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Full text of "Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Ficas y Naturales de Madrid"

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REVISTA 



REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 

EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID 



REVISTA 



REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 



EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES 



MADRID 



Ton^/co -ST" 



MADRID 

IMPBEHTA DE LA "GACETA DE MADRID, 

CALLE DE PONTEJOS, KÚM. 8, 

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ART. 117 DE LOS ESTATUTOS DE LA ACArrUMli 

«La Academia no adopta ni retkusa 
las opiniones de sus individuos; cada 
autor es responsable de lo que con- 
tengan, sus escritos. > 



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REVISTA 



REAL iCADEMIA DE CÍENCIAS 



EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES 



MADRID 



TOlVtO ■\r.—TSJTJIs/LS. 1, S "^ 3. 
(Julio, Agosto y Septiembre de 10O6.) 



^ MADRID 

IMPRENTA DE LA "GACETA DE MADRID,, 

CALLE DE PONTEJOS, SÚM. 8. 

leoe 



ADVERTENCIA 



Los originales para la Revista de la Academia 
se han de entregar completos, en la Secretaría de 
la Corporación, antes del día 20 de cada mes, 
pues de otro modo quedará su publicación para 
el mes siguiente. 



REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 

EXACTAS, PÍSIGAS Y HATÜRALES DE MADRID 



ACADÉMICOS DE NUMERO 

Excmo. Sr. D. José Echegaray, Presidente. 

Zurbano , 44. 

Excmo. Sr. D. José Morer. 

Genova , 5. 

Excmo. Sr. D. Eduardo Saavedra, Vicepresidente. 

Fuencarral , 74. 

Sr. D. Joaquín González Hidalgo. 

Alcalá , V'. 

limo. Sr. D. Gabriel de la Puerta y Rodenas. 

Valverde , }.•> y 32. 

Exqmo. Sr. D. Daniel de Cortázar. 

Velázquez, ló. 

limo. Sr. D. José Rodríguez Carracido, Bibliotecario. 

Orellana , 10. 

Excmo. Sr. D. Francisco de P. Arrillaga, Secretario. 

Valverde , 20. 

Excmo. Sr. D. Julián Calleja y Sánchez, Tesorero. 

Argensola , 6. 

Sr. D. Eduardo Torroja y Caballé, Contador. 

Requena , y. 

Excmo. Sr. D. Amos Salvador y Rodrigáñez. 

Carrera de San Jerónimo , 53. 

Sr. D. Francisco de Paula Rojas. 

Lealtad ,13. 

Excmo. Sr. D. Juan Navarro-Reverter. 

Barquillo , 15. 

Excmo. Sr. D. Lucas Hallada. 

Santa Teresa ,7. 

Excmo, Sr. D. Santiago Ramón y Cajal. 

Atocha, 125. 

Excmo. Sr. D, Diego Ollero y Carmena. 

Ferraz , 54. 



— 6 — 
Sr. D. Pedro Palacios. 

Nicolás María Rivero , 8. 

Sr. D. Blas Lázaro é Ibiza. 

Palafox , 10. 

limo. Sr. D. José Muñoz del Castillo. 

Quintana, 3S. 

Excmo. Sr. D. Leonardo de Torres y Que vedo. 

Válgame Dios, 3. 

Sr. D. José María de Madariaga, Vicesecretario. 

Zurbano, iS. 

limo. Sr. D. José Rodríguez Mourelo. 

Piamonte, ij. 

Sr. D. Victorino García de la Cruz. 

Gobernador, 25. 

limo. Sr. D. José Marvá y Mayer. 

Caiiipomanes, S. 

Sr. D. Rafael Sánchez Lozano. 

Genova, 1 7. 

Sr. D. José Gómez Ocaña. 

Atocha, 127 dupdo. 

Sr. D. Vicente Ventosa y Martínez de Velasco. 

Amnislia, id. 



ACADÉMICOS ELECTOS 
limo. Sr. D. Miguel Martínez de Campos. 

Coya, 2s. 

Sr. D. Eduardo Mier y Miura. 

Infantas, 52. 

limo. Sr. D. Ignacio Bolívar. 

Pasco del Obelisco, 17. 

limo. Sr. D. Bernardo Mateo Sagasta. 

San Mateo, 22. 

Sr. D. Pedro de Avila y Zumarán. 

Travesia de la Ballesta, S. 

Sr. D. Ignacio González Martí. 

Hernán Cortes, 7. 

Excmo. Sr. D. Manuel Benítez y Parodi. 

Plaza de la Lealtad, |. 



— 7 - 
Sr. D. Miguel Vegas y Puebla-Collado. 

Pez, I y ,;• I 

Sr. D. Nicolás de Ugarte y Gutiérrez. 

Hernán Cortés, 3. 

La Academia está constituida en tres Secciones: 

i.^ Ciencias exactas.— Sres. Saavedra, Presidente; 
Torres, Secretario; Morer, Arrillaga, Torroja, Navarro*: 
Reverter, Ollero y Ventosa. 

2.^ Ciencias físicas. — Sres, Puerta, Presidente; Mou- 
relo, Secretario ; Echegaray, Carracido, Salvador, Rojas, 
Muñoz del Castillo, Madariaga, García de la Cruz y 
Marvá. 

3.* Ciencias naturales. — Sres. Hidalgo, Presidente; 
Gómez Ocaña, Secretario; Cortázar, Calleja, Mallada, 
Cajal, Palacios, Lázaro y Sánchez Lozano. 



ACADÉMICOS CORRESPONSALES NACIONALES 

Sr. D. Andrés Poey. París. 

Exorno. Sr. D. Eduardo Benot. Madrid. 

Excmo. Sr. D. Silvino Thos y Codina, Madrid. 

Sr. D. Eduardo Boscá y Casanoves. Valencia. 

Sr. D. Luis Mariano Vidal. Gerona. 

Excmo. Sr. D. Leopoldo Martínez Reguera. Madrid. 

Excmo. Sr. D. Rogelio de Inchaurrandieta. Madrid. 

Sr. D. Ramón de Manjarrés y de Bofarull. Sevilla. 

Sr. D. Modesto Domínguez Hervella. Madrid. 

Sr. D. Salvador Calderón y Arana. Madrid. 

limo. Sr. D. Ricardo Vázquez-Illá y Martínez. Valladolid. 

Sr. D. Zoel García de Galdeano. Zaragoza. ' 

Sr. D. Eduardo J. Navarro. Málaga. ,. ! 

R. P. Fr. Celestino Fernández del Villar. Manila (?). 

Sr. D. José María Escribano y Pérez. Murcia. ' 

Sr. D. José Florencio Quadras. Manila. i ; 

Sr. D, Lauro Clariana y Ricart. Barcelona. ' .'\ 



- 8 — 

Excmo. Sr. D, Rafael Breñosa y Tejada. Segovia. 
Excmo. Sr. D. José María de Castellarnau y Lleopart. 

Madrid. 
Kxmo. Sr. D. Juan Bautista Viniegra y Mendoza, Conde 

de Villamar. San Fernando. 
Sr. D. Rafael Pardo de Figueroa. Puerto Real. 
Sr, D. Juan Vilaró Díaz. Habana. 
Excmo. Sr, D. Pablo Alzóla y Minondo. Bilbao. 
Sr. D. Joaquín de Vargas y Aguirre. Salamanca. 
Excmo. Sr, D. José J. Landerer. Valencia. 
Sr. D. José Eugenio Ribera, Madrid. 
Sr. D, Tomás Escriche y Mieg. Barcelona. 
Sr. D. Euofenio Mascareñas. Barcelona. 



ACADÉMICOS CORRESPONSALES EXTRANJEROS 

Barboza de Bocage (J. V.). Lisboa. 

Anguiano (A.). Méjico. 

Gaudry (A.), París. 

Lemoine (V,). Reinis (?), 

Collignon (E.). París. 

Barrois (Ch.). Lille. 

Hoonholtz, Barón de Teffé (A. L. de). Rio Janeiro (?). 

Gomes Teixeira (F,). Porto. 

Lapparent (A.). París. 

Príncipe de Monaco (S. A. el). Monaco. 

Choffat (P.). Lisboa. 

Vendrell (A.). Guatemala. 

Arata (P. N.). Buenos Aires. 

Carvallo (M,). París. 

Laisant (C. A.). París. 

Enestrom (O,). Estocolmo. 

Ferreira da Silva (A, J.). Porto 

Nery Delgado (P. F.). Lisboa. 

Pina Vidal (A. A. de), Lisboa. 

Brocard (H.), Bar-le-Duc. 



— 9 — 

Laussedat (A.). París. 
Ocagne (M. d')- París. 
Romiti (G.). Pisa. 

Wettstein Ritter von Werstersheim (R.). Vieiia. 
Engler (A..), Berlín. 

Guedes de Oueiróz, Conde de Foz (G.). Lisboa. 
Berthelot (M.). París. 
Moissan (E.). París. 
Pilsbry (E.). Filadelfia. 
Arrhenius, (S.). Estocolmo. 
Ramsay (G.). Londres. 
Rayleig (Lord). Londres. 
Castanheira das Neves (J.). Lisboa. 

Academia Mejicana de Ciencias Exactas, Físicas y Natu- 
rales. 'Méjico. 



1 - 



I. — Introducción á la Física matemática. 

Por José Echegaray. 

Conferencia séptinna. 

Señores: 

Al exponer una vez y otra, en uno y otro ejemplo, las di- 
ferencias que existen entre la Física experimental y la Física 
matemática, para marcar el carácter de una y otra ciencia, 
hemos repetido con insistencia la idea siguiente: 

Que la Física experimental estudia, ya los fenómenos en 
conjunto, ya los hechos aislados, sus relaciones y sus leyes, 
sin afirmar nunca cuál sea la esencia íntima de tales fenóme- 
nos, sin formular ninguna hipótesis, á no ser en circunstan- 
cias muy especiales. 

En suma, la Física experimental hace constar hechos na- 
turales y leyes empíricas; pero nunca pretende explicar el 
porqué y el cómo de estos hechos y de estas leyes. 

En cambio la Física matemática, si empieza por formular 
hipótesis, y á estas hipótesis se aplican por lo regular los 
principi'os de la Mecánica, es siempre para explicar los he- 
chos: no para hacer constar que son, sino para darse cuenta 
de cómo son y por qué son. 

Pero al afirmar que la Física matemática explica los he- 
chos, es preciso que marquemos la significación de esta pa- 
labra explicar. 

Si al suponer que la Física matemática explica los hechos, 
quisiéramos significar que penetra en su esencia, que tiene 
pretensiones de llegar á lo absoluto y de decirnos lo que en 
el fondo son la luz y el calor, y la electricidad y el magnetis- 
mo, y los cuerpos, y la materia, y las fuerzas; si esto preten- 



- 12 - 

diera, repetimos, pretendería lo imposible y merecería las 
críticas que contra algunas teorías del siglo anterior, y sobre 
todo contra la hipótesis mecánica, se han repetido hasta por 
hombres eminentes en la ciencia. 

Pero no es así; la palabra explicación en la Física mate- 
mática no debe entenderse en un sentido absoluto ni, por lo 
tanto, en sentido metafísico tampoco. 

Decimos que un fenómeno se explica cuando se reduce á 
otro fenómeno ya conocido y estudiado, y cuanto más vul- 
gar sea este segundo fenómeno, tanto más satisfactoria será 
la explicación. 

Explicar es, para nosotros, reducir el número de aparien- 
cias diversas de los hechos á un fenómeno único, aunque nos 
sea imposible penetrar en la esencia de dicho fenómeno. 

Y esta es la ventaja de la hipótesis mecánica, que procura 
reducir todos los fenómenos del mundo físico, aun los de 
apariencias más diversas, á fenómenos vulgarísimos con los 
cuales estamos familiarizados y que en este sentido nos son 
perfectamente conocidos. 

Estamos familiarizados con las masas, con las fuerzas, con 
las velocidades, con todos los accidentes de la Estática y de 
la Dinámica, aun cuando no hayamos hecho un estudio es- 
pecial de estas ciencias. 

Así, por ejemplo, explicamos lo que es un gas cuando de- 
cimos que se compone de partecillas pequeñísimas, que se 
mueven en todos sentidos. Y decimos que explicamos los 
gases de este modo, porque los fenómenos que presentan y 
sus diferentes leyes, se reducen al hecho vulgar de masas 
que se mueven con velocidades determinadas. 

Volvemos á repetirlo; explicar de este modo un gas no es 
penetrar en su esencia, ni llegar á lo absoluto, sino reducir 
el gas al movimiento de unas cuantas masas,, sin que por lo 
demás sepamos, con esas evidencias que la antigua Metafí- 
sica pretendía, ni lo que es la masa, ni lo que es la fuerza, 
ni lo que es la velocidad, ni lo que es el tiempo. 



13 - 



Todos estos serán postulados, ó definiciones, ó convencio- 
nalismos de la ciencia. Nos servirán para explicar otros he- 
chos complejos; pero ellos necesitarían explicación si hubié- 
ramos de penetrar en el seno de las cosas y si consiguiéra- 
mos descubrir su naturaleza íntima. 



* 
* * 



Y otro tanto pudiéramos decir de todos los ejemplos que 
se refieren á la teoría del calor, y que explicábamos en las 
conferencias precedentes. 

Explicábamos el calor, y procurábamos explicar sus fenó- 
menos diversos con esta hipótesis: el calor consiste en la 
agitación de las partecillas sumamente pequeñas de un cuer- 
po. Es decir, el calor es un modo del movimiento de la ma- 
teria, es el conjunto de las vibraciones internas de una masa 
material. 

Sea la hipótesis verdadera ó no, lo que no puede decirse 
es que sea una forma de la Metafísica, ni que con esta hipó- 
tesis ni otras análogas se pretenda penetrar en el seno de 
las cosas, y llegar á los últimos misterios de la Naturaleza y 
formular una especie de Filosofía materialista con la ayu- 
da de la Física matemática y con ciertas complicidades del 
cálculo. 

Esta hipótesis, y todas las hipótesis mecánicas, ó casi to- 
das ellas, son naturales, son legítimas, y en la ciencia del 
siglo anterior han sido eminentemente fecundas. 

Pues ¿qué es toda la Astronomía, sino la aplicación de la 
hipótesis mecánica á los espacios infinitamente grandes, 
como la hipótesis mecánica ha predominado á su vez en la 
Física matemática para los espacios intermoleculares? 

La ciencia rompió los cielos de cristal en que estaban en- 
clavados los astros, arruinó viejos edificios astronómicos, 
llenó el espacio de masas aisladas, que se movían bajo la 



- 14 — 

acción de fuerzas atractivas combinadas con las velocidades 
de proyección de los diferentes astros. 

Y ¿qué era esto más que una hipótesis mecánica ó un con- 
junto de hipótesis: masas, fuerzas, velocidades, trayectorias, 
y las ecuaciones de la Dinámica para poner en relación todos 
estos elementos y organizar racionalmente los fenómenos, ó, 
dijéramos mejor, las apariencias de la Astronomía? ¿Qué 
era esto más que interpretar los fenómenos astronómicos en 
el sentido de masas en movimiento, para llevar á los espa- 
cios infinitos fenómenos á que estamos acostumbrados en la 
superficie de la Tierra, y cuyas leyes empíricas están al al- 
cance de nuestros laboratorios? 

Toda la Astronomía no es más que la hipótesis mecánica 
llevada desde nuestra tierra á los espacios infinitos. 

Pues ¿por qué razón lo que es legítimo y ha sido inmen- 
samente fecundo aplicado á la Astronomía, es decir, á lo 
infinitamente grande, no ha de ser natural, legítimo y fecun- 
do aplicado á lo infinitamente pequeño, es decir, á la Física 
molecular? 

Y no se diga que las hipótesis son distintas ó que no 
existen hipótesis en la Mecánica celeste, porque esto no es 
exacto. 

La Mecánica celeste está cuajada de hipótesis. 

Una masa, después de todo, es una hipótesis ó una defi- 
nición, lo mismo si es la masa de Júpiter que si es la masa 
de una molécula de hidrógeno; cuando más, serán distintas 
las sensaciones que en nosotros determinen ambas masas. 

Tan hipotéticas son las fuerzas internas de un cuerpo, 
como las atracciones newtonianas. 

Y, á decir verdad, hoy la mayor parte de los sabios, re- 
chazan la acción á distancia y la atracción newtoniana: como 
realidad, se considera absurda, y sólo se admite como hipó- 
tesis fecundísima. Pues entonces, como hipótesis fecunda, 
bien pueden admitirse las atracciones y repulsiones en lo in- 
finitamente pequeño, es decir, en lo interior de los cuerpos, 



- 15 - 

y aun en lo interior de los átomos según la novísima mecá- 
nica de subátomos, electrones é iones, que con estupendos 
y admirables atrevimientos se va forjando, y de que hablare- 
mos en su día. 

Masas, movimientos, fuerzas, es lo que vemos en la su- 
perficie de la Tierra, ó al menos grupos de fenómenos á que 
les damos estos nombres; pues si á los espacios infinitos que 
nos rodean hemos llevado como explicación de los fenóme- 
nos astronómicos, estos fenómenos tomados de la Mecánica 
terrestre, ¿por qué no ha de ser legítimo llevar estos fe- 
nómenos típicos de Estática y Dinámica al interior de los 
cuerpos? 

Y si el Universo visible está formado por masas en movi- 
miento y por fuerzas reales ó aparentes entre las masas pla- 
netarias, ¿por qué en el mundo invisible de los átomos no 
ha de haber empleado la Naturaleza el mismo sistema de 
masas, movimientos y fuerzas? 

Extraño sería que la Naturaleza hubiera cambiado de sis- 
tema tomando por línea divisoria nuestra potencia visual. 
¡Hasta donde nosotros vemos ha de emplear masas separa- 
das por distancias y movimientos de estas masas; y desde 
aquel punto á que no llega nuestra vista ó á que no alcanzan 
nuestros microscopios, ha de acudir á otro sistema distinto! 

Esto no parece lógico, ni parece natural, ni casi parece de 
buen sentido. 

Lo natural y lo lógico es suponer, que desde lo infinita- 
mente grande á lo infinitamente pequeño, el sistema ha de 
ser el mismo, y la unidad de la ciencia exige que por lo me- 
nos, las hipótesis sean análogas; ya que no podamos más, 
procuraremos la unidad de hipótesis. 

Por estas razones, que no hacemos más que apuntar á la 
ligera, creemos que la hipótesis mecánica, sean cuales fueren 
sus deficiencias, prevalecerá siempre en la Física matemáti- 
ca bajo una ú otra forma, y que abandonarla sistemática- 
mente sería substituir, sin poder impedirlo, al concepto de 



- 16 - 



cantidad el concepto de calidad, que sería bordear los abis- 
mos de la antigua Metafísica. 



* 
* * 



Se dirá, tal vez, que esta preponderancia de la hipótesis 
mecánica, es decir, de las masas, de los movimientos y de 
las fuerzas, obedece á una tendencia de nuestro organismo 
y á cierta preponderancia tiránica que en él toma el sentido 
de la vista. 

Que si en nosotros predominase el sentido del oído, quizá 
quisiéramos reducir á sonidos todo el Universo. 

Pero sea de ello lo que fuere, no hemos de renunciar á 
nuestra naturaleza, ni hemos de ser á capricho distintos de 
lo que somos. 

No es cosa de que por una especie de socialismo senso- 
rial, queramos igualar en categoría científica al sentido de la 
vista, que tan poderosamente contribuye, con el sentido del 
tacto y el muscular, á la creación de la ciencia mecánica, con 
el sentido del gusto ó del olfato, por ejemplo, creando una 
especialísima mecánica culinaria ó de perfumería: 



* 
* * 



Todo lo que precede, no obsta para que reconozcamos la 
fuerza y la importancia de la nueva crítica, así como la ri- 
queza y Ja originalidad de las nuevas ideas; pero con todo, no 
vemos, hoy por hoy, en las ciencias positivas ninguna hipó- 
tesis que pueda substituirá la hipótesis mecánica, ni en ri- 
gor relativo, ni en sencillez, ni en fecundidad. 

Lo cual no significa que para nosotros la hipótesis mecá- 
nica sea la explicación última y definitiva de los fenómenos. 

Esto sería caer en una Metafísica materialista. 



— 17 - 

La explicación obtenida por medio de la hipótesis mecáni- 
ca, no tiene otra significación para nosotros que la que ya 
hemos expuesto varias veces: la reducción de multitud de 
fenómenos con apariencias diversas á una sola clase de fe- 
nómenos: los de la Mecánica. 

Es para nosotros la Mecánica como una especie de unidad 
de medida de los fenómenos, como un factor común de to- 
dos ellos, como la mayor simplificación, en el estado actual 
de la ciencia, de millones y millones de hechos que, al pare- 
cer, ninguna relación tienen entre sí. 

Para nosotros, la Física matemática ejerce su función 
propia, siempre que, por los métodos matemáticos y por las 
leyes de la Mecánica, reduce dos categorías de fenómenos 
á una sola categoría. Por ejemplo, cuando, según la hipóte- 
sis de Ampére , afirma que los fenómenos magnéticos son 
idénticos en el fondo á los fenómenos eléctricos , mejor di- 
cho, á los fenómenos de la Electrodinámica; cuando, en 
suma, supone que un imán no es más que un conjunto de 
corrientes. 

Esta es una hipótesis propia del carácter de la Física ma- 
temática, y, sin embargo, con esta hipótesis, nadie pretende 
llegar al fondo del fenómeno magnético ni penetrar en su 
esencia íntima. 

Tan ignorantes quedaremos de lo que es el magnetismo, 
cuando digamos que es un fluido especial, como al afirmar 
que es un conjunto de corrientes eléctricas; porque tampoco 
sabemos lo que es una corriente. Pero en vez de tener dos 
incógnitas, X, Y, tendremos una sola, X,y la segunda será 
una función de la primera. Esto en el orden de la ciencia es 
algo, y aun es mucho, y mucho es en el orden de la realidad. 
Precisamente de este género es el ejemplo que vamos á 
presentar, procurando siempre en éste, como en los demás 
ejemplos', hacer resaltar el carácter de la Física experimen- 
tal y el de la Física matemática, que es el tema constante de 
todas estas conferencias. 

Rev. Acad. Ciescias.—V. -Julio , 1506. " 2 



— 18 - 

El ejemplo, pues, que hemos escogido, es el siguiente: 
Influencia de una corriente eléctrica sobre el polo de un 
imán; y recíprocamente: influencia del polo de un imán so- 
bre una corriente eléctrica. 

En el orden científico, es decir, de la ciencia pura y des- 
interesada, fué éste uno de los fenómenos más admirables 
que descubrió el siglo xix. 

En el orden práctico é industrial, uno de los más fecundos 
y más transcendentales, como que ha dado origen nada me- 
nos que á la dínamo. 

Y aquí, antes de pasar adelante, debemos ampliar algo 
de lo que ya hemos dicho, en defensa de derechos legítimos 
de la Física experimental. 



* 
* * 



Decíamos en más de una ocasión: el físico observa los 
hechos, los estudia, los analiza, los clasifica, los reproduce 
si puede, los vuelve á estudiar en el laboratorio, si antes los 
había estudiado en la Naturaleza, distingue los parámetros 
físicos determinantes del fenómeno, los subdivide en depen- 
dientes é independientes, busca unidades de medida para 
todos ellos, los reduce á números, y, por último, obtiene 
experimentalmente las funciones que los enlazan y que ex- 
presan las leyes de los fenómenos. 

Todo esto hace el físico; todo esto hace la Física experi- 
mental. 

Y es un extenso programa, de importancia suma, y de 
inmensas dificultades. 

Pero no es ésta la única misión del físico, ni la aspiración 
suprema de la ciencia. 

Hasta aquí, por importantes que hayan sido los trabajos 
que el físico haya podido realizar, si no ha hecho otra cosa 
que lo que marca el programa anteriormente trazado, su fun- 



- 19 — 

ción ha sido en gran parte pasiva; observaba, estudiaba, 
medía y convertía en leyes los fenómenos que espontánea- 
mente se le iban presentando. Pero en toda esta labor, con 
ser importantísima, no tenía ocasión de mostrar su genio, ni 
lo que pudiéramos llamar, aunque la frase parezca ambicio- 
sa, su facultad creadora. 

No basta que observe fenómenos, es preciso que tome la 
iniciativa y que provoque fenómenos nuevos, que dejando 
ir á la Naturaleza por sus cauces rutinarios, jamás se hubie- 
ran presentado. 

Y aquí es donde aparece la grandeza de la Física experi- 
mental, su fecundidad inagotable, su facultad creadora de 
algo nuevo, y aquí es donde aparecen los que pudiéramos 
llamar los grandes descubrimientos de la Física, y la más 
alta misión del sabio dedicado á esta ciencia. Porque afinar, 
y perdóneseme la palabra, experiencias ya realizadas, preci- 
sar las cifras de un coeficiente numérico, agregar términos á 
una fórmula, substituir una por otra más exacta, todo esto 
es trabajo meritorio, más que útil indispensable, y para el 
cual se requieren altas cualidades; pero cuando se llega á lo 
sublime es, por ejemplo, cuando se arrancan de lo infinita- 
mente pequeño las rayas de la interferencia; cuando se ve 
que un rayo de luz, contra la ley general, se extingue al refle- 
jarse; cuando se ponen en contacto la electricidad y el mag- 
netismo, y se observa que una corriente eléctrica desvía la 
aguja imanada; cuando un campo magnético desvía el plano 
de polarización; cuando se descubren los rayos catódicos y 
los rayos X y la radioactividad. Pero es inútil prolongar la 
lista, porque sería interminable y cualquier olvido sería una 
injusticia. 

Y á estos descubrimientos se llega principalmente al poner 
en contacto regiones distintas de la Física, si se me permite 
esta manera de expresarme. 

La Física experimental estudia, por ejemplo, la electrici- 
dad, sus múltiples fenómenos, sus, leyes, el equilibrio y el 



— 20 — 

movimiento de estos fenómenos; pero hasta determinada 
época histórica cada rama de la ciencia no salió, por decirlo 
así, de su propio territorio. La Física, en efecto, se hallaba 
dividida en estados, en cierto modo independientes, sin co- 
municación de unos con otros, casi me atrevería á decir, sin 
relaciones diplomáticas. 

Y como el físico estudiaba la electricidad con independen- 
cia de otros muchas ramas de la Física, con esta misma in- 
dependencia, y dentro de otras fronteras, estudiaba el mag- 
netismo, sus hechos múltiples, sus curiosos fenómenos y, 
en último resultado, sus leyes de distribución magnética, sus 
atracciones y repulsiones. 

No negaremos que siempre el hombre de ciencia sospechó 
que entre la electricidad y el magnetismo alguna relación 
debía existir. 

Pero esta sospecha se convirtió en realidad cuando CErs- 
ted, en 1819, observó que la aguja imanada suspendida en 
la proximidad de una corriente, tomaba una nueva posición 
de equilibrio, desviándose cierto ángulo de su posición 
normal. 

Este hecho, al parecer insignificante y mínimo, es una re- 
volución en la ciencia y en la sociedad. 

El experimento transcendental de CErsted que determina 
las relaciones y las influencias activas entre las corrientes y 
los imanes, y los trabajos admirables de Ampére sobre las co- 
rrientes, para no citar más que dos nombres entre otros mu- 
chos inmortales, han abierto horizontes que no han podido 
empequeñecer ni siquiera los grandes descubrimientos de 
esta última época. 

* 
* * 

Tenemos, pues, un hecho fisico, indiscutible, que se im- 
pone con toda la fuerza de la realidad: la electricidad y el 
magnetismo están en relación íntima; pero no en relación 



- 21 - 

abstracta, sino, por el contrario, en relación dinámica efectiva. 

Y la Física experimental , después de este descubrimiento, 
no tiene que hacer otra cosa, que aplicar el programa que 
antes trazábamos. Estudia el fenómeno, fija sus parámetros, 
procura medirlos, aunque sea con unidades imperfectas é im- 
provisadas, y llega á descubrir las relaciones analíticas que 
entre estas magnitudes existen. 

Pero todos estos trabajos, ¿explican el fenómeno, lo en- 
lazan con otros fenómenos, hacen sospechar siquiera por 
qué una corriente eléctrica influirá sobre el polo de un imán 
ó por qué recíprocamente el polo de un imán ejercerá deter- 
minada fuerza sobre una corriente? 

De ninguna manera. 

Aquí acaba la principal misión de la Física experimental; 
aquí empieza la misión propia de la Física matemática, con 
sus grandes hipótesis, y por qué no decirlo, con sus gran- 
des atrevimientos, en que unas veces el matemático vence, 
aunque otras es vencido; pero estudios é hipótesis que siem- 
pre son útiles aun para la misma Física experimental, como 
aviso ú orientación, ó como exclusión de ciertas otras hipó- 
tesis, pues ya hemos dicho que la Física experimental, á pe- 
sar de sus grandes severidades, á la hipótesis acude más de 
una vez. 

Siguiendo en este ejemplo la misma marcha que en los 
anteriores, lo formularemos en primer lugar en términos pre- 
cisos y prácticos. 

Una vez formulado el problema, lo resolveremos por el 
método experimental; y después, aplicando los procedimien- 
tos propios de la Física matemática, formularemos las hipó- 
tesis necesarias y aplicaremos el Cálculo matemático con 
algo de Mecánica: y esta manera extraña de expresarnos, 
tiene su razón de ser. 

Pero á la experiencia clásica que determinó la relación 
fundamental entre la electricidad y el magnetismo, hemos de 
substituir otra experiencia en cierto modo ideal, porque nun- 



— 22 



ca se ha realizado de este modo, que nosotros sepamos, 
aunque pudiera realizarse, y en otras formas análogas á la 
que vamos á suponer se ha realizado muchas veces. 



* 
* * 



Supongamos un conductor EE' (fig. 21) vertical, que 
se prolonga hasta lo infinito por ambos extremos. 



...Jf 





c 




C 






\ 


r..B- \ 







6 ! • 


/? 


D 


\ 


d'\ \ ^ 



A A' 



Figura 21. 



En la práctica nos basta con que sea muy largo y con que 
cierre el circuito á una gran distancia. 

En un punto F, imaginemos una perpendicular FAÍ á dicho 
hilo, y sobre esta recta como eje, coloquemos un imán 
ABCDM, que supondremos también prolongado hasta el 
infinito por la derecha. 

Claro es que esta condición tampoco puede realizarse 
prácticamente, pero nos basta con que el imán sea suficiente- 
mente largo por sí, ó por el acoplamiento de muchos imanes, 
para que la distancia entre los dos polos sea considerable. 

En el campo de este imán, por el hilo EE' pasa una co- 
rriente eléctrica, y así tenemos en presencia una corriente 
eléctrica y un imán. 



— 23 - 

Como suponemos el hilo muy largo, y que se cierra el cir- 
cuito á mucha distancia, podemos considerar para nuestro 
objeto que no existe más que la parte vertical de la corrien- 
te, la EE'. 

Del mismo modo, como el imán es muy largo, teórica- 
mente infinito, del segundo polo podemos prescindir, es 
como si no existiese, porque su influencia será mínima, y 
habremos realizado esta experiencia ideal, á saber, la de co- 
locar frente á frente, por decirlo de este modo, una corriente 
eléctrica vertical EE' y el polo O de un imán, para ver si am- 
bos sistemas permanecen inertes, como si no existiera entre 
ellos relación alguna, ó si, por el contrario, tienen un fondo 
común; si son, con apariencias distintas, una misma energía 
física, y si, por lo tanto, podemos explicar los fenómenos 
magnéticos por la electricidad, ó, al contrario, la electricidad 
por el magnetismo, que ambas cosas se han intentado. 

En suma, según decíamos al empezar esta conferencia, 
tratamos de ver si de dos órdenes de fenómenos se puede 
hacer uno solo, y el uno se explica por el otro. 

Para terminar estos preliminares, y con el objeto de sim- 
plificar los cálculos, supondremos que la sección recta del 
imán ABCD, es rectangular, y que dos de sus lados, el AB y 
el CD son paralelos á EE'; los otros dos, claro es que serán 
perpendiculares á esta línea. 

En la figura 22 presentamos la proyección de este siste- 
ma. En E se proyecta la corriente eléctrica EE' de la figura 
anterior, en ADM, el imán. 

En A se proyectará el lado AB de la figura 21 , y así su- 
cesivamente. 

Admitimos las notaciones siguientes: 0E= R (fig. 21). 

Los lados del rectángulo son AB = a, AD = b. El polo 
del imán vale u. 

La corriente tiene una intensidad igual á /. 

* 



— 24 — 

Veamos los trabajos que realizaría la Física experimental 
en este ejemplo que hemos imaginado, suponiendo que al- 
guna vez lo llevase á cabo, y si no en éste, en los experi- 
mentos equivalentes y prácticos. 

En primer lugar, observaría si entre la corriente y el polo 
del imán hay alguna acción manifestada por algún movi- 
miento. 

Porque es lo cierto, dicho sea entre paréntesis, que por 
más que las ideas dominantes, en que brilla una poderosa 
crítica, no lo negamos, pero en que también influye un tanto 
la moda, tiendan á reducir el empleo de las hipótesis mecá- 
nicas; es lo cierto, repetimos, que en la mayor parte de las 
experiencias que la Física realiza, necesita medir elementos 
puramente mecánicos: fuerzas, masas ponderables ó masas 
eléctricas, velocidades y energías, ¿pues no mide hoy masas 
de iones y electrones? 

Así en este caso, como acabamos de decir, empezaría el 
físico por observar si la corriente EE' sufría alguna influen- 
cia por la acción del imán: por el pronto si se movía el hilo. 

Y si los extremos del hilo estuvieran dispuestos con la 
conveniente movilidad, observaría el experimentador que, 
en efecto, estando el polo del imán fijo, y pudiendo moverse 
el conductor EE', el conductor se movía bajo la influencia 
magnética. Pero, cosa extraña, no para acercarse ó alejarse 
del polo, sino para girar alrededor de él, como marca la 
figura 22; trazando su punto medio, por ejemplo, un arco de 
círculo Ee alrededor del punto o como centro, y mantenién- 
dose siempre vertical el hilo, si ha de seguir las guías supe- 
rior é inferior. 

Claro es, que si el conductor se mueve, se moverá bajo 
la acción de una fuerza, que no puede provenir más que del 
polo del imán, porque no hay ninguno otro centro activo en 
todo el campo de la experiencia. 

Si dispusiéramos ésta de modo que el conductor EE' 
(fig. 21) estuviera fijo y que el polo pudiera moverse libre- 



25 - 



mente, su centro o tendería á moverse en sentido contrario ob. 

Primer hecho que hace constar el físico, sin ninguna hi- 
pótesis previa, y sin pretender dar ninguna explicación del 
fenómeno. 

Y el fenómeno, aparte de otras varias cosas que en él 
pueden estudiarse, comprende dos partes y ambas eran muy 
extrañas por entonces, aunque hoy son vulgares. 

1.^ Entre los imanes y las corrientes existen acciones y 
reacciones recíprocas; luego son, por decirlo así, fenómenos 
de la misma familia, por que su cruzamiento es fecundo en 
fenómenos antes no observados. 

2.^ Preséntase aquí el caso, sorprendente para algunos, 

b 

A 

O, f 

O \ Af 



W 



/?' 



Figura 22. 

de que la acción de dos sistemas, una corriente eléctrica y 
un imán, no se reduce á una fuerza, que vaya de uno á otro: 
pudiéramos decir que no es una fuerza central, sino excén- 
trica; no los aproxima ó los aleja, sino que los hace girar; 
su punto de aplicación parece que está en el hilo por donde 
va la corriente, no en el polo del imán, aunque sobre esto 
último actuaran las reacciones correspondientes. 

Hasta aquí las primeras observaciones del fenómeno. 

Y ahora, como hemos hecho siempre, debemos marcar los 
parámetros. 

Desde luego, si la corriente se mueve, se moverá bajo la 
acción de una fuerza, y esta fuerza, que ya sabemos cuál es, 
se aplicará en E (fig. 22) perpendicularmente á. R y girará 
con esta recta. 



- 26 — 

Dicho parámetro fuerza, que designaremos por F, depen- 
derá de los diferentes parámetros del sistema; él será la fun- 
ción, estos últimos las variables independientes, y no pue- 
den ser otros que los que vamos á enumerar: la intensidad 
de la corriente eléctrica /, que va por el conductor EE' (figu- 
ra 21); el valor {X del polo del imán, y la distancia R entre 
el polo y el hilo. 

Y ahora el trabajo que debe ejecutar el fisico, es determi- 
nar F en función /, |a y R; es decir, hallar una relación 

en que co, hasta ahora, será una función desconocida. 

Para detarminarla tendrá que realizar una serie de ex- 
periencias análogas á las que hemos explicado en todos los 
ejemplos anteriores. 

1.° Dejar constantes [>■ y R y ver cómo varía F cuando 
varía /. 

La experiencia le demostrará que F varía proporcional- 
mente á /. 

2.° Dejar constantes I y R y variar la intensidad del polo 
empleando diferentes imanes, y no se olvide que estamos re- 
firiendo una experiencia ideal, que por lo demás, claro es 
que la realidad impone otros procedimientos prácticos. 

Resultará en este caso que F varía proporcionalmente á ^. 

3." Dejando constantes / y [a deberá hacer variar R y ob- 
tendrá este resultado, que la fuerza F varía en razón inversa 
de la distancia R. 

Con lo cual podremos afirmar, sin más pormenores que la 
sencillez del caso hace inútiles, que la función (p es de la 
forma 

F=^C-L^. 

R ' 

siendo C una constante que dependerá de las unidades 



— 27 — 

de medida que hayamos escogido para la fuerza, la corrien- 
te, el polo y las longitudes. 

Y al establecer esta fórmula habrá terminado la Física ex- 
perimental la resolución del problema. 

Hace constar hechos; hechos que en su tiempo fueron ad- 
mirables: hoy ya estamos familiarizados con ellos. 

Ha determinado todos los parámetros que influyen en el 
fenómeno, ha distinguido los que son independientes de los 
que son funciones de los primeros, y ha establecido la ley 
matemática que los enlaza. 

Mientras no deje de ser Física experimental y no aspire á 
ser más ó á fundirse con la Física matemática, ó quizá á ab- 
sorber en sí una parte de esta última ciencia, ni puede dar 
más, ni puede exigírsele otra cosa. 



* 

* * 



En cambio la Física matemática pretende explicar estos 
hechos racionalmente y obtener la última fórmula sin el auxi- 
lio de la experiencia, como hicimos en el ejemplo de los ga- 
ses, en el de la reflexión de la luz, en el de la distribución 
de la electricidad en una esfera metálica. 

Como pretendimos hacer en el problema del equilibrio de 
temperaturas, aunque sin conseguirlo del todo; pero en cam- 
bio, como llegamos á conseguir una completa explicación 
mecánica cuando tratamos de demostrar la dilatación de los 
cuerpos por el calor. 

Para ello, del mismo modo que hicimos en todos los ejem- 
plos citados, debemos empezar por una hipótesis: esta hipó- 
tesis es la de Ampére, y no tiende á reducir el problema di- 
rectamente á un problema de Mecánica, sino á reducir el 
magnetismo á un conjunto de corrientes eléctricas. 

Sin entrar en muchos pormenores, explicaremos dicha 
hipótesis. 



— 28 



B 



/ 



Sea (fig. 23) ABCD la sección de un imán natural; sec- 
ción que, para simplificar la figura, supondremos que es un 
rectángulo. Lo que digamos de esta sección diriamos de otra 
cualquiera. 

Dicha sección se supone dividida en multitud de corrien- 
tes cerradas, sumamente pequeñas, todas en el mismo senti- 
do, y que, también con el objeto de simplificar, supondremos 
que son rectangulares. 
Por ejemplo, la sección abcd corresponde á una corriente 

eléctrica cerrada que marcan 
las flechas de la figura y que 
circula en el sentido abcd. 
Lo mismo podemos -decir 
de los demás rectángulos en 
que ha quedado dividida la 
sección del imán. 

Y se observa que si, como 
suponemos, todas estas co- 
rrientes son de igual intensi- 
dad, todas las interiores se 
destruyen dos á dos, y no 
queda más que una corriente exterior, ABCD, según mar- 
can las flechas / /. 

Así, por ejemplo, el lado ab está recorrido por dos co- 
rrientes, una de a á ¿? en el rectángulo abcd; otra de ¿? á a en 
el rectángulo superior. 

Según esta hipótesis, podemos en la figura 21 admitir que 
el imán ABCDM es una mera apariencia; que lo que real- 
mente finge, en él, el magnetismo es una serie de corrientes 
interiores que se pueden substituir por corrientes exteriores 

ABCD, A' B' C'D' que circulen alrededor del eje. 

Y en este caso, que exista una acción entre el imán y la 
corriente, nada tiene de maravilloso, y este fenómeno sólo 
es nuevo en la apariencia, por la torpeza de nuestros ojos 
y la impotencia de nuestro microscopio, porque en rigor los 



b 


\ t 


a 






1 t 

— »- 






c 




d 













Figura 23. 



- 29 - 

dos sistemas que están en presencia no son más que dos sis- 
temas de corrientes eléctricas: la corriente EE' y las corrien- 
ABCD, A'B'CD' 

Y como las admirables experiencias y los admirables tra- 
bajos de Ampére y otros físicos ilustres prueban, que entre 
las corrientes eléctricas existen acciones y reacciones, queda 
reducido el problema de la acción entre una corriente y el 
polo de un imán, á la aplicación á este caso de las célebres 
fórmulas que estableció Ampére en su Electrodinámica. 

Digamos de pasada, que todo esto algo más que una hipó- 
tesis debe de ser, cuando se ha podido realizar materialmen- 
te la substitución de los imanes por los solenoides, y cuando 
los solenoides reproducen materialmente todos los fenóme- 
nos de los imanes, ó casi todos, y cuando cruzan sus efectos 
con los imanes mismos, como si fuesen, según antes decía- 
mos, de la misma familia. 



* 

* * 



Pero la Física matemática no se contenta con estas expli- 
caciones generales, necesita obtener fórmulas, y ver si esas 
fórmulas concuerdan ó no con las de la Física experimental. 

Y esto es lo que vamos á hacer en el caso presente: de- 
mostrar la última fórmula que presentamos, sin más que 
aplicar al sistema constituido por la corriente EE' y por las 
corrientes á que hemos reducido el imán, la fórmula de la 
Electrodinámica de Ampére. 

Este sabio demuestra que entre dos elementos de corrien- 
te (fig. 24), existe una acción atractiva ó repulsiva, según 
resulte el signo positivo ó negativo, cuyo valor se determina 
por la fórmula siguiente, que se conoce con el nombre de 
fórmula de Ampére: 



„ //" ds .ds' ( 3 

C I eos £ . eos oj eos to 

2 



— 30 - 

en la cual / é /' representan los valores de las dos corrientes 
por unidad de longitud, ds y ds' las longitudes de ambos 
elementos, e el ángulo que forman, to y w' los ángulos que 
forma, con la dirección de ambas corrientes, la recta a a c 
que une sus dos puntos medios, y por último, C, una cons- 
tante que depende de las unidades que se elijan. 

Sobre esta fórmula algo hemos de decir más adelante; por 
el pronto, la damos por demostrada, ya por los procedi- 
mientos de Ampére, ya por comprobaciones puramente ex- 
perimentales. 

Dicha fórmula es la que hemos de aplicar á cada dos ele- 
mentos de los dos sistemas en pre- 
sencia; la corriente y el imán. 

Consideremos una sección cual- 
quiera de dicho imán, A' B' C'D', 
que al substituirle por un sistema 
de corrientes se convertirá en una 
corriente cerrada á lo largo del 
contorno, y como podemos supo- 
ner que la sección del imán era 
muy pequeña, podremos conside- 
rar cuatro elementos de corrientes A'B', B'C, C'D' y DA'. 
Y deberemos calcular las fuerzas que se desarrollan entre 
estos cuatro elementos y todos los de la corriente EE'. 

Obtenida la fuerza resultante, ó mejor dicho, la acción re- 
sultante, integraremos todas las secciones del imán, desde 
ABCD hasta el infinito, y la fórmula final que obtengamos 
deberá coincidir con la que da la experiencia: 

F=C ^^ 






R 



Empecemos por estudiar la acción del elemento de corrien- 
te A' B' (fig. 21 ), sobre toda la corriente infinita EE , y para 
más claridad, pongamos en una figura aparte (fig. 25) am- 
bos elementos: el A' B' y la corriente EE'. 



- 31 - 



Tomemos sobre esta corriente un elemento a'b' y determi- 
nemos la acción entre A'B' y a'b' aplicando á este efecto la 
fórmula antes citada de Ampére. 

La aplicación de esta fórmula dará, llamando / á la corrien- 
. te que va sobre el elemento A'B',fá la fuerza resultante, 
y r, r' á las distancias OF, Oa: 



f=C- 



lix A'B'. a'b' '6. ¿' 



r - 



^.c 



[ 



eos {A'B', a'b') cosyoa' 



X cosb 



'"'""] 



a' 



F 



tu 



,</a> 



B' 



A' 



Supongamos que las dimen- 
siones del rectángulo de la figu- 
ra 21 sean, como hemos dicho, 
AB^ a, AD = b,y llamando ^^^^^^ 25. 

O) al ángulo d oF que es la va- 
riable que determina la posición del elemento b' d , y r' á la 
distancia od , tendremos 

ZQ>%yod = senw, cosb' da" == cosyoa' = seno), 

ángulo dob' = í/w; 

y puesto que A'B', a'b' son paralelas y en el mismo sentido, 

eos {A'B', a'b') = eos o = 1 ; 
de suerte que el valor de / se convertirá en 



f = 



^ lia X a'b' T, 3 , 1 

C 1 sen-w . 

r' I 2 J 



- 32 - 

Esta fuerza, que sigue la dirección o a dará dos compo- 
nentes, una según el eje oy, otra según el eje oF. Pero si 
tomamos sobre la corriente EE' el elemento a"b" = a'b', y 
colocados ambos simétricamente respecto á oF, la intensidad 
de la fuerza entre A' B' y a"b" será igual á la anterior, de 
suerte que las componentes, según el eje oy, así como según 
la corriente a" b', serán iguales y contrarias, y las dos com- 
ponentes, según oF, serán iguales y se superpondrán; y 
como podemos siempre unir dos á dos los elementos simé- 
tricos de EE', la acción total entre esta corriente y el elemen- 
to >4' 5' actuará sobre oF y será igual al doble de la acción 
entre dicho elemento A' B' y la mitad de la corriente, es 
decir, la que corresponde á FE'. 

En resumen, sólo debemos calcular la acción entre A' B' y 
la corriente FE' y duplicar esta acción, para lo cual basta 
integrar respecto á w desde la posición oF k oy úq \2i recta 
r', con lo cual se comprenden todos los elementos de dicha 
corriente FE'. 

Así, pues, w debe variar entre cero y — . 

Sólo nos falta expresar en la fórmula anterior el elemento 
a'b' en función de la variable de la integración u. 
Tendremos evidentemente en la figura 25 

,,, a c r'dió 

ab = 77-^= , 

cosb a c cosoj 

y substituyendo 

f — C 1 sen-w ; 

r'-cosoj L 2 J 

de modo que la componente sobre oF será 

/cosü) = C 1 sen-io t/w 

r V 2 \ 



- 33 - 

para cada elemento de la corriente FE'. Para toda la corrien- 
te deberemos integrar entre io^(?yto = — la expresión 

2/cosw = 2C ^Tl — — sen^col í/(o. 
Llamando /i á dicha resultante, 



M - - sen2(o 



^0 /• 



/i = 2CIia í/(o. 

Pero r' también depende de c», de modo que en la ecua- 
ción anterior hay que poner 



costo 
así 



/i = I eos (O 1 sen- O) I diú. 

/•Jo I 2 ; 



Esta es la acción entre la corriente EE' y el elemento A'B' 
que se ejercerá según la recta oF. 

La integración es bien sencilla, mas para nuestro objeto, 
ni aun tendríamos que entretenernos en efectuarla, porque 
como no entra más variable que w y se integra entre cero y 

— , resultará un número perfectamente determinado, que im- 

porta poco cual sea: en C puede estar. En este caso es — . 
En suma, el valor de f^, será de la forma 

lia 



íy = C 



r 

Rbv. Acad. Ciencias.— V. -Julio, Agosto y Septiembre, 1906. 



- 34 — 

Después de haber calculado la acción entre la corriente / 
y el elemento A'B', figura 21, tenemos que seguir calculando 
las acciones que corresponden á los demás elementos del 
rectángulo. Pero B'C es perpendicular á EE' y la recta per- 
pendicular á ambas pasa por el centro de B'C, luego la 
acción entre estos dos elementos es nula, según la misma fór- 
mula de Ampére, pues eos ^ -^ o, eos w = eos tu' == o, según 
la experiencia y según la demostración directa fundada en la 
simetría. 

Pasemos al elemento C'D'. 

Claro es que su acción será numéricamente igual á la que 
hemos calculado para A'B'; pero como la corriente va en sen- 
tido contrario, en vez de ser una fuerza atractiva será una 
fuerza repulsiva, es decir, que llamándola// tendremos 

r 

Por último, la acción entre el cuarto lado del rectángulo y 
la corriente EE' será nula, como lo era respecto á B'C 

Y tendremos, por último, que la acción de todo el rectán- 
gulo sobre la corriente EE', se podrá expresar en la figu- 
ra 26, que es reproducción de la 22, aunque en mayor ta- 
maño, para más claridad, de este modo: 

El rectángulo proyectado en A'D', ejerce sobre la corrien- 
te proyectada en E, una fuerza atractiva /i, entre £ y el lado 
del rectángulo que se proyecta en A', que es el A'B' de la 
figura 21 , y una fuerza repulsiva /,', que se ejerce entre E y 
el lado D' del rectángulo, que es el C'D' de la figura 21. 

Estas dos fuerzas/, y//, que son iguales en valor numé- 
rico y de signos contrarios 



/J = -C^ 



— as- 
ías hemos llevado en la figura 26, sobre £"0 la primera, y 
sobre EG' la segunda, y hallando la resultante, obtendremos 
la EF^ que llamaremos F^. 

Su valor se determina, desde luego, comparando los trián- 
gulos EF^ G y EA'D' que son semejantes; y recordando que 
EG es igual á/i, y que A' D' es igual á b, tendremos 



ó bien 



EG 

A 



EA" 



de donde 



F,= 



Ab 



ü' D" 




y substituyendo por /^ su valor 

li.a.b 



Fr = C 



r' 



Supongamos, para tener en cuenta toda la extensión del 
imán, que / representa, no la corriente de un rectángulo 
aislado, sino la corriente por unidad de longitud; es decir, 
la suma de todas las corrientes que corresponden á la unidad 
de longitud del imán. En este caso, auna longitud infinita- 
mente pequeña dr, corresponderá la corriente idr, que po- 



- 36 — 

dremos considerar reunida en el contorno del rectángulo A 
D', con lo cual, la acción de dicho rectángulo sobre la corrien- 
te EE', estará representada por la fuerza F^, cuyo valor será 

_ ^ lidr .a.b 
^1 = ^ ; ' 

en que ab representará el área de dicho rectángulo. Claro es 
que podemos substituir á EA, que es r, la longitud Eg que 
es próximamente igual. 

Cada rectángulo de los que están distribuidos á lo largo 
del imán en substitución al mismo, determinará una fuerza 
análoga á la /^, , sin más que poner en la fórmula en vez de 
r su valor. 

La fuerza total será la suma de todas estas fuerzas, puesto 
que todas tienen la misma dirección; y se obtendrá inte- 
grando el valor precedente desde R, que corresponde á la 
sección A D, hasta el infinito, ya que hemos supuesto que el 
otro polo hasta el infinito se ha alejado. 

Llamando F á dicha fuerza total, tendremos 



r"^ li.a.b / i\°° 

= 1 C ~ dr=CIi.a.b[^-^ = 



.00 i: ^ u / 1 ,00 

R 

li.ab 



C 



R 



Si suponemos que se escogen las unidades de tal manera, 
que iab tenga el mismo valor numérico que el polo, ó sea 
proporcional á él, que es la hipótesis generalmente acepta- 
da, tendremos, haciendo i .a . b — [>.6 proporcional á ¡ji, 

R 

que es exactamente la misma fórmula que habíamos obtenido 
experimentalmente. 



- 37 - 

Es decir, que en la hipótesis establecida y mediante la úl- 
tima hipótesis complementaria hemos demostrado: 

1." Que si se supone fijo el imán, la corriente girará al- 
rededor del polo. 

2." Que la fuerza, siempre perpendicular á la recta R será 
proporcional á la corriente, al valor del polo y en razón in- 
versa de la distancia. 

Si suponemos la corriente fija, podremos demostrar con fa- 
cilidad suma, aplicando el principio de la reacción igual y 
contraria á la acción, que el polo y aun todo el imán tende- 
rán á moverse en sentido 
contrario á aquel en que 
se movía la corriente. 

Claro es que si el imán 
tiene un punto fijo, la re- 
sultante tenderá á hacerle 
girar alrededor de dicho 
punto. 

En efecto, para la sec- 
ción AD,y\o mismo diría- 
mos para otra cualquiera, su acción sobre la corriente hemos 
visto que se reduce á dos fuerzas /i y// actuando según las 
rectas EA, ED. 

Las reacciones serán asimismo dos fuerzas — /i, — // 
que si el imán tiene el punto fijo M, tenderán á hacerle gi- 
rar en el sentido DD' (fig. 27). 

Lo único que nos proponíamos demostrar, y esto queda 
demostrado, es que, con la hipótesis de Ampére, este fenó- 
meno del magnetismo á que venimos refiriéndonos se re- 
presenta y se explica en todos sus efectos mecánimos por 
las teorías de la Electrodinámica, sin suponer nuevos fluidos 
magnéticos ni agregar á la hipótesis de la electricidad la nue- 
va hipótesis del magnetismo. 







f 






D 




'^'^ 


^-"' 






,..--•'" 




Q. 


...^ 


„.....--— 








-/;■ 


"T 






/ 


4 






Figur: 


127. 





M 



* 



- 39 - 

Claro es, que cuando se presentan dos órdenes de fenóme- 
nos y se quieren reducir á la unidad, ocurren dos soluciones. 
Así en nuestro caso, primero, ó se pretende explicar el mag- 
netismo por corrientes eléctricas, que era la tendencia de Am- 
pare y de su escuela, y dentro de esa tendencia está el ejem- 
plo que hemos presentado; ó, segundo, se trata de reducir la 
Electrodinámica al magnetismo, como sucede, por ejemplo, 
cuando se substituye á una corriente eléctrica una hoja mag- 
nética. 

Pero de todo esto trataremos en otra ocasión y en otro 
curso. 

De todas maneras, el ejemplo que acabamos de desarro- 
llar, da origen á muchas observaciones, que reservamos para 
la conferencia próxima. 



II. — Iiitrodiiccióii á la Física mateiii ática. 

Por José Echegaray. 

Conferencia octava. 

Señores: 

Decíamos en la conferencia precedente, que aunque en el 
siglo último, la Física matemática procuraba explicar todos 
los problemas de la Física como cuestiones de Mecánica raT 
cional, mediante ciertas hipótesis, á veces, sin aspirar á tan- 
to, intentaba con el auxilio de la Mecánica ó del cálculo 
matemático, reducir un orden de fenómenos á otro, esfor- 
zándose en probar que ambos son apariencias de uno mismo. 

Así, en el ejemplo que presentamos, veíamos que un imán 
podía reducirse á un conjunto de corrientes, y que los efec- 



39 — 



tos mecánicos y la fórmula de la fuerza obtenida por esta teo- 
ría coincidían exactamente con los resultados de la expe- 
riencia. 

Este triunfo y otros análogos de la Física matemática, son 
verdaderamente admirables, pero no hay que creer que to- 
dos los físicos los aceptan como definitivos, ni que la crítica 
se rinde ante los brillantes resultados de la ciencia teórica. 

Así, en el caso que hemos estudiado últimamente, la duda 
llega hasta la misma fórmula de donde hemos partido, hasta 
á la misma fórmula de Ampere: 

Acción ó fuerza entre dos elementos de corriente 



^ ii'dsds' ( 

C I eos £ 



cosco costo 



')- 



e' 



Cu 



B' 



M 



e\ 



3 



/ 



Figura 28. 



-.</' 



Esta fórmula la obtuvo Ampere en su tratado de Elec- 
trodinámica por una mezcla ingeniosísima de hipótesis, de 
principios racionales y matemáticos, y aun 
de resultados experimentales más ó menos 
envueltos en hipótesis; aunque el ilustre 
autor pretendía fundarse única y exclusiva- 
mente en la experiencia. El título de la obra 
es en efecto: Théorie mathématique des 
phénomenes electro -dynamiques unique- 
ment déduite de l'experience, 1826. Pero 
estudio es éste que haremos en otro curso- 
Es lo cierto, que la fórmula anterior, que 
es la que nos ha servido de punto de par- 
tida y que por mucho tiempo se consideró 
entre los admiradores del inmortal físico y 
matemático francés como definitiva y clási- 
ca, esta fórmula está sujeta á severísima 
crítica, y hoy grandes maestros de la ciencia la ponen en 
duda. 
En primer lugar, la fórmula establece la acción ó la fuerza 



- 49 — 

entre dos elementos de corriente como si estuvieran aisla- 
dos, pero es absolutamente imposible aceptar que estén ais- 
lados dos elementos de corriente; porque, según observa el 
eminente matemático francés Mr. Poincaré, la fórmula ante- 
rior, y esta parte de la teoría de Ampere, suponen que la 
fuerza á que nos referimos no tiene potencial. 

Y esto, como vamos á ver inmediatamente, vale tanto 
como establecer el movimiento continuo. 

Expliquémonos en términos más precisos. 

Supongamos que pudieran existir dos elementos de co- 
rriente aislados, y sean éstos ab, cd. (fig. 28). 

Según la fórmula de Ampere, si admitimos que las corrien- 
tes en ambos elementos van en el mismo sentido, y que am- 
bos elementos son paralelos, todo lo cual no tiene más ob- 
jeto que simplificar la explicación, deberemos substituir en la 
expresada fórmula 

e = o, (O = o' = 90°, 

con lo cual se reducirá á 

^ ^ ii'ds . ds' 

siendo ds ^ ab, ds' ^ cd, AB ^ r. 

Y además la fuerza será atractiva. 

Pues bien, un sistema de esta clase, sería una máquina de 
movimiento continuo, y podríamos crear trabajo indefinida- 
mente. 

En efecto; hagamos girar el elemento cd en el sentido que 
marca la flecha, hasta que tome la posición e/ perpendicular 
á ab en su punto medio. 

Este movimiento lo efectuaremos sin desarrollar trabajo, ó 
cuando más, un trabajo infinitamente pequeño de orden su- 
perior. 

Desde ef podremos transportar dicho elemento sobre la 



- 41 - 

recta AB hasta donde queramos, sin consumir trabajo, por- 
que la acción entre los dos elementos ab y ef, es nula, se- 
gún demuestra la fórmula de Ampere, puesto que para este 

caso 

£ = 90, 10 = 90, w'=0; 

y, además, podríamos demostrar esto mismo, apoyándonos 
en la simetría, por un razonamiento directo que se considera 
evidente. 

Una vez el elemento ef en la situación e'f, á cualquier 
distancia de A , deshagamos el giro anterior,' colocando á di- 
cho elemento en la posición c d' paralela á ab. Este giro, como 
el anterior, podremos efectuarlo sin desarrollo de trabajo, ó 
con un trabajo infinitamente pequeño de orden superior. 

Y si ahora abandonamos los elementos c d' y abéisn fuer- 
za de atracción, el sistema desarrollará un trabajo finito, que 
será la integral 



X 



^' ii'ds . ds' , 
C dr. 

»-2 



De suerte que hemos creado, y podemos seguir creando, 
trabajo en cantidad indefinida, consumiendo cantidades infi- 
nitamente pequeñas de orden superior. 

No sólo en este caso, sino en general, todo sistema que se 
encuentre en análogas condiciones, podría considerarse como 
una máquina de movimiento continuo. 

Si un punto, ^4 , y lo que digamos de un punto podríamos 
generalizarlo para un sistema, al pasar de una posición A á 
otra posición B, está sujeto á una fuerza tal, que el trabajo 
de dicha fuerza es el mismo, sea cual fuere el camino que 
siga el punto, para pasar de ^ k B, se dice que la fuerza 
tiene una potencial, y no podría servir dicho punto, ni su 
movimiento, como máquina de movimiento continuo. Pero si 
el trabajo entre dos puntos depende del camino, lo contrario 
puede afirmarse. Sobre todo esto ya insistiremos en otra 



— 42 - 

ocasión, porque es una cuestión importantísima y fundamen- 
tal en Física matemática. 



* 
* * 



Habíamos explicado en el. ejemplo á que veníamos refi- 
riéndonos, una acción electromagnética fundamental, substi- 
tuyendo al imán un sistema de corrientes; y el resultado pa- 
recía definitivo. 

Sin embargo, como nuestra demostración se fundaba en 
la fórmula de Ampere, todo lo que quebrante la confianza en 
dicha fórmula, quita importancia al resultado, cuya concor- 
dancia con el método experimental, puede atribuir algún 
crítico severo á una casualidad de las que suelen presentar- 
se en estas cuestiones, ó á una compensación de errores, ó, 
acaso, á ciertas analogías en las fórmulas, que á veces exis- 
ten hasta en fenómenos de muy distinto orden, como suce- 
de, sin ir más lejos, y para este mismo problema que esta- 
mos discutiendo, entre la teoría de los torbellinos y la de las 

acciones electromagnéticas. 

La acusación que se dirige con- 
tra la fórmula de Ampere y que 
acabamos de desarrollar, es grave, 
y prueba, según muchos matemá- 
ticos, que no pueden existir ni ele- 
mentos aislados de corriente, ni en 
general, corrientes abiertas: esto 
ya lo discutiremos á su tiempo. 

Pero hay más; la demostración 
de la fórmula de Ampere, que fué 
un prodigio de ingenio y de talen- 
to, es, si se me permite la palabra, 
una demostración híbrida, porque, en parte, se funda en con- 
sideraciones matemáticas, y muy especialmente, en conside- 
raciones de simetría. 




Figura 29. 



— 43 — 

Mas por otra parte, también acudió el insigne autor á cier- 
tas experiencias fundamentales y á varias hipótesis, no del 
orden mecánico estas últimas, porque la demostración, en 
rigor, no pertenece á este orden, sino del orden físico, y casi 
me atrevería á llamar metafísico, sobre cuya exactitud asal- 
tan graves dudas. 

Citemos una de estas hipótesis, que mucho tiene de hipo- 
tético aunque se dé como resultado experimental. 

Mr. Ampere, descompone un elemento de corriente según 
tres ejes coordenados, y afirma que, á dicho elemento de 
corriente, pueden substituirse las tres componentes. 

Mas en general, á una corriente eléctrica AB (fig. 29) 
podrá substituirse otra corriente infinitamente próxima á 
ella, AbcdB. Y 'caso particular de este postulado, es el de 
substituir á la corriente OC, infinitamente pequeña, el con- 
torno formado por las tres componentes OE, ED, DC. 

Pero este postulado, como decíamos antes, da lugar á 
muchas dudas, no ya en el orden físico, en el cual la com- 
plicación de los fenómenos es grande y que encierran un 
fondo completamente desconocido; sino que en puras cues- 
tiones de análisis y aun de Geometría elemental, dicho pos- 
tulado, ó postulados análogos, son absolutamente falsos. 

Permítanme mis oyentes, que recuerde una paradoja geo- 
métrica de extrema sencillez, y que por lo trivial no me 
atrevería á recordar si no se enlazase, por manera inespera- 
da, con altas cuestiones de análisis; paradoja con que se 
pone á prueba el buen ingenio de los principiantes. 

Me refiero á aquella en que se demuestra que la suma de 
dos lados de un triángulo es igual al tercero. 

