Española para el progreso de las
Ciencias; fué vocal del Real Consejo de Sanidad, correspon-
diente de la Real Academia de Ciencias y Artes de Barcelo-
na y Presidente honorario del Centro de naturales de Tarra-
gona y su campo, en cuya tierra había nacido. Fages vino á
Madrid en 1882, procedente de Barcelona, en cuya Univer-
sidad había estudiado las Facultades de Ciencias y Farmacia,
y en ambas recibió el grado de Doctor, con la nota máxima,
en la Universidad Central, habiendo ejercido en ella, durante
diez y seis años y en las expresadas Facultades, los cargos
de Ayudante y Profesor auxiliar; así cuando en 1903, me-
diante lucidisimas oposiciones, llegó á ser Catedrático nume-
rario, estaba formada su cultura en materias de Química, era
analista excelente é investigador bien reputado.
Otra ocasión y no la presente sería la más propicia para
discutir la conveniencia, respecto del individuo y de la en-
— 103 —
señanza, de llegar al magisterio superior en la edad juvenil
relativa Ó cuando los ardores juveniles son pasados y el
caudal de experiencia, sólo adquirida viviendo y trabajando,
es norma de nuestros actos. Tiene lo primero todas las ven-
tajas del entusiasmo comunicado á las enseñanzas, las de la
fe en lo porvenir, las del ideal conseguido, reclamando alcan-
zar otros más elevados; quizá los frutos no hayan llegado á
la sazón precisa, en cambio las flores tienen sus colores más
vivos y es más exquisita su fragancia por la primavera; y si
es hermosa la serena majestad de las tardes otoñales, es en
la mañana sonriente y placentera de Mayo cuando el sol
hace brotar los gérmenes é imprime nueva vida á la Natu-
raleza. Se debe llegar á tiempo, nunca demasiado temprano.
Desde bien joven hubo de comenzar Fages la labor do-
cente, aunque por azares de la suerte sólo fuele dado ocupar
los ocho últimos años de su vida, con el carácter de propie-
tario, la cátedra para la cual se formara; cuando la tuvo era
ya notable investigador, y de tal campo procedía, no por ac-
cidente, sino á ¡impulsos de aquella bien afirmada vocación
científica que le hacía estudiar las sublimidades fundamenta-
les de la Química general, conocer los admirables encade-
namientos de las combinaciones del carbono, penetrar el uti-
lísimo y nunca bien ponderado artificio de las fórmulas de
estructura, adiestrarse en los procedimientos analíticos y sin-
téticos de las substancias orgánicas y apoderarse de los mé-
todos físicos, con intento sólo de aplicarlos á su sistema de
enseñar y practicar, con no superada escrupulosidad, la Quí-
mica Analítica, razonando todas las operaciones y dándose
cuenta de todos los resultados. Acrecienta todavía el mérito
de Fages, en su calidad de maestro y de investigador, el
haberse formado en España, sin haber menester de acudir,
este hombre tan moderno y de su tiempo, á Escuelas extran-
jeras, en las cuales su nombre y sus trabajos fueron debida-
mente apreciados: buen ejemplo del poder del estudio, de la
vocación y de la voluntad, puesto todo ello al servicio de un
— 104 —
ideal, con aquel gran desinterés, cualidad eminente del in-
vestigador cuyas ansias vénse colmadas cuando ha logrado
vislumbrar siquiera los resplandores de la verdad en el or-
den de la ciencia.
Quizá respondió éste como empeño de no abandonar ni
alejarse de la tierra nativa para buscar en las extrañas, más
prósperas y adelantadas, conocimientos de orden superior,
prefiriendo adquiririos por sí mismo, sometiéndolos á rigu-
“rosas comprobaciones, á una de las grandes virtudes de Fa-
ges: á su patriotismo. Fué un gran español; sin envidia veía
marchar, en demanda de la buena nueva, á cuantos querían
encontrarla en el extranjero, y con la mejor buena fe los im-
pulsaba y aconsejaba en tal empresa, digna de los elegidos,
laudable aspiración de cuantos desean saber; van en busca
de nuevas herramientas, quieren aprender su manejo, y al
tornar al patrio solar, sabrán cultivar mejor nuestro jardín.
Mensajeros de ideas, llevarán noticias nuestras adonde no
somos conocidos, y si son buenos hijos, volverán queriendo
más á su madre y más españolizados.
Esta sana idea del patriotismo túvola nuestro buen com-
pañero é hízola norma de sus actos, y eso que en los días
del aprendizaje oía de contiuo, conforme lo oímos todos,
cuando nos tocó la vez, pregonar con los mayores encomios
las excelencias de las grandes Escuelas alemanas, por un
singular profesor, de ruda fiereza, maestro notable, anti-
guo alumno de Will en la Universidad de Giessen. Cuando
los años son pasados, cuantos hemos sido sus discípulos
hemos dado al olvido las bruscas genialidades de aquel
buen D. Magín Bonet para conservar el recuerdo de su ex-
celente enseñanza; áspera por demás era la corteza, sano el
fruto y tan sabroso que el tiempo no ha borrado su memo-
ria y la evocamos con cariñoso respeto. Sin haber sido inves-
tigador, era Bonet maestro en el análisis, admiraban su pul-
critud en el trabajo, su escrupulosidad y su rigor en todas las
operaciones; acaso excedían de prolijas sus explicaciones,
— 105 —
quizá pudiera tachársele de conceder sobrada importancia
á los pormenores; pecaba de minucioso ciertamente; pero es
lo cierto que sin tener una personalidad científica saliente,
enseñaba á trabajar; no era en la forma externa atractivo su
método, allá en el fondo tenía algo que nos estimulaba al
estudio; quizá por tener amargada la vida, no se hacía ama-
ble; en cambio sabía hacer amar la ciencia. Tal fué el maes-
tro de Fages, y sería injusto el no reconocer cómo debió su
iniciación en los métodos analíticos á D. Magín Bonet,
quien sucedió en la cátedra, y baste decir que profesor y dis-
cípulo se tuvieron siempre simpatía y franca amistad.
Pero la influencia de Bonet en Fages no pasa, en reali-
dad, de esta iniciación y pruébase examinando los primeros
trabajos originales de éste, tan diferentes del sentir y del
pensar de su maestro: la formación de Fages es su propia
obra, el fruto exclusivo de su estudio y de su voluntad; él
mismo se ha hecho su personalidad mediante el asiduo y so-
litario trabajo de no pocos años de laboratorio. Quien sólo
vivió para la benemérita labor, nunca bastante agradecida
de parte de cuantos fuímos sus discípulos, de la enseñanza
elemental de la ciencia, no podía formar investigadores, ni
por tal camino llevábanle tampoco sus aficiones, ni las tra-
diciones de Escuela; y el medio, de su parte, no era todavía
propicio para acometar, ni siquiera intentar tamañas em-
presas.
Fuera de las disciplinas de la Química, era muy versado en
otras de variada índole el profesor Fages, quien, lejos de
desdeñar cierto linaje de estudios, los cultivó con amor, halló
en ellos el necesario descanso del trabajo cotidiano del la-
boratorio y sirviéronle á maravilla para formar su sólida cul-
tura. Tenía predilección por los estudios clásicos y recreába-
se en los históricos, prefiriendo el de los grandes y más trans-
cendentes hechos cuyo influjo ha sido universal, y esto, lejos
de perjudicar la labor metódica y paciente del analista, pare-
cía contribuir á realzarla y hacer subir de muchos quilates
— 106 —
su mérito, comunicándole cierta nota de atractiva elegancia
y distinción, bastante por sí misma para señalar la individua-
lidad característica del investigador. Producto de tales aficio-
nes es el estudio acerca de Los químicos de Vergara, inte-
resantísimo capítulo de la Historia de la Química en España,
cuyas primicias gozó la Academia de Ciencias; pues sirvió á
Fages de tema para su discurso de ingreso en ella. Y aquí ven-
dría de molde el abordar una cuestión de nuevo palpitante,
tratada en todas partes con muy vario criterio, y es precisa-
mente el problema de la cultura llamada clásica en sus rela-
ciones con la cultura científica. Por desgracia, cierto género
de estudios de aquella índole hállanse en España en lamen-
table abandono y son desdeñados, con harta injusticia, de
cuantos se dedican al cultivo de las ciencias positivas, y eso
que el ejemplo de Fages bien á las claras demuestra cómo
hay perfecta compatibilidad y mutua ayuda entre el saber
científico y el saber literario, uniéndose y completándose en
las superiores regiones del pensamiento.
Recordaré á tal propósito como lejos de ser perdido el
tiempo invertido, allá en la primera juventud, en los estudios
antes bien llamados de humanidades, constituye, con el pe-
culiar de las Matemáticas elementales, la mejor y más sólida
preparación para abordar el de las ciencias experimentales,
aguza el ingenio, excita el afán de saber, da mayor solidez
al juicio, forma el buen gusto y deja en el ánimo un gran se-
dimento de energía, cuyos provechos recogemos en la edad
madura. No constituyen las obras clásicas tan sólo un bello
recreo de la imaginación, ni son puro y agradable pasa-
tiempo; tienen empero una eran finalidad y muy elevado
valor educativo.
Gracias á haber gustado las bellezas clásicas de las Artes
y estudiado la historia de las grandes transformaciones so-
ciales, acertando á unir sus enseñanzas con las propias de
las ciencias químicas, es como Fages logró formar y deter-
minar su personalidad en el doble carácter de investigador
40 =
original y de maestro, si bien la función docente y del que
inquiere la verdad experimentando, completábanse y unían-
-se á maravilla y así el analista á la moderna, gran conoce-
dor de la Química general, dotado de grandísimo ingenio,
poseyendo en grado máximo la habilidad experimental, apa-
recía siempre en este hombre, cuyo espíritu había sido cul-
tivado por igual en las disciplinas científicas y en las de las
Artes, la Literatura clásica y la Historia. Con intento de de-
mostrarlo y rindiendo á la memoria del amigo y compañero
el debido tributo, elegiré entre la copiosa labor de Fages tres
series de investigaciones, en las cuales, siendo todas á
igual fin encaminadas, manifiéstanse las principales dotes del
químico; refiérense á la determinación cuaniitativa del arsé-
nico, pesando piroarseniato magnésico, al estudio de la ac-
ción de los sulfuros sobre los nitroprusiatos y á los métodos
indirectos de la Ouímica Analítica, su último trabajo. Fueron
publicados todos, naturalmente en español; los dos últimos
vieron la luz en la REVISTA DE LA ACADEMIA y los tres han
sido reproducidos en alemán y en francés; el postrero figura
íntegro en lengua alemana en la colección de monografías
científicas publicadas bajo la dirección del Dr. W. Herz de
Breslau, lo cual basta para formar idea del mérito de un tra-
bajo en el que son por igual admirables la sagacidad del crí-
tico y la originalidad del investigador.
Seguramente no resulta fácil la empresa de dar novedad
á lo muy sabido, hallar errores en determinaciones analíticas
de constante repetición y hacer tema de originales investiga-
ciones las cosas mejor conocidas y diputadas por difinitiva-
mente resueltas. Y no obstante, la característica de la indaga-
ción científica experimental es no considerar nada termina-
do, sino en período constituyente y someterlo á constantes
comprobaciones, en cuanto nada hay definitivo ni es tampoco
posible el señalar límites invariables al alcance y resultados
de los métodos de investigación.
Hállase de esto la mejor prueba en Jo acontecido respecto
08 —
del aire atmosférico, sin duda el gas mejor y más veces ana-
lizado, lo cual no fué parte á impedir que, buscando la causa
de ciertos insignificantes errores cometidos en medidas de
sobra rectificadas, llegase Ramsay á descubrir toda la serie de
cuerpos inertes, llamados gases nobles, existentes en el aire
en variadas proporciones, no insignificantes tocante á algu-
no de ellos. Fué en realidad un trabajo de rectificación de
análisis, y buscando las diferencias entre el nitrógeno del aire
atmosférico y el obtenido en determinadas reacciones quí-
micas, es como se llegó al descubrimiento del argo, el pri-
mer término de la serie. Aunque se concrete á términos mu-
cho más modestos y se limite á un método analítico de uso
frecuentísimo, como es la determinación del arsénico pe-
sando piroarseniato magnésico, el trabajo del profesor Fa-
ges pertenece á la misma categoría, sin haber logrado, ni
con mucho, la transcendencia del citado; bien es cierto que
nuestro compañero, al llevarlo á cabo, no tuvo semejantes
pretensiones, y sólo quiso averiguar el alcance y los límites
de conocidísimo método analítico.
Tuvo como preliminares de la investigación de referencia
ciertos estudios, en mi entender de mucha cuantía, difíciles,
minuciosos, en los cuales puso el analista todo su ingenio y
sus más exquisitos cuidados. Precedentes de tal labor fue-
ron dos Notas publicadas, primero, en los Anales de la So-
ciedad Española de Física y Química, reproducidas luego en
los Annales de Chimie Analytique de París (1903), y en
Physikalisch-Chemisches Centralblatt, de Leipzig (1904); re-
fiérese la primera á las fórmulas generales de corrección en
determinaciones analíticas, en las que se utiliza la llamada
filtración parcial, y trata la segunda de las fórmulas especia-
les de corrección en la filtración parcial, cuando las determi-
naciones experimentales son por polarimetría ó volumetría.
En ambos trabajos, que son á modo de pruebas de un siste-
ma de investigación, resplandece la exactitud hasta en los
menores detalles, la elegante finura de quien en la propia
— 109 —
labor se complace, y la originalidad en el discurso y en los
procedimientos; es decir, el conjunto de aquellas cualidades
- que hacían de Fages un analista de relevante mérito, no for-
mado con la continuada repetición de operaciones muy Sa-
bidas, sino en el estudio perfecto de la Química general.
Iniciado en la aplicación de sus principios á las operacio-
nes del análisis, de las cuales habíase de dar cuenta perfecta,
explicándolas á modo de consecuencia lógica de aquéllos, y
entendiendo, de otra parte, cómo en el orden de las ciencias
experimentales ninguna cosa está, por fortuna, terminada y
todo hállase en continuo período de transición, y ello es
acaso la mayor excelencia de tales ciencias, es como em-
prendió la revisión de un método muy corriente para deter-
minar el arsénico, tema de su predilección, conforme de-
muéstralo el haberse ocupado asimismo en el procedimiento
consistente en pesarlo al estado de arseniato de plata, ya de
menos frecuente empleo, aun siendo conocidísimo. Revélase
principalmente en todas las investigaciones enumeradas el
espíritu de la más escrupulosa exactitud, eminente cualidad
del analista, unida al riguroso razonamiento, indispensable
complemento de ella, preciso para formar el debido juicio
acerca del valor y alcance de los resultados numéricos obte-
nidos, en relación con los medios empleados para obtenerlos.
Un excelente punto de partida tuvo Fages en su investi-
gación respecto de las determinaciones cuantitativas del at-
sénico al estado de piroarseniato magnésico, y fué la exce-
lente doctrina que Ostwald expone en sus principios cientí-
cos de la Química analítica, tocante á los precipitados cris-
talinos y al tamaño de los cristales que los constituyen,
deduciendo de ello los métodos de su lavado. Ocúrrense al
caso muy pertinentes observaciones en sentido del aumento
de las impurezas con el de la magnitud de los cristales, y
este solo detalle vale para dar á entender hasta dónde llegó
el minucioso estudio del analista en la revisión de las cau-
sas de error en un procedimiento clásico, y cómo antes de
= 110 —
proponer los medios de eliminarlas, en todo lo posible, llega
hasta conocer los más insignificantes pormenores de ellas.
Trata en particular de probar cómo en las determinaciones
del arsénico la exactitud en cada caso es á modo de resulta-
do de una compensación de errores, no regulable de modo
general, y que, conforme á sus palabras, tiene mucho de
fortuito y es deber del químico, agrega, conocer las causas
de error y su sentido, para modificar la parte experimental
de la manera que mejor convenga á esta necesaria compen-
sación, disminuyendo, en lo posible, lo fortuito de ella; lo
cual significa reducir los errores al minimo.
Junto al trabajo citado, aunque sea de índole diferente y le
aventaje en alcance y transcendencia, es menester colocar las
investigaciones de Fages relativas á la Acción de los sulfuros
sobre los nitroprusiatos, publicadas en la REVISTA DELA ACA-
DEMIA, y reproducidas muy luego en otras publicaciones im-
portantes de Química de Alemania y Francia. Como el caso
ya antes citado, tuvo este otro sus precedentes, y fueron:
el estudio de la reacción de Beedeker relativa á la acción de
los sulfitos sobre los nitroprusiatos, pubticado en francés
(Annales de Chimie et de Physique, París 1902), reproducido,
al igual de los anteriores, en distintas Revistas extranjeras, y
la aplicación del nitroprusiato sódico á la investigación de
los compuestos estanosos de la propia suerte publicada en
francés (Annales de Chimie Analytique, París 1902), y luego
en alemán (Chemisches Centralblatt, 1903, y Merk's Rea-
gentien Verzeichniss, Berlín 1903), los cuales fueron el an-
tecedente del para mi principal trabajo de investigación del
profesor Fages.
Vió un asunto digno de ocupar toda su atención — y se la
consagró por entero durante largo tiempo,—en el conocidí-
simo fenómeno utilizado para reconocer los sulfuros, si de
constante y fácil repetición, no explicado de manera satisfac-
toria, y aplicóse á estudiarlo con todo aquel afán y aquellá
constancia que ponía en cuantas investigaciones llevaba á
AMIA id
cabo. Este de les nitroprusiatos todavía le entretuvo con más
atractivo afán que los estudios acerca de los cloratos, cuya
data es 1908; y quizá por ser campo menos explorado, pres-
tábase mejor á lucir y ejercitar el ingenio del analista y el sa-
ber del químico; además era el tema de mucha generalidad y
comprendía cuestiones desconocidas y otras mal ó poco es-
tudiadas, siendo preciso esclarecerlas todas, cosa no fácil ni
breve. Requeríase, de una parte, buena copia de labor expe-
rimental, encaminada con sumo acierto, precedida de minu-
ciosa observación de los hechos ya conocidos, y de otra buen
juicio, abundante ciencia y lógico raciocinio para interpre-
tarlos y explicarlos, llegando al conocimiento y demostración
de los principios por que se rigen las acciones de los sulfu-
ros sobre los nitroprusiatos; tal fué el programa del conjunto
del trabajo del profesor Fages, en nada parecido al hermoso
estudio que de los nitroprusiatos en general hizo el químico
italiano Miolatti.
Lógicamente había de desarrollarse el trabajo en dos sen-
tidos, por decirlo así complementarios uno del otro. Cuando
sobre la solución de un nitroprusiato viértese otra de un sul-
furo, al punto aparece una coloración; pero no se detiene
aquí el fenómeno: es su primera fase y tiene varias, mal de-
terminadas acaso, bastante á complicarla sobremanera; de
consiguiente, era menester indagar, ante todo, la causa de
la coloración resultante y las de sus variaciones, problema
muy general, dilucidado de manera completa en la primera
parte del trabajo de Fages, sin duda la de mayor interés des-
de el punto de vista de la Química pura. Sus indagaciones
están consignadas en cuatro proposiciones concretas referen-
tes al hecho, á afirmar cómo es una combinación molecular
el cuerpo azul producido, á las variaciones del color conforme
á las cantidades de los cuerpos reaccionantes y álas causas
de las distintas coloraciones, rojizas, amarillas y purpúreas.
Un trabajo de semejante indole requería practicar nume-
rosos experimentos y mucha variación en ellos, tanta como
— 112 —
son variadas las cuestiones tratadas en los cuatro puntos in-
dicados, y Fages no los escaseó, ciertamente, desplegando
hasta en los menores detalles la finura de su ingenio y la
pulcra elegancia característica de su método de trabajo. Ha-
bía en el problema de los nitroprusiatos otro sentido en que
investigar, constitutivo de sus aplicaciones: la reacción con
los sulfuros constituye, de tiempo atrás, excelente procedi-
miento analítico de frecuente empleo, y era menester estu-
diar los límites de sensibilidad de tal reacción desde este
punto de vista, é interpretarla debidamente, y esto es lo es-
clarecido en la segunda parte del notabilísimo trabajo del pro-
fesor Fages. Estudió el asunto con el criterio de la moderna
teoría de los iones, y tomándola por base y punto de partida,
realizó larga serie de investigaciones prácticas, de las cuales
dedujo que «el nitroprusiato sódico no es reactivo del sulfu-
ro-ión, sino de los sulfuros solubles más iontizados, y por
tanto es menos sensible que las soluciones metálicas que
reconocen el sulfuro-ión y que la sensibilidad del nitropru-
siato como reactivo de los sulfuros aumentará, disminuyen-
do la iontización de éstos, con el empleo de disolventes que
impidan ó disminuyan la iontización, con la adición de exce-
so de reactivo ó introduciendo más ¡ones (sales neutras y en
especial carbonatos alcalinos)». De esta manera tan precisa
y segura expresa lo concerniente á la sensibilidad de la reac-
ción investigada.
Merecióle con razón atenciones mayores la influencia de
la hidrólisis y hubo de consagrarse á investigarla con minu-
ciosos cuidados en los diversos casos, para deducir de sus
propios experimentos las condiciones de ella; como disminu-
ye la sensibilidad del nitroprusiato sódico en cuanto reactivo
de los sulfuros y de que suerte aquellas circunstancias que
aminoran la hidrólisis, la aumentan. Trabajando con solucio-
nes congeladas y no alcalinizadas de sulfuros, vió duplicarse
la sensibilidad del nitroprusiato, sin llegar á la propia de
los reactivos del sulfuro-ión, aumento conseguido también
=- 113 —
añadiendo alcalis fijos; demostrando asimismo que la máxi-
ma sensibilidad alcanzase congelando las disoluciones alca-
linizadas de los sulfuros, luego de haberles agregado el ni-
troprusiato.
Ya llegada á este punto la investigación, pudo afirmar
Fages que no sirve el reactivo estudiado para distinguir los
sulfuros de los sulthidratos, siendo además el límite experi-
mental de su sensibilidad bastante inferior del correspondien-
te á los reactivos especificos del sulfuro-ión. Sólo restaba in-
terpretar los hechos con tanto rigor estudiados y en seme-
jante tarea es donde mejor se ha revelado el talento superior
del químico, la lógica de sus razonamientos y lo bien fun-
dado de sus apreciaciones; asi empieza afirmando como toda
solución capaz de tomar color, débil ó acentuado, en segui-
da ó ála larga, con el nitroprusiato sódico, contiene sulfuro.
Hace depender la debilidad de la coloración y el tiempo in-
vertido para su formación del estado del sulfuro, iontizado ó
hidrolizado por completo. Dada la pequeña sensibilidad del
reactivo, cuyo límite se alcanza pronto, el no advertir cam-
bios de color no implica la ausencia de sulturo y comprén-
dese entonces el que no sea posible la medida colorimétrica
de los sulfuros, atendiendo á esto mismo y á la imposibili-
dad de lograr coloraciones comparables. En suma, las mag-
níficas investigaciones del Profesor Fages acerca de los ni-
troprusiatos, llevadas á cabo con sumo arte é intentos de
apreciar su valor en cuanto reactivo analítico, pueden consi-
derarse definitivas y suficientes para establecer los límites
de su empleo, no tan general y preciso como se creyó por lo
común durante mucho tiempo.
Nunca se llega de una vez al fin deseado en materias de
investigación experimental y aun muchas veces alcánzanse
resultados bien diferentes de los previstos, y el caso de los
nitroprusiatos es de ello excelente ejemplo. Prueba asimismo,
al demostrar las cualidades del investigador español, la efi-
cacia de los procedimientos experimentales, seguidos con la
REY, ÁCAD.DE CIENCIAS. —X.—Julio, Agosto y Septiembre, 1011. 8
= 114 —
más escrupulosa atención hasta agotarlos, razonando las dis-
tintas fases de su mecanismo y deduciendo de sus resultados
las leyes y las reglas que rigen los fenómenos. Si en tal sen-
tido, y respecto del estudio de las acciones de los sulfu-
ros sobre los nitroprusiatos, se preguntase cuál de las con-
diciones de Fages preponderaba, respondería al punto: la
atención.
A ella, llevada á un grado máximo, se deben los resulta-
dos obtenidos; mas no es la única característica de la labor
científica de nuestro compañero; fué analista de primer orden
é investigador de mucha cuantía; pero también supo trans-
mitir á los demás su saber con persuasiva palabra, y cuantos
pasaron por su cátedra admiraron las dotes del maestro, cuyo
primer afán era enseñar, y en el trabajo docente pocos ponían
tanto empeño; sus discípulos inspirábanle interés sobre to-
das las cosas, afanábase por mostrarles la ciencia en sencillos
términos, haciéndola atractiva, y su laboratorio ordenado y
alegre, si no sobrado de recursos, lleno de luz y de sol, era
por todo extremo simpático y atrayente. De las calidades del
maestro da testimonio su último trabajo acerca de los méto-
dos indirectos de la Química analítica: ciertamente el asunto
habrá sido tratado de variados modos en distintas ocasiones
anteriores; pero Fages lo hizo, no en el sentido que con la-
mentable ligereza le atribuye un maestro insigne, sino con
verdadera originalidad, bien diferente de la advertida en fa-
mosos estudios publicados años atrás en el extranjero, muy
conocidos del catedrático de Madrid y el mérito de su traba-
jo no es la recopilación de los precedentes, ni la crítica razo-
nada y concienzuda, es la originalidad del modo de tratar las
variadas cuestiones de los métodos indirectos y el de la apli-
cación de las fórmulas según los casos; la sencillez y la cla-
ridad del maestro, que tanto contribuyen á entender la ver-
dad é impelen á aprender sus caminos.
Ocuparía mucho espacio el análisis de la última obra de
mi buen amigo; baste indicar su carácter para entender cómo
— 115 —
es la labor de un maestro, cuyas facultades han llegado á la
plenitud de su desarrollo. Cuando estaban dispuestas para
producir mucho y bueno, y de la elegancia y severidad del
analista, de los talentos del investigador y de las cualida-
des del maestro, tanto esperaban la ciencia y la patria, su
vida se extinguió, y con ella todas las ilusiones y todos los
ideales; apenas había alcanzado la cátedra tan merecida, lo-
grando todas sus aspiraciones, y sólo un momento gozó su
legítimo triunfo.
Bastantes años hace que lazos de sincero afecto me unían
á Fages, y durante ellos he tenido ocasión de apreciar su
valor moral; fué un hombre bueno en toda la extensión de
la palabra, leal amigo, en quien la rectitud y el bien eran la
norma de sus actos; y si parecía á primera vista reservado,
en su trato íntimo era en extremo amable y jovial, y eso que
los quebrantos de su salud, venidos ya de lejos, no siempre
le permitían las expansiones del buen humor. Nadie le aven-
tajó en el cumplimiento de sus deberes; era en ello inflexible;
- jamás intervinieron en sus juicios influencias extrañas, ni los
emitía sin razonarlos mucho; era constante y asiduo en el
trabajo,, y lo proseguía con admirable tenacidad. Poseía en
grado eminente la virtud del patriotismo y sentía en lo más
hondo nuestros infortunios; pero no era pesimista; confiaba
en la virtualidad de la raza y cuanto le era dado, todo lo
ponía al servicio de la cultura y de la ciencia española, y así
el móvil de sus trabajos de investigación, mejor que la glo-
ria personal, constituíalo el engrandecimiento de la patria, y
en contribuir á él se afanaba, inculcando el mismo ideal á
sus alumnos. Fué un hombre todo sencillez y modestia; cre-
yente y observante, profesaba sus ideas con verdadera con-
vicción y eran sus sentimientos puros, honrados y dignos
del mayor respeto, y así lo tuvo Fages, sincero y cariñoso,
de todos sus compañeros y de todos sus amigos; vivió como
viven los buenos, y murió como mueren los justos. Descan-
se en paz.
— 116 —
Lista de los trabajos cientificos del profesor Fages ().
Recherche des chlorates et des bromates au moyen de la sírichnine.
Publicado en Annales de Chimie Analytique, París, 1900, pág. 441.
Reproducido en Merck's Report X, pág. 120, Darmstadt.— Formu-
laire général des Reactions et Reactifs, París, 1906, pág. 107 y 116.—
Merck”s Reagentien Verzeichniss, Berlín, 1903.
Acfion des sulíltes sur les nitroprussiates (réactión de Baodeker).
Publicado en Annales de Chimie et de Physique, París, 1902.
Extractado en Comptes Rendus de P'Academie des Sciencies de Pa-
ris, 1902. - Reproducido en Annales de Chimie Analytique, Paris, 1902.
Bulletin de la Societé Chimique de Paris y Moniteur Scientifique.
Ápplication du nitroprussiate sodique la recherche des composés
sianneux.
Publicado en Annales de Chimie Analytique, París, 1902, pág. 442.
Reproducido en Chemisches Centralblatt, 1903, pág. 252, tomo 1.—
Merck's Reagentien Verzeichniss, Berlín, 1903.
Fórmulas generales de corrección en determinaciones analíficas, en
las que se utiliza la Mamada liliración parcial.
Publicado en los Anales de la Sociedad Española de Física y Quí-
mica, Madrid, 1903. Reproducido en Añrnales de Chimie Analytique,
París, 1903, pág. 252 y en Physikalisch-chemisches Centralblatt, Leip-
zig, 1904, pág. 340.
Fórmulas especiales de corrección en la filiración parcial, cuando las
determinaciones experimentales son por polarimetría ó volumetría.
Publicado en los Anales de la Sociedad Española de Fisica y Qui-
mica, Madrid, 1903, pág. 113. Reproducido en Annales de Chiímie Ana-
lytique, París, 1903, pág. 252 y en extracto en Physikalich-chemische
Centralblalt, Leipzig, 1904, pág. 341.
Recherche des clorates.
Nota presentada en el V Congreso de Química Aplicada, Berlín,
1903. Publicada en los Anales de la Sociedad Española de Física y
Química, Madrid, 1903, pág. 262. Reproducida íntegra ó en extracto
en la mayor parte de las Revistas alemanas de Química.
De la determinación cuantitativa del arsénico, pesando piroarseniaio
masnésico.
Publicado en los Anales de la Sociedad Española de Fisica y Quí-
mica, Madrid, 1904, pág: 106. Reproducido en Zeitschrift fir Analy-
tische Chemie. Wiesbaden, 1905, pág. 492, y Annales de Chimie Ana
lytique, París, 1905, extractado en Physikalisch-chemisches Central-
blatt. 1905. pág. 702.
(1) Formada por su ayudante D. Ansel del Campo y Cerdán.
=- 117 —
De la determinación cuantitativa del arsénico, pesando piroarseniato
magnésico. (2.2 Nota).
Publicado en los Anales de la Sociedad Española de Fisica y Qui-
mica, Madrid, pág. 300 y en Annales de Chimiet de Physique, de Pa-
rís, refundida con la primera Nota.
De la determinación cuanilfativa del arsénico, pesando arseniato ar-
géntico.
Publicado en el Monitor de Farmacia, Madrid, 1904, pág. 227. Re-
producido en varias Revistas de Farmacia nacionales y extranjeras.
Acción de les suiluros sobre los nitroprusiatos; causa de la coloración
resulítante y de sus variaciones.
Publicado en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, 1905, Marzo, pág. 176.
Reproducido en los Anales de la Sociedad Española de Física y Quí-
mica, Madrid, 1905, pág. 65; en Zeitschrift fiir Analytische Chemie.
Wiesbaden, 1905, pág. 409; en la Revista da Chimica pura é upplica-
da. Oporto, 1906, y extractado en Chemiker Zeitung, 1906, pág. 321.
Chemische-Centralblatt, 1906. Annales de Chimie Analytique, París,
1905, y Bulletin de la Societé Chimique de France, Paris, 1907.
Acción de los sulíuros sobre los nitroprusiatos; sensibilidad é inter-
pretación de la reacción analítica.
Publicado en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, 1905, Mayo. Reprodu-
cido ó extractado en las mismas Revistas que la Nota anterior.
Del modo de expresar la acidez.
Publicado en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, 1907, Octubre. Repro-
ducíido en los Anales de la Sociedad Española de Física y Química y
en extracto en Chemiker Zeitung, Diciembre 1907.
Consideraciones sobre los errores y la técnica de la balanza en aná-
lisis químico.
Publicado en los Anales de la Sociedad Española de Física y Quí
mica, 1908, pág. 429.
Investigación analítica de los cloratos.— Generalización á muchos oxi-
dantes.— Golorimetría de los cloratos.
Memoria presentada al Congreso celebrado en Zaragoza por la
Asociación Española para el progreso de las Ciencias. Publicada en
la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y
NATURALES DE MADRID, 1908. Reproducida en los Anales de la So-
ciedad Española de Física y Química, Madrid, 1908, y en Annales de
Chimie Analytique, París, Marzo de 1909, en largo extracto en Che-
miker Zeitung, Diciembre 23 de 1908.
— 118 —
Aplicación de la orina á la investigación general de exidantes.
Publicada en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, Octubre de 1908. Re-
producida en los Anales de la Sociedad Española de Fisica y Quími-
ca, Madrid, Diciembre de 1908, en Annales de Chimie Analytique
París, Abril de 1909, y en extenso extracto en Chemiker Zeitung,
Enero de 1909.
Investigación y determinación cuantitativa del clorato potásico en la orina.
Publicada en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, Octubre de 1908. Re-
producida en los Anales de la Sociedad Española de Fisica y Quími-
ca, en Annales de Chimie Analytique, París, Marzo de 1909, y en
extenso extracto en Chemiker Zeitung, 27 Febrero 1909.
Contribución á la toxicología de los cloratos.
Publicada en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, Noviembre de 1908.
Reproducida en los Anales de la Sociedad Española de Física y Quí-
mica, Marzo de 1909, y en extenso extracto en Chemiker Zeitung,
Marzo 1909.
los Ouímicos de Vergara y sus obras.
Discurso leido en su solemne recepción en la Real Academia de
Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid el día 27 de Junio
de 1909.
Análisis de nitros refinados, pólvoras y explosivos cloratados.
Publicado en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, 1909, pág. 239. Repro-
ducido en los Anales de la Sociedad Española de Física y Química,
1909, pág. 403.
Contribución al análisis del nitro de Chile.
Publicado en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, 1910, pág. 239. Repro-
ducido en los Anales de la Sociedad Española de Fisica y Química,
1910, pág. 83. |
Un caso de acción cafalizadora de las sales argéníicas: aplicaciones.
Publicado en los Anales de la Sociedad Española de Fisica y Quí-
mica, Madrid, 1910, pág. 222.
lsos métodos indirectos de la Química Analítica.
Publicado en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, 1910, Julio á Octubre.
Traducido integramente al alemán por el Dr. Werner Mecklenburg y
publicado en la colección de monografías científicas, que bajo la di-
rección del Dr. W. Herz, profesor de la Universidad de Breslau, apa-
rece en Stuttgart.
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VI.—Apuntes sobre Mecánica social.
Por ANTONIO PORTUONDO Y BARCELÓ.
INTRODUCCIÓN
Desde que Augusto Comte expuso en sus Lecciones de
Filosofía Positiva el concepto de una Física social, y pensó
en una ciencia nueva á la cual dió el nombre de Sociología,
él mismo sugirió (y después otros muchos escritores han
desenvuelto), la idea de una Mecánica de la Sociedad, con
sus tres secciones Cinemática, Estática y Dinámica. Sería
una rama de la Sociología pura ó abstracta, y sería una cien-
cia particular para el estudio de los movimientos ó del equi-
librio producidos en las Sociedades— cualesquiera que éstas
sean — por la acción de fuerzas de naturaleza psíquica, que
muchos denominan fuerzas sociales. Dice De-Greef que la
Sociología abstracta ha de investigar las leyes generales que
resultan de las relaciones de los hombres entre sí, indepen-
dientemente de las formas transitorias que han revestido ó
revistan dichas relaciones en las Sociedades particulares que
hayan existido ó existan.
Yo creo en la posibilidad de constituir una Mecánica so-
cial abstracta, cuando considero que la Mecánica racional es
una ciencia general sobre entes de razón, y que en ella las
fuerzas aparecen como abstracciones. En esta pureza estriba
precisamente la excelencia de la Mecánica racional, porque
permite que sus Principios y Teoremas se apliquen á todo
género de fuerzas de la Naturaleza.
Así, por ejemplo, cuando se asimilan los astros á simples
— 120 —
puntos materiales de diferentes masas, y se admite que las
fuerzas que actúan sobre ellos son las de gravitación univer-
sal que siguen la ley de Newton, se constituye la Astrono-
mía como una ciencia positiva abstracta; y es una Mecánica,
en la cual se ha podido aplicar con su lenguaje matemático,
y en toda su pureza, los Teoremas de la Mecánica racional,
para descubrir las leyes de los movimientos de los astros, y
por tanto, sus posiciones futuras. Estas predicciones son
espués verificadas y comprobadas por las observaciones.
En la Mecánica aplicada á los sistemas materiales de la
Naturaleza que nos rodea, en la cual los cuerpos naturales
no son ya entes de razón, se aplican también los Teoremas
de la Mecánica racional; pero la obscuridad de las leyes por
las cuales se rigen las fuerzas moleculares de todo género,
impiden que esa ciencia de aplicación pueda ser hoy como
la Mecánica celeste. En ella, los Teoremas de la Mecánica
racional dan, sin embargo, una primera aproximación, que
después las ciencias físicas pueden reemplazar por otras le-
yes más y más aproximadas. |
Si los Principios y Teoremas de la Mecanica racional son
aplicables á todo género de fuerzas, parece que deben de
serlo también á las de naturaleza psíquica, llamadas fuerzas
sociales. Para hacer la aplicación sería preciso que (sobre
convenciones especiales) se pudiera:
1.2 Definir bien los puntos de aplicación, determinando
de un modo preciso sus posiciones;
2.” Determinar las direcciones y los sentidos en que
actúen las fuerzas;
3. Definir las masas de los individuos y de los elemen-
tos sociales;
4.” Concebir como medibles las intensidades de las fuer-
zas psíquicas, aunque nos sea desconocida su esencia ínti-
ma; como lo es la esencia de todo género de fuerzas de la
Naturaleza.
La esencia de las cosas es siempre inaccesible para el
— 121 —
hombre; dado que la realidad no está, para nosotros, sino
en nuestras representaciones interiores. Pero las ciencias son,
en último término —como dice Poincaré, —sistemas de rela-
ciones entre las cosas; y por ellas no se aspira á conocer la
verdadera naturaleza de éstas, sino sus relaciones perma-
nentes, tales como se den para el hombre mismo; porque
como observa Mr. Le Dantec, lo que llamamos /as cosas no
depende sólo de la naturaleza del mundo, sino también de
la naturaleza de quien lo describe. Cuando apercibimos en
nuestro interior alguna relación constante expresada — para
nosotros —por una ley alcanzada por los métodos científicos;
y nos la representamos como apercibida del mismo modo
por los demás hombres que la conocen científicamente; es
muy natural que la consideremos como una ley que revela
la harmonía del Universo, aunque ella sea por nosotros y
para nosotros, toda' vez que en la Naturaleza misma lo que
hay son los casos repetidos de cada fenómeno.
En un discurso ha dicho recientemente Poincaré que: «si
la complejidad del mundo no fuera harmoniosa, nuestro espí-
ritu sólo vería los detalles á la manera del miope, y tendría
que olvidar cada detalle antes de examinar el siguiente, por-
que sería incapaz de verlo todo á la vez: por eso el orden,
en la complejidad, es lo que hace que ésta sea accesible».
Debe de notarse también que /as cosas entre las cuales se
investigan relaciones científicas abstractas no son—si bien
se mira —más que símbolos; porque al designarlas, ó bien
nos referimos al estado fugitivo por que pasan (para nuestra
consideración) en un instante dado, ó bien nos referimos á
la ley de variación de la cosa de que se habla. En esta se-
eunda manera no se trata sólo de un símbolo abstracto, sino
que es además puramente matemático, como expresión de
una función de muchas variables que estén en relación de
dependencia mutua con la que se considere.
En estos Apuntes vamos á intentar un ensayo de asimila-
ción de los movimientos sociales — vistos de un modo pecu-
«= 122 —
liar —á los movimientos de los sistemas que estudia la Me-
cánica de los sistemas materiales, mirando los hechos so-
ciales como fenómenos naturales (*), y admitiendo que por
la Psicología experimental se pudiera llegar algún día á pre-
cisar y determinar todo lo que dijimos antes.
Se necesita esto indispensablemente como base para
poder transportar (si así puede decirse) las leyes generales
y abstractas del movimiento y de las fuerzas del mundo
real del espacio al mundo igualmente efectivo, aunque psí-
quico, de los asuntos de carácter social. Habría de tenerse
esa base, después de un estudio hecho directamente por la
Psicología y la Sociología, ayudadas de la Estadística, toda
vez que la Mecánica es impotente para esas investigaciones,
que han de ser dirigidas por otros Principios, y por los mé-
todos propios de aquellas ciencias. Ya comprendo que el
orden lógico debía de ser el inverso, á saber: tener primero
las bases psicológica y sociológica, obtenidas y asentadas
por el estudio directo del hombre y de la sociedad, y des-
pués aplicar las leyes de la Mecánica. Pero como aquellas
ciencias no nos proporcionan todavía lo necesario, he de
suponer que algún día se tuviera; lo cual ya indica que mi
intento es algo temerario, ó por lo menos, prematuro. Pero
entreviendo yo la posibilidad de aplicar las leyes puras de
la Mecánica racional á los individuos y á las agrupaciones
de individuos, he partido — como se verá en los Prelimina-
res — de aquellas suposiciones que he considerado adecua-
das para encauzar los razonamientos. Es evidente, por lo
demás, que si se llegara á demostrar algún día la absoluta
imposibilidad de establecer las bases para la constitución
positiva de la Mecánica social, tal como la he concebido,
todas las especulaciones que encontrará el lector en estos
Apuntes serían baldías. Pero deben de recordarse estas pa-
labras del Dr. Maudsley: «¡Cuáles no serían nuestro gozo y
(*) Damos á esta palabra su más amplio sentido.
— 123 —
nuestro triunfo si llegáramos algún día (y esta esperanza no
tiene nada de insensata) á medir por instrumentos delicados
las energías que en la conciencia se manifiestan bajo las
formas de sentimientos, de ideas y de voliciones!» (Caps slo?
de la Fisiología del espíritu.)
Nosotros intentamos transformar en medios lógicos para
el estudio de la Mecánica social, los resultados científicos
obtenidos por la Mecánica racional: ésta trata, después de la
Aritmética y la Geometría, del modo más simple y más uni-
versal de la existencia, como dice Augusto Comte; y este
modo debe de volverse á encontrar expontáneamente en los
otros modos de existencia más compuestos, como son los
del individuo y la agrupación humanas, consideradas prime-
ro desde el punto de vista biológico, y después desde el
punto de vista psicológico-sociológico.
El sociólogo americano, Mr. Small, indica que todas las
ciencias que descubren y formulan las leyes de los procesos
que se verifican en los órdenes antecedentes al orden social,
deben de elaborar sus leyes con bastante minuciosidad para
poder incorporarlas á la Sociología. Yo creo que las leyes me-
cánicas se hallan en este caso; y por eso las imágenes y los
conceptos de la Mecánica racional — formulados por medio
del simbolismo matemático —pueden valer acaso para ima-
sinar y comprender los fenómenos psíquico-sociales en su
aspecto mecánico, construyendo —por decirlo así —el mo-
delo mecánico (de que hablaba Lord Kelvin) para facilitar
la inteligencia de esos fenómenos.
Los sociólogos que han escrito sobre Mecánica social han
desenvuelto generalmente sus ideas, preocupándose de las
cualidades de las fuerzas que actúan sobre los individuos en
sociedad, y también de los fines ó tendencias económicas,
morales, etc.
Este modo de considerar la Mecánica social es totalmente
distinto del que yo intento seguir. Habré de pensar sólo en
el cómo de la acción de las fuerzas psíquicas, independien-
MPA
temente de su naturaleza especifica; puesto que para mí esas
fuerzas serán puras abstracciones, como lo son las de la Me-
cánica racional.. La consideración de los fines es, por otra
parte, enteramente ajena á nuestro estudio.
A la Sociología — apoyada en todas las ciencias —le co-
rresponde, á mi entender, el estudio de los muy variados
géneros de fuerzas sociales, con sus diversas cualidades,
para penetrar, si es posible, en todo el proceso de la aso-
ciación humana; pero á mí me parece que la Mecánica debe
de ceñirse al estudio de la acción (estática Ó dinámica) de
las fuerzas sobre los individuos y las agrupaciones sociales.
En lo que los sociólogos denominan Dinámica social se com-
prende el estudio de la evolución de las estructuras de las
Sociedades, cuestión que parece trascender ya de lo pura-
mente mecánico.
El eminente Profesor Ernst Mach considera que es una
preocupación la idea de buscar la explicación mecánica de
los tenómenos físicos; y llega á calificar de absurda la apli-
cación de los conceptos mecánicos á otros órdenes de fenó-
menos, porque — dice él —esos conceptos no han sido des-
arrollados más que para la exposición de los hechos mecá-
nicos, y no para la de los hechos fisiológicos ó psicológicos.
Esto es cierto; pero en la Mecánica racional se expone sim-
plemente un aspecto de los fenómenos del Universo, y yo no
alcanzo á ver la razón por la cual no puedan ser aplicadas
las leyes mecánicas abstractas á los fenómenos psíquicos,
si éstos se miran sólo bajo su aspecto mecánico. Pensando
en las causas ó fuerzas que producen modificaciones psiqui-
cas en los individuos ó en las agrupaciones de individuos,
cabe - á mi entender — investigar cómo se realizan en el
tiempo esas modificaciones Ó cambios, y ver si las leyes de
la Mecánica racional son aplicables.
Spencer dice que toda verdadera generalización lleva co-
múnmente consigo, no sólo una explicación de los hechos ó
de la serie de hechos que se han estudiado para descubrirla
— 125 —
y fosmularla, sino también de alguna otra serie de hechos
diferentes que, á primera vista, parecían no poder entrar en
“aquella generalización. Con arreglo á esta idea de Spencer,
veo yo, por ejemplo, que la generalización sobre veloci-
dad— (al estudiar en Cinemática el hecho del movimiento
de un punto en el espacio) —sirve para otros hechos dife-
rentes, y, en general, para todos los cambios cuantitativos
(de cualquier género que sean) que se realicen por ley de
continuidad en el tiempo.
El Profesor Ostwald dice en su libro sobre la Energía, que
Mr. Ernst Solvay había tenido ya la idea de aplicar á los fenó-
menos sociales la ciencia de la Energía, y á esta aplicación
dedica la última parte de su libro aquel eminente Profesor.
Al intentar la aplicación de la Mecánica racional á entes y
fuerzas psiquicas, se habrá de tener presente que los concep-
tos puros de la Mecánica no tienen otra realidad que la que
alcanzan en nuestro pensamiento; que pueden servir para
representarnos la conexión y sucesión de los hechos socia-
les en un aspecto de sus relaciones de dependencia mutua
(si se consideran los fenómenos psíquicos que sean genefa-
les para todos los hombres en esas relaciones mutuas), vien-
do así el aspecto mecánico como abstraido de la realidad so-
cial; pero no pretender que por aquellos conceptos se expli-
que toda la realidad social en su desenvolvimiento. Esta
pretensión sería vana aun tratando de los fenómenos pura-
mente físicos, toda vez que el aspecto mecánico abstraído
del fenómeno físico no puede explicarlo totalmente. Ese as-
pecto, lo repetimos una vez más, es una abstracción, como
lo es el aspecto geométrico.
Entre los Sociólogos se admite ya generalmente que la So-
ciología pueda llegar á constituirse como ciencia, porque
consideran que los fenómenos sociales obedecen á leyes;
que si éstas no se han formulado todavía, es porque los he-
chos no son bastante conocidos, á causa de la complejidad
de su carácter psíquico.
— 126 —
Dice Ostwald que no se debe de renunciar nunca á la es-
peranza de llegar á explicar cientifizamente un fenómeno, ni
á la de alcanzar tal ó cual conquista científica; porque todo
hecho que entre en la esfera de nuestra observación, ya
cumple por eso sólo la condición para poder sernos más y
más conocido, es decir, que cae ya bajo el poder de la
ciencia.
Se ha dicho, con razón, que el hecho de que los fenómenos
meteorológicos, por ejemplo, no sean bastante conocidos,
no prueba ni remotamente que esos fenómenos dejen de obe-
decer á leyes uniformes é invariables; y se ha hecho obser-
var que algunos fenómenos sociales, como los matrimonios,
los nacimientos, los suicidios, la criminalidad, etc., apare-
cen, por las estadísticas demográficas, como obedeciendo á
leyes regulares y determinadas, cuando se agrupan esos he-
chos en grandes números. Parece que en el curso ordinario
de los sucesos humanos — como fenómenos psíquicos natu-
rales — (si se miran en grande escala, eliminando las parti-
cularidades individuales; y se tiene cuidado de apartar las
influencias perturbadoras), rigen leyes tan invariables como
en los fenómenos naturales puramente físicos; de tal mane-
ra que el tanto en cada uno de aquellos hechos sociales pa-
rece una consecuencia necesaria de la manera de ser de los
individuos que constituyen una agrupación social en un ins-
tante dado, y de toda la organización de la Sociedad que se
considere. Influyendo sobre estas causas y modificándolas,
cabe influir sobre aquéllos tantos que son su efecto.
Respecto al método, conviene recordar que aunque la Me-
cánica haya sido una ciencia inductiva en los comienzos de
su desenvolvimiento histórico, y se hayan empleado para su
constitución, la observación y la experiencia que usan todas
las ciencias físicas; hoy la encontramos ya como ciencia pre-
dominantemente deductiva, construída sobre las entidades
abstractas de la Mecánica racional, en la cual las Matemáti-
cas con su Análisis infinitesimal desempeñan el principal
— 127 —
papel. Esto permite ya lo que Mach llamó con frase tan ce-
lebrada y repetida la economía del pensamiento, es decir, el
menor gasto intelectual.
Anque los razonamientos se hacen siempre en la Mecánica
racional abstracta sobre simples entes de razón, hay que
tener en cuenta que sus investigaciones no se dirigen meta-
físicamente hacia las causas esenciales, sino hacia las leyes
efectivas del fenómeno natural del movimiento. La observa-
ción de lo que ocurra, como fenómeno natural, en los indi-
viduos y en las agrupaciones sociales, podrá servir como
método de comprobación (de la exactitud ó probabilidad en
unos casos, de la falsedad en otros) de las proposiciones
abstractas de Mecánica social que se formulen, guiándose
por los teoremas de la Mecánica racional. John S* Mill, des-
pués de indicar que los fenómenos sociales dependen de las
acciones de los hombres, así como de las circunstancias ex-
teriores bajo cl influjo de las cuales está el genero humano,
dice que el método deductivo es el único aplicable al estudio
de los hechos sociales; pero basado — naturalmente —en las
leyes de la actividad humana por una parte (*), y en las
propiedades de las cosas exteriores, que serán el objeto de
todas las ciencias físicas y naturales. Para obtener aquellas
leyes y estas propiedades, podrá servir, según S* Mill, el
método inductivo.
El mismo Augusto Comte reconoce que dependiendo ne-
cesariamente las ciencias más complejas de las que son más
generales (en su Teoría jerárquica de las ciencias), las con-
sideraciones derivadas de estas ciencias anteriores tienen
una importancia tal, que su introducción juiciosa conduce
á hacer esencialmente deductivas muchas de las nociones
fundamentales que en las ciencias aisladas no podrían ser
más que inductivas.
(*) A mi entender estas leyes á que se refiere St. Mill han de ser
investigadas por la Psicología fisiológica.
= 128 —
En estos Apuntes nos abstenemos con todo rigor de hacer
consideraciones filosóficas acerca de las nociones primeras
de espacio, tiempo, fuerza, etc., á las cuales se han de refe-
rir necesariamente nuestras especulaciones; porque aunque
tales consideraciones no llegaran á degenerar en metafísicas,
nos habrían de alejar grandemente del fin que perseguimos,
para lo cual nos desligamos de todo género de concepcio-
nes filosóficas. Siendo mi trabajo de simple exposición, no
debe de extrañar al lector que revista cierta apariencia didác-
tica ó dogmática. No es que yo en manera alguna considere
que el punto de vista en que me he colocado haya de ser
aceptado indiscutiblemente; estimo, por el contrario, que
habrá muchos á quienes repugne admitirlo. Pero (ajeno á
todo espiritu de polémica) he procurado hacer la exposición
siguiendo las huellas de la Mecánica racional clásica, tal
como se expone ésta en los cursos elementales; y por esto,
y nada más que por esto, aparece cierta forma didáctica.
Al terminar esta Introducción me ocurre la idea de que el
contenido de mi trabajo á nadie habrá de satisfacer. Los
hombres de ciencia positiva como los matemáticos, los fíSi-
cos Ó los naturalistas, verán, desde luego, que no hay en él
una labor científica propiamente dicha, y acaso lo consideren
como una fantasía sobre motivos de la Mecánica racional (*);
(*) D. Eduardo Saavedra ha escrito estas palabras, que me alien-
tan: «Al par de las creaciones artísticas, las creaciones cientificas
proceden del raudal inagotable de la fantasía.» El mismo Ernst Mach
dice: «En el orden cientifico-abstracto puede la imaginación ejercer
su acción sobre los puros conceptos, dejándose guiar por las aso-
ciaciones y haciendo las convenientés selecciones.» Y el eminente
Profesor D. J. R. Carracido ha dicho en un discurso reciente, que:
«en el mundo físico y en el psíquico son las imágenes la fuente más
copiosa de nuestros conocimientos, y la fantasía la facultad espiritual
de mayor alcance para la percepción de lo inaccesible á nuestros sen-
tidos, y para relacionar los datos inconexos de la mera observa-
ción», y más adelante añade que: «la euritmia de las construcciones
científicas es obra de las hipótesis, de las imágenes compuestas por
la fantasía para satisfacer exigencias del razonamiento».
e
y encontrarán, además, que carece en muchos puntos de la
precisión y del rigor exigibles.
Los sociólogos pensarán que sobra toda la armazón mate-
mática que viene de la Mecánica racional; y que, además de
no servir á su juicio para el caso, embrolla las cuestiones
que ellos estudian por otros procedimientos que estiman más
adecuados. Y los simples aficionados á leer trabajos sobre
esta clase de estudios estimarán fundadamente que estos
Apuntes son obscuros é indigestos, porque no he sabido
manejar el estilo que se debe de usar para la vulgarización
científica.
Perdóneseme no haber podido satisfacer, como era de
desear, á uno siquiera de esos grupos de lectores.
IDEAS PRELIMINARES.—DEFINICIONES
HIPÓTESIS
H
Mirando cada Sociedad como un todo constituido por indi-
viduos y colecciones parciales de individuos, enlazados unos
y otras entre sí por modos determinados, se nota que hay
estrechas relaciones entre lo científico, lo artístico, lo eco-
nómico, lo jurídico, lo político, lo religioso, lo moral, etcé-
tera; y es natural que así sea, porque todos estos diversos
géneros de asuntos de carácter social se dan simultánea-
mente en su psiquis colectiva, que es como una síntesis de
las psiquis individuales. En cada individuo esos distintos gé-
neros de asuntos están asímismo relacionados entre si, al
darse simultáneamente en su psiquis individual.
En los individuos de cada especie animal hay una psiquis,
que es especifica; y casi todas las especies animales viven
Rev. Acab. DE Cirxcias.—X.— Julio, Agosto y Septiembre, 1911. 9
f
— MED
en agrupaciones de individuos, infiuyendo en ellas fuerzas
psiquicas, lo mismo que en las agrupaciones de hombres.
Pero siendo la especie humana la que ofrece el mayor des-
arrollo de tales fuerzas (al actuar como fuerzas sociales), nos
referimos á las agrupaciones humanas en todo lo que haya-
mos de decir sobre la Mecánica social (+).
Para el estudio pura y exclusivamente mecánico, es indi-
ferente que todos los asuntos de carácter social se deriven ó
no de lo económico, y que éste ú otro cualquiera sea ó no
sea el hecho social primitivo, porque estas cuestiones de
principios, que podrán ser muy interesantes para la Socio-
logía, carecen de importancia para nosotros, según veremos.
Al tratar del aspecto mecánico en cada determinado asunto
social, éste puede ser uno cualquiera de los diversos asun-
tos que hemos dicho.
A cada ciencia social particular corresponde la investiga-
ción de las leyes á que puedan obedecer los individuos y
las agrupaciones sociales con respecto á un género dado de
(**) Por los estudios biológicos se ha podido establecer, como ley
general, que los individios de las especies animales cuya vida activa
ha de ser regida casi exclusivamente por los instintos heredados,
pueden, casi desde que nacen, vivir por sí mismos; y que los indivi-
duos de las especies que durante su vida han de ir adquiriendo cono-
cimientos, nuevos hábitos, etc., nacen, por el contrario, imposibilita-
dos de vivir por sí mismos; y así lo están por mucho tiempo.
La capacidad para aprender es minima en los insectos (que están
en el primer caso) y llega á un máximo en el hombre (que está en el
segundo caso). En el hombre no es lo más importante quizás la
pura herencia natural, sino todo lo que va adquiriendo en la ex-
periencia, y mediante la acción de las fuerzas psíquicas de que ha-
blaremos más adelante. Por esto, dice el psicólogo americano
Baldwin, la conciencia se da en el hombre en su forma más elevada,
porque para lograr el aprendizaje ó la modificación, se produce en el
niño una atención sostenida con esfuerzos repetidos. Para ello la ma-
teria gris del cerebro del hombre es muy inestable y muy plástica; y
en su organización sucesiva durante la vida se va registrando, por
decirlo así, todo lo adquirido por los esfuerzos y las experiencias;
pero este orden de consideraciones es ajeno á nuestro propósito.
asuntos, que sea el particular objeto de ella; pero puede ha-
ber una ciencia más general y comprensiva, que tenga por
- misión investigar las leyes generales por las cuales se rijan
los movimientos de modificación de individuos y agrupacio-
nes, bajo la acción de las fuerzas psíquicas, y cualquiera que
sea el asunto que se considere (*).
Con esta generalidad concebimos nosotros la Mecánica
social como una rama de la Sociología abstracta.
Muchos sociólogos encuentran tales semejanzas y tantos
caracteres comunes entre las agrupaciones sociales psíqui-
camente consideradas, y los organismos animales, —parti-
cularmente el cuerpo humano (que es el organismo más per-
fecto ), —que para el estudio de su extructura, de su fisiolo-
gía y de su vida, no vacilan en mirar las agrupaciones so-
ciales como organismos naturales, y en analizar así el pro-
ceso de su desenvolvimiento y de su vida. Algunos como
Lilienfeld llegaron hasta decir que dicha analogía no debía
de concebirse en un sentido figurado, sino perfectamente
real; aunque después este sociólogo abandonó esa extra-
vagante posición intelectual. Otros, como D. Francisco Gi-
ner, piensan que el organismo social no es fisiológico, sino
psicofísico. Pero todo ese estudio de los órganos, de sus
funciones, de sus relaciones mutuas y de sus relaciones con
todo el ser de la agrupación social, etc., es enteramente
ajeno á lo que nosotros intentamos tratar en estos Apuntes.
Así como es posible hacer abstracción de la complejidad
orgánica del cuerpo de un animal, considerarlo simplemen-
te como un sistema de puntos materiales y verle sometido,
por la acción de fuerzas físicas, á las leyes de la Mecánica
para su equilibrio ó su movimiento en el espacio (aunque á
(+) El Profesor Simmel dice que las leyes de la asociación en ge-
neral podrán ser descubiertas, si se ve lo que haya de común en las
diversas asociaciones humanas que existan con fines especiales, ya
económicos, ya religiosos, ya políticos, etc. etc.
e e
veces aparezca lo contrario), asi también parece posible ha-
cer abstracción de la disposición orgánica que haya en una
agrupación social como ser vivo, de la manera como cada
órgano desempeñe su función sirviendo al fin común del or-
sanismo todo (por el principio de la división del trabajo),
etcétera; prescindir —en una palabra —de lo que se relacio-
ne con la vida de la agrupación social y con las leyes bioló-
gicas, para considerarla como un sistema de individuos y de
colecciones parciales de individuos, sobre los cuales se ejer-
zan influencias de naturaleza psíquica, que actúen como
fuerzas, é intentar —sobre convenciones especiales — la apli-
cación de los Principios y Teoremas de la Mecánica racional.
En este estudio, puramente mecánico, no interesa ya todo
aquello, que será objeto de las ciencias sociales particulares
apoyadas en la Sociología; lo mismo que en el estudio me-
cánico del cuerpo de un animal no interesa lo que se refiere
á su organización para la vida que es el objeto propio de
las ciencias llamadas naturales, incluyendo en éstas la Psico-
logía .
Sea de esto lo que fuere, — y volviendo á lo que decia-
mos — se observa que así en los individuos como en las
agrupaciones sociales, cada uno de aquellos géneros de
asuntos de carácter social es influido por todos los otros, y
refluye á su vez sobre todos ellos, con lo cual se revela la
solidaridad en lo psíquico, así individual como colectivo.
Pero para el estudio, habremos de considerar solamente un
determinado asunto, sea científico, económico, político ó re-
ligioso, etc., para ver, respecto de ese solo asunto, lo que
puede haber de mecánico, es decir, intentar la aplicación de
las leyes de la Mecánica al equilibrio ó movimiento en ese
asunto, de los individuos y de las agrupaciones sociales.
Aunque en cada hecho socíal se den conjuntamente todos
ó casi todos los géneros de asuntos, penetrándose mutua-
mente, consideramos indispensable mirar por abstracción el
hecho bajo uno solo de sus aspectos sociales (uno cualquie-
LE
ra), porque la complicación sería enorme si se intentara
aplicar las leyes mecánicas al hecho social en toda su com-
plejidad. Conviene no olvidar, sin embargo, que cada as-
pecto es influido —como decíamos —por todos los demás.
Habremos de considerar á los hombres en su aspecto in-
dividual, y bajo el aspecto de agrupaciones sociales, tales
como se nos presentan hoy en las sociedades civilizadas, sin
entrar en consideraciones sobre origen, historia, etc., que
son cuestiones sociológicas extrañas al estudio que intenta-
mos hacer.
Al pensar en el ser colectivo de una agrupación social
dada, notamos que, aunque los individuos y los elementos
sociales constitutivos de ella se renuevan, como se renuevan
ciertas partes constitutivas del organismo de un animal, de
tal modo que en el transcurso de algún tiempo todas esas par-
tes han cambiado; notaremos, digo, que hay otras cosas fun-
damentales en la agrupación, como ser vivo, que permanece
á través de todos esos cambios realizados. Este punto de
vista, muy interesante para la Sociología, no ha de ser tam-
poco tomado en cuenta aquí, porque nos alejaría demasiado
de las leyes puramente mecánicas.
Cuando hablemos de agrupación social entenderemos
siempre referirnos á una entidad constituida por individuos
y por colecciones parciales de individuos, enlazados unos y
otras entre sí por modos bien definidos para todos los asun-
tos de carácter social. Así serán para nosotros agrupaciones
sociales de grados sucesivos: la familia, el municipio, la
provincia ó región, la nación (*). Quizá podrían ser consi-
deradas también como agrupaciones sociales la raza y la
humanidad.
(*) Estas son las que D. Gumersindo Azcárate denomina personas
sociales totales. No adoptamos esta denominación, por ser nuestro
estudio exclusivamente mecánico; y ser, por tanto, ajeno, en cierto
modo, al concepto de persona.
— 134 —
Antes de definir lo que entendemos por movimiento en un
asunto de carácter social, empecemos por notar que en un
instante dado hay en cada individuo un conjunto psíquico
de ideas, conocimientos, sentimientos, hábitos, cierto tem-
ple de voluntad para la acción, etc., en ese asunto de que
tratemos; y que en todo esto, aunque no bien definido, do-
mina alguna especie de homogeneidad, que dimana del
asunto mismo á que se refiere lo psíquico, considerado en
aquel conjunto (*). Así también en un instante dado hay en
toda agrupación social un conjunto de instituciones estable-
cidas, de conocimientos, de arte adquirido; hay un cierto
sentido ético, etc., y todo ello, en relación á un mismo asun-
to, lo podemos mirar, aunque algo vagamente, como un
conjunto, en el cual reina también, en cierto modo, alguna
homogeneidad.
A fin de poder conservar las proposiciones de la Mecánica
racional con los mismos términos que ésta emplea, daremos
á las palabras posición en un asunto de un individuo ó de
una agrupación social un significado que corresponda á algo
análogo á la posición en el espacio de un punto ó de un sis-
tema de puntos. Llamaremos posición en un asunto de un
individuo ó agrupación en un instante dado: el conjunto de
todo lo psíquico que haya, de cualquier modo que sea, en ese
instante en el individuo ó en la agrupación y que se refiera
al asunto. |
Atentos solamente á la aplicación teórica que vamos á
intentar, prescindimos de aquilatar la mayor ó menor pro-
piedad de esa denominación. Siento no encontrar otra pala-
bra más apropiada que la palabra posición para expresar lo
que quiero indicar. La palabra estado corresponde en Mecá-
($) Dice Durkheim que esas notas psíquicas tienen un cierto va-
lor de hechos sociales, en tanto cuanto los demás hombres con quie-
nes ha convivido el individuo hayan influido en ellas. Esto ahora no
nos interesa, aunque más adelante habremos de considerarlo.
— 135 —
nica, no sólo á eso que hemos llamado posición, sino tam-
bién á lo que llamaremos velocidad; por esto diremos más
adelante estado de reposo, para significar que un individuo
tiene velocidad nula, cualquiera que sea su posición en un
asunto en un instante dado. El estado de movimiento requie-
re—para ser algo bien definido—no sólo el conocimiento de
lo que hemos liamado posición, sino además el conocimien-
to de la velocidad en el mismo instante. Esto se aclarará
más adelante.
Si en un asunto del género científico, por ejemplo, consi-
deramos á un individuo de los que se ocupan en él, diremos
que tiene ese individuo, en un instante dado, su determinada
posición en el asunto, que se manifiesta:
Por sus conocimientos é ideas actuales sobre el asunto;
Por su hábito (con valor actual) de mirarlo de cierto
modo;
Por los sentimientos que en él acompañan actualmente á
esos conocimientos y hábitos;
Por el tono actual de su voluntad, etc.
Respecto de un asunto de cualquier otro género —político,
jurídico, económico, religioso, moral, artístico, pedagógico,
etcétera, podría decirse lo mismo, tratando de un indi-
viduo (*).
(4) Respecto de la definición que hemos dado de la posición en un
asunto del individuo, debemos de hacer notar que lo que haya en el
individuo en un instante cualquiera puede estar: ó bien en la concien-
cia (que es lo estrictamente psiquico), ó bien sumergido en el fondo
insondable de lo inconsciente ó subconsciente. Pero como á juicio de
los psicólogos más eminentes lo inconsciente tiene su valor tan real
y efectivo como lo consciente, debe de quedar incluído en lo que
hemos llamado posición del individuo en un asunto; y es más funda-
mental—como indica Maudsley — que lo que haya en los estados de
conciencia, y sea por esto estrictamente psíquico. Al considerar,
pues, la posición en un asunto del individuo se ve que es en realidad
en un instante dado, lo mismo que la abstracción mental que (según
Maudsley) llamamos nuestro yo en ese instante, que es: «una combi-
— 136 —
Si como caso particular de aerupación social se piensa en
una nación, y se la considera en un asunto del género polí-
tico, por ejemplo, diremos, igualmente: que en un instante
dado esa nación tiene su determinada posición en el asunto,
y que está expresada por todo el conjunto psíquico anterior-
mente expuesto de ideas, sentimientos, aspiraciones, etc.,
de todos y cada uno de los individuos, así como de todos y
cada uno de los elementos sociales de que hablaremos más
adelante —y que enlazados entre sí y con los individuos
constituyen la agrupación nacional. — Se entiende que esas
ideas, deseos, sentimientos, etc., han de referirse al asunto
político de que se trate.
La diferencia entre lo que llamamos aquí posición en un
asunto de un individuo y la de un punto geométrico en el
espacio, estriba en que ésta es simple—por decirlo así—
mientras que aquélla es compuesta, porque comprende
todo lo psíquico que, en relación al asunto, haya en el indi-
viduo en un instante dado; y consta, por tanto, de muy va-
riados componentes (*). Podemos, sin embargo, concebirla
como simbolizada por la posición que un punto ocupa en el
espacio en ese instante.
La misma diferencia se nota entre lo que hemos llamado
posición en un asunto de una agrupación social en un ins-
tante, y la de un sistema de puntos en el espacio. Aquella
se refiere —como ésta —al conjunto de todos los individuos
y de los varios elementos sociales que constituyan la agru-
pación; pero las posiciones en el asunto de estos individuos
nación que contiene todos los residuos de todos los pensamientos, de
todos los sentimientos y de todas las voliciones precedentes, com-
binación que cambia continuamente .
Este cambio de la posición por ley de continuidad en el tiempo es
lo que llamaré después movimiento del individuo en un asunto.
(*) No entramos en disquisiciones de Psicologia acerca de esos
componentes psíquicos, y usamos la palabra compuesta en el sentido
vulgar y corriente del lenguaje ordinario.
— 137 —
y elementos es compuesta, como hemos dicho. La posición
que un sistema de puntos ocupe en el espacio en un instante
dado nos servirá—á pesar de esas diferencias —como símbo-
lo de la posición en un asunto de una agrupación social en
ese instante.
Claro es que cada punto con su posición en el espacio es
el símbolo de un individuo ó elemento social con la suya en
el asunto. Las posiciones simultáneas (en un instante dado)
en el espacio de los diversos puntos que constituyen un sis-
tema material son meros símbolos geométricos de las varias
posiciones que — en ese instante — tienen en un asunto los
individuos y los elementos sociales que constituyen la agru-
pación, toda vez que estas posiciones de que hablamos aquí
son concebidas como compuestos psíquicos ajenos al espa-
cio (+).
Si concibiéramos que la posición en un asunto de un indi-
viduo ó de una agrupación fuera invariable en el tiempo; es
decir, que no tuviera cambio ó modificación alguna al trans-
currir el tiempo, diríamos que ese individuo ó esa Sociedad
se hallaria en estado de reposo en el asunto considerado.
A esta posición invariable correspondería un determinado
modo de pensar, de sentir y de proceder en el asunto que se
considera, y ese determinado modo no se modificaría, sería
constante en el tiempo.
Si, por el contrario, la posición en el asunto cambia con el
tiempo, es decir, que se modifica por ley de continuidad al
transcurrir el tiempo (por ley de continuidad también), dire-
mos que el individuo ó la agrupación social se halla en
estado de movimiento en el asunto, socialmente hablando.
Esta palabra movimiento expresará, pues, para nosotros
aquí, que hay modificación ó cambio en la posición del indi-
(*) Definiremos más adelante lo que entendemos, en general, por
elementos sociales; y diremos cómo concebimos que podrían ser sim-
bolizados geométricamente por puntos.
Bis
viduo ó de la sociedad dentro del asunto á que nos referi-
mos; y á este cambio corresponderán modificaciones en la
manera de pensar, de sentir y de proceder.
Fijando la atención en un solo individuo — para simpliti -
car—, y concibiéndolo en movimiento en un asunto, hemos
de pensar que, á partir de un instante dado, el movimiento
de modificación se efectúa en una cierta y determinada di-
rección y sentido; y esta noción adquirida por la experiencia
corresponderá en la representación geométrica á una direc-
ción y sentido, cuando un punto se mueve en el espacio.
Para explicar el significado que damos aquí á las palabras
dirección y sentido —hablando de lo psíquico —, podemos
decir que entre las innumerables orientaciones posibles de
modificación, á partir de una posición dada, la modificación
que se efectúa Ó que se realiza, tiene una determinada orien-
tación (entre esas infinitas posibles), y ésta es la que llama-
mos dirección del movimiento en el asunto.
Y así como en cada una de estas direcciones en el espa-
cio hay los dos sentidos opuestos; y que para definir el ele-
mento de trayectoría de un punto es preciso decir en cuál
de los dos sentidos es este elemento de trayectoría, así tam-
bién, para definir un determinado movimiento elemental—en
lo psíquico —se debe de decir en cuál de los dos sentidos
opuestos se efectúa, puesto que la dirección sola en el asunto
no basta para determinar cuál sea ese movimiento elemental.
A tin de aclarar esto con un ejemplo, veamos al individuo
en lo religioso. Su posición en este género de asuntos se
compone, en un instante dado, de un conjunto de ideas
(verdaderas 6 ¡alsas) que, sentidas de cierto modo, ó, mejor
dicho, que unidas á ciertos sentimientos religiosos (que las
mismas representaciones ideales pueden provocar) y que de-
penden del estado general del organismo, llegan á producir
actos religiosos voluntarios que el individuo realiza. Pues
bien; si todo este conjunto. psíquico y también lo incons-
ciente —en el cual hay cierta homogeneidad — permaneciera
"180, =
inalterable al transcurrir el tiempo, ese individuo, en lo re-
ligioso, estaría en reposo, puesto que su posición religiosa
no cambiaría en el tiempo (*).
Pero si por influencias psíquicas cualesquiera, directas óÓ
indirectas, de origen interno ó externo (lo cual ahora no nos
interesa), se ejerce sobre el individuo acciones que obren
como fuerzas, y suponemos que éstas modifiquen, ya sus
ideas Ó sus conocimientos, ya sus sentimientos Ó volicio-
nes, etc., es decir, que modifiquen su posición religiosa, em-
pleando en ello un cierto tiempo, veremos á ese individuo en
movimiento religioso á partir de la posición inicial. El cam-
bio muy pequeño que se realice en un transcurso muy pe-
queño de tiempo, tendrá una determinada dirección, verbi-
gracia, conocimiento adquirido (que no tenía) sobre la in-
tervención ó no intervención directa (en todos los sucesos)
del Dios en que él crea. Ese movimiento elemental en esa
determinada dirección, puede ser en el sentido del providen-
cialismo ó en el sentido contrario. Otro individuo en estado
de movimiento religioso también, podría moverse en otra
dirección, por ejemplo, modificando sus ideas ó sentimien-
tos sobre las relaciones del sacerdote con los fieles para de-
terminados actos. En esta dirección determinada caben los
dos sentidos opuestos, á saber: afirmarla Ó negarla, estre-
charla (haciéndola más íntima) ó atlojarla.
Si pensamos—no ya en un simple individuo—sino en una
agrupación social que se halle en estado de movimiento,
veamos cómo se podría definir este estado á partir de una
posición dada en un asunto. Para ello veamos el movimien-
to Ó cambio que se realice en un intervalo muy pequeño de
tiempo, lo que llamaremos el movimiento elemental.
Primeramente veamos la agrupación como constituída por
(+) Este supuesto no se ofrece generalmente en los individuos que
viven en las sociedades modernas civilizadas, con vida efectiva den-
tro de ellas.
— 140 —
individuos. En la Mecánica de los sistemas materiales, los
cuerpos son considerados en general como constituidos por
partículas suficientemente pequeñas para que el movimiento
de cada partícula sea único, es decir, para que sus partes (si
las tuviera) tengan todas el mismo único movimiento en cada
instante: pero como es imposible decir cuál debe ser el gra-
do de pequeñez que se requiere para eso, se corta la dificul-
tad en la Mecánica racional, tratando la partícula como un
punto geométrico materializado (doble abstracción), que se
llama el punto material. En la Mecánica social parece legíti-
ma la asimilación del individuo al punto material, toda vez
que su movimiento en un asunto es único en uninstante dado.
El individuo abstracto é ideal que concebiremos, es (bajo
este aspecto) tan indivisible, como lo es el punto material en
la Mecánica racional. (Sobre esto ya hablaremos más ade-
lante, en la Primera parte de la Dinámica). Y así, para los es-
tudios mecánicos, miramos toda agrupación social como
constituída por individuos.
Pero, además, cuando la agrupación social que se conside-
re sea de un grado de complejidad mayor que el de la fami-
lia (primer grado), ya aparecen en su constitución, no sólo
los individuos, sino también las varias colecciones de indi-
viduos, que —dentro de la agrupación total —designaremos
con el nombre genérico de elementos sociales.
Importa explicar desde ahora lo que habremos de enten-
der por elementos sociales en general, cuando los considere-
mos como constitutivos de una agrupación, juntamente con
los individuos: éstos conservarán siempre para nosotros su
propia individualidad, no como miembros de ésta ó aquella
colección parcial, sino como miembros de la agrupación, vis-
ta en su totalidad. Cuando hayamos de intentar la aplicación
de los Teoremas de la Mecánica racional á una agrupación
social mirada como sistema de individuos y elementos sociales,
será necesario además considerar definido el sistema—como
tal —por todos los enlaces (como se dice en Mecánica) que
MR
haya de los individuos entre si, de los elementos entre sí Ó
de los individuos con los elementos.
Los enlaces son los que ponen en relación los individuos
y elementos, estableciendo cierta coordinación entre ellos.
Determinan, por decirlo así, la constitución social particular
de una agrupación dada. Es dificilísimo (por no decir impo-
sible), llegar á conocer detalladamente las acciones mutuas
interiores que directamente se ejercen entre unos y otros in-
dividuos y elementos de una agrupación, así como las que
indirectamente resulten actuando entre ellos, por intermedio
de los enlaces. Ya veremos en la Segunda parte de la Diná-
mica, que si estas últimas fuerzas interiores que provienen
de los enlaces, no pueden ser determinadas particularmente,
se podría, sí, hallar por el teorema de d'Alembert, un conjun-
to de fuerzas interiores que, para cada individuo y para cada
elemento social, fuera equivalente á las de los enlaces, reli-
riéndonos siempre al asunto social de que se trate. No es
posible desenvolver esta idea aqui en los Preliminares.
Veamos las agrupaciones sociales de diversos grados. En
la de primer grado (que es la familia) se ve la agrupación
constituida simplemente por individuos, y éstos enlazados
entre sí. Los enlaces que en cada pueblo y en cada época
de su historia ligan entre sí á los individuos de una fami-
lia, pueden ser muy varios y de carácter jurídico, económi-
co, moral ó religioso. El estudio de esto corresponde á los
historiadores, á los juristas y á los sociólogos; y Su conoci-
miento sería indispensable para una Mecánica social prácti-
ca. No pudiendo ni siquiera aspirar á un bosquejo de ésta,
nos basta, para nuestras simples especulaciones abstractas,
concebir, como antes, la existencia de los enlaces. Téngase
por hecha, de una vez para todas, esta indicación respecto de
los enlaces más complicados en las agrupaciones de grado
superior (+).
(*) Sobre los enlaces sociales ha hecho el profesor Durkheim
ms O
En el Municipio como agrupación de segundo grado (*),
encontramos los individuos —las familias —y una multitud
de otras colecciones de individuos organizadas para diversos
fines sociales. Dentro de la agrupación municipal serán para
nosotros elementos sociales las familias y todas estas colec-
ciones.
Supondremos que todos y cada uno de los elementos se
puedan simbolizar por centros que respectivamente los re-
presenten; y así lo pensaremos para cada familia y para
cada centro ú asociación cientifica, artística ó profesional;
y para las que se llaman Cámaras de Comercio, Agrícolas Ó
Industriales; y para las Asociaciones filantrópicas, religiosas
y de templanza; y para las Asociaciones de obreros y las
patronales; y para las representaciones de los partidos polí-
ticos, etc: ete:
Claro es que para esta individualización —como si dijéra-
mos —de los elementos sociales, se requiere que todos los
individuos que los formen tengan algunas notas comunes en
relación con el asunto que se considere; y además, y muy
principalmente, que haya principios de coordinación que es-
tablezcan la constitución del elemento mismo, para que
sea posible conocer en cada instante la posición en el asun-
to de cada colección, por los procedimientos adecuados
(para cada una), según las relaciones que liguen entre sí á
los miembros de ella. Así puede concebirse individualizado
cada elemento social, dentro de la agrupación total.
Se entiende —ya lo indicamos antes — que aunque un in-
dividuo forme parte de varios elementos sociales, conserva
múltiples y atinadas observaciones en su libro sobre la División del
trabajo social.
(*) Hablamos de Municipio —como hablaremos de provincia ó
región y de nación —no en el sentido de subdivisión para fines po-
líticos y administrativos en general, sino en el más amplio sentido
de agrupación social.
Bi
siempre su ser, como miembro de la agrupación en su tota-
lidad; y por eso decimos que ésta se halla constituida por
individuos y elementos sociales. Es claro que cada indivi-
duo, como parte integrante de un elemento, no aparece en
la agrupación social, porque queda como fundido en el cen-
tro que simboliza el elemento.
En cuanto á los enlaces, debemos de repetir lo que ya dí-
jimos, á saber: que cada agrupación municipal se definirá
por los enlaces que se hallen establecidos de los individuos
entre sí—elementos entre sí-—é individuos con elemen-
tos (*), y serán enlaces de muy varios géneros. Nos basta
hacer constar su existencia y tener presente que pueden ex-
perimentar modificaciones en el tiempo cuando se considere
una agrupación dada.
Si de los Municipios pasáramos á las Provincias ó Regio-
nes, — y de éstas á las Naciones — considerándolas como
agrupaciones sociales de 3.” y 4.” grado, figurarían como
elementos de las primeras los municipios, representados por
centros simbólicos para individualizarlos; y como elementos
de las segundas las Provincias ó Regiones, análogamente
individualizadas dentro de las Naciones. Pero además apa-
recerán en las primeras nuevos elementos sociales de carác-
ter provincial ó regional, que pueden ser de naturaleza muy
varia; que estarán enlazados entre sí, y con los Municipios
é individuos, como éstos lo estarán ásu vez unos con otros
y entre sí; entendiendo que aquí los individuos han de ser
considerados como miembros de la Región mirada en su to-
talidad.
Lo mismo podríamos decir de las Naciones, en las cuales
habrá elementos sociales de carácter nacional muy variados,
enlazados entre sí y con las Regiones é individuos. En éstos,
(*) No se habla ahora de los enlaces ó relaciones internas de
los individuos de una misma colección. Ya dijimos que estos enlaces
sirven para individualizar cada colectividad.
== UA
como se indicó antes, sólo hemos de ver ya miembros ó ciu-
dadanos de la Nación (+).
Para dar ahora idea de lo que entendemos por movimien-
to de una agrupación social cualquiera en un asunto, recor-
demos que su posición en un instante se simboliza por la
posición en el espacio de un sistema de puntos. La agrupa-
ción, por tanto, podrá ser concebida en estado de reposo ó
en estado de movimiento —socialmente hablando—, según
el estado de reposo Ó de movimiento en que se hallen en
(*) Terminamos ya estas ligeras indicaciones. No nos incumbe
examinar lo que haya de ser la representación de una agrupación
cualquiera en su totalidad Si eso es el Estado de esa agrupación, no
hemos de entrar en su estudio, porque no nos interesa especial-
mente.
Ya hemos dicho que para el estudio mecánico de una agrupación
sólo habremos de considerar en ella individuos y elementos sociales,
sean éstos cualesquiera.
A los políticos y juristas y sociólogos corresponde la clasificación
y examen de todos y cada uno de los elementos sociales, estudiando
el modo ínterno de ser constituído cada elemento social (su esfera
privada, como se dice), y los modos de enlace con el resto de la
agrupación. Los enlaces pueden ser de esta ó de aquella naturaleza,
más Ó menos íntimos, más ó menos bien dispuestos, etc. Todo esto,
así como las transformaciones — por evolución ó por revolución — de
los elementos, y la aparición de unos elementos y desaparición de
otros en el transcurso de la vida de una agrupación social, etc., así
como la aparición, desaparición ó modificación de los enlaces, son
cuestiones enteramente ajenas á nuestro estudio, aunque los sociólo-
gos las llaman dinámicas.
Se comprende bien que el número de los enlaces entre los indivi-
duos y los elementos sociales de una agrupación, y el modo de ser
de dichos enlaces dependerán, no sólo del número de individuos y
elementos, sino principalmente de su modo de vivir en sociedad.
Por esos enlaces — que definen una agrupación dada — es que se de-
terminan los efectos que las fuerzas psíquicas sociales hayan de pro-
ducir sobre los individuos y elementos que constituyan la agrupación,
según veremos más adelante en la Dinámica Social.
— 145 —
ese instante sus ¿individuos y elementos constitutivos. Dire-
mos, pues, que se define el movimiento elemental de una
agrupación por el conjunto de cambios muy pequeños que
experimenten las posiciones en el asunto de todos sus indi-
viduos y elementos sociales en un intervalo muy pequeño
de tiempo; cada uno de los movimientos elementales de los
individuos y elementos se define, según hemos explicado,
por su dirección y sentido particular.
Si se considera una Nación como ejemplo de agrupación
social, y se trata de lo político, por ejemplo, se ve que la po-
sición política de la nación en un instante está dada por las
posiciones políticas en ese instante de todos sus individuos y
de todos sus elementos sociales. Si se concibiera que este com-
plejo conjunto de posiciones (con la significación convenida)
no cambiara en el tiempo, diríamos que esa nación estaría en
reposo en lo político. Pero la realidad no es así en general,
porque un inmenso número de influencias (para fines políti-
cos) ejercen acciones psíquicas sobre los individuos y sobre
los varios elementos sociales, y estas fuerzas sociales modi-
fican lo que hemos llamado la posición y el estado político
de la Nación. En esta modificación elemental (que es un con-
junto de modificaciones elementales) estriba el movimiento
político ó el cambio elemental del estado político de la na-
ción en el instante que se considera.
Expuesto ya cómo entendemos el movimiento de un indi-
viduo ó el de una agrupación en un asunto, diremos que la
Cinemática social es, para nosotros, la ciencia que estudia
los movimientos en sí mismos, haciendo abstracción de las
causas que los producen—es decir, de las fuerzas sociales—
para tener sólo en cuenta los cambios de posición en el
asunto, y el tiempo en que se operan esos cambios. Cuando
se haya de estudiar la influencia de las fuerzas psíquicas que
como fuerzas sociales actúen, ya sobre un individuo abs-
tractamente mirado como aislado, ya sobre los individuos y
los elementos de una agrupación, se presentarán dos casos:
Rey. Aca9Y. DE CrENCcIAs.—X.—Julio. Agosto y Septiembre, 1911. 10
— 146 —
1. Que los efectos de las fuerzas se contrarresten unos
por otros, de tal modo, que el estado en el asunto del indi-
viduo Ó de la agrupación no cambie, es decir, que no se
produzca modificación efectiva alguna, á pesar de las accio-
nes ejercidas como presiones Ó tensiones por las fuerzas.
En tal caso, diremos que el individuo ó la agrupación está
en equilibrio en el asunto, Ó bien diremos que /as fuerzas
sociales se equilibran en el individuo ó en la agrupación. El
estudio de las leyes que rijan este equilibrio será para nos-
otros el de la Estática social. Se comprende que las presio-
nes Ó tensiones que se equilibren deberán de tener magni-
tudes, direcciones y sentidos que estén en ciertas relaciones
mutuas. Tales fuerzas no obran sino estáticamente; no rea-
lizan, por tanto, trabajos efectivos, ni dan impulsiones.
2.” Que las fuerzas que actúen produzcan un cambio
efectivo para el estado en el asunto del individuo ó de la
agrupación; es decir, que la influencia de las acciones de las
fuerzas se realice, Ó bien haciendo pasar al individuo ó á la
agrupación del estado de reposo al de movimiento, ó bien si
el individuo Ó la agrupación se encontraban en estado de
movimiento en el instante en que empezaron á actuar las
fuerzas, que el movimiento continuara de modo distinto de
como hubiera continuado sin esas influencias. En uno y otro
caso diremos que el efecto de esas fuerzas sociales ha sido
dinámico. El estudio de las leyes á que obedezcan estos
cambios reales y efectivos de estado en un asunto, de los
individuos y las agrupaciones sociales, bajo la acción de las
fuerzas psíquicas que actúen, de modo continuo, durante un
transcurso cualquiera de tiempo, constituye la Dinámica so-
cial, en la cual habrá que apreciar ya las impulsiones y los
trabajos de las fuerzas, como veremos más adelante.
Así, pues:
—En la Cinemática sólo intervendrán las posiciones va-
riables en un asunto de individuos Ó agrupaciones, y el
tiempo.
— 147 —
—En la Estática sólo las posiciones actuales en un asunto,
y las fuerzas.
—En la Dinámica hay que considerarlo todo, á saber:
posiciones en el asunto, tiempo, fuerzas, y lo que liamare-
mos masas. Es ya la Mecánica social propiamente dicha.
Nótese que la Estática y la Dinámica tienen para nosotros
una significación exclusivamente mecánica, porque tomamos
las palabras en su sentido extricto, como dijimos en la /n-
troducción. Los sociólogos --pasando por encima del aspecto
mecánico, Ó desconociéndolo—dan á esas palabras un sen-
tido muy amplio, para poder tratar en la Estática de todos
los fenómenos sociales, que se muestran, por decirlo así, en
el estado estático; y en la Dinámica de todos los fenómenos
que se van desenvolviendo en el proceso evolutivo que
acompaña—digámoslo así—á la acción dinámica de las fuer-
zas sociales. Como se ve, nuestro intento es mucho más mo-
desto. Nos habremos de ceñir á la aplicación de las leyes
del equilibrio y del movimiento, formuladas por la Mecánica
racional, que es el terreno en que nos encerramos, y siem-
pre dentro del círculo de las ideas generales que correspon-
den á un curso elemental.
Como veremos más adelante, los hechos sociales, como
hechos naturales, aparecen — para nosotros —determinados
por los hombres mismos, considerados ya individualmente,
ya como miembros de elementos sociales, y teniendo en
cuenta el ambiente físico y psíquico en que se hallen. Será
indispensable, además, la consideración de los enlaces de
individuos y elementos entre sí. De esta suerte—para el es-
tudio mecánico— llegaremos á la entidad agrupación, pasan-
do por los individuos y los elementos sociales.
Algunos sociólogos proceden inversamente, y ven á los
individuos y elementos sociales á través de la agrupación
que constituyen éstos. En nuestro modo de proceder para el
estudio no se desconocerá, sin embargo, que los individuos
y elementos—tales y como aparezcan en un instante dado—
— 148 —
pueden ser, y son en último análisis, un producto de la evo-
lución de la sociedad misma de que se trate.
Todo lo que haya en el interior de cada individuo ó ele-
mento socíal—sea físico Ó psíquico—actúa directamente so-
bre él mismo y sobre los otros; y lo que haya difuso, por
decirlo así, en el medio ambiente (aunque al fin y al cabo en
los individuos) obra sobre todos, como proviniendo del con-
junto de la agrupación misma, vista en su totalidad. Esta
última influencia, muy compleja, proviene de algo que apa-
rece como resultado de toda la vida anterior de la agrupa-
ción en cada asunto de carácter social; y será para nosotros
equivalente, en cada caso, á una fuerza que actúe sobre los
individuos y elementos. Esta fuerza, que proviene del am-
biente, es lo que generalmente se denomina la acción social;
y emana —como se ve—de algo que esté en la cenciencia
pública. Cuando ésta es bien conocida, se puede estimar la
dirección y el sentido de la fuerza y su intensidad. En unos
asuntos podría ser muy pequeña ó nula la acción de dicha
fuerza, y en otros intensísima.
Se comprende bien que sólo por abstracción se puede
considerar una sociedad como entidad aislada de los indivi-
duos y elementos que la constituyen; y sólo por abstracción
también podremos considerar al individuo aisladamente,
porque siempre es, en realidad, miembro de una agrupación
social. Una y otra abstracción son—á mi modo de ver—.
legítimas para el estudio, según que se quiera fijar la aten-
ción sobre los fenómenos generales que se dan en las agru-
paciones Ó sobre los fenómenos individuales particulares;
pero siempre sin olvidar que las agrupaciones están consti-
tuidas por individuos y elementos sociales, ó que los indivi-
duos viven en las agrupaciones. Como dice muy acertada-
mente el Profesor Cooley, una vista completa de una Socie-
dad sería también una vista completa de todos los indi-
viduos, y viceversa. Este distinguido Profesor americano
considera que las agrupaciones sociales hacen á los indivi-
— 149 —
r
duos tanto como éstos hacen á aquéllas; porque no hay,
dice, ninguna razón para mirar el aspecto individual de la
vida como anterior ni como causa con relación al aspecto
colectivo. La sociedad—según él —debe de ser mirada como
un todo vital; y así pensada, es tan primaria y tan causal
como puedan serlo los individuos. Pero los fenómenos gene-
rales ó sociales no son algo separado y como contrapuesto
á los individuos, toda vez que el individuo y la sociedad no
son más que aspectos de una misma causa, la cual —como
dice Cooley - se desenvuelve por una serie de fenómenos, y
va toda ella de unos tipos á otros más elevados, más com-
plejos.
Cuando hayamos de tratar del equilibrio y del movimien-
to de una agrupación social, consideraremos este objeto de
estudio, del mismo modo que la Mecánica racional conside-
ra un sistema de puntos. Para uno ú otro estudio, los enla-
ces definen — por decirlo asi — el objeto, que es el sistema Ó
la agrupación, como entidad.
Las leyes generales y abstractas del equilibrio y del movi-
miento á que obedecen con regularidad los sistemas de pun-
tos materiales entre los cuales median enlaces, nos condu-
cirán á formular leyes generales y abstractas también á las
cuales puedan obedecer con la misma regularidad las agru-
paciones de individuos y elementos sociales entre los cuales
median enlaces, ya sean leyes de equilibrio, ya de movi-
miento. :
El verdadero problema general de la Mecánica es el de la
Dinámica de los sistemas ó agrupaciones. Así como en la
Mecánica racional se puede teóricamente predecir para cada
instante futuro las posiciones y las velocidades de los pun-
tos de un sistema bien definido, si son dadas todas las fuer-
zas que actúan, y es dado el estado inicial del sistema; así
también parece que el día en que se pudiera tener constituí-
da científicamente la Dinámica social, se podría llegar á
aquel resultado para las posiciones y velocidades (en un
— 150 —
asunto social) de los individuos y elementos de una agrupa-
ción bien definida, con los datos indispensables de fuerzas
y el conocimiento del estado inicial. Es claro además que las
tensiones dinámicas de los enlaces sociales deberán de obe-
decer á las leyes formuladas por la Dinámica de los sistemas
materiales, como veremos en lugar oportuno (*).
(Continuará.)
(+) Schaeffle dice que respecto de una agrupación social dada se
puede predecir de un modo enteramente cierto como haya de con-
ducirse respecto de un problema económico, político, artístico ó reli-
gloso.
Esta indicación de Schaefíle corresponde bien á lo que hemos
apuntado; porque decir una agrupación social dada, equivale á decir
que se conocen bien los individuos y los elementos sociales, así como
los enlaces que definen la agrupación de que se trata; y también el
estado inicial en que se encuentre esta agrupación respecto del
asunto que se considere. Y al decir un problema, se refiere quizá
Schaeffle —así parece—al conjunto de fuerzas así exteriores como
interiores que, en relación con el asunto, actúen sobre la agrupa-
ción.
VI. —Estudio acerca de la dunita platinifera
de los Urales.
POR S. PIÑA DE RÚBIES.
El objeto del presente trabajo es dar á conocer la compo-
sición química de la dunita, roca hiperbásica cuya constitu-
ción, muy semejante á la de varios meteoritos, presenta im-
portancia excepcional. En efecto, se sabe, después de los
trabajos de Inostranzeff (*), Wyssotsky (**) y particular-
mente del profesor Duparc (***), que es precisamente la
(+) Gisement primaire de platine dans 'Oural. Mitteilung der Na-
turforschenden. Geselleschatt. St. Petersbourg.
(**) Notice preliminaire sur les gisements de platine dans les bas-
sins des riviéres Yss, Wya, Toura, Niasma. Bulletin du Comité géo-
logique de Russie, tome XXII.
(+) 1902 y 1905 Dupare et Pearce. Recherches geologiques ef
petrographiques sur 'Oural du Nord. Mém. de la Soc. de physique
Genéve. Vol, 34,
1903 L£. Duparc. Les gisements platiniféres del 'Oural. Quatrié -
me période, tome XV. Archives des sciences physiques et
naturelles.
1909 L. Duparc. Les gisements platiniferes et Porigine du platine.
Archives des sciences physiques et naturelles. Geneve, Qua-
trieme période, tome XXVII.
1910 L. Duparc. Note preliminaire sus quelques gisements curieux
de platine de P'Oural Riv. Omontuaía. Laboratoire minéra-
logique de Institut polytechnique de Pétersbourg.
1910 £. Duparc et F.Pom fil, Sar la composition chimique et Puni-
formité pétrographique des roches qui accompaguent la du-
nite dans les gisements platiniféres. Bulletin de la Société
minéralogique de France.
1911 L£. Duparc et H. C. Holtz. Notiz iiber die chemische Zusa-
men setzung eniger Platinerze aus dem Ural. Tscheranmales
Mineralogische un petrographische Mitteilung.
— 152 -—
roca madre del platino, y se puede decir que la casi totali-
dad de los yacimientos platiniferos de los Urales tiénenla
por origen.
Recientemente Duparc ha demostrado que, aparte la du-
nita, existen otras rocas platiniferas, especialmente las piro-
xenitas; pero el caso debe considerarse excepción, y los ya-
cimientos cuyo origen no sea la dunita, carecen de impot-
tancia desde el punto de vista práctico. La mayor parte del
platino producido en el mundo (92 por 100), procede de
los Urales y según puede verse más adelante, la mayor
parte de dicho metal se obtiene de la dunita.
A pesar de ser una roca de importancia capital, es poco
conocida, y, sobre todo, se ignoran las relaciones que exis-
ten entre ella y las diversas variedades de platino.
Siguiendo las indicaciones del profesor Duparc, de la Uni-
versidad de Ginebra, emprendí el estudio de tan interesante
problema.
Emplazamiento de la dunita en los yacimientos platiniferos.
Resulta muy uniforme en los yacimientos primarios de los
Urales, y puede resumirse, según Duparc (*), de la si-
guiente manera:
1.2 Al centro un afloramiento macizo de dunita de forma
vagamente elíptica. El eje mayor de la elipse está orientado
en la dirección de la cordillera de los Urales.
2.2 Alrededor, una faja más ó menos desarrollada de pi-
roxenitas, acompañadas de rocas melanócratas con ellas
relacionadas. |
3.” Una zona periférica de rocas feldespáticas más leucó-
(*) 1911 £. Duparc. Le platine et les gites platiniferes de 1"Oural.
Arch. des sciences phy. et naturells. Geneve, tome XXXI, mars, avril,
mai et juin.
ls
cratas denominadas comúnmente gabros, gabrodioritas, dio-
ritas, etc.
Examinando sus relaciones recíprocas se ve que hay com-
penetración de las unas en las otras; por ejemplo, de la du-
nita en la piroxenita.
El plano adjunto, debido á Wyssotsky (y que puede con-
siderarse prototipo en su clase) reproduce la disposición
indicada (fig. 1.)
La dunita se halla de ordinario descompuesta supertficial-
mente, llegando algunas veces á ser profunda su alteración,
y entonces se desmenuza como el grés ferruginoso. Cuan-
do la altura de la montaña sobrepasa el límite de la vegeta-
ción, el color de la dunita es rojizo debido á la descomposi-
ción indicada.
La topografía de los ouwals duníticos es muy característica
y uniforme, las cimas son onduladas, sin crestas agudas, y
ordinariamente cubiertas por bosques de pinos.
En las regiones muy alteradas la dunita se distingue siem-
pre de la verdadera serpentina, cuya dureza es mayor y cuya
pátina es también diferente; además, se erosiona de otra ma-
nera.
Es de notar que cuando la dunita está en relación con un
macizo de rocas básicas (piroxenitas singularmente), no
aflora nunca en el centro de éstas, sino en los bordes. Tal
es el caso de los yacimientos del Iss que están situados en el
borde occidental del gran macizo de Katchkanar.
Conocida la disposición de los yacimientos duníticos, va-
mos á describir ahora su situación en la cordiliera de los
Urales, descendiendo de Norte á Sur:
1.2 Yacimiento de Daneskin-Kamen (*), situado en la
orilla izquierda del riachuelo Soswa del Sur. Toman origen
en este yacimiento los arroyos Soswa y sus afluentes platiní-
feros Solwa y Supreia.
(*) Este yacimiento fué estudiado por Lewinson-Lessing.
Si a
+ Mt Gofaia
Picota dal | !:
(o | VAT
Riv. Wiss;
(a Dita . Gabrodioritas, etc.
EE Piroxenitas. ECO Pizarras dinamo-metamorficas.
Tilaitas. (II. Pizarras cristalinas,
E Serpentinas.
Figura 1.
Carta geológica típica del centro platinífero de Taguil, según los Sres. Wyssotskyy Lavaritsky,
— 155 —
2. Yacimiento de Gladkaia-Sopka (*), en la orilla iz-
quierda del Wagran, en la Wagranskaya-Datcha, hacia el
Oeste del pueblecillo de Baroaskve. Este yacimiento da ori-
gen al riachuelo platinifero Travianka afluente del Wagran.
3. Yacimiento de Tilai-Kanjahonwsky, en el extremo
Norte de la Pawdiuskaya-Datcha, próximo al monte Ostchy
y al río Kalwa, posee este yacimiento dos placeres platiní-
feros: Jow y Paloudniewaía, que se deslizan por la ver-
tiente siberiana.
4. Yacimientos de Koswisky-Kamen en la Pawdiuskaya
y Rastenkaya-Datcha.
Los yacimientos son dos.
El primero se halla situado en la vertiente occidental del
Koswinsky y constituye el Sosnowsky-Ouwal, del cual des-
cienden los placeres platiníferos: Logwiuska, Malaía y Bal-
chaía Sosnowka, afluentes del Tilaí, situados todos en la
vertiente europea de los Urales.
El segundo centro primario Kttlim está situado en la falda
oriental del Kosvinsky y alimenta de platino á los aluviones
del Kitlim que corre por la vertiente asiática, y probable-
mente á los de la ribera Malaia-Koswa, afluente del gran
Koswa, que desciende por la vertiente europea.
5.7 Yacimiento de Kaménouchky, situado en la Paw-
diuskaya-Datcha (50 kilómetros más al Sur que el anterior),
con el Niasma y sus afluentes Kaménouchka y Kamenka, en
la vertiente asiática.
6. Yacimientos del /ss. Son dos: el primero, llamado
Waressowy-Ouwal, está situado al Norte y en él nacen los
placeres platiniferos Maloí y Balchoi Pokap, Malaía y Bal-
chaía Prostokischenka y la Bererowka.
El segundo ó del Sur, Swefli-bor, que alimenta de platino
á las vertientes Kossia é Iss. Esta última penetra en la parte
(*) Este y los siguientes yacimientos fueron descubiertos y £-
tudiados por Duparc.
— 156 —
Norte de Swtli-bor y contiene platino durante el recorrido
que hace por dicho yacimiento. Recibe como afluentes varios
riachuelos ó lojoks, que proceden indistintamente de ambos
centros duníticos, y es á su vez afluente del Toura, el ma-
yor placer platinítero de los Urales que corre por la vertien-
te asiática.
71.7 Yacimiento de Taguil. Es el más importante de los
centros duníticos primarios; está situado en la Taguilskaya-
Datcha y al Sur de los anteriores.
Los arroyos platiniferos á que da origen son: Martiau,
Wissym y Syssym, afluentes de la Outka, en la vertiente
europea. En la asiática el Tschauch, que desemboca en el
lago Tschernoistotschnik.
8.- Yacimiento de Omontnaia, uno de los más pequeños,
situado en la cordillera Sysserskaya-Datcha, al Sur de Eka-
terineburg; provee de platino al placer de Omontnaía y á
algunos lojoks afluentes del mismo.
Las diferentes rocas que se encuentran en la doble faja
de piroxenita y gabros que circunscriben la región dunítica
han sido ya estudiadas por Duparc.
Me he limitado, pues, á la dunita, y he analizado varias
muestras procedentes de los yacimientos anteriormente cita-
dos, con el objeto de precisar:
1.2 Si la composición química de la dunita es constante,
ó si por el contrario varía notablemente de un yacimiento á :
otro.
2.” Si los minerales constitutivos de dicha dunita son de
composición variable.
3.” Si existe una relación entre la composición de la du-
nita y la del platino que contiene. Además, como se indi-
cará luego, aparte del platino, la dunita contiene segrega-
ciones de diversos minerales, especialmente de cromita, ha-
biéndome propuesto resolver el mismo problema respecto
de tales segregaciones.
— 15/ —
Método analítico seguido.
El análisis cualitativo demuestra que dichas rocas contie-
nen: sílice, alúmina, cromo, hierro, magnesia (jamás calcio),
titanio é indicios de manganeso.
Se toma exactamente un gramo de mineral bien pulveri-
zado, se disgrega con Na, CO, se disuelve en AC! y se
insolubiliza la sílice; al lavarla por decantación, hay que te-
ner mucho cuidado que las partículas de SiO, no caigan
sobre el filtro; las que caen se sacan con una espatulita de
platino, con muchísimo cuidado (para no romper el filtro), se
reunen con las de la vasija (*), se filtra y se repite la inso-
lubilización en el líquido filtrado.
Después de haber determinado la sílice, guárdese cuidado-
samente el crisol, pues puede contener indicios de hierro,
etcétera, que no han podido ser separados de la sílice.
Precipitación del hierro, cromo, alúmina y titanio (**).
Se precipitan dichos metales con amoníaco. Al principio se
añade concentrado y en frío y cuando el punto de neutrali-
zación se acerca, entonces se calienta el líquido hasta la ebu-
llición y se le añade gota á gota amoníaco diluido.
Se lava tres veces por decantación. Se disuelve el precipi-
tado en HC! (que se verterá sobre el filtro, para disolver
las partículas que no han podido ser sacadas con la espátula
de platino).
Se repite la precipitación (cuidando que en el liquido haya
(+) Para obtener una sílice muy blanca hay que lavar 8-10 veces
con AC! concentrado y muy caliente.
(**) Método L. Duparc.—Archives des sciencies physiques et na-
turelles.—Genéve, 1905.
— 153 -—
exceso de NH,C!) y demás operaciones como anterior-
mente. (Se lava luego con las mismas precauciones que se tu-
vieron con la sílice.) Se calcina y pesa.
Separación del hierro y del titanio de la alúmina
y el cromo (*).
Se disgrega la mezcla de los óxidos con 6 gramos de
Na, CO,. La masa es disuelta en agua hirviendo; se lava
el óxido de hierro y de titanio, per decantación (sobre doble
filtro), y se recoge el precipitado que se calcina en el mismo
crisol. Se repite la fusión con el carbonato y se lava de nuevo
sin hacer pasar el precipitado. Este se disuelve (como en el
caso anterior), y, por fin, se precipitan el hierro y el titanio con
NH.;. Y se pesan como óxidos, siempre en el mismo crisol.
Separación del hierro del titanio.
Disgréganse los óxidos con bisulfato potásico, la masa
fundida se disuelve en agua acidulada por H, SO, y se di-
vide el volumen en dos partes iguales. En la una se titula el
hierro con el KMnoO, y en la otra se busca el titanio por el
procedimiento Weller (**) algo modificado.
-.
Separación del cromo de la alúmina.
Para la separación del cromo de la alúmina ensayé el mé-
todo estudiado en la Universidad de Ginebra, durante el
curso de mis análisis, por mis compañeros los Sres. Tchar-
viani y Wunder (***), comparándolo con los resultados ob-
(*) L£. Duparc. Ann. chim analyt., 1904, p. 201.
($) Treadwell. L. C. D., p. 78.
(+) Wunder Tcharviani. Ann. chim. analy. 16 1-7-1911.
MN
tenidos por el método general y lo adopté definitivamente
por resultar excelente.
Está basaqp en la reacción siguiente:
+ 5NH¿+C0,+ HO, + AL(OH),.
En lugar de neutralizar el exceso de Na, CO, con un
ácido, con lo que se reducía siempre una pequeña canti-
dad de cromato, en este método se emplea la acción del
NH, NO, para descomponer el. Na, CO, excedente.
Modo de operar: á la solución conteniendo el aluminato,
cromato y exceso de carbonato sódico, se le añade en ca-
liente un exceso de nitrato amónico (sólido). La precipitación
está terminada cuando no hay más desprendimiento de
anhidrido carbónico, siendo necesario eliminar el amoníaco
por ebullición para que la precipitación sea completa.
El cromo se precipita con el amoníaco, después de haber
acidulado el líquido filtrado con ANO, y haberlo reducido
con alcohol (hay que tener cuidado de no acidular mucho,
pues la acción del ácido nítrico sobre el alcohol es muy vio-
lenta).
Precipitación y determinación del Mg.
Al líquido filtrado, después de haber precipitado los cuatro
metales, se le alcaliniza fuertemente con NH, y se le añade
fostato sódico (véase Treadwell). Se calcina primero el filtro,
después el precipitado en un crisol de porcelana. Si el pre-
cipitado es gris se le añaden unos cristalitos de NH,¿N O, (*)
y se calcina de nuevo. Se pesa como pirofosfato.
(+) Empleo de preferencia el NH, NO, al HNO.,, pues con este
último hay que evaporar y calcinar con mucho cuidado al principio
para que la masa no decrepite, y, por lo tanto, no haya pérdidas.
— 160 —
Determinación del hierro ferroso.
Por el método corriente: disolver el venal en EFE
corriente de C O, y titular con KMn O,. El resultado obte-
nido se calcula en hierro férrico y se resta de la cantidad
total de hierro obtenido anteriormente.
Determinación del agua de constitución.
Se pesa un gramo de substancia previamente desecada
á 110%, se calcina en un crisol de platino durante hora y
media con el soplete.
Durante la operación se hace pasar una corriente de C O,
para evitar la oxidación del hierro ferroso. Se pesa y se re-
“pite la operación hasta peso constante. La diferencia da el
agua de constitución en este caso.
La dunita desde el punto de vista petrográfico.
La dunita es una roca compacta de color verde obscu-
ro; su estructura granular es muy uniforme y cristalina, y á
simple vista se distinguen los granos: de olivino de los pe-
queños octaedros muy brillantes de cromita.
Observada al microscopio, cualquiera que sea el yaci-
miento de que proceda, se nota uniformidad absoluta.
La dunita platinífera no contiene más que dos minerales:
el olivino y la cromita. i
El olivino se presenta en forma de granos redondeados,
idiomorfos, de dimensiones constantes; su exfoliación es
g=0,10, difícilmente visible en los diferentes minerales cxa-
minados.
Las propiedades ópticas son muy constantes: ng = 1.689,
nim=1.671, np=1.654.
neg—np=0.035, ne —nm=0.019, nm—np=0.016.
— 161 —
El ángulo de los ejes ópticos 2V, oscila entre 83 y 84"; las
variaciones observadas son pequeñisimas.
La cromita, en pequeños granos octaédricos, se encuen-
tra diseminada en el olivino, ó situada entre sus granos.
Por orden de consolidación, la cromita ha precedido al
olivino.
Igualmente se encuentran en la dunita unos haces ó se-
gregaciones más ó menos importantes de cromita, formando
un mineral compacto de estructura cristalina, que se localiza
en forma de venas irregulares (Schlirias).
El platino se halla muy irregularmente distribuido en la
dunita. Considerada en conjunto resulta muy pobre de me-
tal, como lo demuestran las recientes investigaciones de Du-
parc (*); pero teniendo en cuenta sólo ciertas regiones, pue-
de decirse que es muy rica, porque el platino se halla con-
centrado en ellas, unas veces cristalizado en la dunita (for-
mando pequeños cristales aislados) y otras veces cristalizado
en la cromita, rodeándola y moldeándola como si fuera un
cemento. En el orden de consolidación es, pues, posterior
á la cromita.
La dunita, como se ha dicho anteriormente, se encuentra
á menudo alterada; la alteración proviene del olivino, que
se transforma en serpentina, según el proceso siguiente (**):
La serpentinización del olivino empieza á lo largo de sus grie-
tas, y poco á poco se desarrollan como unas cintas de un mi-
neral verdoso ó amarillo dorado, la antigorita. Estas se van
ensanchando y pasan de un cristal á otro hasta invadir la
roca, tomando la forma de una red. A veces presentan una
especie de fibrosidad transversal, que les da aspecto de
(*) L. Duparc. Le platine et les gites platiniferes de 'Oural. Asch.
des Scien. Phy. et Nat. Genéve, tome XXXI-1911.
(E) L. Duparc et F. Pearce: Recherches géologiques et pétro-
graphique sur l'Oural du Nord. Mém. de la Soc. de Physique de Ge-
néve.
REV. AcaD.DE CigNcias,—X,—Julio, Agosto y Sepfiembre, rgr1. 11
— 162 —
muaré muy particular, y están divididas en dos partes simé-
tricas por una línea meridiana formada por puntuaciones de
magnetita.
Desde el punto de vista ápticos estas cintas son positivas
longitudinalmente.
La birefringencia no pasa de 0.009. En ciertas regiones, la
roca serpentinosa parece isotrópica y haría la ilusión de una
substancia coloide si no fuera por las manchas isotrópicas,
que son (con luz natural) idénticas á las cintas birefringentes.
Con luz convergente, estas regiones isotrópicas dan una
cruz obscura, uniáxica, de signo óptico negativo. Tales ca-
racteres coinciden con los de la antigorita uniáxica. En las
variedades de coloración intensa se nota un ligero policroís-
mo, que es de la siguiente manera: n= verdoso, np =ama-
rillo claro, algunas veces amarillo de oro. La coloración de
las cintas de antigorita puede variar en una misma prepa-
ración microscópica.
Si la serpentinización continúa, los granos de olivino se re-
ducen á pequeños núcleos, que llegan á veces á desaparecer
por completo en ciertas regiones. Hasta hoy apenas se han
encontrado dunitas que hayan llegado á tal grado de serpen-
tinización, conteniendo siempre indicios del olivino primitivo.
La estructura que presenta la antigorita en las regiones de
donde ha desaparecido el olivino, varía á menudo: á veces
predomina la estructura reticular idéntica á la descrita por
por Lacroix. Las cintas más ó menos delgadas de antigorita,
rodean ciertas zonas del mineral, orientadas Ópticamente de
distinta manera. Generalmente las cintas son mucho más
birefringentes que los espacios que rodean; éstos, sin embar-
go, están formados por antigorita, sin que nunca exista ma-
teriz coloide. Cuando la estructura reticular predomina re-
sionalmente, ciertos espacios de la preparación parecen
isotrópicos, debido á la relativa delgadez de las cintas bire-
frigentes, respecto del núcleo central que rodean y que casi
es isotrópico. |
— 163 —
Otras veces la estructura de la antigorita en los puntos
de donde el olivino ha desaparecido, es muy distinta: las
anchas cintas de antigorita se reunen en haces. Para cierta
posición de la platina del microscopio, todos los haces pa-
recen igualmente iluminados, y si la zona es bastante ancha
para llenar el campo visual, podría creerse que se trata de
un sólo cristal. Sin embargo, haciendo girar la platina del
miscroscópico se iluminan los haces de diferentes maneras y
toman el aspecto de muaré, que recuerda el de ciertas pre-
paraciones de picrolita.
La serpentinización, en la mayoría de los casos, no llega á
tal extremo, siendo la estructura alveolar la más corriente, en
la cual las cintas de antigorita se han ensanchado mucho
y rodean los pequeños núcleos de olivino que han quedado
intactos.
La antigorita se presenta, pues:
1.2 En forma de red ó malla.
qee toma de az!
3.” En forma alveolar.
Según el grado de alteración del olivino.
Análisis de las dunitas de los principales yacimientos
platiniferos.
A continuación se exponen los datos de los análisis, ex-
presando los contenidos en la columna A los resultados di-
rectos, y en la columna B, los calculados para la composi-
ción centesimal, no comprendiendo en ella el agua de cons-
titución. i
Examinaremos los yacimientos, yendo del $. al N.
Dunita del yacimiento de Omontuaia.
Es uno de los más pequeños de los Urales; está situado
en el monte Sysserskaya-Datcha, en la falda europea. El aflo-
ramiento dunítico tiene forma elíptica, midiendo su eje prin-
— 164 —
cipal, que se dirige de NO. á SE. cerca de 2 kilómetros,
mientras que el otro eje apenas mide 1. La dunita está ro-
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NS
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Piroxenitas. —) Dunite. [5% Gabros.
==] Gabrodioritas. Cuarcitas.
Figura 2.
Carta del yacimiento platiniífero de Omontnia.
— 165 —
deada de una ancha faja de piroxenitas, y éstas á su vez de
gabros y gabrodioritas.
El río Omontuaia atraviesa la región extrema NO. del
afloramiento dunítico. (Fig. 2).
Análisis de la muestra tomada en el lojole Bornolokot (E).
A B
EAS 11.97 »
SiO, = 35.00 39.79
AO A OT 0.17
GENOA = 08D 0.76
FejO= 03.85 4.37
FeO = . 4.36 4.95
MgO = 44.13 50.06
TO 200 > »
100.12 100.00
Yacimiento de Taguil.
Situado á unos 25 kilómetros al SO. de Taguil. Es el más
considerable é importante yacimiento dunítico primario, y
presenta la forma de una lenteja; su eje principal, orientado
de N. á S. mide más de 10 kilómetros. En la región S. tiene
un ensanchamiento, y su segundo eje mide alli unos 5 kiló-
metros. (Fig. 3.)
La dunita forma una serie de cimas redondeadas y carac-
terísticas, cubiertas siempre de pinos, por ejemplo ei monte
Solowieff, y contiene abundantes secreciones de cromita,
sobre todo en la base de dicho monte.
Circunscribe á la dunita una faja continua de piroxenitas
delgada en las regiones S. y O., y muy abundante en la par-
te S. y N., donde avanza como unos brazos hacia el inte-
rior de la dunita, en la que se encuentran, además, esparci-
das algunas piacas poco profundas constituidas por dicha pi-
roxenita.
Riv. Wissym_
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FR. Teshauch *|
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Mz Brólaía
Dunita, Gabros, dioritas, etc.
Piroxenitas. EC Pizarras dinamo-metamórficas.
Tilaitas. MM Pizarras cristalinas.
Serpentinas.
Figura 3.
Carta geológica del centro platinífero de Taguil, según los Sres. Wyssotsky y Lavaritsky.
— 167 —
En la región O. y NO. se intercala, entre la dunita y la pi-
roxenita, una faja de verdaderas serpentinas muy distintas
de la dunita; son más duras, tienen otra pátina y se les en-
cuentra en los aluviones, de los que la dunita ha completa-
mente desaparecido.
El yacimiento dunítico se encuentra en el borde occiden-
tal del gran macizo de rocas básicas. Los placeres que pro-
vienen de dicho centro, son: Martian, Wissym y Sissym
en la vertiente europea, y Tschauch y Bobrowka en la
asiática.
Análisis de las muestras tomadas en (179) Solowresky,
log (218) Alexandrowky, log (129). Krontinsk, log (207)
cresta de Solowieff, (314) 2.” manantial de la Bobrowka.
179 218 129 207 314
A B A B A B A B A B
Ho) 0O = 13:39 13.37 14.02 13.28 7-28
5102 = 34.85 40.38 34.66 40.09 34.31 39-93 33-87 39.19 36.98 40.10
Al03= 0.30 0.38 0.39 0.46 0,22 10.23 0,06 0.06 0.38. 0.44
Cr203= 0.03 0.03 0.44 0.51 0,36 0.42 0.66 , 0.76 OZ Oe
RenOs= 6224 722 5.49 6.36 OS 7 3.46 4.00 2.45 2.59
REAIOP=" 20 AS A OA: NS 203. Aa OSOS
Mg O =- 43.41 50.30. 44.02 50.91. 44.81 51.85 44.76 55.78 46.75 50.60
T1¡02= == = 0.03 0.03 = = = =- - =—
99-68 100.00 99.84 100.00 100.435 100.00 99.72 100.00 99.52 100.00
En este yacimiento, como se ha visto en su descripción,
existen igualmente serpentinas bien caracterizadas como ta-
les, y que bordean el yacimiento dunítico; tenía mucho inte-
rés el saber si su composición era la misma que la de la du-
nita ó si se diferenciaba de ella.
Al objeto, he analizado dos variedades de dichas serpen-
tinas:
315 303
B A A B
H,O 15.20 14.92
SO 1 33. Te Sa 35,10... 41.63
TO, 0.33 0.39 0.31 0.36
EATO: 0.32 0.37 0.89 1.05
Fe, O, 5.73 1 106.76 3,12 1091 8:74
Fe O 1.26 1.49 1.66 1.98
Mg O 43.39 51.19 13.18 51:22
Ti O, 0.03 0.03 0.05 0.05
99.97 100.000 99.23 100.00
Como se ve, comparando los diversos resultados:
1.” La dunita de Taguil es muy homogénea; en efecto,
existen pequeñísimas variaciones entre las diversas varie-
dades de este yacimiento.
2... La serpentina no se diferencia de la dunita, á no ser
por la cantidad mayor de agua que encierra, lo que resulta
normal.
De todas maneras, el número 303 se distingue por la pe-
queña cantidad de hierro.
Yacimientos de Iss.
Se encuentran en la vertiente asiática de los Urales, no
lejos de Nijne-Toura y de Teploía-Gora, estación del ferro-
carril Perm-Kouchwa, Los dos centros duníticos se hallan
al O. del monte Katchkanar, constituido por una mole de pi-
roxenitas.
El primer yacimiento, llamado Swefli-bor, confina inme-
diatamente con el Katchkanar. Aflora la dunita en forma de
una gran elipse, cuyo eje principal se dirije de N. áS., Ó
ligeramente de N. á NO., y mide 6 kilómetros aproximada-
mente, el eje menor mide 3; esta región dunítica, poco ele-
vada, está cubierta de pinos y surcada por varios lojotes
ailuentes del lss ó del Kossia. El tipo de dunita es el habi-
— 169 —
tual, no muy rica en segregaciones de hierro-cromo, ó ro-
deada de una faja (muy estrecha) de piroxenita, como de
costumbre. Esta faja se halla interrumpida al N. y en algu-
nas regiones del E. y NE., en las que los gabrodioritas es-
tán en contacto directo con la dunita, hallándose además
ésta, en la región SO., en donde no existen gabros ni pi-
roxenitas, en contacto con pizarras metamórficas.
La segunda faja de gabrodioritas también se encuentra
en varias partes interrumpida, encerrando en la región NE.,
como un islote de piroxenita. También se halla otro en la re-
gión occidental; pero éste, en parte, está rodeado por piza-
rras cristalinas. (Fig. 4.)
El río 1lss atraviesa oblícuamente la región N. de este
centro dunítico, y recibe, como pricipales afluentes, el Koro-
bowsky-log. el log núm. 1 y el núm. 2, que toman origen en
la dunita, y el riachuelo Kossia, que tiene á su vez, como
afiuentes, los logs núm. 7, 6, 3, el Travenisty-log, el Y llinsky-
log y el Kroutoi-log, situados todos en su orilla izquierda.
Muestras de de Swefli-Bor tomada en (115) la orilla iz-
quierda del lss, (99) Kroutoi-log, (112) Travenisti-log (83)
la parte superior del manantial del log núm. 1.
115 99 112 33
A B A B A B A B
H, O 6.28 — 10.21 : 7.89 7.86
SiO, 38.00 39.90 36.06 40.01 37.01 40.01 35.94 38.91
Al, 0 0.50 0.52 .0.60 0.66 0.40 0.43 0.82 088
Cr, O; 0520010526) 0334. 20:38 0,36, 0139/11 11:29111.1::30
eo: 5.67...0.99 5.68: 6.30 4.97. 5.37 15.99. 6.44
Fe O IZ RSESO y 2.2 AZ OO. 3.03; 4 3/92/1112 08772 8.88
MgO 47.58 49.99 45.13 50.08 46 14 49.88 42.21 4975
T; Os — — ORUZ TOO0Z2 — — 0.04 004
x-—— _—— a a o o A KÉÁXÁ
101.51 100 00 100.33 100.00 100.40 100.00 99 75 100.00
El segundo centro dunítico, llamado Waressowy-ouwal, se
halla al Norte y algo al Oeste del anterior del cual dista
apenas 1 kilómetro; su forma es de cresta orientada de N.áS. .
— 170 —
Echelle . vn.
iD anita: ExZ3 Gabros y titaitas. MTI Pizarras cristalinas.
E j Piroxenitas. Isitas. :
E €sbrodioritas. CEE Pizarras dinamo-metamórficas.
Figura 4.
Carta geológica de lcs yacimientos platiniferos del Iss, según el Sr. Wyssotsky.
— 171 —
larga de 8 kilómetros por 1, 6 kilómetros de anchura. Es
más elevado que Swetli-Bor y la dunita es idéntica á la de
este centro, pero contiene más cantidad de segregaciones de
hierro cromado.
La faja de piroxenitas se halla completamente interrumpi-
da, apareciendo una parte en la región S. E. y en la S. O.
En la zona Norte se encuentran algunos islotes de piroxeni-
ta enclavados en la dunita.
Dicha roca se presenta á veces, como en otros yacimientos,
en forma de koswitas.
La segunda faja de rocas gabróicas es muy discontínua
encontrándose en algunos puntos en contacto con la dunita.
Los placeres platiníferos de este centro dunítico son:
1.2 El Beresowka.
2.7 El pequeño Pokap afluente del gran Pokap.
3.2 El Malata-Prostokischenka, el Srednía-Prostokis-
chenka, Kassoi-log, el Jermakowskv-log, cuatro afluentes
del Balchaía-Prostokischenka.
Estos tres arroyos son, á su vez, afluentes del [ss.
Dunitas de Wéressowy-ouwal.
(65) muestra tomada en la última cima del yacimento, (58)
donde está la torre, (67) extremidad S. de Waressowy-
ouwal.
65 58 67
A B A B A B
H,O 8.05 6.59 7 95
Si O, 36.71. 39.38 34.56 40.18 36.717 39.86
Al, O, 0.301: 2:2110:809% 911.030; 59v06828 o 0209511 )0/81
EE/0. Duelo da O 33 OS 0 2d) 010.23
Fe, O, SA ao a 00 aora 6.1074. .6.61
FeO ro, Os? VENENO e PI
Mg O 46.97 50.39 46.62 49.87. 45.71 49.56
Ti O, 0.05 0.05 A plo 12 E
101.27 100.00 100.08 100.00 120.19 100.00
— 172 —
Yacimiento de Kaménouchky.
Encuéntrase en el Pawdinskaya-Datcha al N. NE. de
Weiessowy-ouwal, del cual dista unos 20 kilómetros y al NO
del gran macizo de gabros que constituye el monte de Sa-
rannaya. (Fig. 5.)
La elipse dunítica orientada de N. NO. á SE. mide unos
3 kilómetros de longitud por 1 á 1,5 de anchura; se halla
cubierta de bosque, y su topografía es la habitual. La dunita
es muy uniforme y bastante alterada, y se halla acribillada de
venas leucocratas (del tipo plagiaplites), de venas melano-
cratas (issitas é issitas plagioclásicas), de algunas variedades
mesócratas y de gran cantidad de enormes filones de pegma-
tita de hornablenda, idénticos á los del yacimiento de Omon-
tuala.
También contiene segregaciones de cromita.
La faja de piroxenitas es continua, pero no uniforme, des-
arrollándose con más amplitud en la región N. y S., y en la
región OE., al contrario, es muy estrecha.
Las rocas gabroicas que rodean á la piroxenita son vet-
des y pizarrosas en la región OE., mientras que en el E. son
del tipo uralizado normal.
Los placeres que provienen del Kaménouchky son:
1.2 El Malaía-Kaménouchka, que desciende por la falda
occidental y en la región S. de la cresta dunítica y termina
en el riachuelo Kamenka, cuyo platino procede del anterior.
El Kamenka es á su vez afluente del Niasma.
2.” El Balchaía-Kaménouchky que nace en la región
oriental del afloramiento dunítico y recibe una serie de lojoks
platiníferos como afluentes, y termina en el Niasma.
Este contiene solamente el platino que le aportan los
M. y B. Kaménouchka.
Muestras tomadas en el: centro y en los extremos de la
cumbre de Kaménouchky (22), (27), (28).
=— 173 —
28
0.81
0.42
5.65
3.50
49.01
0.04
37.47
0.75
0.39
5.22
3.24
3.04
45.21
0.38
0.36
5.46
3.64
453.65
0.03
7.40
37.71
0.39
0.34
5.09
3
46.26
0.03
39.94
0.61
0.97
6.23
SPA
48.97
0.03
8.24
36.87
0.03
0.56
0.90
5.75
3.00
45.21
oSSg3ddo0oos
a al SUS
UG AS
A
A
H
H
i
7
Na
(a Gabros macizos y quebrantados.
Pizarras dinamo-metamórficas.
Piroxenitas;
Figura 5.
Croquis geológico del yacimiento de Kamenouchky por M. L. Duparc.
Y ==)
* =l|
a ==
as x ==
x x Tilai-Kamen y ==
A A
E x x » u A
Ss x
|
“ IS e
Se
E
Ae
1] li 11
|
1
|
Í
J
Í HU
Sosnomka x
Uat
Echelle approximarive
RAEE 7 RATA
Abla
(TITO Pizarras cristalinas. (a A (CE Tilaitas. Gabros.
Diabasas. EEE Piroxenitas. Gabrodioritas.
%
Figura 6.
Carta geológica de los yacimientos platiníteros de Koswinsky, por M. L. Duparc.
-— 175 —
" Yacimientos de Koswinski,
Están situados en las dos vertientes del monte Koswinsky.
1.2 El yacimiento de Sosnowsky-ouwal se encuentra en
la vertiente O., y está formado por una lafga cresta de du-
nita orientada de N. á S. y de unos 4 kilómetros de longi-
tud por apenas 2 kilómetros de anchura; aparecen algunas
variedades de dunita pizarrosa, las segregaciones de cro-
mita son muy abundantes, pero pequeñas. (Fig. 6.)
La faja de piroxenita falta por completo, y sólo en la re-
sión NE. existen algunos afloramientos.
La dunita se halla en contacto con tilaitas y gabros en
la zona E. y con diabasa en la zona O.
Los placeres platiníferos á que este yacimiento da origen,
son: el gran Sosnowka y el pequeño Sosnowka en la parte
occidental, el Logwinska en la oriental. Estos tres arroyos
añluyen al Tolaí, que del hecho se vuelve patinifero.
(15) Muestra tomada en Sosnowsky-ouwal (+).
A B
H,O 12.28 S
SiO, 35.41 39.57
AL, O, 1:33 1.49
Fe, O, 4.43 4.95
FeO 3 66 4.09
MgO 44.65 49.90
101.76 100.00
2. El yacimiento de Kiflim hállase en la vertiente orien-
tal del Kowinsky. El tipo de este yacimiento es el normal; la
dunita está completamente rodeada por la piroxenita y el
- (*) El análisis de esta dunita y de las tres siguientes, no los hice
personalmente, toda vez que estaban ya ejecutados por Profesor
Duparc, que me ha comunicado amablemente los resultados.
— 176 —
afloramiento, enteramente desnudo, alcanza gran altura. Atra-
viesan la dunita estrechos filones de variadas rocas: albí-
titas, granulitas, wehrlitas, íssitas, etc. También contiene
abundantes segregaciones de cromita.
La faja de piroxenitas y korwitas se halla atravesada por
algunos filones de dunita y de dunita sideronítica.
La faja exterior de gabros constituye la montaña de Ka-
téechersky y el Kitlimsky-ouwal.
Los placeres platiniferos son: el Kitlim, con una serie de
lojoks como afluentes (Abodranny-lojok, Djudinsky-log,
Papowsky-log.)
Probablemente el pequeño Kosura, que aunque no nace
en terreno dunítico debió nacer en otros tiempos, pues su
platino no puede proceder de otro centro que el Kitlim.
(1030) Muestra tomada en la cresta de dunitas de Kos-
winsky.
A B
H,O 8.535 >
Si O, 38.06 41.34
AL, O, 0.31 0.33
Cr, O, 1.39 1.51
Fe, O 6.72 8.30
Fe O 5.2 5.75
Mg O 40.30 43.77
100. 42 100.00
Yacimiento de Tilai-Kanjakowsky.
La cordilera de Tilai-Kanjakowsky, situada al N. de Kos-
winsky, está formada por una cresta de piroxenitas, limitada
al O. por tilaitas y gabros de olivino, y al E. por- gabros
uralizados. Al N. de la cima principal, Tilaí, la cordillera se
bifurca; en el valle, formado por los dos brazos de la montaña,
corre el río Poloudniewaía, y en el origen del valle y ribera
se halla el afloramiento dunítico, circular y de pequeñas
dimensiones. (Fig. 7.)
= 177 —
Al B_ Cárebrianka
po.
y
A
Rh
”
:
y E
Xx die
x Ki
x x E «ul
Xx AZ _— Echelle
o . 2 E Y Jarál
LE) Dunita, E Gabros y gabrodioritas.
EEE. Piroxénitas. MIND) Pizarras metamórficas, >,
EZ. Tilaitas y gabros de olivino.
Pigura 7.
Croquis geológico del yacimiento de Telai-Kanjakowsky, por M. L. Duparc..
Rev. Aca. DE Cinxcras.—X.—Ju'iv, Agosto y Septiembre, 1911. 12
) y p » 19
== 18 =
La dunita ha sido puesta al descubierto por la constitución
de un puerto que forma una depresión al pie de la cima prin-
cipal de Tilai; esta depresión está ocupada en verano por un +
lago que alimenta al Poloudniewta; caen las aguas por una
pared casi vertical de dunita, de unos 300 metros de altura.
La dunita es de tipo normal, y contiene muchas segregacio-
nes de cromita. Está completamente rodeada por piroxeni-
tas; éstas se hallan entrecruzadas de filones de pegmatita
con hornablenda, análogos á los de Omoubnaía y de Kame-
nouchky. La piroxenita, á su vez, está completamente ro-
deada por gabros uralizados.
Los placeres platiniferos de este yacimiento son: el Polud- |
niewaía, que nace en la misma dunita.
El Jow, que nace en el puerto citado anteriormente.
El Kaujakowska, que tiene su origen fuera del aflora-
miento dunítico, pero que debió de nacer en él en épocas
anteriores.
(1.127) Muestra tomada en las paredes verticales de du-
nita, en la cascada que alimenta al Paloudniewaía.
A B
H,O 3.95
Si O, 37.91 39.03
Cr, O, MAN 1.21
Fe, O, 0.95 0.97
Fe O 9.21 9.48
Me 087 49.31
101:07 100.00
Yacimiento de Gladkaia-Sopka.
Situado á 7 kilómetros del pueblo de Bogarlowsh, al que -
se halla unido por un sendero que costea el río Wagran.'
El afloramiento dunítico constituye por completo el yaci-
miento, orientado de N. á S., y desciende gradualmente ha-
cia el S. Su longitud es, aproximadamente, de 1.5 4 2 kiló-
AE A A Y O
— 179 —
metros, y su anchura escasa. El Glodkaio-Sopka forma una
cresta acerada y estrecha, con las vertientes muy abrup-
tas. (Fig. 8.) |
anka de PESt
|
Á
5
S
nl
o
Echelle
3 verste
MINT Pizarras cristalinas.
=> Gabrodioritas,
Pigura 8.
Croquis geológico del yacimiento platinifero de Gladkaia-Sopka.
La dunita de este yacimiento, á pesar de estar muy alte-
rada, es de tipo normal y pobre en cromita.
La faja de piroxenitas es reducidísima, y rodea solamente
— 180 —
el extremo S, del afloramento dunítico, el cual, por la región
0., entra en contacto con pizarras cristalinas, y por la parte
N. con magníficos gabrodioritas, semejantes á los de Tilai-
Kanjakowsky. |
Los ríos que surcan dicho yacimiento son:
El Travianka oriental y el Travianka occidental, que se
reunen más allá del Sud del yacimiento y forman el Tra-
vianka,
Muestra procedente del Travianka.
A B
HiO DE-O »
SEO NauSo 41.01
Al, O, 0.41 0.15
Cf. O. 0.80 0.83
Fe, Os 1.74 1.81
Fc, O 8.14 8.48 :
MgO 45.80 47.72
101.43 100.00
Para mejor evidenciar las conclusiones que se pueden de-
ducir de dichos análisis, los he reunido en un solo cuadro,
distribuyendo las dunitas de las diferentes yacimientos por
9rupos.
Como el agua que se encuentra en estas rocas es debida
exclusivamente á un fenómeno de descomposición, es decir,
de hidratación, se ha tomado la composición centesimal des-
pués de haber reducido todo el hierro al estado ferroso,
pues la transformación de dicho metal es debida exclusiva-
mente á la acción oxidante del aire, como se prueba en el
siguiente ejemplo, comparando los óxidos de hierro con la
cantidad de agua; así en la dunita de Tilaí, que contiene
3.95 por 100 de agua, hay 0.95 de Fe, Oz por 9.21 de Fe O,
mientras que en la dunita de Alexandrowsky-log (Taguil),
que contiene 13.37 por 100 de agua, no se encuentra más que
1,42 de Fe O contra 5.49 de Fe, Oz.
ut BO
gro
S6'6€
OL4N
zL:Ly 1€:6p 1 Z
sr"8 SL:S
I$*I o£:L
£g'0 1Su1
S1:0 ££*0
10'1+ | gor6€ l +S-1p LSo+
2311 [0801 30L
0
AS
apa] 15
as S
ES da E $3 Ez)
E E
3
a | S | UNuaso!
321221
L-£p | 06:6p | 10:6+
£o*0o —
L6:gb | 9S'6+
Ses | Ep:
2z'9 | 19'9
L6'o | £z'o
190 | 12'0
+6:6€ | gs 6€
GT ¡| L9
-ApnoUy ey
Soo bo:o = z0'0
6£:0S | SL:6t | ggr6v | goroS
cgrz g3:z z6'€ Ssz
TO
bo [| o£ rr |6€:0 |g£:o
6£:o | ggo | £b'o | 099'0
g2:6€ | 1L:g€ | 10:0p | 10'0»
G) |se8 | Gl! | 66
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*10(-1J19M9
— = — | oo ==
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E6:9% | xzb Sue Eos ES Per
65z |oov [LL:€ | 9€:9 | €zrL
Sz:o | oL:0 | zp [180 | foo
tHp:o | 9o0'o | Sz:o | gto | go
orror | Ó1:6€ | €0:6€ | 60 6+ | g£ro+
tvle|L0cG|671| 818 | 6£!
'TINnSeL
mm
Omoutnaia.
— 182 —
Considerando los datos contenidos en el cuadro anterior
aparecen conclusiones muy importantes, que pueden resu-
mirse de la manera siguiente: ,
1. La dunita es una roca extremadamente uniforme; las
variaciones que se observan en las muestras procedentes de
diversos yacimientos no son mayores que las observadas
entre las de un mismo yacimiento. Estas variaciones provie-
nen del cromo y de la alúmina y corresponden á una canti-
dad más ó menos grande de cromita en la dumita.
2.” En ninguna de las dunitas analizadas se encuentra
el menor indicio de calcio, lo cual demuestra la ausencia de
las formas de transición entre la dunita platinifera y la
piroxenita á olivino, al contrario de otras dunitas no plati-
níferas, que contienen espinela en vez de cromita, y que con-
tienen calcio procedente de una cierta cantidad de piroxeno
romboédrico, que hace pasar dichas dunitas á hartburgitas.
3.2 A pesar de ser la dunita una roca uniforme, de com-
posición constante, no resulta lo mismo para el platino que
encierra. |
Los trabajos de Duparc y Holtz (*) sobre la composición
química del platino dunítico demuestran:
1.2 Hay variación sensible entre el platino procedente de
un mismo yacimiento. Sin embargo, esta variación es peque-
ña y se puede caracterizar cada yacimiento dunítico por la
composición del platino que encierra.
2. Hay grandes diferencias entre la composición de dos
platinos, de dos yacimientos vecinos, por ejemplo: el Swetli-
bor Weressowy-ouwal.
3.” Las diferencias son considerables entre el platino de
los diversos yacimientos duníticos de los Urales.
Esta uniformidad de la dunita permite, gracias á los nu-
($) Notiíz tiber die chemische Zusamnen setzung eniger Platinerge
aus dem Ural. Tschermks Mineralogische und petrografische Mittei-
-lung.
= 183 —
merosos análisis que de ella he hecho, calcular la composi-
ción química media de la dunita platinífera, es decir, del
magma primordial que contenía en disolución el platino.
Para ello basta calcular el promedio de los análisis (refe-
ridos á 100 partes), transformar todo el hierro á FeO y
referirlo de nuevo á 100 partes.
El resultado obtenido. es el siguiente.
SiO, = 40.18
ALO, = 0,48
Cr,O. == .0.50
FEO = 8.84
MgO = 49.88
TEO: 0 e=rilo D0S
100.00
Igualmente interesante era ver el comportamiento de las
serpentinas. Aparte los dos tipos analizados de Taguil, he
procedido al análisis de una tercera muestra sacada de un
filón, no ya de dunita, sino de piroxenita platinifera. Estos
filones de serpentina han sido considerados como dunitas
completamente serpentinizadas.
He aquí el resultado:
Muestra (2) tomada en Gussevy Kamen.
+ A B
IO» ¿(6ubL.66
Si O, 36.39 40.65
AL, O, 0.05 0.05
REO 13.84 15.46
FeO. “1.97 2.21
Mg O 37.26 31.63
101.17 - 100.00
-Comparemos los resultados de esta serpentina con los de
-las serpentinas de Taguil (315), (303). -
— 184 —
N. 315 B N*303 B N22B
SiO, = 39.77 41.63 40.65
ALO, 000188 0.36 0.06
Cr,O, = 0.37 1.05 e
Fe,0, = 6.76 Sd 15.46
ECO” = "1049 1.98 2.21
M0 = 51.19 41.22 41.63
TiO, = 0.03 0.05 +
Se ve perfectamente que las serpentinas de Taguil, limítro-
fes del yacimiento dunítico (fig. 5), derivan necesariamente
de esta roca con la que tienen indiscutibles analogías. Por el
contrario, los filones de serpentinas en la piroxenita parecen
derivar de una roca, de olivino sin duda, pero que no es la
dunita platinifera normal, de la que se alejan por la ausencia
de cromo, la débil cantidad de alúmina y la fuerte proporción
de hierro.
Composición del Olivino.
Las propiedades ópticas de este mineral son muy poco
variables, y como por otra parte el olivino forma casi exclu-
sivamente la dunita y los análisis de ella son sensiblemente
idénticos, es de esperar que el tipo realizado por este mine-
ral, será ásu vez de una gran uniformidad.
Para establecer este tipo he procedido de la siguiente ma-
nera: después de haber calculado cada análisis para 100 par.
tes (previa sustracción del agua), elimino todo el cromo
como Cr,Oz FeO y la alúmina como A/,0, Fe O. Luego
transformo el hierro en FeO, después de haber restado la
cantidad retenida por los óxidos en cuestión. Hecho esto, se
refiere el resto á 100 partes, y el resultado obtenido, corres-
ponde sensiblemente á la composición que debería tener el
olivino antes de la descomposición.
Luego, por medio de los cálculos ordinarios, busco la co-
rrespondencia relativa del número de moléculas de Mg, Si
-- 185 —
O, y Fe, Sí O, que entran en la composición del mineral;
luego calculo en sentido inverso el tanto por ciento corres-
pondiente á los diversos elementos según la fórmula obtenida.
El ejemplo siguiente demuestra la manera de operar:
(N.* 28) Dunita. Olivino encontrado.
SiO, = 40.57 | :
EE ds == 0 Si O, = 41.66
10 = 0.42) Al, O, Fe O = 1.38
pe Os —= 5:83 1 — | CR O,FeO =0:02| o da
Mg O = 49.01 | Mg O = 50.32
TÍO, = 0.04
100.00 100.00
Dividiendo estos resultados por los pesos moleculares
respectivos obtendremos el número de moléculas:
Si O, = 0.6897
Fe O =0.1115
Mg O = 1.2467
Haciendo el más pequeño igual á la unidad obtenemos:
SiO, = 6.185
ESO il Fe, Si O, + 11 Mg, Si O,
MgO =11.43
Para comprobar si los resultados obtenidos son exactos
cálculo el olivino partiendo de la fórmula obtenida:
2Fe0
a A AA A
Fe, SiO, + 11 Mg,SiO, 160 PO O A
22 Mg 0 EE ANA Cod
Fe, SiO, + 11 Mg,SiO, 100 = 50.55 Olivino calculado.
12 Si O, LE A
FSPSiO 2EMEDIOL O Ma
Olívino.
Encontrada. Calculada.
SiO, = 41.66 41.27
FeO = 8.02 8.18
MgO = 50.32 50.55
100.00 100.00
Como se ve, la fórmula encontrada era exacta.
— 186 —
En el cuadro siguiente están contenidas las fórmulas cal-
culadas para el olivino junto con los demás componentes de
la dunita en cada una de las muestras analizadas.
NÚM. Yacimiento. Fórmula (Olivino)| Cr, 0O¿Fe0 | Al, O, Fe0O
OE E AOS Fes Si0y4 + 11 Meg» SiOg 1.12 0.29
179 ro +a » 0.04 0.99
218 1 513 > 0-73 0.78
a anotado ses o O ES 1 414 > 0.62 0.43
207] 1 +12 > Ya 0.10
314 LAME > 0.37 0-73
¿cel E ñ 1 +1 > 0.38 o.Sg
lara eS y 1 +12 » 0.56 12
¡elsa PES SS ) Y oder S ES 0.73
83 | 1 +12 1.92 1.50
aa 1 + i 0.65 0.60
sf Weressowysouval, UA + 11 0.52 0.55
67 + 10 0.34 0.53
| |
20) 1 +1 0.43 1.04
27pKaménouchtey..oooooomomon--. + 11 0-53 0.65
28) +11 > o 62 1.38
705 |Sosnowsky-ouwal. Koswiusky.. 1 +11 > = 2.19
1030|Kitluir. Koswiusky .......... 1 +8 » 2.22 0.69
1127 | Tilai-Kaujakowslky»...... 2... Ir + 9 > 1.79
r+.o9 > 1.17 O 24
— |Glodkala=-Sopka.....ooooooo.--
De lo que precede se deduce que la composicion química
del olivino oscila entre Fes Si O, + 8 Mg, Si O, y
Fe, Si 0,+ Mg, Si O,.
La mayor parte de las variedades analizadas correspon-
den á
Fe, Si O,+11 Mg, Si O,
pudiendo establecerse dicho tipo como fórmula del olivino
en la dunita platinifera.
Llevé á cabo este trabajo en los laboratorios de análisis
químico mineral de la Universidad de Ginebra siendo asis-
tente del Prof. Duparc.
Quedo sinceramente agradecido á mi antiguo Maestro por
los innumerables datos que sobre este asunto me ha facili-
tado, así como por el material etc. que puso desinteresada-
mente á mi disposición durante todo el curso de mi trabajo.
Madrid, 1911.
INDICE /
DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO -
AAA
? pLos.
Constitución de la Academia en 1.* de Julio de 1911...
I. —Conferencias sobre Física matemática. Teoría de los -
torbellinos, por José Echegaray. Conferencia décimo-
quinta. UE ee elos oa A z
II. —Conferencias sobre Física matemática. Teoria de los
torbellinos, por José Echegaray. Conferencia décimo- i o
seta oso o ir
II. —Conferencias sobre Física matemática. Teoría de. los o
torbellinos, por José Echegaray. Conferencia décimo-
o A A A O is a Mar
IV.—Conferencias sobre Física matemática. Teoría de los pr
torbellinos, por José Echegaray. Conferencia décimo-
Dclavas o. een e ela y CO AA e A
V.—El Profesor D. Juan Fages, por José Rodríguez Mou-. 3
RÍO 7 OO E O O A 100
VI. —Apuntes sobre Mecánica social, por Antonio Portuondo |
y Barceló: E o as eS 119
VII. —Estudio acerca de la dunita platinífera de los Urales, E
POr:S. PiñAe RUDO ¿ASÍS
La subscripción á esta Revista se hace por tomos completos,
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val. Y
verde, núm. 26, Madrid. o : |
Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas.
REVISTA
DH LA
REAL ACADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES
DE
se
MADRID
TOMO X.--—-NUÚM. 4.
Octubre de 1911.
MADRID
ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL
CALL: PONTEJOS , NÚM. 8.
1911
ADVERTENCIA
Los originales para la Revista de la Academia
se han de entregar completos, en la Secretaria de
la Corporación, antes del día 20 de cada mes,
pues de otro modo quedará su publicación para
el mes siguiente.
— 187 —
VIN.— Conferencias sobre Fisica matemática.
Teoría de los torbellinos.
POR José ECHEGARAY.
Conferencia décimonovena.
SEÑORES:
Varias veces he expresado esta idea, que de nuevo voy á
recordar.
Que en la ciencia, así en la ciencia experimental, como en
la ciencia teórica, si los hechos son la materia de que la cien-
cia parte, no son ellos la ciencia misma.
La ciencia se compone de grandes leyes ó de pequeñas
leyes, según está más ó menos adelantada.
La ciencia busca lo constante en lo variable, que es, como
si dijéramos, el orden en el caos.
Estas leyes, esta constancia, no negamos que en cierto
modo pueda presentarse en las cualidades de las cosas, y en
su combinación, para constituir los fenómenos complejos.
Pero esto sucede en las ciencias embrionarias. En las cien-
cias positivas, cuando alcanzan cierto grado de perfección,
las leyes son cuantitativas, y se traducen en fórmulas mate-
máticas.
Y cuanto más avanzan las ciencias, este carácter de la
constancia, de la permanencia, de la invariabilidad, más y
más se acetúa.
REV. ACAD. DE CIENCIAS.—X.— Octubre, T911. 13
--= 188 —
Casi me atrevería á decir, acudiendo á términos hoy muy
en boga, que si los hechos son la masa ó el sustratum de los
fenómenos, la esencia de la ciencia ya formada, son las ¿ín-
variantes.
Teoría extensísima que á casi todas las ramas de la cien-
cia pura, y de la ciencia teórica y aun de la ciencia experi-
mental, se aplica.
Estudiábamos en las conferencias anteriores la hidrodiná-
mica en general, y en ella, el caso particular de los torbelli-
nos, y en aquélla y en éste procurábamos determinar, en la
eran complicación del fenómeno del movimiento, algo per-
manente é invariable.
En el caso particularísimo, casi pudiéramos decir en el
caso ideal del fiúido perfecto, hacíamos constar que una
línea fiúida y cerrada permanecía siempre como línea flúida
y cerrada también.
Y lo propio respecto á las superficies ilúidas, y otro tanto
respecto á las línea y superficies de torbellinos, que en todo
el movimiento conservaban este carácter.
La línea de torbellino, línea de torbellino continuaba siendo.
El tubo de torbellino se conservaba como tal tubo de tor-
bellino, y todas estas, podemos decir, sin forzar mucho el
sentido del término, que son propiedades invariantes, pero
invariantes de cualidad.
La cualidad de ser línea flúida cerrada, se conserva.
La cualidad de ser superficie flúida cerrada, se conserva
también.
Y se conservan en todo el movimiento las cualidades de
ser línea de torbellinos, tubo de torbellinos Ó superficie de
torbellinos en general. a
Pero aquí no aparecen todavía las invariantes perfectas Ó
1 A
que nosotros, dado el carácter de la ciencia positiva, como
más perfectas que las anteriores consideramos.
Aquí no entra todavía la medida, el número, la tinción
cuantitativa.
Esta aparece, por decirlo de este modo, con el teorema de
Helmholtz, que hemos demostrado y aplicado en las conte-
rencias precedentes.
A saber:
La circulación, á lo largo de una línea fluída cerrada, se
conserva en todo el movimiento de esta línea en el fluído;
es un número determinado, característico hasta cierto punto,
de la línea y que es invariable en todos los instantes del
tiempo.
Como en la Física, se afirma la constancia de la materia en
todos los instantes, desde el tiempo infinito negativo hasta el
tiempo infinito positivo, y á esta ley, ó á este postulado, se
le da el nombre de conservaclón de la materia, así en la hi-
drodinámica, se puede establecer, para toda línea flúida ce-
rrada, la constancia de la circulación.
Y tal circulación, ya lo hemos dicho, es una integral.
Si la llamamos / podemos escribir
1=/ (udx + vdy + wdz)
en que u, v, w, son las componentes de la velocidad para to-
dos los puntos de ia curva cerrada C, y en que dx, dy, dz,
son las componentes de cada elemento ds de dicha curva.
Dada la forma de la expresión anterior, podemos afirmar,
que en la hidrodinámica es una invariante de integral, Ó si
se quiere, que es una integral invariable.
Si el problema del movimiento se ha resuelto, u, v, w Sse-
rán conocidas en función de x, y, z, £ y la propiedad señala-
da podrá comprobarse materialmente efectuando la integra-
ción, y prácticamente veríamos en este caso, que desaparecía
ES O pan
el tiempo f al efectuar dicha integración, en cualquier instan-
te, Ó sea para cualquier valor de £.
Y que la integración podría efectuarse teóricamente, no
cabe duda, porque las ecuaciones de la curva C serían
y=f (x 0),
z= f(x, 0);
de donde,
dy y vidas
ALO 20%
y sustituyendo en /, resultará:
res al (nar +0 dde mf, (o bdo,
ó bien
qe dl lu + of (00 + fe 0] dx.
Pero si el problema está resuelto, conoceremos u, v, w, en
función de Xx, y, 2; y aunque no esté resuelto, sabemos que,
para cualquier instante, estas tres componentes de la veloci-
dad, son funciones de x, y, z, f es decir
AS Y an)
== 0d) 2 2):
a (ed):
Ahora bien; como-se trata de las velocidades para puntos
de la curva C, en vez de y, z, debemos sustituir sus valores
dados por las ecuaciones de dicha curva, de modo que ten-
dremos:
—= 191 —
2 (ft), $ 6 0, Dd,
Y (x Ha, 1), Í, Qx 1), 1),
WE vez ( FO, DÍ (x, 1), É),
u
y sustituyendo, en el valor de / resultará por último
q q le A00. 050,0 Halo f0 40,070 +
+ 9 (Ax, 1), 10 (0) dx.
Todo el paréntesis del segundo miembro es una función
de x, f; representándolo, para abreviar, por FF, es evidente
que / será de la forma
¡= | Ftsnas,
que es una integral de la sola variable x tomada á lo largo
de la curva cerrada C. -
Y el teorema de Helmholtz tiene este sentido:
Que en dicha integral desaparece f y que / tiene, por lo
tanto, el mismo valor en cualquier instante.
Este valor es finito, si el movimiento es rotacional.
Este valor es constante, pero es igual á cero, si el movi-
miento es irrotacional.
- Pero dicho valor sólo es igual á cero, cuando el espacio
en que se mueve la curva C es simplemente conexo; por
ejemplo, una esfera, un elipsoide.
Si el espacio es doblemente conexo, hay que considerar
dos clases de curvas: para las que pueden recogerse en un
punto y anularse, el valor de /, es decir, la circulación es
nula todavía; para las que no gozan de esta propiedad, sin
salirse del espacio irrotacional, la circulación tiene un valor
determinado á que hemos dado el nombre de módulo para
== 1192 —
una sola vuelta, resultado que se generaliza como vimos
para muchas vueltas en uno ó en otro sentido.
Tal es el resumen de las últimas conferencias que hemos
querido presentar en forma sintética á nuestros alumnos.
Dichos resultados pueden generalizarse, sin dificultad de
uingún género, para espacios de conexión múltiple.
Nos limitaremos á un ejemplo, y no se olvide que se trata
de movimienlos irrofacionales.
Figura 57.
Sea (fig. 57), un espacio en que el flúido tiene movimien-
to irrotacional definido del siguiente modo:
Imaginemos dos anillos 4, B: decimos anillos para gene-
ralizar la figura que se llama foro. Son, por decirlo así, figu-
ras análogas á esta última, sólo que no son de revolución.
El interior de dichos anillos corresponde á movimientos ro
tacionales y el exterior, todo él, á un movimiento irrota-
cional. -
Es, en rigor, un espacio triplemente conexo, porque si
imaginamos un diafragma a, que corte al primer anillo,
— 193 —
abriéndolo á lo largo de ///, y otro diafragma análogo b,
que corte al segundo, ambos anillos se convertirán en espa-
cios simplemente conexos, y el espacio exterior será simple-
mente conexo también, como por ejemplo, el que rodea á
una estera. |
En el sistema primitivo, es decir, antes de trazar las sec-
ciones 4, b, pueden imaginarse cuatro clases de curvas.
1.2 Curvas análogas á C, que pueden recogerse en un
punto P por la ley de continuidad. La circulación de estas
líneas C es nula, porque es aplicable la demostración que
hemos dado para este caso.
La superficie que traza C hasta reducirse á un punto P,
está toda ella en un espacio simplemente conexo de movi-
miento irrotacional, luego todos los ejes de los torbellinos
para sus diferentes puntos son iguales á cero, y si el flujo es
nulo en la superficie, la circulación es nula en la curva.
2.” Líneas, como la C”, que dan vuelta al anillo A, enla-
zándose á él como un eslabón á otro eslabón.
3. Líneas, como la C”, que dan vuelta al anillo B.
4. Líneas, como la C”, que enlazan ambos anillos A
y B, del mismo modo que un eslabón enlaza á dos esla-
bones.
Estas tres últimas clases de líneas, pueden dar una Ó va-
rias vueltas antes de cerrarse.
Según explicábamos á propósito de la conexión doble,
para simplificar la explicación supondremos, que no dan más
que una vuelta.
Líneas análogas á la C* Imaginemos (tig. 57) el anillo A
y la curva C”.
A esta línea no se le puede aplicar la demostración ante-
rior porque para recogerse en un punto tiene que penetrar
en el interior del anillo; de modo que no puede decirse que
su circulación es nula.
Su circulación tendrá un valor determinado y, al cual le
daremos el mombre de módulo, como antes hacíamos.
- 194 —
Y podemos demostrar, que dos líneas, ó tantas líneas como
se quieran C”, C*,,.... de esta misma clase, todas tienen el
mismo módulo y., es decir, el mismo valor para la circula-
ción.
La demostración es idéntica á la que dimos para los espa-
cios doblemente conexos.
En efecto, cortemos el anillo (figuras 58 y 58 bis) por un
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ATA e ARI OS
Figura 5%. Figura 58 bis.
diafragma ó sección D; y hemos duplicado la figura, ponién-
dola de frente y de costado, ó si se quiere, en dos proyeccio-
nes, para mayor claridad de la explicación.
En la figura 58, se ve el anillo de frente; en la figura 58
bis, se ve, por decirlo así, de canto. Las mismas letras re-
presentan los mismos elementos de ambas figuras.
La sección D ó diafragma se ve también de frente en la
figura 58 llenando el hueco del anillo y en la” figura 58 bis
se proyecta, según la recta D.
Ahora bien, interrumpamos la línea C' en dos puntos a, b
infinitamente próximos á uno y otro lado del diafragma.
Interrumpamos, asimismo, otra línea cualquiera, C*, de
— 105 —
la misma clase que C', en dos puntos a”, b”, infinitamente
próximos y á ambos lados del diafragma D.
Y unamos, por líneas, los puntos a, a” y b, ÚU'.
Ambas líneas, estarán infinitamente próximas y en el lími-
te se confundirán sobre el diafragma D.
El resto de la demostración es idéntico al que dimos en la
conferencia precedente.
La línea aC'bb"C”,a'a, es una línea cerrada. Está toda
ella en un espacio simplemente conexo; se encuentra en el.
mismo caso que la línea C de la figura 57 y puede recogerse
en un punto P, sin tener que salir del espacio en que no hay
movimiento rotacional.
Luego su circulación es nula y podremos escribir suces
vamente sin necesidad de entrar en más explicaciones:
circulación (aC*bb"C”,a a) =0,
cir. (aC*b) + cir. (bb”) + cir. (b"C”,a”) + cir. (44) =0,
cir. (bb”) + cir. (a a) = 0,
cir. (aC*b) + cir. (0'C”,0a)=0,
cir. (aC*b) = — cir. (b' C*,a),
Cra O) cl (aC 0,
CE. Cl. Ci
En resumen, todas las curvas de segunda clase C”, que
dan una vuelta al anillo en el mismo sentido, tienen la misma
circulación, es decir, el mismo módulo.
Lineas de tercera clase como C”” (fig. 57). = Todo lo que
hemos dicho de las líneas de segunda clase C', puede re-
petirse para estas líneas C””.
Todas tendrán el mismo módulo, que en general, será
distinto del de las C”.
Pasemos á las líneas de cuarta clase como C
enlazan los dos anillos A, B (tig, 57).
1,7
. = Estas
— 196 —
Como en las dos clases anteriores no puede demostrarse
que la circulación sea nula, porque, por ejemplo, la línea
C*”” para reducirse á un punto necesita penetrar en los ani-
llos A, B que son espacios de mivimiento rotacional.
El valor de su módulo se deduce de los dos módulos de
los casos anteriores.
En efecto, dividamos la línea C
la línea FG, en dos contornos.
El de la izquierda, envuelve al anillo A, como la línea C”.
El de la derecha, envuelve al anillo B, como la línea C””.
Por otra parte, la circulación de la línea C*””, es igual á la
suma de las circulaciones de los dos contornos, toda vez que
las circulaciones á lo largo de FG se destruyen.
Luego, en primer lugar, la circulación en todas las líneas
C'”” será la misma y el módulo de C””” será la suma de los
módulos de C” y C””.
Los signos serán positivos ó negativos, según el sentido
de la circulación. :
No insistamos más sobre este ejemplo, que como puede
verse, es sencillísimo.
1
(fig. 57), por medio de
De todo lo dicho resulta, que la cantidad / es una inva-
riante ó una serie de invariantes, en el sentido que ya hemos
suficientemente explicado, lo mismo en el movimiento rota-
cional que en el irrotacional.
Esta teoría de las invariantes, como antes dijimos, es im-
portantísima en dinámica, como en hidrodinámica.
Ha sido magistralmente desarrollada por el eminente ma-
temático Mr. Poincaré en el tercer tomo de su obra titulada
«Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste», y abre
extensos y fecundos horizontes en la teoría de la integración
de las ecuaciones diferenciales.
— 197 —
Y como todo se enlaza en las ciencias matemáticas y fisico-
matemáticas, es imposible pensar en las invariantes integra-
les, sin pensar al mismo tiempo en otro orden de problemas
que se comprenden bajo el título general de «Statistical Me-
chanics» del profesor Gibbs.
Y al recordar, que en esta última obra una de las principa-
les aplicaciones de la mecánica estadística es á la termodiná-
mica, nos asalta una vez más el remordimiento de que el
programa que expusimos en la primera conferencia de este
curso es incompleto, y á cada paso que damos resulta más
incompleto todavía.
Pero todo no puede decirse de una vez, ni todos los ca-
minos que se descubren desde cierta altura pueden recorer-
se á medida de la voluntad.
Terminemos, pues, esta digresión y continuemos el estudio
de los torbellinos, que es la materia propia de este curso.
Estudiábamos la circulación de curvas cerradas en un es-
pacio doblemente conexo, y presentábamos como ejemplo el
volumen llamado foro, ó si se quiere, anillo de revolución en
que la sección meridiana es un círculo que no corta al eje.
En el interior de este espacio admitíamos la existencia de
un movimiento irrotacional, y decíamos:
Que la circulación de toda curva, que en dicho espacio
daba una vuelta al eje, era una cantidad determinada que se
designaba con el nombre de módulo.
Los principiantes, no siendo de inteligencia excepcional, á
los que asaltan á veces dudas, que quién sabe siá veces son
presentimientos de algo, que más bien adivinan con la ima-
sinación, que no afirman con la razón tría y severa, tal vez
se formulan esta pregunta:
— 198 —
¿Pero en un toro, ó anillo de revolución, pueden existir
movimientos irrotacionales ?
La idea de que el toro es un sólido de revolución, se im-
pone en cierto modo á los fenómenos de movimiento, que
en su interior se desarrollan, haciendo creer que también
han de ser de revolución y que han de formar parte de lo
que hemos llamado movimiento rotacional.
Ésta sería una verdadera ilusión.
En el interior de un toro pueden existir, como hemos su-
puesto, movimientos irrotacionales.
Y esta es una de aquellas afirmaciones, que se demuestran
con el hecho mismo.
Basta presentar ejemplos, y vamos á presentar uno:
Supongamos, como hemos dicho, un toro ó anillo de re-
volución, en que el movimiento sea circular.
Supongamos que todos los puntos del flúido que rellena
el interior del toro describen curvas planas, cuyos planos
sean perpendiculares al eje.
Este eje es el eje de las z, y el plano de las x y pasa por
el centro de la figura: es claro que las velocidades, en cual-
quier instante, serán paralelas al plano de las x y, y que la
velocidad paralela al eje de las z será nula. *
Además, supondremos que las componentes u, v están
definidas por las siguientes ecuaciones, á las que agregare-
mos que la velocidad paralela al eje de las zes igual á cero;
y tendremos para definir la velocidad de cualquier punto del
fluido, en cualquier instante
X
l = y MA W=O0.
»)
es + y?
Puesto que u, v, w son independientes del tiempo, claro
es que este ejemplo, que vamos á estudiar, se referirá, no
sólo al caso de los movimientos irrotacionales, sino el caso
particular de los movimientos permanentes.
— 199 —
Supongamos que el eje del toro se proyecta en O (figu-
ra 59).
El coeficiente angular de la recta AV, que representa la
velocidad, es decir, la tangente del ángulo que forma con
el eje de las x, será
A
E A
u DE y Ti V
pad
Y como el coeficiente angular del radio OA es pe el pro-
se
ducto de ambos coeficientes angulares será
u -x ao:
de modo que ambas rectas son perpendiculares.
De aque resulta, que la línea de corriente para cualquier
punto A, es decir, la
envolvente de las ve-
locidades V, tiene su
tangente AV, perpen-
dicular al radio OA.
En suma, la línea de
corriente para cual-
quier punto A del inte-
rior del toro es una cir-
cunferencia cuyo plano
es perpendicular al eje
Figura 59. proyectado en O, y
cuyo radio es OA.
Sabemos además, puesto que el movimiento es permanente,
que las trayectorias se confunden con las líneas de corriente.
De modo que todo punto del flúido describe circunferen-
cias cuyos planos son perpendiculares al eje O.
— 200 —
Y juzgando á la ligera, un principiante podría ver confir-
mada la duda que antes expusimos; podría creer que el mo-
vimiento del ilúido es en su totalidad y en sus elementos un
movimiento rotacional, cuando hemos dicho y probaremos
inmediatamente, que es un movimiento irrotacional.
La figura 60, que comprende dos esquemas, uno para el
movimiento rotacional, otro para el movimiento irrotacional,
aclara la duda á que venimos refiriéndonos.
En el toro A imaginemos, que a es un elemento infinita-
mente pequeño de flúido, elemento prismático, porque sus
Figura 60.
aristas son paralelas al eje O; pero cuya sección recta es un
trapecio curvilíneo, infinitamente pequeño, compuesto de
dos radios y dos arcos de círculo.
Si este elemento infinitamente pequeño de flúido, como si
fuera un cuerpo sólido, girando alrrededor del eje O, pasa
por las posiciones a, b, C....., y otro tanto sucede en todos
los planos paralelos al de las x y con cada elemento trape-
zoidal de flúido, el movimiento de éste eu el interior del
toro A, será, en efecto, un movimiento rotacional.
Aquí, la ilusión y la realidad están de acuerdo, cada ele-
mento de flúido girará alrrededor de un eje que pasa por
== 20h =
su centro al recorrer las posiciones a, b, C....., que es como
si girase alrrededor de O, y al mismo tiempo el centro de
cada uno de estos elementos describe circunferenciás alre-
dedor de O.
Este es un esquema clarísimo del movimiento rotacional.
En cambio, en el toro B cada elemento a” también describe
una circunferencia alrededor del eje O; pero si maginamos
un elemento de flúido infinitamente pequeño a”, y para faci-
litar el esquema damos á su sección recta la forma de un pe-
queño rectángulo cuyos lados sean paralelos á los ejes x, y,
siendo por de contado la arista siempre paralela al eje de las
z proyectada en O, este rectángulo, ó elemento de ilúido,
aunque su eje describa la circunferedcia a” e” se moverá pa-
ralelamente asimismo, ocupando las posiciones 4”, b', c”, dl'.....
Pero sin girar nunca dicho elemento; de modo que el flúido,
se moverá con movimiento irrotacional.
Aquí la ilusión y la realidad son distintas.
Vemos, pues, que los movimientos rotacionales no deben
buscarse en el movimiento total y aparente, sino en los mo-
vimientos internos, por decirlo así, de los elementos del
flúido.
Y en rigor teórico, el trapecio ó el rectángulo de las dos
figuras, no son más que símbolos aproximados y, por decir-
lo así, diferenciales: en puro idealismo hay que pasar al lí-
mite.
Hemos dicho que las fórmulas supuestas
o
o MEA y 08 wW=0
dl y
corresponden á un movimiento irrotacional; pero esto no es
evidente, hay que ver si tales valores de las componentes de
la velocidad satisfacen á la condición de dicho movimiento,
— 202 —
es decir, si estamos en el caso de la figura A (fig. 60) Ó de
la figura B.
Sabemos, por haberlo demostrado en conferencias ante-
riores, que para que en una región, el movimiento del flúido
sea irrotacional, es preciso que se tenga
du. avi qu dw "av. "dw
de A
ecuaciones que se deducen de igualar á cero las tres ecuacio-
nes del eje del torbellino para cualquier punto.
Veamos si los valores de u, v, w, satisfacen á estas tres
condiciones.
Tendremos
ad a o parao gutoit Vane
x? + y? A x? + y? xp Oia
dy dx ; dz dx y
E 9% EUSUnnE
Bea Ito rama
dz dy
Las dos últimas ecuaciones se reducen á o = 0, porque en
el primer miembro no entra z y en el segundo w es nula. Y
esto, por otra parte, es evidente, puesto que se trata de mo-
vimientos paralelos al plano de las x y, y la coordenada z no
entra en juego. No queda más que efectuar las diferencia-
ciones de la primera ecuación, y resultará
AA LA A
(a+ y) yy
ó bien simplificando
x? ENE y? His x? ¿E y?
ALE AS
es decir, una identidad.
— 203 —
Luego, en efecto, el movimiento definido por los valores
anteriores de 4, v, w, es un movimiento irrotacional.
Pero la comprobación anterior era indispensable, toda vez
que los valores 4, v, w, aunque escogidos de propósito por
el autor de quien tomamos este ejemplo, para quien no co-
noce el origen de dichos valores, deben ser considerados
como elementos, por decirlo así, de un teorema que es pre-
ciso demostrar; Ó como las integrales en el sistema de va-
riables de Euler, de un grupo de ecuaciones diferenciales del
movimiento del fiúido, que no conoce tampoco.
- Tanto es así, que antes de seguir debemos demostrar, que
los valores de 4, v, w, corresponden á un problema real del
movimiento hidrodinámico, y que satistacen al sistema de
ecuaciones diferenciales de Euler.
Las ecuaciones de Euler hemos visto que tienen la siguien-
te forma:
NEO! dl UE E urna oka du
po ERIÓ9S py ap ngara Den
ari dv CA UE AS
AS NA de de
dp tus . dw b de dw. dw
praia dx dy dz re
e=£(D),
de dp) (eN) dG),
dt dx dy dz
Estas ecuaciones se simplifican por las hipótesis que he-
mos hecho: á saber, porque suponemos un movimiento per-
manente, de modo que, 4, v, w, son independientes del
tiempo, y además, el movimiento es paralelo al plano de las
Rzv. ACAD. DE Cirycias.—X.— Octubre, 1911, 14
x, y; de suerte que los derivados con relacion á z son nulas
y w es nula también.
Teniendo esto en cuenta, las ecuaciones anteriores se re-
ducen á las siguientes:
LP qe y
p dx dx dy”
dde al
p dy dx dy”
atea) an La
dx dy
A estas ecuaciones es preciso demostrar que satisfacen los
valores de u, v, w establecidos a priori.
Pero aun consideraremos ecuaciones más especiales, y si
á éstas satisfacen dichos valores de 1, v, w, con más razón
satisfarán á las anteriores, que contienen funciones arbitra-
rias; porque es, por decirlo así, prescindir de funciones que
pueden contribuir por su indeterminación á que tales ecua-
ciones sean satisfechas.
Vamos á suponer que no actúan fuerzas exteriores; el flúi-
do se mueve por las impulsiones iniciales, y por lo tanto,
A A EA
Y todavía supondremos que la densidad p es una constante.
Con todo lo cual, las últimas ecuaciones del movimiento
se reducirán á las siguientes:
ED e A 2 E
e dx dx dy.
LA
o. dy dx dy”
p = constante,
Ca 0,
— 205 —
A estas últimas deben satisfacer los valores
Se
AI) (0:
=> £ t £ ?,
4 y? 04 y
Empecemos por la ecuación de continuidad, que ha que-
dado reducida á
du dv
ao dy
Sustituyendo u y v resultará:
n= o pe
pod a Lea
dx dy
y efectuando ;
IO A A
(iy (ey
ó bien
— 2Xxy + 2xy de
(es DE)
que es en efecto una identidad.
Dicha condición de continuidad queda, pues, satisfecha.
Pasemos á las dos primeras ecuaciones y veremos que
pueden reducirse á la siguiente:
dx dy dx dy
porque, en efecto, si satisfacen á la condición de integrabi-
lidad, claro es que los coeficientes 20 pt de las dos ecua-
dx dy
ciones fundamentales, son los coeficientes diferenciales pat-
ciales de la difencial total dp.
— 206 —
La condición de integrabilidad será, como se sabe
du du dv dv
A aos Dl
AN E A A AA AA
dy dx
O diviendo por p y cambiando signos
7 E
,
duen dv dy
Sustituyendo los valores de 4, V, —, —, —, — que
de ay day
son los siguientes:
) E pe
tl 30 PV 2 e
ED E Y |
du. —2xy. e ME POE 2) E
A ad (O + y.) (+ y)
PY ae lc a 2 que e Y AU IA
a a Cd (EH
tendremos
al A aci
ey (ey y (elo
dy
edo EA a
IN A O A Y
Ó bien
asian E A a AS
(A
(00 + y?)? eS (2? + y?)*
dy dy )
— 207 —
y, por fin,
d PA d gi sl
YE LAA)”
dy dx
que diferenciado da
A e
les: AT
que es, en efecto, una identidad.
Las consideraciones que preceden, han tenido por único
objeto demostrar, que los valores de 7, v, w, que hemos esta-
blecido, no son valores incompatibles con las ecuaciones del
movimiento dei flúido, lo cual á priori, casi pudiera supo-
nerse, porque aun fijando valores para u, v, w, en las ecua-
ciones generales de Euler, quedaban cinco expresiones que
determinar por medio de dichas cinco ecuaciones, á saber:
O:
Pero no contentándonos con esta observación general, he-
mos querido descender á los últimos pormenores del proble-
ma y al llegar á este punto podemos hacer dos afirmaciones
rigurosas.
1.7 Que las expresiones
US IN O
3) ed == 5) o? Ww=30
oe ll
4 '=
no son incompatibles en modo “alguno con las ecuaciones
generales del movimiento en el sistema de coordenadas de
— 208 —
Euler, y que, por lo tanto, se refieren á un movimiento posi-
ble, mejor dicho, á un movimiento real.
2.7 Que los valores de u,v, w, dan valores nulos, para
las componentes del eje de torbellino en el interior del toro.
Es decir, que :
De suerte que, el movimiento en el interior de dicho espa-
cio será un movimiento irrotacional.
Y ahora en este ejemplo podemos ver prácticamente, que
la circulación de cualquier curva de segunda clase, es decir,
de las que dan vuelta al eje por el interior del foro, no es
igual á cero, sino que tiene un valor determinado para una
vuelta y múltiplos de este valor para vueltas sucesivas.
