Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Ficas y Naturales de Madrid

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EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

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las opiniones de sus individuos; cada
autor es responsable de lo que con-
tengan sus escritos.»

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EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

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MADRID

TOMO V.-NÚMS. 1, 2 Y 8.
(Julio, Agosto y Septiembre de 1906,)

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REAL ACADEMIA DE CIENCIAS

EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID

ACADÉMICOS DE NÚMERO

Excmo. Sr. D. José Echegaray, Presidente.
Zurbano, 44.

Excmo. Sr. D. José Morer.
Génova, 3.»

Excmo. Sr. D. Eduardo Saavedra, Vicepresidente.
Fuencarral, 74.

Sr. D. Joaquín González Hidalgo.
Alcalá, 36.

Ilmo. Sr. D. Gabriel de la Puerta y Ródenas.
Valverde, 30 y 32.

Excmo. Sr. D. Daniel de Cortázar.
Velázquez, 16.

Ilmo. Sr. D. José Rodríguez Carracido, Bibliotecario.
Orellana, 10.

Excmo. Sr. D. Francisco de P. Arrillaga, Secretario.
Valverde, 26.

Excmo. Sr. D. Julián Calleja y Sánchez, Tesorero.
Argensola, 6.

Sr. D. Eduardo Torroja y Caballé, Contador.
Requena, 9.

Excmo. Sr. D. Amós Salvador y Rodrigáñez.
Carrera de San Jerónimo, 53.

Sr. D, Francisco de Paula Rojas.
Lealtad, 13.

Excmo. Sr. D. Juan Navarro-Reverter.
Barquillo, 15.

Excmo. Sr. D. Lucas Mallada.
Santa Teresa, 7. ;

Excmo. Sr, D. Santiago Ramón y Cajal.
Atocha, 125.

Excmo. Sr. D. Diego Ollero y Carmona.

Ferraz_ 54.

Sr. D. Pedro Palacios.

Nicolás María Rivero, 8.
Sr. D. Blas Lázaro é Ibiza.
Palafox, 19.
Ilmo. Sr. D. José Muñoz del Castillo.
Quintana, 38.
Excmo. Sr. D. Leonardo de Torres y Quevedo.
Válgame Dios, 3.
Sr. D, José María de Madariaga, Vicesecretario,

Zurbano, 18.

Ilmo. Sr. D. José Rodríguez Mourelo.

Piamonte, 14.
Sr. D, Victorino García de la Cruz.
Gobernador, 23.
Ilmo. Sr, D. José Marvá y Mayer.
Campomanes, $.
Sr. D. Rafael Sánchez Lozano.
Génova, 17-
Sr. D, José Gómez Ocaña.
Atocha, 127 dupdo.
Sr. D. Vicente Ventosa y Martínez de Velasco.

Amnistía, 10.

ACADÉMICOS ELECTOS

Ilmo. Sr. D. Miguel Martínez de Campos.
Goya, 25.
Sr. D. Eduardo Mier y Miura.

Infantas, 32.

Ilmo. Sr. D. Ignacio Bolívar.

Paseo del Obelisco, 17.

Ilmo. Sr. D. Bernardo Mateo Sagasta.
San Mateo, 22.

Sr. D. Pedro de Avila y Zumarán.
Travesía de la Ballesta, 8.

Sr. D. Ignacio González Martí.
Hernán Cortés, 7.

Excmo. Sr. D. Manuel Benítez y Parodi.

Plaza de la Lealtad, 4.

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Sr. D. Miguel Vegas y Puebla-Collado.

Pez, 1 y 3-
Sr. D. Nicolás de Ugarte y Gutiérrez,

Hernan Cortés, 3.

La Academia está constituida en tres Secciones:

1.2 CIENCIAS EXACTAS.—Sres. Saavedra, Presidente;
Torres, Secretario; Morer, Arrillaga, Torroja, Navarro“
Reverter, Ollero y Ventosa.

2.2 CIENCIAS FÍSICAS.—Sres. Puerta, Presidente; Mou-
relo, Secretario; Echegaray, Carracido, Salvador, Rojas,
Muñoz del Castillo, Madariaga, García de la Cruz y
Marvá.

3." CIENCIAS NATURALES.—Sres. Hidalgo, Presidente;
Gómez Ocaña, Secretario; Cortázar, Calleja, Mallada,
Cajal, Palacios, Lázaro y Sánchez Lozano.

ACADÉMICOS CORRESPONSALES NACIONALES

Sr. D. Andrés Poey. París,

Excmo. Sr. D. Eduardo Benot. Madrid,

Excmo. Sr. D. Silvino Thos y Codina. Madrid.

Sr. D. Eduardo Boscá y Casanoves. Valencia.

Sr. D. Luis Mariano Vidal. Gerona.

Excmo. Sr. D. Leopoldo Martínez Reguera. Madrid.
Excmo. Sr. D. Rogelio de Inchaurrandieta. Madrid.
Sr. D. Ramón de Manjarrés y de Bofarull. Sevilla.
Sr. D. Modesto Domínguez Hervella. Madrid.

Sr. D, Salvador Calderón y Arana. Madrid.

Ilmo. Sr. D. Ricardo Vázquez-Illá y Martínez. Valladolid.
Sr. D. Zoel García de Galdeano. Zaragoza.

Sr, D. Eduardo J. Navarro. Málaga.

R. P. Fr. Celestino Fernández del Villar. Manila /?).
Sr. D. José María Escribano y Pérez. Murcia.

Sr. D. José Florencio Quadras. Manila.

Sr. D. Lauro Clariana y Ricart. Barcelona.

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Excmo. Sr. D. Rafael Breñosa y Tejada. Segovia,

Excmo. Sr. D. José María de Castellarnau y Lleopart.

Madrid.

Exmo. Sr. D. Juan Bautista Viniegra y Mendoza, Conde

de Villamar. San Fernando.
Sr. D. Rafael Pardo de Figueroa. Puerto Real.
Sr, D. Juan Vilaró Díaz. Habana.
Excmo. Sr. D. Pablo Alzola y Minondo. Bilbao.
Sr. D. Joaquín de Vargas y Aguirre. Salamanca.
Excmo. Sr. D. José J. Landerer. Valencia.
Sr. D. José Eugenio Ribera. Madrid.
Sr. D. Tomás Escriche y Mieg. Barcelona.
Sr. D. Eugenio Mascareñas. Barcelona.

ACADÉMICOS CORRESPONSALES EXTRANJEROS

Barboza de Bocage (J. V.). Lisboa.
Anguiano (A.). Méjico.

Gaudry (A.). París.

Lemoine (V.). Reims (?).

Collignon (E.). Paris.

Barrois (Ch.). Lille.

Hoonholtz, Barón de Teffé (A. L. de). Rio Janeiro (?).
Gomes Teixeira (F.). Porto.

Lapparent (A.). París.

Príncipe de Mónaco (S. A. el). Mónaco.
Choffat (P.). Lisboa.

Vendrell (A.). Guatemala.

Arata (P. N.). Buenos Atres.

Carvallo (M.). Paris.

Laisant (C. A.). Paris.

Enestróm (G.). Estocolmo.

Ferreira da Silva (A. ]J.). Porto

Nery Delgado (P. F.). Lisboa.

Pina Vidal (A. A. de). Lisboa.

Brocard (H.). Bar-le-Duc.

Laussedat (A.). París.

Ocagne (M. d”). Paris.

Romiti (G.). Pisa.

Wettstein Ritter von Werstersheim (R.). Viena.

Engler (A.). Berlín.

Guedes de Queiróz, Conde de Foz (G.). Lisboa.

Berthelot (M.). París.

Moissan (E.). París.

Pilsbry (E.). Filadelfia.

Arrhenius. (S,). Estocolmo.

Ramsay (G.). Londres.

Rayleig (Lord). Londres.

Castanheira das Neves (J.). Lisboa.

Academia Mejicana de Ciencias Exactas, Físicas y Natu-
rales. Méjico.

[.—Introducción á la Fisica matemática.

Por Jose£ ECHEGARAY.

Conferencia séptima.

SEÑORES:

Al exponer una vez y otra, en uno y otro ejemplo, las di-
ferencias que existen entre la Física experimental y la Física
matemática, para marcar el carácter de una y otra ciencia,
hemos repetido con insistencia la idea siguiente:

Que la Física experimental estudia, ya los fenómenos en
conjunto, ya los hechos aislados, sus relaciones y sus leyes,
sin afirmar nunca cuál sea la esencia íntima de tales fenóme-
nos, sin formular ninguna hipótesis, á no ser en circunstan-
cias muy especiales.

En suma, la Física experimental hace constar hechos na-
turales y leyes empíricas; pero nunca pretende explicar el
porqué y el cómo de estos hechos y de estas leyes.

En cambio la Física matemática, si empieza por formular
hipótesis, y á estas hipótesis se aplican por lo regular los
principios de la Mecánica, es siempre para explicar los he-
chos: no para hacer constar que son, sino para darse cuenta
de cómo son y por qué son.

Pero al afirmar que la Física matemática explica los he-
chos, es preciso que marquemos la significación de esta pa-
labra explicar.

Si al suponer que la Física matemática explica los hechos,
quisiéramos significar que penetra en su esencia, que tiene
pretensiones de llegar á lo absoluto y de decirnos lo que en
el fondo son la luz y el calor, y la electricidad y el magnetis-
mo, y los cuerpos, y la materia, y las fuerzas; si esto preten-

o, Y

diera, repetimos, pretendería: lo imposible y merecería las
críticas que contra algunas teorías del siglo anterior, y sobre
todo contra la hipótesis mecánica, se han repetido hasta por
hombres eminentes en la ciencia.

Pero no es así; la palabra explicación en la Física mate-
mática no debe entenderse en un sentido absoluto ni, por lo
tanto, en sentido metafísico tampoco.

Decimos que un fenómeno se explica cuando se reduce ú
otro fenómeno ya conocido y estudiado, y cuanto más vul-
gar sea este segundo fenómeno, tanto más satisfactoria será
la explicación.

Explicar es, para nosotros, reducir el número de aparien-
cias diversas de los hechos á un fenómeno único, aunque nos
sea imposible penetrar en la esencia de dicho fenómeno.

Y esta es la ventaja de la hipótesis mecánica, que procura
reducir todos los fenómenos del mundo físico, aun los de
apariencias más diversas, á fenómenos vulgarísimos con los
cuales estamos familiarizados y que en este sentido nos son
perfectamente conocidos.

Estamos familiarizados con las masas, con las fuerzas, con
las velocidades, con todos los accidentes de la Estática y de
la Dinámica, aun cuando no hayamos hecho un estudio es-
pecial de estas ciencias.

Así, por ejemplo, explicamos lo que es un gas cuando de-
cimos que se compone de partecillas pequeñísimas, que se
mueven en todos sentidos. Y decimos que explicamos los
gases de este modo, porque los fenómenos que presentan y
sus diferentes leyes, se reducen al hecho vulgar de masas
que se mueven con velocidades determinadas.

Volvemos á repetirlo; explicar de este modo un gas no es
penetrar en su esencia, ni llegar á lo absoluto, sino reducir
el gas al movimiento de unas cuantas masas,.sin que por lo
demás sepamos, con esas evidencias que la antigua Metafí-
sica pretendía, ni lo que es la masa, ni lo que es la fuerza,
ni lo que es la velocidad, ni lo que es el tiempo.

LS

Todos estos serán postulados, ó definiciones, ó convencio-
nalismos de la ciencia. Nos servirán para explicar otros he-
chos complejos; pero ellos necesitarían explicación si hubié-
ramos de penetrar en el seno de las cosas y si consiguiéra-
mos descubrir su naturaleza íntima.

Y otro tanto pudiéramos decir de todos los ejemplos que
se refieren á la teoría del calor, y que explicábamos en las
conferencias precedentes.

Explicábamos el calor, y procurábamos explicar sus fenó-
menos diversos con esta hipótesis: el calor consiste en la
agitación de las partecillas sumamente pequeñas de un cuer-
po. Es decir, el calor es un modo del movimiento de la ma-
teria, es el conjunto de las vibraciones internas de una masa
material.

Sea la hipótesis verdadera ó no, lo que no puede decirse
es que sea una forma de la Metafísica, ni que con esta hipó-
tesis ni otras análogas se pretenda penetrar en el seno de
las cosas, y llegar á los últimos misterios de la Naturaleza y
formular una especie de Filosofía materialista con la ayu-
da de la Física matemática y con ciertas complicidades del
cálculo.

Esta hipótesis, y todas las hipótesis mecánicas, ó casi to-
das ellas, son naturales, son legítimas, y en la ciencia del
siglo anterior han sido eminentemente fecundas.

Pues ¿qué es toda la Astronomía, sino la aplicación de la
hipótesis mecánica á los espacios infinitamente grandes,
como la hipótesis mecánica ha predominado á su vez en la
Física matemática para los espacios intermoleculares ?

La ciencia rompió los cielos de cristal en que estaban en-
clavados los astros, arruinó viejos edificios astronómicos,
llenó el espacio de masas aisladas, que se movían bajo la

2 MIL

acción de fuerzas atractivas combinadas con las velocidades
de proyección de los diferentes astros.

Y ¿qué era esto más que una hipótesis mecánica 6 un con-
junto de hipótesis: masas, fuerzas, velocidades, trayectorias,
y las ecuaciones de la Dinámica para poner en relación todos
estos elementos y organizar racionalmente los fenómenos, ó,
dijéramos mejor, las apariencias de la Astronomía? ¿Qué
era esto más que interpretar los fenómenos astronómicos en
el sentido de masas en movimiento, para llevar á los espa-
cios infinitos fenómenos á que estamos acostumbrados en la
superficie de la Tierra, y cuyas leyes empíricas están al al-
cance de nuestros laboratorios?

Toda la Astronomía no es más que la hipótesis mecánica
llevada desde nuestra tierra á los espacios infinitos.

Pues ¿por qué razón lo que es legítimo y ha sido inmen-
samente fecundo aplicado á la Astronomía, es decir, á lo
infinitamente grande, no ha de ser natural, legítimo y fecun-
do aplicado á lo infinitamente pequeño, es decir, á la Física
molecular? |

Y no se diga que las hipótesis son distintas ó que no
existen hipótesis en la Mecánica celeste, porque esto no es
exacto,

La Mecánica celeste está cuajada de hipótesis.

Una masa, después de todo, es una hipótesis ó una defi-
nicion, lo mismo si es la masa de Júpiter que si es la masa
de una molécula de hidrógeno; cuando más, serán distintas
las sensaciones que en nosotros determinen ambas masas.

Tan hipotéticas son las fuerzas internas de un cuerpo,
como las atracciones newtonianas.

Y, á decir verdad, hoy la mayor parte de los sabios, re-
chazan la acción á distancia y la atracción newtoniana: como
realidad, se considera absurda, y sólo se admite como hipó-
tesis fecundísima. Pues entonces, como hipótesis fecunda,
bien pueden admitirse las atracciones y repulsiones en lo in-
finitamente pequeño, es decir, en lo interior de los cuerpos,

A e

y aun en lo interior de los átomos según la novísima' mecá-
nica de subátomos, electrones é iones, que con estupendos
y admirables atrevimientos se va forjando, y de que hablare-
mos en su día. |

Masas, movimientos, fuerzas, es lo que vemos en la su-
perficie de la Tierra, ó al menos grupos de fenómenos á que
les damos estos nombres; pues si á los espacios infinitos que
nos rodean hemos llevado como explicación de los fenóme-
nos astronómicos, estos fenómenos tomados de la Mecánica
terrestre, ¿por qué no ha de ser legítimo llevar estos fe-
nómenos típicos de Estática y Dinámica al interior de los
cuerpos?

Y si el Universo visible está formado por masas en movi-
miento y por fuerzas reales ó aparentes entre las masas pla-
netarias, ¿por qué en el mundo invisible de los átomos no
ha de haber empleado la Naturaleza el mismo sistema de
masas, movimientos y fuerzas?

Extraño sería que la Naturaleza hubiera cambiado de sis-
tema tomando por línea divisoria nuestra potencia visual.
¡Hasta donde nosotros vemos ha de emplear masas separa-
das por distancias y movimientos de estas masas; y desde
aquel punto á que no llega nuestra vista Ó á que no alcanzan
nuestros microscopios, ha de acudir á otro sistema distinto!

Esto no parece lógico, ni parece natural, ni casi parece de
buen sentido.

Lo natural y lo lógico es suponer, que desde lo infinita-
mente grande á lo infinitamente pequeño, el sistema ha de
ser el mismo, y la unidad de la ciencia exige que por lo me-
nos, las hipótesis sean análogas; ya que no podamos más,
procuraremos la unidad de hipótesis.

Por estas razones, que no hacemos más que apuntar á la
ligera, creemos que la hipótesis mecánica, sean cuales fueren
sus deficiencias, prevalecerá siempre en la Física matemáti-
ca bajo una ú otra forma, y que abandonarla sistemática-
mente sería substituir, sin poder impedirlo, al concepto de

a fo

cantidad el concepto de calidad, que sería bordear los abis-
mos de la antigua Metafísica.

Se dirá, tal vez, que esta preponderancia de la hipótesis
mecánica, es decir, de las masas, de los movimientos y de
las fuerzas, obedece á una tendencia de nuestro organismo
y á cierta preponderancia tiránica que en él toma el sentido
de la vista.

Que si en nosotros predominase el sentido del oído, quizá
quisiéramos reducir á sonidos todo el Universo.

Pero sea de ello lo que fuere, no hemos de renunciar á
nuestra naturaleza, ni hemos de ser á capricho distintos de
lo que somos.

No es cosa de que por una especie de socialismo senso-
rial, queramos igualar en categoría científica al sentido de la
vista, que tan poderosamente contribuye, con el sentido del
tacto y el muscular, á la creación de la ciencia mecánica, con
el sentido del gusto ó del olfato, por ejemplo, creando una
especialísima mecánica culinaria ó de perfumería:

Todo lo que precede, no obsta para que reconozcamos la
fuerza y la importancia de la nueva crítica, así como la ri-
queza y la originalidad de las nuevas ideas; pero con todo, no
vemos, hoy por hoy, en las ciencias positivas ninguna hipó-
tesis que pueda substituir á la hipótesis mecánica, ni en ri-
gor relativo, ni en sencillez, ni en fecundidad.

Lo cual no significa que para nosotros la hipótesis mecá-
nica sea la explicación última y definitiva de los fenómenos.

Esto sería caer en una Metafísica materialista.

La explicación obtenida por medio de la hipótesis mecáni-
ca, no tiene otra significación para nosotros que la que ya
hemos expuesto varias veces: la reducción de multitud de
fenómenos con apariencias diversas á una sola clase de fe-
nómenos: los de la Mecánica.

Es para nosotros la Mecánica como una especie de unidad
de medida de los fenómenos, como un factor común de to-
dos ellos, como la mayor simplificación, en el estado actual
de la ciencia, de millones y millones de hechos que, al pare-
cer, ninguna relación tienen entre sí.

Para nosotros, la Física matemática ejerce su función
propia, siempre que, por los métodos matemáticos y por las
leyes de la Mecánica, reduce dos categorías de fenómenos
á una sola categoría. Por ejemplo, cuando, según la hipóte-
sis de Ampére, afirma que los fenómenos magnéticos son
idénticos en el fondo á los fenómenos eléctricos, mejor di-
cho, á los fenómenos de la Electrodinámica; cuando, en
suma, supone que un imán no es más que un conjunto de
corrientes.

Esta es una hipótesis propia del carácter de la Física ma-
temática, y, sin embargo, con esta hipótesis, nadie pretende
llegar al fondo del fenómeno magnético ni penetrar en su
esencia íntima.

Tan ignorantes quedaremos de lo que es el magnetismo,
cuando digamos que es un flúido especial, como al afirmar
que es un conjunto de corrientes eléctricas; porque tampoco
sabemos lo que es una corriente. Pero en vez de tener dos
incógnitas, X, Y, tendremos una sola, X,-y la segunda será
una función de la primera. Esto en el orden de la ciencia es
algo, y aun es mucho, y mucho es en el orden de la realidad.

Precisamente de este género es el ejemplo que vamos á
presentar, procurando siempre en éste, como en los demás
ejemplos, hacer resaltar el carácter de la Fisica experimen-
tal y el de la Física matemática, que es el tema constante de

“todas estas conferencias.

Rev. Aca. Crexcias.—V. —Julio, 1506.

=8'%

El ejemplo, pues, que hemos escogido, es el siguiente:
Influencia de una corriente eléctrica sobre el polo de un
imán; y recíprocamente: influencia del polo de un imán so-
bre una corriente eléctrica,

En el orden científico, es decir, de la ciencia pura y des-
interesada, fué éste uno de los fenómenos más admirables
que descubrió el siglo XIX.

En el orden práctico é industrial, uno de los más fecundos
y más transcendentales, como que ha dado origen nada me-
nos que á la dinamo.

Y aquí, antes de pasar adelante, debemos ampliar algo
de lo que ya hemos dicho, en defensa de derechos legítimos
de la Física experimental.

Deciamos en más de una ocasión: el físico observa los
hechos, los estudia, los analiza, los clasifica, los reproduce
si puede, los vuelve á estudiar en el laboratorio, si antes los
había estudiado en la Naturaleza, distingue los parámetros
físicos determinantes del fenómeno, los subdivide en depen-
dientes é independientes, busca unidades de medida para
todos ellos, los reduce á números, y, por último, obtiene
experimentalmente las funciones que los enlazan y que ex-
presan las leyes de los fenómenos.

Todo esto hace el fisico; todo esto hace la Física experi-
mental.

Y es un extenso programa, de importancia suma, y de
inmensas dificultades.

Pero no es ésta la única misión del físico, ni la aspiración
suprema de la ciencia.

Hasta aquí, por importantes que hayan sido los trabajos
que el físico haya podido realizar, si no ha hecho otra cosa
que lo que marca el programa anteriormente trazado, su fun-

ción ha sido en gran parte pasiva; observaba, estudiaba,
medía y convertía en leyes los fenómenos que espontánea-
mente se le iban presentando. Pero en toda esta labor, con
ser importantísima, no tenía ocasión de mostrar su genio, ni
lo que pudiéramos llamar, aunque la frase parezca ambicio-
sa, su facultad creadora.

No basta que observe fenómenos, es preciso que tome la
iniciativa y que provoque fenómenos nuevos, que dejando
ir á la Naturaleza por sus cauces rutinarios, jamás se hubie-
ran presentado.

Y aquí es donde aparece la grandeza de la Fisica experi-
mental, su fecundidad inagotable, su facultad creadora de
algo nuevo, y aquí es donde aparecen los que pudiéramos
llamar los grandes descubrimientos de la Física, y la más
alta misión del sabio dedicado á esta ciencia. Porque afinar,
y perdóneseme la palabra, experiencias ya realizadas, preci-
sar las cifras de un coeficiente numérico, agregar términos á
una fórmula, substituir una por otra más exacta, todo esto
es trabajo meritorio, más que útil indispensable, y para el
cual se requieren altas cualidades; pero cuando se llega á lo
sublime es, por ejemplo, cuando se arrancan de lo infinita-
mente pequeño las rayas de la interferencia; cuando se ve
que un rayo de luz, contra la ley general, se extingue al refle-
jarse; cuando se ponen en contacto la electricidad y el mag-
netismo, y se observa que una corriente eléctrica desvía la
aguja imanada; cuando un campo magnético desvía el plano
de polarización; cuando se descubren los rayos catódicos y
los rayos X y la radioactividad. Pero es inútil prolongar la
lista, porque sería interminable y cualquier olvido sería una
injusticia.

Y á estos descubrimientos se llega principalmente al poner
en contacto regiones distintas de la Física, si se me permite
esta manera de expresarme.

La Fisica experimental estudia, por ejemplo, la electrici-
dad, sus múltiples fenómenos, sus, leyes, el equilibrio y el

AN

movimiento de estos fenómenos; pero hasta determinada
época histórica cada rama de la ciencia no salió, por decirlo
así, de su propio territorio. La Física, en efecto, se hallaba
dividida en estados, en cierto modo independientes, sin co-
municación de unos con otros, casi me atrevería á decir, sin
relaciones diplomáticas.

Y como el físico estudiaba la electricidad con independen-
cia de otros muchas ramas de la Física, con esta misma in-
dependencia, y dentro de otras fronteras, estudiaba el mag-
netismo, sus hechos múltiples, sus curiosos fenómenos y,
en último resultado, sus leyes de distribución magnética, sus
atracciones y repulsiones.

No negaremos que siempre el hombre de ciencia sospechó
que entre la electricidad y el magnetismo alguna relación
debía existir.

Pero esta sospecha se convirtió en realidad cuando CErs-
ted, en 1819, observó que la aguja imanada suspendida en
la proximidad de una corriente, tomaba una nueva posición
de equilibrio, desviándose cierto ángulo de su posición
normal.

Este hecho, al parecer insignificante y mínimo, es una re-
volución en la ciencia y en la sociedad.

El experimento transcendental de CErsted que determina
las relaciones y las influencias activas entre las corrientes y
los imanes, y los trabajos admirables de Ampére sobre las co-
rrientes, para no citar más que dos nombres entre otros mu-
chos inmortales, han abierto horizontes que no han podido
empequeñecer ni siquiera los grandes descubrimientos de
esta última época.

Tenemos, pues, un hecho fisico, indiscutible, que se im-
pone con toda la fuerza de la realidad: la electricidad y el
magnetismo están en relación íntima; pero no en relación

a, MAPA

abstracta, sino, por el contrario, en relación dinámica efectiva.

Y la Física experimental, después de este descubrimiento,
no tiene que hacer otra cosa, que aplicar el programa que
antes trazábamos. Estudia el fenómeno, fija sus parámetros,
procura medirlos, aunque sea con unidades imperfectas é im-
provisadas, y llega á descubrir las relaciones analíticas que
entre estas magnitudes existen.

Pero todos estos trabajos, ¿explican el fenómeno, lo en-
lazan con otros fenómenos, hacen sospechar siquiera por

qué una corriente eléctrica influirá sobre el polo de un imán
ó por qué recíprocamente el polo de un imán ejercerá deter-
minada fuerza sobre una corriente?

De ninguna manera.

Aquí acaba la principal misión de la Física experimental;
aquí empieza la misión propia de la Física matemática, con
sus grandes hipótesis, y por qué no decirlo, con sus gran-
des atrevimientos, en que unas veces el matemático vence,
aunque otras es vencido; pero estudios é hipótesis que siem-
pre son útiles aun para la misma Física experimental, como
aviso ú orientación, ó como exclusión de ciertas otras hipó-
tesis, pues ya hemos dicho que la Física experimental, á pe-
sar de sus grandes severidades, á la hipótesis acude más de
una vez.

Siguiendo en este ejemplo la misma marcha que en los
anteriores, lo formularemos en primer lugar en términos pre-
cisos y prácticos.

Una vez formulado el problema, lo resolveremos por el
método experimental; y después, aplicando los procedimien-
tos propios de la Física matemática, formularemos las hipó-
tesis necesarias y aplicaremos el Cálculo matemático con
algo de Mecánica: y esta manera extraña de expresarnos,
tiene su razón de ser.

Pero á la experiencia clásica que determinó la relación
fundamental entre la electricidad y el magnetismo, hemos de
substituir otra experiencia en cierto modo ideal, porque nun-

a TDS ES

ca se ha realizado de este modo, que nosotros sepamos,
aunque pudiera realizarse, y en otras formas análogas á la
que vamos á suponer se ha realizado muchas veces.

Supongamos un conductor EE” (fig. 21) vertical, que
se prolonga hasta lo infinito por ambos extremos.

rn .o..o..

Figura 21.

En la práctica nos basta con que sea muy largo y con que
cierre el circuito á una gran distancia.

En un punto F, imaginemos una perpendicular FM á dicho
hilo, y sobre esta recta como eje, coloquemos un imán
ABCDM, que supondremos también prolongado hasta el
infinito por la derecha,

Claro es que esta condición tampoco puede realizarse
prácticamente, pero nos basta con que el imán sea suficiente-
mente largo por sí, 6 por el acoplamiento de muchos imanes,
para que la distancia entre los dos polos sea considerable.

En el campo de este imán, por el hilo EE” pasa una co-

rriente eléctrica, y así tenemos en presencia una corriente
eléctrica y un imán.

a

Como suponemos el hilo muy largo, y que se cierra el cir-
cuito á mucha distancia, podemos considerar para nuestro
objeto que no existe más que la parte vertical de la corrien-
te, la EE”.

Del mismo modo, como el imán es muy largo, teórica-
mente infinito, del segundo polo podemos prescindir, es
como si no existiese, porque su influencia será mínima, y
habremos realizado esta experiencia ideal, á saber, la de co-
locar frente á frente, por decirlo de este modo, una corriente
eléctrica vertical EE” y el polo O de un imán, para ver si am-
bos sistemas permanecen inertes, como si no existiera entre
ellos relación alguna, ó si, por el contrario, tienen un fondo
común; si son, con apariencias distintas, una misma energía
física, y si, por lo tanto, podemos explicar los fenómenos
magnéticos por la electricidad, ó, al contrario, la electricidad
por el magnetismo, que ambas cosas se han intentado.

En suma, según decíamos al empezar esta conferencia,
tratamos de ver si de dos órdenes de fenómenos se puede
hacer uno solo, y el uno se explica por el otro.

Para terminar estos preliminares, y con el objeto de sim-
plificar los cálculos, supondremos que la sección recta del
imán ABCD, es rectangular, y que dos de sus lados, el AB y
el CD son paralelos á EE”; los otros dos, claro es que serán
perpendiculares á esta línea.

En la figura 22 presentamos la proyección de este siste-
ma. En £ se proyecta la corriente eléctrica EE” de la figura
anterior, en ADM, el imán.

En A se proyectará el lado AB de la figura 21, y así su-
cesivamente.

Admitimos las notaciones siguientes: OF = R (fig. 21).

Los lados del rectángulo son AB=a, AD = b. El polo
del imán vale y.

La corriente tiene una intensidad igual á /.

*
* *

Al Des

Veamos los trabajos que realizaría la Física experimental
en este ejemplo que hemos imaginado, suponiendo que al-
guna vez lo llevase á cabo, y si no en éste, en los experi-
mentos equivalentes y prácticos.

En primer lugar, observaría si entre la corriente y el polo
del imán hay alguna acción manifestada por algún movi-
miento.

Porque es lo cierto, dicho sea entre paréntesis, que por
más que las ideas dominantes, en que brilla una poderosa
crítica, no lo negamos, pero en que también influye un tanto
la moda, tiendan á reducir el empleo de las hipótesis mecá-
nicas; es lo cierto, repetimos, que en la mayor parte de las
experiencias que la Fisica realiza, necesita medir elementos -
puramente mecánicos: fuerzas, masas ponderables ó masas
eléctricas, velocidades y energías, ¿pues no mide hoy masas
de ¡ones y electrones?

Así en este caso, como acabamos de decir, empezaría el
físico por observar si la corriente EE” sutría alguna influen-
cia por la acción del imán: por el pronto si se movía el hilo.

Y si los extremos del hilo estuvieran dispuestos con la
conveniente movilidad, observaría el experimentador que,
en efecto, estando el polo del imán fijo, y pudiendo moverse
el conductor EE”, el conductor se movía bajo la influencia
magnética. Pero, cosa extraña, no para acercarse ó alejarse
del polo, sino para girar alrededor de él, como marca la
figura 22; trazando su punto medio, por ejemplo, un arco de
circulo Ee alrededor del punto o como centro, y mantenién-
dose siempre vertical el hilo, si ha de seguir las guías supe-
rior é inferior.

Claro es, que si el conductor se mueve, se moverá bajo
la acción de una fuerza, que no puede provenir más que del
polo del imán, porque no hay ninguno otro centro activo en
todo el campo de la experiencia.

Si dispusiéramos ésta de modo que el conductor EE”
(fig. 21) estuviera fijo y que el polo pudiera moverse libre-

ANA

mente, su centro o tendería á moverse en sentido contrario ob.

Primer hecho que hace constar el físico, sin ninguna hi-
pótesis previa, y sin pretender dar ninguna explicación del
fenómeno.

Y el fenómeno, aparte de otras varias cosas que en él
pueden estudiarse, comprende dos partes y ambas eran muy
extrañas por entonces, aunque hoy son vulgares.

1.2 Entre los imanes y las corrientes existen acciones y
reacciones recíprocas; luego son, por decirlo así, fenómenos
de la misma familia, por que su cruzamiento es fecundo en
fenómenos antes no observados.

2. Preséntase aquí el caso, sorprendente para algunos,

Figura 22.

de que la acción de dos sistemas, una corriente eléctrica y
un imán, no se reduce á una fuerza, que vaya de uno á otro:
pudiéramos decir que no es una fuerza central, sino excén-
trica; no los aproxima ó los aleja, sino que los hace girar;
su punto de aplicación parece que está en el hilo por donde
va la corriente, no en el polo del imán, aunque sobre esto
último actuaran las reacciones correspondientes.

Hasta aquí las primeras observaciones del fenómeno.

Y ahora, como hemos hecho siempre, debemos marcar los
parámetros. |

Desde luego, si la corriente se mueve, se moverá bajo la
acción de una fuerza, y esta fuerza, que ya sabemos cuál es,
se aplicará en E (fig. 22) perpendicularmente á. R y girará
con esta recta.

a

Dicho parámetro fuerza, que designaremos por F, depen-
derá de los diferentes parámetros del sistema; él será la fun-
ción, estos últimos las variables independientes, y no pue-
den ser otros que los que vamos á enumerar: la intensidad
de la corriente eléctrica /, que va por el conductor EE” (figu-
ra 21); el valor p. del polo del imán, y la distancia R entre
el polo y el hilo.

Y ahora el trabajo que debe ejecutar el físico, es determi-
nar F en función /, y y R; es decir, hallar una relación

F= v(1,u,R),

en que o, hasta ahora, será una función desconócida.

Para detarminarla tendrá que realizar una serie de ex-
periencias análogas á las que hemos explicado en todos los
ejemplos anteriores.

1.2 Dejar constantes y R y ver cómo varia F cuando
varía 1.

La experiencia le demostrará que F' varía proporcional-
mente á /.

2.” Dejar constantes / y R y variar la intensidad del polo
empleando diferentes imanes, y no se olvide que estamos re-
firiendo una experiencia ideal, que por lo demás, claro es
que la realidad impone otros procedimientos prácticos.

Resultará en este caso que F varía proporcionalmente á y.

3. Dejando constantes / y y deberá hacer variar R y ob-
tendrá este resultado, que la fuerza F varía en razón inversa
de la distancia R.

Con lo cual podremos afirmar, sin más pormenores que la
sencillez del caso hace inútiles, que la función y es de la
forma

po nia
R

siendo C una constante que dependerá de las unidades

AS AO dd A dd

NT ts

de medida que hayamos escogido para la fuerza, la corrien-
te, el polo y las longitudes.

Y al establecer esta fórmula habrá terminado la Física ex-
perimental la resolución del problema.

Hace constar hechos; hechos que en su tiempo fueron ad-
mirables: hoy ya estamos familiarizados con ellos,

Ha determinado todos los parámetros que influyen en el
fenómeno, ha distinguido los que son independientes de los
que son funciones de los primeros, y ha establecido la ley
matemática que los enlaza.

Mientras no deje de ser Física experimental y no aspire á
ser más ó á fundirse con la Física matemática, ó quizá á ab-
sorber en sí una parte de esta última ciencia, ni puede dar
más, ni puede exigírsele otra cosa.

En cambio la Física matemática pretende explicar estos
hechos racionalmente y obtener la última fórmula sin el auxi-
lio de la experiencia, como hicimos en el ejemplo de los ga-
ses, en el de la reflexión de la luz, en el de la distribución
de la electricidad en una esfera metálica.

Como pretendimos hacer en el problema del equilibrio de
temperaturas, aunque sin conseguirlo del todo; pero en cam-
bio, como llegamos á conseguir una completa explicación
mecánica cuando tratamos de demostrar la dilatación de los
cuerpos por el calor.

Para ello, del mismo modo que hicimos en todos los ejem-
plos citados, debemos empezar por una hipótesis: esta hipó-
tesis es la de Ampére, y no tiende á reducir el problema di-
rectamente á un problema de Mecánica, sino á reducir el
magnetismo á un conjunto de corrientes eléctricas.

Sin entrar en muchos pormenores, explicaremos dicha
hipótesis.

NE

Sea (fig. 23) ABCD la sección de un imán natural; sec-
ción que, para simplificar la figura, supondremos que es un
rectángulo. Lo que digamos de esta sección diríamos de otra
cualquiera.

Dicha sección se supone dividida en multitud de corrien-
tes cerradas, sumamente pequeñas, todas en el mismo senti-
do, y que, también con el objeto de simplificar, supondremos
que son rectangulares.

Por ejemplo, la sección abcd corresponde á una corriente
eléctrica cerrada que marcan
las flechas de la figura y que
circula en el sentido abcd,

Lo mismo podemos .decir
de los demás rectángulos en
que ha quedado dividida la
sección del imán.

Y se observa que si, como
suponemos, todas estas co-
rrientes son de igual intensi-
dad, todas las interiores se
destruyen dos á dos, y no
queda más que una corriente exterior, ABCD, según mar-
can las flechas f, f.

Así, por ejemplo, el lado ab está recorrido por dos co-
rrientes, una de a á b en el rectángulo abcd; otra de bá a en
el rectángulo superior.

Según esta hipótesis, podemos en la figura 21 admitir que
el imán ABCDMes una mera apariencia; que lo que real-
mente finge, en él, el magnetismo es una serie de corrientes
interiores que se pueden substituir por corrientes exteriores
ABCD, A'B'C"D...... que circulen alrededor del eje.

Y en este caso, que exista una acción entre el imán y la
corriente, nada tiene de maravilloso, y este fenómeno sólo
es nuevo en la apariencia, por la torpeza de nuestros ojos
y la impotencia de nuestro microscopio, porque en rigor los

Figura 23.

AAA ER

dos sistemas que están en presencia no son más que dos sis-
temas de corrientes eléctricas: la corriente EE” y las corrien-
ABEDA“B'C'D......

Y como las admirables experiencias y los admirables tra-
bajos de Ampére y otros físicos ilustres prueban, que entre
las corrientes eléctricas existen acciones y reacciones, queda
reducido el problema de la acción entre una corriente y el
polo de un imán, á la aplicación á este caso de las célebres
fórmulas que estableció Ampére en su Electrodinámica.

Digamos de pasada, que todo esto algo más que una hipó-
tesis debe de ser, cuando se ha podido realizar materialmen-
te la substitución de los imanes por los solenoides, y cuando
los solenoides reproducen materialmente todos los fenóme-
nos de los imanes, ó casi todos, y cuando cruzan sus efectos
con los imanes mismos, como si fuesen, según antes decía-
mos, de la misma familia.

Pero la Física matemática no se contenta con estas expli-
caciones generales, necesita obtener fórmulas, y ver si esas
fórmulas concuerdan ó no con las de la Física experimental.

Y esto es lo que vamos á hacer en el caso presente: de-
mostrar la última fórmula que presentamos, sin más que
aplicar al sistema constituido por la corriente EE” y por las
corrientes á que hemos reducido el imán, la fórmula de la
Electrodinámica de Ampére.

Este sabio demuestra que entre dos elementos de corrien-
te (fig. 24), existe una acción atractiva Ó repulsiva, según
resulte el signo positivo ó negativo, cuyo valor se determina
por la fórmula siguiente, que se conoce con el nombre de
fórmula de Ampére:

ds: ds al ;
€ === [cos e — DE Cos w cosWw]);

J

ds

E. y pa

en la cual ¡ é 7” representan los valores de las dos corrientes
por unidad de longitud, ds y ds” las longitudes de ambos
elementos, e el ángulo que forman, « y w” los ángulos que
forma, con la dirección de ambas corrientes, la recta a a” c
que une sus dos puntos medios, y por último, C, una cons-
tante que depende de las unidades que se elijan.

Sobre esta fórmula algo hemos de decir más adelante; por
el pronto, la damos por demostrada, ya por los procedi-
mientos de Ampére, ya por comprobaciones puramente ex-
perimentales.

Dicha fórmula es la que hemos de aplicar á cada dos ele-
mentos de los dos sistemas en pre-
sencia; la corriente y el imán.

Consideremos una sección cual-
quiera de dicho imán, A" B'*C'D”,
que al substituirle por un sistema
de corrientes se convertirá en una
corriente cerrada á lo largo del
contorno, y como podemos supo-

Figura 24. ner que la sección del imán era
muy pequeña, podremos conside-
rar cuatro elementos de corrientes 4A'B”, B'C”, CD'y D'A”.

Y deberemos calcular las fuerzas que se desarrollan entre
estos cuatro elementos y todos los de la corriente EE”.

Obtenida la fuerza resultante, 6 mejor dicho, la acción re-
sultante, integraremos todas las secciones del imán, desde
ABCD hasta el infinito, y la fórmula final que obtengamos
deberá coincidir con la que da la experiencia:

ARAS
R
Empecemos por estudiar la acción del elemento de corrien-
te A'B' (fig. 21), sobre toda la corriente infinita EE”, y para
más claridad, pongamos en una figura aparte (fig. 25) am-
bos elementos: el A*B” y la corriente EE”.

ga A IA BEAZ
Ry e

0

Tomemos sobre esta corriente un elemento ab” y determi-
nemos la acción entre A'B' y a'b' aplicando á este efecto la
fórmula antes citada de Ampére.

La aplicación de esta fórmula dará, llamando / á la corrien-
te que va sobre el elemento AB”, f á la fuerza resultante,
y. r, r á las distancias OF, Oa”:

li<A'B'.ab a ÓN

Pa — a y Sd a 4
AS
1D! LL! E , PO des
cos (A'B', ab”) —= cosyoa | AL
Po
2 RA
OS A RS: |
=<cosb'a'a | di YE
Supongamos que las dimen- b- at
siones del rectángulo de la figu- e
ra 21 sean, como hemos dicho, 9”
AB=a, AD=0, y llamando Figura 25.

wal ángulo a“oF que es la va-
riable que determina la posición del elemento b'a”, y r' á la
distancia oa”, tendremos
cosyoa” = senw, cosb'a'a” =cosyoa' = seno»,
ángulo 4“ob' = du;
y puesto que A“B', ab' son paralelas y en el mismo sentido,

cos (A'B", ab") =c0s o=1;

de suerte que el valor de f se convertirá en

FE Y
a a ds $

Pa

Esta fuerza, que sigue la dirección oa” dará dos compo-
nentes, una según el eje oy, otra según el eje oF. Pero si
tomamos sobre la corriente EE” el elemento ab” =a'b', y
colocados ambos simétricamente respecto á oF, la intensidad
de la fuerza entre AB” y a“b” será igual á la anterior, de
suerte que las componentes, según el eje 0y, así como según
la corriente ab”, serán iguales y contrarias, y las dos com-
ponentes, según oF, serán iguales y se superpondrán; y
como podemos siempre unir dos á dos los elementos simé-
tricos de EE”, la acción total entre esta corriente y el elemen-
to A“B' actuará sobre oF y será igual al doble de la acción
entre dicho elemento AB” y la mitad de la corriente, es
decir, la que corresponde á FE”.

En resumen, sólo debemos calcular la acción entre A*B' y
la corriente FE” y duplicar esta acción, para lo cual basta
integrar respecto á w desde la posición oF á oy de la recta
r', con lo cual se comprenden todos los elementos de dicha
corriente FE”.

Asi, pues, w debe variar entre cero y e

Sólo nos falta expresar en la fórmula anterior el elemento
a'b' en función de la variable de la integración w.
Tendremos evidentemente en la figura 25
79 aC r du
4.0 '= ———_——— ===,
cosb'a'c COS w

y substituyendo

LE liar du | A y somo],

r2008w

de modo que la componente sobre oF será

fcosw = C pa i — y Somo| du
r

a

para cada elemento de la corriente FE”. Para toda la corrien-

— la expresión
) p

te deberemos integrar entre w =0 y w =

2fcosñw ="2€ al — y sonto| do.
if

Llamando f, á dicha resultante,
SES
1 + 2 sentw
o 2cria —————— du.
: r

Pero r' también depende de «w, de modo que en la ecua-
ción anterior hay que poner

$ F
r = ,
COS
así
ES 2Clia 1 cos Hs 7 smo) do.
A Jo -

Esta es la accion entre la corriente EE” y el elemento A“B*
que se ejercerá según la recta oF.

La integración es bien sencilla, mas para nuestro objeto,
ni aun tendríamos que entretenernos en efectuarla, porque
como no entra más variable que w y se integra entre cero y

T : > . :
3% resultará un número perfectamente determinado, que im-

porta poco cual sea: en C puede estar. En este caso es >
En suma, el valor de f, será de la forma

Lia
=C _——,
Íf, a

Rev. Aca. Ciencias.—V. —Julio, Agosto y Septiembre, 1506.

e

Después de haber calculado la acción entre la corriente /
y el elemento A'B', figura 21, tenemos que seguir calculando
las acciones que corresponden á los demás elementos del
rectángulo. Pero B"C” es perpendicular á EE' y la recta per-
pendicular á ambas pasa por el centro de BC”, luego la
acción entre estos dos elementos es nula, según la misma fór-
mula de Ampére, pues COS e = 0, COS w = C0S w' = 0, Según
la experiencia y según la demostración directa fundada en la
simetría.

Pasemos al elemento CD”.

Claro es que su acción será numéricamente igual á la que
hemos calculado para 4"B'; pero como la corriente va en sen-
tido contrario, en vez de ser una fuerza atractiva será una
fuerza repulsiva, es decir, que llamándola f,* tendremos

a
ES

Por último, la acción entre el cuarto lado del rectángulo y
la corriente EE” será nula, como lo era respecto á B'C”.

Y tendremos, por último, que la acción de todo el rectán-
gulo sobre la corriente EE”, se podrá expresar en la figu-
ra 26, que es reproducción de la 22, aunque en mayor ta-
maño, para más claridad, de este modo:

El rectángulo proyectado en A“D”, ejerce sobre la corrien-
te proyectada en E, una fuerza atractiva f,, entre E y el lado
del rectángulo que se proyecta en A”, que es el A'B' de la
figura 21, y una fuerza repulsiva f,”, que se ejerce entre E y
el lado DP” del rectángulo, que es el CD” de la figura 21.

Estas dos fuerzas f, y f,”, que son iguales en valor numé-
rico y de signos contrarios

E, fía

r

y li
, 1Q
fi = —C—

AE PU

las hemos llevado en la figura 26, sobre EG la primera, y
sobre EG” la segunda, y hallando la resultante, obtendremos
la EF, que llamaremos F.

Su valor se determina, desde luego, comparando los trián-
gulos EF, G y EA'D' que son semejantes; y recordando que
EG es igual á f,, y que AD” es igual á b, tendremos

E CAD)
EG. EA
ó bien
aa
MEGA?

Figura 26.
de donde
E == ho
F

y substituyendo por f, su valor

En f1.a.b e
Pr

Supongamos, para tener en cuenta toda la extensión del
imán, que í representa, no la corriente de un rectángulo
aislado, sino la corriente por unidad de longitud; es decir,
la suma de todas las corrientes que corresponden á la unidad
de longitud del imán. En este caso, á una longitud infinita-
mente pequeña dr, corresponderá la corriente ¿dr, que po-

e HI

dremos considerar reunida en el contorno del rectángulo A'
PD*, con lo cual, la acción de dicho rectángulo sobre la corrien-
te EE', estará representada por la fuerza F,, cuyo valor será

PRL pe: EE
r?

en que ab representará el área de dicho rectángulo. Claro es
que podemos substituir 4 EA”, que esr, la longitud Eg que
es próximamente igual.

Cada rectángulo de los que están distribuidos á lo largo
del imán en substitución al mismo, determinará una fuerza
análoga á la F,, sin más que poner en la fórmula en vez de
r su valor.

La fuerza total será la suma de todas estas fuerzas, puesto
que todas tienen la misma dirección; y se obtendrá inte-
egrando el valor precedente desde R, que corresponde á la
sección A D, hasta el infinito, ya que hemos supuesto que el
otro polo hasta el infinito se ha alejado.

Llamando F á dicha fuerza total, tendremos

e : NA
F = Ca CTO A =
Di RE
Mo fi. ab
R

Si suponemos que se escogen las unidades de tal manera,
que ¡ab tenga el mismo valor numérico que el polo, ó sea
proporcional á él, que es la hipótesis generalmente acepta-
da, tendremos, haciendo ¿.a.b = y 6 proporcional á y,

e LO

R
que es exactamente la misma fórmula que habíamos obtenido
experimentalmente.

do y Br

Es decir, que en la hipótesis establecida y mediante la úl-
tima hipótesis complementaria hemos demostrado:

1.2 Que si se supone fijo el imán, la corriente girará al-
rededor del polo.

2. Que la fuerza, siempre perpendicular á la recta R será
proporcional á la eorriente, al valor del polo y en razón in-
versa de la distancia.

Si suponemos la corriente fija, podremos demostrar con fa-
cilidad suma, aplicando el principio de la reacción igual y
contraria á la acción, que el polo y aun todo el imán tende-
rán á moverse en sentido
contrario á aquel en que po
se movía la corriente. i

Claro es que si el imán

tiene un punto fijo, la re- L_> poo
sultante tenderá á hacerle £ «Eziccccic M
girar alrededor de dicho A
punto.

En efecto, para la sec- Figura 27.

ción AD, y lo mismo diría-

mos para otra cualquiera, su acción sobre la corriente hemos
visto que se reduce á dos fuerzas f, y f,' actuando según las
rectas EA, ED.

Las reacciones serán asimismo dos fuerzas — f,, —f/
que si el imán tiene el punto fijo M, tenderán á hacerle gi-
rar en el sentido DD' (fig. 27).

Lo único que nos proponíamos demostrar, y esto queda
demostrado, es que, con la hipótesis de Ampére, este fenó-
meno del magnetismo á que venimos refiriéndonos se re-
presenta y se explica en todos sus efectos mecánimos por
las teorías de la Electrodinámica, sin suponer nuevos flúidos
magnéticos ni agregar á la hipótesis de la electricidad la nue-
va hipótesis del magnetismo.

pe

Claro es, que cuando se presentan dos órdenes de fenóme-
nos y se quieren reducir á la unidad, ocurren dos soluciones.
Así en nuestro caso, primero, Ó se pretende explicar el mag-
netismo por corrientes eléctricas, que era la tendencia de Am-
pére y de su escuela, y dentro de esa tendencia está el ejem-
plo que hemos presentado; ó, segundo, se trata de reducir la
Electrodinámica al magnetismo, como sucede, por ejemplo,
cuando se substituye á una corriente eléctrica una hoja mag-
nética.

Pero de todo esto trataremos en otra ocasión y en otro
curso.

De todas maneras, el ejemplo que acabamos de desarro-
llar, da origen á muchas observaciones, que reservamos para
la conferencia próxima.

".—Introducción á la Fisica matemática.

Por JosÉ ECHEGARAY.
Conferencia octava.

SEÑORES:

Decíamos en la conferencia precedente, que aunque en el
siglo último, la Física matemática procuraba explicar todos
los problemas de la Física como cuestiones de Mecánica ra-
cional, mediante ciertas hipótesis, á veces, sin aspirar á tan-
to, intentaba con el auxilio de la Mecánica ó6 del cálculo
matemático, reducir un orden de fenómenos á otro, esfor-
zándose en probar que ambos son apariencias de uno mismo.

Así, en el ejemplo que presentamos, veíamos que un imán
podía reducirse á un conjunto de corrientes, y que los efec-

a

tos mecánicos y la fórmula de la fuerza obtenida por esta teo-
ría coincidían exactamente con los resultados de la expe-
riencia.

Este triunfo y otros análogos de la Física matemática, son
verdaderamente admirables, pero no hay que creer que tó-
dos los físicos los aceptan como definitivos, ni que la crítica
se rinde ante los brillantes resultados de la ciencia teórica.

Así, en el caso que hemos estudiado últimamente, la duda
llega hasta la misma fórmula de donde hemos partido, hasta
á la misma fórmula de Ampere:

Acción ó fuerza entre dos elementos de corriente
E Oteo (vos: — > cos w cos)
p?

Esta fórmula la obtuvo Ampere en su tratado de Elec-
trodinámica por una mezcla ingeniosísima de hipótesis, de
principios racionales y matemáticos, y aun
de resultados experimentales más Ó menos
envueltos en hipótesis; aunque el ilustre
autor pretendía fundarse única y exclusiva-
mente en la experiencia. El título de la obra
es en efecto: Théorie mathématique des
phénomenes électro-dynamiques unique-
ment déduite de Pexperience, 1826. Pero
estudio es éste que haremos en otro curso:

Es lo cierto, que la fórmula anterior, que
es la que nos ha servido de punto de par-
tida y que por mucho tiempo se consideró
entre los admiradores del inmortal físico y 9 4
matemático francés como definitiva y clási- Figura 28.
ca, esta fórmula está sujeta á severísima
crítica, y hoy grandes maestros de la ciencia la ponen en
duda.

En primer lugar, la fórmula establece la acción ó la fuerza

a
AA

a
Tr
;
¡
'
O
wm:
>
U
a
-

TS
A A

A
| A
a

AA
pS

A

entre dos elementos de corriente como si estuvieran aisla-
dos, pero es absolutamente imposible aceptar que estén ais-
lados dos elementos de corriente; porque, según observa el
eminente matemático francés Mr. Poincaré, la fórmula ante-
rior, y esta parte de la teoría de Ampere, suponen que la
fuerza á que nos referimos no tiene potencial.

Y esto, como vamos á ver inmediatamente, vale tanto
como establecer el movimiento continuo.

Expliquémonos en términos más precisos.

Supongamos que pudieran existir dos elementos de co-
rriente aislados, y sean éstos ab, cd. (fig. 28).

Según la fórmula de Ampere, si admitimos que las corrien-
tes en ambos elementos van en el mismo sentido, y que am-
bos elementos son paralelos, todo lo cual no tiene más ob-
jeto que simplificar la explicación, deberemos substituir en la
expresada fórmula

E= 0, ¿0,0 00.

con lo cual se reducirá á

Pp
p?

siendo ds = ab, ds" =cd, AB=r.

Y además la fuerza será atractiva.

Pues bien, un sistema de esta clase, sería una máquina de
movimiento continuo, y podríamos crear trabajo indefinida-
mente.

En efecto; hagamos girar el elemento cd en el sentido que
marca la flecha, hasta que tome la posición ef perpendicular
á ab en su punto medio.

Este movimiento lo efectuaremos sin desarrollar trabajo, ó
cuando más, un trabajo infinitamente pequeño de orden su-
perior.

Desde ef podremos transportar dicho elemento sobre la

UN

recta AB hasta donde queramos, sin consumir trabajo, por-
que la acción entre los dos elementos ab y ef, es nula, se-
gún demuestra la fórmula de Ampere, puesto que para este

caso
e=90, w=90, w =0;

y, además, podríamos demostrar esto mismo, apoyándonos
en la simetría, por un razonamiento directo que se considera
evidente.

Una vez el elemento ef en la situación e”f', á cualquier
distancia de A, deshagamos el giro anterior, colocando á di-
cho elemento en la posición cd” paralela á ab. Este giro, como
el anterior, podremos efectuarlo sin desarrollo de trabajo, ó
con un trabajo infinitamente pequeño de orden superior.

Y si ahora abandonamos los elementos cd y ab á su fuer-
za de atracción, el sistema desarrollará un trabajo finito, que

será la integral
'B .., 4
Ñ á dE Sas AN
JB r

De suerte que hemos creado, y podemos seguir creando,
trabajo en cantidad indefinida, consumiendo cantidades infi-
nitamente pequeñas de orden superior.

No sólo en este caso, sino en general, todo sistema que se
encuentre en análogas condiciones, podría considerarse como
una máquina de movimiento continuo.

Si un punto, A, y lo que digamos de un punto podríamos
generalizarlo para un sistema, al pasar de una posición A á
otra posición B, está sujeto á una fuerza tal, que el trabajo
de dicha fuerza es el mismo, sea cual fuere el camino que
siga el punto, para pasar de A á B, se dice que la fuerza
tiene una potencial, y no podría servir dicho punto, ni su
movimiento, como máquina de movimiento continuo. Pero si
el trabajo entre dos puntos depende del camino, lo contrario
puede afirmarse. Sobre todo esto ya insistiremos en otra

=> TEE

ocasión, porque es una cuestión importantísima y fundamen-
tal en Física matemática.

Habíamos explicado en el ejemplo á que veníamos refi-
riéndonos, una acción electromagnética fundamental, substi-
tuyendo al imán un sistema de corrientes; y el resultado pa-
recía definitivo.

Sin embargo, como nuestra demostración: se fundaba en
la fórmula de Ampere, todo lo que quebrante la confianza en
dicha fórmula, quita importancia al resultado, cuya concor-
dancia con el método experimental, puede atribuir algún
crítico severo á una casualidad de las que suelen presentar-
se en estas cuestiones, Ó á una compensación de errores, Ó,
acaso, á ciertas analogías en las fórmulas, que á veces exis-
ten hasta en fenómenos de muy distinto orden, como suce-
de, sin ir más lejos, y para este mismo problema que esta-
mos discutiendo, entre la teoría de los torbellinos y la de las

acciones electromagnéticas.
d B La acusación que se dirige con-
tra la fórmula de Ampere y que

b 7 acabamos de desarrollar, es grave,
y prueba, según muchos matemá-
ticos, que no pueden existir ni ele-
mentos aislados de corriente, ni en
general, corrientes abiertas: esto
ya lo discutiremos á su tiempo.

Pero hay más; la demostración
de la fórmula de Ampere, que fué

Figura 29. un prodigio de ingenio y de talen-

to, es, si se me permite la palabra,

una demostración híbrida, porque, en parte, se funda en con-

sideraciones matemáticas, y muy especialmente, en conside-
raciones de simetría,

ls

Mas por otra parte, también acudió el insigne autor á cier-
tas experiencias fundamentales y á varias hipótesis, no del
orden mecánico estas últimas, porque la demostración, en
rigor, no pertenece á este orden, sino del orden físico, y casi
me atrevería á llamar metafísico, sobre cuya exactitud asal-
tan graves dudas.

Citemos una de estas hipótesis, que mucho tiene de hipo-
tético aunque se dé como resultado experimental.

Mr. Ampere, descompone un elemento de corriente según
tres ejes coordenados, y afirma que, á dicho elemento de
corriente, pueden substituirse las tres componentes.

Mas en general, á una corriente eléctrica AB (fig. 29)
podrá substituirse otra corriente infinitamente próxima á
ella, AbcdB. Y caso particular de este postulado, es el de
substituir á la corriente OC, infinitamente pequeña, el con-
torno formado por las tres componentes OE, ED, DC.

Pero este postulado, como decíamos antes, da lugar á
muchas dudas, no ya en el orden físico, en el cual la com-
plicación de los fenómenos es grande y que encierran un
fondo completamente desconocido; sino que en puras cues-
tiones de análisis y aun de Geometría elemental, dicho pos-
tulado, ó postulados análogos, son absolutamente falsos.

Permítanme mis oyentes, que recuerde una paradoja geo-
métrica de extrema sencillez, y que por lo trivial no me
atrevería á recordar si no se enlazase, por manera inespera-
da, con altas cuestiones de análisis; paradoja con que se
pone á prueba el buen ingenio de los principiantes.

Me refiero á aquella en que se demuestra que la suma de
dos lados de un triángulo es igual al tercero.

Sea el triángulo ABC (fig. 30), y demostremos lógicamen-
te que la suma de las lados AC + CB, es igual al lado AB.

Partimos del siguiente postulado, que es análogo al de la
Electrodinámica.

Si dos líneas tienen los puntos extremos comunes, una de
ellas es fija y la otra variable, y el número de puntos co-

a

munes es tan grande como se quiera, y crece sin límites; si
además la distancia entre cada dos puntos de ambas líneas
es infinitamente pequeña, es decir, se acerca á cero tanto
como pueda desearse, las dos líneas coincidirán y podrán
substituirse una por otra en el límite.

Apliquemos este postulado.

Tomemos los puntos medios D, E, F de los tres lados del .
triángulo, y formemos el contorno A DFEB. La longitud de
este contorno es la misma evidentemente que la de los lados
AC-+ CB, como lo prueba el paralelogramo CDFE.

Lo que hemos hecho con el triángulo A CB, repitámoslo
con los triángulos parciales ADF y FEB; y tendremos el
nuevo contorno AD'GD"FE”“HE'B, cuyo contorno tendrá
la misma longitud que los lados AC + AB.

Apliquemos el mismo procedimiento á los cuatro triángu-
los parciales y formaremos la línea quebrada

AabcGdegFo ed Hcb'a B.

Esta línea quebrada tiene, como todas las anteriores, la
longitud constante AC 4 CB.

Como podemos continuar indefinidamente las mismas
construcciones geométricas, hallaremos un contorno, que
tendrá con la línea A B, un número infinito de puntos comu-
nes, siendo la distancia entre cada dos infinitamente pe-
queña; luego, según el postulado, este contorno y la línea
A B tienden á confundirse, y en el límite, se confunden; lue-
go sus longitudes son iguales, luego la longitud de AB es
igual á las longitudes de A C y BC.

Esta paradoja es elemental y sólo propia de principiantes
en el estudio de la Geometría; pero la crítica puede encon-
trar paradojas, por decirlo así de la misma familia, en las
altas regiones de la Ciencia.

¿Por qué no ha de haber una paradoja análoga á la ante_
rior al pretender substituir 4 un elemento de corriente el con-

A e.

torno formado por las tres componentes de dicho elemento?
Otro caso podemos citar verdaderamente notable.
Por muchos años ha pasado como verdad indiscutible, que
toda función continua de dos variables reales, x é y, tiene

una derivada, es decir, que — tiende hacia un límite cuan-
do Ax se aproxima á cero indefinidamente, exceptuando
para puntos singulares, y sin embargo la proposición es
falsa, como ha demostrado Weierstrass en ejemplos notabi-
lísimos de series que representan funciones continuas, y en
las que, sin embargo, la derivada tiene valor indeterminado
para todos los puntos en general.

De esta teoría, puramente analítica, pueden presentarse es-
quemas geométricos, que den algo así como una explicación.

En la figura 30, el contorno AabcG..., aunque tiende á
confundirse con la línea recta, puede decirse que en cierto
modo tiene en cada punto dos tangentes paralelas á los
lados AB y BC. z

En general, si la línea 4Aabcd... (fig. 31) tiende á aproxi-
marse indefinidamente á una línea AB de forma constante 6
variable, nunca podrá decirse que esta línea sinuosa que imi-
ta en cierto modo las ondulaciones de un hilo flexible, tiene
una tangente en cada punto, ni que ésta sea la de la línea AB.

La verdad es que esta línea ondulada que acabamos de
citar puede tener en cada punto variable infinitas tangentes,
sin que éstas tiendan á coincidir
con la tangente á la línea de tra- C
zos AB en el punto infinitamen-
te próximo al que se considere
en dicha línea sinuosa.

En suma, este problema de
los contornos substituibles para A
todos los casos, es más com-
plejo de lo que parece, y todo
postulado que á esta teoría se refiera, debe considerarse

AS

DELE HD

Figura 30.

e

como sospechoso. La substitución de una línea por otra que
tienda á confundirse con ella será legítima al determinar
áreas; no lo es al determinar longitudes, tangentes ó curva-
turas. Así, en Electrodinámica será legítima para calcular el
flujo de fuerzas, pero no para calcular, por ejemplo, momen-
tos electromágnéticos.

Verdad es que la fórmula de Ampere, que no sería apli-
cable á corrientes abiertas, dado que pudieran existir éstas,
puede aplicarse á corrientes cerradas, aunque no como re-
sultado de las acciones de los elementos, para cuyas accio-
nes la fórmula de Ampere no sería la única solución.

Observemos, sin embargo, y esto atenúa algo las críticas
anteriores, que hemos aplicado la citada fórmula de Ampere
á dos sistemas de corrientes, ambas cerradas. Las que subs-
tituyen al imán están cerradas por definición; la de la co-
rriente rectilínea la suponemos cerrada á una distancia in-
mensa, y si es preciso, en el infinito.

En el ejemplo de que vamos tratando hay algo todavía
que merece fijar nuestra atención, porque se enlaza con cues-
tiones muy hondas y muy debati-
y>B das de la Física matemática.
7 A saber, con la cuestión de las
fuerzas centrales.

En todo el siglo anterior, la teo-
ría de las fuerzas centrales ha do-
minado casi por completo, desde
las grandes cuestiones de la Astro-
nomía y de la Mecánica celeste,

Figura 31. hasta los trabajos admirables de
Cauchy.
Se consideraba por la mayor parte de los físicos, no diré

0

por todos, como un postulado evidente y casi indiscutible,
que la acción de dos puntos materiales A y B (fig. 32) de-
bía ser una fuerza, ó mejor dicho, un sistema de dos fuer-
zas, actuando ambas en la dirección de la recta que unía
ambos puntos.

Se planteaban á la vez dos
hipótesis, Ó dos postulados; -4 B
para algunos, dos axiomas de F
Metafísica, de Filosofía natu-
ral y hasta de sentido co- Figura 32.
mún, á saber: 1.”, el de las
fuerzas centrales, que es el que hasta ahora nos interesa; 2.”,
el de la reacción igual y contraria á la acción.

Si dos puntos materiales A B están en presencia, la acción
de B, por ejemplo, sobre A, ¿cómo no ha de ser en la di-
rección de la recta AB, ya sea atractiva, ya sea repulsiva, y
cómo no ha de estar aplicada al mismo punto A?

Toda otra solución, por razón de simetría alrededor de A B
y por el principio de la razón suficiente, supone un número
infinito de otras soluciones.

La critica moderna hace tabla rasa de todas estas evi-
dencias.

En primer lugar, niega la acción á distancia, y por lo tan-
to, la necesidad de que todas las fuerzas sean centrales.

En segundo lugar, pone en duda, por lo menos, el princi-
pio de la reacción igual y contraria á la acción, y en tercer
lugar, acaba por poner en tela de juicio la existencia de las
fuerzas, dando ocasión á que se hayan creado otras mecáni-
cas distintas de la Mecánica clásica.

Sobre estos dos puntos, nada diremos por hoy, aunque
en su día, siá él llegamos, los discutiremos con la amplitud
que merecen.

Pero en cuanto á la teoría de las fuerzas centrales, algo
debemos decir aún.

— 5 —

Parece, en efecto, de sentido común, que la acción de dos
puntos A y B, sumamente pequeños, esté dirigida sobre la
recta que une ambos puntos.

Pero, si no para dos puntos infinitamente pequeños, que
de este caso trataremos en esta misma conferencia, al menos
para dos sistemas, en el ejemplo que hemos estudiado res-
pecto á la acción entre una corriente y un imán, ya sea imán,
ya sistema de corrientes, la experiencia y la teoría dan, al
parecer, la razón en absoluto á la crítica.

La acción entre el polo y la corriente no actúa en una
recta que se apoye sobre la recta y que pase por el polo, la
más corta distancia como parece natural; sino que si bien
corta á la corriente, no pasa por el polo, ni tiende á aproximar
ia corriente al polo, sino á hacerla girar alrededor de éste.

Y en cuanto al imán, la acción es más compleja, porque
da lugar á una resultante y á un par resultante.

Todo esto lo hemos demostrado teóricamente, y la expe-
riencia, juez supremo, lo afirma y lo comprueba.

En rigor, dicho resultado ningún valor da á la crítica, por
más que, á primera vista, parezca lo contrario; porque aquí
no se trata de dos puntos, sino de sistemas complejos; y
nada tiene de particular, que la resultante de las acciones
sobre la corriente no pase por el imán, ni que las acciones

Figura 33.

sobre el imán se compongan de una fuerza y un par de fuer-
zas. Basta para obtener estos resultados, aplicar las reglas
de la estática. Mas aun en el ejemplo á que nos referimos,
las acciones elementales, hemos supuesto que son fuerzas

DO

que van de elemento á elemento, según la recta que une sus
puntos medios, y que, por lo tanto, son fuerzas centrales:
las acciones resuli. ntes son las que no constituyen fuerzas
centrales, lo cual no es, seguramente, un descubrimiento de
la crítica moderna.

Pero aun tratándose de elementos infinitamente pequeños,
no puede admitirse como evidente que las fuerzas hayan de
ser centrales, y en esto la crítica está en lo cierto.

Aun siendo los elementos infinitamente pequeños, si son
complejos, y pueden dar lugar á la vez á atracciones y re-
pulsiones, la hipótesis, á priori, de las fuerzas centrales, es
de todo punto gratuita.

Sean (fig. 33) dos elementos sumamente pequeños A, A”;
admitiendo la acción de las fuerzas centrales, habría que su-
poner que la acción de A sobre A” actuaba del centro de A
al centro de A”, ó, en general, de un punto cualquiera de A
á un punto cualquiera de A”.

Pues, sin embargo, si A es un sistema complejo, si con-
tiene un centro de atracción a y un centro de repulsión b, lo
cual sucede ó se supone en todo elemento conductor de la
electricidad sujeto á la acción de un campo eléctrico, la ac-
ción de A sobre A”, no será central.

Supongamos que A” no contiene más que un centro atrac-
tivo a”; pues entonces, para hallar la acción de A sobre A”,
será preciso unir el punto a” con a y b. Sobre la recta aa” y
en su prolongación, porque suponemos que los centros se
repelen, habrá que tomar una longitud a'c, igual á dicha
fuerza repulsiva; y sobre la recta ab, deberá tomarse otra
longitud, ad, igual á la fuerza atractiva entre a” y b. Des-
pués se formará sobre ac y ad el paralelogramo a'dec
y e representará la acción del elemento A sobre el elemen-
to A”, que no será una fuerza central á pesar de ser ambos
elementos sumamente pequeños.

Es más, si A” contiene otro centro atractivo b', la acción

de A sobre b' será una fuerza f (no representada en la figu-

Rev. Acap. Ciexcias.—V.—Julio, Agosto y Septiembre, 1906. 4

Mie

ra), que tampoco será central, de suerte que la acción de A
sobre A”, que se compone de las dos fuerzas ae y bf, po-
drá ser una fuerza no central y además un par de fuerzas, e)
cual por lo general podrá despreciarse.

De suerte que, en general, si los elementos son homogé-
neos, es decir, no son capaces más que de sufrir atracciones
'6 repulsiones, sin que éstas concurran á la vez en cada ele-
mento, no será aventurado admitir la hipótesis de las fuerzas
centrales; pero no será legítimo admitirla en caso contrario.

Y como los elementos que constituyen los cuerpos, aun
admitiendo la hipótesis mecánica, contienen elementos de
materia ponderable, y atmósferas etéreas, de aquí resulta
que en los problemas de Física matemática, admitir en abso-
luto y para dos elementos cualesquiera la hipótesis de las
fuerzas centrales, es grandemente aventurado.

Sobre este punto hemos de volver en el curso próximo;
por ahora basta con las indicaciones que preceden, que jus-
tifican plenamente, que ciertos matemáticos, como el eminen-
te Poincaré, en muchos problemas de la Física acudan á la
teoría de las funciones potenciales Ó funciones de fuerzas
para dar más seguridad á las fórmulas que establecen.

Dijimos al principio de esta larga discusión, que nos ha
conducido á diversas digresiones, que íbamos á presentar un
ejemplo en que la Física matemática se esforzaba en explicar
un fenómeno de la Física experimental, no reduciéndolo di-
rectamente á un problema de Mecánica, sino á otro fenóme-
no de la misma Fisica experimental.

Y esto es precisamente lo que hemos hecho, siguiendo la
hipótesis de Ampére: substituir un imán por un sistema de
corrientes eléctricas.

Pero aquí se presenta y se enlaza con el anterior otro pro-

2

A

blema: explicación mecánica de las corrientes eléctricas; el
cual en rigor se descompone en otros dos, porque la teoría
clásica de la electricidad, saben mis oyentes, que se divide
en dos ramas: la Electroestática y la Electrodinámica. Y así,
la explicación de los fenómenos de Electrodinámica puede
buscarse en los fenómenos electroestáticos, agregando á
ellos un solo hecho, el movimiento de los átomos eléctricos.

Claro es que todos estos problemas, no podemos tratarlos
en esta introducción, que ha de ser de carácter general y
elemental al mismo tiempo; nos basta con ir enumerando los
problemas, por decirlo de este modo, y formulando el pro-
grama, por lo tanto, de los cursos próximos.

Diremos, no obstante, aunque sea de pasada, que aun an-
tes de las teorías de Maxwell y de otros matemáticos y físi-
cos, ó por lo menos antes de que estas teorías fuesen cono-
cidas, se hicieron muchos esfuerzos y se establecieron mu-
chas hipótesis para explicar por la Electroestática, la fórmula
fundamental de Ampére, que antes hemos citado; así, por
ejemplo, ya en el año 1865, en las Memorias de la Acade-
mia de Stanislas, Mr. Renard publicó una interesante nota
sobre la demostración de la fórmula de Ampére en la hipó-
tesis de un solo flúido, partiendo de la teoría matemática de
la elasticidad de Lamé.

Todavía existe otro intento de teoría, precisamente con el
mismo objeto: demostración directa de la fórmula de Ampe-
re; teoría que quizá desarrollemos en otra ocasión, conten-
tándonos por ahora con reproducir en forma muy sucinta
alguno de los principios é hipótesis en que se fundaba, que
son los siguientes :

1.7 Cálculo del aumento ó disminución de presiones en una
masa de éter en función de las fuerzas á que está sometido.

En la hipótesis á que nos vamos refiriendo, se supone que
la electricidad se compone de un sólo flúido que coincide con
el éter mismo.

2.” Se admite que todo conductor eléctrico está formado

5

de esferillas conductrices, como en la teoría de los dieléctri-
cos de Poisson, y que una vez establecido el régimen de la
corriente, las atmósteras etéreas se acumulan en el sentido
de la corriente misma, abandonando en parte el hemisferio
opuesto; de suerte, que cada esferilla, como en la teoría clá-
sica á que antes nos referíamos, puede suponerse que tiene
dos centros, uno atractivo y otro repulsivo. En la hipótesis
de los dos flúidos, se diría que cada molécula se compone
de dos masas eléctricas iguales; una positiva y otra negativa.

3." Al establecerse la corriente, se supone que por la su-
perficie del conductor circula el flúido eléctrico desde el polo
positivo de la pila ó generador hasta el polo negativo; con
una caída de densidad eléctrica, que determina el campo
eléctrico en que se polarizan, como acaba de explicarse, las
esferillas del conductor, y en que se polariza la capa del
dieléctrico que rodea dicho conductor en el mismo sentido
que éste.

4.” A medida que se va engendrando electricidad en la
pila 6 generador, ésta va saltando de esferilla en esterilla,
porque, como la capa eléctrica se halla en equilibrio en cada
una de ellas, todo aumento determina un transporte.

Puede decirse, que á todo lo largo del conductor, este
transporte ó salto de átomos eléctricos, es simultáneo.

Así en la hipótesis que vamos describiendo, la corriente
eléctrica se compone de un movimiento efectivo de electrici-
dad desde uno á otro polo.

Pero, al contrario de lo que sucede en otras hipótesis, no
es dicha corriente eléctrica la que engendra las fuerzas elec-
trodinámicas. En esto difiere totalmente la hipótesis en cues-
tión de la hipótesis de Weber.

5.” Como cada esferilla del conductor contiene dos cen-
tros, uno atractivo y otro repulsivo, cada par de centros
produce una alteración en todo el dieléctrico, alteración que
puede estudiarse por el sistema de curvas semejantes á que
da lugar el sistema de dos masas eléctricas iguales y de

a EL

nombres contrarios, según se estudia en muchos tratados de
electricidad: en el de Mascart, por ejemplo.

6.” Cuando hay otro conductor en presencia del primero,
este sistema de curvas semejantes, que son verdaderas líneas
de fuerza, actúan sobre la capa del dieléctrico que rodea al
segundo conductor, contrariando su efecto, y alterando las
presiones que sobre el conductor ejerce, si las dos corrien-
tes van en el mismo sentido, y actuando en el mismo que la
electricidad de la expresada capa, si las dos corrientes van
en sentido contrario. Y es claro que se supone que los dos
elementos de corriente son paralelos y perpendiculares á la
línea que une sus centros.

72 Admitiendo todas las hipótesis anteriores como bue-
nas, se demuestra fácilmente que los elementos se atraerán,
si las corrientes van en el mismo sentido. Porque las líneas
de fuerza disminuirán las presiones en la parte próxima al
primer conductor, y las disminuirá también en la parte leja-
na; es decir, á un lado y otro del segundo conductor, siem-
pre en la capa expresada del dieléctrico, pero disminuirá
más la presión en el interior que en el exterior, con lo cual
resultará una fuerza atractiva en la apariencia; en rigor será
debida á un exceso de presión de la parte más lejana.

Lo contrario sucederá si las corrientes van en sentido
opuesto.

Efectuando los cálculos que se resienten del mismo carác-
ter hipotético de todo el sistema de demostración; se llega á
la fórmula de Ampere para dos elementos paralelos.

8. Aplicando todavía estas hipótesis á dos elementos si-
tuados en la misma recta, se comprueba, con un poco de
buena voluntad, la misma fórmula de Ampere para este
caso; y combinando ambos resultados, se llega á la fórmula
general.

El carácter de esta demostración, ya hemos dicho cual es:
demostrar las fórmulas de la Electrodinámica, apoyándose
única y exclusivamente en los principios de la Electroestática,

5

Quizá más adelante, en otro curso, y al dar cuenta da
otras hipótesis, más bien como estudio histórico que con
otro objeto, desarrollaremos los cálculos de la teoría que
acabamos de indicar, y sin la ayuda de los que no se puede
comprender fácilmente.

Bien quisiéramos presentar algunos otros ejemplos, reco-
rriendo todas las ramas de la Física matemática, como pre-
paración elemental para el estudio de la misma; pero la falta
de tiempo nos impide realizar este deseo.

De todas maneras, mis oyentes habrán comprendido ya
que en toda la Física matemática, que podemos llamar
clásica, ha dominado en gran parte del siglo anterior una
idea, la de explicar los fenómenos de la Física por la hipó-
tesis mecánica. Los trabajos en este sentido han sido gran-
des y gloriosos, como lo demuestran, entre otras teorías, la
de la luz.

Los triunfos han sido inmensos, pero no completos, por-
que en rigor no podían serlo; no puede pedirse á la ciencia
humana que abarque en sus fórmulas toda la inmensidad de
la Naturaleza inorgánica sin encontrar obstáculos, sin mos-
trar deficiencias, sin que asalten al matemático y al físico
dudas y á veces contradicciones.

De algún tiempo acá, la crítica se muestra hostil contra la
hipótesis mecánica, y acaso opone excesivos rigores á las
soberbias esperanzas de los grandes fundadores de esta
ciencia.

Ya lo hemos dicho, y esto nadie lo niega, la hipótesis me-
cánica ha sido extraordinariamente fecunda; y no desapare-
cerá tan pronto como algunos se imaginan. Yo creo que se
modificará, que se perfeccionará, pero que no desaparecerá
nunca, si esta palabra nunca puede pronunciarse en obras
humanas.

E, O

¿Dónde está la teoría antimecánica que ha de substituirla?

No la veo. Pero, por otra parte, pretender anular los mis-
terios del Cosmos, suponer que con las fórmulas de la Di-
námica se ha conseguido penetrar en el seno de las cosas y
llegar hasta lo absoluto, me parece más que una gran exage-
ración, un gran error y una ambición desmedida.

Y á este propósito, en la conferencia, Ó en las dos con-
ferencias que daré todavía, he de explicar á mis oyentes un
teorema importantísimo del eminente Mr. Poincaré, una de
las glorias contemporáneas más indiscutibles, no sólo de
Francia, sino de toda la ciencia moderna.

Mr. Poincaré no rechaza las hipótesis, antes bien, yo creo
que las considera necesarias para el progreso de las ciencias;
pero no olvida que son hipótesis, ni les da fuerza y valor
para alcanzar lo absoluto de los fenómenos.

Así, en el teorema á que nos referimos, demuestra, y esta
demostración es la que hemos de exponer, que si la hipóte-
sis mecánica llega á una solución, mediante la cual se explica
un fenómeno de la Naturaleza, la misma hipótesis mecánica
podrá ofrecer otras infinitas soluciones. Tal será el objeto de
la conferencia próxima.

IL. —Introducción á la Fisica matemática.

Por JosÉ ECHEGARAY.

Conferencia novena.

SEÑORES:

Según lo que indiqué en la conferencia última, debía en
ésta explicar un notable teorema de Mr. Poincaré sobre las
soluciones de los problemas de Física matemática en la lla-
mada hipótesis mecánica y sobre su indeterminación.

a, JA

Pero dicho teorema se funda en las ecuaciones de Lagran-
ge, para el movimiento de los sistemas, y acaso algunos de
mis oyentes no conozcan esta forma especial de las ecua-
ciones de la Mecánica.

Y como estas conferencias, que sirven de introducción al
estudio de la Física matemática, tienen un carácter elemen-
tal y son de verdadera propaganda científica, no quiero de-
jar ningún cabo suelto, como suele decirse, y me propongo
demostrar todo teorema que enuncie, para evitar dudas y
desalientos y obscuridades á los que me honran con su asis-
tencia á esta clase.

No sólo explicaré las ecuaciones de Lagrange, sino que
daré su demostración, y entre las varias demostraciones que
pudiera elegir, me decidiré por la que se deduce de un cé-
lebre teorema de Hamilton.

Pero todo se encadena, y para la demostración del teore-
ma á que acabo de referirme, tendré que acudir al principio
de las velocidades virtuales en su aplicación á la Dinámica.

Más aun, no sólo para la demostración de este último
principio, sino como base de toda la Física matemática, se-
ría bueno, y afirmaría mucho las ideas, un resumen sucinto
de los principios de la Mecánica racional.

Los hemos estado aplicando en todas estas conferencias,
y tendremos que seguir aplicándolos en los cursos próximos,
como que la tendencia general de la Física matemática clá-
sica es, según hemos dicho tantas veces, reducir todos los
fenómenos de Física á problemas de Mecánica.

Todas las ramas de aquella ciencia, quizá con una sola
excepción, reducen los hechos físicos, sea cual fuere su
apariencia, á hechos de Mecánica racional, á equilibrios y
movimientos de los sistemas, á masas, fuerzas, trayectorias,
velocidades, fuerzas vivas, en cualquier instante; y fuerzas
vivas medias, trabajos de fuerzas y funciones de fuerzas.

Y no estará de más este resumen de los principios gene-
ales de la Mecánica, que nos proponemos hacer brevemente

r

ASE AA A A
4, 4

AL, pS

y en forma muy sintética, para refrescar las ideas de los que
hayan estudiado la Mecánica racional con extensión sufi-
ciente, para completar los conocimientos adquiridos por
otros en estudios más elementales, y á ser preciso, para ex-
plicar la Mecánica en una ó dos conferencias á los que la
ignoren, con tal que posean conocimientos generales de las
Matemáticas.

Pero, ¿es posible realizar semejante empresa?

¿No es absurdo pretender explicar la Mecánica en una Ó
en dos conferencias, como acabamos de indicar?

Yo creo que es posible, y que la empresa no es absurda.
La larga práctica á que me he dedicado durante muchos
años para propagar las ciencias físicas, me ha hecho com-
prender, que la mayor parte de sus teorías no están á tanta
distancia del origen que no pueda recorrerse el camino con
suma brevedad. Y en Mecánica racional, aún más que en
otra ciencia cualquiera.

Pocas ciencias habrá, repito, en que la primera mitad,
que en este caso, y según los cánones clásicos, se llama
Estática, pueda reducirse toda á un solo principio, el de las
velocidades virtuales; y la segunda mitad, ó sea la Dinámi-
ca, pueda asimismo condensarse en este principio ampliado
á las fuerzas de inercia.

Si se exceptúa la Cinemática, que es la que tiene más
íntima relación con las Matemáticas puras, el resto de la
Mecánica se condensa casi, volvemos á repetirlo, en un solo
principio, el de las velocidades virtuales.

Pero, ¿no causará extrañeza á mis oyentes, y más aún al
que lea estas conferencias cuando se publiquen, el que inte-

A

rrumpamos, por decirlo de este modo, los estudios propios
de Física matemática, para consagrar por completo dos con-
ferencias al estudio de la Mecánica racional?

Yo creo, por las razones que antes expuse, que ambas
ciencias están íntimamente enlazadas, como que los grandes
esfuerzos de los ilustres sabios, que en el siglo precedente
crearon la Física matemática clásica, se dirigían á convertir,
como hemos repetido infinitas veces, toda la Física en pro-
blemas de Mecánica: la Física, de este modo, venía á ser
una Mecánica aplicada. Y como, por otra parte, se aspiraba
á que la Mecánica fuese eminentemente racional y puramen-
te matemática, la aspiración suprema de aquellos sabios era
impregnar de tal modo el mundo de los fenómenos del es-
piritu racional de las Matemáticas, que la realidad quedará
sujeta y sometida casi al idealismo matemático y al imperio
de la razón. Todo lo racional es real, dijo Hegel, si no me
equivoco.

La experiencia venía á ser una comprobación de las fór-
mulas, y sólo para comprobarlas, y en todo caso para deter-
minar los coeficientes numéricos, que dichas fórmulas contu-
viesen, había de servir en lo sucesivo la Física experimental.

Ambición noble y grandiosa, pero como todas las ambi-
ciones, si son desmedidas, sujeta al peligro de ruina total é
inevitable descrédito.

Pero aún hay más que justifica, á mi modo de ver, este
paréntesis que abro en las presentes conferencias.

Aunque le he llamado paréntesis, yo creo que no lo es;
creo que al ocuparme hoy en la Mecánica racional, continúo
el mismo sistema que vengo siguiendo desde el principio.

Creo, en suma, que es agregar un ejemplo más á todos
los ejemplos que hasta aquí hemos estudiado.

Porque al fin y al cabo, ¿qué es la Mecánica racional?
La ciencia que estudia un orden determinado de fenómenos
físicos: los fenómenos del movimiento, y acaso, como apa-
riencia, los del equilibrio.

o, MU

Si el magnetismo comprende fenómenos determinados, y
otros fenómenos determinados también la electricidad está-
tica y dinámica, y fenómenos con determinado carácter la
luz, y un grupo especial. de fenómenos el calórico, ¿por qué
en esta serie de fenómenos físicos no han de estar compren-
didos y no han de ser, como los demás, parte de la Física,
los fenómenos de la Estática y de la Dinámica?

Lo son; ¡quién lo duda! Son fenómenos físicos, y á la
Física pertenecen, y la Historia de la Ciencia lo demuestra,
y todos los tratados de Física experimental lo comprueban.
Como que en ellos se empieza por nociones de Mecánica.

Lo que hay es, que la Mecánica es la parte de la Física
en que más domina el elemento racional y matemático.

Se puede explicar el calórico, la luz, la electricidad con
muy pocas fórmulas, con poco lujo de cálculo matemático,
y en la Mecánica, después de establecer ciertos principios,
al cálculo matemático queda entregada la ciencia toda.

Es la parte de la Física en que el elemento matemático
hace presa con mayor energía y con más firmeza.

Pero, en rigor, y mirando estas cuestiones con imparcia-
lidad, la Mecánica puede estudiarse de dos modos, como
todas las demás partes de la Física: ó experimentalmente, Ó
matemáticamente. |

La Mecánica tiene su Mecánica experimental, con la que
se puede constituir toda la ciencia; y su Física matemáti-
ca aplicada á los fenómenos de la Mecánica y fundada en
hipótesis y en cálculos matemáticos, y esta última es la que
casi ha dominado en la Historia de la Ciencia, y á ésta esá
la que se ha llamado Mecánica racional, indicando clara-
mente, que del elemento experimental se prescindia y que
tal Mecánica era una ciencia pura, que en la clasificación de
las ciencias, venía casi después de las Matemáticas, sin más
intermedio que la Cinemática.

Ha sido preciso que la Crítica moderna, que en sus oríge-
nes no es tan moderna como indica la palabra, analizase,

E

con la severidad que le es propia, los llamados axiomas y
principios de la Mecánica racional, para que ésta cediera un
tanto en sus pretensiones, y se aproximase, aunque de
mala gana, á la Física experimental.

Podíamos, en rigor, tratar en estas conferencias de la Me-
cánica y establecer sus principios y sus ecuaciones funda-
mentales sin alterar en lo más mínimo el orden que venimos
siguiendo.

Nos bastaba decir: otro ejemplo más: el equilibrio y el mo-
vimiento de los sistemas materiales.

Y á continuación, como hemos hecho hasta aquí, agre-
gar: «dicho problema puede tratarse por el método experi-
mental y por la experimentación pueden establecerse las
ecuaciones fundamentales de la Mecánica.» Claro es que una
vez establecidas estas ecuaciones, ni más ni menos que en
toda la Fisica experimental, las Matemáticas se apoderarán
de ellas, por decirlo de este modo, para desarrollarlas, com-
binarlas y hacer su aplicación práctica á la realidad de los
fenómenos.

Y en contraposición á este método experimental hubiéra-
mos continuado diciendo: «la Física matemática puede llegar
á estas mismas ecuaciones por medio de ciertas hipótesis.»

Es evidente, por lo demás, que en este caso no hubiéra-
mos podido decir: «estableciendo hipótesis y aplicando los
principios de la Mecánica », porque ahora la Mecánica no es
un medio, sino que es un fin, no viene á explicar problemas
de Física matemática, sino que ha de explicarse á sí misma.

Lo que en este último ejemplo debiéramos decir, sería
esto: la Física matemática explica los fundamentos de la
Mecánica por medio de hipótesis, y aplicando á estas hipó-
tesis principios matemáticos y en todo caso principios de Ci-
nemática,

RES

Por eso ilustres autores se han esforzado en eliminar de la
Mecánica todos los elementos del orden experimental, por
ejemplo, las fuerzas y aun las masas, quedándose con pun-
tos, movimientos, velocidades, y en todo caso, como hipóte-
sís, con ciertos enlaces invisibles é hipotéticos de los sistemas.

Podemos citar en este orden de ideas, la Mecánica del
ilustre Hertz, de la cual trataremos en su día, porque es
muy digna de estudio y puede tomar puesto entre las diver-
sas ramas de la Física matemática, entendidas en el sentido
que vamos explicando.

Por hoy tal empresa es imposible, es excesivamente ex-
tensa, el tiempo nos falta, y además, nos separaría de nues-
tro objeto principal.

Nos contentaremos con establecer, según antes anunciá-
bamos, las ecuaciones y principios generales de la Mecáni-
ca, partiendo de la experiencia.

Es decir, que de las dos partes que antes señalábamos,
para este ejemplo sólo nos fijaremos en la primera.

El primer concepto que encontramos en la Mecánica, el
primer parámetro, pudiéramos decir, según explicábamos
al principio de estas conferencias, es la masa.

No definimos lo que la masa sea; desde el punto de vista
en que nos hemos colocado, debemos declarar que lo igno-
ramos.

No sabemos lo que es la masa en su esencia íntima,
como no sabemos lo que es el calórico, ni la electricidad, ni
el magnetismo, ni la luz, ni la fuerza, ní ninguno de los fe-
nómenos de la Física Ó de sus parámetros.

Todos éstos son fenómenos físicos: es decir, apariencias
de algo inaccesible á que van unidos en nuestro ser repre-
sentaciones sensibles Ó símbolos racionales.

VA

< Mie

Pasamos respetuosamente al lado de lo absoluto sin te-
ner la pretensión, en estas conferencias, de penetrar en él.

Pero, á lo que aspiramos, como en los demás ejemplos
hasta aquí tratados, es á medir las masas.

Mediremos las masas, como hemos medido el calórico, y
la temperatura, y la corriente eléctrica, y el magnetismo, sin
conocer la esencia de todos estos fenoménos.

Mediremos la masa, por la masa misma, porque la medi-
da es una relación, y las relaciones son las únicas que has-
ta cierto punto puede conocer y estudiar la razón humana.

Nuestra inteligencia tiene una propiedad, y si no se quie-
re decir nuestra inteligencia, dígase nuestra imaginación, pro-
piedad de importancia suprema, y es la de repetir las co-
sas, 0 la de suponer que pueden repetirse; mejor aún, la
de reproducirlas y multiplicarlas en el campo imaginativo,
como quiera entenderse, que no hemos de discutir sobre pa-
labras.

Si nuestra inteligencia se apodera de un cuerpo, de un
objeto, de un fenómeno, de un hecho, de una verdad ó de
un error, de un sueño Ó de un absurdo, que llamaremos A,
esta especie de facultad creadora que en nosotros reside,
puede repetir A dos veces, y tres veces, y un número inde-
finido de veces.

Pues esto se aplica siempre á la medida de los paráme-
tros físicos, y así vamos á medir las masas.

Tomemos una balanza, que es un aparato perfectamente
definido, al cual no atribuímos cualidad ninguna, ni decimos
que es una palanca de brazos iguales, ni la relacionamos
con la gravitación: es un objeto determinado, inconfundible
con ningún otro objeto, y que podremos utilizar una y cien
veces.

Pues dos masas, diremos que son iguales, cuando colo-
cadas cada una en un platillo se verifica este otro hecho: que
la palanca queda horizontal y el fiel en el cero.

Cuando este hecho se verifica, diremos que las dos masas

— 63 —

son iguales, como decimos que son iguales dos longitudes,
cuando materialmente podemos superponerlas.

Y un cuerpo tendrá doble masa que otro, que hayamos ele-
gido como unidad, cuando equilibre en la balanza dos de
esas unidades y así sucesivamente.

Pero esta experiencia no tendría sentido ninguno, ni habría
concordancia en los resultados, si experimentalmente no se
estableciera esta ley: cuando dos masas son iguales á una
tercera, son iguales entre sí.

En cambio, con la balanza y con esta ley que acabamos
de citar, se concibe que puedan medirse todas las masas,
y que todas puedan reducirse 4 números.

Y en el orden experimental, quedan las masas en la mis-
mas categoría, que todos los demás parámetros de la Física
que puedan someterse á medida.

Claro es, que también puede definirse la masa por la ace-
leración que se la comunica, empleando el sistema de dos
masas unidas por un hilo flexible, y de este método de de-
finición ya diremos algo más adelante; pero el sistema esco-
gido nos parece más directo y más elemental.

Se dirá que la medida no es rigurosa, que está sujeta á
errores, que no es lo mismo pesar dos masas en un momen-
to dado, que pesarlas un momento después, ó que pesar-
las dentro de un año, porque las condiciones del Universo
pueden haber variado; influencias inapreciables en la prime-
ra pesada, pueden hacerse sensibles en la segunda: puede
alegarse esto y mucho más.

Pero estos son inconvenientes de toda la ciencia experi-
mental; objeciones tales, ó no tienen fuerza ninguna ante el
sentido común, ó tienen tanta fuerza, que anulan de una vez
la ciencia humana entera y reducen la inteligencia del hom-

ATAN
a

> ES

bre á la impotencia, á la inmovilidad y á la muerte. No exa-
geremos la crítica. )

En efecto, nada es igual á nada, porque nada se repite en
el Universo con matemática igualdad, ni el hecho experi-
mental, y si nos apuran, ni la idea matemática tampoco.

Pero ya lo hemos dicho; busquen filósofos y metafísicos
lo absoluto, si es que en la época moderna se atreven á bus-
carlo: están en su derecho.

Ejercite el crítico con implacable severidad sus altas facul-
tades; bien está: debe oírsele, deben estudiarse sus argu-
mentos; pero si tienden á herir de parálisis la razón humana,
de él y de sus críticas debe precindirse y seguir adelante.

Es evidente, que toda la ciencia humana no es otra cosa
que una aproximación más ó menos grosera, más ó menos
imperfecta de la verdad.

Quizá dentro de algunos millones de siglos, la ciencia hu-
mana, si existe, será distinta de la ciencia de hoy, pero aun
así consideramos que una y otra serán términos de una se-
rie total.

La verdad eterna, la verdad inmutable, la ley que siempre
es ley, y algunos afirman que no existe, no podemos tener
la pretensión de conocerla.

Si se me permite la expresión, diré que la inteligencia hu-
mana, en cada momento, procede por símbolos que torjó
con el material que le suministraron las sensaciones; pero
los forjó con sus energías propias, sean éstas las que fue-
ren: con su imaginación, con su lógica, con sus axiomas,
con sus postulados, acaso con chispazos repentinos de la
inspiración. Todo esto existe, todo esto será lo que fuere;
pero existe, empleando esta palabra existencia, si no se per-
mite otro sentido, en el sentido antropológico.

a

Al fin y al cabo somos hombres, y bien ó mal, como hom-
bres tenemos que discurrir, que de otra manera ni discurrir
podríamos.

Si fuésemos una piedra Ó un polo magnético, no discurri-
ríamos antropológicamente, pero discurriríiamos como pie-
dra ó como polo de un imán, si es que discurren.

Y decíamos, que la inteligencia humana lo que hace es
combinar símbolos por sus fuerzas psíquicas.

Si en la Naturaleza existen los fenómenos A, B, C, D.....
que corresponderán á ciertas realidades desconocidas, nues-
tra inteligencia, de cada uno de ellos forja y con cada una
engendra un símbolo, ó una representación, ó un fenómeno
suyo, que corresponde con el fenómeno que observó.

Para el fenómeno A del Cosmos, el símbolo intelectual a;
para el fenómeno B el símbolo b; y así tendremos dos se-
ries que se corresponderán término á término:

En la Naturaleza/'A + B,' L, D....:

En el cerebro humano a, b, c, d.....

a no será A; pero de algún modo están enlazados, quizá
sea uno de esos misteriosos enlaces de la novísima Mecá-
nica, y lo mismo podemos repetir para B y b; C y c; y
para todos los demás fenómenos y sus símbolos correspon-
dientes.

En la Naturaleza, los fenómenos se enlazan y producen
fenómenos complejos, por ejemplo, B, C, D engendrarán
un fenómeno complejo que representaremos por

[BCD).

Si en la inteligencia humana, según las reglas de la lógica
y las leyes del razonamiento, se enlazan los tres símbolos
b, Cc, d, obtendremos un nuevo símbolo

(bcd),

que podrá ser el simbolo del nuevo fenómeno complejo, y

Rrv. Acap. Ciencias. —V.—Julio, Agosto y Septiembre, 1906. 5

AS

en este caso, podremos decir, y algo parecido á esto, pu-
diera ser el criterio supremo de la ciencia; pudiéramos decir,
repetimos, que la combinación lógica de los símbolos es el
símbolo de la combinación real de los fenómenos.

(bed) símbolo de [BCD)].

Y perdonen mis oyentes si con esta digresión me he se-
parado del asunto principal.

Estas son conferencias, no lecciones, y la conferencia per-
mite libertades que la lección severa y ordenada no permite.

Hemos tomado como punto de partida la masa y su me-
dida, y para ello su unidad: por ejemplo, un centímetro
cúbico de agua, Ó si se quiere una unidad mayor, un kilo-
gramo, ó sea un decímetro cúbico de agua pura y á cuatro
grados; y como patrón constante para la comparación, una
masa igual de platino iridiado.

La segunda magnitud física, Óó mejor dicho, el segundo
parámetro de la Mecánica, es la longitud; por ejemplo, el
centímetro, Ó si se quiere el metro, unidad tan vulgar, que
sobre ella nada tenemos que advertir.

La igualdad en este caso, como en todos, hace posible la
medida, y aquí la igualdad se comprueba por la superposi-
ción, Ó por procedimientos ópticos de gran delicadeza que
la substituyen.

Pero en el fondo, si se acude á la Metafísica, ó si se acu-
de á la crítica, las mismas censuras pueden dirigirse contra
las medidas de las masas, que contra la medida de las longi-
tudes y á la inversa.

La constancia, la invariabilidad, ¿dónde se encuentra, y

E

sobre todo, cómo podremos demostrar que existe para cada
caso determinado ?

- Hoy se pesa un cuerpo; se pesa dentro de un año: ¿acaso
las condiciones del Universo son las mismas? ¿Este segun-
do experimento es igual al primero? ¿No estaremos hoy á
millones y millones de kilómetros en el espacio, de donde es-
tábamos ayer? ¿Y las influencias cósmicas serán las mismas?

Y todo esto al pie de la letra puede repetirse para la me-
dida de longitudes.

¿Quién nos dice que en el primero y el segundo experi-
mento, el Universo que nos rodea no se ha dilatado ó se
ha contraído uniformemente, sin que tengamos término de
comparación para sospechar siquiera estas contracciones Ó
dilataciones?

Todo esto es para tenido en cuenta, pero la ciencia no por
eso ha de renunciar á su labor difícil, de gran incertidumbre
á veces, pero sublime y fecunda en su conjunto.

Tenemos dos unidades, la masa y la longitud.

Nos queda la tercera, el fiempo.

Es imposible que nosotros abordemos ninguna de las
grandes cuestiones, que alrededor de este concepto, base
eterna de discusión, se agitan.

Contentémonos con la experiencia vulgar, y digamos tan
sólo, que al ordenar el ser humano las sensaciones que re-
cibe, las ordena, según dos formas elementales: la forma
de la coexistencia, que da origen al concepto del espacio, ó
al menos que con él se relaciona; y la forma de la sucesión,
que despierta la idea del tiempo.

Por eso dicen algunas escuelas filosóficas, que el espacio
es la forma del coexistir y del permanecer, y que el tiempo
es la forma del mudar.

00 ie

Nosotros, por hoy al menos, ni hemos de definir la co-
existencia, ni la mudanza. A la experiencia diaria, á la expe-
riencia universal nos referimos, dejando á los metafísicos, á
los filósofos y á los críticos, sobre todo á los de la escuela
positivista, la empresa de dilucidar estas cuestiones.

Para nosotros, lo que nos importa es la medida del
tiempo.

Al tratar de la Física experimental, decíamos, que podía
medirse el calórico, sin saber lo que era el calórico, y la
electricidad, sin saber lo que es la electricidad, sólo por la
igualdad; lo mismo diremos respecto al tiempo, ó si se
quiere, á la duración.

Dos fenómenos coexisten, cambian coexistiendo, del es-
tado A ,B en que coexisten pasan al estado A”, B” en que
coexisten también; pues diremos que el tiempo transcurrido
desde A á 4', es igual al tiempo transcurrido desde B á B'.

Es una especie de superposición de fenómenos, como an-
tes superponiamos longitudes.

La definición será deficiente, pero no es matería fácil en-
contrar otra mejor y al abrigo de la crítica.

Lo que importa es, y esto es lo que da seguridad, toda la
seguridad posible, á los métodos experimentales, en los que
constantemente se está empleando este parámetro, tiempo,
que en su medida, como en la medida de todas las demás
magnitudes físicas, subsiste esta ley experimental: dos es-
pacios de tiempo, ó, si se quiere, dos duraciones, iguales
á una tercera, son iguales entre sí.

Si de un depósito de agua han salido diez litros, mientras
un péndulo determinado ha realizado n oscilaciones; y un
cuerpo ha perdido medio grado de temperatura, mientras el
mismo depósito, en igualdad de condiciones, ha dado diez
litros de agua; repitiendo los experimentos en la posible
identidad de condiciones, el cuerpo caliente perderá medio
grado, mientras el péndulo oscila n veces.

Ya sabemos que esta palabra mientras, supone la existen-

ESA o a

cia del tiempo; pero téngase en cuenta que es imposible ha-
blar del tiempo, sin emplear palabras que lo supongan.

Entiéndase de todas maneras, que esta palabra que acaba-
mos de emplear, no significa otra cosa que coexistencia ini-
cial y coexistencia final.

Tenemos, pues, las tres unidades fundamentales de la
Mecánica, y aun de todos los fenómenos de la Física, nos
atreveríamos á decir:

La masa, que si el gramo es la unidad, la representaremos
por £; la longitud, que escogiendo el centímetro por unidad,
la representaremos por c; y el fiempo, cuya unidad será el se-
gundo, y lo representaremos por s.

Y así diremos en estas hipótesis: el sistema de unidades
fundamentales, es

(c, 8, Ss).

Pero luego encontramos en la Mecánica otras muchas
unidades de otros muchos parámetros: estas nuevas unida-
des serán unidades derivadas. Masa, longitud y tiempo,
son, en cierto modo, los parámetros independientes; la
fuerza, el trabajo, la fuerza viva, la energía en general, la
impulsión, los pares de fuerza, todos éstos son parámetros
derivados, y todos son legítimos, y todos son útiles para
simplificar las cuestiones ó para considerarlas bajo diversos
aspectos, Ó para procurar las grandes unidades de la cien-
cia: hasta para crear un lenguaje científico.

Así es que no comprendemos el empeño de algunas es-
cuelas modernas, al procurar expulsar de la Mecánica con-
siderada desde el punto de vista experimental, algunos pa-
rámetros.

Comprendemos ó comprenderíamos, sin que esto signifi-
case asentimiento, que al convertir la Mecánica experimental
en Mecánica puramente racional, limpiándola, además, de

' o
K

Ti

todo residuo metafísico, se trate, por ejemplo, de suprimir
el concepto de fuerza, y se niegue la acción á distancia, y
las fuerzas centrales.

Lo que no comprendemos, por ejemplo, es que se pros-
criba la fuerza, para substituirla por la energía 6 por algún
otro concepto más Ó menos complejo de la Mecánica.

Se dice que la fuerza no existe aislada, que no es más que
una abstracción.

Pero yo pregunto, ¿qué concepto de la Ciencia no es
realmente una abstracción ?

La ciencia humana, en su limitación, no puede abarcar, ni
la totalidad, ni la unidad de esa totalidad; tiene que hacer el
estudio por partes, y en cada parte prescinde del resto, y
esa parte es una verdadera abstracción.

Toda ciencia parcial es como una sección, un corte de
prueba dado á través de la Naturaleza. Y esta imagen ya no
es nueva.

No sé por qué la fuerza se ha de considerar como abs-
tracción y no ha de ser abstracción la energía.

Es como si se dijera que la línea recta de la Geometría no
se encuentra en ninguna parte, que es una abstracción del
geómetra, y que la Geometría no debe fundarse en las le
neas, sino en las superficies.

Pero las superficies son otra abstracción del espacio, y no
son mayores abstracciones que el espacio mismo.

A fuerza de abstracciones, que luego se combinan dando
lugar á conceptos complejos, se han podido constituir todas
las ciencias modernas y por de contado las antiguas.

De todas maneras, nosotros no hemos de prescindir de la
fuerza, ni sus mayores adversarios prescinden tampoco de
ella, y si se prescindiese habría que borrar de un golpe toda
la Física matemática y de rechazo toda la Física experimen-
tal, empezando por suprimir la Mecánica celeste.

*
* ok

RÁ

Partamos, pues, del concepto de fuerza, bueno ó malo,
sólido ó deficiente, real ó metafísico, sea lo que fuere, y
procuremos como siempre medirlo.

Que cualquier concepto de la Física, cualquier creación
de nuestra inteligencia, con tal que podamos sujetarlo á me-
dida y expresarlo por números, será elemento que entrará
en la Ciencia experimental y en la Ciencia matemática con
pleno derecho.

- Diremos, pues, que dos fuerzas son iguales cuando ac-
tuando sobre dos masas iguales también y durante el mismo
tiempo comunican á dichas masas la misma velocidad.

Agregando, que suponemos, para simplificar, el movi-
miento rectilíneo y las fuerzas aplicadas en la dirección de
dicha recta.

Todo esto requiere más amplia explicación, pero es im-
posible que nos detengamos en pormenores, que debo su-
poner conocidos de mis oyentes.

Fijemos ahora la unidad de fuerza.

Diremos, por definición, que una fuerza vale uno cuando
aplicada á la masa uno durante un segundo, determina, me-
jor dicho, acaba por determinar la unidad de velocidad.

Es decir, que si al terminar el segundo, la fuerza abando-
na á la masa, ésta seguirá describiendo indefinidamente la
unidad de espacio en la unidad de tiempo.

Y aquí acuden multitud de cuestiones, de dudas, de críti-
cas, que en su día discutiremos, pero que hoy nos separa-
rían de nuestro objeto y que harían interminables estas con-
ferencias, que no pueden tener por ahora sino un carácter
elemental.

Establezcamos desde luego la ecuación fundamental de la
Dinámica, la del movimiento de una masa /n, bajo la acción
de una fuerza X, que es la que hemos empleado en confe-
rencias anteriores y la que tendremos que seguir empleando.

Por eso creo conveniente definirla con claridad.

Sobre una recta ox, camina una masa m (fig. 34). *

LES

En un momento dado, es decir, en el instante f, tiene una
velocidad v, que será evidentemente igual al camino infini-
tamente pequeño dx, que recorre en el tiempo df, dividido
por este intervalo. Es decir, que en el tiempo f, su veloci-
dad es

dx

dt*

La fuerza X modifica esta velocidad, aumentándola ó dis-

Figura 34.

minuyéndola, y á este aumento ó á esta disminución en la
unidad de tiempo es á lo que se llama aceleración.
La variación que experimenta la velocidad durante el

tiempo diferencial deserá dE y durante la unidad de

tiempo sería por lo tanto

de
dt dx
dt df?

Y como esta aceleración se le ha comunicado á una masa
m, la intensidad de la fuerza capaz de producir este efecto
tendrá que ser m veces mayor que si la masa fuese igual á
la unidad.

Todo esto se deduce con evidencia del sistema de medida

E IN

de las fuerzas que hemos explicado. Si á una masa m le co-
munica una fuerza en la unidad de tiempo, la velocidad que

AX
ahora llamamos aceleración a es claro que el valor, la

medida de dicha fuerza, habrá de ser

Todo esto que parece tan claro, aun está sujeto á crítica,
y sin notarlo hemos pasado, y pasan muchos autores, por
uno de los problemas más hondos de la Mecánica.

Hemos dicho que el móvil tenía la velocidad v = E, y
que la fuerza le comunicaba un aumento de velocidad.

Pero hemos supuesto implícitamente, que el aumento de
velocidad es el mismo que si la masa estuviera inmóvil; en
suma, que la acelaración es la misma cuando la masa tiene
la velocidad v, que si estuviera en reposo.

Se admite la hipótesis de que la fuerza ejerce toda su
acción con independencia del movimiento anterior de la
masa m;, pero esto no es evidente, la lógica debe suponer,
no ya que

aceleración = f (X),

sino que

aceleración = f(X, v).

Mas aún, la aceleración en otra Mecánica, pudiera ser
función de todas las velocidades anteriores; aunque también
pudieran reducirse á la última v, que condensa toda /a his-
toria del movimiento hasta el momento presente. Pero pase-
mos adelante.

+

Las acciones de la fuerza se van en cierto modo superpo-
niendo en toda su integridad.

Pero esta, como hemos dicho, es una hipótesis, Ó es un
resultado de la experiencia, porque es claro que se pueden
realizar, y se realizan, experiencias para comprobar esta
hipótesis.

De todas maneras, no insistiremos sobre tales problemas,
que no son para tratados de pasada, y plantearemos desde
luego la ecuación del movimiento.

La fuerza que actúa, hemos dicho que en cada instante ó
en cada punto del espacio tiene el valor X, de suerte que X
será una función en general de las coordenadas del móvil y
aun del tiempo, y aun pueden presentarse casos más com-
plicados.

Pero este valor numérico de X, que es un dato, lo hemos
expresado también por sus efectos, es decir, por la acelera-
ción que suponemos que ha comunicado á la masa, luego
podremos escribir

que será la ecuación del movimiento de la masa sobre la
recta Ox; de suerte que en cada momento debe verificarse
esta ecuación, que define el valor de x en función del tiem-
po. Integrándola para cada caso, y determinando las dos
constantes por la posición y por la velocidad iniciales, ha-
bremos resuelto el problema: x será una función de f, y en
cada instante sabremos dónde está el móvil.

Si trazamos una recta cualquiera, 0'x”, y proyectamos so-
bre esta recta las diferentes posiciones de la masa m y los

o E il E A

jo

diferentes valores de la fuerza X, obtendremos lo que se
llama el movimiento proyectado sobre el eje 0 x'.

Llamemos « el ángulo de ambas rectas, y multipliquemos
la ecuación anterior por cos «a, tendremos:

d?x
cosa . m == "A COSA,
Ó bien
d?. xcosua
AAA A COSO
df?

Pero xcosa=x' y Xcosa= X”, luego

dex
df?

que es la ecuación del movimiento de una masa m sobre la
línea 0'x” y bajo la acción de una fuerza X”, que es, á su
vez, la proyección de X; luego podremos decir, en forma

Figura 35.

abreviada, que la proyección del movimiento de un móvil
es el movimiento de la proyección,

nd

=>

Y ahora generalicemos y caminemos con más rapidez,
porque todos estos no son más que recuerdos de materias
que mis oyentes conocen de antemano.

Supongamos que un móvil m, figura 35, bajo la acción
de fuerzas cuya resultante representaremos por FF, describe
una trayectoria AB en el espacio. Admitiremos, sin entrar en
nuevas explicaciones, que si en cualquier instante se pro-
yecta el punto A del móvil sobre los tres ejes en A,, A,, Az,
y se proyecta también sobre estos ejes la fuerza F cuyas
componentes llamaremos X, Y, Z, el movimiento de la pro-
yección sobre cada eje será la proyección del movimiento,
de donde se deducen las tres ecuaciones

£ d?x =X,
dt?

m EE ==
dt?

A? d?z e
dt?

que integradas determinarán x, y, z en función del tiempo,
de las coordenadas iniciales X,, Y/, 2. y de las componentes
de la velocidad inicial Vy, Y, V ¿, es decir

Xx =f (t, Xo» Yo» 20» Vx, Vy, V2),
y = f, (t, Xo» Yo» Zo» Vx» Vy> vz),

2 JALE Xi Pbro Val VI

- Estas ecuaciones determinan las tres coordenadas del mó-
vil en cualquier instante, y eliminando t entre cada dos, dan
las proyecciones de la trayectoria sobre los tres planos co-
ordenados.

Tales son las ecuaciones generales del movimiento de un

o 7 OE

punto material, pero de ellas se deducen también las ecuá-
ciones del equilibrio, porque, si el punto está inmóvil, x, y, 2
serán constantes, y los tres coeficientes diferenciales relati-
vos á t serán nulos, luego las condiciones de equilibrio son
para un punto cualquiera: X=0, Y =0, Z—0,

Si consideramos ahora un sistema de puntos y buscamos
las condiciones de equilibrio y las ecuaciones del movimien-
to, deberemos distinguir dos casos.

1. Que los puntos estén completamente libres, es decir,
sin ninguna clase de enlace; sujetos únicamente á las fuer-
zas que sobre cada uno de ellos actúen, ya sean fuerzas ex-
teriores al sistema, ya acciones mutuas entre los mismos
puntos, que constituyen dicho sistema.

Este caso es sumamente sencillo, lo mismo para el pro-
blema estático que para el problema dinámico; no hay más
que repetir para cada punto lo que antes explicábamos, y
así, cada punto del sistema tendrá tres ecuaciones que de-
terminarán su movimiento. Sólo hay que advertir que, en
general, las X, Y, Z, contendrá, cada una de ellas, 6 podrá
contener, las coordenadas de muchos puntos del sistema, y
aun de todos; será una complicación para el problema ana-
lítico, mas no lo es para el planteamiento del problema
mecánico.

Asimismo, si se trata del equilibrio, cada punto exigirá
tres condiciones análogas á las que antes establecíamos.

2.” Y este caso es ya más complicado: Cuando entre los
diferentes puntos existen enlaces.

Estos enlaces pueden ser de muchas clases; citemos al-
gunos sólo como ejemplo.

Uno ó varios puntos del sistema deberán estar constante-
mente sobre una superficie, ó sobre una curva, y entonces

pi

las coordenadas del movimiento de dichas masas deberán
satisfacer á las ecuaciones de las superficies ó de las curvas.

Podrá suceder que la distancia entre dos puntos móviles
haya de quedar invariable y ésta será una ecuación de con-
dición.

Y así pudiéramos multiplicar los ejemplos, advirtiendo
que en los que hemos citado, los enlaces se expresan por
ecuaciones, pero también podrían expresarse por desigual-
dades, circunstancia que complicaría el problema.

De todas maneras, en la conferencia próxima establece-
remos el principio de las velocidades virtuales que es fun-
damental en Mecánica y á que tendremos que acudir mu-
chas veces al estudiar los diferentes problemas que com-
prende la Física matemática.

IV.— Examen de una supuesta incompatibilidad de
los calomelanos.

Por José R. CARRACIDO

Es regla generalmente seguida en la práctica médica pro-
hibir la ingestión de alimentos con cloruro sódico después
de haber administrado calomelanos. Fúndase esta prohibi-
ción en la creencia de que el cloruro mercurioso se transtor-
ma en el activísimo veneno cloruro mercúrico en contacto
con la sal común.

Conforme al antiguo criterio de la escala de las afinidades,
dicha creencia parece absurda, porque de ella resulta que el
cloro abandona al sodio para unirse al cloruro mercurioso
de la manera siguiente:

A

Cl?Hg? +2CiNa= 2ClHg —+NAa?.

Cloruro mercurioso. Cloruro mercúrico.

Esta explicación, por su disconformidad con el mecanismo
de las reacciones químicas, no tuvo mantenedores, y se
substituyó por otra en la que se admite la formación de una
sal doble mercuriosa que se convierte en otra doble mercú-
rica con depósito de mercurio del siguiente modo:

C1?Hg?.ClNa = Cl?Hg.CiNa + Hg.

Cloruro mercurioso-sódico. Cloruro mercúrico sódico.

El reconocimiento de las transformaciones materiales, /i-
mitadas generadoras de equilibrios químicos, aun en siste-
mas heterogéneos, como ei formado por un líquido y un
sólido, modificó el criterio de la escala de las afinidades en
términos que ya no resulta absurdo admitir la transforma-
ción parcial del cloruro mercurioso en mercúrico en con-
testo con el cloruro sódico disuelto; pero siendo variables
hasta lo infinito las proporciones de los factores integrantes
de los equilibrios químicos, es necesario conocer el influjo
de las circunstancias sobre la acción mutua del cloruro mer-
curioso y del alcalino.

Este problema hállase todavía hoy planteado con gran
vaguedad, indicándose diferentes soluciones, subordinadas
al criterio con que se le examina; y como testimonio de esta
disparidad, en el modo de apreciar la transformación intra-
orgánica de la sal de mercurio, transcribo los dos siguientes
pasajes:

Es el primero de Ogier, y en él dice (1): «Compuestos
mercuriales no tóxicos Ó poco tóxicos, pueden hacerse peli-
grosos en determinadas condiciones. Los calomelanos, me-
dicamento muy usado como purgante, se transtorman fácil-
mente en sublimado, lo cual acontece en presencia del ácido

(1) J. Ogier. Traité de Chimie toxicologique. París, 1899, pág. 404.

Tr

Pa" a

clorhídrico 6 de los cloruros alcalinos. Por esto se reco-
mienda no tomar al mismo tiempo que los calomelanos ali-
mentos que contengan cloruros alcalinos.»

Es el segundo de Pouchet, en el cual, discurriendo sobre
el mismo asunto, advierte (1) que «la reunión de diferentes
causas: agua, agitación, oxígeno, temperatura, albuminoi-
des, cloruros y bicarbonatos alcalinos, activa de manera
muy perceptible la descomposición de los calomelanos pro-
duciendo cloruro mercúrico, el cual es reducido por los te-
jidos vivos, pasando nuevamente á mercurioso para desdo-
blarse entonces en sublimado y mercurio metálico muy di-
vidido, que penetra en los capilares. Por otra parte, el cloro-
albuminato reabsorbido se reduce mediante la acción de la
hemoglobina, dando también mercurio metálico infinitamente
dividido que, en estado de vapor, obra como tóxico ».

Ante interpretaciones tan diferentes, me convencí que era
indispensable la propia observación para conocer lo que
haya de exacto en la supuesta incompatibilidad, y sobre
todo para tener datos cuantitativos correspondientes á las
sucesivas fases de la transformación de la sal de mercurio.

Es indudable el valor de los datos cuantitativos para la so-
lución del problema, porque todos los liquidos del organis-
mo contienen cloruro sódico, y, además, el jugo gástrico
ácido clorhídrico, y, por consiguiente, lo que debe investi-
garse es el efecto producido por un aumento de concentra-
ción salina.

Para evaluar con rapidez y con la suficiente aproximación
pequeñisimas proporciones de cloruro mercúrico, empleé el
amoníaco como reactivo, pero teniendo en cuenta las si-

(1) Traité de Toxicologie, par L. Lewin, traduit et annoté, par
G. Pouchet. París, 1903, pág. 319. (Nota.)

>] A

guientes maneras de revelarse el fenómeno por mí obser-
vadas.

La disolución de sublimado al A apenas precipita
10.000

con el amoníaco añadiendo el reactivo sin precaución algu-
na y agitando el líquido; pero si cuidadosamente se añaden
pocas gotas deslizándolas por la pared del tubo, en la zona
de separación de los líquidos, se forma un anillo blanque-
cino francamente perceptible.

Examinando con igual proceder disoluciones al ————
20.000

y al HO MEN también aparece el anillo, pero tarda tanto más
30.000 :

en aparecer, y su altura es tanto menor, cuanto la disolución

mercúrica esté más diluida. La correspondiente al AO 0

En 40.000

después de algunos minutos, todavía produce anillo, el

cual, por su tenuidad, puede conceptuarse el límite de la
posible observación de este fenómeno.

Nada más sencillo que evaluar concentraciones en-

y —, cotejando los anillos producidos en

10.000 * 40.000
los liquidos objeto de investigación con los producidos en
tipos previamente preparados (1).

Después de haber purificado cloruro sódico, cuidando
muy especialmente de privarlo de la sal magnésica, por ser
ésta precipitable por el amoníaco, preparé la disolución
fisiológica de dicho cloruro (0,75 por 100), y en ella introdu-

(1) Véase la exposición de este procedimiento con mayor número
de pormenores en los Anales de la Sociedad Española de Física y
Química.— Octubre, 1906.

Rev. Aca, Ciencias. —V.—Julio, Agosto y Septiembre, 1906, v

je calomelanos, después de haberme cerciorado que no con-
tenían cloruro mercúrico. Al cabo de doce horas de contacto
á la temperatura de 37" (la del cuerpo humano), y no obs-
tante la enorme proporción de la sal mercuriosa (5 gramos
en 50 centigramos de la disolución fisiológica), el amoníaco
sólo produjo en el líquido el anillo tenuísimo correspondien-

te á la concentración de - :
40.000

Repitiendo el experimento con otro líquido salino, cuya
proporción de cloruro sódico era de 5 por 100, también el
amoníaco produjo anillo, pero sólo el que revela un conteni-

do de cloruro mercúrico de - no obstante el gran

1
20.000 ”
aumento de la concentración del líquido salino, puesto en
contacto con los calomelanos.

Prolongando el tiempo de contacto, y principalmente ele-
vando la temperatura, aumentan las dimensiones del anillo;
pero la concentración del líquido siempre permanece inferior

1 e
al ———— de cloruro mercúrico.
10.000

En los experimentos precedentes operé in vitro, poniendo
en reacción dos especies químicas, el cloruro sódico y el clo-
ruro mercurioso, en el seno del agua destilada; pero ín vivo,
si no cualitativa, cuantitativamente la reacción puede modifi-
carse, y este punto es indispensable esclarecerlo, porque los
datos que importa conocer son de orden cuantitativo. El áci-
do carbónico no puede descomponer el yoduro potásico en
disolución sencillamente acuosa; pero en presencia de una
pulpa vegetal, según demostró Binz, se realiza lo que antes
era imposible, separándose el yodo.

Tomando ejemplo de este caso, repetí los experimentos

A

antes dichos, añadiendo á los liquidos pulpa de patata. Ele-
gi ésta, por ser muy rica en oxidasas, y considerarla, por
consiguiente, muy apta para determinar acciones oxidantes,
las cuales favorecen en alto grado la transformación de los
compuestos mercuriosos en mercúricos.

Claro es que la introducción de esta nueva substancia im-
posibilita el empleo inmediato del amoníaco, como en los
casos anteriores; es indispensable depurar previamente el
líquido de los componentes de la pulpa, que también se pre-
cipitan con aquel reactivo.

Efectué la depuración, tratando la masa, después de vein-
ticuatro horas de contacto de sus ingredientes, con éter; eva-
porando el líquido etéreo, después de haberlo filtrado, y re-
disolviendo en el agua el residuo de la evaporación. Esta di-
solución acuosa, que ya no contenía otro cuerpo precipitable
por el amoníaco, más que cloruro mercúrico, también pro-
- dujo anillo; pero revelando una concentración inferior
e

10.000

Resulta de todo lo que precede, que el cloruro sódico, al
actuar sobre el cloruro mercurioso, forma siempre cloruro
mercúrico, hecho ya de antiguo conocido; pero lo que resul-
ta de mis experimentos, es que las disoluciones de sal co-
mún, hasta las de mayor concentración que el organismo
tolera, y en presencia de protoplasma rico en oxidasas, sólo
transforma en cloruro mercúrico pequeñísimas proporciones
de calomelanos, proporciones inferiores á las dosis tóxicas.

La acción de los calomelanos sobre el organismo es la re-
sultante de dos componentes: una, la de los calomelanos,
que persisten intransformados, y otra, la del cloruro mercú-
rico, procedente de la transformación de aquéllos. Según
Lauder Brunton, el cloruro mercurioso sólo actúa en la parte

Ze

superior del intestino (1), arrastrando rápidamente la bilis é
impidiendo su reabsorción; pero el verdadero estimulante de
la función biligénica es el cloruro mercúrico (2), por lo cual
recomienda «administrar conjuntamente el sublimado y los
calomelanos, para obtener el doble efecto de aumentar la se-
creción hepática y los movimientos peristálticos del duode-
no»; es decir, el trabajo de la glándula, primero, y después,
el arrastre de la materia elaborada.

De la asociación de todos los datos expuestos, lógicamen-
te se infiere, que el cloruro sódico naturalmente contenido
en los líquidos del organismo, y hasta el ácido clorhídrico
del jugo gástrico, son coadyuvantes de la acción medicinal
de los calomelanos, por transformar una pequeña parte de
éstos en sublimado, produciendo el complexo de los dos
cloruros de acción secretora y excretora. Y si aumentando la
proporción del cloruro sódico, aumenta la de la de sal mer-
cúrica, sin llegar á la de las dosis tóxicas, según queda de-
mostrado, resulta que en algunas ocasiones convendrá ad-
ministrar cloruro sódico en la forma qne se conceptúe más
adecuada al fin de acrecentar la función biligénica mediante
el cloruro mercúrico procedente de los calomelanos.

En contra de la afirmación, no unánime, pero sí común-
mente sustentada, resulta que el cloruro sódico no es incom-
patible, sino coadyuvante de la acción medicinal de los ca-
lomelanos.

De esta conclusión seguramente protestarán algunos ale-
gando testimonios de su experiencia clínica, pero la protesta
puede ser redargiiida por otros que no vieron la presenta-

(1) Action des medicaments. Legons traduits de Panglais. Pa-
rís, 1901, pág. 533.
(2) Idem, pág. 417.

2 -:. ¡OR

ción de fenómenos tóxicos tomando alimentos salados des-
pués de los calomelanos; y también se puede redargiiir con
las pruebas, aunque indirectas, no menos valiosas, de cier-
tos casos de envenenamiento producidos por los calomela-
nos teniendo la precaución de no tomar cloruro sódico.

Queda dicho que la composición de los líquidos del orga-
nismo es de tal índole que aquéllos siempre transforman algo
del cloruro mercurioso en mercúrico, pero esta transforma-
ción, no sólo la efectúa el cloruro sódico que dichos líquidos
contienen, sino también, aunque por modo indirecto, las sa-
les de reacción alcalina, los albuminoides y especialmente la
hemoglobina, las oxidasas de las células y otros agentes
químicos de origen, ya fisiológico, ya patológico.

Todos estos agentes determinan además la separación de
una cierta cantidad de mercurio metálico, la cual, aunque pe-
queñísima, por su extremada división, penetra en los capila-
res sanguíneos y convirtiéndose en vapor, puede difundirse
por todo el organismo, liegando á originar las perturbacio-
nes consiguientes á la intoxicación mercurial.

Estos hechos inducen á creer que en los casos de envene-
namiento atribuido á la acción del cloruro sódico sobre los
calomelanos, debieron ser otras las causas productoras del
trastorno fisiológico, correspondiendo á la sal común en el
proceso de acusación, el lugar del menor responsable. La
incompatibilidad del cloruro sódico y los calomelanos fué
dictada por coincidencias, que examinadas con el criterio de
la experimentación química, no son base suficiente para sos-
tenerla.

Los medicamentos, lo mismo que los alimentos, pueden,
en especiales condiciones, convertirse en venenos; y los ca-
lomelanos, cuerpo tan inestable como todas las sales mercu-
riosas, en las que se muestra uno de los átomos del radical
metálico violentamente retenido en la molécula, no sólo ha-
bían de ser excepción de la regla, sino al contrario, por su
gran inestabilidad confirmarla mejor que otros muchos, res-

E

pondiendo al influjo de las circunstancias emanadas de las
alteraciones intraorgánicas. Estas, y no el cloruro sódico de
los alimentos, deben ser las que motivan la intoxicación
mercurial en los casos en que aparece después de haber to-
mado calomelanos.

V. —Une reclamation de priorité a propos du télé-
kine et des experiences d'Antibes (1).

PAR LÉONARDO TORRES.

Lettre de M. Torres a M. le Directeur du «Bulletin de la Société des Elec-
triciens ».— Lettre de M. le Secrétairz de la Société Internationale dez
Electriciens a M. de Madariaga, — Lettre de M. Torres a M. de Mada-
riaga. - Lettre de M, le Secrétaire général de la Société des Electri-
ciens a M. Torrez.—Lettre de M. Torres a M le Secrétaire général de
la Société des Electricier.s.—Breveot de M. Torres,—Note de M. Deyaux,

LETTRE DE M. TORRES A M. LE DIRECTEUR DU «BULLETIN
DE LA SOCIÉTÉ INTERNACIONALE DES ELECTRICIENS > (2

M. LE DIRECTEUR DU «BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ INTERNACIONALE
DES ELECTRICIENS:

Monsieur: Ayant lu dans le Bulletin du mois dernier une
description des appareils employés aux expériences d'Anti-
bes, qui sont, dans leurs parties essentielles et caracteristi-
ques, une reproduction exacte —¡je ne dis pas volontaire—.
du télékine décrit et breveté par moi, je viens vous deman-

(1) He dejado estos documentos en francés para que puedan lle-
gar más fácilmente á conocimiento de los lectores del Bulletin de la
Société Internationale des Electriciens, donde se publicaron algunas
afirmaciones de M. Devaux que se refutan en esta nota.

(2) J'ai oublié de noter la date de cette lettre dans le brouillon
que j'ai gardé. Elle a été expediée, je pense, vers le 10 Juillet par
M. de Madariaga qui Pa fait parvenir a M. Leblanc, Président de la
Société des Electriciens. M. de Madariaga a recu comme reponse la
lettre de M,. le Secretaire de la Société qu'on trouvera plus loin,

der de publier cette lettre dans votre journal, pour établir
mes droits de priorité.

Vous trouverez la description de ce télékine dans mon
brevet d'addition du 1 Décembre 1903, dont je vous envoie
une copie. Je vous prie de la publier, ou du moins de publier
la figure et les parties que j'ai soulignées dans le texte. On
y retrouvera tous les appareils décrits par M. Devaux: la
méme roue á rochet £ (il lappelle C), portant sur son arbre
le bras M (il Papelle D), la méme couronne de plots par
courus par ce bras et le méme levier / (il Pappelle L), pour
couper le courant pendant la manceuvre de la roue á rochet.
On y retrouvera encore la méme disposition dans le circuit
électrique: le courant part du póle positif, passe par la bu-
teé G (a sur la figure de M. Devaux) au levier /, de lá au
bras M et de ces bras (en passant par les servomoteurs) au
póle négatif.

Le figure 3 de la note de M. Devaux indique fort sommai-
vement la maniére de ralentir au moyen d'un volant, le re-
tour du levier L á sa position normale. C'est lá une question
de détail qu'on peut résoudre de mille maniéres. J'y suis
arrive par Pemploi d'un volant dans un premier télékine
construit par moi au Laboratoire de Mécanique de la Sor-
bonne dirigé par M. Koenigs, qui a été presenté par M. Ap-
pell a lPAcadémie des Sciences (1); plus tard, dans les té-
lékines construits au « Centro de Ensayos de Aeronáutica» á
Madrid, j'ai employé différentes sortes de freins, dont ¡je
vous enverrai volontiers la description si cela peut vous
intéresser.

Les appareils, dont je vous parlais tantót ont été essayés
avec succés á différentes reprises: á la fin de Pannée 1904
et pendant les premiers mois de 1905, j'ai fait marcher dans
le «Frontón Beti-Jai» (un ancien jeu de paume) un tricycle
qui a fonctionne d'une facon tout-a-fait satisfaisante devant

(1) Comptes Rendus. Seance du 3 aout 1903.

e RL

un grand nombre de personnes, notamment devant les pro-
fesseurs et les éléves de Ecole des Ingénieurs Industriels
de Madrid, qui ont resumé en ces termes le compte rendu
de leur visite au Fronton (1).

«Ce que nous pouvons ajouter c'est qu'en assistan taux
»expériences de Beti-Jai, nous avons eu occasion d'admirer
»Pobéissance inconsciente et précise de lPappareil, qui recu-
»lait, avancait, s'arrétait ou se mellait en marche á droite ou
»á gauche, suivant les ordres qui nous avaient été annoncées
»d'avance par son inventeur.»

Pendant les mois de Septembre et Octobre de 1905 oú
ai fait des expériences dans le port de Bilbao, á des dis-
tance variant de 300 a 2.000 métres á peu prés, dont les
journaux ont parlé un peu partout; de sorte que, les expé-
riences de Bilbao et le télékine étant déjáa trés-connus á
Pépoque des expériences d'Antibes, 1'llustrated London
News, en rendant compte de celles-ci (2), pense (et je vois
maintenant qu'il était dans le vrai) qu'elles ont été faites
avec mon télékine.

J'essaye actuellement á Madrid un antre cannot qui fonc-
tionne réguliérement, presque tous les jours, dans le lac de
la Real Casa de Campo. La Revista de Marina (3) a rendu
compte de ces expériences, qui d'ailleurs ont été Pobjet
d'une étude tres-compléte de la part d'une Commission nom-
mée á cet effet par le Ministre des Travaux Publics. Le rap-
port de cette Commission n'a pas encore été publié (4).

J'espére que vous voudrez bien m'accuser réception de
cette lettre et vous prie, Monsieur, d'agréez mes salutations
les plus distinguées. —L. TORRES.

(1) Boletín Industrial, órgano oficial de la Asociación de Ingenie-
ros Industriales. Madrid 5 de Abril de 1905.

(2) The Illustrated London News. March 24, 1906.

(3) Revista General de Marina. Junio 1906.

(4) On Pa publié apres dans la revue Ateneo. Septembre, 1906.

2 E e e: A

Ns

LETTRE DE M. LE SECRÉTAIRE DE LA SOCIÉTÉ INTERNACIONALE
DES ELECTRICIENS A M. DE MADARIAGA

Paris le 26 Juillet 1906.

Monsieur: Nous avons bien recu votre lettre du 10 Juillet
relative á une reclamation de M. Torres.

Comme il est formellement indiqué dans chaque numéro '
du builetin, la Société n'est pas responsable des opinions
émises par ses membres et elle n'a pas á s'occuper des
questions de brevets, c'est aux interessés eux-mémes á
prendre leurs dispositions á cet égard.

Je ne connais pas la date des brevets de M. Devaux, je
lui ai fait part de votre reclamation, á titre oficieux, et j'at-
tends la réponse.

Le bureau de la Société, en présence de votre demande,
est disposé á autoriser la publication au bulletin, d'une note,
tres-courte, sur le dispositif de M. Torres, pourvu qu'elle
rmait pas le caractére d'une reclamation de priorité. Les
faits parleront d'eux-mémes si M. Torres a soin de mention-
ner la date de ses expériences.

C'est en considération de votre demande que le bureau
accepte cette dérogation aux régles de la Société, car M. To-
rres ne faisant pas partie de la Société des Electriciens, nous
aurions pu ne pas tenir compte de sa réclamation.

Ne serait-ce pas une occasion pour amener M. Torres
chez nous? Ses travaux sont assez connus et estimés chez
nous et vous pourriez peut-étre essayer de le faire entrer
dans notre Société.

Veuillez agréer, Monsieur, l'assurance de mes sentiments
les plus distinguées. —Le Secrétaire général, ARMAGNAT.

LETTRE DE M. TORRES A M. DE MADARIAGA

Bilbao 9-VIII-906.

M. José M. DE MADARIAGA:

Mon cher ami: Je vous écris en francais (ou á peu pres),
pour qu'il vous soit possible d'envoyer, si bon vous sem-
ble, ma lettre á Paris, ce qui vous éviterait la peine d'écrire
vous méme longuement.

Je ne comprends pas trées-bien les raisons qui s'opposent
á la publication dans le Bulletin de ma reclamation.

Elle ne tend pas—comme on paraít le croire au Secré-
tariat—á soulever une question de brevets; le mien y est
cité, pour appuyer mes afirmations par la description du té-
lékine, au méme titre que ¡'aurais pu citer un article de jour-
nal contenant celte description.

Elle n'engagerait mullement la responsabilité de la So-
ciété des Electriciens, pas plus qu'elle ne suppose cette res-
ponsabilité engagée par la communication de M. Devaux.
Du reste, je ne vois trop pourquoi on rappelle á ce propos
que la Société n'est pas responsable des opinions émises par
ses membres; il ne s'ágit point dans ma lettre d'opinions, il
s'agit d'un fait tres-simple que je résumerai en peu de mots:

M. Devaux affirme qu'il a imaginé «un nouveau type
d'appareil de commande a distance» et il ajoute plus loin
pour bien établir la nouveauté de son invention:

«Les schemas actuels ne permettraient d'effectuer avec ce
»seul électro, au maximum que deux commandes alterna-
e E A

« Aussi..... avons nous du etudier un dispositif nouveau.»

Or les faits affirmés par M. Devaux sont tout-á-fait
inexacts.

1.2 Il exisle depuis 1903 un appareil (le premier télékine
construit par moi) permettant d'effectuer avec un seul élec-

y A ÑÉ

tro plusieurs commandes a distance. Presenté a 1'Academie
des Sciences de Paris le 3 aut 1903, il a été sommaire-
ments décrit dans les Comptes rendus de cette corporation.

2.” Le systeme décrit par M. Devaux n'est pas du tout
nouveau, puisqu'il était décrit par moi dans un brevet du
1 Décembre 1903.

L'erreur —involontaire, cá va sans dire —commise par
M. Devaux sur ces deux points est donc incontestable; lui
méme le reconnaítra ainsi j'espére.

Alors, la chose est claire. Le Bulletin a publié, sans y
prendre garde, des affirmations défavorables pour moi et
parfaitement contraires a la réalité des faits. Il est donc
dans le devoir de publier ma rectification pour rétablir la
vérité sur ce point.

Les réglements de la Société n'ont rien a faire ici; ¡ls se-
ront sans doute trés-utiles pour régler les rapports des mem-
bres entre eux; mais ils ne sauraient pas empécher que le
Bulletin agisse correctement envers les étrangers. |

Du reste, si c'est seulement ma qualité d'étranger á la So-
ciété qui me défend d'inserer dans le Bulletin une note suffi-
sante, pour établir bien ciairement et bien explicitement mes
droits de priorité, on pourrait probablement tout arranger;
je trouverais, peut-étre, un membre de la Société qui vou-
drait se charger de rédiger une note acceptable pour moi.
Mais je ne peux pas accepter d'intervenir si on ne me laisse
pas parler librement; je suis tres-touché de la bienveillance
du bureau, qui veut bien autoriser une dérogation du regle-
ment, pour me permettre de publier une note fres-courte, á
condition d'étre bien sage et de n'y mettre que les choses in-
signifiantes qu'on est disposé a me laisser dire; mais tant
que cette condition ne sera pas dérogée je me vois forcé de
rennoncer a l'honneur de collaborer dans le Bulletin.

Pardonnez moi, cher M. Madariaga, l'ennui de cette
lettre et agréez mes trés-amicales et tres-distinguées salu-
tations.—L, TORRES.

Ss e

LETTRE DE M. LE SECRÉTAIRE GÉNÉRAL DE LA SOCIÉTÉ
DES ELECTRICIENS A M. TORRES

Paris le 22 Octobre 1906.

M. TORRES, RUE DE SANTA ENGRACIA, 20, A MADRID (ESPAGNE):

Monsieur: Le Bureau de la Société des Electriciens, apres
avoir pris connaissance de vos lettres des 9 et 21 (1) Juillet,
du 10 Aoút, et de la communication de M. Devaux, n'a pas
cru pouvoir permettre une dérogation au réglement de la So-
ciété en autorisant la publication de votre réclamation.

En effet, votre nom n'ayant pas été cité par M. Devaux,
la question devient une affaire de brevets que nous n'avons
pas qualité pour juger. L'insertion de votre réclamation amé-
neraít forcément une réponse de la part de M. Devaux, vous
seriez obligé de réfuter les arguments qu'il vous opposerait
et nous serions ainsi entrainés dans une polémique dans la-
quelle nos statuts nous interdisent d'entrer.

Croyez bien, Monsieur, que c'est avec le plus vif regret
que le Bureau se voit obligé de repousser votre demande.

Veuillez agréer, Monsieur, l'assurance de ma considéra-
tion la plus distinguée.— Le Secrétaire général. (Signature
illisible.)

LETTRE DE M. TORRES A M. LE SECRÉTAIRE GÉNÉRAL
DE LA SOCIÉTÉ DES ELECTRICIENS

Madrid 28 Octobre 1906.

M. LE SECRÉTAIRE GÉNÉRAL DE LA SOCIÉTÉ DES ELECTRICIENS:

Monsieur: J'ai le regret de ne pas pouvoir accepter les
points de vue du Bureau de vótre Société,

(1) Je rai rien écrit le 21 Juillet,—L. T.

> PS

Il ne s'agft pas d'une question de brevets, puisque je ne
reclame nullement dans mes lettres les droits legaux que je
tiens de mon brevet; je Pai cité —comme j'ai cité les Comp-
tes Rendus de l'Academie des Sciences, et autres publica-
tions —seulement pour établir une date. ll s'agit donc bien
d'une question de priorité uniquement.

Du reste, ceci n'a aucune importance. Ce que je ne peux
pas comprendre c'est le motif que donne le Bureau pour
justifier son refus.

Ce n'est pas la peur du réglement qui le retient, puis-
que — d'apres vótre lettre á M. de Madariaga —on peut
aisément y deroger pour faire plaisir á un membre de la
Société.

Ce n'est pas qu'il y ait des doutes sur l'exactitude de
mes affirmations; on voit, au contraire, avec toute evidence,
dans vos lettres, que mes affirmations ont eté confirmées —
explicitement ou implicitement — par M. Devaux lui méme.
La chose est claire: vous lui avez fait part de ma reclama-
tion, á titre officieux, et le 16 Juillet vous attendiez sa re-
ponse. Dans le cas 0u M. Devaux aurait contesté la priorité
que je reclame, vous vous seriez cru, sans doute, obligé á
me communiquer sa lettre, comme vous lui avez communi-
qué la mienne; donc il a repondu en se montrant d'accord
avec moi, ou il n'a pas repondu du tout, ce qui revient au
méme.

Alors, pourquoi ce refus de publier la verité? Le desir
d'eviter une discusion, qui serait certainement courtoise ne
parait pas une raison suffisante.

Je rennonce á comprendre les raisons du Bureau, mais
je ne peux pas rennoncer á faire la lumiére sur ce point. Je
ferai donc publier mon brevet et la note de M. Devaux
accompagnés de cette correspondance. Je regrette beaucoup
d'avoir á publier ma reclamation dans cette forme, mais
vous reconnaitrez j'espére que c'est le refus inexplicable du
Bureau qui my oblige.

A A NA e e

a

Veuillez agréer, Monsieur, l'assurance de ma considéra-
tion la plus distinguée.—L. TORRES.

BREVET DE M. TORRES

Premiere addition, en date du 1 Décembre 1903, au brevet pris le 10

Décembre 1902 par M. Léonardo Torres, résidant en Espagne. Syste-

me dit «télékine» pour commander a distance un mouvement mécani-
que. Délivrée le 12 Février 1904; publiée le 7 Avril 1904.

Cette addition au brevet n* 327.218 est relative á un per-
fectionnement au systéme de commande á distance qui fait
Pobjet de ce brevet.

Ce perfectionnement consiste en une disposition qui per-
met de commander plusieurs appareils différents au moyen
d'une seule aiguille ou levier se mouvant sur un cadran,
cette disposition permet de simplifier le systéme, car il n'est
plus alors nécessaire d'employer des signaux de longueur
différente et l'on peut supprimer lP'appareil destiné á distri-
buer ces signaux.

La description en est donnée ci-apres en référence au des-
sin schématique annexé.

Quand on établit le contact entre les fils DE, cela soit a
la main, soít au moyen d'un appareil télégraphique (avec
ou sans fil), le courant va de a á b en passant par un élec-
tro K; celui-ci attire un levier armature 1 lequel commande
par encliquetage une roue a rochet L commandant un levier
M qui se meut sur une couronne de plots. Par conséquent d
chaque émission de courant le levier 1 fait tourner P'une
dent la roue a rochet L et fait avancer le levier M; en méme
temps, ce levier 1 agit sur un levier J et le fait pivoter, en
lui faisant quitter ainsi une butée G sur laquelle il repose
normalement. Ce levier J, dés qu'il est abandonné a lui-méme

MORA JA

tend d revenir sur sa butée G qui est la position montrée
par le dessin, mais il n'y revient que tres lentement soit
parce que son inertie, représentée par exemple par deux
masses FE, est tres grande relativement á la force d'un res-
sort R qui le rappelle, soit parce que son mouvement est
ralenti au moyen d'un frein quelconque.

Or pendant que l'on fait passer le levier M d'une posi-
tion a une autre, le levier | oscille tres rapidement et le
temps écoulé entre deux émissions successives de courant
dans Pélectro K n'est pas suffisant pour que le levier ] puis-
se venir s'appuyer sur la butée G; le contact est donc inter-
rompu entre ] et G au moment méme ou le mouvement du
levier M commence et ne se retablit qu'aprés que ce levier
est arrivé a une nouvelle position de repos.

On a indiqué en A un disque (analogue aux organes dé-
nommés «disques» de l'installation schématique de la figu-
re 16 du brevet principal) qui est affecté á la commande de
Phélice du ballon dirigeable (selon Pexemple d'application
qui a été considéré); en 7 un disque affecté á la commande
du gouvernail, et en S un levier qui exécute une opération
quelconque, toujours la méme, par exemple la commande
d'une sonnerie électrique quand lPélectro B est traversé par
un courant.

Chacun de ces disques T et A porte deux piéces métalli-
ques dd! qui peuvent venir en contact avec des plots fixes.
Dans la position représentée par le dessin, le courant par-
tant de c, passe par la butée G, le levier J, le levier M, le
disque T (par la piéce métallique d), Pélectro P et revient
a la pile par e; lVélectro P attire le levier N qui porte deux
pieces métalliques isolées 0o!, lesquelles viennent appuyer
sur les bornes des quatre fils m, n, p, q; la piéce o vient en
contact avec les deux bornes supérieures et la piéce 0! avec
les deux bornes inférieures. Dés que ces contacts sont éta-
blis, Pélectro-moteur Q se met en mouvement et entraíne la
vis sans fin U et le disque 7 qui engréne avec elle. L'instal-

lation est faite de maniére que, comme cela est dans le cas
considéré, lorsque le courant passe par l'électro P, le disque
tourne dans le sens indiqué par la fléeche; il tournera dans
ce sens pendant que le plot f qui est en ce moment en com-
munication avec le póle positif, sera en contact avec le póle
positif, et méme il continuera sa rotation par la vitesse ac-
quise, aprés que le contact sera rompu; mais alors le levier
N reviendra á la position normale et ce sera le levier N*
qui étant attiré par Pélectro P* viendra toucher les bornes
des fils m, n, p, q; les contacts établis par le levier N* mettront
le moteur en marche, mais en sens contraire, parce que le
sens du courant a changé dans l'inducteur, tandis qu'il est
resté le méme dans l'induit. On voit donc que le disque 7
se placera de maniére que le plot f (celui qui recoit le cou-
rant) se trouve dans l'intervalle qui reste libre entre les deux
pieces dd!. On peut ainsi agir sur autant de disques que
Pon voudra et on comprend que chacun de ces disques peut
commander un servo-moteur par les moyens indiqués ou
par d'autres moyens convenables.

RÉSUMÉ

Cette addition au brevet N” 327.218 se rapporte á:

La disposition générale des appareils permettant de com-
mande plusieurs servo-moteurs avec une seule aiguille et la
disposition pour éviter que les servo-moteurs ne soient com-
mandés á contre-temps pendant que le levier M passe d'une
position á une autre, ainsi qu'il est exposé ci-dessus.

h. ba MN MATA + r Y y:
d '

o

NOTE DE M. DEVAUX (1)

COMMANDE ÉLECTRIQUE A DISTANCE PAR LES ONDES HERTZIENNES
APPLICATION A LA COMMANDE D'UN SOUS-MARIN TORPILLEUR.

M. Devaux: «Nous allons exposer une nouvelle applica-
tion des découvertes relatives aux ondes hertziennes et pa-
ralléelement un nouveau type d'appareil de commande élec-
trique á distance, sans fil, lequel peut d'ailleurs fonctionner
aussi avec fils. )

»Les ondes hertziennes ont été jusqu'ici, le plus souvent,
utilisées au fonctionnement d'un électro-aimant dont l'arma-
ture s'emploie á lP'inscription de signaux Morse; c'est la té-
légraphie sans fil. Mais le mouvement de cette armature peut
évidemment servir aussi au déclenchement d'une force em-
pruntée á un organe voisin.

»Les schémas actuels ne permettraient d'effectuer avec ce
seul électro, au maximum, que deux commandes alternati-
ves utilisant les deux positions —repos et attirée —de lPar-
mature. Pour effectuer une série de manceuvres indifférentes
les unes par rapport aux autres, il faudrait disposer d'autant
d'électros que de commandes; ce serait possible, mais com-
pliqué, s'il s'agit de transmissions par fils; mais des qu'on
entre dans la transmissions sans fil cela n'est plus possible,
attendu qu'on n'a pas encore pratiquement obtenu la parfaite
diftérenciation de plusieurs circuits montés sur autant de
cohéreurs en un méme point.

»Aussi, nous étant posé le probleme de pouvoir mettre en
ceuvre á distance, sans fils, une série de forces quelconques,
agissant dans un ordre toujours variable, et restant indépen-
dantes les unes des autres, avons-nous dú étudier un dispo-
sitif nouveau d'appareils de commande.

(1) Bulletin de la Société Internationale des Electriciens. Juin, 1906.

Rev. Acap. Ciencias. —V. —Julio, Agosto y Septiembre, 1300. 7

co CA

»Ces appareils de commande seront asservis aux ferme-
tures du cohéreur dans la transmission sans fil et pourront
donc — cela est bien évident— servir également dans les
commandes par fils; ¡ls présentent dans ce dernier cas l'avan-
tage de ne nécessiter qu'un conducteur, la terre formant le
retour pour un appareil capable de desservir n circuits, cha-
cun d'eux pouvant étre fermé sans nécessiter un trouble quel-
conque des autres.

»Ce systéme consiste essentiellement en:

»1.2 Un distributeur courant sur tous les plots d'oú par-
tent les circuits á commander.

_»2... Un commutateur ne lancant le courant que lorsque

le précédent distributeur a atteint le circuit seul que 1'on dé-
sire fermer.

»Pour réaliser cette double fonction, un électro E (fig. 1),
peut attirer une armature A maintenue par le ressort anta-
goniste R et pivotant en O. Cette armature se prolonge de
chaque cóté par les bras B et B”. Le bras B”, muni d'un cli-
quet, attaque la roue á rochet C portant Paxe O” du distri-
buteur et la fait avancer d'une dent á chaque excitation de
Pélectro. Le bras B vient frapper á chaque excitation sur
Pextrémité du levier L articulé en O” et formant commuta-
teur en ad.

»Dans le prolongement de l'axe O” on rencontre un bras
D (fig. 2) dont Pautre extrémité frotte sur la série des plots

dd

A A A AE A

REA 1408

1. 2. 3..... 12—et permet ainsi de distribuer le courant ame-
né par Paxe O' sur ces douze diverses positions et les cir-
cuits qu'elles représentent. L'avancement du distributeur est
d'un plot a chaque excitation de l'électro E.

Fig. 2.

»Les excitations de cet électro dépendent directement du
poste d'émission, que le conducteur soit un fil ou un train
d'ondes hertziennes agissant sur un cohéreur; on peut ré-
gler Porgane manipulateur en sorte que ces émissions soient

réguliéres et conservent un rythme >:

Fig. 3.

»La deuxiéme fonction de l'appareil est exercée, avons-
nous dit, par un commutateur spécial. A cet effet, le bras B,
vient á chaque attraction de l*armature A, conduire le levier
L (fig. 3) hors de sa position de repos et ainsi couper le
contact aa. Tant que bat cette armature A, le levier £ est

e

donc constamment rejeté hors de la position circuit fermé,
mais tend á y revenir sous la tension du petit ressort r. ll
pourrait donc se faire qu'il puisse tomber un temps trés
court au contact en aa ce que nous voulons éviter; á cet
effet nous retardons considérablement le temps de sa chute,
par Partifice suivant. L'extrémité opposée au contact aa” est
munie d'un petite crémaillére qui, glissant devant la roue
dentée rd, vient s'engrener sur cette denture quand le levier
L est hors de sa position; pendant le retour de ce levier la
crémaillere entraíne la roue dentée, mais cette roue, alourdie
par le volant v, peut acquérir une inertie réglable et, par sui-
te, imposer á la chute du levier £ un temps appréciable. Il
suffira, en pratique, que ce temps +” soit notablement plus
élevé que le terme f du rythme de lParmature A, par exem-
ple 2f.

»Pendant la série des battements de l'armature et Pavan-
cement du distributeur, le commutateur reste donc á circuit
ouvert; seulement quand l'armature est arrétée et consé-
quemment le distributeur arrivé an point convenable, le com-
mutateur prend le temps de tomber au contact. ;

»Le fonctionnement apparait donc trés facilement:

»L'appareil est au repos, le bras D repose sur le plot 12,
qui étant un plot mort constitue la position de repos, le O
de l'appareil. Le levier £ ferme le circuit en aa”; nous vou-
lons fermer le circuit 7 sans affecter aucun des autres.

»11 suffit au poste émetteur d'envoyer 7 courants ou 7

trains d'ondes au rythme -; Pélectro E battra 7 fois á cette

fréquence et fera avancer la roue á rochet C de 7 dents, par
suite le bras D viendra sur le plot 7. Mais en méme temps,
le méme fonctionnement de Pélectro E a tenu ouvert le com-
mutateur, comme nous l'avons expliqué plus haut. Ce com=
mutateur ne va tomber qu'á Parrét de l'électro E, c'est-á-dire
qu'il ne fermera le circuit que lorsque le distributeur sera
arrivé sur le plot 7 que Pon s'était fixé. Précédemment il

— 101 —

était ouvert pendant que le distributeur cheminait sur les
plots précédents.

»0n a donc fermé le circuit 7 sans avoir compromis l'in-
dépendance des circuits précédents.

»Veut-on maintenant envisager la fermeture de plusieurs
circuits concurremment, il faut pour cela que le distributeur
soit toujours libre de se déplacer sans interrompre la ferme-
ture d'un circuit en travail; il suffit que les circuits 1, 2,

Antenne

Cohereur

Appareil de

Commandes

Fig. 4. -

> A 12 soient fermés sur des relais verrouillés, lesquels
alors commandent directement l'organe á mettre en ceuvre,
ces relais sont et resteront fermés dés que lP'appareil de com-
mande les aura fermés, leur ouverture dépendra d'une com-
«mande connectée á un des plots.

»La figure 4 donne le montage d'un appareil de comman-
de électrique á distance sans fil, il est simplement connecté
aux lieux et place d'un appareil Morse dans un poste de té-

légraphie sans fil.
»Nous avons appliqué ces dispositifs á la commande en

— 102 —

mer d'un torpilleur sous-marin, il nous fallait réaliser les'
manceuvres suivantcs:

»1, Mise en marche avant.

»2.. Mise en marche arriére.

»3.7 Stop Moteur Propulsion.

»4, Barre á gauche.

»5.. Barre á droite.

»6. Stop Moteur Direction.

»7.2 Allumage de signaux vers l'avant.

»8. Allumage de signaux vers l'arriére.

»9.” Lancement de la torpille.

» Notre appareil était á 12 commandes, il présentait donc
3 points de repos, répartis parmi la série des plots. La vi-
tesse d 'obéissance des appareils nous a permis de faire un
tour complet du distributeur en 2 secondes.

»Les 9 circuits de manceuvre se fermaient sur 7 relais ver-
rouillés qui commandaient les moteurs de propulsion et de
direction, les lampes signaux, Pappareil de lancement de la
torpille.

»L'énergie locale était constituée par une batterie Fulmen,
450 amperes heures, débitant au maximum 100 ampéres ce
qui assurait 4 heures de marche de l'engin.

»L'engin, qui déplacait 6.700 kilogs, était constitué par
deux cylindres en tóle, aux extrémités coniques, reliés 'un
á Pautre par de fortes entretoises. Le cylindre supérieur (lon-
gueur 9 métres, diamétre 45 centimetres) servait de flotteur
á Pensemble, il supportait en outre deux petits máts auxquels
étaient fixées: 1.” une antenne réceptrice á 5 brins de 3 mé-
tres de haut; 2.” des lampes s'allumant pour les sorties de
nuit. Les máts et leurs lampes servant ainsi á déterminer
Valignement et la distance de l'engin.