Sea el triángulo ABC (fig. 30), y demostremos lógicamen- 
te que la suma de las lados AC -^ CB, es igual al lado AB. 

Partimos del siguiente postulado, que es análogo al de la 
Electrodinámica. 

Si dos líneas tienen los puntos extremos comunes, una de 
ellas es fija y la otra variable, y el número de puntos co- 



- 44 - 

muñes es tan grande como se quiera, y crece sin límites; si 
además la distancia entre cada dos puntos de ambas líneas 
es infinitamente pequeña, es decir, se acerca á cero tanto 
como pueda desearse, las dos líneas coincidirán y podrán 
substituirse una por otra en el límite. 

Apliquemos este postulado. 

Tomemos los puntos medios D, E, Fde los tres lados del 
triángulo, y formemos el contorno ADFEB. La longitud de 
este contorno es la misma evidentemente que la de los lados 
AC ~\- CB, como lo prueba el paralelogramo CDFE. 

Lo que hemos hecho con el triángulo A CB, repitámoslo 
con los triángulos parciales ADF y FEB; y tendremos el 
nuevo contorno AD' GD" FE" HE' B, cuyo contorno tendrá 
la misma longitud que los lados AC -{- AB. 

Apliquemos el mismo procedimiento á los cuatro triángu- 
los parciales y formaremos la línea quebrada 

A abcGdegFg'e'd' Hc'b'a'B. 

Esta línea quebrada tiene, como todas las anteriores, la 
longitud constante A C -( CB. 

Como podemos continuar indefinidamente las mismas 
construcciones geométricas, hallaremos un contorno, que 
tendrá con la línea A B, un número infinito de puntos comu- 
nes, siendo la distancia entre cada dos infinitamente pe- 
queña; luego, según el postulado, este contorno y la línea 
A B tienden á confundirse, y en el límite, se confunden; lue- 
go sus longitudes son iguales, luego la longitud de AB es 
igual á las longitudes de A C y BC. 

Esta paradoja es elemental y sólo propia de principiantes 
en el estudio de la Geometría; pero la crítica puede encon- 
trar paradojas, por decirlo así de la misma familia, en las 
altas regiones de la Ciencia. 

¿Por qué no ha de haber una paradoja análoga á la ante, 
rior al pretender substituir á un elemento de corriente el con- 



- 45 — 

torno formado por las tres componentes de dicho elemento? 

Otro caso podemos citar verdaderamente notable. 

Por muchos años ha pasado como verdad indiscutible, que 

toda función continua de dos variables reales, x q y, tiene 

Av 
una derivada, es decir, que — — tiende hacia un límite cuan- 

Ax 
do Ax se aproxima á cero indefinidamente, exceptuando 
para puntos singulares, y sin embargo la proposición es 
falsa, como ha demostrado Weierstrass en ejemplos notabi- 
lísimos de series que representan funciones continuas, y en 
las que, sin embargo, la derivada tiene valor indeterminado 
para todos los puntos en general. 

De esta teoría, puramente analítica, pueden presentarse es- 
quemas geométricos, que den algo así como una explicación. 

En la figura 30, el contorno AabcG..., aunque tiende á 
confundirse con la línea recta, puede decirse que en cierto 
modo tiene en cada punto dos tangentes paralelas á los 
lados ABy BC. 

En general, si la línea Aabcd... (fig. 31) tiende á aproxi- 
marse indefinidamente á una línea AB áe forma constante ó 
variable, nunca podrá decirse que esta línea sinuosa que imi- 
ta en cierto modo las ondulaciones de un hilo flexible, tiene 
una tangente en cada punto, ni que ésta sea la de la línea AB. 

La verdad es que esta línea ondulada que acabamos de 
citar puede tener en cada punto variable infinitas tangentes, 
sin que éstas tiendan á coincidir 
con la tangente á la línea de tra- 
zos yi5 en el punto infinitamen- 
te próximo al que se considere 
en dicha línea sinuosa. 

En suma, este problema de 
los contornos substituibles para ^ ^ Y ^ Y Y Y- )i Y' 
todos los casos, es más com- 

' Figura 30. 

piejo de lo que parece, y todo 

postulado que á esta teoría se refiera, debe considerarse 




- 46 — 

como sospechoso. La substitución de una línea por otra qué 
tienda á confundirse con ella será legítima al determinar 
áreas; no lo es al determinar longitudes, tangentes ó curva- 
turas. Así, en Electrodinámica será legítima para calcular el 
flujo de fuerzas, pero no para calcular, por ejemplo, momen- 
tos electromagnéticos. 

Verdad es que la fórmula de Ampere, que no sería apli- 
cable á corrientes abiertas, dado que pudieran existir éstas, 
puede aplicarse á corrientes cerradas, aunque no como re- 
sultado de las acciones de los elementos, para cuyas accio- 
nes la fórmula de Ampere no sería la única solución. 

Observemos, sin embargo, y esto atenúa algo las críticas 
anteriores, que hemos aplicado la citada fórmula de Ampere 
á dos sistemas de corrientes, ambas cerradas. Las que subs- 
tituyen al imán están cerradas por definición; la de la co- 
rriente rectilínea la suponemos cerrada á una distancia in- 
mensa, y si es preciso, en el infinito. 



* 



En el ejemplo de que vamos tratando hay algo todavía 
que merece fijar nuestra atención, porque se enlaza con cues- 
tiones muy hondas y muy debati- 
S das de la Física matemática. 

A saber, con la cuestión de las 
fuerzas centrales. 

En todo el siglo anterior, la teo- 
ría de las fuerzas centrales ha do- 
minado casi por completo, desde 
las grandes cuestiones de la Astro- 
nomía y de la Mecánica celeste, 
Fiflura :ji. hasta los trabajos admirables de 

Cauchy. 
Se consideraba por la mayor parte de los físicos, no diré 




- 47 - 

por todos, como un postulado evidente y casi indiscutible, 
que la acción de dos puntos materiales A y B (fig. 32) de- 
bía ser una fuerza, ó mejor dicho, un sistema de dos fuer- 
zas, actuando ambas en la dirección de la recta que unía 
ambos puntos. 

Se planteaban á la vez dos 

hipótesis, ó dos postulados; •'^ , í 

para algunos, dos axiomas de / * -/" 

Metafísica, de Filosofía natu- 
ral y hasta de sentido co- Figura 32. 
mún, á saber: \°, el de las 

fuerzas centrales, que es el que hasta ahora nos interesa; 2.°, 
el de la reacción igual y contraria á la acción. 

Si dos puntos materiales AB están en presencia, la acción 
de^, por ejemplo, sobre A, ¿cómo no ha de ser en la di- 
rección de la recta AB, ya sea atractiva, ya sea repulsiva, y 
cómo no ha de estar aplicada al mismo punto A ? 

Toda otra solución, por razón de simetría alrededor de AB 
y por el principio de la razón suficiente, supone un número 
infinito de otras soluciones. 

La crítica moderna hace tabla rasa de todas estas evi- 
dencias. 

En primer lugar, niega la acción á distancia, y por lo tan- 
to, la necesidad de que todas las fuerzas sean centrales. 

En segundo lugar, pone en duda, por lo menos, el princi- 
pio de la reacción igual y contraria á la acción, y en tercer 
lugar, acaba por poner en tela de juicio la existencia de las 
fuerzas, dando ocasión á que se hayan creado otras mecáni- 
cas distintas de la Mecánica clásica. 

Sobre estos dos puntos, nada diremos por hoy, aunque 
en su día, si á él llegamos, los discutiremos con la amplitud 
que merecen. 

Pero en cuanto á la teoría de las fuerzas centrales, algo 
debemos decir aún. 

* * 



— 48 — 

Parece, en efecto, de sentido común, que la acción de dos 
puntos A y B, sumamente pequeños, esté dirigida sobre la 
recta que une ambos puntos. , 

Pero, si no para dos puntos infinitamente pequeños, que 
de este caso trataremos en esta misma conferencia, al menos 
para dos sistemas, en el ejemplo que hemos estudiado res- 
pecto á la acción entre una corriente y un imán, ya sea imán, 
ya sistema de corrientes, la experiencia y la teoría dan, al 
parecer, la razón en absoluto á la crítica. 

La acción entre el polo y la corriente no actúa en una 
recta que se apoye sobre la recta y que pase por el polo, la 
más corta distancia como parece natural; sino que si bien 
corta á la corriente, no pasa por ©1 polo, ni tiende á aproximar 
la corriente al polo, sino á hacerla girar alrededor de éste. 

Y en cuanto al imán, la acción es más compleja, porque 
da lugar á una resultante y á un par resultante. 

Todo esto lo hemos demostrado teóricamente, y la expe- 
riencia, juez supremo, lo afirma y lo comprueba. 

En rigor, dicho resultado ningún valor da á la crítica, por 
más que, á primera vista, parezca lo contrario; porque aquí 
no se trata de dos puntos, sino de sistemas complejos; y 
nada tiene de particular, que la resultante de las acciones 
sobre la corriente no pase por el imán, ni que las acciones 



Figura 33. 



sobre el imán se compongan de una fuerza y un par de fuer- 
zas. Basta para obtener estos resultados, aplicar las reglas 
de la estática. Mas aun en el ejemplo á que nos referimos, 
las acciones elementales, hemos supuesto que son fuerzas 



- 49 - 

que van de elemento á elemento, según la recta que une sus 
puntos medios, y que, por lo tanto, son fuerzas centrales: 
las acciones resuHi ntes son las que no constituyen fuerzas 
centrales, lo cual no es, seguramente, un descubrimiento de 
la crítica moderna. 

Pero aun tratándose de elementos infinitamente pequeños, 
no puede admitirse como evidente que las fuerzas hayan de 
ser centrales, y en esto la crítica está en lo cierto. 

Aun siendo los elementos infinitamente pequeños, si son 
complejos, y pueden dar lugar á la vez á atracciones y re- 
pulsiones, la hipótesis, á priori, de las fuerzas centrales, es 
de todo punto gratuita. 

Sean (fig. 33) dos elementos sumamente pequeños A, A'; 
admitiendo la acción de las fuerzas centrales, habría que su- 
poner que la acción de A sobre A' actuaba del centro de A 
al centro áe A' , 6, en general, de un punto cualquiera de A 
á un punto cualquiera de A'. 

Pues, sin embargo, si A es un sistema complejo, si con- 
tiene un centro de atracción a y un centro de repulsión b, lo 
cual sucede ó se supone en todo elemento conductor de la 
electricidad sujeto á la acción de un campo eléctrico, la ac- 
ción de A sobre A' , no será central. 

Supongamos que A' no contiene más que un centro atrac- 
tivo a'; pues entonces, para hallar la acción de A sobre A', 
será preciso unir el punto a con a y b. Sobre la recta aa y 
en su prolongación, porque suponemos que los centros se 
repelen, habrá que tomar una longitud a'c, igual á dicha 
fuerza repulsiva; y sobre la recta a'b, deberá tomarse otra 
longitud, a'd, igual á la fuerza atractiva entre a y b. Des- 
pués se formará sobre a'c y a'd el paralelogramo a'dec 
y a'e representará la acción del elemento A sobre el elemen- 
to A' , que no será una fuerza central á pesar de ser ambos 
elementos sumamente pequeños. 

Es más, si A' contiene otro centro atractivo b' , la acción 
de A sobre b' será una fuerza / (no representada en la figu- 

Rev. Acad. Ciencias. — V. — Julio, Agosto y Septiembre, 1906. 4 



- 50 - 

ra), que tampoco será central, de suerte que la acción de A 
sobre A', que se compone de las dos fuerzas a'e y b'f, po- 
drá ser una fuerza no central y además un par de fuerzas, el 
cual por lo general podrá despreciarse. 

De suerte que, en general, si los elementos son homogé- 
neos, es decir, no son capaces más que de sufrir atracciones 
ó repulsiones, sin que éstas concurran á la vez en cada ele- 
mento, no será aventurado admitir la hipótesis de las fuerzas 
centrales; pero no será legítimo admitirla en caso contrario. 

Y como los elementos que constituyen los cuerpos, aun 
admitiendo la hipótesis mecánica, contienen elementos de 
materia ponderable, y atmósferas etéreas, de aquí resulta 
que en los problemas de Física matemática, admitir en abso- 
luto y para dos elementos cualesquiera la hipótesis de las 
fuerzas centrales, es grandemente aventurado. 

Sobre este punto hemos de volver en el curso próximo; 
por ahora basta con las indicaciones que preceden, que jus- 
tifican plenamente, que ciertos matemáticos, como el eminen- 
te Poincaré, en muchos problemas de la Física acudan á la 
teoría de las funciones potenciales ó funciones de fuerzas 
para dar más seguridad á las fórmulas que establecen. 



* 
* * 



Dijimos al principio de esta larga discusión, que nos ha 
conducido á diversas digresiones, que íbamos á presentar un 
ejemplo en que la Física matemática se esforzaba en explicar 
un fenómeno de la Física experimental, no reduciéndolo di- 
rectamente á un problema de Mecánica, sino á otro fenóme- 
no de la misma Física experimental. 

Y esto es precisamente lo que hemos hecho, siguiendo la 
hipótesis de Ampére: substituir un imán por un sistema de 
corrientes eléctricas. 

Pero aquí se presenta y se enlaza con el anterior otro pro- 



— 51 — 

blema: explicación mecánica de las corrientes eléctricas; el 
cual en rigor se descompone en otros dos, porque la teoría 
clásica de la electricidad, saben mis oyentes, que se divide 
en dos ramas: la Electroestática y la Electrodinámica. Y así, 
la explicación de los fenómenos de Electrodinámica puede 
buscarse en los fenómenos electroestáticos, agregando á 
ellos un solo hecho, el movimiento de los átomos eléctricos. 

Claro es que todos estos problemas, no podemos tratarlos 
en esta introducción, que ha de ser de carácter general y 
elemental al mismo tiempo; nos basta con ir enumerando los 
problemas, por decirlo de este modo, y formulando el pro- 
grama, por lo tanto, de los cursos próximos. 

Diremos, no obstante, aunque sea de pasada, que aun an- 
tes de las teorías de Maxwell y de otros matemáticos y físi- 
cos, ó por lo menos antes de que estas teorías fuesen cono- 
cidas, se hicieron muchos esfuerzos y se establecieron mu- 
chas hipótesis para explicar por la Electroestática, la fórmula 
fundamental de Ampére, que antes hemos citado; así, por 
ejemplo, ya en el año 1865, en las Memorias de la Acade- 
mia de Stanislas, Mr. Renard publicó una interesante nota 
sobre la demostración de la fórmula de Ampére en la hipó- 
tesis de un solo fluido, partiendo de la teoría matemática de 
la elasticidad de Lame. 

Todavía existe otro intento de teoría, precisamente con el 
mismo objeto: demostración directa de la fórmula de Ampé- 
re; teoría que quizá desarrollemos en otra ocasión, conten- 
tándonos por ahora con reproducir en forma muy sucinta 
alguno de los principios é hipótesis en que se fundaba, que 
son los siguientes : 

1.° Cálculo del aumento ó disminución de presiones en una 
masa de éter en función de las fuerzas á que está sometido. 

En la hipótesis á que nos vamos refiriendo, se supone que 
la electricidad se compone de un sólo fluido que coincide con 
el éter mismo. 

2." Se admite que todo conductor eléctrico está formado 



^ 52 - 

de esférulas conductrices, como en la teoría de los dieléctri- 
cos de Poisson, y que una vez establecido el régimen de la 
corriente, las atmósteras etéreas se acumulan en el sentido 
de la corriente misma, abandonando en parte el hemisferio 
opuesto; de suerte, que cada esférula, como en la teoría clá- 
sica á que antes nos referíamos, puede suponerse que tiene 
dos centros, uno atractivo y otro repulsivo. En la hipótesis 
de los dos fluidos, se diría que cada molécula se compone 
de dos masas eléctricas iguales; una positiva y otra negativa. 

3." Al establecerse la corriente, se supone que por la su- 
perficie del conductor circula el fluido eléctrico desde el polo 
positivo de la pila ó generador hasta el polo negativo; con 
una caída de densidad eléctrica, que determina el campo 
eléctrico en que se polarizan, como acaba de explicarse, las 
esférulas del conductor, y en que se polariza la capa del 
dieléctrico que rodea dicho conductor en el mismo sentido 
que éste. 

4.° A medida que se va engendrando electricidad en la 
pila ó generador, ésta va saltando de esférula en esférula, 
porque, como la capa eléctrica se halla en equilibrio en cada 
una de ellas, todo aumento determina un transporte. 

Puede decirse, que á todo lo largo del conductor, este 
transporte ó salto de átomos eléctricos, es simultáneo. 

Así en la hipótesis que vamos describiendo, la corriente 
eléctrica se compone de un movimiento efectivo de electrici- 
dad desde uno á otro polo. 

Pero, al contrario de lo que sucede en otras hipótesis, no 
es dicha corriente eléctrica la que engendra las fuerzas elec- 
trodinámicas. En esto difiere totalmente la hipótesis en cues- 
tión de la hipótesis de Weber. 

5." Como cada esférula del conductor contiene dos cen- 
tros, uno atractivo y otro repulsivo, cada par de centros 
produce una alteración en todo el dieléctrico , alteración que 
puede estudiarse por el sistema de curvas semejantes á que 
da lugar el sistema de dos masas eléctricas iguales y de 



— 53 — 

nombres contrarios, según se estudia en muclios tratados de 
electricidad: en el de Mascart, por ejemplo. 

6.° Cuando hay otro conductor en presencia del primero, 
este sistema de curvas semejantes, que son verdaderas lineas 
de fuerza, actúan sobre la capa del dieléctrico que rodea al 
segundo conductor, contrariando su efecto, y alterando las 
presiones que sobre el conductor ejerce, si las dos corrien- 
tes van en el mismo sentido, y actuando en el mismo que la 
electricidad de la expresada capa, si las dos corrientes van 
en sentido contrario. Y es claro que se supone que los dos 
elementos de corriente son paralelos y perpendiculares á la 
línea que une sus centros. 

7.'' Admitiendo todas las hipótesis anteriores como bue- 
nas, se demuestra fácilmente que los elementos se atraerán, 
si las corrientes van en el mismo sentido. Porque las líneas 
de fuerza disminuirán las presiones en la parte próxima al 
primer conductor, y las disminuirá también en la parte leja- 
na; es decir, á un lado y otro del segundo conductor, siem- 
pre en la capa expresada del dieléctrico, pero disminuirá 
más la presión en el interior que en el exterior, con lo cual 
resultará una fuerza atractiva en la apariencia; en rigor será 
debida á un exceso de presión de la parte más lejana. 

Lo contrario sucederá si las corrientes van en sentido 
opuesto. 

Efectuando los cálculos que se resienten del mismo carác- 
ter hipotético de todo el sistema de demostración, se llega á 
la fórmula de Ampere para dos elementos paralelos. 

8." Aplicando todavía estas hipótesis á dos elementos si- 
tuados en la misma recta, se comprueba, con un poco de 
buena voluntad, la misma fórmula de Ampere para este 
caso; y combinando ambos resultados, se llega á la fórmula 
general. 

El carácter de esta demostración, ya hemos dicho cual es: 
demostrar las fórmulas de la Electrodinámica, apoyándose 
única y exclusivamente en los principios de la Electroestática. 



- 54 - 

Quizá más adelante, en otro curso, y al dar cuenta da 
otras hipótesis, más bien como estudio histórico que con 
otro objeto, desarrollaremos los cálculos de la teoría que 
acabamos de indicar, y sin la ayuda de los que no se puede 
comprender fácilmente. 



Bien quisiéramos presentar algunos otros ejemplos, reco- 
rriendo todas las ramas de la Física matemática, como pre- 
paración elemental para el estudio de la misma; pero la falta 
de tiempo nos impide realizar este deseo. 

De todas maneras, mis oyentes habrán comprendido ya 
que en toda la Física matemática, que podemos llamar 
clásica, ha dominado en gran parte del siglo anterior una 
idea, la de explicar los fenómenos de la Física por la hipó- 
tesis mecánica. Los trabajos en este sentido han sido gran- 
des y gloriosos, como lo demuestran, entre otras teorías, la 
de la luz. 

Los triunfos han sido inmensos, pero no completos, por- 
que en rigor no podían serlo; no puede pedirse á la ciencia 
humana que abarque en sus fórmulas toda la inmensidad de 
la Naturaleza inorgánica sin encontrar obstáculos, sin mos- 
trar deficiencias, sin que asalten al matemático y al físico 
dudas y á veces contradicciones. 

De algún tiempo acá, la crítica se muestra hostil contra la 
hipótesis mecánica, y acaso opone excesivos rigores á las 
soberbias esperanzas de los grandes fundadores de esta 
ciencia. 

Ya lo hemos dicho, y esto nadie lo niega, la hipótesis me- 
cánica ha sido extraordinariamente fecunda; y no desapare- 
cerá tan pronto como algunos se imaginan. Yo creo que se 
modificará, que se perfeccionará, pero que no desaparecerá 
nunca, si esta palabra nunca puede pronunciarse en obras 
humanas. 



- 55 - 

¿Dónde está la teoría antimecánica que ha de substituirla? 

No la veo. Pero, por otra parte, pretender anular los mis- 
terios del Cosmos, suponer que con las fórmulas de la Di- 
námica se ha conseguido penetrar en el seno de las cosas y 
llegar hasta lo absoluto, me parece más que una gran exage- 
ración, un gran error y una ambición desmedida. 

Y á este propósito, en la conferencia, ó en las dos con- 
ferencias que daré todavía, he de explicar á mis oyentes un 
teorema importantísimo del eminente Mr. Poincaré, una de 
las glorias contemporáneas más indiscutibles, no sólo de 
Francia, sino de toda la ciencia moderna. 

Mr. Poincaré no rechaza las hipótesis, antes bien, yo creo 
que las considera necesarias para el progreso de las ciencias; 
pero no olvida que son hipótesis, ni les da fuerza y valor 
para alcanzar lo absoluto de los fenómenos. 

Así, en el teorema á que nos referimos, demuestra, y esta 
demostración es la que hemos de exponer, que si la hipóte- 
sis mecánica llega á una solución, mediante la cual se explica 
un fenómeno de la Naturaleza, la misma hipótesis mecánica 
podrá ofrecer otras infinitas soluciones. Tal será el objeto de 
la conferencia próxima. 



III.— Introducción ala Física niatentática. 

Por José Echegaray. 

Conferencia novena. 

Señores: 

Según lo que indiqué en la conferencia última, debía en 
ésta explicar un notable teorema de Mr. Poincaré sobre las 
soluciones de los problemas de Física matemática en la lla- 
mada hipótesis mecánica y sobre su indeterminación. 



- 56 — 

Pero dicho teorema se funda en las ecuaciones de Lagran- 
ge, para el movimiento de los sistemas, y acaso algunos de 
mis oyentes no conozcan esta forma especial de las ecua- 
ciones de la Mecánica. 

Y como estas conferencias, que sirven de introducción al 
estudio de la Fisica matemática, tienen un carácter elemen- 
tal y son de verdadera propaganda científica, no quiero de- 
jar ningún cabo suelto, como suele decirse, y me propongo 
demostrar todo teorema que enuncie, para evitar dudas y 
desalientos y obscuridades á los que me honran con su asis- 
tencia á esta clase. 

No sólo explicaré las ecuaciones de Lagrange, sino que 
daré su demostración, y entre las varias demostraciones que 
pudiera elegir, me decidiré por la que se deduce de un cé- 
lebre teorema de Hamilton. 

Pero todo se encadena, y para la demostración del teore- 
ma á que acabo de referirme, tendré que acudir al principio 
de las velocidades virtuales en su aplicación á la Dinámica. 

Más aun, no sólo para la demostración de este último 
principio, sino como base de toda la Física matemática, se- 
ría bueno, y afirmaría mucho las ideas, un resumen sucinto 
de los principios de la Mecánica racional. 

Los hemos estado aplicando en todas estas conferencias, 
y tendremos que seguir aplicándolos en los cursos próximos, 
como que la tendencia general de la Física matemática clá- 
sica es, según hemos dicho tantas veces, reducir todos los 
fenómenos de Fisica á problemas de Mecánica. 

Todas las ramas de aquella ciencia, quizá con una sola 
excepción, reducen los hechos físicos, sea cual fuere su 
apariencia, á hechos de Mecánica racional, á equilibrios y 
movimientos de los sistemas, á masas, fuerzas, trayectorias, 
velocidades, fuerzas vivas, en cualquier instante; y fuerzas 
vivas medias, trabajos de fuerzas y funciones de fuerzas. 

Y no estará de más este resumen de los principios gene- 
ales de la Mecánica, que nos proponemos hacer brevemente 



— 57 - 

y en forma muy sintética, para refrescar las ideas de los que 
hayan estudiado la Mecánica racional con extensión sufi- 
ciente, para completar los conocimientos adquiridos por 
otros en estudios más elementales, y á ser preciso, para ex- 
plicar la Mecánica en una ó dos conferencias á los que la 
ignoren, con tal que posean conocimientos generales de las 
Matemáticas. 

* 
* * 

Pero, ¿es posible realizar semejante empresa? 

¿No es absurdo pretender explicar la Mecánica en una ó 
en dos conferencias, como acabamos de indicar? 

Yo creo que es posible, y que la empresa no es absurda. 
La larga práctica á que me he dedicado durante muchos 
años para propagar las ciencias físicas, me ha hecho com- 
prender, que la mayor parte de sus teorías no están á tanta 
distancia del origen que no pueda recorrerse el camino con 
suma brevedad. Y en Mecánica racional, aún más que en 
otra ciencia cualquiera. 

Pocas ciencias habrá, repito, en que la primera mitad, 
que en este caso, y según los cánones clásicos, se llama 
Estática, pueda reducirse toda á un solo principio, el de las 
velocidades virtuales; y la segunda mitad, ó sea la Dinámi- 
ca, pueda asimismo condensarse en este principio ampliado 
á las fuerzas de inercia. 

Si se exceptúa la Cinemática, que es la que tiene más 
íntima relación con las Matemáticas puras, el resto de la 
Mecánica se condensa casi, volvemos á repetirlo, en un solo 
principio, el de las velocidades virtuales. 



* 
* * 



Pero, ¿no causará extrañeza á mis oyentes, y más aún al 
que lea estas conferencias cuando se publiquen, el que inte- 



o 



- 58 - 

rrumpamos, por decirlo de este modo, los estudios propios 
de Física matemática, para consagrar por completo dos con- 
ferencias al estudio de la Mecánica racional? 

Yo creo, por las razones que antes expuse, que ambas 
ciencias están íntimamente enlazadas, como que los grandes 
esfuerzos de los ilustres sabios, que en el siglo precedente 
crearon la Física matemática clásica, se dirigían á convertir, 
como hemos repetido infinitas veces, toda la Física en pro- 
blemas de Mecánica: la Física, de este modo, venía á ser 
una Mecánica aplicada. Y como, por otra parte, se aspiraba 
á que la Mecánica fuese eminentemente racional y puramen- 
te matemática, la aspiración suprema de aquellos sabios era 
impregnar de tal modo el mundo de los fenómenos del es- 
píritu racional de las Matemáticas, que la realidad quedará 
sujeta y sometida casi al idealismo matemático y al imperio 
de la razón. Todo lo racional es real, dijo Hegel, si no me 
equivoco. 

La experiencia venía á ser una comprobación de las fór- 
mulas, y sólo para comprobarlas, y en todo caso para deter- 
minar los coeficientes numéricos, que dichas fórmulas contu- 
viesen, había de servir en lo sucesivo la Física experimental. 

Ambición noble y grandiosa, pero como todas las ambi- 
ciones, si son desmedidas, sujeta al peligro de ruina total é 
inevitable descrédito. 

Pero aún hay más que justifica, á mi modo de ver, este 
paréntesis que abro en las presentes conferencias. 

Aunque le he llamado paréntesis, yo creo que no lo es; 
creo que al ocuparme hoy en la Mecánica racional, continúo 
el mismo sistema que vengo siguiendo desde el principio. 

Creo, en suma, que es agregar un ejemplo más a todos 
los ejemplos que hasta aquí hemos estudiado. 

Porque al fin y al cabo, ¿qué es la Mecánica racional? 
La ciencia que estudia un orden determinado de fenómenos 
físicos: los fenómenos del movimiento, y acaso, como apa- 
riencia, los del equilibrio. 



— 59 - 

Si el magnetismo comprende fenómenos determinados, y 
otros fenómenos determinados también la electricidad está- 
tica y dinámica, y fenómenos con determinado carácter la 
luz, y un grupo especial de fenómenos el calórico, ¿por qué 
en esta serie de fenómenos físicos no han de estar compren- 
didos y no han de ser, como los demás, parte de la Física, 
los fenómenos de la Estática y de la Dinámica? 

Lo son; ¡quién lo duda! Son fenómenos físicos, y á la 
Física pertenecen, y la Historia de la Ciencia lo demuestra, 
y todos los tratados de Física experimental lo comprueban. 
Como que en ellos se empieza por nociones de Mecánica. 

Lo que hay es, que la Mecánica es la parte de la Física 
en que más domina el elemento racional y matemático. 

Se puede explicar el calórico, la luz, la electricidad con 
muy pocas fórmulas, con poco lujo de cálculo matemático, 
y en la Mecánica, después de establecer ciertos principios, 
al cálculo matemático queda entregada la ciencia toda. 

Es la parte de la Física en que el elemento matemático 
hace presa con mayor energía y con más firmeza. 

Pero, en rigor, y mirando estas cuestiones con imparcia- 
lidad, la Mecánica puede estudiarse de dos modos, como 
todas las demás partes de la Física: ó experimentalmente , ó 
matemáticamente. 

La Mecánica tiene su Mecánica experimental, con la que 
se puede constituir toda la ciencia; y su Física matemáti- 
ca aplicada á los fenómenos de la Mecánica y fundada en 
hipótesis y en cálculos matemáticos, y esta última es la que 
casi ha dominado en la Historia de la Ciencia, y á ésta es á 
la que se ha llamado Mecánica racional, indicando clara- 
mente, que del elemento experimental se prescindía y que 
tal Mecánica era una ciencia pura, que en la clasificación de 
las ciencias, venía casi después de las Matemáticas, sin más 
intermedio que la Cinemática. 

Ha sido preciso que la Crítica moderna, que en sus oríge- 
nes no es tan moderna como indica la palabra, analizase. 



- 60 — 



con la severidad que le es propia, los llamados axiomas y 
principios de la Mecánica racional, para que ésta cediera un 
tanto en sus pretensiones, y se aproximase, aunque de 
mala gana, á la Física experimental. 



* 

* * 



Podíamos, en rigor, tratar en estas conferencias de la Me- 
cánica y establecer sus principios y sus ecuaciones funda- 
mentales sin alterar en lo más mínimo el orden que venimos 
siguiendo. 

Nos bastaba decir: otro ejemplo más: el equilibrio y el mo- 
vimiento de los sistemas materiales. 

Y á continuación, como hemos hecho hasta aquí, agre- 
gar: dicho problema puede tratarse por el método experi- 
mental y por la experimentación pueden establecerse las 
ecuaciones fundamentales de la Mecánica. - Claro es que una 
vez establecidas estas ecuaciones, ni más ni menos que en 
toda la Física experimental, las Matemáticas se apoderarán 
de ellas, por decirlo de este modo, para desarrollarlas, com- 
binarlas y hacer su aplicación práctica á la realidad de los 
fenómenos. 

Y en contraposición á este método experimental hubiéra- 
mos continuado diciendo: < la Física matemática puede llegar 
á estas mismas ecuaciones por medio de ciertas hipótesis.^ 

Es evidente, por lo demás, que en este caso no hubiéra- 
mos podido decir: «estableciendo hipótesis y aplicando los 
principios de la Mecánica >, porque ahora la Mecánica no es 
un medio, sino que es un fin, no viene á explicar problemas 
de Física matemática, sino que ha de explicarse á si misma. 

Lo que en este último ejemplo debiéramos decir, sería 
esto: la Física matemática explica los fundamentos de la 
Mecánica por medio de hipótesis, y aplicando á estas hipó- 
tesis principios matemáticos y en todo caso principios de Ci- 
nemática, 



— 61 - 

Por eso ilustres autores se han esforzado en eliminar de la 
Mecánica todos los elementos del orden experimental, por 
ejemplo, las fuerzas y aun las masas, quedándose con pun- 
tos, movimientos, velocidades, y en todo caso, como hipóte- 
sis, con ciertos enlaces invisibles é hipotéticos de los sistemas. 

Podemos citar en este orden de ideas, la Mecánica del 
ilustre Hertz, de la cual trataremos en su día, porque es 
muy digna de estudio y puede tomar puesto entre las diver- 
sas ramas de la Física matemática, entendidas en el sentido 
que vamos explicando. 

Por hoy tal empresa es imposible, es excesivamente ex- 
tensa, el tiempo nos falta, y además, nos separaría de nues- 
tro objeto principal. 

Nos contentaremos con establecer, según antes anunciá- 
bamos , las ecuaciones y principios generales de la Mecáni- 
ca, partiendo de la experiencia. 

Es decir, que de las dos partes que antes señalábamos, 
para este ejemplo sólo nos fijaremos en la primera. 



* 

Me -ii 



El primer concepto que encontramos en la Mecánica, el 
primer parámetro, pudiéramos decir, según explicábamos 
al principio de estas conferencias, es la masa. 

No definimos lo que la masa sea; desde el punto de vista 
en que nos hemos colocado, debemos declarar que lo igno- 
ramos. 

No sabemos lo que es la masa en su esencia íntima, 
como no sabemos lo que es el calórico, ni la electricidad, ni 
el magnetismo, ni la luz, ni la fuerza, ni ninguno de los fe- 
nómenos de la Física ó de sus parámetros. 

Todos éstos son fenómenos físicos: es decir, apariencias 
de algo inaccesible á que van unidos en nuestro ser repre- 
sentaciones sensibles ó símbolos racionales. 



- 62 - 

Pasamos respetuosamente al lado de lo absoluto sin te- 
ner la pretensión, en estas conferencias, de penetrar en él. 

Pero, á lo que aspiramos, como en los demás ejemplos 
hasta aquí tratados, es á medir las masas. 

Mediremos las masas, como hemos medido el calórico, y 
la temperatura, y la corriente eléctrica, y el magnetismo, sin 
conocer la esencia de todos estos fenómenos. 

Mediremos la masa, por la masa misma, porque la medi- 
da es una relación, y las relaciones son las únicas que has- 
ta cierto punto puede conocer y estudiar la razón humana. 

Nuestra inteligencia tiene una propiedad , y si no se quie- 
re decir nuestra inteligencia, dígase nuestra imaginación, pro- 
piedad de importancia suprema, y es la de repetir las co- 
sas, ó la de suponer que pueden repetirse; mejor aún, la 
de reproducirlas y multiplicarlas en el campo imaginativo, 
como quiera entenderse, que no hemos de discutir sobre pa- 
labras. 

Si nuestra inteligencia se apodera de un cuerpo, de un 
objeto, de un fenómeno, de un hecho, de una verdad ó de 
un error, de un sueño ó de un absurdo, que llamaremos A, 
esta especie de facultad creadora que en nosotros reside, 
puede repetir A dos veces, y tres veces, y un número inde- 
finido de veces. 

Pues esto se aplica siempre á la medida de los paráme- 
tros físicos, y así vamos á medir las masas. 

Tomemos una balanza, que es un aparato perfectamente 
definido, al cual no atribuímos cualidad ninguna, ni decimos 
que es una palanca de brazos iguales, ni la relacionamos 
con la gravitación: es un objeto determinado, inconfundible 
con ningún otro objeto, y que podremos utilizar una y cien 
veces. 

Pues dos masas, diremos que son iguales, cuando colo- 
cadas cada una en un platillo se verifica este otro hecho: que 
la palanca queda horizontal y el fiel en el cero. 

Cuando este hecho se verifica, diremos que las dos masas 



- 63 - 

son iguales, como decimos que son iguales dos longitudes, 
cuando materialmente podemos superponerlas. 

Y un cuerpo tendrá doble masa que otro, que hayamos ele- 
gido como unidad, cuando equilibre en la balanza dos de 
esas unidades y así sucesivamente. 

Pero esta experiencia no tendría sentido ninguno, ni habría 
concordancia en los resultados, si experimentalmente no se 
estableciera esta ley: cuando dos masas son iguales á una 
tercera, son iguales entre sí. 

En cambio, con la balanza y con esta ley que acabamos 
de citar, se concibe que puedan medirse todas las masas, 
y que todas puedan reducirse á números. 

Y en el orden experimental, quedan las masas en la mis- 
mas categoría, que todos los demás parámetros de la Física 
que puedan someterse á medida. 

Claro es, que también puede definirse la masa por la ace- 
leración que se la comunica, empleando el sistema de dos 
masas unidas por un hilo flexible, y de este método de de- 
finición ya diremos algo más adelante; pero el sistema esco- 
gido nos parece más directo y más elemental. 



* 
* * 



Se dirá que la medida no es rigurosa, que está sujeta á 
errores, que no es lo mismo pesar dos masas en un momen- 
to dado, que pesarlas un momento después, ó que pesar- 
las dentro de un año, porque las condiciones del Universo 
pueden haber variado; influencias inapreciables en la prime- 
ra pesada, pueden hacerse sensibles en la segunda: puede 
alegarse esto y mucho más. 

Pero estos son inconvenientes de toda la ciencia experi- 
mental; objeciones tales, ó no tienen fuerza ninguna ante el 
sentido común, ó tienen tanta fuerza, que anulan de una vez 
la ciencia humana entera y reducen la inteligencia del hom- 



- 04 — 

bre á la impotencia, á la inmovilidad y á la muerte. No exa- 
geremos la crítica. 

En efecto, nada es igual á nada, porque nada se repite en 
el Universo con matemática igualdad, ni el hecho experi- 
mental, y si nos apuran, ni la idea matemática tampoco. 

Pero ya lo hemos dicho; busquen filósofos y metafísicos 
lo absoluto, si es que en la época moderna se atreven á bus- 
carlo: están en su derecho. 

Ejercite el crítico con implacable severidad sus altas facul- 
tades; bien está: debe oírsele, deben estudiarse sus argu- 
mentos; pero si tienden á herir de parálisis la razón humana, 
de él y de sus críticas debe precindirse y seguir adelante. 

Es evidente, que toda la ciencia humana no es otra cosa 
que una aproximación más ó menos grosera, más ó menos 
imperfecta de la verdad. 

Quizá dentro de algunos millones de siglos, la ciencia hu- 
mana, si existe, será distinta de la ciencia de hoy, pero aun 
así consideramos que una y otra serán términos de una se- 
rie total. 

La verdad eterna, la verdad inmutable, la ley que siempre 
es ley, y algunos afirman que no existe, no podemos tener 
la pretensión de conocerla. 



* 
* * 



Si se me permite la expresión, diré que la inteligencia hu- 
mana, en cada momento, procede por símbolos que forjó 
con el material que le suministraron las sensaciones; pero 
los forjó con sus energías propias, sean éstas las que fue- 
ren: con su imaginación, con su lógica, con sus axiomas, 
con sus postulados, acaso con chispazos repentinos de la 
inspiración. Todo esto existe, todo esto será lo que fuere; 
pero existe, empleando esta palabra existencia, si no se per- 
mite otro sentido, en el sentido antropológico. 



- 65 - 

Al fin y al cabo somos hombres, y bien ó mal, como hom- 
bres tenemos que discurrir, que de otra manera ni discurrir 
podríamos. 

Si fuésemos una piedra ó un polo magnético, no discurri- 
ríamos antropológicamente, pero discurriríamos como pie- 
dra ó como polo de un imán, si es que discurren. 

Y decíamos, que la inteligencia humana lo que hace es 
combinar símbolos por sus fuerzas psíquicas. 

Si en la Naturaleza existen los fenómenos A, B, C, D 

que corresponderán á ciertas realidades desconocidas, nues- 
tra inteligencia, de cada uno de ellos forja y con cada una 
engendra un símbolo, ó una representación, ó un fenómeno 
suyo, que corresponde con el fenómeno que observó. 

Para el fenómeno A del Cosmos, el símbolo intelectual a; 
para el fenómeno B el símbolo b; y así tendremos dos se- 
ries que se corresponderán término á término: 

En la Naturaleza A, B, C, D 

En el cerebro humano a, b, c, d 

a no será A; pero de algún modo están enlazados, quizá 
sea uno de esos misteriosos enlaces de la novísima Mecá- 
nica, y lo mismo podemos repetir para B y b; C y c; y 
para todos los demás fenómenos y sus símbolos correspon- 
dientes. 

En la Naturaleza, los fenómenos se enlazan y producen 
fenómenos complejos, por ejemplo, B, C, D engendrarán 
un fenómeno complejo que representaremos por 

[BCD]. 

Si en la inteligencia humana, según las reglas de la lógica 
y las leyes del razonamiento, se enlazan los tres símbolos 
b, c, d, obtendremos un nuevo símbolo 

{bcd), 
que podrá ser el símbolo del nuevo fenómeno complejo, y 

Rev. Acad. Ciencias.— V. — Julio, Agosto y Septiembre, 1906. 5 



— 66 — 

en este caso, podremos decir, y algo parecido á esto, pu- 
diera ser el criterio supremo de la ciencia; pudiéramos decir, 
repetimos, que la combinación lógica de los símbolos es el 
símbolo de la combinación real de los fenómenos. 

(bcd) símbolo de [BCD]. 

Y perdonen mis oyentes si con esta digresión me he se- 
parado del asunto principal. 

Estas son conferencias, no lecciones, y la conferencia per- 
mite libertades que la lección severa y ordenada no permite. 



* 
* * 



Hemos tomado como punto de partida la masa y su me- 
dida, y para ello su unidad: por ejemplo, un centímetro 
cúbico de agua, ó si se quiere una unidad mayor, un kilo- 
gramo, ó sea un decímetro cúbico de agua pura y á cuatro 
grados; y como patrón constante para la comparación, una 
masa igual de platino iridiado. 

La segunda magnitud física, ó mejor dicho, el segundo 
parámetro de la Mecánica, es la longitud; por ejemplo, el 
centímetro, ó si se quiere el metro, unidad tan vulgar, que 
sobre ella nada tenemos que advertir. 

La igualdad en este caso, como en todos, hace posible la 
medida, y aquí la igualdad se comprueba por la superposi- 
ción, ó por procedimientos ópticos de gran delicadeza que 
la substituyen. 

Pero en el fondo, si se acude á la Metafísica, ó si se acu- 
de á la crítica, las mismas censuras pueden dirigirse contra 
las medidas de las masas, que contra la medida de las longi- 
tudes y á la inversa. 

La constancia, la invariabilidad, ¿dónde se encuentra, y 



- 67 - 

sobre todo, cómo podremos demostrar que existe para cada 
caso determinado? 

Hoy se pesa un cuerpo; se pesa dentro de un año: ¿acaso 
las condiciones del Universo son las mismas? ¿Este segun- 
do experimento es igual al primero? ¿No estaremos hoy á 
millones y millones de kilómetros en el espacio, de donde es- 
tábamos ayer? ¿Y las influencias cósmicas serán las mismas? 

Y todo esto al pie de la letra puede repetirse para la me- 
dida de longitudes. 

¿Quién nos dice que en el primero y el segundo experi- 
mento, el Universo que nos rodea no se ha dilatado ó se 
ha contraído uniformemente, sin que tengamos término de 
comparación para sospechar siquiera estas contracciones ó 
dilataciones? 

Todo esto es para tenido en cuenta, pero la ciencia no por 
eso ha de renunciará su labor difícil, de gran incertidumbre 
á veces, pero sublime y fecunda en su conjunto. 



* 
* * 



Tenemos dos unidades, la masa y la longitud. 

Nos queda la tercera, el tiempo. 

Es imposible que nosotros abordemos ninguna de las 
grandes cuestiones, que alrededor de este concepto, base 
eterna de discusión, se agitan. 

Contentémonos con la experiencia vulgar, y digamos tan 
sólo, que al ordenar el ser humano las sensaciones que re- 
cibe, las ordena, según dos formas elementales: la forma 
de la coexistencia, que da origen al concepto del espacio, ó 
al menos que con él se relaciona; y la forma de la sucesión, 
que despierta la idea del tiempo. 

Por eso dicen algunas escuelas filosóficas, que el espacio 
es la forma del coexistir y del permanecer, y que el tiempo 
es la forma del mudar. 



- 68 - 

Nosotros, por hoy al menos, ni hemos de definir la co- 
existencia, ni la mudanza. A la experiencia diaria, á la expe- 
riencia universal nos referimos, dejando á los metafísicos, á 
los filósofos y á los critícos, sobre todo á los de la escuela 
positivista, la empresa de dilucidar estas cuestiones. 

Para nosotros, lo que nos importa es la medida del 
tiempo. 

Al tratar de la Física experimental , decíamos, que podía 
medirse el calórico, sin saber lo que era el calórico, y la 
electricidad, sin saber lo que es la electricidad, sólo por la 
igualdad; lo mismo diremos respecto al tiempo, ó si se 
quiere, á la duración. 

Dos fenómenos coexisten, cambian coexistiendo, del es- 
tado A ,B tn que coexisten pasan al estado A ' , B' en que 
coexisten también; pues diremos que el tiempo transcurrido 
desde A á A', es igual al tiempo transcurrido desde B á B'. 

Es una especie de superposición de fenómenos, como an- 
tes superponíamos longitudes. 

La definición será deficiente, pero no es materia fácil en- 
contrar otra mejor y al abrigo de la crítica. 

Lo que importa es, y esto es lo que da seguridad, toda la 
seguridad posible, á los métodos experimentales, en los que 
constantemente se está empleando este parámetro, tiempo, 
que en su medida, como en la medida de todas las demás 
magnitudes físicas, subsiste esta ley experimental: dos es- 
pacios de tiempo, ó, si se quiere, dos duraciones, iguales 
á una tercera, son iguales entre sí. 

Si de un depósito de agua han salido diez litros, mientras 
un péndulo determinado ha realizado n oscilaciones; y un 
cuerpo ha perdido medio grado de temperatura, mientras el 
mismo depósito, en igualdad de condiciones, ha dado diez 
litros de agua; repitiendo los experimentos en la posible 
identidad de condiciones, el cuerpo caliente perderá medio 
grado, mientras el péndulo oscila n veces. 

Ya sabemos que esta palabra mientras, supone la existen- 



- 69 -> 

cia del tiempo; pero téngase en cuenta que es imposible ha- 
blar del tiempo, sin emplear palabras que lo supongan. 

Entiéndase de todas maneras, que esta palabra que acaba- 
mos de emplear, no significa otra cosa que coexistencia ini- 
cial y coexistencia final. 

* 
* * 

Tenemos, pues, las tres unidades fundamentales de la 
Mecánica, y aun de todos los fenómenos de la Fisica, nos 
atreveríamos á decir: 

La masa, que si el gramo es la unidad, la representaremos 
por g; la longitud, que escogiendo el centímetro por unidad, 
la representaremos por c; y el tiempo, cuya unidad será el se- 
gundo, y lo representaremos por s. 

Y así diremos en estas hipótesis: el sistema de unidades 
fundamentales, es 

{c, g, s). 

Pero luego encontramos en la Mecánica otras muchas 
unidades de otros muchos parámetros: estas nuevas unida- 
des serán unidades derivadas. Masa, longitud y tiempo, 
son, en cierto modo, los parámetros independientes; la 
fuerza, el trabajo, la fuerza viva, la energía en general, la 
impulsión, los pares de fuerza, todos éstos son parámetros 
derivados, y todos son legítimos, y todos son útiles para 
simplificar las cuestiones ó para considerarlas bajo diversos 
aspectos, ó para procurar las grandes unidades de la cien- 
cia: hasta para crear un lenguaje científico. 

Así es que no comprendemos el empeño de algunas es- 
cuelas modernas, al procurar expulsar de la Mecánica con- 
siderada desde el punto de vista experimental, algunos pa- 
rámetros. 

Comprendemos ó comprenderíamos, sin que esto signifi- 
case asentimiento, que al convertir la Mecánica experimental 
en Mecánica puramente racional, limpiándola, además, de 



- 70 — 

todo residuo metafísico, se trate, por ejemplo, de suprimir 
el concepto de fuerza, y se niegue la acción á distancia, y 
las fuerzas centrales. 

Lo que no comprendemos, por ejemplo, es que se pros- 
criba la fuerza, para substituirla por la energía ó por algún 
otro concepto más ó menos complejo de la Mecánica. 

Se dice que la fuerza no existe aislada, que no es más que 
una abstracción. 

Pero yo pregunto, ¿qué concepto de la Ciencia no es 
realmente una abstracción? 

La ciencia humana, en su limitación, no puede abarcar, ni 
la totalidad, ni la unidad de esa totalidad; tiene que hacer el 
estudio por partes, y en cada parte prescinde del resto, y 
esa parte es una verdadera abstracción. 

Toda ciencia parcial es como una sección, un corte de 
prueba dado á través de la Naturaleza. Y esta imagen ya no 
es nueva. 

No sé por qué la fuerza se ha de considerar como abs- 
tracción y no ha de ser abstracción la energía. 

Es como si se dijera que la línea recta de la Geometría no 
se encuentra en ninguna parte, que es una abstracción del 
geómetra, y que la Geometría no debe fundarse en las lí- 
neas, sino en las superficies. 

Pero las superficies son otra abstracción del espacio, y no 
son mayores abstracciones que el espacio mismo. 

A fuerza de abstracciones, que luego se combinan dando 
lugar á conceptos complejos, se han podido constituir todas 
las ciencias modernas y por de contado las antiguas. 

De todas maneras, nosotros no hemos de prescindir de la 
fuerza, ni sus mayores adversarios prescinden tampoco de 
ella, y si se prescindiese habría que borrar de un golpe toda 
la Física matemática y de rechazo toda la Física experimen- 
tal, empezando por suprimir la Mecánica celeste. 






— 71 — 

Partamos, pues, del concepto de fuerza, bueno ó malo, 
sólido ó deficiente, real ó metafísico, sea lo que fuere, y 
procuremos como siempre medirlo. 

Que cualquier concepto de la Física, cualquier creación 
de nuestra inteligencia, con tal que podamos sujetarlo á me- 
dida y expresarlo por números, será elemento que entrará 
en la Ciencia experimental y en la Ciencia matemática con 
pleno derecho. 

Diremos, pues, que dos fuerzas son iguales cuando ac- 
tuando sobre dos masas iguales también y durante el mismo 
tiempo comunican á dichas masas la misma velocidad. 

Agregando, que suponemos, para simplificar, el movi- 
miento rectilíneo y las fuerzas aplicadas en la dirección de 
dicha recta. 

Todo esto requiere más amplia explicación, pero es im- 
posible que nos detengamos en pormenores, que debo su- 
poner conocidos de mis oyentes. 

Fijemos ahora la unidad de fuerza. 

Diremos, por definición, que una fuerza vale uno cuando 
aplicada á la masa uno durante un segundo, determina, me- 
jor dicho, acaba por determinar la unidad de velocidad. 

Es decir, que si al terminar el segundo, la fuerza abando- 
na á la masa, ésta seguirá describiendo indefinidamente la 
unidad de espacio en la unidad de tiempo. 

Y aquí acuden multitud de cuestiones, de dudas, de críti- 
cas, que en su día discutiremos, pero que hoy nos separa- 
rían de nuestro objeto y que harían interminables estas con- 
ferencias, que no pueden tener por ahora sino un carácter 
elemental. 

Establezcamos desde luego la ecuación fundamental de la 
Dinámica, la del movimiento de una masa m, bajo la acción 
de una fuerza X, que es la que hemos empleado en confe- 
rencias anteriores y la que tendremos que seguir empleando. 

Por eso creo conveniente definirla con claridad. " 

Sobre una recta ox, camina una masa m (fig. 34). 



- 72 - 

En un momento dado, es decir, en el instante /, tiene una 
velocidad v, que será evidentemente igual al camino infini- 
tamente pequeño dx, que recorre en el tiempo dt, dividido 
por este intervalo. Es decir, que en el tiempo t, su veloci- 
dad es 

dx 

dt' 
La fuerza X modifica esta velocidad, aumentándola ó dis- 




Flgura 34. 



minuyéndola, y á este aumento ó á esta disminución en la 

unidad de tiempo es á lo que se llama aceleración. 

La variación que experimenta la velocidad durante el 

dx 
tiempo diferencial dt será d . y 



tiempo sería por lo tanto 



dt 



durante la unidad de 



dx 

dt 



dt 



£x_ 
dt^ 



Y como esta aceleración se le ha comunicado á una masa 
m, la intensidad de la fuerza capaz de producir este efecto 
tendrá que ser m veces mayor que si la masa fuese igual á 
la unidad. 

Todo esto se deduce con evidencia del sistema de medida 



- 73 - 

de las fuerzas que hemos explicado. Si á una masa m le co- 
munica una fuerza en la unidad de tiempo, la velocidad que 

d-x 

ahora llamamos aceleración , es claro que el valor, la 

dt' 

medida de dicha fuerza, habrá de ser 

d'x 



m 



dP 



Todo esto que parece tan claro, aun está sujeto á crítica, 

y sin notarlo hemos pasado, y pasan muchos autores, por 

uno de los problemas más hondos de la Mecánica. 

dx 

Hemos dicho que el móvil tenía la velocidad v = , y 

dt 

que la fuerza le comunicaba un aumento de velocidad. 

Pero hemos supuesto implícitamente, que el aumento de 
velocidad es el mismo que si la masa estuviera inmóvil; en 
suma^ que la acelaración es la misma cuando la masa tiene 
la velocidad v, que si estuviera en reposo. 

Se admite la hipótesis de que la fuerza ejerce toda su 
acción con independencia del movimiento anterior de la 
masa m; pero esto no es evidente, la lógica debe suponer, 
no ya que 

aceleración =f(X), 



smo que 



aceleración =f(X, v). 



Mas aún, la aceleración en otra Mecánica, pudiera ser 
función de todas las velocidades anteriores; aunque también 
pudieran reducirse á la última v, que condensa toda la his- 
toria del movimiento hasta el momento presente. Pero pase- 
mos adelante. 



- 74 - 

Las acciones de la fuerza se van en cierto modo superpo- 
niendo en toda su integridad. 

Pero esta, como hemos dicho, es una hipótesis, ó es un 
resultado de la experiencia, porque es claro que se pueden 
realizar, y se realizan, experiencias para comprobar esta 
hipótesis. 

De todas maneras, no insistiremos sobre tales problemas, 
que no son para tratados de pasada, y plantearemos desde 
luego la ecuación del movimiento. 

La fuerza que actúa, hemos dicho que en cada instante ó 
en cada punto del espacio tiene el valor X, de suerte que X 
será una función en general de las coordenadas del móvil y 
aun del tiempo, y aun pueden presentarse casos más com- 
plicados. 

Pero este valor numérico de X, que es un dato, lo hemos 
expresado también por sus efectos, es decir, por la acelera- 
ción que suponemos que ha comunicado á la masa, luego 
podremos escribir 

m = X, 

dt' 

que será la ecuación del movimiento de la masa sobre la 
recta ox; de suerte que en cada momento debe verificarse 
esta ecuación, que define el valor de x en función del tiem- 
po. Integrándola para cada caso, y determinando las dos 
constantes por la posición y por la velocidad iniciales, ha- 
bremos resuelto el problema: jc será una función de /, y en 
cada instante sabremos dónde está el móvil. 



* 
* * 



Si trazamos una recta cualquiera, o' x\ y proyectamos so- 
bre esta recta las diferentes posiciones de la masa m y los 



- 75 - 



diferentes valores de la fuerza X, obtendremos lo que se 
llama el movimiento proyectado sobre el eje o' x. 

Llamemos a el ángulo de ambas rectas, y multipliquemos 
la ecuación anterior por eos a, tendremos: 



ó bien 



cosa . m = Xcosa, 

dt 
d' . xcosct 



m 



dP 



Xcosa. 



Pero X eos a = x' y X eos a = X', luego 
d'x' 



m 



dt' 



X', 



que es la ecuación del movimiento de una masa m sobre la 
línea o' x y bajo la acción de una fuerza X' , que es, á su 
vez, la proyección de X; luego podremos decir, en forma 




Figura 35. 



abreviada, que la proyección del movimiento de un móvil 
es el movimiento de la proyección, 



- 76 - 

Y ahora generalicemos y caminemos con más rapidez, 
porque todos estos no son más que recuerdos de materias 
que mis oyentes conocen de antemano. 

Supongamos que un móvil m, figura 35, bajo la acción 
de fuerzas cuya resultante representaremos por F, describe 
una trayectoria AB en el espacio. Admitiremos, sin entrar en 
nuevas explicaciones, que si en cualquier instante se pro- 
yecta el punto A del móvil sobre los tres ejes en Ax, Ay, Az, 
y se proyecta también sobre estos ejes la fuerza F cuyas 
componentes llamaremos X, Y, Z, el movimiento de la pro- 
yección sobre cada eje será la proyección del movimiento, 
de donde se deducen las tres ecuaciones 



m = X, 

m — — =: Y, 

d'z „ 

m = Z, 

dt' 



que integradas determinarán x, y, z en función del tiempo, 
de las coordenadas iniciales Xo,yo,Zo y de las componentes 
de la velocidad inicial v^, v^, v¿, es decir 

x= í {t,x^,y^,z^,Vy,,Vy,Vz)y 
y = fx{Ux^,y^,z^,Vy„Vy,Vz), 
z = ¡2 (t, Xq, yo, Zo, Vx, Vy, Vz). 

Estas ecuaciones determinan las tres coordenadas del mó- 
vil en cualquier instante, y eliminando /entre cada dos, dan 
las proyecciones de la trayectoria sobre los tres planos co- 
ordenados. 

Tales son las ecuaciones generales del movimiento de un 



-77 - 



punto material, pero de ellas se deducen también las ecua- 
ciones del equilibrio, porque, si el punto está inmóvil, x, y, z 
serán constantes, y los tres coeficientes diferenciales relati- 
vos á t serán nulos, luego las condiciones de equilibrio son 
para un punto cualquiera: X=0, ^=0, Z-=0. 



* 



Si consideramos ahora un sistema de puntos y buscamos 
las condiciones de equilibrio y las ecuaciones del movimien- 
to, deberemos distinguir dos casos. 

1.° Que los puntos estén completamente libres, es decir, 
sin ninguna clase de enlace; sujetos únicamente á las fuer- 
zas que sobre cada uno de ellos actúen, ya sean fuerzas ex- 
teriores al sistema, ya acciones mutuas entre los mismos 
puntos, que constituyen dicho sistema. 

Este caso es sumamente sencillo, lo mismo para el pro- 
blema estático que para el problema dinámico; no hay más 
que repetir para cada punto lo que antes explicábamos, y 
así, cada punto del sistema tendrá tres ecuaciones que de- 
terminarán su movimiento. Sólo hay que advertir que, en 
general, las X, Y, Z, contendrá, cada una de ellas, ó podrá 
contener, las coordenadas de muchos puntos del sistema, y 
aun de todos; será una complicación para el problema ana- 
lítico, mas no lo es para el planteamiento del problema 
mecánico. 

Asimismo, si se trata del equilibrio, cada punto exigirá 
tres condiciones análogas á las que antes establecíamos. 

2° Y este caso es ya más complicado: Cuando entre los 
diferentes puntos existen enlaces. 

Estos enlaces pueden ser de muchas clases; citemos al- 
gunos sólo como ejemplo. 

Uno ó varios puntos del sistema deberán estar constante- 
mente sobre una superficie, ó sobre una curva, y entonces 



- 78 - 

las coordenadas del movimiento de dichas masas deberán 
satisfacer á las ecuaciones de las superficies ó de las curvas. 

Podrá suceder que la distancia entre dos puntos móviles 
haya de quedar invariable y ésta será una ecuación de con- 
dición. 

Y así pudiéramos multiplicar los ejemplos, advirtiendo 
que en los que hemos citado, los enlaces se expresan por 
ecuaciones, pero también podrían expresarse por desigual- 
dades, circunstancia que complicaría el problema. 

De todas maneras, en la conferencia próxima establece- 
remos el principio de las velocidades virtuales que es fun- 
damental en Mecánica y á que tendremos que acudir mu- 
chas veces al estudiar los diferentes problemas que com- 
prende la Física matemática. 



IV. — Examen de una supuesta incompatibilidad de 
los calomelanos. 

Por José R. Carracido 

Es regla generalmente seguida en la práctica médica pro- 
hibir la ingestión de alimentos con cloruro sódico después 
de haber administrado calomelanos. Fúndase esta prohibi- 
ción en la creencia de que el cloruro mercurioso se transfor- 
ma en el activísimo veneno cloruro mercúrico en contacto 
con la sal común. 

Conforme al antiguo criterio de la escala de las afinidades, 
dicha creencia parece absurda, porque de ella resulta que el 
cloro abandona al sodio para unirse al cloruro mercurioso 
de la manera siguiente: 



- 79 - 
Cr-Hg'- -\-2ClNa^ 2Cl'Hg 4- Na\ 

Cloruro merciirioso. Cloruro mercúrico. 

Esta explicación, por su disconformidad con el mecanismo 
de las reacciones químicas, no tuvo mantenedores, y se 
substituyó por otra en la que se admite la formación de una 
sal doble mercuriosa que se convierte en otra doble mercú- 
rica con depósito de mercurio del siguiente modo: 

Cl'HgKClNa = CnHg.ClNa -\- Hg. 

Cloiuro mercurioso-sódico. Cloruro mercúrico sódico. 

El reconocimiento de las transformaciones materiales, li- 
mitadas generadoras de equilibrios químicos, aun en siste- 
mas heterogéneos, como ei formado por un líquido y un 
sólido, modificó el criterio de la escala de las afinidades en 
términos que ya no resulta absurdo admitir la transforma- 
ción parcial del cloruro mercurioso en mercúrico en con- 
tacto con el cloruro sódico disuelto; pero siendo variables 
hasta lo infinito las proporciones de los factores integrantes 
de los equilibrios químicos, es necesario conocer el influjo 
de las circunstancias sobre la acción mutua del cloruro mer- 
curioso y del alcalino. 

Este problema hállase todavía hoy planteado con gran 
vaguedad, indicándose diferentes soluciones, subordinadas 
al criterio con que se le examina; y como testimonio de esta 
disparidad, en el modo de apreciar la transformación intra- 
orgánica de la sal de mercurio, transcribo los dos siguientes 
pasajes : 

Es el primero de Ogier, y en él dice (1): «Compuestos 
mercuriales no tóxicos ó poco tóxicos, pueden hacerse peli- 
grosos en determinadas condiciones. Los calomelanos, me- 
dicamento muy usado como purgante, se transforman fácil- 
mente en sublimado, lo cual acontece en presencia del ácido 



(1) J. Ogier. Traite de Chimie toxicologique. París, 1899, pág. 404. 



- 80- 

clorhídrico 6 de los cloruros alcalinos. Por esto se reco- 
mienda no tomar al mismo tiempo que los calomelanos ali- 
mentos que contengan cloruros alcalinos.- 

Es el segundo de Pouchet, en el cual, discurriendo sobre 
el mismo asunto, advierte (1) que <'la reunión de diferentes 
causas: agua, agitación, oxígeno, temperatura, albuminoi- 
des, cloruros y bicarbonatos alcalinos, activa de manera 
muy perceptible la descomposición de los calomelanos pro- 
duciendo cloruro mercúrico, el cual es reducido por los te- 
jidos vivos, pasando nuevamente á mercurioso para desdo- 
blarse entonces en sublimado y mercurio metálico muy di- 
vidido, que penetra en los capilares. Por otra parte, el cloro- 
albuminato reabsorbido se reduce mediante la acción de la 
hemoglobina, dando también mercurio metálico infinitamente 
dividido que, en estado de vapor, obra como tóxico . 

Ante interpretaciones tan diferentes, me convencí que era 
indispensable la propia observación para conocer lo que 
haya de exacto en la supuesta incompatibilidad, y sobre 
todo para tener datos cuantitativos correspondientes á las 
sucesivas fases de la transformación de la sal de mercurio. 