Como u, v, w tienen formas en x, y perfectamente defini-
das, la demostración, mejor dicho, la comprobación de este
aserto, se reduce á efectuar prácticamente la integración de
1= | (udx + vdy + wdz),
que en este caso se reduce á
i= A
a E
Esta integración, puesto que los coeficientes obedecen á
la ley de integrabilidad, puede efectuarse por el procedi-
miento general que en el cálculo integral se enseña; pero la
integración es inmediata recordando, que si se tiene la
función de dos variables,
U = are. eE,
y
-— 209 —
La diferencial total de U, á saber
O EA
dx dy
puesto que
y
d.arc. fo —
d den cobro dd e
dx dx pi
y
d arc.fg —
UE o NR Ay
dy dy da
será
ir
Y
luego, salvo el signo que depende del sentido de la ro-
tación
=/ d (are. [9 ea! == ES [9 al .
c X Xx Je
El arco que tiene por tangente En es el correspondiente
al ángulo AOx, fig. 59.
Pero la función definida por la tangente no es una función
á , a y
uniforme, puesto que á una misma tangente E correspon-
den infinitos arcos que difieren unos de otros en una semi-
circunferencia .
Cuando y es cero, siendo r = 1 que es el radio de la cir-
cunferencia, al arco podemos suponer que es cero, como
punto de partida.
Cuando y vuelve á ser cero, el arco es igual á z.
O
Cuando se cierra el círculo, el arco es 27, y así sucesiva-
mente.
Luego la circulación, al cerrarse el círculo, no es nula y sí
la curva continúa dando vueltas, la circulación continúa
creciendo que es precisamente lo que nos proponíamos com-
probar.
En la conferencia próxima, que acaso sea la última de este
curso, resumiremos el resultado de estas últimas conferencias
y plantearemos uno de los problemas fundamentales de la
teoría de los torbellinos, que no es para tratado á la ligera y
que probablemente servirá de'materia, por lo menos para una
parte del curso próximo.
— 211 —
1X.— Conferencias sobre Fisica matemática.
Teoria de los torbellinos.
Por: JosÉ ECHEGARAY.
Conferencia vigésima.
SEÑORES:
Después de establecer en las primeras conferencias de
este curso los principios generales de la hidroestática y de
la hidrodinámica, y de hallar las ecuaciones generales apli-
cables á este orden de fenómenos, dijimos que en el mo-
vimiento del flúido perfecto, tal como al empezar lo de-
finíamos, existen dos clases diversas de movimientos, á
saber:
El movimiento rotacional.
Y el movimiento irrotacional.
En uno y en otro, y en el movimiento general del tlúido,
pertenezca á uno Ó á otro de dichos movimientos, procura-
mos hallar lo constante en lo variable, y perdónesenos esta
fórmula un tanto filosófica.
Y así demostrábamos, en general, que toda línea tlúida
cerrada se conservaba constantemente cerrada en todos los
instantes, y que siempre estaba compuesta de los mismos
elementos tlúidos.
Y demostrábamos, además, que toda superficie flúida y
cerrada presentaba el mismo carácter.
PL
Esta circunstancia de líneas y superficies responde bien,
en este caso general, á la fórmula que hace un momen-
to hemos establecido: lo constante en lo variable, em-
pleando la palabra constante en el sentido tantas veces ex-
plicado.
Y completando estas mismas propiedades, demostrába-
mos el teorema de Helmholtz; que para toda curva cerrada,
durante todo el movimiento, existía un valor constante para
la circulación.
Pasando después al movimiento rotacional, definíamos las
líneas de torbellino, los tubos de torbellino y las superficies
de torbellino, estableciendo una serie de teoremas siempre
dominados por la misma idea: buscar la constancia de pro-
piedades Ó de magnitudes en la variabilidad del movi-
miento.
Y así deciamos: toda línea de torbellino en todos los ins-
tantes, se conserva como línea de torbellino. Toda superficie
de torbellino sigue siéndolo á través del tiempo. y
Todo tubo de torbellino variará de forma, pero se con-
serva á través del movimiento como tubo de torbellino; y la
constante que lo caracteriza, su intensidad, pudiéramos de-
cir, Ó sea el valor de la circulación de una curva de circuito,
no cambia de valor numérico.
Pasábamos después al movimiento irrotacional, buscando
resultados en cierto modo análogos á los que habíamos ha-
llado en el movimiento rotacional, á saber: el valor de la
circulación de una curva cerrada, y demostrábamos otra se-
rie de teoremas, para las diferentes clases de espacios sim-
plemente conexos, Ó de conexión múltiple.
En el primer caso, la circulación era nula, diferenciándose
del movimiento rotacional en que la circulación en éste tiene
un valor determinado.
En cambio, para la conexión múltiple, hacíamos una clasi-
ficación de líneas, en las que, exceptuando el caso de la
conexión sencilla, la circulación toma valores finitos, aun-
— 213 —
que para cada clase de curvas el módulo era el mismo
Y en estos términos podemos decir que hemos hecho el
resumen del presente curso. '
Lo hemos dicho y lo hemos repetido hasta la saciedad.
En el flúido perfecto que hemos tomado, como materia
primera de los fenómenos que estudíamos, pueden presen-
tarse dos clases de movimientos: 1. El movimiento rotacio-
nal en que cada elemento flúido, en un tiempo infinitamente
pequeño df, ejecuta un giro, que podemos suponer unifor-
me y que es infinitamente pequeño como el tiempo df, alre-
dedor de un eje, que es el eje del torbellino; y 2.%, el movi-
miento irrotacional en que los elementos flúidos no giran,
sino que se transportan, paralelamente á sí mismos y en
todo caso se dilatan ó se contraen.
Pero aquí ocurre una pregunta:
¿En cualquier masa del flúido perfecto, pueden coincidir
ambos movimientos, para una parte el rotacional y para otra
el irrotacional? ¿Ó por el contrario se excluyen, y en toda la
masa no existe al mismo tiempo más que el movimiento ro-
tacional ó el irrotacional?
La contestación á esta pregunta es concreta y terminante.
Sí; pueden existir á la vez ambos movimientos.
Una porción del flúido, Ó varias porciones separadas del
mismo, pueden estar dotadas de movimiento rotacional y de
movimiento irrotacional el resto del flúido.
Ya esta misma cuestión la hemos apuntado otras veces, y
casi es evidente la posibilidad de la coexistencia de ambos
movimientos. |
En el origen del movimiento, las velocidades iniciales, aun
— 214 —
siendo continuas, así como sus derivadas, pueden ser tales,
que para determinadas regiones del flúido tengan una poten-
cial, y por lo tanto, las componentes del eje de torbellino
sean nulas.
En esta región ó regiones, el movimiento será irrotacional
é irrctacional se conservará en el transcurso del tiempo, lo
cual se puede ver de muchas maneras; entre otras, recordan-
do que la propiedad de conservar una potencial las veloci-
dades del sistema es propiedad permanente.
En cambio, puede suceder que en otra ó en otras regio-
nes del flúido las velocidades del instante inicial sean tales,
que no tengan una potencial, y que, por lo tanto, los tres
binomios
tengan valores finitos.
Pero hemos demostrado, que los movimientos irrotaciona-
les se conservan en cualquier instante, sin que en ellos
puedan aparecer movimientos rotacionales, á no ser que en
ellos se presenten fuerzas de rozamiento ó viscosidad, Ó, en
general, que no tengan una potencial.
Los torbellinos: no aparecen espontáneamente, si vale la
palabra.
Asimismo, los movimientos rotacionales que aparecen en
un instante por la acción de cierta clase de fuerzas, tampoco
desaparecen y se convierten en movimientos irrotacionales
de una manera espontánea.
En suma: se comprende que en un flúido puedan coexis-
tir ambas clases de movimientos.
Claro es que esto supone cierto orden de discontinuidad
en las derivadas de u, v, w, con relación á Xx, y, 2.
Más claro: las componentes a, v wen todo el flúido,
pueden ser funciones continuas.
— 215 —
Pueden ser también funciones continuas sus derivadas,
con relación á Xx, y, 2.
Y, sin embargo, los binomios anteriores pueden tener en
una región valores fini-
tos y continuos, en cu-
yo caso el movimiento
será rotacional y en la
región contigua ser
iguales á cero.
La figura 61 es un
esquema de la clase de
discontinnidad á que
nos referimos.
Por ejemplo, una or-
denada finita para la £'
curva A B de pronto se
convierte en nula, y
nula se cónserva en to-
dorelreje"C TD
O bien, la ordenada
de A'B” se reduce á
cero al llegar á B” y se
conserva igual á cero 4'
en toda la línea B*D'”.
En estas faltas de
continuidad y en otras SANA
análogas nos ocupare- 8 a
mos en otra ocasión, Figura 61.
porque constituyen to-
da una clase de problemas, que en este momento no po-
demos abordar.
— 216 —
De las explicaciones que preceden se deduce que en el
interior de un flúido perfecto y en su movimiento á través
del tiempo, pueden presentarse simultáneamente regiones
de movimiento rotacional y regiones de movimiento irro-
tacional. .
Pueden, por ejemplo, siguiendo el movimiento general
del flúido, que supondremos irrotacional, caminar diversas
líneas de torbellino cerradas, formando anillos, ó indefinidas;
tubos de torbellinos; superficies de torbellinos también, á la
manera que navegan sobre un río embarcaciones de diver-
sas clases.
Y aquí se presenta un problema importantísimo, que ya
en este curso no podemos estudiar por completo, pero que
probablemente, y si no cambio de idea, será el asunto prin-
cipal del próximo curso.
Cuestión importante, porque con ella se enlazan al menos
por la forma de la representación, y por analogía entre las
funciones analíticas, los problemas de la electro-estática
y de la electro-dinámica, por una parte, y por otra ciertos
problemas de química, como puede verse en la obra ya ci-
tada de J. J. Thomsoun, titutada A Treatire ou the Motion
of Vortex Rings.
No es muy antigua, aunque ya tiene veintisiete años y la
ciencia camina hoy con velocidades eléctricas.
Pero así y todo, y aunque hemos de estudiar Ó nos pro-
ponemos estudiar obras más modernas, la que hemos citado
merece ocupar un puesto de honor en este conato de enci-
clopedia que aspiran á formar estas conferencias.
Y el problema á que venimos refiriéndonos en los párra-
fos anteriores, es el siguiente:
Las ecuaciones que determinan las componentes del eje
— 217 —
de rotación ó de torbellino en cada punto de un fiúido per-
fecto y en cada instante, sabemos que son
dw dv > du dw e dv du
e A AT
dy dz; dz dx
Si los segundos miembros son nulos, el movimiento será
irrotacional, porque las componentes del eje del torbellino
¿£, 1, E. serán nulas también.
Si por el contrario estos segundos miembros tienen valo-
res en los puntos (x, y, 2), para éstos, es decir, para todos
los puntos en que los binomios anteriores no se anulen,
el movimiento será rotacional y se compondrá de torbe-
linos.
Advirtamos una vez más que las ecuaciones precedentes
no son ecuaciones ya integradas; y por ahora sólo se ve
que pueden resolver ciertos problemas sin previa integra-
ción.
Expresan, única y exclusivamente, propiedades del movi-.
miento del flúido, muy interesantes, muy curiosas, acaso
muy fecundas, pero nada más.
Mientras no integremos las ecuaciones diferenciales, no
podremos saber cuál es la forma en función de x, y, z, £ de
las funciones de estas variables u, v, w, E, 1, €.
Pero aquí se presenta el problema á que venimos refirién-
donos, sin haberlo enunciado todavía, y que por fin vamos á
enunciar ahora.
Si el problema general del movimiento hubiera sido re-
suelto, es decir, si hubiéramos integrado las ecuaciones di-
ferenciales de dicho movimiento, claro es que conoceríamos
u,v, w, en función de x, y, z, f; á saber:
do 01 (X, y, 2, £)
9 La (% y, 2, Í)
= 2 (x, y, 2, E)
wW
— 218 —
y en este caso podríamos inmediatamente conocer las com-
ponentes de los ejes del torbellino para cualquier instante, y
para todos los puntos del flúido. Si las ecuaciones precsRa
tes fueran generales, conoceríamos los valores de £, 7, €,
para todo punto x, y, z, y en cualquier instante £, y donde
el movimiento fuera irrotacional, deberíamos hallar
¿=0 == ¿=0
Y este resultado se obtendría mediante seis diferencia-
ciones.
En efecto; tomemos el valor de £ que es
y lo que de él digamos podríamos repetir para 7 y £.
Basta diferenciar, con relación á y y z, las expresiones
Wir,
O)
y tendremos
dw ,
=— = Y gy (%, y, 2, Í)
dy
dv p
=== 0.15 he 1),
dz
sustituyendo en el valor de £, resultará:
25 oo g sy (x, Y, 2, 1) a Daz Es Y, 2, b);
de suerte, que conoceremos esta primera componente del eje
del torbellino en cualquier punto x, y, z, y para cualquier
instante £, con sustituir en la ecuación precedente, en vez de
x, y, z, las coordenadas del punto, y en vez de f, el valor de
esta variable para el instante que se considere.
O)
Como el problema de la integración suponemos que está
resuelto, y que las funciones 9,, %,, 43, SON conocidas, el se-
gundo miembro de la última ecuación quedará perfectamente
determinado y nos dará el valor de £.
Esto mismo podemos decir para las otras dos componen-
tes del eje de torbellino.
Por eso hemos dicho, que esta primera parte del problema
se resolvía inmediatamente conociendo u, v, w, en función de
DI aya ÁS
Y ahora, se plantea la segunda parte del problema, ó me-
jor dicho, el problema inverso. A saber: Conociendo £, 7, €,
en función de x, y, z, en cualquier instante, determinar en ese
instante u, v, w, para cualquier punto del flúido,
Vemos, en resumen, que el problema comprende dos
partes:
1.* Conociendo u, v, w, en función de x, y, z, f, deter-
minar £, 1, £, para cualquier punto; y esto hemos visto que
es sencillísimo.
2.7 Suponiendo que por cualquier medio se han deter-
minado, ó dicho en general, que se conocen £, 1, £, deter-
minar u, V, W.
En rigor, este es un problema de cálculo integral, porque
puede plantearse de este modo: Integrar las ecuaciones
e A A E
dw dv du dw dv du
2 ZE ,
dy dz dz dx dx dy
Un problema análogo á este, mejor dijéramos, que con él
coincide, lo hemos resuelto en el curso anterior (véase curso
1909 á 1910, pág. 299), y en el curso próximo lo trataremos
con alguna extensión.
Por el momento, y ya que no sea posible entrar en otros
desarrollos, nos limitaremos á presentar un caso tomado de
la obra de Mr. Poincaré.
Sk
+ *
REV. ACAD, DE CIENCIAS, —X.— Octubre r1grr. 15
— 220 —
Preguntábamos a:tes. ¿Pueden coincidir en el movimien-
to de un flúido perfecto los movimientos rotacionales y los
irrotacionales, es decir, en unas regiones unos y en otras
regiones otros?
Y á esta pregunta contestábamos afirmativamente; y á este
caso, se refiere el ejemplo que vamos á presentar.
Imaginemos, que el ilúido es un líquido absolutamente in-
comprensible; pero sin viscosidad, es decir, que entra en la
definición del flúido perfecto. |
Suponemos que el flúido se extiende hasta el infinito y
que el movimiento se verifica paralelamente al plano de
las x y, é igualmente, por decirlo de esta manera, en todos
los planos paralelos á dicho plano coordenado. |
Claro es, que no habrá que contar con la variable z, por-
que sea cual fuere z, con tal que x, y no varien, el movi-
miento será el mismo. Podemos decir, que el movimiento se
efectúa por rectas paralelas al eje de las 2.
Luego toda derivada, con relación á esta variable, será
nula.
Por una razón análoga podemos establecer w= 0, pues-
to que no existe movimiento paralelo al eje de las z.
Si además suponemos que no existen fuerzas exteriores,
claro es, que las ecuaciones generales del movimiento, según
el sistema de Euler,
1 dp du du du du
= X — UT—= —= V — —W— — —
alas dx dy dz dt
AMO algas gy o 1 leas» ¿co OLA
Pp dy dx dy da DatR
ONES dw A dw dw.- 3
0 dz dy dy dz ot”
o=f(p)
dp , dea , dev dew _
dt wi ae apra
— 221 —
se simplificarán por manera notable, y más, si se agrega que
el movimiento sea permanente. |
- Aplicando dichas simplificaciones, es decir, suprimiendo
X, Y, Z; las derivadas con relación á z; los términos en que
entra w; las derivadas con relación al tiempo, porque el mo-'
vimiento hemos dicho que es permanente, y dividiendo la
ecuación de continuidad por p, toda vez que hemos supuesto
que se trata de un líquido incomprensible, tendremos que
las ecuaciones generales de Euler se reducirán á
«
AO du du
A — = — U — —=V—,
AOS dx dy
Esad ato cial coco (1)
Peaanel alo dy
de O
dx dy
Dicho esto, definamos el sistema que vamos á escoger en
las condiciones ya establecidas, siendo el movimiento, como
queda expuesto, paralelo al plano de las x y.
Consideraremos un tubo de torbellino cuya sección por
el plano de las xy sea el circulo A B (fig. 62). Su centro O
y su radio R.
Este tubo supondremos que es indefinido y su eje coinci-
de con el eje de las z.
Fuera de este tubo de torbellino, el resto del espacio ad-
mitiremos, que está sometido á un movimiento irrotacional;
en cambio, dentro del tubo ó del cilindio A B todos los filetes
paralelos al eje de las z son otros tantos tubos-torbellinos.
De modo que el tubo torbellino AB es un tubo torbellino
macizo, si vale la palabra. Y nos proponemos demostrar,
que pueden coincidir ambos movimientos: el rotacional del
tubo macizo AB y el irrotacional del espacio exterior á este
tubo, y que las velocidades de todo este espacio dependen de
las constantes que determinan el tubo rotacional.
— 222 —
Supongamos el problema resuelto, tomando la solución
que da Mr. Poincaré y vamos á comprobar dicha solución,
demostrando que en el interior de AB el movimiento es ro- *
tacional, en el exterior irrotacional, y que las velocidades en
la parte exterior dependen del tubo torbellino, que hemos
establecido paralelo al eje de las 2.
o
Figura 62.
Supongamos que la velocidad de un elemento infinitamen-
te pequeño del flúido, situado en M, á la distancia r, del
centro O tenga por valor V, siendo V función de r y que,
además, Md sea perpendicular al radio OM.
Esta es una hipótesis que necesita comprobarse.
Porque no nos satisface decir, que por razón de simetría
tendrá dicha dirección.
Resulta de lo supuesto, que las componentes de V, es
decir, 4, V, serán
— .223.—
u==—VcosaMd, v=VcosbMd;
y como
cosaMd= cos OMc = — y cosbMd = cos cOM==Ñ
resultará
Claro es que la tercera componente será w = 0, puesto
que el movimiento es paralelo al plano de las x y.
Hemos dicho que V es, ó se supone que es una función
de r, función que determinaremos más adelante, de modo
que satisfaga á las condiciones del problema.
Para abreviar haremos:
y resultará
ti==
Vamos á comprobar que estas dos expresiones satisfacen
á las ecuaciones generales del movimiento, sin especificar la
naturaleza de la función <, y después determinaremos q de
modo que en el cilindro AB el movimiento sea rotacional,
fuera del cilindro irrotacional y que las velocidades sean con-
tinuas al pasar del interior al exterior del cilindro.
En primer lugar demostraremos que los valores anteriores
de u, v satisfacen á la ecuación de continuidad que es una
de las ecuaciones generales del movimiento. A saber:
d d
il
_—— —
dx dy
— 224 —
Sustituyendo los valores de 4, v tendremos:
deny) y, ADA o
dx dy
en que evidentemente, según la figura 62,
r=ary 6 r=yve+y
La ecuación de continuidad, efectuando las diferenciacio-
nes se convierte en
F dr . dr
A
dx dy
Ó bien
, as ,
AO en) — x=0,
que es, en efecto, una identidad.
Luego, estos valores de 4, v, por lo pronto, satisfacen á la
ecuación de continuidad.
Veamos ahora si satistacen á las dos primeras ecuacio-
nes (1), que son
alo ER a OS
podx dx dy
E
e: ¡dy dx dy
en que hemos supuesto que ¿ es una constante.
Para que estas dos ecuaciones puedan integrarse y den un
valor para p en función de x, y, es preciso que
— 225 —
sea una diferencial exacta, de los dos variables x, y. Debe-
rá, pues, verificarse la condición
en que hemos cambiado el signo y hemos dividido por ¿.
Sustituyendo los valores de u, v, se obtiene
dx AE
d y
a O DA de do (r)x)
reseca ol de llar aude dci
dx ;
y efectuando las primeras diferenciaciones de los numera-
dores,
a Pai
no rr 0 0)
dy
d[—Or(10 Ext) 0:70 Gal
IR ¡IBIS IESO ETE Uds
Ó bien
doo ino |
dy |
y yx? , e
do 04 nn
dx
— 226 —
y simplificando,
ie AY)
d y dx
Efectuando las diferenciaciones
dr TOR
— 2 TA) A] == AA) 0
OL PR o
y por fin
7 Xx 3 DE
= 29 (1) 2 (r) E NENAS
que es una identidad.
Resulta de lo que precede, que suponiendo que un flúido
perfecto se mueve paralelamente al plano de las x y, siendo
las componentes de cada punto á la distancia r del eje
U=—¿(1)y, v=g(1)x
estos valores de las componentes de la velocidad satisfarán
á todas las ecuaciones diferenciales del movimiento.
Representarán, pues, un movimiento posible, sea cual fue-
se la forma de la función y, la cual quedará, por lo tanto,
indeterminada por el momento.
Y vamos á demostrar ahora, para completar la solución
del problema, que puede darse á dicha función q (r) una
forma tal, que en el espacio exterior al cilindro A B, el mo-
vimiento sea irrotacional; que cambiando la forma de q en el
interior de dicho cilindro A B, el movimiento será rotacio-
nal, y que la velocidad variará de una manera continua al
pasar del interior al exterior.
Para que el movimiento sea irrotacional es preciso, como
sabemos, que se verifique la condición
du dv
dy dx
,
Ó bien
Sustituyamos en esta ecuación los valores de u, v, y de-
terminemos la función indeterminada ¿ de modo que la ecua-
ción precedente quede satisfecha.
Tendremos
APM) — del(a.
dy El
y desarrollando,
; dr y EN EURO a
O O x Ho (r),
Ó bien
¿0 E=0=e ME +00,
de donde, |
20) — e)
y por fin,
— Y (1) r = 2 (1).
Sustituyendo por « (r) su valor SN en que V repre-
r
senta la velocidad Md (fig. 62), tendremos
de)
— —_——— r=2
dr r
— 228 —-
y Giferenciando
AECA
r r
Ó bien
a 0
de donde
LE Vir)
.
Tenemos, pues, que integrar la ecuación diferencial
EA CAMARA,
dr P
que será
III,
V(r) a
cuya integal es
log V + logr = log C,
siendo C una constante.
De aquí se deducen sucesivamente
lav? loe
Vr= €
v=2
ñ
En suma, para que en el exterior del cilindro AB el mo-
vimiento sea irrotacional, la velocidad V, que en la figura
hemos representado por Md, debe ser tangente á la circun-
E
ferencia CD, como antes demostramos, y su valor debe ser
inverso del radio OM=.
Supongamos ahora que nos proponemos determinar + de
modo que el movimiento en el interior del cilindro AB sea
rotacional y que en cada punto del interior de dicho cilindro
A B el eje del torbellino paralelo al eje de los z tenga el
valor £.
En este caso deberemos establecer:
y sustituyendo por v, u sus valores.
2(e(0)3) , 40) _ 0
ales d y %
y efectuando las diferenciaciones
e (r) + xq
; dr
EII +
dy
Ó bien
2040) =>2<,
que se reduce á
DAN EW;
y sustituyendo en vez de y su valor tendremos
V(r)
E
> V (r) ches r
LS a
SÓ
No habrá más que integrar esta ecuación para determi-
nar V (7).
Pero la ecuación queda satistecha, y esto es hacer la inte-
eración inmediatamente, estableciendo
V(r) =C;1,
en que C;, es una contante.
En efecto, sustituyendo este valor de V (7), resulta:
Car
de
F po dr
2
Como hemos dicho que C, es una constante, resulta
Ci
luego la ecuación queda satisfecha dando á la constante el
valor E.
Asi, pues, el movimiento del flúido en el interior del ci-
lindro AB será rotacional, si á cada punto del inferior de
dicho cilindro le damos una velocidad normal al radio que
pasa por dicho punto, y cuyo valor sea
VA 8
Sólo queda por llenar una condición para la continuidad
de las velocidades. A saber: que en cada punto de la circun-
ferencia AB que separa la región rotacional de la irrotacio-
nal, los valores de V coincidan.
Para el exterior teníamos
vel
z
Para el interior
0 SA
y como el radio de la circunferencia A B lo designamos por
R, la condición á que nos referimos será
de donde deduciremos para la constante Cel valor C=R?C.
En resumen, podremos tener, paralelamente al plano de
las x y n movimiento tal, que en el interior del cilindro
A B tenga el flúido un movimiento rotacional, en el exterior
un movimiento irrotacional, coincidiendo ambos para la su-
perficie A B, satistaciendo á todas las condiciones del movi-
miento, así respecto á la ecuación de continuidad como á las
dos primeras ecuaciones diferenciales, y dando valores de-
terminados para la presión p, salvo la constante de esta úl-
tima integración; todo esto se realizará, repetimos, si la ve-
locidad de cualquier punto exterior es perpendicular al ra-
dio que pasa por dicho punto y tiene por expresión
vo 2
: 2
SR
F
14=
y la velocidad para los puntos interiores es igual á
M. Poincaré, que trata este ejemplo, llega á los mismos
resultados con mucha más rapidez, aunque para la inteli-
gencia de los alumnos hayamos creído más conveniente se-
guir la marcha general, que acabamos de explicar.
M. Poincaré dice, aunque no con estas palabras:
+ 2800
,
«El trabajo de la velocidad en una circunferencia cual-
quiera CD, trazada desde 0, es decir,
fia; + vdy)
equivale evidentemente, toda vez que V es tangente á dicha
circunferencia, al producto de la longitud de CD por la ve-
locidad tangente V, es decir,
circulación sobre la circunferencia CD = 21 r V.
Esto, por una parte; pero se sabe por el teorema de Sto-
kes que dicha circulación es igual al flujo del vector torbe-
llino sobre toda el área que comprende dicha circunferencia.
Como la corona comprendida entre CL) y AB correspon-
de al movimiento irrotacional, los torbellinos serán nulos y
el flujo nulo también.
No hay que contar, pues, con dicha corona.
Queda el circulo comprendido en la circunferencia A B. Si
para toda esta área el eje del torbellino es constante é igual
á 2€, el flujo que buscamos será igual al área multiplicada
por €, es decir,
flujo área AB =27R?L.
E igualando esta expresión á la anterior, toda vez que la
circulación es igual al flujo, tendremos
DARA VA
de donde
que es el mismo resultado que antes habíamos obtenido para
la velocidad en los puntos exteriores.
— 233 —
Supongamos ahora, que el punto que se considere es in-
terior á la circunferencia AB. Sea, pues, C'D”.
Llamando como antes r á su radio y Vá la velocidad tan-
gencial, la circulación será, como antes, 27. r V.-
Por el teorema de Stokes esta expresión debe ser igual al
flujo del vector torbellino en el círculo que comprende C'D”,
advirtiendo que aquí todo se aprovecha para el flujo, porque
no hay ninguna corona en que el flujo sea nulo.
Tendremos, pues,
Y
(
flujo torbellino = 2 wr? £.
E igualando á la expresión anterior
21 V=213r*8.
De donde se deduce
que es también el resultado obtenido anteriormente.
Este ejemplo, que es sencillo, y, por decirlo así, suges-
tivo, se presta á muchas consideraciones, y muchas observa-
ciones pueden hacerse también respecto á su aplicación.
Por ejemplo, si R disminuye tendiendo hacia cero, con
tal que € crezca en la debida proporción, de manera que ZP?
tienda hacia una constante /m, el valor V de la velocidad del
movimiento irrotacional será una cantidad finita
m
Vv==,
— 234 —
y tendremos en presencia, por decirlo de este modo, un file-
te torbellino proyectado en O, y alrededor un campo de mo-
vimiento irrotacional.
Y lo que es más importante, la velocidad de cualquier
punto del tlúido que diste r del eje torbellino, tendrá un va-
lor inverso á dicha distancia y quedará perfectamente deter-
minado.
Más aún: si el eje-torbellino se asemeja á una corriente
eléctrica, la velocidad de cualquier punto exterior coincidirá
en magnitud y en dirección con la fuerza que ejercería dicha
corriente sobre un polo magnético colocado en el expresado
punto.
Y aquí empiezan una serie de analogías, que ya anunciá-
bamos al empezar este curso, entre la electrodinámica y la
teoría de los torbellinos.
Pero todo esto y otros muchcs problemas importantes,
será preciso, bien contra mi voluntad, que queden para el
-CUrso próximo.
— 2359 —
X.—La copelación, según antiguas recetas
Por JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO.
Aquí comienzo la publicación de algunas curiosidades de
Alquimia, todas recogidas de Manuscritos españoles, casi
ninguna de ellas original, no desprovistas, sin embargo, de
interés, en las cuales se contiene lo esencial de las prácti-
cas subtiles del Arte Magno, mezcladas con extravagantes
doctrinas, y á veces, como en el caso actual, con procedi-
mientos racionales, ahora llegados á los mayores adelanta-
mientos, y cuyo fundamento encuéntrase en ciertos métodos
alquimistas de gran fama, y no en las doctrinas profesadas
por quienes los usaban con mayor esmero. Una idea mueve
mi ánimo para decidirme á publicar, añadido de comentarios,
lo recogido en mis largas pesquisas, y es la de contribuir,
cuanto me fuere dado, á esclarecer la historia de la evolu-
ción de las ideas científicas en España, siquiera no haya sido
otorgado á mis empeños y diligencia el favor de haber en-
contrado algo peregrino y singular, de todos ignorado; limi-
tándose los resultados conseguidos á rectificar algunos pun-
tos que á la historia química del alcohol se refieren, y serán á
su tiempo tratados.
Mucho antes de ahora hubo escritores de mérito extraor-
dinario, para quienes fueron objeto principal de notables in-
vestigaciones las referentes á las ideas de los contados verda-
deros y originales alquimistas habidos en España; pues aun
cuando hayan sido, en cierto modo, adeptos de la doctrina
transmutatoria, la de más boga durante largo tiempo, nunca
pueden entrar en la categoría de tales nuestros buenos me-
talurgistas, que tanto arte y tanto ingenio pusieron en ex-
Ruy. ACAD. DE Ciixcras,—X.—Octubre, 1911. 16
— 236 —
traer el oro de sus placeres, la plata y el mercurio de cuan-
tos minerales los contenían. Y entre estos escritores, he de
rendir pleito homenaje, en el principio de mi trabajo, á don
Marcelino Menéndez y Pelayo, cuya obia de La Ciencia Es-
pañola, es la que encaminó mi voluntad hacia tal género de
estudios, y á D. José Ramón de Luanco, autor del libro La
Alquimia en España, colección de noticias admirables, de la
cual puede sacar muchos provechos quien pretenda ocupat-
se en nuestra historia científica en determinados períodos.
Bien será decir ahora el objeto de sacar á plaza olvidadas
vejeces y declarar mis intentos al dar á conocer estas pere-
erinas recetas para hacer oro y plata ó preparar los comple-
jos brebajse, dotados de la excelencia y virtud de conservar
el cuerpo en la más cabal salud y energía, privándolo de todo
contagío y enfermedad, no siendo la última. Entre la bara-
hunda y confusión de las prescripciones, siempre obscuras y
enigmáticas, como para ser entendidas sólo por los adeptos
y escrutadores del arte, la profusión de los ingredientes re-
comendados y lo misterioso y ambiguo del lenguaje, hay
ciertas ideas fundamentales, por lo general sólo esbozadas,
las cuales, andando los tiempos, adquirieron los debidos
desarrollos, hasta convertirse en doctrinas científicas impor-
tantes, y aun en la misma práctica de varias Operaciones
primordiales, y de ellas es la copelación, contiénese el germen
y principio de bastantes y muy usados procedimientos meta-
lúrgicos, y esto pretendo hacer resaltar en primer término,
siquiera cuanto haya de dar á conocer sólo constituya, en
definitiva, variantes más Ó menos prácticas é ingeniosas de
los contados métodos y de la teoría general que compren-
dieron el fondo de la Alquimia.
No se concretan á lo dicho mis propósitos. Hoy la historia
de cualquiera ciencia no ha de limitarse al relato cronológico
de los hechos, en el orden como fueron descubiertos, inda-
sando á quién se deben y al de los orígenes de las doctrinas;
antes bien, partiendo de lo actualmente conocido, debe tratar-
se de saber como en cada época y cada investigador ha pen-
sado ó ha trabajado respecto de lo ahora sabido y al propio
tiempo cuáles fueron sus medios y procedimientos y los mo-
dos de servirse de ellos. Si trato de la copelación es para sa-
ber su práctica, su teoría, y cómo pensaban acerca de ella, y
cuál fué su importancia y sus resultados en determinada épo-
ca y sigo en esto el criterio del famoso profesor W. Ostwald,
porque es mejor darse cuenta de cómo pensaron y cómo eje-
cutaron nuestros predecesores, respecto de las cuestiones ac-
tuales Ó de sus equivalentes, y preferible á entretenerse en
buscar la sucesión, en el tiempo, de los descubrimientos y de
las doctrinas, cuyo encadenamiento no suele aparecer claro,
permaneciendo casi ignorados los términos esenciales de la
evolución de las ciencias.
Conforme á tal modo de pensar, no me esforzaré en ave-
riguar quiénes fueron ó pudieron ser los autores de las rece-
tas y procedimientos encontrados; basta fijar su data para
conocer que fueron practicados en la forma descrita, de or-
dinario variante de métodos tradicionales y de muy antiguo
conocidos, y es menester además determinar su filiación y
relaciones con lo primitivo, para darse cuenta de los cambios
y perfeccionamientos debidos al tiempo, al lugar y al inge-
nio de los hombres. Faltar al sistema conduce á errores tan
eraves como el de haber considerado á Ramón Lull alqui-
mista de profesión, hasta que, no ha mucho, demostró el se-
. for Luanco cómo nunca lo había sido, á pesar de las tradi-
ciones alquimistas llamadas lulianas, sostenidas por aquel
Raimundo de Tárrega, usurpador del nombre insigne del
Doctor Iluminado. Siguiéndolo, llégase á darse cuenta de
cómo los primitivos metalurgistas, que sabían extraer oro y
plata de arenas y minerales, no habían menester de afanat-
se buscando la piedra filosofal, aunque fuesen partidarios de
la doctrina de la transmutación; y se explica el por qué en
España no hubo alquimistas verdaderos, á no calificar de
tales á los falsarios reduplicadores del oro, capaces de em-
— 238 —
baucar á los personajes de mayor jerarquía, deslumbrándo-
los con los más fabulosos resultados.
Otra ventaja dedúcese todavía del criterio expuesto, refe-
rente al carácter de los procedimientos descritos, siempre
con gran lujo de pormenores, en los viejos manuscritos al-
quimistas españoles, y es su sentido práctico dominante,
consistiendo en ello su nota distintiva. Tienen, si se quiere,
escasa Ó ninguna originalidad en lo fundamental, son acaso
operaciones tradicionales; pero llevan en las variantes y en
la propia descripción cierto sello de realidad muy de notar,
y hay de continuo vislumbres y adivinaciones de cosas nue-
vas y de ideas generales, fruto de admirables intuiciones,
sin desconocer, no obstante, como todos los autores de tales
recetas para apartar el oro de la plata ó la plata del plomo
estaban bien inficionados del legitimo virus alquimista, y
con haber sido glorioso fundador de la Metalurgia científica,
también de alquimista, en cuanto á las doctrinas, tuvo mu-
chos puntos y ribetes el gran Alvaro Alonso Barba, y de
ello encontrará cuantas pruebas quisiere quien registre su
famoso y original libro de El Arte de los Metales.
De un procedimiento para copelar trata una receta pues-
ta al final de cierto curioso Manuscrito de Alquimia del si-
glo xv, existente en nuestra Biblioteca Nacional, bajo la sig-
natura li-6-, 10.824, procedente de la casa ducal de Osuna.
Perteneció al primer marqués de Santillana y así lo describió
Mr. Mario Schiff, á cuya buena amistad debo el conocimien- .
to del documento, del cual conservo copia hecha de mi
mano (1); habla de él el Sr. Rocamora en su Catálogo de la
Librería de Osuna (2); da muy breves é incompletas noticias
(1) SCHIFF (MARIO).—<La Bibliothéque du Marqués de Santi-
llana». —París 1905.
(2) ROCAMORA.—«<Catálogo abreviado de los Manuscritos de
la Biblioteca del Sr. Duque de Osuna é Infantado>.— Núm. 12.—Ma-
drid 1882.
. = 239 —
- de su contenido el Sr. Luanco, acaso sólo de referencia (1),
y lo tengo descrito muy por menudo, hace tiempo, con cier-
tas ilustraciones de subido valor, porque proceden de mon-
sieur Berthelot, con quien hube de consultar algunos pun-
tos del Manuscrito en cuestión (2). No es un Tratado del
Arte de la Alquimia, sino conjunto de fórmulas, recetas y
doctrinas expuestas sin método, á modo de compilación, y
entre ellas ocupa parte muy principal el libro nombrado
Imagen de la vida, en el cual hállanse explicados ciertos pro-
cedimientos de destilación de liquidos alcohólicos y las figu-
ras de los toscos y primitivos alambiques, acaso lo de ma-
yor importancia en el Manuscrito contenido, y en él abun-
dan extravagantes recetas, cuya eficacia se asegura con las
palabras más rotundas, procedimientos metalúrgicos y des-
cripciones de aparatos; todo ello mezclado con disertacio-
nes filosóficas y morales acerca de la ciencia alquimista.
Para mí trátase de una colección de fragmentos reunidos
por quien conocía bien la materia, añadiéndoles bastante de
su cosecha, en torno del no acabado Tratado de la Imagen
de la vida, cuyo fin es el nunca bien ponderado elíxir, des-
tinado á conservarla en el mejor estado por tiempo indeti-
nido. Sin embargo, verdaderas novedades, aun para su data,
que el Sr. Schiff ha fijado en el primer tercio del siglo xv, el
Manuscrito contiene pocas; pero algunas son de notoria im-
portancia, aun las reducidas á pormenores de carácter in-
dustrial, en general presentados con suficiente claridad den-
tro del enrevesado y enigmático lenguaje peculiar de los es-
critos de Alquimia. Reside, por lo tanto, en mi entender, el
interés del Manuscrito en su fecha, en su procedencia espa-
ñola, siquiera sea ignorado el autor, en los dibujos, en ex- .
(1) LUANCO.--«La Alquimia en España».—Tomo ll, página 86.
(2) «Revista de Archivos, Bibliotecas y Museos». — Febrero
de 1599.
ES
tremo toscos que lo ilustran, y en lo accidental que le plugo
añadir, sin relacionarlo para nada con las doctrinas del prin-
cipal contenido, á su anónimo autor.
Entre estas cosas accidentales intercaladas, figuran cuan-
tas van á ser dadas á conocer, con sus adecuados comenta-
rios, en los presentes apuntes, los cuales comienzan por una
receta referente á la copelación, reproduciendo el texto con
la puntuación correspondiente, no existente en el original, y
los dibujos, fielmente calcados, nada frecuentes en manus-
critos de este orden y de este tiempo, siguiendo el estudio
del texto, con el criterio antes apuntado y los necesarios
esclarecimientos. Sería punto menos que ilegible el Manus-
crito transcripto conforme es y sin corrección alguna; en
nada cambia su carácter dividiendo los párrafos ó supliendo
palabras donde faltan, trasladándolo á nuestra ortografía Ó
poniéndole los signos, de los cuales carece en absoluto;
antes bien, esta primera labor, nada sencilla en verdad,
conservando la idea y la palabra del texto, constituye una
primordial interpretación y un comentario de cierto valor
fundamental, y es, además, indispensable para la inteligen-
cia del objeto y contenido de las fórmulas alquimistas, á
veces intrincados jeroglíficos, cuando no expresivos símbo-
los, hechos para uso de muy enterados adeptos, ahora con
eran trabajo descifrables, aún tratándose, como en el caso
presente, de procedimientos prácticos, con vistas á una me-
talurgia elementalísima de la plata, y á los modos de sepa-
rarla del plomo en casos determinados. He aquí la receta
integramente copiada:
Obra blanca particular, la mejor de quantas son particulares,
es esta que se sigue.
Toma dos libras de limalla de fierro, preparada en su
lexia é desecada en polvora, é otro tanto de plomo calcinado,
— 241 —
en la manera que los olleros facen quando quieren vedriar,
e toma 4 libras de sinabrio, las quales 3 cosas molerás
sobre el mármol, cada una por sy, e después las encorpora-
rás en uno, en moliendo e abrevando sobre el mármol, con
buena agua ardiente, en desecando al sol ó sobre cenicas
calientes todavía, moliendo é abrevando del agua ardiente
fasta tanto que beba
la dicha mystion la
mitad del peso de la
dicha materia, en
manera que la dicha
materia quede en
manera de pasta ny
dura, ny blanda. La
qual meterás en un
vaso de vedrio fecho
en esta manera que
se muestra por figu-
ra, el qual vaso sea y [7] |
bien lutado, el uno ¡a =— M2
de los cuerpos de <| ” — TE
buen luto de sapien-
cia, e la boca bien
sellada de paño de
lienco e de pasta de
farina, e cuando será
seco, mete el vaso en
un forno fecho por la
figura que se muestra aquí, enterrado entre arena fasta todo
el luto de un cuerpo, e por encima cubierto de un cobertor
de tierra, el qual será bien lutado al forno. E despues farás
fuego en la cámara baxa del forno, muy simple e suave, por
24 oras naturales, e á la fin de aqueste término farás el fuego
en la otra cámara mas alta, un poco mas fuerte, por otras
24 oras; e á la fin de aqueste término multiplicarás el fuego,
— 242 —
en la tercera cámara mas alta, de llama de leña, por es-
pacio de 24 oras, tan fuerte como tu podrás; e á la fin
de aqueste término dexa refriar el forno, e frio trae el vaso
de fuera e rompelo, e tu fallarás la materia de dentro con-
gelada, dura como piedra, e negra como carbón. Metela
dentro en un mortero de fierro, en la quebrando e mo-
liendo, fasta que sea tornada en pólvora menuda, e des-
pues, aquesta pólvora metela sobre el mármol, en mo-
lindo e abrevando del olio de tártaro, e desecando al
sol Ó sobre cenicas calientes, fasta atanto que aya bebido
la materia del olio de tártaro en tanta cantidat como fizo
primeramente del agua ardiente, e que sea tornado asy
como primeramente en masa ny dura ny blanda; la qual
masa meterás dentro en un vaso de vedrio, redondo como
una pelota, el qual sea todo bien lutado, e la boca bien se-
llada e lutada de buen luto de sapiencia de la erosor de un
dedo. E quando será seco, metelo enterrado dentro en tu
torno, dentro entre cal biva, e fas tu fuego por los grados
primos; primeramente, en la cámara mas baxa, de carbon,
muy symplemente, por 24 oras, e en la segunda cámara un
poco mas fuerte por otras 24 oras, e en la tercera cámara,
mas alta, multiplicarás el fuego, de llama de leña, muy fuer-
te, tanto que tu podrás, por otras 24 oras. E á la fin de
aqueste término deja el forno retriar, e saca el vaso de el fue-
ra, e rompelo, e tu fallarás la materia asy dura como un fie-
rro, e color, e en todo, e no tan negra como la primera. Me-
tela de dentro en un mortero de fierro, e rompela, la qual
será mala de quebrar, e muelela muy bien en pólvora menu-
da, la qual meterás con ella 4 oncas de salitre, en moliendo
muy fuerte, fasta que todo sea incorporado; e después las
una cendrada muy grande, e mete á fundir de dentro 2 li-
bras de plomo, e quando sea bien fundido mete con una
cuchara de fierro la dicha pólvora, poco á poco, asy como
se va tornando el plomo en fundiendo materia; e quando
sea acabada de ser la cendrada, tu fallarás 2 marcos de fina
— 243 —
plata de los 8 marcos de mystion, teniente á todo juyzio. E
por esta manera puedes tu fer de 10 en 10 dias, en molien-
do, abrevando, e desecando, e cociendo por el término so-
bre dicho.
Esta es la lexia que se sigue.
Toma un peso de cal de cáscaras de huevos, e atanto de
cenica de sarmientos, e dos pesos de cenica de rayces de
havas, e un peso e medio de rayces sin arder, e medio peso
de alumbre de roca, e quarto peso de sal amoniaco; las cua-
les cosas sean cocidas en 10 partidas de orina de vacas
e 6 pesos de vinagre. Quiere decir que 19 vegadas debe ser
de orina tanto como de todas las otras cosas e asy de vina-
ere el peso de 6 vegadas como toda la materia, contando
la orina. E quando todas estas cosas sean cochas en uno,
por 2 oras, e retriadas e destilada el agua por mecha e meti-
da en una olla vedriada, tu deves en 2() pesos de aquesta
agua meter 1 peso de la dicha limalla, la cual debe ser pri-
meramente lavada con sal e con agua por muchas vegadas,
fasta quel agua salga clara, e despues exugada al sol e asy
mismo la pólvora del plomo, e quando esta limalla será asi
exugada al sol, dexala templar dentro en esta lexia por el
espacio de 9 días, e al cabo deste término traela de fuera e
obra como dicho es, dexandola secar primeramente al sol.
La qual fallarás ynpalpable, de color pardilla.
Que el nombre de obra bíanca corresponde á la operación
de extraer la plata, no pocas veces designada también por
argen en el Manuscrito de autor anónimo donde se contiene
la receta copiada, es cosa fuera de toda duda, en cuanto al
final de la misma se declara explícitamente cómo se recoge
plata fina, en buenas proporciones respecto de las cantidades
2 124 4wE.
de la primitiva mezcla empleada. Así pues, está bien expli-
cado que se trata de cierta especie de procedimiento meta-
lúrgico rudimentario, no original, y cuya filiación, según
luego se verá, debe buscarse en antiquisimas prácticas y
tradiciones de la Alquimia.
Fuera inútil la tarea de buscar las razones fundamentales
de las singulares y repetidas manipulaciones hechas con las
limaduras de hierro, partiendo del tratamiento con la extra-
ña lejía, cuya preparación, en verdad nada sencilla, es ob-
jeto de la segunda receta copiada, con la cual se cierra el
Manuscrito, hasta la mezcla de su polvo impalpable con el
plomo fundido, pasando por una serie de tratamientos lar-
gos y detenidos. Nunca se dieron cuenta los alquimistas de
tales cperaciones, cuya práctica era corriente en el arte trans-
mutatorio, y para ellos, ignorantes de la composición quí-
mica de los minerales, unos metales podían convertirse en
otros, y todo su ingenio poníanlo en acendrar los vulgares
y comunes, de suerte que, perfeccionándolos con el fuego,
el agua, el azufre y el mercurio, iban sucesivamente mejo-
rando hasta convertirse en los más nobles y en los más in-
alterables, todo por la virtud de aquellas materias, agentes
y preparados dotados de la excelencia de dar y quitar pro-
piedades á los cuerpos mediante su contacto ó directo intlu-
jo, sin experimentar muchas veces alteraciones de ningún
género. |
Realmente, para el autor de la receta, los dos marcos de
plata hallados en la cendrada al término de las operaciones,
no procedían del plomo, por contenerlo ya el empleado, sino
que, conforme á la general doctrina de la Alquimia, admítese
la formación de la plata mediante transmutación del plomo,
perfeccionado merced á las preparaciones y á las operacio-
nes preliminares, de las cuales resulta la mezcla destinada
á ser fundida. No hay, pues, novedades tocante á la doctri-
na, ni mayor conocimiento positivo de los hechos, antes
bien, responden las prescripciones de la obra blanca par-
— 245 —
ticular á las tradicionales prácticas alquimistas; en cambio,
es de notar el haber puesto por figura el horno y las vasi-
jas empleadas, no siendo éste el único lugar del Manuscrito
donde hay dibujos de aparatos. Partiendo de los anteceden-
tes aquí indicados, emprendo la. tarea de comentar é inter-
pretar las dos recetas transcritas, atendiendo de preterencia
á las ideas que las inspiraron y á su filiación, explicando el
significado de palabras, nombres de cosas y conceptos solo
cuando fuere menester.
(Concluira).
— 246 —
XI.—Sobre el electrómetro de cuadrantes.
Por E. TERRADAS
Habiendo observado que era á mis alumnos dificultoso el
procedimiento seguido en el texto (1) para establecer la fór-
mula del electrómetro, que poco más ó menos es el que se
indica en la mayor parte de textos, me propuse dar con la
fórmula, utilizando otros razonamientos acaso más evidentes.
El método que se indica en la exposición que sigue, se re-
duce á establecer á priori, como demostradas experimental-
mente, ciertas simetrías. Tiene, además de la sencillez, una
ventaja: permite calcular los términos que se quieran del de
sarrollo del par eléctrico, en serie según las potencias de la
desviación.
Las dos hipótesis primeras sobre la simetría del aparato,
son, racionalmente, válidas aunque existan potenciales de
contacto. La experimentación confirma ese modo de ver,
siempre que un determinado arreglo preceda á las medidas
definitivas. Aplicadas á la fórmula general, las mencionadas
simetrías conducen á una fórmula simplificada (15), en que
el cociente del potencial de la aguja por el de uno de los
«cuadrantes es proporcional á una sencilla función de cuatro
lecturas, siendo la constante de proporcionalidad indepen-
diente de todo potencial, ya de carga, ya de medida, ya de
contacto.
He creído que estos resultados podrían interesar, y ello es
(1) Bouase, Traité de Physique, tomo IV, París.
— 247 —
el objeto del presente escrito. Contiene, además, una crítica
del método de medida seguido hasta ahora en el Laboratorio
y que era el indicado por Damien (1).
IL. Sean A y B los potenciales de los cuadrantes, C el de
la aguja, 6 la desviación de ésta á partir de la posición para
la que A=B=C=O0. Las masas eléctricas de los cua-
drantes y de la aguja, serán:
M,=0A +yB+PpC
M,¿=yA+bB+acC
M.=BA +aB+cC.
Los coeficientes a, b, Cc, a, $, y, pueden considerarse como
funciones de 6, funciones que supondremos desarrolladas en
series, según las potencias de % (Gouy).
A
ADO OO DO OO O O EONO POFOROR O
e
A las derivadas de Q...... y respecto á U, se las designará
PO ST
is 1 e AOL) e nietas e E
La energía del sistema de tres conductores, cuadrantes y
aguja, es W, dada por
2W= M¿A + M¿B + MC.
(1) Damien, Manipulations de Physique, París
e 8
El par á que se halla sometida la aguja, siendo los poten-
ciales constantes, es:
de modo que
2F=0A?+0'B?4-CC?4+2BC+2PAC42y'AB. (1)
Sentado esto, he ahí las tres hipóteses fundamentales:
Primera. Silos cuadrantes cstán al mismo potencial, la
aguja no es desviada, cualquiera que sea su posición y Su
potencial. Es decir, si A = B, F = 0, cualesquiera que sean:
A, Cy.
Segunda. Si un cuadrante y la aguja están al mismo po-
tencial A = C, el potencial del otro cuadrante es B= D,
y % el ángulo de desvío, el par F es igual y de signo contra-
rio á cuando el potencial C de la aguja es igual al del se-
eundo cuadrante, esto es, C = B, siendo el potencial 4 del
primer cuadrante igual á D é igual á £ el nuevo ángulo de
de desvío, aunque de sentido opuesto al anterior. Esto es:
SB Cr =D. eparivale MAS
SSB (1 =D == E par vale = e
Tercera. En la posieión inicial 4=0, si el potencial de
la aguja es la media de los potenciales de los cuadrantes, no
A=+B
2
hay desviación. Es decir: si h=o0, C= , se tiene
O
La primera de estas tres hipótesis depende de un arreglo
de la aguja. La práctica demuestra que se puede lograr la
simetría que supone en el aparato, variando la altura de la
— 249 —
aguja y modificando la posición de uno de los cuadranie3
en los aparatos en que esta corrección se puede efectuar.
La segunda depende de un arreglo de la posición inicial.
La experrmentación comprueba también que se puede lograr
la simetría que supone esta segunda hipótesis, variando el
cero, mediante la rotación alrededor de un eje vertical, del
tambor de que pende la aguja.
Dejemos de momento toda particularidad relativa á estos
arreglos y vamos ya á introducir en (1) las simplificaciones
debidas á estas hipótesis.
Si en (1) se hace B= A, resulta
== (0 Ti a OE AdO de 0. a
Debiendo tener lugar esta igualdad para todo valor de A
y C, no hay más remedio que
a+2yY+b=0, «00 +BP=0, E=0 (2)
Y, como éstas deben, á su vez, tener lugar para todo valor
de 6, se tendrá
a +2Y1,+0b,=0 a, +, =0 "0 (3)
do +2Y2 + 0b0,=0 dy + B>=0 Cy 0 (4)
Antes de introducir en (1) las simplificaciones debidas á la
la segunda hipótesis, convendremos en que a =0q, —
NA y =Y1—2 y920?, con lo cual se tendrá:
C(a +28) +42CD(y +0) +.D*b'=
A A
Mas debiendo cumplirse esta igualdad para todo valor de
C, D y %, se necesita, como antes, que
— 250 —
a OA O
11 HB +2y,=0 (5)
a VO)
d, —b3 + 2 (Pz —%,)=0
de — Pa =0 (6)
4 —b,=0 |
De las ecuaciones (3) y (5) se deduce inmediatamente
Ca= a => 0 a, EB=0 O (a)
De (4) y (6), análogamente,
do ===> "¿== =0 (0)
Los 12 coelicietes ar... VA Aa a) quedan tdetese
modo reducidos á 3: 4,, 2, y 0». El valor de 2F se convier-
teJen:
A a A AO
AEB). (7)
Introduciendo aquí la hipotesis tercera, 4, = 2,, y queda
la fórmula ordinaria:
A A AO A (AS ES |
IT. El procedimiento puede aplicarse sin necesidad de
detener los desarrollos de a...... y en la segunda potencia
de %. Si se cumplen las dos primeras hipótesis, entre los
coeficientes de las potencias impares, existirán las relacio-
nes siguientes:
Coni = Yan1 = 0, %on-1 Y Bana = 0, Uona + Den = 0.
Y entre los de las potencias pares,
lan = Dan = — Yom %2n = Pon = Can =0.
— 2531 —
La potencia 21 —2 en la fórmula de 2F será
(2n—1) (A — B) [0211 (A — 12) = Da E
y la impar siguiente
2nayn (A — B)2 9271,
Por consiguiente, de un modo general, en virtud de las
dos primeras hipótesis ó simetrías,
2F=(A—B)[(4 + B) 0, —2C6,] + (A— B)?0,,
siendo 9, y 6, funciones pares de f y 0, una función impar.
III. Se ha deducido la fórmula (8) partiendo de las tres
simetrías ya expuestas. Recíprocamente, la fórmula (8) su-
pone estas simetrías, y no debe emplearse en todo rigor
como no se hayan ejecutado los arreglos preliminares que
colocan al aparato en condiciones de satisfacerlas.
IV. Hasta aquí se ha prescindido de los potencia-
es de contacto. Si se quieren tener en cuenta, los po-
tenciales de la aguja y los cuadrantes serán por ejemplo,
C+pyA pj, B+Pp,. Veamos, con esta complicación de
¡os potenciales de contacto, cuál será la fórmula definitiva.
No aplicaremos la tercera hipótesis, pues no es posible com-
probarla prácticamente, ya que los potenciales de la aguja y
de los cuadrantes son desconocidos; los 4, B, C, de los
cuerpos que se ponen en contacto con la aguja y los cua-
drantes, son propiamente, ó conocidos, Ó que interesa medir.
En cambio, las dos primeras hipótesis son igualmente razo-
nables, tanto si hay como si no hay potenciales de contacto.
El par será ahora tal, que
AE o al O as
NO pa 2 PAE) (CD)
+2Y (4 + p1)(B + pi). (9)
Rev. Acab, CieNcIas.—X.—Octubre, 1911. 17
— 252 —
La introducción de la primera hipótesis conduce á las
igualdades (3) y (4). La fórmula á que conduce la segunda,
por la igualación á cero de los coeficientes C?, D? y CD, dá
las fórmulas (5) y (6); los términos lineales en C y D, así
como el término libre, se anulan en virtud de las conse-
cuencias de 3, 4, 5 y 6, consecuencias expresadas en (a) y
(b). Por consiguiente, llevando las simplificaciones (a) y (D)
á (9), se tiene, poniendo para simplificar 20, — 24,p =M,
2F=(A—B)[a, (AB) + m—2a,C] +2a,(A—B)0(10).
Esta fórmula contiene cuatro constantes, una de las cua-
les depende de los potenciales de contacto. Vamos á apli-
carla á las dos conexiones más empleadas en el uso del
electrómetro, la cuadrantal y la idiostática.
V. En la conexión cuadrantal la aguja comunica con el
potencial C, uno de los cuadrantes con el potencial A y el
otro está á tierra: B = o. Con esto,
Ea A E) a AN
El par eléctrico es equilibrado por el de torsión. Supo-
niendo que éste es - 0, y llamando f, h, e y 1 álos valores
de los coeficientes a,, mM, a, y A, divididos por X, el valor
de la desviación 6, resulta del equilibrrio entre el par de tor-
sión y el eléctrico. La ecuación de equilibrio es, pues:
0, [1 — 2148] =A (AF H—28C). (12)
El ángulo Ú es el giro de la aguja á partir de la posición
an cs 1 =/0= (00,
Poniendo ahora la aguja en contacto con el potencial — C,
y siendo 0, el nuevo ángulo de desvio,
Bs (1 2:43) A OS)
— 253 —
Si el cuadrante que no está á tierra comunica en un tercer
experimento con el potencial — A, y 0, es el ángulo de des-
viación,
0, (1— 214?) =—A(—fA+hR+22C) (14)
De (12), (13) y (14) se saca
9
A O
0, + 0, i A'
Ó sea, si A = e, siendo e una constante independiente de
todo potencial, sea de carga, de medida ó de contacto.
ad = 28 zo (15)
0, + 0, A
La constante e no difiere mucho, prácticamente, de la uni-
dad. En ausencia de potenciales de contacto, y suponiendo
válida la tercera hipótesis, es exactamente igual á la unidad.
VI. El método ordinario de medida supone siete lecturas,
cuatro estando la aguja en comunicación con un potencial
elevado C y uno de los cuadrantes con el potencial que se
busca A, y otras tres estando la aguja en iguales condicio-
nes y el cuadrante anterior en comunicación con un poten-
cial conocido. Una de estas siete lecturas es la posición del
cero.
Estas siete medidas pueden reducirse á cuatro, poniendo
la aguja Ó el cuadrante en comunicación con el patrón de
fuerza electromotriz; pero en este caso, hay que conocer la
constante e. Para determinarla, si no se tienen dos patrones
iguales, pueden utilizarse las conexiones siguientes ideadas
por el Dr. Jardí. Se toman dos series de pilas del mismo nú-
mero de elementos, como pilas de carga. Sean D, y D, los
potenciales de sus bornas, estando las otras en comunicación
— 254 —
con tierra. Se aplican las medidas que exíge la fórmula
15, suponiendo primero C =D, y A = D, y después
C =D, y A = D,. El producto de las fórmulas 15, corres-
pondientes, dá en su primer miembro 4e?.
Como á comprobación del arreglo, una vez efectuadas las
tres lecturas (1, , 9, y 0z, puede efectuarse una cuarta en que
la aguja comunica con +- C y el cuadrante con — A. Lla-
mando %, á la nueva desviación, debe verificarse, si el arre-
glo es correcto, que
O, +, = la HI.
VII. En la conexión llamada idiostática, la aguja y uno de
los cuadrantes comunican con el potencial C, y el otro cua-
drante está á tierra. La fórmula (12) da en este caso
A O
Invirtiendo C,
0, (1 — 2/0?) = —hC +(f— 2g) C?.
De donde poniendo q =$—2£,
qrEs
0 Do = ————————.,
== Ús O
Aproximadamente, dada la pequeñez de /
0, +0, =qC?.
Los valores de 0, y 6, se diferencian sólo en el término AC.
Si no hubiera potenciales de contacto, 0, y 9, serían iguales.
VIII. Se ha deducido la fórmula general 10 y las especia-
les 15 y 16 de las condiciones de simetría, fundadas en las
hipótesis primera y segunda. Ahora bien: un electrometro de
— 2559 —
cuadrantes dado, ¿satisface á estas condiciones? Fácil es
ver, en un electrometro cualquiera, que, si la aguja y los
cuadrantes están de cualquier modo, no se cumple ni una ni
otra condición. Se necesita un arreglo preliminar, que puede
hacerse con precisión y facilidad. Se empieza por subir 6
bajar la aguja, y mover, si es preciso, el cuadrante móvil,
hasta que, puestos los cuadrantes en comunicación entre sí
y con varios potenciales —A,o, + A etc., cualquiera que
sea el potencial 4- C, 0, — C que se dé á la aguja, esta no
desvíe cuand es llevado el cero á distintas divisiones de la
escala. A una posición de la aguja inferior ó superior á la
que debe tener. corresponden desviaciones en sentidos con-
trarios, cuando viene á cambiar del mismo modo el poten-
cial de la misma. Prácticamente, basta tener los cuadrantes
á 0 y cargar la aguja á + C. Esta desvía en un sentido,
v. gr., á la derecha. Se baja ó sube la aguja de una cantidad
apreciable, después de haber puesto la aguja á tierra. Si
la desviación es en sentido contrario, es que se ha pasado
la posición más favorable. Por tanteo se encuentra facil-
mente la posición en que no hay desviación. Se procurará
que la diferecia de potencial entre los cuadrantes y la aguja
sea la mayor posible. Si el cuadrante móvil se ha dispuesto
ya con la mayor simetría, al llevar el O de la aguja á otra
división de la escala, ocurrirá generalmente que tampoco ha-
brá desviación. Si la hubiere, se modifica la posición del cua-
drante móvil y se repite el tanteo que dé la posición correcta
de la aguja. E
Lograda de este modo la simetría que supone la primera
hipótesis se procede á lograr la que supone la segunda. Todo
se reduce á buscar el cero de la aguja, es decir, la graduación
de la escala que ha de indicar la posición de equilibrio
A =B = C. Para ello, se cambia la orientación Ó azimut
del espejo móvil hasta tanto que las desviaciones á la dere-
bha haciendo '4 = C, B= D sean iguales á las desviacio-
nes á la izquierda obtenidas haciendo A =D, B=C.
— 256 —
Si el electrómetro debe permanecer fijo en un lugar deter-
minado, basta hacer estos arreglos, así como la determina-
ción de la constante, sólo de tiempo en tiempo.
En el laboratorio se ha podido comprobar la facilidad y
precisión de estos arreglos y del procedimiento, comparan-
do, v. gr., un patrón Weston y otro Clark. El electrómetro
usado ha sido uno Mascart. Me ha prestado su valioso con-
curso en estas medidas mi amigo Dr. Jardí.
IX. Para terminar, voy á criticar el método de medida
usado hasta ahora en el Laboratorio de la Universidad. Este
método no supone más arreglo que el de lograr para C= 0,
A=B, que la desviación sea nula á partir de A=B=C=o0.
La posición del espejo en que esto ocurre se toma como la
que define el cero de la escala de desviaciones. Los cuadran-
tes se regulan á ojo, así como la altura de la aguja. Sólo
varía en el tanteo el azimut del espejo. Siendo un arreglo
para Ú =0, la simetría introducida no modificará en nada los
términos dependientes de 6 en el valor de F.
Por consiguiente, no los tendré en cuenta desde luego.
La simetría introducida impone á la fórmula (9) la única
condición
A NO
luego
A A A Y (CD
+ (a, +01) (A+ pj (B + p) + 2P,(4 +p)(C, +p) +
2 MB CO)
El método de medida responde á las cuatro medidas del
siguiente esquema
adri A — A
Enadramte e — A + A
Astana: del == E 6
Desviación...... 0,, 0, OSRgñ
— 257 —
Substituyendo valores, y siendo K la constante de tor-
sión, resulta
SC
9, +0, — (0, + 03) = E |». Pp, — ay A.
Si se prescinde de p, el prlmer miembro es proporcional
al producto CA. Esto es lo que se supone prácticamente.
Pero, como se ve, con esta hipótesis se prescinde del par
eléctrico función de * y del potencial de contacto.
= 210 =
XII.—A puntes sobre Mecánica social.
Por ANTONIO PORTUONDO Y BARCELÓ.
11
Para intentar más adelante la exposición teórica de los
Principios y Teoremas de Estática social y de Dinámica so-
cial, aplicando los de la Mecénica racional á los indivíduos
y á las agrupaciones sociales, es indispensable recordar al-
gunas nociones é ideas preliminares de la ciencia del movi-
miento y de las fuerzas.
Se sabe que la idea de movimiento es esencialmente re-
lativa, y arranca de la experiencia muy antigua del hombre
por los movimientos de los cuerpos con relación á su propio
cuerpo (*). Pero Newton partió de la noción abstracta y me-
tafísica de lo que él llamaba tiempo absoluto ó matemático,
como transcurriendo siempre del mismo modo; y de la noción
—+también abstracta y metafísica —-de espacio absoluto, que
permanece siempre como inmóvil y semejante á sí mismo.
Estas nociones, y la consiguiente del movimiento abso-
luto, aunque careciendo de toda significación real, sirvieron
á Newton de base para sus deduccione3 matemáticas, y para
explicar el encadenamiento en la dependencia mutua de los
fenómenos mecánicos. Así Galileo y Newton constituyeron
definitivamente la Mecánica como Ciencia. Sea lo que fuere
de esas nociones metafísicas sobre las cuales nos abstene-
(*) Piensan algunos que la creencia en el movimiento absoluto
proviene de haberse fijado hereditariamente, á través de millares de
generaciones aquella idea de movimiento, que ha tomado así el as-
pecto de absoluto. Los que así piensan aplican idéntica considera-
ción á todas las nociones que el hombre tiene hoy como absolutas.
— 259 =
mos de filosofar, nos expresaremos por medio de ellas,
como se expresa todo el mundo.
- En la exposición newtoniana de la Mecánica, después de
adoptar como base esas nociones, se admite como primer
Principio el de la inercia, por el cual se afirma que, si no
hubiera fuerza alguna, un punto material permanecería en
reposo eternamente, ó se movería en el espacio absotuto
uniformemente y en línea recta indefinida (*). Si como he-
cho físico, se observa que un punto pasa del reposo al mo-
vimiento, ó se observa que existe alguna aceleración en el
movimiento de un punto, es lógico inferir de ese hecho la
existencia de alguna acción exterior que lo produce, y se
llama fuerza. Por esto se dice, con razón, que la fuerza es
una abstracción á que se llega por una inferencia lógica, si
se admite el principio de la inercia (**). La hipótesis de la
(*) La inercia debe de ser vista como Postulado que se retiere
al punto material y no á los cuerpos; porque en éstos hay ya fuerzas
interiores que están ejerciendo su acción, por pequeño que sea el
cuerpo que se quiera concebir. Hay que admitir el principio de la
inercia para la pura abstracción del punto material, de que parte la
Mecánica racional. Hay quienes rechazan el principio de la inercia,
porque supone las nociones m-tafísicas del espacio y del tiempo ab-
solutos, que no son admisibles; y estudian la exposición de algunas
leyes mecánicas sin el principio de la inercia. Ya dijimos en la /ntro-
ducción que para la aplicación á los asuntos de carácter social segui-
ríamos el camino trillado de los cursos elementales de lá Mecánica
racional clásica.
(*) A propósito de la noción de fuerza, son de recordar las pala -
bras de Cournot: «si el hombre no tuviera conciencia de su propio
estuerzo (por el sentido muscular), el espectáculo de la Naturaleza
habría podido despertar en él las nociones de espacio, de tiempo y
otras; pero no la de fuerza».
Sobre la génesis de la noción de espacio, Poincaré dice á su vez;
«para un ser completamente inmóvil, no habría espacio; en vano se
moverían á su alrededor los objetos exteriores; las variaciones que
él notara en sus impresiones propias no serían atribuidas por ese ser
á cambios de posición, sino á simples cambios de estado, porque él
no tendría medio alguno de distinguir esas dos especies de cam-
bios; esta distinción — capital para nosotros — carecería de sentido
para él».
— 260 —
existencia de la fuerza envuelve, como se ve, algo que trans-
ciende del hecho mismo; y cuando en la Mecánica racional
se hace la hipótesis para la acción á distancia, se introduce
además algo que parece repugnar al sentido común. Para
las aplicaciones en las ciencias físicas, el éter salva esta re-
puenancia; pero para la pura Mecánica racional se puede
perfectamente amitir la acción á distancia como un símbolo,
según dice Echegaray.
No es cosa de nuestro tiempo modernísimo el escrúpulo
sobre las acciones á distancia, porque al mismo Newton (al
introducirlas en la ciencia) le parecía absurdo que un cuerpo
pudiera actuar sobre otro á través de un espacio vacío, sin
intermediario. Newton desistió de hacer hipótesis para expli-
car el fenómeno de la gravitación universal; y por eso dijo cla-
ra yterminantemente queél no habíaencontrado laexplicación
del fenómeno. El no se ocupó en especulaciones sobre las
causas ocultas, ni sobre el origen de las acciones mutuas en
razón inversa del cuadrado de las distancias. Trató de exa-
minar los fenómenos del movimiento tales como aparecen, y
vió cómo se podrian realizar los hechos, dejando á un lado
el por qué (*).
Pasando á otra noción, recordemos que se define la masa
m de un punto material como la relación de la fuerza á la
no ES A ae
aceleración m= ——; es decir, como un coeficiente cons-
tante de capacidad para el movimiento de ese punto material.
Aunque Newton para designar la masa de cada punto ma-
terial, hablara de cantidad de materia, lo cual (así dicho) no
significa nada, él vió y señaló claramente la constante que
(+) El concepto metafísico de causa no conduce á nada en las
ciencias positivas. Estas lo reemplazan -como dice Mach—por el
concepto matem:tico de función, la cual expresa simplemente la de-
pendencia recíp oca de los elementos que intervienen en los fenó-
menos.
O
hay en cada punto material para los efectos del movimiento.
Invirtiendo la definición de masa, se dice que la magnitud
de la fuerza es el producto de la masa m por la acelera-
can (1 =m..J.)
El profesor Ernst Mach insiste mucho en su Mecánica en
que la noción de masa—como característica determinante
para el movimiento —debe de arrancar del hecho de expe-
riencia, de que dos cuerpos libres A y B, sometidos sola-
mente á su acción mutua, se comunican aceleraciones opues-
tas, que pueden ser iguales ó diferentes. En el primer caso
se dice que A y B son de la misma masa, y así queda defi-
nida la igualdad de dos masas; en el segundo caso, se dice
que el cuerpo B es de masa m (si se adopta como unidad la
del cuerpo A), cuando la aceleración que reciba A es m veces
la que reciba B. De aquí pasa después— para cualquier uni-
dad ó término de comparación —á que la relación de masas
es la relación inversa de las aceleraciones producidas en uno
y otro cuerpo por su acción mutua. Y se ve que, decir
m Me o 00
que =-=— , conduce á afirmar que m7]= m'J”, que
m
es el principio de la igualdad de las fuerzas de acción y re-
acción (de que hablaremos más adelante), si al producto m /
se le llama fuerza.
Si se dice que la dirección y el sentido de la fuerza son la
dirección y el sentido de la aceleración, y se llama punto de
aplicación al punto mismo que se mueve, se ve que la fuer-
za debe de ser mirada, para el estudio, como un vector lo-
calizado en el punto; y se establece la regla del paralelógra-
mo para la composición de dos fuerzas como vectores, ge-
neralizándola después para la composición de muchas
fuerzas.
Recordados estos primeros pasos para la constitución de
la Mecánica como Ciencia, vengamos ya á nuestro intento, y
pensemos en un solo individuo y en un asunto cualquiera de
carácter social. Sea un instante como instante inicial para el
AS
transcurso del tiempo, y consideremos lo que hemos llamado
la posición en el asunto en ese instante. Esta posición se
llamará posición inicial del individuo. Si primeramente —
para simplificar—concebimos á éste en reposo en su posi-
ción inicial, y admitimos el principio de la inercia, y vemos
que la posición en el asunto se modifica, inferimos la exis-
tencia de alguna acción exterior al individuo, que influyen-
do sobre él, ha determinado el cambio ó modificación de su
posición en el asunto (*). La acción ó las acciones de alcan-
ce psíquico son las que llamaremos fuerzas. Cuando se re-
lacionen á un asunto de carácter social, al cual se refiera la
posición del individuo, diremos que esas fuerzas psíquicas
desempeñan el papel de fuerzas sociales.
Cualquiera que sea el origen de una acción que se ejerza
sobre el individuo, aunque sea puramente físico, y aunque
brote del interior del cuerpo del individuo, de sus órganos
mismos, diremos que la acción que se ejerza obra como una
fuerza psíquica, desde el momento en que admitimos que
(*) En la Primera parte de la Dinámica examinaremos cómo el
Principio de la inercia podría ser admitido para la pura abstracción
del individuo en un asunto, y explicaremos el sentido que damos á la
palabra exterior.
Habremos de justificar entonces la asimilación del individuo al
punto material, y habremos de sentar como admisibles para el indi-
viduo los tres postulados de la Mecánica. Con esto nos parecerá ya
estar autorizados á traducir las proposiciones de la Mecánica rocio-
nal, puesto que se podrían repetir los razonamientos que se hacen en
esta Ciencia. Lo que haremos no será— así me parece—un simple
juego de palabras para calcar las proposiciones de la Mecánica ra-
cional, poniendo fuerza psíquica donde diga fuerza física, individuo
por punto material, un asunto social por el espacio, etc. En las oca-
siones en que lo creamos indispensable (para la claridad), repetire-
mos los razonamientos para establecer las proposiciones de la Mecá-
nica social; pero como se necesitaría un Tratado completo para re-
producir el de Mecánica racional, nos limitaremos á meras indicacio-
nes en estos Apuntes.
— 263 —
determina el efecto psíquico de influir en la posición psíqui-
ca del individuo en el asunto.
Corresponde á la Psicología general el análisis de estos
procesos en que nosotros no hemos de ocuparnos.
En ciertas circunstancias podrán predominar las influen-
cias que vienen del medio ambiente externo, físico Ó psíqui-
co; y en otras, las que proceden del medio embiente inter-
no, digámoslo así, El profesor americano Baldwin ve unas
ú otras fuerzas, como actuando sobre dos polos distintos
desde la niñez, y contribuyendo unas y otras fuerzas á las
modificaciones psíquicas del individuo.
Según Baldwin, el proceso se sigue como en círculo; pri-
mero por la acción de las fuerzas del exterior sobre el polo
receptivo ó imitativo del niño, y luego por la acción de las
fuerzas de lo interior sobre su polo activo ó agresivo, según
la expresión de Baldwin. Pero todo esto es ajeno á nuestras
especulaciones mecánicas. Nosotros veremos unas y otras
fuerzas actuando en un instante dado según las mismas le-
yes, como explicaremos más adelante. Las fuerzas que pro-
ceden del medio ambiente interno de un individao, no se
ven tan claramente como las que vienen de lo exterior como
sugestiones; y parece que nos manifestamos como árbitros
de nuestras propias acciones. Quizá esto se deba simple-
mente al hecho de que esas fuerzas emanan de nuestro pro-
pio interior, fisiológico ó psíquico. Prescindimos de todas
las cuestiones que puedan suscitarse acerca de si tales Ó
cuales influencias merecen Ó no merecen tal ó cual nombre
y si su estudio corresponde á tal ó cual ciencia.
Siguiendo nuestra exposición, diremos que el individuo—
asimilado á un punto material —será considerado como el
punto de aplicación de la fuerza.
Si se trata de una sola fuerza, y el individuo está en repo-
so en su posición inicial, la dirección y el sentido del movi-
miento de modificación que se inicie, se atribuyen á la fuer-
za; y así diremos que esa es la dirección y ese el sentido de
— 264 —
la fuerza psíquica. Son éstas las mismas idénticas abstrac-
ciones hipotéticas que sirven de punto de partida á la Mecd-
nica racional clásica.
No se olvide que siempre que decimos fuerzas psíquicas
entendemos referirnos á las fuerzas de muy variados géne-
ros que actúan por intermedio de las psiquis individuates,
ó las que producen, como quiera que sea, un efecto psíqui-
co. Usamos este calificativo como contrapuesto á físico para
distinguir esas fuerzas de otras como la gravitación, la de
cohesión ó de elasticidad, la de afinidad química, etc., que
influyen en los fenómenos de movimientos (en el espa-
cio) de los cuerpos materiales, ejerciendo sus acciones
físicas. |
Para establecer el segundo principio de la Mecánica y tra-
tar el problema dinámico de las fuerzas actuando sobre un
individuo en estado de movimiento, será indispensable fijar
antes los conceptos de velocidad y de aceleración en el mo-
vimiento de un individuo. Entonces podremos definir tam-
bién la masa de cada individuo para un determinado asun-
to, como un coeficiente de capacidad de ese individuo para
modificarse en el asunto que se considere, á semejanza de lo
que hemos recordado sobre la masa de un punto material,
es decir, como una relación de la fuerza á la aceleración. No
podemos decir más en estos Preliminares, reservando la
explicación de ello para la Primera Parte de la Dinámica.
En la Mecánica racional se admite el principio de la ¿eual-
dad de la acción y de la reacción en la dirección de la recta
que une dos puntos materiales y en sentidos opuestos — sean
atractivas Ó repulsivas.—De este principio se desprende que
la relación Le de las masas de dos puntos materiales es la
inversa de la relación de las aceleraciones que la fuerza de
Y
acción mutua produciría en el uno y en el otro np puesto
que en el uno y en el otro — siendo iguales las fuerzas de
— 265 —
acción y de reacción -— el producto m/J es igual al producto
e).
- Admitiendo este principio para las acciones y reacciones
sociales, se podría decir igualmente: que cuando un indivi-
duo ó elemento social reciba la acicón de una fuerza, reac-
cionará con igual intensidad en sentido opuesto. Si se con-
sideran la acción y la reacción entre dos individuos ó ele-
mentos, se comprende que los efectos de cambio en el esta-
do de movimiento que se produzcan en el uno y en el otro
por esa acción y reacción mutua, serán muy diferentes, si
las masas para el asunto de los dos individuos ó elementos
lo son, toda vez que esos cambios en su estado han de ser
en razón inversa de las masas. Por esto, el individuo ó ele-
mento social dotado de gran niasa, es decir, de poca capa-
cidad para modificación en ese asunto (relativamente á la
que tenga el individuo ó elemento sobre quien actúe, y de
quien reciba la reacción) sufrirá relativamente pequeña mo-
dificación en su estado.
(+) Se ha hecho notar por algunos que al aplicar esta propiedad
á la acción de la gravedad se comprueba que la relación de las ma-
sas de dos cuerpos A y B, es decir OS igual á la de sus pesos pi
m 4 P ,
porque siendo una misma £ la aceleración de los movimientos de
caída de los dos cuerpos A y B, al pensar en la acción y reacción del
]
cuerpo A con la Tierra (de masa M), se tiene: 0 ==; y al pen-
g
sar en la acción y reacción del cuerpo B con la Tierra, se tiene:
m/ JE
M 2”
: m J z
Y de aquí se deduce que — Day pero como / y J” son acelera-
m! /
ctones de la Tierra, debidas, por una parte, á la fuerza de reacción
p del cuerpo A, y por otra á la fuerza de reacción p' del cuerpo B, la
relación Je es igual á la de estas fuerzas P. y por tanto = = Z
] p' Hp,
como debía de ser por las definiciones mismas.
— 266 —
Cuando hayamos de considerar, no ya un sólo individuo,
sino una agrupación social, deberemos de pensar que las
fuerzas que ejercen su acción sobre un individuo ó elemen-
to cualquiera de la agrupación, pueden emanar de algo ex
terior á ella, ó del interior de la agrupación misma. Las pri-
meras se llaman fuerzas exteriores; las segundas fuerzas /n-
teriores. Estas aparecen siempre conjugadas dos á dos, en
virtud del principio de la acción y la reacción. A este con-
junto de acciones y reacciones mutuas contribuyen todos los
individuos y elementos de la agrupación social. Si éstos son
conscientes de ello, el movimiento ó el equilibrio social se
realiza con conciencia; pero eso no nos interesa aquí.
Tampoco á la Mecánica social —tal como la concebimos—
le importa desentrañar los caracteres y la naturaleza especí-
fica de las acciones que obren sobre los individuos y ele-
mentos, ni los caracteres psicológicos de los individuos óÓ
elementos de quienes emanen fuerzas. A la Mecánica le
bastaría conocer los puntos de aplicación, las direcciones y
sentidos, y las intensidades de las fuerzas. (+).
Cuando queramos darnos cuenta de lo que es primeramen-
te en cada individuo la actividad psíquica, pensemos que se
halla solicitado—en un instante dado-—por muy varias im-
presiones (sean sensaciones ó representaciones de diversos
géneros) que son provocadas en él por excitaciones síimultá-
neas de origen externo ó interno. De todas estas acciones
desempeñarán para nosotros el papel de fuerzas psíquicas
que obran efectivamente, aquellas impresiones que se impon-
(*) Nos parece hoy aspiración irrealizable la de medir esas in-
tensidades, por lo cual nuestro intento es meramente especulativo, sin
aplicación posible hoy. Pero si algún día se pudiera hacer la medición
de las fuerzas psíquicas por procedimientos que sugiriese la Psico-
logía experimental; y se pudiera además determinar de un modo pre-
ciso las posiciones en un instante dado de los individuos y de los va-
rios elementos de una Sociedad, parece que la Mecánica social po-
dría quedar constituída científicamente.
— 261 —
gan de tal modo que el individuo atienda á ellas, y las per-
ciba. |
Unas veces será debida la atención á la novedad de la im-
presión; otras veces á la nota sentimental que la acompañe;
otras á la analogía que tenga con lo que ocupe la conciencia
del individuo en ese instante, etc. Podría decirse en general
que la atención recaerá sobre aquellas impresiones que el in-
dividuo acoja con mayor interés, cualquiera que sea la ra-
zÓón para ello.
Pues bien, á estas impresiones efectivamente percibidas y
á las representaciones de diversos géneros que se unan á
ellas se referirán las fuerzas psíquicas que habremos de con-
siderar en estos Apuntes. Su intensidad no dependerá tan
sólo de la magnitud—para decirlo asi—del excitante (físico
ó psíquico, externo ó interno por su origen), sino también
de la disposición de ánimo en que se halle el individuo ó el
elemento social sobre quien actúe en el instante que se con-
sidere. (+).
Conviene, por todo esto, advertir que no basta que ema-
ne de un individuo ó elemento social una iniciativa para que
ésta deba ser considerada como una fuerza por el sólo he-
cho de existir, sino que es necesario que obre para moditfi-
cación. Es de notar, además, que el carácter psíquico, asi de
la iniciativa como de su acción ejercida, reclama cierta adap-
tación del individuo ó elemento social de quien emane, á los
individuos y elementos sobre quienes se ejerza, para que sea
una fuerza efectiva. Y así lo comprueba la observación, por-
que hay, por ejemplo, períodos en la vida de algunos pue-
(*) Veremos más adelante que al tratar de un determinado asun-
to—quizá se pudiera llevar esa disposición de ánimo á ser mirada
como una constante, si se pudiera llevar la influencia de su variabili-
dad á ser expresada en cada caso por medio de un coeficiente de co-
rrección que afectara á la magnitud del excitante. Pero ya hemos
dicho que nos parecen irrealizables hoy estas aspiraciones.
REV. ACAD. DE CIENCIAS.— X.— Octubre, Tg1r, 18
— 208 --
blos en que las iniciativas de ciertos individuos ó elementos
(desempeñando el papel de fuerzas sociales), operan pro-
fundas modificaciones porque son adecuadas al estado de la
agrupación social; y en otros pueblos (siendo análogas, al
parecer, las circunstancias) las iniciativas para producir mo-
dificaciones, no logran desempeñar el verdadero papel de
fuerzas en la Mecánica social, por no ser dichas iniciativas
adecuadas al estado de la agrupación (*).
Para la Mecánica es indiferente el motivo á que se deba
esa falta de adaptación. Bastaría que se diera como un he-
cho, para que las iniciativas hubieran de ser consideradas
como nulas para su efecto mecánico. Si por la escritura Ó
por cualquier otro procedimiento, cuando se trata de ideas
éstas fueran conservadas para los tiempos futuros, podrían
tal vez llegar á ser fuerzas efectivas en otra época posterior,
aun no viviendo ya el individuo de quien emanaron.
() Al tratar D. Francisco Giner de la acción social de las perso-
nalidades poderosas, dice, de acuerdo con otros escritores: «Por
grandes que sean sus facultades, nunca habrían ejercido esa acción,
sino en una Sociedad dispuesta para ella; esto es, cuyas condiciones
se encontrasen en determinada conexión con las de su individualidad»
Mr. James Mark Baldwin indica que «el genio, que de hecho no
fuera comprendido por la Sociedad en que vive, no sería para ésta
una fuerza efectiva».
Y así habría de ser necesariamente. Si no fuera entendido, no po-
dría ser atendido, y no podría, por tanto, ejercer influencia.
Pero debe de notarse que, en general, los hombres extraordina-
rios á que se refieren estos escritores, no podrían inversamente apa-
recer, sino apoyados en un estado social adecuado para su aparición;
es decir, que los genios son á su vez un producto de la raza, de la
época, etc ; es decir, de la Sociedad en la cual nacen, como dijo
Spencer. :
— 269 —
111
Es forzoso decir algo en estos Preliminares sobre los sis-
temas de referencia, y sobre la medición de las cantidades
fundamentales y de las cantidades derivadas de ellas, que
aparecen en la Mecánica racional, á tin de poner de re-
lieve las grandísimas dificultades que aquellas cuestiones
ofrecen.
Cuando en la Mecánica racional se dice que un punto está,
en un instante dado, en una posición en el espacio, y tiene
en ella una cierta velocidad y una cierta aceleración, se so-
breentiende siempre:
1.2 Que la posición en el espacio ha sido referida á al-
gún sistema geométrico fijo en el espacio absoluto, ó al me-
nos cencebido cono fijo. Y que la determinación de esa po-
sición se hace según el número de dimensiones, mediante
las magnitudes coordenadas — que se necesitan en igual nú-
mero que las dimensiones—, con sus correspondientes
signos;
2.” Que el instante en el tiempo ha sido también refe-
rido á un instante fijo en el tiempo absoluto, ó al menos con-
cebido como fijo. Y que la determinación de aquel instante
se hace, por ser una dimensión, mediante la magnitud de
tiempo, que es una coordenada con su correspondiente
signo;
3. Que adoptadas ciertas unidades para la medición de
las magnitudes en el espacio (1.”) y en el tiempo (2.”), es-
tas mismas unidades sirven y se usan para la medición de
los incrementos que, así en el espacio como en el tiempo,
se emplean para llegar á los conceptos y mediciones, tanto
de la velocidad como de la aceleración en un instante.
El carácter puramente teórico de la Mecánica racional
exige tan sólo que se suponga haber sido elegidos los siste-
— 210 —
mas fijos de referencia en el espacio y en el tiempo, sin que
sea necesario concretarlos, lo cual, por otra parte, sería in-
asequible.
Ahora bien; lo que con la noción de tiempo se hace en
nuestro espiritu, ajeno á todo reparo filosófico, tanto para la
concepción del instante como para la medición de un inter-
valo de tiempo, lo aceptamos aquí desde luego, tal y como
se acepta al emprender el estudio de la Cinemática (y des-
pués el de toda la Mecánica racional clásica), cualesquiera
que sean las dificultades que entrañe.
Nada nuevo ni distinto se presenta aquí.
Lo que—desligados de las lucubraciones de profundos
pensadores — hacemos en nuestro espíritu con la noción del
espacio en general, con el concepto de punto geométrico y
con las magnitudes geométricas, había sido aceptado ya al
dar los primeros pasos en la Geometría, sin parar mientes
tampoco en las objeciones que podían presentarse. Pero
aquí, en estos Apuntes, no se trata ya del espacio. En vez
del espacio tenemos un asunto, y esto es algo psíquico; y lo
que hemos llamado posición en un asunto, es un compuesto
psíquico de todos los residuos de conocimientos, de senti-
mientos, de voliciones, etc., del individuo ó del elemento
social. ¿Cómo definirla en un instante dado? Desde luego
se piensa que habrí? de ser referida esa posición á algo que
pudiera concebirse como fijo, es decir, como constante co-
nocido; y ocurre admitir que retrogradando hasta la entrada
del individuo en la vida externa, cuando fueran nulos sus
conocimientos, sentimientos, etc., es decir, retrogradando
hasta el nacimiento del individuo, se podría tener un punto
de referencia para su posición en un asunto cualquiera. La
posición en un instante cualquiera de una agrupación social
en un asunto, habría de ser así determinada por referencia
también al nacimiento — como si dijéramos — de esa agrupa-
ción, cuando todas las notas psíquicas que intervienen en
la posición de sus individuos y elementos sociales, brotaran
— 211 —
(por decirlo así) con carácter social; aunque ya se compren-
de que sería sumamente difícil, por no decir imposible, se-
ñalar concretamente el instante en que nace una agrupación
social, para adoptarlo como punto de referencia.
La suma de conocimientos que un individuo posee acerca
de un asunto en un instante dado, referido á los conocimien-
tos nulos que tuvo al nacer, se ha formado sucesivamente por
integración de incrementos; y lo mismo podría decirse de las
demás notas psíquicas conscientes é inconscientes que inter-
vengan en la posición del individuo en el asunto. Se habrían
de requerir varias magnitudes coordenadas psíquicas —como
si dijéramos — que correspondiesen á todas esas notas, que
serían como otras tantas dimensiones. Para ello se habría
de adoptar una serie de unidades, á las cuales se refiriesen
esas magnitudes, y tener así la serie de números de medida
correspondientes. Después, habría que ver una combina-
ción que fuera como suma ó conjunto de productos, porque
habría de multiplicarse el patrón unidad de cada nota psíqui-
ca por el número que le correspondiera en el individuo que
se considerase. Creo haber dicho anteriormente que es difi-
cilísimo —por no decir imposible —en el estado actual de
nuestros conocimientos, señalar cuántas y cuáles sean las
notas psíquicas conscientes é inconscientes que intervienen
en lo que hemos llamado /a posición del individuo en un
asunto; y añado ahora que es más difícil aún determinar la
manera cómo se compenetren, influyendo y refluyendo mu-
tuamente unas sobre otras en el mismo individuo. ¿Pero
cómo adoptar la unidad ó patrón que se necesitaria para
cada especie de magnitud, ó sea en cada dimensión? Si pen-
samos—por ejemplo —en la suma de muy variados co-
nocimientos acerca de un asunto que el individuo posee
en una posición dada, ¿cómo concebir una unidad de co-
nocimiento para medirla? Pero además —y esdificultad más
grave todavía — ¿cómo definir con algún rigor la igualdad
de dos conocimientos para poder llegar á los números por
= 22 —
el proceso matemático de medición? Iguales Ó mayores di-
ficultades se ofrecerían para todas las dimensiones, es decir,
los sentimientos, voliciones, etc. (*). Todas estas gravísimas
para dificultades se nos presentan como insuperables hoy.
No viendo modo de salvarlas las cortaremos, suponiendo:
1.2 Que se afecte al individuo de un parámetro simbólico
que compendie en sí todo lo psíquico y lo inconsciente que
intervenga para su posición en el asunto de que se trate;
2.2 Que ese parámetro tenga, para cada instante, un va-
lor de su expresión compleja, que corresponda á los valores
de todas las magnitudes coordenadas de que hemos ha-
blado; y
3. Que el paso de un valor de ese parámetro á otro
valor muy próximo, en el mismo individuo, durante un in-
tervalo de tiempo muy pequeño, marque en el orden psiqui-
co una dirección y un sentido, determinados por las dimen-
siones que hayan cambiado muy poco en la expresión com-
pleja del parámetro.
Habremos de suponer que el incremento de ese paráme-
tro (definidor de la posición) fuera medible, es decir, que se
pudiera representar numéricamente. No podemos dejar de
pensar que por los progresos de la Psicología, y mediante
las relaciones existentes entre las varias notas psíquicas que
constituyan la posición del individuo, pudieran ser algún día
reducidas unas á otras, y así no habría tantas variables inde-
pendientes como notas psiquicas ó dimensiones. Si fuera n
el número de notas ó dimensiones psíquicas, y suponemos
que se descubrieran n—1 ecuaciones de relación entre ellas,
estarían determinadas n—1 en función de la n.fsima; y cono-
cida esta última en función del tiempo, quedarían conocidas
todas. El parámetro sería—en tal supuesto — una función de
esa n.ésima dimensión psiquica—ó ésta sería una función in-
(*) Ya veremos en la Cinemática cómo se procede aproximada-
mente por las medias en los Laboratorios de Psicología experimental.
— 213 —
versa del parámetro—con lo cual las demás notas se podrían
expresar ya en funciones distintas del parámetro. Quizá no
sean más que tres las dimensiones psíquicas, y se refieran á
la voluntad (voliciones), á la intelectualidad (representacio-
nes) y á la sentimentalidad (sentimientos). Es sabido que
los Psicólogos trabajan incesantemente en descubrir las rela-
ciones entre ellas. El parámetro que hemos admitido (para
cortar las dificultades) habría de ser mirado en definitiva
como una función continua del tiempo, que permitiera acep-
tar las tres hipótesis dichas. Según éstas, el incremento
infinitamente pequeño del parámetro habría de tener por
factor escalar su valor numérico, y además corresponde-
ría á una dirección y sentido psíquicos, con lo cual se vería
ese incremento infinitamente pequeño del parámetro como
si fuera una cantidad vectorial psíquica, con sus tres atri-
butos de magnitud, duección y sentido; pero estos dos
últimos atributos de la dirección y el sentido se refieren á
orientaciones, no en el espacio, sino en el asunto social de
que se trate. Extendemos así á lo psíquico la noción de los
vectores espaciales usados en los estudios matemáticos; y el
vector matemático se debería de pensar como simbolo geo-
métrico del vector psíquico de que hablamos. El parámetro
sería una representación simbólica, y después la combina-
ción lógica de los simbolos podría ser quizá — como ha
dicho mi maestro el insigne Echegaray — el símbolo de la
combinación real de los fenómenos. A pesar de la dificultad
de este símbolo (en un mundo imaginario de tantas dimen-
siones psíquicas), que parece violento y arbitrario, sigo ade-
lante en mi empeño, recordando otro pasaje de Echegaray,
que transcribo:
«La inteligencia humana puede forjar y tiene derecho á
forjar un mundo á su capricho, con tal que lo defina de tal
suerte que en el contenido de ese mundo imaginativo no
exista ni imposibilidad ni contradicción lógica; y por lo tanto,
ese mundo deberá de estar sujeto á las leyes de las Matemá-
— 2/4 —
ticas, porque á ellas está sujeta la razón humana, en cuanto
es razón humana.
Y Juego puede aplicar ese mundo imaginario al mundo
real, y ver si ambos se ajustan, y si las combinaciones del
primero representan y — aun más — si pueden prever reali-
dades del segundo; y en este caso, aunque el mundo de la
imaginación haya sido formado arbitrariamente, no podrá
negarse que es una especie de símbolo de la Naturaleza con
todas las ventajas, aunque con todos los inconvenientes, del
simbolismo.»
Mediante las suposiciones que preceden, admitiremos que
el movimiento elemental de modificación de cada individuo
y de cada elemento social se realiza — durante un intervalo
de tiempo muy pequeño — en una direcci'n y en un sen-
tido determinados; y que la magnitud del cambio muy pe-
queño de la posición en el asunto se pueda medir por el in-
cremento muy pequeño del parámetro, que por modo com-
plejo simbolice la posición y la defina.
Es claro que, mediante esa hipótesis, no se intenta ex-
presar con un símbolo la realidad, tal como ella sea, y en
toda su complejidad. Ya se ve que todo cuanto digamos,
apoyándonos en esa hipótesis, no podrá ser considerado
sino como una primera aproximación. No creemos, sin em-
bargo, llegar á conclusiones absurdas ni contradictorias al
traducir—para los fenómenos sociales humanos —lo que en-
contremos escrito en el lenguaje matemático de la Mecánica
racional. Pretendemos llegar á las conclusiones por razona-
mientos que permitan la extensión á lo mecánico-social de
la Mecánica racional, y esto con todo género de salvedades,
pues ya dijimos desde la Introducción, que en estos Apuntes
no se habría de encontrar un trabajo de rigurosa ciencia po-
sitiva (*).
(*) El lector habrá visto, por todo lo dicho en estos Preliminares,
que nosotros prescindimos de las delicadísimas cuestiones acerca de
— 215 —
Importa mucho, sin embargo, resolver una dificultad que
parece cerrar el paso á nuestro intento de extender á los fe-
nómenos sociales (en su aspecto mecánico) las leyes de la
Mecánica racional. La dificultad consiste en que si los Postu-
lados de ésta y todos sus Teoremas son para nuestro espa-
cio de tres dimensiones, y se expresan por medio de ellas,
¿cómo es concebible su aplicación á movimientos —(cambios
de posición psíquica) que no tienen lugar—que no se reali-
zan en el espacio de tres dimensiones, y que han de expre-
sarse por medio de un gran número de dimensiones psí-
quicas?
Concretemos la dificultad. Se determina, por ejemplo la po-
sición de un punto en el espacio por tres cordenadas—su-
puestos fijos los elementos de referencia —y esas tres coor-
denadas son funciones continuas del tiempo si el punto está
en movimiento; ¿cómo aplicar esto al movimiento de un in-
dividuo en un asunto tal como se ha definido?
Además. Si las velocidades y las aceleraciones y las fuer-
zas, por ejemplo, son pensadas y definidas en la Mecánica ra-
cional como vectores espaciales con sus atributos, es en
nuestro espacio de tres dimensiones donde se las piensa y
se las define; ¿cómo aplicar estos conceptos al mundo psí-
quico, á lo que no puede estar en el espacio, ni definirse
por medio de nuestras tres dimensiones?
Examinemos la dificultad respecto á las posiciones de un
punto en el espacio, y de un individuo en un asunto. Nos
parece que se resuelve sin violencia, pensando que si bien
la posibilidad ó imposibilidad de que un estado psíquico ó una fuerza
psíquica sean magnitudes sin ser extensas, es decir, sin tener rela-
ción alguna con el espacio. Ya se ha visto que la noción de magnitud
la aplicamos á lo psíquico, como si pensáramos en el espacio; y para
ello usamos el lenguaje ordinario del sentido común y corriente, sin
entrar para nada en las disquisiciones de Filosofía psicológica como
las del eminente filósofo Bergson, según las cuales, son puras ilusio-
nes de la conciencia tales magnitudes.
— 216 —
la posición del punto depende de sus tres coordenadas, po-
demos concebir que cada una de éstas dependa á su vez de
una sóla y única variable — que sea de valor constante si
el punto está en reposo —ó que sea función del tiempo, si el
punto está en movimiento. Cada una de las tres coordenadas
sería (así mirada) una función de función del tiempo. De una
ley de variación de esa variable en el tiempo, resultarían
leyes de variación independientes entre sí para las tres coor-
denadas espaciales, y á estas leyes correspondería á su vez
el movimiento determinado del punto en el espacio. Lo que
asi concebimos puede quizá aplicarse también al movimiento
de un individuo en un asunto, si se piensa que á una ley de
variación en el tiempo del parámetro que hemos definido
para un individuo, corresponderían leyes de variación inde-
pendientes entre sí de las distintas notas Ó coordenadas psí-
quicas (cualquiera que sea su número, y aunque no estén en
el espacio); y estas leyes permitirían determinar las posicio-
nes en el asunto por las cuales pasaría sucesivamente el in-
dividuo; es decir, el movimiento de este individuo.
En cuanto á los vectores espaciales de que hablábamos—
como las velocidades, por ejemplo—(dejando á un lado el
atributo de la magnitud, al cual no afecta la dificultad por
ser factor escalar), —notemos que la dirección y el sentido se
presentan á nuestro espíritu como nociones adquiridas ex-
perimentalmente —por la experiencia externa en nuestro es-
pacio de tres dimensiones—y que experimentalmente tam-
bién—aunque adquiridas por la experiencia interna Ó psí-
quica,—se nos ofrecen las nociones de dirección y sentido,
ajenas al espacio. Así como del paso de un punto de una
posición en el espacio á otra infinitamente próxima, nace en
nosotros la noción de la dirección y el sentido de la veloci-
dad del movimiento en ese instante, así también del paso de
nuestro individuo de una posición psiquica (no espacial) á
otra infinitamente próxima nace en nosotros la noción de di-
rección y sentido de la velocidad del movimiento de modi-
— 2117 —
ficación en ese instante. Aunque lo primero se dé en el es-
pacio de tres dimensiones, y lo segundo fuera del espacio,
y como si dijéramos, en medio de tantas dimensiones cuan-
tas sean las notas psíquicas que intervengan en la posición,
lo que nos interesa es que podemos pensar en la determi-
nada dirección y sentido de un particular vector psíquico lo
mismo que en los de un vector espacial. Así, por ejemplo,
cuando en la Mecánica racional pensamos y decimos que la
dirección y el sentido del cambio de la velocidad de un pun-
to—de un instante al infinitamente —próximo, son las mis-
mas dirección y sentido de la fuerza en ese instante, me pare-
ce que podemos aplicar esto á la Mecánica psíquica, aunque
lo uno se refiera al espacio de tres dimensiones, y lo otro no.
Hemos partido de la idea fundamental de que todos los fe-
nómenos, de cualquier género que sean, realizan su proceso
por ley de continuidad en el tiempo, con lo cual se quiere
significar, como es sabido, que el cambio operado de un ins-
tante á otro instante posterior, puede ser menor que cualqnie-
ra magnitud que se asigne — por pequeña que sea—, si co-
rresponde á un intervalo de tiempo suficientemente pequeño
entre los dos instantes. Es decir, que si se concibe el inter-
valo de tiempo como variable que disminuya indefinidamen-
te, el cambio realizado debe de ser concebido también como
indefinidamente decreciente. El decrecimiento incesante de
una variable, pero con un límite efectivo para su pequeñez,
no se diría indefinido.
Se ve que el concebir un cambio infinitesimal en la posi-
ción de un individuo (ó de un elemento social) durante un
intervalo de tiempo, también infinitesimal, no es concebir un
intervalo muy pequeño, y un cambio correspondiente muy
pequeño, porque esto, así dicho, no significaría nada, pues
la pequeñez en sí no es nada; y si por muy pequeño se qui-
siera dar á entender lo que escapara á todos los procedi-
mientos de observación y de medida, por perfeccionados que
se supongan, caeríamos en el cero, que no es nada.
— 218 —
Lo que se piensa, en definitiva, son leyes de variación ta-
les, que el decrecimiento (en el sentido regresivo para esta
concepción) sea sin límite, aunque es costumbre decir que
las variables infinitamente pequeñas tienen por límite cero,
como si el cero fuera una cantidad que sirviera de límite.
Esto es, á mi entender, una incorrección de lenguaje (*).
En resumen: procediendo el tiempo por incrementos infi-
nitesimales, el fenómeno natural — (físico, fisiológico Ó psí- .
quico)-—que en el tiempo se realiza, procede también por
cambios infinitesimales. Si las modificaciones que va expe-
rimentando una planta Ó el cuerpo de un animal en dimen-
siones, forma, composición, estructura, etc., obedecen á esa
ley de continuidad, á ésta igualmente obedecen las modifica-
ciones psíquicas de un hombre ó de una agrupación de hom-
bres en el tiempo; y por esto debe de ser visto el movimien-
to en un asunto como una sucesión de infinito número de
movimientos elementales.
(*) Puede verse mi Ensayo sobre el Infinito. Allí decía:
«Si después de abstraído el intervalo de tiempo en cuyo transcurso
se ha desenvuelto un fenómeno, concebimos otro menor como abs -
traido también del mismo fenómeno, y otro menor aún, y así sucesi-
va é indefinidamente, habremos concebido el tiempo como variable
infinitamente pequeña, y el ienómeno en la continuidad del tiempo;
pero, ¿cómo concebir el instante ó sea el cero en el tiempo? Tan im-
posible es, como concebir el punto geométrico aislado en el espacio;
y asimismo podría decirse con verdad que el presente aislado es una
quimera. El tiempo, en su variación continua, puede ser concebido
como infinitamente pequeño, según una cualquiera de las leyes infini-
tesimales de decrecimiento; y como infinitamente grande, según una
cualquiera de las leyes infinitesimales de crecimiento; y así puede
decirse que el tiempo pasado ó el tiempo futuro, decreciendo, se des-
vanece... sin límite, creciendo, se agranda... sin límite.»
— 279 -
Como recuerdo de las muchas cantidades que habr mos de considerar
más adelante, derivadas ó deducidas de las tres fundamentales de la
Mecánica, pondremos á la vista un cuadro que contenga las principa-
les. Suponemos que son conocidas por el lector.
Adoptando, según costumbre, como cantidades fundamentales las longitudes, las
masas y los tiempos, y escogiendo como unidades respectivas
el centímetro .......... .... Símbolo Is
Cl. 600 +s o ooo e » M (c, £g, s);
GlScEMCOs q00rduecconaeso » T
drán como símbolo de su unidad . Vi TA [al
PORSIMDA.N dd O JE Me
como símbolo de su unidad........ A SAL Solo DE
— las fuerzas, que son masas multiplicadas por aceleraciones, ten-
drán por símbolo de su unidad (%)......ooo.o ooocooccnnoo... EF=M!.L11.P52
velocidades, tendrán como simbolo de su unidad........ M1. Lt T71
que son fuerzas multiplicadas por
— los momentos de fuerzas ) : R ,
— los trabajos de fuerzas... | ón Como AO MI Le. T=>2
dos de velocidades, tendrán como símbolo de su unidad.. (3)
multiplicadas por tiempos..........oo...- e id
— los momentos de inercia, que son masas por cuadrados de longi-
MEP as lso o a M1. L2
— las potencias, que son trabajos ó energías divididas por tiem-
OS o O O govo JUE SILA SAS
Las diversas expresiones simbólicas de unidades que hemos enumerado, deben
de ser miradas como símbolos de dimensiones, porque ellas indican el grado ó di-
mensión de la cantidad derivada con respecto á cada una de las tres tundamenta-
les. Habiendo de cumplirse toda ecuación (entre magnitudes físicas) independien-
tement de as unidades que se escojan, es claro que debe de haber homogeneidad;
es decir, que todos los términos de la ecuación han de ser del mismo grado con res-
pecto á cada una de las cantidades fundamenta es, á saber: longitudes, masas y
tiempos Esta observacióa ofrece, como es sabido, un procedimiento cómodo para
advertir á veces la existencia de algún error en las ecuaciones.
(+) Esta unidad de fuerza se llama dina. Siendo una fuerza que aplicada á un
punto material de masa un gramo (M), le imprime la aceleración un centímetro (L);
si se usa el segundo (T) (repetido dos veces) como unidad de tiempo; es claro que,
como el peso de un gramo le imprime á este mismo punto » aterial la aceleración
e XL, ese peso vale 931 dinas. Por tanto, el peso de un kilogramo vale 103 >< 981
inas.
(**) Esta unidad de trabajo se llama ergo ó ergio. Siendo el trabajo de una dina
p run centímetro de recorrido en su dirección, es claro que el kilográmetro vale
162 >< 981 dinas <1(? centímetros = 11% < 981 ergios
La cantidad de trabajo expresada por 10.000.000 de ergíos, se llama julio, y así.
1 AOSTA nEno =09,81 julios Ó inversamente: 1 julio =1.7 ergios =0,102 kilugrá-
metros.
($) Esta unidad de pofenciía es la de un motor que suministra un ergio por se-
gundo.— El múltiplo que se usa es el watío, que es un julio por segundo = 107 er-
glos por segundo.
El kilowatío es pues =1'3 julios por segundo.
Siendo 1 julio =0,102 kilográmetros se vé que: 1 kilowatio = 102 kilográme-
tros por segundo; ó en ot os términos, que 1 kilowatio = 1,36 caballos-vapor; é in-
versamente que i caballo-vapor = 0,736 kilowatios.
Directamente se ve: 1 caballo-vapor =75 kilográmetros por 1” =73 >< 10530981
ergios por 1” =736 < 117 ergios por 1” =726 julios por 1'= 736 watios.
— 280 —
A] terminar aquí estos Preliminares, advertimos una vez
más al lector—aunque ya lo hemos hecho anteriormente—
que seguiremos el sistema de exposición de Galileo y New-
tón, que funda la Mecánica sobre tres principios:
1.2 El de la inercia;
2.” El de la independencia de los efectos de las fuerzas
respecto del estado de reposo Óó de movimiento en que se
halle el punto, y el de su composición. (Principio de Ga-
lileo);
3. El de la igualdad de la acción y de la reacción. (Prin-
cipio de Newton).
Adoptamos —pues—el sistema newtoniano (que es el clá-
sico), á pesar de las graves objeciones que á él se hacen.
Tomaremos los Principios y Teoremas de la Mecánica racio-
nal, tales como los encontramos en los Tratados elementales,
sin entrar en las críticas que en los tiempos modernos se han
hecho, ni mucho menos en las exposiciones en que se pres-
cinda de aleuno de aquelllos Principios.
Por otra parte, es sabido que algunos físicos eminentes—
estimando que la Mecánica es una ciencia física—parten de
la ley (como experimental) de la Conservación de la energía;
y también de la ley del menor esfuerzo, ó sea el Principio de
Gauss. La ecuación de la energía (la que antiguamente se
llamaba ecuación de las fuerzas vivas y del trabajo), no es
para ellos una integral de la Mecánica, y por tanto, un ver-
dadero Teorema, sino que toman la conservación de la ener-
gía como un primer principio. En ese sistema de exposición
de la Mecánica—que denominan energético —tienen que em-
pezar por definir las energías cinética y potencial; no quie-
ren hacer uso de la noción de fuerza, por ser esto una abs-
tracción (*), y quieren abandonar también la hipótesis de la
constitución de los cuerpos por particulas materiales. Cree-
(*) Echegaray dice que si la fuerza es una abstracción, la energía
es otra abstracción.
— 231 —
mos que ese sistema de exposición no ha alcanzado un gra-
do suficiente de madurez y de vulgarización; y nos atendre-
mos en todo y para todo al método clásico newtoniano,
tanto más, cuanto que se reconoce por todos, que es el pre-
ferible para las aplicaciones; y lo que nosotros vamos á in-
tentar es, al fin y al cabo, una aplicación.
Aun mirada la Mecánica clásica (la establecida por Gali-
leo y Newton) como caso particular de una Mecánica más
general, deberiamos dejarnos guiar por nuestra Mecánica
clásica, puesto que las velocidades que hemos de considerar
son las usuales y corrientes en la vida del hombre, y para
estas velocidades es valedera.
De lo expuesto en estos Preliminares retengamos lo si-
guiente, que doy por aceptado, para entrar en el estudio de
la Cinemática:
1.2 Las agrupaciones sociales—de grado superior al pri-
mero— serán consideradas por nosotros como sistemas de
individuos y de colecciones parciales de individuos enlaza-
dos entre sí. Los enlaces sociales definen la agrupación cons-
tituída por los individuos y las colecciones.
2.2 Cada colección—que denominanos elemento social—
se individualiza por un centro que lo simbolice. La posición
psíquica de este centro en un asunto social se conoce en
cada instante por la constitución interna del elemento que
se considere.
3.2 Así los individuos como los elementos individualiza-
dos están afectos de su respectivo parámetro. El valor del
parámetro en cada instante corresponde á la posición que en
ese instante tenga en el asunto el individuo ó el elemento
social á que esté afecto.
— 282 —
4. Los parámetros serán constantes en el tiempo si los
individuos y los elementos se hallan en estado de reposo en
el asunto social que se considere; ó dicho de otro modo, si
las posiciones de los individuos y los elementos son invaria-
bles en el tiempo.
5.” Los parámetros serán variables continuas si las posi-
ciones se modifican por ley de continuidad en el tiempo. Es-
tas modificaciones ó cambios expresan lo que hemos llama-
do el movimiento en el asunto social que se considere.
6.2 Cada individuo y cada elemento social realiza su mo-
vimiento de modificación infinitamente pequeño—que es
único—en una determinada dirección y sentido. Admitimos
que la magnitud, dirección y sentido de la modificación in-
finitamente pequeña de cada individuo y de cada elemento
estén determinados por el incremento infinitamente pequeño
de su parámetro. Este incremento infinitamente pequeño tie-
ne así el carácter de un vector psíquico.
Hecho este breve resumen, procedamos ya al estudio de
la Cinemática social.
Cuando hayamos de pasar á la Estática y á la Dinámica
volveremos sobre el concepto abstracto de las fuerzas socia-
les; y explicaremos el sentido en que admitimos el Principio
de la inercia, así como el alcance que damos Á la noción de
masa de un individuo ó de un elemento para un asunto de
carácter social.
Sa E
INDICE.
DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO.
pAOS. :
VII. —Conferencias sobre Física matemática. Teoría de los:
torbellinos, por José Echegaray. Conferencia décimo-
O AR
] IX.— Conferencias sobre Física matemática. Teoría de los
torbellinos, por José Echegaray. Conferencia vigé-
211
X.—La copelación, según antiguas recetas, por José Rodri- >
LHez MMQUECIO:. 3 a ea sai SE oo o :
XI. —Sobre el electrómetro de cuadrantes, por E: Terradas.
XII. —Apuntes sobre Mecánica social, por Antonio Portuon-
Oy Barcelo. A A E o O
. e
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: OE EP qe
S 7
E
2337
246
258.
La subscripción á esta Revista se hace por tomos completos,
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val-
e
verde, núm. 26, Madrid.
Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas.
DH LA
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES
A =
MADRID
:. TÓMO Xx.-NÚM. 5.
4 E Noviembre de 18911.
MADRID
ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL
CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8,
SAA
ADVERTENCIA.
Los originales para la Revista de la Academia
se han de entregar completos, en la Secretaria de
la Corporación, antes del día 20 de cada mes,
pues de otro modo quedará su publicación para
el mes siguiente.
RS sa
PUSE AI O
Ñ
XIN.— Conferencias sobre Fisica matemática.
Teorias diversas.
POR JoséÉ ECHEGARAY.
Conferencia primera.
SEÑORES:
Al empezar el nuevo curso de Física Matemática, y en él
la séptima serie de conferencias, que vengo dando en la
Universidad Central, debo recordar el en que con esta
labor me propongo.
Ya lo decía al dar comienzo > al curso precedente.
Sería mi propósito, suponiendo que pudiera realizarlo, ex-
plicar en esta clase y publicar más tarde en una serie de li-
bros, una enciclopedia elemental, que abarcase las principa-
les teorías de la Física Matemática clásica, así como las de
la Física Matemática moderna.
Empresa, como he declarado más de una vez, sobrado
ambiciosa, aun teniendo en cuenta el carácter elemental de
mis explicaciones: sobrado ambiciosa, repito, por la exten-
sión casi indefinida de la materia, y aun más si se tienen en
cuenta mis muchos años y mis ya escasas fuerzas.
De todas maneras, llegaré á donde pueda llegar; y año
tras año, en los siete que vengo desempeñando esta asigna-
tura, es lo cierto que voy exponiendo diferentes materias,
de las que deberían constituir el trabajo ideal con que desde
un principio me encariñé, aunque sin esperanza, no ya de
darle cima, pero ni siquiera de realizar una parte importante
de la totalidad de la empresa.
REV. ACAT DE CIENCIAS. —X.— Noviembre, Ig11. 19
— 284 —
Algo llevo, sin embargo, realizado, y así, en los seis cur-
sos que han precedido á éste, he expuesto las siguientes ma-
terias:
Una introducción á la Física Matemática en que procuré
marcar el carácter de esta ciencia y sus relaciones con la Fií-
sica experimental; presentando ejemplos de la teoría del ca-
lor, de la luz, del magnetismo y de la electricidad, y algu-
nas teorías de la Mecánica que eran esenciales en la ciencia
clásica, cuyas ramas, por regla general, en la hipótesis me-
cánica se fundaban, y que aun hoy mismo tienen aplicación
en varias teorías de la Física Matemática moderna.
Fué este primer curso algo así como un bosquejo de los
principales problemas, que la Física Matemática abarca.
Y después, considerando que en esta ciencia es problema
fundamental el problema de la elasticidad, me ocupé, en los
tres cursos siguientes, en exponer lo más importante de esta
materia, según tres métodos: el de Cauchy en el segundo
curso, el de Lamé en el tercero, el de Poincaré en el cuarto.
Y sin haber agotado la materia ni mucho menos, pero ha-
biendo expuesto todos los elementos de ella, que pudieran.
facilitar el estudio de las memorias y obras especiales de los
erandes maestros de la ciencia, pasé, en el quinto curso de
esta asignatura, á la exposición de teorías y teoremas indis-
pensables al penetrar en el estudio dé la ciencia moderna.
Por ejemplo: la teoría de los vectores, el teorema de Green
y el teorema de Stokes.
Y de estas teorías y teoremas, hice aplicación á la electro-
estática y á la electrodinámica, que fué como un preludio, si
vale la palabra, de estudios más serios y más completos que
me propongo llevar á cabo, si puedo, en los cursos próximos
de esta cátedra. Fué en cierto modo, hacer que mis alum-
nos se asomasen á amplios horizontes de la ciencia nueva.
Verlos en conjunto no es imposible, como no es imposible
ver de un golpe un inmenso paisaje; penetrar en él y reco-
rrerlo, es ya materia de mucho tiempo y mucha labor; lle-
— 285 —
gar á los límites de estos horizontes es empresa imposible,
porque los horizontes de la ciencia son infinitos y el ser hu-
mano, que es, esencialmente finito, no podrá abarcarlos
nunca.
En el curso precedente, que fué el sexto en esta serie de
trabajos, traté en particular de la teoría de los torbellinos,
dándole la importancia que creo que tiene, por las razones
que en dicho curso expuse.
No agoté tampoco esta materia, y tanto es así que, en el
curso presente, ó en una parte de él, ó en el inmediato, se-
guiré exponiéndola.
Al comenzar los cursos precedentes, he seguido la cos-
tumbre de hacer en las primeras conferencias, de cada uno
de ellos, un resumen, bastante detallado, de las materias
explicadas desde que me encargué de esta asignatura.
Decía y desarrollaba, en lugar oportuno, esta idea: que la
Fisica Matemática es una ciencia tan enorme que es im-
posible abarcarla en las conferencias de un sólo año.
Que es, por el contrario, indispensable dedicar, cada
nuevo curso, á una materia distinta.
Lo contrario sería más cómodo para el profesor: le bas-
taba repetir periódicamente, un año y otro, las mismas no-
ciones elementales. Pero este sistema destruiría, en absoluto,
mi pensamiento, que es, como queda dicho, el de acumular
en una especie de enciclopedia los fundamentos de la Física
Matemática durante el siglo precedente y de las nuevas teo-
rías que en estos últimos veinte ó treinta años se han des-
arrollado.
Las monteras de Sancho son buenas para caperuzas in-
fantiles. La propaganda de la alta ciencia, siquiera sea en
— 286 —
sus bases elementales, exige más paño, más tiempo y más
labor.
Y he agregado siempre, que ya que en cada curso debo
explicar una materia nueva, creía necesario hacer en cada
uno el resumen de los cursos precedentes.
Y así he venido haciéndolo hasta el curso actual, en que
voy á faltar á esta regla, que hasta hoy me había im-
puesto.
Y la razón es bien sencilla.
El resumen de los cinco primeros cursos está hecho con
bastante minuciosidad, en varios de los tomos de Física Ma-
temática que lleva publicados la Academia de Ciencias.
En estos tomos pueden consultar dicho resumen mis
alumnos. No hay por qué hacerlo de nuevo, mermando el
tiempo escaso de que dispongo para las nuevas lecciones.
Mas aún, sin perjuicio de las conferencias que yo he de
dar, el inteligente ayudante de esta asignatura, Sr. Carrasco-
sa, explica una serie de lecciones semanales, en que se ocupa
de lo más esencial que llevo publicado, desde el año 1905,
hasta la fecha; con lo cual, en cada curso, se realiza una
doble labor: la exposición de las materias más importantes
de los cursos anteriores y las nuevas materias que yo expon-
go en cada nuevo curso. Así se sintetiza lo ya explicado en
años anteriores por una parte; y yo, por la mía, avanzo en
nuevas teorías hacia nuevos horizontes.
Por todo lo expuesto, no me propongo hacer la síntesis de
los cinco cursos primeros en estas conferencias; y en cuan-
to al curso anterior, como en éste he de continuar tratando
de la teoría de los torbellinos, sin hacer dicho resumen de
propósito, he de hacerlo al enlazar la materia que expliqué
en el curs) académico de 1910 á 1911, con la materia que
me propongo explicar en este nuevo curso de 1911 á 1912.
Bd e
La materia principal de este curso ha de ser, como he in-
dicado antes, la continuación del estudio de los torbellinos,
y ya en las últimas conferencias del año precedente plan-
teábamos este problema. |
Suponiendo que en un flúido perfecto coinciden, en un
instante determinado, los movimientos rotacionales y los
irrotacionales; Ó, dicho de otro modo, suponiendo que en el
flúido, cuyo movimiento es irrotacional, existen determina-
dos torbellinos en número finito ó infinito; y suponiendo que,
por cualquier medio, Ó, si se quiere, como dato del proble-
ma, se conocen para un instante dichos movimientos rotacio-
nales, determinar la velocidad de cualquier punto del tlúido
en cualquier instante.
Estudiábamos en la última conferencia un ejemplo ó caso
particular, y anunciábamos que en este curso habíamos de
resolver en general el problema, deduciendo de él conse-
cuencias importantes y analogías curiosísimas entre este
problema de los torbellinos y el problema de la electricidad.
Y esta, en efecto, ha de ser la materia principal del pre-
sente curso; esto, al menos, es lo que me propongo; luego
será lo que Dios quiera.
Pero aquí se nos presenta una dificultad, de que ya me
he hecho cargo en otras ocasiones.
La Física matemática, como su nombre lo indica, tiene
por objeto la explicación matemática de los principales fe-
nómenos de la Física.
Y hoy aun podríamos ampliar esta definición, dadas las
nuevas, inesperadas y profundas relaciones entre la Física
y la Química, diciendo que la Física matemática también se
ocupa en los problemas generales de la Química.
Pero unos y otros problemas pretende resolverlos por re-
laciones matemáticas.
De modo que, en esta ciencia, se mezclan íntimamente
estos tres elementos, á saber:
1.” El fenómeno físico ó químico, cuyos accidentes todos,
— 288 —
como hemos explicado en otras ocasiones, dependen de un
número determinado de parámetros, que podemos llamar
parámetros del fenómeno.
2.” Las hipótesis fundamentales, que en el siglo pasado
casi se reducían á una hipótesis, la hipótesis mecánica, y
que aun hoy mismo, aunque aquella hipótesis clásica esté
en descrédito, bien pudiéramos asegurar que en muchas teo-
rías, por nuevas hipótesis mecánicas, ha sido sustituida.
La Mecánica clásica podrá estar en tela de juicio; en par-
te se habrán ampliado Ó se habrán modificado sus concep-
tos; pero, digan lo que quieran ciertos críticos y ciertos au-
tores, de hipótesis mecánicas están impregnadas las nuevas
teorías, incluyendo la moderna energética.
Y 3.” Del elemento matemático, es decir, casi siempre
de ecuaciones diferenciales entre aquellos parámetros deter-
minantes del fenómeno. Ecuaciones diferenciales que es pre-
ciso integrar, Ó en las cuales, aun sin integrarlas, hemos de
estudiar las propiedades de las funciones, que representan
dichos parámetros; como explicábamos detalladamente en
las últimas conferencias del curso anterior, con aplicación
á la teoría de los torbellinos.
Esta última parte es importantíma en la Física Matemática,
que por algo es ciencia matemática.
Presenta y da ocasión á nuevos problemas de la cien-
cia pura.
Provoca nuevos desarrollos de esta ciencia, y aun hay
quien supone, aunque sin razón, como hemos explicado va-
rias veces, que la mayor parte de las ciencias matemáticas
ha sido creada en cierto modo por requerimientos de la
Física.
Sobre esto ya hemos disertado ampliamente en otras oca-
siones.
Que las ciencias químicas y físicas planteen nuevos pro-
blemas matemáticos; que aquéllas hayan sido el estimulante,
por decirlo así, para la creación de muchas teorías, nadie
— 289 —
puede ponerlo en duda; basta recorrer, por una parte, la
historia de las Matemáticas, y por otra, la de la Física Ma-
temática.
Pero hemos protestado más de una vez, y seguiremos
protestando siempre que la ocasión se presente, contra estas
pretensiones invasoras de las ciencias físicas, en que se
supone que las matemáticas son la alta servidumbre de la
materia inorgánica y de sus fenómenos; un instrumento más
ó menos elevado del fenómeno material, y que su único
objeto es resolver problemas del orden matemático, plan-
teados por el físico Ó por el químico para la explicación de
los fenómenos naturales.
No; ya lo hemos dicho más de una vez: las matemáticas
puras son una ciencia autónoma; podrán ser útiles para la
práctica, para las necesidades de la vida social, para medir
ó dividir campos en Egipto, para hacer cálculos numéricos,
para seguir el movimiento de los astros, para determinar los
efectos de las máquinas; como podrán servir hoy para la
termodinámica en sus aplicaciones á la Química, para el es-
tudio y aplicaciones industriales de la electricidad, como
para penetrar en la dinámica del electrón; pero todo esto no
impide que la ciencia matemática sea una ciencia autónoma
con su campo propio de investigación, con sus creaciones,
no serviles, sino libres, espontáneas, con sus grandes leyes
del número discreto, de la cantidad continua, de las funcio-
nes continuas ó discontinuas, de las variables, de lo finito,
de lo indefinido ó de lo infinito, de los grupos y de los com-
plejos, de todo un mundo que se desarrolla en las profun-
didades misteriosas del cerebro, y que existirá mientras exis-
ta el pensamiento humano, aunque la electricidad, el mag-
netismo y la materia existiesen de otro modo ó no existiesen,
Ó si no se quiere ir tan lejos, aunque tuesen desconocidos
para las ciencia humana.
Las matemáticas puras son lo que son, y su utilidad prác-
tica la dan de añadidura.
E
Sólo una vieja tendencia materialista, tosca y exagerada,
puede confundir hasta identificar las demostraciones pura-
mente matemáticas con las demostraciones fatalmente expe-
rimentales.
Pero nos vamos alejando de nuestro objeto.
De todas maneras, la parte matemática en la Física de este
nombre es importantísima, es exuberante; casi nos atreve-
veríamos á decir que en ocasiones es excesiva.
Libros hay, sobre todo de la Física Matemática clásica, en
que los problemas de la parte física están como perdidos en
un océano inmenso de cálculos y de fórmulas.
Y aquí surge la dificultad á que antes nos hemos referido,
y que ya otras veces hemos señalado.
Para insistir en ella, para hacerla comprender con más
claridad y también para justificar la marcha que vamos á
seguir, presentaremos algunos ejemplos.
En el curso de 1909 á 1910 explicábamos dos teoremas,
fundamentales en la Física Matemática moderna.
Estos teoremas pertenecian, en rigor, á las matemáticas
puras. Eran la transformación de integrales triples en inte-
erales dobles; y de integrales dobles en integrales sencillas:
Ó si se quiere, de integrales de volumen en integrales de
superficie, y de integrales de superficie en integrales de línea
cerrada.
Considerados ambos teoremas, según decimos, como per-
tenecientes al cálculo integral puro, y al emplear esta última
palabra queremos excluir del pensamiento del matemático
toda aplicación práctica, nada hay que oponer á su rigor
lógico ni á su legitimidad, por decirlo así, en el campo de
la ciencia abstracta.
Ni
-- 291 —
Pero es claro, que al alumno que los estudiase sin ningún
otro antecedente, le causarían cierta extrañeza y acaso pen-
sara: «Sí, ambos teoremas son exactos; pero ¿por qué se
-les ha ocurrido á Green y á Stokes?
Y esta introducción de los vectores en ambos problemas,
¿qué ventajas puede presentar y de qué modo facilitar la in-
tegración de las integrales múltiples?»
Si, por el contrario, el alumno conoce ciertas teorías de la
Física Matemática moderna, ciertos problemas de la electro-
estática y de los campos electromagnéticos, se habrá encon-
traco forzosamente con ambas transformaciones y aquí, no
ya la duda, pero la dificultad habrá cambiado, en cierto
modo, de signo.
Comprenderá la importancia de ambas transformaciones,
cuando á las acciones á distancia de la Física Matemática
clásica se sustituye la transmisión de estas acciones por el
espacio. Pero se detendrá pensando cuál podrá ser la de-
mostración de ambas transformaciones, si de antemano no
las estudió.
Y la demostración matemática de ambos teoremas inte-
rrumpirá y distraerá su atención del verdadero problema de
Física Matemática que analiza.
De suerte que el dilema es este:
O desconoce la demostración de los teoremas al tener que
aplicarlos; ó estudia su demostración sin gran empeño, ni
eran interés, por nc ver claramente su enlace con otras
teorías de las Matemáticas puras, ni su aplicación á los pro-
blemas de la Física Matemática.
Y en este ejemplo, el inconveniente no es grave, porque
las demostraciones son sencillas é interrumpen por poco
tiempo la marcha principal de su estudio y sin absorber en
gran manera la atención del alumno.
Pero vamos á ver que esto no sucede en otros ejemplos.
— 292
En el año anterior estudiábamos la teoría de los torbelli-
nos, y al finalizar el curso examinamos un caso particular,
aunque importante, á saber: cuando el fiúido perfecto tenía
un movimiento paralelo al plano de las x, y.
En este caso, suponíamos varios torbellinos, infinitamen-
te estrechos, aunque de esta hipótesis se puede pasar á otra
más general; y decíamos que las ecuaciones del movimiento
de estos torbellinos paralelos al eje de las z, podian redu-
cirse á las ecuaciones generales de la Mecánica, mejor di-
cho, á las ecuaciones de Hamilton.
Así obtenía Mr. Poincaré, en su teoría de los torbellinos,
estas dos ecuaciones:
AXg dp
Mk =—
dy; ná ee
E di AXy
Y dice el insigne autor con toda verdad, como hemos in-
dicado hace un momento: «bajo esta forma se reconocen,
desde luego, las ecuaciones canónicas de Hamilton, salvo el
factor Mg>.
Y agrega, al final del capítulo:
«Hemos obtenido tres integrales de las ecuaciones diferen-
ciales (1) y las propiedades de dichas ecuaciones nos per-
mitirán integrarlas por cuadraturas, cuando sólo sean tres
los tubos de torbellino. »
Y continúa:
«En efecto, las ecuaciones en cuestión, tienen, como que- -
da expuesto, la forma de las ecuaciones canónicas de Ha-
milton, las cuales se integran por cuadraturas cuando con-
tienen 2n variables y se conocen n integrales particulares.»
«Ahora bien, cuando existen sólo tres tubos de torbellino,
las ecuaciones encierran seis variables X,, 1, X2,Y2,X3, Y 5
y nosotros hemos encontrado tres integrales particulares.»
— 293 —
Todo esto es rigurosamente exacto y, probablemente,
desarrollaremos dicho problema, en este mismo curso.
Más téngase presente que estamos en España, en donde,
aunque las matemáticas se cultivan, con más interés, que en
otro tiempo, con más perfección, porque el profesorado es
cada vez más ilustrado y con más amplitud también, lo pro-
bable es que la mayor parte de los alumnos que llegan á mi
clase, no conozcan estas teorías importantísimas, que se
comprenden bajo la denominación de teoría de las ecuacio-
nes generales de la Mecánica.
De suerte que al venir á este punto el principiante, ó ten-
drá que creer al autor y al profesor bajo su palabra, y esto
no satisface á ninguna inteligencia independiente, y que
siente verdadero amor por la ciencia, ó tendrá que interrum-
pir la teoría de los torbellinos para engolfarse en el estudio,
verdaderamente enorme para él, de la integración de las ecua-
ciones diferenciales en general, Ó más particularmente de las
ecuaciones de la Mecánica, y en éstas de las ecuaciones Ca-
nónicas de Hamilton.
De aquí resulta que, aun en esta teoría particular de los
torbellinos, que no es ni siquiera de las más modernas de la
Física Matemática, para que el alumno marche con cierto
desembarazo y el profesor no sienta resquemores de no ser
entendido, sería preciso, para la perfecta inteligencia de. to-
dos los problemas y en particular del que hemos señalado,
que explicásemos de antemano, siquiera fuese en forma muy
concisa, las teorías á que acabamos de hacer referencia.
Otro ejemplo todavía tomado de la teoría de los torbelli-
nos que ha de continuar siendo la materia de este curso si
el tiempo alcanza para ello.
— 291 —
Planteábamos ya el problema general á que nos referimos
en las últimas conferencias del año anterior, y decíamos:
Si se han integrado las ecuaciones generales, ya las del
sistema de Lagrange, ya las del sistema de Euler, claro es
que en cualquier instante Y conoceremos los valores de 1, v,
w en función de x, y, z, y, por lo tanto, para cualquier punto
y en cualquier instante podremos determinar las componen-
tes del eje del torbellino que le corresponde.
No habrá más que sustituir los valores de las derivadas
de u, v, w, con relación á x, y, z, en las tres ecuaciones
tio aatacin le Y 2
dy dz
picas Fa
dz dx
A o LEA
Pieles dy
Los primeros miembros serán funciones perfectamente
determinadas de x, y, 2, É, y, por tanto, conoceremos para
cualquier instante y para cualquier punto los valores de
E, 1, E; tendremos, pues:
SS y 200)
n= fa ES y, Z, É)
E= fe (ES Z, b),
y sabremos con toda certeza que para todo punto existe un
eje de torbellino cuyas componentes serán las tres expresio-
nes anteriores, en cuyo caso para tal punto y tal instante el
movimiento será rotacional y conocido. Pero si los valores
de dichas componentes son mulos, se sabrá también que en
ese instante y en ese punto, no existe eje de torbellino y el
movimiento es irrotacional.
O
El problema, pues, sabiendo integrar las ecuaciones dife-
renciales del movimiento, es elemental.
Pero planteábamos el problema inverso que era este:
Cuando por cualquier medio se han llegado á conocer las
componentes del eje del torbellino en un instante y en cual-
quier punto, es decir, si se conocen £, 1, £ en función de
x, y, z,se trata de determinar u, v, w. Es decir, las com-
ponentes de la velocidad para todo punto en función de las
coordenadas de este punto Xx, y, Z.
Aun simplificaremos este problema, suponiendo que se
trata de un líquido; y aun lo simplificaremos más, admitien-
do que es un líquido indefinido y este será, como hemos
anunciado, uno de los problemas en que nos ocuparemos en
el presente curso, Ó acaso en el siguiente, así como de sus
analogías y aplicaciones, respecto á la electro-dinámica.
Pero, así y todo, al tratar de integrar las ecuaciones ante-
riores, nos encontraremos con un caso de la teoría de la
potencial newtoniana, porque tendremos que integrar ecua-
ciones de esta forma, que es la ecuación de Poisson:
AU=4zp.
Y aquí, aparece, para la enseñanza, la dificultad que ve-
nimos señalando.
Lo probable es que, mis alumnos, no hayan estudiado,
con la extensión necesaria para este caso, la teoría á que
acabamos de referirnos, ó sea; la teoría de la potencial
newtoniana, en cuya hipótesis, su enseñanza quedará in-
completa.
Tratar de resolver un problema, ya trate de resolverlo un
maestro ó un discípulo; hacer depender, la solución de este
problema de otros problemas matemáticos y no conocer
estos últimos, es en el fondo, dejar sin resolver el primero.
Y si se le asegura al alumno que estos últimos están ya re-
sueltos, tendrá que creerlo, como artículo de fe, por la que
— 206 —
en el maestro deposita, pero no por visión clara y directa
de la verdad.
Resulta en este ejemplo, como en el anterior, la necesi-
dad, de explicar de antemano en esta clase, otra nueva teo-
ría matemática, de integración ó de mecánica, como quiera
entenderse.
Ya señalamos una en el ejemplo anterior: la teoría de la
integración de las ecuaciones canónicas de Hamiltón.
Ahora señalamos otra: la teoría de las atracciones y de la
potencial newtoniana.
Otro ejemplo más he de citar, y voy tomándolos á la ca-
sualidad.
En la admirable obra de Lorentz, titulada «The Theory
of Electrons» y al estudiar el movimiento de éstos, como el
autor ha separado una gran masa de cálculos, para que no
le perturben en la exposición de sus conferencias, consig-
nándolos en notas; en la nota quince, nos encontramos con
fórmulas que todavía se refieren, como en el ejemplo ante-
rior, á la teoría de la potencial, ó mejor dicho, á las fórmu-
las de atracción de los elipsoides.
Así es que, cuando lleguemos, que no será este año se-
guramente, pero que quizás sea el inmediato, si mis propó-
sitos se realizan, á la exposición de estas novísimas teorías
de la Física Matemática, nos encontraríamos, con la misma
dificultad y con el mismo punto de parada ó con el mismo
dilema.
O dar por conocida una teoría, que mis alumnos no cono-
cen, citando fórmulas matemáticas como se citan recetas,
imponiéndolas como punto dogmático Ó como artículo de fe
científica, Ó bien interrumpir, una vez más, la exposición de
— 297 —
una teoría física para desarrollar durante tres ó cuatro meses
una teoría matemática.
Aun otro ejemplo, y también tomado á la casualidad, en
las obras del ilustre Lodge.
Dice este insigne maestro, al estudiar el movimiento de
una carga eléctrica, para el cálculo de la inercia que finge,
si es lícito expresarnos de este modo:
«El valor de la fuerza eléctrica en el punto de que se
trata es
y si el movimiento es lento, este valor será suficientemente
exacto.
Pero si el movimiento es rápido y comparable á la velo-
cidad de la luz, el campo eléctrico tomará un valor más dé-
bil á lo largo del eje, y más intenso ecuatorialmente: como
ha demostrado M. Heaviside, dicho valor tiene la forma
El alumno ó el aficionado á estas materias, que se encuen-
tra con dicha fórmula, es imposible que pase adelante sin
hacer un esfuerzo para buscar la demostración, 6, en todo
caso, sin buscar la demostración en su fuente original.
Toda conciencia científica, si es un poco delicada, siente
cierto malestar y hasta cierta humillación al emplear tórmu-
las cuyas demostraciones ignora.
8
— 298 —
Pues bien; la fórmula precedente, tal como el ilustre ma-
temático inglés la ha desarrollado, se funda en el cálculo
simbólico de integración que, probablemente, la mayor parte
de mis alumnos desconocerán.
Y por eso, cuando llegue el caso antes de desarrollar la
teoría física, procuraré desarrollar, en un pal de conferen-
cias, la teoría matemática.
+
Y
De este modo pudiera seguir acumulando ejemplos.
Ya citaba en otras conferencias la fórmula de Fourier, que
es fundamental.
Y la teoría de las armónicas.
Citamos aún la teoría de las funciones de variables ima-
ginarias ó complejas.
La teoría de los cuaternios, de la cual hace uso tan fre-
cuente la escuela inglesa.
Y otras muchas de las teorías de las matemáticas puras; Ó
de las creadas por la influencia y el estudio de los proble-
mas de Fisica matemática; Óó de las que esta ciencia puede
«sacar partido, aun habiendo sido creadas sin fin alguno uti-
litario en el campo infinito de la lucubración abstracta.
Todo esto pone de relieve y demuestra la dificultad cons-
tante del profesor, que dedica sus enseñanzas á la Física
Matemática; sobre todo cuando no existen otras asignaturas
que sirvan de amplia y completa preparación á la asignatura
propia de aquella ciencia.
Me veo, pues, obligado á escoger, como ya dije en otro
curso, una especie de término medio, alternando las teorías
propias de la Física Matemática con ciertas teorías de las
Matemáticas abstractas.
Dividiendo, por decirlo así, aquéllas en varios grupos y
— 299 =
haciendo preceder cadá uno de ellos de las teorías matemá-
ticas más indispensables.
Esto hice en uno de los cursos precedentes al explicar, á
modo de introducción, los elementos de la teoría de los vec-
tores, las notaciones de Grassman y los dos teoremas funda-
mentales en toda la Física Matemática moderna: el de Green
y el de Stokes.
Una cosa análoga vamos á hacer en este curso antes de
completar la teoría de los torbellinos, que empezamos á es-
tudiar en el curso precedente.
Y ya podemos puntualizar el programa de las materias de
esta asignatura en el curso que hoy empieza.
Es programa que procuraremos cumplir fielmente, si
el tiempo nos alcanza para ello y para ello alcanzan mis
fuerzas.
Así, pues, en el presente curso me propongo explicar:
La teoría de los torbellinos, que será continuación del úl-
timo curso.
Y como introducción á éste, explicaré ante todo:
1.” La teoría de la atracción newtoniana.
La teoría de la potencial, también newtoniana, y muy par-
ticularmente la ecuación de Laplace.
La extensión de estas teorías, ó mejor dicho, su aplica-
ción á la electricidad y al magnetismo.
2... El estudio de la integración de las ecuaciones canó-
nicas de Hamilton.
Todo ello en forma muy elemental, lo puramente preciso
para la inteligencia de los problemas de Física Matemática.
Son teorías estas últimas que no vamos á explicar por sí,
como problemas abstracios de las Matemáticas puras, sino
como medios ó auxiliares de los problemas de Física Mate-
Rev. ACAD. DÉ CieNcIas.—X,—Noviembre 1911. 20
— 300 —
mática, que hemos de ir estudiando sucesivamente. Por
ejemplo, la teoría de los torbellinos, la electroestática, la
electrodinámica, el magnetismo, ya según las teorías y las
hipótesis de la ciencia clásica, ya en el dilatado y novísimo
campo de la ciencia moderna.
En la conferencia próxima empezaremos, pues, el estudio
de la potencial newtoniana, en el que nos han de servir de
guía, entre otras varias Obras, la de Mr. Poincaré y la de
Mr. Appell, obras importantísimas de ambos maestros, que
no es la primera vez que hemos citado y á las que de con-
tinuo tendremos que acudir para nuestras explicaciones y
nuestros estudios propios.
Y no hablo de otras por no aumentar, innecesariamente,
esta bibliografía, que es bien conocida y está al alcance de
cualquiera.
— 301 —
XIV.—Conferencias sobre Fisica matemática.
Teorias diversas.
POR JoséÉ ECHEGARAY.
Conferencia segunda.
SEÑORES:
Dijimos en la primera conferencia de este curso, que en el
mismo procuraríamos completar la teoría de los torbellinos,
que tiene por sí verdadera importancia, que la tiene por sus
aplicaciones y hasta por sus semejanzas y analogías con
otras teorías de la Física Matemática.
Pero dijimos también, que antes de completarla y darla
por concluida, teníamos que intercalar, interrumpiéndola, dos
teorías de otro orden: F
La de las atracciones y de la potencial con más el estudio
de la ecuación de Laplace y un examen rápido, unas nocio-
nes, pudiéramos decir, de las ecuaciones de la Mecánica, ó
mejor dicho, de las ecuaciones canónicas de Hamilton.
En fin, anunciamos que en esta segunda conferencia em-
pezaríamos el estudio de la potencial newtoniana.
Algo nos remordía la conciencia al interrumpir el estudio
de los torbellinos, estudio que pertenece, por buen derecho,
á la Física Matemática; y explicábamos, minuciosamente,
las razones que para ello teníamos, y aun presentábamos
nuestras excusas por alterar, en cierto modo, el programa ge-
neral de estos cursos, que todos ellos corresponden y deben
corresponder á la Física Matemática, por ser la asignatura de
que estoy encargado. |
— 302 —
Pero acaso estos escrúpulos son exagerados, porque al es-
tudiar la potencial newtoniana, y mejor dicho, al estudiar
cualquier cuestión de Mecánica, en rigor, no traspaso los
límites de la asignatura ni dejo de estudiar cuestiones que á
la Física Matemática pertenezcan.
La Física Matemática, como su nombre lo indica, estudia
los fenómenos del mundo físico y dentro de la ciencia noví-
sima, los fenómenos de la Química en toda su extensión.
Pero los fenómenos del movimiento y sus leyes, las del
equilibrio, como caso particular de aquél, ó mejor dicho,
como cierto grado de abstracción del mismo, son fenómenos
del mundo inorgánico, son fenómenos físicos en su totali-
dad, al menos en una primera aproximación, de suerte que
puede afirmarse que, todo fenómeno de Mecánica, á la Físi-
ca Matemática pertenece; lo mismo la mecánica de los sóli-
dos, que la de los fiúidos, que la de cualquier sistema, su-
jeto á determinados enlaces.
Tanto es así, que tengo la esperanza de estudiar más ade-
lante, por una parte, la célebre Mecánica de Hertz, y ade-
más la energética de Duhen, obra importantísima esta últi-
ma en curso de publicación y de la cual ya ha visto la luz el
primer tomo.
En suma, al estudiar cualquier problema de Mecánica, ó
nuevos aspectos de esta ciencia, desde la cinemática á la
moderna energética, no traspaso los límites de la asignatu-
ra; dentro de la Física Matemática estoy siempre y lo único
que pudiera extrañar á primera vista es el interrumpir una
teoría como la de los torbellinos, para empezar este nuevo
curso por la teoría de lo potencial.
Pero las razones que tengo para ello ya las he expuesto
ampliamente en la primera conferencia de esta nueva serie.
Empiezo, pues, á estudiar desde luego la teoría de las
atracciones newtonianas y de la potencial.
ES
* E
— 303 —
Atracciones newtonianas—Potencial.
La Mecánica clásica sabido es que se divide en tres
partes:
1.* La cinemática, en que se estudian los movimientos
de los sistemas, no sólo en su forma geométrica, sino en su
relación con el tiempo.
En esta primera parte no vamos á ocuparnos por ahora.
2." La estática, ó sea la teoría del equilibrio.
Busca esta rama de la Mecánica las condiciones de equi-
librio de cualquier sistema sujeto á enlaces determinados y
sometidos á fuerzas determinadas también.
Se dirá, y dicen algunos, que el equilibrio no existe, que
es una pura abstracción; pero esto importa poco: ni un solo
problema de los que la ciencia estudia deja de ser una abs-
tracción en el seno de los fenomenos totales, que sólo de
esta manera puede la inteligencia humana estudiar el inmen-
so Cosmos.
Y el equilibrio es una abstracción casi necesaria para re-
solver los problemas dinámicos. Al menos lo ha sido has-
ta hoy.
Ya, sobre este punto, hemos discurrido con bastante ex-
tensión en otras conferencias de otros cursos.
De todas maneras resulta, que en la Estática es concepto
fundamental este concepto de fuerza, y que al pretender re-
solver un problema de la Mecánica es preciso conocer de
antemano todas las fuerzas ó cierta parte de ellas.
La fuerza es, si se nos permite esta imagen, la urdimbre
del equilibrio, y de la combinación de fuerzas resulta éste.
3. Por último, Dinámica es la tercera sección de la Me-
cánica, y dos son los conceptos fundamentales de esta cien-
cia, mejor dicho de la Mecánica en general:
La masa y la fuerza.
Ya sabemos, que ciertos críticos modernos rechazan este
— 304 --
dualismo de la Mecánica clásica y hasta pretenden ponerlo
en ridículo, comparando la fuerza á la caballería que tira de
un vehículo y el vehículo á la masa misma.
Pero en rigor este ejemplo es una prueba más, con ser tan
vulgar y tan tosco, de la terquedad con que la misma expe-
riencia impone estos dos conceptos:
La acción que se ejerce y algo material sobre lo cual se
ejerce dicha acción. Esto proclama el sentido común en un
carromato como en un astro.
Y como el efecto producido se marca por el movimiento
y este efecto ha de medirse, por decirlo así, por un coefi-
ciente que dependerá de la fuerza y dependerá del elemento
material, sobre el que se ejerce, de aquí, naturalmente, el
concepto de inercia.
La palabra quizá no sea propia; pero la experiencia, con
interminable terquedad, volvemos á repetirlo, despierta en
la inteligencia humana estos tres conceptos:
Lo que actúa, aquello sobre lo cual actúa y el efecto pro-
ducido, que es como si dijéramos el cambio que se produce
en el estado de las cosas.
Y mientras la inteligencia humana esté organizada como
hoy lo está, estos tres conceptos, Ó estas tres ideas, Ó estas
tres representaciones intelectuales, Ó estos tres símbolos
parciales de tres cosas reales, ó déseles el nombre que se
quiera, se impondrán á la experiencia, se impondrán á la
razón humana y se impondrán á toda ciencia por más arti-
ficios que se busquen para salvar dificultades y dudas.
La metafísica busca en todas partes su desquite.
Resulta, sea del modo que fuere que, como en la Estáti-
ca, nos encontramos el concepto fundamental de fuerza; en
la Dinámica nos lo encontramos también, complicado, con
otro concepto, el de masa.
Pero de este último, podemos prescindir por ahora.
Y vemos, en resumen, que, así en un problema de equi-
librio, como en un problema de movimiento, las fuerzas, por
— 305 —
regla general, constituyen datos necesarios del problema.
Esto, volvemos á repetirlo, en términos generales, aunque
claro es que en ocasiones, las fuerzas no sólo son datos,
sino que algunas de ellas pueden ser incógnitas del proble-
ma. Por ejemplo: cuando en un problema de estática se
buscan las presiones, las tensiones y todas las fuerzas in-
ternas que se desarrollan en el sistema, una vez establecido
el equilibrio. Precisamente estos son los problemas, que el
ingeniero constructor se ve obligado á resolver de continuo.
De todas maneras resulta que, en los problemas de Me-
cánica, y sobre todo en la Mecánica clásica, la fuerza es un
elemento y un concepto fundamental; claro que nos referi-
mos á las fuerzas de la vieja mecánica, á las que se definian
diciendo que eran /as causas del movimiento, á las que se
medían y se miden por kilogramos.
En ciertas renovaciones de la ciencia moderna y en cier-
tas nuevas teorías, ya hemos dicho repetidamente, en otros
cursos, que el concepto de fuerza va perdiendo, en cierto
modo, terreno y que en cambio aparece con ambiciones po-
derosísimas otro concepto, el concepto de energía. Tanto,
que á la Mecánica y á la Física y á todas las ciencias del
mundo inorgánico, por el pronto, sin perjuicio de la suerte
que al mundo orgánico le esté reservada en la mente de los
innovadores; á esta nueva ciencía total, repetimos, se le da
el nombre de ciencia de la energía.
Ya este punto lo hemos tratado en años anteriores, aun-
que de paso y reservándole el lugar preferente para más
adelante; y ahora, también de paso, vamos á tratarlo.
Dijimos que la energía era una denominación genérica, y
en el concepto de algunos físicos de la nueva escuela, la
energía casi se confundía con la esencia de las cosas.
— 306 —
Mas siendo una en su esencia, y valgan los términos meta-
físicos, es múltiple en sus determinaciones.
Así, según la nueva escuela, tenemos: la energía mecáni-
ca, la energía calorífica, la energía lumínica, la energía
eléctrica, la energia magnética, la energía química, la energía
fisiológica y aun si se quiere la energía espiritual, que de
todas trata, en su interesante obra, el eminente y laureado
químico W. Ostwald.
De todas estas energías, la primera, la fundamental en la
ciencia clásica, es la energía mecánica, que se mide por ki-
lográmetros.
Y ocurre preguntar ¿todas las energías de la lista anterior
son fundamentalmente distintas unas de otras, y unas á otras
irreducibles, sin que pueda señalarse la unidad de todas ellas?
¿Es problema racional y sensato buscar esa unidad, ó es
empresa, por el contrario, insensata, imposible, absurda?
No pretendemos resolver en este momento dicha cuestión
verdaderamente transcendental.
En toda la ciencia clásica del siglo anterior se ha contes-
tado á las anteriores preguntas con una afirmación absoluta;
llena de esperanzas, y de ambiciones, dicen otros.
La hipótesis mecánica tiene esta significación y aspira á
reducir todas las formas de la energía á la energía mecánica.
Hoy mismo, al establecer las unidades de la Física, todas
las energías de ésta se expresan por unidades de la energía
mecánica. Es decir, por kilográmetros, ó de otro modo, por
el producto de fuerzas por caminos recorridos.
¿Y admitir, puede preguntarse, que la energía calorífica,
la eléctrica, la magnética, la lumínica y la química, se ex-
presan por las mismas unidades que la energía mecánica, no
es admitir, implícitamente, cierta unidad de esencia entre
todas estas formas de la energía?
Acaso se diga que la equivalencia entre diversas unidades
físicas, no supone ¿dentidad en la esencia de los fenómenos.
Acaso la contestación tenga fuerzas para algunos; pero
=.307-=
no duden los nuevos críticos, que por este camino de la equi-
valencia de las unidades, va el espíritu humano á la unidad
de fondo entre los fenómenos.
No se llegará, ó se llegará al fin; pero este es el camino
que conduce á una nueva hipótesis mecánica, si bien más
amplia que la del siglo precedente y más comprensiva que
aquélla, porque abarcará, no sólo la materia ponderable sino
la luz, el calor, la electricidad, el magnetismo, las reaccio-
nes químicas y ese nuevo mundo de iones, electrones, ra-
yos X, rayos catódicos y radio-actividad.
La nueva hipótesis, repetimos, será mucho más amplia
que la vieja hipótesis mecánica; pero será una hipótesis me-
cánica, de una nueva mecánica, que comprenderá á la anti-
gua, con su hipótesis, como caso particular Ó como prime-
ra aproximación de nuevas soluciones para los fenómenos
inorgánicos de la Naturaleza.
Vemos, sea como fuere, que todas las formas de la ener-
eía se expresan por unidades de la energía mecánica y se
reducen á kilográmetros. Y como el kilográmetro supone
dos unidades fundamentales, para la fuerza, por ejemplo el
kilogramo, y otra para el camino, el metro por ejemplo, con
estos dos factores, fuerza y espacio lineal, tendrán que con-
tar forzosamente todas las energías que la nueva escuela de
la energética imagine.
Podrán los partidarios de las modernas teorías descompo-
ner, como hace Otswald, y es descomposición muy curiosa
y quizás profunda, cada energía en dos factores especiales.
Por ejemplo: la electricidad, en los factores potencial y can-
tidad de corriente; el calórico, en estos otros dos, tempera-
tura y eutrapia, y así sucesivamente. Pero siempre el pro-
ducto de estos dos factores determinará un número, que re-
— 308 —
presentará la energía, el cual, á su vez, se descompondrá en
fuerza y camino recorrido.
Es, si se nos permite la comparación, una teoría análoga
á la descomposición de un número en números primos ordi-
narios, en números primos complejos, y así sucesivamente,
en una serie de representaciones transcendentes del concep-
to del número.
Queremos significar, con las observaciones que preceden,
que, si bien en las teorías modernas, como más de una vez
hemos hecho observar, al concepto de fuerza se va sustitu-
yendo de preferencia el concepto energía, esto no signifi-
ca, de ningún modo, que haya de abandonarse, ni en un
porvenir próximo, ni en un porvenir remoto, el concepto de
fuerza, de la fuerza clásica medida por kilogramos, que en-
carna en la realidad de los hechos y circula en lo más pro-
fundo de los fenómenos.
Y es inútil que los innovadores digan que la fuerza es una
abstracción sin realidad. Si á la palabra abstracción se le da
un sentido absoluto, podremos decir, que la inteligencia hu-
mana vive de abstracciones y sólo abstracciones maneja.
Si es abstracción la fuerza, es abstracción la energía; ni
una ni otra abarcan por completo la totalidad de un fenó-
meno. ¿
Los sentidos suministran á la inteligencia materiales, en
los que, por decirlo así, hay una parte real y una parte abs-
tracta.
Volvemos á repetirlo: si la fuerza es una abstracción, otra
abstracción, aunque quizás más saturada de realidad, es la
energía.
Podríamos decir, análogamente, que si la línea geométrica
es una abstracción, abstracción es también el plano.
El concepto de fuerza y el concepto de energía en el mundo
¡norgánico, los encontramos, como encontramos la materia.
De los objetos exteriores, el sentido de la vista extrae una
representación, y por eso creemos que vemos la materia.
+ 0
Pues en rigor, noes más privilegiada la vista que el tacto,
porque el tacto nos da también el concepto de fuerza, de re-
sistencia, de presión, de empuje.
Ni en Geometría se podrá prescindir de la línea, preten-
diendo anularla ante el volumen de un espacio.
Ni en la Mecánica se podrá anular la fuerza ante la
energía.
Espacio y campo hay, por decirlo así, para todos los ele-
mentos de la ciencia clásica y para todos los elementos de
la ciencia novísima; que la historia de la ciencía, que es la
de su evolución, abarca á unos y á otros, en un organismo
cada vez más perfecto, y que aspira, cada vez con más an-
sia, á formas definitivas, aunque jamás llegue á alcanzarlas.
Hemos dicho todo lo que precede, porque vamos á con-
siderar en estas conferencias á la fuerza, á la manera que la
consideraba la Mecánica clásica.
El concepto de fuerza va unido casi constantemente, en la
vieja Mecánica, á la acción ó distancia.
La hipótesis newtoniana supone, que la materia actúa so-
bre la materia, atrayéndola proporcionalmente á las masas y
en razón inversa del cuadrado de las distancias.
En esta hipótesis cualquier elemento de materia pondera-
ble, que ha sido lo que, traduciendo nuestras sensaciones,
hemos llamado siempre materia; una molécula, un átomo se
supone que atraen á toda la materia restante del Universo,
como si el espacio no existiese, como si todo estuviera en
contacto con todo, y además como si no existiera el tiempo,
porque la acción se supone que es instantánea.
El espacio influye, pero es sólo para debilitar la atracción,
porque sabemos que en tal hipótesis la atracción es inversa
del cuadrado de la distancia.
— 310 —
Este principio de las atracciones de la materia se ha hecho
popular, indiscutible, y como verdad indiscutible ha pasado
á la gran masa de las inteligencias.
Hoy la mayor parte de los físicos rechazan la acción á
distancia y vuelven á la primitiva fórmula de Newton: la
materia atrae á la materia proporcionalmente á las masas y
en razón inversa del cuadrado de las distancias. O las cosas
pasan, es decir, ó los fenómenos se desarrollan, como si esta
atracción á distancia fuese una realidad.
Hipótesis, simbolismo, fórmula práctica Ó como se quiera,
que simplifica los cálculos y las teorías y que crea toda la
Mecánica celeste.
No vamos á discutir una vez más este tema; en la exposi-
ción de la teoría de las atracciones y de la potencial admiti-
remos la fórmula clásica como si fuera una realidad.
Si á pesar de la crítica, lo es, por serlo.
Si es un puro simbolismo, por su comodidad y su fecun-
didad.
En un sistema de puntos materiales, continuos ó discon-
tinuos, tendremos que considerar dos elementos para el es-
tudio de las atracciones: las masas y las fuerzas.
Las fuerzas que actúan sobre cada punto podrán tener dos
origenes; procederán del mismo sistema ó vendrán de siste-
mas exteriores á éste.
De estas últimas fuerzas vamos á prescindir por completo.
Es decir, supondremos que no existen.
En pura teoría decimos que no existen, y si de la pura
teoría pasásemos á la práctica, supondremos que son tan in-
significantes sus acciones, por proceder de sistemas inmen-
samente lejanos, que será legítimo despreciarlas.
En suma, supondremos que toda fuerza que actúa sobre
— 311 —
un punto del sistema procede de otro punto del sistema
mismo.
De modo que en el sistema, por decirlo así, cerrado, que
estamos considerando, tendremos dos clases de elementos:
1.2 Una serie de masas /1, M,, Ma ..... que podrán ser
discontinuas Ó podrán formar una continuidad total, ó po-
drán constituir una serie de grupos continuos.
2.2 Un sistema de fuerzas que serán las atracciones en-
tre cada dos puntos del sistema cerrado.
Estas atracciones, supondremos, que obedecen á la ley
newtoniana. De modo que si m es la masa de un punto, m1;
la masa de otro punto del sistema, y r la distancia entre am-
bos puntos, el valor de su atracción, prescindiendo ahora del
signo, será
mm,
Í
r?
en que f es un coeficiente numérico, que dependerá de la
unidad que se elija para las masas, y de las unidades que se
elijan para las distancias y para las fuerzas.
Será f el valor numérico de la atracción entre dos masas
infinitamente concentradas, iguales á 1 y distantes una unidad.
Porque, en etecto, si m=1, m,=1,r=1, la fórmula
anterior se reduce á f.
Además, suponemos que la acción es igual y contraria á
la reacción.
Si M atrae á M' con una fuerza F de M' á M, á su vez
M' atrae á M con una fuerza F de Má M', ó sea en sentido
contrario que antes.
Por último, la acción es nstantánea: la fuerza F se trans-
mite, por decirlo así, de golpe: tarda un tiempo cero en ir
de una masa á otra: no va, existe.
— 312 —
Toda esta teoría de las atracciones. y de la potencial va-
mos á dividirla en dos partes: '
En la primera trataremos del caso en que las masas for-
man un sistema discontinuo.
Admitiremos en la segunda, que los elementos materiales
forman uno ó varios sistemas continuos.
Empecemos desde luego por el primer caso.
Atracciones y potencial de sistemas discontinuos.
Sea un sistema cerrado, es decir, único S (fig. 1.%), com-
puesto de puntos materiales M, M,, Mo.....
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Fiaura 1.*
Cada uno de estos puntos tiene una masa ponderable, que
representamos por estas mismas letras; masas que podrán
ser infinitamente pequeñas, ó que podrán ser finitas; esto
importa poco para nuestro objeto; pero admitiremos que
están reconcentradas en un punto geométrico cada una de
ellas, Ó si se quiere, en un elemento de volumen infinita-
mente pequeño.
— 313 —
Abarcamos todos estos puntos en una superficie S para
indicar el aislamiento del sistema respecto al espacio exte-
rior; no tiene otra significación la superficie S, que en rigor
| no existe sino como símbolo geométrico, superficie que podrá
ser, por lo demás, tan grande como se quiera.
Entre estos puntos, dos á dos, suponemos que existen
atracciones; por ejemplo, entre m y m,, entre m y m.,, entre
m, y m, y así sucesivamente, tomando los puntos dos á dos.
Y según el principio de igualdad entre la acción y la reac-
ción, la de m sobre m, será la misma, y en sentido contrario
que la de m, sobre m. Por fin, estas acciones, como antes
decíamos, son instantáneas.
Tres son, pues, los principios que rigen la mecánica del
sistema:
pr
EN
Segundo. La igualdad de la acción y la reacción.
Tercero. La acción instantánea.
No existen, pues, en el sistema, lo repetimos, más que
estas dos clases de elementos: las masas m y las atracciones
que resultan de todas las combinaciones binarias de dichas
masas.
Para estudiar problemas de estática Ó de dinámica del sis-
tema que consideramos, no hacen falta otros datos más que
las masas señaladas, la ley de las fuerzas, que es la ley new-
toniana, y la distribución de los puntos 1, M,, fta.....: SÍ es
problema dinámico hay que agregar las velocidades iniciales.
Y con estos datos podremos determinar evidentemente la
fuerza que actúa sobre cada punto de los indicados, porque
podremos calcular la acción de cada uno de los restantes
y la resultante de todas estas acciones.
Más á fin de que no quede la menor duda á mis alumnos,
debo insistir todavía en estas explicaciones, por más que pa-
rezcan elementales.
Primero. La ley de las atracciones f
— 314 —
A la expresión
/ nm;
far
que mide la acción recíproca atractiva, entre dos masas:
m y m,, muchos autores le dan un signo, que es el signo — en
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M
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Figura 2.?
este caso de atracción; pero nosotros preferimos otro siste-
ma, que nos parece, al menos por el pronto, más sencillo,
más natural y menos expuesto á dudas para los principiantes.
La acción sobre cada punto A (fig. 2.”) ya de un punto
del sistema m,, mo» ... ya de todos ellos, la consideraremos
como un vector y la expresión
mm;
Al ;
Ue
como esencialmente positiva.
Ahora, este vector Aa”, referido á tres ejes, podrá tener di-
— 315 —
ferentes orientaciones, y las componentes del vector serán
positivas Ó negativas según vamos á explicar, y resultarán
con su signo, sin género ninguno de duda.
En efecto, consideremos, para simplificar la explicación, la
acción de la masa m, sobre la m: luego determinaremos las
acciones de los demás puntos sobre A y el conjunto de to-
das ellas, es decir, el vector resultante de todos estos vecto-
res parciales, análogos al AQ”, será el vector que represente,
la atracción total del sistema menos m, sobre el punto A que
hemos elegido.
Claro es, que podremos repetir para otro punto cualquie-
ra B,con sus vectores parciales Bb y su vector total todo lo
que hemos dicho para A.
En notaciones vectoriales y representando, por el pronto
por 2 una suma vectorial, podremos decir |
atracción sobre A=XY Aa,
extendiendo la suma á todos los puntos del sistema me-
nos 1.
Volviendo al par de puntos 4, A,, tendremos
mm;
2
Fi?
fuerza Ó vector Aa =f
Vamos á determinar ahora las componentes de esta fuer-
za Ad' que para abreviar representaremos por F..
Así como representaremos por X,, Y,, Z, sus componen-
tes paralelas á los ejes; y tendremos, desde luego, para la
componente
2 E cos A,¡AM.
Designemos por x, y, z, las coordenadas del punto, A, y
por a4,, b,,C,, las del punto A, .
Como vamos á estudiar la acción de todos los puntos del
Ruv. AcAD. DE CieNcIAs.—X.— Noviembre, 1911. 21
— 316 —
sistema, sobre el punto A, empleamos notaciones distintas
y análogas en cada caso, para el punto atraído A y para los
puntos que atraen 4,,4,,4; .....
Tendremos, evidentemente, en la figura 2.
cos A, AM= Al sl pz
y, por lo tanto,
mim (Dl, = 2£
14 = === —= :
LEN Pi
Ó bien
mm
a iaa (iS)!
1
Veamos desde luego cómo en esta figura resulta para
X, el signo que debe resultar. :
Y en efecto, la componente del vector Aa” = F,, fuerza
paralela al eje de las x, en la figura es positiva pues actúa
en el sentido de las x positivas; y el segundo miembro es
también positivo. Porque f es un número positivo por na-
turaleza; m,m,, en el caso de la atracción de masas pon-
derables son otros dos números positivos. Cuando amplie-
mos todo esto para las acciones eléctricas, tendremos que
ampliar esta hipótesis, más por el momento positivas son,
como hemos dicho, m y m;.
La distancia AA, =r,, es positiva por ser una distancia
y nada más. Y signo positivo lleva a, — x, toda vez que a;
en la figura es mayor que x.
Hay concordancia, pues, entre el signo del primer miem-
bro y el del segundo.
Más aún, esta fórmula en que restamos, de la coordenada
a, de la masa atrayente m,, la coordenada x de la masa
atraída es general, como vamos á ver, y da siempre concor-
— 317 —
dancia en los signos de ambos miembros de la expresión an-
terior.
Consideremos, en efecto, la figura 3.* en la que hemos in-
vertido los puntos A y A;.
La componente X, del vector F, = Aa, en este caso, se-
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y
y Figura 3.
gún la figura, es negativo; de modo que es negativo el pri-
mer miembro de la fórmula.
Veamos el segundo.
Lo mismo que antes, f, m, m, y r,, son cantidades posi-
tivas. Pero a, — x es evidentemente negativa, porque a, es
menor que x. Luego el segundo miembro es negativo, como
debía ser.
De suerte que la fórmula al menos para las masas ponde-
rables es general y da los valores de la componente del vec-
tor-atracción X, con su valor numérico y con su signo.
Todo esto, podemos repetirlo, para las otras dos compo-
nentes.
— 318 —
Y tendremos, en suma, que las componentes del vector de
atracción F, de una masa /m, sobre una masa m serán
mm
AL =$ E (a, — x)
Py
mm
Y,=f= o (0, — y)
y
L, =$ mr (E == 2)»
F
1
Estas fórmulas son generales; pero es necesario restar de
las coordenadas del punto atrayente, las coordenadas del
punto atraído, y en este caso, el vector de atracción es un
escalar positivo y su orientación, respecto á los ejes, es de-
cir, los cosenos de los ángulos que forma con dichos ejes,
son los que determinan el signo de las componentes de di-
cho vector ó fuerza.
Del mismo modo que hemos determinado, las componen-
tes de la atracción que ejerce la masa m,, sobre la masa m,
y que son, según queda expuesto:
ay —X
xXx =fmm %,
UN
0 —)
A O A
US
Ea E
Fy
se determinan las componentes de la atracción que ejerce
la masa m, sobre la masa m, y serán estas componentes
empleando notaciones análogas:
Us. — X
X, =fmm, — ,
Fo?
PRE
==,
FS
Co —= Z
E, a
1
otro tanto podríamos repetir para las masas M;, M,) ..... Mp.
Cada una de estas masas da un vector para m, con las
tres componentes que le corresponden, y sumando las com-
ponentes paralelas á cada eje, y representando por X, Y, Z,
las tres componentes totales de la atracción, tendremos:
A O cl
a AS IE a
= Zi + ZL,+> . o... + Za;
ó abreviadamente y empleando el signo S para expresar la
suma, pero no una suma vectorial, sino una suma ordina-
ria, tendremos que sobre el punto m, los demás puntos del
SISI iS li aos: m>, ejercen una atracción, cuyas
tres componentes serán
X= SA
y = Sy” Ya
L= e Vo
O bien substituyendo los valores de cada componente
parcial, que antes hemos determinado,
As A Xx
X=S,"fmm, ==
fi?
Y = S¡"fmm; ¿2 2
C, —
Z=S'fmm, 2É:
fi"
— 320 —
el subíndice y el índice del signo S, significan, naturalmen-
te, que hay que sumar términos de la misma forma que el
que se expresa, pero en que los subíndices de las letras
m, a,b,c, r, varían desde 1 hasta 7.
Estas son, por lo tanto, las componentes de la atracción
que buscábamos, expresadas, como es natural, en función
de la masa m del punto atraído y de sus coordenadas Xx, y,
z, y además, de todas las masas restantes del sistema 1m,,
Mo, ....., de sus coordenadas correspondientes a,, D,, Cy,
ORO AC os beca y de las distancias r;, f, ..... de todos los pun-
tos al punto mm.
Si en el sistema los puntos My, Ma ..... quedasen fijos y
solo variase de posición el punto m, las componentes de
la atracción sobre m serían funciones de las variables x, y, Z.
Entran, en efecto, explícitamente, y entran además en las
distancias r, que son de la forma
r=Vla—=x + (0—=y?+ (02)
De modo que, puede decirse desde este punto de vista,
que X, Y, Z, son funciones de X, y, Z.
Para concluir esta conferencia vamos á hacer dos obser-
vaciones finales:
Es la primera que, cada dus puntos A, A, (fig. 2.*), ejer-
cen atracciones iguales y contrarias. Es principio fundamen-
tal de la Mecánica clásica éste que acamos de indicar, como
ya lo dijimos antes.
De modo que si A, ejerce sobre A una atracción repre-
sentada por el vector Aa en el sentido que marca la flecha,
el punto A ejercerá á su vez sobre el A, una fuerza igual y
contraria á la anterior, representada por el vector 4,a,, que
— 321 —
es igual en valor numérico y va en sentido contrario que el
vector Aa.
Esto se comprueba por la expresión analítica de ambos
vectores.-
Según la regla que hemos establecido,
fm m,
las tres componentes de A a son fmm:
mm
5 == (0)
¡fmm,
E
: —b
y las tres componentes de A, a, SON á SU Vez | fmm: Era
E = 0
fmm, ==>
Py
porque según dicha regla, debe restarse de las coordenadas
del punto que atrae las coordenadas del punto atraído y para
el vector 4,4, el punto que atrae es m y el punto atraído
es Mm.
Y se ve, comparando unas componentes con otras, que las
tres últimas son iguales y de signo contrario á las tres pri-
meras, de donde resulta que, en efecto, el vector A,0, es
igual y contrario al vector Aa.
Esto en cuanto á la primera observación de las dos que
hemos anunciado.
La segunda observación nos sirve para indicar lo que ya
sabemos por conferencias de años anteriores, Ó sea que la
ley newtoniana de la relación inversa del cuadrado de las
distancias puede generalizarse fácilmente.
== 2h
Puede suponerse, que la atracción entre dos puntos mate-
riales es proporcional á las masas, á una función determina-
da de la distancia, pues también de la distancia depende, que
es instantánea, y que obedece al principio de la reacción,
igual y contraria á la acción.
Entonces la acción de una masa sobre otra será
m m, fr),
y podremos repetir, para este caso, todo lo que hemos dicho
as : EAS |
para la atracción newtoniana, sustituyendo á a la expre-
r
sión f (7).
Precisamente esto es lo que hicimos en el segundo curso
de esta asignatura al explicar la teoría de la elasticidad por
el método de Cauchy.
Por ahora volveremos á la teoría exclusivamente newto-
niana, continuando con ella en la conferencia próxima.
— 323 —
XV.—La copelación, según antiguas recetas.
Por JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO.
(Conclusión.)
Interpretación y comentarios.
Gracias á las indicaciones precisas contenidas en una carta
que me dirigió Berthelot, datada en Paris á 16 de Noviem-
bre de 1897, respuesta á otra mía en la cual describía muy
por menudo el Manuscrito de Alquimia donde las recetas
copiadas se contienen, no es ya difícil explicar y entender
la manera como fueron consideradas y definidas las opera-
ciones de la copelación, conforme al texto de la obra blanca
particular y á la técnica de la famosa lejía, en la cual debía
ser preparada la limadura de hierro. No se trata, en manera
alguna, de cosa nueva ó de invención peregrina, fruto sazo-
nado de los estudios y experimentos del desconocido autor
de la Imagen de la vida, sino de la práctica tradicional de un
sistema, con poquísimas variantes repetido, y encaminado
al beneficio de los plomos, más Ó menos argenfíferos, con
aquellas complicaciones y aditamentos curiosos, obligado
cortejo de todo linaje de preparaciones alquimistas.
Seguramente cuantas hay descritas en el Manuscrito de la
Biblioteca Nacional, objeto de mis investigaciones, y muy en
particular las ahora examinadas, refiérense á bien conoci-
das tradiciones de Alquimia, provenzales y aun españolas;
pues se hallan tales procedimientos y son cosa corriente en
aquellos adeptos de la piedra filosofal y de la doctrina trans-
mutatoria que se valieron del seudónimo de Ramón Lull para
— 324 —
dar mayor crédito á sus patrañas, cuando no á sus falsifi-
caciones, en cuyas artes fueron siempre extremados. Esto
no obstante, menester será el reconocer un fondo real y po-
sitivo en la práctica de la obra blanca, en cuanto es á modo
de un término ó punto de las tradiciones de la copelación
llegadas hasta nuestros días y convertidas, á la postre, en
un método excelente de la metalurgia de la plata. Claro está,
como debe despojarse la técnica descrita de todo lo inútil, de-
purar las ideas positivas del fárrago en que están envueltas
y verlas claras, con su valor real en el tiempo de la receta,
enlazadas á las tradiciones anteriores, de las cuales son al
cabo hijas y continuación, siquiera tengan las variantes de-
didas al mejor conocimiento de las cosas y al propio saber
indívidual de su anónimo autor, quizá muy apto en su prác-
tica.