»Le cylindre inférieur (longueur 11 métres, diamétre 1
métre), renfermait: le tube lance-torpille et sa torpille Whi-
tehead 450 millimétres, la batterie d'accumulateurs, les mo-
teurs de propulsion et de direction et leurs accessoires.

A

5

— 103 —

»L'appareil de commande devrait se trouver dans le cylin-
dre inférieur abrité contre le tir ennemi par 2 métres d'eau,
mais pour faciliter la surveillance durant les essais il était
dans un caisson en tóle porté par le cylindre supérieur.

»Le poste de commande, situé á terre, était muni d'une
antenne de 15 métres á 5 brins.

»Les essais ont eu lieu dans un rayon de 400 a 1.800 me-
tres, distance que nous n'aurions pu dépasser sans compro-
mettre les essais paralléles d'un nouveau procédé d'accord,
lequel nous a pleinement réussi jusqu'ici, mais est trop neuf
encore pour que nous en parlions maintenant.

»Ces essais ont eu lieu de janvier á mars 1906, au large
du port d'Antibes (Alpes-Maritimes), et nous ont donné tou-
te satisfaction tant au point de vue nautique que communi-
cation sans fil. Nous pouvons donc dire qu'il est maintenant
facile de monter des postes de commande électrique á dis-
tance, sans fil, avec la méme sécurité et sans plus de com-
plications que les postes de télégraphie.

»Nous avons en outre mis au point cette application á la
commande d'un sous-marin sans équipage, ce qui peut, au
point de vue purement militaire, présenter de multiples avan-
tages. »

— HS

VI.— Las disoluciones sólidas.

Por José RODRÍGUEZ MOURELO

HI

De los cambios y modificaciones de propiedades.

Gracias al carácter de la homogeneidad de su masa, Si-
quiera sea relativa y ofrezca excepciones de monta, es posi-
ble establecer relaciones de cierta fijeza entre el disolvente y
el cuerpo disuelto tratándose de las disoluciones sólidas,
fundando en ellas los cambios de las respectivas propieda-
des y en definitiva las peculiares del sistema final por las
mismas representado. No hay reglas fijas para determinarlos
por anticipado, ni modo de preverlos, y de ahí la necesidad
del estudio individual en cada caso, pudiendo notarse en
la mayoría la influencia de los mecanismos y modos operato-
rios empleados al conseguir las disoluciones, en particular
si pertenecen á la categoría de las aleaciones y precisament
aprovechan en la industria los referidos cambios y modifica-
ciones porque, sabidos de antemano, pueden obtenerse ligas
metálicas dotadas de propiedades especiales, que se enlazan
con las proporciones del metal disuelto y el modo de efectuar
la disolución, y de aquí dependen asimismo la estructura ín-
tima y ciertos caracteres peculiares, que implican influencias
mutuas de los componentes, acaso condicionadas, en primer
término, por la temperatura á que se efectúa su unión ínti-
ma, que requiere el tránsito por el estado líquido como me-
dio de llevar á cabo la difusión de las combinaciones defini-
das en exceso de uno de los metales que las constituyen.

Residen, de la propia suerte, en las mismas relaciones las
causas determinantes de las variaciones de propiedades de las
disoluciones sólidas de otro linaje, en las cuales la difusión

— 105 —

del cuerpo disuelto se realiza sin cambios de estado, mediante
fundentes ó interviniendo materias volátiles que lo transpor-
tan y reparten con bastante uniformidad en la masa del disol-
vente, hasta saturarlo por completo, generando de tal manera
cuerpos y estados de equilibrio molecular, que he procurado
estudiar y determinar con el mayor número de pormenores,
en cuanto su conjunto forma una serie de compuestos muy
distintos de las aleaciones metálicas, al presente tan bien co-
nocidas. Son siempre amorfas las disoluciones á que me re-
fiero y no aparecen nunca como vidrios Ó vitrificaciones,
transtormables y cristalizables mediante artificio; luego de
formadas, su estabilidad es constante; mas son susceptibles
de ciertas reacciones internas y reversibles, peculiares suyas
y que las provocan energías exteriores, no permanentes y de
escasa intensidad.

Hácese preciso consignar ciertas particularidades esencia-
les, cuya observación no es difícil, encaminadas á estable-
cer 'algo semejante á ley ó regla de las variaciones de las
propiedades de los componentes de algunas disoluciones
sólidas especiales, que no significan grandes transformacio-
nes químicas, en cuanto son separables con poco esfuerzo,
lo cual no implica, sin embargo, reversibilidad constante
del fenómeno, antes puede ser á modo de preliminar ó esta-
do intermedio para llegar á combinaciones más íntimas y
estables. Concierne la primera á la saturación de determina-
dos disolventes sólidos, en cuya masa se difunden alguno ó
algunos cuerpos especiales, generando nuevas substancias
dotadas de caracteres peculiares bastante marcados. Á se-
mejanza de los disolventes líquidos considerados neutros,
poseen varios de los sólidos determinada capacidad para
que en su masa puedan penetrar y difundirse, constituyendo
á la postre un todo homogéneo, otros cuerpos también sóli-
dos; pero, al igual del primer caso, también en el que es
objeto de los presentes estudios, aquella facultad hállase
limitada, y el límite tanto depende, á mi ver, de la natura-

— 106 —

leza del propio disolvente sólido, como de la naturaleza de
la materia disuelta, pudiendo establecerse entre ambos ele-
mentos primordiales del sistema de la disolución sólida cier-
tas relaciones, á veces variables y siempre de orden quími-
co, en las cuales paréceme advertir la causa determinante
de las modificaciones y cambios de propiedades que sirven
de características á las mismas disoluciones sólidas, en
particular tratándose de las aleaciones metálicas, y en tal
sentido se comprende al punto cómo el estaño, que ha di-
suelto tan sólo 4 por 100 de plomo, pierde su estructura
cristalina, deja de ser frágil y no presenta el fenómeno del
crujido, que lo distingue siendo puro.

Sería aventurado exagerar las influencias del disolvente,
tanto como no tener en cuenta su capacidad de saturación
respecto de una materia dada, que en muchas ocasiones,
luego de incorporada y difundida en la masa de aquél, y
sin separarse de ella, puede experimentar cambios químicos
y modificaciones de transcendencia, favorecidas, hasta cier-
to punto, por el mismo estado de disolución de la materia,
hallándose en este caso varios colorantes de los llamados
pigmentarios, en los cuales la fibra textil á la que se aplican
es algo más que un sostén inerte y desempeña verdaderas
funciones de disolvente, conforme es sabido. Entonces, á su
propia substancia se incorpora la de la materia tintórea, en
particular si, como acontece para las azoicas, es susceptible
de formarse en ella misma y repartirse, según se reparte
cualquiera sal soluble en el líquido neutro que la disuelve.

Indicaré, por ser típico el caso, las modificaciones que
es susceptible de experimentar el manganeso disuelto, en for-
ma de óxido, en diferentes medios. Presenta la Naturaleza no-
tables ejemplos de semejantes disoluciones, y es de ellas la
amatista común en la que ejerce el cuarzo funciones de disol-
vente saturado; basta calentar aquel mineral para que pier-
da su color, no variando ¡as proporciones de manganeso,
puesto que sólo cambia su estado en la disolución, y lo pro-

O a
o

— 107 —

pio acontece con otros distintos minerales teñidos por meta-
les, susceptibles de formar diferentes óxidos diversamente
coloridos por las solas acciones de la temperatura. Aplíicase
igual observación á las perlas de borax ó de sal de fóstoro,
disolventes de óxidos metálicos á elevada temperatura, te-
ñidas de un color en frío y de otro color en caliente, y entran
en la propia categoría las coloraciones de distintos minera-
les salinos anhidros que disuelven y retienen productos de
sus mismas alteraciones parciales. En realidad, y aparte la
capacidad del disolvente, los fenómenos apuntados, que son
harto conocidos, dependen de la temperatura, no sólo en lo
referente á la saturación”, sino también en lo correspondiente
á las ulteriores modificaciones químicas de la materia disuel-
ta, y en ello nótase bien clara la semejanza de los mecanis-
mos cuando se opera con disolventes líquidos, en los cuales
la menor resistencia del medio facilita las difusiones y con-
tribuye á la mayor homogeneidad del sistema resultante; y
á esto mismo se debe el que en la mayoría de las disolucio-
nes sólidas sea menester el tránsito por el estado líquido y
sólo se formen cuando sus elementos han sido fundidos, sin
cuyo requisito no se efectúa la penetración molecular indis-
pensable de las disoluciones perfectas y aun de las más ge-
nerales, que son á modo de emulsiones particularísimas.
Tienen por ventura su causa las alteraciones químicas de
que se hizo mención, y aun los propios cambios y modifica-
ciones de propiedades, en la mayor libertad que en la diso-
lución gozan las moléculas de la substancia disuelta, más
activas si han experimentado disociaciones parciales, ani-
madas de mayores velocidades y por lo tanto más aptas
para ser modificadas en un medio tal como el disolvente.
De admitirlo así, síguese que han de tener mayor sensibili-
dad respecto de los agentes de metamorfosis química, obe-
deciendo á los menos enérgicos y prestándose á cambios de
diversos órdenes, sean ó no reversibles. Quizá es de tal ín-
dole el mecanismo de los fenómenos de luminescencia de

— 108 —

ciertos sulfuros metálicos impuros ó impurificados, definidos
como verdaderas disoluciones sólidas saturadas á tempera-
tura bastante elevada.

Júntase con los fenómenos señalados nuevo y singular caso
de disolución sólida, llevada á cabo sin el tránsito ó paso
por el estado líquido que es indispensable en otras muchas,
y las aleaciones entran en el número. Me refiero al hecho de
la czmentación: una masa de hierro, haciendo oficios de di-
solvente, es calentada sin que llegue á fundirse, en un me-
dio constituído integramente por carbón muy dividido, y
sucede que cierta cantidad de este último penetra en el me-
tal, se disuelve y difunde en el mismo, sin estar en contacto
íntimo con todas sus partes y constituye al cabo una de las
más perfectas y homogéneas disoluciones sólidas conocidas,
en la que aparecen modificadas las cualidades individuales
de los componentes. Quizá pudiera acontecer que en las
condiciones especiales de la operación se formase un car-
buro definido y estable, capaz de ser luego disuelto, hasta
saturarlo, en exceso de hierro; pero de todos modos resulta
la difusión regular de cuerpo tan poco volátil como el car-
bono en un metal sólido, cuyo hecho requiere cierta pene-
tración, bastante considerable, de las moléculas que consti-
tuyen el medio y que por efecto de la temperatura sus dis-
tancias, respecto de las que forman el metal, se disminuyan
de suerte que lleguen á ser posibles los fenómenos de orden
químico, representados por el equilibrio del sistema en el es-
tado final. Es de notar cómo el mecanismo de la disolución
examinada hállase condicionado por la velocidad que de ne-
cesidad tienen que adquirir las partículas de carbón para po-
der penetrar toda la masa del hierro, llegando á su interior,
conforme aparece demostrado en la homogeneidad de las di-
soluciones solidas resultantes, que aquí ya no son compara-
bles á las sucesivas capas ó zonas de un líquido en cierto
modo separables, á causa de las diferencias de sus den-
sidades.

— 109 —

Una disolución sólida de semejante índole tiene su límite
en la saturación, cuyo estado es permanente y definitivo;
pues como no sean internos, sin exteriorizarse en lo más mí-
nimo, no parece susceptible de ningún género de cambios
químicos, y sólo sometiéndola á determinados trabajos y es-
fuerzos es posible cambiar su estructura y modificar su co-
hesión, conforme es sabido y hay modos de apreciarlo. No
obstante, lo que pudiéramos llamar su constitución mole-
cular, no cambia; y esta permanencia, que denota á la postre
el límite de un fenómeno, es la característica principal de
una especie de disoluciones sólidas efectuadas sin el obliga-
do paso por la fusión preliminar de sus componentes.

Lejos de mis intentos el pretender tratar aquí el problema
de la constitución de los aceros, que han ilustrado moder-
namente Osmond y Werth con su teoría celular, Bakhuis
Roozeboom con ia hipótesis de las disoluciones sólidas sin
disociación y Le Chatelier con la suya, referente á las modi-
ficaciones de orden físico-químico; punto interesantísimo y
muy discutido, no me sería dado aportar á su esclareci-
miento nuevos datos, y sólo me he servido como ejemplo de
una clase de disoluciones cuyo mecanismo pudiera llamar-
se de difusión directa de un sólido en otro sólido, siendo
ambos poco volátiles aun á temperatura elevada. Acaso no
sería muy aventurado el admitir que hay aquí verdadero
transporte molecular de la materia del carbón para unirse á
la del hierro, y de suerte que, á pesar de las modificaciones
y disociaciones que el sistema pueda experimentar, nunca
se reproduce el estado libre é inicial de sus generadores.
Admitido que la disolución se constituye con un carburo de
hierro típico, definido, y un exceso de metal por disolvente,
en la serie de sus modificaciones sucesivas, condicionadas
por la temperatura y correspondientes á la manera de etec-
tuar los enfriamientos, hay un punto que señalar, y se refie-
re precisamente á la composición de la mezcla eutéctica del
hierro y de su carburo; ya queda indicado cómo la elemental

— 110 —

no experimenta variaciones; tiénelas, por el contrario, la in-
mediata, y de la propia suerte que de una disolución líquida
saturada á determinada temperatura es posible separar dife-
rentes hidratos, siendo disolvente el agua, según los modos
del enfriamiento, también aquí la disolución sólida normal y
homogénea es susceptible de variadas disociaciones físicas,
en las que, á consecuencia de las maneras de efectuar los
descensos de temperatura, se destruyen de diverso modo
los estados de saturación, originándose, separadas de la
masa general del sistema, agrupaciones particulares dotadas
de individualidad propia y transtormables unas en otras.

Vése en los ejemplos citados hasta qué punto son compa-
rables con las disoluciones líquidas, atendiendo de prefe-
rencia á los estados de saturación á temperaturas elevadas
y á las disociaciones que sobrevienen conforme se realizan
los enfriamientos. De aquí se infiere cómo pueden ser muy
distintas y variadas las estructuras de las masas sólidas me-
tálicas y presentarse heterogéneas, formadas de agrupacio-
nes diversas, que coexisten sin perturbarse en apariencia,
conservándose invariable la composición elemental; son á
modo de residuos y transformaciones de disoluciones sóli-
das que estuvieron saturadas á temperatura elevada y cuya
homogeneidad ha sido perturbada por los modos de efec-
tuarse el enfriamiento.

Muchos casos hay para demostrar cómo las propiedades
de las disoluciones sólidas dependen de las relaciones parti-
culares de sus componentes. A expensas de ellos y modifi-
cando sus caracteres es como se constituyen estos agrega-
dos, dotados de individualidad propia, en gran parte ligada
con la saturación, representantes de estados de equilibrio, á
veces tan estable que pudiera considerarse definitivo, otras
pronto alterable, conforme acontece en el caso de las disolu-
ciones isomorfas cuando alguno de sus elementos es, por
ejemplo, soluble en el agua y varias modificable sin rever-
sión ó volviendo á regenerarse al cabo de tiempo variable

-< 111 —

el sistema primitivo, según se observa en las disoluciones
fosforescentes, saturadas de materias activas. Todas las com-
prendidas en los grupos citados gozan de su individualidad,
que es el resultado de las modificaciones que en el disolven-
te produce la peculiar del cuerpo disuelto, que en ciertos
casos ejerce verdaderas funciones de materia activa. Pudie-
ran invocarse, para mejor demostrarlo, las ya citadas diso-
luciones de un carburo de hierro típico y definido, tal como
la cementita, en gran exceso de metal, saturadas á tempera-
tura determinada, disociables al enfriarse, mas no reprodu-
ciendo la substancia disuelta en su primitivo estado, sino en
otro que significa diferente agregación molecular y aun di-
versa composición química y también traer á cuento las
disoluciones, acaso más complejas, en las que, siendo disol-
vente el hierro y conteniendo asimismo aquél su carburo que
más normal se considera, contienen también aleaciones del
propio hierro con diversos metales, nunca en proporciones
considerables, mas que. son parte á dotarlo de cualidades
especiales que como tal metal no tiene y sin ellos no puede
adquirirlas, aun sometiéndolo á variadas operaciones y tra-
bajos y á influencias de la temperatura, las cuales, á lo sumo,
llegan á modificar la estructura del metal, nunca á dotarlo de
las cualidades que adquiere por la cementación, Ó agregán-
dole cortas proporciones de manganeso, cromo, vanadio,
volframio y varios otros, que han permitido llevar á término
grandes adelantos en la industria del hierro.

Ya se advierte cómo en mucha parte dependen de haber
considerado á los productos suyos que dejo indicados per-
fectas disoluciones sólidas, formadas á temperatura elevada,
saturándose entonces el disolvente hasta constituir un siste-
ma poco estable, en cuanto el enfriamiento produce cierta
disociación parcial, que es causa de aquellas singulares es-
tructuras, que ahora pueden ser investigadas aplicando el
microscopio ó los métodos de corrosión. A pesar de los cam-
bios acaecidos en el sistema, las modificaciones y variantes

-

— 112 —

de propiedades subsisten y acaso dependen de ellos, á lo
menos dentro de ciertos límites.

Nunca podría separarse el estudio físico de las propieda-
des de las disoluciones sólidas, en especial de las ligas me-
tálicas de todo linaje, del conocimiento de sus metamorfosis
químicas; antes bien, es preciso hacer ver sus estrechas re-
laciones y mútuas dependencias, que en el caso concreto del
hierro parecen evidentes. Creo oportuno insistir un momento
todavía en el asunto, cuya importancia no es preciso encare-
cer: á determinada temperatura T un metal M es susceptible
de disolver un cuerpo C formando con el mismo otro cuerpo
A, el cual queda integramente disuelto en exceso del prime-
ro; sobrevienen cambios térmicos y el sistema A M experi-
menta una serie de modificaciones, partiendo de B, hasta B,
que representa el estado final. Siendo éste llegado, puede co-
existir en la masa del disolvente algo de la combinación pri-
mitiva A y otros estados diversos como B,, B,, B,.....By
en los cuales las relativas proporciones de M y de A varían,
conforme se pasa de la temperatura T, considerada inicial,
hasta f que es la final. Resulta un sistema bastante complejo
en el que es difícil señalar términos singulares; pero es fac-
tible darse cuenta de semejantes transformaciones químicas,
que en el caso apuntado no son reversibles, por lo que influ-
yen en la estructura de los cuerpos, y asi cabe admitir que
dentro de la masa general que representa la disolución sólida
se constituyen asociaciones particulares de sus elementos
: constitutivos y se comprende cómo, relacionados por el di-
solvente común, son capaces de gerierar aquellas estructu-
ras particulares que los análisis micrográficos y los métodos
llamados de corrosión nos revelan en las distintas clases de
aceros y de fundiciones, y que advertimos ligadas á las trans-
formaciones de una disolución sólida primitiva cuando deja
de estar saturada. Es asimilable el fenómeno, considerado
en su generalidad, al de la formación de mezclas isomorfas
por enfriamiento de la disolución líquida y saturada de va-

di EN e

— 113 —

rias sales y también á la coexistencia de diversos hidratos
constituidos mientras desciende la temperatura de una diso-
lución salina susceptible de producirlos.

Asi visto el fenómeno, que para el hierro ha sido estudia-
do con interesantísimos pormenores, resultan los cambios
de estructura condicionados por las variaciones que experi-
menta la disolución sólida típica y saturada, los cuales tienen
su límite en el estado eutéctico del sistema y no es necesario
apelar á otras hipótesis, faltando tan sólo, si acaso, expre-
sar en números las mutuas relaciones é influencias de las
modificaciones químicas y de los cambios físicos inherentes
al mecanismo de las disoluciones sólidas.

Observaré ahora cómo éste consiste, en la mayoría de los
casos, en un fenómeno de difusión molecular de indole aná-
loga á la de los líquidos y gases, y se reduce en último tér-
mino á disminuir las distancias entre las partículas del di-
solvente y las de la materia disuelta hasta hacer posibles
sus mutuas acciones, Obligándolas á penetrarse sin que al
constituir el nuevo estado pierdan en absoluto sus respecti-
vas individualidades, por más que necesiten modificarlas al
producirse el sistema que á ambas materias contiene. Si-
guiendo doctrinas muy modernas, que se apoyan en hechos
bien observados y en medidas bastante precisas, no sería
muy descaminado el admitir que las disoluciones sólidas no
son disoluciones perfectas al igual de las de las sales alcali-
nas en el agua, quizá las únicas que por tales pudieran di-
putarse, sino verdaderas emulsiones producto de la difusión
de un cuerpo en la masa de otro, modificable al cambiar las

. condiciones térmicas; y en apoyo de semejante conjetura,
que pongo aquí con las mayores reservas, recordaré los ex-
perimentos de Crookes y los de Lecoq de Boisbaudran rela-
tivos á.la difusión, debida al calor y sin cambios de estado,
de mínimas proporciones de algunos óxidos metálicos y
otras materias de la propia naturaleza en masas ya conside-
rables de substancias inertes é infusibles, y mis propios tra-

Rrv. Acap, Ciencras.—V.—Julio, Agosto y Septiembre, 1906, 8

— 114 —

bajos relativos á la generación de algunos sulfuros alcalinos
terrosos, fostorescentes, difundiendo en ellos, por medio de
un cuerpo volátil á temperatura ya elevada, como el cloruro
de sodio en cortas cantidades, auxiliado de otras no mayo-
res proporciones de un fundente alcalino, poco más que tra-
zas de subnitrato de bismuto Óó de óxidos de manganeso y
de uranio en el propio acto de constituirse y formarse aque-
llos sulfuros. Paréceme que en ambas series de experimen-
tos la difusión es tan evidente como la del carbón en el hie-
rro al ser éste cementado; mas no trataré de demostrar que
en ellos prodúcense emulsiones en las que la materia activa
hállase extremadamente dividida, porque entonces no se
explica que al enfriarse el sistema que contiene bismuto, si
el sulfuro está saturado, ejerza acciones sobre el metal sul-
furándolo, cuando en otro caso permanece inalterable hasta
que experimenta las directas influencias de la luz.

Bastará lo apuntado para entender de qué suerte el esta-
do de saturación, modificable como en las disoluciones lí-
quidas ordinarias, influye en las propiedades de las disolu-
ciones sólidas y condiciona, hasta cierto punto, su misma es-
tructura física. En ello participan, poniendo algo de sus res-
pectivas cualidades individuales, lo mismo el disolvente, de
continuo empleado en proporciones excesivas, que la mate-
ría disuelta.

Podría interesar, en cierto orden de estudios, el indagar
los valores numéricos de las sucesivas fases de las transtor-
maciones de la individualidad de los componentes de las di-
soluciones sólidas, en particular cuando pertenecen á la ca-
tegoría de las que, á causa de las variantes de propiedades,
tienen aplicaciones en la industria, y son al presente varia-
das y numerosas. Se comprende que, conociendo esta evo-
lución especial y habiendo determinado las relaciones que en '
cada uno de sus puntos se establecen entre las propiedades
adquiridas y los estados de saturación, haya posibilidad de
fijar de antemano las proporciones de la substancia disuelta,

— 115 —

Ó, como si dijéramos, de materia activa, para que el metal
compuesto obtenido, si se trata de disoluciones metálicas,
que son las de mayor uso, tenga aquellas propiedades nece-
sarias para las aplicaciones á que es destinado, lo cual es
realizable en numerosos casos, que permiten conseguir cuer-
pos dotados de las cualidades apetecidas, empleándolos
como disolventes de otros que los modifican al modificarse
ellos mismos cuando su estado cambia; y basta para demos-
trarlo el modo de conseguir aceros á voluntad, mezclando
con los ordinarios, y aun con las fundiciones, diversos me-
tales diferentes del hierro.

Considerados de una manera general los cambios y modi-
ficaciones de propiedades y mirando á los caracteres pecu-
liares de ellos, en relación con los que son individuales de los
elementos de la disolución sólida en el estado inicial de la
misma, cuando las distancias de sus partículas no llegan á
las del orden en que son posibles los fenómenos químicos,
al punto surge la idea de agruparlas y clasificarlas atendien-
do de preferencia á lo que pueda participar el sistema final
de cada uno de sus componentes, nunca llegados á semejan-
te estado de equilibrio sin haber experimentado sus elemen-
tos variaciones de muy distinta índole é intensidad, cuya
medida no es fácil ni siquiera teniendo en cuenta los cambios
de estructura física, tan patentes en buen número de disolu-
ciones sólidas en las que intervienen metales puros. Tanto
más necesario es el orden en el género de hechos que se es-
tudian, cuanto, perteneciendo todos á la misma clase, su me-
canismo es muy distinto y los estados resultantes no guar-
dan siempre iguales relaciones de analogía con los origina-
rios y se apartan de ellos mediante propiedades nuevas, que
“aparecen al formarse la disolución Ó á modo de consecuen-

— 116 —

cia de sus ulteriores cambios hasta dar en el considerado
término y límite de la metamorfosis.

Quizá, hasta ahora no se ha reparado lo bastante en esto
ni se le ha prestado tampoco la atención que el caso reque-
ría, y más se ha mirado á fijar el carácter de la homogenei-
dad de las disoluciones sólidas que á indagar el génesis y
dependencias de sus propiedades; y es lo cierto, que bus-
cando analogías con las disoluciones líquidas, que muchas
veces aparecen evidentes, se ha descuidado la investigación
de las cualidades individuales, cuya importancia es notoria.
Así, en realidad, nuestros conocimientos experimentales to-
cante á las relaciones de las propiedades del disolvente y de
la materia disuelta con las propiedades de la disolución sólida
según los estados de concentración, son todavía muy limita-
dos y deficientes; no obstante, en vista de los datos que
aportan los estudios de las aleaciones metálicas y de otros
sistemas más complejos, en los cuales no se ha menester
fundir los cuerpos para lograr su mutua difusión, puede fun-
darse en ellos un conato de sistema que consienta agrupar
fenómenos, en los cuales reconocemos iguales mecanismos
y propiedades de cuerpos que se enlazan atendiendo á la se-
mejanza del origen, al modo de producirse y á las variantes
de que pueden ser susceptibles bajo la influencia de las mis-
mas Ó análogas acciones.

Debe tenerse presente la evolución de las concentraciones,
que está de contínuo regulada por la temperatura, y esto es
lo más general del mecanismo de las disoluciones sólidas;
pues haya en ellas y sea obligado el tránsito por el estado
líquido ó no precisen este requisito, es evidente que se cons-
tituyen por influjo del calor y cada una tiene un límite máxi-
mo Ó punto más singular marcando la saturación completa
del disolvente. Variando la temperatura, cambian las condi-
ciones del sistema y se producen verdaderas series de esta-
dos de saturación, que podrán considerarse como otras tan-
tas disoluciones distintas é inestables y acontece que si el

y

— 117 —

disolvente y la materia disuelta son susceptibles de contraer
alianzas químicas de cualquier género, sepáranse y quedan
como aisladas en la masa y de ello se originan las diversas
estructuras que se reconocen, por ejemplo, en las aleaciones
metálicas y que se consideran causas de sus propiedades
particulares, según con ellas están enlazadas; y pudiera
acaso fundarse también la clasificación de que se trata en las
relaciones de la concentración y de la estructura de las diso-
luciones sólidas con sus propiedades características, lo cual
es bien advertido en algunas amorfas, constituidas sin trán-
sito por estado líquido, que he estudiado con todos sus por-
menores en otra parte y se refieren á casos de difusión de
materias no volátiles, merced á otras que lo son á elevada
temperatura en un disolvente fijo y dotado de cierta esta-
bilidad relativa.

Resulta predominante, atendiendo á las proporciones rela-

tivas, el disolvente por punto general empleado en gran ex-

ceso, y así no es de extrañar que el sistema de la disolución
sólida, en particular no estando saturada, participe más de
sus propiedades; parece una suerte de influencia de la masa
que es muy notada, por ejemplo, en las asociaciones de los
sulfatos de sodio y de calcio, cuando en la serie de disolu-
ciones que son capaces de formar se invierten las funciones
peculiares de cada uno; pero esto no significa que aquellos
caracteres permanezcan incólumes sin modificaciones de nin-
guna especie; antes bien, las experimentan variadas y á ve-
ces singulares, aun disolviendo cantidades pequeñas de otros
cuerpos. Puede ser el oro disolvente del cobre, que difun-
diéndose en su masa comunicale cierta dureza, entre otros ca-
racteres, y es un modificador de los que tiene considerándolo
puro, y lo mismo acontece respecto de propiedades distin-
tas que experimentan cambios cuando el cobre disuelve si-
licio Ó fósforo, el hierro carbono ó el propio cobre su típica
aleación con el cinc, y en semejantes hechos se fundan nu-
merosas aplicaciones.

a

— 118 —

En el sentido apuntado es como me permito establecer, de
una manera general, las funciones del cuerpo disuelto res-
pecto de la masa del disolvente, concretándolas á diferentes
cambios y modificaciones de propiedades, que en definitiva
se relacionan con las concentraciones de la disolución y de-
penden de la saturación, siempre y en particular cuando el
sistema es llegado al estado límite ó definitivo, en el cual se
manifiestan mejor las relaciones é influencias mutuas de todo
género entre sus componentes. Hay gran variedad de ellas
y dependen de numerosas circunstancias externas en no po-
cos casos, porque si bien la mayoría de las disoluciones só-
lidas representan algo como el término de una serie especial
de cambios y transformaciones, que no pueden continuar
sin perturbar hondamente, empleando agentes de bastante
energía, el equilibrio creado, otras hay que por el solo he-
cho de serlo y la manera de estar constituidas adquieren
particulares actividades, que por sí mismo no tiene aislado
ninguno de los elementos que las forman, y de la propia
suerte que las modificaciones reconocidas en las primeras
pueden ser variables Ó permanentes, así los cambios adver-
tidos en las segundas son reversibles ó irreversibles, aparte
de la intensidad que en ambos casos revistan, y en conocer-
los y prevenirlos estriba el arte de disolver compuestos me-
tálicos definidos, á la continua binarios, en exceso de alguno
de sus componentes, para conseguir metales especiales do-
tados de las propiedades que los hacen adecuados para di-
ferentes y variados usos.

Síguese de aquí una distinción de los caracteres de las di-
soluciones sólidas, considerando, de una parte, los que res-
ponden á modificaciones de los que son propios de los com-
ponentes y se diputan alteraciones de los mismos, causadas
por sus mutuas influencias, y, de otra parte, los que se
pueden considerar adquiridos, en cuanto no participan de
ellos cada uno de los elementos del sistema, y, á lo que se
me alcanza, gozan de los mismos precisamente las disolu-

=— 119 —

ciones obtenidas con materias infusibles Ó poco menos, y
cuya formación no requiere el tránsito ó paso por el estado
líquido; y es singular que las agrupaciones moleculares así
generadas posean actividades notables y gocen de curiosas
aptitudes químicas. Unas y otras sólo se manifiestan por
medio de energías exteriores débiles y cuyas acciones no
son prolongadas, bastando, no obstante, para excitar las
nuevas actividades de tal linaje de disoluciones sólidas, en-
tre las cuales son típicos los sulfuros fosforescentes de bario,
de estroncio y de calcio.

Fácilmente se comprende que en las primeras, ya se con-
sideren saturadas Ó lejanas del punto de saturación, se han
de reconocer pronto los carácteres de los componentes, en
particular los del disolvente, cuya masa predomina, pero
cuyas propiedades, sin que aparezcan por completo trans-
formadas, modifícalas la materia disuelta, cambiando, de
ordinario, alguno de sus accidentes, y únicamente tratándose
de substancias dotadas de grandes actividades sería posible
que desaparecieran por entero las cualidades de la mayor
masa, substituyéndolas, aunque nunca de manera íntegra y
absoluta, las del cuerpo disuelto, que nunca entra, á no ser
por escepción, en proporciones considerables. Cabe citar
como ejemplo las modificaciones de importancia advertidas
en los cristales del mineral denominado teruelita, y que es
una dolomita cuádruple, debidas á las variables cantidades
de manganeso contenidas en esta nada sencilla disolución
sólida, y son de suerte que examinando, midiendo y estu-
diando primero una serie de cristales, que es fácil tener
siempre aislados y completos, y procediendo luego á su
análisis individual, llega á establecerse la relación existente
entre el valor de los ángulos de aquéllos y las cantidades de
manganeso, siempre exiguas, que el análisis determina en
cada uno; por donde es bien notada la influencia hasta de
sus menores componentes en el sistema de la disolución
sólida, siquiera conserve, como más salientes y eficaces, los

— 120 —

caracteres del disolvente, significando el perderlos la cons-
titución de un nuevo estado molecular, por ventura bien di-
ferente del primero.

Tienen los dichos cambios ó modificaciones de propieda-
des el carácter general de permanencia que dejo notado y es
de observar de qué suerte no corresponden á disoluciones
cuya homogeneidad se puede considerar absoluta Ó definiti-
va. Con minuciosos cuidados he estudiado la estructura de
numerosos sulfuros fosforescentes, y siempre los he visto
perfectamente homogéneos y granugientos; y repartido por
igual en toda su masa, hasta saturarla, el cuerpo activo di-
suelto; y acaso por lo mismo el sistema resulta inestable, mo-
difícanlo en un momento las acciones de la luz y aun cuan-
do retorne al estado primitivo, no experimentan alteraciones,
ni su homogeneidad, ni su estructura, y en tal sentido pu-
dieran considerarse disoluciones sólidas perfectas, dotadas
de actividades peculiares de las que no participan sus com-
ponentes aislados, y en este respecto se asimilan mejor á las
disoluciones líquidas ordinarias.

Gracias á los modernos procedimientos, se puede investi-
gar ahora la estructura de los sistemas que he llamado defini-
tivos, y á ellos corresponden las aleaciones metálicas en pri-
mer término, incluyéndose también en la propia categoría»
aunque sean dentro de esta variantes, los vidrios y aun algu-
nas disoluciones y mezclas isomorfas. Sábese como en las
primeras, y es característico ejemplo el de los diversos gra-
dos de difusión del carburo de hierro en exceso de metal,
si la apariencia es homogénea, en la estructura interna nó-
tanse á modo de agrupaciones moleculares distintas y la di-
solución pudiera considerarse, no individualidad única, sino
conjunto ó reunión de individualidades, que por tales se ad-
miten, tratándose del hierro, y aunque deriven unas de
otras, diversas asociaciones de carbono y hierro, ó de este
metal y su carburo, siendo de ellas las principales la cemen-
tita y la perlita, cuya formación está condicionada por las

AE lr

masas relativas de sus generadores, que constituyen, por de
contado, el medio en que se forman á partir de una disolu-
ción que pudiéramos decir normal y homogénea, que se
constituye á determinada temperatura, pero que se modifica
al descender, resultando á la postre aquellos agregados es-
peciales que, aun siendo distintos, coexisten en la masa me-
tálica y sirven para dotarla de propiedades que sin ellos no
tendría. A mi entender no existen aqui compuestos total ó
parcialmente disociados en el seno del disolvente, sino pu-
diéramos decir materias muy análogas emulsionadas en la
masa de otras que con ellas guardan relación estrecha, con-
servando su individualidad, revelada al estudiar la estructu-
ra íntima de semejantes agregados.

Uno cualesquiera de ellos, y su número es considerable,
no puede ser tenido por disolución sólida perfecta, conforme
al sentido expresado; fáltale acaso la condición de la homo-
geneidad si la extendemos á la estructura interna, que no
tiene semejante nota, porque al separarse del exceso de di-
solvente en el progresivo enfriamiento de la masa puede no
retornar á su primitivo estado químico, conforme era al co-
mienzo la materia disuelta, y sin variar sus componentes
suelen resultar de diverso modo agregados y dispuestos.
Quizá el hecho tiene cierta analogía con la formación de di-
ferentes hidratos que cristalizan en el seno de un disolvente
líquido y en condiciones de quedar éste saturado de otros
hidratos de la propia sal, formados á sus expensas, ó de mez-
clas de sales isomorfas, si son varias las que al mismo tiem-
po se hayan disuelto.

Habría motivo para indicar mayores semejanzas todavía,
buscándolas respecto de las disoluciones isomorfas, sólo
constituidas, según es bien sabido, cuando sus componen-
tes hállanse en determinadas proporciones y no en otras cir-
cunstancias, por lo cual se explica que al cristalizar juntos
el disolvente líquido y la materia disuelta sólida puedan for-
mar, conforme á sus proporciones relativas, series de diso-

¡EL

luciones sólidas, entre cuyos términos puede haber lagunas
y faltas, correspondientes á relaciones cuantitativas que no
son las adecuadas para constituir los sistemas homogéneos
de que se trata, y las conocidas observaciones de Kiister y
Brunni así lo demuestran. Aunque no puedan ser calificadas
de perfectas disoluciones sólidas ni de mezclas isomorfas,
en el estricto sentido de la palabra, aquellas que me sirven
de ejemplo, es lo cierto que el conjunto de sus propiedades,
y muy en especial las características, por las cuales son sus-
ceptibles de aplicaciones importantísimas, guardan íntima
relación con las diferentes especies de agregados que se ge-
neran y corresponden á las variaciones de la concentración
de las disoluciones primitivas, resultando por tal manera li-
gadas la estructura interna y las cualidades de estos com-
puestos; y ello adviértese principalmente en los productos
metalúrgicos ferruginosos, como se demuestra sometiéndolos
á los actuales procedimientos de investigar la manera de es-
tar físicamente constituidos, de donde se infiere que la exis-
tencia de ciertos agregados especiales, dotados de indivi-
dualidad propia en la masa unida del disolvente, parece in-
dispensable para que se generen determinadas cualidades
que participan de las propias de cada uno de los elementos
de la disolución sólida, independientemente del modo cómo
en ésta se encuentren enlazados.

Variaciones en el régimen primitivo puede haber muchas,
condicionadas siempre por los distintos estados en que se
constituyan los elementos de la materia disuelta, ya por sí
mismos, ya unidos á algo de la propia materia del disolvente
en su paso, siguiendo las fases de la concentración, hasta
llegar al enfriamiento. Resulta así que el sistema va siendo
á cada punto más complicado, lo cual, en cierto modo, si
bien asegura la estabilidad del conjunto, consiente modificar
de muy diversas maneras su intima estructura, aun.sin in-
troducir nuevos elementos, y esta facilidad de los cambios,
que asegura la aparición de nuevas propiedades ó de modi-

— 123 —

ficaciones de las anteriores, ha servido, por ejemplo, para
obtener distintos aceros dotados de cualidades determinadas.

Iniciado el cambio, no importa por qué causa, en cual-
quiera de los agregados elementales de este linaje de disolu-
ciones sólidas, como se halla ligado á los demás por la co-
munidad del medio, hácense solidarios de la modificación y
el conjunto del sistema se altera, conforme sucede á una
cuerda, uno de cuyos puntos se hace vibrar: los demás vén-
se animados del mismo movimiento, y, conforme á la inten-
sidad de la variación, así se separan de sus primitivas posi-
ciones de equilibrio; sólo que hay esta diferencia esencial:
en nuestro caso, el retorno al primer estado casi nunca es
posible, 6, cuando menos, fácil, y en realidad se crea un
nuevo estado en el que las relaciones entre el disolvente,
los cuerpos disueltos y los particulares agregados suyos
han cambiado, constituyendo otro sistema sólido de diferen-
te estructura. Bien pronto se observan los hechos apuntados
investigando la de cualquiera aleación metálica en seguida
de formada y comparándola con la que adquiere luego de
someterla á determinado trabajo mecánico, indagando los
cambios acaecidos en el punto de fusión de un metal cuando
ha disuelto ciertas proporciones de otro distinto ó los de las
tensiones superficiales relativas á la eflorescencia de aquellas
sales alcalinas disolventes de otras que no se deshidratan en
contacto del aire seco; en el primer caso, sobre todo, son ad-
vertidas numerosas relaciones entre términos en apariencia
poco semejantes: composición elemental de las disoluciones,
composición inmediata, estado de agregación de la parte del

“disolvente aislado al variar las concentraciones y unirse con

la materia disuelta, estructura resultante; de todo lo cual
dependen, en definitiva, los cambios y modificaciones de
propiedades en los casos que se consideran más sujetos á
mudanzas, pero no aquellos otros calificados antes de diso-
luciones perfectas, si atendemos á la homogeneidad de la
estructura y al estado de saturación en que se encuentran,

— 124 —

del cual provienen sus cualidades, en todo distintas de las
que caracterizan á sus componentes.

Ya se entiende cómo es menester diferenciar, en las diso-
luciones sólidas menos perfectas especialmente, lo que ata-
ñe á la composición inmediata de las mismas, de la cual de-
pende su estructura y las variantes de ella, conforme quedan
indicadas y se comprende que pueden existir y ser conside-
radas tales disoluciones, aun cuando haya medios de sepa-
rar agrupaciones distintas de los propios elementos, gozando
cada una su individualidad característica. Esta no es perma-
nente, antes hállase sujeta á cambios, generadores de nuevas
agregaciones, lo que explica que la dicha composición in-
mediata no sea constante y cambien con ella las condiciones
de la disolución sólida.

Junto con semejantes cambios aparecen los de las primi-
tivas propiedades, y su mecanismo no reconoce otras causas
ni tiene más orígenes, no variando las proporciones de la
materia disuelta, que las diferentes asociaciones físicas Ó quí-
micas con su disolvente, que no implican disociación del sis-
tema general ni transformaciones de las capacidades del úl-
timo, sino modificación de las relaciones establecidas entre
ambos términos, que al cabo no se determinan, con ciertos
caracteres de relativa fijeza, hasta que el medio disolvente
hállase en las apropiadas condiciones de temperatura, al
igual de las disoluciones liquidas. Se advierte pronto lo di-
cho en los vidrios ordinarios, que son verdaderas y típicas
disoluciones sólidas de diversos silicatos, ninguno de los
cuales aparece cristalizado; la estabilidad del sistema es re-
lativa, á pesar de la homogeneidad perfecta, en cuanto el
análisis inmediato no separa agregados individualmente dis-
tintos, y esto, no obstante, es fácil provocar la ruptura del
equilibrio, provocando, mediante el calor, el conocido fenó-
meno de la desvitrificación, del que son consecuencia pro-
fundos cambios de estructura, que se hace cristalina, gene-
rando de tal suerte otro orden de disoluciones sólidas, acaso

— 125 —

r

correspondientes á modificaciones químicas, ya de mayor
transcendencia, en particular si se llevan á cabo intervinien-
do presiones considerables; es un medio práctico de conse-
guir durísimos agregados de silicatos en muy diferentes es-
tados, dotados de estructura fina y compacta, muy homo-
génea y uniforme, como si estuvieran con gran regularidad
difundidos en una masa de sílice precipitada Ó aislada, al
romperse los lazos que mantenían unidos á los componentes
del vidrio considerado disolución sólida bastante perfecta,
susceptible de convertirse en disolvente de substancias me-
tálicas capaces de colorirla, formando, al disolverse, silicatos
especiales que tienen color, á veces modificable, merced á
cambios químicos de oxidación, según es notado, por ejem-
plo, en los de manganeso.

A las disoluciones sólidas de la especie indicada corres-
ponden propiedades generales, que ó bien las poseen sus
componentes, siendo en ellos características, ó están íntima-
mente ligadas con éstas, aunque constituyan individualida-
des definidas y sistemas especiales, de relativa homogenei-
dad, estables y representantes de equilibrios bastante per-
fectos. Forman clase importante, en la que se incluyen las
aleaciones metálicas y son las que más se asimilan á las di-
soluciones líquidas ordinarias y aun á las mezclas de líqui-
dos de diferentes densidades.

Lejos de modificarse las materias que las forman, de tal
suerte que aparezcan nuevas actividades, lo que sucede es
que, á causa de sus mutuas influencias, se modifican tan
sólo los caracteres de cada una, resultando asociaciones dis-
tintas y agrupaciones moleculares, que imprimen en la masa
que las contiene el sello de su presencia, de manera que,
sin dominar, atendiendo á la cantidad, son los elementos
cualitativos que predominan, conforme es admitido particu-
larmente estudiando las relaciones de las propiedades de los
aceros con sus correspondientes estructuras, de lo cual tan-
tos provechos resultan en los tiempos presentes, y los ha-

— Vi

brá mayores todavía cuando sea más general el empleo de
los métodos de investigarla. Muchas veces la estructura de
semejantes agregados parece de una homogeneidad perfecta
y es menester llegar á las últimas partículas, que están en
los límites de lo ultramicroscópico, para notar diferencias,
conforme se demuestra examinando, por ejemplo, las diso-
luciones sólidas que en forma pulverulenta obtuvo Spring,
sometiendo á presiones muy considerables mezclas de finí-
simas limaduras de cobre y de cinc, ó en los hierros nique-
lados naturales. En ambos casos, apareciendo uniforme la
estructura de la masa, no resulta absolutamente homogé-
nea, por cuanto al investigar su composición inmediata son
determinables distintos agregados, los cuales acaso respon-
den á las sucesivas fases de las concentraciones de la diso-
lución á partir del estado inicial de la saturación, cuando se
ha efectuado la difusión de la materia en el disolvente, me-
diante las acciones del calor. Tales son, en mi entender, los
caracteres propios de gran número de disoluciones sólidas,
que forman grupo, y tales los modos como se modifican y
cambian sus propiedades, que, en último término, provie-
nen de las relaciones cuantitativas y cualitativas de los ge-
neradores, determinantes de formas y estructuras, que no
son constantes, á la par de los grupos moleculares de cuya
agregación proceden, y los cuales, en su cantidad y en los
modos de estar dispuestos, pueden cambiar, ocasionando
gran variedad de productos correspondientes á los estados
de concentración de las disoluciones.

Baste lo indicado para considerar cómo los cambios y mo-
dificaciones de propiedades, dependientes de los propios
elementos de las disoluciones sólidas y de su régimen par-
ticular, son fundamentos suficientes para clasificarlas, po-
niendo en un grupo aquellas cuyas propiedades preexisten
de alguna manera en los componentes, y en otro grupo las
que las presentan distintas de los generadores, aunque nece-
siten de su concurso para ser originadas.

PAT

— 127 —

Mas atribuyéndoles el mismo génesis á las de la primera
clase, cabe establecer ciertas diferencias tocante al modo de
producirse y á los caracteres especiales de cada uno de los
nuevos estados, y á este fin tiénense en cuenta variados ór-
denes de relaciones, dentro de la categoría de las diputadas
por principales, entre el disolvente y la materia disuelta.
Siendo mucho mayores las cantidades de aquél, parece que
las dichas cualidades debieran ser función suya casi exclusi-
va, á lo menos dentro de límites bastante separados, y aun-
que en ciertos respectos este predominio resulta evidente,
hállanse restringidos por la influencia y la presencia del otro
elemento de la disolución, siquiera sean mucho menores sus
proporciones; pero no obstante suficientes para imprimir
carácter al sistema, en modo alguno reducido á lo externo
y de poca monta, sino que afecta á lo que pudieran tenerse
por sus constantes características, cuya fijeza es asimismo
muy relativa. Pueden citarse las variaciones de los puntos
de fusión y de resistencia eléctrica, las modificaciones de
tensión en la superficie de algunos cristales mixtos hidrata-
dos, las de la dureza y maleabilidad, y sobre todo las de la
estructura, de tantos modos alterable precisamente cuando
cambian las relaciones de cantidad de la materia disuelta,
porque ya es cosa establecida que las disoluciones sólidas
de que se trata están formadas por una combinación mo-
lecular definida, que se difunde y reparte con uniformidad en
un exceso de la masa del disolvente, al que comunica sus
cualidades, recibiendo algo de las peculiares de éste, cuyas
propiedades, á su vez, se sienten influídas por las de la ma-
teria disuelta, y, naturalmente, de los diferentes valores
cuantitativos de ellas se han de originar, dentro del grupo
general, otros más restringidos y de menos importancia,
pero dotados de caracteres propios y distintivos. Siendo en
realidad el origen los cambios en los estados de la concen-
tración de las disoluciones, partiendo de la saturación de las
mismas, se entiende que la serie de aquéllos ha de ser di-

ATAR

latada y se han menester limitaciones exigidas por las mis-
mas necesidades del estudio de tales compuestos, cuya va-
riedad hállase condicionada principalmente por las modifi-
caciones de la respectiva estructura.

Convienen al primero de los grupos gran diversidad de
estructuras y numerosas variantes de propiedades á ellas in-
herentes; entre ambos términos son evidentes estrechas re-
laciones de dependencia, las cuales no es posible expresar
en números, porque su ley general no se ha establecido to-
davía, fuera de ciertos casos particulares muy concretos, y
eso sólo refiriéndolo á caracteres especiales, por lo común
enlazados con resistencias mecánicas y cualidades eléctricas,
cuya dependencia de los referidos cambios resulta notoria:
lo es asimismo la composición inmediata de las dichas diso-
luciones sólidas, puesto que no son siempre iguales los agru-
pamientos que en su masa se observan, aplicando los más
finos y delicados procedimientos adecuados para tal género
de indagaciones, en las que los métodos físicos suelen ser-
vir primero de guía y luego de complemento á los métodos
exclusivamente químicos. Acaso sea permitido el afirmar, to-
cante á estas disoluciones sólidas que he llamado menos
perfectas, que se determina su característica en el hecho de
que las propiedades suficientes para marcar su individuali-
dad no son adquiridas Ó nuevas, como las de aquellas otras
disoluciones generadas sin alteraciones del estado sólido,
sino que existen en los componentes y de ellos proceden di-
rectamente, aunque las modifiquen más ó menos sus mutuas
influencias.

No acontece lo propio con las disoluciones sólidas del
otro grupo, á las cuales he denominado perfectas, en razón
de la persistente homogeneidad de su estructura; también
pudieran llamarse con propiedad activas, mirando á que tie-

rs

— 129 —

nen energías peculiares suyas, de las que no participan sus
elementos aislados; de modo que aquí, en rigor, no hay
cambios ó modificaciones de caracteres, sino adquisición de
algunos singulares, persistentes y duraderos, incólumes ó
poco alterados, y aun á veces acrecentado su valor, mien-
tras subsiste el particular agregado de la materia soluble con
su apropiado disolvente, ó no se introduce alguna pertur-
bación en los sistemas, que suelen ser bastante complica-
dos. Representan, por lo que atañe á las disoluciones amor-
fas del género, verdaderos límites de transformaciones mo-
lTeculares, y su actividad sólo se manifiesta llegando al punto
de la concentración máxima cuando están saturadas; pero
siempre necesitan ser excitadas por un agente exterior, el
cual suele provocar en su propia masa ciertas reacciones
químicas, cuya reversibilidad se manifiesta con fenómenos
característicos; tal acontece en las que he estudiado y pro-
curaré que sirvan de aplicación y ejemplo de las doctrinas
que expongo con las naturales limitaciones y reservas.
Desde luego se ha de notar que los mecanismos genera-
dores presentan ciertos signos que los diferencian de los
propios de las otras disoluciones sólidas; éstas en que aho-
ra me ocupo nunca resultan, como las anteriores, por enfria-
miento de sus componentes, luego de haberlos fundido en
las proporciones adecuadas ó cristalizando unidos cuerpos
isomorfos al abandonar el disolvente común; la difusión de
la materia soluble es directa é inmediata partiendo del esta-
_ do inicial, se realiza interviniendo el calor á temperatura
bastante elevada y el sistema constituido es homogéneo y
permanente, aunque entre las substancias que lo forman no
haya relaciones químicas aparentes y sean inertes las unas
respecto de las otras. Tal acontece, por ejemplo, partiendo
del sulfato de calcio anhidro y bien calcinado, que basta
mezclarlo íntimamente con pequeñísima cantidad de óxido
de manganeso, sometiéndolo después al rojo vivo durante
algún tiempo, para constituir una disolución sólida perfecta,

Rey. Aca. Ciexcras.—V.—Julio, Agosto y Septiembre, 1906. 9

dotada de uniforme y no alterada estructura; es la disolu-
ción típica de los experimentos de Leco: de Boisbaudran y 3
Crookes, tan activa, que es susceptible de presentar intensa
luminescencia característica con sólo someterla, colocada en

en el vacío, á las reiteradas acciones de las descargas eléc-

tricas, y semejante actividad, no exclusiva suya, es asimis- *

mo manifiesta en otros agregados semejantes, y dícese que

en ellos el cuerpo disuelto es la verdadera materia activa,

capaz de comunicar sus energías á toda la masa del disol-

vente cuya luminescencia resulta uniforme.

Observaré que, en este caso por lo menos, no se advierte
la menor acción química, que en otros es causa de análogos
fenómenos, ni ha sido posible, hasta el presente, determinar
y medir las mutuas influencias que deben existir entre los
componentes del sistema y á las cuales será menester atri-.
buir sus nuevas energías. Cuando cesan las acciones eléctri-
cas termina la luminescencia; en la estructura y en la com-
posición del cuerpo no se advierte ni el más insignificante
cambio, y la disolución sólida conserva, sin que se amino-
ren ni un punto, las mismas aptitudes y capacidades, y tor-
nará á ser luminescente, con igual color é intensidad, cuan-
tas veces sea sometida, en igualdad de condiciones, á la
influencia de las descargas eléctricas en el vacio, ó emplean-
do otras excitaciones en casos distintos, porque agregados
del género se.conocen bastantes y se distinguen por la va-
riedad de las coloraciones de la respectiva luminescencia y
la intensidad de la misma; en otras disoluciones la actividad
se manifiesta con fenómenos de diferentes órdenes, algunos
muy especiales; pero que en ningún caso alteran el sistema,
y cuando alguna vez pudieran hacerlo, no tardan en reco-
brar el primitivo de disoluciones perfectas y homogéneas.

Es menester tener muy en cuenta que en las disoluciones
ahora tratadas hay diferencias de monta entre la naturaleza
del disolvente y la que á la materia disuelta corresponde.'
Tocante á lo primero es necesario distinguir todavía si está

A E RR O SLDS IU A

— 131 —

ya formado, conforme acontece con los sulfatos, Óxidos y
carbonatos empleados en los experimentos de Lecoq de
Boisbaudran,'ó si su generación y la de la disolución sólida
correspondiente son simultáneas, para lo cual sirven de
ejemplo los sulfuros alcalinoterrosos fosforescentes; sin em-
bargo tienen una nota común y es que nunca contienen los
mismos metales que las materias disueltas, de ordinario
compuestos de los calificados de pesados y combinaciones
oxidadas de ellos, que se distinguen por su escasa volatili-
dad, aunque se trate de cuerpos fácilmente alterables, sus-
ceptibles de sobreoxidaciones. Hay de continuo esta distin-
ción primordial y existe otra de igual categoría, relativa á
las dos especies de disolventes indicados; en la primera se
incluyen aquellos cuya inercia química respecto de los de-
más componentes del sistema es probada; suelen ser com-
binaciones alcalinoterrosas de grandísima fijeza, inalterables
por el calor á temperaturas elevadas, pero en extremo aptas
para que bajo su directa influencia se difundan y repartan
en su masa otras combinaciones metálicas, destinadas á do-
tarlas de propiedades que ninguno de los dos cuerpos tiene
por sí mismo y á formar un agregado homogéneo de inva-
riable estructura, que resulta adecuado para ciertas modifi-
caciones singulares que, sin embargo, no parecen cambiar-
lo ni alterarlo.

Procede ahora observar que las capacidades del disolven-
te respecto de la saturación son pequeñas y pronto se al-
canzan sus límites, y pasados, la disolución pierde sus acti-
vidades y aptitudes, funcionando como si estuviese disocia-
da; bastan, por lo tanto, pequeñísimas proporciones de
materia soluble, y todavía parece que su excesiva difusión
en considerable masa del disolvente es causa de aumentos
en la intensidad de los fenómenos de luminescencia en las
disoluciones que los presentan, excitadas por descargas
eléctricas continuadas Ó sólo por acciones directas de la
luz, de las cuales son inherentes algunas metamorfosis quí-

A y AE A hs
, > y A S y tE
í 27 e? - C

— 132 —

micas reversibles. Aquí los disolventes, quizá en función de

su propia inercia, presentan resistencias considerables á la
difusión de la materia activa, que lo es independientemente
de su naturaleza, y por eso se saturan tan pronto y no pre-
sentan todas aquellas fases que son notadas en los estados
de concentración por los cuales pasan las mezclas fundidas
ó las disueltas en líquidos, hasta concretarse en disoluciones
sólidas amorfas ó en agregados cristalinos isomorfos.

Fácil es entender, por lo dicho, que la disolución sólida,
completa y activa tiene un límite bastante restringido y que
es muy pronto alcanzado; este límite se halla, al igual del
correspondiente á las menos perfectas, en el estado de sa-
turación, dependiente de la capacidad de los disolventes;
pero aquí semejante estado no varía ni experimenta altera-
ciones desde el momento de formar la disolución, sin cam-
bio de estado. Son, en el caso más sencillo, dos cuerpos
sólidos; uno de ellos se emplea en gran cantidad, y por me-
dios mecánicos se le incorpora leve proporción del otro,
luego la mezcla es sometida á la temperatura del rojo vivo,
y sin otra cosa la disolución sólida está constituida y es activa
tocante á la luminescencia; pero no hay más que ver las
cantidades de compuestos de manganeso, de cadmio ó de
cinc que empleaba Lecoq, ó las de subnitrato de bismuto ú
óxido de uranio que he adoptado para los sulfuros fosfores-
centes, y al punto nótase que si los disolventes tienen es-
casa capacidad, las materias solubles lo son muy poco en
ellos y se saturan en seguida, con estas dos particularidades:
la primera, que una vez hecha la disolución y saturada á
determinada temperatura, sus descensos no implican cambio
en aquel estado que, constituído, adquiere marcado carácter
de permanencia, y la segunda, que el exceso de cuerpo so-
luble, quedando sólo en calidad de mezcla bien apreciable,
contribuye á aminorar las actividades del sistema y hasta
llega á anularlas, reduciéndolo á la misma inercia que tienen,
uno respecto del otro, disolvente y cuerpo disuelto antes de

0

— 133 —

haber sometido su mezcla íntima á temperatura muy elevada.

Queriendo ahora cotejar los dos grandes grupos en que

he considerado divididas las disoluciones sólidas, es como
se aprecian sus diferencias; en las del primero, el estado lí-
mite de saturación hállase bastante lejano del inicial, y sólo
es alcanzado pasando por toda una serie de concentracio-
nes, Originarias á veces de cambios y modificaciones de pro-
piedades, nunca nuevas, sino resultantes de las acciones,
variables con la temperatura particularmente, que se mani-
fiestan entre los elementos de la disolución, cuyas cantida-
des pueden no ser fijas, y de sus relaciones de cantidad di-
manan otras suertes de disoluciones. En todas las de la
misma clase es característico el cambio y transformación de
las cualidades, las de la estructura sobre todo, cuando las
del segundo grupo se distinguen por la fijeza y constancia
de su estado y propiedades que se adquieren con la satura-
ción, sin intermediarios, y que no están en los componen-
tes; ni aislados, y cada uno de por sí, son capaces de adqui-
rirlas siquiera de modo transitorio.

Generalmente la clase de disoluciones sólidas en que me
ocupo se distinguen de los cuerpos que constituyen su par-
ticular sistema, porque en el acto de formarse, siempre á
elevada temperatura, adquieren determinadas propiedades y
funciones, de las cuales carecen, por ellas mismas, las ma-
terias componentes, y se trata, por consiguiente, de apreciar
tales diferencias, ya que no sea posible relacionarlas con los
caracteres distintivos de los elementos que unos en otros se
penetran y difunden. Es peculiar de estos fenómenos la ma--
nifestación de ciertas energías y actividades de la indole de
muchos casos de luminescencia, como la que la luz ó las
descargas eléctricas provocan en diversas materias fosfores-
centes, que son de las disoluciones sólidas más perfectas y
completas, dotadas de energías específicas muy permanentes
y capaces de producir determinados efectos, entre los cuales.
se cuentan algunas reacciones químicas reversibles, motiva-

A A e e A
y p ki « ; e Ñ R A f

E, IS

das por las afinidades, que sólo acciones externas pueden
despertar, del disolvente con la materia disuelta, y á la cuenta
ya se sabe de qué manera hállase la última en proporciones

exiguas la mayoría de las veces; pues la máxima concen-

tración se alcanza muy pronto y las disoluciones están en
realidad saturadas casi en el mismo momento de su génesis,
con el solo requisito de intervenir fundente ó materia vo-
látil para mejor realizar la difusión, Ó en otros casos tempe-
ratura ya bastante elevada. Parece esto causa suficiente de
las energías y actividades adquiridas, sin otros influjos ex-
traños ni mayores perturbaciones, y es singular que los cuer-
pos que de ellas gozan se distingan por la homogeneidad de
la estructura , de ordinario granugienta, y con gran dificultad
alterable. .

Resulta de aquí el que las dichas energías y actividades
adquiridas marcan la individualidad de los particulares agre-
gados que de ellas participan, aun cuando no se explique
todavía, de moco cierto y seguro, el mecanismo de sus mis-
mos efectos, que, si para una disolución determinada son
constantes y hasta cierto límite permanentes, varían no poco
con la naturaleza y modos de formación, que pueden asimis-
mo ser muy diferentes en cada caso; nadie confundirá, por
más que los efectos aparezcan semejantes, la luminescencia
de las disoluciones sólidas de Lecoq de Boisbaudran con los
sulfuros fosforescentes de bario, estroncio y calcio. Acaso
habrá analogías en el hecho de producir luz; pero ni la acti-
vidad adquirida es la misma, ni lo son los medios de mani-
festarse, y en ambos casos parece como función del meca-
nismo generador de las disoluciones y señala sus respecti-
vas y propias individualidades. '

Hay que notar cómo dentro del sistema de la disolución
sólida, en el grupo particular de que trato, persisten las de
los disolventes, cualesquiera que sean su naturaleza y pro-
porciones; por donde venimos á parar en que sus necesarios
cambios deben ser de otro orden y quizá están ligados á las

:
A
É
L

capacidades de saturación, cuyo límite hállase próximo, con-
forme son de exiguas, y es de notar cómo para el desarrollo
de ciertas actividades hasta es indiferente la cantidad del di-
solvente; pues hay muchas disoluciones sólidas en extremo
diluídas tan activas como otras saturadas, y así sus energías
más dependen de distintos factores, tales como la naturaleza
de los componentes y, sobre todo, sus posibles relaciones de
orden químico en determinadas circunstancias. Consérvase
en todas la individualidad del disolvente y es manifiesta aun
en los casos de sobresaturación á temperatura bastante su-
perior á la ordinaria y cuando son posibles sus reacciones
con el exceso de materia activa, que al ser en ellas transfor-
mada, pierde no poco de sus energías individuales para con-
cretarse en un estado final de combinación química definida,
cuya presencia es parte á extinguir Ó. aminorar la actividad
del sistema, que se torna menos excitable; pero en semejan-
te extremo la disolución sólida cambia, porque en realidad
ha variado la naturaleza del disolvente, el medio para las
transformaciones químicas ha experimentado modificaciones,
que se han extendido á la propia materia disuelta, y los he-
chos prueban de qué suerte al cambiar las individualidades
de los disolventes y ser de alguna manera pertyrbadas, lo
son también las disoluciones y se explica que persistan sin
modificaciones aparentes en el sistema formado, que es al
cabo el medio adecuado á los desarrollos de la actividad ad-
quirida en el momento de ser generada la disolución sólida
calificada de más perfecta. de

Se puede admitir, en el caso particular de los sulfuros fos=
forescentes, ser requisito indispensable la persistencia de la
individualidad del disolvente, para que se lleven á cabo las
modificaciones, reversibles y no permanentes, de orden quí-
mico, productoras de la luminescencia. De ellas participa,
tanto como la substancia activa, la materia del disolvente, y
si no conserva las cualidades que la determinan.ó si altera-
das no pudiera recobrarlas, producida la luminescencia y

A A A de E ES E dt
. Ma ES >

— 136 —

pronto extinguida, no podría volver á ser excitado el cuerpo
de la propia manera, y las perturbaciones del sistema serían
constantes y no reversibles; por donde resulta, aunque sólo
bajo el limitado aspecto de que aquí se trata, ligada la acti-
vidad y energía adquiridas por las disoluciones sólidas á la
individualidad del disolvente. |

Importa dejarlo establecido de modo general, porque así
se explica que cada disolución sólida luminescente, en es-
pecial aquellas excitables por directas acciones luminosas,
tenga su carácter apropiado, dependiente, tanto de la natu-
raleza é individualidad del disolvente, como del estado de
saturación de la materia activa, el cual se alcanza á una
temperatura fija y constante, para cada caso, y constituído
el sistema, no debe variar cuando aquélla descienda; pues
de lo contrario se mezcla á la disolución la parte de cuerpo
disuelto separado en el enfriamiento y perturba enteramente
sus actividades adquiridas, porque es frecuente que se ma-
nifiesten entonces las acciones químicas de los dos elemen-
tos, disolvente y cuerpo disuelto. Obsérvase el hecho, por
ejemplo, cuando al formarse el sulfuro de estroncio, á la
temperatura del rojo vivo, disuelve una cantidad excesiva
de óxido de bismuto, que en las disoluciones saturadas es
materia muy activa y existe en el dicho estado; entonces es
alterado, formándose sulfuro de bismuto, dotado de colores
obscuros ó verdosos, que á modo de pigmentos comunica á
toda la masa, y en rigor la disolución sólida subsiste, sólo
que se ha tornado inactiva é inerte, de cuyo estado es impo-
sible sacarla, haciéndole recobrar sus propias aptitudes y
las energías que la caracterizan estando saturada y en las
condiciones que se han indicado repetidas veces, y esto de-
muestra las influencias directas de las masas relativas de los
componentes de las disoluciones sólidas en las aptitudes
que manifiestan, siquiera sean distintas de las individuales
de aquéllos, y seria menester, para apreciar tales influencias
y llegar hasta medirlas, indagar los estados particulares del

A dai lea EA da OS O A

de ]
a A

disolvente y de la materia disuelta en el agregado homo-
géneo resultante de su unión íntima, realizada conforme se
dijo; pues su mecanismo puede ser causa de cambios y mo-
dificaciones de propiedades.

También es patente el influjo de la temperatura, puesto
que la excesiva anula las actividades propias de las disolu-
ciones luminescentes, conforme lo tengo demostrado, y si
no es suficiente, no se constituye el sistema; resultará otro
ó una simple mezcla, más incapaz de ser excitada por las
directas influencias de la luz; lo cual significa que el mismo
estado que el calor ha formado, el calor es capaz de des-
truirlo ó de variar sus caracteres. Y estas son, á mi enten-
der, las doctrinas que, sin perjuicio de rectificarlas, pueden
establecerse respecto de la generación de los caracteres de
las disoluciones sólidas en los dos grupos de ellas que he
considerado; sólo falta aplicarlas á determinados casos y
verlas confirmadas con experimentos.

VII. —Estudio teórico elemental de la salida de los
flúidos.

Por JosÉ ESTALELLA.

Influye tanto, á despecho de todos, la tradición en las obras
científicas y, por consiguiente, en la enseñanza de las ciencias,
que no sería ardua tarea señalar la constante adopción en li-
bros y explicaciones de un buen número de caminos perfec-
tamente substituíbles por otros más directos y viables; no
abonando la elección de los primeros más que un excesivo
respeto (no por inconfesado menos real) á los métodos tra-
dicionales.

188 e
- De uno de estos cane tan dignos de respeto como de y 4
abandono, vamos á ocuparnos. Nos referimos al gener: ad 7
mente usado para empezar el estudio de la dinámica de 2
flúidos. e e
En el teorema de Torricelli, que no resuelve más que un
caso particular de la salida de los líquidos (aquel en que la
salida es debida únicamente.al propio peso) se fundamenta
el estudio de los restantes casos, y son de ver los esfuerzos
y rodeos que para ello es necesario hacer y las dudas que
ocasiona al principiante; esfuerzos, rodeos y dudas análogos
á los que ocasionaría, en el estudio de la dinámica de sóli-
dos, el partir de un teorema semejante al de Torricelli, refe-
rente á la velocidad con que cae un cuerpo libremente solta-
do y se pretendieran referir á él casos como el de la veloci-
dad con que sale una bala del cañón. Afortunadamente, en
la mecánica de sólidos, la tradición no puge caminos tan en-
revesados.

¿No sería posible abandonar en la dinámica de flúidos el
tradicional derrotero y dirigir los pasos siguiendo otro más
directo, y, sobre todo en las obras elementales, más racio-
nal? A ensayarlo vamos. -

En el cuerpo de bomba de la figura 1.*, un émbolo AB de

Figura 1.*

sección s, impele al líquido con una fuerza F = sf (siendo f
la fuerza por centímetro cuadrado) y el líquido impelido, sale

— 139 —

por el orificio de sección s, practicado en la pared MN pla-
na y delgada; ¿cuál será la velocidad de salida del líquido?

Si el émbolo, desalojando el líquido recorre un espacio e,
el trabajo efectuado valdrá

ESF =—sje

Mientras tanto, por el orificio de salida ha salido un vo-
lumen líquido evidentemente igual á se, y por consiguiente,
una masa sed: la energía cinética de esta masa debe ser
igual al trabajo efectuado:

FE de sedv?;
vs NANO
igualando ambas expresiones de T:
E sedv=s fe
2

ios
2

pa.

ye

d
=Y 2
¿deci ¿NL

La velocidad de salida de un líquido por un orificio prac-
ticado en pared plana y delgada, es igual á la raíz cuadra-
da del cociente de dividir por la densidad del líquido el
doble de la fuerza que por centímetro cuadrado le impele.

He aqui ahora como se presta la sencilla fórmula encon-
trada al estudio de algunos casos particulares.

A
de

3
e
6

S

5 E
Y
- —-- e ee “e

1
o
]
!

|

'

Ú
Figura 2.

y substituyendo este valor en la fórmula v =' E
2adg = V2ag J e
d , '
eS Po
a
'
e E e

que es lo que indica el teorema de Torricelli: este teorema,
pues, se reduce á un corolario del anterior.

ll. El vaso representado en la figura 3 contiene dos líqui-
dos superpuestos, de densidades d y ad”; siendo d> d', por

— 141 —

el orificio del fondo sólo saidrá el líquido de densidad d;
¿cuál será la velocidad de salida? Sean a y a” las alturas que
de los líquidos de densidades d y d” contiene el vaso; la
fuerza por centímetro cuadrado valdrá (ad + ad) y y subs-
tituyendo este valor en la fórmula

ed ar 2e(ad SE ad) Y 0 CNY:
Y? Y E Vos(o 7 +a)

IIL. Sea, por fin, el caso del sencillo é instructivo experi-
mento de Benoist: el tubo de un embudo con llave (fig. 4),

no---

ES
Ep,
S l

A

'
1
-ko--
Ú

Figura 4.*

pasando al través del tapón que cierra una de las dos bocas
de un frasco, penetra hasta al fondo del mismo y del tapón
de la otra boca sale un tubo corto, estirado en punta. Estan-
do el frasco lleno de agua y vertiendo mercurio por el em-
budo, el agua sale por el tubito, formando un surtidor que
se eleva á altura mucho mayor que aquella de que cae el
mercurio. Tratando de explicar este experimento por el tec-

le esa al nuevo ome see co:
pie el Ao de salida en e plana ye

nivel del mercurio en el donado: y sea a la all ceo o
sobre el mismo nivel; llamando 4 la densidad del ag
di la del mercurio, tendremos, aplicando la Da
mula:

2f dy CUERO ( dl :
y = e E ad — po
VE d 2 ) |

2
d
á tres casos en que la salida del líquido era debida única-
mente á la gravedad, es decir, tres casos á los que puede
aplicarse directamente el teorema de Torricelli. A pesar de
esto, dicha fórmula presenta indudablemente ventajas sobre
el clásico teorema. Si de aquí pasáramos á aplicarla á casos
en que no fuera debida la salida á la acción de la gravedad,
ó al caso de la salida de los gases, acabaríanse de eviden-
ciar las ventajas de aquella fórmula y, por consiguiente, las
del método de estudio que acabamos de exponer de la salida
de los flúidos. :

Nótese ahora que hemos aplicado la fórmula v =

g

AA!

Ne
A
DA

h
A

1, Il, IIL.— Introducción ná la Física mátemática, por José

Constitución de la ad en Yo de Julio de pe

Ear ¿ ES E
“Conferencia A.

o
1

Conferencia novena. Pr
Iv. —Examen de una supuesta incompatibilidad de los ca :
-—lomelanos, por José R. o A IS
V.—Une reclamation de priorité a propos du télékine et.
des experiences d'Antibes, par Léonardo Torres.
V!.—Las disoluciones sólidas, ERE qa Rodriguez Mou-
Pas E MESS AA E E a
VII.—Estudio teórico elemental de la salida de los fúidos,
por José Estalla có ¿3d A O

La subscripción á esta Revista se us por E completos,
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos. sk:
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, caes de Va
verde, núm. 26, Madrid. e E

Precio de este cuaderno, 2,25 pesetas. cid. -?

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TOMO V.-NÚM. () ¡RE
(Octubre de 1906.) je 24

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la Corporación, antes del

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MAY 27 1907

e MF

VII. — Introducción á la Física matemática.

POR José ECHEGARAY.
Conferencia décima.

SEÑORES:

Nos ocupamos en la conferencia anterior en recordar las
nociones más elementales de la Mecánica, para renovar las
ideas de mis oyentes sobre esta ciencia importantísima, á
que la Física matemática tiene que acudir de continuo, á
fin de realizar, lo que ha sido constante aspiración en casi
todo el último siglo: reducir los problemas de Fisica á pro-
blemas de Mecánica. ;

Sin hipótesis de ningún género, acudiendo sólo al método
experimental, establecimos las tres unidades fundamentales
de dicha ciencia, la masa, la longitud y el tiempo.

, Masa, longitud y tiempo son, en rigor, los tres paráme-
tros independientes de la Mecánica, y aun me atrevería á
decir de la Física.

Todos los demás parámetros, la fuerza inclusive, son de-
pendientes de los tres primeros, y á ellos pueden reducirse;
en cambio, parece que estos tres son irreducibles entre sí.
Por muchas longitudes que se acumulen, nunca resulta una
masa; por muchos tiempos que se sumen, tampoco resulta el
parámetro longitud, aunque, á decir lo cierto, las velocida-
des pueden substituir en sus efectos dinámicos á las masas,
pues, como decía Hegel: «la bala mata, no por la masa,
sino por la velocidad;» y dos fuerzas vivas pueden ser igua-
les, si la pequeñez de una de las masas está compensada
por la magnitud del cuadrado de la velocidad en la otra.

Rrv. Acab. Ciuweras, —V.—Octubre, 1906, 10

— 144 —

Pero sea de ello lo que fuere, y prescindiendo de profun-
didades Ó de abismos metafísicos, nosotros fijamos para la
Mecánica estos tres parámetros, cuyas unidades pudieran
ser centímetro, gramo y segundo de tiempo. Ev

Después, en función de estas unidades, expresamos la
fuerza como parámetro importantísimo de la Mecánica, pero
dependiente de los tres fundamentales. Aunque sobre esto
habría mucho que decir, y otra vez procuraremos decirlo.

De este modo, pudimos escribir la ecuación del movi-
miento de una masa m sobre una recta bajo la acción de
una fuerza X.

Y esta ecuación

en forma diferencial, nos enlazaba x, ó sea el espacio reco-

rrido con la variable independiente f y con los datos del pro-
blema m y X.

Demostrando una proposición, que en forma abreviada
decía de este modo: «la proyección del movimiento es el
movimiento de la proyección», determinábamos las tres
ecuaciones del movimiento de un punto material en el espa-
cio, que eran análogas á la anterior, aunque refiriéndose
cada una de ellas á distinto eje coordenado.

Y repitiendo, por último, esto mismo para todos los pun-
tos del sistema, tendremos, si el sistema comprende n pun-
tos, que supondremos libres, un número de 3n ecuaciones
para determinar en función del tiempo y de los datos las 3 n
coordenadas X, J, Z.....

Pasábamos después del problema de Dinámica al problema
de Estática, suponiendo todos los puntos inmóviles y, por lo
tanto, todas sus coordenadas constantes, con lo cual desapa-
recían los coeficientes diferenciales y no quedaban más que
las componentes de las fuerzas igualadas á cero.

das

ES

- N

Como no explicamos un curso de Mecánica, ni hacemos
más que recordar nociones, que mis oyentes conocen, aquí
deberíamos detenernos; pero nos queda un caso más impor-
tante, tanto para el problema estático, como para el proble-
ma dinámico; á saber, el caso en que existan enlaces entre
los diferentes puntos del sistema, y sobre esto al terminar la
conferencia, hacíamos ya algunas indicaciones, que todavía
repetiremos.

Vamos á tratar, pues, de este caso difícil y especialísimo:

«otros dirían que es el caso general, mas, por ahora, no lo

discutimos. '

Los enlaces pueden ser de muchas clases, y no tengo la
pretensión de enumerarlos todos, me bastará citar ejemplos.

Puede exigirse que algunos puntos del sistema queden
constantemente sobre superficies determinadas ó sobre cur-
vas; Ó que ciertas distancias sean invariables, Ó que otras de-
pendan del tiempo, como barras que se dilatan Ó se contraen.

Habrá, por último, enlaces que se llaman bilaterales, y
otros que se llaman unilaterales; pero en todos estos porme-
nores no podemos entrar.

a

Hubo un momento en la Historia de la Ciencia en que se
creyó por espíritus entusiastas, que todos los problemas del
equilibrio y del movimiento estaban comprendidos en el
principio de las velocidades virtuales.

Todos, no lo están ciertamente; pero esto no impide que
estén muchísimos comprendidos en él, ó de una manera ri-
gurosa ó con suficiente aproximación, lo cual da un alto
valor científico al principio expresado.

Es un principio de extraordinaria generalidad, pero que
tiene sus deficiencias, mejor dijéramos, sus limitaciones.

No puede aplicarse á los sistemas en que hay rozamiento
6 adherencia óÓ viscosidad, lo cual modifica el campo de su

— 148 <a

aplicación, ya que no la haga inútil para la práctica, como:
algunos suponen, sin fundamento sólido; porque después de
todo el principio de las velocidades virtuales es importantí-
simo en la Mecánica aplicada.

Supone también que los enlaces están expresados por
ecuaciones y no por desigualdades, que en este último caso
hay que modificar el principio y pierde muchas de sus ven-
tajas.

Y en fin, para terminar de una vez, hay casos á que no
puede aplicarse directamente este principio de las velocida—
des virtuales, por ejemplo, cuando hay movimientos de ro--
dadura como en las bicicletas. So-
bre este punto pueden consuitarse
las memorias de Mr. Carvallo,
Mr. Hadamard y otros.

Lo cierto es que al aplicar el
principio de las velocidades vir-
tuales, lo primero es ver si puede

Figura 36. aplicarse.

Por último, las demostraciones
de este gran principio, ó se limitan á una serie de casos par-
ticulares, Ó si pretenden ser generales, quedan sujetas á ob-
jeciones de bastante fuerza.

Antes de explicar este principio, mejor dijéramos, de recor-
darlo, conviene reproducir algunas definiciones de Mecánica.

Supongamos (fig. 36) que un punto material A, recorre
una curva MN y que sobre ese punto actúa una fuerza F,.
que podrá ser la misma que determine el movimiento, Ó po-
drá ser una componente de ésta; dicha circunstancia no nos
interesa por el pronto: es una fuerza que acompaña al punto.

El hecho en que nos fijamos es este: el punto Á recorre el
camino infinitamente pequeño AB y en ese camino le acom-
paña la fuerza F, y podemos suponer que no cambia ni de
intensidad ni de dirección.

Pues bien, se llama « trabajo elemental de la fuerza F, ab

— 147 —

producto de dicha fuerza por la proyección sobre ella del ca-
mino recorrido ». Si proyectamos, pues, B sobre F en f y ha-
cemos Af= f, tendremos,

Trabajo elemental de F=F.f.

Llamando dT á este trabajo, ds á AB y a al ángulo BAf,

resultará,
DEA LOS COSA.

Claro es que como también podemos escribir

AN ASISIFCOSA,

podremos definir este trabajo elemental diciendo, «que es el
producto del camino recorrido por la proyección de la fuerza
sobre él ».

Por lo demás, dT será positivo ó negativo, según sea el
ángulo » agudo ú obtuso dadas las direcciones de AB y dF,
ó dicho de otro modo, trabajo motor ó trabajo resistente.

Si para cada punto de la curva MN determinamos este
trabajo elemental é integramos entre M y N, tendremos:

a N N
Trabajo sobre MN = E al Fcosa. ds.

Este concepto del trabajo de una fuerza Ó de varias fuer-
zas es fundamental; mas, por el momento, no tenemos que
hacer otra cosa que recordar un teorema, que es el si-
guiente: |

El trabajo de una resultante F, es la suma de los trabajos
de sus tres componentes rectangulares, X, Y, Z.

En efecto: si llamamos (fig. 37) / al camino infinitamente
pequeño descrito por A, y L;z, l,, l, las tres proyecciones
sobre los tres ejes de este camino, se sabe por un teorema

— 148 —

de Geometría analítica que el cos. del ángulo « que formar
las rectas / y F es igual á la suma de los productos de los.
cosenos de los ángulos que forman con los ejes. Por lo-
tanto,

de donde

F.lI.cosa = XI, + Yl, + Zlz.

Pero el primer miembro
es evidentemente el traba-
jo elemental de F, y cada
término del segundo
.miembro es el trabajo de
cada componente. Por
ejemplo, X7, es el produc-
to de la fuerza X, proyec-
ción de F sobre el eje de
las X por el camino /,,, que:
recorre sobre este eje la
proyección del punto A.

Con lo cual el teorema

Figura 37. queda demostrado.

Recordemos de paso
que al tratar en otra conferencia de lo aventurado que era el
substituir en los cálculos á una línea un contorno, que tien-
da á confundirse con dicha línea, decíamos que tratándose-
de áreas finitas podía aceptarse dicha substitución, pero-
no siempre tratándose de longitudes; y citábamos con este
motivo los flujos de fuerza y los momentos electromagné-
ticos. Respecto á estos últimos, la substitución no es evi-
dente; pero puede demostrarse, y debe demostrarse, preci-
samente por consideraciones análogas á las de los trabajos
de las fuerzas. Al decir que el trabajo de la resultante es

o AOS

igual á la suma de los trabajos de las componentes, hace-
mos dicha substitución para los caminos y para las fuerzas,
pero es demostrando la exactitud del teorema.

Sólo nos queda un nuevo concepto que explicar, que en
rigor se refiere al anterior y es el del trabajo virtual.
Sea A (fig. 38) un punto de un sistema,

y supongamos que sobre ese punto actúa La
una fuerza F. MO

Admitamos que al punto A se le obliga AF”
á recorrer una longitud infinitamente pe- Figura 38.

queña, AB=!1, en cualquier sentido.

No es ya como en la figura 36 un elemento de la trayec-
toria que recorre el punto, por eso ponemos una figura apar-
te: es un camino completamente arbitrario en longitud y en
dirección, es una especie de línea auxiliar para un razona-
miento que tenemos que hacer.

Por todas estas razones se le llama desplazamiento vir-

- tual (y perdónesenos la palabra desplazamiento, pero no

hay otra). Antes se le llamaba velocidad virtual; mas era in-
troducir el tiempo de una manera innecesaria, y aun es pre-
ferible para mayor sencillez que el camino sea infinitamente
pequeño.

Respecto á este camino, la fuerza F, al acompañar al
móvil en su marcha, desarrollará un trabajo elemental
Ff=FIcosa, al cual por la naturaleza del camino / le da-
remos el nombre de trabajo virtual.

*
ES

- Con estos antecedentes podemos ya enunciar el principio
de las velocidades virtuales respecto al equilibrio de cual-
quier sistema.

MO

El enunciado del teorema es el siguiente:
Supongamos (fig. 39) un sistema de puntos, ya libres, ya
sujetos á enlaces, ex-
presados éstos por
igualdades y sin roza-
mientos, ni rodaduras;
si aplicamos á estos di-
ferentes puntos despla-
zamientos infinitamente
pequeños arbitrarios,
pero compatibles con
dichos enlaces, podre-
mos estabiecer estas
dos proposiciones:
Figura 39. 1,* Cuando el siste-
ma está en equilibrio,
la suma de todos los trabajos virtuales será igual á cero,
sean cuales fueren dichos desplazamientos.

2.* Recíprocamente, cuando para todos los desplaza-
mientos la suma de los trabajos virtuales.es nula, el siste-
ma está en equilibrio.

De suerte, que si el sistema está en equilibrio

az

EFf=0,

extendiéndose la suma á todos los puntos y para todos los
valores de f.....
Y, recíprocamente, si

YFf=0

en iguales condiciones, el sistema está en equilibrio.

Pero antes de pasar á la demostración, debemos hacer
algunas aclaraciones:

1. En virtud del teorema que hemos demostrado res-

A A
TS
LN

— 151 —

pecto al trabajo de las fuerzas, claro es, que la ecuación de
los trabajos virtuales que, como hemos dicho, comúnmente
se llama de las velocidades virtuales, puede escribirse bajo
otra forma, poniendo en vez de las fuerzas F y de los des-
plazamientos f, las componentes de aquéllas y de éstos.

De suerte, que puede escribirse en vez de XFf =0, esta
otra ecuación :

o. Yee Zo z) 0;

Las componentes de f se designan por la letra griega 5
(delta), en vez de la d latina, para no confundir dichos ca-
minos, infinitamente pequeños; virtuales, no reales; posi-
bles, no efectivos; con las diferenciales ordinarias, que son
reales y efectivas en el movimiento del sistema.

2.” Como se trata de una suma de términos infinitamen-
te pequeños, al decir que la suma es cero, se quiere signifi-
car que es un infinitamente pequeño de orden superior res-
pecto á los desplazamientos mismos, de modo que, para
dar rigor al teorema, algunas veces será preciso dividir
toda la ecuación por un desplazamiento, que tomaremos por
unidad de infinitamente pequeños.

Aclaremos esto con un ejemplo.

Sea (fig. 40) el caso de una recta rígida AB que constitu-

Figura 40.

ya el enlace entre los dos puntos materiales A,B. Aplicando
á los extremos de esta recta dos fuerzas iguales y contrarias
F, el sistema estará en equilibrio, y sin embargo, parece que

— 152 —

en este caso, no se realiza el principio de las velocidades
virtuales; porque, hagamos girar á la barra alrededor del
punto B un ángulo infinitamente pequeño, es como si al
punto A le hubiéramos comunicado el desplazamiento AA”.

El trabajo virtual en el punto B es cero porque queda in-
móvil. El trabajo virtual para el punto A será

— F.Aa,

que no es igual á cero.
Pero dividiendo por A 4” podremos escribir rigurosamente

Aa
TA

,

porque el numerador es infinitamente respecto al denomi-
nador y la relación tiende hacia cero cuando tiende hacia
cero AA”.

Podríamos presentar muchos ejemplos análogos, y aun
este mismo de la barra rígida para otros desplazamientos
virtuales.

3. Hemos dicho que los enlaces deben estar expresados
por igualdades, y aún más, que deben ser bilaterales.

Aclaremos estos puntos.

Supongamos que el enlace entre dos puntos 4, B (fig. 41)

Figura 41.

sea un hilo flexible, pero inextensible, y por de contado sin
masa, como se supone para los enlaces en casi todos estos:
casos.

Dos fuerzas iguales y contrarias F estarán en equilibrio.

— 153 —

actuando sobre el hilo en direcciones opuestas, y sin embar-
go, el principio de las velocidades virtuales, no se verifica
para todos los desplazamientos.

En efecto, supongamos que A viene á A”, Bá B'”; de modo
que Aa sea mucho mayor que Bb: el hilo tomará la forma
arbitraria A”CB'.

La suma de los trabajos virtuales ha de ser en este caso

=P Ad + FSBh= —F(Ha= Bb)

que no puede ser igual á cero, puesto que Aa es mayor
que Bb.

Y aun podríamos exagerar el caso, haciendo que los pun-
tos ab cayeran entre A y B.

Y es que en el ejemplo que acabamos de presentar, los
enlaces están expresados, no por una igualdad, sino por una
desigualdad; llamando £ á la longitud del hilo, por la des-
igualdad

Distancia entre A y B< L.

Una cosa análoga pudiéramos decir respecto á otros enla-
ces unilaterales.

Por ejemplo, cuando un punto ha de quedar sobre una su-
perficie. Si esta condición es absoluta, si sea cual fuere la
dirección y el sentido de la fuerza, que actúa sobre el punto,
de ambos. lados, por decirlo así, hacia adentro y hacia afue-
ra, resiste la superficie, el enlace será bilateral, estará ex-
presado por una ecuación

F(x, y, z) =0,

la de la superficie, y el principio de las velocidades virtuales
será aplicable.

Pero, si la superficie no resiste de los dos lados, la rela-
ción es unilateral, y no es aplicable el principio de las velo-

A A e TO o NARA A ir o Él

UA

cidades virtuales, tal como lo hemos formulado sin las acla-
raciones y modificaciones consiguientes.

Así, un cuerpo sobre una mesa, permanece sobre ella, si
contra ella se le oprime ó le oprime la gravedad; pero se se-
para, si se le levanta de la misma. Este enlace es unilateral.

4.” Habrá que distinguir aún el caso en que el número
de puntos es infinito, precisamente para tener en cuenta la
primera observación que hacíamos respecto á la división por
un infinitamente pequeño, escogido por unidad; pero es im-
posible que nos detengamos en estos pormenores.

El principio de las velocidades virtuales, es de una gran
generalidad, es, si se nos permite la frase, de una elegancia
suprema: sencillo, comprensivo y fecundo; pero es preciso
en cada ejemplo aplicarlo con discernimiento para no caer en
alguno de los casos de excepción que hemos señalado ó en
otros no previstos.

Pasemos ya á la demostración.

Y distinguiremos dos casos:

1.2 Cuando se trate de puntos completamente libres, su-
jetos tan sólo á fuerzas exteriores, ó á fuerzas interiores, es
decir, á acciones mutuas entre los diferentes puntos.

En este caso el principio es evidente.

No deja de ser cierto, decimos, aun adquiere mayor ex-
tensión, porque se aplica á desplazamientos finitos, pero es
completamente inútil.

En efecto, la ecuación de las velocidades virtuales,

(Xx + Yiy + Zoz)=0
desarrollándola para los diferentes puntos, será

X0x + Y iy + 2Z0z2+X,0x, + Y ,8y, + 2,021 + ..... =0

A UA CA
Ae

— 155 —

Pero si el sistema está en equilibrio, como las condiciones
de equilibrio son

AO. PAS. E EZ = 00

todos los términos de la ecuación precedente se reducen á
cero, sean cuales fueren los valores de los desplazamientos,
y aun cuando fueran finitos.

Recíprocamente, si la ecuación queda satisfecha para to-
dos los valores de 0x,, 6J,, 02,, 0X3....., haciendo todos me-
nos uno, por ejemplo, 0x, iguales á cero, la ecuación se re-
ducirá á

Xóx =0,

que siendo el desplazamiento virtual 6x arbitrario, no puede
verificarse á menos que no se tenga

>
!
(=>)

Y lo mismo podríamos demostrar para todas las otras com-
ponentes; luego el sistema está en equilibrio.

Vemos, pues, que el principio de las velocidades virtua-
les en este caso, es evidente.

2.” Supongamos que existen enlaces entre los puntos del
sistema, y para fijar las ideas y simplificar los cálculos, su-
pondremos (fig. 42) que los enlaces están expresados por
dos ecuaciones entre las coordenadas de los puntos, y que
éstos son en número de cuatro.

Representemos las coordenadas por x,, y ,, 7, para el pri-
mer punto A;;
por X», Y», Z2 para el segundo punto A»;
por Xx, Js, 2 para el tercer punto A,;

y en fin, por X,, Y,, 2, para el punto A,.

a

Las ecuaciones de enlace serán, pues,

L, (A Xa), Yo, Za edo 0. ) == O;
L, (X1, Y1, 21, X3, Ya, Za io ) == O;

Figura 42.

Ó abreviadamente,

L, =0/"LIZN;

En los puntos actuarán, ya fuerzas externas Fa ae ya
fuerzas internas, y representaremos las componentes de di-
Chas fuerzas para cada punto por

— 157 —

X,, Y,, Z, para el punto A,,
X>2, Y,, Z, para el punto A,
Xs3, Y¿, Z¿ para el punto Az,
X4, Y, Z, para el punto A,.

Tenemos que demostrar que para los desplazamientos vir-
tuales, la suma de los trabajos es nula, es decir, según an-
tes explicábamos,

Y (X,0x, + Y, 0y, + Z, 02,) =0,

extendiéndose la suma á los cuatro grupos del sistema, de
suerte que habrá cuatro trinomios como el que acabamos de
escribir con los subíndices 1, 2, 3, 4, y estarán sumados to-
dos ellos.

De las diferentes demostraciones que se han dado del
principio de las velocidades virtuales, escogeremos como
ejemplo una, debida al insigne Poinsot, que, á decir verdad,
tiene muchos años de fecha, pero que, aunque está sujeta á
algunas objeciones, es sumamente ingeniosa y de extraordi-
naria elegancia: seguiremos en ella la marcha de Mr. Lau-
rent.

Supongamos que se tiene un punto A y que se refiere
por medio de sus distancias á un número cualquiera de pun-
tos que, para fijar las ideas, será igual á 4.

Sean éstos P, Q, R, $.

Las distancias del punto A, que es por hipótesis varia-
ble, á los cuatro puntos fijos las designaremos por p, q,r, s.

_ Admitamos, por último, que una ecuación cualquiera, f,
enlaza las cuatro distancias.

Es evidente que dicha ecuación

F(p, q, RS) 3 0,

— 158 —

representa una superficie cuando el punto A varía; Ó, de
otro modo, dicho punto describe una superficie cuando va-
rían las distancias p, q, r, s satisfaciendo á la ecuación f=0.

Esto se ve claramente, expresando las cuatro distancias
por las coordenadas de los cinco puntos.

Designando, en efecto, por x, y, z las coordenadas de A;
por a,,b,,c,, las de p; y así sucesivamente, claro es que la
ecuación podrá expresarse de este modo

fmars)=/[Ve—a) + 0) + (=c),
V(x — a.) FRY? Re = 0;

y como no quedan más que tres variables x, y, z, y la ecua-
ción es única, no cabe duda que representará una superficie

Fm 7)=0.

Y ahora deberemos establecer el siguiente lema:
Si de la función f= 0 se toman las cuatro derivadas par-
ciales con respecto á p, q, r, S, á saber:

ef dee: E,
dp? dq dr” ds”

y se llevan sobre las prolongaciones de las rectas AP, A Q,
AR, AS, si son positivas dichas derivadas, ó en sentido
contrario, si son negativas, y si considerando á dichas lon-
gitudes como fuerzas, se halla la resultante de todas ellas,
ésta resultante será normal á la superficie F que describe el
punto.

Es evidente que en vez de tomar dichas derivadas, hubié-
ramos podido tomar cantidades proporcionales, porque la
dirección de la normal siempre hubiera sido la misma.

Si consideramos á f como lo que es, como una función

— 159 —

de x, y, z, se sabe por Geometría analítica, que la normal á
la superficie, que dicha ecuación representa, forma con los
ejes coordenados x, y, z, ángulos cuyos cosenos son:

VE HE) + Ez)

de suerte que, tomando sobre la normal una longitud cual-
quiera, sus componentes serán proporcionales á

a PA
de aa

y si la longitud fuese » VE) + bl + al
dx dy dz

entonces dichas tres componentes serían las mismas de-
rivadas.

Pero f=0 es función de p, q, r, s, y éstas, como antes
vimos, son funciones de x, y, z, de suerte que, por la dife-
renciación de funciones compuestas, podremos determinar
las derivadas con relación á x, y, z, en función de las deri-
vadas con relación á p, q, r, s, de este modo:

Rev. AcaD. Ciencias.—V.—Octubre, 1906. 11

— 160 —

df _ df dp, df dq | df dr, df ds

dx dp dx dq dx dr dx ds dx

PE DAS APIS
dy dp dy dq dy Er dy ds dy

Y Y APOT CU AO AS

dz dp dz da dz de ade ds. UE

Pero los segundos factores tienen una significación geo-
métrica muy sencilla.

Fijémonos en la primera ecuación: lo que de ella digamos,
repetiríamos para las otras dos.

ds poniendo por p su valor
dx

VAa—a*+EO=0Y+G6—c),

se convierte en

dp d Va y +0 br + (20)

dx dx

x— A, x—A,

TCP

x—a ;
Pero - no es otra cosa que el cos. del ángulo que
Pp

forma p con el eje de las x.
Del mismo modo veríamos que

ia A AO E SON A

dx lo MEA EAN S

representan los cosenos de los ángulos que las rectas q, r, S
forman con el eje de las x,

— 161 —

En suma, la primera de las tres ecuaciones anteriores po-
drá escribirse de este modo:

or > cos (px) + CN cos (q,x) e
dx dp dq
AA Cos (5%) + af COS (s,x).
dr d s

- El primer miembro es la componente sobre el eje de las x
de la normal, ó mejor dicho, de la longitud n que hemos
llevado sobre la normal á la superficie f=0 6 F =0.

El segundo miembro es la suma de las componentes sobre
el eje de las x, precisamente de las derivadas

LAY Cb pS peta:
EA de EI AIN

y la ecuación nos dice que esta suma de componentes es
igual á la componente de la normal.

Y como interpretaciones análogas pueden hacerse de las
otras dos ecuaciones, resulta probado el Lema, es decir, que
componiendo dichas derivadas como fuerzas, Ó con más
exactitud las rectas que las representan, la resultante tiene
las mismas componentes que la normal n, y, por lo tanto,
coincide con ella.

El Lema anterior se aplica á cualquier número de puntos;
en nuestra demostración lo aplicaremos, primero para tres
puntos, y luego para cuatro.

Y pasemos ya á la demostración del principio de las velo-
cidades virtuales.

Los cuatro puntos, que suponemos que constituyen el sis-
tema, A,, 4», Aj, A, estarán referidos, como dijimos, á tres

==

planos coordenados rectangulares; mas para el curso de la
demostración, conviene referirlos transitoriamente á tres
puntos fijos P, Q, R.

Cada punto, como indicábamos antes, estará definido por
sus tres distancias á dichos tres puntos fijos, y las ecuacio-
nes de enlace supondremos que están expresadas en función
de dichas distancias P, Q,F; Pi, Q1, fi »....

Si estuvieran expresadas en función de Xx, y, 2, por un
cambio de coordenadas, se expresarían en función de p, q, f.

Y es más, este cambio de coordenadas puede ser muy
sencillo, al menos de un modo aproximado, si se eligen los
tres puntos P, Q, R sobre los ejes de x, y, z, y á una gran
distancia del origen.

Supongamos que se fijan todos los puntos del sistema me-
nos el punto A, y veamos á qué se reducen las condiciones
de equilibrio de este punto.

Fijémonos en la ecuación de enlace £, =0.

En esta ecuación no quedarán más que tres variables, que
serán las tres distancias del punto A, á los puntos fijos de
referencia P, Q, R; todas las demás distancias serán cons-
tantes de la ecuación, y no tendremos necesidad de expre-
sarlas: escribiremos, pues, de esta manera, la ecuación de

enlace:
L, (p, q, r) =0.

Decir que el punto A, ha de satisfacer á esta ecuación; Ó
de otro modo, que p, q, r, han de satisfacer á esta ecuación,
equivale á exigir que el punto A, quede sobre la superficie
E=0

En suma, podemos prescindir de este enlace y substituirlo
por la superficie en cuestión. Pero la acción de una superfi-
cie sobre un punto, cuando no hay rozamiento, equivale á
una fuerza normal.

Ahora bien, en virtud del Lema, las tres derivadas par-
ciales

= 18 =

Ad ala
dp” “d q y “ar 2

ó cantidades proporcionales á ellas, dan una resultante nor-
mal á la superficie L, = 0.

No sabemos cuál es la intensidad de la fuerza, sólo sabe-
mos que ha de ser normal á la superficie, y así, llamando A,
á una cantidad convenientemente escogida, podremos decir
que la fuerza normal, que representa la acción de la super-
ficie L, =0, ó sea el efecto de este enlace sobre el pun-.
to A,, tiene por componentes
aL; d L,

' ) My e
dp - dq dr

En suma, si sobre las rectas A, P, A, Q, A,R, Ó en su pro-
longación, según el signo y según explicamos, se toman tres
magnitudes

dl, dL,

dl
Id co MEES Ap o ME
dp dear PA ST 1

Ab, == Ms ap

,

y las consideramos como tres fuerzas, podremos prescindir
de la ecuación de enlace L, =0, ó de la superficie que re-
presenta; pero el punto A,, además de estar solicitado por
las fuerzas externas ó internas que sobre él actúan, estará
solicitado por las tres anteriores, que equivalen al enlace
suprimido.

Hemos dicho que el punto A, estaba unido por tres rectas
invariables de forma A,P, A¡Q, A,R, á los tres puntos
PAR.

Pues bien, en el punto P de la recta A,P y sobre dicha
recta, aplicaremos una fuerza Pa, igual y contraria A,b,, de
suerte que numéricamente |

— 164 —

dL,

Ra = A, 0 = A

y en este caso podemos suponer la varilla ideal A,P libre,
porque la fijeza de su extremo P está suplida por la acción
de esta, última fuerza.

Continuando con la aplicación de la ecuación de enlace £,
-á los demás puntos del sistema, podremos repetir para el
punto A, todo lo que hemos dicho para el punto A,.

Es decir, suprimir dicha condición L, =0 para el pun-
to A,; aplicando á este punto tres fuerzas en la dirección de
AP, AQ y AR, que tendrán los valores

LESS tal E
> Pax ,» Pr E E IS)
d p; dq; dr;

B1

de las cuales fuerzas sólo hemos representado una en la
figura, á saber: A,c,, que es la que pasa por el punto P.
Fijemos bien las ideas.
Para este punto A,, en la ecuación de enlace

L¡(P,9,F;5 Pi, Q1) fis Par Q2) as Dor Uso, 13) = 0,
sólo consideraremos como variables p,, q,, r, y todas las

demás como constantes, de modo que abreviadamente po-
dremos expresar la ecuación de enlace por

L, (Pi, 91,11) =0,

y repitiendo lo que antes explicábamos, resultarán las tres

fuerzas dE
py EA

Lo mismo que antes, aplicaremos en P una fuerza cuyo
valor numérico será

— 165 —

eE,
dp; y

O AGO

igual y contraria á A,C;.

Repitiendo esto mismo para los otros puntos A, y A,,
tendremos en Az en la dirección de las tres rectas A¿P,
A¿Q, A¿R tres fuerzas

AE E NA ÍA

yA y
El 1 )
dr,

d p, dq”

Yi

y en el punto P una fuerza cuyo valor numérico será

Ea =—"ARd] == Yi dE, .
d p,

Por último, para el punto A, supondremos en la dirección
de las tres rectas ó varillas ideales A,P, A,Q, A,R, tres
fuerzas
dL; «AE; UL;

OS IATA E POR
dp; dq; dr;

Toy

y sobre la recta A¿P y en P una fuerza cuyo valor numérico

será
E,

dp;

Par = Ae == 1%

De este modo podemos prescindir para los cuatro puntos
de la condición de enlace

L, (Pp, 9, P, Pi3Q1>) 1) Pz 2) 2, P3» 3) F3) = 0,

aplicando en cada punto las fuerzas, que hemos determinado
como equivalentes á la acción de las superficies, y que subs-

La A

tituirian á la ecuación de enlaces para cada uno de estos
cuatro puntos.

Mas aun, por lo que á la ecuación de enlace L, =0 se
refiere, podemos suponer completamente libres las cuatro
rectas ó varillas ideales A,P, A,P, A,P, A,P, porque estas
varillas están solicitadas según su longitud por fuerzas igua-
les y contrarias, y quedarán inmóviles. Así, respecto á
L, =0, la fijeza del punto P es inútil; la fijeza está suplida
por las cuatro fuerzas que hemos aplicado en P.

Y este es uno de los artificios más ingeniosos de la de-
mostración; pero también dió lugar en su tiempo á algunas
críticas. De todas maneras es necesario; sin él, la demostra-
ción cae por su base.

Tiene por objeto dicho artificio demostrar que para el en-
lace £L,, las cuatro cantidades A,, p,, v,, 7, Son iguales: son
hasta ahora indeterminadas, porque no sabemos las super-
ficies L, =0 qué fuerza desarrollarán: sabemos que será
normal á cada una de dichas superficies y para cada punto
A, pero no conocemos su intensidad.

Precisamente aquí. está la aplicación del Lema que demos-
tramos antes.

El punto P está enlazado con los puntos A, A, Aj A, por
cuatro rectas p,, P», Pz, pa; luego, según en el Lema se esta-
blecía, haciendo variar estas rectas de modo que satisfagan
á la ecuación

describirá una superficie, cuya normal, en el punto P, será
la resultante de las cuatro fuerzas

MA AS A
AD O Dé: e Ds

ó de cantidades á ellas proporcionales.

— 167 —

El punto hemos demostrado que queda invariable, como
si estuviera fijo, aplicando en la dirección de las cuatro va-
rillas, las cuatro fuerzas

Pa,, Pa», Paz, Pas,
Ó sean
dL, dl dE _ dL,

A Y ), , .
ap E BP. dp»

luego estas cuatro fuerzas dan por resultante la normal. Es
decir, que deben ser proporcionales á las cuatro anteriores,
cuya resultante sigue también la dirección de dicha normal;
pero esta proporcionalidad

dE, dL, dE, d L,
kh —— ph - Ys ; m1 ——

a SS
LN OTE

dp dp; d p, d p;

da, desde luego,

h=WM= Y1="*;

de suerte que para el enlace L, =0 todos estos coeficientes
son iguales: los representaremos, pues, por A;.

Todo lo que hemos dicho respecto al enlace L,, debemos
repetirlo respecto al enlace L,; con lo cual, en cada pun-
to A,, A», Az, A,, tendremos tres nuevas fuerzas en direc-
ción de las rectas que unen dichos puntos á los tres puntos .
fijos P, Q, R.

No hemos representado estas fuerzas en la figura, más
que para el punto A,, desdoblándolas, para mayor claridad,
de las anteriores, y representándolas por A, b,, A, b',, A, b”,.
Claro es, en efecto, que éstas debian estar superpuestas á las
anteriores, y si están algo separadas, es, como hemos dicho,

— 168 —

para evitar confusiones, y para recordar que en A, hay un
doble sistema de tres fuerzas, y que si hubiera más ecuacio-
nes de enlace, á cada una de ellas corresponderían tres fuer-
zas más.

Por lo demás, para las nuevas fuerzas correspondientes al
nuevo enlace, tendremos en todas ellas el mismo coefi-
ciente 2,, en general, distinto del anterior.

Y el resto de la demostración es bien sencillo.

Podemos ya considerar que los cuatro puntos A,, A,, A,
A,, están completamente libres, sin enlace de ninguna clase,
pero sujetos á la acción de diferentes fuerzas, que conviene
enumerar.

En el punto A, actuarán dos clases de fuerza.

1.” Las fuerzas F,, cuyas tres componentes serán X,,
Y,, Z,; éstas son las que llaman los autores fuerzas directa-
mente aplicadas, y comprenden dos grupos: Primero, las
fuerzas exteriores; y segundo, las fuerzas interiores Ó ac-
ciones entre los puntos del sistema.

2.” Las fuerzas de los enlaces, que en la figura se ve que
son seis; tres procedentes del enlace L, = 0, cuyos valores
hemos visto, que son:

a ai

dp dq dr

y otras tres, procedentes de la ecuación de enlace, L,=0
á saber: '

No y Ao Aia A:
dp dq dr

Lo que hemos dicho para el punto A,, debe repetirse para
los demás puntos A,, Az, A,; en cada uno de ellos tendre-
mos un doble grupo; uno para las fuerzas directamente apli-
cadas, otro para las fuerzas de los enlaces, que comprende-
rá tres para el enlace L, = 0 con el coeficiente 4,; otras tres

— 169 —

para el enlace L, = 0 con el coeficiente A,; y, por lo demás,
no diferirán unas de otras, ni de las que corresponden al
punto A,, sino por la substitución en los denominadores de
las letras

Pi» Qi) Fr»

Pa) Ya) Pa,
P3» 43) Fa,
á las

P, q, F,
del punto A.

Puesto que los puntos A,, A,, A¿ son ya puntos libres, y
para los puntos libres demostramos el teorema de las ve-
locidades virtuales, no tenemos más que aplicarlo á este
caso, y efectuar las simplificaciones que resulten, con lo cual
veremos desde luego, que queda subsistente el teorema de
las velocidades virtuales para los trabajos de las fuerzas di-
rectamente aplicadas y que desaparecen todas las fuerzas de
los enlaces.

En efecto; representando, para abreviar, por Ta,, Ta,,
Ta,, Ta, los trabajos virtuales de las fuerzas debidas á los
enlaces para los cuatro puntos del sistema, el principio de
las velocidades virtuales aplicado á estos cuatro puntos ya
libres, dará la ecuación

Mie E 2d Tae Ta E Ta =0.

Examinemos cada uno de estos términos.

El primero, X(Xóx + Yoy + Zóz), se refiere á los traba-
jos virtuales de todas las fuerzas directamente aplicadas á
los puntos del sistema, tanto exteriores como interiores, re-
presentando, en general, X, Y, Z, las componentes de di-
chas fuerzas, y 0x, 0y, 0z, los desplazamientos ó velocida-
des virtuales para cada punto A; de manera, que en rigor,

— 170 —

el término que estamos considerando, comprenderá estos
cuatro:

X,0x, + Y ¡0y, + Z,02, + X20x, + Y¿0y, + Z20Za +
+ X30X5 + Y¿0Y3 423023 + X10X4 + Y¿9y4 + Z¿92, =0.

El segundo término Ta se referirá á los trabajos virtuales
de las fuerzas debidas á los enlaces. Para desarrollarlos to-
memos el punto A, y lo que de él digamos podremos repe-
tir de los otros tres.

Las fuerzas de los enlaces dan en A, seis fuerzas que es-
tán representadas en la figura 42, por A, b,; A, D,; A, b”y;
relativas las tres al enlace £,. Y otras tres fuerzas A; Do»,
A, 0; A; b”, relativas al enlace £..

Determinemos los momentos virtuales de estas seis fuer-
zas; para ello las proyectaremos sobre los tres ejes, mul-
tiplicaremos dichas tres componentes por 5x, 0y, 3Z, y re-
sultará para las tres fuerzas relativas á L,, los tres trabajos
virtuales:

d L;, dL

da | — cos(p,x) + == co5(9,x) + E cosa) |»
dp dq dr

PA gli cos(p, y) + gs costg,y) + 4££. cos(r, y) 9);
dp d y dr

17 | Eo cos(p,z) + E cos(q,z) + een cos(1,2) [2
dp dq dr |

Pero estos tres grupos se transforman fácilmente.
Por ejemplo, la primera línea, si se recuerda que, si a, b, €
son las coordenadas de P,

cos(p,x) = 48 00 A cos(q,x) = dg :
P dx; dx;
cos(r,x) = fer

=TH=

se convierte en

e AA

, la dp di: Ue dí, Jas
: dp d Xx, dq. de, dr “dx, aj

y según resulta del método de diferenciación de las funcio-

nes compuestas, la cantidad entre paréntesis será

dl,
de:

porque no ha de olvidarse que £L, contiene directamente
P,Q,r; pero como estas cantidades son funciones de x,, en
rigor L, es función de x,. De suerte que, por consideración
análoga, las tres expresiones anteriores, es decir, los traba-
jos virtuales sobre los ejes de las x, y, z, de las tres fuerzas
que proceden de £,, serán

y su suma

dL dl dl
A o 3 az, |.
de 1 + dy, Y, + dz, |

Lo que hemos dicho de las fuerzas que proceden de £,,
podríamos repetir para las fuerzas que proceden de L£,; y
tendríamos para su momento virtual

SS d L, AS
— 0X : — 0 OR ie
E, de ón MA 3 |

En resumen, lo que hemos representado antes por Ta ;,
es decir, los trabajos virtuales para las seis fuerzas de enla-

— 172 —

ce que actúan en A, procedentes de £, y L,, tendrá el si-
guiente valor:

d 1 d 1 dz;
, Ca e A abr dE |
NS OX 0 — 02
qe E ; Lt + dy NS dz, 1

Todo esto podríamos repetirlo para los puntos A,, Ay, Aj,
y tendremos, desde luego,

Ta 0 CI dy, + ea 02 | +
X d y, d Z,
dL dL d L,
pa a 0 9 - 0 9 = DZa 3
a Abro + d y, Ya d Z, |
A 0Xy + ció a e 22 | +
3 d y; dz;
dL dL dE
Mo 0 - 23 deb
E Re a |
| Ls A ed Y, + q Ea 02]
4 d y, dz, z
O 1 A IN PE
ra ha] M4 + DNE A E 02, |
dx, Ys dz,

Y ahora se ve inmediatamente que .

Ta + Lat La + La
es igual á cero.
En efecto, sumemos todos estos valores, sacando por fac-
tores comunes ?., y 2, y resultará

a ] d L;, a dL, » dL; >
A 0X, + 0 : 02 a
1 | de 1 dy, Y + d%, My

A “ DT ora

tE dy q Elo y

CE e li
d X, d y, dz,

> otra expresión de la misma forma que la anterior,
: substituyendo á L, la función £L,

Ó abreviadamente,

A de an 02)

d dz
AS dba o AA
A OX — 0 - —=0Z
A O )

en que cada suma se ha de extender á las coordenadas de
los cuatro puntos.

Pero no olvidemos, que £, =0 y £,=0 que explícita-
mente comprenden todas las p, q, r, serán por lo mismo
funciones de todas las coordenadas x, y, z, correspondien-
tes á los puntos A,, 4;, Az, Aj.

De donde resulta que el primer paréntesis, no es más que
el resultado de la diferenciación de L, =0, por relación á
todas las x, y, z; luego si las variaciones de estas cantida-
des han de ser como exige el teorema, compatibles con los
enlaces, es preciso que todo el paréntesis sea igual á cero,
y lo mismo podemos decir de la segunda línea; en suma,

Ta, AT Das le Ta, ale Ta, 8 O.

Que es, como si dijeramos, que las fuerzas de los enlaces
satisfacen al principio de las velocidades virtuales.

— 174 —

Y de la ecuación
(Xx + Y0y + Z092)+ Ta, +T4,+TA,+Ta,=0

no quedará más que

E (X5x + Y óy + Zóz) =0;

es decir, que la suma de los trabajos virtuales de las fuerzas
que directamente actúan sobre el sistema, es igual á cero
para todas las velocidades virtuales compatibles con los en-
laces.

La proposición directa, queda, pues, demostrada.

La recíproca se demuestra ya con suma facilidad.

Es decir, si la suma de los trabajos virtuales de las fuer-
zas F que directamente actúan sobre el sistema es ¿gual á
cero para todos los desplazamientos ó velocidades virtuales
de los puntos compatibles con los enlaces, el sistema estará
en equilibrio.

En efecto, supongamos que no lo estuviera, de suerte que
el sistema de fuerzas F fuera capaz de determinar un movi-
miento, cuyas velocidades iniciales podemos suponer que
son cero, porque sólo tratamos de estudiar el efecto de
las fuerzas F.

Se concibe sin dificultad que á cada punto se le pueda
oponer una fuerza que impida su movimiento, y llamemos D
á este sistema de fuerzas; resulta, pues, que el sistema F y
el sistema de fuerzas Y están en equilibrio, luego en virtud
de la proposición directa ya demostrada, puesto que el sis-
tema está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas F y 0,
tendremos:

— 175 —

trabajos virtuales de F + trabajos virtuales de Dd = O.

Mas por la hipótesis del enunciado,

trabajos virtuales de F= 0;
luego

trabajos virtuales de Dd = 0,

Pero esto es absurdo, porque las fuerzas que forman el
sistema D se oponen al movimiento todas ellas; luego todas
efectúan trabajos negativos y la suma de cantidades negati-

« vas no puede ser igual á cero.

A esta última demostración se puede objetar que acaso el
movimiento del sistema no sea compatible con los desplaza-
mientos virtuales, lo cual sucedería si en las ecuaciones de
enlace entra el tiempo.

Pero es imposible que nos detengamos más en esta ma-
teria.

Diremos tan sólo que puede seguirse un orden inverso
del seguido para el Teorema directo.

Para demostrar que si se tiene L(X5x + Yoy + Zoz)=0
para todos los desplazamientos compatibles con L, = 0,

A Y el sistema está en equilibrio, recordaremos
A E A UN E A expresan que las
variaciones 0X, 0y,0Z ..... satisfacen á los enlaces para

un instante dado y podemos establecerlas desde luego.
Pero también expresan sumándolas, que la suma de los

trabajos virtuales de las fuerzas de los enlaces es nula.
Agregando

A E
S(XBx + Y 3y + Ziz)=0,

resultará

Rrv. Acap. Crewcias.—V.—Octubre, 1906. 12

— 176 —

S (Xx +4 Y ty 4282) E Tae Ta, + Tal EN

y esta es la ecuación de las velocidades virtuales cuando los
puntos están libres y para ella la recíproca es cierta.

Claro es que suponemos f constante como indicamos
antes.

Digamos, pues, rápidamente para concluir, que del princi-
pio de las velocidades virtuales, se pueden deducir en cada
caso de aquellos á los cuales es aplicable, las condiciones de
equilibrio del sistema.

Supongamos que el sistema contiene n puntos, lo cual
dará 3 n coordenadas.

Supongamos que el número de ecuaciones de enlace es m,
siendo m < 3 n, porque si no bastarían las ecuaciones de en-
lace para fijar los puntos, con independencia de las fuerzas,
y aun cabe que fueran incompatibles.

La ecuación que expresa el principio de las velocidades
virtuales, será lineal respecto á las variaciones de x, y, 2, y
contendrá 3 n términos en €x, 2y, 92..... cuyos coeficientes
serán las componentes de las fuerzas, según hemos visto.

Pero estas variaciones de x, y, z, no son independientes,
porque han de satisfacer á los enlaces; es preciso que elimi-
nemos las que son dependientes en función de las indepen-
dientes.

Para ello, diferenciaremos las ecuaciones de los enlaces
que darán mm ecuaciones lineales en 2x, 0y, 0Z,....

De ellas deduciremos m en función de las 3n — m res-
tantes, y eliminando aquéllas en función de éstas, de la
ecuación fundamental, nos quedará una ecuación lineal de la
forma

— 177 —

en que 3Xp, 9Jp, 9Zp»...., Serán ya variaciones independientes,
porque las otras han sido eliminadas, y las H serán funcio-
nes de los datos, es decir, de las fuerzas y de las coordena-
das, así como de las constantes que entran en las ecuaciones
de enlace,

Siendo ya independientes las variaciones de Xp, Yp, 2p»».*
podemos igualar todos los coeficientes á cero, y tendremos
para las condiciones de equilibrio

Esto es evidente, porque siendo arbitrarias é independien-
tes entre Sí 5Xp, 0Jp, 0Zp..... podemos igualar á cero todas
menos 06x,, por ejemplo, y quedará

Ho 0;

que no puede verificarse siendo arbitraria 6x, más que por
/

=>:

y lo mismo diríamos de los demás coeficientes. A estas ecua-
ciones agregaremos las de los enlaces y tendremos tantas
ecuaciones como incógnitas, según vimos antes. Resulta,
pues, que el principio de las velocidades virtuales tiene en
la Mecánica extraordinaria importancia para todos aquellos
casos en que existen enlaces.

En la conferencia próxima aplicaremos este principio á los
problemas de Dinámica; demostraremos el teorema de Ha-
milton, y de él deduciremos las célebres ecuaciones de La-
grange, que son de gran aplicación en muchos problemas
de Física matemática.

— 178 —

IX.— Las disoluciones sólidas.

POR JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO.

IV

De algunas disoluciones amortfas.

Juzgando, en vista de los hechos conocidos y de los ex-
perimentos realizados, cuyo número es al presente harto li-
mitado, se comprende que, de momento á lo menos, no es
posible fundar una doctrina general respecto de las disolu-
ciones sólidas. Quizá las isomorfas, en determinados casos,
se rigen por ciertas leyes, que establecen las cantidades re-
lativas de los componentes, permitiendo asimilarlas unas
veces á las disoluciones líquidas ordinarias y otras veces á
mezclas de líquidos de diferentes densidades, conforme que-
da explicado en el curso del presente trabajo; pero en las
amorfas no acontece lo propio, ya porque su estudio se ha
limitado á algunas singulares, constituidas por la oclusión
de un gas, inherente á la formación de aquellas combina-
ciones á las que sirve de tipo el hidruro de paladio, 6 se ha
encaminado á determinar los modos de formarse y las cons-
tantes adquiridas al unirse los metales y difundirse unos en
otros, generando las aleaciones metálicas, de las cuales hay
gran copia y su considerable número va todavía creciendo y
reciben á cada momento mayores aplicaciones industriales,
fundadas precisamente en las propiedades generadas por la
conjunción de sus elementos.

Únese á lo dicho la circunstancia de las variaciones de la
concentración, no dependientes sólo y en absoluto de la
temperatura, aunque con ella aparecen ligadas, y los esta-

— 179 —

dos iniciales de los componentes de la disolución sólida, lo
cual permite establecer cierto linaje de agrupaciones, cuya
conveniencia es notoria para su estudio. Cabe afirmar que
las condiciones del sistema definitivo se relacionan con las
primitivas de las substancias que lo forman, aun resultando
muy homogéneo, y esto de modo bastante general y debi-
do á ello, en cada caso júzgase menester tener muy presente
tal circunstancia, que es especial en los fenómenos de la
oclusión de gases en masas sólidas metálicas, 6 en la absor-
ción de materias colorantes, principios amargos y astringen-
tes por el carbón animal, y se ha de señalar, en los prime-
ros fenómenos, la influencia de la presión, que en los otros
para nada interviene, y el hecho podría establecer ciertas
diferencias de las disoluciones sólidas, marcadas por el es-
tado inicial de los cuerpos que en ellas entran.

Limitando los casos dependientes del estado físico ini-
cial de los elementos del sistema, debe considerarse, tra-
tándose sólo de dos cuerpos para mayor sencillez: cuando
uno de ellos es líquido ó si los dos tienen semejante condi-
ción, si alguno es gaseoso Ó si ambos conservan durante la
metamorfosis el estado sólido, aun cuando para realizar su
mutua difusión sea preciso que intervenga el calor elevan-
do la temperatura, se empleen fundentes, ó se necesiten subs-
tancias volátiles á modo de vehículo que reparte en la masa
del disolvente, hasta saturarlo, el cuerpo destinado á ser di-
suelto. Ya se dijo, tocante á la primera clase de disoluciones,
que son sin duda aquellas en las que resulta más perfecta la
homogeneidad del sistema final; pues su mecanismo redúce-
se á simple fusión de los componentes, y conforme sea la ac-
ción del calor, así se constituye una combinación definida,
capaz de disolverse en el exceso de alguno de ellos, según
acontece en las aleaciones metálicas normales y en las difu-
siones de ciertos metales en la masa de otros, cuyo efecto se
traduce en la modificación, por ¡o general bastante intensa,
de las cualidades del disolvente, propiedad grardemente

— 180 —

aprovechada, sobre todo en la fabricación y producción de
aceros particulares.

Viniendo ahora á otra especie de disoluciones sólidas, en
las que uno de los componentes es líquido en el estado ini-
cial, acaso pudieran considerarse tales, y en mi entender de
de las más perfectas, ciertos hidratos salinos, ricos de agua,
en general poco estables y en nada se opone á ello su con-
dición de combinaciones químicas definidas. Para opinar así
me fundo en las variaciones y cambios de la tensión super-
ficial, inherentes á la eflorescencia de varios de estos hidra-
tos, que precisamente se forman con absorción de calor y
por ello han recibido limitadas aplicaciones en algunos ca-
sos. A mi ver, el agua retenida, á veces en considerable can-
tidad, Ó interpuesta entre las moléculas salinas que en ella
son solubles y que puede abandonarlas espontáneamente en
una atmósfera seca, Ó interviniendo temperaturas, nunca
muy elevadas, está sólida y forma con la materia de las sa-
les una masa continua y homogénea; quizá no sea, en rigor,
perfecta combinación química y mejor represente cierto es-
tado particular de un sistema de equilibrio correspondiente á
la disolucion sólida inestable, en el que un hidrato salino
perfecto y definido se difunde en el exceso de uno de sus
obligados componentes.

Mirando los hechos con semejante criterio, al punto apa-
recen los parentescos de las disoluciones sólidas que se
consideran con las aleaciones metálicas, en cuanto á la ma-
nera de estar constituidas, siquiera los sistemas de que se
habla presenten particular inestabilidad y la mayoría de ellos
se caractericen precisamente atendiendo á los cambios de la
tensión superficial que reconocemos por causas de la eflo-
rescencia. De esto hay una prueba en el hecho bien sabido
de que tal propiedad puede ser aminorada y aun eliminada
introduciendo en el sistema otro cuerpo sólido: el sulfato de
cálcio, por ejemplo, es soluble en el sulfato hidratado de
sodio, sal muy eflorescente, y antes de constituir la típica

3
1
:

z

— 181 —

glauberita, correspondiente al sulfato doble normal, ya el
cuerpo nuevamente constituído es capaz de permanecer en
contacto del aire, no sin cubrirse de blanco polvillo, indicio
cierto de la pérdida de agua, ni alterarse en nada la cohe-
sión de sus partículas. Este es el régimen más general cuan-
do uno de los componentes es sólido y el otro líquido, de-
biendo ambos pasar por este último antes de constituirse el
equilibrio final, considerado más estable ó definitivo, y en-
tonces la homogeneidad, característica principal de la disolu-
ción sólida, es perfecta y sus alteraciones traen por conse-
cuencia la formación, casi siempre parcial, de otros sistemas
con el primitivo relacionados.

Ya determina fenómenos distintos el ser gaseoso el es-
tado inicial de uno de los elementos, permaneciendo el otro
sólido. Pudieran asimilarse á este género de disoluciones
sólidas determinados hechos de apariencias singulares, que
no son, en rigor, difusión de un gas en un sólido, sino
mejor condensaciones de grandes volúmenes gaseosos en
masas relativamente pequeñas de cuerpos sólidos, formando
ciertamente agregados homogéneos, como puede serlo el
carbón vegetal saturado de gas amoníaco, siquiera en oca-
siones prodúzcanse fenómenos de incandescencia, de los
cuales es típica la de la esponja de platino que ha absorbido
hidrógeno hasta saturarse. Ocurren aquí no pocas variacio-
nes, porque entra é interviene en el hecho el factor presión,
capaz de provocar y llevar á término reacciones químicas
considerables cuando el cuerpo sólido que consideramos di-
solvente es de naturaleza metálica, y harto sabido está, que
al igual de las superficies cubiertas de negro de humo, aun
á la presión ordinaria, no sólo los gases, en particular los
menos densos, son retenidos en la superficie de los metales,
sino que penetran en su masa y allí permanecen adheridos,
aunque no siempre con los caracteres peculiares de los ele-
mentos de una disolución sólida.

No sería aventurado asignará semejantes agregados, re-

— 182 —

sultantes de la difusión de gases en sólidos, la condición de
estados preparatorios de aquellas otras disoluciones repre-
sentadas por diferentes hidruros, cuyo génesis depende de
las presiones á que el sistema haya estado sometido, y
también de la temperatura, por más que las relaciones en-
tre ambos factores y las cantidades de gas absorbido no
sean regulares ni constantes. Quiero así indicar cómo, al
cabo, es menester establecer diferencias entre la verdadera
oclusión, perteneciente á la categoría de las disoluciones só-
lidas y estas otras propiedades de retener gases, dependien-
tes, en gran parte, del estado de agregación molecular de
las materias que de ellas gozan; en realidad no son ni diso-
luciones, ni verdaderas mezclas; pero no me parecen, como
opinan varios autores, fenómenos enteramente superficia-
les, aunque las disminuciones en la presión ó los aumentos
de la temperatura permitan eliminar los gases absorbidos y
retenidos en la masa sólida, porque lo propio acontece en los
casos de oclusión; ni tampoco son más estables los verdade-
ros hidruros metálicos, en particular los ricos de hidrógeno.
Hay, por lo tanto, variados modos de unir gases y sólidos
en sistemas homogéneos, sólidos también, y cada uno de
ellos tiene sus caracteristicas, que van cambiando y trans-
formándose, desde el estado inicial, hasta que se determina
el equilibrio de mayor estabilidad, el cual no siempre corres-
ponde á combinaciones químicas normales, ni siquiera es
preciso que sea verdadera disolución sólida.

Ahora se sabe cómo las condiciones externas influyen en el
fenómeno de que se trata, el cual por ellas resulta bastante
complejo. Es general el que los cuerpos sólidos, aun los de
más compacta estructura, retengan gases; en las superficies
mejor pulimentadas se adhieren y permanecen unidos y
como condensados y en varias substancias penetran su masa
y en ella se difunden sin que los obliguen energías extrañas.
Cuando intervienen en especial la presión y la temperatura,
las cosas pasan de distinto modo; las penetraciones del gas

Ed

— 183 —

en el sólido son más profundas, su unión más intima, al
punto de que llegan á generarse por tales modos combina-
ciones químicas definidas, casi siempre poco estables; pues
son manifiestas en el gas las tendencias á abandonar el sóli-
do que lo retiene, en cuanto cesan ó pierden intensidad aque-
llas energías que lo obligaban á permanecer condensado en
torno de las partículas de una masa rígida y resistente á ser
penetrada por otra más sutil.

Observaron muy bien el caso los que últimamente estu-
diaron las mutuas acciones del paladio y del hidrógeno, á
cuyo propósito cita Van'T Hoff, dándoles cuanta importan-
cia tienen, muy singulares experimentos, siendo su objeto
determinar si á la temperatura de 150” y variando la presión
desde 26 """"., 2 hasta 1300 "”., 6 de mercurio, las relacio-
nes de los incrementos de la presión con los volúmenes de
gas absorbidos, seguían una ley constante, hasta alcanzar el
máximo, correspondiente á la formación del cuerpo HPd.,
que requiere para constituirse cierto intervalo de presiones
constantes. De las medidas llevadas á cabo resulta que las
citadas relaciones distan bastante de ser sencillas y varían
con la temperatura y es de suerte que, en realidad, no existe
una sóla y única combinación típica del hidrógeno y el pa-
ladio de la manera dicha formada, sino que coexisten dos Ó
más disoluciones sólidas distintas constituidas por los cita-
dos cuerpos, las cuales, en cuanto á su composición y es-
tructura, se asemejan á aquellas agrupaciones especiales que
se distinguen y relacionan, teniendo cada una su propia y
característica individualidad, en la masa de los hierros y ace-
ros especiales, tan utilizados en la industria; por donde
advertimos que si el régimen es distinto y el estado final del
sistema depende, en mucha parte, del estado inicial de cada
uno de los componentes del mismo, algo hay de común y
general en las disoluciones sólidas, sea cualquiera la catego-
ría y la clase á que pertenezcan.

Bien notado es cuando se indagan las conexiones, en apa-

sis MO

riencia remotísimas entre la difusión de los gases en los sóli-
dos y aquellas penetraciones de masas fundidas á elevadísi-
mas temperaturas, acaso impulsadas por vapores proceden-
tes de su misma disociación térmica parcial, en otras ya
consolidadas y que presentan enorme resistencia, pero que
al cabo ceden, llegando á disolver 6 á disolverse en la ma-
teria liquidada invasora, fenómeno originario de bastantes
rocas ígneas. Como en los ejemplos anteriores, en tales ro-
cas pueden existir á la vez distintas disoluciones sólidas, se-
gún en los hidratos salinos coexisten de la propia manera y
condicionadas por las mismas circunstancias del medio exte-
terior; pues no son iguales las tensiones de un hidrato etlo-
rescente en la superficie y en las capas más interiores de sus
cristales y así se compara á las zonas sucesivas, de densi-
dades distintas, formadas por dos líquidos que se mezclan
uniéndose poco á poco.

Pretender desde luego, sin mayores datos experimentales
y sin otras relaciones que las de semejanza por razón de la
homogeneidad de la estructura y acaso el mecanismo de la for-
mación, que pudiera implicar cierta analogía en los sistemas
constituidos, buscarlas Ó establecerlas intimas y más gene-
rales, júzgolo aventurado, á no ser para el grupo de las
aleaciones metálicas, tan bien estudiado y conocido á la hora
presente. En las otras disoluciones sólidas, especialmente
tratándose de algunas amorfas, se requiere todavía el estu-
dio individual, sobre todo cuando se consideran aquellas cu-
yos elementos, siendo sólidos en el estado inicial, no lo cam-
bian durante las sucesivas transformaciones hasta generar el
sistema definitivo, que se alcanza apelando á medios mecá-
nicos, á temperaturas elevadas y al arrastre de la materia so-
luble por medio de un cuerpo volátil que la difunde y repar-
te en el disolvente, el cual permanece sólido, y es singular
que las disoluciones resultantes tienen actividades propias
suyas, de las cuales carecen los componentes, no pudiendo
tampoco adquirirlas por sí mismos de otras maneras. For-

— 185 —

maron el objeto de mis trabajos algunas de estas disolucio-
nes amorfas, las cuales pueden calificarse con propiedad de
especialmente activas. Son, de ordinario, agregados bastante
complejos, de los que considero partes principales la estruc-
tura y la homogeneidad de la masa y en ocasiones los carac-
terizan asimismo las reacciones químicas, limitadas y rever-
sibles, que pueden experimentar por influjo de causas exter-
nas y lo mismo tal cualidad que aquella otra en cuya virtud
semejantes disoluciones sólidas provocan y llevan á cabo
determinados cambios, se diputan manifestaciones propias y
características de sus actividades.

Conviene precisar lo que hay de general y común en las
disoluciones sólidas de que hablo, buscando en primer térmi-
no sus enlaces y conexiones, á cuyo fin será menester tratar
por separado los disolventes, su capacidad, las materias ac-
tivas y el mecanismo de su difusión hasta conseguir los sis-
temas definitivos y homogéneos, representados por las diso-
luciones saturadas con sus propiedades especiales. De tal
modo será facil luego el darse cuenta de ellas y hasta cierto
punto medirlas, apreciando sus relativas intensidades por las
actividades que manifiestan 6 examinando las modificaciones
ulteriores de que son susceptibles.

Quizá lo que mejor determina las relaciones de los disol-
ventes con las substancias calificadas de activas, es su ab-
soluta y total indiferencia química á la temperatura ordina-
ria; así pueden mezclarse todo lo íntimamente que se quie-
ra, hasta lograr masas de absoluta uniformidad, el yeso y el
compuesto manganoso que Lecoq de Boisbaudran empleaba
en sus experimentos, limaduras de cinc con limaduras de
cobre ó sulfuros puros de bario, estroncio, y calcio con sub-
nitrato de bismuto, carbonato de manganeso ú Óxido de ura-
nio, que ni los primeros se volverán luminescentes en el va-

— 186 —

cío mediante la influencia de las descargas eléctricas, ni Se
constituirá el par cinc-cobre, ni los citados sulfuros se tor-
narán fosforescentes bajo la acción directa de la luz. Re-
quiérese en los tres casos la intervención del calor, distinta
conforme se verá en cada uno y verdaderamente específica,
determinada por la proporción y capacidad de los disol-
ventes. Generalmente se emplean en gran exceso y la ra-
zón está en que, fuera de bien contados casos, se saturan
pronto, y conteniendo mayores cantidades de cuerpo disuel-
to, Ó se producen verdaderos fenómenos de sobresaturación,
ó el régimen de la difusión entre sólidos se modifica, pu-
diendo manifestarse con cierta intensidad determinadas ac-
ciones químicas, muy diferentes de las que, incompletas y
reversibles, se efectúan en los casos de fosforescencia pro-
vocada por la luz; así se demuestra la influencia directa de
las respectivas masas de los elementos de la disolución só-
lida, y en el hecho me fundo para clasificar de tales algunas
mezclas singulares, de éstas calificadas de activas, no sién-
dolo los componentes; pero que retroceden al estado inerte
ó indiferente primitivo en cuanto son modificadas las condi-
ciones del sistema formado, sin que esto implique inestabi-
lidad en las disoluciones, cuando suelen distinguirse por lo
contrario y porque en ellas permanecen, con carácter de gran
fijeza, las cualidades de la actividad adquirida.

De la naturaleza de los disolventes diré sólo que es muy
variable, y así pueden estar constituídos por un metal puro,
como formarlos cuerpos binarios y combinaciones salinas
de las que no son solubles en el agua. Y ha de añadirse, to-
cante á los primeros, que deben ser de los fusibles á tempe-
ratura elevada, y respecto de los segundos, que se exclu-
yen los compuestos hidratados y los fusibles, cristalizables
y volátiles, á no ser que sus cambios de estado físico y sus
disociaciones se realicen más allá de los 2.000”; cuyo límite
alcanzado, ya no son posibles las disoluciones sólidas ac-
tivas de ninguna clase.

— 187 —

Resultando nula la capacidad del disolvente á la tempera-
tura ordinaria, á no ser en los contados casos en que inter-
vienen presiones considerables, se comprende la necesidad
de las acciones del calor, porque en frío las materias activas
Ó activantes, según quiera llamárseles, son prácticamente
insolubles y aun en caliente se ha menester muchas veces
del auxilio de fundentes, fijos ó volátiles, que contribuyan
á difundirlas en la masa del disolvente. Ocurre partir de
éste ya formado y constitúyenlo entonces substancias de
gran fijeza, dotadas de escasas energías químicas, como las
empleadas en los experimentos de Lecoq de Boisbaudran
y William Crookes, ó metales puros, á ejemplo del cinc
bastante dividido, y también puede suceder que se forme
mediante reacciones químicas, y al constituirse se apropie y
disuelva las substancias activas, conforme acontece al obte-
ner los sulfuros fosforescentes de bario, estroncio y calcio, y
tales hechos permiten establecer, atendiendo al disolvente,
tres categorías de disoluciones solidas amorfas, dentro de la
clase de las que tienen propiedades muy distintas de las ca-
racterísticas de sus componentes y cualidades de cierta fije-
za, que sólo cambian ó desaparecen cuando el disolvente ha
experimentado determinadas modificaciones químicas.

Es evidente la influencia de la temperatura en la capaci-
dad de los disolventes, por más que sus incrementos no se
relacionen, de modo indefinido, con los de aquélla, y hay un
límite, no marcado precisamente por el estado de saturación
sino por el calor, á partir del cual la existencia de las diso-
luciones no es posible, y comienzan á separarse unas veces
y otras á modificarse sus componentes y las actividades ad-
quiridas. Llamando D á un disolvente cualquiera, A, A, h, A,
A,..... Ain á los incrementos de su capacidad, á partir del es-
tado primitivo de inercia R, y fy t, f, fz £,..... f, á la serie de
las temperaturas, tendremos que la capacidad máxima C no
corresponde á la temperatura máxima f,, y que las disolucio-
nes más activas pueden ser formadas antes de alcanzarla,

admitiendo el sistema uniforme y homogéneo y constituído
por un solo agregado del disolvente y la materia activa, por
donde se llega á admitir que las disoluciones sólidas en que
me ocupo sólo hasta cierto punto son función exclusiva de
la temperatura, aunque siempre sea necesario el calor para
formarlas, y acaso las actividades de que participan deban
considerarse á modo de consecuencia de acciones térmicas, á
las cuales son asimismo atribuíbles los cambios de estado
que experimentan los elementos del sistema.

Suponiendo representadas la capacidad del disolvente y la
temperatura por dos líneas rectas, definida la primera por los
puntos RC, en este último, correspondiente al incremento
h,, se encontrarán las rectas y la de la temperatura conti-
nuará separándose cada vez más del límite ó conjunción de
los dos términos: el punto C es considerado, por lo tanto, á
modo de punto crítico del sistema y no porque marque la
saturación del disolvente, sino la máxima actividad de la di-
solución. Manifiéstase con ello que aun cuando ésta depende
al cabo del calor, no está en razón directa de la temperatura,
ni siquiera en aquellos casos en los que el disolvente obra
como tal en el momento de ser formado mediante reacciones
químicas llevadas á cabo al rojo vivo, y adviértese cómo
no pocas veces resultan disoluciones sólidas sobresaturadas,
singularmente activas y dotadas de grandísima impresiona-
bilidad, y es notable que en ninguna del género se corres-
pondan A, y tn, dependiendo en mucha parte los valores
de h con relación á los incrementos de f de la propia natura-
leza del disolvente y de las calidades de la materia activa.

Fácilmente se entiende cómo no siendo directamente pro-
porcional á la temperatura la saturación, tampoco pueden
serlo los sucesivos estados de concentración. Llega á relacio-
narse el hecho con la absorción del hidrógeno por el paladio,
en la cual se advierte cómo los volúmenes de gas difundi-
do en el metal no son tampoco proporcionales á las pre-
siones, y antes bien, la proporcionalidad se establece entre

— 189 —

éstas y el cuadrado de las concentraciones sucesivas de la
disolución, y aunque los elementos del sistema son aquí dis-
tintos y no se trata de presiones sino de temperaturas, hay
cierta analogía entre los mecanismos de los cambios y los
estados finales de equilibrio. Alcanzado el límite C con su
máxima actividad A ,, la capacidad del disolvente disminuye
al punto y hasta se anula volviendo al estado inicial de indi-
ferencia, y aunque por rara singularidad al acercarse los in-
crementos de la temperatura al límite f, aumentase la canti-
dad de materia disuelta hasta llegar á la saturación comple-
ta, no por eso crecerían en intensidad las actividades de la
disolución sólida, antes por el contrario, se extinguirían Ó se
originarían acciones químicas entre el disolvente y el cuerpo
disuelto, de indole semejante á las manifestadas cuando se
somete á temperatura excesiva el sulfuro de estroncio acti-
vado por el subnitrato de bismuto.

Tienen, por consiguiente, las disoluciones sólidas activas
su punto crítico, especial de cada una, determinado por la
temperatura, mas no correspondiente al estado de saturación
completa, sino á concentraciones particulares. Obsérvase, al
obtener el par cinc-cobre, cómo, si la temperatura es tal que
llegue á iniciarse la fusión del primero, la disolución no re-
sulta activa y, sin embargo, todavía la capacidad del disol-
vente, considerando tal el cinc, recibe nuevos aumentos y
en su masa continúan difundiéndose nuevas proporciones
de cobre, y demuéstrase que si la actividad máxima de-
pende de la temperatura, está también ligada á los valores
de los términos de la relación Ed en este caso particular,

Cu
y así venimos á admitir que las actividades de las disolu-
ciones sólidas son, á la vez, función de la temperatura y
función de las masas del disolvente y de la materia disuelta.
Con tales datos es posible determinar, en cierta medida, al-
gunos valores numéricos, no siempre suficientes, para pre-
ver las condiciones de los agregados moleculares resultantes.

A a o

Guardan, al parecer, escasas conexiones las propiedades
adquiridas con la manera de desarrollarlas, puesto que las
modificaciones que representan son estables y adquieren
cierto carácter de permanencia. Obtenida la disolución só-
lida activa, no suele manifestar sus aptitudes, á no ser por
excepción, á la misma temperatura que se constituye, sino
á la ordinaria; la luminescencia del agregado (SO, Ca)
(O; Mn,) no se manifiesta al rojo, y lo propio acontece con
las energías del par (Zn) == (Cu) y la fosforescencia de los
sulfuros metálicos que la presentan, y antes, por el contra-
rio, prolongando las acciones del calor resultan, conforme
ya se ha indicado, cuerpos inertes y de ninguna manera ex-
citables. Realizadas las difusiones en que me ocupo, proce-
den de ellas compuestos estables, aptos para provocar de-
terminadas acciones químicas Ó sensibles á la influencia de
variadas excitaciones; modificándose de distintos modos, sin
que los cambios sean permanentes y conservando, al térmi-
no de ellos, las aptitudes adquiridas y en ocasiones con
progresivos aumentos de intensidad y de excitabilidad. Se-
gún esto, el punto crítico corresponde al momento de adqui-
rir las nuevas propiedades y se determina, tanto por la tem-
peratura, como por las relaciones de las masas de los cuer-
pos, de cuya conjunción resulta la disolución sólida homo-
génea y de estructura uniforme, que á veces suele ser bas-
tante alterable en contacto del aire.

Unense á las influencias de la temperatura y con ellas se
relacionan, para los efectos de la actividad de las disolucio-
nes sólidas amorfas estudiadas, las de las masas relativas de
los elementos del sistema y tocante á ello bien será exami-
nar las dependencias mutuas de las mismas, advirtiendo pri-
meramente cómo las cantidades de materias activadoras son
de continuo exiguas, y aun basta muchas veces que haya en
los disolventes sólo trazas 6 indicios de semejantes substan-
cias para que se manifiesten las energías y propiedades ad-
quiridas, después de haber sostenido algún tiempo, variable

AAA AN

— 19 —

en cada caso, la temperatura del rojo vivo, Esto lo tengo
bien observado en el sulfuro de estroncio fosforescente cuan-
do trataba de determinar las proporciones mínimas eficaces
de los cuerpos disueltos, tocante á su impresionabilidad para
la luz difusa, y he visto que tal aptitud, en su grado máximo,
no siempre corresponde á los perfectos y completos estados
de saturación de las disoluciones.

Habida cuenta de esta observación general, se comprende
en seguida cómo la masa del disolvente ha de exceder en
mucho á la del cuerpo disuelto: en los experimentos de Le-
cog de Boisbaudran, tantas veces recordados, las relaciones
de mayor eficacia eran

SO, Ca 100
SO, Mn 1

,

y también con

CO, Ca 100
Mad

conseguía productos en los que empezaba á determinarse el
fenómeno de la luminescencia, llegado al máximo cuando la
relación de las masas era

SO, Ca 20
SO, Mn 1

y en otros experimentos producía los mejores efectos con
mezclas distintas, de las que son típicas estas dos:

(SO), Hto — 100

SO, Mn-- 2

(SO,); ff, 100
(SO) Bi, 2

Rev. Acap. Ciencias. —V.—Octubre, 1906. 13

— 192 —

contando solo las disoluciones binarias y no recordando las
demás combinaciones posibles entre substancias activas y
disolventes inertes. De mi parte he considerado típico y sin-
gular el sulfuro de estroncio, cuyo sistema inicial, prescin-
diendo del fundente, corresponde á la relación

Os. 3% 2100

Subnitrato de Bi — 0,015 ”

y en los de bario y calcio, aunque las relaciones sean dife-
rentes, de continuo se ha notado lo propio. Podrán variar
entre límites tan cercanos como se quiera estas proporcio-
nes; pero su influencia es evidente, y así lo tengo demostra-
do en anteriores estudios, respecto del color é intensidad de
la fosforescencia de diversos sulfuros metálicos y en los gra-
dos de su impresionabilidad por la luz; al cabo son disolu-
cionos sólidas en las cuales acaso la materia activa desem-
peñe funciones análogas á las del manganeso en las oxida-
sas y la luminescencia, con las reacciones químicas anejas,
limitadas y reversibles, quizá parezca indicio de transforma-
ciones más importantes y transcendentales que comienzan á
ser definidas é investigadas.

Valiéndome del sistema consistente en disminuir gradual-
mente las cantidades de la substancia activadora disuelta, es
como he llegado á fijar las proporciones en las que su efica-
cia alcanza los puntos extremos mínimo y máximo, y ocu-
rrióme repetidas veces no poder casi apreciar diferencia en-
tre ellos y son precisamente las disoluciones sólidas capaces
de más intensa luminescencia y dotadas de grandísima sen-
sibilidad las que mejor y con mayor frecuencia presentan se-
mejante hecho: tales algunos sulfuros de calcio, que produ-
cen magnífica fosforescencia de color violeta, en cuyos cuer-
pos la relación de las masas es

S:C.a-— 100: ;
O, Bi, — 0,001 '

— 193 —

pero á condición de que el compuesto cálcico (OCa en mis
experimentos) proceda de una primera materia que conten-
ga siquiera una traza de manganeso, conforme acontecía al
mármol utilizado en el caso referido, que no constituye ex-
cepción poco frecuente.

Importa notar cómo, á semejanza de lo que acontece en
las aleaciones metálicas y en conocidos productos metalúr-
gicos, lormada una de estas disoluciones sólidas en que me

ocupo y á las cuales llamaré definidas, es posible diluirla

aumentando notablemente las proporciones de los disolven-
tes, en particular si son fusibles, á ejemplo del fluoruro de
calcio, no experimentando considerables disminuciones la
actividad, ni anulándose sino cuando los dichos aumentos
son bastantes veces mayores que las primitivas cantidades
del disolvente y las cosas pasan de suerte que la primera di-
solución inicial saturada parece actuar de materia activa en
las siguientes. De igual modo la combinación definida de
dos metales se diluye en exceso de uno de sus componentes
y cambia alguna de sus peculiares cualidades. Lo propio
sucede si á la disolución sólida activa se añade otro disol-
vente distinto del suyo, ya sea que pueda formar con la
substancia disuelta nueva disolución también activa, ya sea
inerte Ó indiferente respecto de aquélla; y en lo primero se
está en uno de los casos generales de las mezclas fosfores-
centes, sistemas bastante más complicados en los cuales las
proporciones del cuerpo activo actúan como si se dividiesen
y fraccionasen con arreglo al no determinado coeficiente de
solubilidad en cada uno de los medios sólidos, coexistien-
do en realidad dos disoluciones sólidas, y tocante á las lu-
minescentes que tengo investigadas, el matiz y la intensidad
de la fosforescencia marcan al punto cuál es la predominan-
te, suponiendo iguales las masas de los disolventes y siendo
una sola la materia activa que en ellos se haya difundido.

Y se comprende en tal sentido, á lo menos en el caso de
los sulfuros fosforescentes, que las diluciones han de tener

— 19 —

un límite, tanto más alejado, cuanto mayor es la actividad
de la disolución primitiva, manifestada con intensa y persis-
tente fosforescencia apenas recibe débiles y directas impre-
siones de la luz. En otros cuerpos análogos, pero que la
producen de distinta manera, la extinción total de la lumi-
nescencia y la pérdida de la actividad adquirida, que es su
causa, se alcanzan pronto añadiendo exceso de disolvente,
ó haciendo que se forme en grandes proporciones y en su
masa se reparta la substancia reputada activa, y así he lo-
grado, usando los mismos elementos de disoluciones muy
activas, otras inertes é indiferentes, con sólo aumentar lo
necesario las cantidades del cuerpo considerado disolvente.

Jamás se presentan las variaciones indicadas cuando se
hacen mayores las del cuerpo disuelto. Partiendo, como es-
tado inicial, de un sistema cuya actividad alcanza el máxi-
mo y que no corresponde á la saturación completa, no pue-
de añadírsele de ninguna manera la proporción de substan-
cia activa necesaria para llegar á ella, que lejos de acrecer
aquélla cualidad, la anula, aun sin llegar á satisfacer la capa-
cidad del disolvente. Repetidas veces lo he demostrado cam-
biando todo lo posible las circunstancias del experimento,
pudiendo fijar las proporciones necesarias de materia disuel-
ta para conseguir la actividad minima; logré aumentarla aña-
diendo poco á poco exiguas cantidades de la misma y al-
cancé pronto el máximo, en el cual no siempre estaba la di-
solución saturada, y pasado este límite nuevas adiciones de
cuerpo activo determinaban notables disminuciones en la in-
tensidad de la luminescencia, la solución perdía rápidamen-
te su impresionabilidad respecto de la luz y no tardaba en
volverse en absoluto indiferente, y todavia más pronto, si á
las sucesivas adiciones síguese el calentar á temperatura
elevada las mezclas homogéneas resultantes. De aquí se de-
duce el admitir, para las disoluciones sólidas luminescentes
que en gran número he estudiado, que su actividad en los
diferentes grados hasta alcanzar el máximo, corresponde á

— 19) —

determinados estados de concentración, en los cuales entran
por mucho la temperatura necesaria para formar los agrega-
dos y la naturaleza de los componentes del sistema, en la que
radican las diferencias específicas de la fosftorescencia de los
sulfuros alcalinoterrosos capaces de presentarla, empleando
materias activas de distintas clases, que son á veces tan
inertes, desde el punto de vista químico, como varios óxidos
metálicos indiferentes.

A condiciones inherentes de su propia naturaleza es me-
nester atribuir, en semejante orden, la eficacia del subnitrato
de bismuto tocante á la fosforescencia y sensibilidad para la
luz del sulfuro de estroncio y que no es igual respecto de los
sulfuros de bario y calcio, conforme la intensidad del fenó-
meno, el color de la luminescencia y los modos de presen-
tarse varían no poco si el compuesto bismútico es sustituido
con otros de manganeso, uranio, torio y aun cobre. Demués-
tranlo cumplidamente los hechos que he investigado en el
largo tiempo que me ocuparon los estudios de la fostores-
cencia, que tanto se relacionan con las disoluciones sólidas
amorfas y homogéneas.

Ligan todavía más las propiedades de semejantes agre-
gados con la naturaleza de los elementos constitutivos del
sistema, los mecanismos de su formación, nada complicada
sino en determinados casos, más adelante considerados;
pero en ninguno es suficiente la mezcla del disolvente con la
materia activa, aunque de ella resulte una masa muy unifor-
me y la difusión de esta última se consiga perfecta apelando
á medios mecánicos; pues todavía las disoluciones no son
nunca homogéneas ni tórnanse activas espontáneamente 6
muy excitables por diversos modos y agentes. Con el fin de
que suceda, es preciso hacer intervenir el calor, elevando la
temperatura, según los casos, á veces hasta el blanco, y

— 19 —

sosteniéndola en tales grados por tiempo variable, en oca-
siones considerable, dependiente de la naturaleza de los ele-
mentos del sistema y de las propiedades que haya de tener
el estado final que se intenta alcanzar; pues ya queda esta-
blecido hasta qué punto la actividad adquirida por las diso-
luciones amorfas que se estudian es función de la tempe-
ratura; lo es también de las masas relativas de los compo-
nentes y de la particular naturaleza de cada uno, mas sólo
dentro de ciertos límites, que no pueden ser de antemano
señalados; así en el fenómeno de que se trata intervienen

distintas variables cuyas relaciones y dependencias no se:

determinan con facilidad, en cuanto no pocas de ellas son
contingentes ú ocasionales y sus influencias participan de
iguales caracteres, pareciendo obedecer á las mismas leyes.
Infiérese de aquí que el mecanismo generador de las disolu-
ciones sólidas amorfas que se consideran es una condición
determinante de su actividad, sea cualquiera el modo de ma-
nifestarla, y á él débense, en mucha parte, las propiedades y
aptitud de que aquellos sistemas están dotados y de las cua-
les nunca participan sus componentes considerados en el es-
tado inicial del cambio.

Bien estará el notar cómo las disoluciones sólidas de que
se habla obtiénense sin que sea obligado su paso por el es-
tado líquido, antes adviértese, cuando la temperatura es su-
ficiente para fundir la mezcla ó siquiera alguno de sus com-
ponentes, que el agregado final, aunque homogéneo y de
muy uniforme estructura, resulta desposeído de actividad é
inerte para todo linaje de excitaciones. Sólo hay un caso ex-
ceptuado de la regla, referente á masas fosforescentes, muy
excitables por la luz, constituidas por sulfuro de estroncio ó
de bario, obtenidas á 1.300 grados, que aparecen como di-
sueltas en el fluoruro de calcio, en gran exceso empleado
como fundente; pero aquí subsisten las cualidades peculiares
de la disolución sólida, acaso exaltadas, á lo menos en lo
correspondiente á la intensidad de la luminescencia, merced

— 197 —

al influjo del cuerpo indicado. Quizá podríamos admitir que
para una sola materia activa hay dos disolventes, y de ellos
el fluoruro de calcio susceptible de fosforescencia en condi-
ciones determinadas, cuyo hecho tiene semejanzas con otros
examinados ya por Lecoq de Boisbaudran cuando experi-
mentaba los efectos de las descargas eléctricas en los tubos
de Crookes sobre agregados sólidos que contenían una sola
materia activa y dos disolventes fijos.

Merece ser consignado el hecho, juntamente con otro ya
general, relativo á la intervención de materias volátiles á
elevada temperatura, las cuales desempeñan los oficios de
arrastrar y difundir en la masa de los disolventes los cuer-
pos solubles, repartiéndolos en ella. Hay un verdadero fe-
nómeno de transporte, semejante al observado, por ejemplo,
cuando se obtiene el sulfuro de cinc fosforescente llamado
de Sidot, y aun el propio sulfuro de estroncio dotado de
análogo propiedad, actuando sobre la estroncianita mezclada
con levísima proporción de carbonato de manganeso, el va-
por de azufre, en: una atmósfera limitada, que contenga vapor
de cloruro de sodio, á temperatnra muy elevada. En realidad
y aun considerando la unión íntima de dos ó más cuerpos, en
el mecanismo de las disoluciones sólidas, siquiera en las
aquí estudiadas, hay siempre transporte de materia y pene-
tración de masas; pues sólo de tal modo resultaría posible
la homogeneidad peculiar del sistema en el estado final ó de-
finitivo, cuando goza de la plenitud de sus actividades, y no
sería aventurado el admitir que una parte del calor necesario
se invierte en los trabajos de transporte, necesarios para
que se establezca el contacto molecular del disolvente con la
materia activa, y esta es la fase indispensable del mecanismo
generador de las disoluciones sólidas amorfas y activas, que
no han menester para ser formadas el cambio de estado
transitorio de sus componentes.