Es indudable el valor de los datos cuantitativos para la so- 
lución del problema, porque todos los líquidos del organis- 
mo contienen cloruro sódico, y, además, el jugo gástrico 
ácido clorhídrico, y, por consiguiente, lo que debe investi- 
garse es el efecto producido por un aumento de concentra- 
ción salina. 

* 

Para evaluar con rapidez y con la suficiente aproximación 
pequeñísimas proporciones de cloruro mercúrico, empleé el 
amoníaco como reactivo, pero teniendo en cuenta las si- 



(1) Traite de Toxicologie, par L. Lewin, traduit et annoté, par 
G. Pouchet. París, 1903, pág. 319. (Nota.) 



-si- 
guientes maneras de revelarse el fenómeno por mí obser- 
vadas. 

La disolución de sublimado al — apenas precipita 

10.000 

con el amoníaco añadiendo el reactivo sin precaución algu- 
na y agitando el líquido; pero si cuidadosamente se añaden 
pocas gotas deslizándolas por la pared del tubo, en la zona 
de separación de los líquidos, se forma un anillo blanque- 
cino francamente perceptible. 

Examinando con igual proceder disoluciones al 

^ 20.000 

V al también aparece el anillo, pero tarda tanto más 

30.000 

en aparecer, y su altura es tanto menor, cuanto la disolución 

mercúrica esté más diluida. La correspondiente al 

40.000 

después de algunos minutos, todavía produce anillo, el 
cual, por su tenuidad, puede conceptuarse el límite de la 
posible observación de este fenómeno. 

Nada más sencillo que evaluar concentraciones en- 
tre y ' cotejando los anillos producidos en 

10.000 40.000 

los líquidos objeto de investigación con los producidos en 
tipos previamente preparados (1). 



* 
* * 



Después de haber purificado cloruro sódico, cuidando 
muy especialmente de privarlo de la sal magnésica, por ser 
ésta precipitable por el amoníaco, preparé la disolución 
fisiológica de dicho cloruro (0,75 por 100), y en ella introdu- 



(1) Véase la exposición de este procedimiento con mayor número 
de pormenores en los Anales de la Sociedad Española de Física y 
Química. — Octubre, 1906. 

Rev. Acad. Ciencias.— V.— Julio, Agosto y Septiembre, 1900, o 



- 82 - 

je calomelanos, después de haberme cerciorado que no con- 
tenían cloruro mercúrico. Al cabo de doce horas de contacto 
á la temperatura de 37° (la del cuerpo humano), y no obs- 
tante la enorme proporción de la sal mercuriosa (5 gramos 
en 50 centigramos de la disolución fisiológica), el amoníaco 
sólo produjo en el líquido el anillo tenuísimo correspondien- 
te á la concentración de . 

40.000 

Repitiendo el experimento con otro líquido salino, cuya 
proporción de cloruro sódico era de 5 por 100, también el 
amoníaco produjo anillo, pero sólo el que revela un conteni- 
do de cloruro mercúrico de — , no obstante el gran 

20.000 ^ 

aumento de la concentración del líquido salino, puesto en 
contacto con los calomelanos. 

Prolongando el tiempo de contacto, y principalmente ele- 
vando la temperatura, aumentan las dimensiones del anillo; 
pero la concentración del líquido siempre permanece inferior 

al de cloruro mercúrico. 

10.000 



* 
* * 



En los experimentos precedentes operé in vitro, poniendo 
en reacción dos especies químicas, el cloruro sódico y el clo- 
ruro mercurioso, en el seno del agua destilada; pero in vivo, 
si no cualitativa, cuantitativamente la reacción puede modifi- 
carse, y este punto es indispensable esclarecerlo, porque los 
datos que importa conocer son de orden cuantitativo. El áci- 
do carbónico no puede descomponer el yoduro potásico en 
disolución sencillamente acuosa; pero en presencia de una 
pulpa vegetal, según demostró Binz, se realiza lo que antes 
era imposible, separándose el yodo. 

Tomando ejemplo de este caso, repetí los experimentos 



— 83 — 

antes dichos, añadiendo á los líquidos pulpa de patata. Ele- 
gí ésta, por ser muy rica en oxidasas, y considerarla, por 
consiguiente, muy apta para determinar acciones oxidantes, 
las cuales favorecen en alto grado la transformación de los 
compuestos mercuriosos en mercúricos. 

Claro es que la introducción de esta nueva substancia im- 
posibilita el empleo inmediato del amoníaco, como en los 
casos anteriores; es indispensable depurar previamente el 
líquido de los componentes de la pulpa, que también se pre- 
cipitan con aquel reactivo. 

Efectué la depuración, tratando la masa, después de vein- 
ticuatro horas de contacto de sus ingredientes, con éter; eva- 
porando el líquido etéreo, después de haberlo filtrado, y re- 
disolviendo en el agua el residuo de la evaporación. Esta di- 
solución acuosa, que ya no contenía otro cuerpo precipitable 
por el amoníaco, más que cloruro mercúrico, también pro- 
dujo anillo; pero revelando una concentración inferior 

al -^-. 
10.000 

* 
* * 



Resulta de todo lo que precede, que el cloruro sódico, al 
actuar sobre el cloruro mercurioso, forma siempre cloruro 
mercúrico, hecho ya de antiguo conocido; pero lo que resul- 
ta de mis experimentos, es que las disoluciones de sal co- 
mún, hasta las de mayor concentración que el organismo 
tolera, y en presencia de protoplasma rico en oxidasas, sólo 
transforma en cloruro mercúrico pequeñísimas proporciones 
de calomelanos, proporciones inferiores á las dosis tóxicas. 

La acción de los calomelanos sobre el organismo es la re- 
sultante de dos componentes: una, la de los calomelanos, 
que persisten intransformados, y otra, la del cloruro mercú- 
rico, procedente de la transformación de aquéllos. Según 
Lauder Brunton, el cloruro mercurioso sólo actúa en la parte 



- 84 - 

superior del intestino (1), arrastrando rápidamente la bilis é 
impidiendo su reabsorción; pero el verdadero estimulante de 
la función biligénica es el cloruro mercúrico (2), por lo cual 
recomienda «administrar conjuntamente el sublimado y los 
calomelanos, para obtener el doble efecto de aumentar la se- 
creción hepática y los movimientos peristálticos del duode- 
no»; es decir, el trabajo de la glándula, primero, y después, 
el arrastre de la materia elaborada. 

De la asociación de todos los datos expuestos, lógicamen- 
te se infiere, que el cloruro sódico naturalmente contenido 
en los líquidos del organismo, y hasta el ácido clorhídrico 
del jugo gástrico, son coadyuvantes de la acción medicinal 
de los calomelanos, por transformar una pequeña parte de 
éstos en sublimado, produciendo el complexo de los dos 
cloruros de acción secretora y excretora. Y si aumentando la 
proporción del cloruro sódico, aumenta la de la de sal mer- 
cúrica, sin llegar á la de las dosis tóxicas, según queda de- 
mostrado, resulta que en algunas ocasiones convendrá ad- 
ministrar cloruro sódico en la forma qne se conceptúe más 
adecuada al fin de acrecentar la función biligénica mediante 
el cloruro mercúrico procedente de los calomelanos. 

En contra de la afirmación, no unánime, pero sí común- 
mente sustentada, resulta que el cloruro sódico no es incom- 
patible, sino coadyuvante de la acción medicinal de los ca- 
lomelanos. 

* 

* * 

De esta conclusión seguramente protestarán algunos ale- 
gando testimonios de su experiencia clínica, pero la protesta 
puede ser redargüida por otros que no vieron la presenta- 



(1) Action des medicaments. Legons traduits de i'anglais. Pa- 
rís, 1901, pág. 533. 

(2) ídem, pág. 417. 



- 85 - 

ción de fenómenos tóxicos tomando alimentos salados des- 
pués de los calomelanos; y también se puede redargüir con 
las pruebas, aunque indirectas, no menos valiosas, de cier- 
tos casos de envenenamiento producidos por los calomela- 
nos teniendo la precaución de no tomar cloruro sódico. 

Queda dicho que la composición de los líquidos del orga- 
nismo es de tal índole que aquéllos siempre transforman algo 
del cloruro mercurioso en mercúrico, pero esta transforma- 
ción, no sólo la efectúa el cloruro sódico que dichos líquidos 
contienen, sino también, aunque por modo indirecto, las sa- 
les de reacción alcalina, los albuminoides y especialmente la 
hemoglobina, las oxidasas de las células y otros agentes 
químicos de origen, ya fisiológico, ya patológico. 

Todos estos agentes determinan además la separación de 
una cierta cantidad de mercurio metálico, la cual, aunque pe- 
queñísima, por su extremada división, penetra en los capila- 
res sanguíneos y convirtiéndose en vapor, puede difundirse 
por todo el organismo, llegando á originar las perturbacio- 
nes consiguientes á la intoxicación mercurial. 

Estos hechos inducen á creer que en los casos de envene- 
namiento atribuido á la acción del cloruro sódico sobre los 
calomelanos, debieron ser otras las causas productoras del 
trastorno fisiológico, correspondiendo á la sal común en el 
proceso de acusación, el lugar del menor responsable. La 
incompatibilidad del cloruro sódico y los calomelanos fué 
dictada por coincidencias, que examinadas con el criterio de 
la experimentación química, no son base suficiente para sos- 
tenerla. 

Los medicamentos, lo mismo que los alimentos, pueden, 
en especiales condiciones, convertirse en venenos; y los ca- 
lomelanos, cuerpo tan inestable como todas las sales mercu- 
riosas, en las que se muestra uno de los átomos del radical 
metálico violentamente retenido en la molécula, no sólo ha- 
bían de ser excepción de la regla, sino al contrario, por su 
gran inestabilidad confirmarla mejor que otros muchos, res- 



- 86 -- 

pendiendo al influjo de las circunstancias emanadas de las 
alteraciones intraorgánicas. Estas, y no el cloruro sódico de 
los alimentos, deben ser las que motivan la intoxicación 
mercurial en los casos en que aparece después de haber to- 
mado calomelanos. 



V. — Une reclaiuation de priorité a propos du télé- 
kiiie et des experieiices d'Antibes (1). 

Par Leonardo Torres. 



Lettre de M. Torres a H. le Directeur du oBulletin de la Société dea Elec- 
triciens ».— Lettre de M. le Secrétairs de la Société Internationale de3 
Electriciens a M. de Madariaga. — Lettre de M. Torres a M. de Mada- 
riaga. - Lettre de M, le Secrétaire general de la Société des Electri- 
ciens a M. Torrea.— Lettre de M. Torres a M le Secrétaire general de 
la Société des Electriciens.— Brevet de M. Torres.— Kote de M. Devaux, 



LETTRE DE M. TORRES A M. LE DIRECTEUR DU «BULLETIN 
DE LA SOCIÉTÉ INTERNACICNALE DES ELECTRICIENS» (á) 

M. LE DiRECTEUR DU « BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ INTERNACIONALE 

DES Electriciens: 

Monsieur: Ayant lu dans le Bulletin du mois dernier une 
description des appareils employés aux expériences d'Anti- 
bes, qui sont, dans leurs parties essentielles et caracteristi- 
ques, une reproduction exacte -je ne dis pas volontaire — 
du télékine décrit et brevete par moi, je viens vous deman- 



(1) He dejado estos documentos en francés para que puedan lle- 
gar más fácilmente á conocimiento de los lectores del Bulletin de la 
Société Internationale des Electriciens, donde se publicaron algunas 
afirmaciones de M. Devaux que se refutan en esta nota. 

(2) J'ai oublié de noter la date de cette lettre dans le brouillon 
que j'ai gardé. Elle a été cxpediée, je pense, vers le 10 Juillet par 
M. de Madariaga qui l'a fait parvenir a M. Leblanc, Président de la 
Société des Electriciens. M. de Madariaga a reqn comnie reponse la 
lettre de M. le Secrétaire de la Société qu'on trouvera plus loin. 



- 87 - 

der de publier cette lettre dans votre journal, pour établir 
mes droits de priorité. 

Vous trouverez la description de ce télékine dans mon 
brevet d'addition du 1" Décembre 1903, dont je vous envoie 
une copie. Je vous prie de la publier, ou du moins de publier 
la figure et les parties que j'ai soulignées dans le texte. On 
y retrouvera tous les appareils décrits par M. Devaux: la 
méme roue á rochet L (il l'appelle C), portant sur son arbre 
le bras M (il l'apelle D), la méme couronne de plots par 
courus par ce bras et le méme levier/ (il l'appelle L), pour 
couper le courant pendant la manoeuvre de la roue á rochet. 
On y retrouvera encoré la méme disposition dans le circuit 
électrique: le courant part du póle positif, passe par la bu- 
teé G (a sur la figure de M. Devaux) au levier/, de la au 
bras M et de ees bras (en passant par les servomoteurs) au 
póle négatif. 

Le figure 3 de la note de M. Devaux indique fort sommai- 
vement la maniere de ralentir au moyen d'un volant, le re- 
tour du levier L a sa position nórmale. C'est la une question 
de détail qu'on peut resondre de mille manieres. J'y suis 
arrive par l'emploi d'un volant dans un premier télékine 
construit par moi au Laboratoire de Mécanique de la Sor- 
bonne dirige par M. Koenigs, qui a été presenté par M. Ap- 
pell a l'Académie des Sciences (1); plus tard, dans les té- 
lékines construits au 'Centro de Ensayos de Aeronáutica» á 
Madrid, j'ai employé différentes sortes de freins, dont je 
vous enverrai volontiers la description si cela peut vous 
intéresser. 

Les appareils, dont je vous parláis tantót ont été essayés 
avec succés á différentes reprises: á la fin de l'année 1904 
et pendant les premiers mois de 1905, j'ai fait marcher dans 
le «Frontón Beti-Jai » (un anclen jeu de paume) un tricycle 
qui a fonctionne d'une fa^on tout-á-fait satisfaisante devant 



(1) Comptes Rendiis. Seance du 3 aout 1903. 



- 88 - 

4 

un grand nombre de personnes, notamment devant les pro- 
fesseurs et les eleves de l'Ecole des Ingénieurs Industriéis 
de Madrid, qui ont resume en ees termes le compte rendu 
de leur visite au Frontón (1). 

«Ce que nous pouvons ajouter c'est qu'en assistan taux 
»expériences de Beti-Jai, nous avons eu Toccasion d'admirer 
^l'obéissance inconsciente et precise de l'appareil, qui recu- 
»lait, avangait, s'arrétait ou se mellait en marche á droite ou 
-á gauche, suivant les ordres qui nous avaient été annoncées 
»d'avance par son inventeur.» 

Pendant les mois de Septembre et Octobre de 1905 oú 
i'ai fait des expériences dans le port de Bilbao, a des dis- 
tance variant de 300 a 2.000 métres á peu prés, dont les 
journaux ont parlé un peu partout; de sorte que, les expé- 
riences de Bilbao et le télékine étant déjá trés-connus a 
l'époque des expériences d'Antibes, Vlllustrated London 
News, en rendant compte de celles-ci (2), pense (et je vois 
maintenant qu'il était dans le vrai) qu'elles ont été faites 
avec mon télékine. 

J'essaye actuellement a Madrid un antre cannot qui fonc- 
tionne réguliérement, presque tous les jours, dans le lac de 
la Real Casa de Campo. La Revista de Marina (3) a rendu 
compte de ees expériences, qui d'ailleurs ont été l'objet 
d'une étude trés-compléte de la part d'une Commission nom- 
mée á cet effet par le Ministre des Travaux Publics. Le rap- 
port de cette Commission n'a pas encoré été publié (4). 

J'espére que vous voudrez bien m'accuser réception de 
cette lettre et vous prie, Monsieur, d'agréez mes salutations 
les plus distinguées. L. Torres. 



(1) Boletín Industrial, órgano oficial de la Asociación de Ingenie- 
ros Industriales. Madrid 5 de Abril de 1905. 

(2) The Illustrated London News. March 24, 1906. 

(3) Revista General de Marina, junio 1906. 

(4) On l'a publié apres dans la revue Ateneo. Septembre, 1906. 



- 89 - 



LETTRE DE M. LE SECRÉTAIRE DE LA SOCIÉTÉ INTERNACIONALE 
DES ELECTRICIENS A M. DE MADARIAGA 

Paris le 26 Jüillet 1906. 

Monsieur: Nous avons bien regu votre lettre du 10 Juillet 
relative á une reclamation de M. Torres. 

Comme il est formellement indiqué dans chaqué numero 
du bulletin, la Société n'est pas responsable des opinions 
émises par ses membres et elle n'a pas á s'occuper des 
questions de brevets, c'est aux interessés eux-mémes á 
prendre leurs dispositions a cet égard. 

Je ne connais pas la date des brevets de M. Devaux, je 
lui ai fait part de votre reclamation, á titre oficieux, et j'at- 
tends la réponse. 

Le burean de la Société, en présence de votre demande, 
est disposé a autoriser la publication au bulletin, d'une note, 
trés-courte, sur le dispositif de M. Torres, pourvu qu'elle 
ríait pas le caractére d'une reclamation de príorité. Les 
faits parleront d'eux-mémes si M. Torres a soin de mention- 
ner la date de ses expériences. 

C'est en considération de votre demande que le burean 
accepte cette dérogation aux regles de la Société, car M. To- 
rres ne faisant pas partie de la Société des Electriciens, nous 
aurions pu ne pas teñir compte de sa reclamation. 

Ne serait-ce pas une occasion pour amener M. Torres 
cliez nous? Ses travaux sont assez connus et estimes chez 
nous et vous pourriez peut-étre essayer de le faire entrer 
dans notre Société. 

Veuillez agréer, Monsieur, l'assurance de mes sentiments 
les plus distinguées.- Le Secrétaire general , Armagnat. 



— 90 - 

LETTRE DE M. TORRES A M. DE MADARIAGA 

Bilbao 9-VIII-906. 
M. José M. de Madariaga: 

Mon cher ami: Je vous écris en franjáis (ou á peu prés), 
pour qu'il vous soit possible d'envoyer, si bon vous sem- 
ble, ma lettre á Paris, ce qui vous éviterait la peine d'écrire 
vous méme longuement. 

Je ne comprends pas tres-bien les raisons qui s'opposent 
a la publication dans le Bulletin de ma reclamation. 

Elle ne tend pas — comme on paraít le croire au Secré- 
tariat — á soulever une question de brevets; le mien y est 
cité, pour appuyer mes afirmations par la description du té- 
lékine, au méme titre que j'aurais pu citer un article de Jour- 
nal contenant celte description. 

Elle n'engagerait mullement la responsabilité de la So- 
ciété des Electriciens, pas plus qu'elle ne suppose cette res- 
ponsabilité engagée par la communication de M. Devaux. 
Du reste, je ne vois trop pourquoi on rappelle á ce propos 
que la Société n'est pas responsable des opinions émises par 
ses membres; il ne s'ágit point dans ma lettre d'opinions, 11 
s'agit d'un fait tres-simple que je résumerai en peu de mots: 

M. Devaux affirme qu'il a imaginé «un nouveau type 
d'appareil de commande a distance» et il ajoute plus loin 
pour bien établir la nouveauté de son invention: 

«Les schemas actuéis ne permettraient d'effectuer avec ce 
»seul electro, au máximum que deux commandes alterna- 
»t¡ves > 

«Aussi avons nous du etudier un dispositif nouveau. > 

Or les faits affirmés par M. Devaux sont tout-á-fait 

inexacts. 

1.° II exisle depuis 1903 un appareil (le premier télékine 

construit par moi ) permettant d'effectuer avec un scul élec- 



— 91 - 

tro plusieurs commandes a distance. Presenté a l'Academie 
des Sciences de Paris le 3 aóut 1903, i! a été sommaire- 
ments décrit dans les Comptes rendus de cette corporation. 

2° Le systeme décrit par M. Devaux n'est pas du tout 
nouveau, puisqu'il était décrit par moi dans un brevet du 
1" Décembre 1903. 

L'erreur — involontaire, 9a va sans diré — commise par 
M. Devaux sur ees deux points est done incontestable; lui 
méme le reconnaítra ainsi j'espére. 

Alors, la chose est claire. Le Bulletin a publié, sans y 
prendre garde, des affirmations défavorables pour moi et 
parfaitement contraires á la réalité des faits. II est done 
dans le devoir de publier ma rectification pour rétablir la 
vérité sur ce point. 

Les réglements de la Société n'ont rien á faire ici; ils se- 
ront sans doute trés-utiles pour régler les rapports des mem- 
bres entre eux; mais ils ne sauraient pas empécher que le 
Bulletin agisse correctement envers les étrangers. 

Du reste, si c'est seulement maqualité d'étrangerá la So- 
ciété qui me défend d'inserer dans le Bulletin une note suffi- 
sante, pour établir bien clairement et bien explicltement mes 
droits de priorité, on pourrait probablement tout arranger; 
je trouverais, peut-étre, un membre de la Société qui vou- 
drait se charger de rédiger une note acceptable pour moi. 
Mais je ne peux pas accepter d'intervenir si on ne me laisse 
pas parler librement; je suis trés-touché de la bienveillance 
du burean, qui veut bien autoriser une dérogation du regle- 
ment, pour me permettre de publier une note trés-courfe, á 
condition d'étre bien sage et de n'y mettre que les choses in- 
signifiantes qu'on est disposé a me laisser diré; mais tant 
que cette condition ne sera pas dérogée je me vois forcé de 
rennoncer a l'honneur de collaborer dans le Bulletin. 

Pardonnez moi, cher M. Madariaga, l'ennui de cette 
lettre et agréez mes trés-amicales et trés-distinguées salu- 
tations.— L. Torres. 



- 92 - 

LETTRE DE M. LE SECRÉTAIRE GENERAL DE LA SOCIÉTÉ 
DES ELECTRICIENS A M. TORRES 

Paris le 22 Octobre ¡906. 
M. Torres, rué de Santa Engracia, 20, a Madrid (Espagne): 

Monsieur: Le Bureau de la Société des Electriciens, aprés 
avoir pris connaissance de vos lettres des 9 et 21 (1) Juillet, 
du 10 Aoút, et de la communication de M. Devaux, n'a pas 
cru pouvoir permettre une dérogation au réglement de la So- 
ciété en autorisant la publication de votre réclamation. 

En effet, votre nom n'ayant pas été cité par M. Devaux, 
la question devient une affaire de brevets que nous n'avons 
pas qualité pour juger. L'insertion de votre réclamation amé- 
neraít forcément une réponse de la part de M. Devaux, vous 
seriez obligé de réfuter les arguments qu'il vous opposerait 
et nous serions ainsi entrainés dans une polémique dans la- 
quelle nos statuts nous interdisent d'entrer. 

Croyez bien, Monsieur, que c'est avec le plus vif regret 
que le Bureau se voit obligé de repousser votre demande. 

Veuillez agréer, Monsieur, l'assurance de ma considéra- 
tion la plus distinguée.— Le Secrétaire general. (Signature 
illisible.) 



LETTRE DE M. TORRES A M. LE SECRÉTAIRE GENERAL 
DE LA SOCIÉTÉ DES ELECTRICIENS 

Madrid 28 Octobre 1906. 
M. LE Secrétaire General de la Société des Electriciens: 

Monsieur: J'ai le regret de ne pas pouvoir accepter les 
points de vue du Bureau de votre Société. 



(1) Je n'ai ríen écrit le 21 Juillet.— L. T. 



- 93 — 

II ne s'agít pas d'une question de brevets, puisque je ne 
reclame nullement dans mes lettres les droits legaux que je 
tiens de mon brevet; je Tai cité — comme j'ai cité les Comp- 
tes Rendus de l'Academie des Sciences, et autres publica- 
tions — seulement pour établir une date. II s'agít done bien 
d'une question de priorité uniquement. 

Du reste, ceci n'a aucune importance. Ce que je ne peux 
pas comprendre c'est le motif que donne le Bureau pour 
justifier son refus. 

Ce n'est pas la peur du réglement qui le retient, puis- 
que - d'aprés vótre lettre á M. de Madariaga— on peut 
aisément y deroger pour taire plaisir á un membre de la 
Société. 

Ce n'est pas qu'il y ait des doutes sur l'exactitude de 
mes affirmations; on voit, au contraire, avec toute evidence, 
dans vos lettres, que mes affirmations ont eté confirmées — 
explicitement ou implicitement — par M. Devaux lui méme. 
La chose est claire: vous lui avez fait part de ma reclama- 
tion, a titre officieux, et le 16 Juillet vous attendiez sa re- 
ponse. Dans le cas ou M. Devaux aurait contesté la priorité 
que je reclame, vous vous seriez cru, sans doute, obligé á 
me communiquer sa lettre, comme vous lui avez communi- 
qué la mienne; done il a repondu en se montrant d'accord 
avec moi, ou il n'a pas repondu du tout, ce qui revient au 
méme. 

Alors, pourquoi ce refus de publier la verité? Le desir 
d'eviter une discusión, qui serait certainement courtoise ne 
parait pas une raison suffisante. 

Je rennonce a comprendre les raisons du Bureau, mais 
je ne peux pas rennoncer á faire la lumiére sur ce point. Je 
feral done publier mon brevet et la note de M. Devaux 
accompagnés de cette correspondance. Je regrette beaucoup 
d'avoir a publier ma reclamation dans cette forme, mais 
vous reconnaitrez j'espére que c'est le refus inexplicable du 
Bureau qui m'y oblige. 



94 — 



Veuillez agréer, Monsieur, l'assurance de ma considéra- 
tion la plus distinguée.— L. Torres. 



BREVET DE M. TORRES 

Premiere addition, en date du 1" Décembre 1903, au brevet pris le 10 

Décembre 1902 par M. Leonardo Torres, résidant en Espagne. Syste- 

me dit «téíékine» pour commander a distance un mouvement mécani- 

que. Délivrée le 12 Févríer 1904; publiée le 7 Avril 1904. 

Cette addition au brevet n° 327.218 est relative á un per- 
fectionnement au systéme de commande á distance qui fait 
l'objet de ce brevet. 

Ce perfectionnement consiste en une disposition qui per- 
met de commander plusieurs appareils différents au moyen 
d'une seule aiguille ou levier se mouvant sur un cadran, 
cette disposition permet de simplifier le systéme, car il n'est 
plus alors nécessaire d'employer des signaux de longueur 
différente et Ton peut supprimer l'appareil destiné á distri- 
buer ees signaux. 

La description en est donnée ci-aprés en référence au des- 
sin schématique annexé. 

Quand on établit le contad entre les fils DE, cela soit á 
la maln, soit au moyen d'un appareil télégraphíque (avec 
ou sans fil), le courant va de a a b en passant par un elec- 
tro K; celui-ci attire un levier arniature I legue I commande 
par encliquetage une roue a rochet L commandant un levier 
M qui se meut sur une couronne de plots. Par conséquent á 
chaqué émission de courant le levier I fait tourner d'une 
dent la roue á rochet L et fait avancer le levier M ; en méme 
temps, ce levier I agit sur un levier J et le fait pivoter, en 
lui faisant quitter ainsi une butée G sur laque lie il repose 
normalement. Ce levier], des qu'il est abandonné á lui-méme 



- 95 — 

tend á revenir sur sa butée G qiii est la position monfréé 
par le dessin, mais il n'y revient que tres lentement soit 
parce que son inertie, représenfée par exemple par deux 
masses FF, est tres grande relativement á la forcé d'un res- 
sort R qui le rappelle, soit parce que son mouvement est 
ralenti au moyen d'un frein quelconque. 

Or pendant que l'on fait passer le levier M d'une posi- 
tion á une autre, le levier I oscille tres rapidement et le 
temps écoulé entre deux émissions successives de courant 
dans I' electro K ríest pas suffisant pour que le levier J puis- 
se venir s'appuyer sur la butée G; le contad est done ínter- 
rompu entre ] et Q au moment méme ou le mouvement du 
levier M commence et ne se retablit qu'aprés que ce levier 
est arrivé á une nouvelle position de repos. 

On a indiqué en H un disque (analogue aux organes dé- 
nommés «disques» de l'installation sciiématique de la figu- 
re 16 du brevet principal) qui est affecté a la commande de 
l'hélice du bailón dirigeable (selon l'exemple d'application 
qui a été consideré); en 7 un disque affecté á la commande 
du gouvernail, et en 5 un levier qui exécute une opération 
quelconque, toujours la méme, par exemple la commande 
d'une sonnerie électrique quand l'électro B est traversé par 
un courant. 

Chacun de ees disques T et H porte deux piéces métalli- 
ques dd^ qui peuvent venir en contact avec des plots fixes. 
Dans la position représentée par le dessin , le courant par- 
tant de c, passe par la butée G, le levier J, le levier M, le 
disque T (par la piéce metal lique d), l'électro P et revient 
a la pile par e; l'électro P attire le levier N qui porte deux 
piéces métalliques isolées oo^, lesquelles viennent appuyer 
sur les bornes des quatre fils m, n, p, q;\a. piéce o vient en 
contact avec les deux bornes supérieures et la piéce o^ avec 
les deux bornes inférieures. Des que ees contacts sont éta- 
blis, l'électro-moteur Q se met en mouvement et entrame la 
vis sans fin U et le disque T qui engréne avec elle. L'instal- 



- 96 — 

lation est faite de maniere que, comme cela est dans le cas 
consideré, lorsque le courant passe par l'électro P, le disque 
tourne dans le sens indiqué par la fleche; il tournera dans 
ce sens pendant que le plot/ qui est en ce moment en com- 
munication avec le póle positif, sera en contact avec le póle 
positif, et méme il continuera sa rotation par la vitesse ac- 
quise, aprés que le contact sera rompu; mais alors le levier 
N reviendra á la position nórmale et ce sera le levier N^ 
qui étant attiré par l'électro P' viendra toucher les bornes 
des fils m, n, p, q; les contacts établis par le levier N^ mettront 
le moteur en marche, mais en sens contraire, parce que le 
sens du courant a changé dans l'inducteur, tandis qu'il est 
resté le méme dans l'induit. On voit done que le disque T 
se placera de maniere que le plot / (celui qui regoit le cou- 
rant) se trouve dans Tintervalie qui reste libre entre les deux 
piéces dd^. On peut ainsi agir sur autant de disques que 
l'on voudra et on comprend que chacun de ees disques peut 
commander un servo-moteur par les moyens indiques ou 
par d'autres moyens convenables. 

RESUME 

Cette addition au brevet N" 327.218 se rapporte á: 
La disposition genérale des appareils permettant de com- 
mande plusieurs servo-moteurs avec une seule aiguille et la 
disposition pour éviter que les servo-moteurs ne soient com- 
mandés á contre-temps pendant que le levier M passe d'une 
position á une autre, ainsi qu'il est exposé ci-dessus. 



N 




f^ 



^ VJ 



+ 



S)rS 



- a I — I ¿^ 



S 




- 97 — 



NOTE DE M. DEVAUX (D 



COMMANDE ÉLECTRIQUE A DISTANCE PAR LES ONDES HERTZIENNES 
APPLICATION A LA COMMANDE D'UN SOUS-MARIN TORPILLEUR. 

M. Devaux: «Nous allons exposer une nouvelle applica- 
tion des découvertes relatives aux ondes hertziennes et pa- 
rallélement un nouveau type d'appareil de commande élec- 
trique a distance, sans fil, lequel peut d'ailleurs fonctionner 
aussi avec fils. 

»Les ondes hertziennes ont été jusqu'ici, le plus souvent, 
utilisées au fonctionnement d'un électro-aimant dont i'arma- 
ture s'emploie á Tinscription de signaux Morse; c'est la té- 
légraphie sans fil. Mais le mouvement de cette armature peut 
évidemment servir aussi au déclenchement d'une forcé em- 
pruntée a un organe voisin. 

»Les schémas actuéis ne permettraient d'effectuer avec ce 
seul electro, au máximum, que deux commandes alternati- 
ves utilisant les deux positions — repos et attirée — de l'ar- 
mature. Pour effectuer une serie de manoeuvres indifférentes 
les unes par rapport aux autres, il faudrait disposer d'autant 
d'électros que de commandes; ce serait possible, mais com- 
pliqué, s'il s'agit de transmissions par fils; mais des qu'on 
entre dans la transmissions sans fil cela n'est plus possible, 
attendu qu'on n'a pas encoré pratiquement obtenu la parfaite 
différenciation de plusieurs circuits montes sur autant de 
■cohéreurs en un méme point. 

» Aussi, nous étant posé le probléme de pouvoir mettre en 
oeuvre a distance, sans fils, une serie de forces quelconques, 
agissant dans un ordre toujours variable, et restant indépen- 
dantes les unes des autres, avons-nous dú étudier un dispo- 
sitif nouveau d'appareils de commande. 



(1) Bulletin de la Société Internationale des Electriciens. juin, 1906. 

Rev. Acad. Ciencias.— V. -Julio , Agosto y Septiembre , lyoó. 7 



— 98 - 

»Ces appareils de commande seront asservis aux ferme- 
tures du cohéreur dans la transmission sans fil et pourront 
done — cela est bien évident — servir également dans les 
commandes par fils; ils presenten! dans ce dernier cas l'avan- 
tage de ne nécessiter qu'un conducteur, la terre formant le 
retour pour un appareil capable de desservir n circuits, cha- 
cun d'eux pouvant étre fermé sans nécessiter un trouble quel- 
conque des autres. 

»Ce systéme consiste essentiellement en: 

»1.° Un distributeur courant sur tous les plots d'oú par- 
tent les circuits á commander. 

»2.° Un commutateur ne langant le courant que lorsque 




Fia. 1. 



le précédent distributeur a aíteint le circuit seul que Ton dé- 
sire fermer. 

»Pour réaliser cette double fonction, un electro E (fig. 1), 
peut attirer une armature A maintenue par le ressort anta- 
goniste R et pivotant en O. Cette armature se prolonge de 
chaqué cóté par les bras B et B' . Le bras B', muni d'un cli- 
quet, attaque la roue á rochet C portant l'axe O' du distri- 
buteur et la fait avancer d'une dent á chaqué excitation de 
l'électro. Le bras B vient frapper á chaqué excitation sur 
l'extrémité du levier L articulé en O" et formant commuta- 
teur en a a'. 

»Dans le prolongement de l'axe O' on rencontre un bras 
D (fig. 2) dont l'autre extrémité frotte sur la serie des plots 



- 99 - 



1. 2. 3 12 — et permet ainsi de distribuer le courant ame- 

né par l'axe O' sur ees douze diverses positions et les cir- 
cuits qu'elles représentent. L'avancement du distributeur est 
d'un plot á chaqué excitation de l'électro E. 




(^ 



(Tó> 



^0' 



(!> 



© 



(E> 



oy 



Fig. 2. 



»Les excitations de cet electro dépendent directement du 
poste d'émission, que le conducteur soit un fil ou un train 
d'ondes hertziennes agissant sur un cohéreur; on peut ré- 
gler l'organe manipulateur en sorte que ees émissions soient 

réguliéres et conservent un rythme — . 




Flg. 3. 



»La deuxiéme fonction de l'appareil est exercée, avons- 
nous dit, par un commutateur spécial. A cet effet, le bras B, 
vient á chaqué attraction de l'armature A, conduire le levier 
L (fig. 3) hors de sa position de repos et ainsi couper le 
contact aa. Tant que bat cette armature A, le levier L est 



— 100 - 

done constamment rejeté hors de la position circuit fermé, 
mais tend á y revenir sous la tensión du petit ressort r. II 
pourrait done se faire qu'il puisse tomber un temps tres 
court au eontact en aa ce que nous voulons éviter; a eet 
effet nous retardons considérablement le temps de sa chute, 
par Tartifice suivant. L'extrémité opposée au eontact aa est 
munie d'un petite crémaillére qui, glissant devant la roue 
dentée rd, vient s'engrener sur eeíte denture quand le levier 
L est hors de sa position; pcndant le retour de ce levier la 
crémaillére entrame la roue dentée, mais cette roue, alourdie 
par le volant v, peutacquérir une inertie régláble et, par sui- 
te, imposer a la chute du levier L un temps appréeiable. II 
suffira, en pratique, que ce temps /' soit notablement plus 
elevé que le terme / du rythme de l'armature A, par exem- 
ple 2t. 

»Pendant la serie des battements de l'armature et l'avan- 
cement du distributeur, le commutateur reste done á circuit 
ouvert; seulement quand l'armature est arrétée et consé- 
quemment le distributeur arrivé an point convenable, le com- 
mutateur prend le temps de tomber au eontact. , 

»Le fonctionnement apparait done tres faeilement: 

»L'appareil est au repos, le bras D repose sur le plot 12, 
qui étant un plot mort constitue la position de repos, le O 
de l'appareil. Le levier L ferme le circuit en aá \ nous vou- 
lons fermer le circuit 7 sans affecter aucun des autres. 

»I1 suffit au poste émetteur d'envoyer 7 courants ou 7 

trains d'ondes au rythme — ; l'électro E battra 7 fois á cette 

fréquence et fera avancer la roue á rochet C de 7 dents, par 
suite le bras D viendra sur le plot 7. Mais en méme temps, 
le méme fonctionnement de l'électro E a tenu ouvert le com- 
mutateur, comme nous I'avons expliqué plus haut. Ce com- 
mutateur ne va tomber qu'á l'arrét de l'électro £", c'est-á-dire 
qu'il ne fermera le circuit que lorsque le distributeur sera 
arrivé sur le plot 7 que l'on s'était fixé. Précédemment ¡1 



- 101 



était ouvert pendant que le distributeur cheminait sur les 
plots précédents. 

»0n a done fermé le circuit 7 sans avoir compromis l'in- 
dépendance des circuits précédents. 

»Veut-on maintenant envisager la fermeture de plusieurs 
circuits concurremment, il faut pour cela que le distributeur 
soit toujours libre de se déplacer sans interrompre la ferme- 
ture d'un circuit en travail; il suffit que les circuits 1, 2, 



Arlen 




FI3, 4. 



3 12 soient fermés sur des reíais verrouillés, lesquels 

alors commandent directement l'organe a mettre en oeuvre, 
ees reíais sont et resteront fermés des que l'appareil de com- 
mande les aura fermés, leur ouverture dépendra d'une com- 
mande connectée a un des plots. 

»La figure 4 donne le montage d'un appareil de comman- 
de électrique á distance sans fil, il est simplement connecté 
aux lieux et place d'un appareil Morse dans un poste de té- 
légraphie sans fil. 

»Nous avons appliqué ees dispositifs á la commande en 



— 102 — 

mer d'un torpilleur sous-marin, il nous fallait réaliser les 
manoeuvres suivantcs: 

»1.° Mise en marche avant. 

»2.° Mise en marche arriére. 

»3.'* Stop Moteur Propulsión. 

»4." Barre á gauche. 

»5.° Barre á droite. 

»6." Stop Moteur Direction. 

»7.° Allumage de signaux vers l'avant. 

»8." Allumage de signaux vers Tarriére. 

»9." Lancement de la torpille. 

> Notre appareil était á 12 commandes, il présentait done 
3 points de repos, repartís parmi la serie des plots. La vi- 
tesse d'obéissance des appareils nous a permis de faire un 
tour complet du distributeur en 2 secondes. 

> Les 9 circuits de manoeuvre se fermaient sur 7 reíais ver- 
rouillés qui commandaient les moteurs de propulsión et de 
direction, les lampes signaux, l'appareil de lancement de la 
torpille. 

»L'énergie lócale était constituée par une batterie Fulmen, 
450 amperes heures, débitant au máximum 100 amperes ce 
qui assurait 4 heures de marche de l'engin. 

»L'engin, qui déplagait 6.700 kilogs, était constitué par 
deux cylindres en tole, aux extrémités coniques, relies l'un 
á l'autre par de fortes entretoises. Le cylindre supérieur (lon- 
gueur 9 métres, diamétre 45 centimétres) servait de flotteur 
á l'ensemble, il supportait en outre deux petits máts auxquels 
étaient fixées: 1." une antenne réceptrice á 5 brins de 3 mé- 
tres de haut; 2." des lampes s'allumant pour les sorties de 
nuit. Les máts et leurs lampes servant ainsi á déterminer 
l'alignement et la distance de l'engin. 

»Le cylindre inférieur (longueur 11 métres, diamétre 1 
métre), renfermait: le tube lance-torpille et sa torpille Whi- 
tehead 450 millimétres, la batterie d'accumulateurs, les mo- 
teurs de propulsión et de direction et leurs accessoires. 



— 103 — 

»L'appareil de commande devrait se trouver dans le cylin- 
dre inférieur abrité contre le tir ennemi par 2 métres d'eau, 
mais pour faciliter la surveillance durant les essais il était 
dans un caisson en tole porté par le cylindre supérieur. 

»Le poste de commande, situé a terre, était muni d'une 
antenne de 15 métres a 5 brins. 

»Les essais ont eu lieu dans un rayón de 400 a 1.800 mé- 
tres, distance que nous n'aurions pu dépasser sans compro- 
mettre les essais paralléles d'un nouveau procede d'accord, 
lequel nous a pleinement réussi jusqu'ici, mais est trop neuf 
encoré pour que nous en parlions maintenant. 

»Ces essais ont eu lieu de janvier a mars 1906, au large 
du port d'Antibes (Alpes-Maritimes), et nous ont donné tou- 
te satisfaction tant au point de vue nautique que communi- 
cation sans fil. Nous pouvons done diré qu'il est maintenant 
facile de monter des postes de commande électrique a dis- 
tance, sans fil, avec la méme sécurité et sans plus de com- 
plications que les postes de télégraphie. 

»Nous avons en outre mis au point cette application a la 
commande d'un sous-marin sans équipage, ce qui peut, au 
point de vue purement militaire, présenter de múltiples avan- 
tages.» 



- 104 - 

VI.— Las disoluciones sólidas. 

Por José Rodríguez Mourelo 

III 

De los cambios y modificaciones de propiedades. 

Gracias al carácter de la homogeneidad de su masa, si- 
quiera sea relativa y ofrezca excepciones de monta, es posi- 
ble establecer relaciones de cierta fijeza entre el disolvente y 
el cuerpo disuelto tratándose de las disoluciones sólidas, 
fundando en ellas los cambios de las respectivas propieda- 
des y en definitiva las peculiares del sistema final por las 
mismas representado. No hay reglas fijas para determinarlos 
por anticipado, ni modo de preverlos, y de ahí la necesidad 
del estudio individual en cada caso, pudiendo notarse en 
la mayoría la influencia de los mecanismos y modos operato- 
rios empleados al conseguir las disoluciones, en particular 
si pertenecen á la categoría de las aleaciones y precisament 
aprovechan en la industria los referidos cambios y modifica- 
ciones porque, sabidos de antemano, pueden obtenerse ligas 
metálicas dotadas de propiedades especiales, que se enlazan 
con las proporciones del metal disuelto y el modo de efectuar 
la disolución, y de aquí dependen asimismo la estructura ín- 
tima y ciertos caracteres peculiares, que implican influencias 
mutuas de los componentes, acaso condicionadas, en primer 
término, por la temperatura á que se efectúa su unión ínti- 
ma, que requiere el tránsito por el estado líquido como me- 
dio de llevar á cabo la difusión de las combinaciones defini- 
das en exceso de uno de los metales que las constituyen. 

Residen, de la propia suerte, en las mismas relaciones las 
causas determinantes de las variaciones de propiedades de las 
disoluciones sólidas de otro linaje, en las cuales la difusión 



— 105 — 

del cuerpo disuelto se realiza sin cambios de estado, mediante 
fundentes ó interviniendo materias volátiles que lo transpor- 
tan y reparten con bastante uniformidad en la masa del disol- 
vente, hasta saturarlo por completo, generando de tal manera 
cuerpos y estados de equilibrio molecular, que he procurado 
estudiar y determinar con el mayor número de pormenores, 
en cuanto su conjunto forma una serie de compuestos muy 
distintos de las aleaciones metálicas, al presente tan bien co- 
nocidas. Son siempre amorfas las disoluciones á que me re- 
fiero y no aparecen nunca como vidrios ó vitrificaciones, 
transformables y cristalizables mediante artificio; luego de 
formadas, su estabilidad es constante; mas son susceptibles 
de ciertas reacciones internas y reversibles, peculiares suyas 
y que las provocan energías exteriores, no permanentes y de 
escasa intensidad. 

Hácese preciso consignar ciertas particularidades esencia- 
les, cuya observación no es difícil, encaminadas á estable- 
cer 'algo semejante á ley ó regla de las variaciones de las 
propiedades de los componentes de algunas disoluciones 
sólidas especiales, que no significan grandes transformacio- 
nes químicas, en cuanto son separables con poco esfuerzo, 
lo cual no implica, sin embargo, reversibilidad constante 
del fenómeno, antes puede ser á modo de preliminar ó esta- 
do intermedio para llegar á combinaciones más íntimas y 
estables. Concierne la primera á la saturación de determina- 
dos disolventes sólidos, en cuya masa se difunden alguno ó 
algunos cuerpos especiales, generando nuevas substancias 
dotadas de caracteres peculiares bastante marcados. A se- 
mejanza de los disolventes líquidos considerados neutros, 
poseen varios de los sólidos determinada capacidad para 
que en su masa puedan penetrar y difundirse, constituyendo 
á la postre un todo homogéneo, otros cuerpos también sóli- 
dos; pero, al igual del primer caso, también en el que es 
objeto de los presentes estudios, aquella facultad hállase 
limitada, y el límite tanto depende, á mi ver, de la natura- 



— 106 — 

leza del propio disolvente sólido, como de la naturaleza de 
la materia disuelta, pudiendo establecerse entre ambos ele- 
mentos primordiales del sistema de la disolución sólida cier- 
tas relaciones, á veces variables y siempre de orden quími- 
co, en las cuales paréceme advertir la causa determinante 
de las modificaciones y cambios de propiedades que sirven 
de características á las mismas disoluciones sólidas, en 
particular tratándose de las aleaciones metálicas, y en tal 
sentido se comprende al punto cómo el estaño, que ha di- 
suelto tan sólo 4 por 100 de plomo, pierde su estructura 
cristalina, deja de ser frágil y no presenta el fenómeno del 
crujido, que lo distingue siendo puro. 

Sería aventurado exagerar las influencias del disolvente, 
tanto como no tener en cuenta su capacidad de saturación 
respecto de una materia dada, que en muchas ocasiones, 
luego de incorporada y difundida en la masa de aquél, y 
sin separarse de ella, puede experimentar cambios químicos 
y modificaciones de transcendencia, favorecidas, hasta cier- 
to punto, por el mismo estado de disolución de la materia, 
hallándose en este caso varios colorantes de los llamados 
pigmentarios, en los cuales la fibra textil á la que se aplican 
es algo más que un sostén inerte y desempeña verdaderas 
funciones de disolvente, conforme es sabido. Entonces, á su 
propia substancia se incorpora la de la materia tintórea , en 
particular si, como acontece para las azoicas, es susceptible 
de formarse en ella misma y repartirse , según se reparte 
cualquiera sal soluble en el líquido neutro que la disuelve. 

Indicaré, por ser típico el caso, las modificaciones que 
es susceptible de experimentar el manganeso disuelto, en for- 
ma de óxido, en diferentes medios. Presenta la Naturaleza no- 
tables ejemplos de semejantes disoluciones, y es de ellas la 
amatista común en la que ejerce el cuarzo funciones de disol- 
vente saturado; basta calentar aquel mineral para que pier- 
da su color, no variando las proporciones de manganeso, 
puesto que sólo cambia su estado en la disolución, y lo pro- 



- 107 — 

pió acontece con otros distintos minerales teñidos por meta- 
les, susceptibles de formar diferentes óxidos diversamente 
coloridos por las solas acciones de la temperatura. Aplícase 
igual observación á las perlas de bórax ó de sal de fósforo, 
disolventes de óxidos metálicos á elevada temperatura, te- 
ñidas de un color en frío y de otro color en caliente, y entran 
en la propia categoría las coloraciones de distintos minera- 
les salinos anhidros que disuelven y retienen productos de 
sus mismas alteraciones parciales. En realidad, y aparte la 
capacidad del disolvente, los fenómenos apuntados, que son 
harto conocidos, dependen de la temperatura, no sólo en lo 
referente á la saturación, sino también en lo correspondiente 
á las ulteriores modificaciones químicas de la materia disuel- 
ta, y en ello nótase bien clara la semejanza de los mecanis- 
mos cuando se opera con disolventes líquidos, en los cuales 
la menor resistencia del medio facilita las difusiones y con- 
tribuye á la mayor homogeneidad del sistema resultante; y 
á esto mismo se debe el que en la mayoría de las disolucio- 
nes sólidas sea menester el tránsito por el estado líquido y 
sólo se formen cuando sus elementos han sido fundidos, sin 
cuyo requisito no se efectúa la penetración molecular indis- 
pensable de las disoluciones perfectas y aun de las más ge- 
nerales, que son á modo de emulsiones particularísimas. 

Tienen por ventura su causa las alteraciones químicas de 
que se hizo mención, y aun los propios cambios y modifica- 
ciones de propiedades, en la mayor libertad que en la diso- 
lución gozan las moléculas de la substancia disuelta, más 
activas si han experimentado disociaciones parciales, ani- 
madas de mayores velocidades y por lo tanto más aptas 
para ser modificadas en un medio tal como el disolvente. 
De admitirlo así, sigúese que han de tener mayor sensibili- 
dad respecto de los agentes de metamorfosis química, obe- 
deciendo á los menos enérgicos y prestándose á cambios de 
diversos órdenes, sean ó no reversibles. Quizá es de tal ín- 
dole el mecanismo de los fenómenos de luminescencia de 



- 108 - 

ciertos sulfuros metálicos impuros ó impurificados, definidos 
como verdaderas disoluciones sólidas saturadas á tempera- 
tura bastante elevada. 

Júntase con los fenómenos señalados nuevo y singular caso 
de disolución sólida, llevada á cabo sin el tránsito ó paso 
por el estado líquido que es indispensable en otras muchas, 
y las aleaciones entran en el número. Me refiero al hecho de 
la cementación: una masa de hierro, haciendo oficios de di- 
solvente, es calentada sin que llegue á fundirse, en un me- 
dio constituido íntegramente por carbón muy dividido, y 
sucede que cierta cantidad de este último penetra en el me- 
tal, se disuelve y difunde en el mismo, sin estar en contacto 
íntimo con todas sus partes y constituye al cabo una de las 
más perfectas y homogéneas disoluciones sólidas conocidas, 
en la que aparecen modificadas las cualidades individuales 
de los componentes. Quizá pudiera acontecer que en las 
condiciones especiales de la operación se formase un car- 
buro definido y estable, capaz de ser luego disuelto, hasta 
saturarlo, en exceso de hierro; pero de todos modos resulta 
la difusión regular de cuerpo tan poco volátil como el car- 
bono en un metal sólido, cuyo hecho requiere cierta pene- 
tración, bastante considerable, de las moléculas que consti- 
tuyen el medio y que por efecto de la temperatura sus dis- 
tancias, respecto de las que forman el metal, se disminuyan 
de suerte que lleguen á ser posibles los fenómenos de orden 
químico, representados por el equilibrio del sistema en el es- 
tado final. Es de notar cómo el mecanismo de la disolución 
examinada hállase condicionado por la velocidad que de ne- 
cesidad tienen que adquirir las. partículas de carbón para po- 
der penetrar toda la masa del hierro, llegando á su interior, 
conforme aparece demostrado en la homogeneidad de las di- 
soluciones solidas resultantes, que aquí ya no son compara- 
bles á las sucesivas capas ó zonas de un líquido en cierto 
modo separables, á causa de las diferencias de sus den- 
sidades. 



— 109 — 

Una disolución sólida de semejante índole tiene su límite 
en la saturación, cuyo estado es permanente y definitivo; 
pues como no sean internos, sin exteriorizarse en lo más mí- 
nimo, no parece susceptible de ningún género de cambios 
químicos, y sólo sometiéndola á determinados trabajos y es- 
fuerzos es posible cambiar su estructura y modificar su co- 
hesión, conforme es sabido y hay modos de apreciarlo. No 
obstante, lo que pudiéramos llamar su constitución mole- 
cular, no cambia; y esta permanencia, que denota á la postre 
el límite de un fenómeno, es la característica principal de 
una especie de disDluciones sólidas efectuadas sin el obliga- 
do paso por la fusión preliminar de sus componentes. 

Lejos de mis intentos el pretender tratar aquí el problema 
de la constitución de los aceros, que han ilustrado moder- 
namente Osmond y Werth con su teoría celular, Bakhuis 
Roozeboom con la hipótesis de las disoluciones sólidas sin 
disociación y Le Chatelier con la suya, referente á las modi- 
ficaciones de orden físico-químico; punto interesantísimo y 
muy discutido, no me sería dado aportar á su esclareci- 
miento nuevos datos, y sólo me he servido como ejemplo de 
una clase de disoluciones cuyo mecanismo pudiera llamar- 
se de difusión directa de un sólido en otro sólido, siendo 
ambos poco volátiles aun á temperatura elevada. Acaso no 
sería muy aventurado el admitir que hay aquí verdadero 
transporte molecular de la materia del carbón para unirse á 
la del hierro, y de suerte que, á pesar de las modificaciones 
y disociaciones que el sistema pueda experimentar, nunca 
se reproduce el estado libre é inicial de sus generadores. 
Admitido que la disolución se constituye con un carburo de 
hierro típico, definido, y un exceso de metal por disolvente, 
en la serie de sus modificaciones sucesivas, condicionadas 
por la temperatura y correspondientes á la manera de efec- 
tuar los enfriamientos, hay un punto que señalar, y se refie- 
re precisamente á la composición de la mezcla eutéctica del 
hierro y de su carburo; ya queda indicado cómo la elemental 



- lio - 

no experimenta variaciones; tiendas, por el contraria, la in- 
mediata, y de la propia suerte que de una disolución líquida 
saturada á determinada temperatura es posible separar dife- 
rentes hidratos, siendo disolvente el agua, según los modos 
del enfriamiento, también aquí la disolución sólida normal y 
homogénea es susceptible de variadas disociaciones físicas, 
en las que, á consecuencia de las maneras de efectuar los 
descensos de temperatura, se destruyen de diverso modo 
los estados de saturación, originándose, separadas de la 
masa general del sistema, agrupaciones particulares dotadas 
de individualidad propia y transformables unas en otras. 

Vése en los ejemplos citados hasta qué punto son compa- 
rables con las disoluciones líquidas, atendiendo de prefe- 
rencia á los estados de saturación á temperaturas elevadas 
y á las disociaciones que sobrevienen conforme se realizan 
los enfriamientos. De aquí se infiere cómo pueden ser muy 
distintas y variadas las estructuras de las masas sólidas me- 
tálicas y presentarse heterogéneas, formadas de agrupacio- 
nes diversas, que coexisten sin perturbarse en apariencia, 
conservándose invariable la composición elemental; son á 
modo de residuos y transformaciones de disoluciones sóli- 
das que estuvieron saturadas á temperatura elevada y cuya 
homogeneidad ha sido perturbada por los modos de efec- 
tuarse el enfriamiento. 

Muchos casos hay para demostrar cómo las propiedades 
de las disoluciones sólidas dependen de las relaciones parti- 
culares de sus componentes. A expensas de ellos y modifi- 
cando sus caracteres es como se constituyen estos agrega- 
dos, dotados de individualidad propia, en gran parte ligada 
con la saturación, representantes de estados de equilibrio, á 
veces tan estable que pudiera considerarse definitivo, otras 
pronto alterable, conforme acontece en el caso de las disolu- 
ciones isomorfas cuando alguno de sus elementos es, por 
ejemplo, soluble en el agua y varias modificable sin rever- 
sión ó volviendo á regenerarse al cabo de tiempo variable 



-ni- 
el sistema primitivo, según se observa en las disoluciones 
fosforescentes, saturadas de materias activas. Todas las com- 
prendidas en los grupos citados gozan de su individualidad, 
que es el resultado de las modificaciones que en el disolven- 
te produce la peculiar del cuerpo disuelto, que en ciertos 
casos ejerce verdaderas funciones de materia activa. Pudie- 
ran invocarse, para mejor demostrarlo, las ya citadas diso- 
luciones de un carburo de hierro típico y definido, tal como 
la cementita, en gran exceso de metal, saturadas á tempera- 
tura determinada, disociables al enfriarse, mas no reprodu- 
ciendo la substancia disuelta en su primitivo estado, sino en 
otro que significa diferente agregación molecular y aun di- 
versa composición química y también traer á cuento las 
disoluciones, acaso más complejas, en las que, siendo disol- 
vente el hierro y conteniendo asimismo aquél su carburo que 
más normal se considera, contienen también aleaciones del 
propio hierro con diversos metales, nunca en proporciones 
considerables, mas que son parte á dotarlo de cualidades 
especiales que como tal metal no tiene y sin ellos no puede 
adquirirlas, aun sometiéndolo á variadas operaciones y tra- 
bajos y á influencias de la temperatura, las cuales, á lo sumo, 
llegan á modificar la estructura del metal, nunca á dotarlo de 
las cualidades que adquiere por la cementación, ó agregán- 
dole cortas proporciones de manganeso, cromo, vanadio, 
volframio y varios otros, que han permitido llevar á término 
grandes adelantos en la industria del hierro. 

Ya se advierte cómo en mucha parte dependen de haber 
considerado á los productos suyos que dejo indicados per- 
fectas disoluciones sólidas, formadas á temperatura elevada, 
saturándose entonces el disolvente hasta constituir un siste- 
ma poco estable, en cuanto el enfriamiento produce cierta 
disociación parcial, que es causa de aquellas singulares es- 
tructuras, que ahora pueden ser investigadas aplicando el 
microscopio ó los métodos de corrosión, A pesar de los cam- 
bios acaecidos en el sistema, las modificaciones y variantes 



- 112 - 

de propiedades subsisten y acaso dependen de ellos, á lo 
menos dentro de ciertos límites. 

Nunca podría separarse el estudio físico de las propieda- 
des de las disoluciones sólidas, en especial de las ligas me- 
tálicas de todo linaje, del conocimiento de sus metamorfosis 
químicas; antes bien, es preciso hacer ver sus estrechas re- 
laciones y mutuas dependencias, que en el caso concreto del 
hierro parecen evidentes. Creo oportuno insistir un momento 
todavía en el asunto, cuya importancia no es preciso encare- 
cer: á determinada temperatura T un metal M es susceptible 
de disolver un cuerpo C formando con el mismo otro cuerpo 
A , el cual queda íntegramente disuelto en exceso del prime- 
ro; sobrevienen cambios térmicos y el sistema AM experi- 
menta una serie de modificaciones, partiendo de Bo hasta Bn 
que representa el estado final. Siendo éste llegado, puede co- 
existir en la masa del disolvente algo de la combinación pri- 
mitiva A y otros estados diversos como B^, B.,, B.. Bn 

en los cuales las relativas proporciones de Ai y de y4 varían, 
conforme se pasa de la temperatura T, considerada inicial, 
hasta / que es la final. Resulta un sistema bastante complejo 
en el que es difícil señalar términos singulares; pero es fac- 
tible darse cuenta de semejantes transformaciones químicas, 
que en el caso apuntado no son reversibles, por lo que influ- 
yen en la estructura de los cuerpos, y asi cabe admitir que 
dentro de la masa general que representa la disolución sólida 
se constituyen asociaciones particulares de sus elementos 
constitutivos y se comprende cómo, relacionados por el di- 
solvente común, son capaces de generar aquellas estructu- 
ras particulares que los análisis micrográficos y los métodos 
llamados de corrosión nos revelan en las distintas clases de 
aceros y de fundiciones, y que advertimos ligadas á las trans- 
formaciones de una disolución sólida primitiva cuando deja 
de estar saturada. Es asimilable el fenómeno, considerado 
en su generalidad, al de la formación de mezclas isomorfas 
por enfriamiento de la disolución líquida y saturada de va- 



— 113 - 

rias sales y también á la coexistencia de diversos hidratos 
constituidos mientras desciende la temperatura de una diso- 
lución salina susceptible de producirlos. 

Así visto el fenómeno, que para el hierro ha sido estudia- 
do con interesantísimos pormenores, resultan los cambios 
de estructura condicionados por las variaciones que experi- 
menta la disolución sólida típica y saturada, los cuales tienen 
su límite en el estado eutéctico del sistema y no es necesario 
apelar á otras hipótesis, faltando tan sólo, si acaso, expre- 
sar en números las mutuas relaciones é influencias de las 
modificaciones químicas y de los cambios físicos inherentes 
al mecanismo de las disoluciones sólidas. 

Observaré ahora cómo éste consiste, en la mayoría de los 
casos, en un fenómeno de difusión molecular de índole aná- 
loga á la de los líquidos y gases, y se reduce en último tér- 
mino á disminuir las distancias entre las partículas del di- 
solvente y las de la materia disuelta hasta hacer posibles 
sus mutuas acciones, obligándolas á penetrarse sin que al 
constituir el nuevo estado pierdan en absoluto sus respecti- 
vas individualidades, por más que necesiten modificarlas al 
producirse el sistema que á ambas materias contiene. Si- 
guiendo doctrinas muy modernas, que se apoyan en hechos 
bien observados y en medidas bastante precisas, no sería 
muy descaminado el admitir que las disoluciones sólidas no 
son disoluciones perfectas al igual de las de las sales alcali- 
nas en el agua, quizá las únicas que por tales pudieran di- 
putarse, sino verdaderas emulsiones producto de la difusión 
de un cuerpo en la masa de otro, modificable al cambiar las 
. condiciones térmicas; y en apoyo de semejante conjetura, 
que pongo aquí con las mayores reservas, recordaré los ex- 
perimentos de Crookes y los de Lecoq de Boisbaudran rela- 
tivos á la difusión, debida al calor y sin cambios de estado, 
de mínimas proporciones de algunos óxidos metálicos y 
otras materias de la propia naturaleza en masas ya conside- 
rables de substancias inertes é infusibles, y mis propios tra- 

Rev. Acad. Ciencias. — V^ —Julio, Agosto y Septiembre, 1906, 8 



— 114 — 

bajos relativos á la generación de algunos sulfuros alcalinos 
terrosos, fosforescentes, difundiendo en ellos, por medio de 
un cuerpo volátil á temperatura ya elevada, como el cloruro 
de sodio en cortas cantidades, auxiliado de otras no mayo- 
res proporciones de un fundente alcalino, poco más que tra- 
zas de subnitrato de bismuto ó de óxidos de manganeso y 
de uranio en el propio acto de constituirse y formarse aque- 
llos sulfuros. Paréceme que en ambas seríes de experimen- 
tos la difusión es tan evidente como la del carbón en el hie- 
rro al ser éste cementado; mas no trataré de demostrar que 
en ellos prodúcense emulsiones en las que la materia activa 
hállase extremadamente dividida, porque entonces no se 
explica que al enfriarse el sistema que contiene bismuto, si 
el sulfuro está saturado, ejerza acciones sobre el metal sul- 
furándolo, cuando en otro caso permanece inalterable hasta 
que experimenta las directas influencias de la luz. 

Bastará lo apuntado para entender de qué suerte el esta- 
do de saturación, modificable como en las disoluciones lí- 
quidas ordinarias, influye en las propiedades de las disolu- 
ciones sólidas y condiciona, hasta cierto punto, su misma es- 
tructura física. En ello participan, poniendo algo de sus res- 
pectivas cualidades individuales, lo mismo el disolvente, de 
continuo empleado en proporciones excesivas, que la mate- 
ria disuelta. 