Hay necesidad de distinguir la doctrina informadora del
procedimiento y el arte Ó modo de operar en su práctica,
ambas cosas de importancia, si bien lo segundo, como más
real y positivo, resulta de bastante mayor interés. En sentir
del autor de la receta, sea éste quien quiera, háyala copiado
de otros Tratados el que compuso el Manuscrito, ó proceda
de su práctica é ingenio, trátase de fabricar plata sin plata, Ó,
acaso más propiamente, de convertir el plomo en plata, per- -
teccionándolo y acendrándolo mediante el fuego, y con au-
xilio de las limaduras de hierro preparadas con su singular
legía, del cinabrio y del mismo plomo calcinado, ejecutando
con todo ello el conjunto de operaciones tan por menudo
descritas en la famosa receta, y así resultaba un argumento
positivo y de gran eficacia en favor de la grande y funda-
mental doctrina transmutatoria.
Tal era el común sentir de los alquimistas en este punto y
el canon de sus teorías. Cuando en las distintas operaciones.
á las cuales sometían las substancias metálicas desaparecía
un metal, bien por ser oxidado, volatilizado, servir de re-
ductor ó substituir á otro en cualesquiera combinaciones sa--
35
linas, era que se transformaba, perfeccionándose siempre,
convirfiéndose en materia más próxima del oro, á expensas
del peso primitivo. Así, para el autor de la receta de la obra
blanca no había cambio integral de la materia, y cuidase
bien de decir cómo de cada ocho marcos de la mezcla em-
pleada sólo resultan dos marcos de fina plata, significando
que la materia del plomo, al perfeccionarse perdiendo su ca-
lidad para adquirir otra mejor, se condensa y pierde tambien
de peso, y no de una vez, por cuanto es dable repetir la ope-
ración cada diez días, practicando de nuevo cuanto se pres-
cribe para la vez primera. Fundiéndose poco á poco la mez-
cla incorporada al plomo en la cendrada, desaparece como
tal, pierde, como si dijéramos, su naturaleza; pero como el
propio fuego y el contacto de las otras substancias la purifi-
ca y condensa, de aquellas cenizas, eliminadas en cuanto se
producen, nace la plata brillante, metal ya dotado de mu-
chas perfecciones, aunque hijo del plomo blando, obscuro,
sin brillo y muy alterable; en este sentido podría conside-
rarse prueba de mucho valor respecto de las transformacio-
nes de los metales la fabricación del areén mediante la obra
blanca.
Iniciada aparece la doctrina en los primitivos alquimistas,
filósofos por lo general y casi nuñca experimentadores, y
como tradición esencial del arte transmutatorio llega hasta
tiempos bien cercanos de los presentes, cuando en el si-
elo xvii el traductor español de cierto libro de Ireneo Fila-
leta, bajo el seudónimo de Teófilo, para mejor acreditar su
título de apto escrutador de la piedra filosofal, pretende
demostrar la realidad de la Alquimia con la transformación
del hierro en cobre, realizada mediante experimento. El cual
está reducido al conocidísimo método de cementación, y el
desconocer la presencia de compuestos cúpricos en los lí-
quidos donde sumergía las barras de hierro, indúcele á pen-
sar que cuando este metal desaparece en aquéllos, se crea el
otro á sus expensas.
—= 326 —
Usa el autor de la obra blanca, á guisa de primeras mate-
rias destinadas á ser mezcladas con el plomo en la cendra-
da, limaduras de híerro preparadas con su lejía, plomo cal-
cinado y cinabrio, éste último acaso destinado para conse-
guir el mercurio del plomo, su amalgama, diríamos ahora,
por cuanto el lograr el mercurio de cada metal era término
obligado para alcanzar su perfeccionamiento. Ordena cómo
ha de hacerse la lejía en receta aparte y prescindiendo del
vinagre, el cual formaría acetatos con el carbonato de pota-
sio de las cenizas de las raíces y la cal de las cáscaras de
huevos y de la orina de vacas, ingrediente muy de la pre-
ferencia de los alquimistas, á juzgar por la frecuencia con
que se encuentra en sus más complicadas prescripciones, con
la dicha cal de las cáscaras de huevos, hervida con cenizas
de sarmientos y de raíces de habas, obtiénese potasa, más Ó
menos concentrada, mediante un cambio químico harto co-
nocido. Prúebase así la escasa originalidad del autor en
cuanto á la preparación de su famosa lejía; pues era tradi-
cional también y ya las ponen muy semejantes los autores
del siglo XII, sin duda tomándolas de otros todavía más
antiguos, siendo en la Alquimia cosa corriente semejante
copia, más Ó menos alterada; lo cual indujo no pocas veces
á considerar procedimientos distintos las insignificantes va-
riantes de uno solo. Debe tenerse presente cómo la Alquimia
es arte tan pobre de métodos verdaderos como rico de pala-
bras y de fórmulas cabalísticas, destinadas muchas á expre-
sar una sola idea positiva.
Juntando las limaduras con su lejía, después de bien lava-
dascon salmuera, en primer término se desengrasan y lue-
go, como permanecen nueve días dentro de aquélla, altéran-
se un poco, no por la alcalinidad del líquido, sino mediante
el agua, lo cual vale tanto como decir la inutilidad de pre-
parar en su lejía las limaduras de hierro. Mas era preciso
seguir la tradición, á la que tan apegado se muestra el au-
tor de la obra blanca; de no ser el primer tratamiento de las
— 32í —
limaduras de hierro un medio de disgregarlas, quizá á causa
de alteraciones superficiales, para luego reducirlas á polvo
impalpable, facilitando su mezcla con los demás ingredien-
tes á ellas incorporados.
Viniendo ya al significado de los mismos, aparece en pri-
mer término el plomo dicho calcinado. Conforme en los
simbolos alquimistas de los metales hay siempre alguna se-
ñal para indicar su estado físico, pues era creencia general
su influencia en la propia substancia de aquéllos, así en las
combinaciones, faltando el conocimiento de la composición
química, agregaban al nombre del metal el de la operación
ú operaciones á las cuales hubiera sido sometido, y resul-
tando el plomo de los más alterables, sobre todo mediante
el fuego, había muchas suertes ó especies de plomo. Segu-
ramente, en el caso de nuestra obra blanca, se parte de la
galena, de remotos tiempos empleada, porque se prescribe
cómo ha de ser empleado el plomo calcinado, conforme ha-
cen los olleros para el vidriado, y uno de los nombres de
la dicha galena es precisamente alcohol de alfareros. Tos-
tándola al aire, como se hace todavía en muchos procedi-
mientos metalúrgicos, y lo hacían alquimistas de manera
harto incompleta, se obtiene un producto complejo, de com-
posición y color variables, en el cual hay subóxido de plo-
mo, sulfato y sulfuro, Ó sea la materia que sirve para obte-
ner el plomo, y la receta no es única para el plomo calcina-
do, otras veces, y antiquísimos Tratados, llamado que-
mado, pues abundan y son numerosas las variantes de
ellas, conduciendo todas al mismo fin. Este plomo calci-
nado es reductible por el hierro, y esto explica ahora su em-
pleo en la forma dicha en la receta del Manuscrito, siquiera
cuando en el siglo xv fué escrita, se igenoraran en absoluto
semejantes transformaciones químicas.
Leyendo la palabra cinabrio en la receta de la obra blanca ,
no ha de creerse que se trata de nuestro actual sulfuro de
mercurio y el principal de sus minerales, por cuanto los
— 328 —
alquimistas han llamado cinabrio á muchas materias minera-
les dotadas de color rojo, de ordinario óxidos y sulfuros, y
también á algunas vegetales. Con mucha frecuencia es lla-
mado cinabrio el minio, y de seguro minío quiere signi-
ficar el autor anónimo, por cuanto ni una sola vez nombra
el mercurio en las operaciones descritas con tanto lujo y va-
riedad de pormenores, encaminados á su mejor práctica y re-
sultado.
Ya se entiende también cómo el agua ardiente en la cual
se empapa la mezcla de las tres substancias dichas al porti-
rilizarlas sobre el mármol, no es el líquido designado ahora
con tal nombre, porque entonces no se comprendería su
papel en las operaciones subsiguientes. Según Berthelot,
quien se apoya en textos muy antiguos, era una palabra
genérica esta de agua ardiente, y fué aplicada á líquidos de.
toda especie; sólo en tiempos relativamente próximos á los
actuales, sirve para designar los alcohólicos, luego de haber
sido destilados, y juzgo verosimil que se trata de un ácido
diluido, más ó menos enérgico, quizá una disolución de áci-
do nítrico, capaz de transformar el minio en ácido plúmbico
y nitrato de plomo, ambos materias oxidantes. Procédese
entonces al primer tratamiento por el calor, y vale decir
cómo las gradaciones del fuego, del modo indicado en la
obra blanca, reproducen una tradición tan antigua, que se.
encuentra en los alquimistas griegos. Igualmente son tradi-
cionales las vasijas de vidrio esféricas, y el calentar en ellas,
bien enlodadas y cerradas, las mezclas destinadas á las
transformaciones y cambios, empleando baños de arena y
de cal viva. Fué una de las mayores preocupaciones de los
alquimistas el capitulo de los lodos, por lo general resisten-
tes al fuego y á los agentes corrosivos, destinados á hacer
herméticos los cierres de aparatos Ó á proteger su superficie
externa. Uno de los lodos citados en la obra blanca, es sim-
plemente la pasta de harina y agua, y el otro aquel famoso
cemento ó lodo de los sabios, clásico en la Alquimia, y del
— 329 —
cual hay recetas á docenas, desde Mario Greco y aún quizá
bastante anteriores.
Merece citarse, como prueba de la filiación tradicional del
procedimiento, el empleo del aceite de tártaro para impreg-
nar segunda vez la masa al pulverizarla, luego de haber
estado sometida en vasija cerrada á los diferentes grados del
fuego, resultando negra, dura y bastante difícil de quebran-
tar. Sin duda, los compuestos de plomo calentados con las
limaduras de hierro en vasija cerrada, experimentaron un
comienzo de reducción, quedando el metal incorporado á la
escoria, constituida por Óxido y sulfuro de hierro, y como
eran atribuidas singulares virtudes y excelencias en achaques
transmutatorios al producto líquido recogido cuando era So-
metido á la destilación seca el tártaro crudo de las heces del
vino, con aceite de tártaro se hace la pasta destinada al
segundo tratamiento por el fuego; es cuerpo complejo, de
variable composición, dependiente en gran parte de la tem-
peratura á que ha sido obtenido. Fué corriente, desde anti-
guos tiempos, su empleo en la Alquimia, y constituyó, en
ciertas épocas, una suerte ó especie de panacea, al igual de
la bilis de tortuga marina, la sandaraca y otras substancias
que, á la postre, nada quitaban ni ponían en las sútiles ope-
raciones del arte.
Aún quiere el anónimo autor de la receta que sea mezcla-
da la materia resultante, dura y parda, al tiempo de molerla
con mucho trabajo en resistente mortero de hierro, con unas
cuatro onzas de salitre, cuyos oficios serían los de oxidante,
y fundente cuando el momento de ello sea llegado. Habrá
sido llevada más adelante la reducción de los compuestos de
plomo en la segunda fase del tratamiento, resultando una
mata rica de plomo con escoría de hierro, la cual no ha me-
nester ser separada; y así se hacía en el beneficio primitivo
de bastantes minerales. Tampoco es nuevo describir los ins-
trumentos y aún ponerlos por figura é indicar sus dimensio-
nes; pues vense así en los Tratados de mayor crédito, en
— 339 —
los consagrados mejor á la Metalurgia y no exclusivamente
á la Alquimia, adviertense dibujos de hornos, y vale ya decir
cómo el de nuestra receta, si bien conserva en esencia lo
tradicional de tales aparatos, aparece perfeccionado en al-
gunas partes, como son sus distintas cámaras de los gra-
dos del fuego; y lo propio acontece respecto de las vasijas Ó
recipientes, cuya diversa forma algo pudiera influir en las.
operaciones: quizá el ensanchamiento superior de la primera
al quedar fuera del baño, sirve para condensar los produc-
tos volátiles Ó sublimables.
No se necesitaban menos de las operaciones y tratamien-
tos, con tanta proligidad descritos en la fórmula de la obra
blanca, para conseguir aquella singular materia, dura y par-
da, bastante difícil de quebrantar, mezcla de metal y escoria
ferruginosa, de la cual, luego de mezclada con salitre é in-
corporada al plomo fundido, había de proceder la plata; lo
siguiente es la verdadera y tradicional copelación, y por ha-
cerse un poco en grande, no son absorbidos ó volatilizados.
todos los óxidos de plomo formados, y quedan escorias; aun
cuando de ellas no hable nada el ignorado autor del metodo,
pudiera tenerse como procedimiento de afino de una mata
ya rica de plata, empleando el plomo, sin duda también ar-
sentífero. En el primer tercio del siglo xv poco ó nada sa-
bíase de los minerales plomiferos con plata, ni siquiera há-
llase mención de galenas argentíferas; su desplatación, por
consiguiente, no se hacía de un modo sistemático, y sólo ha-
bía aquellos ingeniosísimos sistemas metalúrgicos, en los
que tan hábiles fueron los españoles. Veníales, al cabo, su
práctica de muy antiguo abolengo, y las platas de España
de tiempo inmemorial eran explotadas; habíalas abundan-
tes, y según aumentaba el consumo eran perfeccionados los.
métodos de su beneficio.
Bastante fácil es comprender el significado de la palabra
cendrada, y la interpretación aquí puesta está sacada de an-
tiguos diccionarios de nuestra lengua. Equivale en español
— 331 —
antiguo á puro y limpio, purus, mundus, acepción adecuada
á la copela, en la cual se purifica la plata separándola de
los metales oxidables; también se aplica al afino del oro, y
hay recetas muy viejas para su copelación empleando el
sulfuro de antimonio, y también aquí el metal brillante apa-
rece debajo de una escoria obscura y no demasiado dura.
Á lo que se infiere, entre la actual copelación y la antigua
hay la diferencia que en aquélla todo el plomo de obra se
oxida, quedando la plata pura, y la de los alquimistas es
mejor un sistema de afino de matas argentíferas, de las cua-
les queda un residuo, de ordinario ferruginoso, constituyen-
do verdadera escoria en la parte superior de la masa metáli-
ca, y refiriéndose al oro, hace Berthelot una interesante cita
acerca del particular. Con más ó menos variantes, nunca
de extremada importancia, el procedimiento va siguiendo en
sus desarrollos los de las ideas fundamentales de la Al-
quimia.
Observaré cómo cendrado, cendrada, es el participio del
verbo cendrar, y hay edemás otro verbo, acendrar, bastan-
te empleado en escritos místicos y oraciones piadosas, aho-
ra poco usado en el lenguaje corriente. Significan ambos de-
purar y purificar, y fueron aplicados corrientemente á la
purificación en crisoles del oro, la plata y otros metales: asi-
mismo han sido empleados en las acepciones de limpiar, de-
jar sin mancha y quitar defectos, y dícese para lo primero:
aurum aut argentum ad purum excoquere; y tocante á lo
segundo: purgare, detergere, expolire, excolere. De aquí se
colije el abolengo y origen de nuestra cendrada, en modo
alguno confundible con los crisoles y otras vasijas de uso
corriente para las operaciones con los metales. También se
encuentra en las mismas fuentes la palabra cendra, nombre
dado á una pasta formada con ceniza cocida, Ó sea priva-
da de substancias alcalinas, tuétano de cuerno de carnero
calcinado y otras materias muy variables, destinada precisa-
mente al afino de la plata y así definida: masa cinerea meta-
REv. ACAD. DE Ciexcias.—X.—Noviembre, 1911. 22
— 332 —
lis excoquendi et pureandis apta, con lo cual queda decla-
rada su equivalencia con la actual copela, siendo la cendra-
da á modo de un precedente suyo, aun cuando haya las na-
turales diferencias en el tamaño y la manera de utilizar las
substancias que la constituyen.
Puede observarse en la receta de la obra blanca una carac-
terística peculiar, y es la carencia de invocaciones y simbo-
lismos; digerase obra de un metalurgista y no de un alqui-
mista, al ver sus prescripciones escuetas, claras y sin ningún
género de aditamentos, cuando era lo habitual cargar de
ellos, con intento de obscurecerlas, las descripciones de los
procedimientos, así fuesen los más ciertos y positivos des-
tinados á la extracción del cobre y del mercurio de sus mi-
nerales propios. Quizá denote esto su filiación española, por-
qua raras veces, en nuestros antiguos escritores del beneficio
de los metales, bastante escasos hasta la data del Manuscri-
to, aparecen tales cosas, y más que la piedra filosal y que
las doctrinas transmutatorias, siquiera fuesen sus adeptos,
preocupábales el dar con los excelentes minerales de plata
y con los medios de su mejor aprovechamiento y más co:n-
pleto beneficio, á cuyos fines y no á otros va encaminada la
siempre notable receta á cuyo comentario pongo aquí tér-
mino.
— 333 —
XVI.—A puntes sobre Mecánica social.
POR ANTONIO PORTUONDO Y BARCELÓ.
(Continuación.)
CEN MÁ TICA
Movimiento de modificación de un individuo.
Si en el estudio de los cambios ó modificaciones de carác-
ter psíquico que se operan en los individuos al transcurrir el
tiempo, se hace abstracción de las causas que los producen
(fuerzas), mediante su acción, y nos fijamos solamente en los
cambios mismos de la posición de un individuo en un deter-
minado asunto, la primera noción que se nos presenta es la
velocidad del movimiento de modificación (*).
Velocidad. — Movimiento uniforme.—En este tipo de movi-
miento de modificación de un individuo es en el que apa-
rece primeramente la noción de velocidad. Simbolizada por
un parámetro la posición del individuo en un instante, se
dice que el movimiento Ó cambio de posición es uniforme,
cuando los incrementos numéricos que experimente el pará-
(*) Se sabe que la noción de velocidad en el movimiento de un
punto en el espacio es aplicable (cualquiera que sea la naturaleza de
las cosas á que se aplique) á todo lo que cambie por ley de continui-
dad en el tiempo; ó—como se dice en el lenguaje matemático — á
todo lo que sea función continua del tiempo. Prescindimos de las sin-
gularidades de algunas funciones continuas, que no tienen derivada,
por ser asunto muy ajeno de este lugar.
— 334 —
metro en intervalos de tiempo iguales, son iguales por pe-
queños que se tomen esos intervalos de tiempo (*).
Según dijimos en los Preliminares, todo cambio muy pe-
queño en la posición del individuo se realiza en una deter-
minada dirección y sentido; y para ver más claramente todo
el niovimiento de modificación uniforme del individuo por
ley de continuidad en el tiempo, conviene distinguir dos
casos:
PRIMER CASO.—Movimiento uniforme de dirección cons-
tante.—Si los cambios de posición que realiza el individuo
- son en todos los instantes en la misma dirección y sentido,
esta dirección y sentido se atribuyen á la velocidad, que es
entonces constante en magnitud, dirección y sentido para
todo el movimiento del individuo; y ella sirve para definirlo
de un modo completo. El movimiento del individuo en este
primer caso, que es el más sencillo, se simboliza por el mo-
vimiento uniforme y rectilíneo de un punto en el espacio. La
velocidad se representa geométricamente por un vector lo-
calizado en una línea recta — que es la trayectoria — y queda
indeterminado su punto de aplicación en la línea recta, por-
que cualquiera que sea el punto que se tome en ésta, el vec-
tor es uno mismo. Reconocido el carácter vectorial de la
velocidad, se puede aplicar á ella todas las proposiciones de
los vectores.
SEGUNDO CASO.—Movimiento uniforme de dirección varia-
ble.—Cuando las direcciones sucesivas en que realiza el in-
dividuo sus cambios elementales varían de un instante á
otro, el incremento del valor numérico del parámetro en
(**) Aunque la unidad de tiempo es arbitraria, se comprende que
en la práctica — cualquiera que sea el asunto social de que se trate —
para que se pueda estimar un cambio apreciable (en la posición del
individuo) que se haya operado en la unidad de tiempo, seria molesto
adoptar una unidad muy pequeña: en un día ó en una semana, por
ejemplo, el cambio en la posición sería sumamente pequeño y difícil
de apreciar por su pequeñez, .
— 339 —
cada unidad de tiempo, es decir, la velocidad en magnitud
del movimiento uniforme, es una constante que no define
de un modo completo el movimiento. Se requiere además
el conocimiento de esas varias direcciones sucesivas en que
se va realizando el cambio de posición. En este segundo
caso, el movimiento del individuo se simboliza por el uni-
forme curvilíneo de un punto en el espacio; y la velocidad
geométricamente se representa por un vector de magnitud
constante, pero localizado en cada instante en la tangente á
la trayectoria curvilínea en la posición que ocupe el punto
en ese instante; porque esta tangente representa la dirección
en la cual se verifica el movimiento elemental del individuo
en ese instante.
Tanto en el movimiento de dirección constante, como en
el de dirección variable, la velocidad que hemos definido
para el movimiento uniforme, expresa la relación constante
del incremento del parámetro al incremento de tiempo, cual-
quiera que sea este intervalo de tiempo. Por eso se escri-
be la ley del movimiento de modificación uniforme en la
ecuación
Pp=Po+V > fS
en la cual p es el valor del parámetro que corresponde á la
posición del individuo en un instante cualquiera f; po á la
posición en el instante que se haya adoptado como ini-
cial (+= 0); y v es la magnitud constante de la velocidad.
Se sabe que esa ley se representa gráficamente por una
línea recta, empleando el procedimiento usual de dos coor-
denadas cartesianas para las representaciones gráficas en
Geometría plana.
Numéricamente, por medio de la ecuación —ó gráficamen-
te por esa representación —se resuelven con suma facilidad
los problemas sobre el movimiento uniforme. Así, el cambio
ó modificación que se realizará en un transcurso dado f de
tiempo, ó sea (p—P.o), se obtiene multiplicando la velocidad
— 336 —
por el tiempo: inversamente la velocidad se obtiene dividien-
do el cambio operado por el tiempo empleado, etc. (+).
(*) Por la ecuación del movimiento uniforme, se resuelve el si-
guiente problema:
Si dos móviles A” y A parten en un mismo instante inicial de posi-
ciones que disten entre sí a metros, y recorren la misma trayectoria
rectilínea con movimientos uniformes en el mismo sentido de veloci-
dades v' y v (siendo v > y si A” está detrás de A) ¿cuanto tiempo T
tardará A' en alcanzar á A? ¿En qué posición se encontrarán?
Basta plantear la ecuación v' T=a+vT, de la cual se deduce
PELE ES
¡vr —wv
Si S es el camino recorrido por A, y S' el recorrido por 4”, se
tiene:
av!
UV
ave
TA
La famosa paradoja de que Aquiles (móvil A”) no podría alcanzar
nunca á una tortuga (móvil A), se funda en que cuando el primero
acabe de recorrer la distancia a, la segunda se habría adelantado; y
cuando el primero acabe de recorrer esta nueva distancia que le se-
para de la tortuga, ésta se habrá adelantado á su vez, y como esto se
repetirá sucesiva é indefinidamente, habrá siempre una distancia—
por pequeña que sea—que separa á los dos móviles. —Esta paradoja,
sobre la cual tanto se ha escrito, ha motivado afirmaciones (como la
de W. James) de que la lógica hace menos inteligible la realidad, y
que hay que repudiar el intelectualismo.
Es sabido que se desvanece la paradoja, demostrando que los tres
valores finitos y determinados que obtuvimos antes para T, S, S' es-
tán en perfecta armonía con el razonamiento del filósofo griego,
puesto que son respectivamente las sumas de los términos indefini-
damente decrecientes de las tres progresiones:
a
a V a y? a v a
A E = —— =>, =T
Y 7 V Y v AU VW = y
y!
Y
v v? av
MAP Ml A O AS S
Y
a E e Se = L — CU
v y? AA MR
— 331 —
Movimiento no uniforme.—Si las modificaciones sucesivas
que experimenta la posición del individuo en un asunto se
_Alos que no conocen las series convergentes, les sigue pertur-
bando la paradoja, porque se limitan á concebir que Aquiles recorra
y?
NCAA QUE
pe
. . . r Vv r
primero la distancia a, y después e a, y después
la tortuga va siempre delante, sin fijarse en que no es eso lo que Aqui-
les y la tortuga hacen real y efectivamente. Somos nosotros los que
pensamos esos sumandos, y concebimos asi S' como el límite de la
suma de un número infinito de partes, sin que por eso deje de tener
S' su valor finito y determinado; como no deja de tenerlo el área de
un circulo, aunque yo pueda concebirla, como el límite de la suma de
un cuadrado inscrito, y de cuatro triángulos y de ocho triángulos más,
y de 16, y así indefinidamente,
Para ver (con vista directa) cómo es que Aquiles llega á alcanzar á
la tortuga; y para seguir, por decirlo así, los pasos por los cuales se
va formando la realidad en el tiempo y en el espacio á partir del ins-
tante inicial £ = o, se debe de pensar (prescindiendo de considera-
ciones filosóficas sobre el tiempo y el espacio).
1.2 Que durante el primer intervalo infinitamente pequeño d f, los
móviles A y A” recorren en el mismo sentido espacios infinitamente
pequeños v d £ y v' d £; y que la distancia que separaba á los móviles
en el instante inicial disminuye por consiguiente en v'di— vdt=
(vw — v) df. Esta es la realidad.
2.2 Que fluyendo el tiempo de modo continuo, como simple varia-
ble independiente, y repitiéndose siempre el mismo hecho, la distan-
cia irá disminuyendo sucesivamente á compás que trascurra el tiem-
po; y al llegar la suma de esas sucesivas disminuciones infinitesima-
les de distancia á ser exactamente igual á a, la distancia se anula.
Esto se escribe así:
Sn
/ (vu —v) dt= (vw —vWT=a;
de donde e a
TP=
v—y
Para los que arguyan que — á pesar de todo — sigue siendo cierto
que Aquiles recorre real y efectivamente los espacios
a; A CSS AA
en los intervalos de tiempo
Detail Mani UN ae
-
v v v v v
y siempre queda detrás de la tortuga, digamos finalmente:
Que si la magnitud T (por ejemplo) se puede pensar formada por
— 338 —
realizan en el tiempo por ley de continuidad, pero sin uni-
formidad, es de todo punto imposible precisar la noción
vaga de rapidez ó velocidad del movimiento en un instante t,
sin recurrir al método infinitesimal. Si se ve el cambio muy
pequeño que experimenta la posición del individuo en un
intervalo muy pequeño de tiempo 0, á partit del instante £
y se divide ese incremento muy pequeño del parámetro por
el intervalo de tiempo 0, se tiene una velocidad media para
ese intervalo. El límite de esa velocidad media, si 6 decrece
indefinidamente, se llama velocidad en el instante t (+).
Por esta definición se ve que para obtener aproximada-
mente el cambio muy pequeño que se opere en la posición
del individuo en un asunto cuando transcurra un intervalo
muy pequeño de tiempo 0%, se podrá multiplicar la veloci-
dad v en el instante £ por esa magnitud 6. Pero si se quiere
calcular la magnitud del cambio que se operaría en un trans-
curso cualquiera de tiempo, no se puede ya proceder por
simple multiplicación y hay que recurrir á la integración ó
suma —en ese tiempo—de todos los incrementos sucesivos
muy pequeños del parámetro, obteniendo aproximadamente
cada uno de éstos por simple multiplicacion, como acaba-
mos de decir.
Sólo nos falta añadir que si el movimiento de modifi-
cación no uniforme del individuo es de dirección constante
(simbolizado por el rectilíneo de un punto en el espacio), el
procedimiento anterior sirve para determinar cuál sea la po-
sición del individuo en un instante cualquiera f, toda vez
esa serie (como se podría pensar por otra), no es así como fluye la
realidad, sino de modo continuo é igual.
Decir que una hora, por ejemplo, no se acaba nunca, porque trans-
curre la primera media hora y después la mitad de la otra media, y
después la mitad de lo que falte, y así siempre, es substituir la reali-
dad fluyente continua é igual por un puro concepto artificial, que pue -
de servir para fines matemáticos puros, pero no más.
(+) Es lo que se llamaría en el cálculo diferencial coeficiente dife-
rencial del parámetro con respecto al tiempo.
— 339 —
que se conoce la dirección constante en que se ha movido;
pero no basta, si el movimiento es de dirección variable de
un instante á otro (simbolizado por el curvilineo de un pun-
to en el espacio). En este caso hay que conocer la sucesión
de direcciones en que el individuo se ha movido (la tra-
yectoria del símbolo geométrico) para llegar á determinar
cuál sea la posición del individuo en un instante cual-
quiera f.
En la práctica, las direcciones en las cuales se operan los
cambios de posición de un individuo, no varían, general-
mente, sino á intervalos de tiempo bastante largos, y por
tanto, su movimiento de modificación total es de ordinario
una sucesión de movimientos de dirección constante (rectilí-
neos), de larga duración relativa.
Si se llegara á inventar procedimientos suficientemente
aproximados de observación psíquica, que fueran aplicables
á las varias notas que intervienen para la posición en un
asunto de un individuo sometido á observación, de tal modo
que fuera posible asignar en un instante dado un valor de
observación al parámetro que definiera la posición en el
asunto de ese individuo, se podría emplear para lo psíquico
el método de las medias, que se usa como método práctico,
para lo físico-fisiológico, v. gr., la estatura, el peso, la fuerza
muscular, la agudeza de los sentidos (vista, oído, etc.) de
los diversos individuos.
Ya M. A. Quetelet procedió así en su Ensayo de Física
social para investigar las leyes del desarrollo del hombre
medio. |
Si se clasifica á los individuos por edades, por ejemplo, y
se verifican numerosas observaciones sobre individuos nor-
males de un mismo país, en igualdad de circunstancias ordi-
— 340 —
narias de vida, se puede determinar las medias que corres-
ponden al tipo normal. —Se compara después con estos pa-
trones cualquier individuo de la edad correspondiente, que
se somete á observación sobre una de esas cosas físico-fisio-
lógicas y psíquicas (*).
Si sobre un asunto de carácter social fuera posible, deci-
mos, concretar los conocimientos, sentimientos, temple de
voluntad, etc., que tiene cada individuo sometido á obser-
vación, se podría quizá llegar á tener medias parciales refe-
rentes á cada una de esas notas, y quizá también llegar con-
vencionalmente á valores medios del parámetro complejo
definidor de la posición en el asunto, para los individuos de
las diferentes edades en igualdad de circunstancias exter-
nas. Se debe de pensar que la nota menos difícil de concre-
tar para hacer observaciones individuales, sería la de los co-
nocímientos en un asunto. Se comprende que lo que se re-
fiere á sentimientos, voliciones, etc., habría de ofrecer difi-
cultades mucho más graves (**).
En las mediciones para las cuales se disponga de proce-
dimientos de observación, si se hacen las observaciones so-
bre un gran número (m) de individuos de la misma edad,
que se encuentren en muy análogas condiciones, puede asi-
mila1se el caso al de m observaciones que se hubieran he-
cho m veces repetidas sobre un mismo individuo, y que
fueran discordantes por causas accidentales desconocidas.
(+) Así se procede en muchos laboratorios, como el de M. Binet,.
en París.
(**) M. A. Quetelet, apoyado en numerosos datos estadísticos,.
ha hecho, sin embargo, muy curiosas deducciones sobre los senti -
mientos estimados por sus efectos. Así, por ejemplo: comparando-
el tipo medio (en Francia, según los datos de cuatro años) de los
hombres de edad comprendida entre veintiuno y veinticinco años.,.
con el tipo medio de los de edad entre treinta y cinco y cuarenta,
calculó que para la inclinación al robo (en aquella época) esos dos
tipos medios estaban en la relación de 5 á 3.
Se podría poner muchos reparos á estas apreciaciones numéricas,.
como el mismo Quetelet indica.
— 341 —
Para tener entonces el valor M más aceptable que haya de
adoptarse como patrón, se aplica el Postulado de la media
aritmética; es decir, que se suman los m valores de obser-
vación, y se divide la suma por el número m. Suponemos
que las mm observaciones merecen igual confianza en todos
sentidos, y que las discrepancias son debidas tan sólo á
errores accidentales € inevitables.
Recordando los resultados á que se llega en la Teoría de
los errores accidentales, se sabe:
1.2 Que sí se representan por x las diferencias, por ex-
ceso ó por defecto, entre los valores de observación y su
media aritmética M, el error medio cuadrático de-las obser-
2
vaciones se calcula por la fórmula práctica E = y
m =
en la cual [x?] representa la suma de los cuadrados de todas
las x, siguiendo la notación de Gauss.
2.2 Las m observaciones tienen un módulo de precisión h,
Lati)?
EVY2
Se dice también que el peso p de esas observaciones es
1
2 ME
Se ve — como es natural — que el módulo de precisión /
ó el peso p de las observaciones es tanto mayor, cuanto más
pequeño sea el error medio E. Esto último es indicio de que
las diferencias x entre los valores de observación y su me-
dia son pequeñas, lo cual hace pensar que las observacio-
nes han sido hechas todas ellas con esmero. Por eso se dice
que son de gran precisión ó de mucho peso.
3.2 Que el error probable r de las observaciones se cal-
cula por la fórmula
que es A =
PAS
FAMA: >< En
1
y nos indica que hay la probabilidad e de que en una nue-
— 342 —
va Observación que se hiciera del mismo modo que las m
hechas, el valor que se encontrara, estuviera comprendido
entre M—ryM-z>r.
Añadiremos, como recuerdo de la Teoría de los errores:
1.2 Que si se concibiera como valores verdaderos de lo
que se quiere medir, todos los valores posibles alrededor de
la media M, á ésta le corresponderían errores posibles res-
pecto del verdadero, y la media cuadrática E, de estos erro-
res, que se llama error medio cuadrático de M, se calcula
zz
Vin ' sóh
2. Elmódulo de precisión de la media M es h, =h V m;
y el peso de la media es P = mp.
Y se ve, como es natural, que la precisión h, de la media
M— ó el peso P de ésta, depende no sólo de la precisión A
ó del peso p de las observaciones, sino también del núme-
ro m de éstas. — La precisión de la media crece proporcio-
nalmente á la raíz cuadrada del número de observaciones á
igual precisión de éstas. El peso de la media crece propor-
cionalmente al número de observaciones á igual peso de
éstas.
En la precisión ó el peso de la media M (como valor de
lo que se quiere medir), las fórmulas indican que el número
de observaciones puede compensar su poca precisión ó su
poco peso. Claro es que conviene que sean de mucho peso
las observaciones (Ó de mucha precisión), y además en gran
número.
3.0 El error probable de la media M que es
por la fórmula E, =-
¿li
ym
(siendo r, como dijimos antes, el error probable de las ob-
R=0,6745 <E, 6 R=
servaciones), indica que hay la probabilidad > de que-el
= 343 —
valor verdadero de lo que se mide esté comprendido entre
M—RyMHR.
Y se ve también — como es natural — que el error pro-
bable R de la media M varía en razón inversa de la raíz cua-
drada del número de observaciones, á igual error probable:
de éstas (*).
Cuando se dispone de muchas medias M,, M,.... (en nú-
mero N, por ejemplo), obtenidas por diferentes observado-
res, y sólo se sabe que han sido obtenidas respectivamente
como resultado de m,, Mm,...., observaciones, pero sin cono--
cer el detalle de cada carpeta de observaciones; no pudien-
do distinguir, por tanto, el peso de las observaciones de un
erupo del peso de las de otro; y no habiendo, por tanto, mo-
tivo fundado para tener más confianza en unas que en otras.
(caso que se presenta con frecuencia), lo más sencillo es.
atribuir el mismo peso á todas las observaciones, y adoptar
como unidad de peso ese peso común de cada observación
simple, de las que hayan concurrido á formar M,, M,, Mz, ...
Así el peso de M, sería m,
A IT
— — de M, — mM,
(*) Todos los resultados que preceden son deducidos en la Teoría.
de los errores accidentales, partiendo de la función de Gauss
1 ===
_
de
como se puede ver en mis Apuntes sobre Cálculo de Probabilida--
des. Teoría de los errores y Método de los minimos cuadrados.
— 344 —
y se adopta como valor más aceptable de lo que se quiere
medir
== M, < mM, + M, < ms, + M¿ >< my + vorso ER
Mi MS Me |] vaso
porque esto equivale á la media aritmética, si hubiera
m, observaciones, todas iguales entre sí, de valor M,
OOOO TIO ROCOSAS OO O ORO O OO OA O O OOO O PIO OOO ao
La regla práctica es:
Multiplicar cada media conocida por el número de obser-
vaciones de que provino, y dividir la suma de estos productos
por la suma de los números de observaciones.
Es claro que el peso P de esa M, adoptando como unidad
el peso de una observación simple, es la suma de los pesos
de las medias conocidas
PM MS = lt.
es decir, el número total de observaciones simples.
Si se piensa solo en una de las medias conocidas, la M,,
por ejemplo, de peso m,, y se llama x, su diferencia (por
exceso Ó por defecto) con M, se ve que á cada una de las
observaciones simples de peso unidad de que provino M,
le corresponde un error medio z, dado para la proporción
1 Sena : :
— = — porque los pesos son inversamente proporciona-
TZ
les á los cuadrados de los errores medios.
INSI MES, 210 == ÚS
Aplicando á cada una de las N medias conocidas este ra-
zonamiento, el error medio en conjunto E, para cada unidad
mx?)
de peso, será dado por la fórmula E? = NA:
E
Y de aquí que el error medio E, para la media final M se
E?
[m]
El error probable de la M es R= 0,6745 - E..
calcule por la fórmula E,? =
Se puede afinar más; es decir, que se puede hacer el
cálculo con mayor aproximación, cuando se conoce el deta-
lle de todas y cada una de las carpetas de observaciones.
Supongamos que además de tener la media que arroja cada
carpeta y el número de observaciones de que proviene, se
ha calculado el error medio, ó, mejor, el peso de sus obser-
vaciones.
Sean, por ejemplo,
¡ M, la media aritmética de sus observaciones.
1.* carpeta. m, el número de sus observaciones.
¡p, el peso de sus Observaciones.
M, la media aritmética de sus observaciones
2.* carpeta. m, el número de sus observaciones.
' ps el peso de sus observaciones.
y así sucesivamente hasta N carpetas.
Se sabe que
el peso de M, es Mm; Py
el peso de M, es ma Pa
el peso de M, es M; Pz
0109 090100019000 0190 0 0D Ord Do
— 346 —
y que el valor más aceptable de lo que se trata de medir
será
My Py + Ma Ps] coco.
y que tendrá un peso P= M, P, + Ma P> + Mg Pz + c.oc.o
Por un razonamiento análogo al que se hizo anteriormen-
te,se ve que á cada unidad de peso le correspondería, por el
primer grupo de observaciones (1.* carpeta), un error medio
2, dado por la expresión 2,? = m, p, < x,?, si se llama x, el
error de M, respecto á M.
Aplicando el mismo razonamiento á las N medias, se ve
que el error medio £ en todo el conjunto, para unidad de
peso, se tendrá por la fórmula E? = aia e ,
N— 1
Después el error medio E, para la M final, se calculará
>
ú
por la fórmula E,? = ——, y el error probable R por la fór-
[m p]
mila OO MEE
Todo lo dicho es aplicable á las observaciones físicas y
fisiológicas, y quizá podría serlo también algún día á las de
carácter social. Si recordamos las fórmulas del error medio
E a y del error probable R = E
Vm Vm
cualquiera (*), se ve, como dijimos, que el error con que el
número de medida M expresa el valor de lo que se haya so-
metido á observación, será tanto menor cuanto menor sea.
de una media
2
2 = y, es decir, cuanto más perfecto haya sido el
m—
(*) Se sabe que R es próximamente los dos tercios de E,, así como:
lo es de E:
— 34 —
procedimiento de observación empleado, y mayor esmero en
todo haya habido por parte de los observadores; y además,
cuanto más grande haya sido el número m de observaciones
por medio de las cuales se obtuvo el número M de medida.
Ya se ve aquí la influencia de los grandes números. Para
ponerla de relieve en un asunto de carácter social, suponga-
mos que en un país se hicieran observaciones sistematizadas
sobre niños de seis años de edad, por ejemplo, que empeza-
ran á aprender la lectura, y que estuvieran colocados en
igualdad de condiciones, hasta donde esto sea posible y ha-
cedero; siguiendo el mismo método de enseñanza, con las
mismas reglas pedagógicas dentro y fuera de la escuela, etc.:
Supongamos, para simplificar el ejemplo, que se trata de
medir solamente la velocidad media con que hace un indivi-
duo el total aprendizaje por ese procedimiento y mediante
esas reglas y condiciones, empezando á la edad dicha de seis
años (*). Admitiendo que sea fácil hacer la observación del
instante en que pueda decirse aproximadamente que cada
individuo ya sabe leer, es decir, que ya ha terminado el
aprendizaje, se tendría por la observación la duración total
T de su aprendizaje, desde el instante en que empezó á los
seis años de edad. Y si se representa por un número A cons-
tante el valor del camino recorrido por el individuo para pa-
sar de la posición en que no sabía leer á la posición en que
ya sabe, se ve que la velocidad media V del movimiento va-
riado por el cual ese individuo ha pasado de una á otra posi-
ción, se expresa por V= — (ne
(*) En el Laboratorio de Mr Binet se hacen observaciones de
este género con cuidado, dividiendo el tiempo total empleado en el
aprendizaje en cuatro períodos. A cada uno de estos períodos, de
desigual duración, habría de aplicarse lo que decimos del tiempo
total para simplificar el ejemplo.
(**) Nos limitamos exclusivamente al conocimiento adquirido de
la lectura prescindiendo de todas las demás notas psíquicas que hay
en el individuo, porque la observación de éstas ofrecería, como antes
dijimos, dificultades gravísimas.
Rxv. AcaAD. DE CirNcIas.—X.— Noviembre, 1911, 23
— 348 —
Pues bien; si se someten á observación 100 niños en las
condiciones de igualdad que decíamos, las diferencias que
entre si tengan los 100 valores de observación de V, serán
pequeños (con relación á los valores mismos) si se trata de
niños normales y se cumplen con rigor aquellas condiciones
de igualdad en todos sentidos, que dependan de nosotros.
Aplicando los resultados de la teoría de la compensación de
errores accidentales que hemos expuesto minuciosamente,
se tendría por la media aritmética entre los 100 valores dis-
cordantes (de observación ) de V, el número de medida más
aceptable para ésta, Llamémoslo Vy. Si las diferencias x en-
tre Vy y los 100 valores de observación de V son muy pe-
queños, el error medio E de las observaciones será muy pe-
queño, y también lo será el error probable r de dichas ob-
servaciones.
Es evidente que V,yy expresará con mucha mayor aproxi-
mación que cada una de las observaciones lo que se quiere
: : E
medir, puesto que su error medio E, A
m
(siendo m = 100);
y su error probable R vale pili que es tan solo los dos
1
tercios de E,, Ó poco más.
Poniendo la atención en estos errores muy pequeños, se
puede decir que probablemente la velocidad V con que
aprendería á leer cualquier otro niño normal, en iguales con-
diciones que los observados, estaría comprendida entre
Vu — E, y Vu + E,; y que es igualmente probable que V
resulte comprendida entre Vy— R y Vu +R, ó compren-
dida entre estos límites y los anteriores más amplios.
se comprende la influencia que decíamos de los grandes
números; porque á igualdad de esmero en todo, si en vez
de 100, se hicieran 1.000, 10.000, 100.000, ..... observacio-
— 349 —
nes, los límites se irian estrechando cada vez más; y el peso
del valor que se adoptara para la velocidad media V que se
quiere medir, sería cada vez mayor.
Expuesto lo que precede, y aplicando los principios del
Cálculo de Probabilidades, si se llama q la probabilidad de
que la velocidad con que un niño (escogido al azar entre los
normales) aprenda á leer en las condiciones dichas esté com-
prendida entre Vy—E,, y Vu+E,, es claro que la pro-
babilidad de que no resulte así, será (1—q).
Y se puede decir por el Teorema de Bernoulli, que si se
someten á esa prueba nr niños normales cualesquiera, la más
probable entre todas las combinaciones posibles de niños
que resulten en el primer caso, y niños que estén en el se-
eundo caso, será: que haya nq individuos en el primero;
y n(1—q) =n—nq en el segundo. Como q será en general
bastante grande, es decir, mucho mucho mayor que > el
número nq será probablemente mucho más de la mitad de
los sometidos á la prueba; y mientras mayor sea q, más pre-
dominará nq sobre n — nq. Lo que decimos suele expresat-
sarse de otro modo diciendo: que en las n pruebas repetidas,
la relación del número de individuos que resulten en el pri-
mer caso al número total de pruebas será muy probable-
mente q, es decir, la probabilidad simple de que un individuo
escogido al azar esté en el primer caso.
Pero nótese bien que decimos que esto es lo más probable,
y nada más; porque puede resultar que en vez de nq indivi-
duos, que estén en el primer caso, no haya más, al realizar
la prueba, que nq —h individuos, ó, por el contrario, ng + h
— 350 —
en ese caso. Diríamos entonces que en la experiencia ha
habido una desviación h respecto de lo normal (+).
Bernoulli ha demostrado que esta desviación /h respecto
de lo normal, obedece á una ley (**), que suele llamarse /a
ey de los grandes números, y es la siguiente:
Que si se señala un número k (tan pequeño como se quie-
ra) como limite máximo de la desviación por defecto ó por
exceso, y se dispone del número n de pruebas, mientras más
grande se adopte este número n, mayor será la probabili-
dad P de que la desviación h que pueda resultar en la expe-
riencia, sea menor que el número dado k; y si n creciera
indefinidamente, el límite de la probabilidad P sería 1; es
decir, la certeza. Lo cual indica que se podría concebir
(y determinar por las Tablas que hay construídas) un valor
para n suficientemente grande, para tener una probabilidad
tan cercana como se quiera á la certeza, de que la desviación
no puede llegar á valer k, pudiendo ser este número dado
tan pequeño como se quiera.
Esta ley (matemática, no física), de los grandes números,
no puede darnos nunca la certeza, que no cabe en este géne-
ro de cálculos sobre errores accidentales, ó—como se dice
vulgarmente—debidos al azar.
Acabamos de aplicarla á una cuestión cinemática, cual
es la velocidad con que los individuos normales aprenden á
leer en igualdad de circunstancias; pero debe notarse que
esa ley de los grandes números—ó sea el Teorema de Ber-
noulli—se puede aplicar igualmente á todos los hechos so-
ciales. —Así, por ejemplo, si por estadísticas demográficas,
cuidadosamente hechas durante muchos años en una gran
población en que las circunstancias no hayan cambiado sen-
siblemente, se calcula el valor medio m del número anual de
(+) Usamos la palabra desviación en el sentido que se da en Fran-
cés á la palabra écart.
(**) Damos á la palabra ley un sentido puramente matemático,
que no debe de confundirse con el sentido de las leyes físicas.
— 351 —
nacimientos, y se toma su relación al número p de habitantes
de la población, la relación media ple adoptará como el
p
tipo de natalidad en dicha población, mientras no cambien
las circunstancias. Si E, es el error medio de esa relación
En y se llama q la probabilidad de que al siguiente año la
de ! m m
relación oscilara entre — — E, y — + E,, pensando en
Pp
los n años venideros, lo normal sería que hubiese n q de
ellos en que la relación oscilara entre pe 13 Y E +E,
Pp
y (n — n q) en que no fuera así. Si esto no se cumpliese
exactamente cuando llegue la realidad, diríamos que ha
habido una desviación respecto de lo normal; y podríamos
añadir que mientras mayor fuera el número n de años en
que se pensase, mayor sería la probabilidad de que la des-
viación que pudiera aparecer fuera menor que un número
dado tan pequeño como se quiera. Se sobreentiende en lo
dicho que prescindimos—para simplificar—de los cambios
que se hayan ido operando en las circunstancias.
Cuando hayamos de hacer más adelante el estudio dind-
mico del movimiento de un individuo, á partir de un instan-
te cualquiera que consideremos como inicial, necesitaremos
como dato el estado inicial del individuo (*), que compren-
derá:
1.2 La posición inicial del individuo en el asunto; y
2.2 Su velocidad inicial en magnitud, dirección y sentido.
(*, La palabra estado, tiene aqui en Cinemática significación ente-
ramente distinta de la que tiene en Física ó en Fisiología.
Ones
Este estado proviene naturalmente de todas las variadísi-
mas influencias que, en relación al asunto, haya recibido el
individuo desde antes de su nacimiento hasta el instante que
hemos llamado inicial para el estudio. La herencia recibida
directamente de sus padres desde el instante de ser conce-
bido, es un primer eslabón complicadísimo. Después de su
nacimiento, la herencia fisiológica acompañada de una deter-
minada predisposición psíquica, también heredada, se va
complicando gradualmente por las acciones que todo lo que
le rodea en el medio ambiente, físico y psíquico-social, ejer-
ce sobre el individuo. Todas estas fuerzas que han ido in-
iluyendo en su movimiento de modificación habrán producido
como efecto, aquella posición y aquella velocidad que juntas
constituyen el determinado estado, que llamamos inicial, para
el estudio de las subsiguientes modificaciones.
Análogamente, cuando hayamos de intentar el estudio
dinámico del movimiento en un asunto de una agrupación
social-—á partir de un instante inicial —habremos de tener
como dato el estado inicial de la agrupación, que com-
prenderá:
1.2 El conjunto de las posiciones sociales de todos los
individuos y elementos de la agrupación; y
2. Las velocidades iniciales de todos los individuos y
elementos.
Este estado inicial ha provenido de las acciones anterior-
mente ejercidas—sean interiores Ó exteriores —que han in-
fluido en los individuos y elementos de la agrupación, y han
determinado en general un efecto doble:
1.2 Los conjuntos de conocimientos, sentimientos, creen-
cias, hábitos, etc., que constituyen las posiciones en el ins-
tante inicial; y
2.” Las direcciones, magnitudes y sentidos de las veloci-
dades con que se encuentran individuos y elementos socia-
les en el instante inicial.
Todo eso ha llegado como herencia á la agrupación social
— 393 —
de que se trate; y ya se vé que, en general, la herencia debe
de ser considerada para la Mecánica bajo un doble aspecto:
Se concibe, sin embargo, que se herede una cierta posición
sin velocidades; entonces el estado inicial es de reposo en
el asunto.
James Mark Baldwin examina detalladamente el contenido
de ese caudal que se transmite como herencia de unas gene-
raciones á otras de la misma agrupación social, y trata de
determinar á qué individuos de ella se transmite, y quiénes
son los desheredados. Examina tambien cómo se transmite
por aprendizaje—mediante la imitación—bajo la influencia
de las condiciones que rodean á los individuos y elementos
de la agrupación, y que forman lo que suele llamarse la
atmósfera social.
Creemos que á la Mecánica social nada de eso lo interesa.
Nos parece que en ella—á semejanza de la Mecánica de los
sistemas materiales—sólo ha de ser considerada la herencia
social como un estado inicial de que partir como dato.
Aceleración. —Después de haber tratado de lo que
se refiere á la velocidad del movimiento de modificación del
individuo en un asunto, pensemos que si la velocidad es va-
riable por ley de continuidad — ya sea solamente en mag-
nitud (movimiento de dirección constante), ya sea en mag-
nitud y dirección á la vez—aparece la noción de aceleración,
porque siendo la velocidad algo, que cambia de algún modo
en el tiempo por ley de continuidad, le será aplicable á su
vez el concepto de velocidad, y á esta velocidad de la ve-
locidad se la llama aceleración. Es innecesario justificar que
en un movimiento uniforme de dirección constante, la no-
ción de aceleración no aparece, puesto que la velocidad no
cambia en nada.
— 354 —
Recordemos estas primeras sencillas ideas de Mecanica
racional (como lo hemos hecho al tratar de la velocidad)
empezando por el caso en que la velocidad en el movimiento
de modificación del individuo varíe solamente en magnitud,
porque el individuo se mueva siempre en la misma dirección
y tendencia (trayectoria rectilínea).
Si esta variación de magnitud de la velocidad fuera tal
que los incrementos—positivos ó negativos—que experi-
mente en intervalos de tiempo iguales sean iguales, por pe-
queños que se tomen esos intervalos, se dice que el movi-
miento es uniformemente variado, y se llama aceleración al
incremento / de la magnitud de la velocidad en la unidad de
tiempo. En el caso del movimiento que se simboliza en la
trayectoria rectilínea, la dirección de la aceleración es la
de la velocidad, que es la de la trayectoria. Se ve que en el
movimiento rectilíneo uniformemente variado, la aceleración
se puede representar por un vector (como se hizo con la ve-
locidad) localizado en la recta de la misma trayectoria. Y
como esta j expresa la relación constante del incremento de
la velocidad al incremento de tiempo— cualquiera que sea
este intervalo-—se escribe la ecuación conocida
v=VW+Jj.t
en la cual v es la velocidad en un instante cualquiera £ ; v,
la que corresponde al instante inicial + = 0 ; y ¡es la acele-
ración.
Sobre la representación gráfica de esta ecuación y sobre la
resolución numérica ó gráfica de los problemas, se repetirá
lo que se dijo al hablar de la velocidad en un movimiento
uniforme, porque la ley es la misma. Que por una simple
multiplicación se calcula el incremento (v— v,) de la velo-
cidad; y que por simple división se calcula 7.
Pasando al caso en que las velocidades no varíen pro-
porcionalmente á los tiempos, es decir, en que las variacio-
ha
— 309 —
nes de la magnitud de la velocidad se realicen sin unifor-
midad, se precisa la noción de aceleración en un instante
por el mismo método infinitesimal que se indicó al precisar
la noción de velocidad en un instante. Asi la aceleración en
un instante del movimiento de modificación del individuo,
cuando es de dirección constante, es el coeficiente diferencial
en un instante, de la velocidad respecto del tiempo al
Y por esto, para obtener aproximadamente el cambio muy
_pequeño de la velocidad en un intervalo muy pequeño l de
tiempo, á partir de un instante £, se podrá multiplicar la ace-
leración en este instante por el intervalo f. Pero si se ha de
calcular la magnitud del cambio de la velocidad en un inter-
valo cualquiera (por medio de la aceleración variable de un
instante á otro) hay que recurrir á la integración durante ese
intervalo, como ya dijimos para el cambio en la posición
por medio de la velocidad variable.
En el caso general de un movimiento de modificación del
individuo en que éste va cambiando, continúa y sucesiva-
mente la dirección en el mismo asunto, y con velocidades
que varían también en magnitud de un instante á otro, he-
mos de pensar que esta variación Ó cambio total hace nacer
el concepto más general de aceleración en un instante dado,
que es el de aceleración total.
El procedimiento para llegar á esta noción es el mismo
infinitesimal ya dicho; pero es, en este caso, más complejo,
porque afecta simultáneamente á la magnitud y á la direc-
ción y sentido de la velocidad, es decir, á todos los atribu-
tos del vector-velocidad. Al trascurrir un intervalo muy pe-
queño de tiempo %, á partir de un instante £, la velocidad v
en este instante recibe un incremento total muy pequeño con
— 356 —
cierta magnitud, dirección y sentido, que, compuesto con v,
determina la velocidad v' en el instante t +0. En el límite
del decrecimiento indefinido de 4, la relación á 4 de ese in-
cremento total de la velocidad es la aceleración total J en el
instante t. (Véase la fig. 1.* simbólica.)
r
Mx
Figo1o
1) D
Y se vé que esta aceleración corresponde exactamente á
la velocidad en el mismo instante de un punto que recorrie-
ra la curva hodógrafa C, construida á partir de nn punto
cualquiera o. Por ser total, es declr, por referirse á fodo lo
que constituye la velocidad, esta aceleración permite pasar
aproximadamente de la velocidad v en el instante f á la ve-
locidad v' en el instante £ +6, componiendo aquélla con
la /.9, que se obtiene por simple multiplicación.
Y es claro que para conocer (en un todo) la velocidad V
al cabo de un trascurso cualquiera de tiempo, hay que recu-
rrir á la integración en este tiempo de los cambios totales
muy pequeños /.1 de la velocidad. Y el vector V que se ob-
— 397 —
tenga en el símbolo. geométrico por la composición de la
velocidad inicial v con todas las /.f sucesivas (véase la figu-
ra) deberá de localizarse (para el instante final del trascurso
de tiempo) en la tangente á la trayectoria trazada en la po-
sición correspondiente del móvil.
Hemos recordado con excesiva prolijidad de detalles estas
primeras ideas vulgares de la Cinemática sobre velocidades
y aceleraciones, con el próposito de que se vea que serían
aplicables sin modificación alguna al movimiento de un in-
dividuo en un asunto cualquiera, si admitiéramos (como
decíamos en los Preliminares) que el paso de una posición
del individuo en el asunto á otra posición muy próxima du-
rante un intervalo de tiempo muy pequeño %, quedara deter-
.minado en magnitud, dirección y sentido por el incremento
muy pequeño que experimentara un parámetro complejo
que sirviera para definir aquella posición psíquica.
Es claro que en la práctica—ya lo dijimos —los cambios
de dirección en el movimiento de un individuo sólo ocurren
á intervalos de tiempo suflcientemente grandes, para que el
movimiento deba de ser mirado como una sucesión de mo-
vimientos de dirección constante y de mucha duración, cada
uno de los cuales puede ser uniforme ó puede ser de velo-
cidad variable en magnitud. En este segundo caso es cuando
se presenta prácticamente la aceleración.
Pero como nuestro propósito ha sido seguir la exposición
de la Mecánica racional con el carácter general cientifico y
puramente teórico que ella tiene, sin preocuparnos aquí de
las aplicaciones, hemos tratado del movimiento más general
posible de un individuo en el cual la dirección de su movi-
miento fuera incesantemente cambiante (representación cur-
vilinea), y la magnitud de su velocidad fuera también cam-
biando de un instante á otro, para que se viera en este caso
general la aceleración total en cada instante, que es muy in-
teresante para la Dinámica, como veremos.
+
* *
— 358 —
En las indicaciones cinemáticas hechas anteriormente so-
bre el movimiento de modificación de un individuo, se nos
ha impuesto (como indispensable) la noción de dirección y
sentido del movimiento en un instante dado. Ya dijimos en
los Preliminares que supondriamos afectado al individuo de
un parámetro simbólico que —por su valor en cada instan-
te — definiera la posición en el asunto, y que fuera además
susceptible de marcar — por su incremento en un transcurso
muy pequeño de tiempo 6—, no sólo la magnitud muy pe-
queña del cambio de posición en ese intervalo %, sino tam-
bién la dirección y el sentido de ese cambio de posición (*)
Esta suposición responde á la idea que tenemos de que todo
cambio psíquico muy pequeño que experimente un indivi-
duo en el conjunto de sus ideas, sentimientos, etc., sobre un
asunto, ha de ser—así me parece—en una cierta y deter-
minada dirección y sentido psíquicos.
En el intrincado campo de lo psíquico — y á partir de una
determinada posición del individuo en un asunto — conciba-
mos toda la infinidad de direcciones posibles que se distin-
guen unas de otras por la orientación psíquica que cada una
señale en el asunto. En relación á todas ellas, veamos el de-
terminado cambio muy pequeño de posición del individuo,
con su determinada dirección y sentido, que corresponden
á su velocidad v en ese instante.
Se puede notar que este movimiento será enteramente aje-
no á algunas de aquellas direcciones, pero que— general-
mente hablando —participará en algo de las demás direc-
ciones: participará en mayor grado, naturalmente — de aque-
llas que se aparten menos de la dirección de la velocidad.
Se podría apreciar el cuánto de la velocidad v en una direc-
ción dada D (véase la figura 2.%), concibiendo la v como
(*) He de repetir aquí que me parece sumamente difícil — por no
decir imposible —señalar hoy un procedimiento por virtud del cual
sé pueda hallar, para cada individuo y en cada asunto, ese parámetro.
— 359 —
compuesta de una parte v¿ en la dirección D, y de otra v,,
ajena por completo á esta dirección D. La componente v ¿es
lo que se llama la velocidad v estimada en la dirección D.
La representación esquemática de lo que decimos se vería
figurando en ov (fig, 2.*) la velocidad en magnitud, direc-
ción y sentido. Se ve que en algunas de estas direcciones
la v no tiene componente alguna, pero que en cualquiera
de las otras, en la D, por ejemplo, hay una componente Vyg
gt RE
de la velocidad v, si se concibe ésta como resultante de vq.
y de otra v; situada en el plano BB” perpendicular á D, en
el cual están representadas las direcciones por completo aje-
nas á la D.
Así se concibe simbolizada en;vy la velocidad estimada en
la dirección D, porque expresa (por su: magnitud y su sen-
tido) cuánto tiene la v, y en qué sentido de esa dirección D.
Si se piensa—por ejemplo—en la posición o como sím-
bolo de la que tiene un individuo en un asunto económico,
y su estado es de movimiento en el asunto con una veloci-
dad conocida v, cabe estimar ésta en aquellas direcciones
O
que no sean enteramente ajenas á la dirección del movi-
miento. Si, por ejemplo, se supone que ese movimiento en
en el asunto económico de que se trate se relaciona en algo
con el cambio internacional de productos (dirección D), al
estimar su velocidad v en esta dirección, se vería cuánto hay
(en el movimiento elemental) de sentido librecambista ó pro-
hibicionista, y esto se vería por la magnitud de v¿ y por su
sentido.
Consideremos otro ejemplo. Si tratando de un asunto del
género político se considera en éste una dirección D—á par-
tir de la posición o—, que simbdolice la participación del
pueblo el asunto politico; y se supone que el movimiento
del individuo es en una dirección política v, que no sea ajena
por completo á la dirección D, se ve que la velocidad v, es-
timada en la dirección D, nos indicará cuánto hay de senti-
do democrático ó antidemocrático (que son los dos sentidos
diametralmente opuestos 0D y 0D” en la dirección D) en el
movimiento elemental de que se trata.
Todo lo que decimos sobre la velocidad podria decirse
sobre la aceleración de un movimiento en un instante, que se
podría estimar también en una dirección dada D. Nos ayu-
daríamos para esta concepción simbólica de las representa-
ciones geométricas que usamos al definir anteriormente la
aceleración total / en un instante, en magnitud, dirección y
sentido.
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS, MOVIMIENTO RELATIVO
Composición de dos movimientos.—En el estudio de los
movimientos de modificación de los individuos, habremos
de considerar á éstos más adelante como están en la reali-
dad, es decir, formando parte siempre de una agrupación so-
cial; con lo cual queremos significar que participan — como
— 361 —-
por vía de arrastre —del movimiento de conjunto de la agru-
pación en el asunto social de que se trate, cualquiera que éste
sea, puesto que supondremos que los individuos están liga-
dos á ella. Este movimiento de conjunto de una agrupación
es muy difícil de definir y precisar, tal como se da en la reali-
dad, y por esto nos limitaremos al caso teórico de que fuera
posible conocer en magnitud, dirección y sentido la velocidad
de arrastre que corresponda en un instante dado á cada in-
dividuo por el hecho de participar del movimiento de con-
junto de la agrupación, en virtud de los enlaces que tenga
en ella. Esta velocidad de arrastre no será en general la mis-
ma en un instante dado para todos los individuos de la agru-
pación, á no ser en casos muy especiales (*).
Ahora bien; si concebimos que un individuo tenga en un
instante dado una velocidad propia con relación á la agru-
pación á que pertenece, esta velocidad no sería la real y
efectiva del individuo, sino en el supuesto de que la agrupa-
ción estuviera en reposo. Pero si suponemos que ésta á su
vez se halla en movimiento, el individuo (á quien suponemos
partícipe de este movimiento), tendrá, además de su veloci-
dad propia relativa, otra velocidad de arrastre; y el movi-
miento de modificación del individuo en el asunto será —en
el instante que se considera — el que corresponda á la ve-
locidad resultante de las dos, y que se representaría en la
dirección y con el sentido de la diagonal del paralelógramo
formado con las magnitudes, direcciones y sentidos de las
dos velocidades componentes. Además, la magnitud de la
.
(*) En un asunto religioso de importancia se dará á veces (no
siempre) el caso de que todos los que formen parte de la colectividad
social constituida por los individuos de una misma confesión religio-
sa, reciban de la colectividad nna misma, idéntica velocidad de
arrastre para un determinado movimiento en aquel asunto. Entonces
se podría decir zon toda propiedad que esa es la velocidad de la co-
lectividad, y el movimiento de ésta se podría representar perfecta-
mente por el de simple traslación de un sólido invariable de los que
estudia la Mecánica racional.
q
velocidad resultante estará representada (con arreglo á es-
cala) por la longitud de la diagonal. — Es evidente que la
velocidad real y efectiva se acercará más á la que en mag-
nitud predomine entre las dos componentes.
La operación de determinar por la regla del paralelógramo,
la velocida absoluta como resultante de la relativa y la de
arrastre, es la que suele llamarse composición de velocidades.
El problema de la determinación de la velocidad relativa
es el inverso, á saber: conocida la velocidad real y efectiva
que el individuo en un instante dado tiene en su movimien-
to absoluto en un asunto — digámoslo así, — y conocida
también su velocidad de arrastre en el asunto, por su enlace
con la agrupación de que forma parte, hallar la velocidad
que podría decirse tiene con relación á la agrupación, es de-
ci1, su velocidad relativa. — Este problema se llama de la
descomposición, y qneda resuelto evidentemente, llevándolo
al de la composición de la velocidad absoluta con una igual
y opuesta á la de arrastre, para reducir al reposo á la agru-
pación, y que no quede (de la velocidad efectiva) más que
la velocidad relativamente á la agrupación.
Para evitar confusiones en que muy á menudo se incurre,
conviene llamar la atención (como lo hace Bour en su exce-
lente Tratado de Mecánica racional) sobre las frases ante-
riores. Nótese bien que un individuo, en un instante dado,
no puede tener varias velocidades distintas, en su determi-
nado movimiento en un asunto, porque eso es inconcebible.
No tiene ni puede tener, en el instante considerado. más que
una única velocidad real y efectiva; y es la que hemos lla-
mado velocidad absoluta (para darle un nombre) como si
pudiera ser contemplada desde algún punto de vista abso-
lutamente fijo (+).
(*) Se sabe que esto del punto de vista absolutamente fijo es una
mera concepción abstracta sin realidad; pero este modo de pensar en
un punto de referencia absolutamente fijo, es útil al pensamiento pu-
ramente especulativo.
De 2
A O a LD
= 808
Si esta misma velocidad efectiva del individuo no es mi-
rada aisladamente, sino en relación con la agrupación que
está toda ella en movimiento, puede concebirse al individuo
de que tratamos como teniendo una velocidad relativa, pero
ésta no es más que la misma velocidad absoluta contenipla-
da desde un punto de vista que fuera arrastrado por la agru-
pación en su movimiento de conjunto. Quizá podría decirse
también que la velocidad de arrastre que hemos dicho que
tiene el individuo, no es más que la misma velocidad abso-
luto de la cual imaginamos que se descuente (si vale la fra-
se) lo que hubiera en ella de individual é independiente del
movimiento de la agrupación; es decir, mirando la velocidad
absoluta desde un punto de vista colocado idealmente en
el interior de un individuo que conservara su movimiento
propio individual, y se sustrajera al movimiento de la agru-
pación (*).
Antes de pasar á la composición de muchos movimientos,
presentemos algún ejemplo de lo dicho sobre la composición
de dos. Pensemos en la agrupación social más sencilla, que
es la familia, como la vemos hoy en nuestras sociedades, y
consideremos un individuo de ella en un asunto religioso —
por ejemplo. — En un instante dado, el individuo que consi-
deramos está en una cierta determinada posición en ese
asunto. Dejando aparte las diversas influencias que hayan
tendido anteriormente á modificar su posición religiosa, ejer-
ciendo su acción como fuerzas en. muy varias direcciones y
sentidos, y con varias intensidades (**), supongamos el hecho
escueto de que el individuo, en el instante en que lo vemos,
tenga una velocidad propia, individual, suya, de movimiento
en ese asunto religioso, y que sea conocida en magnitud,
dirección y sentido, venga de donde vinere. Si además supo-
(+) Esta concepción es algún tanto violenta. Quizá Bour tiene
razón al decir que bajo ningún pretexto se puede (en ningún caso)
considerar el movimiento de arrastre como perteneciendo al punto.
(**) Esta cuestión es de Dinámica, de que ahora no tratamos.
REV. ACAD. DE Ciencias, —X.— Noviembre, 1911. 24.
— 364 —
nemos que la familia á que pertenece (por causas que aquí
tampoco nos interesan), se halla en ese mismo instante en
estado de movimiento de modificación religiosa en el asunto,
y admitimos que sea conocida en magnitud, dirección y sen-
tido también, la velocidad de arrastre para ese individuo de
la familia vemos que, en dirección y sentido, así como en
magnitud, la velocidad efectiva en ese instante del movi-
miento de modificación religiosa del individuo, será la re-
sultante de las dos componentes, y se representaría geomé-
tricamente por la diagonal del paralelógramo que se cons-
truyera sobre las representaciones geométricas de las dos
velocidades conocidas (*).
Composición de varios movimientos.— Para tratar el caso
en que la agrupación primera (la familia, por ejemplo) for-
me parte á su vez de una segunda agrupación más com-
prensiva (el municipio en que vive, por ejemplo) y que
aquella primera agrupación participe del movimiento de
conjunto de la segunda, hemos de partir del supuesto de
que (así como antes suponíamos que era conocida la velo-
cidad de arrastre para el individuy por el enlace con su
familia) sea también conocida en el mismo instante la se-
gunda velocidad de arrastre (la del municipio, por ejemplo),
para el mísmo individuo en el mismo asunto. Es claro que
al participar la familia —como por vía de arrastre — (en este
asunto) del movimiento del pueblo, de éste participará en
general el individuo que pertenece á la familia (**). |
(*) Claro es que si se considera un individuo de tal manera des-
ligado de su familia (por lo que toca á su posición en este asunto)
que la velocidad de arrastre fuera para él nula, no habría entonces
composición de velocidades, pues se trataría de un individuo absolu-
"tamente libre de las sugestiones de la agrupación familiar en este
asunto.
(**) No nos incumbe á nosotros entrar aquí á examinar si para
cada individuo —en la generalidad de los asuntos de carácter so -
. cial — esas dos velocidades de arrastre, á saber: la que proviene de
la familia y la que proviene del pueblo, tienen direcciones y sentidos
g
"|
le
y
Ar
Ñ
-- 365 —
La regla de composición de velocidades será siempre la
del paralelógramo, porque después de compuesta la propia
individual (relativa á la familia) con la primera de arrastre, la
resultante habrá de ser tratada como una velocidad relativa
con respecto al municipio, para componerla á su vez con la
segunda de arrastre (la del municipio), que hemos supuesto
conocida también. La resultante de esta segunda composición
será la velocidad efectiva del individuo en el asunto.—en
magnitud, dirección y sentido.
Con toda generalidad podemos decir: que si el munici-
pio participa del movimiento de conjunto que pueda tener
la provincia ó región á que pertenece; y ésta á su vez del
movimienio de la nación, y ésta del movimiento de su raza;
y, finalmante, su raza del movimiento total de la humanidad;
cada individuo tendrá en un instante dado (para cada asun-
to) una velocidad en su movimiento de modificación que es-
tará determinada por la resultante de su velocidad propia
individual y de todas las simultáneas de arrastre que hemos
enumerado. Es claro que alguna de estas componentes no
existiría si el enlace ó la conexión correspondiente no exis-
tiera; como, por ejemplo, si un individuo y su familia estu-
vieran completamente separados de la corriente de movi-
que se separen poco ó mucho la una de la otra. Hay quienes creen
que — generalmente hablando — hay antagonismo; es decir, que (en
la misma dirección) es frecuente que los sentidos sean diametralmente
opuestos. Esto nada interesa en la Cinemática pura y abstracta de
que aquí tratamos.
Ya dijimos al principio que en la Cinemática se hace siempre abs-
tracción completa de las fuerzas que producen los movimientos, pero
en una Cinemática aplicada sería muy interesante el examen y de-
terminación de los movimientos que (proviniendo de los intereses,
concordantes ó discordantes, de las simpatías ó antipatías, etc.) de-
terminan las velocidades de arrastre de los individuo. en una ú otra
dirección y sentido.
Dentro de una nación — por ejemplo — habrían de ser considera-
das las familias, los municipios y las regiones — para esa considera-
-ción cinemática.
6
miento del municipio en que vive, ó una nación estuviera
aislada del movimiento general de las de su raza, etc.
Si ponemos la atención en un asunto económico — un
asunto de agricultura, por ejempto — y escojemos un indivi-
duo que en un instante dado dedique á este asunto su acti-
vidad, y pensamos en lo que hemos llamado su posición en
el asunto en ese instaníe, diríamos primeramente que está
en reposo, si no está en vías de introducir modificación de
ninguna especie en su modo de llevar ese asunto como agri-
cultor, y no hace más que conservar la posición heredada ó
adquirida anteriormente. Si, por el contrario, suponemos
que está animado de una velocidad propia de modificación
en determinada dirección y sentido, y que ese agricultor no
está aislado, sino que forma parte de una corporación agra-
ria, y que ésta tiene un movimiento general de modificación
en el asunto de que tratamos, el individuo recibirá, como
partícipe de este movimiento de la corporación, una primera
velocidad de arrastre. !
Si á su vez la Corporación participara de un movimiento
general de la región ó del país, que se relacione con aquella
especie de modificación, el individuo recibiría una tercera
componente de velocidad; y la resultante de las tres veloci-
dades dichas sería en el instante que consideramos la velo-
cidad real y efectiva del individuo, y ella señalaría la direc-
ción y el sentido de su movimiento efectivo de modifica-
ción.
Parece innecesario decir que sería dificilísima, por no de-
cir imposible, la determinación de cada una de las velocida-
des componentes que se requieren como datos para aplicar
el procedimiento expuesto de composición que habría de
conducirnos á la velocidad resultante para cada individuo.
Es primeramente difícil conocer con precisión la dirección,
sentido y magnitud de la velocidad propia individual, relati-
vamente á la primera agrupación social á que pertenece;
pero la dificultad es mucho mayor para las demás compo-
o
A
nentes, que son velocidades de arrastre del individuo por las
distintas agrupaciones sociales más y más comprensivas que
envuelven, por decirlo así, al individuo. Y son mucho más
difíciles de determinar con precisión estas componentes,
porque habría que conocer, no ya una dirección y sentido
general de velocidad como dirección media con su magnitud
media, sino la que particularmente correspondiera al indivi-
duo de que se trate. Se comprende que esta última varíe de
un individuo á otro, según su enlace (para el asunto) con la
familia, con el Municipio y la región, etc., para ser arrastrado
en una ú otra dirección y sentido, y con más ó menos inten-
sidad.
Entraría por mucho en estas determinaciones un compli-
cadisimo, y casi inextricable, conjunto de circunstancias de
carácter psíquico social (*).
ADVERTENCIA. Tengo ahora conocimiento de un libro del Pro-
fesor SP. C. Haret, de Bucarest, titulado Mecánica social, y pu-
blicado á fines de 1910. Veo que ese trabajo es enteramente distinto
del mío, aunque en ambos se aplique á los individuos y á las agru-
paciones sociales los Principios y Teoremas de la Mecánica racio—
nal; porque se hace la aplicación desde puntos de vista diferentes
(*) A los sociólogos corresponde el estudio de estas difíciles cues-
tiones sobre las velocidades de arrastre y las velocidades propias
individuales, según sean los tipos de las agrupaciones sociales, y
según sean las circunstancias en que se encuentren. Con el tema de
la composición de velocidades, guardan cierta conexión las observa-
ciones del Profesor Durkheim acerca de la debilitación progresiva de
la conciencia común ó colectiva, por la cual, las velocidades propías
individuales van predominando más y más.
Las velocidades propias individuales dependen sin duda de todo lo
que hay en el interior de cada individuo, en lo que denominaremos
más adelante su medio interno; pero esta consideración es de orden
dinámico, y tratarem. s de ella más adelante.
— 308 —
y con muy diverso criterio, como podrá apreciar quien leyere uno
y Otro trabajo. Mi estudio es predominantemente psicológico (como
base de lo social), y además puramente abstracto y teórico. Mientras
que Mr. Haret aspira en el suyo á hacer una Mecánica social aplicada
(al menos como primera aproximación), habiendo sido la aplicación
á la Política el móvil que le ha impulsado á hacer su trabajo.
Así, en toda la segunda mitad del libro, se trata de cosas que no
tienen analogía alguna con lo tratado por mí en estos Apuntes; y
termina con reflexiones sobre la marcha de la civilización.
En la Mecánica social propiamente dicha, veo que Mr. Haret ha-
bía estudiado ya alguna de las cuestiones que yo he abordado en
este trabajo; pero lo había hecho de manera muy diferente. Es de
notar, sin embargo, que yo haya llegado —aunque por distinto ca-
mino—á un modo de extender el principio de la inercia que en al-
gún punto coincide con el de Mr. Haret; y que yo haya llegado
también á concepciones algo análogas á las suyas sobre la noción
de masa, para poder mirar ésta como constante.
(Continuará).
|
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i
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— 369 —
XV!I.—Cráneos araucanos del Museo antropológico
Naciona].
Por Luis DE Hoyos SÁINZ
La gran familia étnica de los araucanos, es clasificada por
los antropólogos de muy diverso modo, en las subdivisiones
de los pueblos sudamericanos; pues mientras Quatrefages y
el Sr. Antón forman con ellos los patagones y extinguidos
charruas, la raza pampense, Siemiradzki, Virchow, Deniker
y otros, constituyen un tronco de la gran raza andina, de
“origen centroamericano y en relación directa con los ataca-
meños, afirmación que podremos estudiar en otra ocasión
por haber medido varios cráneos de esta tribu, procedentes
de la «Expedición al Pacífico» de los naturalistas españoles
en 1862 al 66: optamos nosotros,-—rectificando por conocer
mejor este punto, nuestra opinión del libro Clasificaciones,
prehistoria y razas americanas, 2.* edición del 1900,—por
el último modo de ver, aunque no tiene en este caso con-
creto gran valor la diferencia, porque los cráneos que anali-
zamos proceden de modo indubitable de la región de los
araucanos chilenos. Es, además, para nosotros indudable,
que los araucanos pampenses no son más que una adapta-
ción al medio y á la vida de la estepa, de emigrantes de la
cordillera.
Los dos ejemplares que estudiamos, son representantes de
la raza considerada como la originaria de esta gran zona, que
Ehrenreich (*) estima como el tronco de todos los america-
($) Dr. Paul Ehrenreich. —Die Ethnographie Sudamerikáas un Be-
giundes XX Yahrhunders usw. Arch. f. Anhr. Neue Folge 151I, pági-
na 61, 1905.
— 310 —
nos del grupo sud, y de los que han salido los transandinos
á mezclarse con los puelches. El interés de su estudio está
en que los trabajos craneométricos de araucanos, están ba-
sados principalmente en ejemplares de las razas derivadas ó
de los territorios argentinos, ya que las excelentes publica-
ciones de Guevara en los «Anales de la Universidad de San-
tiago de Chile», así como de Medina (*), Lenz y Polakows-
ki, son estudios etnográficos, y el de Zampa (**), sobre tres
individuos vivos, no tiene utilidad para nosotros.
Masculino el uno, femenino el otro, son, sin embargo,
- estos dos cráneos de una semejanza tal, que pueden descri-
birse conjuntamente en lo que á su morfología y arquitectura
craneal atañe, y que sólo en la natural proporción de los ca-
racteres métricos de ejemplares de los dos sexos difieren
algo, aunque conservando casi en todo las mismas relacio- *
nes: Idéntico es no sólo el aspecto, sino la conservación y
estado como procedentes del mismo yacimiento.
Son ambos pequeños, globulosos, de líneas redondeadas
y finas, verdaderamente afeminados, y contrastando, por
ello, con el prejuicio de pertenecer á una raza fuerte, indo-
mable y guerrera, que justificó el nombre que se daban de
moluchos ó guerreros, venciendo á nuestro célebre Valdivia
y mereciendo ser llevados á la epopeya por Ercilla.
Esta primer impresión se afirma con los datos de capaci-
dad y las medidas de los principales diámetros y curvas
craneanos, que son los siguientes:
(*) Medina.—Los aborigenes de Chile. Santiago, 1882.
Lenz. R.—Estudios araucanos. An. de la Un, de Santiago de Chi-
le, 1895-1897, ati como Introducción á los estudios araucanos, con un
apéndice biblográfico. Valparaíso, 1892,
Polakowski.—Geschichte der Eroberung Chiles. Zeits fiir Erder-
kunder XX!!, y del mismo autor. Die eutigen Araukaner. Globus,
tom. 74 del 1898.
(**) Zampa. R.—Fueghini ed Araucani. Arch. per l'Antropo-
logía XXII, pg. 362, 1892,
A
dd dd dt is
Ls mi as
A
A A A ÓS
—- 311 —
Capacidad... 5120.20 MERISTOES OI2IS Sicme
Diámetro: A. P. Mx. .... 164 » 166 >» mm.
Diámetro transverso..... 137 >» LL
> Verticales 129 » MAS
Curva horizontal...... . 480 » 470 » >»
yo transversals so: 410 >» 396 > »
» antero-posterior. . 334 » 348 » »
da
Demuestran las cifras de la capacidad craneal obtenidas
por el procedimiento clásico de Broca, y las del módulo ó
semisuma de los tres diámetros cefálicos, que si el azar no
ha presentado estos valores individuales reducidos para la
representación de la raza, es ésta de pequeño volumen ence-
fálico, pues tanto en la nomenclatura francesa como en la
alemana corresponden á los grupos inferiores y se observa
en ellos la justa reducción que el sexo femenino presenta
respecto al otro. Además, esta capacidad es aún algo supe-
rior á la de 1313 cm.*, que es la media general obtenida por
nosotros en las series de cráneos de los Andes medidas en
el Museum d'Histoire Naturelle, de París, y en el Labarato-
rio de Antropología del Museo de Ciencias Naturales, de
Madrid, con los cuales nos parece lógico comparar, como
contraste, los valores de estos ejemplares, ya que las afini-
dades étnicas se han de traducir en analogías métricas. La
diferencia de 2 unidades en el módulo á favor de las series
peruanas nos da idea, teniendo en cuenta su menor volu-
men real, del aumento de la braquicefalia en estos arau-
canos.
Los valores absolutos de las curvas craneales siguen el
mismo incremento, pues exceden en 15, en 25 y en 8 mm. á
los medios de los sujetos andinos, cosa verdaderamente de
notar, porque se consideraba esta raza como inferior á las
— 312 —
andinas puras, y no es ciertamente esta la deducción que
podemos hacer con estos datos.
Los indices cefálicos fijan la característica de cada cráneo,
y por el cefálico verdadero hallamos una extrema braquice-
falia en el hombre, que tiene 83,5, cifra casi igual á la que
para esta raza da Virchow (*) y correspondientes ambas á
las de Tenkate, que de 300 cráneos halló 96 cuyo índice
pasa de 80, y á los resultados de Latcham, que en los crá-
neos por él medidos y en los de los Sres. Guevara y Medi-
na halló el 52 por 100 en los grupos braquicéfalos. Tiene
la mujer una mesaticefalia que sólo á mezcla ó á una varia-
ción individual puede atribuirse, pues reduce su índice á
76,1, por efecto del alargamiento antero-posterior, que ex-
cede al del hombre, á pesar de su menor tamaño total (fo-
tografías 1 y II). Comparados con los procedentes de la cos-
ta y la cordillera, resultan una unidad menos braquicéfalos.
que aquéllos y cuatro más que éstos, siendo de notar que
tienen menores diámetros á pesar de su mayor volumen real.
Son más braquicéfalos que los medidos por varios autores
y recopilados por Siemiradizki 6 Deniker, como araucanos
chilenos, y que los dados á conocer por La Vaulx y Tenka-
te, como de la rama pampense.
: El índice vertical hace verdaderamente hipsicéfalo al crá-
neo masculino con 78,6 y deja como ortocéfalo al femenino,
aunque son más elevados que los del Pacífico, y, sobre todo,
que los de la Cordillera; el vérfico-fransversal invierte sus
valores respecto á las razas afines y á los sexos, pues es de
94 y 953, valores ambos del grupo medio, que se esplican
más por la gran anchura del cráneo que por su aplastamien-
to que no existe, ya que su diametro vertical basio-bregmá-
tico se eleva por un particular y característico abombamien-
to del occipital baxilar, que sirve de plano de sustentación
al cráneo, quedando las apofisis mastoideas altas por no ser
(*) Virchow. R.—Crania Ethnica Americana. Berlín, 1892.
I.—Hombre araucano,
Plano vertical alveolo-o| MM.—Hombre araucano, Norma basal ó inferior.
Plano vertical auditivo-alveolar.
|
izontal +Mujer araucana, Norma lateral.
[.—Hombre araucano, Norma superior ó vertical. 11.—Hombre araucano, Norma facial ó anterior.
I1I1.—Hombre araucano, Norma basal ó inferior.
Plano vertical alveolo-occipital ó de sustentación. Plano horizontal alveolo-condileo.
Plano vertical auditivo-alveolar.
; : CAE -ma lateral.
1V,—Hombre araucano, Norma lateral. V.—Mujer araucana, o S SS ssvehelosa
Plano horizontal de sustentación alveolo-condileo. Plano horizontal alveolar y Occip E
z - a AS Y PAS Y PR A]
A
ES
a
e
Y
A
E
e
Me
ye
— 3. ==
tampoco muy fuertes ni grandes, como puede verse en las
fotografías laterales.
El análisis parcial de la curva media naso- opzsitica, como
se ve en las dos fotografías laterales, permite afirmar, en pri-
mer término, que la dolicocefalia femenina es parietal y occi-
pital, reduciéndose notablemente la región frontal en todas
sus medidas, cosa análoga á lo observado por nosotros en
la explicación de la relativa dolicocefalía de los cráneos de
la región audina sobre los de la costa, y que tiene su última
comprobación en la reducción del segmento preauricular del
cráneo femenino.
Las proyecciones que tomando por base el plano de sus-
tentación y por origen el basio, dividen al cráneo en anteriot
ó facial y posterior, demuestran el alargamiento palatino y
alveolar, pues en el cráneo masculino son, respectivamente,
de 102 y 90 mm., lo contrario que en el femenino, cuyo pre-
dominio es, como en todo, occipital ó posterior, teniendo por
indice basilar 53,6 y 62,3 respectivamente.
Los más típicos de los indices que relacionan los diversos
valores cefálicos son los que expresan el estrechamiento an-
terior, dado como característico de esta raza, y que si en la
norma superior ó vertical no resaltan inmediatamente más
que por el estrechamiento de la hemiclipse anterior, en las
relaciones métricas más exactas y menos sujetas al error de
observaciones, se determinan de un modo indudable, y has-
ta exagerado, pues el índice fronto-cigomático es de 68,8 y
67,1, valores ambos más bajos que los considerados como
límite inferior de las razas en que se ha determinado, y el
fronto-parietal tiene igual carácter de excepción en el cráneo
masculino, ya que no pasa de 61,3, subiendo en el femenino
solamente á 64; es decir, dos unidades del extremo inferior
de los valores medios étnicos.
Este carácter es correlativo del que Ten-Kate (*) de
(*) Ten-Kate, Contribution á la Craniologie des araucans argen-
tins, 1 vol. 8.?, 1893. La Plata. :
— 374 —
ra como típico de esta raza, que es abultamiento de las bol-
sas temporales, bien manifiesto en estos cráneos por las fo-
tografías de las normas superior y facial del masculino y la
facial del femenino, si bien hay que esperar la solución por
nuevas observaciones, ya que no se presentan estas particu-
laridades en los cráneos estudiados por Latcham.
Insiste en la plena confirmación del carácter tal vez más
esencial de los araucanos, el valor del índice frontal, ya que
su diámetro mínimo ó anterior es sólo de 77,7 centésimas
del máximo ó posterior, siendo el valor medio de esta rela-
ción en las diversas razas de 87.
Como último elemento que á la craniometría afecta, están
los datos relativos al agujero occipital (totografía IV), que
indican la gran armonía de todos los caracteres, por sus índi-
ces de 93,9 y 87, en relación también con la pureza braqui-
céfala de ambos ejemplares; no siendo notables, ni el módu-
lo que expresa el tamaño, ni el ángulo de Daubenton, que
es de 19 y 18”, respectivamente, teniendo la forma redon-
deada y de apariencia grande, con abultados y extensos
cóndulos.
Presenta la norma vertical (fotografía 11), una forma elíp-
tica, Ó mejor ovoide, con el diámetro menor por delante,
dejando ver unas arcadas cigomáticas del número 2, y los
elementos todos del prognatismo facial, al que contribuyen
de un modo verdaderamente gradual el plano orbitrario, los
elementos de la nariz, y especialmente los maxilares y el
borde alveolar, cosas todas más claras aún, en la norma
lateral que marca una línea de igual inclinación, desde los
incisivos á la inflexión de la curva frontal, que es muy ho-
mogénea y continuada igualmente por la región lambdoidea
y occipital, tras una marcada depresión del obelio que,
— 319 —
unida á la linea occipital, hace aparecer muy abultada la
región occipito- cerebral.
Evidentes son, por esta norma lateral, los caracteres que
ha de presentar la facial, que es de aspecto rectangular
con los maxilares altos, vueltos los pómulos y grande la
fosa canina, destacándose toda ella sobre un abombamien-
to de los parietales y de la frente, que hace conservar á la
cara el carácter globuloso de toda la calavera, y que coin-.
cide con la descripción de la cara hecha por Latcham (*).
Los índices faciales corresponden á una marcada came-
prosopia, verdaderamente extrema en el cráneo femenino,
pues los valores, según la fórmula del Congreso de Mónaco,
ó sea la de Kollmann, son de 56,5 y 48,3, muy análogas á
las dadas por Latcham, de modo parecido á lo que ocurre en
el índice según Wirchow, que es de 86,2. Por la fórmula de
Broca, sirviéndonos de la altura ofrio-alveolar, los índices
son de 71,3, en el hombre, y 62,3, en la mujer. Es de no-
tar la igualdad del diámetro bicigomático er los dos sexos,
que es de 122 mm., ó sea la media asignada al créneo feme-
nino. según los últimos estudios de Mies y Tórok, y que
no caracteriza ciertamente como ancha esta cara, precisa-
mente por el escaso valor que aisladamente presentan las
medidas absolutas.
Pocas deducciones podemos hacer del estudio de la re-
gión nasal, pues hállase muy estropeada en el cráneo mas-
culino, y apuntaremos sólo que el índice en el femenino es
de 51,1, Ó sea más platirrino que los estudiados por Odden-
dorf, aunque persiste el carácter de su nariz estrecha y con-
vexa, de forma acorazonada y de bordes finos y cortantes,
como le presentan los antiguos peruanos, que en la serie
por nosotros estudiada tienen valores de 48 y 43,6, res-
(*) Latcham. B. Notes on the physical characteristics of the Aran-
canos, Journal of the Anht, Inst. of Great Britain and Ireland XXXIV,
1904, pág. 190,
— 316. —
pectivamente; en los procedentes de la «Expedición del
Pacificio», en el Museo de Madrid y los del Museum de
París.
La órbita es uno de los más característicos elementos fa-
ciales de esta raza, por su grandísimo tamaño, que reduce el
diámetro interorbitario á 18 mm., siendo el biorbitario de 93
en ambos ejemplares, y presentando un índice de 93,2
el masculino, siendo, por tanto, hipsiconquio ó de órbita
alta, y de 87 el femenino, en el que se atenúa este carácter,
aunque persiste en el mismo grupo de la nomenclatura.
La región palatina (fotografía IV) tiene una marcada for-
ma elíptica, y es profunda de alta bóveda, presentando el
prognatismo ya indicado, que se acentúa en el borde alveo-
lar, del que salen oblicuos hacia afuera unos dientes com-
pletos y sanos, usados en bisel agudo los caninos y los mo-
lares del cráneo femenino, estando aún con los tubérculos
verdaderamente cuspidados los del masculino, que es indu
dablemente más joven, como lo prueba la falta de sinostosis
en las suturas, ya osificadas en parte en la mujer. Estas su-
turas son bastante complicadas, pues pertenecen al núm. 4
-de la escala de Broca, salvo en la región coronal media y en
la sagital anterior. Debe hacerse constar la presencia de un
hueso ptérico suplementario ó vormiano en el cráneo fe-
menino.
En el grupo de los caracteres que atañen á la orientación
natural del cráneo, daremos el valor del ángulo facial espi-
-nal, que llega á 71” en el hombre y á 79” en la mujer, que
-tiene el ángulo alveolar de €6P, cifra no muy baja, á pesar
del marcado prognatismo que presenta el cráneo, lo cual se
explica claramente por el abombamiento y saliente de la re-
-gión frontal, que parece ganar en desarrollo anterior lo que
la falta en el lateral.
A e
— 311 —
Terminaremos anotando los valores relativos al análisis
de los índices de curvatura Ó aplastamiento que, utilizando
el craniómetro del Dr. Verneau, hemos obtenido en todos
los cráneos americanos en busca de los datos de las defor-
maciones, que tan importantes son en el estudio de la cra-
nia americana, y especialmente de la región á que éstos per-
tenecen. Los radios basilares tienen los valores siguientes,
respectivamente, en el hombre y la mujer.
Alveolar, 87.-Ofriaco, 108.-Vertical, 135.-Lambdoideo, 112.-Iniaco, 80.
» TO 9M.- » 127.- E IS O
Cifras son éstas que comprueban por este final método la
tendencia dolicoide de la mujer y su menor prognatismo, que
en el radio incisivo Ó dentario, da 4 mm. sobre el valor al-
veolar en el hombre.
Los índices, deducidos por la fórmula
cuerda < 100
curva
presentan la curiosa particularidad de ser iguales en las
regiones frontal y parietal del cráneo masculino, por corres-
ponder á valores idénticos en sus dos elementos; el valor
de 71 hace notar un aplastamiento grande de los lóbulos
frontales, contrastando con el de los occipitales que baja
á 83, exagerando aún el desarrollo occipital, el cráneo feme-
nino con 80,5, siendo casi igual en el parietal, y más desarro-
llado en el frontal, en el cual se hace notar la escasa altura
del ofrio de 80 y 70 mm., respectivamente, en los dos sexos,
que son los valores más bajos de todas las series americanas
por nosotros estudiadas.
La falta de correlación de las cifras que damos con las de
otros autores, confirman la verdadera necesidad de una re-
visión de la craneología araucana, cuya variabilidad afirma
IRSE RAN” 0 DAT A (np
a: AN > US
uN:
Ten Kate (*), por las muchas modificaciones cefál
desde los Huiliches á los Manzaneros, tiene esta
raza, que para nosotros es verdaderamente la
etnogénia del O. y S. de América meridional.
Y en Kate.—Materiaux pour servir a L” Anthropolog des h
diens de la Republique Argentine. Rev. del Museo
tomo XI1, 1904. y
pl
| 1 ;
149 dea
de
INDICE
DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO
PAGS.
XII. —Conferencias sobre Física matemática. Teorías di-
versas, por José Echegaray. Conferencia primera.. 283
XIV. —Conferencias sobre Física matemática. Teorías di-
versas, por José Echegaray. Conferencia segunda.. 301
XV.-—La copelación, según antiguas recetas, por José Ro- | | i
dripnez MOurelO. laa e O E 323
XVI. —Apuntes sobre Mecánica social, por Antonio Pot-
tuondo y. Barcelo coin ere Ue e Majo ISS
XVII. —Cráneos araucanos del Museo Antropológico Nacio- 4
nal, por Luis de Hoyos Sdllizin.. dán. : opa 309
dl ON : ;
: 8
a
dl
pra E,
La subscripción á esta REVvISsTA se hace por tomos completos,
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val-
verde, núm. 26, Madrid. y
“Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas.
10
3
8
E si
d
E
a
, ACADEMIA DE CIENCIAS
Si
A EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES . :
TOMO X.—NÚM. 6.
Diciembre de 1811,
. e MADRID |
ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL
CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8. - y
1911 DN
ADVERTENCIA.
Los originales para la Revista de la Academia
se han de entregar completos, en la Secretaría de
la Corporación, antes del día 20 de cada mes,
pues de otro modo quedará su publicación para
el mes siguiente.
A po ME
-XVIHM.— Conferencias sobre Fisica matemática.
Teorias diversas.
Por JosÉ ECHEGARAY.
Conferencia tercera.
SEÑORES:
Esta conferencia, como la anterior, tiene por objeto:
La teoría de la atracción newtoniana y la potencial corres-
pondiente.
Además ya saben mis alumnos que habíamos dividido en
dos partes dicho estudio. Primero considerábamos el caso de
varias masas M, M,, Ma, M;... M,, reconcentradas en puntos
cuyas coordenadas conocíamos. Es decir, que este caso se
refiere á la distribución discontinua de materia, y es el que
por el momento nos ocupa.
El segundo caso se refiere á la distribución continua de
materia, ponderable todavia.
Continuemos estudiando el primero de estos dos casos.
Recordarán mis alumnos, que habíamos determinado las
componentes X, Y, Z, de la atracción de las masas m,, MM»,
M6... M , sobre la restante de ellas m, y que dichas compo-
nentes venían expresadas de este modo:
ay Xx
X=S'" fmm, ==
; r,?
Di => y
Y ==" MIN, AS
Fi
C1—2
Z=S/" fmm ==,
Fi
Rruv. AcaAD. DE CieNcIAs.—X.— Diciembre, 1911, 23
8d =>
en que había que sumar, como indica el signo S,”, expresio-
nes de la misma forma que la que aparece explícitamente, y
en las que el subíndice variaba de 1 á n.
También dijimos, que en este caso, de atracción de masas
ponderables, para que las fórmulas tuvieran la debida gene-
ralidad y resultaran acordes los signos de los primeros y de
los segundos miembros, debía cuidarse de restar de las co-
ordenadas a, b, c, de las masas atrayentes, las coordenadas
Xx, y, z de la masa atraída.
Por último llamábamos la atención sobre esta circunstan-
cia: que si las masas que atraen 1m,, Ma..... M, SON fijas y la
masa m puede variar, las tres expresiones serán tres funcio-
nes perfectamente determinadas de las variables x, y, 2, Co-
ordenadas de dicha masa m.
Con esto en rigor el problema queda completamente re-
suelto: podemos determinar en todo sistema de masas dis-
continuas, reconcentradas en puntos aislados unos de otros,
el valor de la atracción y de sus componentes; problema
tundamental ó mejor dicho datos necesarios para todo pro-
blema de estática Ó de dinámica, según explicábamos en la
conferencia anterior.
Y con lo dicho hemos hecho un rápido resumen de aque-
lla conferencia.
Las tres fórmulas que determinan las componentes X, Y, Z
de la atracción sobre cualquier masa m, quedan, pues, per-
fectamente determinadas; mas gracias á una observación de
Lagrange, la determinación de estas tres expresiones puede
reducirse á la de una sola expresión analítica, y de aquí
arranca el concepto de función de fuerzas, toda la teoría de
la potencial y simplificaciones importantísimas para varios
problemas de la Mecánica.
En rigor ya esto lo hemos explicado en otros cursos;
— 381 —
ahora vamos á explicarlo en forma breve, pero sistemática.
Y por lo demás, tan enlazados están los problemas de la
Física Matemática, que para la claridad de nuestras explica-
ciones, y, por decirlo así, para refrescar las ideas del lector,
en tales repeticiones habremos de incurrir más de una vez,
y casi siempre de propósito.
Para simplificar lo-que-vamos á- exponer, de las expresio-
nes anteriores tomemos sólo de cada una un término, el que
corresponde á la atracción y á los componentes de esta atrac-
ción para dos puntos m, m,, y tendremos
Da PS
X =fmm, ==
Fi
b, —y
Eee 1
Y, =fmm, ===
: fi
Ly MS
Fi
Se puede observar inmediatamente que estas tres expre-
siones por su forma analítica, son las derivadas con relación
á x la primera, con relación á y la segunda, y con relación
á z la tercera, de una sola expresión. Es decir, de una sola
función de x, y, z; á saber
fm mn,
»)
ó bien llamando U, á esta función
fmmj
0, = Y,
Vía; + (0, 9) + lc; — 2)
puesto que r, es la distancia entre los puntos (4,, D,, C,) y
(x, y, 2). 5h
— 382 —
Ahora bien, diferenciando con relación á x el valor de U.,.
tendremos:
e
dU, dx
AT)
dx Ud rr?
Pero
dr d Va + (PH (AY
dx dx
2 (a, 3 + (0, yy + (0 2) ;
y, por lo tanto,
dU, CS
— =fmm
dx Ln Li
a dU,
Xx ===,
dx
Del mismo modo podíamos demostrar que
Yol= dU,
dy
E
dz
En suma, la solución del problema de la atracción newto-=
niana toma esta otra forma. Las tres componentes.X,, Y,, Z;,
se expresan de este modo:
— 383 --
siendo
U, == q EA = ago o
V (a, — x)? + (b, — y) + (c, = 2) á
Así, pues, para calcular las expresadas componentes
Xi, Y,, Z,, basta conocer la función, perfectamente determi-
nada por otra parte, U,, y diferenciarla con relación á x, y, z
según decíamos antes.
Para atenernos á las notaciones más generalmente emplea-
das, separaremos la constante f y la masa m atraída, y en la
función U sólo comprenderemos la masa atrayente m,, en
cuyo caso podemos decir que la atracción de una masa m;
sobre la masa m es tal, que sus tres componentes X,, Y,, Z,
son las derivadas de una función U,, de esta forma
multiplicadas por mf. Es decir, en resumen:
¿A dU,
dx
dy
du
£L; = mM
1 ya da”
siendo
Si además, como hacen otros autores, tomamos la masa
m atraída por unidad, y escogemos las unidades físicas de
modo que se tenga f= 1, aún se simplificarán más las tór-
mulas y el enunciado del teorema, porque tendremos:
uy =P,
fi
x= PU y, LL abr. fs dy,
dx dy dz
Es decir, que las componentes de la atracción de una
masa m, sobre una masa igual á la unidad, cuando f = 1
son las derivadas con relación á x, y, z de una función per-
. My . ra eacy c
fectamente conocida ES diferenciaciones son inme-
diatas.
Lo que hemos dicho de la acción de m, sobre m, podría-
mos repetir para la acción de la masa mm. del sistema, y para
todas las demás hasta la última mm.
Y sumando todas estas componentes, en la hipótesis para
simplificar la escritura m=1 y f=1, resultaría
dU. dU, dU, d(U, +0, + ..... + UU»)
A A A A AAA A A
dx u dx mo + dx dx
yo d(U, + Us +..... + U.,)
dy
yaa d(U, +0,+..... + U.,)
dz ó
y haciendo
U= U, + U, + ..... + OU»,
que es
y My
Us a + E +... l- E
tendremos por fin
Resulta, pues, en términos generales, que en un sistema
de masas ponderables m, M,, IM) ... My, las componentes de
la atracción de todas las masas, menos una /n, sobre ésta,
son las derivadas de una función única U, con relación
DIG?
No hay que hallar, pues, tres sumas S, sino una sola U,
que es de la forma
y que es, evidentemente, una función de x, y, z, puesto
que 7, f, ... se expresan de este modo:
rn =V(a, — 2 (0, — y) + (c, — 2),
1, = Vía, + (0 — PE (6 2).
Determinando, según esto, dicha expresión U, y diferen-
ciándola con relación á x, y, z, tendremos las tres componen-
tes de la atracción newtoniana que buscábamos.
A esta función U de x, y, z, 5: le puede dar el nombre de
función de fuerzas, porque es la función única de la cual
dependen las componentes de la atracción de M,, Ma .....
sobre una masa cualquiera m del sistema.
Hemos supuesto, para simplificar m=1,7=1. En cual-
— 986. —
quier momento podemos prescindir de estas hipótesis, resta-
bleciendo el factor m f, en cuyo caso resultaría
DELE, yaaa mp. DM EEN
dx dy dz
Este resultado de que en la atracción newtoniana las tres
componentes X, Y, Z, son las derivadas parciales con rela-
ción á x, y, z de una determinada función U, se obtiene en
un caso mucho más general, á saber: cuando la acción (atrac-
ción ó repulsión) de dos masas materiales m y m, es una
función de la distancia de r, de ambas masas, aun cuando
esta función no sea precisamente la relación inversa del
cuadrado de las distancias.
En este caso podremos escribir
F, =fmm, f” (r,)
en que F, es la acción entre m y m, y f” (r,) la ponemos
bajo forma de una derivada para la comodidad del cálculo,
sin que esto sea restringir la generalidad del problema en la
práctica, porque en general, toda función de una variable r,
puede considerarse como la derivada de otra función de r,.
Más claro: si o (r,) es la función de la distancia, podre-
mos escribir
Fr) = f 9 (1) dr,
y es claro que q (r,) podrá representarse en este caso
por f'(r,). |
Ahora bien; á las acciones atractivas ó repulsivas de la
forma
F,=fmm, f (r1)
— 387 —
:se les puede aplicar todo lo que hemos dicho para el caos
particular en que
E
1.2
di
Y sin volver á repetir aquellos cálculos, y suponiendo,
para simplificar, m=1,f=1, tendremos
,
X, =m,f (11) ,
e
O o
% Er == 2
Z=mf (1) 2
E 1
Estas tres expresiones vemos que pueden obtenerse, d:-
rivando la función única:
UL == mÍFs):
Comprobemos tal afirmación para X,, y tendremos sucesi-
vamente:
OEA SA > DA hn
OS m, f' (r,) Aa
Ln y O
dad ma , su ins e) En , Aa —X
A sl (r,) EA m, f (r,) de
«que es precisamente el valor de X,.
Demostrada esta propiedad para cada par de.masas
m, m.,, la propiedad queda demostrada, en general, con
“sólo sumar las componentes parciales.
— UE —
Es decir, que en el caso general, en que dado un sistema
USAS TS AN , reconcentradas las masas en puntos A,
Ago AD eps , la acción de cada dos masas es igual al produc-
to de ellas y de una función de las distancias f” (r,), las
componentes de las acciones de m,, Mo) ..... mM , SObre Mm, se-
rán proporcionales á las derivadas con relación á x, y, z, de
una función determinada U de estas cantidades.
En el caso general tendremos
dU ?
A
dE
dU
Y=mf==
há
Ze E
dz
siendo DE
U= — Sm, f(r,)
y en la hipótesis m=1, f=1
PERE y ey0r Ea au
dx d y dz
E
Siempre que esto sucede, á saber: cuando las componen-
tes de una fuerza son las derivadas con relación á x, y, z de
una cierta función U de estas variables (ó proporcionales á
ellas), se dice que dichas fuerzas dependen de una función
de fuerzas, que es esta función U.
Detengámonos' algunos momentos en esta conclusión, y
séannos permitidas algunas reflexiones, casi nos ALE Mena
mos á decir de carácter filosófico.
— 389 —
El que se puedan obtener las componentes. de ciertas.
fuerzas de la Naturaleza, tomando las derivadas con rela-
ción á x, y, z, de una función determinada U (x, y, 2), pa-
rece á primera vista que es una propiedad puramente analí-
tica, que se prevé que procurará facilidades en el cálculo,
pero sin importancia ni transcendencia para los fenómenos.
de la Naturaleza.
Que una fuerza tenga por componentes ciertas LEE
¿en qué puede afectar al orden, á la armonía de los fenóme-
nos naturales?
Entre esta abstracción, esta curiosidad del cálculo, pudié-
ramos decir, y la realidad palpitante de la Naturaleza, no:
ocurre, á primera vista, que existan relaciones transcenden-
tales.
Y, sin embargo, no es así. Si no existiese esta relación:
analítica para ninguna fuerza de la Naturaleza; sin ir más.
lejos, si no existiese para las atracciones planetarias ó para
la gravitación, el mundo sería para nosotros completamente
distinto de lo que es ó de lo que nos parece.
El cosmos se nos transformaría por completo, como á la
orden del maquinista se transforma una decoración del.
teatro.
Se transformarían las leyes más fundamentales de la Els
ca, y para no presentar más que un ejemplo, es evidente:
que la multitud de mecánicos incipientes, que pretenden re-
solver el problema del movimiento continuo, se convertirían
en investigadores, serios y provechosos, que ninguna per-
sona sensata podría rechazar y que invadirían con sus in-
venciones, hoy condenadas al ridículo en la alta ciencia,
Universidades y Academias, y en la práctica , toda la indus--
tria humana.
Más para comprender estas afirmaciones y para darse
cuenta de la transcendental importancia, que en la realidad
tiene esta proposición, al parecer puramente analítica, que
hemos señalado, es preciso que dando de mano á conside--
— 3900 —
raciones filosóficas que luego han de explanarse, continue-
mos estudiando la hipótesis en cuestión.
Y la hipótesis es esta: Que las fuerzas atrayentes de un sis-
tema ponderable tienen una función de fuerzas U (x y 2);
6 de otro modo, que sus componentes son las derivadas
de U con relación á x, y, z, suponiendo para simplificar
m=1,f=1.. |
: Tenemos, pues,
Multiplicando sucesivamente por dx, dy, dz, y sumando,
“se Obtiene (:
¿Ue
movsorapiarer Logs gy LE gas
PENE AE , x dy dz
Pero toda vez que los tres coeficientes del segundo miem-
bro.son, por:hipótesis las tres derivadas parciales de U.con
relación á x, y, z, es evidente que dicho segundo-miembro
será la diferencial total de U', de donde resulta +
Xdx + Ydy + Zdz=dU..
Es evidente aun, que siendo U una función de x, y, z, que
además supondremos uniforme, tendrá un valor determina-
— 391 —=
do para cada punto del espacio; es decir, para cada sistema:
de valores x, y, z. En la teoría de las funciones uniformes y
multiformes no podemos entrat por el momento.
Sea A (fig. 4.*) este punto en que suponemos colocada la.
masa m= 1.
Si el punto A” está infinitamente próximo al A, el valor:
el A,
Figura 4.
de U, para este punto A” diferirá de U precisamente en el:
valor de la diferencial total 4 U, sieado,
ABS RBA ad, ANO: = dz:
Por otra parte, es evidente que el primer miembro repre-
senta la suma de los trabajos de las tres componentes X, Y, Z
de la fuerza F, ó sea de la acción sobre la masa m situada
en A por las masas M,, M,, Mz ..... del resto del sistema, si-
tuadas en A,, Az, Az .....
Y tenemos esta consecuencia importante:
— 392 —
¿Sila masa m situada en A recorre el camino infinitamente
pequeño A A”, el trabajo que las demás masas del sistema
ejercen sobre m estará representado por dU.
Esta función de fuerzas U que hasta ahora no tenía más
¿que una significación puramente analítica, tiene ya una síg-
.nificación mecánica de suma importancia. Mide por sus in-
crementos, y por lo tanto, por sus diferencias, por sus varia-
ciones totales mejor dicho, el trabajo que las masas Mm,, Ma...
que suponemos, fijas ejercerían sobre la masa m móvil, ya
“sea este movimiento expontáneo, ya sea obligado, y en bre-
ve explicaremos el sentido de estas dos palabras.
Por ahora tenemos las dos consecuencias siguientes: una
que se refiere á un camino infinitamente pequeño AA'; otra-
.que se refiere á un camino finito de la masa m, camino que
representaremos por A A* A”.
Trabajo que el sistema /9,, M; ..... ejerce sobre m al pasar
de Aá A' = dU.
Trabajo que ejerce al pasar de A á A” = U, — U,.
Siendo U, el valor de U en A y U, el valor de U en 4”.
. Y notemos, antes de pasar adelante, que para estas afir-
maciones no tenemos en cuenta más que diferencias de U,
no el valor absoluto de esta función.
De modo, que lo mismo se aplican dichas consecuencias
á U que á U + C, siendo C una constante arbitraria.
Sobre esto volveremos á insistir más adelante. .
Para abreviar, representemos el trabajo que ejerce el sis-
tema Mi; Ma ve. sobre m al pasar esta masa de A á A' por
la notación 7, ,,, con lo cual la primera de las dos ecuacio-
nes anteriores puede escribirse de este modo:
FAUD
AL'
en que ya hemos dicho que dU representa lo que varía la
función de fuerzas U al pasar del punto A al punto A”.
Pero aquí pueden ocurrir dos casos:
o A e
A
— 393 —
1.2 Que el trabajo T, y por lo tanto, dU, sean positivos.
Si por ejemplo el punto m cede á la acción de los puntos
¡M,, M2, Mg ..... EXpontáneamente y describe A A',ó aunque
sea guiado al describir este camino, si el vector F forma un
ángulo agudo con la recta AA”, es evidente que el trabajo
T será positivo.
El sistema, al haber actuado sobre si ¡ mismo, mejor dicho,
sobre el punto móvil m, que se hallaba en A, mientras los
demás puntos los suponemos fijos; el sistema, repetimos,
ha desarrollado trabajo, ha creado un trabajo positivo T. Y
otro tanto podemos decir de todos los elementos de la cur-
va A A” si la hipótesis subsiste.
2.0 Pero puede presentarse otro segundo caso, y es que
T sea negativa, es decir, siendo Aa” el camino recorrido, que
tengamos
TIA O)
AQ
en cuyo caso
qu 0:
Esto sucederá si el ángulo del vector F con Aa”,es obtuso.
En este caso el trabajo será negativo.
Claro es que este caso no se presentará obedeciendo m á
la acción de F; será necesario que artificialmente, es decir,
empleando una fuerza exterior, hayamos obligado al punto
má pasar de Aáa”.
Si esta fuerza exterior cesase y dejáramos á la fuerza-vec-
tor ejercer su acción, el punto m volvería de a” á A, y se
desarrollaría un trabajo positivo, debido á las acciones de las
masas M;,, Moa..... SODT8 M.
Sucede aquí lo mismo que cuando se estira un isis Al
cesar la acción del estiramiento el resoite se contrae, des-
arrollando un trabajo igual al trabajo exterior, que fué nece-
cesario emplear para estirarlo.
Y aquí prescindimos de las velocidades que adquiera la
masa /m. Suponemos que estos movimientos se efectúan con
— 394 —
tal lentitud, que las fuerzas vivas son despreciables, como-
explicábamos ya en conferencias de años anteriores. Claro-
es que si guíamos á m en su marcha, la resistencia ó fuerza-
normal de la guía desarrolla un trabajo nulo, porque el ca-
mino y la fuerza son normales, con lo cual subsisten las con--
secuencias anteriores.
En resumen: en estos movimientos, infinitamente peque--
ños del punto m pueden, como hemos dicho, ocurrir dos-
casos: |
1: Que el trabajo desarrollado sobre m sea positivo.
2.2 Que sea negativo, en cuyo caso habremos tenido que-
aplicar un trabajo exterior.
Y aquí ocurre que podría emplearse un cambio de notacio--
nes, que parece insignificante, que sin embargo sería muy
cómodo para el enunciado de los teoremas, y que, por decirlo .
así, da nombre á la teoría que vamos á explicar.
En vez de la función de fuerzas U supongamos que se.em-
plea una función de x, y, z, que llamaremos V igual en va- -
lor numérico pero de signo contrario; es decir
V(x, y, 2) =- O ES y, 2d
Ó abreviadamente
V=-=— O.
.
A esta función Ves á la que podríamos dar propiamente -
el nombre de función potencial, por la razón que explicare--
mos en breve.
Autores hay también, muchos, la generalidad, que dan
este nombre á la función U; y esto importa poco sabiendo:
lo que una y otra función significan, y que además para
cada valor de x, y, z, Ó sea para cada posición de m el va=- -
e
— 393 —
lor numérico de ambas es el mismo y sólo difieren en el
signo.
Por lo que hemos explicado antes, se ve que cuando U
crece, esto significa que las fuerzas del sistema ejercen sobre
m en movimiento un trabajo positivo.
Por el contrario, cuando U decrece y es negativa, el tra-
bajo ejercido sobre m es negativo y podrá emplearse en for-
ma de trabajo positivo, al permitir que m vuelva á su pri-
mera posición, de modo que es aumentar la energía en [ses
tencia del sistema.
En rigor es un recuerdo de la clasificación aristotélica, que
dividía la fuerza en potencia y en acto.
Es lo mismo que cuando Se separa una masa del suelo
elevándola á cierta altura: la gravedad desarrolla un trabajo
negativo, y el hecho de colocar la masa á mayor altura es
crear una energía potencial que se desasrollará al dejar caer
la masa elevada.
En este caso, al subir, la variación de U'es negativa; pero
si representamos por V la potencia de que es capaz dicha
masa, la variación de esta función V será positiva.
Si alejamos hacia el infinito la masa m, la función poten-
cial (aceptamos el nombre)
m, Mo Ma
U=—=t—=h... —
ia po
tenderá hacia o, porque todas las distancias 7,, f» ..... de ná
los puntos fijos, tenderán hacia infinito y podremos decir que
la función U significa el trabajo que habria que emplear para
alejar la masa m desde su posición inicial en el sistema hasta
el infinito: Esto en valor numérico.
Ruv. Acap, Ciencias.—X.— Diciembre, 1911. 26
— 3906 —
En cuanto al signo claro es que sería negativo.
Pero si abandonásemos el punto m en lo infinito y le de-
járamos volver lentamente á la posición inicial, el trabajo
desarrollado sería igual á U y sería positivo. Y podríamos
decir que era la potencial correspondiente á la posición de
que se trata.
Pero en rigor ésta no sería una potencia disponible, sino
una potencia empleada ó gastada, si vale la palabra.
Todo esto ya lo explicamos minuciosamente en las confe-
rencias de uno de los cursos precedentes, y sólo reco! dare-
mos que en estos movimientos del punto m hay que tener
en cuenta dos circunstancias.
Primero: que los movimientos son muy lentos para no
tener en cuenta la fuerza viva.
Segundo: que el punto m puede moverse apoyando sobre
una guía ideal en la que no exista rozamiento y en la que /a
presión necesaria, para mantener al punto m sobre dicha
guía, no ejercerá trabajo ninguno, puesto que siendo dicha
presión perpendicular al camino recorrido, por ser la nor-
mal á la curva, el trabajo será nulo, toda vez que es nulo el
coseno del ángulo que forman ambas líneas.
Y antes de terminar esta conferencia justifiquemos ciertas
apreciaciones filosóficas que hicimos al principio.
Decíamos, que siendo X, Y, Z las derivadas de una fun-
ción U de x, y, z el trabajo
Xdx + Y dy + Zdz,
que sobre m desarrollan las fuerzas atractivas, que ejercen
M,, Maz ....., €S precisamente igual á d U, es decir
Xdx 4- Ydy + Zdz = dU.
Sean ahora (fig. 5) P, y P, dos posiciones de la masa Im.
Llamemos U, el valor de U para la posición P, y U, el
— 397 —
valor de la misma función U correspsndiente á la posi-
ción P,.
Claro es que para obtener estos dos valores de U basta
sustituir en
Figura 5.
en vez de /,, fa ..... las distancias de P, á m,, m,..... con lo
cual tendremos el valor U,. Y después en la misma función
U en vez de dichas distancias r,, Fz..... las del punto P, á
las mismas masas M,, Ma ..... COn lo cual obtendremos el va-
lor U,,.
Además, para fijar las ideas, supongamos que U, es mayor
en valor numérico que U,, lo cual es natural en la figura por-
que las distancias á las masas atrayentes desde P, supone-
“mos que son menores que desde P,: admitimos que /2,,
la aos estén á la derecha.
= 0
- Supongamos ahora que entre P, y P, se traza una cur-
va P, A P,, que es la que va á recorrer el punto m en las
condiciones que antes indicábamos. A saber, que esta curva
es como una guia ideal sin rozamiento, de suerte que su
acción sobre el punto m será siempre normal y su trabajo
nulo, y que la velocidad puede suponerse infinitamente pe-
queña y la fuerza viva despreciable, para lo cual basta intro-
ducir una fuerza resistente que vaya conteniendo á la masa m
sin otro efecto que destruir su velocidad.
Al pasar m de P, á P,, por la curva P, A P,, las ma-
SAS MSM o... desarrollarán un trabajo, como antes indicá-
bamos, representado por
Py : U,
sb (Xdx + Ydy -- 243 = |, dU—= UU, Us
Po 0
en que U, sólo dependerá de las coordenadas X¿, Yo, 2, del
punto P,; y asimismo U, sólo dependerá de las coordena-
das x,, J,, 2, del punto P,. Expresándolo asi tendremos:
Po
Trabajo sobre pap | AUN LS
) Po
=0 O, +. D, a U (Xi, Yi 21) A U (Xo, Yo» Zo).
Supongamos ahora que se traza otra curva P, B P,, y
que se hace pasar al punto m de P, á ¿a a esta ES
curva.
Repitiendo lo dieta anteriormente tendremos
Trabajo sobre P, BP, = U (x,, Y1, 21) — U(%, Yo» 2) |
- Y como el segundo miembro es igual al de la toto an-
terior, porque se trata de la misma función uniforme U, to-
mando los mismos valores para las mismas coordenadas de
los puntos extremos, resulta que los pS miembros.
también serán iguales, es decir
— 399 —
Trabajo sobre P, A P, = trabajo sobre P, B P;.
De modo que cuando pasa la masa m bajo la acción de las
demás masas /n,, MM, ..... del sistema, de una posición P, á una
posición P,, el trabajo desarrollado sobre m es independien-
te del camino que siga, y sólo depende de la posición de los
puntos extremos.
El mismo trabajo desarrollan entre P, y P, las masas del
sistema /1;, Ma ..... á lo largo de la curva A, que á lo largo
de la curva B, que á lo largo de otra curva cualquiera por
caprichosa que pueda ser en su curso; con tal que una los
mismos dos puntos P, y P,: y esta propiedad es importan-
tísima y caracteriza en cierto modo la naturaleza mecánica
del sistema formado por las masas /11, M,, Ma .....
Porque en efecto, supongamos que la masa m bajo la ac-
ción de las atracciones m,, MM, ....., Y guiada sin rozamiento
ni velocidad por la curva Py A P,, pasa de P, á P,: se des-
arrollará un trabajo representado por las fórmulas anteriores
y que para abreviar designaremos por 7.
Supongamos ahora que se obliga á la masa m á volver
desde P, al punto de partida P, aplicando un trabajo exte-
rior T”, que compense y venza en cada momento el trabajo
de las fuerzas atractivas desarrollado por m,, Ma..... á lo lar-
go de dicha curva P, B P,, siempre en las dos condiciones
indicadas: ni rozamiento ni creación de fuerza viva.
El sistema volverá á su posición primitiva puesto que 7/1,
MURGA: están fijos y m ha vuelto á Po.
Si hacemos ahora el balance del trabajo desarrollado T,
en la curva Á, y del que hemos tenido que emplear en la
curva B, veremos que la diferencia es nula, es decir, 7 = 7”;
puesto que en la hipótesis que consideramos el trabajo de
las masas M,, Mo..... es el mismo para todas las curvas que
van de P, á P,, y, por lo tanto, para las dos curvas A, B.
De otro modo: el trabajo creado en A es igual al consu-
mido en B.
— 400 —
Trabajo que es preciso consumir por compensar la resis-
tencia que las atracciones de m,, Mm, ..... oponen en la cur-
va B á que la masa m vuelva al punto de partida.
De donde resulta esta consecuencia práctica é importan-
tísima: Que al describir la masa m cualquier contorno ce-
rrado P, A, P, B Po, ni se crea trabajo ni se pierde, la suma
de los trabajos positivos y negativos es igual á cero.
El sistema (1M, M,, Ma ..... m +) ni es creador de trabajo ni
es destructor de trabajo tampoco. Es conservador de trabajo;
como vulgarmente se dice, de fuerza.
No sería lo mismo si al pasar m de P, á P, en unos cami-
nos desarrollasen las atracciones de m,, m, ..... un trabajo su-
perior ó inferior al que en otros caminos desarrollaran; por
ejemplo, si T fuese mayor que 7”, porque entonces reco-
rriendo m la curva A se habría creado el trabajo T y hacién-
dola volver nosotros, consumiendo un trabajo T” por la
curva B, habíamos consumido en B menos trabajo que el que
se había creado en A. El sistema es, pues, creador de traba-
jo, escogiendo determinado camino para su cíclo, puesto que
T— T' es una cantidad positiva.
Por el contrario, si el punto m recorre primero expon-
táneamente, por la acción de las atracciones de mm, mo . ... la
curva B se habrá creado un trabajo 7” y si la hacemos vol-
ver por el camino A tendremos que consumir un trabajo T,
y, por lo tanto, al volver el sistema á su posición se habrá
destruído cierta cantidad de trabajo, T — T”.
Este sistema sería creador ó destructor de trabajo, según
los caminos recorridos.
¿Los sistemas de la Naturaleza Ó los que imitando á la
Naturaleza pueda crear el hombre, á cuál de estos dos tipos
pertenecen?
Si por ahora prescindimos del problema de las resisten-
cias pasivas y del problema de la degradación de la energía;
si consideramos una mecánica ideal que se ajuste, sin em-
bargo, todo lo posible á los grandes fenómenos astronómí-
— 401 —
cos Ó á las grandes leyes de las atracciones y las repulsio-
nes; si suponemos, en suma, que es ley fundamental de la
Naturaleza en sistemas cerrados en que pueden despreciarse
influencias exteriores, la ley de la conservación de la ener-
gía, claro es que los fenómenos naturales obedecen al primer
tipo: al de la conservación de la energía.
Y vemos, lo anunciamos antes, que en una ó en otra
hipótesis las consecuencias son radicalmente distintas. Al
pasar de una hipótesis á otra el mundo se transforma.
O conserva invariable su energía, ó la ve aumentar ó dis -
minuir en cada momento, según la curva que describa cada
uno de los puntos de un sistema material.
Así, en la segunda hipótesis, el ser humano puede au-
mentar la energía de la Naturaleza, escogiendo con inteli-
gencia las curvas A, B, de nuestra figura.
O puede anular para siempre ciertas cantidades de ener-
gía, si escoge el contorno A, B, torpemente, ó con inten-
ción torcida. |
En la primera hipótesis la Naturaleza ha puesto á salvo
las energías que contiene de la torpeza ó de la mala inten-
ción de los seres libres, ó más ó menos libres.
En el segundo caso y entre ciertos límites, el Universo
está en manos de una raza de nihilistas cada vez más inte-
ligente y poderosa.
Y aun cabe otra hipótesis que hoy aceptan muchos, y es
que estas leyes de la Naturaleza, que nosotros creemos eter-
nas, son próximamente constantes en grandes periodos cós-
micos, pero que de unos á otros pueden variar, sin que la
raza humana sospeche nunca, ni la forma, ni el sentido de
estas variaciones.
La ley hoy conocida, si se nos permite la imagen, es el
círculo osculador de una curva eterna; acaso calculan los sa-
bios el radio, pero ignoran el resto infinito de la curva.
— 402 —
De todas maneras se ve desde luego, que si el sistema es
conservador de energía, á este gran resultado cósmico, apro-
ximado, ó exacto, ó lo que fuere, se llega por aquella hipó-
tesis modesta y al parecer sólo de carácter analítico que
formulábamos al principio: la hipótesis de la función de
fuerzas.
Y podemos convencernos de ello, retrocediendo paso á
paso en la serie lógica de las consecuencias que hemos ve-
nido deduciendo.
El sistema es conservador, si el trabajo que corresponde á
la línea A es igual al que corresponde á la línea B.
Pero estos dos trabajos han resultado iguales, porque dU
era una diferencial exacta y la integral no dependía más que
de las coordenadas de los puntos extremos.
Y á su yez dU era una diferencial exacta, porque X, Y, Z,
eran las derivadas con relación á x, y, z, de una función de
fuerzas ó de una función potencial.
Y aquí vemos cómo la inteligencia humana enlaza por
manera verdaderamente admirable la realidad del cosmos y
de sus fenómenos con las creaciones más abstractas y al pa-
recer menos reales del espíritu creador del matemático.
No será esta la última vez que insistamos en estos pro-
blemas en parte físicos, pero en gran parte filosóficos, dicho
sea con licencia de la ciencia positiva.
— 403 —
XIX.— Conferencias sobre Fisica matemática.
Teorias diversas.
POR JOSÉ 'ECHEGARANM.
Conferencia cuarta.
SEÑORES:
En el estudio que hemos comenzado de las atracciones
newtonianas, y para masas distintas mM;,, Mo ....., constitu-
yendo un sistema discontinuo, demostramos, que si las
atracciones eran funciones de las distancias, y, por lo tanto,
como caso particular en la hipótesis de Newton, las tres
componentes de las atracciones de todas las masas menos
una sobre ésta, eran las derivadas de una función fU de
Xx, y, z, con relación á estas variables.
Y vimos, que las consecuencias de esta hipótesis, pura-
mente analítica, eran verdaderamente transcendentales y que
definían, por decirlo de este modo, un Universo conserva-
dor de la energía, entre otros infinitos universos que la ima-
ginación concibe ó cree concebir.
Mas para llegar á estas conclusiones, prescindíamos de
las resistencias pasivas, del problema de la dispersión ó de-
gradación de la energía y de otra porción de problemas, ya
de Filosofía, ya de Crítica científica, que nos irán saliendo
al encuentro en la serie de nuestros trabajos.
Por lo pronto, limitemonos á las hipótesis más sencillas
en el estudio de este problema de Mecánica ideal, que es en
rigor la Mecánica clásica del pasado siglo.
— 404 —
La función U, cuyas derivadas, multiplicadas por la
constante mf eran iguales á las tres componentes X, Y, Z,.
de la atracción sobre la masa m, es la que se designaba con:
el nombre de potencial, y el producto f U con el de fun-
ción de fuerzas, de modo que
Generalmente, para el caso de masas ponderables, que es
el que estamos tratando, casi todos los autores dan á esta
función U, como hemos dicho, el nombre de votencial.
Por razones que en parte hemos desarrollado, y que com-
pletaremos al aplicar esta teoría á las acciones eléctricas,
creemos que el nombre sería más propio para la función
—U, 6, mejor dicho, para C—U, siendo C una constante
que definiremos en otra ocasión.
Mas por ahora, estas observaciones tienen poca impor-
tancia, y nos limitaremos á la definición que ya dimos en la
conferencia precedente.
En resumen, y para fijar las ideas:
U (x, y, z) es la potencial del sistema (M;,, M> .....)
También puede decirse que es el trabajo que desarrollan
(m;,, Ma .....) sobre la masa m=1, cuando f=1, para traer
m=l1 del vo al punto x, y, z.
fU (x, y, z) es este trabajo, cuando f tiene un valor, se-
gún las unidades elegidas, distinto de 1.
fmU(x, y, z) es la función de fuerzas que da X, Y, Z,
para m.
Algunos autores distinguen V=— U como la verdadera
potencial.
Adoptando la denominación más usual.
m
Di me =
A
Fi
— 405 —
será la potencial del sistema con relación al punto m; es de--
cir, la potencial de 1mm,, Ma ..... respecto á m, Ó, si se quiere,
al punto que /m ocupa y cuyas coordenadas son Xx, y, Z.
Claro es que U es una función de x, y, z, y que las
coordenadas de los demás puntos a, b, c....., son cantidades
fijas y determinadas.
Esto se ve desde luego, con sólo poner, en vez de f,, fa .....
sus valores, dando siempre al radical el signo positivo.
En efecto; resulta
My
( Ba Motion TN NN AA O Ba
V (a, 92 + (0, y)? + (c, — 2)
M,) Mr
A _ _ a
Vía. — + (0, —y Ec, —2y Vía, — + (07) + (012)
donde vemos que
úl = U (x, y, Z, Ai, b,, C1 OD Un; Dm Ch):
Ó abreviadamente
U 5 U (x, y, 2jk
Con tal que se recuerde la significación de r,, fa....., la
primera expresión de todas éstas es la más cómoda, y aun
se puede expresar en forma más breve, empleando el sig-
no $:
variando dentro de S los subíndices de 1 á n.
Dijimos que esta expresión representa la suma de los tra-
bajos de todas las fuerzas atractivas que ejercen 1,, Mo ... Mp
sobre la masa m=1, siendo f=1 para traerla desde el infi-
nito hasta la posición que ocupa definida por las coordena-
das X, y, 2.
'
— 406 —
Este trabajo total es el que llamamos votencial, y, dicho
sea de paso, volvemos á repetir que no nos parece correcto
el nombre. Porque lo natural es quese dé la denominación
de potencial de un sistema al trabajo ó energía que puede to-
davía desarrollar, no al que ha desarrollado y consumido,
por decirlo de este modo.
De todas manetas, si U, representa el trabajo hasta la po-
sición P, y U, el trabajo que ha desarrollado el sistema
hasta la posición P,, es claro que cuando el sistema se en-
cuentre en P, hasta llegar á la posición P, podrá desarrollar
un trabajo ó energía U, — U,, esencialmente positivo. Y este
sí que es un trabajo verdaderamente potencial, porque en el
P, está en potencia, no en acto, como decían los aristotélicos.
De suerte que si tomamos la posición P, como una posi-
ción fija de referencia, por ejemplo, el suelo, para los objetos
superiores; si representamos U, por una constante C, yá P,
le damos su valor general en función de x, y, %, la expre-
sión anterior será idéntica á la que antes indicábamos C—V,
Ó si se quiere VM= C—U.
Y
Por ahora sigamos llamando potencial á la función U.
Venimos estudiando la atracción de todas las masas del
sistema sobre una de ellas mm.
Suponemos que ésta puede variar de posición, y por eso
designamos sus coordenadas por x, y, Z.
En la Mecánica clásica ni las masas ponderables ni las
masas eléctricas Óó magnéticas ejercían acción sobre el espa-
cio como tal espacio.
Sobre el espacio geométrico ni la materia ni ninguna subs-
tancia material puede ejercer acción, porque sería ejercer
acción sobre la Nada, privilegio reservado al misterio de las
religiones. :
Ye
— 407 —
Pero ya hemos dicho en otras conferencias de años prece-
dentes, que este modo de ver ha cambiado por completo, que:
al espacio abstracto se han substituído campos llenos de éter
ó formados por dieléctricos. En suma, la materia lo llena todo.
bajo diversas formas, sea materia ponderable, sea éter con-
tinuo, sean sistemas de electrones, sea lo que fuere, que todo-
esto ya lo discutiremos más adelante, si llegamos á tiempo.
Pero en este problema de las atracciones newtonianas, que
va siendo problema histórico, aunque con estos problemas.
históricos á cada paso se encuentran las teorías modernas,
y por eso hay que conocerlos y hay que estudiarlos. y por
eso, para estudiarlos, estamos abriendo á cada instante estos.
enormes paréntesis; en este problema de las atracciones
newtonianas, repetimos, donde no hay materia no hay atrac-
ción, y las masas m, m, ..... sólo ejercen sus acciones, entra
sí, desde luego, y además sobre la masa m, que hemos ele--
sido como término de comparación.
Y por eso todavía hacemos variar la masa m, colocándola
en distintas posiciones, para ver cómo varían las acciones
que las demás masas ejercen sobre ella.
Así pues si tomamos en el espacio un punto A, en que no-
esté colocada ninguna de las masas, no decimos: ¿cuál será
la acción de las masas m,, m, sobre el punto A? sino que
diremos: Si el punto m viniera á colocarse en A, ¿cuál sería
la acción sobre él de las demás masas del sistema?
A esta misma idea se le puede dar otra forma.
Se pueden estudiar las propiedades mecánicas del sistema
paseando, por decirlo de este modo, una masa de prueba
m= 1, por todo el espacio en que el sistema /MM,, Ma ..... se
encuentra.
En estas lucubraciones se ve en cierto modo la tendencia
á pasar del espacio vacio de la vieja mecánica á los campos.
materiales de la ciencia moderna.
+
— 408 —
Para cada posición de m, es decir, para cada sistema de
valores de x, y, z corresponde un valor U de la potencial,
lo cual da, en cierto modo, un sentido mecánico á los pun-
tos del espacio geométrico.
Se puede preguntar: Si en el pnnto x, y, z se colocase una
masa m, Ó si se quiere una masa 1, ¿cuál sería la potencial
de esta masa para el sistema que se considera?
Y la potencial claro es que sería U (x, y, 2).
Pero economizando palabras, sobreentendiendo que hay
que colocar sobre el punto x, y, z una masa para que la pre-
gunta tenga sentido, bien se puede preguntar en forma elíp-
tica: ¿cuál es la potencial para el punto x, y, z?
Y la contestación es la misma: U(x, y, z) si la masa es 1.
Igualemos la función U á una constante cualquiera C.
La ecuación
UE E) =10
considerando á x, y, z como variables, representará respecto
á los tres ejes coordenados trirrectangulares x, y, z, una su-
perficie que gozará de esta propiedad fundamental: Que si
en cualquier punto de esta superficie colocásemos una masa
igual á 1, la potencial debida al sistema m, Mm, ..... sería cons-
tante é igual á C.
Esta superficie se llama por esta razón superficie equipo-
tencial, que es decir abreviadamente, que todos sus puntos
tienen la misma potencial C.
O de otro modo: para traer desde el infinito una masa 1
á cualquier punto de la superficie, el sistema de masas m,
Moria desarrolla exactamente el mismo trabajo.
Esto hemos representado en la figura 6.
mM,, My, Mz . ... Constituyen un sistema de masas ponde-
tables fijas.
m, la masa restante del sistema, que la estamos haciendo
recorrer el espacio para estudiar las acciones que sobre ella
ejercen las expresadas masaS /M,, Ma ..... Y aquí se pueden
— 409 —
tomar dos puntos de vista que en el fondo son idénticos.
OM) My MAI forman el sistema, y estudiamos las ac-
ciones de todas las masas /m, Mm, ..... menos una sobre la res
tante m, que ocupa diversas posiciones;
O solamente M,, Ma, ..... forman el sistema y la masa m
es, por decirlo así, una masa de prueba, como los planos de
prueba de la electricidad.
Figura 6.
Y decíamos antes: Si C (fig. 6) es una superficie definida
por la ecuación
U ed 27) CE
y suponemos que Á es un punto cualquiera del infinito, en
que esta m, el mismo trabajo tendrán que desarrollar, ó me-
Jor dicho, desarrollarán las masas mm, m, ....., al venir m desde
el infinito A á cualquier punto a, b,c, ..... de la superficie
-S, sea cual fuere el camino que recorra. C (siendo m=1,
f= 1) será el trabajo desarrollado al venir de A á a; y Cal
venir de Aáb;óde Aác y así sucesivamente.
— 410 —
Todos los puntos a, b, c..... de la superficie C, corres-
ponden al mismo trabajo Ó á la misma potencial C.
Pero C, en la ecuación anterior, es completamente arbi-
traria, y si le damos una serie de valores C, C”, C” ..... ten-
dremos una serie de superficies equipotenciales, cuyas ecua-
ciones serán
Serie de superficies continua ó discontinua, y que si es con-
tinua porque C varía por la ley de continuidad, dividirán al
espacio en zonas ó capas comprendida cada una entre dos
superficies equipotenciales infinitamente próximas.
Claro es que hasta aquí, en la vieja Mecánica, estas super-
perficies equipotenciales sólo tenían una significación geomé-
trica ó analítica; en rigor, no tenían existencia: para que la
propiedad mecánica, que señalamos, tuviera realidad era pre-
ciso pasear, si la palabra vale, la masa de prueba m por cada
una de las superficies, y sólo en el punto y en el instante en
que m estaba colocado, la potencial y las atracciones tenían
realidad para dicho punto.
Para los demás puntos era todo esto una concepción abs-
tracta.
Ya veremos como estos conceptos de la Mecánica clásica
van tomando realidad física, hasta llegar á su plenitud en
las teorías modernas.
Se sabe por analítica que si una superficie C (fig. 7) tiene:
por ecuación
U Qx, y, 2) Es es
los cosenos de los ángulos que forma con los tres ejes una
normal á dicha superficie, en un punto cualquiera a, son:
proporcionales á
— 411 —
Y du du
aby 1 AySibitda
De modo que la normal aN á la superficie C en el punto
a, formará con los ejes ángulos cuyos cosenos serán pro-
porcionales á las tres derivadas anteriores.
Pero hemos demostrado, que si C es una superficie equi-
potencial correspondiente al sistema m,, Ma .. .., y coloca-
A
Figura 7.
mos en a una masa 1, la acción F del sistema m,, Mm, .....
sobre la masa colocada en a tiene por componentes
dy du du
de. .dyóbiida!
luego es evidente que F y N coinciden en dirección; y tene-
mos esta propiedad del sistema: Que todos los esfuerzos ó
atracciones del sistema en cuestión, M,, M, ....., Serán nor-
males á la superficie equipotencial que pasa por el punto que
se considere.
REV. ACAD. DE CIENCIAS. —X.—Diciembre, Igrr. 27
a —
Así la fuerza, ó como se dice en términos modernos, el
vector-fuerza F correspondiente al punto a, será la normal,
en este punto a á la superficie C; y esta es una propiedad
de todos los puntos del espacio para un sistema determina-
OA OS de masas ponderables que suponemos fijas.
Así, pues, si consideramos las infinitas superficies equí-
potenciales ECO 10”.. 2. y por todos losipúntosia bienes
AO, E... a,b”, c” ....., trazamos normales, con la mag-
nitud que les corresponda, este infinito número de normales
representará el campo de atracciones, Ó de fuerzas, Ó de vec-
tores que corresponden al sistema M;,, Ma, My ou...
De aquí la idea de campo de fuerzas Ó campo de vecto-
res que hoy está tan en uso.
Lo que hay es, que en la Mecánica clásica, en los tiem-
pos de su dominio absoluto, y aun en el período de transi-
ción, estos campos de vectores y estas superficies equipoten-
ciales eran concepciones puramente abstractas, eran concep-
tos matemáticos; ni las atracciones, ni los vectores, ni las
superficies equipotenciales tenían realidad física.
Donde no existe una masa sólo existía una posibilidad de
acción física, para cuando existiese.
Todo lo demás era algo así como una ilusión, algo de lo
que sucede en las paletas de los ventiladores. Por la rapidez
del movimiento, fingen una hoja metálica circular que no
existe; lo que existe es la paleta, en posición determinada,
cuando por esa posición pasa.
Un punto debemos aclarar todavia.
Hemos dicho (fig. 7) que F y N coinciden en dirección,
pero hay que fijar el sentido.
Admitamos que las constantes C, C”, C”, van creciendo,
pues supondremos que el sentido de la normal y de la fuer-
za F es el de la potencial creciente; por ejemplo, en la figu-
ra 6, desde a hacia a”. En la figura 7 el que marca la fle-
cha de F.
— 413 =
Hemos definido las superficies equipotenciales; hemos de-
finido asimismo el campo de fuerzas atractivas ó vectores, y
ahora vamos á definir otro concepto más: El de /íneas de
fuerza.
Sea (fig. 8) una superficie equipotencial C, y á cierta dis-
tancia otra segunda equipotencial C”.
De una á otra podemos imaginar una serie de líneas a a”,
bb',cc'... que sean normales á todo el sistema de superficies
Figura $.
equipotenciales, comprendidas entre C y C”; por ejemplo,
la C,, así como á las anteriores y posteriores.
Para decirlo brevemente: un sistema de líneas, que serán
en número infinito, que corten normalmente á todo el siste-
ma de superficies equipotenciales,
Asi, por ejemplo, si tomamos en C, el punto n, la línea a a”
cortará en n normalmente á C,, asimismo la línea bb” cor-
tará normalmente en ná C,, y así en general.
Pero el vector del punto n corta también normalmente á C,,
luego este vector F, ó fuerza atractiva del sistema M,, Ms...
— 414 —
será evidentemente tangente á la línea aa”; y lo mismo di-
remos para n' y para todos los puntos de la superficie C,, así
como para todos los puntos de cualquier otra superficie equi-
potencial. :
“Este sistema de líneas aa”, bb', cc'... normales á todas
las superficies equipotenciales C, C,, C'..., se llama sistema
de líneas de fuerza, y gozan dichas líneas de esta propiedad:
Que la tangente en cualquier punto n de cualquier línea de
fuerza marca la dirección del vector en este punto, es decir,
de la fuerza atractiva que sobre ese punto ejercería el siste-
ma m;,, moa..., si en dicho punto colocásemos una masa ¡n
igual á la unidad.
Podemos decir, según esto, que las líneas de fuerza son
las envolventes de los vectores F que expresan las atrac-
ciones.
Podemos también decir, que representan los vectores del
campo ordenados Ó agrupados en formas de líneas envol-
ventes.
Todos estos conceptos de superficies equipotenciales,
campos de fuerzas ó vectores de atracción y líneas de fuerza,
que hasta aquí son conceptos geométricos y abstractos, han
ido tomando consistencia, por decirlo de este modo, y mate-
rializándose en la moderna física; sobre todo en las aplica-
ciones de la teoría de la potencial á los flúidos eléctricos y
magnéticos. Citemos por anticipación las líneas de fuerza de
Faraday que hasta se asemejaban á algo así como á cor-
dones elásticos. Ed.
Citemos asimismo las hojas ó superficies eléctricas mate-
rializando en cierto modo las superficies potenciales..
Y en esta evolución ó desarrollo de la ciencia se pasa por
tres grados, sin afirmar que el tercero sea el último y defini-
tivo, que nada hay definitivo en la ciencia como no hay nada
definitivo ni en la evolución del pensamiento, ni en la evo-
lución (del cosmos observada y estudiada por la inteligencia
humana.
A
Y estos tres grados son los siguientes:
1.2. El espacio es el vacio absoluto, es el espacio geomé-
trico; y nada más.
Así, por ejemplo, las masas /1,, Ma ..... actúan á distancia
sobre la masa Mm.
2.” El espacio geométrico entra en juego y se ordena, por
ejemplo, en superficies equipotenciales, en campo de vecto-
res, en líneas de fuerza; pero todos estos son todavía con-
ceptos a>stractos, sin realidad física.
Para que adquieran realidad en un punto, por un instante
al menos, ya como elemento de superficie, ya como elemento
de línea, ya como punto de aplicación de un vector, es pre-
ciso que por ese punto pase la masa de prueba 1.
Las masas del sistema /1,, Ma ..... sólo pueden hacer pre-
sa, si vale la palabra, en otra masa como ellas, es decir, en
otra masa ponderable, no en el vacio.
Pero, si todavia la ciencia, en este momento de su desa-
rrollo, no cree en la realidad de ninguno de estos conceptos,
asegura que las cosas pasan como si todos estos conceptos
fueran reales.
Es una especie de simbolismo cómodo y provisional.
3.” Mas la inteligencia humana tiende á creer que es real
todo lo que le agrada, todo lo que representa, por decirlo
de este modo, comodidad y economía de esfuerzos intelec-
fuales.
Y así, en este tercer período del desarrollo de la ciencia,
el espacio entra en juego como realidad física y cuando se
pasa de las masas ponderables á los flúidos eléctricos y
magnéticos, casi pudiéramos decir, que la masa de prueba rn,
-ponderable, eléctrica, magnética, ya se descomponga en iones,
ya en electrones, tiende á estar presente en todos los instan-
tes y en todos los puntos del espacio.
Pero este conjunto de teorías modernísimas me propongo
«y deseo que sean materia de otras conferencias en otros
Cursos...
— 416 —
r
Por el pronto volvamos á nuestro objeto, á la Física clá-
sica, á la teoría de la potencial newtoniana, á las masas
ponderables y á las masas discontinuas.
Otros dos conceptos más hemos de agregar á los concep-
tos anteriores. El de tubos de fuerza y el de flujo de fuerzas.
Empecemos por el de tubos de fuerza, concepto bien sen-
cillo, que se relaciona con algo de lo que dijimos en el curso
Figura 9.
anterior, y que es una consecuencia inmediata de las líneas
de fuerza. |
Sea C (fig. 9) una superficie equipotencial, y tracemos en
ella una línea cerrada ab sumamente pequeña.
Por todos los puntos de dicho contorno ab, hagamos
pasar las líneas de fuerza correspondiente aa”, bb” .....
— 417 —
Formaremos de este modo una especie de tubo, cuyas ge-
neratrices serán todas ellas líneas de fuerza.
A esta superficie tubular se le da el nombre de fubo de
fuerza.
Y es evidente, ó la demostración es tan sencilla que no
vale la pena de darla, que cada tubo de fuerza cortará nor-
malmente á todas las superficies equipotenciales: sus gene-
ratrices gozan, por definición, de esta propiedad.
Así, en la figura, el tubo ab ab” ..... corta normalmente,
según la curva a” b”, á otra superficie equipotencial cual-
quiera, C”.
En rigor esto es substituir la línea de fuerza sencilla, ó el
cordón de fuerza de Faraday, por un tubo infinitamente es-
trecho.
Otro concepto más que añadir á los conceptos anteriores,
á la superficie equipotencial, al campo de fuerzas Ó vectores
y á las líneas de fuerza.
Y el tubo de fuerza recorrerá el mismo ciclo que antes
señalábamos para los demás conceptos del mismo orden:
pura abstracción geométrica; hipótesis, ó mejor dicho repre-
sentación cómoda para el estudio del fenómeno mecánico; y,
por fin, realidad física. Hasta que nuevas evoluciones de la
ciencia conviertan estas realidades en creaciones de la ima-
ginación y pretendan substituirlas por nuevas creaciones, al
parecer más consistentes, ó hasta que se nieguen en abso-
luto, y volvamos á lo abstracto, ó hasta que se vuelva al he-
cho físico y á la pura fórmula matemática, que será renegar
de la Física matemática.
Mas nótese que así como hay atrevimientos positivos, hay
atrevimientos negativos; y quizá pertenezca á esta clase el atre-
vimiento que consista en negar en absoluto toda sombra de
realidad á las creaciones abstractas de la inteligencia humana.
Este atrevimiento negativo se llama execpticimo.
ES
* *
-— 418 —
Pasemos ya á calcular el flujo de las fuerzas á través de
una superficie.
Claro es que podemos suponer una superficie infinitamente
pequeña, porque si fuera finita no habría más que descom-
ponerla en. elementos, calcular el flujo correspondiente á
cada elemento y sumar ó integrar todos estos flujos elemen-
tales.
Sea (fig. 10) un elemento de superficie A B infinitamente
A SS
SS
Figura 10.
pequeño, que pasa por el punto o y cuyas coordenadas
sean X, y, Z. :
Si colocásemos en el punto o una masa ponderable igual
á 1 el sistema de masas M,, Ma, Mag ..... que siempre conside-
ramos, ejercerían sobre esta masa 1 una fuerza que podemos
representar por el vector o F; pero si en vez de esto sobre
cada área infinitamente pequeña d w en que podemos consi-
derar dividida A B, colocásemos una masa igual á1 X du,
la fuerza que pasase por este elemento, sería
du.F,
E
que es suponer que la unidad de masa se aplica á la unidad
de área, y tendríamos un conjunto de vectores paralelos
áF, que llenarían un cilindro AB B' A”, cuyas bases para-
-_lelas suponemos proyectadas en A B y A” B' y formado por
rectas paralelas é iguales á o F.
El conjunto de estas fuerzas es lo que llamamos el flujo á
través de la superficie A B, y lo representaremos por el ex-
presado volumen.
EStaecit:
flujo á través de AB = volumen ABB'A”.
Claro es que este concepto, como todos los anteriores, en
un principio fué puramente abstracto; pues no existiendo ma-
sas ponderables en A B, mal podían existir las fuerzas F.
Pero buscando analogías y tendiendo á materializar las
fuerzas F y sus efectos, se dijo: Si por la superficie A B pa-
sase un líquido incomprensible, formado por filetes paralelos
á la dirección AA”, ó sea á oF con la velocidad v="F, ó sea
que v tenga el mismo valor numérico que F, en la unidad de
tiempo pasaría un volumen de líquido representado precisa-
mente por el volumen ABB*A”, volumen que sería igual á
área AB ><0F a
siendo oF, la proyección de oF sobre la normal á AB.
Llamando Q al área AB y asemejando este volumen al
flujo de la fuerza F, tendremos abreviadamente
flujo AB=0 <F+,.
Hagamos ahora pasar por el punto o la superficie equipo-
tencial C, y proyectemos sobre ella el área AB en ab, re-
presentando ésta por w.
Tenemos evidentemente
EJECOS RO) "E COS (A 01d)
— 420 —
por lo tanto,
lujo AB=2-.F .cos(A0a);
pero
w=U9cos(A0a),
luego
flujo AB=w - F.
Es declr, que esto que hemos llamado flujo á través de una
superficie, de la fuerza F que produciría sobre la unidad de
masa el sistema 11, Ma ..... se puede expresar de dos modos:
1. Por el producto del área Q por la proyección de la
fuerza F, que es F,,, sobre la normal á la superficie AB.
2.” Por el producto de la fuerza F por la proyección del
área sobre la superficie equipotencial que pasa por 0.
Que en el fondo es reproducir un teorema elemental de
geometría y expresar el volumen del mismo cilindro de dos
maneras distintas: Proyectando la generatriz sobre la norma
á la base, Ó proyectando la base sobre el plano normal á la
generatriz.
Claro es, que este concepto de flujo de fuerza, por el pron-
to no tiene ninguna significación física; pero es de una gran
comodidad en las teorías eléctricas, y los físicos se han ido
acostumbrando, sobre todo, desde las hipótesis de Faraday
á ir dando sentido de realidad á todas estas abstracciones,
que pudiéramos decir que corresponden á un período de
transición entre la vieja Mecánica de la acción á distancia
y de las fuerzas instantáneas, á las teorías modernas.
De la aplicación de esta teoría del flujo de fuerzas en que
se considera á la fuerza abstracta como algo material que
pasa y circula, ó como los cordones elásticos de Faraday, ó
== AE
como los tubos de fuerza, ó como filetes de un flúido incom-
prensible, se deducen tres teoremas importantes, que por
ahora vamos á definir en el caso de la potencial newtoniana
de masas ponderables; pero que aplicaremos más adelante,
al estudiar sistemáticamente la electroestática.
Y estos teoremas son los siguientes:
Primer teorema.—Supongamos una superficie cerrada $
Figura il.
(figura 11), y consideremos exteriormente á dicha superficie:
una masa ponderable mm, .
Vamos á demostrar, que el flujo total de fuerzas que pro-
ceden de 1m,, sobre toda la superficie S, es igual á cero. Pero
aunque sea repitiendo lo que tantas veczs hemos dicho, ex-
pliquemos el sentido de este teorema.
Claro es, que sobre una superficie puramente geométri-
ca S, una masa ponderable m,, no puede producir acción
ninguna, ni engendrar fuerzas, ni determinar flujos de fuer-
zas, y en este sentido el teorema ni tendría ninguna signifi-
cación física, ni tendría objeto alguno. Y, sin embargo, el
— 422 —
teorema es importante y tiene importantísimas aplicaciones
prácticas.
Para darle sentido y realidad desde el punto de vísta de
la ciencia clásica, es preciso suponer que la definición encie-
rra un concepto condicional; cuando se habla de fuerzas que
proceden de la masa m,,es preciso entender-que se habla de
fuerzas que se producirían por la acción de dicha masa m,,
si en la superficie se colocara una masa ponderable igual á 1
sobre cada unidad de superficie, lo mismo que hemos dicho
al explicar el concepto de flujo de fuerzas.
Y aún necesitamos otra aclaración.
Es necesario especificar si el flujo es hacia el interior Ó
hacia el exterior de la superficie. Es decir, si aquellos filetes
líquidos, á que asemejábamos la fuerza F, penetran ó salen
del espacio que la superficie encierra.
Y esta imagen material del teorema abstracto da, desde
luego, una demostración, ó mejor dicho, una intuición del
teorema.
Porque si esta especie de emanación de fuerzas se mate-
rializa en un líquido, que va á m,, Óó mejor dicho, que en mm,
se absorbe, puesto que hablamos de atracciones, es claro que
en el espacio que S comprende, y siendo el líquido incom-
presible, entrará tanto líquido como salga; y si á los filetes
que entran se les da el signo + y á los filetes que salen el
sieno —, claro es todavía que la suma algebráica de unos y
otros, Ó dicho de otra manera, que el flujo del líquido á tra-
vés de todo el volumen, tendrá que ser ¿gual á cero: tanto lí-
quido entrará como saldrá.
Pero sin acudir á esta imagen ó semejanza, la demostra-
ción es bien sencilla.
- Supongamos que parten de m, un número infinito de co-
nos de abertura infinitamente estrecha. Sea uno de ellos
mm, A B: lo que de él digamos, podriamos decir de otro cual-
quiera; por ejemplo, m, D...
- Elcono m,AB a un área de entiada del flujo
— 423 —
A B; y decimos que A B corresponde á un tlujo de entrada,
porque todas las atracciones de m,, en los diferentes pun-
tos de A B son próximamente iguales y paralelas á la atrac-
ción AF.
Este mismo cono determinará un área de salida a b; y es
área de salida del flujo, porque las acciones, sobre todo los
puntos de dicha área, son próximamente iguales y paralelas
áaf.
Y vamos á demostrar desde luego que el flujo de entrada
es igual al flujo de salida, con lo cual la suma algebráica de
ambos será igual á cero.
En efecto: tracemos desde m,, con los radios m, A ym, 0,
dos porciones de dos esferas concéntricas A C, ac.
Como el cono es de abertura infinitamente pequeña, po-
drán considerarse á las porciones esféricas AC y ac como
áreas planas normales á m, A 6 á cualquier otra generatriz
del cono.
Es decir, que podemos considerar al área AC como la
proyección del área AB sobre el plano AC normal á F. Así
que, según lo demostrado en esta misma conferencia, el
flujo de entrada por A B será el producto de la proyección
de AB sobre un plano normal á F, por la fuerza ó vector F,
es decir,
flujo (AB) =área AC - F
cantidad positiva, puesto que es el flujo de entrada.
Por consideraciones análogas podemos establecer desde
luego
flujo (ab) = área ab - f
cantidad negativa si la anterior es positiva, puesto que es
flujo de salida.
Y el flujo correspondiente al cono será
área AC -F—áreaac - f.
— 424 —
Pero llamando w á la abertura del cono y llamando R y r
:á las distancias m, A y m, a, tendremos
área AC = w R?; área ac =0r?
p)
y además las fuerzas F y f, suponiendo, igual á k el coeti-
ciente, serán, según la ley newtoniana
Sustituyendo estos cuatro valores en la expresión del flujo
correspondiente al cono, tendremos por fin
km; y km;
y Aa cd
R? p2
= wvkm, — km, =0;
«con lo cual queda demostrada la proposición; es decir, que
el flujo correspondiente al cono elemental es nulo. Y como
lo mismo podemos decir de otro cono cualquiera m;, D ..... y
todos ellos agotan el espacio comprendido en $, resulta que
el flúido total es igual á cero.
Si la fuerza, en vez de ser atractiva, fuera repulsiva, las
consideraciones serían idénticas.
Este primer teorema puede generalizarse para un número
«cualquiera de masas ponderables 1,, Ma .....
Es decir, que el flujo de un sistema de masas /M,, Ma .....
exteriores todas al espacio comprendido en una superficie
cerrada S, es nulo.
Esto resulta imediatamente de la superposición de flujos
.que constituyen el flujo total. Si el flujo de ,m, es nulo, y el
— 425 —
de m, y el de 1; ..... la suma de todos ellos también seré
igual á cero.
Más claro todavía:
Supongamos en la superficie S un área elemental Q y la
normal N.
Supongamos que para dicha área el vector-fuerza corres-
pondiente á m,, es decir, la atracción que ejercería si por
unidad área se colocase una masa uno, fuese F,Q.
Que asimismo el vector-fuerza de la masa Fm, fuese Fa 2,
Y basta con estas dos masas, porque lo que de su con-
junto digamos, diríamos de un número cualquiera de masas.
Según lo que hemos demostrado en esta misma conteren-
cia, puede obtenerse el flujo multiplicando el área por la
proyección de la fuerza sobre la normal á dicha área; luego
sobre el área Q
flujo de m, =Q - F,cos(F,N)
flujo de m, =2 . F, cos (F,N)
Y
flujo m, + flujo m, =Q. [F, cos (F,N) + F, cos (F,N)].
Pero si F es la resultante de F, y de F,, como se sabe,
que la proyección de la resultante es igual á la suma de las
proyecciones de las componentes, se tendrá
Fcos(FN) =F, cos(F,¡N) +F,cos(F,N)
luego
flujo (m,) + flujo (m,) = Q Fcos(FN).
Mas el segundo miembro es el flujo de la acción F total
de m, y de m, sobre los puntos de la superficie Q, luego
flujo (m,) + flujo (mo) = flujo (m, + mo).
— 423 —
Es decir, que el flujo del sistema es igual á la suma de los.
flujos de cada masa aislada, y como estos son todos nulos,
nulo será el segundo miembro.
Así, pues, el teorema primero queda generalizado para un
número cualquiera de masas exteriores al espacio. que com-
prende una superficie cerrada $.
Y se prevee desde luego, que podrá generalizarse para las.
masas eléctricas positivas Ó negativas dando á cada masa el
signo que le corresponda.
Aun podemos establecer otra generalización.
En la figura 11 hemos supuesto, que una recta que par-
Figura 1.
tiese de 1, sólo encontraba á la superficie en dos pun-
tos a, A.
Y ahora agregamos: importa poco que la corte en un nú-
mero cualquiera de puntos, con tal que áste sea par, á fin de
que puedan distribuirse en grupos de á dos, y que pueda
aplicarse el teorema del cono elemental á cada dos pares de
superficies infinitamente pequeñas de entrada y de salida.
Esto sucede, por ejemplo, en la figura 12.
Una recta que parta de m, puede cortar á la superficie S,
por ejemplo, en cuatro puntos A, a, A”, a”, porque el teore-
rema se aplica sin dificultad á las superficies AB, ab y
A'B', ab”.
Obsérvese que en la parte superior de la figura los puntos
de intersección no son más que dos.
— 427 —
Los casos particulares que pueden presentarse son tan
sencillos que no insistiremos más sobre este punto.
Pasemos al segundo de los teoremas que anunciamos y
que viene á ser un complemento del primero.
Segundo teorema ó teorema de Gauss. — También en éste
se considera ina superficie cerrada, figura 13, y una masa
m., que en cierto modo irradia todo alrededor fuerzas atrac-
FS
Figura 13.
tivas. Pero esta masa ponderable m, en vez de ser exterior
á la superficie S es interior como se marca en la figura.
El teorema puede decirse que en su origen fué puramente
abstracto lo mismo que en el caso precedente, y que des-
pués se fué materializando.
De todas maneras, al hablar de flujos, que pasan por ele-
mentos de la superficie, ha de entenderse, al menos por el
REV. ÁCAD. DE CIENCIAS. —X.— Diciembre 1911. 28
— 428 —
pronto, que no actúan materialmente sobre la superficie, si
no que actuarían cuando en cada unidad de superficie se
colocase una masa ponderable igual también á la unidad.
Con todas las salvedades, pues, y todas las explicaciones
que hemos dado respecto al primer teorema, podemos enun-
ciar este teorema segundo ó teorema de Gauss, de este
modo:
Dada una superficie S cerrada, y en el interior de ella una
masa ponderable rn, el ilujo de fuerza á través de la super-
ficie, procedente de dicha masa será igual á
47m;
y consideraremos como positivo dicho flujo, porque es flujo
que entra en el espacio cerrado por $.
Y en efecto; la fuerza ejercida por m, sobre una masa
igual á la unidad colocada sobre la superficie, actuará, como
F, del exterior al interior, lo cual demuestra que el flujo es
positivo, si convenimos en dar el signo +- á todo flujo que
penetre en el espacio de que se trata; porque no ha de olvi-
darse que se trata de atracciones.
Y la demostración del teorema es bien sencilla.
Sea AB un elemento infinitamente pequeño de la super-
ficie S; consideremos un cono que tenga por vértice Mm, y
por directriz el contorno de AB, y calculemos el flujo co-
rrespondiente á dicho cono.
Tracemos ahora dos esferas, una de radio m,A=R, la
cual cortará el cono, según un área infinitamente pequeña
AC, que, conforme á lo que antes explicábamos, puede
considerarse como la proyección del área A B sobre el plano
tangente á la esfera en A, que se confundirá sensiblemente
con AC. |
La segunda esfera la trazaremos también desde m,, como
centro, con un radio igual á la unidad, y esta esfera e cor-
tará al cono m, AB, según un área infinitamente peque-
— 429 —
ña ac, que será la medida de dicho cono y que designare-
mos por du.
Hemos demostrado que el flujo, según A B, es igual a!
flujo de la fuerza correspondiente F sobre el área A C, luego
tendremos
flujo en el cono m, AB= área AC - F;
pero
área AC=d0 - R?
Y
F= km;
R?
Y sustituyendo estos últimos valores en el valor del flujo,
m
flujo en el cono m,AB = du - R? - o = km; do.
Para otro cono cualquiera, cuyo vértice esté en m,, y que
se apoye sobre otro elemento de la superficie, por ejemplo,
sobre D, tendremos una expresión análoga
km, dw'
siendo du” la abertura de este cono medida en la esfera e.
Descomponiendo el espacio que comprende S en infinitos
conos análogos á los anteriores, y sumando todos estos flu-
Jos parciales, como los conos agotan el espacio de que se
trata, y abarcan toda la superficie S, obtendremos el flujo
total, y resultará:
flujo á través de
S=km,de +km,dv +.....=km,(de +de' +.....)
Pero la suma de las áreas comprendidas en el paréntesis
del segundo miembro, representan precisamente la superfi-
— 430 —
cie de la esfera e, que, como su radio es 1, tiene por va-
lor 47.
Luego el flujo de que se trata será
flujo (S)=km,- 47
con lo cual queda demostrado el terema de Gauss.
Si suponemos k=1, el flujo en una superficie cerrada,
que comprende una masa ponderable m,, toma la forma
sencillísima
47m,
Este teorema, lo mismo que el anterior, puede generali-
zarse para un número cualquiera de masas MM, Ma ....., COM-
prendidas en S; porque hemos demostrado por el teorema
de la proyección de una resultante de varias fuerzas, que el
flujo del conjunto es igual á la suma de los flujos parciales.
Luego si en el interior de S existen las masas M,, Ma .....,,
suponiendo siempre k=1, tendremos
flujo (S) =4x (m, + m, .....).
Representando para abreviar la suma de todas las ma-
SAS M,, Ma oa... por M tendremos el teorema de Gauss gene-
ralizado. Si en el interior de una superficie S existen distri-
buídas de cualquier modo varias masas, cuya suma es igual
á M, el flujo total será
flujo (S)=4* M.
Todavía puede generalizarse este teorema, como hicimos
con el anterior, suponiendo que existan masas que determi-
nen repulsiones en vez de atracciones sobre las masas de
prueba colocadas en la superficie $.
— 431 —
Esto sucede precisamente con las masas eléctricas. Las
positivas determinan sobre la masa eléctrica + 1 una repul-
sión, y por lo tanto un flujo negativo, y por el contrario las
negativas una atracción á la cual acompaña un flojo positivo
Pero todo lo dicho se aplica sin dificultad á este caso con
esta modificación, que se desprende de lo expuesto:
Que el flujo de una masa eléctrica total
M= mi + Ma + .....
será
flujo (S) =— 47M,
En QUe Ml, , Ma ..... tendrán los signos que le correspondan y
el signo M resultará de la suma algebráica anterior.
Si M es positiva el flujo será negativo, como debe ser,
puesto que dos masas eléctricas de igual signo se rechazan.
Si M es negativo el flujo será positivo,
Pasemos al tercer teorema.
Tercer teorema.—Es un teorema de transicción entre los
dos teoremas anteriores, y se refiere al caso en que una
masa m, está precisamente sobre la superficie $.
En este caso, si una masa mm, está colocada en A (fig. 14)
sobre la superficie S, y el plano tangente en A está bien
definido, considerando como antes una serie de conos ele-
mentales A B C y la esfera de radio 1, que llamaremos e, es
evidente que al sumar los flujos de todos estos conos, cuya
suma dará el flujo total á través de $, las áreas bc, que
miden cada uno de dichos conos elementales, no sumarán
más que la superficie E e E” de media esfera, la que está á
la izquierda del plano tangente £; porque al otro lado ni hay
superficie, ni fuerzas atractivas, ni flujo de fuerzas.
— 432 —
Y como el área de media esfera es 2 x, el flujo tendrá por
valor del exterior al interior
flujo (S) = 2xm.
Generalizando el teorema para muchas masas pondera-
Figura 14.
PIES VI, Mi distribuidas sobre la superficie S, y llaman-
do Má la suma de todas ellas resultará :
flujo (S) = 27M,
siempre en la hipótesis k=1.
También este tercer teorema se generaliza y del mismo
modo que los anteriores para las masas eléctricas.
Así veremos, al estudiar la electroestática, que en esta
rama de la Física son fundamentales los tres teoremas que
acabamos de explicar, y sobre los que algo diremos todavía
en la conferencia próxima.
— 433 =
XX.—A puntes sobre Mecánica social.
POR ANTONIO PORTUONDO Y BARCELÓ.
. (Continuación.)
ES PA TITC XA "YA DIEN AU NTTOLA
1,? PARTE: EQUILIBRIO Y MOVIMIENTO
DE LOS INDIVIDUOS
Antes de estudiar el equilibrio y el movimiento de las
agrupaciones sociales, hemos de estudiar en esta 1.* Parte
(como preliminar indispensable), el equilibrio y el movi-
miento de los individuos y elementos sociales que las cons-
tituyen, imitando en esto —como en todo — el procedimien-
to que se emplea en la Mecánica racional.
Véamos antes los primeros jalones de esta Ciencia.
EL PUNTO MATERÍAL. Para la exposición newtoniana, se
requiere la noción abstracta del punto material, que no es la
partícula física.
- Por el marcado caracter matemático de la Mecánica racio-
nal (no decimos de la Mecánica en general) los elementos
que, enlazados entre sí, constituyen los sistemas, no son ni
pueden ser las moléculas, los átomos, los electrones, ni
cualesquiera otras partículas que los físicos establezcan como
constitutivas de los cuerpos de la Naturaleza, y sobre las
cuales versan hoy, (6 puedan versar el día de mañana) las
teorías físicas y químicas. En la Mecánica racional pura y
abstracta, que es la que nosotros necesitamos para nuestras
especulaciones de Mecánica social, no se consideran estas
partículas que admiten la Física y la Química, sino que se
— 434 —
trata del punto material, significando con estas dos palabras
unidas, que se trata del punto matemático de la Geometría,
al cual se le atribuye la condición abstracta de material, es
decir, que se le dota de una masa, como coeficiente de capa-
cidad para el movimiento en el espacio.
Por esto las Teorías de la Mecánica racional no están—á
mi entender — pendientes de los descubrimientos físicos y
químicos, del mismo modo que puedan estar las Teorías físi-
cas y químicas. A mi modo de ver, la evolución que se ha
operado (y que incesantemente se opera) en los conceptos
matemáticos, así de la Geometría como del Análisis, trans-
cienden directamente á la Mecánica racional, y determinan
la evolución de esta ciencia; mientras que la evolución en
los conceptos físicos y químicos que transcienden muy di-
rectamente á la Mecánica aplicada (por ser ésta una rama
de las ciencas físicas), no puede influir sobre las leyes pu-
ras de la Mecánica racional. Tal como ésta ha quedado
construída después de Galileo y de Newton, con su arma-
zón científica, podrá ser ensanchada y desenvuelta, como lo
es incesantemente; podrá ser expuesta de diferentes modos
por exigencias del espíritu filosófico Ó por conveniencias
de las ciencias que la necesitan; pero siempre será cierto
que sí se admiten como Postulados los Principios fundamen-
tales, todas las leyes de la Mecánica racional se imponen
lógicameute á la razón, sin que dependan de los descubri-
mientos físicos ó químicos, porque esas leyes son formula-
das con el lenguaje matemático, y para nosotros nada más.
Hasta hoy la Naturaleza se ha correspondido muy bien con
esas leyes teóricas; pero si por virtud de observaciones per-
Tectamente hechas, y con todo género de garantías, esa Co-
rrespondencia se rompiera algún día, y los físicos hubieran
de 1epudiar Teoremas demostrados por la Mecánica racional
de hoy, ésta —aunque subsistiendo como edificio lógico, di-
gamos así— no sería ya de utilidad para las ciencias físicas.
En tal supuesto conflicto, habria que revisar los Principios
— 4353 —
fundamentales, y me parece que el nuevo Newton que repa-
rara el defecto en los cimientos, y construyera una nueva
Mecánica racional utilizable por los físicos, habría de modi-
ficar los Postulados, pensando siempre en el dato puro y
abstracto del punto material.
Recordemos brevemente lo ocurrido en los últimos años
en qne han surgido descubrimientos que en el campo de la
Física y de la Química han producido tan honda y legitima
emoción. Después de los descubrimientos de los rayos X, de
los rayos de urano, de los de torio y del gran poder radio-
activo de muchos minerales, se logró finalmente obtener
(aunque en cantidad pequeñísima) el radio que emite rayos
luminosos y calorificos con propiedades asombrosas, para
la explicación de las cuales se ha supuesto que son de tres
clases <, $, y (con diferente modo de ser) que se han reco-
nocido por la conductibilidad eléctrica que producen en el
aire, lo cual no nos interesa aquí. La enorme cantidad de
energía representadada por el calor que emite incesantemen-
te un gramo de radio (100 calorías-gramo en una hora) le
deja, al parecer, sin alteración alguna, ó al menos sin alte-
ración que sea apreciable por los más finos y delicados ins-
trumentos y procedimientos de observación. ¿Rompe este
descubrimiento la correspondencia de la Naturaleza con el
Teorema de la Conservación de la energía, y hay que repu-
diar este Teorema de la Mecánica?
Así fué planteada por algunos en los primeros momentos
la cuestión que surgía con tan emocionante descubrimiento
físico. Pero es tal la fe en la ley mecánica, no considerada
como pendiente de ningún descubrimiento particular físico
Ó químico, que se desechó bien pronto toda duda sobre el
Teorema de la Mecánica, y se dedicaron con ahínco los in-
vestigadores á examinar si habría algún proceso natural,
antes desconocido, por virtud del cual quedaran en libertad
cantidades de energía que fueran muchos millones de veces
mayores que las que aparecían en los procesos*conocidos»
— 436 —
y que explicara cómo es producida la energía que expide
sin cesar el radio. Estas investigaciones han conducido á una
nueva concepción acerca de la constitución de los cuerpos
materiales. |
Se sabía por la Química cómo las moleculas de los cuer-
pos estaban constituidas por átomos de los cuerpos elemen-
tales; y se conocian y se medían las cantidades de energía
que iban envueltas en ese proceso de composición molecu-
lar, al dividir —ó mejor dicho — descomponer la molécula en
sus átomos. Pero en los átomos de los cuerpos elementales.
se acababa todo; eran indescomponibles, eran irreductibles;
habían sido sido infructuosas cuantas tentativas se habían
hecho pára dividir los átomos, y aunque se habían visto co-
nexiones entre unos y otros cuerpos elementales por sus
respectivos pesos atómicos, no se había podido pasar del
átomo. Ahora se cree ya que, probablemente, hay partículas.
mucho más pequeñas que los átomos, y que éstos se com-
ponen de esas partículas, no siendo, por tanto, indivisibles,
como se pensaba.
Se tiene hoy por demostrado, según afirman, que cada
una de esas partículas es mil veces menor que el átomo del
hidrógeno (que es el menor de todos), y que lleva cada una
la misma cantidad de electricidad negativa que la que lleva
un átomo de hidrógeno al salir del agua por descomposición
de ésta. Esa partícula cargada con esta cantidad de electrici-
dad negativa es el electrón. Decimos que se tiene por demos-
trado, porque diferentes investigadores, por procedimientos.
muy diversos, han coincidido, han llegado (según se dice)
á ese mismo valor para el electrón. Así, pues, en cualquier
cuerpo se puede llegar hasta el electrón—.es decir, la milé-
sima parte de un átomo de hidrógeno. — Ya se puede conce-
bir que por el diferente número de electrones, por el diverso
modo de agrupación de éstos y por sus velocidades, se di-
ferencien, unos de otros, los átomos de los diversos cuerpos.
considerados como elementales.