Cuando se consideran en su generalidad, son las indica-
das sus características esenciales, y pudiera decir comunes,

— 198 —

á toda especie de disoluciones sólidas de este linaje; pero
dentro de la clase es menester distinguir grupos diversos,
cada uno de los cuales posee su individualidad particular,
determinada juntamente por los modos de formación y las
propiedades ó actividades adquiridas en el estado final y
que tienen condiciones de permanencia, aun hallándose su-
jetas á diferentes cambios accidentales. Obedece sólo. la
agrupación indicada á la necesidad de ciertas separaciones
que limiten de algún modo los fenómenos observados al
producir variadas materias activas, sólidas y complejas, jun-
tando, no siempre por medios idénticos, cuerpos química-
mente inertes unos respecto de los otros y dotados de sin-
gular fijeza para las acciones del calor; en realidad se trata
de introducir en grandes masas de los más indiferentes pe-
queñisimas proporciones de substancias, también poco alte-
rables estando aisladas, pero que sirven como de activado-
res de las primeras, y esto se consigue apelando á diversos
artificios de los cuales depende, en mucha parte, la activi-
dad de los sistemas resultantes, que casi siempre ha menes-
ter de excitaciones para manifestarse.

No son por punto general permanentes las modificacio-
nes tantas veces nombradas, sino mejor fenómenos acciden-
tales y reversibles: lo que permanece en la disolución sólida
es la capacidad, la aptitud en cuya virtud se modifica me-
diante acciones externas, Ó ella misma, gracias á su pro-
pia actividad, ejerce oficios de agente de metamorfosis quí-
micas, en ocasiones harto complicadas. Y ya de estas distin-
tas manifestaciones se origina una división, la cual aparece
con mayor claridad si consideramos de un lado las disolu-
ciones sólidas que manifiestan su actividad mediante cam-
bios de orden físico, y ponemos de otro lado las que al ex-
teriorizarla producen alteraciones químicas del sistema, si-
quiera sean pasajeras y limitadas, como equilibrios inesta-
bles, siendo de advertir que las formas de los cambios se

relacionan directa é inmediatamente con los modos de obte-.

— 199 —

ner las disoluciones sólidas, y esto aun dentro de cada ca-
tegoría, conforme lo tengo observado al obtener sulfuros
metálicos fosforescentes, estudiando las influencias de los
distintos procedimientos en sus propiedades individuales,
sobre todo en la excitabilidad y duración de la luminescen-
cia, que con ellos y la naturaleza de las materias activas
aparece siempre enlazada.

Dedúcese de lo apuntado, que los sistemas estudiados,
amorfos y activos, y que sirvieron principalmente de base y
fundamento á las ideas desarrolladas en el presente trabajo,
pueden agruparse formando tres clases distintas, diferencia-
das por la manera de manifestarse sus actividades y por los
modos de generarlos partiendo de sus elementos, á saber:

a) disoluciones sólidas constituidas mezclando ínti-
mamente sus componentes y calentando luego al rojo.
Se excitan á la temperatura ordinaria, en el vacío, por
las descargas eléctricas, produciendo fenómenos de lu-
minescencia sólo mientras duran las excitaciones; con-
servan sus aptitudes indefinidamente.

b) disoluciones sólidas formadas por dos metales,
sin que al calentarlos llegue á fundirse ninguno de éstos.
Poseen actividad propia que no requiere excitaciones
y en virtud de ella sirven para provocar diferentes ac-
ciones químicas.

c) disoluciones sólidas constituidas por modificacio-
nes de orden químico, llevadas á cabo á temperatura ele-
vada. Resultan activas, han menester ser excitadas, pro-
duciendo entonces fosforescencia, é inherentes á ella son
determinados cambios reversibles entre el disolvente y
la materia activa, disuelta en cortísimas proporciones.

Observaré, respecto del primer grupo, que comprende las
disoluciones activas de Lecoq de Boisbaudran, ya conside-
radas en otra parte de mi estudio y sólo añadiré, completan-
do lo entonces dicho, que su homogeneidad resulta de las

cm MN .

acciones del calor, luego que las mezclas, hechas lo más ín-
timas posibles empleando medios mecánicos, son sometidas,
durante algún tiempo, á elevada temperatura, sin lo cual no
se generan las disoluciones sólidas activas. Su excitabilidad
y aptitudes respecto de la luminescencia son funciones de la
naturaleza de los componentes y de los estados de concen-
tración de los sistemas, y nótase que de iguales causas de-
penden la intensidad, el color y la persistencia de fosfores-
cencia, en los casos en que es advertida, después de haber
cesado la excitación eléctrica que la produjera. No será
aventurado el admitir que las mezclas utilizadas en los expe-
rimentos de Lecoq de Boisbaudran son á modo de disolucio-
nes normales ó sistemas límites uniformes, caracterizados
por la facultad de ser impresionables, revelando su activi-
dad con manifestaciones luminosas particulares, sin que al
constituir tales sistemas sea menester cambiar para nada el
estado sólido inicial de sus elementos, en ocasiones nume-
rosos, mas siempre relacionados conforme lo están los disol-
ventes con las substancias que han de disolver.

Entra en la segunda categoría cierto linaje de agregados
metálicos, que no son propiamente aleaciones, ni para obte-
nerlos se necesita fundir ninguno de sus elementos; la unión
efectúase antes del cambio de estado y aun es condición pre-
cisa no alcanzar siquiera á iniciarlo para que las disolucio-
nes resulten activas y capaces de provocar determinadas ac-
ciones químicas. Un ejemplo de semejantes disoluciones só-
lidas, es el llamado par cinc cobre: actúa el primero como
disolvente y las proporciones de los metales necesarios para
lograr el sistema activo típico son

Zn 9 partes.
Cu 1 parte

é importa tener en cuenta el procedimiento adoptado que-
riendo lograr un agregado homogéneo de estos dos metales,

A 75 QUO

sin llegar á fundirlos, empleando el calor. Conviene usar li-
maduras de cinc puro, no muy finas, bien lavadas con alco-
hol y éter, desecadas á 110” durante bastante tiempo y con-
servadas en el vacío seco hasta el momento de emplearlas:
el cobre ha de estar muy dividido, debiendo preferir el que
se consigue reduciendo el óxido cúprico puro, pulverizado y
calentado al rojo en un tubo de porcelana, por el hidrógeno
asimismo puro y desecado, y tengo advertido que resulta
tanto más eficaz cuanto más lenta sea la reducción y se lleve
á cabo á menor temperatura, no pasando de la correspon-
diente al rojo sombrío; de todas suertes, es buena práctica
desecar el cobre obtenido en el vacío, evitando todo lo po-
sible las alteraciones de la superficie, que podrían ser gran-
demente perjudiciales á la actividad de la disolución me-
tálica resultante.

Para generarla se suelen seguir dos métodos, apenas
diferenciados á no ser en ciertos pormenores y detalles
operatorios. Uno de ellos consiste en mezclar íntimamente
las cantidades de los metales que quedan indicadas; la masa
se coloca en un matraz de vidrio de Jena, siendo indispen-
sable tenerlo perfectamente seco; se cierra con tapón atra-
vesado por un tubo capilar y se calienta gradualmente,
“agitando siempre, hasta que desparezca el brillo metálico
y la disolución sólida resulte de tonos agrisados y ama-
rillentos; en la práctica del otro sistema se calienta primero
el cinc disolvente en el mismo matraz, tapado conforme es
dicho, y sin dejar de agitar y sin que disminuya la tempera-
tura, se le va agregando el cobre hasta conseguir la masa
anterior de aspecto homogéneo, que también lo tiene en su
interior, demostrando así la difusión de los metales uno en
otro y su penetración mutua para constituir un sistema nue-
vo dotado de cualidades de que no participan aislados los
metales componentes, sin que por eso pierdan sus respecti-
vas individualidades, aunque su conjunción sea causa de
que aparezca el estado activo característico.

— 202 —

Fué repetida diferentes veces y en muy distintas condicio-
nes la obtención del par Zn=Cu, y á la continua he no-
tado, siguiendo las prescripciones de Gladstone y Tribe,
que las proporciones respectivas de los metales que resultan
más convenientes son las apuntadas, y agregaré, además,
las siguientes particularidades. Es menester evitar, con los
mayores cuidados, la presencia de trazas siquiera de hume-
dad, desecando rigurosamente los metales y la vasija donde
ha de efectuarse su disolución; no es menos necesario pre-
venir, en cierta medida, las oxidaciones, y considero buena
práctica operar en matraz cerrado, siempre que atraviese
el tapón un tubo capilar de vidrio; no obstante, la presencia
de mínimas proporciones de óxidos, no mayores de 15 mili-
gramos por 100 gramos de masa, contribuye á sostener la
actividad de la disolución sólida. Mayor importancia tiene la
temperatura á la cual se efectúa; ha de ser menor de 412”,
punto de fusión del cinc, y en mis experimentos fué la más
eficaz 330”. Basta que el metal citado experimente un co-
mienzo tan sólo de cambio para tornarse líquido, y ya la di-
solución no aparece activa Ó posee debilísimas aptitudes, y
lo propio acontece cuando el calor no es suficiente y el di-
solvente conserva algo de su peculiar aspecto metálico, he-
cho que indica cómo hay un punto crítico en el cual se
constituye la disolución sólida, con la concentración debida
para que resulte dotada de la actividad máxima, aquí reve-
lada en las aptitudes especiales, en cuya virtud se efectúan
reacciones químicas de otra manera imposibles.

Que en este caso se cumple cuanto queda dicho tocante á
las influencias de las masas respectivas del disolvente y de
la materia disuelta, de su naturaleza, del mecanismo de su
difusión mutua y de la temperatura, no hay para qué esfor-
zarse en demostrarlo. Sin cambio de estado, sin llegar á
formar latón, el cobre se disuelve en el cinc en la propor-

1 .
ción de 2” constituyendo acaso un compuesto intermedio

— 203 --

con cierta concentración máxima á determinada y fija tem-
peratura como en las disoluciones ordinarias; cesando la ac-
ción del calor y frío el agregado resultante, que no tiene
aspecto metálico, goza de actividades singulares de las que
carecen sus componentes aislados; tal es el hecho que se
utiliza luego para realizar diversas transformaciones quími-
cas, debidas al cabo á la actividad de una disolución sólida
metálica obtenida en determinadas condiciones y como con-
secuencias de acciones térmicas directas, productoras de fe-
nómenos particulares y no bien determinados de difusión de
un sólido en otro sólido.

Genéranse de distinta suerte las disoluciones sólidas co-
rrespondientes al tercer grupo, del que son tipos los sulfuros
fosforescentes de estroncio, bario y calcio, por tan largo
tiempo objeto de mis estudios é investigaciones y cuyo me-
canismo de formación importa recordar. Cualesquiera que
sean los métodos de obtención y el estado inicial de las ma-
terias empleadas, á temperatura elevada y sostenida durante
algún tiempo en los limites del rojo vivo, se constituyen los
cuerpos SSr-- SBa — SCa, considerados disolventes, y
en el acto se difunden en su masa, gracias á pequeñas canti-
dades de un fundente alcalino y una substancia volátil (CO,
Na, y CINa en mis experimentos), leves proporciones de
ciertas materias calificadas de activas y que suelen ser, por
punto general, combinaciones metálicas oxidadas bastante
sencillas (O, Bi, — O, Mn, — O, Ur,, etc). Después de len-
to enfriamiento, obtiénense masas de ordinario bastante ho-
mogéneas, de estructura granujienta particular, que han ex-
perimentado, á lo menos en la superficie, un comienzo ó prin-
cipio de oxidación y cuya actividad se manifiesta en ser im-
presionables por la luz, tornándose fosforescentes durante
cierto tiempo en la obscuridad, con coloraciones é intensida-
des tan dependientes de la naturaleza del disolvente como del
metal en la materia activa contenido; y luego de extinguida
la luminescencia, el cuerpo capaz de ella conserva por tiem-

— 204 —

po indefinido, y en ocasiones todavía más despierta y au-
mentada, la aptitud para recibir las impresiones de la luz con
sólo someterlo breves momentos á sus directas influencias
sin acceso del aire.

Recientes investigaciones confirman la idea de considerar
com» perfectas disoluciones amorfas, dotadas de propieda-
des particulares, los sulfuros fosforescentes mencionados y
acaso otros susceptibles de presentar análogo fenómeno, é
indagando acerca de ello, creo haber llegado á ciertos resul-
tados, que atañen á las influencias de las substancias activas,
conforme á su estado, y al propio mecanismo del fenómeno
de la luminescencia, no limitado, á lo que entiendo, á simples
absorciones de energía luminosa, y aun cuando en otro lugar
he indicado algo de tales observaciones, las completaré aquí
con nuevos datos. Así pretendo que aparezca estudiado un
grupo especial de disoluciones sólidas características, acti-
vas, y entre cuyos componentes aislados y sin que interven-
ga el calor, no se establecen, á la temperatura ordinaria, re-
laciones de orden químico de ninguna clase, sólo posibles
cuando al formarse el disolvente, al rojo vivo, en su masa
se hace penetrar el compuesto metálico.

Hay para cada una de estas disoluciones sólidas su tem-
peratura crítica de formación y es precisamente aquella á la
cual se constituye el sulfuro metálico alcalino terroso en con-
diciones tales que no modifique el estado químico de la ma-
teria activa, que para serlo ha menester no entrar en ninguna
combinación sulfurada, fija y colorida de tonos obscuros, que
cuando tal acontece es sabido cómo las masas se vuelven
inertes para la luz y no son susceptibles de fosforescencia.
Este mismo hecho demuestra que los sulfuros de ella dota-
dos son tales disoluciones sólidas, porque la substancia ac-
tiva difundida en su masa no se modifica químicamente, al-
ternádose de modo permanente, aunque el sistema consti-
tuído sea susceptible de cambios adventicios, de carácter re-
versible conforme veremos; pero que no resultan de ellos

— 205 —

las alteraciones que implicaría la formación definitiva de sul-
furos metálicos á expensas del cuerpo disuelto, y se prueba
porque alterando de alguna manera el sulfuro de estroncio
activado con el subnitrato de bismuto, pierde en absoluto
sus cualidades fosforescentes, tornándose inerte y de color
pardo obscuro en cuanto se forma sulfuro de este metal, y
el hecho tiene importancia pues revela que el estado de la
materia activa en las disoluciones de que se trata ejerce .in-
fluencia decisiva en los fenómenos de luminescencia, tanta
acaso como la propia naturaleza de la misma materia, que
no alcanza, sino en determinados casos, á modificar las co-
loraciones consideradas típicas y cuya inmediata dependen-
cia de los sulfuros disolventes parece notoria y la tengo bien
establecida en los de estroncio, bario y calcio, cuyos res-
pectivos colores de fosforescencia, verde, amarillo y violeta,
apenas cambian sus matices, en igualdad de las demás con-
diciones, siendo materias activas compuestos de bismuto,
uranio, manganeso ó torio.

Sin embargo, su eficacia, en todos sentidos, parece mejor

regulada por la temperatura de formación de las disolucio-

nes, distinta, conforme lo he demostrado, no para cada ma-
teria activa, sino para cada disolvente, y es de suerte que
pasada ó sostenida por tiempo excesivo, el sistema resultan-
te ya no es verdadera disolución sólida y hállase formado
de un sulfuro alcalinoterroso, teñido de obscuro con otro
sulfuro metálico correspondiente á la substancia disuelta,
que le sirve de pigmento, y cosa análoga sucede cuando las
proporciones de ésta superan mucho á las necesarias para
saturar el disolvente. En general, la luminescencia puede
producirse en estados de concentración que no alcanzan á
las saturaciones completas, y en los casos en que hallán-
dose en exceso el fundente puede convertirse en disolvente,
llegan á ser fosforescentes, aun estando sobresaturadas de
materia activa.

Importa señalar ahora una característica suya que influye

— M6 E

grandemente en las propiedades de los sistemas resultantes.
No es indiferente el estado de combinación de los metales
que las forman y desde luego diré que no deben ser colo-
ridas, á no ser de tonos amarillentos ó rosados, para que no
tiñan de obscuro las masas, que entonces no pueden ser lu-
minescentes; tampoco sirven en calidad de materias activas
los sulfuros metálicos pardos ó negros, ni aquellos otros
cuerpos susceptibles de formarlos, fijos y estables, á la tem-
peratura de generación de las disoluciones sólidas de que se
trata. Por punto general he conseguido los mejores resulta-
dos, tocante á la luminescencia del sulfuro de estroncio, em-
pleando óxidos ó substancias que al ser disociadas por el
calor pudieran dejarlos como residuo; tales son el carbonato
y el sulfato de manganeso, el sulfato de uranio, y sobre todo,
los nitratos de este metal, de bismuto y el subnitrato del úl-
timo; su eficacia es singular y de ella participan casi todos
los compuestos semejantes, con tal que de ellos procedan
óxidos estables, que no sean susceptibles de transformarse
en sulfuros mediante las acciones del disolvente, á elevada
temperatura; é interesa advertirlo, porque lo tengo demos-
trado en muchos y variados experimentos, practicados con
el fin de lograr agregados fosforescentes, difundiendo en un
gran exceso de sulfuro alcalinoterroso O gr. 015 de cuales-
quiera de los cuerpos S, Bi, — S Mn — S, Ur, sin haberlo
conseguido nunca y en cambio resultan excitables por la luz
y producen luminescencia de regular intensidad y no mucha
duración, si la materia activa hállase constituida por mez-
clas de sulfuros y óxidos, siempre que los primeros no ac-
túen á modo de pigmentos dando á las masas coloraciones
obscuras, en cuyo caso ya es sabido que no pueden ser fos-
forescentes, en particular si el tono es uniforme.

Tiene importancia, en este sentido, el hecho de haber ob-
tenido varias disoluciones luminescentes con sulfuros de ba-
rio y de estroncio que no son blancas, ni agrisadas, sino
pardas no muy obscuras las del primero y verdosas las del

— 207 —

segundo, habiendo empleado siempre, en calidad de mate-
ria activa el subnitrato de bismuto, que entonces, mediante
las acciones del calor, á la temperatura del rojo vivo, y en
contacto del sulfuro disolvente, experimenta ciertas modifi-
caciones y en parte conviértese en sulfuro. Así, en la diso-
lución sólida resultante, en semejante estado hállase una
porción del bismuto y la mayor constituyendo óxido, en

- cuya forma sólo es eficaz respecto de la fosforescencia, tanto

más intensa, cuanto menores sean las proporciones de sul-
furo de bismuto que contenga.

Júzganse de tal manera los hechos en vista de numerosos
resultados experimentales, que demuestran no ser los sulfu-
ros metálicos por sí sólos materias activas cuando se disuel-
ven en otros sulfuros en el acto de su formación á eleva-
da temperatura y fuera del método que pudiera llamar di-
recto y en el cual se emplean 100 gramos de carbonato de
estroncio, 35 de azufre, 2 de carbonato de sodio deseca-
do, O gr. 5 de cloruro de sodio y O gr. 015 de sulfuro de bis-
muto, calentando la mezcla por cuatro horas al rojo vivo,
obteniendo una masa obscura no impresionable por la luz
ni fosforescente, he tratado de modificar un sulfuro de es-
troncio muy luminescente, activado con el subnitrato de bis-
muto y que ni siquiera trazas de sulfuro de este metal con-

- tenía. Para alcanzar semejante fin, lo he sometido, calentán-

dolo al rojo en un tubo de porcelana, á una corriente de ácido
sulfhídrico puro y seco; el cuerpo se obscureció poco á poco,
y ensayado diferentes veces, pude advertir cómo su impre-
sionabilidad respecto de la luz disminuía á cada punto y con
ella la intensidad de la fosforescencia, hasta llegar á extin-
guirse cuando todo el bismuto se ha convertido en sulfuro,
que no es activo. Es posible que la disolución sólida subsis-
ta representada por la masa homogénea y uniforme, colori-
da de obscuro, en la que hay dos sulfuros, siempre inertes
entre sí y mutuamente difundidos uno en otro, lo cual signi-
fica un cambio en las condiciones del sistema por variación

Rev. Acap. Ciencias. —V.—Octubre, 1906, 14

— MRS

del estado del menor de sus componentes, que al experi-
mentar una transformación química pierde sus calidades de
actividad y no produce en modo alguno aquellas propieda-
des que consideramos inherentes de su primitivo estado de
óxido, cuando fué transportado y repartido en la masa del
disolvente, en el acto de generarse á la temperatura del rojo
vivo sostenida durante bastante tiempo.

Unidos los experimentos citados á otros practicados con
análogos intentos, resulta que los sulfuros de los metales
pesados nunca han sido materias activas tocante á la fosfo-
rescencia y á la excitabilidad por la luz de que son suscep-
tibles algunas disoluciones sólidas amorfas, generadas en las
condiciones particulares que tengo estudiadas con sus por- .
menores, y el hecho es singular porque hasta la sílice puede
gozar de aquella excelencia, Más todavia; la presencia de
sulfuros metálicos coloridos en las masas luminescentes llega
á disminuir su actividad, logrando reducirlas al estado iner-
te, cuando sus proporciones son considerables y en realidad
está destruida ó transformada la substancía eficaz.

Lejos de mi ánimo el pretender que con los experimentos
realizados y las observaciones llevadas á cabo, aun siendo
el número muy considerable, hay suficiente caudal de he-
chos para fundar una doctrina cierta respecto de las evolu-
ciones y desenvolvimientos de la actividad en las disolucio-
nes sólidas de ella dotadas; que el fenómeno es mucho más
complicado de lo que á primera vista parece y la lumines-
cencia constituye sólo una de sus manifestaciones. Exami-
nándola en sus variantes esenciales y tratando principal-
mente de la impresionabilidad para la luz directa, cuya fa-
cultad se conserva sin aminorarse por tiempo indefinido y
persiste en tanto que las acciones químicas no alteren el
sistema de la disolución sólida, diríase, con cierto funda-
mento, que al penetrar la materia activa en el disolvente y
difundirse en la masa del mismo para constituir, en definiti-
va, un estado homogéneo, penetra también, acaso arrastrada

— 209 —

por sus moléculas, á la elevada temperatura á que se opera,
cierta cantidad de energía externa, á modo de carga de las
mismas, que se manifiesta en la fosforescencia, cuando me-
diante las acciones de la luz aquéllas se escinden, generán-
dose un nuevo estado químico reversible, y mientras la re-
versibilidad al primitivo se cumple, es cuando aparece la lu-
minescencia, que sería entonces fenómeno químico ó parti-
ciparía mucho de semejante carácter. Claro está que esto
es sólo una conjetura; pero se apoya en el hecho fundamen-
tal de ser adquirida la actividad de la disolución sólida,
que nunca se reconoce en sus componentes y nada se opone
á que, mediante las acciones del calor, adquieran los pro-
ductos de las disociaciones moleculares llevadas á cabo
ciertas cargas de energía y las arrastren consigo al sistema
formado, y al excitarlo la luz, como varían ya las condicio-
nes, se manifiesta aquélla en los fenómenos de luminescen-
cia, tornando, cuando el efecto es pasado, al equilibrio mo--
lecular que la disolución sólida representa.

Varias veces he pretendido, con ánimo de demostrar lo
que dejo indicado, examinar los modos de estar y las alte-
raciones mutuas del disolvente y de la materia activa antes
de las excitaciones luminosas y durante la fosforescencia.
Hasta el presente son inciertos los resultados conseguidos y
no permiten hipótesis de ninguna especie; sin embargo y con
las mayores reservas algo podría suponerse, advirtiendo el
carácter de las acciones químicas de la luz, á la continua
más prontas y enérgicas que las del calor, teniendo en cuen-
ta la índole y, sobre todo, la intensidad de las transforma-
ciones producidas.

Mientras no está sometido á las influencias luminosas, su-
pongamos que en el sulfuro de estroncio, activado por el
subnitrato de bismuto, hay un sistema

S.Sr
O, Bi,

— O

homogéneo, con sus correspondientes cargas en la manera
dicha. Nada se opone á que aquellas excitaciones causen,
de momento, la modificacion parcial así representada:

3S Sr+ 0,3 Bl, ='8¿Bi, +30 Sr;[al,

en cuyo caso, aunque la energía queda libre, no se manifies-
ta, y cesando la causa excitadora tiende á hacer recobrar al
sistema el primitivo equilibrio; así el estado [a] no es perma-
nente y apenas formado tiende á la reversibilidad completa,

30 Sr + $, Bi, =3 8 Sr + O, Bi, [b],

que no es instantánea, y mientras se lleva á cabo y determi-
na el estado [b] es cuando se desarrolla la fosforescencia, y
la hipótesis explica que recobrado, como no hay pérdida
de energía, la masa debe conservar sus aptitudes, sin expe-
rimentar disminuciones de ningún género, conforme en to-
dos los casos es de continuo observado.

Ya se comprende — y en hacerlo patente tengo empeño —
que sólo expongo los principios de una hipótesis, cuyas ten
dencias son el admitir que con las substancias denominadas
activas, y unida á sus elementos primordiales como verdade-
ra carga suya, penetra en la materia del disolvente cierta
cantidad de energía, que permanece en el sistema y la lumi-
nescencia representaría una perturbación pasajera y que
cesa en cuanto de la forma [a], cuya generación es inme-
diata, se pasa á la forma [b], estable y definitiva del siste-
ma. A esto conduce, en mi entender, el considerar los sul-
furos fosforescentes de estroncio, de bario y de calcio como
muy perfectas disoluciones sólidas amorfas dotadas de ac-
tividades propias, que tienen ciertas semejanzas con las de
los productos de la disociación de los compuestos salinos
metálicos en las disoluciones líquidas ordinarias, y además
el estudio general, que á lo menos por ahora aquí termina,

— 211 —

paréceme que contiene algunos datos originales y nuevos
puntos de vista relativos al conocimiento de los estados
sólidos, los cuales, atendiendo á las mutuas modificaciones
de sus propios elementos constitutivos, no pueden ser la
consecuencia, conforme dice Van'T. Hoff, de una consti-
tución molecular complicada.

(Laboratorio de Química de la Escuela Superior de Artes é Industrias de Madrid, 1905-1906)

X.—Sobre los residuos cuadráticos.

POR JUAN J. DURÁN-LORIGA.

En el tomo VIII, año 1901, de /*Intermédiaire des mathé-
maticiens propusimos la cuestión siguiente: «La suma de los
residuos cuadráticos de un número primo p > 3 es siempre
múltiple de p; pero esta propiedad no es exclusiva de los
números primos (ejemplo los números compuestos 14 y 15).
¿Qué condición ha de cumplir un número compuesto para
gozar de dicha propiedad?»

Dos respuestas se dieron á esta cuestión, la una comple-
tamente errónea, por haber interpretado mal la pregunta, y
la otra debida al ilustre matemático suizo Sr. M. Lerch, pro-
fesor en la Universidad de Fribourg, que respondía parcial-
mente á esta difícil cuestión. Más tarde, este mismo profesor
volvió á ocuparse del asunto en un notable trabajo publica-
do en la Revista italiana Annali di matematica pura ed
applicata, bajo el título «Sus quelques applications des
sommes de Gauss», en el que también trata otros puntos
importantes. La propiedad que en el enunciado de la cues-
tión se cita para los números primos, mayores que tres, se
puede demostrar de un modo completamente elemental.

— 212 —

Basta recordar que para un número primo p los restos cua-

Pp

r . r E 1 -
dráticos son en número - E y todos resultan de la serie

1 Ai AIN p a : )y que siendo la suma de los elemen-

tos de ésta, congruente con la que se busca, bastará demos-
trar la propiedad para la expresión

PAPA A
24

lo cual es inmediato, pues siendo 24 primo con p debe divi-
dir al producto de los otros dos factores y la citada expre-
sión será, por lo tanto, múltipla de p.

Obsérvese de paso que el hecho de dividir 24 á (p — 1)
(p +1) Ó sea p? — 1, demuestra por incidencia la conocida
proposición de que siendo p primo y mayor que tres se ve-
rifica la congruencia |

p?= 1 (mód. 24),

ó en otros términos: El cuadrado de un número primo ma-
yor que tres disminuido en una unidad es siempre divisible
por 24.

Pero cuando se trata de números compuestos, ocurre, que
si bien los restos cuadráticos se derivan como antes de las
series

12, 20: a, rh si n es par,

17, 2 IRA as si n es impar;

estos números no dan por precisión restos diferentes como
en el caso de ser el módulo primo y, por consiguiente, la
anterior demostración no es aplicable. Se impone en general

— 213 —

el empleo de doctrinas elevadas de esta rama de la ciencia.
El Sr. Lerch, limitándose al caso de ser n impar y á otras
circunstancias que restringen la cuestión, utiliza como punto
de partida la célebre igualdad de Gauss,

202mm4 1

n=1. ——— N =- 2 pl”
pr dt End n, (1)

a=0

en la cual n es impar y además m y n son primos entre sí.
La igualdad (1), llamada Suma de Gauss, fué consecuen-
cia de los trabajos del gran analista acerca de la determina-

ción de la suma de potencias de las raíces primitivas de una

ecuación binomia, teniendo por exponentes los cuadrados
de los números inferiores á un módulo dado, investigación
á que también se consagraron otros eminentes matemáticos,
como Dirichlet, Cauchy y Kronecker. En la Memoria del cé-
lebre geómetra de Góttingen, Teoría de la división del circu-
lo, se determina el cuadrado de la suma, pero se presenta
incertidumbre acerca del signo al pasar de la potencia á la
raíz, dificultad que al fin venció en un trabajo posterior
(Summatio quarundam serierium singularium) por la trans-
formación de la mencionada suma en un producto de senos.

En la expresión (1) el factor V n es precisamente positivo

y el a ) es el símbolo de Legendre, pero con la extensión
n.,

que le dió Jacobi, y sobre el cual creemos conveniente decir
algo á los lectores que no estén familiarizados con esta clase
de investigaciones.

n
sitiva ó negativa, según sea m (no divisible por n), residuo
ó no residuo cuadrático del número primo n, es decir, según
sea ó no posible la congruencia

Legendre representó por el símbolo E) á la unidad po-

x? = m (mód. n).

lA E

Son consecuencia inmediata de la definición las igualdades

Cl

así como también el que un conocido teorema de la Teoría
de los residuos cuadráticos se exprese por la siguiente
igualdad:

Ia

Se ve también que si se tiene m = n (mód. p) resultará

El símbolo de Legendre juega importantísimo papel en la
Teoría de los números, y en particular la bellísima proposi-
ción llamada Ley de reciprocidad, que se traduce en la si-
guiente igualdad:

nia

en la que p es un número primo impar (es decir, distinto
de 2) y positivo y q un número impar cualquiera no divisi-
ble por p.

Jacobi introdujo una generalización importante en el
símbolo de Legendre. Si el número impar P, descompuesto
en factores primos, da la igualdad P =pp'p” ..... , 6
tendrá por definición:

— 215 —

debiendo dar al primer miembro el valor + 1 Ó — 1, según
el que le corresponda al segundo, es decir, en vista de si los
factores primos, de los que m es no residuo cuadrático, están
en número par ó impar. Claro está que si P es primo se cae
en el símbolo de Legendre, y que si P = 1, el símbolo vale
la unidad positiva.

La generalidad de las fórmulas en que entre el simbolo
de Legendre exige que se admita que, si m es divisible por
el número primo p, se verifique

m
de ) == O, .
Pp
y más generalmente que si m y £ no son primos entre sí, se

establezca
(a) E
12)

Volviendo á considerar la igualdad (1), observaremos con
el Sr. Lerch que, si se le da á su primer miembro la forma

20mu ni

n—1 AN OR
A

A ,

a =0

se puede establecer la siguiente:

al A
E 2ampri

, 1! q! 07
A i m y a ;
E =( d l d. Vd p.
= e y.

0

a

siendo y y dy. los cocientes de dividir p. y n por su máximo
común divisor d.., puesto que, evidentemente, la suma se
compone de du grupos iguales.

Por medio de diversas transformaciones, y teniendo en
cuenta la conocida relación de Dirichlet y Kronecher,

= CU —A) =Va3( E ) IN

y y T

— 216 —

llega el Sr. Lerch á la expresión

no" am El am )- MA MR
a=1 n n 2

cda a) 8 7: A (3)

en la cual d recorre los divisores de n de la forma 4x + 3
y q? es el mayor divisor cuadrado del número n (que ya he-
mos dicho es impar); q es, pues, un número impar que
puede valer la unidad. En cuanto al símbolo 7¿, se tiene
ta=2 para. d> Ey 7 =6 paraa =3,

En la igualdad (2), la cantidad — Á es un discriminante
negativo de la forma cuadrática ax? + bx + cy? (algunos
autores le llaman determinante, en vez de discriminante,
palabra que, según creemos, introdujo en la ciencia el ma-
temático inglés Salmon), y el símbolo C/(— A) indica el nú-
mero de clases positivas y primitivas de las formas cuadrá-
tricas para un discriminante negativo dado. Conviene recor-
dar que dos formas son equivalentes cuando el sistema de
números que representa la una es idéntico al que representa
la otra, y que es condición necesaria, pero no suficiente, para
la equivalencia que los discriminantes respectivos sean igua-
les. También debe tenerse presente que un sistema de for-
mas equivalentes constituye una clase. Asimismo debe sa-
berse que se llama forma primitiva, según Gauss, aquella
en que los tres coeficientes son primos relativos, y que una
forma es positiva cuando lo son los coeficientes extremos.

Si en la igualdad (3) se hace m = 1, resulta:

n—1 n—1 (2 Mn —
eo econ

a=1 01 n

Le L— Ea (4)

o

-

me

Esta relación demuestra, considerando ahora todos los
residuos cuadráticos ¡iguales y desiguales que da la serie de
un sistema completo de restos respecto al módulo n, que
su suma es divisible por n si n no lo es por 3, pues si lo

fuese, hay en el segundo miembro el término — ES puesto

2 2 1 n
que — = — = —, y la suma es congruente con — —,
ES 6 3 3
según el módulo 7.
Podemos llegar al mismo resultado á que llega el señor
Lerch por una vía más elemental, pues la suma de cuadra-

dos (congruente con la de residuos cuadráticos) es

n(n— 1) (2n— 1)
ide

S =

y al ser el número impar n no divisible por 3, es primo con 6,
y se tendrá: S = multp. n.
Si n es múltiplo de 3, no se puede hacer el razonamiento

“anterior; pero se puede establecer haciendo n = 3p:

3p(18p? —9p— 3

6 _. E

18p? —9p — 3
6

, resulta, pues, S 4- Ey = multp. 1,

y se ve que el factor

3p+1
2

es entero, pues es
igual á 3p? —
4d n -

Ó bien S = — iS (mód. 1).

Puede también observarse que, aun en el caso de ser n
par, si lo que se pretende es estudiar como antes la suma de
todos los residuos cuadráticos ¡guales ó desiguales que ori-
gina un sistema completo de restos, la investigación es com-
pletamente elemental, y se ve que, en este caso, no puede

— 218 —

ser esta suma múltiple de n. En efecto: sin = 3p (p par),
los factores (n — 1) y (2n — 1), del valor de S, son primos
con 6, y resulta:

s= (mód. n);

4d
6

sin=3p=+16n=3p-_7-2, se ve inmediatamente que se
verifica

s= (mód. 1),

e
2

pues los factores (n — 1) y (2n — 1) son ambos impares y
uno de ellos es precisamente múltiplo de 3.

En el caso en que se desee la suma de los residuos cua-
dráticos diferentes entre sí, pero precisamente primos con el
módulo, es evidente que, llamándola s, se puede establecer

Me
(Ey

enda cual Pi Pass P., Son los diferentes factores primos
del número n, que suponemos impar, pues al variar y de 1
á n, cuando pase por un valor no primo con », el penúltimo
factor se hace cero y, por lo tanto, el sumando correspon-

27 S=

y

Il Ma

diente, sucediendo lo mismo á uno de los factores 1 +
cuando pase por valores que no sean residuos cuadráticos*
En cambio, cada vez que y tome el valor de un residuo pri-
mo con el módulo, el sumando correspondiente se convierte
en 2% . y,

Pero en la igualdad anterior no es posible estudiar la na-
turaleza de la suma s; de aquí la importancia de lo que esta-

— 219 —

blece el Sr. Lerch, después de diversos é ingeniosos desarro-
llos, y que es la siguiente:

1 o E CIMA (6)
d Tg

das
2

en la que

mo) 0 po

El examen de las fórmulas (6) y (7) dice que cuando el
número impar n no tiene el factor 3, entonces Ty vale siem-
pre 2 y, por consiguiente, 1 divide al segundo miembro de la
(6) y, por lo tanto, á s por ser primo con 2”. Ahora, si n es

divisible por 3 aparece el sumando — Ls M, (n) (puesto que

T. = 6); sin embargo, este término será nulo si hay al menos
otro factor de la forma 3k= 1, y entonces s será divisible
por n. Pero si al ser n múltiplo de 3 los demás factores son
de la forma 3k + 2, entonces se tiene:

IS A méd a),
3
Ó bien
n
2s = — — (mód. n),
: ( )
y, finalmente,
n
s = — (mód. n).
E ( )

Falta ahora, para responder por completo á la cuestión
propuesta, obtener en el caso de n par la suma de los resi-
duos cuadráticos diferentes y primos con el módulo, y sobre
todo, y este es el verdadero espíritu de la cuestión, estudiar,

— 220 —

ya sea n par 6 impar, la suma de los residuos cuadráticos
diferentes entre sí y primos ó no, indistintamente, con el mó-
dulo que se considere.

XI.—Nota sobre la ley de la difusión de los gases
entre sí.

POR ENRIQUE HAUSER.

En los tratados de Física se habla de la difusión de los
gases entre sí como una consecuencia de su fuerza expan-
siva, y todas las otras causas supuestas constantes, se ad-
mite que la velocidad de difusión varía en razón inversa de
la raíz cuadrada de la relación de sus pesos específicos, Ó
sea de la densidad de uno de dichos gases tomado el otro
como unidad; pero esto, que es cierto si se considera la ve-
locidad de difusión en un plano horizontal, no es exacto
para un plano vertical, en cuyo caso hay que tener en cuen-
ta la fuerza ascensional ó descensional de un gas con rela-
ción al otro, para reproducir en teoría los fenómenos obser-
vados en la práctica. En efecto; el grisú en las minas de
carbón y el ácido carbónico en esas y otras minas ó grutas,
ocupan respectivamente la parte alta y baja de las galerías,
resistiéndose aparentemente á la difusión, que no bastan á
explicar un continuo desprendimiento de gas, pues enton-
ces la riqueza en gas, si bien creciente al acercarnos á una
culata de galería, no sería creciente con la altura en el gri-
sú, 6 decreciente con el ácido carbónico. En cambio, te-
niendo en cuenta la fuerza ascensional de los gases, po-
demos deducir una fórmula que permita sacar consecuencias
prácticas de acuerdo con la realidad.

En efecto; la velocidad de difusión de un gas en otro en

¿MAMAS

— 221 —

un plano vertical, es evidentemente la diferencia entre la re-
ferida fuerza de difusión que tiende á mezclarlos y la ascen-
sional que tiende á separarlos, de manera que la velocidad
efectiva de difusión en un plano vertical, podrá ser repre-
sentada por la siguiente fórmula:

V,= Ko —K (p —p),
VE

en la cual p” y p son los pesos específicos de los gases

ad. A siendo p" > p y K y K” dos constantes. Pero como
p

en esta fórmula resultan para la mayor parte de los casos va-
lores negativos, por ser la velocidad debida á la fuerza as-
censional, mayor que la causada por la fuerza de difusión,
utilizaremos al mismo fin su complemento ó sea la velocidad
de separación.

1

Va

en la cual se conservan las mismas notaciones.

Para poder sacar consecuencias de esta fórmula, debemos
hallar el valor relativo de las constantes, y para hacer esa
determinación bastará que tengamos presente que el aire at-
mostérico presentando igual composición á distintas alturas
á pesar de la distinta densidad de sus componentes, en él se
hallan equilibradas las fuerzas de difusión y de separación,
por lo cual tendremos

Vs AP ph > E

Bo, | 1
GR O

Va

— 222 —

y si hacemos K” = Kn tendremos

kn a VE] E
Ve

CET

y si substituimos á p y p” los pesos específicos del nitrógeno
y oxígeno á0” y 760 "/,, Ó sean p =— 1,256, p' = 1,430, re-

sultará
E
1,256 _ V 1137 1,137

1,431,286 0,174

IM

= 6,12;

y por lo tanto tendremos

Pi [6,12 E VE] K

de la cual podemos separar la velocidad ascensional 6 des-
censional
Vas = 6,12 (p" — p) K

y la velocidad de difusión horizontal

Vr
Pp

Con aplicación á la velocidad de separación del metano y
ácido carbónico del aire, tendremos, partiendo de sus pesos
específicos, 0,716 y 1,977 respectivamente.

— 223 —

Para el metano y aire :

nio y o
0,716

Vas = 6,12 (1,203 — 0,716) K= 3,53. K
Vo Va 945) K =.2,185 K.

Para el ácido carbónico y aire:

pros «Y A a
1,203

Ves 6,19: (1.977 —1:293)-K "4:20 'K
VS 1400 935) K = 2065 K.

Por lo cual vemos, que mientras la velocidad de difusión
en un plano horizontal es mayor en el metano que en el áci-

ES = 1,09, en cambio, la

do carbónico en la relación de

,

velocidad descensional del ácido carbónico es mayor que la

acido carbonico

E 1,19, re-

ascensional del metano en la relación de

,

sultando para dicho ácido una velocidad de separación ma-

Rev. Acap. Ciencias.—V.—Octubre, 1906. 15

— 224 —

2,965

,
cual concuerda con los hechos prácticos, pues el ácido car-
bónico se conserva en el Suelo de las galerías con más insis-
tencia que el grisú en el cielo, por las dos razones antes in-
dicadas, de menor velocidad de difusión y mayor velocidad
descensional. Además, la relación de las velocidades vertica-
les y horizontales en el metano y ácido carbónico, son res-
pectivamente AAA A ia = 3,4;

1,345 4,20

Como consecuencia de estas velocidades relativas, la dis-
tribución del contenido de grisú y ácido carbónico con rela-
ción á la sección longitudinal de una galería mina es una
curva en apariencia parabólica, como las que indica el ad-
junto croquis.

yor que la del grisú en la relación de = 1,3000

z
O

VIII A eddción á la Fisica matemática por josé Echegaray.
IX.—Las disoluciones sólidas, por José Rodríguez Mourelo. PS
X.—Sobre los residuos cuadráticos, por Juan J. Durán
Loriga ¿0 ri A
XI.—Nota sobre la ley de la difusión de los. gases entre sh
por Enrique HS coat

' á p MS y

e

EE

A

La subscripción á esta RnvIsTa se hiaos' ES tomos comp
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6£
en el extranjero, en la Secrafaria de la Academia, calle dá

verde, núm. 26, Madrid. o EN a ERES
Precio de este cuaderno, 1,25 pesetas. ea

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JEMTA DE CIENCIA, 0

, FÍSICAS Y NATURALES

ol TOMO v.- NÚM. (a
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: E ¡(Noviembre de 1906.)

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IMPRENTA DE LA “GACETA DE MADRID,, AS
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1906

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ADVERTENCIA

Los originales para la Revista de la Academia
se han de entregar completos, en la Secretaría de
la Corporación, antes del día 20 de cada mes,
pues de otro modo quedará su publicación para
el mes siguiente.

1 ODA
A
h

— 225 —

XII. — Introducción á la Física matemática.
POR Josk ECHEGARAY.
Conferencia décimaprimera.

SEÑORES:

Deseando presentar ante mis oyentes un resumen abre-
viadísimo de los principios fundamentales de la Mecánica,
para que cuantos me honran con su asistencia á esta Cáte-
dra, ó cuantos lean estas conferencias cuando se publi-
quen, no encuentren dificultad de ningún género, y puedan
pasar sin esfuerzo, desde las Matemáticas elementales y la
Física ordinaria al estudio gradual de las obras y Memorias
de los sabios eminentes, que á la Física matemática dedican
sus esfuerzos, expusimos en la última conferencia el célebre
principio de las velocidades virtuales, que hasta cierto pun-
to en sí condensa, tanto los problemas del equilibrio, como
los del movimiento.

Y para el equilibrio lo demostramos, evocando en cierto
modo, porque tantos años han pasado, que es evocación
casi, la célebre demostración del ilustre Poinsot.

En esta conferencia hemos de aplicar el mismo principio
á los problemas de Dinámica, recordando antes, como es
natural, el principio de D'Alambert.

D'Alambert, saben la mayor parte de mis oyentes, y los
que no lo sepan, ahora pueden aprenderlo, que reduce todo
problema de Dinámica á un problema de Estática, Ó, mejor
dicho, deduce las fórmulas de aquél, de las fórmulas de
éste, contando entre las fuerzas las de inercia.

La argumentación no puede ser más sencilla.

Consideremos un sistema de puntos en movimiento y su-
jetos á determinados enlaces.

Ruv. Acap. Ciexcras.—V.—Noviembre, 1906. 16

eN

Sean (fig. 43) las fuerzas que actúan sobre el siste-
ma, F,, F,..., aplicadas respectivamente á los puntos m,,
mo...: Se comprende, sin dificultad, que si se considerasen
completamente libres los puntos m,, m,..., y, además, in-
móviles, se les podría aplicar á cada uno de ellos ciertas
fuerzas, A, á m,; H,á m,, y así sucesivamente, tales que
les comunicasen las aceleraciones que tienen realmente en el

Figura 43.

instante que se considera. Bastaría con determinar A,, H....,
por las ecuaciones del movimiento del punto libre. Para el

punto 72;
dez:

m == COSA Hr, X
1 dt? 1 ( 1 )
d?
m, E = H, cos (H,, y)
d?z,
m == COS LAR
1 dt? 1 ( 1 )

y lo mismo para los demás puntos.

Volvamos ahora al sistema en movimiento, suprimamos
las fuerzas H, pero pongamos en cada punto una fuerza h,
igual y contraria á H: ó sea, h, igual y contraria á H,, ho,

o

igual y contraria á H,...; es evidente que en este caso cesa-
ría todo movimiento, puesto que estas fuerzas se oponen
directamente á las fuerzas motrices de cada punto.

Más claro, las fuerzas exteriores F mediante los enlaces,
tienden á producir un movimiento efectivo y las fuerzas h se
oponen á este movimiento, creando aceleraciones iguales y
contrarias al movimiento efectivo, que es destruir dichas
aceleraciones.

Luego entre las fuerzas F y las fuerzas h debe haber equi-
librio mediante los enlaces, y, por lo tanto, será aplicable al
sistema (F,, h) el principio de las velocidades virtuales.

Pero las fuerzas h son numéricamente iguales y contrarias
á las aceleraciones multiplicadas por las masas, luego ten-
dremos la ecuación,

E [(1, cosa + X,)3x + (h, cosp + Y,)3y, +
+- (A, cosY Ll Li) 021] 57 0,

extendiéndose la suma á todos los puntos del sistema.
Ahora bien;

dx
hi, cosa = — H, cosa = — MM, ===
df?
d?
h, cosf = — H, cosf = — pp
dí?
dez
h, cosy = — H, cosy = — mM, A

luego la ecuación del principio de las velocidades virtuales
se convierte en

o DO ii

Ó, si se quiere, cambiando signos, y llamando, para abre-
víar, FUERZA DE INERCIA á la masa por la aceleración con
signo contrario

que se expresa abreviadamente, diciendo que en todo movi-

miento sujeto á enlaces, y asimismo cuando no los hay,
deben estar en equilibrio las fuerzas de inercia y las fuerzas

efectivas.
Y damos esta definición como si realmente las expresio-
d2x; E EN
nes — m; e representasen fuerzas efectivas aplica-

2

das al sistema.

Claro es que si no existen enlaces, todas las variaciones
de x, y, z son arbitrarias, y entonces todos coeficientes de-
ben ser igual á cero, lo cual nos da las ecuaciones del mo-
vimiento ya conocidas para un punto libre:

dix,
dt?

Ll o A

1

A e
de

6 bien

Es evidente, que todo lo que dijimos para el caso del equi-
librio, es aplicable en este nuevo caso.

Hay, pues, que tener en cuenta, además de la ecuacion
general del principio de las velocidades virtuales, las ecuacio-
nes de los enlaces L, = 0, L, = 0;..... es preciso diferenciar
estas últimas, despejar las variaciones ó velocidades virtuales
dependientes en función de las independientes; eliminar las
primeras de la ecuación general; igualar á cero todos los coe-
ficientes de las variaciones que queden, que ya son in-
dependientes; y por fin, tener en cuenta, además de estas
ecuaciones, todas las de los enlaces, lo cual nos dará, como
ya dijimos entre ecuaciones diferenciales, que serán de se-
gundo orden, y ecuaciones generalmente en términos finitos,
que serán las de los enlaces, tantas ecuaciones como funcio-
nes X, y, Z..... debemos determinar por la integración en fun-
ción del tiempo.

Nada diremos del método de los coeficientes de Lagrange,
que implicitamente están comprendidos en la demostración
de Poinsot, y daremos por terminada esta rapidísima reseña
de métodos, que la mayor parte de mis oyentes conocen de
antemano.

Dos puntos nos quedan todavía como preparación para el
teorema de Poincaré; el teorema de Hamilton y las ecuacio-
nes fundamentales de Lagrange.

Pasemos, pues, al principio de Hamilton.

—

Consideremos un sistema de puntos sujetos á determina-
dos enlaces y moviéndose bajo la acción de fuerzas deter-
minadas.

El punto m (fig. 44) describirá, por ejemplo, la trayectoria
AabcB entre el tiempo f, y el tiempo f,.

El punto m' describirá asimismo la trayectoria A” C” B' en-
tre los mismos instantes f, y f,, y otro tanto pudiéramos de-
cir para los diferentes puntos del sistema.

Supongamos ahora, que se
trata de una curva infinita-
mente próxima á la verda-
dera trayectoria de m, que
es AaB.

Sea esta nueva curva Aa”
bc B.

Dicha curva es arbitraria,
pero está sujeta á una con-

Figura 44. dición, sin embargo, y es que

sea compatible con los enla-

ces del sistema. No es la verdadera trayectoria, pero pu-
diera serlo si fueran otras las fuerzas.

Lo que hemos dicho para el punto m, pudiéramos decir
para el punto m', de modo, que 4'D'B” es una curva infini-
tamente próxima á A"C'B”.

Lo mismo repetiriamos para las restantes trayectorias, á
cada una de las cuales corresponderá otra curva ó trayectoria
virtual.

Los puntos extremos correspondientes á los dos instan-
tes ¿= ft, y t=t, son comunes para dos curvas, y así A»
A”..... corresponden al instante £,, y B, B:..... al instante f,.

Consideremos la trayectoria AabcB: el móvil m ocupa las
posiciones a, b, c.... en instantes determinados; pues sobre la
curva virtual Aa'b'c'B tomamos puntos arbitrarios a”, b”, c'....,
pero en serie continua é infinitamente próximos á a, b C.....

Esta condición aun puede precisarse más.

El

Si el movimiento sobre A B está determinado, esto querrá
decir que las coordenadas del móvil en cada instante esta-
rán definidas en función del tiempo por tres ecuaciones:

x=4(8), y=%0), 2=1(0),

resultado de la integración de las ecuaciones diferenciales.

Pues bien; los puntos a”, b', c'..... serán tales, que sus coor-
denadas estarán definidas por tres funciones, cuyos valores
numéricos diferirán cantidades infinitamente pequeñas con
respecto á a, $, y: podrían ser, siendo x,, y,, 2, las coorde-
nadas de la curva virtual,

Xy =4(t), y, =B(t), 2, = - 11, (0)

a) —a(t), MOB, 10-110

serán cantidades infinitamente pequeñas para cada valor
de f.

Ahora vamos á expresar dos funciones para ambas cur-
vas, á saber: 1.*, la semifuerza viva, y 2.”, un trabajo
virtual.

En cada punto de la trayectoria, la mitad de la fuerza viva
del móvil está perfectamente determinada si el movimiento
es conocido; y en todo caso, la forma de dicha semifuerza
viva es conocida también; será

2 las) +Car) +Lar) )

de modo que se puede considerar como una función de f
conocida ó desconocida; porque tendremos, diferenciando
las tres ecuaciones del movimiento,

— 232 —

dx : dy , dz
Lao, Loro, Ett
Ea LO O

con lo cual se reduce aquélla á

l lo 2 Y 2 É 2
¿O EOr+ Er oy),

Como lo mismo podríamos. decir de las demás trayecto-
rias, sumando todas estas semifuerzas y representando las
sumas por 7, tendremos para la mitad de la fuerza viva del
sistema en cualquier instante f,

br ley (de) (277
2 m[(att)Y + (640) + (700) y |=F(

Si no se ha resuelto el problema, no se conocerán a, $, y
ni F, pero se concibe que existen.

Supongamos ahora que cada masa mm .recorre, no su ver-
dadera trayectoria, sino lo que podemos llamar la trayecto-
ria virtual; por ejemplo, la masa m, la línea Aa'b'c'B.

Calculando la mitad de la fuerza viva de este movimiento
virtual, y llamándola 7,, tendremos para todo el sistema:

m | atoy + (0Y + Gor |,

que no será el valor 7 para cada instante ?; pero que dife-
rirá infinitamente poco, de suerte que podremos escribir,
marcando por una delta la variación,

=T+097.

E

— 233 —

Ahora bien, multipliquemos cada variación T por la dife-
rencial del tiempo que le corresponde; integremos el resul-
tado entre £, y t,, y tendremos la integral definida, aunque
infinitamente pequeña, porque cada elemento es el producto
de dos infinitamente pequeños,

SiaT.at

Esta es la primer función que tratábamos de determinar.

Volvamos á la trayectoria ADB y á la trayectoria virtual
Ab'B, y consideremos dos puntos homólogos b y b', que
corresponderán á un instante /.

Consideremos asimismo la fuerza F, que es la que deter.
mina el movimiento del punto m con sujeción á los enlaces,
pero siendo ella la fuerza que verdaderamente actúa, y ob-
tengamos el trabajo virtual correspondiente, por ejemplo, á
la variación virtual bb” del punto b, será:

FoQbd.

Si las fuerzas F tuvieran una potencial, es decir, si sus
componentes fueran las derivadas de una función Xx, y, 2,
aun podría definirse este trabajo virtual de otro modo; pero
no entraremos en más pormenores, basta por ahora con lo
dicho.

Si para todos los puntos de la trayectoria A B hacemos lo
mismo y sumamos todos los resultados, que es como inte-
grar, y si repetimos iguales operaciones para todas las de-

- más trayectorias, que es hacer una suma, pero cuidando an-

tes de multiplicar cada trabajo virtual por df, tendremos,
siendo siempre los límites f, y f,,

FEF. va) at.

— IM —

Pero ya hemos explicado en otra conferencia, que el tra-
bajo elemental de una resultante es igual á la suma de los
trabajos elementales de las componentes; luego representan-
do, en general, las componentes de F por X, Y, Z, y las
proyecciones de bd sobre los ejes, por 0x,3y,0Z, resultará:

y N(Xdx + Y dy + Zóz)dt,

0

en que la integral, como queda dicho, comprende del tiem-
po £, al tiempo f,, para cada trayectoria, y la * comprende
todas las trayectorias de todos los puntos del sistema, entre
los. puntos A). B: 4”, Be

Obsérvese que la fuerza F está determinada para cada
punto b de las trayectorias, pero esto es como decir, que está
determinada para cada instante f; luego podrá considerarse
que X, Y, Z son también funciones de £ con lo cual la inte-
gral tiene una forma perfectamente determinada.

Sumando ahora las dos integrales obtenidas, la primera
que se refiere á las semifuerzas vivas en cada instante, y la
segunda á los trabajos virtuales en ese mismo instante, ten-
dremos:

> bo
de T.dt4f 7 1(X0x + Yay + Z32) dl,
ó bien, puesto que las integrales tienen los mismos límites:
t,
I=f, PDT+X(X30x + Y dy + Z32)] dt,

cuya integral hemos expresado, por abreviar, por /, y tam-
bién la podremos llamar la integral de Hamilton.

El teorema de dicho autor, es el siguiente:

Dado el movimiento de un sistema de puntos sujetos á en-
laces, y determinando curvas virtuales que substituyan á

— 233 —

cada trayectoria verdadera, pero teniendo los mismos pun-
tos extremos comunes para los instantes í, y f,, la integral /
es siempre igual á cero, sean cuales fueren las curvas vir-
tuales que se elijan.

O de otra manera, la integral de las variaciones de la mi-
tad de la fuerza viva y de los trabajos virtuales, será siem-
pre igual á cero.

No ha de olvidarse la observación que hicimos en la con-
ferencia anterior. La integral es infinitamente pequeña, y po-
dría entenderse que por sí había de ser cero, en cuyo caso
no existía el teorema. Ha de aplicarse aquí lo que hemos di-
cho respecto á una suma de términos infinitamente peque-
ños; han de eliminarse por las ecuaciones de los enlaces las
variaciones dependientes y cuando queden sólo las indepen-
dientes, todos sus coeficientes, que serán cantidades finitas,
han de ser rigurosamente iguales á cero.

Demostrado ya el principio de las velocidades virtuales,
la demostración del teorema anterior es de una sencillez ex-
traordinaria: no hay más que integrar por partes.

Consideremos en la integral de Hamilton la parte que se
refiere á T, y en ésta pongamos en evidencia la de una tra-
yectoria determinada; tendremos, llamando 7, dicha parte
de 1.

(DY (Ey
e HE ¿de Él ( y al +) | e

Se sabe por cálculo de variaciones, que los métodos para
tomar variaciones de una función son los mismos que para
diferenciar, lo cual es bien claro, puesto que una variación
es una diferencial en el fondo; y sabemos, además, que el
orden de diferenciación y de variación puede alterarse lo
mismo que el de dos diferenciaciones, luego podremos efec-
tuar las transformaciones siguientes:

pe
DADAS
2 PE) Pla) Par) Ju

t, ES e > je

1
=> 47 2
Y NE A dt

- t, » A >
=mf (e ea
t dt: <a 0 a DE" OY

Ahora podemos integrar por partes cada uno de los tér-
minos: tomemos el primero, y lo mismo podríamos repetir
de los restantes,

t dx dóx dx ar ye 2idex e
—— dt=|=—==5x| — 0%;
dat at PRCAOE PALOS TO

porque es evidente que

parte integrable, es igual á 5x.
Pero 6x es nula para t, y para f,, puesto que la trayecto-
ria real y la trayectoria virtual coinciden con sus extremos;

por lo tanto, la primera parte desaparece.
Y como podemos decir lo mismo para todos los demás
dy diy dz doóz

términos — ——=, —
AE: a dt. ¡di

, que están bajo la integral,

sólo quedará

ty 2 2 2
(Eos Gay — m EE)
He at dt? al?

es decir, que para la trayectoria que estamos considerando,
la parte relativa á T será

AICA
ds

— 237 —

tb: t; 2 o 2
adi —= (ax E 9y —m g A 0z dt;
ta SN dt? di? dt?

y efectuando igual transformación para todas las trayectorías,
y substituyendo en la ecuación de Hamilton

t;
1=/| y
t,

Ó bien

ts d?x d?*y
I= LN A Xx mM Y jo
il Ll 7%) +l Gin OA
d?z
E Mo O
la

Pero la cantidad que está entre paréntesis, según el prin-
cipio de las velocidades virtuales, es igual á cero para todas
las variaciones de x, y, z, compatibles con los enlaces, como
hemos supuesto en este caso; luego /= 0, y el principio de
Hamilton queda demostrado.

=

( DS d?y Aci ]
— m 0x —m ——0y — m 0Z
E dt? dt? dt?

+(X0x + Yoy + 232)| dt,

id

Hagamos aplicación de este principio para demostrar las
célebres ecuaciones de Lagrange, que más de una vez ten-
dremos ocasión de aplicar en cursos sucesivos.

Y volvamos á escribir la ecuación de Hamilton, cuyo sen-
tido hemos procurado explicar con toda la claridad que nos
ha sido posible.

La ecuación era ésta:

— 238 —

rd [TY Y(XBx + Y iy + Z32)]dt=0,

en que 7 representa la semifuerza viva total del sistema en
cualquier momento, entre £, y f,; en que 9 significa que se ha
de tomar la variación de esta semifuerza viva en cada ins-
tante, comparando la trayectoria verdadera y la trayectoria
virtual y arbitraria, pero arbitraria dentro de los enlaces;
en que X, Y, Z son las componentes de la fuerza para cual-
quier instante; y por fin, en que 0x, ¿y, 0z, son las variacio-
nes de las coordenadas de cada móvil al pasar de la trayec-
toria verdadera á la trayectoria virtual.

Claro es, que esta ecuación de Hamilton, tal como la he-
mos explicado y tal como la hemos demostrado, supone que
todos los puntos del sistema están determinados por sus co-
ordenadas Xx, y, z; pero el teorema es independiente del sís-
tema de coordenadas que se elija; pues T representa una se-
mifuerza viva que es independiente de las coordenadas; es
en cierto modo un parámetro del movimiento en sí. Podrá
expresarse en función de las coordenadas rectangulares
x,y,Z,6 de otras coordenadas oblicuas Ó de coordenadas
polares, pero siempre tendrá el mismo valor numérico.

Y, por lo tanto, 67 para cada instante, también será un
número determinado.

En cuanto áX[Xox + Y oy + Z0z], aunque aquí esté ex-
presado en función de x, y, z, no representa más que un tra-
bajo virtual, como ya vimos al principio; trabajo virtual que
tiene un valor en sí independiente del sistema de coordena-
das: es otro parámetro del movimiento.

En resumen, la integral de Hamilton es independiente del
sistema de coordenadas, aunque para la demostración ha-
yamos escogido el sistema más sencillo Ó que más se adap-
taba al artificio que íbamos á emplear, que, en substancia,
era el de la integración por partes.

Precisamente ahora vamos á aplicar la integral de Hamil-

- 0

ton y su principio á otro sistema de coordenadas, que es el
que emplea Lagrange: al de las coordenadas verdaderamen-
te independientes en cada caso.

Cuando un sistema sujeto á enlaces se mueve bajo la ac-
ción de ciertas fuerzas, estos enlaces, siempre que se ex-
presan por igualdades ó ecuaciones, indican que las 3 n
coordenadas de los n puntos no son independientes; si lo

fueran, los puntos estarían libres, Ó, mejor dicho, sólo esta-

Figura 45.

rían sujetos á las fuerzas directamente aplicadas sobre
ellos.

Fijemos las ideas por un momento, que en estas materias,
un tanto sutiles para los principiantes, nunca se peca por
excesos de claridad.

Supongamos tres puntos a, b, c (fig. 45), que se mueven
bajo la acción de fuerzas, F,, F,, F,; pero advirtiendo que
el punto a se mueve sobre una curva A; el punto b, ha de
moverse sobre otra curva B, y el punto c sobre una superfi-
cie S.

Además, los puntos a, c, están unidos por una varilla sin
masa é indeformable, de longitud /; y los puntos b y c están

E

asimismo unidos por otra varilla, de longitud /, en iguales
condiciones.

Los puntos son tres; el número de sus coordenadas será
nueve; pero el número de coordenadas independientes, no
será más que dos.

Por ejemplo, si sobre las curvas A y B se toman dos pun-
tos fijos a, y b,, y se representan las longitudes de los arcos
a, A por s, y b,b por s”, éstas pudieran ser las verdaderas
variables independientes. Para cada valor de s, el punto a
queda determinado. Luego sus tres coordenadas quedan de-
terminadas también; si las representamos x,, y,, 2,, ten-
dremos:

x, =a(s), y = p(s), 21 = 05)

y lo mismo podremos decir para el punto b. Llamando x.,
y,, 2, á sus coordenadas, también tendremos:

Xx = (8), Ya Bs) 22= y1(S').

Por último, determinados los puntos a y b, el punto c
queda determinado, á su vez, porque si el sistema acb gira
alrededor de un eje ab, el punto c describirá una circunfe-
rencia, y cuando corte á la superficie S, dicho punto c se
hallará fijo, y, por lo tanto, determinado.

Claro es que prescindimos de la multiplicidad de solucio-
nes para no complicar esta exposición general.

Resulta de aquí, que las coordenadas del punto c, que lla-
maremos X,, Y3, 2, Serán funciones, por de contado, de los
parámetros de las curvas, parámetros que son constantes,
de los parámetros de las superficies, que son constantes co-
nocidas también, de las longitudes / y /' de las varillas, y
de las variables s y s” que fijan las posiciones de los pun-
tos a y b.

En suma,

X¿ = 0% (5, S'), Ya = Pa (5,5), Z; = Ya(S, S').

— 241 —

Vemos, pues, que las verdaderas variables independien-
tes no son las nueve coordenadas, sino las dos longitu-
des s y s'.

Se comprende, pues, que al plantear un problema de Me-
cánica, convendría escribir sus ecuaciones diferenciales sólo
con relación á las verdaderas variables independientes, que
no es lo mismo tener dos ecuaciones diferenciales en que
sólo entren las derivadas con relación al tiempo de s y S',
que nueve ecuaciones diferenciales con todas las derivadas de
segundo orden, con relación á f, de las nueve coordenadas.

Precisamente esto es lo que ha procurado Lagrange en
sus célebres ecuaciones, no tener que calcular, sino sobre
tantas ecuaciones diferenciales como son las variables inde-
pendientes; como si dijéramos, tantas ecuaciones como in-
cógnitas y no complicar las integraciones con funciones in-
útiles.

Esto dicho en términos generales, que casos hay en que
se manejan más fácilmente nueve ecuaciones que dos.

Supongamos que en un problema de mecánica el número
de puntos sea n y el número de variables independientes que
representaremos por Q,, 4», Qs»... Qm, sea m. Es claro que
todas las coordenadas de los puntos del sistema se expresa-
rán en función de las q, y así tendremos

O ib. duh
y, = Br(Qu, Qe -.--- 4m),
21 =Y1 (91,92... 4m),
A 0 A dnd:

y deberemos eliminar de la ecuación de Hamilton las x, y, 2,
en función de las q.

Recordemos que la función 7 es, en general, de la forma,

Rrv. Aca. Ciexcias.—V.—Noviembre, 1906. 17

— 242 —
E [LE AO e
eri lor bi

y deberemos obtener, por lo tanto, para eliminar Xx, y, Z.....

los valores de ii, bas dd Eds deducidos de los valo-
AE" ARANA

res de x, y, 2,..... que suprimiendo subíndices para abreviar,

serán de la forma general,

A da dq; da dq, 8 4 do dqm
dt dq, dt o A dm At
Y A A dé dqm
di do ANN di. Qí dm At
LOS a A E CO dy dqm
di da OEA TA A: ¿dnd

da di dy

En estas expresiones todos los coeficientes y KÁ,—
dq” dq dq

son funciones de forma perfectamente conocida de Q,, Qha.....
Qm, puesto que es conocida la forma de las funciones x, f, y.

Llamando, para abreviar, q” á la derivada e de modo

que
24 RN de!
dt Ss dt Us
tendremos
Eo (91, 9 Im Lis O di)
di Pild1r>) da -.-.. A A de

ó suprimiendo los subíndices

dx _
PRO ¿1(q, 9);

AS e
y asimismo
d 7
Ea = (4, 47),
dz ;
Ek = esq, q).

Substituyendo en T estos valores, resultará para T una
función de forma perfectamente determinada ó que se puede
suponer determinada para el razonamiento, de las q y de las q”.

Así pues,

O A id MU A O

Ó abreviadamente,
T=V (4,4),

en que hay que poner todas las q y todas las g” con los sub-
índices correspondientes, 1, 2, 3..... m.

Al substituir, pues, en la ecuación de Hamilton estos valo-
res de T en función de las q, habrá que tomar las variacio-
nes respecto á las q y q” por el procedimiento de la diferen-
ciación de las funciones compuestas.

De modo que para una T cualquiera tendremos

A A A do.
¿T=5T (q,q) = q, + NE di
dq; dq»,
dT dT dT dT
1) 0 á 0 de ..... 0 ets
=P da 4m + an DS 0 Ya + ra q

que para no complicar la escritura, y representando * una
suma, que se extiende á todos los subindices, podrá expre-
sarse así:

— DIA —

Pasemos ya al segundo término de la fórmula de Hamil-
ton: E (Xdx + Ydy + Z3z).

Es claro que X, Y, Z serán funciones de x, y, 2; luego,
poniendo los valores de estas cantidades, resultarán aque-
llas funciones de las q.

Por otra parte; tomando las variaciones de x, y, z, resul-

tará en general

EZ E 00,
dq
y del mismo modo,
y ¿a O
dq q

cuyos coeficientes son funciones de las q; luego 6x, 0y, 92,
serán funciones de forma conocida, puesto que lo son las
a, 6, y, respecto á las q; y funciones lineales de las 5q.

En suma, substituyendo los valores de las X, Y, Z y de
las 6x, 5y,6z, el término

YN (X0x + Yoy + Z0z)
se convertirá en la siguiente expresión:
Q,5q, + Q22 + ..... QmiQm»

Ó abreviadamente,
2099,

en que el signo > se extiende á todos los subíndices.

A a
a

— 245 —

Substituyendo en la ecuación de Hamilton /, los dos tér-
minos

dir dT
AN == =$
da 0q + me q
Aa
E(Xox+Yoy + Z0z) =*Q99,
resultará

ti
1=/ |, da + 2,790 + 2059] dt: =0:
to dq dq

La primera * ó sea la exterior, se refiere á las diferentes
trayectorias, así como cada paréntesis de los que abarca %
se refiere á cada una de estas trayectorias. Las segundas 2,
es decir, las que están dentro del paréntesis, se extienden á
todos los subíndices. Y, por último, la integral comprende
todos elementos diferenciales, respecto al tiempo, entre los
límites de dicha integral.

En ésta aparecen las dq, que son las verdaderas variacio-
nes independientes compatibles con los enlaces y, además,
las variaciones de las q”.

Pero estas últimas son funciones de las primeras, por-
que q” es la derivada de q, y hay, por tanto, que eliminar-
las en función de dichas variaciones independientes 3 q, lo
cual se consigue, como en todos estos casos del cálculo de
variaciones, por una integración por partes.

Así lo hicimos en la demostración de la fórmula de Ha-
milton y así lo vamos á hacer ahora.

s o 0%
Consideremos, pues, el término » 9q” que es el único

que contiene 57.
A éste se le puede sujetar á las siguientes transforma-
ciones:

de

poa 0 ca 02 dT, Le

pel
dba
Invirtiendo el orden de 3 y d é integrando por partes:

cat, La N]
¿Ts aa? aT d DON
b cen dt al dt

MS
to 0 d E
di q.

Pero la primera parte es nula, porque los puntos extre-
mos de la trayectoria real y de la trayectoria virtual coinci-

den para ft, y f,, así
a 1 dí a dT

Fl | ii 1 (39), =0,
dq' to A dq t; dq

(59): =0, (39), =0.

porque no debemos olvidar que q' =

puesto que

Queda la ecuación de Hamilton convertida en

dT

d —

t;

fa [-2 es 09 + 059 +09] at =0;
t, dq

ó bien cambiando signos y no dejando más que dos *: una
exterior, que se extiende á todas las trayectorias, otra inte-
rior, que se extiende á todos los subíndices,

a

1 fx [3 ( a O) gr =0

e

Como todas las de 3q son independientes y pueden tener
valores arbitrarios en cada elemento de la integral y distin-
tos valores, arbitrarios también, al pasar de un elemento á
otro, la ecuación anterior no quedará satisfecha sino redu-
ciéndose á cero todos los coeficientes de las 3q para todos
los elementos de la integral:

Así, en general,

er
A
di dq

que comprende tantas ecuaciones como subíndices; es decir,

como incógnitas q.
En vez, pues, de la ecuación anterior, podemos escribir

las ecuaciones siguientes:

dT
de, dT Oo p
di da,
aT

LARA a y
dt dq», IAN
dT

dim A A
dt dm AO

es decir, m ecuaciones que integrar, que nos darán en fun-
ción de £ los valores de q, Q»..:.. Qm:

Estas son las ecuaciones de Lagrange.

Fijémonos bien en su estructura y en el modo de formar-
las para evitar dudas y confusiones en mis oyentes.

*
* o*

EA A

La función T en cada elemento de la integral, es la suma
de cantidades de esta forma:

1 dx ] dy NY? dz.N

— m —_—. —— a .

a) + Car) + (a)
en la que deben substituirse las tres componentes de la ve-
locidad por sus valores deducidos de las ecuaciones que de-
terminan x, y, z en función de las verdaderas variables in-

dependientes Q,, Q»..... Gm. Estos valores hemos visto que

dq, 014» 4 m

son lineales respecto á —=, podemos escri-

DES MES
birlos así
dx da, d4, 14m
— = (4 — + 0, =+....aq :
dt 7 Pili dt + "dt

en que 4,, 0,, Az... son funciones de forma conocida en q,,
da du
dq,” dq»

Si las derivadas de q las representamos, para abreviar, |
por q”, tendremos:

dx - y ,
a ci + Am 4 m>

y análogamente,

nl ts a A

d / / de
EY — bg”, b 120 4 SA DmQ m»>
di

dz , , A
7 = 10 1 + Col > + a CmQ mn+-

Por lo tanto, el término de 7, que estamos considerando,
será:

— 249 —

E)

Desarrollando esta expresión, vemos que resultará una
función homogénea de segundo grado, respecto á las q”,
porque no entrarán más que cuadrados y productos:

Los coeficientes serán, como sabemos, funciones de for-
ma conocida, que contendrán las q y que serán distintas en
cada ejemplo, dependiendo de la forma de a, f, y.

La primera operación que hay que efectuar sobre T es di-
ferenciarla respecto á las q”, lo cual no ofrece dificultades,
puesto que la forma es conocida.

Así, pues, — será una función de las q y de las q”:
q

llamémosla f (q, 9”), y, por lo tanto,

4 eE
dd dad)
dt di

Al diferenciar f respecto al tiempo, advirtiendo que f es,
como acabamos de ver, de forma conocida, tendremos, po-
niendo todas las q y q” en evidencia,

a E

aa dy [IA pde

dt | df
Ae. df day + A + af a AO
Di ¿AE de, dt
diia df ARA
dq, di + dq» a + ARE Mo dm Um +
df df , ' df ze
FÉ —— OU y TU itSE..... M3
de an a NS
= (9, 9,9");
e ; dq >» N
es decir, una función en que entran q, q" = ab? yq.
d?q

a ó sean las derivadas de segundo orden de las q.

A esto se reduce la primera parte de cada una de las
ecuaciones de Lagrange.

En el segundo término no entrarán más que las q y

las q” que entran en 7, y la diferenciación no ofrece dificul-
tad, puesto que la forma de T es conocida.

En suma, cada una de las ecuaciones de Lagrange es una
ecuación diferencial de segundo orden, y todas ellas juntas
constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales de se-
gundo orden simultáneas, de las variables Q,, Q»..., Qm iM- -
dependientes respecto á los enlaces. Todas son funciones
desconocidas aún del tiempo f, y, precisamente, en obtener
estas funciones por la integración, consiste la solución del
problema, porque conocido q,, 9»..., Gm en función de f, las
funciones 2, $, y, darán, para cada instante, las coordena-

das x, y, z... de cada masa móvil.

— 251 —

Sin embargo, algo tenemos que decir todavía sobre el úl-
timo término Q de cada ecuación de Lagrange.

Cómo se determina cada Q, ya lo hemos explicado; pero
hay un caso particular en que debemos fijar nuestra aten-
ción.

Este último término que estamos considerando, procede
de la transformación de coordenadas del último término de
la ecuación de Hamilton, que es la suma de trinomios de
esta forma:

Xox + Yoy + Zoz.

Pero en algunos casos, los más importantes dada la hi-
pótesis mecánica, X, Y, Z son funciones de forma particu-
lar; es decir, que son las derivadas de una cierta función,
de x, y, z, que llamaremos función de fuerza 6 función po-
tencial, con signo cambiado, y que designaremos por

—U(x, y, 2).

De modo que en este supuesto

y sólo por dar más sencillez á los enunciados, se pone en
evidencia este signo menos: es puramente cuestión de nota-
ciones.

Dicha observación se enlaza con un principio fundamen-
tal de Mecánica, y fundamental todavía en la explicación
mecánica de los fenómenos del Universo, y, es claro que,
por hoy, no podemos tratar la cuestión en general, y hemos
de limitarnos á algunas indicaciones sobre puntos especia-
les, enlazados con nuestro objeto.

Para no ir completamente á ciegas, pongamos un ejem-
plo. Supongamos que el sistema se reduce á un punto, el

— 252 —

cual, bajo la acción de una fuerza, F, cuyas componentes
serán X, Y, Z, describe determinada trayectoria.
Las ecuaciones del movimiento de este punto sabemos

que son
be APTA
q
d?y
dt?
d?z
dt?

ed

,

que en la hipótesis que consideramos se convierten en

dei o O
A ma
TENA dU
de NR
de ¿MES dU
de a

Si multiplicamos, respectivamente, por 2dx, 2 dy, 2 dz
y sumamos, resultará

24xd*x 2dyd?y 2d2d?z
m ——- - A KÁ MMM»
dt? me dt? be dt? )
A tes SAA: pedo d2)= — 2dU,
dx dy dz

é integrando y observando que en el segundo miembro en-
tra la diferencial total de U, y que, por lo tanto, su integral
será la misma función, tendremos

AE)

— 253 —

El primer miembro es la semifuerza viva del punto m, así

mu?

=-—U-+£€,
3 di

Supongamos que para el instante í,, la velocidad es u, y
el valor de la función U es U,, tedremos

muy?

=— 0, +C,
> o +
y eliminando C,
mu? mu? E
2 2 LARES
Ó bien
2 2
na po ULA U,

Luego, para cualquier instante, la suma de la fuerza viva
y de la potencial U es la misma que para el instante inicial,
Óó sea
mu?
2

/

+ U = constante.

Esta suma tiene una importancia extraordinaria en la apli-
cación de la Mecánica á los problemas de la Física.

A E NE
El primer término 7 mu? es lo que se llama energía ci-

nética ó actual, y es la que se manifiesta bajo forma de mo-
vimiento. |

La segunda parte, U, también recibe el nombre de ener-
gía, pero de energía potencial. En términos de escolástica,
puede llamarse energía que está en potencia, también pu-
diera decirse que está almacenada, ó latente; en suma, que

a A

no está en acto; es como un resorte que se halla comprimi-
do, y que cuando se extienda realizará un trabajo.

Puesto que la suma de los dos términos es constante,
todo lo que uno aumente disminuirá el otro y recíprocamente.

Aumenta la fuerza viva del punto M, pues en otro tanto
ha disminuido la potencial U: es que una parte de la ener-
gía potencial se ha hecho energía actual ó cinética, lo cual
quiere decir que se ha convertido en fuerza viva.

Por el contrario, la fuerza viva disminuye, pues toda la
cantidad en que disminuya es aumento para U. Ha dejado
de ser energía cinética ó actual y ha pasado al estado latente
6 potencial; se ha almacenado en el resorte que constituye
la fuerza F, Ó á que puede asemejarse. Y estas transforma-
ciones se efectúan, por decirlo así, por el trabajo de las
fuerzas X, Y, Z. Este trabajo es el que unas veces se trans-
forma en fuerza viva, otras veces se almacenan en la fun-
ción U.

Esto que hemos dicho para el movimiento de un punto
puede generalizarse para un sistema.

Pero hay muchos casos que considerar: 1.”, los sistemas
de puntos libres; 2.”, los sistemas sujetos á enlaces, pero en
que no entra el tiempo; 3.”, sistemas sujetos á enlace, pero
cuyas ecuaciones contienen la variable f, es decir, que va-
rían de un momento á otro, y 4.”, por último, hay que estu-
diar la naturaleza de U(xy2), según sea Ó no uniforme.

Todo esto no podemos estudiarlo ahora y queda para el
curso próximo.

Nos contentaremos, pues, con lo dicho, consignando que
en general, y salvo la discusión que en su día haremos, en
los problemas de Mecánica con aplicación á la Física, se es-
tablece el teorema de que para cualquier sistema la suma de
la energía cinética y de la energía potencial es constante.
A este teorema se le designa con el nombre de principio de
la conservación de la fuerza, ó con más propiedad, de la
conservación de la energía.

— 255.—

No olvidemos que esto supone que las componentes de
cada fuerza F son las derivadas de una función U(x, y, 2),
es decir,

Claro es que si la función potencial es U, la función de
fuerzas será — U.

U representa en cierto modo el trabajo almacenado y dis-
puesto á actuar; en cambio, — U representa el trabajo des-
arrollado, porque hemos supuesto

—dU(x,y,2) = Xdx + Y dy + Zdz.

El signo es puramente convencional, como decíamos:
si + U es la función potencial, Ó sea el trabajo latente y
almacenado, claro es que — U será el trabajo desarrollado
y consumido en dar velocidad á las masas, Ó de lo que he-
mos llamado la función de las fuerzas.

Tanta importancia tiene la condición precedente, es decir,
la de que la expresión anterior sea una diferencial exacta,
que en un sistema en que no se verificase sería posible el
movimiento continuo.

Si U, para los mismos valores de x, y, z, pudiera tener
dos valores distintos, podría construirse una máquina de
movimiento continuo y crear trabajo indefinidamente.

Supongamos, para fijar las ideas, y en el supuesto siem-
pre de que el sistema se reduzca á un punto A (fig. 46), que
éste al pasar de A á B por el camino A CB, diera lugar á un
trabajo de la fuerza F á lo largo de dicha línea, cuyo valor
numérico positivo fuese U,; y al pasar también del punto A
al punto B por otra línea ACB, desarrollase otro trabajo
U, > U,, de suerte que en el punto B la función U tuviera
estos dos valores distintos.

a

Pues en este caso, construyendo una máquina que contu-
viera ambos caminos, haríamos partir al móvil del punto B, y
contrarrestando el trabajo U,, consumiendo, por lo tanto, un
trabajo igual y contrario al que desarrolla la fuerza al re-
correr la línea ACB, y haciendo al móvil que recorra dicha
línea, conseguiríamos que viniese al punto A, y después,
guiando al móvil por la línea A CB, la fuerza desarrollaría
un trabajo igual á U,. Es decir, que consumiendo un trabajo
U, habíamos obtenido un trabajo mayor: U,.

8 Por lo demás, como las curvas supo-
nen fuerzas normales á las mismas, y el
O trabajo de estas fuerzas es nulo, porque

es nula la proyección del elemento de la

Ci y curva sobre dicha normal, claro es que
A no hay que contar con este trabajo y

F F sólo queda el de la fuerza F. Suponemos
Y además que no hay resistencias pasivas.

A Lo que hemos dicho sobre los puntos
Figura 46. A y B, pudiéramos decir para dos super-

ficies de nivel U (x, y, 2) = constante.

Pero todo esto lo trataremos más extensamente en otra
ocasión.

Lo dicho sólo tiene por objeto que no les coja de sorpre-
sa á mis oyentes la condición que vamos á establecer en toda
hipótesis mecánica, que será siempre la de la conservación
de la energía.

Sólo diremos, como ampliación á lo expuesto, que todas
las fuerzas centrales y funciones de las distancias, tienen
función de fuerzas, es decir, sus componentes son las deri-
vadas de una función de x, y, 2.

Esto se demuestra inmediatamente.

— 257 —

Por ejemplo, sea f (r) la fuerza entre dos puntos de
masa m y m'.

Sus componentes serán, siendo x, y, z las coordenadas
de m, y a, b, c la de m',

Py A

Sea F(r) = F(V(x—a) +(y—0) + (cy) una
función de x, y, z, que pretendemos determinar con la con-
dición de que sea función de fuerzas; es decir, que sus de-
rivadas coincidan precisamente con las tres componentes
anteriores.

Será necesario que tengamos:

dF(r) e ro
e == E A =/f(r)
pero
aF(r) E
dx dx
dF (r) ES a dE) _p Gr E
dy f dz F

luego basta que F (r) sea tal que F'(r) = f (r) para conse-
guir este objeto.

Y como F (r) es arbitraria, la deduciremos de la ecuación
anterior, y su forma será:

F(r)= ff(ar.

Sif(r).= PER por ejemplo, F (r) será — ae
A

Terminada esta cuestión incidental, volvamos á lo que ve-

Rrv. Acap. Ciencias. —VI.—Noviembre, 1906» 18

+ DER SE

r . . r . 4 . v .
níamos diciendo respecto al último término Q de la ecuación
de Lagrange, para el caso en que existe una función de

fuerzas.
En esta hipótesis hemos dicho que

(Xdx + Ydy + Zdz) = Y diferencial total U (x, y, 2).
y la eliminación de x, y, z puede hacerse con suma facilidad,
Tomemos uno de los trinomios

dU

ó
q 5 J1+

X dx, + Y, dy, + Z,d2, =

y substituyendo los valores dx,, dy,, d2,, resultará:

dU y l du
dai AN a
dx, (za a A )+
E Br d$,
da, + as PA n)+
dy, X dq, dm
Ao 4 : dy, ;
q E OA La
dz, e A ms El q 3 dqm an)

y ordenando según las dq

Es da, , dU di, y qu e) ag Lg
dx, dq; | dy, dq, dz, dq; :

y como « es la función que expresa x, f la de y, y y la de 2,
resulta que el coficiente de dq, en la expresión anterior sera:

dU dx, , dU dy, y dU dz,
dx dq; dy; da, dz, de

Repitiendo esto para todos los términos de

Y (Xdx + Ydy + Zdz)

— 259 —
deduciremos que el coeficiente de dq,, es decir, Q, será
du de, dU dy; dU. adz;
dx, dq, dy, dq; dz, dq;

dU dx, , dU dys , du dz,
dx, dq; dy, dq; | dz, dq;

puesto que la función potencial es U(x,,Y,, 71, Xo, Yo, Zg.0...)
En este caso, pues, pueden escribirse las ecuaciones de
Lagrange bajo esta forma:

AA UA

red O,
dt. de dq dq

advirtiendo que hay que considerar á U como una función
inmediata de x, y, 2...., siendo estas variables funciones de
las variables independientes con relación á los enla-
IO AA

Tenemos, pues, todos los elementos necesarios para que
mis oyentes comprendan sin dificultad el teorema de Poin-
caré, que expondremos en la conferencia inmediata, la cual
será la última de este curso.

Pero considerábamos indispensables estas explicaciones
para justificar la condición que pondremos siempre al apli-
car la hipótesis mecánica á la resolución de cualquier fenó-
meno físico, á saber, la conservación de la fuerza, Ó dicho
con más exactitud, la conservación de la energía.

Principio que no hemos podido más que indicar ligera-
mente y al cual daremos más adelante todo el desarrollo que
por su transcendencia creamos necesaria.

— 260 —

XIII. — Estudios de Sintesis mineral.

POR JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO.

MM

Sobre las cristalizaciones por fusión.—De las influencias externas
y estados intermedios de la materia.—Algunos datos experimentales.

Hácese preciso, al estudiar los procedimientos de la sín-
tesis mineral, sean cualesquiera los cuerpos á que se apli-
quen, atender á los caracteres especiales de las substancias
formadas, ya representen sistemas definitivos, sencillos ó
complicados, ya sean productos intermedios, obligados tér-
minos para llegar á ellos, 6 simplemente materias secunda-
rias y accidentales, cuando no verdaderos residuos molecu-
lares, á veces tan importantes como las mismas especies
principales, á cuya exacta reproducción no siempre es dado
llegar por caminos directos ni empleando métodos sólo adi-
tivos de los más perfectos. Debe tenerse presente que el
objeto de la sístesis tanto es generar cuerpos como generar
formas naturales de cuerpos; y de aquí se sigue el que en
muchas ocasiones se alcancen enteramente sus fines par-
tiendo de éstos ya constituidos, limitándose su labor al em-
pleo de los artificios mejor apropiados para cristalizarlos,
apelando de continuo á la vía seca, y no es otro el medio, por
ejemplo, de conseguir el diamante, cristalizando de manera
adecuada el carbón, ó el corindo, partiendo de la alúmina
anhidra, con sólo fundirla de aquel modo especial que per-
mitió á Verneuil obtener rubies orientales limpios, de buen
tamaño y excelente color.

Recordaré, á semejante propósito, ciertos fenómenos de
observación frecuente, notados en particular intentando pro-

— 261 —

ducir cristales mediante el enfriamiento lento de masas de
cierta consideración, fundidas á temperatura muy elevada.
Y no se precisa indagar la generación de las formas pecu-
res de agregados químicos complejos, límites de reacciones
aditivas ó de metamorfosis sucesivas, hasta alcanzar un es-
tado definitivo y homogéneo representado en los cristales
típicos, que basta de continuo estudiar cuerpos sencillos y
substancias binarias, refractarias á los cambios, sólo realiza-
dos interviniendo el calor, conforme interviene en la ya ci-
tada fusión de la alúmina y materias que, á su igual, pueden
ser disolventes de óxidos metálicos coloridos que, retenidos
en su masa, dan á los cristales diversos tonos, sin que lle-
guen á formar, por lo común, verdaderas y definidas com-
binaciones químicas.

Interesan sobremanera los pormenores de la cristalización
por vía seca, aplicada á cuerpos que se funden á tempera-
tura muy elevada, no se volatilizan y tienen la propiedad de
disolver determinados óxidos metálicos, que en su masa ha-
cen oficios de materias colorantes muy fijas y permanentes.
En la Naturaleza hay gran variedad de minerales así for-
mados, y recordaré los cuarzos diversamente coloridos, las
fluoritas, de las cuales tenemos buena copia de diferentes
colores, y los que presenta la alúmina anhidra y cristalizada,
cuya síntesis, realizada de diversos modos, es el mejor
ejemplo de este linaje de fenómenos, en los que influyen, de
modo notorio, las condiciones externas en que se producen.
No basta conseguir en el estado de mayor pureza los cuer-
pos, mediante unión directa de sus elementos, ó generarlos
en virtud de reacciones químicas variadas, fundirlos luego
solos ó empleando fundentes al parecer inertes y dejarlos en-
fríar, en cuanto adquieran muy fluído estado líquido, con la
mayor lentitud, para que se formen cristales definidos y per-
fectos; en general, resultan masas dotadas de estructura cris-
talina ó constituidas, á veces, por el irregular entrecruza-
miento de cristales poco definidos y en ocasiones son de

— 262 —

extraordinaria pequeñez, agrupándose estos verdaderos mi-
crolitos como si fueran naturales; tal se observa en el pro-
ducto resultante de fundir juntos y en proporciones equimo-
leculares el fosfato disódico anhidro y el fluoruro de calcio,
empleando crisol de carbón y haciendo que el E”)
sea extraordinariamente lento.

Se puede notar, conforme lo hacen muchos autores, que
en ello síguense los mismos procedimientos de la Naturale-
za; porque los cristales de grandes dimensiones son de for-
mación antigua y parecen haber crecido, á semejanza de los
que obtenemos á diario apelando á la vía húmeda, perma-
neciendo durante mucho tiempo en el medio originario fun-
dido, lo cual significa influencia del mismo y de la lentitud
de sus acciones, ya que, si son rápidas, sólo se consiguen
cristalizaciones confusas y cristales pequeños, no siempre
bien definidos. Mejor se les llamaría, casi siempre, masas
cristalinas, según es difícil y aún imposible distinguir los
elementos de las formas regulares propias de los minerales
reproducidos.

Justamente se ha querido aprovechar semejante circuns-
tancia y de ella sacar partido para nutrir los cristales de su
propia substancia, haciéndolos crecer en el medio fundido
originario; y vale recordar, á semejante propósito, los ex-
perimentos de Fremy, Feil y Verneuil, concernientes á la
cristalización de la alúmina anhidra y síntesis del rubí orien-
tal. Obtenían el sesquióxido de aluminio amorfo descompo-
niendo por el calor el alumbre amoniacal; mezclábanle luego
á guisa de materia colorante una traza de ácido crómico, que
lo teñía de rojo; por separado disponían un crisol en cuyo
fondo colocaban fluoruro de calcio, y encima, sin tocarle,
un tabique hecho de lámina de platino con muchos agujeros;
luego venía la alúmina, y, tapado el crisol, era calentado
durante largo tiempo á temperatura elevada, sostenida por
varios días, seguida de lento enfriamiento con objeto de en-
gordar los primeros cristales formados, teniéndolos en un

— 263 —

medio líquido y en atmósfera fluorada. Consíguese el efecto
buscado, y las paredes interiores de la vasija aparecen tapi-
zadas de hermosos cristales rojos de buen tamaño, y recuer-
do haber visto una hermosa geoda de rubíes orientales, cuyo
peso no bajaría de un kilogramo, obtenida por el profesor
Verneuil, cuyos trabajos experimentales acerca del particu-
lar son bien conocidos; hay, pues, manera práctica, en las
cristalizaciones mediante fusión, para aumentar el volumen
de los cristales, aunque sólo hasta ciertos límites, emplean-
do artificios semejantes á los usuales en las cristalizaciones
por vía húmeda, entendiendo que, en gran parte, los resul-
tados son función del tiempo y de la temperatura, influyen-
do asimismo los medios gaseosos y la propia naturaleza y
constitución de los cuerpos.

También se logran buenos resultados en medios sólidos,
sea al generar las substancias, en virtud de reacciones quí-
micas sencillas, ó tomándolas ya constituidas y haciéndoles
adquirir formas cristalinas perfectas bajo la influencia de
otras, en este caso inertes respecto de ellas, y que no cam-
bian de estado. Al blanco, el vapor de azufre actúa sobre el
óxido de cadmio y engendra el sulfuro natural 6 grenoquita
cristalizado (Sidot), y empleándolo amorfo, poniéndolo en
el fondo de un crisol, que. llenaba con alúmina anhidra, ca-
lentando también al blanco, consiguió Hautefeuille, después
de lento enfriamiento, cristales de aquel cuerpo, terminados
por sus dos extremidades, formados entre la masa de ses-
quióxido de aluminio.

Lejos están, sin cmbargo, los cristales sintéticos, proce-
dentes de los métodos ordinarios, de tener las perfecciones
y limpidez de los naturales; ni aun poseen la transparencia
perfecta los producidos á elevadísimas temperaturas, y es
ejemplo la propia alúmina, colorida de verde con el sesqui-
Óxido de cromo, que resulta en la aluminiotermia. De no ape-
lar á los novísimos procedimientos de Moissan, aunque las
cristalizaciones no sean confusas, los cristales preséntanse

— 264 —

turbios, y no es en la superficie, sino en el interior de su
masa, como si no hubiese podido constituirse la materia
cristalina; á los más puros fáltales densidad, son frágiles, y
tal inconveniente no lo corrige del todo el recocido; presen-
tan en las caras estrías numerosas, que á veces penetran en
las primeras capas, y es singular la facilidad con que se es-
folian espontáneamente aun los más endurecidos. Señálanse
con marcadas rayas las direcciones de las esfoliaciones y el
conjunto de tales propiedades indica que se forman super-
poniéndose capas distintas, sin que entre ellas haya podido
establecerse perfecta adherencia, debido acaso á que, ha-
ciéndose más grueso el cristal sin estar enteramente forma-
do, las capas exteriores actúan aislando á las interiores de
la acción del calor, de suerte que su materia no puede alcan-
zar el estado cristalino, aunque el conjunto tenga todo el as-
pecto de cristal dotado de sus características propiedades, y
esto se advierte en cristales pequeños (los de O, Cr, produ-
cidos en masa de cloruro de sodio), como en aquellos cons-
tituídos mediante cierto linaje de reacciones aditivas compli-
cadas (formación de fluofosfato de aluminio, sodio y litio) y
en mezclas de otra índole (fosfato disódico y fluoruro cálci-
co), sirviendo el hecho para explicar las apariencias de al-
gunos cristales naturales, de seguro generados con veloci-
dad excesiva.

Un conjunto de fenómenos de tal especie ha de obedecer
á varias influencias de distintos órdenes, y juzgo las princi-
pales: la temperatura, en cuanto á su intensidad y á la ma-
nera de actuar el calor; el enfriamiento con sus correspon-
dientes grados y duración; la mayor Ó menor adherencia de
la masa respecto de la vasija que la contiene fundida y la
velocidad de las reacciones sintéticas. Acerca de estos pun-
tos citaré algunos experimentos sobremanera instructivos,
añadidos de las propias investigaciones que se concretan á
problemas secundarios y á pormenores de métodos practi-
cados en el laboratorio.

— 265 —

Mejores cristales se obtienen, no interviniendo la presión,
cuanto más elevada y uniforme sea la temperatura, lo mismo
cuando se trata sólo de cambiar la forma de cuerpos ya ob-
tenidos que en el caso de producirlos mediante reacciones
químicas de cualquier carácter; esto, que se considera evi-
dente, está demostrado en todos los casos de síntesis y se
infiere que ha de haber para cada uno de ellos su tempera-
tura crítica, y también la tiene el estado cristalino; es lo ge-
neral que la determine la de fusión del cuerpo. Bueno será
observar que en la práctica de los métodos, no empleando
el horno eléctrico, jamás resulta distribuido el calor con uni-
formidad en la masa, que debido á ello, si al solidificarse pa-
rece homogénea tocante á la composición química, no lo es
respecto del modo de estar agrupadas las moléculas, ni de
sus orientaciones, residiendo la causa en las variaciones de
conductividad de las distintas partes; y como en las más in-
ternas se sienten menos las influencias del calor, el trabajo
molecular no es completo, la materia no adquiere la fluidez
propia del afino perfecto y los cristales aparecen luego como
enturbiados, aunque se engendren en atmósferas propicias,
bajo las activas acciones de compuestos fluorados ó de fun-
dentes bien elegidos y apropiados.

Verneuil, que ha estudiado con minucioso interés cuanto
se refiere á la cristalización de la alúmina, advierte que es
perjudicial á la transparencia de los cristales operar con las
regiones más oxigenadas de la llama, y en grado sumo con-
veniente apelar á las ricas de carbono é hidrógeno, lo cual
significa que no es indiferente el modo de aplicar el calor
tratándose de hornos de gas (Flechter, Perrot, Raessler) ó de
la llama oxhídrica. Sucede algo semejante á lo observado en
la fabricación del vidrio; no sólo es menester formar el com-
plejo silicato ó mezcla de silicatos que lc constituyen; re-
quiérese, además, para su transparencia, un superior grado
de afino, consistente en mantenerlo fundido y flúido en de-
terminadas condiciones á temperatura elevadísima, y de la

— DE de

propia suerte la obtención de cristales por fusión y vía seca
exige su afino, si han de resultar transparentes; si la tem-
peratura no es suficiente ni uniforme, falta homogeneidad á
la masa ó se opera en medios demasiado oxigenados, apa-
recen de continuo opacos, aunque sean perfectos y consien-
tan determinar claramente sus elementos geométricos.

No es posible dudar de la existencia de un punto crítico
para el estado cristalino, y en las cristalizaciones por fusión
lo determina especialmente la temperatura, tanto en lo qne
respecta á su intensidad, cuanto en lo relativo á su distribu-
ción en la masa de los cuerpos fundidos, dependiente de la
conductividad. Acontece en los experimentos de sintesis mi-
neral que el calor no se distribuye de modo uniforme, aun
suponiendo homogéneo el sistema sobre el cual actúa, y
aparte de los efectos de disociaciones parciales y de los re-
sultantes de la presencia de productos secundarios, pueden
considerarse las substancias fundidas y liquidadas formadas
de capas ó zonas, que no son ni buenos ni igualmente con-
ductores del calor, y las más alejadas del foco no están or-
ganizadas de igual manera que las próximas, de lo cual
proviene que, al constituirse los cristales, siendo distintas
las condiciones de sus elementos, fórmanse opacos ó tur-
bios, de ordinario en las porciones más internas, como si
sus núcleos no correspondieran á un estado cristalino per-
fecto y acabado. Obsérvase muy bien semejante fenómeno
cuando cristalizan directamente y sin fundentes auxiliares,
en particular los óxidos y sulfuros, sólo fusibles á tempera-
turas extremadas muy sostenidas.

Ya lo tiene advertido Verneuil en sus investigaciones
acerca de la síntesis del rubí oriental, y de modo diferente lo

he comprobado en otros varios casos; y siguiendo sus bien |

entendidas prescripiones, pueden lograrse cristales transpa-
rentes y hacerlos crecer nutriendo sus superficies con la
misma materia sólida y muy dividida, lo cual vale tanto como
formar los cristales por superposición de capas, método cuya

-

— 267 —

práctica requiere singular destreza y no parece aplicable
cuando la reacción generadora y la cristalización son simul-
táneas. Conviene en ocasiones pasar del estado amorfo al
cristalino empleando medios sólidos, inertes y fijos á la
temperatura á que se opera (la ya citada síntesis de la gre-
noquita es ejemplo de ello), fundentes especiales (reproduc-
ción del sesquióxido de cromo en el cloruro de sodio), Ó at-
mósferas gaseosas fluoradas, cloruradas y sulfuradas, per-
mitiendo las últimas aplicar el procedimiento de Sidot á la
reproducción de minerales análogos á las blendas; otros más
complicados, cuya generación va acompañada de productos
secundarios y accidentales y varios resultantes de operacio-
nes aditivas puras, rara vez presentan cristales transparentes,
y el obtenerlos requiere nuevos artificios experimentales.
Ocurre, naturalmente, enlazar lo apuntado acerca de la
temperatura con las influencias del enfriamiento, que son en
extremo variadas y dependen casi siempre de su velocidad.
Esta puede ser tal, que no permita la constitución del estado
cristalino, resultando una masa vítrea; en cambio, si la len-
titud del enfriamiento es causa muchas veces de la formación
de cristales perfectos y de buen tamaño, otras, al contrario,
contribuye poderosamente á su opacidad, porque sobreviene
cuando no es llegado el punto crítico del estado cristalino y
destruye la homogeneidad del medio en que ha de ser gene-
rado. Tal sucede en el curso de la cristalización de la alúmi-
na por el método de Fremy: fundido, afinado y conservado
algún tiempo en estado líquido y en atmósfera flourada el
sesquióxido de aluminio, se deja enfriar el crisol con la ma-
yor lentitud posible; cierto que su interior hállase tapizado
de hermosos cristales rojos, mas no son transparentes como
los naturales de rubí oriental, presentan numerosas estrías y
rayas y suelen separarse sus capas sin gran esfuerzo; se nu-
trieron y crecieron en el seno de su propia substancia; pero
no consiguieron transformarla en perfecta materia cristalina.
Aunque la obtención de cristales mediante enfriamiento

— 268 —

lento de los cuerpos fundidos sea método bastante general y
se aplique con resultados excelentes, por ejemplo, en el caso
de los metales, tiene, no obstante, restricciones importantes;
no conviene emplearlo cuando se trata de cuerpos fusibles á
temperaturas extremadas, á causa de la dificultad de regu-
larlo dándole la velocidad necesaria, porque si es demasia-
da se corre el riesgo de que, solidificándose las porciones Ó
zonas externas, ejerzan presiones sobre la masa líquida in-
terior, en contadas ocasiones, y de ellas es la síntesis del día-
mante, favorables á la cristalización, que lo ordinario es que
provoquen reacciones químicas de índole diversa y no pre-
vistas modificaciones moleculares. En cambio, las velocida-

des mínimas, aunque parezcan acercarse más á la realidad -

de los fenómenos naturales, son las causas de la formación
de estados intermedios, cuando no generan masas vítreas ho-
mogéneas, en las cuales no se descubran ni siquiera rudi-
mentarias formas de cristales, y acaso por ellas mismas, al
constituirse los que son verdaderos productos de síntesis
mineral, no resultan transparentes ni presentan sus caras
limpias de estrías Ó totalmente libres de huellas de esfolia-
ciones, y en tal sentido las imperfecciones señaladas pueden
considerarse función de los modos del enfriamiento.
Pudieran influir en ellos, á lo que entiendo, la naturaleza
de los cuerpos sintetizados y las condiciones externas de las
operaciones, circunstancias que son parte á generar estados
moleculares intermedios que, sin afectar á la forma peculiar
del cristal, perturban de modo visible la homogeneidad de
su estructura. Debe tenerse en cuenta que no se solidifica
de la misma manera un líquido cuando la temperatura de
toda su masa desciende de un modo uniforme que si, á igual
velocidad, van enfriándose capas sucesivas: primero las más
exteriores, concretándose pronto, no se constituyen en esta-
do cristalino perfecto, y al propio tiempo preservan del en-
friamiento las internas: los casos de la cristalización del
azufre ó del bismuto por fusión, separando una parte de la

ns

— 269 —

masa todavía fundida, son ejemplos de los más sencillos,
tocante al hecho de que se trata.

Bueno será recordar, á igual propósito, un experimento
singular que ha recibido aplicaciones importantes por ser
manantial de temperaturas elevadisimas; me refiero á la ob-
tención del cromo metálico, actuando el aluminio con el ses-
quióxido anhidro de aquél, de cuyo cambio químico es resi-
duo la alúmina. Su génesis llévase á cabo á temperaturas
extremadas, muy próximas, si no iguales, á la desarrollada
en el horno de arco voltaico, y resulta colorida por disolver
exiguas cantidades del compuesto crómico; además, nunca
aparece constituyendo cristales definidos Ó agrupaciones de
ellos, sino masas cristalinas especiales de elementos indeter-
minables; son de apariencia homogénea, pero no transpa-
rentes, y sólo en la composición química idéntica y en la
apariencia del conjunto se asemejan á la esmeralda oriental,
variedad del corindo hialino. Influye aquí de manera decisi-
va la velocidad del enfriamiento, y si es cierto que la com-
bustión rápida del aluminio metálico, á expensas del oxígeno
del sesquióxido de cromo, desarrolla gran cantidad de calor,
no lo es menos que la temperatura desciende en seguida que
la reacción química es terminada, sin dar tiempo para que la
cristalización se lleve á cabo, y así sólo es rudimentaria,
ofreciendo la masa resultante todas las imperfecciones pecu-
liares de un trabajo á medias realizado en las condiciones
particulares del experimento.

Quizá las circustancias del enfriamiento son de las que
mejor determinan los defectos de la masa de los cristales, y
es notable que hecho tan conocido y manifiesto no haya podi-
do todavía ser sometido á reglas; y aunque se admite que su
lentitud favorece grandemente la cristalización, si bien es
cierto que constituye excelente medio de lograr buenas cris-

— 270 —

talizaciones, no parece aplicable de manera general en lo
que atañe á la transparencia y pureza de los cristales, y an-
tes se observan defectuosas en muchos que se produ cen con
enfriamientos rápidos en medios apropiados. En punto á ello
se ha de advertir cómo la sobrecalefacción á que de ordina-
rio se someten los cuerpos en las operaciones de síntesis
mineral, prolongándola excesivo tiempo, seguida de enfria-
miento más ó menos lento, siempre en contraste con ella, no
parece el mejor medio de llegar al perfecto y definitivo esta-
do cristalino, aun modificando el de cuerpos ya formados.
Cuando se examinan con algún detenimiento las masas, á
veces complejas, resultantes de las fusiones y de las reac-
ciones químicas efectuadas entre cuerpos fundidos á eleva-
dísima temperatura, pronto es notado otro género de influen-
cia, á la que es menester conceder importancia; redúcese á
la adherencia con las vasijas, casi siempre crisoles, usadas
para la cristalización, sobre cuyas paredes interiores apare-
cen y se forman los cristales, sirviéndoles de punto de apo-
yo. Fuera de algunos casos, es lo general que las substan-
cias fundidas ataquen más ó menos á la materia de las vasi-
jas que las contienen, y ni el platino ni la mejor porcelana
permanecen incólumes durante mucho tiempo; mas aparte
de tales acciones de orden químico, el hecho del contacto es
suficiente para que los cristales resulten opacos ó siquiera
enturbiados y las caras poco definidas, abundando las estrías
y notándose por rasgos bien marcados las direcciones y sen-
tido de sus esfoliaciones, como si la superficie de unión re-
sultase menos conductora del calor ó hiciese oficios de pan-
talla, á la que se debería notable aumento en la velocidad
del enfriamiento, impropia para que se constituya un estado
cristalino perfecto y bien determinado, hecho singular no te-
nido en cuenta durante mucho tiempo y cuya influencia está
ahora puesta en claro merced á los estudios de Verneuil y á
sus experimentos relativos á la reproducción del rubí orien-
tal, fundiendo sólo la alúmina cromatada en determinadas

— 211 —

condiciones, suprimiendo todo recipiente cuyas paredes pu-
dieran ser extensas superficies de contacto con las masas
fundidas ó erffriadas.

Recogiendo observaciones anteriores y en vista de los re-
sultados obtenidos en varios experimentos, suelo practicar
los de síntesis mineral en crisoles de carbón, hechos en el
laboratorio, procurando que sean muy compactos, de igua-
les y no gruesas paredes y por lo general de 100 c* de ca-
bida; me sirvo de ellos siempre que no se trate de materias
reductibles y procedo desecándolos á 120” durante algunas
horas. Luego los pongo sobre un lecho de carbón vegetal
bien pulverizado, dentro de otros crisoles mucho mayores,
de barro de Zamora, que son excelentes, rellenando todos los
huecos con carbón de encina tamizado; se cubre con una
capa de arcilla refractaria, luego viene la tapadera, que se
embarra perfectamente, y sólo resta desecar á temperatura
poco elevada; se coloca el todo en el horno y con lentitud
se va aplicando el fuego hasta alcanzar los grados conve-
nientes en cada caso.

De esta manera logro que, después de enfriadas las ma-
sas cristalinas, haya ó no haya reacción química, se adhie-
ran poco á las paredes del crisol y así se desprenden fácil-
mente, y su apariencia es la de botones semejantes á los
característicos de los metales; la superficie exterior casi
nunca está cristalizada, como indicando enfriamiento dema-
siado rápido, mas presenta á modo de indicios ó señales de
los cristales interiores, los cuales suelen aparecer rara vez
sueltos y aislados, aunque no haya productos secundarios
que los acompañen, y lo general es verlos agrupados y en-
trecruzados, constituyendo, de ordinario, mejor que una
cristalización definida, una estructura cristalina más ó menos
individualizada. Sean cristales sueltos, grupos ó asociaciones
indefinidas de formas geométricas regulares, por rarísima
excepción se les ve transparentes y homogéneos, mientras
haya habido contacto y adherencia de la masa fundida con

— 212 —

las paredes del crisol de carbón, compactas é impermeables
para los líquidos; quizá se oponga al afino realizado á eleva-
disima temperatura, Ó por ventura es causa que ocasiona
determinado género de imperfecciones, impidiendo la com-
pleta formación del estado cristalino, porque disminuyendo
el contacto hasta dejarlo reducido á un solo punto y supri-
miendo las superficies de adherencia, se consiguen hermo-
sos cristales de perfecta transparencia, idénticos á los natu-
rales, susceptibles de crecimiento, nutriéndolos de su propia
materia, mediante un procedimiento ingeniosísimo y de apli-
caciones generales, haciendo todas las transformaciones di-
rectas, inmediatas y progresivas, cuyo efecto es la genera-
ción de individuos cristalizados perfectos y aislados y no de
masas dotadas de estructura cristalina.

Sábese cómo poseyendo cierta destreza operatoria, no
resulta cosa muy difícil el mantener un glóbulo fundido, á
modo de gota de agua, en el extremo de un alambre de pla-
tino; la operación se realiza humedeciéndolo primero con
agua, y á beneficio del líquido se adhiere una pequeña por-
ción del cuerpo que se trata de fundir y ha de estar muy pul-
verizado; en seguida se eleva la temperatura hasta fundirlo,
sin que se caiga, y aparece semejante á las perlas usadas
para los ensayos al soplete. Con práctica y habilidad se
llega á imprimir al glóbulo fundido, sin más apoyo que el
punto que lo une al alambre de platino, un movimiento de
rotación con la velocidad necesaria para obtener cristales de
buen tamaño, en la manera que luego se indica.

En semejantes maniobras experimentales se funda el pro-
cedimiento del profesor Verneuil, aplicable á la síntesis del
rubí oriental, cuyos fundamentos pongo aquí, omitiendo el
describir aparatos y tratar el pormenor de las manipulacio-
nes de la cristalización de la alúmina pura y anhidra teñida
de rojo con compuestos de cromo, operando directamente
al igual de los métodos anteriores, que nunca dieron crista-
les homogéneos, resistentes y transparentes, debido princi-

— 213 —

palmente á dos causas, que se reconocieron y determinaron:
la naturaleza de la llama productora del calor y la excesiva |
adherencia de la masa fundida á la paredes de la vasija que
la contiene. Ya se sabe de tiempo atrás que la eficacia de las
regiones oxidantes respecto de las cristalizaciones por fu-
sión y cuando su empleo es directo, resulta bastante menor
que la de otras ricas de hidrógeno y carbono, dotadas de
propiedades reductoras; aquéllas, cuando menos, son causa
frecuente de excesivos recalentamientos, bastantes á impe-
dir que se constituya el estado cristalino de toda la masa
por exceso de temperatura, y aunque tocante á la adheren-
cia va dicho lo principal, como hecho opuesto á la formación
de individualidades cristalinas, añadiré que, en el caso espe-
cial de que trata, los glóbulos que aparecen en la superficie
de la alúmina fundida, su extremada fragilidad luego de en-
friada, laz numerosas huellas de ruptura y varias otras irre-
gularidades, está demostrada su procedencia de los múlti-
ples contactos con la superficie interna de la vasija ó del lecho
en que se ha enfriado. Asimismo se alcanza pronto el límite
del crecimiento y nutrición de los cristales sueltos de rubí
oriental, manteniéndolos varios días en un baño de alúmina
fundida, y que las condiciones ordinarias de la cristalización
se oponen á su perfecto y completo afinado.

Todavía cabe indicar la necesidad de apelar á masas pe-
queñas cuando se han de obtener cristales excelentes; en
las mayores, por casualidad se encuentra un cristal bien for-
mado, y la razón está en la imposibilidad casi absoluta de
lograr la uniformidad del enfriamento, evitando las contrac-
ciones que le son inherentes de continuo y modifican la es-
tructura y otras cualidades físicas de los cuerpos. Quizá esto
mismo se acentúa cuando se trata, no de substancias ya
formadas que han de ser cristalizadas por fusión, sino de las
que en el acto de ser generadas, mediante reacciones qui-
micas diversas á elevada od han de adquirir for-
mas y estados cristalinos.

Ruy. Aca. Ciencias.—V.—Noviembre, 1906. 19

— 2714 —

Fué estudiando muy por menudo todos estos detalles, que
son interesantes en grado sumo, como llegó Verneuil á reali-
zar sus trabajos definitivos, consiguiendo reproducir el rubi
oriental apelando á la fusión directa de la alúmina pura cro-
matada, que es su único componente, y realizándola uniendo
capas sucesivas sobre un primer elemento fundido, de suerte
que no experimente los efectos del recalentamiento, como
acontece de ordinario. Consiste el procedimiento en mante-
ner fundido, al extremo del alambre de platino que lo sos-
tiene, un glóbulo de sesquióxido de aluminio, no mayor que
las perlas empleadas en los ensayos al soplete; su papel es
servir como de núcleo Ó base para lograr mayores masas;
se nutre con finiísimo polvo de su propia materia (alúmina
anhidra que contiene trazas de compuestos de cromo), insu-
flado de abajo hacia arriba, á beneficio de la misma corriente
de oxígeno que alimenta el soplete destinado á producir el
calor necesario, quemando en este gas el del alumbrado,
cuya llama presenta regiones muy convenientes por su ri-
queza de carbono y de hidrógeno. Puede conseguirse, adop-
tando el sistema de que se trata, depositar sobre la superficie
externa del glóbulo primitivo una capa muy tenue de alú-
mina que en seguida se funde, incorporándose á su masa; y
repitiendo la operación cuantas veces sea menester á inter-
valos cortos, lógrase aumentarla, conservándola, al enfriarse
y solidificarse, con la más perfecta y absoluta transparencia,
sin que las caras presenten estrías ni estén marcadas las
direcciones de ruptura; el afino es completo é igual y se
consigue sustraer á la substancia fundida de todas aquellas
causas perturbadoras que impedían la constitución total del
estado cristalino; tan lisonjeros han sido los resultados del
ingenioso empleo de la temperatura, del método de creci-
miento de los cristales y de la reducción al mínimo de la ad-
herencia y contacto de la materia fundida con su soporte.

Un procedimiento tan racional y sencillo, aunque su prác-
tica exija bastantes pormenores y tenga nada pequeñas difi-

— 275 —

cultades, debe ser general y aplicable especialmente á la
cristalización de cuerpos ya formados, susceptibles de cam-
biar de estado sin el auxilio de fundentes; pues en los que
cristalizan en cuanto son generados por reacciones quími-
cas, originarias, á la vez, de otros productos variados, no
parece tan aplicable á primera vista. He intentado ensayarlo,
modificándolo y simplificándolo, con el fin de suprimir com-
plicados aparatos, y nada pude conseguir satisfactorio; sin
embargo, cuando los cuerpos resultan de la adición integral
de otros más sencillos, como ciertos fluofosfatos, sin haber
realizado enteramente mis intentos llegué á tener glóbulos
transparentes, incoloros y perfectamente homogéneos, sin
que se advirtiesen estrías de ninguna clase en la superficie
externa; por desgracia se llegaba pronto al límite del creci-
miento; pero aun siendo infructuosas las pruebas hechas,
demuestran la posibilidad de extender el método siquiera á
las síntesis aditivas puras, generalizándolo de esta suerte
algún tanto y patentizando la manera de formar masas cris-
talinas mediante la superposición de tenues capas de la pro-
pía materia que las constituye.

XIV. —Sobre la variación del magnetismo permanen-
te con la temperatura.

Por BLAS CABRERA FELIPE.

(Nota preliminar).

1. El estudio de los coeficientes térmicos de los imanes
ha sido objeto de no escaso número de trabajos, realizados
con fines variados, así como en ocasiones diferentes. Sin em-
bargo, no consideramos el tema agotado, principalmente

— 216 —

bajo el aspecto teórico, según puede deducirse de un somero
análisis de las memorias publicadas.

Prescindiendo de las clásicas determinaciones de Kupffer,
Lamont y otros, nos detendremos únicamente en las realiza-
das en estos últimos años. C. Chistoni, primero solo * y lue-
go en unión de G. G. Vecchi ?, estudia el coeficiente de
temperatura de imanes construídos con diferentes hierros y
siguiendo tácticas diversas, entre límites de temperatura res-
tringidos (0”-507). B. O. Peirse ”, tambien para temperatu-
ras bajas, compara estos coeficientes en imanes de la misma
forma de acero y de fundición de hierro. Deben aún citarse,
dentro de este mismo aspecto del problema, los trabajos de
Ashworth * y Guthe ?.

E. Andreas * y H. Frank * fijan principalmente su aten-
ción en la influencia que sobre el referido coeficiente ejerce
la temperatura del temple, cuestión que también estudia
Guthe.

Klemencic * analiza la influencia ejercida por las dimen-
siones de las barras, formulando como ley aproximada, la
constancia del producto ¿.=, donde ¿ es la relación de la lon-
gitud al diámetro y e el coeficiente de temperatura; ley que
está de acuerdo con los resultados de Frank y Loomis *. Este
último físico confirma también, empleando un método indi-
cado por Rowland, que las líneas de inducción se abren en
las extremidades, determinando una disminución en la lon-
gitud magnética de la barra; resultado contrario al obtenido
por Poloni, que no aprecia tales cambios de distribución. |

Mem. Acc. Moneda, serie 2*, tomo IX.

Mem. Acc. Moneda, serie 3.*, tomo Il.

Proc. of the Americ. Acad. of Arts and Sciences, XXXVII!, 551.
Proc. of the Royal Society, LX, 210.

Proc. Lond. Physic. Soc., XV, 268.

Elekt. Zeitschriff, XVMI, 485.

Ann. der Phys, 11, 338.

Wied. Ber., CVIII, 989.

The Am. Jour. of Scien., XV, 179.

lo >] -] Sa a - wm 15) td

— 217 —

Por último, C. C. Trowbridge * determina los coficientes de
los imanes de acero al carbono y al tungsteno entre — 185”
y 20”; mientras Holborn se fija en los fenómenos que se pre-
sentan á elevadas temperaturas.

La mayor parte de los trabajos citados, han tenido un fin
esencialmente práctico, ya porque en ellos se haya procu-
rado indagar las aleaciones, técnica operatoria Ó relación
de dimensiones de las barras, que permiten obtener imanes
de pequeño coeficiente térmico, ya porque se haya perse-
guido un procedimiento que permita borrar todo resto de
imantación.

Sin embargo, estos mismos trabajos, bastan para demos-
trar el interés teórico del problema. La misma parcial rever-
sibilidad de la intensidad de imantación, cuando la tempe-
ratura describe un ciclo, es difícil de explicar. Mascart ? in-
dica que podría suponerse el magnetismo permanente como
la superposición de una imantación rígida é invariable con
la engendrada por el campo desmagnetizante, variable con
la permeabilidad del medio. J. Hopkinson * primero, y más
tarde Morris * y Wills * han demostrado, en efecto, que esta
constante crece con la temperatura, presentando, además,
su máximo valor para los campos débiles. Es digno de no-
tarse, que las irregularides que Morris denuncia en las
proximidades de 200” y 550”, en íntima correlación con los
fenómenos de recalescencia observados por el mismo durante
el enfriamiento, pudieran servir de criterio para la teoría an-
terior, estudiando toda la curva de desimantación de los
hierros con el crecimiento de la temperatura.

La complejidad del fenómeno impide nos formemos un
juicio claro respecto á la hipótesis que nos ocupa, dada por

The Phy. Rev., XIX, 181.

Traité de Mag. Ter., pág. 129.
Phil. Trans., 1889, A. 443.

Phil. Mag., Serie 5.2, XLIV, 213.
Phil. Mag., Serie 5.2, L, 1.

DD +2 0 noia

— 2718 —

su autor con toda reserva, si bien su desconfianza se funde
simplemente en la comparación de los valores hallados por
Lamont. Pudiera constituir quizá un argumento en favor de
esta teoría la separación de las líneas de imantación en las
extremidades de la barra, puesto que allí el campo desmag-
netizante es más enérgico; así la variabilidad del momento
magnético no aparece dependiente de un cambio uniforme
en todo el imán de la intensidad de imantación, sino del
acortamiento de la longitud. Para resolver esta cuestión
convendría, pues, estudiar elipsoides imantados, para los
cuales el campo desmagnetizante es uniforme.

Lo dicho basta para comprender el interés que aun pre-
senta el estudio de la acción que la temperatura ejerce sobre
el magnetismo permanente, haciendo oscilar aquella entre
los más separados límites posibles para un mismo imán;
cambiando la composición, preparación, forma y dimensio-
nes de éstos, y analizando al propio tiempo la variación de
la permeabilidad de cada barra, entre los mismos límites de
temperatura y para campos comparables al desmagnetizan-
te. El programa es muy vasto y su realización exige mucho
tiempo.

2. La conveniencia de obtener un registro continuo de
las variaciones del momento magnético de la barra estudia-
da, sin temor á perturbaciones mecánicas Ó electromagnéti-
cas que puedan ejercer influencia sobre la ley que se busca,
imponen de una manera casi absoluta el uso del método
magnetométrico, y la gran amplitud de aquellas variaciones
exige que se opere por un procedimiento de cero capaz de
mantener constante la sensibilidad.

Dicho se está, que el magnetómetro empleado debe ser
astático, para ponernos á cubierto de las múltiples pertur-
baciones, inherentes á todo laboratorio implantado en el cen-
tro de poblaciones que utilizan en gran escala las corrientes
industriales, y que en el nuestro se hacían sentir aun durante
las últimas horas de la noche; según hemos tenido ocasión de

— 219 —

camprobar, en unión de nuestro compañero el Sr. González
Martí *. En la época que comenzamos estos trabajos, desco-
nocíamos los realizados por H. du Bois ?, y F. Kohlrausch
en unión de L. Holborn ?, sobre el uso de dichos pares, y fija-
mos desde luego la atención en el par Broca, cuyo empleo
había ya en aquella fecha indicado el primero de los citados
físicos, aunque señalando inconvenientes que los resultados
de este trabajo no parecen confirmar; desde los primeros en-
sayos, en efecto, los resultados indicaron la legitimidad de
la aplicación.

El par estaba formado por dos agujas de acero de unos
siete centímetros de longitud por un milímetro de diámetro,
templadas al aceite y revenidas á 1007, que se imantaron en
un campo medio de unas 500 unidades. Las dos mitades, de-
vanadas en opuesto sentido, de la bobina que engendraba el
campo magnetizante, estaban apartadas por una lámina de
hierro dulce, hendida con el fin de poderla retirar antes de
sacar la aguja; las extremidades de esta último tocaban dos
barras de hierro dulce de mayor diámetro, que contribuían,
como la lámina anterior, á fijar bien los polos, uniformando
el campo interior, á más de permitir el centraje de aquélla.

Las agujas se fijaron paralelamente, á unos cuatro milíme-
tros de distancia, mediante una armadura de alambre de co-
bre, fija luego á una chapa de aluminio que servía de amor-
tiguador. Este sistema, que lleva además un espejo cóncavo
de 50 centímetros de distancia focal, se suspendió por un
hilo de capullo de unos 16 centímetros de largo en el inte-
rior de un tubo, b (fig. 1.%) de cobre, de gruesas paredes,
provisto de un agujero de 1,5 centímetros de diámetro, cu-
bierto por un cristal para el paso del haz de luz; la disposi-
ción a permite imprimir pequeños desplazamientos verticales

1 An. de la Soc. Esp. de Fis. y Quim., MI, 314.
2 Ann. der Phys., 1X, 944; XI, 609.
3 F. Kohlrausch y L. Holborn, Ann, der Phys., X, 287.

AN

— 280 —

al sistema para centrar el espejo en la abertura indicada. En
la"parte inferior existe una disposicion análoga para soportar
un pequeño imán en herradura, d, que engendra el par di-

Figura 1.2

rector: la distancia de sus polos á los inferio-
res del par Broca fué en nuestro trabajo de
unos 2 centímetros. Dicho se está que supri-
miendo este imán, la sensibilidad aumenta;
pero perturbaciones de que vamos á ocupar-
nos, nos obligaron á conservarie. Este apara-
to, cuya parte esencial acabamos de describir
someramente, fué construído por la casa «Viu-
da Aramburo », de esta plaza.

En estas condiciones, y observando por el
método subjetivo con un anteojo cuyo poder
de resolución era de 0,2 minutos de arco, la
posición del cero no sufría ninguna perturba-
ción irregular; pero lentamente sufría un cam-
bio, que en un principio atribuímos á accio-
nes higroscópicas sobre el hilo, por parecer
íntimamente relacionado con las variaciones
de temperatura del Laboratorio. Posteriormen-
te hemos cambiado de opinión, atribuyendo la
perturbación indicada á una causa, cuya exis-
tencia desconocíamos. Estos trabajos se han
ejecutado estando colocado el magnetómetro
que hemos descrito sobre una mesa de azule-
jos que ignorábamos estuviese montada sobre
unos barrotes de hierro dulce: casualmente,
la posición en que desde luego colocamos el
aparato, era la que aproximadamente corres-

pondía á la orientación del par por estos barrotes, imanta-
dos por el campo terrestre, por lo cual este efecto nos per-
maneció oculto. Al deshacer una mesa análoga durante las
obras que actualmente se realizan en los laboratorios de la
Facultad de Ciencias, es cuando hemos conocido su presen-

AR

— 281 —

cia. Ahora bien; el momento magnético de dichas barras,
sufre diariamente un cambio correspondiente á la variación
diurna, y este cambio es el que denuncia el movimiento del
cero de nuestro aparato. Conviene notar, que la gran longi-
tud de las barras disminuye el efecto de estas variaciones
sobre el par Broca; este cambio, además, se corrige en gran
parte utilizando el pequeño imán director de que hemos he-
cho mención. Por otra parte, la regularidad con que se pro-
duce esta variación del cero, ha permitido corregir, en la
forma que más adelante veremos, cada serie de determina-
ciones en este trabajo preliminar, destinado principalmente
á reconocer la sensibilidad del procedimiento.

Sabido es que el par Broca equivale á tres pequeños ima-
nes, que denominaremos elementales: dos formados por los
polos extremos de las agujas, y uno constituído por los
puntos consecuentes. Supuestas satistechas las condiciones
teóricas necesarias, el momento del imán central es doble
del que corresponde á uno de los terminales.

El imán estudiado puede colocarse, bien de forma que los
imanes elementales sean perpendiculares al plano definido
por el eje de aquél y el hilo de suspensión, bien perpendicu-
larmente al plano del sistema y con su centro en este plano.
Para calcular el par director total en el primer caso, nos
basta observar que cada uno de los imanes elementales está
en la primera posición principal de Gauss, respecto á un
imán ficticio, cuyo momento es la proyección del de la
barra sobre la recta que une su centro con el de aquél;
en el segundo, todos los imanes se encuentran en la segun-
da posición principal de Gauss respecto de la barra.

Si elegimos la primera disposición, para igualdad de dis-

tancias el par total es más grande que en la segunda; pero
2

como al propio tiempo q , donde A es el campo de la

barra y n la dirección según la cual cambia más rápidamen-
te, tiene un valor mucho mayor en aquélla que en ésta, la

— 282 —

hemos desechado para evitar los errores que pueden intro-
ducirse por desviaciones del sistema en conjunto.
Concretándonos, pues, á la se-
gunda disposición, designemos por y.
el momento de los imanes elemen-
tales extremos, 24 la longitud de las
agujas, y tomemos por ejes de refe-
rencia el hilo de suspensión y la pro-
longación del eje magnético central
(figura 2); M es la sección de la
barra por el plano de los ejes. El
ara e, par que una barra de semilongitud
L ejerce en el sistema, será:

PEA 2 ly 1 O

> MA
Doy 198 pe (a+ yp 10% Le

3
EJ

De esta fórmula resulta que las variaciones de x y L in-
fluyen de ¡a misma manera en el valor de P, y, por ende, nos
bastará discutir una de ellas.

Se puede desarrollar esta expresión en serie por las po-
tencias sucesivas de Ls

3 q? : > E
Py ia Ji E] je
;

a x?7 y?
3 1 173 a? ia] 3 | «7 |
NA 212—| 1 — 11 == 2 L2-
> Ed | + TO A ¡
1 7
00 E 2313 a +2a0y ar —2ay E
] Hen l —|1--—= 03

+ lt y Ale t | eq” .

y ejecutar el desarrollo de los corchetes en el dominio exte-
. r r . Ub r . >
rior á dos círculos de radios a Y 2 concéntricos con los ima-

— 283 —

nes elementales exteriores; pero, dentro de la región en que
el imán M se ha colocado, estos desarrollos son muy poco
convergentes. Preferimos, pues, ejecutar la discusión calcu-
lando numéricamente los valores de P cuando, permane-
neciendo x constante, y cambia: las curvas de la figura 3

Figura 3.?

traducen gráficamente este cálculo, suponiendo que L=2,5.

Se observa inmediatamente en estas gráficas, que dia

My
cambia de signo para un valor de y, tanto más grande cuan-
to mayor es x, pasando luego por un máximo que corres-
ponde también á valoros crecientes de y, marchando luego
asintótitamente al eje: el máximo es tanto más marcado
cuanto menor es el valor x. Atendiendo á la diferente escala
con que ha sido representada cada una de estas curvas por
exigencias del dibujo, se reconoce la gran rapidez con que
que disminuye la función discutida, cuando y =const. y x,
variable. Esta circunstancia constituye un inconveniente se-
rio en la ejecución de medidas obsolutas, pero no cuando se

— 284 —

trata de la observación de variaciones, durante las cuales no
haya que intervenir mecánicamente. Para un mismo valor
de x, dicho se está que la posición más conveniente es la
que corresponde á y =0; pero si hemos de comparar un
punto del eje x con otro del eje y, la elección depende de
las circunstancias: nosotros hemos colocado siempre el imán
en x.

Un aumento en £ produce siempre el mismo efecto que
en x, de donde parece derivarse la conveniencia de dismi-
nuir dicha magnitud, disminución que no deberá llevarse
muy adelante para impedir que — AM sea muy pequeño.

Preconizábamos más arriba la conveniencia de operar por
un método de cero: el par antagonista utilizado con este
fin, lo engendraba una bobina, recorrida por una corriente
medida en la forma que veremos más abajo. Después de
lo que hemos dicho respecto á la colocación del imán estu- .
diado, se comprende que lo más ventajoso es el empleo de
un par de bobinas, susceptibles de engendrar un campo uni-
forme en la región ocupada por el imán central; no obstante,
en este primer ensayo utilizamos una bobina única, colocada
de forma que dicho imán elemental ocupe, respecto de ella,
la primera posición principal de Gauss.

Teniendo la precaución de determinar previamente, por
un método cualquiera, el momento inicial de la barra estu-
diada, hubiéramos podido obtener los valores absolutos
de la variación del momento magnético; pero, también con el
fin de simplificar este primer trabajo, nos hemos conformado
con determinar las variaciones relativas del mismo, eviden-
mente iguales á las que sufre la intensidad de la corriente en
la bobina compensadora, para mantener el sistema en el
cero.

3. Para elevar la temperatura de los imanes estudiados,
hemos utilizado una estufa eléctrica, representada aparte en
la figura 5. Un grueso tubo de cobre, a, de un centímetro
de diámetro interior y un decímetro de largo, servía de es-

A

— 285 —

queleto á un arrolle de hilo doble de cobre, e f, aislado: un
ensayo preliminar demostró que la bobina así formada no
actúa sobre el magnetómetro. En el interior de este tubo se
colocó el imán c, que se inmoviliza mediante dos tapones,
b y b', también de cobre, y uno de los cuales está atravesa-
do por el par temoeléctrico d: la gran conductibilidad del co-
bre asegura una temperatura bien uniforme en la región que
ocupa el imán. Por último, para evitar el enfriamiento por
radiación, se rodeó el tubo por una gruesa capa de papel de
amianto, y los espacios h h' se rellenaron con algodón.

Para determinar la temperatura de la barra se empleó un
par cobre-maillechorts previamente estudiado por el método
potenciométrico, en la forma que vamos á describir.

El potenciómetro, representado esquemáticamente en P'a
(figura 5), está formado por una barra de latón P”, de un
metro de longitud y 0,00374 de resistencia, que termina en
un pocillo, b, de mercurio. Sobre un semicírculo, concéntrico
con b, se encuentran dispuestas doce resistencias de hilo
grueso de cobre, terminando también en pocillos de mercu-
rio: cinco de estas resistencias equivalen, cada una, á un de-
cimetro de P”; otras cinco, á la mitad de P”, y las dos restan-
tes, á dos veces y media la longitud total. Un grueso puente
de cobre, equivalente á un centímetro de P”, establece la
comunicación entre estas resistencias y la barra. Para ca-
librar este potenciómetro utilizamos el procedimiento del
puente de Lord Kelvin que hemos descrito en otra oca-
sión ?.
Para apreciar el equilibro empleamos un galvanómetro
de Arsonval-Carpentier, con suspensión de bronce fosforoso
plana, que en las condiciones del montaje apreciaba 0,07.107“
de voltio por cada milímetro de la escala, colocada á 150
centímetros del espejo.

Las soldaduras caliente y fría del par se sumergieron en

1 An. de la Soc. esp. Fís. y Química, II, 48.

— MB

baños de vaselina líquida envueltos por cartón de amianto
para regularizar la temperatura. El correspondiente á la pri-
mera se calentó eléctricamente, á una temperatura leída en
un termómetro calorimétrico de Baudin, graduado en déci-
mas, entre 0? y 100”, y el segundo se mantuvo siempre á la
temperatura ambiente, apreciada por otro termómetro del

mismo autor, graduado en = entre 20” y 33”. Las lecturas

del primer termómetro se corrigieron del error de vástago
emergente.

El resto del material empleado y su montaje fué idéntico
al que nos sirvió para el estudio de los coeficientes de tem-
peratura, sin otra variación que la de mantener constante la
cerriente compensadora en cada serie, y creemos por ello
conveniente dejar su descripción para más adelante.

El intervalo total de temperatura le distribuímos en siete
series, cada una de las cuales cubre veinte grados aproxi-
madamente, y que, en parte, se superponen, cuyos datos
consignamos en los siguientes cuadros, donde / representa
la corriente compensadora; Ty, la temperatura de la solda-
dura fría; 7., la lectura en el termómetro caliente; 7, y To,
las de dos termómetros idénticos, graduados en décimas,
colocados junto al 7. á diferente altura; AT, la diferencia T.,
— Ty corregida; R, la resistencia interpuesta en el potenció-
metro, y E, la fuerza termoelectromotriz correspondiente del
par:

— 287 —

PRIMERA SERIE: 1= 0,021079 amp.

TT AAA TO EAT R E
24,75 (25,0 | 23,20
26,05 (250 25,20 | 0,82 778.107 16,4. 107
27,75 125,05 25,20 | 2,51 1813 38,2
29,20 (25,10 |25,30 | 3,95 2762 59,2
31,20 | 25,10 |25,30, 5.93 3943 83,1
(33,25 (25,15 | 25,35 | 7,97 5257 110,8
38,15 | 25,20 | 25,40 | 12,84 8242 173,7
43,40 125,25 | 25,50 | 17,06 | 11763 247,9
46,60 125,30 | 25,65 | 21,43 | 13864 292,2
49,75 [25,60 | 25,85 |24,72 | 14070 296,6
51,45 125,80 126,00 |26,39 | 15277 322,0

52,95 29,79.1:20,1 121,97 16298 343,5 |

SEGUNDA SERIE: 1|= 0,0325363 amp.

Ed IO AT R E
25,83 | 25,40 25,55 | 25,70

25,84 | 27,30 25,60 |25,80 | 146 | 760.107” 24,8.107*
25,85 | 29,85 | 25,70 25,95 | 4,00 | 1817 57,2
25,86 131,75 25,75 |26,00 | 5,89 | 2621 85,4
25,88 133,75 25,80 |26,10 | 7,87 | 3474 113,1
25,92 (36,05 | 25,85 |26,10 | 10,27 | 4239 138,0
25,93 | 38,10 25.90 |26,10 |12,27 | 5119 166,7
25,94 | 40,40 | 26,00 | 26,23 114,55 6095 198,5

26,00 | 43,00 | 26,05 | 26,30 | 17,15 | 6962 226,7

— 288 —

TERGERA SERIE: | = 0,037218 amp.

2497.10”
26,13 | 34,85 | 26,10 | 26,30 | 8,72 3276
26,15 | 37,45 | 26,30 | 26,40 | 11,40 | *4047
26,17 | 39,70 | 26,30 | 26,50 | 13,63 4874
26,18 | 42,05 | 26,30 | 26,50 | 16,02 5755
26,20 | 45,52 | 26,40 | 26,60 | 19,52 6/86
26,22 | 48,10 | 26,35 | 26,50 | 22,08 1757
26,24 |50,30 | 26,50 | 26,70 | 24,26 8194
9340

GUARTA SERIE: 1 = 0,042346 amp.

210,1.10”
243,7
265,4
298,8
330,7
370,6
418,3
457,0

— 289 --

QUINTA SERIE: |= 0,050683.

R

7097.10” 399,7. 107*
1937 402,3
8679 439,9
9513 482,3
10252 519,6
11095 562,3
11993 607,8
12799 648,7

R.

10790.10"* 564,9.10"*
11770 616,3
12546 656,9
13598 712,0

SÉPTIMA SERIE: 1|= 0,042083.

R E

14373.10"* 674,7.10"*
15420 718,8

16743 774,5
17848 821,0
19335 883,5
21088 957,3
23132 1043;3

Rrv. Aca. Crexcias.—V.—Noviembre, 1906. 20

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

Figura 4.”

— 291 —

Para ejecutar las lecturas correspondientes del termóme-
tro T. y de R, hemos tenido siempre la precaución de man-
tener, durante diez minutos, sensiblemente constantes el ter-
mómetro y la indicación del potenciómetro, abriendo y ce-
rrando el circuito de calefacción: con un poco de práctica
logramos fácilmente que las oscilaciones de 7. fueran infe-
riores á 0%,1, y las de R, á 1 centímetro de la barra, en el
caso más desfavorable, que corresponde á 37,107“ ohmios.

Con los resultados numéricos de los cuadros anteriores,
construímos la curva reproducida en la figura 4, donde cada
serie está representada por un símbolo especial. De la curva
anterior se deduce para fuerza electromotriz del par entre 0”
y 100” 1,45 milivoltios, número que concuerda bien con
el 1,35 que encontró Ed. Becquerel *, dada la variabilidad de
composición de la aleación. De esta gráfica se han deducido
los valores de la temperatura de la barra estudiada.

4. La disposición de los diferentes elementos que inter-
vienen en la medida de los coeficientes de temperatura está
representada por el esquema de la figura 5, y permitía que
un solo individuo ejecutara todas las lecturas. M representa
el magnetómetro é /, el aparato de calefacción para el imán
estudiado: la corriente utilizada en éste, la hemos tomado
del sector industrial y servía al propio tiempo para iluminar
la lámpara L£L; la imagen de cuyo filamento, producida por
los espejos de G y (', se pintaba en la escala E”. Con el
fin de poder interrumpir la corriente en / sin que L se apa-
gase, adoptamos la disposición que el esquema representa
en D: los terminales de la línea comunicaban con dos poci-
llos de mercurio, en cada uno de los cuales terminaba tam-
bién el circuito de calefacción, con un centiamperímetro A'
intercalado; para interrumpir la corriente en / bastaba colo-
car un puente de cobre entre ambos pocillos.

La bobina antagonista B se alimentaba por una batería

1 Ann. de Chim. et Phys., ser. 4,?, VIII, 389,

Figura 5.* -

— 293 —

de acumuladores, cuyos terminales representamos en C”, y
cuya intensidad se medía por el método potenciométrico. En
el circuito principal se intercaló: la bobina B; un reosta-
to P formado por dos hilos, calibrados por el método
de J. A. Harker *, que terminan en dos pequeñas cajas de
doble entrada, con cinco resistencias iguales á la mitad de
los hilos y del mismo rollo; una caja, R”, de 200 ohmios; un
amperímetro para dar una indicación aproximada de la co-
rriente; un reostato Wheatstone, R, para regularla; el poten-
ciómetro P”, arriba descrito, y el reocordio r que servía para
afinar la regulación de la corriente.

El circuito derivado termina á la salida de la caja R” y en
el contacto de P, y contiene un elemento Weston, W, y un
galvanómetro Carpentier d'Arsonval, de suspensión de hilo
de plata, que en las condiciones del experimento daba un
desplazamiento de un milímetro sobre la escala por 120,107*
de voltio, equivalente á una variación del contacto en P
de 3,3 milímetros, lo cual permite medir las variaciones de /
con un error menor de 1,5.107* de amp., supuesto que no
exista otra causa de error. Durante cada determinación se ha
mantenido G rigurosamente en el cero. |

Desgraciadamente, algunas de las resistencias de R” va-
riaban sensiblemente con la duración del paso de la corrien-
te, siendo en algún caso esta variación equivalente á 3 cen-
tímetros del hilo de P, en el tiempo total de una sesión. Sin
embargo, durante este tiempo, los cambios de / han corres-
pondido por lo menos á 70 ú 80 centímetros, y además he-
mos medido la resistencia de las bobinas de R” después de
atravesarlas corrientes iguales á las que han sido empleadas

1 Proc. of the R. Soc., IX, 154. Este reostato, construído en el ta-
ller de los Laboratorios de Física de la Facultad de Ciencias, según
nuestras indicaciones, es de hilo de níquel, y su contacto lo forman
dos láminas de mercurio delgadas, que pueden comunicar entre sí ó
permanecer aisladas. La resistencia del hilo por centímetro es
de 36,10-*

— 29 —

en este trabajo, durante el mismo tiempo; de esta suerte los
errores se disminuyen, aunque no se eliminen por completo.

El segundo circuito, derivado sobre P”, corresponde al par
termoeléctrico y está dispuesto en la forma ya indicada. La
soldadura fría se conserva en el mismo baño de vaselina lí-
quida, donde también se sumerge el termómetro Baudin
en

50

5. La serie de medidas correspondientes al estudio de
una barra magnética se han ejecutado en una sola sesión.
Ante todo, determinábamos la posición del cero del magne-
tómetro en la escala E, anotando la hora de la observación,
é inmediatamente colocábamos la barra, regulando la co-
rriente en B de forma que el magnetómetro se mantenga en
el cero. La lectura en A nos permitía calcular la posición
aproximada del contacto en P, de forma que la corriente á
través de W al cerrar /” fuese insensible, con el fin de no al-
terar su f.e.m., é inmediatamente se llevaba G al cero
moviendo este contacto. Hecho esto, y después de compro-
bar la invariabilidad del magnetómetro, anotábamos la re-
sistencia R entre las extremidades de la derivación W y la
hora.

Cerrado el interruptor í, del par termoeléctrico, y retirado
el puente D, se elevaba la temperatura de / hasta la altura
deseada, conservándola invariable hasta que la desviación
del magnetómetro permanecía constante. Logrado esto, y
previa la anotación de dicha desviación, cambiábamos la co-
rriente en B para lograr la vuelta al cero, con lo cual obte-
níamos la variación de / que corresponde á un desplazamien-
to de una división en F. A continuación hacíamos oscilar la
temperatura de /, de forma que el magnetómetro pasara de
un lado al otro del cero, con el fin de cerciorarnos de que
los cambios del momento magnético respondían á los de la
temperatura, y previa la fijeza durante algunos minutos de
G' y M, procedíamos á efectuar las siguientes lecturas: hora»

— 295 —

temperatura de la soldadura fría, valor de R y de la resis-
tencia r en P”.

De esta manera se han determinado varios puntos para
distintas temperaturas ascendentes y descendentes, anotan-
do por último la posición del cero después de retirar el imán

ARMOR ARENA ASA OMAN
2 aa? Paro]
AS Ss A

0,050 o Temp. ascend.
ste 0 Al E MD
ES E A » ;
w pue a
E | Imán A
y a
E SES

p Croacia 0 e B

58 82 e [E

Figura 6.”

é interrumpir el circuito de B. Generalmente esta lectura di-
fiere de la primitiva en diez divisiones de la escala como má-
ximo, debido al cambio lento del cero á que hemos hecho re-
ferencia más arriba. Para corregir las lecturas de este error,
admitimos que el cambio es proporcional al tiempo, hipóte-
sis no muy alejada de la verdad, según comprobamos en un
estudio preliminar, con lo cual podíamos conocer la posición

== MO

aproximada en el momento de cada lectura. Por otra parte,
conocemos la variación de / que corresponde á un desplaza-
miento de una división, y por ende el valor de ésta que hu-
biese llevado el magnetómetro al cero verdadero; este valor

, AI
es el que empleamos para calcular la relación — EE que

figura en los cuadros de más abajo.

6. De la manera que acabamos de describir hemos estu-
diado dos imanes, después de varios ensayos preliminares:
uno, que designaremos por A, procedente de un magnetó-
metro Mascart, construido por Carpentier, cuya longitud es
de 5 centímetros aproximados y sección cuadrada de 5 milí-
metros de lado; y otro, que llamaremos B, perteneciente á
un magnetómetro de Kew, construído por Elliot « Brothers,
en forma de tubo cilíndrico de 10 centímetros de longitud y
5 milímetros de diámetro.

En cada uno de estos imanes hemos ejecutado dos series
completas entre límites diferentes de temperatura, aunque
correspondientes á la misma porción de la escala termomé-
trica, cuyos resultados consignamos en los siguientes cua-
dros y traducimos gráficamente por las curvas de la figura 6.

A AAA AA A

— 297 —

E
aid

"0199 [9p UOIDRAJISGO Pl9wrid e] ap 1yaed e opezuos oduon qa ejuosardax 7 (1)

091000 LEG6O1'O
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— 301 —

Los resultados correspondientes á las dos series del
imán A son bastante concordantes, si se tiene en cuenta la
diferencia que existe en la temperatura inicial de ambas. La

variación con la temperatura de crece más rápidamen-

te que 7, de forma que el coeficiente medio de tempera-
tura a = ESAS crece con T, — T,, según se de-
10 77 Te

duce de los siguientes resultados:

1.? SERIE 2.? SERIE

SAND ce 0,000729 IAEA TOR 0,000622
» 67,2 FED » 30773 601
74,2 796 > 469, 7 595 ?
» 81,6 919 » 48%, 8 832
; 550, 2 861
» 57%, 9 981 ?
» 622.5 899
» 09917 914
> da 900
MÍO; 918

¿ A
En segundo término la rama descendente de mo es me-

nos rápida que la anterior y sensiblemente recta.

Los resultados correspondientes al imán B no son tan
comparables como los del 4, pues las temperaturas iniciales
son muy diferentes. Los valores del coeficiente de tempera-
tura son:

1.7 SERIE 2.? SERIE
0 0,0015 A O 0,000464 ?
>» 650 108 490,5 346
» 691 119 > 57,6 353
» 708 134 66%, 8 375

77,7 156 e 427

— MB

Ambas series de valores, aunque de magnitudes muy di-
ferentes, obedecen á la misma ley de variación que los co-
rrespondientes al A. Además, comparando los coeficientes
de la segunda serie con los de A, se observa que son sensi-
blemente la mitad, según exige la ley enunciada por Kle-
mencic.

La rama descendente de la primera serie de B, no pudi-
mos obtenerla porque una fuerte perturbación de orden me-
cánico invalidó las observaciones correspondientes. En la
segunda serie esta rama se confunde con la ascendente.

Las circunstancias en que se han ejecutado estas determi-
naciones, en virtud de los errores que hemos ido señalando,
inherentes á su carácter preliminar, harían totalmente iluso-
ria cualquier otra consecuencia que de ellas se quisiera sacar.

(Laboratorio de Electricidad y Magnetismo de la Facultad de Ciencias de Madrid.)

O SIA

ho

í SARA

DE LAS. MATERIAS CONENDAS EN ESTE nunERO

Y

a: -XIL. — Introducción á la Física matemática, por José Echegaray.

E ES XIII. —Estudios de Síntesis mineral, por José. Rodriguez Mou-
y? e
É XIV.—Sobre la variación del magnetismo permanente con lao
; temperatura, por Blas puna Felipe . A de
de

La subscripción á esta RavIsTa se hace por tomos completos, S

_ de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos 7
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle pe Val ás AS ;
verde, núm. 26, Madrid. va $
Precio en este cuaderno, 288 pesetas

REVISTA

DE LA

REAL ACADEMIA DE CIENCIAS

EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

DE

MADRID

TOMO V-NÚM. (4.
(Diciembre de 1906.)

K
“MADRID
IMPRENTA DE LA "GACETA DE MADRID,,
CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8.
1906

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Los originales para la Revista de la Ac:
se han de entregar completos, en la Secr e!
la Corporación, antes del día 20 de cada
pues de otro modo quedará su publicación pa
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— 303 —

XV.— Introducción á la Fisica matemática.

Por JosÉ ECHEGARAY.
Conferencia décimasegunda,

SEÑORES:

Hemos dicho varias veces, que al estudiar un fenómeno
de Física, se marcan desde luego cierto número de paráme-
tros, de los cuales puede decirse que el fenómeno depende,
que determinan todas las circunstancias del mismo.

Pero ocurren varios casos.

1.2 Puede suceder que estos parámetros sean indepen-
dientes del tiempo; Ó mejor dicho, que estudiemos el fenó-
meno físico para un instante determinado, y que para ese
instante los parámetros tengan valores determinados tam-
bién, sin que al estudiar el problema nos preocupemos de
cómo varían con el tiempo ni cómo en función de f pasan
de un instante á otro.

Lo que buscamos en estos casos es la función, ó las fun-
ciones analíticas, que enlazan los parámetros en cuestión,
para saber cómo cambian unos en función de los otros, sea
cual fuere el instante que se considere.

Este era el caso del problema de los gases. Allí entraban
tres parámetros: presión, volumen y temperatura, y lo que
nos esforzamos por encontrar, ya por los métodos de la Físi-
ca experimental, ya por las hipótesis y los cálculos de la
Física matemática, fué la relación entre p, v y T, sin hablar
para nada del tiempo en aquella ocasión.

Y lo mismo pudiéramos decir de algunos otros ejemplos
que hemos presentado en estas conferencias.

Rnmv. Aca. Ciuxctas.—V.— Diciembre, 1906. 21

— 304 —
v
Y, sin embargo, en casi todos estos problemas la variable

tiempo estaba contenida, porque los problemas de la Física,
mejor dijéramos, los problemas de la Naturaleza, más son
problemas de Dinámica que de Estática.

La Estática es una verdadera ficción de la Mecánica, aun-
que utilísima y fundamental en esta ciencia; es, en suma, un
estado ideal en que se prescinde del tiempo. Mas, en rigor,
los fenómenos son eminentemente variables con f.

Así, en el problema de los gases que acabamos de citar,
la temperatura es una fuerza viva, y, por lo tanto, contiene
en sí el tiempo; y lo mismo pudiéramos decir de la presión,
aunque se asemeje á una fuerza instantánea. Estas conside-
raciones se aplican á todos los problemas de la Termodi-
námica, pues aunque en ellos no aparezca el tiempo, se con-
sideran estados distintos en que varían la presión, el volu-
men, la temperatura, y estos tres parámetros con el tiempo
varían. Lo que hay es que no nos preocupamos de la ley de
sus variaciones, sino de su estado final.

Muchas veces no aparece el tiempo en esta clase de pro-
blemas, aunque implícitamente en ellos está comprendido,
porque se toman valores medios en un intervalo determina-
do, y éstos son los únicos que en esta clase de problemas
se consideran.

Cuando se estudian fenómenos óú funciones periódicas
y se abarca el periodo, el tiempo desaparece, porque se re-
pite en igualdad de condiciones. Pudiera decirse, filosófica-
mente, que el período es superior al tiempo, lo anula, ha-
ciéndolo igual asimismo en cada espacio del periodo en
cuestión.

Esto sucede precisamente con la temperatura, puesto que
depende del valor medio de la fuerza viva de cada molécula.

De todas maneras, en este caso las ecuaciones que ex-
presan los fenómenos físicos son muchas veces ecuaciones
en términos finitos entre los parámetros correspondientes.

2.” Puede suceder también, que el fenómeno físico que

— 305 —

se estudie esté determinado por cierto número de paráme-
tros; que se busquen relaciones entre ellos independiente-
mente del tiempo, es decir, para cada instante determinado,
pero que dichas relaciones no sean funciones en términos
finitos, sino ecuaciones diferenciales en las que entren tales
parámetros, y además los coeficientes diferenciales de unos
con relación á otros, ó sea las derivadas de los parámetros
dependientes con relación á los parámetros que se conside-
ran independientes.

Toda la Termodinámica es un ejemplo de este caso.

Por lo demás, pudiéramos aquí repetir lo que hemos indi-
cado en el ejemplo anterior. El tiempo, como variable inde-
pendiente, si no entra en las ecuaciones diferenciales implí-
citamente, estará contenido en todos los accidentes del fenó-
meno, y si no aparece en las fórmulas, acaso sea porque se
toman valores medios correspondientes á un intervalo de
tiempo determinado.

3.” Se presenta otro caso que en rigor es Ó debiera ser
el más general y casi nos atreveríamos á decir que el único.

Y es aquel en que las ecuaciones obtenidas, por de con-
tado por procedimientos empíricos, es decir, por los proce-
dimientos de la Fisica experimental, como tantas veces he-
mos explicado, son ecuaciones diferenciales, que contienen
los parámetros y sus derivadas con relación al tiempo, y ca-
sos pudiera haber en que contuvieran además las derivadas
de unos con relación á otros.

Este caso en que las ecuaciones de un problema de Física
son del tipo

dq, d9, d*g, d?9,

dt de dt2 * dt?

de (a, q, d3 ns

es precisamente el que corresponde, por ser el más general
al teorema de Mr. Poincaré, que vamos á explicar en esta
conferencia, no con tanta extensión como quisiéramos, ni

— 306 —

como merece por su importancia y por el ilustre nombre de
su autor, pero sí con la suficiente para que mis oyentes pue-
dan formarse una idea exacta de su tendencia y de su signi-
ficación.

- Así, pues, decimos que el fenómeno de Física que consi-
deramos está expresado por un grupo de ecuaciones aná-
logas á la (1).

Supongamos que se presenta un problema de Física y que,
como explicábamos en la primera conferencia, se determinan
los parámetros que al fenómeno en cuestión van unidos y
de los que en cierto modo depende su estudio.

Sean éstos y

1,2) 3 +--.-+ In-

Supongamos que por los métodos experimentales, y esto .
también lo explicábamos en nuestras primeras conferencias,
se determina cierto número de ecuaciones diferenciales del
tipo de la anterior, que si hay que determinar todos los pa-
rámetros en función del tiempo, serán en número 7.

Hasta aquí el método de la Física experimental, que tan-
tas veces hemos explicado: una serie de experimentos deter-
minan las ecuaciones. El matemático después las integra;
ninguna gran hipótesis, al menos hipótesis de conjunto, ha
intervenido en la solución.

Pues propongámonos resolver el problema aplicando á él
la hipótesis mecánica.

Esto lo que quiere decir, si ha de haber concordancia en-
tre la Física experimental y la Física matemática, es que á
las ecuaciones anteriores debe llegarse directamente, sin ex-
perimento ninguno, al menos en teoría abstracta, y supo-
niendo tan sólo que el problema, sean cuales fueren sus apa-
riencias físicas y sensibles, no es más que un problema de

— 307 —

movimiento de masas con velocidades determinadas y bajo
la acción de fuerzas determinadas también.

“¿De qué medios disponemos para ello?

Podemos escoger tantas masas

como queramos, es decir, que p puede ser tan grande como
nos convenga. Si es preciso hasta un número infinito de
masas.

El valor numérico de cada una de ellas también es arbi-
trario.

Y es más, si no nos basta con las masas de las moléculas,
de los átomos ó de las partículas ponderables, podemos
imaginar nuevos flúidos hipotéticos, como, por ejempo, el
éter Ó la electricidad ó algún flúido inductor.

Y podemos descomponerlo en elementos y dar masas ar-
bitrarias á esos elementos.

Escogeremos, por último, arbitrariamente, un sistema de
fuerzas que hayan de actuar sobre dichas masas, pero de
modo, según explicábamos en la última conferencia, que
exista para ellas una función de fuerzas; y representando

esta función de fuerzas por — U, las componentes serán

Con este conjunto de cantidades arbitrarias y de que po-
demos disponer, constituiremos un sistema mecánico, cuyos
movimientos estarán determinados por p grupos de tres
ecuaciones, como el siguiente:

ASA:
dé? dy, '
bs a OA A
"de? dz,”

A ION TA IA

Hemos expresado las tres ecuaciones del movimiento res-
pecto al punto x,, Y,, 2, para cada punto de los p que for-
man el sistema, tendremos un grupo análogo.