Podría interesar, en cierto orden de estudios, el indagar 
los valores numéricos de las sucesivas fases de las transfor- 
maciones de la individualidad de los componentes de las di- 
soluciones sólidas, en particular cuando pertenecen á la ca- 
tegoría de las que, á causa de las variantes de propiedades, 
tienen aplicaciones en la industria, y son al presente varia- 
das y numerosas. Se comprende que, conociendo esta evo- 
lución especial y habiendo determinado las relaciones que en 
cada uno de sus puntos se establecen entre las propiedades 
adquiridas y los estados de saturación, haya posibilidad de 
fijar de antemano las proporciones de la substancia disuelta, 



— 115 — 

Ó, como si dijéramos, de materia activa, para que el metal 
compuesto obtenido, si se trata de disoluciones metálicas, 
que son las de mayor uso, tenga aquellas propiedades nece- 
sarias para las aplicaciones á que es destinado, lo cual es 
realizable en numerosos casos, que permiten conseguir cuer- 
pos dotados de las cualidades apetecidas, empleándolos 
como disolventes de otros que los modifican al modificarse 
ellos mismos cuando su estado cambia; y basta para demos- 
trarlo el modo de conseguir aceros á voluntad, mezclando 
con los ordinarios, y aun con las fundiciones, diversos me- 
tales diferentes del hierro. 



Considerados de una manera general los cambios y modi- 
ficaciones de propiedades y mirando á los caracteres pecu- 
liares de ellos, en relación con los que son individuales de los 
elementos de la disolución sólida en el estado inicial de la 
misma, cuando las distancias de sus partículas no llegan á 
las del orden en que son posibles los fenómenos químicos, 
al punto surge la idea de agruparlas y clasificarlas atendien- 
do de preferencia á lo que pueda participar el sistema final 
de cada uno de sus componentes, nunca llegados á semejan- 
te estado de equilibrio sin haber experimentado sus elemen- 
tos variaciones de muy distinta índole é intensidad, cuya 
medida no es fácil ni siquiera teniendo en cuenta los cambios 
de estructura física, tan patentes en buen número de disolu- 
ciones sólidas en las que intervienen metales puros. Tanto 
más necesario es el orden en el género de hechos que se es- 
tudian, cuanto, perteneciendo todos á la misma clase, su me- 
canismo es muy distinto y los estados resultantes no guar- 
dan siempre iguales relaciones de analogía con los origina- 
rios y se apartan de ellos mediante propiedades nuevas, que 
aparecen al formarse la disolución ó á modo de consecuen- 



- 116 — 

cia de sus ulteriores cambios hasta dar en el considerada 
término y límite de la metamorfosis. 

Quiz^ hasta ahora no se ha reparado lo bastante en esto 
ni se le ha prestado tampoco la atención que el caso reque- 
ría, y más se ha mirado á fijar el carácter de la homogenei- 
dad de las disoluciones sólidas que á indagar el génesis y 
dependencias de sus propiedades; y es lo cierto, que bus- 
cando analogías con las disoluciones líquidas, que muchas 
veces aparecen evidentes, se ha descuidado la investigación 
de las cualidades individuales, cuya importancia es notoria. 
Así, en realidad, nuestros conocimientos experimentales to- 
cante á las relaciones de las propiedades del disolvente y de 
la materia disuelta con las propiedades de la disolución sólida 
según los estados de concentración, son todavía muy limita- 
dos y deficientes; no obstante, en vista de los datos que 
aportan los estudios de las aleaciones metálicas y de otros 
sistemas más complejos, en los cuales no se ha menester 
fundir los cuerpos para lograr su mutua difusión, puede fun- 
darse en ellos un conato de sistema que consienta agrupar 
fenómenos, en los cuales reconocemos iguales mecanismos 
y propiedades de cuerpos que se enlazan atendiendo á la se- 
mejanza del origen, al modo de producirse y á las variantes 
de que pueden ser susceptibles bajo la influencia de las mis- 
mas ó análogas acciones. 

Debe tenerse presente la evolución de las concentraciones, 
que está de continuo regulada por la temperatura, y esto es 
lo más general del mecanismo de las disoluciones sólidas; 
pues haya en ellas y sea obligado el tránsito por el estada 
líquido ó no precisen este requisito, es evidente que se cons- 
tituyen por influjo del calor y cada una tiene un límite máxi- 
mo ó punto más singular marcando la saturación completa 
del disolvente. Variando la temperatura, cambian las condi- 
ciones del sistema y se producen verdaderas series de esta- 
dos de saturación, que podrán considerarse como otras tan- 
tas disoluciones distintas é inestables y acontece que si el 



— 117 — 

disolvente y la materia disuelta son susceptibles de contraer 
alianzas químicas de cualquier género, sepáranse y quedan 
como aisladas en la masa y de ello se originan las diversas 
estructuras que se reconocen, por ejemplo, en las aleaciones 
metálicas y que se consideran causas de sus propiedades 
particulares, según con ellas están enlazadas; y pudiera 
acaso fundarse también la clasificación de que se trata en las 
relaciones de la concentración y de la estructura de las diso- 
luciones sólidas con sus propiedades características, lo cual 
es bien advertido en algunas amorfas, constituidas sin trán- 
sito por estado líquido, que he estudiado con todos sus por- 
menores en otra parte y se refieren á casos de difusión de 
materias no volátiles, merced á otras que lo son á elevada 
temperatura en un disolvente fijo y dotado de cierta esta- 
bilidad relativa. 

Resulta predominante, atendiendo á las proporciones rela- 
tivas, el disolvente por punto general empleado en gran ex- 
ceso, y así no es de extrañar que el sistema de la disolución 
sólida, en particular no estando saturada, participe más de 
sus propiedades; parece una suerte de influencia de la masa 
que es muy notada, por ejemplo, en las asociaciones de los 
sulfatos de sodio y de calcio, cuando en la serie de disolu- 
ciones que son capaces de formar se invierten las funciones 
peculiares de cada uno; pero esto no significa que aquellos 
caracteres permanezcan incólumes sin modificaciones de nin- 
guna especie; antes bien, las experimentan variadas y á ve- 
ces singulares, aun disolviendo cantidades pequeñas de otros 
cuerpos. Puede ser el oro disolvente del cobre, que difun- 
diéndose en su masa comunícale cierta dureza, entre otros ca- 
racteres, y es un modificador de los que tiene considerándolo 
puro, y lo mismo acontece respecto de propiedades distin- 
tas que experimentan cambios cuando el cobre disuelve si- 
licio ó fósforo, el hierro carbono ó el propio cobre su típica 
aleación con el cinc, y en semejantes hechos se fundan nu- 
merosas aplicaciones. 



- 118 - 

En el sentido apuntado es como me permito establecer, de 
una manera general, las funciones del cuerpo disuelto res- 
pecto de la masa del disolvente, concretándolas á diferentes 
cambios y modificaciones de propiedades, que en definitiva 
se relacionan con las concentraciones de la disolución y de- 
penden de la saturación, siempre y en particular cuando el 
sistema es llegado al estado límite ó definitivo, en el cual se 
manifiestan mejor las relaciones é influencias mutuas de todo 
género entre sus componentes. Hay gran variedad de ellas 
y dependen de numerosas circunstancias externas en no po- 
cos casos, porque si bien la mayoría de las disoluciones só- 
lidas representan algo como el término de una serie especial 
de cambios y transformaciones, que no pueden continuar 
sin perturbar hondamente, empleando agentes de bastante 
energía, el equilibrio creado, otras hay que por el solo he- 
cho de serlo y la manera de estar constituidas adquieren 
particulares actividades, que por sí mismo no tiene aislado 
ninguno de los elementos que las forman, y de la propia 
suerte que las modificaciones reconocidas en las primeras 
pueden ser variables ó permanentes, así los cambios adver- 
tidos en las segundas son reversibles ó irreversibles, aparte 
de la intensidad que en ambos casos revistan, y en conocer- 
los y prevenirlos estriba el arte de disolver compuestos me- 
tálicos definidos, á la continua binarios, en exceso de alguno 
de sus componentes, para conseguir metales especiales do- 
tados de las propiedades que los hacen adecuados para di- 
ferentes y variados usos. 

Sigúese de aquí una distinción de los caracteres de las di- 
soluciones sólidas, considerando, de una parte, los que res- 
ponden á modificaciones de los que son propios de los com- 
ponentes y se diputan alteraciones de los mismos, causadas 
por sus mutuas influencias, y, de otra parte, los que se 
pueden considerar adquiridos, en cuanto no participan de 
ellos cada uno de los elementos del sistema, y, á lo que se 
me alcanza, gozan de los mismos precisamente las disolu- 



- 119 - 

ciones obtenidas con materias infusibles ó poco menos, y 
cuya formación no requiere el tránsito ó paso por el estado 
líquido; y es singular que las agrupaciones moleculares así 
generadas posean actividades notables y gocen de curiosas 
aptitudes químicas. Unas y otras sólo se manifiestan por 
medio de energías exteriores débiles y cuyas acciones no 
son prolongadas, bastando, no obstante, para excitar las 
nuevas actividades de tal linaje de disoluciones sólidas, en- 
tre las cuales son típicos los sulfuros fosforescentes de bario, 
de estroncio y de calcio. 

Fácilmente se comprende que en las primeras, ya se con- 
sideren saturadas ó lejanas del punto de saturación, se han 
de reconocer pronto los caracteres de los componentes, en 
particular los del disolvente, cuya masa predomina, pero 
cuyas propiedades, sin que aparezcan por completo trans- 
formadas, modifícalas la materia disuelta, cambiando, de 
ordinario, alguno de sus accidentes, y únicamente tratándose 
de substancias dotadas de grandes actividades sería posible 
que desaparecieran por entero las cualidades de la mayor 
masa, substituyéndolas, aunque nunca de manera íntegra y 
absoluta, las del cuerpo disuelto, que nunca entra, á no ser 
por escepción, en proporciones considerables. Cabe citar 
como ejemplo las modificaciones de importancia advertidas 
en los cristales del mineral denominado teruelita, y que es 
una dolomita cuádruple, debidas á las variables cantidades 
de manganeso contenidas en esta nada sencilla disolución 
sólida, y son de suerte que examinando, midiendo y estu- 
diando primero una serie de cristales, que es fácil tener 
siempre aislados y completos, y procediendo luego á su 
análisis individual, llega á establecerse la relación existente 
entre el valor de los ángulos de aquéllos y las cantidades de 
manganeso, siempre exiguas, que el análisis determina en 
cada uno; por donde es bien notada la influencia hasta de 
sus menores componentes en el sistema de la disolución 
sólida, siquiera conserve, como más salientes y eficaces, los 



— 120 — 

caracteres del disolvente, significando el perderlos la cons- 
titución de un nuevo estado molecular, por ventura bien di- 
ferente del primero. 

Tienen los dichos cambios ó modificaciones de propieda- 
des el carácter general de permanencia que dejo notado y es 
de observar de qué suerte no corresponden á disoluciones 
cuya homogeneidad se puede considerar absoluta ó definiti- 
va. Con minuciosos cuidados he estudiado la estructura de 
numerosos sulfuros fosforescentes, y siempre los he visto 
perfectamente homogéneos y granugientos; y repartido por 
igual en toda su masa, hasta saturarla, el cuerpo activo di- 
suelto; y acaso por lo mismo el sistema resulta inestable, mo- 
difícanlo en un momento las acciones de la luz y aun cuan- 
do retorne al estado primitivo, no experimentan alteraciones» 
ni su homogeneidad, ni su estructura, y en tal sentido pu- 
dieran considerarse disoluciones sólidas perfectas, dotadas 
de actividades peculiares de las que no participan sus com- 
ponentes aislados, y en este respecto se asimilan mejor á las 
disoluciones líquidas ordinarias. 

Gracias á los modernos procedimientos, se puede investi- 
gar ahora la estructura de los sistemas que he llamado defini- 
tivos, y á ellos corresponden las aleaciones metálicas en pri- 
mer término, incluyéndose también en la propia categoría» 
aunque sean dentro de esta variantes, los vidrios y aun algu- 
nas disoluciones y mezclas isomorfas. Sábese como en las 
primeras, y es característico ejemplo el de los diversos gra- 
dos de difusión del carburo de hierro en exceso de metal, 
si la apariencia es homogénea, en la estructura interna nó- 
tanse á modo de agrupaciones moleculares distintas y la di- 
solución pudiera considerarse, no individualidad única, sino 
conjunto ó reunión de individualidades, que portales se ad- 
miten, tratándose del hierro, y aunque deriven unas de 
otras, diversas asociaciones de carbono y hierro, ó de este 
metal y su carburo, siendo de ellas las principales la cemen- 
tita y la perlita, cuya formación está condicionada por las 



— 121 — 

masas relativas de sus generadores, que constituyen, por de 
contado, el medio en que se forman á partir de una disolu- 
ción que pudiéramos decir normal y homogénea, que se 
constituye á determinada temperatura, pero que se modifica 
al descender, resultando á la postre aquellos agregados es- 
peciales que, aun siendo distintos, coexisten en la masa me- 
tálica y sirven para dotarla de propiedades que sin ellos no 
tendría. A mi entender no eícisten aqui compuestos total ó 
parcialmente disociados en el seno del disolvente, sino pu- 
diéramos decir materias muy análogas emulsionadas en la 
masa de otras que con ellas guardan relación estrecha, con- 
servando su individualidad, revelada al estudiar la estructu- 
ra íntima de semejantes agregados. 

Uno cualesquiera de ellos, y su número es considerable, 
no puede ser tenido por disolución sólida perfecta, conforme 
al sentido expresado; fáltale acaso la condición de la homo- 
geneidad si la extendemos á la estructura interna, que no 
tiene semejante nota, porque al separarse del exceso de di- 
solvente en el progresivo enfriamiento de la masa puede no 
retornar á su primitivo estado químico, conforme era al co- 
mienzo la materia disuelta, y sin variar sus componentes 
suelen resultar de diverso modo agregados y dispuestos. 
Quizá el hecho tiene cierta analogía con la formación de di- 
ferentes hidratos que cristalizan en el seno de un disolvente 
líquido y en condiciones de quedar éste saturado de otros 
hidratos de la propia sal, formados á sus expensas, ó de mez- 
clas de sales isomorfas, si son varias las que al mismo tiem- 
po se hayan disuelto. 

Habría motivo para indicar mayores semejanzas todavía, 
buscándolas respecto de las disoluciones isomorfas, sólo 
constituidas, según es bien sabido, cuando sus componen- 
tes hállanse en determinadas proporciones y no en otras cir- 
cunstancias, por lo cual se explica que al cristalizar juntos 
el disolvente líquido y la materia disuelta sólida puedan for- 
mar, conforme á sus proporciones relativas, series de diso- 



- 122 — 

luciones sólidas, entre cuyos términos puede haber lagunas 
y faltas, correspondientes á relaciones cuantitativas que no 
son las adecuadas para constituir los sistemas homogéneos 
de que se trata, y las conocidas observaciones de Küster y 
Brunni así lo demuestran. Aunque no puedan ser calificadas 
de perfectas disoluciones sólidas ni de mezclas isomorfas, 
en el estricto sentido de la palabra, aquellas que me sirven 
de ejemplo, es lo cierto que el conjunto de sus propiedades, 
y muy en especial las características, por las cuales son sus- 
ceptibles de aplicaciones importantísimas, guardan íntima 
relación con las diferentes especies de agregados que se ge- 
neran y corresponden á las variaciones de la concentración 
de las disoluciones primitivas, resultando por tal manera li- 
gadas la estructura interna y las cualidades de estos com- 
puestos; y ello adviértese principalmente en los productos 
metalúrgicos ferruginosos, como se demuestra sometiéndolos 
á los actuales procedimientos de investigar la manera de es- 
tar físicamente constituidos, de donde se infiere que la exis- 
tencia de ciertos agregados especiales, dotados de indivi- 
dualidad propia en la masa unida del disolvente, parece in- 
dispensable para que se generen determinadas cualidades 
que participan de las propias de cada uno de los elementos 
de la disolución sólida, independientemente del modo cómo 
en ésta se encuentren enlazados. 

Variaciones en el régimen primitivo puede haber muchas, 
condicionadas siempre por los distintos estados en que se 
constituyan los elementos de la materia disuelta, ya por sí 
mismos, ya unidos á algo de la propia materia del disolvente 
en su paso, siguiendo las fases de la concentración, hasta 
llegar al enfriamiento. Resulta así que el sistema va siendo 
á cada punto más complicado, lo cual, en cierto modo, si 
bien asegura la estabilidad del conjunto, consiente modificar 
de muy diversas maneras su íntima estructura, aun .sin in- 
troducir nuevos elementos, y esta facilidad de los cambios, 
que asegura la aparición de nuevas propiedades ó de modi- 



- 123 - 

ficaciones de las anteriores, ha servido, por ejemplo, para 
obtener distintos aceros dotados de cualidades determinadas. 
Iniciado el cambio, no importa por qué causa, en cual- 
quiera de los agregados elementales de este linaje de disolu- 
ciones sólidas, como se halla ligado á los demás por la co- 
munidad del medio, hácense solidarios de la modificación y 
el conjunto del sistema se altera, conforme sucede á una 
cuerda, uno de cuyos puntos se hace vibrar: los demás vén- 
se animados del mismo movimiento, y, conforme á la inten- 
sidad de la variación, así se separan de sus primitivas posi- 
ciones de equilibrio; sólo que hay esta diferencia esencial: 
en nuestro caso, el retorno al primer estado casi nunca es 
posible, ó, cuando menos, fácil, y en realidad se crea un 
nuevo estado en el que las relaciones entre el disolvente^ 
los cuerpos disueltos y los particulares agregados suyos 
han cambiado, constituyendo otro sistema sólido de diferen- 
te estructura. Bien pronto se observan los hechos apuntados 
investigando la de cualquiera aleación metálica en seguida 
áe. formada y comparándola con la que adquiere luego de 
someterla á determinado trabajo mecánico, indagando los 
cambios acaecidos en el punto de fusión de un metal cuando 
ha disuelto ciertas proporciones de otro distinto ó los de las 
tensiones superficiales relativas á la eflorescencia de aquellas 
sales alcalinas disolventes de otras que no se deshidratan en 
contacto del aire seco; en el primer caso, sobre todo, son ad- 
vertidas numerosas relaciones entre términos en apariencia 
poco semejantes: composición elemental de las disoluciones, 
composición inmediata, estado de agregación de la parte del 
disolvente aislado al variar las concentraciones y unirse con 
la materia disuelta, estructura resultante; de todo lo cual 
dependen, en definitiva, los cambios y modificaciones de 
propiedades en los casos que se consideran más sujetos á 
mudanzas, pero no aquellos otros calificados antes de diso- 
luciones perfectas, si atendemos á la homogeneidad de la 
estructura y al estado de saturación en que se encuentran, 



— 124 — 

del cual provienen sus cualidades, en todo distintas de las 
que caracterizan á sus componentes. 

Ya se entiende cómo es menester diferenciar, en las diso- 
luciones sólidas menos perfectas especialmente, lo que ata- 
ñe á la composición inmediata de las mismas, de la cual de- 
pende su estructura y las variantes de ella, conforme quedan 
indicadas y se comprende que pueden existir y ser conside- 
radas tales disoluciones, aun cuando haya medios de sepa- 
rar agrupaciones distintas de los propios elementos, gozando 
cada una su individualidad característica. Esta no es perma- 
nente, antes hállase sujeta á cambios, generadores de nuevas 
agregaciones, lo que explica que la dicha composición in- 
mediata no sea constante y cambien con ella las condiciones 
de la disolución sólida. 

Junto con semejantes cambios aparecen los de las primi- 
tivas propiedades, y su mecanismo no reconoce otras causas 
ni tiene más orígenes, no variando las proporciones de la 
materia disuelta, que las diferentes asociaciones físicas ó quí- 
micas con su disolvente, que no implican disociación del sis- 
tema general ni transformaciones de las capacidades del úl- 
timo, sino modificación de las relaciones establecidas entre 
ambos términos, que al cabo no se determinan, con ciertos 
caracteres de relativa fijeza, hasta que el medio disolvente 
hállase en las apropiadas condiciones de temperatura, al 
igual de las disoluciones liquidas. Se advierte pronto lo di- 
cho en los vidrios ordinarios, que son verdaderas y típicas 
disoluciones sólidas de diversos silicatos, ninguno de los 
cuales aparece cristalizado; la estabilidad del sistema es re- 
lativa, á pesar de la homogeneidad perfecta, en cuanto el 
análisis inmediato no separa agregados individualmente dis- 
tintos, y esto, no obstante, es fácil provocar la ruptura del 
equilibrio, provocando, mediante el calor, el conocido fenó- 
meno de la desvitrificación, del que son consecuencia pro- 
fundos cambios de estructura, que se hace cristalina, gene- 
rando de tal suerte otro orden de disoluciones sólidas, acaso 



— 125 — 

correspondientes á modificaciones químicas, ya de mayor 
transcendencia, en particular si se llevan á cabo intervinien- 
do presiones considerables; es un medio práctico de conse- 
guir durísimos agregados de silicatos en muy diferentes es- 
tados, dotados de estructura fina y compacta, muy homo- 
génea y uniforme, como si estuvieran con gran regularidad 
difundidos en una masa de sílice precipitada ó aislada, al 
romperse los lazos que mantenían unidos á los componentes 
del vidrio considerado disolución sólida bastante perfecta, 
susceptible de convertirse en disolvente de substancias me- 
tálicas capaces de colorirla, formando, al disolverse, silicatos 
especiales que tienen color, á veces modificable, merced á 
cambios químicos de oxidación, según es notado, por ejem- 
plo, en los de manganeso, 

A las disoluciones sólidas de la especie indicada corres- 
ponden propiedades generales, que ó bien las poseen sus 
componentes, siendo en ellos características, ó están íntima- 
mente ligadas con éstas, aunque constituyan individualida- 
des definidas y sistemas especiales, de relativa homogenei- 
dad, estables y representantes de equilibrios bastante per- 
fectos. Forman clase importante, en la que se incluyen las 
aleaciones metálicas y son las que más se asimilan á las di- 
soluciones líquidas ordinarias y aun á las mezclas de líqui- 
dos de diferentes densidades. 

Lejos de modificarse las materias que las forman, de tal 
suerte que aparezcan nuevas actividades, lo que sucede es 
que, á causa de sus mutuas influencias, se modifican tan 
sólo los caracteres de cada una, resultando asociaciones dis- 
tintas y agrupaciones moleculares, que imprimen en la masa 
que las contiene el sello de su presencia, de manera que, 
sin dominar, atendiendo á la cantidad, son los elementos 
cualitativos que predominan, conforme es admitido particu- 
larmente estudiando las relaciones de las propiedades de los 
aceros con sus correspondientes estructuras, de lo cual tan- 
tos provechos resultan en los tiempos presentes, y los ha- 



- 126 — 

brá mayores todavía cuando sea más general el empleo de 
los métodos de investigarla. Muchas veces la estructura de 
semejantes agregados parece de una homogeneidad perfecta 
y es menester llegar á las últimas partículas, que están en 
los límites de lo ultramicroscópico, para notar diferencias, 
conforme se demuestra examinando, por ejemplo, las diso- 
luciones sólidas que en forma pulverulenta obtuvo Spring, 
sometiendo á presiones muy considerables mezclas de finí- 
simas limaduras de cobre y de cinc, ó en los hierros nique- 
lados naturales. En ambos casos, apareciendo uniforme la 
estructura de la masa, no resulta absolutamente homogé- 
nea, por cuanto al investigar su composición inmediata son 
determinables distintos agregados, los cuales acaso respon- 
den á las sucesivas fases de las concentraciones de la diso- 
lución á partir del estado inicial de la saturación, cuando se 
ha efectuado la difusión de la materia en el disolvente, me- 
diante las acciones del calor. Tales son, en mi entender, los 
caracteres propios de gran número de disoluciones sólidas, 
que forman grupo, y tales los modos como se modifican y 
cambian sus propiedades, que, en último término, provie- 
nen de las relaciones cuantitativas y cualitativas de los ge- 
neradores, determinantes de formas y estructuras, que no 
son constantes, á la par de los grupos moleculares de cuya 
agregación proceden, y los cuales, en su cantidad y en los 
modos de estar dispuestos, pueden cambiar, ocasionando 
gran variedad de productos correspondientes á los estados 
de concentración de las disoluciones. 

Baste lo indicado para considerar cómo los cambios y mo- 
dificaciones de propiedades, dependientes de los propios 
elementos de las disoluciones sólidas y de su régimen par- 
ticular, son fundamentos suficientes para clasificarlas, po- 
niendo en un grupo aquellas cuyas propiedades preexisten 
de alguna manera en los componentes, y en otro grupo las 
que las presentan distintas de los generadores, aunque nece- 
siten de su concurso para ser originadas. 



— 127 — 

Mas atribuyéndoles el mismo génesis á las de la primera 
clase, cabe establecer ciertas diferencias tocante al modo de 
producirse y á los caracteres especiales de cada uno de los 
nuevos estados, y á este fin tiénense en cuenta variados ór- 
denes de relaciones, dentro de la categoría de las diputadas 
por principales, entre el disolvente y la materia disuelta. 
Siendo mucho mayores las cantidades de aquél, parece que 
las dichas cualidades debieran ser función suya casi exclusi- 
va, á lo menos dentro de límites bastante separados, y aun- 
que en ciertos respectos este predominio resulta evidente, 
hállanse restringidos por la influencia y la presencia del otro 
elemento de la disolución, siquiera sean mucho menores sus 
proporciones; pero no obstante suficientes para imprimir 
carácter al sistema, en modo alguno reducido á lo externo 
y de poca monta, sino que afecta á lo que pudieran tenerse 
por sus constantes características, cuya fijeza es asimismo 
muy relativa. Pueden citarse las variaciones de los puntos 
de fusión y de resistencia eléctrica, las modificaciones de 
tensión en la superficie de algunos cristales mixtos hidrata- 
dos, las de la dureza y maleabilidad, y sobre todo las de la 
estructura, de tantos modos alterable precisamente cuando 
cambian las relaciones de cantidad de la materia disuelta, 
porque ya es cosa establecida que las disoluciones sólidas 
de que se trata están formadas por una combinación mo- 
lecular definida, que se difunde y reparte con uniformidad en 
un exceso de la masa del disolvente, al que comunica sus 
cualidades, recibiendo algo de las peculiares de éste, cuyas 
propiedades, á su vez, se sienten influidas por las de la ma- 
teria disuelta, y, naturalmente, de los diferentes valores 
cuantitativos de ellas se han de originar, dentro del grupo 
general, otros más restringidos y de menos importancia, 
pero dotados de caracteres propios y distintivos. Siendo en 
realidad el origen los cambios en los estados de la concen- 
tración de las disoluciones, partiendo de la saturación de las 
mismas, se entiende que la serie de aquéllos ha de ser di- 



— 128 — 

latada y se han menester limitaciones exigidas por las mis- 
mas necesidades del estudio de tales compuestos, cuya va- 
riedad hállase condicionada principalmente por las modifi- 
caciones de la respectiva estructura. 

Convienen al primero de los grupos gran diversidad de 
estructuras y numerosas variantes de propiedades á ellas in- 
herentes; entre ambos términos son evidentes estrechas re- 
laciones de dependencia, las cuales no es posible expresar 
en números, porque su ley general no se ha establecido to- 
davía, fuera de ciertos casos particulares muy concretos, y 
eso sólo refiriéndolo á caracteres especiales, por lo común 
enlazados con resistencias mecánicas y cualidades eléctricas, 
cuya depandencia de los referidos cambios resulta notoria: 
lo es asimismo la composición inmediata de las dichas diso- 
luciones sólidas, puesto que no son siempre iguales los agru- 
pamientos que en su masa se observan, aplicando los más 
finos y delicados procedimientos adecuados para tal género 
de indagaciones, en las que los métodos físicos suelen ser- 
vir primero de guía y luego de complemento á los métodos 
exclusivamente químicos. Acaso sea permitido el afirmar, to- 
cante á estas disoluciones sólidas que he llamado menos 
perfectas, que se determina su característica en el hecho de 
que las propiedades suficientes para marcar su individuali- 
dad no son adquiridas ó nuevas, como las de aquellas otras 
disoluciones generadas sin alteraciones del estado sólido, 
sino que existen en los componentes y de ellos proceden di- 
rectamente, aunque las modifiquen más ó menos sus mutuas 
influencias. 



No acontece lo propio con las disoluciones sólidas del 
otro grupo, á las cuales he denominado perfectas, en razón 
de la persistente homogeneidad de su estructura; también 
pudieran llamarse con propiedad activas, mirando á que tie- 



— 129 — 

lien energías peculiares suyas, de las que no participan sus 
-elementos aislados; de modo que aquí, en rigor, no hay 
cambios ó modificaciones de caracteres, sino adquisición de 
algunos singulares, persistentes y duraderos, incólumes ó 
poco alterados, y aun á veces acrecentado su valor, mien- 
tras subsiste el particular agregado de la materia soluble con 
su apropiado disolvente, ó no se introduce alguna pertur- 
bación en los sistemas, que suelen ser bastante complica- 
dos. Representan, por lo que atañe á las disoluciones amor- 
fas del género, verdaderos límites de transformaciones mo- 
lieculares, y su actividad sólo se manifiesta llegando al punto 
de la concentración máxima cuando están saturadas; pero 
siempre necesitan ser excitadas por un agente exterior, el 
cual suele provocar en su propia masa ciertas reacciones 
químicas, cuya reversibilidad se manifiesta con fenómenos 
característicos; tal acontece en las que he estudiado y pro- 
curaré que sirvan de aplicación y ejemplo de las doctrinas 
que expongo con las naturales limitaciones y reservas. 

Desde luego se ha de notar que los mecanismos genera- 
dores presentan ciertos signos que los diferencian de los 
propios de las otras disoluciones sólidas; éstas en que aho- 
ra me ocupo nunca resultan, como las anteriores, por enfria- 
miento de sÍ4S componentes, luego de haberlos fundido en 
las proporciones adecuadas ó cristalizando unidos cuerpos 
isomorfos al abandonar el disolvente común; la difusión de 
la materia soluble es directa é inmediata partiendo del esta- 
do inicial, se realiza interviniendo el calor á temperatura 
bastante elevada y el sistema constituido es homogéneo y 
permanente, aunque entre las substancias que lo forman no 
haya relaciones químicas aparentes y sean inertes las unas 
respecto de las otras. Tal acontece, por ejemplo, partiendo 
del sulfato de calcio anhidro y bien calcinado, que basta 
mezclarlo íntimamente con pequeñísima cantidad de óxido 
de manganeso, sometiéndolo después al rojo vivo durante 
algún tiempo, para constituir una disolución sólida perfecta, 

Rev. Acad. Ciencias.— V. — Julio, Agosto y Septiembre, igof. 9 



— 130 - 

dotada de uniforme y no alterada estru».íura; es la disolu- 
ción típica de los experimentos de Leco.j, de Boisbaudran y 
Crookes, tan activa, que es susceptible de presentar intensa 
luminescencia característica con sólo someterla, colocada en 
en el vacío, á las reiteradas acciones de las descargas eléc- 
tricas, y semejante actividad, no exclusiva suya, es asimis- 
mo manifiesta en otros agregados semejantes, y dícese que 
en ellos el cuerpo disuelto es la verdadera materia activa, 
capaz de comunicar sus energías á toda la masa del disol- 
vente cuya luminescencia resulta uniforme. 

Observaré que, en este caso por lo menos, no se advierte' 
la menor acción química, que en otros es causa de análogos 
fenómenos, ni ha sido posible, hasta el presente, determinar 
y medir las mutuas influencias que deben existir entre los 
componentes del sistema y á las cuales será menester atri-. 
buir sus nuevas energías. Cuando cesan las acciones eléctri- 
cas termina la luminescencia; en la estructura y en la com- 
posición del cuerpo no se advierte ni el más insignificante 
cambio, y la disolución sólida conserva, sin que se amino- 
ren ni un punto, las mismas aptitudes y capacidades, y tor- 
nará á ser luminescente, con igual color é intensidad, cuan- 
tas veces sea sometida, en igualdad de condiciones, á la 
influencia de las descargas eléctricas en el vacio, ó emplean- 
do otras excitaciones en casos distintos, porque agregados 
del género se conocen bastantes y se distinguen por la va- 
riedad de las coloraciones de la respectiva luminescencia y 
la intensidad de la misma; en otras disoluciones la actividad 
se manifiesta con fenómenos de diferentes órdenes, algunos 
muy especiales; pero que en ningún caso alteran el sistema, 
y cuando alguna vez pudieran hacerlo, no tardan en reco- 
brar el primitivo de disoluciones perfectas y homogéneas. 

Es menester tener muy en cuenta que en las disoluciones 
ahora tratadas hay diferencias de monta entre la naturaleza 
del disolvente y la que á la materia disuelta corresponde. 
Tocante á lo primero es necesario distinguir todavía si está 



— 131 — 

ya formado, conforme acontece con los sulfatos, óxidos y 
carbonatos empleados en los experimentos de Lecoq de 
Boisbaudran/ó si su generación y la de la disolución sólida 
correspondiente son simultáneas, para lo cual sirven de 
ejemplo los sulfuros alcalinoterrosos fosforescentes; sin em- 
bargo tienen una nota común y es que nunca contienen los 
mismos metales que las materias disueltas, de ordinario 
compuestos de los calificados de pesados y combinaciones 
oxidadas de ellos, que se distinguen por su escasa volatili- 
dad, aunque se trate de cuerpos fácilmente alterables, sus- 
ceptibles de sobreoxidaciones. Hay de continuo esta distin- 
ción primordial y existe otra dé igual categoría, relativa á 
las dos especies de disolventes indicados; en la primera se 
incluyen aquellos cuya inercia química respecto de los de- 
más componentes del sistema es probada; suelen ser com- 
binaciones alcalinoterrosas de grandísima fijeza, inalterables 
por el calor á temperaturas elevadas, pero en extremo aptas 
para que bajo su directa influencia se difundan y repartan 
en su masa otras combinaciones metálicas, destinadas á do- 
tarlas de propiedades que ninguno de los dos cuerpos tiene 
por sí mismo y á formar un agregado homogéneo de inva- 
riable estructura, que resulta adecuado para ciertas modifi- 
caciones singulares que, sin embargo, no parecen cambiar- 
lo ni alterarlo. 

Procede ahora observar que las capacidades del disolven- 
te respecto de la saturación son pequeñas y pronto se al- 
canzan sus límites, y pasados, la disolución pierde sus acti- 
vidades y aptitudes, funcionando como si estuviese disocia- 
da; bastan, por lo tanto, pequeñísimas proporciones de 
materia soluble, y todavía parece que su excesiva difusión 
en considerable masa del disolvente es causa de aumentos 
en la intensidad de los fenómenos de luminescencia en las 
disoluciones que los presentan, excitadas por descargas 
eléctricas continuadas ó sólo por acciones directas de la 
luz, de las cuales son inherentes algunas metamorfosis quí- 



— 132 — 

micas reversibles. Aquí los disolventes, quizá en función de 
su propia inercia, presentan resistencias considerables á la 
difusión de la materia activa, que lo es independientemente 
de su naturaleza, y por eso se saturan tan pronto y no pre- 
sentan todas aquellas fases que son notadas en los estados 
de concentración por los cuales pasan las mezclas fundidas 
ó las disueltas en líquidos, hasta concretarse en disoluciones 
sólidas amorfas ó en agregados cristalinos isomorfos. 

Fácil es entender, por lo dicho, que la disolución sólida, 
completa y activa tiene un límite bastante restringido y que 
es muy pronto alcanzado; este límite se halla, al igual del 
correspondiente á las menos perfectas, en el estado de sa- 
turación, dependiente de la capacidad de los disolventes; 
pero aquí semejante estado no varía ni experimenta altera- 
ciones desde el momento de formar la disolución, sin cam- 
bio de estado. Son, en el caso más sencillo, dos cuerpos 
sólidos; uno de ellos se emplea en gran cantidad, y por me- 
dios mecánicos se le incorpora leve proporción del otro, 
luego la mezcla es sometida á la temperatura del rojo vivo, 
y sin otra cosa la disolución sólida está constituida y es activa 
tocante á la luminescencia; pero no hay más que ver las 
cantidades de compuestos de manganeso, de cadmio ó de 
cinc que empleaba Lecoq, ó las de subnitrato de bismuto ú 
óxido de uranio que he adoptado para los sulfuros fosfores- 
centes, y al punto nótase que si los disolventes tienen es- 
casa capacidad, las materias solubles lo son muy poco en 
ellos y se saturan en seguida, con estas dos particularidades: 
la primera, que una vez hecha la disolución y saturada á 
determinada temperatura, sus descensos no implican cambio 
en aquel estado que, constituido, adquiere marcado carácter 
de permanencia, y la segunda, que el exceso de cuerpo so- 
luble, quedando sólo en calidad de mezcla bien apreciable, 
contribuye á aminorar las actividades del sistema y hasta 
llega á anularlas, reduciéndolo á la misma inercia que tienen, 
uno respecto del otro, disolvente y cuerpo disuelto antes de 



— 133 - 

haber sometido su mezcla íntima á temperatura muy elevada. 

Queriendo ahora cotejar los dos grandes grupos en que 
he considerado divididas las disoluciones sólidas, es como 
se aprecian sus diferencias; en las del primero, el estado lí- 
mite de saturación hállase bastante lejano del inicial, y sólo 
es alcanzado pasando por toda una serie de concentracio- 
nes, originarias á veces de cambios y modificaciones de pro- 
piedades, nunca nuevas, sino resultantes de las acciones, 
variables con la temperatura particularmente, que se mani- 
fiestan entre los elementos de la disolución, cuyas cantida- 
des pueden no ser fijas, y de sus relaciones de cantidad di- 
manan otras suertes de disoluciones. En todas las de la 
misma clase es característico el cambio y transformación de 
las cualidades, las de la estructura sobre todo, cuando las 
del segundo grupo se distinguen por la fijeza y constancia 
de su estado y propiedades que se adquieren con la satura- 
ción, sin intermediarios, y que no están en los componen- 
tes; ni aislados, y cada uno de por sí, son capaces de adqui- 
rirlas siquiera de modo transitorio. 

Generalmente la clase de disoluciones sólidas en que me 
ocupo se distinguen de los cuerpos que constituyen su par- 
ticular sistema, porque en el acto de formarse, siempre á 
elevada temperatura, adquieren determinadas propiedades y 
funciones, de las cuales carecen, por ellas mismas, las ma- 
terias componentes, y se trata, por consiguiente, de apreciar 
tales diferencias, ya que no sea posible relacionarlas con los 
caracteres distintivos de los elementos que unos en otros se 
penetran y difunden. Es peculiar de estos fenómenos la ma- 
nifestación de ciertas energías y actividades de la índole de 
muchos casos de luminescencia, como la que la luz ó las 
descargas eléctricas provocan en diversas materias fosfores- 
centes, que son de las disoluciones sólidas más perfectas y 
completas, dotadas de energías específicas muy permanentes 
y capaces de producir determinados efectos, entre los cuales, 
se cuentan algunas reacciones químicas reversibles, motiva- 



— 134 - 

das por las afinidades, que sólo acciones externas pueden 
despertar, del disolvente con la materia disuelta, y á la cuenta 
ya se sabe de qué manera hállase la última en proporciones 
exiguas la mayoría de las veces; pues la máxima concen- 
tración se alcanza muy pronto y las disoluciones están en 
realidad saturadas casi en el mismo momento de su génesis, 
con el solo requisito de intervenir fundente ó materia vo- 
látil para mejor realizar la difusión, ó en otros casos tempe- 
ratura ya bastante elevada. Parece esto causa suficiente de 
las energías y actividades adquiridas, sin otros influjos ex- 
traños ni mayores perturbaciones, y es singular que los cuer- 
pos que de ellas gozan se distingan por la homogeneidad de 
la estructura, de ordinario granugienta, y con gran dificultad 
alterable. 

Resulta de aquí el que las dichas energías y actividades 
adquiridas marcan la individualidad de los particulares agre- 
gados que de ellas participan, aun cuando no se explique 
todavía, de modo cierto y seguro, el mecanismo de sus mis- 
mos efectos, que, si para una disolución determinada son 
constantes y hasta cierto límite permanentes, varían no poco 
con la naturaleza y modos de formación, que pueden asimiS" 
mo ser muy diferentes en, cada caso; nadie confundirá, por 
más que los efectos aparezcan semejantes, la luminescencia 
de las disoluciones sólidas de Lecoq de Boisbaudran con los 
sulfuros fosforescentes de bario, estroncio y calcio. Acaso 
habrá analogías en el hecho de producir luz; pero ni la acti- 
vidad adquirida es la misma, ni lo son los medios de mani- 
festarse, y en ambos casos parece como función del meca- 
nismo generador de las disoluciones y señala sus respecti- 
vas y propias individualidades. 

Hay que notar cómo dentro del sistema de la disolución 
sólida, en el grupo particular de que trato, persisten las de 
los disolventes, cualesquiera que sean su naturaleza y pro- 
porciones; por donde venimos á parar en que sus necesarios 
cambios deben ser de otro orden y quizá están ligados á las 



— 135 — 

capacidades de saturación, cuyo límite hállase próximo, con- 
forme son de exiguas, y es de notar cómo para el desarrollo 
de ciertas actividades hasta es indiferente la cantidad del di- 
solvente; pues hay muchas disoluciones sólidas en extremo 
diluidas tan activas como otras saturadas, y así sus energías 
más dependen de distintos factores, tales como la naturaleza 
de los componentes y, sobre todo, sus posibles relaciones de 
orden químico en determinadas circunstancias. Consérvase 
en todas la individualidad del disolvente y es manifiesta aun 
en los casos de sobresaturación á temperatura bastante su- 
perior á la ordinaria y cuando son posibles sus reacciones 
con el exceso de materia activa, que al ser en ellas transfor^ 
mada, pierde no poco de sus energías individuales para con- 
cretarse en un estado final de combinación química definida, 
cuya presencia es parte á extinguir ó aminorar la actividad 
del sistema, que se torna menos excitable; pero en semejan- 
te extremo la disolución sólida cambia, porque en realidad 
ha variado la naturaleza del disolvente, el medio para las 
transformaciones químicas ha experimentado modificaciones, 
que se han extendido á la propia materia disuelta, y los he- 
chos prueban de qué suerte al cambiar las individualidades 
de los disolventes y ser de alguna manera perturbadas, lo 
son también las disoluciones y se explica que persistan sin 
modificaciones aparentes en el sistema formado, que es al 
cabo el medio adecuado á los desarrollos de la actividad ad- 
quirida en el momento de ser generada la disolución sólida 
calificada de más perfecta. 

Se puede admitir, en el caso particular de los sulfuros fos- 
forescentes, ser requisito indispensable la persistencia de la 
individualidad del disolvente, para que se lleven á cabo las 
modificaciones, reversibles y no permanentes, de orden quí-i 
mico, productoras de la luminescencia. De ellas participa, 
tanto como la substancia activa, la materia del disolvente, y 
si no conserva las cualidades que la determinan, ó si altera- 
das no pudiera recobrarlas, producida la luminescencia y 



- 136 - 

pronto extinguida, no podría volver á ser excitado el cuerpo 
de la propia manera, y las perturbaciones del sistema serían 
constantes y no reversibles; por donde resulta, aunque sólo 
bajo el limitado aspecto de que aquí se trata, ligada la acti- 
vidad y energía adquiridas por las disoluciones sólidas á la 
individualidad del disolvente. 

Importa dejarlo establecido de modo general, porque así 
se explica que cada disolución sólida luminescente, en es- 
pecial aquellas excitables por directas acciones luminosas, 
tenga su carácter apropiado, dependiente, tanto de la natu- 
raleza é individualidad del disolvente, como del estado de 
saturación de la materia activa, el cual se alcanza á una 
temperatura fija y constante, para cada caso, y constituido 
el sistema, no debe variar cuando aquélla descienda; pues 
de lo contrario se mezcla á la disolución la parte de cuerpo 
disuelto separado en el enfriamiento y perturba enteramente 
sus actividades adquiridas, porque es frecuente que se ma- 
nifiesten entonces las acciones químicas de los dos elemen- 
tos, disolvente y cuerpo disuelto. Obsérvase el hecho, por 
ejemplo, cuando al formarse el sulfuro de estroncio, á la 
temperatura del rojo vivo, disuelve una cantidad excesiva 
de óxido d^ bismuto, que en las disoluciones saturadas es 
materia muy activa y existe en el dicho estado; entonces es 
alterado, formándose sulfuro de bismuto, dotado de colores 
obscuros ó verdosos, que á modo de pigmentos comunica á 
toda la masa, y en rigor la disolución sólida subsiste, sólo 
que se ha tornado inactiva é inerte, de cuyo estado es impo- 
sible sacarla, haciéndole recobrar sus propias aptitudes y 
las energías que la caracterizan estando saturada y en las 
condiciones que se han indicado repetidas veces, y esto de- 
muestra las influencias directas de las masas relativas de los 
componentes de las disoluciones sólidas en las aptitudes 
que manifiestan, siquiera sean distintas de las individuales 
de aquéllos, y seria menester, para apreciar tales influencias 
y llegar hasta medirlas, indagar los estados particulares del 



- 137 — 

disolvente y de la materia disuelta en el agregado homo- 
géneo resultante de su unión íntima, realizada conforme se 
dijo; pues su mecanismo puede ser causa de cambios y mo- 
dificaciones de propiedades. 

También es patente el influjo de la temperatura, puesto 
que la excesiva anula las actividades propias de las disolu- 
ciones luminescentes, conforme lo tengo demostrado, y si 
no es suficiente, no se constituye el sistema; resultará otro 
ó una simple mezcla, más incapaz de ser excitada por las 
directas influencias de la luz; lo cual significa que el mismo 
estado que el calor ha formado, el calor es capaz de des- 
truirlo ó de variar sus caracteres. Y estas son, á mi enten- 
der, las doctrinas que, sin perjuicio de rectificarlas, pueden 
establecerse respecto de la generación de los caracteres de 
las disoluciones sólidas en los dos grupos de ellas que he 
considerado; sólo falta aplicarlas á determinados casos y 
verlas confirmadas con experimentos. 



VIL — Estudio teórico elemental de la salida de los 
fluidos. 

Por José Estalella. 

Influye tanto, á despecho de todos, la tradición en las obras 
científicas y, por consiguiente, en la enseñanza de las ciencias, 
que no sería ardua tarea señalar la constante adopción en li- 
bros y explicaciones de un buen número de caminos perfec- 
tamente substituibles por otros más directos y viables; no 
abonando la elección de los primeros más que un excesivo 
respeto (no por inconfesado menos real) á los métodos tra- 
dicionales. 



— 138 — 

De uno de estos caminos, tan dignos de respeto como de 
abandono, vamos á ocuparnos. Nos referimos al general- 
mente usado para empezar el estudio de la dinámica de 
fluidos. 

En el teorema de Torricelli, que no resuelve más que un 
caso particular de la salida de los líquidos (aquel en que la 
salida es debida únicamente al propio peso) se fundamenta 
el estudio de los restantes casos, y son de ver los esfuerzos 
y rodeos que para ello es necesario hacer y las dudas que 
ocasiona al principiante; esfuerzos, rodeos y dudas análogos 
á los que ocasionaría, en el estudio de la dinámica de sóli- 
dos, el partir de un teorema semejante al de Torricelli, refe- 
rente á la velocidad con que cae un cuerpo libremente solta- 
do y se pretendieran referir á él casos como el de la veloci- 
dad con que sale una bala del cañón. Afortunadamente, en 
la mecánica de sólidos, la tradición no exige caminos tan en- 
revesados. 

¿No sería posible abandonar en la dinámica de fluidos el 
tradicional derrotero y dirigir los pasos siguiendo otro más 
directo, y, sobre todo en las obras elementales, más racio- 
na)? A ensayarlo vamos. 

* * 
En el cuerpo de bomba de la figura 1.^ un émbolo AB de 



1. 
I 



B 

Figura I.' 

sección s, impele al líquido con una fuerza F ^ s/ (siendo/ 
la fuerza por centímetro cuadrado) y el líquido impelido, sale 



— 139 — 

por el orificio de sección <7, practicado en la pared Ai AT pla- 
na y delgada; ¿cuál será la velocidad de salida del líquido? 
Si el émbolo, desalojando el líquido recorre un espacio e, 
el trabajo efectuado valdrá 

T = Fe = sfe. 

Mientras tanto, por el orificio de salida ha salido un vo- 
lumen líquido evidentemente igual á se, y por consiguiente, 
una masa sed: la energía cinética de esta masa debe ser 
igual al trabajo efectuado: 

T= — sedv'^: 
2 

igualando ambas expresiones de T: 



— sedv^ = sfe 
2 



2 



2/ 



.=v- 



d '' 



La velocidad de salida de un liquido por un orificio prac- 
ticado en pared plana y delgada, es iguala la raíz cuadra- 
da del cociente de dividir por la densidad del líquido el 
doble de la fuerza que por centímetro cuadrado le impele. 

He aquí ahora como se presta la sencilla fórmula encon- 
trada al estudio de algunos casos particulares. 



- 140 



1. La fuerza que hace salir al líquido es su propio peso 
(figura 2). Siendo a la altura del nivel sobre el centro del 
orificio, la fuerza por centímetro cuadrado valdrá 

f=adg, 



d 



- J.-- 



I I 
I I 



Figura 2.' 



y substituyendo este valor en la fórmula >^ ^ \ / " 

.,1- 



d 



Cl I 

I 

X 

I 



"J-L 



I I 
I I 
I I 

Figura 3.* 



que es lo que indica el teorema de Torricelli: este teorema, 
pues, se reduce á un corolario del anterior. 

II. El vaso representado en la figura 3 contiene dos líqui- 
dos superpuestos, de densidades d y d'; siendo d^ d', por 



141 — 



el orificio del fondo sólo saldrá el líquido de densidad d; 
¿cuál será la velocidad de salida? Sean aya las alturas que 
de los líquidos de densidades d y d' contiene el vaso; la 
fuerza por centímetro cuadrado valdrá {a d' -\-ad) g y subs- 
tituyendo este valor en la fórmula 



-Vf-V 



2g{ad' + ad) 
d 



M'4'i 



+ a 



111. Sea, por fin, el caso del sencillo é instructivo experi- 
mento de Benoist: el tubo de un embudo con llave (fig. 4), 




Figura 4.^ 



pasando al través del tapón que cierra una de las dos bocas 
de un frasco, penetra hasta al fondo del mismo y del tapón 
de la otra boca sale un tubo corto, estirado en punta. Estan- 
do el frasco lleno de agua y vertiendo mercurio por el em- 
budo, el agua sale por el tubito, formando un surtidor que 
se eleva á altura mucho mayor que aquella de que cae el 
mercurio. Tratando de explicar este experimento por el tec- 



— 142 — 

rema de Torricelli, hemos visto tropezar, ya no á estudian- 
tes, sino á gente de conocimientos superiores. Apliquémos- 
le nosotros el nuevo método, suponiendo, como siempre, 
practicado el orificio de salida en pared plana y delgada. Sea 
a' la altura del nivel del mercurio en el embudo sobre el 
nivel del mercurio en el frasco; y sea a la altura del orificio 
sobre el mismo nivel; llamando d la densidad del agua y 
di la del mercurio, tendremos, aplicando la repetida fór- 
mula: 



V = 



Vf=V^"-^"V*(-T-') 

V~2f 


á tres casos en que la salida del líquido era debida única- 
mente á la gravedad, es decir, tres casos á los que puede 
aplicarse directamente el teorema de Torricelli. A pesar de 
esto, dicha fórmula presenta indudablemente ventajas sobre 
el clásico teorema. Si de aquí pasáramos á aplicarla á casos 
en que no fuera debida la salida á la acción de la gravedad, 
ó al caso de la salida de los gases, acabaríanse de eviden- 
ciar las ventajas de aquella fórmula y, por consiguiente, las 
del método de estudio que acabamos de exponer de la salida 
de los fluidos. 



-'A 



índice 

DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE MJIVIERO 



Constitución de la Academia en 1.° de Julio de 1906 5 

I, II, III.— Introducción á la Física matemática, por José Eclie- 
garay: 

Conferencia séptima 11 

Conferencia octava 38 

Conferencia novena 55 

IV. — Examen de una supuesta incompatibilidad de los ca- 
lomelanos, por José R. Carracido 78 

V. — Une reclamation de priorité a propos du télékine et 

des experiences d'Antibes, par Leonardo Torres.. 86 
V'. — Las disoluciones sólidas, por José Rodríguez Man- 

relo 104 

Vil. — Estudio teórico elemental de la salida de los fluidos, 

por José Estalella 137 



La subscripción á esta Revista sb hace por tomos completos, 
de 600 á GOO páginas, al precio de O pesetas en España y 6 francos 
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val- 
verde, núm. 2G, Madrid. 

Precio de este cuaderno, 2,25 pesetas. 



MAV 37 1907 



REVISTA 



REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 



EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES 



MADRID 



TOlVtO -V.-lMtJJN^i:. ^ 
(Octubre de 1©06.) 



MADRID 



IMPRENTA DE LA "GACETA DE MADRID,, 

CALIiR DS PONTBJOS, KÓM. 8. 

1&06 



ADVERTENCIA 



Los originales para la Revista de la Academia 
se han de entregar completos, en la Secretarla de 
la Corporación, antes del día 20 de cada mes, 
pues de otro modo quedará su publicación para 
el mes siguiente. 



eftAY %1 1907 



— 143 — 



VIII.— Introducción á la Física matemática. 

Por José Echegaray. 

Conferencia décinna. 

Señores: 

Nos ocupamos en la conferencia anterior en recordar las 
nociones más elementales de la Mecánica, para renovar las 
ideas de mis oyentes sobre esta ciencia importantísima, á 
que la Física matemática tiene que acudir de continuo, á 
fin de realizar, lo que ha sido constante aspiración en casi 
todo el último siglo: reducir los problemas de Física á pro- 
blemas de Mecánica. 

Sin hipótesis de ningún género, acudiendo sólo al método 
experimental, establecimos las tres unidades fundamentales 
de dicha ciencia, la masa, la longitud y el tiempo. 
^ Masa, longitud y tiempo son, en rigor, los tres paráme- 
tros independientes de la Mecánica, y aun me atrevería á 
decir de la Física. 

Todos los demás parámetros, la fuerza inclusive, son de- 
pendientes de los tres primeros, y á ellos pueden reducirse; 
en cambio, parece que estos tres son irreducibles entre sí. 
Por muchas longitudes que se acumulen, nunca resulta una 
masa; por muchos tiempos que se sumen, tampoco resulta el 
parámetro longitud, aunque, á decir lo cierto, las velocida- 
des pueden substituir en sus efectos dinámicos á las masas, 
pues, como decía Hegel: «la bala mata, no por la masa, 
sino por la velocidad; > y dos fuerzas vivas pueden ser igua- 
les, si la pequenez de una de las masas está compensada 
por la magnitud del cuadrado de la velocidad en la otra. 

Rf.v. Acad. CuckciaS,—V.— Octubre, igo6. lo 



— 144 - 

Pero sea de ello lo que fuere, y prescindiendo de profun- 
didades ó de abismos metafísicos, nosotros fijamos para la 
Mecánica estos tres parámetros, cuyas unidades pudieran 
ser centímetro, gramo y segundo de tiempo. 

Después, en función de estas unidades, expresamos la 
fuerza como parámetro importantísimo de la Mecánica, pero 
dependiente de los tres fundamentales. Aunque sobre esto 
habría mucho que decir, y otra vez procuraremos decirlo. 

De este modo, pudimos escribir la ecuación del movi- 
miento de una masa m sobre una recta bajo la acción de 
una fuerza X. 



Y esta ecuación 



d^-x 

m = X 

dP 



en forma diferencial, nos enlazaba x, ó sea el espacio reco- 
rrido con la variable independiente / y con los datos del pro- 
blema m y X. 

Demostrando una proposición, que en forma abreviada 
decía de este modo: «la proyección del movimiento es el 
movimiento de la proyección», determinábamos las tres 
ecuaciones del movimiento de un punto material en el espa- 
cio, que eran análogas á la anterior, aunque refiriéndose 
cada una de ellas á distinto eje coordenado. 

Y repitiendo, por último, esto mismo para todos los pun- 
tos del sistema, tendremos, si el sistema comprende n pun- 
tos, que supondremos libres, un número de 3n ecuaciones 
para determinar en función del tiempo y de los datos las 3 n 
coordenadas x, y, z 

Pasábamos después del problema de Dinámica al problema 
de Estática, suponiendo todos los puntos inmóviles y, por lo 
tanto, todas sus coordenadas constantes, con lo cual desapa- 
recían los coeficientes diferenciales y no quedaban más que 
las componentes de las fuerzas igualadas á cero. 



- 145 - 

Como no explicamos un curso de Mecánica, ni hacemos 
más que recordar nociones, que mis oyentes conocen, aquí 
deberíamos detenernos; pero nos queda un caso más impor- 
tante, tanto para el problema estático, como para el proble- 
ma dinámico; á saber, el caso en que existan enlaces entre 
los diferentes puntos del sistema, y sobre esto al terminar la 
conferencia, hacíamos ya algunas indicaciones, que todavía 
repetiremos. 

Vamos á tratar, pues , de este caso difícil y especialísimo: 
■otros dirían que es el caso general, mas, por ahora, no lo 
discutimos. 

Los enlaces pueden ser de muchas clases, y no" tengo la 
pretensión de enumerarlos todos, me bastará citar ejemplos. 

Puede exigirse que algunos puntos del sistema queden 
-constantemente sobre superficies determinadas ó sobre cur- 
vas; ó que ciertas distancias sean invariables, ó que otras de- 
pendan del tiempo, como barras que se dilatan ó se contraen. 

Habrá, por último, enlaces que se llaman bilaterales, y 
otros que se llaman unilaterales; pero en todos estos porme- 
nores no podemos entrar. 

* 
* * 

Hubo un momento en la Historia de la Ciencia en que se 
creyó por espíritus entusiastas, que todos los problemas del 
equilibrio y del movimiento estaban comprendidos en el 
principio de las velocidades virtuales. 

Todos, no lo están ciertamente; pero esto no impide que 
estén muchísimos comprendidos en él, ó de una manera ri- 
gurosa ó con suficiente aproximación, lo cual da un alto 
valor científico al principio expresado. 

Es un principio de extraordinaria generalidad, pero que 
tiene sus deficiencias, mejor dijéramos, sus limitaciones. 

No puede aplicarse á los sistemas en que hay rozamiento 
-ó adherencia ó viscosidad, lo cual modifica el campo de su 



— 146 — 

aplicación, ya que no la haga inútil para la práctica, como- 
algunos suponen, sin fundamento sólido; porque después de 
todo el principio de las velocidades virtuales es importantí- 
simo en la Mecánica aplicada. 

Supone también que los enlaces están expresados por 
ecuaciones y no por desigualdades, que en este último caso 
hay que modificar el principio y pierde muchas de sus ven- 
tajas. 

Y en fin, para terminar de una vez, hay casos á que no 
puede aplicarse directamente este principio de las velocida- 
des virtuales, por ejemplo, cuando hay movimientos de ro- 
dadura como en las bicicletas. So- 
bre este punto pueden consultarse 
las memorias de Mr. Carvallo, 
Mr. Hadamard y otros. 

Lo cierto es que al aplicar eF 
principio de las velocidades vir- 
tuales, lo primero es ver si puede 
Figura 36. aplicarse. 

Por último, las demostraciones 
de este gran principio, ó se limitan á una serie de casos par- 
ticulares, ó si pretenden ser generales, quedan sujetas á ob- 
jeciones de bastante fuerza. 

Antes de explicar este principio, mejor dijéramos, de recor- 
darlo, conviene reproducir algunas definiciones de Mecánica. 
Supongamos (fig. 36) que un punto material A, recorre 
una curva MN y que sobre ese punto actúa una fuerza F, 
que podrá ser la misma que determine el movimiento, ó po- 
drá ser una componente de ésta; dicha circunstancia no nos 
interesa por el pronto: es una fuerza que acompaiía al punto. 
El hecho en que nos fijamos es este: el punto A recorre el 
camino infinitamente pequeño AB y en ese camino le acom- 
paña la fuerza F, y podemos suponer que no cambia ni de 
intensidad ni de dirección. 

Pues bien, se llama trabajo elemental de la fuerza F, al' 




— 147 — 

producto de dicha fuerza por la proyección sobre ella del ca- 
mino recorrido». Si proyectamos, pues, B sobre F en fy ha- 
cemos Af=f, tendremos, 

Trabajo elemental úe F= F . f. 

Llamando dTá este trabajo, ds á AB y y. al ángulo BAf, 

resultará, 

bT = F . ds . cosa, 

Claro es que como también podemos escribir 
dT == ds . Fcoscí, 

podremos definir este trabajo elemental diciendo, «que es el 
producto del camino recorrido por la proyección de la fuerza 
sobre él». 

Por lo demás, dT será positivo ó negativo, según sea el 
ángulo a agudo ú obtuso dadas las direcciones áe AB y dF; 
ó dicho de otro modo, trabajo motor ó trabajo resistente. 

Si para cada punto de la curva MTV determinamos este 
trabajo elemental é integramos entre M y N, tendremos: 

F.f= I Fcosa. ds. 

M J M 

Este concepto del trabajo de una fuerza ó de varias fuer- 
zas es fundamental; mas, por el momento, no tenemos que 
hacer otra cosa que recordar un teorema, que es el si- 
guiente : 

El trabajo de una resultante F, es la suma de los trabajos 
de sus tres componentes rectangulares, X, Y, Z. 

En efecto: si llamamos (fig. 37) / al camino infinitamente 
pequeño descrito por A, y Ix, ly, Iz las tfes proyecciones 
5obre los tres ejes de este camino, se sabe por un teorema 



148 — 



de Geometría analítica que el eos. del ángulo a que forman: 
las rectas I y F es igual á la suma de los productos de los 
cosenos de los ángulos que forman con los ejes. Por lo- 
tanto, 



eos a = 



de donde 



F 



-T 



+ 1 



F. I . cosa = Xl^ + YL + Z/, 




Pero el primer miembra 
es evidentemente el traba- 
jo elemental de F, y cada 
término del segundo 
miembro es el trabajo de 
cada componente. Por 
ejemplo, Xlx es el produc- 
to de la fuerza X, proyec- 
- ?o ción de F sobre el eje de 
las X por el camino Ix, que 
recorre sobre este eje la 
proyección del punto A, 
Con lo cual el teorema 
queda demostrado. 
Recordemos de pasa 
que al tratar en otra conferencia de lo aventurado que era eí 
substituir en los cálculos á una línea un contorno, que tien- 
da á confundirse con dicha línea, decíamos que tratándose 
de áreas finitas podía aceptarse dicha substitución, pera 
no siempre tratándose de longitudes; y citábamos con este 
motivo los flujos de fuerza y los momentos electromagné- 
ticos. Respecto á estos últimos, la substitución no es evi- 
dente; pero puede demostrarse, y debe demostrarse, preci- 
samente por consideraciones análogas á las de los trabajos 
de las fuerzas. Al decir que el trabajo de la resultante es 



Figura 37. 



— 149 



igual á la suma de los trabajos de las componentes, hace- 
mos dicha substitución para los caminos y para las fuerzas^ 
pero es demostrando la exactitud del teorema. 



Sólo nos queda un nuevo concepto que explicar, que en 
rigor se refiere al anterior y es el del trabajo virtual. 

Sea A (fig. 38) un punto de un sistema, 
y supongamos que sobre ese punto actúa 
una fuerza F. ,''"\o< 



Admitamos que al punto A se le obliga A f F 

á recorrer una longitud infinitamente pe- Figura ss. 
quena, AB = I, en cualquier sentido. 

No es ya como en la figura 36 un elemento de la trayec- 
toria que recorre el punto, por eso ponemos una figura apar- 
te: es un camino completamente arbitrario en longitud y en 
dirección, es una especie de línea auxiliar para un razona- 
miento que tenemos que hacer. 

Por todas estas razones se le llama desplazamiento vir- 
tual (y perdónesenos la palabra desplazamiento, pero no 
hay otra). Antes se le llamaba velocidad virtual; mas era in- 
troducir el tiempo de una manera innecesaria, y aun es pre- 
ferible para mayor sencillez que el camino sea infinitamente 
pequeño. 