— 437 —
Prescindiendo de las hipótesis que han hecho algunos físi--
cos sobre la base de los electrones y los iones (electro-posi-
tivos), lo que ya se puede concebir desde luego es: que la
descomposición del átomo de un cuerpo elemental, como el
radio — por ejemplo —, deje en libertad una enorme canti-
dad de energía, muy superior á la que conocíamos por la
descomposición de la molécula en sus átomos. Así también
es concebible ya, que un cuerpo elemental pueda transfor-
marse en otro al cambiar su peso atómico por pérdida de:
electrones. Esto parece haberse comprobado en las expe-
riencias hechas con la emanación del radio, por las cuales.
se ha obtenido el helio.
De toda esta digresión (salvando las inexactitudes en que
podamos haber incurrido), resulta que, por virtud de descu-
brimientos físicos y químicos, se ha penetrado más y más en
la constitución íntima de los cuerpos materiales, llegando á
partículas físicas mas y más pequeñas. Y hay que pensar en
la imposibilidad de poner límite alguno á lo que las investi-
gaciones futuras puedan sugerir en orden á la pequeñez de
las partículas que hayan de mirarse como en las entrañas de:
los cuerpos materiales; nada impide concebir que pueda lle-
garse á partículas que sean muchos millones de veces me-
nores que los electrones de hoy, sin limite alguno. La Física
y lá Química, y con ellas la Mecánica de los cuerpos mate-
riales, estarán siempre pendientes de evoluciones futuras
por ese motivo; pero la Mecánica racional no está en el mis-
mo caso —á mi entender — toda vez que establece sus teo-
rías sobre la entidad abstracta del punto material (que sólo-
está en nuestra mente), y á él no pueden llegar, ni en nada
pueden afectarla, los descubrimientos físicos, por lo mismo-
que está sólo en nuestra mente, fuera de la realidad física..
— 38 —
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
DE LA MECÁNICA RACIONAL
Vimos en los Preliminares que:
Del primer principio—ó sea el de la inercia del punto ma-
terial —se infiere la existencia de alguna causa exterior al
punto, si se observa algún cambio en el estado de reposo ó
«de movimiento de éste. La causa se llama fuerza (*).
Del segundo principio se deduce que el cambio de movi-
miento producido por una fuerza se realiza en la dirección y
en el sentido en que ella actúe. Esa dirección y sentido del
cambio de movimiento, es lo que en la Cinemática hemos
llamado dirección y sentido de la aceleración total J. Y se
admite que la magnitud de esta / es proporcional á la fuerza
motriz F (+*).
Invirtiendo, se dice que la fuerza motriz F — mirada como
“una acción externa sobre el punto material que le hace cam-
biar su estado de reposo ó de movimiento — es proporcio-
nal (para un punto dado) á la aceleración / que este recibe
(F= m J).—La fuerza se ve como un vector localizado en
la posición que ocupa el punto.
El coeficiente de proporcionalidad m, afecto á cada punto
material, se llama su masa.
De este segundo principio se deduce el teorema del para-
Jlelógramo para la composición de dos fuerzas que actúen si-
(**) Claro es que no cabe hacer observaciones sobre el punto ma-
terial que es una abstracción. Se aplica á él lo que pudiera observar
se en un cuerpo material. No se olvide que estos Principios de la
Mecánica son para nosotros simples Postulados.
(+*) La ley de la inercia puede ser mirada, no cómo un prímer
Principio, sino como un caso particular de este segundo Principio,
puesto que si no hay fuerza, no hay aceleración; es decir, no hay
cambio alguno en la velocidad, y ésta subsistirá, por consiguiente,
«en magnitud, dirección y sentido.
— 439 —
multáneamente sobre un mismo punto, basándose en la:
composición cinemática de las aceleraciones correspondien-
tes, y en virtud de la independencia de los efectos de las.
fuerzas.
Si se llama cantidad de movimiento de un punto de masa
m en un instante, á un vector localizado en la posición que:
ocupa el punto, y que-—con la misma dirección y el mismo:
sentido de la velocidad —tenga por magnitud la de ésta mul-
tiplicada por el coeficiente m, y se recuerda lo que sabemos.
sobre la aceleración total /, se ve la fuerza motriz m_J como-
produciendo (por una simple multiplicación) el incremento
total (vectorial) muy pequeño mJ><% que experimentará la
cantidad de movimiento mv en el intervalo muy pequeño de-
tiempo 4 (*). Se podría decir, en vista de esto, que la fuerza
es la derivada total geométrica (respecto al tiempo) del vec--
tor que representa la cantidad de movimiento; así como en-
Cinemática se podía decir que la aceleración total es la de-
rivada total geométrica del vector que representa la velo--
cidad.
El tercer principio que aceptamos fué el de la igualdad de-
la acción y la reacción; es decir, que siempre que un-
punto material recibe una acción que emana de otro punto
material, éste á su vez experimenta—como emanando del:
primero —una reacción igual y directamente opuesta á la.
acción (**).
Los tres principios, que hemos recordado por segunda
vez, no se imponen por sí mismos, ni son demostrables, ni:
pueden comprobarse por la experiencia. Aunque se han he--
(*) El producto de la fuerza F= mJ por el intervalo muy pequeño -
tiempo 0 en que actúa, es lo qne se llama impulsión elemental de la
fuerza.
(+) Este tercer Postulado es el conocido particularmente con el
nombre de Principio de Newton, porque los dos primeros habían sido-
ya previstos por Galileo, aunque éste se limitó al estudio de la caída:
de los cuerpos por la acción de la gravedad.
— 440 —
cho objeciones contra ellos, y descansan sobre nociones
que son metafísicas, los admitiremos como si fueran incon-
testables. Es muy de lamentar tal deficiencia en los cimientos
de la Mecánica racional, que hasta hoy ha ostentado como
timbre científico el hecho de que la observación y la expe-
riencia hayan confirmado siempre todos sus Teoremas (*).
ADAPTACIÓN Á LA MECÁNICA SOCIAL
El propósito de aplicar á los individuos y á las agrupa-
ciones sociales, y refiriéndonos á un determinádo asunto, los
teoremas de la Dinámica de los puntos materiales y de los
sistemas materiales, nos pone en el caso de justificar prime-
ramente la asimilación que haremos del individuo — como
entidad ideal y abstracta —al punto material para concebir
los movimientos de modificación de aquél (en un asunto)
.como los movimientos de éste en el espacio; y de admitir
después para ese individuo abstracto y símple que conciba-
mos, los tres Postulados.
Sin esta justificación previa no tendría valor alguno cuan-
to dijéramos, porque sería un simple cambio de palabras.
(*) El hecho es que, partiendo Newton de ideas metafísicas sobre
«espacio, tiempo y movimiento absolutos (ideas sin realidad), pudo
constituir, sin embargo, una Ciencia como la Mecánica racional,
-exuberante de verdades comprobadas y verificadas después por la
observación y la experiencia; es decir, de resultados que no se re-
sienten de la falsedad en la base.
Este hecho histórico es muy digno de meditación, no para la reha-
«bilitación de los procedimientos metafísicos (definitivamente muer-
tos para las ciencias positivas), sino para tratar de explicar el hecho
de un modo positivo; es decir, para ver cómo ha podido producirse,
-6, dicho de otro modo, cómo se ha eliminade lo qne había de irreal
en el punto de partida. Tal investigación sería grandemente instruc-
tiva, porque algo análogo ocurre en los puntos de partida de todas
«las Ciencias.
== 411 —
Veamos lo primero.
Si se admitiera con algunos fisiólogos y psicólogos, que
en el individuo vivo (como conjunto de células vivas enla-
zadas entre sí mediante el organismo todo del cuerpo del
animal) aparece la unidad de la conciencia individual con su
psiquis, como una sintesis; pensando que las células vivas
son de suyo conscientes, y que del conjunto orgánico ar-
mónico de las células, con sus psiquis celulares, brota la
psiquis individual; es claro que para una Mecánica social
aplicada á la realidad, habría que considerar la célula viva,
con su psiquis celular, como la partícula, y el individuo ani-
mal debería de ser mirado como una verdadera colectividad
Ó agrupación. Pero ya hemos dicho que serían enormes las
dificultades con que se tropezaría al intentar el estudio de la
Mecánica social aplicada, que no era ese nuestro intento; y
añadimos ahora que las dificultades serían inmensamente
mayores, si con arreglo á aquella concepción psico-fisioló-
gica se descendiera hasta la célula.
Nosotros intentamos permanecer encerrados en el campo
estricto de la Mecánica racional, y necesitamos primeramen-
te concebir lo análogo á la posición del punto materíal en el
“espacio.
Aunque no sepamos cómo hacer la medición por un pará-
metro, concebimos, sin embargo, la posición de cada indi-
viduo en un asunto dado; pero seria inconcebible para nos-
otros la posición de cada célula consciente en un asunto,
porque al fundirse todas las células en la conciencia indivi-
dual, ellas no nos aparecerían ya, y no nos sería posible
.asignarles posición, en el sentido que damos á esta palabra.
Sea lo que fuere de todo esto, el individuo que nosotros
concebimos, uno é indivisible, y que asimilamos al punto ma-
terial, quedará (como éste en la Mecánica racional) siendo
una entidad que esté solo en nuestra mente, fuera de la reali-
dad física y fisiológica, por lo cual no pueden afectarle los
nuevos descubrimientos que en el campo de la Fisiología y
— 442 —
Psicología se hagan en el porvenir en orden á la constitu-
ción del individuo como organismo viviente, y en orden á
la aparición de la conciencia y la evolución de la psiquis in-=
dividual.
El sociólogo Lilienfeld basa todo su sistema de Sociología
en la realidad del organismo social, en el cual son para él
verdaderas células sociales los individuos. Para este escritor
las acciones psíquicas que se ejercen de individuo á indivi-
duo en el interior de una agrupación social, son perfecta-
mente comparables á las acciones físico-fisiológicas que en
el interior del cuerpo de un animal se ejercen de célula á cé-
lula. Nosotros no entramos en este terreno porque nos he-
mos de limitar al estudio de los efectos mecánicos.
Quizá lo que Lilienfeld denomina substancia social inter-
celular desempeña un papel que tiene alguna analogía con
lo que nosotros denominamos enlaces entre los individuos y
elementos de una agrupación. Los grados de tensión á que
estén sometidos en cada instante los enlaces de la agrupa-
ción, podrían quizás guardar cierta correspondencia con el
estado en que se encuentre esa substancia intercelular que
media (según Lilienfeld) entre todos los individuos y ele-
mentos de una Sociedad dada.
La asimilación que nosotros haremos del individuo. al
punto material —para nuestro peculiar modo de ver sus mo-=
vimientos en un asunto como los de un punto en el espacio —
nos permitirá relacionar dichos movimientos con las impul-
siones que el individuo reciba, si se pueden adaptar á la
Mecánica social los tres principios fundamentales. Aunque
el ser humano individual no es una abstracción, podemos
concebir en él un ente abstracto ó ente de razón, al cual de-
nominamos ¿individuo para nuestra Mecánica social pura (**).
(*) Quizá esta concepción nuestra del individuo abstracto y sim-
ple sea, en cierto modo, comparable al alma á qúe se refiere el pro-
fesor Ebbinghans en su Psicología. Según Wunadt, el alma debe de
ser definida al empezar el estudio de la Psicología científica como «el
— 443 —
Los individuos en una agrupación social —lo mismo que los
puntos materialas en un sistema—no son contiguos, como lo
_son las células en los cuerpos vivos.
Veamos ahora la adaptación á la Mecánica social de los
tres Postulados.
Primer Postulado.—Para admitir que el individuo por sí
mismo permanecería en su estado de reposo ó de movimien-
to en un asunto (siguiendo este movimiento como uniforme y
de dirección constante), si no fuera compelido á cambiar ese
estado; y deducir lógicamente, de este Principio de la iner-
cia, que cuando se observe un cambio, existe alguna causa
exterior, es de todo punto inexcusable explicar lo que que-
remos significar.
Ante todo, parece innecesario repetir que al hablar del in-
dividuo nos referimos á un ente psíquico abstracto é ideal.
La calidad de inerte que le atribuiremos consiste: en que
su tendencia natural es á conservar su posición psíquica en
cada asunto, si está en reposo; ó á conservar su velocidad
en el asunto (tal como la tenga) sin alteración alguna, si-
guiendo un movimiento uniforme de dirección constante.
Cuando decimos que al observar un cambio en el estado del
individuo en el asunto, es lógico inferir la existencia de al-
guna causa exterior al individuo, hablamos de éste como del
ente psíquico abstracto y simple respecto del cual conside-
ramos como exterior, no sólo todo lo que está en la Natura-
sujeto (en el sentido lógico) al cual unimos como predicados todos
los hechos de la observación interna». En estos hechos el fenómeno
muy esencial es la unificación dentro de la multiplicidad.
Se ve que para estos psicólogos no hay necesidad de hacer hipóte-
sis alguna inicial sobre la existencia ó no existencia de un ser ó de
una substancia independiente de la materia.
Rey. Acap, CiencIias.—X.— Diciembre, 1911. 20
— 444 —
leza fuera del concreto individuo natural con su propio cuet-
po, sino también todo lo que—aun siendo interior á este úl-
timo — desempeña, sin embargo, el papel de exterior res-
pecto al ente psíquico abstracto y simple para el asunto que
consideremos.
Y así como un hecho físico de la Naturaleza que sea ex-
terior al cuerpo del individuo, ó un acto de otro individuo, es
un hecho exterior que puede influir sobre el individuo que
consideramos, y ejercer una acción mecánica-psíquica (que
sea una fuerza) para cambiar su estado en el asunto, admi-
timos asimismo que los apetitos que brotan de su propio or-
ganismo en su funcionamiento fisiológico normal, como el
hambre, la sed, el apetito genésico, etc., ó bien una altera-
ción cualquiera en sus órganos (cerebro, corazón, higado,
sistema nervioso, etc.), aunque ocurriendo todo ello en el in-
terior del organismo del individuo natural, puede ejercer, y
ejerce, una acción psíquica sobre el individuo abstracto y'
simple de que hablamos; y podemos mirarla como exterior
al ente de 1azón que llamamos el individuo.
Este se distingue para nosotros del cuerpo, y es como ex-
terior á éste (*). Y más aun: como nuestro estudio de las
posiciones del individuo ha de ser siempre sobre el supuesto
de un determinado asunto; podremos mirar como exterior al
individuo en el asunto, todo aquello que, aun siendo psíqui-
co suyo, corresponda á otros órdenes cualesquiera de asun-
tos, y sean por tanto, para nuestra consideración, como ex-
teriores al individuo en el asunto. Del orden general psiqui-
co individual emanan influencias que indudablemente ejer-
cen acción para cambiar el estado del individuo en el asunto.
La adaptación á la Mecánica social del Postulado de la
(+) No pretendemos entrar en las cuestiones que se plantean los
psicólogos. Nos limitamos á explicar los que nosotros ueremos sig-
nificar al decir que admitimos la ley de la inercia, para el individno
en un asunto.
— 445 —
inercia, tal como la presentamos, deberá de ser vista como
un último avance en la generalización de esa ley, puesto
que ya los fisiólogos habían dado el primer paso. El emi-
nente fisiólogo Mr. A. Dastre dice que aunque la opinión
vulgar desconoce la generalización de la ley de la inercia,
para los cuerpos vivos, y no la aplica sino á la materia
bruta, se debe de pensar que la materia viva no posee por
sí misma espontaneidad real, y que se requieren los excitan-
tes (de su vitalidad) que provienen del medio ambiente. Por
esto el mecanismo vital sería un mecanismo inerte si nada
del medio viniera á provocarle á la acción. Es decir, que la
ley de la inercia no es solamente aplicable á los cuerpos
brutos, sino también á los vivos, cuya apareníe exvontanel-
dad no es más que una ilusión desmentida por toda la fisio-
logía; ó en otros términos: que las manifestaciones vitales
son réplicas (por la irritabilidad) á un estímulo, esto es, ac-
tos provocados, y no actos espontáneos.
Las fuerzas sociales por excelencia que actúan sobre cada
individuo ó elemento de una agrupación son:
1.2 Las que emanan de otros individuos ó elementos, ya
sean de la misma agrupación (interiores), Ó ya sean de fue-
ra de ella (exteriores). Revisten formas variadísimas é innu-
merables. Se puede decir en general, que todo lo de un indi-
viduo ó elemento social que excite la psiquis del individuo
ó elemento que se considere, es para éste un estímulo ó pre-
sión sugestiva, es decir, una fuerza en el asunto, toda vez
que el individuo ó elemento considerado puede adquirir,
mediante aquella influencia estimulante, un nuevo conoci-
miento ó puede modificar los que tenía, ó bien puede des-
pertarse en él un sentimiento nuevo, Ó pueden modificarse
otros, ó bien puede templarse ó aflojarse su voluntad, etcé-
tera. Todo ello vendría á ser un cambio en la posición del
individuo ó elemento en el asunto, y podría alcanzarse por
imitación (como dice Tarde), ó de cualquier otro modo. El
escritor Demarest Lloyd considera que la más poderosa de
— 446 —
las fuerzas sociales naturales es la simpatía humana, que en
su más amplio sentido es inagotable, y es la llamada á pro-
vocar los más altos grados de perfeccionamiento en el por-
venir de las sociedades humanas. Todas las fuerzas de que
hablamos ahora surgen del contacto del hombre con el hom-
bre, y en ellas aparece muy claramente el principio de la
igualdad de la acción y la reacción de que hablaremos des-
pués (+).
2. Además de esas fuerzas habrá de ser considerado
cada individuo ó elemento de una agrupación como someti-
do en el asunto de que se trate á una fuerza que represente
la acción social, que es (como dice Durkheim), la coerción
de la agrupación toda sobre la psiquis de cada individuo, y
no puede considerarse como emanando sólo de un particular
elemento ó individuo de la agrupación. Habremos de supo-
ner que esta fuerza sea también conocida en magnitud, di-
rección y sentido (**).
(*) El distinguido escritor D. Adolfo Posada, con el sentido inten-
samente altruista que le caracteriza, al considerar los fenómenos de
cooperación y de sacrificio como emanaciones de un principio supe-
rior de simpatía expansiva, habla del amor, del cariño, del mutuo
auxilio, del sacrificio, etc., como de sugestiones que tienden á unir
las almas; y por eso añade: «Si es cierto que la Naturaleza se nos
revela al pronto como un inmenso teatro de luchas implacables, el
examen reflexivo acaso nos la presenta como centro fecundo de
amor y de simpatía».
(E%) Sobre los efectos y las causas dice Hume que:
«Si examinamos la producción de los efectos por sus causas halla-
mos que en nuestra concepción de esta relación no podemos pasar
más allá de la simple observación de que hay un enlace constante que
inclina al espiritu — por una transición —á concluir lo uno de lo
otro. Pero los hombres están muy dispuestos á creer que en el domi-
nio de la Naturaleza material hay algo como una relación necesaria
de causa ó efecto... Están, por otra parte, algo inclinados á suponer
que hay alguna diferencia entre los efectos que resultan de una fuer-
za material y los que provienen del pensamiento y de la inteligencia.»
Y añade Hume estas expresivas palabras:
«Pero sí estamos bien convencidos de que respecto de cualquiera
— 447 —
Segundo Postulado.—Lo admitimos para la Dinámica del
individuo abstracto y simple. Y asi diremos que todo cam-
bio en el movimiento de modificación producido por una
fuerza psíquica que influya sobre un individuo en movimien-
to, se realiza en la dirección y en el sentido en que la fuerza
actúe. Es la dirección y el sentido de la aceleración total /.
La magnitud de ésta es proporcional á la de la fuerza mo-
triz F. Inversamente se diría que la intensidad F es propor -
cional á la magnitud de /(F=mJ) para un determinado
individuo en un asunto dado. Este coeficiente de proporcio-
nalidad m aparece, pues, en la Dinámica social, dándonos
también la noción de masa como coeficiente de capacidad
del individuo para el género de modificación que constituya
el movimiento (*). Habrá de ser afectado cada individuo de
una masa diferente, según el asunto de que se trate. Será de
masa muy grande, si requiere la aplicación de una fuerza
muy grande para adquirir una aceleración dada / en un asun-
to; y podrá ser ese mismo individuo de masa muy pequeña
para otro asunto.
Por el principio de Galileo se pasa al teorema del parale-
lógramo para la composición simbólica de dos fuerzas so-
ciales que actúen simultáneamente sobre un individuo, apo-
causalidad no sabemos sino que hay un enlace constante, y, por ende,
la inferencia de nuestro espíritu de lo uno á lo otro; y si encontramos
que estas dos circunstancias son universalmente admitidas para
nuestras acciones voluntarias estaremos dispuestos á aceptar que la
misma necesidad es común á todas las causas.»
(*) Si fuera posible someter á cada individuo -en un asunto dado
—á la experiencia necesaria para determinar la aceleración / de su
cambio de movimiento en el asunto, por la acción de una fuerza psí-
quica F conocida (que se pudiera medir) se deduciria experimental-
mente así su masa m = + para ese asunto. Si inversamente se co-
nociera la masa del individuo, una fuerza que sobre él actuara se me-
diría por el producto de la masa, por la aceleración que aquella le im-
primiera; ó bien podría medirse una fuerza por otra que la equilibra-
ra, actuando simultáneamente sobre el mismo individuo.
— 448 —
yándose en la composición cinemática de las aceleraciones
correspondientes á dichas fuerzas. Tanto las fuerzas como
las aceleraciones son aquí cantidades vectoriales psíquicas,
representables por vectores espaciales que las simbolicen.
Se puede repetir en la Dinámica del individuo, que por la
impulsión elemental de la fuerza F en el intervalo muy
pequeño de tiempo % (F.4= m]7J.), se mide el incremento
total muy pequeño de la cantidad de movimiento mov, toda
vez que si (por Cinemática) /0 da (en magnitud, dirección
y sentido) el incremento total muy pequeño de v; m.J% dará
el de mov.
Podría hacerse una objeción importantísima contra la
adaptación del principio de Galileo á la Mecánica social, y
es la siguiente:
Si el cambio en el movimiento de modificación de un in-
dividuo se realiza en la dirección y en el sentido en que ac-
túa la fuerza, y la magnitud de la aceleración es proporcional
á la de la fuerza (F = mJ), no parece natural que el coeti-
ciente de proporcionalidad rm sea constante para un individuo
dado, moviéndose en un asunto, cualquiera que sea la espe-
cie de fuerza psíquica que actúe sobre él, puesto que la ob-
servación y la experiencia muestran, al contrario, que cada
individuo se mueve ó se modifica por unas especies de in-
fluencias psíquicas más fácilmente que por otras (menor
coeficiente m). Así á un individuo dado se le mueve muy
fácilmente, ó se le lleva muy fácilmente á modificarse (es decir,
á cambiar su estado en un asunto) por influencias sentimen-
tales, por ejemplo, y por el contrario se le modifica muy
poco con reflexiones que obren por intermedio de la razón,
y menos aún por meras sensaciones que afecten casi exclu-
sivamente á su sensibilidad. Siendo esto así, ¿cómo admitir
que el coeficiente m sea el mismo para la acción de esas dis-
tintas especies de fuerzas psíquicas sobre dicho individuo?
Para contestar esta objeción—que aparece muy grave —
debo de recordar, ante todo, que así como los tres Postula-
O
dos en la Mecánica racional se admiten sólo para el punto
material, así en la Mecánica social proponemos que se ad-
mitan sólo para el individuo abstracto y simple que hemos
concebido como absolutamente ¿nerfe, y que concebimos,
además, como absolutamente indiferente para recibir las ac-
ciones de las fuerzas psíquicas de cualquiera especie que
sean, y cualquiera que sea el estado de movimiento en que
se halle. El fenómeno que observamos en la experiencia so-
bre la mayor ó menor capacidad de un individuo dado para
obedecer, en su vida práctica, á la acción de una ú otra es-
pecie de fuerza psíquica, es un fenómeno de observación
empírica hecha sobre ese individuo concreto y complejo. En
la realidad de ese fenómeno pueden intervenir é intervienen
procesos psicológicos complicados por virtud de los cuales
una influencia sentimental exterior — por ejemplo — provoca
la acción de otras fuerzas psíquicas que, brotando del inte-
rior del individuo natural y concreto (ocultas para el obser-
vador), refuerzan el efecto sobre el individuo abstracto y
simple de la sola influencia sentimental exterior que el ob-
servador podría apreciar desde fuera. Asimismo, y en virtud
de los procesos psicológicos á que nos referimos, una refle-
xión (aun siendo de gran valor) puede producir en ese indi-
viduo poco efecto, porque se componga esa fuerza intelec-
tiva con otras ocultas (interiores al individuo natural) que
contrarresten su efecto, es decir, el efecto de la que actúa
desde fuera. Todas son siempre exteriores al individuo abs-
tracto y simple. Además, y como ya dijimos en los Prelimi-
nares, todas las fuerzas han de obrar real y efectivamente
para su acción psíquica, porque si así no fuera, serían como
nulas para la Mecánica.
De esta suerte—y tomándolas todas en consideración para
la estimación de una resultante — podrían ser pensadas las
componentes (6 la resultante) como actuando sobre el indi-
viduo abstracto y simple dotado de una masa que sea un
coeficiente constante de capacidad para modificación en el
= 280. =
asunto, cualquiera que sea la naturaleza especifica de las
fuerzas.
Las explicaciones que acabamos de dar se basan en lo que
la Psicología nos enseña sobre las varias especies de fuerzas
psiquicas. Cada una de ellas es acompañada Ó provoca y
queda asociada á otras muchas de diferentes especies (*).
Todas tienen ante nuestra consideración igual título para
actuar sobre el individuo abstracto y simple que conce-
bimos en cada hombre, lo cual no obsta, sin embargo, para
que en el análisis psicológico se encuentre que las fuerzas
que provienen de las ideas no producen las impulsiones
dinámicas de un modo directo, porque estas impulsiones vie-
nen directamente de los deseos, es decir, de sentimientos.
Pero al fin y al cabo las ideas ejercen su acción, aunque sea
por intermedio de los sentimientos que las acompañen, y por
eso nosotros las consideramos como fuerzas, cuando obran
efectivamente.
Todas las fuerzas serán — para nuestras especulaciones
dinámicas — cantidades vectoriales psíquicas con sus tres
atributos, y admitiremos su composición por suma vectorial.
En esta suma aparecen como fundidas ya todas las acciones
de fuera y de dentro del límite U de Mach.
TERCER PRINCIPIO (llamado de Newton).—Ya dijimos en
los Preliminares que en lo psíquico admitiremos también el
Principio de que /a reacción es igual y contraria á la acción,
significando con esto que siempre que un individuo reciba
una acción psíquica para cambiarle su estado de reposo ó
(*) En el cerebro del hombre hay innumerables vías de comunica-
ción que hacen posibles las acciones recíprocas entre las diversas
impulsiones.
Dice el Dr. Hóffding en su Tratado de Psicología. que «al pensar
que cada excitación produce en las células una descarga de energía
potencial, y que el resultado de esta descarga en cada célula puede
combinarse en el cerebro con los resultados en muchos millones de
otras células, se siente uno acometido de una especie de vértigo ante
la idea de todas las combinaciones que son posibles.»
-- 451 --
de movimiento, él ejerce á su vez—por reacción—otra igual
y directamente opuesta, que se aplica al punto de donde di-
mane la acción. Claro es que siendo también esta reacción
de naturaleza psíquica sólo puede ser estimada como una
fuerza en la Mecánica social, cuando se aplique á otro indi-
viduo ó elemento social individualizado (*).
La acción que reciba un individuo (ó elemento) como pro-
viniendo de la agrupación en su totalidad, es decir, la acción
social, originará (como todas) la reacción del individuo, que
será igual y directamente opuesta á la acción recibida; pero
como habría de aplicarse á la Sociedad en masa (como se
dice vulgarmente), su efecto sería insensible, por la enormi-
dad de esta masa con relación á la del simple individuo que
consideramos.
Lo que se llama fuerza de inercia, no es otra cosa que la
reacción que emana de un individuo cuando es solicitado
por una fuerza F; y por el Principio de Newton se vé, que
la fuerza de inercia será de sentido contrario á F, y su mag-
nitud se medirá, como la de ésta, por el producto de la
masa n por la aceleración /.
Por todo lo que acabamos de decir sobre la adaptación á
la Mecánica social de los Principios de la Mecánica racional,
se ha visto que el cambio de movimiento de un individuo
libre en un asunto, aparece para nosotros determinado por
(*) Si fuera posible determinar experimentalmente las aceleracio-
nes ] y J' que dos individuos sufrirían por la acción y reacción recí-
procas (de igual intensidad) entre ellos, se podría conocer entonces
la relación ña de las masas (en el asunto) de esos dos individuos,
m
porque sería igual á la relación inversa de sus aceleraciones respec-
tivas P .
Y
— 452 —
la fuerza psíquica motriz, y por la masa para el asunto del
individuo sobre el cual actúe; lo mismo que el cambio de
movimiento de un punto material libre en el espacio, apare-
ce determinado por la fuerza física motriz, y por la masa del
punto sobre el cual actúa.
Eso que hemos establecido para seguir nuestras especu-
laciones mecánicas, es, en el fondo, análogo á lo que se dice
cuando se afirma que los actos en general de un individuo se
producen necesariamente por la acción de la resultante de
los motivos (como fuerza motriz) sobre el carácter del indi-
viduo á quien solicitan. Me parece que el ente abstracto y
simple, que aqui hemos llamado el individuo, no debe de ser
concebido como causa de su propio cambio de estado de
movimiento, sin intervención de fuerza psíquica alguna; así
como no puede ser concebido. actuando sin motivos. Y pa-
rece indudable que el acto que un hombre libre realiza por
su voluntad, es necesariamente en la dirección y el sentido
del motivo más poderoso para él, es decir que su voluntad
se orienta en esa dirección y sentido, ó mejor dicho, en la
dirección y en el sentido de la resultante de todos los moti-
vos, cada uno de los cuales tendrá la intensidad que le atri-
buya el carácter del hombre mismo. Para mí es inconcebible
la libertad de indiferencia de que hablan algunos, porque
pienso en la verdad de Pero-Grullo de que un individuo no
puede dejar de querer lo que quiere.
Si pensamos en dos individuos sometidos á la influencia
de los mismos motivos que, objetivamente considerados»
sean idénticos; y suponemos que los dos individuos no orien-
tan su voluntad en la misma dirección ni con igual intensi-
dad, vemos esto como debido á la diferencia de sus caracte-
res, la cual hace que la relación de cada motivo al carácter
no sea la misma en los dos individuos. Si se admite que el
carácter sea uno é invariable en cada individuo (para el
asunto que se considere), se ve que cada uno de los motivos
se convierte en una fuerza de intensidad determinada para
de NE
dicho individuo, y así queda determinada su voluntad por la
resultante de los motivos como fuerza motriz, la cual es dife-
rente en uno y otro individuo, tanto en dirección y sentido
como en magnitud. Por esto el carácter es factor tan indis-
pensable para la dinámica del individuo, como lo son las
circunstancias en que se encuentre colocado, toda vez que
las intensidades de los diversos motivos que actúen como
fuerzas —ó si se quiere la fuerza de los motivos —están en
íntima conexión con el carácter del individuo.
Con profundo sentido dice Maudsley que: «Podríamos
predecir con certeza la manera de obrar de un individuo en
cireunstancias dadas, si pudiéramos penetrar en los replie-
gues más ocultos de su carácter, y conocer todos los pertiles
de éste, tanto heredados como adquiridos. El desconocimien-
to de todos esos datos es lo que nos impide prever los hechos
futuros.» Y añade que «el carácter de un individuo sólo po-
demos deducirlo del conocimiento de los actos que ha cum-
plido en su vida, y de las circunstancias concomitantes; por-
que los unos y las otras muestran lo que ese individuo ha
querido y lo que no ha querido, es decir, muestran su ca-
rácter».
Conviene advertir — como lo han advertido muchos —
que si admitimos que el carácter es algo inherente al hombre
mismo, é invariable en cada asunto, aunque varíen sus cono-
cimientos, sus ideas, sus sentimientos, etc., es decir—aunque
varíe su posición en el asunto, —ello no obsta para que estas
variaciones ejerzan grande influjo en la determinación de su
voluntad, porque habrá motivos que puedan aparecer y ejer-
cer su acción sobre el individuo cuando él se halle en la
nueva posición psíquica, aunque el carácter se haya conser-
vado como una constante del individuo para el asunto que
se considere. Por estas nuevas fuerzas, la orientación de la
voluntad, y la intensidad de ésta, pueden ser muy diferentes
en una y otra ocasión, aunque las circunstancias exteriores
sean las mismas, y sea el mismo el carácter.
Hemos hablado del individuo libre en el mismo sentido en
que se habla en la Mecánica racional del punto material
libre. Así como esta libertad se refiere á la no existencia de
impedimentos para que el punto material pueda obedecer á
la acción combinada de las fuerzas exteriores que le solici-
ten, las cuales, necesariamente, producirán el cambio corres-
pondiente del estado de movimiento, ó producirán el equili-
brio; así también la libertad del individuo consiste (para
nosotros) en la ausencia de impedimentos para que pueda
obedecer á la acción compuesta de los motivos ó fuerzas
exteriores que le soliciten, los cuales producirán, necesaria-
mente, ó un cambio en su estado de movimiento ó bien el
equilibrio, según los casos.
El sentido que damos á fa palabra Libertad fué pertecta-
mente definido por Hume: «¿Qué entendemos por la pala-
bra libertad cuando la aplicamos á las acciones voluntarias?
Seguramente no entendemos que las acciones tengan tan
poco enlace con los motivos, las inclinaciones y las circuns-
tancias, que no haya cierto grado de uniformidad en la su-
cesión de los dos términos, y que sea imposible inferir de la
presencia de lo uno la existencia de lo otro; porque todo eso
es cuestión de hecho perfectamente indudable. — Por libertad
no podemos, pues, entender sino el poder de obrar ó de no
obrar según las determinaciones de la voluntad; es decir: que
si decidimos permanecer en reposo, podemos; que si decidi-
mos movernos, podemos. —Y esta libertad hipotética es
universalmente reconocida á todo hombre que no esté pri-
sionero ó cargado de cadenas. No hay sobre esto discusión
posible (*).»
(*) Para conciliar la necesidad rigurosa con una libertad moral
metafísica (de la cual dimane el sentimiento de nuestra responsabili-
dad) se recurre á la distinción de Kant entre el carácter empírico y el
inteligible. El primero es el que se revela (como hemos visto) al en-
trar en juego los motivos que actúan como fuerzas; y como sólo de
un modo empírico—es decir, por la experiencia y con ocasión de
— 455 —
No creo necesario insistir, porque lo hemos hecho ya de-
masiado, en que lo llamado por nosotros movimiento del in-
dividuo en un asunto, es heterogéneo con el movimiento del
punto material en en el espacio que se estudia en la Mecá-
nica racional. En rigor, ni siquiera puede ser mirado el se-
egundo como representación del primero, sino como un mero
símbolo. En estos Apuntes nos dejaremos guiar siempre por
la Mecánica racional, pero entendiendo bien que el lenguaje
de ésta será para nosotros puramente simbólico. Téngase
por hecha de una vez para todas esta advertencia.
(Continuará )
nuestros propios actos y los actos de los demás—es que se revela y
se reconoce el carácter, de aquí el llamarlo empírico. En cuanto al
carácter inteligible (para mí ininteligible) como cosa en sí (noume-
no), ageno al espacio y al tiempo, no sujeto á la ley de casualidad, y
que sirve como de substratum al fenómeno, sin ser visible en el mun-
do de la experiencia, no podemos tomarlo en cuenta para especula-
ciones positivas, dejando esas lucubraciones á los metafísicos, puesto
que ellos creen poder elevarse á esas realidades misteriosas.
— 456 —
XXI.— La Asimetriía de les Tripletes de Zeeman.
POR MANUEL MARTÍNEZ-Risco Y MACÍAS.
INTRODUOCIÓN
Tienen actualmente excepcional interés las investigaciones
experimentales relativas á los tripletes asimétricos, porque
comparando sus resultados con los obtenidos teóricamente
por Voigt, ha de llegarse á conocer el grado de exactitud
de las hipótesis de que este físico parte para explicar el fe-
nómeno de Zeeman.
Sabidas son las aplicaciones que del mismo se hacen hoy
en la formación de series de rayas espectrales y en los tra-
bajos de Astronomía Física, y no es, por tanto, necesario
encarecer la importancia del estudio de la descomposición
magnética de las rayas espectrales.
En esta Memoria nos proponemos dar á conocer los re-
sultados de un trabajo, encaminado principalmente á encon-
trar la ley de la asimetría de posición del triplete 5.791 u. A,
del mercurio. Realizamos este estudio en el Natuurkundig
Laboratorium de Amsterdam, bajo la sabia dirección del
Profesor Zeeman. :
De los primeros trabajos que este físico realizó acerca del
triplete 5.791 u. A, resulta que su componente mediana ex-
perimenta un desplazamiento directamente proporcional á la
intensidad del campo magnético actuante. En cambio, según
las últimas investigaciones de Zeeman, el desplazamiento de
la componente mediana de dicho triplete varía como el cua-
drado de la intensidad del campo magnético. Tal discordan-
M. RISCO. La asimetria de los tripletes de Zeeman
. NN
% h
% »
A A?
€ o
10005888. ES
(000000 0 ME DAA,
a
E
En A. anillos de la raya 5791 u. A, sobre ésta.
En aA?, > de la componente mediana del triplete 5791 u. A, sobre la raya espectral original
B » del triplete central del nonete 5461 u. A.
(es > de la raya 5461 u. A.
C?, coincidencia de anillos del triplete central del nonete 5461 u. A.
Pototipia de Hauser y Menet.—Madrid
ABRA
A ÓR
FAURA
A
RNA
— 457
cia de resultados, aunque puede tener por causa la diversi-
dad de condiciones experimentales, nos movió á emprender
el presente estudio.
- Antes de comenzar, debo manifestar mi profundo agrade-
cimiento al Profesor Zeeman, por sus doctas enseñanzas, y
á la Junta para Ampliación de Estudios é Investigaciones
Científicas, por haberme proporcionado medios para des-
arrollar este trabajo.
EL FENÓMENO DE ZEEMAN
Varias medidas que Zeeman realizó acerca del fenómeno de
Kerr, indujéronle á pensar que un campo magnético podría
modificar la luz emitida por una llama, y fueron causa de
algunos trabajos que, con resultado negativo, llevó á cabo
dicho sabio hacia el año 1892. Zeeman confiesa que no ha-
bría vuelto tan pronto á ocuparse en tal género de expe-
rimentos, de no haber leído, en 1894, un pasaje de Max-
well (*), relatando los trabajos que Faraday (**) hizo
en 1862, sin resultado positivo, con objeto de buscar la re-
lación que entre el magnetismo y la luz pudiera existir. «Si
un Faraday — díjose Zeeman(***) — a songé d la possibilité
de cette relation, il n' était peut-étre pas inutile de reprendre
experience, en profitant des moyens actuels de [analyse
spectrale.» Pensándolo así, emprendió de nuevo sus traba-
jos, en el Laboratorio de Física de la Universidad de Leyden,
llegando esta vez á resultados interesantísimos.
(*) Maxwell.- Collected Works 11, pág. 790.
(**) Véase la biografía de Faraday por Bence Jones (1, pági-
na 449, 1870.) Véase también A. Cotfon.—Le phénoméne de Zee-
man Il, pág. 32, 1899.
(E) P. Zeeman.—De l'influence d'un champ magnétique sur la
lumiére emise par un corps. (Traducción de las «Verslagen» de la
Academia de Ciencias de Amsterdam, Octubre, Noviembre, 1896.)
— 458 —
Para analizar la luz emitida por el foco luminoso, valíase
Zeeman de una red cóncava de Rowland, de 14.438 trazos
por pulgada inglesa y de 10 pies de radio. Producia Zeeman
el campo magnético por medio de un electroimán Ruhmkorff,
de dimensiones medias, excitado por una corriente que fre-
cuentemente llegaba á 27 amperios.
Zeeman vió, en primer término, que las rayas D, produci-
das por la llama de un mechero de Bunsen, en la que previa-
mente se había introducido un trozo de amianto impregnado
de cloruro sódico, ensanchábanse al dar la corriente en el
electroimán, entre cuyos polos paraboloidales la citada llama
estaba situada. En el momento de la ruptura del circuito, Jas
rayas D recuperaban su primitiva anchura.
La raya roja del litio presentó fenómenos completamente
análogos.
Estos hechos, por sí solos, no bastan, sin embargo, para
afirmar que existe una acción directa del magnetismo sobre
la emisión de la luz; porque la deformación que la llama
experimenta al establecer el campo, supone un cambio de
temperatura acaso suficiente para producir el ensanchamien-
to de las rayas espectrales.
Teniéndolo en cuenta, Zeeman emprendió una serie de ex-
perimentos, cuyos resultados hacen muy improbable el que
una variación de la temperatura del foco luminoso sea la
causa del fenómeno observado, é inducen, por tanto, á creer
en la existencia de una acción específica del magnetismo
sobre la emisión de la luz. Recordaré aquí, que estos expe-
rimentos mostraron que las rayas de absorción producidas
por el vapor de sodio que un tubo situado entre las piezas
polares del electroimán contenía, adquieren un ensancha-
miento al crear el campo (*).
Realmente, la existencia de un cambio magnético en el
(*) Para detalles, véase P. Zeeman.—De l influence d'un champ
magnétique sur la lumiére emise par un corps, pág. 2.
— 459 —
periodo de las vibraciones, que es lo que constituye el tenó-
meno de Zeeman, sólo quedó probada después del descubri-
miento de la polarización circular de los bordes de la raya
ensanchada. Lorentz, al tratar de explicar, dentro de su teoría
electromagnética, los hechos observados por Zeeman, habíase
visto obligado á admitir tal circunstancia del fenómeno; y
dando cuenta á este sabio de las consecuencias á que llega-
“ba, movióle á examinar, desde el punto de vista de la pola-
rización, las rayas espectrales modificadas. Los resultados
que Zeeman obtuvo, concuerdan completamente con las con-
secuencias de Lorentz, lo que constituye una prueba elo-
cuentísima en favor de la teoría electromagnética.
Permitasenos ahora exponer sucintamente la teoría ele-
mental del fenómeno de Zeeman (*).
Actualmente, según es sabido, admítese que la luz es un
fenómeno originado por la vibración de cargas eléctricas
contenidas en los átomos ó moléculas de los cuerpos ponde-
rables.
Para desarrollar la teoría elemental del fenómeno de
Zeeman, H. A. Lorentz, dando á esta hipótesis la forma más
simple posible, supone que cada molécula radiante contiene
un sólo electrón, y que una vez separado éste de su posición
de equilibrio, es atraido hacia ella por una fuerza elástica
proporcional al desplazamiento é independiente de su direc-
ción. Las componentes de esta fuerza, tomadas en un siste-
ma de ejes cuyo origen sea la posición de equilibrio, pue-
den, pues, representarse por
1 ii e
siendo x, y, z las coordenadas del punto ocupado por el
electrón y designando por f una constante, que depende de
las propiedades del átomo ó molécula radiante.
(*) Véase H. A. Lorentz The theory of electrons (UL, pági-
na 98, 1909».
Ruv. Acap. DE Cinxcias.—X.— Diciembre, 1911, 30
— 460 —
De lo dicho dedúcese que, cuando no existe campo mag-
nético exterior alguno, las ecuaciones del movimiento del
electrón, cuya masa designaremos por 7/1, son:
d?x
== — 20
di? Í |
d? y
m == 1
de TY, (1)
d?z
= — $2
d1? !
que tienen por solución general
BOS (Y £:+-)
m
y = bcos (Y Er+ ) : (2)
m
z =d COS (Y Le++)
m /
d, b, d, %, p, Y
donde
son constantes arbitrarias.
Las ecuaciones (2) permiten afirmar que los movimientos
vibratorios en que puede descomponerse la vibración del
electrón, ya sean rectilíneos, circulares ó elípticos, tienen
todos por frecuencia (*)
E
mM
(+) Designamos por frecuencia el número de vibraciones que se
efectúan en un tiempo 2 r.
— 461 —
Supongamos ahora establecido un campo magnético ho-
mogéneo de intensidad A y cuyas líneas de fuerza tengan la
dirección del eje Z.
- En este caso, además de la fuerza elástica, deberemos te-
ner en cuenta otra que actúa también sobre el electrón; por-
que sabido es que si una partícula electrizada se mueve con
velocidad u en un campo magnético de intensidad HA, obra
sobre ella una fuerza representada por la expresión
e
C
ah.
Puede, pues, afirmarse que el campo magnético modifica
el movimiento del electrón, y que después de la transforma-
ción, tiene éste por ecuaciones, en el sistema de cuordena-
das adoptado,
dex o Pa
ASA A (3)
md Ebo cojyl Mco (8)
dt? C dt
dez
NT 6)
La última de estas ecuaciones forma parte también del sis-
tema (1). Esto prueba que el campo magnético 1o ejerce
modificación alguna sobre las vibraciones realizadas en la
dirección del eje Z. :
El sistema formado por las ecuaciones (3) y (4), admite
como soluciones particulares
x=, COS (1, f +41), y =— a, Sen (1, 1 +41) (6)
x= a, cos (n,t + as), y=a,sen(n,t+ as) (7)
— 462 —
estando definidas las frecuencias n, y n, por las relaciones
al eH,
n;? 1, = My? (8)
me
Ny? + ee Ny = Ny (9)
mec
y siendo 4,, 0), %,, a, constantes arbitrarias.
La solución general del sistema (3)-(4)-(5) es, pues,
x= ,c0s(n,f-+a,) + a,cos (n, t + a,) (10)
y = — a,sen(n, £ + a) + a,sen(n,t+a,) (11)
ea COS 0) (12)
Dedúcese de aquí que el movimiento que el electrón rea-
liza en el campo magnético, puede considerarse descom-
puesto en tres movimientos vibratorios: uno rectilíneo, defi-
nido por la ecuación (12), y dos circulares, representados por.
los pares de ecuaciones (6) y (7). Quiere esto decir que un
foco luminoso que en ausencia de campo magnético pro-
duzca una raya espectral única, emitirá tres clases de luz
monocromática, con polarización peculiar, si está situado en
un campo magnético.
Examinando en este caso, con un espectroscopio potente,
la luz que el foco emite, obtendrase, pues, en general, un
espectro formado por tres rayas, que se denomina triplete.
Y digo en general, porque sabido es que si se efectúa la
observación en la dirección de las líneas de fuerza, se verán
solamente dos rayas (doblete).
Las rayas de un triplete producido por luz emitida perpen-
dicularmente á las líneas de fuerza, estarán rectilineamente
polarizadas. A la raya mediana, de frecuencia n,, le corres-
ponden vibraciones dirigidas según dichas líneas, y las ra-
yas laterales tendrán por plano de polarización uno paralelo
á las líneas de fuerza y á la dirección visual. Aparecen las
rayas laterales rectilíneamente polarizadas; porque, no sien-
— 463 —
do nuestra retina impresionable por vibraciones longitudina-
les, los movimientos circulares (6) y (7) producirán en nos-
otros el mismo efecto fisiológico que los rectilíneos definidos,
cuando el eje x coincide con la dirección visual, por las
ecuaciones
y =— a, sen (1, £ + 9)
y= a,sen(n,t-+ a).
Cuando se observa el fenómeno en la dirección de las lí-
neas de fuerza, sólo son visibles las rayas laterales; porque
á la raya central correspóndele entonces vibraciones longi-
tudinales. Las rayas del doblete aparecerán polarizadas cir-
cularmente y en sentidos contrarios.
Si la raya espectral original no es suficientemente fina, Ó
el campo magnético suficientemente intenso, las componen-
tes del triplete resultan parcialmente superpuestas, siendo
ésta la causa del ensanchamiento que Zeeman observó en
las rayas espectrales, al hacer sus primeras investigaciones
acerca de la influencia del magnetismo sobre la emisión de
la luz.
Los bordes de la raya espectral ensanchada, que debe ser
considerada como un triplete incipiente, Ó al menos como un
triplete especial, estarán polarizados del mismo modo que
las componentes exteriores de un triplete normal. La región
central de la citada raya, emitirá, ó luz polarizada Ó luz
natural; en el primer caso, entre los bordes de la raya y Su
región central, existen dos zonas que emiten luz natural.
Estas son las formas de transición que Zeeman, que fué
quien las observó y explicó (*), distingue respectivamente
“con los nombres de triplete a y triplete b.
Examinado sin nicol el triplete a, presenta un aspecto mty
análogo al de un doblete; porque, por ser resultantes de la
(5) ALP, Zeeman.—Sur des doublets et des triplets, produits dans le
spectre par des forces magnétiques extérieures. - 1897.
— 464y —
superposición de dos componentes, las regiones que emiten
luz natural tienen mayor brillo que la región central y ésta
parece obscura por contraste.
A los dobletes corresponde, como forma de transición
única, una raya espectral ensarnchada, cuyos bordes están
polarizados circularmente, y cuya región central emite luz
natural.
Zeeman, utilizando una red de Rowland de seis pies de
radio y de 14.438 trazos por pulgada inglesa, y observando
en el espectro de segundo orden, logró ver, en 1897, el do-
blete y el triplete a de la raya 480 yu del Cd. De las formas
de transición, la denominada triplete a es la que exige, para
ser observada, campo magnético más intenso.
Continuando sus investigaciones, Zeeman descubrió el
triplete normal de la citada raya del Cd. Con anterioridad á
estos trabajos de Zeeman, Egoroff y Georgiewsky habían
demostrado que el campo magnético modifica la raya 480 p.p..
El descubrimiento del triplete normal fué seguido de una
serie numerosísima de trabajos acerca de la descomposición
magnética de las rayas espectrales. Preston, Cornu y otros
físicos dieron pronto á conocer otros tripletes, mediante ob-
servaciones concordantes por completo con la teoría de Lo-
rentz; pero, en cambio, descubrieron rayas espectrales que,
en virtud del fenómeno de Zeeman y para observaciones
efectuadas perpendicularmente al campo, descompónense,
contra lo previsto por dicha teoría, en cuatro, seis, nueve Ó
más componentes (cuadruplete, sextete, nonete, etc.)
Paso ahora á ocuparme detalladamente en una de las con-
secuencias á que se llega en la teoría elemental de Lorentz,
por ser de importancia grande para el trabajo que desarrollo.
De experimentos realizados, dedúcese que las frecuencias
n., y n,, correspondientes á las rayas laterales de un triplete,
difieren muy poco de la frecuencia n, de la raya mediana;
eH, .
, que figura en las re-
C
por consiguiente, el coeficiente
A A A A e A A
SA A A SA O A A A
— 4659 —
laciones (8) y (9), debe ser muy pequeño comparado con no,
y podemos establecer:
H
1, =Mo + ¿Be A LES - (13)
2mc 2mc
ó tambien
kl =hk= Ei hi= ke ea e (14)
4rmc? Armc?
siendo A,, Ao, 42 las longitudes de onda de las tres com-
ponentes.
Los tripletes predichos por la teoría de Lorentz son, pues,
figuras simétricas, y tienen por eje de simetría la raya espec-
tral original. Además, tales tripletes son simétricos desde el
punto de vista de la intensidad luminosa; porque, según es
fácil hacer ver, las componentes laterales tienen intensida-
des iguales entre sí.
Como hemos dicho, las primeras medidas conducían to-
das á resultados completamente concordantes con la teoría
y, por tanto, á tripletes simétricos; pero de trabajos que
Zeeman (*), Jack y Gmelin (**) realizaron, en 1908, resulta
que la componente mediana del triplete 5791 u. A. del Hg
cambia de longitud de onda al variar de intensidad el
campo magnético actuante, ocupando siempre las compo-
nentes laterales posiciones simétricas respecto de la raya
inicial. |
Esta asimetría, no sólo es inexplicable dentro de la teoría
elemental expuesta, sino que también lo es en la teoría ge-
(*) P. Zeeman.—Magnetic resolution of spectral lines and magne-
tic force.—1907.
P. Zeeman.—New observations concerning asymmetrical tri-
plets.—1908.
P. Zeeman.—Changement de longueur d'onde de la raie mé-
diane d'un triplet dans un champ magnétique.—1909,
(+) Véase Voigf.—Magneto-optik, pág. 178.
— 466 —
neral que Lorentz dió (*) y que conduce á admitir la des-
composición compleja de rayas espectrales.
Voigt ha dado una explicación posible del desplazamiento
de la componente mediana (**). Nos ocuparemos de la teo-
ría de Voigt en el capítulo V de esta Memoria. Como vere-
mos, nuestros resultados experimentales concuerdan en pat-
te con los de esta teoría.
Conviene hacer notar que la asimetría es circunstancia
que puede presentarse en el caso más general del fenómeno
de Zeeman. Dufour, por ejemplo, ha publicado reciente-
mente un trabajo (***), del que resulta que varias de las ra-
yas del Cr., una vez descompuestas en la forma compleja
que les es propia, muestran asimetrías de ambas clases: asi-
metrías de posición y asimetrías de intensidad.
Lo dicho basta para afirmar que la descomposición mag-
nética de las rayas espectrales es un fenómeno muy com-
plicado; pero para hacer resaltar ésto aún más, me permi-
tiré recordar. aquí que de una de las últimas investigaciones
de Zeeman, realizada, mediante el efecto inverso, en colabo-
ción con el Dr. Winawer (****), resulta que, de acuerdo con
las recientes predicciones de Lorentz (*****>, en el caso en
que la dirección de observación forma un cierto ángulo con
las líneas de fuerza, y siendo éstas y aquélla horizontales,
los ejes de las elipses de vibración de las componentes exte-
riores de los seudo tripletes D, y D,, del Na, están inclina-
dos respecto de la vertical, y las vibraciones de las compo-
(*) Véase Rapports sur la physique de 1900.— (Congrés interna-
tional de physique), HI, pág. 1.
(**) Voigt—Magneto-und elektrooptik, p. 261.
(++) Dufour.—Journal de Physique (Serie 4.?,t. IX, Abril 1910).
(E) P. Zeeman y B. Winawer.—La décomposition magnétique
des raies d'absorption et son rapport avec le spectre des taches so-
laires.—1911.
(eee) H. A. Lorentz. — Archives Néerlandaises des Sciences
Exactes et Naturelles.—(Serie 2.?, t. XV, 429, 1910).
— 467 —
nentes medianas son rectilíneas, aunque no horizontales, Ó
elípticas, sin eje horizontal.
Todo hace comprender lo difícil que es el formular una
teoría que permita prever cuantas circunstancias pueden pre-
sentarse en el fenómeno de Zeeman.
Para terminar este capítulo, réstame sólo recordar que,
en virtud de la expresión
; (15)
que se deduce fácilmente de las fórmulas (14), puede en-
contrarse, para cada raya espectral, el valor de la rela-
ción de la carga á la masa del electrón móvil, con sólo medir
la intensidad del campo magnético actuante y la diferen-
cia Al entre las longitudes de onda de las rayas laterales
del triplete correspondiente. Ya antes del descubrimiento
del primer doblete, Zeeman, fundándose en que, según
sus medidas, el ensanchamiento de las rayas del sodio es
de 1/40 de la distancia que las separa, en un campo mag-
nético de intensidad 104, fijó en 10” el orden de magnitud
e , , :
de —, suponiendo expresada e en unidades electromagné-
m
ticas C. G.S. Esta cifra parecía ser demasiado elevada; pero
hoy está comprobada por otras medidas, como, por ejemplo,
las realizadas con los iones que constituyen los rayos cató-
dicos.
Cabe ahora preguntarse ¿son ¡iones positivos ó iones ne-
gativos los que, moviéndose, producen la luz? La experien-
cia ha demostrado que, en un doblete, la componente co-
rrespondiente á las vibraciones circulares sinistrorsum está
situada hacia el violeta; por tanto, n,>>n, y e <o. Los
iones móviles son, pues, negativos, ó, por lo menos, á los
iones negativos corresponden las órbitas mayores.
— 468 —
II
EL MÉTODO DE ESPECTROSCOPIA INTERFERENCIAL DE
FABRY Y PEROT
De la exposición que en el capitulo 1 hemos hecho del fe-
nómeno de Zeeman, dedúcese que éste sólo puede ser ob-
servado y estudiado con aparatos espectroscópicos cuyo
poder de resolución sea grande. Las medidas relativas á la
asimetría de posición de los tripletes son de las que presen-
tan mayor dificultad; porque el desplazamiento de la com-
ponente mediana es siempre extraordinariamente pequeño:
0,04 u. A., aproximadamente, en un campo de 30.000 Gauss
para la del triplete 5791 u. A.
Para realizar los estudios de asimetría de tripletes á que
esta tesis se refiere, me valí del espectroscopio interferencial
ó patrón de Fabry y Perot. Zeeman fué quien demostró la
utilidad del patrón en las investigaciones relativas á su fe-
nómeno, y á dicho sabio débense también los primeros tra-
bajos que acerca de los tripletes asimétricos se realizaron con
este aparato.
Debo, al comenzar este capítulo, ocuparme del modo de
formación y de las propiedades de los anillos de interferen-
cia del aparato de Fabry Perot; pero siendo tales anillos
una modificación de los originados entre dos superficies pla-
nas y paralelas, más que conveniente, creo indispensable el
recordar aquí la teoría de semejante clase de franjas.
Franjas de las láminaz paralelas.
Sean KL y K'L', MN y M'N,, superficies, todas planas
y paralelas entre sí, que limitan dos láminas de vidrio.
Un rayo de luz monocromática, S A, que incida con án-
gulo í sobre la superficie K L, se refleja parcialmente al lle-
gar á C, originando dos rayos: uno que camina según CD,
— 469. —
sufre en D una reflexión parcial y emerge según P* R”, y
otro cuya marcha es C PR (tig. 1.*)
,
K KM M
——
Pigura 1.?
q 'Denominando e á la distancia que separa las dos láminas
de vidrio, n al índice del medio interpuesto y r al ángulo de
refracción en este medio, la diferencia de marcha geométri-
ca entre las ondas correspondientes á los dos rayos emergen -
LESA
A= 2necosr. (16)
En efecto,
AMD CAR DEyAP Gee ¿UE pp gp
Cos. r
= adds — 2ne tg rsenr =2ne cosf.,
COS f
Cuando r ó í sea tal que
A=2necosr= ki,
— 470 —
siendo k un número entero cualquiera y A la longitud de
onda, los rayos emergentes interferirán de un modo concor-
dante, y habrá interferencia discordante si
A
Dido
A=(2k +1)
Iluminando con luz monocromática emitida por un foco
puntual el aparato constituído por las láminas paralelas, se
obtendrá, pues, un sistema de franjas localizado en el inti-
nito. Pueden, según esto, observarse las franjas, directa-
mente ó por medio de una lente, sobre el plano focal princi-
pal de otra lente convergente. |
Cuando el eje óptico de la lente objetiva, y por tanto el
del anteojo astronómico que ésta y la primera forman, es pet-
pendicular á las superficies que separan las láminas de vi-
drio, las franjas son circulares y tienen todas por centro el
punto 0, en que el eje óptico corta al plano focal.
A cada punto de éste corresponde, evidentemente, un sólo
valor de A, que será el mismo para posiciones distintas del
punto luminoso. En lugar de un foco puntual, puede, pues,
emplearse un foco extenso para producir, con limpieza pet-
fecta, el sistema de franjas (*).
Es evidente, además, que de la posición de las franjas
que da una luz simple podrá deducirse su longitud de onda.
Hasta aquí, he supuesto que la luz incidente es monocro-
mática. Voy á decir ahora, en dos palabras, lo que en otro
caso sucede.
El fenómeno que un aparato interferencial cualquiera pro-
duce con luz compuesta, es simple superposición de los que
originaría, separadamente, con cada una de las luces mono-
cromáticas componentes, porque, como se sabe, los movi-
(+) Véase J. Macé de Lépinay.—Franges d'interférence, capítu-
lo TIL.
g
SN
:
S
3 L
y
y
1
E A EJ IZ NO
A A
a” A E A iS
— 411 —
mientos vibratorios de períodos diferentes no pueden in-
terferir.
Si las radiaciones incidentes son lo suficientemente pró-
ximas para que el ojo no pueda distinguir entre ellas dife-
rencia alguna de color, la intensidad luminosa en cada pun-
to del sistema de franjas será la suma de las intensidades
que corresponderían al mismo punto en los sistemas de fran-
jas dados por las luces monocromáticas componentes. El
cálculo permite demostrar que, en este caso, la intensidad
luminosa varía en función de Á según una sinusoide cuyos
mínin:os dependen de A. La visibilidad de las franjas, que va-
ría esencialmente con la constitución de la luz incidente, cam-
biará, pues, con A.
El método de espectroscopia interferencial de Michelson
se funda precisamente en el estudio de los cambios que ex-
perimenta la visibilidad del sistema de franjas al variar e.
Realmente, para desarrollar de un modo compieto la teo-
ría de las franjas de las láminas paralelas, debiera tenerse
en cuenta la influencia de todas las ondas transmitidas pre-
vio un número par de reflexiones parciales del rayo lumi-
noso sobre las superficies K" L” y MN; pero, á causa del
poco poder reflector del vidrio, los movimientos vibratorios
que corresponden á las ondas que han sufrido más de dos
reflexiones parciales, tienen amplitud muy pequeña, y pode-
mos, por tanto, considerar simplemente los dos primeros
rayos de cada serie.
Fundamentos del método Je espectroscopia interferencial
de Fabry y Perot.
El patrón de Fabry y Perot consiste en un sistema de dos
láminas paralelas con superficies reflectoras semi-plateadas.
El gran poder reflector de éstas hace que la intensidad dis-
minuya muy lentamente en el sistema que forman las infini-
tas ondas luminosas dadas por una onda plana cualquiera.
— 4 —
Las ondas de cada sistema son todas planas, paralelas y
equidistantes.
De lo dicho dedúcese que, á diferencia de lo que ocurri-
ría si las superficies reflectoras no estuviesen plateadas, en
el estudio teórico de las interferencias producidas por el pa-
trón de Fabry y Perot, será preciso tomar en consideración
todas las ondas luminosas emergentes.
Los anillos de Fabry y Perot prodúcense, pues, por un
mecanismo completamente análogo al de formación de los
espectros de diverso orden de una red de difracción. Esto
basta para explicar el gran poder de resolución del patrón
de Fabry y Perot: cada anillo es asimilable á una raya es-
pectral, ó, mejor dicho, á un espectro.
Insistiremos algo acerca de este punto importantísimo.
La diferencia de marcha entre dos ondas consecutivas
cualesquiera de una serie es constante. Cuando esta diferen-
cia, que llamaremos Á, sea igual á un número entero de lon-
situdes de onda, todas las ondas de la serie interferirán de
cc ile
un modo concordante. Por el contrario, si m7 difiere, aun-
que.sea en poco, de un número entero, á cada onda podrá
buscársele otra, dentro de su serie, que esté en discordancia
completa con ella. Los anillos luminosos que produce el in-
terferómetro de Fabry y Perot serán, pues, muy brillantes y
estrechos, y estarán separados por anillos muy obscuros y
muy anchos (*). Dos anillos luminosos del mismo orden
sólo se superpondrán, pues, parcialmente cuando las luces
monocromáticas de que proceden difieran muy poco en lon-
gitud de onda.
Como los resultados de este trabajo dan idea clara del
poder de resolución del patrón, no nos detendremos en
(+) Véase en Annales de Chimie et de Physique, 7.? serie, t. XI
dec. 1897, un trabajo de Fabry y Perot en que se da á conocer la
forma de la curva que relaciona la diferencia de marcha con la inten-
sidad, para una lámina isótropa de caras semi-plateadas.
19
= 43 —=
cálculos numéricos que, por otra parte, pueden verse en uno
de los trabajos de Fabry y Perot (*).
Conviene advertir, antes de pasar adelante, que, con el
plateado de las superficies reflectoras, no cambian de posi-
ción, aunque sí de aspecto, los anillos producidos por el
sistema de láminas.
Vamos ahora á deducir varias fórmulas importantísimas
en nuestro trabajo. Aunque partiremos de una relación apli-
cable, no sólo al patrón de Fabry y Perot, sino también al
aparato que constituyen dos láminas paralelas no plateadas,
la mayor parte de las fórmulas que obtengamos no tendrán
aplicación práctica en este último caso, por tratarse de un
aparato de poco poder de resolución.
La fórmula fundamental, ya demostrada (**), es
A = 2ne cos r,
siendo e el espesor del patrón, n el índice del medio que se-
para las dos láminas y r el ángulo de refracción en este me-
dio cuando la diferencia de marcha entre dos rayos emer-
gentes consecutivos es A (***),
Sin=1,r=i, y la fórmula anterior se convierte en la
siguiente:
28 COSié A UT)
Ahora bien; como siempre se observan los anillos de menor
radio , que corresponden á valores muy pequeños de í, po-
demos admitir que
A = 2e — el?.
(*) Fabry et Perot.—Théorie et applications d' une nouvelle mé-
thode de spectroscopie interférentielle.— Annales de Chimie et de
Physique, 7.e serie, t. XvI, Jan. 1899,
(+) Véase la página 469.
(++) Las pérdidas de fase por reflexión sobre la plata darían lu-
gar á un término correctivo despreciable.
— 474 —
Para un anillo luminoso cualquiera A=kA, siendo k un
número entero, que llamaremos orden de interferencia del
anillo. El ángulo de incidencia, ¿¿, correspondiente á un ani-
llo de orden k, hállase definido por la relación .
ki=2e — ely (18)
si es pequeño el radio, rz, del anillo. Esto, como ya hemos
dicho, es lo que en la práctica sucede.
Llamando f á la distancia focal de la lente empleada para
recoger el sistema de anillos,
2
(eN eee LE : (19)
De esta relación, ó de la relación (17), dedúcense las con-
clusiones siguientes:
1.2 De dos anillos de una misma luz monocromática, tie-
ne mayor radio aquel cuyo orden de interferencia es menor.
2. Toda variación de longitud de onda se traducirá en
un cambio en los diámetros de los anillos. Si la longitud de
onda aumenta, el diámetro de cada anillo disminuye. Cuan-
do, por el contrario, la longitud de onda disminuye, los ani-
llos se agrandan.
3. Si aumenta el espesor del patrón, los anillos se
agrandan, y los anillos disminuyen de diámetro si disminuye
el espesor del patrón.
(Continuará.)
INDICE
DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO
PAGS.
XVIII. —Conferencias sobre Física matemática. Teorías di-
versas, por José Echegaray. Conferencia tercera.. 379
XIX. —Conferencias sobre Física matemática. Teorías di-
versas, por José Echegaray. Conterencia cuarta... 403 E
XX. -—Apuntes sobre Mecánica social, por Antonio Por=
Auondo.y Barceló: co la sai 433
XXI. —La asimetría de los tripletes de Zeeman, por Manuel
Martinez-Risco y MacÍaS......00ooooo.. cata a 007
La subscripción á esta RevIsTa se hace por tomos completos, : 4
de 500 4 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos |
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val-
verde, núm. 26, Madrid.
Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas.
'AL ACADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES '
l DE E ON
MADRID e ; q.
TOMO X.-NÚM. 7. | ES
Enero de 1912, de 13
Ñ MADRID z
ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL
CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8.
1912 : g l
ADVERTENCIA
Los originales para la Revista de la Academia
se han de entregar completos, en la Secretaría de
la Corporación, antes del día 20 de cada mes,
pues de otro modo quedará su publicación para
el mes siguiente.
e
A
CO y (a E
XXI. — Conferencias sobre Fisica matemática.
Teorías diversas.
Por JosÉ ECHEGARAY.
Conferencia quinta.
SEÑORES:
En la última conferencia explicamos tres teoremas funda-
mentales, relativos al flujo de fuerza, de diversas masas dis-
continuas, por una superficie cerrada.
Cada teorema se refería á un caso distinto, según estaban
las masas fuera del volumen, en el interior ó sobre la su-
perficie misma.
Nos fijamos, principalmente, en el caso de masas ponde-
rables, es decir, de fuerzas atractivas; pero dijimos que los
tres teoremas se aplicaban en términos casi idénticos al
de masas eléctricas, en el cual, las fuerzas podían ser de
atracción Ó de repulsión, según los signos de cada una de
las masas; y llamamos muy principalmente la atención sobre
esta circunstancia: Que los tres teoremas de que se trata, en
la Física antigua, son teoremas puramente abstractos, y por
decirlo así, hipotéticos. Cuando hablábamos de fuerzas hipo-
téticas, eran estas fuerzas ideales, ó si se quiere puramente
simbólicas para todos los puntos del espacio en que no exis-
tían masas reales.
Y otro tanto puede decirse respecto al flujo de dichas
fuerzas. Para que las fuerzas y el flujo de fuerzas pasen de
ser una abstracción puramente matemática, á ser una realidad
Rev. AcAD. DE Ciencias.—X.— Enero, 1912. 31
LA
física, es preciso que en cada punto de los que se consideren,
se coloque una masa igual á 1, que llamábamos masa de
prueba.
Pero agregábamos, que todos estos conceptos, que en la
Física antigua y aun en el período de transicción, eran pura-
mente abstractos, tomaban realidad física en las teorías mo-
dernas, á partir de las hipótesis de Faraday, de las teorías de
Maxwell y de la campaña, si vale la palabra, contra las accio-
nes á distancia de la Astronomía y de la Mecánica clásica.
Para terminar el estudio de las atracciones y de la poten-
cial en el caso de masas ponderables discontinuas, sólo nos
falta tratar de un punto ó de un problema, que es la genera-
lización de otro problema ya estudiado en las conferencias
precedentes.
Hemos considerado en ellas un sistema de masas ponde-
rables 711, 1/14, Ma, «coo. sujetas á atracciones mutuas, expresa-
das estas atracciones por la ley newtoniana.
Hemos supuesto fijas las masas M,, Ma ..... y haciendo va-
riar la posición de la masa restante m, hemos determinado
las componentes de la atracción, que sobre la masa mm ejer-
cían las otras masas, expresando dichas componentes por
medio de las derivadas de la potencial.
Precisamente, con este motívo, estudiamos este concepto
de potencial, que es de importancia suma en toda la Física
moderna y que hasta ha entrado en el lenguaje vulgar por las
múltiples aplicaciones de las corrientes eléctricas á diferen-
tes servicios de la vida práctica.
Definimos, pues, lo que significaba la palabra potencial,
aplicada á la acción de las masas 1, , Mo ..... sobre la masa Mm;
y decíamos, siguiendo la definición de casi todos los autores:
— 417 —
La potencial del sistema fijo m,, ma ..... sobre m en P,, es el
trabajo que dicho sistema ejecutaría sobre la masa mm, si esta
masa, con velocidades infinitamente pequeñas, viniera por
«cualquier línea desde lo infinito á la posición P,.
El valor de dicho trabajo, vimos que estaba definido por
la expresión
Dice le a Si )
Pi Po
O si la masa 1: fuese igual á la unidad, por el paréntesis
tan sólo,
Más otros autores, y á veces, los mismos que emplean la
anterior definición, usan esta otra: La potencial del siste-
MAT Mii sobre m, en la posición P,, es el trabajo ex-
terior que necesitaríamos aplicar para transportur m desde
P, al infinito, en presencia y bajo la acción de la masa m,,
m,....; advirtiendo que siempre en el movimiento la veloci-
dad ha de ser infinitamente pequeña, de modo que, en cada
instante, el trabajo exterior sólo diferirá en cantidades infi-
nitamente pequeñas del trabajo de las atracciones; ó sea en
la cantidad puramente precisa para vencerlas, é ir alejando
la masa m, lentamente, hasta el infinito.
En ambas definiciones, es claro que el trabajo desarroila-
do es el mismo y el mismo el valor numérico de la poten-
cial; pero en rigor ambas definiciones no sen idénticas en
absoluto: el uno es trabajo espontáneo y consumido; el otro
es trabajo que se aplica y acumula.
Así, pues, como ya explicábamos en la conferencia pre-
«cedente, la masa m, donde tiene una potencial representada
por la expresión anterior no es en P,, sino en el infinito, con
relación á Po.
Cuando está en el infinito es cuando se puede decir que
el resorte está estirado y en disposición de desarrollar un
trabajo.
— 4718 —
Cuando ha llegado á P,, este trabajo está ya consumido ó-
gastado.
Pero, en fin, estas no son distinciones fundamentales, ni
que trastornen la teoría, con tal que en cada caso se preci-
se el sentido de la palabra potencial.
Y continuemos ahora la generalización del problema, tras
esta digresión que es un recuerdo de lo que ya expusimos
en la conferencia precedente y aun en las conferencias de
Otros Cursos.
El problema vamos á generalizarlo de este modo.
Hasta aquí hemos supuesto, que sólo la masa m podía
moverse bajo la acción de las atracciones de las restantes.
Ahora vamos á suponer, que pueden moverse todas las
masas bajo sus mutuas atracciones, siempre con velocidades
infinitamente pequeñas, para no complicar este problema de
los trabajos desarrollados con el problema de las fuerzas.
vivas.
Se moverán, pues, todas las masas, pero muy lentamente;
y hasta podremos fijar las curvas á lo largo de las que se
han de mover, excluyendo, en absoluto, todo rozamiento y
toda resistencia pasiva.
Para que cualquier masa se mueva sobre cualquier curva,
basta introducir ciertas fuerzas de presión normales á dicha
curva, toda vez que el trabajo de estas fuerzas de presión
será nulo, por ser normales al elemento recorrido.
En rigor, tales hipótesis equivalen á introducir enlances
que no impidan el movimiento, ni alteren los trabajos de las
fuerzas de atracción.
Todo esto es elemental, pero conviene consignarlo explí-
citamente para evitar á los alumnos dudas y confusiones.
Y admitiendo que todas las masas pueden moverse simul-
— 419 —
táneamente, si es preciso, no hay para qué hacer una distin-
ción especial de la masa mn.
En adelante prescindiremos de ella, y consideraremos un
sistema formado por las masas m,, Mo..... Ma, Sujetas á atrac-
ciones mutuas según la ley newtoniana.
En todo sistema de puntos materiales /11,, M,,..... OCUpan-
do posiciones determinadas, y constituyendo, en cierto
modo, una figura geométrica, por lo cual á dicho sistema en
tal posición se le puede llamar abreviadamente configura-
ción de los expresados puntos; cuando, además, están some-
tidos á fuerzas interiores y recíprocas, que en nuestro caso
serán fuerzas obedeciendo á la ley newtoniana; hay una can-
tidad importantísima que considerar, que afecta al sistema y
que depende de su configuración, de modo que si ésta varía,
varía la cantidad de que se trata.
Y esta cantidad es la que se llama potencial del sistema,
correspondiente á tal configuración.
En rigor, esta cantidad, esta función, porque si depende
de la configuración, depende de las coordenadas de todos
los puntos, no es otra cosa que lo que llamábamos potencial
en las conferencias anteriores.
Es aquel mismo concepto, pero generalizado.
Allí la configuración era fija para todos los puntos, menos
uno, el de la masa m. Y sólo porque éste variaba de posi-
ción, la configuración variaba.
Ya recordarán mis alumnos que la potencial dependía y
era función, por lo tanto, de las coordenadas x, y, z del
punto, ó sea de la posición que ocupaba la masa /n.
Ahora vamos á suponer, que todos los puntos pueden va-
riar, en las condiciones antes explicadas, y la configuración
dependerá de todos ellos.
Lo cual conduce á dar á este concepto de potencial un sen-
tido más amplio que hasta aquí. ;
Ni es ésta en rigor la primera vez que tratamos del con-
cepto de potencial generalizado, porque en el tercer curso
— 480 —
de esta asignatura, al explicar la teoría de la elasticidad por
el método de Poincaré, tratamos ya de la potencial, y preci-
samente de este concepto partimos.
Concepto importantísimo, repetimos, en todas las teorías
modernas, porque la potencial expresa trabajo y expresa
energía, y este concepto de la energía es hoy preponderante
en la ciencia, y hay obras modernas muy importantes, que
en este concepto de la energía pretenden fundar, no sólo la
Mecánica, sino toda la Física y aun la explicación de todos
los fenómenos del cosmos.
Limitémonos nosotros á estos conceptos puramente mecá-
nicos, íntimamente enlazados entre sí, y tan enlazados, que
casi coinciden: La función de fuerzas, la potencial y la ener-
gía en general, bajo sus dos formas mecánicas ya clásicas,
energia actual y energía votencial. Conceptos muy claros,
por más que en ellos muerda á veces la crítica, al menos con
la claridad relativa, que á la inteligencia humana le es dado:
alcanzar.
Sea, pues, un sistema de masas ponderables (11,, Ma, My.....)
que también podrán ser, generalizando esta teoría, masas
eléctricas Ó magnéticas.
Supongamos que á la configuración geométrica que repre-
sentan, se la designa, para abreviar, por la letra C.
En tal sistema, á tal configuración, corresponde una po-
tencial que será un número y lo designaremos por P.
Veremos bien pronto, que este número P designa un
trabajo mecánico.
Si la configuración varía y se convierte en otra distinta C”
la potencial variará, tomará otro valor P”.
De modo que generalizando el concepto de función po-
díamos decir que Pes función de C.
— 481 —
Y vamos ahora á definir esta palabra potencial para un
sistema de varios puntos.
Para fijar las ideas supongamos que las masas M1;,, Ma.....
son masas ponderables y que dos á dos se atraen según la
ley newtoniana.
Dice Mr. Appell en su gran tratado de Mecánica racional
lo que traducimos literalmente:
«La energía potencial de varios puntos en cierta contigu-
ración, es el trabajo total que producirían las fuerzas atracti-
vas si los puntos en cuestión infinitamente distantes unos
de otros al principio, vinieran á ocupar las posiciones que
les corresponde en la configuración considerada. »
Y agrega á continuación:
«Se puede decir, por lo tanto, que esta energía potencial
es el trabajo de las fuerzas exteriores, que sería preciso que
actuasen sobre el sistema de puntos en la configuración con-
siderada, para separar estos puntos y llevarlos en reposo á
distancias infinitas unos de otros.»
Pues aquí volvemos á una observación que ya hemos he-
cho al tratar de la potencial de un solo punto perteneciente
á un sistema.
En el fondo y, apurando los términos, ambas definiciones
no son absolutamente equivalentes; porque si bien es cierto
que el valor numérico del trabajo es el mismo en ambos ca-
sos, ya se dejen venir los puntos del infinito á la configura-
ción C, ya se deshaga esta configuración alejando los puntos
á distancias infinitas unos de otros, ambos trabajos, como hi-
cimos observar en otra ocasión análoga, tienen signos con-
trarios. No es lo mismo estirar un resorte, que una vez estira-
do dejarlo que vuelva á la primitiva posición, por más que si
no hay pérdida ambas energías sean numéricamente iguales.
De todas maneras esta observación, en el fondo, no tiene
ninguna transcendencia.
De las dos definiciones precedentes tomemos la primera
y fijemos bien su sentido.
— 482 —
Dado el sistema de puntos m,, Ma, Mz..... imaginemos
que, desde el infinito y á distancias infinitas unos de otros,
obedeciendo á sus atracciones mutuas, caminan con veloci-
dades infinitamente pequeñas y vienen á constituir la confi-
guración C.
Las tuerzas atractivas habrán desarrollado sobre cada
punto determinado trabajo.
La suma de todos estos trabajos es lo que llamamos po-
tencial del sistema, ó si se quiere, energía potencial del sis -
tema, correspondiente á la configuración C.
Es el trabajo que le ha costado al sistema, la energía que
ha necesitado gastar, para atraerse á sí mismo desde el in-
finito, hasta formar la figura C.
Podíamos decir que es el trabajo de formación del sistema.
Y para destruirlo es claro que necesitaríamos un trabajo
idéntico, que quedará almacenado, si vale la palabra, en di-
cho sistema.
Decimos es claro, y sin embargo, no es tan claro, ni tan
evidente, y á no ser por las hipótesis que hemos establecido
y porque se trata de casos en que existe la función de fuer=
zas, esto que acabamos de afirmar, que es tan claro, no sólo
sería obscuro, sino que sería absolutamente falso.
Fijemos las ideas y aclaremos los conceptos.
Cualquier punto A de la configuración cuando pasa á un
punto A” del infinito, sea cual fuere el camino que siga, de-
terminará el mismo trabajo de las fuerzas del sistema, si
quedan inmóviles los demás puntos; porque existe, como
hemos supuesto, una función de fuerzas.
Y es más: al volver desde el punto A” al punto A, sea cual
fuere este camino de vuelta, el trabajo desarrollado desde 4”
asta Á será hnuméricamente igual y de signo contrario al
desarrollado desde A á A”.
Y como esto es aplicable á todos los puntos de la configu-
ración, la duda que antes indicábamos queda desvanecida.
Por otra parte el valor de la potencial es único, con tal
— 483 -
que en el infinito las masas m,, mo..... estén á infinita dis-
tancia unas de otras, como vamos á ver inmediatamente cal-
culando dicho valor de la potencial.
Podemos hacer este cálculo ya partiendo de las compo-
nentes, ya de las fuerzas mismas; este es el sistema que aho-
ra seguiremos.
Basta para ello combinar los puntos dos á dos y alejarlos
á una distancia infinita. Y sumar los trabajos correspondien-
tes, para cada par, á todas estas deformaciones.
Consideremos las masas m, y mo, que en la configuración
primitiva suponemos que están á la distancia r;».
La fuerza atractiva que estas masas ejercen sabemos
«que es
Si la distancia crece en una cantidad infinitamente peque-
ña de dr;,», el trabajo desarrollado será evidentemente
Km,m
— —=— dro.
Porque la fuerza se ejerce siempre en la dirección de la
«distancia; la proyección del camino que recorre Mm;,, Supo-
niendo 72, fijo, es precisamente la diferencial de la distancia
y el trabajo es resistente, por lo cual le damos el signo me-
nos. Es decir, la fuerza actua en sentido contrario del cami-
no recorrido.
El trabajo total hasta el infinito será,
00 00
m,m Mm, Mo, M, Ma, m, mM
il ==> 2d KT) a a aa
ñ
. “19 Fis Pe o Fiz
== => 14 mM1M>3
deLo
-- 484 —
De este modo hemos alejado á la masa m, hasta el infi-
nito, quedando todas las demás fijas, y hemos determina-
do el trabajo dos sobre ella ejeres la masa mo», y sólo la
masa Mo.
Considerando ahora las masas m, y mz podríamos repe-
tir el cálculo anterior, obteniendo una expresión de la misma
forma que la precedente; y repitiendo esto para todas las de-
más masas tendríamos, como ya hemos visto en otras con=
ferencias (y prescindiendo del signo—), para el trabajo re-
sistente sobre m., al pasar al infinito
K My Km,
—
Fi Pi3 Pin
Ya hemos transportado la masa m, al infinito; no hay que
contar con ella porque está á una distancia infinita de las.
masas restantes, y éstas, por definición, aun ai llegar al infi-
nito, han de quedar á distancia infinita de m,.
El sistema queda reducido á m, Ma ..... M,; pues aleje-
mos ma hacia el infinito, y tendremos un resultado análogo
al precedente para el trabajo sobre m, en el sistema Mo...
m, al pasar al oo:
Pa Tascmgia. esraje 02 Pela
EE fas! fin
De este modo tendremos en el infinito las dos masas
m,, mM, y no habrá que contar con ellas, al estudiar las accio-
nes de las demás masas. : Dd
Continuando de este modo hasta las últimas masas .
Mna-1> Ma
habremos obtenido una serie de expresiones de.la forma
mM; M;
Pi
K
— 485. —
en que estarán combinadas las masas, dos á dos, pero sim
repetición, de todos los modos posibles.
En suma, el trabajo resistente que han desarrollado las
atracciones cuando todas las masas se han transportado al
infinito y á distancias infinitas unas de otras, ó si se quiere
el trabajo exterior y positivo que ha sido necesario emplear
para esta dispersión, será de la forma
SE
Fij
en que hay que combinar las masas y las distancias, como:
antes hemos explicado.
Este valor único es el que se llama potencial del sistema;
es decir, el trabajo necesario para deshacerlo, aparte del sig-
no; ó el trabajo que desarrolla al constituirse desde el in-
finito..
A esta potencial, ó energía potencial del sistema, se le pue-
de dar otra forma.
Se puede alejar la masa m, hasta el infinito Ó suponer que
viene desde el infinito hasta el punto que le corresponde en
la configuración, y aparte del signo, hemos visto que el tra-
bajo desarrollado será
Km (1 Esiti a +A
Pa Pa Fr
Ó abreviadamente,
Km, V,
Ma mM
llamando V, al paréntesis “q e E que sabemos:
2 Fo
— 486 —
que es la potencial del sistema para el punto m, cuando
m, y K son iguales á la unidad.
Del mismo modo, si volvemos á colocar m, en su posición
y alejamos m,, el trabajo desarrollado será, con notaciones
análogas á la precedente,
K. ma! Mos
es decir, que si V, se refería á todas las masas menos m,, Va
se referirá á todas las masas memos ¡m,.
Repitiendo lo mismo para Mm; ..... y sumando, obten-
dremos
S"EKm; V;
Esta expresión se compone de elementos idénticos á la pri-
mera que obtuvimos para la potencial, es decir pibe 00?
Pij
pero en la primera expresión combinábamos cada subíndice
con los que le seguían, y nada más; y aquí combinamos cada
“subíndice con todos los restantes, con lo cual duplicamos los
términos. Por ejemplo, en la primera fórmula teníamos
K m;, Ma
y en la última Km, my y LK my my
Pia Pio 21
«que son iguales y se duplican.
De suerte que esta última expresión es doble de la prime-
ra, y podremos escribir:
Potencial total del sistema:
m;m;j O A :
O =p Ss m,V;.
Ambas fórmulas expresan, como hemos dicho, el trabajo
que han desarrollado todas las atracciones del sistema desde
— ER
una dispersión infinita de todas ellas hasta la configuración:
que tienen.
O también significan en valor numérico igual al anterior,
el trabajo que habría que emplear para dispersar el sistema.
De los tres teoremas que explicamos en la conferencia:
precedente, se pueden deducir muchas consecuencias im-
portantes.
1. Dada una configuración C,, esta configuración ó sis-
tema tendrá, en un punto cualquiera del espacio, una poten-
cial determinada, que se expresará por una función U (x, y, 2)
cuya forma ya conocemos, pues se sabe que es la suma de
AR mM; a p
términos PRO en que las r son funciones de x, y, 2, dá
1
saber:
Es, por lo tanto, una función algebráica perfectamente de-
terminada, para cada punto del espacio, exceptuando para
los puntos en que están colocadas /M,, Ma..... Mn»
Para éstos, como la r correspondiente se reduce á cero, la
expresión se hace infinita.
Será, pues U una función con n infinitos.
Dicha función potencial, ó potencial del sistema, podrá
ordenarse en superficies de nivel para las que la potencial
tendrá el mismo valor, y que se llamarán superficies equi-
potenciales. Su expresión será evidentemente
— 488 —
siendo C una constante, que variará de una superficie de
nivel á otra.
En rigor esto es repetir lo dicho para el sistema m, m;,
m>... Sólo que ahora prescindimos de /m, y consideramos
únicamente el campo y una masa ideal de prueba.
Hemos visto, además, que en un punto cualquiera del es-
pacio la atracción del sistema, sobre dicho punto, tiene la
dirección de la normal á la superficie equipotencial que pasa
por él, y va de la superficie de menor potencial á la de mayor
potencial.
E
a e o |
S
Figura 15.
Más claro. Imaginemos un sistema M,, Ma, Mz..... de pun-
tos ponderables, y tomemos un punto A del espacio (figu-
ra 15).
- Para obtener la atracción, sobre este punto A, del sistema
M,, Mo, Mz......, NO hay más que trazar por el punto A la su-
peficie equipotencial C que le corresponde.
Para lo cual, sustituyendo en
U(x,y,2)=C
= M6) —=
por x, y, z, las coordenadas de A, quedará determinada la
constante C, la ecuación de la superficie y la superficie
misma. |
Teniendo la superficie C, trazaremos la normal A N en el
punto A, y esta será la dirección de la fuerza que buscamos.
En efecto, la fuerza F, atracción sobre A del sistema
m,, M>..... coincide en dirección con la N.
Pero no solamente las superficies equipotenciales detet-
minan la dirección de la fuerza Fen cada punto, sino su in-
tensidad, y de aquí resulta el signiente teorema.
Si C y C' son dos superficies equipotenciales infinitamen-
te próximas, y representamos los valores de las constantes
por Uan y U p, el valor de F será:
des Uan
AB
Que en el límite, y suponiendo que 4 B es igual á ds será
es decir, la derivada de la potencial en el sentido de la nor-
mal AN para el punto A que se considera.
Esta fórmula se demuestra inmediatamente.
Sabemos que las tres componentes de la fuerza F para el
punto A, suponiendo como siempre, que la masa de prueba
es igual á 1 y suponiendo que el coeficiente numérico de la
atracción es también 1, son
Luego no habrá más que proyectar estas tres componen-
tes sobre la normal AN.
— 490 —
Pero si las tres componentes de AB = ds se representan
por dx, dy, dz, que son los incrementos de las coordena-
das de A al pasar á B, tendremos que los cosenos de direc-
ción serán
E di
das se
y el valor de F
dU dU dU
dx dy + —
dU dx, dUdy ¡dUdz_ dx" ' dy
CSS ISA AS ds
en que el numerador es la diferencial de U al pasar de A á
B; si abreviadamente se expresa por 4U, queda demostrada
la fórmula
atracción del sistema (mm, mo.....) =F ===.
Por fin, la fuerza F actúa en el sentido de la menor poten*
cial C á la mayor C”.
Pero no olvidemos lo que tantas veces hemos explicado,
á saber; que para todos estos teoremas se supone, al deter-
minar, por ejemplo, la potencial en un punto, ó la atracción
en él, que en dicho punto hay que colocar una masa igual
á la unidad para que el teorema tenga un sentido real y po-
sitivo.
En rigor, no debería decirse: la potencial del sistema mm,
Mo, Maz..... en A es U, sino más bien: la potenciel del siste-
O US en A sería U si agregásemos al sistema en
dicho punto A una masa de prueba igual á 1.
2. La fórmula anterior de F podemos generalizarla y
podemos determinar en todo punto A la proyección de F
sobre cualquier dirección AD, y vendremos á parar á una
fórmula análoga á la precedente.
— 491 —
En etecto, sea AF la atracción del sistema sobre el punto A.
Sea AD una recta cualquiera.
Bajemos la perpendicular FF” sobre AD; y AF” 6 abre-
viadamente F” será la componente que buscamos.
Así
E Eo NE O
AB'
AUS O
ds AB' AB
pero F 2 ON lnesoF"=
ds
Así la componente buscada se obtiene dividiendo el in-
cremento dU de la potencial al pasar de la superficie Cá C'
por la distancia A B” entre las dos superficies potenciales,
contada dicha distancia sobre la recta AD.Si llamamos á
esta distancia ds”, tendremos AB'=ds' y
dU
ds
¡7 =
Resulta de aquí, que la componente F' se obtiene, lo mis-
mo que la fuerza F, tomando la derivada de U en el sentido
de la recta AD.
Cuando se trata de la fuerza F la variable es s y se cuen-
ta sobre N; cuando es la componente F' la variable es s” y
se cuenta sobre D.
Por lo demás, el incremento de U siempre es el mismo
entre dos puntos cualesquiera de las dos superficies poten-
ciales.
3." Hemos definido -el tubo de fuerzas y la definición era
ésta.
Sea C (figura 16) una superficie equipotencial corres-
pondiente á un sistema de masas ponderables m,, Ma,
REV. ACAD. DE CiuNcias,—X.—Enero, 1912. 39
— 492 —
- Consideremos en esta superficie un área cerrada ab, que
para fijar las ideas supondremos infinitamente pequeña.
Por cada punto del contorno ab. ..... hagamos pasar una
línea de fuerza, que ya sabemos que será normal á todas las
superficies equipotenciales.
El conjunto de estas líneas de fuerza constituye la figura
que se llama tubo de fuerza.
Limitemos este tubo de fuerza que, por su naturaleza, es
indefinido por dos superficies equipotenciales C, C” y al es-
Figura 16.
pacio cerrado por el tubo y por las dos áreas extremas, área
ab, que representaremos por du, y área a” b” que designa-
remos por du”, podemos aplicarle los tres teoremas que he-
mos demostrado en la conferencia anterior.
Supongamos que en el interior de este segmento de tubo
de fuerzas, no existe ninguna de las masas m; pues en este
caso, el flujo de dichas masas sobre la superficie total del
segmento de tubo sabemos que será nulo.
Ahora bien, dicho flujo se compondrá del flujo sobre el
área ab, que en la figura suponemos que es flujo entrante;
— 493 —
del flujo sobre a' b' que será saliente, dado que la potencial
va creciendo de Cá C' y que la fuerza atractiva no cambia
de sentido; y, por último, del flujo sobre la superficie lateral.
Tendremos, pues, según dicho teorema
flujo (ab) + flujo (a* b”) + flujo (superficie lateral) = 0.
Pero como las fuerzas F y F” que determina el sistema mm,
Mito MAS sobre las áreas infinitamente pequeñas ab, a' D',
son normales á dichas áreas, los flujos se obtendrán multi-
plicando el área por la fuerza y tendremos
flujo (ab) = F do
flujo (ab) =F' do”.
Y además, como la superficie lateral está formada por
líneas de fuerza y en estas líneas la tangente, en cualquier
punto d, es precisamente la fuerza atractiva F”, el flujo será
nulo para el elemento correspondiente al punto d, puesto
que la proyección de F” sobre la normal en d á la superficie
del tubo, será igual á cero.
Luego
flujo (superficie lateral) = 0.
Y sustituyendo esos tres valores del flujo en la ecuación
general, tendremos:
Fdo =— Erdo+=0;
de donde
Fdo =F' du”.
Es decir, que el producto del área por la fuerza será igual
á lo largo del tubo, en todas las superficies equipontenciales,
puesto que dejando C fija, podemos variar C”.
Y aquí ocurre una imagen material, que da realidad en
cierto modo al teorema abstracto que hemos demostrado.
— 494 —
Si el tubo fuese una cañería, si por ella circulase un líqui-
do incomprensible, y F, F ..... fuesen las velocidades del mo-
vimiento en cada sección, la ecuación anterior significaría
que por cada sección pasa la misma cantidad de líquido, lo
cual evidentemente debe suceder, si el líquido es incom-
presible.
4.*% Vamos á demostrar que la potencial U satisface á
una ecuación diferencial de segundo orden que aparece cons-
tantemente en la Física Matemática y á que se da el nombre
de ecuación de Laplace.
La forma de esta ecuación es la siguiente:
eN) AZnOl GEN)
eE dy? dz?
= 0,
A esta ecuación satisface la potencial U de cualquier sis-
tema de masas ponderables, y ya veremos que eléctricas Ó
magnéticas, en espacio libre.
Es una propiedad muy general, curiosísima y fecunda.
Porque, fíjense bien mis alumnos: el teorema que vamos
á demostrar dice, que sea cual fuese el sistema de masas.
ponderables /1,, Ma..... el valor de éstas y su distribución
geométrica, la potencial U del sistema, tal como la hemos
definido, satisface á una ecuación diferencial de la forma in-
dicada. Es decir, que diferenciando
u= (A y a ]
Fx Po
u
es decir
Mi
Y == ( ————————=—— +
V (a, —xy 0 E)
Moa da
V (a, +(0:—y? + (02)? )
— 4953 —
dos veces con relación á x, dos veces con relación á y y dos
veces con relación á z, y sustituyendo en la ecuacion de La-
place, ésta se reduce á una identidad.
La ecuación de Laplace, como las ecuaciones diferenciales
en general, tienen muchas integrales particulares, por mejor
decir, muchos grupos de integrales particulares; pues bien,
uno de estos grupos, que comprende infinitos casos parti-
culares todavía, es precisumente el de las potenciales new-
tonianas.
La ecuación de Laplace expresa una propiedad diferencial
de un sinnúmero de funciones x, y, z, es un carácter común
á multitud de familias, si vale la palabra, y uno de estos gru-
pos ó familias es precisamente el de la potencial de un sis-
tema de masas ponderables, cuyas atracciones obedecen á
la ley de Newton en espacios libres; y ya explicaremos esta
restricción.
Y aún es más general el carácter indicado, porque se aplica
á la electricidad y al magnetismo, es decir, lo mismo á las
atracciones que á las repulsiones; lo mismo á las masas
ponderables que á las masas eléctricas ó magnéticas.
La demostración no puede ser más sencilla; se reduce á
una comprobación algebráica.
En primer lugar, observemos que todos los términos de U
son de la forma
m m
”»
Va Oy PH (0—2)
y observemos además, que si dos ó más términos satisfacen
aisladamente á la ecuación de Laplace, la suma satisfará
también.
Porque en efecto, si U, y U, son dos soluciones particu-
lares de la ecuación de Laplace, la suma U, + U, satisfará
también á dicha ecuación.
— 496 —
Y la comprobación es inmediata. Puesto que U, es solu-
ción de la ecuaciónn diferencial, y también U,, tendremos:
d?0, AO, DA Ó,
A o o a 0
dx? E d y? in dz?
AOL d? U, + d? O, BO
asa dy? dz?
y sumando y reuniendo las derivadas relativas á la misma
variable,
INOUAOS)E AOA USUSNOA 0 00)
A E EA EIA
als? dy? es
= 0
Luego U, + U, satisface á la ecuación diferencial.
Tomemos ahora un solo término del valor diferencial de
la potencial. En general 7? en razón á que todos son de este
tipo.
Si éste satisface á la ecuación de Laplace, todos en parti-
cular y la suma en la potencial, satisfarán á dicha ecuación.
La comprobación respecto á este término es bien fácil.
E m
Diferenciando dos veces 7
tante m, que entrará como factor en los tres términos de la
ecuación, tendremos para las derivadas primeras:
ó prescindiendo de la cons-
1 1 AUR)
d— d nn. -———_ (A Ss
E _V(a—x) (0 y) E (02)? E O as
dec dx 2
dl
o: 05
7 A
e
r c—I
— 497 —
y para las derivadas segundas:
1 Le paso
d? A ap E
EN ro —r343(a—x)?r
TETAS fó en ró
ES O iS A
e MES,
A Re >)
ES
y sustituyendo estas tres derivadas segundas en la ecuación
de Laplace:
1 1 1
de r so es Ñ ye E r E O e A
dx? dy? UA ds
—r34-3(b=y)r , —r?+3(c— 2)*r
pa
cuyo segundo miembro se reduce á
— 312 4 3r ((a — + (09? +00)
E
O a A IA
ÍS
1 Se
Resulta, pues, comprobado que — es una solución de la
ñ
ecuación de Laplace.
26 M > z
También lo será — y la suma de un número cualquiera
r
de términos análogos á éste, puesto que hemos visto que los
valores de m, a, b, c, no influyen en el resultado.
— 498 —
En suma, la potencial de un sistema discontinuo cualquie-
ra de masas ponderables, sea cual fuere su valor y sea cual
fuere su distribución, es una función de x, y, z, que satista-
ce en todo el espacio libre, es decir, exterior á las masas, á la
ecuación de Laplace.
Para estos puntos, claro es que la potencial es infinita,
puesto que r se reduce á cero.
Como hemos indicado varias veces, toda la teoría de la
potencial newtoniana se aplica á la electricidad y al magne-
tismo, en términos análogos á los de las masas ponderables,
en razón á que la ley de las atracciones ó repulsiones es siem-
pre la ley newtoniana, la de la relación inversa del cuadrado
de la distancia. :
La teoría general, es por lo tanto, independiente de los sig-
nos de m; mas para que no quede ninguna duda, terminare-
mos esta conferencia aplicando la teoría de la función de
fuerzas, que en el fondo es la teoría de la potencial, á dos
masas eléctrieas.
La primera, que es la que hemos llamado masa de prueba,
supondremos que es una masa eléctrica positiva.
La segunda, la masa que atrae ó rechaza, m,, podrá tener
signo positivo ó negativo y examinaremos ambos casos.
En la figura 17 hemos representado la masa eléctrica posi-
tiva m,, formando parte del sistema m,, Ma ..... y la masa de
prueba positiva m, que bien puede ser igual á la unidad, pero
que es indiferente que lo sea Ó no, ó mejor dicho, que como
unidad se considere.
Recordando que electricidades del mismo nombre se re-
chazan, se ve que la acción de m, sobre m, tendrá la direc-
ción del vector F, que consideraremos como esencialmente
— 499 —
positivo, por ser un vector, ó si se quiere, la parte escalar del
vector.
Su valor según la ley newtoniana será:
min,
f?
F=k
en que k es un coeficiente numérico distinto, naturalmente,
del coeficiente que empleamos para las masas ponderables.
z
vo
E
Ñ
=
3
MN
3
ii ii
Figura 17.
Llamando X, Y, Z las componentes de F, y en la hipótesis
que representa la figura,
Tí Ñ r
a AE a (=p)
f? 7 r?
py e o a DET (e
f? a ¡pe
Ponemos el signo menos porque las componentes de FF
son negativas y todos los demás factores son positivos.
— 500 —
Ahora bien; es evidente que los segundos miembros resul-
tan de derivar una expresión única
mim;
”
— k
con relación á x, y, z, como se ve desde luego: por ejemplo
respecto X,
mi, 1 dr
Eco: ¿E RE
d — = — 1 MM A Cc 0N
dx ES ES a
kmm, dr kmm, —2(a—x) kmim,
A O
que es precisamente el valor de dicha componente X.
De modo que, representado por V la función de fuerzas,
mm;
— k tendremos:
F
A A
dx dy dy
Si continuásemos llamando á V potencial del sistema, po-
dría decirse que las componentes de la fuerza, son las deri-
vadas de la potencial.
Si la potencial fuese una función U= k igual nu-
méricamente á V, pero de signo contrario, en este caso
NO Z y an
dx dy” da
En rigor, como las masas /m, y m, se rechazan', rechazando
mm,
m., á m hasta el infinito ejercerá un trabajo k positi-
vo que podremos aprovechar, que podría aprovecharse en
— 501 —
cualquier empresa; de modo que la expresión anterior repre-
senta la potencia disponible del sistema.
ES
ES
Supongamos por fin (fig. 18) que la masa m, del sistema
E UCA UI sea una masa eléctrica negativa.
Como la masa de prueba m suponemos que es positiva
ed
e
có d |
+m :
mM;
9
,
Ú
1
1
1
I
¡
'
1 pa
GA
JSEDE
:
,
Figura 18,
siempre, la acción F, de m, sobre m, será una fuerza atrac-
tiva, según hemos representado en la figura, y las tres com-
ponentes de F deberán ser positivas.
Tendremos, pues,
e A A A
re r fr?
y ai)
fr?
== AL a ia y),
— 502 —
y en efecto, estas tres componetes son positivas porque k,
m,r y A—X, b—y, C—Z Son cantidades positivas.
Pero m, es una masa negativa y dándole el signo que le
corresponda, como el signo negativo afecta á toda la expre-
sión, los valores X, Y, Z, serán positivos, según debían
ser.
Claro es que X, Y, Z, se demostrará, que son las deriva-
das de una función de fuerzas lo mismo que en el caso an-
terior.
Por último, es evidente que este signo —, puede supo-
nerse que está comprendido en la constante k, en cuyo caso
el signo aparente sería positivo como para las masas ponde-
rables y la constante k sería negativa.
Con lo dicho terminamos estas ligeras nociones sobre la
potencial en el caso de masas discontínuas.
En la conferencia próxima repetiremos, porque esta es la
palabra, toda la teoría anterior con aplicación á sistemas
contínuos.
Pero además de repetir, algo más tendremos que exponer.
OS
XXII.—Conferencias sobre Física Matemática.
Teorias diversas.
Por JosÉ ECHEGARAY
Conferencia sexta.
SEÑORES:
Terminamos la conferencia anterior con el estudio pura-
mente elemental de las atracciones y de la potencial de un
sistema de puntos discontinuos, ó mejor dicho, de las masas
ponderables que en ellos suponíamos.
Realmente el problema era de extraordinaria sencillez,
puesto que la atracción de cada punto, sobre cualquier masa
m, en posición conocida, estaba perfectamente determinada
por la ley newtoniana. Y lo mismo podemos decir de sus
componentes. Si son varios los puntos del sistema, la fuerza
y las componentes de cada uno de ellos se determinaban
del mismo modo.
El problema era sencillísimo; las incógnitas estaban expre-
sadas directamente en función de los datos.
Y, sin embargo, aún lo simplificamos más observando que
las tres componentes pueden expresarse por las tres deriva-
das de la función potencial.
En vez de tres incógnitas teníamos una sola, que era U,
y en función de ésta se expresaban IVA ZA
Pero es que ya no se trataba de resolver un problema pat-
ticular, sino de expresar la ley general de las atracciones en
— 504 —
todo el espacio, y esta ley resultaba del estudio de U como
cion ds 7)
La función U, á que dábamos el nombre de potencial, era
ya importante desde este punto de vista: simplificaba el pro-
blema de las atracciones, reduciendo las tres incógnitas
X, Y, Z á una sola función U, y daba, en cierto modo, la
ley de veriación en todo el espacio cuando por todo el espa-
cio paseábamos la masa de prueba 1.
Mas este nuevo concepto de potencial, que ya tenía una
importancia grande en la Física clásica, adquiere transcen-
dental importancia en la Física moderna, en que el concepto
de energía va sobreponiéndose al concepto de fuerza. Y esto
se comprende, porque después de todo, la potencial repre-
senta un trabajo, que es una de las formas de la energía.
Este concepto de potencial, generalizado para todo el sis-
tema, nos determina el trabajo que ha sido necesario des-
arrollar para su formación desde el infinito, Ó el que habría
que desarrollar para destruirlo por dispersión absoluta, y
también el que podría poner á nuestra disposición en cual-
quier trabajo industrial hasta la configuración que corres-
ponde al equilibrio estable; de modo que la potencial es algo
que da idea del valor mecánico del sistema.
Por eso, en todos los problemas de la Física moderna la
potencial de un sistema es su nota característica.
Todo esto se refiere al caso de las masas discontinuas
Mi, Mo, Mz, ..... y ahora debemos pasar, como ya se indicó
al principio de estas conferencias, al caso de las masas con-
tinuas, resolviendo para este nuevo caso todos los proble-
mas que hemos resuelto para el primero. |
El problema de lo continuo ó de lo discontinuo es un pro-
blema capital de la Física.
Y aún lo es de las Matemáticas puras, en las que pode-
— 505 —
mos señalar, por ejemplo, y en contraposición, la teoría de
los números enteros y la teoría de las funciones continuas.
Y la continuidad, así en la ciencia pura como en la Física,
tiene sus dificultades y tiene sus ventajas.
Me explicaré.
La teoría de los números, por ejemplo, precisamente por
el carácter de discontinuidad presenta grandes dificultades, y
así se da gran importancia á los trabajos de aquellos mate-
máticos que han logrado, más ó menos, reducir los proble-
mas de la discontinuidad 4 problemas de funciones con-
tinuas.
Porque en las expresiones discontinuas la ley no se ve,
por decirlo así, de una vez; la ley camina á saltos. Por el
contrario, de una vez se dibuja, dentro de su continuidad,
en la teoría de las funciones.
En cambio, en la teoría de la continuidad nos encontramos
á cada momento, casi me atrevería á decir con dos misterios,
por lo menos, con dos estinges rebeldes á la interpretación.
Lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande.
Y esto nos va á suceder precisamente al generalizar la
teoria de la potencial á los sistemas continuos, y más tarde
de masas eléctricas y magnéticas.
Bien fácil ha sido el estudio de la potencial en los sistemas
discontinuos para todo el espacio, salvo: para los puntos en
que están colocadas las masas, puntos que ya constituyen,
por decirlo de este modo, discontinuidades por valores in-
finitos.
Parece que la generalización de la teoría de la potencial
para las masas continuas no ha de ofrecer dificultad, y que
todo ha de quedar reducido á la sustitución de integrales á
sumas finitas.
Tenemos, por ejemplo, tres masas discontinuas M,, Mo,
M2, pues para la potencial en cualquier punto, ó para las
componentes de la atracción en el mismo, tendremos una
suma de tres términos.
= 000 —=
Tenemos en este nuevo caso, por ejemplo, una esfera re-
llena de materia continua, en que la densidad es conocida
para cada punto de dicha esfera; pues el cálculo de las com-
ponentes de la atracción ó de la potencial en cualquier punto
exterior del espacio, en teoría no debe ser mucho más difí-
cil que en el ejemplo precedente.
Descompondremos la esfera en elementos infinitamente
pequeños.
Cada uno será una masa conocida y de coordenadas co-
nocidas también.
Luego en este caso no tendremos tres términos compren-
didos en una suma; pero tendremos infinitos términos com-
prendidos en una integral.
La solución es análoga en uno y en otro caso.
En el primero, es una suma de un número finito de térmi-
nos; en el segundo, es una suma de un número infinito de
sumandos, que no es otra cosa que una integral.
Parece, pues, que teóricamente el caso de la continuidad
no ha de ser más difícil que el de la discontinuidad, y, sin
embargo, lo es. Y la dificultad se presenta cuando el punto
es interior á la esfera de nuesto ejemplo, ó, en general, á
la masa continua de materia para la que deseamos calcular
la potencial.
Porque en el sistema discontinuo todo punto que se elija
es exterior al sistema, como no coincida con uno de los pun-
tos atrayentes.
Y en el sistema continuo, si el punto es interior á dicha
masa continua, coincidirá con uno de los elementos, la dis-
tancia entre el punto y el elemento será nula, y como r entra
en el denominador del elemento diferencial, el elemento de la
integral será infinito ó aparecerá como infinito, que esto ya
lo veremos.
Y de todas maneras la solución del problema no será in-
mediata y habrá que estudiar este caso detenidamente.
Entremos, pues, á estudiar el problema de las atracciones
— 507 —
y de la potencial para las masas continuas de materia pon-
derable, sin perjuicio de generalizar los resultados para la
electricidad y el magnetismo.
Atracciones y potencial para las masas ponderables conti-
nuas.—Sea (fig. 19) una masa continua comprendida en una
superficie cerrada S, y vamos á determinar, como hicimos
para las masas discontinuas, las componentes de la atrac-
ción que dicha masa ejerce sobre un punto cualquiera P,
así como la potecial que corresponde á dicho punto.
Y repitamos otra vez, que para que estas denominaciones
atracción y potencial tengan un sentido de realidad, es preciso
que consideremos en un punto P una masa ponderable igual
á 1, y esta condición debe suponerse satisfecha al hablar de
un punto cualquiera del espacio; porque de otro modo tc-
-dos estos serían conceptos vacíos, mejor dicho, cantidades
completamente nulas; en un punto del vacío, ni hay atrac-
ción, ni componentes, ni potencial.
Pudiéramos decir en la terminología escolástica, que dada
la presercia de la masa ponderable encerrada en S, en cual-
quier punto existen tales conceptos, en potencia pero no en
acto.
Para que el acto exista, es preciso colocar en el punto en
cuestión una masa ponderable, por ejemplo, m = 1.
Y dicho esto como última repetición, no es ya preciso ín-
sistir sobre ello á cada momento de nuestras explicaciones.
Vamos á descomponer el problema en dos partes, Ó mejor
dicho, en dos problemas.
1.2 Que el punto P sea exterior, como en la fig 19, á la
masa ponderable que comprende $.
2. Que el punto sea interior.
Punto exterior.
REV. ACAD. DE CIENCIAS, — XI. —Enero, Ig12. 33
— 508 —
Este es el caso que representa la figura, y es sumamente
sencillo. Se reduce casi palabra por palabra al caso de las
masas discontinuas; porque en efecto, si el punto P no coin-
cide con ninguna de ellas, poco importa que estén muy
próximas ó muy lejanas ó que estén en contacto unas con
otras, apareciendo en forma continua.
Las fórmulas serán las mismas con sólo sustituir las inte-
orales á las sumas.
En efecto, descompongamos la masa comprendida en S
en paralelepipedos A infinitamente pequeños, por planos pa-
ralelos á los planos coordenados.
La atracción de la masa situada en A, que representamos
por dm, sobre el punto P en que imaginaremos la masa 1,
siendo r la distancia AP, a, b, c, las coordenadas de dm y f
el coeficiente de atracción, será, como sabemos, llamado dF
á dicha fuerza y dX, d Y, dZ, á sus componenentes, que por
ser la masa dm infinitamente pequeña, serán cantidades in-
fiínitamente pequeñas también, y por eso aplicamos el signo
diferencial á las componentes y á la fuerza; serán, repetimos,
tales cantidades las siguientes:
laa
SR pierda pd (Cc -- 2)
4 DEI
La masa dm es igual evidentemente al producto de la
densidad p por el volumen del paralelepipedo infinitamente
pequeño, cuyo centro es A.
Es decir,
di="w da da'biae:
— 509 —
La densidad p será distinta, en general, para cada punto;
de modo que será una función de a, b,c:
O= pl, 0. 2),
Suponemos que esta función es continua, finita y bien
determinada, que son las condiciones propias del problema
de las atracciones como problema real.
Como hemos expresado las componentes de la atracción
debida al punto A, expresaremos las de todos los demás
puntos del volumen comprendido en $, y las componentes
totales ya no serán una suma de términos análogos al ante-
rior, pero en número finito, sino que serán integrales triples,
extendida á toda la masa ponderable que comprende S.
Tendremos, pues, para el caso en que el punto P es ex-
terior á la masa atrayente
e y Hadbde q y
a vol [FS
da db de
A Ce
vol vé?
2= ff / pee CPE cone
9 vol [pa
Fijémonos un momento en estos tres valores, y tomemos
por ejemplo el de X.
Como p es una función de a ,b, c, y
E
también lo es, el segundo miembro será una integral triple,
perfectamente determinada, en que las variables son a, b, c,
y habrá que efectuar tres cuadraturas: una con relción á a,
otra con relación á b, y á continuación, y sobre el resultado,
otra con relación á c, por los métodos que enseña el cálculo
integral.
— 510 —
El subíndice vol indica que esta triple integración ha de
abarcar todo el volumen que comprende la superficie $.
Efectuada la triple integral, el segundo miembro será una
función de x, y, z, que en estas integraciones son constan-
tes, porque siempre se refieren al punto P, que no cambia.
Por último, como el punto P es exterior, nunca las tres
coordenadas x, y, z, pueden todas ellas y al mismo tiempo,
ó mejor dicho, á la vez, ser iguales á a, b, c, que se refieren
en todos los elementos de la integración á puntos interio-
res á S.
Y como á la vez no se puede tener
M0
D=
D= Z,
nunca r puede ser igual á cero; luego ningún elemento de la
integración puede ser infinito.
En suma, la integral triple, que representa el valor de X,
será una cantidad finita y bien determinada, que nos dará
la componente X de la atracción, que ejerce sobre el pun-
to P, en que suponemos la masa 1, toda la masa ponderable
comprendida en S.
Otro tanto podemos repetir respecto á las componentes
EZ
El problema de la atracción queda, por lo tanto, resuelto
para los puntos exteriores á la masa atrayente; pero al pro-
blema de las atracciones va unido el de la potencial; prime-
ro, porque simplifica aquél, y además, porque constituye
por sí una teoría importantísima, y en la ciencia actual más
aún, por sus enlaces con la teoría de la energía, que se halla
tan en moda.
A primera vista, parece que para determinar la potencial
del sistema, basta repetir los razonamientos anteriores.
La potencial de la masa d m, con relación al punto P, será
— 511 —
evidentemente, como ya hemos demostrado en otras conte-
rencias,
d m
” 2)
Ó bien
oda db de
e
y por lo tanto, la potencial de toda la masa comprendida en
S, parece que será una integral triple, como lo eran X, Y, Z.
Es decir, llamando Uá la potencial para el punto P
A oda db de
vol F
Integral perfectamente definida, para la cual podemos re-
petir las explicaciones anteriores, y que, una vez efectuadas
las integraciones, será una función de X, y, Z, que repre-
sentará la potencial en el punto P.
En efecto, así es; pero la demostración no es inmediata,
por más que sea sencillísima.
Y no es evidente, como para el cálculo de X, Y, Z, pot-
que si la suma de los componentes de los diferentes ele-
mentos de una masa sobre un punto exterior es la compo-
nente de la masa total, aunque el número de términos sea
infinito; en cambio, la potencial de una suma no es evidente
que sea la suma de las potenciales cuando es infinito el nú-
mero de términos.
u=ff pda db de
vol Ñ
será una integral perfectamente determinada, pero no pode-
mos asegurar que sea la potencial de la masa para el pun-
to P, si no demostramos que la diferencial de U, con relación
— 512 —
á x, es X; que la diferencial de U, con relación á y, es Y,
y que la diferencial de U, con relación á z, es Z.
Esta es la propiedad caracteristica de la potencial ó de la
función de fuerzas, y esto es lo que vamos á comprobar
ahora.
Diferenciemos, por ejemplo, U' con relación á x, y ten-
dremos:
e f e pdadb dc
dE dEl, a L ió
dx dx
y este segundo miembro debe ser precisamente el valor
de X. Al pronto parece que esto es evidente, porque dife-
renciando dentro de las integrales, tendremos
yá ppt
1 E
SPA eS o da do de = ff. odadpac A
dx vol dx yol Fe
=p ff odadbde EE,
vol pe
que es, en efecto, el valor de X; pero es que el signo dife-
rencial no siempre puede pasar del exterior al interior en las
integrales. La diferenciación bajo el signo integral tiene sus
reglas, y es preciso ver si en este caso puede diferenciarse
directamente bajo el signo integral.
Puede, en efecto, en este caso efectuarse dicha diferen-
ciación, con lo cual la demostración es correcta, y la expre-
sión de U que hemos escrito, expresa realmente la potencial
del sistema continuo sobre un punto cualquiera exterior.
Tenemos, pues, para este caso resueltos los dos proble-
mas: el de las componentes de la atracción y el de la poten-
cial, y todas las consecuencias que dedujimos serán legíti-
mas y podemos reproducirlas con sólo enumerarlas.
== Dia.
Las componentes de la atracción de la masa contenida en
S sobre un punto P quedan determinadas.
Estas tres componentes son las derivadas con relación á
Xx, y, z de la integral U, que representa la potencial, supo-
niendo f= 1 y si no con relación á FU.
Cada punto exterior tendrá una potencial determinada,
La masa.encerrada en S ó cualquier otra masa continua,
determinará una serie de superficies equipotenciales en el
espacio que le rodea.
Determinará asimismo una serie de líneas de fuerza, que
cortarán normalmente al sistema de superficies equipoten-
ciales.
Dicho sistema de líneas de fuerza podrán agruparse en
tubos de fuerza, normales todos ellos á las superficies de
igual potencial.
En cada punto del espacio, la fuerza atrayente de la masa
continua que consideramos, será tangente á la línea de fuer-
za que pasa por dicho punto, y, por lo tanto, normal á la
superficie equipotencial.
Dicha fuerza atrayente actuará en el sentido de la menor
á la mayor potencial, y su intensidad será igual á la deriva-
da de la potencial tomada con relación á la normal, á la ex-
presada superficie equipotencial.
Asimismo, la componente de la fuerza atractiva en cual-
quier dirección, será la derivada de la potencial en la direc-
ción de que se trata.
Los teoremas relativos al flujo de fuerzas en superficies
cerradas, mejor dicho, los dos primeros teoremas subsisten
íntegros para este caso. Es decir, el flujo por una superficie
cerrada exterior á la masa continua es nulo, y el flujo á tra-
vés de la superficie que la envuelve por completo, es igual
á 4 M, siendo M la masa atrayente.
Claro es que el tercer teorema tomado al pie de la letra
no tiene aplicación, porque un volumen no puede distribuir-
se sobre una superficie.
— 514 —
Por último, subsisten íntegros los teoremas relativos á los
tubos de fuerza exteriores, á la masa atrayente y á la ecua-
ción de Laplace, como luego veremos.
No hemos hecho, en lo que precede, otra cosa que repetir
palabra por palabra todos los teoremas relativos á atraccio-
nes y potenciales para las masas discontinuas.
Podríamos pasar ya, probablemente pasaremos en la con-
ferencia próxima, al caso en que el punto P está en el inte-
rior de la masa atrayente.
Pero antes, para completar estas explicaciones y salva:
toda duda que á mis alumnos pueda ocurrir, he de volver á
un punto que tiene importancia, no sólo para este proble-
ma, sino para otros análogos.
Vamos á recordar para ello, muy á la ligera, un problema
de cálculo integral.
Para demostrar que U, expresada por la integral triple
que antes obtuvimos, es realmente una potencial de la masa
continua encerrada en S, decíamos que era preciso y era
suficiente demostrar que las derivadas de U con relación á
x, y, z, eran precisamente las componentes X, Y, Z, de la
atracción en cualquier punto P.
Y á primera vista la demostración era inmediata, porque
para diferenciar, por ejemplo, la integral triple con relación
á Xx, y, z, bastaba pasar la diferenciación al interior de la in-
tegral triple, y en este caso no había más, toda vez que
. . . . 1 r
S, a, b, c, son distintas de x, que diferenciar — pues sólo
r
en r entran las variables de la diferenciación x, por ejemplo,
si se trata de X; y, z, cuando se trate de Y, Z.
Pero la diferencial de —, por ejemplo, con relación á x,
ñ
— 515 --
A-— Xx ;
sabemos que es ON lo cual, como decíamos, la de-
Í
mostración es inmediata.
- Mas para que sea legítima tal demostración, es preciso
que lo sea la diferenciación bajo el signo integral, y preci-
samente este es el problema de cálculo integral que voy á
recordar á mis alumnos, aunque ya de antemano deben sa-
berlo.
De todas maneras, el recuerdo no creo que sea completa-
mente inútil.
Supongamos que se da la integral
4= [Tuna
en que x es la variable de la integración, « un parámetro;
y para considerar el caso más sencillo, a, b, serán dos
constantes.
Claro es que, efectuada la operación, la x desaparecerá, y
el segundo miembro no contendrá más que a, a, b.
Si a, b, son constantes, y, por lo tanto, independientes
de «, podemos afirmar que A es una función de a. Es decir,
que la ecuación anterior puede escribirse explícitamente en
esta forma:
A (a) = 7 NOS
Y ahora se presenta este problema: Obtener la derivada
de A con relación á a.
Ea ó abreviadamente de ;
(04 a
Es decir
Claro es, que habiendo efectuado la integración y habien-
do obtenido la forma de A en función de «, es decir, A (2),
no habría más que aplicar los métodos generales de diferen-
ciación.
dA (a) E
da
— 516 —
Pero no es este el caso, que se conoce con el nombre de
diferenciación bajo el signo integral; el problema es obtener
la derivada de A con relación á « sin efectuar la integración.
Es decir, obtener una forma analítica de esta derivada.
Es un caso particular de otro problema mucho más gene-
ral, que planteábamos en las conferencias del curso prece-
dente, á saber: resolver problemas y efectuar transforma-
cienes y descubrir propiedades de funciones definidas por
ecuaciones diferenciales, sin efectuar las integraciones, par-
tiendo sólo de las ecuaciones diferenciales mismas.
Pues aquí se nos presenta este problema: hallar la deriva-
da de A con relación á a sin efectuar la integración del se-
gundo miembro.
Y esto, á primera vista, parece muy sencillo.
Una integral es una suma de un número infinito de térmi-
nos, que tienden á cero y crecen en número, según cierta ley;
y cuando la integral tiene realidad matemática el límite de
dicha suma está perfectamente determinado.
Pues descompongamos el segundo miembro en sus ele-
mentos, que para abreviar representaremos esquemática-
mente por los subíndices O, 1, 2, 3....., suponiendo, como
siempre, que dx es un infinitamente pequeño, idéntico para
todos los términos, y tendremos
A(a) =[f (a, x)lo dx + [f (0, x)], dx + [f (0, x)], dx + couo.
El segundo miembro es una suma, y todos sus términos
son funciones de 2; y como la derivada de una suma es la
suma de las derivadas de los diferentes sumandos, tendre-
mos, al parecer evidentemente,
du da
La x, claro es, que varía de un elemento á otro de la in-
tegral, y tomará los valores a, a + dx, a + 2dxX...... b, que
ren E) [a Ea lentes E) | dx + a za) La e.
— 517 —
es lo que hemos expresado abreviadamente y en forma sim-
bólica por los subíndices.
En cambio, si x varía de un elemento á otro de la inte-
gral, a tiene el mismo valor para todos ellos, porque es un
parámetro constante respecto á la integración.
Volviendo á la forma de las integrales, puede escribirse
el segundo miembro de este modo:
dA (a) = |. d f(a, x) o
da E da
Luego el problema se resuelve pasando la diferenciación
con relación á a dentro de la integral. Es decir, diferencian-
do el coeficiente diferencial de la ecuación primitiva f (a, x)
con relación á «, que es donde únicamente entra esta varia-
ble de la diferenciación, toda vez que hemos supuesto que no
entraba ni en a ni en b y que dxen la diferenciación con re-
lación á « es una constante.
Y ya tenemos el problema resuelto, como nos habíamos
propuesto. Es decir, derivar A con relación á a sin efectuar
la integración del segundo miembro.
Claro es que esta derivada no se nos presenta bajo forma
finita, sino bajo forma de una integral, que no se ha efectuado
5 >b
f A 6 bien f Pola x) dx.
2
Pero esto no importa, porque dicha integral está perfecta-
mente definida, toda vez que conocemos la forma analítica
del coeficiente diferencial f”¿ («, x), que se obtiene por una
diferenciación con relación á « de la función conocida, pues-
to que es un dato, f (2, x).
Parece, pues, que al menos cuando los límites de la inte-
eración son constantes, el problema se resuelve, como se
dice vulgarmente, diferenciando bajo el signo integral.
Y, sin embargo, si esto es exacto muchas veces, otras
— 518 —
muchas no lo es, y la demostración anterior no es, por lo
tanto, absolutamente rigurosa.
Vamos ahora á precisarla:
Hemos visto que
| O E x) Ja do | a+ [1] a
y al pronto creíamos que esta ecuación era rigurosa, pot-
que estamos acostumbrados á afirmar que la derivada de una
suma es igual á la suma de las derivadas, lo cual es cierto
cuando el número de sumandos es finito, pero no es eviden-
te cuando es infinito el número de sumandos.
Partamos, en efecto, de la ecuación
A(a) =[f (2, x)], dx + [f (a, x)], dx + [f (a, x)]2 dx + e
que es el desarrollo de la integral en suma y que tiene sen-
tido riguroso, puesto que suponemos que la integral existe.
Demos un incremento Au á la variable a. de la diferenciación
y tendremos
A(a+4a)=[f(a + Aa, x)]p dx + [f(a 4 Aa, x)], dx +...
y restando de esta ecuación la anterior, obtendremos
A(u+ Aa) — A(2) = [fa + Au, x) — F (a, x)], dx
+ La + Au, x) — (a, x)), dx
+ [fa + Ao, x) — f (9, x)], dx
y dividiendo ambos por Aa
A(a-+ Aa) —A (2) A —ÉÁ De
Au Aa 0
4 A Jas
O
Ya sabemos que en el segundo miembro sólo varía de un
término á otro el valor de x, al cual se refieren precisamente
los subíndices 0, 1, 2......
Pasemos ahora al límite, suponiendo Ax infinitamente pe-
queña, y tendremos
ó bien dividiendo el segundo miembro en dos grupos
de + 20 ue (2) ee
paola lala
EN QUE YAA o en Isela: son cantidades infinitamente pe-
queñas, que en el límite se reducirán á cero.
Pasando, pues, al límite, el primer miembro será la deri-
vada de A con relación á « y el primer grupo del segundo
miembro podrá ponerse bajo la forma de integral. Así:
3
dA(a) _ / A e oo do
du 7 du
Si la suma del segundo miembro fuese una suma de un
número finito de términos, dicha suma Ay 4-41 + Mo cc... en
el límite sería igual á cero; pero como su número es infini-
to, ya no es evidente que dicha suma tienda á anularse.
Es preciso demostrar en todos los casos que (A, +A, +
Mam.) dx tiende hacia cero á medida que tiende hacia
cero Aa,
— 520 —
Ahora bien, si todas las 1 tienden hacia cero y la mayor
de ellas tiende también hacia cero al mismo tiempo, ten-
dremos
siendo L el máximo valor de las cantídas 2, y entonces,
si L (b—Aa) tiende hacia cero con A a, tendremos rigurosa-
mente
PACO he A
o
y se podrá diferenciar bajo el signo integral.
Claro es que el problema es más complicado cuando la
variable « de la diferenciación entra en los límites a, b.
El estudio completo de este problema puede verse en
cualquiera de los tratados modernos de cálculo integral. Re-
cordemos, sin embargo, brevemente el caso en que el límite
inferior es variable, y lo que de él digamos podremos decir
del límite superior con sólo cambiar un signo.
Nos proponemos diferenciar la integral.
a
a0= [1604
b
siendo b función de 2: b=04 (2).
Sólo indicaremos las líneas generales de la demostración
sin entrar en pormenores y sin repetir las consideraciones
que quedan apuntadas para el caso en que los límites son
constantes.
— 521 —
Demos un incremento á a en la ecuación
a
A(u)= f F(%, a) dx
o (a)
y tendremos
a
aurao= | f(x, a+ Au) dx
o (au + Aa)
y restando de esta ecuacion la anterior y dividiendo por Aa,
según se hace siempre para diferencial, resultará
a q
de Fueranas— |] Fx, 0) dx
A(a+ Ad) A(u) _ “¿(U4As) AO)
Aa Aa
Pasando al límite el primer miembro será evidentemente
la derivada que buscamos A = A' (a). En el segundo
(os
miembro podremos substituir en vez de e (24 Ax) su valor
o (2) + y (a) Aa, con lo cual la primera integral se convet-
tirá en
a q
ól Fa aaar= | ax, a+ Aa) dx
o (2 + 41) o (2) +0 (2) Aa
y como el límite inferior es una suma, podremos descompo-
ner la integral en la diferencia de dos integrales
a o (2) + v' (a) Ax
rc
o() +0 (2) Aa o (2) o (2)
— 522 —
con lo cual la ecuación precedente se convertirá en
A” (a) = límite
9 (2) +9 (2) Am
a a
y sr trada— | Fix a+ apa |] f(x, x) da
2 (a) 2 (2) 2 (2)
_ A _ _ _—___ o. _»>>E____ __—__—_ _—_____ ---------=z-=-==-==>=->-v>3H=>==z>=AHA=---=AH--A.I A
A” (a) = límite
a o(a) + w” (2) Ax -3
02 Ad f (ajax 1 : ON
| (2) d di o
Pero la primera parte del paréntesis corresponde eviden-
temente al caso en que los límites no varían y en que se ha
efectuado la diferenciación bajo el signo integral, en cuya hi-
pótesis queda la derivada de f con relación á «., y tendremos
9 (2) + e (2) Ax
194
a=/ An dx — límite IÑ Fx,a+Aa)dx.
« a
o (2) o (2)
Vamos á simplificar el último término de la ecuación an-
terior, que puede ponerse bajo esta forma
o(a) + o (1) Ax
E / (7 (x, a) + ES) E) sa) Ax:
Au e) du
De la segunda parte puede prescindirse, si suponemos
que la derivada de f con relación á « es una cantidad finita,
porque los límites de la integral sólo difieren en una canti-
dad infinitamente pequeña, que es 9” (a)Aa, de modo que se
integra entre dos valores de x, que difieren en un infinita-
mente pequeño, y en rigor esto es diferenciar la cantidad
que está bajo el signo integral para el valor g(«).
— 523 —
O de otro modo: se puede suponer, que el paréntesis es
constante y sacarlo fuera de la integral por uno de dos valo-
res 0 (a) prescindiendo de la última parte que es infinita-
mente pequeña, puesto que contiene Á a,
Tendremos, pues,
e) +2 (sa :
sun f dx $ (0), 2) lo
? (2)
o (a) + 0" (2) Au
o (a)
ó bien
1 ,
a (2) 2) lo (1) + Y (a) Au — e (2)]
que en el límite es
(o (2), a) y” (a).
Así, pues, tendremos para la derivada que buscamos
o Tap 107 (o,
9 (2)
De modo que no hay más que restar, de la fórmula que co-
rresponde al caso en que los límites son constantes, un tér-
mino que representa el resultado de sustituir en la función f
en vez de x el límite inferior multiplicando este resultado
por la derivada del límite inferior con relación á a.
Esta fórmula, que parece un tanto extraña, toma un senti-
do clarísimo y es casi intuitiva si á la integral se le da una
representación geométrica: la de un área; porque este térmi-
no representa el rectángulo infinitamente pequeño que pier-
de la integral por el incremento del límite inferior y” (a) Au
que corresponde á la variación de «.
En efecto, este rectángulo tiene por base esta última ex-
Rev. AcaD, DE CreNCcIAaSs —X,—Enero, 1912. 34
— 324 —
presión y por altura el valor de f para dicho límite inferior.
Mas estas son consideraciones elementales, que conoce-
rán mis alumnos ó que recordarán desde luego por las indi-
caciones que preceden.
Un resultado análogo se obtiene cuando el límite supe-
rior es variable. Entonces el área que representa la integral
qa da, es de-
aumenta en un rectángulo cuya base es da =
a
cir, el incremento que recibe a por el que ha recibido «; y en
que la altura será la última ordenada del trapecio curvilíneo
que representa el área, ósea el valor de f (x, o.) para x = 0.
Resultará por lo tanto un término que agregar, f (a, a) _ da.
2
En resumen, si se quiere diferenciar
A a= |, a) dx
sizndo a y b funciones de a, tendremos
a
dAG) da =| pl Y) da dx +f(a, a) qu da —/J(b, a)
El da
do. ' do. di
y la derivada será
A A
|
Todo esto con las restricciones que indicamos al prin-
cipio.
Y terminado este pequeño paréntesis, que he creído nece-
sario, por el carácter elemental de estas explicaciones, con-
tinuemos nuestra tarea.
Para terminar esta conferencia completaremos la compa-
— 525 —
ración entre el caso de masas discontinuas y el de masas
continuas, cuando el punto P, para el cual hemos de calcu-
lar las atracciones y la potencial, es exterior á dichas masas,
extendiendo á este último caso la propiedad de la potencial
U de las masas discontinuas de satisfacer á la ecuación de
Laplace.
Podemos afirmar que la potencial U de un sistema de
varias masas discontinuas, cuando se trata de puntos exte-
riores á todas ellas satisfacen á la ecuación de Laplace.
En efecto, hemos obtenido para U la expresión siguiente:
lll pda db de
U= AS
vol P
en que a, b, c son las coordenadas de un elemento cualquie-
ra A de la masa comprendida en $, r la distancia del punto
A á un punto P exterior á S (fig. 19) y en que el subíndice
vol significa que la integral ha de extenderse á todos los ele-
mentos del volumen que abarca $.
Figura 19,
d?
— 526 —
Hemos dicho que p es la densidad de cada punto, y es, por
lo tanto, una función finita y continua de a, b, c.
Si en vez de una masa continua como la comprendida en
S, fueran varias, la demostración, que vamos á dar, sería la
misma, y aun, si se quiere, la integral triple con su subíndi-
ce, puede aplicarse á un número cualquiera de cuerpos.
Ahora bien, la ecuación de Laplace sabemos que tiene la
forma
PU, 4U, deu
dx * dy2 "dz
luego para demostrar que la potencial de nuestro caso sa-
tisface á esta ecuación, no hay más que diferenciar dos ve-
ces U, con relación á x, dos veces con relación á y, dos ve-
ces con relación á z, sumar las tres derivadas segundas, y
ver si resulta una identidad o = 0.
Ahora bien: como el punto es exterior, los valores de r
nunca se reducen á cero, luego ningún elemento de la inte-
gral será infinito; todos serán finitos, y si suponemos, como
sucede en este caso, que la diferenciación bajo el signo inte-
oral es legítima, tendremos
A oda dodo
ax?
9 1 ==
== ll nabaco
dy? .) vol
e
lle pdadbde-
E
Ú 1 1
y sumando
9 DIO Pes Di DEE
A E ff f, sdaaoas z Pe as
e da dx2 * dy2 * dz
DO
Pero hemos demostrado que el paréntesis del segundo
miembro es idénticamente nulo; luego serán nulos todos los
elementos de la integral, y tendremos satisfecha la ecuación
de Laplace:
da ayy Ea U OO
= 0)
es pa dy? E dz?
Definitivamente y en resumen, el caso de las masas con-
tinuas, cuando se trata de puntos exteriores, coincide punto
por punto en sus consecuencias, con el caso de las masas
discontinuas, lo cual intuitivamente se ve, y parece que so-
bran todas estas explicaciones y desarrollos. Para un punto
exterior á las masas atrayentes, sean éstas grandes Ó peque-
ñas, ocupen mucho ó poco espacio, son en rigor como ma-
sas discontinuas.
Para terminar de una vez esta conferencia, haremos algu-
nas reflexiones sobre la ecuación de Laplace, que hemos en-
contrado y encontraremos en muchos problemas, y á la cual
satisface la potencial de un sistema de masas, siempre que
las variables x, y, z sean las coordenadas de un punto exte-
rior.
Esta ecuación de Laplace es clásica en la Física matemá-
tica. Aparece en multitud de teorías; por ejemplo, en la teo-
ría de la elasticidad; en la atracción newtoniana, como aca-
bamos de ver; en la hidrodinámica, en la teoría del calor, en
la teoría de la electricidad y en la del magnetismo, marcan-
do ciertas analogías matemáticas entre todas estas ramas de
la ciencia física.
Tal coincidencia no puede menos de llamar la atención,
y es natural que se busque una explicación para ella.
¿Será que en el fondo de los diferentes grupos de fenó-
— 528 —
menos, que aparecen en el mundo inorgánico, haya algo co-
mún; una unidad superior; esa, á la cual aspira siempre la
ciencia, buscándola en todas partes y procurando llegar á ella
por una serie indefinida de hipótesis ?
A esta unidad aspiran la mayor parte de los físicos, aun-
que hay muchos, sobre todo en los tiempos modernos, que
acaso la niegan resueltamente, ó la ponen en duda, ó la
consideran inaccesible.
Pero problema es éste que dejamos para más adelante.
¿Será, por el contrario, esta coincidencia á que nos refe-
rimos, puramente accidental, procediendo, por decirlo de
este modo, de un grado idéntico en las aproximaciones del
cálculo, y, por lo tanto, no dependiendo de los hechos en si,
sino de la manera matemática de expresar sus leyes?
Expliquémonos más claramente por medio de un ejemplo.
Imaginemos una serie de fenómenos reunidos en un gru-
po que, para abreviar la explicación, llamaremos G; supon-
gamos que un parámetro f del fenómeno depende de otro
parámetro físico «, y que, Ó bien por resultados experimen-
tales, Ó por la aplicación de ciertas hipótesis, dicho pará-
metro f resulta función lineal de «.
Esidecií
AE [1]
siendo A y B dos constantes.
Admitamos asimismo que en otra serie de fenómenos físi-
cos, completamente distintos de los anteriores y que repre-
sentaremos por G”, se verifica una cosa análoga, á saber:
que este nuevo grupo de fenómenos contiene dos paráme-
tros variables f” y a”, y que también la aplicación del méto-
do experimental ó determinadas hipótesis dan como ley
aproximada una función lineal
E ala [2]
— 529 —
Pues aquí también pudiera causar cierta sorpresa la coin-
cidencia de las fórmulas (1) y (2); y el que fuera propenso
al optimismo pudiera admirar la armonía de la Naturaleza,
al ver que en fenómenos tan distintos, como hemos supuesto,
que eran G y G”, las leyes de ambos fenómenos expresadas
por los parámetros P, « y P”, a” resultaban idénticas en su
forma matemática.
Y, sin embargo, esta coincidencia y esta armonía es pura-
mente en este caso una coincidencia de aproximación numé-
rica, por decirlo de este modo; como en dos curvas comple-
tamente distintas las ecuaciones de dos elementos conside-
rados como pequeñas líneas rectas son también funciones
lineales de dx, dy.
¿Pues no pudiera suceder, que el hecho de encontrar la
ecuación de Laplace en multitud de teorías, dependa en
cierto modo de una aplicación matemática idéntica al expre-
sar U en función de x, y, z?
No discutimos esta segunda explicación de coincidencia,
que, en todo caso, es digna de un estudio detenido.
¿Será, por último, debida esta concordancia, 6, mejor dí-
cho, esta unidad de las fórmulas matemáticas aplicables á
diversos fenómenos de la Naturaleza, en una identidad del
procedimiento lógico, que emplea en los casos más diversos
la inteligencia humana para expresar los fenómenos por re-
laciones matemáticas?
La verdad es, que la fórmula de Laplace puede interpre-
tarse siempre como la expresión lógica y hasta de sentido
común de la aplicación de este principio: que en un espacio
cerrado, si penetra algo en cantidad igual á la que sale, la
variación de este algo en el espacio de que se trata es
nula.
Y este algo puede ser flujo de fuerzas, ó cantidad de caló-
rico, ó flujo eléctrico, ó líquido incomprensible.
Por ejemplo; si consideramos un paralelepípedo intinita-
mente pequeño y la cantidad que entra de ese algo, por la
— 530 —
cara perpendicular al eje de las x, depende de una derivada
de una cierta expresión V con relación á x, á saber:
aos
Y dz
Y la cantidad que sale por la cara opuesta tiene una ex-
presión análoga
dv A >
a + dx)dydz
dx ales
la diferencia será
deny
y?
[04
EN
Y del mismo modo, para las caras perpendiculares á los
otros dos ejes
A dx dydz,
dy?
ol
d?Vv
dz?
[04
dx dydz.
De modo que la variación en el interior del paralelepípedo,
de ese algo á que venimos refiriéndonos, será la suma de las
tres expresiones anteriores; y si queremos expresar que la
variación en el interior del paralelepípedo es nula, tendremos
a pal ed dx dy dz + cd dxdydz=0
ap dy? dz?
Ó bien
2 2 2
dae de V ye d?Vv pl
dx? dy? dz?
que es precisamente la forma de la ecuación de Laplace.
— OS
Ya expusimos un razonamiento parecido en el curso ante-
rior, al estudiar la fórmula de Green, y no será esta la última
vez que insistamos sobre tales analogías y semejanzas entre
las teorías matemáticas aplicables á diferentes órdenes de
fenómenos fisicos.
Pasemos definitivamente al estudio de las atracciones y
potenciales en el caso de masas continuas y para puntos in-
teriores á dichas masas.
— 532 —
XXIV.—Nota escrita con motivo de la venida á Madrid
del Principe Alberto I de Mónaco.
POR JOAQUÍN GONZÁLEZ HIDALGO.
Designado por esta Corporación para dar la bienvenida
á Su Alteza Serenísima el Príncipe Alberto I de Mónaco, y
para poner en conocimiento de este ilustrado auditorio algu-
nos de los hechos que han servido de fundamento á la alta re-
putación científica que le está reconocida á S. A. en todas
partes, daré principio á mi relato, que será breve y sencillo
porque carezco de aquella inspiración, de aquellos conoci-
mientos y de aquellas dotes oratorias que sólo son patrimo-
nio de contadas y conocidas personalidades.
Pero cumplo gustoso el acuerdo de la Academia y confío
en obtener la indulgencia de mis oyentes.
Es innegable que en todos los adelantos que ha ido veri-
ficando la humanidad desde los tiempos antiguos, y espe-
cialmente en las épocas más modernas, se ha necesitado el
concurso de dos grandes factores para la realización de
aquéllos, y éstos son las condiciones antropológicas y la in-
fluencia del medio. Respecto á las primeras, es una verdad
bien reconocida que no todos los seres de la especie huma-
na que se van sucediendo en la superficie de nuestro globo
tienen el mismo desarrollo en órganos semejantes, ni la
misma intensidad funcional en cada uno de éstos, ni tam-
poco vienen al mundo en iguales condiciones sociales, lo
cual hace que su vida futura sea tranquila, ó más ó menos
azarosa, y que durante ella tengan mayor 6 menor aptitud ó-
ayuda para las artes manuales ó los estudios científicos.
Las condiciones antropológicas serán inmejorables para
esto último si el cerebro de los individuos se halla tan pode-
— 533 —
rosamente organizado que una gran memoria conserva en
él todas las impresiones recibidas por sentidos también muy
perfectos, y si un perspicaz entendimiento coordina á ma-
ravilla todos los elementos de juicio que le han sido apor-
tados sucesivamente. Mas no basta esto; es preciso también
que una enérgica y persistente voluntad le impulse á la rea-
lización de algún ideal que en él haya surgido y pueda ven-
cer la influencia del medio, si éste es adverso, Ó en casos
más favorables otras influencias mundanales ó poco cientí-
ficas, que pudieran anular la más útil para sus fines.
Dos ejemplos pueden presentarse, entre otros muchos, de
estos seres privilegiados y de la influencia del medio: Edison
y S. A. Serenísima. Hijo del pueblo el primero, escaso de re-
cursos, con instrucción en un principio deficiente, su envi-
diable cerebro logró vencer todos los obstáculos materiales
y obtener la admiración del mundo científico por sus nota-
bles descubrimientos. Descendiente de Príncipes S. A., con
educación esmerada, dotado de bienes de fortuna, favo-
recido, además, por naturaleza como lo fué Edison, tam-
bién tuvo sus ideales, también los ha realizado y se ha ren-
dido homenaje mundial á su nombre, como yo tengo gran
satisfacción en hacerlo en este momento.
La poderosa voluntad de ambos hombres de ciencia ha
sido la causa determinante de los resultados científicos que
han obtenido; en el primero, venciendo los obstáculos mate-
riales; en el segundo, apartándole conscientemente de todo
aquello que pudiera distraerle de los fines que se había pro-
puesto conseguir.
Vistos y juzgados estos y otros hombres científicos por los
individuos de cultura limitada, son reputados como seres dis-
traídos ó insociables, siendo precisamente esas particularida-
des que se juzgan defectos los indicios de una concentración
de su espíritu en la resolución de problemas más ó menos
útiles á la sociedad, y que ésta en gran parte no llega á
comprender, aun cuando luego disfrute de sus beneficios.
— 534 —
Los hombres inteligentes tienen, por regla general, afición
á cualquier clase de estudios, rectitud de juicio, elevación
de miras, espíritu altruista; y estas cualidades, no sólo re-
dundan en provecho de sus semejantes, sino en el suyo pro-
pio, puesto que así adquieren el privilegio de gozar de una
Telicidad mayor y más duradera que los otros hombres, du-
rante la mayor parte de su existencia.
El trabajo intelectual influye de un modo notable en la du-
ración de la vida; los sabios, escritores y hombres que Se
distinguen por su inteligencia, llegan, por término medio, á
una edad bastante avanzada. El ejercicio ordenado y cons-
tante de las funciones cerebrales comunica mayor actividad
al sistema nervioso periférico y éste á todos los órganos en
que se distribuye, los cuales se fortifican más aún por el ré-
gimen de vida tranquilo y sosegado que suelen seguir los
hombres pensadores. Desempeña, además, un papel impor
tante el dominio que tienen los individuos más inteligentes
sobre algunas pasiones ó inclinaciones que son perjudiciales
á la salud, y para evitar varias de las causas que ponen en -
peligro la existencia. En las pérdidas de seres queridos y
otras contrariedades inevitables de la vida, también se ami-
nora su sufrimiento, recurriendo á sus libros, á sus colec-
ciones, á sus investigaciones favoritas, y este alivio en el
padecer contribuye igualmente á la conservación de su or-
ganismo. Con sólo echar una ojeada á la publicación alema-
na Nature Novitates, donde cada quince días aparece la ne-
crología de los hombres de ciencia, es fácil notar que los más
significados de éstos por sus estudios y publicaciones cientí-
Ticas, suelen vivir hasta los ochenta y noventa años, habien-
do algunos, como el químico francés Chevreul, que llegó á
los ciento, y el naturalista alemán Philippi, fallecido á los
noventa y seis, que conservaron hasta ese momento íntegras
sus facultades intelectuales. Esta condición es casi constante
en los hombres cientificos de mucha edad, por lo cual las na-
ciones ilustradas los conservan en los puestos que desem-
— 5359 —
peñan, á pesar de sus años, porque no dejan de cumplir cor:
sus obligaciones y de producir todavía notables trabajos por
el caudal científico que han acumulado con una labor cons-
tante.
El influjo del medio le experimentan todavía de otra ma-
nera que la puramente material los hombres nacidos para
los estudios científicos. ¿Por qué tal individuo se dedica á
las investigaciones químicas, por qué tal otro á los estudios.
histológicos, por qué un tercero á la contemplación del mun-
do sideral, y por qué otros muchos á los distintos ramos de
las ciencias que se conocen en los tiempos presentes? Sin
duda alguna, por la impresión recibida de hechos ú objetos.
determinados que fijan su atención de un modo más ó menos
permanente, ó por relaciones establecidas con personas que:
ya están dedicadas á diversos estudios, y cómo asimilan gran
parte de los conocimientos de éstas, agregando el producto
más ó menos valioso de su propia inteligencia, queda esta-
blecida de un modo lógico y natural la ley del progreso,
merced á la cual contemplamos con asombro las maravillas
científicas de la época actual, quedándonos el sentimiento
de no conocer las que verán nuestros descendientes.
Las ligeras consideraciones antes expuestas acerca de las.
condiciones antropológicas y la influencia del medio en la
producción cientifica y de las diversas aptitudes que pueden
observarse en los hombres de ciencia, que han realizado de
una ú otra manera el fin que se habían propuesto, me Servi-
rán de guía para dar á los oyentes una idea de la inmensa
labor ejecutada por S. A. durante un periodo de más de vein-
tiséis años, con una constancia admirable y un altruismo de.
que se ven pocos ejemplos.
Ni es lisonja ni causará extrañeza alguna que vuelva á re-
petir aquí lo pródiga que fué la naturaleza con S. A. el Prín-
cipe respecto á sus facultades intelectuales, pues esto es ya
una verdad demostrada por hechos que luego citaré, ni tam-
poco de que su posición socíal ha sido de las más favorables.
— 536 —
para todo aquello en que ha ocupado su inteligencia. El rum-
ba que ésta siguió cuando ya el organismo había terminado
su crecimiento, fué determinado sin duda por las circunstan-
cias en que se desarrolló la juventud del Príncipe. Sí recorda-
mos su residencia á orillas del mar, sus instructivos viajes,
sus relaciones con diversos naturalistas, los años que navegó
en la marina de guerra española y su conocimiento de las
exploraciones verificadas por los buques Porcupine y otros
en el Atlántico y el Mediterráneo y por el Challenger, alrede-
dor del mundo, juzgaremos muy natural que esta preparación,
casi involuntaria, ha sido sin embargo la que le decidió por
la clase de estudios á que se ha dedicado desde entonces.
Resuelto ya á ir completando el conocimiento de las ma-
ravillas y misterios de los mares, puso manos á la obra, habi-
litando el buque Airondelle para sus primeras expediciones,
y con la experiencia en ellas adquirida, mandó construir otro
más adecuado para el objeto, que denominó Princesa Alicia,
y más adelante otro mejor aún con el nombre de Princesa
Alicia núm. IH. Sólo examinando y muy despacio el interior
de estos buques, donde están acumulados aparatos y utensi-
lios á cual más diversos para todo lo que se relaciona con
esta clase de exploraciones, puede comprenderse hasta dón-
de ha llegado su interés científico y su estudio, sirviéndose
con éxito de todos los aparatos conocidos y perfeccionando
muchos de ellos por una apreciación exacta de algunas defi-
ciencias observadas durante su empleo.
En sus repetidos viajes marítimos, que han sido más de
veinte desde el año 1885 hasta el presente, todo ha sido pre-
parado bajo su dirección, hasta en los menores detalles, vi-
gilando y enterándose de las operaciones de sondeo y de
dragado practicadas, al mismo tiempo que tomaba notas de
lo que debía servirle para la publicación de la parte corres-
pondiente á sus trabajos y de lo referente á los seres natu-
rales recogidos que habían de ser descritos por especialistas
«de su confianza.
— 537 —
Con los buques de su pertenencia exploró las aguas y los
fondos del Atlántico en los sitios siguientes: desde Lorient á
Terranova, Spitzberg, islas Amsterdam, Faroer y de los Da-
neses, costa de Noruega, Golfo de Gascuña, desde Santan-
der á Vigo, costa de Portugal, islas Berlengas, mar de Sar-
gazos, islas Azores, de Madera y Cabo Verde, islas Canarias
y estrecho de Gibraltar; y en el Mediterráneo, costas de Ma-
rruecos, Argelia, Sicilia, Italia, de Valencia en España, é
islas Baleares, de Córcega y de Cerdeña. |
Las exploraciones verificadas lo han sido por medio de
sondas, nasas, dragas, termómetros, totadores y otros apa-
ratos que han servido para conocer con más exactitud los
hechos siguientes: el relieve de una parte del fondo del At-
tántico y del Mediterráneo, y, por lo tanto, las desigualda-
des del mismo y los sitios en que la profundidad llega á su
máximum, la dirección de las corrientes superficiales del
Atlántico, la existencia y dirección de las corrientes profun-
das, apreciadas por el análisis físico y químico de las aguas,
cuando éstas han sido recogidas en series verticales en tres
puntos del Océano dispuestos en triángulo, la temperatura
de las aguas del mar en la superficie, en el fondo ó á dife-
rentes alturas, tanto en el Océano como en el Mediterráneo
ó en diferentes latitudes del Atlántico, la densidad y compo-
sición de las mismas y su examen bacteriológico, la natu-
raleza y composición de las muestras del terreno del fondo de
los mares y la obtención de multitud de seres vivientes en
el plankton, 6 á diferentes profundidades. También se han
hecho observaciones meteorológicas á bordo, y se han reco-
gido animales y plantas en los sitios donde se ha desem-
barcado.
El resultado de todas estas expediciones científicas ha sido
la publicación de unas 500 noticias, artículos Ó memorias
más ó menos extensas, debidas á S. A. el Príncipe ó á mu-
chos hombres científicos de distintos países. Aquellas de que
es autor S. A. son en número de 82, aparecidas desde 1885.
— Y38 —
hasta 1910, todas interesantes, y de las cuales citaré algunos.
títulos: Corrientes del Atlántico. Corriente del Golfo de Mé-=
jico. Dragados en el Golfo de Gascuña. Empleo de las nasas
para recolección de animales en aguas profundas. Dinamó-
metro y sondas empleadas en las expediciones del Hiron-
delle. Nuevos aparatos empleados para la recolección de los.
animales pelágicos y de los que viven á diferentes profun-
didades. Lanzamiento de globos sondas en los Océanos. Cur-
vas barométricas observadas á bordo del Hirondelle. Pro-
yecto de observaciones meteorológicas en el Atlántico y
creación de observatorios de esta índole en las islas. Viaje
al Spitzberg. La pesca de la sardina en España. Alimenta-
ción de los navegantes que han naufragado en alta mar. Des-
arrollo de las tortugas. Empleo del aceite para calmar el
oleaje del mar, etc., etc.
Los restantes trabajos han sido hechos por un centenar
de especialistas, á quienes ha facilitado S. A. los datos y las.
colecciones de muestras y seres naturales, reunidas con su
perseverante trabajo de tantos años.
En varios de estos escritos se dan á conocer los caracte-
res, manera de vivir y lugar donde se han encontrado mu-
chas especies de peces, de cangrejos, conchas y caracoles de
todas clases; cefalópodos, holoturias, medusas, erizos y es-
trellas de mar; braquiópodos, esponjas, foraminiferos, etc.,
mencionándose igualmente las aves, insectos, miriápodos,.
arácnidos y plantas recogidas en las islas Ó tierras visitadas.
En otras memorias se trata del color de las aguas del mar;
de la composición, densidad y alcalinidad de éstas, como
también de su análisis bacteriológico; de los sedimentos del
fondo del mar, de la naturaleza de las muestras sólidas arran-
cadas del fondo por las sondas; de la existencia del arsénico
en la composición del cuerpo de ciertas esponjas, y de otros
varios asuntos que sería prolijo enumerar.
Tan interesantes fueron las expediciones y las publicacio-
nes de S. A., que al poco tiempo de iniciadas, en 1889, esta
ME a
misma Academia tuvo la honra de admitirle como miembro
corresponsal, á propuesta de varios académicos, ya difuntos,
y del que aún vive para reterirlo.
Á este acto de reconocida justicia ha correspondido esplén-
didamente S. A. el Príncipe, donando á la Academia todas
las publicaciones de que antes se ha hecho mérito, y que
también se imprimíeron á sus expensas, con todo lujo y con
magníficas láminas que sirven para la mejor comprensión del
texto.
En la biblioteca de esta corporación pueden consultarlas
todos los que tengan afición á esta clase de estudios, y como
no es posible dar ahora una idea de su contenido por el mu-
cho tiempo que en ello habría de emplear, me limito en este
momento á la mención de algunos datos nuevos y curiosos
dados á conocer en esos volúmenes.
De los repetidos sondeos verificados por S. A. en el Atlán-
tico y Mediterráneo con instrumentos apropósito para ave-
riguar la profundidad en diversos sitios, como también la
temperatura de las aguas, las corrientes de éstas y la natu-
raleza ó estado del fondo de dichos mares, queda consigna-
do en dichas publicaciones lo siguiente:
1.2 Que la mayor profundidad alcanzada con la sonda
en sus exploraciones ha sido la de 6.035 metros.
2.2 Que al SO. de Fayal, en las Azores, hay un banco de
215 kilómetros de circunferencia, con una profundidad mí-
nima de 44 metros, muy abundante en pesca, al cual ha dado
S. A. el nombre de Princesa Alicia; además, una depresión
muy considerable del fondo del mar cerca de las mismas is-
las, que denominó Fosa de la Hirondelle, en que la sonda
llega á 3.075 metros, y otra mayor aún, Fosa de Mónaco,
al SO. de Madera, con 5.530 metros de profundidad.
3.2 Que en el fondo de los mares citados no hay agua
inmóvil á 4? de temperatura, como antes se creía, sino di-
versas temperaturas (según las corrientes observadas), bas-
tante menores en el Atlántico que en el Mediterráneo, sien-
Rev. Acap. vr Ciexcras.—X.—Enero, 1012, 35
— 540 —
do en éste generalmente de 23 á 26 grados en la superficie,
y 13 en sitios más hondos, hasta la profundidad de 1.500
brazas.
4. Que el fondo del Océano está en buenas condiciones
para la vida de los seres animales, mientras que el del Me-
diterráneo está corrompido por la gran cantidad de materia-
les que vierten en dicho mar el Nilo (desagiie del Africa
Oriental) y varios ríos de Europa, notándose por eso la es-
casez de seres vivos en las partes profundas del mismo.
5. Que en el Estrecho de Gibraltar hay dos corrientes
marinas en sentido inverso: una, superficial, del Atlántico al
Mediterráneo, y otra, profunda, de éste al primero de dichos
mares. Así, el agua de la superficie del mar, desde el Estrecho
al Cabo de Gata, tiene la temperatura y densidad de las del
Atlántico, que son menores que las del Mediterráneo, y la
temperatura profunda del agua del Estrecho al salir del At-
lántico es más considerable que la observada en el fondo del
Océano, y más semejante á la del fondo del Mediterráneo.
6. Que el análisis bacteriológico de las aguas del mar
ha demostrado la existencia de gran número de microbios
en las muestras recogidas en los puertos Ó cerca de las cos-
tas, siendo escasos ó desapareciendo del todo á medida que
se obtuvieron más lejos de éstas.
7.2 Que las muestras del terreno del fondo del mar que
rodea las islas Canarias, Cabo Verde y Madera son de natt:-
raleza basáltica, y de piedra pómez las extraídas alrededor
de las Azores.
8. Que existe un miligramo de arsénico por cada kilo
de materia seca de muchos espongiarios que viven en abun-
dancia en el fondo del mar.
Y 9. Que durante una de las expediciones, un temporal
puso en peligro al buque explorador, comprobándose que
tal vez debió su salvación al hecho de verter aceite poco á
poco en las aguas del mar, lo cual disminuye la violencia del
oleaje, según una op-nión antigua, recomendada por Fran-
— 541 —
klín en 1774, y con la cual están de acuerdo diversos nave-
gantes.
De la recolección de seres vivos á diferentes profundida-
-des por medio de las nasas y las dragas, y, sobre todo, de
los sitios más profundos, se ha confirmado más aún en las
exploraciones de S. A. la existencia de la vida animal en
esas regiones, con el descubrimiento de muchas nuevas es-
pecies, además de las ya encontradas en la expedición del
Porcupine.
En parajes muy hondos y donde debe haber una obscuri-
ridad completa, viven, sin embargo, animales provistos de
ojos (como un calamar denominado Leachia cyclura y un
pez nombrado Photostomias Guernei), los cuales pueden ver
cerca de su cuerpo merced á unos aparatos luminosos que
rodean el órgano de la visión en el primero, y que tiene el
segundo debajo de las órbitas, y en dos series á lo largo de
la línea ventral. Otras especies de los grandes fondos, como
los cangrejos de los géneros Dorynchus y Munida, presen-
tan ojos grandes y brillantes, á pesar de no estar dotados
de aparatos luminosos como los seres mencionados. Y sin
embargo, pueden servirse de sus órganos visuales, porque
en los sitios donde viven hay muchos animales fosforescen-
tes que iluminan las aguas de su alrededor. Entre ellos, me-
recen citarse un erizo de mar, la Ophiacanta spinulosa, que
da luces de un verde intenso, y una pluma de mar, la Pavo-
nia quadrangularís, cuya tosforescencia es de un violeta
pálido.
Varios animales recogidos, y que difieren bastante de
formas antes conocidas, son la Brisinga coronata, estrella
de mar, de brazos muy largos y muy brillante cuando se la
observa dentro del agua; unas esponjas que presentan gran
número de espículas silíceas, ya muy largas y en disposición
radiada como en la Tetilla longipilis, ya formando un fino
enrejado, en que las espículas presentan cinco puntas,
como en la Holtenia Carpenterí y otras. Examinando des-
pacio lis memorias antes citadas, se encuentran todavía,
en seres muy pequeños de diversos grupos, particularida-
des de forma ó de organización, y por no ser muy difuso,
terminaré esta ligera reseña mencionando tres especies de
cangrejos y otras tres de calamares muy notables. Entre
los primeros están el Nymphon abyssorum, cangrejo de cuet-
po muy pequeño y extremidades muy largas, que le dan el
aspecto de una araña; el Neolithodes Grimaldii, con el cuer-
po y las extremidades erizadas de largas y puntiagudas es-
pinas, y la Caprella spinossissima, á que se da el nombre
vulgar de cangrejo esqueleto, porque realmente tiene ese pa-
recido por su cuerpo largo y estrecho y la disposición de sus
extremidades. De los Cefalópodos, los más curiosos son
el Lepidoteuthis Grimaldii, con el cuerpo cubierto de esca-
mas, como los peces; el Ctenopteris cyprinoides, que presen-
ta dos aletas laterales grandes y con radios, como los pesca-
dos, y el Grimalditeuthis Richardi, en que la parte inferior y
terminal del cuerpo ofrece un apéndice estrecho, con una lá-
mina en forma de corazón y muy trasluciente, tanto, que se
puede leer al través de ella cualquier impreso.
Con todo lo antes expuesto y á grandes rasgos, creo se
ha comprendido hasta dónde llegó la pasión científica
de S. A., el cual todavía ha traspasado esos límites con la
creación de un edificio para conferencias científicas en Pa-
rís, y la de un monumental palacio en Mónaco, con el título
de Instituto Oceanográfico. En esta bien situada y preciosa
construcción hay inmensas salas donde están expuestas con
un gusto exquisito, á la vista del público, las colecciones
referentes á Oceanografía y Zoología marina, y existen,
además de una sala grandiosa para recepciones ó conferen-
cias, numerosos y bien entendidos departamentos para la-
boratorios, gabinetes de estudio, biblioteca, acuarios, etcé-
tera, etc.
La inauguración del Instituto Oceanográfico, verificada
en 1010, y á la que asistí como delegado del Gobierno de
— 543 —
España y de esta Academia, fué un éxito inmenso para $. A.
Altos dignatarios y Comisiones oficiales de diversos Esta-
dos, centenares de profesores y naturalistas de todas las
naciones, celebraron llenos de entusiasmo el servicio hecho
á la ciencia por S. A., el cual ha dejado completa su obra
con un espíritu eminentemente altruista, asignando una
eran subvención en lo futuro para que las tareas por él em-
prendidas sean continuadas en dicho Instituto por hombres
científicos de todos los paises.
Y con esto termino, felicitando sinceramente á S. A., y
mostrándole á mi auditorio, con un elogio muy español y
muy expresivo: Señores, he ahí una vida bien empleada.
— 544
XXV.—Apuntes sobre Mecánica social.
POR ANTONIO PORTUONDO Y BARCELÓ.
(Continuación.)
LEYES DEL EQUILIBRIO Y DEL MOVIMIENTO
DE UN INDIVIDUO
Admitidos los Principios fundamentales, se pueden dedu-
cir las leyes que rigen el equilibrio y el movimiento, cuan-
do se considera por abstracción un solo individuo libre en
un asunto y se conocen las fuerzas (relacionadas con el
asunto) que actúan simultáneamente sobre él, unas ema-
nando del interior del organismo del individuo natural y
otras del exterior.
EQUILIBRIO: Si un índividuo se halla libre y en reposo,
teniendo una determinada posición en un asunto de carácter
social, y es solicitado simultáneamente por varias fuerzas
dadas en diversas direcciones y sentidos en el asunto, y con
intensidades conocidas, cada una de las cuales tiende á mo-
dificar la posición del individuo —sacándole del estado de
reposo — para imprimirle un cierto movimiento con la velo-
cidad que correspondiera á la intensidad de cada una de
ellas, y en su dirección y sentido en el asunto de que se tra-
te, es evidente —en virtud de su inercia y de la composición
de las fuerzas —que (componiendo dos de las fuerzas y su
resultante con una tercera, y asi sucesivamente) el efecto de
todo el conjunto de fuerzas que actúan es equivalente al de
la resultante final; por consiguiente, el efecto será nulo, y el
individuo permanecerá en la misma posición que tiene, sin
experimentar cambio alguno en el asunto — y como si se le
hubiera dejado entregado á sí mismo —si aquélla resultante
545 —
final es nula, es decir, si en la representación simbólica, el
llamado polígono representativo de las fuerzas es cerrado.
Se dice entonces que el individuo libre está en equilibrio
-bajo la acción de tales fuerzas; ó de otro modo: que las fuer-
zas que actúan sobre el individuo se equilibran. Con este úl-
timo modo de expresión se significa más claramente que —
por sus direcciones y sentidos particulares en el asunto y
por sus respectivas intensidades —las influencias están con-
trarrestadas unas por otras.
La ley, pues, del equilibrio del individuo libre aislado, es
que el polígono representativo de las fuerzas sea cerrado,
porque así como ésta es condición suficiente, es también ne-
cesaria; es decir, que estando en equilibrio el individuo, ha-
brá de cumplirse la condición necesariamente, pues de no
ser cerrado el polígono, existiría una resultante final y á ella
obedecería el individuo libre poniéndose en movimiento en
la dirección y sentido de esta resultante.
Si en vez de considerar al individuo libre en reposo le
considerames en estado de movimiento, se dirá también que
un grupo de fuerzas que sobre él actúa se equilibra, cuando
el estado de movimiento no se altera; es decir, no se modifi-
ca, sino que continúa como si ese grupo de fuerzas no exis-
tiera. Del mismo modo que en el caso del reposo, las fuer-
zas del grupo en equilibrio deberán de cumplir la condición
necesaria y suficiente que acabamos de formular.
Con esto queda dicho todo respecto al equilibrio de las
fuerzas que actúen sobre un individuo libre.
MOVIMIENTO: Para tratar en toda su generalidad el pro-
blema del movimiento de un individuo libre bajo la acción
de varias fuerzas dadas, fijemos primeramente la atención
en los datos del problema. Estos son:
1.2 El estado inicial del individuo en el asunto; es decir:
la posición que tiene en el instante que consideramos como
inicial para el estudio, y la velocidad que tiene en este ins-
tante en magnitud, dirección y sentido.
— 546 -
2." La masa del individuo en el asunto.
3.” Las varías fuerzas psíquicas que simultáneamente
actúan sobre el individuo, conocidas por sus magnitudes,
direcciones y sentidos en cada instante. No se olvide que las
únicas acciones que han de ser consideradas son las que
obran efectivamente sobre la psiquis del individuo, como di-
jimos en los Preliminares.
Siguiendo el procedimiento que se emplea en la Mecánica
racional, el problema del movimiento se resuelve procurando
determinar el cambio muy pequeño de movimiento que expe-
rimentará el individuo en el asunto á partir de un cierto ins-
tante y durante un intervalo de tiempo muy pequeño 6; es
decir, el movimiento que se llama elemental, porque enlazan-
do estos movimientos elementales por ley de continuidad
en el tiempo y en el asunto, se tendría el movimiento real y
efectivo de modificación del individuo en el asunto desde un
instante cualquiera £, hasta otro instante cualquiera f,; es
decir, durante un trascurso cualquiera de tiempo.
Para determinar el movimiento elemental á partir de un ins-
tante dado (instante inicial), se empieza por reemplazar el
conjunto de las fuerzas, que son conocidas en ese instante
(dato tercero); por una sola F que sea la resultante de todas
ellas.
Ya vista; sise aplica el segundo Principio fundamental,
se deduce la aceleración total / del movimiento del individuo
en ese instante, porque tendrá, en virtud de ese Principio,
la misma dirección y el mismo sentido que F, y una magni-
tud que se obtendrá dividiendo la intensidad de F por la
masa m (dato segundo) del individuo en el asunto PE)
m
Determinada así en magnitud, dirección y sentido la acele-
ración total / en el instante inicial, bastaría componer /.% con
la velocidad inicial v, (dato primero) por Cinemática, y la
resultante indicará —tanto en dirección y en sentido como
en magnitud —cuál ha de ser la velocidad v” del individuo
— 547 —
al fin de un intervalo muy pequeño de tiempo 0, Habremos
determinado así el cambio de movimiento producido por las
fuerzas en ese intervalo de tiempo muy pequeño 6%. Es claro
- que la posición del individuo, cuando haya de tener esa nue-
va velocidad v”, se obtendría (según dijimos en la Cinemá-
tica) añadiendo á la posición p , (dato primero ), el cambio ó
modificación experimentado en el tiempo Ú— que tendrá la
dirección y el sentido de v, y una magnitud que puede me-
dirse aproximadamente por v,Ú.
Cuando en la Mecánica racional se considera un punto
material que no está en libertad absoluta de moverse en el
espacio en cualquiera dirección y sentido, se dice que tiene
enlaces. La naturaleza física de éstos, así como su disposición
especial en cada caso, deben de ser estudiadas y tenidas en
cuenta en la Mecánica aplicada; pero en la Mecánica racional
se supone siempre que esas limitaciones para el movimiento
se expresan y definen tan sólo por ecuaciones. Si el enlace
es unilateral, se expresa por una desigualdad negativa.
Para las especulaciones abstractas que intentamos en estos
Apuntes sobre Mecánica social, basta que digamos que el in-
dividuo tiene enlaces, cuando no está en libertad absoluta
de modificar su posición —en un asunto —en cualquiera di-
rección y sentido.
Si se intentara hacer una Mecánica social aplicada, habría
de procederse á un estudio minucioso de la disposición es-
pecial de los enlaces en cada caso, porque tendría eso una
importancia capital. A nosotros nos basta ahora concebir su
existencia, y hacer intervenir los enlaces en los razonamientos.
Así, después de haber dado las leyes del equilibrio y del
movimiento de un individuo /ibre, debemos de añadir que si
no está libre, sino sujeto á enlaces, se deberá de reemplazar
éstos por fuerzas equivalentes antes de aplicar aquellas le-
yes. Y se puede asegurar desde luego, que hay siempre en
todo individuo un género de limitación al cual está ligado el
ente abstracto y simple á quien llamamos nosotros el indivi-
— 0148
duo, es á saber: el enlace de éste con el ser orgánico de su
propio cuerpo. Por eso hemos sobreentendido siempre (al
considerar al individuo como mecánicamente libre) que este
enlace ha sido reemplazado por las fuerzas psíquicas que le
sean equivalentes, en cuanto al efecto psíquico mecánico.
Se concibe que hay otros muchos géneros de enlaces
psíquicos que deben de ser considerados en la Mecánica
social. Provienen de las relaciones que medien entre el indi-
viduo de que se trate, y otros individuos ó elementos socia-
les. Estos enlaces son los que habremos de considerar al es-
tudiar en la Segunda parte las agrupaciones sociales, desde
nuestro punto de vista de la Mecánica.
La solución que hemos dado al problema del movimiento
de modificación de un individuo libre, planteado en toda su
generalidad para el caso teórico de que la fuerza motriz F,
resultante de todas las que actúen en cada instante, varíe de
un instante al siguiente por ley de continuidad, conduce, natu-
ralmente, á un movimiento del individuo, que—como suce-
sión de movimientos elementales — es simbolizado por el
movimiento de trayectoría curvilínea de un punto material (+).
Ya dijiimos anteriormente que en la realidad del desen-
volvimiento de la vida psíquica del individuo, las direcciones
(*) Al plantear el problema general, é indicar cómo podría conce-
birse—ya que no obtener - su solución, lo vemos como un problema
delerminado.
Decía John Stuart Mill: «dados los motivos que estén presentes en
la mente de un individuo, y dados igualmente el carácter y la dispo-
sición de ese individuo, se podría inferir con certeza su modo de
obrar .
Nosotros, al deducir el movimiento del individuo, hemos supuesto,
dada la posición inicial y la masa del individuo, que parecen corres-
ponder á lo que Stuart Mill quiere significar con la disposición y el
carácter; y tambien dadas las varias fuerzas psíquicas que simultá-
mente actúan sobre el individuo, que parecen corresponder á los
motivos que estén presentes en su mente. En lo que Stuart Mill deno-
mina el carácter y la disposición del individuo, van envueltas las
fuerzas que nosotros concebimos como emanando del interior del
propio organismo corporal.
— 549 —
en las cuales se operan sus cambios de posición en cada
asunto —que son las direcciones de sus velocidades — no
son generalmente variables de un instante al siguiente, sino
á intervalos de tiempo de bastante duración para que el mo-
vimiento en la realidad sea una sucesión de movimientos de
dirección constante, cada uno de los cuales es de duración
relativamente larga dentro de la longitud de la vida total.
Para cada uno de esos movimientos parciales, suponemos
que (si la velocidad inicial no es cero) adquiera la veloci-
dad —al empezar—una orientación y un sentido que sean
los mismos que los de la fuerza motriz FF que habrá de se-
guir actuando ya en todo el tiempo de la duración de ese
movimiento parcial. Esto requiere que, en el instante crítico
del cambio de dirección en el movimiento del individuo, las
fuerzas cambien de un doble modo: primero, para cambiar la
dirección de la velocidad al terminar el movimiento anterior;
y después, para que su resultante se coloque —por decirlo
asi—en la dirección que ha de conservar ya pot algún
tiempo.
Pero como la teoría dinámica anteriormente expuesta es
general, deberemos de aplicarla á cada uno de esos movi-
mientos de dirección constante (representables por movi-
mientos rectilíneos de un punto material) y diremos por tanto:
1.2 Que si en uno de esos movimientos de dirección
constante, todas las fuerzas que actúan incesantemente sobre
el individuo, tuvieran una resultante F' que no sólo fuera
constante en dirección y sentido, sino también en intensidad,
la aceleración / en ese movimiento del individuo, habría de
Es E :
ser también de magnitud constante ( == ea es decit,
m
que su movimiento habría de ser uniformemente acelerado en
ese transcurso de tiempo. Si el sentido de FF fuera el opues-
to al sentido de la velocidad, el movimiento sería uniforme-
mente retardado.