Puesto que la hipótesis mecánica consiste, en que sean
cuales fueren las apariencias del fenómeno físico, en el fon-=
do no hay más que el movimiento de las masas m bajo la
acción de las fuerzas indicadas, es evidente que las coorde-
nadas de todos los puntos x, y, z, deben ser funciones de
los parámetros q: por decirlo de este modo el elemento de
la mecánica en función del elemento físico.

Este es el espíritu de todos los problemas de la Fisica ma-
temática, cuando se acude á la hipótesis mecánica.

Los accidentes del fenómeno físico dependen del movi-
miento de las masas, ó sea de las coordenadas x, y, z y de f.

Por otra parte, la experiencia da que estos mismos acci-
dentes del fenómeno dependen de los parámetros q; luego
es evidente que todas las coordenadas del sistema depende-
rán en cada instante de dichos parámetros, es decir, que de-
beremos tener:

x=, (01,92 ».0-Qn), Y1 =P, (91,92 ».»»Gn), 2,=Y1 (01, 92 «+» Qn);
X3=02 (1, 92»»w0Qn), Ya =B (1, Ya »><-Qn), Z2=Y2 (91, 92 »»>Gn);

Estas funciones <, $, y son arbitrarias y de ellas podemos
disponer como más nos convenga, para que el movimiento

— 309 —

del sistema mecánico explique todos los accidentes y cir-
cunstancias del fenómeno fisico.

No olvidemos que rn es un número determinado, la expe-
riencia lo determina, porque cada fenómeno físico depende
de un número determinado de parámetros.

En cambio, p es un número arbitrario que podemos esco-
ger á nuestra conveniencia y que será mayor que n, en ge-
neral.

Luego, evidentemente, este es el caso del movimiento de
un sistema en que existen enlaces, y aquí las verdaderas va-
riables independientes son los parámetros q.

Luego si en las ecuaciones del movimiento eliminamos las
coordenadas x, y, z, vendremos á parar á las ecuaciones de
Lagrange, que en este caso serán en número n:

oda Y dT dU
RENTO dq;' dq;

2

Lab dT dU
ram dra a = 0; (2)
dt do”, d9» dq,

E O EE E ORO RO OO PIC O RC O

end Te Ed dU

rca: 7 1

Este grupo de ecuaciones debe dar las leyes del fenómeno
físico en función de las variables q; pero las ecuaciones di-
ferenciales entre estas variables obtenidas por los procedi-
mientos de la Física experimental, también expresan estas
leyes.

Luego el grupo (2) debe ser idéntico al grupo (1), 6, por
lo menos, equivalente; uno y otro deben dar los mismos va-
lores para Q,, 4a»...., Gn en función del tiempo, y el proble-
ma podrá plantearse en estos términos: 1.”, disponer de las
masas m, y de su número p, 2.”, disponer de las fuerzas F,

— 310 —

dU dU "idad
ds E NE: -
disponer de las funciones x, f, y de tal modo, que el gru-
po (2) coincida con el grupo (1):

Obsérvese que la forma de las ecuaciones (2) no es com-
pletamente arbitraria; porque sabemos que T es de la forma

(AE)

en la que deberemos substituir las derivaciones de x, y, 2,
con relación á t, por sus valores deducidos de las funcío-
nes a, (3, y, de suerte, que las ecuaciones del grupo (2), en
rigor, son de esta forma:

cuyas componentes son —

di dq
2 B 2 2
da (E (E (7
A A PL dt ¿dll or 0
dq dq
Y tendremos, en general:
de _ da dq, de dq , , de dqn
dt dq, dt A dqn dt”
80-49 ORTDEde Ud y y 4 dq
dt “dd, 08 A OS dd "a
dy_ dy dn y dy da y y dy da
di dq; di d9, di dq» dt”

aplicables dichas ecuaciones á todos los puntos p.
Las funciones a, $, y y la función U, forman aquí las

— 311 —

verdaderas incógnitas y están expresadas por diferenciales
parciales, y de ellas debemos disponer para que coincidan
las ecuaciones diferenciales del grupo (2) con la del gru-
po (1).

¿Es esto posible? Pues el problema físico tiene una ex-
plicación en la hipótesis mecánica, y podremos encontrar
las dos funciones U y T, de las cuales, la primera, conten-
drá tan sólo los n parámetros q, y la segunda, estos pará-
metros y sus derivadas con relación al tiempo. Además T
será homogénea de segundo orden por relación á dichas
derivadas, como hemos hecho observar anteriormente, y
como se ve en las ecuaciones que acabamos de escribir.

Claro es que, según lo que hemos explicado, el sistema
mecánico escogido satisfará el principio de la conservación
de la energía:

T + U = constante.

Si no encontramos funciones para T y U en las condicio-
nes explicadas, el problema no tendrá una explicación en la
hipótesis mecánica.

¿Es esto tan seguro como acabamos de afirmar?

No lo es, y apuntaremos una idea sin discutirla, porque
nos alejaría de nuestro objeto.

Al fin y al cabo, las ecuaciones del grupo (1) son ecua-
ciones deducidas experimentalmente, de suerte que darán
valores numéricos aproximados, pero no formas algebrai-
cas rigurosas.

Si un método experimental da una elipse, y la verdadera
curva que explica el fenómeno es una cicloide, es imposible
hacer coincidir las ecuaciones de ambas curvas; cuando
más, podrán coincidir sus valores numéricos, por sus des-
arrollos en series, en un cierto intervalo.

Pero esta observación que hacemos de paso, no afecta al
rigor ni á las transcendencia del teorema de Mr. Poincare,
porque, en rigor, el teorema es éste.

— 312 —

Supongamos que se han encontrado dos funciones T y U
que cumplen con las condiciones explicadas anteriormente,
y que consiguen la coincidencia exacta Ó aproximada de los
grupos de ecuaciones diferenciales (1) y (2).

Tendremos de este modo una solución dentro de la hipó-
tesis mecánica. Pues el teorema de Mr. Poincaré, afirma,
que si se ha obtenido una solución, se pueden obtener infi-
nitas soluciones; y esto es evidente, porque obtenido un
valor para T, que, abreviadamente, representaremos por
T (9,9), se puede hacer idéntica la ecuación

Li (EN NS LON
a

en que, según antes dijimos, se tendrá para e uePs Y
dt. “dr Ue
en general,
d da d da dq», da d
et NO A q
dt dq, di ds 0 DORE

de infinitas maneras, puesto que disponemos de infinitas
funciones a, f, y.

Así, el eminente maestro Mr. Poincaré, no niega, ni la
importancia de la hipótesis mecánica, ni su eficacia en mu-
chos casos, ni su fecundidad, de que da muestras toda la
ciencia clásica del siglo XIX; lo que sí niega á estas solucio-
ciones, es valor absoluto, y, en cierto modo, sentido meta-
físico.

Si admitiendo una solución mecánica para un fenómeno
físico, á la par de ella se encuentran infinitas soluciones, no
podemos asegurar que ninguna de ellas sea la verdadera.

La realidad es una, y no debe tener más que una explica-
ción; y si á la inteligencia humana es dado encontrarla, la

— 313 —

encontrará con carácter de unidad, y no ciertamente un nú-
mero infinito de soluciones entre las cuales escoger.

Tal es, si no hemos comprendido mal, el sentido del teo-
rema del ilustre maestro.

Para que mis oyentes comprendan aún mejor el teorema
que acabamos de explicar, y sobre todo su última parte,
presentaremos un ejemplo sencillísimo, un caso particular
en que los cálculos son elementales.

Supongamos un fenómeno físico, que dependa de un solo
parámetro q, y en que se satisfaga á las condiciones que
quedan establecidas, tan sólo por el movimiento de dos ma-
sas m, mM.

En estas hipótesis, las ecuaciones de.-Lagrange se reduci-
rán á una sola:

parda
IB
di dy dq

Las ecuaciones que determinan las coordenadas de los
dos puntos serán:

x=, (9)
y, = É, (4)
2, =Y1 (4)
Xy = 4 (4)

Ya = Ba (9)
22 = Ya (4)

Y la forma de T'será la siguiente:

1 de day (db. da Y dy, dqNY
Pag A aer 09 pea: 0
7 lez alas cl

e

¿ :
dl do, la +( el (E ;
2 dq dq dq di
Ó abreviadamente
dq Y
T=:x — |.
m4)

Supondremos, además, que la función U que ha de deter-
minarse en función de X,, Y¡, 21, Xo, Ya, 22, Satisface á las
condiciones que exige el principio de la conservación de
la energía, es decir, que en las ecuaciones del movimiento
de las masas m y m'

E
dé ñ

UN sd
E

d?z;
dt?

¿O
di?

= 1

, d?y, pl Ya
dt?

ce d?Z,

dt?

= 2

se tiene

SEA ay CGON ay 2 ANA
dx; dy, dz,
X= — qu. Y, = — oe a A
TUN dy, ds

Por otra parte, suponemos determinada experimental-
mente la ecuación diferencial que define el fenómeno fí-
sico de que se trata, y suponemos, para aplicar el teorema
de Mr. Poincaré, que la ecuación de Lagrange que hemos
establecido coincide con esta última ecuación deducida de
la experiencia, para los valores indicados 2, P,,Y1, %, Ba, Y2, Y
para el valor de U, que queda también determinado en fun-
ción de q.

Obtenida esta solución, veamos si pueden obtenerse otras
varias; por ejemplo, tomando otros cuatro puntos.

Es decir, si en esta hipótesis podemos dar á las z, $, y de
estos puntos valores que satisfagan á la ecuación

a AN Es dae. (100 04 Y
ar) 38m Jl po

AIN
e El )] )

Comprendiendo la Y los resultados de aplicar á a, B, y
y m los subíndices 3, 4, 5, 6. ,

En suma, estudiemos si con este nuevo sistema de puntos
materiales podemos obtener la misma 7, que hace coincidir
la ecuación de Lagrange con la ecuación obtenida experimen-

talmente.
La última ecuación puede escribirse así:

do dan?

ta jara) +
day, (ar y]
all

e

pero el parámetro y debe expresarse del mismo modo en
función de f, ya se deduzca de la ecuación experimental,
es decir, que hemos obtenido experimentalmente, ya se de-
duzca de la aplicación de la hipótesis mecánica con cualquier
sistema de puntos.

2
Así, ==, será la misma cantidad en el primer miem-

bro que en el segundo, y podremos dividir por ella; luego
nos quedará

EN LS daNY (BY, (2rYyl
Do 2 a

y se reduce el problema á determinar las doce funciones in-
determinadas de q del segundo miembro, de modo que re-
sulte la función que indica el primero.

Y decimos doce funciones, porque hemos tomado cuatro
puntos, pero pudieran ser tantas como quisiéramos.

Sin embargo, si se tratase sólo de masas ponderables, que
todas debieran ser positivas, la multiplicidad de soluciones
podría en ciertos casos ser ilusoria, y no existir más que una
solución, que sería la primitiva.

En efecto; supongamos que de los cuatro puntos dos de
ellos coinciden con dicha solución primitiva, y entonces la
ecuación anterior podrá escribirse de este modo:

1 Moe da dp dy
A llas) +
LS da Y ay EN
+ (57) Ho) Hz)

Pero como las «, f$, y de subindices 1, 2, son precisa-

mente las que han dado para T el valor «+ (q) (5) como

prueba la ecuación (1), podemos suprimir como iguales el

— 317 —

primer miembro y la primera parte del segundo, y quedará
como condición á que deben satisfacer las z, f, y con los
subíndices 3 y 4, es decir, á que deben satisfacer los nuevos
puntos:

(da (dev ay]
Sm JE ALÍ Y) Ed
lalo ik)
ó desarrollando
da, Y dy Y ( dr; 7 |
m A A
elas) a) Ñ
da, Y pan TN a
e —0
E al dq yA dq ro )

y como todos los términos son positivos, será preciso que se

tenga:
dq : dq / dq 4
RE e E y E
dq es 8 a

es decir, que los dos nuevos puntos Xz Yz Zy, Xy Y4 Z14 NO SC-
rán funciones de q, sino que, en todo caso, serán puntos
fijos.

De todas maneras, el teorema subsiste, porque la hipóte-
sis mecánica es tan amplia, que una de las. dos masas /n;
ó m, pueden ser masas negativas de un flúido hipotético, y
la condición quedará satisfecha sin necesidad de ser cero los
coeficientes diferenciales.

Una discusión más amplia del teorema de Poincaré, pasa-
ría los límites naturales de estas conferencias.

— 318 —

Hemos terminado nuestra tarea en el presente curso.

Hemos visto cuál es el carácter y cuáles las condiciones
de la Física experimental. Huir de las hipótesis; á ser posi-
ble, renunciar á ellas por completo; consultar sólo la reali-
dad, ponerse en contacto con ella, deducir fórmulas que pre-
cisamente habrán de ser empíricas, pero que por lo mismo
que proceden de los hechos, á los hechos se aplican sin duda
ni vacilación. En cambio, de aquí resulta que las fórmulas
deducidas de este modo, carecen de generalidad, están en-
cerradas, por decirlo de este modo, en el encasillado de los
hechos, y sus formas analíticas es muy posible que sean
completamente distintas de las que corresponden al fe-
nómeno.

Acaso se dirá á esto, que son primeras aproximaciones
de las fórmulas verdaderas, como, por ejemplo, cuando son
ecuaciones de primer grado, en que á la verdadera curva ó
á la verdadera superficie, se substituyen la tangente ó el
plano tangente.

El principal inconveniente del método experimental, que,
por lo demás, en la ciencia positiva es inevitable, y es de
inmensa fecundidad, consiste, en que por él no se llega fá-
cilmente á las grandes leyes, es decir, á las leyes generales,
que son las que constituyen la unidad de la ciencia.

Lo contrario hemos dicho y podríamos repetir para los
métodos de la Física matemática: acaso no son tan seguros,
no son tan sólidos; pero tienen una grandiosidad y una be-
lleza estética indiscutible. Las hipótesis dan unidad, dan, si
es permitida la frase, belleza estética, hacen á la ciencia ama-
ble y simpática, descubren Ó fingen horizontes inmensos y
fortalecen la razón y la alientan, sin contar con que alientan
y guían también al método experimental. Todo esto lo he-
mos expuesto muchas veces y de muchas maneras en estas
conferencias.

En nuestra opinión, y claro es que respetamos la opinión
contraria, aun cuando no participamos de ella, la hipótesis

— 319 —

mecánica, es insubstituíble en la Física matemática; y hasta
ahora no ha sido substituída por ninguna otra.

Toda tendencia en sentido contrario, ha de tener uno de
estos dos caracteres:

1. O caer resuelta y exclusivamente en la Fisica expe-
rimental, entregándose en absoluto á la ley empirica, dedu-
cida de la pura experimentación; y entonces desaparece la
Física matemática por mucho cálculo y muchas matemáticas
con que después se vistan y se adornen las leyes puramente
empíricas y aunque se las dé el nombre de principios; ó

2.” Substituir al concepto de cantidad el de cualidad, mul-
tiplicando este último indefinidamente á medida que los he-
chos se vayan acumulando.

Respecto al primer punto, nada tenemos que agregar á lo
ya establecido en otras ocasiones: es un procedimiento legí-
timo, más que legítimo, necesario; es la base sólida de toda
ciencia positiva; es un germen fecundo de nuevos descubri-
mientos, y es guía, regulador y comprobador de la Física
- matemática.

No se dirá que le regateamos las preeminencias; pero, con
todo esto, no hay mntivo para abandonar para siempre los
grandes métodos de la Física matemática, que son, á nuestro
juicio, los únicos capaces de dar unidad y armonía y sentido
racional á la Ciencia.

Respecto al segundo, llamaremos la atención de nuestros
oyentes sobre esta circunstancia: que los grandes adelantos
de la Física matemática y sus grandes triunfos, han consis-
tido siempre en substituir al concepto de cualidad de la an-
tigua Física, y aun de la Metafísica, el concepto de cantidad.

Todo lo que sea restringir el campo de las cualidades, dan-
do la preferencia en lo posible á la cantidad, es dar á la
Ciencia carácter matemático.

Porque, aunque las Matemáticas comprenden algo más
que las leyes de la cantidad, como hemos explicado en otro
tiempo y en otras ocasiones, aun así y todo, las aplicaciones

Rrv. Aca. CieENCcIas. —V.—Diciembre, 1906, 22

— 320 —

más vastas de las Matemáticas á los fenómenos de la Natu-
raleza, á la cantidad se refieren.

Las leyes de la cualidad, y también pudiéramos dacir de
la calidad, no son leyes a priori, como no sea en la Metafí-
sica antigua.

Como no se acuda á la experiencia, un cerebro humano,
por potente que sea, en el vacío no puede crear a priori ni
la electricidad, ni el calor, ni el magnetismo, ni la luz; y
puede, en cambio, forjar a priori el triángulo y sus propie-
dades: y claro es que prescindimos del origen de la Geome-
triía y sólo tenemos en cuenta el estado actual de la inteli-
gencia del hombre.

Si hay hipótesis, si hay teorias, si hay leyes que puedan
demostrarse sin el concurso de la experiencia ó con el me-
nor concurso posible, todo esto en las Matemáticas ha de
buscar su fundamento.

Y esta es una de las grandes ventajas, como tantas veces
hemos procurado poner en evidencia, de la hipótesis mecá-
nica.

¿Es acaso independiente en absoluto del método experi-
mental?

Ya hemos dicho que no; pero no se nos negará que la
parte experimental de la Mecánica, es mínima en compara-
ción con el papel que la experiencia representa en las demás
ramas de la Ciencia.

Por eso, explicar los fenómenos de la Fisica por fenóme-
nos de la Mecánica, es simplificar las dificultades, es pro-
curar la unidad, y es ir convirtiendo cualidades en canti-
dades.

¿Qué es más claro para la inteligencia humana? ¿Qué la
satisface más? ¿Decir que el calor es una substancia que
tiene tales ó cuales cualidades en número indefinido, ó decir
que el calor es una cantidad de fuerza viva?

Con esto no se pretende penetrar en absoluto, porque se
empieza declarando lealmente, que no se sabe lo que es la

A A A A AA

— 321 —

masa, ni el espacio, ni el tiempo de donde resulta la ve-
locidad; pero es preferible, repetimos, para la inteligencia
del hombre, á tener cuatro enigmas:

masa, tiempo, espacio, calor,
reducir los cuatro á tres,

masa, espacio, tiempo.

Pues esto podríamos repetir para todas las ramas de la
Fisica.

Y si todas ellas pudieran explicarse racionalmente por
cuatro ó cinco factores comunes, por ejemplo;

materia, éter, fuerza, espacio, tiempo.

y nada más; ¿no sería un triunfo inmenso para la Ciencia
reducir sus incógnitas á cínco en vez de tener tantas subs-
tancias, tantas cualidades, tantos enigmas, Ó tantas incógni-
tas como fenómenos existen Ó van apareciendo?

Y querer anular la primera tendencia favoreciendo la se-
gunda, ¿no es trabajar por el retroceso científico ?

Claro es que con esto no se pretende crear una nueva
Metafísica, la Metafísica de la Mecánica, por decirlo asi,
para explicar con la Mecánica el Universo. En el Universo
hay algo más que Mecánica: ciego y presuntuoso sería el
que defendiera exclusivismo tan absurdo.

Pero no hay que negar que la Mecánica es un factor co-
mún de todos los fenómenos del mundo inorgánico.

Dice un autor inglés, y esto se ha dicho ya muchas veces
bajo una ú otra forma, que toda ciencia parcial, es algo así
como una sección de prueba dada en la masa del Cosmos á
ver qué resulta en dicha sección: como si se cortase un mi-
neral ó una piedra, un bronce ó un acero, para ver el aspec-
to y la estructura interna del objeto en estudio.

— 322 —

Y aquí puede agregarse que las ciencias parciales son
secciones diversas del Universo en diversos sentidos para
ir adivinando lo que contiene la masa cósmica, si podemos
expresarnos de este modo.

Pero hay secciones, siguiendo esta imagen, que interesan
poco, y relativamente descubren poquísimo, y son limitadas
y parciales; y hay secciones que llegan á todas partes, que
penetran mucho, que descubren, por decirlo así, lo univer-
sal impregnando lo particular, y quizá ninguna de estas
secciones puede competir en fuerza sintética y en carácter
universal con la Mecánica. |

Por eso no hay fenómeno en Fisica ni en Química en que
la Mecánica clásica, ú otra mecánica más amplia, la Mecá-
nica de la fuerza Ó la Mecánica de la energía, no esté pal-
pitando.

Hay más todavía, la inteligencia humana tiene facultades
creadoras, y se gobierna por la Lógica en general y por las
Matematicas en particular. El que desprecia la Lógica, aca-
so tendrá razón en despreciarla; pero lo mejor que puede
hacer es irse á un manicomio á ejercitar sus facultades su-
periores.

La inteligencia humana es creadora, no diré de realidades,
pero sí de sistemas, y puede forjar, y tiene derecho á for-
jar un mundo á su capricho, con tal que lo defina de tal
suerte, que, en el contenido de ese mundo imaginativo no
exista, ni imposibilidad, ni contradicción lógica; y, por lo
tanto, ese mundo deberá estar sujeto á las leyes de las Ma-
teméticas, porque á ellas está sujeta la razón humana, en
cuanto es razón humana.

Y luego puede aplicar ese mundo imaginario al mundo
real y ver si ambos ajustan Ó no ajustan, y si las combina-
ciones del primero representan, y aun más, si pueden pre-

— 323 —

ver realidades del segundo; y en este caso, aunque el mun-
do de la imaginación haya sido formado arbitrariamente, no
podrá negarse que es una especie de símbolo de la Natura-
leza con todas las ventajas, aunque con todos los inconve-
nientes del simbolismo.

Será algo parecido, aunque en esfera más alta, á esos mo-
delos mecánicos á que los grandes sabios ingleses son tan
aficionados, y en que representan materialmente la electri-
cidad, el magnetismo, la luz y hasta las ondas hertzianas.
Sobre esto dijo cosas muy dignas de meditación el ilustre
Lord Kelvin, gloria de la ciencia.

Pues en todo esto, en la inmensa labor del último siglo,
está palpitando la Mecánica, y en ninguno de los descubri-
mientos modernos, ni en ninguno de los conceptos moder-
nísimos, ni en los ¿ones, ni en los electrones, ni en los cor-
púsculos, ni en los rayos catódicos, ni en los rayos X, ni en
los rayos a, $, y del rádium, ni en las emanaciones, ni en la
teoría giroscópica del éter, ni en el más insignificante ele-
mento de la Física moderna, se prescinde de la Mecánica,
ni aun á costa de dificultades y contradicciones, que al fin
resultarán aparentes.

Todos los trabajos modernos están impregnados de Me-
cánica; y es más, la Mecánica racional parece inquebranta-
ble como primera aproximación de los fenómenos.

Aproximación decimos; ¡quién piensa en lo absoluto!

Es decir, pensar, todo el mundo piensa, y desdichado del
que voluntariamente se corte las alas y se encorve hasta to-
car la tierra con la frente.

Pero, en fin, con la hipótesis mecánica, al menos hoy por
hoy, nadie pretende penetrar en lo absoluto.

ES
* *

Dos palabras más para concluir esta conferencia y para
concluir este curso.

Ll >

de,

— 324 —

Con el teorema de Mr. Poincaré hemos demostrado: que
si un fenómeno de la Física puede explicarse con la hipóte-
sis mecánica, la solución no será única, porque habrá otras
infinitas soluciones que expliquen el mismo fenómeno.

Esto dice, y esto debe decir, una crítica severa é impar-
cial como la del eminente sabio á que nos referimos.

Pero desde el momento en que con la hipótesis mecánica
no se pretende realizar lo imposible, explicar lo inexplica-
ble, pronunciar la última palabra en una ciencia definitiva,
la hipótesis mecánica es legítima y es fecunda, así lo reco-
noce el ilustre autor, y así lo practica en la inmensa labor de
sus admirables obras.

Mas permíitaseme exponer una idea para terminar.

Aunque las soluciones mecánicas sean muchas para de-
terminado fenómeno, ¿no podrán agruparse y clasificarse en
familias?

Las soluciones mecánicas, ¿son infinitas, desordenadas y
arbitrarias, ó pueden ordenarse, clasificarse y no podría de-
mostrarse que obedecen á una ley?

Infinitas son las integrales de las ecuaciones diferenciales
parciales, pero tienen sus leyes de coordinación.

Y creo yo que la historia de las hipótesis pudiera demos-
trar, que la hipótesis, como las especies vivientes, tiene su ley
de evolución también.

-Sólo apunto la idea, no pretendo desarrollarla.

Acaso queda para otro curso; acaso no he de volver á

ocuparme en ella nunca.

— 325 —

XVI. — Estudios de sintesis mineral,

Por JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO.

Generalmente son las citadas las influencias que suelen
tenerse en cuenta para explicar las anomalías é imperfeccio-
nes producidas en la cristalización por fusión y es de notar
cómo se refieren tan sólo á los cambios de forma de cuerpos
ya constituidos y no á formas creadas al ser éstos genera-
dos en las metamorfosis de otros, incluyendo, á lo sumo, las
que tienen carácter aditivo, son completas y no ocasionan
productos secundarios ó intermedios, y así se refieren á in-
dividuos y sólo por excepción á asociaciones de las más
sencillas. No son las únicas las causas indicadas y he pro-
curado estudiar otras de importancia, sobre todo la veloci-
dad de las reacciones generadoras que considero principal,
y además, regulándola de modo conveniente, permite conse-
guir buenas cristalizaciones la mayoría de las veces y tiene
interés muy particular en los métodos de reproducción de las
rocas, que no son materiales homogéneos y en cuya masa
precisamos distinguir y reconocer los distintos componentes,
que al agregarse suelen conservar casi íntegras sus respec-
tivas y peculiares individualidades.

Variadas son las causas que retardan los cambios de es-
tado físico y muy distinta la naturaleza de cada una de ellas.
Para la solidificación de masas fundidas se cita, como la de
mayor influencia en su velocidad, precisamente la orienta-
ción que han menester tomar las moléculas, en cuyo trabajo
invierten determinado tiempo, y con mayores razones habrá
retraso si el cambio implica la formación ó constitución del
estado cristalino, de suyo lenta; pero cumplida, representa
un equilibrio definitivo y perfecto, que tiene sus puntos in-

== DU

termedios, determinados por otros estados de equilibrios pro-
visionales Ó aparentes; así es que las orientaciones molecu-
lares, en los casos de las cristalizaciones, sin metamorfosis
químicas, como en la de la alúmina ó en la del sesquióxido
de cromo, representan mayor suma de trabajos, más tiempo
y, por consiguiente, disminuciones en la velocidad propia
del cambio, y esto explica lo favorable de su lentitud para
obtener buenos y perfectos cristales, operando con sistemas
homogéneos unimoleculares, cuya temperatura, estando fun-
didos, es igual en todos sus puntos, indicio de haber alcan-
zado el afino completo. Se ha de suponer, asimismo, que el
enfriamiento no experimenta aceleraciones y las pérdidas de
calor son uniformes, sin que las perturbe la presencia de
ninguna causa extraña, condiciones verdaderamente ideales,
bien distintas de las ordinarias en los experimentos de sínte-
sis mineral completa.

Hay que notar que en cualquier punto ó elemento de la
masa fundida, homogénea en el estado inicial, se puede pro-
ducir un cambio local, casi siempre mediante enfriamiento
rápido, que destruya en el momento la uniformidad y sea
suficiente para modificar el trabajo de la orientación de las
moléculas. Quizá la perturbación cese al punto y éste siga su
curso con su velocidad propia; se producirán cristales de di-
versos tamaños, con formas idénticas á los naturales; pero
su estructura no será homogénea y las superficies límites
nunca aparecerán tersas y perfectas; que el estado cristalino
responde á trabajos moleculares lentos, iguales y de absoluta
uniformidad, condiciones indispensables para que el movi-
miento que le es peculiar y su propia energía impulse á los
elementos materiales y les obligue á orientarse en determi-
nadas direcciones, formando cristales, que en cierto respecto
son función de la velocidad de enfriamiento de los cuerpos
fundidos, por ellos mismos ó por verdadera disolución en
un fundente apropiado.

Ya se comprende que lo dicho es aplicable, de la propia

— 327 —

suerte, á los sistemas multimoleculares, constituidos de ele-
mentos heterogéneos ó de distinta naturaleza, que es el caso
de las cristalizaciones de los cuerpos en el momento de ser
generados como resultado de acciones químicas más ó me-
nos complicadas, pero que se cumplen siempre á tempera-
turas muy elevadas, y entonces en el sistema final coexisti-
rán con el cuerpo principal, formando diversos productos
secundarios, otros residuales y quizá algunos consecuencia
de sus mismas disociaciones parciales. Aquí, como si hay
fundentes, las reacciones químicas generadoras de necesidad
se efectúan, completas ó incompletas, en un medio que pre-
cisamente influye en su velocidad; el movimiento de las mo-
léculas, que no tienen en este caso igual masa, ha de estar
perturbado en relación con ella y sus orientaciones, aunque
se dirijan en igual sentido para formar cristales, no serán
perfectas, y cuando el estado final definitivo sea llegado y
cumplido el enfriamiento, habremos sin duda reproducido
los cuerpos deseados; pero en la estructura, en las estrías de
las caras, en las huellas que marcan las esfoliaciones, en la
irregularidad de la transparencia, quedarán las señales de
las perturbaciones indicadas: lo propio acontece en la Natu-
raleza, y es dable notarlo en muchas cristalizaciones cuya
perfección tan sólo es externa.

Júntanse á las dichas otras causas inherentes al movimien-
to molecular originario de las reacciones químicas y cuyo
influjo en su velocidad aparece notorio: es de ellas acaso
la principal el frotamiento interno, en un todo asimilable al
de un sistema de cuerpos con su disolvente líquido. Se com-
prende que así deba acontecer, porque se trata, al cabo, de
moléculas de distinta naturaleza, constituidas en un medio
flúido formado por sus residuos, por algo del sistema primi-
tivo Ó inicial y por las materias secundarias que hayan podi-
do ser constituídas y no se encuentran todas en iguales con-
diciones para afectar el perfecto y completo estado cristali-
no, en cuanto lo dificulta el dicho frotamiento interno, que

— 328 —

de igual manera retarda ó aminora la velocidad del enfria-
miento, como perturba las orientaciones moleculares y los
movimientos vibratorios propios de los elementos de los
cuerpos en sus cambios de estado.

Al considerar los resultados de ordinario obtenidos en las
cristalizaciones por fusión, cuando intervienen reacciones
químicas, á veces bastante complicadas, ocurre el pensar que
su velocidad no es uniforme en toda la masa, en particular
no habiendo fundentes; por su misma naturaleza, efectuarse
entre cuerpos bastante inertes y haber menester para llevar-
se á cabo temperaturas muy elevadas, suelen ser lentas de
suyo, y en los casos de aumentar la velocidad, es con riesgo
de no conseguir cristales. Débese á ello la complejidad de
los sistemas resultantes, aunque la síntesis sea aditiva: su-
pongamos mezclados en las proporciones necesarias para
constituir la ambligonita, el fosfato de aluminio anhidro
(Ph, Os Al,), cuerpo fijo y estable, el fluoruro de sodio
(FI! Na), que funde á 902”, y el fluoruro de litio (FI Li), fu-
sible á álgo más de 800”; al actuar el calor, no toda la masa
se funde al mismo tiempo ni reacciona de una vez, y co-
existirán con el cuerpo formado sus componentes libres y
toda una serie de combinaciones intermedias, que necesaria-
mente han de modificar la velocidad del. cambio, influyendo
en la constitución del estado final del sistema, que no será
el cristalino perfecto, sino una mezcla suya con otros inter-
medios ó posteriores, en los cuales habrá siempre defectos
en las orientaciones moleculares, que vemos modificadas de
muy variado modo en la Naturaleza, sobre todo cuando los
cuerpos son dimorfos ó polimorfos y alguna de las formas
es transitoria, como en las operaciones de laboratorio.

Importa buscar á los hechos observados explicaciones ra-
cionales, siquiera en la ocasión presente hayan de apoyarse
en analogías y en relaciones de semejanza con otros fenóme-
nos ahora bastante bien conocidos. Es evidente que los cris-
tales, naturales Ó artificiales, cuyas caras vemos estriadas,

¿3 cr JN
O

— 329 —

marcados los sentidos de las esfoliaciones y faltos de trans-
parencia, contienen entre la materia cristalina otra materia de
su misma composición é idénticas propiedades; pero en
otro estado, que acaso no es definitivo, obedeciendo su for-
mación al conjunto de las causas estudiadas, cuyo influjo
perturbador logró Verneuil anularlo con sus ingeniosísimos
procedimientos de reproducción del rubí oriental, mediante
la fusión directa de la alúmina cromatada, llevada á térmi-
no en condiciones especiales para alcanzar el estado cristali-
no perfecto y completo.

Bastante general es el hecho de la coexistencia de dos ó
más estados distintos de una substancia en el mismo siste-
ma ó en el mismo medio, y de ello ofrecen el mejor ejemplo
las disoluciones salinas cuando es el agua disolvente: en
realidad, aparte de la disociación química que experimentan
las sales sólidas, si se exceptúan las alcalinas, su materia
hállase, á la postre, dividida, y no á partes iguales, en dos
estados principales, uno de ellos coloide, y á lo que parece
transformables; y de sus relaciones depende, al cabo, el
general del sistema líquido considerado en conjunto. Par-
tiendo de semejante doctrina, no es aventurado, á lo que en-
tiendo, imaginar que así están también constituidos los cris-
tales defectuosos y no homogéneos obtenidos con mayor
frecuencia por vía seca, en particular si en su formación in-
tervienen reacciones químicas y si no es uniforme la velocidad
de ellas y la del enfriamiento. Entonces, no sólo será gene-
rada materia cristalina, sino que se concretará en otros esta-
dos intermedios, también sólidos, pero no tan perfectos
como aquél, y los dos aparecerán unidos, sin perturbar el
aspecto externo de los cristales, ni influir en sus elementos
geométricos, conforme el coloide que contienen, en nada
cambia el aspecto de las disoluciones líquidas, con la ven-
taja, en el caso que nos ocupa, de resultar el sistema sólido
más estático y definitivo, con organización sencilla y fija.
Quizá de esta manera tienen explicación adecuada hechos de

— 330 —

antiguo observados en las operaciones de síntesis mineral y
que pueden ser evitados, llegando á producir la materia cris-
talina homogénea.

Lejos de contrariar la hipótesis, apóyanla de modo deci-
dido ciertos fenómenos que no son la cristalización, pero
que se efectúan muchas veces, no pocas de ellas con com-
binaciones aditivas, mediante el enfriamiento de masas fun-
didas á temperatura elevada, ocasionando diferentes estados
particulares intermedios y transformables, pudiendo resultar
de sus cambios verdaderas y perfectas cristalizaciones; son
disoluciones cuya masa puede cristalizar, separándose cuer-
pos definidos y combinaciones estables, debiéndose al calor
semejante linaje de cambios en sistemas de estructura física
homogénea, pero que acaso representan reacciones químicas
incompletas.

Cuando es calentada la sílice á elevada temperatura, ad-
quiere ciertas actividades y energías que sólo por excepción
pudiera tener á la ordinaria; en realidad, ya desde los 100”
se manifiestan, aunque de modo incipiente, semejantes trans-
formaciones, cuyo resultado definitivo, operando con siste-
mas heterogéneos de naturaleza básica, es la formación de
agregados particulares de silicatos, considerados disoluciones
sólidas de silicatos cristalizados en silicatos amorfos, cons-
tituyendo los vidrios y cristales ordinarios. Por lo general,
toda masa fundida, mono ó multimolecular, es vitrificable y
puede convertirse en masa, no cristalizada, pero sí vítrea,
cuyo estado representa un primer término del cambio Ó mo-
dificación para llegar á la materia cristalina. Ofrecen de
ello excelente ejemplo ciertas escorias, que son al cabo ver-
daderos vidrios, bastante complejos, sirviéndoles de base el
silicato de calcio, al que acompañan los de hierro, aluminio
y magnesio algunas veces y diversos fosfatos, asimismo sus-
ceptibles de convertirse en vidrio cuando la temperatura es

E

0 AS

— 331 —

propicia y el enfriamiento se ha llevado á cabo en circuns-
tancias apropiadas; y no es hecho aislado el que se cita sino
frecuente y pueden presentarlo muchas síntesis minerales,
aun después de generados los cuerpos que se intenta repro-

_ducir, si las condiciones del medio y la temperatura no son

todavía las necesarias para que cristalice, y puede asegurar-
se que la vitrificación es término obligado en los cambios, á
cuyo fin aparece la materia cristalina, que no pasa de re-
pente desde el estado amorfo á semejantes perfecciones, ni
se aisla pura, ni se separa del medio que la contiene y en el
cual se ha formado sin recorrer las etapas de una evolución
bien determinada.

Mas, lejos de ser definitivo el estado vítreo, lo distingue
precisamente la relativa facilidad de los cambios, cristalizan-
do algunos de sus componentes en la masa de los otros y
adquiriendo las formas regulares que se observan, á veces,
en el interior del vidrio ordinario cuando no es muy fusible,
y semejantes metamorfosis se deben al calor. Constituyen el
fenómeno llamado desvitrificación y se reduce á la cristaliza-
ción más Ó menos completa de uno ó varios cuerpos, sepa-
rándose de los demás con los cuales formaban un sistema
hemogéneo, ni amorfo, ni cristalino.

De la misma indole de tal hecho, no privativo del vidrio,
conócense muchos y algunos sirven de fundamento á proce-
dimientos industriales, y se cita la separación de la plata y
el plomo manteniendo fundidas sus aleaciones á la tempera-
tura adecuada, en cuyo caso este último se separa y crista-
liza en un medio á cada punto más enriquecido de plata.
Siempre que el vidrio se calienta hasta reblandecerlo, per-
maneciendo durante algún tiempo en ese particular estado,
luego de frío adviértese que su composición es la misma,
pero que sus cualidades físicas han variado; ha perdido
transparencia, tórnase opaco, y, examinándolo, diferéncianse
dos partes en su estructura, una todavía vítrea, la otra cris-
talizada; la masa no es homogénea y parece como si en un

— 332 —

medio vítreo se hubiesen producido cristalizaciones, que si
bien distínguense separadas, no se aislan completamente de
la materia en que se formaron, ya sean de la misma natura-
leza química ó parezcan segregadas de una mezcla ó disolu-
ción que las contuviera unidas á otras que pudieran ser sus
propios generadores, según se advierte en diversos procedi-
mientos de sintesis mineral. i

No es otro, á mi entender, el mecanismo de las cristaliza-
ciones por fusión y enfriamiento, en particular interviniendo
reacciones químicas; es lo general partir de materias tan iner-
tes á la temperatura ordinaria como la misma sílice y de
cuerpos los más refractarios á toda suerte de cambios de es-
tado; el calor los funde, provoca sus actividades y hace po-
sibles combinaciones y metamorfosis, que de otro modo no
se realizarían. Genéranse en aquel medio variadas substan-
cias, á veces muy complejas, y el sistema líquido constituye
una masa vitrificable, porque en momento dado, vidrio se
tornaría, como las escorias de los hornos altos Ó la masa
fundida de los vidrios ordinarios; pero la temperatura au-
menta, las reacciones hácense completas, el sistema llega á
su estado definitivo, algunas de sus moléculas pueden orien-
tarse en determinadas direcciones y al sobrevenir el enfria-
miento, aparecen los cristales reunidos en el interior de una
materia vítrea, según están los del vidrio desvitrificado, con-
forme se ven, formando geodas, los de algunos silicatos en
el interior de las escorias, tapizando sus cavidades, 6 á la
manera de los cristales de plomo metálico separados por el
calor de sus particulares aleaciones con la plata.

Entre los experimentos que he realizado con intento de
esclarecer algunos de los problemas relativos á las imper-
fecciones de los cristales obtenidos por fusión, en particular
las que atañen á defectos de transparencia, voy á fijarme en
uno solo. Se mezclaron lo más íntimamente posible 71 gra-
mos de fosfato disódico perfectamente desecado y libre de
agua y 39 gramos de fluoruro de calcio puro, exento de hie-

— 333 —

rro; colocada la mezcla en un crisol de carbón en la forma
antes dicha, fué sometida por seis horas á muy elevada tem-
peratura en el horno Roessler, siguiendo lento enfriamiento;
en el fondo del crisol había una masa fundida, cuya cara
superior presentaba un entrecruzamiento de finísimos crista-
les; lo restante de la superficie era masa amorfa; luego de
dividida, advertí en su interior brillantes agujas cristalinas,
casi blancas, no tan opacas como las superficiales, envueltas
en la materia amorfa, cual si de ella se hubieran despren-
dido, y noté que la substancia no cristalizada presentaba en
alguna de sus partes aspecto vítreo y era en las porciones
más alejadas de los agrupamientos cristalinos.

Obsérvanse muy bien hechos semejantes cuando se for-
man y cristalizan algunas combinaciones metálicas á tempe-
ratura elevada, constituyendo el medio un gran exceso del
mismo metal fundido, según acontece en la producción de
los boruros de aluminio; sólo que aquí, si partimos del he-
cho de la reducción del ácido bórico con el metal en presen-
cia del carbón (método de Sainte-Claire Deville), aparte de
las combinaciones binarias, Bo, Al, (en láminas cristalinas
amarillas), Bo¿A! (Joly) y Bo,,A l, de Hampe (cristales mo-
noclínicos negros), suele formarse un compuesto ternario de
aluminio, boro y carbono, ya de antiguo conocido y bien
estudiado, sin duda por haber recibido ciertas aplicaciones.
Y es singular que en la reducción del ácido bórico y algunos
otros cuerpos empleando metales, además de resultar aisla-
do el boro, se constituyen otros estados moleculares diver-
sos y se generan combinaciones binarias y ternarias defini-
das, estables, singulares á causa de su extremada dureza,
unas vítreas, otras en los comienzos de la cristalización y al-
gunas ya cristalizadas, demostrando así la existencia de va-
riados y transformables estados de la materia, que en perfec-
ciones sucesivas y progresivas llega á constituir formas geo-
métricas regulares y caracteristicas, como término de un tra-
bajo en el que la Naturaleza invierte muchísimo tiempo.

— 334 —

Fácilmente se comprende que, en definitiva, se asimila el
hecho que estudiamos á los cambios de estado ordinario, y
todo ello redúcese á un trabajo molecular, que puede ser más
ó menos completo y su velocidad variable. Partimos de un
sistema inicial amorfo, supuesto homogéneo cuando se trata
de un solo cuerpo ya formado (por ejemplo O, A1,), ó he-
terogéneo, constituido por varias substancias, de cuyas mo-
dificaciones deben resultar otras nuevas y tratamos de llegar
á un sistema final formando la materia cristalina, y para lo-
grarlo, admitiendo efectuadas las reacciones y la masa fun-
dida, es menester recorrer largo camino, indicado por la serie
de estados intermedios, dependientes de la forma y meca-
nismo del enfriamiento, de la adherencia de la materia á las
paredes de la vasija que la contiene, de la temperatura y de
las reacciones cuando las hubiere, es decir, de todas aque-
llas causas que tan por menudo estudió Verneuil para su mé-
todo de reproducción ó síntesis del rubí oriental.

Partiendo de los estados transitorios Ó intermedios, cuya
existencia demuéstranla los conocidos fenómenos de la des-
vitrificación, que es al cabo un caso particular de las crista-
lizaciones por vía seca, se explican aquellas imperfecciones
de la transparencia, que sin afectar á la forma geométrica de
los cristales, hacen que su masa aparezca heterogénea, por-
que significan la coexistencia de dos estados que represen -
tan dos trabajos, uno completo, el otro incompleto, á causa
de las influencias externas ó del medio, que impidieron su
libre desarrollo. Son á modo de formas no acabadas de la
materia, que acaso guardan con la cristalina la misma relación
de los vidrios con la materia amorfa; en todos los estados
puede tener igual composición química, únicamente cambian
las disposiciones y orientaciones de las moléculas y del va-
lor de la intensidad de la variación depende el estado final
del sistema, y como puede no ser la misma en toda su
masa, de ello se origina la heterogeneidad, acusada en los de-
fectos 6 irregularidades de la transparencia de los cristales,

od e

— 335 —

el estriado de las caras, las líneas, á veces muy profundas y
marcadas, la propia fragilidad que no siempre corrige el re-
cocido, la escasa adherencia de unas capas á otras y tantas
otras imperfecciones, no sólo de nuestros procedimientos de
laboratorio, que también son frecuentes en los cristales na-
turales, demostrando cómo contribuyen á su producción los
medios en que se generaron.

Gracias al minucioso estudio de la intervención de los mis-
mos, es como han podido especificarse sus influencias en la
formación de los cristales y aprovecharlas en numerosas
operaciones sintéticas, cuyos resultados sirven para conocer
los modos naturales de generarse no pocas especies minera-
les, ahora reproducidas de variadas maneras , diversas rocas,
en particular eruptivas y hasta meteoritos de distinta compo-
sición; y siá ello únense los nuevos métodos aplicados á
obtener sólo mediante fusión cristales transparentes, se ve
en conjunto el alcance de aquellas investigaciones tan inte-
resantes. Al cabo son la base y punto de partida para clasi-
ficar los procedimientos sintéticos, aun los que se practican
á temperatura baja y no en medios fundidos, sino en disol-
ventes líquidos que hacen tales oficios.

Quisiera ahora presentar algunos ejemplcs corrientes de
experimentos que he repetido, modificándolos más ó menos,
con objeto de lograr cristales bien formados de substancias
puras en medios de muy distinta naturaleza. De los cuerpos
que mejor se prestan á este linaje de operaciones es, sin
duda, el fluoruro de calcio, que constituyendo la fluorina,
hállase abundante en la Naturaleza y se puede obtener de
modos diversos y en formas variadas; en general, cuando es
tratada una disolución de cloruro de calcio con un fluoruro
soluble, el fluoruro de calcio que se precipita es gelatinoso;
con disoluciones diluídas (C/, Ca 4 por 100, D=1,039 á 15”)

Rev. Acab. Crencias.—V.—Diciembre, 1906, 23

= E =

y (F! Na 1,081 por 100 D=1,011 á 15”) resulta coloide.
Becquerel aprovechó esta reacción, empleando el fluoruro
amónico, para obtener por vía húmeda y en frío la fluorina
cristalizada, á cuyo fin separaba las disoluciones acuosas de
los cuerpos citados con una membrana ó tabique de papel
pergamino; la reacción es en extremo lenta, pero se consi-
gue ver buenos cristales formados sobre la cara que está en
contacto con el cloruro de calcio. Intentando reproducir el
experimento, trabajé con disoluciones acuosas bastante di-
luidas (50 gr. de Cl, Ca en 1.000 de agua y 33 gr. 34 de
Fl NH, en igual cantidad del mismo líquido); en tales pro-
porciones, las pérdidas motivadas por la transformación de
la sal en fluorhidrato á la temperatura ordinaria y las que
ocasione el ataque del vidrio de la vasija que contenga la
disolución son insignificantes y no influyen en el resultado
final de las operaciones, las cuales han de efectuarse con ex-
tremada lentitud.

Hechas las disoluciones, se dispone un dialisador en cuya
vasija exterior se pone la de fluoruro amónico; la interior
contiene la de cloruro de calcio; efectúase la reacción á tra-
vés del papel pergamino, y poco á poco van formándose los
cristales de fluorita de la manera que Becquerel indica. Al
cabo de dos meses sus proporciones no aumentan, y como
no alcanzan á 35 gr. 513, que es la cantidad de fluoruro de
calcio que debía resultar, colijo que la reacción es limitada
y llégase á un régimen de equilibrio, dependiendo de la di-
lución de las disoluciones, conjetura que he visto compro-
bada en varios experimentos con tal intento practicados.

Reaccionando el ácido fluorhídrico con la cal viva ó el car-
bonato de calcio, 6 apelando á dobles descomposiciones, se
consigue el fluoruro de calcio gelatinoso Ó á lo sumo pulve-
rulento y granudo; por vía seca reaccionan fundidos el clo-
ruro de calcio bien desecado y el fluorhidrato de potasio:

Cl, Ca -- FIH.FIK = Fl, Ca + CIK + CIH;

= 337 —

generándose la fluorita cristalizada con el rendimiento teóri-
co, y el medio gaseoso constituído por el ácido clorhídrico
que se desprende favorece grandemente la cristalización. A
su vez, los productos amorfos, luego de recogidos y secados
á temperatura no superior de 150”, pueden transformarse en
cristales definidos, siempre por vía seca y fusión, de varias
maneras: consiste la primera en emplear como fundentes y
en gran exceso los cloruros alcalinos y aun el propio cloruro
de calcio, mantener la mezcla líquida durante algún tiempo
y luego enfriarla con la mayor lentitud posible; la masa re-
sultante tratada con agua deja por residuo fluorita cristaliza-
da. Operando con una mezcla muy íntima de 150 gr. de
cloruro de sodio fundido y 20 gr. de fluoruro de calcio
amorfo, siempre he notado pérdidas, á causa de una reac-
ción secundaria que origina el cuerpo FI— Ca— Cl, el
cual aparece en forma de agujas cristalinas, blancas y bri-
llantes, y de otra aditivá, de la que resulta el cloruro doble
C!,Ca.2CINa, dependiendo de la temperatura las propor-
ciones de los cuerpos formados. Concrétase la segunda ma-
nera, también muy expedita, á constituir el fiundente con una
mezcla de cloruro y fluorhidrato de fluoruro de potasio; sá-
bese cómo á la temperatura del rojo esta sal se descompone,
con desprendimiento de ácido fluorhídrico, cuya presencia
es favorable en sumo grado á la formación de cristales, y
sus perfecciones se relacionan con la lentitud del enfriamiento
de la masa fundida.

Indícanse todavía mejor las influencias de los medios,
condiciones externas y estados particulares de la materia, en
aquellas operaciones sintéticas cuyo objeto es formar cuer-
pos que dentro de un mismo tipo de combinaciones quími-
cas sus elementos puedan ser sustituídos con otros isomor-
fos; tales son, entre otros, las espinelas O,¿R,.OR, en las
cuales R y R, pueden ser el mismo ó diferentes metales y es-
tar todo ó parte de cada uno, en RO, sustituido con otro
cualquiera M”. Es conocida la espinela de cinc ó aluminato

so JA

cíncico normal O,A/,.0Zn, que, más ó menos impurifica-
do, constituye el mineral denominado gahnita; su obten-
ción, siguiendo los procedimientos de Ebelmen, requiere la
temperatura de los hornos de porcelana, sometiendo á ella
mezclas de alúmina anhidra y calcinada (25 gramos), Óxido
de cinc (30 gramos) y anhídrido bórico (35 gramos) diez y
ocho horas consecutivas. No entra en la reacción, que es sim-
plemente aditiva, el último cuerpo; pero júzgase indispensa-
ble para la constitución del medio apropiado, fuera del que
no se producen los cristales del aluminato, susceptibles de
adquirir gran dureza y hermoso color rojo empleando como
materia colorante, que se incorpora con la mezcla primitiva,
pequeñísima cantidad de bicromato de potasio, agregando
exceso de óxido de cinc. )

Siempre resulta mejor, no disponiendo de temperaturas
extremadas, adoptar el sistema de Daubrée y usar como me-
dio la magnesia anhidra y de primerás materias los cloruros
de aluminio y de cinc exentos de agua, que, en semejantes
condiciones, reaccionan al calor rojo vivo sostenido algunas
horas; la reacción teórica podría representarse en esta forma:
Cl,Zn +ClI¿Al, + 4(0Mg)=0,Al,.OZn+4(Cl,Mg);
pero hay que contar y tener presentes varias circunstancias,
á saber: el exceso de magnesia anhidra contenido en la mez-
cla primitiva, la posible disociación del cloruro de magnesio
á la misma temperatura de su formación y las reacciones si-
- multáneas. En virtud de ellas, parte del cinc es substituiído
con el magnesio y en ciertos casos se llega hasta generar el
compuesto definido y aislable O, A /,0O (Zn M2), que es una
espinela bastante más complicada; y si en la mezcla origina-
ria á los cloruros de aluminio y cinc se añade el férrico, se
llega á substituciones dobles y el aluminato representante de
la gahnita se transforma en este otro: O,(Al,Fe,/(Zn.MgFe),
siendo los límites de semejantes cambios 14 por 100 para el
ferroso y 42 por 100 para el férrico, á partir de 4 y 9, res-
pectivamente.

— 339 —

Juntamente pueden observarse las influencias de los me-
dios y las correspondientes á la temperatura en la formación
sintética de la variedad de sílice anhidra denominada tridi-
mita; los métodos empleados son bastante sencillos y gene-
rales, sobre todo operando por vía seca. Se suele partir,
como hacia ya Rose, ó de la sílice anhidra y calcinada ó de
un silicato, y el medio ó fundente lo constituye una mezcla
hecha, á partes iguales, de bórax y sal de fósforo, y se ha de
añadir en mucho exceso; es bien fundir en crisol de carbón,
sosteniendo la temperatura del rojo muy vivo durante algu-
nas horas; después de lento enfriamiento, la masa es tratada
con ácido clorhídrico y el residuo insoluble constituye la
tridimita, cristalizada en láminas exagonales. Cambiando el
fundente por carbonato de sodio, bórax ó tungstato de sodio,
se consiguen análogos resultados, y con el último, operando
á la temperatura de la fusión de la plata, lógrase la transfor-
mación íntegra de la sílice amorfa en tridimita cristalizada,
en lo cual adviértese de qué modo un cuerpo fundido trans-
forma sin reacciones químicas, á lo menos aparentes, los es-
tados de la materia, facilitando la orientación de las molécu-
las y ejerciendo funciones análogas á las reconocidas para
los disolventes neutros en las cristalizaciones por vía húme-
da, aproximando de esta suerte fenómenos cuyo objeto defi-
nitivo tiene grandes semejanzas. |

Todavía cabe una variante de importancia en el sistema, y
es cambiar el fundente, empleando cloruros en un medio ga-
seoso húmedo, y así con 1gr. de SiO,, 15 gr. de Cl, Ca y 3
gramos de C/Na, calentando al rojo sólo media hora en una
atmósfera húmeda, obtuvo Gorgeu la tridimita en granos
cristalinos redondeados. Operando con un baño de cloruro de
litio y sílice amorfa á la temperatura del rojo vivo bien sos-
tenida, siempre que haya mucho exceso de fundente (de 90
á 95 por 100) siguiéndose enfriamiento lento y tratando la
masa resultante con agua y ácido clorhídrico, se obtienen
buenos y limpios cristales del cuerpo que nos ocupa, y en

e B

el caso de no alcanzar la temperatura necesaria, resulta re-
producido el cuarzo: tal es el método de Hautefeuille y
Margottet que hace tiempo he ensayado, modificándolo con
el fin de evitar pérdidas del cloruro de litio, que ya desde
la temperatura de 560”, correspondiente á su punto de fu-
sión, emite abundantes vapores, y pude notar en los experi-
mentos llevados á cabo que la transformación de la sílice no
es completa y queda de continuo un residuo que no cristali-
za, aun prolongando mucho las acciones del calor rojo vivo.

XVII. — Ensayo de Geometria analítica noeuclidiana.

POR JosÉ A. PÉREZ DEL PULGAR, S. ]J.

PRIMERA MEMORIA

Bases fundamentales de la Geometría angular de la radiación
de primer orden.

INTRODUCCION

Uno de los obstáculos, quizá el único, que se oponen á la
difusión y desarrollo de las geometrías noeuclidianas, á pe-
sar de la autoridad indiscutible de algunos de los matemáti-
cos que las han cultivado, es la extrañeza paradójica y á
veces casi ridícula de las consecuencias que de ellas se han
sacado. Esta es la causa por que muchos geómetras, sin atre-
verse á declararlas falsas, porque á ello parece oponerse el
teorema de Lobatchefsky, rehusan entrar en su terreno, re-
pugnancia que tiene algo de instintivo, pero que es por otra
parte muy racional. Cuando nos habla la geometría riema-
niana de rectas cuya longitud total es finita y la lobatchets-
kiana de rectas que, teniendo un punto común y formando un

— 341 —

ángulo nulo, no coinciden, lo primero que se ocurre á cual-
quiera es que esas propiedades pueden convenir con la defi-
nición adoptada de línea recta; pero, indudablemente, dicha
definición nó contiene todos los elementos necesarios para
caracterizar lo que todos entendemos por línea recta. Esto
nos conduce á una discusión filosófica interminable sobre la
naturaleza metafísica de la línea recta, que ha hecho resuci-
tar todas las antiguas polémicas sobre la constitución del es-
pacio, y en que (dado que sean de alguna utilidad), no es
posible entrar á los matemáticos de profesión.

En estas memorias me propongo demostrar que la geome-
tría noeuclidiana puede ser estudiada sin incurrir en dichas
paradojas, repugnantes á nuestro modo de concebir los ele-
mentos geométricos, y que, sea lo que fuere del problema
filosófico de la constitución del espacio, puede establecerse
una métrica tan racional y tan práctica como la de Euclides,
sin necesidad de apoyarse en la teoría vulgar de las para-
lelas.

E 1?

BASES GEOMÉTRICAS DEL PROBLEMA.

1. Admiteremos que:

a) Dos puntos cualesquiera del espacio determinan la
posición de una línea, á que daremos el nombre de recta.

b) Un punto y una recta determinan la posición de una
superficie, á que llamaremos plano.

c) Dos planos cualesquiera del espacio determinan la po-
sición de una recta.

De estas tres proposiciones, se deducen las siguientes:

Un plano queda determinado Un punto queda determinado
por dos rectas con un punto co- | por dos rectas con un plano co-
mún ó por tres puntos. mún ó por tres planos.

Un plano y una recta cualesquiera determinan la posición
de un punto.

— 342 —

2. Según estas proposiciones, únicas en que vamos á
apoyar toda nuestra teoría geométrica, convenimos con la
geometría riemaniana en que ¿gnoramos por completo la
existencia de los elementos llamados del infinito, y no consi-
deraremos más que elementos propiamente tales; pero nos
separamos de ella en que no negamos la existencia de los
elementos del infinito, con tal de que ellos satisfagan á las
proposiciones a) b) c), exactamente como los propios. La
geometría riemaniana se apoya en las proposiciones del nú-
mero 1.” y además en la negación de los elementos límites
del infinito. Nosotros prescindiremos de esta negación y nos
apoyaremos exclusivamente en dichas proposiciones. Es de-
cir, prescindiremos de la teoría euclidiana del paralelismo,
sin negarla, ni siquiera prejuzgarla por ahora. Nuestra geo-
metría no será, pues, euclidiana, porque no nos apoyaremos
para nada en la existencia de las paralelas ni, en general, de
los elementos del infinito, que no distinguiremos en nada de
los elementos propiamente tales; pero tampoco será riema-
niana ni lobatchefskiana *, porque no negaremos positiva-
mente dicha existencia. Por lo demás, establecemos esta
proposición más bien como el enunciado de una tesis, que
quedará demostrada por el desarrollo mismo de las teorías
que como consecuencia inmediata de los principios estable-
cidos en el primer número.

3. Las definiciones a) b) c) nos permiten establecer las
de multivértice y multilátero planos, multivértice y poliedro
completos en el espacio (que no se diferencian en nada de
los de la geometría vulgar), así como todos los teoremas su-
jetos á la ley de correlación que en ellas se funda.

1 Aunque esto es cierto, y por ello he designado esta Geometria
con el nombre de Geometría angular para evitar confusiones, lejos
de negar el mérito de las Geometrías de Riemann y de Lobatchefsky,
y sobre todo de la de Cayley, he tomado de ellas la mayor parte de
los procedimientos, en especial en cuanto á su mecanismo algébrico,
como será fácil reconocerlo al lector.

a ie.
OS ¡]

— 343 —

4.—Si dos triángulos ABC,
A'B'C”, no situados en un plano,
están de tal manera relacionados
que cada dos lados homólogos
AC—A'C',BC—B'C',AB—A'B'
cortan á la recta r de intersección
de sus planos en unos mismos
puntos E,F, G, son homológicos;
es decir, que los tres pares de
vértices homólogos están en rec-
tas 4A”, BB', CC” concurrentes.
Pues los tres pares de lados ho-
mólogos determinan tres planos
(por tener de dos en dos un pun-
to común), AEA', BFB',BGB',
que forman un triedro OA'B'C',
cuyo vértice O es el centro de
homología.

Si dos triedros de distintos vér-
tices, O,ABC, 0,4'B'C', están
de tal manera relacionados que
cada dos aristas homólogas
O,A — 0,A'” O¡B — O,B',
O,C — O,C” determinan con la
recta O, O, de unión de sus vér-
tices unos mismos planos, son
homológicos; es decir, que los
tres pares de caras homólogas se
cortan según rectas de un plano.
Pues los tres pares de aristas
homólogas determinan tres pun-
tos, vértices de un triángulo,
sección común de los dos trie-
dros, y cuyo plano es el plano
central de homología.

Los reciprocos son también ciertos y se demuestran lo

mismo.

5. De estos dos teoremas se deducen los dos siguientes:
Dos triedros VA BC, VA' B'C' del mismo vértice y

cuyas

caras homólogas se cortan en
rectas de un plano P, son homo-
lógicos; es decir, que sus pares
de aristas homólogas están en
tres planos que pasan por una
misma recta.

En efecto, por una recta R del
plano P tracemos dos planos=, 7'
que corten á los triedros respec-
tivamente en triángulos ABC,
A'B'C'.— Estos dos triángulos
serán homológicos, por tener sus
lados dispuestos de manera que
se cortan de dos en dos en unos
mismos puntos de la recta R, lue-
go sus pares de vértices AA”,
BB',CC' homólogos están sobre
rectas que concurren en un pun-
is V”, y por tanto, los planos de-

aristas homólogas están en pla-
nos que pasan por una misma
recta R, son homológicos; es de-
cir, que sus caras homólogas se
cortan en rectas de un plano.
En efecto, en cada uno de los
planos determinados por los pa-
res de aristas homólogas y por
un mismo punto P de su intersec-
ción, tracemos una recta que cor-
tará á las aristas de los dos trie-
dros en puntos A4”, BB”, CC'
respectivamente. Los triángulos
ABC, A'B'C' son homológi-
cos por tener sus vértices sobre
rectas que concurren en un punto;
luego sus pares de lados homólo-
gos se cortan en puntos de una
misma recta (la intersección de

— YA

sus planos), y por consiguiente,
en rectas del plano determinado
por esta recta y el vértice V se
cortan los pares de caras homó-
logas de los dos triedros.

terminados por cada par de aris- |
tas homólogas de los dos triedros |
pasan por la recta V V”.

6. Dos tetraedros radiados completos ABCD, A'B'C'D'
de distinto vértice, que tengan cinco pares de aristas homó-
logas AB—A'*B",AC—A'C' AD-A'D',BC--B'C'
y BD—B' D', de tal manera dispuestas que se corten dos
á dos, son homológicos y, por tanto, las otras dos aristas
homólogas también se cortarán.

En efecto; aquellos cinco pares de aristas forman dos pa-
res de triedros ABC—A'B'C”, ABD-—A'B'D' homo-
lógicos respecto de un plano central de homología K que
es el determinado por las rectas AA” y BB”; luego las rec-
tas CD y C' D' se cortan en un punto de dicho plano.

Si dos tetraaristas radiados
completos del mismo vértice tie-
nen cinco pares de caras homó-
logas que se cortan en rectas de
un mismo plano, son homológi-
cos, y por tanto, las otras dos
caras se cortan en una recta del
mismo plano.

Si dos tetraedros completos
del mismo vértice tienen cinco
pares de aristas homólogas sobre
planos que concurren en una mis-
ma recta, son homológicos, y por
tanto, las otras dos aristas están
en un plano que pasa por la
misma recta.

De estos teoremas, que sólo hemos recordado para que
el lector pueda convencerse por sí mismo de que se apo-
yan directa y exclusivamente sobre los postulados del nú-
mero 1, se deduce, como en la geometría vulgar, la defini-
ción y propiedades de los haces armónicos de rectas y de
planos. (Véase la obra del Sr. Torroja, Geometría de la po-
sición, pág. 94 y siguientes.)

7. Llamaremos haces proyectivos dos de rectas, dos de
planos ó uno de rectas y otro de planos que se correspon-
den elemento á elemento, de modo que, á cuatro de ellos
que constituyen una forma harmónica en uno de ellos, co-

— 345 —

rresponden cuatro del otro, que forman también un haz har-
mónico.

Si dos haces proyectivos de la misma base tienen tres ele-
mentos dobles, los tienen todos; y si no son de la misma
base y tienen uno doble, son perspectivos.

Las nociones de eje proyectivo y plano central proyectivo
se deducen fácilmente de la última proposición.

8. Lo dicho nos permite establecer toda la teoría de los
conos de segundo orden y clase, como en el cap. XI de la
obra citada, sin otra diferencia que, en nuestro caso, no es
posible hacer extensión de la teoría al caso en que el vérti-
ce de la radiación esté en el infinito. Esta es la condición ne-
cesaria y suficiente para que toda la teoría de la radiación
riemaniana sea idéntica á la euclidiana, á saber: que el vér-
tice de la radiación sea un punto propio, pues es claro que
todos los demás elementos de ella habrán de serlo también.

9. Recordaremos, en particular, las propiedades siguien-
tes de que vamos á hacer uso:

Todo cono ó haz radiado de rectas de segundo orden de-
termina en cada una de las rectas de la radiación una invo-
lución de planos conjugados, cuyos elementos dobles son los
tangentes que por dicha recta pueden trazarse al cono, y,
sobre cada plano, una involución de rectas conjugadas, cu-
yos elementos dobles son los que dicho plano tiene comunes
con la superficie del cono.

10. Si designamos con el nombre de elemento imaginario
una involución de rectas Ó planos, sin rayos dobles, tomada
en uno de los dos sentidos, positivo ó negativo, es claro que
todo plano de la radiación contiene dos generatrices del cono,
reales, confundidas ó imaginarias conjugadas, y toda recta,
dos planos tangentes, reales, confundidos ó imaginarios con-
jugados.

11. En virtud de las propiedades (8), los elementos bi-
sectores de los dobles de una involución son conjugados y
además rectangulares puesto que dividen al haz en cuatro

ar E

ángulos que pueden hacerse coincidir. Por consiguiente, el
conjunto de las rectas y planos perpendiculares de una ra-
diación, constituyen una radiación polar, cuya directriz es
un cono de segundo orden imaginario, puesto que todas las
involuciones rectangulares tienen sus rayos dobles imagi-
narios.

Consideremos dos rectas, A, B, de una radiación y dos
planos T T” que pasen por cada una de ellas. La recta TT”
es la polar del plano A B con respecto á todas las superfi-
cies cónicas de segundo orden que pasan por A y B y tienen
á los planos 77” por tangentes en ellas. Uno cualquiera de
estos conos diremos que está inscrito en todos los demás,
siendo el plano A B, plano central de inscripción y la recta
TT" eje de inscripción.

Si definimos el cono de revolución como aquel cuyas gene-
ratrices todas equidistan de una recta, que llamaremos eje
del cono, observaremos las siguientes propiedades: Todos
los planos que pasan por el eje contienen involuciones de
rectas polares conjugadas con respecto á la superficie cónica
de revolución, y cuyos elementos rectangulares son los bi-
sectores de los ángulos formados por los rayos dobles: cada
dos rayos dobles y los bisectores de los ángulos que ellos
forman constituyen un haz armónico.

El haz de planos que pasan por el eje y el de rectas con-
tenido en su plano polar, considerados como involuciones de
elementos polares conjugados con respecto á la superficie
cónica de revolución, son rectangulares. Designando, pues,
con el nombre de cono absoluto, 6 simplemente absoluto de
una radiación el cono director de la radiación polar consti-
tuída por el conjunto de todos los planos y rectas perpen-
diculares que pasan por su vértice, todo cono de revolución
tiene con el absoluto dos generatrices comunes, los rayos
dobles de la involución de rectas contenidas en el plano po-
lar del eje, á que llamaremos plano central del cono de re-
volución; y dos planos tangentes comunes, los dobles de la

A
clic

a E

involución que pasa por el eje. Y por estar las generatrices
comunes en el plano polar de la recta intersección de los
planos tangentes comunes, toda superficie cónica de revolu-
ción está inscrita en el absoluto de la radiación del mismo
vértice que ella. Recíprocamente: el absoluto de una radia-
ción es la superficie cónica en que se hallan inscritas todas
las superficies cónicas de revolución del mismo vértice.

No difiriendo, por lo demás, esta teoría de la euclidiana
en nada absolutamente, hemos preferido citar, sólo para me-
moria, estos enunciados, en que vamos á fundar las demos-
traciones ulteriores, remitiéndonos para lo demás á la obra,
ya citada, del Sr. Torroja.

SiZo
REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE LOS ELEMENTOS GEOMÉTRI-
COS EN LA RADIACIÓN

12. El elemento métrico de que vamos á hacer uso ex-
clusivo es el ángulo, razón por la cual designamos á la mé-
trica y analítica que en él se funda con el nombre de geome-
tría angular, á diferencia de la geometría usual, que, por re-
ducir todas sus medidas á medidas de longitud ó lineales,
podría designarse con el nombre de lineal. Si en un haz de
primer orden escogemos un elemento origen, todo número n
representará un rayo dado por su distancia angular al ele-
mento origen y referida á un ángulo tomado arbitrariamente
por unidad. Designemos por O, O” los dos semirrayos del
rayo origen y por R, R” los de un rayo cualquiera, dado
por su distancia angular RO=n. A partir de un cierto valor,
que designaremos por z, el semirrayo R comienza á tomar
las posiciones que ocupó el R” durante la primera semirre-
volución. A partir de 27, hasta 3, el rayo RR” vuelve á to-
mar las mismas posiciones que en su primera semirrevolu-
ción. También podríamos haber designado por = el valor de
una revolución entera. En el primer caso, representando por «

— MB

un ángulo menor que = y por m un número entero, todos los
rayos representados por 2m=-z, coinciden invertidos con
los representados por (2m +1) =-+u. En realidad, pues,
basta el ángulo « para determinar la posición de un rayo.
Pero conviene tener presente que dos números que se dife-
rencian en = representan el mismo rayo invertido. Por el con-
trario, en el segundo sistema, dos números que se diferen-
cian en = representan el mismo semirrayo. Mientras no ad-
virtamos lo contrario expresamente, adoptamos la primera

—

convención, de suerte que + representa un ángulo recto re-

ferido á una unidad cualquiera. En cuanto á los signos, repre-
sentan los sentidos en que son contados los ángulos. Por lo
que hace al signo QUE de imaginarismo, puede, en esta
geometría, representar, exactamente como en la geometría
vulgar, ó bien los elementos dobles de involuciones que ca-
recen de ellos, ó bien puede ser el signo de rectangularidad.
En este segundo sentido, y teniendo en cuenta que los án-
gulos diedros tienen la misma medida que los planos corres-
pondientes (como es fácil deducir de las proposiciones del
párrafo primero), si sobre un plano, á partir de un origen,
representamos por números reales los ángulos planos, un
número imaginario a Y =1 representa un ángulo plano per-
pendicular al plano dicho, ó también la medida de un ángu-
lo diedro á partir del mismo plano. Nosotros daremos á los
números imaginarios la misma representación.

Según estas convenciones, todo número menor que =, po-
sitivo, negativo Ó imaginario, representa un rayo de un haz,
dado por su distancia angular, plana ó diédrica, contada con
respecto á una unidad previamente adoptada, y á partir de
un elemento origen. Llamaremos abscisa de un rayo á una
función x de su distancia angular al elemento origen y tal
que, á un sólo valor de x corresponde uno de la distancia
angular y viceversa, dejando por ahora la función x sin otra
determinación.

A

— 349 —

13. Toda ecuación de grado /m representa un conjunto ó
haz de m rayos. Dos haces quedan relacionados elemento á
elemento cuando se conoce la relación f (x, y) =0, que liga
á las abscisas de cada par de elementos correspondientes. Si
los dos haces son de distinta base, cada par de elementos
" correspondientes x, y, determina la posición de otro elemen-
to de distinta especie, de quien x, y, son las coordenadas.
Dadas por sus abscisas X,J,, X>/», X3J3, tres elementos
correspondientes de dos haces, hemos visto en el párrafo pri-
mero que queda geométricamente determinada una homo-
grafía, pudiéndose determinar (geométricamente también)
la posición de otro par de rayos correspondientes cuales-
quiera xy. Sujetemos, pues, las funciones x y de las distan-
cias angulares de dos rayos correspondientes, á la condición
de que las abscisas de los cuatro rayos de un haz harmó-
nico satisfagan siempre á la relación

ds MN O ER AA
Xi —Xg — X¿— X E 8

e

Óó sus equivalentes. Para convencerse de la posibilidad de
esta condición, basta asignar á tres rayos cualesquiera A,B,C
tres números cualesquiera Xx, Xx, x.,; al conjugado armóni-
co de B con respecto á A,C, el valor que nos dé [1] para
Xx, y le llamaremos D. Al conjugado armónico de C con
respecto á BD, el valor que nos dé una relación de la for-
ma [1], sustituyendo las abscisas de BCD y despejando la
cuarta, y así sucesivamente. Es fácil ver que jamás repetire-
mos ni los números ni los rayos; todos los valores de las
abscisas dependerán de los tres primeros valores arbitrarios.

Al primer miembro de [1] llamaremos razón doble de los
cuatro elementos, representados por sus abscisas. Si éstos no
forman un haz armónico

Xi Mo Xi ES
Xi tá Xy y Xa E

— 350 —

Si fijamos tres elementos x,,x.,x, arbitrariamente, á cada
valor de x, corresponde uno y uno sólo de ». En este caso %»
puede ser la abscisa del mismo elemento representado por x;.
Los tres elementos fijados arbitrariamente se llamarán ele-
mentos de referencia. Sabemos que las coordenadas / cum-
cumplen también con la condición [1], cuando se trata de
cuatro rayos de un haz harmónico.

Además, los cuatro valores de x, correspondientes tam-
bién cumplen con la condición [1]. Por consiguiente, dos ha-
ces X, Y, cuyos rayos tienen relacionadas sus abscisas de
suerte que las razones dobles de cuatro cualesquiera de los
elementos de uno de ellos sean iguales á las de los cuatro
correspondientes del otro, son proyectivos, en el sentido
geométrico de esta palabra (núm. 7). En efecto, á un rayo
de uno de ellos corresponde uno y sólo uno en el otro, y á
un haz harmónico corresponde otro. Igualando, pues, las ra-
zones dobles de cuatro elementos, los tres de referencia y
uno variable x, y, verificando operaciones y llamando A, B,
C, D cuatro funciones de las constantes X; X, X;, Y¡ Y» Ys la
condición para que los haces X Y sean proyectivos, es que,
entre las abscisas x y de sus rayos correspondientes exista
una relación bilineal de la forma

Axy>+Bx>+Cy+D=0. [2]

A esta condición hay que añadir que AD = BC para
que haya correspondencia unívoca.

14.—Si X é Y son dos haces de
planos (dados por sus aristas)
proyectivos, en el caso particular
en que el plano X Y común sea
también doble, los dos haces son
perspectivos y, por consiguiente,
proyectivos; es decir, que las
abscisas de cada par de rayos
correspondientes deben estar li-
gadas por la relación [2], la cual

Sean U, V dos haces de rectas
planos (dados por sus planos)
proyectivos; en el caso particu-
lar en que la recta U V común
sea también doble, los dos haces
son perspectivos y, por consi-
guiente, proyectivos; es decir,
que las abscisas de cada par de
rayos correspondientes deben
estar ligadas por una relación de

AA

— 351 —

debe quedar satisfecha para las
soluciones x= m, y =n, siendo
m,nlas abscisas del plano doble
X Y. Y recíprocamente una ecua-
ción bilineal que tiene la solución

x=m, y =n representa un haz |

de rectas perspectivo de los dos
de planos, cuyo plano común y
doble tiene las abscisas m, n. Es
decir, que la ecuación [2] repre-
senta un plano, puesto que cada
solución nos da un rayo de un
haz plano de rectas como inter-
sección de dos planos correspon-
dientes de los haces X Y pers-
pectivos.

Podemos, pues, hacer que un
plano venga dado por una ecua-
ción de primer grado con sólo
convenir en dar al plano X Y las
abscisas x=00, y=00; y si se
verifica esta condición, toda ecua-
ción de la forma

AXE By O) 37

representa un plano.

la forma [2], la cual debe quedar
satisfecha para los valores u=s,
v=f, siendo s,f las abscisas de
la recta doble uv. Recíproca-
mente, una ecuación bilineal que
tiene la solución u=s, v=f re-
presenta un haz de planos pers-
pectivo de los dos de rectas, cu-
ya recta común y doble tiene las
abscisas s,f. Es decir, que la
ecuación [2] representa una rec-
ta, puesto que cada solución nos
da un rayo de un haz de planos
como el determinado por dos rec-
tas correspondientes de los haces
u, v perspectivos.

Podemos, pues, hacer que una
recta venga dada por una ecua-
cion de primer grado con sólo
suponer que las abscisas de la
renta SOM 1 =00,)V = 00; y s1:se
verifica esta condición, toda ecua-
ción de la forma

au+bv+c=0 [4]

representa una recta.

Luego una misma ecuación de la forma

Ux+vy+wz=0 [5

en coordenadas homogéneas, nos representará un plano ó
una recta, según que tomemos por variables las cantidades
A

j ey :
—, —, 6 las —, —. A las primeras llamaremos coordena-
Db ww

das de rectas, á las segundas coordenadas de planos ó tam.
bién tangenciales.

15. Tratemos de hallar ahora las relaciones que enlazan
á las coordenadas de un elemento, referidas á dos haces de
referencia, con las coordenadas del mismo referidas á otros
dos haces, ó sea tratemos de resolver el problema de la
transformación de coordenadas.

Ruy. Acap. Ciencias.—V.— Diciembre , 1906, 24

— 352 —

Para esto, observemos que las coordenadas (no homogé-
neas) x y de una recta deben ser una función de las nuevas
coordenadas x” y” de la misma recta, tal que, á cada sistema
de valores de estas coordenadas corresponda para aqué-
llas un solo sistema de valores, y, por tanto, se deben tener
las siguientes relaciones:

pero la ecuación Ax + By + C =0, que representa un
plano, se transforma en

AJA, y) + Belx, y) + Cu(a, y) =0,

que, por representar el mismo plano en el segundo sistema,
ha de ser de primer grado, lo cual exige que las funciones
Hal y), olx y) y y(x y”), sean lineales; por consi-
guiente, las relaciones pedidas son:

E E dl Dl ad PRO PR Lu IA
avx E D0Y' + Ca aX + dy" + Cg

y en coordenadas homogéneas,

XxX y pa

ax + by +C,2 dx + day + C2Z

o AMIA [7]
ax + D¿Y + 032

Del mismo modo encontramos para las fórmulas de trans-
formación en coordenadas tangenciales homogéneas

— 353 —

u V
mu +n,V +p,w Ma + N,V + p,W'

w
SA ARCA [8]
MU E NgV + PyW

Estas fórmulas encierran todos los casos posibles y con-
tienen nueve parámetros que, como veremos más adelante,
pueden reducirse á tres en el caso general de una rotación
cualquiera de toda la radiación alrededor de su vértice, me-
diante las condiciones que estableceremos entre los elemen-
tos de referencia.

El triedro, que en el segundo sistema x”y”2” tiene por

caras los planos dados por las ecuaciones

Aax+biy+C,2=0, ax +b,y+<c22=0,

dx Eb: + C¿2 =0,

recibirá en adelante el nombre de friedro de referencia del
primer sistema. Lo mismo hay que decir en coordenadas
tangenciales. Más adelante determinaremos las propiedades
de estos triedros de referencia.

Una ecuación homogénea de grado m, con tres variables,
representa una superficie cónica, dada como lugar de rectas
ó como envolvente de planos. Según el número anterior, el
grado de la ecuación de una superficie cónica es el mismo,
cualquiera que sea el sistema de haces de referencía á que se
refieren las coordenadas de sus elementos.

16. Lo dicho nos pone en condiciones de resolver todos
los problemas de la radiación en que no intervienen más
que rectas y planos. Como nuestro objeto no es dar un des-
arrollo completo á la geometría de la radiación, trabajo he-
cho ya con toda la perfección deseable por el Sr. Vegas en
el primer tomo de su excelente obra que acaba de publi-

— 354 —

carse *, sino exclusivamente mostrar que esta geometría
puede establecerse con absoluta independencia de la teoría
euclidiana de las paralelas, sólo vamos á resolver un pro-
blema que nos ha de servir para las demostraciones que se

siguen, remitiendo, para lo demás, á dicha obra.

La ecuación del plano que pasa
por las rectas x, y; 2,, Xo Ya Za €S

EN
A IN
Xa Ya a

De aquí se sigue que las coor-
denadas tangenciales de dicho
plano son

U—= Y, 29 — Ya 21

W—= X1 Yo — X9Yy

La ecuación de la recta inter-
sección de los planos u, Y, W,,
U, V¿W, es

u v W
U, V wW|=0 [9
lo Va Wa

De aquí se sigue que las coor-
denadas de líneas de dicha inter-
sección son

X= VW, — VoW,
Y = U¿W ¡— U Wa (10)

Z = U¡ Va, — Ua V;

Las ecuaciones [9] dan también la condición para que tres
rectas estén en un mismo plano ó tres planos pasen por una

misma recta.

17.—Siendo x, y,, Xx, y, las coor-
denadas no homogéneas de dos
rectas, las coordenadas de una
tercera recta contenida en el pla-
no determinado por dichas dos
rectas puede expresarse por

__ X¡—AX
X= AA

1—)

Y Yo
1—A

puesto que, substituídas en vez
de xy en

Siendo u, V,, 4, V, las coordena-
das no homogéneas de dos pla-
nos, las coordenadas también no-
homogéneas de otro plano que
pasa por la recta común á los dos
primeros son

11,Mo V,—V
1 2.y Y 2

er des”

11
q) 11)

puesto que substituidas en

1 Tratado de Geometria Analítica, Madrid, 1906.

— 355 —

Que son idénticos á los [9] para el caso de coordenadas
no homogéneas, quedan satisfechas.

De las [11] resulta: De las [11] resulta:
A es ls Le PE ES AR Ea
X3 — Xa a lg -— lla M7 Ve

Por consiguiente, como para cada valor de 2 corresponde
un elemento en [11], dos valores iguales y de signo contra-
rio de este parámetro determinan la posición de dos elemen-
tos separados harmónicamente por los x, y,, X, Y», según
la condición [1] (núm. 13).

Todas las demás propiedades de las coordenadas y de las
razones dobles, así como los problemas sujetos á la ley de
de correlación, se resuelven de un modo exactamente igual
al que se emplea para resolver los problemas de puntos y
rectas en la geometría plana euclidiana. (Véase el cap. V,
l. I de la obra del Sr. Vegas.)

18. Una ecuación de segundo grado en coordenadas no
homogéneas, Xx, y

F(xy)=Ax"+By*+C+2Hxy+2Gx+2Fy=0 [12]

representa un haz de rectas de segundo orden, es decir, un
cono de segundo orden dado por sus generatrices. Un plano
P=0 tiene con él dos generatrices comunes, que son las so-
luciones del sistema

(P=0
IF =0.

Sean los elementos (x, y,) (x, y»): un rayo cualquiera de
su plano viene dado por las relaciones [11]. Si este rayo ha
de pertenecer al cono [12] poniendo en ésta última ecuación
X¿ J3, en vez de x y, debe convertirse en una identidad.

e

Haciéndolo y verificando operaciones, la [12] se convierte
en una ecuación de segundo grado en 4, cuyo segundo tér-
término tiene por coeficiente

— x,(24x, + 2H y, + 2G) — y (2Hx, . 2By2 + 2F)=
— (2Gx, + 2Fy, + 2C).

Cada una de las dos raíces de 1, nos da una de las dos
generatrices comunes al plano determinado por las rectas
(x, Y) (%, y) y al cono [12]. Pero según el núm. 17, si es-
tas dos generatrices han de formar con los rayos (x, y,) (Xs Y»)
un haz harmónico, las dos raíces de la ecuación de segundo
grado en A han de ser iguales y de signo contrario, lo que
exige que el coeficienie del término de primer grado en 1 sea
nulo, y, por consiguiente, que las coordenadas (x, y,) (X, Y»)
anulen el polinomio anterior. Esta condición, en la hipótesis
de que la [12] esté escrita en coordenadas homogéneas, pue-
de escribirse

xP 2 + Y1F y + 21 F'2. = 01. [13]

Si x, Y, z, son constantes, X, y, 2, coordenadas genera-
les, la [13] representa el lugar geométrico de todas las rectas
conjugadas armónicas de la x, y, z, con respecto á la super-
ficie cónica [12] y por ser de primer grado demuestra que
este lugar es un plano, el polar de la recta x, y, 2,, como ya
sabíamos.

De una manera correlativa podemos demostrar que el lu-
gar de todos los planos conjugados del u, v, w,, con respec-
to á la superficie cónica de segunda clase, dada por el haz

(A....Xuvw)?=0 [14]

1 En la notación de Cayley, la [12] puede escribirse:

(a.....Xxy2),=0, y la [13] (4.....(x,Y,2, + X9Ya29) = 0.

NN

es el haz de planos cuya arista viene dada por la ecuación
(Alvin: Yu, v,w,Xu vw) =0. [15]

Las ecuaciones [13] y [15] demuestran que

Todo plano de la radiación con- Toda recta de una radiación
tiene una involución de rectas po- | contiene una involución de planos
lares conjugadas con respecto á | polares conjugados con respecto
una cierta superficie cónica, y cu- | á una cierta superficie cónica, y
yos rayos dobles, reales ó imagi- | cuyos rayos dobles, reales ó ima-
narios, son generatrices del cono. | ginarios, son tangentes al cono.

El conjunto de todas las rectas y de todos los planos po-
lares conjugados con respecto á un mismo cono de segundo
orden es un sistema polar radiado, cuya directriz es dicha
superficie cónica.

19. Dada la ecuación de una Dada la ecuación de una super-
superficie cónica de segundo or- | ficie cónica de segunda clase en
den en coordenadas de rectas, | coordenadas tangenciales, hallar
hallar su ecuación en. tangen- | su ecuación en coordenadas de
ciales. rectas.

Para resolver, por ejemplo, el de la izquierda, basta ha-
llar como en geometría plana euclidiana,

(AB.....(uvw)= ¡ 0

o
QM TRAER
SO > e"
A E

w

de donde

A=bc—f? , B=ca—g? , C=ab—h , F=gh--af
G=hf—bg , H=fg—ch
A= abc -af.—bg? — ch? — 2fgh. [16]

— 358 —

En el caso correlativo hubiéramos encontrado otro valor
A” correlativo del A.

Si A=0, la superficie se reduce á dos planos : Si A'=0,
la superficie se reduce á dos rectas.

20. Fácil sería seguir reconstituyendo la teoría de los co-
nos de segundo orden y clase calcándolas de la geometría
plana euclidiana.

No es este el objeto de nuestro trabajo, y contentándonos
con las ligeras indicaciones hechas, pasamos, desde luego, á
determínar qué clase de funciones de la distancia angular son
las coordenadas X, y, Z, Uu, v, w, que hemos adoptado. Esto
nos conducirá á una teoría enteramente correlativa de la
cayleyana, y mediante ella podremos hacer extensivo el es-
tudio analítico de la radiación á todos los problemas no su-
jetos á la ley de correlación.

Por ahora haremos notar solamente que si dos conos cu-
yas ecuaciones sean U=0, V=0 tienen los mismos pla-
nos tangentes en dos generatrices comunes á ambos, uno de
ellos, v. gr., el V=0, puede representarse por la ecuación

U +1P? = [17]

siendo P=0 la ecuación del plano determinado por dichas
dos generatrices. La [17] nos da para cada valor de 4 un
cono inscrito en el representado por U=0. El plano cuya
ecuación es P=0 es el plano central de inscripción (núme-
ro 11), y la intersección de los dos planos tangentes comu-
P. ==
nes á todos los conos [17] en las generatrices U=0" será
el eje de inscripción.

(Continuard.)

IN DICB

DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO

XV.— Introducción á la Física matemática, por José Eche-

Pl AR e

XVI.—Estudios de Síntesis mineral, por José Rodríguez Mou-

A E A AR E e MIOS,

XVII. —Ensayo de Geometría analítica noeuclidiana, por el bo Exe
PA e y
P. José A. Pérez del Pulgar S. Juicid eins i 00

ya

he ,
ES
MEE

e E

ad

en el extranjero, en a Secretaría de la Academia, PA de Y
verde, núm. 26, Madrid.
/ Precio de este cuaderno, una peseta.

E

on 0 MAS

EXACTAS, de Y NATURALES

TOMO V.-NÚM. ?.
(Enero de 1907.)

MADRID
IMPRENTA DE LA “GACETA DE MADRID,

+ CALLE E >. PONTaJOS, NÚM. 8.
y * 1907

VRRNCI |
YEDICON CNDICUN
EN AAA

ADVERTENCIA

Los originales para la Revista de la ACUBa !
se han de entregar completos, en la Secretaria (
la Corporación, antes del día 20 de cada ne

>

pues de otro modo quedará su pubcación: par:
el mes Esa

— 359 —

XVIII. — Elementos de la teoria de la elasticidad.

Por JosÉ ECHEGARAY.

Primera parte.

Conferencia primera.

SEÑORES:

En esta primera conferencia no he de entrar en materia,
es decir, no he de empezar el estudio de la teoría de la elas-
ticidad. Me limitaré tan sólo á exponer el plan del presente
curso.

Esto hice en la primera conferencia del año anterior, en la
cual manifesté, que el programa de aquellas conferencias, lo
consideraba dividido en cuatro partes, que eran éstas:

1." Carácter de la Física experimental y de la Física ma-
temática: sus diferencias fundamentales y sus relaciones
mutuas.

2... Resumen de los principales problemas que compren-
día la Física matemática hasta fines del siglo anterior; esta-
bleciendo en forma elemental sus ecuaciones fundamen-
tales.

3.” Críticas que en estos últimos tiempos se han hecho y
siguen haciéndose de dichas teorías, que pudiéramos llamar
clásicas; y

4.” Manifestaba, por fin, que, á ser posible, empezaría el
estudio de la teoría matemática de la elasticidad.

Procuré cumplir este programa, pero di más extensión de
la que pensaba á la primera parte, y de ella no pasé.

Expliqué á mis oyentes, por medio de ejemplos, que la
Física experimental, considerada en su absoluta pureza,
prescindía ó debía prescindir de toda hipótesis.

Rry. Aca. Crexcias.—V.—Enero, 1907.

15
u

— 360 —

Examina los hechos, decía, los reproduce, los clasifica,
por analogías y diferencias, determina en cada caso los pa-
rámetros que en cada fenómeno influyen, los divide en pa-
rámetros independientes y parámetros dependientes, y por
una serie de experiencias, procura determinar las funciones
empíricas, que los enlazan.

Estas funciones expresan en el orden racional, y para la
inteligencia humana, las leyes de los fenómenos observados;
leyes que se han considerado siempre como símbolos, por
lo menos, de las que se han llamado, con mayor ó menor
atrevimiento, leyes de la Naturaleza.

El procedimiento de la Física experimental es, según se :
ve, Sólido y firme, y es ineludible.

Sin él, la ciencia humana se pierde en sueños y fantasías:
sueños hermosos, fantasías brillantes, pero que se deshacen
como niebla, muchas veces, al rudo contacto de la realidad.

En cambio, si de aquí no pasa la ciencia, corre el peligro
de convertirse en un catálogo de hechos sin enlace, sin ar-
monía y sin unidad: esto sería lo prudente, pero sería mez-
quino.

En cambio, la Física matemática parte casi siempre de
una Ó varias hipótesis, que claro es, que no estarán escogi-
das arbitrariamente, sino que, por el contrario, habrán sido
inspiradas por los hechos mismos, y que, por el pronto, tie-
nen el propósito de explicarlos, siquiera sea en términos ge-
nerales: esto, aun antes de descender á los cálculos mate-
máticos.

En estas hipótesis, ¡cuántas veces lo hemos dicho!, domi-
na la llamada hipótesis mecánica, por la cual se procura aco-
modar los fenómenos físicos, con todas sus apariencias y ac-
cidentes, á los fenómenos de la Mecánica, admitiendo, como
se admitía á principios del siglo anterior, que todos los fenó-
menos del mundo físico, no eran más que apariencias múlti-
ples y complejas de la materia en movimiento: ya de la ma-
teria ponderable, ya de la materia etérea.

— 361 —

Y, por último, la aplicación de las fórmulas de la Mecáni-
ca y del cálculo matemático, daban, en la mayor parte de los
problemas, por manera más ó menos perfecta, la solución
buscada.

De este modo se creó, en el siglo precedente, la Física
matemática, uno de los monumentos más prodigiosos de la
razón humana.

De este modo, decimos, se llegó Ó se procuró llegar á la
unidad.

En rigor, se obtuvieron varias unidades parciales, con
íntimas relaciones entre sí, pero sin lograr una gran unidad
de conjunto, que todavía persiguen los sabios, y á que,
lentamente, y de lejos, se van aproximando; aunque, bien
lo sabemos, aproximarse no es llegar.

Es evidente, por otra parte, que todas las teorías de la
Física matemática están sujetas á la comprobación de la Fí-
sica experimental: ya cuando afirman leyes racionales, ya
cuando establecen relaciones entre los coeficientes numéri-
cos, ya cuando prevén y anuncian nuevos fenómenos toda-
vía no conocidos.

Sobre estos dos extremos, mejor dicho, sobre estos dos
métodos, el experimental y el matemático, que ambos son
ineludibles y complementarios, disertamos con la posible
extensión en el curso precedente.

*
*

Para que aquel programa no quede incompleto, antes de
empezar, como empezaremos en la conferencia próxima el
estudio de la elasticidad, algo diremos de la segunda y la
tercera parte del programa, que al principio reprodujimos.

El resumen de los principales problemas que comprendía
la Física matemática en el primer tercio ó en la primera mi-
tad del siglo anterior se hace con facilidad suma. No hay

— 362 —

más que copiar el índice de cualquier tratado general de Fí-
sica matemática, por ejemplo, el de Mr. Resal, en la segun-
da edición de esta obra, ó el de Mr. Mathieu, Ó basta reco-
ger una serie importantísima de tratados y memorias espe-
ciales, de Navier, Poisson, Lamé, Clebsch, Beer, Clausius,
Briot, Saint-Venant, Bertrand y otros muchos, cuya lista se-
ría inagotable; y en todos estos trabajos encontraremos que
la Física matemática, que podemos llamar clásica, compren-
día por entonces el calor y su equilibrio y movimiento en
los cuerpos, la termodinámica, aunque ésta es algo más
moderna, la capilaridad, la elasticidad, la luz, la electro-
estática, la electrodinámica, el magnetismo y algunas otras
ramas más Ó menos ligadas á las anteriorés..

Cada una de dichas teorías especiales tienen sus ecua-
ciones fundamentales, que en todas, menos en una, parten
de la hipótesis mecánica; y estas ecuaciones fueron las que
prometimos, al empezar el curso anterior, establecer desde
luego, sin perjuicio de ir inmediatamente á la tercera parte
del programa y hacer la critica, según el espíritu moderno,
de las hipótesis establecidas, de los métodos seguidos, y
sobre todo, de la hipótesis fundamental: la hipótesis me-
cánica.

Después he pensado, que sería más conveniente y más
claro modificar, no el programa, pero sí su distribución, fun-
diendo la segunda y la tercera parte en una sola.

Es decir, explicando, al menos en sus elementos, todas es-
tas diversas ramas de la Física matemática clásica, y hacien-
do que la crítica acompañe á la exposición de cada una
de ellas.

Y esto que acabo de decir constituye, en parte, el progra-
ma del presente curso y aun el de los cursos sucesivos.

— 363 —

Apliquemos lo dicho, para aclarar la idea expuesta, á lo
que ha de constituir la primera mitad de este curso del 1906
al 1907, á saber: la teoría de la elasticidad.

La teoría de la elasticidad puede exponerse de muchas
maneras.

1.2 Según el sistema de Cauchy, que es sencillo, elegan-
te y elevado; que lleva, en suma, la marca de genio del
gran matemático francés.

2.2 Por el sistema de Lamé, y tomamos este nombre
ilustre para caracterizar el sistema en cuestión, aunque otros
muchos matemáticos insignes, como, por ejemplo, Navier,
Clebsch y otros, lo han seguido con pequeñas variantes.

3. Adoptando el sistema del eminente matemático mon-
sieur Poincaré en su tratado de elasticidad, que es una obra
moderna digna del mayor estudio.

4. Por el sistema fundado en la aplicación de la Termo-
dinámica.

Pues bien, en todos estos sistemas obtendremos las fór-
mulas fundamentales, y á la vez haremos las críticas res-
pectivas.

La misma marcha hemos de seguir más adelante, llevan-
do á la par la exposición de las diferentes ramas de la Física
matemática clásica, que antes enumerábamos, y la parte crí-
tica con arreglo á las ideas modernas é inspirada también en
los recientes descubrimientos sobre radiaciones y radioacti-
vidad.

Pero en rigor, y antes de emprender la extensa y difícil
tarea, que acabamos de indicar, brevemente pudiéramos cum-
plir todo lo que nos resta del programa del curso anterior;
sobre todo, si nos atenemos á las líneas generales y prescin-
dimos de pormenores.

Casi toda la Física matemática del siglo anterior, al me-

E

nos hasta el término de su secular evolución, puede decirse
que es la Física matemática de las fuerzas centrales, y así
la define Mr. Poincaré.

En todas las ramas de esta ciencia ó en casi toda ella do-
mina la hipótesis mecánica: siempre se supone que los sis-
temas en que se desarrolla este 6 el otro fenómeno, se com-
ponen de un conjunto de puntos Ó de pequeñas masas pon-
derables unas veces, y otras de masas etéreas, sujetas á fuer-
zas centrales de atracción y repulsión mutuas, dependientes
de las distancias, y sometidas á la vez á determinadas con-
diciones iniciales de posición y velocidad y á otras condicio-
nes relativas á los límites del cuerpo.

De suerte que un problema cualquiera de Física se con-
vierte en un problema de Mecánica.

La parte física propiamente dicha, sólo aparece en tres
momentos.

Primero, cuando se establecen las hipótesis, que siempre
se procura; y se procura de antemano, que se acomoden á
la realidad de los fenómenos, porque, después de todo, sólo
de explicarlos se trata.

Segundo, cuando se interpretan las fórmulas en el sentido
de explicar por el fenómeno estático ó dinámico, es decir,
por el fenómeno mecánico, todas las apariencias del fenó-
meno físico.

Tercero, cuando se determinan experimentalmente los
coeficientes numéricos para dar carácter práctico á las fór-
mulas y para comprobarlas, en cierto modo, numérica-
mente.

Todo lo demás de la Física matemática no es más que la
aplicación de las fórmulas de la mecánica racional y la apli-
cación, por último, del cálculo matemático, y, sobre todo,
del cálculo integral.

Esta es, si se nos permite la palabra, la gran masa de to-
das las obras de Física matemática: integración de ecuacio-
nes, sobre todo de ecuaciones diferenciales lineales.

— 365 —

Por eso la Física matemática ha contribuido poderosa-
mente á los progresos del cálculo integral y de las matemá -
ticas en general; porque ha sido un constante y poderoso
estimulante de la investigación matemática.

Si en cualquiera de las grandes obras de Física matemáti-
ca del siglo pasado se suprimiesen las ecuaciones de la Me-
cánica y los métodos de integración, la obra quedaría redu-
cida á bien pocas páginas: una hipótesis más Ó menos acer-
tada y una interpretación de los resultados más ó menos
feliz.

Por eso hemos dicho algunas veces en el curso anterior y
en este volvemos á repetirlo, para los que no asistieron á
aquél, que en la teoría de las fuerzas centrales, casi todos
los problemas de Fisica matemática se podían plantear de
este modo.

Figura 1.?*

,

Un sistema de puntos ó de pequeñas masas m, m', m”, m”
(figura 1.*) ocupando determinada posición en el espacio é'
infinitamente próximas, aunque las dimensiones de tales
masas sean incomparablemente más pequeñas que sus dis-
tancias mutuas; una serie de fuerzas F, F', F”/..... aplicadas
á m, m, m”....., y representando las fuerzas exteriores; otra

— 366 —

serie de fuerzas f, f”, f””..... entre cada dos puntos ó masas,
representando á su vez las fuerzas interiores, centrales todas
ellas, puesto que van de punto á punto, de m á m', de m
AMAS 1d Ms

Y después, para acabar de definir el sistema, posiciones
iniciales determinadas, velocidades iniciales también deter-
minadas, y condiciones conocidas para toda la superficie
del cuerpo ó del sistema; á no ser en los casos en que se
suponga, que el sistema es indefinido y llena el espacio
infinito.

Con estos datos, el problema mecánico queda completa-
mente definido, y á pesar de su inmensa complicación, es de
los más sencillos; porque los puntos son libres, de modo
que no hay que considerar ninguna clase de enlaces, que era
por entonces el bello ideal en estos problemas. Así como
en tiempos posteriores se han aficionado, si se me permite
la palabra, los matemáticos al sistema de los enlaces, y por
eso, en vez de emplear las ecuaciones de los puntos li-
bres, aplican el principio de las velocidades virtuales, y en
vez de las ecuaciones primitivas de la Dinámica, las ecua-
ciones de Lagrange; como veremos en su día al explicar
los admirables métodos de Maxwell, adivinadores y pre-
cursores de las experiencias de Herz y de la telegrafía sin
hilos.

Cuando se suponen las fuerzas centrales, como acabamos
de indicar, puede admitirse que los puntos son libres, ac-
tuando sobre cada uno las fuerzas externas F, F'...., y las
"fuerzas internas f, f”.....; y así, obteniendo para cada punto
las componentes de las F y f, paralelas á los tres ejes coor-
denados, componentes que designaremos por X, Y y Z.....
las ecuaciones del sistema, sea el sistema el que fuere, ten-
drán esta forma general:

»
a A

— 367 —

J

y ax >
Apdo

06.014. . . . ». 0.15 0.0 se

en las que m, m', m'”..... son las masas como ya hemos dicho;
Xx, y, Z....., las coordenadas del punto rm, y lo mismo para los

que actúa en mm ....., que será en último análisis la resultante
de las fuerzas F y f para cada punto en particular.

Claro es, que X, Y, Z..... contendrán ó podrán contener
en general todas las coordenadas del sistema. Por ejemplo,
f, que es la acción mutua entre m y m'”, dependerá de la
distancia min”, que es Víx =x Y +(—y379+(2-2);
y por lo tanto, entrarán las coordenadas de m, m'en f. Pero
como por el pronto, debemos suponer, que en cada punto
m actúan las atracciones y las repulsiones de los demás pun-
tos, por eso decimos que en f, y por lo tanto en la resultan-
te de las f y F, y por fin, en sus componentes X, Y, Z en-
trarán, al menos en una primera exposición de la teoría, y
aunque esto luego se limite, las coordenadas de todos los
puntos del sistema.

Circunstancia que importa poco para el problema mecáni-

— 368 —

co; pero que dificultaría enormemente ó haría imposible, la
integración de este sistema de ecuaciones, que son ecuacio-
nes diferenciales simultáneas de todas las variables x, y, Z.....
en número de 3n, siendo n el de puntos, como funciones, y
de una variable independiente, que es-el tiempo.

Para aminorar un tanto esta complicación, y porque ade-
más esta nueva hipótesis está en armonía con la experiencia,
se supone que sobre cada punto no actúan todos los del sis-
tema de una manera sensible, sino los que están á peque-
ñas distancias, ó sea dentro de la esfera de la actividad del
punto que se considera. Mas por ahora prescindamos de esta
simplificación.

De todas maneras, planteadas las ecuaciones anteriores,
el problema ya no es de Física, ni siquiera de Mecánica: fué
de Física, al establecer la hipótesis; fué de Mecánica, al
plantear las ecuaciones; mas desde aquí es problema pura-
mente de cálculo integral.

Por eso la Física matemática, á cada momento y en cada
problema, está pidiéndole al matemático nuevos métodos de
integración, más y más perfectos. Y hay que confesarlo: el
matemático no siempre sabe resolver el problema que se le
presenta; casi nos atreveríamos á decir, si no se nos tachase
de pesimistas, que muy pocas veces sabe resolverlo por
completo, y aun éstas con grandes esfuerzos y á costa de
prodigios de ingenio.

¿Quién sabe? Acaso muchas deficiencias de la Física ma-
temática, acaso y sin acaso, son impotencias del cálculo in-
tegral, á pesar de sus admirables teorías.

Sea como fuere, planteadas las ecuaciones anteriores; lo
que procede es integrarlas, lo cual nos dará x, y, Z....., en
función de £ y de 6 n constantes arbitrarias, que determina-
remos por las condiciones iniciales respecto á las coordena-

0

— 369 —

das de posición y á las componentes de las velocidades, que

son 6 para cada punto, y 6 n en totalidad: tantas como
constantes arbitrarias.

Planteado así el problema, aunque en teoría queda resuel-
to, en la práctica se convertiría la solución en una solución
ilusoria, por imposibilidad material.

Y, en efecto, el número de puntos es inmenso é inmenso
sería el número de ecuaciones.

Por eso, y restableciendo en cierto modo la continuidad
del sistema, las ecuaciones generales, que son ecuaciones
en diferenciales simultáneas, se convierten en ecuaciones en
derivadas parciales, según vimos en un ejemplo de la conte-
rencia 5.* del curso anterior y según veremos en todas las
cuestiones que hemos de tratar más adelante.

Estas tres indicaciones que acabamos de hacer, son gene-
rales para la mayor parte de los problemas de Física mate-
mática, por eso volveremos á repetirlas.

Supondremos, pues: 1.”, que las fuerzas son centrales;
2.”, substituiremos á las ecuaciones ordinarias, que son de di-
ferenciales simultáneas en número infinito, otras ecuaciones
en número finito, que serán en diferenciales parciales, res-
tableciendo, en cierto modo, la continuidad del sistema;
3.”, admitiremos que sobre cada punto material sólo actúan
los más próximos ó sean los comprendidos en una esfera,
cuyo radio puede denominarse radio de actividad, despre-
ciando la acción de los demás puntos. En términos genera-
les, mientras no se trate de problemas concretos, esto es lo
único que tenemos que decir respecto al segundo punto de
los cuatro, que abarca el programa del curso anterior.

Sin embargo, á modo de paréntesis, como explicacion
que casi huelga para los que ya tienen alguna práctica en
estas materias, pero que no me parece inútil para los princi-

— 370 —

piantes, y los deberes de la enseñanza me obligan á supo-
ner, que principiantes son muchos de los que me honran si-
guiendo mis lecciones orales ó escritas, para estos, digo,
hay un punto sobre el cual debo insistir.

Decíamos, que para un sistema cualquiera de puntos, de
los que en la hipótesis mecánica han de explicar tal ó cual
fenómeno físico; sobre cada uno de estos puntos, repetimos,
actuaban en general dos clases de fuerzas, á saber: fuerzas
interiores, que designábamos por f....., todas ellas centrales,
y sobre éstas hemos dicho, por ahora, todo lo que teníamos
que decir; pero que además podían actuar fuerzas exterio-
res, que designábamos por F....., y sobre estas últimas algo
tenemos que decir todavía.

Pongamos un ejemplo para que se comprenda mejor nues-
tra idea

Supongamos, como antes, un sistema de puntos.

En cada uno de ellos m actuarán las atracciones ó repul-
siones de los demás puntos del sistema, de las que, como
antes indicábamos, puede prescindirse si están fuera de la es-
fera de actividad del punto m. Pero actuarán otras fuerzas
exteriores: por ejemplo, la acción de la gravedad ó la atrac-
ción de una masa cualquiera, ó, si el sistema es eléctrico,
centros exteriores de electricidad.

Cada sistema exterior al dado, por ejemplo, una masa pon-
derable ó una masa eléctrica Ó magnética, cada uno de estes
sistemas exteriores, repito, tiene un campo de acción, que
puede ser todo el espacio que ¡e rodea, aun cuando para pun-
tos muy distantes su acción pueda suponerse despreciable.

Una masa M”, para fijarnos en el primer caso, dada la ley
newtoniana, atraerá á todas las masas del espacio y el espa-
cio entero constituirá su campo de acción.

— 311 —

Mas hay que fijar bien las ideas; ¿es que la masa M, por-
que el espacio sea su campo de acción, atrae á todo el es-
pacio hacía sí?; esto en la hipótesis que vamos considerando
no tendría sentido. La masa M no atrae ciertamente á cada
metro cúbico del espacio.

Sólo cuando en el espacio se presente otra masa M”, la
atraerá con arreglo á la ley de Newton, con una intensidad

siendo C una constante, M y M' las masas y R la distancia
entre ellas.

Esto da un sentido claro y preciso á esta frase un poco
vaga, campo de acción, vaguedad que puede confundir á
los principiantes.

Campo de acción no es un campo todo él en actividad
perpetua; es, si se me permite la palabra, un campo de po-
sibilidad.

Si en un punto cualquiera se presenta una masa M', en
este caso M atraerá á M' según la ley indicada; pero donde
no se presente masa ninguna, la acción de M será nula; á
los volúmenes aislados y vacios del espacio ni los atrae ni
los rechaza, mientras no los encuentre, por decirlo así, re-
llenos de materia.

La ley newtoniana se desarrolla y aplica entre materia y
materia, no entre la materia y el vacío. Todo esto parece pue-
ril; luego veremos si lo es.

Por eso cuando decimos, que F es una fuerza, que para
cada punto del espacio depende de las coordenadas de ese
punto y que se expresa por

EASCINS Ee

esto no significa que baste dar valores á x, y, z y determi-

=— 372 —

nar el valor de F para conocer la acción de dicha fuerza so-
bre el punto en cuestión.

F es la fuerza que se ejercería, no sobre el punto, sino
sobre una masa igual á la unidad, SI EXISTIESE en este
punto.

Por eso, considerando nuestro sistema de la fig. 1.*, para
cada punto m, que ocupa una posición determinada, definida
por las coordenadas x, y, z, actuará la fuerza F' con el valor
que resulte de poner en vez de x, y, z los valores de dicho
punto. Y si F está referida á la unidad y se trata de masas
ponderables la fuerza será

IAE):

En cambio para otro punto a en que no hay materia, la
acción FF será nula.

Lo que hemos dicho respecto á las fuerzas exteriores
cuando son atracciones newtonianas, pudiéramos repetir
punto por punto para la fuerzas eléctricas y magnéticas.

Una masa eléctrica tiene un campo de acción, y la ejerce
para cada punto del espacio según la función de las coorde-
nadas de ese punto; pero es preciso que en dicho punto
exista otra masa eléctrica. Si no la atracción ó la repulsión
eléctrica será una mera posibilidad.

Todo lo cual puede repetirse para las masas magnéticas
que tienen su campo propio, que también podemos llamar
como antes campo de posibilidad; pero las acciones no se-
rán reales para cada punto, si eñ él no existe otra masa
magnética.

Lo dicho parece sencillo, elemental y evidente, y hasta
cierto punto lo era en la Física matemática clásica. No lo es
tanto en la Física moderna, porque el espacio no se supone

A

que sea una mera abstracción geométrica, sino que está por
lo menos ocupado por el éter; de suerte que los puntos del
espacio no son, si se me permite expresarme de este modo,
puntos vacíos, inertes, símbolos infinitesimales de la nada,
pura abstracción geométrica.

Y así, los campos de acción que antes llamábamos cam-
pos de posibilidad, se convierten en campos de realidad, y
sobre cada punto del espacio se comprende, que podrá ac-
tuar de algún modo una masa ponderable, aunque no exista
en ese punto otra masa ponderable también.

Y podrá actuar toda carga eléctrica, aunque en el punto
que se considere no exista otra carga eléctrica.

Y otro tanto pudiéramos repetir para toda corriente eléc-
trica ó toda masa magnética.

Es más, en la antigua Física matemática sólo se admitían
acciones y reacciones entre ciertos elementos de los que
acabamos de señalar, á saber: masas ponderables, masas de
éter, corrientes eléctricas ó elementos de corriente y masas
magnéticas, ó sean polos magnéticos.

Puntualicemos aún más esta idea.

Existían acciones ó se admitían entre dos masas ponde-
rables.

Entre dos masas eléctricas.

Y entre una masa ponderable y otra eléctrica.

Esto último, ya en la hipótesis de un sólo fiúido eléctrico,
ya en la hipótesis de los dos flúidos ó electricidades.

Se admitían tambien acciones y reacciones entre dos co-
rrientes eléctricas ó entre dos elementos de corriente, y ha-
bía fórmulas para determinar la intensidad de dichas fuerzas.

Y se aceptaban y calculaban acciones y reacciones entre
dos masas magnéticas ó dos polos.

Pero de aquí no se pasaba en la enseñanza elemental ni
aun en la más elevada; y claro es, que prescindimos de Me-
morias y trabajos especiales, que, como vulgarmente se
dice, se anticipaban á su tiempo.

— 374 —

Las fuerzas naturales estaban cada una dentro de su es-
fera propia, como si fueran estados independientes; pero
entre unos y otros estados ó esferas las relaciones mecáni-
cas eran escasas Ó nulas.

¿Dónde se explicaba la acción de las masas ponderables
sobre un volumen de éter, sobre una corriente ó un elemen-
to de corriente eléctrica Ó sobre el polo de un imán?

¿Dónde se explicaba, repetimos, la acción de una masa
eléctrica sobre el éter del espacio, sobre una corriente eléc-
trica Ó sobre sus elementos, ó, en fin, sobre un polo mag-
nético?

Sólo como gran triunfo, gracias á la hipótesis de Ampére
y á la trascendental experiencia de CErstedt, se establecie-
ron relaciones mecánicas entre los imanes y las corrientes,
según exponíamos en una de las conferencias del curso an-
terior. (Conferencia séptima.)

Y bien, la Física matemática no habrá conseguido, ó no
se aproximará, como es de apetecer, á la unidad, mientras
no se resuelvan todos estos problemas, que pueden definirse
de este modo: relaciones mecánicas entre todos los elemen-
tos señalados y además el calor y la luz, y todas las nue-
vas radiaciones descubiertas en estos últimos años.

Estos son los problemas y los elementos que han de en-
trar en la nueva Física matemática.

Todo lo cual es mayor desarrollo, progreso y comple-
mento, pero no destrucción de la Física matemática clásica.

¿Se destruyó, por ventura, cuando se encontraron rela-
ciones entre el calor y la electricidad, ó entre las corrientes
eléctricas ó el magnetismo, ó entre el magnetismo y la luz?

Para completar la parte del programa, del curso prece-
dente, que había quedado para éste, todavía haremos algu-

AS
ys co e a 4

a

— 3159 —

nas observaciones sobre la crítica en general, observaciones
que se enlazan con las que acabamos de exponer.

La crítica de la Física matemática clásica, crítica de la cual
ya dijimos mucho en el curso anterior, sobre todo respecto
á la hipótesis mecánica, empieza combatiendo rudamente los
principios de la mecánica: al edificio por su base.

Ya lo hemos dicho en otra ocasión, y más adelante des-
arrollaremos aquellas ideas, pero son del momento las que
vamos á exponer.

Las fórmulas fundamentales del movimiento, y como caso
particular del equilibrio de un punto cualquiera en un siste-
ma, son éstas:

AIN
df? a
mE
dt
m as == L.
dí?

Pues la crítica censura: 1.”, el concepto de masas; 2.”, el
concepto de fuerza; 3.”, el sistema para establecer estas
ecuaciones, fundado, por decirlo así, en la independencia de
un movimiento, que se combina con otro movimiento de
traslación uniforme.

Para no apurar demasiado la cuestión, corriendo el peligro
de hacer interminable esta conferencia, y, sobre todo, por-
que más adelante hemos de insistir sobre estos conceptos y
postulados, sólo nos fijaremos, y no por mucho tiempo, en
los tres puntos que acabamos de señalar.

Era axioma, en la antigua Física matemática, y aun en la
Física experimental, y, sobre todo, en la Química, el princi-
pio de la invariabilidad de la masa.

La masa podía transformarse formalmente, podía dividir-

Rev. Acap. Crexcias.—V.— Enero, 1907. 26

— 316 —

se, podían acumularse unas masas á otras, pero la masa era
invariable, inmutable en su esencia, eterna. Era, si se nos
permite la imagen, una divinidad maciza de la Mecánica: tal
era el átomo de la Química. ;

La crítica niega este concepto con los caracteres señala-
dos, y algunas experiencias, de que nos haremos cargo más
adelante, lo niegan también.

Hay quien supone que la masa es una apariencia, y que
la inercia que acompaña á la masa, es otra apariencia sin
ninguna realidad.

Cuando una masa acompañada de una carga eléctrica se
mueve con velocidades pequeñas relativamente á la veloci-
dad de la luz, aunque prácticamente sean muy grandes, la
masa, para nosotros y en los usos de la vida, y como pri-
mera aproximación, puede considerarse como constante.

Cuando su velocidad crece, acciones eléctricas, que estu-
diaremos en otra ocasión, pueden determinar un aumento de
inercia y un aumento aparente de masa; y algunos físicos,
siguiendo por este camino, y toda vez que hasta aquí se
aprecia la masa por la inercia, llegan, repetimos, á suprimir
la inercia y la masa, explicando una y otra por acciones
eléctricas y magnéticas.

Esto, así dicho, parece un tanto obscuro; ya lo precisare-
mos en la segunda parte de este curso.

La tendencia es, pues, anular las masas ponderables, con-
virtiéndolas en conjunto de electrones positivos y negativos:
valga por ahora esta idea anticipada.

Si todo esto fuera tan cierto como se supone, y en el sen-
tido en que se supone, la Mecánica racional, la Mecánica
clásica, dijéramos mejor, se habría quedado sin masas. Y si
seguimos atendiendo á la crítica, se va á quedar también sin
fuerzas.

Porque la crítica moderna, lo hemos dicho otras veces,
niega la acción á distancia en toda clase de sistemas.

Niega la acción á distancia entre dos masas ponderales,

— 317 —

entre dos corrientes eléctricas, entre dos polos magnéticos, y
entre dos sistemas cualesquiera. |

Y no sólo la niega la crítica, de la cual pudiera decirse
que tiene afición á negarlo todo, sino que la negaron hom-
bres inmortales como Faraday, y sabios matemáticos de ge-
nio admirable como Maswell, ya que Newton, el autor de
la atracción universal, tampoco la dió por cierta.

No tendremos la osadía de afirmar la acción á distancia;
pero negarla en absoluto nos parece un tanto aventurado.

Tanto atrevimiento hay á veces en negar las cosas, como
en afirmarlas; que toda negación es, en cierto modo, una
afirmación con signo negativo.

Contentémonos con decir, como decía Newton, que las
cosas pasan en el mundo físico, como si la acción á distan-
cia existiese.

Es, por lo menos, un símbolo fecundo, que da regulari-
dad á los cálculos, que da ley racional á los fenómenos, que
sirve para prever hechos que todavía no se han realizado.
¿Qué más puede pedirse?

Después de todo, dicen algunos filósofos modernos, y ya
se dijo hace mucho tiempo, que el hombre no está en con-
tacto con la realidad, ni la conoce directamente. Conoce tan
sólo representaciones internas de esa misma realidad desco-
nocida, cuyas emanaciones, y valga la palabra, penetran á
través de los sentidos y pintan en la conciencia imágenes
más ó menos deformadas de la verdadera realidad.

Así como en la caverna del filósofo griego, unas veces se
extendían las sombras y otras á ella llegaban las luces del
mundo exterior, sombras y luces que penetraban por la boca
del antro; y así como el espectador, por estar de espaldas,
sólo veía el fondo de la caverna, y conocía tan sólo la reali-
dad del mundo exterior por las imágenes que se agitaban

— 3718 —

sobre el fondo escabroso y desigual, asimismo, para muchos,
la Naturaleza y los fenómenos, que en ella se agitan, no son
más que proyecciones sobre el telón infinito del espacio y el
tiempo de una realidad inaccesible.

¿Y por qué entonces no ha de existir la acción á distancia
entre dos astros?

Por lo menos, esa acción á distancia será la proyección de
algo real, ni más ni menos que los astros que vemos son
proyecciones de otros astros reales.

Permitaseme una imagen, quizá extraña, pero que pinta
con fidelidad mi pensamiento.

A Sea otra vez la caverna que
y | | antes recordábamos; y fuera de
ASA ella imaginemos dos reflectores
d ie ES A, B (fig. 2), con dos luces a,
| | b, y unidos ambos reflectores
| | ce por un resorte C, que podemos
VEB GA cambiar de forma y de tensión
| A para que cambien los ejes de
Y dichos reflectores.
rien Estos últimos proyectarán so-

bre el fondo de la caverna dos
discos luminosos, que consideraremos como dos astros A”,
B', colocados á cierta distancia uno de otro.

Si el resorte C cambia, cambiará la posición de A”, B',
parecerá que entre ellos se ejercen acciones y reacciones, y
que ambos astros imaginarios se atraen ó se rechazan.

Algún físico, que no conozca ni los reflectores, ni el resor-
te, supondrá que entre los discos de luz A”, B”, existen ac-
ciones á distancia; al paso que otro físico de crítica más se-
vera, negará que entre 4”, B” pueda existir acción alguna
Pues ambos se equivocan, aunque más se equivoca el se-
gundo, porque en rigor esa acción á distancia que niega, es
el símbolo 6 proyección de una fuerza real C entre los dos
reflectores. :

a o ES

— 319 —

Pero prescindamos de esta especie de metafísica poética
y digamos: como resumen que, gracias á la hipótesis de
la acción á distancia, se ha creado la mecánica celeste, de
suerte que tal hipótesis y otras análogas, no sólo son hipó-
tesis cómodas, sino fecundas; que fecundo es todo simbo-
lismo, si tiene número suficiente de puntos de contacto con
la realidad.

Pero aun admitiendo la acción á distancia, ya como símbo-
lo fecundo, ya como apariencia de otras acciones, la crítica
que de la fuerza se hace, tiene más variados puntos de vista,

En primer lugar, según ella, no es evidente, ni mucho
menos, que las fuerzas sean centrales, como suponía la Fí-
sica matemática del siglo anterior; y sobre esto disertamos
en el curso precedente (conferencia 8.*), y no hemos de re-
petir lo que allí dijimos. :

Realmente la hipótesis de las fuerzas centrales, que sim-
plifica extraordinariamente los cálculos, es muchas veces
por todo extremo aventurada; y no cabe duda que la Física
matemática adquiriría nuevo rigor si se pudieran establecer
las fórmulas fundamentales prescindiendo de tal hipótesis.

Esto es lo que hace Mr. Poincaré en sus notabilísimos
tratados sobre la elasticidad y sobre la teoría de la luz, que
á su debido tiempo estudiaremos con la detención que me-
recen, y que nos han de servir de guía en buena parte de
estas conferencias.

Por último, se critica el concepto de fuerza por conside-
rarlo excesivamente antropomórfico y por suponer, que óÓ
sobra el concepto de masa ó sobra el concepto de fuerza.

Se ha dicho que este concepto dualista de una masa so-
bre la cual actúa una fuerza, es algo así como un carruaje
del cual tira un caballo: concepto verdaderamente infantil, ó
que como infantil lo consideran algunos.

drá

— 380 —

¿Y por qué no como un concepto experimental necesa-
rio? ¿Qué sería del carruaje si de él no tirase una fuerza?
¿Y para qué sirve una fuerza si no actúa sobre algo? ¿Para
qué el caballo sin el carruaje?

Quizá este dualismo es más hondo y más necesario de lo
que se supone; pero no nos separemos de nuestro objeto.

Sea como fuere, sobre esta opinión rígida y cerrada,
tendríamos que hacer muchas reservas por el momento, y
sin perjuicio de volver á tratar este punto, nos atenemos
por ahora á las observaciones que hicimos en las conferen-
cias del curso anterior.

En resumen, ya notarán mis oyentes, que la crítica sobre
el concepto de fuerza no es, en verdad, muy benévola.

1.2 Se niega la acción á distancia substituyéndola por la
elasticidad de los medios que rodean á los cuerpos. De
suerte que hoy se busca en esta elasticidad etérea, por unos,
y por otros en ciertas radiaciones que no se especifican, y
que no sabemos si se convertirán en las antiguas granizadas
de partículas que, cayendo sobre los cuerpos que se hacen
pantalla, por decirlo así, los precipita unos sobre otros; se
busca, repetimos, por estas diferentes hipótesis, la explica-
ción de la atracción universal.

2.” De todas maneras se combate resueltamente la teoría
de las fuerzas centrales.

3.” Se considera el concepto de fuerza como artificioso,
y á la mecánica de las fuerzas se la pretende substituir la
mecánica de la energía, á la que se da el nombre de ener-
gética.

Nombre ya tiene y sonoro, pero dudo mucho, que una
mecánica que empezase por el estudio de la energía, fuera
más clara para la enseñanza, que la vieja Mecánica de las
fuerzas, con todos sus inconvenientes y obscuridades, que
se me antoja que se convertirían en ráfagas de luz, compa-
radas con las nuevas obscuridadas de la nueva Mecánica,
sin que por esto neguemos su profundidad.

— 381 —

Hasta aquí se habia creído que la enseñanza debía proce-
der por análisis, por conceptos sencillos, aun cuando resul-
tasen algo abstractos, dejando la síntesis, es decir, lo com-
plejo, para el fin de la enseñanza.

Hoy parece que se marcan corrientes en sentido contrario.

*
+ *

Hemos apuntado algunas ideas críticas sobre el concepto
de masa y sobre el concepto de fuerza; veamos lo que se
dice respecto al procedimiento, que hemos seguido para es-
tablecer y demostrar las ecuaciones fundamentales de la Di-
námica antes citadas. :

Ya lo recordarán mis oyentes, si asistieron ó han leído las
conterencias del curso anterior.

Decíamos que partía la Mecánica clásica, ó podía partir,
de tres conceptos fundamentales é irreducibles unos á otros.

Estos conceptos eran la masa, el espacio, ó mejor dicho
la longitud, y el tiempo.

Para no entrar en discusiones filosóficas, ni discutir antes
del momento oportuno ciertas Mecánicas de carácter cinemá-
tico, que pudiéramos llamar de enlaces ocultos, y perdónese
lo extraño de ia denominación, tomábamos estos tres con-
ceptos, masa, longitud y tiempo, de la experiencia. No pre-
tendíamos explicarlos filosóficamente, los considerábamos
como parámetros independientes de la Dinámica, y medía-
mos: 1.”, las masas por su equilibrio en la balanza, que es
un hecho, y no más que un hecho, independiente del peso
é independiente de la situación geográfica: una balanza y un
fiel en el cero, nada más; 2.”, medíamos la longitud por la
superposición material ó por la superposición óptica, según
los métodos modernos; 3.*, medíamos el tiempo por el pén-
dulo ó por la aplicación del péndulo á los movimientos as-
tronómicos. Estas ideas son tan conocidas que no necesita-
mos insistir sobre ellas.

— 382 —

A estos tres parámetros fundamentales agregábamos otro
parámetro derivado: la fuerza, considerándola como otro
hecho, si se quiere como otro fenómeno, y, en último caso,
como un parámetro de la Dinámica.

No pretendiíamos penetrar en su esencia, pero procurába-
mos medirlo y fijar la unidad de fuerza: que era la que apli-
cada en una línea recta constantemente, durante un segundo,
á un punto material de la unidad de masa, le comunicaba, al
terminar el segundo, la unidad de velocidad. Es decir, que
si, al terminar este segundo de tiempo, la fuerza cesase de
actuar, el cuerpo seguiría caminando con movimiento unifor-
me y con una velocidad igual á 1.

Lo primero es una definición; pero esto último no es evi-
dente: la razón humana no puede demostrarlo 4 priori como
demuestra un teorema de Geometría. Puede negarse, sin que
al negarlo, se sienta desquiciada la razón y desquiciadas sus
leyes lógicas; pero todo esto, aunque no sea evidente, es
perfectamente claro. Decimos que es claro, en este sentido:
que se entiende lo que se quiere decir, lo cual no sucede con
muchas críticas modernas. :

Partiendo, pues, de todos estos hechos experimentales,
se pueden demostrar las ecuaciones del movimiento de un
punto libre, á saber:

' m ES E
dt?

IATA
abris

m es e
diz

y, por consiguiente, las de un sistema cualquiera de puntos.
Se pueden demostrar, repetimos, agregando una nueva
hipótesis, la más natural, y que, sin embargo, me atreveré

— 383 —

á decir que es la más formidable (perdóneseme la palabra)
y la más atrevida de toda la Dinámica: la que pudiéramos
llamar de la independencia y de la superposición de ciertos
movimientos.

Recordemos brevemente la demostración de las fórmulas
anteriores, y la recordamos, á pesar de ser elemental, para
que se comprenda la crítica que de ella se hace.

Supongamos que una masa m, partiendo de A (fig. 3.*) y
bajo la acción de la fuerza F, recorre la trayectoria A B L.

A
IS

A
'
'
,
É
y
'
1
,
'
'
'
'
|
,

MR. ...--
>

Sn.
Es

'
>

|

|

5

Ar
E

Figura 3.*

En A tiene una velocidad V, en el sentido de la tangen-
te A C.

Y admitamos que está en A en el instante £, y que en el
instante t + d festá en B: el arco A Bes un infinitamente
pequeño del mismo orden que d f,

Al llegar á B, su velocidad es distinta de la anterior; re-
presentémosla por V, y claro es que se contará en el sentido
de la tangente en B, es decir según BV,.

Por el punto B tracemos la recta B V, paralela á A Cé
igual en magnitud á la velocidad V que tenía el móvil en 4.

Uniendo los puntos V y V,, la recta V V, será la veloci-

— 384 —

dad que hay que componer con V para obtener B V,, como
demuestra el triángulo V B V,. Designémosla, para abreviar,
por W.

Pues bien, se llama aceleración al límite del cociente +

cuando el punto B tiende á confundirse con A.

Se supone, y se comprueba por la experiencia, que esta
aceleración es la que comunicaría la fuerza F al punto A, si
partiera del reposo. En términos precisos: si B tiende á
confundirse con A, la dirección de V V, tiende á ser la mis-
ma que la de la fuerza F, y al fin se confunde con ella; y

W e :
puesto ARPA representa la relación entre el incremento

de velocidad y el incremento de tiempo, no será otra cosa
que la aceleración comunicada á la masa m; en fin, toda
vez que esta velocidad la ha comunicado la fuerza F á la
masa m, en la unidad de tiempo, es claro que

di

,

según el sistema de medidas que hemos escogido para las
fuerzas; que era (repitámoslo) el producto de la masa por
la velocidad que le comunicaba la fuerza en la unidad de
tiempo.

Todas estas son nociones, que mis oyentes conocen y en
que no necesito insistir.

Pero veamos cuál es la nueva hipótesis á que antes nos
referíamos.

Si á un punto en reposo m le comunica una fuerza F,
una velocidad W, en un tiempo d £, en la unidad de tiempo

le comunicará una velocidad yr y esta sería la medida de

la fuerza si la masa fuera 1, pero como es m, habrá que
multiplicar la aceleración por la masa: tal es la definición
de Kirchhoff y la que resulta de lo expuesto.

A A dd

— 385 —

Mas aquí aparece la nueva hipótesis: la acción de la fuer-
za F será la misma, cuando el punto parte del reposo, que
cuando está animado de una velocidad V.

Esto no es evidente: no es evidente, decimos, que en la
acción de una fuerza no influya el movimiento anterior, y
hay que considerar el expresado principio, ó como una
hipótesis de carácter metafísico, ó como un postulado que la
experiencia comprueba. Todavía más, y aquí aparece otra
complicación: el movimiento que estamos considerando es
un movimiento absoluto; pero bien pudiera ser relativo y
¿la hipótesis se aplica en ambos casos?

Y aún hay quien niega, que sea lícito introducir en la
ciencia el concepto de movimiento absoluto y de ejes absolu-
tamente fijos.

Ante tales conflictos ha sido preciso llegar entre la crítica

- yla mecánica clásica á una especie de modus vivendi, to-

mando por ejes rectas trazadas desde un punto de la Tierra
á tres estrellas tan lejanas que parezcan fijas.

Todos estos son puntos difíciles, delicados, y no podemos
hacer aquí otra cosa que señalarlos de pasada.

Por lo demás, el resto de la demostración es bien sencillo.
Hagamos AC= Vdt; tracemos BC y tomemos BC” =
= Vdt, BB" = V, dt; con lo cual tendremos B'C* = Wat,
puesto que los triángulos BC*B' y B V V, son semejantes.
También son semejantes BCD y B'C'B.
Pero
AC = VE

AB= dt

BB'= V,dt

— 386 —

son próximamente iguales, salvo infinitamente pequeños de
segundo orden.

Además, BD es la mitad de AB, también con diferencia
de infinitamente pequeños superiores, luego

BD=-— B'B'
2
Y
Bpo=2 pc;
2
de donde se deduce:
Po A
2 Ad
EN O Li AZ ES
== =-— —-= — aceleración,
dt? 2 .
y
ys 2BC
aceleración = ——.,
dt?

Ahora bien, BC es la distancia entre el punto C, que es
donde estaría el móvil obedeciendo á la velocidad que traía
en A, que era V, y el punto B que es donde está por la
acción de la fuerza F. En suma, BC es el desplazamiento del
punto por la acción de la fuerza F, puesto que en virtud del
postulado general BC,F y B'C” son paralelas.

De aquí podría resultar esta regla práctica.

La aceleración es igual al doble del desplazamiento en el
tiempo dt, dividido por dt?.

Lo cual, por otra parte, se deduce directamente de la co-
nocida fórmula del movimiento, uniformemente variado, es
decir, el engendrado por una fuerza constante g (que en
nuestro caso es FF). En efecto

l
s=-— gt”,
E

— 387 —

que da
Ss

Ex
y será para dt y para el camino ds

2ds
dt? *

Ahora bien, como esta regla lo mismo se aplica al movi-
miento curvilíneo, que al rectilineo, proyectando los pun-
tos A, A, C sobre el eje de las x, en a, b, c, tendremos:

be ='B Ecos (BE):
Ó bien
6.6: == BE, COS US X),

Por virtud de la regla anterior.

aceleración según x = que = E cos (F, x),
dt? dt?
y como
Ww— 2B6 :
de
se deduce:

aceleración según x = Wcos(F, x).

- Es decir, en forma abreviada, que la aceleración de la
proyección, es la proyección de la aceleración en el espacio,
y otro tanto puede decirse de la fuerza.

Así, multiplicando por la masa para obtener la fuerza:

m x< aceleración según x= Fcos(F,x)=X,

puesto que m W = F.

-" Ph Eh 1 ITA 7 KR "> st »¿ E
h os e PE dee y ds ire! tal e . e 3 ce ¡o 5 D MN 5 Fey he
> dE? .”» ro eS '

a A

Sólo nos falta calcular la aceleración del movimiento pro-
yectado sobre el eje de las x.
Supongamos que la ecuación de este movimiento esté de-

finida por ,
xt).

Correspondiendo el punto a al tiempo f, tendremos

aa=x=f(t),
oc=0a+ac=f(t)+f$ (1) dt,

00=F (14d) HF (Ddt+F (0d

luego
be==f"(Ydt,

2

de donde
2
2bc _ aceleración sobre x = f” (t) = ae .
de qe
Y, por fin,
d?x
m ===
di?
Rx

Claro es, que al resultado anterior puede llegarse con mu-
cha más rapidez; pero á veces lo más breve no es lo más
claro, para el principiante al menos; porque el camino en lí-
nea recta, puede dejar sombras y dudas á un lado y otro. Y
por eso hemos querido desmenuzar, si la palabra vale, la de-

— 389 —

mostración clásica, que por otra parte se encuentra en todos
los Tratados de Mecánica.

Por lo demás, ha dicho resultado se llega, desde luego, con
sólo proyectar sobre el eje de las x el triángulo B V V,.

Sean b, e, g, las proyecciones sobre dicho eje de los tres
vártices. ,

Evidentemente, be que es proyección de la velocidad V,
será la velocidad en el movimiento proyectado para el tiem-
po tf; y bg, que es, á su vez, la proyección de la veloci-
dad V,, será la velocidad en el tiempo f + df. Luego eg
será la aceleración en el movimiento proyectado; y se ve que
es, en efecto, la proyección sobre el eje de las x de la rec-
ta VV,= W, ó6 sea de la aceleración en el espacio.

Su valor sera

dx
PRI MN EIA AA. OR
dt dt AO E
*k
* ox

Hemos insistido tanto en esta demostración elemental,
para marcar en ella los diferentes elementos de que se com-
pone: la parte experimental, de la que dedujimos los con-
ceptos de masa y fuerza; la parte matemática, que constituye
toda la estructura de la demostración; y además, los con-
ceptos de espacio y tiempo.

Y, por último y sobre todo, para marcar la hipótesis fun-
damental y la más atrevida de todas, á saber: la de la inde-
pendencia y superposición de los movimientos.

Vemos que el concepto de fuerza, que es, evidentemen-
te, experimental, se introduce en el cálculo, y se define y
mide con referencia á masas ponderables; y siempre que de
masas ponderables se trate, es decir, de problemas de Me-

— 390 —

cánica racional, no puede ocurrirnos duda alguna respecto á
las explicaciones.

Por regla general, los problemas se plantean inmediata-
mente y la fuerza es siempre, según la definición de Kir-
chhoff, el producto de la masa por la aceleración; pero,
cuando salimos del campo de las masas ponderables y pa-
samos al de las masas eléctricas, al de las corrientes ó ele-
mentos de corriente y al de los polos ó masas magnéticas,
la definición que hemos dado de la fuerza, en rigor, ya no
tiene aplicación ni sentido, si el método experimental no
acude en nuestro auxilio.

¿Qué quiere decir en este caso la ecuación del movimien-
to de una masa eléctrica, si se copia literalmente de la esta-
blecida para las masas ponderables? ]

En rigor

carece de sentido, como antes deciamos, si la masa eléctri-
ca y no tiene ¡nercia como la masa ponderable mm.

Las contradicciones resultan á cada momento. Por ejem-
plo, de la ecuación anterior se deduce integrando.

UXENS
—)i|=/|(|2Xpx,
A $f2Xxp

Pero como la electricidad no tiene masa, por lo menos
masa ponderable, que es la que debía entrar en la fórmula,
p. es cero, y el valor de y es infinito.

De manera que cualquier fuerza de la que hemos consi-
derado en la Mecánica clásica, es decir, en la Mecánica de

— 391 —

las masas ponderables, aplicada una masa eléctrica determi-
naría en ella una velocidad infinita.

Para que la ecuación anterior tuviera sentido, sería preci-
so dotar á las masas eléctricas y después á las masas mag-
néticas y á las corrientes, de cierta especie de inercia, que
es á lo que se ha venido á parar al fin, buscando ese mode-
rador de la acción de la fuerza en el fenómeno de inducción.

Y tan lejos se ha caminado en este sentido, que pasando
de un extremo á otro, ha concluído cierta crítica moderna
por convertir toda la inercia de las masas ponderables en
una resistencia eléctrica.

Todos estos problemas, con los que ya dejamos apunta-
dos, negando la acción á distancia y limitando la influencia
de las fuerzas centrales, son los que en cierto modo cons-
tituyen la materia de la Física matemática moderna, á la que
reservamos la segunda parte de este curso.

Por lo demás, en todo este período de transición, la difi-
cultad que antes indicábamos se ha salvado cerrando los
ojos, por decirlo de este modo, á la dificultad misma, y apli-
cando las fórmulas de la Mecánica clásica, lo mismo á las
masas ponderables, que á las masas eléctricas y aun al éter.

Así en la teoría de la luz, se habla de la fuerza viva de
los elementos del éter, y se la designa por

5)

pv?,

como si la masa eléctrica fuera una masa ponderable; sólo
que se agrega, que es pequeñísima en comparación con las
masas de la materia ordinaria y que su pequeñez la com-
pensa en parte el factor v?.

Claro es que este subterfugio, no teniendo otra explica-
ción ni otro fundamento, no puede satisfacer á un espiritu
severo, y está en contradicción con el concepto del éter.

Y luego, las dificultades y las dudas, surgen á cada mo-
mento.

Rey. Acap. Ciencias. —-V.—Enero, 1907. 27

— 392 —

La fuerza está definida por y para las masas ponderables.
Pero las acciones entre masas eléctricas, corrientes Ó masas
magnéticas ¿podrán llamarse también fuerzas? ¿Serán como
aquéllas? ¿Será posible unificar unas y otras? ¿Cuál será
su medida común?

La experiencia demuestra que sí, que las atracciones y re-
pulsiones entre masas eléctricas, corrientes, y corrientes y
masas, y todas éstas y polos magnéticos, pueden en último
caso medirse por kilogramos, como pueden medirse las mis-
mas fuerzas químicas; pero hay que confesar que todo esto
se hallaba envuelto en la Física matemática clásica en gran-
des sombras, que los físicos modernos se esfuerzan por ir
desvaneciendo. ;

Quizá hay que buscar en estas dificultades la causa de la
predilección, que ciertos sabios muestran hacia el concepto
de energía, y su empeño de crear una Mecánica que pudié-
ramos llamar energética, en substitución á la vieja Mecánica
de la fuerza.

En resumen, me propongo, como he dicho antes, dividir
este curso en dos partes Ó periodos.

En la primera, estudiaremos el problema de la elasticidad,
considerándolo como una de las ramas fundamentales de la
Física matemática clásica.

En la segunda parte, 6 segundo período del curso, empe-
zaremos á estudiar los principales problemas de la que he-
mos llamado, Física matemática moderna.

Y claro es que en una y en otra parte, nuestro trabajo
debe considerarse no más que como preparación al estudio
de las memorias originales y de los trabajos novísimos de
los ilustres maestros, que pugnan por ensanchar los horizon-
tes de la ciencia y por dar cada vez más rigor á sus teorías.

— 393 —

XIX.— Estudios de sintesis mineral.

POR JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO.

IV

Observaciones acerca de algunos óxidos é hidratos metálicos. — Resulta-
dos de métodos especiales. — Combinaciones por adición de sistemas
binarios.

Lejos de concretarse la síntesis mineral, considerada des-
de el punto de vista de sus métodos y procedimientos, á re-
producir cuerpos cristalizados, idénticos á los que se en-
cuentran en la Naturaleza, á cada momento ensancha sus
dominios y aporta valiosos datos para esclarecer los proble-
mas de su constitución interna y averiguar por cuáles meca-
nismos se han generado, que causas intervinieron en ellos y
de que maneras pudieron actuar, sobre todo cuando los
cuerpos puestos en contacto son capaces para efectuar reac-
ciones simultáneas, casi siempre obedeciendo á las excita-
ciones externas de temperaturas muy elevadas, que originan
productos de diversas categorías. Reside cabalmente el prin-
cipal interés de las investigaciones sintéticas en estas conse-
cuencias inmediatas suyas y en lo que importan para deter-
minar la estructura, harto compleja en muchas ocasiones, de
las moléculas minerales, con el fin de deducir de ella las
funciones especiales de cada una y sus relaciones con otras
cuyos orígenes pueden no ser análogos.

Uno de los ejemplos más claros y sencillos que en seme-
jante orden se encuentran, lo presentan algunos de los tér-
minos de la serie de los compuestos oxigenados del manga-
neso, á saber: el monóxido, que forma el mineral llamado
manganosita; el bióxido, que es la pirolusita; el óxido sali-

pa

no, que constituye la hausmanita, y el sesquióxido ó brauni-
ta natural. Cristalizan los cuatro, pueden originar hidratos
definidos, algunos de función compleja, capaz de producir
combinaciones salinas de la forma (O,Mn),.OM”. Aqui
sólo se consideran los óxidos citados anhidros, en especial
atendiendo al modo de formarlos y á sus relaciones particu-
lares en tal sentido, partiendo del hecho, general tratándose
de cuerpos de parecida índole, de sus múltiples combinacio-
nes mutuas, á veces numerosas, como los manganitos de
manganeso, que representan toda la serie de reducciones de
que es susceptible el permanganato de potasio disuelto en
agua á diferentes concentraciones, dependiendo de ellas y de
la naturaleza del cuerpo que las modifica las clases de com-
binaciones formadas.

Muy bien calcinado el nitrato de manganeso 2(0., N)=Man,
haciendo con rapidez la operación, da el bióxido O,Mn
amorfo, pulverulento, negro y muy puro, excelente primera
materia en la obtención de los otros óxidos que nos ocupan,
y para ello basta someterlo, según los casos, á oxidaciones
Ó á reducciones así representadas:

O O
(a) 30,Mn=0,- Mn 4 Mn E > Mn (óxido rojo, hausmanita natural)
0, O
0
(0) 20,Mn=0 + O=Mn/ Mn (óxido negro, braunita natural)
Ó
H

(c) O.Mn+H,=0/ +0=Mn (óxido verde, manganosita natural),
“RH

en cuyas representaciones advertimos cómo en (a) está
comprendida la máxima oxidación, antes de llegar á los com-

ds

— 305 —

puestos que son anhídridos de ácidos conocidos, y en (c) el
término de las reducciones, correspondientes al óxido que se
ha considerado generador.

Vese acaso mejor la dependencia buscando las relaciones
del segundo ó sesquióxido O¿Mn, con el bióxido O,Mn,
el monohidrato de aquél (acerdesa Ó manganita natural) es
descomponible por el calor (á 300”) y desprendiendo agua
é hidrógeno pasa al óxido indicado, cuyas funciones son
análogas á las del anhídrido del ácido manganoso. Forma la
sintesis de los cuatro términos de la serie un conjunto de
instructivos experimentos, que sirven de fundamento para
explicar la estructura molecular de cada uno y sus funciones
propias, de las que acaso dependen, en cierto respecto, las
del manganeso en las oxidasas, quizá debidas á las mutuas
transformaciones y cambios de que son susceptibles sus Óxi-
dos, sin contar las hidrataciones; pues es de observar cómo
á la generación de los superiores (a) y (b) acompaña de
continuo desprendimiento de oxígeno activo, cuyo hecho
tiene indudable importancia para explicar fenómenos de suyo
extraños y complicados.

No es difícil pasar del compuesto O,Mn al de la forma
O,Mn.,, lo cual equivale á convertir la pirolusita negra en
hausmanita roja; pues basta calcinar el primer cuerpo á tem-
peratura suficiente, teniendo presente que el óxido salino de
manganeso es siempre el límite de las acciones del calor so-
bre los demás óxidos: suele resultar cristalizado; pero convie-
ne apelar á otros artificios cuando se quieren conseguir bue-
nos cristales. Se obtienen fundiendo el cuerpo amorfo con vez
y media su peso de bórax y mejor todavía adoptando el pro-
cedimiento de Sainte-Claire Deville: en un buen tubo de por-
celana se calienta hasta el rojo el óxido amorfo y se hace pa-
sar una corriente lenta de ácido clorhídrico puro y seco,
cuanto más lenta mejor, y al cabo de cierto tiempo (seis ho-
ras para 10 gramos en mis experimentos ) se consiguen her-
mosos cristales; llégase á resultados semejantes usando el

ce

cloruro de calcio en calidad de fundente. Prodúcenlo, ade-
más, estas dos reacciones, que son muy características:

3(SO,Mn) + SO,K, = O,Mn, + 3(S0,) + O, + SO,K,
(Debray),

siendo menester mantener fundida largo tiempo la mezcla de
las dos sales y tratar por agua el producto resultante luego
de frío, para disolver el sulfato de potasio que sólo sirvió
de fundente;

3(Cl,Mn) + O+ 3(0H,)= O,Mn, + 6(C/H) (Gorgeu );

se calienta al rojo el cloruro de manganeso en un tubo de
porcelana y se somete á las acciones del oxígeno ó de una
materia oxidante saturada siempre de vapor de agua.

Ya para el sesquióxido de manganeso no hay tantas faci-
lidades; resulta, es cierto, formado en las condiciones antes
dichas, calentando á menos de 300” el bióxido; pero no
cristaliza y es también amorfo el procedente de la descom-
posición del nitrato, el carbonato ó el oxalato, llevada á cabo
en contacto del aire y á temperatura no muy elevada. Com-
préndese como pudiendo efectuarse, mediante el calor, la
transformación del sesquióxido negro en óxido salino rojo,

3(0¿Mn,) = 2(0,Mn,) + O,

que es el límite de los cambios, no es posible calentar sólo ó
con fundentes el primero de estos cuerpos con ánimo de fa-
cilitar la cristalización, porque ya se altera casi á la misma
temperatura en que se forma y así no ha sido posible repro-
ducir por tales medios la braunita natural, ni la acerdesa, que
es su monohidrato.

Otro es el caso de la manganosita O = Mn, considerada
á su vez límite de las reducciones del bióxido de mangane-

o in MES
E de ESTRES

— 397 —

so. Para realizar su síntesis he practicado, con algunas va-
riantes, el método de Sainte-Claire Deville, que se funda en
la acción del hidrógeno seco, conteniendo un poco de ácido
clorhídrico, sobre la pirolusita pura y amorfa, procedente de
la descomposición del nitrato manganoso. En una navecilla
de porcelana colocaba en mis ensayos unos 8 gramos de
O,Mn y la ponía en el interior de un tubo ancho de la mis-
ma materia; el hidrógeno atravesaba un tubo de bolas que
contenía disolución acuosa de ácido clorhídrico puro, y lue-
go era secado del modo ordinario. Cuando llenaba el apa-
rato, alcanzaba la temperatura del tubo el rojo cereza, y en dos
Ó tres horas la reducción era completa, y después de fríos
tubo y navecilla, recogía en ésta el protóxido de manganeso
formando menudos octaedros de color verde, dotados de mu-
cho brillo. También se genera la manganosita cristalizada,
aunque no con tanta facilidad, ni de manera tan perfecta,
en estas reacciones:

Cl,Mn+CINH,+C0O¿Na,=2(CINa)+CINH, -OMn+C0,
(Wehler)

en la cual el cloruro amónico sólo sirve para favorecer la
cristalización, constituyendo un medio gaseoso, por ser vo-
látil á la temperatura del rojo á que se opera, fundiendo en
un crisol las substancias destinadas á reaccionar en la forma
expresada: parte del cloruro sódico formado también se vo-
latiliza en las circunstancias particulares del experimento, y

B0,0,Mn-=OCa=B0,0,Ca+ O Mn (Ebelmen),

que exige más elevadas temperaturas para el doble cambio
de lugar del calcio y del manganeso.

A su vez es posible reproducir la pirolusita natural cris-
talizada partiendo del nitrato de manganeso; y pondré aquí
el método de Gorgeu, que no he practicado. Una disolución

— 398 —

acuosa de 800 gramos de esta sal es evaporada rápidamen-
te y el residuo calentado hasta 155”, á cuya temperatura da:
ya vapores rutilantes y comienza á depositarse el bióxido;
entonces toda la masa que está fundida se vierte en un ma-
traz de buen vidrio, cuidando que sólo ocupe los dos tercios
de su cabida, y se le tiene en tal estado por algunos días á
160” fijos; después del enfriamiento vense menudísimos
cristales negros de pirolusita. Por maneras tan sencillas,
apelando á las más elementales oxidaciones y reducciones,
se liega á obtener cuatro de los principales términos de la
serie de compuestos oxidados del manganeso.

Para ver sus relaciones tocante á la estructura molecular,
es menester partir de la existencia de un hidrato de bióxido,
de composición no bien definida, Ó cuando menos muy va-
riable, dotado de funciones ácidas débiles, por lo cual es
llamado ácido manganoso, que ejerce de modo muy diferen-
te, según los medios sean ácidos ó alcalinos, generando en
el primer caso manganitos de manganeso, y en el segundo
manganitos alcalinos; es, pues, en rigor, un seudoácido.
Sin entrar en pormenores acerca de semejantes compuestos,
que no son objeto del presente trabajo, diré que el hidrato
de más probable composición es el bihidrato O, Mn. 2
(OH), que podría ser representado en forma de ácido, y
considerando al manganeso tetravalente, de esta manera:

HO OH
4
Mn (seudoácido manganoso),

E
HO OH

y el bióxido de manganeso sería su anhídrido. En el anterior
símbolo el hidrógeno de los hidroxilos puede ser substitui-
do por un metal 6 varios, produciendo manganitos, cuya
naturaleza y estructura dependen de que los medios sean
ácidos ó alcalinos; y si el metal fuese el propio manganeso,

E A TAE ad
TS: '

y

Ao” TRA

podrían resultar las dos formas de combinación aqui repre-
sentadas:

O 0,
Mn/ SMní SMn=manganito dimanganoso= O,Mn,
Noé xd : F
0,
Q
-y O=MnÍ >M n=manganito monomanganoso=0,Mn.,,
0,

ó sean el sesquióxido y el óxido manganoso mangánico, que
de esta manera adquieren el carácter de combinaciones sali-
nas, derivadas de un seudoácido.

Bastaría, para demostrar la legitimidad de semejante hipó-
tesis, el examen de las relaciones moleculares (a) (b) de
los tres óxidos superiores, base de su síntesis, en la manera
que va dicha; porque se prueba cómo uniéndose dos ó tres
moléculas de bióxido, y desprendiendo al juntarse una ó dos
moléculas de oxigeno, es como se constituyen los otros dos
óxidos. Su generador puede asimismo servir como punto de
partida en la formación de numerosos compuestos oxidados
intermedios, inestables, capaces de ser producidos mediante
progresivas reducciones del anhídrido y ácido permangáni-
co, de los cuales bien sabido es cómo deriva también el bi-
Óxido de manganeso.

Quizá las facilidades para las oxidaciones y reducciones
formando cuerpos cuyas funciones son variables y depen-
dientes, hasta cierto punto, de la naturaleza del medio en que
han de ejercerlas, explican las que tiene el manganeso, sobre
todo para los efectos de las oxidasas que lo contienen acti-
vísimo; y es de notar que precisamente el bióxido en algunos
estados de hidratación es coloide y sus disoluciones, de color
pardo, conservan la transparencia por tiempo indefinido, no
siendo difícil el conseguirlas. No sería extraño que la misma
estructura salina, procedente de un seudoácido muy inesta-

dr A

ble, asignada á los óxidos superiores que anteceden al anhí-
drido mangánico, explicara el fácil tránsito de unos á otros,
siendo O, Mn, el límite de las oxidaciones y O=Mn el de
las reducciones; porque el paso del primero al último se
efectúa simplemente tratándolo por el hidrógeno seco, á la
temperatura del rojo (O,Mn¿=3(0 = Mn) + OH,), mé-
todo muy expeditivo, en ciertos casos, para obtener el óxido
verde, el cual resulta formando masa de estructura cristalina
y sólo por excepción aquellos cristales definidos, producto de
la reducción del bióxido en presencia de pequeñísimas can-
tidades de gas ácido clorhídrico.

Conviene advertir que en las transformaciones de los com-
puestos oxidados del manganeso hay á la continua conden-
sación molecular, acompañada de desprendimiento de oxí-
geno, y el no efectuarse completa en las combinaciones
intermedias, explica acaso su inestabilidad y el que varíen
de manera harto irregular las relaciones del metal “al oxíge-
no, y de ello son excelente ejemplo los manganitos de man-
ganeso, derivados del seudoácido manganoso. Infiérese de
aquí también el que sea límite fijo de las oxidaciones la for-
ma 0O,Mn,, y la más estable, sin función determinada, sólo
oxidable, conforme lo ha demostrado Moissan, á 300 ó 330",
cuando ha sido obtenido á baja temperatura 2(O,Mn,) +
+ 0O=3(0,¿Mn,), que en otros casos permanece inaltera-
ble, y aun semejante oxidación tiene en la práctica sus difi-
cultades y no se logra tan perfecta como la del monóxido ó
la del sesquióxido y en ella influye, bien á las claras, la clase
de oxidante empleado. Guardan ciertas semejanzas con los
hechos apuntados, varios concernientes á otra categoría de
experimentos de síntesis mineral cuyo objeto era reprodu-
cir combinaciones oxidadas, que tienen asimismo marcado
carácter de anhídridos ó de singulares compuestos salinos.

— 401 —

Refiérense á la reproducción del mineral español denomi-
nado cervantita, que se encuentra en la sierra de Cervantes,
en la provincia de Lugo, y en Losacio, de la de Zamora; se
trata de un curioso producto de las alteraciones de la estibi-
na natural en contacto del aire, mediante fenómenos de oxi-
dación lenta en circunstancias particulares; es el antimoniato
de antimonio típico, y su formación puede ser así represen-
tada: S, Sb, + 10. O =3S80,=+ O, Sb,, que viene á ser
el peróxido de antimonio, límite de la oxidación del metal,
de lo que proviene su carácter salino bien definido. Por ex-
cepción se presenta cristalina, ya que no cristalizada, la cer-
vantita; lo ordinario es que forme sobre su mismo generador
costras ó masas terrosas y deleznables, de color amarillento
ó casi blanco, infusibles; tiene la propiedad de combinarse
con el agua, originando un monohidrato definido A, O, Sb,,
que constituye la estilbita, procedente también de las modi-
ficaciones de la estibina en contacto prolongado del aire
húmedo; mas el hidrato es susceptible de perder toda su
agua en variadas circunstancias, sobre todo mediante calci-
nación, regenerando al momento el peróxido de antimonio.