Respecto á este camino, la fuerza F, al acompañar al 
móvil en su marcha, desarrollará un trabajo elemental 
Ff= F I cosa, al cual por la naturaleza del camino / le da- 
remos el nombre de trabajo virtual. 



* 
* * 



Con estos antecedentes podemos ya enunciar el principia 
de las velocidades virtuales respecto al equilibrio de cual- 
quier sistema. 



- 150 - 



z 










/' 








}2 


r 






B 


'Tf ÁV"" 


':..g. 




A 


A 


h 










; 


1 


/ 





El enunciado del teorema es el siguiente: 
Supongamos (fig. 39) un sistema de puntos, ya libres, ya 

sujetos á enlaces, ex- 
presados éstos por 
igualdades y sin roza- 
mientos, ni rodaduras; 
si aplicamos á estos di- 
ferentes puntos despla- 
zamientos infinitamente 
pequeños arbitrarios, 
pero compatibles con 
dichos enlaces, podre- 
mos establecer estas 
dos proposiciones: 

1 ." Cuando el siste- 
ma está en equilibrio, 
la suma de todos los trabajos virtuales será igual á cero, 
sean cuales fueren dichos desplazamientos. 

2.' Recíprocamente, cuando para todos los desplaza- 
mientos la suma de los trabajos virtuales es nula, el siste- 
ma está en equilibrio. 
De suerte, que si el sistema está en equilibrio 

SF/=0, 

extendiéndose la suma á todos los puntos y para todos los 
valores de /..... 
Y, recíprocamente, si 



Fisura 39. 



en iguales condiciones, el sistema está en equilibrio. 

Pero antes de pasar á la demostración, debemos hacer 
algunas aclaraciones: 

1.'' En virtud del teorema que hemos demostrado res- 



-^ 151 - 

pecto al trabajo de las fuerzas, claro es, que la ecuación de 
los trabajos virtuales que, como hemos dicho, comúnmente 
se llama de las velocidades virtuales, puede escribirse bajo 
otra forma, poniendo en vez de las fuerzas F y de los des- 
plazamientos /, las componentes de aquéllas y de éstos. 

De suerte, que puede escribirse en vez de ^Ff - O, esta 
otra ecuación : 

V (Xtx + Yoy + Zrjz) = 0. 

Las componentes de / se designan por la letra griega 8 
(delta), en vez de la d latina, para no confundir dichos ca- 
minos, infinitamente pequeños; virtuales, no reales; posi- 
bles, no efectivos; con las diferenciales ordinarias, que son 
reales y efectivas en el movimiento del sistema. 

2.° Como se trata de una suma de términos infinitamen- 
te pequeños, al decir que la suma es cero, se quiere signifi- 
car que es un infinitamente pequeño de orden superior res- 
pecto á los desplazamientos mismos, de modo que, para 
dar rigor al teorema, algunas veces será preciso dividir 
toda la ecuación por un desplazamiento, que tomaremos por 
unidad de infinitamente pequeños. 

Aclaremos esto con un ejemplo. 

Sea (fig. 40) el caso de una recta rígida AB que constitu- 



A' 



Figura 40, 



ya el enlace entre los dos puntos materiales A,B. Aplicando 
á los extremos de esta recta dos fuerzas iguales y contrarias 
F, el sistema estará en equilibrio, y sin embargo, parece que 



— 152 — 

en este caso, no se realiza el principio de las velocidades 
virtuales; porque, hagamos girar á la barra alrededor del 
punto B un ángulo infinitamente pequeño, es como si al 
punto A le hubiéramos comunicado el desplazamiento A A'. 
El trabajo virtual en el punto B es cero porque queda in- 
móvil. El trabajo virtual para el punto A será 

— F.Aa, 

que no es igual á cero. 
Pero dividiendo por A A' podremos escribir rigurosamente 

- ^^ O, 



AA' 



porque el numerador es infinitamente respecto al denomi- 
nador y la relación tiende hacia cero cuando tiende hacia 
cero A A'. 

Podríamos presentar muchos ejemplos análogos, y aun 
este mismo de la barra rígida para otros desplazamientos 
virtuales. 

3." Hemos dicho que los enlaces deben estar expresados 
por igualdades, y aún más, que deben ser bilaterales. 

Aclaremos estos puntos. 

Supongamos que el enlace entre dos puntos A,B (fig. 41) 



Figura 41. 

sea un hilo flexible, pero inextensible, y por de contado sin 
masa, como se supone para los enlaces en casi todos estos 
casos. 

Dos fuerzas iguales y contrarias F estarán en equilibrio 



— 153 — 

actuando sobre el hilo en direcciones opuestas, y sin embar- 
go, el principio de las velocidades virtuales, no se verifica 
para todos los desplazamientos. 

En efecto, supongamos que A viene á A',B á B'; de modo 
que A a sea mucho mayor que Bb: el hilo tomará la forma 
arbitraria A' CB'. 

La suma de los trabajos virtuales ha de ser en este caso 

— F . Aa -^ F . Bb = - F{Aa — Bb), 

que no puede ser igual á cero, puesto que Aa qs mayor 
que Bb. 

Y aun podríamos exagerar el caso, haciendo que los pun- 
tos ab cayeran entre A y B. 

Y es que en el ejemplo que acabamos de presentar, los 
enlaces están expresados, no por una igualdad, sino por una 
desigualdad; llamando L á la longitud del hilo, por la des- 
igualdad 

Distancia entre A y B ^ L. 

Una cosa análoga pudiéramos decir respecto á otros enla- 
ces unilaterales. 

Por ejemplo, cuando un punto ha de quedar sobre una su- 
perficie. Si esta condición es absoluta, si sea cual fuere la 
dirección y el sentido de la fuerza, que actúa sobre el punto, 
de ambos lados, por decirlo así, hacia adentro y hacia afue- 
ra, resiste la superficie, el enlace será bilateral, estará ex- 
presado por una ecuación 

f{x,y,z) = O, 

la de la superficie, y el principio de las velocidades virtuales 
será aplicable. 

Pero, si la superficie no resiste de los dos lados, la rela- 
ción es unilateral, y no es aplicable el principio de las velo- 



— 154 — 

cidades virtuales, tal como lo hemos formulado sin las acla- 
raciones y modificaciones consiguientes. 

Así, un cuerpo sobre una mesa, permanece sobre ella, si 
contra ella se le oprime ó le oprime la gravedad; pero se se- 
para, si se le levanta de la misma. Este enlace es unilateral. 

4.° Habrá que distinguir aún el caso en que el número 
de puntos es infinito, precisamente para tener en cuenta la 
primera observación que hacíamos respecto á la división por 
un infinitamente pequeño, escogido por unidad; pero es im- 
posible que nos detengamos en estos pormenores. 

El principio de las velocidades virtuales, es de una gran 
generalidad, es, si se nos permite la frase, de una elegancia 
suprema: sencillo, comprensivo y fecundo; pero es preciso 
en cada ejemplo aplicarlo con discernimiento para no caer en 
alguno de los casos de excepción que hemos señalado ó en 
otros no previstos. 

* * 

Pasemos ya á la demostración. 

Y distinguiremos dos casos: 

1.° Cuando se trate de puntos completamente libres, su- 
jetos tan sólo á fuerzas exteriores, ó á fuerzas interiores, es 
decir, á acciones mutuas entre los diferentes puntos. 

En este caso el principio es evidente. 

No deja de ser cierto, decimos, aun adquiere mayor ex- 
tensión, porque se aplica á desplazamientos finitos, pero es 
completamente inútil. 

En efecto, la ecuación de las velocidades virtuales, 

^{Xox+ Ycy + Zoz) = 

desarrollándola para los diferentes puntos, será 

Xhx + Yty + ZZz 4- X,Zx^ + Y^oy, -^ Z^Zz^ -}- - 0. 



- 155 — 

Pero si el sistema está en equilibrio, como las condiciones 
de equilibrio son 

X=0, Y=0, Z=0, Xi = 0, Fi-0, Zi=0 



todos los términos de la ecuación precedente se reducen á 
cero, sean cuales fueren los valores de los desplazamientos, 
y aun cuando fueran finitos. 

Recíprocamente, si la ecuación queda satisfecha para to- 
dos los valores de ox^, ^y^, oz^, Sxg , haciendo todos me- 
nos uno, por ejemplo, ox, iguales á cero, la ecuación se re- 
ducirá á 

Xhx = O, 

que siendo el desplazamiento virtual Sx arbitrario, no puede 
verificarse á menos que no se tenga 

X=0. 

Y lo mismo podríamos demostrar para todas las otras com- 
ponentes; luego el sistema está en equilibrio. 

Vemos, pues, que el principio de las velocidades virtua- 
les en este caso, es evidente. 

2.° Supongamos que existen enlaces entre los puntos del 
sistema, y para fijar las ideas y simplificar los cálculos, su- 
pondremos (fig. 42) que los enlaces están expresados por 
dos ecuaciones entre las coordenadas de los puntos, y que 
éstos son en número de cuatro. 

Representemos las coordenadas por x^, y^, z-^ para el pri- 
mer punto A^; 

por X2, y -2, Z2 para el segundo punto A.2; 
por X3, ^3, Zg para el tercer punto .4.;; 
y en fin, por x^, yi, z^ para el punto A^. 



— 156 — 

Las ecuaciones de enlace serán, pues, 

L^(Xi,yuZuX„y,,z2 ) - O, 

^Axi>yi,Zi_,x,,y^,z, ) = 0; 




Figura 42. 



Ó abreviadamente, 



L, = O, U == 0. 



En los puntos actuarán, ya fuerzas externas F,, ya 

fuerzas internas, y representaremos las componentes de di- 
■chas fuerzas para cada punto por 



— 157 - 

Xi, Yi.Zy para el punto A^, 

X.y, K, Zg para el punto Ac,, 

X3, F3, Z3 para el punto A^, 

X^, Y^,Z^ para el punto A^. 

Tenemos que demostrar que para los desplazamientos vir- 
tuales, la suma de los trabajos es nula, es decir, según an- 
tes explicábamos, 

extendiéndose la suma á los cuatro grupos del sistema, de 
suerte que habrá cuatro trinomios como el que acabamos de 
escribir con los subíndices 1 , 2, 3, 4, y estarán sumados to- 
dos ellos. 

De las diferentes demostraciones que se han dado del 
principio de las velocidades virtuales, escogeremos como 
ejemplo una, debida al insigne Poinsot, que, á decir verdad, 
tiene muchos años de fecha, pero que, aunque está sujeta á 
algunas objeciones, es sumamente ingeniosa y de extraordi- 
naria elegancia: seguiremos en ella la marcha de Mr. Lau- 
rent. 

* 

* * 

Supongamos que se tiene un punto A y que se refiere 
por medio de sus distancias á un número cualquiera de pun- 
tos que, para fijar las ideas, será igual á 4. 

Sean éstos P, Q, R, S. 

Las distancias del punto A, que es por hipótesis varia- 
ble, á los cuatro puntos fijos las designaremos por /?, q, r, s. 

Admitamos, por último, que una ecuación cualquiera,/, 
enlaza las cuatro distancias. 

Es evidente que dicha ecuación 

f{p, q, r, s) = O, 



- 158 - 

representa una superficie cuando el punto A varía; ó, de 
otro modo, dicho punto describe una superficie cuando va- 
rían las distancias p, q, r, s satisfaciendo á la ecuación /=^ 0. 

Esto se ve claramente, expresando las cuatro distancias 
por las coordenadas de los cinco puntos. 

Designando, en efecto, por x, y, z las coordenadas de A; 
por flt, /?i, Ci, las de p ; y así sucesivamente, claro es que la 
ecuación podrá expresarse de este modo 

f{p, q, r, s) =/ [V(^ - ci.r- + {y -~MM^ (^ - ^iH 

Vo^a.2)'^ + (3^ - ¿^2)^ + (^ - c^'> ] = 0; 

y como no quedan más que tres variables x, y, z, y la ecua- 
ción es única, no cabe duda que representará una superficie 

F{x,y,z) = 0. 

Y ahora deberemos establecer el siguiente lema: 
Si de la función /= O se toman las cuatro derivadas par- 
ciales con respecto áp, q, r, s, á saber: 

df df df df 



dp dq dr ds 

y se llevan sobre las prolongaciones de las rectas AP, AQ, 
AR, AS, si son positivas dichas derivadas, ó en sentido 
contrario, si son negativas, y si considerando á dichas lon- 
gitudes como fuerzas, se halla la resultante de todas ellas, 
ésta resultante será normal á la superficie F que describe el 
punto. 

Es evidente que en vez de tomar dichas derivadas, hubié- 
ramos podido tomar cantidades proporcionales, porque la 
dirección de la normal siempre hubiera sido la misma. 

Si consideramos á / como lo que es, como una función 



— 159 — 



de X, y, z, se sabe por Geometría analítica, que la normal á 
la superficie, que dicha ecuación representa, forma con los 
ejes coordenados x, y, z, ángulos cuyos cosenos son: 



dx 



\{ 



£)"+(íf)'+(f)' 

df 



dy 



V( 



^)*m-m- 



dz 



smA^vm 



de suerte que, tomando sobre la normal una longitud cual- 
quiera, sus componentes serán proporcionales á 

df df df 



dx dy dz 



y Si ,a longitud fuese " = V(^)'^ + W) + í^)"' 
entonces dichas tres componentes serían las mismas de- 
rivadas. 

Pero/= O es función de p, q, r, s, y éstas, como antes 
vimos, son funciones de x, y, z, de suerte que, por la dife- 
renciación de funciones compuestas, podremos determinar 
las derivadas con relación á x, y, z, en función de las deri- 
vadas con relación á p, q, r, s, de este modo: 

Rev. Acad. Ciencias. — V. — Octubre, 1900. 11 



- 160 — 

df df dp . df dq . df dr . df ds 



dx dp dx dq dx dr dx 
df _ df dp ^ df dq ^ df dr ^ 



dy dp dy dq dy dr dy 
df _ df dp ^ df dq ^ df dr ^ 



ds 


dx 


df 


ds 


ds 


dy 


df 


ds 



dz dp dz dq dz dr dz ds dz 

Pero los segundos factores tienen una significación geo- 
métrica muy sencilla. 

Fijémonos en la primera ecuación: lo que de ella digamos, 
repetiríamos para las otras dos. 

— ^, poniendo por p su valor 
dx 

\J{x~-a,y + {y-b,y + {z-c,y, 

se convierte en 

dp_ _ d \l{x - a, y + {y- b,y + (z - c,y _ 
dx d X 

X — Qi X — üi 



\/{x - a,y + {y^ b,y + (z -- c,y 



Pero no es otra cosa que el eos. del ángulo que 

P 
forma p con el eje de las x. 
Del mismo modo veríamos que 

dq X — a.2 dr x - a., ds .x — a, 



dx q ' dx r ' dx s ' 

representan los cosenos de los ángulos que las rectas q, r, s 
forman con el eje de las x. 



- 161 - 

En suma, la primera de las tres ecuaciones anteriores po- 
drá escribirse de este modo: 

•^ — •' cos(/7iX)H — cos{q^x) ^ 



dx dp dq 

+ —/- eos {r\x) + —f- cos(six). 
dr d s 



El primer miembro es la componente sobre el eje de las x 
de la normal, ó mejor dicho, de la longitud n que hemos 
llevado sobre la normal á la superficie / = O ó F = 0. 

El segundo miembro es la suma de las componentes sobre 
el eje de las x, precisamente de las derivadas 

df df df df 



dp' dq' dr ' ds ' 

y la ecuación nos dice que esta suma de componentes es 
igual á la componente de la normal. 

Y como interpretaciones análogas pueden hacerse de las 
otras dos ecuaciones, resulta probado el Lema, es decir, que 
componiendo dichas derivadas como fuerzas, ó con más 
exactitud las rectas que las representan, la resultante tiene 
las mismas componentes que la normal n, y, por lo tanto, 
coincide con ella. 

El Lema anterior se aplica á cualquier número de puntos; 
en nuestra demostración lo aplicaremos, primero para tres 
puntos, y luego para cuatro. 

Y pasemos ya á la demostración del principio de las velo- 
cidades virtuales. 

* 
* * 

Los cuatro puntos, que suponemos que constituyen el sis- 
tema, Al, A2, A^, Ai estarán referidos, como dijimos, á tres 



- 162 — 

planos coordenados rectangulares; mas para el curso de la 
demostración, conviene referirlos transitoriamente á tres 
puntos fijos P, Q,R. 

Cada punto, como indicábamos antes, estará definido por 
sus tres distancias á dichos tres puntos fijos, y las ecuacio- 
nes de enlace supondremos que están expresadas en función 
de dichas distancias p, q, r; p^, Qi, r^ 

Si estuvieran expresadas en función de x, y, z, por un 
cambio de coordenadas, se expresarían en función dep, q, r. 

Y es más, este cambio de coordenadas puede ser muy 
sencillo, al menos de un modo aproximado, si se eligen los 
tres puntos P, Q, R sobre los ejes de x, y,z, y á una gran 
distancia del origen. 

Supongamos que se fijan todos los puntos del sistema me- 
nos el punto Al y veamos á qué se reducen las condiciones 
de equilibrio de este punto. 

Fijémonos en la ecuación de enlace L^ = 0. 

En esta ecuación no quedarán más que tres variables, que 
serán las tres distancias del punto ^^ á los puntos fijos de 
referencia P, Q, R; todas las demás distancias serán cons- 
tantes de la ecuación, y no tendremos necesidad de expre- 
sarlas: escribiremos, pues, de esta manera, la ecuación de 
enlace: 

^1 (A Q, r) = 0. 

Decir que el punto A^ ha de satisfacer á esta ecuación; 6 
de otro modo, que p, q, r, han de satisfacer á esta ecuación, 
equivale á exigir que el punto Ay quede sobre la superficie 
¿1=0. 

En suma, podemos prescindir de este enlace y substitui''lo 
por la superficie en cuestión. Pero la acción de una superfi- 
cie sobre un punto, cuando no hay rozamiento, equivale á 
una fuerza normal. 

Ahora bien, en virtud del Lema, las tres derivadas par- 
ciales 



- 163 - 
d L^ d ¿i d L^ 



d'p^ dq ' dr ' 

ó cantidades proporcionales á ellas, dan una resultante nor- 
mal á la superficie Ly = 0. 

No sabemos cuál es la intensidad de la fuerza, sólo sabe- 
mos que ha de ser normal á la superficie, y así, llamando 'k^ 
á una cantidad convenientemente escogida, podremos decir 
que la fuerza normal, que representa la acción de la super- 
ficie Li = O, ó sea el efecto de este enlace sobre el pun- 
to Ay, tiene por componentes 



dL, 
dp 


di, 
dq 


dL, 

' ' dr 



En suma, si sobre las rectas A^P, A^^Q, AyR,6en su pro- 
longación, según el signo y según explicamos, se toman tres 
magnitudes 



dp dq dr 

y las consideramos como tres fuerzas, podremos prescindir 
de la ecuación de enlace ¿i = 0, ó de la superficie que re- 
presenta; pero el punto A^^, además de estar solicitado por 
las fuerzas externas ó internas que sobre él actúan, estará 
solicitado por las tres anteriores, que equivalen al enlace 
suprimido. 

Hemos dicho que el punto A^ estaba unido por tres rectas 
invariables de forma A^P, A^Q, A^R, á los tres puntos 

P, Q, R- 

Pues bien, en el punto P de la recta A^P y sobre dicha 
recta, aplicaremos una fuerza Pa^ igual y contraria A^b^^, de 
suerte que numéricamente 



Pa^ = i4i¿7i 



— 164 - 



' dp^ 



y en este caso podemos suponer la varilla ideal A^P libre, 
porque la fijeza de su extremo P está suplida por la acción 
de esta, última fuerza. 

Continuando con la aplicación de la ecuación de enlace ¿^ 
á los demás puntos del sistema, podremos repetir para el 
punto A2 todo lo que hemos dicho para el punto A^ . 

Es decir, suprimir dicha condición L^ = O para el pun- 
to i4 2; aplicando á este punto tres fuerzas en la dirección de 
A^P, A^Qy A2R, que tendrán los valores 



d L. d L. d L. 



dPx dq, dr^ 

de las cuales fuerzas sólo hemos representado una en lá 
figura, á saber: A^c-^, que es la que pasa por el punto P. 

Fijemos bien las ideas. 

Para este punto A^, en la ecuación de enlace 

Li (P, Q, r; Pu Qu r,; p^, q„ r,; p,, q.,, r.,) = O, 

sólo consideraremos como variables Pi, q^, Ti y todas las 
demás como constantes, de modo que abreviadamente po- 
dremos expresar la ecuación de enlace por 

Li{PuQur,) = 0, 

y repitiendo lo que antes explicábamos, resultarán las tres 

, dL, 
fuerzas jj-i 

dPi 
Lo mismo que antes, aplicaremos en P una fuerza cuyo 
valor numérico será 



— 165 — 



igual y contraria á ^2^1- 

Repitiendo esto mismo para los otros puntos Ao y yl^, 
tendremos en A^ en la dirección de las tres rectas A^P, 
i4 3 Q, i4 3/? tres fuerzas 



dLy dL dLi 

'1 -, ^1 -, ^1 

d Pz d q2 d Ty 



y en el punto P una fuerza cuyo valor numérico será 

dL^ 



Pa.¿ = Asd, = V, 



dp. 



Por último, para el punto A^ supondremos en la dirección 
de las tres rectas ó varillas ideales A^P, A^Q, A^R, tres 
fuerzas 

d L^ _ d Li d ¿1 

dp., dq., dr. 

y sobre la recta A^P y en P una fuerza cuyo valor numérico 
será 

Püi ^ AiC^ = i-. 

dPs 

De este modo podemos prescindir para los cuatro puntos 
de la condición de enlace 

Lx{p,q,r, Pu Qi,ri, ^2,^2,^2, P-^yQi^h) = Q, 

aplicando en cada punto las fuerzas, que hemos determinado 
como equivalentes á la acción de las superficies, y que subs- 



- 166 - 

tituirían á la ecuación de enlaces para cada uno de estos 
cuatro puntos. 

Mas aun, por lo que á la ecuación de enlace ¿i = se 
refiere, podemos suponer completamente libres las cuatro 
rectas ó varillas ideales A^P, A^P, A.¿P, A^P, porque estas 
varillas están solicitadas según su longitud por fuerzas igua- 
les y contrarias, y quedarán inmóviles. Así, respecto á 
¿1 = O, la fijeza del punto P es inútil; la fijeza está suplida 
por las cuatro fuerzas que hemos aplicado en P. 

Y este es uno de los artificios más ingeniosos de la de- 
mostración; pero también dio lugar en su tiempo á algunas 
críticas. De todas maneras es necesario; sin él, la demostra- 
ción cae por su base. 

Tiene por objeto dicho artificio demostrar que para el en- 
lace Li, las cuatro cantidades \, ^i, v^, w^ son iguales: son 
hasta ahora indeterminadas, porque no sabemos las super- 
ficies ¿1 = qué fuerza desarrollarán : sabemos que será 
normal á cada una de dichas superficies y para cada punto 
A, pero no conocemos su intensidad. 

Precisamente aquí- está la aplicación del Lema que demos- 
tramos antes. 

El punto P está enlazado con los puntos ^4^ Ao A.¿ Ai por 
cuatro rectas pi,P2, Pn, Pi', luego, según en el Lema se esta- 
blecía, haciendo variar estas rectas de modo que satisfagan 
á la ecuación 

L,{P Pi P2 P3) = O 

describirá una superficie, cuya normal, en el punto P, será 
la resultante de las cuatro fuerzas 

d L^ d L^ d Li d Li 



dp ' dp^ ' dp, ' dp.^ ' 
ó de cantidades á ellas proporcionales. 



- 167 - 



El punto hemos demostrado que queda invariable, como 
si estuviera fijo, aplicando en la dirección de las cuatro va- 
rillas, las cuatro fuerzas 



6 sean 



Pay,Pa^,Pa-„ Pa^, 



^ dL. d L. dL\ dLi 

)l, -, \>-i -, V i-, 7t 



dp dp^ dp2 dps 

luego estas cuatro fuerzas dan por resultante la normal. Es 
decir, que deben ser proporcionales á las cuatro anteriores, 
cuya resultante sigue también la dirección de dicha normal; 
pero esta proporcionalidad 

, dL^ dL, dLi dL^ 

\ J- Y-\ — "^1 '^1 ~3 — ~ 

dp dpx dpo dp^ 



d L^ d L^ d L^ d L^ 



dp dp^ d P2 dp^ 

da, desde luego, 

de suerte que para el enlace L^ = O todos estos coeficientes 
son iguales: los representaremos, pues, por X^. 

Todo lo que hemos dicho respecto al enlace ¿1, debemos 
repetirlo respecto al enlace ¿2/ con lo cual, en cada pun- 
to Ai,A2,A^,A4^, tendremos tres nuevas fuerzas en direc- 
ción de las rectas que unen dichos puntos á los tres puntos 
fijos P, Q, R. 

No hemos representado estas fuerzas en la figura, más 
que para el punto A^, desdoblándolas, para mayor claridad, 
de las anteriores, y representándolas por A^ bp A]_ b\, A^ b'\. 
Claro es, en efecto, que éstas debían estar superpuestas á las 
anteriores, y si están algo separadas, es, cOmo hemos dicho, 



- 168 - 

para evitar confusiones, y para recordar que en A^ hay un 
doble sistema de tres fuerzas, y que si hubiera más ecuacio- 
nes de enlace, á cada una de ellas corresponderían tres fuer- 
zas más. 

Por lo demás, para las nuevas fuerzas correspondientes al 
nuevo enlace, tendremos en todas ellas el mismo coefi- 
ciente >2> 6" general, distinto del anterior, 

Y el resto de la demostración es bien sencillo. 

Podemos ya considerar que los cuatro puntos A^, A2, A.¿, 
A^, están completamente libres, sin enlace de ninguna clase, 
pero sujetos á la acción de diferentes fuerzas, que conviene 
enumerar. 

En el punto A^ actuarán dos clases de fuerza. 

I.** Las fuerzas F^, cuyas tres componentes serán X^, 
Y^, Z^; éstas son las que llaman los autores fuerzas directa- 
mente aplicadas, y comprenden dos grupos: Primero, las 
fuerzas exteriores; y segundo, las fuerzas interiores ó ac- 
ciones entre los puntos del sistema. 

2.° Las fuerzas de los enlaces, que en la figura se ve que 
son seis; tres procedentes del enlace L^ = O, cuyos valores 
hemos visto, que son: 

. d L^ , d L^ ^ d Li 

^1 — ; — y ^1 — ; — > '^i 



dp dq dr 

y otras tres, procedentes de la ecuación de enlace, ¿2 
á saber: 

dL2.dL2.dL2 



^2 — : — } ^^2 — r^^> ^^2 



dp dq " dr 

Lo que hemos dicho para el punto Ai, debe repetirse para 
los demás puntos A2, A^, A^; en cada uno de ellos tendre- 
mos un doble grupa; uno para las fuerzas directamente apli- 
cadas, otro para las fuerzas de los enlaces, que comprende- 
rá tres para el enlace ¿^ = O con el coeficiente \; otras tres 



— 169 — 

para el enlace L^ = O con el coeficiente Xo; y, por lo demás, 
no diferirán unas de otras, ni de las que corresponden al 
punto ^1, sino por la substitución en los denominadores de 
las letras 

P2i ^2> ^2> 

á las 

P, q, r, 
del punto A-^. 

Puesto que los puntos A^, A^, A.¿ son ya puntos libres, y 
para los puntos libres demostramos el teorema de las ve- 
locidades virtuales, no tenemos más que aplicarlo á este 
caso, y efectuar las simplificaciones que resulten, con lo cual 
veremos desde luego, que queda subsistente el teorema de 
las velocidades virtuales para los trabajos de las fuerzas di- 
rectamente aplicadas y que desaparecen todas las fuerzas de 
los enlaces. 

En efecto; representando, para abreviar, por Ta^, Ta^, 
Ta^, Ta, los trabajos virtuales de las fuerzas debidas á los 
enlaces para los cuatro puntos del sistema, el principio de 
las velocidades virtuales aplicado á estos cuatro puntos ya 
libres, dará la ecuación 

S (X5x + YZy + Z5z) + Ta, + Ta, + Ta, + Ta, = 0. 

Examinemos cada uno de estos términos. 

El primero, S (XZx + Yoy + Zoz), se refiere á los traba- 
jos virtuales de todas las fuerzas directamente aplicadas á 
los puntos del sistema, tanto exteriores como interiores, re- 
^presentando, en general, X, Y, Z, las componentes de di- 
chas fuerzas , y 5x, Sy, oz, los desplazamientos ó velocida- 
des virtuales para cada punto A; de manera, que en rigor. 



- 170 - 

el término que estamos considerando, comprenderá estos 
cuatro: 

X,^x, + Y.rjy^ -f Z,^z, + X,^x, + YJjy, + ZJz, + 
+ X,Zx, -f ^0^3 +Z3ÍZ3 +X,^x, + Y,^y, 4- Z,íz, = 0. 

El segundo término Ta se referirá á los trabajos virtuales 
de las fuerzas debidas á los enlaces. Para desarrollarlos to- 
memos el punto i4i y lo que de él digamos podremos repe- 
tir de los otros tres. 

Las fuerzas de los enlaces dan en A^ seis fuerzas que es- 
tán representadas en la figura 42, por A^ b^; A^ b\; A^ b'\\ 
relativas las tres al enlace L^. Y otras tres fuerzas A^ b^, 
i4i b'2, A^ b"2 relativas al enlace La- 
Determinemos los momentos virtuales de estas seis fuer- 
zas; para ello las proyectaremos sobre los tres ejes, mul- 
tiplicaremos dichas tres componentes por ox, oy, Iz, y re- 
sultará para las tres fuerzas relativas á ¿i, los tres trabajos 
virtuales: 

X, — — L cos(p,x) + — — ^ cos(^,x) 4- -— ^ cos(r,x) hxi 
L dp dq dr J 

\ -— -í- oos{p,y) 4- —-^ cos(q,y) + — -^ cos(r,y) Uy, 
L dp dy dr J 

\ — -^ cos(p,2) + — -^ cos{q,z) 4- — -^ cos(r,z) Uz,. 
L dp dq dr J 

Pero estos tres grupos se transforman fácilmente. 
Por ejemplo, la primera línea, si se recuerda que, si a, b, c 
son las coordenadas de P, 

/ \ Xi-^a dp , . dq 

cos{p,x) = —^ s= — ^—, cos(^,x) — 



dXy dxi 

dr 



cos(r,x) — , 

í/Xi 



^ convierte en 




L dp 


dp 



— 171 — 



í/Li dq 



dxi d r dxi j 



dq dx 



y según resulta del método de diferenciación de las funcio- 
nes compuestas, la cantidad entre paréntesis será 



dL^ 



d x^' 

porque no ha de olvidarse que L^ contiene directamente 
p, q, r; pero como estas cantidades son funciones de x^, en 
rigor Li es función de x^. De suerte que, por consideración 
análoga, las tres expresiones anteriores, es decir, los traba- 
jos virtuales sobre los ejes de las x,y, z, de las tres fuerzas 
que proceden de L^, serán 

^i—-^^x,, t.^-—^oy„ K^—-±.oz,, 
dx^ dy^ d Zi 

y su suma 

dx, dy, dz^ J 

Lo que hemos dicho de las fuerzas que proceden de L,, 
podríamos repetir para las fuerzas que proceden de L.r, y 
tendríamos para su momento virtual 



h -—^ '^x, + — -^ oy, + -— ■ 
d X, dy^ dz 



'9 > I 



En resumen, lo que hemos representado antes por Ta i, 
es decir, los trabajos virtuales para las seis fuerzas de enla- 



172 



ce que actúan en A, procedentes de L^ y Lj, tendrá el si- 
guiente valor: 

L dx, dy^ dz, \ 

Todo esto podríamos repetirlo para los puntos A.,, A., i, A^, 
y tendremos, desde luego, 

_ , r í/ ¿1 , . dLi ^ d Li ^ 1 . 

[_ dx2 dy.¿ dz^ J 

\_ dx^ dy^ d Z2 J 

-, .rdL,^ . d Li ^ . d Li ^ 1 , 

L dx,^ dy., dz., J 

. ^ r dU ^ . d L2 ^ , dU ^ 1 

_ ^ r í/ Li ^ . d Ly ^ . d Ly ^ 1 . 

L í^Xi í/^t Í/Z4 I 

, , \ dU . , dL. . , í/L., . ] 

L í5^x, í/>/, dz^ J 

Y ahora se ve inmediatamente que 

Ta, + Ta, + 7^. I- r^, 

es igual á cero. 

En efecto, sumemos todos estos valores, sacando por fac- 
tores comunes ).i y "X., y resultará 

^ r d L, ^ , d L, ^ , d L, ^ 

L í/Xi dy¡^ d Zi 



- 173 — 



0X.2 ^ ~ oy., -j oz., + 



dL, 


dz.2 


dL, 


dz. 


dL, 



d X., "^ d y., 

+ --- ^x, + --—i- oy, + -^^ 023 + 
Í/X3 í/^a 

Í/X4 í/;;^ úfZ4 J 

r otra expresión de la misma forma que la anterior,"] 
¡_ substituyendo á L^ la función L, J' 

ó abreviadamente^ 

\ ax dy dz J 

yi2 L — -^ ox + — -- r^y + ---^ 02 
V dx dy dz 

en que cada suma se ha de extender á las coordenadas de 
los cuatro puntos. 

Pero no olvidemos, que ¿^ =0 y L, = O que explícita- 
mente comprenden todas las p, q, r, serán por lo mismo 
funciones de todas las coordenadas x, y, z, correspondien- 
tes á los puntos A^, A.,, A.J, A^. 

De donde resulta que el primer paréntesis, no es más que 
el resultado de la diferenciación de ¿^ =0, por relación á 
todas las x, y, z; luego si las variaciones de estas cantida- 
des han de ser como exige el teorema, compatibles con los 
enlaces, es preciso que todo el paréntesis sea igual á cero, 
y lo mismo podemos decir de la segunda linea; en suma, 

Ta, + Ta, + Ta, + Ta, = 0. 

Que es, como si dijéramos, que las fuerzas de los enlaces 
satisfacen al principio de las velocidades virtuales. 



— 174 — 
Y de la ecuación 

S (X5x + Y^y + Z^jz) -i- Ta, + Ta, + Ta, + Ta, =■- O 

no quedará más que 

S(Xox+ Yoy -}- Zhz) = 0; 

es decir, que la suma de los trabajos virtuales de las fuerzas 
que directamente actúan sobre el sistema, es igual á cero 
para todas las velocidades virtuales compatibles con los en- 
laces. 

La proposición directa, queda, pues, demostrada. 



« « 



La recíproca se demuestra ya con suma facilidad. 

Es decir, si la suma de los trabajos virtuales de las fuer- 
zas F que directamente actúan sobre el sistema es igual á 
cero para todos los desplazamientos ó velocidades virtuales 
de los puntos compatibles con los enlaces, el sistema estará 
en equilibrio. 

En efecto, supongamos que no lo estuviera, de suerte que 
el sistema de fuerzas F fuera capaz de determinar un movi- 
miento, cuyas velocidades iniciales podemos suponer que 
son cero, porque sólo tratamos de estudiar el efecto de 
las fuerzas F. 

Se concibe sin dificultad que á cada punto se le pueda 
oponer una fuerza que impida su movimiento, y llamemos ^> 
á este sistema de fuerzas; resulta, pues, que el sistema F y 
el sistema de fuerzas <I> están en equilibrio, luego en virtud 
de la proposición directa ya demostrada, puesto que el sis- 
tema está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas F y í>, 
tendremos: 



— 175 — 
trabajos virtuales de F -f trabajos virtuales de <í = 0. 

Mas por la hipótesis del enunciado, 

trabajos virtuales de F= 0; 
luego 

trabajos virtuales de $ = 0. 

Pero esto es absurdo, porque las fuerzas que forman el 
sistema <I> se oponen al movimiento todas ellas; luego todas 
efectúan trabajos negativos y la suma de cantidades negati- 
vas no puede ser igual á cero. 

A esta última demostración se puede objetar que acaso el 
movimiento del sistema no sea compatible con los desplaza- 
mientos virtuales, lo cual sucedería si en las ecuaciones de 
enlace entra el tiempo. 

Pero es imposible que nos detengamos más en esta ma- 
teria. 

Diremos tan sólo que puede seguirse un orden inverso 
del seguido para el Teorema directo. 

Para demostrar que si se tiene ^{Xox -f y^y + Zoz) = O 
para todos los desplazamientos compatibles con L^ = O, 

¿2 = el sistema está en equilibrio, recordaremos 

que Ta, = O, Ta., ^ O, Ta^= O expresan que las 

variaciones ox, oy, Iz satisfacen á los enlaces para 

un instante dado y podemos establecerlas desde luego. 

Pero también expresan sumándolas, que la suma de los 
trabajos virtuales de las fuerzas de los enlaces es nula. 

Agregando 

Ta, -[-Ta, + Ta.,+ = 

á 

^(Xox+ Yoy + Zíz) = 0, 
resultará 

Rf.v. Acad. Ciencias. — V.— Octubre, iqo6. • <2 



- 176 - 
1 {Xox -i- Ycy + Zoz) -^ Ta, + Ta, i- Ta, + = O, 

y esta es la ecuación de las velocidades virtuales cuando los 
puntos están libres y para ella la reciproca es cierta. 

Claro es que suponemos t constante como indicamos 
antes. 

Digamos, pues, rápidamente para concluir, que del princi- 
pio de las velocidades virtuales, se pueden deducir en cada 
caso de aquellos á los cuales es aplicable, las condiciones de 
equilibrio del sistema. 

Supongamos que el sistema contiene n puntos, lo cual 
dará 3 n coordenadas. 

Supongamos que el número de ecuaciones de enlace es m, 
siendo m<C3 n, porque si no bastarían las ecuaciones de en- 
lace para fijar los puntos, con independencia de las fuerzas, 
y aun cabe que fueran incompatibles. 

La ecuación que expresa el principio de las velocidades 
virtuales, será lineal respecto á las varíaciones de x, y, z, y 

contendrá 3 n términos en ex, oy, oz cuyos coeficientes 

serán las componentes de las fuerzas, según hemos visto. 

Pero estas variaciones de x, y, z, no son independientes, 
porque han de satisfacer á los enlaces; es preciso que elimi- 
nemos las que son dependientes en función de las indepen- 
dientes. 

Para ello, diferenciaremos las ecuaciones de los enlaces 
que darán m ecuaciones lineales en ox, ly, oz,.... 

De ellas deduciremos m en función de las 3 n — m res- 
tantes, y eliminando aquéllas en función de éstas, de la 
ecuación fundamental, nos quedará una ecuación lineal de la 
forma 

HóXp -[- H' íyp 4- H" ozp -'[- O, 



— 177 — 

en que oxp, oyp, Zzp , serán ya variaciones independientes, 

porque las otras han sido eliminadas, y las H serán funcio- 
nes de los datos, es decir, de las fuerzas y de las coordena- 
das, así como de las constantes que entran en las ecuaciones 
de enlace. 

Siendo ya independientes las variaciones de Xp, yp, Zp , 

podemos igualar todos los coeficientes á cero, y tendremos 
para las condiciones de equilibrio 

//=0, //' = O, H" = 

Esto es evidente, porque siendo arbitrarias é independien- 
tes entre sí oXp, oyp, Izp podemos igualar á cero todas 

menos Ixp, por ejemplo, y quedará 

Hoxp = 0, 

que no puede verificarse siendo arbitraria oXp más que por 

// = O, 

y lo mismo diríamos de los demás coeficientes. A estas ecua- 
ciones agregaremos las de los enlaces y tendremos tantas 
ecuaciones como incógnitas, según vimos antes. Resulta, 
pues, que el principio de las velocidades virtuales tiene en 
la Mecánica extraordinaria importancia para todos aquellos 
casos en que existen enlaces. 

En la conferencia próxima aplicaremos este principio á los 
problemas de Dinámica; demostraremos el teorema de Ha- 
milton, y de él deduciremos las célebres ecuaciones de La- 
grange, que son de gran aplicación en muchos problemas 
de Física matemática. 



178 — 



IX.— Las disoluciones sólidas. 

Por José Rodríguez Mourelo. 

IV 
De algunas disoluciones amorfas. 

Juzgando, en vista de los hechos conocidos y de los ex- 
perimentos realizados, cuyo número es al presente harto li- 
mitado, se comprende que, de momento á lo menos, no es 
posible fundar una doctrina general respecto de las disolu- 
ciones sólidas. Quizá las isomorfas, en determinados casos, 
se rigen por ciertas leyes, que establecen las cantidades re- 
lativas de los componentes, permitiendo asimilarlas unas 
veces á las disoluciones líquidas ordinarias y otras veces á 
mezclas de líquidos de diferentes densidades, conforme que- 
da explicado en el curso del presente trabajo; pero en las 
amorfas no acontece lo propio, ya porque su estudio se ha 
limitado á algunas singulares, constituidas por la oclusión 
de un gas, inherente á la formación de aquellas combina- 
ciones á las que sirve de tipo el hidruro de paladio, ó se ha 
encaminado á determinar los modos de formarse y las cons- 
tantes adquiridas al unirse los metales y difundirse unos en 
otros, generando las aleaciones metálicas, de las cuales hay 
gran copia y su considerable número va todavía creciendo y 
reciben á cada momento mayores aplicaciones industriales, 
fundadas precisamente en las propiedades generadas por la 
conjunción de sus elementos. 

Únese á lo dicho la circunstancia de las variaciones de la 
concentración, no dependientes sólo y en absoluto de la 
temperatura, aunque con ella aparecen ligadas, y los esta- 



— 179 — 

dos iniciales de los componentes de la disolución sólida, lo 
cual permite establecer cierto linaje de agrupaciones, cuya 
conveniencia es notoria para su estudio. Cabe afirmar que 
las condiciones del sistema definitivo se relacionan con las 
primitivas de las substancias que lo forman, aun resultando 
muy homogéneo, y esto de modo bastante general y debi- 
do á ello, en cada caso júzgase menester tener muy presente 
tal circunstancia, que es especial en los fenómenos de la 
oclusión de gases en masas sólidas metálicas, ó en la absor- 
ción de materias colorantes, principios amargos y astringen- 
tes por el carbón animal, y se ha de señalar, en los prime- 
ros fenómenos, la influencia de la presión, que en los otros 
para nada interviene, y el hecho podría establecer ciertas 
diferencias de las disoluciones sólidas, marcadas por el es- 
tado inicial de los cuerpos que en ellas entran. 

Limitando los casos dependientes del estado físico ini- 
cial de los elementos del sistema, debe considerarse, tra- 
tándose sólo de dos cuerpos para mayor sencillez: cuando 
uno de ellos es líquido ó si los dos tienen semejante condi- 
ción, si alguno es gaseoso ó si ambos conservan durante la 
metamorfosis el estado sólido, aun cuando para realizar su 
mutua difusión sea preciso que intervenga el calor elevan- 
do la temperatura, se empleen fundentes, ó se necesiten subs- 
tancias volátiles á modo de vehículo que reparte en la masa 
del disolvente, hasta saturarlo, el cuerpo destinado á ser di- 
suelto. Ya se dijo, tocante á la primera clase de disoluciones, 
que son sin duda aquellas en las que resulta más perfecta la 
homogeneidad del sistema final; pues su mecanismo redúce- 
se á simple fusión de los componentes, y conforme sea la ac- 
ción del calor, así se constituye una combinación definida, 
capaz de disolverse en el exceso de alguno de ellos, según 
acontece en las aleaciones metálicas normales y en las difu- 
siones de ciertos metales en la masa de otros, cuyo efecto se 
traduce en la modificación, por lo general bastante intensa, 
de las cualidades del disolvente, propiedad graildemente 



— 180 - 

aprovechada, sobre todo en la fabricación y producción de 
aceros particulares. 

Viniendo ahora á otra especie de disoluciones sólidas, en 
las que uno de los componentes es líquido en el estado ini- 
cial, acaso pudieran considerarse tales, y en mi entender de 
de las más perfectas, ciertos hidratos salinos, ricos de agua, 
en general poco estables y en nada se opone á ello su con- 
dición de combinaciones químicas definidas. Para opinar así 
me fundo en las variaciones y cambios de la tensión super- 
ficial, inherentes á la eflorescencia de varios de estos hidra- 
tos, que precisamente se forman con absorción de calor y 
por ello han recibido limitadas aplicaciones en algunos ca- 
sos. A mi ver, el agua retenida, á veces en considerable can- 
tidad, ó interpuesta entre las moléculas salinas que en ella 
son solubles y que puede abandonarlas espontáneamente en 
una atmósfera seca, ó interviniendo temperaturas, nunca 
muy elevadas, está sólida y forma con la materia de las sa- 
les una masa continua y homogénea; quizá no sea, en rigor, 
perfecta combinación química y mejor represente cierto es- 
tado particular de un sistema de equilibrio correspondiente á 
la disolución sólida inestable, en el que un hidrato salino 
perfecto y definido se difunde en el exceso de uno de sus 
obligados componentes. 

Mirando los hechos con semejante criterio, al punto apa- 
recen los parentescos de las disoluciones sólidas que se 
consideran con las aleaciones metálicas, en cuanto á la ma- 
nera de estar constituidas, siquiera los sistemas de que se 
habla presenten particular inestabilidad y la mayoría de ellos 
se caractericen precisamente atendiendo á los cambios de la 
tensión superficial que reconocemos por causas de la eflo- 
rescencia. De esto hay una prueba en el hecho bien sabido 
de que tal propiedad puede ser aminorada y aun eliminada 
introduciendo en el sistema otro cuerpo sólido: el sulfato de 
calcio, por ejemplo, es soluble en el sulfato hidratado de 
sodio, sal muy eflorescente, y antes de constituir la típica 



- 181 — 

glauberita, correspondiente al sulfato doble normal, ya el 
cuerpo nuevamente constituido es capaz de permanecer en 
contacto del aire, no sin cubrirse de blanco polvillo, indicio 
cierto de la pérdida de agua, ni alterarse en nada la cohe- 
sión de sus partículas. Este es el régimen más general cuan- 
do uno de los componentes es sólido y el otro líquido, de- 
biendo ambos pasar por este último antes de constituirse el 
equilibrio final, considerado más estable ó definitivo, y en- 
tonces la homogeneidad, característica principal de la disolu- 
ción sólida, es perfecta y sus alteraciones traen por conse- 
cuencia la formación, casi siempre parcial, de otros sistemas 
con el primitivo relacionados. 

Ya determina fenómenos distintos el ser gaseoso el es- 
tado inicial de uno de los elementos, permaneciendo el otro 
sólido. Pudieran asimilarse á este género de disoluciones 
sólidas determinados hechos de apariencias singulares, que 
no son, en rigor, difusión de un gas en un sólido, sino 
mejor condensaciones de grandes volúmenes gaseosos en 
masas relativamente pequeñas de cuerpos sólidos, formando 
ciertamente agregados homogéneos, como puede serlo el 
carbón vegetal saturado de gas amoníaco, siquiera en oca- 
siones prodúzcanse fenómenos de incandescencia, de los 
cuales es típica la de la esponja de platino que ha absorbido 
hidrógeno hasta saturarse. Ocurren aquí no pocas variacio- 
nes, porque entra é interviene en el hecho el factor presión, 
capaz de provocar y llevar á término reacciones químicas 
considerables cuando el cuerpo sólido que consideramos di- 
solvente es de naturaleza metálica, y harto sabido está, que 
al igual de las superficies cubiertas de negro de humo, aun 
á la presión ordinaria, no sólo los gases, en particular los 
menos densos, son retenidos en la superficie de los metales, 
sino que penetran en su masa y allí permanecen adheridos, 
aunque no siempre con los caracteres peculiares de los ele- 
mentos de una disolución sólida. 

No sería aventurado asignar á semejantes agregados, re- 



- 182 - 

sultán tes de la difusión de gases en sólidos, la condición de 
estados preparatorios de aquellas otras disoluciones repre- 
sentadas por diferentes hidruros, cuyo génesis depende de 
las presiones á que el sistema haya estado sometido, y 
también de la temperatura, por más que las relaciones en- 
tre ambos factores y las cantidades de gas absorbido no 
sean regulares ni constantes. Quiero así indicar cómo, al 
cabo, es menester establecer diferencias entre la verdadera 
oclusión, perteneciente á la categoría de las disoluciones só- 
lidas y estas otras propiedades de retener gases, dependien- 
tes, en gran parte, del estado de agregación molecular de 
las materias que de ellas gozan; en realidad no son ni diso- 
luciones, ni verdaderas mezclas; pero no me parecen, como 
opinan varios autores, fenómenos enteramente superficia- 
les, aunque las disminuciones en la presión ó los aumentos 
de la temperatura permitan eliminar los gases absorbidos y 
retenidos en la masa sólida, porque lo propio acontece en los 
casos de oclusión; ni tampoco son más estables los verdade- 
ros hidruros metálicos, en particular los ricos de hidrógeno. 
Hay, por lo tanto, variados modos de unir gases y sólidos 
en sistemas homogéneos, sólidos también, y cada uno de 
ellos tiene sus características, que van cambiando y trans- 
formándose, desde el estado inicial, hasta que se determina 
el equilibrio de mayor estabilidad, el cual no siempre corres- 
ponde á combinaciones químicas normales, ni siquiera es 
preciso que sea verdadera disolución sMida. 

Ahora se sabe cómo las condiciones externas influyen en el 
fenómeno de que se trata, el cual por ellas resulta bastante 
complejo. Es general el que los cuerpos sólidos, aun los de 
más compacta estructura, retengan gases; en las superficies 
mejor pulimentadas se adhieren y permanecen unidos y 
como condensados y en varias substancias penetran su masa 
y en ella se difunden sin que los obliguen energías extrañas. 
Cuando intervienen en especial la presión y la temperatura, 
las cosas pasan de distinto modo; las penetraciones del gas 



— 183 - 

en el sólido son más profundas, su unión más íntima, al 
punto de que llegan á generarse por tales modos combina- 
ciones químicas definidas, casi siempre poco estables; pues 
son manifiestas en el gas las tendencias á abandonar el sóli- 
do que lo retiene, en cuanto cesan ó pierden intensidad aque- 
llas energías que lo obligaban á permanecer condensado en 
torno de las partículas de una masa rígida y resistente á ser 
penetrada por otra más sutil. 

Observaron muy bien el caso los que últimamente estu- 
diaron las mutuas acciones del paladio y del hidrógeno, á 
cuyo propósito cita Van'T Hoff, dándoles cuanta importan- 
cia tienen, muy singulares experimentos, siendo su objeto 
determinar si á la temperatura de 150° y variando la presión 
desde 26 ""\, 2 hasta 1300 """., 6 de mercurio, las relacio- 
nes de los incrementos de la presión con los volúmenes de 
gas absorbidos, seguían una ley constante, hasta alcanzar el 
máximo, correspondiente á la formación del cuerpo HPd.,, 
que requiere para constituirse cierto intervalo de presiones 
constantes. De las medidas llevadas á cabo resulta que las 
citadas relaciones distan bastante de ser sencillas y varían 
con la temperatura y es de suerte que, en realidad, no existe 
una sola y única combinación típica del hidrógeno y el pa- 
ladio de la manera dicha formada, sino que coexisten dos ó 
más disoluciones sólidas distintas constituidas por Ijs cita- 
dos cuerpos, las cuales, en cuanto á su composición y es- 
tructura, se asemejan á aquellas agrupaciones especiales que 
se distinguen y relacionan, teniendo cada una su propia y 
característica individualidad, en la masa de los hierros y ace- 
ros especiales, tan utilizados en la industria; por donde 
advertimos que si el régimen es distinto y el estado final del 
sistema depende, en mucha parte, del estado inicial de cada 
uno de los componentes del mismo, algo hay de común y 
general en las disoluciones sólidas, sea cualquiera la catego- 
ría y la clase á que pertenezcan. 

Bien notado es cuando se indagan las conexiones, en apa- 



— 184 — 

riencia remotísimas entre la difusión de los gases en los sóli- 
dos y aquellas penetraciones de masas fundidas á elevadísi- 
mas temperaturas, acaso impulsadas por vapores proceden- 
tes de su misma disociación térmica parcial, en otras ya 
consolidadas y que presentan enorme resistencia, pero que 
al cabo ceden, llegando á disolver ó á disolverse en la ma- 
teria liquidada invasora, fenómeno originario de bastantes 
rocas ígneas. Como en los ejemplos anteriores, en tales ro- 
cas pueden existir á la vez distintas disoluciones sólidas, se- 
gún en los hidratos salinos coexisten de la propia manera y 
condicionadas por las mismas circunstancias del medio exte- 
terior; pues no son iguales las tensiones de un hidrato eflo- 
rescente en la superficie y en las capas más interiores de sus 
cristales y así se compara á las zonas sucesivas, de densi- 
dades distintas, formadas por dos líquidos que se mezclan 
uniéndose poco á poco. 

Pretender desde luego, sin mayores datos experimentales 
y sin otras relaciones que las de semejanza por razón de la 
homogeneidad de la estructura y acaso el mecanismo de la for- 
mación, que pudiera implicar cierta analogía en los sistemas 
constituidos, buscarlas ó establecerlas íntimas y más gene- 
rales, juzgólo aventurado, á no ser para el grupo de las 
aleaciones metálicas, tan bien estudiado y conocido á la hora 
presente. En las otras disoluciones sólidas, especialmente 
tratándose de algunas amorfas, se requiere todavía el estu- 
dio individual, sobre todo cuando se consideran aquellas cu- 
yos elementos, siendo sólidos en el estado inicial, no lo cam- 
bian durante las sucesivas transformaciones hasta generar el 
sistema definitivo, que se alcanza apelando á medios mecá- 
nicos, á temperaturas elevadas y al arrastre de la materia so- 
luble por medio de un cuerpo volátil que la difunde y repar- 
te en el disolvente, el cual permanece sólido, y es singular 
que las disoluciones resultantes tienen actividades propias 
suyas, de las cuales carecen los componentes, no pediendo 
tampoco adquirirlas por sí mismos de otras maneras. For- 



— 185 — 

marón el objeto de mis trabajos algunas de estas disolucio- 
nes amorfas, las cuales pueden calificarse con propiedad de 
especialmente activas. Son, de ordinario, agregados bastante 
complejos, de los que considero partes principales la estruc- 
tura y la homogeneidad de la masa y en ocasiones los carac- 
terizan asimismo las reacciones químicas, limitadas y rever- 
sibles, que pueden experimentar por influjo de causas exter- 
nas y lo mismo tal cualidad que aquella otra en cuya virtud 
semejantes disoluciones sólidas provocan y llevan á cabo 
determinados cambios, se diputan manifestaciones propias y 
características de sus actividades. 



Conviene precisar lo que hay de general y común en las 
disoluciones sólidas de que hablo, buscando en primer térmi- 
no sus enlaces y conexiones, á cuyo fin será menester tratar 
por separado los disolventes, su capacidad, las materias ac- 
tivas y el mecanismo de su difusión hasta conseguir los sis- 
temas definitivos y homogéneos, representados por las diso- 
luciones saturadas con sus propiedades especiales. De tal 
modo será fácil luego el darse cuenta de ellas y hasta cierto 
punto medirlas, apreciando sus relativas intensidades por las 
actividades que manifiestan ó examinando las modificaciones 
ulteriores de que son susceptibles. 

Quizá lo que mejor determina las relaciones de los disol- 
ventes con las substancias calificadas de activas, es su ab- 
soluta y total indiferencia química á la temperatura ordina- 
ria; así pueden mezclarse todo lo íntimamente que se quie- 
ra, hasta lograr masas de absoluta uniformidad, el yeso y el 
compuesto manganoso que Lecoq de Boisbaudran empleaba 
en sus experimentos, limaduras de cinc con limaduras de 
cobre ó sulfuros puros de bario, estroncio, y calcio con sub- 
nitrato de bismuto, carbonato de manganeso ú óxido de ura- 
nio, que ni los primeros se volverán luminescentes en e' va- 



— 186 — 

CÍO mediante la influencia de las descargas eléctricas, ni se 
constituirá el par cinc-cobre, ni los citados sulfuros se tor- 
narán fosforescentes bajo la acción directa de la luz. Re- 
quiérese en los tres casos la intervención del calor, distinta 
conforme se verá en cada uno y verdaderamente específica, 
determinada por la proporción y capacidad de los disol- 
ventes. Generalmente se emplean en gran exceso y la ra- 
zón está en que, fuera de bien contados casos, se saturan 
pronto, y conteniendo mayores cantidades de cuerpo disuel- 
to, ó se producen verdaderos fenómenos de sobresaturación, 
ó el régimen de la difusión entre sólidos se modifica, pu- 
diendo manifestarse con cierta intensidad determinadas ac- 
ciones químicas, muy diferentes de las que, incompletas y 
reversibles, se efectúan en los casos de fosforescencia pro- 
vocada por la luz; así se demuestra la influencia directa de 
las respectivas masas de los elementos de la disolución só- 
lida, y en el hecho me fundo para clasificar de tales algunas 
mezclas singulares, de éstas calificadas de activas, no sién- 
dolo los componentes; pero que retroceden al estado inerte 
ó indiferente primitivo en cuanto son modificadas las condi- 
ciones del sistema formado, sin que esto implique inestabi- 
lidad en las disoluciones, cuando suelen distinguirse por lo 
contrario y porque en ellas permanecen, con carácter de gran 
fijeza, las cualidades de la actividad adquirida. 

De la naturaleza de los disolventes diré sólo que es muy 
variable, y así pueden estar constituidos por un metal puro, 
como formarlos cuerpos binarios y combinaciones salinas 
de las que no son solubles en el agua. Y ha de añadirse, to- 
cante á los primeros, que deben ser de los fusibles á tempe- 
ratura elevada, y respecto de los segundos, que se exclu- 
yen los compuestos hidratados y los fusibles, cristalizables 
y volátiles, á no ser que sus cambios de estado físico y sus 
disociaciones se realicen más allá de los 2.000'; cuyo límite 
alcanzado, ya no son posibles las disoluciones sólidas ac- 
tivas de ninguna clase. 



- 187 - 

Resultando nula la capacidad del disolvente á la tempera- 
tura ordinaria, á no ser en los contados casos en que inter- 
vienen presiones considerables, se comprende la necesidad 
de las acciones del calor, porque en frío las materias activas 
ó activantes, según quiera llamárseles, son prácticamente 
insolubles y aun en caliente se ha menester muchas veces 
del auxilio de fundentes, fijos ó volátiles, que contribuyan 
á difundirlas en la masa del disolvente. Ocurre partir de 
éste ya formado y constitúyenlo entonces substancias de 
gran fijeza, dotadas de escasas energías químicas, como las 
empleadas en los experimentos de Lecoq de Boisbaudran 
y William Crookes, ó metales puros, á ejemplo del cinc 
bastante dividido, y también puede suceder que se forme 
mediante reacciones químicas, y al constituirse se apropie y 
disuelva las substancias activas, conforme acontece al obte- 
ner los sulfuros fosforescentes de bario, estroncio y calcio, y 
tales hechos permiten establecer, atendiendo al disolvente, 
tres categorías de disoluciones solidas amorfas, dentro de la 
clase de las que tienen propiedades muy distintas de las ca- 
racterísticas de sus componentes y cualidades de cierta fije- 
za, que sólo cambian ó desaparecen cuando el disolvente ha 
experimentado determinadas modificaciones químicas. 

Es evidente la influencia de la temperatura en la capaci- 
dad de los disolventes, por más que sus incrementos no se 
relacionen, de modo indefinido, con los de aquélla, y hay un 
límite, no marcado precisamente por el estado de saturación 
sino por el calor, á partir del cual la existencia de las diso- 
luciones no es posible, y comienzan á separarse unas veces 
y otras á modificarse sus componentes y las actividades ad- 
quiridas. Llamando D á un disolvente cualquiera, h^ h^ h.2 h.. 
h^ hn á los incrementos de su capacidad, á partir del es- 
tado primitivo de inercia R,y t^t^t^ t.¿ t^ tn á la serie de 

las temperaturas, tendremos que la capacidad máxima C no 
corresponde á la temperatura máxima t,^ y que las disolucio- 
nes más activas pueden ser formadas antes de alcanzarla. 



- 188 - 

admitiendo el sistema uniforme y homogéneo y constituido 
por un solo agregado del disolvente y la materia activa, por 
donde se llega á admitir que las disoluciones sólidas en que 
me ocupo sólo hasta cierto punto son función exclusiva de 
la temperatura, aunque siempre sea necesario el calor para 
formarlas, y acaso las actividades de que participan deban 
considerarse á modo de consecuencia de acciones térmicas, á 
las cuales son asimismo atribuíbles los cambios de estado 
que experimentan los elementos del sistema. 

Suponiendo representadas la capacidad del disolvente y la 
temperatura por dos líneas rectas, definida la primera por los 
puntos R C, en este último, correspondiente al incremento 
/?„, se encontrarán las rectas y la de la temperatura conti- 
nuará separándose cada vez más del límite ó conjunción de 
los dos términos: el punto C es considerado, por lo tanto, á 
modo de punto crítico del sistema y no porque marque la 
saturación del disolvente, sino la máxima actividad de la di- 
solución. Manifiéstase con ello que aun cuando ésta depende 
al cabo del calor, no está en razón directa de la temperatura, 
ni siquiera en aquellos casos en los que el disolvente obra 
como tal en el momento de ser formado mediante reacciones 
químicas llevadas á cabo al rojo vivo, y adviértese cómo 
no pocas veces resultan disoluciones sólidas sobresaturadas, 
singularmente activas y dotadas de grandísima impresiona- 
bilidad, y es notable que en ninguna del género se corres- 
pondan hnY tn, dependiendo en mucha parte los valores 
de h con relación á los incrementos de / de la propia natura- 
leza del disolvente y de las calidades de la materia activa. 

Fácilmente se entiende cómo no siendo directamente pro- 
porcional á la temperatura la saturación, tampoco pueden 
serlo los sucesivos estados de concentración. Llega á relacio- 
narse el hecho con la absorción del hidrógeno por el paladio, 
en la cual se advierte cómo los volúmenes de gas difundi- 
do en el metal no son tampoco proporcionales á las pre- 
siones, y antes bien, la proporcionalidad se establece entre 



- 189 — 

éstas y el cuadrado de las concentraciones sucesivas de la 
disolución, y aunque los elementos del sistema son aquí dis- 
tintos y no se trata de presiones sino de temperaturas, hay 
cierta analogía entre los mecanismos de los cambios y los 
estados finales de equilibrio. Alcanzado el límite C con su 
máxima actividad hn, la capacidad del disolvente disminuye 
al punto y hasta se anula volviendo al estado inicial de indi- 
ferencia, y aunque por rara singularidad al acercarse los in- 
crementos de la temperatura al límite tn aumentase la canti- 
dad de materia disuelta hasta llegar á la saturación comple- 
ta, no por eso crecerían en intensidad las actividades de la 
disolución sólida, antes por el contrario, se extinguirían ó se 
originarían acciones químicas entre el disolvente y el cuerpo 
disuelto, de índole semejante á las manifestadas cuando se 
somete á temperatura excesiva el sulfuro de estroncio acti- 
vado por el subnitrato de bismuto. 

Tienen, por consiguiente, las disoluciones sólidas activas 
su punto crítico, especial de cada una, determinado por la 
temperatura, mas no correspondiente al estado de saturación 
completa, sino á concentraciones particulares. Obsérvase, al 
obtener el par cinc-cobre, cómo, si la temperatura es tal que 
llegue á iniciarse la fusión del primero, la disolución no re- 
sulta activa y, sin embargo, todavía la capacidad del disol- 
vente, considerando tal el cinc, recibe nuevos aumentos y 
en su masa continúan difundiéndose nuevas proporciones 
de cobre, y demuéstrase que si la actividad máxima de- 
pende de la temperatura, está también ligada á los valores 

de los términos de la relación en este caso particular, 

Cu 

y así venimos á admitir que las actividades de las disolu- 
ciones sólidas son, á la vez, función de la temperatura y 
función de las masas del disolvente y de la materia disuelta. 
Con tales datos es posible determinar, en cierta medida, al- 
gunos valores numéricos, no siempre suficientes, para pre- 
ver las condiciones de los agregados moleculares resultantes. 