2.2 Que si sólo fuera constante la dirección y el. sentido
— 550 —
de la resultante motriz F (que sean los mismos de la veloci
dad), pero no lo fuera su intensidad (Jo cual ocurrirá frecuen-
temente), el movimiento sería de aceleración variable /; y
que su ley de variación se deduciría de la ley de varia-
ción de la intensidad de la fuerza, que suponemos conocida
( puesto que / = ml Conocida ya la J en cada instante,
se sabe (por lo que dijimos en la Cinemática) que el cálcu-
lo del incremento de /a magnitud de la velocidad en un
cierto tiempo, se hace integrando los productos /.% que ex-
presan aproximadamente los pequeños incrementos sucesi-
vos de la velocidad en los intervalos pequeños de tiempo 0.
Por todo lo expuesto, se ve que la posición psíquica que
llegue á alcanzar al cabo de algún tiempo un individuo en
un asunto dado de carácter social, podría determinarse me-
cánicamente, si fuera posible conocer todas las variadísimas
é innumerables influencias que-—como fuerzas — ejercen su
acción sobre él, y que por modo muy complejo emanan tanto
del interior del propio individuo natural, como de otros ín-
dividuos Ó elementos sociales, y, por último, del ambiente
natural y social en que esté colocado.
Las leyes que hemos tomado de la Mecánica racional, pa-
recen indicar que el plan ¿deal para la educación de cada in-
dividuo, con el fin de que alcance (ó tienda á alcanzar) una
cierta posición á que aspire, en un asunto dado, requeriría:
1. Un conocimiento completo del temperamento nativo
del individuo, que permitiera determinar las fuerzas que ha-
brán de actuar sobre é/ (como ente abstracto ó simple), ema-
nando de su propia individualidad natural (fisiológica y psí-
quica), en relación con las sucesivas y variadas incidencias
de su vida;
-— 551
2. Un conocimiento completo de todas las influencias
que se habrán de ejercer como fuerzas sobre él, emanando
de otros individuos y elementos sociales, y también del me-
- dio ambiente educativo natural y social en que esté colocado;
3.2 Una apreciación de su masa para el asunto; y
4. Un conocimiento perfecto de la dirección y el sentido
en que debe de moverse (ó modificarse la posición del indi-
viduo), para llegar á alcanzar por el camino más corto la
posición á que aspire.
Con estos conocimientos y datos, el problema de la edu-
cación consistiría en disponer del medio ambiente externo
educativo (*) de tal modo, que las fuerzas varias que de él
emanen, compuestas con las que emanen del propio indivi-
duo den, en todos los instantes, una resultante F que mat-
que constantemente la dirección y el sentido en que se quie-
re ver realizado el movimiento de modificación del individuo
en el asunto; y además, procurar que la intensidad F sea la
mayor posible. Si se pudiera conseguir que esa resultante F
de todo el conjunto de fuerzas, se conservara siempre con
esa intensidad, y en la dirección y sentido que se desea, el
movimiento (rectilíneo) del individuo sería uniformemente
acelerado, según vimos: su aceleración / sería directamente
proporcional á la intensidad de F, é inversamente propor-
cional á la masa del individuo en el asunto (**).
(*) En esto incluímos todo lo fisico y psíquico que esté fuera del
individuo natural, fuera del límite U de Mach.
(**) Hemos concebido siempre la masa de cada individuo en un
asunto, como un coeficiente constante en el tiempo. Pero quizás de-
bería de ser concebida como variable á compás de los cambios en la
posición del individuo; porque parece que la posición misma debe de
influir en la capacidad del individuo para su modificación. Quizás
también puede decirse que, por sí sola, la edad del individuo influye
en su masa, dotándole — á medida que aumenta, — de una menor
capacidad de modificación, es decir, aumentando la masa del indivi-
duo con su edad. Estos son puntos muy delicados y obscuros, respec-
to de los cuales nos abstenemos de ahondar. En la Mecánica racio-
nal la masa se miró siempre como un coeficiente constante, aunque
50D
Para terminar estas ligeras indicaciones que presentamos
desde un punto de vista exclusivamente mecánico, diremos
que sólo con ese ideal de perfección podrían evitarse los
zlo-z0gs que frecuentemente ocurren en los movimientos de
modificación de los individuos durante su vida, y que son
producidos, á mi entender, por las fuerzas psíquicas que,
influyendo como componentes sobre la dirección y el sentido
de la resultante motriz F, cambian de vez en cuando la di-
rección del movimiento, desviándole de aquella dirección
que se deseaba. Mientras menos desviaciones y zig-zags
haya, más nos acercaremos al ideal de perfección en la edu-
cación, cualquiera que sea el fin de ésta; es decir, cualquie-
ra que sea aquella posición á que deseamos tienda el indi-
viduo, si no puede llegar á alcanzarla.
OBSERVACIÓN. Ya hicimos notar que lo que bajo el nom-
bre genérico de fuerza hemos considerado para la acción
(estática Ó dinámica) sobre el individuo, puede ser de cual-
quiera especie, y ejercer su influencia por la sensibilidad ó
por el entendimiento ó por el sentimiento, etc. Todas esas
varias especies han ¡tenido para nosotros el carácter común
de fuerzas psíquicas, es decir, de causas de modificación de
recientemente se haya afirmado en los fisicos, la idea de considerar
la masa como aumentando al crecer enormemente la velocidad.
Seguiremos considerando la masa como constante, y esto se po-
dría, quizás, conciliar con las observaciones ó los reparos que aca-
bamos de hacer, teniéndolos en cuenta al hacer la medición de las
fuerzas psíquicas, el día que esto pudiera intentarse por la Psicolo-
gía experimental. Bastaría, en efecto, que la intensidad de una fuer-
za F se pudiera expresar (en medida) con arreglo á la edad y á la
posición del individuo sobre quien actúa, para que su relación á la
aceleración J fuera un coeficiente constante m. De esta suerte la masa
quedaría como una constante del individuo para el asunto, y la difi-
cultad iría á recaer sobre el problema de la Psicología referente á la
medición de las fuerzas.
=- 593 —
movimiento psíquico, y á todas les hemos atribuido direc-
ción, sentido é intensidad. Así como la Mecánica racional no
se preocupa de la naturaleza especial de las fuerzas, á la
Mecánica social pura no le interesa saber si las fuerzas psí-
quicas, sobre las cuales versan sus especulaciones, son de
una ú otra especie, siempre que se admita que unas y otras
y todas, obedecen á los Principios generales que se han sen-
tado como Postulados.
Prescindimos completamente de algunas cuestiones que
se plantean en la Psicologia, como, por ejemplo: si una fuer-
za intelectiva para producir impulsión, ha de provocar antes
en el individuo un estado de sentimiento (ó pasional) que
sea el que realmente impulse al individuo. No podemos nos-
otros penetrar aquí en estos procesos que corresponde es-
tudiar á los psicólogos; pero sí debemos de observar que,
si para la Mecánica de los cuerpos materiales las fuerzas que
más se diferencian unas de otras por sus caracteres físicos,
son tratadas por la Mecánica racional como cantidades del
mismo género (en cuanto son consideradas como causas de
modificación de movimiento), y se refieren á una misma uni-
dad (la dina ó el kilogramo), sería necesario asimismo para
la Mecánica social que las fuerzas psiquicas que más se di-
ferencian unas de otras por su naturaleza especial y por sus
caracteres, pudieran ser referidas á alguna unidad común,
mediante los progresos de la Psicología.
Esto que decimos respecto de las fuerzas psíquicas, deberá
de aplicarse análogamente á los trabajos y á las otras iormas
de energías psíquicas. Ya hablaremos de esto más adelante.
No podemos entrar en disquisiciones acerca de la predo-
minancia de lo intelectual sobre lo moral, para producir el
movimiento progresivo de las sociedades. Parece que las
fuerzas que sean puramente intelectivas, es decir, que estén
desprovistas de todo elemento pasional, no se contrarrestan
ni se contraponen unas á otras, del mismo modo que las
fuerzas sentimentales. Por esto se alcanza en las sociedades
=
progresivas la acumulación de conocimientos y su difusión,
y se obtiene en general un gran desarrollo para las fuerzas
que provienen de la educación intelectual. Pero estas cues-
tiones son ajenas á nuestro estudio, como lo es la noción
misma de Progreso, si se da á esta palabra el sentido de
mejoramiento en general.
TEOREMAS SOBRE EL MOVIMIENTO
DEL INDIVIDUO
1.” —- TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS Ó DE LA ENERGÍA
Si adoptamos en los asuntos sociales la antigua denomina-
ción de fuerza viva, llamaremos aquí fuerza viva de un indi-
viduo en un instante, el producto de la masa del individuo
(en el asunto de que se trate) por el cuadrado de la magni-
tud de su velocidad en ese instante (m. v?). Hoy se denomi-
na energía cinética en un instante, la mitad de ese producto.
Veamos la definición del trabajo elemental de una fuerza.
Cuando un individuo realiza un cambio muy pequeño de po-
sición, en un asunto, en una determinada dirección y sentido
(la de su velocidad en ese instante), y lo hace estando bajo
la acción de una fuerza cualquiera P, se dice que esta fuerza
nace un trabajo elemental; se llama así el producto de la in-
tensidad de la fuerza por el pequeño cambio de posición es-
timado en la dirección de la fuerza. O bien, porque es ente-
ramente lo mismo, y más apropiado á nuestro estudio: el
producto de la intensidad de la fuerza estimada en la direc-
ción de la velocidad, por el pequeño incremento del paráme-
tro que define su posición. Se representaría en el movimiento
elemental de un punto material por la expresión P. ds. cos q;
siendo d s el camino elemental recorrido, y e el ángulo de
la dirección y sentido de la fuerza P con la dirección y sen-
tido del desplazamiento elemental ds = v. 0. — Se dice que
-- 595 —
el trabajo elemental de una fuerza es motor (positivo), cuan-
do al estimar la fuerza en la dirección de la velocidad, apa-
rece en el mismo sentido que ésta; cuando aparece en sen-
tido contrario, se dice que el trabajo elemental es resistente
(negativo).
Se ve fácilmente — por la ley de la descomposición de
fuerzas — que si el individuo ha estado bajo la acción de
varias fuerzas, el trabajo elemental de la resultante F de és-
tas, es igual á la suma algebraica de los trabajos elementa-
les de las componentes.
Para dejar establecido el Teorema de las fuerzas vivas (0
de la energia), considérese esa resultante motriz F=M. J,
que, estimada en la dirección del movimiento, da:
COST COS pd
Se ve que su trabajo elemental es el producto m J cos o. <v 6,
ó bien mv x<J09cos a. Pero como / 0 cos a (según lo que vi-
mos en Cinemática, al tratar de la aceleración total /) pue-
de considerarse que expresa el incremento muy pequeño
experimentado por la magnitud de la velocidad v, y produ-
cido por la acción de la fuerza; si se representa por d v, se
tiene que el trabajo elemental de F es igual á mv ><dv.
Y como el producto v >< dv puede considerarse que es la
mitad del incremento muy pequeño que haya experimenta-
do v?, y se representa por d v?, se tiene en definitiva que:
el trabajo elemental de F es igual á => d.(mv?). En esto con-
siste el famoso Teorema de las fuerzas vivas, que (para el
movimiento de un individuo durante un intervalo muy pe-
queño de tiempo 0) podría enunciarse de este modo:
La mitad del incremento muy pequeño (positivo, negativo
ó nulo) que experimenta la fuerza viva del individuo, es
igual á la suma algebraica de los trabajos elementales efecti-
Rev. AcAD. DE CIENCIAS. —X.— Enero 1912. 36.
— 556 —
vos realizados por todas las fuerzas que hayan actuado si-
multáneamente sobre el individuo en su movimiento elemental.
O dicho de otro modo:
El incremento muy pequeño (positivo, negativo ó nulo) de
la energía cinética del individuo es igual á la suma alge-
braica de los trabajos elementales realizados por todas las
fuerzas que hayan actuado simultáneamente sobre el indivi-
duo en su movimiento elemental.
Este teorema indica claramente:
1.2 Que si en un movimiento elemental del individuo
predominan los trabajos elementales motores que realicen
unas fuerzas sobre los trabajos elementales resistentes de
otras, la energía cinética del individuo aumentará, puesto
que su incremento será positivo; el movimiento se habrá
acelerado porque habrá habido un aumento en la magnitud
de la velocidad;
2.” Que si predominan los trabajos elementales resisten-
tes sobre los motores, la energía cinética del individuo dis-
minuirá porque su incremento será negativo; habrá habido
disminución en la magnitud de la velocidad;
3.” Que sí hay compensación entre los trabajos elemen-
tales motores y los resistentes de unas y otras fuerzas, la
energía cinética del individuo no se alterará porque su incre-
mento será nulo; no habrá habido, por tanto, alteración en
la magnitud de la velocidad.
Nótese que este teorema no afecta en nada al cambio de
dirección de la velocidad; se refiere solamente al cambio de
magnitud de la velocidad, puesto que esta magnitud es la
que interviene en la energía cinética. Y nótese también que
en este teorema no entra directamente el tiempo.
Si del movimiento elemental queremos pasar al movimien--
to del individuo por ley de continuidad en el asunto durante
un transcurso cualquiera de tiempo, basta aplicar el teorema
á todos y cada uno de los movimientos elementales que se
integran en el movimiento total y hacer la suma.
a
Se ve desde luego que el incremento numérico de la ener-
gía cinética, desde un instante f, hasta otro instante cual-
quiera f,, es la suma de todos los incrementos muy peque-
ños (positivos, negativos Ó nulos) que haya ido recibiendo
la energía cinética en todos los movimientos elementales su-
cesivos. Y si llamamos trabajo total de una fuerza que haya
actuado de un modo continuo sobre el individuo desde el
instante f, hasta el instante f,, á la suma algebraica de los
trabajos elementales (positivos, negativos ó nulos) que haya
realizado la fuerza en todos los movimientos elementales su-
cesivos, el Teorema para los transcursos cualesquiera de
tiempo, se enunciará así:
El incremento de la energía cinética del individuo desde un
instante t, hasta otro posterior t,, es igual á la suma alge-
braica de los trabajos totales (motores y resistentes) realiza-
dos en ese transcurso de tiempo por todas las fuerzas que
hayan estado actuando sobre él.
Así vemos que la energía cinética del individuo en un
asunto, será en el instante f, mayor, igual ó menor que la
que tenía en el instante f,, según que el trabajo total hecho
por las fuerzas haya sido motor, nulo ó resistente. Decir que
el trabajo total haya sido nulo desde f, á £,, equivale á de-
cir que los trabajos totales positivos ó motores de unas fuer-
zas, hayan sido compensados por los negativos ó resisten-
tes de otras. Y es evidente que si en todos y en cada uno
de los instantes hubiera compensación de trabajos motores
y resistentes, habría conservación de la energía cinética del
individuo para todo su movimiento en el asunto; y este movi-
miento habría de ser necesariamente uniforme.
Tanto para el movimiento elemental como para el que se
realiza en un transcurso cualquiera de tiempo, la expresión
del teorema se simplifica, recordando que en cada instante
— 558 —
la suma algebraica de los trabajos elementales de todas las
fuerzas, es igual al trabajo elemental de su resultante F en
ese instante.
Y así el teorema se enunciaria diciendo:
1." Que en el movimiento elemental el incremento muy
pequeño de la energía cinética es igual al trabajo elemental
de la resultante motriz F.
2... Que desde un instante t, hasta otro posterior t,, el
incremento de la energía cinética es igual al trabajo total he-
cho por las resultantes motrices F.
Si pensamos atentamente en los efectos de la acción (sobre
el individuo) de la resultante F en cada instante, se nota
que produce un doble cambío en el estado de movimiento
del individuo, á saber: un cambio en la dirección de la ve-
locidad v que tenía, y otro cambio en la magnitud de esa
velocidad 7.
El cambio de la dirección en que venía dispuesto á seguir
modificándose la posición del individuo, se produce por la
influencia que sobre él ejerce la componente de la fuerza,
según una dirección en el asunto, que sea enteramente aje-
na á la dirección de v; ó, lo que es igual, por la influencia
de la componente de esa naturaleza que tenga F. Mientras
mayor sea esta componente de F, más acentuado será el
cambio de dirección del movimiento del individuo. Y se com-
prende que la componente de que hablamos influya sólo de
este modo, porque se limita á llamar la atención del indivi-
duo —si vale la frase —hacia una dirección totalmente ex-
traña á la que él trae, á fin de desviarle de ésta, pero sin
empujarle ni retenerle, es decir, sin ejercer influjo alguno
sobre su energía cinética. Es claro que si el movimiento del
individuo se realiza sucesivamente en direcciones constantes
que tienen largos transcursos de tiempo de duración, lo que
acabamos de decir sólo será aplicable en los instantes críti-
cos del cambio de dirección.
El cambio en la magnitud de la velocidad v, que trae el in-
— 539 —
dividuo, se produce por la componente FF, que tenga la fuer-
za en la dirección misma de v, la que hemos llamado fuer-
za F, estimada en la dirección de v. Se comprende que esta
F, sea la que por modo muy directo influya sobre la magni-
tud de v, ya empujando al individuo, ya reteniéndole, según
que su aspiración sea acelerar ó retardar su movimiento.
Para lo primero, el sentido de la fuerza F, habrá de ser el
mismo de ésta; para lo segundo, el sentido contrario. En el
primer caso, la componente de que hablamos aumentará la
energía cinética del individuo; en el segundo caso, la dis-
minuirá.
Este segundo efecto de la resultante motriz FF, es decir, el
cambio en la energía cinética del individuo será tanto más
acentuado cuanto mayor sea el trabajo que haga la fuerza F,
porque precisamente trabaja para eso, ya sea positivamente,
ya negativamente. La que verdaderamente trabaja es la com-
ponente F,, porque la primera componente que vimos intlu-
yendo solamente para desviar al individuo de la dirección
que traía, ejerce una influencia que no es de trabajo, puesto
que, según la definición de esta palabra, su trabajo es nulo.
Por esto se dice que el trabajo que hace la F,, es el de la F.
Pero volviendo á lo que decíamos: si el cambio en la
magnitud de la velocidad v, es debido al trabajo que haga
la resultante F de todas las fuerzas, ¿qué ley relaciona este
trabajo con el cambio de magnitud de v? A esta pregunta se
ha contestado con el teorema de la energía, en el cual está
formulada /a ley, á saber: que el trabajo hecho por la fuer-
zo F es igual al incremento experimentado por la energía ci-
nética.
Sin insistir más en comentarios acerca de este feorema,
diremos—para terminar—que en la vida social de cada indi-
viduo las fuerzas que sobre él actúan—tanto emanando de
su propio cuerpo como de otros individuos ó elementos y
del medio ambiente—serán más eficaces para desviarle de la
dirección en que esté dispuesto á moverse ó modificarse por
— 160 —
causas anteriores, cuanto más tiendan á indicarle direcciones
ajenas á la suya. Pero que cuando se quiere entrenarlo—si
así puede decirse—en su misma dirección y sentido, impri-
miéndole mayor energía cinética, deberá procurarse, para
la mayor eficiencia de las fuerzas que actualmente ejerzan
acción, que éstas (todas ellas) tengan direcciones y sentidos
que se acerquen mucho á la de su velocidad actual, porque
así se trabajará más eficazmente. Y que (por la misma ra-
zón) cuando se quiera quitarle energía cinética deberán de
ejercerse las acciones todas, Ó bien en la misma dirección
de su movimiento, pero en sentido diametralmente opuesto,
Ó bien en direcciones que se separen poco de ella, pero
siempre en sentido contrario. El trabajo que se haga en uno
ú otro caso no es perdido, puesto que según el teorema es
integramente recogido por el individuo en forma de aumen-
to ó disminución de su energía cinética. Propiamente reco-
sido será, en el caso de aumentar su energía cinética, por-
que se haya hecho trabajo positivo. En el otro caso, el tra-
bajo negativo que se haya consumido se encontrará integra-
mente compensado por la energía cinética que se haya qui-
tado al individuo.
Parece innecesario añadir—como ya apuntamos en otra
ocasión—que tratándose de fuerzas psíquicas y de estado
psíquico del individuo en un asunto, todo lo dicho tendrá
solamente aplicación cuando la acción de las fuerzas exte-
riores sea recibida por el individuo real y efectivamente, pues
si no llegan á él psíquicamente, si así puede decirse, no
pueden ejercer influencia. Y para una Dinámica práctica se-
ría indispensable —como dijimos anteriormente—el conoci-
miento perfecto del temperamento fisiológico y del temple
psíquico del individuo para descubrir cuáles serían en cada
instante las fuerzas que brotarían del individuo mismo na-
tural. Sólo así podría disponerse como convenga del medio
ambiente con el fin á que se aspire respecto de la energía
cinética. Las fuerzas que emanen de otros individuos y ele-
— 561 —
mentos sociales, así como del medio ambiente físico y social,
podrían hacer—entre todas—un gran trabajo positivo —por
ejemplo—y nosotros (por la observación) ver que se pro-
-ducía, sin embargo, una disminución de energía cinética, Ó
que se conservaba constante, no porque la ley dinámica de
la energía deje de cumplirse, sino porque haya habido fuer-
zas que, brotando del interior del individuo natural, hayan
hecho un trabajo negativo preponderante sobre aquél ó igual
á aquél. :
Habría que tener muy en cuenta que las fuerzas que bro-
tan del interior del individuo natural, no dependen tan sólo
de su organismo fisiológico-psíquico, como de una entidad
aislada, sino que, por el contrario, esas fuerzas serán unas
ú otras, según sea el medio ambiente natural y social en
que esté colocado, lo cual hace comprender la enorme com-
plejidad y dificultad del problema general teórico (*).
2.” —TEOREMAS SOBRE LAS CANTIDADES DE MOVIMIENTO
Para poder formular estos teoremas, recordemos ante todo
las dos definiciones siguientes:
(+) En el teorema que hemos expuesto — y en los que siguen — se
formulan propiedades generales, del movimiento de modificación del
individuo bajo la acción de fuerzas psíquicas cualesquiera. Pero no
hay modo de comprobar por la observación ó la experiencia la ver-
dad de estas propiedades, porque carecemos hoy de procedimientos
suficientemente aproximados para medir los trabajos de las fuerzas
psíquicas por una parte, y la energía cinética del individuo por otra.
La comprobación se puede hacer en la Mecánica de los sistemas
materiales Bien entendido que no se hace ni puede hacerse sobre
puntos materiales, que son puras abstracciones de la Mecánica racio-
nal, sino sobre cuerpos; y para éstos son posibles aquellas medicio-
nes con la aproximación propia de las observaciones y experiencias
físicas.
En la Mecánica social no podemos hoy aspirar más que á prestar
nuestro asentimiento á las proposiciones que se formulen en el te-
rreno de la pura especulación, como deducidas de los Principios fun-
damentales.
— 562 -—
1.* Se llama cantidaa de movimiento en un instante, de
un individuo en un asunto, el producto de su masa en el
asunto por su velocidad en ese instante (m v). Pero conviene
notar bien, desde ahora, que la velocidad se considera aquí
con su magnitud, dirección y sentido, á diferencia de la fuer-
za viva, en la cual no intervenía la velocidad más que por
su magnitud. Por eso la cantidad de movimiento es, en Di-
námica, una cantidad vectorial representada por un vector
localizado en la posición que tiene el individuo en un ins-
tante dado, lo mismo que la velocidad lo era en Cinemática.
La magnitud del vector dinámico — cantidad de movimien-
to, —es la magnitud del vector-velocidad, afectado de un
coeficiente, que es la masa del individuo en el asunto: la
dirección y el sentido son los mismos.
2.” Se llama impulsión elemental de una fuerza F, el pro-
ducto de la intensidad de la fuerza por el tiempo 6 muy pe-
queño de su acción. A este producto F 0 se le atribuye la
misma dirección y el mismo sentido de F, y así es también
una cantidad vectorial representada por un vector (dinámi-
co) localizado en la posición que el individuo tiene en el ins-
tante en que la fuerza es F.
Para ver el Teorema de las cantidades de movimiento,
pensemos, desde luego, en la resultante motríz F de todas
las fuerzas que, en un instante dado, actúan sobre el indivi-
duo; y empecemos por notar que la ley formulada en el
Teorema de la energía sólo se refería á la cantidad de ener-
gía cinética que gana Ó pierde el individuo por el frabajo
que hace la tuerza. Hemos hecho resaltar — en las explica-
ciones dadas acerca de esa ley dinámica — que ese no es
más que uno de los cambios producidos en el estado de mo-
vimiento del individuo por la acción de la fuerza motriz F,
y hemos dejado á un lado lo que se refería al cambio de di-
rección de la velocidad.
En el Teorema general que ahora vamos á formular sobre
las cantidades de movimiento del individuo en relación con
008
las impulsiones de la fuerza motriz, se atiende —- como ve-
remos — al cambio total que experimenta la velocidad por
la acción de la fuerza. ;
Se enuncia así:
El incremento total muy pequeño que experimenta la can-
tidad de movimiento del individuo es igual en magnilud, di-
rección y sentido á la impulsión elemental de la resultante
motriz F. (Véase la figura 3.*)
EL
En esta ley dinámica se ve el efecto total de la fuerza mo-
triz F actuando sobre el individuo en un intervalo muy pe-
queño de tiempo 60. Dice que su impulsión elemental en este
intervalo (F 0) se refleja en el individuo por el cambio total
(muy pequeño) de su cantidad de movimiento, la cual pasa
de ser (en el instante £) una mv (en magnitud, dirección y
sentido) con que el individuo viene por causas anteriores, á
ser otra mv” (en el instante t + 0) que difiere en todo (mag-
A
nitud, dirección y sentido) de la m v — aunque muy poco.—
Este cambio es exactamente igual á aquella impulsión ele-
mental.
Y se comprende bien que la fuerza motriz F afecte así al
individuo, compeliéndole á cambiar simultáneamente la di-
rección de su movimiento y la magnitud de su velocidad,
mediante la impulsión que en su dirección (la de la fuerza)
comunique al individuo, influyendo en éste en el intervalo
de tiempo 0.
No existe nada instantáneo en el Universo; y para mani-
festarse un cambio en el estado de movimiento de modifi -
cación del individuo, se requiere que la fuerza obre durante
algún tiempo, aunque sea muy pequeño, para que haya una
verdadera impulsión que produzca efecto (*).
Si en vez de considerar la impulsión elemental de la fuer-
za motriz F, se pensara sólo en la impulsión elemental de
aquella componente F,, que vimos para medir el trabajo ele-
mental, esta impulsión elemental sería igual al incremento
sólo en magnitud, que experimentaría la cantidad de movi-
miento desde el instante £ hasta el instante 2-0, lo cual nos
conduce á este segundo teorema :
El incremento muy pequeño que experimente la MAGNITUD
de la cantidad de movimiento del individuo, es igual á la im-
pulsión elemental F,0 de la resultante motriz F, estimada en
la dirección de la velocidad. (Véase la fig. 4.*)
Esta ley serviría —como sirvió el teorema de la energía—,
si sólo nos preocupáramos de apreciar los cambios en la
magnitud de la velocidad. Nos valíamos antes de los cam-
bios producidos en la energía cinética por el trabajo de la
fuerza F. Ahora nos valdríamos de los cambios producidos
en la cantidad de movimiento por la impulsión de la F',, que
(*) Lo que cabe estudiar son las leyes infinitesimales de decreci
miento. Aquí, por ejemplo, habría, en rigor, que concebir € como una
variable que decrece indefinidamente. No puedo detenerme ahora en
estos rigorismos.
— 565 —
es la fuerza F, estimada en la dirección de la velocidad.
Por uno ú otro teorema se llega á las mismas conclusio-
nes, atendiendo al signo del trabajo en el uno, ó al sentido
de la fuerza, estimada en la dirección de la velocidad, en
el otro.
ÍA A Y
Volvamos al primer teorema general de las cantidades de
movimiento. Para aplicarlo á un transcurso cualquiera de
tiempo, basta verlo en todos y cada uno de los movimientos
elementales que se integran por ley de continuidad en el
movimiento total. Así, por composiciones sucesivas de las
distintas impulsiones elementales F0 (fig. 3.2), con las su-
cesivas y distintas cantidades de movimiento, se pasaría de
un instante inicial f, á otro instante cualquiera posterior f,, y
se obtendría la cantidad de movimiento mv, (en magnitud,
dirección y sentido) en este último instante, si la fuerza—
variable de un instante á otro—ha actuado de modo conti-
nuo en ese transcurso de tiempo.
Análogamente —aunque con mayor sencillez —aplicare-
mos el segundo teorema al transcurso de tiempo desde el
instante f, hasta otro instente cualquiera f,, para deducir la
magnitud de la cantidad de movimiento mv, en este último
instante, puesto que bastaría hacer la suma algebraica de los
incrementos sucesivos (positivos ó negativos) de las magni-
tudes de las cantidades de movimiento, en los sucesivos mo-
— 566 —
vimientos elementales. Cada uno de estos incrementos muy
pequeños sería igual á la impulsión elemental de la resul-
tante motriz, estimada en la dirección de la velocidad en
cada instante, siempre sobre el supuesto de que las fuerzas
actúan de modo continuo en todo el transcurso de tiempo
que se considera. (Véase la fig. 3.*)
Tanto el teorema de la energía como el segundo teorema
sobre las cantidades de movimiento serían de muy fácil apli-
cación en los movimientos parciales de dirección constante
del individuo (rectilíneos), en que la resultante motriz F tie-
ne constantemente la dirección misma del movimiento, si se
supusiera que la intensidad de F fuera constante, porque:
1.2 Para el teorema de la energía, el trabajo total hecho
por F se mediría entonces simplemente por el producto de
su intensidad F (constante) por el camino que hubiera reco-
rrido el individuo en la dirección misma de la fuerza (*); y
este producto expresaría el incremento de energía cinética,
obtenido durante el movimiento parcial en esa dirección.
2. Para el segundo teorema de las cantidades de movi-
miento, la impulsión total de F se mediría simplemente por
el producto de su intentidad F (constante) por el tiempo de
su acción; y este producto expresaría el incremento de la
cantidad de movimiento, obtenido en el movimiento parcial
que se considera.
Es claro que para que hubiera en este caso conservación
de la energía cinética ( ia mov? | ó conservación de la canti-
dad de movimiento (mv), se requeriría que la resultante F
fuera constantemente nula; lo cual era evidente d priori,
porque el movimiento sería, en virtud del Principio de la
inercia, rectilíneo uniforme.
Los individuos que en sus movimientos parciales en cada
(*) Este camino recorrido se mediría por el incremento del pará-
metro definidor de la posición.
— 501 —
dirección conservan una energía cinética constante-—ó una
cantidad de movimiento constante—son aquéllos que por su
temperamento fisiológico y su temple psíquico, resisten las
fuerzas Ó solicitaciones exteriores ó interiores, que unas ve-
ces tienden á apresurarle, otras á retardarle. Y para lograr
la uniformidad en estos movimientos parciales de dirección
constante, es decir, para que la resultante motriz F sea cons-
tantemente nula, á pesar de aquellas solicitaciones que ema-
nan del medio ambiente externo ó interno, han de brotar del
interior del individuo natural (consciente ó inconscientemen-
te) otras fuerzas que las contrarresten en todos y cada uno
de los instantes.
3.2--TEOREMA DE LA MENOR ACCIÓN
Se llamará cantidad elemental de acción de un individuo en
un intervalo muy pequeño 0 de tiempo, á partir de un ins-
tante £, el producto de la magnitud de su cantidad de mo-
vimiento en el instante £ (mv), por el pequeño cambio de
posición operado en el intervalo 0, es decir, por el incre-
mento muy pequeño del parámetro. Si se simboliza el mo-
vimiento elemental del individuo por el de un punto material
en el espacio, la expresión de la cantidad elemental de ac-
ción es mv =< ds, siendo ds el desplazamiento muy pequeño
realizado en el intervalo 0.
Pudiendo ser mirado ds como igual á v0, se ve que la
cantidad elemental de acción en este intervalo, á partir del
instante £, se puede definir también, diciendo: que es el pro-
ducto de la fuerza viva del individuo en ese instante mv? por
el tiempo muy pequeño 60; es idénticamente lo mismo. Se
llamará cantidad total de acción del individuo en un trans-
curso cualquiera de tiempo T (desde un instante £, á otro £,),
cuando pasa de una posición a á otra posición b, la suma Ó
integral de las infinitas cantidades elementales de acción en-
— 568 —
tre esos dos instantes; en la representación por un punto ma-
terial se escribiría así:
eS É
il mv - ds Ó bien J mv? - dt.
S, bo
Aunque nos parece difícil adaptar á lo psíquico el supues-
to en que descansa el teorema de la menor acción, diremos
que si las fuerzas psíquicas que obran sobre un individuo
fueran asimilables — por las leyes de su acción —á las fuer-
zas que se consideran en los fenómenos de la Naturaleza,
como las centrales newtonianas, Ó, más en general, como
las fuerzas atractivas ó repulsivas, con intensidades que de-
penden solamente de las posiciones, sin influir las velocida-
des que tengan los puntos á que se apliquen, se podría
adaptar este teorema de la menor acción al movimiento del
individuo, y —prescindiendo del rigorismo infinitesimal—
enunciarlo así:
El movimiento efectivo que un individuo realizara reco-
rriendo de un determinado modo su trayectoria (en sentido
figurado), para pasar de una posición a (instante f,) á una
posición b (instante f, ) en un asunto, sería tal, por sus cam-
bios sucesivos y continuos de posición y de velocidad, que:
La integral ó suma de todas sus cantidades elementales de
acción, desde el instante f, hasta el f,, sería un mínimo (*)
en el movimiento real y efectivo, con relación á todos los
modos de moverse que podrían ser concebidos en otras tra-
yectorias para alcanzar el mismo cambio ó modificación de
posición, pasando de la primera posición a á la última b.
O más brevemente:
Que la cantidad total de acción de un individuo en su mo-
vimiento real y efectivo, sería un mínimo con relación á los
(*) Podría ser un mínimo ó un máximo. Decimos mínimo, porque
suponemos que en la cuestión no sea admisible un máximo.
— 5609 —
otros movimientos, por los cuales pudiera pasar de su prime-
ra posición á la última.
Si este teorema fuera cierto para los asuntos sociales por
estar las fuerzas sociales en el caso que hemos dicho, se de-
duciría de él — como se deduce en la Mecánica racional —
una consecuencia interesantísima, á saber: que si el paso de
una posición a á otra b hubiera de hacerse necesariamente
com movimiento uniforme de una velocidad v, siempre la
misma en las diferentes trayectorias posibles, el individuo
realizaría ese paso en su movimiento efectivo (si las fuerzas
psíquicas naturales fueran como las físicas dichas) en el me-
nor tiempo posible, y con el menor desarrollo posible, dentro
de sus condiciones propias individuales y de las condiciones
del medio ambiente. Efectivamente:
1.2 La cantidad total de acción sería, en ese supuesto,
el producto de la fuerza viva constante mv?* por el tiempo
total T= f, — f, empleado; luego su mínimo corresponde-
ría al mínimo de T';
2.” La cantidad total de acción sería también el producto
de la cantidad de movimiento mv constante por el desarro-
llo total S; luego su mínimo correspondería tambien al mí
nimo de $.
OBSERVACIÓN FINAL. — La teoria general expuesta sobre
el equilibrio y el movimiento de un individuo, así como tam-
bién todos los teoremas que hemos enunciado y comentado,
son aplicables á lo que denominamos elemento social en los
Preliminares. Suponíamos que la colección de individuos
que lo constituye puede ser individualizada para el estudio
mecánico, de tal suerte que en cada instante pueda conocer-
se en magnitud, dirección y sentido su velocidad y su acele-
ración total. Las fuerzas que pueden actuar sobre la colec-
ción de individuos — como tal colección, — habrán de mi-
A
rarse como si actuaran sobre un individuo abstracto y simple
que simbolizara al elemento social. Y de esta suerte las fuer-
zas pueden emanar de otros individuos y de otros elemen-
tos sociales de la misma agrupación, y también del ambiente
ó medio social externo en que el elemento vive. Otras fuer-
zas pueden emanar de su propio interior (es decir, de los
individuos mismos que forman el elemento social), pero des-
empeñando el papel de exterior, para aquel ente psíquico in-
dividual que sirva de símbolo abstracto al elemento social.
(Continuará).
a
Programa de premios para el concurso del año 1913.
Artículo 1.2 La Real Academia de Ciencias Exactas, Fisi-
cas y Naturales de Madrid, abre concurso público para ad-
judicar tres premios á los autores de las Memorias que des-
empeñen satisfactoriamente, á juicio de la misma Corpora-
ción, los temas siguientes:
1.2 «Deducción de una fórmula o de un sistema de fór-
mulas ó, en sama, de una teoría matemática que suministre
el medio de calcular á priori, con seguridad mayor que la
consentida por los procedimientos en uso, la resistencia á la
marcha que en aguas tranquilas encuentran las obras vivas
de los buques.»
Propuestas y aplicadas hoy fórmulas en gran número,
muchas de ellas empíricas, para valuar la resistencia de los
buques á la marcha, sería muy ventajoso disponer, al pro-
yectar los buques, de expresiones analíticas, sólidamente
cimentadas de las leyes á que obedece la antedicha resisten-
cia, evitando así, en lo posible, incertidumbres enojosas y
la necesidad del auxilio de los procedimientos delicados y
hasta inseguros de la experimentación con modelos, á no
ser como complementario recurso comprobatorio.
Se desea que el aspirante al premio exponga una teoría
que dé respuesta satisfactoria al tema enunciado, deducién-
dola de los adelantos en las ciencias de pura especulación,
de experimentos nuevos y de los trabajos en uno y otro te-
rreno realizados hasta el día con más ó menos fortuna.
2.2 «Estudio teórico ó experimental de cualquier fenóme-
no electróptico ó magnetóptico.»
3. «Memoria geognóstico-agrícola de alguna comarca
de España, que no haya sido objeto de publicación anterior.»
Art.2.2 Los premios que se ofrecen y adjudicarán, confor-
me lo merezcan las Memorias presentadas, serán de tres cla-
Rev. ÁCAD DE CIENCIAS -- X.—Enero, 1912. 37
— 512 —
ses: premio propiamente dicho, accesit y mención honorífica.
Art. 3.” El premio consistirá en un diploma especial en
que conste su adjudicación, una medalla de oro de 60 gra-
mos de peso, exornada con el sello y lema de la Academia,
que en sesión pública entregará el Sr. Presidente de la Cor-
poración á quien le hubiere merecido y obtenido, Ó á perso-
na que le represente; retribución pecunaria, al mismo autor
ó concurrente premiado, de 1.500 pesetas; impresión, por
cuenta de la Academia, en la colección de sus Memorias,
de la que hubiere sido laureada, y entrega, cuando esto se
verifique, de 100 ejemplares al autor.
Art. 4.7 El premio se adjudicará á las memorias que no
sólo se distingan por su relevante mérito científico, sino
también por el orden y método de exposición de materias y
redacción bastante esmerada, para que desde luego pueda
procederse á su publicación.
Art. 5.0 El accesif consistirá en diploma y medalla igua-
les á los del premio y adjudicados del mismo modo, y en la
impresión de la memoria, coleccionada con las de la Acade-
mia, y entrega de los mismos 1060 ejemplares al autor.
Art. 6.” El accesít se adjudicará á las memorias poco in-
feriores en mérito á las premiadas y que versen sobre los
mismos temas, Ó, á falta de térmimo superior con que com-
pararlas, á las que reunan condiciones científicas y literarias
aproximadas, á juicio de la Corporación, á las impuestas
para la adjudicación ú obtención del premio.
Art. 7. La mención honorífica se hará en un diploma
especial, análogo á los de premio y accesit, que se entregará
también en sesión pública al autor Óó concurrente agraciado
Óó á persona que le represente.
Art.8.” La mención honorífica se hará de aquellas memo-
rias verdaderamente notables por algún concepto, pero que,
por no estar exentas de lunares é imperfecciones, ni redac-
tadas con el debido esmero y necesaria claridad para proce- .
der inmediatamente á su publicación, por cuenta y bajo la
— 913 —
responsabilidad de la Academia, no se consideren dignas de
premio ni de accesit.
Art. 9. El concurso quedará abierto desde el día de la
publicación de este programa en la Gaceta de Maarid, y ce-
rrado en 31 de Diciembre de 1913 á las diez y siete horas;
plazo hasta el cual se recibirán en la Secretaría de la Acade-
mia, calle de Valverde, número 26, cuantas Memorias se
presenten.
Art. 10. Podrán optar al concurso todos los que presen-
ten Memorias que satisfagan á las condiciones aquí estable-
cidas, sean nacionales ó extranjeros, excepto los individuos
numerarios de esta Corporación.
Art. 11. Las Memorias habrán de estar escritas en cas-
tellano ó latín.
Art. 12. Las Memorias que se presenten optando al pre-
mio se entregarán en la Secretaría de la Academia, dentro
del plazo señalado en el anuncio de convocatoria al concur-
so, y en pliegos cerrados, sin firma ni indicación del nombre
del autor, pero con un lema perfectamente legible en el so-
bre Ó cubierta que sirva para diferenciarlas unas de otras.
El mismo lema de la Memoria deberá ponerse en el sobre
de otro pliego, también cerrado, dentro del cual constará
el nombre del autor y las señas de su domicilio Ó paradero.
Art. 13. Delas Memorias y pliegos cerrados, el Secre-
tario de la Academia dará, á las personas que los presenten
y entreguen, un recibo en que consten el lema que los dis-
tingue y el número de su presentación.
Art. 14. Los pliegos señalados con los mismos lemas
que las Memorias dignas de premio Ó accesit se abrirán en
la sesión que se acuerde ó decida otorgar á sus autores una
ú otra distinción y recompensa, y el Sr. Presidente procla-
mará los nombres de los autores laureados en-aquellos plie-
gos contenidos.
Art. 15. Los pliegos señalados con los mismos lemas
que las Memorias dienas de mención honorífica no se abri-
974
rán hasta que sus autores, conformándose con la decisión
de la Academia, concedan su beneplácito para ello. Para ob-
tenerle se publicarán en la Gaceta de Madrid los lemas de
las Memorias en este último concepto premiadas, y, en el
improrragable término de dos meses, los autores respectivos
presentarán en Secretaría el recibo que de la misma depen-
dencia obtuvieron como concurrentes al certamen, y otor-
garán por escrito la venia que se les pide para dar publici-
dad á sus nombres. Transcurridos los dos meses de plazo
que para llenar esta formalidad se conceden sin que nadie
se dé por aludido, la Academia entenderá que los autores de
aquellas Memorias renuncian á la honrosa distinción que
legítimamente les corresponde.
Art. 16. Los pliegos que contengan los nombres de los
autores no premiados ni con premio propiamente dicho, ni
con accesit, ni con mención honorífica, se quemarán en la
misma sesión en que la falta de mérito de las Memorias res-
pectivas se hubiere declarado. Lo mismo se hará con los
pliegos correspondientes á las Memorias agraciadas con
mención honorífica cuando, en los dos meses de que trata la
regla anterior, los autores no hubieren concedido permiso
para abrirlos.
Art. 17. Las Memorias originales, premiadas ó no pre-
miadas, pertenecen á la Academia, y no se devolverán á sus
autores. Lo que, por acuerdo especial de la Corporación
podrá devolvérseles, con las conformalidades necesarias,
serán los comprobantes del asunto en aquellas Memorias
tratado, como modelos de la construcción, atlas Ó dibujos
complicados de reproducción difícil, colecciones de objetos.
naturales, etc. Presentando en Secretaría el resguardo que
de la misma dependencia recibieron al depositar en ellas sus
trabajos como concurrentes al certamen, obtendrán permiso
los autores para sacar una copia de las Memorias que res:
pectivamente les correspondan.
Madrid 31 de Diciembre de 1911.
e
O
RA EE
INDICE
DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO
PÁGS.
XXI. —Conferencias sobre Física matemática. Teorías di-
versas, por José Echegaray. Conferencia quinta.. 475
XXI!!. —Conferencias sobre Física matemática. Teorías di-
versas, por José Echegaray. Conferencia sexta... 503
XXIV.— Nota escrita con motivo de la venida á Madrid del
Príncipe Alberto 1 de Mónaco, por Joaquín Gon-
2UleZz HUnIDO: a IS o a
XXV. —Apuntes sobre Mecánica social, por Antonio Por-
. tuondo y Barceló (continuación). ....-.........-- 544
Programa de premios para el concurso del año 1913..... .... 571
La subscripción 4 esta REVvISTA se hace por tomos completos,
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val--
verde, núm. 26, Madrid.
Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas.
REAL ACADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES
MADRID
TOMO X.—-NÚM. 8.
Pebrero de 1912,
- ; zona Ins
( 2 A
A - MADRID .
ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL
CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8, ?
1912
ADVERTENCIA
Los originales para la Revista de la Academia
se han de entregar completos, en la Secretaría de
la Corporación, antes del día 20 de cada mes,
pues de otro modo quedará su publicación para
el mes siguiente. EPA
E
XXVI. — Conferencias sobre Física Matemática.
Teorias diversas.
Por JosÉ ECHEGARAY.
Conferencia séptima.
SEÑORES:
Continuando el estudio de las atracciones y de las poten-
ciales newtonianas, debemos pasar al caso en que el punto
para el que pretendemos buscar los componentes de la atrac-
ción, así como la potencial, es interior á la masa ponderable
continua que se considera.
Esta cuestión es delicada, porque las integrales contienen
un elemento que toma la forma infinita, real Ó aparentemente;
que si fuera realmente infinita la integral no tendría sentido
matemático, y menos para las aplicaciones prácticas.
El análisis de este caso, es decir, el de una masa continua
y un punto en su interior, puede tratarse de diferentes ma-
neras, que todas ellas vienen á reducirse á un fondo común.
Nosotros tomaremos por guía en esta conferencia la expo-
sición y aun las notaciones del eminente matemático Mr. Ap-
pell, en su Tratado de mecánica racional.
Llamemos U, como Mr. Appell, á la potencial, y llamemos
V al volumen de materia continua que consideremos.
Dicho esto, sea (fig. 20) un volumen V de materia ponde-
rable. Las componentes de su atracción y su potencial sobre
cualquier punto exterior, ya las hemos determinado; y ahora
vamos á considerar el caso en que dicho punto P es interior.
El resto de las notaciones es el de siempre.
Las coordenadas de P serán x, y, z; las coordenadas de
REV. ACAD. DE CIENCIAS. — X.—Febrero, 1912. 38
— 516 --
un punto cualquiera N del volumen de la masa serán a, b, c.
Si por el punto P hacemos pasar tres ejes, x”, y”, 2”, para-
lelos á x, y, z, las coordenadas de N, con relación á x”, y”, 2'
serán evidentemente
Pl =pl=a—x, 1M=nl=b—y, Nn' =Nn — nn =c—2Z.
Las expresiones X, Y, Z, se formarán en este caso lo
mismo que cuando el punto era exterior.
N
SN
Figura 20.
Porque, en efecto, sea N un punto material del volumen v.
Su masa, llamando p á la densidad de este punto, y 07 á su
volumen, será pd7; y si suponemos en P una masa igual á la
unidad, la atracción de N, mejor dicho, de po7 sobre el punto
P, 6 sea sobre la masa 1, será, según la ley newtoniana, re-
presentando dicha atracción por 9F,
l . por
dar=T
1?
— 511 —
y sus tres componentes paralelas á los ejes
aa E RÁ E
fe Í
oT —
EE
2 r
lo mismo que para el punto exterior; y para obtener las com-
ponentes totales, no hay más que sumar todas estas compo-
nentes parciales de los diferentes puntos N comprendidos
en V. Es decir, integrar las tres expresiones anteriores, ex-
tendiendo la integral á todo el volumen V, y tendremos
eS ffy zoo
ff teria
0 fr re
en que hemos puesto á las integrales el subíndice V, para
expresar que la integración comprende todo este volumen.
Es decir, todas las atracciones de todos los puntos N, com-
prendidos en V sobre la masa 1 que está en P; y además, en
vez de da, su valor da db, dc.
Claro es que las integraciones se referirán, como á varia-
bles, á las coordenadas a, b, c, del punto N.
Y parece que este caso es igual al del punto exterior, al
menos las fórmulas son las mismas, y, sin embargo, el caso
es de todo punto distinto.
Porque como el punto P es interior á la masa y la inte-
gración comprende todos los puntos N, cuando considere-
mos un punto N muy próximo áP, la distancia PN =r
— 518 —
será muy pequeña, y cuando N y P coincidan, tendremos
r=0, y bajo cada integral triple un elemento
Z
C—X b— =
== PU, pa por, f——= ¿9,
(0) (0)
que por ser el denominador o, será real ó aparentemente
infinito, como antes decíamos.
Lo cual no podía suceder siendo el Euro exterior; pues
si P está fuera del volumen V, y N está siempre dentro, ja-
más en los límites de la integración podrán coincidir.
No sabemos, por lo tanto, si las fórmulas anteriores ex-
presarán la atracción, sobre el punto P, de la masa compren-
dida en V, ni sabemos si X, Y, Z, tendrán valores finitos y
bien determinados.
Otro tanto podemos repetir para lo que llamábamos la
potencial, que evidentemente será de la forma
ff
Mas aun, con esta última expresión ocurren dos dudas;
primera, si será una integral finita y bien determinada, por-
que también en ella hay un elemento, para r=0 en que
aparece la forma infinita; y en segundo lugar, y aun supo-
niendo que [* sea una expresión determinada y finita, no
sabemos a priori si será una verdadera potencial del sistema
para puntos interiores, porque no sabemos si diferenciándo-
la con relación á x, y, z, las tres derivadas coincidirán con
las tres componentes. Es decir, si tendremos:
a e yA a.
dx dy
Digamos de paso que hemos puesto esplicitamente /, por-
que no la habíamos comprendido en U. Esta función U era
la potencial, no la función de fuerza.
= 519 —
Pero estas diferencias en las notaciones no tienen impor-
tancia de ningún género.
Por el pronto, el problema es éste: las expresiones X, ya
Z, U, ¿representan cantidades finitas y determinadas?
Es decir, la forma infinita que resulta del hecho de anu-
larse r en el denominador, ¿es una forma aparente no más?
Como si tuviéramos, por ejemplo,
JE
r
E ,
que para r =0 toma la forma — = 0; y en que, sin em-
10)
: z . . 12431
bargo, si L tuviese este valor, L = r? + 3r, sería ————=
PS
= r-+ 3, y parar =0, tendríamos Pepo 3.
r
Tal duda es preciso estudiarla detenidamente; pero en
éste, como en muchos otros problemas de matemáticas, antes
de la demostración rigurosa, hay algo como una intuición de
la demostración misma.
Se ve, por ejemplo, que si es cierto que r entra en el de-
nominador y tiende hacia O, en el numerador del elemento
de integral que se considera, hay también un factor que
tiende hacia cero: da. db. dc.
Así es, que en los tres valores de X, Y, Z entra en el deno-
minador r?, que podemos decir que es un infinitamente pe-
queño de tercer orden; pero en el numerador también entran
da. db. dc que constituyen otro infinitamente pequeño de
tercer orden, y además a — x, b— y, C +- 2, que tienden á
cero; y ocurre que acaso la relación sea finita y siendo finita
pueda ser 0: y con más razón pueden aplicarse estas intui-
ciones á la expresión de U.
Todo esto no es una demostración rigurosa, pero es un
presentimiento de la demostración, y más aún: es una guía
para la demostración misma, lo cual le quita su carácter de
— 580 —
lucubración profunda ó sublime y la deja reducida á una
argumentación de sentido común casi.
Y ahora vamos á desarrollar la demostración á que veni-
mos refiriéndonos.
El artificio, por decirlo así, consiste en un cambio de
coordenadas, por el cual en todos los factores de cada ele-
mento diferencial se ponga en evidencia el factor r, que es
el que se reduce á O, cuando el centro de un elemento del
volumen viene á coincidir con el punto P de su interior, para
cuyo punto queremos calcular las componentes de la atrac-
ción y la potencial.
A las coordenadas ordinarias a, b, c vamos á sustituir las
coordenadas polares, que generalmente se emplean para
problemas de un espacio de tres dimensiones.
Así un punto N del volumen V (fig. 20) ó el elemento dz,
estará definito por r, distancia de N á P; por 6 ángulo que
forma P N con el eje 2”, que es lo que suele llamarse distan-
cia polar; y por el ángulo /, que forma el plano meridiano
z'PN con el plano de las x2”. Es decir,el ángulo !' P n”, que
pudiéramos decir que es la longitud geográfica, si de la Tie-
rra se tratase.
Las fórmulas que determinan las tres CAGEioROS XV TZ
de la atracción, que sobre P ejerce la masa comprendida
en V, tienen, según hemos visto, la siguiente forma, como en
el caso general:
0 ff tn
pea
==
=
“>
SS
vd
en que d= es el elemento de volumen correspondiente á un
punto cualquiera N.
— 08l.
En rigor, este elemento de volumen puede ser arbitrario,
pero es preciso que estén contiguos y en continuidad unos
elementos con otros y que llenen y agoten el volumen V.
Y además, para efectuar las integraciones es forzoso que
el elemento general dv se exprese en función de las varia-
bles de la integración.
Cuando las coordenadas eran a, b, c, el elemento dr re-
presentaba el volumen de un paralelepípedo infinitamente
pequeño, y así
DES O ES
más como las nuevas variables de la integración son r, Ú, o,
es indispensable modificar d7.
Así, cuando las variables eran a, b, c, dividíamos al volu-
men Ven paralelepipedos infinitamente pequeños por tres
sistemas de planos paralelos A los planos coordenados yz,
Y
Ahora emplearemos un sistema de superficies acomodado
á las nuevas coordenadas, y serán las siguientes:
1.2 Planos meridianos 2 P n”, que pasarán por 2”: para
cada uno de ellos «y será constante.
2.0 Conos de revolución alrededor de Pz" engendrados
por las rectas r: para cada cono 0 es constante.
3.” Esferas concéntricas cuyo centro esté en P y cuyo
radio sea r: para cada estera, r será constante.
Estos tres sistemas de superficies dividirán al volumen V
en volúmenes infinitamente pequeños y en la figura 21 he-
mos representado uno de éstos NABC N'A'B'C”.
Este volumen elemental, que será el que corresponda al
punto N, está formado por dos planos meridianos SCBE,
SNAD. Por dos conos PNC, PAB, y por dos esferas
NABC,N'A'B'C'
Y es evidente que podemos considerarlo también como un
paralelepípedo, puesto que las caras son próximamente pa-
ralelas dos á dos y normales entre sí.
— 582 —
En rigor, dicho volumen elemental se compone de dos su-
perficies planas CB C'B”, NA N'A'; de dos superficies có-
nicas NCC'N”, ABA'B” y de dos superficies esféricas
NABC, N'A'B'*C!.
Figura 2!.
Vamos ahora á expresar todos los elementos de la integral
en función de las nuevas variables. Es decir, escogiendo el
valor de X, por que lo que se diga para X puede repetirse
para Y,Z, tenemos que expresar a—x, y dz en función
Or, Uy de
En la figura 20 tenemos evidentemente
a: —= PI =P RACOS y == Seniuicos ia
como tendremos para Y, Z
by Bn = PA sen p= sen sento
c— z=Nn'=rc0s0.
83
La figura 21 nos permitirá calcular el volumen dz, consi-
derándolo como un paralelepipedo y multiplicando sus tres
dimensiones NN”, NA, NC.
Así hallaremos:
dz =NN'<NA <xNC=adr - rd . oNdg
y como oN = rsenÚ
dw=r?sentdr - di - de.
Sustituyendo los valores de a—x, b—y, c—2, y dí en
los valores de X, Y, Z, éstos se convertirán en los siguientes
O a
V f3
pa te att
V f3
2] A
Vv f3
y suprimiendo, como ya habiamos previsto, el factor r* en
numerador y denominador, tendremos:
x=4f ff eserrrcosoaravas
V
=+f ff esemoseng aras (D
Vv
E sen cos % dr d8 de.
V
Una transformación análoga deberemos efectuar con O,
que, como vimos, tenía la forma
SS
— 584 —
En esta expresión no hay que eliminar más que el volu-
men d7 y se convertirá en
ii
5 ÍF
y suprimiendo el factor r
U= ff [| ersentararas (ID)
Tenemos ahora que estudiar los valores de X, Y, Z, U,
bajo estas nuevas formas, en las que desde luego ha des-
aparecido el factor r del denominador.
Desde luego ningún elemento diferencial es infinito, y las
variables r, 0, Y, varían entre términos finitos.
Si desde el punto P trazamos dos normales á la superficie
que determina el volumen V, entre la menor y la mayor,
como límites, varía r; y puesto que las dimensiones de V son
finitas, finitas son las longitudes de estas dos normales, pues
ambas están comprendidas en V.
0 varía entre o y r. Es decir, desde Pz” hasta la posición
inversa. Por último, e varía entre o y 27, es decir, que las
tres variables varían entre límites finitos, y valores finitos
tienen también los senos y los cosenos de 06 y y, que son los
factores que entran en los coeficientes diferenciales.
Además, el cálculo integral enseña, que integrales que
satisfacen á las condiciones expresadas, tienen valores fini-
tos y bien determinados.
Lo que hemos dicho de X, Y, Z, podemos repetir de U.
De manera que X, Y, Z, U, tienen valores finitos y bien
determinados para todo punto interior al volumen V.
— 585 —
Y como ya vimos que tenían valores finitos y bien deter-
minados cuando el punto P era exterior, ahora podemos de-
cir, condensando en uno estos dos teoremas, que X, Y, Z, U,
tienen valores finitos y bien determinados, sea cual fuere la
posición del punto P, ó dicho con más brevedad, para todo
el espacio.
Pero nos queda, respecto al punto interior, otro teorema
que demostrar: el que se refiere á la potencial en P.
No basta que U sea en el interior de V y para todos los
puntos del volumen, finita y bien determinada.
Para que sea una potencial, es decir, una función poten-
cial del sistema, es preciso que diferenciándola con relación
áx, dé X; que diferenciándola con relación á y, dé Y; y,
por último, que diferenciándola con relación á z, dé Z.
Y esto no es evidente, porque no sabemos si será legítima
la diferenciación bajo el signo integral de que se trata.
1
No podemos á la ligera, digámoslo así, diferenciar NE
por relación á x, y ver que resulta aa Y análogamente
diferenciando con relación á y, z.
La coincidencia pudiera ser puramente formal y no tener
sentido riguroso, si la diferenciación bajo el signo integral de
me f gun
e ve
no fuera legítima.
Lo es; pero vamos á demostrarlo.
Sea (fig. 22) V el volumen de la masa atrayente referida á
lOSTeJes x, y) 2:
P, el punto interior de dicha masa, para el cual queremos
calcular las atracciones y la potencial.
— 586 —
Para aislar, si se nos permite la palabra, la dificultad del
problema, haremos lo que se hace siempre en estos casos:
rodear el punto P por una superficie infinitamente pequeña,
y que podremos ir achicando hasta que se anule.
Esta superficie que comprende el punto P, determina á
su alrededor un volumen infinitamente pequeño V,.
Z
|
Figura 22.
Y explicaremos desde luego las notaciones que vamos á
emplear, que son las mismas, como ya hemos dicho, que
las de Mr. Appell en su Mecánica, la cual nos sirve de guía
en este punto concreto.
V, representa el volumen de la masa ponderable que con-
sideramos.
X, Y, Z, las componentes de la atracción en el punto P,
componentes que ya sabemos que tienen valores finitos y
bien determinados. |
U la integral de la forma
Sp
— 587 —
que todavía no decimos que sea la potencial del sistema,
pero que es una función finita y bien determinada.
V, representa el pequeño volumen que hemos imaginado
rodeando al punto P.
U, representará, tampoco decimos todavía la potencial, de-
cimos la función finita y bien determinada
Y ahora observamos que la superficie X,, que determina
V,, divide al volumen Ven dos partes. Una el volumen
infinitamente pequeño V, y otra el resto de V. Es decir, la
parte exterior á la superficie *, que limita V,, y estará com-
prendido este resto entre la superficie que limita V, y la que
limita V entre X y 2.
Si empleamos el subíndice 2 para indicar los elementos
que se refieren á esta parte del volumen total, podremos
completar las notaciones anteriores de este modo.
V,= V— V, representará el volumen comprendido entre
la superficie 2, que limita V, y la * que limita V.
Xo, Y,, Z, designarán las componentes de la atracción
que ejerce sobre P la masa comprendida en el volumen V..
U, será el valor de la función finita y bien determinada
AS
En suma, hemos descompuesto el volumen V en dos par-
tes, y para cada una de ellas vamos á considerar las compo-
nentes de la atracción sobre el punto P y la función U co-
rrespondiente.
Y distinguimos unos elementos de otros por el subíndice
que suprimimos en V y que es igual á 1 6 42 para V, y V..
Pero no olvidemos que lo que buscamos es la derivada
de U con relación, primero, á x, luego á y, y luego á z. Y
— 588 --
como lo que digamos de la primera variable, podríamos re-
petir para las otras dos, vamos á obtener desde luego la
derivación de U con relación á x.
Para ello trazaremos por el punto P (fig. 22) una recta in-
finitamente pequeña PP" =A x. Todas las funciones que se
refieren al punto P son funciones de x, y las mismas fun-
ciones para el punto P” tomarán valores distintos corres-
pondientes á x+ PP"=x-J)Ax. Estas últimas las dis-
tinguiremos por las mismas letras que las que se refieren al
punto P, pero con un acento.
Así, por ejemplo, la función U correspondiente al pun-
to P, en el punto P” será U”. De manera que el incremento
que recibe U cuando áxse le da el incremento A x, será
evidentemente U”* — U, y la relación entre el incremento de
la tunción y el incremento de la variable será, por lo tanto,
U'—U
o
El límite de esta expresión, cuando A x tiende hacia 0, será
la derivada; y si U es, en efecto, la potencial del sistema
para el punto interior P, será preciso que tengamos
flim Ele 0 = ana a
NE dx
Y lo mismo respecto á y y respecto á z.
Si demostramos esto con todo rigor, habremos extendido
á los puntos interiores de una masa continua los teoremas
que demostramos en las conferencias anteriores para los
puntos discontinuos.
Pero hemos descompuesto U en dos partes U, y U,. Es
decir, la parte E comprendida entre las dos superficies Y, yY
y la parte comprendida en la supercie *,.
OU, y U, se refieren al punto P. Sus valores para el punto
P” los distinguiremos también por un acento, y tendremos
U=U, + U, y U”=UY + U/
— 509 -—
,
y substituyendo en —— resultará
se
dU de U” — eo: E +. Cra
dx Ax Ax
y por último
E a ad 1 :
dx Ax Ax
Tenemos que calcular los límites de los dos términos del
segundo miembro y ver si en efecto su suma, que en el lí-
mite es pada , resulta igual á X.
Veamos ahora cómo se calculan ambos términos.
Y
U,
c o 2 2 , C r
El término lim e E se refiere, como hemos dicho, á
la parte E comprendida entre las superficies 2 y Y ,, y como
el punto P es exterior al espacio E, estamos en el caso de
la atracción de una masa sobre un punto exterior, y para
este caso no hay duda: la derivada de U, con relación á x da
el valor de X,, multiplicándola por de contado la cons-
tante f, de modo que podremos escribir
du = du; - lim La y,
dx dx Ax
Ó bien
Aa e
dx
Porque no ha de olvidarse que, según las notaciones adop-
tadas, X, es la componente paralela al eje de las x del es-
pacio anular E sobre el punto exterior P.
— 590 —
Nos queda ahora por calcular el segundo término
U,' — O,
A x
lim
Y aquí empiezan las dificultades, porque V, es el volu-
men comprendido en la superficie X,, y en este volumen es-
tán el punto P y el punto P”. De manera que al efectuar la
integración
TDS
: Va
para todos los puntos m de V,, llegará un caso en que
m P =r se reducirá á 0, porque m coincidirá con P; y del
mismo modo al calcular la integral
di
, VaY, y
tomará ésta la forma infinita, porque habrá otro elemento de
la integral en que /m coincida con P” y r' se reducirá á o.
Para buscar la derivada de U,, es decir, el límite de la
relación
¡OE TER Uy
IN SS
tendremos que restar las dos integrales anteriores, que es lo
mismo que restar los dos elementos de cada integral que
correspondan á un mismo punto m é integrar después la
diferencia para todos los puntos m de V..
En resumen, tendremos:
SITAS
Ó bien
E
— 591 —
Y ahora se comprende la posibilidad de que U, tenga una
derivada finita, porque aunque el minuendo y el sustraendo
del paréntesis puedan ser infinitos, la diferencia en el límite
puede ser finita.
Un sencillo artificio de cálculo convierte en realidad esta
que pudiéramos llamar una sospecha.
Consideremos el factor diferencial de pd 7 que es
A a EIA
Ax MA ANO
En el triángulo m P P”, por un teorema de geometría ele-
mental, se sabe que la diferencia de dos lados r, r' es menor
que el tercero Á x, de suerte que numéricamente, es decir,
prescindiendo del signo, por ser la diferencia 1 — r” menor
?
pa
poa cd
Y ponemos dicho factor entre dos líneas verticales, se-
gún es costumbre, para significar un valor absoluto, es de-
cir, en que se supone el signo positivo. Luego sustituyendo
á dicho factor la unidad, habrá aumentado el valor numérico
del término, y tendremos:
MA
A Íí
que Á x, el factor será < 1.
Si en todos los elementos de la integral hacemos otro tan-
to, el valor de la integral habrá aumentado.
y no hemos hecho otra cosa que sustituir á
Ct Ó
NE
11 par
una cantidad siempre positiva y mayor a
Rey, ACAD. Dx Ciencias.—X.—PFebrero, 1912. 39
=D
Ahora bien, podemos establecer la siguiente serie de des-
igualdades:
0 (Arne
porque el segundo miembro, que es un cuadrado, es una can-
tidad esencialmente positiva; y de esta desigualdad se dedu-
cen las siguientes:
o<r?—2rr +r"?
DA AN 0 RE
mi ess Lcccladlas
Za
1 lrz+r? 1 1 1
a
A A RIA NN e
Sustituyendo en el segundo miembro de la desigualdad
1
fundamental, en vez de Una cantidad mayor
77
el segundo miembro de dicha desigualdad crecerá y con
más razón tendremos:
U/ — O, a 1 o
Aaa da dd
A
Ó bien
be ce =' ES E ás
o
Para estudiar el segundo miembro es un pequeño incon-
veniente la variabilidad de la densidad ¿ de un punto á otro
del volumen V,; pero esta dificultad desaparece si sustitui-
mos en todos los elementos de la integral el máximo valor
— 593 —
de p, que representaremos por p,, y que será una cantidad
finita y positiva, lo cual reduce la desigualdad precedente á
a e
ti
o
Si el segundo miembro de la desigualdad precedente es
siempre una cantidad finita, aun cuando r y r” se reduzcan
á o en ciertos elementos, el problema quedará resuelto; por-
que resultará que el primer miembro para cualquier volumen
V, será una cantidad finita, la cual veremos que tiende hacia
o cuando el volumen V, tiende á anularse.
Estudiemos ahora cada una de las dos integrales triples del
segundo miembro, que en rigor son de la misma forma,
hasta tal punto, que lo que digamos de una podemos decir
de la otra, sin que sea una restricción el que supongamos el
punto P” interior al volumen V,.
Consideremos, pues, una de estas dos integrales
que es de una forma análoga á otras que ya hemos estudia-
do; y cambiemos, como antes hacíamos, de coordenadas,
para ver si en el numerador encontramos factores r que anu-
len el factor r? del denominador.
Hemos visto, en efecto, que empleando coordenadas po-
lares, se tiene
dv = rr? sent dr di do
y sustituyendo este valor en la integral precedente, resulta:
e E =E BUDA, de
2 ale V;
E sen 6 dr di de
2 VA
— 594 —
De las tres integraciones del segundo miembro efectuemos
la que se refiere á r, suponiendo ( y + constantes, con lo
cual tendremos la integral en determinada dirección.
Sea esta dirección la PR en la que habremos de integrar
dr entre o y R.
Así
FEA A E 9% ““R sen 0d).
2 ES 2 O Jo
Claro es que la longitud de R depende de su dirección y
de la forma de la superficie Y, que limita el volumen V,. En
rigor, R será una función de y <; pero si llamamos C la
mayor cuerda que limita la superficie V,, y sustituimos en .
vez de R esta cuerda, como R y C son esencialmente posi-
tivas, el segundo miembro habrá aumentado, y tendremos
51 Als <E [*7a; fFcsentas
2 Y e vn 2 0 0
Y no ha de olvidarse que, tanto el primer miembro como
el segundo, son cantidades esencialmente positivas. El pri-
mero, porque lo es p, y lo es 1?, que es un cuadrado.
En el segundo miembro se ve esta misma propiedad, port-
que í varía entre o y =, y su seno es siempre una cantidad
positiva. Resultará, pues,
ni año E C [+%ao fTsentas
2 VA ¡pe 2 JO 1) 0
Efectuando las integraciones
Tu > e YE 2 ed
o son id) == (cos!) =2 [ 2do=47
(o) 0 0
y, por fin,
a
Otro cálculo idéntico podremos hacer para la segunda in-
tegral
el pen
2 V y?
que se refiere al punto P”; porque es sustituir en vez de
1, r”, y también obtendremos
Pi 9
: Mae >
luego el conjunto de las dos integrales que es precisamente
o será menor que C. 4 + A
NS 2 2
= 47 Cp, y por fin
lo ano
me <4r Co:
Si ahora pasamos al límite tendiendo á anular constante-
mente el volumen V,, su cuerda C tenderá también hacia o,
y podrá ser tan pequeña como se quiera; luego 4z Cp, se
anulará y tendremos A
Un FEE Ur
= O,
Ax
lim |
puesto que se trata de una cantidad esencialmente positiva,
y que es siempre menor que otra cantidad también positiva
que tiende hacia 0.
Y ahora recordemos la fórmula de que hemos partido
U U/ — U,
ed DE
E A == e ón
dx INSE
Pero hemos visto que
flim 22 tim Xo y que dee ala
200
— 596 —
luego
A
dx
Escribimos en el segundo miembro lim. X,; pero á medida
que el volumen V, tiende hacia o, es decir, tiende á confun-
dirse con el punto P, el valor X, tiende á confundirse con X,
porque el espacio E tiende á confundirse con el volumen
total. |
De modo que en rigor el lim. X, no es otra cosa que X,
que ya hemos visto que tiene un valor determinado para el
punto P.
Aun esto resaltaría más claro, viendo que en efecto la
atracción del volumen V, sobre el punto P tiende hacia 0,
lo cual se pondría en evidencia empleando, como antes hici-
mos, las coordenadas polares, porque quedaría en el nume-
rador un factor r que en límite es 0.
Resulta, pues, rigurosamente demostrado, que
Asimismo pudiéramos demostrar, repitiendo los anteriores
razonamientos, que las otras dos componentes de la atracción
sobre el punto interior P, es decir, Y, Z, resultan de dife-
rencidr
e A
: y F
con relación á y y á z; y en suma, tendremos las tres expre-
siones
con lo cual se demuestra, que U es una potencial del siste-
= 991 =
ma para los puntos interiores de la masa lo mismo que para
los puntos exteriores.
Para que no quede escrúpulo alguno á mis alumnos res-
pecto á la demostración precedente, que es absolutamente
rigurosa, les advertiré de nuevo, que el haber puesto el pun-
to P” para la diferenciación de las U en el interior de la
figura, no restringe en manera alguna el rigor de la demos-
tración.
En primer lugar, la envolvente *, y la magnitud Ax, son
por decirlo así, términos independientes uno de otro. Una
cosa es el empleo de *, como artificio para la demostración,
y otra cosa es la diferenciación de las funciones U.
Son, si vale la palabra, variables independientes, y siem-
pre podemos tomar el punto P” en el interior de *,.
Pero aunque fuera exterior importaría poco, y la demos-
tración subsistiría, tendiendo hacia o, por de contado, la 2,
y laAx.
Porque aunque el punto P” fuera exterior á *,, exterior
decimos, pero muy próximo por de contado, al integrar
con relación á R, siempre quedaría la cuerda C y las inte-
eraciones con relación á / y á y, darían ángulos finitos, con
lo cual, al anularse C, se anularía como en el primer caso la
integral triple relativa al punto P”.
Vemos, resumiendo:
Primero. Que cuando se trata de un punto interior á una
masa, las componentes de la atracción de la masa sobre di-
cho punto X, Y, Z, tienen valores finitos y determinados.
Y como lo mismo habiamos demostrado para los puntos
— 598 —
exteriores, esta propiedad de las componentes de la atrac-
ción subsiste para todo el espacio, lo mismo para lo interior
de la masa continua que para lo exterior.
Segundo. La integral U, cuya forma ya conocemos, es
decir, la integral triple de la masa de cada elemento, dividi-
da por la distancia r á un punto interior P, es también una
función finita y determinada, lo mismo que X, Y, Z.
Estas cuatro expresiones son funciones determinadas y
finitas de X, y, 2.
Tercero. No sólo U es una fanción de x, y, z, determi-
nada y finita, en el interior de cualquier masa ponderable
atrayente, sino. que es la potencial del sistema. Es decir, una
función de Xx, y, z, que diferenciándola con relación á estas
variables, da las tres componentes de la atracción para el in-
terior de la masa continua, como demostramos que daba es-
tas tres componentes para los puntos exteriores. Luego U es
una potencial finita y determinada para todo el espacio.
Decimos potencial del sistema. Es decir, en nuestro caso,
de la masa continua comprendida en V.
Cuarto. Todos estos resultados se generalizan para un
sistema cualquiera de masas continuas exteriores unas á
otras, y para este nuevo sistema podríamos repetir las con-
clusiones precedentes.
Como X, Y, Z se obtienen derivando U, y como dichas
componentes son finitas y determinadas, se ve, desde luego,
que las primeras derivadas de la potencial, á saber:
ANCIANO E OO
a de
)
son finitas y determinadas también.
En términos más concisos: la potencial de cualquier sis-
tema ponderable, y, en general, de cualquier sistema que
obedezca á la ley newtoniana, como los eléctricos y magné-
ticos, tienen primeras derivadas, puesto que estas primeras
O e
derivadas, según acabamos de decir, multiplicadas por f, son
las componentes de la atracción.
Y ocurre inmediatamente este otro problema:
¿La función potencial U, tendrá segundas derivadas fini-
tas y determinas
Este problema es importante, porque se enlaza con otro
que estudiamos y resolvimos al tratar de las masas discon-
tin 1as.
Nos referimos á aquel teorema que decía: «La función po-
tencial satisface á la ecuación de Laplace».
Y ccurre averiguar si para los puntos interiores á una
masa continua, la función potencial satisfará ó no á dicha
ecuación; punto importantísimo en una porción de proble-
mas y en este de la continuidad de las funciones X, Y, Z, U,
y de la pora idad de sus derivadas.
— 600 —
XXVII. —La Asimetría de los Tripletes de Zeeman.
Por MANUEL MARTÍNEZ-RiscO Y MACÍAS.
(Continuación.)
- Aplicando la fórmula (19) al anillo de orden k + 1, obtié-
nese
> IEA
A (20)
Restando miembro á miembro las igualdades (19) y (20),
resulta
/ A
==
e
y siendo 27; = Ue Y 2 fr 14 = Ugo. se tendrá:
A
A (21)
por tanto, para los anillos de Fabry y Perot, como para los
de Newton, la diferencia entre los cuadrados de los diáme-
tros de dos anillos consecutivos es la misma cualquiera que
ellos sean.
La relación (21) puede escribirse así:
1 A
de Mi A e A
Kk lg alí ON: En
En virtud de lo antes demostrado, cuanto menor sea K,
mayores serán d; y dx +,. Es, pues, evidente que en un sis-
— 601 —
tema simple de anillos de Fabry y Perot, la diferencia, d, —
dí +,, entre los diámetros de dos consecutivos, es tanto me-
nor cuanto menor sea el orden de cada uno.
Fundándonos en la relación (19), y siendo el x, el diá-
metro de uno cualquiera de los anillos dados por una luz
de longitud de onda +, y Xm, el diámetro de un anillo del
mismo orden de otra luz cuya longitud de onda, A, no di-
fiera mucho de A,, podríamos fácilmente demostrar (*) que
)
Am — lo — q 0 — P) (22)
Determinando Xo Y Xm, se podrá, pues, hallar An — ko.
La fórmula que acabamos de escribir es, por tanto, la base
del método de espectroscopia interferencial de Fabry y Pe-
rot. De ella nos valdremos para evaluar el desplazamiento
de la componente mediana del triplete asimétrico estudiado.
Si el foco luminoso empleado emite varias luces monocro-
máticas, podrá haber coincidencia entre anillos de diverso
orden. Cuando, en virtud del fenómeno de Zeeman, varias de
dichas luces monocromáticas, Ó todas ellas, cambian de pe-
ríodo, aumentando progresivamente la intensidad del cam-
po, se llegará siempre á observar fenómenos de coinciden-
cia. Para terminar este capítulo, vamos á estudiar detallada-
mente un caso muy importante.
Coincidencias de los anillos de un triplete simétrico.
Supongamos, en particular, que el foco luminoso, por estar
situado en un campo magnético, emite tres clases de luz mo-
nocromática, que definen un triplete simétrico. Llamemos 4,
(*) Véase Zeeman.—Observations of the magnetic resolution of
spectral lines by means of the method of Fabry and Perot.-—1907,
página 2.
— 602 —
á la longitud de onda de la componente mediana, +, á la de
la componente situada hacia el rojo y 2, á la que corres-
ponde á la otra componente exterior.
Designemos por Xy. el diámetro del anillo de Fabry y
Perot de orden 7, en el sistema producido, con las condicio-
nes experimentales ya expuestas, por una luz de longitud
de onda A y.
En virtud de la fórmula (19), podemos escribir:
, ;
== 8 7 (e pa A) (23)
e
a ja
A 87?
(6 Está A E), (24)
Sumando miembro á miembro estas dos igualdades, ob-
tiénese
do ==
>) ,
sf CS, [Ed-i oa) =- (a — E o] (25)
Ahora bien; la ley de los diámetros de los anillos de Fa-
bry y Perot, nos obliga á admitir que
A (0)
a
e
opi ES O Ena E 4
por tanto, la fórmula (25) puede escribirse así:
: Do es
Ny = A, == —— E == ¡1 Tr (oe TI a) (26)
87? e |
Cuando el campo no existe,
Ny —/4y=0 Y Xrk == Xork) Avik1 — Lo) ki 412
— E03 —
Substituyendo estos valores en la relación (26), resulta:
ho
se
e
OA ofaata: = 4
La ley de los diámetros de los anillos de Fabry y Pero
está, pues, contenida, para un caso crítico, en la fórmu-
la (26), como debía suceder.
Cuando aumenta la intensidad del campo actuante, »,
aumenta también. Esto exige que X*%,+,* — X?,, +1 dismi-
nuya, llegando á anularse al tener 1, —?, el siguiente
valor:
lo
o
120
NE
== 6 =
Habrá, pues, una coincidencia de anillos, definida por la
tigualdad
Xrik = Xv3kx1>
al tener el campo por intensidad
E ARA
E E
10%
siendo C la separación específica característica del triplete.
Para que Xx? —X*,,* +1 pueda seguir disminuyendo,
es preciso que adquiera valores negativos. Distinguiremos
los casos siguientes:
2) 5) A p)
re — 1 A > Ye (27)
Ñ
Xr> ke == 19) l (28)
NOOO OO OOOO O A A OOO ADO
O O O OA O O O OOO OOO O O AO O O
— 604 —
Estos valores de x?,,x— x?,, 1 +, corresponden á coin-
cidencias definidas, respectivamente, por las igualdades
Xork = Xrik-1 =Xv3k+1 (27 a)
Xrok1 — Avrk+2 (28 a)
ADOS OCIO MO OR O
Para hacer ver la manera de llegar á estas relaciones,
partiendo de la fórmula (28), vamos á demostrar la fórmu-
la (28 a).
Substituyendo en la fórmula (26) el valor de
US La
resulta:
Ny — hy =
se efectuará, por tanto, que
O El E
y que , (29)
: 8f2 3 12 ”
or? — Ko ki 4 2= 2d —=—=62f
O e
Además, la ley de los diámetros de los anillos nos per-
mitirá escribir:
No P
E
1
.=12
e
a A AS O
— 605 —
ó lo que es igual
A
a ib (S0)
Sumando miembro á miembro las relaciones (29) y (30),
resulta:
E O O
y por ser
o O
esencialmente positivos,
Xr,k-1= Xu, k+2-
Esta es, precisamente, la fórmula que queríamos de-
mostrar.
Como ejemplo, traduzcamos al lenguaje ordinario las
igualdades (27 a).
Dicen que, para un cierto campo magnético, coincidirá el
anillo de orden k correspondiente 4 la componente mediana
del triplete con el anillo de orden k— 1 de la componente
más próxima al rojo y con el anillo de orden k +1 de la
otra componente exterior.
Sería fácil demostrar que los campos magnéticos produc-
tores de las coincidencias definidas por las igualdades (27 a),
(28 a) ....., etc., tienen, respectivamente, por intensidades
¡0004 0.00060...
AA OO O OCIO Ae
— 606 —
1001
MÉTODO EXPERIMENTAL EMPLEADO
Para hallar la ley de la asimetría de posición de un triple-
te, es preciso realizar una serie de experimentos consisten-
tes en determinar la intensidad, H, del campo magnético pro-
ductor de la asimetría y en valuar el desplazamiento corres-
pondiente, Az, de la componente mediana.
Nosotros hicimos once experimentos para estudiar la asi-
metría de posición del triplete 5791 u. A, del mercurio. Con
objeto de facilitar la redacción de los capítulos III y IV, agru-
paremos los experimentos realizados, incluyendo dentro de
cada grupo los correspondientes á campos de intensidades
no muy diferentes. Con los experimentos 1.* y 2.?, formare-
mos un primer grupo; con los 3.*, 4.*, 5.” y 6.”, un segundo
orupo, y los experimentos restantes constituirán un tercero
y último grupo.
Determinación de desplazamientos.
Hemos demostrado en el capítulo Il, página 468, que todo
aumento ó disminución de longitud de onda va acompañado,
respectivamente, de una disminución Ó aumento en los diá-
metros de los anillos.
Los que caracterizan á la componente mediana del triple-
te 5791 u. A, disminuyen de diámetro á medida que aumen-
ta la intensidad del campo actuante. Esto prueba que el des-
plazamiento productor de la asimetría de posición del refe-
rido triplete se realiza hacia el rojo.
Para valuar el desplazamiento correspondiente á un cam-
po dado, basta, según indica la fórmula (22), medir el diá-
metro de dos anillos del mismo orden en los sistemas pro-
ducidos por la componente mediana y por la raya espectral
original. Nosotros efectuamos estas medidas por el método
fotográfico.
— 607 —
La figura 2 es un esquema de la disposición experimen-
tal empleada. Tratándose de un estudio relativo, exclusiva-
mente, á la componente mediana de un triplete, nos conve-
nía evitar la formación de los anillos que darían las com-
ponentes exteriores de éste. Con tal objeto, entre el tubo de
Geissler A y la lente C, colocamos un romboedro B, de es-
pato calizo, y alejamos mediante una pantalla, representada
con doble raya en la figura, la imagen correspondiente á vi-
braciones dirigidas normalmente á las líneas de fuerza de
campo.
Figura 2.
La lente E sirve para producir sobre el plano de la rendija
del espectroscopio una imagen del sistema compiejo de ani-
llos dado por el patrón D. El papel del espectroscopio es
trasladar las franjas desde la rendija á las rayas espectrales,
sin amplificación ni reducción alguna; por tanto, es evidente
que la distancia focal que figura en la fórmula (22) es la de
la lente E: 12 mm, en nuestro caso.
La raya espectral 5791 u. A. es, según hemos dicho, una
de las que da el vapor de mercurio. Dos son los métodos
que pueden seguirse para obtener los anillos de Fabry y Pe-
rot correspondientes á una cualquiera de las luces monocro-
máticas que un gas ó vapor incandescente emiten.
Fúndase el primero en el uso de soluciones absorbentes
que, colocadas entre el foco luminoso y el patrón, permiten
alejar las radiaciones extrañas á la luz monocromática que
quiere emplearse.
El segundo, que es el que nosotros seguimos, consiste en
Ryv. ACAD. DE Ciixcias.—X.— Febrero, 19124 40
— 608 —
proyectar sobre la rendija de un espectroscopio ordinario,
mediante una lente convergente, una imagen de los anillos
en luz compuesta, pues sobre cada raya espectral podrá ob-
servarse el fenómeno en cuestión.
Si el foco luminoso está situado en un campo magnético,
sobre cada raya espectral se verán, simultaneamente, los
anillos correspondientes á las diversas componentes en que
la raya se divida. (Véase la fotografía B.)
Debe hacerse que los anillos ocupen una posición simé-
rica respecto de la rendija; pero, como vamos á demostrar,
una pequeña distancia entre ella y el diámetro vertical del
sistema, no sería causa de error en las determinaciones de
diferencias de longitud de onda.
En la figura 3 hemos repre-
sentado dos anillos del mismo
orden de dos luces de longitu-
des de onda A, y Am (Am > ko):
Si la rendija ocupa la posi-
ción A, simétrica respecto del
sistema de anillos, en virtud de
lo antes demostrado, se tendrá
rabia D0e (MOP ZO)
De
Para hacer ver que si la ren-
dija estuviese desplazada, te- Figura 3.
niendo la posición A”,
) ETE
Mm ce o - PS? — S?
2 (PS: QS)
- basta aplicar el teorema de Pitágoras á los triángulos rectán-
gulos OPS y OQS, pues, teniendo en cuenta que
OP=0M yque OO=0ON,
— 609 —
se llega á la siguiente igualdad:
PS? —QS?=MO?— NO..
Debo consignar que los aparatos estaban dispuestos de
manera algo distinta en los experimentos del segundo grupo.
En éstos, el patrón hallábase colocado entre la lente del
colimador y el prisma. La distancia focal f será ahora, evi-
dentemente, la del objetivo del anteojo.
La determinamos haciendo girar al patrón N alrededor
de un eje horizontal, hasta dar á los anillos de una cierta
raya un desplazamiento igual al diámetro de uno de ellos;
midiendo, por el método de Poggendorff, el ángulo de giro, '
6, y valuando, por el método fotográfico, el referido diáme-
tro, d. La fórmula que debe aplicarse es
d
1
2 tg — 0
ds
f=
Para más detalles véase la figura 4.
Obtuvimos como resultado
=D
Figura 4.
Como hemos dicho antes, para determinar los diámetros
de los anillos de la componente mediana y de la raya espec-
— 610 —
tral original, empleamos el método fotográfico. Cada uno de
nuestros experimentos consta de tres fotografías: la primera,
obtenida antes de aplicar el campo; la segunda, mientras el
campo actuaba, y la tercera, después de haber actuado el
campo. Las medidas de placas han sido realizadas con un
comparador de Carl Zeiss.
Sirva de ejemplo el cuadro siguiente:
Diámetros en mm.:
Con campo
Sin campo. de 29.560 Gauss. Sin campo.
(1) (11) (III)
Ercmertanldo 2,022 1,840 | 2,032
Segundo anillo....... 2,119 2,639 2,119
Debe tomarse siempre para valor de x, la media de los
números que figuran en las columnas 1.* y 3.* Estos serían
los mismos, prescindiendo de los errores cometidos en la
medida de las placas, si no hubiese habido durante el expe-
rimento cambio alguno en el espesor del patrón.
Con los números consignados anteriormente, resulta para
desplazamiento de la componente mediana (*).
Mo = 0.0370 1 A
Hemos hecho siempre uso solamente de los dos primeros
anillos, porque un error cometido en la medida del diámetro
del anillo 3.*, influye ya mucho en el resultado.
El patrón que empleamos, construído por la casa Hilger,
tenía láminas de vidrio y capas reflectoras de paladio. Las
piezas de distancia, que eran de cuarzo, tenían por coeficien-
te de dilatación lineal 0,00000059.
(*) Véanse las páginas 615 y 616.
— 611 —
Antes de pasar á ocuparnos en la determinación de cam-
pos magnéticos, vamos á decir dos palabras de los errores
originados por los cambios de temperatura que el patrón ex-
perimenta.
Supongamos que cada experimento se hiciese obteniendo
solamente dos fotografías, una con campo y otra sin campo.
Durante el tiempo necesario para realizar un experimento,
el espesor del patrón varía á causa de la inconstancia de
temperatura, y como todo cambio de espesor del patrón
produce un desplazamiento de los anillos, habrá, por tal
causa, un error en la determinación de X, y, por tanto, en
la medida de A, — ho =Ahk,. Es fácil hacer ver que, pres-
cindiendo del signo,
AL - X m UX q (31)
2
Ahora bien; diferenciando la fórmula fundamental
SE
af?
en que deben considerarse solamente como variables e y Xy,
resulta
KM =2e —€
y como, llamando K al coeficiente de dilatación lineal de las
piezas de distancia y (f, —f,) á la variación de tempera-
tura, de =eK (ft, —f,), se tendrá:
din =K (4 O A
Xm
Substituyendo este valor en la relación (31), obtiénese
E 8 o
d(An,) =K%, (1 — sf ) (t, — to).
— 612 —
k Nin . : Y
Como Ef2 es siempre una cantidad muy pequeña, com-
parada con la unidad, podemos afirmar que, si la tempera-
tura varía de 1, á f, durante el experimento, el desplaza-
miento de la componente mediana vendrá afectado de un
error calculable por la fórmula
d (AL) = Kk, (t, — lo).
En nuestro caso,
K:=10,000000:59 y 40 979 UTA
por consiguiente, para f, —f,=10,
d(AA,)) =5791 - 59 - 1078u. A=0,003 u. A.
Ya hemos dicho cómo se consigue disminuir los errores
debidos á los cambios de temperatura. Estos, en nuestro
caso, no podían ser grandes, porque el tiempo necesario
para obtener las tres fotografías de una serie era, aproxima-
damente, de quince minutos.
En las ampliaciones negativas A y A”, aparecen tres ra-
yas espectrales: la raya verde 5461 u. A, sobre-expuesta, y las
rayas amarillas 5770 y 5791 u. A. En la fotografía A pue-
de verse, sobre la 5791 u. A, el sistema de anillos que la ca-
racteriza, y en la fotografía A” aparecen, sobre la misma
raya, los anillos producidos por la componente mediana del
triplete correspondiente.
El primero de estos sistemas de anillos tiene centro obs-
curo y el segundo centro brillante.
Si esto no sucediese, y fundándose en la simetría del tri-
plete 5770 u. A, podría reconocerse por simple inspección de
las fotografías el desplazamiento hacia el rojo de la compo-
0181
nente mediana del triplete 5791 u. A, viendo que el ángulo $
(figura 5) es mayor en la fotografía A que en la A”.
p Determinación de los campos
magnéticos,
Primer grupo de experimen-
tos. — Los campos magnéticos
correspondientes á los expe-
rimentos del primer grupo, fue-
ron determinados por el méto-
do de la espiral de bismuto.
Previamente, á distintas tem-
peraturas, hallamos la curva
que representa la ley de varia-
ción de la resistencia eléctrica
de la espiral con la intensidad
del campo. Por el método de la
. | espiral de bismuto no podrían
determinarse con precisión su-
ficiente, por ser demasiado
fuertes, los campos magnéticos correspondientes á los dos
últimos grupos de experimentos.
Segundo grupo de experimentos. —En la segunda serie de
experimentos me convenía emplear campos cuya intensidad
no difiriese mucho de 25.000 Gauss.
Ahora bien; del estudio que hemos hecho al final del ca-
pítulo II, resulta que, para que exista una cierta coincidencia
entre los anillos de los sistemas dados por un triplete simé-
trico, es preciso que tenga un cierto valor la diferencia
k, — y entre las longitudes de onda de las componentes
exteriores de dicho triplete, lo que equivale á que el campo
magnético tenga una cierta intensidad, A.
En el cuadro siguiente consignamos el valor de la inten-
Pigura 5.
01
sidad del campo y el valor de 1, — A, para cada coinciden-
cia, empleando las notaciones antes adoptadas.
Número de orden Igualdades
de la que =D HA,
coincidencia la definen.
Si kh, y e se expresan en unidades del sistema C. G. S,
la diferencia A,—?, vendrá dada en centímetros y H en
Gauss.
Con el patrón empleado, cuyo espesor era de 0,9125
centímetros, el triplete central del nonete 5.461 u. A, del mer-
curio, dará la coincidencia 2.* cuando el campo tenga por
intensidad
107
A A NS OMG ASS
0,9125 - 4,66
El valor 4,66 de la separación específica lo hemos calcu-
lado partiendo de los resultados experimentales de Runge y
Paschen y de Gmelin (*).
El campo magnético, en los experimentos que compo-
nen el segundo grupo, era precisamente de 23.500 Gauss,
(*) P. Zeeman.—New observations concernig asymetrical tri-
plets, 1908.
— 615 —
pues por el hilo del electroimán circulaba una corriente
de intensidad apropiada para que sobre la raya verde
5.461 u. A coincidiesen, en la forma antedicha, los tres
sistemas de anillos de Fabry y Perot que corresponden á
las componentes del triplete central del nonete de la referi-
da raya.
Claro está que en la observación de la coincidencia hay
una cierta indeterminación. Para evitar el operar con un
campo magnético muy distinto de HA,, deben obtenerse va-
rias fotografías de los anillos en coincidencia; escoger de
ellas aquella en que los anillos coincidentes presenten un as-
pecto más análogo al de los anillos, previamente fotografia-
dos, que la raya original produce, y crear el campo haciendo
circular por el electroimán una corriente igual á la que co-
rresponde á la fotogratía elegida.
Véanse las negativas ampliadas C y C”.
Zeeman fué quien primero determinó por medio de las
coincidencias el valor de A1,— A, y el de h, — Ay. El mé-
todo seguido por dicho sabio, está expuesto con claridad
admirable en uno de sus trabajos (*).
Tercer grupo de experimentos.—Uno de los campos mag-
néticos que empleamos en los experimentos del tercer grupo
fué producido por una corriente de 5,62 amperios y deter-
minado por el método que luego resumiremos. Las intensi-
dades de los campos correspondientes á las observaciones
restantes, han sido deducidas de la del anterior mediante
correcciones halladas por un método fundado en la observa-
ción de las desviaciones que en un galvanómetro producen
las corrientes inducidas originadas al quitar rápidamente una
espiral de cada uno de los referidos campos.
(*) Runge y Paschen.—Anhang Abbandlungen y Kóningl. Preuss
Akademie, 1902. —Berlín.
Gmelin.—Der Zeeman-effekt einiger Quecksilber linien in schwa-
chen Magnetfeldern Absolut gemessen. —Tiibingen, 1909.
— 616 —
La intensidad del campo producido por la corriente de
5,62 amperios, fué determinada por el procedimiento que á
continuación vamos á exponer.
Sean A y B (fig. 6.*) los dobletes amarillos del mercurio,
tal y como aparecen sobre una placa fotográfica obtenida con
un espectrógrafo cuyo Órgano de dispersión sea una red de
Rowland.
viola E AA AáKÁ Há HzRRá> 9 RS E rojo
ns
o
Figura 6.
Midiendo las distancias designadas en la figura por las
letras D, d, y d,, puede hallarse la que separa á las rayas
espectrales originales, pues ésta tiene por expresión
idos
D+ —— a
porque las componentes exteriores de un triplete, aun en el
caso en que sea asimétrico, equidistan siempre de la posi-
ción que antes ocupaba la raya inicial.
Llamemos Ah á la diferencia entre las longitudes de onda
de las rayas de un doblete. Las longitudes de onda de las
rayas amarillas del mercurio difieren en 21, 1 u. A. Eviden-
temente,
para el doblete 5770 u. A, Alk= E 21,1 u. A,
— 617 —-
y para el doblete 5791 u. A, AL= ECON, E u. A.
El campo magnético productor de estos dobletes tendrá
una intensidad dada, en Gauss, por cualquiera de las fórmulas
(82)
siendo C, y C,, respectivamente, las separaciones específi-
cas de los dobletes 5770 u. A y 5791 u. A.
Para determinar el campo creado por el electroimán con
corriente de 5,62 amperios, fotografiamos los dobletes ama-
rillos del mercurio que entonces pueden observarse. Sobre
la placa, medimos d,, d, y D, magnitudes que figuran en el
segundo miembro de las fórmulas (32) y que permiten ha-
llar A, puesto que Cy y C, son conocidas por los trabajos
de Gmelin (+). Así obtuvimos:
con el doblete 5770 u. A., A= 27.520 Gauss
yicom el dobletsia19M ura HE ESdO
por tanto, en el experimento en cuestión, H = 27.430
Gauss.
Para producir los campos magnéticos nos valimos de
dos electroimanes de la casa Hartmann y Braun. En los
seis primeros experimentos utilizamos un electroimán pe-
(*) Gmelin.—<«Annalen der Physik», 28, 1909, pág. 1.084.
Véase también Cotton et Weis, Journal de Physique, Juin, 1907.
— 618 —
queño; en los restantes, un electroimán capaz de dar un
campo de 30.000 Gauss, aproximadamente, con un entre-
hierro de 3 mm.
El espectrógrafo de que nos servimos, que fué el que em-
pleó la Sra. H. B. Bilderbeek-van Meurs en sus investiga-
ciones acerca del fenómeno de Zeeman (*), tenía por órgano
de dispersión una red de Rowland, con 14.438 trazos por
pulgada inglesa y de 8 cm. de longitud.
"(Continuará )
(*) H. B. Bilderbeek van Meurs — «La décomposition magnéti-
que des raies du spectre ultraviolet du fer. (Archives Néerlandaises
des Sciences Exactes et Naturelles, série II, tome XV, p. 353, 1911.)
— 619 —
XXVIL.—Apuntes sobre Mecánica social.
POR ANTONIO PORTUONDO Y BARCELÓ.
(Continuación.)
EDAD A OA DENTALES A
AAA RAPESE QUADRO PY NO NIN RE¡N TO
DE LAS AGRUPACIONES SOCIALES
ESTÁTICA SOCIAL
TEOREMA DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
Para hacer el estudio en general del equilibrio de las agru-
paciones sociales, conviene recordar el Teorema llamado de
los trabajos virtuales en la Mecánica racional, en la cual son
considerados de un modo general y abstracto los sistemas
de puntos con enlaces. En términos generales, puede decir-
se que la Estática está encerrada en ese gran Teorema, del
cual se deduce la solución de casi todos los problemas
particulares del equilibrio (*). En él se expresa la condi-
ción necesaria y suficiente del equilibrio. Es decir, que si
el equilibrio existe, la condición se cumplirá necesariamente.
Y recíprocamente, que si la condición se cumple, ella bas-
tará: esto es, que el equilibrio existirá. La condición de
que vamos á hablar da, pues, en general la ley, é indica en
cierto modo (como veremos) la razón de ser del equilibrio.
Se supone que estén bien definidos los enlaces del siste-
(*) Es sabido que en la Mecánica racional no se considera que
pueda haber rozamientos ni adherencias entre unas y otras partes.
En lo que aquí recordamos se admite, en general, que los enlaces
sean bilaterales, y se puedan definir analíticamente por ecuaciones.
— 620 —
ma por ecuaciones, es decir, que se sepa cómo cada punto
de los que lo forman está ligado con los otros. Es evidente
que si un punto no tuviera enlace alguno con ninguno de
los demás puntos, no formaría parte del sistema: sería un
punto aislado, y no habría que considerarle para nada al es-
tudiar el equilibrio del sistema como de una entidad.
Si se supone, además, que sean perfectamente conocidas
en magnitud, dirección y sentido todas y cada una de las
fuerzas que actúan sobre todos ó algunos de los puntos del
sistema en las posiciones que ocupan, se ve que unas fuer-
zas pueden emanar, pueden venir de fuera del sistema: se
las llama (como hemos dicho repetidas veces) fuerzas exte-
riores. Otras pueden emanar de puntos del sistema mismo:
se las llama fuerzas interiores al sistema. Y es muy de notar
que en virtud del principio de la acción y la reacción las
fuerzas interiores que actúen sobre puntos del sistema son
siempre conjugadas dos á dos, mientras que las fuerzas exte-
riores no lo son; porque aunque cada fuerza exterior tenga
su conjugada, ésta no está aplicada á ningún punto del sis-
tema, sino á algo que está fuera de él, que no nos interesa.
Es evidente que la condición necesaria y suficiente para
el equilibrio del sistema es que todos y cada uno de los
puntos que lo constituyen estén en equilibrio; pero para sa-
ber si cada punto está en equilibrio, sería preciso conocer
todas, todas las acciones que sobre él se ejercen, y no nos
encontramos en este caso; porque si bien suponemos cono-
cidas las fuerzas que directamente actúan sobre cada punto,
no conocemos en general las fuerzas que (como acciones
indirectas) ejerce sobre cada punto el conjunto del sistema,
por intermedio de los enlaces. En una palabra, las fuerzas
llamadas de los enlaces nos son, en general, desconocidas
para cada punto; y de esta suerte la consideración del equi-
librio punto por punto aparece como irrealizable para llegar
á establecer la condición necesaria y suficiente del equili-
brio del sistema. Pero se observa y se demuestra que al ima-
— 621 -
ginar un conjunto de desplazamientos virtuales muy peque-
ños—de puntos del sistema — que sean compatibles con los
enlaces que haya en éste, la suma aleebraica de los traba-
- Jos virtuales de esas fuerzas desconocidas de los enlaces
puede considerarse como nula (prescindimos de los rigoris-
mos infinitesimales); y de aquí se deduce después que para
esos desplazamientos de que hablamos, la suma de los tra-
bajos virtuales de las demás fuerzas habrá de ser nula (*).
No puede tener lugar aquí la demostración (que es larga
y difícil) de este gran Teorema. Hemos querido tan sólo re-
cordar brevisimamente las notas que preceden y que nos
interesan, para enunciarlo en forma vulgar que permita lue-
go su adaptación á la Estática social. Prescindiendo, como
hemos dicho, del rigorismo infinitesimal, diremos que: si un
sistema de puntos entre los cuales haya enlaces, se halla en
reposo en cierta posición, y sobre todos ó algunos de los
puntos actúan fuerzas cualesquiera conocidas, el sistema
permanecerá en equilibrio, ó dicho de otro modo, las fuer-
zas se equilibrarán en el sistema por intermedio de los en-
laces, si se cumple esta condición, á saber: Que sí se conci-
ben muy poco cambiadas las posiciones de los puntos, de
cualquier modo, pero respetando los enlaces, la suma alge-
braica de los trabajos virtuales de todas las fuerzas dadas
para los respectivos desplazamientos virtuales de sus puntos
de aplicación sea nula (**).
(*) No se olvide que el trabajo elemental de una fuerza para un
desplazamiento muy pequeño (real ó virtual) de su punto de aplica-
ción, es positivo (motor) cuando el desplazamiento, estimado en la
dirección de la fuerza, tiene el mismo sentido que ésta; y que es ne-
gativo (resistente) cuando tiene el sentido contrario.
(+) Se dice que estos desplazamientos son virtuales, no efecti-
vos, porque son puramente concebidos como un artificio para aper-
cibir los movimientos elementales que podrían hacer los puntos del
sistema en vista de la naturaleza de sus enlaces mutuos. Y deben de
ser concebidos, en general, como muy pequeños esos desplazamien-
tos para que se refieran á la disposición y forma en que está el sis-
tema, y no á otra diferente.
> ¿aa
O dicho de otro modo: Que tomando en cuenta todas las
fuerzas, la suma numérica de los trabajos virtuales motores
(positivos) sea igual á la de los resistentes (negativos).
Esta condición suficiente para el equilibrio, es también
necesaria, es decir, que si hay equilibrio se cumplirá.
Pasando ya á la Estática social, y asimilados los indivi-
duos y elementos sociales que constituyen una agrupación,
á los puntos de un sistema; y concibiendo que el hecho de
formar parte de la agrupación, significa que cada uno de los
individuos y elementos sociales está enlazado de aleún modo
con otros individuos ó elementos (conjunto de enlaces, que
será tanto más complejo y variado, cuanto más elevado sea
el grado de la agrupación); y suponiendo, por último, que
en una posición dada de la agrupación se ejerce sobre algu-
nos Ó sobre todos los individuos y elementos sociales, fuer-
zas psíquicas que vengan de fuera de la agrupación ó de
otros individuos ó elementos de la agrupación misma, ó bien
del conjunto ó totalidad de ésta, diremos que la ley del equi-
librio de la agrupación, con sus enlaces, bajo la acción de
todas estas variadísimas fuerzas (condición necesaria y sufi-
ciente para que las fuerzas todas se equilibren en la agrupa-
ción social, por intermedio de los enlaces), es la siguiente:
Que al concebir cambios muy pequeños en las posiciones da-
das de los individuos y elementos de la agrupación, que sean
compatibles con los enlaces, la suma numérica de todos los
trabajos virtuales motores, sea igual á la de los resistentes.
Si se piensa en esta proposición como expresiva de la ley
del equilibrio en una agrupación social, se ve que todas las
fuerzas Ó influencias psíiquicas—ya vengan del exterior, ya
procedan de iniciativas de los particulares individuos ó ele-
mentos constitutivos de la agrupación misma, ya emanen
= 04) ==
del ambiente social —que soliciten á los individuos y ele-
mentos sociales en muy varias direcciones y sentidos y con
intensidades cualesquiera, no producirán efecto aleuno de
movimiento, es decir, de cambio de posiciones, si se cumple
aquella condición esencial que equivale á una compensación.
Pero el efecto se manifestará en el sistema por la tensión de
los enlaces. Por esto se dice, con toda propiedad, que las
fuerzas dadas se equilibran en el sistema Ó agrupación por
intermedio de los enlaces. Si estos enlaces fueran suficiente-
mente vigorosos, en la agrupación social que se considere,
para soportar las presiones ó tensiones que sufran, el equi-
librio quedaría asegurado (*). Pero si no resistieran á las
presiones ó tensiones, se romperían los enlaces de la agru-
pación y ésta se destruiría, es decir, dejaría de ser tal como
era la agrupación. Las fuerzas á que habría sido sometida,
tanto desde el exterior como en el interior de la agrupación
misma, habrían sido demasiado enérgicas para la resistencia
que los enlaces ofrecían; y esta debilidad relativa de los en-
laces de la agrupación considerada, habría sido entonces
la causa de su ruina, aunque aquellas fuerzas se habrían
equilibrado entre sí —por medio de los enlaces —si hubiera
habido el suficiente vigor en la constitución interna de la
agrupación social.
Para cada asunto de carácter social que se quiera estudiar
desde el punto de vista estático, y haciendo abstracción de
los demás asuntos sociales en la agrupación, se deberá de
poner atención:
1. En las fuerzas relacionadas con el asunto que lleguen
á la agrupación desde el exterior de ella, señalando bien los
individuos ó elementos de la agrupación á quienes se apli-
quen, y sobre quienes obren efectiva y directamente;
(*, Esto se admite siempre en los sistemas que considera la Me-
cánica racional, puesto que se trata el caso ideal en que los enlaces
sean indefinidamente resistentes.
REV. ÁCAD. DE CIENCIas.—X.—PFebrero, 1912. 4H
= quee
2.2 En las iniciativas, Óó mejor dicho, fuerzas efectivas
(de naturaleza apropiada al asunto) que emanen de indivi-
duos y elementos de la agrupación misma; aspirando á co-
nocer, no sólo sus direcciones, intensidades y sentidos, sino
también los individuos ó elementos sobre quienes se ejerzan
y obren efectiva é inmediatamente; y
3... En el examen de aquellos enlaces sociales que ha-
yan de entrar principalmente en juego, por decirlo así, para
transmitir de unos individuos ó elementos á otros las accio-
nes de las fuerzas, tanto exteriores (1.”) como interiores (2.”)
Si respecto de un asunto jurídico—por ejemplo—pensa-
mos que una nación dada tiene—en un instante en que la
consideremos — una determinada posición; y suponemos
(para simplificar) que los individuos y elementos nacionales
se hallan en ese instante en estado de reposo en el asunto,
sin velocidades de modificación de ninguna especie (*), se
diría que esa nación se halla en equilibrio en el asunto si
permanece en esa misma posición y conserva su estado de
reposo, á pesar de las influencias que, como fuerzas socia
les, exteriores é interiores, se ejerzan sobre los individuos y
elementos de la nación para cambiar sus posiciones en el
asunto jurídico de que se trate. Entonces se diría que tedas
las fuerzas se equilibran; y este equilibrio se produciría,
porque habría individuos y elementos de la nación interesa-
dos en el asunto, con aspiraciones opuestas--por ejemplo—
á la influencia de algunas de las fuerzas que vienen del ex-
terior y á las de otras que emanen de individuos y elemen-
tos nacionales, acaso también reforzadas por la acción social.
Para equilibrar á todas éstas, habrían de ser calculadas con-
venientemente aquellas fuerzas en sus direcciones, intensi-
(**) Esta hipótesis no se presenta casi nunca—cualquiera que sea
el asunto de que se trate—en las naciones que están dentro de la ci-
vilización moderna. Veremos que en el caso del movimiento se pue-
de aplicar lo que decimos en el caso del reposo para el equilibrio de
un conjunto de fuerzas dadas.
= (0%
dades y sentidos, así como en sus puntos de aplicación,
contando indispensablemente con los enlaces (tales como
existan) por medio de los cuales habría de lograrse el equi-
librio social en el asunto. Y es indispensable, decimos, con-
tar con los enlaces interiores de la agrupación, porque si
el Teorema de los trabajos virtuales es admisible—tal como
lo enunciamos para la Mecánica social, —debemos de pen-
sar que la compensación por el equilibrio ó para el equili-
brio no es—en puridad—una compensación de fuerzas, sino
una compensación de trabajos virtuales posibles; y esta posi-
bilidad depende de los cambios elementales posibles en las
posiciones de individuos y elementos; y esto, finalmente,
depende de los enlaces á que estén sujetos los individuos y
elementos. Se ve la inmensa complejidad del problema si
hubieran de determinarse fuerzas que equilibraran á otras
dadas sobre una posición conocida de la agrupación. Aun-
que por lo demás, este problema así planteado sería inde-
terminado si se atendiera exclusivamente al aspecto mecáni-
co. Si se impusieran á las fuerzas psíquicas otras condicio-
nes ajenas á la Mecánica, el problema ya podría ser deter-
minado Ó absurdo. Más adelante volveremos sobre esta con-
sideración , que es de gran transcendencia; pero limitándonos
ahora á ver cómo una agrupación social puede permanecer
en la misma posición que tenga en un asunto social cual-
quiera, conviene observar lo que ocurre con frecuencia en
los pueblos poco civilizados y (más acentuadamente aún)
en los pueblos de civilización estancada. El desprecio y el
odio que sienten éstos hacia los fines de la civilización nues-
tra, despiertan en esas sociedades muy intensas fuerzas psi-
quicas interiores, y éstas son las que algunas veces equili-
bran á las exteriores que llegan á ellas desde Europa, ten-
diendo á poner en movimiento alguna de esas agrupaciones
sociales que esté en reposo.
Ese mismo hecho mecánico se observa también en los
países que se hallan de lleno en la corriente de la civiliza-
— 626 —
ción moderna. Aquí las fuerzas interiores que se despiertan
para contrarrestar la acción de otras fuerzas son componen-
tes para las resultantes motrices. Si no consiguen (en la ma-
yor parte de los casos) impedir el movimiento de modifica-
ción, contribuyen algunas veces por su influencia á mode-
rarlo, en ciertas agrupaciones sociales privilegiadas, para
que se realice suavemente — por decirlo así—y se evite la
ruptura violenta de algunos enlaces sociales. Además de es-
tas fuerzas genuinamente conservadoras, podría en muchos
casos contribuir al mismo fin la supresión Ó modificación de
algunos enlaces y el establecimiento de otros nuevos.
Pero volviendo á nuestro asunto, tratemos de aplicar la
ley general del equilibrio de un número cualquiera de fuer-
zas sociales, actuando de cualquier modo sobre los indivi-
duos y elementos de una agrupación dada, al caso más sen-
cillo de dos fuerzas solamente. Supongamos, para simplifi-
car, que haya una sola fuerza exterior que aspire á modifi-
car con una cierta tendencia las posiciones actuales de los
individuos y elementos de la agrupación (que consideramos
en reposo en un asunto de carácter social), y que haya una
sola fuerza—exterior también —que tienda, por el contrario,
á modificar en sentido inverso las posiciones actuales en el
mismo asunto (*). Una y otra fuerza pueden ejercer sus ac-
ciones como aplicadas directamente sobre dos individuos—
ó sobre dos elementos—-ó sobre un individuo y un elemen-
to, y por intermedio de éstos influir en las posiciones de los
demás individuos y elementos en general, toda vez que los
puntos de aplicación (sean individuos ó elementos individua-
lizados) estarán enlazados de varios modos con el resto de
la agrupación; y á ésta, en general, se transmitirá por los
(*) Este caso particular es puramente teórico para las grandes
agrupaciones, porque no se dará casi nunca el supuesto de que sean
solamente dos fuerzas exteriores las que actúen, respecto de un
asunto, sobre una agrupación social de alguna complejidad. En una
simple familia se presentará más frecuentemente este caso.
= 02% =
enlaces (como hemos dicho repetidas veces) la influencia de
las dos fuerzas que consideramos. La condición esencial
para el equilibrio de las dos fuerzas será, no la de igualdad
de sus intensidades psíquicas —por decirlo así, —sino la de
igualdad de sus trabajos virtuales de signo contrario. O dicho
de otro modo: la relación de las intensidades de las dos
fuerzas habría de ser igual á la relación inversa de los cam-
bios de posición que pudieran virtualmente adquirir sus dos
puntos de aplicación sin romper los enlaces; estimando las
fuerzas en las direcciones de los desplazamientos respecti-
vos de los puntos de aplicación para que los productos—
esto es, los trabajos virtuales— sean iguales.
Se vería, pues, en el caso de dos fuerzas, lo siguiente: que
una fuerza de intensidad psiquica muy pequeña podría equi-
librar á otra relativamente grande, si por los enlaces interiores
de la agrupación le fuera permitido al punto de aplicación de
la primera un cambio de posición muy grande (en la dirección
de esta fuerza); y, por el contrario, el punto de aplicación de
la segunda fuerza no pudiera —sin romper los enlaces de la
agrupación — hacer más que un cambio muy pequeño de su
posición en el asunto. Acaso sirva esta consideración mecá-
nica (idéntica á la que se hace en la Mecánica racional so-
bre las dos fuerzas llamadas ordinariamente potencia y re-
sistencia, que se hacen equilibrio en una máquina simple
como la palanca, el torno, etc.) para explicar el hecho,
asombroso para algunos, de que una fuerza psiquicamente
insignificante por su pequeñez, sea capaz— como se observa
diariamente—de equilibrar á otra muy grande.—En las fa-
milias — como agrupaciones sociales muy sencillas — es
fácil hacer la observación, especialmente respecto de asuntos
religiosos, pedagógicos y otros, que se relacionan mucho
con el medio social en que las familias vivan.
Para terminar estas indicaciones generales de Estática so-
cial, tal como nosotros la consideramos, debemos de advet- -
tir que el concepto del equilibrio de un conjunto de fuerzas
— GIN
sociales, es más general que el anteriormente expuesto. Lo
dicho en el caso de las fuerzas equilibrándose sobre una
agrupación social en reposo, se aplica también al caso en
que la agrupación social se halla en estado de movimiento en
un asunto. Este es el caso que se presenta ordinariamente.
Entonces un conjunto de fuerzas exteriores é interiores que
se equilibren en un instante dado, habría de ser tal, que el
movimiento continuara como si ese conjunto de fuerzas no
existiera (*). Las condiciones que se habrían de cumplir,
serían las mismas que si en ese instante la agrupación, con
sus enlaces, se hallara en reposo en la misma posición,
puesto que las leyes sólo dependen de las posiciones y de
los enlaces, así como de las direcciones, magnitudes y sen-
tidos de las fuerzas. Excusado parece añadir que, aunque
ese conjunto de fuerzas en equilibrio no influya en el movi-
miento de la agrupación, sí influirá en el estado interno de
tensión de los enlaces.
DINÁMICA SOCIAL
La estructura (como dicen los sociólogos) de una agrupa-
ción social está, en general, en perpetuo estado de cambio, no
ya por movimientos de modificación de los individuos y de
los elementos sociales, sino principalmente por modificacio-
nes de los enlaces de la agrupación, que son los que forman
la estructura; y por eso dicen que, en la realidad, el estado
(*) Quizá esto corresponda, en cierto modo, á la indicación del
sociólogo americano Ward, de que el estado estático de una agrupa-
ción social no debe de ser considerado como estado de reposo obli-
gado, es decir, estacionario ó de estancación social; aunque Ward
se refiere tan sólo á la conservación de la estructura de la agrupa-
ción social.
— 629 —-
de las agrupaciones es dinámico. El profesor Charles H. Coo-
ley hace notar que las amplias estructuras y los movimien-
tos de conjunto de las sociedades no han sido, en general.
producidos como efectos de una voluntad consciente que
haya previsto los procesos dinámicos sociales, sino que han
resultado (sin haber sido previstos) de un conjunto de di-
versas acciones ejercidas para intereses parciales, y con fines
egoístas. Indica el citado profesor que la Sociología, basada
en las leyes de la Dinámica social, debe de estudiar la for-
mación de una efectiva opinión pública, y de una concien-
cia y voluntad sociales, cada vez más definidas, que permi-
tan algún día realizar los movimientos de modificación de
las sociedades, sabiendo adónde y por dónde se va.
Señala Cooley el hecho de que en las sociedades moder-
nas se está elaborando indudablemente un conjunto de ideas
armónicas para la vida social en toda su complejidad, y que
de ellas va teniendo la sociedad misma más y más clara
conciencia. Con el conocimiento más y más profundo que la
Humanidad vaya teniendo de sí misma, y por intermedio
del sentimiento, se va formando una voluntad social cons-
ciente. Pero estas ideas, muy interesantes desde el punto de
vista general sociológico, salen fuera del terreno propio de
estos Apuntes. A nosotros lo que nos interesa es el cono-
cimiento de las leyes de la acción dinámica de las fuerzas
psíquicas sociales, tanto interiores como exteriores, sobre
los individuos y los elementos sociales que, enlazados entre
sí, constituyen una agrupación dada.
Para nuestro estudio exclusivamente mecánico del movi-
miento de las agrupaciones sociales, hay que recordar el
Teorema de d'A lembert, por virtud del cual se reduce, en prin-
cipio, el estudio del movimiento de los sistemas de puntos
materiales con enlaces, al estudio del equilibrio. Este Teore-
ma es tan admirable por su sencillez como por su fecundi-
dad, y revela el genio portentoso de d“Alembert.
Recordemos brevemente el Teorema, tal como se expone
= 030.
en los Tratados elementales de Mecánica racional para los
sistemas de puntos materiales.
Se sabe que cuando un sistema de puntos materiales, con
enlaces, está en movimiento bajo la acción de fuerzas cua-
lesquiera aplicadas á todos ó á algunos de sus puntos, cada
punto del sistema se mueve — siguiendo su trayectoria con
un determinado movimiento en ella, —no por la sola acción
La
dinámica de las fuerzas aplicadas directamente á él, sino
por esta acción combinada Ó compuesta con la que ejerce
sobre él todo el conjunto del sistema á que pertenece, y con
el cual está ligado por ciertos enlaces que, en general, no
le dejan libertad para obedecer exclusivamente á las fuerzas
que directamente le solicitan. Y así vemos que la fuerza que
determina en definitiva la aceleración del movimiento de un
punto del sistema, es la resultante F de las fuerzas que ac-
túan directamente sobre él, y de las interiores que llegan á
él por intermedio de los enlaces.
Pues bien: si el punto que se considera es de masa mm, la
resultante motriz F de que hablamos provoca (por el prin-
cipio de Newton) una fuerza de reacción ó de inercia, que es
en magnitud igual al producto de su masa por su acelera-
ción (m./J.), y que tiene la misma dirección y el sentido
opuesto al de aquella resultante motriz F. Se ve, por tanto,
que ese punto — y en el mismo caso se hallan todos los del
sistema — estaría en equilibrio en ese instante, si por una fic-
ción imagináramos su fuerza de inercia aplicada á él mis-
mo, y actuando juntamente con todas las fuerzas, incluso
las interiores que provienen de sus enlaces con el resto del
sistema.
Pero la segunda idea fecundísima de d'Alembert fué la de
ver todas las fuerzas interiores de los enlaces existentes en
el sistema, produciéndose (mediante dichos enlaces) en el
conjunto de todos los puntos del sistema, y ver, por consi-
guiente:
TEOREMA.— Que el sistema todo en movimiento podría ser
— 031 —
concebido en la posición por la cual pasa en un instante cual-
quiera, como en equilibrio ficticio, bajo la acción en ese ins-
tante de todas las fuerzas dadas y todas las de inercia, me-
diante los enlaces.
Este equilibrio ficticio concebido por d*Alembert en cada
instante del movimiento, es lo que suele llamarse — con fra-
se paradójica — equilibrio dinámico. Y las tensiones diná-
micas de los enlaces serán en cada instante las que co-
rresponderían (como se explicó en la Estática) á la acción
simultánea de las fuerzas dadas y las de ¡inercia en equili-
brio — mediante los enlaces - sobre la posición que tiene
el sistema en ese instante.
Antes de dar por terminado este ligero recuerdo del Teo-
rema de d'Alembert, nótese lo que ocurre en cada punto M
del sistema en cada instanie. La resultante R de las fuerzas
dadas (tig. 5.) que sobre ese punto M del sistema actúan en
un instante dado, no se aprovecha toda ella —como si dijé-
ramos — para el movimiento efectivo que ese punto realiza,
porque se descompone en dos, á saber:
1.” Una componente C, igual y opuesta á la resultante
E de las acciones que sobre ese punto ejercen los demás del
— 632 —
sistema, por intermedio de los enlaces; esta componente C
tiene por misión contrarrestar la resultante E de las acciones
interiores de los enlaces.
2.” Otra componente F, que real y efectivamente se apro-
vecha para el movimiento del punto M: es en la dirección y
el sentido de su aceleración /, y vale (como sabemos)
mana)
Por consiguiente, si pensando á la vez en todos los pun-
tos del sistema, llamáramos fuerzas perdidas para el movi-
miento de éste, á aquellas primeras componentes C (por con-
traste en la denominación á las aprovechadas F), podría de-
cirse, según el Teorema de d*Alembert:
Que en cada instante, el conjunto de fuerzas perdidas
para el movimiento se equilibra por intermedio de los enlaces
en la posición que el sistema tiene en ese instante (**).
Recordado todo lo que precede, y mirando una Sociedad
ó agrupación como un sistema constituido por individuos y
elementos sociales con enlaces, y que estos individuos y
elementos se hallan sometidos á la acción de las fuerzas
aplicadas á ellos-—que hemos llamado fuerzas socia es —,
(*) Claro es que esta componente F, que se aprovecha para el
movimiento del punto M, puede tener ¿gual, mayor ó menor intensi-
dad que la resultante R de que proviene.
(**, No podemos entrar aquí en la consideración de las ecuacio-
nes diferenciales de segundo orden á que conduce cl desarrollo ana-
lítico de la solución del problema general de la Dinámica, ni mucho
menos referirnos á la torma dada por Lagrange á las ecuaciones di-
ferenciales, limitando el número de variables á las estrictamente ne-
cesarias.
No alcanzo yo á ver cómo se pueda ahondar para la Mecánica so-
cial hasta estas profundidades.
— 633 —
debemos de pensar que las acciones y reacciones que se
ejercen entre los individuos y elementos que conslitu-
| yen la agrupación, influyen sobre el movimiento de todos
los individuos y elementos; porque al fin y al cabo, la
comunicación se halla establecida á través de los enlaces
de la agrupación misma, de que todos forman parte. Es-
tas interacciones serán tanto más complejas cuanta mayor
variedad y complicación haya en la estructura de la agru-
pación.
Pues bien: si pensamos que cada uno de los individuos y
elementos constitutivos de la agrupación tíene su determi-
nada masa para el asunto, podríamos enunciar el Teorema
de d'Alembert (que admitiremos para la Dinámica social) de
este modo:
TEOREMA.— Cada una de las posiciones sucesivas por las
cuales va pasando una agrupación social en el tiempo, po-
dría ser mirada como una posición de equilibrio (equilibrio
dinámico), si á las fuerzas psíquicas dadas que sobre ella
actúan, y á las interiores de los enlaces, se unieran—por una
ficción—las fuerzas de inercia de todos los individuos y ele-
mentos de la agrupación.
O dicho brevemente:
Que en un instante cualquiera se equilibrarían todas las
fuerzas dadas y todas las de la inercia mediante los en-
laces.
Quizá se adapta mejor, y en forma más adecuada á la
Dinámica social, la expresión del Teorema por su referencia
á lo aprovechado y á lo perdido de las fuerzas que actúan
sobre la agrupación, al efecto de cambiar el estado en que
ella se encuentre respecto de un asunto, en un instante dado.
Porque efectivamente: si se piensa que en el cambio de es-
tado de cada individuo ó elemento no se aprovecha (para
este cambio) más que una componente FF de todo lo exte-
rior R que sobre él actúa, puesto que necesariamente hay
que emplear ó dedicar una primera componente C á equili-
— 634 —
brar, es decir, á contrarrestar las influencias de los enlaces
que tenga el individuo ó elemento con el resto de la agrupa-
ción (*), se ve, como en la Mecánica racional:
Que en cada instante y en cada posición de una agrupa-
ción social han de estar equilibradas por las resistencias de
los enlaces sociales aquellas componentes de las fuerzas ex-
teriores que sean perdidas para el fin de la modificación efec-
tiva que se opera en la sociedad en este instante.
Y es muy de notar que esas ¿ensiones dinámicas á que están
sometidos en cada instante los enlaces sociales provienen de
la acción simultánea y compuesta de las fuerzas dadas, que
tienden á modificar la sociedad, con las fuerzas de inercia de
todos sus individuos y elementos (véase la fig. 5.%); y que
habiendo de resistir esas tensiones, los enlaces se romperíian
si no tuvieran la resistencia suficiente para soportarlas. Esto
explica bien—á mi entender—el hecho de que las agrupa-
ciones, como ciertas naciones (Inglaterra, por ejemplo), que
están dotadas de enlaces sociales internos muy vigorosos,
puedan soportar bien grandes movimientos de modificación;
es decir, grandes cambios de estado, que se operen en un
transcurso de tiempo relativamente pequeño, bajo la acción
de fuerzas sociales de gran intensidad (esto ocurre á la hora
presente); mientras que si á otras naciones se las sometiera á
fuerzas motrices muy intensas, que tendieran á modificar
erandemente su estado, se produciría relajación en sus enla-
ces internos, seguida de la ruptura de muchos de ellos, y de
la consiguiente desorganización, que podría ocasionar hasta
la disgregación de la agrupación, si la ruptura afectara á los
lazos esenciales. Otras veces la firmeza ó gran resistencia de
algunos de estos enlaces esenciales de una agrupación so-
cial, pueden salvarla de la ruina, aunque surja la perturba-
(*) Se comprende que estos enlaces influyen, de este modo indi-
recto, en el aprovechamiento de las fuerzas exteriores, unas veces fa-
voreciéndolo y otras perjudicándolo.
— 635 —
ción consiguiente á la ruptura de algunos otros enlaces me-
nos resistentes, de lo cual ha sido España un ejemplo (*).
Pero dejando esta digresión, vengamos al problema ge-
neral de la Dinámica social, ya que hemos admitido el Teo-
rema de d'Alembert.
Lo mismo que hicimos cuando se trató de un solo indivi-
duo bajo la acción de varias fuerzas, veamos ante todo los
datos del problema en toda su generalidad.
Son los siguientes:
1.2 El estado inicial de la agrupación en el asunto que se
considere. Esto comprende no sólo las posiciones que tienen
todos los individuos y elementos en el instante que tomamos
como inicial para el estudio, sino además sus velocidades
respectivas — en magnitudes, direcciones y sentidos — en
ese instante.
2.2 Las masas (para el asunto) de todos y cada uno de
los individuos y elementos constitutivos de la agrupación.
3. La naturaleza ó constitución de los varios enlaces 1n-
ternos que pueden influir en el asunto de que se trate; estos
enlaces son los que definen, por decirlo así, la agrupación
que se considere (**).
42 Todas las fuerzas efectivas que (en relación con el
asunto) estén aplicadas directamente á todos ó algunos de
los individuos y elementos de la agrupación. Estas fuerzas
serán muy varias en magnitudes, direcciones y sentidos.
Pueden emanar (como sabemos) de individuos y elementos
(+) Esto se corresponde quizás con lo que dice Durkheim: «Tra-
tar de realizar una civilización superior á la que reclame la natura-
leza de las condiciones ambientes, es querer provocar la enfermedad
en la sociedad de que todos forman parte; porque no es posible so-
breexcitar la actividad colectiva, traspasando un cierto grado deter-
minado por el estado del organismo social, sin comprometer la salud
de éste.
(+) Es claro que en el estado inicial (que hemos citado como pri-
mer dato), las posiciones y velocidades deben de ser compatibles con
estos enlaces.
— 636 —-
exteriores á la agrupación, viniendo, por decirlo así, de fue-
ra; Ó pueden emanar de individuos y elementos interiores,
es decir, que formen parte de la agrupación misma; ó bien
pueden provenir del todo social.
Con estos datos, el problema de la Dinámica sociai —en
toda su generalidad — consiste en determinar cuál será el
movimiento de modificación de la agrupación social en el
asunto. Para esto se podría empezar por hallar el movimien-
to elemental 6 el conjunto de cambios muy pequeños en un
intervalo muy pequeño de tiempo 0, y enlazar después, por
ley de continuidad en el tiempo, estos movimientos elemen-
tales, haciéndolo para todos y cada uno de los individuos y
elementos que forman parte de la agrupación. O bien se po-
dría aspirar á la determinación directa de las leyes de los
movimientos de todos y cada uno de los individuos y ele-
mentos de la agrupación, con sus respectivas trayectorias
(usando esta palabra en sentido figurado).
Nótese que para la determinación del movimiento de cada
individuo Ó elemento social, tenemos ciertamente como da-
tos su estado inicial y su masa (datos primero y segundo);
pero surge una dificultad gravísima en cuanto á la fuerza
motriz; porque, si bien son conocidas todas las fuerzas da-
das que sobre él actúan (dato cuarto), no lo son las interio-
res que se ejercen también sobre él, por las influencias de
los enlaces. Y lo que al parecer agrava aún más la difícul-
tad, es que si estas fuerzas interiores de los enlaces influyen
sobre el movimiento del individuo ó elemento, ellas, á su
vez, son influídas por el movimiento que contribuyen á pro-
ducir, es decir, que dependen de lo que sea este movimien-
to, por lo cual parece, á primera vista, que estamos en un
circulo vicioso.
Y aquí resalta bien la hermosa fecundidad del Teorema
de d”Alembert. Por medio de él se salva en principio la difi-
cultad, procediendo á considerar los individuos y elementos
sociales, no uno á uno —como si dijéramos —, sino en con-
OST
junto y como partes del todo social. Porque, efectivamente;
considerada así la cuestión, se ve que el equilibrio dinámico
que debe de existir necesariamente entre todas las fuerzas
dadas R (dato cuarto), y las de inercia /— por intermedio de
los enlaces —obliga á estas de inercia á cumplir las condi-
ciones esenciales del equilibrio, que ya expusinios en el
Teorema de los trabajos virtuales; y de esta suerte, impo-
niendo á los cambios virtuales de posición en cada instante
ja compatibilidad con los enlaces conocidos (dato tercero),
se podría llegar á determinar, por este Teorema de Estática,
las fuerzas de inercia de todos y cada uno de los individuos
y elementos —, y esto daría ya la solución del Problema ge-
neral de la Dinámica, puesto que cada fuerza de inercia cam-
biada de sentido (se sobreentiende, en su misma dirección),
y dividida por la masa del individuo ó elemento á que co-
rresponda, nos daría la aceleración del movimiento de éste,
y el movimiento mismo quedaría ya perfectamente determi-
nado (Cinemática) por el conocimiento (dato primero) de su
estado inicial.
Se ve, y casi es innecesario decirlo, que las dificultades
serian enormes, y á mi entender, insuperables hoy (*).
ES
se
El Problema inverso es el siguiente: Dado en un instante
inicial el estado en que se encuentra (posiciones y veloci-
dades) una agrupación respecto de un asunto de carácter
(+) Durkheim ve claramente que las transformaciones ó modifi-
caciones de una Sociedad no pueden derivarse exclusivamente de los
precedentes históricos — ó sea de la herencia social — (que suminis
tra tan sólo el estado inicial de que hemos hablado); porque es im-
posible concebir cómo este estado podría ser la causa determinante
del siguiente. Como dice bien este sociólogo, los progresos realiza-
dos en el orden jurídico, en el político, económico, etc., hasta un
instante dado, hacen posibles nuevos progresos, pero no los prede-
=- 088, =
social, suponiendo conocidas las masas para el asunto de
sus individuos y elementos, y también conocida la constitu-
ción interna de la agrupación por sus enlaces, y queriendo
que la agrupación tenga un cierto determinado movimiento,
¿cuáles son las fuerzas capaces de producir este movi-
miento? (*).
terminan; son simplemente un punto de partida que permite ir más
lejos. Y añade que lo que se ve es una serie de cambios entre los
cuales la única relación que existe es exclusivamente cronológica
(nosotros diríamos cinemática), no existiendo entre ellos enlace de
causa á efecto, es decir, que el estado antecedente no produce el sub-
siguiente.
No podemos seguir á este sociólogo, cuando al concebir la Socie-
dad como un ser colectivo de naturaleza sui géneris, ve salir de sus
entrañas mismas —no de los individuos y elementos — las fuerzas
naturales que producen los cambios en los hechos sociales, tal como
él los define. El se explica la variedad de las formas ó tipos sociales
(que caracterizan las que él llama especies sociales) por la diversidad
de los medios sociales, como él los concibe.
(*) El enunciado de este problema inverso, acaso corresponda
bien á lo que dice D. Gumersindo Azcárate en su Concepto de la
Sociología, porque se ve:
1. Que el estado inicial en posiciones y velocidades, proviene de
toda la historia de la agrupación en el asunto que se considere, y
por tanto, el conocimiento del estado inicial, como herencia so-
cial, puede equivaler al conjunto de lo hecho, como dice Azcárate.
2.2 La constitución interna de la agrupación define la agrupación
particular de que se trate, tal como sea en el instante en que se la
considere. Azcárate da por sobreentendido esto, á mi juicio.
3.” Las direcciones, sentidos y magnitudes de las velocidades con
que se deben de seguir moviendo los individuos y elementos socia-
les, corresponden quizá á lo que — según la expresión de Azcárate—
se debe de hacer, se debe de conseguir; y
4.2 El conjunto de fuerzas convenientemente dispuestas en mag-
nitudes, direcciones y sentidos, y puntos de aplicación para que se
realice el movimiento que se quiere conseguir, el movimiento desea-
do, corresponde quizá al cómo h + de hacerse, que dice Azcárate.
Sobreentendierdo definida una particular y determinada agrupa-
ción social, el problema se podría tal vez enunciar, diciendo con
Azcárate: Conocido lo hecíño, y lo que se debe de hacer, ¿cómo se ha
de hacer?
.— 639 —
Se comprende que este problema inverso —así puesto —
es en general indeterminado; porque el movimiento que se
desea para la agrupación, podría ser obtenido (como efecto)
de distintos modos, es decir, por las acciones de muy dife-
rentes conjuntos ó sistemas de fuerzas. Las direcciones, mag-
nitudes y sentidos de éstas, así como sus puntos de aplica-
ción, son bastante indeterminados si se atiende exclusiva-
mente al problema dinámico (*).
Ocurre pensar que siendo enorme la complejidad de estos
(*) En todo problema social, el aspecto mecánico de las fuerzas
habrá de estar, á mi parecer, subordinado á otros aspectos como el
jurídico, el ético, el económico, etc., en cuanto revistan estos carac-
teres las fuerzas de que se trata. (Si el problema mismo fuera sobre
asunto jurídico, ético, etc., se le podría tratar mecánicamente; pero
no decimos ahora eso.) Siendo así, se ve que entre aquellas infinitas
soluciones posibles — puramente mecánicas — del problema inverso,
es decir, entre los diversos sistemas de fuerzas que podrian resolver
el problema mecánico, habrían de aceptarse solamente aquellos
conjuntos de fuerzas que fueran admisibles desde el punto de vista
jurídico, ó moral, ó económico, etc.; y esto ya hace comprender que
habiendo de estar sometida la solución á estas nuevas condiciones:
ajenas á la pura Mecánica, el problema no será en general tan inde-
terminado, si se considera en toda su complejidad, y tal como en la
realidad social se plantee. Por el contrario, los problemas se presen-
tarán frecuentemente como incompatibles, porque las condiciones
impuestas lo sean; y habrá que prescindir frecuentemente de algunas
de estas condiciones para que sean determinados los problemas.
Quizá el arte de los hombres de Estado — ó de los que dirijan la ac-
ción de las fuerzas sociales, — consista en designar bien las condi-
ciones que hayan de cumplirse para llegar al resultado que se desea,
y aquellas otras de que se pueda prescindir con el menor perjuicio
posible para los intereses sociales en conjunto.
En el orden puramente científico, toca á la Sociología investigar
—si le es posible —cuáles deban de ser las direcciones y sentidos de
los movimientos para alcanzar el mejoramiento en los diversos asun-
tos de carácter social; y también investigar de qué género hayan de
ser los sistemas de fuerzas que se apliquen, si á tanto pueden liegar
en sus investigaciones A la Mecánica le corresponde solamente de-
terminar los movimientos de modificación que las fuerzas habrían de
producir, si estas fuerzas hubieran sido convenientemente señaladas.
Rxv. AcAD. Dx CIENCIAS. —X.—Febrero, 1912. 42
— 640 —
problemas de Dinámica social —planteados así en toda su
generalidad —porque hay que seguir (por decirlo así) el mo-
vimiento de cada individuo y de cada elemento social —se-
ría más asequible quizá el estudio del simple movimiento de
conjunto de la agrupacinn social. Así lo haremos más ade-
lante, cuando expongamos un Teorema que se refiere al mo-
vimiento de lo que llamaremos Centro de masas de la agru-
pación, por analogía con el centro de masas ó centro de
inercia (que suele llamarse Centro de gravedad) de un siste-
ma de puntos materiales.
Pasemos ya á hacer la exposición de algunos Teoremas
generales de la Dinámica social. Son los mismos que expu-
simos al tratar del movimiento de un solo individuo; y ade-
más de ellos, ese Teorema del movimiento del Centro de ma-
sas, á que acabamos de aludir, y el Teorema del menor es-
fuerzo, conocido con el nombre de Principio de Gauss.
(Continuará).
— 641 —
XXIX. — Relaciones entre la fórmula estereoquímica
de los «Carburos aciclicos» y su calor de cumbus-
tión.
Por RUPERTO LOBO GÓMEZ.
Siendo los carburos de hidrógeno la base sobre que des-
cansa todo el edificio de la Química orgánica, á la manera
que los cuerpos simples lo son de la Química inorgánica, el
estudio de estos carburos, aportando el mayor número de
datos, ha de influir notablemente en el conocimiento de los
cuerpos que de ellos se derivan, puesto que con menos es-
fuerzo y con paso más seguro hemos de deducir consecuen-
cias importantes.
Punto esencialísimo en el estudio de tales cuerpos es su
calor de combustión; no solamente porque da una idea clara
de su constitución, sino también porque la mayoría de Jos
combustibles que ordinariamente se emplean en la industria
deben las calorías desarrolladas, en su mayor parte, al car-
bono é hidrógeno que forman su masa.
Con anterioridad al desarrollo de la Estereoquímica tratóse
del estudio que nos ocupa, suponiendo que el calor de com-
bustión dependia únicamente de los compuestos resultantes,
y como todo carburo en su combustión completa desprende
anhídrido carbónico y agua en diferente cantidad, según el
número de átomos de carbono é hidrógeno que lo constitu-
yen, no había más que sumar las calorias desprendidas en
la formación de estos cuerpos para obtener el calor de com-
bustión del carburo considerado.
Sentada esta base, se pudo observar que en algunos ca-
sos coincidían los valores obtenidos experimentalmente y
los deducidos sumando los correspondientes al anhídrido
— 642 —
carbónico y agua formados; mas en otros casos no había
relación entre estos valores.
Estudiando más profundamente la cuestión, observó
Thomsen la gran influencia producida en el calor de com-
bustión de estos carburos por la clase de enlace que existe
entre los átomos de carbono, así como también el calor de
combustión de cada átomo de carbono, según sea cristaliza-
do ó amorfo, como el del hidrógeno aislado ó constituyendo
molécula. Atendiendo á ello, pudo enunciar varias reglas
referentes al calor de combustión y formación de tales car-
buros. Como consecuencia de sus estudios llegó á obtener
para valor del enlace (a,) (sencillo entre dos carburos), un
valor igual que para el enlace (a,) (doble ó etilénico) y
para el enlace (az) (triple Ó acetilénico) un valor igual á O.
Diffenbach perfeccionó en parte este sistema, obteniendo
valores más aproximados á los experimentales, y como con-
secuencia de sus estudios cayó en el error de obtener para
(a,) un valor igual que para (az).
El sistema de Lemoult, que es el que me propongo des-
arrollar, está fundado en el conocimiento del número de ca-
lorías desprendidas por la combustión de los átomos de cat-
bono é hidrógeno, supuestos aislados ó constituyendo mo-
lécula, así como en la representación tetraédrica del átomo
de carbono y en la ley de los enlaces de los mismos.
2 átomos de hidrógeno, supuestos aislados,
en su combustión desprenden....... . 55calorias.
2 átomos de hidrógeno formando molécu-
la, desprenden en su combustión..... O. =
luego el calor de formación de la molécula de hidrógeno,
partiendo de los átomos supuestos aislados, será 55 — 69
= —- 14.
2 átomos de carbono supuestos aislados,
en su combustión desprenden....... 204 calorias.
2 átomos de carbono formando molécula
desprenden en su combustión....... 288 —
— 643 —
luego el calor de la formación de la molécula de carbono,
partiendo de sus elementos aislados, será 204— 288 = — 84.
Respecto de la tetravalencia del carbono se ha discutido
mucho; mas con alguna atención, observaremos que este
elemento obra siempre como tetravalente; pudiera citarse en
contra el óxido de carbono CO y las carbilaminas (según
Gautier), en los que aparentemente es divalente; pero esta
objeción perderá su fundamento, desde el momento que
consideremos que dichos cuerpos no son saturados, son mo-
léculas abiertas, inestables; asi, el CO no puede reaccionar
por substitución, y sólo mediante adición, para dar, por
ejemplo, CO», Ó puede unirse á dos Cl para formar gas clo-
roxicarbónico COCI,.
Representando el átomo de carbono por el tetraedro
caracteristico figurémonos en
cada vértice cada una de sus a-H
valencias y representémoslas
por a; en este caso sólo ha-
brá enlaces de las valencias del
carbono con el hidrógeno, Ó
sea de la forma (a—4), y Hra a-H
para determinar su valor, di-
remos, según lo anteriormente a—H ul
indicado: el calor de combus-
tión de dos átomos de hidrógeno, supuestos aislados, es
igual á 55 calorías; luego el de los cuatro de hidrógeno
del tetraedro serán 110; de la misma manera, el calor co-
rrespondiente á un átomo de carbono es igual á 102; su-
mando estos dos valores, tendremos el calor de combus-
tión del CH, (metano), ó sea 212; para determinar el co-
rrespondiente á cada enlace (a— 4), no habrá más que
dividir por 4, ó sea (a—4)=53, valor asignado por Le-
moult.
Mas si, por el contrario, el carburo está formado de va-
rios átomos de carbono, entonces, debido á la aptitud del
: — 644 —
carbono, de saturarse por sí mismo, tendremos uniones, ya
simples, dobles, etc., entre estos átomos y uniones de ellos
con los átomos de hidrógeno. Los átomos de carbono están
unidos en virtud de sus propias afinidades, formando una
cadena cuyos eslabones son los mismos átomos, y que cada
uno está unido al interior y posterior, de tal modo, que no se
puede separar ninguno sin romperla.
Una de las maneras como pueden estar unidos dos átomos
de carbono, es neutralizándose por una sola valencia, origi-
nando el enlace sencillo (a — a), caso de los carburos satu-
rados, y para determinar su valor podemos partir del más
sencillo, ó sea el etano
En esta determina-
H-a a-—H ción podemos observar
IN que hay que conside-
A 2 rar el calor de forma-
a-H ción de la molécula de
at Je carbono, puesto que
dl existe más de un áto-
mo de éste. Así, el calor de combustión de los seis átomos
de hidrógeno aislados que posee el etano, es igual á 165
calorías; el calor de combustión de sus dos átomos de car-
bono unidos, es 288 calorías, luego el calor de combustión
será la suma 165 +- 288 = 453; pero es necesario restar de
esto el de formación de la molécula de carbono, que es 84,
luego queda para el de combustión del etano 369; quitando
de este número el que corresponde á las seis uniones de la
forma (a — H), queda para la unión (a — a) =51.
Apliquemos ahora estos datos á la determinación del ca-
lor de combustión de los carburos saturados en que sólo hay
uniones de las formas
(a—H y (a—a).
Sea un carburo saturado cualquiera
En él observamos que cada átomo de carbono pierde dos
valencias',, una que cambia con el anterior y otra con el que
le sigue, excepto el primero y el último que pierden una
sola, es decir, 2— 1; luego el número de valencias perdidas
será igual al duplo del de átomos de carbono menos dos, y
por lo tanto, el númeró de enlaces de la forma (a— a) será
precisamente la mitad, puesto que por cada dos perdidas
aparece una:
(a—a) ósea (a—a)=n—1,
siendo / el número de átomos de carbono. Respecto de las
valencias que quedan libres, observamos que cada átomo
de carbono deja dos, excepto el primero y el último, que
dejan tres; luego el número de enlaces de la forma
(a—H) es 2n +2.
Aplicando los datos conocidos tenemos:
Calorías desprendidas en la combustión de los carburos
saturados
A O
Cuando dos átomos de carbono están unidos de modo
que se neutralizan dos
valencianas respectiva-
mente (caso de los car-
buros etilénicos, apare-
ce el enlace doble
Pa , a-H
(a? —a?),
pra ee
A US a
y para determinar el
valor de éste partiremos del más sencillo, ó sea del eteno
— 646 —
El calor de combustión del eteno es 342; restando de este
valor el correspondiente á los cuatro enlaces de la forma
(a — H), tendremos el valor del (c? =c?), ó sea
A A MY (07 10)
Aplicando estos datos á la determinación del calor de
combustión de los carburos etilénicos y sea un carburo de
esta clase cualesquiera.
En este carburo se ob-
serva que al igual de los
saturados, en los átomos
de carbono que hay en-
lace sencilllo (a — a) se
encuentran (n— 1) y de
los (a — 4)=2n 7-2;
pero entre los dos que
existe enlace doble
(a
resulta que éstos pierden dos valencias cada uno, luego el
número de los que quedan de la forma:
(a—H) será 2n+2—2=2n,
los de la forma
(aA—d)=n—2 ydela (c?=c*)=1.
De aquí que calorías desprendidas en la combustión de
los carburos etilénicos
C, H, será igualá 130+(n—2)51 +2n- 53
Si dos átomos de carbono están unidos de modo que
se neutralicen, respectivamente, aparece el enlace triple
— 647 —
(as =a3), ó sea el correspondiente á los carburos acetilé-
nicos, que para deducir su valor partiremos del etino Ó ace-
tileno:
Determinando prácticamente su ca- aa]
lor de combustión resulta ser igual á
316 calorías, de modo que restando
lo correspondiente á los dos de la
forma SL
a a
queda para AN
a? = a3= 316 — 106 =210. eh
Aplicando esto á la determinación del calor de combustión
de un carburo acetilénico cualquiera, tenemos:
a
Vemos que el número de enlaces de la forma (a— a) es
igual al número de átomos de carbono menos dos; de la
forma (a — 4) quedan 2n—2 y de la c?—c? es igual á
uno. Luego; calorías desprendidas en la combustión de un
carburo acetilénico
O A
Puede suceder que se presenten carburos dos veces con
enlace etilénico ó acetilénico, ó ya tres ó más, y en este caso
se ha observado que sólo uno de los enlaces múltiples con-
serva el valor primitivo, mientras que para los otros enlaces,
ya dobles, ya triples, es necesario rebajar del valor primero
A
el número 40, ó sea que sólo un enlace inúltiple obra como
principal. Así la fórmula general para el número de calorías
desprendidas en la combustión de un carburo dietilénico será:
130 11430 10) a a o al
Por la misma razón para un carburo diacetilénico será:
MOTE 210.40) (1
He aquí, por lo tanto, los valores obtenidos:
a —=ll= 08
a —=a= 53l=53-2
a? =04=130=2. 51 + 28
a4=at=210=3- 51 + 2**28 +1
at = at= 288 =4- 51 +3 - 28.
Consecuencias.—1.* El valor del enlace doble es igual al
duplo del sencillo, más el duplo del calor de formación de
la molécula de hidrógeno.
2.7 El valor del enlace triple es igual al triplo del enlace
sencillo, más el duplo del de formación de la molécula de
hidrógeno, más uno.
3.* El valor del enlace cuádruple es igual al cuádruple
del enlace sencillo, más el triplo del de formación de la mo-
lécula de hidrógeno.
4.? Que hallando la diferencia entre los valores de los
diversos enlaces, cada uno respecto del anterior, tenemos
valores que oscilan alrededor de 79,5 calorías, que es pre-
cisamente el calórico de fusión del hielo, indicando la gran
relación de estos hechos con otros quizá más transcenden-
tales.
Bajo distinto aspecto, y fijándonos en las series homólo-
gas, podemos deducir fórmulas generales respecto de la va-
e
— 649 —
riación que hará producir la cantidad constante CH., fija á
un carbono, y veremos que habrá ganado un grupo
(aa). y dos (a 5 H),
luego la ganancia total será:
51 +2. 53 = 157 calorias.
Este número es el llamado constante de homología, y, Se-
gún el cual, la diferencia entre los valores de combustión de
dos homólogos consecutivos es igual á 157 calorías.
Relacionando con este número el calor de combustión de
los carburos, tendremos:
saturados
= (n — 1) 51 + (2 n 4- 2) 53 = 157n +55
etilénicos
= 130 + (n—2)51 +2n - 53 = 157 n + 28
acetilénicos
= 210 + (n— 2) 51 + (2n— 2) 53 = 157n+2
dietilénicos
= 130 + (130—40) + (n—3) 51 + (Qn-—2)53= 157 n-—39
diacetilénicos
= 210 + (10— 40) + (n—3)51 1- 53 = 157 n — 91.
Ahora bien; podemos representar gráficamente estos Car-
buros. La ecuación general que nos da su calor de combus-
tión, hemos visto que es 157x3-A, ecuación que repre-
senta varias rectas paralelas por los diversos valores de x y
de A, y la tangente del ángulo será 157 (a), Ó sea que el
ángulo «a tiene por valor 89”, 38', 6”. Como vemos, es un
ángulo formado sobre el eje de las X, que se aproxima
00
mucho al recto, y como esto haría que en la construcción
gráfica no se viese bien la separación de estos carburos, he
tomado un ángulo arbitrario, puesto que las relaciones de
posición no varían. He aquí su representación (véase el
cuadro).
Estudiando detenidamente la construcción, he podido de-
ducir que, por medio de esta tabla, basta saber que el calor
de combustión de un carburo contenido en ella para poder
obtener el de cualquiera otro.
En efecto; si dado el calor de combustión de un carburo,
queremos determinar el valor de otro que esté con relación
al primero más elevado respecto de la horizontal y á la dere-
cha, basta adicionar al calor de combustión de dicho prime-
ro el valor de las líneas que hay que recorrer yendo por el
camino más próximo, hasta llegar al que queremos deter-
minar.
En caso contrario, es decir, cuando el que queremos de-
terminar está más bajo 6 á la izquierda, hay que restar del
calor de combustión del dado el de los valores de las líneas
que por el camino más corto se pasan hasta encontrar el
carburo propuesto.
Y, por último, con sólo saber el calor de combustión del
metano, carburo que sirve de base, basta con el intermedio
de esta tabla, para determinar el calor de combustión de to-
dos los demás carburos acíclicos.
157
CES
A Une carburos del mismo número de átomos de carbono.
Base.— Calor de combustión del metano CH, = 212.
CEA ed
AL h
EN er
dd
.s PE
e
bd
Ga
XXX -—El astigmatismo de los resaltos cóncavos es-
féricos.
Por P. CARRASCO.
El empleo creciente de los resaltos cóncavos y la impor-
tancia capital de su astigmatismo, ya por las ventajas que
supone en ciertos casos el producir un punto luminoso una
imagen lineal, ó bien por la necesidad de corregir esta cir-
cunstancia, cuando se necesita obtener el espectro corres-
pondiente á cada punto de una imagen definida que sirve
de foco, nos ha inducido á publicar la presente nota, donde
tratamos el astigmatismo del resalto con la generalidad con-
veniente, para que su conocimiento pueda aplicarse á las
diversas monturas de espectrógrafos de este género (*).
Empecemos por recordar algunos conceptos tundamenta-
les, que son necesarios para el desarrollo de nuestro tema,
siguiendo en su exposición la teoría de Runge, expuesta por
Kayser (**).
Establecemos que el rayado del resalto se ha producido
mediante desplazamientos iguales de la punta del buril, de tal
modo que las líneas pueden considerarse determinadas por
la intersección del espejo cóncavo con una serie de planos
paralelos entre sí y al eje principal del espejo; á la distancia
constante entre dos planos consecutivos, ó intervalo del ra-
(+) Véase nuestra Memoria sobre el «Resalto cóncavo, su insta-
lación, etc.», presentada á la junta para estudios é investigaciones
científicas.
(Véase Handbuch der Spectroscopie, t. 1.
— 652 —
yado, la denominamos e, y trazo central al que pasa por el
eje principal del resalto. Cuando la diferencia de marcha en-
tre dos rayos que indicen en trazos consecutivos es una lon-
gitud de onda, la imagen es difractada de primer orden, y
del orden m cuando dicha diferencia vale md; por lo tanto,
la diferencia de marcha entre el rayo central y el que incide
en el enésimo trazo valdrá mny, si estos rayos concurren
á formar una imagen de emésimo orden.
Refiramos los elementos del problema á tres ejes coorde-
Figura 1.?
nados rectangulares, tomando por eje de las x el eje princi-
pal del espejo, el vértice por origen de coordenadas y por
plano de las xz el plano diametral que pasa por el trazo
central del rayado; el eje de las y será normal al trazado y
podemos expresar la posición de un trazo en función de la
coordenada y, pues evidentemente para el trazo emésimo
pelea
e
En la figura 1.?, Pes un punto luminoso, P” su imagen,
P O P'* el rayo central, y PO" P” un rayo cualquiera, que
incide en el trazo enésimo en un punto de coordenadas
x, y, 2; las coordenadas de P son a, b,c, y las de P*, a”, b'c;
— 653 —
designamos con í y rlas longitudes PO y P* O, y por i,
we las POS yAR: 0%.
Para que estos dos rayos formen imagen en P”, se ha de
verificar que
in + rIp=i+rmnih
Ó bien
n+ra=i rt y, (1]
Expresemos los caminos ópticos en función de las coor-
denadas de los puntos extremos, para lo que tenemos las
conocidas expresiones
(a —x)2 + (0 —y)? + (e —2)
O
que podemos escribir
[2 = 12 —2b y —2c 2-—2ax+x?+y?+2%? [2
E A A a A A SS
a]
(ES)
puesto que
PE MESES lA 20 AI Ss
Pero siendo el resalto esférico, y llamando p al radio de la
esfera, tendremos para ecuación de la superficie del resalto
2px =x? 4 y? 42?
y reemplazando el valor de x en la [2], resulta
in? =1?—2by-— 2cz2 + (1 pe e) 22 +
p p
a ( lA [4]
— 654 —
Desarrollando en serie esta expresión se obtiene
a O —
l l 2 p
....o
1 yace a p?
== by +cz)+ ES y — 3
A ) El —)y ap?
Ó bien, ordenando
b 1 a b
Ano dano area! e
Í DN 1?
b a b? A bc
=== ===>1 0 == ¿0000 == E =
AF le e =P = y
E 1 a C 1 a
=== 2 e == =====X= |22=k ... ==> === 5% =b .....
i sl p a da 2 3) 5
Análogamente obtendríamos el valor r, desarrollando
la [3], y el camino óptico vendría expresado por
in ra= ir (+ o
1 a b? 1 a! b'? | ;
ye AG UENES. gay ele Lodas ae
eu , a o E po
TEp a p2 b” an pa
¡EA rte 1
dll p Al p de Y
dia E )y a A +
f?
— 655 —
Este valor sustituido en la ecuación fundamental [1] nos da
ll 4 at Ls SEA o —0 [6]
Ahora bien; si esta ecuación se verificase para cualquier
valor de x, y, z, Ó lo que es lo mismo, para cualquiera que
sea el rayo incidente /, que se considere, todos los rayos
luminosos concurrirán á formar una imagen perfecta en el
punto P” y el sistema sería estigmático. Prácticamente el
sistema lo será, y la definición de la imagen se considerará
como buena, cuando los coeficientes del desarrollo [6] sean
nulos hasta aquellos términos cuyo valor no exceda á */, de
la longitud de onda de la radiación luminosa que se con-
sidere.
En la imposibilidad de anular simultáneamente todos los
coeficientes del desarrollo [6], vamos á dividir el problema
en dos partes, considerando en primer lugar la imagen for-
mada por todos los rayos situados en el plano de las x y, y
en segundo la acción de todos los rayos luminosos que in-
ciden en un mismo trazo, que para más sencillez escogere-
mos el trazo central. Esto equivale á estudiar la incidencia
en dos secciones meridianas del resalto normales entre sí.
Rev. ACaD. DE CiENCIAS. —X.—Febrero, 1912. 43
Ms
Para establecer la posición de las imágenes espectrales de
los diversos órdenes, es clásico el considerar tan sólo una
sección normal al rayado del resalto, buscando la imagen
que definen los rayos luminosos situados en el plano de las
x y. En este caso z=0, y tomando el punto luminoso en el
mismo plano x y, también c=0 y la ecuación [6], se es-
cribirá
Sal a p? 1 0% b”?
a | o o a qn ab
nl 0 tl p do
il a 1 a
== 11 === = ye
[al il o) y 0
Como buscamos la posición de la imagen con una preci-
sión prácticamente aceptable, limitemos esta expresión en
los términos de segundo orden; y teniendo en cuenta que
x es de segundo orden respecto á y, ó bien el término x? es
de cuarto orden, se obtendrá
21 p 1? 2r p 0
Esta ecuación exige para que todos los rayos concurran
en P”, esto es, para ser independiente del valor de y, que
los coeficientes sean nulos. Tenemos, pues, las ecuaciones
de condición
D D' mh
a [8]
l Íñ e
ea a q en [9]
¡Fe Q f
— 657 —
que nos permiten calcular la posición de la imagen, puesto
que nos determinan las coordenadas a” b' de la imagen en
función de las del toco a b y del radio del resalto p. Las dis,
tancias i y r las eliminaríamos mediante las relaciones
2n=apb y ir2=a*? + b?.
que hemos utilizado al escribir la [9].
Figura 2.2
Pasando á coordenadas polares, para lo que basta obse1-
var en la figura 2.* que
U=ECOS Y b =isenq
COSA b' = rsen 9
tendremos para la [8]
»,
sen y + sen 0= 22 [10]
Esta fórmula nos permite determinar la dirección del rayo
difractado, y coincide con la tan conocida de los resaltos
planos. Es la que se utiliza para fijar la dirección en que ha
— 658 —
de situarse el micrómetro ocular ó la placa fotográfica de un
espectrógrafo
La segunda ecuación [9] se convierte, hechas las sustitu-
ciones de a y a”, en
, y 7)
cos Eo Ss dl ges 5 111]
¿ í r p
que nos da, despejando r, la conocida expresión de Rowland,
p ¿cos?
== RI 112
¡(cos Ó + cos 4) — p cos? y
valor de la distancia á que se forma la imagen.
Conocidos ya los elementos que fijan la posición de la
imagen formada por los rayos situados en el plano xy, el
problema para éstos estará resuelto si la influencia de los
términos despreciados en el desarrollo de ¿, ++, no produ-
cen aberraciones que dañen la buena definición de la ima-
gen. Punto es este que no discutiremos en la presente nota;
en cambio, necesitamos recordar que la segunda ecuación de
condición [9] puede satisfacerse mediante una sencilla dis-
posición experimental: consiste ésta en situar la rendija del
espectrógrafo sobre una circunferencia de radio p/., en cuyo
caso tendríamos
esto es, que la imagen se forma sobre la misma circunfe-
rencia (*). Además, vemos que m y 4, sólo influyen en la
(*) En la ecuación [11] tendríamos de igual modo ¡* == pg Cos o,
= Cos 0.
— 659 —
dirección del rayo [8]; pero no en el radio de la circunfe-
rencia donde se forma la imagen, por lo que esta disposi-
ción permite obtener simultáneamente los espectros de di-
versos órdenes enfocados sobre la misma circunferencia.
De aquí se deduce la instalación general de un espectró-
grafo de resalto cóncavo: Se coloca el resalto tangente á un
circulo de radio g/,, siendo por lo tanto su eje principal diá-
metro de dicha circunferencia y de modo que el rayado sea
normal al plano del círculo; sobre un punto de ésta se sitúa
la rendija y el ocular describe esta misma circunferencia,
permitiendo observar cualquier línea de un espectro cual-
quiera. Si en vez de ocular se emplea placa fotográfica, con-
viene dar á ésta una curvatura de radio p/,, con lo que se con-
sigue enfocar simultáneamente toda la placa.
Pero en la práctica para instalar un resalto, deben buscarse
aquellas disposiciones particulares que, por los valores de
vw y % escogidos, permitan conseguir mayor número de ven-
tajas en cuanto se refiere á la definición de la imagen, dis-
persión del espectro, facilidad en la identificación y medida
de líneas é incluso mayores facilidades mecánicas y materia-
les de la construcción.
-Citaremos tres disposiciones pera las cuales hemos de
calcular el astigmatismo: la clásica de Rowland, que sitúa el
ocular Ó la placa fotográfica en el extremo del eje principal
del resalto, y corresponde al caso teórico 4=0; la que sitúa
la rendija en dicho punto, + = 0; y la montura en autocoli-
mación (*) para la que (=q.
*
* E
Estudiada ya la imagen que define un haz plano de rayos
normal al rayado, vamos ahora á considerar los rayos que
(*) Véase Fagle. On a new mountig for a concave grating. Astroph.
J. V. XXXL pág. 120.
— 660 —
caen sobre un mismo trazo, Ó rayos situados en un plano
normal al xy. Tomemos para más sencillez el trazo central,
lo que equivale á tomar para los puntos del resalto las dos
únicas variables xz, puesto que para todos los puntos de in-
cidencia de los diversos rayos y = 0.
No existiendo fenómeno de difracción entre ellos, puesto *
que todos concurren á la formación de la misma imagen, los
caminos han de ser idénticos, esto es,
ln E fn=1 +1 [13]
y como en este caso y = 0, la expresión general del camino
óptico [5] será |
A
e
valor que exige para que se verifique la [13] que
1 a 1 a
AS pa A 20... =0.
al il -)| .
Limitándonos á los términos de segundo orden, puesto
que x? es de cuarto orden respecto á z, obtenemos la ecua-
ción de condición
— 661 -
que habiendo de verificarse para todos los rayos ha de ser
independiente de z, y, por lo tanto,
Estas ecuaciones nos permiten determinar las coordena-
dos c' y a” de la imagen. La coordenada b, ó bien en pola-
res el ángulo con el eje de las x en el plano x y, se conoce
al suponer que estos rayos concurren á la formación de la
imagen directa ó de la difractada de un orden dado [10].
En cuanto al significado geométrico de las dos emanacio-
nes [15] y [16], si w es el ángulo que forma el rayo central
- incidente con el plano de las x y, y w” el que forma el rayo
r, podemos escribir la [15]
sen w + sénw =0
ecuación que nos determina w”; y la [16] nos dice que am-
bos puntos, foco é imagen, se encuentran sobre la misma su-
perficie
dea ade
¡2 $e:
en cuyo caso se satisfará la [16).
Pero al instalar un espectrógrafo se impone á la rendija
la condición de estar situada sobre una circunferencia de ra-
dio p/,, de modo que el punto central de dicha rendija ha de
safisfacer á las ecuaciones
C=0 y A=rFrc0spQ=pCcos? e;
-- 662 —
luego para el punto central de la rendija como foco, la ima-
gen vendrá determinada por las [15] y [16], que en este caso
se reducen á
(A
i re
la primera nos dice que el punto imagen se encuentra sobre
el plano x y, y la [17] nos determina su distancia r al resalto
ó su coordenada 0”.
Podemos, en efecto, escribir la [17]
re sento + ig —ia'=0
y como
i¡=p9c089 y A=rcC0s0.
tendremos
r sen? p + p COS p = rCOs y Cos 9,
de donde
ico pair dd de COS ia de tl p [18]
cos py cos Ó — sen? y cos U — sen y tg y
ó bien
a = E e eta EnSj [19]
cos 0 —sen tg o”
Comparando la fórmula [18] que nos determina la distan-
cia á que se forma la imagen con la obtenida para los rayos
del plano xy, r =p cos %, vemos que ambas expresiones son
distintas, y, por lo tanto, el sistema es astigmático.
La figura adjunta nos da una representación gráfica del
fenómeno: el punto P” es la imagen de P formada por el haz
plano de rayos luminosos normal al rayado, y P, la imagen
> dm =
que forman los rayos del haz POO, que inciden en el trazo
OO,. El astigmatismo quedará determinado cuando conoz-
camos P”P,, y la longitud de las focales P” K” y P, K,; pero
- evidentemente por la [18]
PP OA) OP ASE E OP
cos 4 — sen y tg o
y como oP* =p cos U, por estar P” sobre la circunferencia
de radio p/, tendremos
2 = —— > pros =
cos 9 —senvtg y
_ pcos 6 (sen 0 tg 6 + sen y tg y)
cos Ú — sen y tg y
expresión general de la distancia entre ambas imágenes y
medida, por lo tanto, del astigmatismo del sistema. General-
Figura 3.*?
mente, es de mayor interés el conocimiento de las dimensio-
nes de la focal P'K”, que nos da la línea espectral sobre la
placa fotográfica colocada en P”; estas dimensiones, adopta-
das como medida del astigmatismo, se deducen inmediata-
mente de la expresión anterior, pues, como se ve en la figura
PE
COPs. OE
— 664 —
y sustituyendo valores
P" K'" = OO, cos 0 (sen 0 tg 0 — sen e tg y),
esto es, que las líneas espectrales producidas por un punto
P en un resalto cuyo rayado tiene la longitud / valen
[cos 60 (sen 0 tg 9 + sen y tg q). [20]
Aplicando esta fórmula á diversas formas particulares de
monturas espectrográficas tendremos que: si la rendija está
en el extremo del eje =0 y el astigmatismo valdrá
[cos 0 sen 0 tg 0 = [ sen? O; [21]
en la disposición clásica de Rowland, 6 =0, y tendremos
para dicho valor
[sen y tg q; [22]
y en la montura en autocolimación y = 0, y el astigmatis-
mo es
2 1 cos e sen y tg 9 =2 1 sen? y [23]
Para comparar entre sí estos valores expresémoslos en
función de A y el orden del espectro. Tenemos para la [21]
siendo m n h =sen 0
l m? n? 12
y análogamente para la [22]
III UE
V1 — m2n22"
así como para el caso de autocolimación, siendo mnh =
2 sen y
nada
2
— 665 --
Estas expresiones nos dicen que el astigmatismo tiene
menor valor en la última disposición, siendo mayor que en
las otras dos, en la forma clásica de Rowland, puesto que
Y1—mn202<1
A continuación damos un cuadro comparativo de los va-
lores del astigmatismo en cada uno de los tres casos estu-
diados.
Valores del astigmatismo
(.= 5.000 A)
MONTURA b=o g=o0 7 ()
1
RESALTO [1 =15 000|n = 20.000|1 = 15.000/1 = 20 000[n = 15 000|r1 = 20.000
m=1.er orden] 0.091 / 0.169 1 0.087 l 0.155 / 0.044 / 0.078 L
A WE 1.006 0.349 0.620 0.174 0.310
A ON » 0.785 » 0.392 0.698
¡DE » : > O 698 1.240
SÓ > > > > 1.090 1.938
_Agqígzqgszgzgszsssssssssss ASS
Este astigmatismo, debido á los rayos situados fuera del
plano de las xy, puede anularse mediante una colocación
adecuada del foco; todo se reduce á situar la placa fotográfica
en el punto P, tomado antes como foco, y colocada la ren-
dija en P” no enfocar sobre ella el foco luminoso, sino for-
mar una imagen de él delante de la rendija en P,, esto es,
á la distancia P, P” antes calculada.
Apliquemos las fórmulas obtenidas á cada una de las ins-
talaciones indicadas.
— 666 —
Si fuera q = 0, tendrímos [19] y [18]
19)
4 D
ap r= :
cos 0”
luego el foco conjugado del extremo P del eje principal se
forma (tig. 4.*) en el punto de encuentro P, de la normal
P, Pal extremo del radio con el rayo luminoso r= O P”.
Luego podemos anular el astigmatismo, colocando en P la
Figura 4.2
placa fotográfica y enfocando la imagen cuyo espectro que-
remos obtener delante de la rendija, á una distancia
p
A — p cos 0 = e sen 0 tg 0
cos Ó
Esta disposición es la aconsejada por Sirks (*), clásica ya
en estos trabajos.
Si en vez de y = 0 suponemos 6 = 0, tendremos
O —Ó 2
—I—senotgo
(+) Por distinto procedimiento estudia el astigmatismo y deduce
esta fórmula en el t. XIII As. ef Astrovh., póg. 967.
— 6u7 —
esto es, que el punto luminoso situado en la circunferencia
á un ángulo «y del eje del resalto, formaría su imagen estig-
mática sobre dicho eje en un punto situado á la distancia r,
y, por lo tanto, se corregirá el astigmatismo, situada la ren-
dija en el extremo del diámetro eje del resalto, enfocando la
imagen que sirve de foco delante de ella á una distancia de
la misma
p _ psenotge
1I—senetgp . 1—sengtgo
Esta distancia es mayor que en la anterior disposición,
por lo que es preferible, para corregir el estigmatismo, Si-
tuar la placa en el extremo del diámetro.
Examinando el caso de montura en autocolimación, ve-
mos que, siendo q =0
pd e po p COS y
cos p — sen q tg o cos? p —sen? y
y para corregir el astigmatismo, el foco se habría de situar
á una distancia de la rendija
p Cos Y 2psentocosg
d === — p cos q =
cos? y —sen? y 1 — 2sen? y
Comparando el resultado obtenido en la montura de Row-
land con éste, vemos que la corrección experimental del as-
tigmatismo no es tan práctica en el caso de autocolimación,
pues el valor de d aumenta rápidamente con e, y, por lo tan-
to, con el orden del espectro, siendo teóricamente (**)
1= +2 De = 0
(+) Eagle, loc. cit.
Soon 2 sen v Cos 6
(**) Podemos escribir, d =p sen y : :
1—2sen*o
=p sen ytg 2.
— 668 —
El valor del astigmatismo podemos también deducirlo di-
rectamente de la expresión del camino óptico
o a
l TA
1 a E? 1 a E%
—|1 — —-— — — [1 ——-— —l22
lll p ol p El
determinando la coordenada c” sobre la placa fotográfica,
situada según hemos convenido en la circunferencia de ra-
dio ye Esto nos permite tratar con más generalidad el pro-
blema, aplicándolo al caso de rendija finita.
Puesto que hemos visto que la imagen es astigmática,
busquemos sobre dicha circunferencia la imagen que pro-
duce un pincel luminoso infinitamente estrecho correspon-
diente á un punto de incidencia de coordenada z. Esto equi-
vale á buscar la intersección del rayo ¿, +r,, que incide
en z, con el infinitamente próximo.
Pero la variación del camino óptico al pasar al rayo inme-
diato podemos expresarla, diferenciando dicho camino, por
A
1 ( a (2 1 a cs
NE AO E A
Pa DAA e el o al
y para que estos dos rayos del pincel formen imagen, han
de ser concordantes, esto es, que la variación del camino
óptico ha de ser nula, luego
Ó bien
1 (b? a 1 E TO 1
— | — — =— —|— +4 (—-—— 2=0
es p rl Ga p )]
y como buscamos la imagen sobre la placa situada en el
círculo de diámetro p, ap =1? y A p = r?, y, por lo tanto,
E —)a=0
[? 13
/
ó en coordenadas polares
b 2 2
E AS Cc _ (sente de sen? 0 ) 3
p COS y pcos 0 o COS Y 9cCosÓ,
Ó bien
: 2 2 f
C HE 0 sen lar C [24]
cos Ó cos cos 6 CO3 Y
Esta ecuación nos da la coordenada c' de la imagen en
función de la longitud del rayado y de la coordenada c de la
rendija, puesto que se deduce inmediatamente de la [24]
c” =ZC0s 6 (sen y tg y + sen 0 tg 0) — c gos. [25]
cos
Si se trata del punto medio de la rendija c' =0, y, por
consiguiente, al astigmatismo en un resalto cuyo rayado tie-
ne la longitud /, valdrá
[cos 9 (sen y tg y + sen 0 tg 9)
— 670 —
que es la misma expresión anteriormente obtenida, por lo
que no hemos de repetir su discusión.
La fórmula [25] nos resuelve el problema general, pues si
la rendija tiene dimensiones finitas, basta determinar los va-
lores de c” correspondientes á los extremos de la rendija.
Llamando h á la longitud de ésta, tendremos c = += y
la longitud total de la imagen será
cos 9 (sen y tg e + sen 0 tg 0) + h [26]
cos 9
_
La longitud de la rendija aumenta la luminosidad de la
imagen, pero no se produce efecto alguno, sino aumentar
inútilmente la longitud de la imagen cuando la longitud de
la rendija alcanza cierto límite. En el caso general este valor -
límite se deduce de la igualdad
cos 6
h —— = Icos 9 (sen y tg e + sen 0 tg 0)
cos y
que da
h = cos e (sen y tg y + sen 6 tg 0)
puesto que este valor de A duplica las dimensiones de la
imagen y para valores superiores no se consigue Superposi-
ción mayor de rayos, ni aumento en la luminosidad.
En los casos particulares que hemos estudiado, ten-
dremos:
Si o =0, la longitud total de la imagen es
[sen?0 + h cos 0.
Si 06 =0, esto es, en la disposición de Rowland se obten-
drá para dicha longitud
[sen +tx 9 +
COS Y
— 611 —
y el valor límite de la altura de la rendija es
JS EN
En el caso de autocolimación +=", y se obtiene
2 sen? y + h
con el valor límite
M2 seno
Observatorio Astronómico, Abril, 1912.
Rev. AcAD. DE Ciencias.—X.—Febrero, 1912.
— 672 —
XXXI.—Mirmeleónido (Ins. Neur.) nuevo de
Canarias
POR EL R. P. LONGINOS NaAvás, S. J.
La especie que voy á describir como nueva, ya era cono-
cida hacía muchos años de Canarias, pero con nombre
equivocado, por habérsela confundido con otra, por lo que,
siendo en realidad distinta, precisa darla á conocer con nom-
bre distinto.