Desde luego es de notar la diferencia que existe, tocante
á las formas, entre los óxidos de antimonio; cristaliza el an-
hidrido antimonioso O, Sb,, que tiene la estructura de un
sesquióxido y hasta es dimorfo; el peróxido aparece alguna
vez constituyendo masas cristalinas poco considerables, y el
anhídrido antimónico O, Sb, es siempre amorfo; como si los
aumentos de las proporciones de oxígeno dificultasen la
orientación de las moléculas y fuesen obstáculos para su
agrupamiento, según determinada simetría. No obstante, á
los tres puede asignárseles el mismo origen natural, median-
te alteraciones de la estibina por oxidación lenta,

S¿ Sb, +9. O=380, + O, Sb, (valentinita, senarmonita)
S. Sb, + 10. O=38S0, + O, SD, (cervantita)
S¿ Sb, + 11. 0=3580, + O, Sb, (anhídrido antimónico)

Eo POR

demostrándose así cómo es progresiva y puede seguir una
serie regular, cuyo primer término corresponde á la substitu-
ción total y completa del azufre del trisulfuro con el oxíge-
no, y es singular que la forma estable del producto de seme-
jante cambio sea un prisma romboidal recto de 137”, y la de
su generador también un prisma romboidal recto sólo de 90”,
54, siendo frecuentes en ambos los cristales aciculares.

Según lo dicho, parece cosa fácil la síntesis de la cervan-
tita, partiendo de la estibina ó del propio antimonio metáli-
co; porque es de observación corriente, cuando se les so-
mete al fuego de oxidación en la llama del soplete emplean-
do soporte de carbón, notar cómo se forma una especie de
depósito pulverulento, en parte volátil, de color más ó me-
nos amarillo en caliente, que al enfriarse tórnase blanqueci-
no, cualidades que convienen al peróxido de antimonio. Mas
la operación descrita, aun suponiendo que todo el metal ó su
sulfuro se hayan transformado, no es tan regular como indi-
ca la teoría; y lo que de ella procede, aun llegando la tempe-
ratura al rojo vivo, es una mezcla de los tres óxidos, porque
el paso del anhídrido antimónico á peróxido de antimonio,
por pérdida de oxigeno, mediante las acciones del calor, no
resulta completo y está limitado el cambio á causa de la pre-
sencia de cierta cantidad de cervantita ya generada y de la
proporción no alterada todavía del óxido superior; se trata,
pues, de una disociación parcial que se inicia al alcanzar los
300” y quizá antes.

En el límite del desdoblamiento O,¿Sb, = O,Sb,-—-0 influ-
ye la presencia de cierta cantidad, nunca grande, de anhi-
drido antimonioso; porque, aunque dada su volatilidad cuan-
do se le calienta, gran parte se elimina y puede sublimirse,
y teniendo en cuenta sus aptitudes para oxidarse, (O,Sb,+
+ O=0,8D,), ardiendo en contacto del aire cuando se eleva
lo suficiente la temperatura, otra porción ha de ser así modi-
ficada, siempre queda algo sin alterarse y cuya transforma-
ción impídenla acaso las proporciones de los otros óxidos.

AE

— 403 —

Quizá entonces, llegado el límite de las acciones apuntadas,
se constituye un sistema particular formado por los tres Óxi-
dos en cantidades variables, productos unos de otros y todos
ellos del metal Ó de su trisulfuro natural: es un ejemplo de ia
influencia del medio, en este caso sólido y enteramente infu-
sible ni al rojo muy vivo y sostenido; por consiguiente, tam-
poco hay cristalización por enfriamiento, á no ser de las por-
ciones volatilizadas, cuyo vapor, enfriado de manera con-
veniente, es susceptible de dar dos especies de cristales,
unos prismáticos, correspondientes á la forma estable del
anhídrido antimonioso (valentinita), otros octaédricos, pecu-
liares de la forma transitoria (senarmonita). He creido notar
semejantes fenómenos en mis ensayos y hube de tenerlos
muy en cuenta al obtener la cervantita, partiendo del mismo
cuerpo de cuyas naturales alteraciones proviene.

Tuve como punto de partida la estibina natural, que hube
de someter á las necesarias purificaciones, y cuando no con-
tenía materias extrañas fué pulverizada y sometida á una cal-
cinación lenta, progresiva y larga, aumentando la temperatura
hasta el rojo. vivo. Operaba en crisoles de barro de boca an-
cha, sin tapadera, poniendo en cada uno 150 gr. de sulfuro;
calentaba tres horas, dejaba enfriar, sacaba la masa del cri -
sol, la pulverizaba en mortero de porcelana y volvía á ca-
lentar, repitiendo hasta cinco veces, para terminar sometien-
do los crisoles al rojo vivo durante cuatro horas seguidas y
recogía una masa poco compacta, amorfa, de color amari-
llento, casi toda ella formada de peróxido de antimonio, pero
conteniendo leves proporciones de anhídrido antimonioso y
de anhídrido antimónico. Su mezcla íntima es, en realidad,
el producto inmediato de la oxidación de la estibina, llevada
á cabo en las condiciones dichas, y la cervantita que sobre
ella se genera no es más pura que la así obtenida.

Fácilmente se eliminan sus congéneres aprovechando las
propiedades de cada uno: el trisulfturo que pudiera haber
quedado sin descomponer es atacable en caliente con ácido

— 404 —

clorhídrico, disolvente también, cuando está concentrado y
aun frio, del anhídrido antimonioso, y así la masa extraída de
los crisoles con dicho ácido fué tratada, digiriendo primero
en frío y lavando luego en caliente y no se advirtió el menor
olor sulfhídrico; se lavó de nuevo sobre un filtro y el residuo
seco se calcinó por cuatro horas al rojo vivo, y después de
enfriada la masa, continuaba amorfa y de color amarillo muy
claro; se le humedeció con ácido nítrico concentrado y se vol-
vió á poner al rojo, yal cabo de repetir tres veces el tratamien-
to, resultó el peróxido de antimonio blanco, que se vuelve
amarillo calentándolo y es de nuevo blanco después de frío
(D= 4,073). Hay en las operaciones considerable pérdida
que, en ocasiones, pasa del 15 por 100, y el cuerpo es amorfo
sin la menor traza de estructura cristalina, terroso, muy dife-
rente en cuanto al aspecto de la cervantita natural y sin aque-
llos cristales aciculares de que hablan los autores; y el ser
cuerpo insoluble, inatacable, de absoluta fijeza y práctica-
mente infusible, impide su cristalización, que no se consi-
gue ni siquiera con medios gaseosos ácidos empleando el
artificio del transporte, usando en calidad de vehículo otra
substancia volátil sin descomposición y tan inerte, tocante
á la cervantita, como ella lo es respecto de todos los demás.
cuerpos.

Un experimento intenté con ánimo de conseguir modifi-
carla, y consistió en someterla por seis horas consecutivas
(10 gramos) á las acciones del vapor de agua recalentado
(á 300”), operando en un tubo de porcelana y procurando
regular, hasta hacerla uniforme y nada considerable, la velo-
cidad de la corriente de vapor. Cuando ésta hubo cesado, se
calentó el tubo por el exterior hasta el rojo bastante vivo y
luego de enfriarlo fué recogido el anhídrido antimonioso,
cuya estructura aparecía algo alterada; no era tan terrosa,
las partículas habían adquirido cierta adherencia y observa-
das al microscopio advertíase á modo de un comienzo de es-
tado cristalino incipiente del cual en vano intenté pasar, pro-

de

7, PE

longando los tratamientos con el vapor de agua recalentado
y variando los modos de actuar el calor.

Guiado por los resultados obtenidos, constituidos algunos
de ellos en métodos clásicos, emprendí, hace ya bastante
tiempo (1896), el estudio de las formas de hidratación del
sesquióxido de aluminio, repitiendo experimentos anterio--
res, modificándolos en la práctica casi todos. Eran mis in-
tentos investigar ciertos coloides minerales, que en diversos
estados pueden originarse, al precipitar el aluminio en forma
de hidrato, de las disoluciones que lo contienen y ver ade-
más de qué manera, según los medios en los cuales reaccio-
ne, se manifiesta la función ácida ó la función básica de la
alúmina. Ambas se observan de continuo en la Naturaleza,
que no son raros los silicatos de aluminio, simples ó múlti-
ples, anhidros ó hidratados, ni son escasos los aluminatos
metálicos. Y ¡os dos problemas entran por completo en la
síntesis mineral, por cuanto el estado coloide ejerce influen-
cias decisivas en la mineralización, é hidratos de aluminio
son: el diasporo, la bauxita y la gibsita, conforme á las es-
pinelas sirve de tipo el aluminato de magnesio: fuera de esto,
observaré que de dos hidratos que pueden ser coloides, la
silice y la alúmina, resulta la arcilla, cuyo cuerpo, en estado
coloidal soluble, suelen contenerlo muchas aguas potables
exentas de compuestos cálcicos, y el asunto, en esta parte
á lo menos, tiene ahora cierto interés de actualidad, porque
los cuerpos que afectan aquellas formas suelen estar dota-
dos, al adquirirlas, de actividades que pierden en el momento
de su separación de los medios ó disolventes que los contie-
nen y ser agregadas Ye otro modo sus partículas.

Varios son los hidratos de aluminio, unos reales y otros
hipotéticos, que se encuentran citados; partiendo del hidrato
de Mitscherlich O 41, 0H, se conocen: O, Al, (OH), co-

> DG sn

rrespondiente al diasporo; O A1,(OH), que es la bauxita,
(OH); Al, 6 gibsita, el normal O, Al, (OH,),, el de Villiers
O, Al, ((OH,);, el de Zunino O, Al, (OH,);,, todos insolu-
bles en el agua, y además la alúmina coloide soluble en el
agua de Walter Crum (metalúmina), la alúmina coloidal de
Graham y el hidrato trialumínico O,, Al; O, que ha obtenido
Schlumberger, también coloide. Demuestra la existencia po-
sitiva de los últimos que la alúmina, en determinadas condi-
ciones, es soluble en el agua y establécese la relación entre
sus formas coloidales y amorfas por el hecho bien conocido
de que la evaporación de las disoluciones de la metalúmina
produce el hidrato definido é insoluble O A1,(OH),.
Habida cuenta de la semejanza de propiedades de los hi-
dratos alumínicos en ambos estados y los modos de generar
los coloides — hidrólisis del acetato básico de aluminio, diá-
lisis del cloruro de aluminio, acción del aluminato y el car-
bonato de sodio sobre el alumbre en disolución alcalina dé-
bil é hirviendo -—, puede explicarse la generación de mine-
rales oxidados de aluminio sólo por cambios de estado y
transformaciones de la materia coloidal en materia amorfa
insoluble ó en materia cristalina. Recordaré á tal propósito
los métodos de síntesis de los hidratos insolubles que han
sido reproducidos: el diasporo, que cristaliza en prismas rec-
tos romboidales de 129”, 17”, puede ser resultado de la hi-
dratación directa del sesquióxido de aluminio realizada ya
á 300” (Mitscherlich), ó producirse sobre la hoja de pape
pergamino que separe una disolución de aluminato de pota-
sio y otra de sesquióxido de cromo, del lado de la primera
(Becquerel); y la gibsita, cuyos menudos cristales tabulares
exagonales no están bien determinados, procede de la des-
composición espontánea, en contacto del aire, debida á su
anhídrido carbónico, de las disolucione$ de aluminato de po-
tasio (Bonsdorff), de las acciones del agua sobre la amalga-
ma de aluminio (Cossa) y, principalmente, de la reacción su-
mamente lenta efectuada á través de papel pergamino entre

==

una disolución de aluminato de potasio y otra de ácido clor-
hídrico, que es el procedimiento de Becquerel, Al, O, K.,.
3H,0+2C/H= (0H); Al, + 2 C!K + H, O, ensaya-
do con excelentes resultados, disolviendo 10 gr. de alúmina
lavada y húmeda en disolución de potasa al 10 por 100, di-
luyendo hasta 500< y otro tanto de agua acidulada con áci-
do clorhídrico al 15 por 100 (D. C! H= 1,19).

Y conviene tener presente que la bauxita, representada
por OA!,(OH),, nc cristaliza, y en masas terrosas Ó grue-
sos granos, siempre asociada con hidratos férricos, aparece
á modo de sedimento desligado de otras combinaciones; á
su vez, los cristales de diasporo son raros, su forma habitual
es la de masas fibrosas y se halla en rocas metamórficas;
tampoco abundan los de gibsita, que suele constituir masas
en las que se distinguen capas Ó zonas superpuestas y es mi-
neral de formaciones sedimentarias, conforme lo denota su
estructura. No suele contener hierro y sólo le acompaña un
poco de sílice, que acaso denote la procedencia en las trans-
formaciones lentas de un silicato de aluminio, quizá debidas
á fenómenos hidrolíticos.

Llaman desde luego la atención los modos de manifestar-
se las funciones peculiares del aluminio: de las disoluciones
que lo contienen formando sales, lo separan en estado de
hidrato normal los álcalis, los carbonatos alcalinos y los sul-
fhidratos, un exceso de álcali disuelve el precipitado, y ya
entonces funciona el sesquióxido como ácido y se generan
los correspondientes aluminatos de variable estabilidad. En
medios ácidos también son solubles los hidratos alumínicos
y se producen combinaciones salinas definidas y cristaliza-
bles; y es singular que la mayoría de los hidratos, así los
que forman especies minerales como los que son coloides,
tienen por generadores aluminatos que son descompuestos
empleando diversos artificios, y esto induce á pensar si
las masas sedimentadas que constituyen la bauxita y las
masas amorfas ó cristalinas, mejor que cristales perfectos,

Rrv. Aca. CiexcIas.—V.—Enero, 19070. 28

— 408 —

formas ordinarias del diasporo y la gibsita, pudieran ser la
consecuencia de transformaciones de los hidratos coloides,
de la propia manera que los ópalos y las resinitas son los
naturales representantes de la sílice gelatinosa, y justifica
la hipótesis el que los hidratos de aluminio cristalizables se
obtienen partiendo de combinaciones correspondientes á la
función ácida, en las que podemos considerar la alúmina
disuelta en un medio alcalino, en estado tan provisional
que basta el anhídrido carbónico del aire para desalojarla,
en cuyo sentido, sus hidratos, ya concretados é insolubles,
procederían de formas anteriores coloidales, que no pare-
cen ser muy solubles, sino á condición de que haya en los
líquidos una traza de ácido libre, cuyo hecho apoya lo di-
cho, porque excluye la existencia de aluminatos y explica de
modo suficiente la formación de la gibsita cuando el ácido
clorhídrico actúa sobre el aluminato de potasio á través de
un tabique de papel pergamino.

A veces, según acontece en los casos de la metalúmina
y el coloide de Graham, ácidos y álcalis son suficientes para
coagular los hidratos de sus disoluciones acuosas, y es pro-
bado que, con el tiempo, aun de las más puras y transpa-
rentes, se deposita el hidrato alumínico en forma gelatinosa,
y de ello se infieren varios hechos: la alúmina puede proce-
der en la Naturaleza de orígenes variados y distintos, pues
son numerosas sus combinaciones, en especial los silicatos
múltiples, que en su mayoría, aunque parezcan muy fijos,
distan bastante de ser estados definitivos, como lo prueba la
misma descomposición de los feldespatos potásicos; y no
sería extraño que, habiendo elementos para ello y medio
apropiado, se formasen aluminatos, á modo de combinación
intermedia y transitoria, que en presencia de ácidos ó por el
propio anhídrido carbónico del aire, se descompondrian ge-
nerando los hidratos coloides, á su vez origen de los inso-
lubles. Su número considerable, la composición irregular y
no siempre bien definida, la inestabilidad de muchos, los

EIA
PR OY ]

— 409 —

cambios de unos en otros, hasta dar en el trihidrato conside-
rado normal, y las transformaciones de sus funciones confor-
me á los medios, me parece que lo demuestran cumplida-
mente por ahora.

XX.-—Sobre algunos fenómenos de polarización en luz
convergente, observables en láminas de cuarzo
dextrogiras, superpuestas, de igual espesor, nor-
males al eje, teniendo intercaladas láminas de mica
de Ya, 2, 9/3, 6 /¿%

Por ESTEBAN TERRADAS.

El aparato usado para observar ha sido un microscopio
petrográfico Zeiss. Las dos láminas de cuarzo, con la lámina
de mica intercalada, se disponen en la platina, cuidando de
señalar la dirección del plano principal de la mica,

A) Luz monocromática Na.

PRIMER CASO.— LÁMINA DE 1/, )..

a.) Nicoles cruzados.

Sea a el ángulo que el plano de la mica forma con
el analizador.
au) a =0. El centro del campo es negro. Del mismo
arrancan los brazos de una cruz completamente ne-
gra, hasta un primer anillo obscuro, cuya máxima
obscuridad corresponde á una dirección paralela á la
principal del polarizador. Los brazos de la cruz están
á 45” de la sección principal de la mica. Los cuadran-
tes de los anillos, que están bisecados por la sección

— 410 —

principal del polarizador, son los más obscuros, de
modo que la región ó curva de obscuridad parece ser
como una lemniscata deformada. Si se examina me-
jor, se encontrará formado el primer anillo por dos
muy próximos, pero de distancia y grosor variables,
éste disminuye y aumenta aquélla partiendo de un
brazo de la cruz, y corriendo en el cuadrante consi-
derado en el sentido de las agujas de un reloj. En
los otros dos cuadrantes es también observable la
descomposición del primer anillo obscuro en otros dos
más finos.

Pasado este primer anillo, se puede observar un
espacio anular, brillante, interrumpido por cuatro
manchas en los brazos de la cruz que atraviesa el
círculo Ó anillo central blanco, y después de este ani-
llo, otro, etc.

La dirección de los brazos de la cruz que atravie-
san el campo, es á 45” de la sección principal de la
mica, y esta posición se determina con mucha exacti-
tud al girar la platina, pues los brazos de la cruz se
deforman y cesan de ser prolongación uno de otro, á
poco que se mueva la platina á partir de la posición
en la que se ve la figura con más limpieza y sen-
cillez.

Si la sección principal de la mica es paralela á la
sección principal del analizador, los cuadrantes, cu-
yos anillos son más obscuros, son aquéllos que biseca
la sección principal del polarizador, y si la mica tiene
su sección principal paralela al polarizador, ocurre lo
propio en los cuadrantes que biseca la sección princi-
pal del analizador.

Paralelamente á la sección principal del analizador,
si á ella es paralela la de la mica, hay dos manchas
obscuras que se destacan, en los anillos en que están,
de sus inmediaciones menos obscurecidas.

— 411 —

Los cuatro casi-cuadrantes comprendidos entre las
ramas de la cruz y el primer anillo obscuro, presen-
tan desigualdades en la intensidad de la luz; los dos
bisecados por la sección principal del analizador son
más obscuros que los otros dos.

El segundo anillo está á una distancia del primero,
próximamente igual á la mitad del radio de éste.

La experiencia puede servir para determinar si una
lámina de mica es de */, 4 y fijar su sección principal
con gran exactitud.

ag)a = 90”. La figura es exactamente igual á la del

caso anterior, salvo la ligera variedad indicada.

a/)a = 45”. El centro es ahora blanco, es decir, perfec-

tamente iluminado; diríase que el campo está atrave-
sado por una cruz blanca, cuyos brazos son paralelos
á las secciones principales del polarizador y analiza-
dor. En los cuadrantes aparecen, en negro bien deli-
mitado, los contornos de lúnulas constituidas como
por arcos de elipses y cincunferencias concéntricas.

f) Nicoles paralelos.

px) a = 90”. Centro del campo blanco. Anillos formados

por trozos bien delimitados alternativamente, brillan-
tes y obscuros, en número de ocho. Suponiendo una
cruz central blanca, ancha é intensa, hay cerca del
vértice de cada uno de los cuadrantes una manchita
negra. Entre los dos anillos y en los extremos de la
cruz blanca, en el campo, cuyos brazos están á 45”
sobre el plano de polarización de la luz emergente
del polarizador, hay una pequeña disminución de in-
tensidad que parece prolongarse difundiéndose circu-
larmente y en sentido contrario del de las agujas de
un reloj.

8) a = 45”. Atraviesa el campo una cruz, cuyas ramas

son paralelas ó perpendiculares respectivamente al

— 412 —

plano de polarización de los nicoles. El centro es ne-
gro. Y la mayor obscuridad corresponde á puntos
algo alejados del centro y comprendidos entre dos
anillos completos á iguales distancias de éstos y en
el plano principal de la mica ó en el perpendicular á
este último. Este fenómeno es también sumamente
vistoso. Los puntos de que se ha hablado son mejor
pequeños arquitos, pero bien contorneados y claros.

SEGUNDO CASO. — LÁMINA DE ?/,

a) Nicoles paralelos.

a) a =0. Se ven en el campo del microscopio una se-
rie de circunferencias concéntricas, en la primera de
las cuales hay dos trazos negros bien delimitados en
los extremos de un diámetro paralelo al plano de po-
larización de la luz que emerge del primer nicol.
La segunda circunferencia tiene cuatro trazos negros,
dos á dos, están en las tangentes á la primera circun-
ferencia en las manchas de la misma. Lo que hemos
dicho se puede repetir para el tercero y segundo círcu-
los, y así sucesivamente, pero con una variedad: si
trazamos una tangente en una mancha del segundo
círculo á éste, encontraremos en ella, á uno y otro
lado, una mancha del tercero y otra del cuarto, no
otra del tercero. Esta ya es ley que se cumple para
todos los demás (aproximadamente todo, claro está).

$) Nicoles cruzados.

Ba) a = 90. La parte central del campo está ocupada por
dos manchas negras circulares; la recta que une sus
centros es paralela á la sección principal del analiza-
zador. Si la posición de la mica no es la que se ha in-
dicado, ó los nicoles no están á ángulo recto, las dos
manchas son desigualmente obscuras. De aquí puede

— 413 —

sacarse aplicación del fenómeno para disponer dos
nicoles á extinción.

El resto del campo está cubierto por un sistema de
circunferencias y elipses bitangentes en los extremos
de un diámetro ó eje, los cuales ejes tienen la direc-
ción de las secciones principales de los nicoles en el
plano de observación. Este fenómeno es extraordina-
riamente vistoso.

BS) a = 45. Como en el caso de */, onda «y, pero las lú-
nulas alternadas en anillos sucesivos.

TERCER CASO.- LÁMINA DE ?/;.

a.) Nicoles cruzados.

2.0) a = 90”. El mismo sistema de circunferencias y elip-
ses como en el segundo caso £z, con la diferencia
que las dos manchas centrales son ahora dos circun-
ferencias negras, y las elipses han disminuido su cur-
vatura en los puntos de tangencia.

£) Nicoles paralelos.

Lo mismo que en el caso correspondiente de */,; mas
aquella ley que parecían cumplir las tangentes en los
puntos más obscuros de las circunferencias, es menos
exacta.

CUARTO CASO.—LÁMINA DE */;.

a) Nicoles paralelos.

aa) a = 90”. El fenómeno es análogo al correspondiente
en el tercer caso. La ley de las tangentes se verifica
con más exactitud que en éste. Las curvas aparecen
más apretadas. La dirección de la recta que une la
mancha de la primera circunferencia es paralela al
plano principal de la mica. Lo mismo ocurre si a=0.

— 414 —

af) a = 45”. Todos los círculos tienen cuatro manchas,
menos el interior, que tiene dos. Las manchas están
dos á dos en rectas paralelas de la unión principal
de la mica ó perpendicular á 45".

f) Nicoles cruzados.

aB) a=0. Sistema de circunferencia y elipse no bitan-
gente ni secante, pero con ejes de direcciones comu-
nes. Parte central iluminada.

QUINTO CASO.—LÁMINA DE ?/¿ Y FUERA DE LA COMBINA-
CIÓN DESPUÉS DEL SEGUNDO CUARZO, LA DE ?/,.

Secciones principales de las micas coincidiendo nicoles
cruzados a = 0.

Caso análogo al de la de ?/,, pero con una ligera variante
que hace parecer el fenómeno al que presenta una lámina de
cuarzo, hecho por compresión cristal de dos ejes, en luz
convergente y nicoles cruzados.

B) Luz blanca.

1.2 LÁMINA DE 1/, ONDA.

a) Nicoles cruzados.

aa) Mica paralela al analizador.

La cruz negra de que se habló en el caso de luz
monocromática aparece perfectamente delimitada cru-
zando sus brazos á 45” el campo en la parte central.

En los cuadrantes bisecados por la sección princi-
pal del analizador y del centro, los bordes del campo
aparecen los siguientes colores:

Rojo subido, círculo negro, azul, amarillo, rojo,

segundo anillo negro, verde, amarillo rojo, etc.

— 415 —

En cambio, en los cuadrantes que quedan, la suce-
sión de colores es, por el mismo orden,

anaranjado, primer círculo negro, azul, etc.

De modo que los cuadrantes aparecen dos á dos de
distinto color.

Al girar la platina del microscopio, gira, por decir-
lo así, la figura deformándose considerablemente,
para reaparecer igualmente orientada del plano prin-
cipal de la mica, cuando éste coincide con el plano
principal del polarizador.

B) Nicoles paralelos.

Ba) Plano de la mica (principal de polarización) coinci-
diendo con los planos principales de los nicoles.

Las cuatro manchitas centrales (ya descritas) son
azules. Se conserva con la misma intensidad la cruz
blanca á 45”. Los segmentos de anillos en los octan-
tes con la sucesión de colores

amarillo, rojo, verde, azul.

SEGUNDO. — LÁMINA DE ?/,.

a) Nicoles cruzados. Mica cuyo plano principal coincide con
el del analizador.

Atraviesa el campo extensa banda verde paralela á la
sección principal del analizador, que termina por dos
manchas juntas al primer anillo, en el que la sucesión
de colores es del centro á los bordes:

amarillo, rojo, azul.

Las manchas son de color púrpura, contorneado de
verde obscuro.

Contiguas á la banda verde y cubriendo los seg-
mentos comprendidos entre sus bordes y la primera
circunferencia amarilla, hay, á cada lado, dos bandas
contiguas, una amarilla y roja la otra. El anillo azul

— 416 —

presenta mayor intensidad paralela y normalmente á la
sección principal del analizador.

A este anillo azul van adosadas dos lúnulas en la di-
rección paralela á la sección principal del analizador.
Los colores en estas lúnulas son amarillo, rojo, azul. Y
el conjunto de las dos lúnulas y el de los anillos apare-
ce envuelto como en una elipse, al que sigue el se-
gundo anillo amarillo, etc.

La mancha central de tono más obscuro, al girar en
sentido de las agujas de un reloj, la platina está siempre
á la derecha, tanto si se coloca la mica de modo que su
sección principal sea paralela á la del analizador, como
á la del polarizador.

TERCERO.—LÁMINA DE ?/;s.

a) Nicoles cruzados. Mica con su sección principal paralela
á la del analizador. |
El aspecto del campo es bastante análogo al anterior.
Las dos manchitas centrales tienen sus centros en el |
plano principal del polarizador; son de color rojo púr-
pura. Su contorno es más delimitado. La posición de la
mica se puede precisar bien gracias á que, cuando su
plano principal coincide exactamente con el del polari-
zador 6 analizador, las dos manchas tienen la misma
intensidad; más á poco que se gire el plano hacia la
derecha, desaparece la situada á la derecha del obser-
vador, y lo mismo respecto de un movimiento levogiro
del citado plano (mutatis mutandis).

Hacia los puntos en que dos direcciones á 45” res-
pecto de los planos principales del polarizador y anali-
zador, cortan al primer anillo, por ejemplo, arrancan
sendos arcos obscuros que van á confundirse con el se-
gundo círculo en los puntos en que el plano ó sección
principal del polarizador corta al mismo. |

— M7 —

EXPLICACIÓN DE LOS FENÓMENOS PRECEDENTES
INTRODUCCIÓN

La teoría de los electrones admite, para explicar el fenó-
meno de la polarización rotatoria natural, electrones oscilan-
do en movimiento lato alrededor de su posición de equili-
brio, y en sentido restricto, animados además alrededor de
sus posiciones de equilibrio dinámico correspondientes al
movimiento lato, de movimientos en órbitas circulares, de
modo que el movimiento total es una especie de movimiento
helicoidal, en un campo electromagnético regido por las
ecuaciones de Maxwell Hertz

4 I[=cufH,
c

ATAR = cur E,
ú

en que / es la intensidad eléctrica medida electrostáticamente;

H, la fuerza magnética;

E, la fuerza eléctrica;

c, la velocidad de la luz; é

Im, la intensidad magnética en un punto del medio.

El movimiento del electrón, definido por su carga eléctri-

ca e, por su masa material m y por sus coeficientes de vi-
bración propia d y de resistencia r, es en el sentido lato,
siendo s la variable que lo define

925 4ne?

+

m
of? 0

9
s4re =e(E4f cul E);

f' es la constante característica de los electrones correspon-
dientes á los cuerpos que presentan la polarización rotatoria
natural.

— 418 —

Poniendo
r0 md
DEE 5 —— :
4= 4ze?
e=1+*Y Ed ca
1+ a ib:
5 20
, Nof ,
eS Ss
ía D
l--— - —

en cuyas expresiones, * hace referencia á los distintos elec-
trones; N es el número de electrones en la unidad de volu-

men, gn == a y T es el periodo propio de la onda de luz
T

que atraviesa el medio, se tendrá para la intensidad eléctri-
ca Y, en un punto del dieléctrico naturalmente activo en que
flotan del modo dicho sistemas diversos de electrones,

JE SE

+ fcurl —

árnY=e ol
ot ot

Las expresiones en e y f pueden simplificarse si supone-
mos que la onda incidente es tal, que 7 difiera de los perío-
dos propios de los electrones.

Además, también, para la intensidad magnética Y,

HH .f E

Ei er

Llevando estos valores de Y y Y á las ecuaciones de
Hertz, y escribiendo, para simplificar,

j
.
1
;
-
.

rd

— 419 —

y eliminando las componentes de la fuerza magnética se
llega á las ecuaciones diferenciales establecidas por Lang, á
saber:

E OA III RO CIRO CO A OO OIR OO OA ON SO A O OA OE

Introduciendo como solución particular valores de u v w
: —=(:- MARGIRez) :
denia compleja Me "a o 1 e se halla, eli-
-minando las tres amplitudes complejas MNP, y escribien-
do ge V=>3, la ecuación de la superficie de onda

me(V2—b)(V2—c)+m(V?2—c)(V?—a) +
+ p? (V? — a) (V?—b) =0?.

Se deduce de las fórmulas anteriores, que el movimiento
vibratorio del vector polarización eléctrica, en la propaga-
ción por ondas planas que estamos estudiando, está definido
por dos elipses girando en sentidos contrarios, iguales, pero
colocadas de modo que donde está el eje mayor de una está
el menor de la otra.

Los ejes ópticos, aunque propiamente no existen, pues no
existe dirección para que los dos valores de V sean iguales,
definidos por aquellas direcciones para las cuales es un mí-
nimo la diferencia de los valores de V, son en óptica siempre
dos direcciones ó jalones de diferencia. Si g y g” son los án-
gulos que la normal á la onda plana forma con los mismos,
y llamamos o y e á los dos valores de V correspondientes á
unos mismos valores de y y q”, se tendrá

202=a+c>+>(a —c)cosg cosg” --
+Vía — C) sen?g sento” + 4o?

2 AE

2er =a +-C+(a —c)cosgcosg” -j-

Además, llamando K, al cociente de los ejes de la elipse
correspondiente al rayo ordinario, y K. al cociente de los
ejes de la elipse correspondiente al rayo extraordinario

25K,= — E = (a—c)seng seng” +

e

+V(a— c) sen?g sen?g” + 4a?,

Tal es la teoría de la polarización rotatoria, bastante satis-
factoria, si no fuera que las observaciones de Voigt en el
cuarzo y de Pocklington, que obligan á adoptar para las f
diferentes valores, según los tres ejes. Para nosotros nos
será suficiente.

Téngase en cuenta que, en lo que precede, no nos hemos
propuesto detallar esta teoría, ni mucho menos, sino mostrar
los puntos de partida para la explicación de los fenómenos
observados.

APLICACIÓN Á LOS FENÓMENOS OBSERVADOS

Recordemos antes la disposición experimental: La luz atra-
viesa primeramente un nicol, después un cuarzo, luego una
lámina de mica, por último otro cuarzo normal al eje como
al primero y un analizador. (Luz convergente.)

Al abandonar el primer cuarzo, la luz que entra en él pola-
rizada rectilíneamente, sale polarizada elípticamente; la mica
modifica la vibración elíptica, haciendo experimentar un re-
traso á las dos componentes, según las secciones principales,
y de tal modo, que una retrase respecto de la otra tal ó cual
tracción de onda (*/», /,, /, 6 /,). La vibración elíptica así
modificada entra en el segundo cuarzo, donde se modifica

— 421 —

como en el primero, y sale por fin para penetrar en el anali-
zador.

¿Cuál es la modificación que experimenta la luz, vibre rec-
tilínea ó elípticamente al atravesar oblicuamente un cuarzo,
tallado normalmente al eje y dispuesto en placa?

La vibración se descompone, como hemos visto, en dos
vibraciones elípticas, una levogira, otra dextrogira, cuya ra-

zón común de ejes es K, Ó yA y estas dos vibraciones se
e

propagan con desigual velocidad, de modo que al salir del
cuarzo, una lleva, respecto de la otra, un retraso

a tea E
o 0 e

siendo d el espesor. Nosotros supondremos, para mayor sim-
plificación, que la diferencia de fase de un rayo oblicuo es la
diferencia de fase correspondiente á un rayo paralelo al eje,
más la que se deduce al prescindir de la polarización rotato-
ria, y considerar sólo la doble refracción del central, cuyas
constantes de polarización fueron las mismas a y C.

Igualmente, en atención á simplificar los cálculos, supon-
dremos que el efecto en la mica es, en incidencia oblicua,
igual que si fuera normal; ambas cosas nos obligan á que-
darnos cerca del eje de simetría del haz de rayos de luz.

Prescindiremos, además, de las modificaciones que intro-
duce la reflexión vítrea á la entrada y salida de las distintas
placas cristalinas, sobre la amplitud y fase de la vibración
incidente.

Igualmente haremos caso omiso de los coeficientes de elip-
ticidad.

Sean:

eint La vibración incidente.
O

— 422 —

a El ángulo que el plano de polarización de la luz que sale
del polarizador forma con uno de los planos de pola-
rización del rayo que entra en el cuarzo con la inci-
dencia /.

y El ángulo que el plano de polarización del rayo que sale
del polarizador forma con la sección principal de la
mica.

Y. El ángulo que el mismo plano de polarización de la luz
que atraviesa el cuarzo definido cuando se definió <,
forma con el plano de polarización de la luz que sale
del polarizador.

9 El ángulo que forma uno de los ejes de la elipse que de-
fine el movimiento vibratorio del vector-polarización
eléctrica, á la salida de la mica, con el plano principal
de la misma.

La vibración e'”*, al entrar en el cuarzo primero, se des-
compone en las dos vibraciones elípticas siguientes:

| E, = [cosacosf + ¿sena senf] cosf e”,
| ó abreviadamente: = C,cosfe'”*,
¿
1, =— [cosa cosf + ¿sena senf] ¿senfe'”,
( = C, senfe'”*,
> z > T 6
evogira si f > 0 (además su valor absoluto $ < 77 siem-

pre) y dextrogira si fp <o.
Y
¿2 = [cosa senf — ¡sena cosf] senf e! =
C, senf elnt

pas = [cosa senf$ — ¿sena cosf] ¡cosfe'”t =
¡cosf C, elnt

A esta última le ocurre, al atravesar el cuarzo, un retraso
e 19 respecto á la primera. Designaremos por ¿., y 7, las vi-

— 423 —

braciones así modificadas, es decir, en vez de C, se enten-
derá C, e-*9,

Así, pues, paralela y normalmente á la sección de la mica,
habrá las siguientes vibraciones:

E = (E, + 5) cos(y — a) — (n, + ñ,) sen (y — 2),
F = (E, +6) sen(y — a) + (1, + 72) cos (y — 2).

Ya en la mica, á F le ocurre un retraso que la transforma
en Fe i"=F", de modo que, representando por R la am-
plitud de la vibración E y por / su fase, y por R” y l la am-
plitud y fase de la vibración F”,

E =R eli gint,
F'= PR el pin.
. . . . R' r
Ahora bien: si escribimos tg s = R se tendrá

tg 29 =cos(! — j)tg 23, y la razón de los ejes de la vibra-
ción elíptica, cuyas componentes son E y F, será, llamán-
dola tg [”, tal, que sen2f" = — sen(/— /) sen2s3.

Así, llamando e á una cierta constante de fase, las vibra-
ciones componentes sobre los ejes de la vibración elíptica á
la salida de la lámina de mica, serán:

E =c cosp ent

H = icsenf ent

disponiendo del tiempo para anular la constante de fase e.
Esta vibración elíptica, incidente en el segundo cuarzo, se
descompondrá en dos elípticas como antes la lineal, y ob-
servando que c = 1 porque la energía del movimiento debe
conservarse, se tendrá llamando 3, H,, Z, H, á las compo-

Rey. Aca. Ciencras.—V.— Enero, 1907. 29

— Yi —

nentes de las vibraciones elípticas, dextrogiras y levogiras
según sus ejes, y dentro del segundo cuarzo,

Eu

,= M,cosf el?

y = — ¡M, senfg el" >
, = M, senf el”!

== PU ose,

4

E

E

en que
M, =C0sa'cos(P — PB) +
¡sena'sen(f + f”)
M,=cosa'sen(f — fP”)
— ¡sena'cos(f + $”)
pr

,
a =0

La E, H, experimenta un retraso e- *? de modo que al sa-
lir del cuarzo se habrá convertido en Z,, H,, en que las ra-
yas superiores indican que M, se supone substituída por

META

Por fin, de las vibraciones elípticas Z, H, y E, H,, no que-
dan más que sus componentes sobre el analizador, de modo
que la intensidad, al salir de éste, se encuentra ser después
de algunas reducciones, la expresión siguiente:

[=sen?P" + cos2f" [| cos (£ — a + y — ()cos 9/,
+ sen ( — a + y — 0)sen28sen3/, |'

+ cos? (Y. +a—y+ 0)cos*28sen*/,]

- sen2f8"cos2f$(cos2y sen 28sen?3/, —sen2%sen9/, cos3/,).

Apliquemos estas fórmulas á la experiencia primera, mica

de 6-4 onda.

EE

- F=fFetM= =F,
Rel = Rcosj + ¡Rsenj =

ES cos? + > sena sen2f +- Ebo sen?f e- +0
=1/, sena sen2f e- 10 | cos(y — a)
— as cosa sen2f + seno sen?f + > cosa sen28 e- +0
+ sena cos*f e=* | sen(y — a)
de donde

R cos j = (1) cos(y — a) — (2) sen(y — a),
R sen j = (3) cos(y — a) — (4) sen(y — a),

Sendo (1), E), (3), (4) expresiones abreviadas, tales que
(1) = cos2 cos?f + cosa sen?f cosa
— > sena sen2f send,
(2) = sena sen*f + > cosa sen2f send
—+- sena cos?f coso,
(3)= 5 sena sen2f$ — cosa sen?f sen

=> sena sen2f$ coso,

(4) = - - -; cosa sen2f + 5 cosa sen2f cosó.

— sena cos?f seno.

De cuyos valores deduciremos tg j¡ y R

— 426 —

ey AA AAA
(3) cos (y — a) — (4) sen (y — 2)”
R>=[(1) cos (y — 2) — (2) sen (y —0)]'+

+ ((3) cos (y — 2) — (4) sen (y — 2))”.
Análogamente

— (3) sen (y — a) — (4) cos (y — a)

tg l= p
— (1) sen (y — a) — (2) cos (y — a)

Apliquemos estas fórmulas al caso particular de la expe-
riencia primera y = 90”, y — a = 90”. 4

Para el centro del campo de visión f = 45”. Para otros
puntos será £+-A. Quedándonos con términos de segundo
grado en A.

Rcosj = => send [1 +24 sen2a tg 9/, — 243),

R sen ¡ = sen? 3/, [1 — 2A sen2a cot 3/, — 242),
R'cos / = — cos? 9/, [1 — 24 tg? 9/, cos2a],

Rsenl==> send [1 — 2A cos2a],

j == —0/, + 2A sen2a,
[= —3/, — A cos2a tg 9/,.
RSE Dl:
RS= 0050)»,
sc = 90 — 9/,,
4 = 90 — 9/,,

p" =A(cos2a tg 9/, + sen2a) send,

y por tanto,
TI = (4 sen? 9/, cos22)?A?,

— 427 —

Siguen términos en A!,

Para A=0, /=0, lo cual era de esperar, puesto que la
vibración rectilínea entrante en el primer cuarzo es desviada
por éste de un cierto ángulo. La mica cambia esta desviación
por la simétrica, respecto á la primera, de modo que al atra-
vesar el segundo cuarzo, que es en la experiencia dextrogira
como el primero, se recompone la vibración tal como está á
la salida del polarizador, luego á 90 de la que permite pasar
el analizador; por consiguiente, la intensidad en el centro
del campo es igual que si los nicoles estuvieran cruzados y
no hubiera interpuestos ni los cuarzos ni la mica.

Cuando —— = 45, I=0. Esto explica la cruz negra

2n+1
que aparece en el campo. Los anillos corresponden á la anu-
lación de sen 09/,, es decir, 3/, = K z; luego á los mismos
círculos que en el caso de una lámina sola de cuarzo.

De igual manera, para el segundo caso f, se tendrá refi-
riéndolo al anterior.

F" =iF,

llamando F á la expresión análoga á la F' del caso anterior.
Si R” y 1” son las correspondientes á R' y 1

R” cos ' =— R' sen l,
RS ==" 70coS 1;
de donde
aos:
Ri RS
Y por tanto,
a = 90 — 0/,,
A (Za 8,
cos 9

p" a 9/. E 90,

y en consecuencia,

1 q Ñ >
fe e sen?) — 84 sen? 9/, cos 2/, cos 2a.,

Para los valores de 3 que hacen sen 3/, = 0, hay mínimo
en el valor de la intensidad, que se reduce á cero. A tales
valores corresponden los círculos que se ven en la iras
del mismo radio que en el caso anterior.

Además, para los puntos en que

0== ME.
9=31 q cos 2a=0
= (2n + 1)x .cos2a=0

que son 4 en cada circunferencia = (2n + 1), la inten-
sidad es también un mínimo.
Para la dirección a =06 r, si

cos 9/, cosa = 4A sen ?/,0,

la intensidad es un máximo ó un mínimo.
Como A es pequeño, podemos tomar en las inmediaciones
del valor de 3 que anula á cos. 9/,.

coto/, =44,

que corresponde á un mínimo. En cambio

cota =4A

corresponde á un máximo.

1,4 E Ó > =, la intensidad es máxima Ó mínima

para
cos3/, cos 3 + 4A sen?*/, 0 =0,

Fig, 1.*

Fig. 5.*

Fig. 3.*

e

— 429 —

y por tanto, pueden repetirse con ligera modificación las con-
sideraciones anteriores.

De ahí resulta que en las cercanías de donde el círculo
3=2n=x corta á la direcciónn a = 0, hay obscuridad, mas
dentro del círculo. En cambio para el mismo círculo, donde

corta á a = eN hay obscuridad, mas fuera de él. Y así que-

da explicada la forma de las curvas que al describir el fenó-
meno se han asimilado á elipses.

XXI.— Ensayo de Geometría analítica noeuclidiana.

Por José A. PÉREZ DEL PULGAR, S. J.

(Continuación.)

qe
RELACIÓN ENTRE LAS COORDENADAS Y LAS DISTANCIAS
ANGULARES.

21. Sean: las rectas A (X,, Y1,.21), B_(X2»:Yos 22)
C(x3,Y3, 23) (fig. 1), de una misma radiación y designe-
mos los ángulos planos que ellas forman por :

AD =0 0 O 0 BC.==4.

Sabemos que, á condición de que las tres rectas estén en
un mismo plano,
“0 =0, 50), [18]
ecuación que puede escribirse de uno de los modos si-
guientes: : :

— 430 —
COS 0, = COS 0, COS 6, + sen 6, sen 0,, [19]
Cho; = Cho, Cho, É Sho, Shoz. [20]

donde las razones trigonométricas vienen dadas exclusiva-
mente como funciones algebraicas de los ángulos, por las

Figura 1.*

ecuaciones de Euler ó por las series equivalentes, y no su-
ponen ninguna relación geométrica entre un ángulo y sus
razones trigonométricas circulares 6 hiperbólicas.

Designemos por (11), (22), (33), (12)..... funciones de las
coordenadas de las rectas A, B y C, tales que verifiquen una
de las dos condiciones:

(12) (13)
c08, = ———_—_==—, 008% = —_—_—_—__—_—_—_——,
V(11) (22) V(11) (33)
(23) [21]
c08% = —_—=——;
V(22) (33)
(12) (13)
Ch =—==T—, Ch = —=—--,
V(11) (22) V(11) (23)
e OEI COLE

V(22) (33) *

ce ES

Las dos ecuaciones [19] y [20] pueden escribirse indistin-
tamente en forma de determinante, del modo siguiente:

(11) (12 (13) |
(12) (22) (23) = [23]
| (13) (23) (83) |

como es muy fácil de verificar, sin más que desarrollar este
determinante y substituir los valores [21] Ó los [22]. En el
primer caso se obtiene'la [19] y en el segundo, la [20]. Pero,
estas dos ecuaciones expresan que los tres elementos A, B
y C están en un mismo plano, lo cual exige que se verifique
la condición [9], izquierda del párrafo 16: luego podenos
escribir la identidad

(1) 250 61) AO A
(12) (2) (82) | =M| xXx, Y2 22 [24]
(13) (23) (33) X3 Yy. 253 |

en donde M es un número cualquiera constante, distinto de
cero.

Esta igualdad no se diferencia de la identidad de Cayley *
sino en el parámetro M, que en esta última es precisamente
igual á A [19] y que en el primer miembro hay que substi-
tuir los valores

(11) = (0.....X2,9,21)?, (12) = (4..... Xx, Y,21XX2J2202);
(22 = (15232 (UI == 10. Y ZA Za): 120
(33) = (4.....Xx5J323)? (23) = (0.....XX2J2 22 KX3 Y323)-

La ecuación
ES 2154 EA

1 A Sixth Memoir upon Quantics, pág. 81.

— 432 —

representa un cierto cono arbitrario, pero propio, puesto que
de todos modos ha de verificarse la condición A = 0 [19].

Si, pues, representamos por el símbolo ar. cos.x el argu-
mento ó ángulo, cuyo coseno circular (definido algébrica-
mente) es x, é igualmente por ar. Chx el ángulo dado nu-
méricamente, cuyo coseno hiperbólico (definido algébrica-
mente) es x, podremos expresar los ángulos 0,, f, y %,, en
función de las coordenadas de las rectas que los limitan, sin
más que substituir los valores [25] en las expresiones [21]
y [22] de suerte que, v. g.:

Pagos (2... XX1 Y 1212 J 222) [26]
v (a.....Xx,J,71)* V (a... y.2oY
Ó también
5, =ar. Ch (A..... XXx1Y 121 (X2J222) - [27]

V (a... Xx y 121)? V(A.....Xx2J22)
donde, como hemos dicho,

Av = pV—1 e A
200 = ZA RN E

que pueden servir de definición de coseno circular é hiper-
bólico.
22. Las expresiones [26] y [27], puestas bajo la forma

pueden escribirse, respectivamente, en la forma

e O
(a ..... MxX1J121)* . Ca 9, 23)" sen?0,
van (A...... KY1Ya-=- YoZir - Z14X9.77 ZaXy, Ay Yo — Xo Y 1 )* = 0

(a.....Xx,y,21)? .(4.....Xx2J222)? Sh?0,
+ (A... MY 122 —Y2Z1) Z1Xo — ZoX1, X1Y2 — X2J1)* =0,

23. Si designamos a la distancia angular entre dos
planos dados por sus coordenadas (u, V, W,) y (Us V, W»), Si-
guiendo un procedimiento enteramente correlativo al que he-
mos seguido para hallar las expresiones [26], [27], [28] y
[29], encontraremos fácilmente

(A.....Xu, v, w, Xu, V, We)

p= al... COS ——===== 30]
V(A.....Xu m2 VIA... Ku vw)
6 lo que es igual,
car sen Vía qee XV,W>—-V¿W,, W¡Uy-—W3U,, U1,Vo-—U3V,)?A [31]
V (A... Xu, v, w)2 VIA.....XU, V, Way?
ó también á partir de la [20],
Po EEE (A... Nav, ¡XU2 VW) 132)

VIA... Ku v 2 V (A..... Xu v,w,)* y

6 lo que es igual,

tati.

El subradical del numerador en [31] y [33] puede escri-
birse

ERES ESA

siendo x” y” y z' las coordenadas de la recta de intersección
de los dos planos dados por las coordenadas (u;, V, W,) y
(Us Va W>).

24. Para resolver por completo el problema de expresar
los ángulos en función de las coordenadas, resta, pues, co-
nocer las cantidades a, b, c, f, g y h que intervienen en todas
las expresiones anteriores. Consideremos XxX, Y, y 2, como
constantes y X, Y, y 2, como coordenadas generales: en este
caso, las expresiones [26] y [27] puestas bajo la forma

cos?0(a..... Xx, y,21)?.(a..... Xx yz)?—[(a..... Xx, y,2,Xxy2)]?=0
Ch?4(a.....Xx,y,21)?.(4.....Xxyz)?—[(A..... Xx, y, 2,Xxy2)]?=0

para % constante, representan el lugar geométrico de todas
las rectas de la radiación que equidistan de la (x, y, 2,) un
ángulo 6; es decir, representan un cono de revolución que,
según la observación hecha en el párrafo 20, está inscrito
en el cono representado por la ecuación.

Es éste, pues, un cono en el que se hallan inscritos todos
los de revolución de la radiación, es decir, el absoluto [11].
El plano central de inscripción está representado por la

ecuación
(a....Xx,y,2:Xxy2) =0

== 199]

— 435 —

y el eje de inscripción es la recta cuyas coordenadas son
X1 Y1 Y 21-

Dos elementos conjugados con respecto al absoluto son
rectangulares.

De esta observación podemos deducir la expresión del
ángulo formado por una recta (x, y, 2,) y un plano (u, v, w;).
En efecto, el coseno de este ángulo será igual al seno de su
complemento, ó sea, al seno del ángulo formado por la recta
(x, y, 2,) con la polar del plano (u, v, w,) con respecto al
absoluto, ó correlativamente al seno del ángulo formado por
el plano (u, v, w,) con el plano polar de (x, y, 2,). Este plano
es el representado por la última ecuación, donde los coefi-
cientes de x y y z son F,' Fy' y F¿, respectivamente, y, por
consiguiente, éstas serán también las coordenadas tangen-
ciales del mismo plano.

Llamando, pues, s al ángulo buscado,

Vía..... Xx, y1 21) V(A o A Xu, vw; y

s = af . sen

En rigor, podríamos adoptar para a, b, C, ..... valores cua-
lesquiera, con tal que A=0, condición que ha de verificarse
siempre en la ecuación del absoluto, ya venga dada en coor-
denadas tangenciales ó en coordenadas de rectas. La geo-
metría angular de la radiación es, pues, en su más estricto
sentido (por lo que hace á su forma algébrica), cayleyana.

25. Observemos, sin embargo, que existe una diferen-
cia entre la geometría angular, tal como queda establecida,
y la geometría cayleyana, tal como la interpreta su autor y
sus continuadores. Donde éstos dicen punto, recta, plano,
aquélla substituye recta, plano, punto, respectivamente; á
segmento rectilíneo, corresponde ángulo plano, etc.; y por
eso á la geometría cayleyana del plano corresponde la angu-
lar de la radiación. Ahora bien; no existiendo ni pudiendo
existir ángulos poliedros semejantes ni homotéticos en una

— 436 —

radiación, por no haber en ella más que elementos propia-
mente tales, reales 6 imaginarios, pero nunca en el infinito
(supuesto el vértice propio), la existencia de una geometría
euclidiana del plano no bastaría para probar que esta geo-
metría era también aplicable á la radiación; y, por consi-
guiente, retorciendo el argumento, la existencia de una geo-
metría noeuclidiana de la radiación, no prueba que ella pue-
da ser aplicable al plano. En otros términos; para justificar
la geometría cayleyana, tal como la entienden actualmente
los geómetras noecluidianos, es preciso demostrar que,
donde ellos dicen punto, recta y plano, no habrían de decir
recta, plano, punto, respectivamente, con lo cual, sólo se
harían todos los sistemas geométricos perfectamente compa-
tibles entre sí. Si dicho cambio de palabras fuese siempre
lícito, poniendo en la geometría euclidiana del plano, en vez
de punto, recta, plano, recta, plano, punto, respectivamen-
te, nos resultaría una geometría de la radiación propia, en
que se nos hablaría de rectas y planos del infinito, pertene-
cientes á la radiación, de triedros semejantes y homotéticos,
etcétera: cosas que no tienen sentido en ninguno de los tres
sistemas posibles: y, sin embargo, no podría descubrirse en
la tal geometría contradicción alguna. No haré más que ano-
tar, por ahora, esta consecuencia, sobre que insistiré más
adelante, por ser una de las principales que se desprenden
de este trabajo.
26. Representaremos el absoluto por la ecuación

*<4+y42=0,

que presenta la ventaja, no sólo de reducir los coeficien-
1 AO á la unidad Ó á cero, sino de que la ecuación
del mismo cono en coordenadas tangenciales es también

u? +14 w=0

O SS o ii ricas: sind ió E

Lis ds a a E

— 437 —

El plano polar de la recta (x, y, 2, ), con respecto al abso-
luto, es el representado por la ecuación

AE Aa O,

que es perpendicular á su polar, y, por consiguiente, expre-
sa la condición para que dos rectas, (x, y, 2,) y (x y 2) sean
perpendiculares. :

La condición para que lo sean los planos cuyas coordena-
das son (4, V, W,) y (u v w), es:

44 + vv + w,w =0.
El coseno circular ó hiperbólico del ángulo formado por

las rectas (x,y,21) y (x.J.z.) es | los planos (u, V,W,) y (U, V¿W,) es
XX + JY1Ys + 21% U, Uy + V,V, + W,W, [34]
VAART VOLAR | VE A, VIE, 0,

Los senos circulares ó hiperbólicos de las mismas cantida-
des serán, pues, según las [28] y [31],

(iZ Y 22 RX — 22 PH (AY 2 —X9 y Y V(0w,+v.W 2 +(wu, + w,0,P + (U,V,—U4,v Y?

Ve 442 Ve YA +2, A E]
que pueden también escribirse, designando por

uvw las coordenadas tangencia- | xyz las coordenadas de rectas
les del plano común á las dos | de la recta intersección de los

rectas, dos planos,
AE VEFyRZ [36]
Ve. +, +2 ye, 1 vir, +4, +», yu, +1, +w,

27. Tratemos de hallar la distancia angular entre una
recta (x, y, 2), y un plano (u, v, w). Y, para ello, observe-
mos que, si la llamamos s

T
Cos s = sen a = o)

"+ >

— 8

Pero como a representa un ángulo recto, el coseno del

ángulo que buscamos es igual al seno de su complemento, Ó
sea al seno del ángulo formado por la recta (x, y, 2), con la
polar del plano (u, v, w), con respecto al absoluto. Esta po-
lar viene representada por la ecuación

UU + V,V + w,w=0);

y, por consiguiente, sus coordenadas son precisamente u, v
y w, según la advertencia final del párrafo 14. Por tanto, la
distancia angular de la recta (x,y,z), al plano (u, v, w)
es el complemento de la distancia angular de dos recías que
tuviesen por coordenadas respectivamente estas mismas can-
tidades; por tanto,

A O O y PE A - [37]

vz, ED 2, Vu, +1, + vw,

28. De lo dicho se saca fácilmente la condición de per-
pendicularidad de dos elementos cualesquiera, dados por sus
coordenadas ó por sus ecuaciones. Así, por ejemplo, la con-
dición para que dos rectas

ax+by>+«cz=0,
ax+Dby+c«cz=0,

sean perpendiculares, es que
ad +bb' + cc =0.

Las expresiones [36] nos dicen que:

Todas las rectas situadas so- Todos los planos que pasan
bre los planos tangentes al cono | por las generatrices del cono ab-
absoluto forman entre sí ángulos | soluto forman entre sí ángulos
nulos, aunque no se confundan, | nulos, aunque no se confundan,
puesto que las coordenadas tan- | puesto que las coordenadas de
genciales del plano que ellas de- | la recta que determinan dos de
terminan anula el seno del ángu- | ellos anulan el seno del ángulo
lo que los separa. | que los separa.

— 439 —

La interpretación geométrica de este modo de hablar es
clara y precisa, teniendo en cuenta el significado que hemos
dado á las palabras recta y plano imaginario.

Todas las generatrices y los planos tangentes del cono ab-
soluto son isotropos, puesto que sus coordenadas anulan el
coseno del ángulo que forman consigo mismos.

sg4

RELACIONES MÉTRICAS ENTRE LOS ELEMENTOS DE UN TRIEDRO

29. De lo dicho se desprende la relación que existe en-
tre los ángulos planos y los ángulos diedros de un triedro.
Adoptemos, por ejemplo, las razones trigonométricas circu-
lares, y después haremos notar brevemente las modificacio-
nes que hay que introducir en los resultados si se quieren
escoger las hiperbólicas.

Si las tres rectas A (x, Y121), B (Xs Ya 22), y C (Xs Ya Zg)
no estuviesen en un mismo plano, el segundo miembro de la
igualdad [24] no es nulo; y entonces, haciendo para simpli-

ficar
a=(11) -d=(22) XxX Yi 21 |
E USO
c =(13) e (23) | Xy Yg Za

podremos poner dicha igualdad en la forma

C
| a a CE

y desarrollando y reduciendo,

ae? + fb0? + de? — 2bce —adf + /h=0,

Rxv. Acap. Ciencias. —V.—Enero, 1907, 30

Ó bien,

e” PE dd
Fada afd adf

que puede ponerse bajo la forma

a E de O >
Krea, Vid Vad Vaf

qa b? h
— +— 10;
ap a |
ecuación de segundo grado en Si que nos da, para esta
af
cantidad, después de despejada,
e € e 0 O MA ll

Desde luego sabemos que

— 441 —
6

=> === A os n Ep => m2 Emb o = C0s0,,
Vaf VAN) Vía V (22) (33)
b 12
a A A 1- 40
Vad VaDE2) Ni EN

Sólo nos resta conocer el significado del último radical:
para ello hagamos

/ q
EN 1 eE PS AE

h
¿e Ed adf

; ,
sen?0, sen?0,
de donde

da
sen B = Bo ACA AA

sen/, senó.,

Ahora bien; h es una cantidad cualquiera distinta de cero;
y, como en la ecuación del absoluto x? + y? + 22=0, A=1,
podemos hacer h = 1; pero, según las relaciones [36],

2 2 2
sen 0, = da O - DiciaE MEN
Vx, Re A Vx A dea

,

V u2, Ly? Ly?

Á—_ A —__——————— :
Vx, Va Y xs o a
ahora bien:

dar —=(110(22)1(33)=
= (0 YU ER (as Ey? + 2%). (08, +2 42%),

as Ey
e ¿y
.
.

— 442 —

Sustituyendo estos tres valores con el de h = 1, en la ex-
presión de sen f, obtenemos

sen 9 = A EE ETA [41]
Y ur, E Y 12, + V?, $ W?,
que es precisamente el seno del ángulo diedro de arista
(x, y, 22) opuesto al ángulo plano 0,. Sustituyendo, pues,

en [39] los valores que se deducen de [40] y [41], resulta

cosl, = cosf), cos), + sen5, senb. cosf, [42]

que es una consecuencia importante de la identidad de Cay-
ley [24], de la cual no sé haya sido deducida hasta ahora. De
todos modos, la expresión [42] hace aplicables á la geome-
tría angular de la radiación todos los teoremas conocidos en
la trigonometría esférica. Es claro que, mediante un procedi-
miento enteramente correlativo, hubiéramos obtenido un re-
sultado también correlativo para la expresión de uno de los
ángulos diedros en función de los otros dos. No nos deten-
dremos en esta operación, fácil de verificar, prefiriendo dejar
para más adelante el obtener dichos resultados por otro pro-
cedimiento enteramente distinto, y que acabará de comple-
tar la teoría de la métrica angular radiada.

30. Hasta aquí hemos empleado las coordenadas homo-

géneas e e y pa Pu que hemos sometido á las condi-
EEE ww
ciones establecidas en los párrafos 13 y 14. Sabemos, pues,
que ellas nos representan cierta función de las distancias
angulares de dos rayos homólogos de dos haces perspecti-
vos á uno tomado como origen, á condición de que el rayo
común y doble tenga sus dos coordenadas infinitas, y que
las abscisas de cuatro rayos de un haz harmónico satisfagan

á la condición [1] en cada uno de los haces coordenados.

— 443 —

Ahora nos encontramos ya en estado de poder determinar la
forma de dicha función y, por consiguiente, la manera de
construir geométricamente un elemento dado por sus coor-
denadas ó por su ecuación y la significación de los elemen-
tos de referencia.

Para ello determinemos el valor de las coordenadas ho-
mogéneas, haciendo

44 VW = E RV [43]

donde R es una constante arbitraria.

El signo de R?, que pudiera parecer arbitrario, no lo es,
como vamos á demostrar, siendo preciso escoger el signo
positivo, si adoptamos las razones trigonométricas circula-
res, en la expresión de las distancias angulares en función
de las coordenadas, y el signo negativo, si adoptamos las
hiperbólicas.

En efecto; según las expresiones [10], párrato 16,

u=(y, 22221) == 412% 19% 2% —2Y1Y0 21%
V2=(X9 2, —XM1, 22)? =X?92?, + x?,2?%)—2X,X2 2,22 [44]

w? =(X1Y2 —X2J 1)? =X*, Y? 4% Y”, —2X1X2 Y 1 Y,

Expresiones que, sumadas, teniendo en cuenta la [43],
dan

ER?= (8,49% 42%1) 0% +J% 42%) — (01 X2 + Y1Y2 42120)".

De aquí, y de las [34], resulta que el coseno circular ó hi-
perbólico del ángulo formado por

1 Téngase presente que aunque hubiéramos podido poner tam-
bién x? + y? + 22 == r?, como después diremos, no pueden ambas
condiciones verificarse á la vez, porque [43] determina el valor, no
sólo de w, sino también el de z.

sl HA dl

las rectas (x,y,2,) y (x.y.Z.) es | los planos (u, V, W,) y (U,V.W3) es

X1X2 + YiYa + 742»
ViER?+(X,X,+),Y2+2129)*

U, Us + V,V, + W¡Wa
A ia

[45] [46]

31. Escojamos, pues, en primer lugar, para R?, el signo
positivo. La expresión [45] exige que

XX + Y1Y2 + 2172
R

cot 6 = [47]

puesto que, bajo la forma

XiXo +— Vi Vo 7 21%
R

V +( X1Xo + eE 7- 2,2, )

es el coseno necesariamente circular, y no hiperbólico, de un
arco, cuya cotangente, también circular, es igual al nume-
rador.

Fí La distancia angular de un plano (4,, V,, W,), á una recta
(x,, Y,, 21), está dada por

Xy Uy + YY — 21Wy

RVx? => ye+ 21?

gs = arsen [48]

Vese, pues, que la geometría angular de la radiación es
correlativa de la geometría lineal del plano en un espacio de
curvatura constante positiva, ó sea riemanniana, en el caso
en que escogemos el signo positivo para R?. En virtud de
la propiedad

1? + y? + y? = R?,

la radiación tiene una geometría idéntica á la de los circulos
máximos de una esfera euclidiana de radio R, geometría que

LA

puede ser deducida de la radiación, cortando á ésta por una
esfera cuyo vértice esté en su vértice.

32. Si escogemos el signo negativo para R?, la expresión
[45] exige que
Cobhol= O [49]

puesto que bajo la forma

XyXo + Y1Y2 +] 2172
R

VÍ X1X2 + Y1JYo + 21% ) pl
R

es el coseno, necesariamente hipérbolico, y no circular, de
un ángulo, cuya cotangente, también hiperbólica, es igual al
numerador. La distancia angular de un plano (4,, V,, w,) á
una recta (x,, Y,, 7,), está dada en este caso por

Xx, U v Z¡W
os o e Ze

A É < [50]
RVx; ARE

Observemos que la expresión [46] del coseno del ángulo
formado por dos planos, no hace más que cambiar de signo,
y por consiguiente, aun en este caso, los ángulos diedros
pueden seguir viniéndonos dados por sus razones trigono-
métricas circulares.

Por consiguiente, en este segundo caso, un ángulo plano
de un triedro viene dado por la relación

Ch%, = Ch, Ch", + Shd, Sh cos, [51]

sus análogas derivadas y correlativas, que demuestran que
todas las propiedades del plano lobatchefskiano son aplica-
bles á la radiación.

— Me

La propiedad
1? + v + w?= -—R?

hace que la radiación pueda ser comparada á la superficie de
una pseudoesfera euclidiana; y toda la geometría de la ra-
diación, en este segundo sistema, sea correlativa, por corre-
lación del espacio, con la geometría del plano de Lobat-
chefsky; es decir, que la radiación tiene una geometría an-
gular idéntica á la geometría lineal del plano, en un espacio
de curvatura constante negativa, sin que entre esta conclu-
sión y la del número anterior haya la más pequeña contra-
dicción, sino sólo un mero cambio de signo de la constante
arbitraria R?.
33. La hipótesis

aqpy poo TE RI

nos hubiese conducido á otros dos sistemas enteramente co-
rrelativos de los anteriores, donde la hipótesis -;- R? nos
exigiría el uso de las razones trigonométricas circulares para
todas las distancias angulares, confundiéndose (en cuanto ú
esto) con el primero de los dos sistemas que hemos exami-
nado, pero diferenciándose de él en cuanto al valor y signi-
ficado de las coordenadas. La hipótesis — R? exigiría el em-
pleo de las razones trigonométricas circulares para la medida
de los ángulos planos, en función de las coordenadas, y el
de los hiperbólicos para los diedros. Como el uso de todas
estas geometrías nos conduce á resultados equivalentes, nos
contentaremos con usar las dos expuestas en los números
anteriores, que son las que más directamente se prestan á la
interpretación de las conclusiones, sacadas por los geóme-
tras noeuclidianos en los planos de Riemann y de Lobat-
chefsky.

Al sistema de coordenadas absolutas definidas por la pro-

piedad
1 + v4+w = R?

BS RO

lo designaremos con el nombre de sistema esférico; porque
en él, el estudio de la radiación es enteramente parecido al
de las formas constituidas por geodésicas sobre la superficie
de una esfera.

Al sistema definido por la propiedad

1? + v+w = — R?

lo llamaremos sistema pseudoesférico, por la analogía casi
absoluta que presenta con el estudio de las figuras formadas
por geodésicas sobre la superficie de una pseudoesfera.
También podrían designarse con los nombres respectivos de
Riemann y de Lobatchefsky, en memoria de los geómetras
que más han contribuido á preparar el terreno para el esta-
blecimiento de ellas, como geometrías independientes: de la
teoría euclidiana del paralelismo: aunque estos nombres po-
drían engendrar confusiones, porque las geometrías que hoy
en día se designan con estos nombres, aunque ¿idénticas en
la forma á las dos geometrías de la radiación que acabamos
de establecer, son, en realidad, distintas por completo, en
cuanto á la interpretación que dan á las expresiones que en
ellas intervienen, y sería un grave error confundirlas.

De todos modos, no estará demás observar que la geo-
metría angular de la radiación tiene lugar lo mismo en un es-
pacio euclidiano, que en un espacio riemanniano ó lobatchets-
kiano; y esto, cualquiera que sea el valor de la constante
espacial, y que, por consiguiente, debe ser aceptada por to-
dos los metageómetras indistintamente.

EU

DIVERSOS SISTEMAS DE COORDENADAS

34. Consideremos una radiación de vértice O (fig. 2)»
siempre propiamente tal. Si tomamos como abscisa y del
plano A X de uno de los dos haces coordenados X', la razón

— 8

de los senos circulares de los ángulos POUZ y POUY, y
asimismo, tomamos como abscisa x de un plano A Y del haz
de base Y, la razón de los senos circulares de los ángulos
QOVZ y QOVX, el triedro XYZ es el triedro de referencia.
Si es trirrectángulo, las coordenadas absolutas binarias de una
recta son las tangentes de los ángulos que los planos de los

Figura 2.*

haces generadores, que la contienen, forman con las respec-
tivas caras del triedro de referencia, ó las cotangentes de los
que forman con el plano común X Y de los dos haces gene-
radores.

En las coordenadas homogéneas = 2, los planos YZ,

XZ, X Y del triedro de referencia, vienen dados respectiva-
mente por las x =0, y =0,z =0. Como las dos abscisas
del plano X Y son infinitas, este sistema satisface á las exi-
gencias antes pedidas para un sistema de coordenadas.

A A A o e

nn

— 449 —

35. Es fácil, en este sistema, dar una interpretación geo-
métrica á las coordenadas absolutas binarias, tangenciales de
un plano dado por la ecuación

Ax+By>+1=0.

Sabemos que estas coordenadas son precisamente A y B.
Pero, A=— => para y =0, lo que prueba que A es igual
á la razón de los senos de QX y QZ, con el signo negativo.

Asimismo, B=— a para x=0; lo que indica que b

es la razón de los senos de PY á PZ, con signo negativo.
En el caso de un triedro trirrectángulo, las coordenadas tan-
genciales son iguales á las inversas con signo cambiado de
las tangentes de los ángulos que forman las intersecciones
del plano dado con los planos ZX, Z Y, con el eje Z.

36. Coordenadas triédricas.— Si llamamos « á la distan-
cia del plano (u v w) á la recta (x y z), sabemos que, tanto
en el sistema esférico como en el pseudoesférico,

ux HEVIA WE yl
VERVo+y+2

s =af . sen

Sean, pues, tres planos de un triedro de referencia

MS ax +by +cz =0
DAN dx +by+cz=0 » [52]
EA ax+by+cz2=0

y una recta, r, de la radiación cuyas coordenadas sean (x y 2).
Sus distancias á las caras del triedro de referencia vienen
dadas por

— 450 —

sens coo by +ez
"CO VERVE+Y Pz
O ad UVa e 2
eE VER Vx? + y? + 2?
serlo, = ax by + cz

VERVe+y+z

Es claro que, conocidas las posiciones de los elementos
del triedro de referencia, es decir, los coeficientes de las
ecuaciones [52] y los valores de estos senos, queda deter-
minada la posición de r. Pudiéramos, pues, tomar estos senos
por coordenadas, y entonces, una ecuación de primer grado,
en coordenadas triédricas, homogéneas, representaría un
plano, puesto que sustituyendo sus valores en función las
antiguas coordenadas, la ecuación de primer grado seguiría
siéndolo en x, y y 2.

37. Correlativamente, podemos tomar por coordenadas
triédricas de un plano los senos de los ángulos que forman
con él las tres aristas del triedro de referencia, y, en este
sistema, por idéntica razón, toda ecuación de primer grado
representa una recta.

38. Coordenadas triédricas de M. Barbarín.—Si el trie-
dro es trirrectángulo (fig. 3.*), sea la recta OM (x y 2). Sus
coordenadas triédricas de rectas, son:

5 =cosMOB = XX +] YY +] 212
Vx; HO ar” Va + y + 22
¿=cosMOC= X2X + YY + 292

Vitro a Vea

1 =senMOL=cosMOA = - Al Y ls Pd
Vx: +Yg? + Zg? Vx? Py? -z2?

Pero

,
E
,

— 451 —

¿=cos MOB=c0s MOL .cosLOB=c0s MOL cos LAOB
y=cos MOC=c0s MOL .cosLOC=c0s MOL cosLAOC'[53]
¿=cos MOA=senMOL

son las coordenadas triédricas de Mr. Barbarín *, que pre-

A

X,

Figura 3.?

sentan la particularidad siguiente: Si las elevamos al cuadra-
do, y las sumamos, resulta:

EY? + g2=cos* MOL(cos*"LAOB+cos*LAOC—1)+1=1,

puesto que los dos ángulos en OA son complementarios.

1 Etudes de Géométrie Analytique non euclidienne. — Bruxelles,
1900, pág. 16.—Es claro que Mr. Barbarin las usa como coordenadas
ternarias de un punto sobre un plano riemanniano ó lobatchefskiano.

— 452 —

Si en vez de usar las razones trigonométricas circulares,
hubiésemos preferido usar las hiperbólicas, para obtener
la unidad hay que restar del cuadrado de la última la suma
de los cuadrados de las otras dos; es decir, que

Y designando por e la unidad afectada del signo positivo
ó negativo, según que usemos el sistema esférico Ó el pseu-
doesférico, tendremos por relación constante, en cualquier

sistema,
ie (e + 1?) = E:

Presentan estas coordenadas la ventaja de poder tratar,
casi siempre, los dos sistemas al mismo tiempo, sin por eso
confundirlos: y, sobre todo, de prestarse, como veremos, á
una discusión sencillísima de la ecuación general de segundo
grado.

39. Coordenadas polares.—Llamemos e al ángulo AOM
y wal MA OB. En función de estas dos cantidades, podemos
determinar la posición de la recta OM, mediante las rela-
ciones siguientes, que se deducen como caso particular de
la [42], párrafo 28:

¿ = Senp Ccosw

1, = Seno COSw [54]

P = COS
que serán las fórmulas de transformación para pasar de un
sistema á otro.

40. Para pasar de un triedro de referencia, ABC, trian-
gular, á otro también rectangular, A*B*C”, cuyas caras ten-
gan por ecuaciones

ax+by+cz=0
Ax+ by +cz=0
aAMx+by+<cz=0,

ea YN
eS >

Y II ER A A SAI AI A ISA AO
DA A A O ES UIT | y

— 453 —

tenemos las condiciones

ad +bb+cco=0
ad” +bb" + cc" =0
da” +00" +cc"=0
+04 (2=TtR?
a+ 074 C?=TER?
a?r+b?+O?=+HR?

[55]

y, por consiguiente, podemos disponer de tres de los nueve
parámetros. Existen, pues, tres cantidades, que definen com-
pletamente una rotación cualquiera de un triedro trirrectán-
gulo alrededor del vértice de la radiación, conclusión idén-

tica á la de Euler.
(Concluirá.)

Concurso internacional de sismómetros.

La Comisión permanente de la Asociación Internacional de
Sismología ha encargado, á la Oficina central de la misma,
el organizar un Concurso para la construcción de un sismó-
metro, destinado á indicar los temblores de tierra próximos.

El aparato debe cumplir las siguientes condiciones:

Registrar los movimientos horizontales y verticales de los
temblores de tierra próximos.

Ser todo lo más sencillo posible.

Amplificar á lo menos 40 ó 50 veces los movimientos te-
rrestres.

El precio del aparato, comprendido todo el mecanismo
registrador, ha de ser poco elevado: unos 300 marcos.

Los premios del concurso son: 1.000 marcos, 500 marcos
y 300 marcos.

— 454 —

Los aparatos se remitirán, antes de 1.” de Septiembre
de 1907 y por cuenta y riesgo de los inventores, al Vicepre-
sidente (M. le Directeur, Dr. J. P. Van der Stok en De BiLT,
Países Bajos), para que sean expuestos cuando se reúna la
Asamblea general en El Haya, á mediados del próximo mes
de Septiembre.

De juzgar los aparatos con arreglo á su funcionamiento,
está encargada la Oficina central de Estrasburgo.

Un Jurado compuesto de cinco sismólogos designados por
la Comisión permanente, hará las calificaciones, que se pu-
blicarán en las Pascuas de 1908.

Para más pormenores, dirigirse al Sr. Gerland, Director
de la Oficina central (Strarsburg i E Schwarzwaldstrasse,
10- ALSACIA).

7

y
OR)
pa:
AS

= a e pa paa

XVII —Elementos de la teoría de E elasti cidad, por José E o
garay . pre

ee | A qe —Estudios de Sintesis mineral, por José Rodriguez a

o e oo

E de E superpuestas, de igual espesor, normales al
: eje, teniendo intercaladas láminas de mica de Mas a
8/4 6 1/g ), por Esteban NA

e XXI.—Ensayo de Geometría analítica nocuctidiana, Le el
Sr eN P. José A. Pérez del Pulgar, S. TÍ nn

La oblorisaión á 0 REVISTA se es por tomos complet
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 fran
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, valle de Y al

A verde, núm. 26, Madrid.
Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas.

el AR
REVISTA

DE LA

REAL ACADEMIA DE CIENCIAS

EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

DE

MADRID

TOMO V.-NUÚM. 8.
(Febrero de 1907.)

MADRID

IMPRENTA DE LA "GACETA DE MADRID,,
z PONTEJOS, NÚM. 8.

1907

ADVERTENCIA

7 ,

E : se han de entregar ompieuis en la Secreta
la Corporación, antes del día 20 de cada

, 3 mes siguiente.

— 455 —

XXIL. —Elementos de la teoria de la elasticidad. |

Por JosÉ ECHEGARAY.

Conferencia segunda,
SEÑORES:

Difícil es definir con exactitud y claridad un objeto ó un
concepto que nos sea de todo punto desconocido; despertar
en nuestra conciencia, mejor dicho, llevar á ella lo que en
ella no estaba de antemano ; aumentar, en suma, su caudal y
su contenido.

Pero no es mucho más fácil definir cosas y seres, que nos
son familiares; y cuanto más familiares más difícil será la
definición.

Por ejemplo: ¿cómo definiremos el tiempo ó el espacio?

Y sin embargo, todo el mundo sabe lo que son ambos
conceptos; y si la palabra saber no parece propia, digamos
que ¿quién no los siente? ¿quién no se siente en el espacio
y en el tiempo?

Si decimos como algunos filósofos que el espacio es la
forma del coexistir y que el tiempo es la forma del mudar,
ambas definiciones podrán ser buenas ó malas, no las discu-
timos; pero si ambas ideas no existiesen ya en nosotros,
dudo que las adquiriéramos por fuerza y virtud de una ú
otra definición.

Por eso encontramos difícil empezar cualquier materia,
dando unas cuantas definiciones previas, como no sea cuando
se trate de asuntos de pura ciencia matemática, en que ya
muchas veces, no siempre, la definición puede ser clara y
rigurosa. Pero no tratamos de las matemáticas puras, sino

Rev. Acap. Criencias.—V.—Febrero, 1907. 31

A

de la Física matemática, que es ciencia mixta, si vale la pa-
labra.

Todo el mundo sabe lo que es la elasticidad, la práctica
de la vida nos lo enseña: la elasticidad de un resorte, la
elasticidad de un puente de hierro, la elasticidad de una
masa de gas son para nosotros ideas familiares. Una masa,
un sistema, que bajo la acción de determinados esfuerzos ,
cambia de forma, y que cuando los esfuerzos cesan, vuelve
á recobrar la forma primitiva, es un concepto bastante claro.

Pero aquí hay dos puntos que considerar. Cuando una
fuerza Ó varias se aplican á un sistema material, dos casos,
en efecto, pueden ocurrir al cesar los esfuerzos; ú diremos
mejor, al cesar lentamente, para que no se complique el pro-
blema del equilibrio con el problema del movimiento ó de las
vibraciones: 1.” Que el sistema tienda á recobrar su forma
primitiva, pero que no la recobre por completo, quedándose
en otra forma de equilibrio distinta de aquélla. Entonces el
sistema no será perfectamente elástico; será, por ejemplo,
viscoso, Ó pastoso, Ó de alguna forma especial, que no he-
mos de estudiar en este curso. 2.” Que el sistema vuelva
exactamente á su primera forma al cesar las acciones que
sobre él se ejercieron. En este caso se dice que el sistema es
perfectamente elástico.

Pues bien; la Teoría de la elasticidad se ocupa en estudiar
ias relaciones entre los esfuerzos aplicados á un sistema ma-
terial y las deformaciones que producen.

Este es el problema general de la Elasticidad.

Mas la Elasticidad, como la Mecánica, tiene dos partes:
la parte estática y la parte dinámica; la elasticidad del equi-
librio y la elasticidad del movimiento.

1. Las deformaciones, y así lo demuestra la experiencia,
tienden á oponerse á las fuerzas que las determinan, por el
desarrollo de fuerzas internas contrarias á los esfuerzos de
deformación: y puede llegar un caso, al menos en teoría, en
que estas fuerzas internas, Ó fuerzas elásticas, equilibren

— 457 —

las fuerzas deformantes, y el sistema venga á un estado
perfecto de equilibrio entre unas y otras fuerzas.

Este problema pertenece á lo que hemos llamado el equi-
librio de elasticidad.

2.” O puede suceder, que todos los puntos del sistema
vibren, ó se muevan, en general, bajo la acción de las fuer-
zas internas y de las fuerzas deformantes, como le sucede
á la cuerda de un violín, á un diapasón, Ó á sistemas más
complejos, como un puente de acero.

Tales problemas están comprendidos en la segunda parte
de la Teoría de la elasticidad, á la que hemos llamado ó po-
demos llamar «Dinámica de la Elasticidad ».

En la teoría general de la elasticidad, todavía hemos de
distinguir dos casos; y esta es una nueva división:

1. Cuando las deformaciones son infinitamente peque-
ñas, es decir, cuando cada punto, bajo la acción de las fuer-
zas deformantes, se separa infinitamente poco de su posi-
ción primitiva; y este es el caso que por lo común se consi-
dera, porque es relativamente el más sencillo, aun cuando
sus dificultades, como veremos luego, sean casi siempre
enormes. |

2. Cuando las deformaciones son infinitas, lo cual cons-
tituye una teoría de la elasticidad mucho más difícil que la
primera, y que recientemente ha sido estudiada por varios
matemáticos, sobre todo por Mr. Duhen en una obra de
que daremos cuenta á su tiempo.

Por último, como en rigor tratamos de un problema de
Fisica matemática, y el punto de partida de todos estos pro-
blemas, como decíamos en el curso anterior, es siempre una
hipótesis, advertiremos que aquí, en rigor, pudieran estable-
cerse dos: ó bien admitir la continuidad de la materia, ó su-

Lo aa

poner que los cuerpos están divididos en elementos infini-

tamente pequeños, es decir, en átomos ó en partículas, en-
lazadas unas á otras por fuezas internas. |

A primera vista, parece que esta última hipótesis es la
que más se adapta á la experiencia, ya sean estas fuerzas
internas, acciones á distancia, ya acciones transmitidas por
algún flúido, que se extienda entre unas y otras partículas.

En cambio, la continuidad es la que más se acomoda al
cálculo matemático, porque permite substituir á las sumas,
las integrales, y porque la continuidad, cuando se trata de
un número inmenso de puntos, es la que más simplifica las
operaciones; bien es verdad que á veces á costa de la rea-
lidad.

La hipótesis de la continuidad es una especie de inter-
polación entre términos discretos de series de tres dimen-
siones.

Poisson y el mismo Lamé se preocuparon mucho de este
problema y aunque después algo se ha prescindido de él,
en obras, por otra parte de gran mérito, bien pudiéramos
decir que él se venga, cuando al fin de los cálculos presenta
dificultades sobre la continuidad de algunas derivadas.

Pero no anticipemos las ídeas; contentémonos con recor-
dar, que en forma elemental, no diré que tratásemos, pero
sí que apuntamos estas dificultades en la conferencia 5.* del
curso anterior, al substituir á una serie discreta de puntos
materiales una continuidad de puntos, y analíticamente, á
una serie de ecuaciones en diferenciales simultáneas, una
sola ecuación en diferenciales ó derivadas parciales.

Pudimos hacer esto simplificando el programa; pero fué
prescindiendo del equilibrio de los puntos extremos, dificul-
tad que veremos surgir en el caso general al tratar de las
ecuaciones de los límites.

— 459 —

Vamos, pues, á empezar el estudio de la Teoría de la elas-
ticidad en el caso de deformaciones infinitamente pequeñas,
ya respecto al equilibrio, ya respecto á la cuestión dinámica;
y uno y otro problema, el estático y el dinámico, ó bien para
sistemas indefinidos, ó bien para sistemas limitados.

La Teoría de la elasticidad puede estudiarse de diversas
maneras y por diversos métodos: lo decíamos en la confe-
rencia anterior; y para entendernos, dábamos nombres á estos
diversos métodos, escogiendo los de autores insignes.

Asi anunciábamos, que estudiaríamos la teoría de la elas-
ticidad:

1.2 Por el método de Cauchy.

12. Por el método de Lamé:

3.” Por el método de Poincaré.

4.7 Por los métodos de la Termodinámica.

Y podemos agregar:

5. Que terminaremos el estudio de la Elasticidad por el
caso de deformaciones finitas, según Duhen.

Claro es que no pretendemos hacer un estudio completo
de esta inmensa teoría, á que insignes autores han consa-
grado obras voluminosas é importantisimas memorias y es-
tudios, y que al fin y al cabo, palpita, por decirlo de este
modo, en la Teoría de la luz, en la Termodinámica, y en las
modernas teorías de la electricidad, aunque en estas últimas
se trate de una elasticidad especialísima: la del éter y la de
los medios dieléctricos.

Así es que á todas las anteriores subdivisiones de la Teo-
ría de la elasticidad, pudiéramos agregar otra más, á saber:

1.2 La elasticidad de los cuerpos ponderables, que es la
elasticidad clásica.

2.” La elasticidad del éter ó elasticidad eléctrica.

Y no pretendemos, volvemos á repetirlo, hacer una ex-
posición completa de dichas teorías; toda una vida sería in-
suficiente, por lo menos sería insuficiente la mía, para tal
empresa.

o A

Sólo aspiramos á dar ciertas nociones, que sirvan como
de preparación, al estudio de las obras y memorias especia-
les, sobre la materia.

Empecemos, pues, por la primera de las cuatro partes
que antes indicábamos, á saber:

Teoría de la elasticidad según el método de Cauchy.

El ilustre autor supone que el sistema elástico que se
considera, se compone de una serie de moléculas, puntos ó
partículas ponderables, á pequeñísimas distancias unas de
otras, pero de dimensiones infinitamente pequeñas compa-
radas con estas distancias.

Entre cada dos de dichos puntos, m y m/', se supone que
existen fuerzas centrales, es decir, que van de punto á pun-
to, cuya intensidad depende del producto de las masas m
y mí y de una función de la distancia, f (r), que es la que
llamábamos en una conferencia del año anterior, función de
Saint-Venant.

Esta función es continua, sus derivadas son continuas tam-
bién; cuando r es suficientemente pequeña, f es negativa, es
decir, representa una repulsión; luego pasa por una posición
de equilibrio reduciéndose á cero; después es positiva y de-
crece al fin, hasta ser despreciable cuando sigue creciendo +.

Precisamente por esta propiedad de f de poder represen-
tar atracciones y repulsiones, el sistema es elástico, y existe
un equilibrio de elasticidad.

Si siempre representase una atracción, los puntos se apro-
ximarían constantemente; ¿hasta cuándo?

Si, por el contrario, siempre representase una repulsión,
el sistema tendería á difundirse en el espacio, como sucede
con los gases ¿hasta dónde?

Se admite, además, en el caso general, que sobre cada
punto mm puede actuar una fuerza ó resultante exterior, por

— 461 —

ejemplo, la acción de la gravedad: todos los puntos m,m/,...
tendrán, en efecto, un peso.

Por último, si el sistema está envuelto en una superficie
límite, en cada punto de esta superficie actuará en general
una fuerza exterior.

Esta fuerza podrá representar la acción del medio am-
biente sobre el sistema, y, en un caso cualquiera, será obli-
cua respecto á la superficie; pero si no existe ni rozamiento,
ni viscosidad, ni adherencia, ni ninguna acción análoga, la
expresada fuerza será normal á dicha superficie.

Sobre estas acciones en las superficies límites, precisare-
mos las ideas más adelante.

En la figura 4.* hemos representado cuanto acabamos de

LA

Só
Y
Figura 4.?

indicar. A saber: un sistema V limitado por la superficie S,
y comprendiendo un número inmenso de puntos m,m',m'”.....
Cada dos puntos m y m' están enlazados por la fuerza f refe-
rida á la unidad de masa, fuerza que podrá ser atractiva ó
repulsiva, según sea la distancia mm.

Sobre cada punto m,m'm'”..... actúa una fuerza exterior
F...... también referidas estas fuerzas á la unidad de masa.

En cada punto a de la superficie obra una fuerza P, refe-

— 462 —

rida á la unidad de superficie, que si tiende á introducir el
punto a en V será una presión, y si tiende á separarlo será
una tensión.

Por virtud de las fuerzas F, f y P el sistema se deforma
hasta llegar á una situación de equilibrio; de modo, que cada
punto del sistema, por ejemplo, m, no ocupará la posición
que ocupaba al principio: así m habrá tomado la posición m,,
determinando un desplazamiento elástico mm, que supone-
mos infinitamente pequeño, y además ¿infinitamente pequeño
respecto á cualquiera de las distancias mm? Ya lo veremos.

El problema de la elasticidad se puede ahora definir mate-
máticamente en los dos casos, el del equilibrio, ó el del mo-
vimiento.

Los datos son: 1.*, V, es decir, un conjunto de masas en
determinadas posiciones, que dependerán de la estructura del
cuerpo; 2.”, la ley de las fuerzas internas f, es decir, la fun-
ción f(r); 3.”, las fuerzas exteriores F y los esfuerzos sobre
la superficie límite P, que si el sistema es indefinido, total
ó parcialmente, es decir, en una dirección ó en todas, des-
aparecerán en todo ó en parte.

Estos son los datos.

Las incógnitas serán las siguientes:

1.2 Si se trata de un problema de equilibrio, dichas in-
cógnitas serán los desplazamientos, tales como mm,, cuyas
componentes paralelas á los ejes, representaremos por
Uu, V, W; y para resolver el problema será preciso determi-
nar 4, V, W, para cada punto en función de las coordenadas
x, y, z de dicho punto.

De suerte que el problema del equilibrio elástico estará re-
suelto, cuando tengamos tres funciones, que nos den los va-
lores de u, v, w para cada punto del sistema, ó sea:

ia (Xy, 2),
v=P ER y, 5 Y
WEY, 2),

— 463 —

En rigor, hay otras incógnitas, por decirlo así comple-
mentarias, á saber: las presiones ó tensiones interiores;
pero el estudio de éstas más bien corresponde á los métodos
de Lamé y Poincaré.

En el sistema de Cauchy pueden también establecerse y
se deducen y las deduciremos de u, v, w, pero son más fun-
damentales en los otros métodos. y

2.” Si se trata de un problema de Dinámica elástica, los
datos serán los mismos; sin embargo, habría que agregar el
estado dinámico inicial, ó sea los desplazamientos iniciales
de los puntos para £ = 0 y las velocidades también iniciales.

En todo caso, las incógnitas son las mismas, u, V, W, pero
entra una variable independiente más, el tiempo t.

Por tanto, resolver el problema de los movimientos elás:
ticos, es determinar u, v, w, en función de las coordenadas y
del tiempo. Y así, resuelto que sea el problema, tendremos-

EE Y
v= B, ES y, Z, uh
W=Yyi 0d:

Por medio de estas ecuaciones será dado conocer en cada
instante t y para cada punto (x, y, z) cuáles son los despla-
zamientos (u, v, w) de este punto, qué velocidad y qué tuer-
za aceleratriz posea en ese instante; y hasta eliminando el
tiempo entre cada dos ecuaciones podremos determinar las
de la trayectoria, tomando por coordenadas u, v, w, y refi-
riendo dichas coordenadas á tres ejes paralelos á los ejes x,
y, 2, y que pasen por el punto que se considera como
origen.

No habrá para ello más que substituir después, en vez de
x, y, z sus valores para el punto en el instante inicial, valo-
res que serán las constantes de la trayectoria.

En estos problemas están comprendidos, en rigor, los pro-

A
, e
o , x
»
'

En A

blemas de la Acústica, la Teoría clásica de la luz y, en ge-
neral, la Teoría de los movimientos vibratorios. Dicha teoría
fué también la que intentamos aplicar á algunos ejemplos
para la teoría del calor en el curso precedente.

Advirtamos para completar estas nociones preliminares,
que para el equilibrio general del sistema, será preciso que
las fuerzas F..... y P..... satisfagan á las seís ecuaciones del
equilibrio de un cuerpo sólido: las tres componentes totales
y los tres ejes de los pares deben ser cero.

Con las fuerzas interiores f..... no hay que contar, porque,
como son iguales dos á dos, se anulan sus efectos en las
ecuaciones anteriores.

Séannos permitidas todavía algunas observaciones para
completar y aclarar lo que precede.

Respecto á las fuerzas F, ya dijimos en la conferencia an-
terior que, por ahora, supondremos que son el resultado de
atracciones entre masas ponderables; si fueran atracciones
eléctricas ó magnéticas, deberíamos hacer de ellas un estudio
especial.

El tipo de estas fuerzas FF es el de la gravedad; y claro es
que en este caso, como para todas las fuerzas centrales»
dichas fuerzas F tienen una función de fuerzas: es decir, que
sus componentes son las derivadas, con relación á x, y, 2,
de una función de estas tres variables.

Respecto á las fuerzas f, ya hemos dicho, que así el méto-
do de Cauchy, como casi toda la Física matemática clásica,
supone que son fuerzas centrales, que van de punto á punto
en la recta que los une; y también dijimos que esta hipótesis
es un tanto aventurada y que convendría prescindir de ella.
Porque fijemos las ideas y recordemos algo de lo ya ex-
puesto.

Si f (r) puede representar fuerzas atractivas para ciertos

— 465 — '

valores de r, y fuerzas repulsivas para otros valores, es de-
cir, si f puede cambiar de signo, es preciso que en m y m'
entre no sólo el elemento ponderable, ó sea la materia ordi-
naria; porque la materia ponderable, actuando según la hi-
pótesis newtoniana, no puede hacer otra cosa que atraer, y
f tendría siempre el mismo signo.

Los puntos m y m' no pueden, por lo tanto, estar simple-
mente compuestos de materia ponderable: han de tener éter
ó electricidad, Ó algo que en la práctica represente el elemen-
to repulsivo, á fin de que la función de Saint-Venant tenga la
propiedad, que le dábamos en las conferencias del año ante-
rior y que hemos reproducido en la Teorfa de la elasticidad

Podremos suponer, por ejemplo, que cada dos puntos m
y m' (fig. 5) se componen:
de dos núcleos de materia ,
ponderable, a, a”, de forma GO) ( EN
esférica, y de dos atmósfe- a INS
ras eléctricas, b, b”, de forma la
también esférica y concéntri-
cas con las primeras.

En esta hipótesis particularísima, y siendo todo simétrico
alrededor de la recta a a”, será legítimo suponer, que las
fuerzas son centrales y la función f (r) resultará de las atrac-
ciones y repulsiones entre a, b y a, b”.

Una dificultad subsistirá todavía, y es que, si las atraccio-
nes y repulsiones indicadas varían, como se supone en la
Teoría de la electricidad, en razón inversa del cuadrado de
la distancia y siempre se conservan las formas esféricas, no

m

Figura 5.”

podrá existir la función de Saint-Venant; porque L siempre
: 1?

será factor común de todos los términos, y las curvas R y A
(fig. 7, conf. 3.* del curso anterior) no se cortarán. La teoría
sería ilusoria. |

De todas maneras, al cambiar de forma las atmósferas
eléctricas, ya por la aproximación de las dos moléculas, ya

e

por la influencia de las restantes, la hipótesis de las fuerzas
centrales se hace cada vez menos verosímil.

De todas maneras, en los trabajos clásicos de Navier,
Poisson, Lamé, Cauchy y otros ya citados, dificultad es ésta
que no se discute, porque la hipótesis de las fuerzas centra-
les parecía la más natural, y, sin analizarla, se la admitía
como indiscutible, suponiendo ad priori, que todas las accio-
nes eran centrales y que variaban con la distancia.

No insistiremos, pues, sobre este punto por ahora, ni
discutiremos otra hipótesis: la de que el calor represente
la fuerza repulsiva; porque de este modo no se resuelve
la dificultad.

Una última observación sobre las fuerzas P (fig. 4.”), que
actúan en la superficie del sistema, cuando éste no es inde-
finido.

Realmente la distinción entre fuerzas exteriores F y fuer-
zas que actúan sobre la superficie P, es más propia del mé-
todo de Lamé, que del método de Cauchy.

En rigor, decimos, en este último método, ¿que más da
un punto situado en la superficie, que en el interior?

El punto a de masa m., estará sujeto á las acciones de to-
dos los demás puntos del sistema V, y además á la fuerza P»
como mm” está sujeta á la fuerza F.

Así, pues, por ahora, no haremos distinción ninguna en-
tre los puntos interiores y los puntos límites, como no la ha-
cíamos en los ejemplos elementales del curso anterior (con-
ferencias 4.*, 5.* 6.*), cuando estudiábamos el equilibrio ó la
vibración de un sistema compuesto por dos, tres ó más pun-
tos materiales en línea recta. Lo mismo planteábamos las
ecuaciones de equilibrio de los puntos interiores, que las de
los puntos extremos.

Eran distintas, pero todas se contaban para la integfación
del sistema.

— 467 —

Planteemos ahora: Primero: las ecuaciones de equilibrio
de un sistema sujeto á fuerzas interiores y exteriores, es de-
cir, á fuerzas f y F, y por la razón indicada no hablamos de
fuerzas aplicadas á la superficie límite.

Consideremos un punto m, del sistema (fig. 6) y vamos
á establecer sus ecuaciones de equilibrio, que serán tres, re-
lativas á las tres componentes.

Debemos ante todo, fijar las condiciones iniciales de equi-

Figura 6.*

librio; definiendo el estado del sistema antes de que actúen
las fuerzas deformadoras. Y aquí encontramos divergencia
en los autores, porque unos suponen que en el estado de
equilibrio natural todas las fuerzas exteriores F, que actúan
sobre cada punto a, dan para este punto una resultante nu-
la, definiendo precisamente por esta condición, el equilibrio
natural; á diferencia del equilibrio forzado, que resulta de
la aplicación de todas las fuerzas. Es decir, que en el equi-
librio natural el sistema está entregado á sí y á sus fuerzas

MA

internas no más; y aun hay otra distinción importante, que
al tratar del método de Lamé discutiremos.

Mr. Poincaré cree inútiles tales restricciones, y nosotros
seguiremos su opinión por los motivos que explicaremos
más adelante.

Determinaremos, pués, las ecuaciones de equilibrio, supo-
niendo que se parte de un estado inicial en que entran fuer-
zas exteriores.

El punto m, ocupa inicialmente la posición a (fig. 6.*).

Bajo la acción de las fuerzas deformantes viene á ocupar
la posición b; de modo que ab representa su desplaza-
miento.

Otro tanto puede decirse de cualquier otro punto, así a”
sufrirá el desplazamiento a” b' y ocupará la posición 6”.

Y para el equilibrio de m, será preciso, que las tres com-
ponentes sobre el punto b que resulten: 1.” de los esfuerzos
que ejerzan todos los demás puntos del sistema, b”', b”......
sobre m,, y además, 2.”, de las nuevas fuerzas exteriores, F'
será preciso, repetimos, que dichas tres componentes sean
iguales á cero.

Llamando P,, Q,, R, las componentes de la acción de b*
sobre b; y Fx, Fy, F; las componentes de la fuerza total F
que actúa en b, las ecuaciones de equilibrio para el punto b
serán:

P + mp F, =0 |
Q + m,F, =0 (1)
ER + m,¿Fz =0 |

El signo * se refiere á todos los puntos del sistema me-
nos b, para comprender la acción de todos ellos sobre este
último: es decir, á P,, Pa..... Q;, Queco.o Ri, Ro»...

Además advertiremos, que la fuerza exterior FF corres-
pondiente al punto m, que al empezar el desplazamiento ac-

tuaba según F,, al fin del desplazamiento y al llegar al equi-

— 469 —

librio, actuará en b, según F= F,, y paralelamente á F,,
puesto que en la pequeña distancia ab puede suponerse que
conserva su dirección y su magnitud: en último análisis, la
misma fuerza actúa en b que actuaba en a.

Segundo: Las ecuaciones (1) son, pues, las ecuaciones del
equilibrio elástico; las ecuaciones del movimiento serán á su
vez, llamando x, y, z las coordenadas del punto b,

m, o E
A

mo 7 =YQ+msF,
dez

Mo qe =*R+moF:

en las que claro es, que las fuerzas P, Q, R del segundo
miembro no están referidas á la unidad de masa, sino á la
masa efectiva de cada punto; entrarán, pues, en cada tér-
mino uno de los factores M¿M,,M¿M;.....

Ahora bien, en vez de tomar las coordenadas variables del
punto b, á saber: x, y, z, conviene tomar las tres compo-
nentes del desplazamiento ab, que hemos designado por
u, V, W; y como en este caso se tiene evidentemente, siendo
Xo» Yo, Zo, las coordenadas del punto a en el estado inicial de
equilibrio,

X= Xy + U, Y = Yo +1, 2=2 +7 VW,

y por lo tanto,

puesto que X,, Y,, 2, Son las constantes, que definían la si-

— 470 —

tuación inicial de a, las anteriores ecuaciones del movimien-
to elástico del punto b podrán escribirse de este modo:

d?u
mo qe ==Pr mf
d?v ANS
Mo q 0 +myFy (2)
dw
m0 qe =2R+mrF:
+
* *

Podemos estudiar á la vez las ecuaciones (1) del equilibrio
y las (2) del movimiento.

Cada una de las fuerzas P, que, como hemos dicho, es la
componente paralela al eje de las x de la acción, por ejem-
plo, de b' sobre b, será desde luego, llamando p á la distan-
cia bb' (fig. 6).

P= m,m, (2) cos (2, x);

en que f representa la función que, para abreviar, hemos
llamado en el curso anterior, función de Saint-Venant.
Ahora bien; el valor de P depende evidentemente de la
posición de los puntos b y b”, y éstos, á su vez dependen
de la posición de los a, a”, y de los desplazamientos ab
y ab.
- Dichos desplazamientos están definidos cada uno de ellos
por sus tres componentes:

u, V, W para el punto b,

U,, V,, W, para el punto b”.

Así, pues, podremos decir que cada componente P está

— 471 —

definida por una función y de este modo: para la acción de
b' sobre b

Pi= 21 (%Xo> Vos 201 X1> Yi» ZU, Vs W, My, Vi, Wyy Mo; My);

y de igual suerte para la acción de los puntos restantes
A sobre b.

P, Pa (Xo, Yo» 20, 2) Ya, 22, U, V, W, la, Va, Wa, Mo, mo)

P; > Yy (Xo, Yo» 20» X3, Ys» 23, ll, V, W, Uz, Va, Wa, mo, m.)

aaa e 010 0 da

Estudiemos ahora la forma general de +2,, sin perjuicio de
precisarla después con algunas hipótesis respecto á la cons-
titución física y geométrica de cada sistema. Lo que nos im-
porta estudiar es la parte

2P=Yo0,,

que entra en las ecuaciones generales, así del equilibrio
como del movimiento, y que representa para cada punto la
componente total, paralela al eje de las x, de las acciones
de las fuerzas internas sobre b.

Claro es que, en Xy, entrarán todas las componentes de
los desplazamientos de todos los puntos del sistema, puesto

que según vemos los valores de P,, P,, P»..... contienen:
PESA U, V, W, Uy, V,, Wy
O VS WA US Va, Wo
a EUA e, "Vo a

lo cual nos prueba, que si el problema está planteado ana-
liticamente, ya para el equilibrio, ya para el movimiento, la

Rry. Aca. Crexcias.—V.—PFebrero, 1907. 32

— 4712 —

solución analítica sería de todo punto ilusoria para ambos
casos.

Tenemos, en efecto, tantas ecuaciones como incógnitas
MV OPT DA , es decir, 3 n siendo n el número
de puntos, pero este número de puntos es enorme; para
nosotros como si fuera un número infinito: y la inteligencia
humana si comprende teóricamente la solución de un siste-
ma de millones y millones de ecuaciones, en la práctica
choca contra la imposibilidad absoluta de resolverlas.

Es, pues, indispensable transformar el problema y eludir
dificultades, que de frente son insuperables.

Y aquí puede decirse que empieza una serie de simplifica-
ciones.

Simplifiquemos, pues, esta expresión 2P =2* 4, como sim-
plificaremos después de la misma manera * Q y Y R.

La experiencia demuestra, que cuando la distancia entre
dos moléculas pasa de cierto límite, que siempre es muy pe-
queño, la acción entre ambas moléculas, si no es teórica-
mente nula, porque siempre quedará la atracción neutonia-
na, prácticamente puede despreciarse.

De modo que en las Y no hay que tener en cuenta, para
el equilibrio ó el movimiento de cada punto, más que las ac-
ciones de los puntos sumamente próximos al punto m,, com-
prendidos en una esfera cuyo centro sea el punto dado a de
masa m,, y cuyo radio, que se llama radio de actividad mo-
lecular e, tiene un valor pequeñísimo.

El orden de pequeñez de e se ha determinado por las ex-
periencias de Quincke sobre la capilaridad.

Si se estudian estosienómenos en el agua, con un tubo de
cristal recubierto interiormente de una capa finisima de plata,
se observa que dichos fenómenos son fdénticos á los que se
obtienen con un tubo de plata del mismo diámetro desde que

— 473 —

la capa de plata alcanza un espesor de 0'",000054 (Mecá-
nica de Appell).

En cambio, si es menor, se alteran los efectos capilares;
luego evidentemente esta distancia puede considerarse como
la distancia límite de las acciones moleculares.

Vemos, por lo tanto, que el radio e de actividad molecu-
lar se obtiene dividiendo un milímetro en un millón de par-
tes y tomando de éstas 54.

Ya es ésta una simplificación notable de las expresiones
Y, porque en cada punto m,, y para calcular las fuerzas
interiores, que actúan sobre él, basta trazar desde m, como
centro, y con un radio « de cincuenta y cuatro millonésimas

L

Figura 7.?

de milímetro, la esfera de actividad s (fig. 7), y sólo compren-
derá * los puntos que estén dentro de dicha esfera.

Otro tanto puede repetirse para los puntos m,... del siste-
ma; sólo habrá que tener en cuenta para cada uno de ellos,
los puntos que caen dentro de su esfera de actividad: de to-
dos los demás del sistema V puede prescindirse.

— 474 —

La simplificación anterior parece importantísima, pero aun
así las ecuaciones que resultasen serían en número inmenso,
porque todavía dentro de cada esfera de actividad hay mi-
llones de puntos materiales, y además el número de puntos
cuyo equilibrio ha de establecerse es el mismo de antes: to-
dos los de V.

Y sin embargo, esta simplificación es decisiva, porque per-
mitirá desarrollar en serie las funciones que resulten, y per-
mitirá considerar como constantes, dentro de la esfera de ac-
tividad, las derivadas de u, v, w con relación á x, y, 2, como
veremos en breve. Más aún; las fuerzas exteriores podrán
considerarse también como constantes en lo interior de cada
una de dichas esferas de actividad.

Sigamos todavía las simplificaciones.

Una de las P, la que se refiere á dos puntos mm, y m,, por
ejemplo, hemos visto que dependerá de 4, V, W, U,, V,, W,,
pero si se tuviese (fig. 6)

u =U,, V =V,, W= V,,

la acción elástica entre los puntos mm, y m, sería la misma an-
tes y después de la deformación, porque la recta a a” se ha-
bría movido paralelamente á sí misma, ya que ab y a' b' son
iguales y paralelas; y si otro tanto sucede para los demás pun-
tos, realmente no existirá acción elástica nueva, pues la esfe-
rilla de radio e no habrá hecho más que trasladarse toda ella
de una pieza paralelamente á sí misma. Parece natural, se-
oún esto, que las fuerzas elásticas dependan, no de 4, v, w,
ll, , V¡, W;..... aisladamente, sino de sus diferencias

Dl GALAS W —V.

— 475 —

Claro es, que sólo se trata aquí de una presunción ó de
una hipótesis, y no de una demostración, ni de un concepto
evidente; pero téngase en cuenta, que sólo hacemos po
ahora un avance general, y que más tarde procuraremos da:
demostraciones rigurosas, en lo posible.

Con esta nueva simplificación, XP =*9, tomará esta
forma:

Si desarrollamos la función por la serie de Taylor, tendre-
mos, tomando los primeros términos:

EP =Y (a + b, (u, — 4) +0, (v, —v) + ba (w, — w)).

Las a y b dependerán de las coordenadas y las masas.

Ahora bien, u, es el valor del desplazamiento de un punto
-que está dentro de la pequeñísima esfera de actividad, lue-
go será el valor en que se convierta u, dando incrementos
infinitamente pequeños á x, y, z; de suerte que representan-
do estos incrementos por 3x,, 3Y,, 9Z, (diferencias de las
coordenadas de a y a”), que serán infinitamente pequeños,
podemos desarrollar u, por la serie de Taylor, tomando tan
sólo, por ejemplo, los primeros términos.

Y advirtamos, en general, que en esto de las aproxima-
ciones hay algo de arbitrario, como vimos en el curso ante-
rior; y que á veces, para apurar el estudio de ciertos fenó-
menos, hay que acudir á aproximaciones mayores de las que
se aceptaron al principio.

Tendremos, pues:

du, E A CAANs ÓN

Pi == MD 0X O a OZ
1 | 3 ra JETA 0 En
IT den d?u d?u du
a 0x? dy? 02242 9x0
a a

que para abreviar la escritura, escribiremos de este modo:

y Ue 3? PU sx 290 EL gray |
dx 2 dx dxdx

extendiéndose cada * á las tres variables x, y, 2
Recordaremos ahora, que en la serie de Taylor los coefi-

cientes se refieren al punto inicial, de modo que para todos

los puntos de la esfera de actividad, es decir, para m',, m”.,,

m'”...... las derivadas de u tendrán el mismo valor respectivo,

el de m,, y podremos más adelante sacarlas fuera del signo 2.
Del mismo modo, obtendremos:

dv MS eo d?
A E a A A Y 0x0
A a O y |
y
dw dew d2aw
wW=w+Y — 8x Y. —— 7 e 5x0
E o E 5 al dx E dxdy y |

y substituyendo los valores de 4, — 4, V, — V y W, — w en
el valor de XP, sacando las derivadas fuera del signo 2,
como antes decíamos, y representando por A, B, C, coefi-
cientes que dependerán para el punto m, de Xo, Yo, Zo, de
todas las masas comprendidas en la esfera de actividad de
moy y de todas las 0, tendremos:

ob B” d*u C, d*u +0 du Or d?u
dy? dz? dxdy dxdz

h
A
A,
i
Fe

— 417 —

dv dv dv d?y d?y
A, — +A, — +A, —-+B, E > pe
O A
E E a E
az” dxdy dxdy dydz
dw dw dw d?w d?w
A =— +A — +4." — +B, —— +B
7 "dx OR OR A PT
d?w d?w d?w d?w
CE - Lg Ca
pS dz? FA dxdy q dxdy Aa dydz
Ó, abreviadamente,
du bs d?u d?u
NP=Ya LXYA—— +YEXYXB —— (IPR
E dx y dx? Tas dxd

en que una 2% se refiere á x, y, z, y la otra, á u,v, w.

En una palabra, el segundo miembro es un polinomio li-
neal de las derivadas de primero y segundo orden de u, v, w,
con relación á x, y, z, todas referidas al centro de la esfera
de actividad.

Como si no hubiera deformación y, por lo tanto, u, V, w
fuesen cero, y también las nuevas fuerzas FF, la primera
ecuación de equilibrio (1)

se reduciría á

24a=0,

y lo mismo puede repetirse para las otras dos ecuaciones;
resulta que pueden suprimirse La y los dos análogos.

En resumen, las ecuaciones de equilibrio del punto m.,
podrían ponerse bajo esta forma:

YY A = +15B oe +22 € an + moFx =0,
SEA), 718) y
|
+ EX(O), a Jia Fa O)
E
DEA) TL (8),
o e + maF,=0,

y las ecuaciones del movimiento elástico se presentarían bajo
la misma forma, agregando á los primeros miembros,

d?u d?v d?w
o AA .
dt? dt? df?

Todas estas ecuaciones que parecen complicadas, en el
fondo son extraordinariamente sencillas.

En efecto, las ecuaciones de equilibrio son polinomios li-
neales de las derivadas de u, v, w de primero y segundo
orden respecto á x, y, 2; y los coeficientes dependen, como
hemos dicho, de Xo, Yo, Zo, además de todas las masas
comprendidas en la esfera de actividad, y, por último, de
0X, 0y, 02, para todos los puntos de la esfera de radio +.

A estos polinomios hay que agregar: para la primera
ecuación, mM, Fx; para la segunda, m,Fy; para la tercera,
mo F¿, é igualar á cero estos tres resultados.

La misma forma tienen las ecuaciones del movimiento, sin
más que sumar á las anteriores, como antes decíamos, las
fuerzas de inercia.

— 479 —

Todo este análisis elemental no tiene otro objeto, que ha-
cer comprender á mis oyentes la marcha general de estos
problemas y cuál es la primera simplificación, que se in-
troduce en esta Teoría de la elasticidad, y que la hace posi-
ble; pues de otro modo no podríamos resolver ninguno de
sus problemas.

Esta simplificación, que es la que hemos efectuado, con-
siste en substituir á las ecuaciones primitivas, que son
las que se obtienen aplicando á los puntos libres las ecua-
ciones generales de la Mecánica, que para el equilibrio son
ecuaciones en términos finitos de u, V, w, y para el caso
general, es decir, para el caso del movimiento, constituyen
ecuaciones diferenciales simultáneas, con un número enor-
me de funciones 4, V, w....., es decir, tantos grupos como
puntos, y una sola variable independiente, t; consiste dicha
simplificación, repetimos, en substituir á estas ecuaciones
otras en diferenciales ó derivadas parciales reducidas á tres
ecuaciones.

Todos estos son pormenores triviales seguramente, pero
necesarios, á mi entender, para orientar á los principiantes.

En la conferencia próxima desarrollaremos todavía todas
estas ideas.

XXIII. —Estudios de sintesis mineral.
Por JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO.

Insistiendo acerca de las condiciones de formación de va-
rios minerales por vía sintética, quiero ocuparme en al-
gunos experimentos relativos á la reproducción del tungs-

.

tato de calcio ó scheelita natural, que constituyen métodos

— 480 — .

ya conocidos, algo modificados en la práctica. Se trata del
cuerpo definido WO, Ca, para el cual tuve como punto de
partida el volfram, ó tungstato de hierro y manganeso
WO,(Fe.Mn), y los ensayos efectuados concretáronse á es-
tos puntos: transformación del volfram en tungstato de sodio
WO, Na,; preparación del aníhdrido túngstico puro WO;
producción del volfram más ó menos rico de manganeso
hasta la total eliminación del hierro, procurando obtener de
continuo productos cristalizados lo más semejantes posible á
los naturales. Aunque suele ser el estaño, en forma de casi-
terita, el obligado compañero del volfram, el que utilicé es-
taba exento de aquella impureza, aunque contenía otras que
luego hallé en el ácido túngstico, y fué largo trabajo el se-
pararlas enteramente hasta conseguirlo muy puro, para que
así resultasen luego sus sales, en especial la de sodio, pri-
mera materia en la reproducción de la scheelita.

Bien conocidos están, y se practican á menudo, distintos
métodos analíticos para determinar, en forma de anhídrido
túngstico, el tungstenio contenido en el volfram, y uno de es-
tos procedimientos, modificación de los clásicos de Weelher,
es el que he adoptado. Reducido el mineral á polvo finisimo,
agrégasele 10 por 100 de nitrato de sodio, y la mezcla se
echa, por pequeñas porciones, en un baño de carbonato de
sodio fundido (200 gr. para 150 de volfram), y cuando toda
ia masa está líquida, viértese sobre un piedra, y estando
fría, se trata con agua que disuelve la sal sódica formada,
la cual se purifica mediante cristalizaciones reiteradas. Luego
es descompuesta con ácido clorhídrico en exceso; se precipi-
ta el anhídrido túngstico, que después de recogido, lavado y
secado, es transformado en sal amónica; se evapora á se-
quedad y se calcina al rojo para descomponerla; de nuevo el
residuo es disuelto en amoníaco y la sal resultante descom-
puesta, repitiendo la operación hasta cuatro veces, y así se
logra el anhidrido túngstico puro, con el cual, por vía direc-
ta, se obtiene el tungstato de sodio, y éste, el mismo anhí-

a
PA e
ll + de a de di A

— 481 —

drido, y, en ciertos métodos, el propio volfram, pueden ser
los generadores de la scheelita, en particular tratando de lle-
var á cabo su síntesis apelando á las reacciones á elevada
temperatura.

Muy sencillo es el método, bastante general, que utilizó
Manross, aprovechando las acciones especiales de los cloru-
ros fundidos para esta doble descomposición, cuyos resul-
tados mejoran agregando exceso de cloruro de sodio:

WO, Na, =- Cl, Ca=2 CINa+ WO, Ca.

Obtuve excelentzs resultados operando como sigue: 50 gr. de
tungstato sódico se mezclan con 100 gr. de sal común fun-
dida, y la mezcla, bien pulverizada, se proyecta en un baño
de 200 gr. de cloruro de calcio fundido; se mantiene la tem-
peratura del rojo por tres horas en el crisol tapado, seguidas
de lento enfriamiento; la masa resultante es tratada con agua
y quedan insolubles los cristales octaédricos cuadráticos de
tungstato de calcio, que de nuevo son sometidos á la acción
de un baño fundido de cloruro de calcio y cloruro de sodio
á partes iguales; de 50 gr. de WO, Na, conseguí 47 gra-
mos 76 de WO, Ca, poco menos del rendimiento teórico,
y debo aquí notar las ventajas que resultan de hacer in-
tervenir el cloruro de sodio, ya señaladas por Genther y
Forsberg de modo algo diferente, y que en 1879 utilizó Mi-
chel al repetir el método; el medio así constituido, en el que
hay vapor de los dos cloruros, sobre todo de sodio, es, sin
duda, grandemente favorable á la constitución del estado
cristalino de la materia del tungstato de calcio.

Considero prueba evidente de lo dicho el sistema que
adoptó Debray para conseguirlo, partiendo del mismo cuer-
po amorfo; mezclábalo con cal, y calentando al rojo, hacía
actuar gas ácido clorhídrico, puro y seco, en corriente mo-
derada y constante; la masa resultante, tratada con agua, de-
jaba por residuo scheelita cristalizada. Empleando 25 gs. de

HA

tungstato de calcio y 5 de cal viva, sosteniendo el calor rojo
y la corriente lenta y uniforme de ácido clorhídrico hasta
cerca del enfriamiento, la cristalización es regular y abun-
dante, y sin que entre en ella para nada el tungstato, se
efectúa una reacción química, originaria de un medio cloru-
rante, en extremo adecuado para la formación de cristales
ejerciendo de fundente, y que interpreto así:

WO,Ca+ OCa+2CIH=Cl,Ca + 0H,+ WO, Ca(cristalizado)

y aparte las dobles descomposiciones, también se constitu-
ye una atmósfera de cloruros en vapor al transformarse el
volfram en scheelita, con sólo someterlo á las acciones del
cloruro de calcio fundido, las cuales, como antes, he visto
facilitadas agregando esta vez sólo 5 por 100 de cloruro de
sodio; la reacción es bastante más complicada y acaso se
produzcan los cloruros de hierro y de manganeso, volátiles,
á lo menos en parte, á la temperatura del rojo que exige el
experimento, practicable en un buen crisol, donde se funde el
cloruro de calcio, agregándole el voltram pulverizado.

No es difícil llegar desde el tungstato de sodio al volfram,
realizando con aquel cuerpo y los cloruros ferroso y manga-
noso anhidros los cambios que aquí se representan:

WO,Na, + Cl,Fe + Cl,Mn = WO, (Fe.Mn) + 2CINa;

y es de advertir que semejantes transformaciones sólo son
posibles en presencia del cloruro de sodio en calidad de me-
dio y fundente apropiado. Se comprende asimismo que, au-
mentando ó disminuyendo las proporciones relativas de los
dos cloruros, se cambie la composición del producto resul-
tante, teniendo por límites el tungstato ferroso Ó el manga-
noso, según los casos. También es punto de partida en este
linaje de síntesis el anhídrido túngstico, y citaré á tal propó-
sito un experimento de Debray, que data de 1862, y es sólo

— 483 —

aplicación de sus habituales procedimientos: consiste en so-
meter á las acciones del gas ácido clorhídrico seco una mez-
cla del dicho anhídrido y óxido de hierro, operando en tubo
de porcelana y á la temperatura del rojo; se genera un tungs-
tato de hierro y son productos secundarios constantes el
óxido magnético y el cloruro de hierro, volátil en las condi-
ciones del ensayo.

Desde luego se advierte el carácter reversible de las reac-
ciones mencionadas, cuyo conjunto forma un verdadero ci-
clo de transformaciones químicas; su principio ó punto ini-
cial es el tungstato de hierro y manganeso y en el volfram
vienen á terminar, pasando por una serie de estados espe-
ciales, en los que se forman el tungstato de sodio, el tungs-
tato de calcio representado por la scheelita y el propio an-
hidrido túngstico. Acusan los hechos apuntados, referibles á
la función ácida del tungstenio, que sus combinaciones de
este género no son de estructura compleja, aunque sí bas-
tante fija, en cuanto permanece después de experimentar di-
versas substituciones; pues á ellas queda reducido todo el
mecanismo de los cambios descritos, y no son ciertamente
los únicos del género, que es dilatada la serie de los tungs-
tatos metálicos y algunos término obligado para aislar su
generador y aun otros compuestos oxigenados que no par-
ticipan de las mismas funciones. Sin duda que el medio en
el cual han de formarse, las condiciones de su producción y
las de los sistemas que reaccionan, son partes muy princi-
pales para que aquéllas se determinen con su variabilidad
característica, y en su peculiar contingencia influirán, de se-
guro, los medios de modificar la estructura y el estado de
las masas, sobre todo en punto á lo térmico, ya que del ca-
lor depende al cabo el que las transformaciones resulten
completas ó incompletas.

Otra circunstancia parece intervenir en estos fenómenos
observados en los diversos compuestos de un mismo metal,
y es la constante que llamamos peso atómico. Cuanto más

— 484 —

elevado, mejor se prestan los cuerpos simples á los cambios
funcionales, que permiten asignar, según los casos, propie-
dades de anión ó de catión á metales como el tungstenio,
(183,6), el uranio (239), el platino (194,4), el oro (196,6), el
plomo (206,4) y aun el mercurio (200), cuyos cuerpos tie-
nen la especialidad de unirse á varios, ya solos, ya constitu-
yendo sistemas binarios, para originar á la continua molécu-
las complejas de carácter ácido, estables, definidas y capa-
ces de producir combinaciones salinas, otras conjugadas y
algunas en las que son patentes las condensaciones y no
raro el fenómeno de disociaciones internas, por las cuales no
se manifiestan los caracteres de la función ácida, según
acontece en determinados compuestos de cromo ó se pro-
ducen constantes anómalas, sin relaciones manifiestas con el
metal generador, y así no puede decirse que representen
equilibrios límites definitivos.

En tales caminos, sin acudir á hipótesis nuevas, aplicando
lo sabido respecto de los cuerpos simples que tienen funcio-
nes variables y de los estados alotrópicos que presentan,
algo pudiera indicar, con las mayores reservas, tocante á
ellas. No hay error en asegurar que todos los metales pue- *
den ser coloides, dependiendo el aislarios en semejante
forma de los métodos empleados para conseguirlo, y vale
decir que son precisamente los de mayor peso atómico y los
que tienen diversas funciones, los que mejor se prestan á
adquirirla más ó menos estable; por donde venimos á parar
en admitirlos así como solubles Ó semisolubles en el agua,
conforme pueden serlo algunos hidratos de aluminio, hie-
rro Ó cromo. Resulta también de muchos experimentos,
hasta ser ahora tenida como propiedad general, el conside-
rable aumento de la energía y actividad de los metales,
aun de los más inertes, cuando proceden de la reducción de
sus óxidos, efectuada á temperatura poco elevada, en cuyo
caso manifiestan sus aptitudes no sólo uniéndose á cuerpos
con los cuales de ninguna distinta manera se unirían, sino

— 485 —

provocando combinaciones de otros con sola su presencia,
sin experimentar las más leves alteraciones. Y es probado en
numerosos procedimientos de síntesis mineral el hecho de
las modificaciones de metales por el calor, adquiriendo en-
tonces la aptitud para unirse á variadas substancias; mas los
cambios de temperatura ó la presencia de materias diversas
ocasionan modificaciones, y sin alterar los elementos del sis-
tema se generan, por ejemplo, la senarmonita cúbica ó la
valentinita ortorrómbica.

Pudieran responder á diferentes estados de agregación
molecular de los cuerpos simples sus distintas funciones, de-
rivando de ellas el carácter de las combinaciones y su es-
tructura, lo cual significa que no son invariables, ni repre-
sentan sistemas estáticos, fijos, permanentes y siempre igua-
les, sino sistemas dinámicos susceptibles de modificaciones
que aceleran ó retardan los movimientos de sus elementos.
Conforme á ésto, acaso el tungstenio de la scheelita ó del
volfram sea diferente, en cuanto á su estado atómico, del
tungstenio de su cloruro Ó de su carburo, y no importa que
el análisis no aprecie la distinción; tampoco puede decir que
en ciertos sulfatos de cromo verdes hay ácido sulfúrico, y
sin embargo contienen en las necesarias proporciones sus
elementos; nuestros conocimientos positivos en tal respecto
son todavía muy limitados y apenas acertamos á darnos
cuenta de cómo las moléculas de los cuerpos simples, sin
cambiar de masa, pueden tener distinta estructura, residiendo
en tal cosa la diferencia de sus actividades.

Fácil sería encontrar analogías entre las: variaciones de
estructura y los cambios de funciones de los agregados
moleculares, en particular las combinaciones oxigenadas, y
en ciertos casos, las cloruradas y sulfuradas, que no depen-
den en absoluto de las proporciones relativas de los compo-
nentes, sino de su estado dinámico. No cambian las cantida-
des de metal, oxígeno é hidrógeno en los hidratos alumíni-
cos amorftos y cristalizados, ni en los coloidales, y es, sin

e h
4 Lyn,
pr Y

.

e. +8

mn

embargo, mucho mayor la actividad de estos últimos, acon-
teciendo lo propio con la sílice soluble; en el sulfato crómico
violeta acusan los reactivos la presencia del ácido sulfúrico
y en las correspondientes sales verdes no la manifiestan;
obtenido por deshidratación á temperatura baja el sesquióxi-
do de cromo, es atacado por el cloro en presencia del car-
bón al rojo, y el mismo óxido, luego de calentado Ó cuando
se ha preparado á temperatura muy elevada, permanece
inerte, en iguales condiciones, y en los cuerpos dimorfos ó
polimorfos las formas transitorias responden á estados ó tér-
minos de una evolución de la estructura interna que sólo es
definitiva cuando las moléculas adquieren las posiciones co-
rrespondientes al equilibrio más estable del sistema. Todos
estos hechos, unidos á lo conocido respecto de la alotropia
de los cuerpos simples que la presentan marcada y es sólo
forma de la isomeria, inducen á pensar en la variación cons-
tante é interna de los agregados materiales, debiéndose á
ella los cambios de funciones y propiedades, en los que tan-
to intervienen las influencias externas, los medios en que se
realizan, completos ó incompletos, y los procedimientos em-
pleados para llevarlos á cabo.

Queriendo buscar nuevos apoyos á la doctrina, examina-
ré un caso sencillísimo de síntesis mineral, en el que la ge-
neración del estado cristalino, partiendo del cuerpo amorfo,
es, por decirlo así, espontánea, y se realiza en el propio me-
dio en que éste se ha formado y en presencia de los produc-
tos secundarios de la reacción. Se trata del doble fosfato de
uranio y cobre hidratado 2Ph0,(Ur,0,),Cu, 8 0 H,, que
constituye la chalcolita natural; mineral cuadrático, de color
verde más ó menos amarillento, hállase muy diseminado y
suele vérsele formando escamas delgadas y brillantes en va-
rias rocas, acompañado de otras materias complejas cuya

- AN —

asociación forma masas radiactivas, que en la actualidad
son estudiadas con los mayores cuidados y sometidas á me-
didas en semejante respecto.

Generalmente se produce este cuerpo mediante una reac-
ción sencilla, lenta y cuya práctica presenta algunos fenóme-
nos dignos de ser notados; el medio es líquido y constitúyelo
una disolución acuosa de nitrato de uranio al 10 por 100,
destinada á actuar sobre el fosfato tricúprico, á la tempera-
tura constante de 60”. Poco á poco, el color verde del último
va transformándose y el precipitado adquiere tonos más cla-
ros, convirtiéndose al cabo en menudas láminas cristalinas
de marcada apariencia cuadrática; la modificación llega á ser
completa y toda la masa del precipitado conviértese en fos-
fato doble cristalizado, siempre que haya la cantidad sufi-
ciente de nitrato de uranio, que se puede añadir sólido á me-
dida que vaya empobreciéndose la disolución primitiva; en
otro caso, la proporción de chalcolita formada está limitada
por la cantidad de uranio, y el producto resulta ser una mez-
cla con el exceso de fosfato tricúprico no alterado. Debray
quiso generalizar el método, substituyendo este cuerpo con
el fosfato tricálcico, pretendiendo reproducir el fosfato doble
2Ph0, (Ur, O,), Ca. 80 H., ó sea la uranita, cuya estruc-
tura es análoga á la de la chalcolita; pero entonces resulta
otro cuerpo distinto, aun cuando sea fosfato doble é hidrata-
do de uranio y calcio; mas ni la hidratación es la misma, ni
las escamas cristalinas se refieren al prisma romboidal recto
peculiar de la uranita; vése, por lo tanto, cómo las circuns-
tancias de la formación de un cuerpo no pueden ser aplica-
das siempre á sus congéneres é isomortos, indicando así las
influencias de los medios para constituir la materia cristali-
na, que no siempre implica grandes cambios químicos, ni ha
menester ser generada de continuo á elevadas temperaturas,
aunque suelen ser favorables á las cristalizaciones por fu-
sión, sublimación y arrastre.

Requiere la práctica de este experimento mucho reposo y

Rev. Acab, Ciencias.— V. — FEBRERO, 1007. 33

— 488 —

consiente una variante, limitada á substituir el fosfato tricúpri-
co ordinario con el mineral llamado libenita, que es de la
forma Ph, O, Cu,. O Cu. OH,, en cuyo caso, procurando
que la transtormación no sea completa, se consiguen varia-
das asociaciones de esta última, todavía no alterada, con la
chalcolita ya formada en las condiciones ordinarias del ex-
perimento. Con mezclas de fosfatos tricúprico y tricálcico
puede producirse la chalcolita cristalizada; pero no he podi-
do asociarla á la sal cálcica doble de Debray, sin duda por
lo indeterminado y variable de su estado de hidratación, que .
no corresponde á la definida del fosfato de uranio y cobre.

Hay que notar en la reacción productora de la chalcolita
que es, en definitiva, una doble descomposición completa,
que se parte de un sistema inicial mixto, uno de cuyos ele-
mentos, el uranio, hállase disuelto, siendo el otro, el fosfato
tricúprico, sólido é insoluble, y el cuerpo resultante de sus
transformaciones es asimismo sólido y no se disuelve en el
agua. Puede cambiarse el sistema inicial empleando el ura-
nio sólido, insoluble en medio neutro, al estado de fosfato
amarillento, procedente de haber precipitado una sal uránica
con un fosfato soluble, é invirtiendo los términos, el cobre
estaría en la disolución en forma de nitrato cúprico, siendo
iguales las demás condiciones del experimento y no pasando
la temperatura de 60”: es una variante del procedimiento sin-
tético, que no altera sus resultados, y, por eso, prolongando
el contacto, el precipitado cambia de aspecto, vuélvese cris-
talino y acaba convirtiéndose en laminillas Ó escamas verdo-
sas, delgadas y flexibles, las cuales, luego de secas, adquie-
ren brillo característico y son idénticas á las del fosfato hi-
dratado de uranio y cobre, cuya presencia en las formacio-
nes de la sierra de Guadarrama, en estado de gran disemina-
ción, ha sido indicada de mucho tiempo atrás. Acaso es pre-
ferible el último sistema, porque los resultados del anterior
dependen, en gran parte, de la naturaleza del fosfato de co-
bre y se conocen distintos compuestos salinos básicos del

— 489 —

género, diferenciados unos de otros por los grados de hidra-
tación correspondientes y las cantidades de metal, y aunque
el medio lo constituye una disolución acuosa, no parece in-
diferente lo primero. Empleando el nitrato cúprico disuelto,
conviene que el agua se encuentre saturada y conservar el
líquido neutro, porque el fosfato de uranio, sobre todo el
precipitado, es soluble en los ácidos minerales, y entonces
no puede generar la chalcolita; de todas suertes, tampoco
conviene que quede exceso de sal cúprica, y, terminado el
experimento, el color del líquido ha de ser azul muy claro.

Se percibe, no obstante, mayor tendencia á formarse la
sal doble hidratada en un medio cúprico y no en el medio
rico de compuesto uránico disuelto, como si en ello influye-
ra la capacidad del metal y sus aptitudes para constituir nu-
merosas combinaciones complejas, al igual de los cuerpos
simples de elevado peso atómico, y éste lo tiene mayor que
ningún otro, y acaso sea susceptible de presentar variados
estados de agregación atómica, correspondientes á diversas
formas alotrópicas, que son caracterizadas por los cambios
de función peculiares de los grupos de combinaciones que es
capaz de producir.

Incluyen algunos, al lado de los métodos indicados, otros,
aplicables á la reproducción de diversos minerales hidrata-
dos, generalmente fosfatos y arseniatos; pero las analogías
no son tan inmediatas. Concrétanse á poner en contacto pro-
longado y á temperatura menor de 100”, un cuerpo sólido
insoluble, casi siempre precipitado, y otro cuerpo disuelto en
agua, á veces un ácido muy diluído; mas suelen resultar hi-
dratos salinos sin representante en la Naturaleza, transfor-
mables, no obstante, en minerales cristalizados sometiéndo-
los á operaciones cuyo objeto puede ser deshidratarlos ó
hacerles cambiar de estructura molecular. Es del número la
sintesis de la libenita empleando el método de Debray, re-
ducido á la reacción lenta del carbonato de cobre con el ácido
fosfórico en extremo diluído, de la que resulta el hidrato

“00

Ph,0O,Cu,.3Cu0.OH,, y sólo pierde dos moléculas de
agua, transformándose el libenita cristalizada, cuando se ca-
lienta, mezclado con agua y en tubos cerrados, á la tempe-
ratura de 250 grados, y es singular que disminuye esta tem-
peratura y se facilita mucho la cristalización si en el medio
líquido se disuelven cortas cantidades de compuestos cúpri-
cos, siendo los de mayor eficacia entre los ensayados el clo-
ruro, el nitrato y el sulfato.

Tienen caracteres bien diferentes otras reacciones aditivas
de varia índole, generadoras de distintos cuerpos, cuyo me-
canismo de formación no es fácilmente explicable y se presta
á interpretaciones especiales, según se agreguen sistemas
simples perdiendo sus respectivas individualidades ó siste-
mas ya constituidos, por lo general binarios. De tales agre-
gados los hay que son difusiones ó disoluciones de un cuerpo
sólido más ó menos volátil en otro asimismo sólido y fijo á
elevada temperatura; así el cinc metálico, reducido á vapor,
puede penetrar en la masa de su óxido bien calentado y en
ella repartirse, de suerte que, al enfriarse, presenta estruc-
tura homogénea y uniforme color gris; acontece lo propio
con el plomo y otros metales y es el método de producción
de sus subóxidos, si es que deben considerarse combinacio-
nes definidas y no mezclas íntimas del óxido metálico con el
metal generador muy dividido. No es el hecho privativo
suyo, sino bastante general y hasta puede ocasionar que se
formen minerales metálicos bastante complejos, susceptibles
de cambios y modificaciones, asociándose combinaciones
definidas de análoga estructura, con predominio de las cuali-
dades de alguna que las tiene marcadas y peculiares.

Justamente hay un experimento, debido á Guntz, que pue-
de indicar á las claras la índole de las combinaciones á que
me refiero y de los problemas que comprenden; se trata de

— 491 —

la unión del litio metálico con su cloruro. Calentada la mez-
cla de ambos cuerpos en las proporciones Li+-CILi, pue-
den combinarse dando un cuerpo sólido de color blanco, cuya
composición, á lo que parece, es la correspondiente al sub-
cloruro C/Li,; pero la reacción sólo es posible en presen-
cia del hidrógeno puro y seco, y el fenómeno resulta bastante
general, porque en análogas condiciones también el cloruro
cálcico fundido es disolvente del calcio metálico, producién-
dose el subcloruro C/, Ca,, y en ambos casos es menester
operar con los cuerpos bien desecados, que si estuvieran hú-
medos los resultados difieren mucho y se recogen mezclas
de los óxidos y los hidruros metálicos, cuya estabilidad es
relativa. Respecto del mecanismo del fenómeno y de su in-
terpretación, aunque parezcan sencillas, hay diversas opinio-
nes, extensivas á otros géneros de asociaciones, sin duda me-
jor conocidas, siquiera atendiendo á su inmediata aplica-
ción en la industria.

Una de las cosas que importa averiguar es el papel del
hidrógeno en estas reacciones, y el propio Guntz ha demos-
trado que se halla en condiciones de unirse al metal forman-
do el correspondiente hidruro de litio, y siendo así, ya no
considera el producto resultante como subcloruro definido y
admite que sólo se constituye una mezcla muy íntima y ho-
mogénea de hidruro y cloruro así representada: C/Li + ALI,
ó bien ALi, Cl, cuya estructura molecular y composición
química se relacionan con las del compuesto CI/Li.,, y para
el calcio sería, de la propia suerte, C!,Ca+H,Ca 6
H,Ca, Cl,. Quizá pudiera determinarse el modo de forma-
ción de los subcloruros, en el caso de ser generados, estu-
diando la curva de solubilidad de los metales puros en los
cloruros, siguiendo el parecer de Bruni; pero se tropieza con
un inconveniente de monta, que ya Guntz notara, y es la exi-
giidad de las proporciones de metales disueltos, empleán-
dolos puros y sobre todo el no ser posible afirmar si las
pequeñas cantidades de metal que se unen á los cloruros

— 492 —

fundidos en presencia del hidrógeno, forman verdaderas
combinaciones ó sólo son disoluciones muy poco concen-
tradas, y este hecho sencillo, reducido simplemente á una
reacción aditiva de un metal con un sistema binario Ó de dos
sistemas binarios, admitiendo la producción de hidruros, in-
dica ya la dificultad que hay para darse cuenta de los fenó-
menos de semejante orden.

Llaman cobre gris, y también panabasa, á un singular mi-
neral, cuya estructura es fija y la composición variable, como
resultado de asociarse, en los filones concrecionados, distintos
sulfuros metálicos en cantidades diversas, conforme al me-
dio, originándose agregados cristalizados bastante complejos
y sistemas particulares, en los que adviértese dominante la
función de uno de los componentes sulfurados binarios, capaz
de adquirirla ácida y formar distintas combinaciones salinas,
que representan, no la unión del azufre con varios metales
para constituir un sulfuro múltiple, sino mejor, la asociación
química de sulfuros ácidos de la forma S; M””, con otros
sulfuros que se representan SM”, y SM” y ejercen funciones
básicas. Corresponden á los primeros los de antimonio y ar-
sénico, y á los segundos los de cobre, mercurio, cinc, bismu-
to, hierro y plata, pudiendo, en ocasiones, faltar alguno, y
en otras agregarse todavia mayor número de metales, siem-
pre por combinaciones binarias sulfuradas.

Ya se comprende que las panabasas han de constituir ver-
dadera serie de asociaciones de sulfuros metálicos, partiendo
de uno típico, S, Sb, 45Cu,, que resultaría sulfoantimo-
niuro de cobre, pudiendo citar hasta cuerpos en los cuales
llega á haber más de siete sulfuros, dos cuando menos, el de
arsénico y el de antimonio, de función ácida, con la particu-
laridad de que las formas cristalinas de los términos todos
de la serie pertenecen al sistema cúbico con muy contadas
excepciones. Al igual de los experimentos de Guntz, referen-
tesal litio, al calcio y á sus hidruros y cloruros, podrían ha-
.cerse varias hipótesis respecto de la constitución y estructu-

- 493 —

ra de las numerosas variedades de cobre gris, desde opinar
que se trata sólo de disoluciones sólidas verdaderas y crista-
lizadas, hasta admitirlas en calidad de combinaciones defini-
das ó como agregados S, M””,. SM”, que en algo se aseme-
jan á los de cloruros é hidruros antes dichos. Pero aquí, aun
tratándose de los sulfuros reunidos ó asociados en las me-
nores proporciones, son lo bastante crecidas para decidir que
se efectúa combinación, sin apelar al estudio de las curvas
de solubilidad, tampoco ahora realizable, por las condiciones
en que se efectúa la adición de los sistemas binarios, for-
mando otro homogéneo y más complejo, el cual puede ser
generado por vía sintética, acudiendo á métodos de cierta ge-
neralidad y no difícil práctica, que consienten reproducir nu-
merosas variedades de panabasa, efectuándose reacciones
simultáneas producidas completas en medios gaseosos á la
temperatura del rojo. e

Muchas tentativas se hicieron para lograr, fundiendo jun-
tos los correspondientes sulfuros, su asociación perfecta, y
todas resultaron infructuosas, y así hubo de apelar Duro-
cher, á quien es debida la síntesis del cobre gris, á otro gé-
nero de reacciones, también directas, llegando á unir los sis-
temas binarios en el momento de ser formados. Se funda «el
método en un sencillísimo experimento: cuando se ponen en
contacto el cloro y el gas sulfhídrico, prodúcese al punto
ácido clorhídrico y se aisla azufre Cl, + SH,=2C/H + S;
substituyendo el cloro por un clururo metálico y operando
en caliente debe formarse sulfuro metálico y desprenderse
asimismo ácido clorhídrico C1,M”"4 SH,=SM"+-2CIH, cuya
acción es limitada y reversible en las condiciones del expe-
rimento, porque el ácido clorhídrico puede descomponer el
sulfuro, regenerando el cloruro y desprendiéndose al propio
tiempo gas sulfhídrico.

Actuando con este cuerpo, á la temperatura del rojo, clo-
ruros tan volátiles como los de antimonio y arsénico, y otros
cloruros metálicos que lo son bastante menos, pudiendo re-

e

sultar un cuerpo sólido fijo, la reacción es más completa, y la
reproducción de la panabasa su verdadero ejemplo típico.
En un ancho tubo de porcelana, cuyo largo no sea menor de
75 centímetros, se colocan, mezclados en proporciones equi-
moleculares, los cloruros anhidros de cobre, plata y cinc,
por ejemplo, y cuando están calentados al rojo, se hacen pa-
sar, separadamente, corrientes, no muy rápidas, pero sí
constantes, de ácido sulfhídrico y de vapores de los cloruros
de antimonio y arsénico; éstos últimos arrastrados por el ni-
trógeno: sólidos y gases deben emplearse muy desecados;
las reacciones son análogas y simultáneas en todos los
casos:

a) 2C1,Sb + 2CI,As + 6SH,= S.Sb, + S¿As, + 12CIH
b)2Cl,Ag-+ Cl, Cu+Cl,Zn+45H,=SAg,+S Cu, +S8Zn+8C!IH

y estango en presencia, á la temperatura del experimento y
en las proporciones convenientes, los sulfuros producidos
en el momento de ser generados, se combinan constituyendo
un verdadero agregado por adición de sistemas binarios de
diferentes funciones. Fácilmente se comprende que, añadien-
do ó quitando cloruros, es factible reproducir todas las va-
riedades de cobre gris, las sencillas con un solo sulfácido
y una sola sulfobase y las complicadas del tipo que sirvió
de ejemplo, y aun cabe que contengan otros sulfuros, prin-
cipalmente los de hierro, de mercurio y de bismuto, siendo
éste el menos frecuente.

No es preciso insistir en pormenores respecto de las ope-
raciones sintéticas de que trato, cuyos resultados depen-
den, en mucha parte, de que los cuerpos destinados á la
reacción, gases, vapores y sólidos, se hallen perfectamente
secos, y en el tubo de porcelana no ha de penetrar ni una
traza de humedad; los cloruros deben ser, pues, anhidros y
en lo posible, obtenidos por vía seca. De no reunirse estas
circunstancias, el ácido clorhídrico desprendido, en contacto
del agua, ataca profundamente á los sulfuros y tiende á re-

ais EN
A Y
A

— 495 —

generar el sistema inicial; así se explica la conveniencia de
modificar el procedimiento de Durocher, operando en una
atmósfera inerte de nitrógeno puro y seco, haciéndole servir
de vehículo de los vapores de cloruro de antimonio y eloruro
de arsénico, que sólo dentro del tubo de porcelana y al rojo
se mezclan con el gas sulfhídrico.

Bien sería, tratándose de combinaciones definidas, aunque
son complejas, establecer una fórmula general que expresara
su constitución binaria, en la cual pueden considerarse cons-
«tantes los sulfuros de antimonio ó de arsénico, ó cuando me-
nos el primero en las panabasas más sencillas; estos sulfá-
cidos son de forma S¿M””,, siendo M”"=Sb 6 As. Respecto
de las sulfobases, revisten las tres formas: SM”,, SM”, y
SM”, en las que M',=Ag,; M”,= Cu, y M”"=Fe, Hg, Zn,
etcétera. Hay un grupo de sesquisulfuros y otro de mono y
y subsulfuros metálicos, pudiendo constar el primero de dos
términos á lo sumo y el segundo de un número indetermi-
nado de ellos, y así el símbolo general de las asociaciones
se escribiría: [S¿M””,],.n[SM*,.SM”,.SM”], y general-
mente n=4; otras fórmulas sólo se aplican á agregados es-
peciales, como el sulfantimoniuro de cobre, considerándolo
tipo de la serie y de seguro uno de sus individuos de estruc-
tura más sencilla. Importa notar la persistencia de la cons-
titución binaria, tanto en los cuerpos ya formados como en
cada agrupación generada, según las funciones especiales
de los sulfuros originarios, lo cual indica cómo la individua-
lidad se conserva dentro de las asociaciones moleculares que
por causa de ella se engendran en el caso presente, cuando
á la temperatura del rojo pueden actuar cloruros metálicos
fijos y volátiles con el gas sulfhídrico seco; y aquí también,
como en los casos anteriores, la síntesis, reproduciendo en
sus operaciones, á voluntad, las variedades del cobre gris
natural, aporta valiosos datos para esclarecer los problemas
relativos á su estructura molecular.

(Laboratorio de Química de la Escuela Ae do Artes é Industrias de Madrid, 1896-1907.)

— TO e

XXIV. —Poliedros regulares.

Por Luis CATALÁ

Polígono adjuntu á un poliedro regular.

El punto y el plano son los elementos dualísticos del es-
pacio; luego, estableciendo una correspondencia biunivoca
entre los planos de las caras de un poliedro y un complejo
de puntos del espacio, determinamos un nuevo poliedro co-
rrelativo; siendo el número de caras y aristas de cada ángulo
poliedro de uno de ellos igual respectivamente al de vértices
y lados de las caras correspondientes del otro.

Si el poliedro dado es regular y el complejo de puntos es
el formado por los centros de sus caras ?, la figura correlati-
va obtenida es otro poliedro regular, que se llama su con-
jugado.

Asi son conjugados: el exaedro y octaedro regulares; el
dodecaedro é icosaedro regulares convexos; el dodecaedro
regular de tercera especie, de caras estrelladas y de caras
convexas; el dodecaedro é icosaedros regulares de séptima
especie,

Llamaremos polígono adjunto á un poliedro regular; aquel
cuyos vértices son los puntos terminales de las aristas que
concurren en un vértice del poliedro; este poligono es regu-
lar y su género y especie son las del ángulo poliedro del po-

1 Llamaremos centro de un polígono regular el de su circunferen-
cia circunscrita, y centro de un poliedro regular al de su esfera cir-
«cunscrita.

M0. —

liedro, siendo su lado la diagonal de una cara que separe
uno de sus vértices.

Así (fig. 1), el polígono adjunto del icosaedro regular con-

Es

. z EN
s o.
z . .
. : . A .
.
. * ,
s , s
> . . A
EZZ > na?
» l 7 Y
E A . *
>. = 5 e ,
" .
e « A . .
LY) . . e ,
. .
y .
,

A E | E AA

Figura 1.*

vexo F, A, B, C,D, E, a,b,c,d, e,f es el pentágono regular de
primera especie a,b,c,d,e, y el del icosaedro regular de sép-
tima especie, que tiene los mismos vértices que el polie-
dro anterior, es el pentágono regular de segunda especie
a,b, c, d, e.

Ahora bien; sea (fig. 2) o el centro de un poliedro regu-
lart; A, B, D tres vértices consecutivos de una cara de cen-
tro K, KN la apotema, K, el centro de la cara contigua,
AD el lado del polígono adjunto, L su centro; KK, será

8 —

la arista del poliedro conjugado, y £L, el centro de una de
sus caras.

Llamando a, R,r,p, [ al lado ó arista, radio de la esfera
circunscrita, inscrita, tangente á sus aristas y ángulo forma-

Figura 2.*

do por dos caras contiguas del poliedro, y a” R'r g' T' los
elementos correspondientes de su poliedro conjugado, ten-
dremos:

(1) R'=r
de la semejanza de los triángulos BKo, KL,o

TILA 3
oB E

LA (2)

Siendo 0B, 0A perpendiculares á dos caras contiguas del
poliedro conjugado,
A (0) B será el suplemento del ángulo diedro de dichas ca-
ras; por consiguiente,

B(0)N= 90" — 5 r.

— 499 —

Del triángulo rectángulo Bo N resulta:
cos B(o0) N = cos(90* — 5 IT”) =. sen 5 a (3)

Del KoN se deduce:

»

0K*=0N'. oh y pp == Te. (4)
- Del triángulo Kho sale:

Kh= Ko senh(o)K= sen(90* — > D =cosf;

luego a' = 2r cos >, I, y como 2r=p.4,
Lo p.COS/. (5)
a

De lo dicho resulta que, halladas las relaciones existen-
tes entre los elementos de un poliedro regular de género y
especie conocidos, es fácil hallar las correspondientes del
poliedro conjugado.

CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DE UN POLIEDRO REGULAR.-—
De los triángulos FBA, ABL, AFL, KNOo (fig. 2), resulta:

BF=VAB"— AF? , BL=VAB"—AL>

LF=VAL'—AF? , sen K(N)o ==.
0

De la semejanza de los triángulos oOKB, FBL y del tri-
ángulo BNO sale:

O E ao dal FL oK

A ER OB L 00 BF 0 B
No =V Bo? — BN;

,

so $00

luego

p BK-FL y p BEBE yy Y
BL BL. R

= Var e () sen 1= E, (5

Llamando A, V al área y volumen del poliedro y y al área
de una cara y n al número de ellas, tendremos:

AA V=n.yor,

APLICACIONES

TETRAEDRO REGULAR.—La cara del poliedro y el polígo-
no adjunto son triángulos equiláteros de lado a; luego

ADA BK==2V3 , AL==V3

POIS + A
2 2 6
ETA
LD,
dd
y por consiguiente:
12
se 3
sen 1 =V3 , A=aV3, V=-> V2

— 501 —

CuBO Ó EXAEDRO. — La cara
del poliedro es un cuadrado de
lado a, y el polígono adjunto, un
triángulo equilátero, cuyo lado

es ay 2, luego:

a Je
A E
a. Th
LE At NR
A z VO ñ 4
PERA Ds
BR =-=Y2 LE=3>V06
O 3
Be M3
o
por consiguiente:
a R ue
A ya A ===> 3
a 2 r y
a, am
A As ao e
REN A=60
2 E Y ” Ts

DODECAEDRO REGULAR CON-
VEXO.—La cara del poliedro es
un pentágono regular de primera
especie, de lado a, y el polígono
adjunto, un triángulo equilátero,
cuyo lado es el del pentágono de
segunda especie de la circunfe-
rencia circunscrita á la cara del
poliedro; por consiguiente,

apa Bra 34 NE

12) ps
A (V5 + 1) =AF
AL==5 (115 +V3)=FL
BL == (115 —v3)

a AA A
EU NAME VOS
EN v5;

OCTAEDRO REGULAR. — Tene-
mos, llamando a” su arista

—=->—vy2 a —pvz
z > > ay
' a! 5 R' e
E?
PANEL 1
Pf — 6 “——q'
r EN Ae
PEE, -V8
MES =—
a 3
ER ¡E
A=20'V3 , V==V2.

ICOSAEDRO REGULAR CONVEXO:
a _
'=— (35 5
a A V5 +5)
y, Wa 5+vy5
q 2 V 2
r=L y3(8 + V5)
12
a" pe
15+1
a (v5 +1)
] 1 a E
211=—(V15 + V3
sen 1 EN + V3)

[PELS
A

AR 5 ERA
A=54'V3 V= yO B+ 5).

— 502 —

luego A PEPA
2 10

R=2 1 +13)

a pal
e== (8 +V5)

"5+vV5
10

A=3a Y 25 + 10V5

sen z ES
q

q?
v=-7 (0 V5 + 15).

Poliedros regulares estrellados.

DODECAEDRO REGULAR DE SÉP- ICOSAEDRO REGULAR DE SÉPTI-
TIMA ESPECIE.—La cara del po- | MA ESPECIE.— Tendremos
liedro es un pentágono de segun- 7 pe
da especie, de lado a, y su poligo- a = 30 (3V5— 5)
no adjunto, un triángulo equiláte- z E
ro, cuyo lado es el del pentágono R'= 2" 5-V5
de primera especie en la circun- 2 2
ferencia circunscrita á la cara del Y E
poliedro. A (3—v5)

Luego, Ao

¿== (5-1)

AA
ABD 0*> Ba

a ES (vI5 — y3)
AD=-(V5—1) a E.

Ñ A=5a" Y3
AF=— (V5-1) 5
4 V=—- a'* (3 — y5).
DAS sy 12
AL= ral 15 — Y3)
II A
BF==V 10+ 25
a pan. a
BL==¿(V15 +3)

a ae E
_— 15—y3);
LF => ( y3)

— 503 —

por consiguiente,

=> (315)
sen 1=Y 515
a=150 Y) 215

v=E (1v5 15)

DODECAEDRO REGULAR DE TER-
CERA ESPECIE, DE CARAS ESTRE-
LLADAS.—La cara del poliedro es
un pentágono regular de segunda
especie, de lado a, y el polígono
adjunto es el pentágono de pri-
mera especie de la circunferencia
circunscrita á la cara del po-
liedro.

Luego,

2
AB= BK= a
avi a 54 V5

DA== (V5—1)

a 10—2vy5
a
de 2 5

AR= EV 10 +2V5

BL 2N/1042V5
2 5
RIA VACESTER

4 5

Rzy. Acap. Cirvotas.— V.—Febrero , 19070

DODECAEDRO REGULAR DE TER-
CERA ESPECIE, DE CARAS CONVE-
XAS.— Tendremos

a ES
a == (5 —y5
0 (5 — v5)
e
ONO
eq oras
¿DA 5
E
p= ed (V5+ 1)

1 5—vV5
aa

es EE

a'3 poe
v=E(v3 + 5):

a 29
ile 1)

5+v5
10

5—2Y5
400) E

a ne
== (3V5-— 5)

sen E ==
is

ScL. —Los elementos de los poliedros de la derecha pue-
den calcularse por medio de las fórmulas generales, teniendo
presente que:

La cara del octaedro regular es un triángulo equilátero, de
lado dado, y su polígono adjunto, un cuadrado de lado igual
al de la cara.

La cara del icosaedro regular convexo es un triángulo
equilátero, de lado dado, y el poligono adjunto, un pentágo-
no de primera especie de lado igual al de la cara.

La cara del icosaedro regular de séptima especie es un
triángulo equilátero de lado dado, y su polígono adjunto, un
pentágono de segunda especie, de lado igual al de la cara.

La cara del dodecaedro regular de tercera especie, de ca-
ras convexas, es un pentágono de primera especie de lado
dado, y su polígono adjunto, un pentágono de segunda espe-
cie, inscrito en la circunferencia circunscrita á la cara del po-
liedro.

— 505 —

tl

Areas y volúmenes aparentes de los poliedros regulares
y su desarrollo.

DODECAEDRO REGULAR DE SÉPTIMA ESPECIE.—La cara del
poliedro es el pentágono de segunda especie ABCDE, de

Figura 3.*

lado AB = a (tig. 3), y su cara aparente, cinco triángulos
isósceles iguales al Amn, cuyos lados son

Am. =.An;= E —V 5) y mn=a (Y 5-— 2),

que es el lado del decágono de primera especie, inscrito en
la circunferencia de radio igual á Am.

La superficie aparente está formada de 60 triángulos igua-
les al Amn, y como

A.Amn = Ves — 38V 5,
resulta que:

A,=150V85—38V5 , v=2e(3/5—21)

— 506 —

El desarrollo del poliedro es la figura:

ICOSAEDRO REGULAR DE SÉPTIMA ESPECIE. —- La cara del
poliedro es el triángulo equilátero Fce, de lado Fe = a (figu-

» PRA »
c AS £
Figura 4.”

a 4), la superficie aparente la forman 120 triángulos obli-
cuángulos, iguales al mFn, y 60 iguales al n, s, q, deter-
minados en la cara real por la sencilla construcción que se

— 507 —

indica en la figura; los puntos m, r, n, q dividen los lados
Fc, ce, Fe en media y extrema razón, siendo el segmento
áureo

cm =re =Fg = ne = > (V5=1)

y el menor

mF = Cr =Fn, = qe = AS as V 5).

LL MÁ =
La recta n, h es paralela á la
Fr y m(mr=n(s)qg , mn=ngq

a2V3 e :
A MF (M5 15)
mFn= 7 (1V 5— 15)

Epa E (915 -— 20);

por consiguiente,
A,=3V15a*(16 — 7V 5)

pol - (83 — 3745) V5.