— 190 — 

Guardan, al parecer, escasas conexiones las propiedades 
adquiridas con la manera de desarrollarlas, puesto que las 
modificaciones que representan son estables y adquieren 
cierto carácter de permanencia. Obtenida la disolución só- 
lida activa, no suele manifestar sus aptitudes, á no ser por 
excepción, á la misma temperatura que se constituye, sino 
á la ordinaria; la luminescencia del agregado (SO^ Ca) 
(Oy Ai /7c,) no se manifiesta al rojo, y lo propio acontece con 
las energías del par (Zn) = (Cu) y la fosforescencia de los 
sulfuros metálicos que la presentan, y antes, por el contra- 
rio, prolongando las acciones del calor resultan, conforme 
ya se ha indicado, cuerpos inertes y de ninguna manera ex- 
citables. Realizadas las difusiones en que me ocupo, proce- 
den de ellas compuestos estables, aptos para provocar de- 
terminadas acciones químicas ó sensibles á la influencia de 
variadas excitaciones, modificándose de distintos modos, sin 
que los cambios sean permanentes y conservando , al térmi- 
no de ellos, las aptitudes adquiridas y en ocasiones con 
progresivos aumentos de intensidad y de excitabilidad. Se- 
gún esto, el punto crítico corresponde al momento de adqui- 
rir las nuevas propiedades y se determina, tanto por la tem- 
peratura, como por las relaciones de las masas de los cuer- 
pos, de cuya conjunción resulta la disolución sólida homo- 
génea y de estructura uniforme, que á veces suele ser bas- 
tante alterable en contacto del aire. 

Úñense á las influencias de la temperatura y con ellas se 
relacionan, para los efectos de la actividad de las disolucio- 
nes sólidas amorfas estudiadas, las de las masas relativas de 
los elementos del sistema y tocante á ello bien será exami- 
nar las dependencias mutuas de las mismas, advirtiendo pri- 
meramente cómo las cantidades de materias activadoras son 
de continuo exiguas, y aun basta muchas veces que haya en 
los disolventes sólo trazas ó indicios de semejantes substan- 
cias para que se manifiesten las energías y propiedades ad- 
quiridas, después de haber sostenido algún tiempo, variable 



— 191 - 

en cada caso, la temperatura del rojo vivo. Esto lo tengo 
bien observado en el sulfuro de estroncio fosforescente cuan- 
do trataba de determinar las proporciones mínimas eficaces 
de los cuerpos disueltos, tocante á su impresionabilidad para 
la luz difusa, y he visto que tal aptitud, en su grado máximo, 
no siempre corresponde á los perfectos y completos estados 
de saturación de las disoluciones. 

Habida cuenta de esta observación general, se comprende 
en seguida cómo la masa del disolvente ha de exceder en 
mucho á la del cuerpo disuelto: en los experimentos de Le- 
coq de Boisbaudran, tantas veces recordados, las relaciones 
de mayor eficacia eran 

5 0, CízlOO 



y también con 



SO^ Mn 1 

CO, Ca 100 

Mn O i 



conseguía productos en los que empezaba á determinarse el 
fenómeno de la luminescencia, llegado al máximo cuando la 
relación de las masas era 

SO,Ca20 



SO.Mn 1 



y en otros experimentos producía los mejores efectos con 
mezclas distintas, de las que son típicas estas dos: 

{SO,)., /A, -100 



50, Mn -- 2 

(5 O Ja lU 100 
\S0,\BL 2 

Rev. Acad. Ciencias.— V. — Octubre , uio6. 



— 192 — 

contando solo las disoluciones binarias y no recordando las 
demás combinaciones posibles entre substancias activas y 
disolventes inertes. De mi parte he considerado típico y sin- 
gular el sulfuro de estroncio, cuyo sistema inicial, prescin- 
diendo del fundente, corresponde á la relación 

CO^Sr '- 100 



Subnitratode Bi — 0,015 



y en los de bario y calcio, aunque las relaciones sean dife- 
rentes, de continuo se ha notado lo propio. Podrán variar 
entre límites tan cercanos como se quiera estas proporcio- 
nes; pero su influencia es evidente, y así lo tengo demostra- 
do en anteriores estudios, respecto del color é intensidad de 
la fosforescencia de diversos sulfuros metálicos y en los gra- 
dos de su impresionabilidad por la luz; al cabo son disolu- 
cionos sólidas en las cuales acaso la materia activa desem- 
peñe funciones análogas á las del manganeso en las oxida- 
sas y la luminescencia, con las reacciones químicas anejas, 
limitadas y reversibles, quizá parezca indicio de transforma- 
ciones más importantes y transcendentales que comienzan á 
ser definidas é investigadas. 

Valiéndome del sistema consistente en disminuir gradual- 
mente las cantidades de la substancia activadora disuelta, es 
como he llegado á fijar las proporciones en las que su efica- 
cia alcanza los puntos extremos mínimo y máximo, y ocu- 
rrióme repetidas veces no poder casi apreciar diferencia en- 
tre ellos y son precisamente las disoluciones sólidas capaces 
de más intensa luminescencia y dotadas de grandísima sen- 
sibilidad las que mejor y con mayor frecuencia presentan se- 
mejante hecho: tales algunos sulfuros de calcio, que produ- 
cen magnífica fosforescencia de color violeta, en cuyos cuer- 
pos la relación de las masas es 

SCa~ 100 
0,5/0 — 0,001 ' 



- 193 - 

pero á condición de que el compuesto calcico {OCa en mis 
experimentos) proceda de una primera materia que conten- 
ga siquiera una traza de manganeso, conforme acontecía al 
mármol utilizado en el caso referido, que no constituye ex- 
cepción poco frecuente. 

Importa notar cómo, á semejanza de lo que acontece en 
las aleaciones metálicas y en conocidos productos metalúr- 
gicos, lormada una de estas disoluciones sólidas en que me 
ocupo y á las cuales llamaré definidas, es posible diluirla 
aumentando notablemente las proporciones de los disolven- 
tes, en particular si son fusibles, á ejemplo del fluoruro de 
calcio, no experimentando considerables disminuciones la 
actividad, ni anulándose sino cuando los dichos aumentos 
son bastantes veces mayores que las primitivas cantidades 
del disolvente y las cosas pasan de suerte que la primera di- 
solución inicial saturada parece actuar de materia activa en 
las siguientes. De igual modo la combinación definida de 
dos metales se diluye en exceso de uno de sus componentes 
y cambia alguna de sus peculiares cualidades. Lo propio 
sucede si á la disolución sólida activa se añade otro disol- 
vente distinto del suyo, ya sea que pueda formar con la 
substancia disuelta nueva disolución también activa, ya sea 
inerte ó indiferente respecto de aquélla; y en lo primero se 
está en uno de los casos generales de las mezclas fosfores- 
centes, sistemas bastante más complicados en los cuales las 
proporciones del cuerpo activo actúan como si se dividiesen 
y fraccionasen con arreglo al no determinado coeficiente de 
solubilidad en cada uno de los medios sólidos, coexistien- 
do en realidad dos disoluciones salidas, y tocante á las lu- 
minescentes que tengo investigadas, el matiz y la intensidad 
de la fosforescencia marcan al punto cuál es la predominan- 
te, suponiendo iguales las masas de los disolventes y siendo 
una sola la materia activa que en ellos se haya difundido. 

Y se comprende en tal sentido, á lo menos en el caso de 
los sulfuros fosforescentes, que las diluciones han de tener 



- 194 — 

un límite, tanto más alejado, cuanto mayor es la actividad 
de la disolución primitiva, manifestada con intensa y persis- 
tente fosforescencia apenas recibe débiles y directas impre- 
siones de la luz. En otros cuerpos análogos, pero que la 
producen de distinta manera, ía extinción total de la lumi- 
nescencia y la pérdida de la actividad adquirida, que es su 
causa, se alcanzan pronto añadiendo exceso de disolvente, 
ó haciendo que se forme en grandes proporciones y en su 
masa se reparta la substancia reputada activa, y así he lo- 
grado, usando los mismos elementos de disoluciones muy 
activas, otras inertes é indiferentes, con sólo aumentar lo 
necesario las cantidades del cuerpo considerado disolvente. 
Jamás se presentan las variaciones indicadas cuando se 
hacen mayores las del cuerpo disuelto. Partiendo, como es- 
tado inicial, de un sistema cuya actividad alcanza el máxi- 
mo y que no corresponde á la saturación completa, no pue- 
de añadírsele de ninguna manera la proporción de substan- 
cia activa necesaria para llegar á ella, que lejos de acrecer 
aquélla cualidad, la anula, aun sin llegar á satisfacer la capa- 
cidad del disolvente. Repetidas veces lo he demostrado cam- 
biando todo lo posible las circunstancias del experimento, 
pudiendo fijar las proporciones necesarias de materia disuel- 
ta para conseguir la actividad mínima; logré aumentarla aña- 
diendo poco á poco exiguas cantidades de la misma y al- 
cancé pronto el máximo, en el cual no siempre estaba la di- 
solución saturada, y pasado este límite nuevas adiciones de 
cuerpo activo determinaban notables disminuciones en la in- 
tensidad de la luminescencia, la solución perdía rápidamen- 
te su impresionabilidad respecto de la luz y no tardaba en 
volverse en absoluto indiferente, y todavía más pronto, si á 
las sucesivas adiciones sigúese el calentar á temperatura 
elevada las mezclas homogéneas resultantes. De aquí se de- 
duce el admitir, para las disoluciones sólidas luminescentes 
que en gran número he estudiado, que su actividad en los 
diferentes grados hasta alcanzar el máximo, corresponde á 



- 195 — 

determinados estados de concentración, en los cuales entran 
por mucho la temperatura necesaria para formar los agrega- 
dos y la naturaleza de los componentes del sistema, en la que 
radican las diferencias específicas de la fosforescencia de los 
sulfures alcalinoterrosos capaces de presentarla, empleando 
materias activas de distintas clases, que son á veces tan 
inertes, desde el punto de vista químico, como varios óxidos 
metálicos indiferentes. 

A condiciones inherentes de su propia naturaleza es me- 
nester atribuir, en semejante orden, la eficacia del subnitrato 
de bismuto tocante á la fosforescencia y sensibilidad para la 
luz del sulfuro de estroncio y que no es igual respecto de los 
sulfuros de bario y calcio, conforme la intensidad del fenó- 
meno, el color de la luminescencia y los modos de presen- 
tarse varían no poco si el compuesto bismútico es sustituido 
con otros de manganeso, uranio, torio y aun cobre. Demués- 
tranlo cumplidamente los hechos que he investigado en el 
largo tiempo que me ocuparon los estudios de la fosfores- 
cencia, que tanto se relacionan con las disoluciones sólidas 
amorfas y homogéneas. 



• Ligan todavía más las propiedades de semejantes agre- 
gados con la naturaleza de los elementos constitutivos del 
sistema, los mecanismos de su formación, nada complicada 
sino en determinados casos, más adelante considerados; 
pero en ninguno es suficiente la mezcla del disolvente con la 
materia activa, aunque de ella resulte una masa muy unifor- 
me y la difusión de esta última se consiga perfecta apelando 
á medios mecánicos; pues todavía las disoluciones no son 
nunca homogéneas ni tórnanse activas espontáneamente ó 
muy excitables por diversos modos y agentes. Con el fin de 
que suceda, es preciso hacer intervenir el calor, elevando la 
temperatura, según los casos, á veces hasta el blanco, y 



- 196 — 

sosteniéndola en tales grados por tiempo variable, en oca- 
siones considerable, dependiente de la naturaleza de los ele- 
mentos del sistema y de las propiedades que haya de tener 
el estado final que se intenta alcanzar; pues ya queda esta- 
blecido hasta qué punto la actividad adquirida por las diso- 
luciones amorfas que se estudian es función de la tempe- 
ratura; lo es también de las masas relativas de los compo- 
nentes y de la particular naturaleza de cada uno, mas sólo 
dentro de ciertos límites, que no pueden ser de antemano 
señalados; así en el fenómeno de que se trata intervienen 
distintas variables cuyas relaciones y dependencias no se- 
determinan con facilidad, en cuanto no pocas de ellas son 
contingentes ú ocasionales y sus influencias participan de 
iguales caracteres, pareciendo obedecer á las mismas leyes. 
Infiérese de aquí que el mecanismo generador de las disolu- 
ciones sólidas amorfas que se consideran es una condición 
determinante de su actividad, sea cualquiera el modo de ma- 
nifestarla, y á él débense, en mucha parte, las propiedades y 
aptitud de que aquellos sistemas están dotados y de las cua- 
les nunca participan sus componentes considerados en el es- 
tado inicial del cambio. 

Bien estará el notar cómo las disoluciones sólidas de que 
se habla obtiénense sin que sea obligado su paso por el es- 
tado líquido, antes adviértese, cuando la temperatura es su- 
ficiente para fundir la mezcla ó siquiera alguno de sus com- 
ponentes, que el agregado final, aunque homogéneo y de 
muy uniforme estructura, resulta desposeído de actividad é 
inerte para todo linaje de excitaciones. Sólo hay un caso ex- 
ceptuado de la regla, referente á masas fosforescentes, muy 
excitables por la luz, constituidas por sulfuro de estroncio ó 
de bario, obtenidas á 1.300 grados, que aparecen como di- 
sueltas en el fluoruro de calcio, en gran exceso empleado 
como fundente; pero aquí subsisten las cualidades peculiares 
de la disolución sólida, acaso exaltadas, á lo menos en lo 
correspondiente á la intensidad de la luminescencia, merced 



- 197 - 

al influjo del cuerpo indicado. Quizá podríamos admitir que 
para una sola materia activa hay dos disolventes, y de ellos 
el fluoruro de calcio susceptible de fosforescencia en condi- 
ciones determinadas, cuyo hecho tiene semejanzas con otros 
examinados ya por Lecoq de Boisbaudran cuando experi- 
mentaba los efectos de las descargas eléctricas en los tubos 
de Crookes sobre agregados sólidos que contenían una sola 
materia activa y dos disolventes Ajos. 

Merece ser consignado el hecho, juntamente con otro ya 
general, relativo á la intervención de materias volátiles á 
elevada temperatura, las cuales desempeñan los oflcios de 
arrastrar y difundir en la masa de los disolventes los cuer- 
pos solubles, repartiéndolos en ella. Hay un verdadero fe- 
nómeno de transporte, semejante al observado, por ejemplo, 
cuando se obtiene el sulfuro de cinc fosforescente llamado 
de Sidot, y aun el propio sulfuro de estroncio dotado de 
análogo propiedad, actuando sobre la estroncianita mezclada 
con levísima proporción de carbonato de manganeso, el va- 
por de azufre, en- una atmósfera limitada, que contenga vapor 
de cloruro de sodio, á temperatura muy elevada. En realidad 
y aun considerando la unión íntima de dos ó más cuerpos, en 
el mecanismo de las disoluciones sólidas, siquiera en las 
aquí estudiadas, hay siempre transporte de materia y pene- 
tración de masas; pues sólo de tal modo resultaría posible 
la homogeneidad peculiar del sistema en el estado flnal ó de- 
finitivo, cuando goza de la plenitud de sus actividades, y no 
sería aventurado el admitir que una parte del calor necesario 
se invierte en los trabajos de transporte, necesarios para 
que se establezca el contacto molecular del disolvente con la 
materia activa, y esta es la fase indispensable del mecanismo 
generador de las disoluciones sólidas amorfas y activas, que 
no han menester para ser formadas el cambio de estado 
transitorio de sus componentes. 

Cuando se consideran en su generalidad, son las indica- 
das sus características esenciales, y pudiera decir comunes, 



- 198 — 

á toda especie de disoluciones sólidas de este linaje; pero 
dentro de la clase es menester distinguir grupos diversos, 
cada uno de los cuales posee su individualidad particular, 
determinada juntamente por los modos de formación y las 
propiedades ó actividades adquiridas en el estado final y 
que tienen condiciones de permanencia, aun hallándose su- 
jetas á diferentes cambios accidentales. Obedece sólo la 
agrupación indicada á la necesidad de ciertas separaciones 
que limiten de algún modo los fenómenos observados al 
producir variadas materias activas, sólidas y complejas, jun- 
tando, no siempre por medios idénticos, cuerpos química- 
mente inertes unos respecto de los otros y dotados de sin- 
gular fijeza para las acciones del calor; en realidad se trata 
de introducir en grandes masas de los más indiferentes pe- 
queñísimas proporciones de substancias, también poco alte- 
rables estando aisladas, pero que sirven como de activado- 
res de las primeras, y esto se consigue apelando á diversos 
artificios de los cuales depende, en mucha parte, la activi- 
dad de los sistemas resultantes, que casi siempre ha menes- 
ter de excitaciones para manifestarse. 

No son por punto general permanentes las modificacio- 
nes tantas veces nombradas, sino mejor fenómenos acciden- 
tales y reversibles: lo que permanece en la disolución sólida 
es la capacidad, la aptitud en cuya virtud se modifica me- 
diante acciones externas, ó ella misma, gracias á su pro- 
pia actividad, ejerce oficios de agente de metamorfosis quí- 
micas, en ocasiones harto complicadas. Y ya de estas distin- 
tas manifestaciones se origina una división, la cual aparece 
con mayor claridad si consideramos de un lado las disolu- 
ciones sólidas que manifiestan su actividad mediante cam- 
bios de orden físico, y ponemos de otro lado las que al ex- 
teriorizarla producen alteraciones químicas del sistema, si- 
quiera sean pasajeras y limitadas , como equilibrios inesta- 
bles, siendo de advertir que las formas de los cambios se 
relacionan directa é inmediatamente con los modos de obte- 



- 199 - 

ner las disoluciones sólidas, y esto aun dentro de cada ca- 
tegoría, conforme lo tengo observado al obtener sulfuros 
metálicos fosforescentes, estudiando las influencias de los 
distintos procedimientos en sus propiedades individuales, 
sobre todo en la excitabilidad y duración de la luminescen- 
cia, que con ellos y la naturaleza de las matenas activas 
aparece siempre enlazada. 

Dedúcese de lo apuntado, que los sistemas estudiados, 
amorfos y activos, y que sirvieron principalmente de base y 
fundamento á las ideas desarrolladas en el presente trabajo, 
pueden agruparse formando tres clases distintas, diferencia- 
das por la manera de manifestarse sus actividades y por los 
modos de generarlos partiendo de sus elementos, á saber: 

a) disoluciones sólidas constituidas mezclando ínti- 
mamente sus componentes y calentando luego al rojo. 
Se excitan á la temperatura ordinaria, en el vacío, por ( 
las descargas eléctrícas, produciendo fenómenos de lu- 
minescencia sólo mientras duran las excitaciones; con- 
servan sus aptitudes indefinidamente. 

b) disoluciones sólidas formadas por dos metales, 
sin que al calentados llegue á fundirse ninguno de éstos. 
Poseen actividad propia que no requiere excitaciones 
y en virtud de ella sirven para provocar diferentes ac- 
ciones químicas. 

c) disoluciones sólidas constituidas por modificacio- 
nes de orden químico, llevadas á cabo á temperatura ele- 
vada. Resultan activas, han menester ser excitadas, pro- 
duciendo entonces fosforescencia, é inherentes á ella son 
determinados cambios reversibles entre el disolvente y 
la matería activa, disuelta en cortísimas proporciones. 

Observaré, respecto del primer grupo, que comprende las 
disoluciones activas de Lecoq de Boisbaudran, ya conside- 
radas en otra parte de mi estudio y sólo añadiré, completan- 
do lo entonces dicho, que su homogeneidad resulta de las 



— 200 — 

acciones del calor, luego que las mezclas, hechas lo más ín- 
timas posibles empleando medios mecánicos, son sometidas, 
durante algún tiempo, á elevada temperatura, sin lo cual no 
se generan las disoluciones sólidas activas. Su excitabilidad 
y aptitudes respecto de la luminescencia son funciones de la 
naturaleza de los componentes y de los estados de concen- 
tración de los sistemas, y nótase que de iguales causas de- 
penden la intensidad, el color y la persistencia de fosfores- 
cencia, en los casos en que es advertida, después de haber 
cesado la excitación eléctrica que la produjera. No será 
aventurado el admitir que las mezclas utilizadas en los expe- 
rimentos de Lecoq de Boisbaudran son á modo de disolucio- 
nes normales ó sistemas límites uniformes, caracterizados 
por la facultad de ser impresionables, revelando su activi- 
dad con manifestaciones luminosas particulares, sin que al 
constituir tales sistemas sea menester cambiar para nada el 
estado sólido inicial de sus elementos, en ocasiones nume- 
rosos, mas siempre relacionados conforme lo están los disol- 
ventes con las substancias que han de disolver. 

Entra en la segunda categoría cierto linaje de agregados 
metálicos, que no son propiamente aleaciones, ni para obte- 
nerlos se necesita fundir ninguno de sus elementos; la unión 
efectúase antes del cambio de estado y aun es condición pre- 
cisa no alcanzar siquiera á iniciarlo para que las disolucio- 
nes resulten activas y capaces de provocar determinadas ac- 
ciones químicas. Un ejemplo de semejantes disoluciones só- 
lidas, es el llamado par cinc cobre: actúa el primero como 
disolvente y las proporciones de los metales necesarios para 
lograr el sistema activo típico son 

Zn 9 partes 
Cu 1 parte 

é importa tener en cuenta el procedimiento adoptado que- 
riendo lograr un agregado homogéneo de estos dos metales, 



- 201 - 

sin llegar á fundirlos, empleando el calor. Conviene usar li- 
maduras de cinc puro, no muy finas, bien lavadas con alco- 
hol y éter, desecadas á 110° durante bastante tiempo y con- 
servadas en el vacío seco hasta el momento de emplearlas: 
e! cobre ha de estar muy dividido, debiendo preferir el que 
se consigue reduciendo el óxido cúprico puro, pulverizado y 
calentado al rojo en un tubo de porcelana, por el hidrógeno 
asimismo puro y desecado, y tengo advertido que resulta 
tanto más eficaz cuanto más lenta sea la reducción y se lleve 
á cabo á menor temperatura, no pasando de la correspon- 
diente al rojo sombrío; de todas suertes, es buena práctica 
desecar el cobre obtenido en el vacío, evitando todo lo po- 
sible las alteraciones de la superficie, que podrían ser gran- 
demente perjudiciales á la actividad de la disolución me- 
tálica resultante. 

Para generarla se suelen seguir dos métodos, apenas 
diferenciados á no ser en ciertos pormenores y detalles 
operatorios. Uno de ellos consiste en mezclar íntimamente 
las cantidades de los metales que quedan indicadas; la masa 
se coloca en un matraz de vidrio de Jena, siendo indispen- 
sable tenerlo perfectamente seco; se cierra con tapón atra- 
vesado por un tubo capilar y se calienta gradualmente, 
agitando siempre, hasta que desparezca el brillo metálico 
y la disolución sólida resulte de tonos agrisados y ama- 
rillentos; en la práctica del otro sistema se calienta primero 
el cinc disolvente en el mismo matraz, tapado conforme es 
dicho, y sin dejar de agitar y sin que disminuya la tempera- 
tura, se le va agregando el cobre hasta conseguir la masa 
anterior de aspecto homogéneo, que también lo tiene en su 
interior, demostrando así la difusión de los metales uno en 
otro y su penetración mutua para constituir un sistema nue- 
vo dotado de cualidades de que no participan aislados los 
metales componentes, sin que por eso pierdan sus respecti- 
vas individualidades, aunque su conjunción sea causa de 
que aparezca el estado activo característico. 



— 202 — 

Fué repetida diferentes veces y en muy distintas condicio- 
nes la obtención del par Zn = Cu, y á la continua he no- 
tado, siguiendo las prescripciones de Gladstone y Tribe, 
que las proporciones respectivas de los metales que resultan 
más convenientes son las apuntadas, y agregaré, además, 
las siguientes particularidades. Es menester evitar, con los 
mayores cuidados, la presencia de trazas siquiera de hume- 
dad, desecando rigurosamente los metales y la vasija donde 
ha de efectuarse su disolución; no es menos necesario pre- 
venir, en cierta medida, las oxidaciones, y considero buena 
práctica operar en matraz cerrado, siempre que atraviese 
el tapón un tubo capilar de vidrio; no obstante, la presencia 
de mínimas proporciones de óxidos, no mayores de 15 mili- 
gramos por 100 gramos de masa, contribuye á sostener la 
actividad de la disolución sólida. Mayor importancia tiene la 
temperatura á la cual se efectúa; ha de ser menor de 412", 
punto de fusión del cinc, y en mis experimentos fué la más 
eficaz 330". Basta que el metal citado experimente un co- 
mienzo tan sólo de cambio para tornarse líquido, y ya la di- 
solución no aparece activa ó posee débilísimas aptitudes, y 
lo propio acontece cuando el calor no es suficiente y el di- 
solvente conserva algo de su peculiar aspecto metálico, he- 
cho que indica cómo hay un punto crítico en el cual se 
constituye la disolución sólida, con la concentración debida 
para que resulte dotada de la actividad máxima, aquí reve- 
lada en las aptitudes especiales, en cuya virtud se efectúan 
reacciones químicas de otra manera imposibles. 

Que en este caso se cumple cuanto queda dicho tocante á 
las influencias de las masas respectivas del disolvente y de 
la materia disuelta, de su naturaleza, del mecanismo de su 
difusión mutua y de la temperatura, no hay para qué esfor- 
zarse en demostrarlo. Sin cambio de estado, sin llegar á 
formar latón, el cobre se disuelve en el cinc en la propor- 

1 
ción de — , constituyendo acaso un compuesto intermedio 



— 203 - 

con cierta concentración máxima á determinada y fija tem- 
peratura como en las disoluciones ordinarias; cesando la ac- 
ción del calor y frío el agregado resultante, que no tiene 
aspecto metálico, goza de actividades singulares de las que 
carecen sus componentes aislados; tal es el hecho que se 
utiliza luego para realizar diversas transformaciones quími- 
cas, debidas al cabo á la actividad de una disolución sólida 
metálica obtenida en determinadas condiciones y como con- 
secuencias de acciones térmicas directas, productoras de fe- 
nómenos particulares y no bien determinados de difusión de 
un sólido en otro sólido. 

Genéranse de distinta suerte las disoluciones sólidas co- 
rrespondientes al tercer grupo, del que son tipos los sulfuros 
fosforescentes de estroncio, bario y calcio, por tan largo 
tiempo objeto de mis estudios é investigaciones y cuyo me- 
canismo de formación importa recordar. Cualesquiera que 
sean los métodos de obtención y el estado inicial de las ma- 
terias empleadas, á temperatura elevada y sostenida durante 
algún tiempo en los limites del rojo vivo, se constituyen los 
cuerpos SSr - SBa — SCa, considerados disolventes, y 
en el acto se difunden en su masa, gracias á pequeñas canti- 
dades de un fundente alcalino y una substancia volátil {CO:^ 
Na.2 y ClNa en mis experimentos), leves proporciones de 
ciertas materias calificadas de activas y que suelen ser, por 
punto general, combinaciones metálicas oxidadas bastante 
sencillas {0¿BÍ2 — O. Mn., — O3 Ur^,, etc). Después de len- 
to enfriamiento, obtiénense masas de ordinario bastante ho- 
mogéneas, de estructura granujienta particular, que han ex- 
perimentado, á lo menos en la superficie, un comienzo ó prin- 
cipio de oxidación y cuya actividad se manifiesta en ser im- 
presionables por la luz, tornándose fosforescentes durante 
cierto tiempo en la obscuridad, con coloraciones é intensida- 
des tan dependientes de la naturaleza del disolvente como del 
metal en la materia activa contenido; y luego de extinguida 
la luminescencia, el cuerpo capaz de ella conserva portiem- 



— 204 - 

po indefinido, y en ocasiones todavía más despierta y au- 
mentada, la aptitud para recibir las impresiones de la luz con 
sólo someterlo breves momentos á sus directas influencias 
sin acceso del aire. 

Recientes investigaciones confirman la idea de considerar 
com ) perfectas disoluciones amorfas, dotadas de propieda- 
des particulares, los sulfuros fosforescentes mencionados y 
acas9 otros susceptibles de presentar análogo fenómeno, é 
indagando acerca de ello, creo haber llegado á ciertos resul- 
tados, que atañen á las influencias de las substancias activas, 
conforme á su estado, y al propio mecanismo del fenómeno 
de la luminescencia, no limitado, á lo que entiendo, á simples 
absorciones de energía luminosa, y aun cuando en otro lugar 
he indicado algo de tales observaciones, las completaré aquí 
con nuevos datos. Así pretendo que aparezca estudiado un 
grupo especial de disoluciones sólidas características, acti- 
vas, y entre cuyos componentes aislados y sin que interven- 
ga el calor, no se establecen, á la temperatura ordinaria, re- 
laciones de orden químico de ninguna clase, sólo posibles 
cuando al formarse el disolvente, al rojo vivo, en su masa 
se hace penetrar el compuesto metálico. 

Hay para cada una de estas disoluciones sólidas su tem- 
peratura crítica de formación y es precisamente aquella á la 
cual se constituye el sulfuro metálico alcalino terroso en con- 
diciones tales que no modifique el estado químico de la ma- 
teria activa, que para serlo ha menester no entrar en ninguna 
combinación sulfurada, fija y colorida de tonos obscuros, que 
cuando tal acontece es sabido cómo las masas se vuelven 
inertes para la luz y no son susceptibles de fosforescencia. 
Este mismo hecho demuestra que los sulfuros de ella dota- 
dos son tales disoluciones sólidas, porque la substancia ac- 
tiva difundida en su masa no se modifica químicamente, al- 
ternádose de modo permanente, aunque el sistema consti- 
tuido sea susceptible de cambios adventicios, de carácter re- 
versible conforme veremos; pero que no resultan de ellos 



- 205 - 

las alteraciones que implicaría la formación definitiva de sul- 
fures metálicos á expensas del cuerpo disuelto, y se prueba 
porque alterando de alguna manera el sulfuro de estroncio 
activado con el subnitrato de bismuto, pierde en absoluto 
sus cualidades fosforescentes, tornándose inerte y de color 
pardo obscuro en cuanto se forma sulfuro de este metal, y 
el hecho tiene importancia pues revela que el estado de la 
materia activa en las disoluciones de que se trata ejerce in- 
fluencia decisiva en los fenómenos de luminescencia, tanta 
acaso como la propia naturaleza de la misma materia, que 
no alcanza, sino en determinados casos, á modificar las co- 
loraciones consideradas típicas y cuya inmediata dependen- 
cia de los sulfuros disolventes parece notoria y la tengo bien 
establecida en los de estroncio, bario y calcio, cuyos res- 
pectivos colores de fosforescencia, verde, amarillo y violeta, 
apenas cambian sus matices, en igualdad de las demás con- 
diciones, siendo materias activas compuestos de bismuto, 
uranio, manganeso ó torio. 

Sin embargo, su eficacia, en todos sentidos, parece mejor 
regulada por la temperatura de formación de las disolucio- 
nes, distinta, conforme lo he demostrado, no para cada ma- 
teria activa, sino para cada disolvente, y es de suerte que 
pasada ó sostenida por tiempo excesivo, el sistema resultan- 
te ya no es verdadera disolución sólida y hállase formado 
de un sulfuro alcalinoterroso, teñido de obscuro con otro 
sulfuro metálico correspondiente á la substancia disuelta, 
que le sirve de pigmento, y cosa análoga sucede cuando las 
proporciones de ésta superan mucho á las necesarias para 
saturar el disolvente. En general, la luminescencia puede 
producirse en estados de concentración que no alcanzan á 
las saturaciones completas, y en los casos en que hallán- 
dose en exceso el fundente puede convertirse en disolvente, 
llegan á ser fosforescentes, aun estando sobresaturadas de 
materia activa. 

Importa señalar ahora una característica suya que influye 



— 206 - 

grandemente en las propiedades de los sistemas resultantes. 
No es indiferente el estado de combinación de los metales 
que las forman y desde luego diré que no deben ser colo- 
ridas, á no ser de tonos amarillentos ó rosados, para que no 
tiñan de obscuro las masas, que entonces no pueden ser lu- 
minescentes; tampoco sirven en calidad de materias activas 
los sulfuros metálicos pardos ó negros, ni aquellos otros 
cuerpos susceptibles de formarlos, fijos y estables, á la tem- 
peratura de generación de las disoluciones sólidas de que se 
trata. Por punto general he conseguido los mejores resulta- 
dos, tocante á la luminescencia del sulfuro de estroncio, em- 
pleando óxidos ó substancias que al ser disociadas por el 
calor pudieran dejarlos como residuo; tales son el carbonato 
y el sulfato de manganeso, el sulfato de uranio, y sobre todo, 
los nitratos de este metal, de bismuto y el subnitrato del úl- 
timo; su eficacia es singular y de ella participan casi todos 
los compuestos semejantes, con tal que de ellos procedan 
óxidos estables, que no sean susceptibles de transformarse 
en sulfuros mediante las acciones del disolvente, á elevada 
temperatura; é interesa advertirlo, porque lo tengo demos- 
trado en muchos y variados experimentos, practicados con 
el fin de lograr agregados fosforescentes, difundiendo en un 
gran exceso de sulfuro alcalinoterroso O gr. 015 de cuales- 
quiera de los cuerpos S,; Bi., — 5 Mn — S-¿ Ur., sin haberlo 
conseguido nunca y en cambio resultan excitables por la luz 
y producen luminescencia de regular intensidad y no mucha 
duración, si la materia activa hállase constituida por mez- 
clas de sulfuros y óxidos, siempre que los primeros no ac- 
túen á modo de pigmentos dando á las masas coloraciones 
obscuras, en cuyo caso ya es sabido que no pueden ser fos- 
forescentes, en particular si el tono es uniforme. 

Tiene importancia, en este sentido, el hecho de haber ob- 
tenido varias disoluciones luminescentes con sulfuros de ba- 
rio y de estroncio que no son blancas, ni agrisadas, sino 
pardas no muy obscuras las del primero y verdosas las del 



- 207 — 

segundo, habiendo empleado siempre, en calidad de mate- 
ria activa el subnitrato de bismuto, que entonces, mediante 
las acciones del calor, á la temperatura del rojo vivo, y en 
contacto del sulfuro disolvente, experimenta ciertas modifi- 
caciones y en parte conviértese en sulfuro. Así, en la diso- 
lución sólida resultante, en semejante estado hállase una 
porción del bismuto y la mayor constituyendo óxido, en 
cuya forma sólo es eficaz respecto de la fosforescencia, tanto 
más intensa, cuanto menores sean las proporciones de sul- 
furo de bismuto que contenga. 

Júzganse de tal manera los hechos en vista de numerosos 
resultados experimentales, que demuestran no ser los sulfu- 
res metálicos por sí solos materias activas cuando se disuel- 
ven en otros sulfuros en el acto de su formación á eleva- 
da temperatura y fuera del método que pudiera llamar di- 
recto y en el cual se emplean 100 gramos de carbonato de 
estroncio, 35 de azufre, 2 de carbonato de sodio deseca- 
do, O gr. 5 de cloruro de sodio y O gr. 015 de sulfuro de bis- 
muto, calentando la mezcla por cuatro horas al rojo vivo, 
obteniendo una masa obscura no impresionable por la luz 
ni fosforescente, he tratado de modificar un sulfuro de es- 
troncio muy luminescente, activado con el subnitrato de bis- 
muto y que ni siquiera trazas de sulfuro de este metal con- 
tenía. Para alcanzar semejante fin, lo he sometido, calentán- 
dolo al rojo en un tubo de porcelana, á una corriente de ácido 
sulfhídrico puro y seco; el cuerpo se obscureció poco á poco, 
y ensayado diferentes veces , pude advertir cómo su impre- 
sionabilidad respecto de la luz disminuía á cada punto y con 
ella la intensidad de la fosforescencia, hasta llegar á extin- 
guirse cuando todo el bismuto se ha convertido en sulfuro, 
que no es activo. Es posible que la disolución sólida subsis- 
ta representada por la masa homogénea y uniforme, colori- 
da de obscuro, en la que hay dos sulfuros, siempre inertes 
entre sí y mutuamente difundidos uno en otro, lo cual signi- 
fica un cambio en las condiciones del sistema por variación 

Rkv. Acad. Ciencias.— V. — Octubre, igoó. i+ 



— 208 — 

del estado del menor de sus componentes, que al experi- 
mentar una transformación química pierde sus calidades de 
actividad y no produce en modo alguno aquellas propieda- 
des que consideramos inherentes de su primitivo estado de 
óxido, cuando fué transportado y repartido en la masa del 
disolvente, en el acto de generarse á la temperatura del rojo 
vivo sostenida durante bastante tiempo. 

Unidos los experimentos citados á otros practicados con 
análogos intentos, resulta que los sulfuros de los metales 
pesados nunca han sido materias activas tocante á la fosfo- 
rescencia y á la excitabilidad por la luz de que son suscep- 
tibles algunas disoluciones sólidas amorfas, generadas en las 
condiciones particulares que tengo estudiadas con sus por- 
menores, y el hecho es singular porque hasta la sílice puede 
gozar de aquella excelencia, Más todavía; la presencia de 
sulfuros metálicos coloridos en las masas luminescentes llega 
á disminuir su actividad, logrando reducirlas al estado iner- 
te, cuando sus proporciones son considerables y en realidad 
está destruida ó transformada la substancia eficaz. 

Lejos de mi ánimo el pretender que con los experimentos 
realizados y las observaciones llevadas á cabo, aun siendo 
el número muy considerable, hay suficiente caudal de he- 
chos para fundar una doctrina cierta respecto de las evolu- 
ciones y desenvolvimientos de la actividad en las disolucio- 
nes sólidas de ella dotadas; que el fenómeno es mucho más 
complicado de lo que á primera vista parece y la lumines- 
cencia constituye sólo una de sus manifestaciones. Exami- 
nándola en sus variantes esenciales y tratando principal- 
mente de la impresionabilidad para la luz directa, cuya fa- 
cultad se conserva sin aminorarse por tiempo indefinido y 
persiste en tanto que las acciones químicas no alteren el 
sistema de la disolución sólida, diríase, con cierto funda- 
mento, que al penetrar la materia activa en el disolvente y 
difundirse en la masa del mismo para constituir, en definiti- 
va, un estado homogéneo, penetra también, acaso arrastrada 



— 209 — 

por sus moléculas, á la elevada temperatura á que se opera, 
cierta cantidad de energía externa, á modo de carga de las 
mismas, que se manifiesta en la fosforescencia, cuando me- 
diante las acciones de la luz aquéllas se escinden, generán- 
dose un nuevo estado químico reversible, y mientras la re- 
versibilidad al primitivo se cumple, es cuando aparece la lu- 
minescencia, que sería entonces fenómeno químico ó parti- 
ciparía mucho de semejante carácter. Claro está que esto 
es sólo una conjetura; pero se apoya en el hecho fundamen- 
tal de ser adquirida la actividad de la disolución sólida, 
que nunca se reconoce en sus componentes y nada se opone 
á que, mediante las acciones del calor, adquieran los pro- 
ductos de las disociaciones moleculares llevadas á cabo 
ciertas cargas de energía y las arrastren consigo al sistema 
formado, y al excitarlo la luz, como varían ya las condicio- 
nes, se manifiesta aquélla en los fenómenos de luminescen- 
cia, tornando, cuando el efecto es pasado, al equilibrio mo- 
lecular que la disolución sólida representa. 

Varias veces he pretendido, con ánimo de demostrar lo 
que dejo indicado, examinar los modos de estar y las alte- 
raciones mutuas del disolvente y de la materia activa antes 
de las excitaciones luminosas y durante la fosforescencia. 
Hasta el presente son inciertos los resultados conseguidos y 
no permiten hipótesis de ninguna especie; sin embargo y con 
las mayores reservas algo podría suponerse, advirtiendo el 
carácter de las acciones químicas de la luz, á la continua 
más prontas y enérgicas que las del calor, teniendo en cuen- 
ta la índole y, sobre todo, la intensidad de las transforma- 
ciones producidas. 

Mientras no está sometido á las influencias luminosas, su- 
pongamos que en el sulfuro de estroncio, activado por el 
subnitrato de bismuto, hay un sistema 

SSr 



0,Bi, 



— 210 — 

homogéneo, con sus correspondientes cargas en la manera 
dicha. Nada se opone á que aquellas excitaciones causen, 
de momento, la modificación parcial así representada: 

3SSr^ 0:,BU = S,BL 30Sr;\a\, 

en cuyo caso, aunque la energía queda libre, no se manifies- 
ta, y cesando la causa excitadora tiende á hacer recobrar al 
sistema el primitivo equilibrio; así el estado [a] no es perma- 
nente y apenas formado tiende á la reversibilidad completa, 

3 O 5/- + S, Bi, = 3SSr~\- O., BU [b], 

que no es instantánea, y mientras se lleva á cabo y determi- 
na el estado [b] es cuando se desarrolla la fosforescencia, y 
la hipótesis explica que recobrado, como no hay pérdida 
de energía, la masa debe conservar sus aptitudes, sin expe- 
rimentar disminuciones de ningún género, conforme en to- 
dos los casos es de continuo observado. 

Ya se comprende — y en hacerlo patente tengo empeño - 
que sólo expongo los principios de una hipótesis, cuyas ten 
dencias son el admitir que con las substancias denominadas 
activas, y unida á sus elementos primordiales como verdade- 
ra carga suya, penetra en la materia del disolvente cierta 
cantidad de energía, que permanece en el sistema y la lumi- 
nescencia representaría una perturbación pasajera y que 
cesa en cuanto de la forma [a], cuya generación es inme- 
diata, se pasa á la forma \b\, estable y definitiva del siste- 
ma. A esto conduce, en mi entender, el considerar los sul- 
furos fosforescentes de estroncio, de bario y de calcio como 
muy perfectas disoluciones sólidas amorfas dotadas de ac- 
tividades propias, que tienen ciertas semejanzas con las de 
los productos de la disociación de los compuestos salinos 
metálicos en las disoluciones líquidas ordinarias, y además 
el estudio general, que á lo menos por ahora aquí termina. 



— 211 — 

paréceme que contiene algunos datos originales y nuevos 
puntos de vista relativos al conocimiento de los estados 
sólidos, los cuales, atendiendo á las mutuas modificaciones 
de sus propios elementos constitutivos, no pueden ser la 
consecuencia, conforme dice Van'T. Hoff, de una consti- 
tución molecular complicada. 

(Lab(irftforio do (Juíiiiica do la Fsfiida Suporior de Artes t' Industrias de Madrid, IDOri-IÜOOi 



X. - Sobre los residuos cuatlráticos. 

Por Juan J. Durán-Loriga. 

En el tomo VIII, año 1901 , de V Intermédiaire des mathé- 
maticiens propusimos la cuestión siguiente: «La suma de los 
residuos cuadráticos de un número primo p > 3 es siempre 
múltiple de p; pero esta propiedad no es exclusiva de los 
números primos (ejemplo los números compuestos 14 y 15). 
¿Qué condición ha de cumplir un número compuesto para 
gozar de dicha propiedad? » 

Dos respuestas se dieron á esta cuestión, la una comple- 
tamente errónea, por haber interpretado mal la pregunta, y 
la otra debida al ilustre matemático suizo Sr. M. Lerch, pro- 
fesor en la Universidad de Fribourg, que respondía parcial- 
mente á esta difícil cuestión. Más tarde, este mismo profesor 
volvió á ocuparse del asunto en un notable trabajo publica- 
do en la Revista italiana Annali di matemática pura cd 
applicata, bajo el título «Sus quelques applications des 
sommes de Gauss », en el que también trata otros puntos 
importantes. La propiedad que en el enunciado de la cues- 
tión se cita para los números primos, mayores que tres, se 
puede demostrar de un modo completamente elemental. 



— 212 — 

Basta recordar que para un número primo p los restos cua- 

dráticos son en número - y todos resultan de la serie 

2 
1 - 
1-, 2-, ( — \ y que siendo la suma de los elemen- 
tos de ésta, congruente con la que se busca, bastará demos- 
trar la propiedad para la expresión 

p{p-\){p+\) 



24 



lo cual es inmediato, pues siendo 24 primo con p debe divi- 
dir al producto de los otros dos factores y la citada expre- 
sión será, por lo tanto, múltipla de p. 

Obsérvese de paso que el hecho de dividir 24 á (p — 1) 
(p -f 1) ó sea p- — 1 , demuestra por incidencia la conocida 
proposición de que siendo p primo y mayor que tres se ve- 
rifica la congruencia 

p'^ = 1 (mód. 24), 

ó en otros términos : El cuadrado de un número primo ma- 
yor que tres disminuido en una unidad es siempre divisible 
por 24. 

Pero cuando se trata de números compuestos, ocurre, que 
si bien los restos cuadráticos se derivan como antes de las 
series 



1 -, 2-, 3-, / — j si /2 es par, 

/ n 1 \ "- 

1-, 2-, 32, ( — —- I s\ n QS impar; 



estos números no dan por precisión restos diferentes como 
en el caso de ser el módulo primo y, por consiguiente, la 
anterior demostración no es aplicable. Se impone en general 



213 



el empleo de doctrinas elevadas de esta rama de la ciencia. 
El Sr. Lerch, limitándose al caso de ser n impar y á otras 
circunstancias que restringen la cuestión, utiliza como punto 
de partida la célebre igualdad de Gauss, 



1 -^-^^^ ,,„> ^iu,-l,. 



2/ " -if]:' \'ñ. (t) 



en la cual n es impar y además m y n son primos entre sí. 
La igualdad (1), llamada Suma de Gauss, fué consecuen- 
cia de los trabajos del gran analista acerca de la determina- 
ción de la suma de potencias de las raíces primitivas de una 
ecuación binomio, teniendo por exponentes los cuadrados 
de los números inferiores á un módulo dado, investigación 
á que también se consagraron otros eminentes matemáticos, 
como Dirichlet, Cauchy y Kronecker. En la Memoria del cé- 
lebre geómetra de Góttingen, Teoría de la división del circu- 
lo, se determina el cuadrado de la suma, pero se presenta 
incertidumbre acerca del signo al pasar de la potencia á la 
raíz, dificultad que al fin venció en un trabajo posterior 
(Summatio quarundam serierium singularium) por la trans- 
formación de la mencionada suma en un producto de senos. 

En la expresión (1) el factor \n es precisamente positivo 

y el( — I es el símbolo de Legendre, pero con la extensión 

V n I 

que le úiójacobi, y sobre el cual creemos conveniente decir 
algo á los lectores que no estén familiarizados con esta clase 
de investigaciones. 

Legendre representó por el símbolo / — j á la unidad po- 

sitiva ó negativa, según sea m (no divisible por n), residuo 
ó no residuo cuadrático del número primo n, es decir, según 
sea ó no posible la congruencia 

x2 = /72 (mód. /?). 



— 214 - 
Son consecuencia inmediata de la definición las igualdades 

así como también el que un conocido teorema de la Teoría 
de los residuos cuadráticos se exprese por la siguiente 
igualdad: 

(^^)-(7)(7)(7) 

Se ve también que si se tiene m = n (mód. p) resultará 



El símbolo de Legendre juega importantísimo papel en la 
Teoría de los números, y en particular la bellísima proposi- 
ción llamada Ley de reciprocidad, que se traduce en la si- 
guiente igualdad: 

p- 1 Q- 1 



en la que p es un número primo impar (es decir, distinto 
de 2) y positivo y q un número impar cualquiera no divisi- 
ble por p. 

Jacobi introdujo una generalización importante en el 
símbolo de Legendre. Si el número impar P, descompuesto 

en factores primos, da la igualdad P = p p' p" , se 

tendrá por definición: 



m \ / m \ / m \ / m 



m \ ( ^ \( ^ 

~pl~\~p' nV 



— 215 — 

debiendo dar al primer miembro el valor -f 1 ó — 1, según 
el que le corresponda al segundo, es decir, en vista de si los 
factores primos, de los que m es no residuo cuadrático, están 
en número par ó impar. Claro está que si P es primo se cae 
en el símbolo de Legendre, y que si P = 1, el símbolo vale 
la unidad positiva. 

La generalidad de las fórmulas en que entre el símbolo 
de Legendre exige que se admita que, si m es divisible por 
el número primo p, se verifique 

^) = 0, 

P / 

y más generalmente que si m y h no son primos entre sí, se 
establezca 

■^) = °- 

Volviendo á considerar la igualdad (1), observaremos con 
el Sr. Lerch que, si se le da á su primer miembro la forma 



S e 

a— o 



se puede establecer la siguiente: 



«-' ^^^^^ /m^-\ 4>.',-'>' ,,— 

a = \ í? a / 

siendo \k' y í/';j. los cocientes de dividir \i- y n por su máximo 
común divisor dj., puesto que, evidentemente, la suma se 
compone de di>. grupos iguales. 

Por medio de diversas transformaciones, y teniendo en 
cuenta la conocida relación de Dirichlet y Kronecher, 

Ac/(-i)=Vi|(^)J^, (2) 



- 216 - 
llega el Sr. Lerch á la expresión 



"-^* a-m „/ a-772 \J n Q 



V -l^_f 



-y:JJIL\^Cl{-d) (3) 



en la cual d recorre los divisores de n de la forma 4x + 3 
y q- es el mayor divisor cuadrado del número n (que ya he- 
mos dicho es impar); q es, pues, un número impar que 
puede valer la unidad. En cuanto al símbolo t,/, se tiene 
T¿ = 2 para í/ ;:;- 4 y t¿ = 6 para d = 3. 

En la igualdad (2), la cantidad — A es un discriminante 
negativo de la forma cuadrática ax- -\- bx -\- cy~ (algunos 
autores le llaman determinante, en vez de discriminante, 
palabra que, según creemos, introdujo en la ciencia el ma- 
temático inglés Salmón), y el símbolo C/(— A) indica el nú- 
mero de clases positivas y primitivas de las formas cuadra- 
tricas para un discriminante negativo dado. Conviene recor- 
dar que dos formas son equivalentes cuando el sistema de 
números que representa la una es idéntico al que representa 
la otra, y que es condición necesaria, pero no suficiente, para 
la equivalencia que los discriminantes respectivos sean igua- 
les. También debe tenerse presente que un sistema de for- 
mas equivalentes constituye una clase. Asimismo debe sa- 
berse que se llama forma primitiva, según Gauss, aquella 
en que los tres coeficientes son primos relativos, y que una 
forma es positiva cuando lo son los coeficientes extremos. 

Si en la igualdad (3) se hace m = 1 , resulta: 



1 a- n ^ e( — 4- 



n{n -q) 



n^-— Cl{~d) (4) 



— 217 — 

Esta relación demuestra, considerando ahora todos los 
residuos cuadráticos iguales y desiguales que da la serie de 
un sistema completo de restos respecto al módulo n, que 
su suma es divisible por n si n no lo es por 3, pues si lo 

fuese, hay en el segundo miembro el término , puesto 

2 2 1, , n 
que — == — = — , y la suma es congruente con , 

Tg 6 3 3 

según el módulo n. 

Podemos llegar al mismo resultado á que llega el señor 
Lerch por lina vía más elemental, pues la suma de cuadra- 
dos (congruente con la de residuos cuadráticos) es 

^_ n(n~\)(2n-\) 



y al ser el número impar n no divisible por 3, es primo con 6, 
y se tendrá: 5 == multp. n. 

Si n es múltiplo de 3, no se puede hacer el razonamiento 
anterior; pero se puede establecer haciendo n = 3p: 



S + p 



3p(18/7- — 9p — 3) 
6 



, , , 18/72 — 9/7 — 3 

y se ve que el factor — es entero, pues es 

6 

igual á 3p2 P-IL — , resulta, pues, S -\ = multp. n, 

ó bien 5 = — — (mód. n). 

« o 

Puede también observarse que, aun en el caso de ser n 
par, si lo que se pretende es estudiar como antes la suma de 
todos los residuos cuadráticos iguales ó desiguales que ori- 
gina un sistema completo de restos, la investigación es com- 
pletamente elemental, y se ve que, en este caso, no puede 



— 218 — 

ser esta suma múltiple de n. En efecto: si n = 3p(p par), 
los factores {n - 1) y (2/7 — 1), del valor de S, son primos 
con 6, y resulta: 

s = — (mód./2); 

si n = 3/7 -f 1 ó /7 = 3p + 2, se ve inmediatamente que se 
verifica 

s = — (mód. n), 

pues los factores (n — \) y (2/2 — 1) son ambos impares y 
uno de ellos es precisamente múltiplo de 3. 

En el caso en que se desee la suma de los residuos cua- 
dráticos diferentes entre sí, pero precisamente primos con el 
módulo, es evidente que, llamándola s, se puede establecer 
la igualdad 



V 



en la cual Py,p>, p^^ son los diferentes factores primos 

del número n, que suponemos impar, pues al variar v de 1 
á n, cuando pase por un valor no primo con n, el penúltimo 
factor se hace cero y, por lo tanto, el sumando correspon- 
diente, sucediendo lo mismo á uno de los factores/ 1 +( — ) ) 

cuando pase por valores que no sean residuos cuadráticos* 
En cambio, cada vez que v tome el valor de un residuo pri- 
mo con el módulo, el sumando correspondiente se convierte 
en 2^ . V. 

Pero en la igualdad anterior no es posible estudiar la na- 
turaleza de la suma s; de aqui la importancia de lo que esta- 



- 219 - 

blece el Sr. Lerch, después de diversos é ingeniosos desarro- 
llos, y que es la siguiente: 

2"'s = — no(n)~-~n^~ Cl ( - d) Ma (n), (6) 

2 ' rf Trf 

en la que 

El examen de las fórmulas (6) y (7) dice que cuando el 
número impar n no tiene el factor 3, entonces t¿ vale siem- 
pre 2 y, por consiguiente, n divide al segundo miembro de la 
(6) y, por lo tanto, á s por ser primo con 2^**. Ahora, si n es 

divisible por 3 aparece el sumando M.. (n) (puesto que 

T.. = 6); sin embargo, este término será nulo si hay al menos 
otro factor de la forma 3Á: + 1, y entonces s será divisible 
por n. Pero si al ser n múltiplo de 3 los demás factores son 
de la forma 3k + 2, entonces se tiene: 



ó bien 



y, finalmente, 



2^s = 2^ (mód. n), 

3 



2s ~ — — (mód. n), 



s = — (mód. n). 



Falta ahora, para responder por completo á la cuestión 
propuesta, obtener en el caso de n par la suma de los resi- 
duos cuadráticos diferentes y primos con el módulo, y sobre 
todo, y este es el verdadero espíritu de la cuestión, estudiar. 



220 - 



ya sea n par ó impar, la suma de los residuos cuadráticos 
diferentes entre si y primos ó no, indistintamente, con el mó- 
dulo que se considere. 



XI.— Nota sobre la ley de la difusión de los gases 
entre sí. 

Por Enrique Hauser. 

En los tratados de Física se habla de la difusión de los 
gases entre sí como una consecuencia de su fuerza expan- 
siva, y todas las otras causas supuestas constantes, se ad- 
mite que la velocidad de difusión varía en razón inversa de 
la raíz cuadrada de la relación de sus pesos específicos, ó 
sea de la densidad de uno de dichos gases tomado el otro 
como unidad; pero esto, que es cierto si se considera la ve- 
locidad de difusión en un plano horizontal , no es exacto 
para un plano vertical, en cuyo caso hay que tener en cuen- 
ta la fuerza ascensional ó descensional de un gas con rela- 
ción al otro, para reproducir en teoría los fenómenos obser- 
vados en la práctica. En efecto; el grisú en las minas de 
carbón y el ácido carbónico en esas y otras minas ó grutas, 
ocupan respectivamente la parte alta y baja de las galerías, 
resistiéndose aparentemente á la difusión , que no bastan á 
explicar un continuo desprendimiento de gas, pues enton- 
ces la riqueza en gas, si bien creciente al acercarnos á una 
culata de galería, no sería creciente con la altura en el gri- 
sú, ó decreciente con el ácido carbónico. En cambio, te- 
niendo en cuenta la fuerza ascensional de los gases, po- 
demos deducir una fórmula que permita sacar consecuencias 
prácticas de acuerdo con la realidad. 

En efecto; la velocidad de difusión de un gas en otro en 



— 221 — 

un plano vertical, es evidentemente la diferencia entre la re- 
ferida fuerza de difusión que tiende á mezclarlos y la ascen- 
sional que tiende á separarlos, de manera que la velocidad 
efectiva de difusión en un plano vertical, podrá ser repre- 
sentada por la siguiente fórmula: 

V,=-Kx-^-K'(p' -p), 
\d 

en la cual/?' y p son los pesos específicos de los gases 

d = -^, siendo p' '^ p y K y K' dos constantes. Pero como 

P' 
en esta fórmula resultan para la mayor parte de los casos va- 
lores negativos, por ser la velocidad debida á la fuerza as- 
censional, mayor que la causada por la fuerza de difusión, 
utilizaremos al mismo fin su complemento ó sea la velocidad 
de separación. 

Vs = K'{p' -p)--K^, 

\Jd 

en la cual se conservan las mismas notaciones. 

Para poder sacar consecuencias de esta fórmula, debemos 
hallar el valor relativo de las constantes, y para hacer esa 
determinación bastará que tengamos presente que el aire at- 
mosférico presentando igual composición á distintas alturas 
á pesar de la distinta densidad de sus componentes, en él se 
hallan equilibradas las fuerzas de difusión y de separación, 
por lo cual tendremos 

K'ip -p)-K^=0 

\ld 



K'{p'-p)-K\ -^=0; 



Vi 



— 222 — 

y si hacemos A" ^ Kn tendremos 



/í[«(/>-P)-\/|]=o 



\ 



" - (p' - p) 



y si substituímos á p y p' los pesos específicos del nitrógeno 
y oxígeno áO° y 760 '"/„, ó sean p ~= 1,256, p =- 1.430, re- 
sultará 



V-; 



1,43 

1^256 \/ 1,137 



1,43—1,256 0,174 

y por lo tanto tendremos 



6.12; 



V. 



6,12 (P-/7) 



^Vf]- 



de la cual podemos separar la velocidad ascensional ó des- 
censional 

Vaa ^ ^,\2 {p- - p) K 

y la velocidad de difusión horizontal 



^-^Vl 



Con aplicación á la velocidad de separación del metano y 
ácido carbónico del aire, tendremos, partiendo de sus pesos 
específicos, 0,716 y 1,977 respectivamente. 



223 — 



Para el metano y aire : 



Vh- K 



A / 1,293 
V 0,716 



1,345 K 



Vad - 6,12 (1,293 - 0,716) A' = 3,53 K 
Vs - Vad— Vh~ (3,53 — 1,345) K 2,185 K. 

Para el ácido carbónico y aire: 



Vn = K 



\/i^=l, 
V 1,293 



235 A' 



Vad - 6,12 (1,977 — 1,293) K - 4,20 K 
Vs = (4,20 - 1,235) K ^ 2,965 K. 

Por lo cual vemos, que mientras la velocidad de difusión 
en un plano horizontal es mayor en el metano que en el áci- 

1 345 

do carbónico en la relación de — = 1,09, en cambio, la 

1,235 

velocidad descensional del ácido carbónico es mayor que la 




ascensional del metano en la relación de 



4,20 
3,63 



1,19, re- 



sultando para dicho ácido una velocidad de separación ma- 



Rf.v. Acad. CiEKCiAS. — V. — Octubre, 1906. 



— 224 — 

2 965 

yor que la del grisú en la relación -de — ^ 1,355, lo 

2,185 

cual concuerda con los hechos prácticos, pues el ácido car- 
bónico se conserva en el suelo de las galerías con más insis- 
tencia que el grisú en el cielo, por las dos razones antes in- 
dicadas, de menor velocidad de difusión y mayor velocidad 
descensional. Además, la relación de las velocidades vertica- 
les y horizontales en el metano y ácido carbónico, son res- 

. 3,53 „„ 1,235 „. 

pectivamente -- 2,6 y 3.4. 

^ 1,345 4,20 

Como consecuencia de estas velocidades relativas, la dis- 
tribución del contenido de grisú y ácido carbónico con rela- 
ción á la sección longitudinal de una galería mina es una 
curva en apariencia parabólica, como las que indica el ad- 
junto croquis. 



INDICK 

DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO 



PXo8. 



VIII.— Introducción á la Física matemática, por José Echegaray. 143 

IX.— Las disoluciones sólidas, por José Rodríguez Mourelo. . 178 
X.— Sobre los residuos cuadráticos, por Juan /. Duran 

Loriga 211 

XI.— Nota sobre la ley de la difusión de los gases entre sí, 

por Enrique Hauser 220 



La subscripción á esta Revista se hace por tomos completos, 
de 500 k GOO páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos 
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val- 
verde, núm. 26, Madrid. 

Precio de este cuaderno, 1,25 pesetas. 



^^no 



REVISTA 



I I ;. i> / 



REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 



EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES 



MADRID 



Tois/Lo v.-3Mtjnvi:. d. 

(Noviembre de 1©06.) 



1 

MA.DRID 

IMPBEHTA DE LA "GACETA DE MADRID,, 

CAIiLiF. DE PONTEJOS, NÓM. 8, 

teos 



ADVERTENCIA 



Los originales para la Revista de la Academia 
se han de entregar completos, en la Secretarla de 
la Corporación, antes del día 20 de cada mes, 
pues de otro modo quedará su publicación para 
el mes siguiente. 



— 225 - 

XII. — Introducción á la Física matemática. 

Por José Écheqaray. 

Conferencia décinriaprinnera. 

Señores: 

Deseando presentar ante mis oyentes un resumen abre- 
viadísimo de los principios fundamentales de la Mecánica, 
para que cuantos m.e honran con su asistencia á esta Cáte- 
dra, ó cuantos lean estas conferencias cuando se publi- 
quen, no encuentren dificultad de ningún género, y puedan 
pasar sin esfuerzo, desde las Matemáticas elementales y la 
Física ordinaria al estudio gradual de las obras y Memorias 
de los sabios eminentes, que á la Física matemática dedican 
sus esfuerzos, expusimos en la última conferencia el célebre 
principio de las velocidades virtuales, que hasta cierto pun- 
to en sí condensa, tanto los problemas del equilibrio, como 
los del movimiento. 

Y para el equilibrio lo demostramos, evocando en cierto 
modo, porque tantos años han pasado, que es evocación 
casi, la célebre demostración del ilustre Poinsot. 

En esta conferencia hemos de aplicar el mismo principio 
á los problemas de Dinámica, recordando antes, como es 
natural, el principio de D'Alambert. 

D'Alambert, saben la mayor parte de mis oyentes, y los 
que no lo sepan, ahora pueden aprenderlo, que reduce todo 
problema de Dinámica á un problema de Estática, ó, mejor 
dicho, deduce las fórmulas de aquél, de las fórmulas de 
éste, contando entre las fuerzas las de inercia. 

La argumentación no puede ser más sencilla. 

Consideremos un sistema de puntos en movimiento y su- 
jetos á determinados enlaces. 

Rev. AcAD. Ciencias. — V. — Noviembre, 1906. 16 



- 226 — 

Sean (fig. 43) las fuerzas que actúan sobre el siste- 
ma, F^y F.j..., aplicadas respectivamente á los puntos m^, 
m^¿...: se comprende, sin dificultad, que si se considerasen 
completamente libres los puntos m^, m^..., y, además, in- 
móviles, se les podría aplicar á cada uno de ellos cierta^ 
fuerzas, H^ á m^; H.> á m^, y así sucesivamente, tales que 
les comunicasen las aceleraciones que tienen realmente en el 




Figura 43. 



instante que se considera. Bastaría con determinar Hi, //o,.., 
por las ecuaciones del movimiento del punto libre. Para el 

punto /72i 



m. 



m. 



m, 



dP 

dt' 

d'Zj 
dP 



=- //iCOS (//, , JC) 

= //iCos(//,,y) 
^ //i eos (//, , z) 



y lo mismo para los demás puntos. 