Myrmeleon Cabreray sp. nov.
Similis cinereo Klug.
Caput fronte testaceo-pallida, puncto ad medium clypei
et duobus ad labrum fuscis; palpis flavis, labialibus articulo
ultimo crasso, fusco, nitente; fronte fusca; vertice et occipite
testaceis, fusco maculatis; oculis globosis, fuscis; antennis
thorace brevioribus, primo articulo flavo, clava dilatata, fu-
sco-rufa.
Thorax fuscus, marginibus flavidis. Prothorax paulo la-
tior quam longior, breviter pilosus antrorsum leviter angu-
status.
Abdomen fuscum, griseo-pilosum.
Pedes flavidi, femoribus anterioribus et posterioribus in
medio apicali, intermediis linea dorsali, fuscis; tibiis ante-
rioribus fuscatis, posterioribus linea inferna fusca; calcaribus
rectis, testaceis, primo tarsorum articulo brevioribus; farsis
pallidis, apice articulorum fusco.
Ale hyaline, reticulatione subtota fusca, stigmate flave-
scente, parum sensibili.
Ala anterior venis subcosta, radio, procubito et cubito fla-
vido interruptis; area radiali 9-11 venulis internis; sectore
10 ramis.
Ala posterior subtota flavescente, fusco ad venulas in-
terrupta, radio fusco et flavido vario; sex venulis radialibus
ante sectorem; sectore 9 ramis.
Long. corp. 2 1.
— al. anter. 24 —
— — poster. 22 —
Patria. Tenerife. Varios ejemplares cogidos por D. Ana-
tael Cabrera, á quien dedico la especie. Los tipos existen en
mi colección.
Debe de estar en toda la isla de Tenerife Ó acaso en las
demás Canarias, pues lo tengo de Candelaria (26 Octubre
1904), El Médano (4 Septiembre 1910), etc.
La sinonimia podrá establecerse asi:
Myrmeleon Cabreraí Nav.
— distinguendus (= cinereus Klug) Mac Lachl.
nec Ramb.
OBSERVACIÓN. Esta especie se ha citado siempre con el
nombre de Myrmeleon distinguendus Ramb.
Mac Lachlan (Linnean Journ. Zool. 1882, p. 167) lo citó
con este nombre y dió le descripción extensa de la especie
á la vista de ejemplares que presumió de Portugal. La espe-
cie de nuestra península es ciertamente el distinguendus de
Rambur, sinónimo del más antiguo cinereus Klug.
Siguiendo á tan gran maestro mencioné el M. distinguen-
dus con este mismo nombre 'en mi Catálogo descriptivo de
los Neurópteros de las islas Canarias (REVISTA DE LA REAL
ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES, de
Madrid, Junio 1906), por más que veía alguna diferencia
entre los ejemplares de Canarias y los de la península, que
poseo en abundancia.
— 674 —
El envío de nuevos ejemplares me ha hecho revisar la es-
pecie y producidome la convicción de que ambas formas.
eran especificamente distintas.
Como por otra parte el Myrmeleon distinguendus Ramb.,
especie de la región mediterránea, ha de identificarse con el
M. cinereus Klug., he cotejado los ejemplares de nuestra
península con otro de Egipto y con la descripción y figura
perfectas de Klug, y no me cabe duda de su identidad es-
pecífica.
Empero la nueva especie de Canarias no puede identifi-
carse con el cinereus Klug. Difiere manifiestamente por la
forma del protórax estrechado por delante, y por el color
en todo más obscuro. Los segmentos del abdomen no están
anillados de amarillo, Ó apenas, y las alas, muy pálidas Ó
amarillentas en el cínereus, apenas tienen más que trazos
amarillentos en algunas venas en la nueva especie.
Tampoco puede identificarse con el M. hyalinus Oliv. de
Arabia, más pequeño.
Al obscurus Ramb. también se parece algo. Esta especie,
de área muy extensa en el contiente africano, está muy mar-
cada de leonado en abdomen y alas.
Zaragoza, Febrero, 1912.
x
INDICE
DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO
PÁGS.
XXVI. —Conferencias sobre Física matemática. Teorias di-
versas, por José Echegaray. Conferencia séptima. 575
XXVII. —La asimetría de los tripletes de Zeeman, por Ma-
nuel Martínez-Risco y Macias. (continuación) .... 600
XXVIII. — Apuntes sobre Mecánica social, por Antonio Por-
tuondo y Barceló (continuación) AI TS A 619
XXIX.— Relaciones entre la fórmula estereoquímica de los
<«Carburos acíclicos» y su calor de combustión,
por Ruperto Lobo Gómez.......... a a 641:
XXX. —El astigmatismo de los resaltos cóncavóg esféricos,
PArR: COPTASCO: a AS A
XXXI. —Mirmeleónido (Ins. Neur.) nuevo de Canarias, por
EUR :PrLomnoinos Navas, O. noc oa 672
La subscripción á esta RuvisTa se hace por tomos completos,
de 500 4 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val-
verde, núm. 26, Madrid.
Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas.
ADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES.
“MADRID
nl
"TOMO X.-NUÚM. Y.
Marzo de 1912.
| MADRID
ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL
- QALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8.
1912 -
ADVERTENCIA
Los originales para la Revista de la Academia
se han de entregar completos, en la Secretaria de
la Corporación, antes del día 20 de cada mes,
pues de otro modo quedará su publicación para
el mes siguiente. ;
2 ro
XXXI. — Conferencias sobre Fisica Matemática.
Teorias diversas.
POR JosÉ ECHEGARAY.
Conferencia octava.
SEÑORES:
Demostramos en la conferencia anterior la existencia,
como funciones determinadas y finitas para un punto P, cu-
yas coordenadas representábamos por x, y, z, de las com-
ponentes de la atracción X, Y, Z, de una masa continua de
materia ponderable, colocando en dicho punto, desde luego,
una masa igual á 1, cuando las atracciones elementales obe-
decían á la ley newtoniana. Es decir, á la relación = , Sien-
do r la distancia de cada elemento de la masa al punto en
cuestión P: y demostrábamos esta proposición, cuando el
punto P era interior á la masa.
Pero como ya lo habíamos demostrado para los puntos
exteriores, resulta que toda masa continua ó todo sistema
de masas continuas ejercen atracciones perfectamente deter-
minadas sobre cualquier punto del espacio interior ó exte-
rior á dichas masas. Estas atracciones son, pues, funciones
determinadas y finitas de las coordenadas del punto; no hay
que temer ni discontinuidades (como luego veremos), ni
indeterminaciones, ni valores infinitos.
Antes al contrario, para puntos situados en el infinito los
valores de X, Y, Z son nulos, porque en el denominador, r
es igual al infinito y la expresión es cero.
Es inútil repetir, que todas las proposiciones que demos-
tramos son generales, no sólo para masas ponderables, sino
Rev. Aca. DÉ Cirncias.—X.— Marzu, 1912. 45
O
para masas magnéticas ó eléctricas, que pueden ser ya po-
sitivas, ya negativas.
Pusimos en evidencia, asimismo, que U era también una
función finita y determinada para todo el espacio, es decir,
para puntos interiores Ó exteriores de las masas continuas,
y demostramos, por último, y esto era importantísimo, que
dicha expresión
a podr
VS
era una potencial también para todo el espacio. En cualquier
punto de éste, diferenciándola con relación á x, y, z obte-
níamos las tres derivadas de U, que multiplicadas por f,
daban las tres componentes de la atracción scbre la masa 1:
A
dx dy dz
Aunque aparentemente U tomaba la forma infinita, y dife-
renciando bajo el signo integral esta apariencia de valor infi-
nito continuaba, la apariencia no era realidad; pues no sólo U
era finita y determinada en todo el espacio, sino que lo eran
sus tres primeras derivadas, como que expresan, salvo el
factor f, las tres componentes X, Y, Z de la atracción, que
son finitas y determinadas, según tantas veces hemos dicho.
Y esto nos puede hacer comprender la importancia de la
función pote cial U para el problema de las atracciones, sin
perjuicio de su importancia propia, que aún es mayor.
Pero es importante en la teoría de las atracciones, porque
en vez de buscar tres funciones X, Y, Z no hay que buscar
más que una, U; y tres diferenciaciones nos dan las otras
tres incógnitas X, Y, Z.
Aquí llegábamos al terminar la conferencia precedente.
ES
ES
— 617 —
Y planteábamos un nuevo problema.
Que la función potencial U (x, y, 2) tiene tres primeras
derivadas es evidente, porque estas derivadas son precisa-
mente los valores de X, Y, Z, cuya existencia hemos de-
mostrado. Pero se plantea, como acabamos de indicar, un
nuevo problema: ¿La función potencial U tiene segundas de-
rivadas? ¿Existen con valores finitos y determinados
que son tres derivadas segundas fundamentales?
Parece, á primera vista, que el problema es sencillo; no
hay más que diferenciar de nuevo la función U,
Hemos obtenido las derivadas primeras, que hemos visto,
que, salvo el factor f, son iguales á X, Y, Z; pues de
dU du dU
A e
dx dy dz
se deducen
E O E CON
dx yA dy Í dz or IO
y no habrá más que diferenciar estas últimas, con relación á
Xx, y, z, y tendremos
ll cc ae ul
1
dx? Jobndas indy? ue da zamod 14 adas
De manera, que si conociésemos X, Y, Z en forma finita,
no habría más que diferenciar estas expresiones con relación
á las variables del punto P, que son x, y, z.
— 618 —
Pero tratando el problema en general, X, Y, Z vienen ex-
presadas por tres integrales:
y se nos presenta el problema de siempre. Para diferenciar
estas expresiones, sin obtenerlas bajo forma en que haya
«0
y
N
y
3%
e. >. ao
WN
] 7
/ 14
Y
berono orden rue
/
Figura 22
desaparecido la integración, y aun en el caso particular de
que los límites son constantes, hay que ver si es legítima la
diferenciación bajo el signo integral, lo cual no ofrece duda,
como ya hemos visto en otra conferencia, cuando el punto P
es exterior á la masa atrayente. Porque si V (fig. 22) es el
volumen que contiene la masa ponderable continua, y P es
el punto de que se trata, sea cual fuere el punto M á que se
refiere el elemento d m, las coordenadas x, y, z del punto P
— 679 —
siempre serán distintas de las coordenadas a, b, c del punto
M, por ser aquel exterior y estar M dentro de V.
Nunca podrán ser o á la vez los binomios
x= y—0b, 2—C;
luego tampoco podrá ser o para ningún punto M, es decir,
para ningún elemento de V, y, por lo tanto, para ningún ele-
mento de las integrales, la distancia P M= r, que entra en
el denominador de la integral; así, pues, ningún elemen-
to de la integral podrá ser infinito. Además, las x, y, z no
entran ni en p (a, b,c) ni en dz.
Resulta, pues, que la diferenciación bajo el signo integral
2
de U será legítima, y para obtener, por ejemplo, -
5 bastará
: z o . dU : E
diferenciar, con relación á x, la derivada E que es igual á
De
1
— XA. Es decir, bastará diferenciar X.
f
. , , Ea UNA OS Ol
Lo mismo podríamos decir respecto á y ,
dy? d?z
Tendremos, pues,
IA
dee a
es decir:
a— Xx
A AN
dx dx
Ó bien
— 680 —
qe
f3
No queda, pues, más que obtener en que r nunca
puede ser o, y tendremos
q ri=(a=x)-. 312 = si
FEO 0: dx
Md oi pi Ññ
A e E o id,
2
= ima ,
de donde simplificando,
is
E AN A ES (O
AS pS m3 1? 13”
0]
pa)
y hallaremos ii
x2
a
in No
y asimismo
+ UI
ze A
Estos tres valores son determinados y finitos, porque r
nunca puede ser igual á o, y por otra parte p es finita en to-
dos los elementos de la integral.
Luego en el caso en que el punto es exterior, existen los
tres coeficientes diferenciales de segundo orden, con rela-
ción á x, y, z, que hemos expresado.
— 681 —
Precisamente por esta razón podíamos sumar las tres ex-
presiones anteriores y teníamos
en a
a ADE IIA
oo y) Ja (ES AN ¿Des
13
y? 15
ó bien
a al aun — 3 ad
dx? le mies
Y como para todos los elementos de la integral el factor
E 1 1
== 3—=0
15 1? 13 f3
es idénticamente nulo, nulo es también el primer miembro
y se verificaba para la potencial U la relación
al) aanOn ON
dx? dy? dz?
Por eso afirmamos que para el espacio exterior á las ma-
sas continuas la potencial U era una función de x, y, z que
satistacía á la ecuación de Laplace.
e
Pero el razonamiento que precede, que es legítimo cuan-
do el punto P es exterior á la masa atrayente comprendida
en V de la figura 22, ya no es legítimo cuando el punto P
es interior á la masa que atrae, como en la figura 23; por-
que habrá infinitos puntos alrededor de P, como el M, infini-
tamente próximos á P; y á medida que consideremos pun-
tos más próximos á este último, los M tenderán á P, las dis-
tancias r tenderán á o, tendiendo a, b,cáx, y, z, y la inte-
gral triple dejará de tener un sentido claro y perfecto, y bien
— 682 —
determinado por el valor infinito del elemento que corres-
ponde ár=0. |
La expresión que antes hemos obtenido
= RÁ RáKR 007
a Jv TE a]
y lo mismo las
d?U AO!
doce A dy?
carecerán de sentido y no podremos emplearlas para demos-
trar ningún problema; ni nos demuestran tampoco que la
Z
Figura 23
potencial U, en el caso del punto interior, tenga segundas
derivadas.
Los términos
En EU SA
5
y? 1? 13 1?
. 0
para r= 0 se convierten en — y en — oo.
(0)
— 683 —
Y que esta forma no es solamente aparente, sino que cons-
tituye caso de excepción para las tres derivadas segundas,
se demuestra substituyendo á las coordenadas x, y, z las
coordenadas polares que ya hemos obtenido y por las que
Xx, y, z se expresan de este modo:
a—x=rsin0cos y
b—y =rsin Ú sin y
C = 2 = FCOs0
di=r*drsin0d0 de.
Consideremos, por ejemplo, - El ; y lo que de esta deri-
x?
vada digamos podríamos decir de las otras dos.
2
Substituyendo en el anterior valor de gen obtenido por
,
2
DS
la diferenciación bajo el signo integral de —. los valores de
a— x y d7 tendremos
2 2 2 2
yal = A e LA sen 9dr d0 de
alos y ie pá
Ó bien
2 2 PES
d =$ ff 3 sen? 0 cos? 4 — 1 ore dide
dx? V ÍF
y como
3 sen? 0 cost — 1
Ñ
para r=0
es infinito, toda vez que el numerador no es igual á o cons-
tantemente y, por lo tanto, no cabe la indeterminación, resul-
ta, como decíamos, que no es aplicable á este caso la dife-
renciación bajo el signo integral.
Tampoco, por otra parte, podemos afirmar todavía que
no exista dicho coeficiente diferencial. Lo único que pode-
— 684 —
mos asegurar es, que no puede ponerse bajo la forma ante-
rior en el caso en que el punto P esté en el interior de la
masa continua.
Para desvanecer la duda y salvar la dificultad se ha acu-
dido, en el método que vamos á exponer, á un artificio su-
mamente ingenioso; pero no de aquellos que de antemano
ocurren y que están indicados, por decirlo de este modo,
por la naturaleza del problema.
Para hallar el segundo coeficiente diferencial, si existe,
hemos visto que hay que diferenciar con relación á x, si por
Y) E
, la primera
ejemplo se trata de la segunda derivada E >
x
: : A
derivada cuyo valor es 7 ó si se quiere, dado el va-
lor general que hemos obtenido para X,
A
Esta es la integral, pues, que debemos diferenciar.
Pero antes observemos, y aquí está el artificio, que
pe AE
porque en efecto
r)_ Vla—=*p by + (02)
CACAO da 3
AP ROA Y a)
d 20
q
O o
— 685 —
ó bien
E)
AN —
MANE RE r5
de donde
d(—)
ad — X F
ARA a
» El segundo miembro no es más que una forma algebráica
del primero.
Luego el factor que está bajo el signo integral podrá po-
nerse en esta forma:
Agregando y restando al segundo miembro 5 e que
Aaa
tiene un sentido perfecto, puesto que la densidad p es, como
su derivada, función continua de a, b, c, tendremos:
Le id lo dl
alnaol af ad ande 1ilos des
E a dla mus r da
Pero los dos primeros términos son evidentemente la dife-
l p
encia con relaciónta a dela producto 1
r r
luego
dit
038 r de
A aa
y sustituyendo este valor en la integral triple, resultará
O AAA
— 686 —
y fijémonos en la primera integral triple, prescindiendo del
signo, es decir, en
rica
en la que hemos puesto en vez de dz su valor da db dc.
Esta es una integral de volumen, puesto que se refiere al
volumen V, y vemos desde luego, que puede transformarse
en una integral de superficie, aplicando el teorema de Green
que explicamos en el curso anterior.
Establecimos, en efecto, en el curso de 1909 á 1910, pá-
gina 103, la siguiente fórmula:
ISS
En aquella ocasión las variables de un punto cualquiera
del interior del volumen, las representábamos por x, y, z
En el caso actual las hemos representado por a, b, c; para
evitar toda confusión, volvamos á escribir la fórmula prece-
dente con este cambio de notaciones.
dE Ñ
A o
= f [6-4 094 Has
S
Explicábamos minuciosamente, que esta fórmula de Green,
era tan sólo una fórmula de fransftormación, que por la for-
ma que suponiíamos para el primer miembro, podía efectuar-
se una primera integración para cada término, convirtiendo
de este modo la integral de volumen en integral de superfi-
cie, y transformando el primer miembro en el segundo.
— 687 —
En este segundo miembro <, $, y, representan los cosenos
de los ángulos, que forma con los ejes en un punto cualquiera
de s la normal exterior en dicho punto á la superficie; así
como do representa el área infinitamente pequeña de super-
ficie, correspondiente á este mismo punto.
Tal es la fórmula que vamos á aplicar á la integral de vo-
risa
cuya forma es precisamente la del primer miembro de la
fórmula de Green, que acabamos de escribir.
Entra en ésta, la derivada con relación á a de una fun-
ción — que es función de a, b, c porque lo son el nume-
r
rador y el denominador. Verdad es que no entran las deriva-
das con relación á b, c; pero esto, lo que prueba es que se
trata de un caso particular de dicha fórmula de Green.
Si en la fórmula general hacemos G= 0, H =0 se re-
duce á
ora Edadode= [| Fo, ds
cuyo primer miembro coincide con el de nuestro caso, ha-
ciendo
1 ae: SNA No e o =P (0, b, C):
ro YVía=x2+(0—y? +(c—2)
las x, y, 2 son aquí como parámetros respecto á la integra-
ción.
En suma, la aplicación de la fórmula de Green á la inte-
gral que consideramos, daría
1)
ES 7] drdbac= | | Lado (A)
— 688 —
Y sin embargo, esta aplicación directa de la fórmula de
Green no es legitima.
Porque al demostrar la fórmula en cuestión, suponíamos
que todas las transformaciones empleadas podían emplear-
se, y suponiamos, por lo tanto, que FF, G, A eran funciones
finitas, continuas y bien determinadas; y esto no sucede en
el caso actual, porque F, que esa toma el valor infinito
fi
e
A A A AA
EE
(9)
=
E (9
==
SS
a ia
4
Figura 24
cuando el punto (a, b, c) coincide con el x, y, z, puesto que r
se reduce á 0, y L 40.
r
Para aplicar la fórmula de Green á este caso, hay que acudir
á un artificio que es sencillo y natural, y que á cualquiera le
ocurre, á saber: aislar la dificultad, por decirlo de este modo.
Es un artificio que hemos usado muchas veces, y que se-
guiremos usando en adelante.
Puesto que el caso de excepción reside en el punto P
(tig. 24) rodeemos este punto de una estera infinitamente pe-
— 689 —
queña s, cuyo radio representaremos pot e, y no considere-
mos para la aplicación del teorema de Green más que el es-
pacio comprendido entre el volumen V, limitado por la su-
perficie Y, y el volumen v, limitado por la esfera S.
A este volumen E= V— v, se le puede aplicar, sin difi-
cultad alguna, el teorema de Green, porque todos los puntos
de la integración, por ejemplo M, comprendidos en dicho
espacio E, jamás pueden confundirse con P; siempre los se-
para la esfera s, y nunca, por lo tanto, r puede reducir-
seáo.
Vamos, pues, á aplicar el teorema de Green al espacio E
comprendido entre * y s. No es ésta, precisamente, la inte-
eral que nos interesa, que es la de todo el volumen; pero E
tenderá hacia ella á medida que la esfera s tienda á anularse.
Bien veo que desciendo en mis explicaciones á minu-
ciosidades excesivas; pero no se olvide que estas conferen-
cias son conferencias para la enseñanza, y que si para los
maestros, á los cuales ni mis conferencias ni mis libros se
dedican, ciertas minuciosidades son hasta enojosas; el que
por primera vez estudia una materia, agradece que se le se-
paren del camino, no sólo los grandes obstáculos, sino hasta
las pequeñas piedrecillas.
Y continuemos nuestras explicaciones.
Como vamos á. aplicar la fórmula de Green al espacio
E= V— y, comprendido entre las superficies 2 y s, la su-
perficie que limita este sólido E estará formada de dos partes:
una exterior, *, y otra interior, S.
De suerte, que en la fórmula de transformación de Green,
el primer miembro se referirá al volumen V— vv, y el segun-
do miembro comprenderá dos partes superficiales: una rela-
tiva á la superficie *, otra, á la superficie s.
— 690 —
Tendremos, pues, que en vez de la fórmula (A), debere-
mos emplear la siguiente:
at = | (¿+ ado + ff Lao (B)
que ya es perfectamente correcta, porque se excluye de ella
en ambos miembros el elemento infinito.
La segunda integral doble, la que se refiere á la superfi-
cie s que rodea el punto P, puede demostrarse fácilmente
que tiende hacia cero, cuando tiende á anularse el radio e de
la esfera s.
En efecto, a es, á lo más, igual á la unidad, porque es
un coseno; de es una pequeña porción de área de la esfera;
y si llamamos du á la abertura del cono que determina y
cuyo vértice esté en el centro, tendremos evidentemente
do = e? du.
Además, r es constantemente igual á e; luego la integral
se convertirá en
(EE=>f (edo
ES € S
Como la integral doble es finita, la expresión se reduce
á O cuando se anula e.
En suma, la segunda integral del segundo miembro en la
fórmula (B), se anula cuando se anulan v y s, y queda
[rei Si
Para el valor anterior de pS resulta, pues:
Fl ffs ff
— 691 — .
Atinando, por decirlo así, la demostración, una duda puede
ocurrir, y es ésta: ¿Realmente la integral triple f cl A
V— y
tenderá hacia q q ml cuando r tienda hacia o? Porque ob-
Vv
sérvese que dentro de la integral está r en el denominador,
y un elemento de la integral tenderá hacia lo infinito, cuan-
do v tiende hacia o.
Pero esta duda va á quedar desvanecida desde luego con
las explicaciones que daremos inmediatamente.
La ecuación (B) es rigurosa. El primer miembro se ha
descompuesto en las dos integrales segundas: una relativa
á *, otra relativa á s. La parte s es la que comprende el ele-
mento infinito, y la primera parte es finita, porque se refiere
á la superficie Y; pero aquella hemos demostrado, que tiende
hacia 0, luego el primer miembro tenderá forzosamente hacia
a: A 22 do, en que por lo demás todas las cantidades que
0%
entran r, a, do, *, se refieren única y exclusivamente á la
superficie exterior *.
Y obsérvese que toda esta laboriosa y minuciosa transfor-
mación no tiene por objeto más que AS Ó si se quie-
re , bajo una forma propia para la diferenciación con
relación á x.
Que X y
eran cantidades finitas y determinadas, ya
lo sabíamos y ya lo hemos demotrado; y no es esto lo que
ahora nos importaba.
Lo que ahora pretendíamos era obtener la derivada se-
REv. ACAD, DE CreENCIAS.—X.—Marro, 1912, 46
o — 692 —
20
gunda => Para lo cual nos basta conocer la primera
, que ya la conocíamos; pero ésta no tenía una forma
propia para la derivación, porque hemos visto que para los
puntos interiores la forma que obtuvimos era infinita.
De manera que lo que hemos hecho hasta ahora, es dar á
U E : Ie
en la ecuación (C) una forma tal, que la diferenciación
se efectúa inmediatamente.
En efecto, consideremos la ecuación (C) á que antes he-
mos llegado
frei das
Examinemos sucesivamente los dos términos del segundo
miembro, y veremos que su diferenciación es posible y fa-
cilísima.
Diferenciemos ambos miembros y tendremos:
Pra Il E EN ab da bo 1
y veamos ahora lo que significan cada una de las partes del
segundo miembro.
[04
La integral doble q ds tiene, precisamente, la
forma de una potencial de superficie sobre un punto exterior
P, puesto que r va de P á la superficie X, y en que la densi-
dad por unidad de área fuese pa. Esto es evidente: cada ele-
mento de la integral sería el producto de esta especie de den-
sidad ficticia por unidad de área de *, multiplicada por la
superficie infinitamente pequeña ds, es decir, una masa m
a
>
—' 09% =
(figura 24), colocada en la superficie %, dividida por la dis-
tancia de m á P; y esto para todos los elementos de 2.
Es, pues, sin la menor duda una potencial de superficie,
con relación á un punto exterior.
Como todo lo que hemos explicado para las masas conti-
nuas se aplica á este caso, porque una superficie es una
masa continua, la diferencial de esta potencial con relación
á x da, precisamente, la componente X de la atracción que
ejercería la superficie *%, recubierta de una masa ponderable
en que la densidad por unidad de superficie fuese pa: canti-
dad finita, sobre un punto P que no está sobre la superficie.
Pero esta atracción, repetimos, hemos demostrado que es
una cantidad finita y determinada, y aún podemos fijar su fór-
mula poniendo pa donde antes poníamos m.
ESTEcI:
y
pS
dx
, r a— Xx
— A == 18. Aaa pad -
Pasemos á la integral triple
rei
va UPON
Su forma es también la de una potencial de volumen en la
que cada elemento del volumen tuviese una densidad a
Porque, es claro: si ésta fuese una densidad ficticia de cada
elemento del volumen V, multiplicada por d = daría la masa
correspondiente á dicho elemento de volumen, y como está
dividida por r, sería la potencial correspondiente al mismo.
La integral para todo el volumen V sería, pues, la poten-
cial para el volumen V, en el cual cada punto tuviera una
de
densidad ficticia 7,
da
punto interior P.
tomada dicha potencial con relación al
— 694 —
Mas hemos probado con todo rigor, que las masas
continuas tienen potenciales finitas y determinadas para cual-
quier punto interior, y que diferenciándolas, por ejemplo,
con relación á x, determinan la componente x de la atrac-
ción que la masa ejerce sobre dicho punto P; mejor dicho:
sobre la masa 1 colocada en él como masa de prueba.
De aquí resulta que podemos diferenciar esta integral tri-
ple que estamos considerando, y obtendremos una cantidad
finita y determinada, y más aún: el resultado de la diferencia-
ción será la fórmula general de las atracciones ó de sus com-
de
ponentes, pero en que la densidad sea es
Resultará, por lo tanto,
dr al =P ff 2 a
Sustituyendo en la fórmula (D) la integral doble y la triple,
tendremos
A de y
CIC 1
DES
Del mismo modo obtendríamos para las otras dos deriva-
das las expresiones siguientes:
A
a orde | Fe
Hemos hecho ver que los segundos miembros son can-
tidades finitas y determinadas, porque representan compo-
nentes de la atracción de una superficie sobre la cual se ex-
tiende una capa de densidad finita de materia ponderable,
— 0 =
sobre un punto exterior; y componentes de la atracción así
mismo de una masa continua de densidad finita en todos
sus puntos sobre uno de su interior.
Claro es que la demostración supone, que las derivadas
de e con relación á a, b, c, son cantidades finitas.
Estas tres derivadas segundas de U cuya existencia hemos
demostrado, tienen una gran importancia en la teoría de las
atracciones y en la teoría de la potencial.
Cuando se trataba de la potencial de un sistema de masas,
continuo ó discontinuo, sobre un punto exterior al mismo,
hemos visto que la potencial U satisfacia á una ecuación di-
ferencial de segundo orden.
d? U dr U d? U
dx? dy? dz?
á que se daba el nombre de ecuación de Laplace, y que es
fundamental para muchas teorías de la Física Matemática.
Se encuentra, por ejemplo, como acabamos de ver, en la
teoría de las atracciones newtonianas; y además en la teoría
de la electricidad estática y dinámica, en la del magnetismo,
en la de la propagación del calor y en la hidrodinámica.
Pero ocurre esta pregunta. ¿La pctencial newtoniana so-
bre puntos interiores á una masa continua satisfará también
á esta ecuación?
Por lo pronto, la demostración que hemos dado, para el
caso de un punto exterior, en esta misma conferencia, hemos
visto que no es aplicable al caso en que el punto es interior
á las masas atrayentes; porque las derivadas segundas no se
expresan en este caso como en aquél.
Por otra parte las tres ecuaciones que hemos obtenido
para dichas tres derivadas segundas, no están bajo una for-
ma propia para la demostración; sólo sirven para probar que
que existen dichas tres derivadas.
Nos proponemos ahora demostrar, que las tres derivadas
segundas de la potencial U, en el caso de un punto interior,
— 696 —
satisfacen, en efecto, á una ecuación diferencial de segundo
orden, cuyo primer miembro es idéntico al de la ecuación de
Laplace; pero en que el segundo miembro no es cero, sino
una cantidad finita que vamos á determinar.
Para concluir la discusión de este problema, marcharemos
rápidamente, y el alumno ó el lector que quiera estudiar más
detenidamente esta materia, puede consultar las obras que
ya en otra ocasión hemos citado, á saber; la Mecánica de
Mr. Appell, ó el libro sobre la potencial newtoniana de
Mr. Poincaré.
La atracción sobre un punto exterior á las masas atrayen-
tes, satisface á la ecuación de Laplace: Lo hemos demos-
trado.
La potencial newtoniana de un sistema sobre puntos inte-
riores á las masas, satisface á la ecuación de ROIssol y esto
es lo que vamos á demostrar ahora.
Podíamos acudir á la fórmula de Green, una vez demos-
trada la existencia de las derivadas segundas; mas preferi-
mos la demostración directa.
Consideremos una masa atrayente continua encerrada en
el volumen V (fig. 25), y consideremos el punto P.
Limitemos en el interior de V el paralelepípedo P ABC
de caras paralelas á los planos coordenados y en que P sea
el vértice de coordenados x, y, Z.
Hemos demostrado en una de las conferencias anteriores,
que el flujo de las fuerzas de un sistema sobre una superfi-
cie cerrada, es igual al producto de las masas interiores por
la cantidad + 47 f.
En este caso la superficie cerrada es la del paralelepípe-
do; el sistema es la masa ponderable encerrada en V; y la
masa interior es psepisamente la masa que contiene dicho
paralelepípedo.
= 01 =
Apliquemos, pues, este teorema al caso de que se trata.
La componente de la fuerza que actúa sobre la cara PBC,
componente que podemos suponer que es constante, será, por
us : ; dU
unidad de superficie, la misma que en P; á saber: f een
x
suponiendo, como tantas veces hemos explicado, que en la
unidad de área se colocase la unidad de masa ponderable
como masa de prueba.
Por otra parte, sabemos que el o á través de un área
ES
Figura 25
infinitamente pequeña se obtiene multiplicando dicha área
por la proyección de la fuerza sobre su normal, y precisa-
se du
mente esta proyección de la fuerza es la componente a
2%
Tendremos, pues,
flujo sobre la cara PBC ..... apa Ya
Este flujo será de fuera á dentro si la componente es po-
sitiva.
698 —
Para la cara opuesta A D del paralelepipedo podemos re-
petir lo dicho; pero la fuerza, Óó mejor dicho su componente
paralela al eje de las x, no será ya la misma que para el pun-
to P. Será la correspondiente al punto A, que se obtendrá
aumentando á la del punto P, la diferencial correspondiente
al incremento dx, es decir
dU da
Í ( dx + dx de
Y además, si la fuerza sobre la cara PBC iba de fuera
á dentro, esta irá de dentro á fuera y el flujo será negativo
respecto al anterior; resultará, pues,
dU ae (0
as ES dx?
Flujo sobre la cara AD ..... el Ja dz.
Y para las dos caras paralelas perpendiculares al eje de
las x, obtendremos un flujo total
dU dU d? U
— dy dz-— fl —— -- dxldvdz
¡yy re
y reduciendo
d? U
— ANO
E y
Del mismo modo para las dos caras del paralelepipedo
perpendiculares al eje de las y el flujo será
ano!
— dxdydz;
'A dy y
y para las dos caras perpendiculares al eje de las z,
anu!
dz?
—=f dx dy dz.
Sumando estas tres expresiones obtendremos el flujo tota
— 699 —
de fuera adentro á través de la superficie del paralelepípedo;
flujo que será
USO AUS UE ARA O
— —— + ——= | dx dy dz.
A dera dy? a ro s
Esta expresión debe ser igual al producto de 4=f por la
masa encerrada en el paralelepípedo; que si la densidad es
p, que podemos suponer constante, y siendo dx. dy. dz el
volumen, será
4Arfp dx dy dz.
Así, pues,
2 2 2
= O perbam E 3 dxdydz= 4rfpdxdydz
dx? dy? dz?
y simplificando
ANO o de aEnOl
Ele dy? ze
=—A4Anzp.
Esta es la ecuación llamada de Poisson.
A esta ecuación, pues, satisface la potencial de un sistema
de masas para todo punto interior de una masa continua.
La ecuación de Laplace es, por lo tanto, un caso particu-
lar de la de Poisson; porque en efecto, si en el punto no
existe masa ponderable, es decir, si es exterior á éstas, la
densidad será nula, el segundo miembro se reduce á cero
y la ecuación de Poisson queda reducida á la ecuación de
Laplace.
ES
E
Hemos demostrado, que en un sistema de masas pondera-
bles las componentes X, Y, Z de la atracción, sobre cual-
quier punto interior ó exterior á las masas, tienen valores
finitos y determinados.
Hemos demostrado, asimismo, que la potencial U existe
— 700 —
para todo el espacio y que tiene valores finitos y determina-
dos; y es claro que para los puntos del infinito se reduce á
cero, porque r está en los denominadores y crece sin límite.
Hemos demostrado aún, que la potencial en todo el espa-
cio tiene derivadas primeras finitas y determinadas, como
que, salvo la constante f, estas derivadas primeras son
X, Y, Z, cuya existencia hemos demostrado.
Hemos demostrado todavía, que las componentes X, Y, Z
se obtienen diferenciando la función U, lo cual prueba que
es realmente una potencial del sistema.
Hemos demostrado asimismo, que la potencial U tiene de-
rivadas segundas; y, por último, hemos visto que la poten-
cial U no satisface, para los puntos interiores á las masas, á
la ecuación de Laplace, pero que satisface á otra ecuación
equivalente, que es la de Poisson.
Claro es que esta demostración no hubiera sido legítima,
ni nuestros razonamientos tendrían sentido, si previamente
no hubiéramos probado la existencia de las derivadas se-
gundas; pues al obtener, por ejemplo, el flujo sobre la cara
AD, no tendría sentido la expresión
E
dx
dx?
si la derivada segunda no existiese.
Sólo nos queda un punto que tratar, y es el relativo á la
continuidad de estas funciones.
La atracción correspondiente á cualquier punto, y sus com-
ponentes X, Y, Z, existen con valores finitos y determina-
dos; y ahora agregamos que son funciones continuas de
x,y,z, tanto á lo exterior como en lo interior de masas pon-
derables.
Esto es evidente, porque estas funciones tienen derivadas
finitas en el espacio exterior y en el espacio interior. Por
ejemplo, la derivada de X con relación á x salvo el factor f
— 7101 —
que es constante, viene expresada por la derivada segunda
de la potencial, es decir, por
di!
crei
y por lo tanto,
dX_ ¿PU
dx dx?
Pero la derivada segunda de U hemos demostrado que
existe, luego X es continua respecto á x. Esto es evidente: si
aa ¡— ax, dr U
dx?
es finita, á valores infinitamente pequeños de dx correspon-
derán valores infinitamente pequeños de dX, lo que prueba
la continuidad de X con relación á x.
Y lo mismo para Y y Z con relación á y y z. Y esto tanto
en el interior como en el exterior de las masas ponderables.
En rigor, para demostrar la continuidad de X respecto á
y, z; de Y respecto á x,z; y Z respecto á x, y, tendríamos
que demostrar la existencia de las derivadas segundas de U
correspondientes.
Pero esto no admite duda, porque hemos visto que las
derivadas primeras de U con relación á x, y, z, pueden po-
nerse bajo esta forma:
o a
on pas
no vmpalia prto iio
Y como los segundos miembros expresan potenciales, ya
de una superficie, ya de un volumen, podrán diferenciarse,
— 702 —
no sólo la primera ecuación con relación á x, la segunda con
relación á y y la tercera con relación á z, sino con relación á
x, y, z, todas ellas, porque estas derivadas expresarán com-
ponentes de atracciones cuya existencia hemos demostrado
en general.
Podremos, por tanto, obtener de la primera no sólo
CA Ult aU drU
sino :
se dxdy dxdz
y lo mismo para las demás derivadas.
Que U es continua en todo el espacio se demuestra de
una manera análoga.
U tiene derivadas, primeras, finitas y determinadas, pues-
to que ¡
que son las derivadas de U, son precisamente, salvo el fac-
tor f, las componentes X, Y, Z, que son finitas y determi-
nadas; luego U es una función continua, tanto en el espacio
exterior como en el interior de las masas.
Si, por ejemplo,
o O
= da
tendremos.
dU
a
Y
AU = LOS,
Siendo X finita, á valores infinitamente pequños de d x,
corresponden valores infinitamente pequeños de d U.
Mas en cambio, las derivadas segundas de U en las su-
perticies que limitan las masas , experimentan una disconti-
nuidad; porque, en efecto, en un punto exterior infinitamen-
— 103 —
te próximo á la superficie, la suma de las tres derivadas se-
eundas es ¡gual á cero, según la ecuación de Laplace, que es
a) d?U dRUE .
ASE dy? dz?
0,
y en un punto interior, infinitamente próximo al precedente,
esta suma tiene un valor finito —4 r p, según la ecuación de
Poisson.
DA! al
dx? Ar dy? ts dz
luego si la suma para puntos infinitamente próximos varía
Figura 26
en una cantidad finita, esto supone una discontinuidad de
las derivadas segundas.
La figura 26 es una representación esquemática de los di-
ferentes casos que acabamos de indicar.
L L es una superficie de separación. La curva A C es fini-
ta y continua en el espacio de la derecha y en el de la i7-
quierda, y en la línea límite LL tiene para el punto B una
tangente única, É f.
La línea A” C' es continua en ambos espacios, en el de la
derecha y en el de la izquierda; tiene un valor único para el
— 704 —
punto B”; pero su primera derivada tiene una discontinui-
dad, toda vez que en el punto B” hay dos tangentes, 1, £”,
una para la rama A” B”; otra para la rama B”C”. Esto
es precisamente lo que les sucede á las tres componentes
XA:
Por último, la línea 4” C” es discontinua en el límite £ L,
puesto que salta su ordenada de B“ á B,”.
Este es el caso de las segundas derivadas de la potencial,
en las superficies límites de las masas continuas.
Diremos una vez más, para concluir esta conferencia, lo
que ya hemos indicado varias veces: Que todos los resulta-
dos obtenidos, con ligeras modificaciones, que no son de
fondo, sino, por decirlo así, de interpretación, se aplican al
caso en que las masas, en vez de ser ponderables, son eléc-
tricas Ó magnéticas, positivas ó negativas.
Todo lo expuesto, por lo tanto, nos servirá de base y nos
permitirá marchar con más rapidez, cuando en otros cursos,
estudiemos la electroestática clásica y el magnetismo.
Por ahora continuemos preparando el terreno y haciéndolo
más llano y seguido, para cuando las ocasiones lleguen de
aplicar la teoría de la potencial.
Teoría que, en rigor, por pertenecer á la Mecánica, claro
es que pertenece á la Física Matemática.
— 1053 =
XXXI. —Conferencias sobre Fisica matemática.
Teorías diversas.
POR JOSÉ ECHEGARAY
Conferencia novena.
SEÑORES:
Estudiando la potencial newtoniana, que es de aplicación
inmediata en muchas teorías de la Física Matemática, de-
mostraremos, entre otras, estas dos proposiciones impor-
tantes:
1.7 Que la potencial newtoniana, que representábamos
por U (x, y, 2), de un sistema continuo ó discontinuo, po-
tencial correspondiente á un punto exterior del mismo, sa-
tisfacía á la ecuación llamada de Laplace
d? U ae de 0
=== ll
de? E dy? m ae
Y 2.* Que la potencial del mismo sistema, pero con re-
lación á un punto interior á la masa ponderable, es decir,
que se confunde con un elemento de dicha masa, esta poten-
cial ya no satistace á la ecuación de Laplace, sino á la de
Poisson
denon / A a
Os dy? lo
siendo p la densidad de la masa ponderable en el punto que
se considera.
— 706
Y estas potenciales, hemos explicado ya muchas veces,
que en la Física Matemática clásica son en rigor potenciales
posibles: á saber, que si en el punto que se considera se co-
locase una masa ponderable de prueba igual á la unidad, el
trabajo desarrollado por el sistema para traer á este ideal
de masa 1 desde el infinito hasta la posición que ocupa, ven-
dría expresado numéricamente por dicha función potencial,
que en la hipótesis de masas ponderables es un trabajo emi-
nentemente positivo.
De estas dos ecuaciones vamos á estudiar por el pronto
la primera, que ha dado ocasión en el siglo precedente á
grandes trabajos y desarrollos matemáticos, de aplicación
importantísima no sólo á la Física Matemática clásica, sino
á la moderna. Y más tarde estudiaremos á su vez la ecua-
ción de Poisson.
Porque lo hemos indicado varias veces y hemos de repe-
tirlo una más: inmensos son los trabajos de la Física Mate-
mática moderna; admirables las nuevas teorías de que está en
cierto modo cuajada; ingeniosísimas y fecundas las recientes
hipótesis; pero esta nueva Física Matemática ni suple en
gran parte, ni mucho menos anula la Física Matemática clá-
sica del siglo pasado.
Ambas son grados de una evolución; elementos de un
proceso; pero ni representan el principio ni el fin de la inde-
finida evolución de la Física teórica.
Si se nos permite la imagen, diremos que la Física Mate-
mática moderna es un escalón, ó si se quiere un tramo de
una escalinata, que sube cuanto puede subir; y á su vez la
Física Matemática clásica, la del siglo xIx, es el escalón ó
el tramo precedente: y decimos tramo en lugar de escalón,
para no achicar la majestuosa escalinata.
Más para subir por una escalinata no hay que suprimir
los escalones inferiores, porque en este caso los superiores
quedarían en el aire.
Ni se pueden suprimir en la historia de la ciencia, ni si-
— 7107 —
quiera se pueden suprimir en la enseñanza, pues mal llega-
ría el alumno á comprender las teorías de la Física Matemá-
tica actual, si desconociese la que le ha servido de base, de
punto de partida y hoy mismo en gran extensión le sirve de
punto de apoyo.
Por eso en estas conferencias, en que aspiro á formar una
especie de enciclopedia elemental, como preparación de teo-
rías más elevadas de la Física Matemática, llevo á la par, en
en la forma que puedo, esta doble empresa: Hacer primero
un resumen de la Física Matemática clásica, y después pro-
curaré desarrollar la Física Matemática moderna.
Parece, en ocasiones, que interrumpo mi tarea y que abro
paréntesis demasiado extensos; pero ya los iré cerrando á
medida que el tiempo y mis fuerzas lo consientan.
Por hoy continuemos la tarea iniciada.
ECUACIÓN DE LAPLACE. —Presentemos algunas considera-
ciones generales sobre esta ecuación, célebre en la Física
Matemática, y cuya forma es, como hemos dicho,
AEnU) sio dEmMO] Ea!
a? dy? We
Hasta aquí hemos considerado á U como una potencial
newtoniana. Es decir, como una función de forma bien defi-
nida:
ll
e vals
Ó bien
JJ do Va +0 +0)
REV. ACAD. DE CIENCIAS.—X.—Marzo, I912. 47
— 7108 —
que es una función, como decimos, de forma perfectamente
determinada de x, y, 2; porque, efectuadas las integracio-
nes con relación á a, b, c, que son las variables de la inte-
oral triple, y recorren, por decirlo de este modo, en la triple
suma infinita, todos los puntos del volumen V; efectuada,
repetimos, la triple integración, las variables a, b, c desapa-
recen y no quedan más que las constantes x, y, z, que cons-
tantes son respecto á la integral triple.
Y, por de contado, quedan las constantes que definen la
forma y la posición de la superficia *, que limita el volu-
men V, y si hay muchas masas, las constantes de todas
ellas. dp"
En suma, U es una función de forma perfectamente de-
terminada en Xx, y, z, para cada sistema ponderable atra-
yente.
Cada sistema ponderable, y aun pudiéramos decir eléctrico
ó magnético, tiene una potencial finita, determinada y conti-
nua, y todas estas potenciales U pertenecen, por decirlo así,
á una misma familia, la familia de las potenciales newto-
nianas.
Pues bien: todas ellas, todos los miembros de esta familia
satisfacen á la ecuación de Laplace.
Gozan de esta propiedad importantísima, conocida y de-
mostrada hace mucho tiempo, y demostrada con rigor abso-
luto, como hemos visto, en las obras recientes; aunque algu-
nas obras hay en que no se desciende á los pormenores á
que los matemáticos han tenido que descender para dar á la
demostración todo el rigor lógico propio de su ciencia.
Así, para nosotros, la ecuación precedente es rigurosamen-
te exacta para las potenciales newtonianas, porque hemos
demostrado con todo rigor lo que no es evidente d priori, á
saber: que para la potencial newtoniana existan las tres de-
rivadas
— 709 —-
Si no existiesen, la ecuación de Laplace carecería de sen-
tido ó estaría sujeta á mayor ó menor número de restriccio-
nes, de las que para nosotros ya no queda más que una, á
saber: que la densidad p sea finita, determinada y continua.
Y esto nos obliga á abrir, digámoslo de esta manera, un
nuevo paréntesis; porque la crítica moderna ha hecho surgir
multitud de cuestiones que, si en rigor siempre han existido,
en estos últimos tiempos se han agudizado, y vaiga la pa-
labra.
De antemano pedimos perdón por este nuevo paléntesis.
En dos escuelas pudiéramos afirmar, que se dividen los
anchos campos de las ciencias matemáticas, escuelas ó ten-
dencias que se condensan en estas dos palabras: La intui-
ción y la lógica.
Hay matemáticos que en sus descubrimientos, en sus teo-
rías y hasta en sus demostraciones, acuden á la intuición.
Ven ó creen ver la propiedad geométrica ó analítica de que
se trate "dibujada en la imaginación. Es algo parecido á la
inspiración poética. Es la visión directa de las cosas mate-
máticas.
En cambio otros sabios, otros creadores de la ciencia des-
deñan, y á veces hasta condenan el método intuitivo. Para
ellos, la ciencia en sus teoremas, desarrollos y demostracio-
nes, es deductiva; es puramente lógica, no es otra cosa que
un encadenamiento de silogismos.
No vamos á discutir ampliamente este punto, sobre el cual
pueden consultar mis alumnos ó mis lectores "varias obras
modernas, de verdadero mérito y de interesante lectura; en-
tre ellas y dignas de sus eminentes autores varios libros,
memorias ó artículos, de Mr. Poincaré y de Mr. Picard: Por
— MO
ejemplo, «La ciencia y la hipótesis», «El valor de la ciencia»
y «La ciencia moderna».
Nos contentaremos nosotros por nuestra parte, y en esta
rapidisima noticia, con algunas breves observaciones.
Que la intuición es procedimiento creador en las ciencias
matemáticas, procedimiento fecundo, y, por decirlo así, Ge
eran potencia; procedimiento que jamás se abandonará por
completo, que ha prestado á la ciencia inmensos servicios y
que seguirá prestándolos, es para nosotros cosa evidente.
Que la intuición tiene sus peligros, sus extravíos, y aun
sus descarrilamientos, tampoco puede ponerse en duda.
Por intuición emplearon grandes matemáticos del síglo
pasado multitud de series, sin demostrar previamente su
convergencia, que era caminar á la ventura; porque si las
series no eran convergentes, todo el edificio matemático,
que en ellas se fundaba, se arruinaba de una vez como fal-
tase la convergencia.
Por intuición, por visión geométrica pudiéramos agregar,
se ha creído durante muchos años, que toda función y, de
una variable x, tenía una derivada. Se contemplaba una cur-
va, se veía en ella, en cierto modo, la tangente para cada
punto, salvo para puntos singulares; y como la tangente tri-
gonométrica de la tangente á la curva en un punto, expresa
la relación entre dy y dx, que es la derivada, intuitivamente
se afirmaba como verdad evidente la existencia de la deriva-
da de cualquier función.
Y, sin embargo, existen series enteras de funciones con-
tinuas, que no tienen derivada; y sobre esto algo decíamos
en el primer tomo de estas conferencias: sin contar con las
memorias especiales, puede estudiarse este punto, entre otras
obras modernas, en el cálculo diferencial de Jordán y en el
de Goursat. Mas obsérvese, que si se hubiera esperado á di-
lucidar la cuestión para fundar el cálculo diferencial, este
eran descubrimento se hubiera retrasado más de un siglo;
como se hubieran retrasado muchas teorías de astronomía y
= 111 —
de mecánica, si no se hubiera tenido cierta buena fe en la
aplicación de las series, aguardando con los brazos cruza-
dos, para aplicarlas, á que se descubriesen y precisasen las
reglas de convergencia.
Y á estos dos ejemplos pudiéramos añadir otros muchos,
no sólo en el análisis, sino en la geometría.
En suma, la intuición es elemento creador, fecundo, pero
incierto en Ocasiones.
La lógica es más severa, más segura, pero de horizontes
más estrechos.
Hay cierto paralelismo entre las hipótesis de la Física Ma-
temática y el método experimental por una parte, y la intui-
ción y la lógica por otra.
No digo identidad, digo cierto modo de paralelismo.
Y así como la hipótesis y la experiencia se completan, así
en las matemáticas puras pueden y deben completarse la in-
tuición y la lógica.
Los métodos de la ciencia humana son imperfectos, por
perfectos que sean, y es prudente, y aun de sentido común,
que unos en otros se apoyen.
Si la intuición puede producir ilusiones y hasta puede
conducir al error, la lógica, por alardes y pretensiones de
exactitud, puede hacerse irresistible, pedante y estéril, y
ejemplos podríamos citar en la ciencia moderna.
Pero de todas maneras no puede negarse, y esto es un
adelanto, que las exigencias lógicas de las matemáticas mo-
dernas, son hoy mucho más severas, no sólo que en los orí-
genes históricos de la ciencia, sino de lo que fueron en tiem-
pos bastante modernos.
Todo esto justifica la minuciosidad con que hemos estu-
diado en la conferencia precedente, los elementos de la po-
tencial newtoniana, que marchando á la gracia de Dios, y
con menos escrúpulos, hubiéramos podido condensar en bre-
vísimas páginas.
Y aun así, y en punto á escrúpulos, aún tendríamos que
ML
estudiar las potenciales de líneas y superficies, teorías que
si no ofrecen dificultad alguna para los puntos exteriores,
todas requieren algunas aclaraciones, que no pondremos en
olvido, al hacer aplicación de la potencial á la electroestática
y al magnetismo.
Y cerrando este paréntesis, empecemos á ocuparnos en el
estudio elemental de la ecuación de Laplace.
Por la manera de haber llegado á esta ecuación,
EMO] d? U ASNO)
=- + —— = 0,
ae dy? ai
es claro, que en el caso que consideramos, la función U,
no es una integral cualquiera de la ecuación de Laplace, sino
que tiene una significación determinada.
U es la potencial de un sistema de masas ponderables,
eléctricas ó magnéticas, continuas ó discontinuas, distribuí-
das en puntos, líneas, superficies Ó volúmenes; pero la po-
tencial para un punto exterior al sistema. Es decir, que no se
confunde con ningún punto de dicho sistema; y hemos visto,
y resulta de lo expuesto, que todas las potenciales de esta
clase satisfacen á la ecuación diferencial de segundo orden
expresada.
Así como existirán otras magnitudes físicas de otros pro-
blemas, que satisfagan á una ecuación diferencial de esta
forma.
Es decir, que U' puede tener múltiples significaciones fí-
sicas, porque muchas funciones de muchos problemas físi-
cos satisfacen á la ecuación de Laplace.
Nosotros vamos á prescindir por completo, por ahora, de
todo problema físico; vamos á considerar la ecuación ante-
— 7113 —
rior como una ecuación puramente matemática y abstracta;
la U ya no será una potencial para nosotros, sino una fun-
ción de x, y, z, que satistace á la ecuación diferencial de
segundo orden, designada con el nombre de ecuación de
Laplace.
U podrá ser la solución más general de la ecuación ex-
presada, Ó podrá ser una solución menos general, compren-
diendo, sin embargo, á un grupo ó familia de funciones, que
satisfagan á la ecuación mencionada, Ó podrá ser una solu-
ción particularísima entre todas ellas.
Presentaré algunos ejemplos para mejor inteligencia de
mis alumnos ó de mis lectores.
La ecuación de Laplace como ecuación diferencial inde-
pendientemente de toda teoría Física Matemática, y en que U
no representa otra cosa, que una función abstracta de x, y, 2,
admite multitud de soluciones. Presentemos algunas.
1.* Es evidente que la función lineal U= Ax + By +
Cz +0, satisface á dicha ecuación diferencial indepen-
dientemente de las constantes A, B, C, D, porque los tres
coeficientes diferenciales de segundo orden son nulos:
AD: dan deco
O, O 0,
UNE dy? dz?
y la ecuación se reduce á o =0.
Mas aun á cualquier solución se le puede agregar una
función lineal, y continuará siendo solución de la ecuación
de Laplace.
2. Una función de segundo grado en x, y, z, puede ser
solución de la ecuación de Laplace, determinando conve-
nientemente los coeficientes.
— 7114 —
Así,
U=Ax?+ 4 y? A "22 + Byx+B'x2 + B"xy Al
da para los tres coeficientes diferenciales de segundo orden
Cs ppal Ae a ae ol
ass dy? bs
==
y la ecuación diferencial se convierte en
A+ A +A" =0.
Todo sistema de valores de A, 4”, A”, que satisfaga á
esta ecuación, sustituidos en el valor de U, darán una solu-
ción de la ecuación de Laplace.
Estos dos ejemplos elementales constituyen soluciones
analíticas de la ecuación diferencial propuesta, pero no tie-
nen importancia, y se prescinde de ellas cuando la ecuación
diferencial de Laplace se aplica á un fenómeno de Física
Matemática; porque cuando x, y, z, crecen sin límite, U
tiende hacía oo ; y esto de que una magnitud física tome va-
valores infinitos en el oo, no se acomoda en general á la na-
turaleza de los problemas físicos.
3. En otro orden de ideas podemos presentar funciones
trigonométricas que sean soluciones de laecuación de Laplace.
Por ejemplo,
U=Acos(ax+by+c<cz)
es una solución; porque, en efecto, tomando las deriva das
primeras y segundas, hallaremos
AA + by +C2)
dx
A e eS
dy
dU
4 _Acsen(ax+by+<cz)
OLE
— 7115 —
y además,
0 =— Aa? cos (ax + by+Cz)
aa
2
ESpEL dE — Ab? cos (ax + by+Cz)
dy?
deu
EE Ac? cos (ax + by + Cz2).
z?
Y sustituyendo estas últimas en la ecuación de Laplace y
dividiendo por A y por cos (ax + by ++Cz), que resultan
factores comunes, la ecuación diferencial se reduce á
a? +b + (2=0.
Basta determinar valores de a, b, c, que satisfagan á esta
ecuación, para que el valor de U sea una solución de la ecua-
ción diferencial que consideramos.
Clare es, que los valores de a, b, c, ó por lo menos uno
de ellos serán imaginarios; pero esta no es una dificultad, ni
para el problema analítico, ni para los problemas físicos;
porque tales soluciones imaginarias dan en último resultado
soluciones reales, como hemos visto ya varias veces y como
repetiremos otras muchas.
Sea, por ejemplo, el caso que estamos considerando.
Despejando a de la última ecuación, tendremos
== E o
Tomemos uno de los dos valores y resultará para U la
solución imaginaria
U=Acos| Y b2+ e? V—ix+oy+c<z2]
que es una solución, repetimos, aunque imaginaria, de la
ecuación de Laplace.
— 7116 —
Pero recordemos que todas las líneas trigonométricas de
arcos imaginarios tienen la forma ordinaria de las imagina-
rias; á saber:
pp = 1
En efecto, y sirva esto sólo como recuerdo á teorías que
ya conocen mis alumnos por el estudio del análisis, se sabe
que
e” V=1— cosa + sena Va
fórmula clásica, que se comprueba desarrollando en serie
los dos miembros, y que en rigor no es otra cosa que la de-
finición de las exponenciales imaginarias.
Además
es V=1 — cos a —sen a yaa dl
y de ambas ecuaciones se deducen para cos a y sen a los
valores:
aha qu E e=2v—=1
Za
dera
ASA dl == ===
NE
Si en estas expresiones, cuyos segundos miembros no son
más que las funciones indicadas en los primeros bajo otra for-
ma, y que por lo tanto subsisten para todos los valores de x,
suponemos que esta cantidad es imaginaria, é igual á f EI.
tendremos
a 6
cos $ Y —1 e a
(e)
p
EE A
2 2
—= M7 —
Establecido esto, volvamos al valor de U
U=Acos| Voz + er Y—1 x+oy+ cz]
y como al coseno de una suma, aunque sea imaginaria, sa-
bemos que se aplica la fórmula de los arcos reales, tendre -
mos desarrollando
U= A cos TE + Cc? ja x] cos (by + cz) —
— sen [Voz + c? Y US x] sen (by -+ C2)
en que entran un coseno y un seno de arco imaginario, pero
ya los hemos expresado antes en la forma de las imagina-
rías ordinarias; de suerte que substituyendo por f en
cos $ VES SE ON e ye
su valor, que en este caso es
xy 02402,
tendremos
para long to lO a A
cos |x Vb Pey q z
a] a
2
y poniendo por fin estos valores en el de U hallaremos
NS ES
U= A cos (by + ls PEMAPES o AA
2
IA En O
een ¡EA OT UBA E
2
— 118 —
El primer término del segundo miembro es una expresión
real: no entra en ninguna parte yy y podremos repre-
sentarlo por una función real y (x, y, 2), es decir,
ES
A cos (by +<cz) >
= 4 (Xx, y, z)
en que A, b, c son constantes arbitrarias.
Del mismo modo en el segundo término la cantidad que
multiplica y E es también una función real, que podre-
mos representar d (x, y, 2); de modo que
eN a O
— Asen(by 4- cz) o
= UE
y el valor de U se expresará abreviadamente de este modo,
que es la forma ordinaria de las cantidades imaginarias:
U= pg (x, y, 2) =e y (x, y, 2y—1
siendo y y Y funciones reales de x, y, z de formas perfec-
tamente conocidas: las que antes hemos expresado.
Que y + y y satisface á la ecuación de Laplace es
evidente: ya lo hemos demostrado y no es este valor de U
sino una transformación por procedimientos regulares de la
expresión primitiva
U=A cos (ax + by +Ccz)
en que determinamos a, de modo que la sustitución de U en
dicha ecuación de Laplace la convirtiera en una identidad.
— 7119 —
Pero hay más; no sólo
o+uV —1
es una solución de la ecuación de Laplace, sino que las dos
partes reales 9 (x, y, 2) y L(x, y, z), separadamente, son
soluciones, y soluciones reales de la ecuación diferencial pro-
puesta.
Y esto se presenta frecuentemente en los problemas de
cálculo integral y en otros muchos problemas.
Una solución imaginaria, que pudiera parecer estéril y,
hasta cierto punto inútil, es fecundísima porque da dos so-
luciones reales; no una, sino dos.
Vamos á demostrarlo en este caso: puesto que
ESE) AER Z)V TE 1
es una solución de
PEE EUA UE
dx? dy? Wes
sustituyendo aquella expresión en lugar de U, deberá quedar
satistecha la ecuación diferencial, convirtiéndose en o = 0.
Tendremos, pues,
dy 1 Joa dig
as dy?
2d o Y a
ha El Y an
ó separando las partes reales é imaginarias
de, a ua o y
et dx? dy? dy?
d?2 d24 añ 1
reis HE ade Mil
dz? dz?
—
=0,
— 720 —
ó bien
d? o d?o de
| dx? + dy? an dz? | a
d?y A ER ==
Sr | E + dy ae | y a l=o0.
Pero el primer paréntesis y el segundo son expresiones
reales, y para que la imaginaria sea igual á o es preciso que
separadamente se tenga
O qe al
dx? dy? dz?
pa AA
a/50e dy? dz?
que no son otra cosa que la ecuación de Laplace, en que se-
paradamente se han sustituido en vez de U las funciones
Py y. :
Luego ya tenemos estas dos soluciones reales de la ecua-
ción de Laplace: funciones relativamente complicadas, y
que directamente no hubiera sido tan fácil encontrar como
soluciones de la ecuación diferencial.
Que lo son ya está demostrado de una manera rigurosa,
y la comprobación directa es fácil.
Comprobemos, que haciendo
NO eos
O = A cos (by + 02) == ;
esta expresión de U satisface á la ecuación de Laplace.
Para ello obtengamos las tres derivadas segundas de U.
Efectuamos este sencillísimo cálculo con todo detalle para
ahorrar el trabajo á nuestros lectores; pero sin nuevas expli-
caciones, por tratarse de cálculos elementales.
= 721 =
Así,
A A
2
d? —x yb? + e? per viper
U e
—— = A by + b?+<c?
E cos (by + cz) ( Ez) a
po — A cos(by+Cz)
dx
—xvbo*+<c? NS
a Absen(by + e A te de
dy 2
2 TT —x Vb? ct y ¿xyo?+<c?
d y? 2
DAS Ones lb: == DEA vor +0?
A Y es ll e iio
dz Z
5 A ANOTE
q Uario oer cos(oy Pus y Eliana da és Photo
az | 2
Y sustituyendo
ASADO anu ORO)
dx?” dy? dz?
en la ecuación de Laplade:
AN A AA
Antas Un de en e e) EL áÁú =
2
O ES ¿ENE
— Ab? cos (by + Gli AA cada
—x Vb? +c? xvo?* + c?
— Ac? cos (by + 02) AR 0.
Sacando factores comunes, resulta
ES q pxvo?<+ ec
A cos (by + cz) E a [6? + ce? —b?*-—.c?] =0
— 7122 —
y como la cantidad que está entre paréntesis es idénticamen-
te nula, resulta que, en efecto, la expresión de U
—x Vb? + 02 OE
UA cos (by + cz) ASA e.
satisface á la ecuación de Laplace.
Lo mismo pudiéramos decir de la expresión que multipli-
ca y z
Si en vez del coseno hubiéramos empleado el seno, aún
hubiéramos encontrado, no sólo una solución imaginaria,
sino otras dos soluciones reales para la función U.
De este modo vemos que se obtienen inmediatamente so-
luciones diversas para la ecuación de Laplace, que directa -
mente no serían tan fáciles de obtener.
Todo esto es elemental en sumo grado; pero si pecamos
por pesadez no pecaremos por falta de claridad.
Podemos aún determinar nuevas integrales particulares.
La teoría de las funciones de variables complejas nos permi-
ten, en efecto, obtener una serie indefinida de soluciones. Si
se nos tolera la comparación, diremos que es una mina inago-
table de ellas, aunque por decirlo de este modo, pertenecen
á una misma familia.
La ecuación de Laplace es:
deus E Os apa
l
dx? dy? dz?
Pues si representamos por U, (y, z) una función de y, 2
que satisfaga á dicha ecuación, tendremos, que sustituyen-
do, en vez de U, la función U,, la derivada segunda con re-
— 7123 —
lación á x se anulará, toda vez que x no entra en U,, y ten-
dremos:
De suerte que para que U, sea una solución de la ecua-
ción de Laplace, basta que lo sea de la ecuación diferencial
de segundo orden anterior, que sólo contiene las dos varia-
bles independientes y, 2.
Del mismo modo U, (x, z) será solución de la ecuación
de Laplace, sólo con serlo de la ecuación diferencial de se-
gundo orden:
ENE UNOS
dx? dz?
= 0.
Y, por último, será una solución particular de la ecuación
diferencial de segundo orden con tres términos la expre-
sión U, (x, y), si satisface á la ecuación diferencial con dos
términos:
d? Us EE d? U;
—— =0.
GS dy?
De aquí resulta que si obtenemos tres soluciones particu-
lares U,, U,, U;z de las ecuaciones diferenciales de segundo
orden con dos términos, antes expresadas, que en rigor cons-
tituyen una forma única, en que sólo varían los nombres de
las cantidades x, y, z, podremos obtener una solución de la
ecuación de Laplace con tres términos.
Porque, en efecto, hemos demostrado, que en la ecuación
de Laplace la suma de varias soluciones constituye una nue-
va solución.
Así
Y = WD (Y, a O» $) Sr O; (559)
Rryv. AcAD. DE CiENcIas.—X.— Marzo, 1912. 48
— T24 —
será una solución de
d? d? U d? U
dx? dy? dz?
Y, en efecto, la comprobación es inmediata.
Pongamos en esta ecuación, en vez de U, la función
U, + U, + U,, y tendremos sucesivamente:
ao 7
AAN AS
dy?
72
EP CS d? U, (y, 2) al
alesa Oe dy?
e De (Es, ANOETA AAA
y LED, LU, CUE),
dy? a? ae
Y ordenando de otro modo,
IS UD y
dy? da e
d? 0, (x, 2 A ES OPUS
=> ob All ( Da el 2=o
dz? dx? dy? h
Pero los tres paréntesis son nulos, puesto que suponemos
que U,, U,, U., son soluciones particulares de las ecuaciones
diferenciales correspondientes.
Luego la última ecuación se reduce á la identidad o =0.
Vemos, según esto, que basta obtener soluciones particu-
— 7125 —
lares de la ecuación de Laplace reducida á dos términos, para
conseguir soluciones de la ecuación general. d
Ahora bien, considerando la ecuación diferencial de se-
'gundo orden, como tipo,
d? U OU
dx? dy?
?
y lo mismo diríamos si las variables fueren x,z Ó y, z; para
esta ecuación se pueden obtener soluciones, es decir, expre-
siones de /, tantas como se quiera, aplicando la teoría de las
funciones de variables imginarias ó complejas.
Y permitan mis alumnos y mis lectores que abra un pa-
réntesis incidental para recordarles la expresada teoría, que
es de extraordinaria importancia en la Física Matemática. Si
la conocen y la recuerdan, claro es que pueden pasar por
alto esta nueva digresión, que sería indisculpable en una
obra didáctica; pero que puede disculparse, porque tiene sus
ventajas en esta serie de conferencias á las que ningún pro-
grama oficial me tiene sujeto.
LIGERÍSIMAS NOCIONES SOBRE LAS FUNCIONES DE VARIA-
BLES COMPLEJAS. —El concepto de función debo suponer que
es bien conocido de mis alumnos. Conocen las funciones
elementales del Algebra: por ejemplo, polinomios, funcio-
nes traccionarias, funciones irracionales, funciones trigono-
métricas, exponenciales, logarítmicas.
Debo suponer que también conocen las funciones elípticas;
quizás conozcan las abelianas; y desde luego saben que un
número ilimitado de funciones está definido por ecuaciones
diferenciales. En la Física experimental los cuadros ó los grá-
ficos que enlazan, por ejemplo, dos magnitudes físicas que
— 726 —
pueden medirse, en rigor expresan nuevas funciones. Así, un
cuadro de valores numéricos de entrada sencilla, es una fun-
ción de una variable independiente, desarrollada explicita-
mente para todos los valores de la tabla, é implícita y aproxi-
madamente para todos los valores de interpolación.
Así mismo, una tabla de doble entrada, ya exprese la ley
numérica de un fenómeno físico, y hasta si representa una
ley de la estadística, llevará consigo la idea de una función
de dos variables independientes.
Aún más en general, y según las ideas modernas: Dos
conjuntos de valores que se corresponden, despiertan la idea
de una función de dos variables.
Pero es claro que aquí no podemos más que apuntar lige-
ramente estas nociones modernísimas, y que corresponden
á nuevos horizontes de la Ciencia matemática.
Volvamos á nuestro asunto; mejor dicho aún, al parénte-
sis de segundo orden (paréntesis de paréntesis) que hace un
momento hemos abierto.
Volvamos, quiero decir, á las funciones de variables com-
plejas, de las cuales voy á dar una ligerísima noción.
Todos los ejemplos que hemos presentado antes, y que
son el desarrollo del concepto de función: se refieren al caso
en que las variables sólo tienen valores reales.
Por ejemplo el esquema,
y =f(x)
que enlaza las dos variables y, x, y que es símbolo de fun-
ción, enlaza y pone en correspondencia tan sólo valores rea-
les de x é y: Sean éstas las variables de cualquier problema
analítico, sean la abscisa y la ordenada de una curva, sean
— 7127 —
los dos números correspondientes de una tabla de entrada
sencilla en que se ha expresado la ley de dependencia de
dos magnitudes físicas: Sea por último el signo f un signo
esquemático ó simbólico, y también pudiéramos decir sinté-
tico, en que se expresa como se corresponden uno á uno los
números ó valores de dos conjuntos (ensambles).
siempre la y, y siempre la x, representan cantidades reales.
Pero vamos á generalizar esta noción ó este concepto para
las cantidades imaginarias.
Acabamos de recordar, que si tenemos dos series de can-
tidades, y aún podríamos decir dos series de cosas: cantida-
des, objetos, seres, fenómenos, ó cosas en general
r
que se corresponden dos á dos, A y B, A' y B', A” y B”,6
que por el pensamiento las enlaza:nos dos á dos; en esta hi-
pótesis podrá decirse, que dada la una, está determinada la
otra, y en este sentido, podemos afirmar, que una es función
de la otra; y podemos escribir simbólicamente,
A=f(B)
empleando el signo f, en el concepto de función; concepto
generalizado como queda expuesto.
Antes decíamos esto para cantidades reales. Pues no hay
inconveniente en enlazar de ese modo cantidades imagina-
rias; y si tenemos dos series de las cantidades imaginarias
que se estudian en álgebra,
— 7128 —
pesa E ALO e Pino) Na
e tuo (A O PAN
PL Y pray ar
correspondiéndose las de la primera columna con las de la
segunda, cada término de esta última estará determinado por
el término correspondiente de la primera columna. Así,
P+Q y estará determinado por x + y V—1: cuando
se piense en este último, habrá que pensar en el primero; por
eso decimos que aquél depende de éste, por su enlace lógico,
y de existencia pudiéramos decir. Enlace que establecemos
por la libertad matemática de creación, que tantos matemá-
ticos ilustres han proclamado.
Y otro tanto podemos decir del término P* + Q” y
que está determinado, ó depende, ó va enlazado, porque
hemos querido que así sea, con el término x” + y” yo 1
de la primera columna, y así sucesivamente.
Podremos expresar esto de una manera sintética y gene-
ralizando los símbolos de las funciones elementales, con es-
cribir
P+Q yapa función (x “E w=1)
Ó abreviadamente,
P+QY=1=flx+yV=1),
en quee P+ Q VE, expresa un término cualquiera de la
ES
segunda columna, y Xx + y ya el término correspondiente
de la primera.
De esto mismo podemos dar una representación geomé-
trica.
Se sabe por Álgebra elemental, que toda imaginaria
x+y Y puede representarse (fig. 27) por un punto A
de un plano x, y.
MM
Figura 27.
Y en efecto, todo punto A determina una abscisa x y una
ordenada y, que son las dos cantidades reales que entran en
la forma compleja Ó imaginaria, enlazadas por el signo
vam Ó por la clave 7, á la cual se sujeta la condición
12=— 1 y á las que de ésta se deducen, según el cálculo
algebraico.
También se sabe, que la imaginaria puede representarse
por r y 0, unidos en un simbolo exponencial, siendo r la
distancia OA, 0 el ángulo A Ox, y lel [símbolo r e NERO
Todas estas son nociones que damos por conocidas.
De aquí se deduce que un conjunto de puntos A, A/ .....
del plano de las xy, distribuido según cierta ley arbitra-
ria, pero precisa, determinan un complejo de la imaginaria,
x+yy—1.
— 730 —
Supongamos asimismo otro sistema de ejes rectangulares
P, Q, y sobre este plano otro conjunto de puntos B, B' .....
Cada uno de ellos determinará una imaginaria P + Q yy an lle
y el conjunto de todas estas imaginarias otro conjunto, gru-
po, complejo ó como se quiera llamar, de imaginarias com-
prendidas en dicha forma P + Q yea
Si hacemos corresponder los puntos del plano (P, Q) con
los puntos del plano (x, y), de modo que se correspondan
de una manera perfectamente determinada, el punto B con
el A, B' con el A”, y asi sucesivamente cualquier imagina-
ria x+ y py 252 del primer plano determinará una cierta
imaginaria P=+ Q V—1 del segundo plano, y podemos
escribir, como antes hacíamos simbólicamente
PALO V—1 = función (x Y y)
ó en forma abreviada
P+0V-1=f(x+yV=1)
Y así tendremos una generalización del concepto función
y una representación geométrica de las funciones imagina-
rias de una variable independiente.
En el Algebra elemental, cuando se trata, por ejemplo, de
funciones algebráicas, el símbolo f representa operaciones
aritméticas perfectamente conocidas; á saber: sumas, restas,
multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces, de modo
que dicho signo f significa la serie de operaciones en núme-
ro finito que ha de efectuarse sobre cada valor de x para
obtener el valor correspondiente de y.
Por ejemplo, si tenemos
y =a>+bx?,
el segundo miembro nos da una forma conocida para f y
— 7131 —
nos indica que, dado un valor particular de x, hay que ele-
varlo al cuadrado, multiplicar el resultado por b, agregarle a,
y que de este modo obtendremos el valor de y, que corres-
ponde al valor de x.
Cuando la función f está definida y representa un con -
junto de operaciones aritméticas aplicadas á “x, estos símbo-
los de funciones algebráicas pueden aplicarse sin dificultad
y con rigor mátemático á la imaginaria x + y Na IES
obtendrá una imaginaria de la misma forma P + Q Ns le:
Porque con estas imaginarias se pueden efectuar las ope-
raciones aritméticas, indicadas, según se demuestra en Al-
gebra, sin que resulten jamás contradicciones en una serie
lógica rigurosamente exacta.
En una palabra, hay un convenio perfectaménte sólido y
lógico para sumar, restar, multiplicar y dividir, elevar á po-
tencial y extraer raíces de una imaginaria x + J yaa y
siempre resulta, y esto es importantísimo, una expresión
P+0VY—1.
Estas son nociones elementales en que no hemos de in-
sistir.
Nosotros en las definiciones anteriores, por ejemplo, en
la definición geométrica, no hemos hablado de operaciones,
sino de correspondencias, y esto es lo que significa el símbo-
lo f entre puntos ó imaginarias de los planos de las x, y, y
de las P, Q.
Pero en el análisis y en sus aplicaciones á la Física Mate-
matica, el signo f significa ya operaciones efectuadas sobre
la variable independiente imaginaria x + y qa Je
Mientras se trata de operaciones aritméticas, ya hemos
visto que no hay ninguna dificultad; pero cuando se trata de
relaciones transcendentes no sucede lo mismo.
E '
¿Qué significa (x + y qa ) , es decir, el cuadrado de
una imaginaria?
e
Ya lo sabemos por álgebra: significa x?—y?+2xy ya 1
expresión de la forma P + Q yy SE , Siendo P= x? — y? y
O= 2505
Y análogamente para toda operación algebráica.
Y tampoco hay dificultad geométricamente; no hay más
que elevar al cuadrado el módulo r y duplicar el argumen-
to f, para este caso de elevación al cuadrado.
¿Pero qué significa, por ejemplo,
cos (x + y V—1)
ex+yv—1
log (x+yY—1)
ó una función clíptica, ó una abeliana, Ó una transcendente
cualquiera de la variable compleja x + y yan 112
Y claro es que sólo tratamos ahora del caso de una va-
riable independiente.
Estas expresiones, por el pronto nada significan, ni lógi-
camente ni geométricamente: ni conocemos ningún fenóme-
no físico en que aparezcan y en que se determine su realidad.
Estas expresiones, es decir, sus significaciones, dependen
de la voluntad del matemático, de lo que el matemático resuel-
va, del convencionalismo que establezca.
Claro es que no es un convencionalismo arbitrario; tiene
un carácter de necesidad lógica; á saber: que no contenga
ninguna contradicción.
Y por otra parte, para que estos convencionalismos sean
fecundos y filosóficos, es preciso que contengan, como casos
particulares, á todos los convencionalismos anteriores. Así,
la imaginaria contiene á la cantidad real con sólo igualar á
cero el coeficiente de ya ll.
— 133 —
Y de igual suerte las funciones transcendentales de una
cantidad imaginaria x + y Vr , deben contener á su vez
todas las transcendentales análogas de cantidades reales,
cuando se anula la cantidad ó coeficiente que multiplica á
y E,
Por de contado, y esto que vamos á decir está com-
prendido en rigor en la condición primera, es preciso que
las operaciones transcendentes, que ejecutemos sobre la
variable imaginaria, den una expresión de la misma for-
ma P+Q WT sin que aparezcan nuevos símbolos no
definidos.
Del grupo de las imaginarias no se debe salir, ni por ope-
raciones aritméticas, ni por operaciones transcendentes, ni
por operaciones geométricas.
Del grupo de las imaginarias decimos y como caso parti-
cular de las expresiones reales.
No es un absurdo, por ejemplo, obtener por una serie de
cálculos
A=fl(x+yV=1)
si el segundo miembro da por resultado,
E QUES) pr
aunque A sea una cantidad reai; porque esta relación analí-
tica queda satistecha, haciendo que en
A=P(x,y)+Q(3y)Y=1
se verifique
A =P(x y)
0=Q(y)V=1
— 7134 —
de donde
!
P
O.
SS
!
En rigor, el simbolismo imaginario es un simbolismo sin-
tético, que Opera de una vez, por decirlo de este modo, so-
bre dos cantidades reales, y á resultados reales puede llegat-
se siempre por el convencionalismo imaginario, ni más ni
menos que en la figura geométrica (fig. 27) la corresponden-
cia imaginaria entre (x, y) por una parte y (P, O) por otra,
se refiere á un problema real: el de transformación de
figuras.
E Di
ES
>
Ñ
N
Figura 28.
1
En efecto, si á cada punto A (fig. 27), corresponde un
punto B, á toda curva C, corresponderá una curva D.
Por lo demás, las funciones imaginarias de una variable
independiente, pueden ser uniformes.
Y la función recíproca puede serlo ó no serlo.
Asimismo una función imaginaria puede ser multiforme.
Todas estas son nociones, que supongo conocidas por el
estudio del cálculo diferencial y el integral.
— 133 —
Nos limitaremos, por ahora, á recordar que si Z es fun-
ción z, sean reales ó imaginarias ambas variables, Z será
uniforme respecto á z, ó en todo el plano, ó en una región,
cuando á cada valor de z en el plano ó en la región corres-
ponde un solo valor perfectamente determinado para Z.
Y Z será función multiforme cuando á cada valor de z co-
rrespondan diversos valores para Z.
Las funciones uniformes también se llaman en griego, para
mayor claridad, funciones monodromas.
La figura 28 da una idea perfectamente clara de esta cla-
sificación.
La curva C” D' puede representar unas y otras funciones.
Sí z es la abscisa y Z la ordenada, Z será uniforme res-
pecto á z, porque á las abscisas 0a, 04”, 04”....., es decir, á
cada una de ellas no corresponde más que una ordenada Z,
á saber: ab para oa; ab” para 0a” y así sucesivamente.
En cambio, si considerásemos á z como función de Z,
es evidente que z sería multiforme respecto á Z. Por ejem-
plo, al valor OA de Z, no correspondería un solo valor de
z, sino una serie de valores AA”, AA” AA”...., porque,
como en la figura se ve, la recta que parte de A paralela-
mente al eje de las z, encuentra á la curva en muchos puntos
Y esto, además, sólo en una región, porque, por ejemplo,
para las ramas C' y D”, la z viene á ser uniforme respecto á
la:
Todo esto son recuerdos de cosas, que supongo sabidas
por mis alumnos y por mis lectores; pero volvamos á la de-
finición convencional de las transcedentes imaginarias.
Sobre cuya definición aun insistiremos en la conferencia
inmediata.
136 —
XXXIV. — Apuntes sobre Mecánica social.
POR ANTONIO PORTUONDO Y BARCELÓ.
(Continuación.)
Teoremas sobre el movimiento
de una agrupación social.
1.2 — TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS Ó DE LA ENERGÍA
Al tratar del movimiento de un individuo, demostramos
este Teorema, y vimos las principales consecuencias que de
él se deducían. Para aplicar el Teorema, no ya al movimiento
de un sólo individuo ó elemento, sino al de una agrupación
de individuos y elementos sociales, hemos de empezar por
definir lo que se entiende por fuerza viva de la agrupación
en un instante. Se llama así la suma numérica de las fuerzas
vivas que, en ese instante, tienen todos los individuos y
elementos de la agrupación, y se escribe Xmv?. La energía
cinética de la agrupación, en ese instante, es
es la suma de las energías cinéticas de sus individuos y ele-
mentos,
Individualizando estos elementos, y aplicando á todos y
cada uno de los individuos el Teorema para su movimiento
elemental, y sumando, podrá enunciarse el resultado de este
modo:
La mitad del incremento muy pequeño (positivo, negativo
— 131 —
ó nulo) que experimente la fuerza viva de una agrupación
social, es igual á la suma algebráica de los trabajos elemen-
tales efectivos realizados por todas las fuerzas exteriores é
interiores que hayan actuado simultáneamente en el movi-
miento elemental.
O de otro modo:
El incremento muy pequeño (vositivo, negativo ó nulo) de
ia energía cinética de una agrupación social, es igual á la
suma algebráica de los trabajos elementales efectivos realiza-
dos por todas las fuerzas exteriores é interiores que hayan
actuado simultáneamente en el movimiento elemental.
Se comprende que aparezcan en este enunciado los traba-
jos de las fuerzas interiores de enlace; porque para haber
considerado como libres á todos y cada uno de los indivi-
duos y elementos de la agrupación—y aplicarles el Teore-
ma—era preciso antes haber reemplazado la acción de los
enlaces por esas fuerzas.
Se deduce del Teorema:
1.2 Que si en un movimiento elemental de la agrupación
predominan los trabajos elementales motores (positivos) de
unas fuerzas, sobre los trabajos elementales resistentes (ne-
gativos) de otras, la energía cinética de la agrupación au-
mentará, porque su incremento será positivo.
2.” Que si predominan los trabajos elementales resisten-
tes sobre los motores, la energía cinética de la agrupación
disminuirá, porque su incremento será negativo.
3." Que si hay compensación entre los trabajos elemen-
tales motores y los resistentes, de unas y otras fuerzas, la
energía cinética de la agrupación no se alterará, porque su
incremento será nulo.
Se sabe que en la energía cinética sólo influyen las masas
y las magnitudes de las respectivas velocidades de indivi-
duos y elementos constitutivos de la agrupación.
El Teorema se aplicará á un transcurso de tiempo cualquie-
ra, durante el cual hayan estado trabajando todas las fuerzas
— “138 —
exteriores é interiores de un modo continuo, haciendo la in-
tegración desde el instante f, hasta el instante f,.
Si recordamos lo que se llamó trabajo total de una fuerza,
el resultado de esa integración se enuncia asi:
El incremento de la energía cinética de una agrupación
social desde un instante t, hasta otro posterior t,, es igual ú
la suma alsebráica de los trabajos totales (motores y resisten-
tes) realizados en ese transcurso de tiempo por todas las
fuerzas exteriores é interiores que hayan estado actuando.
Y así vemos que en el instante f,, la energía cinética de la
agrupación será mayor, igual ó menor que la que tenía en
el instante f,, según que el ¿rabajo total hecho haya sido
positivo, nulo Ó negativo. Sólo en el caso especial de que
haya compensación permanente de trabajos motores y resis-
tentes, habrá conservación de la energía cinética de la agru-
pación para todo su movimiento.
En la Primera parte de la Dinámica, cuando solamente se
trataba de ver las alteraciones de la energía cinética de un
individuo en su movimiento de modificación sobre un deter-
minado asunto, era fácil —fundándose simplemenie en el
Teorema de la energía —deducir reglas para la mayor eficien-
cía de las fuerzas, cuando se quisiera imprimir mayor ener-
oía cinética en el asunto al individuo; Ó, por el contrario, se
quisiera quitarle energía cinética. Pero aquí, en esta Segunda
parte de la Dinámica, en que se trata de ver las alteraciones
de la energía cinética de toda una agrupación social, con los
movimientos de modificación (en un asunto cualquiera) de
todos sus individuos y elementos á la vez, hay que limitarse
á decir esto:
Que si se desea un aumento de energía cinética (en un
asunto) para el conjunto de toda la agrupación, debe de pro-
curarse que haya muchas fuerzas exteriores y muchas inte-
riores que den grandes trabajos positivos; y lo contrario,
cuando se quiera disminuir la energía cinética en conjunto.
Bien entendido siempre, que aquí —lo mismo que en la
— 7139 —
Primera parte —sólo cuentan las fuerzas psíquicas sociales
de cualquier género que sean, y tanto exteriores como inte-
riores, que intluyan real y efectivamente en los movimientos
de modificación psíquica de los individuos ó elementos á
quienes se apliquen, para que hagan trabajos efectivos.—
Esto hace comprender la necesidad de conocer, para una
Dinámica social práctica, no ya tan sólo los temperamentos
particulares fisiológicos y psíquicos de los individuos, y el
temple ó modo de ser psíquico de cada elemento social, sino
además el tono psíquico colectivo de la agrupación particu-
lar que se considere, porque este repercute á su vez sobre
los individuos y elementos constitutivos.
Se ve la inmensa dificultad de todo esto.
No decimos más ahora acerca del Teorema de la energía;
reservando para más adelante algunas ampliaciones concer-
nientes á las variadisimas formas en que se presenta la ener-
gía en la Naturaleza, y á sus transformaciones mutuas. —
Entonces veremos cómo es concebible la energía universal,
y la extensión y alcance que se podría dar, á mi entender, al
principio de la Conservación de la energía total en nuestro
Mundo.
2.”—TEOREMAS DE LAS CANTIDADES DE MOVIMIENTO.
Recordando ante todo las definiciones (que dimos en la
Primera parte) de cantidad de movimiento de un individuo —
ó elemento individualizado — en un instante; y de impulsión
elemental de una fuerza; téngase presente que una y otra
son cantidades vectoriales que se representan por vectores
localizados en la posición que el individuo ó elemento tiene
en ese instante.
Este simple recuerdo basta para comprender que no se
puede adoptar con los Teoremas de la Primera parte, que se
REV. ACAD. DE CIENCIAS, —X.—Marzo, I912. 49
2 O E
referían á las cantidades de movimiento de los individuos y
á las impulsiones de las fuerzas aplicadas á él, el mismo
procedimiento que se ha empleado con el Teorema de la
energía, para aplicarlo á una agrupación social; porque no
tendría sentido hablar de la cantidad de movimiento de una
agrupación de individuos y de elementos en un instante
dado, como de una suma numérica, toda vez que en el con-
cepto de cantidad de movimiento no entra solamente la
noción de magnitud (como ocurría en el concepto de ener-
gía cinética, que es cantidad escalar) sino también la noción
de dirección y sentido, por ser cantidad vectorial; y sien-
do así, es claro que cada individuo ó cada elemento social
tiene, en un instante, su cantidad de ¡movimiento definida en
magnitud, dirección y sentido; y como en una agrupación de
individuos y elementos son distintas en todo sus cantidades
de movimiento respectivas sobre un mismo asunto en el
mismo instante, no cabe hablar de suma numérica de esas
cantidades de movimiento, como se pudo hablar de suma
numérica de energías cinéticas, para definir en un instante la
energía cinética de una agrupación social.
Esto que decimos nos lleva á pensar, como en la Mecáni-
ca racional, que si se trasladaran á un mismo punto (sea
individuo ó elemento individualizado, 1teal ó ficticio de la
aerupación) todas las cantidades de movimiento de los indi-
viduos y elementos sociales con sus propias y respectivas
magnitudes, direcciones y sentidos; y se compusieran como
concurrentes, por la regla para la composición de velocida-
des (*), se tendría lo que se llama la resultante de traslación
(que sería la suma vectorial) de las cantidades de movimien-
to. A esta resultante ó suma vectorial es impropio darle el
nombre de cantidad de movimiento de la agrupación en ese
(*) En cada cantidad de movimiento, la magnitud de la veloci-
dad está afectada, según se sabe, de un coeficiente numérico, que
es la masa.
— 7141 —
instante. Pero si hubiera en la agrupación social que se con-
sidere, y para el asunto de que se trate, un individuo ó ele-
mento que por su posición (y con respecto á toda la agrupa-
ción) pudiera ser mirado en ella en cada instante, como su
centro de masas, vulgarmente llamado centro de gravedad,
ese individuo ó elemento (real ó ficticio), seria el más indi-
cado para hallar en él aquella resultante de traslación ó suma
vectorial de todas las cantidades de movimiento en cada ins-
tante, porque dicha resultante Ó suma nos daría en magni-
tud, dirección y sentido la cantidad de movimiento del Cen-
tro de masas.
La dificultad que surge aquí en la Dinámica social es ésta:
que las masas no están afectas (como en la Mecánica racio-
nal) á puntos que ocupan en cada instante sus posiciones
geométricas en el espacio, sino á individuos y elementos so-
ciales que tienen en cada instante sus posiciones psíquicas en
el asunto que se considere, y al cual se refieren las masas; y
parece dificilísimo hallar (por una convención que implique
un procedimiento general aplicable á cualquier asunto de ca-
rácter social) el individuo ó elemento que pueda asimilarse
al centro de masas. Para cada asunto habría que ver si se
encontraba ese individuo ó elemento.
Si se piensa, por ejemplo, en el modo de ser político de
una Nación, y en ésta se conciben los individuos y los varios
elementos sociales constitutivos con sus masas respectivas
para lo político, y se ven en un instante dado sus respecti-
vas velocidades definidas en magnitudes, direcciones y sen-
tidos, y en estas mismas direcciones y sentidos las corres-
pondientes cantidades de movimiento, parece que se podría
mirar el Centro de masas políticas de la Nación personificado
en el Jefe del Estado, si éste tuviera efectivamente (como lo
concebiremos para el razonamiento) una posición central
para lo político á que nos referimos (*). Si se viera así, y se
(+) Claro es que un Jefe de Estado, así concebido, no depende de
= 142 —
le dotara, para esta concepción, de una masa que fuera la
suma de las masas en el orden político de todos los indivi-
duos y elementos de la Nación, se podría tal vez decir que
áese Centro de masas políticas debería de corresponderle en
cada instante una cantidad de movimiento político, que fue-
ra en magnitud, dirección y sentido la resultante de trasla-
ción de las cantidades de movimiento de todos los indivi-
duos y elementos de la Nación, es decir, que fuera la suma
vectorial de todas las cantidades de movimiento. Y de aquí
se deduciría:
1.2 Que la dirección y el sentido de la velocidad en el
movimiento de modificación del Jete del Estado —política-
mente hablando — deberían de ser los indicados por esa can-
tidad de movimiento resultante; y
2.7 Que la magnitud de su velocidad debería de ser la que
resultara de dividir la magnitud de la cantidad de movimien-
to resultante, por la suma de todas las masas políticas na-
cionales.
Volviendo á la concepción general del Centro de masas
para un asunto, en una agrupación social, habría de conce-
birse este Centro como solicitado por una fuerza motriz que
fuera en cada instante la resultante de traslación ó suma vec-
torial de todas las fuerzas que, como vectores, actúan en
toda la agrupación. Y así visto, se podría aplicar al movi-
miento del Centro de masas, todos los Principios y todos los
Teoremas de la Primera parte de la Dinámica. La aceleración
total / de su movimiento en cada instante, se obtendría divi-
diendo la resultante de traslación de todas las fuerzas exfe-
riores aplicadas á la agrupación social por la suma de las
masas de todos sus individuos y elementos. Por esto, si la
Constituciones escritas ni de procedimientos electorales. En todo
caso dependería de la Constitución íntima de la nación, ó sea del
modo de ser político de todos los individuos y de todos los elemen:os
nacionales.
— 743 —
resultante de traslación Ó suma vectorial fuera nula (por una
compensación de las fuerzas que actúan), el Centro de masas
no debería tener aceleración alguna, lo cual significa que
permanecería en reposo si éste era su estado inicial, Ó conser-
varía la misma velocidad inicial que tuviera.
El Teorema general sobre cantidades de movimiento é im-
pulsiones de fuerzas, podríamos ahora enunciarlo del modo
siguiente:
El incremento total muy pequeño que experimente el vec-
tor de la cantidad de movimiento del Centro de masas, es igual
en magnitud, dirección y sentido, á la impulsión elemental
de la resultante de traslación ó suma de todas las fuerzas
que actúan sobre la agrupación social.
Se podría repetir aquí todo lo que dijimos en la Primera
parte acerca de este Teorema; y podríamos reproducir aque-
llas representaciones gráficas.
Asimismo podríamos enunciar el Segundo Teorema sobre
cantidades de movimiento, si sólo nos preocupáramos de su
magnitud diciendo:
Que el incremento muy pequeño que experimente la magni-
tud de la cantidad de movimiento del Centro de masas, es
igual á la impulsión elemental de la resultante de traslación
de todas las fuerzas que actúan sobre ta agrupación estimada
(esa resultante de traslación ó suma) en la dirección de la
velocidad de dicho Centro de masas.
Los dos Teoremas enunciados se aplicarían á un transcur-
so de tiempo cualquiera por el procedimiento de integración
en el tiempo, que tan repetidas veces hemos empleado. No
insistiremos.
La consideración del movimiento del Centro de masas de
una agrupación, para un asunto social cualquiera, es de gran-
disimo interés; porque su posición en el asunto debería ser
central en cada instante; su velocidad debería indicarnos, en
cada instante, por su dirección y sentido, así como por su
magnitud, cuál sería en ese instante el estado de movimiento
ae e
en el asunto en que se encontrara la agrupación mirada en
conjunto (*).
La aceleración total (debida á la influencia actual de todas
las fuerzas) debería de darnos idea del cambio que se estu-
viera operando en ese movimiento de conjunto de la agrupa-
ción social respecto del asunto.
Conviene advertir, sin embargo, que el movimiento muy
complejo de toda una agrupación social en cualquier asunto,
no quedaría visto de un modo completo, viendo tan sólo ese
movimiento del Centro de masas; porque éste serviría mera-
mente para indicarnos el movimiento colectivo de conjunto,
que debe de ser mirado como un movimiento general de
arrastre de que participa toda la agrupación.
Pero la velocidad efectiva del movimiento de cada indivi-
duo y de cada elemento social, sería una resultante de la ve-
locidad de arrastre que le correspondiera, compuesta con la
suya propia, relativamente al movimiento de conjunto de la
agrupación, como dijimos en la Cinemática.—Claro es que si
en un instante, y para un determinado asunto, los individuos
y elementos de una agrupación no tuvieran velocidad alguna
propia (relativa), ó la tuvieran con la misma dirección y sen-
tido que la velocidad colectiva (de arrastre), aunque de mag-
nitudes diferentes, todos, todos los individuos y elementos
de la agrupación estarían moviéndose en ese instante en una
misma dirección y sentido, que podría—en tal caso, con
(+) Quizás la velocidad común ó colectiva á que nos referimos
concuerde con lo que ve Durkheim al definir todos los hechos socia-
les por la difusión que presentan en el interior de una agrupación.
Para nosotros la velocidad colectiva se compone cinéticamente con
otra, para dar la forma individual á que se refiere Durkheim. Hay
que notar, sin embargo, que este distinguido sociólogo define el he-
cho social para las maneras de pensar, de sentir y de hacer en un
instante dado, tales como sean en ese instante; es decir, estáti-
camente, sí nos atenemos al sentido que hemos dado á esta pala-
bra y al sentido en que hablamos siempre de movimiento en estos
Apuntes.
— 745 —
toda propiedad — ser llamada dirección y sentido del moví-
miento de la agrupación en ese instante.
Volviendo al caso general, se ve que la energía cinética de
toda la agrupación social, en un instante dado, podría quizá
estimarse — como en la Macánica racional —tormada por dos
sumandos, á saber:
1.2 La energía cinética del Centro de masas, dotado, como
hemos dicho, de la masa total de la agrupación, y con la
velocidad del Centro en ese instante; y
2.” La suma de las energías cinéticas correspondientes á
las velocidades relativas de los individuos y elementos socia-
tes con sus masas respectivas.
Respecto al movimiento de conjunto —ó sea el movimien-
to del Centro de masas —, diremos, para terminar estas indí-
caciones, que si los cambios de dirección en su movimiento
no se operasen sino á largos intervalos de tiempo, el movi-
miento total no sería otra cosa que una sucesión de movi-
mientos de dirección constante (representables por movi-
mientos rectilíneos de un punto en el espacio); y cada inovi-
miento parcial de esos, podría estudiarse con la simplifica-
ción consiguiente.
3." —TEOREMA DE LA MENOR ACCIÓN.
Este Teorema de la menor acción, que enunciamos en la
Primera parte al tratar del movimiento de un solo individuo,
se podría hacer extensivo también al movimiento de una
agrupación social, si las fuerzas sociales fueran conservati-
vas, y como dijimos entonces, asimililables á las de la Na-
turaleza, para las cuales se formula el Teorema de la menor
acción.
Recordando que se llamó cantidad elemental de acción de
— 746 —
un individuo ó elemento social, el producto de su fuerza
viva m. v? en un instante £, por el intervalo 9 á partir de ese
instante; se llamará cantidad elemental de acción de una
agrupación el producto de su fuerza viva * mv? en un ins-
tante, por 6; y se llamará cantidad total de acción de la agru-
pación, á la integral Ó suma de las cantidades elementales.
Para enunciar el Teorema (prescindiendo como siempre
del rigorismo infinitesimal ), se diría:
Que la cantidad total de acción de una agrupación en su
movimiento real y efectivo, desde el instante t, (posición A
en un asunto), hasta el instante t, (posición B en el mismo
asunto), es un MÍNIMO; es decir, menor qae la que correspon-
dería á cualesquiera otros movimientos de sus individuos y
elementos que pudieran haber hecho pasar la agrupación por
otras trayectorias de la primera posición A á la última B.
Si fuera aplicable este Teorema, se deduciría—como para
un solo individuo —esta consecuencia:
Que si la fuerza viva de una agrupación social se conser-
vara constante en el transcurso de tiempo T que se emplee
(desde el £, al 1,) en pasar de la posición A á la B, este paso
se operaría por el movimiento real y efectivo en un tiempo
mínimo, puesto que la cantidad total de acción
bi
ll as d
to
habria de ser mínima, y X m v? se supone constante.
En el supuesto dicho, la realidad —con arreglo á las leyes
de la Mecánica — daría economía de tiempo.
Nosotros tenemos que limitarnos á este simple apunte so-
bre el Teorema de la menor acción, visto para una agrupa-
ción social en estado de movimiento. Los desenvolvimientos
en que entran algunos sociólogos, salen fuera del cuadro
que nos hemos impuesto en estos Apuntes, y tienen, á mi
entender, un sentido muy vago.
— 7141 —
A.”—TEOREMA DEL MENOR ESFUERZO.
Antes de intentar la aplicación á las agrupaciones sociales
de este Teorema, conocido generalmente bajo la denomina-
ción de Principio de Gauss, conviene recordar bien su sig-
nificado en la Mecánica racional.
Si se considera el estado en que se encuentra en un ins-
tante dado f un sistema de puntos materiales entre los cua-
les median enlaces, se ve cada punto con su masa m en una
cierta posición M, y con una cierta velocidad v (fig. 6.%) Si
se supone que en este instante £ quede entregado á sí mis-
mo el sistema con sus enlaces, se comprende que cada punto
M en el movimiento elemental que realice durante un inter-
valo muy pequeño de tiempo %, no seguirá con la velocidad
v que tenía en el instante f (como lo haría si fuera libre, es
decír, si estuviera desligado absolutamente del resto del sis-
tema), porque no es libre, sino que se ve compelido á cam-
— 748 —
biar su estado por la fuerza (f) resultante de todas las accio-
nes interiores que ejercen sobre él otros puntos del sistema
por intermedio de los enlaces, entorpeciéndole en su movi-
miento. Recordando la teoría general del movimiento de un
punto, se ve, pues, que en vez de recorrer el elemento de
recta MN = v.f en la dirección y sentido de v, describe un
elemento MM” de trayectoria curvilínea tangente á MN; es
decir, que en ese intervalo fí la desviación del punto ha
sido NM” = 40 por la influencia, y en la dirección y
sentido de la fuerza f; y esto se realizará (así se puede con-
cebír) mediante un cierto esfuerzo por parte del punto M;
puesto que ya hemos dicho que la tendencia natural del pun-
to por sí solo era ir á N (sin desviarse) y ocupar esta posi-
ción en el instante £ + (, en vez de ocupar la posición M”.
Lo dicho del punto M se dice de todos y cada uno de los
puntos del sistema. Y conviene fijar la atención en que todas
las fuerzas que tienen por resultantes las f para los diversos
puntos, son acciones mútuas dos á dos iguales y opuestas,
y que se ejercen por medio de los enlaces; por lo cual se
puede decir que la suma de los trabajos virtuales de todas
ellas es nula ó negativa.
Si se considerase que el esfuerzo elemental soportado por
cada punto, sea proporcional á f y á NM”; como
f=mJ==2: m><NM",
se diría que el esfuerzo elemental es proporcional á m <NM?.
Adoptando esta expresión como medida del esfuerzo elemen-
tal para cada punto, se tendrá en Xm =< NM? el esfuerzo
elemental para todo el sistema.
Pues bien: si se piensa que el punto M podía — sin rom-
per low enlaces — haber ido á cualquiera otra posición como
la M”, sufriendo otra desviación NM”, á la cual corres-
— “149 —
pondería otro esfuerzo m >< NM”?, se demuestra que el
esfuerzo para todo el sistema Y m < NM”? sería mayor
siempre que Y m >< NM”?. Ó dicho en otros términos: que
este esfuerzo para las desviaciones reales y efectivas de los
puntos del sistema es un MÍNIMO, con relación á todas las
desviaciones posibles (+). |
En esto consiste el Principio de Gauss.
Y se ve que ese esfuerzo mínimo EX m < NM"? lleva con-
sigo el mínimo de Y f< NM”, porque NM=— > — ><
y, por tanto,
0 El- ón la El- - (NM),
NM +=m- | Si
(*) La demostración que se da ordinariamente, consiste en obser-
var que:
NM?+=NÑNM*4MM"*—2NM'<M' M>=cos NM MM”:
multiplicando por cada masa m, y haciendo la suma para todos los
puntos del sistema, se tiene:
Nm><NM"*?=YmxNM'*+YmxM'"M"*=
-—2Ym<NM' <M'M"xcosf- M'M”.
El último término es nulo ó negativo, porque según hemos dicho,
la suma de los trabajos virtuales de todas las resultantes f, que se
equilibran en el sistema, debe de ser nulo ó negativo, y por tanto
Sf MH-cosf- MAZO;
y como
MH=M'M" y f=mx<NM'x< =>
se ve que
Nm <NM'<M' M"cosf- MM” ZO.
Por consiguiente,
Smx<xNM"2?2>Ym><NM'?;
es decir, que esta última expresión es el esfuerzo mínimo.
— “7150 —
Por lo cual el principio de Gauss se podría enunciar di-
ciendo:
Que el trabajo que se desarrollaría en conjunto (por todas
las fuerzas de enlace) ú consecuencia de las desviaciones,
sería un MÍNIMO en el movimiento real.
Recordado todo lo que precede, su aplicación á las agru-
paciones sociales consideradas como sistemas de individuos
y elementos enlazados entre sí, nos llevaría á pensar: Que
si en un instante dado f se dejara una agrupación entregada
á sí misma con sus enlaces, el movimiento elemental de mo-
dificación que tendría en un intervalo muy pequeño de tiem-
po 6, es decir, el conjunto de los cambios muy pequeños
DE POSICIÓN de los individuos y elementos sociales constituti-
vos, sería tal que correspondiera al mínimo esfuerzo de la
agrupación tomada en conjunto. Entendiendo bien que el
esfuerzo de cada uno de los individuos y elementos, por
sentirse desviado de la posición á que habria llegado si no se
le hubiera entorpecido por los enlaces sociales, se estima
proporcional á su masa para el asunto que se considere, y
al cuadrado de la desviación elemental efectiva que experi-
mente, respecto de la posición que hubiera tenido si hubiera
quedado, en el instante £, desligado de toda la agrupación.
O bien se podría pensar:
Que el trabajo que harían todas las fuerzas sociales de
enlaces en la agrupación, por virtud de las desviaciones de
todos los individuos y elementos sociales sería un MÍNIMO.
Como dijimos respecto del Teorema anterior, no podemos
apuntar nada más respecto de este Principio de Gauss. Los
sociólogos suelen tratar de él extensamente, aunque siem-
pre con cierta vaguedad, y fuera del terreno positivo en
que nosotros nos hemos colocado.
=5l-—
Termino aquí la exposición detallada, y quizás fatigosa,
que he hecho de las leyes del equilibrio y del movimiento de
las agrupaciones sociales, bajo la acción de las fuerzas psí-
quicas y mediante los enlaces de la agrupación. Creo que la
luz que esparcen á su alrededor las ideas de la Mecánica ra-
cional (que sólo se referían á un círculo restringido de la acti-
vidad de la Naturaleza), permite penetrar en aquellas regio-
nes oscuras y desconocidas; y por eso yo me he aventu-
rado, pensando en estas hermosas palabras del insigne
Maudsley:
«La maravillosa armonía, la unidad y la continuidad que
hay en el Todo misterioso que llamamos Naturaleza son ta-
les, que basta formarse idea exacta y clara de un círculo
restringido de la actividad de ese Todo, para que esa idea
esparza inmediatamente á su alrededor una luz capaz de pe-
netrar en otras regiones oscuras y desconocidas, contribu-
yendo de esta suerte á establecer y revelar á nuestra con-
ciencia nuevas relaciones armónicas entre ella y el mundo
exterior.»
(Continuará.)
— 152 —
XXXV.—La asimetría de los Tripletes de Zeeman.
POR MANUEL MARTÍNEZ-Risco Y MACÍAS.
(Conclusión.)
IV
RESULTADOS
Aunque nada hemos dicho hasta aquí, además del triple-
te 5791 u. A, estudiamos el triplete 5770 u. A. y el triplete
central del nonete 5461 u. A. A los tres, que corresponden á
rayas del mercurio, se refiere este capitulo.
Triplete 5791 u. A.
Este triplete es notable porque en él Zeeman, Gmelin y
Jack (*) descubrieron, simultaneamente, el fenómeno de
descomposición asimétrica que algunas rayas espectrales
presentan. Gmelin fué quien primero dió á conocer la ley
del desplazamiento hacia el rojo de la componente mediana
de dicho triplete.
Según este físico, la variación de longitud de onda en
cuestión es proporcional al cuadrado de la intensidad del
campo. De las últimas investigaciones de Zeeman (**), rea-
lizadas con un patrón de Fabry y Perot, y de nuestros ex-
perimentos, resulta también que los desplazamientos de la
componente mediana siguen, dentro de los errores experl-.
mentales, una ley de forma cuadrática.
(+) Véase Voigt.—« Magneto-Optik », p. 178.
(**) P. Zeeman. — Changement de longueur d'onde de la raie
médiane d'un triplet dans un champ magnétique, 1909.
— 0S —=
Como hemos indicado en la Introducción, Zeeman llegó
primeramente, trabajando con una red de Rowland, á una
relación lineal entre el desplazamiento y la intensidad del
campo actuante; pero, como el mismo Zeeman ha hecho ver,
este método experimental tiene grandes causas de error, y
puede ser sustituido con ventaja por el que empleó en sus
últimos trabajos, que fué seguido luego por nosotros.
He aquí los resultados que obtuvimos:
A | Ad
en Gauss. ¡ enu. A.
ara | Experimento A 9.770 | 0,0050
| — o 10.300 ¡ 0,0053
— o 23.500 | 0,0210
; | — A A > 0,0230
e aasas 1 / eL EE A > 0,0220
- O a » 0,0210
| — UN A a 28.740 | 0,0337
| — 83% 29.220 | 0,0362
Tercer grupo...... - 931 Ma 29 320 0,0400
| — LOL AA 30.250 | 0,0402
| - LR 29.560 | 0,0372
— 134 —
El cuadro siguiente da idea de la precisión lograda en la
determinación de desplazamientos:
Número Diámetros (en mm).
ce onea Anillos
del ex- Foto- Foto- Foto- lx?".—x?2m| Ad
perimento. | MPICados | grafía 1.2 | grafía 2.2 | grafía 3.2
10 lao => Zeso | 2618 | 265 | 100 1 0.0050
O Aa E A
los
4 Er A a e
5 er anillo o | E 2540 0,0220
02 er anillo o A 20 20 | 06
o a e os
o pl | oo
Mi E E
a A AS
Fall as Mac mt ML A coros
|
Ya hemos dicho, en el capítulo MI, que las fotografías
1.* y 3.* de cada serie fueron obtenidas sin campo y la 2.*
cuando actúa el campo. Debe exceptuarse el experimento 9.”,
pues en ésta la fotografía 2.* fué obtenida sin campo y las
otras dos fueron hechas mientras el campo actuaba.
Para que sirva de ejemplo, á continuación vamos á calcu-
lar el valor de Ah, correspondiente á uno de nuestros expe-
rimentos:
— 155 —
Experimento 11.”
(HA = 29.560 G; f= 12 mm; Placa núm. 33.)
Los diámetros han sido determinados haciendo cuatro se-
ries de lecturas para cada fotografía. Las lecturas A han sido
hechas cuando la placa se movía en un sentido, y las B,
cuando se movía en sentido opuesto.
Lecturas en mm.
A B A B
by. 44,140... 44,149... ..14,145.. ..44,149
Fotografía 1.2. .Ju,. .. 44,526.. ..44,526.. . 44,522.. ..44,526
H=0 da 46,545... ..46,549.. ..46,545.. ..46,547
b',... 46,925... ..46,925 46,924... ..46,926
CRA O e e A pr
Botana lali2ss ca osa O Dec o nd Dc Ss
H= 29.560 G. pa AO20.. AB 02, o 5623.) 45,024
A a
or Ari. RA ADO LS de 102
Fotografía 3.2...Ja;.... 41,544 . . 41,540... ..41,543.. ..41,541
E AB aa ni ASTON AS 572
Dz... 43051. ..43,952.. ..43,946.. ..43,947
Diámetros en mm.
D,,= diámetro del 1.er anillo en la fotografía 1.2 = q”, — a, = 2,022
A — del 2.2 — = 12= 0 O ZO
DES — del 1.er — — 2. =q', — 4, =1,840
1D, == = del 2.2. — =— 2100 05 == 2039
1D == = del ler — e => VS
1D. = — del 2.2 — — SPD = Wa = 2170
Rey. ACAD. DE CIiENCIAS.—X.—Marzo, 1912. 50
— 156 —
Cálculo de Ah.
Dias) = A a D,, =1,840
Daa3)= a TO E D., =2,639
D% (13, — D*:2= 0,723.
D*?2 (13) — D*2= 0,758.
o == xn 0,740:
S A 2 (5 7
Ah) == HAL, 0,740 u. A 0,0372 u. A
En la figura adjunta hemos señalado con circunferencias
los puntos correspondientes á nuestras observaciones.
Los puntos indicados por cruces representan los resulta-
dos de las últimas investigaciones de Zeeman. Sus coorde-
nadas se encuentran en el cuadro que sigue:
H | Año
en Gauss. | enu. A.
Experimento 1.*. 12.890 0,0085
Primer grupo...... — PAS as 12.890 0,0088
| — A: 14.160 0,0074
RN — Aron 21.010 0,0169
ri O O cs 20.910 0,0210
| — OA 28.670 0,0367
= Moiadts 28.670 0,0358
Tercer grupo. .... — SA 28.670 0,0360
= DOM 29.610 0,0353
— Oe 30.230 0,0406
Los resultados de Zeeman y los nuestros pueden ligar-
— 15971 —
se, dentro de los errores experimentales, por la ecuación
A 02 ple (33)
que tiene la forma indicada por Voigt en la hipótesis de
acoplamientos entre electrones de naturaleza distinta.
Figura 7.
En la figura 7 indicamos, mediante triángulos, la posición
de los puntos que tienen por ordenada la media de las or-
denadas, y por abscisa la media de las abscisas de los pun-
tos de cada grupo.
En el cálculo del coeficiente de la ecuación (33) hemos
empleado los centros de gravedad, prescindiendo solamente
de los correspondientes á los dos primeros grupos de puntos.
La curva que representa la ley de asimetría es, en virtud
de lo dicho, una parábola tangente en el origen al eje H.
— 198 —
La EEN e
Determinación de ——
m
Partiendo de la fórmula peas po DD
m HN
en que 02, y 94, son las diferencias de longitud de onda
entre la componente mediana y las componentes exteriores
de un triplete asimétrico producido por un campo de intensi-
dad H, y en que V es la velocidad de la luz en el éter, hemos
calculado, con los puntos de los dos terceros grupos, el va-
e
lor de > relación de la carga á la masa del electrón, para
la raya 5791 u. A. Hallamos
A SA
m
Triplete 5770 u. A.
Zeeman demostró que la componente mediana del triple-
te 5770 u. A., tiene, dentro de los límites de error, la misma
longitud de onda que la raya no modificada.
Nosotros comprobamos este resultado. A continuación
damos los números que obtuvimos en la medida de los diá-
metros de los anillos, en un experimento realizado con un
campo fuerte,
Diámetros en nim.
Con campo
Sin campo. de 28.710 Gauss. Sin campo.
(D (ID) UD
Primer anillo. ........ 1,702 1,709 1,713
Segundo anillo........ | 2,933 2,537 2,542
— 7159 —
Triplete central del nonete 5461 u. A.
De nuestros experimentos resulta que la componente me-
diana de este triplete se desplaza, aunque muy poco, hacia
el rojo. No nos atrevemos, sin embargo, á afirmarlo de un
modo categórico, hasta realizar nuevas medidas.
Comparábamos A, con A haciendo dos fotografías, una
sin campo y otra con campo, empleando luz polarizada en
un plano perpendicular á las líneas de fuerza. De todos
nuestros experimentos resultaba que Am > ko, como indica
el cuadro que sigue:
Diámetros en mm.
Sin campo. Con campo.
: Primer anillo...... 1,241 1,205
ae ao Loto a Segundo anillo... 2,227 2,209
|
mada 9.0 Primer anillo... ... 1,986 1,963
" 77) Segundo anillo .... 2,117 2,712
|
Aunque, por tratarse de un efecto que se produce en sen-
tido constante, no puede lógicamente atribuirse la asimetría
encontrada á un error debido al cambio de espesor del pa-
trón con la temperatura, creímos conveniente realizar un
experimento que acaso pueda estimarse concluyente.
En este hicimos, no dos, sino tres fotografías: la 1.* y 3.*
con campo, y la 2.* sin campo. El resultado fué el siguiente:
Diámetro del primer anillo en mm.
Con es Ad: Is Xm.
SIICAMPO as fps e os JO 1,804 | y, por tanto,
Con CAMPO... ooo ae! bra 1,742 Dra Zo
Según este experimento, el desplazamiento de la compo-
— 7160 —
nente mediana del nonete, tendría por valor, para un campo
de 30.000 Gauss, aproximadamente,
Año = 0,008 u. A.
El tiempo empleado para obtener las tres fotografías de la
serie era cortísimo, y por tanto, de haber habido un cambio
de temperatura, habrá sido muy pequeño. Conviene, ade-
más, tener presente que, si actuase sobre el patrón parte del
calor que se desarrolla por efecto Joule, al pasar la corriente
por el hilo del electroimán, el cambio de diámetro que cada
anillo experimentaría sería opuesto al correspondiente al
desplazamiento probable de la componente mediana.
V
TEORÍAS DE LAS ASIMETRÍAS DE LOS TRIPLETES
Teoría de Dufour.—Este físico, partiendo de las fórmulas
fundamentales de la teoría elemental que Lorentz dió del
fenómeno de Zeeman, ha logrado explicar las diversas cla-
ses de asimetría que pueden presentar los tripletes. Como se
verá, Dufour supone que el campo magnético hace variar
las propiedades del átomo, y admite que esta modificación
es, en general, anisótropa, aunque compatible con la simetría
propia del campo.
De las ecuaciones de la teoría de Lorentz,
eH dy
m = — fx + — — 34
e dia RNE (34)
d?y eras
E ay A 35
dt? El CANTA 5
dz
di? = —f2, (36)
deducidas en el cap. I (*%), resulta que las componentes del
triplete normal tienen por frecuencias
(*) Véase la página 459 y siguientes.
¿a
m
ES Je El eH
m TE
¡0 y ==
; m DITA
Admitamos con Dufour, que la presencia del campo hace
cambiar el valor del coeficiente elástico, f, y que en el caso
más general, es modificado diferentemente, según que corres-
ponda á desplazamientos paralelos ó perpendiculares al cam-
po. Substituyendo f por f + q, (11) en las ecuaciones (34)
y (35), y Fpor f + 4, (H) en la ecuación (36), resultan para
ecuaciones del movimiento del electrón vibrante
dex E HE
de ata e
d?y eriads
m qe a (37)
aa
m E = 14 qa 00) |
Las frecuencias de las componentes del triplete deben,
según esto, expresarse así:
1 =YE 23 (H)
M
cl o TA
ZE
A pure
TEE
— 762 —
Tripletes simétricos en posición.
Para explicar la existencia de éstos, basta suponer que
q (1) = 4 (4H) =0,
pues, en tal caso,
e 0
eS = o,
Tripletes simétricos, con eje de simetría diferente de la raya
espectral original.
El triplete será, pues, simétrico en posición, pero su eje de
simetría no coincidirá con la raya inicial. La separación es-
pecífica del triplete será la misma que si no hubiese experi-
mentado desplazamiento alguno.
Si admitimos que el término y (H) es muy pequeño, com-
parado con f, podremos escribir:
ANO
oo
Xo—% =X (A),
Ó también
siendo K una constante cuyo valor depende de la naturaleza
del cuerpo y de la raya espectral considerada.
— 163 —
Desarrollando + (H) en serie y prescindiendo de los térmi-
nos en que Hlleve exponente mayor que 2, tendremos:
== A eN
Ahora bien; los coeficientes de las potencias impares de
H deben ser cero; porque, en otro caso, al cambiar el sen-
tido del campo, cambiaría también de posición el triplete,
circunstancia que no puede admitirse á causa de la simetría
propia del campo magnético. Por tanto,
05 e Mo =—= (KB) H?.
El desplazamiento del triplete varía, pues, en función del
campo, según una ley cuadrática.
Tripletes asimétricos en posición, con componentes exteriores
equidistantes de la raya inicial.
El desplazamiento de la componente mediana de un tri-
plete se explica con sólo admitir que
01 (4) =0
y que
ps (A) 0,
porque entonces
E A ASS
Por un razonamiento completamente análogo al que he-
mos hecho anteriormente, llegaríamos á la relación
IA, LGA
Esta nos dice que el desplazamiento productor de la asi-
metría, varía proporcionalmente al cuadrado del campo.
= 17
Tripletes asimétricos en posición, con componentes exteriores
que ocupan posiciones asimétricas respecto de la raya es-
pectral original.
Cuando
(AS (HE), »(H)S0 y 2 (H)So,
las ecuaciones (37) dan un triplete cuya componente media-
na tiene, respecto de la raya original, un desplazamiento ex-
presable por la fórmula
(A), =1,—% = Ko, (H)
mientras que el doblete que forman las componentes exte-
riores, admite como eje de simetría una línea cuyo desplaza-
miento, que suponemos también valuado á partir de la raya
inicial, es
(17), = Kg, (47).
Siguiendo el mismo razonamiento que en los casos prece-
dentes, se demuestra que
(A, y (65),
son proporcionales al cuadrado del campo.
Asimetrías de intensidad.— La teoría de Dufour permite
explicar las asimetrías de intensidad que presentan algunos
tripletes. Véase el artículo publicado por Dufour en el Jour-
nal de Physique, 4.* serie, t. IX, Abril 1910, p. 293.
Teoría de Voigt (*). — Voigt ha explicado, para el efecto
inverso, las diversas asimetrías encontradas hasta aquí en los
tripletes, suponiendo la existencia de acoplamientos entre
electrones de clases distintas.
(*) Véase W. Voigt: Magneto-und Electrooptik, pág. 258 y si-
guientes, 1908.
— “165 —
Consideremos, en primer lugar, n electrones, con cargas
e y masas m iguales, ligados por las fuerzas de acoplamien-
to que Voigt introduce.
Para las componentes de vibración según las líneas de
fuerza del campo -— que tiene la dirección del eje Z— ha-
bríamos de escribir las siguientes ecuaciones:
MAA a iZ Sa es a
lez la llas 2 to ces aj NOA,
2 H KZ | Mar 21 4 Ho 271 + Ms n (38)
MUZ" + EZ — Ueica + Mno ÑO a ae + lo CI
siendo
(05 == 10, => + Do
Z es una de las componentes del campo eléctrico de la
onda luminosa y k es el parámetro de las fuerzas casi-elás-
ticas. Los nuevos parámetros h;z, cuando k =J, deben su-
ponerse funciones lineales del campo magnético. Los A¿, son
constantes de amortiguación é independientes, probablemen-
te, del campo.
Análogamente, para las vibraciones normales á las líneas
de fuerza, escribiríamos:
mx e fa E fi se E nn E
HE £n YH 2 Ys + +... A O
Mx" y 4 KXo + far Xy da 3 l conos + faena +
+ 21 Y HL Ys $ e... >
COAST BOO
di ; : : (S9)
MY" Y] — 11 1 — ay a e —8 n1XnT
+ Y Ft Y th e... + fina =eY
My". + Kyo — 819 4 — 92 X2 — o... =D oa a
LT fa Vas Via E o: en Y ón eX
-—- 7166 —
siendo
A Li =— fej
Ej =2, 2jk= + E2tkj
Los parámetros f;¿ son, como los h;; de las (38), constan-
tes de amortiguación, independientes del campo; los f;¡, para
k=]J, y todos los 9 ;y, deben suponerse funciones lineales de
la intensidad del campo. Puede verse fácilmente que los pa-
rámetros 2;;= 2 miden la acción directa del campo magné-
tico sobre cada electrón. Voigt denomina acoplamientos de
primera clase á los correspondientes á los parámetros f;x, y
Acoplamientos de segunda clase á los definidos por los £;g:
Concretándose al caso de dos electrones de distinta clase
ó de períodos propios diferentes, Voigt hace ver que la pre-
sencia de acoplamientos entre las componentes normales de
las vibraciones basta para explicar las varias asimetrías que
han sido observadas en los tripletes.
Las fórmulas (38) y (39) no comprenden — como ya hemos
indicado — el caso en que los electrones vibrantes son de
distinta clase; pero pueden ser fácilmente generalizadas.
Tratándose, por ejemplo, únicamente de dos electrones,
substituiriamos las fórmulas (39) por las siguientes:
mx" +kx4+hx— fx +2y+2g y =eX
1 Xx 2% SoY =0M|
my" +ky ¿hy —2g0X —8 x— Joy =eY
mx" + kxR+hx+fx+g y eN
40)
k y k son los parámetros de las fuerzas casi-elásticas;
hh los de las fuerzas amortiguadoras; £ y f son funciones
lineales del campo, y g mide, como antes, la acción directa
del campo sobre los electrones móviles.
Partiendo de las ecuaciones (40), Voigt deduce que los
acoplamientos de primera y segunda clase de las componen-
0
tes que vibran normalmente á las líneas de fuerza, que están
representados, respectivamente, por los parámetros f, y Zo,
dan ya por sí solos motivo á asimetrías de los tripletes de
Zeeman.
Para explicar el desplazamiento de la componente media-
na, es preciso recurrir á acoplamientos entre las compomen-
tes de vibración paralelas á las líneas de fuerza.
Cuando se presentan simultáneamente todos los acopla-
mientos mencionados, pueden originarse movimientos muy
diversos de las rayas del triplete. Las fuertes asimetrías des-
cubiertas por Zeeman (*) y observadas poco después por
Gmelin (**), que no encuentran explicación dentro de la hi-
pótesis de electrones no acoplados, pueden así explicarse
por la suposición de acoplamientos entre electrones de cla-
ses distintas.
La teoría de Voigt es preferible á la de Dufour, por ba-
sarse ésta en hipótesis que no responden á hecho experi-
mental alguno.
(*) Verslagen Akademie Amsterdam. Sesión del 29 de Febrero
de 1908.
(+**) Physikalische Zeitschrift, 9, 212, 1.2 de Abril de 1908.
— 768 —
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OY
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— Sur une nouvelle méthode de spectroscopie interférentielle. —
C. R. 126, 34, 1898.
— Etude de quelques radiations par la spectroscopie interféren-
tielle. — C. R. 126, 407, 1898.
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O A
— 710 —
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Nagaoka. — Difference between Longitudinal an Transversal Zee-
man Effects in Helium Lines. — Proc. Tokyo Math. Phys. Soc.
:2) 5, 144, 1909.
7
DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO
XXXII. — Conferencias sobre Física matemática. Teorías di-
versas, por José Echegaray. Conferencia octava...
XML, — Conferencias sobre Física matemática. Teorías di-
versas, por José Echegaray. Conferencia novena. Es
XXXIV.— Apuntes sobré Mecánica social, por Antonio Por-
- tuondo y Barceló (continuación) a ds
XXXV. a asimetria de los tripletes de Zeeman, por Ma-
nuel Martinez-Risco y Macías (conclusión). da 4 .
en el extranjero, en. dle Secreta de la Academia, callo de ;
verde, núm. 26, Madrid. y
Precio de este a , 1,50 pesetas.
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REAL ACADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES
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MADRID
TOMO X.—-NÚM. 10. PS 3
Abril de 1912. : :
MADRID e
ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL pa e
' CALLE DE PONTEJOS, NÚM, 8. pS ve
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ADVERTENCIA
Los originales para la Revista de la Academia
se han de entregar completos, en la Secretaría de
la Corporación, antes del día 20 de cada mies,
pues de otro modo quedará su publicación para
el mes siguiente.
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— 7111 —
XXXVI. — Conferencias sobre Física matemática.
Teorías diversas.
POR JOSÉ ECHEGARAY
Conferencia décima.
SEÑORES:
Con el objeto de buscar nuevas soluciones á la ecuación
de Laplace, no porque por el momento hayamos de utilizar-
las, aunque en otra ocasión las utilizaremos, habíamos consi-
derado el caso particular en que dicha ecuación se reducía á
dos términos; y anunciamos, que para esta última ecuación
diferencial, la teoría de las funciones de una variable imagi-
naría nos podía suministrar un número infinito de soluciones
particulares, y á este propósito recordamos las nociones más
elementales de esta última teoría, quiero decir de ¡a teoría
de las funciones de variables complejas, presentando de
paso algunas consideraciones sobre el concepto general de
función.
Tal era el punto á que llegábamos al terminar la confe-
rencia precedente.
Permitan mis alumnos que todavía amplie algo aquellas
consideraciones:
Bien sencillo es el concepto de función cuando se trata de
las funciones que reciben el nombre de algebráicas; puesto
que dado el caso único que consideramos, para simplificar,
de una función de una sola variable independiente, conoci-
Rev. AcAD. DE CrrxcIas.—X.— Abril, 1912, 57
— 7112 —
das son las operaciones, que sobre x hay que efectuar para
obtener y, en la hipótesis, por de contado, de las funciones
explicitas. Serán: sumas, restas, multiplicaciones, divisiones,
potencias y raíces, y analíticamente ó mejor dicho, numéri-
camente, esto no ofrece dificultades de ningún género.
Pero, después de las funciones algebraicas, vienen las
funciones transcendentes, que muchas de ellas se estudian
en el álgebra elemental, y en que la relación entre la varia-
ble independiente y la función se expresa por manera muy
distinta, que en las funciones algebraicas.
Presentemos algunos ejemplos:
Tomando sobre una circunferencia á partir de un origen un
arco S, el seno de este arco, que llamaremos s, está perfec-
tamente determinado por la construcción geométrica que lo
define; de manera que, con perfecto derecho, podemos decir
que s es función de S, y podemos escribir también
Sen (Ene S)
Ó abreviadamente
s=f (8),
y f será el símbolo abreviado de una construcción geomé-
trica que da s, conocida S.
Pero ¿qué operaciones hay que efectuar sobre cada valor
de S para obtener s?
¿Á qué sumas, restas, multiplicaciones, etc., en número
finito hay que someter cada valor del arco $ para obtener el
valor correspondiente s del seno?
Pedirnos esto, es pedirnos un imposible, un absurdo, es
un atentado, pudiéramos decir, contra la lógica matemática.
No hay operaciones aritméticas en número finito capa-
ces de dar para cada valor de S el valor correspondiente
dl Se
S, 6 mejor dicho, seno, ó abreviadamente sen, es aquí un
— 7113 —
simbolo general de función, que simboliza la construcción
geométrica que da el seno conocido el arco; pero no repre-
senta en manera alguna un conjunto finito de operaciones
aritméticas.
Y es que el seno de un arco es una función transcendente
bien definida; pero que pertenece, por decirlo de este modo,
á una familia, á una especie, irreducible á las funciones al-
gebráicas.
Y otro tanto podríamos decir de todas las demás líneas
trigonométricas; y otro tanto de las exponenciales, y de los
logaritmos; y en una elipse el arco es función de la abscisa,
dado un origen, mas pertenece á otra familia de funciones,
á. las funciones elípticas.
Y las integrales en un número infinito de casos, como de-
cíamos en el curso precedente, definen nuevas funciones
transcendentes, que son nuevas familias Ó nuevas especies,
empleando términos de Historia Natural.
Y otro tanto podemos repetir aún de las abelianas.
En suma, después de las funciones algebraicas, que es la
especie más sencilla, por decirlo así, de las funciones, nos
encontramos series infinitas de funciones transcendentes, que,
con rigor absoluto, jamás pueden expresarse algebraicamente
ni unas por otras.
Recuerdan, y perdóneseme esta comparación, las especies
vegetales y las especies zoológicas, según antes se conside-
raban: separadas eternamente unas de otras, y unas á otras
irreducibles, y lo mismo podemos decir de los átomos de
los cuerpos simples.
Sólo que en la botánica, en la zoología y en la química, las
teorías modernas de la evolución, del transformismo y de la
radio-actividad, van quebrantando aquel aislamiento de las
especies orgánicas ó inorgánicas; y, en cambio, en matemá-
ticas, jamás una verdadera transcendente de x podrá expre-
sarse por una función algebraica, ni dos transcendentes de
familia distinta podrán expresarse una por otra, salvando
— 714 —
desde luego los campos naturales de transición entre unas y
otras regiones analíticas.
Asi, volviendo al ejemplo primitivo, sería absurdo preten-
der que se expresase el seno de un arco por un número finito
de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y
raíces del arco.
Claro es, que aquí nos referimos á representaciones analí-
ticas rigurosas, y no á métodos de aproximación numérica
de los que se emplean en las aplicaciones y en la práctica.
E
+ *
Acabamos de afirmar, presentando un ejempl:», que jamás
una función transcendente equivale rigurosamente á una
función algebraica, y que así el seno, en nuestro ejemplo,
jamás puede expresarse en función algebraica del arco, pero
necesitamos hacer una reserva y una aclaración, que va he-
mos hecho en esta conferencia.
Varias veces hemos empleado esta frase, que es funda-
mental: Número finito de Operaciones aritméticas.
Así hemos afirmado, y seguimos afirmando, que, dado el
valor de un arco en general, nunca puede expresarse el valor
del seno por operaciones en número finito, aplicadas al nú-
mero que expresa la longitud del arco.
Decimos en número finito, porque si el número de opera-
ciones pudiera ser infinito, ó indefinido, entonces el seno
puede expresarse como límite de un número infinito ó ilimi-
tado de operaciones algebraicas.
En efecto, todos mis alumnos saben que el seno puede
desarrollarse en serie convergente del arco x, en esta forma:
x* ' x5 Sel
PARES ANN A +
y aquí el segundo miembro es una función algebraica ..... ¡li-
mitada.
— 7115 —
Para obtener el seno de x, las operaciones que se efectúan
en el segundo miembro son sumas, restas, elevaciones á po-
tencia y divisiones.
En rigor, el segundo miembro es un polinomio, y parece,
según esto, que un seno puede expresarse por un polinomio.
Pero no es un polinomio de un número finito de términos,
sino que es una serie; serie podemos decir de forma alge-
braica.
Y esto que hemos dicho del seno de un arco es aplicable
á un número infinito de funciones transcendentes.
Por eso, para la misma teoría, para las aplicaciones y para
las aproximaciones numéricas, tienen tanta importancia, im-
portancia verdaderamente fundamental, los desarrollos en
serie de las funciones transcendentes. Porque es, en cierto
modo, y al amparo del infinito, convertirlas en funciones
algebráicas.
Al amparo del infinito hemos dicho, y perdóneseme aquí
una comparación.
Las especies vegetales y animales en el mundo orgánico
y los cuerpos simples en la Química, se afirmaba en la cien-
cia antigua que eran intransformables. En la ciencia moderna
se supone, que con el auxilio del tiempo indefinido, de un
pasado de duración enorme, de una sucesión de siglos, y en
lenguaje acaso incorrecto, pero expresivo, con el auxilio del
tiempo infinito, se explica la transformación de unas en otras.
Pues asimismo, en una especie de simbolismo superior,
se comprende que mediante las series, es decir, con el auxi-
lio del infinito también, pueden transformarse unas funciones
transcendentes en otras ó en funciones algebraicas.
so,
El infinito, ó si el infinito á manera de concepto absoluto
no podemos comprenderlo, lo indefinido, ó bien diremos lo
ilimitado, las series convergentes, suma algebraica de térmi-
— 116 —
nos que no acaban, y á esta forma pudiéramos agregar otras
varias, como por ejemplo las fracciones contínuas y las de-
terminantes; el concepto del infinito, volvemos á repetir, y
los que con él se enlazan son auxiliares grandemente fe-
cundos en multitud de teorías matemáticas.
A las series ordinarias hemos acudido á propósito de las
funciones transcendentes, para darles forma de funciones al-
gebraicas, como otras veces pudiera acudirse á series trigo-
nométricas para expresar por las fórmulas de Fourier multi-
tud de funciones contínuas y discontínuas.
Pues á las series vamos á acudir para dar una definición
rigurosa y fecunda de las funciones de variables imaginarias.
Fijemos las ideas por medio de un ejemplo:
Si en
A Z=f (2),
siendo
ZE NN
2=x + y V—1,
no tiene significación inmediata, forzosa y necesaria, el
símbolo f cuando expresa una función transcendente; si por
ejemplo, el segundo miembro de
X + Y a = sen (x a 1 AE)
no tiene interpretación alguna directa, porque directamente,
a priori, nada quiere decir el seno de un arco imaginario; á
dicha expresión, por lo mismo que nada significa por si,
podemos darle una significación cualquiera, que nos conven-
ga, con tal que los términos de tal definición no conduzcan á
contradicciones de ningún género.
Y la definición será esta:
sen (x + yy —1) simbolizará abreviadamente una serie
de x-- y — 1 de forma idéntica á la que define el seno
de un arco real.
A
py
— 111 —
Es decir: que sen (x + y TA expresará
AN E
MES E A
Y como se demuestra que esta serie es convergente, más
aún, absolutamente convergente; porque lo es la serie de los
módulos, podremos emplear en el cálculo el simbolo
senlx-+ y Y —1)
con una significación perfectamente determinada.
Mas aún, tendrá una forma algebráica, será una especie
de polinomio indefinido.
Mas todavía, evidentemente esta serie, desarrollando las
potencias se compondrá de una serie real y de otra serie
también real como factor de VE. De modo que en la
ecuación
X+Y V—1= sen (x + y y)
Xé Y serán funciones reales perfectamente determinadas,
serán las dos series á que acabamos de referirnos.
Esto se funda en que por razones de convergencia se pue-
dan agrupar los términos en la forma indicada.
Y por último, mediante tal definición y definiciones análo-
gas, para las demás líneas trigonométricas, se demuestra con
facilidad suma, y por cálculos elementales, que á las varia-
bles imaginarias, Ó si se quiere emplear esta otra frase, á
los arcos imaginarios, se les puede aplicar todas las fórmulas
de la trigonometría ordinaria.
Claro es que, como no escribimos un tratado de análisis
y estamos siempre hostigados por el remordimiento, que en
nosotros despierta una y otra digresión, no podemos des-
cender á pormenores y hemos de contentarnos con apuntar
ideas generales. Y con lo dicho y cerrando uno tras otro los
.....o
— 1/8 —
paréntesis que vamos abriendo, volvemos á aquel punto en
que decíamos que, mediante la teoría de las funciones de
variables complejas, era posible, casi á voluntad, encontrar
una serie de soluciones para la ecuación diferencial de se-
gundo orden
Y quizás lo hemos dicho demasiado pronto; porque aun
nos queda por explicar otro concepto importantísimo que á
poco que cediéramos á la tentación podría lanzarme á nue-
vas digresiones.
Hemo definido las funciones algebraicas y transcendentes
de una variable imaginaria, x + yV=— 16
Pero es elemento importantísimo en el estudio de las fun-
ciones reales la teoría de las derivadas.
La derivada, que en las funciones de una variable inde-
pendiente es el límite de la relación entre los elementos dy,
dx, de las dos variables, marca la ley de variación en cada
punto.
Es, en cierto modo, la ley interna de generación de la
función misma. Demuestra cómo se forman los valores fimi-
tos y, x, creciendo ó decreciendo por elementos diferenciales.
Tan vital es, permitasenos la palabra, el concepto de deri-
vada, que durante mucho tiempo, quizá un siglo, se consi-
deró que toda función real tenía forzosamente una derivada.
Esta proposición parecía un axioma, cuando menos un pos-
tulado, un resultado evidente del método intuitivo, porque
en cada punto de una curva continua, salvo puntos singula-
res, se veía una tangente.
Y, sin embargo, ya lo hemos dicho varias veces, aquí la
intuición caía en falta; hoy se conocen multitud de funciones
Ne
continuas que no tienen derivada. En el primer tomo de estas
conferencias tratamos este punto.
Pues bien, ocurre plantear, respecto á las funciones de
variables complejas, un problema análogo al que acabamos
de indicar con relación á las funciones reales. :
Para que este concepto de funciones complejas tenga un
sentido y sea fecundo, no basta con lo que hemos dicho, es
preciso que definamos las derivadas en estas funciones, y
que veamos sí tienen derivadas.
La definición de derivada para dichas funciones ha de ser,
naturalmente, análoga á la de las funciones de variables
reales.
x+ yy — l es la variable independiente, su incremento
por lo tanto será dx + dy y —1
Esto no ofrece duda: en el cálculo de las imaginarias, el
símbolo Y — 1 es como una constante cualquiera. Si se re-
presenta por py aa 1 por 7, lo mismo da escribir x + y ya 1
que escribir x + y í, y en esta función lineal, si x, y varían,
la variación de la suma precedente será d x + d y í, 6 bien
dx +dy Aa 1, como antes hacíamos.
Este es el incremento infinitamente pequeño de la va-
riable independiente; el incremento de la función será
dP+dQ ya la relación de ambos incrementos
DO
dx+dyy —1
y el límite de esta relación es precisamente lo que llamare-
mos la derivada de la función compleja.
Mas para pasar al límite, necesitamos suponer que dx, dy
tienden hacia cero, y como x é y son, según suponemos, va-
riables independientes, con independencia absoluta tenderán
hacia cero los dos incrementos dx, dy; lo cual introduce una
indeterminación, que no existía en el caso de una variable
— 180 —
real, puesto que tenemos al mismo tiempo dos leyes de de-
crecimiento Ó anulación independiente la una de la otra:
la de d x y la de dy.
Así en la figura 29, en que geométricamente tenemos en X, y
la representación de la variable independiente x + y re 1
y en el sistema de los ejes P, Q, la representación de la
función
P+QV=1=flx+yV= 1)
si A es el punto representativo del valor x. + yy l al
cual suponemos que corresponde el punto A”; el punto B,
infinitamente próximo á A, corresponderá al incremento de
la variable independiente dx +- dy y — 1. al cual incre-
mento corresponderá á su vez dP + d0 Y 3119 que define
el punto B” determinado por el punto B.
Figura 29.
Al anularse dx y dy, el punto B recorre la línea BA y el
punto B' la B'A”.
Se comprende que el límite queda en este caso perfecta-
mente determinado, y que para las direcciones A B, A*B', la
relación de los incrementos de las variables imaginarias
tiende hacia un límite.
Mo Ma
Pero es que la dirección A B es arbitraria; podíamos haber
tomado AC, AD......, á cuyas direcciones corresponden en el
plano de las PO, la 4"C', AP ....., y para cada dirección el
límite en general será distinto.
Luego no puede decirse que exista para el punto A, es
decir, para el valor de la variable imaginaria x —y- UE 1
una derivada única; existirán en A, correspondiente de A”, y
alrededor de estos puntos infinitas derivadas, que dependerán
de la orientación de AB, ó sea de la relación 27 que la de-
x
termina.
Esto mismo se ve analíticamente, porque hemos dicho que
dP+dQYV—1
EA
lím
es la derivada en el punto A; pues bien, desarrollemos la
expresión anterior.
El punto A” depende de A, es decir, que sus coordenadas
P,Q, ambas, dependen de x, y; así es que, en rigor, la deri-
vada que buscamos será
dP(5y +d0(yV—1
lím
Ax ==0y VIBE = 1
Siendo P,Q funciones de las dos variables independien-
tes x, y, tendremos
PL a Ey
DES) E dx al dy
y
y, por lo tanto,
— 182 —
dP dQ
de —ay d
Ez ola Jl da
dx+dyy —1
derivada en A = lím
Ó bien dividiendo numerador y denominador por dx
Le
dea aa ONO: dy dx
1-2 =1
y por fin
dy
+ VI
derivada en A = lím E
A a e
ao dy dx
3
Say (VA
1
ap dO,/— a
[pt Y | | Pad MEE
En esta expresión se ve evidentemente lo que antes vimos
en la figura 29: que la cantidad cuyo límite se busca, y, por lo
tanto, dicho límite, dependerá en general de la relación
dy
Z
Variando esta relación variará la derivada, y para el pun-
to A Ó para otro punto cuaiquiera no será única y determi-
nada.
Las funciones de variables complejas, en el caso más ge-
neral no tienen derivada, para lo que podemos llamar cada
punto imaginario, definido por x +- y a 1P=+ oy a 1.
No son estas las funciones que estamos acostumbrados á
estudiar en el análisis, ni las que constituyen la gran masa
de sus teorías.
Por eso, prescindiendo de las funciones complejas en ge-
neral, sólo vamos á tener en cuenta las que posean una dert-
dy
vada, y para ello es preciso que a desaparezca de la ex-
S€ 5
— 183 —
presión anterior, lo cual se consigue inmediatamente, supo-
niendo que P y Q son de tal naturaleza que
EAS EOI ALSO O
O A
dx dx Ey dy (1)
1 VES
Es decir, que los cuatro coeficientes generales de numera-
dor y denominador, son proporcionales; y entonces, sus-
tituyendo el valor de
dp AOVSEA
PZA EEN 0]
dy de dy '
deducido de la ecuación precedente en la expresión de la
derivada, tendremos
d E RN NES
ES Sy 1|+ da E e A
a E ES dx dx dx
derivada en A = lím po a a
E
dx
Ó bien
MIN
A
z dx dx
derivada eo prO call Moe tun cil lata 7 en
Ma
(nes
Sa
expresión de la que desaparece el factor que contiene 2, y
queda
derivada en A = lím ora A 1)
dx dx
ó suprimiendo la palabra límite que es inútil si la cantidad
entre paréntesis se compone de derivados, que ya son por sí
— 7184 —
límites de relaciones, tendremos, llamando Z á la función y
z á la variable independiente,
derivada en A = lím pez == pta + Eo y a
dz dx 08S
en que el segundo miembro es una cantidad perfectamente
determinada si lo son P y Q, y además tienen derivada.
La indeterminación que procedía de o ha desaparecido
Xx
y la función Z tiene una derivada de la forma imaginaria Or-
dinaria en que los dos términos dependen de x, y.
Claro es que esta derivada puede tener esta otra forma
A es
dz dy dy y bg
Ó bien
EPA A e
En Y
NN dy dy
según resulta de la relación (1).
En adelante no consideraremos más funciones imagina-
rias que las que tienen derivada, para lo cual es necesario y
es suficiente que se verifique la relación (1); porque esta re-
ze 4 dea d y
lación es necesaria y suficiente para que desaparezca Ea
dE
Dicha relación (1), como es de forma imaginaria, se des-
compone en dos ecuaciones reales; en efecto, aquella rela-
ción se puede poner bajo esta forma
Lia fisio 29 En asii 200 a/c!
dx dx dy dy
== AS
é igualando las partes reales y las partes imaginarias, ten-
dremos las dos condiciones reales siguientes
AA O
A (2)
dx ely dx
Fijemos bien las ideas.
Estas dos condiciones son necesarias para que una función
imaginaria
Z=P+0V-=1=f(x+yV--1)
Ó bien
Z=P(y)+0(9V—-1
tenga una derivada.
Más claro: como P y O, son funciones de x, y, las deri-
vadas que entrar en las relaciones (2) serán funciones per-
fectamente conocidas de x, y, tomando las derivadas que se
indican, y entonces dichas ecuaciones (2) serán relaciones
en x, y, que deberán ser satisfechas para todos los valores
AECA):
En ¡a región en que las condiciones (2), se conviertan en
identidades, es decir, para todo punto definido en estas re-
siones por x + y V —1, la función imaginaria Z tendrá una
derivada. Si en otra región las condiciones (2), no quedaran
satisfechas, no tendría derivada la función Z.
Como no apuramos el problema y nos contentamos tan
sólo con dar ideas generales, tenemos que hablar forzosa-
mente con cierta vaguedad.
Pero volvamos á las condiciones expresadas, que son
fundamentales, que ya puede decirse que son clásicas, y que
nos permitirán encontrar un número infinito de soluciones
para la ecuación de Laplace, reducida á dos términos.
— 186 —
Acabamos de ver, que en la expresión imaginaria
P+Q ve — 1, en que P, Q son funciones de x, y, estas fun-
ciones P y Q no pueden ser arbitrarias si la función Z=
P=0Q VE =Flx, + y (ed 1) =f (2), que de todas
estas maneras se puede escribir, ha de tener una derivada.
Es forzoso que P y O sean tales, que
Eo
49
dx dy” dy dt
etectuando las diferenciaciones con relación á P y O, se con-
vierten en identidades.
Si P y Q han de satisfacer á las condiciones precedentes,
es claro que P y Q no pueden ser arbitrarias. Si arbitraria-
mente las escogiésemos para formar la función imaginaria,
P+QY=1=f(x+yV=1)
ésta sería una función imaginaria, pero no de las que gene-
ralmente se estudian en el análisis, porque esta función no
tendría derivada, según hemos visto.
Y ocurre este problema:
¿Cómo han de escogerse P(x, y), Q(x, y), para que la
función imaginaria, que con ellas se forme, sea de las que
poseen derivada de la forma imaginaria corriente?
La respuesta es inmediata: escogiendo P y O de modo
que satisfagan á las dos condiciciones fundamentales, ó di-
cho de otro modo, deduciendo de
a
0/38 dy dy Wes
los valores, ó sea las formas de P y O; que es como si dií-
jéramos integrando estas dos ecuaciones difererenciales en
que las variables son x, y, y las funciones P, Q.
Pero hay un procedimiento general inmediato para obtener
infinitas soluciones P, Q, que se funda en esta proposición.
= 181 =
Si se tiene
E y E
en que findica una serie de operaciones analíticas, ya sean
operaciones transcendentes, como logaritmos, líneas trigo-
nométicas, exponenciales, funciones elípticas, etc. ..... de-
finidas, por de contado, estas operaciones f por medio de
series, como antes explicábamos; esta función f podrá po-
nerse bajo la forma P + OQ yaa 1 y esta P y esta Q satisfa-
- rán á las condiciones expresadas.
Que podrán ponerse bajo esta forma, ya lo hemos demos-
trado, porque no hay más que tomar en las series la parte
real y la parte imaginaria, de modo que podremos escribir
P(x,y) +0 (0,9) Y —1=f(x + y Y —1)
que será una identidad dadas /as definiciones establecidas.
Y ahora, diferenciando con relación á x ambos miembros
y Observando que f Ix + yy — 1* puede considerarse como
una función de función, es decir, f como función de
ZH+Y a 1, como variable única, y ésta como función de
de x y de y, tendremos
CAVA A NS ma IFE,
dx" dx d(x+yY—1) dx
de 20/73 Ule+yV—1) ale+9V—1)
dy dy E) d y
ó bien
CAR AO a E
OS dlx+yV—=1)
O a les NE)
a E dlx+yV-=1) al
Rev. AcaAD. DE CIrNcIas.—X.— Abril, 1912. 58
— 788 - -
de donde eliminando la expresión
dflx+yV—1)
dlx4+yV—=1)'
que es única y la misma en ambas ecuaciones, resultará
y (PV
E
que se descompone en las dos siguientes, igualando las par-
tes reales y las partes imaginarias:
ae ptes o aia
dx aye a dx
Pero estas son precisamente las condiciones para que la
función imaginaria f tenga una derivada. EN
Como podemos escoger arbitrariamente f lr yy —1)
podremos obtener de infinitas maneras expresiones de Py Q
que cumplan con la condición de que se trata.
De aquí se deduce un procedimiento práctico, sumamente
sencillo, para obtener sistemas de valores de P y O.
Para fijar las ideas presentemos un ejemplo: llamemos z á
la variable imaginaria x + y NS 1, y establezcamos una
función de z escogida á voluntad. Sea
z? sen (2)
y pudiéramos haber escogido otra cualquiera.
A fin de evitar cálculos enojosos hemos tomado esta.
Para desarrollarla, pongamos en vez de z su expresión
imaginaria x + y V — 1 y tendremos
(+3 V=1) sen(x+3Y=1),
— 189 —
Todo está reducido á poner esta expresión bajo la forma
ordinaria P + O ae
El cálculo es elemental y sin explicación lo desarrollamos.
(12 —y2 42 Xy y cER) (sen x - COS y yeaz 1 + cos x sen y Yo 1)
| Er > =p) y A EA
[ee +F2xy y Ts | [sen Xx - E cos x <= op Pr |
Y y
[=> sen x a — Xy cos x (e) — | +
— [6 — y?) cos x - == + Xy sen x (e) + | VE
de donde la parte real, que es P, será
Y Y
P = (x?— y?) sen x y cos x (e) — er)
y el coeficiente de pos 1 que es Q será asimismo
DE
Q =(x? - y?) cos x == + xy sen x (e) 4- e79).
Lo cual se comprueba inmediatamente viendo que la dife-
rencial de P con relación á x es igual á la de ( con rela-
ción á y.
Ahora bien, y ya llegamos al fin, si hemos encontrado por
este procedimiento sencillísimo y eminentemente práctico,
expresiones determinadas para P (x, y) y Q (x, y) podre-
mos demostrar, que estas serán soluciones de la ecuación de
Laplace de dos términos
EN d? V
ase dy?
— 7190 —
En efecto, P y Q hemos visto que satisfacen á las condi-
ciones
,
ae O E. CUA
dx Ad, di
Diferenciemos, con relación á x la primera y con relación
á y la segunda ecuación y tendremos
de PIE AA" “a RARO
a dx dy
y sumando
aa e e A
ass aye y
Y como venimos operando sobre identidades, esta será
también una identidad o =0.
Luego P (x, y) es una función tal, que sustituida en lugar
de V en la ecuación de Laplace de dos términos la satisface,
convirtiéndola en la identidad o = 0.
Otro tanto podemos demostrar para Q. Ditferenciando la
primera ecuación con relación á y, y la segunda con relación
á x, obtendremos
EJE A Ae UnaariQ
dx dy AY a ae
y restando
EQ di
0/SSe E
Luego también es solución de la ecuación reducida de
Laplace la función O.
Queda, pues, demostrada la proposición fundamental, y á
la vez queda expuesto un método rapidísimo para obtener
— “191 —
cuantas soluciones se quieran de la ecuación de Laplace de
dos términos. |
El procedimiento es este, y no puede ser más sencillo;
volvamos á repetirlo:
1.2 Se escribe una función cualquiera, bien definida
de x ya
Ax = y
2.” Se pone esta expresión, por los procedimientos del
álgebra, bajo la forma. ordinaria
P (0,7) +0Q(,y9V—1
3." Py Q serán soluciones de la ecuación de Laplace,
reducida: de modo que tendremos
afila dee jee
dx? d y?
y también
ARO Se
dxz dy?
Una observación para concluir este punto: no hay que
confundir el símbolo f, cuando es simbolo de una función
Z de z, definida por dos conjuntos de valores de z y Z, del
caso en que f representa operaciones bien determinadas, que
si son operaciones de funciones algebraicas serán en número
finito, y si son operaciones de funciones transcendentes, por
ejemplo de series convergentes, serán en número infinito.
Podemos decir, en general, que para nuestro caso siempre
f define operaciones determinadas.
Nuestra demostración, precisamente se funda en esta hi-
pótesis.
- 192 —
Y ya podemos cerrar este nuevo paréntesis, y recordar
que todo lo que acabamos de decir se refiere á este propó-
sito: el de poner en evidencia, que la ecuación diferencial de
segundo orden de Laplace
EN) EN UU OSUNA
dx? dy? de”
comprende multitud de familias, por decirlo así, de funciones
de tres variables: x, y, z; 0, de otro modo, que dicha ecua-
ción de Laplace tiene infinitas soluciones con multitud de
formas.
Hemos citado polinomios de primer grado, polinomios de
segundo grado y aun del grado n; funciones trigonométricas
y exponenciales; hemos obtenido, aun por la teoría de las
funciones de variables complejas, otra multitud de integra-
les, y, por último, aun antes de empezar dicha enumeración,
habíamos obtenido esta integral
ó bien
toMttir es ubinos. SCA
¡A
Precisamente por este camino vinimos á encontrar la ecua-
ción de Laplace: por el de la teoría de las potenciales.
Esta función —— hemos visto que satisface á la ecuación
7
de Laplace, siendo a, b, c, constantes; y lo hemos demostrado
prácticamente tomando las derivadas segundas con rela-
ción á x, y, z; sumando y viendo que la ecuación de Lapla-
tested 1) 0
Y vimos más, todo en la teoría de las potenciales: que la
suma en número finito de muchas expresiones de esta for-
MES
ma —, á Saber:
Ññ
Ó bien
M M
ea o
Vía) +03 9H (029 Vía Py) (02)
también satisface, dicha suma, á la ecuación de Laplace.
Y todavía más: hemos demostrado: Que esta suma puede
contener un número infinito de términos continuos ó discon-
tinuos, de modo que puede tomar la forma de una integral.
Sólo que en este caso es preciso que nunca las coordena-
das a, b,c, puedan confundirse con la x, y, z; pues en tal
hipótesis, á la ecuación de Laplace hay que sustituir la ecua-
ción de Poisson.
En estos ejemplos, y en otros muchos que pudiéramos
presentar, hay que considerar dos casos: Que la función que
satisface á la ecuación de Lapiace, ó sea la integral que se
considere, que es decir lo mismo con otras palabras; que di-
cha función, repetimos, sea uniforme. Es decir, que para cada
sistema de valores x,y,z la función sólo tenga un valor
bien determinado.
Si no fuera así, si la función pudiera tener diversos vale-
res, entonces tomaría el nombre de función multiforme; y
aunque sea invadiendo el campo del análisis puro, de paso y
como preparación para ciertas aplicaciones, alguna vez en
estas conferencias estudiaremos dicha teoría, íntimamente
enlazada con la de las funciones de variables complejas.
Aún es importantísima para la teoría de las potenciales,
porque hay que distinguir el caso en que para cada punto
del espacio la potencial es única, del caso en que puede to-
— 7194 —
mar diferentes valores. Es decir, en que sea una función mul-
tiforme.
Caso que parecería verdaderamente extraordinario sería
éste: que la potencial fuera una función multiforme. Es
decir, que en cada punto del espacio pudiera tener valores
distintos, según el camino que para llegar á dicho punto se
siguiera; porque esto haría cosa corriente el movimiento
contínuo, la creación ó la anulación de la energía, trastornan-
do del todo el mundo que hoy la ciencia concibe: mundo
conservador de la energía.
Ejemplo singularisimo, repetimos, de como los conceptos
más abstractos se enlazan de tal modo con la realidad, que
pueden ante la inteligencia humana trastornar el cosmos por
completo.
Pero cuestión es esta que hemos de discutir más á fondo,
cuando llegue el momento que creamos oportuno.
Por ahora, digamos tan sólo á manera de noticia anticipa-
da, que existen muchas funciones multiformes que satisfacen
á la ecuación de Laplace. |
Por ejemplo, y no citaremos más que este,
1
Vle—aoV=1) + (0 =D + (ce +V=1)
Ya explicaremos en otra ocasión cómo y por qué esta fun-
ción es multiforme. Por lo demás que satisface á la ecuación
de Laplace, se comprueba inmediatamente.
Para terminar esta conferencia, saldremos al encuentro de
un error, verdaderamente elemental, en que pudiera caer
quien se dejara influir por la intuición no más, y por analo-
cías falsas y superficiales, de que la lógica da buena cuenta
mmediatamente.
— 7195 —
Pudiera pensarse, instintivamente, que si la expresión
AE. AR
V(a—=x3)*+(0—= y) H(c—2)
satisface á la ecuación de Laplace, suprimiendo el término
en z, satisfaría
1
WEE
á la ecuación diferencial de dos términos
d? V AENVA
a? alt
Esta proposición es absolutamente falsa. La analogía ilu-
soria y sin ninguna fuerza lógica.
Para salir de dudas, no hay más que efectuar las diferen-
ciaciones con relación á x, y, y sustituir en la ecuación de
dos términos.
Tendremos, en efecto:
1
e A ES,
VA dx ES
dx pre OS
a AA
Vía — DE (0—y)? _b=Y.
dy re
Y tomando las derivadas segundas
o — 38 —(a — x)- 3 r? ELN o A"
le DNA 11 BO dx $ r
Mates rS ró
ME AOS
fe
— 196 --
ea
A OS
dy? TA A OTE A
luego
rante ula
nr _— 2 +34 0
di 7 AUT E
y
pe e
Ml la RL
a
ac? is dy? ¡pe pe
en que el segundo miembro no es cero, de modo que en
este caso
1
We Halo ar
Vía) +(0=y7
no es solución de la ecuación de Laplace de dos términos,
sino de una ecuación de esta forma
ANN A
a , :
als9% dy? Ys
y es porque faltaba precisamente el término en z, que con-
virtiera el término del numerador en —3r? el cual destruyera
el segundo término de dicho numerador.
Por eso lo hemos dicho varias veces: La intuición es, en
cierto modo, la visión de las totalidades, es para investigar
una potencia fecundísima, pero sus afirmaciones hay que
comprobarlas.
En la conferencia inmediata entraremos en el estudio ele-
mental de la ecuación diferencial de Laplace, ya que en esta
no hemos tenido tiempo para ello.
A
XXXVII. —Conferencias sobre Fisica matemática.
Teorías diversas.
BORO SEE CENAR Ye
Conferencia undécima.
SEÑORES:
Habíamos llegado á la ecuación diferencial de Laplace
d2U or U aia 0
0
dee di dy? Ñ (Bla
por la teoría de las potenciales, como ecuación á que satista-
ce la potencial de un sistema de masas, ejerciendo acciones
newtonianas sobre un punto exterior al sistema.
Es decir, sobre un punto que no coincide con ninguno de
los que constituyen el sistema en cuestión.
Pero agregamos que si la expresión elemental — satis-
facía á la ecuación de Laplace, existían otras infinitas fun-
ciones de x, y, z, que satistacian á la misma, y en las con-
ferencias anteriores hemos presentado multitud de ejemplos.
En esta variedad de soluciones particulares vamos á con-
siderar únicamente las funciones uniformes, y en ellas están
comprendidas las potenciales; pero el estudio que hemos de
hacer será general.
Claro es que á la ecuación de Laplace satisfacen, no sólo
infinitas funciones de la ciencia pura, por decirlo de este
modo, sino funciones que corresponden á diferentes ramas
de la Física Matemática.
— 798
Porque ya lo hemos dicho: La función de Laplace se apli-
ca á la teoría de la atracción, á la electricidad estática y di-
námica, al magnetismo, á la propagación del calor, á la hi-
drodinámica, y por de contado y muy particularmente á la
teoría de la potencial newtoniana.
Mas por el pronto estudiaremos la ecuación de Laplace en
general, y llamaremos funciones armónicas á las que satis-
facen á dicha ecuación.
No hace mucho, en una de las últimas conferencias, diji-
mos que ciertas propiedades generales de las funciones que
satisfacen á una ecuación diferencial, pueden conocerse y
estudiarse sin pasar por la integración de la ecuación dife-
rencial; se desprenden de esta última, y agregamos que este
método es el bello ideal de la teoría de las integrales.
Es evidente, que en estas ecuaciones diferenciales sólo
están escritas las propiedades generales de las funciones que
representan: las propiedades particulares de cada grupo ó
de cada función han de estudiarse de otro modo, y es pre-
ciso, ante todo, que estén definidos tales grupos ó funciones
particulares. :
Podemos decir que lo general sólo lo da lo general.
En resumen, vamos á estudiar ciertas propiedades a
rales de las armónicas.
En el curso de 1909 á 1910, en la pág. 102, demostra-
mos la fórmula de Green, que era la siguiente:
a
pb Gf + Hy] do.
y decíamos que esta es una fórmula de pura transformación.
OO
Es una integral triple transformada en una integral doble, y
para dar un sentido material y plástico á la fórmula del in-
signe matemático, decíamos que el primer miembro repre-
- sentaba algo que estaba dentro del volumen; y el segundo
miembro, lo que entraba ó salía de este algo por la superti-
cie: una divergencia igual á un flujo.
Tal es la iórmula general; pero hay un caso muy impor-
tante que considerar, y es aquel en que F, G, H, son las
derivadas de una función única U, como sucede con las
componentes de la fuerza en la atracción newtoniana.
Es decir, que se tiene
J J T
pe a a cióM fer Dl dl
dx dy dz
Substituyendo estos valores en la fórmula general, ten-
dremos
2 J
li + ae UN o
dx? dyz dz?
=P a e AOL d U
E E
dy dz
Si V (fig. 30) es el volumen á que se refiere la integral
triple y S la superficie, y consideramos un punto A de esta
superficie, y trazamos la normal A N, sabemos que a, P, y, '
son los cosenos de los ángulos que la normal N forma con
los tres ejes.
Tomemos sobre la normal AN un distancia A A” infinita-
mente pequeña, que designaremos por d'n.
Las tres componentes de esta pequeña longitud serán dx,
dy, dz, y es evidente que tendremos
dy sides
dn
— 800 —
y el paréntesis del segundo miembro se convertirá en
AUR
dx dn dy dn as
Fijemos ahora las ideas.
La armónica U, y si tratáramos de la potencial, diríamos
la potencial U, que depende de x, y, z, á saber U (x, y, z),
tendrá un valor determinado en cada punto del espacio.
DA
Figura 30.
Tendrá, pues, un valor determinado en A, y otro infinita-
mente poco diverso del anterior en A”; de modo que al pasar
de A á 4”, la armónica U habrá variado en d U, y la re-
lación
du
dn
será la derivada de U con relación á n, porque, realmente,
cuando sólo se consideran valores de U sobre la nominal,
U sólo depende de rn.
Así en U (x, y, z), cuando se considera la normal N, las
— 801
x, y, z, son funciones de n; y la derivada de U con relación
á n, se obtendrá derivando por la regla de las funciones de
funciones, y funciones compuestas, de este modo
du Aud ud UE dO. de
dn EIA E O
Luego el segundo miembro de la ecuación Green, en este
caso particular, podrá escribirse así:
Es UN: dE ab a.
E De
Pero si U' es una armónica para todos los puntos interio-
res al volumen V, que limita á la integral triple, para todos
los puntos del interior de este volumen, y, por lo tanto,
para todos los elementos dz= dx.dy.dz, el paréntesis será
nulo en virtud de la ecuación de Laplace, toda vez que su-
ponemos que J es una armónica.
Luego el primer miembro será igual á cero, y tendremos
ná
Nr dn
Por de contado que este razonamiento es legítimo si exis-
ten en todo el interior del volumen, y con valores finitos, las
tres derivadas segundas
d?.U d?U d*U
dx2” dy?” dz2”
lo cual hemos demostrado que sucede para la potencial, y
será preciso demostrar que se verifica en cada caso, en que
queramos aplicar esta fórmula de Green.
Resulta, por lo tanto, que todas las armónicas que tienen
derivadas segundas, si se aplican á una superfice cerrada,
darán un flujo nulo; es decir, que tomando en cada punto de
a
— 802 —
la superfice la derivada con relación á la normal, multipli-
cándola por el área infinitamente pequeña de superficie, que
corresponde á dicho punto, y sumando, dicha suma será
nula.
Es una propiedad de las armónicas, que hemos deducido
de la ecuación diferencial que las define, sin pasar por la in-
tegral; y esta propiedad, como vamos á ver, da lugar á algu-
nas consecuencias muy importantes, sobre todo por sus
aplicaciones á la Física Metemática; por ejemplo, á la elec-
tricidad estática, que es la que hemos de estudiar quizás en
el curso próximo. |
Estudiemos algunas de estas consecuencias.
1.4 Una función armónica finita y que tiene, como antes
decíamos, derivadas primeras y segundas en el interior de
un volumen, resulta de la condición precedente, que en el
interior de dicho volumen no podrá tener ni máximo, ni
minimo.
La demostración es inmediata.
Supongamos que en un punto A, fig. 31, para la función
armónica U, existe un máximum de esta función.
Desde el punto 4 como centro con un radio r suficiente-
mente pequeño, tracemos una esfera E. Si en el punto A la
función armónica U tiene un máximum y el radio de la esfera
es suficientemente pequeño, en todos los puntos B de la es-
fera el valor de U será inferior al valor de A, y, por lo tanto,
la variación de U al pasar de A á un punto B de la esfera, es
decir, A U, será una cantidad negativa; luego para todos los
puntos de la esfera, _ será una cantidad negativa. Mas el
teorema de Green aplicado al caso particular de las fúncio-
nes armónicas, que tienen primeras y segundas derivadas
— 803 —
finitas y determinadas, nos da para la esfera E, que es un
espacio cerrado
EA ds =0
S dn
en que S representa la superficie de dicha esfera.
Figura 31.
Por lo tanto, la integral precedente, siendo todos los va-
-
lores de 20
7 esencialmente negativos, se compondrá de una
a
suma de cantidades negativas y no podrá ser igual á cero.
Así la hipótesis de que hemos partido, á saber que U tiene
un máximo en A, conduce á un resultado absurdo.
Claro es qne no suponemos igual á cero el radio de la es-
fera, porque entonces la superficie de ésta tendería hacia
cero. Sólo suponemos que dicho radio es suficientemente
pequeño, aunque finito, para: que todas las derivadas =—
correspondientes á los distintos puntos de la esfera E sean
negativas.
Rxv. AcAD. DE CieEncIas.—X.—Abril, 1912. 54
— 804 —
Es decir, que el radio puede ser finito y entonces también
lo es la superficie de la esfera y desaparece la dificultad an-
terior.
Si aún se quiere precisar más el razonamiento llaman-
do M al valor medio de la derivada, el valor de la integral
será
mf (do — M pe
S 3
y como M y r son finitas, tendremos una cantidad negativa;
y una cantidad negativa, y por de contado tinita, no puede
ser igual á cero.
Los mismos razonamientos pueden aplicarse al caso en
que U adquiera un mínimo en A.
Trazando una esfera de radio suficientemente pequeño
(pero no cero), para que en todos los puntos de la esfera, AU
sea positiva, para todos estos puntos veremos como antes
que la derivada o es positiva. Positivos serán todos los
elementos de la integral, y será imposible, que la suma, es
decir, dicha integral, se reduzca á cero.
En resumen, hemos demostrado que la armónica U no tie-
ne en su campo ni máximo ni mínimo.
Si la armónica U fuese una potencial newtoniana, esto
quería decir que no puede tener ni máximo ni mínimo en
puntos exteriores á las masas.
2.2 Imaginemos una línea CC” (fig. 32) en el campo de
una armónica U, y supongamos que en todos los puntos de
esta línea la armónica tiene un valor constante c superior al
valor que adquiere en puntos suficientemente próximos á
dicha línea.
— 805 —
Es decir, que la línea CC” es una línea de máximo valor
de la armónica respecto á los puntos que la rodean, dentro
de una distancia e suficientemente pequeña. Y vamos á de-
mostrar que este máximo lineal es imposible.
Tomemos un punto A en la línea y con un radio R sufi-
cientemente pequeño, aunque no cero, é inferior á e, trace-
Figura 32.
mos una estera E, y apliquemos como antes á esta esfera el
caso particular del teorema de Green
Je 05 = 0%
S adn
Nos proponemos demostrar que esto es imposible.
Como para todos los puntos B suficientemente próximos
á la línea CC” el valor de la armónica es inferior á su valor
constante c sobre la línea, y por lo tanto al valor en A, al
pasar de A á B, es decir, sobre la normal á la estera, la va-
riación A U será negativa, porque U en A es un máximo.
Luego para todos los puntos de la esfera, exceptuando los
— 806 —
puntos C y C”, en que la línea la corta, So. que es el lí-
n
í
: NU > ;
mite de E será una cantidad negativa.
n
Tendremos, pues, en todos los elementos de la esfera,
menos en C y C”, cantidades negativas. Para estos dos pun-
tos C y C”, como el valor en C, C' y A es el mismo valor c,
porque la línea es de igual armónica, estos dos elementos de
a ; d U :
la integral serán nulos, pues E = 0; luego la integral se
n
compondrá de suma de elementos negativos y de dos ele-
mentos nulos; por lo tanto, no puede ser igual á cero.
Aunque la línea CC” cortase á la esfera en varios pun-
tos, la consecuencia sería la misma. Para dichos puntos los
elementos de la integral serían nulos, y para todos los de-
más negativos.
El mismo razonamiento se aplicaría al caso en que la lí-
nea C C' fuera lo que podemos llamar una línea mínima ar-
mónica; mejor dicho, de mínimo valor para la armónica, res-
pecto á los puntos que rodean á dicha línea á la distancia
e, suficientemente pequeña.
En efecto, siendo un mínimo el valor de la armónica en
todos los puntos de la línea C C”, en un punto cualquiera de
la esfera E, es claro que AU será positiva. Las derivadas
-
E positivas también para todos los puntos de la esfera,
n
menos para los puntos C, C” Ó sus análogos en número
finito, y como es imposible que una suma de cantidades po-
sitivas y de ceros sea cero, la condición anterior del flujo
nulo no podrá verificarse.
Abreviadamente podemos decir, que en el campo de una
armónica, y aunque no lo especifiquemos, se entiende siem-
pre bajo la condición de que existan las derivadas primeras
y segundas, no puede haber una línea de máximo valor
constante para dicha armónica.
-- 807 —
3.” Lo que hemos dicho para un punto y para una línea,
podemos repetir para una superficie de máximo ó mínimo
valor de la armónica. -
Tampoco este máximo superficial es posible en el campo
de una armónica, que cumple con las condiciones indicadas.
Es decir, ser finita y tener derivadas primeras y segundas
finitas también.
La demostración es la misma que venimos aplicando, á
N
Pigura 33.
saber: el empleo de la esfera de radio suficientemente pe-
queño, y de la fórmula de Green.
Sea S (fig. 33), una superficie en el campo de la armóni-
ca, superficie tal que para todos sus puntos el valor de la
armónica U es constante é igual, por ejemplo, á C.
Supongamos que este valor c es un máximo ó un mínimo
á un lado y otro de la superficie hasta la distancia e.
De modo que c es constantemente mayor ó constantemen-
te menor que el valor de la armónica para todos los puntos
que distan de la superficie una cantidad finita menor que e.
— 808 =
Y vamos á demostrar que esta hipótesis es imposible.
Consideremos el caso del máximo. — Desde un punto A
tracemos una esfera E con un radio r menor que e: claro es
que toda la esfera estará, por decirlo así, dentro de la capa
que comprende el máximo superficial.
La superficie S cortará á la esfera E, según una curva
C C”, que si r es suficientemente pequeño, casi se confundi-
rá con una circunferencia. Pero esto importa poco.
Como A corresponde á un máximo de U, el valor de la
armónica en cualquier punto a de la esfera será menor que
AU
en A; de modo será negativa, puesto que A ( lo es, y
n
A n, contado sobre el radio y hacia fuera, por ejemplo, es
positiva.
—
En el límite, será negativa también y todos los ele-
dn
r
mentos dad d y de la integral
dn
a '
AO ARO
extendida á la esfera, serán negativos.
Decimos todos, pero en rigor debemos exceptuar los ele-
mentos de la curva C C” que está sobre la superficie.
Para estos elementos correspondientes á los puntos de
dicha curva, por ejemplo, para el del punto b; como estos
puntos b están en la superficie, el valor de la armónica será
igual en A que en b; luego pasando de A á b, tendremos:
BE == 1 Y
y por lo tanto,
AO 0 du
An dn
= 0.
— 809 —
De suerte que los elementos de la integral que correspon-
den á la curva CC” son nulos.
Para todo el resto de la esfera son negativos; por tanto, la
integral de Green, aplicada á la esfera E, tendrá todos sus
elementos negativos, exceptuando los de la curva C C”, que
será cero; la integral será, por consiguiente, negativa, y no
podrá verificarse
0) > J
/ et ds = 0.
AS dn
Queda, pues, demostrada la imposibilidad de la hipó-
tesis.
Podemos repetir para la hipótesis d d mínimo, pero abre-
viando, la misma demostración que acabamos de dar.
Al ir aumentando n desde A, hasta un punto cualquiera a
de la esfera, el valor de la armónica U irá aumentando, por-
que el punto A, como todos los de la superficie, correspon-
den á un mínimun; luego de A á a será positiva A U; será
positiva también la derivada — todos los elementos de la
n
integral de Green para la esfera, exceptuando los de la esfera
CC”, serán positivos. Los de esta curva serán iguales á
cero. La integral se compondrá de elementos positivos y de
elementos nulos correspondientes á la línea C C”; luego no
podrá ser igual á cero y tampoco la superficie podrá corres-
ponder á un mínimo.
4.* Por último, lo dicho para un punto, una línea y una
superficie, se puede extender á un volumen, y la demostra-
ción en su esencia es igual á las precedentes.
El teorema es este:
Es imposible que si en el interior de un volumen V el
— 810 —
valor de la armónica U es constante, este valor c sea ni un
máximo ni un mínimo respecto al espacio que rodea á dicho
volumen V.
Sea (fig. 34) V el volumen que se considera.