Su desarrollo es la figura 5.
DODECAEDRO REGULAR DE TERCERA ESPECIE, DE CARAS
ESTRELLADAS.-— La cara del poliedro es el pentágono de se-

Figura 6.2

gunda especie ABCDE, de lado AB = a (fig. 6), y su cara
aparente, cinco triángulos iguales al isósceles Amn, cuyos
lados son

Am=An=-=(3— V5) y mn=a(Y 5 —2).

La superficie aparente la forman 60 triángulos iguales al
Amn, y como

AR Dl +

— 509 —
4. Amn=-2V 85 — 38 V5,
tendremos:
AZ 1i5Ves—38V5 , 22 (25 — 1115),

Su desarrollo es la figura 7.

Figura 7.*

DODECAEDRO REGULAR DE TERCERA ESPECIE, DE CARAS
CONVEXAS.-—La cara del poliedro es el pentágono de primera
especie ABCDE, de lado AB=a (fig. 8), y su cara aparente,
cinco triángulos iguales al isósceles AmbB, cuyos lados son:

Am=mB==3(V5— 1), AB=a40,

— 510 —

y la superficie aparente, 60 triángulos iguales al AmB; pero

a.AmB=2V5—2V5,

luego
A=15eV5-2/5 , == 22 (V5-1),

Su desarrollo es la figura 9.

All.

XXV.—YEnsayo de geometría analítica noeuclidiana.

PoR JosÉ A. PÉREZ DEL PULGAR, S. J.

(Conclusión.)

S 6.

MEDIDA DE ÁNGULOS SÓLIDOS.

41.—Las teorías expuestas en los párrafos anteriores nos
permiten establecer una métrica angular independiente de
las medidas lineales á que suelen reducirse todas las deter-
minaciones numéricas de la métrica usual.

0

l
]
|
|
M
Figura 4.*

En efecto; de las expresiones [42] y [51] se deduce á pri-

mera vista una consecuencia importante, á saber: entre los

elementos de un triedro infinitesimal existen las mismas rela-
ciones que entre los elementos de un triángulo plano euclidia-

— 512 —

no. Es tan fácil deducir esta conclusión en toda su generali-
dad de las expresiones citadas, que no insistiré más en ella,
pasando desde luego á aplicarla.

Sea O el vértice de una radiación y una recta OM de ella.

Consideremos dos planos AOM y BOM formando el
diedro 7. Llamemos r al ángulo en el vértice de una superfi-
cie cónica, BA C, de revolución de eje OM. Es claro que si
llamamos a á la porción de superficie cónica BA O, compren-
dida entre los planos A OM y BOM,

a=f(r).

Al disminuir r disminuye a; y, por ser cantidades de igual
ia a SS - A
orden infinitesimal, admitiremos que su razón 77 tiende ha-

cia un límite * finito y distinto de cero, que tomaremos como
medida del diedro 7.

Tendremos, pues,
a

Por consiguiente, para toda la superficie cónica será, re-
presentando por con. r la superficie cónica de un cono de
revolución, cuyo ángulo en el vértice es r,

AA
diedro ÁBC = lim AL

y de aquí y de la anterior,

AER yy) pa
ABC con .r
1 La existencia de este límite, evidente en el espacio euclidiano, es
susceptible de una demostración rigurosa en las otras dos clases de
espacios; y no siendo posible más que estos tres, es cierta en toda su
generalidad.

— 513 —

y poniendo que con. r=2+(r), donde 27 representa, según
la convención hecha más arriba, la medida de cuatro ángu-
los rectos diedros, es decir, ABC, tenemos:

— = lim ;
r 272 (1)
Ó bien
És lo
A y
? (1)
y pasando al límite
a=ve(A) [57]

42. Sea ahora el triedro OABC. Designaremos por

Pigura 5.*

a, b yc, los ángulos planos y por A, B y C los diedros
opuestos. Es claro que

a=u4(A,0,c),
y, por consiguiente,

da da da
da = "“—=d4A + == db A 58
«AA A db + dc pel

514 —

da da da
Calculemos, pues, —, —— y —.
CAS BASAL
Para ello demos al ángulo en A un incremento infinita-
mente pequeño. Sea OC” la nueva posición de la arista O C.
Hagamos girar la arista O C, describiendo una superficie có-
nica de revolución de eje OB. Evidentemente, da = POC”.
En el triedro infinitesimal OPCC', rectángulo en OP, se
tiene:
da =COC'cós(P.0C"C) =COC"sent;

y, como en este incremento se supone b constante, COC"
es un elemento de superficie cónica de revolución de eje OA
que, según acabamos de ver, viene dado por

COC" =e(DdA.
Substituyendo, pues,

da = v(b).senC .dA,

a) ¿SERE
dA
por análoga razón, J [59]
da |
— = 0(c). senb. '
a |
De aquí se deduce que:
¿(a) PEN <(b) les He) NN [60]
senÁ sen B sen C
Por consiguiente,
o(b) = QsenB.

De ésta y de la primera de [59] resulta:

da

— = QsenBsenC, 61
hn Q : [61]

— 515 —

siendo Q una constante. Busquemos la derivada parcial de
a con respecto á b. F 1ra ello demos al ángulo plano b un in-
cremento infinitame te pequeño, y sea OC” la nueva posi-
ción de la arista OC (fig. 6). Hagamos, como antes, girar la

0

Figura 6-*

arista describiendo una superficie cónica de revolución de
eje OB, cuya intersectión con el plano OBC” sea OP. En
el triedro infinitesimal OP CC”, rectángulo en OP, tenemos:

an = E O “Coss:
Pero COC” = db; luego

da =cosC".db=cosC . db;

de donde
Ls = cos C.
db
Por igual razón [62]
da |
A 008

— 516 —-

De las [58], [61] y [62], resulta:

da = QsenB.senC.dA +cosC.db + cosB.dc. [63]

43. Diferenciando totalmente una cualquiera de las ecua-
ciones [60], resulta:

¿(aida = senAdQ + QcosAdA,

de donde, substituyendo este valor de Q cos. A4A en la [63],
previamente multiplicada por cos. A, obtenemos:

cosA da = senB sen C (v4'(ajda — senAdQ) +
+ cosCcosAdb + cosBcosAdc,
Ó bien
da [cosA — ¿(a)senB sen C] — cosA cos Cdb—
— cosB cos A dc + sen B sen C sen AdQ =0.

Pero, el último término de esta suma es una función simé-
trica con respecto á A, B y C; luego también lo es la suma de
los términos restantes. Luego, por permutación circular, ob-
tendremos otra ecuación de la misma forma que la anterior,
con el último sumando idéntico. Igualando, pues, las sumas
de los restantes resulta

da[cosA—+(a)senBsenC]|—cosAcosCdb —cosBcosAdc=

=db[cosB —<(b)senCsen A] —cos BcosAdc-—cosCcosBda,

esta ecuación es una identidad, que ha de verificarse para
valores cualesquiera de da, db y dc. Igualando, pues, sus
coeficientes, resulta:

cosA - - 4'(a)senBsen C = — cosBcosC;

— 517 —
de donde

(a = _CcosÁA + cosBcosC .
senB sen C

[64]

y otra igualdad análoga puede también sacarse de ésta por
permutación circular.
44. Ahora bien; llamemos $ al determinante

1 COS C08B
— cos C 1 —CcosA|= 0, [65]
—cosB —-—cosA 1

de donde desarrollando

9=1-—cos?A — cos? B —cos? C — 2cosA cosB cosC,

Ó bien
+= sen?B sen? C —(cosA + cosB cosC y,

lo que nos permite poner el segundo miembro de la ecuación
[64] bajo la forma

cosA | cosB cosC E q
sen B sen C sen? “sen?B sen? C sen? Cc?

7 (a)
sen. Á
trico el denominador del segundo término del subrradical, es-
cribiéndo

cosA -—cosBcosC =Y 1 - 02? (a)

-— senBsenC C sen? A sen?Bsen?C.Q? ”

y, como según la [60] = 1, podemos hacer simé-

y haciendo, por último,

TO e ER 166)
Q?sen? A sen?B sen? C

— 518 —

en que K? tiene siempre el mismo signo que o, resulta que
la ecuación [64] puede ponerse bajo la forma

¿(a)=V1 —K? (ay.

Es fácil ver que K es una constante con respecto áA,B
y C, y, por consiguiente, teniendo en cuenta la [64], + (a)
no es función de K, la ecuación anterior escrita en la forma

¿(a)da

da _—
VI Ka

es susceptible de una integración inmediata, que da

sen Ka :
(a) = ——— 671
¿ (a) > [67

o'(a) = cos Ka.

45. De esta ecuación y de la [60] resulta

senKa senKb _ senKc 168]
sen Á sen B sen C |
Además, la |64] se transforma en la
cos A + cosB cosC
cos Ka = —————— — y
sen B sen C
ó bien

cosA = —cosB cosC + senB senCcosKa, [69]

que con otras dos que se obtienen por permutación circular,
nos dan las ecuaciones correlativas de la [42] del párrato 29,
obtenida por otro procedimiento enteramente distinto, y que

— 519 —

nos permitirá dar una interpretación geométrica á la cons-
tante K. Si comparamos la [69], sus análogas y correlativas
con las obtenidas anteriormente para los elementos de un
triedro, veremos que

U=a KK de ¡06

»))
y que si tomamos, para expresar los ángulos diedros, razo-
nes trigonométricas circulares, y para los planos también
circulares, pero dejando el factor X en todas las expresio-
nes, podremos pasar de un sistema esférico á otro pseudo

esférico, Ó viceversa, sin más que multiplicar á K por yaa 1.

Observemos que K no es una constante más que para un
mismo triedro. La cantidad 5 es la que suele llamarse vulgar-
mente seno del triedro, y para triedros infinitamente peque-
ños, K= 0: en este caso, y suponiendo que uno de los án-
gulos, v. gr., el A es recto;

cosaK = cosbK coscK

ó bien
1 —sentaK El — sen?KbX(1 — sen? 1
K? K?
pla, sentida 1 sen? Kb sen* e ERES OSSnieE].
K? K? : Kk?

y, en el límite, después de suprimir el término común Ps
2

ONU Ee.

Luego a, b, c son cantidades que no se anulan necesaria-
mente cuando el ángulo % se anula, y una cualquiera de ellas
es la que en la geometría límite ó euclidiana recibe el nom-
bre de distancia lineal entre dos rectas paralelas. En otra
Memoría insistiremos sobre la posibilidad algébrica de esta

Rry. Aca. Crencias.—V.—Febrero, 1907. 35

— 520 —

geometría límite de las de la radiación propiamente tal, que
ahora nos contentaremos con indicar.
46. Hemos visto que ,

con .r = 279 (1)

y que
a==c(r)

Una vez, pues, conocida la forma de +, podemos determi-
nar la medida de una superficie cónica cualquiera ó de una
porción de ella comprendida entre los planos de un ángulo =
en función de la unidad angular.

Sabemos que

luego

y [70]

El elemento du de cono sólido OABO' (tig. 4) de revo-
lución para 7 constante y r variable es

de =adr = 79 (r) dr

w=7 erar== |" senKr dr,
O AA

y por consiguiente,

CABO Pus sar

ee

— 521 —

47. El triedro sólido OA BC (tig. 6) tiene por incre-

: mento para OC constante y OB variable y A recto;
AE l —cosKa
K?

B EN B
| s= At A ER cosKCadB |
0 K? K? 0 :

pero según la

| cos B cos C
| coskKa= =="

sen B sen C

y también
cos C = cos Kc sen B,

cuya derivada logarítmica

snC ue -— cos B dB
cos C , sen B
cos B cos C EI
sen B sen C
de donde
cosKadB= -—dC
Y

donde C es el ángulo que el semirrayo CB forma con el BA

cuando B se anula, es decir, que C es 3 si se cuentan los

ángulos diedros interiores, — 3 a si se cuentan los exte-

riores.

A a e E A E ME
dr pe a, Y -

— 522 —

Para el caso de un triedro cualquiera trazaríamos por una
de sus aristas un plano perpendicular á la cara opuesta y
quedarían dos triedros rectangulares, cuya suma sería

1
SA + B+C=—2€,]),

de donde
A +B=+C=2C, + SK. [71]

48. Resta discutir las ecuaciones [71] y [70]. Para ello
observaremos que hemos visto que X puede ser real ó ima-
ginario. En el primer caso, todas las razones trigonométricas
son circulares. Si tomamos el segundo caso, las razones tri-
gonométricas de los ángulos diedros siguen siendo circula-
res, y en cambio las de los planos serán hiperbólicas. La
razón es la siguiente. Si convenimos en tomar la cantidad «
(figura 7) por unidad de ángulos planos contados en sen-

[e]

Figura 7.?

tido AB sobre un plano AOB, — a será la unidad de los
ángulos planos contados sobre el mismo plano en sentido

contrario. Pero «u Ri 1 será la de los ángulos planos conta-
dos en un plano rectangular con el AOB, la cual puede

— 523 —

adoptarse como unidad de ángulos diedros, y entonces refe-
rimos todas nuestras medidas á medidas angulares planas.
En un sistema correlativo hubiera ocurrido la inversa. Y pue-
den también adoptarse unidades independientes para ambas
clases de ángulos, ambas, por consiguiente, reales. En rea-
lidad, todas las hipótesis son posibles; pero siendo todos los
sistemas equivalentes, conviene hacer de una vez para siem-
- pre una convención racional y atenerse á ella.

Hemos visto, además, que el ángulo sólido viene dado por
un producto de un ángulo plano 7 o (r) por otro dr rectan-
gular al primero. Por consiguiente, S contiene un factor igual

á E Llamando S' al otro factor, podremos escribir la
igualdad [71].

ARE A SA [72]

la cual será cierta cuando una de las dos unidades angulares

tenga el factor Wi ; y quedando en la forma [71] cuando
ambas unidades sean independientes, y, por consiguiente,
reales.

Pueden, pues, ocurrir tres casos en total.

Primer caso: Ambas unidades angulares reales — C,

debe contarse positivamente y es igual á Sí

S =[4=+B+ C—2rectos] = E
con .r = 4 rectos. sen. rf
a==“Ssen.f
Segundo caso: Unidad diédrica imaginaria. — Llamando

A”, B” y C' á los factores reales contenidos en los die-
dros A, B y C, la [72] se convierte en

AV —1+BV =14C0 VW —1=(2 rectos) —1 SY —L

NS

en este caso, como en el anterior, K tiene que ser real,

puesto que lo son los ángulos planos que lo contienen como

factor, siendo el otro factor un número siempre real.
Resulta, pues, la relación

A" +B'+C'=(2 rectos) + S'K?

entre los números de veces que los diedros del triedro con-
tienen á la unidad diédrica. Las demás fórmulas quedarán
iguales por no encerrar ángulos diedros.

Tercer caso: Unidad angular plana imaginaria. — Como
para obtener la diédrica ha de multiplicarse la plana por

ya 1, la diédrica será real, pero negativa. Entonces todos
los diedros cambian de signo y C, representa — 3 rectos. —
Luego la [72] da, por ser K imaginario, y, por consiguiente,
K? negativo,

—A—B-—C=-— 6 rectos + S'K”?,
siendo K” el factor real de K.
Además, ,
sent Y —1

—1

con r = (4 rectos) e (4 rectos) Shr',

7 senr V-1 A
V—1

Sin que esto, como es fácil de ver, signifique otra cosa
que otra manera de escribir las ecuaciones antes encontra-
das para la medida de una porción de la superficie cónica.

Resulta, pues, que los dos primeros casos exigen que /a
suma de los ángulos diedros de un triedro sea mayor que dos
rectos, y corresponde á las geometrías riemannianas: El ter-
cero exige que dicha suma sea menor que 6 rectos, y corres-
ponde á la geometría de Lobatchefsky. Hubieran podido es-

3

'

— 525 —

tablecerse todas las proposiciones de este párrafo á partir de
esta propiedad, sin más que aplicar á la radiación los pro-
cedimientos de demostración usados por Mansión * para
la geometría riemanniana, y por Gerard? para la lobat-
chefskiana.

49. No menos sencilla que ésta es la interpretación que
reciben en la geometría angular de la radiación todas las de-
más proposiciones de la geometría plana noeuclidiana. He se-
ñalado ésta por vía de ejemplo, y porque, mediante las con-
venciones que para llegar á ella hemos hecho, pueden igual-
mente interpretarse todas las demás, convirtiéndolas, de pro-
posiciones extrañas y paradójicas, en naturales y sencillos
enunciados de propiedades que no repugnan en nada á nues-
tro modo de concebir los elementos geométricos. Téngase,
además, presente al hacer esta traducción de la geometría no-
euclidiana á la geometría angular de la radiación, que los

senos y cosenos hiperbólicos se hacen infinitos para EN 7

á partir de este valor del argumento, son imaginarios. De
suerte que en el sistema pseudoesférico correspondiente á la
geometría lobatchefskiana, no porque la distancia angular
entre dos elementos venga dada por una función imaginaria
Ó infinita de las coordenadas de éstos, hemos de creer que
uno de ellos está en el infinito Ó es imaginario, y, en gene-
ral, no se ha de olvidar que las expresiones algébricas no
son más que signos que tienen el valor representativo que
les hemos dado al establecer las convenciones fundamen-
tales.

1 Principes fondamentales de la Géométrie non euclidienne de
Riemann.—París, 1895.

2 Nouvelles Annales de Mathématiques, liv. Fevrier, 1893. (3.?
serie, t. XII, pág. 74.)

e

cs

CASO LÍMITE, K=0.

50. Acabamos de ver que todos los ángulos planos, cu-
yas expresiones en función de las coordenadas han sido
halladas en los primeros números del 8 3.”, y que siempre
hemos designado por la letra 6, pueden considerarse como el
producto de dos factores: uno, K, y otro, cierta cantidad que
PUEDE permanecer finita y aun constante cuando K tiende
hacia cero.

En este caso % tiende también hacia cero, y, por consi-
guiente, sus senos, dados por las igualdades [28] y [29],
también se anulan; pero, la razón del ángulo al seno pudiera
no tender hacia cero, sino hacia una cantidad finita, como
nos lo hace sospechar la observación hecha en el párrafo 42.
Veamos de hallar dicho límite, si existe. Para ello recorde-
mos que las expresiones de los ángulos en función de los
coeficientes de la ecuación general del absoluto

Ó también

han sido hallados, á condición de que A=0 en la hipótesis
dequeAiibs hayan sido calculados en función de 4..... ,Ó
también, y por la misma razón, de que A" 0 (siendo A” el
discriminante de la ecuación tangencial del absoluto), si
fuesen dadas A..... y calculásemos en función de ellas las
Era En otros términos, la condición impuesta á dichas ex-
presiones ha sido que el absoluto sea un cono propiamente
tal y no un par de planos ni un par de rectas.

Pero, pudiéndose diferenciar A y A” de cero en menos que
una cantidad cualquiera dada, por pequeña que ella sea, si al

— 527 —

reducirlos á cero y substituir en las relaciones anteriores los
límites hacia los cuales tienden en este caso las cantidades
que en ellos intervienen, no se nos anulan todas ó se nos re-
ducen aquéllas á identidades, en virtud del teorema de los lí-
mites, estaremos en el derecho de deducir que las relaciones
asi halladas son las que, en efecto, ligan á dichos límites.
Otro problema distinto de éste será averiguar si estos límites
tienen interpretación geométrica y qué interpretación es ésta.

Suponiendo, pues, que A' tiende hacia cero, los senos de %
en [28] y [29] tienden también á cero; y, por consiguiente,
puede suponerse el caso en que K y 3” tiendan á la vez hacia
dicho limite sin que se alteren las demás cantidades que in-
tervienen en dichas expresiones. Suprimiendo, pues, estos
dos factores, iguales en su límite, después de haber igualado
el ángulo á su seno, puesto que también ellos tendrán lími-
tes iguales, obtendremos las relaciones pedidas.

51. Para verificar esta operación observemos que en el
límite, Ó sea para A'=0, la ecuación del absoluto en tangen-
ciales, se reduce á la ecuación de dos rectas, que podemos
representar por

2(pu + qv + rw) (pu + qu0v + rw) =0.

Pasando á coordenadas de rectas, la ecuación del plano
que las contiene, ó sea del plano absoluto, es

E
p q r |=0.
Po Qo Fo

Igualando, pues, el seno al ángulo y suprimiendo los fac-
tores que se anulan en [28] y [29], la distancia entre las rec-
tas dadas por (x, y, 2,) (X> Ya 22), SOrá:

| AI Xa Yi 21 |

21 X, Y2 22 Xo Ya Za |

¿LN Lp q or | lp q or!
X1 Yi 2 Xz Y2 Za
Bajio TP Pi OVA
Po QU Fo Po Yo To

A la cantidad a daremos, por convención, el nombre de
distancia lineal entre las dos rectas dadas por sus coordena-
das (X,, Y1, 21) y (X», Y», 22) en este caso límite.

Las expresiones [30] y [32] toman la forma

A (pu, +-qv,+rwXMPyla+QoVa ET Wa) (Pus +qva+rwMPoty + q0V1 EL W) (74)
V2(pu,+qv,+rwXPyl, +G0V¡+F,W,) V2(puz+qV,+rwWXPol2+90V¿ HT ws)”

Ó lo que es igual:

A (Qro 19)W1W3— VW) H(Dor— Proy —Wa411) + (pq. q P Xu V.—U3Vy) -. (7
V2 (pu, +qv, +rw,XPy4,+0V1 Fr oW,) V2(pUus+0V,+r woXpyUs +90 Vo FT Ws) :

Pasando asimismo al límite en la expresión de la distan-

cia de un plano á una recta, puesto que, como hemos visto,

se reduce al caso de la distancia de una recta á otra, viene
aquélla dada por

ets U, X; = V Y, + W 2; [76]
e a de V 2(pu, +QV, 4 FW¡XPol1 + Q0V1 +ToW1)
Po Yo Fo

A la cantidad s” daremos, por convención, el nombre de
distancia linea! entre una recta y un plano, en el caso límite.

52. Nos encontramos, pues, de nuevo con que en el caso
límite, lo mismo que en el caso general, podemos escoger
los valores Po, Go, Fo, P, q y r, que determinan la ecuación del

— 529 —

absoluto (el cual geométricamente no ha perdido la signifi-
cación que le hemos dado en el caso general).
Escojamos, pues, como forma más sencilla

para ecuación del absoluto; lo que significa que
p=1 ” q=V-—1 ” r=0 po =1 ” e Era e) r,=0.

El absoluto es, pues, en este caso, la intersección de los
dos planos imaginarios conjugados, representados en coor-
denadas de rectas por la ecuación

con el plano dado por la ecuación z=0. Esta intersección tie-
ne como coordenadas, según es fácil verificar, x = oo, y = oo.
Si, pues, por convención, llamamos plano del infinito al re-
presentado por la ecuación z = O, resulta que, en el caso
límite, el absoluto es el conjunto de dos rectas imaginarias
conjugadas situadas en el plano del infinito. Es decir; en el
caso límite, la GEOMETRÍA de la radiación es idéntica á la
geometría de la radiación paralela euclidiana.

En este caso, todos los ángulos planos de la radiación se
reducen á cero, sin que se identifiquen las coordenadas de
las rectas (al menos, sin que esto suceda necesariamente).
Llamemos paralelas á dos rectas que se encuentran en este
caso.

La distancia [73] entre dos rectas que se encuentran en
esta posición, se reduce á

Ve, — X3)? + (Y, — Ya).

La expresión [74] de la distancia angular entre dos planos
es, en este caso,

=' 530 —

Uy Uy $ VaV, UV, — Us Vy

T= df. COS — IIA

Y u2, ez l Vi, + v, Vie, + 2, Vu. + v?

y que puede escribirse también

7 u
ar.ti—L-—ar.tg—,
Vi V,

L

y, por último, la expresión de la distancia de una recta á un
plano es
Uy Xy + V1Yy + W121
Viñ +

,

que son las expresiones ordinarias de geometría plana, en
coordenadas cartesianas rectangulares, halladas para la geo-
metría prismática, por un procedimiento nuevo. En realidad,
estos teoremas no son más que los correlativos de la geome-
tría cayleyana, de donde están calcados!.

53. Las coordenadas absolutas de rectas (núm. 33) tie-
nen por límite las cartesianas. Las tangenciales (núm. 34),
á las pluckerianas. Las triédricas, á las ternarias trilineales, y,
por último, las polares tienen por fórmulas de transformación
en el límite (núm. 36),

E =p C0Sw
n= e senw
=D.

I 8 8.0

Dejando para una segunda Memoria el desarrollo de la
geometría de la radiación, especialmente en el sistema pseu-

1 A sixth memoir upon Quantics, by. Arthur Cayley, Esq., F. R.S.
página 87.

— 531 —

doesférico v para los problemas no sujetos á la ley de co-
rrelación; pues, en lo demás, sería difícil añadir algo impor-
tante á lo que mi estimado amigo y respetado profesor, el
Sr. Vegas, dice en su obra ya citada; dejando, además, algu-
nas aplicaciones prácticas de que es susceptible esta teoría,
así como su extensión á la geometría de tres dimensiones,
terminaré esta ligera indicación sobre las bases de la geome-
tría angular de la radiación, llamando la atención sobre al-
gunas consecuencias de interés puramente teórico que, ya
desde ahora, nos encontramos en estado de sacar.

Primera consecuencia.—Es posible establecer una métrica
y una analítica, directamente sobre los postulados de Rie-
mann, y sín apoyarse para nada en la teoría euclidiana de
las paralelas, sea cual fuere la naturaleza del espacio En
efecto; geométricamente considerado, un número puede re-
«presentar lo mismo una distancia angular que una distancia
lineal, sin que haya más razón para tomar una interpreta-
ción que otra. Por consiguiente, cuando los autores de geo-
metría general, como Tilly, Cesaro, Study, Riemann, etc., nos
hablan de distancias y de números, que determinan la posi-
ción de un elemento, estamos en el derecho de aplicar sus
conclusiones, lo mismo al caso de puntos determinados por
distancias lineales, que al de rectas determinadas por distan-
cias angulares. Esto supuesto, los autores de metageometría,
por distintos procedimientos, vienen todos á parar en una
consecuencia común, á saber: en un espacio de tres dimen-
siones, homogéneo, no hay más que tres geometrías posi-
bles: una euclidiana, otra riemanniana y otra lobatchefskiana.
De esta proposición general y de las establecidas en esta
Memoria, podemos deducir que, no pudiendo ser jamás eu-
clidiana la geometría de la radiación propia en ninguno de
los tres sistemas, es necesariamente lobatchefskiana ó rieman-
nianas; pero como hemos visto que estas dos geometrías, en
el caso de la radiación, son perfectamente compatibles y se
reducen á dos sistemas distintos, que pueden adoptarse ar-

— 532 —

bitrariamente, resulta que la geometría noeuclidiana de la
radiación es independientemente de la llamada constante es-
pacial, y cierta en las tres clases de espacios metageomé-
tricos.

Segunda consecuencia.—De los mismos principios, se de-
duce en segundo lugar, que á toda proposición de geometría *
plana, noeuclidiana, corresponde una proposición de geome-
tría angular de la radiación sin excepción alguna. Provisto
de esta clave puede, pues, el lector emprender el estudio de
los trabajos de todos los geómetras noeuclidianos, seguro
de encontrar en ellos multitud de teoremas importantes de
geometría angular, resueltos, á veces, con una novedad y
elegancia admirables. Como ejemplo, que puede familiarizar-
se con esta clase de ejercicio, citaré una Memoria famosa de
Newcomb !, donde, haciendo la traducción conveniente, en-
contrará el lector fácilmente muchos de los teoremas y pro-
piedades demostradas en el $ 6.” de esta Memoria.

Tercera consecuencia.— Lo dicho nos permite dar una
nueva demostración del famoso Teorema de Lobatchefsky, á
saber: El postulado de Euclides es indemostrable. En efecto,
el tal postulado puede, en vista de lo demostrado en esta
Memoria, plantearse así: De las definiciones fundamentales
se deduce que entre el plano y la radiación de vértice propio
existe una diferencia esencial; aquél tiene una recta en el in-
finito, por lo que sólo le es aplicable la geometría euclidiana;
la radiación propia no tiene elementos en el infinito, por lo que
sólo le son aplicables las geometrías de Riemann y de Lobat-
chefsky.

Lobatchefsky dice que esta proposición es indemostrable;
yo creo que sería más exacto decir que es falsa. En efecto;
de las definiciones del núm. 1 no se sigue, ni puede seguir-
se, que entre el plano considerado como lugar de puntos y

1 Elementary theorems relating to the geometry of a space of three
dimensions, etc. Journal... von Crelle, 1877, t. LXX XIII, pág. 293-300.

— 533 —

rectas y el punto, considerado como vértice de una radiación
de planos y rectas, exista diferencia alguna, ni esencial ni
accidental. Para convencerse de ello, basta en las proposicio-
nes de dicho número colocar la palabra punto en vez de la
palabra plano, y viceversa, y se volverán á encontrar las
mismas proposiciones que antes en distinto orden. Esto
prueba que dichas proposiciones son, por decirlo así, símé-
tricas con respecto á estos dos elementos. Por consiguiente,
es enteramente imposible llegar, por un desenvolvimiento ló-
gico de las ideas establecidas en esas proposiciones, á en-
contrar la más pequeña diferencia entre el plano y la radia-
ción. Pero ¿podría establecerse dicha diferencia, mediante
algún carácter, no contenido en dichas proposiciones, aunque
compatible con ellas? En primer lugar, de esto nada nos
dice el teorema de Lobatchefsky, como se ve fácilmente; lo
que será bueno tener presente, para no atribuir á este teo-
rema una significación, que no tiene, y que han querido dar-
le algunos autores. En segundo lugar, el problema de añadir
á las proposiciones fundamentales del núm. 1 otra proposi-
ción, definición, postulado ó como quiera llamarse, que com-
plete las nociones de punto, recta y plano, no es un proble-
ma matemático, sino filosófico. Esto supuesto, el teorema de
Lobatchefsky, lejos de oponerse á que se añada á las dichas
proposiciones una más, parece exigirlo imperiosamente. En
efecto; si esas definiciones han sido admitidas para estable-
cer de una manera refleja y científica las nociones vulgares
de punto, recta y plano, diciéndonos estas nociones que exis-
te indudablemente una diferencia entre el plano y el punto,
y asegurándonos, por otra parte, el teorema de Lobatchefsky
que las proposiciones admitidas hasta hoy no bastan para
establecerla, síguese que á dichas proposiciones hay que
añadir una más, si se quiere que llenen completamente el fin
á que se las destina. El problema, pues, entre euclidianos y
no euclidianos debe plantearse así: ¿existe algún carácter
métrico diferencial entre el plano y la radiación?

Lol,

Cuarta consecuencia.-- Sin indicar siquiera las distintas
soluciones que pueden darse á este problema, establezcamos
una consecuencia importante que se sigue ya desde luego de
esta nueva manera de plantearlo. La compatibilidad lógica
de los distintos sistemas geométricos con las definiciones
fundamentales de recta y plano y punto no basta para ase-
gurar que dichos sistemas son aplicables indistintamente al
plano ó á la radiación. En efecto; hemos visto que la geome-
tría euclidiana no es aplicable á la radiación de vértice pro-
pio; luego, por idéntica razón, las geometrías no euclidia-
nas podrían no ser aplicables al plano.

De aquí se sigue la distinción importantísima entre geome-
trías no euclidianas y CONCEPCIONES no euclidianas del espa-
cio. Hemos visto que las teorías no euclidianas, aplicadas
exclusivamente á la radiación, no se oponen en nada á la
concepción euclidiana del espacio. Puede, pues, admitirse la
. exactitud absoluta de las geometrías no euclidianas y, al mis-
mo tiempo, la verdad de la concepción euclidiana del espa-
cio con tal de que, al mismo tiempo, se admita también que
dichas teorías son aplicables sólo á la radiación y mediante
una métrica angular.

El problema de las GEOMETRÍAS está, pues, definitivamente
resuelto en favor de los geómetras no euclidianos. Indudable-
mente, sus geometrías son ciertas, son independientes de la
teoría de las paralelas, equivalentes á la geometría de Eucli-
des, por lo que toca á las aplicaciones prácticas, y aun aña-
diré que, para mi gusto particular, son más ingeniosas y más
sintéticas que aquélla.

¿Puede decirse otro tanto del problema de la concepción
filosófica del espacio? Por ahora contentémonos con hacer
constar que el teorema de Lobatchefsky nada nos dice sobre
este segundo problema.

En segundo lugar, y más como un ensayo que someto á
la aprobación del lector, que como una proposición demos-
trable, he establecido en el párrafo último una definición de

— 535 —

distancia lineal, que, añadida á las proposiciones del nú-
mero 1, deja sólo posible la concepción euclidiana del espa-
cio, sin quitar nada de su importancia á las geometrías no
euclidianas, antes al contrario, considerándolas como una
métrica más general que la euclidiana y haciendo una sínte-
sis natural y sencilla de todos los sistemas posibles de la
moderna Metageometría.

Sin avanzar, pues, afirmación alguna sobre el segundo de
los problemas antes enunciados, es decir, sobre el rigor filo-
sófico de las concepciones no euclidianas del espacio, lo que
sería ajeno á este trabajo, voy, para terminar, á plantearlo de
otro modo, tal como debe planteársele una vez admitido el
valor lógico de la geometría angular de la radiación. De este
planteo se seguirán dos ventajas: en primer lugar, se preci-
sará del todo la proposición, cuya verdad ó falsedad habrá
que demostrar en lo sucesivo; en segundo lugar, se fijará
por completo el terreno de la discusión.

Los partidarios de la concepción euclidiana del espacio, en
vez de ocuparse en demostrar el postulado de Euclides en
el sentido tradicional de este problema, empresa absurda é
inútil, puesto que hemos visto que semejante demostración
es imposible, han de dirigir sus trabajos á demostrar que,

A), TODA métrica compatible con las definiciones adop-
tadas de recta, punto y plano, puede ser IGUALMENTE apli-
cable á la medida del espacio real.

Demostrada esta proposición, que sería, si se quiere, un
nuevo postulado, de lo dicho en esta Memoria, se deduce
que las concepciones noeuclidianas del espacio son inadmi-
sibles. En efecto, hemos demostrado:

B), que existen tres geometrías posibles é igualmente ló-
gicas;

C), que las tres no son igualmente aplicables al plano y
á la radiación propia.

De estas tres proposiciones se sigue que las geometrías ó
sistemas métricos noeuclidianos son exclusivamente aplica-

Rrvy. Aca. Cimncias.—V.—Febrero, 1907. 36

— 536 —

bles á la métrica angular de la radiación y no al plano. Pues-
to que, si fuesen aplicables á éste, el sistema euclidiano no
sería aplicable al plano (cuya geometría sería noeuclidiana),
tampoco sería aplicable á la radiación (puesto que á ella es
siempre y en todos los espacios inaplicable). Luego la geo-
metría euclidiana no tendría ninguna aplicación al espacio
real, lo cual es contra la proposición A). Pero las concep-
ciones nozuclidianas del espacio exigen que los sistemas no-
euclidianos sean aplicables al plano real; luego dichas con-
cepciones son inadmisibles.

Queda, pues, establecido que sí con los metageómetras
concedemos iguales derechos á todos los sistemas posibles,
en un espacio donde se verifiquen las definiciones fundamenta-
les de punto, recta y plano, las concepciones noeuclidianas de
este espacio son absurdas; consecuencia precisamente inver-
sa de la que se ha pretendido sacar.

Resta por demostrar la proposición A). Ahora bien; fácil-
mente se ve que su establecimiento es un problema de orden
puramente filosófico; depende de la teoría que cada cual
adopta sobre la objetividad de las ideas abstractas. Se trata
de averiguar si todo desenvolvimiento lógico de una abstrac-
ción tiene una significación real, fuera de la consideración
del entendimiento, y hasta qué punto!. Los relativistas y
muchos idealistas resuelven por la negativa, y, para ellos,
en especial para los primeros, el problema del espacio no
tiene solución posible, en absoluto; pero siempre podremos
encontrar una solución práctica suficientemente exacta para
el estado actual de nuestros conocimientos. Los que admiten
la proposición A) tienen que sostener que las geometrías
lineales del plano noeuclidiano son simplemente una colec-

!” Exactamente lo mismo debería decirse, si, en vez de la pro-
posición A), ponemos esta otra: La definición de distancia lineal,
dada en el núm. 47, corresponde, en realidad, á lo que en la práctica
entendemos por distancia lineal.

— 537 —

ción de palabras, sin sentido alguno, resultado de una subs-
titución puramente mecánica de las palabras punto, recta,
plano, donde debieran decir recta, plano, punto. De todos
modos, la discusión se ha trasladado completamente al te-
rreno filosófico, sín que el antiguo argumento sacado de la
existencia de las geometrías noeuclidianas pruebe lo más mí-
nimo en favor de las concepciones noeuclidianas del espacio.

Esto no significa, de ninguna manera, que el problema
haya dejado de ser uno de los más obscuros que se presen-
tan al entendimiento humano y que, por su transcendencia
y lo ligado que se halla con la teoría del origen de las ideas,
no lleva trazas de resolverse por ahora.

OBRAS CONSULTADAS PARA LA COMPOSICIÓN DE ESTA MEMORIA

«Tratado de Geometría de la Posición >». Madrid, 1899. —D. EDUAR-
DO TORROJA.

«Tratado de Geometría analítica». T. 1, segunda edición. Ma-
drid, 1906.—D. MIGUEL VEGAS.

«Essai de Géométrie Analytique générale». Mémoires couronnés
et autres mémoires publiés par 1"Académie royale de Belgique (Coll.
in 8.9), t. XLVII. Memoria leída en la clase de Ciencias en 10 de Mayo
de 1892.—M. DE TILLY.

«Elementary theorems relating to the geometry of a Space of
three dimensions and of uniforme positive curvature in the fourth di-
mension». Journal fiir die reine angewandte...... von Crelle, 1877,
tomo LXXXIII, pág. 293 300.—M. SIMÓN NEWCOMB.

«Principes fondamentaux de la géométrie non-euclidienne de Rie-
mann». París, 1895. —M. PAUL MANSION.

«Kiirzeste Wege im Komplexen Gebiet». Mathematische Anna-
len, LX, 1905. Deducción de la noción algébrica de distancia, á partir
de las propiedades de las formas hermitianas bilineales complejas.—
E. STUDY.

« Géométrie imaginaire ». Journal..... von Crelle, t. XVII pág. 295.—
LOBATCHEFSKY .

e AL

«Nouveaux principes de la géométrie avec une théorie compléte
des paralléles ». Traducción al francés del ruso por F. Mallieux. Bru-
xelles, 1901.— LOBATCHEFSKY.

«Sur Pemploi d'un tetraédre de référence mobile en géométrie
Cayleyenne». Comp. R. de 1'Acc. des Sciences, 1904, CXXXIX, pági-
nas 393-396.—M. A. DEMOULIN.

«Lezioni di geometria intrinseca». Nápoles, 1896.—S. E. CESARO.

« A Sixth Memoir upon Quantics >». Philosophical transactions, 1859,
tomo CXLIX, pág. 61-90.—ARTHUR CAYLEY.

«Le cinquiéme livre de la métagéométrie ». Mathesis, 3.? serie, t. l,
1901, pág. 177.— M. P. BARBARIN.

«Etudes de Géométrie analytique non-euclidienne». Bruxelles, 1900.
M. P. BARBARIN. :

«Etude critique sur la théorie géométrique du général Tilly». Re-
vue de Métaphysique et de Morale. Janvier, 1904, pág. 75. — M. G.
LECHALAS.

«Pour la géométrie non-euclidienne». Suivi de diverses notes.
Colección de varios artículos sobre este asunto. Gand, 1898. — M. P.
MANSION.

«Sur la géométrie non-euclidienne» (de Lobatchefsky). Nouvelles
Annales de Mathématiques. Fevrier, 1893, pág. 74.—M. GERARD.

XXII. — Elementos de la teoría de la elasticidad; por José Eche-

re
garay . ............... .. . . . aero eS pa

a XXII!. —Estudios de Síntesis mineral,
: MOUrElO +. vn. coast ete UA

La subscripción á esta RuvIsTa se hace por tomos comp!
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 fr
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia; calle de V:
verde, núm. 26, Madrid. E >

Precio de este cuaderno, 1,25 pesetas.

CADEMIA DB CIENCIAS

E) y y

EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

DE

MADRID

"TOMO V.-NÚM. 9.
(Marzo de 1907.)

e e o MADELD |
IMPRENTA DE LA GACETA DE MADRID

- CALELR a PONTEJOS, NÚM. 8.
COMO

ADVERTENCIA

A

“Los originales para la Revista de la ao

la Corporación, antes del dia 20 de cada 1
pues de otro modo quedará su publicación p p(
el mes siguiente. . de:

— 539 —

XXVI. — Elementos de la teoría de la elasticidad.

POR JosÉ ECHEGARAY.

Conferencia tercera,

SEÑORES:

El carácter de conferencias que doy á los presentes estu-
dios, ya orales, ya escritos, me permite una amptitud en la
exposición, que no tendría, si se tratase de un curso divi-
dido en lecciones ó de una obra didáctica, en que todo se
ha de encadenar lógicamente, en que toda repetición debe
evitarse y en que el estilo ha de ser constantemente preciso
y severo.

En cambio, como ya he dicho en otra ocasión, en estas
conferencias tengo gran libertad, de la que ampliamente he
de aprovecharme, sacrificándolo todo á la claridad del pen-
samiento y, si es posible, á la sujestión científica que pueda
ejercer sobre mis oyentes. |

Me aprovecho, pues, de esta circunstancia para repetir,
condensando, lo que expuse en la última conferencia.

Dije en ella, que en el método de Cauchy se consideraba
cualquier sistema elástico, limitado ó ilimitado, como un con-
junto de puntos sujetos á fuerzas interiores, todas ellas cen-
trales; á fuerzas exteriores distribuidas en la masa; y, si el
sistema era limitado, á fuerzas que actuasen sobre la su-
perficie.

El problema consistía, si se trataba del equilibrio: en de-
terminar las componentes del desplazamiento u, v, w, en
función de las coordenadas de cada punto, Ó sea para cada
punto del sistema.

Rey. Aca. Cieuycias.—V.—Marzo, 1907. 37

— 540 —

Si se trataba del movimiento, en determinar, asimismo,
dichas componentes del desplazamiento por cada instante
y para cada punto, ó sea: u, v, w, en función de x, y, z y f.

No había para ello más que aplicar; en cada masa, las tres
ecuaciones de la mecánica á los puntos libres, con lo cual
tendríamos:

1. En el caso del equilibrio, n grupos de tres ecuacio-
nes cada uno, siendo n el número de puntos Ó masas; por
consiguiente, tantas ecuaciones como incógnitas.

2." Si se trataba del movimiento, tendríamos, asimis-
mo, 3n ecuaciones diferenciales, que serían evidentemente
ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden. Las
funciones serian 4, V, W; U,, V,, W;, ....., y la única variable
independiente, el tiempo. Las coordenadas de cada pnnto re-
presentarán el papel de constantes de las ecuaciones.

Todo esto resulta de que las fuerzas internas entre cada
dos puntos, dependen de los desplazamientos de estos pun-
tos, según lo desarrollamos minuciosamente en la conferen-
cia anterior.

Nada más sencillo que el planteamiento del problema: es
un problema de Mecánica racional de extraordinaria sen-
cillez.

Pero, una vez planteado, la resolución de las ecuaciones
es absolutamente imposible, y la solución del problema, ilu-
soria de todo punto, porque el número de puntos n es enor-
me: es de millones y millones; para la inteligencia humana
es como si 1 fuese infinito.

Las Matemáticas no saben, mejor dicho, no pueden resol-
ver un número infinito de ecuaciones.

Esto parece á primera vista, y, sin embargo, tan peligro-
sas son las proposiciones absolutas, no sólo cuando revelan
soberbia, sino cuando reflejan modestia, que el aventurar la

— 541 —

proposición anterior, hemos cometido un error que en breve
vamos á rectificar.

Para ello, propongámonos transformar el problema intro-
duciendo en él diversas modificaciones.

En la conferencia última, introdujimos dos simplificacio-
nes: de gran importancia la primera, y la segunda que trans-
formaba el problema de tal suerte, que en vez de dejar un
número infinito de ecuaciones, las reducía sólo dá tres.

1.7 Observando que las fuerzas interiores entre dos pun-
tos son despreciables, cuando la distancia entre dichos pun-
tos pasa de un límite á que llama radio de actividad mole-
cular, para obtener los componentes de las fuerzas interiores,
que actúan en cada masa, trazamos alrededor de ésta, como
centro, una pequeña esfera de radio e, cantidad que llamá-
bamos radio de actividad y prescindíamos por completo del

« resto del sistema.

Es decir, que sobre cada punto, sólo ejercen influencia di-
recta para el equilibrio ó para el movimiento los puntos ma-
teriales que están dentro de su esfera de actividad.

Más claro; en un sistema V, fig. 8.*, para establecer las
ecuaciones de equilibrio del punto m, sólo se contará, en el
cálculo de las fuerzas internas, con los puntos que están
dentro de la esfera e; para el punto m' sólo se contará igual-
mente con los puntos interiores á e”, y así sucesivamente. Y
en cada caso se prescindirá en absoluto del resto del sis-
tema V.

Dichas esferas e, tienen por radio e.

Esto es lo mismo, que hacíamos en el curso anterior al
estudiar el equilibrio ó el movimiento de una serie de puntos
en línea recta, cuando suponíamos, que para cada punto
sólo había que tener en cuenta los dos inmediatos entre los

— 542 —

cuales estaba colocado: lo que en aquel caso era r, es en
este caso e.

Simplificación importante, pero no porque reduzca á lími-
tes prácticos el número de ecuaciones. Estas continúan sien-
do en número 3n; es decir un número de millones y millo-
nes, que para nosotros es como si fuera infinito.

En cambio, como sólo se tomarán en cuenta valores
de u, v, w, muy próximos, es decir, para puntos compren-

Figura 8.”

didos en la esfera e, las diferencias de las componentes de
los desplazamientos 4, — 4, V, —U, W, —W o... serán su-
mamente pequeñas, y serán lícitos los desarrollos en serie
limitándonos á los primeros términos.

2.” En cambio, la segunda simplificación es transcenden-
tal, y tanto, que hace el problema posible; cuando no lo se-
ría si fuera preciso manejar 3n ecuaciones, ya que el núme-
ro n es inmenso.

Recordarán mis oyentes, que después de desarrollar las
ecuaciones del equilibrio del movimiento, y de hacer en ellas
varias simplificaciones é hipótesis, llegábamos á tres ecua-
ciones para el equilibrio de cada punto, que abreviadamente
podremos expresar de este modo:

— 543 —

A + miPy > O,
Ay + M¿Fy =0,
A, le moy F¿ = 0,

y á otras tres análogas para el movimiento; es decir,

: du

A + m,F, — Mm, A
d?y

A ES Me de == 0
d2w

A, + m,F, — 0 di? == ,

si F se refiere á la unidad de masa.

Representamos abreviadamente por las A polimonios li-
neales, que contienen todas las derivadas de 1.” y 2.” orden
de y, v, w, respecto á x, y, z, en que los coeficientes son fun-
ciones de las masas y de las coordenadas del punto que se
considera, y cuyo equilibrio ó cuyo movimiento expresan las
ecuaciones anteriores.

La forma general de estas ecuaciones es la misma para
todos los puntos del sistema, si es indefinido, y para todos
los puntos, menos los de una zona de espesor «, si es limi-
tado.

En efecto, todas ellas tendrán los tres términos que quedan
indicados: primero, el polinomio lineal respecto á las deriva-
das que hemos llamado A; segundo, la componente de F, y
tercero, la fuerza de inercia.

Respecto á A, para todos los puntos del sistema indicados
antes, tendrá la misma forma, puesto que ya hemos dicho
que es un polinomio lineal respecto á

dada adu:dw du?

CON O

dead dj da

— 544 —

es decir, á las derivadas de u, v, w, de primero y segundo
orden con relación á x, y, z. Por otra parte, los coeficientes
de los diferentes términos son sumas, que se forman de la
misma manera dentro de cada esfera de actividad; de suerte
que sólo dependerán de x, y, z, y serán funciones de estas
variables independientes. Si el cuerpo fuese homogéneo,
serían coeficientes constantes en toda la extensión del sis-
tema.

Luego las 3 n ecuaciones primitivas pueden considerarse
condensadas en sólo tres ecuaciones, dejando á x, y, z su
variabilidad.

En suma, en vez de las 3 n ecuaciones primitivas que eran
simultáneas, tenemos tres ecuaciones en diferenciales parcia-
les, siendo u, v, w las funciones, y siendo x, y, z las varia-
bles independientes para el caso de equilibrio, y x, y, z, f
para el caso de movimiento.

Las x, y, z eran constantes del sistema en las primitivas
ecuaciones de la elasticidad, y son variables independientes
en las ecuaciones en derivadas parciales.

El problema ha pasado de ser imposible, por el número
enorme de ecuaciones, á ser posible, porque ya no hay más
que tres ecuaciones diferenciales.

Sólo que antes teníamos una sola variable independiente,
el tiempo, y ahora tenemos cuatro variables independientes
en el caso general ó del movimiento interno del sistema.

Además, las ecuaciones son de las más sencillas, puesto
que son diferenciales parciales, lineales, y sólo de segundo
orden.

Sin contar con que todavía hemos de simplificar extraor-
dinariamente el número de términos, cuando apliquemos el
verdadero método de Cauchy; pues cuanto vamos diciendo
hasta ahora no son más que generalidades de dicho método
para la mejor inteligencia de mis oyentes.

Por último, los coeficientes de estas ecuaciones lineales,
en general, serán funciones de x, y, 2; pero cuando se trate

- A

de sistema homogéneo, los coeficientes de las derivadas se-
rán constantes, como antes indicábamos.

Y todavía, como veremos en la lección próxima, la sime-
tría del sistema, si existe, nos permitirá simplificar notable-
mente las tres ecuaciones fundamentales, que expresan el
equilibrio ó el movimiento en cualquier punto interior del
sistema.

Así y todo, como veremos, el problema es enormemente
difícil, y sólo puede resolverse por completo en algunos ca-

sos particulares.

Estas dificultades nacen, desde luego, de dificultades pro-
pias á todo problema de integración; pero aun se complican
en este caso por la última sinplificación, que hemos intro-
ducido.

Esta simplificación hace posible la solución del problema,
que de otro modo no lo sería, sino para un corto número
de puntos aislados.

Pero hemos conseguido esta:inmensa ventaja á costa de
una nueva complicación.

Hemos reducido las 3n ecuaciones del problema á tres
ecuaciones no más, aplicables á casí todos los puntos de V,
menos á una zona del mismo sistema lindante con la super-
ficie límite y de espesor s.

Más claro: si V es el sistema de puntos (fig. 9) y está li-
mitado por la superficie S, trazando una superficie inte-
rior S” paralela á la primera y á la distancia e, todos los pun-
tos del sepacio V, comprendido en dicha superficie S”, se en-
contrarán en el mismo caso y darán lugar á ecuaciones de
equilibrio de la misma forma y en que los coeficientes
serán funciones idénticas de x, y, z, que sólo variarán de
un punto á otro por la substitución de unas á otras coor-
denadas: así por ejemplo, los puntos m,, m.,, m;, dan lugar á

— 546 —

ecuaciones diferenciales parciales de la misma estructura al-
gébrica y que pueden estar comprendidas en un solo grupo
de tres; basta substituir á x,, y,, 2,, del punto m, las xo,
y», Za del punto m, Ó x;, y;, 25, del punto m,, es decir, que
tendremos un solo sistema en que x, y, z, serán las varia-
bles independientes, además del tiempo si se trata de un
problema del movimiento.

Figura 9.*

Pero no se puede aplicar lo que acabamos de exponer ni
á puntos que está en la superficie S ni á puntos de la zona
de espesor e.

Por ejemplo; para el punto m, que está en la superficie S
no existe esfera de actividad e como para los puntos del es-
pacio V,, sino una semiesfera e,, que será la que marque el
límite de las * correspondientes al punto m,; luego ya los
coeficientes de las ecuaciones diferenciales tendrán formas
distintas y las ecuaciones no serán del tipo general antes
indicado.

Si el cuerpo no es homogéneo, los coeficientes de las ecua-
ciones diferenciales para m, serán funciones diferentes de
las que hemos hallado para el polinomio A.

Y si el cuerpo es homogéneo, serán constantes para toda

de AS
RA o

— 547 —

la superficie límite, pero constantes diversas de las que co-
rresponden á los puntos interiores.

Es más; veremos en la lección próxima, que los coeficien-
tes de las derivadas de primer orden, se anulan por razones
de simetría dentro de la esfera de actividad, pues esta sim-
plificación no puede aplicarse á la esfera e, del punto m,.

De manera que tenemos ecuaciones generales, que se re-
ducen á tres para todo el espacio V,, que es casi todo el es-
pacio V; pero estas ecuaciones no se aplican á la zona
V— V, de espesor e. Las ecuaciones para esta zona son
distintas á las anteriores en la forma y en los coeficientes, y
sin embargo, para la integración hay que tenerlas en cuenta,
porque dicha zona influye en el equilibrio ó en el movimiento
de las masas contenidas en V,, no directamente, pero sí por
trasmisión, si la palabra vale.

Pero la dificultad es todavía mayor: hasta aquí hemos con-
siderado dos casos extremos; Ó que el punto pertenecía al
espacio V, como m;,, m»,, m;, Ó que pertenecía á la superfi-
cie como m2; pero puede suceder, y éste será el caso gene-
ral, que el punto pertenezca al interior de la zona, como m,,
y sus ecuaciones de equilibrio no serán ni de la forma que
corresponde m,, ni de la que corresponde á m;,. De suerte
que, en rigor, si para el espacio V, hemos conseguido redu-
cir el número infinito de ecuaciones diferenciales á tres, este
número infinito de ecuaciones, batiéndose en retirada, si se
me permite la frase, se ha reconcentrado en la zona de es-
pesor e para la cual todas son distintas.

Precisamente estas ecuaciones son las que establecen la
continuidad entre el espacio V, y la superficie.

Querer identificar desde luego las ecuaciones diferenciales
de la superficie S” con las ecuaciones diferenciales de la su-

— 548 —

perficie limite S, prescindiendo de la continuidad que esta-
blece la zona, á primera vista es un absurdo y una imposi-
bilidad.

En los otros métodos para resolver el problema de la
elasticidad, que estudiaremos después del de Cauchy, se
procura salvar estas dificultades por diferentes medios más
Ó menos ingeniosos, más ó menos atrevidos; pero la difi-
cultad siempre palpita en el fondo, como veremos en dife-
rentes ejemplos.

Para no dejar ninguna duda, volveremos un poco atrás
en este análisis, aclarando un punto, que no hemos dilucida-
do por completo, aunque es tan sencillo, que hasta resulta-
ría inútil la explicación, si no fuera porque me he propuesto
allanar por completo el camino á mis oyentes, evitándoles
toda duda ó confusión, al menos hasta donde yo pueda.

La reducción de las ecuaciones diferenciales simultáneas
en número infinito á tres únicas ecuaciones en diferenciales
parciales, se funda en esta circunstancia: que una vez ex-
presadas u, v, w, por medio de sus coeficientes diferencia-
les por virtud de la fórmula de Taylor, todas las ecuaciones
primitivas se convierten en polinomios de primer grado de
dichas derivadas, y que sus coeficientes, para cada tres ecua-
ciones relativas á las tres componentes de las fuerzas inter-
nas, son funciones de la misma forma, en x, y, z, porque de
la misma manera se obtienen.

Pero en estos coeficientes entran las masas. ¿Entrarán del
mismo modo, y continuarán siendo los coeficientes de las
ecuaciones de la misma forma en x, y, 22

Esto sucede evidentemente.

Porque recordando cómo se han formado estas ecuacio-
nes, por ejemplo, para el punto m,, podemos observar:

1. Que en todos los términos de XP entran en cada uno

— 549 —

de ellos m, m,, m, mz, mM, M,.....; además, en el término F
entra también m,, porque es m, F, y en el término relativo á
la fuerza de inercia, también entra m.,.

2. Que, por lo tanto, podemos dividir toda la ecuación
por m,, y ya no entrará ninguna masa en los dos últimos
términos de cada ecuación.

3. Que en * P, después de dividir por m, en cada tér-
mino entrará una masa Mm,, Mm:..... Pero nótese que todas
estas masas están comprendidas en una de las pequeñas es-
feras e de actividad, y que, por lo tanto, si el cuerpo es ho-
mogéneo y las masas son iguales podrá sacarse una masa
cualquiera como factor común para todo el término, y aun
podrá substituirse por m,, que está dentro de la misma es-
fera. Pero aun suponiendo que el cuerpo no sea homogéneo
y que las masas sean distiutas, en último resultado estarán
expresadas por la misma función de x, y, z, y todas las > Ó
las integrales que las substituyen tendrán la misma forma
sea cual fuere el punto que se considere.

Queda, pues, desvanecida la duda á que antes nos refe-
ríamos.

Pero queda en pie, reanudando lo que veníamos diciendo
antes de la presente digresión, la dificultad principal relativa
á la superficie límite.

Y cosa singular, el problema es mucho más sencillo cuan-
do el sistema es indefinido, que cuando está limitado.

En el primer caso, las tres ecuaciones fundamentales, en
diferenciales parciales de segundo orden de u, v, w, con
relación á x, y, z, para los problemas de equilibrio, y á x, y,
z, t, para los problemas del movimiento; estas ecuaciones,
repetimos, se aplican á todos los puntos del espacio infinito,
sin dificultades ni excepciones, porque siempre, alrededor de
cada punto a, se podrá trazar la esfera de actividad de a,

<=

y las ecuaciones tendrán la misma forma para ese punto que
para otro cualquiera.

Toda la dificultad consistirá en integrarlas: dificultad enor-
me por regla general, pero de distinta índole, que la que nace
de una imposibilidad ó de una contradicción entre los térmi-
nos del pvoblema, como antes señalábamos.

Y en este caso, las condiciones relativas al instante ini-
cial, es decir, desplazamientos iniciales, y velocidades inicia-
les, si se trata del movimiento, pueden ser satisfechas sin
imposibilidad alguna, en general, según demuestra la teoría
de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, y
según vimos, para un ejemplo, en el año anterior.

El problema físico queda determinado, en un sistema inde-
finido conociendo las masas, la distribución de éstas, la ley
de las fuerzas internas, es decir, la curva de Saint-Venant,
las fuerzas externas que actúan sobre el sistema, los despla-
zamientos iniciales y las velocidades iniciales, y suponiendo,
para simplificar, que sólo se trata de movimientos sumamen-
te pequeños.

Pues á la vez y paralelamente, por decirlo así, está deter-
minado el problema analítico y la solución es única, como lo
era para las ecuaciones primitivas en diferenciales simul-
táneas.

La solución será difícil, será insuperable quizá; pero que,
la conozcamos ó no, existe y es única. ;

Dicho sea todo esto dentro de los límites de la Ciencia
actual.

Pero desde el momento en que el sistema tiene una super-
ficie límite, las dificultades, no sólo crecen, sino que cam-
bian de carácter, como hemos dicho varias veces, porque ya
las ecuaciones diferenciales del interior del cuerpo no se
aplican á la superficie ni á la zona inmediata de espesor e.

— 551 —

Como vimos en el ejemplo de la conferencia 5.* del año
anterior, la ecuación

se aplicaba á todos los puntos menos á los dos puntos ex-
tremos, que alli eran los límites; porque para los puntos in-
termedios, cada uno de ellos estaba entre otros dos, y esto
no le sucede á los puntos extremos, de modo que la integral
que encontrábamos para la ecuación anterior no era la inte-
gral de todo el sistema: podrá, cuando más, ser una integral
aproximada; pero habrá que modificarla al llegar á los pun-
tos límites.

Y no se diga, que á fuerza de buscar soluciones particu-
res para la ecuación diferencial y de formar con estas solu-
ciones particulares, soluciones más y más generales, se sal-
va en general la dificultad; porque todo lo arbitrario, es
decir, todo lo disponible que pueda haber en la integral ge-
neral, sólo basta para cumplir las condiciones del instante
inicial, á saber: desplazamientos y velocidades para t=0.
Y ya no queda la arbitrariedad ó la disponibilidad necesaria,
como no sea alguna constante, para satisfacer las condicio-
nes de los límites, á saber: en el ejemplo citado, las de los
puntos extremos, en el caso general, las de la superficie que
limita el sistema.

Si se nos permite expresarnos de este modo, diremos
que el resorte de las integrales generales, se agota en satis-
facer á las condiciones iniciales, y que no queda nada para
las condiciones relativas á los límites, exceptuando casos
particulares, y salvo lo que resulte de un estudio más pro-
fundo, que eso, en otra ocasión lo discutiremos.

y > á ds 2 A y Er Y de
Piti : A

..
Fl

— 552 —

¿Pero no habrá modo de salvar esta dificultad?

Sin llegar al fondo del problema, ni entrar en un estudio
detenido, que convertiría estas conferencias de pura propa-
ganda, en una memoria ó en una monografía, séannos per-
mitidas algunas consideraciones generales, que quizá tenga-
mos necesidad de aclarar y precisar más adelante.

La dificultad ha quedado, por decirlo así, reconcentrada
en la zona de espesor e, que aun con ser de espesor míni-
mo, contiene un número enorme de puntos materiales, ato-
mos ó moléculas.

Establecer las ecuaciones fundamentales del equilibrio del
movimiento para cada punto y para todos ellos, es bien
fácil.

La dificultad consiste en que estas ecuaciones no coinci-
den con las del interior del cuerpo, ni á primera vista pare-
ce que puedan reducirse á un tipo único; porque un punto
en la zona e, puede tener infinitas posiciones distintas, pue-
de estar en la superficie S” ó en la superficie S, Ó á menor ó
mayor distancia de éstas, y parece que la forma de cada
una de estas ecuaciones diferenciales ha de ser diversa.

Sin embargo, haremos una indicación, que por ahora de
indicación no pasa, quizá en otro momento la desarrolla-
remos.

Ocurre, para soslayar en cierto modo la dificultad Ó sim-
plificarla, hacer un cambio de variables independientes.

Tememos, para aumentar la posición de una de las ma-
sas comprendidas en la zona <, las tres coordenadas siguien-
tes, (figura 10.% x, y, e, definidas de este modo: un puuto
cualquiera a comprendido entre las superficies S, S”, es
decir, en la zona V —V, de espesor e, igual al radio de ac-
tividad molecular, se definirá bajando la normal ab á la su-
perficie S, y si representamos la longitud de esta normal
por e, las nuevas coordenadas del punto a serán, como de-
cíamos, x, y, coordenadas del punto b y ab=e, longitud de
la expresada normal.

— 553 —

No tenemos en cuenta la coordenada z, porque como el
punto b está en la superficie'S, cuya ecuación es conocida
por ser la superficie límite, dadas x, y, la ecuación de la
superficie S dará el valor de z y el punto b quedará deter-
minado.

En suma, para la zona que estamos considerando, á las
coordenadas x, y, z del resto del sistema en el espacio V,
hemos substituido las coordenadas x, y, €.

De esta manera todos los puntos de la zona límite que-

,
.
/
[e3 1
,
1
t
'
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1
M
y
Ñ
d S
Ni

>
a

Xx
ES:

Figura 10.

dan definidos; porque el punto b puede recorrer toda la su-
perficie S, y la coordenada e puede variar desde e = 0, en
cuyo caso determina un punto de la superficie límite, hasta
e =e que determinará otro punto en la superficie $”.

Se comprende, en términos generales y sin descender á
pormenores, que nos alejarian del objeto principal, que to-
das las consideraciones que hemos hecho en esta conferen-
cia y en la anterior respecto á x, y, 2, podemos repetirlas
respecto á x, y, e, y así podemos llegar á tres ecuaciones en
derivadas parciales de segundo orden, de los desplazamien-

Pr cd

49

e pa

tos u, v, w, con relación á las variables independientes
Xx, y, €, que se aplicarán á cualquier punto de la zona.

Suponiendo que se sabe integrar esta ecuación, exacta ú
aproximadamente, que este es un problema de cálculo inte-
gral distinto del problema de Fisica matemática que estudia-
mos, habremos obtenido los desplazamientos en función de
las nuevas variables para cualquier punto de la zona.

Si para fijar las ideas llamamos á dichos desplazamientos

Us, Vs, Ws,

tendremos, una vez efectuadas las integraciones, las tres
ecuaciones:

Us=4u (X, y, e),

vs=B (x, y, €),

WT 40)

para los problemas de equilibrio; y en general, siendo las
nuevas a, $, y evidentemente distintas de las anteriores,

AA A
Vo =P E DC

Me TAR e, E

para los problemas de movimiento. Todo esto para puntos,
volvemos á repetirlo, de la zona límite.

Ahora, es preciso que estas ecuaciones tengan bastante ge-
neralidad para satisfacer á las condiciones iniciales de la
zona, que en rigor son las de la superficie S, las cuales se
refieren á los desplazamientos y velocidades iniciales y á las
fuerzas que actúan en dicha superficie. Respecto á lo prime-
ro, las integrales de ecuaciones en derivadas parciales de
segundo orden tienen, por regla general, bastante latitud
para satisfacer á dichas condiciones, y en cuanto á las fuer-

— 535 —

zas, ya están comprendidas y tenidas en cuenta en las ecua-
ciones diferenciales que hemos integrado; pero esto no bas-
ta, es preciso que las integrales anteriores relativas á la
zona límite no aparezcan en contradicción con las integrales
del interior del sistema, que podemos representarlas por

U= Ad Xy, 2)
=D?)
EA)
para el equilibrio y
14= Ark, y,2,1)
WA DN
w= (, (x,y,2,1)

para el movimiento. Es preciso, repetimos, que en la fron-
tera común S, de la zona limite y del interior del cuerpo, los
valores de

Me Vos We U, V, W

coincidan. Pero esta coincidencia se comprende que debe
verificarse, porque las ecuaciones diferenciales parciales de
las variables x, y, e coinciden con las ecuaciones diferen-
ciales parciales de las variables x, y, Z para puntos de la
superficie S,, es decir, haciendo en las primeras e=<. Y si
coinciden las ecuaciones diferenciales, coincidirán las inte-
grales disponiendo, no ya de ninguna función arbitraria,
sino en tal caso de constantes de integración.

Todo esto se ve como intuitivamente: el desarrollo deteni-
“do del método sería el que pudiera darle valor definitivo.

Quizá más adelante apliquemos estas ideas á algún
ejemplo.

De todas maneras, no hay que preocuparse de la varia-
ble z, porque ésta, lo mismo para las ecuaciones del espa-

Rey. Aca. Ciexcias.—V. —Marzo, 1907». 33

— 556 —

cio V al llegar á S,, que para la zona límite, está expresada
en función de x, y, por la ecuación de la superficie S, que
es próximamente igual á la de S”.

En fin, se comprende que la circunstancia de ser e suma-
mente pequeña permitirá introducir simplificaciones impor-
tantes; por ejemplo, desarrollos en series, según e, de los
coeficientes que encontremos, despreciando desde la segun-
da potencia de e en adelante.

Asimismo, como la distancia cb = « es muy pequeña, las
derivadas primeras de u, v, w con relación á e podrán con-
siderarse como constantes respecto á dicha variable en todo
el espesor e, y sólo dependientes de x, y; bastará determi-
nar estas derivadas en los puntos b y c y tomar el término
medio.

Y probablemente podrán igualarse á cero las derivadas
segundas de e.

Volvemos á repetir que estas son consideraciones gene-
rales, que exigen más detenido estudio y el desarrollo com-
pleto de los cálculos, pero que de todas maneras es posible
que salvasen las dificultades aue se encuentran y que he-
mos señalado al pasar del espacio interior V, á la super-
ficie S.

Las ecuaciones diferenciales, así del equilibrio como del
movimiento elástico, las hemos desarrollado, como prepara-
ción para el método de Cauchy, en toda su primitiva exten-
sión, por decirlo de este modo.

Así, los polinomios de A comprendían todas las derivadas
de u, v, w, de primero y segundo orden, con relación
áx, y, z, y esto nos daba 27 coeficientes para cada ecua-
ción y para las tres ecuaciones fundamentales y del equili-
brio Ó del movimiento 81 coeficientes.

Claro es que número tan considerable puede reducirse

— 557 —

desde luego, porque todos ellos no pueden ser indepen-
dientes.

En el interior del cuerpo sólido existen relaciones, que
forzosamente reducen el número anterior, y esto lo veremos
en la conferencia próxima.

Por lo demás, tales ecuaciones pueden plantearse con
eran generalidad, y así las ha planteado Mr. Briot en la
Teoría de la luz, por notaciones simbólicas, como acaso es-
tudiemos en uno de los cursos próximos: al menos este es
mi propósito.

*
ES

Antes de concluir la presente conferencia, quisiera insis-
tir, sin embargo, en algunas consideraciones que ya apunté
al principio.

La primera se refiere al método que hemos seguido, y que
desarrollaremos en la conferencia inmediata, método que es,
en rigor, el mismo que para el problema de la Luz y para la
Acústica, en la Física matemática clásica.

Ya indicamos que en el método seguido hay un verda-
dero dualismo. 4

Un dualismo entre el punto de partida y el desarrollo
analítico.

O sea entre la discontinuidad y la continuidad absoluta.

La hipótesis de Cauchy supone la discontinuidad. Masas
en número enorme, pero separadas por distancias enormes
también, respecto á las dimensiones de cada masa.

El sistema elástico es una especie de sistema astronómico
de cielos archimicroscópicos, si vale la palabra.

La discontinuidad aquí, no nos cansaremos de repetirlo,
es evidente; tanto, que los autores que siguen el método de
Cauchy, empiezan planteando las ecuaciones, no con el sig-

no integral, $ sino con el signo suma, *; esto hace, por

ejemplo, Mr. Briot en su obra citada.

— 558 —

Pero avanza la aplicación del método, y el matemático
que con él quisiera ser consecuente se encontraría con un
número infinito de ecuaciones; y aquí la hipótesis de la dis-
continuidad cambia por completo y de pronto se acude á las
derivadas de u, v, w, y á los desarrollos por la serie de
Taylor, que, en rigor, y en el cálculo clásico, suponen la
continuidad.

Realmente, si dos puntos m y m, están separados por
una distancia r, y entre ellos no hay puntos intermedios, las
componentes de los desplazamientos para estos puntos no
seguirán una ley continua, sino discontinua; y así, siendo

u, v, W las componentes dei desplazamiento para m,

,, V,, W,, las del deplazamiento para m,,

es evidente, que

TA O

Claro es, que esto se supone y se hace en Física experi-
mental, y aun en Física matemática, con grandes ventajas
casi siempre; pero también de esto resultan dificultades y á
veces aparentes contradicciones.

La substitución de la continuidad á la discontinuidad equi-
vale á un método de interpolación, y preocupó mucho á los
fundadores de la Fisica matemática.

Equivale, repetimos, á substituir al sistema discontinuo,

— 559 —

un sistema ficticio continuo, como se substituye á una seric
de puntos una curva que pase por todos ellos.

Pero de esto, que casi siempre es lícito y ventajoso, y
hasta quién sabe si tiene un fondo de filosofía, pueden sur-
gir dificultades precisamente por la discontinuidad de las de-
rívadas.

Por ahora no insistimos más sobre dicho punto y pasamos
á la segunda observación de las dos que antes indicábamos.

Causa cierta sorpresa á los principiantes, y no sólo á los
principiantes, sino á escritores de mérito, que en estas ecua-
ciones de la Elasticidad, como en la Teoría de la luz y en
casi toda la Física matemática, las ecuaciones sean en deri-
vadas parciales de segundo orden y de forma lineal.

Y el principiante ve en estas coincidencias algo extraño,
misterioso, relaciones ocultas entre los más recónditos senos
de la Naturaleza, y entre sus leyes: algo así como una es-
pecie de nueva cábala para uso de los matemáticos y apli-
cación á la Física.

En rigor, tales coincidencias son naturales y no deben ex-
trañarnos.

Lo diré desde el principio en forma muy concreta, aunque
luego tenga que explanarlo.

Son coincidencias, en muchos problemas al menos, que
tienen su origen en haber adoptado un mismo grado de
aproximación para los cálculos; y son casi siempre, y en este
problema de la Elasticidad que estamos estudiando, conse-
cuencia forzosa de la aplicación de la serie de Taylor.

Ella marca con un sello único todos estos problemas para
el planteamiento de las ecuaciones; como luego hay otra se-
rie, la de Fourier, que marca asimismo con su carácter pro-
pio muchas familias de integrales, si se me permite la pala-

— 560 —

bra, dando semejanza y analogía á las soluciones analíticas;
las que á su vez parecen dar analogías y semejanzas á los
fenómenos físicos.

Y cabe aquí la pregunta: ¿será que estas ecuaciones dife-
renciales en derivadas parciales expresen alguna propiedad
íntima de los fenómenos de la Naturaleza?

En rigor, á esta pregunta pueden darse dos contestaciones
distintas.

Un crítico de espíritu positivista, que sólo tenga fe en la
realidad material y en la experiencia, que mire al cálculo
matemático como un artificio más ó menos ingenioso de la
inteligencia humana, pero sin que las fórmulas representen
ninguna ley íntima y profunda de las cosas en sí, tablas
más ó menos cómodas en que se condensan los hechos, y
cuando más, procedimientos nemotécnicos para recordar le-
yes empíricas; todo el que esto piense y esto crea, no dará
importancia á las coincidencias entre las fórmulas aplicables
á las diversas teorías de la Ciencia.

Pero el que considere, que la cantidad es un concepto que
palpita en todos los fenómenos naturales, y aun, si se quie-
re, algo así como un parámetro de éstos; el que haga constar
que todas las ciencias positivas se dirigen y aproximan al
apogeo de su perfección, cuando eliminan el concepto de
cualidad substituyéndolo por el concepto de cantidad, que
es el que aparece en todas las fórmulas y en todas las ecua-
ciones; el que observe, que si la realidad inaccesible depende
de las cualidades, aun en este caso las apariencias, la diver-
sidad, la evolución de los fenómenos pudiéramos decir, de
la cantidad depende y á ella está íntimamente unida; el que
sin llegar á ser metafísico de profesión, tenga aficiones filo--
sóficas, si nos es permitido expresarnos de este modo, éste
dará á las fórmulas y á las coincidencias entre las fórmulas
una transcendencia, que no le dará el primero, el crítico
positivista ó el partidario intransigente de la Fisica experi-
mantal.

— 561 —

Porque si la cantidad palpita en todos los fenómenos, la
ciencia de la cantidad y de sus leyes lógicas ha de marcar
su sello en todos los fenómenos, de suerte que las analogías
en las fórmulas indicarán forzosamente analogías en las va-
riaciones de los parámetros, y esto es algo que con el fenó-
meno en sí mismo se relaciona. Pero aun en tales coinci-
dencias y analogías no hay nada misterioso.

Aclaremos esto por un ejemplo.

Si dos parámetros o y $ de un fenómeno físico están enla-
zados de tal modo, que ya en toda la extensión en que va-
rían, ya entre ciertos límites y de una manera aproximada, á
incrementos iguales del uno corresponden incrementos igua-
les del otro, la fórmula que los enlaza será de primer grado

p=b+- ax,

siendo a, b dos constantes.

Y si en otro fenómeno completamente distinto del prime-
ro, pero que sólo contiene otros dos parámetros a” y $”,
existe de una manera absoluta ó de una manera aproxima-
da la misma proporcionalidad entre los incrementos, tam-
bién estarán enlazados por una ecuación de la misma forma
que la precedente

B=D" Ja:

Y unos dirán: ¡qué maravilla, qué misterio, qué coinci-
dencia tan prodigiosa entre dos fenómenos tan distintos!
¿no están proclamando estas analogías la unidad del uni-
verso?

Y otros dirán: pura coincidencia casual; porque claro es,
que la naturaleza nada tiene que ver con estas fórmulas
abstractas, con estos simbolismo vacios.

Pues á nuestro entender ni unos ni otros tienen razón y
todos exageran.

La coincidencia de ambas fórmulas ni revela misterios, ni

— 562 —

señala prodigios: expresa la aplicación de una ley matemá-
tica, de una ley de la cantidad, á dos fenómenos diversos.

Si son leyes exactas, es que la cantidad de ambos fenó-
menos, para emplear esta palabra, varía del mismo modo:
puede variar la velocidad de un astro por los mismos grados
que varía la sensibilidad de un nervio humano, sin que esto
nos cause asombro. Si son leyes aproximadas, la coinciden-
cia se explica admitiendo, que en uno y en otro ejemplo se '
ha:detenido el matemático en el segundo término de una se-
rie, es decir, en el mismo grado de aproximación.

Esto es natural y sencillo y nada tiene de prodigioso.

Pero no es tampoco casual, ni arbitrario, ni es desprecia-
ble la coincidencia; que el hecho de aplicarse á uno y otro
fenómeno los cánones de la lógica, las leyes de la cantidad,
y al fin las mismas series y hasta el mismo grado de apro-
ximación, sin quebrantar por eso los resultados experimen-
tales, indica un principio de unidad: ó en la Naturaleza; 0
en el ser humano, reflector del fenómeno; ó en ambos á la
vez, que no se comprende que marche cada uno por su
lado sin que al ponerse en relación no resultaran contradic-
ciones perpetuas.

En suma, el hecho de aplicar las matemáticas en mayor ú
menor grado á todas las ciencias físicas revela, á no du-
darlo, un principio de unidad, y hasta habría quien se atre-
viese á formular esta afirmación: la cantidad y sus leyes ma-
temáticas están en todas partes, en todos los fenómenos
inórganicos (pues de otros no tratamos), en todas las cua-
lidades, pudiéramos decir.

Y lo que hemos indicado en el ejemplo sencillísimo que
precede, pudiera repetirse para casi todas las teorías mate-
máticas de la Física.

Si ciertas fórmulas y ciertas relaciones se expresan por

— 563 —

una suma; si cada término contiene una cantidad, que varía
de un punto á otro del espacio, es decir, que es función
de x, y, 2; si estas cantidades se desarrollan por la serie de
Taylor, euyos coeficientes son derivadas referidas al punto
de partida, y si el calculador se detiene en las derivadas se-
gundas, ¿qué tiene de milagroso ni de extraño, que resulten
ecuaciones lineales respecto á las derivadas de primero y
de segundo orden para todos los fenómenos en que esto su-
ceda?

La coincidencia no es coincidencia, ni es casualidad: es
resultado inevitable: 1.”, de la aplicación de las mismas fór-
mulas ó series; y 2.”, del hecho de detenerse en los mismos
términos para obtener el mismo grado de aproximación.

Pero si esto nada tiene de prodigioso, es, por lo menos,
digno de consideración, y vale la pena de que se medite so-
bre el hecho de aplicar y poder aplicar la serie de Taylor á
todos los fenómenos naturales.

Mas, por lo mismo que esta serie es un producto racio-
nal y es una construcción dá priori, ella nos puede dar re-
sultados, 4 priori también, de fenómenos puramente expe-
rimentales.

En resumen, lo a priori pretende dominar á lo a posteriori
por medio del cálculo matemático; como antes se decía, la
razón se impone á la experiencia por la aplicación de las tór-
mulas matemáticas.

Este era, al menos, el espíritu de la Física matemática clá-
sica del siglo pasado.

No ha de desconocerse que, en estos tiempos modernos,
aquella poderosa corriente va desviándose de su cauce
propio.

¿Para buscar cauce más ancho y menos accidentado 6
para perderse en estéril arenal?

La historia del siglo xx, cuando el siglo -xx tenga historia,
podrá contestar á estas preguntas.

— 564 —

XXVII. — Elementos de la teoria de la elasticidad.

POR JosÉ ECHEGARAY.

Conferencia cuarta,

SEÑORES:

Hemos procurado, en las dos conferencias precedentes,
dar un avance ó concepto general de la Teoría de la elasti-
cidad según las ideas de Cauchy, dejando para ésta la expo-
sición completa del método, tal como se publicó en los Nou-
veaux exercices impresos en Praga y formando parte de los
ejercicios de análisis y de Física matemática del eminente
autor.

En muchas obras se han dado extractos de dicho método,
pero como estas conferencias tienen un carácter puramente
elemental, escogeremos una de las exposiciones más sen-
cillas, tomando por guía la de Mr. Laurent, que es breve y
precisa, aunque tendremos que desarrollarla mucho, precisa-
mente para hacerla más clara y sencilla. Cauchy reduce este
problema, como todos los de Física matemática, á un proble-
ma de Mecánica.

Ya lo explicábamos en las conferencias anteriores.

El sistema elástico en cuestión, se reduce á un sistema de
masas en posiciones determinadas y sujetas á fuerzas cen-
trales é internas, todo lo cual define la naturaleza física y
mecánica del sistema en cuestión.

Bajo la acción de fuerzas exteriores, el sistema se deforma,
los puntos sufren desplazamientos, que supondremos muy
pequeños, y el equilibrio y el movimiento es el de un sistema
de puntos libres.

Para cada punto hay, pues, tres ecuaciones de equilibrio,

.

— 565 —

en que no entra el tiempo, si del equilibrio se trata, ó tres
ecuaciones para el movimiento, en que entran derivadas de
u, v, u con relación á f.

Como primera simplificación, se admite, según dijimos, que
cuando la distancia entre dos puntos es superior al radio de
actividad, la acción entre estos puntos es despreciable, de
suerte, que en las ecuaciones de equilibrio de cada punto,
sólo se tendrán en cuenta las acciones de los puntos que le
rodean y que están comprendidos en las esferas de radio +.

Pero es preciso definir la situación del sistema, que se con-
sidera, en el instante inicial.

Sobre este punto algo dijimos en la última conferencia, y
aunque sobre él hemos de insistir más adelante, bueno será
recordarlo para fijar las ideas y evitar toda duda.

Si representamos por X, Y, Z,... las componentes de las
fuerzas deformantes, es decir, de las que actúan sobre el sis-
tema elástico, ocurre preguntar, y este en rigor es un proble-
ma previo: ¿en qué estado se encuentra el sistema al actuar
sobre él las fuerzas X, Y, Z,... ya cuando lo deforman, ya
cuando hacen entrar en movimientos sus diferentes partes?

Decíamos que sobre este particular no estaban conformes
los autores.

Unos suponen que el estado inicial es lo que llaman el
estado natural; ó de otro modo, el estado en que se encon-
traría el cuerpo abandonado á sí mismo, sin que actuase
ninguna fuerza exterior. Las únicas fuerzas actuantes serían
las fuerzas internas.

Otros autores, van más allá, y suponen que el estado na-
tural es aquel en que las componentes de las presiones Ó
tensiones interiores son nulas; caso, como veremos en mo-
mento oportuno, que difiere del anterior, exigiendo ambos

-— 566 —

un estudio especial, que no encontramos en la mayor parte
de los tratados de Elasticidad. Los autores se contentan con
las indicaciones vagas que preceden.

Mr. Poincaré, en su notabilísimo Tratado de Elasticidad,
prescinde en absoluto de lo que se-llama «estado natural»
y toma como punto de partida un estado inicial, perfecta-
mente definido, que es el de la realidad, el de la Naturaleza
pudiéramos decir.

El sistema V está en equilibrio bajo la acción de las fuer-
zas internas y de fuerzas externas perfectamente definidas,
cuyas componentes designaremos por X;, Y, Zj.....

A este sistema es al que se aplican las fuerzas deforman-
tes X, Y, Z.....; y se trata de estudiar sus efectos, es decir,
los desplazamientos u, v, w, para cada punto, en función de
las coordenadas de este punto x, y, 2..... y de las nuevas
fuerzas que han de determinar ciertas deformaciones. La hi-
pótesis del equilibrio inicial, en vez del equilibrio natural, no
sólo está conforme con los hechos, sino que, como dice
Mr. Poincaré, no dificulta en lo más mínimo la solución del
problema cuando puede hallarse dicha solución. Las expre-
siones de u, v y w, en función de x, y, z y X, Y, Z, se ha-
llarán del mismo modo, sea cual fuere el estado inicial, en
virtud de la superposición de efectos, como veremos más
adelante.

Y entremos ya en el problema, que será repetir lo que ya
hemos dicho, aunque en forma más concreta, desarrollando
todos los cálculos é introduciendo nuevas simplificaciones.

Sea el sistema V (fig. 11) limitado ó indifinido.

Tomemos en él un punto A de masa m y busquemos sus
ecuaciones de equilibrio Ó movimiento.

Como estas últimas sólo difieren de las primeras por la
adición de las componentes de la fuerza de inercia de dicho

— 567 —

punto, en adelante no hablaremos más que de las ecuaciones
del punto, sin especificar si se trata del caso particular del
equilibrio ó del caso más general del movimiento.

Tracemos alrededor del punto A la esfera de actividad del
radio e, y consideremos en ella otro punto material A” de
masa mm.

Determinemos la acción de A” sobre A y las componentes
de esta fuerza; y lo que digamos para el punto A” podría-
mos repetir para otro cualquiera comprendido en la esfera «.

Figura 11.

Primero estudiemos el estado de equilibrio inicial de los
puntos m, m/”, bajo la acción de las fuerzas F..

La acción de A” sobre A depende, como sabemos, del
producto de las masas, y de una función de la distancia
r = AA”, función que es la que hemos llamado siempre,
para abreviar, función de Saint-Venant, es decir, f(r).

Pero debemos hacer aquí una observación á fin de acomo-
dar nuestras notaciones á las generalmente adoptadas.

Podemos poner f(r) bajo esta forma:

—:068

TÍ)

r

multiplicando y dividiendo por r. -
Y representando PESE) por f,(r), la función de Saint-Ve-
+
nant será

rfir),

y suprimiendo el sub-índice, para no complicar la escritura,
quedará:

A):

en que claro es, que esta f no es la anterior.

El objeto es evitar un denominador en los cálculos que
siguen, y, como mis oyentes observan, sólo se trata de una
cuestión de notaciones.

Como las proyecciones de A A”, sobre los tres ejes, no
son otra cosa que las diferencias de las coordenadas de los
puntos A y A', tendremos:

proyección de A A' sobre el eje x..... )X
proyección de A 4' sobre el eje y..... dy
proyección de A A” sobre el eje z..... Dz

y los cosenos de los ángulos de A A” con los tres ejes
,
serán:
; 0 Xx
Cos(A A, == ==,

>
0

cos (AA”, y) =

,

cos(AA”,2)=-“£,
/

— 569 —

Así, pues, siendo la fuerza entre los puntos A y A”, Ó sea
entre las masas m y m', el producto de dichas masas por la
función de Saint-Venant, que la hemos puesto bajo la for-
ma rf(r), tendremos para tal fuerza

mm rf(r):

sus tres componentes paralelas á los ejes, tendrán la forma

, me
mn rfir) —.
r
Ó bien
mn f(r)a x,

mm f(r) 0 y,

mn f(r)0z.

Precisamente para que desaparezca la r que traían los co-
senos en el denominador, y para simplificar la escritura, es
para lo que se ha dado á la expresión de Saint-Venant la
forma indicada.

Y perdonen mis oyentes estas minuciosidades en la ex-
plicación; á ellas acudo, no sé si acertada ó desacertada-
mente, pero con el deseo de no dejar la menor duda en el
ánimo de los principiantes, que tienen la tendencia de dar
importancia excesiva á cosas verdaderamente insignifi-
cantes.

Las acciones de todos los demás puntos comprendidos en
la esfera e, sobre el punto m, serán de la misma forma que

— 510 —

acabamos de expresar, de suerte que las tres componentes
de las fuerzas internas, que actúan sobre el punto m, serán
las siguientes:

Emn f(x,

2mmf(n5y,

mm f(05z.

El signo * se extiende á todas las masas m/', m”, m'” .....
que ocupan el interior de la esfera e.

En todos los términos de * entra la masa m del punto A,
que es el punto para el que nos proponemos establecer las
ecuaciones de la Elasticidad.

En cambio para cada uno de dichos términos, la m/', la 7
y las 3x, 0y, 02 serán distintas; unas se referirán al pun-
to m', otras al punto m”, y así sucesivamente para todos los
comprendidos en la esfera e, menos el punto A.

Si representamos por X;, Y;, Z;..... las componentes de la
fuerza exterior, que actúa sobre cada punto del sisma V en
su estado de equilibrio inicial, es evidente que al establecer
dicho equilibrio inicial, tendremos que escribir para cada
punto tres ecuaciones análogas á las siguientes:

X¡ +2 mm'f(r)5x=o0,
Y, + £,mm'f(r) 9 y =0, (e)
Zi + ¿mm'f(r3z=0.

Cada una de ellas expresa, que las sumas de las compo-
nentes paralelas á cada eje coordenado, así de las fuerzas
exteriores, como de las fuerzas interiores, es igual á cero.

Y hemos empleado el subíndice ¿ para recordar que se
trata del estado inicial.

Es un equilibrio establecido y previo; y suponemos que
todos estos grupos de tres ecuaciones, un grupo para cada
punto de los que comprende V, quedan satisfechos por sí
mismos.

— 571 —

Aquí no hay incógnita que determinar, son ecuaciones,
volvemos á repetirlo, satisfechas por sí mismas, según el es-
tado inicial del sistema.

A dicho sistema es al que vamos á aplicar nuevas fuer-
zas, X, Y, Z....., para cada punto; éstas serán las fuerzas
deformantes y producirán desplazamientos en todas las ma-
sas de V. De suerte, que A vendrán á parar á B, con el des-
plazamiento A B. A” vendrá á B' con el desplazamien-
to A” B' y así sucesivamente.

En el caso del equilibrio, estos desplazamientos, cuyas
componentes hemos designado por u, v, w, son los que
queremos determinar para cada punto, es decir, en función
de x, y, z y de los datos.

En el caso del movimiento para cada punto, el desplaza-
miento dependerá del tiempo y deberemos determinar u, v
y w en función de x, y, z, y f. Esto lo hemos explicado infi-
nitas veces, pero no hay que olvidar el adagio latino: las
cosas repetidas, aprovechan.

- Las nuevas posiciones de los diferentes puntos del siste-
ma, serán A”, B'..... y en estas posiciones deberán hacer
equilibrio las fuerzas, que desarrollan los desplazamientos, á
todas las fuerzas del sistema, á saber: X,, Y,, Z

Luego deberemos establecer las mismas ecuaciones que
antes, con estas diferencias: que los puntos ya no estarán
en A, A', sino en B, B'..... Las fuerzas no serán como en el
instante inicial X,¿, Y¿, Z;....., sino X¿ + X; Y ¿+ Y; Z¿+Z.

Las masas continuarán siendo las mismas; pero las dis-
tancias entre cada dos puntos, en vez de ser A 4'=r
tendrán por valor BB-....., que será distinta de r; y si llama-
mos g á la diferencia, en vez de r tendremos r + g.

Por último, 9x, y, 9z, eran las diferencias de las coorde-
nadas de los puntos A A”, y en lugar de estas tres diferen-
cias habrá que substituir en las ecuaciones de la Elasticidad,
para cada punto las diferencias de las coordenadas de B, B'

Rrv. Aca. Ciencias.—V.—Marzo, 1907. 39

— 572 —

si se trata de las acciones de m” sobre m, ó las diferencias
de las coordenadas de B y B” si se trata de las acciones del
punto B” sobre. B; y así sucesivamente.

Vamos á calcular estas últimas diferencias y consideremos
el eje de las x, porque lo que de él digamos podremos de-
cir de los otros dos ejes.

Proyectemos para ello el cuadrilátero AA” B” B sobre el
eje de las x, y tendremos los cuatro puntos a, a”, b, b”.

A x, que entra en la primera ecuación fundamental y
que es aa”, habrá que substituir bb”; pero tenemos evidente-
mente,

bb" =aa' + a'b' —ab,
ahora bien,
AO
luego
bb" =5x + u, — 4;

y llamando a“u, —u, que es la diferencia entre las dos
componentes del desplazamiento para dos puntos infinita-
mente próximos A, A”, y que, por lo tanto, es una variación
de u correspondiente á variaciones de x, y, 2; llamando,
repetimos, á esta diferencia 34, tendremos:

bb" =3x+%u.

- En suma, las ecuaciones del equilibrio elástico, después
de la deformacion por la acción de las fuerzas X, Y, Z....
serán de la misma forma, que las del equilibrio inicial, ha-
ciendo las siguientes substituciones:

Marina Y, + Y,
E Zi+2£;
POL: Fós.s r+p;

por 3X ..... 0x +%u,
7 E dy +9v,
A RE 2 + 5W.

— 573 —

Resulta, pues, para las ecuaciones del equilibrio elástico
en cada punto:

Xi+ X4+YEmm f(r +2) (0x +34) =0,
Y¡+ Y + mm f(r +2) (y + 5v)=0, (1)
Z:+4Z+Ymm f(r+2) (02 + 3w)=0,

Para las ecuaciones del movimiento bastaría agregar á las
anteriores las componentes de la fuerza de inercia, *

,

ae d?v dew
; n m —
di? dde dt?
del mismo modo que hicimos en la conferencia anterior.

Una advertencia todavía: al poner en el primer miembro
de cada ecuación las componentes de las fuerzas, hemos de
darles el signo que les corresponde.

Por ejemplo: si X es positiva, es decir, si la componente
va de izquierda á derecha, deberá llevar el signo +; si al-
guna de estas componentes fuere negativa deberia entrar en
el primer miembro con el signo propio: suponemos, pues,
que X, Y, Z.... llevan el signo que les corresponde.

Lo mismo podemos decir de todos los términos en que
entra f(r + £). Si r 4-9 es mayor que r,, distancia del equi-'
librio en la función de Saint-Venant, la fuerza sobre el pun-
to m será atractiva, y f deberá llevar el signo positivo que
es precisamente el que le hemos dado.

La única simplificación que hasta ahora hemos introduci-
do, es la de limitar á la esfera de actividad e las masas que
han de actuar sobre cada punto.

Pasemos ahora á la verdadera simplificación, que es la

— 574 —

aplicación de la serie de Taylor á 5u, 0v, 6w; simplificación
que nos permitirá convertir las ecuaciones del equilibrio,
que eran en términos finitos, pero en número infinito, en
tres ecuaciones, en derivados parciales de u, v, w, con re-
lación á x, y, z, en número de tres. Y asimismo nos per-
mitirá convertir las ecuaciones del movimiento, que eran
diferenciales simultáneas en número infinito, en tres ecua-
ciones, en derivadas parciales de u, v, w, con relación á
e

Para ello necesitamos desarrollar algunos cálculos que, en
rigor, son bien sencillos.

Ante todo, calculemos g.

Hemos dicho que y es la diferencia entre BB' y AA".

Pero las proyecciones de A4' son 5x, dy, 0z y las de
BB' son á su vez 3x +3u,0y +0v, 02 + 3w; luego ten-
dremos:

¿=BB' — AN =V(0x +00): + (0y+3v)+(02 + 0w)—

y desarrollando,

¿=V0x2+0y2+02242(004 +-Dyov-+3z0w) du2-Hove 42m? —

—V dx? + 3y? + 022

Como las u, v, w son los desplazamientos de cada punto
y éstos son muy pequeños, puesto que sólo se trata de de-
formaciones infinitamente pequeñas, y como sus variaciones,
es decir, du, 0v, 9w serán todavía más pequeñas, supon-
dremos que estas variaciones se pueden despreciar; luego
bajo el primer radical podremos despreciar sus cuadrados 6
sean los tres últimos términos, y recordando que

r=AÁX'=V0x? + dy? +, 02,

tendremos reducido el valor de e á la siguiente expresión:

— 515 —

-0 =Y r + 2(0x0u + 0y0v + 0zZ0w) — FT,
ó bien,

Desarrollando el radical por la serie de Taylor, y no tó-
mando más que los dos primeros términos, puesto que en los
siguientes entrarían cuadrados y productos de 04, 01, 0w,
resultará:

o=r| 1 —.2
| +2

y, por último:

Podrá chocar tal vez, que habiendo despreciado 34, 01, 0w
al principio de este cálculo los tengamos en cuenta en la ex-
presión anterior, pero es que en la fórmula precedente todos
los términos son del mismo orden, porque p es del mismo
Ea 2 2 son

Ñ Ñ f:
en general cantidades finitas. Aunque bajo el radical los hu-
biésemos conservado, que acaso hubiera sido lo más correc-
to, ahora aparecerían elevados al cuadrado y podríamos
despreciarlos.

Conociendo ya el valor de ¿ podremos desarrollar por la

serie de Taylor la expresión

FE)

orden de pequeñez que 5141, 0v, 3w y

que entran en las tres ecuaciones (1).
Y de todas maneras y sea cual fuere el orden de peque-
ñiez de r y de ¿, se supone en este caso, como en casi toda

— 516 —

Física matemática, que el desarrollo por la serie de Taylor
es legítimo. Si no lo fuera, porque se presentaran puntos sin-
gulares ó falta de convergencia en la serie, toda la teoría
fundada en el desarrollo en cuestión caería por su base.

Desarrollando, pues, f y no tomando más que los dos pri-
meros términos, tendremos

FfU+¿= 102 (02.

El término siguiente sería SF (r) e?, que evidentemen-

te, y por contener g?, es ya de segundo orden dentro del gra-
do de aproximación, que hemos aceptado.
Y substituyendo el valor de ¿ que encontramos hace un
momento se obtiene
0x2u + 5y0v + 020W

roy = 0410) HZ

Las ecuaciones generales se convertirán, por lo tanto, en
estas tres, para cada punto x, y, z del sistema

Xi+X+3mm 10 +0)

0xou + 0y0v +23Z0w |
r

(0x +24) =0,
NE ea 9X0U4 + Dydv4- 0Z0w
Y, + Y + Em | 0 + 1) ————A—

r
(By +3v) =0,
Z,+Z+Ymm 10 +fF() o

r

(32 + 5w)=0,

si se trata del equilibrio, y en estas mismus agregándoles las
fuerzas inercia para el caso del movimiento.

re

Desarrollando, obtendremos para la primera ecuación, y
luego podremos repetir los cálculos para las otras dos,

XX + mm roy + f(riu +

9xdu + 09y9V + 0Z0wW A

SEEoON x+

Pero evidentemente, las sumas de los términos

X¡,+*Y,mm f(r) dx

es cero, según la primera de las ecuaciones (e) del equilibrio
inicial, y por lo tanto, podrán suprimirse de la ecuación an-
terior.

Y obsérvese que, como Mr. Poincaré afirma con mucha.ra-
z5n, el problema no es más complicado, porque se parta de
un estado inicial de equilibrio, bajo la acción de las fuerzas
iniciales X; Y; Z¿, en vez d2 partir de lo que se llama estado
natural, que sería aquel, según algunos autores, en que es-
tas tres componentes fueran iguales á cero; en ambos casos
resulta lo mismo, puesto que de todas maneras desaparecen
de las ecuaciones fundamentales X, y Y¿mm' f(r) dr.

Estas últimas quedan, pues, reducidas, suprimiendo en la
primera X, - Xmm'f(r)3x, en la segunda Y; + Xmmf(r)0y
y en la tercera Z; ¡ Xmm'f(r)óz, á las siguientes:

ls 50 a (0xdu + 3ydv +020w)0x +

dl 10
+ (0xdu + dydv + 22h | O,

— 578 —
Y+2mm' 1ow+ LO bx3u43 0v+520w)0
2 ) > y0V+ 520w)0y+-

e pa (óxóu + 0yov + 2220)00 | ES

lira UT ÓN
22m Jun + EP Ox ayi + 320)

¿LA
A

(0xóu + 5y9v + 222) | =0;

Esto suponiendo que se trata del equilibrio.
Aun podemos despreciar los términos 221, 3n, 5V....., y
no quedarán más que primeras potencias de 24, 0v, 3Ww.

Si consideramos las tres ecuaciones, que en el caso del
equilibrio expresan el de cada punto del sistema, vemos
aquí claramente, lo que ya hemos repetido en muchas oca-
siones; á saber: que no entran más que las componentes de
los desplazamientos y bajo forma finita, puesto que en rigor,
considerando dos puntos m y m” y llamando u, Y, W, U,, V,, W;
las componentes de dichos desplazamientos, se tiene

De suerte, que las ecuaciones anteriores son ecuaciones en
términos finitos y lineales respecto á las incógnitas u, V, W,
si se desprecian cuadrados y productos de du, 31, 3w. Todas
las demás cantidades que entran son los datos, que dependen
de la naturaleza del sistema y de la distribución de sus masas.

Datos del problema son 5x, 3y, 3z, toda vez que conoci-
dos los puntos y sus coordenadas son conocidas las diferen-
cias.

— 5719 —

Datos del problema son todas las distancias r, si, como
suponemos, el problema está definido geométricamente.

Datos del problema son todavía las fuerzas X, Y, Z.....

Y dato del problema es, por último, la naturaleza de la
función de Saint-Venant de la cual depende f.

De suerte que, como hemos dicho, en rigor todas las ecua-
ciones, en este caso, son ecuaciones en términos finitos y más
aún, con la simplificación indicada, lineales de las incógnitas
UV) UV Win para los diferentes puntos del sistema.

Y el número de ecuaciones es exactemente igual al núme-
ro de incógnitas.

Supongamos” que el sistema contuviera mil puntos ma-
teriales; claro es, que contiene un número infinitamente ma-
yor dentro de la hipósis de la discontinuidad, pero valga el
ejemplo meramente como ejemplo y para fijar las ideas.

Pues si el número de puntos es mil, el número de compo-
nentes de los desplazamientos será tres mil.

Pero para cada punto hay tres ecuaciones; luego el núme-
ro de estas ecuaciones será también tres mil, número igual
al de incógnitas.

Tendríamos que resolver tres mil ecuaciones de primer
grado.

En el caso del movimiento habría que agregar las fuerzas
de inercia, que son las derivadas de segundo orden de u, v,
w con relación á f, y ya no serían ecuaciones en términos
finitos, pero serían ecuaciones en diferenciales simultáneas de
segundo orden y de forma lineal, que es la más sencilla y
siempre para los mil puntos del ejemplo.

Puede parecer extraño que insistamos, como hemos in-
sistido en las conferencias anteriores y en la de hoy, sobre
esta primera forma de las ecuaciones del equilibrio y del mo-

— 580 —

vimiento elástico; que parece insistir en algo sin importan-
cia ni transcendencia, puesto que á nadie puede ocurrirle que
sean ecuaciones para la solución de un problema las que en
si mismas, y por su número, llevan la imposibilidad de la
solución.

Esto es exacto, y, sin embargo, no creemos inútil llamar la
atención de nuestros oyentes sobre estos dos hechos: que las
ecuaciones del equilibrio son ecuaciones lineales y en térmi-
nos finitos en 4, V, W....., y que las ecuaciones del movimiento
son ecuaciones diferenciales simultáneas en 4, V, W....., con
una sola variable independiente, f, y lineales también res-
pecto á las funciones y á sus derivadas.

Es decir, que la forma general de las ecuaciones del equi-
librio será ésta: siempre despreciando en cada ecuación el
grupo que contiene 01, 04, 0V.....

A u+Bv+Cw;A, 4, +B, 0,+C, Wi + o... — 8
A u+ BC WA BW + Cy 1 A cios E
A"u+B"v+C w+A",0,+B",v,+C",W>+H ..... =%

. . 010.0.0 9, Uy0 99. 060.6 . 95918 9... 5.00 4. loja e. suele «a y. 1. DMA

siendo las A, B, C..... constantes conocidas dependientes de
la naturaleza del sistema; X, Y, Z..... las componentes en
cada punto de las fuerzas exteriores; 3n el número de incóg-
nitas, y 3n el número de ecuaciones.

Una forma análoga tendrán las ecuaciones del movimien-
to, á saber:

dew

A u+B v+C w+A, u+..... =X-—m AR
; ; ; á d? yv
AuUu+Bv+4C€ w+4A,uw+..... = Y — m q
2

d?u

>» “ito plo 74 ss esa ae ste e d0.Bb:bd q 1...6.500/p 0 "8.600 ADA MAR

— 581 —

Así escritas las ecuaciones de la Elasticidad, podrán no
servir para la resolución de los problemas comprendidos en
esta rama de la Física matemática; pero, en cambio, dan la
demostración inmediata de algunas propiedades de la Elasti-
cidad, y esta es una de las razones de nuestra insistencia.

1. La forma de dichas ecuaciones demuestra casi á la
simple vista un teorema importantisimo, que pudiéramos lla-
mar el de la superposición de efectos, ó también el de la su-
perposición de movimientos y desplazamientos, en el caso de
ser sumamente pequeños.

Porque ha de comprenderse bien que estos teoremas que
vamos á explicar se refieren á deformaciones y movimientos
nfinitamente pequeños, y en rigor son teoremas de aproxi-
mación; aproximaciones utilísimas para la práctica, conve-
nientes para orientarse en la teoría, pero que no expresan la
verdad matemática rigurosa, aunque puedan pasar á ser ver-
dades absolutas en ciertos casos aplicando la teoría de los
límites. :

Expliquemos, pues, fundándonos en las ecuaciones ante-
riores, el

Teorema sobre la superposición de deformaciones y movimientos
infinitamente pequeños.

Empecemos por la superposición de deformaciones ó des-
plazamientos.

Si á un sistema V, que se encuentra en el estado de equi-
librio E, se le aplica un sistema de fuerzas X, Y, Z..... y 0b-
tenemos para cada punto desplazamientos cuyas componen-
tes sean 1£, Y, Wi..:.>

Si al mismo sistema V, partiendo del mismo estado de
equilibrio E, se le aplica otro nuevo sistema de fuerzas
X”, Y”, Z'..... y obtenemos las deformaciones 4, V”, W”.....;

Cuando aplicásemos al mismo sistema V, partiendo del
mismo estado de equilibrio E, ambos sistemas de fuerzas, á
la vez X+X”, Y +4 Y", ZEZ/...., la deformación resultan-

— 582 —

te será la suma de las dos deformaciones anteriores; mejor
dicho, las componentes de cada desplazamiento resultante,
será la suma de los dos sistemas de desplazamientos, obte-
niéndose, por lo tanto, u + 4,v4 Vw Wo...

O abreviadamente, al agregarse las fuerzas y superponer-
se, se agregan y se superponen los desplazamientos, que es
como decir que se suman sus componentes.

Pero esto se deduce inmediatamente de las propiedades
conocidas y elementales de las ecuaciones lineales.

SEUS son los desplazamientos para el sistema de
fuerzas X, Y, Z....., satisfarán á las ecuaciones del equilibrio
que antes escribimos, y que ahora no tendremos más que.
copiar.

A u+B v+Cw+A,u,+0,0,+C,WM,+..... Ni
AU LB La e e ls oi =Y e
AE de A =z|

CO O O O A O OC OC A IO A e

Asimismo, si u', v”, w”....., son los desplazamientos produ-
cidos por las fuerzas 'X”, Y”, Z/....., satisfarán á las siguien-
tes ecuaciones cuyos coeficientes serán los mismos que en
el grupo anterior, porque se trata del mismo sistema V, que
parte del mismo estado de equilibrio inicial E, y dichos cc-
eficientes sólo de ambas circunstancias dependen: de la na-
turaleza del sistema y de su equilibrio inicial, luego ten-
dremos:

A uú+BvV+BwW+A,u,+B, VW, +CwW,+.=X
PA e A o PI —= FS
O A A A e |

— 583 —

Ahora bien; sumando los grupos (2) y (2") ordenadamen-
te, resultará

A (UE B (Ev) C++
+ AA FUE BY EV) +

(3) A o IU = Xxx
A (us uy) BV ED) ccoo... =YV + Y"
A E ad

Ma A ALU a ta rs A AS

Pero este sistema (3) de ecuaciones es el resultado de po-
ner en las ecuaciones generales del sistema V, partiendo del
equilibrio E, en vez de los desplazamientos, u + 4/..... y en
vez de la fuerza, X + X”.....

Y como las últimas ecuaciones quedan satisfechas, en ra-
zón á que resultan de sumar los dos sistemas (2) y (2”), esto
nos demuestra evidentemente, que cuando se superpongan
ó se acumulen los dos sistemas de fuerza X, Y, Z......
y X”, Y”, Z”, las deformaciones que corresponderán á este
tercer sistema, será la superposición de las deformaciones
de los dos sistemas de fuerza, es decir, que habrá que sumar
las componentes, para obtener las nuevas componentes.

Ya sé que todo esto se puede decir con muchas menos
palabras; pero hay que recordar lo que decía un sabio ma-
temático francés: «hay libros que serían mucho más breves,
si fueran mucho más largos ».

Todo lo que hemos explicado para el equilibrio, se puede
aplicar punto por punto para el movimiento.

Si un sistema de fuerzas, X, Y, Z....., producen sobre un
sistema V de puntos, un movimiento elástico, en que las
componentes de los desplazamientos en función de x, y, z y
de f, estén representadas por u, v, v....., estas componentes
satisfarán á las ecuaciones,

- ES

Au- Bv+ Cu+ Aja, + ....... =X -— m 8
d?v
AMA EAS USAS ASIN == f
X df?
d?w

FS E RAS AA =Z-—m
Ja d f?

A A O O CI IATA OO ROMO O AA

Si otro sistema de fuerzas X”, Y”, Z', determina sobre el
mismo sistema de puntos V, un movimiento definido por los
desplazamientos u”, v”, w”, éstos satistarán asimismo al gru-
po de ecuaciones,

Au + Bv+ EC + Art, + sat = X' —m

: j div
LA A RA ne E MA

0.%"00.. 0.030.004: 06.0. 990.0 % 000 010 7 o a AAN

y sumando ambos grupos, en que los coeficientes A, B, C,
son los mismos, puesto que del mismo sistema V se trata,
tendremos evidentemente:

A(u+u)+ B(v+uu)+ C(w- w)+
+ A,(4, +FUYDH +... ..=X + X —m UA

dt?
E ISA = Y + Y'--m dv +v)
dt?
AT (e EOL do ares eL AMOR

dt?

TR TI A A OA IO EM A A O

— 585 —

ecuaciones que prueban que u + ul, v + v”, w + w' son las
integrales generales del movimiento cuando las componen-
tes de las fuerzas son X + X"5 Y" + Y'3Z+Z....

Es decir, que cuando se superponen las fuerzas se super-
ponen componentes de los desplazamientos, ó sean las inte-
grales generales.

Lo mismo pudiéramos decir de las condiciones iniciales,
puesto que, desplazamientos y velocidades se componen lo
mismo que las fuerzas, sumando las componentes paralelas
á los ejes.

El teorema, pues, de la superposición de efectos elásticos,
dicho sea en términos generales, resulta demostrado de una
manera general y sencillísima por la consideración de las
ecuaciones lineales que preceden.

Como se demostraría también, es cierto, por las ecuacio-
nes diferenciales que vamos á obtener más adelante, con
sólo observar, que son lineales respecto á las derivadas
IESO TOR

Todavía de la forma lineal de las ecuaciones del equili-
brio y del movimiento para desplazamientos infinitamente
pequeños, se deducen otras consecuencias importantes; qui-
zá más importantes que las anteriores, porque al fin, éstas
pueden demostrarse con la misma sencillez, por medio de
las ecuaciones en derivadas parciales, que obtendremos en
la próxima conferencia.

Pero las consecuencias á que ahora vamos á llegar no se
demostrarían con tanta facilidad, como vamos á hacerlo aho-
ra, apoyándonos en la forma lineal de las ecuaciones del
equilibrio y del movimiento.

Nuestro objeto es poner en armonía los resultados expe-
rimentales con los resultados teóricos; hacer ver que cuando
el problema físico es determinado y no tiene más que una

pao

solución, el problema analítico es determinado también y la
solución es única.

Fijemos las ideas.

Consideremos, en primer lugar, el caso del equilibrio.

La experiencia demuestra, hasta donde puede demostrarlo,
y el buen sentido lo confirma, que cuando á un sistema físi-
co determinado se le aplican fuerzas determinadas también,
dicho sistema físico no tiene, en general, más que una solu-
ción de equilibrio.

Decimos en general, porque en la Mecánica aplicada á las
construcciones hay casos particulares que merecerían una
discusión especial.

Pues bien, para que exista armonía entre la experiencia y
el cálculo, es indispensable, que las ecuaciones del equilibrio
nos den un sistema de valores u, V, W, ..... y uno sólo como
soluciones de las ecuaciones dadas.

Pero esto es precisamente lo que sucede, porque hemos
visto que las ecuaciones son de primer grado respecto á estas
incógnitas, y dichas ecuaciones de primer grado no tienen
más que una solución, dicho con más exactitud, un solo sis-
tema para u, V, v.

Y aun para el caso en que la realidad pudiera ofrecer más
de una solución, según antes indicábamos, la teoría no re-
sulta en contradicción con la experiencia, si la determinante
de los coeficientes es nula y los valores de u, v, w se pre-
sentan en forma indeterminada.

Pero esta discusión nos llevaría muy lejos.

Consideraciones análogas podemos repetir para el caso
del movimiento.

El problema debe quedar perfectamente definido, si se dan
los desplazamientos iniciales, y las velocidades iniciales
también. Esto nos dice la experiencia, y, repetiremos lo que
antes indicábamos, hasta el sentido común lo afirma.

Pero esto concuerda con la teoría de las ecuaciones dife-
renciales simultáneas y con los teoremas de Cauchy. Las

— 587 —

ecuaciones diferenciales y las condiciones del momento ini-
cial, determinan las integrales para cada caso, salvo lo que
en casos particulares arroje una discusión más detenida.

A todos estos resultados, Ó no se llega, Ó se llega de
una manera tan elemental, cuando á los dos grupos de ecua-
ciones, que hemos establecido, se substituyen, por las sim-
plificaciones que hemos de introducir, ecuaciones en deriva-
das parciales. Sobre todo, las dificultades son grandes cuan-
do el sistema es limitado, si se consideran ecuaciones en
derivadas parciales; y no existen para el caso que hemos
considerado.

Y ahora empecemos la serie de simplificaciones que anun-
ciamos, simplificaciones necesarias, sean cuales fueren sus
inconvenientes. Porque la forma lineal, ya para el problema
del equilibrio, ya para el problema del movimiento, forma
lineal, decimos, en u, v, w..... será muy sencilla y muy pro-
pia para ciertas demostraciones; pero es de todo punto im-
posible, al menos en el estado actual de la Ciencia, para la
determinación de u, Y, W.....

Porque, como hemos dicho más de una vez, por sencillas
que sean las ecuaciones de primer grado, no se resuelven
millones y millones de ecuaciones con millones y millones
de incógnitas.

En cambio, sí se pueden agrupar éstas en un número fini-
to de ecuaciones, de modo que cada una de ellas represente
un grupo infinito por la variabilidad de x, y, z, que es lo que
hemos hecho en otras conferencias, y vamos á precisar aún
más en la inmediata, el problema pasará de ser totalmente
imposible, á ser dificilísimo sin: duda alguna, pero dentro de
la categoría de lo hacedero.

Hemos obtenido en esta misma conferencia para las ecua-
ciones del equilibrio:

Rev. Acab. Ciencias. —V.—Marzo, 1907.

X+Emm Or = (xdu+tydv +4 320w)0x +
al E (0xdu + 5yov + 020) ra =o0,

Y | Ymm! 107 4 E (0x0u + 0y0v+05Z0w)0y +

(4) :
=L an (0xdu + 5yv + dl =30;

Z+*mm [rom EP PO) A 020w)09Z -|-

|
|
l

SE f = (5xdu 4- 5y0v + 222) | =-0,,

0.4 ¡070,0 9,00 0110 9 5 e. prada, o 00 Ae A a iia a e AAITIIALA S

Las tres ecuaciones, que hemos descrito, se refieren á un
punto determinado del sistema para el cual las coordenadas
son x, y, z, en el cual actúan fuerzas cuyas componentes
son X, Y, Z, y las * se extienden á todos los puntos com-
prendidos alrededor de m en la esfera de actividad :. Asi-
mismo 5x, 3y, 3z, 01, 9v, 6w se refieren á todos estos pun-
tos, comparados con el punto m de coordenadas x, y, z, ya
para determinar las variaciones de estas coordenadas, ya
para fijar los valores de las variaciones de los desplaza-
mientos.

Para cada punto del sistema V tendremos tres ecuaciones
de la misma forma que estas últimas. La forma será la mis-
ma, decimos, y sólo variarán las cantidades ya expresadas
x,y,2, X, Y, Z....., las masas y las variaciones de las coor-
denadas y de los desplazamientos.

Y ahora vamos, como indicábamos en la conferencia an-
terior, á la simplificación más importante, á la que hace po-
sible la substitución de tres ecuaciones á un número infinito

— 589 —

de ecuaciones, á saber; al desarrollo de 2u, 3v, 3w por la
serie de Taylor.

En los autores no se insiste sobre este punto, se conside-

ra como una simple operación de cálculo, y en rigor tampo-
co hace falta insistir para las personas versadas en esta ma-
teria; mas para los principiantes, para los que por primera
vez estudian la Física matemática, en una palabra, para la
enseñanza, me parece, que todo esto es necesario, de lo
contrario queda cierta nebulosidad, y por qué no decirlo,
cierta obscuridad.
¡Empezamos, dirían ellos, por plantear infinitas ecuacio-
nes ó un número enorme, que para nuestro caso da lo mis-
mo, y por virtud de unos desarrollos, nos encontramos de
pronto sólo con tres ecuaciones! Y es preciso, á mi entender,
que los principiantes no consideren al cálculo como una es-
pecie de juego de cubiletes más ó menos ingenioso.

Cuando el cálculo da un resultado, es necesario saber por
qué lo da y por qué se ha escogido aquel cálculo y no otro,
una transformación determinada y no otra distinta: y en acla-
rar todo esto nos empeñamos, quizá con demasiada proliji-
dad; pero procurando siempre apartar de la Ciencia lo mis-
terioso y lo confuso, para venir á parar á conceptos claros y
hasta vulgares.

Prefiero que una explicación sea hasta infantil, por lo mi-
nuciosa, á que sea confusa é ininteligible por lo sublime.

A veces, y perdóneseme la comparación, lo sublime se
parece al pobre burgués disfrazado con manto de monarca.

En la ecuación anterior vamos á substituir á du = 4, —u,
DY =V, — Y, 0W=w, —w sus desarrollos por la fórmula
de Taylor, sin olvidar que

= 0. =

¿1, v, wson las componentes de AB (f.11) desplazamiento de A
y
,, V,, W, Son las componentes de A“B”, desplazamiento de A”:
A es el punto cuyo equilibrio expresan las tres ecuaciones;
y A”, otro punto cualquiera dentro de la esfera de activi-
dad e. Las * se refieren á todos los puntos tales como A”, me-
nos A.
- Todo esto ya lo explicamos al principio de la conferencia;
pero como han venido después tantas digresiones, es posi-
ble que mis oyentes lo hayan olvidado.

Los desarrollos de 4,, v,, w,, por la serie de Taylor, son
evidentemente:

U, =4 + ——0x + — dy + 02 +
dy
1 ETA deu de

d — 0x? + — 0y? + ——- 02?
e de dy? LE dz? po
DAA ER > diu FOR

0x0 0X0Z 0y3z
dxdy dxdz dydz

y análogamente para Xx, y w;.
De aquí deduciremos los valores de

a

4, -- 4 =0u, Ví =V=0V, W, —w =0WwW

para substituirlos en las ecuaciones generales (4). Pero an-
tes observaremos que en dichas ecuaciones hay una parte,
la cual, dentro del orden de aproximación que hemos adop-
tado, debe evidentemente suprimirse; nos referimos al últi-
mo grupo de términos.

Por ejemplo: en la primera ecuación al grupo

FU) (6x3u + 8y0v+32dw)du.
Ñ ;

— 591 —
Este grupo contiene los productos '
du?, 5v04, 0w0u,

que son de segundo orden, si las variaciones de los despla-
zamientos se consideran de primero. Y como lo mismo po-
demos decir para la segunda y tercera ecuación (A), despre-
ciando dichos conjuntos de términos, las ecuaciones genera-
les quedan reducidas á las siguientes para el caso de equi-
librio :

X-Emm [0 pla O xo + 0yov | =

0xdu + 0yov + o

(B) Y +2mn" [10 + A O

Z+*mnm [107w+ as D (ox

DS AS AAC ROO ORO OA OA ROS AS ORIO ROS TOMO ROO A CIRO OS CIA

y á estas mismas agregando

d?u d?y d2w
A y IA A RR A
dt, to dt,

para el movimiento.
Todavía estas ecuaciones son en número 3n, es decir, 3
para cada punto del sistema.
Pero recordemos que en los desarrollos, por la serie d>
Taylor, de du, 3v, 3w, aaa
E 0x7 ++ .)

o7
<=

a ay e

e (1 EL :
MB > ES e 32 =
an Sl yl o

— 592 —

las derivadas de u, v, w, con relación á x, y, z, se refieren
al punto de parlida ó de origen, es decir, al punto A (fig. 11),
y únicamente á este punto. De modo que expresan las va-
riaciones de los desplazamientos en cualquier punto A de la
esfera <, por derivadas relativas á su centro A.

Para toda la esfera de actividad cuyo centro es A, no ten-
dremo3 en laz ecuaciones del equilibrio ó de! movimiento más
que derivadas para dicho centro A.

Las demás cantidades que entren serán: 0x, 0y, 0z, rela-
tivas á todos los puntos de dicha esfera; paro éstas son ver-
daderas constantes del problema, porque son las que definen
las posiciones d2 los puntos en el estado inicial y depen-
den de la naturaleza del sistema y del estado en que se en-
contraban al aplicaries las fuerzas deformantes X, Y, Z.....

Así, y por ser dichas derivadas de u, v, w, las mismas en
todos los términos de * podrán salir como factor común.

Pero la forma de todas las ecuacion2s relativas al equili-
brio, será en virtud de lo expuesto, la misma con relación á
cada punto, y sólo variará por los valores x, y, 2 del punto
que se considere.

Esto legitima, como explicábamos en la conferencia ante-
rior, la reducción de las 3n ecuaciones á 3 ecuaciones no
más, con tal que consideremos á x, y, z como variables.

Sólo nos resta substituir en las tres ecuaciones (B) los
valores (C), desarrollar los cálculos y ordenar por relación
á las derivadas. Después seguiremos haciendo todavía nue-
vas simplificaciones como veremos en la conferencia inme-
diata.

— 593 —

XXVIII. — Informe acerca de las notas tituladas «The
Problem of Shadow-Bands>» y «Note on the value of
a projected image of the sun for meteorological stu-
dy», de la señorita Catalina O. Stevens.

Por JosÉ M. DE MADARIAGA. — +

La señorita Catalina O. Stevens dirige á la Academia una
atenta carta, fechada el 14 de Septiembre último en Reading
(Inglaterra), en la cual rueza se le manifieste la opinión que
á.la Corporación merecen los estudios que viene practicando
sobre las corrientes atmosféricas de las regiones elevadas
por medio de la observación de la imagen proyectada del
sol, y sobre la hipótesis que emite acerca de la formación de
las franjas volantes en los eclipses, estudios é hipótesis que
aparecen, respectivamente expuestos, en un folleto titulado
Note on the value of a projected image of the sun for meteoro-
logical study, y en un pliego, también impreso, The problem
of Shadow Bands, tomado, el primero, de The Quarterly
Journal of the Royal Meteorological Society (vol. XXXII, nú-
mero 139, July 1906), y el segundo, del Journal of the Bri-
tish Astronomical Association (vol. XVI, núm. 2, páginas
60-62), y que la autora remite con su carta.

Después de reconocer que el estudio de las capas eleva-
das de la atmósfera puede hacerse por la observación de las
estrellas, cuyo centelleo revela secretos de regiones para
nosotros desconocidas, pone de manifiesto los inconvenien-
tes que este medio ofrece, y hace resaltar las ventajas que
sobre el mismo presenta el de las imágenes proyectadas del
sol, que la autora observa por medio de un pequeño teles-
copio, cuyo objetivo dirige hacia el astro, colocando delante
del ocular, á una distancia apropiada, una pantalla blanca
situada en una habitación, de preferencia obscura.

— 54 —

En los bordes de la imagen aparece, entonces, claramente
perceptible en general, un movimiento bien conocido de los
astrónomos, semejante al producido por la ebullición de un
liquido, al que los ingleses, por tal motivo, llaman boiling.
Este fenómeno, resultado de la interferencia del movimiento
de las capas atmosféricas con las radiaciones solares, ofrece
diferentes aspectos, según la señorita Stevens; en los puntos
en que el movimiento de la atmósfera es tangencial al limbo
solar, tiene el carácter de frepidación (trippling), y donde
aquél es normal ó transversal á éste, es helicoidal (sprin-
ging).

Hace constar la autora, como resultado de sus repetidas
observaciones, que estos dos movimientos, más ó menos
distintos entre sí, son continuos aun en ausencia de toda
nube visible, y que su observación puede servir, no sólo
para acusar la existencia de movimientos en las regiones ele-
vadas de la atmósfera, sino para distinguir, unas de otras, -
las capas que puedan corresponder á diferentes corrientes
atmosféricas, aunque sean invisibles directamente.

En la discusión que siguió á la presentación de la nota de
la señorita Stevens, que acabo de extractar, á la Sociedad
Meteorológica, dice la autora que la distinción de las corrien-
tes atmosféricas existentes á alturas diferentes, puede hacer-
se sin más que fijar la atención en el hecho —sin duda com-
probado por la observación simultánea con las de la imagen
del sol de los movimientos de algunas nubes visibles —de
que la agitación perceptible en el borde de aquella imagen
es tanto mayor cuanto más bajas están las capas atmosféri-
cas que las producen.

El ponente que suscribe encuentra dignos de aplauso los
estudios de la señorita Stevens, y considera de interés para
la ciencia meteorológica la prosecución de los mismos.

La autora suplica también en su carta que se le dé noticia
de las investigaciones semejantes que en nuestro país se ha-
yan hecho; y, con la mayor complacencia, el que suscribe

— 595 —

puede consignar que el primer astrónomo que fué del Ob-
servatorio de Madrid, Sr. D. Vicente Ventosa, hoy individuo
de la Sección de Ciencias Exactas de esta Academia, ha lle-
vado á cabo durante un largo período de tiempo trabajos se-
mejantes á los de la señorita Stevens. Pueden consultarse los
fundamentos del procedimiento del Sr. Ventosa y los detalles
de sus observaciones en las publicaciones siguientes: Método
para determinar la dirección del viento por las ondulaciones
del borde de los astros, folleto cuyo contenido apareció en el
número 299 de la Crónica Científica, de Barcelona, corres-
pondiente al día 25 de Abril de 1890; La direction des vents
supérieurs déterminée par les ondulations du bord des astres,
folleto impreso en Anvers, imprimerie veuve de Backeer, Rue
Zirk, 35, 1895, y La direction du vent et la scintillation; Ré-
ponse aux objetions faites 4 la méthode d'observation des
vents supérieurs par les ondulations du bord des astres, tolle-
to publicado en Bruxelles; P. Weissenbruch, 45, Rue du
Poincon, 1899, y cuyo contenido vió por primera vez la luz
pública en la revista Ciel et Terre, 20 année.

El Sr. Ventosa avanza más en la resolución de este pro-
blema que lo hace la señorita Stevens, pues da el medio de
separar las corrientes atmosféricas que pueden existir á dife-
rentes alturas, fundándose en la teoría de los focos conjuga-
dos. Haciendo salir más ó menos dentro de su tubo el ocu-
lar de la ecuatorial de Merz, instrumento de que general-
mente se ha servido el Sr. Ventosa, consiguió tener proyec-
tadas, separadamente sobre la pantalla, las ondulaciones co-
rrespondientes á las distancias focales determinadas por las
diferentes posiciones del ocular, haciendo de este modo un
verdadero análisis de las diversas corrientes que cruzan la
atmósfera.

Todavía hará el que suscribe una cita que parece confir-
mar los puntos de vista de la señorita Stevens y del señor
Ventosa. Refiérese á una nota del Sr. Langley titulada Good
Seing, presentada en 12 de Noviembre de 1902 á la Natio-

— 506 —

nal Academy of Sciencies, de Wáshington, en la cual su au-
tor indica el modo de evitar el molesto boiling— ondulacio-
nes del borde del astro observado, — haciendo la visión clara
y cómoda. Redúcese aquél á determinar, por medio de un
ventilador, una fuerte agitación en el aire contenido dentro
de un tubo que dispone en prolongación del del instrumento
empleado.

La interferencia de las imágenes correspondientes á este
movimiento del aire en la parte próxima al instrumento, con.
los de los de las distintas capas atmosféricas, determina,
dentro del anteojo, la anulación del efecto causado por los
últimos.

Atribuye la señorita Stevens á estos movimientos de las
capas atmosféricas la formación de las franjas Ó bandas os-
cilantes en los eclipses; opinión muy digna de tenerse en
cuenta para la explicación de este curioso fenómeno, y que,
sin duda, considerarán verosímil los que reconocen en aquél
un carácter más bien atmosférico, que de difracción en los
bordes de la luna.

XXIX.—Nota sobre la ulmina natural.

Por SALVADOR CALDERÓN.

La ulmina y el ácido úlmico se encuentran en estado libre
ó de combinación con alguna frecuencia en la superficie de
ciertas rocas, y se dice que en algunos lignitos. Sin embar-
go, en las obras de Mineralogía no se hace mención de estas
substancias, sin duda por no concederlas importancia ó por
su procedencia superficial y moderna en la mayoría de los
casos, ni tampoco se habla de ellas en las de Geología, por

— 597 —

no constituir masas qu2 llamen la atención como rocas. De
aquí resulta desatendida una producción natural que, por lo
menos en nuestro país, parece no deja de presentarse con
cierta abundancia, y que, por lo tocante á su origen, ofrece
evidente interés, como trataré de probar.

La ulmina natural consiste en una materia vítrea y frágil,
de un negro brillante cuando está bien seca. No se disuelve
en el agua, pero sí en el alcohol y en los álcalis, á los cuales
satura. Arde con llama hinchándose.

Al parecer, la ulmina y el ácide úlmico no son'más que
dos estados del mismo cuerpo, pues el segundo, por deseca-
ción, disminuye su solubilidad en los álcalis y se transtorma
en la primera. A esta úlmina, tal como se presenta en la Na-
turaleza, es á la que se refiere la presznte nota, y para deti-
nir dicho cuerpo mineralógicamente, vamos á decir dos pa-
labras sobre los siguientes ejemplares que hemos podido
estudiar, los cuales se encuentran en nuestro Museo de
Historia Natural y son de procedencias españolas y cono-
cidas.

Uno, de Villaza, en el valle de Monterrey (Orense ), forma
una costra gruesa, íntimamente adherida á un granito des-
compuesto é infiltrándose por las grietas de la roca. La ulm:-
na es muy negra, brillante, cavernosa y de superficie ma-
melonada.

Otro ejemplar existe también de antiguo en el mismo es-
tablecimiento procedente de Castañares de las Cuevas (Lo-
groño), y consiste en una arenisca ferruginosa con una cos-
tra de ulmina, de superficie negra, brillante y arriñonada
como la del anterior ejemplar.

En fin, el P. Navás hizo donación al Museo de otro re-
cogido por él en San Cosme, sierra de Guara (Huesca), que
forma una masa libre, es decir, no adherida á roca, de as-
pecto resinoso, color rojo obscuro, y sólo negruzco ó negro
en las superficies, que son muy arriñonadas. Engloba grani-
tos cuarzosos y otras piedrecillas. Nuestro distinguido con-

— 598 —

socio de Zaragoza, el Sr. Dosset !, en otra muestra de la
misma procedencia, puso de manifiesto, por medio de bellas
preparaciones, que en dichas substancias se distinguen fibras
de varias clases, células vegetales y hasta estomas y pelos
ramosos.

Pasemos ahora á la cuestión del origen de estas materias.

El Sr. Dosset cree que en el ejemplar de la sierra de Gua-
ra se trata de «una formacion de excrementos de ganado
lanar ó cabrío, aglutinados con la humedad y transformados
con el tiempo». Yo creo más bien que la substancia predo-
minante, la que produjo esos conjuntos de superficie mame-
lonada, es un agregado de musgos, entre los cuales habría
algunas de esas hierbecillas que con ellos se crían; lo infiero,
tanto del aspecto de dichas masas, como de otras razones,
que después indicaré. Además, entre los ejemplares antes ci-
tados, los hay que dejan percibir los filamentos vegetales,
como en el estudiado por el Sr. Dosset, al paso que en el de
Villaza, por ejemplo, más compacto que aquél, ya no se ven.
tejidos orgánicos, al modo como en los turbales hay una va-
riedad musgosa, que está en la superficie, otra terrosa más
abajo y una compacta en la base.

Mas cualquiera que sea la materia vegetal originaria,
siempre queda por explicar por qué no ha desaparecido y
por qué ha experimentado dicha transformación, puesto que
en las condiciones ordinarias, las-plantas muertas expuestas
al aire acaban por cambiarse en combinaciones gaseosas,
que pasan á la atmósfera; en otras condiciones, preservadas,
al menos en parte, de-la acción aérea, dan productos carbono-
sos, y, en ciertas circunstancias, materias sólidas ó liquidas
de carbono é hidrógeno, como la nafta, el petróleo y la 0zo-
cerita; pero en ninguno de estos casos se origina un produc-
to semejante al de que aquí se trata.

1 Bol. R. Soc. Esp. de Hist. Natf., t. 1V, 1904, pág. 160.

-— 599 —= |

En los laboratorios, la ulmina se ha obtenido repetidas ve-
ces tratando el azúcar, la goma, la celulosa y la materia ami-
lácea por los ácidos minerales diluídos mediante una ebulli-
ción prolongada; se forma así al principio glucosa, que se
cambia á su vez en productos, pardos unos (que son humina
y ácido húmico), y negros los otros (ulmina y ácido úlmico).
Estas experiencias no explican la producción de la ulmina
natural, en la que no ha intervenido, sin duda, ni el calor ni
la edullición. Pero se sabe también que, actuando lentamen-
te los ácidos diluídos sobre las substancias orgánicas en las
circunstancias normales, se obtienen dichos productos par-
dos y negros.

La condición más favorable de la materia orgánica para el
expresado ataque, es que se encuentre en un estado terroso.
Una antigua experiencia de Mulder ha probado que la ma-
dera podrida tratada por una débil disolución de potasa ó
sosa da un líquido pardo, en el cual la adición de un ácido
determina un precipitado moreno negruzco, que es una mez-
cla de ácido úlmico, húmico y geico. Precisamente, los mus-
gos son los vegetales más adecuados para proporcionar una
substancia terrosa, propicia para esta transformación, por su
propiedad de ir creciendo en altura al paso que perecen y se
pulverizan por su pie.

Como queda dicho, se necesita en todos los casos la ac-
ción de un ácido para que la celulosa se transforme, en parte
al menos, en ulmina, y pensamos que en la Naturaleza, lo
mismo que en las citadas experiencias de laboratorio, este
ácido ha debido ser el sulfúrico. Es bien conocida su abun-
dancia por efecto de la reducción de las piritas que acompa-
ñan con tanta frecuencia á los lignitos y demás rocas carbo-
nosas. Estas piritas se engendran en las aguas de los panta-
nos y charcas que contienen sulfato de cal, bicarbonato de
oxidulo de hierro y materias orgánicas, y una vez desecados
aquéllos, dicho sulfuro se altera en contacto del aire, y mo-
ado nuevamente por las aguas pluviales, que siempre llevan

<= 600 =

oxígeno en disolución, pasa á sulfato, y éste, por oxidacio-
nes ulteriores, se cambia en limonita. Recordaré la formación
del bog iron de Europa y Norte América, la cual se explica
análogamente por los sulfatos del agua del mar y de la ma-
teria orgánica que mantiene en suspensión ó están en el fon-
do, operando el cambio parcial del hierro de los minerales
que le contienen en sufuro, el cual, por oxidación, da lugar
á la precipitación de la substancia limonitica. Del mismo
modo se han originado las pequeñas, pero abundantísimas,
concreciones de manganeso dispersas en las profundidades
marinas. En todos estos casos queda ácido sulfúrico en liber-
tad, que, actuando sobre las materias vegetales, producirá
ácidos orgánicos, y entre ellos señaladamente el último.

En el ejemplar de Castañares de las Cuzvas antes men-
cionado, la ulmina impregna hasta cierta profundidad á la
roca en que yace, y se va desvaneciendo al contacto, lo cual
se señala por una diferencia de coloración que indica la
acción reciproca operada entre el elemento orgánico y el
hierro reducido de una disolución de sulfato por la materia
del musgo, según nuestra opinión. Además, la misma are-
nisca pudo ser piritifera.

Fácilmente se comprende también que aguas de lixivia-
ción con sulfato de hierro pudieran afluir á depresiones del
terreno en que vivieran los musgos con los otros vegetales
que les acompañan, operando su materia orgánica desme-
nuzada la reducción de aquella sal y el depósito consiguien-
te de limonita, el cual formaría areniscas ó conglomerados
si encontraba arenas, cantos Ó trozos de rocas que empas-
tar. Pero no es precisa condición la de que existiera una
charca para la realización de este proceso tratándose de los
musgos, y sobre todo los Sphágnum, que por su avidez, por
la humedad atmosférica, son capaces de crearse el medio
acuoso á expensas de las lluvias, las nieblas ó la nieve. Sin
duda los cambios de sequedad y humedad reinantes en los
parajes en que se encuentran los ejemplares, ha debido ser

"E

— 601 —

la causa principal de la transformación del detritus musgoso
en ulmina, en vez de hacerlo en turba. En otros sitios, una
activa evaporación, impidiendo la condensación de la hume-
dad, hace que los musgos no originen ni turba ni productos
úlmicos, aunque el suelo posea condiciones favorables para
estos procesos.

La cuestión del origen de la ulmina natural es, sin duda,
interesante y bastante compleja por referirse á procesos geo-
lógicos, químicos y biológicos, y para desarrollarla por
completo habría que relacionarla con otras referentes al gé-
nesis de los ácidos orgánicos y aun de su acción minerogé-
nica; asuntos transcendentales, pero que no caben en el
marco de una nota tan ligera como la presente.

XXX —Nuevos caracteres de divisibilidad por módulos
primos distintos de 2 y 5.

POR FRANCISCO SIMÓN Y MAYORGA.

1. Se sabe que la condición general para que un núme-
ro sea divisible por un módulo primo, es:

UPA AR Unfn == m,

en cuya expresión, m representa el módulo; a,,4,, 0z..... Ap,

las cifras de las unidades de primero, segundo..... enésimo |
orden que tiene el número, y f,, f,, Fz......r,,, los restos mí-

nimos, aditivos ó sustractivos (según vayan precedidos de

los signos — 6 —), que dá la unidad de cada orden con re-

lación al módulo que se considera.

— 02 —

De esta fórmula general se deducen caracteres de divisibi-
lidad por los diferentes módulos, sin más que substituir en
ella las letras por los números que en cada caso particular
representan.

Este procedimiento, de aplicación sencilla cuando se trata
de módulos primos, como el 2, 3, 5, 9, 11 y algunos otros,
presenta bastantes dificultades en muchos módulos superio-
res al 5, exigiendo una serie complicada de operaciones, en
la que se invierte más tiempo que efectuando directamente la
operación.

Buscar reglas generales, sencillas y, sobre todo, de fácil
aplicación cuando de módulos primos, distintos de 2 y 5, se
trata, es lo que nos hemos propuesto con el presente traba-
jo, limitándonos á los números escritos en nuestro sistema
de numeración.

Para conseguir nuestro propí3sito, estableceremos el si-
guiente

2. PRINCIPIO FUNDAMENTAL.

Todo número es igual á un múltiplo de un módulo primo,
distinto de 2 y 5, más el décuplo de la diferencia entre las de-
cenas y un múltiplo de las unidades.

En efecto; la expresión de un número N descompuesto
en sus unidades u y sus decenas d, es

N= 10d + u.

Sumando y restando al segundo miembro de esta igualdad
un múltiplo del módulo y de las unidades, que podemos re-
presentar por m. u. p, tendremos:

N=10d + u + m.4.p — m.u4.p,
de donde

N=m + 10d —u(m.p — 1).

— 603 —

Y si determinamos p de modo que

mp. — 1 = T0:a;
cosa siempre posible, tendremos, substituyendo
N=m-+ 10(d—a.u),

que démuestra lo que nos proponiamos.
3. De esta última igualdad, deducimos que, si

d—au=m, N=m1E
y recíprocamente, que si
Nm d— au = m,

ó en otros términos:

Que si la diferencia entre las decenas de un número y un
múltiplo de la cifra de las unidades del mismo, es múltiplo de
un módulo primo distinto de 2 y 5, el número es divisible por
el módulo y recíprocamente.

Por consiguiente, una vez determinado el valor de a, po-
demos establecer la siguiente

4. REGLA GENERAL DE DIVISIBILIDAD.

Para conocer si un número es múltiplo de un módulo pri-
mo distinto de 2 y 5, se resta de sus decenas el producto de a
por la cifra de las unidades; si la diferencia obtenida es múl-
tiplo del módulo, el número será divisible y no lo será en caso
contrario.

5. DETERMINACIÓN DE 4.

De la condición antes establecida de que [2]

m.p — 1=10.a0,

Rey. Aca. Ciencias.—V.—Marzo, 1907. qu

0

deducimos que

y como a debe ser un número entero, m.p — 1 tiene nece-
sariamente que terminar en O, condición precisa para que
m.p — 1 sea múltiplo de 10, bastando para esto que m.p sea
el menor múltiplo de m terminado en 1.

Ahora bien; como los módulos de que tratamos no pue-
den terminar ni en O, 5 ni cifra par, es claro que m sólo
puede terminar en 1, 3, 7 Ó 9, resultando que sí

m termina en 1

pda
Mm. » 3 p="1
m » » 7 p=3,
DA

y una vez determinado el valor de p, tendremos el de a,
puesto que la relación (1) nos indica que a representa las
decenas del producto m.p, puesto que m.p no puede termi-
nar en cero. Pero las decenas de este producto constan de
dos partes: 1.”, decenas del módulo, que llamaremos 2, por
P, y 2.”, decenas que resultan de multiplicar las unidades del
módulo por p; y por consiguiente, si:

m termina en l,a=05 (A) ¡
mM » 3,a=3%.7+2 (B) ! X)
m » 71,4=95.3+2 (OA

m » 9a=5.9+8 (D) ;

Ejemplos:
¿217 es múltiplo de 31?
Apliquemos la regla general [4] de que d—a.u= 31.

— 605 —

Según (A), a=3, luego 21 a O EE
y como O es múltiplo de todos los números, resulta que 217
es múltiplo de 31, conforme con todo lo expuesto.

6. Abreviación. — Cuando a sea mayor que la mitad del
módulo, podremos introducir una abreviación de mucha im-
portancia en la práctica.

En efecto; si hacemos

d=m>—a, a=m-.3,

y si en la igualdad

d—a.u=m,

sustituimos a por su igual m — «, tendremos

d(m—2)u=m,
de donde
d+a.u=m,

que nos conduce á establecer otra regla general de divisibi-
lidad.

Para saber si un número es divisible por otro primo dis-
tinto de 2 y 5, se añade á las decenas del número dado el
producto de a por las unidades del número; si la suma obte-
nida es múltiplo del módulo, el número lo será también y no
en caso contrario.

Y. Determinación de a.-—Hemos visto que

«a =/m-=— (2),
y siendo
m=10.% + unidades,

— 606 —

conocido el valor de a, tendremos, sustituyendo,

si m termina en 1,4a=(8.10+1)— 3 =(0.9+1 (A)

Sim
si Mm

si Mm

».0034=(0.10+3)-(0.7+2=(0.3) 400
» 7a4=(0.104+7—0.3+2=0.D+5 (C)

. 91«a=(8.104+9-—(0.94+8=(0+1) (D)

8. Observación.—Del examen de los cuadros (X), (Z),
que nos dan los valores de a y a, resulta:

1.2 Que estos valores se determinan con gran facilidad,
una vez conocido el módulo, mediante un cálculo mental.

2.” Que en la práctica debe hallarse el valor de a, ó sea
aplicando la primera regla general de divisibilidad | 4], cuan-
do se trate de módulos terminados en 1 Ó 7; y debe hallarse
el de « (segunda regla general [6]), si se trata de módulos
terminados en 3 6 9.

Todo cuanto llevamos dicho queda resumido, formando
los cuadros siguientes que nos dan para cada módulo, según
su terminación y distintos de 2 y 5, reglas prácticas senci-
llas y de aplicación fácil.

9. Nos concretamos á exponer los caracteres de divisi-
bilidad por módulos primos, menores que 100 y distintos
de 2 y 5, pudiendo ampliarse hasta el límite que se desee:

MÓDULOS TERMINADOS EN |

CARACTERES DE DIVISIBILIDAD

Valor de %, NI RS

|
|

um .U=mM Regla práctica.

a=1|a=11—1=10 .a=11 ld— u=11
a=3|1=31—3=28|ld--34=31|d+28.u=31 ld —3u4=31
a=4|1=41- 4=37|d—4u=41 .u=41 (ld —4u=41
a=6|a=61-6=55 ld—6u=61 | d+55.u=61 ld—6u=81
a=7la=71—7=64|ld —7u=71|d+64.u=71 E

(z)

— 607 —

Del presente cuadro deducimos la siguiente regla general
y práctica, para conocer si un número es múltiplo de un mó-
dulo primo distinto de 2 y 5, terminando en 1.

10. Para saber si un número es divisible por un módulo
primo distinto de 2 y 5 y terminado en 1, basta restar de las
decenas del número el producto de las decenas del módulo por
las unidades de aquél; si la diferencia es múltiplo del módulo
el número lo será, y no en caso contrario.

Ejemplos:

¿El número 5.629 es divisible por 61?

562 — 54 = 508, y
AS 0:

vemos que 508 no es múltiplo de 61; luego 5.625 tampoco lo
es de 61.
¿2.769 es múltiplo de 71?

27663 =213, y
MEE

luego, como 213 es múltiplo de 71, 2.769 también lo es.

MÓDULOS TERMINADOS EN 3 |

CARACTERES DE DIVISIBILIDAD *

——

Valor de a | Valor de y Regla práctica.

A AE
MIEL O == 31d 4= 3 E
a= 9|2= 4|ld— 9.4u=13 (d+ 4.4=13 AS
a=16|2= 7lld—16.4=23|d4+ 7.4=23 Sl
a=30|2=13|ld—30.4=43|d+13.u4=43 +
a=37|2=16 d—37.u=53 |d+16.u=53 | Y
a=51|4=22 |d—51.4=73 d+22.4u=73| an |
a=58 | 2=25|d—58.4-==83 (d+25.4=83

<= 068 =

Del cuadro precedente se deducen, además de las reglas
particulares de divisibilidad para cada módulo, la general
para los terminados en 3.

11. Así, para saber si un número es divisible por otro
primo terminado en 3, se restan de las decenas del número,
el séptuplo de las decenas del módulo aumentado en 2, por
las unidades del número; si la diferencia es múltiplo del mó-
dulo también lo es el número, y al contrario.

Ejemplos:

¿5.428 es múltiplo de 73?

542 —(7.7+2).8=542— 408 = 134,

y como 134 no es múltiplo de 73, tampoco lo es el número
propuesto.
¿1.825 es divisible por 73?

182 — (7.7 + 2) 5 = 182 — 255 = — 73,

y como 73 es múltiplo de sí mismo, 1.825 es múltiplo de 73.

MÓDULOS TERMINADOS EN 7 |

E CARACTERES DE DIVISIBILIDAD
= Valor de a|Valor de | "=== 7 z Regla práctica.
> d—a.u—m. d+ 24. .m==0m.
paar | E =) E
7la= 2la= 5ld—-2u= Td+ 5u= T7| ía
171a=-5)2=12 ld 54 =11143+124 =17 eS
37 a=112=26 ld xt =3114 4264 =3 “o
47 |a=14|2=33 d—-14.4=47|d +33 u =47 po
67 |a=20|2=47 |d—20.u=61|d +47.u=67 A
.4=97|d +68. u= 97 :

De donde, aparte de las particulares á cada módulo, po-
demos establecer la regla general de divisibilidad para mó-
dulos primos terminados en 7.

609

12. Un número es divisible por otro primo terminado en 7
si restando de las decenas del número el triplo de las decenas
del módulo más 2, multiplicado por las unidades del número,
la diferencia así obtenida es múltiplo del módulo, y no lo será
en caso contrario.

Ejemplos: |

¿El número 15.577 es divisible por 37?

1.557 — (3.3 + 2)7 =1.557 — 77, + 1.480,
148 (3.3 +2) 0:="148 = 37.

¿4.659 es múltiplo de 97?

465 -- (3.9 + 2) 9 = 465 — 262 = 204;

y 204 no es múltiplo de 97, luego el número tampoco lo será.
¿El número 8.841 es múltiplo de 7?

884 — (0.3 +- 2) = 884 — 2 = 882,

E O A IR
(UA go Bes):

luego 8841 = 7.

MÓDULOS TERMINADOS EN 9

CARACTERES DE DIVISIVILIDAD
Valor de a|Valer de A|| —— "|| Regla práctica.
d—a.u=m. d+au=m.

" *OoINPON

=2 lld—17.4=19| d+ 24=19
=3 lld—26 u=29| d+3u=29
6 (d—53 u=59| d+ 5u=59
8 lld—71 u=79| d+8u=79
9 [|d—80 u=89| d+9u=89

—
o

MA A

ul

— 610 —

Deduciendo de aquí las reglas particulares de divisibilidad
para cada módulo y la general para los terminados en 9.

13. Conoceremos que un número cualquiera es múltiplo
de un módulo primo terminado en 9, sí sumando á las dece-
nas del número, el producto de las decenas del módulo, au-
mentadas éstas en una unidad por las unidades del número,
la suma es multiplo del módulo.

Así,

¿1.889 es múltiplo de 29?

188 AAN) O
MAA

1.889 no es múltiplo de 29 porque 36 no lo es, etc.

Observaciones prácticas.

14. Si el número termina en ceros, se prescinde de ellos
y se aplica la regla al número que resulte.
En efecto; si

N=N'".10"=m,

siendo m distinto de 2 y 5, es primo con 10, y tendrá que

dividir á N”, que es el número que resulta al suprimir los
2. Si después de aplicar al número dado la regla, no se

diferencia

) l que resulte es múltiplo del módulo,

l suma )

se aplica nuevamente al número que resulte la misma regla,

diferencia )

y así sucesivamente, hasta llegar á una que co-
suma )

sabe si la

nocidamente sea múltiplo del módulo.
3. Si alguna sustracción no puede efectuarse por ser

— 611 —

d< a. u, se puede añadir á d un múltiplo de m, necesario
para hacer á d= a. u, puesto que

d—a.u=m
puede transformarse en

d+m>—a.u=m;

y si d — a. u, no es múltiplo de m, tampoco lo será

d+ m —a.u.

Es preferible efectuar la sustracción directamente, puesto
que si la diferencia es negativa, no influye en el fin que nos
proponemos. :

a. u restar de

Mi OS > m, en vez de . + las decenas
sumar á

las decenas el resto r de (ar pla (
l a. u:m

r

a. u ) suman a
porque siendo

AE | restan de
se

a.u > m, será 40.4 =m +r,
de donde

y si
d—a.u=m, d—(m+r)=m ód-—r=m.

Lo mismo razonaríamos para d 4- du = m.

15. Son dignas de notarse las sencillísimas reglas prác-
ticas que se deducen de los cuadros precedentes, y que va-
mos á enunciar, limitándonos á los módulos 11, 31, 3, 13,
23, 19, 29, 7, 17 y 37, que con frecuencia se presentan en la

práctica.

— 612 —

A) Un número es divisible por 11 si la diferencia entre las
decenas y unidades es múltiplo de 11.

B) Un número es múltiplo de 31 si la diferencia entre las
decenas del número y el triplo de las unidades es divisible
por 31, ]

Cc) Un número es divisible por 3 sí la suma de las dece-
nas y unidades es múltiplo de 3.

D) Un número es múltiplo de 13 si la suma de sus dece-
nas y el cuádruplo de sus unidades es divisible por 13.

E) Un número es múltiplo de 23 si la suma de sus dece-
nas más el séptuplo de sus unidades es divisible por 23.

F) Un número es divisible por 19 si la suma de sus dece-
nas más el duplo de sus unidades es múltiplo de 19.

G) Un número es múltiplo de 29 si la suma de sus dece-
nas más el triplo de sus unidades es divisible por 29.

H) Un número es divisible por 7 si la diferencia entre las
decenas y el duplo de las unidades es múltiplo de 7.

1) Un número es divisible:por 17 si la diferencia entre las
decenas y el quíntuplo de sus unidades es múltiplo de 17.

J) Un número es múltiplo de 37 si la diferencia entre sus
decenas y el producto de 11 por sus nnidades es 37.

Como se ve, estos caracteres son de más fácil aplicación
que los fundados en los restos.

XXVI—

.. o... .:... Ae AS
18

XXVII.— Elementos de la teoría de la elasticidad, por q9
+ "EChegaray.. 07. Ends Y Aa Se A A

XXVIII.-- Informe acerca de las notas tituladas « The problem
of Shadow-Bands» y «Note on the value of a pr
jected image of the sun for meteorological study»,
de la señorita Catalina e Stevens, por José María

e” 3 MAdOrOga. dins NÓ EEES Ve

5 XXIX.—Nota sobre la ulmina natural, por Setvadó Calderón. 5
XXX.— Nuevos caracteres de divisibilidad por módulos pri-

Peer - mos distintos de 2 y 5, por Francisco Simón IZXS
AS Mayorga . NS O TOA NATA

La subscripción á esta RnvIsTa se hace por tomos completos, -
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 fran os dE
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val
verde, núm. 26, Madrid. ; 7

Precio de este cuaderno, 1,25 pesetas.

Kara ER

DE CIENCIAS .

Es

Mess MADRID

TOMO V.-NÚM. 10.
(Abril de 1907.)

AS MADRID
IMPRENTA DE LA GACETA DE MADRID

CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8,
- E 1907

INAH
FOICON EU CUA
LESIOUIRENAA

la Corporación, antes del día 20 de vda
: - pues de otro modo quedará su 1 publicación p
el mes siguiente.

, 4
Em
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Y 1
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Ñ
-
S
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e / o
o
ss :
pe
- PES
Y «
y 77

DRA =P

== UI

XXXI.—Elementos de la teoria de la elasticidad.
POR José ECHEGARAY.

Conferencia quinta,

SEÑORES:

Hemos obtenido en la conferencia anterior las tres ecua-
ciones fundamentales, según el método de Cauchy, para el
equilibrio de un sistema elástico.

Y agregando á éstas las componentes de la fuerza de iner-
cia, obtendremos las tres ecuaciones del movimiento, que
serán,

d?

u
2 mX + Emm'
e 5s +

[ria nie qa (0xdu + dydv + 020) dx | 0,

d?v
== mY + YXmm'
Pe le A |
(1) [1070 + — (0x0u + 0ydv + 0z0w) | 0
A E i
—M—=—= +m£ + mm
A a Sl
op — (0xd0u | 0y0v + 0z 0w) | = 0,

e cd aaa as e aa. aa a a a) 6 Y 0 daa o a aaa O ot e es

De éstas nos ocuparemos tan sólo en adelante, porque es
claro que en si comprenden, tanto el movimiento, como el
equilibrio, del sistema elástico.

Ruy. Aca. Ciencias.—V.— Abril, 1907. 42

+ 1d

Para obtener estas últimas, bastará suponer que 4, V, 1
son independientes del tiempo, con lo cual sus derivadas se-
gundas con relación á f serán iguales á cero; no habrá más
que suprimir el primer término en cada una de las ecuacio-
nes anteriores, es decir, suprimir las fuerzas de inercia.

Advirtamos que mientras existan las cantidades,

04U=U UM; 0 == V; —V, JW=VW, -—W,

las ecuaciones son simultáneas con 3 n funciones u, Y, W...
y en número 3 n; por eso después de escribir las tres ecua-
ciones, hemos puesto una línea de puntos suspensivos.

Ahora, según decíamos en la conferencia anterior, tene-
mos que substituir en dichas ecuaciones los valores de
du, dv, dw desarrollados por la serie de Taylor; á saber:

; DS JU, 4, 1 024 .
RW 0 ARA 2 a
0X dy 02 Y

>

o ES +] 0 EN )
0X dy dz 2

Pero desde el momento en que efectuemos dicha substi-
tución, podremos considerar que las 3 n ecuaciones se han
reducido á 3, condensándose cada serie de n ecuaciones en
una sola por la identidad de forma.

Además, las x, y, z, ya no serán constantes del sistema,
sino que las consideraremos como variables independientes.

Y por último, las ecuaciones, que eran en diferenciales si-
multáneas para una sola variable independiente f, se habrán
convertido en ecuaciones, en derivadas parciales de tres
funciones u, v, w, y de cuatro variables independientes
A

— 615 —

Si se tratase del problema del equilibrio, las 3 n ecuacio-
nes en términos finitos y lineales, se habrían convertido tam-
bién en tres ecuaciones en derivadas parciales, y las funcio-
nes u, v, w serían sólo funciones de x, y, 2.

Ahora hagamos la sustitución indicada de los valores
de 2u, 0v, 6w y desarrollemos los cálculos. Tendremos,
pues, para la primera ecuación: |

E EX Ema JO (ed, YA
de dx dy dz
Ida d?u .
¡ES 0 2 Do) 2 02?
aer O
EE y PA axoz para 2)
dxdy dxdz dydaz
0 IRAN (> 11 du. du. e ]
0X ==> 098 ——00 = DOE paca
ES r La 3% RA 13 dx? ño ))
AS E dv dv. 1 (E -
a 0x0 E =— 02 += Res. =0
r a O RETO ICO ))
F'(r) > > dw dw > í dw >» 1 d?w SI n
0xX0Z | —-0x + —0 — 02 += 0XP <= suena
ho + EE 1 eE li | ))

Y efectuando los productos y ordenando por relación á
las derivadas de u, v, w,

2
— m O Ce [Emmf0yx+Emm PI) 0%) 44
df? dx Ñ
si PE Dex + z Sim (1) 0x20z
dx r É

+ ee (Emmy +3mm Easy) A
dy r

E US (7) dxdy?+ UY impar (1) 0Xx0y0Z

— 616 —

2 2 (Emn70y2 +-3m 94 do +
2

L — Ln Daya m2 LO ox
dz
1 ; d
+ Emm10) | A AS )+
2 d pd
1 y JAY) d*u A y2 >
— mm == O 0x?
An 2 r dx ) Ba
¡hide TUE SUE 2
— Nmm 0 RE .. 0XD
me 2 r dx? E ) pS
sE 1 Ymn 0) ( E A ] 0x0Z
2 y dx?