Volvamos ahora al sistema en movimiento, suprimamos 
las fuerzas H, pero pongamos en cada punto una fuerza /?, 
igual y contraria á //: ó sea, /z, igual y contraria á //, , /?.., 



— 227 - 

igual y contraria á H,...; es evidente que en este caso cesa- 
ría todo movimiento, puesto que estas fuerzas se oponen 
directamente á las fuerzas motrices de cada punto. 

Más claro, las fuerzas exteriores F mediante los enlaces, 
tienden á producir un movimiento efectivo y las fuerzas h se 
oponen á este movimiento, creando aceleraciones iguales y 
contrarias al movimiento efectivo, que es destruir dichas 
aceleraciones. 

Luego entre las fuerzas F y las fuerzas h debe haber equi- 
librio mediante los enlaces, y, por lo tanto, será aplicable al 
sistema (Fi, /z) el principio de las velocidades virtuales. 

Pero las fuerzas h son numéricamente iguales y contrarias 
á las aceleraciones multiplicadas por las masas, luego ten- 
dremos la ecuación, 

S [(/Zi cosa + X^) i5x + (/Zi eos? + Yy) ^y^ + 
-f-(/ZiCOSy + Zi)^2:i] = 0, 



extendiéndose la suma á 


todos los 


puntos del sistema. 


Ahora bien ; 










/?! cosa ^ — 


//i 


cosa = 


= — mi 


dP 


h^ eos [:! = — 


H, 


eos [i = 


= - m. 


dt- 


h. cosv — - 


H. 


COSv = 


= — m. 


d-'Zi 



dp ' 



luego la ecuación del principio de las velocidades virtuales 
se convierte en 



+ 1--.^+^^ 



) 5^il = O, 



— 228 — 

Ó, si se quiere, cambiando signos, y llamando, para abre- 
viar, FUERZA DE INERCIA á la masa por la aceleración con 
signo contrario 

que se expresa abreviadamente, diciendo que en todo movi- 
miento sujeto á enlaces, y asimismo cuando no los hay, 
deben estar en equilibrio las fuerzas de inercia y las fuerzas 
efectivas. 
Y damos esta definición como si realmente las expresio- 

d^x 
nes — m^ — representasen fuerzas efectivas aplica- 
das al sistema. 

Claro es que si no existen enlaces, todas las variaciones 
de X, y, z son arbitrarias, y entonces todos coeficientes de- 
ben ser igual á cero, lo cual nos da las ecuaciones del mo- 
vimiento ya conocidas para un punto libre: 



d-'x, 

77?, 

dV' 


- X,- 


-0 


777, 

dP 


- Y,^ 


^ 


d-'z, 
"h —-:■ 


~z, 






df- 



6 bien 



d-'X, y 



— 229 - 



d-Zi „ 



Es evidente, que todo lo que dijimos para el caso del equi- 
librio, es aplicable en este nuevo caso. 

Hay, pues, que tener en cuenta, además de la ecuación 
general del principio de las velocidades virtuales, las ecuacio- 
nes de los enlaces L^ = o, ¿3 = o; es preciso diferenciar 

estas últimas, despejar las variaciones ó velocidades virtuales 
dependientes en función de las independientes; eliminar las 
primeras de la ecuación general; igualar á cero todos los coe- 
ficientes de las variaciones que queden, que ya son in- 
dependientes; y por fin, tener en cuenta, además de estas 
ecuaciones, todas las de los enlaces, lo cual nos dará, como 
ya dijimos entre ecuaciones diferenciales, que serán de se- 
gundo orden, y ecuaciones generalmente en términos finitos, 
que serán las de los enlaces, tantas ecuaciones como funcio- 
nes X, y, z debemos determinar por la integración en fun- 
ción del tiempo. 

Nada diremos del método de los coeficientes de Lagrange, 
que implícitamente están comprendidos en la demostración 
de Poinsot, y daremos por terminada esta rapidísima reseña 
de métodos, que la mayor parte de mis oyentes conocen de 
antemano. 

* 
* * 

Dos puntos nos quedan todavía como preparación para el 
teorema de Poincaré; el teorema de Hamilton y las ecuacio- 
nes fundamentales de Lagrange. 

Pasemos, pues, al principio de Hamilton. 



- 230 - 




Consideremos un sistema de puntos sujetos á determina- 
dos enlaces y moviéndose bajo la acción de fuerzas deter- 
minadas. 

El punto m (fig. 44) describirá, por ejemplo, la trayectoria 
AabcB entre el tiempo to y el tiempo t^. 

El punto m describirá asimismo la trayectoria A' C B' en- 
tre los mismos instantes foY ti, y otro tanto pudiéramos de- 
cir para los diferentes puntos del sistema. 

Supongamos ahora, que se 
trata de una curva infinita- 
mente próxima á la verda- 
dera trayectoria de m, que 
es AaB. 

Sea esta nueva curva A a' 
b'c'B. 

Dicha curva es arbitraria, 
pero está sujeta á una con- 
dición, sin embargo, y es que 
sea compatible con los enla- 
ces del sistema. No es la verdadera trayectoria, pero pu- 
diera serlo si fueran otras las fuerzas. 

Lo que hemos dicho para el punto m, pudiéramos decir 
para el punto m' , de modo, que A' D' B' es una curva infini- 
tamente próxima á A' C B'. 

Lo mismo repetiríamos para las restantes trayectorias, á 
cada una de las cuales corresponderá otra curva ó trayectoria 
virtual. 

Los puntos extremos correspondientes á los dos instan- 
tes /= /o y ^= ^ son comunes para dos curvas, y así A> 

A' corresponden al instante /„, y B,B' al instante t^. 

Consideremos la trayectoria AabcB: el móvil m ocupa las 
posiciones a, b, c... en instantes determinados; pues sobre la 
curva virtual Aa b'c'B tomamos puntos arbitrarios a\ b', c' ...., 

pero en serie continua é infinitamente próximos k a,b c 

Esta condición aun puede precisarse más. 



Figura 44. 



- 231 - 

Si el movimiento sobre AB está determinado, esto querrá 
decir que las coordenadas del móvil en cada instante esta- 
rán definidas en función del tiempo por tres ecuaciones: 

x = «(0, y = m> ^-yiO, 

resultado de la integración de las ecuaciones diferenciales. 
Pues bien; los puntos a', b', c' serán tales, que sus coor- 
denadas estarán definidas por tres funciones, cuyos valores 
numéricos diferirán cantidades infinitamente pequeñas con 
respecto á «, p, y: podrían ser, siendo jc^, y^, z^ las coorde- 
nadas de la curva virtual, 



«(0-«i(0, Kt)-Ut), T(0--Ti(0 

serán cantidades infinitamente pequeñas para cada valor 
de t. 

Ahora vamos á expresar dos funciones para ambas cur- 
vas, á saber: 1.°, la semifuerza viva, y 2.°, un trabajo 
virtual. 

En cada punto de la trayectoria, la mitad de la fuerza viva 
del móvil está perfectamente determinada si el movimiento 
es conocido; y en todo caso, la forma de dicha semifuerza 
viva es conocida también; será 

de modo que se puede considerar como una función de t 
conocida ó desconocida; porque tendremos, diferenciando 
las tres ecuaciones del movimiento, 



- 232 — 



^^-.'(0, -^ = Ht), ^ = Yitl 



dt dt dt 

con lo cual se reduce aquélla á 

i/72Í(a'(0)^+(?'(0)^+(r'(/))^V 

Como lo mismo podríamos decir de las demás trayecto- 
rias, sumando todas estas semifuerzas y representando las 
sumas por T, tendremos para la mitad de la fuerza viva del 
sistema en cualquier instante /, 

"-4»[(f)'-(^)"K-f)']- 

= s 1 772 \{a[t)y + {Ht)y + (r(/))^l = F{t). 

Si no se ha resuelto el problema, no se conocerán a, i"^, y 
ni F, pero se concibe que existen. 

Supongamos ahora que cada masa m recorre, no su ver- 
dadera trayectoria, sino lo que podemos llamar la trayecto- 
ria virtual; por ejemplo, la masa m, la línea A a'b'c'B. 

Calculando la mitad de la fuerza viva de este movimiento 
virtual, y llamándola T^, tendremos para todo el sistema: 

r, = 1 1 772 1 {a,{t)y + o^t)y + (ri(oH, 

que no será el valor T para cada instante t; pero que dife- 
rirá infinitamente poco, de suerte que podremos escribir, 
marcando por una delta la variación, 



- 233 - 

Ahora bien, multipliquemos cada variación T por la dife- 
rencial del tiempo que le corresponde; integremos el resul- 
tado entre t^y t^, y tendremos la integral definida, aunque 
infinitamente pequeña, porque cada elemento es el producto 
de dos infinitamente pequeños, 



'J í„ 



T.dt 



Esta es la primer función que tratábamos de determinar. 

Volvamos á la trayectoria AbB y á la trayectoria virtual 
A b'B, y consideremos dos puntos homólogos b y b', que 
corresponderán á un instante t. 

Consideremos asimismo la fuerza F, que es la que deter- 
mina el movimiento del punto m con sujeción á los enlaces, 
pero siendo ella la fuerza que verdaderamente actúa, y ob- 
tengamos el trabajo virtual correspondiente, por ejemplo, á 
la variación virtual bb' del punto b, será: 

Fxbd. 

Si las fuerzas F tuvieran una potencial, es decir, si sus 
componentes fueran las derivadas de una función x, y, z, 
aun podría definirse este trabajo virtual de otro modo; pero 
no entraremos en más pormenores, basta por ahora con lo 
dicho. 

Si para todos los puntos de la trayectoria A B hacemos lo 
mismo y sumamos todos los resultados, que es como inte- 
grar, y si repetimos iguales operaciones para todas las de- 
más trayectorias, que es hacer una suma, pero cuidando an- 
tes de multiplicar cada trabajo virtual por dt, tendremos, 
siendo siempre los límites t^y t^, 



/'(^^ •'"')'"• 



- 234 — 

Pero ya hemos explicado en otra conferencia, que el tra- 
bajo elemental de una resultante es igual á la suma de los 
trabajos elementales de las componentes; luego representan- 
do, en general, las componentes de F por X, Y, Z, y las 
proyecciones de bd sobre los ejes, por ox, ^?/, oz, resultará: 

P S(Xojc + Y^.y + Zoz)dt, 

o t„ 

en que la integral, como queda dicho, comprende del tiem- 
po Íq al tiempo t^, para cada trayectoria, y la 1 comprende 
todas las trayectorias de todos los puntos del sistema, entre 
los puntos A, B; A' , B' ... 

Obsérvese que la fuerza F está determinada para cada 
punto b de las trayectorias, pero esto es como decir, que está 
determinada para cada instante t; luego podrá considerarse 
que X, Y, Z son también funciones de t con lo cual la inte- 
gral tiene una forma perfectamente determinada. 

Sumando ahora las dos integrales obtenidas, la primera 
que se refiere á las semifuerzas vivas en cada instante, y la 
segunda á los trabajos virtuales en ese mismo instante, ten- 
dremos: 

C'l T. dt + f'' >: {Xox 4- Yoy -f Zoz) di, 

ó bien, puesto que las integrales tienen los mismos límites: 
I ^ p[S7_|_v(Xr^x+ Yhy-\- Z^z)]df, 

t/ tu 

cuya integral hemos expresado, por abreviar, por /, y tam- 
bién la podremos llamar la integral de Hamilton. 

El teorema de dicho autor, es el siguiente: 

Dado el movimiento de un sistema de puntos sujetos á en- 
laces, y determinando curvas virtuales que substituyan á 



— 235 — 

cada trayectoria verdadera, pero teniendo los mismos pun- 
tos extremos comunes para los instantes fo y ti, la integral / 
es siempre igual á cero, sean cuales fueren las curvas vir- 
tuales que se elijan. 

O de otra manera, la integral de las variaciones de la mi- 
tad de la fuerza viva y de los trabajos virtuales, será siem- 
pre igual á cero. 

No ha de olvidarse la observación que hicimos en la con- 
ferencia anterior. La integral es infinitamente pequeña, y po- 
dría entenderse que por sí había de ser cero, en cuyo caso 
no existía el teorema. Ha de aplicarse aquí lo que hemos di- 
cho respecto á una suma de términos infinitamente peque- 
ños; han de eliminarse por las ecuaciones de los enlaces las 
variaciones dependientes y cuando queden sólo las indepen- 
dientes, todos sus coeficientes, que serán cantidades finitas, 
han de ser rigurosamente iguales á cero. 

Demostrado ya el principio de las velocidades virtuales, 
la demostración del teorema anterior es de una sencillez ex- 
traordinaria: no hay más que integrar por partes. 

Consideremos en la integral de Hamilton la parte que se 
refiere á T", y en ésta pongamos en evidencia la de una tra- 
yectoria determinada; tendremos, llamando T^ dicha parte 
de T. 

Se sabe por cálculo de variaciones, que los métodos para 
tomar variaciones de una función son los mismos que para 
diferenciar, lo cual es bien claro, puesto que una variación 
es una diferencial en el fondo; y sabemos, además, que el 
orden de diferenciación y de variación puede alterarse lo 
mismo que el de dos diferenciaciones, luego podremos efec- 
tuar las transformaciones siguientes: 



— 236 — 



— m 
2 



X \dt di ^ dt dt dt dt) 

^md ^^ ^Q^ I dy d^y dz doz\^^ 
jt, \ dt dt dt dt dt dt ) 

Ahora podemos integrar por partes cada uno de los tér- 
minos: tomemos el primero, y lo mismo podríamos repetir 
de los restantes, 

I dt={ ox| — I 0^; 

X dt dt \ dt A„ X dt' 

.. . Cdlx ,^ ^ , d^ix ,. 

porque es evidente que I dt, tomando — — at por 

parte integrable, es igual á ox. 

Pero Ix es nula para to y para t^ , puesto que la trayecto- 
ria real y la trayectoria virtual coinciden con sus extremos; 
por lo tanto, la primera parte desaparece. 

Y como podemos decir lo mismo para todos los demás 

dy d^jy dz doz i- u • i • i i 

térmmos — —, — , que están bajo la mtegral, 

dt dt dt dt 

sólo quedará 



X"( 



d'x ^ d-y ^ d'-z ^ , .. 

m hx — m — — í V — m oz dt\ 

dP dt- dt' ' 



es decir, que para la trayectoria que estamos considerando, 
la parte relativa á T será 



— 237 



X X \ dP dt- dP I 

y efectuando igual transformación para todas las trayectorias, 
y substituyendo en la ecuación de Hamilton 



d-x ^ d-y ^ d-z ^ . , 

m ox — m — ^ S V - m ^^ z]-f- 

dt' df' dP ' 



ó bien 



d'y 



'=r'[{"'-s^+^)'^+(^'"^+"''+ 



+^~'"Íf +')'']'"■ 



Pero la cantidad que está entre paréntesis, según el prin- 
cipio de las velocidades virtuales, es igual á cero para todas 
las variaciones de x, y, z, compatibles con los enlaces, como 
hemos supuesto en este caso; luego /= o, y el principio de 
Hamilton queda demostrado. 



Hagamos aplicación de este principio para demostrar las 
célebres ecuaciones de Lagrange, que más de una vez ten- 
dremos ocasión de aplicar en cursos sucesivos. 

Y volvamos á escribir la ecuación de Hamilton, cuyo sen- 
tido hemos procurado explicar con toda la claridad que nos 
ha sido posible. 

La ecuación era ésta: 



— 238 — 
/= f' [í 7+ 1 (Xox + YZy + Zoz)] dt = O, 

en que T representa la semifuerza viva total del sistema en 
cualquier momento, entre fo y ti', en que o significa que se ha 
de tomar la variación de esta semifuerza viva en cada ins- 
tante, comparando la trayectoria verdadera y la trayectoria 
virtual y arbitraria, pero arbitraria dentro de los enlaces; 
en que X, Y, Z son las componentes de la fuerza para cual- 
quier instante; y por fin, en que ox, ly , oz, son las variacio- 
nes de las coordenadas de cada móvil al pasar de la trayec- 
toria verdadera á la trayectoria virtual. 

Claro es, que esta ecuación de Hamilton, tal como la he- 
mos explicado y tal como la hemos demostrado, supone que 
todos los puntos del sistema están determinados por sus co- 
ordenadas X, y, z; pero el teorema es independiente del sis- 
tema de coordenadas que se elija; pues T representa una se- 
mifuerza viva que es independiente de las coordenadas; es 
en cierto modo un parámetro del movimiento en sí. Podrá 
expresarse en función de las coordenadas rectangulares 
X, y, z, ó de otras coordenadas oblicuas ó de coordenadas 
polares, pero siempre tendrá el mismo valor numérico. 

Y, por lo tanto, o 7 para cada instante, también será un 
número determinado. 

En cuanto á ^ [Xox -\- V^y -\- Z^jz], aunque aquí esté ex- 
presado en función de x, y, z, no representa más que un tra- 
bajo virtual, como ya vimos al principio; trabajo virtual que 
tiene un valor en sí independiente del sistema de coordena- 
das: es otro parámetro del movimiento. 

En resumen, la integral de Hamilton es independiente del 
sistema de coordenadas, aunque para la demostración ha- 
yamos escogido el sistema más sencillo ó que más se adap- 
taba al artificio que íbamos á emplear, que, en substancia, 
era el de la integración por partes. 

Precisamente ahora vamos á aplicar la integral de Hamil- 



- 239 - 

ton y su principio á otro sistema de coordenadas, que es el 
que emplea Lagrange: al de las coordenadas verdaderamen- 
te independientes en cada caso. 

Cuando un sistema sujeto á enlaces se mueve bajo la ac- 
ción de ciertas fuerzas, estos enlaces, siempre que se ex- 
presan por igualdades ó ecuaciones, indican que las 3 n 
coordenadas de los n puntos no son independientes; si lo 
fueran, los puntos estarían libres, ó, mejor dicho, sólo esta- 




Pigura 45. 



rían sujetos á las fuerzas directamente aplicadas sobre 
ellos. 

Fijemos las ideas por un momento, que en estas materias, 
un tanto sutiles para los principiantes, nunca se peca por 
excesos de claridad. 

Supongamos tres puntos a, b, c (fig. 45), que se mueven 
bajo la acción de fuerzas, F^, F^, F.¿; pero ad virtiendo que 
el punto a se mueve sobre una curva A; el punto b, ha de 
moverse sobre otra curva B, y el punto c sobre una superfi- 
cie S. 

Además, los puntos a, c, están unidos por una varilla sin 
masa é indeformable, de longitud /; y los puntos by c están 



— 240 - 

asimismo unidos por otra varilla, de longitud /, en iguales 
condiciones. 

Los puntos son tres; el número de sus coordenadas será 
nueve; pero el número de coordenadas independientes, no 
será más que dos. 

Por ejemplo, si sobre las curvas A y Bse toman dos pun- 
tos fijos í2o y ^0» y se representan las longitudes de los arcos 
Oo a por s,y b(yb por s , éstas pudieran ser las verdaderas 
variables independientes. Para cada valor de s, el punto a 
queda determinado. Luego sus tres coordenadas quedan de- 
terminadas también; si las representamos Xi, y^, z^, ten- 
dremos: 

Xi = a(s), y, = ,3(s), z, --= y(s), 

y lo mismo podremos decir para el punto b. Llamando x.,, 
y.j, Z2 á sus coordenadas, también tendremos: 

^2 = «i(s'), J2 = i^i(s'), z,^y,(s'). 

Por último, determinados los puntos a y b, el punto c 
queda determinado, á su vez, porque si el sistema acb gira 
alrededor de un eje ab, el punto c describirá una circunfe- 
rencia, y cuando corte á la superficie S, dicho punto c se 
hallará fijo, y, por lo tanto, determinado. 

Claro es que prescindimos de la multiplicidad de solucio- 
nes para no complicar esta exposición general. 

Resulta de aquí, que las coordenadas del punto c, que lla- 
maremos x.¡, ^3, z.¿, serán funciones, por de contado, de los 
parámetros de las curvas, parámetros que son constantes, 
de los parámetros de las superficies, que son constantes co- 
nocidas también, de las longitudes / y /' de las varillas, y 
de las variables s y s' que fijan las posiciones de los pun- 
tos a y b. 

En suma, 

x., = a.,{s,s'), y-¿^^?^As,s'l z.,==y.,{s,s'). 



~ 241 — 

Vemos, pues, que las verdaderas variables independien- 
tes no son las nueve coordenadas, sino las dos longitu- 
des s y s'. 

Se comprende, pues, que al plantear un problema de Me- 
cánica, convendría escribir sus ecuaciones diferenciales sólo 
con relación á las verdaderas variables independientes, que 
no es lo mismo tener dos ecuaciones diferenciales en que 
sólo entren las derivadas con relación al tiempo de s y s', 
que nueve ecuaciones diferenciales con todas las derivadas de 
segundo orden, con relación á /, de las nueve coordenadas. 

Precisamente esto es lo que ha procurado Lagrange en 
sus célebres ecuaciones, no tener que calcular, sino sobre 
tantas ecuaciones diferenciales como son las variables inde- 
pendientes; como si dijéramos, tantas ecuaciones como in- 
cógnitas y no complicar las integraciones con funciones in- 
útiles. 

Esto dicho en términos generales, que casos hay en que 
se manejan más fácilmente nueve ecuaciones que dos. 

Supongamos que en un problema de mecánica el número 
de puntos sea n y el número de variables independientes que 

representaremos por q^, q.^, q.¿ qm, sea m. Es claro que 

todas las coordenadas de los puntos del sistema se expresa- 
rán en función de las q, y así tendremos 

Xi = ^iiqi,q-2 Qm), 

yi = ^i(Qi,Q2 Qm), 

Zl =yi{QuQ2 Qm), 

X, = a^XQuQ-2 Qm), 



y deberemos eliminar de la ecuación de Hamilton las x, y, z, 
en función de las q. 

Recordemos que la función T es, en general, de la forma, 

Rkv. Acad. Ciencias. — V. — Noviembre, 1906. 17 



— 242 — 



r^^.((ALX + (^tX + (^jy 



2 Wdt ) \dt 



y deberemos obtener, por lo tanto, para eliminar x, y, z 

los valores de , — ~, deducidos de los valo- 

dt dt dt 

res de x, y, z, que suprimiendo subíndices para abreviar, 

serán de la forma general, 

dx do. dq^ da dq. dv. dq^ 

n : r. r ~r 



dt dq^ dt dq^ dt dq^ dt 

dy _ d'^ dq^ d^j dq, d"^ dq^^ 



dt dq^ dt dq^ dt dqm dt 

dz _ dj dqj^ dy dq. dy dq^ 



dt dq^ dt dqc¡ dt dqm dt 



En estas expresiones todos los coeficientes , — —, 



dq dq dq 

son funciones deforma perfectamente conocida de q^, q^ 

qm, puesto que es conocida la forma de las funciones a, ,3, y. 

Llamando, para abreviar, q' á la derivada — —, de modo 

que 

da. . da^ 

Q2, 



dt -"" 


dq^t 
dt 


tendremos 




dx , 
dt 


qm,q\, 


ó suprimiendo los subíndices 




dx 


■'ÁQ,q'y, 



dt 



y asimismo 



- 243 






dt 
dz 



'rÁQ> Q')- 
dt 



Substituyendo en T estos valores, resultará para T una 
función de forma perfectamente determinada ó que se puede 
suponer determinada para el razonamiento, de las ^ y de las q'. 

Así pues, 

T=W{q^,q, qm, q\, q\ q m), 

ó abreviadamente, 

T=^{q,q), 

en que hay que poner todas las q y todas las q con los sub- 
índices correspondientes, 1 , 2, 3 m. 

Al substituir, pues, en la ecuación de Hamilton estos valo- 
res de T en función de las q, habrá que tomar las variacio- 
nes respecto á las ^ y q' por el procedimiento de la diferen- 
ciación de las funciones compuestas. 

De modo que para una T cualquiera tendremos 

^T=hT(q,q') = —— ^q, + — — ^q, + 

dqi dq^ 

, dT ^ , dT ^ , , dT ^ , , dT ^ , 

+ — '^ Qm + —-^ 0^1 + -T-r ^Q2 + — '^Q m, 

dqm dq i dq o dqm 

que para no complicar la escritura, y representando H una 
suma, que se extiende á todos los subíndices, podrá expre- 
sarse así: 

dq dq' 



- 244 — 

Pasemos ya al segundo término de la fórmula de Hamil- 
ton: '^ (X^x + Y^jy + Zoz). 

Es claro que X, Y, Z serán funciones de x, y, z; luego, 
poniendo los valores de estas cantidades, resultarán aque- 
llas funciones de las q. 

Por otra parte; tomando las variaciones de x, y, z, resul- 
tará en general 

da ^ da ^ da ^ 

^X = —— oq, + -— - 0^2 + + - — rjq^; 

dqi dq^ dqm 



ó abreviadamente, 

dq 
y del mismo modo, 



^ da ^ 

^x = S ^q, 



dq dq 



cuyos coeficientes son funciones de las q; luego ox,^y, ^z, 
serán funciones de forma conocida, puesto que lo son las 
a, p, y, respecto á las q; y funciones lineales de las o^. 

En suma , substituyendo los valores de las X, Y, Z y de 
las ox, úy,hz, el término 

:i:(Xc¡JC+ Yrjy -^ Zoz) 
se convertirá en la siguiente expresión: 

Qi^^l + Q2^^2 + Qm^'qm, 

ó abreviadamente, 

en que el signo Z se extiende á todos los subíndices. 



- 245 - 

Substituyendo en la ecuación de Hamilton /, los dos tér- 
minos 

S7_S — o^ + S — á^' 
dq dq' 



y 



resultará 



S(XSx + Yoy + Zc!z) = S Qlq, 



I-= r^h^^ + ^Y^H' + ZQ^^dt=^(). 



La primera S ó sea la exterior, se refiere á las diferentes 
trayectorias, así como cada paréntesis de los que abarca S 
se refiere á cada una de estas trayectorias. Las segundas S, 
es decir, las que están dentro del paréntesis, se extienden á 
todos los subíndices. Y, por último, la integral comprende 
todos elementos diferenciales, respecto al tiempo, entre los 
límites de dicha integral. 

En ésta aparecen las dq, que son las verdaderas variacio- 
nes independientes compatibles con los enlaces y, además, 
las variaciones de las q'. 

Pero estas últimas son funciones de las primeras, por- 
que q' es la derivada de ^, y hay, por tanto, que eliminar- 
las en función de dichas variaciones independientes o q, lo 
cual se consigue, como en todos estos casos del cálculo de 
variaciones, por una integración por partes. 

Así lo hicimos en la demostración de la fórmula de Ha- 
milton y así lo vamos á hacer ahora. 

Consideremos, pues, el término ^^' que es el único 

dq' 

que contiene c¡^'. 

A éste se le puede sujetar á las siguientes transforma- 
ciones: 



— 246 



I oq .dt = I o ^ .dt; 

Jt, dq' Jt„ dq' dt 

porque no debemos olvidar que q' = . 

Invirtiendo el orden de o y í/ é integrando por partes: 

r^áj:,i±c¡t=r^^^dt^ 

Jt, dq' dt Jt„ dq' dt 

dT ^ 1*1 r«> dT 



[^''i~f: 



oq . dt. 



dt 



Pero la primera parte es nula, porque los puntos extre- 
mos de la trayectoria real y de la trayectoria virtual coinci- 
den para t^y t^, así 

puesto que 

Queda la ecuación de Hamilton convertida en 

Ó bien cambiando signos y no dejando más que dos 1: una 
exterior, que se extiende á todas las trayectorias, otra inte- 
rior, que se extiende á todos los subíndices, 



— 247 — 

Como todas las de ^^ son independientes y pueden tener 
valores arbitrarios en cada elemento de la integral y distin- 
tos valores, arbitrarios también, al pasar de un elemento á 
otro, la ecuación anterior no quedará satisfecha sino redu- 
ciéndose á cero todos los coeficientes de las íg para todos 
los elementos de la integral: 

Así, en general, 

d^ 

^^' ^^ Q = 0, 



dt dq 

que comprende tantas ecuaciones como subíndices; es decir, 
como incógnitas q. 

En vez, pues, de la ecuación anterior, podemos escribir 
las ecuaciones siguientes: 



dq\ 
dt 


dT 
dq. 


-Qi 


= 0, 


dq'2 


dT 


-Q,= 


— 


dt 


dq2 


^> 


d'^ 
dq'm 


dT 


— 


— 



dt dqm 

es decir, m ecuaciones que integrar, que nos darán en fun- 
ción de t los valores de q, ^2--- qm- 

Estas son las ecuaciones de Lagrange. 

Fijémonos bien en su estructura y en el modo de formar- 
las para evitar dudas y confusiones en mis oyentes. 

* * 



— 248 - 

La función Ten cada elemento de la integral, es la suma 
de cantidades de esta forma: 



1 

— m 
2 



((^r+(-f)'+(t)> 



en la que deben substituirse las tres componentes de la ve- 
locidad por sus valores deducidos de las ecuaciones que de- 
terminan X, y, z en función de las verdaderas variables in- 
dependientes q^, ^2 Qm- Estos valores hemos visto que 

son lineales respecto á , — —, ... —-^; podemos escri- 

dt dt dt 

birlos así 



l^-a,^^ + a,^^+.. ..a^^ 



dt ' dt ' ' dt ' - • "' dt ' 

en que a^, a^, a^... son funciones de forma conocida en q^, 

, da da 

^2 Qm, a saber, - — , -— 

dqi dq^ 

Si las derivadas de q las representamos, para abreviar, 

por q' , tendremos: 

dx , , , , 

= aiQ 1 + a.^q 2+ -í-a^q m, 



dt 

y análogamente, 

d^ 
dt 

dz 



dt 



^b^q\ -\-b,q'., + bmq'„,, 

= A^'i + (^2Q'2 + c„jq'm- 



Por lo tanto, el término de T^ que estamos considerando, 
será: 



— 249 — 



= — ^ [aiQ'i + 0292 + + amq'm] 

+ (b,q\ + b,q', + + bmq'm) 

+ (c^q'l + C2^'2 + + Cmq'mj 



Desarrollando esta expresión, vemos que resultará una 
función homogénea de segundo grado, respecto á las q', 
porque no entrarán más que cuadrados y productos: 

q\\q'2' q'i,q'2 

Los coeficientes serán, como sabemos, funciones de for- 
ma conocida, que contendrán las q y que serán distintas en 
cada ejemplo, dependiendo de la forma de «, ¡3, y. 

La primera operación que hay que efectuar sobre T es di- 
ferenciarla respecto á las q' , lo cual no ofrece dificultades, 
puesto que la forma es conocida. 

Así, pues, será una función de las (7 y de las q: 

dq' 

llamémosla /(^, q'), y, por lo tanto, 

d^ 

dq' ^ df{q,q') ^ 

dt dt 

Al diferenciar / respecto al tiempo, advirtiendo que /es, 
como acabamos de ver, de forma conocida, tendremos, po- 
niendo todas las q y q' en evidencia. 



— 250 — 
df{q,q') df(q,,q., . . . qm, g'uq'2, • ■ ■ q'm) 



dt df 

df dq, . . df dq\ 



= -r— q\ + -7^ ^'2 + -r~ ^'m + 

dqi dqo dqm 

«^1 í/^i dq,n 

= riq>q\q"); 

es decir, una función en que entran q, q' = — ~, y q" = 

= — —, ó sean las derivadas de segundo orden de las q. 
dP 

A esto se reduce la primera parte de cada una de las 

ecuaciones de Lagrange. 

En el segundo término ■ no entrarán más que las q y 

dq 

las q' que entran en T, y la diferenciación no ofrece dificul- 
tad, puesto que la forma de Tes conocida. 

En suma, cada una de las ecuaciones de Lagrange es una 
ecuación diferencial de segundo orden, y todas ellas juntas 
constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales de se- 
gundo orden simultáneas, de las variables q^, q.,..., qm in- 
dependientes respecto á los enlaces. Todas son funciones 
desconocidas aún del tiempo /, y, precisamente, en obtener 
estas funciones por la integración, consiste la solución del 
problema, porque conocido q^, q.,..., qm en función de /, las 
funciones a, fj, y, darán, para cada instante, las coordena- 
das X, y, z... de cada masa móvil. 



* 
* * 



— 251 — 

Sin embargo, algo tenemos que decir todavía sobre el úl- 
timo término Q de cada ecuación de Lagrange. 

Cómo se determina cada Q, ya lo hemos explicado; pero 
hay un caso particular en que debemos fijar nuestra aten- 
ción. 

Este último término que estamos considerando, procede 
de la transformación de coordenadas del último término de 
la ecuación de Hamilfon, que es la suma de trinomios de 
esta forma: 

Xox + Y^y + Zíz. 

Pero en algunos casos, los más importantes dada la hi- 
pótesis mecánica, X, Y, Z son funciones de forma particu- 
lar; es decir, que son las derivadas de una cierta función, 
de X, y, z, que llamaremos función de fuerza ó función po- 
tencial, con signo cambiado, y que designaremos por 

— U{x, y, z). 

De modo que en este supuesto 

„ dU ^ dU „_ dU 

dx dy dx 

y sólo por dar más sencillez á los enunciados, se pone en 
evidencia este signo menos: es puramente cuestión de nota- 
ciones. 

Dicha observación se enlaza con un principio fundamen- 
tal de Mecánica, y fundamental todavía en la explicación 
mecánica de los fenómenos del Universo, y, es claro que, 
por hoy, no podemos tratar la cuestión en general, y hemos 
de limitarnos á algunas indicaciones sobre puntos especia- 
les, enlazados con nuestro objeto. 

Para no ir completamente á ciegas, pongamos un ejem- 
plo. Supongamos que el sistema se reduce á un punto, el 



— 252 — 

cual, bajo la acción de una fuerza, F, cuyas componentes 

serán X, Y, Z, describe determinada trayectoria. 

Las ecuaciones del movimiento de este punto sabemos 
que son 

m = X, 

dP 

m — — = Y, 
dP 

d^z „ 

m = Z, 

dt^ 

que en la hipótesis que consideramos se convierten en 

d^x dU 



m 



m 



m 



dP dx ' 

d^y dU 



dP dy 

d'z dU 



dP dz 



Si multiplicamos, respectivamente, por 2dx, 2dy, 2dz 
y sumamos, resultará 

(2 dxd^x 2d yd'"y 2dzd'z \_ 
"^\ dr~ dP dr- )~ 

^í dU , . dU , , dU . \ „ ,„ 

= —21 —— dx + — — - dy + — — dz]= — 2dU, 
\ dx dy dz ) 

é integrando y observando que en el segundo miembro en- 
tra la diferencial total de U, y que, por lo tanto, su integral 
será la misma función, tendremos 



m-i'írumy-"-- 



- 253 — 
El primer miembro es la semifuerza viva del punto m, así 



Supongamos que para el instante t^, la velocidad es «<, Y 
el valor de la función Í7 es U^^, tedremos 



2 

y eliminando C, 



"««' = - t;, + c. 



Ó bien 



U,-U, 



mu^ ^lj_mul.j^U, 



2 2 

Luego, para cualquier instante, la suma de la fuerza viva 
y de la potencial U es la misma que para el instante inicial, 
ó sea 

/ \- U = constante. 



Esta suma tiene una importancia extraordinaria en la apli- 
cación de la Mecánica á los problemas de la Física. 

El primer término — mu"- es lo que se llama energía ci- 
nética ó actual, y es la que se manifiesta bajo forma de mo- 
vimiento. 

La segunda parte, U, también recibe el nombre de ener- 
gía, pero de energía potencial. En términos de escolástica, 
puede llamarse energía que está en potencia, también pu- 
diera decirse que está almacenada, ó latente; en suma, que 



— 254 — 

no está en acto; es como un resorte que se halla comprimi- 
do, y que cuando se extienda realizará un trabajo. 

Puesto que la suma de los dos términos es constante, 
todo lo que uno aumente disminuirá el otro y recíprocamente. 

Aumenta la fuerza viva del punto M, pues en otro tanto 
ha disminuido la potencial U: es que una parte de la ener- 
gía potencial se ha hecho energía actual ó cinética, lo cual 
quiere decir que se ha convertido en fuerza viva. 

Por el contrario, la fuerza viva disminuye, pues toda la 
cantidad en que disminuya es aumento para U. Ha dejado 
de ser energía cinética ó actual y ha pasado al estado latente 
ó potencial; se ha almacenado en el resorte que constituye 
la fuerza F, ó á que puede asemejarse. Y estas transforma- 
ciones se efectúan, por decirlo así, por el trabajo de las 
fuerzas X, Y, Z. Este trabajo es el que unas veces se trans- 
forma en fuerza viva, otras veces se almacenan en la fun- 
ción U. 

Esto que hemos dicho para el movimiento de un punto 
puede generalizarse para un sistema. 

Pero hay muchos casos que considerar: 1.", los sistemas 
de puntos libres; 2°, los sistemas sujetos á enlaces, pero en 
que no entra el tiempo; 3.", sistemas sujetos á enlace, pero 
cuyas ecuaciones contienen la variable /, es decir, que va- 
rían de un momento á otro, y 4.°, por último, hay que estu- 
diar la naturaleza de U{xyz)y según sea ó no uniforme. 

Todo esto no podemos estudiarlo ahora y queda para ei 
curso próximo. 

Nos contentaremos, pues, con lo dicho, consignando que 
en general, y salvo la discusión que en su día haremos, en 
los problemas de Mecánica con aplicación á la Física, se es- 
tablece el teorema de que para cualquier sistema la suma de 
la energía cinética y cíe la energía potencial es constante. 
A este teorema se le designa con el nombre de principio de 
la conservación de la fuerza, ó con más propiedad, de la 
conservación de la energía. 



, - 255 — 

No olvidemos que esto supone que las componentes de 
cada fuerza Fson las derivadas de una función U{x, y, z), 
es decir, 



dx dy dz 

Claro es que si la función potencial es U, la función de 
fuerzas será — U. 

U representa en cierto modo el trabajo almacenado y dis- 
puesto á actuar; en cambio, — U representa el trabajo des- 
arrollado, porque hemos supuesto 

- dU{x,y,z) = Xdx + Ydy + Zdz. 

El signo es puramente convencional, como decíamos: 
si + í/ es la función potencial, ó sea el trabajo latente y 
almacenado, claro es que — U será el trabajo desarrollado 
y consumido en dar velocidad á las masas, ó de lo que he- 
mos llamado la función de las fuerzas. 

Tanta importancia tiene la condición precedente, es decir, 
la de que la expresión anterior sea una diferencial exacta, 
que en un sistema en que no se verificase sería posible el 
movimiento continuo. 

Si U, para los mismos valores de x, y, z, pudiera tener 
dos valores distintos, podría construirse una máquina de 
movimiento continuo y crear trabajo indefinidamente. 

Supongamos, para fijar las ideas, y en el supuesto siem- 
pre de que el sistema se reduzca á un punto A (fig. 46), que 
éste al pasar át A k B por el camino A CB, diera lugar á un 
trabajo de la fuerza Fá lo largo de dicha línea, cuyo valor 
numérico positivo fuese Uo', y al pasar también del punto A 
al punto B por otra línea AC B , desarrollase otro trabajo 
U]_ > Uo, de suerte que en el punto B la función U tuviera 
estos dos valores distintos. 



— 256 — 

Pues en este caso, construyendo una máquina que contu- 
viera ambos caminos, haríamos partir al móvil del punto B, y 
contrarrestando el trabajo Uo, consumiendo, por lo tanto, un 
trabajo igual y contrario al que desarrolla la fuerza al re- 
correr la línea A CB, y haciendo al móvil que recorra dicha 
línea, conseguiríamos que viniese al punto A, y después, 
guiando al móvil por la línea A CB, la fuerza desarrollaría 
un trabajo igual á í/^. Es decir, que consumiendo un trabajo 
Uo habíamos obtenido un trabajo mayor: U^. 

Por lo demás, como las curvas supo- 
nen fuerzas normales á las mismas, y el 
trabajo de estas fuerzas es nulo, porque 
es nula la proyección del elemento de la 
curva sobre dicha normal, claro es que 
no hay que contar con este trabajo y 
sólo queda el de la fuerza F. Suponemos 
además que no hay resistencias pasivas. 
Lo que hemos dicho sobre los puntos 
Figura 46. ^Y B, pudíéramos decir para dos super- 

ficies de nivel U (x, y, z) = constante. 
Pero todo esto lo trataremos más extensamente en otra 
ocasión. 

Lo dicho sólo tiene por objeto que no les coja de sorpre- 
sa á mis oyentes la condición que vamos á establecer en toda 
hipótesis mecánica, que será siempre la de la conservación 
de la energía. 




* 
* * 



Sólo diremos, como ampliación á lo expuesto, que todas 
\2l% fuerzas centrales y funciones de las distancias, tienen 
función de fuerzas, es decir, sus componentes son las deri- 
vadas de una función de x, y, z. 

Esto se demuestra inmediatamente. 



— 257 — 

Por ejemplo, sea. f (r) la fuerza entre dos puntos de 
masa m y m'. 

Sus componentes serán , siendo x, y, z las coordenadas 
de m, y a, b, c la de m, 

/(,)Zzz^, /(,)i:il, /(,).£z^. 



Sea F{r) = F {^{x-ay + {y-by + (z-c)O una 
función de x, y, z, que pretendemos determinar con la con- 
dición de que sea función de fuerzas; es decir, que sus de- 
rivadas coincidan precisamente con las tres componentes 
anteriores. 

Será necesario que tengamos: 

dF(r) r,.x^a dF r.^y — b dF r,.z—c 
—~-=f(f')—r-, -7-=f(r)^---, —-=f(r)—-—, 
dx f dy r (jz r 

pero 

dF{r) n" i^ \ dr c- / x ^ — o 
^ ^ — F (r) = F (r) 



dx dx r ' 

dF(r) , y — b dF(r) j., . . z — c 



dy r dz 

luego basta que F{r) sea tal que F'{r) = f{r) para conse- 
guir este objeto. 

Y como F{r) es arbitraria, la deduciremos de la ecuación 
anterior, y su forma será: 



F{r)=¡f{r)dr. 



Si/(r) = — , por ejemplo, F{r) será 

/■- r 



* 



Terminada esta cuestión incidental, volvamos alo que ve- 

Rev. Acad. Ciencias.— VI. — Noviembre, 1906, 18 



— 258 — 

níamos diciendo respecto al último término Q de la ecuación 
de Lagrange, para el caso en que existe una función de 
fuerzas. 

En esta hipótesis hemos dicho que 

^(Xdx + Ydy + Zdz) = ^ diferencial total U{x,y,z). 

y la eliminación de x, y, z puede hacerse con suma facilidad, 
Tomemos uno de los trinomios 

XiúfXi + Y,dy^ + Z^dzy = — — dx, + --—dy,+ -—dz, 

dx^ dy^ dz^ 

y substituyendo los valores dx^, dy^, dz^, resultará: 

dU í da. , , í/a, , da^ . \ . 

——l--±dq, + —^dq,-{- +-— ^^^m + 

dx^ \dq^ dq., dq^ J 

, dU ( d^h ^ , d%. , , , ^?i ^ \ , 

dyx \ dqi dq., dq^ J 

+ ——(-~-dq,-{--~^dq, -f +-7^ dqm], 

dzi \ dq^ dq. dqm I 



y ordenando según las dq 

dU da, , dU d';i, . dU d-f. 



(■ 



dqi + 
dx, dq, dy, dq^ dz, dq. 



y como a es la función que expresa x, ) la de >>, y y la de z, 
resulta que el coficiente de dq, en la expresión anterior sera: 

d^U_ _í/Xi_ ^iU_ jdy^ _^ dU dz, 
dx, dq, dy, dq, dz, dq^ 

Repitiendo esto para todos los términos de 
^Z{Xdx + Ydy + Zdz) 



— 259 — 
deduciremos que el coeficiente de dq^, es decir, Q^ será 
dU dx, . dU dy, . dU dz. 



dx^ dQi dy^ dq^ dz^ dq^ 



+ 



dU dx^ dU dy^ ^ dU dz^ , 



úfXo dq^ dy^ dq^ dz., dq^ 
dU 



+ 



dqx 



puesto que la función potencial es U{x-i^,y^,z^,X2,y2,Z2 ) 

En este caso, pues, pueden escribirse las ecuaciones de 
Lagrange bajo esta forma: 

d dT dT dU 
dt dq' dq dq 

advirtiendo que hay que considerar á U como una función 
inmediata de x, y, z...., siendo estas variables funciones de 
las variables independientes con relación á los enla- 
ces q^ q. ... qm. 

Tenemos, pues, todos los elementos necesarios para que 
mis oyentes comprendan sin dificultad el teorema de Poin- 
caré, que expondremos en la conferencia inmediata, la cual 
será la última de este curso. 

Pero considerábamos indispensables estas explicaciones 
para justificar la condición que pondremos siempre al apli- 
car la hipótesis mecánica á la resolución de cualquier fenó- 
meno físico, á saber, la conservación de la fuerza, ó dicho 
con más exactitud, la conservación de la energía. 

Principio que no hemos podido más que indicar ligera- 
mente y al cual daremos más adelante todo el desarrollo que 
por su transcendencia creamos necesaria. 



260 - 



XIII.— Estudios de Síntesis niiiieral. 

Por José Rodríguez Mourelo. 

III 

Sobre las cristalizaciones por fusión.— De las influencias exlernas 
Y estados intermedios de la materia.— Algunos datos experimentales. 

Hácese preciso, al estudiar los procedimientos de la sín- 
tesis mineral, sean cualesquiera los cuerpos á que se apli- 
quen, atender á los caracteres especiales de las substancias 
formadas, ya representen sistemas definitivos, sencillos ó 
complicados, ya sean productos intermedios, obligados tér- 
minos para llegar á ellos, ó simplemente materias secunda- 
rias y accidentales, cuando no verdaderos residuos molecu- 
lares, á veces tan importantes como las mismas especies 
principales, á cuya exacta reproducción no siempre es dado 
llegar por caminos directos ni empleando métodos sólo adi- 
tivos de los más perfectos. Debe tenerse presente que el 
objeto de la sístesis tanto es generar cuerpos como generar 
formas naturales de cuerpos; y de aquí se sigue el que en 
muchas ocasiones se alcancen enteramente sus fines par- 
tiendo de éstos ya constituidos, limitándose su labor al em- 
pleo de los artificios mejor apropiados para cristalizarlos, 
apelando de continuo á la vía seca, y no es otro el medio, por 
ejemplo, de conseguir el diamante, cristalizando de manera 
adecuada el carbón, ó el corindo, partiendo de la alúmina 
anhidra, con sólo fundirla de aquel modo especial que per- 
mitió á Verneuil obtener rubíes orientales limpios, de buen 
tamaño y excelente color. 

Recordaré, á semejante propósito, ciertos fenómenos de 
observación frecuente, notados en particular intentando pro- 



— 261 — 

ducir cristales mediante el enfriamiento lento de masas de 
cierta consideración, fundidas á temperatura muy elevada. 
Y no se precisa indagar la generación de las formas pecu- 
res de agregados químicos complejos, límites de reacciones 
aditivas ó de metamorfosis sucesivas, hasta alcanzar un es- 
tado definitivo y homogéneo representado en los cristales 
típicos, que basta de continuo estudiar cuerpos sencillos y 
substancias binarias, refractarias á los cambios, sólo realiza- 
dos interviniendo el calor, conforme interviene en la ya ci- 
tada fusión de la alúmina y materias que, á su igual, pueden 
ser disolventes de óxidos metálicos coloridos que, retenidos 
en su masa, dan á los cristales diversos tonos, sin que lle- 
guen á formar, por lo común, verdaderas y definidas com- 
binaciones químicas. 

Interesan sobremanera los pormenores de la cristalización 
por vía seca, aplicada á cuerpos que se funden á tempera- 
tura muy elevada, no se volatilizan y tienen la propiedad de 
disolver determinados óxidos metálicos, que en su masa ha- 
cen oficios de materias colorantes muy fijas y permanentes. 
En la Naturaleza hay gran variedad de minerales así for- 
mados, y recordaré los cuarzos diversamente coloridos, las 
fluoritas, de las cuales tenemos buena copia de diferentes 
colores, y los que presenta la alúmina anhidra y cristalizada, 
cuya síntesis, realizada de diversos modos, es el mejor 
ejemplo de este linaje de fenómenos, en los que influyen, de 
modo notorio, las condiciones externas en que se producen. 
No basta conseguir en el estado de mayor pureza los cuer- 
pos, mediante unión directa de sus elementos, ó generarlos 
en virtud de reacciones químicas variadas, fundirlos luego 
solos ó empleando fundentes al parecer inertes y dejarlos en- 
friar, en cuanto adquieran muy fluido estado líquido, con la 
mayor lentitud, para que se formen cristales definidos y per- 
fectos; en general, resultan masas dotadas de estructura cris- 
talina ó constituidas, á veces, por el irregular entrecruza- 
miento de cristales poco definidos y en ocasiones son de 



— 262 — 

extraordinaria pequenez, agrupándose estos verdaderos mi- 
crolitos como si fueran naturales; tal se observa en el pro- 
ducto resultante de fundir juntos y en proporciones equimo- 
leculares el fosfato disódico anhidro y el fluoruro de calcio, 
empleando crisol de carbón y haciendo que el enfriamento 
sea extraordinariamente lento. 

Se puede notar, conforme lo hacen muchos autores, que 
en ello sígnense los mismos procedimientos de la Naturale- 
za; porque los cristales de grandes dimensiones son de for- 
mación antigua y parecen haber crecido, á semejanza de los 
que obtenemos á diario apelando á la vía húmeda, perma- 
neciendo durante mucho tiempo en el medio originario fun- 
dido, lo cual significa influencia del mismo y de la lentitud 
de sus acciones, ya que, si son rápidas, sólo se consiguen 
cristalizaciones confusas y cristales pequeños, no siempre 
bien definidos. Mejor se les llamaría, casi siempre, masas 
cristalinas, según es difícil y aún imposible distinguir los 
elementos de las formas regulares propias de los minerales 
reproducidos. 

Justamente se ha querido aprovechar semejante circuns- 
tancia y de ella sacar partido para nutrir los cristales de su 
propia substancia, haciéndolos crecer en el medio fundido 
originario; y vale recordar, á semejante propósito, los ex- 
perimentos de Fremy, Feil y Verneuil, concernientes á la 
cristalización de la alúmina anhidra y síntesis del rubí orien- 
tal. Obtenían el sesquióxido de aluminio amorfo descompo- 
niendo por el calor el alumbre amoniacal; mezclábanle luego 
á guisa de materia colorante una traza de ácido crómico, que 
lo teñía de rojo; por separado disponían un crisol en cuyo 
fondo colocaban fluoruro de calcio, y encima, sin tocarle, 
un tabique hecho de lámina de platino con muchos agujeros; 
luego venía la alúmina, y, tapado el crisol, era calentado 
durante largo tiempo á temperatura elevada, sostenida por 
varios días, seguida de lento enfriamiento con objeto de en- 
gordar los primeros cristales formados, teniéndolos en un 



— 263 — 

medio líquido y en atmósfera fluorada. Consigúese el efecto 
buscado, y las paredes interiores de la vasija aparecen tapi- 
zadas de hermosos cristales rojos de buen tamaño, y recuer- 
do haber visto una hermosa geoda de rubíes orientales, cuyo 
peso no bajaría de un kilogramo, obtenida por el profesor 
Verneuil, cuyos trabajos experimentales acerca del particu- 
lar son bien conocidos; hay, pues, manera práctica, en las 
cristalizaciones mediante fusión, para aumentar el volumen 
de los cristales, aunque sólo hasta ciertos límites, emplean- 
do artificios semejantes á los usuales en las cristalizaciones 
por vía húmeda, entendiendo que, en gran parte, los resul- 
tados son función del tiempo y de la temperatura, influyen- 
do asimismo los medios gaseosos y la propia naturaleza y 
constitución de los cuerpos. 

También se logran buenos resultados en medios sólidos, 
sea al generar las substancias, en virtud de reacciones quí- 
micas sencillas, ó tomándolas ya constituidas y haciéndoles 
adquirir formas cristalinas perfectas bajo la influencia de 
otras, en este caso inertes respecto de ellas, y que no cam- 
bian de estado. Al blanco, el vapor de azufre actúa sobre el 
óxido de cadmio y engendra el sulfuro natural ó grenoquita 
cristalizado (Sidot), y empleándolo amorfo, poniéndolo en 
el fondo de un crisol, que. llenaba con alúmina anhidra, ca- 
lentando también al blanco, consiguió Hautefeuille, después 
de lento enfriamiento, cristales de aquel cuerpo, terminados 
por sus dos extremidades, formados entre la masa de ses- 
quióxido de aluminio. 

Lejos están, sin embargo, los cristales sintéticos, proce- 
dentes de los métodos ordinarios, de tener las perfecciones 
y limpidez de los naturales; ni aun poseen la transparencia 
perfecta los producidos á elevadísimas temperaturas, y es 
ejemplo la propia alúmina, colorida de verde con el sesqui- 
óxido de cromo, que resulta en la aluminiotermia. De no ape- 
lar á los novísimos procedimientos de Moissan, aunque las 
cristalizaciones no sean confusas, los cristales preséntanse 



— 264 — 

turbios, y no es en la superficie, sino en el interior de su 
masa, como si no hubiese podido constituirse la materia 
cristalina; á los más puros fáltales densidad, son frágiles, y 
tal inconveniente no lo corrige del todo el recocido; presen- 
tan en las caras estrías numerosas, que á veces penetran en 
las primeras capas, y es singular la facilidad con que se es- 
folian espontáneamente aun los más endurecidos. Señálanse 
con marcadas rayas las direcciones de las esfoliaciones y el 
conjunto de tales propiedades indica que se forman super- 
poniéndose capas distintas, sin que entre ellas haya podido 
establecerse perfecta adherencia, debido acaso á que, ha- 
ciéndose más grueso el cristal sin estar enteramente forma- 
do, las capas exteriores actúan aislando á las interiores de 
la acción del calor, de suerte que su materia no puede alcan- 
zar el estado cristalino, aunque el conjunto tenga todo el as- 
pecto de cristal dotado de sus características propiedades, y 
esto se advierte en cristales pequeños (los de O., Cr^ produ- 
cidos en masa de cloruro de sodio), como en aquellos cons- 
tituidos mediante cierto linaje de reacciones aditivas compli- 
cadas (formación de fluofosfato de aluminio, sodio y litio) y 
en mezclas de otra índole (fosfato disódico y fluoruro calci- 
co), sirviendo el hecho para explicar las apariencias de al- 
gunos cristales naturales, de seguro generados con veloci- 
dad excesiva. 

Un conjunto de fenómenos de tal especie ha de obedecer 
á varias influencias de distintos órdenes, y juzgo las princi- 
pales: la temperatura, en cuanto á su intensidad y á la ma- 
nera de actuar el calor; el enfriamiento con sus correspon- 
dientes grados y duración; la mayor ó menor adherencia de 
la masa respecto de la vasija que la contiene fundida y la 
velocidad de las reacciones sintéticas. Acerca de estos pun- 
tos citaré algunos experimentos sobremanera instructivos, 
añadidos de las propias investigaciones que se concretan á 
problemas secundarios y á pormenores de métodos practi- 
cados en el laboratorio. 



- 265 — 

Mejores cristales se obtienen, no interviniendo la presión, 
cuanto más elevada y uniforme sea la temperatura, lo mismo 
cuando se trata sólo de cambiar la forma de cuerpos ya ob- 
tenidos que en el caso de producirlos mediante reacciones 
químicas de cualquier carácter; esto, que se considera evi- 
dente, está demostrado en todos los casos de síntesis y se 
infiere que ha de haber para cada uno de ellos su tempera- 
tura crítica, y también la tiene el estado cristalino; es lo ge- 
neral que la determine la de fusión del cuerpo. Bueno será 
observar que en la práctica de los métodos, no empleando 
el horno eléctrico, jamás resulta distribuido el calor con uni- 
formidad en la masa, que debido á ello, si al solidificarse pa- 
rece homogénea tocante á la composición química, no lo es 
respecto del modo de estar agrupadas las moléculas, ni de 
sus orientaciones, residiendo la causa en las variaciones de 
conductividad de las distintas partes; y como en las más in- 
ternas se sienten menos las influencias del calor, el trabajo 
molecular no es completo, la materia no adquiere la fluidez 
propia del afino perfecto y los cristales aparecen luego como 
enturbiados, aunque se engendren en atmósferas propicias, 
bajo las activas acciones de compuestos Añorados ó de fun- 
dentes bien elegidos y apropiados. 

Verneuil, que ha estudiado con minucioso interés cuanto 
se refiere á la cristalización de la alúmina, advierte que es 
perjudicial á la transparencia de los cristales operar con las 
regiones más oxigenadas de la llama, y en grado sumo con- 
veniente apelar á las ricas de carbono é hidrógeno, lo cual 
significa que no es indiferente el modo de aplicar el calor 
tratándose de hornos de gas (Flechter, Perrot, Roessler) ó de 
la llama oxhídrica. Sucede algo semejante á lo observado en 
la fabricación del vidrio; no sólo es menester formar el com- 
plejo silicato ó mezcla de silicatos que lo constituyen; re- 
quiérese, además, para su transparencia, un superior grado 
de afino, consistente en mantenerlo fundido y fluido en de- 
terminadas condiciones á temperatura elevadísima, y de la 



- 266 — 

propia suerte la obtención de cristales por fusión y vía seca 
exige su afino, si han de resultar transparentes; si la tem- 
peratura no es suficiente ni uniforme, falta homogeneidad á 
la masa ó se opera en medios demasiado oxigenados, apa- 
recen de continuo opacos, aunque sean perfectos y consien- 
tan determinar claramente sus elementos geométricos. 

No es posible dudar de la existencia de un punto crítico 
para el estado cristalino, y en las cristalizaciones por fusión 
lo determina especialmente la temperatura, tanto en lo qne 
respecta á su intensidad, cuanto en lo relativo á su distribu- 
ción en la masa de los cuerpos fundidos, dependiente de la 
conductividad. Acontece en los experimentos de síntesis mi- 
neral que el calor no se distribuye de modo uniforme, aun 
suponiendo homogéneo el sistema sobre el cual actúa, y 
aparte de los efectos de disociaciones parciales y de los re- 
sultantes de la presencia de productos secundarios, pueden 
considerarse las substancias fundidas y liquidadas formadas 
de capas 6 zonas, que no son ni buenos ni igualmente con- 
ductores del calor, y las más alejadas del foco no están or- 
ganizadas de igual manera que las próximas, de lo cual 
proviene que, al constituirse los cristales, siendo distintas 
las condiciones de sus elementos, fórmanse opacos ó tur- 
bios, de ordinario en las porciones más internas, como si 
sus ni'icleos no correspondieran á un estado cristalino per- 
fecto y acabado. Obsérvase muy bien semejante fenómeno 
cuando cristalizan directamente y sin fundentes auxiliares, 
en particular los óxidos y sulfuros, sólo fusibles á tempera- 
turas extremadas muy sostenidas. 

Ya lo tiene advertido Verneuil en sus investigaciones 
acerca de la síntesis del rubí oriental, y de modo diferente lo 
he comprobado en otros varios casos; y siguiendo sus bien 
entendidas prescripciones, pueden lograrse cristales transpa- 
rentes y hacerlos crecer nutriendo sus superficies con la 
misma materia sólida y muy dividida, lo cual vale tanto como 
formar los cristales por superposición de capas , método cuya 



- 267 - 

práctica requiere singular destreza y no parece aplicable 
cuando la reacción generadora y la cristalización son simul- 
táneas. Conviene en ocasiones pasar del estado amorfo al 
cristalino empleando medios sólidos, inertes y fijos á la 
temperatura á que se opera (la ya citada síntesis de la gre- 
noquita es ejemplo de ello), fundentes especiales (reproduc- 
ción del sesquióxido de cromo en el cloruro de sodio), ó at- 
mósferas gaseosas fluoradas, cloruradas y sulfuradas, per- 
mitiendo las últimas aplicar el procedimiento de Sidot á la 
reproducción de minerales análogos á las blendas; otros más 
complicados, cuya generación va acompañada de productos 
secundarios y accidentales y varios resultantes de operacio- 
nes aditivas puras, rara vez presentan cristales transparentes, 
y el obtenerlos requiere nuevos artificios experimentales. 

Ocurre, naturalmente, enlazar lo apuntado acerca de la 
temperatura con las influencias del enfriamiento, que son en 
extremo variadas y dependen casi siempre de su velocidad. 
Esta puede ser tal, que no permita la constitución del estado 
cristalino, resultando una masa vitrea; en cambio, si la len- 
titud del enfriamiento es causa muchas veces de la formación 
de cristales perfectos y de buen tamaño, otras, al contrario, 
contribuye poderosamente á su opacidad, porque sobreviene 
cuando no es llegado el punto crítico del estado cristalino y 
destruye la homogeneidad del medio en que ha de ser gene- 
rado. Tal sucede en el curso de la cristalización de la alúmi- 
na por el método de Fremy: fundido, afinado y conservado 
algún tiempo en estado líquido y en atmósfera flourada el 
sesquióxido de aluminio, se deja enfriar el crisol con la ma- 
yor lentitud posible; cierto que su interior hállase tapizado 
de hermosos cristales rojos, mas no son transparentes como 
los naturales de rubí oriental, presentan numerosas estrías y 
rayas y suelen separarse sus capas sin gran esfuerzo; se nu- 
trieron y crecieron en el seno de su propia substancia; pero 
no consiguieron transformarla en perfecta materia cristalina. 

Aunque la obtención de cristales mediante enfriamiento 



- 268 - 

lento de los cuerpos fundidos sea método bastante general y 
se aplique con resultados excelentes, por ejemplo, en el caso 
de los metales, tiene, no obstante, restricciones importantes; 
no conviene emplearlo cuando se trata de cuerpos fusibles á 
temperaturas extremadas, á causa de la dificultad de regu- 
larlo dándole la velocidad necesaria, porque si es demasia- 
da se corre el riesgo de que, solidificándose las porciones ó 
zonas externas, ejerzan presiones sobre la masa líquida in- 
terior, en contadas ocasiones, y de ellas es la síntesis del dia- 
mante, favorables á la cristalización, que lo ordinario es que 
provoquen reacciones químicas de índole diversa y no pre- 
vistas modificaciones moleculares. En cambio, las velocida- 
des mínimas, aunque parezcan acercarse más á la realidad 
de los fenómenos naturales, son las causas de la formación 
de estados intermedios, cuando no generan masas vitreas ho- 
mogéneas, en las cuales no se descubran ni siquiera rudi- 
mentarias formas de cristales, y acaso por ellas mismas, al 
constituirse los que son verdaderos productos de síntesis 
mineral, no resultan transparentes ni presentan sus caras 
limpias de estrías ó totalmente libres de huellas de esfolia- 
ciones, y en tal sentido las imperfecciones señaladas pueden 
considerarse función de los modos del enfriamiento. 

Pudieran influir en ellos, á lo que entiendo, la naturaleza 
de los cuerpos sintetizados y las condiciones externas de las 
operaciones, circunstancias que son parte á generar estados 
moleculares intermedios que, sin afectar á la forma peculiar 
del cristal, perturban de modo visible la homogeneidad de 
su estructura. Debe tenerse en cuenta que no se solidifica 
de la misma manera un líquido cuando la temperatura de 
toda su masa desciende de un modo uniforme que si, á igual 
velocidad, van enfriándose capas sucesivas: primero las más 
exteriores, concretándose pronto, no se constituyen en esta- 
do cristalino perfecto, y al propio tiempo preservan del en- 
friamiento las internas: los casos de la cristalización del 
azufre ó del bismuto por fusión, separando una parte de la 



- 269 - 



masa todavía fundida, son ejemplos de los más sencillos, 
tocante al hecho de que se trata. 