En todo él, el valor de la armónica es constante é
igual á c. |
Tomemos un punto A en la superficie de dicho volumen
Z
Figura 34.
y desde A como centro, tracemos una esfera E de un radio +
tal que toda la esfera quede comprendida según indica la
figura, ó en el volumen V ó en el espacio exterior, pero sin
pasar la zona en la cual c es un máximo.
La esfera cortará á la superficie del volumen, ssgún la
curva CC”.
Una parte, E CC”, quedará dentro del volumen.
La otra parte, CC” E, quedará fuera de dicho volumen.
Consideremos primero el caso del máximo. O sea, que cC
es un máximo respecto al espacio ambiente; y apliquemos á
la superficie de la esfera la fórmula de Green, que siempre
hemos aplicado.
ES
Habrá que considerar dos clases de puntos en la superfi-
cie de la estera. Puntos como B, que están en E”; es decir,
fuera del volumen.
Puntos como b, que están en E. Es decir, dentro del vo”
lumen.
Al pasar de A á B, puesto que A corresponde á un máxi-
r
/
U ;
será
n
mo, U disminuye; A U será negativa; la derivada
-
negativa también, y todos los elementos ESA do de la
lara
correspondientes á la porción E” serán negativos.
- En cambio, al pasar del punto A al punto b, como toda
esta porción E está dentro del volumen, el valor de U será
constante é igual á c. Luego al llegar al punto b
integral
AU=C=c=0;
; E 4 , U .
la diferencia A U será nula; la derivada g será nula tam-
dn
bién, y todos los elementos de la integral correspondientes
á E serán iguales á cero.
La integral se compondrá, por lo tanto, de elementos ne-
gativos y de elementos cero, y no podrá ser igual á cero,
toda vez que la porción de esfera en que los elementos son
negativos es finita, y por lo tanto, comparable con E”.
La hipótesis correspondiente al máximo es, pues, im-
posible.
En el caso del mínimo no hay más que repetir el mismo
razonamiento.
T
Al pasar de A á B, U aumenta; la derivada - es po-
n
si? —
sitiva; luego todos los elementos de E son positivos
también.
Al pasa de A á b, el valor de la armónica queda cons-
tante, luego su incremento es nulo.
=
/
y
es nula también.
Luego
dn
En suma, la integral se compondrá de dos partes: una, la
correspondiente á E”, positiva; otra, la correspondiente á E,
nula; luego la integral caracteristica, por decirlo así, tendría
que ser positiva, admitiendo la proposición, lo cual no pue-
de ser, porque el flujo es nulo.
ES
E
Hemos demostrado, por lo tanto, que en el campo de una
armónica U, finita, y agregamos siempre, tácita Ó explícita-
mente uniforme para evitar toda duda, y cuyas derivadas
primeras y segundas sean también finitas y determinadas,
porque sin esta condición, ni la fórmula de Green puede
aplicarse, ni la misma ecuación de Laplace tiene sentido; en
tales condiciones, repetimos, no pueden existir para dicha
función armónica U, ni puntos máximos ó mínimos; ni lí-
neas, superficies ó volúmenes de valor constante para la ar-
mónica, y en que este valor sea máximo ó mínimo respecto
á los puntos próximos.
Estos teoremas son ya importantes, porque, aunque no
determinan el valor de la armónica, establecen varias pro-
piedades respecto á la marcha general de este mismo valor
y pueden dar ocasión al conocimiento de otras propiedades
importantes.
Y obsérvese una vez más que hemos demostrado esta se-
rie de proposiciones sin haber integrado la ecuación diferen-
cial de la que son soluciones las armónicas.
Sólo de la ecuación diferencial hemos partido; sólo en
— 813 —
ella nos hemos fundado, porque ha sido fundarnos en ella
partir de la fórmula de Green; y en este caso particular,
como hemos indicado varias veces, el primer miembro de la
ecuación de Laplace, en rigor, indica que es nulo el flujo de
la armónica para un paralelepípedo infinitamente pequeño;
y el segundo miembro de la ecuación de Green, que es el
que hemos aplicado en todas las demostraciones preceden-
tes, viene á significar esto mismo respecto á un espacio ce-
rrado cualquiera. De suerte que, con verdad, podemos de-
cir que sólo á la ecuación diferencial de Laplace, que es la
ecuación á que han de satisfacer las armónicas como inte-
orales particulares, hemos acudido, para demostrar la au-
sencia de máximos ó mínimos, en puntos, líneas de armó-
nica constante y superficies ó volúmenes que presenten el
mismo carácter.
Podemos todavía demostrar dos teoremas importantes que
se deducen inmediatamente de las proposiciones anteriores.
Teorema 1.2— Si en el interior de un volumen V una armó-
nica U (x, y, 2), es uniforme, finita y bien determinada, asi
como sus derivadas primeras y segundas, y además en todos
los puntos de la superficie S, que limita el volumen, la armó-
nica U tiene el valor nulo, será forzosamente igual á cero en
toda la extensión del volumen.
Esto es evidente casi, porque si dentro del volumen la
función tuviera un valor distinto de cero, como hemos dicho
que es finita, y como en la superficie es cero, forzosamente
tendría valores superiores ó inferiores en ciertas regiones á
los valores que tuviera en el resto.
De otro modo: en un espacio cerrado una magnitud que
siempre se mantiene finita, para anularse en la superficie .
tiene que pasar por máximos ó mínimos.
e
Estos máximos ó minimos formarán las legiones á que
antes nos referíamos y podrán ser puntos aislados, líneas,
superficies ó volúmenes. Es decir, que resultaría una contra-
dicción evidente con alguna de las cuatro proposiciones que
hemos demostrado; porque ni U puede tener puntos de má-
ximo ó mínimo valor, ni líneas, superficies ó volúmenes de
valor máximo ó mínimo y constante respecto á los puntos
inmediatos.
La demostración es intuitiva, y aquí la intuición parece
legítima.
Se ve, por decirlo de este modo, y valga la imagen, mo-
verse á U, encerrada siempre en un volumen, cayendo alre-
dedor del punto de partida, hacia la superficie, y anulándose
en ella; y como no puede dejar de ser finita, se la ve oscilan-
do entre máximos y mínimos.
Como si un aeroplano parte de la superficie del mar, se
eleva, describe varias ondulaciones, y á la superficie del mar
baja otra vez. Es decir, que parte de la altitud cero y al cero
vuelve, y como no ha podido marcharse al infinito, -habrá
pasado por una máxima altura; y si antes de bajar á cero
ha descrito curvas onduladas, también habrá pasado por uno
Ó varios mínimos y máximos.
En suma, la condición de ser nula en la superficie sujeta
á la armónica á ser nula en todo el interior del volumen.
Este teorema puede decirse que es relativo al interior de
un volumen.
También es fácil generalizarlo para el exterior, y tendre-
mos el teorema siguiente.
Teorema 2.—Sea (fig. 35), una superficie cerrada $, y
consideremos el espacio que media entre la superficie $ y el
infinito.
la
Ya no será el volumen encerrado por la superficie S, sino
el espacio que fuera de ella se extiende sin límites.
Pues también, intuitivamente, es sencillisimo aplicar á
este espacio infinito el teorema que antes demostrábamos
para el volumen comprendido en una superficie S. Porque,
en efecto, podemos imaginar una esfera inmensamente gran-
de, cuya superficie X vaya creciendo sin límite, y entonces
Pigura 39.
tendremos un volumen, que será el volumen exterior limi-
tado por dos superficies: la superficie S y la superficie *, al
cual es legítimo aplicar la demostración y el teorema ante-
rior, que es independiente de la forma del volumen, de que
lo limiten una ó varias superficies Ó de que sea conexo de
cualquier orden, con sólo agregar una condición, la siguiente:
Como * es una de las superficies que limitan este volu-
men, es preciso que en ella la armónica sea nula, como lo
es en S, para que lo sea en todos los límites del volumen.
— 816 —
Y tendremos el siguiente teorema:
En el espacio exterior á una superficie S, toda armónica
uniforme, finita, bien determinada, así como sus derivadas
primeras y segundas, si tiene un valor nulo en todos los
puntos de dicha superficie cerrada S, y, además, se anula en
el infinito, que es como decir que es nula en todos los pun-
tos de 2; esta armónica, decimos, será nula en todo el espa-
cio exterior á la superficie S.
Y la demostración es exactamente idéntica á la del primer
teorema.
Diremos, pues: si la armónica U se anula en S y en Y,
figura 35, si tiene valores finitos en lo interior y no es cons-
tante, habrá máximos y mínimos, que se distribuirán en pun-
tos p, p”... Ó se agruparán en líneas P..., en superficies s Ó
en volúmenes v, de valor constante, lo cual es imposible, por-
que hemos demostrado que no pueden existir ni estos má-
ximos ni estos mínimos.
Y fíjense bien mis alumnos: el primer teorema sólo se re-
fiere al volumen interior, y á lo que le pasa, por decirlo así,
á la armónica U dentro de ese volumen, sin referirse para
nada á los valores que tenga en lo exterior de la superficie S.
En cambio, el segundo teorema sólo se refiere á lo exte-
rior, demostrando que U ha de ser igual á cero en todo él.
Pero nada prejuzga á los valores de U en el interior del vo-
lumen que limita S.
De estos dos teoremas se deduce una consecuencia im-
portantísima y, por decirlo así, muy honda, en esta teoría de
las armónicas: que á veces las propiedades más difíciles de
demostrar, al parecer, dependen de observaciones triviales
de puro sencillas.
+k
* *
Varias veces hemos recordado que toda ecuación diferen-
cial expresa una propiedad común á varias funciones.
— 817 —
Así la ecuación de Laplace expresa una propiedad común
á multitud de funciones U de tres variables independientes,
Xx, y, z, que son las armónicas.
Siá la ecuación diferencial se agregan otras condiciones
particulares, á que deban satisfacer las integrales, esto val-
drá tanto como determinar entre todas las integrales, ó de
otro modo, entre todas las armónicas, una cierta familia ó
orupo.
Y hasta pueden ser de tal naturaleza Ó en tal número es-
tas condiciones particulares, que determinen una armónica
entre todas, distinguiéndola dentro del grupo.
Para que mis alumnos formen idea clara de estos concep-
tos presentaré un ejemplo sencillísimo y elemental.
Sea la función
F(x,y, C)=0,
en que x, y representan dos variables, y en que C es una:
constante.
Esta ecuación, geométricamente, representará un grupo
de curvas que dependerán del valor de la constante C.
Supongamos que para un valor determinado C, la ecua-
ción precedente representa la curva A B (fig. 36).
Para este valor particular la representación geométrica de
la función fes, por lo tanto, la curva A B, inconfundible
con otra cualquiera.
Si á la constante C le damos otro valor particular, C”, la
función
ES C”) 40
representará otra curva, A” B”.
La forma analítica de las ecuaciones de ambas curvas será
la misma, puesto que la forma f se conserva.
Sólo diferirán por el valor del parámetro C, que en una
es C y en otra C”.
— 818 —
Y haciendo variar el valor de C- de modo que pase por
los imalores uE (A tendremos una serie de curvas
AMBAS ES AS VIS e que todas ellas tendrán una ecua-
ción de la misma forma f, y que sólo diferirán por el valor
del parámetro C.
Por ejemplo, todas serán elipses en que uno de los ejes,
que llamaremos C, será distinto, y cuyas posiciones y mag-
nitudes sólo dependerán de este eje.
Figura 36.
Será una familia de elipses que cada una en particular es-
tará definida en forma y magnitud sólo con fijar el valor del
parámetro C.
Y lo mismo pudiéramos decir de otra curva cualquiera en
cuya ecuación entrase un parámetro arbitrario C.
Ahora bien; sabemos por cálculo diferencial que si se di-
ferencia la ecuación
F(x, y, 2%) = 0;
y se obtiene
¡Ec edo
dx Ces
== 919 =
en la cual entrarán x, y, C y se elimina esta constante arbi-
traria entre las dos últimas ecuaciones, se obtendrá una ecua-
ción diferencial
que ya no contendrá la constante C y expresará, por lo tan-
to, en función de las variables y del coeficiente diferencial,
una propiedad analítica con tal ó cual representación geomé-
trica, común á todo el sistema de curvas A B, 4' B' .....
Tanta generalidad analítica tiene la función f en que Ces
arbitraria, como esta ecuación o = 0 en que no entra C.
Diferenciando hemos pasado de f á y, integrando pasare-
mos de v á f, y para que la integral sea general, es decir,
para que contenga los mismos sistemas de x, y que la ecua-
ción 4 = 0, será preciso, según vemos, que dicha integral
contenga una constante arbitraria C.
Una ecuación finita expresa, por ejemplo, cierta ley geo-
métrica para una serie de puntos; pues una ecuación dife-
rencial, expresa otra ley más amplia, que se aplica no á una
serie de puntos, sino á una serie de curvas.
Y estas ideas se van generalizando, y las ecuaciones di-
ferenciales van comprendiendo cada vez sistemas más am-
plios.
A
Así
se aplica á todas las curvas AB, A'"B'..... y no determina
ninguna en particular.
Como la ecuación de Laplace se aplica á todos los ejem-
plos que citamos en otras conferencias.
Por el pronto, á todas las armónicas uniformes y además
á muchas funciones de x, y, 2 multiformes.
Volviendo á nuestro ejemplo elemental: para que la ecua-
REV. ACAD. DE CIENCIAS. —X.—Abril, 1912. 60
— 820 —
ción 4 =o0 se aplique en particular á la curva AB y no á
otra cualquiera del sistema, será preciso agregar á la ecua-
ción diferencial otra condición, por ejemplo, que la curva que
buscamos AB pase por un puñto determinado A cuyas coor-
denadas sean X,, Y.-
Si queremos abarcar todas las curvas del sistema, la ecua-
ción diferencial basta.
Si queremos particularizar la curva AB, diremos que está
definida por la ecuación
y por la condición de pasar por el punto (Xo, Yo). Es decir,
que para el valor x, ha de tomar el valor y.,.
Y en efecto: integrada la ecuación diferencial, tendremos*
ES y, C)=0
con la constante arbitraria C, y aplicando la segunda condi-
ción, ó sea la de que pase por el punto A, es claro que las
coordenadas x,, y,, deberán satisfacer á esta última ecua-
ción, y resultará
Fo, Yo, C) 0
de donde deduciremos un valor determinado para C, que
sustituido en vez de C en la ecuación general la particulari-
zará para la curva A B. :
Pues esto mismo podemos repetir en el caso de la ecua-
ción diferencial de Laplace; y para todas las ecuaciones di-
ferenciales de la Física Matemática; y para todas las ecua-
ciones diferenciales de la ciencia pura.
ae 0 d?U d?U
dx? dy? dz?
=0
comprende todas las armónicas.
— 821 —
¿Queremos separar un grupo ó separar una? Pues habrá
que agregar nuevas condiciones.
Por ejemplo, que tenga ciertos valores para ciertos puntos;
y entonces estos subgrupos de armónicas, ó esta armónica
única, estarán definidas de este modo.
1.” Por la ecuación diferencial
DM AE O O)
dx? no a
2.” Por ciertas condiciones, por ejemplo:
que para Xp, Yo, Zo »-. tenga el valor U,
ae Seo ao e eos el valor U,
y así sucesivamente.
Las consideraciones anteriores, por elementales que sean,
son indispensables para que los principiantes se formen. idea
clara de los teoremas, que hemos de desarrollar bien pronto.
Pero á las explicaciones precedentes aún hemos de agre-
gar otra más, que es importantísima.
Cuando se plantea un problema, se parte naturalmente de
ciertos datos para determinar ciertas incógnitas, Ó ciertas
funciones, ó ciertos sistemas: en fin, algo desconocido, pero
que sabemos d priori, ó por lo menos, suponemos, que de
aquellos datos depende.
Pero al buscar estas entidades, que, en términos genera-
les llamaremos incógnitas, sean magnitudes, sean funciones,
sean sistemas, ocurren dos dudas que, naturalmente, la reso-
lución del problema ha de resolver.
La primera duda, que realmente es una interrogación del
problema mismo, es ésta: ¿Existe la incógnita que buscamos
ó el problema es imposible por sí?
— 822 —
La segunda duda, ó la segunda interrogación, es la si-
guiente: ¿La resolución es sencilla ó múltiple; es decir, si se
trata, por ejemplo, de cantidades, la incógnita tiene un sólo
valor, ó tiene varios en número finito, ó tiene infinitas solu-
ciones enlazadas en una ley?
Todo esto, la resolución del problema ha de darlo, pero á
veces, aun antes de resolver el problema, puede averiguar-
se; y estas especies de soluciones anticipadas facilitan la
solución definitiva.
Por ejemplo, una ecuación de primer grado con una incóg-
nita, sólo dará un valor para esta incógnita.
Una ecuación del grado m ordinaria, sabido es que tiene
m raices reales Ó imaginarias.
Una ecuación transcendente puede tener infinitas solu-
ciones.
Una ecuación diferencial tiene muchas integrales particu-
lares.
Y á propósito de la ecuación de Laplace, podemos repetir
cuanto contienen las observaciones anteriores.
Por lo que se refiere á las condiciones necesarias para
fijar entre las infinitas armónicas las que corresponden á
cada problema particular, y por lo que se refiere á la solu-
ción, única en algunos casos, hemos de entrar en la conferen-
cia próxima en nuevos desarrollos, que completen en cierto
modo la teoría elemental de la ecuación de Laplace, que
vamos exponiendo, para lo cual nos fundaremos en las pro-
posiciones y teoremas que hemos expuesto en esta confe-
rencia.
1 Sas
XXXVII. — Apuntes sobre Mecánica socia!.
POR ANTONIO PORTUONDO Y BARCELÓ.
(Continuación.)
LA ENERGÍA UNIVERSAL
Hemos hecho la exposición de los Principios y de los
Teoremas principales de la Cinemática, la Estática y la Di-
námica. Tanteando el camino que recorríamos, hemos ido
traduciendo las proposiciones de la Mecánica racional para
formular las correspondientes á la Mecánica socíal, que cons-
tituyen (para los fenómenos sociales) el modelo mecánico
(Lord Kelvin). Sobre algunas convenciones y algunos su-
puestos, hubimos de solicitar del lector, en los Preliminares,
todo aquello que necesitábamos para la exposición; y sobre
esa base y esas hipótesis, hemos considerado las leyes abs-
tractas del equilibrio y del movimiento, así de los individuos
y elementos sociales como de las agrupaciones (*).
(**) Blrecordar ahora por última vez la hipótesis del parámetro
de n dimensiones psíquicas, que hube de proponer en los Prelimina-
res para definir la posición del individuo en un asunto social, me
ocurre que esto quizá pueda ser considerado como un ejemplo de la
concepción abstracta de algunos matemáticos alemanes—especial-
mente Georg. Cantor—acerca de lo que llaman número complejo de
n números reales. Estos n distintos valores reales x,, X» ...., Xy (que
se reúnen en el número complejo) son expresados en relación con
sus diversas unidades respectivas.
Recordemos que esos matemáticos piensan que cada valor del nú-
mero complejo define la posición de un punto—así lo llaman—en un
espacio aritmético de n dimensiones; y los valores x,, X3..... Xy, de
los cuales depende el número complejo, son las n coordenadas de
dicho punto. El espacio aritmético de n dimensiones viene á estar
— 824 —
Hemos visto las fuerzas de naturaleza psiquica, ya equili-
brándose (estáticamente), ya influyendo sobre los movi-
mientos por sus impulsiones Ó por sus trabajos (dinámica-
mente); pero no se ha tratado de inquirir nada sobre la
esencia ó naturaleza íntima de esas fuerzas, porque — como
dijimos en la Introducción —no consideramos eso asequible,
ni siquiera tiene sentido para nosotros, que pensamos las
fuerzas como meras abstracciones.
r
Vamos á volver ahora á la consideración del trabajo de
constituido por el conjunto de todos los puntos posibles en él, ó sea
de todos los valores posibles de los números complejos para todas
las combinaciones de todos los valores reales posibles de las coorde-
nadas X,, X> ..... Xx, en las n dimensiones de ese espacio aritmético.
Y esos matemáticos demuestran que si se considerasen las n coor-
denadas de cada punto como funciones distintas de una sola varia-
ble y, resultaría que entre todos los valores reales posibles de esta u
(de una sola dimensión) y los sistemas de valores posibles de
Xy, Xo «... Xy, podría establecerse correspondencia unívoca y recí-
proca—punto por punto—, es decir, en último término, que el con-
junto de puntos ó posiciones en un espacio de n dimensiones, sería
equivalente á otro conjunto de una dimensión ó lineal.
Ahora bien; ¿no se podría pensar que un determinado asunto so-
cial—tal como yo lo he entendido en estos Apuntes—es un ejemplo.
de espacio aritmético de n dimensiones? Y mirándolo asi, la posición
de un individuo en ese asunto, ¿no se definiría por un número com-
plejo (que sería el parámetro hipotético nuestro) de 1 números reales
que se reuniesen en él? Y ese número complejo, ¿no determinaría la
posición de un punto en ese espacio aritmético de n dimensiones? Y
el conjunto de todos los valores bien determinados, ó de todos los
puntos posibles en un espacio aritmético de n dimensiones, ¿no es
quizá la expresión ideal (en la pura Matemática) del conjunto de
todos los valores posibles del parámetro de n notas psíquicas?
Y, finalmente, la correspondencia unívoca y recíproca que estable-
cen esos matemáticos—punto por punto --entre los conjuntos de sis
temas de valores reales posibles de x,, X,..... Xx, y los valores rea=
les posibles de una variable u de una sola dimensión, que conducen
á un conjunto lineal, ¿no se podría aplicar igualmente á nuestro pa-
rámetro, según apuntamos en los Preliminares (pag. 50)?.....
Con todo género de reservas hacemos las interrogaciones que
preceden, porque acaso las indicaciones que apuntamos podrían con-
tribuir en algo á justificar nuestras hipótesis.
— 825 —
las fuerzas, porque este tema es importantísimo para la Di-
námica, y acaso sea de gran interés relacionar los conceptos
de trabajo y energía en el juego mecánico de las Sociedades,
como lo es en la complexión mecánica de toda la Natu-
raleza. -
Se sabe que en los sistemas materiales que estudia la
Mecánica, como ciencia física, se llama energía todo lo que,
transformándose de cualquier modo, sea capaz de convertirse
en trabajo. Cualesquiera que sean las formas en que se pre-
senten las energías, ya sean térmicas, eléctricas, químicas,
mecánicas, etc., se transforman naturalmente unas en otras; y
con ellas, se podrían relacionar (mediante equivalencias) los
trabajos correspondientes á movimientos geométricos. Pres-
cindimos aquí de ciertas limitaciones, como, por ejemplo,
que la energía calorífica no se transforme directamente en
energía química, como tampoco se transforme en química la
energía mecánica. En cambio la eléctrica se transforma fácil-
mente en todas las distintas formas conocidas de energía, y
á su vez todas éstas se transforman inversamente en energía
eléctrica. Son conocidas muchas de las formas que revisten
la energía cinética y la potencial; y se puede asegurar que
algunas son todavía desconocidas para los hombres de cien-
cia. Las ciencias fisicas —dándose la mano con la Mecánica—
han formulado algunas leyes cuantitativas para su transior-
mación, y han determinado el equivalente mecánico (*).
Respecto de las formas de energía física que sean descono-
cidas, ó que no hayan podido ser estudiadas todavía com-
(*) Se sabe, por ejemplo, que una caloria-gramo (caloría peque-
ña), es decir, la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado
centigrado (de 15” á 16) la temperatura de un gramo de agua, equi-
vale á un trabajo mecánico de 4,17 julios, ó sean 417 < 10% ergios.
Siendo 1 julio=0,102 kilográmetros, se ve que la caloría-gramo equi-
vale á 4,17 < 0,102 = 0,425 kilográmetros.
El equivalente mecánico de la caloría grande es, pues, de 425 kilo-
grámetros.
— 826 —
pletamente, admitiremos que puedan transformarse unas en
otras, y en las ya conocidas y estudiadas; y admitiremos
también que todas las transformaciones de energías físicas
del mundo llamado inorgánico, se rijan por leyes cuantitati-
vas, aunque casi todas esas leyes nos sean desconocidas.
En el mundo llamado orgánico (vegetal y animal) se ma-
nifiesta la energía en nuevas formas, mucho más desconoci-
das por las ciencias llamadas naturales (la Fisiología y la
Biología) de lo que eran las anteriores formas de energía por
las ciencias físicas. Son patentes las energías cinéticas y po-
tenciales que se presentan en el mundo orgánico de modo—al
parecer—distinto que en el mundo inorgánico. Así, en cada
semilla, en cada huevo existe, sin duda alguna, una compli-
cadísima energía potencial, que después se manifiesta, en
cada vegetal Óó en cada animal, por un inmenso y variadísi-
mo—casi inextricable — despliegue de energías cinéticas y
potenciales por sus reacciones con el medio.
Aquellas incesantes é innumerables transformaciones de
energías en tods lo inorgánico, se realizaban ante nuestra
consideración dentro de moldes de un mismo género, como
si dijéramos. Pero al considerar las transformaciones de
energías en todo lo llamado orgánico, tanto en los indivi-
duos aislados (un vegetal ó un animal), como en las colec-
ciones de individuos, sean familias, géneros Ó especies, las
transformaciones de energías, parecen salir fuera de aquellos
moldes. No porque estas energías cinéticas y potenciales nos
aparezcan en sí mismas, como algo diferente de las energías
en el mundo inorgánico. Si nos parece que las transftorma-
ciones en el mundo orgánico, son algo distinto de las que se
realizan en el inorgánico, es porque aquéllas se concretan y
— 821 —
particularizan de un modo tal en los individivos, y porque
aparecen tales caracteres y limitaciones en las transformacio-
nes (dentro de su inmensa riqueza y complejidad), que no
acertamos á aplicar á ellas de ¡déntico modo, leyes como las
que conocemos para las transformaciones de las energías en
el mundo inorgánico, por lo cual muchos las han llamado
energías vitales. Naturalistas de genio han llegado, después
de profundisimos estudios, á formular algunas leyes, como
Darwin, la de las variaciones y la selección natural en las
especies vegetales ó animales, Ó Lamarck la de las transtor-
maciones por adaptación. Es natural pensar que estas leyes,
por ejemplo, se cumplen en la Naturaleza mediante transtor-
maciones complicadísimas de energías cinéticas y potencia-
les, que la ciencia está muy lejos todavía de conocer bien,
aunque se avance más y más cada día en su estudio (*).
Las manifestaciones de energías que estudian la Botánica
y la Zoología, en el nacimiento, en el crecimiento y en la
vida entera de los individuos vegetales y animales, revelan
claramente las transformaciones de unas energías en otras
dentro de un mismo individuo.
Pero estas energías de que hablamos no parecen ser esen-
cialmente distintas de las que se consideran en el mundo
inorgánico. Las ciencias de aplicación como la Agronomía,
por ejemplo, fundándose en el conocimiento de aquellas
energías, ponen de relieve — mediante la observación y la
(*) Le Dantec hace notar que la ley de la selección natural, y la
de la persistencia del más apto, no expresan en el fondo sino la ne-
cesaria continuidad en la ascendencia genealógica de todo ser que
viva en un instante dado. Ninguna de las variaciones que se han ido
operando en un transcurso enorme de siglos, y por las cuales han
pasado los ascendientes, ninguna le ha matado; porque allí habría
terminado la historia de sus variaciones.
Aunque á nosotros no nos interesen directamente las leyes natura-
les á que obedezca la propagación de la vida, nos importa sí ver que
estos procesos parecen realizarse mediante transformaciones de
energías.
— 828 —
experiencia-—las transformaciones de las físicas y químicas
(cinéticas Ó potenciales) en estas otras energías llamadas
vitales (cinéticas ó potenciales), dentro de cada individuo
vegetal ó animal, y viceversa. Así, por ejemplo: las energías
químicas que hay en el agua ó en el aire, las físicas que hay
en el calor, en la luz, en la electricidad, etc., se transforman
en otras energías internas en los vegetales y animales. Y vi-
ceversa: éstas se transforman en calor, en esfuerzos muscu-
lares que dan variadísimos trabajos mecánicos, proporcio-
nando energías para el mundo inorgánico, etc.
Dentro del mundo orgánico, son patentes también las
transformaciones de energías del reino vegetal en otras del
reino animal, y viceversa. Asi, por ejemplo: las energías pe-
tenciales que hay en la yerba, en un grano de trigo, etc., se
transforman, mediante los procesos de la nutrición, en ener-
gías internas en el animal. Y viceversa, los residuos de un
animal llevan energías que se convierten en otras de los ve
getales, etc.
En resumen, todo parece indicar, en una vista rápida, que
las transformaciones mutuas de las energías físicas, y quí-
micas y fisiológicas se cumplen igualmente en la Naturaleza
viva que en la que se dice muerta, aunque sólo en casos
muy contados, sea posible formular hoy leyes cuantitativas
de las transformaciones. Se realizan á nuestra vista incesan-
temente, y todos los seres son tan profundamente penetrados
por esas transformaciones en su continuidad, que en ellas
está la manera de ser de la Naturaleza con sus movimientos
todos y con la vida toda.
Prescindiendo de los detalles, se puede decir, en términos
generales, que es siempre alguna manifestación de energía
química potencial en el organismo la que provoca inmedia-
tamente cada energía fisiológica, en la cual se transforma
aquélla mediante alguna destrucción del material orgánico y
la consiguiente pérdida de parte de la energía potencial, que
está en las reservas. Inversamente las energías fisiológicas
= 800)
r
del animal, al transformarse en físicas, conducen á alguna
manifestación de energía térmica (para disiparse) ó á ener-
gía mecánica.
Perteneciendo el hombre al reino animal, le son aplicables
las brevísimas consideraciones anteriores. Veamos ahora rá-
pidamente algo respecto al mundo psíquico.
En los animales de las especies superiores — el hombre
entre ellos — hay variadísimas energías psíquicas, que se re-
lacionan con sensaciones, recuerdos, ideas, sentimientos,
emociones, voliciones, etc. Son las que más nos interesan
aqui, porque están íntimamente ligadas con lo que hemos
llamado fuerzas psíquicas sociales.
Parece que estas energías psíquicas surgen primeramente
en el individuo animal, mediante transformaciones internas
muy complicadas y obscuras de las energías físicas y quí-
micas por los procesos de la nutrición, la respiración, etc.,
transformándose en fisiológicas, y luego en otras correspon-
dientes energías psíquicas.
Estas últimas transformaciones son más obscuras aún que
aquellas de las energías físicas y químicas entre sí, Ó de és-
tas en las energías fisiológicas de un animal.
Se ve que primeramente las energías físicas exteriores
llegan como excitaciones de los sentidos, y se transforman
en las energías nerviosas interiores al organismo; y éstes
vuelven á transformarse en los órganos centrales. Las últi-
mas formas en“que la energía se manifiesta en el campo de la
conciencia, son las que llamamos energías psíquicas. Aun-
que no conozcamos bien su naturaleza, la Psicología fisioló-
gica ha adelantado mucho en el estudio de los fenómenos
psíquicos, viendo sus procesos en conexión con los procesos
SS
materiales que les son paralelos, es decir, con los procesos
fisiológicos correspondientes.
Un distinguido escritor, W. M. Pepperrell Montague, in-
tenta establecer: «que lo que un individuo (desde su interior
psíquico) llama sus sensaciones, son ni más ni menos que
lo que otro individuo (desde fuera) describiría como las for-
mas de energía potencial en que se transforman las energías
cinéticas de las corrientes nerviosas al atravesar el cerebro
del primer individuo.»
Dice Ostwald, que los fenómenos psicológicos pueden
concebirse como fenómenos energéticos, y ser interpretados
como tales, lo mismo que todos los demás fenómenos. En
esos fenómenos de la energía llamada nerviosa, se observa
que los procesos (en todo el complicado sistema nervioso
cerebral) llevan consigo consumo de energía durante la ac-
tividad psíquica. '
Nuestro compatriota D. José R. Carracido, después de
establecer en su Tratado de Química biológica que «el tra-
bajo específico de los nervios es correspondido en todas sus
formas por el consumo de cierta cantidad de potencial quí-
mico »; y de afirmar que «es indudable que no se produce
acto psíquico alguno sin otro material correspondiente», re-
chaza (como aventurada) la afirmación hecha por Gautier de
que el pensamiento no tiene equivalente mecánico ni quími-
co. El ilustre Profesor español dice que no puede darse por
demostrada —como pretende Chauveau —la integra conver-
sión de la energía del trabajo fisiológico en calor sensible; y
cree posible, por el contrario, que la actividad psíquica co-
rresponda á un verdadero trabajo que sea siempre una can-
tidad posítiva, y no pueda reducirse á cero.
Pero si los procesos de transformación son muy compli-
cados y obscuros, y hoy se sabe poco de ellos, lo que está
á la vista—y todo el mundo reconoce— es la intima conexión
y correspondencia que hay entre las energías físicas y qui-
micas, las fisiológicas, y su paralelismo con las psíquicas
==
en cada individuo; de tal modo, que el estado psíquico de
un individuo es en general función de todas las variables
que constituyen el estado fisiológico, según se ha dicho. Se
muestra por multitud de fenómenos de la vida; y no podía
menos de ser así, puesto que unas y otras se dan en el todo
individual, que es uno.
Se observan esas conexiones de las energías físicas y
fisiológicas y su correspondencia con las psíquicas (JS
ve, por ejemplo, que un determinado alimento ó bebida; una
cierta temperatura; un gran ejercicio corporal, etc., producen
ciertos cambios en las energías fisiológicas del individuo, y
provocan (Ó se transtorman) á su vez otras energías psíqui-
cas como la excitación de la imaginación ó del entendimien-
to, ó el abatimiento y depresión del ánimo, etc., etc.
Inversamente, se observa que ciertos estados psíquicos
del individuo provocan (ó se transforman) otros estados
fisiológicos correspondientes; y de ello se puede presentar
multitud de ejemplos. Un estado prolongado de pena hace
más lentas las contracciones del corazón, Ó viceversa; una
emoción cualquiera altera el pulso, ó viceversa; una brusca
impresión penosa provoca náuseas y diarrea; una impresión
de miedo influye en la respiración, en la orina y en otras
funciones fisiológicas; un esfuerzo de las facultades menta-
les paraliza ó retrasa la digestión; un sentimiento de ansie-
dad angustiosa provoca en ciertas circunstancias un des-
pliegue enorme de fuerza muscular, etc., etc.
Respecto de la manera cómo deben de ser entendidas es-
tas transformaciones, dice Bain en su libro El espiritu y el
cuerpo «que si una impresión de miedo paraliza la diges-
tión—por ejemplo —se debe de pensar que la emoción va
(*) No entramos á investigar las causas de estas conexiones y de
esa correspondencia. Según advierte Mach, la noción de causa es
muy metafísica—como hemos dicho en otra ocasión—y no encuentra
lugar aquí.
— 830 —
acompañada de un estado de excitación particular del cere-
bro, y en general del sistema nervioso, y este estado es el
que perturba las funciones del estómago». Y que, asimismo,
en las transformaciones inversas de energías fisiológicas en
psiíquicas—por ejemplo—un estimulante material devolvien-
do la calma al espíritu, se debe de pensar que ese estimu-
lante (alimento, por ejemplo) determina un aumento de
afluencia de sangre al cerebro é influye en las corrientes ner-
viosas, y á este modo particular de acción nervioso-cerebral
corresponde el estado moral que se ostenta.
Ribot coincide con Bain al concebir que los estados de
conciencia (emociones, por ejemplo) no pueden separarse de
las condiciones físicas correspondientes, y que lo que obje-
tivamente se expresa por lágrimas, temblor, etc., se expresa
al mismo tiempo subjetivamente por tristeza, terror, etc. Y
además, observa Ribot que en rigor no es una idea ó un sen-
timiento lo que se transforma en un movimiento ó energía
física, sino que el estado fisiológico que acompaña siempre
al estado psíquico es lo que se transforma en movimiento
muscular, es decir, que un estado fisiológico se transforma
en otro fisiológico. Nosotros, hablando de un modo breve,
aunque pueda no ser enteramente correcto—decimos que
una energía psíquica se transforma en otra fisiológica, y vi-
ceversa.
En todas las especies animales en que se muestren clara-
mente las energías psíquicas, se observa que estas transtor-
maciones de energías fisiológicas en psíquicas, así como las
inversas, se Operan con maravillosa facilidad y rapidez en
aquellos individuos en que predominan los fenómenos emo-
cionales (por la constitución —heredada ó adquirida—de su
sistema nervioso), y que son, por esto, de temperamento
emocional.
El profesor Osfwald considera, como ya hemos dicho,
que los fenómenos psicológicos entran en el cuadro de la
concepción energética, como todos los demás fenómenos; y
— 833 —
que las energías psíquicas pueden quizá ser miradas como
transtormaciones de las energías químicas que hay en el
organismo.
Piensa este ilustre Profesor que si entre el grupo de ope-
raciones fisiológicas y el grupo de operaciones psíquicas no
se ve más que el paralelismo, y sólo éste se estudia, la se-
paración entre esos grupos subsistirá, y no se podrá llegar
á ver nunca la comunicación. Me parece algo arbitrario este
pensamiento de Ostwald, porque no es posible presumir
á priori, sin riesgo de equivocarse, lo que habrá de resul-
tar —para la ciencia en el porvenir—siguiendo atenta y
profundamente el estudio del citado paralelismo; y esta ac-
titud de circunspección científica es en cambio garantía de
firmeza para los resultados á que se pueda llegar. Ostwald
cree que los fenómenos psíquicos no son simples acompa-
ñantes de las variaciones de energías fisiológicas, sino que
pueden identificarse con estas últimas.
El Profesor Ebbinghaus piensa que la unidad de la vida
psíquica corresponde á la unidad del sistema nervioso; por:
que éste es — en cierto modo —todo el organismo, en cuan-
to organismo viviente. Para este psicólogo, las energías
fisiológicas son de un orden diferente, y se distinguen bien
de las psíquicas; pero no corresponden á realidades distintas,
sino que más bien son manifestaciones diversas de un solo
y único Ser.
Esta hipótesis de Ebbinghaus y de otros eminentes psicó-
logos (hipótesis de la ¿dentidad) deja siempre fuera de nues-
tro alcance lo que sea ese Ser como un único Principio. De-
cía Maudsley que: «No hay dos ciencias, la Psicología y la
Fisiología de los centros nerviosos, y entre ellas una ciencia
híbrida que sea la Psicología fisiológica. Hay una sola cien-
cia, que es la Fisiología del sistema nervioso, y los fenóme-
nos de éste ofrecen dos aspectos: uno objetivo y otro subje-
tivo, que deben ser estudiados por la observación externa y
por la interna.» Y añadía que, en todo caso, aquella división
— 834 —
artificial se puede admitir como una división científica, no
en la naturaleza de las cosas. En otro pasaje dice Maudsley
que: «No hay dos Mundos — el de la Naturaleza y el de la
conciencia humana — colocados uno encima del otro y en
oposición el uno con el otro, sino un solo Mundo que lo
comprende todo, y del cual la conciencia humana es una
manifestación, un grado de evolución, quizás el último y el
más perfecto ».
Además de las transformaciones de energías fisiológicas
en psíquicas Ó viceversa, hay otras mucho más interesantes
para nosotros aquí, que son las de energías psíquicas entre
sí. Se observa que dentro de un mismo individuo, ó de un
mismo elemento social cualquiera, una idea, vivamente pen-
sada, provoca (Ó se transforma) un sentimiento de alegría ó
de tristeza, de entusiasmo ó de terror, etc. Según las cir-
cunstancias y según sea el temperamento psíquico del indi-
viduo Ó del elemento social, el tono sentimental que acom-
paña á aquella representación es mayor Ó menor. Inversa-
mente, un estado sentimental provoca á veces una gran ac-
tividad mental, ó un tono superior de la voluntad, etc. Parece
indudable que todas las diversas notas psíquicas de un in-
dividuo se relacionan entre sí, se acompañan y son suscep-
tibles de transformarse mutuamente (*).
(*) Aunque una ¿dea ó un recuerdo sea cosa enteramente distinta
de una emoción, es evidente que lo uno puede provocar lo otro. Poco
importa ahora, para nosotros, que una idea se transforme primero en
energías fisiológicas, y éstas, después en una emoción; ó bien que
(como piensan otros psicólogos), la idea provoque directamente la
emoción, y ésta luego se transforme en energías fisiológicas. Lo que
nos interesa notar, son esas sucesiones y transformaciones. Dice el
Profesor W. James, que un individuo de temperamento emocional y
de riqueza de imaginación, puede revivir—provocándola—una emo-
ción real de amor ó de cólera, mediante el recuerdo (ideal), y esto
se comprueba por la observación y la experiencia.
Lo que aparece en estos casos, es que un cierto estado de concien-
cia despierta ó promueve, como dice Ribot, otro estado de conciencia
diferente, por asociación ó de cualquier modo. Puede pensarse que
di
=— 999 =
Es asimismo un hecho de observación, la comunicación
de energías psíquicas de un individuo ó elemento social á
otro. Estas transformaciones de energias psíquicas son las
que revisten carácter predominantemente social. Las fuerzas
psíquicas — que actuando como fuerzas exteriores — hemos
admitido en estos Apuntes, ejercen sus acciones para reali-
zar, mediante sus trabajos, las transformaciones de energías
á que nos referimos ahora.
Se debe de observar — sobre las transformaciones de
energías fisiológicas entre sí, fisiológicas en psíquicas ó vi-
ceversa, y psíquicas entre sí, — que parece haber en cada
individuo una particular y determinada capacidad suya para
cada especial transtormación de energía; y parece, por con-
siguiente, dificilísimo llegar á descubrir leyes cuantitativas á
que obedezcan las equivalencias, y que sean aplicables por
igual á todos los individuos (suponiendo que se pudieran
medir unas y Otras energías).
El día en que se pudiera eso intentar habría que determinar
—á mí parecer—un coeficiente particular para cada individuo
en cada género de transtormación de energías; y aun este
coeficiente individual no sería constante, sino variable con
el estado partícular en que se encuentre en un instante dado
el individuo á quien corresponda. Es decir, que el coeficiente
individual debería de ser afectado de un subcoetficiente, fun-
ción del estado fisiológico y psíquico. Se comprende la in-
mensa dificultad de estas determinaciones.
Habremos de tratar más adelante de la conservación de
la energía en su estricto sentido científico. Pero como obser-
vación vulgar, es atinadísima la de Baín, al decir que si con-
sumimos mucha energía en una función — ejercicio muscu-
lar, digestión, pensamiento, sentimiento, etc. —las otras
funciones deben de permanecer momentáneamente en una
haya en el fondo transformación de alguna energía fisiológica en
otra también fisiológica.
Rev. AcAD. DE CIENCIAS -- X,—Abril, 1912. 61
- 836 —
relativa inacción. Para satisfacer la demanda, exagerada en
un sentido, es necesario, dice, suministrar menos energía á
las otras funciones; y así, por ejemplo, el que emplea mu-
cha de la energía nerviosa de que dispone en especulacio-
nes científicas, no puede al mismo tiempo consumir muchas
energías nerviosas en actos genésicos, so pena de un rápido
agotamiento del organismo nervioso cerebral.
Pero sea lo que fuere de todo esto, lo que sí puede afir-
marse—desde el punto de vista mecánico—es que las ener-
eías psíquicas del individuo encuentran limitaciones en las
energías del mundo físico á que el individuo natural pertene-
ce. El cuerpo de éste, con todos sus órganos y elementos
materiales, constituye un sistema sometido á las leyes de la
Mecánica física. Por esto no puede sustraerse — aunque el
individuo lo quisiera — á las leyes de la gravedad ni á nin-
guna otra ley mecánica física.
Apropósito de esto, se puede recordar que en todos los
libros de Dinámica —al hacer la exposición del Teorema del
movimiento del centro de gravedad de un sistema material (ó
del Teorema llamado de las áreas), y al demostrar que las
fuerzas interiores no pueden influir (por lo cual se formula
el principio de la conservación) —se llama la atención sobre
las limitaciones que encontraría un hombre, ó un animal
cualquiera, si se le pudiera concebir aislado y en el vacío,
para sustraerlo á todas las fuerzas exteriores. Si se imaginara
que el animal (mediante fuerzas psíquicas de voluntad) des-
arrollase entonces esfuerzos interiores musculares, y moviera
diversas partes de su cuerpo, se podria asegurar que, en el
supuesto dicho —por ley mecánica ineludible de su propio
cuerpo—, no podría mover las diversas partes á su capricho;
porque no podría, por ejemplo, modificar el estado del cen-
tro de gravedad de su cuerpo. Si el estado inicial de este
centro de masas de su cuerpo fuera de reposo, en reposo
habria de permanecer, conservando la misma posición que
ocupaba en el espacio; y aunque el hombre (ó animal) psí-
— 831 —
quico —valga la expresión —quisiera alterarla, le sería tan
imposible, como le sería, por ejemplo, dejar de pesar. Re-
cuerdo este ejemplo y lo cito, porque en él se ve, de modo
muy patente, aquella conexión íntima de que hablábamos
entre las energías psíquicas y las físicas musculares. Aquí la
conexión aparece claramente regulada por una ley de la Me-
cánica física.
Dejando ya estas cuestiones acerca de las relaciones que
hay entre unas y otras energías en el mundo llamado ¿nor-
gánico, en el orgánico y en el psíquico, para encerrarnos en
el terreno propio de la Mecánica racional, recordemos pri-
meramente — siguiendo la costumbre adoptada desde el
principio en estos Apuntes —lo que ocurre con un punto
material libre colocado en un campo de fuerza.
En la Dinámica de los puntos materiales se distingue:
1." La energía actual Ó de movimiento — llamada cinéti-
ca — que dependiendo de la masa rm del punto y de la mag-
nitud v de su velocidad en el instante que se considera, se
; 1
mide en este instante por nd v?. Puede transformarse en
—
una cantidad equivalente de trabajo.
2. La energía de posición en el campo — llamada ener-
gía potencial — que, dependiendo de la masa m del punto y
de su posición en el instante que se considera, así como de
la naturaleza ó constitución del campo de fuerza — se mide
en ese instante por todo el trabajo positivo que podría des-
arrollar la fuerza del campo sobre el punto, cambiando su
posición en la región de que se trata. Se sabe que la fuerza
del campo es el producto de la masa del punto por la acelera-
ción correspondiente á cada posición. Esta aceleración es lo
que se llama la intensidad del campo en esa posición. Mien-
— 838 —
tras pueda actuar la fuerza del campo, y pueda el cambio de
posición del punto permitir á esa fuerza dar algún trabajo po-
sitivo, hay energía potencial en el punto material dentro del
campo (*). Refiriéndonos á la unidad de masa, esta energía
potencial es lo que se llama EL POTENCIAL correspondiente á
cada posición. Es claro que la energía potencial (ó el poten-
cial) es esencialmente numérica (escalar), como lo es la ener-
gía cinética. Lo es también la energía total del punto en el
campo en que se encuentra, si se llama así la suma numérica
de las energías cinética y potencial correspondientes á un
mismo instante.
Se sabe que, en general, las posiciones de los puntos á
las cuales corresponde el mismo potencial en un campo de
fuerza, pertenecen á una misma superficie de nivel, que se
llama equipotencial, y que cuando la intensidad del campo
(actuando sobre un punto de masa unidad) hace trabajo po-
sitivo, el punto pierde de su potencial una parte exacta-
mente igual á ese trabajo, y pasa á estar colocado en un
menor nivel potencial. Por esto el potencial que tiene el pun-
to en una posición en el campo, mide (Ó da la medida de)
todo el trabajo positivo que las fuerzas del campo harían si
lo llevaran hasta el límite del campo, agotando todo su po-
tencial.
En general, si el movimiento del punto en el campo se
pudiera mirar como una sucesión de movimientos elementa-
les, cada uno de los cuales se iniciara sín velocidad, la línea
formada por las trayectorias elementales sería una línea de.
(*) Decimos dentro del campo, para que se recuerde bien que la
energía potencial está en el conjunto del sistema á que pertenece el
punto, aunque la refiramos á éste. El Profesor Ostwald (en su libro
sobre la energía) ha presentado algunos reparos á la distinción hecha
por Rankine entre la energía actual y la potencial. Ya se ha acepta-
do por todos la denominación de cinéfica, que no puede originar
confusión. Se ha conservado la de potencial, que no equivale á posi-
ble como contrapuesto á lo real y efectivo. La energía potencial en
un campo de fuerza, es tan real y efectiva como la cinética.
— 839 —
fuerza. Sólo en el caso de ser ésta una línea recta, sería ella
misma la verdadera trayectoria finita que seguiría un punto
que se dejara libre y sin velocidad en el campo.
Después de estas ideas generales, recordemos el ejemplo
sencillo del campo uniforme de la gravedad terrestre, en que,
la intensidad del campo es y (constante);
y la dirección y el sentido del campo es la vertical hacia
abajo (constante) (+).
Si un punto material de masa m se dejara libre en el va-
cío en una posición cualquiera o, en la cual tuviera una ve-
locidad v,, que forme (por su dirección y sentido) un ángulo
agudo «., con la vertical hacia arriba, se sabe que-en el mo-
vimiento parabólico del punto se cumple el Teorema de la
energía, que dice así:
sli dle 2= —mMY2 <Y;
2 2 (0) )
y que nos enseña: que al elevarse el proyectil —ó alcanzar
mayer nivel potencial —la y positiva corresponde — para
cada posición-—á un trabajo negativo (segundo miembro de
la ecuación), hecho por la fuerza del campo, por haber au-
mentado la energía potencial del punto en ese valor del fra-
bajo hecho, que es exactamente igual á la disminución de
energía cinética (primer miembro de la ecuación), desde su
ends DU | y
estado malo]:
(*) Nos referimos á una región suficientemente pequeña para que
las aceleraciones de todos los puntos en sus movimientos de caída,
se puedan considerar—sin error sensible—como iguales, y para que
análogamente las verticales puedan ser miradas como paralelas
En las leyes que vamos á recordar, se prescinde de la resistencia
del medio. No se tratará, pues, de las leyes del fenómeno natural,
sino de leyes abstractas y aproximadas, que serla preciso corregir
después Se sabe que éste es el modo ordinario de proceder, dada la
inmensa dificultad de formular las leyes de los fenómenos, tales como
éstos se presentan en la Naturaleza.
— 840 —
Puede notarse (como hecho interesante en este ejemplo)
que, en cualquier instante, la energía cinética an MIVANES
compuesta de dos sumandos
Roa de 0)
2 Dilyae:
y como el primer sumando no puede aumentar ni disminuir
(porque el movimiento en proyección horizontal es necesa-
riamente uniforme, puesto que la dirección del campo es
normal á la dirección horizontal O x), y ese primer suman-
| 1
do tiene el valor constante 8 mv ¿?sen?a; se ve que al
disminuir — como decíamos — la energía cinética, ésta no
puede agotarse por completo y convertirse ó transformarse
toda ella en potencial. Sólo podrá agotarse — y se agotará—
Jae 1
el segundo sumando inicial a v,?cos ?a, cuando por
el trabajo negativo de la fuerza del campo la energía ciné-
: ee 1
tica del punto llegue al valor mínimo ET v,? sen 4, co-
rrespondiente necesariamente á la posición de máximo po-
tencial. Se ve: que en la rama descendente de la parábola—
á partir de la posición de máximo potencial, las disminucio-
nes del potencial serán compensadas (mediante los trabajos
positivos que vaya haciendo la fuerza del campo) —por los
aumentos de la energía cinética desde su minimo. La exacta
igualdad entre este aumento (primer miembro) y aquella
disminución (segundo miembro) demuestra que hay conser-
vación de energía total en el campo.
Este problema es aún más sencillo, si se supone que la
velocidad inicial v, es vertical. Entonces se vé: 1.?, que si su
(*) Adoptando el eje ox horizontal y el eje o y vertical.
— S4l —
sentido es el mismo del campo (a = 7), el movimiento del
punto es rectilíneo uniformemente acelerado en la dirección y
en el sentido mismos de la línea de fuerza; 2.”, que si el sen-
tido de v, es contrario al del campo (a = 0), el movimien-
to es uniformemente retardado en la dirección de la línea
de fuerza, y en sentido contrario y toda la energía cinética ini-
. 1 2 E r .
cial o mv,? se agotará, transformándose en potencial, co-
rrespondiendo el mínimo cero de aquélla al máximo de ésta.
En el caso de que el punto tenga enlaces que le sujeten á
recorrer una determinada trayectoría fija, que sea una curva
cualquiera con sinuosidades de máximos y mínimos de al-
tura, y siempre moviéndose en el campo uniforme de la gra-
vedad, se aplica idénticamente el Teorema de la energía, y
conduce á idénticos resultados, puesto que la reacción nor-
mal de la curva fija da constantemente trabajo nulo, y siendo
la única fuerza que trabaja la del campo — que es mg — la
ecuación es identica.
Entonces no está obligada á conservarse constante ninguna
parte de la energía cinética inicial, y toda ella se agotará
hasta alcanzar el máximo posible de potencial, que corres-
ponderá al mínimo cero de la cinética.
Nada nuevo hay que decir; y se ve siempre la conserva-
ción de la energía total en el campo.
Nos hemos detenido demasiado en los recuerdos en la
Mecánica racional sobre un simple punto material colocado
en un campo de fuerza. |
Vengamos ya á la Mecánica social, para tratar de las fuer-
zas psíquicas, y verlas actuando sobre los individuos y ele-
mentos de una agrupación social que estén en movimiento
en un asunto; es decir, haciendo trabajos sociales, y propot-
cionando energías psíquicas.
— BY —
Fijemos la atención en un solo individuo. — Dijimos que en
cada individuo y para cada asunto, hay en cada instante un
conjunto psíquico compuesto de ideas, sentimientos, volicio-
nes, etc., que define para nosotros la posición del individuo
en el asunto en ese instante. —Y dijimos también: que del
estado fisico-fisiológico del propio organismo corporal, ema-
nan influencias que al actuar sobre el ente psíquico simple,
que llamamos el individuo, constituyen verdaderas fuerzas
psíquicas; así como del estado general psíquico del propio
individuo, brotan fuerzas que pueden actuar sobre el indivi-
duo mismo, é influir para cambiar su posición en el asunto
que se considera. —Tanto las que emanen del estado físico-
fisiológico, como las que vengan del estado psíquico en ge-
neral, tendrán en cada instante, direcciones y sentidos deter-
minados, con intensidades también determinadas, en corres-
pondencia unas y otras con el temperamento físico — por
decirlo así—del individuo en que brotan (*).
El ente individual abstracto y simple, con su posición en
un asunto, se halla realmente colocado en medio de algo
que —mirado en conjunto —constituye un campo de fuerza,
como se dice en Mecánica. Este campo ó región en que él
se halla, lo vemos constituido, en un instante dado, como
sigue:
1. Por todo lo físico y psíquico que — fuera del espa-
cio que ocupa del cuerpo del individuo natural — rodea,
por decirlo así, á éste; y alcanza hasta donde sea sensible
la acción que pueda ejercer sobre el individuo que conside-
ramos;
2.” Por todo lo fisico y fisiológico de su propio organis-
mo corporal;
(**) Creemos conveniente hacer esa separación para mayor clari-
dad de lo que vamos á exponer; pero sin querer con ella significar
que el estado psíquico sea algo esencialmente distinto del físico-fisio=
lógico, porque éste es asunto ajeno á nuestras especulaciones.
BAS
3. Por todo lo psíquico general suyo, que pueda influir
sobre él para modificar su posición en el asunto de que se
trate (*).
Este complejo campo de fuerza debe de ser mirado (para
el individuo abstracto y simple) como un verdadero medio
ambiente natural externo é interno, tanto físico y fisiológico
como psíquico. El individuo, en cada instante, como libre,
se mueve—es decir, se modifica—con una determinada ace-
leración en el asunto, para cada posición del individuo, y
según sea el campo en ese instante. Si concibiéramos un in-
dividuo con la unidad de masa para el asunto, diríamos que
su aceleración; por su magnitud, da la medida de la intensi-
dad del campo; y por su dirección y sentido, da la dirección
y el sentido del campo en ese instante, para la posición que
tenga (en el asunto) ese individuo. Se debe de advertir que
lo que hemos llamado campo de fuerza, constituído, como
acabamos de decir, para ver en él un movimiento elemental
de modificación del individuo, es algo diferente del campo
de fuerza que considera la Mecánica racional, para ver en él
el movimiento de un solo punto material; porque los centros
de fuerzas psíquicas —así externos como internos (respecto
del individuo natural) —no son centros fijos y de poder me-
cánico constante, sino que cambian de un instante á otro
física y psiquicamente, por lo cual el poder mecánico-psíqui-
co, como si dijéramos, de esos centros de fuerzas es esen-
cialmente variable. Por esto, al hablar aquí de la intensidad,
dirección y sentido del campo para una posición dada del
individuo, hemos cuidado de añadir según sea el campo del
individuo en el instante de que se trata. Ya se comprende
que la consideración del individuo en su campo para la Me-
cánica social, sea más difícil que la del punto material en la
Mecánica racional; y que para formular las proposiciones
(+) Lo 1.* es lo que llama Mach exterior al límite U; lo 2. y lo 3.
es denominado por Mach interior al límite U.
— 844 —
respecto á las energías psíquicas de un individuo, haya que
adoptar ciertas precauciones.
El campo pslquico deque hablamos— por su modo de ser-—
no será en general uniforme, es decir, que la intensidad, di-
rección y sentido del campo no serán las mismas para todos
los individuos, en todas sus posiciones y en todos los ins-
tantes. Si se piensa en diversos individuos, se ve que el me-
dio ambiente externo que los rodea, es en general diferente
de uno á otro; y aunque fuera igual, serían diferentes lo
fisiológico y lo psíquico del ambiente interno en unos y otros
individuos. Si se piensa en las diferentes posiciones que ten-
ga un mismo individuo, en dos instantes cualesquiera de su
movimiento, también se comprende que, aunque el medio
ambiente externo subsistiera el mismo para ese individuo,
cada cambio de posición en el asunto que se operara en el
individuo abstracto y simple en un cierto transcurso de
tiempo, sería simultáneo con otros cambios en lo orgánico-
fisiológico del cuerpo del individuo y en lo psíquico suyo,
es decir, en todo el ambiente interno. Se concibe la enorme
complejidad que todo esto lleva consigo (*). Se ve, en defi-
nitiva, que el campo de fuerzas psíquicas no será en gene-
ral uniforme.
En la Mecánica racional, cuando se trata de un solo punto
(*). Se sabe que el hábito de ejecutar los actos todos de la vida
influye de tal modo en lo que hemos llamado ambiente interno de
cada individuo, que las fuerzas fisiológicas, solamente estimuladas
por las simples sensaciones, bastan para realizar nuevamente aque -
llos actos una vez iniciados. Como ya se realizan automáticamente,
no hay fuerzas psiquicas—propiamente dichas—que intervengan. No
habiendo de cambiarse el modo de hacer, no ha de intervenir fuerza
psíquica como causa de modificación, quedando entregado el indivi-
duo —para esos actos—al solo juego fisiológico inconsciente.
Esto no obstante, por otra parte, según se sabe, hay renovación
continua fisiológica que se realiza en el cuerpo de cada individuo
natura); y así el medio ambiente interno de que hemos hablado, es
esencialmente variable con el tiempo.
= 845 —
material, todo lo que ejerce acción sobre éste, se concibe
como algo fijo y constante, aunque rigurosamente no lo sea,
y se supone que cambian sólo la posición y la velocidad del
punto que está en movimiento en el campo sobre una tra-
yectoria cualquiera; mientras que en la Mecánica social (aca-
bamos de verlo) todo el campo que ejerce acción sobre un
individuo es cambiante de un instante á otro, á la vez que
se modifican la posición y la velocidad del individuo que
consideramos.
Pues bien: mirando el campo de fuerzas psíquicas, tal
como sea para un individuo libre en un instante dado, se ve
determinada su aceleración en el asunto en ese instante, que
es en magnitud la intensidad del campo; la fuerza motriz
para ese individuo, es (como en la Mecánica racional) el pro-
ducto de su masa por esta intensidad.
Si se considerase con esa generalidad cambiante ya ex-
plicada, la noción del campo psiquico no podría ser de nin-
guna utilidad para lo que perseguimos ahora, toda vez que
dos posiciones diferentes del individuo, así como todas las
intermedias, para pasar de la primera á la segunda, no po-
drían ser vistas en un campo que fuera algo definido y con-
creto. Por esto nos referiremos solamente (en lo que vamos
á decir) al caso particular en que la dirección y el sentido de
campo sean constantes para cada individuo; es decir, al caso
en que la linea de fuerza sea simbolizada por una línea
recta. Entonces se puede hablar de un campo psíquico en el
cual el individuo esté sometido, en cada instante y en cada
posición suya, á una fuerza para la cual se conciba una sola
ley de variación de su intensidad. El campo —para el indivi-
duo considerado —sería entonces como si hubiera un centro
único de fuerza situado en esa línea de acción, y del cual
proviniera la fuerza que, en cada instante, fuera la resultante
de las acciones de todo el campo. Conviene advertir, ade-
más, para evitar confusiones y contradicciones, que vamos
á poner la atención en un solo individuo, y que el campo
RH
particular que decimos será el suyo, y no el de otro indivi-
duo cualquiera. Para otro cualquiera, su campo tendrá otra
dirección y sentido, también constante para él, y como si
la resultante de todas las acciones que sobre este otro indi-
viduo se ejerzan, viniera de otro centro de fuerza y con su
ley de variación de intensidad.
Considerando, pues, un solo individuo de masa unidad,
se debe de pensar que, aun en el caso particular dicho, el
campo en que le veamos á el moverse (es decir, modificarse)
no sería uniforme, sino en el caso muy particular de que la
intensidad del campo fuera también constante, es decir, que
la resultante de todas las acciones que se ejercieran sobre ese
individuo de masa unidad —emanando de todo el ambiente
interno y externo, físico-fisiológico y psíquico —tuviera, no
solamente dirección y sentido constantes, sino también la
misma magnitud en todos los instantes. Es evidente que en
este caso muy particular el movimiento de modificación del
individuo en la dirección y en el sentido de la línea de fuer-
za sería uniformemente acelerado.
En el curso de estos Apuntes, al tratar del movimiento de
modificación de un solo individuo ó elemento secial, hemos
dicho desde la Cinemática, que prácticamente y de ordinario,
realiza en su vida los cambios de posición en cada asunto,
por una sucesión de movimientos parciales de dirección
constante, cada uno de los cuales es de larga duración rela-
tiva. Cada uno de estos movimientos parciales está en el caso
particular que hemos considerado, y podemos aplicarle lo
que digamos sobre la energía psíquica potencial en su campo
en cada instante. Bien entendido, que se supondrá conocida
la ley de variación de la intensidad de su campo, en función
de la posición que tenga en el asunto en cada instante, por-
que esta ley es la que definirá verdaderamente el campo en
el movimiento parcial que consideremos.
(Continuará )
— 841 —
XXXIX. — Algunas observaciones sobre
los xantogenatos.
POR J. FERRER.
En el curso de trabajos anteriores efectuados en colabo-
ración con el Sr. del Campo, tuve que preparar algunos xan-
togenatos alcalinos correspondientes á los-primeros términos
de la serie de los alcoholes; como para nuestro objeto lo
que necesitábamos era el ion xantogenato, los cationes de
las sales preparadas fueron el sodio y el potásio. En ellos
observé ciertas diferencias en sus formas cristalinas, y Si-
guiendo mis investigaciones en este sentido, presento en
este trabajo los resultados obtenidos y al mismo tiempo va-
rias observaciones respecto á ciertas propiedades de otros
xantogenatos y algunas aplicaciones analíticas de los mismos.
La mayor parte de los xantogenatos preparados fueron
sales potásicas y todos se presentan cristalizadas en peque-
ñas agujas; el isoamilxantogenato fué el sódico, y observé
que sus cristales son completamente diferentes, afectando
la forma tabular. Al principio, atribuí el hecho á la influencia
del catión; pero, habiendo preparado para su comprobación
la sal potásica correspondiente, encontré que ésta se presen-
taba también en forma de escamas análogas á las de la sal
sódica. La influencia del anión está manifiesta y en su dife-
rente composición hay que buscar la causa de la variación
en la forma cristalina. Los diferentes xantogenatos sólo se
= SS
diferencian en los radicales alkílicos que entran en su mo-
lécula, y como las propiedades de todos ellos son idénticas,
no es probable que la forma tabular que el isoamilo parece
imprimir á sus sulfo-tio-carbonatos, sea propiedad peculiar
de dicho grupo, y sospeché si sería debido al diferente peso
de los radícalos alkílicos, es decir, si se trataba de un caso
de morfotropia, como los varios ya estudiados.
La fórmula general de los xantogenatos es
/OR”.
ES M”
en ella podemos considerar el grupo central CS, y unidos
áél OR' y SM; variables al pasar de unos xantogenatos
á otros.
La posición de equilibrio de la molécula dependerá prin-
cipalmente de la relación en que se encuentran OR” y SM,
y fácil es ver que según sea el que predomine, el sistema
atómico se inclinará á uno ú otro lado del plano que pasa
por el grupo CS central; estas variaciones de posición in-
fiuirán seguramente en las propiedades que dependen de la
orientación de las moléculas y, por lo tanto, en la forma cris-
talina de estas substancias.
Asi, si comparamos los valores que toma OR” en los
xantogenatos estudiados,
CH; Ca H; C3 H, Ca H, a Cs Hs
OREA: a E DA lid A TIOR AA 87,
11 Na K
— 849 —
y con las formas cristalinas de los xantogenatos,
Li Na K
Metil xantogenato.... . [Agujas...... Agujas...... Agujas.
Etil — UA Tablas AMAS 57. Agujas.
Propil - MAZO > Tablas tc. 8 Prismas.
Isobutil — AE » Tablasi a: Prismas.
AA SS | » Tablascos: Tablas.
se observa que en los tres casos la variación de forma cris-
talina coincide con el cambio de signo de la relación OR:
SM; que las formas prismáticas se presentan cuando la
parte mineral (SM) de la molécula predomina, mientras las
formas tabulares aparecen en el caso de predominar la parte
orgánica (OR).
La influencia morfotrópica es bien manifiesta; un estudio
cristalográfico de los xantogenatos, sería muy interesante
para determinar si hay cambio de sistema cristalino, y sobre
todo para poder seguir cuantitativamente las variaciones de
los ángulos, aunque en los casos estudiados aquéllos presen-
tan valores próximos, y de las relaciones axicas, pues como
se puede observar, el aumento de peso del grupo OR” de-
termina un aumento á lo menos en una 'de las direcciones
del cristal, si bien esta variación aparentemente no sigue la
misma marcha que el de las variaciones de OR”, pues los
cristales más finos son los que corresponden al derivado
etílico y no al metílico, como podía esperarse.
Los cristales de los metil y etil sulfo-tio-carbonatos potá-
sicos son finas agujas, más delgadas y flexibles en el etílico
que en el metílico; los del derivado propílico pueden presen-
tarse en forma también de agujas bastante gruesas ó de pris-
mas ya definidos, y esta última forma se presenta franca-
== UN
mente en el isobutílico. El isoamilxantogenato es tabular. El
isopropilxantogenato potásico, que no he encontrado toda-
vía descrito, se presenta en forma análoga al derivado pro-
pílico y su procedimiento de preparación es el general para
toda esta clase de compuestos.
Por el cuadro que precede se ve que la única excepción
que Hay á la relación establecida, es la que ofrece el isobu-
tilxantogenato potásico, que se presenta en forma prismática
en vez de hacerlo en la tabular que le corresponde; esto po-
dría atribuirse á que el peso de OR” y de SM en este caso
difieren tan poco, que aun la influencia de la parte mineral
se manifiesta, Ó bien que tratándose, no de carburos norma-
les como los primeros, sino de radicales ¿so, que la variación
en el modo de estar distribuidas las masas en el radical hi-
drocarbonado fuera la causa de la anomalía observada. Sin
embargo, presumo que la causa es otra y que la aparente
anomalía no existe; dejando el isobuilxantogenato potásico,
cristalizado en agujas de su disolución acetónica, abandona-
do durante algunos días al aire libre he observado en algu-
nos casos su transformación total ó parcial en la forma ta-
bular; este dimorfismo lo presentan otros xantogenatos, y
lo he observado perfectameute en aquellos términos próxi-
mos á los que en la serie presentan valores de OR” y SM que
tienden á igualarse, así son también dimortos el etilxantoge-
nato sódico y el metilxantogenato litico (2).
El dimorfismo del etilxantogenato sódico ya lo señala
Berzelius, é indica, aunque no de una manera muy precisa,
las condiciones en que se obtiene una ú otra forma; así
aconseja para obtener la forma tabular la evaporación en el
vacío sobre cloruro cálcico; yo he obtenido esta forma de-
jando evaporar la disolución de xantogenato sin tomar pre-
caución alguna á temperaturas bastante variadas, obtenien-
do á veces, sin cambio aparente de condiciones, la forma
prismática. No he podido encontrar todavía las causas que
influyen en que la cristalización se verifique de un modo Ó
— 851 —
de otro, aunque por los datos que tengo parece que una
evaporación rápida determina la formación de cristales aci-
culares y una cristalización lenta la de cristales tabulares;
además, espontáneamente y con más rapidez que en el caso
del isobutilxantogenato, los primeros se transtorman en los
segundos. En estos casos de dimorfismo, la forma acicular
debe considerarse como la metaestable y la tabular como la
estable.
Los xantogenatos de litio son muy delicuescentes, así es
que al sacarlos del desecador se transforman rápidamente en
una masa líquida, siendo difícil su observación; sin embar-
go, creo haber notado alguna vez en el metilxantogenato
la presencia de cristales tabulares. Estos xantogenatos se
descomponen por el calor con más facilidad que los sódicos
y potásicos. La delicuescencia de los xantogenatos alcalinos
aumenta á medida que disminuye el peso molecular; son de-
licuescentes además de los de litio, los metil, etil y propil
sódicos y el metil potásico, este último solamente en atmós-
fera fuertemente húmeda.
Por las observaciones que van expuestas, parece que se
trata de un caso análogo al hallado por Arzruni en su estudio
de los cloroplatinatos amínicos, y que según Vant' Hoff (*)
la acción morfotrópica en este caso determina variaciones
en la estabilidad de las formas que estos cuerpos dimortos
Ó trimorfos pueden presentar. En el caso de los xantogena-
tos la acción morfotrópica seguramente determina iguales
variaciones, y en la mayor parte de los casos la inestabilidad
de una de las formas será tan grande, que ésta no se pre-
senta, mientras que en los casos de transición la estabilidad
de las mismas tenderá á igualarse, y en éstos el xantogena-
to se presenta en las dos formas estable y metaestable.
(*) Lecons de Chimie Physique, trad. Corvisy, 2? partie.
Rev. Aca. DE Cirncias.—X.— Abril, 1912. 62
— 852 —
El estudio de la preparación de las sales de los ácidos
xantogénicos y de metales pesados, Ó, mejor, la precipita-
ción de cationes correspondientes á dichos metales por los
aniones xantogenato, me han conducido á ciertos resultados,
que aunque sólo tengan valores relativos y aproximados,
creo interesante consignar. |
La solubilidad de los xantogenatos no sigue en todos ellos
la misma ley, pues mientras en unos (Cu y Co), aumenta
con el número de átomos de carbono que entran en la molé-
cula, en otros (Mn, Fe y Cr) sufre una variación inversa,
siendo más solubles los metílicos y etilicos y disminuyendo
su solubilidad al pasar al propilico, butílico y amílico. En el
caso de los xantogenatos de Cu, se observa una mayor in-
solubilidad en los normales que en los ¿so, y de éstos, con-
forme á lo indicado, el menos soluble es el correspondiente
al primer término.
En dos casos he observado ciertas excepciones á la mar-
cha de solubilidades indicada, que, como se ve, es la que
siguen las series homólogas. Estas irregularidades las pre-
sentan el Zn, y de un modo más pronunciado el Ni.
Las soluciones de Zn precipitan por los xantogenatos un
cuerpo blanco, amorfo, que despúes de algún tiempo se aglo-
mera en granos. Operando con soluciones cada vez más di-
luídas se observa un minimum de solubilidad en el tercer
término para los normales y en el cuarto para los ¿so, aumen-
tando de nuevo al pasar al butílico en el primer caso, y al
iso amílico en el segundo. En todos los casos el aspecto del
precipitado es el mismo, y no se distinguen entre sí más que
en su mayor ó menor solubilidad.
En el caso de los xantogenatos de Ni la serie presenta va-
riaciones más profundas y completamente definidas. Un mí-
nimum de solubilidad se presenta también de un modo fran-
co en el tercer término, ya.se trate del propilico, ya del iso-
propilico; en el mismo se manifiesta un cambio de colora-
ción y de estado de agrupación en los precipitados, que se
— 853 —
observan perfectamente operando con soluciones de Ni su-
ficientemente diluidas.
El metil xantogenato de Ni se presenta como un cuerpo
amarillo de oro, formado por pequeñísimos granos sueltos,
que se depositan con bastante facilidad, y que observados al
microscopio tienen la forma de pequeñas esferas sueltas ó
agrupadas en corto número; el líquido presenta una colora-
ción rosácea bastante marcada. El etílico es también amari-
llo y presenta caracteres análogos al anterior; la coloración
rojiza del líquido es tan intensa, que el todo tiene el aspecto
de un precipitado rosáceo bastante abundante; esta colora-
ción es impedida ya, por un 5 por 100 de alcohol amilico. Los
siguientes xantogenatos desde el propilico hasta el amilico
son de color amarillo verdoso, tardando en depositarse, y su
aspecto es homogéneo; vistos al microscopio tienen aspecto
parecido á los anteriores, de los que se diferencian por una
agrupación mayor de las esferitas que lo forman; sólo el
propílico y el butílico al cabo de cierto tiempo presentan
vistas por refracción una débil coloración rosácea. Contra-
riamente á lo que antes creíamos, todos estos xantogenatos
deben ser de natraleza coloidal, y sobre este extremo voy á
seguir una serie de investigaciones.
Este cambio de ciertas propiedades de los xantogenatos
de Ni, que de un modo menos manifiesto se presenta en los
de Zn y que desaparece por completo en los demás que se
han estudiado, no parece ser propiedad general de los mis-
mos, sino propia de los casos indicados. Sin embargo, no
dejaré de poner de manifiesto que el cambio de propieda-
des coincide con un cambio en la molécula; así, si en la fór-
mula de los xantogenatos de Ni y Zn, observamos que el
peso de SNi = 61 y el de SZn = 64 va pasando de ser ma-
yor á ser menor que los pesos de OR, notaremos que cuan-
do dichos pesos se igualan, se presenta el minimun de solu-
bilidad, y que en el curso de las sales de niquel, cuando la
parte mineral de la molécula predomina, se forman cuerpos
— 854 —
de color amarillo, formados por granos sueltos y el líquido
toma la coloración rojiza indicada, y cuando la parte orgáni-
ca es mayor, entonces se presentan los xantogenatos del as-
pecto homogéneo, va desapareciendo la coloración rojiza y
el tono verdoso de los mismos se va cada vez acentuando.
E
La precipitación de las sales de cobre por el etilxantoge-
nato es de antiguo conocida, lo mismo que las fases por que
pasa; se sabe que primeramente se forma la sal cúprica,
parda, y que ésta pasa con mayor ó menor rapidez á sal
cuprosa amarilla con formación simultánea de dixantilo. En
la precipitación de las sales de cobre por los otros xantoge-
natos se observan análogos fenómenos; sin embargo, entre
la acción del metilxantogenato y los restantes hay cierta di-
ferencia en la velocidad con que se verifica el paso de la sal
cúprica á cuprosa; esta velocidad es bastante menor para el
derivado metílico, y su xantogenato cúprico aparece como
más estable. Esto se observa fácilmente precipitando solucio-
nes de sulfato de cobre muy diluidas por los xantogenatos,
operando en todos los casos en las mismas condiciones; el
metilxantogenato da siempre el pricipitado pardo de sal cú-
prica que pasa lentamente á cuprosa, mientras que en estas
condiciones los otros xantogenatos si dan sal cúprica se
transforma rápidamente en cuprosa, pero lo más frecuente
es que la transformación sea tan rápida que se forma inme-
diatamente precipitado amarillo.
+
ES
Los xantogenatos de cadmio no sé que hayan sido prepa-
rados, Ó á lo menos no he encontrado ninguna indicación re-
ferente á ellos. Se forman por precipitación de una sal de
cadmio por un xantogenato alcalino; son cuerpos blancos,
insolubles en agua, alcohol, éter, acetona, sulfuro de carbo-
— 895 —
no, benceno y éter de petróleo; por la acción del calor se
descomponen, dejando uu residuo anaranjado, y hervidos en
suspensión en el agua se transforman el sulfuros. Los etil,
propil, isobutil á isoamil-xantogenatos se precipitan amorfos,
transformándose muy lentamente en cristalinos, y entonces
se presentan en forma de diminutos cristales agrupados en
forma generalmente radial bastante confusa.
El metilxantogenato de cadmio es por lo menos dimorfo,
dependiendo la forma cristalina que adopta de su modo de
preparación. Si se añade una solución de metilxantogenato
potásico á una solución de ioduro de cadmio de modo que
la sal de cadmio esté en exceso, se forma un precipitado
blanco amorfo, que sin perder aparentemente este aspecto
se transforma rápidamente en cristalino, afectando la forma
de agujas sueltas ó poco agrupadas; más lentamente toma el
precipitado aspecto cristalino por el crecimiento de los cris-
tales primitivamente formados.
Si la precipitación se verifica adicionando la sal de cadmio
de modo que el xantogenato alcalino esté en exceso, se 0b-
serva al añadir las primeras porciones la formación de un
precipitado blanco 'amorfo de aspecto análogo al anterior,
que se disuelve inmediatamente, y continuado la precipita-
ción se deposita después el xantogenato de cadmio en forma
cristalina, brillante y de aspecto sedoso. Estos cristales tie-
nen la forma característica que indican las figuras 6.* y 7.2 a.
Al principio creí que la forma acicular era una sal doble,
pero la investigación del iodo ha dado resultados negativos;
además, las cantidades de metilxantogenato de cadmio que
se obtienen operando de una ú otra manera son sensible-
mente iguales, y las propiedades generales de las dos for-
mas son idénticas.
Las dos son bastante solubles en piridina, y de esta diso-
lución se pueden obtener cristalizadas en cristales bastante
grandes cuya forma recuerda la de los cristales de yeso, y
hasta en algunos casos se han observado muchas con cierto
— 856 —
parecido á las del yeso en flecha. Estos cristales deben tener
ciertas relaciones con las de la forma ahorquillada.
La variedad amorfa que se deposita primero se transforma,
pues, según la composición del líquido en que se encuentra
en una ú otra modificación cristalina. He intentado averiguar
si éstas son á su vez transformables una en otra, y para ello
he puesto los cristales aciculares en contacto de una disolu-
ción de metilxantogenato potásico y la ahorquillada en una
de ioduro cádmico. Al cabo de varios días no se había logra-
do una transformación franca, sin embargo. Los cristales pri-
mitivos han sufrido ciertas modificaciones; los aciculares se
presentan agrupados en haces paralelos y los ahorquillados
un aspecto particular, desfilachado, como si estuvieran al
principio formados por prismas maclados y que en contacto
de la disolución de ioduro de cadmio se hubiesen separado.
Este resultado, aunque no muy concluyente, parece indicar
que la forma más estable es la acicular, contrariamente de
lo que se deduce de un modo más concluyente de la evapo-
ración de su solución piridínica.
APLICACIÓN DE LOS XANTOGENATOS Ó LA CARACTERIZACIÓN
É INVESTIGACIÓN DE LOS ALCOHOLES
La forma cristalina de algunos xantogenatos potásicos es
bastante diferente, y la agrupación de los cristales en otros
suficientemente característica, para intentar un ensayo sobre
la caracterización é investigación microquímica de los alco-
holes metílico, etílico, propílico, isobutilico é isoamílico. Los
xantogenatos metílico y etílico, por presentar forma y agru-
pación cristalina bastante semejante, no permiten fácilmente
la diferenciación de los mismos; pero en este caso, podemos
emplear los respectivos xantogenatos de Cd que presentan
diferencias bien manifiestas.
— 851 —
Para caracterizar á los alcoholes se puede operar del modo
siguiente: á un centímetro cúbico del líquido á ensayar se
añaden dos ó tres gotas de una disolución de potasa cáustica
al 40 por 100 y la misma cantidad de S,C; se agita, é inme-
diatamente en los cuatro primeros términos, y más lentamen-
te en el caso de que se trate de alcohol amiílico, el líquido
toma coloración amarilla debida á la formación del xantoge-
nato correspondiente. Una gota del líquido se deja evaporar
y se observa el depósito cristalino al microscopio; el aspecto
Figura 1.?
de los cristales formados permite de una manera franca di-
vidir á los alcoholes en los tres grupos siguientes: metiílico
ó etílico, propílico ó isabutilico € isoamílico.
Los metil y etilxantogenatos (fig. 1), si bien presentan algu-
nas diferencias en su forma cristalina, no son suficientes para |
su distinción; pero para su diferenciación se pueden utilizar
los xantogenatos de cadmio. Añadiendo al depósito cristali-
no obtenido, como se ha indicado, una gota de solución de
ioduro de cadmio al 1 por 1.000, se forma un precipitado
blanco, amorfo, si el alcohol de que se ha partido es el etíli-
h — 858 —
co, y blanco cristalino si es el metílico; operando como se ha
indicado, los cristales se presentan de la forma de la fig::-
ra 5.* El alcohol metílico se puede reconocer de un modo más
sencillo por el aspecto característico del precipitado; para
ello se añade al metilxantogenato formado del modo ya des-
crito la solución de ioduro de cadmio gota á gota y agitando
hasta que se forme precipitado persistente; este es cristalino
y de brillo sedoso característico.
Los alcoholes propílico é isobutílico son de difícil distin-
Figura 2.?
ción, pues aunque el isobutilxantogenato (fig. 3) suele pre-
sentarse en cristales más sueltos, su agrupación es análoga
á los del propilxantogenato (fig. 2) y, en general, se con-
funden bastante con los de éste; sólo en casos raros se pre-
sentan en cristales que permiten distinguirlos. Como carác-
ter que también puede servir para su diferenciación, es la
forma arborescente dentrítica que amenudo suele afectar el
xantogenato isobutílico. Lo característico en estos dos xan-
togenatos es la agrupación casi perpendicular de sus crista-
les, en general bastante gruesos; si alguna vez se presentan
— 859 —
en forma radial, se distinguen bastante de los cristales de
los xantogenatos menos ricos en carbono, y basta recrista-
lizarlos en alcohol ó acetona para que tomen la forma ca-
- racterística.
El amilxantogenato se presenta en forma de cristales ta-
- bulares romboidales, en general mal definidos, sobre todo si
se trata de alcoholes amílicos comerciales que llevan mayor
ó menor cantidad de alcohol isobutílico; mejor es cristalizar
el xantogenato en alcohol etílico, y entonces se presenta en
Figura 3.2
agrupaciones cristalinas aisladas (fig. 4) muy transparentes,
por lo que conviene observarlas con poca luz, ó mejor, ilu-
minadas por reflexión. No recristalizando el depósito crista-
lino primeramente obtenido, se caracterizan perfectamente
los alcoholes inferiores que el isoamílico puede contener.
Operando en las condiciones indicadas se pueden re-
conocer los alcoholes metílico y etílico en líquidos que
contengan 2 por 1.000, si bien su diferenciación por la sal
de cadmio, no es posible por debajo de 4 por 1.000. Para
estas diluciones extremas conviene calentar suavemente la
Rkv. AcaD. DE CrENCIAS. —X.—A bril, 1912. 63
— 860 —
mezcla de alcohol, potasa y sulfuro de carbono para acele-
rar la formación del xantogenato.
Por medio de otras reacciones se puede llegar á poner de
manifiesto el xantogenato formado, y por lo tanto la existen-
cia de alcohol en el líquido ensayado; así pueden emplearse
sales de cobre, de niquel, y la reacción de Dragendortf (mo-
libdato amónico y ácido sulfúrico); pero todas ellas son
prepias de todos los xantogenatos, y solamente por medio
de las sales de niquel se pueden llegar á distinguir los me-
Figura 4.2
il 6 etilxantogenatos de los restantes, como ya se ha indi-
cado anteriormente.
He tratado de investigar también si estas reacciones mi-
croquímicas podrían servir para investigar mezclas de dite-
rentes alcoholes, y he obtenido los siguientes resultados,
no muy buenos en unos casos y verdaderamente satisfacto-
rios en otros.
— 861 —
El alcohol metílico se puede investigar en el alcohol etí-
lico siguiendo la marcha indicada, pero empleando solución
de ioduro de cadmio más concentrada (1 por 100) á fin de
_precipitar todo el xantogenato formado; inmediatamente ó al
cabo de poco tiempo se observan los cristales del metilxan-
togenato de cadmio (fig. 7 b). Esta reacción, que es suma-
mente característica, tiene el inconveniente de su escasa sen-
sibilidad, pues sólo le dan mezclas que contengan más
de 15 por 100 de alcohol metílico, y con más dificultad
Figura 5.?
aquellas en que éste no está en proporción inferior al 10
por 100.
Este procedimiento sirve también para reconocer el alcohol
metílico en la acetona, siendo reacción en este caso bastante
sensíble.
La investigación de alcoholes superiores en el alcohole tí-
lico por medio de los xantogenatos, es sumamente sensible;
observando la forma cristalina de los xantogenatos forma-
dos se observa sin confusión, al lado de las formas acicula-
res agrupadas en haces radiales del etilxantogenato potá-
— 862 —
sico, los cristales prismáticos propios de los otros alcoho-
les (fig. 6.*), Los cristales tabulares del isoamilxantogenato
no se distinguen, debido á que al cristalizar mezclas de xan-
Figura 6.2
togenatos etílico y amílico se forman cristales mixtos que
presentan formas parecidas á los correspondientes de tres y
cuatro átomos de carbono.
Estas reacciones microquímicas de los xantogenatos, y
por lo tanto de los alcoholes, no creo hayan sido propues-
tas; pues aunque los xantogenatos correspondientes á los
alcoholes citados ya han sido descritos, están poco estu-
diados, y el más conocido, y al que se refieren en gene-
ral todos los trabajos, es al etílico. Aunque el ácido etilxanto-
génico da con facilidad cuerpos bien cristalizados, la única
reacción microquímica que de él conozco, es la formación
— 863 —
de su sal de plomo (+). De los otros xantogenatos no sé que
se hayan indicado reacciones microquímicas.
Así como el cadmio-ión puede servir para caracterizar al
metilxantogenato-ión, éste también puede servir para inves-
Figura 7.?
tigar aquél. Añadiendo á una disolución de sal de cadmio
unas gotas de solución concentrada de metilxantogenato po-
tásico, se forma el precipitado característico de metilxanto-
genato de cadmio, que siempre es conveniente observar al
microscopio; la reacción puede efectuarse sin dificultad en
el mismo porta-objetos, empleando gotas de los líquidos
que han de reaccionar.
Por este procedimiento se puede reconocer el cadmio-ión
(*) Emich: Lehrbuch der Mikrochemie, 1911.
Rev. AcAD. DE CIENCIAS. —X.—Abril, 1912. 64
en líquido, que sólo contenga 1 parte en 30.000 de agua; en.
los casos de disoluciones extremas conviene operar en tubo
de ensayo, pues el precipitado tarda en aparecer. El cinc
no impide la reacción siempre que la concentración en cad-
mio-ión no baje de 1 =< 3.000. ;
(Laboratorio de Química Orgánica de la Facultad de Ciencias de Madrid.)
e E DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO -
e XXXVI. — Conferencias sobre Física matemática. Teorías
diversas, por José Echegaray. Conferencia déci-
mati dos a ales
XXXVII. — Conferencias sobre Física matemática. Teorías Ea
diversas, por José Echegaray. Conferencia undé-
A o IS Pen OO oo
XXXVII. — Apuntes sobre Mecánica social, por Antonio
Portuondo y Barceló (continuación).......-. SE ..
XXXIX. — Algunas observaciones sobre los xantogenatos, :
de 500 4 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 franco:
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle dé Va
verde, núm. 26, Madrid. : Pd
Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas.
1
MADRID
TOMO X.—-NÚM. 11.
Mayo de 1912,
| MADRID:
ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL
CALLÉ DE PONTEJOS , NÚM, 3.
1912
ADVERTENCIA
Los originales para la Revista de la Academia
se han de entregar completos, en la Secretaría de
la Corporación, antes del día 20 de cada mes,
pues de otro modo quedará su publicación para
el mes siguiente. |
Mato
SA ASA UNAS A A FE
=D
XL. —Conferencias sobre Fisica matemática.
Teorias diversas.
LORO NOSE EC E GARAY.
Conferencia duodécima.
SEÑORES:
Con dos observaciones generales á propósito de la ecua-
ción diferencial de Laplace y de la teoría de las armónicas,
terminábamos la conferencia precedente.
Decíamos, en primer lugar, que una ecuación diferencial
comprendía en sí, por decirlo de este modo, multitud de in-
tegrales, expresando, pues suponemos que sólo se trata de
una ecuación diferencial, u11 propiedad común á todas estas
integrales particulares.
Para definir ó particulai'zar cada una de ellas necesitába-
mos agregar ciertas condi> ones particulares también, y por
eso, dicho sea de paso, la integral general, la equivalente
en cierto modo á la ecuación diferencial, contiene, según
sea el vaso, constantes ó funciones arbitrarias, que permiten
á la integral general acomodarse á todas las integrales que
representa.
Por eso, y citábamos este ejemplo, la ecuación diferencial
de primer orden
dy ]
E O
H y a
que comprende multitud de curvas, no basta para definir
cada una de ellas en particular; pero queda definida cada
una de éstas, si se agrega la condición de que pase por un
punto determinado (X,,Yo,).
Rev. AcAp. DE Ciencias.—X.—Mayo, 1912. 65
A A TS
> EN
— 866 —
Y ocurre, viniendo ya al problema que nos ocupa, esta
cuestión:
La ecuación Laplace
de U aEnO: +: 1d SURE
ES dy? ZA
comprende multitud de armónicas; ¿pues cómo se podrá
particularizar una de ellas? ¿Bastará decir, según el ejem-
plo elemental que hemos presentado, que la armónica U ha
de tener un valor particular U, en el punto definida por las
tres coordenadas Xo, Yo, Zo?
Claro es que, agregando dicha condición, ya U no tiene.
la generalidad que antes tenía. En el grupo general de las
armónicas habremos particularizado un subgrupo, por de-
cirlo de este modo: un subgrupo, pero no una, como vere-
mos más adelante.
¿Bastará que á la ecuación general de Laplace agregue-
mos la condición de que, para un número finito de puntos 7,
definidos por sus coordenadas, la armónica ha de tomar va-
lores determinados para cada uno de éstos?
U, para (Xo, Yo» 20)
Ca ea)
E Vo
Es evidente que todavía se particulariza más en el grupo
general de armónicas un subgrupo en aquél comprendido;
pero volvemos á repetirlo: no se particulariza de este modo
una sola armónica; es preciso, como vamos á ver, que el
número 1 sea infinito, y aquí se nos presenta el célebre pro-
blema, llamado en la Física Matemática problema de Dirich-
let, de que luego hablaremos, y en el que casi han agotado
sus fuerzas grandes matemáticos.
— 867 —
Y vengamos á la segunda observación, que hicimos al final
de la conferencia precedente.
Supongamos, que dimos al fin con una condición, que
agregada á la ecuación diferencial de Laplace, define una
armónica ó un número finito de armónicas, á la manera que
una ecuación ordinaría del grado m determina, no una raiz,
sino /n raices.
En este caso ocurre el problema que ya enunciábamos:
averiguar si para dicho problema, que en breve trataremos,
la solución es única ó existen varias soluciones.
Respecto á este punto y á este aspecto de la cuestión, po-
demos dar explicaciones claras y concretas, al menos en
gran parte, y esta salvedad ya la explicaremos luego.
Imaginemos (fig. 37) una superficie cerrada S. Sobre di-
cha superficie podremos fijar infinitos puntos 4,, 0,, ».....
Figura 37.
Los particularizamos para la explicación, pero nos referi-
mos á todos los puntos de la superficie y planteamos, como
antes decíamos, el problema de Dirichlet de este modo.
Determinar una armónica U, que satisfaga á la ecuación
— 868 —
diferencial de Laplace, y que en cada punto de la superficie
tenga un valor determinado: U, para a,; U, para a,..... en
general U para a.
Cuando hablamos de armónicas satisfaciendo á la ecuación
de Laplace, ya se entiende que nos referimos á funciones
uniformes, finitas, bien determinadas, y que tengan derivadas
orimeras y segundas bien determinadas también.
Pero antes hicimos una salvedad que conviene explicar
ahora.
El problema, tal como está planteado, no se refiere á todo
el espacio.
Claro es, que esto sería lo más general, lo que estaría más
conforme con las explicaciones que preceden, pero no de-
pende de nuestra voluntad plantear á nuestro capricho pro-
blemas históricos, que tienen en la ciencia un sentido per-
fectamente definido.
Decíamos antes: nos proponemos buscar una armónica
que tome sobre los puntos de una superficie, valores deter-
minados, y ahora agregamos, finitos y continuos. Pero agre-
gamos ahora otra circunstancia, á saber: Que no buscamos
esta función armónica para todo el espacio, ni decimos que
haya de ser función armónica en todo él, sino sólo en una
parte del mismo: en el resto será Ó no será función armó-
nica.
Con lo cual el problema de Dirichlet se divide en dos:
1.2 Problema de Dirichlet para el interior de un vo-
lumen.
2. Problema de Dirichlet para el espacio infinito exterior
á dicho volumen.
Precisemos aún más la cuestión, porque para el princi-
piante, como hemos repetido hasta la saciedad, ninguna ex-
plicación es ociosa; y como hemos repetido también infinitas
veces, estas conferencias tienen por objeto la propaganda de
la ciencia superior, allanando sus dificultades para los alum-
nos y esforzándonos, hasta donde nuestras fuerzas permiten,
— 869
en hacerles llano lo que pudiera parecerles escabroso, y ha-
cerles claro lo que pudiera parecerles obscuro.
El problema de Dirichlet interior, que así se dice, puede
precisarse de este modo:
Hallar una armónica, que sea armónica para el interior de
un volumen (fuera, no sabemos lo que será), y que, en los
puntos de la superficie que termina dicho volumen, ad-
quiera valores determinados, variando por la ley de conti-
nuidad .
En forma análoga puede definirse el problema exterior de
Dirichlet.
Dada una superficie, que limite un volumen, y que deje un
espacio exterior, determinar una armónica (y excusamos
decir, como siempre, que uniforme y finita y con derivadas
primeras y segundas) en dicho espacio exterior; pero no
decimos que haya de ser armónica en io interior del volu-
men, en el que será la que fuere, no lo prejuzgamos. Y ade-
más, que tome valores determinados y continuos sobre la su-
perficie; y agregamos, para este problema de lo exterior, que
en el infinito se anule.
Es limitar en cierto modo el problema general que conce-
bimos y que se refiere á todo el espacio. Pero esta limitación
procede de que el célebre problema, si se nos permite ex-
presarnos de este modo, no se ha creado para la ciencia
dura, para el problema general de la integración, sino para
cietos problemas de la Fisica Matemática, como veremos en
su día.
Cuando en las Matemáticas se empieza á estudiar el
cálculo integral, como todo no se puede explicar de una
vez, las teorías se explican en la forma más general y más
sencilla, sin abrumar al alumno con dificultades que más
adelante han de presentarse.
— 810 =
En este primer estudio, integrar una ecuación diferencial
es Obtener una función á la cual no se ponen límites. Quiero
decir, para precisar las ideas, que si :
= (2 y, C)=0
es la integral general de la ecuación diferencial
dy
X, PLOT TE = 0,
dl y E
y determinamos la constante C de modo, que la curva de-
finida por la ecuación ¿=0 pase por el punto A (tig. 38),
y es dicha curva a a”, toda ella, en toda su extensión, finita,
y a
Figura 38.
si es finita, hasta valores infinitos de x, y, si hasta el infí-
nito se extiende, déberá satistacer á la ecuación diferen-
cial f= 0. Deduciendo de v =0 la derivada 2 y sustitu-
yéndola en f= 0, la ecuación deberá quedar satisfecha y
convertida en una identidad para todos los valores de Xx, y,
correspondientes á todos los puntos de la curva a a”.
En cambio, le causaría al alumno profunda extrañeza si
se le dijera lo siguiente:
— 871 —
La función «= 0, que representa una curva cc”, satisface
á la ecuación diferencial f= 0; pero no en toda su exten-
sión, sino en una extensión limitada. Es decir, que si toma-
mos en esta curva el punto B, y trazamos, con un radio r, la
circunferencia bb”, la curva sólo satisface á la ecuación dife-
rencial en la parte b BD”.
Esta falta de continuidad, esta interrupción en una pro-
piedad de la curva, es algo extraño y anómalo que casi ha
de causar asombro á los principiantes.
Y, sin embargo, casos análogos á éste se presentan en el
problema de la integración; y, sin ir más lejos, una cosa pa-
recida sucede en los métodos de integración de Cauchy y
de otros autores: cuestiones en que no podemos entrar, por-
que sería traspasar los límites de esta asignatura; pero cues-
tiones que he creído conveniente recordar, para que no cau-
se extrañeza excesiva la forma en que se presenta el teore-
ma de Dirichlet. En el que, si se trata del problema interior,
la armónica sólo satisface á la ecuación diferencial de La-
place en el interior de un volumen, y si se trata del proble-
ma exterior, sólo queda satisfecha la ecuación diferencial en
la parte exterior á dicho volumen, sin prejuzgar nada res-
pecto al volumen mismo.
Todo esto se enlaza con la teoría de la discontinuidad y
de las funciones discontinuas, problemas que no hago más
que apuntar sin poder detenerme en ellos.
Ya hemos planteado el problema de Dirichlet bajo sus dos
formas, y para cada una de ellas hay dos puntos que con-
siderar:
1.2 El que se denomina ó puede denominarse de existen-
cia de la armónica, que adquiera valores determinados y
continuos en una superficie, y que satisfaga á la ecuación de
— 812 —
Laplace, ya en el interior, ya en el exterior de un volumen.
Y 2.” Este otro: ¿existirá una solución ó existirán va-
rias? Es decir, ¿habrá una armonía que cumpla con estas
condiciones, ó habrá más de una?
Vamos á empezar por el segundo problema; vamos á de-
mostrar que siempre existe una armónica que satisface al
problema de Dirichlet, y que nunca podrá existir más que
una, tundándonos para ello en las proposiciones que de-
mostramos en la conferencia precedente.
Empecemos por el problema interior.
Supongamos que existe una armónica U, (x, y, z) que
satistace á la ecuación de Laplace en el interior del volu-
men, que es uniforme y finita, que posee derivadas prime-
ras y segundas, y que en cada punto de la superficie que
limita el volumen adquiere un valor determinado, por ejem-
plo, para el punto a el valor U,.
Y supongamos á la vez que existe otra armónica U, dis-
tinta de la precedente U,, que cumple con las mismas con-
diciones. Es decir, que satisface á la ecuación de Laplace
dentro del volumen, y que en todos los puntos de la super-
ficie S que limita dicho volumen, adquiere los mismos va-
lores ya establecidos, y que adquiría la función anterior. Por
ejemplo, U, para el punto a.
Vamos á demostrar que esta hipótesis es imposible, que
la segunda armónica tiene que ser igual á la primera. Es de-
cir, que no hay más que una.
La demostración es sencillísima.
Si existe la armónica U,, es decir, si satisface á la ecua-
ción de Laplace
d? 0, d? Ll 2 10
e
dx? a alas
también satisfará á esta ecuación y también será armónica
la ecuación
E O, (x, y, 2),
— 813 —
porque, en efecto, basta cambiar el signo á la ecuación pre-
cedente, y tendremos
ji dl) an lo Ús
aos 00 dy? + dz?
la cual demuestra que — U, es una solución.
Pero si U, es una solución de la ecuación de Laplace, y
es otra solución — U,, será una solución U, — U,, porque
hemos probado que la suma de soluciones particulares de
la ecuación de Laplace es una nueva solución; y además
esto es evidente, porque sustituyendo en vez de U en la
ecuación de Laplace U, — U.,, tendremos
(0,0), (0-0), 2U0)_,
dx? dy? dz?
Ó bien
E 5 ÓN U, ll Usas Us de el Lio
Una dy? dz? dx? dy? dz?
y ambos grupos son separadamente iguales á cero, según
hemos dicho.
Tenemos, pues, que U, — U, satisface á la ecuación de
Laplace dentro del volumen. Veamos lo que resulta para la
superficie. Por ejemplo, para el punto a, y lo que de él di-
gamos, pudiéramos repetir para todos los demás.
', en el punto a, toma el valor U,.
Del mismo modo U., en dicho punto a toma por hipó-
tesis el mismo valor U,. Luego — U, tomará el valor — U,,
De aquí se deduce que la función U, — U, tomará el va-
lor U, — U, =0.
De donde se deduce también que la armónica U, — U,
que satisface á todos los puntos del interior del volumen, es
igual á cero para todos los puntos de la superficie.
— 874
Pero hemos demostrado en una de las proposiciones de la
conferencia precedente, que si una armónica es igual á cero
para todos los puntos de una superficie cerrada, será igual á
cero para todos los puntos del interior del volumen. Luego
en el interior del volumen tendremos U, — U,= 0, y, por .
lo tanto, idénticamente [', = U,. De suerte que son U, y U,
dos funciones idénticas en el interior del volumen.
Lo cual significa que no hay más que una solución, supo-
niendo que esta solución exista.
Por el pronto sólo podemos afirmar, que Ó no existe nin-
guna ó es una sola.
Lo que hemos demostrado para el volumen interior, po-
demos repetir para el espacio exterior, en las condiciones
ya explicadas tantas veces, y recordando que las armónicas
han de ser nulas en el infinito.
Diremos, pues, si existen dos armónicas U, y U, para el
espacio exterior á un volumen, y que adquieran los mismos
valores continuos en la superficie de dicho volumen U,— U,,
también será armónica.
Como cada una de ellas toma sobre la superficie el mismo
valor U,, su diferencia tomará el valor cero, y por otra pro-
posición demostrada en la conferencia última, la armónica
U,— U, que es nula en la superficie y que es nula en el infi-
nito, será nula en todo el espacio exterior. Así, U, —U,= 0.
De donde
O, (191 2) = Us (X1 Y, 2).
Luego no existen dos armónicas. En todo caso existirá
una sola.
Y ahora se plantea el problema de Dirichlet, tanto interior
como exterior.
— 875 —
¿Existirá una solución para la ecuación diferencial de La-
place en las condiciones expresadas, á saber: una armónica
finita, uniforme y con derivadas primeras y segundas en el
interior de un volumen, y tal que para los diferentes puntos
de la superficie S, que limita este volumen, adquiera valo-
res determinados y continuos?
La demostración que generalmente se da en rigor es
una demostración indirecta, porque en vez de suponer que
la armónica conserva su pureza abstracta se supone que re-
presenta la temperatura de los diferentes puntos de un
cuerpo.
Es decir, se funda la demostración de un problema analí-
tico en un hecho puramente experimental, como vamos á ver.
A las matemáticas puras se substituye la teoría del calor.
Precisemos las ideas, y para ello supongamos que el sóli-
do en cuestión, que hasta ahora es puramente geométrico,
se rellena con materia, constituyendo un sistema físico con-
tinuo, conductor é isótropo, de modo que el calor se trans-
mite de igual suerte en todos sentidos.
Para este problema físico se busca la expresión matemá-
tica, y vamos á ver inmediatamente que la ecuación de equi-
librio de temperaturas en el sólido continuo é isótropo es
precisamente la ecuación de Laplace.
Esta demostración es sencillísima y, en rigor, ya la hemos
dado en otras ocasiones. '
El problema de la transmisión del calor dió origen á la
obra inmortal del eminente físico y matemático Fourier.
Pueden, además, consultar mis alumnos multitud de obras
y de demostraciones del teorema en cuestión. Por ejemplo,
para no citar más que algunas, ya clásicas y extensas, ya
elementales, y aun demostraciones aisladas, citemos la obra
de Lamé, la Física Matemática de Mathieu, una deinostra-
ción, por decirlo así, incidental, en el tratado de electricidad
y óptica de Poincaré, y detengamos aquí la lista, que sería
interminable.
— 816 —
Nosotros condensaremos en términos brevísimos y casi
esquemáticos todas estas demostraciones.
Supongamos, como tantas veces, dividido el sólido en
cuestión por una serie de planos paralelos á los tres ejes
coordenados, con lo cual dicho sólido quedará dividido en
paralelepipedos infinitamente pequeños, cuyas aristas ten-
drán las dimensiones dx, dy, dz.
El movimiento del calor en este caso y en este cuerpo,
mejor dicho, la temperatura de cada punto estará determi-
nada en cada instante y en cada paralelepípedo por la tem-
peratura en el instante anterior y por la cantidad de calor
que entra y sale por las seis caras del paralelepípedo.
Según la capacidad calorífica del cuerpo, esta variación
de calor del paralelepípedo determinará la variación de tem-
teratura.
Vamos á aplicar la fórmula vulgarísima, que se repite en
un gran número de problemas de la Física Matemática, que
da origen á la fórmula de Green y á la fórmula de Laplace y
que puede expresarse en estos términos de sentido común.
La cantidad de algo, contenido en un espacio cerrado,
depende de lo que entra y sale de este algo por la super-
ficie que cierra el espacio. Es decir, del flujo que se deter-
mina en la superficie.
Este algo podrá ser calórico; y bien pudiéramos decir mo-
vimiento vibratorio de la materia, mejor aún, fuerza viva.
Podrá ser electricidad; podrá ser magnetismo; podrá ser un
vector cualquiera; la fórmula siempre será la misma.
Lo más sublime de la Física Matemática, lo que para
muchos es algo recóndito y cabalístico no es, en el fondos
más que la traducción, por medio de signos, de una tórmu-
la, lo hemos dicho, de sentido común. La cantidad de una
— 811 —
cosa en determinado lugar, depende de lo que había, de lo
que penetra y de lo que sale al exterior.
Sólo que, en este caso, lo que entra ó lo que sale en el
volumen que se considera es flujo de calor, el cual determi-
na en todos los puntos del volumen, según la capacidad ca-
lorífica del cuerpo, temperaturas determinadas.
Y dicho esto, demos la demostración de la fórmula en la
forma más breve posible.
Consideremos la cara del paralelepípedo más próximo al
plano de las yz. Su área será dy, d2;.
Se sabe y se demuestra experimentalmente, que el tlujo de
calor entre dos puntos depende de la diferencia de la tempe-
ratura de ambos puntos, mejor dicho, de la caída de tempe-
raturas que, llamando T á la temperatura en general, será
a, suponiendo que las temperaturas van disminuyendo,
ES
en el sentido de las x.
Como el flujo de calor es proporcional á la superficie, á
a caída de temperaturas de un lado de la cara del paralele-
pipedo á otro y por unidad de longitud, representando por C
una constante y representando por c la capacidad calorífica,
ó si se quiere el aumento de temperatura por cada unidad
de calor, tendremos: flujo de calor que entra por la 1.* cara
ANAZ:
(COVA —
Es
Y el aumento de temperatura que produce dicho calor según
la capacidad C
Ccdy, dz, pd :
dx
Esto en el tiempo di.
Para la cara más lejana del plano de las yz podemos
— 818 —
repetir esto mismo, sólo que, si bien se conservan C, c, dy,,
dx, la caída de temperatura será distinta, será
aT
ALTE dx
a O
á saber, la que era antes con el aumento que corresponda
á la distancia de (dx, de ambas caras.
Pero en la hipótesis establecida, no será flujo de calor que
entra, sino de calor que sale, con el descenso de tempera-
tura correspondiente.
Tendremos, pues,
flujo de calor que sale por la 2.* cara
a
dy da... —Cdy, dz A dx,)
y disminución de temperatura que produce según la capaci-
dad c
dT
— Ce dy, dz, | — +=— dx, |.
E e. did y
ar d
Luego la variación de temperatura en el interior del para-
lelepípedo producido por los flujos de calor positivo y nega-
tivo á través de las dos caras paralelas al través de las y, 2,
será evidentemente
CO e, dE se Cor dz,
dx dx
Ó bien
2
—Cedy, dz dx, eel
se
Si la caída de temperaturas por unidad de longitud va
aumentando en el sentido de las x positivas, es claro que
— 819 —
A E Se e
=— será positiva la expresión anterior negativa, y por este
Xx?
concepto la temperatura sufriría una disminución.
- Aplicando este razonamiento á las dos caras perpendicu-
lares al eje de las y la variación de temperatura sería
On
=—- Cc dx, dz, dy, .
dy?
Y del mismo modo la variación de temperatura por el
flujo de las dos caras perpendiculares al eje de las z tendría
por expresión
2
— Ccdx, dy, dz,
qa
Luego la variación total de temperatura, teniendo en cuen-
ta el flujo de calor á través de las seis caras del paralelepí-
pedo sería igual á
— Ce dx, dy, dz, a Er ad
Si, como suponemos, el medio es isótropo y ha llegado á
un equilibrio de temperaturas en cada elemento, la variación
de temperatura será nula, luego nula será la expresión ante-
rior, y suprimiendo el factor común — C,cC, dy,, dx,, dz,
tendremos
ASMA ES
a dy? dz?
= 0.
Claro es, que si el estado de temperatura no fuera esta-
cionario y variase con el tiempo, en vez de escribir o en el
segundo miembro, tendríamos que escribir en general
Es decir, una constante por la derivada de la temperatura
con relación al tiempo.
— 880 —
Mas por ahora no vamos á ocuparnos en este problema.
Sólo consideramos el caso en que el sólido, mejor dicho,
el campo de temperaturas en cuestión es independien-
te del tiempo f, y este caso está definido por la ecua-
ción precedente, que expresa una propiedad común á todos
los ejemplos de equilibrios de temperaturas que pudieran
presentarse. En todo cuerpo ó campo isótropo homogéneo,
en que por lo tanto el transporte de calórico sea idéntico en
todos sentidos para la misma caída de temperaturas, la tem-
peratura podrá ser variable de un punto á otro, podrá ser una
función de x, y,z, Ósea T(x, y, 2); pero las tres derivadas
segundas, con relación á x, y, z deberán satisfacer á la ecua-
ción anterior.
La potencial U en un campo de potenciales satisface á la
ecuación de Laplace; pues la temperatura en un campo de
temperaturas, independiente del tiempo, á la ecuación de
Laplace satisface también.
Para las potenciales U
AU a
dy? da
y para las temperaturas T se tendrá análogamente en el caso
particular del movimiento de calórico que estamos conside-
rando
ASIN ERIN NES
sE
dx? dx? dz?
Siempre la ecuación de Laplace, y ya hemos dicho que esta
misma ecuación se presenta en otros muchos problemas de
la Física Matemática.
Por ahora atengámonos á los dos ejemplos anteriores:
potenciales y temperaturas.
Comparando las dos ecuaciones precedentes, vemos que
las funciones U y T, tomadas en toda su generalidad, son
idénticas. Es decir, satisfacen las dos á la ecuación de Lapla-
= 881 —
ce, de donde resulta cierta especie de simbolismo cuantita-
tivo. Cierta armónica puede representar una potencial ó pue-
de representar una temperatura variable en determinado es-
pacio.
De suerte que las temperaturas pueden ser simbolos de
las potenciales y las potenciales de las temperaturas.
Resuelto un problema para las funciones potenciales, que-
- dará resuelto un problema análogo para las temperaturas; y
recíprocamente, resuelto un problema para las temperaturas,
quedará resuelto un problema análogo para las potenciales,
sin más que cambiar los nombres.
En la Física Mátemática, analogías de esta clase entre
unas y otras magnitudes de fenómenos distintos se presen-
tan frecuentemente; y así en un alto simbolismo, que está
inspirado en la tendencia á la unidad, unos fenómenos pue-
den estar simbolizados por otros hasta en sus accidentes,
y, sobre todo, por el paralelismo y á veces por la identidad
entre las cantidades, ó si se quiere, en los valores numéri-
cos de los parámetros físicos que á unos y á otros fenóme-
nos corresponden.
Pero hay más: si fenómenos físicos de distintos órdenes
pueden simbolizarse unos por otros, pueden ponerse tam-
bién en relación las funciones abstractas de las Matemáticas
puras con ciertos fenómenos físicos representados por las
mismas funciones.
Más claro todavía.
Una potencial U satisface á la función de Laplace.
CENMINA qe PUSE ip
+ E 0.
One dy? (BS
en un campo definido.
Una temperatura T variable en el espacio, mejor dicho,
Rev. AcaD, DE CiENCcIas. —X.—Mayo, rorz. 66
-- 882 —
en un campo material homogéneo é isótropo determinado,
satisface á una ecuación de la misma forma
E O a UE
E + EN)
dx? dy? dz?
Y en las Matemáticas puras, ajenas por completo á los
fenómenos de la Física, una armónica A satisface todavía á
la ecuación de Laplace
HE NON O
=50
eS | dy? da
en el campo de ambas.
Pues muchas veces las propiedades de la función abs-
tracta H tienen símbolo material en las propiedades físicas
de la temperatura T y en las propiedades físicas también de
la potencial U.
Y por una generalización más ó menos atrevida, por un
acto de fe en una armonía ineludible entre los fenómenos
físicos, que al fin y al cabo contienen el parámetro cantidad,
y las fórmulas matemáticas, que expresan leyes y propieda-
des de la cantidad también, se supone que los fenómenos
físicos deben expresar leyes matemáticas y se busca la de-
mostración de una propiedad matemática en la existencia
material de un fenómeno físico.
Es como si se demostrase las fórmulas matemáticas por
el método experimental.
Todas estas ideas, que acaso parezcan un poco vagas Ó
sobradamente abstractas, se aclararán en la aplicación que
vamos á hacer de ellas á la demostración que pudiéramos
llamar experimental del teorema de Dirichlet.
Por la teoría del calor vamos á demostrar este principio
en vez de emplear una demostración matemática.
ES
Z ox
— 883 —
El problema es de Matemáticas puras, y subsistiría aun-
que no existiera ni la física, ni la química, ni ningún fenóme-
no material; Ó al menos esto debe decir en su justa arrogan-
cia la ciencia matemática.
A saber: Demostrar, que dado un volumen cerrado, y en
su superficie una serie continua de valores numéricos, en el
interior del volumen existe siempre una función armónica
para todos los puntos de este volumen, y que para todos los
puntos de la superficie toma el valor que á ese punto está
asignado de antemano.
Pues á este valor abstracto U, sustituyamos el paráme-
tro T de la teoría del calor, que se llama temperatura. Y re-
cordemos este hecho físico, que 4 priorí no puede demos-
trarse; pero que en la Física experimentalmente se demues-
tra, y aun dijéramos mejor, se comprueba.
Cuando se mantiene la superficie de un sólido á una tem-
peratura constante para cada punto, es decir, en el punto a,
la temperatura T,, en el punto a, la temperatura T,, en el
punto a, la temperatura T,, y así sucesivamente, decimos
que en el interior del cuerpo se establece una temperatura
fija también para cada punto. Es decir, un estado normal y
permanente de temperaturas.
Y como la temperatura T en la hipótesis de que se trata
es una armónica de la ecuación de Laplace, resulta que el
problema de Dirichlet tiene una solución y una sola.
Es evidente, que esta es una demostración especialísima;
lleva, por decirlo de este modo, el convencimiento práctico.
A un estado fijo de temperaturas en la superficie, correspon-
de un estado ó una distribución de temperaturas fijas en el
interior del cuerpo, y, por lo tanto, una función determinada
prácticamente T (x,y 2).
Y como por la ley de la distribución de temperaturas, he-
mos demostrado que esta función T, satisface á la ecuación
de Laplace, claro es que tenemos que admitir lo que lógica-
mente resulta, á menos que neguemos la armonía y la corres-
— 884 —
pondencia entre las fórmulas matemáticas y las leyes del
mundo físico.
Por lo demás, y no hay para qué insistir en ello, es obvio
que para el problema exterior puede aplicarse sin modifica-
ción alguna el razonamiento precedente.
Puede cerrarse el espacio por una esfera cuyo radio
crezca sin Jímites, y en cuya superficie, cuando el radio es
suficientemente grande, la temperatura sea infinitamente pe-
queña tendiendo hacia cero.
Pues á pesar de todo esto, hay que reconocer que la cíen-
cia matemática no puede darse por satisiecha con una de-
mostración, que en el fondo es del orden experimental, y que
además es una demostración prestada de la Física.
Así es que, muchos matemáticos, prescindiendo de la de-
mostración física y simbólica, han buscado la verdadera de-
mostración analítica.
Véase una extensa noticia sobre el problema de Dirichlet
en la obra de Mecánica racional de Mr. Appell.
El mismo Dirichlet dió una demostración analítica de su
teorema.
Pero Mr. Weierstrass puso en evidencia que tal demos-
tración no era enteramente correcta.
Otros matemáticos se han ocupado en el problema de que
se trata.
Y por último, Mr. Poincaré, en el American Journal,
tomo XII, 1890, ha expuesto un método al cual da el nom-
bre de méthode du balayage, y que acaso reproduciremos,
si tenemos tiempo para ello, en nuestras conferencias.
Para terminar ésta, presentaremos el siguiente teorema,
que es una consecuencia inmediata de las proposiciones ya
demostradas, y que es fundamental.
— 883 —
Teorema.—Sea una función armónica, uniforme, finita y
determinada, así como sus derivadas primeras y segundas, en
todos los puntos del espacio, á distancia finita ó infinita; pues
afirmamos que dicha función armónica es una constante.
Como toda esta serie de proposiciones, que vamos dando
de las tunciones armónicas, son, por su forma, algo pareci-
das entre sí, y pueden confundir á los principiantes, con-
viene marcar en cada una la nota, por decirlo así, dominante
y característica.
En la proposición que acabamos de enunciar, lo caracte-
rístico de la armónica no es que sea uniforme, ni que para
cada punto sea finita y determinada; esto lo suponemos
siempre; si no el problema sería de otra índole.
No es tampoco lo característico y dominante, que esta
armónica haya de tener primeras y segundas derivadas,
también uniformes, también finitas y determinadas también.
Estas son condiciones indispensables para que se pueda
aplicar la ecuación diferencial de Laplace. La ecuación care-
ce de sentido, aplicada á funciones que no cumplan con las
condiciones indicadas.
Lo característico del enunciado del teorema es, no sólo
que en el espacio finito tenga valores finitos y determinados
la armónica, sino que tomando un punto cualquiera (x y 2),
y alejándose este punto, según una ley cualquiera, hacia el
infinito, la armónica U (x, y, 2), parax = 00,y= 0, Z= 00
ha de tomar un valor finito, por ejemplo U, (o, w, w)= A
siendo A finita y determinada. Y como la función es unifor-
me. este valor ha de ser único.
La armónica, U en todo el espacio finito, conserva siem-
pre valores finitos y cae hacia el infinito aproximándose á
un valor finito único, luego tendrá forzosamente máximos y
mínimos.
Así como, si la imagen vale, una cordillera de montañas,
encerrada en un perímetro grande, ó pequeño, ó inmenso,
tendrá, forzosamente, cúspides y hondonadas, porque ni
— 886 —
puede subir al espacio infinito, ni puede bajar al abismo in-
finito negativo, de modo que sus ondulaciones son finitas y
pasarán por máximos y mínimos, si no es una planicie.
Pero si encerramos cualquier región del espacio, que com -
prenda uno ó varios de estos máximos ó mínimos, pondre-
mos en evidencia una contradicción patente, con una de las
proposiciones de la conferencia anterior.
Tendremos máximos ó mínimos aislados, ó en líneas, ó
en superficies ó en volúmenes respecto al espacio ambiente,
lo cual hemos hecho ver que es imposible.
Y esto se aplica, no sólo al espacio cerrado que acaba-
mos de considerar, y en que la armónica satisface á la ecuz-
ción de Laplace, sino á todo el espacio finito, porque en
todo él, U satisface á la ecuación de Laplace, y por lo tan-
to, no admite ni máximos ni mínimos.
¿Cómo se salva esta dificultad?
Suponiendo que en todo el espacio finito, U no presenta
ni máximos ni mínimos, sino que tiene un valor constan-
te A, que es precisamente lo que queriamos demostrar.
Y, sin embargo, la demostración no es completa. En to-
das estas demostraciones, en que entra en juego el concep-
to de lo infinito, hay que estar muy sobre aviso, andar,
como vulgarmente se dice, con pies de plomo, y aplicar im-
placablemente la lógica.
En estos casos, la intuición es peligrosa.
Porque á la demostración precedente puede oponerse el
siguiente reparo:
Las proposiciones relativas á máximos y mínimos de U
en puntos aislados, líneas, superficies Ó volumenes, se re-
fieren siempre al espacio finito.
Luego la demostración precedente no sería completa, por-
que no abarca el espacio infinito; Ó, de otro modo, porque
nada se dice en tales proposiciones de lo que pudiéramos
llamar, acaso con cierto atrevimiento, máximos y mínimos
en el infinito.
-— 881 -—-
Fijemos las ideas por una figura puramente esquemática,
porque vamos á referir al espacio de dos dimensiones lo
que en realidad pertenece al espacio de cuatro dimensiones,
as aber as y ZU
Sea una curva MN (fig. 39) que tenga por asintota la rec-
ta AP, Paralela al eje de las x.
DA
M
Figura 39.
Pues podremos decir que dicha curva MN tiene un míni-
mo en el infinito N, y que ese minimo es precisamente la
magnitud A, representando por A la distancia OA.
Análogamente podremos afirmar que la curva M'N” tiene
un máximo en el infinito, si tiene por asintota la recta A” P”,
paralela al eje de las x, á la distancia A”
Pero lo que no puede admitirse, porque implicaría con-
tradicción con las hipótesis que establecimos, es que en el
infinito tengamos á la vez un máximo y un mínimo.
Esto podría en todo caso imaginarse, aunque no lo discu-
timos, si la curva fuera multiforme.
De aquí se deduce que si U tiene un mínimo en el infinito
correspondiente al valor A tendrá, forzosamente, uno ó más
máximos, como la misma figura esquemática indica en M.
ES
Y para estos máximos en el espacio finito, sean máximos
de punto, de línea, de superficie Ó de volumen, la demos-
tración será correcta.
La contradicción con las proposiciones demostradas es
patente, y patente también la consecuencia; que no hay otro
modo de salvar tales contradicciones, que suponer que U es
constante en todo el espacio é igual á 4, lo mismo en el
infinito que en el espacio finito.
Este razonamiento se repite palabra por palabra para el
caso que simbólicamente representa la curva M' N”.
Hay un máximo en el punto N” del infinito y á él no se
duede aplicar ninguna de las proposiciones demostradas en
la última conferencia; pero el máximo en el infinito supone
forzosamente uno ó varios mínimos, como M”, agrupados de
cualquier modo, y en estos mínimos aparece en forma indis-
cutible la contradicción, que sólo se salva suponiendo en
todo el espacio que U es constante
U= 04m
porque entonces no hay ni máximos ni mínimos alrededor
de ningún punto á que aplicar la fórmula del flujo.
Queda, pues, demostrada por completo la proposición
que anunciamos.
En la conferencia próxima seguiremos estudiando propie-
dades de las armónica, deducida, no de la integral, que la
integral general de la ecuación diferencial de Laplace no la
conocemos, sino de la misma ecuación diferencial, Ó si se
quiere, de la fórmula de Green aplicable al caso A=o0.
Aunque respecto al problema de Dirichlet algunas obser-
vaciones hemos de hacer por cuenta propia, por el pronto y
para exponer teoremas y problemas que ya son clásicos en
la Física Matemática, tomaremos por guía la Mecánica de
Mr. Appell, obra de gran mérito por el rigor y la claridad
de la exposición y de las demostraciones.
ae iS oO
XLI. — Conferencias sobre Fixica matemática.
Teorias diversas.
POROS E9 ECH EG ARÍAY.
Conferencia décimatercia.
SEÑORES:
El problema de Dirichlet es, según hemos dicho, teorema
importantísimo para varias cuestiones de la Física Matemá-
tica. Se demuestra su posibilidad experimentalmente y pudié-
ramos agregar: substituyendo al concepto abstracto de la
armónica, concepto de puro análisis matemático, el concepto
concreto y experimental de temperatura. Se parte, como ex-
plicábamos en la conferencia precedente, de este hecho: que
en un cuerpo sólido homogéneo é isótropo er el cual se con-
servan los diferentes puntos de la superficie á temperaturas
fijas, determinadas y continuas, se establece para cada punto
del interior una temperatura fija, determinada y única; y como
esta temperatura, según la ecuación de Laplace, que es la
que rige la distribución de temperaturas en los cuerpos sóli-
dos, representa una armónica, la solución es única y existe
en la teoría de las temperaturas y existirá, por lo tanto, en el
problema de análisis.
Pero esto, y con razón, no satisface á los matemáticos.
Para la inteligencia humana los hechos se imponen como
hechos: son porque son; pero en la mayor parte de los ca-
sos, aunque dejaran de ser, no por eso se desquiciaría la ra-
zón humana. |
Claro es, que allá en el fondo de las cosas, un espiritu fi-
losófico acaso sostenga, que lo que es no puede ser de otro
modo, y que los hechos no sólo son, sino que es necesario
2880) 0.
que sean, y que si la inteligencia del hombre no percibe esta
necesidad como percibe la necesidad de las verdades mate-
máticas, es, por deficiencia de la razón humana.
Por ejemplo, antes de demostrar que la suma de los tres
ángulos de un triángulo vale dos rectos, la razón humana no
se hubiera desquiciado, si una experiencia más ó menos im-
perfecta le demostrase que valen dos rectos y una fracción.
Pero sea de ello lo que fuere, dejando aparte discusiones
entre la filosofía de la voluntad libre y la filosofía de un de-
terminismo absoluto, considerando las ciencias experimen-
tales y la ciencia matemática tales como hoy existen, volve-
mos á repetirlo, es natural que el matemático para un pro-
blema de cálculo integral no se contente con una demostra-
ción tomada de la distribución del calórico en la física expe-
rimental. Experiencia, dicho sea entre paréntesis, de la cual
no tenemos noticia. Es decir, que no creemos que jamás se
halla realizado determinadamente y sistemáticamente con el
objeto directo de demostrar el problema de Dirichlet.
El problema, como problema de análisis, es difícil, deli-
cado y sutil.
Y sucede, en Matemáticas como en todas las ciencias, lo
que en la guerra sucede al quere; asaltar una fortaleza que
parece inexpugnable. Los ingenieros militares hacen traba-
jos alrededor de las murallas, buscan los puntos débiles y
dirigen contra estos puntos débiles sus baterías y Sus
asaltos.
Así, y perdóneseme la comparación, los matemáticos han
extremado sus esfuerzos alrededor del célebre problema, ya
como problema interior, ya como problema exterior, y en la
conferencia precedente explicábamos el sentido de ambas
denominaciones.
— 891 —
Así, varios de los teoremas que vamos á explicar son, en
cierto modo, exploraciones alrededor del pro>lema princi-
pal: son trabajos de aproches.
Y esto hay que tenerlo presente, porque considerados en
sí mismos tales teoremas, el pri1rcipiante no comprende en
un primer estudio ni su importancia ni su objeto.
Figura 40.
Empecemos por un teorema en que se trata de demostrar,
que, si sobre una superficie cerrada, una función armónica YU
uniforme y finita, así como sus derivadas primeras y segun-
das, en el volumen V, limitado por esta superficie, es tal,
que -. es nula para todos los puntos de dicha superficie
n
cerrada S, entonces U será una constante en el interior del
volumen.
Fijemos bien las ideas para comprender el enunciado del
problema.
Sea S (fig. 49) una superficie que envuelve un volumen V.
U es una armónica en el interior del volumen V: fuera no
sabemos lo que será, ni el teorema se ocupa en ello; de modo
que U satisface á la ecuación de Laplace, pero esto sólo
se establece para el interior de la superficie $.
— 892 —
Se supone, además, que la armónica tiene para todos los
puntos de la superficie, a, a”, a”..... un incremento nulo so-
bre las normales hacia el interior del volumen. De suerte que
si en todos los puntos de la superficie trazamos las norma-
les ab, ab”, a“ b”....., tomando en estas normales el in-
T
será
cremento infinitamente pequeño dn, la derivada 7
n
constantemente nula.
Es una armónica que arranca de la superficie en direccio-
nes normales, si vale la palabra, con incrementos nulos. Es
decir, permaneciendo constante.
Pues esta constancia inicial determina su constancia en
todo el volumen.
Y esto á primera vista choca y debe chocarle al princi-
piante, porque buscando analogías, piensa en una curva, que
arrancase de un punto del eje de la x tangencialmente, y
que sólo por este hecho hubiera de confundirse constante-
mente con dicho eje.
Esto prueba, en primer lugar, que no hay que fiarse de
un modo absoluto en las analogías; y prueba que este últi-
mo caso es distinto en absoluto del que estamos estudiando.
En una superficie cerrada, los valores de la armónica, á
partir de la superficie hacia el interior, se han de encontrar
en el interior del volumen y han de coincidir, porque la at-
mónica es uniforme, y para un punto no puede tener dos
valores distintos, y esto sujeta y determina, en cierto modo,
el valnr y la ley de la función armónica.
En cambio, en el caso de la curva ni ella ni ninguna causa
extraña, sino su propia ecuación determina los valores de la
ordenada.
Sobre estas ideas volveremos á hacer, en otras conferen-
cias, Observaciones propias, y que acaso no estén despro-
vistas de interés, al tratar del problema de Dirichlet.
Por ahora demos la demostración del teorema enunciado,
que pudiera abreviadamente expresarse de este modo.
DO
as Us
Teorema.—Si — es constantemente nula sobre una su-
nn
perficie cerrada S, la armónica U es constante en todo el inte-
rior del volumen.
La demostración se funda en la aplicación de la fórmula
de Green, ó mejor dicho, de uno de sus casos particulares
En el curso de 1909 á 1910, desde la página 123 á la 133,
y aun en las páginas inmediatas, explicamos este célebre
teorema á que ya hemos acudido en otras conferencias de
este curso.
Claro es que no vamos á reproducir aquí lo que en aque-
lla ocasión expusimos.
La fórmula de Green era ésta:
SE pe from
IV dx dy dz DS
En su esencia es una fórmula de pura transformación. El
segundo miembro es el primero puesto bajo otra forma. Es
una integral triple, en que, de cierto modo, y desde cierto
punto de vista, se ha hecho una integración, convirtiéndola
en integral doble; por eso se dice generalmente, que la fór-
mula de Green convierte una integral triple en integral doble,
así como vimos en otro curso que la fórmula de Stokes con-
vierte una integral doble en integral lineal de curva cerrada
Ó reciprocamente.
En dicha fórmula de Green F, G, A, son funciones de
Xx, y, z, uniformes, continuas, en suma, con las restricciones
necesarias para que la fórmula sea aplicable, según se dijo
en ocasión oportuna; d= es el elemento de volumen de /,
y el primer miembro á todo este volumen se extiende.
En el segundo miembro de la igualdad, que es, como he-
mas dicho, el primero transformado, $ representa la super-
ficie que limita el volumen V.
F, G y H tienen la misma significación que en el primer
— 894 —
miembro, pero aplicadas estas funciones de x, y, z á los di-
ferentes puntos de la superficie S.
dos es un elemento infinitamente pequeño de esta super-
ficie.
Y, por último, «, f, y representan los cosenos de los án-
gulos que forma con los ejes coordenados la normal á S en
el punto de la misma superficie á que corresponde ds.
Al estudiar esta fórmula de Green dijimos que había que
considerar tres casos particulares.
Primero. Cuando F, G, H eren generales é independien-
tes, en cuyo caso se aplica la fórmula de Green tal como la
hemos escrito.
Segundo. Cuando la expresión
Fdx + Gdy - Hdz
era una diferenclal exacta, en cuya hipótesis se tenía forzo-
samente
representando por + la integral.
Para este caso, el primer miembro de la fórmula anterior
se convierte en
240 d?9 d?y
- (0
E ooh!
ó bien empleando el símbolo A, que ya hemos aplicado va-
rias veces,
eL)
] | a2a
EE
En cuanto ai segundo miembro, ya sabemos que repre-
senta el flujo del vector W, cuyas componentes son F, G, H,
— 893 -—
y toma la forma, como explicamos en la página 133 del tomo
citado,
de ds.
S dn
La fórmula que resulta para este caso,
ya la hemos aplicado en otras conferencias de este curso.
Y tercero. Si la expresión
Fdx + Gdy + Hdz
no es una diferencial exacta, pero puede llegar á serlo, por-
que tiene un factor de integrabilidad, que pusimos bajo la for-
1 le :
ma ——5 con lo cual la expresión precedente se convierte en
0)
una diferencial exacta de una función e (x, y, 2), se tendrá
(Fax + Gdy + Hdz) = dq (x y, 2).
b
En este último caso la fórmula general de Creen, elimi-
nando F, G, Hen función de y y 1, tomará la forma siguien-
te (pág. 126 del tomo citado):
di du ATA NN le
JA Le E a o e Le e
dE Na del
do do du
= E a a A o o
Je A ae al
y recordando que el paréntesis del segundo miembro es
— 896 —
igual (pág. 127 del mismo tomo) á —, tendremos también
n
o o o
Fra epa,
dx dx EE dy MA
Si en esta última fórmula hacemos y = Y se convertirá en
la siguiente, que es una transformación de la fórmula general
de Green y que tiene aplicación á varios problemas de la Fí-
sica Matemática:
a do Nx? du
oAu AS - a =
Pl e lead,
Js dn
Y aquí puede ocurrir al principiante una duda que por ele-
mental que sea debemos desvanecer.
Hemos dicho, como si fuese cosa evidente, que ibamos á
suponer v=+; pero, en buena lógica, esta condición no debe
admitirse como evidente, porque al fin y al cabo y y ¿no
son funciones arbitrerizs é independientes una de otra; al
menos no debemos creerlo d priori y sin comprobación. Am-
bas funciones están, en cierto modo, ligadas, porque y es la
inversa del factor de integrabilidad, y y es la integral que
resulta.
Por lo demás, la condición es legítima, porque equivale á
establecer
Fe Gdy + Hdz) = du
que queda satisfecha haciendo
late pl Li a do Ap pe
0 dx o dy 0 dz
— 80% =-
y de estas ecuaciones se deducen inmediatamente sea cual
fuere y los valores de F, G, A:
Fbz pi Lt (EA PR OE o E
Ú Ú
, J
dx dy dan
Luego, determinando F, G, H de este modo, y sustituyen-
do en la fórmula primitiva de Green, se obtiene inmediata-
mente la fórmula á que antes habíamos llegado.
Más aún; la función « es completamente arbitraria dentro,
naturalmente, de las condiciones establecidas para que sea
legítima la transformación de Green.
Puesto que en la fórmula
du NX? du y? du y?
MiS
y dx dy dz
la función e es arbitraria, podemos sustituir en su lugar una
armónica cualquiera U continua, finita, uniforme y con deri-
vadas primeras y segundas, como siempre decimos; de modo
que la fórmula de Laplace tendrá un sentido, y la fórmula de
Green también lo tendrá. Es decir, ambas serán aplicables á
la armónica U, de lo cual resulta que U satisface á la siguien-
te ecuación
A
ad
Y ahora volvamos al teorema que nos habíamos propues-
to demostrar, y cuyo enunciado repetimos, por si en este re-
cuerdo de fórmulas y transformaciones, lo han olvidado ya
mis oyentes Ó mis lectores.
Rev. Aca. DE Cinncias.—X.— Mayo, 1912. 67
— 898 —
Hemos dicho hace poco que U es una armónica que den-
tro del volumen V satisface á la ecuación de Laplace
ALO! ENT ANS .
de dy? er
,
luego en la ecuación precedente podremos escribir
Mb=O
que es la misma ecuación de Laplace, según el símbolo
adoptado.
Hemos dicho, además, que en todos los puntos de la su-
perficie S (fig.40), la derivada de U, con relación á la nor-
mal, es nula; luego para todos los puntos de $, es decir,
para toda la integral doble del segundo miembro
dU
= 0
dn
Introduciendo estas dos condiciones en la ecuación gene-
ral, ésta se reducirá á la siguiente:
E + Ly lo
Pero el paréntesis de esta integral triple es esencialmente
positivo, puesto que es la suma de tres cuadrados, y ade-
más dz es esencialmente positiva también.
Luego la integral triple es una suma «de términos todos
positivos y de valor determinado cada uno; no podrá, por
lo tanto, reducirse á cero si no son nulos todos ellos sepa-
radamente.
De aquí resulta, que para todos los puntos del volumen,
incluso los de la superficie, debe tenerse
el ES dla 0
dx E A os im
SN
y separadamente
dU dU dil
= ÚL ——= =0 =
dx dy z dz
Si las derivadas de la función U, con relación á x, y, z son
nulas, esto prueba que U es independiente de x, y, z, que
es como decir que U es constante.
Precisamente lo que nos proponíamos demostrar.
Continuando el estudio de la ecuación de Laplace, y ro-
deando, si se me permite esta palabra, el problema de Di-
richlet, afirmamos que podemos resolver dicho problema, si
además de conocer U para todos los puntos de la superfi-
cie S, conocemos para estos puntos y en toda la extensión.
de S la derivada de U, con relación á n, Ó sea
dU
dn
En rigor, es conocer más de lo necesario para resol /er el
problema, porque la armónica U hemos visto en la demos-
tración física, y veremos más adelante, que es única y que
queda perfectamente determinada con sólo conocer los va-
lores de U para los diferentes puntos de la superficie $.
r
La última condición es una condición que sobra,
ñn
una condición superflua; tanto es así, que no se puede esco-
ger arbitrariamente, como tampoco U, fijando la forma
dU
n
porque si fueran arbitrarias, fijando una y variando la otra,
tendríamos diversas soluciones para U, lo cual es contradic-
de . Ambas expresiones son dependientes una de otra,
— 900 —
torio, porque sabemos que el problema de Dirichlet sólo
tiene una solución.
Por eso, y para evitar estas contradicciones, hay que
fljarse en el sentido del nuevo problema que vamos á re-
solver.
Se dice esto: Si sobre una superficie S, y para todos sus
puntos, se conoce la función U, que será función de x, y, 2,
pero en que sólo dos de estas variables son arbitrarias, pues
la tercera se expresa mediante la ecuación de la superficie;
y si además por un medio cualquiera, Ó por un artificio es-
pecial, ó por tratarse de un caso relativamente sencillo, se
conociera, para todos los puntos de la superficie, la ex-
presión de , el problema de Dirichlet podría resolverse.
Es decir, podríamos determinar una función armónica U, que
en el interior del volumen V satisficiera á la ecuación de La-
place, y que, además, en los puntos de la superficie tomara
los valores correspondientes á estos puntos.
Además, para estos mismos puntos tomaría los valores
dados para en
dn
Es, en cierto modo, fijar para U los valores correspon-
dientes á la superficie y á una capa infinitamente próxima á
esta superficie.
Pero como la superficie basta, dicha segunda capa es una
condición que, conocida, facilita el problema, pero que es
preciso que esté en armonía con la primera condición.
Claro es que lo dicho para el problema interior puede re-
petirse palabra por palabra para el problema exterior.
Presentemos un ejemplo que explique el carácter propio
del que estamos explicando.
— 901 —
Supongamos que se nos dijera: Resolver estas dos ecua-
ciones con dos incógnitas x, y
AR ES) RE 220
Ax+BY+H RG O =o.
En que A, B, C, 4”, B*, C', son constantes conocidas, y
en que « y $ son funciones transcendentes de forma cono-
cida también.
La determinación de x, y, podrá ser enormemente difícil;
pero si en algún caso particular, por ejemplo, para valores
particulares de las otras constantes, pudiéramos conocer di-
rectamente los valores de a y f, el problema se simplifi-
caría y podría resolverse; porque siendo a y PB números
conocidos, las dos ecuaciones se reducen á dos ecuaciones
de primer grado con dos incógnitas.
Claro es que estos valores de « y $ son condiciones en
exceso; pero que si no son contradictorias con los verdade-
ros valores de x é y, pueden facilitarnos la solución del pro-
blema.
Este es precisamente el caso del problema de Dirichlet
que consideramos, análogo al ejemplo sencillísimo que aca-
bamos de presentar.
Y pasemos ya á la solución del problema, que general-
mente se enuncia en esta forma abreviada:
Determinación de una función armónica U en el interior
de un volumen V cuando se conoce U y - sobre la su-
n
perficie S que limita dicho volumen.
Se trata, pues, del problema interior de Dirichlet.
Necesitamos acudir, como siempre en estas cuestiones, al
teorema de Green ó á sus casos particulares.
Hemos recordado, en esta misma conferencia, que cuando
Fdx+ Gdy + Hdz
— 902 —
puede integrarse, multiplicando dicha expresión por una
oe , 1
función, que ponemos bajo la forma ia la de Green puede
U
escribirse de este modo
di (o) d ae |
(ear j A O O de
dues 0 dy dy dz az,
=>
Y demostramos en las páginas antes citadas de las confe-
rencias del año 1909 á 1910 que era legítimo invertir las
funciones + y y de modo que el factor de la integral fuese
E y la integral y.
(40)
1
Efectuando esta inversión tendremos esta otra fórmula
o | o di o di
alas E A. ES dE
e 0l6S aos dy dy EA
odo
s dn
y restando dicha fórmula de la anterior resultaría
do dy
LAo — Ad) dr. = — 1— —0)]ds.
Pf fosr—=apa=/f( (SE q)
Si antes dijimos que y y Y podian invertirse, ahora. deci-
mos más: y es, que son funciones arbitrarias é independien-
tes, salvo las condiciones de continuidad y uniformidad que
hacen posible la aplicación de la fórmula de Green.
Esto se demuestra con sólo observar que los valores que
se deducen de la condición antes establecida
Lircay y Has 09 = PE qe o E
Y dx dy dz
— 903 —-
á saber
a det:
NE E CRE
Ó bien
A A
x dy dz
quedan perfectamente «determinados sin contradicción ni am-
bigiiedad, cuando se fija en los segundos miembros arbitra-
riamente las funciones y y U.
Puesto que, en la fórmula anterior, y y L, acabamos de
decir que pueden ser arbitrarias, salvo las condiciones de
continuidad, podemos suponer sin inconveniente ninguno,
que representan dos armónicas U, U” del interior del volu-
men V, que estamos considerando, con lo cual la fórmula
precedente tomará esta forma
NA (U'AU — usura || (0 A
Pero si U y U” son armónicas en el interior del volumen,
claro es, que para todos los puntos de este volumen ten-
dremos,
MU= 0), 0
y en la fórmula precedente se anula la integral triple del pri-
mer miembro: queda la integral doble de superficie del se-
gundo y resulta
on U )ds=0. 1A]
US dn dn
El resto de la demostración ya no puede adivinarlo fácil-
mente un principiante. Como sucede en la mayor parte de
— 904 —
los casos, es preciso que se resigne á darse cuenta y á com-
prender, que la demostración es rigurosa.
Precisamente para llegar á estas demostraciones sirve con
frecuencia el método intuitivo. Se ve en conjunto, y como en
visión profética, si vale la palabra, la marcha que hay que
seguir, con lo cual unas veces se llega á la demostración y
otras no.
En todos estos casos el método lógico es el verdadero tri-
bunal sentenciador.
En nuestro caso se ve que, desde luego, los datos del
problema entran en esta fórmula, porque si la integral que se
]
busca es U, entran ya U y — y solo referidos á la super-
n
ficie, que es donde únicamente se conocen sus valores.
Se ve, además, que entra una armónica U”, de la cual
podemos disponer, y recordando lo que sucede en otros
problemas análogos, por ejemplo, en la demostración de la
fórmula de Poisson, ocurre substituir á dicha función arbi-
traria U una función que pueda ser infinita dentro del volu-
men á ver lo que resulta.
Que en matemáticas, como en ciencias experimentales,
se hacen á veces hipótesis y transformaciones á ver lo que
resulta.
No enteramente, ní en uno ni en otro caso, entregándose
á la casualidad, sino dejándose llevar por cierta ¡dea con-
ductora.
Toda vez que U” es arbitraria, supongamos que está re-
1
presentada por —, es decir
Íí
ppdeimó ,
TEENS ER
e E CO |
Ya hemos visto que esta expresión —, es, en efecto, una
a
— 905 —
armónica que satisface á la ecuación de Laplace, exceptuan-
do en el caso en que el denominador es igual á cero. Es de-
cir, cuando las coordenadas variables x, y, z coinciden con
Ori:
Estas coordenadas a, b, c son las de un punto A del inte -
rior del volumen V.
. . . r 1 . r 7
Realmente, si U” fuese igual á— y aplicásemos la fór-
Ñ
mula á todo el volumen V, no podríamos hacer lo que he-
Figura 41.
mos hecho, ni sería legítima la fórmula, porque no sería
cierto que tuviéramos para el punto A del volumen A U'*=o.
Y por eso vamos á repetir lo que ya hemos realizado otras
veces: Dejar fuera, por decirlo así, de la integral, tanto en el
primer miembro primitivo como en el segundo, el punto de
excepción A (fig. 41).
A este fin, desde A, con un radio r, trazaremos una esfe-
ra s tan pequeña como se quiera, y aplicaremos la fórmula
de Greer, no á todo el espacio V, sino al espacio compren-
dido entre la superficie S y la superficie s de la esfera.
Para este espacio la fórmula precedente es legítima, por-
— 906 —
. . , . . . 1 . .
que ni U ni U”, es decir, ni Uni —, ni tampoco sus deriva-
r
das, tomarán valores infinitos.
Así, pues, las dos funciones U, U” que hemos sustituido
á e y y, en el espacio que consideramos son uniformes, fini-
nitas, continuas, y tienen derivadas finitas y continuas para
todos los puntos del espacio comprendidos entre $ y s,
Podremos, pues, escribir la fórmula (A ), sustituyendo á U”*
Lido!
la armónica —, de este modo:
íp
4 1
Pe
SA an dn
pero esta fórmula no está escrita de una manera correcta,
porque la integral doble se refiere á la superficie, que limita
el volumen al cual se aplica la fórmula, y en este caso la
superficie se compone de dos partes: una que límita el vo-
lumen en lo exterior, que es la S; otra, que limita el volu-
men en lo interior, que es la superficie s de la esfera.
Luego hay que expresar estas dos partes de la integral
de superficie, para lo cual las separaremos, escribiendo S
como límite de la integral para la superficie exterior y s,óÓ
sea la superficie de la esfera para la segunda integral doble.
Es decir, que estará escrita correctamente de este modo:
Fo pr
A : U)ds Fofi (a de ES U) de =>.
NP ela dn SNIE dn
Y fíjense bien mis alumnos en que, si bien las expresio-
nes que están bajo ambos signos integrales parecen idénti-
1
cas, no lo son. Se construyen del mimo modo con U, — y
A
las derivadas de estas funciones respecto á n; pero la ex-
— 907 —
presión de la primera parte se aplica á puntos de la superfi-
cie S, y si se conociese todo el paréntesis en función de
Xx,), z, para cada elemento de la integral habría que poner,
en vez de x, y, z, las coordenadas de los puntos de la su-
perficie S.
Y en la segunda parte habría que poner á su vez las coor-
denadas de los puntos de la superficie de la esfera de ra-
dio r.
Más aún; para obtener —- en la primera integral doble
n
hay que diferenciar, según la normal N de la figura, y en la
segunda hay que diferenciar según la normal rn, ó de otro
modo, según el radio de la esfera y hacia lo interior de la
misma, que va, como N, hacia lo exterior del volumen que
se considera.
Todas estas son minuciosidades que sólo tienen disculpa
en mis conferencias, recordando que su objeto es la va/ga-
rización de estas teorías, y además que me dirijo á princi-
piantes, y prefiero ser pesado y aun enojoso á ser obscuro.
Y continuemos analizando la ecuación precedente.
De la primera integral doble
7 1
a
INAP dn
nada tenemos que decir, porque no ofrece dificultad alguna.
Es aplicable á la superficie S; y la U'es perfectamente co-
nocida para esta superficie en toda su extensión; es uno de
los datos, es una función determinada de las dos variables
que se escojan para determinar cada punto de la superli-
cie S; ó si se quiere, es función de x, y, z, estando determi-
da z por la ecuación de la superficie, con lo cual no quedan
más que dos variables independientes: x é y.
Otro tanto podemos decir de : también es un dato del
= 908
problema, porque ha de recordarse que su enunciado decía:
determinación de U en el interior del volumen conociendo en la
0 d
superficie a,
dn
1
d—
r . ÍF .
Por último, — y eN son dos funciones de forma de-
r n
terniinada, porque hemos dicho que
II
O |
1
De manera que —, y su derivada en el sentido de la nor-
a
mal N son, volvemos á repetirlo, funciones de forma deter-
minada.
Y además, nunca r podrá ser o, porque como la integral se
refiere á puntos de la superficie S, y sólo á esta superficie,
la distancia r= A B, que en la figura es R, nunca podrá
anularse, como que el punto A (a, b,c), no está en la su-
perficie.
Toda esta primera integral doble es perfectamente cono-
cida, puede integrarse, y después de la integración desapa-
recerán la x, y, z, y sólo quedarán las constantes de las di-
ferentes funciones, y entre ellas, a, b, c. En suma, esta pri-
mera integral doble será una función de forma definida F
de a, b, c.
Podremos, pues, escribir
5 1
Jaloles dai tol U)=Fta,b,0)
SANA aa dn
en que, no lo olvidemos, a, b, c son las coordenadas de un
punto cualquiera A del interior del volumen.
— 909 —
Tendremos, pues, sustituyendo en la fórmula anterior
red
E lc
Mi dí r dn dn
en vez de la primera parte, la función F de a,b,c, que he-
mos obtenido para su valor, la expresión:
diia
Faoo+ fe a U)ds=0
íF e nd
ó bien
qa
ds
allas TU) ds == Fla, b,0)
Fran dn
en que la primera integral es una integral de superficie, que
sólo se extiende á la superficie s de radio r, tan pequeño
como se quiera, que hemos trazado alrededor del punto A
para aislarlo. De modo que como antes decíamos, todas las
cantidades que entran bajo el signo integral se refieren á
dicha superficie. Así r es siempre un radio de la superficie
esférica; U toma los valores que corresponden á los puntos
1
de s, y Esa y
dn
caso coincide con el radio.
En el primer miembro de la ecuación, consideremos sepa-
radamente las dos integrales dobles en que se descompone:
1
==
í - AN UCA
. Sl s dn
se refieren á la normal n, que en este
910
La primera integral
daa d ella
en que hemos sacado fuera de la integral — por ser r cons
r
tante é igual al radio de la esfera; esta integral, repetimos,
para cualquier valor del radio se reduce á cero, porque hemos
demostrado que el fiujo de la armónina V para una superti-
cie cerrada es igual á cero. Así
el pl do=0;
dn
esto independientemente del valor de r sea grande ó sea pe-
queño, y por lo tanto en el límite para r = 0.
La fórmula principal queda, pues, reducida á esta otra
da
AN —— Uds = F(a, b, c).
s dn
Veamos á lo que equivale el primer miembro cuando la
esfera tiende á anularse en el punto A.
Ante todo,
como ny r coinciden en dirección, y un incremento de n
hacia el interior de la esfera, que es hacia el exterior del vo-
lumen, coincide con una disminución de r, y como por lo
tanto se tiene dn = — dr, se transformará asi:
= 911 —
Resulta, pues,
Ji a ON
Se
Parece á primera vista, que el primer miembro es una in-
¿egral excepcional, no ya en un punto, sino en todos los
puntos de la esfera, porque cuando r tiende hacia cero, el
coeficiente diferencial tiende hacia infinito.
Figura 42.
Pero, desde luego, se observa que esta forma infinita es
ilusoria, porque en el numerador entra ds, ó sea un elemen-
to de superficie de la esfera, que como vamos á ver contie-
ne al factor r?, que se anula con el factor idéntico del deno-
minador y da valores infinitamente pequeños de segundo
orden para todos los elementos de la integral.
Para poner esto en evidencia acudamos á las coordenadas:
polares según hemos hecho otras veces.
La figura 42 expresa desde luego las coordenadas x, y, 2
de cualquir punto A, en función de las coordenadas pola-
== 910 E
res Ó y y que son, como sabemos, 6 el ángulo que forma A A,
con Az” paralela al eje de las z, que es lo que se llama la
distancia polar,.y el acimut ó longitud ' que es el ángulo
PAO que forma con el plano de las 2" x” el plano que |
pasa por z” y por la recta AA. |
La tercera coordenada polar será p = A A, si A, pertene-
ce á esfera s. Y podremos escribir, sin más explicaciones,
porque ya las hemos dado otras veces y porque el problema
es elemental,
x=a4+ AP=a+AQcosy=a + AA,senA A, Ocosi=a+psentcosy
y =b+ QP=b+PO=b>+AQsenit=a+A A,senAA¡Qsend=b+psentsend:
2=C + A¡O=cC+AA,cos AA¡Q =C+pc0s0.
Y en la misma figura se ve desde luego, y lo hemos demos-
trado en conferencias del año anterior, que el elemento dife-
rencial ds es igual á una diferencial de arco de paralelo, que
será p sen 0, que es el radio, por dy, que es el arco de ra-
dio unidad, es decir: p sen 9. d); multiplicada dicha diferen-
cial por la diferencial del meridiano, ó sea pd0, de suerte que
de =p*sendidudi
donde vemos que aparece el factor p? como antes decíamos.
Lo que en la fórmula general es r, para la superficie de la
esfera es aquí p.
Efectuemos estas sustituciones en la fórmula precedente,
recordando que U es una función de x, y, z. Es decir, que
la fórmula en que vamos á sustituir los valores precedentes
es esta en que ponemos desde luego p en vez de r, porque
todas las r son radios de la esfera
na Ea == (ADE)
E |
— 913 —
Hecha la sustitución resultará,
550?
e U (ap senbcos y, bp sen Usen, c+pc0s 6) p? send dé dy=F(a, b, c).
Y suprimiendo g?, queda
[PU a+ esentcosd, 6 +5 sen bend, cp cos 1) sen dh dy = F (a,b, c)
e .)s : -
Si ahora suponemos que e tiende hacia cero, podría de-
mostrarse fácilmente que basta igualar á cero ¿ para obtener
¡ el límite de la integral del primer miembro que aparece como
tunción de p. Pero aun esta demostración es inútil por sen-
cilla que fuese; porque basta observar que en el segundo
miembro no entra p, porque ya hicimos notar al obtener el
valor de F, que la variable r se refería siempre á puntos de
la superficie S sin que p apareciese para nada, y n tampoco
entra en el segundo miembro, de modo que no puede entrar p
en el primero y no se alterará éste haciendo p =0.
Tendremos, por fin
f/ U (a, b, c) sen di di = F(a, b, c).
20 Ss
Y como U (a, b,c), en que a, b, c, son las coordenadas
del centro de la esfera, es constante respecto á L y 0, po-
dremos sacarla fuera del signo integral, y tendremos
27 Tí
U(a,0,0) [| a sen trav "E (070,0)!
0 70 :
La integral (| sen % d% da
0
[Users (cos )=2,
Rev. AÁcAD pr CIENCIAS -- X.—Mayo, 1912. 68
— 914 --
y queda
por lo tanto,
4 =U(a DC) ADN,
de donde
U (a, bd, e)= Fa, Duc)
Pero a, b, c, son las coordenadas de un punto cualquiera
del interior del volumen; lo mismo da !llamarlas a, b, c, que
x, y, z, sólo que, para no confundirlas con las variables de
la integración, las hemos designado por estas letras a, b, C.
Luego U (a, b,c) es el valor de la armónica que busca-
mos para un punto cualquiera del interior del volumen, y
: 1
este valor es precisamente Ea Fa, b,:0); en que Festina
T
función perfectamente conocida, porque, como dijimos an-
tes, es el resultado de efectuar las siguientes integraciones:
d 1
A
SIN dn
Las cuales siempre pueden efectuarse, al menos teórica-
dU :
mente, siendo U y a conocidas, como se supone, porque
n
este es el problema. Para todos los puntos de la superficie $,
conocidas son, en función de las dos variables que determi-
nen cada punto de dicha superficie S.
Recordando, pues, lo que significa F, podemos asegurar
que la fórmula
1
1
da
007] Las CEA do
SNA AO dn
y Es
Ó si se quiere,
1 FU yz)
U(a, d, === RIA A AP A
E sl liar a Piro da
PE a) e DY + (¿cp Je
dn
resuelve completamente el problema de Dirichlet para el vo-
lumen interior S, porque expresa U en función de los da-
dU ; E ,
tos U a mediante operaciones conocidas, que se re-
n
ducen á dos integraciones.
Claro es que la dn en rigor es dN, porque se refiere á
normales á $.
Dicho está, que las variables de las dos integraciones pue-
den ser x, y, recordando que z es función de ésta por la
ecuación de la superficie
ESE) = 0:
Pero hemos advertido siempre, que en estos problemas en
que late, si se nos permite esta palabra, cierta discontinui-
dad á través de la superficie S, el problema es doble.
Acabamos de estudiar el caso del volumen interior; pase-
mos al del volumen exterior.
Determinación de la armónica U para todo el espacio,
hasta el infinito, exterior á una superficie S, conociendo los
AU (ez)
E
valores de U (x, y, z) y de para todos los
— 916 —
puntos de dicha superficie S, y verificándose ciertas condi-
ciones para el infinito. Nótese, ante todo, que esta última
parte del enunciado no existía en el problema interior.
Pero cuando se consideran regiones más y más distantes
de la superficie S, entran en las fórmulas cantidades que
tienden hacia infinito, y en todos estos casos hay que pre-
cisar la ley de todas las cantidades que se consideren, cuan-
do los puntos del sistema se alejan indefinidamente; porque
atreviéndonos á emplear una frase vulgar, diremos que con
el infinito no se juega, y si se le quiere manejar como á las
cantidades finitas, se puede caer en grandes contradicciones
y en grandes errores.
Ante todo, precisemos las condiciones de la nueva de-
mostración.
Sea (fig. 43) S la superficie de que se trata, y sólo vamos
á considerar, al contrario de lo que antes hacíamos, el es-
pacio indefinido exterior á dicha superficie.
Para aplicar los resultados de la primera parte de la de-
mostración, ó sea del problema interior, necesitamos limitar
un volumen, y á este fin, desde un punto cualquiera / como
centro, tracemos una esfera S;, tan grande como sea preci-
so para que comprenda á la superficie S, esfera cuyo ra-
dio R irá creciendo sin límite.
Antes aplicábamos los razonamientos ya expuestos al vo-.
lumen V del interior de la superficie S (fig. 41). Ahora, va-
mos á aplicar aquellos mismos razonamientos al volumen
(fig. 43) comprendido entre la superficie S y la esfera S,,
porque este espacio, creciendo R, puede extenderse hasta el
infinito y se aplicará al problema exterior de Dirichlet.
A este espacio, digo, vamos á aplicar todos los razona-
mientos de la primera parte.
Y así, tomaremos un punto A en dicho espacio, como
tomábamos un punto A en la figura 41, y trazaremos la este-
ra infinitamente pequeña s (fig. 43). Y repitiendo aquellos
razonamientos, llegaremos á la misma fórmula para el nuevo
— 917 —
espacio cerrado, obteniendo para la armónica que buscamos
la expresión
d 1
neso= 5 (+ A
4 NO dn
con lo cual el problema aparece también resuelto; pero no lo
Figura 43.
está, y en lo que acabamos de decir hay cierta precipitación,
y la fórmula que hemos copiado no es correcta, al menos en
las notaciones. ¡
Porque hemos puesto como subíndice á la integral doble
la letra S, y, en efecto, para el problema interior en que sólo
tal superficie limitaba el volumen finito, esto era exacto; pero
— 918 —
ahora el volumen está limitado por dos superficies: interior-
mente por S, pero exteriormente por la esfera S;.
De suerte que la integral doble del primer caso, aquí es
la suma de dos integrales dobles. Una para S, la otra para
la esfera S;.
La verdadera fórmula, á la cual se aplican los razonamien-
tos que ya empleamos, será, pues, ésta:
al Es
Y con esto parece que la dificultad está resuelta y que está
resuelto el problema; pero, todavía falta algo.
La primera integral doble del segundo miembro no ofrece
-
dificultad ninguna, porque U y —
n
son funciones perfec-
tamente conocidas; son los datos del problema, y las integra-
ciones pueden efectuarse, como en el caso anterior, sin más
que una observación, que luego haremos, sobre el sentido
de la normal n.
Pero la segunda integral, la que se refiere á la esfera de
radio PR, la que tiene por superficie de integración S;, ésta
debemos estudiarla más detenidamente, porque lo relativo á
la superficie S¿ no se encuentra en el mismo caso que lo
relativo á la superficie $.
El problema de Dirichlet supone que se conocen U y
para todos los puntos de la superficie que limitan el
n
volumen V.
Para S conocemos estas funciones; pero nada hemos dicho
— 919 —
de los valores de U y se en los diferentes puntos de la
superficie S;.
De suerte que los datos del problema son incompletos.
Para aplicar con plena lógica las fórmulas de la primera
parte, necesitamos conocerlos para todos los puntos límites
del cuerpo, y aquí son dos superficies S y S,.
Con la circunstancia de que S, es variable y creciente sin
límite.
Hay, pues, que precisar las condiciones del problema y no
dejarse llevar ligeramente de una primera impresión ni de
analogías y semejanzas.
En rigor, algo suponemos implícitamente sobre los valores
de U y gn.
dn
en la superficie de la esfera S;.
Suponemos que á medida que se alejan hacia el infinito
T
ny, tienden hacia cero, porque de lo contrario las
n
fórmulas no tendrían sentido si las aplicásemos á regiones
cada vez más lejanas.
Pero esto no basta. Cierto es, que en la segunda integral
doble de la fórmula, es decir, en
SE mi tienden hacia cerc: como
Nn
VE FO PF oy
— 920 —
á medida que el punto x, y, z se aleja, crece sin límites, y
como sólo entra en el denominador, parece que el coeficiente
diferencial tenderá hacia cero.
Conviene, sin embargo, precisar las ideas:
1 1
GAO O
ha de aplicarse á puntos de la superficie S,; es decir, que
en la figura, r es la distancia A P, desde el punto A, cuyas
coordenadas son a, b,c, hasta el punto P de la gran estera,
cuyas coordenadas son x,y,z; pero la expresión anterior
puede ponerse bajo esta forma
1 1
TS
Xx y Z
y como a, b, c son finitas y x, y, z crecen sin límite, los que-
brados sie EN —— tienden hacia cero, y el el tien-
A A ÍF
de hacia
1
Va
que á su vez tiende hacia cero á medida que crecen X, y, Z,
ó de otro modo, á medida que tomamos esferas S, cada vez
mayores.
Una cosa análoga podemos indicar respecto á
1 dr
eS eb a
dn pp
Aquí entra en el denominador r?. Es decir, que la expresión
— 921 —
es un infinitamente pequeño de segundo orden, toda vez que
el numerador es una cantidad finita, lo cual se ve desde lue-
go. Porque si P es el punto de la esfera que se considera,
A P será el valor de r para este punto P; y si sobre la nor-
mal á la esfera, que es su radio / P prolongado en P N, to-
mamos una distancia PP" =dn, el nuevo valor de r será
A P”. Trazando el arco P p, que equivale á una perpendicu-
lar á A P”, también tendremos P* p = dr, y por lo tanto
HE == Est EA COSA COS NO!
dn ELLOS
que es el coseno del ángulo que forma exteriormente r con
la normal, toda vez que las rectas A P y A P” pueden con-
siderarse paralelas.
Resulta comprobado lo que hemos dicho
1
A
a a CUE MITO. cantidad que tiende hacia cero.
n ire
En suma, todos los coeficientes de términos de la integral
doble, que consideramos, tienden hacia cero á medida que
crece el radio de la esfera.
Pero esto no basta, porque ds, que es un elemento de
área de la esfera S;, crece como el cuadrado del radio de la
esfera S;, para una abertura infinitamente pequeña du del
cono que determina ds, y cuyo vértice está en /.
De suerte que, expresando esta circunstancia en la inte-
gral doble, tendremos
1 o
Ar SANAR y?
Donde aparece una cantidad infinitamente grande de se-
gundo orden, que no sabemos si compensa ó no la cantidad
— 922 —
infinitamente pequeña que representa el coeficiente dife-
rencial.
Nos sucede aquí lo contrario de lo que nos sucedía con
la esfera infinitamente pequeña s. Allí, en el denominador»
entraba el radio e de la esfera, que era infinitamente peque-
ño; pero en cambio, ds contenía ¿? y era también infinita-
mente pequeña.
Aquí, comparamos á la inversa, cantidades infinitamente
erandes que dependen de R.
Introduciendo R? en el paréntesis del coeficiente diferen-
cial, tendremos
ala Jl R? — + Bio
que dividiendo fuera de la integral y multiplicando dentro
por R, nos da la forma definitiva
As (2 Y y RUSOS NPQ) do
y aquí se comprenden las condiciones que anunciábamos y
que van á ser necesarias.
a rrelación po que es la de las rectas IP y AP,
Y
tiende hacia la unidad, á medida que el punto P se aleja ha-
cia el infinito.
2.” Sabemos que
dU dU dU dU
== == —— QU ——— —— Y,
dn x mi dy dd dz :
siendo a, $, y los cosenos de los ángulos, que la normal 2/
forma con los ejes; porque como U (x, y, z) depende de
x,y,z, que son las coordenadas de P, y al dar á n el incre-
mento d n, el punto P pasa á P”, las nuevas Xx, y, z, que se-
— 923 —
rán las de P” dependerán de la única variable n, y la regla
de la diferenciación da
dU(x y, 2) _ du dx, dU dy , du dz
dn dx dn dy dn da din
Pero evidentemente los tres coeficientes
LEI A
dn? dn” dn”
son los cosenos de los ángulos que forma la normal con los
ejes, porque son las diferencias de las coordenadas de los
extremos P y P” divididos por la longitud P P”.
De aquí resulta la condición que vamos á establecer, por-
que tendremos
A A
dx
dU dU
3 Pp? ,.
dx nas dx P
Luego para que esta cantidad sea finita, será preciso que
que se verifiquen estas condiciones: que
Re ape R? dU R? dU
dx dy dz
,
queden finitas á medida que x, y, z crezcan. Es decir, á me-
dida que el punto P se aleja hacia el infinito, compensán-
dose, por decirlo así, lo que crece R con lo que disminuyen
los coeficientes diferenciales.
3.. Es preciso, por último, que el producto R U también
tienda hacia una cantidad finita.
Cumpliéndose estas condiciones, toda la cantidad que
está dentro del paréntesis, tiende hacia un valor finito para
todos los elementos de la integral, y d w es infinitamente
pequeña, porque es la abertura de un cono medido en la
esfera de radio 1.
— 924 —
Luego la integral será una integral finita, y como fuera
, 1 E :
existe el factor DeÑ claro es que á medida que R crezca,
todo el resultado tenderá hacia cero, con lo cual la fórmula
de Dirichlet para el espacio exterior queda reducida á la
primera integral doble. Es decir
1
==
a a 7 Je 1
Sólo nos queda por advertir, que al aplicar la fórmula,
debe cuidarse de marcar el sentido de las normales.
El sentido de las normales está marcado en la figura por
las dos flechas hacia lo exterior del volumen.
En el caso contrario habría que cambiar el signo al se-
egundo miembro de la fórmula.
En la conferencia próxima todavía insistiremos en esta
-Tórmula que acabamos de obtener.
XLII. — Apuntes sobre Mecánica socia!.
POR ANTONIO PORTUONDO Y BARCELÓ.
(Conclusión.)
En vista de todo lo dicho, procedamos ya á distinguir tam-
bién para la Mecánica social las dos clases de energía de un
individuo en su campo, á saber:
1.* La energía actual ó de movimiento del individuo en
el asunto (la llamaremos energía cinética), que dependiendo
de su masa ¡m para el asunto, y de la magnitud de su velo-
cidad v en el instante que se considere, se mide en este ins-
tante por > mv *, y se puede transformar en trabajo so-
cial.
Esta energía cinética de un individuo en un asunto, en
nada difiere de la de un punto material en la Mecánica ra-
cional. Intervienen en ella idénticamente los dos factores
masa y magnitud de la velocidad, y ésta elevada al cuadra-
do, con la misma influencia preponderante que en la Mecá-
nica racional.
2." La energía potencial que dependiendo de la masa m
del individuo para el asunto, y de su posición en el instante
que se considere, así como de la naturaleza ó constitución
de su campo de fuerza, se mide en ese instante por todo el
trabajo positivo que podría desarrollar la fuerza del campo
mediante cambios de posición del individuo en el asunto (**).
(*) Se sobrentiende que esta energía potencial —aunque referi-
da al individuo —está en todo el conjunto.
— 926 —
Este trabajo total habría de apreciarse como integral de tra-
bajos elementales, cada uno de los cuales es (mediante el
factor m) el producto de la intensidad del campo (variable)
en cada posición, por el camino elemental recorrido y esti-
mado en su sentido á partir de ella. El recorrido elemental
se apreciaría por el incremento muy pequeño del parámetro
definidor de su posición en el asunto.
Se ve que este potencial del individuo en cada posición
vale y representa energía en potencia, dentro del campo,
para el asunto que se considera.—Y existe esta energía
mientras el campo pueda ejercer sobre el individuo abstracto
y simple, alguna acción real y efectiva, y pueda él cambiar
su posición en el asunto (es decir, modificarse), de modo
que permita á la intensidad del campo hacer trabajo posi-
tivo.—El potencial en cada posición expresa, pues, mecáni-
camente, todo lo que puede dar de sí todavía el individuo
por movimiento de modificación en el asunto; y es, por con-
siguiente, energía almacenada, no desplegada todavía, pero
que puede desplegarse, contando con todo lo interno y ex-
terno que se simboliza—por decirlo así, para el caso parti-
cular que consideramos—en la ley de variación de la inten-
sidad del campo.
Si el individuo de masa unidad pasa de una posición ini-
cial en la cual su potencial sea 7, á otra en que su potencial
sea 7 (menor que 7,) por un movimiento cualquiera en la
línea de fuerza (que es el caso particular de que tratamos),
se ve que la disminución 7, — 7 del potencial, mide el tra-
bajo positivo hecho efectivamente por todas las fuerzas del
campo actuando sobre el individuo.
Distinguidas así las dos energías psíquicas cinética y po-
tencial del individuo en su campo, apliquemos el Teorema
de la energía al individuo de masa unidad; y se escribirá:
LA 3
— Y? — Ai
2
TE
=
Leda
) 0
— 927 —
lo cual nos dice que:
El incremento de la energía cinética es igual á la disminu-
ción de la potencial.
Y si se llama energía total, en un instante, la suma de las
cinética y potencial en ese instante; la proposición anterior
equivale á esta otra:
1 1
e yea === 1 ms
2 2 0 | 0
La energía total del individao en su campo, se conserva
constante á través de todas sus modificaciones.
Para darnos cuenta de la ley que acabamos de formular,
pensemos que cada individuo al nacer tenga—como si dijé-
ramos —una posición inicial de parámetro cero, en el asunto
que se considera; y que se encuentre, á partir de ese instan-
te, y para un primer trasncurso de tiempo de su vida, en me-
dio de un campo de fuerzas, constituido:
1.2 Por todo lo que haya en su organismo fisiológico,
heredado de sus dos padres directamente, con todas las pre-
disposiciones psíquicas tambien heredadas (y que parecen
como ligadas á la misma constitución fisiológica) que trae el
individuo consigo para su vida después del nacimiento. To-
das esas disposiciones fisiológicas, con predisposiciones
psíquicas, habrán de desenvolverse física y psiquicamente.
Puede decirse con entera verdad que ese ambiente inter-
no del niño al nacer, viene de toda su ascendencia.
2.” Por todo lo físico y psíquico del ambiente externo, en
medio del cual se encuentre colocado el individuo desde el
instante en que nace (*).
Por esto se comprende que el ser todo de cada individuo,
(+) La duración del primer trascurso de tiempo que vamos á con-
siderari variará mucho de unos individuos á otros, y dependerá de
circunstancias ó accidentes particulares para cada individuo.
— 928 —
tanto por lo hereditario que trae al nacer, como por lo que
en él influye el medio ambiente físico y social, está intima y
profundamente penetrado por el pasado y el presente de la
Sociedad á que pertenece (*).
Y se ve, como ya habíamos dicho, que todo lo que cons-
tituye su campo es esencialmente variable en el tiempo. De
hecho, el organismo del niño irá creciendo y modificándose
por procesos fisiológicos y biológicos del particular modo
que corresponda á la relación en que se encuentre con todo
(+) Esto que decimos concuerda perfectamente (aunque el aspec-
to mecánico se distinga bien del biológico) con la fórmula biológica
de Mr. Le Dantec.— Según éste, interviniendo conjuntamente en
todo acto vital dos factores esenciales:
1.2 El contenido del cuerpo del ser vivo..... A
2.2 El medio que envuelve al ser ........... EE
es claro que en un instante cualquiera el funcionamiento vital puede
expresarse por la fórmula A < B.
Y así el paso de la forma An-—1 del ser (en el instante £), á la
forma An (en el instante ¿+ df), se expresa — para Mr. Le Dan-
tec — por la fórmula simbólica:
An—1+(An-1 >< Bn—1) = An.
Se sobreentiende que el signo < no tiene el significado que en
Aritmética, para la operación de multiplicar.—Se refiere aquí ese
signo al conjunto de actividades de todo género, que (mediante las
relaciones entre un cuerpo vivo A y el medio que le rodea B) se
opera por acciones y reacciones, á partir de cada instante, y duran -
te cada intervalo infinitamente pequeño df, de tiempo.
Si con el símbolo general A ><B se expresara la magnitud finita
en un instante cualquiera de la actividad total entre el ser vivo A y
su medio B, el lenguaje simbólico de Mr. Le Dantec permitiría quizá
escribir la fórmula general
mb
An=Ao + e (A=<B)at
si de Ao (instante fo) se pasa á An (instante tn).
— 929 —
el medio ambiente externo; y este medio ambiente (com-
prendiendo en él todo lo exterior que pueda ejercer alguna
influencia de cualquier género sobre el niño integramente
considerado) cambia de hecho también de un instante al si-
guiente, al mismo tiempo que cambia lo que hemos llamado
el ambiente interno (+).
Pues bien; si suponemos que durante un cierto trascurso
de tiempo, desde el nacimiento, la acción de todo el campo—
aunque variable—sea tal que el individuo simple y abstrac-
to se mueva —-respecto de un asunto —en una determinada
dirección y sentido, y que esta dirección y sentido se con-
serve constante en todo ese trascurso de tiempo, podríamos
decir que el individuo tenía al nacer un determinado poten-
cial para el asunto, potencial que depende de todo lo que
constituye su campo con el modo de ser de éste. El movi-
miento de modificación que vaya haciendo pasar sucesiva-
mente al individuo de modo contínuo por las diferentes po-
siciones en el asunto que él vaya teniendo, será tal que á
medida que aumente su energía cinética, irá consumiéndose
su potencial. — Según dijimos, cada disminución de éste,
será equivalente al trabajo positivo (ó será medido por el
trabajo positivo) que hagan las fuerzas del campo, para ace-
lerar el movimiento de modificación en el asunto. Se ve asi
la transformación parcial y sucesiva de energía potencial en
otra equivalente, durante ese periodo de tiempo;—ó sea la
conservación de la energía total.
Si no ocurriera la muerte del individuo en ese primer pe-
ríodo, llegará ordinariamente un instante en el cual — tenien-
(*) Vimos anteriormente que el crecimiento y las modificaciones
sucesivas y contínuas de la extructura del animal, se realiza median-
te transformaciones de energías que estaban en el medio ambiente
externo, y pasan por asimilación á estar en el medio interno. El pro-
ceso de crecimiento dura naturalmente hasta llegar el animal (6 la
planta) á la plenitud, por decirlo así, de su tamaño y de su extructu-
ra, según la especie á que pertenece.