En la expresión anterior pueden evidentemente suprimirse

todós los términos que contienen las derivadas de primer
orden de u, v, w, con relación á x, y, 2

En efecto, se demuestra desde luego, que todos sus coefi-
cientes son próximamente ques á cero.

Para ello se observa que las * se refieren á una esfera su-
mamente pequeña de radio : trazada para cada punto alre-
dedor de él como centro.

Pero como la esfera es pequeñísima, puede suponerse, con
alto grado de aproximación, que los puntos materiales están
distribuidos uniformemente.

Luego, si por el centro, es decir, por el punto de las co-
ordenadas x, y, 2, se traza una recta de longitud r, y se
considera el punto material situado en la extremidad, este
punto tendrá otro simétrico, es decir, á la distancia r del
centro y del lado opuesto, y estos dos puntos darán en
cada * de las indicadas valores iguales y de signo contrario,
que se anularán; porque siempre entrarán uno 6 tres factores
de los 0x, 0y, 02.

— 617 —

Por ejemplo:

en mm! f(r)3 x
1

entrarán

Í

mn f(rix y —mmf(náx;

en E mm E 9x3

LUN ALE E JENS
O La.
F |
en mm f dl EY
entrarán asimismo
A E
mm / a xy y —mm dE) 0X
en Emmn' Í = AX0y0z.
1 ANS
mm palio 9x0ydz y —mm f E
y así sucesivamente. :

Claro es, que en todos estos coeficientes la r es la misma
para ambos términos de signo contrario, porque, como he-
mos dicho, se toman pares de puntos simétricos con relación

al centro.

Suprimiendo, pues, todos estos términos relativos á las
derivadas de primer orden, nos quedará como ecuación sim-

plificada

— 618 —

7 Emmf0)

cto 0x0y + 2 cdo 0x0z 4-2 gs a)
dx dydz

+ Em LO xa

en que no entrarán más que derivadas parciales de segundo
orden.
Ordenando por relación á dichas derivadas, tendremos

4x4 EL (A somo +23mm pe ÓN
dx 2

.mm f(r)oxoy +

2
Ymmf(nxtz+ PoR mm'f(r) y oz
2 dydz

— 619 —

A a oe (JANE )
—YXmmf(nNoy?+—*mm! 2 0x*%0y?| +
lo A a |
d*u ES
-—— Pmm' == 6x0
rd - y +
du Ym mbO oye, d?u 5 paa r) ¿x2by0z
dxdz dydz

I

a (5> 2mm'f(1)02" + uN pan 0x02 ») ni

dz?

Em pt ay Y

pan ), dx20yoz1- ——Y mit LO aye

E TAO

2 ,
pea qu 0X20y0z =

e mm" FO) a E pue 10,
dxdz r dydz

LD semxiy=0.

— ui —

En esta última ecuación podemos hacer simplificaciones
análogas á las que hicimos para los términos en que entra-
ban las derivadas de primer orden de u, v, w.

Allí, las simplificaciones se fundaban en que, dentro de
cada estera de actividad de radio «, podíamos suponer una
distribución uniforme de los puntos materiales y podíamos
acoplarlos dos á dos en todas las líneas, que pasasen por el
centro, tomando cada dos masas á igual distancia de dicho
centro.

Como en este caso las 3x, %y, 02 para ambos puntos eran
iguales y de signos contrarios, y como en los coeficientes de
todas las derivadas, estos factores entraban un número im-
par de veces, claro es que los términos de que tratamos se
destruían dos á dos.

Pues ahora, la simplificación se fundará, no en la simetría
por relación al centro, de la esfera e, sino por relación á tres
planos coordenados que pasen por dicho centro; y con tal
que una por lo menos de las cantidades 5x, y, 02 tenga una
potencia impar, se demuestra fácilmente que el coeficiente
en cuestión es nulo.

)

; / a d?y
Por ejemplo, consideremos el coeficiente de , que es
"a

= oso
0x*0y.

Por el centro de la esfera tracemos un plano paralelo al
plano coordenado x, 2.

Suponemos, como siempre, que en el interior de la esfera,
la distribución de las masas es uniforme, y por lo tanto, si
tomamos delante del plano un punto de coordenadas 3 y, ten-
dremos otro punto detrás del plano simétrico con él, de coor-
denada —3y, y las otras dos coordenadas 3x, 2z serán las
mismas para ambos puntos.

Por lo demás, la m, m' son todas iguales, ó se supone
que son iguales en la pequeña extensión de la esfera, y las

La
2

m?

= 621 —

distancias desde el centro á ambos puntos, que son simé-
tricas por relación al plano, también serán iguales; luego
la Y se compondrá de pares de términos de esta forma:

O Su

S a AA pla e n?2

my y 2
z y za
que se destruirán dos á dos.

En rigor, si el cuerpo es heterogéneo, las masas simétri-
cas no son iguales: suponer que lo sean, es admitir que el
error que se comete es de orden superior y despreciable.

Sobre esto acaso insistamos más adelante.

De todas maneras, en los cuerpos isótropos no cabe esta
duda.

Son pormenores en que no podemos detenernos como
quisiéramos.

Lo dicho podría repetirse para todos los coeficientes de
las derivadas, menos para los tres primeros, que no contie-
nen más que potencias pares de 3x, 5y, 32; y además para
estos dos términos:

LE

0x?0 y?, a == 0x?202?,

As O)
F dxdz 4

dxdy

que se encuentran en el mismo caso.

Suprimiendo, pues, todos los términos, menos estos cin-
co, la primera de las tres ecuaciones fundamentales se redu-
ce á la siguiente:

d*u EA
= m X — YEmm'f(r)ox? -
SS E Ar +
Lom LO py
+ z zm 0x1) (1)
OS ERAS E
— am roy? >
iD e

JN
f

>

0),

2 LES d f(r) Ar2hA A
ñ 2 E E )
bl Bl a : A
- — Ymm'f(r)0z? -
r—= E faz +
3 l dy á Fr) 0x2) z
El 5 amm E 9x 02) (1)
d?y ¡E AS
sd :-—*mm =-— 0x%0y? +
y 2 q
aa RUE Lote ox20z?- 0,
UXaZ 2 E

Del mismo modo es fácil transformar y simplificar la se-
gunda y tercera ecuaciones (1) substituyendo los desarro-
llos (2) ordenandos por relación á las derivadas primeras y
segundas de 1, v, w; suprimiendo todos los términos corres-
pondientes á las derivadas de primer orden, y otros de las
derivadas segundas.

Pero pueden escribirse desde luego las dos ecuaciones
finales con sólo comparar á la primera de las ecuacio-
nes (1) la segunda y la tercera, cambiando unas letras por
otras como vamos á explicar.

Copiemos la primera y la segunda ecuación del grupo (1)
. alterando en la segunda el orden de los tres últimos tér-
minos.

d?u
mX-+-yEimm'
e Se 3

[107 + AO) (0xóu + 0yov + 022) ax | =0,

ti

d?vy
-— m — m Y mm
a

0 4 dad (0yov + 0z20w + 5x0u)0y | = 0.

— 623 —

En estas ecuaciones se observa, que se puede pasar de la
primera á la segunda aplicando á aquélla estas tres substi-
tuciones circulares

a SNA

ATA,

VERS

Se dice, que se aplica una substitución circular de tres le-
tras, por ejemplo, u, v, w, cuando se substituye en una fór-
mula, en vez de la primera letra u, la segunda v; en vez
de la segunda v, la tercera w, y en vez de la tercera w, la
primera u. Como si las tres letras estuvieran escritas en un
círculo y el círculo girase avanzando un intervalo.

Hemos escrito las tres substituciones desarrolladas, no
en forma abreviada (u, v, w) como se acostumbra; de modo
que habrá que substituir en la primera fórmula (1) por cada
letra de las tres substituciones circulares, la que está debajo.

Asi, en vez de la X, la Y; en vez de la Y, la Z; en vez de
la Z, la X; que por lo demás estas dos últimas no entran
en la fórmula primera.

Después, en vez de la u, la que está debajo, que es la v;
en vez de la v, la w, y en vez de la doble w, la u. Y lo
mismo podemos decir para la tercera substitución circular
de las x, y, z.

Efectuando dichas substituciones, se ve que, en efecto, la
primera fórmula se convierte en la segunda.

Esto mismo puede repetirse para todos los desarrollos,
mejor dicho, en cualquier estado del cálculo, y por consi-
guiente para las fórmulas finales, porque en último resul-
tado es un cambio de notaciones: es la substitución de unas
letras por otras.

Aplicando, pues, dichas substituciones circulares á la fór-
mula (1), obtendremos directamente la transformación de la
segunda fórmula del grupo (1) sin necesidad de nuevos

— 624 —

cálculos, que son elementales, pero que son largos y enojo-
sos. Así tendremos:

=j _ = E Emm f(r)p2?

Del mismo modo y con la misma rapidez podemos escri-
bir el resultado de la transformación y simplificación de la
tercera ecuación del grupo (1).

En efecto, escribamos la segunda y la tercera ecuación,
alteremos el orden de los términos en esta última, y ten-
dremos

mE my Y mm
dt? y

[10 2% LO xau + 3yov + 22h) | =

Y mm

10970 LO ayan + 3z0w + »xbujaz| o DL

— 625 —

Comparándolas se observa que puede obtenerse la últi-
ma, aplicando á la anterior las tres substituciones circulares
que establecimos al principio.

De esta manera, la ecuación (Il) se transforma en la si-
guiente:

pe A dd Eo 2 mm'f(r)0z? +

eS > mm E 02)

O A A OS E
+ — | —2mm'f(n0x? +
enla Fx y

(1D)

tale mm f(r) ey? +

+ > mm Pl aaty)

qn L5m LO o
dzdx 02
2
a m LO azay—0.
dzdy e

Las tres ecuaciones (1) (11) (MI) son las tres ecuaciones
fundamentales del movimiento elástico, y suprimiendo las
fuerzas de inercia, resultan las del equilibrio; para todo el
sistema elástico, si es indefinido, y para todo el interior,
prescindiendo de la superficie, si estuviera limitado.

Para escribirlas en una forma más cómoda, representa-
remos cada uno de los coeficientes de las derivadas por una
letra, según la notación de M. Laurent; y además dividire-
mos todos los términos por m, que es la masa del punto

— 626 —

cuyo equilibrio se ha establecido; y para simplificar notacio-
nes, en vez de m' escribiremos /m.

En este supuesto representaremos los coeficientes de las
derivadas en las tres ecuaciones (1) (11) (II) del siguiente
modo:

2mf/(r)5x? =A,

14
=
e
e
=
[a 7)
y
|
»

e

OS a]
e

Y

2

M
3

=
a
SS
(27)
Be
l
a

byt= Br, (AV)

=

mM
cs
a
EA
/

.

A

4

L

14
Si

a d F e ,
em LD inc,

Y
Nm Elo 8x282y?= C

Con estas anotaciones, las tres ecuaciones fundamentales
pueden escribirse en la siguiente forma:

d?u du d?u
a X+—— (A+ A' — (B+C od) +
A ARO BN
d?u d?y dew
—(C0+EB" Z AZ B"=0
3 dz? daa dxdy í5 dxdz

— 627 —

d?v d?y d?y

— Y + —-(B + B)+ -——(C+A5)+
A A
d?v' d?w d?u

i A+C5+2 A“ +2 A

E 2 o dydz A dxdy

d?w dew d?w
= — +4 Z+=—(C4C) + —— (A + B"
A
dew d*u : ARA
— (B+4)+2 B" +2 AR ==U;
e dy? or dz dx do dzdy

que también se deducen unas de otras por la substitución
circular de A, B, C. :

Hemos reducido, pues, las tres ecuaciones fundamentales
del movimiento ó del equilibrio elástico á tres ecuaciones en
derivadas parciales de u, v, w con relación á x, y, z, f en ge-
neral, Óá x, y, z si se trata del equilibrio.

No entran en estas ecuaciones más que derivadas segun-
das y no todas, pues no entran más que cinco en cada
ecuación.

Los coeficientes en A, B, C serán en general funciones de
Xx, y, z que están perfectamente definidas por las ecuacio-
nes (IV); pero esto lo aplicaremos en otra conferencia más
detenidamente.

Claro es que las sumas, que las representan, podrán subs-
tituirse aproximadamente por integrales, que dependerán de
la estructura del sistema.

Para que se comprenda el sentido y la significación de las
ecuaciones (IV) que representan como hemos visto los co-
eficientes de las tres ecuaciones fundamentales, fijémonos
en uno de ellos, y lo que de él digamos, podríamos repetir
de los demás.

— 628 —

Sea, pues, el coeficiente

C= 5 2mf(r)9 22.

Este coeficiente expresa una suma, y todos los términos
de esta suma son conocidos y en teoría podrían calcularse.
Tomemos uno de sus elementos, - e

MILE ZE,

que se referirá á un punto determinado dentro de la esfera
de radio e: al punto cuya masa es mm.

Todos los factores de este elemento son conocidos en teo-
ría, puesto que se refieren al estado inicial, que es uno de
los datos del problema.

En efecto, en el punto m la masa tiene un valor determi-
nado m.

La función f, que es la de Saint-Venant, dividida por r,
para el problema teórico, debemos suponer que se conoce.
Y, por último, la posición del punto determina r y 32.

En resumen, puede calcularse numéricamente este ele-
mento y todos los demás comprendidos en la esfera de acti-
vidad, ó sea bajo el signo *.

Pero todo esto, que en teoría es sencillísimo, si se inten-
tara llevarlo al cálculo práctico, sería imposible por el nú-
mero inmenso de puntos comprendidos en la esfera de
radio e.

Así, en este caso, como en todos los análogos, á la suma
se substituye la integral; es decir, á la discontinuidad, la con-
tinuidad; integral que en el caso presente, por tratarse de
una esfera, será una integral triple.

Tendremos, pues,

c=3 ff [mr

— 629 —

En rigor, la masa m, si el cuerpo no es homogéneo, será
distinta para cada punto de la esfera molecular; mas para
simplificar, podemos suponer que la densidad es constante
dentro de dicha esfera, y podremos substituir á la masa, su-
poniendo que ocupa un volumen d V, y que la densidad me-
dia en dicha esfera es D,,, el producto de esta densidad por
el volumen: así:

M=D ve

Pero fijense bien mis oyentes; suponemos la densidad
constante en la esfera de radio ez, pero no en todo el siste-
ma elástico.

Podremos sacarla fuera de la integral, puesto que para la
integración es constante; pero en general, y á menos que el
cuerpo no sea homogéneo, será distinta de una esfera á otra
ó de uno á otro centro. En resumen, será una función de
IZ.

Por lo tanto:

C = 5 DM, 2 fav fm.

Tomando, por ejemplo, las coordenadas polares, para la
determinación de cada punto, y llamando (fig. 12) r á la dis-
tancia 04 del punto al centro de la esfera;

Y al ángulo que forma con 04, paralela á Ox, la proyec-
ción de 0a, sobre el plano que pasa por o, paralelo al xy;

y U al ángulo que forma el mismo radio con el eje oh, pa-
ralelo eje de las 2, expresaremos el volumen infinitamente
pequeño relativo al punto a por la fórmula conocida:

av =ab ae. al=r.di.ga. dv dr,
y siendo ga = 1 sen!.

dV=rdl.rsenb.dd. dr = r? sen 0dbdiadr.

Rey. Acap. Ciryvcias.—V.-— Abril, 1907.

60.

El coeficiente C, toma, pues, la forma

C= 5 Dn(x,9,2) ff f resenvas dy. dr. faz

.

.”
+

Do

Figura 12,

Se ve, por último, en la figura, que

dz =o0g = rcos l:
por consiguiente

C=>D, 27] Ao) senú cos?4d0 . di. dr.
DAD 0

Queda, pues, el coeficiente C perfectamente definido y las
integrales, por lo demás, son bien sencillas.

— 631 —

- La integración respecto á r, comprenderá desde cero hasta
el radio de la esfera e.

Pero respecto á esta última integración, algo tenemos que
advertir; y entiéndase que éstas, únicamente son reflexiones
generales y observaciones que hacemos de paso, para que
mis oyentes comprendan, que á veces en estas teorías de la
Física matemática pueden presentarse dificultades, que na-
cen de la substitución de lo discreto por lo continuo, de las
sumas por las integrales.

Facilitan estas substituciones el cálculo, hacen posible lo
que de otro modo sería imposible; pero el cálculo tiene sus
leyes propias, que no siempre se doblegan, ni siempre con-
ciertan con las exigencias de las hipótesis propias de la Fi-
sica matemática.

Y pronto comprenderán mis oyentes el objeto de estas
observaciones.

Integremos respecto á y y resultará:
= > Dml2,2) fa senfdcos?0d.2x;
J0 0
integremos asimismo respecto á % y tendremos:

E =Dalsy,2) | rior. (cost);
0

Ó bien
2 <
C= E “Dl y,2) | rifin dr,
0
La última integral relativa á r no podrá efectuarse mien-

tras no se conozca la forma de la función de Saint-Venant,
de la cual depende f. '

— 632 —

.

Pero dicha función para r= 0, según vimos en las confe-
rencias del curso anterior, es infinita, y tambien será infini-
ta f, con lo cual el elemento de la integral con relación á r,
para r=0, podrá ser infinito y la integral ilusoria é inacep-
tables los coeficientes, y en esta hipótesis toda la teoría
caería por su base.

Es necesario, por lo tanto, ó sería necesario, porque dado
el carácter elemental de estas conferencias no podemos
entrar en un estudio detallado de esta duda que aparece;
sería necesario, repetimos, analizar todos los coeficientes
A, B, C..... demostrando que no son infinitos.

Séannos permitidas, sin embargo, algunas hipótesis.

Si la función de Saint-Venant no contuviera más que r* en
el denominador, el elemento de la integral correspondiente
al centro de la esfera, no sería infinito. Porque entonces la
función f, que es igual á la función de Saint-Venant di-
vidida por r, contendría r' en el denominador, y tendría-

os Í 20 y

0 q, 2

2 E
== a eeoosdid, ME "Dn(0034,2) Í, (ndr,
3 3. 0

siendo f, (r) una función que no es infinita para r=0: la
integral, pues, sería finita.

Pero si en vez de la tercera potencia de r admitimos que
las repulsiones eléctricas contienen la sexta potencia de ren

el denominador, entonces tendríamos f(r) = EA) 0 y
E
2 CE r
cuota (Ortega (LO e
uU 0 y 0 r?

que para r = 0 da un elemento infinito en la integral, corres-
pondiendo dicho elemento al centro de la esfera e

*
* *

— 633 —

Séanos aquí permitida una pequeña digresión, que en
nada perjudicará á esta conferencia, porque el asunto prin-
cipal, que era la determinación de las tres ecuaciones funda-
mentales, está ya terminado.

Estamos estudiando la naturaleza de los coeficientes
A, B,C, y acabamos de ver que dichos coeficientes no son
infinitos cuando la función de Saint-Venant contiene cierta
potencia de r en el denominador; pero que pueden ofrecer
dificultades los expresados coeficientes, por presentarse bajo
forma infinita, para otras potencias de la expresada distan-
cia. Y sobre esto vamos á insistir, anticipando algunas ideas
que acaso desarrollemos más adelante.

La función de Saint-Venant, según vimos en las conferen-
cias del año anterior, ó la curva que la representa, es el re-
sultado de restar las ordenadas de dos curvas: una que co-
rresponde á las atracciones entre los dos puntos que se con-
sideran, otra que corresponde á las repulsiones; repulsiones
que puede suponerse que son debidas á las dos atmósferas
eléctricas, que rodean respectivamente á los dos núcleos
ponderables, según expusimos en una de las conferencias
anteriores.

Las atracciones, puede admitirse, y se admite general-
mente, que varían en razón inversa de los cuadrados de las
distancias, es decir, que contienen el factor =

Pero respecto á la potencia de r, que entra en el denomi-
nador d> las repulsiones eléctricas, hay opiniones diversas
y diversas hipótesis que varían desde — hasta _

La primera hipótesis es la que se admite en la teoría clá-
sica de la ele -tricidad, ya para un flúido, ya para dos flúidos.

La segunda, es decir, la que contiene la sexta potencia
de r, es la que indica Mr. Briot en su Teoría de la doble re-
tracción y de la dispersión de la luz.

Y entre estos dos límites todavía hay alguna a hipótesis.

34. —

De este género son ciertas vacilaciones y dificultades de
la Física matemática, de donde resultan á veces, al profun-
dizar las teorías, ya concordancias, ya sus contradicciones.
Contradicciones que no siempre son estériles, porque obli-
gan, como acabamos de decir, á ahondar más y más en los
problemas, y acaso á abandonar ciertas hipótesis ó á modi-
ficarlas.

Digamos algo sobre estos dos límites extremos: Es y E
r r*

La hipótesis para la repulsión del factor - es muy cómo-
da en la teoría clásica de la electricidad, como veremos en
la segunda parte de este curso; pero aplicada á la teoría que
vamos estudiando pudiéramos decir que casi la anula.

Ya lo hemos indicado en otra ocasión y ahora vamos á
completar aquellas ideas.

Si la repulsión eléctrica fuese de la forma

N

0) >

¡pa

siendo N una constante en que entra el producto de las ma-
sas eléctricas, pued2 creerse, al menos como primera impre-
sión, que la curva de Saint-Venant no existiría, con lo cual
toda la teoría de la elasticidad, que vamos exponiendo, cae-
ría por su base; á menos que no se buscasen, por otra hipó-
tesis, otras fuerzas repulsivas.

En efecto; si la ordenada de las fuerzas repulsivas es de
la forma

y la de las fuerzas atractivas,

— 635 —

la ordenada de la curva de Saint-Venant tendrá por expre-
sión

N M
E
Ó bien
NM.
fe

salvo el signo, que depende del sentido en que se cuenten
las ordenadas positivas.

Pero es claro que en esta hipótesis la figura 7, de la con-
ferencia tercera del año anterior, no existe. Las curvas de

FPiaura 13.

las atracciones y repulsiones no se cortan; no hay ningún
valor de r que reduzca la expresión anterior á 0, como no
sea r= 00. De modo que ni existe elasticidad entre dos mo-
léculas, ni en un sistema de moléculas unidas dos á dos, por
la curva de Saint-Venant.

Hemos dicho que ésta es la primera impresión; pero hay
la esperanza de que algo puede modificarse acudiendo á dos
hipótesis nuevas.

Y como todo esto nos va á servir más adelante, permitan
mis oyentes que insista sobre el mismo punto.

Sean A, A' (fig. 13) dos moléculas iguales, compuestas
cada una de una masa ponderable m de forma esférica, y al-
rededor una masa eléctrica, y, extendida en una capa, esféri-
ca también.

Mientras estas formas subsistan será aplicable al sistema
todo lo que acabamos de explicar, de suerte que no podría-

— 636 —

mos utilizar la curva de Saint-Venant para darnos cuenta de
los fenómenos elásticos.

Pero penetrando algo más en el fenómeno físico, ó mejor
dicho, en la hipótesis establecida, observaremos que estando
en presencia ambas masas m, mm y sus atmósferas y, y., es
imposible que éstas conserven la forma esférica. Se rechaza-
rán en la parte interna del sistema y se acumularán en la par-
tes exterioren-b yb".

Hemos representado, pues, en la figura los núcleos ponde-
rables 4, A” y hemos representado las atmósferas en las par-
tes rayadas B, B”.

En rigor, este problema es el de las dos esferas de Poisson,
que se estudia en muchos tratados de Electroestática.

No pretendemos aquí hacer un estudio minucioso de dicho
problema, sino únicamente de presentar un avance por un
cálculo sencillo y de aproximación grosera, pero que nos dé
vierta orientación.

Designemos por a y a' los centros de las dos esferas pon-
derables, y supongamos que b y b” son los dos centros de
gravedad, 6, por mejor decir, los dos centros de fuerza de las
atmósferas deformadas B, B”.

Por último, hagamos

ad ==; ab=4 DA»

La acción recíproca de ambos sistemas se compondrá de
cuatro partes, con arreglo á una de las hipótesis de la Teoría
de la electricidad. A saber:

1.7 De la atracción entre las dos masas ponderables.....

siendo /. una constante que dependerá del sistema de unida-
des que se elija.

AS

— 637 — /

2.” De las atracciones entre las masas ponderables y las
atmósferas etéreas; es decir, de A sobre B” y de A” sobre B,
cuya suma, representando por ¿una constante, será,

A AT O A

Y 3. De la repulsión entre las dos masas eléctricas.....

End
¡é 5) ,
(+29)
siendo y otra constante.
La fuerza resultante de ambos sistemas, anos como
positivas las fuerzas de atracción, y como negativas las de
repulsión, estará evidentemente representada por

a — eE 28 q mi pe :
r + Y Cr 20
dicha expresión tendrá por valor la ordenada de la curva de
Saint-Venant para este caso, si es que existe dicha curva.

Para ello es preciso que cumpla con tres condiciones:

1.? Para valores muy grandes de r debe ser positiva; y
para r= oo debe reducirse á cero.

2. Debe reducirse también á cero para un valor finito,
pero muy pequeño, porque ha de ser del orden de las dis-
tancias moleculares, y lo designaremos por r,.

3. Para r,< r, debe la expresión tomar el signo nega-
tivo; y para r = O debe llegar á — oo.

De estas tres condiciones, la expresión precedente sólo
puede cumplir con la primera.

En efecto, la expresión de que se trata, puede ponerse
bajo esta forma:

; 2
(em road ñ a 2

— 638 —

y á medida que r crece, y cuando sea muy grande, ya que
es una cantidad finita y del orden de las dimensiones de la
molécula, aunque variable evidentemente con r, se reducirá á

ia a

cantidad positiva si se tiene am? -—- 28mu — y y.?
igual á cero para r = 00.

Pero no cumple con las otras dos condiciones, porque la
expresión general se deduce del primer miembro, de la des-
igualdad anterior, dividiendo el término negativo — yu por
(r+22)* y los otros dos 28 mu y «m*? respectivamente por
(r+p)? y r? que son menores que (r-+22)?.

Luego con más razón será positiva la expresión general

DE

AT

an, 28m Yp?

PAT

En efecto, hemos disminuido más el término negativo que
cada uno de los dos términos positivos.

Todo esto suponiendo que y se cuenta como cantidad po-
sitiva, como parece natural, puesto que el centro de grave-
dad de las masas B, B' ha de caminar hacia afuera á medi-
da que dichas masas se alejan una de otra.

En suma, y sin hacer un análisis más minucioso, porque
esto nos alejaría del objeto principal de la conferencia, ve-
mos que la primera hipótesis, á saber, que las fuerzas repul-
sivas varían siempre en razón inversa del cuadrado de la
distancia, parece incompatible con la acción de las fuerzas
elásticas, es decir, con las propiedades fundamentales de la
curva de Saint-Venant.

Resulta, por lo tanto, una contradicción, que por el pron-
to no hemos de empeñarnos en vencer, entre la teoría clási-
ca de la elasticidad estática y la teoría de la elasticidad y de
las fuerzas elásticas.

— 639 —

En la teoría de la electricidad estática, según la explican
todos los autores, y según resulta de las experiencias de
Coulomb, la acción entre dos masas eléctricas , y”, ya sea
atractiva Ó repulsiva, es de la forma

de modo que en el denominador entra la distancia por su
cuadrado. )

Mas esta ley experimental está en contradicción con las
propiedades de la curva de Saint-Venant y es impotente para
explicar las fuerzas repulsivas que en la elasticidad han de
desarrollarse: al menos así resulta de un primer estudio del
problema.

Y no se diga que son casos distintos: que estas masas son
masas eléctricas y que en la primera parte de esta discusión
realmente no hemos hablado de la electricidad, sino del éter,
que va unido á la materia ponderable de los átomos; porque
en la hipótesis ya clásica de la unidad eléctrica, Ó sea de un
solo flúido, el éter con la electricidad se confunde, según se
explica claramente, por no citar más que una obra, en el
preámbulo de la teoría del calor de Briot.

Y á la verdad que en este preámbulo se suponen expo-
nentes distintos para r en las fuerzas atractivas y repulsivas,
llegando á una fórmula que, en rigor, y prescindiendo de un
término que á nuestro entender falta, coincide con la función
que hemos llamado de Saint-Venant.

Sin embargo, el mismo autor, en el cuerpo de la obra, ad-

k
. a UL
mite constantemente expresiones de la forma do

2

p

Sobre este asunto hemos de volver más adelante; por
ahora, y aunque admiramos la inmensa labor de la Física
matemática en el siglo último, no podíamos menos de ex-
presar nuestras dudas, ni de llamar la atención de nuestros

—

oyentes sobre las contradicciones que encontramos entre
unas y otras teorías.

* ok

Pasemos al segundo caso, aquel en que la fuerza repulsi-
va de dos átomos ó moléculas lleva en el denominador la
sexta potencia de la distancia.

Al estudiar los coeficientes A, B, C de las tres ecuaciones
fundamentales, tomando como ejemplo el coeficiente C, cuyo
valor es

C=F7Dm(%,9 2) | rfar;
Jo

siendo f(r) la función de Saint-Venant dividida por r, vimos
que para el valor r=0 el elemento de la integral parecía
presentarse bajo la forma infinita, con lo cual todo el cálculo
de los coeficientes y aun toda la teoría pudiera ser ilusoría.

Para estudiar más á fondo este punto, y para fijar más las
ideas, supongamos que la función de Saint-Venant, ó sea la
ordenada de la curva que representa las atracciones y repul-
siones entre dos moléculas es de la forma

Ae POROS
By Ese
En este caso la f(r) será
M N
==>
ms Fl

y el valor de C, representando por H su coeficiente para
abreviar la escritura,

— 641 —

ó bien

y por fin

que para el límite inferior se reduce al parecer á infinito.

Esto procede, sin duda, de haber substituído, para el cál-
culo de la suma, á la discontinuidad entre los puntos ma-
teriales, la continuidad; con lo cual hemos supuesto que
existe una masa infinitamente próxima al punto que se con-
sidera, es decir, al centro de la esfera. Pero esto no es legi-
timo porque es variar por completo las condiciones del pro-
blema mecánico.

Podemos dividir el volumen de la esfera en volúmenes
infinitamente pequeños, que comprendan en su interior cada
uno de los puntos materiales, cuya acción sobre la masa m
- del centro de la esfera de actividad queremos calcular.

Podemos aún distribuir uniformemente en cada uno de
estos pequeños volúmenes dicha masa /m.

Pero no podemos hacer lo mismo en la esfera infinitamen-
te pequeña, ó mejor aún, en el volumen que rodea á m, por-
que introducimos un elemento infinito en la integral.

Para alguna otra potencia que sea inferior á r”, por ejem-
plo, para r?, no hay inconveniente en extender este tlúido
hipotético hasta el centro de la esfera <, ya que con esto no
se introduce ningún elemento infinito en la integral. Pero
no podemos hacer lo mismo en el caso presente por la
razón indicada.

Vamos, pues, á variar el límite inferior, y no extendamos
el flúido hipotético y continuo más que hasta las últimas
moléculas próximas á m (fig. 14).

Más claro; sea a el punto que estamos considerando, en

— 642 —

el cual existe la masa mm, y sea < la esfera de actividad mo-
lecular.

Rodearán al punto a una última capa de moléculas
m', m*, m”..... y sea m/' la más próxima.

Pues desde a, con un radio ab = h, tracemos una esfera
que pase por im', y no efectuemos la integración sino entre
Ah y e, de modo que tendremos

a 0
O O

En este caso el último elemento de
la integral, que será el de la última
capa de la faja rayada en que hemos
supuesto distribuido el flúido, ya no
se presentará bajo la forma infinita.

Porque, en efecto, la distancia A
será muy pequeña; pero no es cero.
Y hay más: los puntos m', m”, m”.....
más próximos á a serán tales, que la
distancia 1» podemos suponer que difiere muy poco de la
distancia de equilibrio entre dos moléculas Ó dos ma-
sas m y m'.

Aceptemos para este caso como hipótesis general, que
los puntos se separan cantidades muy pequeñas con rela-
ción á las distancias de equilibrio, que tendrían si estuvie-
ran aislados.

Ahora bien, para calcular esta distancia de equilibrio
basta igualar á cero Y y tendremos

Figura 14.

M N

AS,

p? ró
de donde
Mr'—N=0;

— 643 —

y despejando r y llamando r, á su valor, que será la distan-
cia de equilibrio buscada, resultará

yE
:0

que verificará á la ecuación anterior, puesto que es su

raíz. Así
Mr,*— N=0.

Según hemos dicho, A y todas las distancias de las molé-
culas que se"encuentren sobre la esfera de radio A, Ó próxi-
mas á ella, que son precisamente las que constituyen el
límite inferior de la integral, diferirán muy poco de r..

Es decir, que podemos escribir + =r,+0F..

Así, el último elemento de la integral será, ponien-
007 —=k :

M de 1 A A
13 A A A3
y substituyendo por ?. su valor,
MAN M(r.' Ho dla) NN, d)

(1, + 0,)* (1. + 3rp)?

Pero como M r,*— N= O, quedará reducida la expresión
precedente á
4Mr,30r, ,- IR
AS dh =4M5r,dh,
ro

que ha perdido ya la forma infinita.

No insistiremos más sobre este punto, que más bien como
ejemplo, que como solución de esta clase de problemas,
hemos presentado.

> Y JN

Lo mismo hubiéramos podido hacer, después de la in-
tegración, substituyendo en vez de N su valor en función
de ro.

Avertiremos que hubiéramos podido repetir el anterior
cálculo para cualquier otro exponente mayor Ó menor que 6
y distinto de 2.

Dijimos en la primera conferencia de este curso, que en
vez de exponer las teorías generales de la Física matemática
clásica, deduciendo rápidamente las ecuaciones en que están
condensadas, para hacer después la critica de todas ellas,
habíamos preferido, que la exposición de dichas teorías y Su
crítica fuesen á la par; y esto es lo que vamos haciendo,
por eso caminamos con cierta lentitud, y por igual razón en
nuestras conferencias abundan las digresiones.

Pero nuestras críticas son de tres clases:

1.2 Unas son fundamentales, marcan deficiencias eviden-
tes de la ciencia clásica, y éstas sólo podrán desaparecer
cuando se modifiquen Ó se amplien las hipótesis para aco-
modarlas á los nuevos descubrimientos: por ejemplo, cuando
se sepan calcular, como decíamos en la primera conferencia,
las acciones y las influencias entre todos los elementos ma-
teriales, que la Física experimental va descubriendo. Es decir,
cuando se sepan calcular las fuerzas Ó las energías que se
desarrollan entre cada dos elementos d2 esta serie: masas
ponderables, masas eléctricas, corrientes de conducción ó co-
rrientes de desplazamiento , elementos de corriente, masas
magnéticas aisladas, polos magnéticos, toda clase de radia-
ciones y elementos de éter, ó átomos de electricidad, como
ahora se les llama.

Resolver todos estos problemas que hoy se plantean con
cierta confusión ha de ser la obra de la nueva Física mate-
mática.

— 645 —

Si representamos por A un elemento cualquiera de la lista
anterior, y por B otro elemento cualquiera de la misma lista,
de igual 6 distinta clase de aquella á que A pertenece, la
Física matemática caminará desahogadamente hacia su uni-
dad cuando conozca la función + (A, B) que exprese la ac-
ción mecánica entre estos dos elementos.

Y esto lo mismo si los elementos están inmóviles que si
están en movimiento; y cuenta que lo último ha de constituir
uno de los problemas más transcendentales de la Física ma-
temática del porvenir. Labor que supone la transformación
completa de muchas teorías.

2.” Mas hay otras criticas, y ya las vamos señalando,
también muy importantes, porque marcan deficiencias, ó en
las hipótesis ó en los cálculos, pero que aunque señalan
conflictos Ó contradicciones, acaso podrán resolverse sin
la transformación total de la rama de que se trate.

Una contradicción hemos señalado, que en verdad no es
fácil decidir si está comprendida en la crítica de la primera
óde la segunda clase y si será transcendente ó circuns-
tancial.

Nos referimos á la determinación del exponente de r en el
denominador de las fuerzas repulsivas. Porque en la Teoría
de la electricidad estática se supone que es 2, lo cual es in-
compatible con la Teoría de la elasticidad, y es incompatible
con otra hipótesis de Mr. Briot en la Teoría de la luz; pues
dicho matemático supone que las repulsiones de dos masas
de éter contienen en el denominador r?.

Más aún, si no recordamos mal, el ilustre lord Kelvin, en
uno de sus estudios, da á dicho exponente el valor 4.

Tales diferencias en el exponente de r, para diferentes
teorías, despiertan dudas sobre algunas ó sobre todas ellas.

Es imposible admitir, que las leyes de repulsión sean
hasta tal punto distintas. Y para armonizar resultados tan
opuestos, sería necesario suponer, que dichas repulsiones
están expresadas por una fórmula aún más compleja de lo

Rev. Aca. Cruncias.—V.—Abril, 1907. 44

a A

que hemos supuesto. Por ejemplo, por una serie de térmi-
nos con exponentes negativos de r, cuyos coeficientes fue-
sen también funciones de r de variación lenta á intervalos, y
de los cuales algunos pudieran despreciarse entre ciertos
valores de esta cantidad, al paso que fueran preponderantes
en otros intervalos.

Hipótesis por todo extremo compleja y que no hacemos
más que señalar de paso.

3.” Por último, en las observaciones críticas que vamos
haciendo hay otras menos importantes para la ciencia que
las de los dos grupos anteriores; pero que pueden tener su
importancia para la enseñanza, en cuanto ayudan á vencer
dificultades y á esclarecer puntos dudosos para los princi-
piantes.

Y terminadas por fin todas estas digresiones, hemos de
volver en la conferencia próxima á las ecuaciones generales
de la Elasticidad, continuando la serie de simplificaciones
que en ellas pueden hacerse.

XXXII. —Estudio experimental de algunas propiedades
del Grisú.

POR ENRIQUE HAUSER

Como consecuencia de los estudios que he necesitado ha-
cer para dar unas conferencias sobre «El grisú en las minas
de carbón », expongo á continuación varios de los resulta-
dos obtenidos que presentan alguna novedad. |

Representación gráfica del retraso á la inflamación del
grisú.—Si trazamos una curva (fig. 1) en la cual las ordena-
das representan temperaturas y duración en segundos las

== 647.

abscisas, el valor de ésta nos indicará el tiempo que tarda
en quemarse ó en inflamarse el gas en cuestión á una deter-
minada temperatura. En dicha figura están representadas las
curvas de inflamación para el hidrógeno, óxido de carbono
y grisú (metano), por lo cual vemos que cortan al eje de
ordenadas á la temperatura de inflamación, sin retraso, y se

seenjorodrcs YA

OIDO: TELA DABA EI dos MN IDR IONES TR
T tempo er segundos,

Figura 1.

hacen asintóticas del eje de abscisas á la distancia corres-
pondiente á la temperatura en que empieza la combustión
lenta. La parte rayada dentro de la curva del grisú, corres-
ponde á combustiones que terminan por inflamación y que
empiezan con una duración de 10'” á la temperatura
de 650”C.

Causa principal del retraso á la inflamación del grisú.—
La razón científica de ese retraso creo que hay que buscarla,
al menos parcialmente, en el hecho de ser el metano un gas
exotérmico que exige para su disociación 22,1 calorías por

A

peso molecular, y que no llega á quemarse sino una vez di-
sociado. Como estas calorías ha de tomarlas dicho gas de la
combustión de parte del mismo, previamente disociado, diré,
para fijar ideas, que la disociación de 100 litros de metano
exige el calor equivalente á la combustión de 32 litros de
hidrógeno. Si esta consideración fuera exacta, una mezcla
de metano é hidrógeno conteniendo 25 por 100 de este gas,
debería inflamarse, sin retraso. En los ensayos que he hecho
aplicando el calor en un solo punto, la cantidad de hidró-
geno necesaria ha resultado, por lo menos, de 32,3 por 100,
es decir, 7,3 por 100 mayor.

Verificación experimental del retraso á la inflamación del
grisú.—Este fenómeno del retraso pudiera hacer creer en
una temperatura más elevada de inflamación del grisú que
la verdadera, al no encenderse una mezcla de aire y metano
al contacto de una barra de hierro calentada al rojo vivo,
pues dicha mezcla gaseosa al ir á ponerse en equilibrio de
temperatura con la barra, disminuyendo de densidad por su
calentamiento, se eleva y va á difundirse inmediatamente en
la masa gaseosa que la rodea y la entría el corto tiempo du-
rante el cual ha sido calentada, no siendo suficiente para
provocar su inflamación.

Haciendo estas consideraciones, los Sres. Mallard y Le
Chatelier idearon un experimento fundado en la considera-
ción siguiente: Que si esa explicación es exacta, todo artifi-
cio, oponiéndose á la circulación del gas, debe hacer la in-
flamación posible, y á este efecto, poniendo al rojo un pe-
queño crisol de hierro, la abertura hacia abajo, sobre un
tubo de desprendimiento de una mezcla de metano y aire, al
acumularse los gases calientes en el interior del crisol, se in-
flaman éstos; mientras que no sucede así si el crisol se pone
boca arriba, y la mezcla gaseosa le toca por el exterior. Yo
he simplificado la repetición de este experimento en cátedra,
empleando, en vez de crisol de hierro, un tubo de porcelana
cerrado por un extremo, calentado exteriormente por medio

— (49 =

de la corriente eléctrica que circula por un alambre resisten-
te que le rodea. Con esta disposición, por tomar el tubo el
calor por su exterior, no hay razón para temer que su tem-
peratura en la cara externa, á causa de la radiación, sea me-
nor que la del interior del tubo.

Naturaleza del grisá empleado.—Para el examen cualita-
tivo del fenómeno del retraso á la inflamación del grisú,
puede emplearse metano que contenga algunas centésimas
de hidrógeno ú otro gas sin retraso; pero para la verificación
de los fenómenos que á continuación se describen, es indis-
pensable emplear, ya sea grisú natural, ó bien metano puro
que lleve algunos días de preparado (para evitar que halle
al estado naciente). El metano puro que he empleado en mis
experimentos lo he obtenido por la acción del agua sobre el
carburo de aluminio puro, y sus propiedades concuerdan
con las del grisú natural.

Precauciones para la buena ejecución de análisis eudiomé-
tricos del grisiú.—Para preparar con exactitud una mezcla
grisuosa de ley determinada, es menester conocer previa-
mente la del grisú de que disponemos, para lo cual es nece-
sario hacer un análisis del mismo. Este análisis puede veri-
ficarse con gran exactitud por su combustión en el tubo para
análisis orgánica; pero es mucho más breve, y casi tan
exacto, el método eudiométrico si se observan en él las pre-
cauciones que indicaré ahora.

Desde luego, en nuestro caso, el grisú que examinamos
sólo ha de contener metano, oxígeno y nitrógeno, y acciden-
talmente un poco de hidrógeno si el carburo de aluminio no
fuera del todo puro (los residuos de etileno y acetileno han
de quedar disueltos en el agua del lavado).

Para preparar la mezcla explosiva que conduce al análi-
sis, han de tenerse presentes las observaciones de Bunsen
hechas con el gas detonante (H, + O) respecto á las cantida-
des límites que han de existir para que la combustión resulte
completa, pero no excesiva por quemarse parte del nitróge-

650 <

no del aire. Ahora bien; Bunsen dedujo de sus experimentos
que el volumen de mezcla H, + O = 3 vol. debía oscilar en-
tre 26 y 64 para 100 de aire si la explosión había de llenar
las condiciones indicadas. e

Como la mezcla explosiva CH, + 20, = 6 vol. desarro-
lla 3,1 veces más calor en doble volumen, Ó 1,55 para igual
volumen, que la mezcla H, + O, sus límites, atendiendo tan

sólo á la igualdad de poder calorífico, serían — <26 =16,8
y E >< 64 = 41,3 de mezcla explosiva para 100 de aire;
pero como dicha mezcla contiene un tercio de su volumen
de metano y dos tercios de oxígeno, la relación buscada se-
ría de 5,6 de metano para un volumen de 100 de aire, más

11,2 de oxígeno en el primer caso y 13,8 de metano con 100

de aire más 27,5 de oxígeno, es decir, o = 4,8 por 100

de CH, para 95,2 por 100 de aire enriquecido al 29 por 100

de oxígeno como límite inferior, y e - = 10,25 de CH;

,

para 89,75 de un aire enriquecido al 26,3 por 100 de oxígeno
como límite superior. En la práctica, estos límites resultan
aún más próximos, pues debido sin duda al retraso á la infla-
mación del metano, la mezcla al 4,8 por 100 no es inflamable
en masa por la chispa, y para el límite 10,25 por 100, como
la presión teórica de la explosión á volumen constante de la
mezcla CH, +20, es 1,65 veces la de H, + O, resulta
quemado un poco de nitrógeno antes de llegar á este límite.
Ahora bien; como para hacer un análisis exacto hay interés
en emplear la mayor cantidad de grisú, debemos acercarnos
en lo posible al límite superior, y como mezclado con aire la
ley de grisú no ha de exceder de 9,4 por 100 para que la
combustión sea completa, algunos añaden oxígeno al aire,
con lo cual, activándose la combustión, hay la casi seguri-
dad de quemar parte del nitrógeno.

PA

— 651 —

Veamos ahora los errores á que puede conducirnos la
combustión de dicho gas. Desde luego puede decirse que
siendo de 2.150” C. la temperatura de combustión á volumen
constante de una mezcla de aire y metano en las proporcio-
nes necesarias para su combustión completa, y empezando
ya á oxidarse apreciablemente el nitrógeno á los 1.538”, se-
gún Nernst, éste es un factor que hay que tener en cuenta.
Ahora bien, si en vez de operar con mezcla de metano y
aire solamente, la enriquecemos con oxígeno, como hace
Th. Schloesing (Annales des Mines, 1897), empleando aire
con 32,8 por 100 de oxígeno, y grisú (de próximamente 90
por 100 de CH,) en la cantidad de 11,6 por 100 del volumen
total, Ó sea 10,44 por 100 de CH, puro, el volumen de la
mezcla combustible sería 10,44 < 3=31,32 por 100, en vez
de 9,4 < 3=28,2 por 100, y la temperatura alcanzada sería

ci SS — ZOO.

entonces próximamente de

,

En estas condiciones encuentra dicho químico, operando
con metano puro del mercurio-dimetilo, un exceso sobre los *
valores teóricos de la contracción y volumen del ácido car-
bónico correspondientes que llegan á 0,55 por 100 de la con-
tracción y 0,4 por 100 del CO,, y que pudieran hacernos
creer en la existencia de hidrógeno libre.

Para comprender bien la causa de estos errores variables
según el modo de operar, necesito explicar antes el modo
que tienen de evolucionar ó transformarse los productos de
la combustión del nitrógeno hasta la conclusión del análisis.
En efecto; la combustión del nitrógeno por formación de Óxi-
do nítrico se verifica sin contracción según la ecuación:

N Mela O = NO
1 vol 1 vol 2 vol *

Ahora bien; como la combustión se hace siempre con un
exceso de oxígeno, este óxido se transtorma inmediatamente

— 652 —

en peróxido, produciendo una contracción igual á la mitad
de su volumen, con arreglo á la siguiente ecuación:

NO +_O =NO,
2 vol 1 vol 2 vol '

Por otra parte, el peróxido de nitrógeno sabemos que tie-
ne la propiedad de ser absorbido completamente por el agua
fría con formación de ácidos nitroso y nítrico conforme á la

ecuación
2NO, + H,0=NO,H + NO,H.

Si el agua no es fría, por la reacción se regenera nueva-
mente óxido nítrico conforme á la ecuación siguiente:

3NO, + H,0=2NO,H+ NO;

pero si la temperatura del agua en vapor excede de 312”, á la
que se descompone el ácido nítrico en 2N O, + O + H, O,
según Carius, la reacción no puede tener lugar.

De manera que como después de una explosión, y calien-
te aún el gas, ya se ha condensado la mayor parte del agua
engendrada por la explosión en las paredes del tubo ó bola
del eudiómetro, resulta que la reacción NO, y H,O tarda-
rá cierto tiempo en verificarse, y según la rapidez. de la ma-
nipulación ó el modo de operar, las contracciones observa-
das serán distintas. Si operando la explosión en un eudió-
metro tubular con envolvente de agua, sólo damos tiempo á
la lectura, haciendo pasar en seguida el gas al tubo con po-
tasa para absorber el ácido carbónico, entonces en este tubo
tendrá lugar también la absorción del NO, formado. Ahora
bien, como el volumen ocupado por este gas es doble de la
contracción que originó el oxígeno absorbido por el NO al
pasar á NO,, en el caso de tratarse de un análisis de meta-
no puro, obtendríamos para la contracción, por vapor de
agua formado, un valor menor que el doble del encontrado
para el ácido carbónico; y creeríamos en la existencia del

— 653 -—

homólogo superior del metano, ó sea del etano (C,A;). Si,
por el contrario, dejamos pasar algún tiempo antes de tras-
vasar el gas al tubo de potasa, ó si empleando una pipeta
Hempel de bola para producir la explosión, la agitamos des-
pués que ésta haya tenido lugar, con objeto de facilitar por
el contacto con el mercurio el enfriamiento de las paredes de
la bola, entonces el NO, queda descompuesto y absorbido
en su totalidad por el agua condensada, y la contracción ob-
servada es entonces triple del volumen de oxígeno absorbi-
do, resultando que el volumen atribuído á la contracción por
condensación del vapor de agua resulta ahora mayor que el
doble del encontrado para el ácido carbónico, en el caso de
erisú puro, y podemos creer en la existencia de un homólo-
go inferior al metano, es decir, del hidrógeno (H.,).

Debido principalmente á estos efectos, Th. Schloesing
(hijo), encontró en sus análisis de grisú números siempre
mayores que los teóricos; pero unas veces obtuvo números
en los que el exceso de la contracción es menor que el
doble del del ácido carbónico encontrado, y otras veces, ma-
yor, como puede verse en la siguiente lista, deducida de al-
gunos de los resultados de sus análisis (1).

Exceso de la contracción en 200, y del CO, en 100.

0,9 0,2
1,8 0,5 (2)
0,4 0,8
0,7 0,7
0,9 0,8
1,0 1,3
1,4 1,9 (3)

La interpretación detallada de estos resultados exige tener

(1) Annales des Mines, 1897, pág. 14.
(2) Estos dos ejemplos conducen á la existencia de hidrógeno.
(3) Estos cinco ejemplos conducen á la existencia del etano.

— 654 —

en cuenta otra importante causa de error que puede ocurrir
en estos análisis por explosión, y que creo ser el primero
en señalar, cual es la combustión posible del mercurio del
eudiómetro. En efecto; si no nos extraña la combustión par-
cial del nitrógeno del aire en el eudiómetro que necesita una
temperatura superior á 1.500*C., el enunciado sólo de que el
mercurio es oxidable rápidamente á 350”, y lentamente á una
temperatura inferior, bastaría para convencernos. Este hecho
no se observa tan fácilmente ni es tan importante en los eu-
diómetros de tubo, como en la bola de una pipeta de explo-
sión Hempel, en la cual el mercurio presenta, generalmente,
mayor superficie libre que en el eudiómetro. En estas circuns-
tancias es fácil observar, después de una explosión, si la
superficie del mercurio estaba bien limpia, que ésta se cubre
de una tela gris de óxido mercurioso, la cual, por la pérdida
de oxígeno que ocasiona, puede producir mayor contracción
que la debida y hacernos creer en la existencia del hidró-
geno en el grisú puro. Esta causa de error es tan fácil de
comprobar como de evitar, haciendo salir de la pipeta-eudió-
metro Hempel el mercurio que queda en la bola después de
haber introducido la mezcla explosiva, creando así en ésta
una depresión máxima de un quinto de atmósfera (130 cc.
en 156 cc.), que evita á su vez casi por completo la combus-
tión del nitrógeno.

Para dar idea de los errores enormes á que puede llegarse,
diré que con grisú puro al 94 por 100 (el resto es oxígeno y
nitrógeno) sin rebajar la presión y haciendo la combustión
con aire oxigenado, puede llegarse á pensar en la existencia
del hidrógeno en cantidad tal que la suma de 110,2 por 100
no permite admitir.

Con aire sin oxigenar, 89,70 cc. para 8,7 cc. de grisú, el
contenido de metano resulta 91 por 100 con 7 por 100 de
hidrógeno; pero si hacemos salir el mercurio de la bureta de
la manera antes indicada, los resultados obtenidos, con otra
muestra del mismo gas, son como sigue:

— 655 —

cc.

AMI A A o 118,05

MESA is AA 11,60
Total: Vos HIRO 129,65
cc.
Después de la explosión......+-... 107,35 107,35
Contracción ir 22,30
Después de la absorción por potasa.......... 96,25
ACTO parbónicos vu. 11,10

(Volumen del agua condensada en el eudiómetro.

__ Contracción 22,30
1300 1800

= 0,0175)

En la diferencia (0,05) entre el volumen del CO, y la mi-
tad del de la contracción se suman: el nitrógeno quemado,
el CO, disuelto en el agua condensada, = 0,02, y los erro-
res de lectura. En este caso, el CH, oscila entre

HET 11,14
-— =095,8 -—=09
11,60 den ON
con menos de E de error
e E
1000

Después de dicho esto, se comprende que, admitida la
posibilidad de una pérdida de oxígeno no prevista y el deter-
minar después de una explosión el sobrante de este gas por
combustión con el hidrógeno, puede conducirnos á la creen-
cia de mayor cantidad de oxígeno consumido en la combus-
tión del gas y por ende mayor contenido de gas combustible,
por lo cual los errores obtenidos resultan menores de lo que
son en realidad. Si en vez de proceder por este medio, bus-
cando el volumen de gas combustible, partimos del metano
puro, cuya ley puede conocerse en menos de 1 por 1.000 por
su límite inferior de inflamabilidad determinado con la bureta
Le Chatelier, inclinada de 45”, y producimos la explosión en

— 656 -

la pipeta Hempel sin preocuparnos de alejar el mercurio, es
fácil ver después (absorbiendo ó quemando el oxígeno) que
la cantidad de nitrógeno (suma del del grisú y el del aire) es
casi la misma que en un principio, mientras que el oxígeno
estará en déficit. Por estas consideraciones se comprende la
poca confianza que han de prestar análisis eudiométricos, en
cuya ejecución no se hayan tenido presentes las circunstan-
cias expuestas. Resumiendo lo dicho, y aparte de las pre-
cauciones ya sobradamente conocidas que deben observarse
en estos análisis, debo de indicar lo que sigue en el supuesto
que se trabaja con los aparatos Hempel.

1.2 Para mayor exactitud en la medida del grisú, es ne-
cesario introducir primero el aire y luego el grisú en la bu-
reta medidora, determinando por diferencia la cantidad de
éste último gas.

2.” Una vez trasvasado el aire á la pipeta de explosión,
el mercurio debe llenar el tubo capilar, debe agitarse bien
el gas por medio de un movimiento de rotación del mer-
curio para tener una mezcla homogénea. De no observarse *
esta precaución, pueden tenerse explosiones incompletas de
una parte de la mezcla poco oxigenada y nula en el resto
por haber en esta otra parte gran exceso de aire. El resulta-
do es entonces una contracción mayor que el doble de volu-
men de ácido carbónico (pues parte del carbono pasa á óxido
inabsorbible por la potasa), lo cual puede conducirnos á pen-
sar en la existencia del hidrógeno.

3.” Antes de verificar la explosión hay que hacer bajar el
recipiente de mercurio para dar salida á este líquido que debe
quedar al nivel de la superficie interna de la bola de explosión.

4.” La depresión que se produce por la extracción de
mercurio no debe ser excesiva, sino próximamente como
máximo de un quinto del volumen de la mezcla, para no
exponernos á tener una explosión incompleta como en una
mezcla con oxígeno insuficiente.

5. Para conocer la cantidad de aire necesaria á la explo-

— 657 —

sión, debe calcularse por un primer análisis la riqueza y
composición aproximada del gas y repetirse el análisis sin
más exceso total de aire que 3 á 5 por 100.

6.” Aunque para una gran exactitud se considera por mu-
chos indispensable el empleo del mercurio en la bureta me-
didora del gas como lo es para la de explosión, he podido
cerciorarme que, observando las siguientes precauciones, es
posible obtener muy buenos resultados empleando el agua
salada en la bureta medidora. Para ello se necesita: a), agi-
tar, antes de emplearla, el agua saturada de sal común con
ácido carbónico, y abandonarla veinticuatro horas en una at-
mósfera de este gas; b), agitar después esta agua en un vo-
lumen igual á la mitad del suyo de una atmóstera de grisú,
con lo cual desprenderá el exceso de CO,, saturándose
de CH,; Cc), que no llegue á introducirse este líquido en la
bureta de explosión. |

Que el agua salada así preparada no tiene acción alguna
sobre los gases de la explosión, se observa dejando algunos
minutos el gas en la bureta medidora y observando que no
hay variación en la lectura; pero como si se introdujera de
este líquido en la pipeta de explosión, los gases que se des-
prendan de él en la contracción subsiguiente á la explosión
nos conducirían á un error, es necesario evitarlo, y por eso
hay que tener en cuenta el volumen del tubo capilar, en el
cual no arderá la mezcla explosiva, para hacer la corrección
proporcional correspondiente. Sin embargo, si se ha obser-
vado la precaución indicada en el párrafo primero de intro-
ducir en la bureta medidora el aire antes que el grisú, como
éste es el primero que sale de ella, el tubo capilar de la pi-
peta de explosión quedará lleno de aire y no habrá lugar á
hacer corrección.

Inflamación del grisú por alambres incandescentes.—La in-
flamación del grisú por medio de alambres puestos al rojo por
una corriente eléctrica ha dado lugar á discusiones, debidas
principalmente á no estar bien precisados ni el grado de in-

— 658 —

ducción del circuito eléctrico ni la naturaleza del grisú emplea-
do. A este fin, las experiencias hechas en 1884-85, en Aquis-
grán, con grisú artificial por los Sres. Wiillner y Lehmann por
encargo de la Comisión prusiana de; grisú, y comprobadas en
su mayor parte en 1887 por los Sres. Heise y Thiem, operan-
do con grisú natural, parecerían dar por estudiado el asunto
si los Sres. Couriot y Meunier, desde 1896 hasta la fecha, no
proclamasen con insistencia la no inflamabilidad de las mez-
clas grisuosas por alambres incandescentes, incluso los de
platino, en circuitos no inductivos. Ahora bien; estos últimos
experimentadores han efectuado sus experiencias con grisú
natural, empleando alambres incandescentes de distintos me-
tales y diámetros variables entre 0,05 y 0,35 milímetros, con
lo cual su sección varía de 1 á 50, limitando esa relación de
sección á los diámetros indicados, sin tener presente que,
con igual relación y entre los diámetros 0,15 y 1,05 milime-
tros, por ejemplo, los resultados hubieran sido distintos. Por
estas razones he creído necesario repetir dichos experimen-
tos, empleando al efecto grisú puro del carburo, ó grisú na-
tural y corriente continua tomada de dos acumuladores Dinin
colocados en la proximidad del alambre para evitar efectos
de inducción entre conductores largos.

En estas condiciones he obtenido los siguientes resultados:

1. Con alambres de ferroniquel (4 X) de 0,3 milímetros
de diámetro, con ó sin fusión del mismo, no he inflamado las
mezclas más sensibles del grisú puro del carburo.

2." Con alambre de platino de 0,5 milímetros de diáme-
tro, enrojecido gradualmente, he inflamado, sin tener nin-
gún fallo, unas seis veces, mezclas al 7 6 7,5 por 100 de grisú
natural y sin que se fundiese el alambre, que brillaba viva-
mente en el momento de ir á producirse la explosión. Con
alambre de platino de 0,2 milímetros de diámetro he produ-
cido dos explosiones, en tres pruebas, con grisú natural.

3.” Con alambres de hierro dulce de 0,9 milímetros de
diámetro, los resultados obtenidos son muy interesantes. En

— 659 —

efecto; empleando ya un alambre recto, horizontal ó inclina-
do, ó bien un alambre curvo hacia arriba Ó hacia abajo, he
obtenido con grisú natural, del 7,2 al 7,5 por 100, en 17
pruebas, seis inflamaciones; es decir, la tercera parte sín fu-
sión del alambre en caso de inflamación, y con fusión en caso
contrario. En cambio, empleando un alambre inclinado con
una vuelta en espiral hacia el medio, he obtenido cinco infla-
maciones en otras tantas pruebas sin fusión del alambre, y
de éstas, empleando en una ocasión tres veces seguidas el
mismo alambre en tres pruebas consecutivas, y en otra in-
flamando con el alambre retorcido una mezcla que no lo ha-
bía sido por la fusión de un alambre recto.

La explicación que doy á estos hechos es la siguiente:
Tratándose de un alambre relativamente grueso, el núcleo
tiene mayor temperatura que la superficie, que se cubre rá-
pidamente de una capa de óxido de hierro fundido. Ahora
bien; si por existir un punto de cohesión preferente en don-
de se reúna dicho óxido (en forma de bola ó perla), queda
rápidamente al descubierto el núcleo del alambre, éste se
volatiliza y, oxidándose al estado de vapor, produce una
llama que inflama el grisú, de igual manera que ocurre con
un alambre de hierro galvanizado á la temperatura de vola-
tilización del cinc, que es 671” más baja que la de fusión del
hierro dulce (1.6007). Además, si creamos un ligero obstácu-
lo al movimiento del grisú, poniendo un alambre frío sobre
el incandescente, podemos tener explosión más fácilmente,
y la tendremos con seguridad si, retorciendo el alambre en
hélice, calentamos el gas por dos lados y le obligamos á pa-
sar, al menos dos veces, sobre el alambre enrojecido, en cuyo
caso la explosión se hace á más baja temperatura que cuan-
do ocurre con el alambre recto.

4.” Como comprobación de estos experimentos he hecho
otros con alambre de acero dulce de 0,6 milimetros de diá-
metro con grisú puro del carburo, no obteniendo inflamación
cuatro veces con alambre recto horizontal de unos 15 milí-

UR

metros de longitud, y sí una vez con alambre de 25 milíme-
tros encorvado hacia arriba. Con alambre oblicuo con tres
vueltas de espiral he obtenido dos explosiones en dos prue-
bas, y en una de ellas, después de haber fundido en la mis-
ma mezcla por tres veces seguidas un alambre recto hori-
zontal de 15 milímetros de longitud sin inflamarle. Esta últi-
ma prueba la he repetido, con igual resultado, empleando
erisú natural.

Creo que los resultados no pueden ser más concluyentes,
y que si la llama ó la chispa eléctrica son los medios más
adecuados para inflamar el grisú, también pueden producirla
con seguridad los alambres incandescentes de cierto diáme-
tro ó naturaleza, sin mediación de llama, procurando que no
se fundan éstos en menos tiempo que lo que dura el retraso
á la inflamación del grisú.

El aparato empleado para estos experimentos consiste en
un grueso tubo de cristal, colocado sobre una cuba de agua,
el cual va cerrado por la parte alta por un tapón de goma
que tiene un agujero en el centro, por el cual pasa un tubo
de cristal con llave, para dar entrada y salida á las mezclas
gaseosas. Por la parte baja de la probeta, y atravesando el
agua, pasa un cable curvo de dos conductores debidamente
aislados, cuyas puntas interiores se separan formando una
horquilla, entre cuyos extremos se coloca el alambre que por
el paso de una corriente eléctrica ha de enrojecerse. Todo
ello va sujeto en un soporte resistente de madera con tiran-
tes de alambre.

Inflamación de las mezclas grisuosas por la chispa eléctri-
ca.—Para la inflamación de las mezclas poco explosivas es
necesario que la chispa forme llama, lo cual se consigue fá-
cilmente separando las puntas de los terminales y empleando
el interruptor Wéhnelt para accionar la bobina.

Límites de inflamabilidad.—Las discordancias entre los re-
sultados obtenidos por distintos experimentadores, como
puede verse en el siguiente cuadro, sitúan el límite inferior

— 661 —

de inflamabilidad de las mezclas grisuosas entre 5 y 6,2 por
100 y entre 11 y 16,7 al límite superior.

Límites de inflamabilidad.

Año de la Modo Límite | Límite
pu EXPERIMENTADOR de su- in- OBSERVACIONES
hlicación. encenderlo. |perior| ferior | X
1816 Davy. Llama. [6,25 | 14,3
1875 Mallard. Llama? |7,7 |14,5
Chispa
1876 Coquillon. ) 5,9 | 14,3
eléctrica. ?
|
| | El metano huele
(- Mallard y Le ad
1883 ) Llama? | 5,6 fuertemente á]||
Chatelier. En] |
| acetona.
Estos son límites |
e de explosivi-|
Wiillner y Leh- |
5,9 dad; el superior
mann. | |
| de inflamabilidad |
| es 14,3. |
(Llama por
1891 | Le Chatelier. 6,1 (16,0)
/ arriba. |
|
Llama por
90 1-13,0
abajo.
1896 Clowes. |
Llama por
dl 11,0
arriba.
1902 Eitner. 0,2. 12
1904 Heise. 5,0 | 14,0
Couriot y Meu-
1905 q Chispa. |4,5 | 13,0
nier.
|

Rev. Aca. Crencras.—V.— Abril, 1907. 45

— 662 —

Desde luego puedo decir que el límite 5,6 hallado en 1886
por Mallard y Le Chatelier como limite de no inflamabilidad,
ha sido sustituido por Le Chatelier en 1891 por 6,1, que es
el límite real de inflamabilidad con error de menos de media
milésima (á la temperatura de 15”). Este límite de inflamabi-
lidad corresponde á la posición vertical ó ligeramente incli-
nada de la bureta Le Chatelier, y encendida por arriba yo he
hallado 6,05 á 15” C. (con la bureta inclinada unos 45”).

El límite 5 de Clowes corresponde á la inflamación del
grisú por la parte inferior de la probeta, en cuya posición la
más fácil propagación de la llama en la dirección de los ga-
ses calientes rebaja en 1 por 100 el límite de inflamabilidad.
El valor 4,5 hallado por los Sres. Couriot y Meunier, sólo
puede corresponder á gases en movimiento ó mal dosados.

Las diferencias obtenidas para el valor del límite superior
son bastante mayores, pues oscilan de 11 á 16,7. Desde
luego hay que decir que el límite 16,7 encontrado por los se-
ñores Mallard y Le Chatelier en 1886, que era el de veloci-
dad de propagación nula ó de no inflamabilidad, fué susti-
tuído en 1891 por Le Chatelier por el número 16.

Se comprende que siendo muy difícil hacer un buen análi-
sis del grisú, los errores cometidos en él se reflejan en el
valor límite de inflamabilidad, y si además empleamos un
gas impuro que, por ejemplo, contenga etileno, cuyo límite
superior de inflamabilidad es 22 Ú hidrógeno que tiene 72
por límite superior, elevaremos, en consecuencia, el valor
encontrado. Por esta razón, como el grisú empleado por los
Sres. Mallard y Le Chatelier, y preparado en el laboratorio,
olía fuertemente á acetona (1); y como, por otra parte, dichos
experimentadores, utilizando para la determinación de dicho
límite el método llamado del orificio, no podían impedir la
influencia del aire exterior sobre la inflamabilidad de la mez-

(1) Annales des Mines, 1883, pág. 324.

— 663 —

cla grisuosa, de ahí que el valor indicado por dichos señores
no corresponda á la realidad.

Para determinar dicho límite con exactitud, no hay más
remedio que usar la bureta Le Chatelier para la inflamación
por arriba, ó una probeta cilíndrica para la inflamación por
arriba Ó por abajo. A causa del estrechamiento que en la
boca presenta la bureta Le Chatelier, no es posible probar
con ésta boca abajo, pues los gases inflamados salen por el
orificio estrecho formando un dardo que arde al contacto del
aire exterior, siendo imposible por esa causa determinar el
momento preciso en que la mezcla grisuosa arde sin inter-
vención del aire exterior, fenómeno que se observa perfecta-
mente bien con una probeta cilíndrica sin estrechamiento en
la boca. e

Operando yo con la bureta Le Chatelier por arriba, ó con
una probeta cilíndrica de 25 milímetros de diámetro encen-
dida por abajo con llama, ó por la chispa electrica en el apa-
rato indicado al hablar de la inflamación por alambres incan-
descentes, he obtenido, respectivamente, los siguientes nú-
meros: 12,75, 12,75 y 12,65 con grisú puro del carburo de
análisis conocido, valores que no pueden concordar mejor (1).

El exacto conocimiento del límite superior de inflamabili-
dad del metano es muy importante para la comprobación rá-
pida del análisis eudiométrico de mezclas grisuosas impuras;
asi, por ejemplo, una mezcla de composición equivalente á
CH, + C,H, + H, nos daría por el análisis eudiométrico
igual composición que 3CH,, mientras que por la determina-
ción del límite superior de inflamabilidad, de esa mezcla de
gases, resultaría este límite marcadamente superior al del
metano, decidiéndonos á completar con la separación de ga-
ses el análisis eudiométrico.

(1) Los límites 11 y 13 dados por Clowes han sido obtenidos con
probetas de 75 milímetros de diámetro, condiciones en las cuales no
he operado.

A

Variación de los límites de inflamabilidad.—Son conocidas
las variaciones que con la presión sufren los límites de infla-
mabilidad. No era conocida de mi la influencia de la tempe-
ratura que, según mi experiencia, actúa estrechándolos en
caso de elevación de temperatura y dilatándolos en el caso
contrario. Así los límites 6,05 y 12,75 hallados á unos 15” C.
en primavera, se estrechan de 0,45 en verano á 29” C. para
la misma muestra de gas; es decir, que suponiendo sin va_
riación el valor del límite inferior (por desconocer con exac-
titud la ley del gas), é igual á 6,05, el superior resulta ser
12,3. Las variaciones de los límites con la temperatura han
de atribuirse á dos causas: 1.*,á que cada variación de 1” de
temperatura equivale á una variación de presión de 2,78 mi-
límetros de mercurio; 2.*, á que haciéndose estas experien-
cias de inflamabilidad con gases saturados de vapor de agua,
como el contenido de éste crece rápidamente con la tempe-
ratura, el calentamiento de esta nueva cantidad de vapor de
agua es una causa más que dificulta la propagación de la
llama; de igual manera que la llama corta de una lámpara
Wolf de bencina empieza á humear si la mecha está ligera-
mente húmeda.

Máximo de velocidad de propagación de la llama en las
mezclas grisuosas.—La determinación de este máximo for-
ma parte de las mismas experiencias de los Sres. Mallard y
Le Chatelier, que en 1883 nos dieron el número 16 como va-
lor del límite superior de inflamabilidad, y siendo erróneo
este número, á mi entender, por las razones antes indicadas,
la ley de 12,2 por 100 con una velocidad de 0,62 metros
debe ser rebajada.

Según mis experiencias aproximadas, el máximo de velo-
cidad debe estar entre 10 y 11, por lo cual creo que á falta
de otro resultado más exacto, debe aceptarse el dado por
Mallard, de 10,9 por 100 con 0,55 metros por segundo.

Influencia de la inflamabilidad del grisú por su mezcla con
Otros gases:

— 665 —

A) Mezcla con gases no inflamables. - Con ácido carbó-
nico, y Operando con agua saturada de dicho gas á la pre-
sión ordinaria, el aumento del límite de inflamabilidad es
próximamente de una milésima por cada 1 por 100 de ácido
carbónico hasta 8 por 100 de dicho gas, en cuyo caso el lí-
mite se eleva á 6,9 por 100. *

Con gas de los rellenos, en el cual se une á la presencia
del ácido carbónico la disminución relativa de oxígeno, la
influencia sobre el limite de inflamabilidad es marcada.

Ahora bien; procediendo el gas de los rellenos de la com-
bustión lenta de materias orgánicas, su composición es muy
semejante á la del aire espirado de los pulmones, en el que
encontramos parte del oxígeno transformado en ácido car-
bónico y una cantidad menor en vapor de agua, resultando,
por ejemplo, de un análisis que he hecho, la composición
siguiente para el aire espirado:

ACIAO CALDO a Saa 4,4
o MEA RA A 15,2
Nitrógeno (por diferercia)............«<». 80,4

100,0

Es decir, que cada volumen de ácido carbónico formado
equivale á la aparición de más de cinco volúmenes de tuto;
de manera que la mezcla, cuyo análisis acabo de referir, po-

dría considerarse compuesta de A
h Pr a Y 1 La de
100,0 (1)

Esta mezcla tiene la propiedad de anular la inflamabilidad

(1) “Exetecto,CO,. => 14,4 CO,= de: | — 27,3 tufo
O= 152 equivale4áN=,575 797
80,4 ES

O=15;2' 100,2
100,0

— 666 —

del grisú, pues tampoco en ella ardería una cerilla; pero si
diluímos una de estas mezclas en su volumen de aire, arde-
rá ella si la ley en grisú de la mezcla resultante queda su-
perior al límite inferior de inflamabilidad.

B) Mezcla con gases inflamables.— La mezcla del grisú
con gases inflamables la he considerado de mucho interés.

Los gases inflamables que por circunstancias accidentales
ó poco conocidas pueden presentarse en compañía del gri-
sú, son el etano, etileno é hidrógeno. Ninguno de estos ga-
ses posee el retraso á la inflamación, y, por lo tanto, aprove-
chándonos de esta propiedad, será fácil estudiar su influencia
sobre el grisú, preparando mezclas de dichos gases con
éste en proporciones diversas, y procurando inflamarlas con
alambres de un diámetro tal que sean incapaces de inflamar
el grisú sólo.

Partiendo de que las mezclas más oxigenadas son las más
fácilmente inflamables, en mis ensayos he procurado siem-
pre mantener las mezclas cerca del límite de inflamabilidad,
sin llegar á él, obteniendo los resultados siguientes, que sólo
considero como un avance, pero que dan idea de la influen-
cia que en las mezclas grisuosas puede tener la presencia de
otros gases.

Con el etano, cuyo límite de inflamabilidad era 3,9, he
necesitado poner 4,5 por 100 de este gas para 1,82 de me-
tano, hasta conseguir la inflamabilidad por la fusión de un
alambre de ferroniquel de 0,3 milímetros de diámetro. En
este caso, el volumen relativo de etano con relación al total
de los dos gases inflamables era de 66 por 100.

Igual ensayo hecho con el etileno, de límite de inflamabi-
lidad 3,6, nos dió inflamaciones en iguales condiciones para
una mezcla de 4 de este gas con 2,85 de metano; es decir,
que el etileno era el 52,50 por 100 de los dos gases intfla-
mables.

Con gas del alumbrado de 8,5 de límite de inflamabilidad,
conseguí la inflamación con 4,5 de grisú y 5 de gas; es de-

— 667 —

cir, que éste formaba el 54 por 100 de los gases infla-
mables.

Con hidrógeno y grisú he ensayado 6,1 de grisú contra
2,9 de hidrógeno; es decir, 32,3 por 100 del volumen de los
gases inflamables.

Vemos, por lo tanto, la gran cantidad de gas extraño que
es necesaria para hacer perder al grisú su retraso á la infla-
mación en las condiciones de mis experiencias, lo cual no
quita que una cantidad relativamente menor de estos mismos
gases pueda ampliar los límites de inflamabilidad de las
mezclas grisuosas, si la proporción absoluta de ellos es la
suficiente para que por sí solos constituyan con el aire una
mezcla explosiva, que, obrando á manera de mecha, puedan
propagar la combustión en el seno de la mezcla grisuosa.
Pero es curioso notar que el grisú se conduce en estos casos
como una verdadera parafina, disminuyendo la sensibilidad
de materias inflamables y obrando del mismo modo que la
parafina hace cuando impregna una masa de algodón pólvo-
ra, que para detonar necesita entonces de una carga de ful-
minato mucho mayor que de no hallarse impregnado y en
estado seco.

En estas experiencias, el gas del alumbrado se tomaba de
la cañería, el hidrógeno había sido preparado el día ante-
rior; el etileno y etano tenían varios días de preparación.
Los números indicados se refieren al valor en gases puros,
después de analizados ó calculados por los límites de infla-
mabilidad. El hidrógeno ha sido producido por la acción del
ácido sulfúrico diluído, puro, sobre el cinc laminado, puro,
del comercio. El etileno, por la acción del par cinc-cobre so-
bre el bromuro de etileno disuelto en alcohol etílico diluido
en agua, y el etano, por la descomposición del yoduro de
etilo en iguales condiciones que para obtener el etileno,
pero empleando alcohol más concentrado (1).

(1) El aparato que empleo para preparar estos gases consiste

US

Condiciones de respirabilidad del grisú.—Según Haldane,
el grisú sólo empieza á ser molesto á la respiración cuando
el aire contiene 45 por 100 de este gas, y peligra la vida
cuando la ley alcanza el 70 por 100, siendo en este caso su
efecto el de un adormecimiento. Pero hay que tener presente
que en esta proporción el contenido de oxigeno del aire gri-
suoso es de 6,3 por 100, y el de nitrógeno, de 23,70 por 100;
de ello se deduce que su efecto es comparable al del nitró-
geno, y que si preparásemos un aire artificial compuesto
de 21 partes de oxígeno y 79 de metano, podía ser fácil-
mente respirable.

Yo he experimentado con un ratón colocado bajo una
campana, sin que el animal pareciese experimentar otra mo-
lestia que picor en los hocicos, que se rascaba.

Como consecuencia de esa experiencia para mí convin-
cente, he ensayado respirar yo mismo esa mezcla (1), ope-

(fig. 2) en una pequeña campana gasómetro portátil que se prolonga
en un tubo, con llave, en la parte superior»
y comunica en este punto por un tubo do-
blemente acodado con el balón en que se
verifica la reacción. Si se tiene la precau-
ción de hacer que el tubo de conexión
quede lleno de gas antes de unirlo á la cam-
pana, y haciendo esta operación con cierta
rapidez, puede evitarse su mezcla con el
aire y obtener un gas muy puro. Además,
una vez que ha empezado el desprendi-
miento de gas, aun en el caso de cesar la
reacción, este mismo gas sirve de separa-
ción entre el lado de la cuba y el del balón,
impidiendo que el alcohol, por ejemplo,
pueda diluirse, con producción en este
caso, de otras reacciones.
(1) No se siente ninguna molestia al
Figura 2. respirarla, ni deseos de aspirar aire puro
después; pero si el contenido en oxígeno
de dicha mezcla alcanza el 30 por 100, entonces su respiración pro-
duce una sensación agradable.

— 669 —

ración que ejecuto con un aparato apropiado, cuyo funcio-
namiento es como sigue: el tubo de respiración comunica
por intermedio de una válvula aspirante de mercurio con el
gasómetro que contiene la mezcla grisuosa y con una vál-
vula de impulsión igual á la anterior, con el saco que ha de
recoger el gas después de. haber pasado por los pulmones:
Este gas, tan rico en grisú, no es explosivo como sabemos,
pero arde en contacto del aire en un mechero Bunsen. Aho-
ra bien; como ya hemos visto, el aire espirado de los pul-
mones no produce en ninguna proporción mezcla explosiva
con el grisú; pero esas mezclas, cuando son ricas en grisú,
pueden transformarse en explosivas (inflamables en la masa)
por su dilución con aire; de donde se deduce que una per-
sona, cuyos pulmones estén llenos de una mezcla grisuosa
rica, puede propagar á su interior la llama de una explosión
si ésta coincide con un movimiento de aspiración casual ó
que pudiera ser originado por la sorpresa misma.

(Laboratorio de la Escuela de Minas),

XXXUI — La reacción del ácido salicilico
con el cloruro férrico.

Por FRANCISCO CANIVELL PASCUAL.

De antiguo se emplea la coloración que produce el ácido
salicílico con el cloruro férrico, ambos disueltos, para deter-
minar mínimas cantidades del primero, aventajando su efica-
cia á otros varios y distintos procedimientos. Purificado el
ácido salicílico y disuelto en agua ó bencina, se le agregan
unas gotas de solución diluída de cloruro férrico; obtenida
la tinta, se compara con la originada empleando soluciones

— 670 —

conocidas, y se opera siguiendo el método general colorimé-
trico. Conformes todos los autores en el procedimiento, no
lo están respecto del número de gotas, valor y hasta reacción
de la disolución férrica.

Con el objeto de que guiase mis experimentos un criterio
exclusivamente químico, resolví añadir solamente la cantidad
de cloruro férrico que correspondiese, con absoluta exacti-
tud, á otra cantidad conocida de ácido salicílico; á lo sumo,
mediante tanteos y comparaciones, que el exceso fuese in-
significante. Debía conocer lo primero la naturaleza del com-
puesto colorido formado y la reacción producida.

Consultadas varias obras clásicas de Química Orgánica»,
como las de Behal, Fischer, Diccionario de Wiirtz, Bernthsen,
Richter y Enciclopedia de Fremy... en ninguna pude encon-
trar datos acerca de estos particulares. Los hallé en la exce-
lente Memoria de H. Pellet sobre la presencia normal del
ácido salicílico en el reino vegetal, que contiene recopilados
todos los métodos conocidos hasta 1903, utilizados en la in-
vestigación de éste; en las páginas 23 (método Ivon), 41
(ídem Pellet y J. de Grobet), 42 (Observaciones de los mis-
mos autores), 46 (Proceder de Schon y G. Kreschel), 53
(Modificación de Chevallier y Baudrimot), 62 (ídem Pellet),
64 (Idem Blann y Lys), 65 (Nota de Portes y A. Desmou-
liéres ), 67, 68, dice que la coloración es debida al salicilato
férrico formado.

Siendo así, la reacción que debe efectuarse es la siguiente*

6C,H¿O, + Cl¿Fe, = (C,H¿0,), Fe, + 6CIH.

Teniéndola presente, se hicieron: primero la solución del
cloruro férrico, porque siendo susceptible de variadísimas
modificaciones, hasta por influencia de la luz, no podemos
deducir de su peso la cantidad de hierro que contiene, y de
consiguiente, la necesaria para valorar la otra solución pre-
parada antes de ésta.

IAEA AA A] áÉÁñáñT >>>

— 671 —

Mejor conviene, en vez de emplear cualquier cloruro co-
mercial, siempre ácido á causa de sus indeterminadas alte-
raciones, obtenerlo en el laboratorio, disolverlo y apreciar
luego su hierro, puesto que la solución debe ser lo más neu-
tra posible, no pudiendo conseguirla nunca absolutamente
neutra (1), á causa de que, al disolver en el agua el cloruro
férrico, la disociación de sus ¡ones ha de originar siempre
una solución débilmente ácida y cuya acidez el tiempo se
encargará de ir aumentando progresivamente.

De dos maneras puede obtenerse el cloruro férrico: anhi-
dro é hidratado, Ó sea por vía seca y por vía húmeda. Ensa-
yados los dos métodos, dió mejores resultados el primero,
adoptando el procedimiento empleado en la F. E. (2), que lo
da muy poco ácido. Se hizo la disolución en un matraz de
1.000 e?., aforado y contrastado, determinando la cantidad
de hierro precipitándolo con el acetato de sodio. La media
de las diferentes operaciones dió un valor de 2*"- 740 por
litro.

La cantidad de ácido salicílico correspondiente la da la
proporción deducida de la fórmula teórica, según la cual se
deben combinar.

20 UA => E TASA:
de donde Ñ
x = 20,06578.

Como en esta proporción el ácido salicilico no se disuelve
en agua destilada si no se le añade ácido bórico, bórax, al-
cohol ó glicerina, por cuyos medios se logran soluciones
hasta de un 8 por 100 (3), para el caso presente no convie-
ne emplear tales artificios, que podrían traer dudas acerca

(1) Vademécum du Chimiste. Soc. Chms. Belgique, pág. 434, 1903.
(2) Sádaba. Práctica Farmacéutica, libro II, pág. 651.
(3) Andouard. Pharmacie, pág. 328, 1898.

— 672 —

de reacciones secundarias; así precisa diluir las soluciones
de tal manera que la de ácido salicílico contenga cosa de un
gramo, ya que en la práctica su coeficiente de solubilidad á
15” es (2,25 gramos por litro), y es difícil disolver esa can-
tidad, que aun haciéndolo en caliente, si la temperatura am-
biente desciende bastante, como en invierno, cristaliza á lo
menos en parte. Todavía, antes de pesar, se ha de tener en
cuenta el agua de cristalización del ácido.

En ningún libro he encontrado el dato; aunque tuve oca-
sión de saber que es media molécula, lo cual supuesto,

147 ; 9 = 1 : y
= - —_— _——— Tn "a A a ES
pm. ac. saliciliqo 1/¿mol-ag. 1 mol. ac. salicílico H20 correspondiente

sería x = 0,0612; luego tendremos que pesar 1,0612 de áci-
do, después de bien seguros de que está exento de cloruro
sódico, glicerina, materias colorantes, ácido fénico, ácido
paraoxibenzoico y demás impurezas (1), y de haberlo dese-
cado á temperatura baja.

Durante esta última operación suelen formarse pequeños
aglomerados de cristales de muy difícil disolución; conviene
evitar que en la cantidad pesada se formen, y en otro caso
se procura reunirlos en la pared del matraz aforado aun no
lleno, y con una varilla de vidrio se disgregan conveniente-
mente, Ó procúrase que sean arrastrados vertiendo un poco
de líquido en una cápsula limpia, la cual es calentada sua-
vemente; con la varilla se deshacen, y luego se vuelve todo
al matraz con las aguas de loción de la cápsula, evitando
pérdidas.

La solución de cloruro se debe diluir hasta que contenga
0,1362 de hierro en litro, empleando la proporción

2.734: 1.0007 0,1302 Xx:

(1) Baudrimont. Obr. cit., pág. 72.

— 673 —

x =4,98171, y para no trabajar con todo el líquido, se di-
luye al décimo la primera, en cuyo caso: 4,98171 se trans-
forma en:

498,171; luego, queriendo formar un litro, hace falta
añadir:

501.829 de agua; para operar con números exactos, to-
maremos 200 de solución en vez de 498,171, resultando así:

498,171 : 501.829 = 200 : x.

x = 201.468 de agua, que se deben agregar á 200 c* de
solución décima de cloruro.

Obtenidas las soluciones en esta forma, los 100 c* de una
deben combinarse con 100 c” de la otra.

La tinta resultante es más apagada y sucia que la produ-
cida cuando se emplean soluciones de sal férrica ya concen-
tradas y en menor cantidad; también se ha de tener en cuen-
ta que la disolución favorece su pronta alteración, hasta tal
extremo, que de transparente que era al principio, tórnase
como si poseyera fluorescencia amarillenta, y no tarda en ser
completamente opaca. Formamos una serie de tipos, y com-
parándolos en el espectro-colorímetro en la forma conocida,
los resultados son verdaderamente extravagantes.

Aparecen los tubos manchados de hierro, denotando que
lo hay en exceso (1); las anomalías extrañan sobremanera, y
más todavía cuando, intentando comprobar si en realidad
había exceso de hierro, añadí una gota de la solución del
mismo empleada como reactivo al 10 por 100, y se produjo
aumento considerable de coloración, de tal suerte que, agre-
gando un par de gotas, adquiría su característica tinta bri-
llante, que se obscurecía con nuevas adiciones de cloruro. De
modo que, habiendo empleado las proporciones que, según
los cálculos, le correspondían al ácido salicílico, en el caso

(1) Pellet. Obr. cit., pág. 41.

A —

de formar salicilato férrico, y las indicadas de cloruro de hie-
rro, los resultados no eran satisfactorios, y pareciendo haber
exceso de éste, los experimentos demostraron su defecto.
Abandonando la idea de la formación de un salicilato férrico,
acerca de cuya constitución guardan silencio todos los auto-
res, me encontraba ante una reacción muy conocida, pero
apenas estudiada, y decidí, aun á riesgo de no resolver el
problema, intentar explicar los fenómenos observados, para
no caminar á ciegas en las determinaciones colorimétricas.

No he llegado al término de mis investigaciones; mas creo
tener la necesaria suma de experimentos para demostrar que
la causa principal de la formación del color de púrpura vio-
leta no se debe á la producción de sal alguna: es consecuen-
cia de fenómenos de oxidación.

Siguiendo los razonamientos de que se valió el profesor
Carracido (1) al negar la existencia del sulfocianato férrico,
cuando se trata del sulfocianuro potásico con el cloruro fé-
rrico, lo fuí substituyendo con compuestos de igual catión,
pero distinto anión y empleando, de la misma manera, varios
cuerpos oxidantes exentos de hierro.

El alumbre de hierro y el sulfato férrico producen idéntico
resultado que el cloruro, tanto, que en 1884 los Sres. Blarys
y Leys lo propusieron en su lugar. Son iguales los efectos
del acetato de hierro.

En cambio, el tartrato férrico potásico no da coloración
violeta; añadiendo una sola gota de Cl H concentrado, apa-
rece instantáneamente. Su mezcla con cianuro potásico es in-
eficaz.

El oxalato férrico, prácticamente insoluble, no pudo ser
ensayado; con el ácido oxálico se hizo el siguiente experi-
mento:

Producida la coloración del ácido salicilico empleando el
cloruro férrico, se añade una gota de solución saturada de

(1) An. de la Soc. E. de F.* y Q.%, pág. 193, Mayo de 1904.

— 675 —

ácido oxálico. Inmediatamente, la tinta forma como unas es-
trías achocolatadas; en el punto en que ha caido aquélla se
aclara el líquido, y, agitando, sucede igual á toda su masa.
Y si en lugar de operar asi añadimos el ácido oxálico al áci-
do salicílico, y tratamos luego la mezcla por el cloruro férri-
co, no aparece tinta alguna; sólo adquiere el líquido el tono
amarillo propio del compuesto de hierro, aunque algo más
claro y verdoso que el de sus disoluciones acuosas. Quizá se
interpreten estos resultados atribuyendolos á las acciones re-
ductoras de los cuerpos empleados, suficientes para transfor-
mar la sal férrica en sal ferrosa; pero no acontece así, por-
que, agregando ferrocianuro potásico, aparece la coloración
azul de Prusia, debida á que el precipitado que debía for-
marse es soluble en los ácidos oxálico, acético y tartárico. En
las condiciones dichas, sólo al cabo de veinticuatro horas,
empleando los dos últimos, se advierte pequeñísimo depósi-
to en el fondo del tubo, permaneciendo el líquido de color
azul de Prusia. Tal vez influye asimismo el actuar la solu-
ción de ferrocianuro sobre cantidades mínimas de hierro, re-
presentando un exceso de reactivo, en el cual es soluble el
precipitado azul (1).

Veamos ahora el efecto de los compuestos oxidantes exen-
tos de hierro.

Es uno de ellos el ácido nítrico. Con soluciones de ácido
salicílico, bastante concentradas en frío y las diluídas en ca-
liente, produce al principio coloración amarilla, que aumenta
hasta llegar al amarillo rojizo acentuado, desprendiendo el
liquido olor especial y hasta vapores rutilantes. Poniendo en
una cápsula de porcelana el ácido salicílico sólido, mezclán-
dole nitrato potásico y humedeciendo con un poco de SO,H,
y dejándolo á la temperatura del ambiente, hacia el centro de
la masa se producen manchitas amarillentas de tono violáceo
en sus bordes.

(1) Fresenius. Traité d' Analyse Chimique, Tom. I, pág. 213.

— 676 —

Substituyendo el ácido nítrico con el ácido crómico no se
consiguen resultados de ninguna clase, á lo menos operando .
con disoluciones acuosas; y si el ácido salicílico está sólido,
pasado algún tiempo adquieren sus cristales indefinido color
pardusco, producto de sus alteraciones.

Ridenour, tratando el salicilato de sodio, conteniendo N H,
ó carbonato amónico con H,O,, ha producido una coloración
variable del rosa al granate obscuro (1). Con H,O, sola, no
he podido obtener ninguna coloración.

Tratando la solución de ácido salicílico con otra de nitrato
mercurioso mercúrico (reactivo Millon) de tal manera que
vaya lentamente cayendo sobre la superficie inclinada del
tubo en que se realice el experimento, se ve debajo del pre-
cipitado blanquecino que en el primer momento se forma
una zona violeta bien marcada, que aumenta calentando muy
ligeramente; si entonces se mezclan los líquidos y se ca-
lienta más, la masa se tiñe de rojo, á cada punto más inten-
so, hasta adquirir tono amaranto. Esta reacción es general
de todos los fenoles.

Otros muchos oxidantes, de índole análoga, podían ensa-
yarse, con intento de dar más amplitud y fijeza al presente
estudio de oxidaciones; pero es quizá preferible aplicar los
nuevos métodos de realizarlas, gracias á los trabajos de
Em. Bourquelot, que los han generalizado en los laborato-
rios, donde están llamados á resolver muchos problemas
químicos y biológicos; me refiero al empleo de las oxidasas,
fermentos solubles 6 enzimas, dotados de la propiedad de
fijar oxígeno sobre diversos compuestos oxidables y oca-
sionar diferentes productos coloreados (2). Los hay de dos
clases: directos ú oxidasas propiamente dichas (3), que to-
man el oxígeno del aire para cederlo en seguida á los com-

(1) Pellet. Obr. cit. pág. 13.
(2) Bourquelot. Journ. Phm. et Chm. , 1906, 2? parte, pág. 165.
(3) Ibid. 1904, 2.? parte, pág. 8.

— 677 —

puestos citados, y otros indirectos (anaeroxidasas), sólo
oxidantes cuando descomponen el H, O, ú otros cuerpos aná-
logos, de tal manera, que el oxígeno desprendido hállase en
un estado molecular especial (oxigeno activo) y puede fijarse
en las substancias dichas. Las primeras se encuentran en las
gomas (debido á lo cual Gattling en 1809 y Planche y otros,
notaron la incompatibilidad farmacéutica de las pociones go-
mosas con la tintura de guayaco, que se colora de azui, fe-
nómeno ahora explicado mediante la oxidación del ácido
guayacónico (1), que origina un compuesto de aquel color),
gomo-resinas y gran número de jugos vegetales, tales como
el de la Atropa belladona (de las Solanáceas), del Heleborus
fetidus y Aconitum Napellus (Ranunculáceas), (2), del Vitis
vinifera (Ampelidáceas) (3), del Shinus Molle (Terebintá-
ceas) (4), del Phitolacca decandra (Phitolacáceas) (5), del
Botrytis cinerea (6) (Perisporiáceas), de diferentes especies
del género Russula (Agaricáceos) (7) y de Sacaromyces (Sa-
caromicetos), entre otros muchos. También las hay en di-
versos materiales animales. Las otras oxidasas existen, con
las primeras, en los jugos y aisladas en algunas semillas,
sobre todo en las de cereales (8). Son los fenoles los cuer-
pos en que primero se ensayaron sus acciones (naftoles, pi-
rocatequina, resorcina, hidroquinona, pirogalol), los éteres
de los fenoles (yuayacol, éter monometílico de la pirocate-
quina), el anisol (éter metilfenílico), el fenetol (éter etilfení-
lico), las aminas aromáticas (anilina, paratoluidina), los al-
caloides (morfina), los extractos vegetales (ratania, ruibarbo,

(1) Journ. Phm. et Chm., 1904, 1.* parte, pág. 473.

(2) Lepinois. Jour. Phm. et Chm., año 1899, 1.*? parte, pág. 49.
(3) Cornu. Ibíd., 1899, 2.? parte, pág. 342.

(4) Sarthou. Ibíd., 1900, 1.? parte, pág. 482.

(5) Bourquelot. Ibíd., 1906, 2.? parte, pág. 16.

(6) Laborde. Ibíd., 1898, 1.* parte, pág. 253.

(7) Bourquelot. Ibid., 1906, 2.? parte, pág. 16.

(8) Bourquelot. Ibíd., 1904, 2.? parte, pág. 5.

Rev. Acab. Cirnctas. —-V.—Marzo, 1907. 46

— 678 —

kola) y otra multitud de substancias de variadas proceden-
cias, con todas las cuales dan coloraciones ó precipitados
coloreados.

La fórmula del ácido salicílico:

ó la

E
H-c/N ce co-mo q)

dd Ed

3
|
y

demuestra que posee función fenólica y, al propio tiempo,
ácida, y de consiguiente pertenece al grupo de los ácidos de
función mixta, justificándose así el haberlo sometido á las
acciones de las oxidasas y, sobre todo, después que Sarthou
demostró la presencia del hierro en el Schinus Moller (falso
pimentero), el cual es un árbol muy común en Argelia (véan-
se sus trabajos é investigaciones en la Memoria original) y
Lepinois y Vadan llegaron á los mismos resultados respecto
del acónito y de la belladona, determinando, además, res-
pectivamente pequeñas y considerables cantidades de man-
ganeso, cuyo metal, según los experimentos de Bertrand,
representa papel muy importante en estas acciones oxidan-
tes (1).

El producto aconsejado por Bourquelot, como de mayor

(1) Carracido. Química Biológica, pág. 100.

— 679 —

potencia para realizarlas, es el obtenido triturando un hongo
de gran talla, muy común en las cercanías de París, el Rus-
sula délica (Vaillant), con arena lavada, en partes iguales, y
tres de glicerina pura, poniéndolo en frascos al abrigo de la
luz ó extendido en platos, dejándolo secar á 40” y separán-
dolo luego. No habiendo á mano tal materia, hice mis obser-
vaciones con la solución de goma del Senegal al 10 por 100,
que es muy rica de oxidasas, aunque de menos potencia
que la primera, y del resultado obtenido aplicando el método
anterior con la levadura de cerveza prensada, alta mejor que
baja (400 gramos), substituyend> la glicerina con agua clo-
roformada, que no indicando Issagew (1), cuyo procedimien-
to he preferido, la proporción, adopto la corriente en Francia
(fórmula Vigier), 10 p. */,, (500 c*) y precipitando luego
por alcohol de 96” (1.400 c”). Es preciso hacer la masa muy
homogénea, empleando mortero de porcelana adecuado, y
añadiendo por pequeñas porciones la levadura y arena sin
hierro, luego repetir lo mismo cuando se agrega el agua, y
operar con cantidades algo considerables, ya que se trata
de materias que contienen pocas oxidasas. Con objeto de
probar y demostrar en ambos casos su actividad, basta
agregar á pequeña porción de ella una gota de tintura de
guayaco recién preparada (2). Si son activas, aparece una
coloración azul, que va acentuándose por momentos, y así
ocurría con mis preparados. Entonces, en dos tubos de en-
sayo, pus: dos porciones idénticas (10 c*) de la solución ya
dicha de ácido salicílico; á una le añadí un centímetro cúbico
de la goma, á la otra, una pequeña porción del precipitado
blanquecino obtenido de la levadura. Nada se produjo de
momento; pero al cabo de dos ó tres días el primero de los
tubos, mirado con cierta incidencia de luz, presentaba tono

(1) Journ Phm. et Chm, 1904, 2.* parte. pág. 278.
(2) Kastle y Levenhart, Journ. Phm. et Chm., 1902, 2.* parte, pá-
gina 286

— 680 —

rosa, semejante al de las soluciones muy diluídas de ácido
salicílico tratadas con poco cloruro férrico, y el segundo, una
opalescencia también rosada.

Es cierto que de estas tintas á las obtenidas al principio,
siguiendo el método ordinario, hay enorme distancia; pero
se ha de tener en cuenta la intensidad mínima de ellas, par-
ticularmente comparándola con el poder oxidante del cloruro
de hierro, y además el cuerpo ensayado no es fenol única-
mente, sino también ácido, y su doble función ha de influir
notablemente en las oxidaciones realizadas.

Repetido el experimento, añadiendo unas gotas de ¡oduro
potásico, que, según Bach, favorece en gran manera la acción
de las zimasas, sólo he obtenido medianos resultados. Ade-
más, en ninguno de los ensayos la superficie del liquido se
cubrió de mohos (el penicillium glaucum es el de mayor fre-
cuencia) (Perisporiáceos ), y este fenómeno indica cómo la
oxidación no fué completa y sí muy débil, ya que en los ex-
perimentos realizados por Bourquelot, empleando compues-
tos fenólicos antisépticos, en cuanto lo era, aparecía el citado
hongo. Y por lo concerniente á la levadura, tiene demostra-
do Gruss (1) que en sus células existen asimismo principios
reductores que pudieron haberse disuelto, impidiendo la
libre acción de las zimasas oxidantes, Hay, además, otras
razones que inclinan á admitir la oxidación como causa fun-
damental de las coloraciones. Desmouliére (2), al interpretar
las acciones del percloruro de hierro sobre ácido salicílico,
salicilato de metilo, hidruro de salicilo y algunos otros com-
puestos, después de indicar que se forma salicilato de hie-
rro, dice que, agitando una solución acuosa de salicilato de
metilo, coloreada con el percloruro diluido, con cloroformo,
éter, éter acético, éter del petróleo, bencina, cualquiera de

(1) Issagew, Jfourn. Phm. et Chm., 1904, 2.* parte, pág. 278.
(2) Pellet. Obra citada, pág. 14, y Journ. Phm. et Chm., 1902,
tomo I, pág. 241.

EEN Y QU

estos disolventes se apodera del salicilato y deja el hierro en
la solución acuosa, desapareciendo la tinta violácea produ-
cida. Y agrega: «La causa probable de estas reacciones re-
side en la poca estabilidad de la sal férrica y en la grandíisi-
ma diferencia de solubilidad del salicilato de metilo en el
agua y en los demás líquidos nombrados. Además, partiendo

de su fórmula
ACOSO

la coloración puede ser debida á la presencia del grupo fenó-
lico OH, ya que iguales fenómenos ocurren, produciendo
tinta violeta el percloruro con el ácido fénico, la resorcina
(azul) y otros compuestos análogos que tienen aquel grupo
funcional. »

Comparando la fórmula anterior con la del ácido salicíli-
co, se ve
e CO, sE CH; Om

/ OH (1)
CoH, OH (2)

<co—oH() CH

que sólo se diferencian en que el oxhidrilo de su carboxilo
es substituido en la primera con radical metilo. Con uno de
ellos origina el cloruro férrico coloración violeta, y lo propio
acontece con el otro, destruyéndola en el primero el cloro-
formo, el éter y varios cuerpos calificados de neutros; en el
segundo se requiere emplear C1H, NH,, €,H,0,, C¿H¿Os,
etcétera, y ambos tienen grandes semejanzas, en cuanto á la
reacción con los compuestos fenólicos. Dedúcese de lo apun-
tado que la diferencia sólo estriba en la presencia del grupo
ácido, sea ó no integro, y en la inestabilidad de la reacción,
y bien pudieran ser efecto ambas cosas de que el grupo no
substituiído en el ácido salicilico se uniera al hierro, no para
darle coloración violeta, sino para aumentar la estabilidad
que el grupo fenólico produce, cosa que no puede ocurrir
con el salicilato de metilo, por estar ya substituido «el oxhi-
drilo de su carboxilo.

— 682 —

Se puede objetar que el salicilato de sodio ocasiona, aun-
que débil, la coloración púrpura violeta en iguales condicio-
nes que el ácido salicílico, y que su semejanza con el de me-
tilo no puede ser más marcada, pues las funciones del sodio
y del metilo son semejantes.

Al emplear el cloruro férrico, aun siendo lo más neutro
posible, añadimos con él ácido clorhídrico procedente de la
disociación de la sal al disolverse, ó de la acción del tiempo,
cuando no le acompaña en su misma preparación, Ó es pro-
ducto de alteraciones inevitables. En tales casos, de seguro
quedará ácido salicílico completamente libre, formándose el
Cl Na, cuerpo fijo, muy estable, y en otro caso Cl CH,,
compuesto gaseoso, más delicado de formación, menos enér-
gico, más débil que el anterior, y es lógico suponer que más
tarde la acción de cuerpos como el cloroformo, éter, éter acé-
tico, etc., etc., no debe ser idéntica, y que en el agua de di-
solución se regenera el salicitato de metilo, más soluble en
los disolventes citados, favoreciendo el hecho la inestabili-
dad del hierro contenido en el grupo ácido del ácido salicí-
lico, y entonces la coloración producida sería idéntica á la de
cualquiera de los compuestos fenólicos citados que se des-
truye por la acción del cloroformo, éter, etc., etc.

En el otro caso no sucede así, porque el Cl Na formado
es inalterable mediante su influjo, y el hierro no abandona
el grupo ácido que lo encierra, y la coloración que á tal cau-
sa debe su permanencia sólo se destruye en presencia de
ácidos minerales y orgánicos ó de álcalis.

Si queremos demostrar, aun mejor, la posibilidad de una
oxidación como primordial causa de las coloraciones, fijé-
monos en el cuerpo llamado aspirina, que es el ácido acetil-
salícilico. ,

Su fórmula es

CO - OH (1)

Cs Hs < 0 —CO—CH, (2)

683 —

y procede de substituir en el grupo fenólico de

CO — OH (2
ca

un hidrógeno con el resto del ácido acético

CF,

Ú

|
CO —HO.

luego de separarse un oxhidrilo para formar con el hidróge-
no substituido una molécula de agua, resultando:

SO

La solución acuosa del compuesto formado (1) no se co-
lorea en violeta con el percloruro de hierro. De la cantidad
disuelta depende el que en el primer instante aparece cierto
enturbiamiento blanquecino, adquiriendo el liquido tinta par-
da acaramelada indefinida, que poco á poco vira á tonos
violáceos, en particular si la disolución se ha hecho en ca-
liente.

Resulta que si la función fenólica del ácido salicilico está
substituida (sellada podría decirse), la coloración violeta no
se forma de repente; aparece lentamente y la explicación me
parece sencilla. Si en lugar de añadir una gota de solución
férrica al 1 por 1.000 agregamos cuatro ó cinco gotas de la
que pudiera constituir el hipotético salicilato férrico, cuya
proporción es de 0,1362, el enturbiamiento resulta mayor y
la coloración menos violácea, estando el líquido mucho más
ácido que en la primera disolución; de donde se infiere que
la tinta es función de tal cualidad.

(1) Annales de Merk, 1899, pág. 38.

— 684: —

Sabemos que los coeficientes de avidez de los ácidos acé-
tico y clorhídrico están en la relación de 1 á 33, modificable
con la mayor masa del primero con relación al segundo (1);
luego lo que debe suceder es que el CIH contenido en el
cloruro férrico añadido actúa sobre la aspirina, originando
su alteración y uno de los cuerpos resultantes bien puede
ser el ácido salicílico, y conforme á los grados de acidez del
medio en que se produjera, las coloraciones serían más ó
menos intensas.

Así la tinta desarrollada empleando mayor número de go-
tas de la solución diluída, origina coloraciones menos viola-
das que cuando se emplea una sola gota de líquido más con-
centrado; y en todos los casos el fenómeno no es instantáneo,
por no serlo tampoco la transformación, y seguramente la
retarda la presencia de mayor cantidad de ácido acético que
clorhídrico. Comprobante de que lo dicho debe ocurrir es
que, efectuando la disolución en caliente ó elevando la tem-
peratura cuando la reacción está terminada, se acentúa más
la intensidad de los hechos relatados, que no pueden ser
atribuidos á la presencia de ácido salicílico libre, producto
de alteraciones ó falsificaciones de la aspirina, que entonces
la coloración violeta debía producirse al instante.

Inclina á pensar el conjunto de los hechos que la causa
principal de la coloración del ácido salicílico con el cloruro
férrico es una oxidación, secundada por el hierro de modo
análogo á la del sulfocianuro con el reactivo citado. Y expli-
can los primeros resultados, poco satisfactorios, el que la so-
lución férrica empleada, merced á su disolución y el estar
preparada mes y medio antes de experimentar con ella, era,
como queda dicho, opaca; es evidente que contenía oxicloru-
ros, y de ahí los aumentos de la acidez del líquido. Según
Spring, las funciones oxidantes del cloruro férrico son con-
secuencia de su ionización en Cl, Fe, Cl,, y para grandes

(1) Carracido. Obr. cit., pág. 70.

— 685 —

diluciones en Cl, Fe,-+Cl, (1); de aquí tal vez el aconsejar
los autores que sea muy diluída la solución empleada; es de-
cir, que oxide indirectamente, y efecto del tiempo de haber
estado el matraz que la encerraba completamente lleno, ta-
pado sólo con un pedazo de papel de filtro, la disolución de
percloruro que combiné á volúmenes iguales con la de ácido
salicilico (y no filtré por temor á que se alterase su valora-
ción; pues E según los experimentos de Mansier (2), el papel
de filtro determina, para muchas substancias, un error no des-
preciable, que puede llegar á ser de 55 por 100 de pérdida
en líquidos muy diluídos), no estaba en las condiciones ade-
cuadas para ser oxidante intenso, y de aquí que, aun habien-
do exceso de hierro, no produjo la tinta correspondiente, y
así los resultados obtenidos fueron erróneos. Sin embargo,
debo confesar sinceramente que he observado hechos cuya
explicación adecuada se me oculta, y se refieren á la posibi-
lidad: de retornar á la tinta violeta, siquiera débil,'que el
CIH y NH, hacen desaparecer, y á la existencia del ácido
alilsalicilico, cuya fórmula es:

¿CO,H
z A OC,¿H,

C¿H
con el cual se lee en el Diccionario de Wiirtz (segunda par-
te, pág. 1.413), el cloruro férrico produce color violeta.

No habiendo podido tener á mano ese cuerpo, fué imposi-
ble comprobar esa reacción, y aun cuando cabría, en caso
afirmativo, explicarla como las de los salicilatos de metilo y
de sodio y la de la aspirina, con la sola diferencia de que en
un caso el ácido salicilico es separado del cuerpo combinado
á la función ácida, y en el otro procede de la función fenóli-

(1) Carracido. An. de la Soc. Esp. de Fis. y Quí., 1904, pág. 194,
Mayo.
(QQ) Journal Phm. et Chm., 1902, segunda parte, páginas 6 y 16.

**

— 686 -

ca, me abstengo de hacer hipótesis sobre experimentos que
no he realizado.

Datan ya de 1879 los prácticos estudios de Pagliani (1),
referentes á las acciones de los ácidos, y han demostrado
que si á una solución de ácido salicílico, coloreada con clo-
ruro férrico, se añaden unas gotas de CIH puro que la des-
coloran, y se agrega agua destilada, se puede volver á obte-
ner la tinta violeta; siempre «que practiqué el experimento, la
coloración nueva resultó bastante débil. De igual manera he
visto que, empleando para la descoloración el NH, en tal
cantidad que no se formen grumos de hidrato férrico, aña-
diendo luego C1H en proporción suficiente para neutralizar-
lo, reaparece la tinta, siempre más débil, sucediendo lo pro-
pio en el caso inverso.

Quizá la mayor afinidad del hierro respecto del ácido mi-
neral podría explicar lo primero, y entonces el ácido orgáni-
co desempeñaría un papel secundario.

La reaparición del color al agregar el agua sería efecto de
ionización al aumentar las proporciones del disolvente, y en
el segundo y tercer experimento la afinidad, también mayor,
entre el amoníaco y el ácido clorhídrico, más intensa que la
de éste respecto del hierro, que en presencia de aquél no
puede continuar en sus funciones de sostén de la reacción
colorida, podría servir de interpretación de los hechos.

(1) Pellet. Obr. cit., pág. 43.

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XXXI. - Elementos de la teoría de la elasticidad, por Jose

Ethegartayo ios a O]
XXXIL— Estudio experimental de algunas propicdados! del z
Grisú, por, e Hauser. cr

rrico, por Francisco Canivell Pascual. A

en el extranjero, en $ Secretaría de la Academia, callo de Val
verde, núm. 26, Madrid. q
- Precio de este cuaderno, 1,25 pesetas. - ys

MIAMI OA

EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

TOMO V.-NÚM. 11.
(Mayo de 1907.)

Y MADRID
IMPRENTA DE LA GACETA DE MADRID

CALLE DE PONTEJOS, NÚM, 8.
M 1807

Es 61) >
YEDIDOS NICO a | de
INN OTE | ze 7: EE 7

—

a A

la Corporación, antes del día 20 de 6ndi
pues de otro modo quedará su Publicación p
el mes siguiente.

8 —

XXXIV.—Elementos de la teoría de la Elasticidad.
POR JOSÉ ECHEGARAY

Conferencia sexta.

SEÑORES:

Hemos obtenido las tres ecuaciones fundamentales de los
movimientos elásticos:

de AENA 24

du d
— X-F—(A+F AS) -E=—(B+C”"
A on
J8 d?u (C+B9+2 dev C"+19 d?w B" 0,
dz dxdy dxdz

d?v
df

Vi a
d?x

e ñ ”
o
dy? dz?

le E (1)
w A”+2 u
dydz dxdy

da

d?w dew
— L CEC" =
o

dew d?w d?y
—— (BH ADTY+H22—B" +2 A“=0,
E d y? y DAR dzdx A dzdy

en que los coeficientes A, B, C, tienen los siguientes valores:

Emf(r) ox? =A,

n|= |

£ e lA,

Rev. Acap. Ciencias. —V.— Mayo, 1907. 47

Lim LO ¿yz = 4",
2 y :

23m 0) y:

2 F

25m An) oyt = B,

2 4

Lim LO sxt522 =B"
2 r

¿Ampryiz = C,
Lo PO) Ur — 00

2 r

L 5 PO toy —= 0
2 r

En general todos los coeficientes A, B, C, son funciones
de x, y, 2.

Las fórmulas (1) todavía pueden simplificarse en muchos
casos, y estas simplificaciones, que ahora vamos á explicar,
dependen de la estructura del sistema elástico.

Son, si se nos permite expresarnos de este modo, simplifi-
caciones de las fórmulas por simplificaciones de la estructura.

En la hipótesis de Cauchy, que es la hipótesis de la dis-
continuidad en el sistema, la estructura depende de dos ele-
mentos.

El primero es el valor de la masa en cada punto, el segun-
do, la distribución geométrica de estos puntos.

Y viniendo á la realidad, la estructura de un cuerpo puede
ser de muchas maneras, desde un cuerpo amorfo hasta un
cuerpo cristalino.

Determinar y aun definir dicha estructura es un problema
muy difícil, y aun prescindiendo de las masas, aun conside-
rándolas como puntos matemáticos, el definir la distribución

Gare

geométrica de tales puntos es problema también muy com-
plicado. -

No hemos de pretender nosotros resolverlo, y nos con-
tentaremos con algunas indicaciones generales, que pueden
aplicarse á la simplificación de las fórmulas.

Distingamos tres formas en la estructura del sistema
elástico.

1. La estructura heterogénea.

2.” La estructura homogénea, y

3.” La estructura isótropa.

Los autores, por regla general, dan definiciones muy va-
gas y á veces poco precisas.

Mr. Lamé dice así, en sus lecciones sobre la Teoría mate-
mática de la elasticidad de los cuerpos sólidos, que hoy se
considera como obra clásica, sean cuales fueren sus deficien-
cias en puntos aislados y concretos:

«Se llama generalmente homogéneo un cuerpo formado
por moléculas semejantes, simples ó compuestas, que po-
seen las mismas propiedades físicas y la misma composición
química; y supondremos, además, que ocupan espacios igua-
les. Llamaremos, según esto, sistema molecular al espacio
elemental y de forma poliédrica, que pertenece á cada mo-
lécula Ó que la contiene á ella sola.»

Y agrega: «según esto, los cuerpos homogéneos, que con-
sideraremos, serán aquellos en los cuales una recta L de
longitud apreciable y de dirección determinada atraviesa el
mismo número n de sistemas moleculares, sea cual fuere el

sitio en que se la coloque: la relación == puede variar con la
dirección de la recta L.»

«Esta definición de homogeneidad comprende á los cuer-
pos sólidos cristalinos, cualquiera que sea la forma, regular,
semirregular ó irregular de su molécula integrante: La rela-
ción 77 puede tener valores muy diferentes para diversas
direcciones de £.

==

» En los cuerpos homogéneos no cristalinos, como los me-
tales y el cristal, se admite que la expresada relación varía
muy poco ó no varía sensiblemente, es decir, que la rela-
ción de que se trata es independiente de la dirección de £.
Tal hipótesis exige que n sea muy grande, por pequeña que
sea la línea L; porque es imposible distribuir un número

finito de puntos materiales de tal suerte, que la relación a

sean constante.»

Lamé emplea, pues, para definir la homogeneidad una lí-
nea finita L, que pudiéramos llamar línea de prueba; y no
hay dificultad en admitirla para definir los cuerpos hetero-
géneos y los cuerpos homogéneos; pero no es tan fácil em-
plear esta línea de prueba para definir los cuerpos isótropos
á pesar de las últimas consideraciones del ilustre autor.

Fijemos las ideas, precisando por un ejemplo los términos
del problema.

- Dividamos el espacio que se considere por tres sistemas
de planos paralelos y equidistantes los de cada sistema.

F,

Figura 13.

Llamemos P, (fig. 15) á los del primer sistema, distando
uno de otro la cantidad constante A.

Designemos por P, los del segundo sistema, y la distan-
cia entre cada dos de éstos por A..

— 691 —

Estos dos sistemas podemos suponer que son perpendi-
culares al plano de la figura y estarán representados por sus
O EIA NS

El tercer sistema de planos lo designaremos por P, y
estarán situados oblicuamente al plano de proyección; por
lo'tanto no estarán representados en la figura.

De este modo el espacio que se considera, quedará divi-
dido en paralelepípedos todos de igual volumen y que se
proyectarán en los paraleloygramos expresados.

Como estos paralelepipedos son todos iguales, podremos
hacerlos coincidir cuando nos convenga, ya por tres movi-
mientos de traslación paralelos á tres aristas, que formen
uno de los triedros, ya por una traslación única que será la
resultante de las tres traslaciones parciales.

Finalmente, designemos por 4,, 0», 0;..... las proyeccio-
nes de los centros de estos paralelepípedos, que, como
hemos dicho, son iguales y superponibles, y por lo tanto de
igual volumen.

Estas celdillas Ó estos paralelepipedos son tan pequeños
como se quiera: constituyen, por decirlo así, el elemento
diferencial del volumen que ocupa el sistema.

Pues bien; si en el centro de cada paralelepípedo imagi-
namos una masa igual m, el cuerpo ó el sistema formado
por estas masas diremos que es homogéneo.

Su densidad media será constante, porque será el resul-
tado de dividir la masa m por el volumen del paralelepípedo
elemental. :
-— Para este sistema, la definición de Lamé por medio de la
* recta de prueba puede expresarse en términos rigurosos.

Supongamos que la recta de prueba L va de un centro
a, á un centro 0), (fig. 16), pues será evidente, que si esta
recta la trasladamos paralelamente á sí misma de modo que
uno de sus extremos pase por el centro de un paralelepípe-
do cualquiera, en su nueva posición dicha recta cortará el
mismo número de paralelepípedo que en su posición ini-

— 692 —

cial, y, por lo tanto, pasará por el mismo número de masas.

Esto es evidente por lo que antes decíamos: un movi-
miento cualquiera de traslación es la resultante de otros tres
movimientos de traslación elementales paralelos á tres aris-
tas distintas.

Así, por ejemplo, si para simplificar la figura prescindi-
mos de los paralelepípedos y con-
sideramos tan sólo los centros de
éstos, colocando en cada centro
una masa m, la definición de Lamé
para los cuerpos homogéneos re-
sulta clarísima y evidente por sí;
no necesita demostración.

Las definiciones no se demues-
tran, es verdad; pero hay que de-
mostrar que sus términos no son
contradictorios; Óó de otra manera,
hay que demostrar que la defini-
ción designa algo, que es posible.

Y la demostración de Lamé para
los cuerpos homogéneos lo es se-
gún hemos indicado y según se ve en la figura 16.

Tracemos, en efecto, desde el centro a, al centro a,, la
recta 4, 4, = L, que comprenderá cierto número de centros
ó de masas.

Si tomando otro centro de otro paralelepípedo cualquiera,
b,, comunicamos á la recta L una traslación paralela á a, bp,
vendrá á parar á b, b,, que contendrá evidentemente el mis-
mo número de centros Ó masas que a, 0).

Las tres componentes de L en la primera posición son a, d,
de y eap.

Y las componentes de £ en la segunda posición serán,
Onf, f2, y 20p.

No insistiremos más en estas construcciones de Geome-
tría elemental: basta con lo dicho.

dn e

Figura 16.

— 693 —

Vemos, por lo tanto, que la definición de Lamé para los
cuerpos homogéneos es correcta y puede admitirse.

Aumentando el número de puntos ó de paralelepípedos, y
tendiendo las tres aristas de cada uno hacia cero, pero con-
servando constantemente sus relaciones, distintas en gene-
ral de la unidad, el límite será un cuerpo homogéneo conti-
nuo, diverso para cada caso, y que dependerá de las longi-
tudes y de las inclinaciones de las aristas del paralelepípido
elemental.

La densidad de este cuerpo homogéneo dependerá del lí-
mite á que se aproxime la relación entre cada masa y el pa-
ralelepípedo en que está, cuando éste tienda hacia cero.

También se comprende la constitución de un cuerpo hete-
rogéneo y también se justifica la definición de Lamé, por
medio de la línea de prueba.

Dicha definición puede hacerse de dos modos:

1.2 Conservemos la división del sistema en celdillas
iguales, con la forma:de un paralelepípedo. Pero coloque-
mos en los centros de éstos, masas distintas, que varíen
según cierta ley.

La masa para cada centro variará según las coordenadas
de éste, y la densidad, es decir, la relación de la masa al
volumen del paralelepípedo, también será una función de
las coordenadas x, y, z, que determinen cada centro.

Es claro que la línea de prueba £L, de Lamé, al moverse
paralelamente á sí misma en determinada dirección, com-
prenderá el mismo número de masas; pero de distinto valor
cada una, de modo que la masa total será diversa, lo cual,
en el fondo, coincide con la definición de Lamé.

2.” También puede suponerse que las masas son iguales
y los paralelepipedos de distinto volumen. En efecto, cada

—= 694 —

paralelepípedo podemos dividirlo en tantos paralelepípedos
parciales como veces contenga la masa de su centro á una
cualquiera que tomemos por unidad, y la masa total pode-
mos también dividirla por igual entre todas estas celdillas.

Pues en esta hipótesis la línea de prueba L£, al trasladarse
paralelamente á sí misma, cortará al mismo número de para-
lelepípedos elementales primitivos; pero á un número dis-
tinto de los volúmenes en que se han divido aquéllos.

Hasta aquí todo es perfectamente claro; pero ya lo diji-
mos antes, no sucede lo mismo al definir los cuerpos isótro-
pos, y, sobre todo, al definirlos por la línea de prueba de
Lameé.

Lo reconoce el ilustre autor: un número de puntos finitos
ó de celdillas que los comprendan, no pueden distribuirse
de modo que la línea L, sea cual fuere su posición, perma-
neciendo su longitud constante, atraviese el mismo número
de celdillas.

Sólo que Lamé agrega, que para que pueda aplicarse esta
definición á lcs cuerpos isótropos (aunque él no les da este
nombre) es necesario suponer un número considerable de
puntos; y esto no es tan claro como pudiera creerse,

Y antes de pasar adelante, por si les extraña á mis oyen-
tes esta palabra ¿sótropo, que empleamos casi por primera
vez en estas conferencias, les diremos, que viene de dos pa-
labras griegas: ¡sos (isos) y tropos (z¿oro<). [sos significa
igual, y tropos significa estructura, manera de ser. De modo
que la palabra isótropo significa un cuerpo de igual estruc-
tura en todos sentidos. '

Y asi:

1. Si una porción del cuerpo, por ejemplo una esfera,
sufre un movimiento de traslación y todos sus elementos

— 69 —

coinciden con elementos iguales que va encontrando, enton-

ces el sistema será homogéneo.

2. Y además, si la esfera gira alrededor de su centro,

y siempre coincide consigo misma, se dice que el cuerpo es
- IsOtropo.

Puede decirse que el cuerpo es igual á sí mismo alrede-
dor del centro de dicha estera.

Si el sistema fuese continuo, el que sea isótropo no ofrece
dificultad: una esfera homogénea coincide consigo misma en
toda su extensión al trasladarse y al girar alrededor de su
centro; pero no sucede otro tanto cuando de lo continuo pa-
samos á lo discontinuo, por muchos que sean los puntos
que se consideren.

Permitan mis oyentes, que sin pretender penetrar honda-
mente en estos problemas, que son muy delicados, ocupe
su atención con algunas consideraciones geométricas, que
indicaré, más que por su fuerza demostrativa, porque acaso
tengan carácter sugestivo.

Consideremos (tig. 17) la misma serie de paralelepípedos
que antes, y sea la línea de prueba /= ab. Esta línea atra-

icaaa/A
220

Figura 17.

viesa cuatro paralelepipedos; es decir, que pasa por cuatro
centros. Como antes vimos, si se mueve paralelamente á sí
misma, sea cual fuere su posición, siempre pasará por cua-

E Ea

tro centros ó masas, como vemos, por ejemplo, en a” b”, dado
que el sistema sea homogéneo.

Pero si gira como indica la figura y viene á parar á a c,
ya no cortará cuatro celdillas, sino dos.

De suerte, que el número de celdillas que atraviesa una
línea de prueba depende de su dirección. El cuerpo será
homogéneo en tres direcciones, pero la densidad será dis-
tinta para cada una de ellas; de modo que en nuestro ejem-
plo podemos decir que será peta DE pero no isótropo
alrededor de a.

Pues esto sucede por pequeñas que sean las celdillas, por
grande que sea el número de masas, y aunque los paralele-
pipedos fueran de la forma más regular posible, aunque se
convirtieran en cubos.

Para simplificar la explicación y sobre todo las figuras,
supongamos, que no se trata del espacio de tres dimensio-
nes, sino de un plano, y supongamos aún, que está dividido
en cuadrados pequeñísimos y en el centro de cada cua-
drado colocamos una masa (fig. 18) todas iguales.

Figura 18.

Admitamos, por fin, que la línea de prueba a d es paralela
á uno de los lados del cuadrado y que comprende n masas,
que en la figura son cuatro.

Cuando sea paralela la misma línea de prueba, con la

AA

— 697 —

misma longitud, al otro lado del cuadrado desde aá d,
comprenderá el mismo número de puntos, y así el sistema,
hasta ahora al menos, para estas dos direcciones, parece ser
iSÓtropo.

Pero tomemos la dirección de la diagonal, desde a á D, y
esta línea comprenderá también n masas (cuatro en nuestro
caso), a, B, C, D; pero su longitud será mayor que £ puesto
que es la diagonal:

AA 2d = LN O:

Resulta, pues, que la línea de prueba L no contendrá n

E n
masas, sino Va” que es menor que 7.
)

Luego el sistema no es isótropo.

Y lo mismo pudiéramos decir para otra dirección cual-
quiera. : :

Y este resultado es independiente de las dimensiones del
cuadrado elemental, es decir, del número de puntos.

Por grande que sea n, si se distribuyen las masas en los
centros de una red de cuadrados; ó pasando al espacio de
tres dimensiones, en los centros de una serie de cubos, estos
sistemas nunca serán isótropos. Y se presenta este problema
que es el de Lamé: Siendo n un número muy grande de
masas, pero finito, ¿qué distribución deberá darse á estas
masas para obtener un sistema isótropo ?

Y ad2más, y como consecuencia de la anterior pregunta,
podemos preguntar de nuevo:

Con un número n muy grande de puntos ¿es posible for-
mar un sistema isótropo ó que se aproxime á serlo?

Precisamente á este problema se refiere la digresión que
antes anunciábamos, y que ahora nos proponemos hacer,
sin más objeto que el de llamar la atención de mis oyentes
sobre estos curiosísimos problemas de la Geometría del es-
pacio, que se enlazan no sólo con la Cristalografía, sino con

— 698 —

toda la Fisica matemática, pues al fin y al cabo son proble-
mas los de esta ciencia, que se desarrollan en el espacio y
entre formas geométricas.

Como hemos visto, Lamé consigna el siguiente principio:
que con un número limitado de puntos es imposible constituir
un sistema tal, que, colocando la línea de prueba £ en cual-
quier posición, comprenda un número determinado y cons-
tante de estos puntos, ó mejor dicho, pase por ellos.

Pero consigna también, ó parece indicar la idea de que
siendo el número n de puntos muy grande esto se puede
conseguir. Y preguntamos: ¿exacta ó aproximadamente?

La afirmación, aun siendo cierta para la solución aproxi-
mada, no es evidente.

Se plantea, por lo tanto, este primer problema geométrico:
con un número muy grande de puntos, que claro es que en
nuestro caso representan masas, construir un sistema exac-
tamente isótropo.

Mas como esto es también imposible—no siendo el medio
homogéneo y continuo, en cuyo caso la proposición es evi-
dente, porque el espacio geométrico es isótropo, toda vez
que es igual asimismo en todas direcciones y alrededor de
cada punto,—al menos podemos intentar la solución de este
otro problema:

Con un número de puntos tan grande como se quiera, pero
finito, construir un sistema próximamente isótropo, y que se
aproxime indefinidamente al sistema ideal del medio con-
tinuo.

La palabra próximamente exige una explicación.

Queremos significar con ella, que á la línea de prueba £
ha de corresponder constantemente el mismo número de
puntos n (fig. 19 A), ya estén dichos puntos sobre la linea,
ya zstén á uno ú otro lado de la misma á distancias menores

00% =

A
que una longitud 5 sumamente pequeña y escogida arbi-

trariamente: por ejemplo a, c, f, que están en la línea, y
b, d, e, g, que están á poca distancia.

Esto se concibe que pueda conseguirse por las conside-
raciones siguientes, que sometemos al juicio y al estudio de
nuestros oyentes y lectores.

" Y ante todo, para simplificar las figuras trataremos la
cuestión, no para el espacio de tres dimensiones, sino para
un plano. Después podremos pasar al caso general, subs-

0

>

Ae

Figura 19 CG. Figura 19 Bb. Figura 19 A.

tituyendo á las pequeñas circunferencias, de que luego ha-
blaremos, esferas suficientemente pequeñas.

Consideremos ahora un espacio cualquiera encerrado en la
línea S (fig. 19 B), y veamos cómo, con un número muy gran-
de N de puntos, podemos construir un sistema dentro de S,
que sea próximamente isótropo y que para una línea arbitra-
ria L comprenda, usando la palabra comprender en el sentido
ya explicado, rn puntos, sea cual fuere la dirección entre un nú-
mero muy grande de direcciones, y el sitio en que se coloque.

Como estamos hablando de diferentes direcciones, y
éstas han de ser en número finito, aunque muy grande, lo
cual completa el sentido de la palabra próximamente, traza-
remos alrededor de un punto O (fig. 19 C), y partiendo de

E Aaa

él una serie de rectas a, b, C, d..... que dividan los cuatro
ángulos rectos en un número de ángulos tan grande como
queramos.

De suerte que, volvemos á repetirlo, el sistema no será
rigurosamente isótropo, sino aproximadamente isótropo, por
relación á los puntos y á las direcciones.

Aproximadamente, en primer lugar, respecto á los pun-
tos, porque no será preciso que todos ellos estén en la rec-
ta L; podrán estar separados de ella, pero á una distancia
suficientemente pequeña, como hemos visto en la figu-
ra 19 A.

Así la línea de prueba no pasa por todos los puntos, sino
por una faja muy estrecha en la cual, para la longitud L, se
cuentan n puntos.

Y, en segundo lugar, el sistema es próximamente isótropo
y no rigurosamente isótropo, porque no lo es para todas las
direcciones de L£, sino para las correspondientes á las rectas
radiales de la figura 19 C, que son en número tan crecido
como se quiera, pero no infinito.

Y ahora brevemente se puede explicar el método de for-
mación del sistema á que nos referimos.

Pero hemos de dar todavía una definición que abrevie
nuestras explicaciones.

Consideremos un sistema de rectas paralelas entre sí y
paralelas á una de las direcciones de la figura 19 C, por
ejemplo, la Oa.

Estas rectas distarán una de otra una longitud igual á »,
siendo A tan pequeña como deseemos, y en cada recta y en
todas las de este sistema A, A”, A”..... (fig. 19 B) imagina-
remos colocados una serie de puntos 1, /', /'”..... á intervalos
iguales á 4.

Las rectas y los puntos constituirán lo que, para abreviar
la explicación, llamaremos sistema elemental A, cuando las
rectas sigan la dirección Oa de la figura 19 C. Del mismo
modo podremos formar tantos sistemas elementales idénticos

— 701 —

al precedente como direcciones hay en esta última figura:
sistema elemental B, sistema elemental C.....

Pues para formar el sistema isótropo se comprende que
basten tres operaciones. .

1. Superponer en el espacio S tantos sistemas elemen-

_ tales como direcciones hay en la figura 19 C.

A

2. En cada punto colocar una masa m, siendo iguales
todas estas masas.

3.* Suprimir todas las masas que sobren en el sistema
para que sea isótropo, como explicaremos en seguida.

Y por último, multiplicar Ó dividir las masas por el nú-
mero que convenga, para que resulte en el sistema la densi-
dad que queramos.

La cantidad A, que expresa las distancias entre las rectas
de cada sistema, hasta ahora es arbitraria; pero debemos
sujetarla á una condición.

B
o e BN]

/ LE le / DS a y A L A

H A A . y NE
Pa S A 0 4
D
E C
Figura 20 A. Figura 20 B.

Si Oa, Ob (tig. 20 B) son dos direcciones contiguas de
las que marca la figura 19 C, tomando una longitud muy
pequeña 4, (fig. 20 B) y trazando el arco ab, este arco,
que se confundirá con una línea recta, representará preci-

A
samente —.
2

En la figura 19 B hemos representado varias rectas A, A”,
A”..... del sistema elemental A. En estas rectas hemos seña-

— 702 —

lado los puntos /, f, [”..... que han de sustituirse por las
masas m. La distancia 4 entre cada dos puntos, ó cada dos
rectas está representada también. Y por fin, sobre la recta A
hemos colocado la línea de prueba L£.
Asimismo hemos representado algunas rectas, B, B',B”.....
no todas para no confundir la figura, del sistema elemental B.
Y no hemos representado los demás sistemas elementa-

la figura hubiera resultado extraordinariamente confusa.

Veamos ahora por qué método pueden eliminarse las
masas que sobran, para que el sistema sea próximamente
isótropo y con una densidad finita.

Sea (fig. 20, A) la recta Aa, cuyos puntos Ó masas son
BE, as,

Desde uno de los puntos, a por ejemplo, con un radio

A ii
inferior á y pero que difiera de él infinitamente poco, tra-

cemos una circunferencia dentro de la cual tendremos, en
general, varios puntos, b, c, d..... de otras rectas, B, C, D,
pertenecientes á otros sistemas elementales. Pues bien, de
todos estos puntos Ó masas sólo dejaremos uno, tal como a,
suprimiendo los demás puntos Ó masas.

Pero este punto a que dejemos, servirá y substituirá á
todos los demás puntos suprimidos b, C, d.....

Verdad es que a, si es el que ha quedado, no está sobre
la recta B, ni sobre la recta C 6 D, pero substituye, según la
convención que hicimos, á los puntos b, c, d..... porque está

ik
á menor distancia de ellos que Ta

La isotropía aproximada de todas estás rectas, no se ha
alterado; porque para todas ellas hay una masa que está á
pequeñísima distancia, en substitución de la que estaba rigo-
rosamente sobre la recta.

Y tal vez se nos pregunte: ¿y por qué no dejarlas todas?
La razón es ésta:

— 703 —

Porque a priori, y en la misma confusión de puntos que
resultaría, no es fácil decidir si el sistema complejo será ó
no isótropo, ya exacta, ya aproximadamente; y porque ade-
más resultarían masas mucho mayores que la que habíamos
elegido, por decirlo así, como unidad de todo el sistema.

Pongamos un ejemplo para precisar estas ideas.

Supongamos que se han elegido
sólo dos direcciones en ángulo rec-
to (fig. 21), A, B, distribuyendo
para cada sistema las masas en los
vértices de un cuadrado. Al super-
poner los dos sistemas, como apa-
rece en la figura, en cada vértice a,
por ejemplo, se acumularán dos
masas a', a” que para claridad de
la figura las representamos sepa- Figura 21.
radas, de modo que la densidad del
sistema se habrá duplicado, y para venir á la que habíamos
supuesto, tendríamos que suprimir en cada vértice una masa.

Una cosa parecida hemos hecho en la figura 20 A; porque
dada la aproximación que hemos establecido, los puntos
a,b, c, d..... son para nosotros como el punto de intersec-
ción único de las líneas A, B, C, D.

De este modo, volviendo al procedimiento general, se ve
que la isotropia se conserva para cada dirección, porque
para cada punto que se suprime queda uno á menor distan-
cia del punto, que corresponde á la masa suprimida, que la

A
longitud —-.
5 z

Así, por ejemplo, en la figura 22 la recta A pasaba por los
puntos m, n, p, q, r. Hemos suprimido el punto m, pero
queda el mm.

Hemos suprimido el punto p, pero le substituye el punto p”,
y si la línea de prueba llegaba por ejemplo de m á r conte-
niendo dichos puntos m, n, p, q, r, ahora contendrá aproxi-

Rrv. Aca, Criencias.—V.— Mayo, 1907+ 48

— 704 —

madamente m', n, p', q, r, cuyo número no se ha alterado.

Debemos ahora precisar una definición que antes dimos.
Decíamos que los puntos que se substituían á los suprimidos
en una línea debían estar á muy pequeña distancia de ésta,
y ahora diremos con más exactitud: que cada punto que subs-
tituye á otro de una línea, para que se pueda considerar
como perteneciente á ésta aproximadamente, es preciso que
esté á una distancia del punto suprimido, y al cual substituye,

A r r .
menor que a7 Con lo cual claro es, que estará á una distan-

cia de dicha línea menor que la misma cantidad.

A UA O ao ME aa As
Y p n a”
A A
A
A A,

Figura 22.

Antes de terminar este estudio debemos desvanecer una
duda.

Para cada dirección el número de puntos no varía con-
tando los substituídos en vez de los suprimidos, pero ¿po-
drá aumentar este número?

Supongamos un punto e (fig. 20 A) á una distancia e f
de Aa tan pequeña como se quiera, y aun si se quiere sobre
el mismo segmento / /.

2
Sie ' es menor que eN, la duda no es posible, porque Ó

se habrá suprimido e, Ó se habrá suprimido /'; pero pongá-
monos en un caso extremo: supongamos que f es el punto
medio de / ?', con lo cual e f puede ser tan pequeña como se
quiera, y sin embargo

el >fl=— 1] =-

E. 1
2

— 705 —

es decir, e ' > > ). De modo que no se habrá suprimido

ni e ' aun siendo mínima la distancia e f.
Pero este caso no es dudoso según la definición y el con-

).
venio establecido: siendo e > ei el punto e no pertenece

á la recta A, pertenecerá á otra recta E de otro. sistema ele-
mental, y esto aunque estuviera sobre A. Sin embargo con-
vendría substituir e por otro punto próximo de E.

En suma, parece deducirse de lo expuesto, que el sistema
formado por el conjunto de sistemas elementales A, B, C.....
todos isótropos, es un sistema aproximadamente isótropo
para todas las direcciones A, B, C.....

Después de la supresión de las masas sobrantes, aumen-
tando el número de direcciones y disminuyendo /. nos aproxi-
maremos cada vez más á un sistema isótropo perfecto.

Por un procedimiento análogo podemos construir para
el espacio de tres dimensiones un sistema isótropo aproxi-
mado, para tantas direcciones como queramos y por lo tanto
podremos aproximarnos al ideal de los sistemas isótropos.

Diremos rápidamente lo que nos queda por decir.

1. Sobre un plano podremos formar un sistema isótropo
aproximado como hemos explicado.

2.” Podremos trazar planos paralelos al primero, análo-
gos á él y á la distancia 4.

3.” Podremos construir una serie de sistemas como el
que acabamos de formar para diversas inclinaciones del pla-
no y superponiendo todos estos sistemas; y

4. Trazando alrededor de cada punto una efera con un

: ¡ la
radio menor que Al y suprimiendo todos los puntos menos

— 706 —

uno, puede suponerse que el sistema que resulte es un siste-
ma isótropo aproximado.

No entramos en pormenores por no alargar demasiado
esta digresión.

Claro es que por la acumulación de un sistema de puntos
se pueden considerar formados cuerpos con muchas y va-
riadas estructuras, desde el sistema amorfo hasta cualquier
sistema cristalino; pero nosotros, al menos por ahora, no
consideraremos más que las tres estructuras que ya hemos
definido.

1.* Los sistemas heterogéneos, pero obedeciendo á deter-
minadas leyes de formación.

2.7 Los sistemas homogéneos, es decir, homogéneos para
cada dirección, pero en que varía la estructura cuando la
dirección cambia.

3. Los sistemas isótropos en que la estructura es la mis-
ma, no sólo para cada dirección, sino alrededor de cada
punto.

En el primer sistema, si consideramos una porción del
cuerpo limitada por una superficie y le comunicamos un mo-
vimiento de traslación en una dirección dada, no coincidirá
con aquellas porciones del cuerpo que vaya encontrando, á
no ser en los casos especiales de una distribución periódica,
caso que no estudiamos ahora.

En el segundo sistema, es decir, el de los cuerpos homo-
géneos, sucederá lo contrario. Toda porción del cuerpo al
cual se le comunique un movimiento de traslación, irá coin-
cidiendo con las porciones del cuerpo que encuentre.

En el tercer sistema, es decir, en los cuerpos homogéneos
é isótropos, si tomamos un punto en el cuerpo, trazamos una
esfera tomando este punto como centro, y á la porción de
cuerpo que esta esfera limita le hacemos girar alrededor de

— 707 —

su centro de cualquier modo, siempre coincidirá consigo
misma. Y combinando el movimiento de traslación con el
movimiento de rotación, puesto que ya el cuerpo era homo-
géneo y además es isótropo, la esfera coincidirá, sea cual
fuere el movimiento que reciba, con las porciones del cuerpo
que vaya encontrando.

Veamos ahora lo que resulta para las tres ecuaciones fun-
damentales número (1) de la elasticidad, Ó sea para sus
coeficientes A, B, C.

PRIMER CASO. Cuerpos heterogéneos. —No se olvide que
estas palabras, homogéneo, heterogéneo, no se refieren á la
composición química de los cuerpos, ni á la estructura de
sus moléculas, ni de sus átomos. Como á nuestro entender
no corresponden estas hipótesis á las propias de la Física
matemática, sólo introducimos en el problema cuerpos de
estructura ideal y en ella no hay que contar más que con
dos elementos: 1.”, la masa de diferentes puntos; 2.”, la dis-
tribución geométrica de éstos.

Distribuyendo las masas en celdillas resulta un tercer
concepto: el de densidad, que se obtiene dividiendo cada
masa por el volumen de la celdilla en que se encuentra. Y
esto ha de servirnos al pasar de la discontinuidad á la con-
tinuidad, cuando la masa de cada celdilla, convertida en un
flúido uniforme, ocupe extendida por el pensamiento, el vo-
lumen entero de la celdilla en que se encuentra.

Claro es, que todas estas celdillas deben estar contiguas
unas á otras, llenando todo el espacio; por manera que la
suma de sus volúmenes sea igual al volumen total.

De aquí resulta también, que en cada punto del sistema
habrá una densidad distinta para el flúido hipotético en que
se han distribuido las masas reales, á fin de realizar esa es-
pecie de interpolación física que suponemos.

Por lo tanto, si llamamos D á la densidad en cada punto,
ésta será una función de las coordenadas del punto; y en-
contraremos o restableceremos el valor de la masa primitiva

— 708 —

para cada celdilla, multiplicando el volumen de la misma
por la densidad correspondiente como haciamos en una de
las conferencias anteriores.

De todo esto se deduce, como vamos á ver inmediata-
mente, que en el caso de los cuerpos heterogéneos, los coefi-
cientes A, B, C, son funciones determinadas de x, y, 2.

En efecto, elijamos uno de los coeficientes de las ecuacio-
nes generales, y lo que de él digamos, pudiéramos repetir
para otro cualquiera.

Sea, pues,

Convertiremos esta suma en una integral y elegiremos en
vez de las coordenadas ordinarias las coordenadas polares

al
F, Sh Y.

Figura 23.

Un punto cualquiera a (fig. 23), estará definido por la
recta 04 = rr, por el ángulo ao"d=6 y por el ángulo fo'e=1.
En la expresión anterior de C” podremos substituir, según

— 709 —

las explicaciones que preceden, á la masa m, que supondre-
mos que ocupa la posición a, el producto de la densidad en
este punto por un volumen infinitamente pequeño d V que
contenga á dicho punte a. Y también podremos suponer que
se confunde con un paralelepípedo, que no está representado
en la figura, cuyas tres dimensiones serán: un pequeño arco
qa,, trazado desde d como centro en el plano dba; otro arco
infinitesimal a0,, trazado desde o” en el plano meridia-
no 0'da; y un incremento aa, del radio 0'a.
Así
aa 1d 108, =*5e00 dy; 04, = di,

dV= wr send.d0.di.dr.

Por lo tanto, -
MA DVI 2)

representando por D la densidad en el punto a, que como
es variable dependerá de la posición de dicho punto a, es
decir, de las coordenadas

,

EE A A O

Claro es que Ox, Oy, Oz son los tres ejes coordenados,
y Ox”, Oy”, O'Z' serán ejes paralelos á los anteriores, tra-
zados por el centro o” de la esfera e, que representa la esfera
de actividad dentro del cuerpo S, y que está trazada alrede-
dor del punto o' cuyo equilibrio expresan las tres ecuaciones
fundamentales.

Substituyendo este valor de m en C”, convirtiendo la *
en integral triple por extenderse á todo el volumen de dicha
esfera, y escribiendo los límites, tendremos :

le [7 Demar seras agar LD ay
2 0 J0 «70 E

— 710 —

Los límites de la primera integral son cero y e, si la inte-
gral parte del centro de la esfera. Mas si con objeto de evi-
tar un término infinito dentro de la integral, se trazase una
esfera alrededor de o” de radio 1, esta cantidad sería el límite
inferior en vez de 0.

Los límites de la segunda integral son O y =, porque su-
ponemos que la recta Oa parte de la posición del eje O'2”
y describe 180”.

Por último, los límites de la tercera integral son 0,2r,
porque el plano 2" 0” a parte de la posición del plano coorde-
nado de las 2" x' y gira alrededor del eje de las Oz, descri-
biendo 360".

Para poder efectuar las integraciones en cada caso, es
preciso que no queden bajo los signos de la integración más
que cantidades constantes y las tres variables r, %, 4; á este
fin, es forzoso que las demás variables se expresen en fun-
ción de éstas.

Dichas variables son x, y, z, %x,2y, porque todas ellas
varían con la posición del punto a, cuando éste recorre todo
el volumen de la esfera de radio +.

Pero fácilmente se determinan los valores de estas cinco
cantidades en función de las tres variables de la integra-
ción.

En efecto; tendremos, llamando xX,, Yo, Zo, á las coorde-
nadas og, gh, oh del punto o”,

of =08 +8f =08 + 0f=xX, +9x,
ef = gh +ef= Ys + 5y,

ae' =ee + ae =2, + 0z.
Y, además,
ax=0'f--db=da.cosbda=0'a.senf.cosfo'e—rsen/cos+,

sy=ef=ab= da.senbda=0'"a.sen.senfo'e=rsenfsend,
02" =ae=rc0s!,

—= Mi —

Substituyendo todos estos valores en C”, tendremos:

sé 1 E 2. (7% ; .
E o / D(x, + rsen! cos d, y, + rsen! sen”,
” 0 . 0 . 0

(r
cae cost) LO. r?sen*bcos?).r?sen?4sen?dr?2sentdididr.

Claro es que mientras no se conozca la forma de la fun-
ción D y la forma de la función f no se podrán efectuar las
integraciones.

Pero cuando se efectuasen, desaparecerían las variables
de la integración r, y, Y y no quedarían más que los límites
e; 7, y las constantes Xy Yy Zo-

En suma, en la integral no entran más que cantidades
constantes para todos los puntos del cuerpo, como son e, z,
y las constantes de f, y además, como hemos dicho, X, Y, 2;-

Luego hemos comprobado lo que indicábamos antes en el
caso de un cuerpo heterogéneo: los coeficientes A, B, E
para las tres ecuaciones fundamentales de cada punto, son
funciones de las coordenadas de ese punto.

Además, vemos comprobado lo que varias veces dijimos:
que para todos los puntos del cuerpo, exceptuando los de
la zona e, contigua á la superficie, si el cuerpo es limitado,
la forma de las ecuaciones es la misma.

En efecto; para todos los puntos, las cantidades que están
bajo signo de integración, tienen exactamente la misma
forma: la forma de D es única, la que expresa la densidad
en cada punto; la forma f también es la misma, es la de la
función de Saint-Venant; todas las demás cantidades entran
del mismo modo, y no difieren estas integrales de un punto
á otro, sino en las cantidades x,, Y, 2,, las cuales, como

— 712 —

son constantes para todas las integraciones, entrarán en el
resultado de la misma manera. Por eso x,, Y,, Zy aparecen
del mismo modo en los coeficientes, para todos los puntos,
y el conjunto de ecuaciones se podrá substituir por tres, si
se consideran X,, J,, Zo como variables.

De propósito omitimos una circunstancia esencial. No
basta que las expresiones que están bajo el signo integral
tengan la misma forma; es preciso que los límites sean los
mismos. Para todo el espacio interior lo son, porque la
esfera es completa. Pero no lo son para los puntos de la
zona e, porque no es completa la esfera; y, precisamente los
límites están expresados, como sería fácil demostrar, en fun-
CIÓN de Lo, Vos Zo

Pero esto es evidente, porque de la posición el centro de
la esfera depende que una mayor ó menor cantidad de ésta
esté comprendida en dicha zona. ]

Si no fuera enormemente difícil, éstas serían las ecuacio-
nes que debieran integrarse, según indicábamos en una de
las conferencias anteriores.

En la próxima, pasaremos ya al estudio de los cuerpos
homogéneos.

XXXV.-— Nueva teoría para el desarrollo de las ecua-
ciones finales.

POR GUALTERIO M. SECO.

PRÓLOGO

En ocasión que me permití el atrevimiento de remitirle el
Método para la transformación de las ecuaciones irracionales
en ecuaciones racionales, que ahora constituye la primera
parte de esta Memoria, y que estaba planteado y arrinco-

— 713 —

nado hacía largo tiempo, la REAL ACADEMIA DE CIENCIAS
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES, se dignó emitir juicio sobre
tan insignificante engendro, hallando en él defectos que re-
sumiré brevemente: primero, complicación excesiva; segun-
do, no haberlo comparado con el método de las determi
nantes, que es más sencillo, limitándome á compararlo con
- el del máximo común divisor, que es más complicado; y ter-
cero, contener equivocaciones fáciles de subsanar.

Pero la docta Corporación, en lugar de arrojar desdeño-
samente al cesto de los papeles inútiles una obrita que ado-
lecía de tales imperfecciones (de las cuales, entiendo que
las dos primeras eran gravísimas), sin duda por animarme,
con una bondad que nunca agradeceré bastante, se dignó
pronunciar algunas frases de elogio á mi laboriosidad, y
hasta indicó que el Método no carecía de cierta importancia
teórica. De esta manera, la sabiduría y la indulgencia sirvie-
ron de correctivo, estímulo y guía á mi ignorancia; y, si hoy
puedo ofrecer á los inteligentes lectores otro Método que,
en mi concepto, substituye con ventaja al del desarrollo de
las determinantes menores, es exclusivamente debido al
ánimo que me infundió la sabia ACADEMIA. Cumplo un gra-
tísimo deber al manifestarlo así, haciendo público mi reco-
nocimiento.

Recibido el docto fallo, hice el firme propósito de demos-
trar mi gratitud corrigiendo los expresados defectos y ha-
ciendo algo que, aunque sencillo y sin mérito, produjese
alguna utilidad; y puse manos á la obra, con cuanta urgen-
cia me permitieron deberes de mi cargo oficial, enferme-
dades de la familia y otras atenciones.

Para que resulte visible la labor practicada antes y des-
pués de la bondadosa intervención de la ACADEMIA, y, tam-
bién, porque así resulta suficientemente ordenada la expo-
sición de las ideas, he dejado, según he dicho, aislada en la
primera parte, la primitiva Memoria, corrigiendo las equivo-
caciones; y la segunda parte contiene el trabajo, de fecha

— 714 —

posterior, que no ha sido examinado por la ilustre Corpora-
ción; pero se inserta en la REVISTA por indicación del exce-
lentísimo Sr. Secretario General, que, igualmente bonda-
doso, se ha servido considerarlo como producción adecuada
á la índole de esta acreditada publicación científica.

En el estado actual de la investigación, queda un vacío
que procuraré llenar cuando me lo permitan perentorías '
ocupaciones, que, en estos momentos, no puedo desatender:
Este vacío consiste en que me ha faltado tiempo para des-
arrollar los cálculos necesarios para convencerme de la exis-
tencia de fórmula que permita establecer inmediatamente el
coeficiente numérico del término general de la determinante,
y que, unida á la conjugación de la parte literal, llevaría al
último límite la simplificación de las operaciones. Los indul-
gentes lectores me perdonarán esta involuntaria deficiencia.

Por ahora, obligado á suspender la investigación, termino
rápidamente esta Memoria; pero no sin reiterar, una vez
más, mi gratitud á la REAL ACADEMIA.

PETMEERA DAcEL mae

Método para la transiormación de las ecuaciones irracionales
en ecuaciones racionales.

Breve teoría.

La operación que nos proponemos practicar es equivalente
á la eliminación entre una ecuación algebraica de cualquier
forma y una ó varias binomias, porque la ecuación binomia

p” —k=0 nos da inmediatamento p = Vr, que podemos
substituir en la general, procediendo después á transformar
ésta en racional.

Operando de esta manera, después de verificar la substi-

— 715 —

m a
tución de y k, la ecuación general algebraica tomará sucesi.-
vamente las dos formas siguientes:

x=! +R
ESA A +Kx+L=P;

donde /, representa la suma de términos irracionales; R, la
de términos racionales; y P, la de los términos de la ecua-
ción final, excepto x”, que nos ha convenido aislar en el
primer miembro (+).

Bajo este supuesto, adoptemos el siguiente

LEMA: El segundo miembro de una ecuación racional
x" =P, transformada de la ecuación irracional, de primer
grado, x=1,+R, es igual á la mésima potencia del se-
gundo miembro de esta ecuación irracional — es decir,
P = (TI, + R)"; — y basta para identificar ambos segundos
Miembros, entre. xx" — PY Xx" —= (Ry que en P"se
IO o port +R), (7 RI...
(Il, + R)"71,

No cabe dudar que los segundos miembros son iguales,
porque lo son los primeros.

Que dichos segundos miembros se identificarán al hacer
la substitución indicada, es evidente, porque, si, eliminada
x en P, fuesen distintos, resultaría el absurdo de que el po-
linomio representado por /, + R tuviese dos mésimas poten-
cias diferentes.

COROLARIO. En la transformada racional se hallarán las
letras contenidas en la ecuación irracional, con sus exponentes
multiplicados por m (**), á lo sumo, y si están bajo radical

(*) Después demostraremos que la referida ecuación es del
grado mmésimo,

(**) Téngase en cuenta que ab..... 2h, son permutables con y, por
lo cual alcanzarán el grado de esta letra en [1]. (V. Teor, 1.)

— 716 —

de índice m, conservarán, como máximo, el exponente que
ua ' m/m
las afecte en la ecuación irracional, porque (y k") = k".

PRIMER ESCOLIO. La ecuación racional procedente de una
ecuación irracional y =1,, que no tenga cantidades raciona-
les independientes de los signos radicales, tendrá cero por
coeficiente del segundo término en el orden de las potencias
decrecientes de y. Reciprocamente, si la ecuación racional
carece de dicho término, la ecuación irracional que la ha
engendrado carecerá de términos racionales.

Efectivamente, la suma de los valores de y, que ha de ser
igual al coeficiente del segundo término de la ecuación ra-
cional (*), es la suma total de las sumas parciales verificadas
con las n raices nésimas de cada radical de índice n; y, como
cada suma parcial es igual á cero, la suma total también lo
será. Esto no sucederá con respecto á x = [, -|- R, porque
cada uno de los m valores de x contiene el sumando racio-
nal R, por lo cual, la suma total será O - Rm.

Subsiste la duda de que el grado de la ecuación final sea
mayor que el número de valores correspondientes á y en
y = [,; pero esta duda queda desvanecida en el teorema que
sigue.

TEOREMA PRIMERO. Al transformar en racional una ecua-
ción irracional, el grado de la ecuación fina! será: 1.”, igual
al índice de los radicales, si éste es igual en todos, y bajo
ellos sólo existen diversas potencias de un mismo parámetro
ó cantidad concreta; 2.”, igual al producto de los índices, si
éstos son desiguales, ó, siendo iguales, si se halla, bajo ellos,
cantidades diferentes; 3.”, igual al producto de los índices divi-

(*) Aludimos á principios conocidos que no es necesario repetir.
La igualdad es con el mismo signo, porque hemos dicho

XCAM

Sería como signo contrario si dijéramos

O ES

—= MI —

dido por la cifra de un índice, cuando los índices son igua-
les; y las cantidades subradicales, diferentes, hallándose ele-
vada, la suma de términos irracionales, á potencia de grado
representado por cifra igual al índice común (+).

Primer caso. Supuesta una ecuación irracional x =L,-+R,
donde no existen más cantidades de la misma clase que las

diversas potencias de v k; y siendo m las raíces mésimas de

k, y, por lo tanto, los valores de x, el grado de la ecuación
final no podrá ser menor que /m, porque ha de contenerlos
todos. Si cupiese alguna duda, observaríamos que, halladas
Bs raioes 1 mas de Ey Ta mais. Fm), y substituídas sucesi-
vamente en x— (1, + R)=0, formaríamos mn factores racio-
.nales de primer grado, que, multiplicados unos por otros,
elevarían el grado á m, al construir la ecuación racional por .
este método.

Pero nos queda la duda de que, al eliminar los signos ra-
dicales, por método distinto de la multiplicación de los mm fac-
tores de primer grado, tal vez se eleve la ecuación á grado
mayor que el mésim0, porque el cálculo nos obligue á tener
en cuenta, por lo menos, los valores que resultarían para x,

si diésemos, en un término, á y k, uno de sus valores; y

otro, ú otros, de estos valores, en los demás términos. Vamos
á ver que esto no sucede.

(+) El caso de que, entre los índices y el exponente, haya un fac-
tor común, queda reducido al tercer caso del teorema en relación con
el segundo. Sea

3m

¿=> ( va + voy",

que podemos poner en esta forma:

ly ia+ 155)

La ecuación final será del grado 32 mn: 3=3mn, no influyendo p,
por lo dicho en el corolario del lema.

— 718 —

Siguiendo el método usual (que pretendemos substituir
por otro más sencillo) para hacer racional la ecuación

y=ax/k + 03/16 + SES ey) ra mr, [1]

igualaremos v k á una incógnita auxiliar p, con lo cual ten-

dremos el sistema
p"—k=0 [2]

Ap" 14 gp"7? $ ss. E0p" + 4p — Y US

donde podremos substituir y por 271; y, así, esta segunda
ecuación será del grado (m — 1)$im0 con respecto á ambas
incógnitas; y no será posible dudar de que la ecuación final,
al eliminar p, entre [2] y [3], no puede exceder, en su gra-
do, del producto de los grados de éstas, Ó sea del grado
(m—1) m (*), con respecto á z; y como quiera que z””! ha
de ocupar en la transformada los lugares algebraicos de y, y

m=1j->
viceversa, siendo z = v y, la ecuación del grado (m— 1) m

con respecto á z, será del grado m con respecto á y, 6 lo que
es lo mismo, tendrá esta forma

¿A E MEZZO TE ie +T2"=14 S=0,

Ó sea
y” 4 My E Ty + S=0, (**)

porque, si suponemos que la ecuación de y fuese del grado
(m + nyésimo, al substituir z tendríamos que esta letra se ele-
varía al grado (m + nun — 1), y ya hemos dicho que no
puede pasar del grado m(m — 1).

(*) Véase la « Teoría de las funciones simétricas ».
(**) Obsérvese que, conforme con el primer escolio, tendremos
M=0.

— 719 —

Y, quedando demostrado que la ecuación final, en el caso
que nos ocupa, no puede ser de grado mayor ni menor que
m, será precisamente del grado m.

- Ejemplo:

ecuación final:
y? —3abky — ak —b*k? =0,.

En el mencionado caso, si substituímos en la ecuación
final, y, por su igual x—R, el segundo término de la ecua-
ción en x será — mRx""1, lo cual está conforme con lo que
dijimos en el primer escolio; y, si ahora igualamos los tér-
minos de esta ecuación con sus correlativos de otra ecuación
numérica,

AAA BARDA A =20,
tendremos

SA O
m

y ésta es la causa de que, substituyendo en la ecuación ge-
neral del grado mésimo, x = y — des (= y — R), deba des-
m

vanecerse, como se desvanece al ejecutar el cálculo, el tér-
mino de y"”!:

A m —1) A?
> OS Le yea MDA? A ón =y" HH Py A ens
m 1.2: m2
+A (m—DA?
E + sees
+B — eii

Nos hemos detenido en esta consideración, porque se halla

Ruv. Acab. Cirxcias.—V.—Mayo, 1907. 40

— 70 —

relacionada con nuestro teorema tercero, donde damos un
origen irracional á toda ecuación algebraica.

COROLARIO. En este primer caso, las ecuaciones finales
en x y en y contienen el mismo número de términos que las
ecuaciones irracionales de que proceden. Esta consideración
es utilizable para volver de la ecuación racional á la irracio-
nal, por medio de un sistema de ecuaciones auxiliares, for-
madas con los coeficientes.

Segundo caso. Sean, ó no, iguales los índices, cuando las
cantidades subradicales no están ligadas como en el caso
anterior, para eliminar un radical cualquiera, de índice m,
lo aislaremos en un miembro, y elevaremos á la mésima po-
tencia ambos miembros de la ecuación, con lo cual y queda-
rá elevada á m; pero entonces, la ecuación podrá reducirse,
con respecto á cualquier otro de sus radicales, de índice
N, P, q....., á la forma típica que dimos á la ecuación [1]; y,
por lo que en el caso anterior expusimos, para eliminar los
- demás radicales será necesario elevar el grado de la ecua-
ción, sucesivamente, á n, á p, á Q....., resultando que su
grado será, definitivamente, igual al producto de los índices
de los radicales, con arreglo al enunciado del segundo caso
de nuestro teorema.

Ejemplo:

y=y/a +1

ecuación final:
y* — 3ay*— 2by*? + 3a?y? — 6aby — a? + b? =0,

Otro:
3 o
== E +yd + V e
ecuación final:

[(y — 0) —d]? —e=0. (de 6.” grado.)

— 721 —

Tercer caso. Sea la ecuación

y=(yYaryYat. +yYai+g/a), 14

en la cual haremos y=2”, y operaremos de dos maneras:
extrayendo la raíz m2 de ambos miembros,

¿A=Ñ= yy= ya, a v LE EE E y Ani + y Aa; 15]

y sacando en el segundo miembro de la ecuación [4] un tér-
mino irracional cualquiera por divisor y factor común, y ele-
vando este factor á la m'74 potencia para que salga fuera
del paréntesis, .

(3) PRES DEIS HOST PL m
A; a; An—1
Z"=Y =Qn Yor Yo E | dba 16]
1047 (04 Un

La identidad de estas ecuaciones es indudable; por consi-
guiente, la ecuación racional de y, deducida de los segundos
miembros de [4] y [6], será la ecuación racional de 2”; pero
la de 2”, según vemos en [5], y por lo dicho en el caso

anterior, será del grado m><m><m.....=m"; la de y será
n

m ,
del grado — =m""”1, que es lo que queríamos demostrar.
m

COROLARIO. La ecuación racional engendrada por una
ecuación irracional [5] de primer grado, en que la incógnita
está igualada á la suma de terminos irracionales de igual in-
dice, sin cantidades independientes de ellos, ofrece la particu-
laridad de que la incógnita está afectada por exponentes, en
los cuales necesariamente entra un factor igual al índice co-
mún de los términos irracionales de la ecuación primitiva, sin
lo cual, z” é y, no serían substituíbles una por otra.

TEOREMA SEGUNDO. A/ hacer racional una ecuación irra-

— 122 —

cional, las raíces de la incógnita no sufren alteración en su
valor ni en su número, á no ser que el sistema de elimina-
ción sea defectuoso.

Aun cuando, para nosotros, sea desconocido el valor de
una incógnita, obra en la ecuación como si nos fuese cono-
cido, y sin que pueda ser substituído por otro valor diferente,
que inmediatamente destruiría la igualdad de ambos miem-
bros, resultando un absurdo; así es que, si operamos de
modo que la igualdad no se destruya, la alteración de las
raíces de la ecuación es imposible.

En cuanto á su número, tampoco debe sufrir alteración,
según vemos en los tres casos del teorema anterior.

En el primer caso, ecuación | 1 |, sería absurdo suponer que

yr tuviese un valor en un término; y otro valor distinto, en

otro término (como en la ecuación x?- x —20 = 0, cuyas
raíces son x= 4,x =-—5, sería absurdo querer substituir en
el primer término x por 4, y en el segundo por —5). Por lo
tanto, no tendremos más valores para y, que los que resulten
de substituir (simultáneamente en todos los términos) cada
una de las m raíces mésimas de k, lo cual da m únicos valores
para y, siendo lógico que la ecuación racional sea del grado 7,
según resulta en dicho caso. En este concepto, si hubiésemos

de operar con la ecuación x= y 12 AS) y 1594-25,

es evidente que, si no cuidamos de representar cada cantidad
numérica por una letra, y si englobamos las cantidades en :
los productos, al eliminar, por ejemplo, el primer radical,
hallaremos una porción de términos irracionales, sin relación
aparente entre las cantidades subradicales, que después ele-
varán fabulosamente el grado de la ecuación final; pero esto
se evita operando como lo hemos efectuado, porque enton-
ces sabremos que, bajo los radicales, ro existe más que K,
k?.....k*, siendo k = 15.

Pasando al segundo caso del teorema anterior, es induda-
ble que, para hallar todos los valores de la incógnita, ha-

— 723 —

bríamos de substituir, en el primer término, sucesivamente,
las m raices mias de la cantidad subradical, combinándo-
las, sucesivamente, por vía de suma ó resta, con las n raíces
pésimas de la cantidad subradical del segundo término, lo cual
da mn combinaciones, que, combinadas, á su vez, con las p
raices de la cantidad subradical del tercer término, etc., nos
da un total de mnpg..... combinaciones, cada una de las
cuales es un valor de la incógnita.

Parece, á primera vista, que el tercer caso del anterior
teorema, ecuación [4], es una derogación de esta ley, porque,
conteniendo n radicales mo, el grado de la ecuación no
resultó ser m”, sino m"”*; pero, fijándose en la ecuación [6],
se observa que [4], sin sufrir alteración en su esencia, queda
reducida á n — 1 términos irracionales, á causa de hallarse
su segundo miembro elevado á la m4 potencia; por ma-
nera que el número de valores del segundo miembro, en [4]
y [6], no es más que m*" 1 (*).

SEGUNDO ESCOLIO. En la ecuación [1|, podemos, cuando
nos convenga, determinar arbitrariamente el valor de una
letra del segundo miembro, sin que el valor de y sufra alte-
ración, siempre que las demás conserven la condición de va-
riables para que y admita todos los valores posibles, porque
cada término del segundo miembro es un producto de dos
factores, que no se alterará, aunque dividamos uno de ellos
y multipliquemos el otro por una misma cantidad. Así ten-
dremos:

(*) Obsérvese que, si pretendiéramos disminuir el número de radi-
cales por segunda vez, repitiendo la operación que nos condujo á la
ecuación [6], podriamos reducir á la unidad cualquier otro término,
como lo hicimos con el último; pero éste volvería á convertirse en

1 O E
irracional de la forma —, de modo que los términos irracionales
va;
serían siempre n— 1.

S 17M

en el caso de que queramos substituir k por la cantidad ar-
bitraria Igualmente, si deseamos substituir a por an,
podremos hacerlo; pero entonces quedaría determinado el
valor del divisor n” en todas las potencias de k, y no nos

sería permitido determinar el valor de otra letra b, por
ejemplo, porque si lo determinásemos, se alteraría el del

LÍA

término b Y X?.

Esta determinación arbitraria será forzoso hacerla, al re-
solver el problema de hallar la ecuación irracional [1] de que
proceda una ecuación algebraica dada, porque entonces ha-
llaremos los valores de a, b...... k en función de los coeficien-
tes y del término independiente de la incógnita y, de la ecua-
ción algebraica, estableciendo un sistema de ecuaciones
auxiliares compuesto de m — 1 ecuaciones, donde no po-
dremos determinar el valor de las /m incógnitas auxiliares
AS da k sin dar valor arbitrario á una de ellas, para que
el número de incógnitas no exceda al de ecuaciones.

TEOREMA TERCERO. Toda ecuación algebraica del gra-
do m puede ser considerada como transformada de una ecua-
ción irracional de primer grado con respecto á la incógnita,
y que contenga, en los términos irracionales, potencias de la
raíz mésima de una misma cantidad, afectadas de diversos
coeficientes, desde la primera hasta la (m — 1)$ima,

Vamos á demostrar que, si esto se verifica en el grado
m — 1, se verifica en el grado m.

Sean las ecuaciones

¿m1 4 P2 72H... +H+Rz+8=0; [7]
x". FAX "Mid... + Mz + N =0; [8]

y decimos que, si la primera puede transformarse en

A A RO

— 725 —

la segunda podrá transformarse en

x=44/n +... + hr yan [10]

-»

Conforme al segundo escolio, podemos dar á k y á n los
valores que nos convengan; y, eligiéndolos de modo que se
verifique” y/k = yn, Ó sea n En los segundos
miembros de ambas ecuaciones se identificarán hasta el
(m—2)ésimo término; y tendremos (haciendo ¿n= y),
x= Z + y, con lo cual, si podemos determinar el valor de y,
sumándolo con el valor de z en [9], obtendremos la ecua-
ción [10], irracional de x; y como la ecuación de y es la de
las diferencias de las raíces de las ecuaciones [7| y [8],
siempre podremos determinar el valor de esta incógnita, que.
substituída en una de las ecuaciones dadas, no elevará el
grado de ella, y, al verificar la eliminación entre ambas (des-
pués de hecha la substitución en una de ellas), y aparecerá,
á lo sumo, en el grado m(m — 1)6o, Es, pues, evidente,
que si los ¡mm — 2 primeros términos de la ecyación irracio-
nal de x pueden ser hallados en la ecuación general del gra-
do m — 1, y el otro término, en la de y, tendremos todos los
elementos necesarios para transformar en irracional la ecua-
ción del grado m.

Hagamos m =3,m -—1 = 2, con lo cual las ecuaciones
[7] y [9] se convierten en

2+P2+Q=0 111]
2¿=aVk+0Vk, [12]
y, haciendo racional la última, se transforma en |

22? —2bkz + 0?k? — ak =0. [13]

- 726 —

Estableciendo el sistema de ecuaciones auxiliares entre los
coeficientes (*) de [11] y [13], tendremos:

pd
2 e YE
PO o --Q,

donde podremos determinar arbitrariamente el valor de k (6
el de a, ó el de b), según dijimos; y vemos que, hallándose
la ecuación de segundo grado en las condiciones declaradas
en nuestro teorema, se hallarán también en las mismas con-
diciones las ecuaciones de los grados superiores, m = 3,
m=4....m= 0, puesto que hemos demostrado que, si el
principio era cierto en el grado m — 1, lo sería en el gra-
do m.

Es de observar que, para que sea cierto este teorema ter-
cero, no es indispensable que las incógnitas de los sistemas
de ecuaciones auxiliares sean despejadas ó vengan dadas en
ecuación de grado inferior al de la ecuación algebraica en-
gendrada por la irracional. También la ecuación del grado m
es considerada como producto de m factores de primer gra-
do, sin que esta consideración nos permita rebajar su grado.

Hemos incluído este teorema, que no es necesario para la
teoría del sistema de eliminación que nos proponemos ex-
plicar, porque está en lo posible que conduzca al conoci-
miento de cualidades esenciales de la ecuación algebraica,
como otros teoremas (por ejemplo, el citado de los factores
de primer grado) han conducido (sin embargo de no ser de
inmediata aplicación práctica) al actual estado de la Teoría

(*) Para economizar palabras, comprendemos bajo el nombre ge-
nérico de «coeficientes» los términos independientes de las incógni-
tas, lo cual no es impropio, porque siempre podemos considerar que
dichos términos son coeficientes de 20, x", etc.

e
ae

— 727 —

general de las ecuaciones, materia difícil, cuyos progresos
más Ó menos rápidos, siempre son de desear, por si llegara
un día afortunado, en el cual, se consiguiese facilitar la re-
solución de las ecuaciones numéricas de cualquier grado,
objeto que no es probable se consiga sin nuevos progresos
teóricos.

II

Explicación del método.

«Visto nuestra lema, se habrá comprendido desde luego
que el método que propone el autor de esta Memoria, con-
siste en substituir, en la ecuación general, la incógnita, por
el valor irracional de ésta, hallado en la ecuación binomia,
con lo cual, convertida en irracional la primera de dichas
ecuaciones, y puesta bajo la forma x =/,+R,6 y =T1,, y
elevados ambos miembros á la mima potencia, habrán de
substituirse los términos irracionales por diversas potencias
de x ó de y, para que la ecuación resulte racional.

Tanibién se comprende que puede usarse el mismo méto-
do, ampliándolo, para el caso en que sean varias las ecua-
ciones binomias, y se quiera eliminar simultáneamente todas
las incógnitas.

Como complemento de esta investigación, haremos des-
pués la ampliación mencionada; pero, tanto porque será in-
útil en la práctica, cuanto por seguir el orden natural, empe-
zando por lo más sencillo, ahora nos limitaremos al caso de
ser una sola la ecuación binomia. Queda, pues, reducida por
ahora la cuestión á resolver el siguiente

PROBLEMA: Transformar en ecuación racional una ecua-
ción irracional que contenga, en un miembro, la incógnita;
y, en el otro, términos irracionales formados por las potencias
sucesivas, desde la primera hasta la (m — 1) ésima de un mis-
mo radical, cuyo índice sea m.

-- 728 —

Para más comodidad, pondremos la ecuación [1] en la
forma
y =p E OPA EEPO MPAA

sin que se entienda que p desempeña el oficio de incógnita
auxiliar que se le asigna en los métodos usados hasta ahora,

sino, sencillamente, el de representación de v k, por lo cual,
usaremos indistintamente p” en lugar de k, y viceversa.

Sabemos que la disposición del polinomio [14] y la de los
exponentes guardan simetría en cualquiera de las potencias
á las cuales sea elevado, ordenada por las potencias de p,
de donde deduciremos que los valores de las potencias de y
guardarán igual simetría en la m4" potencia del segundo
miembro de la ecuación [14]. Igualmente sabemos que la suma
de los exponentes de las letras a, b..... g, h, en todos los tér-
minos, es igual al exponente de la potencia á que elevemos
el polinomio; por manera que, si y ha de representar dicho
polinomio; y?, su segunda potencia con las combinaciones
binarias de las citadas letras; y?, la tercera potencia con las
combinaciones ternarias, etc., el coeficiente racional de y,
para que exista la identidad establecida en nuestro lema,
contendrá, sin contar las potencias de p” = k, una suma de
exponentes igual á m— 1; y?, la tendrá igual á m — 2, etc.;
y hemos visto en el corolario del lema y en el primer escolio,
respectivamente, que subsistirán las m7 potencias de di-
chas letras, y que no habrá término que contenga y” ” ?,

Con estos antecedentes, vamos á poner la m2 potencia
de la ecuación [14] bajo la forma siguiente:

ya _— ds as MAT + Pi (1,)"73+
e .e.... +Pmu UN +Pmi)

donde P,, P, ..... Pm, sean los coeficientes racionales de la
ecuación

— 729 —

y"=P, y 24 Poy Pm Y Pm

para que podamos substituir cada potencia de /,, por igual
potencia de y, identificando ambas ecuaciones, con lo cual
quedará resuelto el problema.

Sabemos que el primero y último término de la n ésima po-
tencia del polinomio irracional propuesto son, respectivamen-
te, (ap)”, (A p"*)"; y admitimos sin discusión, porque no
la necesita, que para practicar la substitución que nos pro-
ponemos, es indispensable descomponer cada término irra-
cional de la m ésima potencia de [14] en dos factores: un fac-
tor, necesariamente, racional, que es el coeficiente que bus-
camos; y otro, irracional, que sea un término de una de
las potencias del polinomio, desde la primera hasta la
(m—2) ema, que ha de entrar, como sumando, en el valor
de igual potencia de y; debiendo, el factor racional, ser co-
mún á varios términos sucesivos, en los cuales se verifique
que la suma de los otros factores (racionales ó irracionales)
sea igual á dicha potencia para que, sacado el factor común
racional, dicha suma pueda substituirse por una potencia
de y, que llevará por coeficiente este factor, haciendo racio-
nales los términos sometidos á este procedimiento.

Formando el cuadro sinóptico de la m és potencia, y de
su posible descomposición en las demás potencias inferiores,
correspondientes á y, y?..... y”7?, por lo que respecta á las
potencias de p, que son las susceptibles de descomposición
en factores racionales é irracionales (pues a, b..... y, h, des-
empeñan, para la solución del problema, el papel de canti-
dades racionales), hallaremos (prescindiendo de estas letras
y de los coeficientes numéricos) el desarrollo indicada en el
cuadro siguiente: |

CUADRO QUE SB

— 130 —

Extremo

PUEANR
>» <«
cds

E pan 3)m

NOTA.

mera, que comprende desde p hasta pm
la (m -— 2)ésima, desde pm

pa 2) m+1

Pp
pa el

par 3) m+1 ¡pen 3) m+2

Y

| pe 74

2m--2
P

CETA

Extremo izquierdo — Potencias inferiores de p.

¡pin 1) m-2|

pp" 1) m-—1

AS

>»

Las comillas indican el principio y el fin de cada potencia de y; la pri-
-1; la segunda, desde p? hasta p2m —2,....;
2 hasta ptm —3)m-+2,

OTRA. K y sus potencias señalan la posición de los términos racionales.

a AAA

— 731 —

La primera línea del esquema contenido en dicho cuadro
representa las potencias de p en y”; la segunda, lo mismo
respecto á y. En esta línea observamos que, descomponiendo
los términos de y” en dos factores, uno racional y otro irra-
cional, los términos de y pueden empezar bajo p”"*!1=kp;
MELO, Y ACanan Dajo sp "+ 0 INE EQUSR
nr Cr 2) == Epa etc.

La tercera línea corresponde á y?, y también la cuarta;
esta potencia puede empezar bajo p”**?=Xkp?; pam+2=k? p?,
EIGEtera, acabando bajo p” ¿=K=p=*p97 2 (Pp? etc,

Teniendo en cuenta nuestro Lema y el primer caso del
Teorema segundo, el adjunto cuadro es por sí solo una de-
mostración; pero, para llegar al más absoluto rigor en el ra-
zonamiento, observaremos que el primer término de la po-
tencia m “74 del segundo miembro de la ecuación [14] es
a” p” =0” k; y siendo k imposible de descomponer en fac-
tores, de los cuales uno sea racional, este término ha de -
subsistir en la ecuación racional que nos proponemos ha-
llar. Lo mismo diremos de los demás términos racionales,
K?, k3..... K"=Y; y como las m-—2 primeras potencias de y
empiezan por un término irracional ap, a? p?..... 477? pr2,
es evidente que la descomposición que pretendemos hacer
de los términos de (7/,)”, para buscar los múltiplos racionales
de y, y?..... y”7?, no solamente no puede empezar bajo nin-
gún término racional de (7/,)”, sino que precisamente ha de
empezar, para la primera potencia de y, en los términos que
nen da toria poa Data e en — pa eos
y, como el exponente de p, en todas las potencias de y, va
creciendo unidad por unidad, sin saltos ni retrocesos, deci-
mos que ma” * bp" *1, segundo término de (7,)”, sólo pue-
de ser múltiplo racional de ap, primer término de /,; y, por
lo tanto, no podría hacerse racional la ecuación, si en la
ecuación final no hubiese un término

manr=2bky =ma""?* bp" (ap +bp? +
A BS

— 132 —

Igualmente, para que desaparezca el tercer término (tam-
bién irracional) de (1,)”, donde se encuentra p” +2=kp?, es
preciso que éste se descomponga en dos sumandos: uno,
igual á ma”? bk<bp?, término que queda incluído en
ma””?bky; y otro que, por las razones expuestas, sólo
puede y debe ser múltiplo racional de

y?=(ap+bp?*+....+8p” ?4- hp").

Restaremos, pues, del tercer término de (7/,)”, el térmi-
no ma””?bk <bp?; y la diferencia, dividida por a?p? (pri-
mer término de /,?), nos dará necesariamente un coeficiente
de y?, sin lo cual, repetimos, se verificaría el absurdo de
que la ecuación no pudiera hacerse racional.

Del mismo modo, demostraremos que, en los términos si-
guientes y en orden correlativo, hemos de ir hallando coefi-
cientes racionales de y”, y?..... ESA

Para hallar más términos de los coeficientes, repetire-
mos la demostración, á partir del término de p?”**!, hasta
p2n+(tm—=D; desde p*”*1, hasta p3m+tnm—D, etc., mientras
lo permitan el grado y la simetría de la ecuación.

Ampliando la demostración del método para resolver el

presente problema, si hemos de darla el necesario rigor, de-
bemos probar que, en el orden descendente de las potencias
de p, hay el mismo escalonamiento que en el orden ascen-
dente; es decir, que el penúltimo término de (1/,)” sólo pue-
de ser múltiplo racional del último término de /,; el ante-
penúltimo de (7/,)”, del último de (/,)?, etc.
¡ Plantearemos la cuestión en esta forma general: teniendo
en cuenta que, en los coeficientes racionales, puede entrar
k=p", en diversas potencias, deseamos saber cuáles son
los lugares algebraicos, lo más inmediatos posible, que
en (/,)” pueden ocupar los últimos términos de las dos po-
tencias consecutivas de /,, que serán (1,)”, (1,)% +1,

El último término de (/,)” es (hp"71)" =h"p'"= 01; y
supondremos que el coeficiente racional contiene un factor

— 7133 —

k"=p"", de modo que el lugar que ocupa este término en
nuestro esquema será debajo de p”" +(mn—=n) == gIparn=a,
El último término de (/,)”** es

(Mp0) 04D =pn A

y añadiéndole un factor racional "=p", tendremos

MAS AS a A 1) a aran 121) EA a

que, en el esquema, señala-el puesto inmediato, en el orden
descendente de las potencias de p, para lugar del último tér-
mino de (/,)”**, con respecto al del último término de (1;,)”.
De aquí se deduce inmediatamente que, así como el primer
término de las potencias sucesivas de /, va ganando un
puesto á la derecha, el último va ganándolo á la izquierda;
y el esquema resulta simétrico, porque el penúltimo término
de (1,)” sólo puede ser múltiplo racional del último de /,:
el antepenúltimo, del último de (7,)?, etc.

Además de esta simetría de los lugares algebraicos que
en (7/,)” ocupan (1/,), (1,)?.....(1,)”7?, recordemos que tam-
bién existe simetría entre los términos de la né:ira potencia
(ordenada por una letra p) de un polinomio |

de tal modo que, entre dos términos equidistantes de los

extremos de la potencia, si uno es Ca'b*..... gh", el otro
SEA CR bta", siendo C el coeficiente numérico de la
fórmula

y AS E IAS gh,

= E

A favor de estas leyes que rigen á la composición del eua-
dro de las potencias de /,, indicada en el esquema, podemos
reducir á la mitad el trabajo de eliminación de términos irra-
cionales, pues basta que, sirviéndonos de dicha conocida
fórmula, desarrollemos las potencias de /,, hasta obtener la
mitad de sus términos consecutivos, empezando por a” p”, en
orden ascendente de las potencias de p; Ó, por h"p(7:D%, en
orden descendente (*), con lo cual podremos hallar directa-
mente la mitad de los términos de los coeficientes de y, en la
ecuación final, y establecer la otra mitad por la sencilla ley
de la simetría. Y es de advertir que cualquiera de las demos-
traciones que hemos aplicado, partiendo de uno de los extre-
mos de la ecuación, es aplicable al otro.

También podemos dar una nueva demostración de que la
ecuación racional carecerá de término que contenga á y””1,
Efectivamente, el último término de (/,)” es

(Ap” o e a ARgo as
y el último término de (/,)"—1! seria

(A p” ATA == Jjam—1 9 (m1) (m1) eS m1 pre — 2m+;

pero el primer término de esta potencia sería a”"=!pR1,
que no existe en (/,)”; por lo cual, á lo menos, tendríamos
que suponer un coeficiente racional k para (/,)7—!, á fin de
hallar el primer término dentro del esquema; pero, entonces,
el último término de k (/,)7—!, sería:

khmn—Ipn-2m-1 - pm pb

que no está comprendido en (7,)”, cuyo último término he-

(*) Después indicaremos el número de términos que ha de tomar-
se en realidad.

— 135 —

mos dicho ya que es h"—1 pn*=m, siendo este exponente de
p inferior en una unidad al que necesitaríamos para intro-
ducir el término de ky"—!,

- Ya, con todos los antecedentes necesarios, volvamos al
principio de la operación, comenzando por desarrollar, hasta
donde convenga, las potencias de y = /,:

y == ap + bp? 4 OSObO

y =02p? == 200pS- + Le.

yn=2= qm 2pm=2 4 (mm 2) am bpm ta...
ynm= amparar 2bpnl

> [marte ++ me 3 D qn—2p2| pm42 4

Como hemos dicho, el término primero de (/,)”, que es
qm pm = aq" k, subsiste; y también subsistirá su simétrico
hp" p(M—1m pmkm—1, con lo cual tenemos ya dos térmi-
nos racionales para la ecuación final.

También hemos visto que ma”—?2bky es otro término ra-
cional; la simetría nos da, sin necesidad de cálculo ninguno,
mh'">—?gky. Ambos términos racionales, al sumar con (/,)”
las cantidades

m(arb4A"=19) ky—m (ar pb hm=1g) k (ap+bp? +
| RR + gp"-2+ hpa-0),

cuya diferencia es igual á cero, hacen desaparecer, según
anunciábamos, el segundo y el penúltimo término de (/,)"
que, como sabemos, son irracionales.

La introducción del término racional de y nos obliga á
restar del tercer término de (7/,)”, el segundo término de /,
(que es bp?), multiplicado por su coeficiente racional
ma”=2bk == ma"-=2bp", por manera que tendremos:

Rnrv. Acap, Ciencias. —V.—Mayo, 1907» 50

— 136 —

man=1c + me a 1) qa -2 p2 ppn+ mar 2 pap +=

== (man EA a 3) gm-2p: pe,

El segundo miembro de esta igualdad (que es esencial-
mente entero, sea m par ó impar) es lo que nos queda del
tercer término de (1/,)”, y, dividiéndolo por a?p?, primer
término de (7,)?, el cociente

(mn —3)

es un término del coeficiente racional de y?. El simétrico será

(mino => p da > A

Tenemos, pues, otro par de términos racionales; y, por suma
y resta, podemos hacer desaparecer de (/,)” los términos
tercero y antepenúltimo que son irracionales, siendo ya cua-
tro, los términos irracionales eliminados; y seis, los racio-
nales hallados.

Ahora restaremos del cuarto término de (/,)”, el primer
término del coeficiente hallado para y, multiplicado por e
tercer término de la primera potencia de /,, más el primer
término hallado para el coeficiente de y?, multiplicado por el
segundo término de la segunda potencia de /,; la diferencia,
dividida por a*p* (primer término de /,*) nos dará un tér-
mino para el coeficiente racional de y?, y la simetría, otro.

Del mismo modo continuaremos la operación, sin más in-
cidencias que las siguientes:

1. El coeficiente de y”? no tiene simétrico, porque
esta potencia de y ocupa el centro de simetría, toda vez que

— 137 —

los lugares que ocupa (véase el esquema) son: desde p2m—3,
hasta p(7—23m+2, que son simétricos, sin que circunstancia
tan obvia necesite demostración.

OS tenatos que contienen p2—=E paa—17 2 pra E
han de desaparecer por efecto de las operaciones verificadas
con los precedentes, sin lo cual reaparecería el término de
y”—1, que es nulo.

3. Al llegar á los términos racionales p?”, p3n _.... pun, el
resultado de las restas 3e reservará para incluirlo en la ecua-
ción racional, puesto que de ellos no puede partir ningún
coeficiente racional de las m-—-—2 primeras potencias de /,,
toda vez que, al dividir una cantidad racional por otra irra-
cional, el cociente no puede ser racional. En este caso, lo que
hay que hacer es incluir en la ecuación racional, no sólo el
resultado de dichas restas, sino también los términos simé-
tricos de los obtenidos en ellas.

Cuando m sea igual á 2n+1, la operación acabará al lle-
gar al término irracional que inmediatamente siga al término
racional que ocupa el lugar n%"o entre los de su misma es-
pecie; dicho término irracional nos dará todavía términos
para el coeficiente racional de y, que no tendrán simétricos,
porque ocupan el eje de simetría. N

Si es m=2n, la operación termina cuando hemos practi-
cado la resta en el n%?" término racional que ocupa di-
cho eje.

De los dos párrafos anteriores, se deduce que, al formar el
cuadro de las potencias de /,, hemos de llegar, en la mé,
á los términos que hemos de utilizar; y, en las inferiores,
hasta términos en que p tenga exponentes que, sumados con
los que tenga en la primera mitad de los términos hallados
para los coeficientes racionales, no excedan de los exponen-
tes de esta letra, contenidos en los términos que hemos de
usar en la m4?" potencia de y.

El cálculo de dichos términos, así como el de los expo-
nentes de k, cuando hallemos coeficientes racionales por

— 7138 —

medio de la simetría, es harto fácil; y no queremos molestar
á nuestros lectores detallándolo minuciosamente.

Solamente conviene fijarse en que no ha de olvidarse la
previa reducción de la ecuación irracional, á la forma de la

Di y

ecuación [1], si hubiera potencias de Y k mayores que m—-1,
ó comunes á varios términos; en inteligencia de que el solo
aumento, en el segundo miembro de la ecuación [1], del tér-
mino ¿k, rompería la simetría que nos guió para establecer
el método, porque este término racional haría aparecer el
término de y”-1, que, en la m1?“ potencia del polinomio .
ocuparía, desde el lugar m0, hasta el último, de modo
que, al ser restado, los mm primeros términos de (/,)” no su-
frirían alteración, y todos los demás sí. Efectivamente, com-
prendería desde el término kp” -!, hasta kp"" =D =p"", que
es el último término de (/,)”, si á este miembro se le aumen-
ta con el término racional ¡p"=1¡k, que dificultaría, aunque
no haría imposible, la operación.

PRIMER CASO PARTICULAR.— Cuando sea m = 2"p, con-
viene rebajar á p el valor de los índices de los radicales, ope-
ración que se verifica con mucha facilidad.

Basta aislar, en un miembro, las potencias impares de
27p

Vk; dividir, por dos, los exponentes y los índices de las
potencias pares, y elevar ambos miembros al cuadrado; con
lo cual, el cuadrado del miembro en que se hallan las po-
tencias impares, sólo contendrá potencias pares; y se podrá,
en él, efectuar la división por dos, como se practicó en el
primer miembro, quedando reducidos todos los índices al
valor de 2"”1p, Esta operación ha de repetirse, hasta la
pésima yez, con lo cual quedará reducido á p el valor de los
índices.

SEGUNDO CASO PARTICULAR. -—Se presenta rara vez (*), y
lo citamos solamente á título de curiosidad.

(*) Aun en multiplicaciones de radicales es difícil que se presente.

— 739 —

Cuando m es un número primo, y las potencias de V k se
hallan multiplicadas por potencias de raíces mima de otras
letras, hasta un total de mm — 1 series de raíces, siempre que
éstas guarden un cierto orden, puede efectuarse la operación
sin que el grado de la ecuación racional exceda del mésimo,
Veamos cómo puede ocurrir esto.

Tomando por base una de las raíces m:'%/"“ de la unidad,
y elevándola á potencias sucesivas, se obtiene las demás,
según sabemos, en esta forma:

E A (1,3) =F3 ca... (12)? = (1, =Fg cu...

A (o == Le

Teniendo en cuenta esta circunstancia, formaremos el si-
guiente cuadro, donde, debajo de los respectivos coeficien-
tes de la ecuación [1], figuran los diversos órdenes en que se
desarrollan las potencias de una cualquiera de las raíces:

DN A edESa g h la b g
A ose A pu IE IN o
EAS 22) patn1) ESO DAS ita

p (m1) y (m1) (rm —2)

pe AR
pm pam) y (m—1) (m—2) y(m—1) IS Pa
id ES 1 1 1 1 1

Si suponemos que hemos sacado fuera del radical la de-
terminación aritmética de las diversas potencias de k, ha-
bríamos dejado, bajo él, la unidad, cuyas raíces mimos, ele-
vadas á potencias sucesivas, seguirían los diferentes órde-
nes que aparecen en el cuadro anterior, siendo evidente que
la ecuación se hubiera hecho racional del mismo modo; aun-

= NS

que las potencias de k, ó de cualquier otra letra, en lugar de
seguir el orden de las primeras líneas horizontales de ambos
miembros del cuadro, siguieran cualquiera de los otros ór-
denes en que aparecen los índices de r en las líneas hori-
zontales del segundo miembro.

De esto se deduce que la ecuación se hará racional del
grado m; aunque bajo los radicales existan otras cantidades,
siempre que sus potencias sigan alguno de los mencionados
órdenes.

En general, cualquiera que sea el valor de m, siempre
podremos hacer desaparecer simultáneamente dos series de
radicales cuyas potencias sucesivas sigan en orden inverso
de crecimiento, de modo que la suma de los exponentes de
los dos factores de cada producto subradical sea igual á m,
en esta forma:

Vin Vienne a,

Por qué no es posible aplicar la regla del grado primo al
grado compuesto, es fácil de observar. Por una parte, las
raíces no se reproducen por elevación á potencias en el uno
como en el otro; y, por otra parte, la forma del polinomio [1],
invariable en los grados primos, permite, en los compues-
tos, la variación de reducir los índices en esta forma:

y=0V +0 Vr + Va + ds =

=a VE +0Vx + eV kx +aVe +eVk.

Este mismo cambio de forma, podremos efectuar, si intro-
ducimos bajo los radicales un factor 1, cuyas potencias, des-
de la primera hasta la quinta, crecieran en orden inverso;
pero no, en otro orden cualquiera, á no ser limitándonos á

E

permutar caprichosamente el término primero con el último,
lo cual, como es fácil comprobar, nos conduciría á una ecua-
ción final del grado décimoctavo, porque, al elevar al cua-
drado, según el procedimiento del primer caso particular,

IAE qe
además de los radicales V kl, Y dl, nos resultarían otros,

O
VE l, WTA que no podríamos eliminar simultáneamente
con aquéllos; y exigirían elevar al cubo la ecuación de sexto

grado que resultaría al eliminar VEL, Y k2l.

Generalidad del método. Como nuestro lema es general,
podremos siempre, aunque no conviene, elevar á la méima
potencia la ecuación irracional, cualquiera que sea su forma,
y proceder á la investigación directa de los coeficientes
racionales; pero difiere algo el método de investigación,
según los casos.

Si queremos no prescindir del término racional en la ecua-
ción [1], restableceremos x en esta forma:

x=aVk+ cl PAVkr=1+¿V kn,

cuyo último término es ya racional. Elevando á la més'ma po-
tencia, procederemos, á partir de a”k =a”p”, como he-
mos explicado anteriormente: dividiremos el segundo tér-
mino a”—1bp”*1 por el primer término de /, que es ap;
y el cociente a77?b p"=a""*bk será un término del coefi-
“ciente de x, continuando de igual manera la operación; pero,
como ahora la potencia irracional en que operamos es asi-
métrica, cada operación nos dará un solo término; y, como el
número de éstos ha aumentado, puede asegurarse que se
triplica el trabajo, siendo muy preferible operar siempre con
la ecuación de la forma [1].

Supongamos, ahora, que el segundo miembro de la ecua-
ción de y sea un polinomio de la forma

— 742 —

m

A A o a o

donde los índices de los radicales son iguales, y donde las
cantidades subradicales no están ligadas por relación alguna.
Introduciremos una letra ordenatriz, y pondremos la ecua-
ción en esta forma:

y =4,p+0,p? + ..... + App",

elevando ambos miembros á las potencias

no ocupándonos de las intermedias, porque, como vimos an-
teriormente, los exponentes de y han de tener un factor co-
mún Mm.

Todas las citadas potencias empiezan y concluyen en tér-
minos racionales, puesto que los exponentes del primero y
del último término son divisibles por m. Además, como el
orden de los términos es arbitrario en el polinomio irracio-
nal, así como la introducción de la ordenatriz en el cálculo,
sabemos que las letras a,, a».....4, son permutables, pero
conservándose siempre el orden de los coeficientes y expo-
nentes.

En consecuencia, podemos determinar, desde luego, la
parte literal de los coeficientes de la ecuación racional.

Indudablemente, el primer término, y también el último,
de cada una de las potencias halladas, multiplicado por un
coeficiente racional, ha de dar un producto racional; así, el
lugar algebraico de dichas potencias en la m'"“, es desde
uno hasta otro término racional; y, si queremos situar la
(m"-—m)yéi"a, veremos que puede empezar á contarse desde
el primer término de la (m")%""; este primer término es
(a,)"", que dividido por ay” = A,, da un cociente a,”"”!,

— 743 —

que es primer término de la potencia (m” -- m)éima del poli-
nomio, por lo cual, A, puede ser un término racional del
coeficiente de y”"=*", En los demás términos de la (m”)ésima
potencia, ya no puede aparecer a elevada á lo sumo más
que á m"” —m; pero como todos los términos son homogé-
neos, y los exponentes que no son múltiplos de m represen-
tan términos irracionales, no habrá más múltiplos racionales
de¡a*"=* que
EAN EA NENA

Como consecuencia de esto y de que las demás potencias
podrán empezar por cualquier otra letra, y”"”" no puede
tener más coeficiente literal que 4, + 4A,> ..... + A, afec-
tado de un coeficiente numérico, cuyo valor ignoramos.

Este coeficiente literal es la combinación primaria de las
cantidades subradicales; y, razonando de la misma manera,
veremos que la parte literal de los coeficientes sucesivos es
la suma de las combinaciones binarias, ternarias, etc., en-
trando en estas combinaciones las segundas; las primeras y
segundas; las segundas y terceras, etc., potencias de dichas
cantidades. Respecto á los coeficientes numéricos, es evi-
dente, por la simetría de la ecuación, que serán iguales
para combinaciones de igual forma, por lo cual podremos
escribir así la ecuación racional:

y =x (AL H As 4 coo E An) yo 4
12M TAS E E Ap) +
A A ASE A A) ya 20
HA EA 2) Es (APA Ei HA An), 115]
FEA, AS As + o...) | y3m y
is o A ri JA |
O A O: PL: A O AA |

— MUS

donde x, z,4,V,S, É..... ENE son coeficientes numéricos,
que nos proponemos determinar.

El segundo miembro de esta ecuación es, según dijimos,
igual al de la (m”)*"“ potencia del polinomio irracional, ne-
cesitándose, para identificar ambos, que, en la ecuación final,
substituyamos y”, y?” ..... por las respectivas potencias del
polinomio.

Hecha la substitución, y verificada la multiplicación por
los coeficientes respectivos x(A;, + ..... + An),

IZ(A2 +... FAR) H ..... (, etc.,

cada término de la (m")'*"% potencia del polinomio será
igual á la suma de los términos semejantes al citado, conte-
nidos en la ecuación final. Estableciendo esta serie de igual-
dades, y dividiendo en cada una ambos miembros por la
parte literal, que, por la semejanza, es idéntica en todos los
términos, estableceremos un sistema de ecuaciones de pri-
mer grado que, en un miembro, contienen uno de los coe-
ficientes numéricos de la (m”)*m4 potencia del polinomio; y,
en el otro, una suma de términos formados por alguna de las
ia afectada de alguno de los coeficientes numéricos
procedentes de la substitución de y por las respectivas po-
tencias del polinomio. Los valores de las incógnitas son en-
teros, porque los coeficientes lo son en la ecuación racio-
nal, cualquiera que sea el sistema de eliminación de los ra-
dicales.

No queda más que hacer que elegir, entre estas ecuacio-
nes, tantas como incógnitas, con la condición de que perte-
nezcan á términos asimétricos entre sí, porque dos términos
simétricos nos darían ecuaciones idénticas; en este concepto,
la (m")éma potencia no debe desarrollarse más que hasta la
mitad de los términos. A su vez, las potencias inferiores no
han de desarrollarse más que hasta llegar á términos que,

— 745 —

multiplicados por los coeficientes racionales respectivos, re-
sulten semejantes á los términos contenidos en la primera
mitad de la (1m”)éima potencia. La ordenatriz p nos servirá
de guía.

En el caso particular de que los términos irracionales sean
dos, las operaciones se simplifican extraordinariamente, re-
duciéndose á hallar los coeficientes del binomio, en la poten-
cia (m?)éima, hasta tener tantos, inclusa la unidad (que es el
coeficiente del primer término), como incógnitas debamos
despejar; y, en las potencias inferiores, los necesarios para
establecer ¡as ecuaciones.

Supongamos y = Vs + Ve y, aplicando la fórmula [15],
la ecuación racional será:

WES ls +0 4 12 6 0 us ti yo —
ES +0) + (st4 st)

porque, con dos cantidades, no podemos formar más combi-
naciones primarias, binarias y ternarias, que las que figuran
en los coeficientes de esta ecuación.

Hagamos Vs — EY Vi = q, y formemos el siguiente cua-
dro, donde, para mayor claridad, pondremos la parte literal
de las potencias, aunque no es necesaria:

— 1

se

y?= p” +|9p% + |36p" q? +- [84 p* q? +-1126p9q*+!|.....

|
xsy? =|xp? + |6xp*q + |15xp"9?+/20xp*g* + 115xpg+.....

y == il ii] PE? +1 OP
zS? y? =|2p9+/|32p9q +|32p" q + | 2PP PH... ...l... “o
a A E PRA RA
1 A O AOS UR E ET
ASAS MAA
a o A A od E

Este cuadro da clara idea de la operación que hemos des-
crito; y basta verlo, para comprender que la suma de térmi-
nos contenidos en columna vertical, bajo la raya horizontal,
ha de ser igual al término situado sobre ésta, lo cual nos
permite establecer el sistema de ecuaciones de los coeficien-
tes numéricos:

l= x+ z+h x=3
9= 6x+32 z=-—3
36=15x+32 u=4
84=20x+x+2+07+ h=1
126=15x+6x+3u E

Si el índice de los radicales hubiera sido 5 en lugar de 3,
las combinaciones serían 11 (*), número igual al de las in-

(*) Cuando los radicales son dos, de índices iguales, el número
m?+4m-—1

de ecuaciones del sistema auxiliar es PSA cuando m es

— 747 —

cógnitas; y hubiéramos debido llegar al undécimo término de
la línea superior horizontal, lo cual representa muy pequeño
aumento de trabajo; pero, si los radicales fuesen tres raíces
quintas, la aplicación del método sería tan impracticable
(con la multitud de ecuaciones de primer grado, establecidas
después de elevar el trinomio á 25 potencias ), como el usual,

de eliminar los radicales de y = Ya E Vb + ve, por me-
dio del sistema

y=24+u40,
2*—a=0,
u?—b=0,

vi —c=0,

Si los índices radicales fuesen m, n, p..... y quisiéramos
eliminar los radicales en una sola operación, el procedimien-
to, cada vez más complicado en la práctica, es igualmente
sencillo en su explicación: pondríamos los términos en orden
ascendente de índices; y, en el mismo orden, introduciría-
mos las potencias sucesivas de una letra ordenatriz; eleva-
ríamos el polinomio á las potencias 1.*, 2*..... perno y
empezando á contar desde el primer término de ésta, inves-
tigaríamos, por medio de la división de este término por el
primero de la primera potencia, el lugar algebraico de ésta
dentro de aquélla, procediendo á la resta correspondiente,
según hicimos al operar con la ecuación [1 |; pero, si en el
polinomio no hubiere término racional, empezaríamos por la
división del segundo término de la última potencia por el
primero de la primera, etc. La circunstancia de que, en algu-
nos términos, existan radicales bajo radicales, no ofrece gran
dificultad para la investigación.

m? + 4m
4

nos á demostrar este punto, cuya importancia es escasa, pues sólo

sirve para graduar de antemano el desarrollo del cálculo.

impar; y , cuando mm es par. No creemos necesario detener-

a Pa

Pero, que pueda aplicarse con toda amplitud nuestro lema
á la transformación de las ecuaciones irracionales en raciona-
les, no quiere decir que convenga usar tal amplitud, sino'
que, presentado el caso, la mayor economía de trabajo se
obtiene aislando, en un miembro, cualquier término irracio-
nal; mejor, el de mayor índice; y, eliminando el signo por
medio de la elevación á la potencia de exponente igual al
índice mismo, la transformada se ordena con arreglo á las
potencias de otro radical que se elimina por el método indi-
cado para la ecuación [1], repitiéndose sucesivamente esta
operación, con respecto á los demás radicales. |

Con objeto de que nuestros lectores no sufran la molestia
de engolfarse en el desarrollo de cálculos para convencerse
de la economía de trabajo que se obtiene con nuestro méto-
do, á continuación presentamos una serie de ejemplos, sir-
viendo de tipo para la comparación, el método de eliminación
por el máximo común divisor, considerado como relativa-
mente fácil, y que, sin embargo, además de complicado,
puede ser causa de que quizá se eleve inútilmente el grado
de las ecuaciones finales, por la intromisión de soluciones
extrañas, en grados superiores al tercero y cuarto.

”

_ XXXIV.— - Elementos de la teoría de la elasticidad, por Jo .
Echegaray. Sexta CONferencia...oooomoroneonnoos

XXXV.— Nueva teoría para el desarrollo de las te |
finales, por Gualterio M. SeCO............ Ai :

DA

La subscripción á esta RuvIsTA se hace por tomos com: 1p]
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 fraz
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, callo: de |

verde, núm. 26, Madrid. s5 Pr
Precio de este cuaderno, 1 peseta.
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209 0

; REVISTA

DE LA

REAL ACADEMIA DE CIENCIAS

EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

f

DH

MADRID

TOMO V.-NUÚM. 12.
(Junio de 1907.)

MADRID
IMPRENTA DE LA GACETA DE MADRID
CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8.
1907

ADVERTENCIA

Los originales para la Revista de la Academia
se han de entregar completos, en la Secretaría de
la Corporación, antes del día 20 de cada mes,
pues de otro modo quedará su publicación para
el mes siguiente.

— 749 —

XXXVI. —Elementos de la teoría de la Elasticidad.

Por José ECHEGARAY

Conferencia séptima.

SEÑORES:

Obtuvimos ya las tres ecuaciones fundamentales de la
elasticidad para todo el espacio, si el sistema era indefinido,
para todo el sistema, menos para una zona de espesor e
inmediata á la superficie límite, si era limitado el sistema.

Y después de algunas simplificaciones generales, de las
que todavía algo tendremos que decir más adelante, empe-
zamos á estudiar aquellas otras simplificaciones que depen-
dían de la estructura del sistema.

Y marcamos tres tipos de estructura:

La de los cuerpos heterogéneos.

La de los cuerpos homogéneos.

Y la de los cuerpos isótropos.

Y empezamos en la conferencia anterior á estudiar el pri-
mero de estos grupos, á saber: el de los cuerpos heterogé-
neos.

Vimos que las tres ecuaciones fundamentales eran ecua-
ciones diferenciales lineales en que entraban las derivadas
de segundo orden, y que los coeficientes eran, en general,
funciones de X, y, Z

Sobre este punto todavía debemos insistir.

Tomemos como tipo uno de los coeficientes, porque todo
lo que de este ejemplo digamos, puede ASpeorES para cada
uno de los demás coeficientes.

Dicho coeficiente, que nos servía como tipo, era éste:

Rry. Aca. Ciencias.—V.— Junio, 1907. 51

— PO —Á

” 1 4 se 2% SN a »
E A e D(Xo + 0X, Yo + 9), Zo +92)
0 0 0

F (1)
r

r? sen?0 cos?4. 1? sen?f sen?4. r? send. d0.dd. dr

Ó bien,

e 1 E T 27 v a ke
O OS D (Xo + 5X, Yo + 9), Zo +52)
2:J0 Jo Jo

á Es re sen? f sen? dy cos? dd di dr.

Del examen de esta ecuación dedujimos que el coeficiente
C”, y lo mismo otro cualquiera, efectuadas las integracio-
nes, venía á convertirse en una función determinada de can-
tidades constantes y de las tres coordenadas Xy, Yo, 2, del
punto al cual se aplicaban dichas tres ecuaciones fundamen-
tales para expresar su equilibrio.

Claro es que antes de efectuar las integraciones, era pre-
ciso substituir en vez de 5x, 0y, 6z sus valores,

x= rcostsen, dy = rsenysenl, 3z2=rcosf,

en éste y en todos los coeficientes A, B, C, á fin de que no
queden más que las tres variables á que han de referirse las
tres integraciones en cada uno de ellos.
Pero aquí ocurre intentar una simplificación.
- En efecto; desarrollando D por la serie de Taylor, y no
tomando más que los primeros términos, tendremos:

D(Xo +.3X, Yo +0Y, Zo +02) = eE Yo, 20) +

dD BD
dx | dy ed

|

— 151 —

que, substituyendo en la ecuación anterior, dará:

A O e dD dD dD :
C"== D+=—0x Pp ——=3 —0z |H,
al cl Ji | e dx 3 dy y+ dz |

llamando, para abreviar, H á todo lo que bajo la integral
sigue á la función D.

Claro es que H será un infinitamente pequeño de tercer
orden.

O bien, separando en dos grupos de integrales,

1 a TT 27
C"= — DE
e Ll +
a A JA

- Al obtener el anterior valor de C”, ocurre despreciar el
último grupo; con lo cual, la simplificación sería importan-
tísima para el caso de los sistemas heterogéneos, que es el
que estamos considerando.

Y esto, á primera vista y en general, parece legítimo, por-
que en la expresión

EA ea
dy dz

que, para abreviar, pondremos Falo la forma
aD, dD
——0 92 | H,
a dx E Be dz )

expresando las tres integrales por Ni que indica que se trata
(3)

de una integral triple; en esta expresión, repetimos, A es un
infinitamente pequeño de tercer orden; pero el paréntesis

— 7152 —

contiene 0x, 2y, 52, que hemos dicho siempre que son can-
tidades sumamente pequeñas; luego dicha integral triple pa-
rece que es infinitamente pequeña comparada con la primera

E Ti 27 >
Erro
OO 0 ¡
fo.
e) (3)

y que podrá despreciarse.

En efecto, podría decirse, el elemento diferencial de esta
última es DH, siendo D una cantidad finita y H un infinita-
mente pequeño de tercer orden; y en cambio, en la segun-
da integral triple, cada elemento diferencial se compone de
una diferencial de tercer orden A como en el primer caso, y
de una cantidad muy pequeña respecto á D que es

ó abreviadamente,

cos + ga dy + a a
dx dy dz

Este razonamiento, que tan claro parece, es inaceptable en
algunos casos, como vamos á exponer; porque en estas con-
ferencias, de pura propaganda y en que sólo procuramos
desembarazar el terreno á los principiantes, nuestro objeto
debe ser doble; explicar verdades y prevenir errores. Todo
ello á manera de ejercicio, no sólo de los problemas de la
Física matemática, sino de los problemas de cálculo con que
aquéllos se enlazan.

Séanos permitida, pues, una digresión que no parece
inútil.

o A A AAA a A AS E

— 753 —

Las dos integrales que debemos comparar, para ver si la
segunda es despreciable con respecto á la primera, son,
escritas abreviadamente,

fo. (( pe Dx + La dy + NS H,
(8) > dx dy dz

en que los límites son los mismos; en que

ADE CaD dD

D, , ,
IX A dz

son funciones conocidas de Xo, Yo, Zo, y en que H es una
diferencial de tercer orden cuyos tres factores diferenciales
son d9, di, dr.

Claro es, que como D es función de X,, Yo, Zo, refirién-
dose estas coordenadas al centro de la esfera, dicha canti-
dad D será respecto á la integral una constante, que podrá
sacarse fuera del signo integral, de suerte que las dos expre-
siones que hemos de comparar, serán

NN id
e Je Nx dx dy dz

Decíamos antes, que la segunda integral parece que ha de
ser muy pequeña en comparación con la primera, puesto
que contiene 5x, dy, 52; pero deben fijarse mis oyentes en
que estas cantidades no son verdaderas diferenciales, porque
no son variables que tiendan á ser cero, y que sólo deban
considerarse en este concepto.

Son cantidades finitas de una serie discontinua y al subs-
tituir á la discontinuidad la continuidad se expresan, según
hemos visto, por

3x = rsen cost, 3y = rsenf send, 92 = rcosf.

— 7154 —

-'De modo que no entran en estas expresiones las verda-
deras diferenciales 40, di, dr.

Tanto es así, que las tres expresiones anteriores, puedes
tener valores en la integración, comparables al límite e e puesto
que contienen 7.

Así es que por la regla de las diferenciales de diversos
órdenes, no es despreciable la segunda integral en conipen
ración con la primera.

En resumen y con más claridad,

podrá ser muy pequeña en comparación con D, pero no
puede en rigor considerarse como una diferencial.

El problema, pues, se plantea de otro modo, que á nues-
tro entender es el siguiente:

Si representamos por hy, h,, h...... los diferentes elemen-

tos de la primera integral, y si representamos asimismo por
t,, t,, f.,, y en general por £ los diferentes valores de

apa ab. dD ,
0X D
dx ER dy ds dz

en los diferentes elementos de la segunda integral, valores
que serán distintos para cada elemento, puesto que para
cada uno son distintos 3x, 3y, 07, todavía podremos dar á
ambas integrales la siguiente forma:

DÍ H=D O PRA
(3)

[14h Him + too 0
(3)

Si todos los términos de ambas integrales tuvieran el mis-

— 755 —

mo signo, á la segunda integral se le podría aplicar el teo-
rema elemental de las cantidades medias, y representando
por f,, el valor medio de f,, f,, f,....., las dos integrales
serían Es

y como f;,, es un valor medio de

dD
dx

S EDS
0% L—b— 0
a

es evidente que la segunda expresión sería muy pequeña en
comparación con la primera. En efecto; el segundo factor es
el mismo A, +A, + Mho..... y D es mayor, mucho mayor
que f,,, porque D es la densidad y f,, un incremento de la
densidad para puntos muy próximos al centro de la esfera;
muy próximos decimos, porque son puntos interiores de la
estera de actividad y el radio de ésta, e, es pequeñísimo.

Mas, por otra parte, ni las h ni las f conservan, en gene-
ral, el mismo signo; de modo que en las integrales, los ele-
mentos diferenciales pueden ser ya positivos, ya negativos,
con lo cual, no podemos sacar como factor común en la se-
gunda integral el factor f,,: el teorema de las cantidades
medias no es aplicable á este ejemplo, y se comprende, en
términos generales, que puede haber casos y problemas,
prescindiendo del actual, en los que la segunda integral sea
comparable á la primera, y aun superior.

Tomemos un ejemplo:

Supongamos para fijar las ideas, prescindiendo del proble-
ma de Física matemática que estamos estudiando y conside-
rando la cuestión como puramente de análisis, que las f con-
servan el mismo signo; pero que las h puedan ser ya posi-
tivas, ya negativas, y designemos las positivas todavía por h

A

y las negativas por k. Las dos integrales podrán ponerse
bajo esta forma:

D(h, ar Rh, + h, eo... -— Ko chn Kk, EE k, E
ts — tayiKi — tn4oKs — tn4+5Kg ..:.0).

En la segunda expresión podremos sacar un valor medio
de f para los términos positivos, sea f,,; y otro valor medio
de í, que será distinto del anterior, en general, y que desig-
naremos por f',, para los términos negativos. Con lo cual
podremos poner las dos expresiones que vamos á comparar,
bajo esta forma:

D (ho + hi + hs .....) — D (ko +K, + Ko.....);
tm (Ro + Ai + hs .....) — EmlKo + Ki + Kos»....)

y ya no es posible decidir, en general, cuál de las dos ex-
presiones es superior á la otra, ni si son comparables.

En efecto; basta ver que hay casos en que puede verifi-
carse cualquiera de estas hipótesis para demostrar que es
imposible una decisión general.

Supongamos, por ejemplo, que f',, es tan pequeña, que el
término en que entra como factor, puede despreciarse. En
este caso sólo quedarán estas dos expresiones:

Dl +h +0) Dll E AN

La segunda podrá ser muy pequeña, si lo es f,,; pero la
primera es la diferencia de dos cantidades del mismo orden,
y puede ser tan pequeña como se quiera.

Por lo demás, esto supone que h, + A, + ..... — ko +
4- Ki; ..... es muy pequeña, y que lo es el término que consi-
deramos.

Pero no podemos llevar más lejos la presente discusión,
sin separarnos del objeto principal de esta conferencia.

e A A a A

— 187 —

Decimos esto, en términos generales, y para demostrar
que cuando hay términos positivos y negativos en cada una
de estas series, a priorí no se puede decidir que la última
sea despreciable, aunque bien pudiera serlo; mas para de-
mostrarlo, sería preciso una discusión especial.

Y que en la serie A, +A, + Áo..... entran términos posi-
tivos y negativos, es evidente, porque en el elemento dife-
rencial de C”, es decir,

Ll fpav. 0 3x29 ya,
2), r

si bien son cantidades positivas D,dV, 5x?, 5y?, r en-

Figura 24.

tra f (r) que es, llamando f, (r) á la función de Saint-Ve-
nant,
A) APO)

r

dr p?

y f', (1), desde a á e, siendo abc la curva de Saint-Venant,
será positiva en b y será negativa en c, en la hipótesis que

— 758 =

indica la figura 24, es decir, dado el valor del Eo de acti- .
vidad 08.

Pero hay más: suponiendo un caso ideal, como se supone
en la hipótesis de Cauchy, es decir, que las masas pueden

F

considerarse como puntos matemáticos, la expresión

tendrá la misma forma en r para todos los elementos dife-
renciales de todas las integrales triples correspondientes á
todos los coeficientes y aun para todos los sistemas elásti-
cos; pero, en rigor, si el cuerpo es heterogéneo y si las ma-
sas tienen distinta: composición química y aun distinto estado

eléctrico, dicha expresión variará de forma de un punto

á otro, y acaso ni siquiera pueda desarrollarse por la serie
de Taylor.

En resumen, a la cuestión en general, sin descender
á casos particulares y á estructuras especiales del sistema,
debe suponerse, que las tres ecuaciones fundamentales de la
Elasticidad, cuando los cuerpos son heterogéneos, son ecua-
ciones en derivadas parciales de segundo orden de la forma

que ya hemos explicado, y que sus coeficientes A, B, C son
- distintos, y todos ellos funciones de Xy, Yo, Zo-

Ya se comprende que la integración en este caso debe ser
inmensamente más difícil, que cuando todos los coeficientes
son constantes multiplicados por la densidad, que será una
función siempre de la misma forma en Xo, Yo, Zo:

SEGUNDO CASO. Cuerpos homogéneos. —El tipo de la
homogeneidad es el que explicamos en la conferencia prece-
dente. El espacio se supone dividido por tres sistemas de

— 759 —

planos paralelos, igualmente espaciados para cada sistema,
en paralelepipedos de igual volumen, y en el centro de cada
paralelepípedo se supone una masa m y todas iguales.

- De aquí resulta, que si se toma una dirección cualquiera
que pase por el centro de uno de estos paralelepípedos y que
vaya á otro centro ú otra masa, con tal que los ejes coorde-
nados sean paralelos para ambos puntos, las integrales ten-
drán la misma forma; porque la distribución de las masas
respecto á los planos coordenados será la misma, y por lo

Figura 25.

tanto los coeficientes de las derivadas parciales serán cons-
tantes para todos los puntos de dicha recta y aun para todas
las rectas paralelas: esto se ve claramente en la figura 25.

Para los dos puntos a, a”, si los ejes Xx, y, 2, y X', Y”, 2”,
son paralelos respectivamente, las figuras geométricas que
forman los tres ejes coordenados, los paralelepípedos que
les rodean y las dos esferas de actividad e, s”, serán figuras
geométricas iguales y superponibles por el movimiento de
traslación representado por la recta a a.

:Luego dos coeficientes que se correspondan en las ecua-

— 7160 — A

ciones fundamentales aplicadas á dichos puntos a, a, serán
idénticos y darán una cantidad constante.

Asi, cuando el sistema es homogéneo, si se aplican las

tres ecuaciones fundamentales á todos los centros de todos
los paralelepípedos, por los cuales se hagan pasar ejes pa-
ralelos, todas estas ecuaciones tendrán la misma forma y los
coeficientes de las derivadas serán constantes, que no de-
penderán por lo tanto de la elección del punto, sino única-
mente de la dirección de los ejes.
- En cambio, si los ejes toman otra dirección, es decir,
si elegimos otros planos coordenados, dichos coeficientes
A, B, C, cambiarán de valor, pero permanecerán constantes
para las nuevas direcciones de los ejes.

En suma, A, B, C dependerán de la dirección de los pla-
nos coordenados, pero no dependerán de X,, Jo, Zo-

En resumen:

1.2 Cuando el sistema es heterogéneo, las tres ecuacio-
nes fundamentales son, habiendo dividido por m:

A
den
7 B” =0,
n xn dxdz
de
A
E é dydx :
AA C)+ ad FAR
Bug y a
a dzdy

en que A, B, C; 4' B' C, y A”, B”, C”, son funciones

— 761 —

de x, y, z, siendo éstas las coordenadas de un punto cual-
quiera. Antes las hemos llamado X,, Yo, Zo, pero como ya
no cabe confusión, hemos suprimido el subíndice.

2.” Enel segundo caso, que es el de los cuerpos homo-
géneos, las ecuaciones de la Elasticidad tienen la misma
forma; pero los coeficientes A, B, C, A'..... son constantes
para una dirección dada de los planos coordenados.

Si los planos coordenados cambian de dirección, será
preciso determinar las nuevas constantes en función de las
anteriores.

Claro es que mientras otra cosa no se especifique, se su-
pone siempre que los planos coordenados son rectangulares.

TERCER CASO. Cuerpos isótropos. —Este es el caso que
generalmente se considera y en que se pueden introducir
más simplificaciones. Digamos aún en el que mayor número
de casos particulares se pueden resolver sin tropezar con
dificultades invencibles de cálculo integral.

Si el sistema es isótropo, claro es que la estructura será la
misma alrededor de cada uno de los tres ejes 0'x, 0'y, 0'z,
siendo o” el punto que se considera; de suerte que las tres
integrales:

2 mfmr=A; L mf(nay? = B;
2.)6) 2.)6)

1 (mf =C;
2.)6)

tendrán exactamente el mismo valor, porque la m es cons-
tante; f(r) es la misma para las tres integrales triples; y sólo

— 762 —

difieren éstas en el nombre de las coordenadas x, y, z que

es pura cuestión de notaciones.
Podremos, pues, establecer

A=B=L£E.

Lo mismo PSEOS decir las tres integrales

LO a ds 1. mE O) ía
3," z E (3) dRT”

sal O 9z7t == E
2.)6) É

y también deduciremos para el caso en que el sistema sea

isÓótropo

A igual consecuencia podemos llegar considerando los

tres coeficientes:

Sl m E) 0y202? pa A; le m Fi (r) ax20z2= B”;
2.)6) 4 2.)6) E

EAN 9x20y? =(C"
. E á

Advirtiendo que, en éste, como en los demás casos, el

a a (Mx
simbolo | es una forma abreviada de | de |
(3) 0 0 0

Tendremos, pues,
MESBUE=ZC"

Y resulta de aquí, que los nuevos coeficientes A, B, €
A', B', C'; A”, B”, C” se reducen á tres distintos, que Se-
rán, por ejemplo, A, A”, A”.

— 763 —

“Haciendo: Putas substituciones en las tres ecuaciones fun-
damentales, se con en: E

x= E +2 (a4 A+ A HA)
pa A"=0,
dxdy dxdz
= + PE Ca OS
” e, li at
sa de
_ lalo
d?w d?y
- A +A” A“ +2: A” ='0
me dy? dzdx ae dzdy

Todavía podemos introducir otra simplificación fundada
en ser el sistema isótropo.

En efecto, si hacemos girar los ejes, por ejemplo alrede-
dor del eje de la z, las ecuaciones deben afectar exacta-
mente la misma forma, y dar el mismo valor por los coefi-
cientes, porque la estructura es igual alrededor de cada uno
de los ejes.

Consideremos, por ejemplo, la lepra

al A
1 EN

y substituyamos (fig. 26) á los ejes 0x, 0y, rectangulares, -
los ejes también rectangulares 0x”, 0y”.
Se sabe por Geometría analítica y se ve en la figura, que

— 764 —
si para un punto cualquiera a, las coordenadas primitivas
eran
ob=8x,. abi=0y' y 0%

las nuevas coordenadas serán

WU =IE, ad EY IA

]
SÍ

s
A

/

a

Figura 26.

y entre unas y otros existirán, llamando « al ángulo que han
girado los ejes ox, 0y, las relaciones

O)
O7

x” cos a — dy” sen a,
x”“sena + 9y' cos a.

O)
O7

>
y ==
De suerte que la integral A” se convertirá en

yaa Y m EA) dxt= al m PO (0x'cosa — y “sen a)!,
LO 2Je

ó desarrollando,

1 f g A , y , 5 » ,
A' == m LD (6x1 costa — 43x'8 costa . dy sena +
2 r
(3)
+ 63x'2c08240y? senta — 45x'cosa0y*sen*x + 5y*senta),

y también

— 765 —

sé ola. de m AN ox'*— 4cos3a sen: . >

o

p NN , / £ 1

m JN ax *0y” + 6cos*usenta . —

(3) á 2
a as

m EMO) 0x29y'2 — 4cosasenta . —

) 6) d
m EAU (1) 0x"0y'? + senta . a m ER (1) 0

E 0

Ei segundo término y el cuarto se reducen á cero, según
hemos explicado varias veces, por contener potencias impa-
res de 0x, 0y, dando términos iguales y de signo contrario,
que se destruyen, para lo cual basta, por ejemplo, tomar el
mismo valor de 5z, 0x y dos valores + y, — 0y.

Los otros coeficientes son:

A N] LO yz Ln LO ay
2.)

A PE az E

que toda vez que el sistema es isótropo, y no cambian dichos
coeficientes con la dirección de los ejes, serán respectiva-
mente iguales á

ABLA,
y la ecuación que habíamos obtenido se convertirá en
A" =A' costa + 64” sen?a cos?a + A' senta.

Esta ecuación debe verificarse sea cual fuere el valor de a,
en razón á que siendo el sistema isótropo, ha de coincidir
siempre consigo mismo.

Y, en efecto, puede transformarse la expresión anterior de
este modo:

Rey. Acap. Criencras.—V.— Junio, 1907. 52

— 766 —
A" =A'cos?a(1 —sen?a) + 64” sentacos?a +
+ A'sen*ta (1 —cos?a),
Ó bien,

A"=A'(sena + costa) — 24" senza costa 4-6 A” sena cos?a,

que se reduce á
o=—A' +34";
de donde
EN

Substituyendo este valor de A” en las tres ecuaciones fun-
damentales, tendremos:

A A OS
ra io
A
A A A
de dz? dx?
a o

que se pueden poner bajo esta forma:

3 d?u

A O
O

— 7671 —

d? y d?w
2) E ==
+ Ñz An e pd

dv $
Ta r+ a +) AA +
y e m0;
ñ (2 E as] A
A a E
x dy?

d?y d?v
AAA A A 0)
sE es + ua]

Generalmente dichas ecuaciones se escriben de este modo:

deu dy, d de
7 TAE la > + Ed a
du du q
dias):
rad de dos
pe q d?
a al
dew : 2) |
TS dea a + a
E d?
AA Me aa 0

Si para simplificar observamos que,

d?u d?y d?w d (du dw
A
dx?

dxdy dxdz dxNdx E dz

llamando 0 á la suma del paréntesis, tendremos

dx ' dxdy ' dxdz
siendo

por la anotación Au á que Lamé llama parámetro diferencial
de segundo orden; es decir,

d?u d?u d?u
+ E + =AÁu.
dx? dy? dz?

Con estas notaciones, la primera ecuación fundamental, y

del mismo modo las otras dos, se pueden escribir bajo esta
forma, al parecer sencillísima:

d?u

d 4

= X + 24" — + (4 +4 Au,
ds =P P —F (124)
d?y db

= Y +.24” —— A + A”) Av,
5 24,7 A +A)
diw

d 6
T— =Z +24" — A>+A”Au;
TA O

en las que se supone:

d*u d?u d*u
Au = - 3
dx? dy? dz?

— 769 —

d?v d?y d?y

dx? dy? dz?
A

rr dy * de'

Av =

Aw

Hay todavía la costumbre de representar los coeficientes
por una sola letra.
Por ejemplo:

24 "=1l, AFA“ =p,

según la notación de Mr. Laurent, y resulta:

de: d 8
A ci
d?v d 8

— KEN Au,
de HA, dy + ba
d?w d6

=£ +A: 3 Av,
de na pci

En rigor, las fórmulas clásicas á que nos referimos, con-
tienen también dos constantes, sin los subíndices, que he-
mos agregado para que no se confundan estos coeficientes
con los de la fórmula que escribiremos en seguida.

Claro es que los valores de 4, y y,, en el sistema de Cau-
chy, son los siguientes:

pS 23m LO syrdz,
2 r
a EA 5 mi(max Le LO sy.
] r

Monsieur Lamé, siguiendo un método distinto del de Cau-
chy, método que nos proponemos exponer en las conferen-

— 710 —

cias del año próximo, llega casi exactamente á las mismas
fórmulas, que hemos obtenido, aunque variando el nombre
de las constantes.

Las fórmulas de Lamé son:

d'!) d?u
A — Au = — ax e.
A a A as

d4 d?v
) — $ pad =p
(A+) E +—p Es:
: di) dew
ñ == LA 4% YE
O+p) +. eZ + e

Difieren de las fórmulas anteriores en que en vez de A, es-
cribe A + y; en vez de y,, pone p.; y agrega el factor p en el
segundo miembro.

Esto último no altera la forma de las ecuaciones; porque
basta dividir cada ecuación por p para pasar de las segundas
á la primera, estableciendo las relaciones

A+ p
p

; Y
A
p

con lo cual se pueden deducir las equivalencias entre 4,, A,
AS

Pero la forma de las ecuaciones es exactamente la misma.

Esta misma forma adoptan otros varios autores, por ejem-
plo, Mrs. Mathieu, Appell, E. Sarrau.

Por último, á las mismas fórmulas para los cuerpos isó-
tropos, que es el caso que estamos considerando, llega
M. Poincaré siguiendo un método distinto de los anteriores,
porque, como ya hemos dicho y como desarrollaremos en
uno de los cursos próximos, parte de la teoría de la poten-
cial, y prescinde de la hipótesis de las fuerzas centrales.

Sus ecuaciones son:

— TM —

041) Eat — 4

TE
04) a

que son iguales á las precedentes con sólo suponer p = 1,
ó, si se quiere, con admitir que la densidad está contenida
en las constantes. Una diferencia hay más importante y es
que en las fórmulas de Cauchy sólo entra una constante
como veremos en otra lección.

Estas coincidencias no deben extrañarnos, porque el mé-
todo de las fuerzas centrales está contenido como caso par-
ticular en el método de las potenciales.

Entro en estos pormenores para facilitar á mis oyentes el
estudio de las obras clásicas y la comparación de unas fór-
mulas con otras.

Estudiando las simplificaciones, que en los sistemas isótro-
pos pueden introducirse por razón de su estructura, hemos
reducido los nueve coeficientes A,4”,4%, B,B*,B",C,C",C”;
ó sólo tres, A, A”, A”.

Y luego, siguiendo en la hipótesis de los cuerpos isótro-
pos y haciendo girar al sistema, por ejemplo alrededor del
eje de la z, hemos reducido los tres coeficientes A, A”, A” á
dos no más, A, A”, en virtud de la relación

A =3Al.

Pero esta relación puede demostrarse directamente: basta
calcular las integrales que expresan A' y A”,

— TN —

Daremos en seguida esta demostración á manera de ejer-
cicio.
Sabemos que,

a IO ai y PATAS m0 y 209ya
2) 6) r 230 Y

y expresando ambas integrales en función de las tres varia-
bles %, 4, r, y efectuando las integraciones, podremos des-
arrollar los siguientes cálculos, que apenas necesitan expli-
cación, porque son integraciones de carácter elemental, que
debo suponer que conocen mis oyentes, y que, en todo caso,
se explican por sí mismas.

Como el cuerpo es isótropo, y además homogéneo, la masa
será igual al producto de la densidad, que es una constante,
por la diferencial del volumen.

Así, siguiendo las notaciones que hemos empleado en
otras conferencias, tendremos:

m=D.dV

dV= rsenddb.rd%. dr.

Además, se sabe que

3z = rcosf.

Substituyendo en el valor de 4”, resultará:

43 [nas
2 (3) de
e 2x1 É
LS, pay ¡LO se ont
2 Jo Jo .Jo r
. 27 ,
EA ANS D.r2 sent. do. dy .dr LD y cosa,
2 Jo Jo Jo r

— 113 —

Las integraciones se pueden separar porque están separa-
das las variables: así

27 Ed E ,
A == ll ae sen 0 cost ( as pE0)' rsdr,
2 Jo Jo Jo r

La integral relativa á r depende de la forma de f (7) y de
los límites, suponiendo que se efectúa, y llamándola M,

tendremos:
Ne 0) Fear = Ms
JO K

Asimismo podremos efectuar la primera integral

2
di =D;
.J0

y el valor de A' será:

A => 25M | "sen bcostód,
0

que también se integra directamente. En efecto;

“sentcos 108 = (— == ps
AY 5 0 5

por lo tanto,

A '= E TM.
5

Calculemos del mismo modo

/ 1
PO O

x?25y?,
2 (3) iñ

— 774 —

Desde luego, tendremos como antes
m=.D.dV=0D.r? send didiadr,
y además, según resulta en la figura 23 (conferencia 6.?),

óx =db=adcos y =00.sen cos d = r sen 6 cos Y,

x
dy =ab= adsend= 04.sen ( cos y =r sen Í sen y.

Substituyendo en el valor de A”, tendremos

plo 1er: | 20)
3 Dr?sen6. d6. dy. dr.?sen?Bcos?d. ?sen?fisen?d. .
(3)

y separando las integrales

27 Ti z »
An Hd al senticostudy | sen?! a ey LR r* are
2.Jo0 0 0 r

Recordando que

[pElrar—=0,

0
obtenemos:

271 Ti
Le => | sen? 4 cos?y al sen*0. d.
0 JU

Efectuemos separadamente estas dos últimas integrales

[Ps ds= (sent. sen! dd =
Jo Jo

= [¿0—costipsentas = [A —200st44 cost4)senbao,
0 0

— TI5 —
y, por lo tanto,

m

á sen?0d0 = ls cosf + ia cos3h — 2 cost ==
0 3 5

0
16
157

2

2 1 1
ano

Calculemos asimismo

27 27 / 1 2
f sentgcostedy= || E sen 24) de =
0 0 2

27 1
= — sen?24.d. 24.
q 39

Haciendo para simplificar 24 = 4,, con lo cual los límites
serán 0 y 41.

27 471
l sen?4cos?bdd = al sen?) dy, =
0 0

LP 1..cos24, E
A Ptos 20) d24,:
al 2 Yi 39), ( v1) Y,

Y, por fin,

270 1 4

(| sen?4cos? dd = ll Es senz4, | a
0 JA e
= sal 87 == - T.
32 4

. Substituyendo el valor de estas tres integrales en A”, re-
sulta:

qa

es ARCA
2 1D: 4 15

— T16 —

Y como el valor de A' era
ABÉ- MA
5

resulta, evidentemente,

A+ 34"

que es la misma relación obtenida anteriormente.

Vemos, pues, que las fórmulas de la Elasticidad para los
cuerpos isótropos, son casi las mismas, sea cual fuere el
método que se siga, y, por lo tanto, en su esencia las mis-
mas para todos los autores.

Con una diferencia que marcaremos en ocasión oportuna.

Los coeficientes numéricos 4 y y tienen una significación,
bien pudiéramos decir, que puramente experimental, en al-
gunas teorías. En la de Cauchy tienen una forma perfecta-
mente determinada y definida por integrales triples, que
dependen de la estructura del sistema.

Elijamos las ecuaciones de Poincaré, que son las mismas
que las de Lamé y otros autores, con sólo dividir la ecua-
ción por la densidad, que es una cantidad constante.

Estas ecuaciones son:

j dí d?u
A pd Aur X
(A+ p) e + uE qe
di d?y
X — Av=-— Y
(A +.) Pr + + PT
> de d2w
A — + uAw= -—- Z
(A + yu) e + y + qa

— 111 —

Comparándolas con las que hemos obtenido

di
NA Au=-—X
NE La
d0
Aj — + ==
dy E En

d
%y + p¿Aw=
dz

la equivalencia entre las constantes será la siguiente:

Apu pp,
de donde
A=A,— 3; p— pj.

Y como sabemos que

A f.” le Dn 1) ay?25z2
(

py =A + A“= E mf(ryx? + ñ FP) 0y202?,
2.J6) 2 )6) r
tendremos
Ah = Es PA (1) dy? 2? al, mf(r) ax?
2) 6 r 2)6)
y
e PO; y202? + le MUERE;
2 ed Te

que son expresiones que podríamos calcular si conociése-
mos la forma de la función f.

Esta es, indudablemente, una ventaja del método de Cau-
chy, como veremos más adelante.

— 718 —

Porque si bien las tres ecuaciones fundamentales de la
Elasticidad hemos conseguido reducirlas para el caso de los
cuerpos isótropos á una forma en que sólo entran dos cons-
tantes ) y p aun se han esforzado algunos físicos en buscar
relaciones entre ambas para ver si todo el problema de la
Elasticidad, al menos para los cuerpos isótropos, podían de-
pender de una sola constante, y aplicando estos resultados
experimentales, como veremos en otra conferencia, á las
integrales anteriores, resultan relaciones, que si no como
leyes definitivas, como orientaciones racionales en estos pro-
blemas, pudieran tener su importancia.

Las tres ecuaciones obtenidas se aplican á los movimien-
tos elásticos; y suprimiendo las segundas derivadas con re-
lación á f, quedan estas tres ecuaciones, que son las del
equilibrio de Elasticidad.

,
UrpÍ + rn=—X,

dx

: y
0+9YÍL + puar=- Y,

dy

: dí
Q+y)— Fpdw==Z,
dz

cuya forma parece muy sencilla y no lo será tanto, si des-
pués de poner los valores de 0 y del símbolo A se desarro-
llan en la forma ordinaria, porque entonces resultan ecuacio-
nes en derivadas parciales con relación á x, y, 2, de segun-
do orden.

Tomándolas bajo la forma anterior, debemos fijarnos en
lo que significan el simbolo A y la cantidad 6.

e — 119 —

El primero, aplicado á cualquier función de las tres va-
riables independientes, significa, como hemos dicho, esta
operación simbólica:

dx de d y? ME EezA

que es lo que se llama también un operador simbólico.
Aplicada á la función u, habrá que escribir u detrás de da”,
resultando,
: d? u d? u d? u

dx? d y? :% az

,

lo cual ya tiene una significación clara: hay que derivar dos
veces con relación á x; dos veces con relación á y; dos ve-
ces con relación á z la función u de z, x, y; y después su-
mar los tres resultados.

Aplicando el mismo operador, que es un símbolo general,
á la función v, resultará asimismo

Y otro tanto podemos decir, si se aplica el mismo símbo-
lo á w, Ó á otra función cualquiera de las variables indepen-
dientes x, y, z, en éste ó en otro problema de Física mate-
mática.

Porque anunciamos desde ahora, que este símbolo y esta
expresión se encuentran en multitud de problemas y tienen
extraordinaria importancia.

Gran importancia tiene también en esta Teoría de la elas-
ticidad, la cantidad %, que como hemos visto, se expresa de
este modo:
du q dv Ha dw
dx dy dz

4 =

— 7180 — e

y tiene una significación perfectamente clara y determina-
nada.

0 representa, como vamos á demostrar, la dilatación cúbi-
ca de la unidad de volumen del sistema, ó si se quiere la di-
latación de un cubo igual á 1.

Es decir, que si tomamos un volumen muy pequeño del
sistema, por ejemplo V, en su estado primitivo, y por efecto
de las deformaciones se convierte en V + d V, el aumento ó
la disminución de volumen, que en general podemos llamar
dilatación, aunque si lleva el signo menos será una contrac-
ción, estará representado por dV. Pero si lo que se ha dila-
tado el volumen es d V, referida la dilatación á la unidad, es
decir, determinando lo que se dilataría la unidad de volumen,

sa , : av
si todo él se dilatara como V, resultará , que es precisa-

mente lo que hemos llamado 6.

Esto es lo que vamos á demostrar en forma elemental y
tan rápidamente como nos sea posible, porque el estudio
completo de las deformaciones de un sistema, geométrica-
mente considerado, lo dejamos para el curso próximo, cuan-
do estudiemos la teoría de la Elasticidad por el método clá-
sico de Lamé y de otros matemáticos.

Imaginemos en el sistema elástico un paralelepípedo tri-
rrectángulo cuyas aristas sean parelelas á los ejes x, y, 2.

Supongamos que las longitudes de las tres aristas sean

0X, 0y, 02:
el volumen será
0Xx.0y.02Z.

Determinemos las deformaciones de las tres aristas de este
paralelepípedo (fig. 27), de las que resultará naturalmente la
variación del volumen 2x. %y. 0Z.

— 181 —

Considerando la arista 3x y no teniendo en cuenta más
que las variaciones paralelas al eje de la x, tendremos que

é

Figura 27.

una extremidad, la de la izquierda por ejemplo, variará u, que
es la deformación de este punto, y la otra extremidad varia-

rá u + de ox, es decir, el valor u más su incremento al

pasar de un extremo á otro de 2x.
Luego dx se convertirá en

du
dx

NJ
0X:

¿E 7008
so O
Xi

Esto se ve con toda evidencia en la figura.

En ella ab = 5x: el desplazamiento a suponemos que sea
Ue == 11.

El desplazamiento de b será bb" = ad + el incremento
de ad.

Así ab se ha convertido en

ab' = ab + bb' — aa" =5x + ad” + incre. aa — aq =
= 0X + incre. U,

Rev, Acap. Ciuncias.—V.—Junio, 1907. 53

— 182 —

Pero el incremento de u en este caso es el debido al incre-
mento ab = 0x, luego

] du
incre. 4 = ——9x,
dx

y lo mismo que antes

Como otro tanto pudiéramos decir de las otras dos aristas
dy, 02.
Tendremos:

Arista paralela al eje de las x del nuevo paralelepípedo « 0X (1 — E.

dy

h ; S dv
Añista paralela“al eje Ue las Pa. dos dela e 0y (1 —- a

y

' : A dw
Arista pafalela aleje Me las 2 iras ee doo es 02 1 ON )

( Z

Por lo tanto:

Volumen del nuevo paralelepípedo, es decir, después de
la deformación

du dv dw E
1+ —]) (1 + —] (1 OXÓyoz,
e] ;

y desarrollando

dw dudv , dudw dvdYNA. .,.
El e +— — — — 1|0X0Y0Z.
( de od dz E e 4

Si suponemos que las variaciones de u, v, w, son muy pe-
queñas en comparación de 2x, 3y, 3z, Ó sea que las deriva-

d du dy dw d d
E es e era e son muy pequeñas, podremos despre-

— 183 —

ciar sus productos y tendremos para el volumen del parale-
lepípedo deformado

du dv dw
1 — Et A
A e y dz

Por lo tanto;

rayo SE
Z

4

dilatación == (1 - += +

te du dv TUNES
—0xdydz=| == 1 — —— | 58x9y9z,
e dx dy Ñ El dee

dilatación du dv dw
0X0ydz dx dy dz

que es precisamente el valor de Í.

Claro es que para llegar á este resultado hemos admitido
varias hipótesis:

1.* Hemos supuesto implicitamente que el paralelepípe-
do, cuyas aristas eran 0x, 0y, 0z, al deformarse conservaba
de una manera aproximada la forma de un paralelepípedo
trirrectangular.

2.7 Hemos supuesto aún, que las deformaciones para
todos los puntos de una cara eran iguales y estaban repre-
sentadas por rectas iguales y paralelas.

3. Hemos admitido también, que las únicas componentes
de las deformaciones que producían cambio en el volumen,
eran las componentes de la deformación perpendiculares á
cada cara, y esto es una consecuencia de las dos primeras;
porque si la cara de un paralelepípedo se mueve paralela-
mente á sí misma en su propio plano, es claro que el para-
lelepípedo primitivo se convierte en otro de la misma base y
de la misma altura, y por consiguiente de igual volumen.

A

4. Por último, hemos supuesto que las variaciones de
cada desplazamiento, mejor dicho, de sus componentes,
eran cantidades muy pequeñas con relación á las aristas del
paralelepípedo primitivo.

Todas estas hipótesis se justifican fácilmente demostrando
que los errores cometidos son, en general, de orden supe-
rior. De todas maneras como esta cuestión hemos de tratarla
ampliamente en el curso próximo, por ahora nos contenta-
remos con la demostración elemental y aproximada que pre-
cede.

Pero necesitábamos definir la cantidad % y explicar su sig-
nificación, porque es cantidad de gran importancia en la
teoría de la Elasticidad, no sólo porque representa la dila-
tación cúbica por unidad de volumen, parámetro importantí-
simo en la teoría que estudiamos, sino porque entra como
variable auxiliar en las tres ecuaciones generales de la Elas-
ticidad, según hemos visto, y hasta en la solución de algu-
nos casos particulares, como veremos.

Las tres ecuaciones, mediante las dos cantidades auxilia-
res 1 y A, que más bien que cantidad es esta última una
forma simbólica, resultan tan sencillas, que aun siendo com-
plicadas en el fondo, es fácil retenarlas de memoria sin
esfuerzo alguno.

Por ejemplo, la que corresponde al eje de las x, podre-
mos decir, que se obtiene: agregando á la fuerza de inercia
correspondiente á este eje, y á la componente de la fuerza
exterior paralela al mismo eje, dos términos, que serán res-
pectivamente, una constante multiplicada por la derivada
de ( con relación á x, y otra constante multiplicada también
por Au. Y del mismo modo las otras dos ecuaciones.

Hemos obtenido, pues, las tres ecuaciones generales de
la Elasticidad, que expresan el equilibrio de cualquier punto

— 185 —

y que integradas darán los tres desplazamientos u, v, w, en
función de x, y, z, para el.caso del equilibrio, y u, v, w, en
función x, y, z, f, para el caso del movimiento.

Con esto, sin embargo, no hemos resuelto, ni aun hemos
planteado, el problema general de la Elasticidad.

Porque no olvidemos, que hasta aquí sólo hemos plan-
teado la mitad del problema, sí el sistema es limitado.

Si, por el contrario, el sistema es limitado, si comprende
todo el espacio, como sucede, por ejemplo, en la teoría de
la Luz, el problema está planteado por completo, y no que-
da más que especificar cuáles son las condiciones iniciales,
es decir, los desplazamientos iniciales de cada punto mate-
rial y sus velocidades iniciales también. Con esto el proble-
ma se reducirá ya á un problema de cálculo integral: deter-
minar las integrales, Ó sea u, v, w, en función de x, y, 2, Í,
de modo que satisfagan á las tres ecuaciones diferenciales, y
además á las condiciones del instante £= 0.

Así es que no hay que escribir más ecuaciones de equi-
librio: las tres ya escritas son necesarias, pero suficientes,
lo misma para el caso del equilibrio, que para el del movi-
miento.

Por el contrario, cuando el sistema tiene un límite, ó sea
cuando está limitado por una superficie, las tres ecuaciones
que hemos obtenido no expresan, por decirlo de este modo,
más que la mitad del problema, ó sea el equilibrio en el
interior del cuerpo, hasta una distancia e, que es el radio de
actividad, de la superficie del cuerpo: mas para esta zona,
que se encuentran en condiciones distintas de los puntos del
interior, hay que hacer un estudio especial.

Y en rigor, para expresar tales condiciones, es preciso
abandonar, ó sino, hay que modificar el método de Cauchy
que hasta aquí hemos explicado, y es preciso acudir al mé-
todo de Lamé y al tetraedro elemental, según veremos en
una de las conferencias próximas.

Up

XXXVII. — Elementos de la teoria de la Elasticidad.
Por JosÉ ECHEGARAY

Conferencia octava.

SEÑORES:

Obtuvimos en la conferencia anterior las tres ecuaciones
fundamentales de la Elasticidad, bajo esta forma sencilla:

d?u df

E KEI AN
A
d?y dí

En Y A —. Ay =0,
AA O ñ +P
d?w di

— E A — + uAw=0,
7 +Z+(1+84) o

en que 6 representa la dilatación cúbica por unidad de volu-
men, ó con más brevedad, la dilatación cúbica,

y A, el operador ó torma simbólica,

d? d? d?
dx? dy? dz?

A =

representando ?. y y. dos constantes, que algunos autores han
procurado reducir á una sola.

Dijimos, que en cierto modo estas ecuaciones planteaban
la mitad del problema, si el sistema era limitado, y que en
este caso nos quedaba por estudiar la otra mitad del proble-

— 181 —

ma: es decir, el equilibrio en la superficie límite, para lo
cual, como veremos, es preciso hacer un estudio de los es-
fuerzos, ya de presión, ya de tensión, ya de deslizamiento, en
el interior del cuerpo y después en la superficie del mismo.

Pero antes de emprender la solución de este problema,
hay varios puntos en que para evitar digresiones no nos
hemos detenido lo suficiente, lo cual podría ser origen de
dudas, y á los cuales, por lo tanto, hemos de consagrar esta
conferencia, ó una parte de ella, al menos.

No se olvide, que, según indicamos al principio del pre-
sente curso, nuestras conferencias tienen un doble carácter,
sin contar con su carácter general de propaganda científica.
Y este doble carácter se marca de este modo:

1. Una exposición elemental de la Física matemática
clásica, que hemos empezado por la Teoría de la Elasti-
cidad; y

2.” Un estudio crítico de estas diferentes teorías, ya en sí
mismas, ya en relación con otras.

Así, empezamos diciendo: la teoría de Cauchy se funda
en la teoría de las fuerzas centrales, y, por de contado, en
la acción á distancia. Y ambas hipótesis, en la Física mo-
derna, se ponen en duda, ó, por lo menos, han llegado á ser
sospechosas para muchos matemáticos. Esta es una observa-
ción crítica, y las razones en que se funda, ya las hemos ex-
puesto varias veces y sobre ellas volveremos más adelante.

La Teoría de Cauchy, por lo tanto, parte de la hipótesis
mecánica en toda su pureza, y más aún, parte de la Mecá-
nica clásica, que hoy es rudamente combatida por algunos
autores, los cuales pretenden substituirla con otra Mecánica,
que arranca del principio de la energía, en vez de arrancar
del principio de la fuerza, en su sentido clásico, ó acaso con
otra Mecánica puramente cinemática.

Esta observación es también del orden crítico; no afecta
al método de Cauchy en sí mismo, ni al problema particular
de la Elasticidad, sino á toda la Física matemática, y, por de

—:788 —

contado, á la Mecánica racional, en que la Fisica matemática
del siglo xIx se fundaba.

También sobre este aspecto crítico de la cuestión hemos
discutido ampliamente y aun nos queda materia para otras
conferencias.

El método de Cauchy admite la discontinuidad, porque
supone masas distintas á distancias muy grandes con rela-
ción á su volumen, lo cual permitió, al ilustre autor, reducir
el problema de la Elasticidad al problema más sencillo de
Dinámica, ó relativamente sencillo, á saber: el movimiento
de un sistema de puntos libres, prescindiendo de los enlaces.
Porque creían los físicos del siglo anterior, que en esto de
los enlaces había siempre grandes obscuridades, y yo, por
mi parte, creo que estaban en lo cierto. Admitir estos enla-
ces ocultos, es como echar un manto sobre la dificultad,
para no verla, y contentarse con estudiar lo que se vea por
los bordes del manto; con la realidad que asome, si se nos
permite esta manera de expresarnos, renunciando á conocer,
ó á suponer, lo que esté oculto: imposiciones crueles del
método positivista.

Y todo esto que acabamos de decir encierra su parte
crítica; pero no una crítica fundamental, sino más bien de
procedimiento. Pero es que impunemente no se imponen dos
procedimientos distintos á un mismo problema: uno de
comodidad al plantearlo, otro de comodidad para el cálculo:
me explicaré.

Admitir puntos aislados como masas independientes es,
en efecto, de una gran comodidad al escribir las ecuaciones
de equilibrio de estos diferentes puntos, porque son puntos
libres y no hay más que igualar los tres componentes de las
fuerzas á cero, si se trata del equilibrio, 6 á las fuerzas de
inercia con signo contrario, si se trata del movimiento.

Mas para el cálculo, para las simplificaciones, para redu-
cir las sumas á integrales, la hipótesis de la continuidad es
mucho más expedita.

MRE

Ahora bien, al pasar de una hipótesis á otra hay que
proceder con cautela, porque pueden crearse dificultades y
hasta imposibilidades, como hemos tenido ocasión de ver, al
estudiar los coeficientes A, B, C, de las ecuaciones funda-
mentales de la Elasticidad, y
como vamos á ver en segui-
da, aunque sea repitiendo
algo de lo dicho.

Pongamos un ejemplo:

Supongamos, que de un
lado del plano BB” (fig. 28)
existe un sistema de puntos
O Le y en un punto Á
del plano, una masa /1.

Y formulemos este proble-
ma: determinar la fuerza resultante de todas las acciones de
los puntos del sistema en cuestión sobre dicha masa mn.

Para simplificar, admitiremos que el sistema sea isótropo y
que la normal Ac al plano BB” sea un eje de dicho sistema.

La solución es verdaderamente elemental, dada la ley de
las atracciones, que supondremos que es la ley newtoniana.

Tendremos, evidentemente:

Acción de m” sobre m, que representaremos por

Figura 28.

siendo Am =r y 4 una constante.

mm'
Por lo tanto: componente Ac = “ -—-— cos f, siendo
r?
aAc=0.
La resultante será:
mm! m'
Ya cost =amY cos 0,

2

ae Es

So

extendiéndose la suma á todos los puntos del sistema.

Esta operación será larga, será interminable, si el número
de puntos es enorme; pero dificultad teórica no presenta nin-
guna: todos los términos de 2 serán grandes ó pequeños;
pero ninguno será infinito, ni los más próximos á A como
el correspondiente á m'.

Ahora bien, estas sumas pueden convertirse con gran
aproximación en integrales, substituyendo á la hipótesis de
la discontinuidad, la hipótesis de la continuidad.

Precisemos para ello los términos del problema.

Pigura 29.

Supongamos (fig. 29) que los puntos cuya acción sobre A
queremos determinar están distribuidos entre dos semiesfe-
ras de radio A B y A C: dividamos este espacio en multitud
de celdillas sumamente pequeñas, comprendiendo cada una
de ellas un punto del sistema; por ejemplo, para el punto a
la celdilla e d.

Admitido esto, podemos por el pensamiento dividir la
masa m' del punto a en una especie de flúido, que llene toda
la celdilla e d, y haciendo lo mismo para todas las masas y
todas las celdillas, obtendremos una especie de flúido con-
tinuo en el espacio que comprenden las dos semiesferas,
cuya acción sobre la masa m del punto A, podemos hacer
que sea la misma que la de los puntos discontinuos de la
figura 28.

En efecto; la acción de la masa comprendida en la cel-

— 791 —

dilla e d sobre el punto A, será la suma de las acciones de
todos los elementos de la celdilla y basta escribir,

AM MDI
cosú == UU ———— COS 'l,,
ES Joa o

4

siendo D la densidad en cada punto de la celdilla, d V la di-
ferencial del volumen de ésta, e la distancia de A al punto de
la celdilla que se considera, y %,, el ángulo de g con la nor-
mal A c. Hemos puesto á la integral el subíndice e d para in-
dicar que la integral se extiende á todos los elementos de la
celdilla en cuestión. A la integral anterior puede satisfacerse
evidentemente, y ninguno de sus términos es infinito, por-
que e para ningún punto de la celdilla es cero.
La componente total de todas las masas será:

z LEA cos!;:
ed p?

y si la distribución de la densidad D hacemos que sea con-
tinua, aunque satisfaciendo á las condiciones m' =D d V.....,
la suma 2 se convierte en una integral única,

f mDdV
COS di:
: p?

extendida á todo el espacio B" C'« CBc.

Todo esto es tan elemental y tan evidente, que no hemos
de insistir más en ello.

En este caso, la substitución de la continuidad á la dis-
continuidad es legítima y evidente y no da origen á ninguna
contradicción: nunca p es cero, como acabamos de indicar.

Pero supongamos (fig. 30) que el sistema de puntos abar-
ca toda la semiesfera Bc B"; de modo que hay puntos m',
muy próximos á A, ó sea al punto m.

— 7192 —

Al substituir á la masa m' una masa continua, que llene
- toda la celdilla de e d, el elemento diferencial de la masa n
infinitamente próxima al punto A dará en la integral un ele-

Figura 30.

mento que contendrá el factor ze = Pr. infinitamente
(2 An? :
grande y para ¿ =0 el elemento diferencial parece que será
infinito.
No lo es en este caso, porque si se representa el volumen

JA
,/

Figura 31

de un punto infinitamente próximo á A (fig. 31) por ab a' b',
y A aes igual á e, prescindiendo de la densidad y del án-
gulo %, tendremos que considerar;

volumen abb'a' superficieab><aa” superficieab >< de

02 02 p?

Ú 4

y considerando un ceno infinitamente estrecho, trazando

— 7103 —

una esfera con el radio 1, y llamando á la superficie que
dicha esfera intercepta en el cono, 4Q, tendremos:

superficie ab <de do. aa
A

que aun para el punto A no es cantidad infinita. En este caso
la dificultad era sólo aparente.

Así, pues, dado que la atracción fuese newtoniana, im-
portaba poco extender la continuidad hasta el punto A y
efectuar las integraciones desde cero hasta R.

Pero no sería lo mismo en el caso en que las atracciones
" variasen en razón inversa de una potencia superior á 2.

La misma fórmula anterior, modificada de este modo, sería,
suponiendo ¿*, |

A a op,
pS ol s
y para ¿ =0 el elemento diferencial sería infinito y la subs-
titución de la continuidad habría hecho imposible el pro-
blema.

Advirtiendo, que la imposibilidad no estaba en el proble-
ma mismo, sino en haber introducido artificialmente elemen -
tos n (fig. 30) á una distancia infinitamente pequeña de A,
que habría sido introducir artificialmente elementos infinitos
en la integral.

Por lo tanto, así en este caso, como en casos análogos,
hay que trazar (fig. 29) alrededor del punto A una esfera
Ce C”, que no comprenda ningún punto material; los más
próximos ..... deben quedar fuera de dicha esfera, y la
integración deberá efectuarse entre los radios AC, AB.

En el curso de estas conferencias, tendremos, más de una
vez, ocasión de recordar estos principios, al aplicarlos á teo-
rías generales Ó á casos particulares.

*
* *

. — 79 —

Continuando con estas observaciones crítiticas, no ya de
los principios generales, sino dentro de cada método de los
procedimientos é hipótesis del cálculo; queremos decir, de
hipótesis hechas para simplificar la aplicación de las Mate-
máticas á los problemas de Física, hemos de tratar otro punto
que no deja de ofrecer algunas dudas y dificultades. Que no
las ofrecerá ciertamente para las personas versadas en estas
materias; pero que la práctica de la enseñanza me demuestra
que lo son, para la mayor parte de los principiantes.

Hemos llegado á las tres fórmulas fundamentales de la
Elasticidad, admitiendo, á lo largo de los cálculos, por de-
cirlo de este modo, una serie de simplificaciones, las cuales
han consistido casi siempre en haber despreciado cantidades
muy pequeñas en comparación de otras cantidades mucho
mayores, ó diferenciales de un orden superior ante diferen-
ciales de un orden inferior.

En Matemáticas puras, esto último es claro y preciso;

cuando se habla de una diferencial de tercer orden, por
ejemplo, y de diferenciales de primer orden, y se aplica el
método de los límites, no puede haber duda de ningún
género.

Si tenemos, por ejemplo, siendo « y $ dos infinitamente
pequeños de primer orden y y un infinitamente pequeño de
tercer orden, la relación

Au + BP + Cy=0,

en que A, B, C son cantidades finitas, conducirá dicha rela-
ción á un resultado rigurosamente exacto, dividiendo por x
y suprimiendo el último término; porque tendremos:

A

A+B == 05

0.

y pasando al límite,

— 7195 —

r

3
A+ Blim= + As o

* y siendo y de tercer orden y a de primero,

m2
(94

con lo cual queda

A+B lím z 407

ecuación absolutamente exacta y en que lím —7 es una can-

tidad finita.

Pero si a, $, y no son infinitamente pequeñas, concepto
éste de lo infinitamente pequeño, que se define con todo
rigor, con el rigor, al menos, que á la ciencia humana le es
permitido, cuando se acude á los límites de las relaciones
entre las cantidades; si z, £, y, repetimos, no son cantida-
des infinitamente pequeñas, sino muy pequeñas las tres, y la
última mucho más pequeña que las primeras, todos estos
conceptos de lo pequeño, de lo más pequeño y de lo muy
pequeño, son conceptos vagos, por lo tanto, muy inciertos,
que se refieren á la práctica y á los métodos más ó menos
precisos de observación.

- Una cantidad muy pequeña, no es una cantidad infinita-
mente pequeña, que supone variabilidad: es algo fijo y
puramente relativo.

Cuando se miden distancias, por ejemplo, de 100.000
kilómetros, un centímetro es una cantidad sumamente peque-
ña, porque los procedimientos geodésicos más perfectos no
permiten, para tales distancias, apreciar errores de un cen-
tímetro.

Y, sin embargo, un centímetro, lejos de ser una cantidad
muy pequeña, es una cantidad enorme al medir las longitu-
des de las ondas luminosas de los diferentes colores.

<

Y una milésima de milímetro será todavía una longitud
colosal, comparada con las dimensiones intermoleculares, y
más aún, con las dimensiones de los átomos y de las mo-
léculas, que hoy, con atrevimiento admirable, pero semifan-
tástico, se pretende medir.

Pero precisamente en estas teorías de la Elasticidad, y
sobre todo en el método de Cauchy, en que se parte de lo
discontinuo, cantidades pequeñas, y muy pequeñas, pero
fijas, son las que entran en juego, y no las infinitamente pe-
queñas de las Matemáticas puras, que son cantidades varia-
bles cuyo límite es cero.

En efecto, al establecer las fórmulas fundamentales de la
Elasticidad, hemos tenido que manejar y poner en cálculo
la siguiente serie de cantidades.

Atendiendo á la estructura del sistema elástico, las distan-
cias entre sus puntos materiales y las componentes de estas
distancias, á saber:

Teniendo en cuenta los desplazamientos, las tres compo-
nentes de cada uno,
U, V, W.

Y, por último, las diferencias de estas componentes al pa-
sar de un punto del sistema á otro muy próximo, ó sean:

SU, 0V, 0W.
Pues bien, todas estas cantidades
Try DX,0p, 02; UV ¿0 04 DY 0w;

y además la que llamamos e, no son cantidades infinitamente
pequeñas, sino muy pequeñas. Por ejemplo, las cuatro pri-

— 7197 —

meras del orden de las distancias moleculares. Respecto á
las últimas, debemos hacer muchas observaciones.

En orden de pequeñez, el de r, 9x, 5y,0z, acabamos de
decirlo, es el de las distancias moleculares; de modo que
son cantidades muy pequenas con relación á las dimensio-
nes de los cuerpos sometidos á las experiencias, es decir, á
las dimensiones de los cuerpos finitos.

Pero, ¿cuál será el orden de pequeñez de las demás can-
tidades, es decir, de los desplazamientos y de sus diferen-
cias?

El orden de pequeñez de todas estas cantidades es arbitra-
rio; pero esta última palabra tiene, en el caso presente, su
significación.

Es arbitrario al plantear el problema, pero una vez admi-
tido, las simplificaciones dependerán de la hipótesis estable-

Figura 32.

cida, y las ecuaciones finales sólo se aplicarán á todos aque-
llos casos á que dichas hipótesis sean aceptables, pero no á
los demás.

Serán, por decirlo así, problemas de una clase especial y
de soluciones también especiales.

Aclaremos estas ideas con un ejemplo:

Supongamos (fig. 32) una serie de puntos distribuidos de
cierta manera, y sean a y b dos de estos puntos contiguos.

Podrá suponerse que los desplazamientos, por ejemplo el
desplazamiento a c del punto a sea muy pequeño con rela-
ción á la distancia a b.

Rev. Acap. Ciencrias.—V.— Junio, 1907. 54

— 7198 —

Esta hipótesis determina ya la naturaleza del problema y
determina reglas para las simplificaciones y cuáles son los
términos que puedan despreciarse en comparación con otros
de menor orden de pequeñez; y el punto de partida es éste,
como acabamos de decir: el desplazamiento es muy pequeño
en comparación con las distancias moleculares.

Pero pueden hacerse otras muchas hipótesis. Presentemos
otra más.

Supongamos que A, B, C..... sean puntos diversos del
sistema (fig. 32).

Que el desplazamiento de A, sea AA”; el de B, BB'; el
de C, CC..... y admitamos la hipótesis, que es distinta de
la anterior, que AA” es del mismo orden que AB; los BB',
CC',..... desplazamientos de B y C, del mismo orden que
AB, BC..... Pero si son del mismo orden, pueden ser mayo-
res en magnitud, por ejemplo: A 4” puede ser diez, ciento,
mil veces mayor que AB, si diez, ciento, mil son números
prácticos y aceptables en el problema de que se trate.

Pero admitamos que, á pesar de ser los desplazamientos
del mismo orden que las distancias moleculares, las diferen-
cias relativas de estos desplazamientos sean de un orden de
pequeñez superior á AB.

Así, trazando por B, BA”, igual y paralela á AA”, se.
fijará la condición de que A” BP" ha de ser muy pequeña com-
parada con AB.

En términos concretos: los desplazamientos de los dife-
rentes puntos son comparables á las distancias molecula-
res AB; pero las diferencias consecutivas de estos desplaza-
mientos, son muy pequeñas comparadas con aquella dis-
tancia. :

En la teoría que venimos desarrollando, esto querrá decir,
que u, v, w son comparables á 5x, 5y, 92; pero que 2u, 6v,
9w, son muy pequeñas comparadas á 5x, 9y, 02, U, V, W.

Estamos hablando en la hipótesis general de una distribu-
ción discontinua de los puntos del sistema; esto mismo puede

— 799 —

repetirse, admitiendo sistemas continuos, y entonces ya po-
dremos decir en términos más exactos, que ac es infinita-
mente pequeño en comparación de ab. Y que AA' y AB son
infinitamente pequeños del mismo orden; pero que A” B' es
infinitamente pequeña de orden superior á AB.

En las lecciones Sobre la teoría de la Elasticidad del emi-
nente matemático Mr. Poincaré y en el estudio cinemático de
las deformaciones, se expresa esta misma idea.

Dice Mr. Poincaré (pág. 3), y en lo que sigue substituímos
á sus notaciones las nuestras: «que dv y 0w, son de segundo
orden» y explica esta idea en una nota del siguiente modo:

«Digo de segundo orden, porque considero á 9x como un
infinitamente pequeño de primer orden, así como á u; pero
observaré que, como estas dos cantidades son independien-
tes una de otra, no hay ninguna razón para que considere
á0dx y áu como siendo del mismo orden, y que si lo hago
así, es en virtud de una convención arbitraria.» Precisamente
la segunda que hicimos antes.

Todo esto tiene su importancia, para no hacer en la serie
de los cálculos simplificaciones, que no estén en armonía
con las hipótesis fundamentales, en cuyo caso se llegaría á
ecuaciones, que no serían exactas para el caso de que se
tratase.

Además tiene su importancia para las aplicaciones.

Para las aplicaciones prácticas.

Fijemos las ideas por un ejemplo.

Supongamos un cuerpo rectilíneo, y en él una fila de pun-
tos materiales ó moléculas: sea una barra ideal A B (fig. 33),
y sean A, a, b,..... Blas masas materiales de que está for-
mada.

Supongamos además, que el punto A sea un punto fijo.

=- 800 —=

En la primera hipótesis de la figura 32, aplicada á la figu-
ra 33, si AA”, aa”, bb', cc”, ..... BB' son los desplazamientos,
todos estos desplazamientos serán muy pequeños en com-
paración á las distancias moleculares.

Y también BB' será sumamente pequeña comparada
con dB.
Luego tendríamos aquí un caso que no se acomodaría á

A a e A)

7 A E ON E TIO TU A PE

Figura 33.

los cuerpos elásticos de la Naturaleza, porque en éstos, los
desplazamientos son muy pequeños aisladamente; pero las
deformaciones totales, aunque son muy pequeñas, pueden
medirse prácticamente. Se mide, por ejemplo, el alarga-
miento ó el acortamiento de una barra, la dilatación de una
campana, la flecha de un puente.

Parece, pues, que este caso quizá no estaría en contra-

dicción con la experiencia si se aplicase al éter lumínico de
la teoría clásica; pero no podría aplicarse á otros muchos
casos.
Así, en la figura 33, BB”, que es el verdadero alarga-
miento de la barra, no podría medirse por la aplicación de
los instrumentos ordinarios, porque BB” es menor que dB,
distancia intermolecular que las teorías modernas, con gran
atrevimiento, pretenden calcular, pero que no puede medirse
directamente con los instrumentos ordinarios.

No sucede esto en la segunda hipótesis de la figura 32,
que es la hipótesis de Mr. Poincaré en la teoría de la Con-
tinuidad, como vamos á mostrar inmediatamente.

Vemos en la figura 33 que BB” es el aumento de dimen-

— 801 —

sión de la línea AB; luego si los desplazamientos AA”, aa”
DES y BB” fuesen del mismo orden de las distancias
A y pero mayores, de tal suerte que estos desplaza-
mientos, ó al menos el último BB” contuviera muchas veces
á la distancia molecular media, suponiendo que todas no
son iguales, tantas veces, repetimos, como sea necesario,
para que resulte una distancia prácticamente apreciable, en
esta hipótesis vendríamos á parar á las deformaciones que
nos presenta la experiencia en los cuerpos elásticos.

Y veamos ahora qué serie de simplificaciones hemos
venido haciendo hasta obtener las tres ecuaciones funda-
mentales; claro es que nos referimos á las simplificaciones
fundadas en la supresión de ciertos términos de un grado
elevado de pequeñez.

La primera simplificación fué al calcular el valor de o
(conferencia cuarta).
Este valor de p era el siguiente:

2=V0x2 y dy?+022+ 2(0xdu + 0ydv +02 +0w)-+du2 pov2a m2 —

SL ALIS aa 02?.

En esta fórmula despreciamos 2u?, 01?, 3w?, considerándo-
los de orden superior respecto al término que les precede,
lo cual supone que du, 3v, 9w son muy pequeños, y, aunque
impropiamente, diremos infinitamente pequeños respecto
4.0%, 0P,.0%.

Dicha hipótesis corresponde al segundo caso de la figura
32; es decir, que las variaciones de los desplazamientos son
muy pequeñas en comparación con las distancias molecula-
res, y aquí dejamos arbitrarias las dimensiones de los des-
plazamientos mismos.

as

La segunda simplificación la hicimos al desarrollar por
a serie de Taylor la función f(r + p), que nos daba

Hr+e=f(M0+f (0).

Y despreciábamos el término siguiente en que entraba el
cuadrado de e.

Es una simplificación del mismo orden que la anterior.

La tercera simplificación se refería á la fórmula A (de la
misma conferencia) al despreciar estos términos

PF)

r

(0xdw + 5y9v -+- 220w) du
EP na + 5y0v + 020w)0v ,
r

LO 0x4 +3ydv+ 320w)3w,
.

por considerar que son despreciables 24?, 34 .5v, 54 . 2w,
212, 5v . dw, 5w? en comparación con las primeras potencias
de estas variaciones.

Estamos todavía en el mismo grado de aproximación, que
el de las simplificaciones anteriores.

Recordarán mis oyentes, que lo que hicimos después, fué
desarrollar por la serie de Taylor las variaciones de los des-
plazamientos estableciendo estas tres fórmulas:

du du du atu
$u= —0x 3 — dy + —02 + —=| 0x8 HR sus )
dx o a da
e dv. Did dv. iS AVE
0V= —-0x + — 0y + 02+ — OXRK c.co
dx al dy y dz mE 2 be E ) (0
E, qe y Sn 0x2 + com. )
dx dy dz ZA NA

DES PE e dde «ey

Bs

En ellas despreciamos los términos de tercer orden res-
pecto á 9x, 0y, 02, que son las componentes de las distancias
moleculares; simplificación que todavía es legítima dentro
de la aproximación que nos hemos fijado, porque si 3x, por
ejemplo, es de primer orden, su cubo será de tercero, y mul-
tiplicado más adelante por una de las componentes de la 0
del desplazamiento, por ejemplo du, que es de segundo
orden de pequeñez, resultará que despreciamos términos de
quinto orden.

Si algunas de estas hipótesis faltasen, por no ser conver-
gentes las series Ó por tratarse de puntos singulares del sis-
tema, claro es que las consecuencias no serían legítimas.

Otra simplificación realizamos de gran importancia, que
fué la de suprimir todos los términos que contenían las deri-
vadas de primer orden de los desplazamientos.

Para ello nos fundamos en que sus coeficientes, que eran
las sumas expresadas en la conferencia quinta, podían con-
siderarse como próximamente iguales á cero.

Esta simplificación es absolutamente legítima, como allí
decíamos, para los cuerpos isótropos, porque siempre había
pares de puntos simétricos por relación al centro de la es-
fera e Ó por relación á los planos coordenados, y las masas
para estos puntos eran iguales, de suerte que las integrales
se componían (las integrales ó las sumas ), de pares de ele-
mentos iguales y de signos contrarios, que daban un resul-
tado nulo.

Pero dicha simplificación no es tan evidente, cuando los
cuerpos son heterogéneos, porque aun admitiendo la sime-
tria para cada dos puntos, las masas no son iguales.

De todas maneras, la diferencia será infinitamente pequeña,
y esto parece indicar que el error cometido por esta simpli-
ficación será de orden superior.

— MES

Sobre el punto en cuestión, ya hicimos algunas observa-
ciones en las conferencias precedentes.

Algo tenemos que decir todavía, antes de terminar estas
consideraciones generales, sobre las fuerzas que actúan en
cada sistema elástico.

Estas, explicamos que eran de dos clases: fuerzas exter-
nas que actúan sobre cada elemento del sistema, es decir,
sobre cada masa material, m; y si el cuerpo es limitado, fuer-
zas externas que actúan sobre la superficie que lo limita.

Tal distinción entre unas y otras fuerzas, introduce ciertas
dificultades en la solución del problema, porque en rigor
viene á establecer una discontinuidad, y la discontinuidad
complica los problemas, como veremos más adelante.

Pero aun prescindiendo de esto, si todas las fuerzas ex-
ternas F..... cuyas componentes son X, Y, Z..... y todas las
fuerzas P que actúan sobre la superficie tienen una resul-
tante, es claro que el sistema tendrá un movimiento en el
espacio, que vendrá á complicar, ya el caso del equilibrio, ya
el caso del movimiento.

De suerte, que para que no exista un movimiento gene-
ral del sistema, sería preciso que se verificasen estas ecua-
ciones de condición,

SX+EP,=0,
Y Y +YP,=0,
SZINA

Y además otras tres respecto á los pares de fuerzas.

Extendiéndose desde luego las sumas á todas las fuerzas
externas, tanto á las que actúan sobre los diferentes puntos
del sistema, como á las que actúan sobre la superficie del
mismo, suponiendo que el sistema sea limitado.

— 805 —

Sobre esta observación, insistiremos más adelante.

Claro es, que sólo hablamos de las fuerzas externas, por-
que las internas, siendo iguales dos á dos y opuestas, es
evidente, que sus componentes se anularán.

Pero la observación que acabamos de hacer, tiene impor-
tancia en los problemas de Elasticidad, que estamos estu-
diando.

Procuraremos ponerla de relieve por medio de un ejemplo
muy elemental, que ya tratamos en el curso precedente con
motivo de la Teoría del calor.

Figura 34.

Supongamos (fig. 34) dos puntos materiales a, b, para los
cuales la curva de Saint-Venant está representado por BC.

Supongamos, además, que sobre el punto a actúa la fuer-
za P; y sobre el punto b, otra fuerza P, igual y contraria á la
anterior. El conjunto de ambas fuerzas tiende en el caso que
representa la figura á aumentar la distancia a b.

Si suponemos que se trata puramente de un problema de
equilibrio, éste quedará reducido á determinar la longitud ab
que corresponda á un desarrollo de fuerzas interiores igua-
les á P.

Fijemos las ideas.

Si trazada la curva de Saint-Venant, que suponemos que
es BC, tomamos sobre el eje de las y una longitud A G,
igual numéricamente á la fuerza P y trazamos la paralela GC

E

al eje de las x hasta que corte la curva en C, tirando CD
perpendicular á dicho eje de las x, es claro, que la distan-
cia AD representará la distancia ab de los dos puntos, como
solución de equilibrio.

Porque en efecto, habiéndose separado los puntos hasta
esta distancia, la curva de Saint-Venant demuestra que se
desarrollan las fuerzas internas iguales y contrarias

P,=CD=AG=P.

Luego cada uno de los puntos dados, a por ejemplo, está
sometido á dos fuerzas iguales y contrarias P, P,, luego está
en equilibrio.

Y otro tanto podremos repetir para b.

Pero obsérvese que en este caso, entre los datos no había
contradicción para el equilibrio, porque la suma de las dos
fuerzas P iguales y contrarias era igual á cero.

Pero supongamos que el problema hubiera sido este otro:

Determinar el equilibrio de dos puntos a, b, bajo la ac-
ción de la fuerza P actuando en b, y de la fuerza P + Q ac-
tuando en a.

Si repitiéramos en este caso la construcción anterior, para
el punto b habría equilibrio; pero no lo habría en el
punto qa.

En este punto, P y P, se equilibran; pero queda la fuerza
Q que separará á a de b, que modificará el valor de las
fuerzas internas y que producirá un movimiento de los pun-
tos a y b, según estudiábamos en el curso anterior.

Luego, aquí el equilibro era imposible, y el problema de
equilibrio se convierte en un problema de movimiento. El
centro de gravedad de a y b se moverá constantemente so-
bre la línea ab obedeciendo á la fuerza Q, y al mismo tiem-
po, dentro de este movimiento general, vibrarán los pun-
tos a, b, sin que el equilibrio sea nunca posible, á menos
que no se establezcan otras hipótesis. -

a AAA

— 807 —

Pues esto que hemos explicado en el anterior ejemplo, es
aplicable á un sistema cualquiera elástico.

Si las fuerzas F..... aplicadas á los diferentes puntos del
sistema y las fuerzas P aplicadas á la superficie, suponiendo
que el cuerpo está limitado, no satisfacen á las ecuaciones
generales del equilibrio de un sistema sólido, el equilibrio
será imposible y se convertirá en un problema de movi-
miento elástico.

Es decir, que el sistema se moverá en el espacio, y den-
tro de este movimiento general habrá un: movimiento vibra-
torio de los puntos del sistema.

Decimos vibratorio, para simplificar, que la complicación
puede ser mayor.

Y también para simplificar, hemos supuesto hasta aquí
que sólo se trataba de movimientos de traslación, pero real-
mente, las fuerzas F..... y P..... no sólo deben satisfacer á las
tres ecuaciones ya escritas, sino á éstas y á otras tres rela-
tivas á las componentes del eje del par resultante; de suerte,
que son seis ecuaciones de condición, que abreviadamente
podremos escribir de este modo:

coma (EP) =0,

como (E; P)==0,

com, (E 2) =0,
cop. par 1, P)= 0,
comp. par, (15. P)=0,
comp: par. UE, P)Yy= 0:

De manera, que si lo que se nos pide es el equilibrio de
un sistema elástico y las deformaciones que de él resultan,
los datos no pueden ser arbitrarios: es preciso que entre
las F..... y las P..... existan las seis ecuaciones de condición
que acabamos de escribir.

No teniendo en cuenta estas circunstancias, nos sería fá-

— HEEE

cil señalar algunas aparentes contradicciones entre las tres
ecuaciones fundamentales de la Elasticidad, que hemos deter-
minado hasta ahora.

*
* *k

Con esto damos por terminada la primera parte de este
Tratado elemental 6 de estas Nociones generales de la Elas-
ticidad.

Decimos que es la primera parte, porque es claro que el
problema no está estudiado por completo, ni aun en esta
forma elemental que decimos, si se trata de sistemas elásticos
limitados.

Hemos establecido el equilibrio, es decir, las condiciones
de equilibrio, traducidas en tres ecuaciones:

0

> qe cl E +81 =0,
3 d

Y ASA EN

e di
Z+(h+u)— + yAw=0.
dz

Hemos establecido, asimismo, las tres ecuaciones del mo-
vimiento elástico, que serán las anteriores, agregando las
componentes de las fuerzas d2 inercia; pero estas ecuaciones
sólo son valederas y sólo se aplican para todos los puntos
del interior del cuerpo, pero no para los puntos de la super-
ficie, ni siquiera por una zona paralela á ésta y de espe-
sor e.

Para la superficie Ó para esta zona, las condiciones han de
ser distintas, por las razones que ampliamente explicamos
en las conferencias precedentes.

Y por eso decimos ahora que el problema está resuelto d
medias.

— 809 —

Hablemos sólo del problema de equilibrio para evitar repe-
ticiones.

Pues bien, al llegar á este punto, el problema de Mecá-
nica se convierte en un problema de cálculo: dadas estas tres
ecuaciones en diferenciales parciales de segundo orden, de
u, V, W, como funciones y de Xx, y, z, como variables inde-
pendientes, que así resultan cuando se substituyen por los
símbolos f y Á sus expresiones, será preciso obtener las inte-
grales generales de dichas tres ecuaciones. Y supongamos
que se encuentran y que son

ME E
1 B (x, y, 2);
y (0. 2);

pues el problema no queda por esto resuelto, en el caso, no
lo olvidemos, de un sistema limitado.

Las expresiones anteriores representarán los desplaza-
mientos en todo el interior del cuerpo; pero no serán aplica-
bles, desde luego, á la superficie, Ó 4 priori no hay motivo
para creer que lo sean, ni tampoco satisfarán al equilibrio
de los puntos de dicha superficie en que actúan las fuer-
zas P..

Tanto es así, y tan evidente es nuestra afirmación, que en
las ecuaciones que hemos integrado, no entran para nada
dichas fuerzas P; no entran más que las fuerzas externas que
actúan sobre el interior del cuerpo, es decir, las fuerzas

Si las fuerzas P hubieran sido distintas, hubiéramos obte-
nido las mismas integrales <, f, y; luego nos falta completar
la solución del problema.

Es preciso, por lo tanto, que las tres funciones de Xx, y, Z,
que representan los desplazamientos, no sean funciones per-
fectamente determinadas; porque entonces el problema en

— 810 —

general sería imposible, y sólo serían posibles ciertos casos
particulares.

Es preciso, repetimos, que las tres funciones v, $, y, ten-
gan cierta amplitud, ó si se quiere cierta indeterminación, de
la cual podamos servirnos para satisfacer las condiciones
relativas á los límites, ó mejor dicho, á la superficie límite.

Afortunadamente las integrales de las ecuaciones diferen-
ciales, si sólo se trata de que satisfagan á las ecuaciones dife-
renciales dadas, no son únicas, sino que comprenden muchas
soluciones; y de esta indeterminación hemos de servirnos
para resolver el problema en su segunda parte.

Por ejemplo; convendría obtener integrales para u, Y y w,
de esta forma Ó bien de otra más general, aunque este es
punto delicado:

ASC Y AENA, Di
v=$ (x, Y, 2% (x, Y)+.-),
La (X, y, 2, Ya (x, y)...),

en que 2, ¿;, %... fuesen funciones arbitrarias, y así podría-
mos aprovecharnos de la indeterminación de estas funciones
en el resto del problema.

Vemos, pues, que este problema de la Elasticidad se
enlaza íntimamente, como todos los de la Física matemática,
con la teoría de las Ecuaciones diferenciales parciales; que
sin conocer esta teoría á fondo, se camina casi á ciegas Ó por
tanteos en esta rama fundamental de la Física matemática y
aun en todas.

Vemos, en suma, que es capitalisima la solución de este
problema: integración de ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden.

Mas para nuestro objeto y por el pronto, no necesitamos
tanto; no necesitamos saber cómo se integran, nos basta
conocer reglas precisas para determinar la generalidad de la
solución, la indeterminación que contiene, el campo que abar-

— 811 —

can, por decirlo así, las infinitas soluciones de estas ecua-
ciones diferenciales.

En suma; ¿qué recursos dejan á disposición del matemá-
tico en su aplicación á los problemas de la Física, para armo-
nizar la teoría con la práctica?

Y todo esto que llevamos dicho para el caso del equilibrio,
podremos repetirlo para el caso del movimiento; sólo que en
éste las dificultades se agravan y se complican, porque no se
trata sólo de integrar las ecuaciones diferenciales; ni tam-
poco de satisfacer á las condiciones de los límites, sino que
hay, en cierto modo, tres problemas que se refieren á estos
tres puntos.

1." Integración de las ecuaciones diferenciales relativas
al movimiento para el interior del sistema.

2.” Hacer de modo que estas integrales satisfagan á las
condiciones del instante inicial. Es decir, que para £=0 den
los desplazamientos iniciales y las velocidades iniciales de
todos los puntos del sistema.

3.” Que dichas integrales satisfagan á las condiciones
relativas á los límites, que pueden ser muy variadas. Por
ejemplo: presión constante en toda la superficie; presión
variable en función de x, y; puntos fijos en diversas condi-
ciones de empotramiento; movimientos vibratorios determi-
nados; en resumen, un número infinito de problemas infini-
tamente difíciles, que si con ellos se compara el estado
actual de la Ciencia, resultará para ella una situación triste
de inferioridad; á pesar de las admirables teorías creadas y
de los prodigiosos esfuerzos de los grandes matemáticos,
que á esta clase de problemas han dedicado toda su energía
y todo su genio.

Respecto al problema que antes indicábamos para la inte-

— 812 —

eración de ecuaciones diferenciales parciales, no pueden olvi-
darse los admirables teoremas de Cauchy, que alguna vez en
-el curso de estas conferencias tendremos que recordar,
abriendo en ella uno Ó varios paréntesis; pero aun así y
todo, estos teoremas tienen sus limitaciones.

En la conferencia próxima pasaremos ya, según antes indi-
camos, á la segunda parte de la teoría de la Elasticidad, es
decir, al estudio de las condiciones de los límites en un sis-
tema elástico.

XXXVII. — Nueva teoría para el desarrollo de las
ecuaciones finales.

Por GUALTERIO M. Seco

100

Ejemplos para comparación de métodos.
PRIMER EJEMPLO: m = 3. Por nuestro método:

y =0 Y k + b V ke; y =0pP + SA*0p* EA (basta).
Subsiste a? p? = a*k; y su simétrico b*p* = b*k?; término

3a?bp*

que ocupa el centro de simetría: ap <y= 3abky;

ecuación final:
y3= 3abky + a*k + 69k [16]

SEGUNDO EJEMPLO: m= 4. Por nuestro método; poten-
cias de y:

y=ap op ep =0 Ve +0 Ve +0 VR
y? = q?p? + 2abp* + (b? 4 2ac)pt+-..... (es suficiente)
yi = atp! | 4abp” + (6a?b? + 4a*c) p* + (12a*bc 4

+ 4ab*) p + (6a?c? + 12ab*c + b1) p*..... (bastante).

— 813 —
Subsiste a*p* — ak; y su simétrico ctp!? = ct ko,
4a*bp”
ap

Coeficiente racional de y,

= 4a?bk, y su simétri-

co 4bc?k?; tenemos, pues,
(4a?bk + 4bc"k") y= (4a?bp* +4 4bc*?p*) (ap + bp? + cp?)
y, efectuando la multiplicación

4abp? — 4a?b?p9+4a?bep"+.....

Ahora, restando del primer miembro de y* las cantidades
racionales halladas; y, del segundo, el producto anterior, la
diferencia es

yi— atk—(40%bk-+-4bc?k3) y.....—ctk?=(Qa?b? +4a*c) p*--
+(8a?bc + 4ab”) p" + (6a*c? + 12ab*c + b%) ps....., etc.

El coeficiente racional de y? es

CAPARO e AOL

a? p?

teniendo (25? +-4ac)ky?=(2b?*p*+ 4acp*%) (a?p?7-2abp”+
+(b? + 2ac)p*..... ) = (2a?b? + 4a*c) p* + (8a?bc +
+ 4ab”) p" + (Barc? + 8ab?c4-200 p9+..... ); y, restan-
do, miembro por miembro, esta igualdad, de la anterior, y
trasponiendo al segundo miembro los resultados hallados,
da finalmente la ecuación racional

yt = (2b? + 4ac)ky? + (4a?bk + 4bc?k?) y + atk +
+ (4ab?c — 2a?c? — b*) k? + c*Kko,

TERCER EJEMPLO: m = 4 (repetición del anterior). Por
nuestro sistema del primer caso particular:

Rhv. Acap, Ciencias. —V. —Junio, 1907.»

— 814 —

y=aV +0 Ve +0 Vd
(y — o Vx) =(a Vk + 0 Vio) = y? —20y Vk + bik=
=a Y + 2ack + eV k
y +bk—2ack =(a* + ek + 2b0y)V k
y: + 2 (b? — 2ac) ky? + (b? — 2ac) k? =4b*ky? +
+4(0 + c?k)bky + (a? + cok),

de donde se saca la ecuación final, idéntica á la anterior,

y: = (2b? + 4ac) ky? + 4bk (a? + c?k) y + atk 4
+ (4ab?c — 2a?c? — b*) k? 4 ct ke. [17]

CUARTO EJEMPLO: m = 5. Por nuestro método del caso

general.

Para que se distinga bien el desarrollo del cálculo (que, en
el quinto grado, ya tiene alguna complicación) lo pondremos
reunido, con llamadas al margen, para las notas aclaratorias.

(M(y) =ap + bp? + ep" +dp* |
(y?)=0*p? + 2abp*+-(b? + 2ac) p' + 2(ad + bc) p* +
+ (02 + 2bd)p+.....
(y3) = a3p* +3a*bp* + 3(a?c + ab?)p? + (6* + 3a*d +
+ 6abco)p.+.....
(y) = aóp5 + 5atbp* + (5atc + 10a*b?)p" + (Satd +
+ 10a?b3 + 20a*bc) p* + (Sab* 4 10a*c? + 20a*bd +
+30a?b*c) p* + (b* + 20a*cd +-20ab*c + 30a*bc? 4
1-30a?b?d)p"+(5b*tc+10a*d*+ 10a?*c* + 20ab*4d4
+ 30ab?c? + 60a?bcd)p"+...:.

Termino que súbsiste.: ¿0 a api = ak
E SIC Camente o. ad apro ds
SU + Ops: ap =.D0*bk tendremos... ja 54bky;
Sy simelficamente: dada reos 5cd?k? y;

O (5atc + 10a3b?) p" — 5arbp? < bp? : a?p? =
— DOE SOU pra DA
EROS. tos 5 (a?c + ab?) k y?;
Mesimetticamentes senda al 5(c2 d+ bd?) k? y?;
(5atd + 10a?b* + 20a*bc) pe — 5a*bp? <cp* +
— 5(ac + ab?) p< 2abp?, : ap? = 5(atd + añbc) ps:
asp? = 5(ad + bc)k

¡entremos riada 5 (ad + bc) ky”;
(9) F(5btc+10a*d? - 10a?cr + 20a4b*d430ab?*c?*4

+60 a?bcd) pt —5(ac+ ab p? <(c?<+ 0) =

+-2bd)p*—5(ad + bc)p? <(b* + 3a?d + 6abc)p*

(7

—

(8

—

l5bic + 10ard? + 10a2c* + 200 03d +]
+ 30ab?c?+-60a?bcd—5a?*c*—5ab?c?+
nea rd JADE pd Ly 108 Id cd
—30a?bcd — 5btc—15a*bcd— 30ab*c*|
='5 (act —ard*+abcd= b*e2 + bd) ke
y tendremos... Mac* = avd? abed —b?e* + 69d) k?*y;
(10) F (0? 4+20a*cd +-20ab*c + 30a*?bc”4-30a*b*d) p" +
—5(ac + ab”) p? <(Qad + 2bc) p? + A
—5 (ad + bc) p?<3(a?c + ab?) ps
b>+20a*cd +-20ab* +30a?bc? +- 30a?b*d+-
=| —10a*cd — 10a?b?d —10a?bc? —10ab3c + | <p,
—15arcd— 15a?bc? —15a?b*d —15ab*c
tendremos, pues, (b* —5a*cd— 5ab*c4-5a?bc?4- 5a?b?d)k>,

— 816 —
(11) y, simétricamente, (c? —5abd*—5bc*d4-5b*cd?+-5ac*d2)k*;
(12) y, finalmente,
5jad+bc! ky3+5 (arc4ab2)k+(c2d+bd?)k?, y?4- |
+5 ¡a%bk+ (aci—a?d?+abcd-—b*c+b*d)k2+cd*k*, y+-
ea [pay Gatord—5ateda bo—5abic+5atbe) e +
I+76b?cd?—5bcrd+c*—5abd*+)5ac*d?k*4d*k:, |

[18]

Terminado el cálculo, demos la explicación de las opera-
ciones:

(1) Se desarrolla las potencias de (y); en la segunda y
tercera, sólo se llega al término de p*, porque, multiplicado
por el factor racional p*, da p'' que corresponde en (y?) al
término donde acaba la investigación (ponemos y entre
paréntesis para facilitar las referencias).

2) y(65 Términos que subsisten, según hemos explicado;
el segundo se calcula por la simetría.

(My(6) El segundo término de (y?) dividido por el pri-
mero de (y), nos da un término del coeficiente racional de y.
Hay otro término simétrico.

(6) y ('M Del tercer término de (y”), se resta el producto
del primer término hallado en (4) para el coeficiente de y;
la diferencia, dividida por el primer término de (y?), nos da
un término del coeficiente racional de y?. Hay otro, simé-
trico.

(8) Del cuarto término de (y”), se resta los productos del
primer término del coeficiente de y, multiplicado por el ter-
cer término de (y), y del primer término del coeficiente
de y?, multiplicado por el segundo término de (y?). Dividien-
do la diferencia por el primer término de (y?), el cociente es
el coeficiente racional de y?. No hay otros términos simétri-
cos, pues, como dijimos, y* ocupa el centro de simetría.
(Véase el esquema.)

(% Del séptimo término de (y”) se resta los productos

— 817 —

del primer término del coeficiente de y?, multiplicado por el
quinto término de (y?), y del coeficiente de y”, multiplicado
por el cuarto término de (y?*); la diferencia, dividida por el
primer término de (y), nos da los términos que nos faltaban
para completar el coeficiente de y. Por la razón expresada
antes, no hay términos simétricos.

(10) y 1) Del sexto término de (y?), se resta los productos
del primer término del coeficiente de y?, multiplicado por el
cuarto término de (y?), y, del coeficiente de y*, multiplicado
por el tercer término de (y”). El resultado es un grupo de
términos racionales, independientes de y. Hay otro grupo,
simétrico del anterior.

(12) Se forma la ecuación racional, sumando los resulta-
dos de las operaciones anteriores.

Prueba de la operación: puede hacerse substituyendo las
tres primeras potencias de y en la ecuación [12], por las
correlativas de (y); y, restando su segundo miembro del
de (y?), completado con los términos que faltan y están indi-
cados por puntos suspensivos, la diferencia ha de ser cero.

QUINTO EJEMPLO: m =6. Método de nuestro caso parti-
cular (Véase al final de la segunda parte).

SEXTO EJEMPLO: m = 3. Eliminación por el método del
máximo común divisor, considerado como relativamente fá-
cil (compárese con el primer ejemplo ). Ecuación:

ds Vk sd Ver, haciendo p = VE.

— 818 —

SISTEMA DF. ROVACIONES PRIMERA DIVISIÓN
Op ap YU p?—=k bp"+ap—y
3 k— >< ——
p?=k=0 b SA
bp* —bk
| — bp? — ap? + yp
00 — ap? + yp — bk
<b
—abp?+byp— b?k
+abp*+a*p — ay
00 +(a*+by)p—(ay+b?k)=0.

SEGUNDA DIVISIÓN

bp? + ap — y ¡ (a? by)p—(ay+ b*k)

< (a? + b y) bp + (a*+2aby-+ b*k)

(a? +-by)bp*+(a? + by)ap—(a?+by)y
(a? +by)bp?+(ay +b*k)bp

00+(a* - 2aby + b*k)p—(a? — by)y
><(a? by)

(a?+by)(a?+2aby + b3k)p— (a? 4+-by) y
(a+ by) (a*+2aby +b*k)p + (a*+2aby+-b*k) (ay 4-b*k)

Rosiduo indopendiento de pp.....(AP+-20by-b*k) (ay +b?*k)—(a?+by)Y?y=0
aty + 2a?by? + abiky 4 ab + 2ab*ky +
+ b3k2 — aty c2Y 209 b y? 5 b? y? == 0,

— 819 —

y, finalmente,
y*= 3abky + Ak + b9k?.

Esta ecuación es idéntica á la [16], no nos ha dado solu-
ciones extrañas, y no hemos tenido necesidad de aplicar el
método del máximo común divisor, para averiguar si existía
entre los primeros términos de los dividendos parciales y de
los divisores. A pesar de estas ventajas, volvemos á rogar
que se compare esta operación con la del primer ejemplo.

SÉPTIMO EJEMPLO: m= 4. Por el método del máximo
común divisor. Sistema de ecuaciones para verificar la eli-
minación:

cp? + bp? ap—y=0,
pk = 0:

PRIMERA DIVISIÓN
Primer dividendo parcial, p*, que hay que multiplicar porc:
cp —ck=0 cp*+-bp?+-ap—y =0
DR ROO OP NAMES

Segundo dividendo parcial: 00 —bp*—ap?+yp—ck
E

—bcp?—acp?+cyp—c?k
+|bcp*+b*p*+abp—by

Residuo: 00 -+(0?— ac)p?+ (ab+cy)p—c?k—by=0.

Al proceder á la segunda división, multiplicaremos desde
luego el dividendo por b?—ac; y hagamos, para más como-

didad,
Bac =F

ab=+cy=G
cik + by =H.

— 820 —

SEGUNDA DIVISIÓN

Fclp3+Fb |p?-Fa lp —Fy

Fp? + Gp — H
—Fe| --Gc | +Hc |

cp +Fb-— Gc

>= E

0/03 +F*b [p?+F?a |p —F?y
—FGcel| +FHcl| YEFHb
—F?*b| —FGb| —GHc
+FGc +G?c

Efectuemos el desarrollo de este residuo.

F?a = (b? — acta = abt — 2a?b?c + arc?
PAC ==1(0*—- AYRES > Dy)c=
= bD?c0k -- actk + bey —abce?y
— FGb= — (b* — ac) (ab + cy)b
= —abt + a?bec — b3cy + abc?y
G*c = (ab + cy)?c =a?b?c + 2abc?y + e?y?

Suma:

F?a + FHc — FGb +G?c= añc? + becsk— actk +
+ 2abc?y + cóy? = M,

que es el coeficiente de p en el residuo.
Pasemos al término independiente de p:

HEY +0? + 40 y == + 2ab*c) 010
F Hb = (b? — ac) (c?k + by) b =
= b9c?k — abe3sk + bty —ab?cy
— GHc = — (ab + cy) (eek + by)c =
= — abc?k — ctky — ab?cy — be?y?.

— 821 —
Suma:

— F?y + FHb— GHc = — a*c*y + b3crk — 2abc*k —
—ctky—bcy?=N.

(*) El residuo Mp + N pasa á ser divisor en la

TERCERA DIVISIÓN

2 Es |
FM|p2+ GM |p--HM | Mp + N
—FM| -—FN ¿
Fp + GM— FN
TN <M
0 A A AA A 2

+ GM? |p — HM?

— FMN

—GM?| —GMN

+FMN| +FN?

Desarrollemos ahora este residuo, que es la ecuación final
que buscamos.

—HM?*=-—(cek+by) (b?ck+a8—actk42aby+cy?)=
=-— (brete ay arctle y 2a bre k—2abretle +
—2atcrk+4ab3cky4-4atby—4a?bc?rky+4a*b*y?2-
+ 2b?cky?+2a80 y? —2ac?ky? +4abcy?4-c? y!)

<(c?k + by) =

(*) Es de advertir que los coeficientes del dividendo y del divisor
son primos entre si, porque (b*c — ac?) k+ a?4 2aby + cy”, divi-
dido por b?— ac, da un residuo a? + 2ab y + b?, que no es igual á
cero; y puede, desde luego, efectuarse la tercera división.

— 822 —

(Mi —btetk3-- atcerk—a?csk*—2a3b?c3k? 1 2ab?c?k3+ |
+ 2a%c*k* —4ab*erk*y—Aatbc"ky + 4a*bctk?y —4arbicky?+
—2b?ctk? y? — 2a*c3ky2+2ac?k?y?—Aabc*ky?-—ctkyt+ |
—b3crk?y —atby—a?betk*y —2a8b8cky+2ab*c3k*y+ |
+20*bc"ky—4ab*cky?—4a*b*y?7-4a%b*c”k y?—4a?b*y*4-
—2b8c?ky3—2aPbcy?4-2abc*ky? —4ab?cyt—bc? y”
—GMN= — (ab + cy) UN
M=(b?*ck -4- a? — ac?k + 2aby + cy?) <
—N=a?y — b3k + 2abck + c?ky + by?
—MN=(a?b?cky + ay — abeky + 20Bby? + atcy? +
—b?ck?—arbk+ab*crk?—2ab*tky—b8cky?8 :
+2ab*c?*k?+2atbck—2a?bc*k?4-4a?b*cky+2abc?ky?+
+b?c?k?y 4 arc?ky —actk?y-+2abc?*k y? + cóky? +
+b3cky?4-añby? — aberky? + 2ab?y? + bcy1*)
(ab + cy) =
| +b3Cky + aby — atbe?rky + 2atb?y? + a?bey? +
— abiek: —atbik + abi le —2abky —abteky+
+ 2a?b*c?k? 4 20*b?ck—2a*b?c*k? 4 4a*b*cky + 2a?b?cky+
+ab*cik?y+atberky—a?bctk?y + 2a?b?c?k y? aberky?+ |
+abteky? + atb?y? — a?b?c?ky? + 2a?b8y? + ab?cy*W
+ (A4?b?*c?ky? + cy? — aécóky? 4 2a%bcy? + a?c?yt +
¡— boe tey— asbicky+ abrerkty—2abteky2— beerky3+ |
| 4 2ab*c?k?y+-2a*bc?"k y —2a?bctk?y+4a?b*c*ky?+-2abc*ky9+8
+b?ctk?y?240P4c3ky?—ac?k?y?+4 2abc3ky34-ctky* 4
+ b9c?rky3 + aBbcy? — abe?rky? + 2ab?*cy* + bc? y?
FN?= (03k —2abck — ay — c?ky -- by?) (0? — ac) =
=(0k2 + 4 a?b%c? k? —4abtck2— 2a?b38k y — 2b%c?k?y +
+4a8bcky+4abc3k?y—2b*k y? +4ab?cky?+aty?4
+ ctk?2y? + 2a?c?k y? + 2a?b y? + 2bc?ky* + b?y2)
>< (6? — ac) =

— 823 --

Sd + b5k?2 - 4a?bte? (2 — 4abick?— 202b"ky — 2b*c?k?y +
+4aBb8cky + 4ab3c3 y —2b"k y? + 4abteky? + atb?y? 4
+ b?ctk?2y2 + 2a?b?c?Pk y? + 2a?b*y? + 2b8c*ky? + 0'y* + |
— abel? — Aaa y abre le + 20*b*cky + 2ab3c y +
—Aatbeky—4a?bct?y+ 2abtc ky?—4a?b?c*ky?—acy?+
— acók?y? — 2a8c3ky? — 2a%bcy3 — 2abciky? — ab?cy!.

Sumando los polinomios (1), (2) y (3), podemos ya formar
la ecuación final.

A AR a

y hallamos:
PL =0,53 Po,
. =b*— 2ab?c + a?c? = (6? — ac)?
P, = 6a?b?c?k — 2bk —4a*c*k= —(b?—acy (2b? + 4ac) k
P, =8ab3c3k? — 4atbc?k — 4a?bctk? — 4b3c?k? +
- 8avbck— 4a?b?k =
= — (b? — acy (40%b0k + 4bc?k?)
P, =b512 — 6absele — bectko — arbik + Mabe Re —
— 8a Pb? + 2ab?c3k* + 2a*b*ck 4
— ace ke + 2atctk? — atc?ok =
= (b2 — ac)? (btk2 — 4ab?ck? — ctk3—atk + 2a?c?k?).

Los segundos miembros han quedado descompuestos en
factores primos de los primeros miembros, por medio de las
divisiones siguientes:

—2k en + 0|bt4-60*cok [0 —4atck 1bt—2acb?7-a?c?
+2k| —4dack| +2a3k | |
+4ack| —8a?crk| +4a8c3k |

| —2kb?*--4ack

o o 0 o.

— Eb

—4a?k |b*+/8acik? | b3—4atc?k | b
—4c?k? | 48a*ck —4a? cie
+ 4ak —8v*ck + 4asc?k
+4ck| —8achk?| +4a?ctk?
0 0 0
k?|b8—6ack? |b6-4-11 a?c?k?
—atk +2ac5k3| —a?cóko |
CO +20ck |. =atek |
—kel +20 —arele | |
O| —4ack?2 |
+4ack| —8arc?k2| +4a3c3k
0. +20%0p |
— (1k3
—atk | |
—20?4c2k?| +40] +4 2a*tctk?
+e1k3 —2a8ck | —A ce
+ atk —2acók3| +atc?k
0 0 o

¡bt 2acb?+a?c?
4 ekb—A4c eb

bt —8a3c?k?|b? 420001 | 0t— 2a PEF

K2b*— dabtck +
2224? — es alk

Podemos, pues, suprimir el factor común (6? — acy.

Como quiera que en la segunda parte hacemos detenida
comparación de nuestro método con el del desarrollo de las
determinantes menores, que es el más sencillo de los usa-
dos hasta ahora, hemos tenido intención de suprimir el ante-
rior complicado ejemplo del método de eliminación por el
máximo común «divisor (*); pero creyendo que no será

(**) En la Memoria remitida á la Real Academia, éste era, quizá,
el pasaje más descuidado; pues no solamente incurrimos en la candi-

— 825 —

enteramente inoportuno el cotejo de los sistemas más gene-
ralmente citados en las obras de texto, no solamente desis-
timos de descartar dicho ejemplo, sino que nos permitimos
añadir el siguiente, que no nos parece todo lo rápido que es
de esperar del nombre del método que vamos á aplicarle.

OCTAVO EJEMPLO: m =3. Por el método llamado rápido,
recomendado para ecuaciones sencillas, y que, por lo tanto,
parece de oportuna aplicación á un sistema de dos ecua-
ciones, que son sencillísimas.

10) =pP=k=0

v(p) =bp" + ap —y=0
F(p)><b= bp3 — bk=0 |
c(p) <p =bp* + ap? — py=0)

=(p)=+ (0) <p—f(p) <b = ap" — py —bk =0
«(p) <a=abp”+ ap --ay=0 |
m(p) <b=abp*-—byp+4b"k=0

a (p) =:(p) <a —(p)<b=(a*+by)p— ay—b*k =0
e dd US
=(p)<y=ayp?—y*p+bky=0 )

B=(p)<bk=+ (p) <y =(ay + b*k)p+-(abk— y?) =0
a(p)<(ay +b*k)= (a*4-by) (ay +-b*k)p —(ay+-0*k) (ay +-0*k) q
AS RAE AO O

dez de dar al método del m. c. d. el inadecuado adjetivo «usual», sino
que incurrimos en error en la segunda división parcial de la tercera
división, habiendo cometido la ligereza de no repasar el cálculo, Es
verdad que no le damos importancia, porque su objeto era poner de
manifiesto la complicación de las operaciones; pero esto no excusa
la falta.

— 826 —

Diferencia: (ay + b?k)? + (abk — y?) (a? + by) =0 =
= (2%y2+ 2ab?ky + btk?4- arbk— aty?+ ab?ky—by*=
= y? — 3abky — ak —b*k?=0

Resumen: en todos los casos posibles, nuestro método
lleva enormísima ventaja en el cuarto grado; y alguna en el
tercero.

Pero observando la enorme multiplicación de trabajo que
resulta desde el tercero al cuarto grado, aplicando el método
rápido, puede calcularse hasta dónde llegará la complica-
ción en los grados superiores; y concluiremos diciendo que
la operación por dicho método en tercer grado, es fácil; en
el cuarto, enojosa; en el quinto, penosísima, y en los gra-
dos superiores, impracticable (*); mientras por nuestro mé-
todo hemos llegado al sexto grado, y llegaríamos al octavo
sin que resultaran penosas las operaciones.

NOVENO EJEMPLO.—Vamos á hacer racional la siguiente
ecuación, comprendida en nuestro segundo caso particular:

y=d Vr .Vm YE Vk +
ova .Vm.V e .Vie+cYVa.Ym Ye. Vi+
Pana Yme Y L.V Es [20]

Desde luego se observa que / ha de ocupar los mismos
lugares que k, pero con el orden de exponentes invertido. Si
ordenamos la anterior ecuación irracional por el orden de las
potencias crecientes de m, y comparamos con la ecuación
[1], vemos que b' d' a” c” ocupan los lugares que antes ocu-
paban abc d; y m, el de k; de modo que m acompañará, en
la ecuación racional, áb' d' a' c”, como antes acompañaba k

(*) Lo mismo sucede con el método del máximo común divisor,

— 827 —

áabcd; en cuanto á n (lo mismo que / con respecto á k),
ocupará los lugares de m con los exponentes invertidos.
Pero, al mismo tiempo, los coeficientes no dejarán de ir
acompañados de k, /, según hemos dicho; por manera que,
á cada letra, han de acompañar k l m n, en la ecuación final,
como la acompañarian en las dos ecuaciones correspondien-
tes á

con lo cual podemos desde luego establecer la ecuación si-
guiente, en la cual quitamos á las letras los acentos, que no
nos hacen falta.

Es de advertir que, si queremos hacer la prueba de estar
bien hecha la transformación, podemos hacer en la ecua-
ción 120] a Y n2l2mi = a; d' Y mini —b, etc., y substituir
en la ecuación [18]; el resultado, por ambos métodos, es el
siguiente:

5(ad+bc)klmny? + ak linen? |
| Ackimtn + pi klmn |

+ ab?kl?2mn? + ckI1mtn

,
|

+5 E
| + bd?2Imn? + dk menó
+ c2dk?lm?n + Sa?bec?k? [3 m8 n?
> a4bklm?n? ABE
A + acrk?imén — 5a3cdk?[* m3 n? 119]

— Adm n + 50bd21m2n3
+5 | + abedk?Bm?n?, y | + 5ac?d?k312m3n2
— b?c?k12m?n? — 5abd* k3 1? m? n3
+ pd lBmn* "—5bedk3Bmn?
+cd*klmn? | +5b*cd?k*1m2n3

— 898. —

Insistimos en que damos esta ecuación á título de curiosi-
dad; nosotros la planteamos para aprovechar la flexibilidad
con que se adaptaba al objeto de convencernos, de un modo
absolutamente material, de la exactitud de nuestro teorema Ill;
pero no creemos deber molestar á nuestros lectores con el
relato de operaciones innecesarias para el exclusivo objeto
de la presente Memoria. Por eso, ni aun nos detenemos á
demostrar que la ecuación [1] da un método uniforme para
la resolución de las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto
grado.

INDICE

DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE TOMO

Composición de la Academia en 1." de Julio de 1906.
INCANCUACAS US MUMCTO cs dial tn
NCACEMICOS ECOS idas oo oo ala
Académicos Corresponsales nacionales..... ...........
Académicos Corresponsales extranjeroS................

Introducción á la Física matemática, por José Echegaray.

(Conferencias 7.* á 12.2) 11, 38, 55, 143, 225 y

Examen de una supuesta incompatibilidad de los calomelanos,

por José R. COFFACIdO....-oo020 ..... «o. «ooooooomo.ss

Une reclamation de priorité á propos du télékine et des expe-

riences d'Antíbes, par Léonardo TorreS.... ... ...o...o..»

Las disoluciones sólidas, por José Rodríguez Mourelo . 104 y

Estudio teórico elemental de la salida de los flúidos, por José

SI A AA is
Sobre los residuos cuadráticos, por Juan J. Durán- oda
Nota sobre la ley de la difusión de los gases entre sí, por Enri:

AA A A O A
Estudios de Síntesis mineral, por José Rodríguez Mourelo. 260,

325, 393 y

Sobre la variación del Magnetismo permanente con la Tempe-

ratúra, por Blas Cabrera FellDln.>: o... o... «0.
Ensayo de Geometría analítica noeuclidiana, por el P. José

A. Pérez del Pulgar, S. J... o ti IM

Elementos de la teoría de la Elasticidad, por José Echegaray.
(Conferencias 1.? á 8.2) 359, 455, 539, 564, 613, 687, 749 y

Sobre algunos fenómenos de Polarización en luz convergente,

observables en láminas de cuarzo dextrogiras, superpuestas,

de igual espesor, normales al eje, teniendo intercaladas lá-
minas de mica de */,, */,, 3/¿ 6 */¿2, por Esteban Terradas..

Poliedros regulares, por Luis Catalá......... a NS

Informe acerca de las notas tituladas « The Problem of Sha-

dow-Bands>» y «Note on the value of projected image of the

178

137
211

220

479

275

511

786

409
496

— 830 —

sun for meteorological study», de la Srta. Catalina O. Ste-
vens, por José Maria Madariaga: «.<... cocoa. .-0 > dape
Nota sobre la ulmina natural, por Salvador Caldea
Nuevos caracteres de divisibilidad por módulos primos dista
tos de 2 y 5, por Francisco Simón y Mayorga. A
Estudio experimental de algunas propiedades del Grisú, por
Enfique AKSER: DAI AI RT ARAN
La reacción del ácido salicílico con el cloruro férrico, por Fran-
cisco. .Cantvell Pascual NIT A sa a
Nueva teoría para el desarrollo de las ecuaciones finales, por
BAH ero Mo DECO: otto cie aia A RRA e 712 y

Pags.

593
596

601

646

€69

812

-XXXVI.— Elementos de la teoría de la elasticidad, por Jos 2
Echegaray. Conferencia Séptima.........o.o.o.oo
XXXVII.— Elementos de la teoría de la elasticidad, por ose
Echegaray. Conferencia Octava... ..ooooccommo
XXXVII. — Nueva teoría para el desarrollo de las ecuaciones
finales, por Gualterio M. Seco. (Continuación).. -

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