Rev. AcAb. DE Cirxcias.—X.— Mayo, 1912. 69
930 —
do el individuo una cierta posición en el asunto — el cam-
po de fuerzas experimente grandes alteraciones, y que á
éstas corresponda una nueva dirección y sentido en que el
individuo se mueva ó se modifique (*). Si en este segundo
periodo, llamémosle así, el nuevo campo (aunque siempre
variable), permitiera conocer, juntamente con su dirección
y sentido, su intensidad en función de las futuras posiciones,
podríamos aplicar todo lo dicho anteriormente para el primer
período, viendo el potencial que (en relación con el nuevo
campo), pueda corresponder al individuo en el instante
inicial del segunto período; y así sucesivamente.
En todo lo dicho hemos considerado la intensidad del
campo haciendo trabajo positivo para aumentar la energía
cinética del individuo á expensas de su potencial. Pero en
las vicisitudes de la vida del individuo puede haber, y habrá,
períodos en los cuales se mueva el individuo (en el asunto
que se considere), en sentido opuesto al sentido del campo
en ese periodo. Si, por ejemplo, un individuo se encuentra
en un instante dado (que consideramos como inicial), ani-
mado de cierta velocidad debida á causas anteriores, y se ve
colocado en ese instante, y para los transcursos sucesivos del
tiempo, en medio de un campo que, por su constitución y
naturaleza, tenga la misma dirección de la velocidad del in-
dividuo, pero sentido opuesto, es evidente que el movimien-
(+) Si se mira bien, ese cambio en el campo de fuerza — que su-
ponemos rápido —, no se presentaría sino en casos especiales ó en
periodos críticos (por ejemplo, el de la pubertad); pero admitimos
esa discontinuidad tan sólo para dar más relieve á nuestro pensa-
miento.
En la realidad de la vida, el proceso de variación del campo de fuer-
zas, se opera según ley de continuidad; y en rigor se debe de ver al
individuo con su potencial en el campo de fuerzas, moviéndose (6
desenvolviéndose), de modo continuo, á la vez aue su campo se
transforma continuamente. — Nosotros nos limitamos á ver lo que
ocurriría en un punto, por virtud de un cambio finito en el campo de
fuerzas.
— 931 —
to del individuo en ese período será retardado; es decir, que
su energía cinética irá disminuyendo por el trabajo negativo
que irá haciendo la fuerza del campo; pero su potencial
en el campo irá aumentando, puesto que á las posiciones que
vaya teniendo, irá correspondiendo mayor cantidad posible
de trabajo positivo que hacer á la intensidad del campo.
Cuando á ese individuo se le agote la energía cinética que
tenia en el instante inicial, porque se haya transformado toda
ella en potencial, éste será un máximo, cuando la cinética
sea nula; y á partir de ese instante, el trabajo positivo irá
aumentando la energía cinética, á partir de cero, y corres-
ponderá á un movimiento en el sentido mismo del campo,
que irá acompañado de la correspondiente disminución de
potencial. Siempre se cumplirá, por el Teorema de la ener-
gía, la ley de la conservación de la energía total; y habrá un
instante en que toda la energía (mirando sólo un individuo),
estará en potencial, que es aquel en que la cinética sea nula.
Todo lo expuesto anteriormente respecto á las energías
cinética y potencial de un sólo individuo moviéndose en su
campo, podría aplicarse á lo que llamábamos un elemento de
una agrupación social, si se individualizara. Para ello sería
preciso:
1.2 Concebir el elemento como simbolizado por un punto
central, al cual se atribuyera una masa para el asunto que
fuera la de todo el elemento social, y al cual se atribuyera
también una velocidad de modificación en cada instante; y
”
asi visto, Ó individualizado, el elemento social, su energía
cinética se mediría por o? mv?,
2.7 Concebir que ese punto central, Ó elemento indivi-
O oo E
dualizado, estuviera en un campo de fuerzas psíquicas cons-
tituído: por una parte, por todos los individuos de la colec-
ción, que ejerciendo sus acciones sobre el centro, formarían
el medio ambiente interno; y por otra parte, por toda la agru-
pación social, y por todo lo exterior á ésta, hasta donde
fuera sensible la acción que pudiera ejercer sobre el elemen-
to que se considera, lo cual formaría el medio ambiente ex-
terno, para el elemento. Aplicando á este campo para el
elemento social, las consideraciones hechas al tratar de un
sólo individuo, se debería de mirar cada período del movi-
miento en que fuera conocida y constante la dirección y el
sentido del campo, y en que se pudiera conocer su intensidad.
Ya sea esta intensidad constante ó variable, se podría conce-
bir. la eneroía potencial del elemento (en cada posición que
tenga en su campo) como el producto de su masa por el po-
tencial en esa posición (para la unidad de masa).
Podría repetirse después de esta concepción todo lo di-
cho respecto de un sólo individuo, y aplicar el Teorema de
la energía; y quedaría establecido también el principio de la
Conservación de la energía total.
Se ve en definitiva que (tanto para un individuo como para
un elemento social) el porvenir, es decir lo que será por
efecto del movimiento elemental de modificación en el tiem-
po, depende del presente, en el cual está ya el pasado, natu-
ralmente. Pero entendiendo bien, que el presente no se refiere
tan sólo al estado del individuo ó del elemento social en po-
sición y velocidad en el instante que se considere, sino al
estado (en este mismo instante) de todo lo que ha de influir
en el individuo ó elemento social, que es su campo de fuer-
zas, constituido por todo lo fisico y psíquico interno y exter-
no de donde emanan fuerzas que actuan sobre él. Todo esto
es también presente, como correspondiente al instante de que
se trata. En el presente está, pues, toda la energía del indi-
viduo Ó del elemento social en las dos formas cinética y po-
tencial.
— 933 —
Y es muy de notar que mediante el despliegue y las trans-
formaciones de las energías totales de los individuos y ele-
mentos de una agrupación, estos influyen á su vez, muy
marcadamente, sobre el medio ambiente físico externo, y lo
modifican, ayudándose de todos los conocimientos adquiri-
dos por las ciencias físicas, químicas y naturales. Con la
ayuda de las ciencias psiquicas y sociales — si éstas progre-
saran bastante —se influiría muy marcadamente tambien so-
bre el ambiente psíquico interno y externo. En definitiva se
ve, que, por repercusión, se ván modificando las fuerzas de
los campos en que se van encontrando sucesivamente los
individuos y elementos sociales. Así se realiza la evolución
total del ambiente físico y psíquico para los individuos y
elementos de toda una Sociedad.
A la Sociología corresponde examinar atentamente y de
un modo profundo y detallado, todo lo que acabamos de in”
dicar para ver si con los progresos de la Psicología experi-
mental, es posible algun día emprender la constitución cien-
tifica de la Mecánica social aplicada.
ENERGIA DE LAS AGRUPACIONES
Para ver la energía de una agrupación social, empece-
mos— como siempre — por recordar lo que sabemos por la
Mecánica de los sistemas materiales.
Cuando un sistema de puntos de masas 1,, Mo, Mz, Ma...,
se halla en movimiento en el espacio, y se miran estas ma-
sas como ejerciendo acciones dinámicas unas sobre otras (y
nada más), el campo de fuerzas, para cada una de ellas,
en un instante dado, está constituído por el conjunto de to-
das las demás. Así, si en un instante dado
el punto de masa mm, tiene la posición M, en el espacio;
e... +... +... +... .....0— 0. .0.0.0 0.0.0... .+.%0 0.0.0. 0.020.000 010.200.002.
OOOO O AO O IO OO OOOO OA OO ODIO OO OOO
— 934 —
la energía potencial de la masa m, [en la posición M,] se-
rá el producto de m, por el potencial V, que corresponda á
la posición M, en su campo. Y repitiendo lo mismo, para
todos y cada uno de los puntos del sistema, la energía po-
tencial de éste sería
ó sea la suma ds todos los productos de las masas por sus
respectivos potenciales: pero para no tomar dos veces cada
combinación de dos puntos, se debe de escribír
AS
2
Y como cada mV, mide todo el trabajo positivo que po-
drían hacer las fuerzas del campo—que son las fuerzas inte-
riores del sistema — sobre cada punto, se suele decir que
cada m V es, como si fuera, un trabajo almacenado en la po-
sición M que ocupa ese punto. Así miradas las cosas, se
puede decir—como es costumbre —que: la energía potencial
W del sistema, es la mitad del trabajo almacenado para tener
os puntos en sus respectivas posiciones simultáneas M,, Mo,
Mz, M,,..... en el instante que se considera.
Sabemos que si se considera la posición que ocupa el sis-
tema de puntos en un instante inicial f, y la llamamos A; y
vemos pasar dicho sistema á otra posición B que correspon-
da á otro instante f,; y se ha movido sólo bajo las acciones
de las fuerzas interiores de que hemos hablado; y se supone
que estas fuerzas sólo dependan de las distancias, es decir
que sean de las que admiten una función de fuerza, se curl-
plirá el Principio de la Conservación de la energía total; (+)
es decir, que en todos y cada uno de los instantes
(*) Si el Principio de la Conservación de la energía ha de hacerse
ndependiente de toda hipótesis sobre las fuerzas interiores de que
— 935 —
Us
0 Y mv? + W = constante.
Conviene recordar también que, según el Teorema de
Hamilton, el paso de la posición A (instante £,) á la posición
B (instante £,), habrá de realizarse por tales cambios suce-
sivos y contínuos de /as posiciones de los puntos, y tales
cambios sucesivos y contínuos de las velocidades, que de-
biendo de ser nula la variación de la integral definida
f: ls Eme W | Olla
Js 2 ;
esta integral definida (de límites invariables) será mínima en
el movimiento real del sistema, con respecto á los valores
que tendría en todos los movimientos virtuales posibles, por
los cuales el sistema pudiera pasar en el mismo tiempo de la
posición A á la posición B.
Si se tomara el valor medio de los valores porque pasa
E da w|
2
desde el instante £, al instante 1,; y se representara ese valor
medio por H, el valor de esa integral definida es igual á
H (t,—+t,); y siendo constante el factor (tf, —f,), se ve que
el Teorema de Hamilton nos lleva á decir, como dice Poin-
caré: que la media H de las diferencias entre la energía ciné-
tica y la potencial de cada instante, cuando un sistema pasa
de una posición A (t,) á otra B (t,) es la menor posible en el
movimiento real y efectivo del sistema.
estamos hablando, hay que admitir el Principio como un hecho de-
mostrado experimentalmente, porque la demostración teórica podría
fallar por su base, como dice Poincaré.
— 936 —
Recordado lo que precede, vengamos á la Mecánica social,
y pensemos en una agrupación social vista en sí misma, y
constituida por individuos y elementos sociales (individuali-
zados) con sus respectivas masas M;,, Ma, Mz,..... PAra un
mismo asunto, teniendo sus determinadas posiciones respec-
As A ll ac: en el asunto, en un instante f.
Considerando á cada uno de los individuos y elementos —
para el asunto de que se trate — sólo por su relación con el
conjunto de la agrupación, se podría decir: que la energía
potencial de la agrupación, vista en sí misma, en el instante
ft, se apreciaría por la mitad de todo el trabajo almacenado
para tener á los individuos y elementos de la agrupación en
sus respectivas posiciones simultáneas en el asunto, en el
instante que se considera.
Hay, pues, en cada posición de una agrupación social un
depósito de energía (para todos los asuntos sociales) que
está en potencia (*).
Concebida esta energía potencial de que se disponga, para
cada asunto, en un instante £, y haciendo aplicación á una
agrupación nacional, por ejemplo, se debe de pensar que el
fin de la educación de un pueblo — tomando la palabra edu-
cación en su más amplio sentido —, debe de consistir funda-
mentalmente en que las fuerzas interiores en conjunto hagan
efectivamente trabajos positivos en todos y cada uno de los
asuntos de carácter social, por los cambios de posición de
los individuos y elementos, para desenvolver así, en la ma-
yor escala posible, la energía potencial que haya en la agru-
pación social.
Veamos ahora como se escribiría el Teorema de la energía
(*), Ward observa que las extructuras en las cuales hay esas ener-
eías son producto de una lucha, y por eso este escritor modifica la
frase de Darwin «lucha por la existencia» para el mundo orgánico—
y dice que el orden reinante en cada instante en el mundo inorgánico
en el orgánico y en el social, debe de ser mirado como el producto de
una lucha por estructura.
— 9317 —
con toda generalidad. — Para esto recordemos que además
de las fuerzas interiores, á que acabamos de referirnos, ac-
tuarán en general, sobre los individuos y elementos de la
agrupación, fuerzas exteriores F, que vienen de fuera de la
agrupación (*). Aplicando el Teorema desde un instante f,,
en que las diversas velocidades de los individuos y elemen-
tos se representen por v,, hasta otro instante posterior f,, en
que esos mismos individuos y elementos tengan las veloci-
dades v; sí se representan por F' las fuerzas exteriores que
hayan actuado en ese transcurso de tiempo f, —f,, y por f
las interiores, la ecuación se puede escribir así:
1 A 1
no Pla bs 19) amis sinaloa de
lo cual dice: que el incremento de la energía cinética de la
agrupación, desde el instante f, al f, es igual á la suma de
los trabajos hechos, mediante los cambios de posición reali-
zados en todos los individuos y elementos, por todas las
fuerzas exteriores F é interiores f, que hayan actuado.
Pero se dijo anteriormente: que la energía potencial de la
agrupación en el instante f,, se apreciaba por todo el traba-
jo positivo que podrían hacer las fuerzas interiores f; y que
dependía de las posiciones, en el asunto, que tuvieran en
este instante f, los individuos y elementos. Si este potencial
de la agrupación para el asunto se representa por II, y el
correspondiente al instante í se representa por II, según sean
las nuevas posiciones en el asunto; se sabe que el trabajo he-
(*) Ya se sabe que si una agrupación social, como un Municipio,
por ejemplo, está dentro de otra ú otras más comprensivas, como la
Región y la Nación á que pertenece, las fuerzas que, emanando de
individuos Ó elementos de éstas, ejerzan acción sobre aquel Mu-
nicipio, son para éste fuerzas exteriores; pero estas mismas fuer-
zas de que hablamos, serían fuerzas inferiores si se tratara de estu-
diar el movimiento de la agrupación Regional ó Nacional.
— 938 —
cho en ese trancurso de tiempo por todas las fuerzas interio-
res, es decir, YT - f vale "Il, — 1, que es la disminución
que haya experimentado el potercial de la agrupación para
el asunto.
En vista de esto, el Teorema de la energía se puede es-
cribir asi:
Sm = (2 mue + Mo) 427. e
y enunciarse del siguiente modo:
La energía total de una agrupación social, respecto de un
asunto, en un instante cualquiera t,, es igual d: la total que
tenía en un instante inicial t,, aumentada en la suma de los
trabajos que hayan hecho en ese transcurso (t, —1t,) de
tiempo, todas las fuerzas exteriores 4 la agrupación, actuan-
do sobre individuos ó elementos de ésta.
Este enunciado hace ver claramente que si las fuerzas
psíquicas sociales que vengan de fuera de una agrupación
hacen efectivamente trabajo positivo al actuar sobre indivi-
duos y elementos de la agrupación, este trabajo es aprove-
chado, porque constituye un verdadero aumento de energía
total en la agrupación que se considera.
Y de aquí se deduce: que si una agrupación cualquiera
viviese durante algún tiempo absolutamente sustraida á toda
influencia exterior á ella, respecto de un asunto, el último
término de la ecuación de la energía sería nulo, y habría,
por consiguiente, Conservación de energía total en ia agru-
pación. Por consiguiente, si se aumentara la energía ciné-
tica social
y pa mv? > Y AS
2 2
se podría asegurar, en el supuesto dicho, que —por virtud
de los cambios de posición realizados por todos los indivi-
— 939 —
duos y elementos —se habría consumido una parte del pofen-
cial social de que se disponía para el asunto; y que este
consumo es exactamente igual á aquel aumento de energía
cinética. — E inversamente: no podría haber un aumento en
la energía potencial de la agrupación por las nuevas posicio-
nes en el asunto de individuos y elementos, sino á expensas
— siempre en el supuesto del aislamiento — de una dismi-
nución en su energía cinética, exactamente igual á aquel
aumento.
Si el Teorema de Hamilton fuera aplicable á las fuerzas
sociales, se podría decir respecto del movimiento real y
efectivo de modificación de una agrupación que pasara de
la posición A en el instante £, á otra posición B (en el mis-
mo asunto) en el instante f,, que:
Si se comparase el movimiento real con los infinitos vir-
tuales que se podrían concebir (respetando los enlaces)
para lograr el mismo cambio de posición en el mismo tiem-
po; y en cualquiera de los movimientos se viesen los valo-
res por los cuales pasa, en el tiempo, la diferencia entre las
dos energías cinética y potencial; y se tomara la media de
esas diferencias:
La media en el movimiento real sería la menor posible.
Ninguna agrupación social, en el mundo civilizado, vive
hoy completamente aislada en ningún asunto, ni está por
consiguiente enteramente sustraida á la acción de fuerzas
exteriores, que hacen trabajos sociales, é influyen por estos
trabajos en la energía total de la agrupación.
Si para terminar este Capítulo sobre la energía, recorda-
mos lo dicho al empezar, respecto á las transformaciones
mutuas de las energías físico-químicas, y á sus cambios di-
rectos é inversos en energías fisiológicas; así como también
las varias transformaciones mutuas de éstas, y sus cambios
directos é inversos en energías psíquicas; y finalmente, si re-
cordamos que las diversas formas de energías psíquicas se
cambian entre sí; quizá se pueda decir: Que todas las ener-
gías físicas y químicas, fisiológicas y psiquicas—así cinéticas
como potenciales — [que están en tan íntimas relaciones] —
son manifestaciones diversas de una sola Energía Universal.
Y si se admitiera que el Mundo constituído por nuestro
Sol con los Planetas y sus Satélites etc., sea un sistema
aislado (aunque esto no sea realmente admisible de modo
riguroso), se debería de pensar que las fuerzas de todo géne-
ro que actuan en este nuestro Mundo, son fuerzas interiores;
y si todas ellas son conservativas, debe de cumplirse en él
la ley mecánica de la Conservación de la energía universal
total. Bien entendido que en esa suma de las energías ciné-
ticas y potenciales, habrían de ser incluídas: todas las ener-
vías físicas y químicas del mundo llamado inorgánico; todas
las fisiológicas del mundo orgánico; y todas las energías del
mundo psíquico. Y esto en todos los Planetas, Satélites etcé-
tera, y en nuestro Sol. Aceptada esta conclusión, ya no ca-
bría admitir la posibilidad de la creación ni de la destrucción
de parte alguna de energía ni física, ni fisiológica ni psíquica
en cuerpo alguno, ni en organismo alguno.
De la cantidad invariable de Energía Universal, sólo ten-
drá valor humano — en cada instante —aquella parte que el
hombre sepa y pueda aprovechar para sus fines de cuales-
quiera géneros que éstos sean. La parte utilizada por el
hombre (*) ha sido hasta ahora una fracción pequeñísima de
la energía total; y la aspiración suprema será siempre alcan-
zar— para los individuos y las agrupaciones humanas -—me-
diante las transformaciones convenientes—el mayor aprove-
(**) Observa Mr. Le Dantec que lo utilizable es muy relativo, por-
que lo que no pueda ser aprovechado para algunos usos, podría quizá
serlo para otros usos.
ga
chamiento posible de toda la Energía que se logre descubrir.
Pensando primeramente en las energías fisicas, conviene
recordar que en los procesos de sus transformaciones mu-
tuas, una parte considerable se disipa, es decir, que se es-
parce en formas tales, que al hombre no le es posible, en
general, alcanzarla y recogerla, ni menos almacenarla. Por
esto es muy difícil, y á veces imposible, al parecer, que esa
energía disipada sea utilizable por el hombre; y es muy con-
traria al interés humano esa «tendencia á la disipación de la
energía mecánica en la Naturaleza», que decía lord Kervin.
Muchos físicos eminentes estiman que la forma calorífica de
la energía es de grado ó de calidad inferior á la energía me-
cánica; y piensan que la transformación más natural es la
que— conservando la cantidad — cambia una forma en otra
de grado inferior (por ejemplo, energía mecánica en calor).
Esto es lo que se significa al hablar de la degradación natu-
ral de la energía; porque se piensa que las transformaciones
inversas — por ejemplo de calor en energía mecánica — son
artificiales, es decir, obtenidas por la intervención del hom-
bre, y con gran disipación.
Se sabe que toda energía está medida por el producto de
dos factores; y que para ver así la térmica, ha habido que
recurrir á la noción de la entropía, como factor cuantitati-
vo, qne se multiplicara por la temperatura (con relación al
cero absoluto) como factor intensivo.
La relación de magnitudes en que estén los dos factores
(de una cantidad dada de energía) es muy interesante cuan-
do se trata de aprovecharla con un fin determinado. — Asi,
por ejemplo, si se trata de la hinca de un pilote por medio
del martinete, conviene que predomine el factor cuantitativo
(masa), en la energía cinética de una masa m caída desde
una altura /1; y si se trata del proyectil disparado por un fu-
sil, conviene que en la energía cinética predomine, por el
contrario, el factor intensivo (velocidad).
Una cantidad dada de energía térmica es tanto más apro-
— 942 —
vechable (hablando en términos generales y para los usos
corrientes) cuanto más, elevado sea el factor intensivo (tem-
peratura); y así el solo hecho del descenso de este factor —
con el aumento consiguiente de entropía —hace qne ya esa
cantidad de energía sea menos utilizable en general, ó, como
también se dice, esté degradada, aun conservando su mag-
nitud. — Además, la energía térmica es muy propensa á la
disipación; y por esto los físicos consideran la energía tér-
mica como de calidad inferior, según hemos dicho, con res-
pecto á la mecánica, á la electrica, Ó á la química.
En el caso ¿deal de que la entropía se conservara constan-
te, la parte (Q, — Q,) de una energía térmica Q,, que se po-
dría transformar en trabajo mecánico, correspondería al coe-
Q
Ade LARES
ficiente de transformación H*__*
1
3 RE , xl. Le :
igual á — según el principio de Carnof (*).—Pero en
1
las operaciones de la realidad, la entropía aumenta, siempre
que hay conducción de calor, porque sus incrementos dife-
renciales son todos positivos (**).
2, que sería exactamente
(*) Se sabe que estas temperaturas han de ser medidas con rela-
ción al cero absoluto, es decir, que al número de grados centígrados
hay que añadir los 273% y por esto el aprovechamiento posible de
una energía térmica que haya de transformarse en mecánica en una
máquina de fuego, es tan pequeño según el principio de Carnot.
(**) Enel libro de Ostwald sobre la Energía se da la siguiente
demostración:
Si en un cuerpo hay energía térmica á la temperatura T,, y en
otro la hay á una temperatura inferior T,, habrá conducción de calor
del 1.* al 2.9, si T, > T,, hasta que ados lleguen, después de cierto
Sa
NS
quiera £ de ese intervalo de tiempo, cuando el primer cuerpo esté
á una temperatura T',, y el segundo cuerpo á otra temperatura
T', (T", > T',), se ve que el primer cuerpo perderá en el trascurso
de tiempo infinitamente pequeño df, una cantidad de calor dQ, que
tiempo, á la temperatura común 7; .—En un instante cual-
corresponde á la entropía dS”, = > y el segundo cuerpo ganará
en ese mismo df, igual cantidad 4Q que corresponderá á la entropía
ES
Aplicando esta conclusión al Universo — en el cual la ener-
gía se conserva —se vería un proceso de aumento continua-
do de la entropía, con disminución en las diferencias de tem-
peratura, lo cual al fin conduciría á la famosa conclusión de
lord Kelvin.
Contra la clasificación de las diversas formas de energía
física por grados ó categorías, y de las transformaciones en
naturales y artificiales protesta como filósoio Le Dantec, por
estimar que carecen de fundamento real; puesto que los
agentes físicos operan también á veces las transformaciones
inversas, sin la intervención del hombre, es decir, nalural-
mente, como dicen los físicos. Y este modo de hablar es ade-
más indebido, á juicio del citado biólogo, porque la interven-
ción del hombre es tan natural como la de los agentes físi-
cos (*).
Sea de ello lo que fuere, á las ciencias físicas y naturales
corresponde (basándose en las leyes descubiertas) proceder
á la investigación de los medios de aumentar más y más la
parte del caudal de energía física y fisiológica aprovechable
para los fines humanos; ó sea, disminuir más y más la ener-
gía disipada, no utilizada por el hombre.
Algo análogo podría decirse quizá respecto á las energías
psíquicas que conjuntamente con las físicas y fisiológicas,
integran—á mi modo de ver—nuestro caudal de energía
IS E >: y siendo 7", > T”,,setendrá dS', <dS*,; y, por con-
siguiente (para el sistema de los dos cuerpos), habrá uu incremento
diferencial de entropía que será positivo.
Hecha la integración desde el instante inicial hasta el instante en
que la temperatura común sea T,,, resulta un aumento finito de
entropía.
(**) Siendo la energía ó capacidad de trabajo independiente de
los medios de que disponga el hombre para utilizarla, observa Le
Dantec que la degradación de que hablan los físicos no puede refe-
rirse á la energía total matemática en un sistema aislado (porque
esta no admite disminución) sino á algo que tiene una definición pu-
ramente humana.
944 —
universal.— Se podría, tal vez, decir que no sólo hay disi-
pación de energía en los procesos de transformación de las
energías físicas, sino que también la hay en las transforma-
ciones de las fisiológicas entre sí, Ó de las psíquicas entre
sí; y que hay también disipación en los cambios de energías
físicas en fisiológicas Ó viceversa, lo mismo que en los de
energías fisiológicas en psíquicas Ó viceversa.
Pero así como á las ciencias físicas y naturales toca el
estudio teórico y práctico concerniente á las energías físicas
y fisiológicas disipadas; á la Psicología y á las ciencias so-
ciales debería de corresponder primeramente la distinción—
si fuere posible hacerla —entre los trabajos psiquico-sociales
útiles para el desenvolvimiento racional y harmónico de los
individuos Ó de las Sociedades, y aquella otra parte de ener-
gía que se disipa, y es consumida en trabajos inútiles ó tal
vez nocivos para los individuos y las agrupaciones sociales.
¿Podrá llegarse á esa distinción que habría de ser fundamen-
tal para la Sociología? ]
Aunque quisiéramos usar el lenguaje de los físicos á que
aludiamos antes, no se podría hablar de transformaciones
naturales de unas energías psíquicas en otras de grado ó
calidad inferior, puesto que en todas estas transformaciones
aparecería siempre la intervención del hombre, y esto les
daría el carácter de artificiales, si se hablara aquel lenguaje.
Pero todo lo expuesto en estos APUNTES muestra (ya que
no demuestre) cuán naturales son las transformaciones de
energías psíquicas en la vida de los individuos y de los ele-
mentos sociales; y parece, por tanto, que no se debe de pen-
sar en semejante clasificación para las transformaciones de
las energías psíquicas.
Ya que no hablemos de transformaciones naturales ni ar-
tificiales, ni hagamos siquiera referencia á las degradaciones
de energías, di ¿amos solamente: que á la humanidad le im-
porta muy mucho la mayor utilización racional que sea po-
sible de las energías, así físicas como fisiológicas y psíqui-
— 945 —
cas, por el hombre y para el hombre. — Consagrándose las
ciencias (todas las ciencias) al descubrimiento de las leyes, y
á la investigación de los procedimientos adecuados para al-
canzar la mayor utilización posible [disminuyendo para ello
más y más la energía disipada, es decir, haciendo que los
coeficientes de transformación sean los mayores posibles],
contribuirán hasta donde ellas alcancen á la economía de la
Energía Universal.
Rev. Acap. DE CieNcIAs. —-X.--Mayo, 1912. 70
— 946 —
XLIM.—Distribución del calor de vaporización.
PoR CARLOS BARUTELL Y POWER
Conocido el fenómeno del retardo del punto de ebullición
á expensas de la mayor presión y la llamada economía de
las grandes presiones de las calderas de vapor, conviene
puntualizar algunas de las cifras que miden, ó expresan, la
repartición del calor invertido en el desarrollo del proceso
de la vaporización. De ese modo, se determinan con exacti-
¿ud su desenvolvimiento, anotándose la influencia numérica
que ejerce la presión, poniéndose de relieve el verdadero
sentido del llamado calor del liquido ó sensible, bajo la in-
fluencia de la dilatación del agua y señalándose, á la vez, el
valor de la temperatura en relación con el posterior trabajo
de gases y vapores.
Datos son todos ellos que parecen muy conocidos, por
referirse á un fenómeno elemental. Sin embargo de esto,
tratadistas notables como Boulvín y otros, al interpretar ma-
temáticamente el proceso de la vaporización, según las ecua-
ciones del primer principio ó de Clausíus, no llevan la inter-
pretación del modo riguroso que conviene al deslinde de in-
versión de energías, unas, transformadas en acumulaciones
internas y otras en trabajos exteriores realizados. Esta se-
paración, esta divtsión, en relación con las presiones, es el
objeto principal de las presentes líneas.
De punto de partida nos han de servir los datos siguien-
tes que aparecen en casi todos textos de Física superior.
Presión. Temperatura Calor | clos Peso Volumen
' | de Calor total. ee, ña
— de del parido! zación específico | especifico
Atmósferas. | vaporización q C=q+r Kg. m3
1 100,00 | 100,50 536,50 637,00 0,605 1,053
5 152,20 | 153,72 | 499,20 652,92 2,750 0,364
10 180,40 | 18281 478,70 661,41 5 276 0,189
En el calor del líquido se comprende el invertido en el
trasporte hasta el punto de iniciarse la ebullición tumultuosa.
El simple examen del cuadro, basta para observar que el
valor de aquel parámetro es poco diferente de las calorías
precisas que señala la relación q =f, á las temperaturas in-
feriores; pero esa diferencia se hace ostensible, como ha sido
determinada por Regnault á medida que la presión crece.
La razón estriba en que en el valor de q se engloba el
calor sensible ó de aumento de trabajo íntimo, de incremento
de energía intermolecular y el de una positiva dilatación del
agua, sobre cuya determinación hemos de insistir. Para me-
dir, Óó mejor dicho para tener en cuenta esa dilatación, recu-
rriremos á la fórmula de Mendeleeff, llevando el cálculo en
la siguiente forma:
En virtud de dicha fórmula, que mide la densidad en fun-
ción de la temperatura, entre — 10% C y 200% C se puede
determinar f; y conocida ésta, el incremento de volumen,
ó lo que es lo mismo la dilatación, se puede deducir de
f coplas E
V, de
La fórmula es la siguiente:
e (4)
AMB ADANE LS?)
148 —
| SS
enla cual 15 OA
EMOS:
Sustituyendo en ella, en vez de f los diferentes valo-
res 100,0, 152,2, y 180,4C, aparecen para f las siguien-
tes cifras 0,961; 0,914; 0,897.
Dicho esto, sea un cilindro A con su émbolo correspon-
diente, cuya área en la base circular sea de 1 dm.?, y cuya
altura ab sea 1 dm. e
La capacidad A es de un
litro, y llena de agua en las
condiciones sabidas, su peso
será el kilogramo; vaporiza-
da á presión constante, ab
adquiere alturas crecientes,
y en el término de la vapo-
rización la altura total a“ b”
corresponde á la de la capa-
cidad A”, correspondiente al
volumen específico del kilo-
gramo de vapor seco, cifra
que es inversa del peso es-
pecítico. |
Así, si 1 m* pesa 0,605 ki-
logramos (**), el kilogramo
ocupará 1.052,9 litros, Ó sea
que 1 =a*b —16092 Res
cimetros.
Totalizado el fenómeno, el calor total invertido aparece
descompuesto en tres sumandos, y se puede establecer la
ecuación siguiente:
(*) Chwolson: Traite de Physique.—Tomo III, Fascícula 1.*
(**) Zenner: Etude des vapeurs saturces.
— 949 -
Calor total de vaporización = Calor sensible,
+ Calor externo. + Calor latente
Calor sensible es el termométrico, el del líquido, el preci-
so para el transporte al punto de vaporización que se invier-
te en incrementos de fuerza repulsiva interior, y, por tanto,
por reacción, en incrementos de energías íntimas, y como
decimos al principio, en acumulaciones internas.
Calor externo, que se invierte en el trabajo mecánico de
dilatación del émbolo.
Calor latente, por completo incorporado á la energía ínti-
ma del vapor, al sumando de U de la ecuación de Clausius,
energía latente para la posterior evolución del trabajo mecá-
nico, y que debe considerarse como análoga por su índole á
la fracción que proviene del calor sensible.
Boulvin, al especificar los valores de q, expresa que el
calor para comunicar al líquido depende en realidad, como
para cualquier otro cuerpo del trabajo, que se efectúe para
vencer la presión del exterior; pero del trabajo de dilatación
del líquido considera que se puede hacer abstracción y su-
poner que el calor q se invierte integro en aumento del ca-
lor interno. Sin embargo, esa dilatación debe ser tenida en
cuenta, y aunque imprecisa y variable entre límites diversos,
la citada fórmula de Mendeleeff permite calcularla con cier-
ta aproximación.
Para sucesivas presiones de 1, 5 y 10 atmósferas, resul -
tarían, como veremos, dilataciones lineales (alturas corres-
pondientes del émbolo) de 0'004, y 0'0094 y 0'0116 m.
Debe, á nuestro juicio, restarse el equivalente calorí-
fico del trabajo de dilatación del líquido, del calor llamado
del líquido, formándose la fracción sensible al termómetro;
dada la pequeñez de aquel equivalente, esta fracción es casi
igual al primitivo valor designado por q; por su efecto ter-
mométrico la distinguiremos por sensible ó apreciable, y
restado el equivalente de la dilatación que debe sumarse
con el calor externo ó de trabajo exterior, resultará el calor
total distribuido matemáticamente.
il calor total
Dicho esto, se puede establecer de- ¡A — sensible
SiSnando por a e EE — externo
(AO — latente
Co = La =- Ca == C;
cuya variación es la siguiente, y que señala la manera d-
formular el fenómeno en definitiva,
Vapor á 1 atmósfera. t = 100* C.
Posdata. 103/33 ke
Altura final... = 165,390 m.|P. H. =
Dd EEN — inicial. =— 0,104 )=17069,70 kgm.
——— e 40.10 calorías
H..= 165,186
Dilatación calculada h, = 0,004
2 Ph, =0,44132kgm < 0,001
P(H + h;)= 17070,11 kgm <S 40,101 calorías.
Calor del líquido ...... = 100,500
— Equivalente dilatación = 0,001
C, = Calor sensible .... = 100,499
Calor totales ei SE C.=¡031:000
Externo — C¿= 40,101..
— 140,600
Sensible — Cs = 100,499 ..
Latente. quo. Ocio. dale C,= 596,400
051
Vapor á 5 atmósferas. — t = 152,20.
SAM 0 OSI OJOS:
Traba i INE — 364 dm Po dé, =
rabajo exter-
cd o a — inicial... = 1,094 = 18752,58 kgm
AE le 44,12 calorías
ENTRA. = 36,2906 m
Dilatación calculada h, = 0,0094
— Ph, =4,8551 kgm S 0,011 caloría,
P(H + h,) = 18757,43 kgm S 44,13 calorías.
Calor delliquidor == 153,73
— Equivalente dilatación — 0,011
(AO A = MINS
A A E4.09292
Externos ratas E.= PLN
— 197,84
Sensible...... (Ca IS!
Patent a ado €, = 459,08
Vapor á 10 atmósferas. — ft = 180"40.
poe == MS la
Altura final. = 189,30 dm.
Trabajo exter- est 17 ¿P. H. = 19529,17 kgm
ich 03 A Ñ [5 45,95 calorías.
a 18,819 m.
Dilatación calculada ..... a == MIDIÓ
— VE li = 11,9 —kgm S 0,028 calorías.
P(H + h,) = 19541,07 S 45,97 calorías.
Calor dellíqhido: Ae — 152,81 )
. . ch ' Es == 182,78
— Equivalente dilatación — 0,028
Calortoral e C¿= 661,40
Externo.... C.,= 45,97;
— 228,75
Ma E M80a)
atente e — 432,65
valores que reunimos en el cuadro adjunto:
1
|
: A | Temperatura Calor Calor Calor | Dilatación
PRESION ¡Calor total.
QUE? sensíble. externo. latente. | por litro.
1 atmóslera... a 100,00 ¡ 100,499 | 40,101 496,400 | 634,000 ¡ 0,004
5 = 152,20 153,710 | 44,130 | 455,080 | 652,920 | 0,0094
10 = 180,40 182,780 | 45,970 | 436,650 | 661,400 | 0,0116
Zeuner expone para el valor del calor latente, la fórmula
p = 575,40 — 0,791 (*%).
Comparados los resultados con los obtenidos anteriormente.
resultan las siguientes diferencias en favor del incremento
de 2, como en realidad ocurre
P ..... COLOFÍAaS.
t p (Zeunen, | Diferencia.
100,00 496,30 + 0,10
152,20 455,01 | + 0,07
180,40 432,40 + 0,25
(*) Boulvin. Cours de mecanique applique aux machines. T 3
— 953 —
Por otra parte, la ecuación que interpreta analíticamente
la vaporización como cambio de estado es la siguiente:
A=u+A-pV,
en la que
¡U=U—U, '
== Ve
correspondiendo los valores de los subindices f y o á las tem-
peraturas respectivas £ de vaporización y O% C de origen.
U y v designan los calores internos (suma de los que dis-
tinguimos como sensible y latente), y específicos del vapor
y del líquido inicial. Es decir,
V¿, volumen específico del kg de vapor á ft”.
ue
ñ S — .— del líquido generador á 0” C.
Zeuner establece como datos de cálculo los valores siguien-
tes de U; obtiene directamente 1, y A p v, y deduce, por sus-
traccción, los de U (*).
És Vs Ap V,
100 1,650 | 40,20
O 0,384 44,08
180 0,190 46,01
Con arreglo á los datos obtenidos que citamos antes, y
englobando los dos sumandos sensible y latente, como calor
interno, ó sea como absorbido en efectos de energía íntima,
(4) A. Witz. Thermo dynamique á Pusage des ingénieurs.
71
— 954 —
se obtiene la descomposición de calores internos y externos,
del calor total.
U, = 637,00 — 40,10 = 596,89
AS MA 0
U,, = 661,40 — 45,97 = 615,42
La presión influye retardando el paso del líquido á vapor,
es decir, que eleva el punto de saturación. En efecto; la va-
porización es continua, á partir del comienzo de la aplicación
del calor; el aire contenido en el espacio libre del vaso ó de
la caldera, se carga de vapor; llega un momento en que su
tensión es igual á la de la molécula líquida en contacto con
la llama, y en ese momento comienza la ebullición tumul-
tuosa. E
La presión, por tanto. ya que no comunique mayor com-
pacidad al líquido generador (inadmisible por su incompre-
sibilidad), sin embargo, su efecto es análogo á una especie
de resistencia al cambio de estado, á una impermeabilidad
al paso del calor.
Pero una vez iniciado el cambio, la influencia de la pre-
sión se hace menos patente en la diferencia que expresa los
los calores latentes; pues esa diferencia, que á los 100% es
406 calorías almacenadas, á 180” que es temperatura */, su-
perior, con presión diez veces mayor, sólo se eleva á 43279,
acusándose, por consiguiente (en calor almacenado), un no-
torio descenso. Parece, por tanto, como si el kilogramo de
vapor tuviese menos energía, menos capacidad para el tra-
bajo posterior, menos forma latente. A pesar de ello, ese
vapor es ventajoso, porque tiene más presión inicial, y pue-
de llevarse más lejos su expansión, ó llevarse, mejor dicho,
entre límites mayores.
El trabajo producido en una expansión adiabática, se de-
muestra, que para los gases permanentes, es función de su
- 953 —
¡EA
R
temperatura que varía directamente con la presión, T =
Dicho trabajo se formula del modo siguiente:
o AO RUT E 2
DAL 331
y 1 Po ee Po
pad
en la cual, p, es el dato inicial.
Como pt <í 1, el vaior de 7 tiende hacia el del primer
Po
factor, ya que el sustraendo se aproxima á cero
J
2
eS,
A.R Y
l=— R=!
(Es
y por tanto,
en la que se pone más de relieve la influencia de T=273+!f.
La función designada por «entropia» aclara todavía la cues-
tión. Todos los caballos de fuerza son susceptibles de aná-
loga distribución; pero calorías tomadas á 20” C, por ejem-
plo, son distintas de otras tomadas á 200”, pues en pocos
gramos de agua dotada de esta energía se hierven ó disuel-
ven cuerpos que con toneladas del mismo azente, dotadas
de aquella energía, ni se hierven ni se disuelven. El verda-
dero valor cinético de una caloría depende de la temperatu-
ra, y esa relación | “Ez, es la que se llama entropia del
— 956 —
sistema, integrada entre los límites de temperaturade la evo-
lución del ciclo realizado. Una entropia grande equivale á
una caloría poco enérgica; la entropia mínima equivale á la
máxima. En el cero absoluto, la entropia infinita correspon-
dería á una caloría de imperceptible efecto.
La fórmula que mide la entropia de una mezcla de vapor
y líquido es
EL ore Fo PEE ES
Los 11, IN
en la cual T, es la temperatura del liquido generador y T la
de vaporización; para el kilogramo convertido en vapor,
Ñ :
x=l y el tercer sumando se convierte en == A medi-
da que Tse eleva, el segundo término permanece casi cons-
tante, y en cambio, r disminuye, y el denominador, al au-
mentar, hace cada vez menor el valor de £.
La fórmula del trabajo adiabático de los vapores es la
aplicable en la generalidad de los casos, y también denota
la influencia de la temperatura en la vaporización, si bien
exige detenerse en el examen de sus términos.
El trabajo realizado es la diferencia de calores internos,
anteriores y posteriores á la evolución, y por tanto,
UU JC AMET MERA E
OS
Aplicada la fórmula que se cita para las caídas térmicas,
(5— 1) y (10 — 1) atmósferas se observa para 7, y T>, una
diferencia grande en los primeros sumandos
€, (180,40 100,00)+ y CU5S2 2000/00);
— 957 —
los sustraendos de las diferencias, segundos términos, pue:
den considerarse iguales, llevada la expansión al mismo lí-
mite. En las diferencias aparece alguna duda, r —A p ves
la diferencia entre el llamado calor de vaporización y el equi-
valente al trabajo de dilatación volumétrica, diferencia que
nosotros hemos designado por calor latente; para 150*C, vi-
mos que r — Apv=455,02, y para 172” C, 432,65.
Aparentemente, el minuendo es menor; pero hay que te-
ner en cuenta que aquellos valores vienen multiplicados
por x, por el título; y como á mayor temperatura el vapor
es más seco (recalentado), si en un caso x= 0,7, en otro
x=0,8 6 0,9; suponiendo x=0,7 y x"=0,8, los tér-
minos toman los valores 318,55 y 346,12, este último
para t = 150”, lo que también demuestra la diferencia favo-
rable de los minuendos, y por consiguiente, la influencia
definida de f£, y por tanto, de T.
Como resumen de todo lo expuesto, se puede establecer:
1.” El calor total de vaporización se puede considerar
distribuido en tres efectos, en tres sumandos, cuya nomen-
clatura puede ser respectivamente sensible, latente y externo.
2." Que al hacer la distribución de valores, hay que res-
tar del termométrico el equivalente á la dilatación del líqui-
do, formándose asi el sensible y, por adición, el externo.
3.” Que el calor total se puede descomponer en dos su-
mandos solamente, englobando el sensible y el latente, como
de análogo efecto, en calor interno, quedando como otro
término de descomposición el externo.
4." Que no hay relación directa entre las cifras corres-
pondientes de la presión, de la temperatura y de la distribu-
ción de calores; es decir, que á nna presión diez veces ma-
yor no corresponde una temperatura diez veces superior,
como tampoco corresponde un calor total diez veces supe-
rior, siendo esta desproporción tan grande el fundamento de
la llamada economía de las grandes presiones.
5.” Que la presión actúa como si retardase el tránsito ó
- 958 —
cambio de estado; pero, iniciado este de una vez, la presión
influye en que la atracción de energía de forma intima sea
menor en relación que la necesaría para el cambio.
6.” Que, en definitiva, la presión es el medio para ele-
var la temperatura, y esa elevación es la útil para la dismi-
nución de la enfropría del sistema, que forma la mezcla de
agua y vapor, que se designa como vapor saturado.
INDICE.
DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO
AÑ
PÁGS.
XL.— Conferencias sobre Física matemática. Teorías diver-
sas, por José Echegaray. Conferencia duodécima...
XLI. — Conferencias sobre Física matemática: Teorías diver-
sas, por José Echegaray. Conferencia décimatercia...
XLI. — Apuntes sobre Mecánica social, por Antonio Por-
tuondo y Barceló (conclusión)....... ola
XLIN. — Distribución del calor de vaporización, por Carlos
Barutell y POWeF....0oo cecoonoorrco rod
La subscripción á esta REVISTA se hace por tomos completos,
889 ,
925
946-
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val-
verde, núm. 26, Madrid.
Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas.
A ATAN
a REVISTA
SN
DE LA
REAL ACADEMIA DE CIENCIAS
i 1
E EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES
| DE
4
MADRID
TOMO X.-NUÚUM. 12.
Junio de 1912,
PI
% APR 71927 *]
| | >
musE>
Va ToNAL
MADRID
ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL
CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 3.
1912
ADVERTENCIA.
Los originales para la Revista de la Academia
se han de entregar completos, en la Secretaría de
la Corporación, antes del día 20 de cada mes,
pues de otro modo quedará su publicación para
el mes siguiente.
XLIV. — Conferencias sobre Fisica matemática.
Teorías diversas.
POR JosÉ ECHEGARAY.
Conferencia décimacuarta.
=
SEÑORES:
Estudiando en la conferencia precedente el célebre pro-
blema de Dirichlet, tanto para el espacio interior á una su-
perticie cerrada S, como para el espacio exterior, llegábamos
á esta fórmula
U (a,b, 0) = l ECO MO MEA e 11]
a Sa an dn
que para fijar las ideas supondremos, que se aplica al espa-
cio Óó volumen encerrado en la superficie $. .
Por lo demás, y dicho sea entre paréntesis, basta con es-
tudiar uno de estos dos problemas, el interior, por ejemplo;
porque como veremos más adelante, si hay tiempo, un
problema se reduce á otro por la transformación de Thomson.
La fórmula que hemos copiado, expresa en el primer
miembro la armónica que se busca, y el segundo miembro
indica operaciones perfectamente definidas, sobre expresio-
nes perfectamente determinadas; como que son los datos
del problema los valores que en ellas entran, á saber: Los
valores que toma U en todos los puntos de la superficie S;
REV. ACAD. DE CIENCIAS. — X.—Junio, 1912. 71
.
NI daa
— 960 —
dU ,
los valores que toma E para estos mismos puntos; la ex-
ñ
presión r, que es
VE +00 += oy;
ds, que es un elemento de área de la superficie S, y sabe-
mos, por último, que la diferenciación de U con relación
á n debe efectuarse para las normales á la superficie dada S.
Claro es, por lo demás, que todos los elementos se retfie-
ren única y exclusivamente á dicha superficie S. Por ejem-
plo, r nunca será nula, porque es la distancia del punto
(a,b,c) al punto x, y, z de la superficie.
F viene, pues, expresada en función de los datos U y
d
Ey de operaciones definidas del análisis.
n
Sólo que debemos recordar á nuestros alumnos, que los
datos son más de los necesarios para definir F; por eso no
son arbitrarios, no es uno de ellos independiente del otro.
Se supone que por un procedimiento cualquiera se ha po-
; U E y a
dido obtener . Es como si en varias ecuaciones con va-
dn
rias incógnitas nos dieran desde luego el valor de una de
ellas: el problema se simplificaria.
Pero debemos hacer aquí una observación relativa á la
esencia del problema, por decirlo asi, y á la fórmula que lo
define en este caso particular.
Porque decimos, y creemos estar en lo cierto, que en ri-
gor ésta no es una fórmula particular, sino una fórmula ge-
neral, que define U (a, b, c), siendo a, c, b, las coordenadas
de un punto cualquiera del volumen, en función de los datos
suficientes, pero no excesivos, que son: la superficie y el
valor de U para diferentes puntos de la misma.
Y en efecto, consideremos el problema en general; no el
— 961 —
caso particular que hemos examinado hasta aquí. Suponga-
mos que no se conoce más que U (x, y, 2) para la superficie
y la ecuación de ésta. Yo digo que U (a, b, c ), está perfecta-
mente determinada, sin necesidad de conocer
n
O si se quiere estaría perfectamente determinada, si el
análisis estuviera bastante adelantado, para despejar U de
la ecuación [1].
¿Qué importa que no se conozca si se expresa en
función de U?
Claro es que la ecuación [1] no es de las que el matemá--
tico está acostumbrado á resolver.
No es una ecuación ordinaria en que la incógnita es U.
No es tampoco una ecuación que contiene U y sus deri-
vadas. Pero es una ecuación que contiene la función desco-
nocida U y una derivada especial de U con relación á n den-
tro de una integral doble.
Esto complica enormemente el problema, pero no cambia
la indole del problema.
Si fuera cosa corriente en el análisis la resolución de estas
ecuaciones, que también pudiéramos llamar funciones inte-
erales, la función [1] resolvería el problema general de Di-
richlet, y no se diría que resuelve el caso particular en que
IF
además de conocer U para la superficie, se conoce , para
la misma superficie.
Ni hace falta esto último, pues el problema estaría deter-
minado con lo primero en un análisis perfecto de esta clase
de problemas matemáticos.
No sé si se habrá comprendido mi pensamiento, y me-
diante algunos ejemplos, voy á aclararlo aún más.
= 062 =
1.2 Supongamos que se quiere determinar una función
U (x, y) que satisfaga á esta ecuación, escogida á capricho
y de lo más elemental que puede presentarse:
U(x, y): 2 U(x, y) xy — (é — y*) 0.
Aqui el problema no ofrece dificultad, ni aun para el prin-
cipiante más inexperto.
Se tiene evidentemente
x? 3
U (x y) = ao
Esta es la función U de x, y que buscábamos: sustituida
en la ecuación, la convierte en una identidad. Es decir, la
satisface para todos los valores de x, y. Así resulta :
LE (a — xy) — 08 + y?) =0
xX*— xy
que es la identidad
ALA a) => 0
No ha habido dificultad para determinar U, porque la ecua-
ción que había que resolver era de primer grado.
2. Supongamos que se busca una función U (x, y) que
satisfaga á la ecuación diferencial
a E) E E >
A AAA
— 963 —
El problema ya es más difícil que el anterior; pero tam-
poco es muy difícil, porque se sabe integrar esta clase de
ecuaciones, sin necesidad de que, por procedimientos par-
ticulares, conozcamos de antemano las derivadas
Claro es que si se conociesen, esto simplificaría el pro-
biema, porque lo reduciría á nuestro primer ejemplo. Con-
vertiría la ecuación diferencial en una ecuación de primer
grado de U, pues los dos primeros términos se reducirían á
una función de x, y, conocida, y no habría más que despe-
jar U.
Pero el problema puede resolverse en toda su generali-
dad, y encontraremos fácilmente que la solución es
UNES == Ss
3.7 Supongamos este tercer problema, que se va aproxi-
mando á la familia de problemas á que pertenece el de Di-
richlet.
Determinar una función U (x, y) que satisfaga, es decir,
que convierta en una identidad á la siguiente ecuación:
U (x, y)? U(% y) y? + U(% b)y —b* y =0.
¿Esta ecuación es una de las ecuaciones ordinarias del
Álgebra? No.
Porque entra, no sólo U (x, y), sino el valor que toma
esta función U cuando en ella se pone en vez de y la can-
tidad b.
No basta, pues, despejar U (x, y), porque vendría en
función de U (x, b).
Que es algo de lo que sucede en el problema de Di-
richlet.
— 964 —
La armónica del volumen no entra en la ecuación [1], sino
que entran los valores de esa armónica para puntos de la
superficie. :
Con más, la complicación de contener derivadas bajo el
signo integral.
Claro es que el problema que hemos presentado es tan
elemental, que se resuelve desde luego.
En efecto, si conociésemos U (x, y), sustituyendo su va-
lor en la ecuación, debería convertirla en una identidad. Es
decir, con independencia de los valores de x, y.
Luego en la ecuación dada podemos sustituir sin que deje
de verificarse y = b, y tendremos
U (x, b) x2 — U (x, b) 0? + U(x, b)b —b*t=0
donde, por decirlo así, sólo aparece una incógnita U (x, b).
Despejándola, obtendremos esta función de x, que en la
ecuación primitiva era desconocida, porque no conocíamos
la forma de U.
Hallaremos, pues,
bt
e ana
y sustituyéndola en la ecuación general, se convertirá ésta en
U(x y) — U(x, y) y" +3 "y —Pyr=0
Xx
—b?+0
que sólo contiene la función que buscamos U (x, y).
Hallaremos, pues,
bt y bp? y?
(4 = 1? 4 0) 0 =P) SIA
U (x, y) A
con lo cual queda resuelto el problema.
— 065 —
Y como los problemas, por sencillos que sean, conviene
apurarlos hasta lo último, haremos la comprobación detiniti-
-va, sustituyendo el valor de U (x y) en la ecuación propues-
ta, lo cual dará,
—bty LEE ] S100 9
Lp E A A e
lea e) EN
— p3 bt ) da
—= NARRO
hd (2-2. * 2—.
ó bien
y reduciendo
— bt y tomb y a inlg,
x—b* +b *—b+0b x?— pb?
que por fin se convierte en la identidad
E A e do
x*—b?+0 x2—b<1Db
Por elemental, por trivial, pudiéramos decir, y hemos di-
cho, que sea este ejemplo y por elevada y difícil que sea la
resolución completa del problema de Dirichlet, persistimos
en afirmar que son de familias análogas, cuundo no de la
misma familia.
Continuemos señalando propiedades de las armónicas
que nos han de servir más adelante, cuando estudiemos, por
ejemplo, la electroestática.
— 966 —
Una propiedad muy sencilla y pudiéramos agregar muy
curiosa, es la que sigue:
Supongamos que U (x, y, 2) representa una armónica de
las que venimos estudiando. Es decir, una solución de la
ecuación de Laplace, uniforme, continua, finita en el espa-
cio finito, con primeras y segundas derivadas, y anulándose
en el infinito.
Hemos visto que en este caso la fórmula de Green, apli-
cada á las armónicas, por reducirse á O el primer miembro,
en razón á que Á = 0, da para el flujo en una superficie ce-
rrada
Pre
Pues supongamos en el campo de la armónica una esfe-
ra s (tig. 44) trazada desde un punto cualquiera A, con
cualquier radio, y cuyo centro sea el punto (a, b, Cc), y apli-
quemos á esta esfera la fórmula
al ==
1
A
varo ———u do.
7 du
Más claro: expresemos el valor de la armónica en el inte-
rior de la esfera eligiendo su centro como punto para el cual
queremos hallar el valor de la armónica en función de la in-
tegral doble, que se refiere á su superficie, y que contiene
du
ala
De las dos integrales dobles en que se puede descompo-
ner el segundo miembro, la primera es
rre
U y
— 967 —
y como res el radio de la esfera, y es constante, podemos
sacarlo fuera de la integral, y resultará
Figura 44.
mos de ver es nulo. Luego el valor de la armónica para el
centro de la esfera se reducirá á
] en
U (a, b,c) =— — U
An. IS: dn
Como es el problema interior de Dirichlet, las normales
se cuentan hacia lo exterior, y como la dirección de r coin-
cide con la dirección de n, y r crece con n, resulta dr = dn.
Y tendremos
do
1
Pd 7 1
dn eh dr r?
— 968 —
a llas da
AE IS f?
ACNE o a Uds,
AA JS
que puede escribirse con más claridad para nuestro caso:
luego
Ó bien
Pero el numerador significa, que en cada punto de la su-
perficie de la esfera s hay que multiplicar el valor que le
corresponde de U por su área y hay que sumar todas estas
cantidades positivas. Después la suma hay que dividirla por
el área total de la esfera; y esto es hallar el valor medio de
la armónica sobre la misma esfera. De modo que la ecuación
nos dice, que este valor medio sobre la estera arbitraria que
hemos trazado es el valor de la función armónica U (a, b, c)
en el centro de la esfera.
Como el punto 4 es arbitrario y es arbitraria la esfera,
tenemos esta proposición, que es general, que puede ser
útil, y que de todas maneras es curiosa. El valor medio de
una armónica sobre una esfera arbitraria trazada en su cam-
po es igual al valor de dicha armónica en el centro de la
esfera.
Y nótese una vez más, que vamos obteniendo una serie
de propiedades importantes de las armónicas, Ó sea de cier-
tas integrales de la ecuación de Laplace, sín necesidad de ha-
berla integrado.
Verdad es que nos fundamos en el conocimiento de una
integral particular — al menos para la demostración de
ciertas propiedades.
— 969 —
Pasemos ahora á la exposición de un teorema, que al
pronto parece pura abstracción matemática, sin utilidad
práctica, y que, sin embargo, es de importancia capital en
las aplicaciones de esta teoría de las armónicas y de las po-
tenciales á la electroestática, como veremos, á ser posible, en
el curso próximo.
No vamos á hablar ahora de armónicas en general, sino
de potenciales, que son también armónicas, puesto que he-
mos demostrado que satisfaced á la ecuación de Laplace.
Porque hemos llamado en general funciones armónicas á
las que satisfacen á la ecuación
2 2 2
Estela SEO a óÓ bien == 0.
dz?
De modo que son para nosotros funciones armónicas to-
das las integrales particulares, Ó más ó menos generales, de
la ecuación de Laplace.
Entre éstas, hemos escogido para nuestro estudio única-
mente las que son funciones uniformes; pues ya sabemos
que hay solucianes para dicha ecuación, que no son unifor-
mes, y hasta citamos un ejemplo de estas últimas.
Todavía hemos circunscripto más el campo de nuestra
atención, toda vez que las armónicas que hemos considerado
han de tener derivadas primeras y segundas bien definidas.
Y por último, en este teorema que vamos á explicar, en-
tre todas las armónicas escogemos las potenciales, sin pre-
juzgar ahora la cuestión de si todas las armónicas son po-
tenciales, lo cual anticipamos que evidentemente no es cier-
to; y aun admitimos, que las potenciales propiamente dichas,
— 910 —
no son más que una subclase de las armónicas que antes
considerábamos.
Es punto sobre el cual algo indicaremos más adelante.
Por el pronto, el teorema de que vamos á tratar, sólo hace
referencia á las potenciales.
Consideremos diversas masas ponderables 4, B, C (figu-
ra 45).
Figura 45.
Estas masas tendrán en todo el espacio exterior á las mis-
mas una potencial U, perfectamente determinada. Es decir,
que para cualquier punto a del espacio, U tendrá un valor de-
terminado también y un valor único.
Claro es, y lo recordarán mis alumnos, que el valor de la
potencial se obtiene dividiendo la masa de cada elemento de
A, B, C.... por la distancia al punto a, si es el escogido, y
sumando ó integrando cantidades análogas para todas las
masas continuas ó discontinuas.
= 971 E
Por ejemplo: si d m es la masa del punto que escoge-
mos en A, el valor de la potencial en a será tz
Y para todas las masas elementales, que en general lla-
maremos m, la suma de expresiones análogas extendida á
todos los cuerpos A, B, C, podremos expresarla abreviada-
mente de este modo:
gs PE DIST alan
A r B , e
en que los subíndices indican que hay que extender la suma
al cuerpo A, al cuerpo B, y así sucesivamente; y por lo de-
más, si son masas continuas, la suma de cantidades discre-
tas se convertirá en integral y la m en dm.
Efectuada esta suma, el segundo miembro será una fun-
ción de x, y, z, que son las coordenadas del punto a, y de
las constantes que determinen el sistema A, B, C....
En resumen, la potencial será, como sabemos, U (xy 2).
Es decir, una función de las coordenadas x, y, z. Así lo he-
mos explicado muchas veces: sea ésta una más.
Y es evidente, porque en las sumas no entran más que
las masas que son datos, las coordenadas de estas masas
m, que son a,b, c...., que son datos también, y las dis-
tancias r que dependen de dichos datos y de las coordena-
das del punto a, á saber: x, y, 2.
Casi es inútil recordar, que esta expresión analítica de la
potencial, para tener significación física en el punto a, para
el cual se quiere determinar su valor, exige que se coloque
en q una masa igual á la unidad y de dimensiones infinita-
mente pequeñas. ]
Todo esto lo hemos explicado minuciosamente en otras
conferencias; pero nunca está demás refrescar las ideas.
— 972 —
Hemos dicho que U es una función de x, y, z. Y puede
suponerse que Xx, y, z, á partit del punto a, varían de modo
que la potencial se conserva constante. Es decir, que las
coordenadas variables x, y, z, satisfacen á la ecuación
Ud Cs
siendo C una constante determinada, que expresará el valor
de la potencial en a, punto de partida.
Es claro que la expresión anterior de tres variables repre-
sentará una superficie que hemos figurado en NN.
Esta superficie se llama superficie equipotencial, Ó sea de
igual potencial en todos sus puntos; Ó también se llama su-
perficie de nivel.
Claro es que por cada punto del espacio pasa una de es-
tas superficies de nivel, que corresponderá á un valor dis-
tinto de la constante C.
Basta para definir cada superficie de nivel, ó dar el valor
de la constante C, ó dar un punto por el cual la superficie
ha de pasar, en cuyo caso el valor de la constante queda in-
mediatamente determinado.
Si ha de pasar por el punto (x,, y,, 71), estas coordena-
das han de satisfacer á la potencial, y tendremos
U(x;, Yi, 21) E Es
ecuación que determina C, porque la forma analítica de U *
es perfectamente conocida en x, y, z; es la que resulta de la
m ;
suma de las —; y, además, las coordenadas (X,, Y,, 2,) Son
r
otro dato; de modo que tendremos un valor determinado
para C: por ejemplo, C,, y la potencial que pase por dicho
punto tendrá por ecuación, que no se podrá confundir con
ninguna otra,
Eva E
— 973 —
Y ya no nos queda más que una observación que hacer
para que se comprenda perfectamente el enunciado del teo-
rema, que vamos á explicar.
El número de superficies de nivel es infinito; se extiende
por la ley de continuidad desde el espacio finito al infinito,
y si las masas ponderables atrayentes A, B, C, existen sólo
en el espacio finito, es claro y se pone en evidencia sin difi-
cultad, que podemos determinar una superficie de nivel NN
que comprenda en su interior dichas masas atrayentes
ALAS ¡Clas
Si así no fuera, si NN no abarcara todas las masas
A, B, C..., no habría más que ir más lejos, y perdónesenos
esta manera de expresarnos, y al fin encontraríamos una
superficie de nivel que cumpliera con la condición esta-
blecida.
Y comprendido esto, el teorema se enuncia sin difi-
cultad.
Siempre puede extenderse sobre la superficie de nivel ele-
gida NN, una capa de materia ponderable ficticia é infinita-
mente estrecha tal, que para cualquier punto M exterior á
ella, su potencial en dicho punto sea exactamente igual á
la potencial de las masas interiores A, B, C.....
Y que su atracción en un punto interior sea nula.
Hasta ahora no hemos dicho cuál es la ley de distribución
de materia sobre la superficie de nivel elegida NN: este es
el problema.
Recordemos que la potencial es una función que simplifica
el cálculo de las atracciones, porque goza de esta propie-
dad: que para cada punto, las componentes de la atracción
que un sistema ponderable ejerce sobre dicho punto, se ob-
tienen tomando las derivadas de la potencial del sistema con
relación á x, y, 2.
De suerte que el sistema tiene una potencial U, y las com-
ponentes de su atracción en un punto (x, y, z), Ó mejor
dicho, en una masa igualá la unidad colocada en dicho pun-
— 974 —
to, demostramos al principio de estas conferencias, que es-
taban representadas por
d U (xy, 2) dU(x y, 2) U (% y, 2)
— fp, Y = y Lo == [ ——
nd dx ES dy E dz.
Así, decíamos al comenzar este curso, el problema de
las atracciones se simplifica: en vez de determinar tres in-
tesrales basta determinar una sola, que es la potencial U.
Una vez obtenida, para determinar las componentes de la
atracción, basta diferenciar la potencial con relación á x, á
»yáz.
De aquí se deduce que si dos sistemas de materia ponde-
rable tienen la misma potencial, salvo una constante, para
cada punto de una región determinada, en esa región la
atracción que ejercen ambos sistemas para estos puntos será
la misma; porque siendo la misma //, idénticas serán sus
derivadas.
Materialicemos esta idea.
Si dos sistemas 4 y B (fig. 46) son tales que en una re-
gión ó dominio D eros la misma potencial, la atracción en
todo punto a de este dominio será la misma para el sistema
A que para el sistema B.
Siendo U única, únicas son sus derivadas: lo repetimos
una Vez más.
Esta fig. 46, que para masas ponderables es un imposi-
ble, y que no es más que una forma esquemática para fijar
las ideas, se convierte en una realidad para la fig. 45, á la
cual volvemos ahora.
El problema, pues, consiste en aplicar sobre la superti-
cie NN una capa de materia ponderable, de densidad tal en
sus diferentes puntos, densidad que designaremos por y, que
ejerza sobre un punto cualquiera M, exterior á la superficie,
una atracción igual á la que ejercen las masas dadas A, B, C.
De otro modo: que suprimiendo estas masas y dejando la
— 915 —
capa NN, las atracciones en todos los puntos del espacio
exterior á S no se alteran.
Tanto dan las masas A, B, C, como la capa NN.
Y el problema ó el teorema consiste.
1. En demostrar que esto es posible.
2... En determinar la masa desconocida de densidad y,
de modo que se verifique dicha condición.
De lo expuesto anteriormante resulta, que tanto da decir
Figura 46.
que la capa ficticia, cuya densidad en cada punto hemos de-
signado por ., ha de ejercer una atracción sobre un punto
cualquiera M del exterior de la superficie igual á la que
ejercen las masas A, B, C....., que decir que ambos sistemas
han de tener para cada punto exterior á S la misma po-
tencial.
Y claro es que este último modo de plantear el problema
es mucho más fácil.
Deberemos, pues, buscar una capa NN de densidad y.
(variable ó constante, no sabemos todavía) que tenga en
Rev. Acap, DE Ciencias.—X.— Junio, 1912. 72
— 916 —
cualquier punto M la misma potencial U (x, y, z) que las
masas A, B, C.
Expresemos, pues, la potencia, de la capa NN y la po-
tencial de las masas A, B, C...... é igualémoslas.
La potencial de las masas A, B, C..... la hemos designa-
do por U (x y z); pero podemos expresarla ea función de
datos que se refieran á una superficie cerrada cualquiera S.
Hemos visto, en efecto, al resolver el problema de Di-
richlet para el caso particular en que se conocen U y _
en todos los puntos de una superficie, que en lo exterior de
la misma se puede expresar U de este modo:
1
(1) da
senóz py (use
y se pone el índice (7) para indicar, que en las derivaciones hay
que considerar la normal hacia el interior de la superficie $.
Si para comodidad del cálculo y para comparar esta po-
tencial con la de la capa, tomamos las derivaciones respec-
to á n hacia lo exterior, no habrá más que cambiar el signo
á la integral, porque bajo la integral existe la suma de dos
términos, y en cada uno de ellos hay como factor una de-
: 1 UT
rivada, la de U y la de —, ambas con relación á n.
a
Sustituyendo en el índice superior, para mayor claridad,
al símbolo (7) el símbolo (e), que expresa que las norma-
les han de tomarse hacia lo exterior, resulta que la poten-
cial de las masas dadas A, B, C para todo punto M ex-
terior á la superficie S, y prescindamos de lo que suceda
dentro, podrá escribirse, con absoluto rigor, de este modo:
1
(e) SRT.
U (xy, 2) = == == = 1 = ds,
— 917 —
ó descomponiendo en dos integrales dobles
U (x, y, 2) = ES — E day e peo mba
Pero la segunda integral doble es evidentemente nula;
porque observemos, que la superficie S no es una superficie
arbitraria, sino una superficie equipotencial ó de nivel, de
suerte que para todos sus puntos U tiene el mismo valor, y
siendo constante, podemos sacarla fuera de la integral y
resultará
1
en — E
0 —— (Qs = ÚS do.
A KS dn
Pero la integral doble
1
(e) Ear
O
S dn
es evidentemente nula, como lo hemos demostrado; porque
después de todo dla es una armónica, y dicha integral ex-
Ñ
presa el flujo armónico á través de una superficie cerrada, y
hemos dicho muchas veces que este ilujo es nulo.
Y si se quiere, aun se puede precisar más este concepto.
r representa la distancia de Má cualquier punto b de la
superficie S; luego 10h: representará la potencial de M so-
r
bre b, y la integral doble el flujo de la fuerza del punto M,
de masa 1, sobre todos los puntos de la capa N N, que
cuando la superficie es cerrada es un flujo nulo, suponiendo
por de contado para hacer aplicación del teorema, que la
densidad superficial de la capa fuese la unidad.
07)
En suma, la integral precedente es nula y la potencial U
de las masas a, b,c en puntos exteriores á la superficie S,
se simplifica y queda reducida al primer término de la fór-
mula anterior,
(e) sal
vrya== 5 Ed
Veamos ahora cuál es la potencial de la capa NN en el
punto exterior M.
Se obtiene por la fórmula elemental que hemos empleado
tantas veces.
Si por ejemplo se toma el punto a, y la densidad en este
punto es y., que todavía desconocemos, y la superficie ele-
mental que corresponde al punto a es ds, su masa será yd s
p do
y su potencial en el punto M será á su vez siendo r la
distancia a M.
Para obtener la potencial sobre M de toda la capa no ha-
brá más que integrar en toda la extensión de la superficie S,
y si llamamos U” á la potencial de la capa sobre cualquier
punto M exterior, tendremos
: (e) pa
ura / — do.
Ss ÍF
Sólo resta, para expresar las condiciones del problema,
igualar los valores de U y de U”, que son, y volvemos á re-
petirlo,
(2) 3]
Visto, 8) ecc pol a0bo ais d
alía
(e)
Appa
S
— 979 —
Igualándolos, pues,
proa ppb
S F 7
Pero esta expresión queda completamente satisfecha sea
cual fuese el M, es decir, sean cuales fuesen los valores de
X,)y,z que entran en 7, igualando los valores diferenciales.
Tendremos, pues,
Así, pues, sea cual fuere la superficie equipotencial -S,
distribuyendo sobre ella una capa ficticia de materia cuya
densidad en cada punto de la superficie esté expresada por
el valor de y., esta capa tendrá sobre cualquier punto exte-
rior de la superficie la misma potencial, que las masas da-
das A, B, C.
Y si tiene la misma potencial en todo el espacio exterior,
ejercerá la misma atracción en todos los puntos: por manera
que, PARA EL ESPACIO EXTERIOR, la capa N N de densidad y
suple y equivale al sistema A, B, C.
Podría suprimirse éste en absoluto, y estableciendo la
capa NN, un físico que en el espacio exterior midiera po-
tenciales ó atracciones, no conocería la supresión del sis-
tema A, B, C.
Esto en lo exterior de S; respecto á lo interior, vamos á
completar el problema.
Y se completa de este modo.
La potencial de la capa NN de densidad y., determinada
como queda dicho, en el espacio interior de la supe: ficie equi-
potencial S, tiene una potencial constante, y como la deriva-
10380
da de una constante es cero, ejerce una atracción nula; no
introduce, pues, ninguna modificación nueva en dicho es-
pacio.
En efecto; la potencial de la capa NN, en lo exterior, es
la misma que la del sistema 4, B, C. Luego en puntos exte-
riores, pero infinitamente próximos á la superficien S, dicha
capa tendrá la misma potencial que el sistema A B C; pero
la potencial del sistema A, B, Ces constante, porque la su-
perficie es equipotencial; luego, en el límite, podemos decir
que la potencial U” de la capa N Nes constante sobre la su-
perficie S, € igual á la del sistema A, B, C.
Si representamos esta potencial constante por C, ten-
dremos
CAS E
y por lo tanto, para toda la superficie S,
== 0) (C)
Consideremos, pues, la función armónica
O” — C.
Y no hay que confundir esta expresión con la precedente.
Esta (es decir, la precedente) se refiere á la superficie S,
y U" —Cátodo el interior del volumen.
Ahora bien: U”, que es la potencial de la capa NN, es
una armónica para todo el espacio, lo mismo para fuera de
la superficie que para dentro, sin que ningún punto fuera.
de la capa sea excepcional.
Además, C, que es una constante, es también una armó-
nica, la más sencilla; luego U* — C será en todo lo interior
del volumen una armónica uniforme, finita, continua y con
derivadas primeras y segundas; pero su valor en la superti-
cie es nulo, según nos dice la ecuación (C), y en virtud de
— 981 —
uno de los teoremas que hemos demostrado en otra confe-
rencia, será nula en todo el volumen.
Y, en definitiva, si en todo el volumen es nula, tendremos
constantemente para todo el interior de la superficie S
UC =0
Ó bien
LA=Te,
Resulta, por lo tanto, que la capa ficticia N N tiene una
potencial constante en todo el interior del volumen, y su
atracción será nula en todo este volumen, que era precisa-
mente el enunciado del teorema.
El teorema anterior tiene extraordinaria importancia, muy
principalmente en la teoría de la electricidad estática.
Tal como lo hemos explicado, es un teorema de ciencia
pura, que expresa propiedades, más ó menos curiosas, de
la ecuación diferencial de Laplace, y ayuda á su integración.
Pero yo no sé si los matemáticos, y entre ellos el eminen-
te Green, hubieran establecido esta teoría sin el estímulo de
los problemas de Física Matemática á que nos hemos re-
ferido.
En este concepto, las cuestiones que tratamos vienen en
apoyo de los que afirman, que una gran parte de las mate-
máticas puras han sido creadas por el estímulo, y en cierto
modo, para las necesidades de la Física
Recordarán mis oyentes que nunca hemos negado esta
afirmación. Lo que hemos dicho, y afirmamos una vez más,
es que existen grandes regiones, regiones ilimitadas en las
matemáticas puras, que se han poblado de teorías por puro
— 982 —
amor á la ciencia y sin fin alguno utilitario; aunque es para
mí evidente que llegará un día en que serán útiles, material-
mente útiles, no sólo para la Física, sino para la Industria.
Por lo demás, hoy mismo son útiles, en el sentido de que
vienen á satisfacer grandes necesidades del espíritu humano.
De todas maneras, y en los problemas que hoy estudia-
mos, en las teorías de las armónicas y en el problema de
Dirichlet, no cabe negar la influencia de la ciencia práctica
y experimental, como provocadora y estimulante de tales
euestiones.
¿Quién que haya estudiado cualquier libro de Física ex-
perimental, no recuerda problemas que son la representa-
ción material de los que últimamente acabamos de de-
mostrar?
¿Quién no recuerda, que si varios cuerpos electrizados se
rodean y cierran por una hoja metálica, en ésta se estable-
cen capas eléctricas iguales y de signos contrarios, cada una
de las cuales viene á ser, en cierto modo, la capa ficticia de
que antes hemos hablado?
¿Quién no ha oído que es muy importante la teoría de las
pantallas eléctricas, y á veces de aplicación necesaria?
Pues todos estos hechos tienen su teoría y su demostra-
ción matemática en estos teoremas de Green, de Dirichlet y
en otros que iremos estudiando.
Estamos, pues, realmente dentro de las teorías de la Fí-
sica Matemática. Y cuando en años sucesivos, á ser posible,
estudiemos la electricidad estática, tendremos que recordar
todos estos problemas abstractos que hoy tratamos, genera-
lizándolos antes, lo cual es muy fácil, para las masas eléctri-
cas positivas y negativas.
Porque no han de olvidar mis alumnos, que por ahora, y
realmente en todo este curso, tratamos de la potencial rela-
tiva á masas ponderables, que es, como si dijéramos, á ma-
sas positivas, aun cuando á cada momento advertimos que
los problemas, los teoremas, las fórmulas que vamos obte-
— 983 —
niendo, pueden generalizarse para el caso del flúido eléctri-
co, ó mejor dicho, de los flúidos eléctricos, considerando
masas positivas y negativas.
Verdad es, que en este último caso hay ciertos puntos, que
convendrá ampliar y ciertas observaciones que no serán in-
útiles.
Quizá en este mismo curso se nos presente ocasión, si en
él podemos explicar el método de M. Poincaré, para reso-
lución del célebre problema de Dirichlet.
Precisamente este último teorema de la capa ficticia tiene
nombre y da nombre por extensión al método del insigne
maestro.
Cuando se sustituye la acción en el espacio exterior de
una serie de masas A, B, C (fig. 45) por una capa ficticia N N,
extendida sobre una superficie equipotencial, parece como si
materialmente á estas masas A, B, C se las empujara desde el
interior hacia lo exterior, obligándolas á extenderse en la
superficie N N.
Es en cierto modo, y perdónese lo vulgar de la palabra,
como un barrido, en el volumen interior, de masas pondera-
bles, hasta que tropiezan con la pantalla N N.
Este es precisamente el nombre que da M. Poincaré á su
metodo de demostración: el de balayage. Claro es que aquí
sólo nos referimos al nombre.
Y esta sustitución de una capa ficticia equipotencial á ma-
sas distribuida de cualquier modo en lo interior, sirve de
base á la explicación clarísima y sugestiva de los principa-
les problemas de la electricidad estática, como puede verse,
entre otras obras del extranjero, en la gran obra, que ya
es clásica, de Mascart y Joubert.
En el problema de la capa ficticia nos queda todavía un
punto sobre el que hemos de hacer algunas observaciones,
porque tiene importancia en la teoría, é importancia capital
en las aplicaciones eléctricas entre otras, y aun diremos que
se refieren á un problema que se presenta constantemente,
— 984 +...
Hemos dicho: Considerando una superficie equipotencial
NN, que envuelva un sistema de masas, el efecto de estas
masas sobre el espacio exterior, ya como potencial, ya como
atracciones, puede sustituirse por el efecto que produciría
una capa ficticia (convertida por de contado en capa real si
ha de producir efectos reales) extendida sobre la expresada
superficie de nivel NN.
Pero esta capa ha de tener en cada punto una densidad ó
carga de materia por unidad de superficie, cuyo valor ge-
neral será éste:
Si
an
pe
Az
y en esta expresión,
representa la derivada de la poten-
cial producida en dicho punto, ó que corresponde á dicho
punto, de las masas A, B, C..... del sistema, tomada dicha
derivada sobre la normal exterior.
Pues esta fórmula es capital, es clásica, ya la hemos de-
mostrado con perfecto rigor; pero una cosa es demostrar
que esta debe ser la densidad en cada punto, para que el
barrido, y valga la palabra anterior, esté bien hecho, y otra
cosa es buscar la significación íntima, por decirlo así, de la
tórmula en cuestión.
Este será el objeto de la conferencia próxima.
XVL. — Conferencias sobre Fisica matemática.
Teorías diversas.
POR OS EEC EG AREAS
Conferencia décimaquinta.
SEÑORES:
Estudiábamos en nuestra última conferencia la sustitución
de una serie de masas ponderables comprendidas en un es-
pacio finito, por una capa de materia ponderable superficial
extendida sobre una superficie de nivel, que comprendiese
las expresadas masas, y tal que sobre el espacio exterior á
dicha superficie de nivel tuviera la capa ponderable en cual-
quier punto la misma potencial, y, por lo tanto, la misma
atracción que las masas primitivas.
Y demostramos, que el problema era posible, y de
namos además la densidad de la masa ficticia y. en cualquier
punto de la superficie de nivel.
Vimos que esta densidad superficial y. tenía por expresión
— 1 ¿0
Ar dn
Pp
siendo U la potencíal de las masas dadas en el punto de la
superficie de nivel á que se refiere ¡., y tomando la derivada
con relación á n con relación al punto en cuestión.
De modo que, fíjense bien mis oyentes, e no es la de-
: n
— 986 —
rivada para cualquier punto, sino precisamente para el pun-
to de la superficie de nivel á que corresponde la densidad
superficial y.
Esta fórmula, decíamos, resuelve el problema y está per-
fectamente definida y está perfectamente determinada, pues-
to que conocemos la potencial Y) de las masas que consti-
tuyen el sistema dado.
Y si conocemos U en general, conoceremos su variación
AN
Figura 47.
en cualquier punto y en dirección cualquiera; por ejemplo,
en dirección á la normal N de la superficie equipotencial,
que pasa por el punto expresado.
Pero agregábamos que esta fórmula no solamente resuelve
el problema de la capa ficticia de nivel, sino que tiene im-
portancia particular en muchas cuestiones de Física Matemá-
tica, y debemos, antes de pasar adelante, aclarar este punto.
Para ello resolvamos el siguiente problema.
Imaginemos un plano PP (fig. 47) que se extiende hasta
— 0987 —
el infinito, cargado de una capa uniforme de materia ponde-
rable y de densidad superficial y.
Imaginemos un punto B á la distancia AB del plano,
y vamos á calcular la atracción de la capa PP sobre el
punto B.
Para nuestro objeto vamos á suponer, que la distancia
AB es muy pequeña, poz ejemplo, la diferencial de la nor-
mal An, que tomaremos como eje de las n positivas.
Dicha atracción, como todo es simétrico alrededor del eje
An, porque la densidad y del plano PP es constante, es
claro que tendrá la dirección de esta línea; de suerte que la
atracción que buscamos actuará sobre la línea An, y ade-
más en dirección negativa.
Representemos su valor por F.
Para obtener este valor, el método general es bien senci-
llo: descomponer el plano en elementos infinitamente pe-
queños du, calcular la atracción de cada elemento pondera-
ble sobre el punto B; determinar su componente en la di-
rección BA, puesto que la resultante ha de tener esta direc -
ción, é integrar la expresión que resulte para toda la exten-
sión del plano.
No hay más que ir ejecutando estas operaciones, que son
operaciones elementales de análisis.
Tomemos en el plano el elemento abcd de área que lla-
maremos du, y para fijar las ideas, no porque sea necesa-
rio, supongamos que este pequeño cuadrilátero está forma-
do por dos radios infinitamente próximos Aa, Ad y por dos
arcos de círculo trazados desde A, á saber: ad y bc.
La masa de materia ponderable que comprende este cua-
drilátero será igual á su área du por la densidad uniforme y.
Es decir,
y do.
La acción de esta masa ponderable sobre una masa igual
á 1, colocada en B, y suponiendo, para simplificar, que la
— 938 —
constante de la atracción f es igual á la unidad, será evi-
dentemente
udo
Ba?”
puesto que Ba puede tomarse como la distancia media de B
al elemento superficial, con errores infinitamente pequeños
de orden superior.
Representando la distancia Ba por r, la atracción del ele-
mento en cuestión sobre el punto B será, pues,
ydo
y2
Esta fuerza tenemos que proyectarla sobre BA, y llaman-
do Ú al ángulo A Ba, resultará: componente de la atracción
del elemento según BA
Arto cos 0.
p2
Ahora bien, si trazamos desde B, con el radio r una esfe-
ra, ésta cortará á la pirámide infinitamente estrecha Babc ad,
según un cuadrilátero ab"c'd, que puede considerarse evi-
dentemente como la proyección sobre esta esfera del cua-
drilátero abcd, porque las aristas de la pirámide son casi
paralelas en la proximidad de a.
Representando du' el área de dicho cuadrilátero ab'c'd,
tendremos evidentemente
du = du < cos b'ab.
Pero b'ab es igual á 0, por tener sus lados perpendicula-
res; luego
du' =duwco0s Y
— 289 —
y sustituyendo este valor en el de la componente antes ob-
tenida, resultará:
dw'
Dr
Ahora bien, du” dividida por r?, es la medida, que llama-
remos du”, del ángulo sólido de la pirámid«, y, en general,
pudiéramos decir del cono, si el área du” tuviera otra forma
cualquiera: siempre será du” el cuadrilátero Ó área que de-
termine en la esfera de radio 1 la expresada pirámide ó cono
en cuestión.
En suma, la componente según Ba de la atracción que
ejerce sobre B un elemento cualquiera del plano, será
2 do”
siendo du” la abertura cónica de este elemento visto des-
de B.
Sólo falta integrar para toda la extensión del plano; pero
desde el punto B se ve el plano, según la semiestera EE:
luego componente ó atracción de PP sobre B
puesto que el área de la semiesfera es 27.
De aquí se deduce
y, por lo tanto,
(6
_—
Dz
Pero la fuerza F en este caso puede expresarse por la po-
tencial, pues sabemos que siendo el plano una superficie de
— 990) —
nivel que pasa por A, y siendo (Y su potencial, la potencial
27
en Bserá U” — dU”, y la fuerza será asimismo
n
Así
Como la potencial va disminuyendo á partir del plano ha-
cia la parte superior, dU” será negativa; y si queremos el
valor de la fuerza prescindiendo del signo, deberemos poner
signo negativo al segundo miembro, y tendremos el valor
4
absoluto de la atracción y
MAT
E
27 dí
Resulta esta densidad, diversa al parecer, de la densidad
que antes habíamos determinado, lo cual á primera vista
choca; aunque aquél y éste son problemas distintos: de to-
das maneras se justifica perfectamente esta circunstancia,
como vamos á explicar, siquiera sea de paso y abriendo otro
nuevo paréntesis en nuestro trabajo.
Por el pronto, en rigor, el signo — es necesario, porque
es negatíva, y la densidad ¡. es esencialmente positiva;
n
de lo contrario, un miembro sería positivo y otro negativo.
ES
Sea ABD (fig. 48) la capa ficticia de nivel, que antes esta-
bleciamos y que sustituye en lo exterior á la acción de las
masas interiores.
Consideremos esta capa dividida en dos partes: el ele-
dE o 10 y [QUA
mento AB, que coincidirá con el plano tangente á la super-
ficie ff, y el resto de la superficie AbB, que será en cierto
modo una superficie abierta, si se prescinde del elemen-
to AB.
La atracción en el punto C se compondrá de dos partes:
Atracción de AB sobre C.
Y atracción de la superficie abierta AbB, también so-
bre C.
Representemos por T la primera y por T” la segunda.
Figura 48.
La atracción de toda la capa cerrada sobre C será, por
tanto,
PASTE
Tomemos el punto C” en el interior, simétrico de C res-
pecto á AB.
La atracción de la superficie cerrada sobre este punto C”
hemos demostrado que es nula; pero la atracción sobre C”
se compondrá, análogamente, á lo que decíamos para C:
De la atracción de A B sobre C”.
Rev. Aca. DE CieENcIaS.—X.— Junio, 1912, 73
LIO ea
yd,
Y de la atracción de ADB también sobre C”.
Puesto que la atracción sobre C” es nula, según acabamos
de decir, tendremos
atracción de AB sobre C'= atracción AbB sobre C”.
Ahora bien, la atracción de AB sobre C”, por razón de
simetría, será la misma que sobre C, y simétrica, como in-
dica la flecha de la figura.
Luego
atracción de A B sobre C* = atracción de AB sobre C= T
y la ecuación anterior da, por lo tanto,
atracción ADbB sobre C' = T.
Por fin, es evidente que como AbB es una superficie
abierta, y, por lo tanto, su atracción en todos los puntos
del espacio, exceptuando sobre dicha superficie, es conti-
nua, la atracción en el punto C” infinitamente próximo á C
sólo diferirá de ésta en un infinitamente pequeño; pero la
atracción en C” hemos demostrado que es T y en la direc-
ción que marca la flecha a”, y la atracción en C la designá-
bamos antes por 7”, cantidades ambas finitas, y sin error
en el límite, podemos escribir
Luego la atracción de la capa total en C, que era
T+T",
se convertirá en
2 Y
— 993 -
En resumen, la atracción de toda la capa sobre un punto
C infinitamente próximo á AB, es decir, á la superficie, es
el doble de la atracción de este elemento. ;
Ahora bien, si prolongamos el elemento en todo su pla-
no tangente tf y lo recubrimos de una capa ficticia ponde-
rable, cuya densidad superficial constante sea y, que es la
del elemento AB, la atracción de toda la capa plana tende-
rá á ser la del elemento AB á medida que el punto C se
aproxime á AB.
Porque, en efecto, de tomar todo el plano PP (tig. 49)
SS
Figura 49.
á no tomar más que una parte, la que determina el cono
ACB, la diferencia está medida en la esfera de centro C y
radio 1 por la zona ab a'b”, que tiende á O á medida que
C se aproxima á A.
Asi, pues, la atracción de toda la capa de nivel sobre un
punto C (fig. 48), que tiende á aproximarse al punto A, de
su superficie, es el doble, es decir, 2 T, de la atracción del
elemento AB sobre C.
Pero á ésta hemos visto que puede sustituirse la del pla-
no, y la del plano demostramos que era
DU
1
— 991 —
luego la de toda la superficie será
== dy Aru
dn
de donde
dr Dn
Ñ bala
que es precisamente la que habíamos obtenido para que la
capa de nivel sustituyera en lo exterior á las masas inte-
riores.
Y esta es realmente otra forma de demostración para la
región inmediata á la capa de nivel.
En esta capa de nivel, la masa de densidad y. desarrolla
sobre los puntos próximos, como es natural, la misma fuer-
za que las masas interiores.
Aparte de la comprobación, para este caso, del teorema
que demostramos, la fórmula precedente tiene una aplica-
ción importante y muy general, puesto que determina la
atracción de un elemento superficial de densidad y. sobre un
- punto infinitamente próximo.
A ella acudiremos más de una vez.
Pero éste es punto que merece tratarse detenidamente.
Continuemos el estudio del problema de Dirichlet, expli-
cando á este propósito la llamada función de Creen.
Hemos visto, que cuando para una superficie cerrada se
conocen en todos 10s puntos de dicha superficie el valor de
la armónica U y de su derivada en el sentido de la normal
exterior, la función armónica queda determinada, perfecta-
mente, para el interior del volumen, y su expresión desig-
— 995 —
nando por a,b,c, las variables de un punto también del in-
terior es ésta:
a
A A =S4, O de da.
OO dn
Ahora bien, si —— es conocida, la expresión anterior
An ñ
determina de una manera inmediata, por una serie de ope-
Z
ES)
ri
'
ES
O ae
e 1
/ Ú
NY A
5 Po yA
- n
> Ú
són E
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1 .
0 EPIA O A El
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Ce 1 : eS
y 1 ,
Woo 1 ,
17 3 e
15% 1 ,
y 4 /
E e
07
a
E ;
Figura 50
raciones analíticas, la armónica U, que constituye, por de-
cirlo así, la incógnita del problema de Dirichlet.
Pero existe una función que es, según acabamos de decir,
la designada con el nombre de Green; función que una vez
conocida resuelve, .en general, aunque no se conozca AN
n
el problema interior, y como veremos después, resuelve tam-
bién el problema exterior.
Empecemos por definir esta función.
La función de Green ha de ser una armónica en el volu-
men que limita la superficie S (fig. 50).
— 906 —
Ha de ser finita, así como sus derivadas primeras y se-
gundas.
Por último, y esta es condición caracteristica, ha de tomar
sobre la superficie S los mismos valores que la función
1 1
AN A ON
Podremos, pues, representar esta función, por la inicial
del matemático que la introdujo en el cálculo: digamos
función de Green = ( (x, y, 2, a, b, C).
Que la función existe es evidente, porque hemos demos-
trado la existencia, y existencia única, de una armónica in-
terior á todo volumen, y que tome sobre la superficie valo-
res continuos.
En este caso dichos valores continuos están perfectamen-
te determinados: son los que toma la función
1
Vaio Ez
1 —
a
cuando x, y, z, correspondan á S.
Y aquí puede asaltar una duda al principiante, duda que
por elemental que pueda ser, conviene aclarar.
Acaso piense el que por primera vez estudia estas ma-
terias, con la vaguedad y la falta de precisión que hay siem-
pre en un primer estudio, que si la función —— es una at-
r
mónica, como hemos demostrado, que satisface por lo tan-
to á la ecuación de Laplace; y si además sobre la superti-
cie S toma los valores que naturalmente ella determina, ella
misma será la función de Green.
— MINS
Lo cual sería un error enorme.
Porque la función de Green no sólo ha de ser armónica,
sino finita en toda la extensión del volumen, con derivadas
primeras y segundas, finitas también, de modo que ha de
ser finita en el punto (a, b, c), fig. 50.
Pero la función — en el punto (a, b, c) se hace infinita,
porque cuando x, y, z se confunden con (a, b, c), resul-
co 00.
F
Construyamos una figura esquemática para dar forma
material á nuestro pensamiento.
Sea (tig. 50) un volumen cerrado por la superficie $.
Tomemos un punto P en el interior de la superficie, cu-
yas coordenadas sean a,b,c, y tormemos la función =
siendo r la distancia del punto P á cualquier punto del vo-
lumen. Por ejemplo, P P”, en que P” tiene las coordenadas
variables x, y, z, y en que (a, b, c) son como parámetros
de la función JA
r
Esta función llena, por decirlo así, todo el volumen, por-
que es una función de tres variables, como por ejemplo la
temperatura en los diferentes puntos de un sólido, como to-
das las armónicas que son funciones de tres variables tam-
bién, á saber: fres variables independientes, y la función, Ú
sean cuatro variables.
Y por ser cuatro las variables, no hay manera de repre-
sentar materialmente la función, de suerte que hable á los
sentidos; sería preciso que tuviéramos una representación
sensible del espacio de cuatro dimensiones.
Pero podemos, si no representarla, designarla, tomando
los valores que se suceden en una superficie, por ejemplo,
ABRR, como limitamos líneas de nivel ó superficies equi-
potenciales, ó bien otra superficie cualquiera.
— 998 —
En suma, cuando digamos que la figura ABRR es la fun-
acid : J
ción —, no queremos decir que lo sea propiamente, sino
Í7
que forma parte de ella.
Asimismo, la línea AB simbolizará una sucesión de valo-
A! A
res de la función — en la superficie S.
r
Será en cierto modo la intersección de ABRR, con dicha
superficie S, y, por consiguiente, representarán una parte
de los valores á que ha de sujetarse la función Green en la
superficie S: una línea de valores en la superficie.
. ., 1 La
Y los mismos valores que toma la función — en la lí-
r
nea AB, ha de tomar la función de Green.
Por eso hemos representado, también simbólicamente, la
función de Green, por ABGG, para que se vea de este
modo, que es distinta de la función E pero que en la su-
í
perficie coincide con ella: si vale este modo de expresarnos,
en la superficie se cortan ambas funciones, que es como cot-
tarse dos volúmenes.
Ambas llenan el volumen que comprende S; pero en cada
r . y 1
punto de él hay dos valores: uno para la función —-; otro
r
para la función G.
r . y 1. . rq.
Así, en el punto P, la función —, representada simbóli-
Ñ
camente por ABRR es infinita, y en cambio, en este mismo
punto, la función G es finita.
Por fin, en todo el volumen se presentan las dos, como
en un mismo volumen cada punto puede tener su tempera-
tura, función de tres variables, y ese mismo punto tendrá
su densidad, función de tres variables también, y podrá te-
ner su potencial eléctrica, todas ellas para el mismo punto.
Y no tenemos más recurso que concebirlas confundidas,
— 999 —
porque no poseemos el sentido de la cuarta dimensión, dado
que exista realmente, que esto no es del problema,
Comprendido lo dicho, pasemos ya á la aplicación de la
función de Green.
ox
La función de Green nos va á servir para eliminar de la
fórmula anterior, de la que da U (a, b, c): 1.”, en función
de U, que es conocida para todos los puntos de la superfi-
cie, porque es un dato del problema, el único necesario y
03 dU ; ,
suficiente; y 2.”, de E que en general no será conocida;
: n
para eliminar, repetimos, la derivada -
n
La función U, aunque desconocida, sabemos que es una
armónica que cumple con las condiciones indicadas tantas
veces, y G es otra armónica conocida Ó desconocida, nos
importa poco, que también cumple con las mismas condicio-
nes; luego ambas satisfarán á una de las transformadas de
la fórmula de Green, que explicamos en una conferencia del
curso de 1909 á 1910, pág. 128, y que era ésta:
(YA9 — Av) di = q Jas
Sa V ; E Ss al dn
L y « son funciones finitas, continuas y con derivadas pri-
meras y segundas en todo el volumen y en la superficie, y,
salvo estas condiciones, en lo demás eran arbitrarias.
Luego podemos suponer que son G y U, y tendremos
ef AGAU— UAG) dz =P jo
— 1000 —
Pero en este caso particular, que estamos considerando,
G y U son armónicas: que en general n no era preciso que lo
fuesen o, ú,
Y si Aquellas son armónicas satisfarán á la ecuación de
Laplace, y tendremos
AU=0, AG=0,
para todos los puntos del interior del volumen, con lo cual
el primer miembro se reduce á O y queda:
a q) e =0 11]
Recordando que la ecuación fundamental era
a
Utarjo de (Leo dE la. [2]
Als e O dn
ocurre, desde luego, que de esta última puede eliminarse
e por medio de la primera.
Más aún: las dos integrales dobles de ambas ecuacio-
nes [1] y [2] contienen dos términos iguales. A saber:
dU
pos e do, 11]
Ñ PACA ¡ [2]
Y decimos que son iguales, porque ambas integrales do-
bles se refieren á la misma superficie S, y aunque G y Hd
E
— 1001 —
son distintas en general, es decir, en el interior del volumen,
en la superficie son iguales. Podemos decir que simbólica-
mente en AB; y en toda la intersección (fig. 50), es decir,
para todos los puntos de esta superficie se tiene
ó mejor
oc»)
De suerte que la segunda de las dos ecuaciones generales
podrá escribirse de este modo:
dl
U (a, b, leas E de.
Deduciendo de la primera,
flo E al = pfo go
z S dn .y S
y sustituyendo,
pa
VEO e alo es
4 S dn dn
expresión que nos da la función armónica que buscábamos
UT (a, b, c) en todo el interior del volumen, en valores de U
sobre la superficie $.
Porque observen mis oyentes, que la integral doble del
segundo miembro está perfectamente determinada. Pues U
(bajo la integral) es una función conocida en valores de las
— 1002 —
dos variables que determinan cada punto de la superficie
S. G esla función de Green que también suponemos que se
1 Cae
conoce para este caso. Y — es una función de forma pet-
r
tectamente determinada, puesto que es
1 :
E
Por último, ds es un elemento de la superficie S y se ex-
presa en función de las dos variables, que fijan cada punto
sobre dicha superficie.
Por fin, todas las operaciones quedan definidas, porque
las derivadas con relación á n se sabe que han de tomarse
hacia lo exterior de la superficie.
Advirtamos, en fin, que a, b, c, entran, desde luego, en 7
y además en G, porque recordarán mis oyentes que la fun-
ción de Green, G, se determina para el punto (a, b, c); de
dG
modo que estas variables entran en G y en a
ñ
En suma, y para dar forma precisa á nuestra explicación,
si llamamos o, f las dos variables que determinan cada pun-
to de la superficie, la expresión que está bajo el signo de
integral doble, podrá expresarse de este modo:
0(09=7 | (16400, 0 dp
Efectuadas las integraciones, las variables a, f desapare-
cen y sólo quedarán las constantes de la ecuación de la su-
perficie S y las tres coordenadas (a, b, c), que en esta doble
integración son constantes tambien. j
Luego todo el segundo miembro será una función de
(a, b, c), que será precisamente la que determine la forma
de la función armónica U desconocida, del primer miembro.
— 1003 —
Y como el punto (a, b, c) es arbitrario dentro del volu-
men, la función U quedará determinada para todos los pun-
tos de este espacio, Ó, como dicen otros autores, para todo
el dominio que comprende $.
Así, pues, cuando se puede determinar la función de
Green, el problema de Dirichlet está resuelto.
Obsérvese, para terminar esta segunda parte, que la fun-
ción de Green es distinta para cada superficie S, y en cada
superficie S su forma será la misma, pero dependerá del
punto (a, b, Cc) que se escoja; por eso la hemos definido de
este modo
(CAES ZO, e):
Para cada superficie de S, volvemos á repetirlo, hay una
forma G de la función de Green. Si la superficie cambia, la
función de Green es distinta.
Pero conocida la función de Green para una superficie S>
todos los problemas de Dirichlet para esta superficie, están
resueltos como hemos visto. Es decir, que la misma función
de Green sirve, sea cual fuese la distribución de la armóni-
ca U sobre la expresada superficie $.
Esto se ve en la fórmula general que hemos dado. En
efecto, bajo la integral entra G, que se refiere á la super-
ficie S.
Pasemos ahora al segundo problema de Dirichlet, al pro-
blema exterior.
Resolución del problema exterior de Dirichlet por medio
de la función de Green.- Basta repetir, casi palabra por pa-
labra, todo lo que hemos dicho en el problema interior.
Para todo el espacio exteríor á una superficie S, se puede
— 1004 —
determinar teóricamente una función de Green relativa á un
punto exterior a,b, c. Al decir se puede determinar, quere-
mos decir, existe.
Para fijar bien las ideas presentamos una figura esquemá-
tica (fig. 51), análoga á la figura 50.
En dicha figura 50, S representa una superficie cerrada
que limita un volumen V.
a
Ma a pr
Figura 51.
Fuera de esta superficie hemos tomado un punto P, cuyas
coordenadas son (a, b, c) (fig. 51).
A este punto corresponderá una armónica
1
VE—a?FO—b + (2 e)?
ósea —, que hemos representado simbólicamente por
r
ABRR.
— 1005 —
Esta armónica — determinará sobre la superficie S una
Íf
serie de valores, uno para cada punto de la superficie S, que
también simbólicamente representamos por A B.
Y con esto podemos definir la función de Green exterior,
correspondiente al punto P y á la superficie S.
Será una armónica, es decir, una solución de la ecua-
ción de Laplace, finita, uniforme y determinada, con deriva-
das primeras y segundas, también determinadas y finitas, y
que sobre la superficie S tomará los mismos valores que ya
a canal
ha determinado en ella la función —-; lo cual expresamos
r
haciendo pasar el símbolo ABGG de la función de Green
por AB determinada por la función ABRR.
Y volvemos á repetirlo. Esta representación es puramente
simbólica y abreviada, porque la función de Green y la ar”
mónica EN no coinciden sólo en una línea de la superficie,
r
sino en toda la superficie.
Ni LL ocupa sólo A B RR, sino todo el espacio exterior
r
é ilimitado. Y esto mismo podemos repetir de la función de
Green.
Conocida esta función tal como acabamos de definirla,
cualquier problema de Dirichlet para cualquier distribución
sobre la superficie S, puede resolverse sin dificultad ninguna.
Y lo que queda de la demostración, es idéntico á lo que
ya dijimos al tratar del problema interior.
Hay que repetir las dos ecuaciones
A
S dn dn
a OA fr a A
Az NA OA dn
— 1006 ==
aplicadas al espacio exterior, y en que las diferenciaciones
con relación á n se verifican hacia el interior del volumen V,
que es exterior al espacio indefinido V”.
Todo queda reducido á eliminar de la segunda, como an-
tes efectuamos, por medio de la primera, y E
Una sola observación debemos hacer, pero es importan-
te, y por ser importante la hemos dejado para lo último.
Para aplicar al espacio exterior las consideraciones des-
arrolladas respecto al espacio interior, tenemos que hacer
que aquél, siquiera sea transitoriamente, se ofrezca como li-
mitado, según hemos hecho otras veces.
Es decir, debemos imaginar una esfera * de radio crecien-
te, que envuelva á la superficie $ y al punto P.
Y como entonces el volumen estará limitado por la su-
perficie S y por la esfera *, debemos fijar las condiciones
para ésta.
Estas condiciones son que el valor de G en dicha esfera
tienda hacia O á medida que su radio crezca, y este radio,
si el centro de la esfera está en el espacio finito, tenderá á
ser igual á
Vx +y2+ 2
á medida que x, y, z tiendan hacia infinito.
Con esto la función Green queda definida en la superficie
que envuelve, si así puede decirse, el espacio exterior.
Sobre S toma los mismos valores que sito y sobre la su-
r
perficie de la esfera, es decir, en el infinito, se anula.
No queda para este segundo caso nada más que observar.
— 1007 —
Vemos, por lo expuesto, que para toda superficie deter-
minada, el problema de Dirichlet podrá resolverse, tanto in-
“terior como exteriormente, sólo con resolverlo para un caso
particular; para el caso particular, repetimos, en que los va-
lores de la armónica buscada G, sobre la superficie S, sean
y l 230 1
precisamente los que corresponden á la armónica —.
r
Pero aun en este caso particular es muy difícil y sólo po-
demos resolverlo, al menos, por los procedimientos ordina-
Figura 52.
rios para determinadas superficies; por ejemplo, para la su-
perficie esférica. |
Vamos á presentar este ejemplo; pero antes, con el obje-
to de que no quede, por decirlo así, en el aire nada de lo
que hayan podido olvidar mis alumnos, voy á recordar una
propiedad geométrica verdaderamente elemental de la cir-
cunferencia, ó si se quiere, de la esfera.
Sea (fig. 52) AMB una esfera cuyo centro es O y cuyo ra-
dio representamos por R.
Sea AB uno de sus diámetros, y el círculo de la figura
será la intersección del plano de la misma, que pasa por el
diámetro A B, con la esfera en cuestión.
Rxyv. Acab, DE CIENCIAS. —X.—Junio, 1912. 74.
— 1008 ==
Se sabe por geometría, que si se toma sobre el diámetro
un punto cualquiera P en el interior, existirá otro punto co-
rrespondiente P* en lo exterior, y que ambos puntos, que
se llaman conjúgados Ó armónicos, gozan de la siguiente
propiedad, cuando están convenientemente determínados.
Si se considera un punto cualquiera M en la esfera, las
distancias MP=r, MP" =r' tienen la misma relación que
los segmentos PB, P'B. Es decir.
r PB
AD
Esto para todos los puntos de la circunferencia, y, por lo
tanto, para todos los puntos de la esfera.
Mas para ello es preciso, según decimos, que los puntos
P y P” estén convenientemente determinados.
Uno de ellos P puede ser arbitrario; pero á él correspon-
de uno, y uno sólo, P”, en el exterior, ó recíprocamente.
La relación que enlaza los puntos P y P” para determinar
uno cuando el otro es dado, será la siguiente:
Ar
IET ATE
que es la llamada relación armónica.
Que por esta relación los puntos se determinan mutua-
mente es evidente desde luego.
Para abreviar, hagamos OP =/L, OP'* =1/' y resulta evi-
dentemente en la figura
¡== 1 => de BR
AP=R+l, AP'=I+R,
de suerte que la relación anterior será
ir dl ab al
— 1009 —
Ó bien
A a O == RE RC IO
y simplificando
22 AO
de donde
[[' = R?,
Una construcción elemental y sencillísima da /' cuando se
conoce / y recíprocamente.
Es decir, da el conjugado de cualquier punto, que se fije
dentro ó fuera de la esfera.
Ahora falta demostrar, que se verifica para todos los pun-
tos de la circunferencia generatriz y de la esfera la relación
indicada
Basta para ello observar en la figura, que los triángulos
OMP y OMP' son semejantes, y esto es evidente. Porque
el ángulo MOP es común á los dos, y de la relación que
hemos obtenido entre / y /” á saber
MIZRE
se deduce
yl
R lA
lo cual prueba que los lados OP y OM que forman el án-
gulo común son proporcionales á OM, OP” que forman
también dicho ángulo. Resulta, pues, que en efecto son se-
— 1010 —
mejantes ambos triángulos; é introduciendo los otros dos la-
dos tendremos
r OP
Ñ e OM
ó bien
Ñi l
OS
Ahora bien, sea cual fuere el punto M que escojamos so-
bre la circunferencia ó sobre la esfera, el segundo miembro
de la ecuación será constante, porque R y / lo son, de modo
que podemos escribir
La propiedad que hemos indicado queda, pues, demos-
trada.
Pero lo que nos interesa es la relación
o de donde rd das,
R /
porque esta relación, con ser tan sencilla, nos determina
inmediatamente la función de Green para la esfera, pues
1 ”
aparece —. Así, representando por (a, b, c) las coordena-
7
das del punto P de la esfera (fig. 53) referida á tres ejes
coordenados, la función de Green para el punto p será pre-
cisamente
092 000)=+- -
Pero esto requiere algunas explicaciones para la mejor
inteligencia de mis alumnos.
— 1011 —
R , :
En primer lugar, representando el para más sencillez por
. L4 A
una constante A, el segundo miembro será —.
li
En esta expresión, representando ahora r” la distancia del
punto P* á un punto cualquiera N del interior de la esfera,
Figura 53.
y designando por x, y, z las coordenadas de este punto N,
y por a”, b”, c” las de P”, de modo que será
=V—a PE 0 + (0%;
. .. A r . 12
dicha expresión —-, será evidentemente una función de
r
a
Claro es que, dejando x, y, z indeterminadas, la expre-
sión de que se trata puede aplicarse á todo el espacio; pero
— 1012 —
nosotros establecemos taxativamente, que sólo vamos á con-
siderar aplicable la expresión
e PA AA
Vía) +=) + (2 =c/)2
al interior de la esfera.
Para el interior de la esfera, como para otro punto cual-
E
a , da A
quiera, pero de los puntos exteriores prescindimos, —- es
r
una armónica, como hemos demostrado tantas veces, es de-
cir, que la ecuación [1] satisface á la ecuación de Laplace;
además, sus primeras y segundas derivadas son finitas, por-
que ninguno de los puntos N coincide con el punto P”: este
último es exterior á la esfera y los demás son interiores.
A tia MO
Pero no basta que — sea una armónica en el interior
r
de la esfera para que represente una función de Green.
: A :
Es preciso que —- tome sobre la esfera los mismos va-
f
eL : a
lores que la armónica —, siendo r la distancia de un pun-
r
to interior de la esfera á la superficie de la misma. Mas si
escogemos el punto P como conjugado del punto P”, para
cualquier punto M de la esfera, esta última armónica será
Ahora bien, si en la expresión —- esta distancia r” no fe-
r
presenta ya distancias al interior de la esfera, sino á su su-
perflcie, por ejemplo, P* M para el punto M, tendremos evi-
dentemente que las dos armónicas
— 1013 —
serán iguales por la relación antes demostrada
1 Il
a
.
ny
y esto para todos los puntos de la superficie de la estera.
ADA
Resulta, pues, que la expresión —- es, en efecto, una ar-
ña
mónica de Green.
En resumen, para cualquier punto interior de esfera, P, se
determina la armónica de Green de este modo:
1.2 Se traza el radio O P y sobre este radio en lo ex-
2)
a
l
terior se determina el punto P” por la relación 1” =
2.” Con la constante — se forma la función de X, Y Ze
R
l!
MEP E E
en que a”, b”, c' son las coordenadas del punto P”, que se-
rán funciones perfectamente determinadas, por unas cuantas
R
proporciones elementales de a, b, c, partiendo de /* = Pr
3.” Podrá, por lo tanto, escribirse
R
l
G Y, Za Ds — 5 _——z<<<<x—_———_——__——_____0
CAPO
— 1014 —
Determinada para la esfera la función Green queda re-
suelto también para la esfera el problema de Dirichlet.
Porque, en efecto, este problema ha sido resuelto para
todas las superficies, siempre que para las mismas se deter-
mine la función de Green.
La armónica interior á una superficie (ya que del proble-
ma interior tratamos) está dada en función de G, según an-
tes vimos por la siguiente fórmula:
A
UNO Pa ol CA IA le.
4z S dn dn
Cuando se trata de una esfera no habrá más que sustituir
en vez de G el valor antes obtenido
ES Y) Z 0) 012) =
,
Era
¡E
AE
E
dn
de donde resulta
NA
O Ra A ECOeedan a
4 S 1 dn dr
Vamos á determinar ahora las dos derivadas que contic-
ne el segundo miembro.
Sea (fig. 54) AB la esfera en cuestión; P el punto cuyas
coordenadas son a, b, c.
P” el conjugado de P y M el punto de la esfera al cual se
refieren las dos armónicas G y U.
y tendremos
MD)
— 1015 —
Prolongando el radio O M, es claro que MN será la nor-
mal exterior. Demos un incremento á n, que suponemos que
sea MM”. Tirando por M' una perpendicular á MP”, per-
pendicular que puede considerarse como un arco trazado
desde P”, es evidente que la distancia MP” = r' se con-
Figura 54.
vierte en M' P”, por el incremento de la normal MM” = dn.
De modo que
MO = — dr'
y como
MO=MM'cos NMP,,
r
llamando 0” á este ángulo, tendremos que la última ecuación
será
—dr'=dn cos 9'
oa
de donde
E COSO
dn
luego
1 dr'
17 ada fanicos e
dn e y?
Del mismo modo se demostraría para MP =r, hacien-
do % = NMP,
ÍF cos
dn y?
Y sustituyendo en el valor de U los valores de estas dos
derivadas
sra) LLE U PICOS COSO ds.
4 S IN qe
En esta ecuación hay cantidades que son independientes
y hay otras que dependen de las primeras, por ejemplo 7”,
que depende de r; /”, que depende de / y los ángulos 4 y 0”,
que también dependen uno de otro.
Por medio de las ecuaciones que las enlazan vamos á eli-
minar las segundas en función de las primeras.
En el triángulo MOP tenemos
1? =R?27- r2?—2Rrcos OMP
y como
cos OMP =—-cos 0
resultará
12=R?+7 rr? + 2Rrcos 0.
— 1017 —
Asimismo en el triángulo MOP” se tiene
112=R2+r'2 4 2Rr' cos 0”.
Pero hemos visto que l y 1”, r y r” están enlazados pot
estas relaciones
IRE r=—f;
y sustituyendo en la ecuación anterior los valores del yr
resultará
A A R
Hs ol e TP
y simplificando
R2=B+r?+2!lrco0s 0”.
Restando esta ecuación de la que da el valor de /? re-
sulta
12 —R2=R?*—12+2r (Rcos 6 — [cos 6”)
óÓ bien sucesivamente:
12 — R2=r(R cos 0 — [cos 6”)
2 es
RO COS 6
a
A 12
id la ea
fp? y? fp?
RAZA JA l cos0' cos 6
— 1018 —
y como
1 RA
PT
y también
1 2
E
resultará
SUE Ue URCOS A COSTO
Rr? e 2
Precisamente esta expresión es la que entra bajo la inte-
oral en la fórmula
1 er cos 6 pon
47 s Ate ¡e
Sustituyendo, pues, su valor resultará
A A
A
4x Ss Rr?
con lo cual queda resuelto el problema de Dirichlet para la
esfera.
Y en etecto, repitiendo lo que ya tantas veces hemos di-
cho, observaremos que el segundo miembro representa ope-
raciones determinadas.
La integral doble se refiere á la superficie dada S.
U es el valor de la armónica que buscamos, sobre la su-
perficie S, para la cual es conocida: constituye un dato del
problema. Por eso no hay que confundir la U, que está bajo
la integral doble con la U que está en el primer miembro.
Esta última es la armónica qne buscamos para el volumen
que comprende $ y es una función de tres variables, que
son las coordenadas de cualquier punto de dicho volumen;
Aa, (0, 12) =
— 1019 —
en suma: es la incógnita. En cambio, la U que está bajo el
signo de integración es una función de dos variables, las que
- determinan cada punto de la superficie S. Si se quiere, es la
del primer miembro; pero cuando a, b, c corresponden á un
punto de la superficie S. De todas maneras, como hemos
dicho, es una función perfectamente determinada, porque es
un dato del problema de Dirichlet.
R es una cantidad conocida: el radio de la esfera.
l es la distancia del punto P al centro, que dependerá de
las coordenadas en este centro, las cuales son conocidas; y
si la esfera está referida á su centro, serán iguales á 0; y
dependerá /, además, de las coordenadas a, b, c del punto P.
En este caso, / tendría la forma /? = a? + b? + c?.
r es una función también de forma conocida, que depende
de las variables de la integración y de a, b, c, puesto que es
la distancia del punto P á cualquier punto de la superficie
de la esfera: así
VO FO.
Por último, ds se expresará en función de las variables
que determinan la posición de cualquier punto de la esfera
en cuestión.
Efectuando la integral doble desaparecerán estas varia-
bles, y quedarán tan sólo a, b, c, que para la integración son
como constantes, y que como hemos dicho, entran en r
eme
El resultado de la integración será, por lo tanto, una fun-
ción de forma perfectamente definida en a, b, c, que será pre-
cisamente la función desconocida que buscábamos y que re-
presenta el valor del primer miembro.
Si, por ejemplo, el resultado de la doble integración fue-
se F (a, b, c), tendríamos
UE (070):
— 1020 —
Así, como decíamos, el problema de Dirichlet queda com-
pletamente resuelto para el interior de una esfera.
El problema exterior se resolvería del mismo modo, con
sólo cambiar, por decirlo así, los puntos conjugados P y P”.
r es en este caso lo que r' en el anterior y recíproca-
mente.
En la conferencia próxima aún seguiremos el estudio del
problema de Dirichlet, que es fundamental para la ecuación
de Laplace y para la teoría de las armónicas.
— 1021 —
XLVI.—Conferencia sobre Fisica Matemática.
Teorías diversas.
Por José ECHEGARAY.
Conferencia décimasexta.
SEÑORES:
En las primeras conferencias de este Curso anuncié como
programa del mismo las siguientes materias.
1 El estudio de las atracciones newtonianas, el de la
teoría de la potencial (ó el potencial, sustantivos que discu-
tiremos otra vez) y de la ecuación de Laplace.
2.2 El estudio de la integración de las ecuaciones dife-
renciales de la Mecánica, sobre todo en la forma canónica
de Hamilton.
Todas estas teorías debían constituir la introducción del
presente curso. En el que, como aplicación de algunas de
aquellas teorías, acabaría la exposición de la de los torbe-
llinos, interrumpida, por decirlo de este modo, por un es-
crúpulo sobre el empleo de ciertas fórmulas de Matemáticas
puras, que yo sospechaba que mis alumnos no habían de
conocer Óó recordar.
Pero el curso avanza, y más que la duda, tengo la evi-
dencia de que me será imposible cumplir del todo aquel
programa.
Es más: aun temo no poder terminar la teoría de las po-
tenciales, que es extensa, que es importantísima, y que es,
si se me permite la palabra, delicada de exponer cuando
se trata de principiantes.
— 1022 —
No porque sea difícil, sino porque hay en ella sutilezas,
y perdóneseme esta otra palabra, que yo quisiera poner en
perfecta claridad ante mis oyentes; y para ello he necesitado
largas explicaciones, que á mí mismo me parecen enojosas,
pero que la práctica en la enseñanza me ha convencido de
que son necesarias.
Sea como fuere, las materias que voy explicando en este
curso, aunque al parecer son puramente matemáticas, en el
fondo á la Física Matemática pertenecen.
Y al explicarlas, explico sin decirlo un curso de electrici-
dad electroestática; y cuando le llegue el turno á esta cien-
cia, si es que le llega, encontraremos el terreno matemático
limpio y despejado, y sin deternernos en desarrollos de puro
cálculo, podremos marchar de frente por el campo propio de
los equilibrios eléctricos.
No es, pues, tiempo perdido para el objeto principal de
esta asignatura, sobre todo para la Física Matemática clásica,
el que voy empleando en el estudio de las atracciones, de la
ecuación de Laplace, de las armónicas y de las potenciales.
Ya iremos comprobando más adelante estos conceptos.
Y por ahora continuemos con el problema de Dirichlet.
Pero antes recordemos algunas de las ideas que expusi-
mos al comenzar el estudio de la ecuación de Laplace
AA EU a
- =
dix? A dy? a dz?
Decíamos, que existen un número enorme de integrales
particulares para dicha ecuación, y no faltaríamos á la ver-
dad diciendo que un número infinito.
Todas las funciones que satisfacen á dicha ecuación, de-
ciamos que se llaman armónicas.
— 1023 —
Y citábamos muchos ejemplos particulares, y sin grandes
esfuerzos hubiéramos podido citar muchos más.
Toda esta serie de integrales particulares pueden dividirse
en grupos, y en familias, y entre estos grupos están las po-
tenciales. |
Y después de la clasificación, si se hubiera hecho, que no
se ha hecho todavía que yo sepa, al menos de una manera
completa, vendría el estudio de las relaciones entre todas
estas funciones.
Y podría preguntarse, por ejemplo, si tal ó cual armónica
es función de otras varias, y por el pronto tendríamos un teo-
rema elemental, en el que se demuestra, que la suma de
varias armónicas es una nueva armónica, cuando el número
de sumandos es finito; porque cuando no lo es, el problema
toma otro aspecto y la suma se convierte en serie; y, por
último, entre otros problemas y teoremas aparecería el im-
portante teorema de Harnac.
Y cito á capricho y desordenadamente teorías y nombres
que al volar de la imaginación me ocurren.
En resumen: la materia es riquísima en desarrollos, que
mis alumnos pueden estudiar, como ya hemos citado otras
veces, en el libro de Mr. Poincaré sobre el potencial newto-
niana (para los franceses el potencial es masculino) y tam-
bién en la Mecánica de Appell.
Nosotros no podemos evidentemente agotar la materia, ni
aun darle la extensión que desearíamos, y hemos de conten-
tarnos con exponer lo fundamental, ó sea el conjunto de bases
necesarias para abordar las Memorias y obras de los maestros.
Pero entre todas las funciones armónicas, para nuestro
objeto tiene importancia especial el estudio de las potencia-
les, que va resultando la materia casi exclusiva de este curso.
La función potencial ya la hemos definido; pero aun esta
función comprende muchos casos particulares, y necesita-
mos definir las condiciones necesarias y suficientes para que
una función armónica sea función potencial.
REV. ACAD. DE CIENCIAS. — X.—Junio, 1912. 75
— 1024 —
Tomando por guía en este punto á Mr. Appell, establece-
remos concretamente, que las propiedades características de
la potencial U de un sistema de masas continuas son éstas:
1.2 La función continua U es finita, así como sus deriva-
das primeras y segundas, en todo el espacio.
2. La función U que consideramos, debe anularse en el
infinito.
3. Dicha función satisface á la ecuación de Laplace
AU=o0, en todo el espacio exterior á las masas atractivas,
y á la ecuación de Poisson AU=-—4rp, en el interior de
tales masas.
En rigor, no todas las potenciales están comprendidas en
el erupo anterior. Por ejemplo, no lo están las potenciales
de puntos discontinuos, que representen masas finitas;
porque
pe (a e + iaa!
Fx Po Pa
es una potencial, pero no en todos los puntos del espacio
es finita. Así, en la figura 55, cuando se considera un pun-
to a”, distinto de los puntos a, b, c....., en que están las
masas M,, Mo, Mos ....., la potencial es evidentemente finita,
porque son finitas las m y las r.
Pero si el punto en que hemos de colocar la masa de
prueba m = 1 se aproxima á cualquiera de los puntos del
sistema, por ejemplo al a, de modo que a” está muy pró-
My
00;
ximo á a, el sumando
será muy grande, y cuando
aa” se anule, uno de los sumandos de LU), á saber, de
1
será infinito, y la potencial también será infinita; luego, aun
prescindiendo de las derivadas, no cumplirá con la primera
condición, que es la de ser función finita.
Cumplirá con la segunda, porque para todos los puntos
exteriores que se alejen hacia el infinito, las r serán infinitas
— 1025 —
también, y siendo infinitos los dominadores y suponiendo
que el número de masas es finito, el segundo miembro de
-U será una suma de ceros, y cero por lo tanto.
De modo que U se anula en el infinito.
Veriflca aún este valor de U la primera parte de la condi-
ción tercera, puesto que U satisface, como hemos demos-
Z
rro mon 0)
S
3
Figura 55.
trado, á la ecuación de Laplace; pero no tiene sentido la
última parte de dicha condición.
Es decir, no satisface á la ecuación de Poisson, porque
no hay masa en cuyo interior colocar la masa de prueba 1.
En suma, estas potenciales están excluídas de las tres
condiciones que antes hemos establecido.
En cambio están comprendidas, como la definición lo dice,
todas las potenciales de sistemas compuestos de masas atrac-
tivas continuas M, M” M”” (tig. 56).
Tales sistemas cumplen con las tres condiciones.
En todo el espacio, así en los puntos A exteriores á las
masas M, como en los puntos interiores, por ejemplo el B, la
función es finita, y para tales sistemas ya lo hemos demos-
trado al principio de estas conferencias.
Cumple también la función del sistema con la segunda
— 1026 —
condición, porque, por ejemplo, si se toma un punto en el
infinito, las distancias de todos los puntos B de cualquiera de
las masas, M por ejemplo, serán infinitas y podrán salir fue-
ra de la integral, resultando
Press
y como M es finita, a será O cuando R sea infinita.
=
E OS
á
RT
Figura 36.
Y otro tanto podemos decir para todas las demás masas.
Por último, cumple con la tercera condición, pues en es-
tos sistemas de atracción newtoniana hemos demostrado, que
la potencial U, para puntos A exteriores á las masas, satisfa-
ce á la ecuación de Laplace
AU = 0
y que para puntos interiores como B satisface á la ecuación
de Poisson, siendo p la densidad de la masa M en el punto
B; así
NU==4w pp.
= 11027 —
Estas son, en efecto, las potenciales que hemos estudiado
al tratar de las masas continuas.
De modo que tales condiciones son necesarias para que
una función sea la potencial de un sistema de masas con-
tinuas.
Pero ahora vamos á ir más allá demostrando, no sólo que
son condiciones necesarias, sino que son suficientes; es de-
cir, que si se encuentra por cualquier procedimiento, ó más
en general si se da, ó como dicen ciertos filósofos, si se pone
una función U, (x, y, 2), que cumpla con las tres condicio-
nes indicadas, es decir, que sea finita, así como sus deriva-
das primeras y segundas, en todo el espacio; que se anule
en el infinito; que verifique á la ecuación de Laplace fuera
de las masas atractivas, y á la ecuación de Poisson en di-
chas masas; esta función U, puede afirmarse que será una
potencial U que cumpla con las mismas condiciones.
En efecto; puesto que U, y U son finitas, su diferencia
OU, — U será finita también.
Puesto que las derivadas primeras y segundas de ambas
funciones son finitas según las hipótesis establecidas, las
drivadas primeras y segundas de U, — U, ó sean
dx dx dx dx? dx?
(UU)
dx?
au AUN UNE AO
también serán finitas en todo el espacio.
Además, en todo el espacio exterior á las masas por hi-
pótesis, ambas funciones aisladamente satisfacen á la ecua-
ción de Laplace, es decir,
AU, -—AU=o0;
luego
A(U,—U)=0
— 1028 —
y, por lo tanto, resulta que esta función U, — U satisface á
á la ecuación de Laplace en todo el espacio exterior á las
masas.
Por fin, en el interior de las masas, aisladamente satisfa-
cen á la ecuación de Poisson, ó sea, escogiendo las densida-
des p de U iguales á las constantes p de U,
AU, =—4moe, AU=-—A4Anzp
y, por lo tanto,
A(U, =U)=—=4 pH 4rp=0.
Luego también la misma función U, — U satisface á la
ecuación de Laplace aun en el interior de las masas atracti-
vas, y por lo tanto, en todo el espacio.
Pero hemos demostrado en una conferencia anterior, que
toda función uniforme y finita, así como sus derivadas pri-
mera y segunda, que en todo el espacio satisface á la ecua-
ción de Laplace, es decir, que en todo el espacio es armóni-
ca, y cuando se dice, que en todo el espacio es finita, y que
en todo el espacio es armónica, así nos referimos al espacio
finito como al infinito; toda función, repetimos, que cumple
con estas condiciones, es una constante.
Ahora bien, la función U, — U, que desde luego supone-
mos que es uniforme, porque de no especificar lo contrario
ésta es la hipótesis general, cumple con todas las condicio-
nes anteriores; luego es una constante, es decir,
U, — U = constante.
Pero por hipótesis U,, U, y, por lo tanto, U',, — U, son
O en el infinito; luego la constante anterior es nula, y ten-
dremos
Ur = U.
REA
— 1029 —
De modo que U, se confunde con U y la función U es
una potencial.
Hemos dicho varias veces, que en la clasificación de las
armónicas entraban las potenciales, y el teorema que aca-
bamos de demostrar se funda en esto mismo; pero es indis-
pensable que mis alumnos se fijen en una circunstancia im -
portante, á saber: que las potenciales no son armónicas en
todo el espacio; son armónicas en ciertas regiones y en
otras no.
Una potencial es una función perfectamente definida en
todo el espacio; pero sólo en una parte de él puede ser ar-
mónica, y habrá puntos ó regiones en que no lo sea, porque
podrá presentar, ó puntos singulares por adquirir valores
infinitos, Ó regiones en que deje de satisfacer á la ecuación
de Laplace.
En el teorema que acabamos de demostrar, y á que co-
rresponde la figura 56, las masas M, M”, M” ....., tienen una
iunción potencial en todo el espacio, lo mismo fuera que
dentro de las masas mismas; pero en el espacio exteríor son
armónicas y dentro de las masas no lo son, puesto que ya
no satisfacen á la ecuación de Laplace, sino á la ecuación
de Poisson.
Tenemos, por lo tanto, funciones que gozan de esta pro-
piedad, verdaderamente extraña á primera vista; que sólo en
una región ó dominio del espacio satisfacen á cierta ecuación
diferencial determinada, y en otra región no satisfacen á esta
ecuación diferencial.
Y es que la función es discontinua, con cierto grado de
discontinuidad.
En el problema físico la discontinuidad no es extraña;
porque existan ó no en el mundo inorgánico estas disconti-
nuidades, nosotros hemos supuesto, que existen en la figu-
= 1030 —
ra 56, en la que hay un salto brusco, desde el espacio exte-
rior á las masas que, según la hipótesis de la Física clásica,
está vacío, hasta el interior de las masas mismas, en el
que está relleno de materia. La superficie que termina cada
masa, determina, como veremos, cierta discontinuidad, si
no en la función misma, en sus derivadas.
Estas discontinuidades en los fenómenos y sistemas del
mundo material han ido filtrándose, por decirlo asi, en las
Matemáticas puras, y hoy se estudia con gran empeño, en
Memorias muy dignas de consideración, la teoría de las
funciones discontinuas.
ES
ES
Ya hace mucho tiempo, el célebre teorema de Fourier,
que hemos de estudiar, con la atención que merece, en algu-
no de nuestros cursos, presentaba ejemplos notabilísimos y
llevados á un grado sumo en esta teoría de la discontinui-
dad. Series comprende que, entre ciertos valores de la varia-
ble independiente, representan una curva; y entre otros valo-
res otra curva completamente distinta, y la serie determina
una línea formada por pedazos y nada más que por pedazos
de curvas, que el alumno, en el estudio de las Matemáticas
elementales considera completas, definidas por su ecuación
propia en toda su extensión, y sin que puedan designar nin-
guna otra línea.
Así como, en el ejemplo físico que acabamos de presentar,
un trozo, y valga la palabra, de la potencial es función ar-
mónica, es decir, satisface á la ecuación de Laplace, y otro
pedazo ó trozo de la potencial misma no es armónica, y en
vez de satisfacer á la ecuación de Laplace satisface á la ecua-
ción de Poisson.
Que es lo mismo que si dijéramos: un trozo de una fun-
ción satisface á una ecuación diferencial y el trozo ó los
trozos restantes á otra ecuación diferencial distinta.
— 1031 —
Por eso ha sido preciso ir modificando, á. medida que la
ciencia se desarrollaba, la definición de las funciones, que
empezaron por ser las que expresaban modestamente su-
mas, restas, multiplicaciones y divisiones, y han llegado á
ser funciones, á veces desconcertantes y perdónese el adje-
tivo, que se llaman funciones discontinuas, sin contar con
otras ampliaciones de la definición primitiva aun más atrevi-
das, pero que no son de este momento.
De todas maneras estas circunstancias, que acabamos de
poner en relieve, obligan á gran precisión en la definición
de los teoremas ó de las propiedades analíticas, que se van
estudiando.
Por eso se especifica en cada propiedad la región, la par-
te del espacio, el dominio, como ahora se dice, en que tal ó
cual propiedad exíste. Por ejemplo, se dice que la función U
es armónica en el dominio 7, sin prejuzgar lo que será fue-
ra: y se restringen, por lo tanto, los razonamientos y las
conclusiones á dicho dominio 7.
En este rigor lógico, y en estas definiciones precisas, es
digna de estudio la obra tantas veces citada de Mr. Poinca-
ré, á saber: la titulada « Potencial newtoniano».
Las demostraciones á veces parecen pesadas y lentas,
pero es indispensable que lo sean para que sean rigurosas.
En cambio cuando se da una demostración grosso modo
se corre el peligro de dar una demostración falsa, y fecun-
da, por lo tanto, en falsas consecuencias.
Y, sin embargo, á pesar de lo que acabamos de afirmar,
que us de suyo evidente, y que está comprobado por la his-
toria de las ciencias matemáticas, las cuales, á pesar de su
fama de exactas, fama merecida, sobre todo si se comparan
con las demás ciencias, han empleado algunas veces demos-
traciones incorrectas, vamos á someter á nuestros lectores
— 1032 —
algunas ideas propias sobre el teorema de Dirichlet, que son
intuiciones, puntos de vista, orientaciones, pudiéramos decir,
desprovistas de rigor lógico; péro téngase en cuenta que
solo como intuiciones las consideramos aun cuando no es
imposible, que puedan conducir y conducen á mi entender,
á demostraciones rigurosas.
Supongamos que la superficie S, que marca un dominio
en el teorema de Dirichlet, es precisamente la superticie la-
teral de un cubo ABC (fig. 57).
Fiaura 57.
Dividamos este cubo por planos paralelos á los planos
coordenados, á los cuales son también paralelas las caras de
dicho cuerpo.
El número de planos paralelos-á cada plano coordenado,
suponemos que sea n — 1, con lo cual cada arista quedaría
dividida en n partes y el cubo AB en n” cubos elementales.
Supondremos que 1 es un número entero muy grande, y
que puede crecer indefinidamente, con lo cual los paralele-
pipedos elementales serán infinitamente pequeños, serán
verdaderos elementos diferenciales del volumen V, que com-
= M088 =
prende la superficie S. Es decir, serán elementos diferencia-
les del dominio.
El volumen de cada cubo elemental será dx. dy. dz. sien-
do sus aristas las diferenciales de las coordenadas x, y, 2.
Y aunque no es necesario para nuestra explicación, ni
para las consideraciones que vamos á presentar, y nótese
que, ni por costumbre empleamos la palabra demostración;
aunque no es necesario, repetimos, que sean iguales estos
elementos diferenciales, para más sencillez todavía, como he-
mos supuesto, que el volumen es un cubo pudiendo ser un
paralelepipedo cualquiera, supondremos, ya que las x, y, 2
son independientes
06 = 0 0%,
con lo cual el volumen del cubo elemental será
WEGER
Para abreviar la explicación, cada uno de estos cubos ele-
mentales, ó celdillas del sistema, lo representaremos por la
letra c con ciertos subíndices para distinguir unas celdillas
de otras.
El teorema, ó problema de Dirichlet, consiste en fijar para
cada punto de la superficie S un valor determinado, siendo
todos ellos finitos, y variando por la ley de continuidad; y
en hallar una función uniforme, finita, continúa, U (x, y, 2),
que en el interior del dominio V limitado por S, dominio que,
en nuestro caso, será todo el volumen del cubo; sea: 1.*, una
función armónica, es decir, que satisfaga á la ecuación de
Laplace; y 2.”, que en cada punto de la superficie S ten-
sa el valor que de antemano se ha fijado.
Si para el dominio, que aquí es un cubo ABC, se hubiera
resuelto el problema, claro es que conoceríamos la función
U (x, y, z) cumpliendo con las condiciones indicadas, y esta
— 1034 —
función U tendría un valor determinado para el centro de
cada cubo c en que ha quedado dividido el cubo total.
Si cada cubo elemental lo designamos por un número de
orden, tendremos que U tomará para los cubos elementales
un valor periectamente determinado, que lo podremos indi-
car por los mismos subíndices de la serie de cubos c.
Corresponderán, pues, á los centros de los cubos
Cc, los valores de la armónica U..... U,
Co CE EOS OOOO O RQMOAC O DIO UBOO O IA DO ¡Obs
CNO A AO E us
E O O OO O OA AO A ins:
La columna de las U será la columna de las incógnitas: en
cada centro de cada cubo elemental podemos imaginar, que
existe un número, que será el valor correspondiente á dicho
elemento cúbico, de la armónica U.
El problema consistirá, pues, en determinar todas las in-
cónmtas UU U pas
Será, por lo tanto, este problema, un problema con n* in-
cógnitas y como en el límite 1 es infinito, en el límite sería
un problema en que el número de incógnitas se convertiría
en oo *.
Parece que por este camino no hemos de llegar á ningún
resultado práctico, y sin embargo yo creo que por este cami-
no se obtienen indicaciones útiles y no me atrevo por hoy á
decir fecundas, pero que en todo caso fortalecen intuiciones
directas del problema y dan algo así como la visión de que
el teorema es exacto y es posible, y quién sabe si orientan
— 1035 —
hacia una solución del mismo orden y de la misma familia:
que las soluciones de Fredholm.
Supongamos, por el pronto, que al problema analítico en
toda su pureza, en que U es contínua, sustituímos otro pro-
blema con un número enorme, pero discontinuo, de valores
de U; que es sustituir al conjunto contínuo que representa la
función U el conjunto discontínuo que representan todos los
valores de U para los centros de los cubos elementales.
En este caso, y mientras n sea finito, aun cuando sea muy
erande, podemos demostrar que este problema de Dirichlet
que no nos atrevemos á decir aproximado, aunque en el
fondo esto pensamos, se puede resolver y tiene una solu-
ción única y en rigor depende de la solución de ecuaciones
de primer grado.
Lo malo es que estas ecuaciones son en número inmenso
y prácticamente no son más que una solución ilusoria.
Los matemáticos saben resolver dos ecuaciones con dos
incógnitas, tres ecuaciones con tres incógnitas, diez ecuacio-
nes con diez incógnitas; pero aunque los métodos sean ge-
nerales no puede resolverse un millón de ecuaciones de pri-
mer grado con un millón de incógnitas, como no puedan
agruparse de cierto modc conduciendo á operaciones finitas
y prácticas.
Sería preciso, que se demostrara, que las determinantes, á
que la solución elemental conduce, eran convergentes y que
se pudiera descubrir la ley de convergencia, Ó se lograra
convertir las expresiones obtenidas, en series ó integrales
determinadas. En suma, que estos infinitos pudieran con-
densarse trayéndolos á términos finitos, que son los únicos
accesibles para la inteligencia humana.
Con todas estas salvedades repetimos lo que antes aven-
turamos: El problema de Dirichlet, aplicado al cubo de ele-
— 1036 —
mentos discontínuos, es un problema perfectamente determi-
nado, en que el número de incógnitas es igual al número
de ecuaciones y en que la solución es única.
Los cubos elementales en que se ha descompuesto el cubo
principal, pueden tener dos posiciones:
1.* O son cubos interiores, como a“b'c” figura 57.
2." O son cubos que pertenecen á la capa exterior, y en-
tonces una de sus caras coincidirá con una de la caras del
cubo principal, por ejemplo, el a bc, cuya cara superior
ab coincide con la cara AB. O tendrán dos caras comunes
con la superficie exterior, como sucede con los de las aris-
tas. O por fin, otros cubos tendrán fres caras comunes con
la capa exterior: á saber, los de los vértices.
A los elementos de volumen de la capa exterior, que ven-
drán á constituir las seis caras del cubo dado, ó mejor dicho,
á apoyarse sobre ellas, los designamos por C..
Y á los cubos del interior, que serán todos menos los de
la capa exterior, los designaremos por C;.
En el centro de cada cubo c. la función armónica U ten-
drá un valor determinado U, y estos valores serán los datos
del problema, serán los valores á que ha de satisfacer la
función armónica U que buscamos para todo el volumen.
Cuando el número n de planos aumenta, los volúmenes
elementales c disminuyen y los valores U.¿ que correspon-
den á los centros de C¿ se aproximan indefinidamente á las
superficies del volumen ó dominio, como antes decíamos,
que constituyen el cubo.
En el límite son los valores á que ha de satisfacer la ar-
mónica U en la superficie S. Es decir, en las seis caras del
cuerpo de que se trata.
Claro es, que en este caso particular, ó si se quiere, es-
quema, del problema de Dirichlet, se observa que la su-
—= 1037 —
perficie S no es continua, se compone de seis planos y
tiene puntos y líneas singulares de discontinuidad, como
son las vértices y las aristas. Mas, para nuestro objeto, que
no es el de dar una demostración nueva y rigurosa del céle-
bre problema, sino el de apuntar algunas ideas con la espe-
ranza de que sean sugestivas, esto importa poco.
Si los valores U., de la capa exterior son los datos del
problema, los valores U; de los centros de los cubos inte-
riores a“ b'c” serán en cambio las incógnitas, y el conjunto
de estos valores U;, el complejo, pudierámos decir, que for-
man, constituirá la función armónica del interior.
En la figura 58, por el sistema de la geometría descriptiva
ordinaria, y siendo o x la línea de tierra, hemos presentado
las proyecciones de un cubo interior Cy y de los cubos in-
mediatos en el sentido de los tres ejes.
Así, pues, la figura está formada por un cubo central C..
Por dos cubos, el de un lado y otro en el sentido del eje
de las x, que designaremos por Cx; Cx2.
En dicha figura 58, están representados en proyección
horizontal y vertical y están designados por las mismas
letras, á saber, por c, inicial de cubo; además por un primer
subindice x, para indicar que los centros de los tres cubos
sucesivos están en una paralela al eje de la x, como se ve
en 4b, a b'; y por los subíndices 1 y 2.
Constituyen además dicha figura otros dos cubos Cyy
y Cy», cuyos centros con el de c, están en una linea parale-
la al eje de las y, que se proyecta horizontalmente en f 2,
y verticalmente en C..
La notación es análoga á la anterior. El subindice y, indi-
ca, como acabamos de decir, que los centros de estos dos
cubos y del cubo central están en una línea paralela al eje
de las y, y los segundos subíndices 1, 2, distinguen al pri-
mero del segundo.
Por último, aparecen en la figura otros dos cubos elemen-
tales C¿,, C¿,, cuyos centros con el c, están en una línea he,
— 1038 —
paralela al eje de las z, como se ve en la proyección vertical.
Horizontalmente se proyectará en C,
Es, pues, un conjunto de sietz cubos elementales.
Co» Exit» Cx2» Cyi> Cy» Cz1r> Cza>
Uno central y otros seis apoyándose en sus seis caras.
Figura 58.
Podrá extrañarles á mis alumnos ó á mis lectores la elec-
ción de esta figura y la elección de las notaciones, pero bien
pronto comprenderán su objeto.
Nuestra idea es muy sencilla, aunque para explicarla con
claridad necesitemos emplear muchas palabras.
Por fin, para terminar este punto, al centro de cada uno
de estos cubos corresponderá, y suponemos que en él existe,
=- 1039 —
un valor de la función armónica U: función, repetimos, de
las tres coordenadas x, y, z, que definen el centro de cada
elemento de volumen, ó si se quiere un valor del complejo
OU, que en el sistema discontínuo sustituye á la función
contínua U.
Claro es que á estos valores de la función armónica, para
cada centro les aplicaremos las mismas notaciones que á los
cubos.
Y asi á los centros de los siete elementos de volumen
Eso Goo Eso Emo Epa Ed
corresponden los siete valores
Do, Ux1, Ulxo, Uy: Uso, Uyz, Ole.
Como hemos dado, y permítasenos que empleemos esta
palabra, un esquema del problema, vamos á dar un esque-
ma de la resolución. :
Buscamos una función armónica U;, que tenga en la su-
perficie los valores U.,, y, por lo tanto, como U, son canti-
dades conocidas, el total de incógnitas será únicamente U,.
En suma: todos los valores U, de la superficie son los da-
tos, como ya hemos dicho.
Los valores U, son las incógnitas.
Los primeros son conocidos; á ellos ha de sujetarse U,
Para conocer los segundos tenernos la ecuación de La-
place
DEON ae deb)
a
á la cual han de satisfacer.
Rxv. AcAD, Dr Cirycias.— X.—Junio, 1912. 76
— 040
Este es el problema; buscar un complejo de valores de U;
que satisfagan á la ecuación de Laplace y que en la superti-
cie tomen los valores U..
Pero las armónicas pertenecen á las funciones contínuas,
y el complejo U; es un sistema discontinuo, mientras n no
sea infinito. Es decir, mientras no se pase al límite.
Luego á la ecuación de Laplace debemos sustituir la ecua-
ción discontinua, que le corresponde en el sistema discreto,
que estamos considerando; y esto es bien sencillo.
Consideremos, una por una, las tres derivadas segundas
de la ecuación de Laplace.
)
Empecemos por
dx? *
Dicha derivada segunda es la derivada con relación á x
de la derivada primera, Ó sea
AMV
a
dx
Y la derivada primera resulta de tomar la diferencia en-
tre dos valores consecutivos de U sobre el eje de las x, y
después hay que dividir por dx.
Y análogamente, para hallar la derivada segunda, habrá
que tomar la diferencia de dos derivadas primeras consecu-
tivas y volver á dividir por dx.
Con esto, empezaremos á darnos cuenta de la significa-
ción que tiene para nuestro problema la figura 58, y el pot-
qué hemos considerado tres cubos consecutivos en la direc-
ción de los tres ejes coordenados, y, por consiguiente, tres
valores consecutivos de la armónica U.
Los tres valores consecutivos de la armónica U, paralela-
mente al eje de las x, en los tres cubos elementales,
Cx1, Co» Cxo,
— 1041 —
serán, como hemos visto,
Uxs, as os
que determinarán como equivalentes á dos derivadas prime-
ras consecutivas, las dos expresiones
Uxo — Us UU, = (e z
AS ai 0Os
y como equivalente á la derivada segunda la siguiente ex-
presión,
Uxo 22N O, Us, EE Ox;
dx dx
dx
Ó bien
Ux> e Us HE ÚU xi
PAPA [1]
eS
Repitiendo los mismos razonamientos para los tres cubos
que corresponden á la dirección del eje de las y, y que tie-
nen el mismo cubo central, podremos decir, que en el siste-
ma discontinuo corresponde á la segunda derivada con rela-
2
4
ción á y, Ó seaá la expresión
Y)
AAN 00
d y?
Y por último, obtendremos en la dirección de las z, como
2
d?z EN y
equivalente á la segunda derivada al esta expresión aná-
loga á las precedentes:
— 1042 —
DU [3]
dz?
Y sustituyendo los tres valores [1], [2], [3] en la ecuación
de Laplace, tendremos, si así puede expresarse, la ecuación
equivalente á la de Laplace, á que en el sistema discontínuo
han de satisfacer todos los valores de U interiores al cubo
principal, á saber:
Ola 2 0 == (Ubin Uy» =2U,+ Uy,
dl sE% ES d y? E
y NA
dz?
Pero hemos dicho, que por ser independientes Xx, Y, Z y
para simplificar, suponemos que los volúmenes elementales
son cúbicos, es decir, que se tiene dx = dy = dz.
Pues quitando los denominadores y simplificando la ecua-
ción general á que deben satisfacer todos los valores de U en
el interior del volumen, quedará reducida á esta ecuación
sencillísima de primer grado: á ella deberán satisfacer todos
los valores interiores y aún exteriores de U,
DU Un US UE A [A]
Tal es la fórmula general para todos los cubos interiores
y exteriores; pero pudiera suceder que en la figura 58 el
cubo, por ejemplo, Cs, (y lo mismo podríamos decir del
opuesto) sea uno de los de la capa exterior.
Y en este caso la fórmula [4] subsiste; pero el valor Uy,
no sería una incógnita, sino que por pertenecer á la capa
exterior del volumen, que es como si dijéramos á la super-
ficie S, será un dato. Es decir, una cantidad conocida U., en
-- 1043 —
cuya hipótesis la ecuación [A] ya no tendrá siete incógnitas,
sino seis, y tomará esta forma:
DU. + Ux, + Dino == Uli a+ Uz, + Uz¡ —6U,=0. ¡B]
El primer término es, en efecto, una cantidad conocida. Y
otro tanto podríamos repetir para cada uno de los cubos
que rodean á c, si están en la superficie.
También puede ocurrir otro caso: que dos de los cubos
exteriores, por ejemplo, Cy», Cy, correspondiesen á dos ca-
ras exteriores del cubo principal, en cuyo caso no serían
incógnitas, sino datos, U¿, U.-, y la ecuación [4] no conten-
dría siete incógnitas, sino cinco. y sería de esta forma:
Ue + Uxy + Ue: + Uy + Uzs + Us —6U,=0. [C]
Por fin hay otro tercer caso: que tres cubos de la fig. 58
correspondan á tres caras exteriores del volumen total.
Si esto sucede, la ecuación fundamental [4] sólo tiene
cuatro incógnitas, y en cambio Uxo, Uy», Uz», por ejem-
plo, no serán incógnitas, sino que serán datos del proble-
ma, y, por tanto, cantidades conocidas U., U., U.”, con lo
cual la ecuación [A] tomará esta forma:
Vese Usas? Un Uta U¿¡—6U,=0. [D]
Por último, dado este sistema discontinuo se observa, que
los volúmenes infinitamente pequeños c que corresponden á
las aristas y á los vértices del cubo principal no pueden
aparecer en estas fórmulas que sustituyen á la ecuación de
Laplace, tal como hemos formado las expresiones, que susti-
tuyen á las derivadas.
Pero esto importa poco, porque en primer lugar corres-
— 1044 —
ponden á la capa exterior, y tienden á desaparecer á medida
que n aumenta, pues los cubos elementales son cada vez
más pequeños. Además, son cantidades conocidas por el
mismo enunciado del problema.
Aún podríamos apurar más este punto; pero como no nos
proponemos dar una demostración exacta, sino apuntar al-
gunas ideas de forma intuitiva, no insistiremos más so-
Drenel:
Vemos, en resumen, que todos los cubos interiores satis-
facen á ecuaciones de la forma [4] [ B] [C] [D]: que todas son
ecuaciones de primer grado, la mayor parte con siete incóg-
nitas, y las que corresponden á una cara, á dos, Ó á tres
con seis, cinco ó cuatro incógnitas; y que los demás térmi-
nos son cantidades conocidas, porque son valores de U para
la capa exterior, ó si se quiere, para la superficie $.
Y con esto podemos terminar rápidamente el ejemplo que
hemos presentado.
El número de valores de la armónica que buscamos es
igual al número de cubos elementales; de modo que
número de valores de U ......... E O
De éstos, todos los que corresponden á los cubos de la
capa exterior, son datos: determinemos su número.
En la capa superior (fig. 58 bis) (N), siendo n — 1 el nú-
mero de planos, el número de cuadrados, Ó sea el número
de cubos elementales será n?.
Y como para la capa de la base podemcs decir otro tanto,
entre la capa superior y la inferior, resultarán 2 n? cubos y
otros tantos valores conocidos de U.
Pasemos á las capas que forman las caras laterales.
= 0 =
La anterior, por ejemplo (N”), contendrá evidentemente
n (n — 2) cubos, descontando las filas superior é inferior, que
ya están contados en las capas, también inferior y superior.
Y como de la capa posterior podemos decir otro tanto, re-
sultan entre ambas 2n (1 — 2), y tendremos igual número
de valores U, conocidos.
Quedan otras dos caras (N”)
del paralelepípedo; pero cada una
de ellas ha perdido una fila supe-
rior y otra inferior, y además otras
dos filas laterales, es decir, que
contendrá cada una (n— 2)? cu-
bos, y las dos juntas 2 (n — 2)?
luego tendremos por este concep-
to 2 (n — 2)? incógnitas menos,
porque todos los valores U, de las
capas exteriores son conocidos.
Las consideraciones que prece-
den están representadas gráfica-
mente en la figura 58 bis.
El cuadrado N con sus divisio-
nes índica la capa superior y la in-
ferior del cubo.
El cuadrado N” representa la
capa anterior y la posterior.
Y el cuadrado N” las dos capas
laterales.
Sumando los tres números ob-
tenidos, vemos que hay que restar
del número de incógnitas, por tra-
tarse de cantidades conocidas, el Figura 58 bis.
siguiente
2n?7+2n(n— 2) + 2(n—2)?=6n*—12n +8
y así
==
número de cantidades conocidas ....... 6n?—12n 28.
Restando del número total de valores de U que dijimos
que era n* el anterior, obtendremos el número de incógnitas
ó cantidades desconocidas.
Resulta, pues,
número de incógnitas ........ n*--(6n? — 12n—8)=
=n*—6n?*?+12n—8.
Estas incógnitas habrá que determinarlas por las ecuacio-
nes [A], [B], [C], [D] que es donde entran los valores de U,.
Su número es precisamente el de cubos interiores. Pero
el cubo total tenía de lado n divisiones, el cubo interior tie-
ne 1 — 2 y contendrá (n — 2), Ó desarrollando n* — 6 n? +
12 n —8.
Mas á cada cubo corresponde una ecuación de las [A]
[B] [C] [D], luego
número de ecuaciones ....... ni —6n? + 12n — 8,
que es exactamente igual al número de incógnitas.
Asi, pues, en este sistema artificial, que hemos creado á
semejanza de los sistemas continuos, que supone el proble-
ma de Dirichlet, el problema está resuelto y resuelta una
solución única y bien determinada para valores finitos de 1.
Ahora bien; para resolver rigurosamente el verdadero
problema de Dirichlet, aún tendríamos que recorrer mucho
camino; porque, en efecto, el número de ecuaciones de pri-
mer grado, es, por decirlo así, triplemente infinita y la deter-
minante total del denominador y las determinantes menores
que entrarían en los numeradores, son determinantes de
forma infinita también, y todas ellas y sus relaciones requie-
ren un estudio especial, en el que no podríamos detenernos,
aun teniendo la seguridad del resultado.
Para nuestro objeto, y por si las ideas que preceden pu-
dieran contener algún gérmen fecundo, basta con lo dicho.
— 1047 —
XLVH.-—Fototropia y fotoluminescencia.
ESTUDIO PRELIMINAR POR JOSÉ RODRÍGUEZ MOURELO.
Al ocuparme, tiempo atrás, en el estudio particular de la
fotoluminescencia en los sulfuros de calcio, con ánimo de
determinar sus condiciones y en especial las de impresiona-
bilidad de algunos de ellos respecto de la luz, hube de ob-
servar un cambio notable en la coloración, blanca más ó
menos agrisada, de ciertos cuerpos en los cuales era el dicho
sulfuro de calcio disolvente sólido, apenas eran sometidos á
intensa iluminación, pero sin que los excitasen los rayos so-
lares. Tornábanse entonces de marcado color rojizo, más ó
menos violáceo, y recobraban el primitivo al cesar la intensa
acción luminosa y recibir de nuevo la luz difusa; y al cabo de
bastantes años conservan, sin disminución alguna, semejan-
te propiedad, sin haber variado en nada, como cosa inheren-
te á su misma constitución, á juzgar por aquellas condiciones
de persistencia y de reversibilidad, ya señaladas, antes de
ahora, por características particulares del curioso fenómeno
observado.
Muy al contrario de ser general, sólo determinados sulfu-
ros de calcio lo presentaban y no parecía tener relaciones
con los métodos de obtención, ni siquiera con la misma fos-
forescencia. Era el caso que muchos, dotados de ella en su
grado máximo, no cambiaban de color, y otros lo mudaban
en la forma expresada; varios no fosforescían y su colora-
ción variaba; los había poco fosforecentes y muy sensibles
para volverse rojizo violados, y los obtenidos mediante las
acciones del vapor de azufre sobre la cal viva en fragmentos
á la temperatura del rojo muy vivo, presentaban el cambio
= 1048 =
de color de una manera bien particular: algunos trozos, ape-
nas sometidos á intensa iluminación, volvianse de marcado
color rojizo violado, los otros permanecían blancos, y lleva-
do el cuerpo á la obscuridad, se advertía cómo sólo estos
últimos eran fosforescentes y con mucha intensidad la ma-
yoría de las veces. Lo cual parecía demostrar, muy á las
claras, cierta independencia de los fenómenos examinados.
Bien se comprende lo particular del hecho, conforme de
primera intención había sido notado. Dijérase privativo de
los sulfuros de calcio fotoluminescentes, y eso no de todos
cuantos en mis experimentos había obtenido, y son en gran
número; pues ninguno de los sulfuros de bario y de estron-
cio, que hasta entonces había preparado, cambiaban de co-
lor en la manera que es dicha. Parecía no relacionarse el
hecho ni depender del fostorógeno ó materia activa, por
cuanto era distinta la contenida en las masas que lo presen-
taban. Tampoco era dable atribuirlo á la temperatura niá la
manera de preparar los sulfuros, porque desde el principio
observé cómo tales circunstancias para nada influían en el
fenómeno; el cual creyéralo fortutuito, de no haber notado
repetidas veces cómo ciertos sulfuros, y precisamente de
calcio, expuestos al aire cierto tiempo, para provocar una
oxidación superficial, suelen cambiar un poco de color, aun-
que entonces la variación es permanente é implica un cam-
bio químico y parcial de la naturaleza del disolvente ó dilu-
yente de la substancia activa.
No era, pues, dable establecer, de buenas á primeras, ni
siquiera una regla para conseguir á voluntad sulfuros de
calcio susceptibles de cambiar de color mediante las accio-
nes de una intensa iluminanción en las condiciones en las
cuales tal hecho fuera notado, ni menos todavía determinar
su generalidad ó explicar sus causas. Sólo podía, conforme
lo hice, examinar detenidamente las condiciones de su pro-
ducción, estudiarlas por menudo y atribuirlo, apoyado en
buenas razones, á una acción fotoquímica reversible, sin
— 1049 —
que hasta la fecha de los primeros estudios hubiesen llegado
á mi conocimiento trabajos Ó investigaciones anteriores re-
ferentes al caso, en verdad bien curioso y digno de ser estu-
diado con la debida atención que he prozurado prestarle,
de mi parte, cuanto ha sido posible, creyendo haber llegado
á ciertas conclusiones interesantes, las cuales trataré de ex-
poner y razonar en la presente Memoria, que servirá de
preliminar á una serie de trabajos de pormenor y de inves-
tigaciones originales relativas á los fenómenos de la fotolu-
minescencia.
Conviene recordar, á modo de punto de partida, las ana-
logías y semejanzas del fenómeno por mí observado con
otros hechos, tampoco frecuentes, pero bien estudiados
y conocidos. Me refiero á los cambios de color de ciertos
cuerpos mediante la sola y directa acción de la luz, que cons-
tituyen lo que Marckwald llamó fototropia, y á la cual es
menester añadir los del sulfuro de calcio objeto de mis in-
vestigaciones. Datan de 1903 los primeros trabajos que acer-
ca del particular se han publicado (*), completados más tar-
de con nuevos datos y observaciones (**), y trato de aumen-
tarlos con otros varios experimentales y ciertas considera-
ciones teóricas por ellos sugeridas, y repetiré, al comenzar
estos preliminares, lo dicho en anteriores ocasiones, es á
saber: que no ha llegado á mi notícia, ni mi diligencia ha
podido dar con ningún trabajo ni estudio referente á la fo-
totropia de los sulfuros alcalino-terrosos fotoiuminescentes,
siquiera tal fenómeno haya sido bien estudiado con relación
á ciertas substancias Orgánicas.
Ocurre el caso del cambio de color en algunos minerales
(+) Anales de la Sociedad Española de Física y Química 1, pági-
na 346 (1903),
(*) Ibidem, MI, pág. 40 (1905). Archives des Sciences Physiques ef
Naturelles quatrieme periode, t. XXV, pág. 15, Genéve, 1908. Aso-
ciación española para el progreso de las Ciencias. Congreso de Zara-
goza, 1908, Rev. R. Acad. Ciencias, Febrero, 1909,
— 1050 —
harto conocidos, y se puede citar á tal propósito la llamada
piedra careta, de procedencia española, constituida por com-
puestos manganosos hidratados. De color pardo obscuro,
casi negro en el exterior, es en la fractura reciente blanco
rosado; mas al aire pronto cambia; pero no ha de confundir-
se esta oxidación, debida al oxígeno atmosférico, con la fo-
totropia, por más que en ciertos casos de irreversibilidad la
luz actúa á modo de catalizador para determinar oxidaciones
bastante completas. En punto á ello vale citar, á guisa de
ejemplos, los fenómenos de oxidación observados por Stobbe
en los complicados cuerpos, casi siempre ferúlicos, llamados
fúlgidos, muy sensibles á las acciones de la luz.
Demuestran los hechos hasta el presente observados, cómo
los fenómenos de fototropía son, en general, acciones quí-
micas producidas mediante influencias directas de las radia-
ciones luminosas ó de las ultravioladas, pudiendo obrar como
energias aceleradoras de los cambios moleculares, aun en
los casos de catálisis fotoquímica, y esto lo mismo tratándo-
se de fototropías reversibles que de las irreversibles ó de las
seudoreversibles, cuyas dos últimas categorías correspon-
den á reacciones completas y la primera á estados de equili-
brio inestable de los sistemas fototrópicos. Asimilables, en
gran parte, los constituidos por los sulfuros alcalino-terrosos
á los fúlgidos de Stobbe (*) en cuanto á la manera de ser
impresionados por la luz, difieren notablemente de ellos res-
pecto del mecanismo del hecho y de los cambios experimen-
tados por las masas susceptibles de cambiar de color, y á
mi entender, tratarse de un caso particular de fenómenos fo-
toquímicos.
Por creerlo así y tener por bastante más sencillo el caso
(+) Liebig: Annaler, 359, 1 (190:).
Zeitschr f. Elektrochem, 11, 473 (1908).
Discurso en la Bunsengesellschaft. Reunión de Viena “Mayo de
1908).
= 109 ==
examinado, en cuanto no presenta, á lo menos en aparien-
cia, aquellos estados intermedios característicos de los fúl-
cidos, Ó no son observables á causa de la velocidad del
cambio de color, se escribe el presente estudio preliminar, y
desde luego me aventuro á decir que la tototropía de los sul-
furos alcalino-terrosos es un cambio químico directo, rectilí-
neo, reversible, y no un fenómeno de los calificados de fo-
tocatalíticos, sino rápida transformación química reversible
que ha menester para ser llevada á cabo la presencia de
ciertas radiaciones del orden de las de menor longitud de
onda. Sin aventurar, desde el principio, ningún género de
hipótesis, puede asegurarse la especificidad del hecho, de-
mostrada, conforme veremos, al estudiar el pormenor de sus
apariencias y sus relaciones con la constitución particular de
todos los agregados en los cuales ha sido bien observado.
En punto á ello hay ya que hacer una primera ampliación,
y consiste en afirmar cómo no es el cambio de color sólo
privativo de los sistemas en los que hace oficios de diluyen-
te el sulfuro de calcio, porque ha sido advertido, con nota-
ble intensidad, en otros, exentos de sulfuro de calcio en ab-
soluto, que tenían por diluyentes sulfuros de estroncio y de
bario, si bien con el último las alteraciones de la coloración
de la masa no son uniformes. Semejante cosa no se halla en
contradicción con lo expuesto en anteriores trabajos; antes
bien, los confirma y apoya, y ha servido para emprender
otros más detenidos, de cuyos resultados se dará cuenta en
sazón, sirviéndoles á manera de prólogo la presente Nota,
en la cual expongo en compendio lo hasta el presente hecho,
con el debido comentario.
Quería yo volver á mis antiguas investigaciones respecto
de los sulfuros alcalinos terrosos fotoluminescentes, con in-
tento de examinar, muy por menudo, algunas de sus pro-
— 1052 —
piedades, cuyo conocimiento es, á la hora presente, bastante
incompleto, y ayudado de la eficacisima y nunca bastante
agradecida colaboración de mi buen amigo D. Modesto
Maestre, hube de emprender la nueva tarea, comenzando
por preparar tres series de cuerpos fotoluminescentes, de
cinco ejemplares cada una y cuyos diluyentes fueron respec-
tivamente los sulfuros de bario, estroncio y calcio. Tenía ca-
pital interés para los ulteriores experimentos el proceder
exactamente de la misma manera en la obtención de los pro-
ductos fosforescentes, partiendo de primeras materias aná-
logas y sometiéndolas á idénticas operaciones, y dióse en
tal punto la preferencia á aquellos antiguos métodos que
Becquerel empleara con excelente resultado en sus clásicos
experimentos de la fostorescencia, si bien modificándolos
algún tanto, conforme pedíanlo las mismas necesidades de
los nuevos experimentos. Era indispensable, para realizarlos
con acierto, que los sistemas de los diluyentes fuesen en
absoluto blancos y transparentes, lo cual quiere indicar que
su color no absorbiese luz y que el fosforógeno, empleado en
proporciones mínimas, se difundiese en la masa de los di-
chos diluyentes de la manera más uniforme posible.
Fué adoptado como método exclusivo de obtención la
acción del azufre en flor, bien puro, sobre los carbonatos de
bario, de calcio y de estroncio, impregnados de los fosforó-
genos ó materias activas que luego se dirán y de las precisas
y siempre exiguas cantidades de cloruro y de carbonato de
sodio. Se operó á temperatura elevada, de 900 á 1.000*C
sostenida de tres á cinco horas, según los casos, y seguida
de muy lento enfriamiento. Como aun los carbonatos repu-
tados de purisimos no dieron en su examen analítico resul-
tados todo lo satisfactorios precisos, porque siempre fué
acusada la presencia del hierro, siquiera en mínimas pro-
porciones, se han preparado en el laboratorio, y acerca del
particular debo consignar aqui ciertas observaciones que
juzgo interesantes.
— 1053 —
Requiérese, como condición indispensable para la fotolu-
minescencia que el diluyente sea blanco ó de color agrisado
muy claro; si su masa está teñida por un sulfuro de tono
pardo obscuro ó negro ditundido en su masa, el sistema re-
sulta inerte y en ningún caso es impresionado por la luz, y
lo propio acontece si se han formado polisulfuros de color
verde aceituna Ó verde amarillento obscuro. En particular, el
sulfuro de hierro tiene cualidades extremadas en punto á
anular la impresionabilidad para la luz y la fotoluminescen-
cia á ella inherente, y tengo observado repetidamente cómo
bastan algunas milésimas de sulfuro de hierro agregado á
los correspondientes carbonatos para que luego de actuar
sobre ellos el azufre, á temperatura elevada, resulten masas
parduzcas del todo insensibles á las acciones de la luz. Con
el sulfuro de bario el hecho es singular y bastan indicios de
hierro para que se produzcan grandes perturbaciones en su
luminescencia, caso de presentarla, que no es frecuente.
También resulta nociva la presencia de la materia orgánica,
procedente de los carbonatos— y la contienen siempre los
comerciales —porque actúa como reductor, á temperatura
elevada, sobre la materia del fosforógeno, llegando á anular
su actividad; y esto téngolo notado mezclando de intento ó
agregando substancias orgánicas ricas de carbono en canti-
dades menores del 1 por 100. En cambio, da buenos resulta-
dos el cubrir las mezclas puestas en los crisoles con una
ligera capa de polvo de almidón.
Guiado por los resultados de anteriores experimentos,
tratamos de obtener en el laboratorio los carbonatos purísi-
mos de bario y de estroncio, en absoluto exentos de hierro
y libres de materia orgánica, partiendo de los mismos pro-
ductos comerciales y el carbonato de calcio, empleando las
cáscaras de huevo, sometiéndolas antes á prolongada calci-
nación á la temperatura del rojo vivo. Procedíase disolvien-
do en ácido clorhídrico puro, y llamó nuestra atención la
enorme cantidad de hierro y de manganeso contenidos en
— 1054 —
las cáscaras de huevo empleadas, tanto como su pobreza de
compuestos minerales de otros géneros; su análisis comple-
to será publicado más tarde.
Se evaporaban hasta sequedad las disoluciones clorhídri-
cas, y el residuo, á su vez disuelto er agua, era tratado hir-
viendo con sulfhidrato amónico, y luego de filtrado el líquido
era de nuevo evaporado hasta sequedad y calentado el resi-
. duo sólido durante largo tiempo en baño de María, repitien-
do las disoluciones, precipitaciones, filtraciones, evaporacio-
nes y calentamientos hasta que por ningún medio era posi-
ble demostrar la presencia del hierro. Llegado este término,
los cloruros anhidros, de singular blancura, eran al punto
disueltos en agua destilada, obteniendo disoluciones de con-
centración media, de las cuales se precipitaban los corres-
pondientes carbonatos, empleando —conforme aconsejaba
antaño Becquerel—disoluciones concentradas y recientes de
carbonato amónico sin el menor indicio de hierro. Durante
la precipitación manteníanse en movimiento el líquido, mer-
ced á un agitador mecánico de paletas de vidrio y con el re-
poso el precipitado, de singular finura, depositábase en el
tondo de las vasijas al cabo de doce horas, en condicio-
nes de poder ser fácilmente recogido y lavado; debe em-
plearse siempre bastante exceso de disolución de carbonato
amónico. Ha de lavarse primero por contacto y decanta-
ción y luego en filtro con agua hirviendo hasta el com-
pleto agotamiento de todas tas materias solubles y total des-
aparición del olor amoniacal, y sólo cuando esto se ha con-
seguido hay seguridad de tener una buena primera materia
adecuada para preparar los sistemas fotoluminescentes em-
pleados en los nuevos experimentos.
Hubimos de emplear, en calidad de fosftorógenos, los clo-
ruros de manganeso, de bismuto, de antimonio y de cobre y
sulfato de cinc en proporciones tales que resultaba 0,001
oramo de cada metal por 100 gramos de cada uno de los
carbonatos empleados como disolventes, y habiendo demos-
— 1055 —
trado antiguas prácticas la eficacia de la presencia de leves
proporciones de materias alcalinas, se agregaron 1 por 100
de carbonato de sodio y 0,5 por 100 de cloruro de sodio,
confirmando antes su absoluta pureza. Demuestra la insis-
tencia en todos estos pormenores su necesidad para el buen
resultado de las operaciones ulteriores.
Teniéndolos en cuenta, se procedía á incorporar á la masa
de los carbonatos las substancias destinadas á hacer de fos-
forógenos; empleamos el método de impregnación en la for-
ma siguiente: los precipitados, todavia húmedos, pero ya
completamente lavados, eran colocados en cápsulas de por-
celana, y con agua se formaba una pasta clara, á la cual se
agregaba, disuelta, la materia activa, empleando la cantidad
estrictamente necesaria de ácido clorhídrico cuando aquélla
es de las que se fraccionan en el agua. Luego, y también di-
sueltos, se añaden el cloruro y el carbonato de sodio, y sin de-
jar de agitar la mezcla se evapora hasta completa sequedad
en el baño de María, y ha de resultar homogénea, de per-
fecta blancura y enteramente exenta de olor amoniacal. En-
tonces púede ser mezclada con el azufre en flor, empleando
cosa de 5 por 100 más de la cantidad calculada, usando
mortero de porcelana barnizada y triturando é incorporan-
do las dos substancias hasta lograr una masa lo más homo-
génea posible y de color uniforme, la cual ha de ser puesta
en buenos crisoles de barro, que, tapados de manera conve-
niente, han de ser calentados en un horno á temperatura
muy elevada, sostenida durante el tiempo arriba dicho. Así
procedimos en los nuevos experimentos, y sus resultados,
en lo tocante á la fotoluminescencia, serán objeto de otro
trabajo y comienzo de mayores investigaciones; de presente
interesa especialmente cuanto atañe á los fenómenos de to-
totropía advertidos, con intensidad variable, en algunos de
los productos obtenidos conforme es dicho.
Insistiré todavía en lo que á la obtención se refiere para
notar un hecho, frecuente por desgracia y harto perturba-
Rkv. AcaD. DE CiENCcIaSs. —X.—Junio, 1912» 77
— 1056 —
dor, observado en el sulfuro de bario, y se reduce á esto: en
los crisoles, después de fríos, debe quedar una masa blanca,
á lo sumo ligeramente agrisada, de aspecto más ó menos
uniforme y con marcada estructura granugienta, nunca adhe-
rida á las paredes del crisol ni dura en demasía; pues bien,
al recoger los cinco productos de la serie del sulfuro de ba-
rio, vimos en los crisoles masas fundidas cristalinas á ellos
muy unidas, de color pardo claro ó gris ceniciento obscuro
y de una absoluta inercia respecto de la luz. Contienen
sulfuro de bario; pero también mucho silicato del propio
metal, cuya presencia se explica porque, habiéndose eleva-
do mucho y muy deprisa la temperatura, el carbonato de
bario se ha descompuesto, y la barita cáustica resultante,
antes de poder ser transformada en sulfuro, atacó al crisol
y constituyó el silicato, en el cual fué asimismio advertida
la presencia del hierro. Sólo elevando poco á poco la tem-
peratura puede evitarse la contingencia apuntada.
(Continuard.)
INDICE
DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE TOMO
Págs.
«Constitución de la Academia en 1.2 de Julio de 1911:
'ACACEMICOS AMM a
ASCO EAS O
Académicos corresponsales nacionales........ ..... a
Académicos corresponsales extranjeros....... ;
Conferencias sobre Fisica matemática. Teoría de los torbelli
nos, por José Echegaray (Conferencias 15.* 420.2) 11,31,
52, 16, 187 y
Conferencias sobre Física matemática. Teorías diversas, por
José Echegaray (Conferencias 1.? á 16.2) 283, 301, 379,
403, 475, 503, 575, 655, 674, 771, 797, 865, 889, 959, 985 y
El profesor D. Juan Fages, por José Rodriguez Mourelo......
Apuntes sobre Mecánica social, por Antonio Portuondo y Bar-
(A Sa 119, 258, 333, 433, 544, 619, 823 y
Estudio acerca de la dunita platinífera de los Urales, por
Sd e RR UDTeS A A A
La copelación, según antiguas recetas, por José Rois
MOB us e toa aial o 235 y
Sobre el electrómetro de cuadrantes, por E. Terradas........
Cráneos araucanos del Museo Antropológico Nacional, por
MISCO) OS SAME a 5
La asimetría de los tripletes de Zeeman, por Manuel Martínez-
¡QUEDO 59 IOCIAS ¿Goo acabo a leo:
Nota escrita con motivo de la venida á Madrid del Príncipe
Alberto 1 de Mónaco, por Joaquín González Hidalgo.. ....
Programa de premios para el concurso del año 1913.........
Relaciones entre la fórmula estereoquímica de los «Carburos
acíclicos» y su calor de combustión, por Ruperto Lobo Gó-
VD JO
211
El astigmatismo de los resaltos cóncavos esféricos, por P. Ca-
ILOSCO a a a A AN a EIN
Mirmeleónido (Ins. Neur.) nuevo de Canarias, por el R. P. Lon-
ASIN A
Sismógrafo analizador, por Eduardo Mier y Miura...........
Nuevo método de obtención de aminas, empleando la reac-
cion de Grionard, por Benito Bayas a io
Algunas observaciones sobre los xantogenatos, por /. Ferrer.
Distribución del calor de vaporización, por Carlos Barutell y
IN A NS A MIRRA
Fototropia y fotoluminescencia, por José Rodríguez Mourelo..
INDICE
DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NUMERO '
“PÁGS.
XLIV. — Conferencias sobre Física matemática. Teorías di-
versas, por José Echegaray. Conferencia décima- -
EY E A E E 959
XLV. — Conferencias sobre Física matemática. Teorías diver-
sas, por José Echegaray. Conferencia décimaquinta. 985
XLVI. — Conferencia sobre Física Matemática. Teorías di-
versas, por José Echegaray. Conferencia décimasexta 1021
XLVII. — Fototropia y fotoluminescencia, por José Rodríguez
A A A A 1047
La subscripción á esta Ruvisra se hace por tomos completos,
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val-
verde, núm. 26, Madrid. RS
Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. 5 EE ea
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