Bueno será recordar, á igual propósito, un experimento 
singular que ha recibido aplicaciones importantes por ser 
manantial de temperaturas elevadísimas; me refiero á la ob- 
tención del cromo metálico, actuando el aluminio con el ses- 
quióxido anhidro de aquél, de cuyo cambio químico es resi- 
duo la alúmina. Su génesis llévase á cabo á temperaturas 
extremadas, muy próximas, si no iguales, á la desarrollada 
en el horno de arco voltaico, y resulta colorida por disolver 
exiguas cantidades del compuesto crómico; además, nunca 
aparece constituyendo cristales definidos ó agrupaciones de 
ellos, sino masas cristalinas especiales de elementos indeter- 
minables; son de apariencia homogénea, pero no transpa- 
rentes, y sólo en la composición química idéntica y en la 
apariencia del conjunto se asemejan á la esmeralda oriental, 
variedad del corindo hialino. Influye aquí de manera decisi- 
va la velocidad del enfriamiento, y si es cierto que la com- 
bustión rápida del aluminio metálico^ á expensas del oxígeno 
del sesquióxido de cromo, desarrolla gran cantidad de calor, 
no lo es menos que la temperatura desciende en seguida que 
la reacción química es terminada, sin dar tiempo para que la 
cristalización se lleve á cabo, y así sólo es rudimentaria, 
ofreciendo la masa resultante todas las imperfecciones pecu- 
liares de un trabajo á medias realizado en las condiciones 
particulares del experimento. 

Quizá las circustancias del enfriamiento son de las que 
mejor determinan los defectos de la masa de los cristales, y 
es notable que hecho tan conocido y manifiesto no haya podi- 
do todavía ser sometido á reglas; y aunque se admite que su 
lentitud favorece grandemente la cristalización, si bien es 
cierto que constituye excelente medio de lograr buenas cris- 



— 270 - 

talizaciones, no parece aplicable de manera general en lo 
que atañe á la transparencia y pureza de los cristales, y an- 
tes se observan defectuosas en muchos que se producen con 
enfriamientos rápidos en medios apropiados. En punto á ello 
se ha de advertir cómo la sobrecalefacción á que de ordina- 
rio se someten los cuerpos en las operaciones de síntesis 
mineral, prolongándola excesivo tiempo, seguida de enfria- 
miento más ó menos lento, siempre en contraste con ella, no 
parece el mejor medio de llegar al perfecto y definitivo esta- 
do cristalino, aun modificando el de cuerpos ya formados. 

Cuando se examinan con algún detenimiento las masas, á 
veces complejas, resultantes de las fusiones y de las reac- 
ciones químicas efectuadas entre cuerpos fundidos á eleva- 
dísima temperatura, pronto es notado otro género de influen- 
cia, á la que es menester conceder importancia; redúcese á 
la adherencia con las vasijas, casi siempre crisoles, usadas 
para la cristalización, sobre cuyas paredes interiores apare- 
cen y se forman los cristales, sirviéndoles de punto de apo- 
yo. Fuera de algunos casos, es lo general que las substan- 
cias fundidas ataquen más ó menos á la materia de las vasi- 
jas que las contienen, y ni el platino ni la mejor porcelana 
permanecen incólumes durante mucho tiempo; mas aparte 
de tales acciones de orden químico, el hecho del contacto es 
suficiente para que los cristales resulten opacos ó siquiera 
enturbiados y las caras poco definidas, abundando las estrías 
y notándose por rasgos bien marcados las direcciones y sen- 
tido de sus esfoliaciones, como si la superficie de unión re- 
sultase menos conductora del calor ó hiciese oficios de pan- 
talla, á la que se debería notable aumento en la velocidad 
del enfriamiento, impropia para que se constituya un estado 
cristalino perfecto y bien determinado, hecho singular no te- 
nido en cuenta durante mucho tiempo y cuya influencia está 
ahora puesta en claro merced á los estudios de Verneuil y á 
sus experimentos relativos á la reproducción del rubí orien- 
tal, fundiendo sólo la alúmina cromatada en determinadas 



- 271 - 

condiciones, suprimiendo todo recipiente cuyas paredes pu- 
dieran ser extensas superficies de contacto con las masas 
fundidas ó eiTfriadas. 

Recogiendo observaciones anteriores y en vista de los re- 
sultados obtenidos en varios experimentos, suelo practicar 
los de síntesis mineral en crisoles de carbón, hechos en el 
laboratorio, procurando que sean muy compactos, de igua- 
les y no gruesas paredes y por lo general de 100 c' de ca- 
bida; me sirvo de ellos siempre que no se trate de materias 
reductibles y procedo desecándolos á 120° durante algunas 
horas. Luego los pongo sobre un lecho de carbón vegetal 
bien pulverizado, dentro de otros crisoles mucho mayores, 
de barro de Zamora, que son excelentes, rellenando todos los 
huecos con carbón de encina tamizado; se cubre con una 
capa de arcilla refractaria, luego viene la tapadera, que se 
embarra perfectamente, y sólo resta desecar á temperatura 
poco elevada; se coloca el todo en el horno y con lentitud 
se va aplicando el fuego hasta alcanzar los grados conve- 
nientes en cada caso. 

De esta manera logro que, después de enfriadas las ma- 
sas cristalinas, haya ó no haya reacción química, se adhie- 
ran poco á las paredes del crisol y así se desprenden fácil- 
mente, y su apariencia es la de botones semejantes á los 
característicos de los metales; la superficie exterior casi 
nunca está cristalizada, como indicando enfriamiento dema- 
siado rápido, mas presenta á modo de indicios ó señales de 
los cristales interiores, los cuales suelen aparecer rara vez 
sueltos y aislados, aunque no haya productos secundarios 
que los acompañen, y lo general es verlos agrupados y en- 
trecruzados, constituyendo, de ordinario, mejor que una 
cristalización definida, una estructura cristalina más ó menos 
individualizada. Sean cristales sueltos, grupos ó asociaciones 
indefinidas de formas geométricas regulares, por rarísima 
excepción se les ve transparentes y homogéneos, mientras 
haya habido contacto y adherencia de la masa fundida con 



— 272 — 

las paredes del crisol de carbón, compactas é impermeables 
para los líquidos; quizá se oponga al afino realizado á eleva- 
dísima temperatura, ó por ventura es causa que ocasiona 
determinado género de imperfecciones, impidiendo la com- 
pleta formación del estado cristalino, porque disminuyendo 
el contacto hasta dejarlo reducido á un solo punto y supri- 
miendo las superficies de adherencia, se consiguen hermo- 
sos cristales de perfecta transparencia, idénticos á los natu- 
rales, susceptibles de crecimiento, nutriéndolos de su propia 
materia, mediante un procedimiento ingeniosísimo y de apli- 
caciones generales, haciendo todas las transformaciones di- 
rectas, inmediatas y progresivas, cuyo efecto es la genera- 
ción de individuos cristalizados perfectos y aislados y no de 
masas dotadas de estructura cristalina. 

Sábese cómo poseyendo cierta destreza operatoria, no 
resulta cosa muy difícil el mantener un glóbulo fundido, á 
modo de gota de agua, en el extremo de un alambre de pla- 
tino; la operación se realiza humedeciéndolo primero con 
agua, y á beneficio del líquido se adhiere una pequeña por- 
ción del cuerpo que se trata de fundir y ha de estar muy pul- 
verizado; en seguida se eleva la temperatura hasta fundirlo, 
sin que se caiga, y aparece semejante á las perlas usadas 
para los ensayos al soplete. Con práctica y habilidad se 
llega á imprimir al glóbulo fundido, sin más apoyo que el 
punto que lo une al alambre de platino, un movimiento de 
rotación con la velocidad necesaria para obtener cristales de 
buen tamaño, en la manera que luego se indica. 

En semejantes maniobras experimentales se funda el pro- 
cedimiento del profesor Verneuil, aplicable á la síntesis del 
rubí oriental, cuyos fundamentos pongo aquí, omitiendo el 
describir aparatos y tratar el pormenor de las manipulacio- 
nes de la cristalización de la alúmina pura y anhidra teñida 
de rojo con compuestos de cromo, operando directamente 
al igual de los métodos anteriores, que nunca dieron crista- 
les homogéneos, resistentes y transparentes, debido princi- 



— 273 — 

pálmente á dos causas, que se reconocieron y determinaron: 
la naturaleza de la llama productora del calor y la excesiva 
adherencia de la masa fundida á la paredes de la vasija que 
la contiene. Ya se sabe de tiempo atrás que la eficacia de las 
regiones oxidantes respecto de las cristalizaciones por fu- 
sión y cuando su empleo es directo, resulta bastante menor 
que la de otras ricas de hidrógeno y carbono, dotadas de 
propiedades reductoras; aquéllas, cuando menos, son causa 
frecuente de excesivos recalentamientos, bastantes á impe- 
dir que se constituya el estado cristalino de toda la masa 
por exceso de temperatura, y aunque tocante á la adheren- 
cia va dicho lo principal, como hecho opuesto á la formación 
de individualidades cristalinas, añadiré que, en el caso espe- 
cial de que trata, los glóbulos que aparecen en la superficie 
de la alúmina fundida, su extremada fragilidad luego de en- 
friada, las numerosas huellas de ruptura y varias otras irre- 
gularidades, está demostrada su procedencia de los múlti- 
ples contactos con la superficie interna de la vasija ó del lecho 
en que se ha enfriado. Asimismo se alcanza pronto el límite 
del crecimiento y nutrición de los cristales sueltos de rubí 
oriental, manteniéndolos varios días en un baño de alúmina 
fundida, y que las condiciones ordinarias de la cristalización 
se oponen á su perfecto y completo afinado. 

Todavía cabe indicar la necesidad de apelar á masas pe- 
queñas cuando se han de obtener cristales excelentes; en 
las mayores, por casualidad se encuentra un cristal bien for- 
mado, y la razón está en la imposibilidad casi absoluta de 
lograr la uniformidad del enfriamento, evitando las contrac- 
ciones que le son inherentes de continuo y modifican la es- 
tructura y otras cualidades físicas de los cuerpos. Quizá esto 
mismo se acentúa cuando se trata, no de substancias ya 
formadas que han de ser cristalizadas por fusión, sino de las 
que en el acto de ser generadas, mediante reacciones quí- 
micas diversas á elevada temperatura, han de adquirir for- 
mas y estados cristalinos. 

Rbv. AcAD. Ciencias.— V. — Noviembre, igo6, 19 



— 274 - 

Fué estudiando muy por menudo todos estos detalles, que 
son interesantes en grado sumo, como llegó Verneuil á reali- 
zar sus trabajos definitivos, consiguiendo reproducir el rubí 
oriental apelando á la fusión directa de la alúmina pura ero- 
matada, que es su único componente, y realizándola uniendo 
capas sucesivas sobre un primer elemento fundido, de suerte 
que no experimente los efectos del recalentamiento, como 
acontece de ordinario. Consiste el procedimiento en mante- 
ner fundido, al extremo del alambre de platino que lo sos- 
tiene, un glóbulo de sesquióxido de aluminio, no mayor que 
las perlas empleadas en los ensayos al soplete; su papel es 
servir como de núcleo ó base para lograr mayores masas; 
se nutre con finísimo polvo de su propia materia (alúmina 
anhidra que contiene trazas de compuestos de cromo), insu- 
flado de abajo hacia arriba, á beneficio de la misma corriente 
de oxígeno que alimenta el soplete destinado á producir el 
calor necesario, quemando en este gas el del alumbrado, 
cuya llama presenta regiones muy convenientes por su ri- 
queza de carbono y de hidrógeno. Puede conseguirse, adop- 
tando el sistema de que se trata, depositar sobre la superficie 
externa del glóbulo primitivo una capa muy tenue de alú- 
mina que en seguida se funde, incorporándose á su masa; y 
repitiendo la operación cuantas veces sea menester á inter- 
valos cortos, lógrase aumentarla, conservándola, al enfriarse 
y solidificarse, con la más perfecta y absoluta transparencia, 
sin que las caras presenten estrías ni estén marcadas las 
direcciones de ruptura; el afino es completo é igual y se 
consigue sustraer á la substancia fundida de todas aquellas 
causas perturbadoras que impedían la constitución total del 
estado cristalino; tan lisonjeros han sido los resultados del 
ingenioso empleo de la temperatura, del método de creci- 
miento de los cristales y de la reducción al mínimo de la ad- 
herencia y contacto de la materia fundida con su soporte. 

Un procedimiento tan racional y sencillo, aunque su prác- 
tica exija bastantes pormenores y tenga nada pequeñas difi- 



— 275 — 

cultades, debe ser general y aplicable especialmente á la 
cristalización de cuerpos ya formados, susceptibles de cam- 
biar de estado sin el auxilio de fundentes; pues en los que 
cristalizan en cuanto son generados por reacciones quími- 
cas, originarias, á la vez, de otros productos variados, no 
parece tan aplicable á primera vista. He intentado ensayarlo, 
modificándolo y simplificándolo, con el fin de suprimir com- 
plicados aparatos, y nada pude conseguir satisfactorio; sin 
embargo, cuando los cuerpos resultan de la adición integral 
de otros más sencillos, como ciertos fluofosfatos, sin haber 
realizado enteramente mis intentos llegué á tener glóbulos 
transparentes, incoloros y perfectamente homogéneos, sin 
que se advirtiesen estrías de ninguna clase en la superficie 
externa; por desgracia se llegaba pronto al límite del creci- 
miento; pero aun siendo infructuosas las pruebas hechas, 
demuestran la posibilidad de extender el método siquiera á 
las síntesis aditivas puras, generalizándolo de esta suerte 
algún tanto y patentizando la manera de formar masas cris- 
talinas mediante la superposición de tenues capas de la pro- 
pía materia que las constituye. 



XIV. — Sobre la variación del magnetismo permanen- 
te con la temperatura. 

Por Blas Cabrera Felipe. 

(IVota preliminar). 

1 . El estudio de los coeficientes térmicos de los imanes 
ha sido objeto de no escaso número de trabajos, realizados 
con fines variados, así como en ocasiones diferentes. Sin em- 
bargo, no consideramos el tema agotado, principalmente 



— 276 — 

bajo el aspecto teórico, según puede deducirse de un somero 
análisis de las memorias publicadas. 

Prescindiendo de las clásicas determinaciones de Kupffer, 
Lamont y otros, nos detendremos únicamente en las realiza- 
das en estos últimos años. C. Chistoni, primero solo i y lue- 
go en unión de G. G. Vecchi '-, estudia el coeficiente de 
temperatura de imanes construidos con diferentes hierros y 
siguiendo tácticas diversas, entre límites de temperatura res- 
tringidos (0°-50°). B. O. Peirse •■, también para temperatu- 
ras bajas, compara estos coeficientes en imanes de la misma 
forma de acero y de fundición de hierro. Deben aún citarse, 
dentro de este mismo aspecto del problema, los trabajos de 
Ashworth ^ y Guthe •''. 

E. Andreas '• y H. Frank ' fijan principalmente su aten- 
ción en la influencia que sobre el referido coeficiente ejerce 
la temperatura del temple, cuestión que también estudia 
Guthe. 

Klemencic "^ analiza la influencia ejercida por las dimen- 
siones de las barras, formulando como ley aproximada, la 
constancia del producto p.£, donde p es la relación de la lon- 
gitud al diámetro y t el coeficiente de temperatura; ley que 
está de acuerdo con los resultados de Frank y Loomis ■'. Este 
último físico confirma también, empleando un método indi- 
cado por Rowland, que las líneas de inducción se abren en 
las extremidades, determinando una disminución en la lon- 
gitud magnética de la barra; resultado contrario al obtenido 
por Poloni, que no aprecia tales cambios de distribución. 



' Mem. Acc. Moneda, serie 2^ tomo IX. 

- Mem. Acc. Moneda, serie 3.\ tomo II. 

^ Proc. of the Americ. Acad. of Arts and Sciences, XXXV1II,551. 

^ Proc. ofthe Poyal Society, LXII, 210. 

* Proc. Lond. Physic. Soc, XV, 268. 

6 Elekt. Zeitschriff, XVm, 485. 

^ Ann. der Phys,U, 338. 

« U/í(?í/. Ber.,CVIIl,989. 

» The Am. Joiir. of Scien., XV, 179. 



— 211 — 

Por último, C. C. Trowbridge ^ determina los coficientes de 
los imanes de acero al carbono y al tungsteno entre —185° 
y 20°; mientras Holborn se fija en los fenómenos que se pre- 
sentan á elevadas temperaturas. 

La mayor parte de los trabajos citados, han tenido un fin 
esencialmente práctico, ya porque en ellos se haya procu- 
rado indagar las aleaciones, técnica operatoria ó relación 
de dimensiones de las barras, que permiten obtener imanes 
de pequeño coeficiente térmico, ya porque se haya perse- 
guido un procedimiento que permita borrar todo resto de 
imantación. 

Sin embargo, estos mismos trabajos, bastan para demos- 
trar el interés teórico del problema. La misma parcial rever- 
sibilidad de la intensidad de imantación, cuando la tempe- 
ratura describe un ciclo, es difícil de explicar. Mascart ^ in- 
dica que podría suponerse el magnetismo permanente como 
la superposición de una imantación rígida é invariable con 
la engendrada por el campo desmagnetizante, variable con 
la permeabilidad del medio. J. Hopkinson '^ primero, y más 
tarde Morris ^ y Wills "■ han demostrado, en efecto, que esta 
constante crece con la temperatura, presentando, además, 
su máximo valor para los campos débiles. Es digno de no- 
tarse, que las irregularides que Morris denuncia en las 
proximidades de 200° y 550°, en íntima correlación con los 
fenómenos de recalescencia observados por el mismo durante 
el enfriamiento, pudieran servir de criterio para la teoría an- 
terior, estudiando toda la curva de desimantación de los 
hierros con el crecimiento de la temperatura. 

La complejidad del fenómeno impide nos formemos un 
juicio claro respecto á la hipótesis que nos ocupa, dada por 



1 ThePhy.Rev.,X\X,\%\. 

2 Traite de Mag. Ter., pág. 129. 

3 Phií. Trans., 1889, A. 443. 

* Phil. Mag., Serie 5.% XLIV, 213. 

5 PM.AÍaá^., Serie 5.^ L, 1. 



- 278 — 

SU autor con toda reserva, si bien su desconfianza se funde 
simplemente en la comparación de los valores hallados por 
Lamont. Pudiera constituir quizá un argumento en favor de 
esta teoría la separación de las líneas de imantación en las 
extremidades de la barra, puesto que allí el campo desmag- 
netizante es más enérgico; así la variabilidad del momento 
magnético no aparece dependiente de un cambio uniforme 
en todo el imán de la intensidad de imantación, sino del 
acortamiento de la longitud. Para resolver esta cuestión 
convendría, pues, estudiar elipsoides imantados, para los 
cuales el campo desmagnetizante es uniforme. 

Lo dicho basta para comprender el interés que aun pre- 
senta el estudio de la acción que la temperatura ejerce sobre 
el magnetismo permanente, haciendo oscilar aquella entre 
los más separados límites posibles para un mismo imán; 
cambiando la composición, preparación, forma y dimensio- 
nes de éstos, y analizando al propio tiempo la variación de 
la permeabilidad de cada barra, entre los mismos límites de 
temperatura y para campos comparables al desmagnetizan- 
te. El programa es muy vasto y su realización exige mucho 
tiempo. 

2. La conveniencia de obtener un registro continuo de 
las variaciones del momento magnético de la barra estudia- 
da, sin temor á perturbaciones mecánicas ó electromagnéti- 
cas que puedan ejercer influencia sobre la ley que se busca, 
imponen de una manera casi absoluta el uso del método 
magnetométrico, y la gran amplitud de aquellas variaciones 
exige que se opere por un procedimiento de cero capaz de 
mantener constante la sensibilidad. 

Dicho se está, que el magnetómetro empleado debe ser 
astático, para ponernos á cubierto de las múltiples pertur- 
baciones, inherentes á todo laboratorio implantado en el cen- 
tro de poblaciones que utilizan en gran escala las corrientes 
industriales, y que en el nuestro se hacían sentir aun durante 
las últimas horas de la noche; según hemos tenido ocasión de 



- 279 — 

comprobar, en unión de nuestro compañero el Sr. González 
Martí ^. En la época que comenzamos estos trabajos, desco- 
nocíamos los realizados por H. du Bois -, y F. Kohlrausch 
en unión de L. Holborn ^, sobre el uso de dichos pares, y fija- 
mos desde luego la atención en el par Broca, cuyo empleo 
había ya en aquella fecha indicado el primero de los citados 
físicos, aunque señalando inconvenientes que los resultados 
de este trabajo no parecen confirmar; desde los primeros en- 
sayos, en efecto, los resultados indicaron la legitimidad de 
la aplicación. 

El par estaba formado por dos agujas de acero de unos 
siete centímetros de longitud por un milímetro de diámetro, 
templadas al aceite y revenidas á 100**, que se imantaron en 
un campo medio de unas 500 unidades. Las dos mitades, de- 
vanadas en opuesto sentido, de la bobina que engendraba el 
campo magnetizante, estaban apartadas por una lámina de 
hierro dulce, hendida con el fin de poderla retirar antes de 
sacar la aguja; las extremidades de esta último tocaban dos 
barras de hierro dulce de mayor diámetro, que contribuían, 
como la lámina anterior, á fijar bien los polos, uniformando 
el campo interior, á más de permitir el centraje de aquélla. 

Las agujas se fijaron paralelamente, á unos cuatro milíme- 
tros de distancia, mediante una armadura de alambre de co- 
bre, fija luego á una chapa de aluminio que servía de amor- 
tiguador. Este sistema, que lleva además un espejo cóncavo 
de 50 centímetros de distancia focal, se suspendió por un 
hilo de capullo de unos 16 centímetros de largo en el inte- 
rior de un tubo, b (fig. L"*) de cobre, de gruesas paredes, 
provisto de un agujero de 1,5 centímetros de diámetro, cu- 
bierto por un cristal para el paso del haz de luz; la disposi- 
ción a permite imprimir pequeños desplazamientos verticales 



' An. de la Soc. Esp. de Fis. y Quim., III, 314. 

2 Ann. der Phys., IX, 944; XI, 609. 

3 F. Kohlrausch y L. Holborn, Ann. der Phys., X, 287. 



- 280 - 




al sistema para centrar el espejo en la abertura indicada. En 
la'parte inferior existe una disposición análoga para soportar 
un pequeño imán en herradura, d, que engendra el par di- 
rector: la distancia de sus polos á los inferio- 
res del par Broca fué en nuestro trabajo de 
unos 2 centímetros. Dicho se está que supri- 
miendo este imán, la sensibilidad aumenta; 
pero perturbaciones de que vamos á ocupar- 
nos, nos obligaron á conservarle. Este apara- 
to, cuya parte esencial acabamos de describir 
someramente, fué construido por la casa «Viu- 
da Aramburo » , de esta plaza. 

En estas condiciones, y observando por el 
método subjetivo con un anteojo cuyo poder 
de resolución era de 0,2 minutos de arco, la 
posición del cero no sufría ninguna perturba- 
ción irregular; pero lentamente sufría un cam- 
bio, que en un principio atribuímos á accio- 
nes higroscópicas sobre el hilo, por parecer 
íntimamente relacionado con las variaciones 
de temperatura del Laboratorio. Posteriormen- 
te hemos cambiado de opinión, atribuyendo la 
perturbación indicada á una causa, cuya exis- 
tencia desconocíamos. Estos trabajos se han 
ejecutado estando colocado el magnetómetro 
que hemos descrito sobre una mesa de azule- 
jos que ignorábamos estuviese montada sobre 
unos barrotes de hierro dulce: casualmente, 
la posición en que desde luego colocamos el 
aparato, era la que aproximadamente corres- 
pondía á la orientación del par por estos barrotes, imanta- 
dos por el campo terrestre, por lo cual este efecto nos per- 
maneció oculto. Al deshacer una mesa análoga durante las 
obras que actualmente se realizan en los laboratorios de la 
Facultad de Ciencias, es cuando hemos conocido su presen- 




Pigura 1.^ 



— 281 — 

cía. Ahora bien; el momento magnético de dichas barras, 
sufre diariamente un cambio correspondiente á la variación 
diurna, y este cambio es el que denuncia el movimiento del 
cero de nuestro aparato. Conviene notar, que la gran longi- 
tud de las barras disminuye el efecto de estas variaciones 
sobre el par Broca; este cambio, además, se corrige en gran 
parte utilizando el pequeño imán director de que hemos he- 
cho mención. Por otra parte, la regularidad con que se pro- 
duce esta variación del cero, ha permitido corregir, en la 
forma que más adelante veremos, cada serie de determina- 
ciones en este trabajo preliminar, destinado principalmente 
á reconocer la sensibilidad del procedimiento. 

Sabido es que el par Broca equivale á tres pequeños ima- 
nes, que denominaremos elementales: dos formados por los 
polos extremos de las agujas, y uno constituido por los 
puntos consecuentes. Supuestas satisfechas las condiciones 
teóricas necesarias, el momento del imán central es doble 
del que corresponde á uno de los terminales. 

El imán estudiado puede colocarse, bien de forma que los 
imanes elementales sean perpendiculares al plano definido 
por el eje de aquél y el hilo de suspensión, bien perpendicu- 
larmente al plano del sistema y con su centro en este plano. 
Para calcular el par director total en el primer caso, nos 
basta observar que cada uno de los imanes elementales está 
en la primera posición principal de Gauss, respecto á un 
imán ficticio, cuyo momento es la proyección del de la 
barra sobre la recta que une su centro con el de aquél; 
en el segundo, todos los imanes se encuentran en la segun- 
da posición principal de Gauss respecto de la barra. 

Si elegimos la primera disposición, para igualdad de dis- 
tancias el par total es más grande que en la segunda; pero 

como al propio tiempo , donde H es el campo de la 

barra y /? la dirección según la cual cambia más rápidamen- 
te, tiene un valor mucho mayor en aquélla que en ésta, la 



— 282 - 

hemos desechado para evitar los errores que pueden intro- 
ducirse por desviaciones del sistema en conjunto. 
, Concretándonos, pues, á la se- 

gunda disposición, designemos por ¡x 
el momento de los imanes elemen- 
tales extremos, 2a la longitud de las 
agujas, y tomemos por ejes de refe- 
rencia el hilo de suspensión y la pro- 
longación del eje magnético central 
(figura 2); M es la sección de la 
barra por el plano de los ejes. El 
par que una barra de semilongitud 



"%M 



P^^Mu. 



Figura 2.* 

L ejerce en el sistema, será: 
2 



1 



1 



[x2+);2 + L2p [x^^Jr{a-^yy + DY {x'- + {a-yy + L^Y 



De esta fórmula resulta que las variaciones de x y L in- 
fluyen de la misma manera en el valor de P, y, por ende, nos 
bastará discutir una de ellas. 

Se puede desarrollar esta expresión en serie por las po- 
tencias sucesivas de L, 

_ 3^ 
2 

3.5 

2.4 



I L x'+r J L x-^+r J 1 



L*- 



y ejecutar el desarrollo de los corchetes en el dominio exte- 
rior á dos círculos de radios a V 2 concéntricos con los ima- 



— 283 - 

nes elementales exteriores; pero, dentro de la región en que 
el imán M se ha colocado, estos desarrollos son muy poco 
convergentes. Preferimos, pues, ejecutar la discusión calcu- 
lando numéricamente los valores de P cuando, permane- 
neciendo x constante, y cambia: las curvas de la figura 3 



0,05 



0,005 _P_ 



0,0003 




Figura 3. 



traducen gráficamente este cálculo, suponiendo que L = 2,5. 

P 

Se observa inmediatamente en estas gráficas , que 

M¡JL 

cambia de signo para un valor de y, tanto más grande cuan- 
to mayor es x, pasando luego por un máximo que corres- 
ponde también á valoros crecientes de y, marchando luego 
asintótitamente al eje: el máximo es tanto más marcado 
cuanto menor es el valor x. Atendiendo á la diferente escala 
con que ha sido representada cada una de estas curvas por 
exigencias del dibujo, se reconoce la gran rapidez con que 
que disminuye la función discutida, cuando y = const. y x, 
variable. Esta circunstancia constituye un inconveniente se- 
rio en la ejecución de medidas obsolutas, pero no cuando se 



- 284 — 

trata de la observación de variaciones, durante las cuales no 
haya que intervenir mecánicamente. Para un mismo valor 
de X, dicho se está que la posición más conveniente es la 
que corresponde á y = 0; pero si hemos de comparar un 
punto del eje x con otro del eje y, la elección depende de 
las circunstancias: nosotros hemos colocado siempre el imán 
enx. 

Un aumento en L produce siempre el mismo efecto que 
en X, de donde parece defivarse la conveniencia de dismi- 
nuir dicha magnitud, disminución que no deberá llevarse 
muy adelante para impedir que — A Ai sea muy pequeño. 

Preconizábamos más arriba la conveniencia de operar por 
un método de cero: el par antagonista utilizado con este 
fin, lo engendraba una bobina, recorrida por una corriente 
medida en la forma que veremos más abajo. Después de 
lo que hemos dicho respecto á la colocación del imán estu- 
diado, se comprende que lo más ventajoso es el empleo de 
un par de bobinas, susceptibles de engendrar un campo uni- 
forme en la región ocupada por el imán central; no obstante, 
en este primer ensayo utilizamos una bobina única, colocada 
de forma que dicho imán elemental ocupe, respecto de ella, 
la primera posición principal de Gauss. 

Teniendo la precaución de determinar previamente, por 
un método cualquiera, el momento inicial de la barra estu- 
diada, hubiéramos podido obtener los valores absolutos 
de la variación del momento magnético; pero, también con el 
fin de simplificar este primer trabajo, nos hemos conformado 
con determinar las variaciones relativas del mismo , evíden- 
mente iguales á las que sufre la intensidad de la corriente en 
la bobina compensadora, para mantener el sistema en el 
cero. 

3. Para elevar la temperatura de los imanes estudiados, 
hemos utilizado una estufa eléctrica, representada aparte en 
la figura 5. Un grueso tubo de cobre, a, de un centímetro 
de diámetro interior y un decímetro de largo, servía de es- 



— 285 - 

queleto á un arrolle de hilo doble de cobre, e f, aislado: un 
ensayo preliminar demostró que la bobina así formada no 
actúa sobre el magnetómetro. En el interior de este tubo se 
colocó el imán c, que se inmoviliza mediante dos tapones, 
b y b', también de cobre, y uno de los cuales está atravesa- 
do por el par temoeléctrico d: la gran conductibilidad del co- 
bre asegura una temperatura bien uniforme en la región que 
ocupa el imán. Por último, para evitar el enfriamiento por 
radiación, se rodeó el tubo por una gruesa capa de papel de 
amianto, y los espacios h h' se rellenaron con algodón. 

Para determinar la temperatura de la barra se empleó un 
par cobre-maillechorts previamente estudiado por el método 
potenciométrico, en la forma que vamos á describir. 

El potenciómetro, representado esquemáticamente en P' a 
(figura 5), está formado por una barra de latón P', de un 
metro de longitud y 0,00374 de resistencia, que termina en 
un pocilio, b, de mercurio. Sobre un semicírculo, concéntrico 
con b, se encuentran dispuestas doce resistencias de hilo 
grueso de cobre, terminando también en pocilios de mercu- 
rio: cinco de estas resistencias equivalen, cada una, á un de- 
címetro de P'; otras cinco, á la mitad de P\ y las dos restan- 
tes, á dos veces y media la longitud total. Un grueso puente 
de cobre, equivalente á un centímetro de P', establece la 
comunicación entre estas resistencias y la barra. Para ca- 
librar este potenciómetro utilizamos el procedimiento del 
puente de Lord Kelvin que hemos descrito en otra oca- 
sión ^ 

Para apreciar el equilibro empleamos un galvanómetro 
de Arsonval-Carpentier, con suspensión de bronce fosforoso 
plana, que en las condiciones del montaje apreciaba 0,07. 10~*' 
de voltio por cada milímetro de la escala, colocada á 150 
centímetros del espejo. 

Las soldaduras caliente y fría del par se sumergieron en 



An. de la Soc. esp. Fís. y Química, II, 48. 



- 286 - 

baños de vaselina líquida envueltos por cartón de amianto 
para regularizar la temperatura. El correspondiente á la pri- 
mera se calentó eléctricamente, á una temperatura leída en 
un termómetro calorimétrico de Baudin, graduado en déci- 
mas, entre O" y 100", y el segundo se mantuvo siempre á la 
temperatura ambiente, apreciada por otro termómetro del 

mismo autor, graduado en — , entre 20" y 33''. Las lecturas 
^ 50 

del primer termómetro se corrigieron del error de vastago 

emergente. 

El resto del material empleado y su montaje fué idéntico 
al que nos sirvió para el estudio de los coeficientes de tem- 
peratura, sin otra variación que la de mantener constante la 
cerriente compensadora en cada serie, y creemos por ello 
conveniente dejar su descripción para más adelante. 

El intervalo total de temperatura le distribuímos en siete 
series, cada una de las cuales cubre veinte grados aproxi- 
madamente, y que, en parte, se superponen, cuyos datos 
consignamos en los siguientes cuadros, donde /representa 
la corriente compensadora; Tf, la temperatura de la solda- 
dura fría; Te, la lectura en el termómetro caliente; T^ y T.^, 
las de dos termómetros idénticos, graduados en décimas, 
colocados junto al Te á diferente altura; A T, la diferencia T^, 
— Tf corregida; /?, la resistencia interpuesta en el potenció- 
metro, y E, la fuerza termoelectromotriz correspondiente del 
par: 



— 287 - 



PRIMERA SERIE: I = 0,021079 amp. 



Tf 


T, 


T, 


T, 


AT 


R 


E 


25,21 


24,75 


25,0 


25,20 








25,23 


26,05 


25,0 


25,20 


0,82 


778.10'" 


16,4. 10"« 


25,24 


27,75 


25,05 


25,20 


2,51 


1813 


38,2 


25,25 


29,20 


25,10 


25,30 


3,95 


2762 


59,2 


25,27 


31,20 


25,10 


25,30. 


5.93 


3943 


83,1 


25,28 


33,25 


25,15 


25,35 


7,97 


5257 


110,8 


25,31 


38,15 


25,20 


25,40 


12,84 


8242 


173,7 


25,34 


43,40 


25,25 


25,50 


17,06 


11763 


247,9 


25,37 


46,60 


25,30 


25,65 


21,43 


13864 


292,2 


25,38 


49,75 


25,60 


25,85 


24,72 


14070 


296,6 


25,41 


51,45 


25,80 


26,00 


26,39 


15277 


322,0 


25,43 


52,95 


25,75 


26,1 


27,87 


16298 


343,5 



SEGUNDA SERIE: I = 0,032363 amp. 



Tf 


Te 


T, 


T. 


^T 


R 


E 


25,83 


25,40 


25,55 


25,70 








25,84 


27,30 


25,60 


25,80 


1,46 


760.10"" 


24,8.10"* 


25,85 


29,85 


25,70 


25,95 


4,00 


1817 


57,2 


25,86 


31,75 


25,75 


26,00 


5,89 


2621 


85,4 


25,88 


33,75 


25,80 


26,10 


7,87 


3474 


113,1 


25,92 


36,05 


25,85 


26,10 


10,27 


4239 


138,0 


25,93 


38,10 


25.90 


26,10 


12,27 


5119 


166,7 


25,94 


40,40 


26,00 


26,25 


14,55 


6095 


198,5 


26,00 


43,00 


26,05 


26,30 


17,15 


6962 


226,7 



- 288 



TERCERA SERIE: I -= 0,037218 amp. 



Tf 


T, 


T, 


26,0 


Ar 


/? 


E 


26,10 


25,70 


25,80 








26,12 


32,65 


26,05 


26,30 


6,53 


2497.10"'^ 


92,8.10''= 


26,13 


34,85 


26,10 


26,30 


8,72 


3276 


121,9 


26,15 


37,45 


26,30 


26,40 


11,40 


•4047 


150,6 


26,17 


39,70 


26,30 


26,50 


13,63 


4874 


181,4 


26,18 


42,05 


26,30 


26,50 


16,02 


5755 


214,0 


26,20 


45,52 


26,40 


26,60 


19,52 


6786 


252,6 


26,22 


48,10 


26,35 


26,50 


22,08 


7757 


288,7 


26,24 


50,30 


26,50 


26,70 


24,26 


8194 


320,6 


26,25 


52,20 


26,60 


26,80 


26,15 


9340 


347,6 



CUARTA SERIE: I = 0,042346 amp. 



Tf 
25,95 


T,. 


T, 


T, 


AT 


R 


E 


42,00 


26,10 


26,20 


15,15 


4963.10'" 


210,1.10"^ 


26,00 


44,40 


26,10 26,30 


18,50 


5755 


243,7 


26,03 


46,10 


26,20 


26,50 


20,22 


6268 


265,4 


26,08 


48,88 


26,30 


26,50 


22,87 


7057 


298,8 


26,09 


50,60 


26,35 


26,60 


24,66 


7811 


330,7 


26,12 


54,10 


26,50 


26,65 


28,28 


8751 


370,6 


26,14 


57,45 


26,70 


26,70 


31,66 


9877 


418,3 


26,16 


60,00 


26,60 


26,65 


34,29 


10792 


457,0 



289 







QUINTA SERIE: 1 = 


= 0,050683. 




Tf 


T 


T, 


T2 


AT 


R 


E 


26,05 


52,50 


25,95 


26,30 


26,75 


7097. lO''^ 


359,7.10"" 


26,07 


55,50 


26,05 


26,35 


29,73 


7937 


402,3 


26,09 


57,98 


26,10 


26,40 


32,24 


8679 


439,9 


26,11 


60,70 


26,20 


26,50 


35,04 


9513 


482,3 


26,13 


64,00 


26,25 


26,45 


38,37 


10252 


519,6 


26,15 


65,75 


26,70 


26,65 


41,10 


11095 


562,3 


26,16 


69,62 


26,70 


26,50 


43,96 


11993 


607,8 


26,17 


72,22 


26,80 


26,50 


46,65 


12799 


648,7 







SEXTA SERIE: 1 = 


= 0,052365. 




Tf 


Te 


T, 


To 


^T 


R. 


E 


25,69 


66,57 


26,1 


26,25 


41,35 


10790.10'" 


564,9.10'" 


25,70 


69,85 


26,8 


26,45 


44,75 


11770 


616,3 


25,75 


72,42 


26,55 


26,35 


47,29 


12546 


656,9 


25,76 


75,60 


26,70 


26,50 


50,44 


13598 


712,0 



SÉPTIMA SERIE: I = 0,042083. 



Tf 


Te 


Tr 


T2 


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R 


E 


25,36 


72,78 


26,00 


26,00 


48,02 


14373.10'" 


674,7.10'" 


25,38 


75,50 


26,00 


25,90 


50,72 


15420 


718,8 


25,40 


79,56 


26,45 


26,25 


54,76 


16743 


774,5 


25,42 


82,40 


26,65 


26,60 


56,68 


17848 


821,0 


25,45 


86,23 


26,90 


26,70 


61,48 


19335 


883,5 


25,46 


90,20 


27,00 


26,70 


65,54 


21088 


957,3 


25,48 


95,30 


27,45 


26,40 


70,62 


23132 


1043,3 



Rf.v. Acad. Ciencias. — V. — Noviembre, 1900. 



— 290 — 



1000 
950 
900 
850 
800 
750 
700 
650 
600 
550 
500 
450 
400 
350 
300 
250 
200 
150 
100 
50 
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5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 

Figura 4." 



— 291 — 

Para ejecutar las lecturas correspondientes del termóme- 
tro Te y de R, hemos tenido siempre la precaución de man- 
tener, durante diez minutos, sensiblemente constantes el ter- 
mómetro y la indicación del potenciómetro, abriendo y ce- 
rrando el circuito de calefacción: con un poco de práctica 
logramos fácilmente que las oscilaciones de Te fueran infe- 
riores á 0°,1, y las de 7?, á 1 centímetro de la barra, en el 
caso más desfavorable, que corresponde á 37, lO"*^ ohmios. 

Con los resultados numéricos de los cuadros anteriores, 
construímos la curva reproducida en la figura 4, donde cada 
serie está representada por un símbolo especial. De la curva 
anterior se deduce para fuerza electromotriz del par entre 0° 
y 100'' 1,45 mili voltios, número que concuerda bien con 
el 1,35 que encontró Ed. Becquerel ^ dada la variabilidad de 
composición de la aleación. De esta gráfica se han deducido 
los valores de la temperatura de la barra estudiada. 

4. La disposición de los diferentes elementos que inter- 
vienen en la medida de los coeficientes de temperatura está 
representada por el esquema de la figura 5, y permitía que 
un solo individuo ejecutara todas las lecturas. M representa 
el magnetómetro é /, el aparato de calefacción para el imán 
estudiado: la corriente utilizada en éste, la hemos tomado 
del sector industrial y servía al propio tiempo para iluminar 
la lámpara L; la imagen de cuyo filamento, producida por 
los espejos de G y G', se pintaba en la escala E . Con el 
fin de poder interrumpir la corriente en / sin que L se apa- 
gase, adoptamos la disposición que el esquema representa 
en D: los terminales de la línea comunicaban con dos poci- 
lios de mercurio, en cada uno de los cuales terminaba tam- 
bién el circuito de calefacción, con un centiamperímetro A' 
intercalado; para interrumpir la corriente en /bastaba colo- 
car un puente de cobre entre ambos pocilios. 

La bobina antagonista B se alimentaba por una batería 



Ann. de Chim. et Phys., ser. 4.% VIII, 389. 



292 - 







FItíura 5." 



— 293 - 

de acumuladores, cuyos terminales representamos en C, y 
cuya intensidad se medía por el método potenciométrico. En 
el circuito principal se intercaló: la bobina B; un reosta- 
to P formado por dos hilos, calibrados por el método 
de J. A. Harker ^ que terminan en dos pequeñas cajas de 
doble entrada, con cinco resistencias iguales á la mitad de 
los hilos y del mismo rollo; una caja, R' , de 200 ohmios; un 
amperímetro para dar una indicación aproximada de la co- 
rriente; un reostato Wheatstone, R, para regularla; el paten- 
ciómetro P', arriba descrito, y el reocordio r que servía para 
afinar la regulación de la corriente. 

El circuito derivado termina á la salida de la caja R' y en 
el contacto de P, y contiene un elemento Weston, W, y un 
galvanómetro Carpentier d'Arsonval, de suspensión de hilo 
de plata, que en las condiciones del experimento daba un 
desplazamiento de un milímetro sóbrela escala por 120,10"'^ 
de voltio, equivalente á una variación del contacto en P 
de 3,3 milímetros, lo cual permite medir las variaciones de / 
con un error menor de 1,5.10""'^ de amp., supuesto que no 
exista otra causa de error. Durante cada determinación se ha 
mantenido G rigurosamente en el cero. 

Desgraciadamente, algunas de las resistencias de R' va- 
riaban sensiblemente con la duración del paso de la corrien- 
te, siendo en algún caso esta variación equivalente á 3 cen- 
tímetros del hilo de P, en el tiempo total de una sesión. Sin 
embargo, durante este tiempo, los cambios de / han corres- 
pondido por lo menos á 70 ú 80 centímetros, y además he- 
mos medido la resistencia de las bobinas de R' después de 
atravesarlas corrientes iguales á las que han sido empleadas 



' Proc. ofthe /?. Soc, IX, 154. Este reostato, construido en el ta- 
ller de los Laboratorios de Física de la Facultad de Ciencias, según 
nuestras indicaciones, es de hilo de níquel, y su contacto lo forman 
dos láminas de mercurio delgadas, que pueden comunicar entre sí ó 
permanecer aisladas. La resistencia del hilo por centímetro es 
de 36,10-". 



- 294 — 

en este trabajo, durante el mismo tiempo; de esta suerte los 
errores se disminuyen, aunque no se eliminen por completo. 
El segundo circuito, derivado sobre P', corresponde al par 
termoeléctrico y está dispuesto en la forma ya indicada. La 
soldadura fría se conserva en el mismo baño de vaselina lí- 
quida, donde también se sumerge el termómetro Baudin 

1 

en — . 
50 

5. La serie de medidas correspondientes al estudio de 
una barra magnética se han ejecutado en una sola sesión. 
Ante todo, determinábamos la posición del cerp del magne- 
tómetro en la escala E, anotando la hora de la observación, 
é inmediatamente colocábamos la barra, regulando la co- 
rriente en B de forma que el magnetómetro se mantenga en 
el cero. La lectura en A nos permitía calcular la posición 
aproximada del contacto en P, de forma que la corriente á 
través de W al cerrar /' fuese insensible, con el fin de no al- 
terar su /. e . /7z . , é inmediatamente se llevaba G al cero 
moviendo este contacto. Hecho esto, y después de compro- 
bar la in variabilidad del magnetómetro, anotábamos la re- 
sistencia R entre las extremidades de la derivación IV y la 
hora. 

Cerrado el interruptor /, del par termoeléctrico, y retirado 
el puente D, se elevaba la temperatura de / hasta la altura 
deseada, conservándola invariable hasta que la desviación 
del magnetómetro permanecía constante. Logrado esto, y 
previa la anotación de dicha desviación, cambiábamos la co- 
rriente en B para lograr la vuelta al cero, con lo cual obte- 
níamos la variación de /que corresponde á un desplazamien- 
to de una división en F. A continuación hacíamos oscilar la 
temperatura de /, de forma que el magnetómetro pasara de 
un lado al otro del cero, con el fin de cerciorarnos de que 
los cambios del momento magnético respondían á los de la 
temperatura, y previa la fijeza durante algunos minutos de 
G' y M, procedíamos á efectuar las siguientes lecturas: hora- 



— 295 — 

temperatura de la soldadura fría, valor de 7? y de la resis- 
tencia r en F. 

De esta manera se han determinado varios puntos para 
distintas temperaturas ascendentes y descendentes, anotan- 
do por último la posición del cero después de retirar el imán 




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0.040 
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Figura %.^ 



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73 



é interrumpir el circuito de B. Generalmente esta lectura di- 
fiere de la primitiva en diez divisiones de la escala como má- 
ximo, debido al cambio lento del cero á que hemos hecho re- 
ferencia más arriba. Para corregir las lecturas de este error, 
admitimos que el cambio es proporcional al tiempo, hipóte- 
sis no muy alejada de la verdad, según comprobamos en un 
estudio preliminar, con lo cual podíamos conocer la posición 



— 296 - 

aproximada en el momento de cada lectura. Por otra parte, 
conocemos la variación de /que corresponde á un desplaza- 
miento de una división, y por ende el valor de ésta que hu- 
biese llevado el magnetómetro al cero verdadero; este valor 

A/ 

es el que empleamos para calcular la relación , que 

figura en los cuadros de más abajo. 

6. De la manera que acabamos de describir hemos estu- 
diado dos imanes, después de varios ensayos preliminares: 
uno, que designaremos por A, procedente de un magnetó- 
metro Mascart, construido por Carpentier, cuya longitud es 
de 5 centímetros aproximados y sección cuadrada de 5 milí- 
metros de lado; y otro, que llamaremos B, perteneciente á 
un magnetómetro de Kew, construido por Elliot & Brothers, 
en forma de tubo cilindrico de 10 centímetros de longitud y 
5 milímetros de diámetro. 

En cada uno de estos imanes hemos ejecutado dos series 
completas entre límites diferentes de temperatura, aunque 
correspondientes á la misma porción de la escala termomé- 
trica, cuyos resultados consignamos en los siguientes cua- 
dros y traducimos gráficamente por las curvas de la figura 6. 



— 297 — 



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784,3 


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3193,7 
3897,1 
5074,8 
5677,0 
5923,7 
6808,8 




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0,0080 
0,0155 
0,0222 
0,0271 
0,0425 


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o 


0,00094 
0,00181 
0,00259 
0,00317 
0,00498 


«-, 


0,11621 
0,11568 
0,11492 
0,11430 
0,11385 
0,11233 


ai 


8,7685 
8,8090 
8,8669 
8,9154 
8,9507 
9,0711 


22°, 56 
22°, 58 
22°, 60 

22°, 67 


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- 301 - 

Los resultados correspondientes á las dos series del 
imán A son bastante concordantes, si se tiene en cuenta la 
diferencia que existe en la temperatura inicial de ambas. La 

variación con la temperatura de crece más rápidamen- 

M 

te que T, de forma que el coeficiente medio de tempera- 
tura a = crece con T. — T., según se de- 

duce de los siguientes resultados: 



1.^ 


SERIE 




2.^ SERIE 




52,8 


0,000729 


22°, 5 - 


-27° 


0,000622 


67,2 


723 


» 


36°, 3 


601 


74,2 


796 


» 


46°, 7 


595? 


81,6 


919 


» 


48°, 8 


832 






» 


55°, 2 


861 






» 


57°, 9 


981? 






» 


62°, 5 


899 






» 


65°, 7 


914 






» 


72°, 7 


900 






» 


77°, 3 


918 



En segundo término la rama descendente de es me- 

M 

nos rápida que la anterior y sensiblemente recta. 

Los resultados correspondientes al imán B no son tan 
comparables como los del A , pues las temperaturas iniciales 
son muy diferentes. Los valores del coeficiente de tempera- 
tura son: 



1.'^ SERIE 2.* SERIE 

50,5 — 56,1 0,0015 25° — 37°, 6 0,000464? 

65,0 108 49°, 5 346 

» 69,1 119 57°, 6 353 

» 70,8 134 66°, 8 375 

» 77,7 156 72°, 4 427 



— 302 - 

Ambas series de valores, aunque de magnitudes muy di- 
ferentes, obedecen á la misma ley de variación que los co- 
rrespondientes al A. Además, comparando los coeficientes 
de la segunda serie con los de .4, se observa que son sensi- 
blemente la mitad, según exige la ley enunciada por Kle- 
mencic. 

La rama descendente de la primera serie de B, no pudi- 
mos obtenerla porque una fuerte perturbación de orden me- 
cánico invalidó las observaciones correspondientes. En la 
segunda serie esta rama se confunde con la ascendente. 

Las circunstancias en que se han ejecutado estas determi- 
naciones, en virtud de los errores que hemos ido señalando, 
inherentes á su carácter preliminar, harían totalmente iluso- 
ria cualquier otra consecuencia que de ellas se quisiera sacar. 

( Laboratorio de Electricidad ; Magnetismo de la Facultad de Ciencias de Madrid.) 



INDICK 

DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO 



XII.— Introducción á la Física matemática, por José Echegaray. 225 
XIII.— Estudios de Síntesis mineral, por José Rodríguez Mou- 

relo 260 

XIV.— Sobre la variación del magnetismo permanente con la 

temperatura, por Blas Cabrera Felipe 275 



La subscripción á esta Revista se hace por tomos completos, 
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos 
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val- 
verde, niim. 26, Madrid. 

Precio de este cuaderno, 1,26 pesetas. 



REVISTA 



REAL ACADEMIA DE CJEICIAS 



EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES 



DE 



MADRID 



xois^EO v.-isrtjjvwa:_ ;4)- 

( Diciembre de IQOQ.) 



"MADRID 

IMPBEHTA DE LA "GACETA DE MADRID,, 

CALIiF. DE P0NTEJ08, NÓM. 8. 

leoe 



ADVERTENCIA 



Los originales para la Revista de la Academia 
se han de entregar completos, en la Secretarla de 
la Corporación, antes del día 20 de cada mes, 
pues de otro modo quedará su publicación para 
el mes siguiente. 



- 303 



XV.— Introducción á la Física matemática. 

Por José Echegaray. 

Conferencia décinnasegiancda. 

Señores: 

Hemos dicho varias veces, que al estudiar un fenómeno 
de Física, se marcan desde luego cierto número de paráme- 
tros, de los cuales puede decirse que el fenómeno depende, 
que determinan todas las circunstancias del mismo. 

Pero ocurren varios casos. 

1.° Puede suceder que estos parámetros sean indepen- 
dientes del tiempo; ó mejor dicho, que estudiemos el fenó- 
meno físico para un instante determinado, y que para ese 
instante los parámetros tengan valores determinados tam- 
bién, sin que al estudiar el problema nos preocupemos de 
cómo varían con el tiempo ni cómo en función de t pasan 
de un instante á otro. 

Lo que buscamos en estos casos es la función, ó las fun- 
ciones analíticas, que enlazan los parámetros en cuestión, 
para saber cómo cambian unos en función de los otros, sea 
cual fuere el instante que se considere. 

Este era el caso del problema de los gases. Allí entraban 
tres parámetros: presión, volumen y temperatura, y lo que 
nos esforzamos por encontrar, ya por los métodos de la Físi- 
ca experimental, ya por las hipótesis y los cálculos de la 
Física matemática, fué la relación entre p, v y T, sin hablar 
para nada del tiempo en aquella ocasión. 

Y lo mismo pudiéramos decir de algunos otros ejemplos 
que hemos presentado en estas conferencias. 

Ruy. AcAD. Ciencias. — V. — Diciembre, 1906. ai 



- 304 - 

« 

Y, sin embargo, en casi todos estos problemas la variable 
tiempo estaba contenida, porque los problemas de la Física, 
mejor dijéramos, los problemas de la Naturaleza, más son 
problemas de Dinámica que de Estática. 

La Estática es una verdadera ficción de la Mecánica, aun- 
que útilísima y fundamental en esta ciencia; es, en suma, un 
estado ideal en que se prescinde del tiempo. Mas, en rigor, 
los fenómenos son eminentemente variables con /. 

Así, en el problema de los gases que acabamos de citar, 
la temperatura es una fuerza viva, y, por lo tanto, contiene 
en sí el tiempo; y lo mismo pudiéramos decir de la presión, 
aunque se asemeje á una fuerza instantánea. Estas conside- 
raciones se aplican á todos los problemas de la Termodi- 
námica, pues aunque en ellos no aparezca el tiempo, se con- 
sideran estados distintos en que varían la presión, el volu- 
men, la temperatura, y estos tres parámetros con el tiempo 
varían. Lo que hay es que no nos preocupamos de la ley de 
sus variaciones, sino de su estado final. 

Muchas veces no aparece el tiempo en esta clase de pro- 
blemas, aunque implícitamente en ellos está comprendido, 
porque se toman valores medios en un intervalo determina- 
do, y éstos son los únicos que en esta clase de problemas 
se consideran. 

Cuando se estudian fenómenos ó funciones periódicas 
y se abarca el período, el tiempo desaparece, porque se re- 
pite en igualdad de condiciones. Pudiera decirse, filosófica- 
mente, que el período es superior al tiempo, lo anula, ha- 
ciéndolo igual asimismo en cada espacio del período en 
cuestión. 

Esto sucede precisamente con la temperatura, puesto que 
depende del valor medio de la fuerza viva de cada molécula. 

De todas maneras, en este caso las ecuaciones que ex- 
presan los fenómenos físicos son muchas veces ecuaciones 
en términos finitos entre los parámetros correspondientes. 

2.° Puede suceder también, que el fenómeno físico que 



- 305 — 

se estudie esté determinado por cierto número de paráme- 
tros; que se busquen relaciones entre ellos independiente- 
mente del tiempo, es decir, para cada instante determinado, 
pero que dichas relaciones no sean funciones en términos 
finitos, sino ecuaciones diferenciales en las que entren tales 
parámetros, y además los coeficientes diferenciales de unos 
con relación á otros, ó sea las derivadas de los parámetros 
dependientes con relación á los parámetros que se conside- 
ran independientes. 

Toda la Termodinámica es un ejemplo de este caso. 

Por lo demás, pudiéramos aquí repetir lo que hemos indi- 
cado en el ejemplo anterior. El tiempo, como variable inde- 
pendiente, si no entra en las ecuaciones diferenciales implí- 
citamente, estará contenido en todos los accidentes del fenó- 
meno, y si no aparece en las fórmulas, acaso sea porque se 
toman valores medios correspondientes á un intervalo de 
tiempo determinado. 

3." Se presenta otro caso que en rigor es ó debiera ser 
el más general y casi nos atreveríamos á decir que el único. 

Y es aquel en que las ecuaciones obtenidas, por de con- 
tado por procedimientos empíricos, es decir, por los proce- 
dimientos de la Física experimental, como tantas veces he- 
mos explicado, son ecuaciones diferenciales, que contienen 
los parámetros y sus derivadas con relación al tiempo, y ca- 
sos pudiera haber en que contuvieran además las derivadas 
de unos con relación á otros. 

Este caso en que las ecuaciones de un problema de Física 
son del tipo 

ana dq^ dq^ d^ d^ ._ 

dt dt dt" dt- 

es precisamente el que corresponde, por ser el más general 
al teorema de Mr. Poincaré, que vamos á explicar en esta 
conferencia, no con tanta extensión como quisiéramos, ni 



— 306 — 

como merece por su importancia y por el ilustre nombre de 
su autor, pero sí con la suficiente para que mis oyentes pue- 
dan formarse una idea exacta de su tendencia y de su signi- 
ficación. 

Así, pues, decimos que el fenómeno de Física que consi- 
deramos está expresado por un grupo de ecuaciones aná- 
logas á la (1). 

* 

* * 

Supongamos que se presenta un problema de Física y que, 
como explicábamos en la primera conferencia, se determinan 
los parámetros que al fenómeno en cuestión van unidos y 
de los que en cierto modo depende su estudio. 

Sean éstos ' 

(Ji,(Í2>Q^ Qn- 

Supongamos que por los métodos experimentales, y esto 
también lo explicábamos en nuestras primeras conferencias, 
se determina cierto número de ecuaciones diferenciales del 
tipo de la anterior, que si hay que determinar todos los pa- 
rámetros en función del tiempo, serán en número n. 

Hasta aquí el método de la Física experimental, que tan- 
tas veces hemos explicado: una S3rie de experimentos deter- 
minan las ecuaciones. El matemático después las integra; 
ninguna gran hipótesis, al menos hipótesis de conjunto, ha 
intervenido en la solución. 

Pues propongámonos resolver el problema aplicando á él 
la hipótesis mecánica. 

Esto lo que quiere decir, si ha de haber concordancia en- 
tre la Física experimental y la Física matemática, es que á 
las ecuaciones anteriores debe llegarse directamente, sin ex- 
perimento ninguno, al menos en teoría abstracta, y supo- 
niendo tan sólo que el problema, sean cuales fueren sus apa- 
riencias físicas y sensibles, no es más que un problema de 



— 307 — 

movimiento de masas con velocidades determinadas y bajo 
la acción de fuerzas determinadas también. 

¿De qué medios disponemos para ello? 

Podemos escoger tantas masas 

my,m.¿,m^ tUp 

como queramos, es decir, que p puede ser tan grande como 
nos convenga. Si es preciso hasta un número infinito de 
masas. 

El valor numérico de cada una de ellas también es arbi- 
trario. 

Y es más, si no nos basta con las masas de las moléculas, 
de los átomos ó de las partículas ponderables, podemos 
imaginar nuevos fluidos hipotéticos, como, por ejempo, el 
éter ó la electricidad ó algún fluido inductor. 

Y podemos descomponerlo en elementos y dar masas ar- 
bitrarias á esos elementos. 

Escogeremos, por último, arbitrariamente, un sistema de 
fuerzas que hayan de actuar sobre dichas masas, pero de 
modo, según explicábamos en la última conferencia, que 
exista para ellas una función de fuerzas; y representando 
esta función de fuerzas por — U, las componentes serán 

dU dU dU 



dx dy dz 

Con este conjunto de cantidades arbitrarias y de que po- 
demos disponer, constituiremos un sistema mecánico, cuyos 
movimientos estarán determinados por p grupos de tres 
ecuaciones, como el siguiente: 



d'x, dU 

dP dx. 



m. 



m. 



- 308 - 
d^yi dU 



dP dyi 

d'-z, dU 



dt' dz^ ' 



Hemos expresado las tres ecuaciones del movimiento res- 
pecto al punto x^, y-^, z^: para cada punto de los p que for- 
man el sistema, tendremos un grupo análogo. 

Puesto que la hipótesis mecánica consiste, en que sean 
cuales fueren las apariencias del fenómeno físico, en el fon-- 
do no hay más que el movimiento de las masas m bajo la 
acción de las fuerzas indicadas, es evidente que las coorde- 
nadas de todos los puntos x, y, z, deben ser funciones de 
los parámetros q: por decirlo de este modo el elemento de 
la mecánica en función del elemento físico. 

Este es el espíritu de todos los problemas de la Física ma- 
temática, cuando se acude á la hipótesis mecánica. 

Los accidentes del fenómeno físico dependen del movi- 
miento de las masas, ó sea de las coordenadas x,y,zy do. f. 

Por otra parte, la experiencia da que estos mismos acci- 
dentes del fenómeno dependen de los parámetros q; luego 
es evidente que todas las coordenadas del sistema depende- 
rán en cada instante de dichos parámetros, es decir, que de- 
beremos tener: 

^i=«i(^i,^2 Qn),yi = MQi,Q2 Qn),Zi=yi(qi,q2 Qn); 

X2 = ^2(Qi,Q2 Qn),y2 = h{Qí,Q2 Qn),Z.=^2{Ql,Q2 Qn)\ 

Xp = '^p(QuQ2 Qn),yp = MQí'Q2 qn),Zp=^p{q„q., ^„). 

Estas funciones a, ¡ti, y son arbitrarias y de ellas podemos 
disponer como más nos convenga, para que el movimiento 



- 309 - 

del sistema mecánico explique todos los accidentes y cir- 
cunstancias del fenómeno físico. 

No olvidemos que n es un número determinado, la expe- 
riencia lo determina, porque cada fenómeno físico depende 
de un número determinado de parámetros. 

En cambio, p es un número arbitrario que podemos esco- 
ger á nuestra conveniencia y que será mayor que n, en ge- 
neral. 

Luego, evidentemente, este es el caso del movimiento de 
un sistema en que existen enlaces, y aquí las verdaderas va- 
riables independientes son los parámetros q. 

Luego si en las ecuaciones del movimiento eliminamos las 
coordenadas x, y, z, vendremos á parar á las ecuaciones de 
Lagrange, que en este caso serán en número n: 



dt dq\ dq^ dq^ 

el dT dT ^^l^^^, ^2) 



dt dq'z dq^ dq^ 



d dT dT dU ^^ 



dt dq'n dqn dqn 

Este grupo de ecuaciones debe dar las leyes del fenómeno 
físico en función de las variables q; pero las ecuaciones di- 
ferenciales entre estas variables obtenidas por los procedi- 
mientos de la Física experirnental, también expresan estas 
leyes. 

Luego el grupo (2) debe ser idéntico al grupo (1), ó, por 
lo menos, equivalente; uno y otro deben dar los mismos va- 
lores para q^, q^ , qn en función del tiempo, y el proble- 
ma podrá plantearse en estos términos: 1.°, disponer de las 
masas m, y de su número p; 2.", disponer de las fuerzas F, 



310 - 



cuyas componentes son 



d U 



d U 

dy 



d U 



; y 3. ", 



í/x ' dy ' d X 
disponer de las funciones «, ¡i, y de tal modo, que el gru- 
po (2) coincida con el grupo ( 1 ) : 

Obsérvese que la forma de las ecuaciones (2) no es com- 
pletamente arbitraria; porque sabemos que T es de la forma 

en la que deberemos substituir las derivaciones de x, y, z, 
con relación á t, por sus valores deducidos de las funcio- 
nes a, [i, y, de suerte, que las ecuaciones del grupo (2), en 
rigor, son de esta forma: 



1 



_d_ 
dt 



xm 



dt 



íH^hmi 



dq' 



'i-K^J+(^)+(^)'] 



dq 

Y tendremos, en general; 



dq 



da 
dt 

d^ 



dt 

dy 



d(í dqy 

dt dq^ 



dq, 

d^ dq, 



da dq^ . 



+ 



í/3 



dt 
dq^ 



dq, dt dqo^ dt 



dt dq, dt dq^ dt 



^r dq, dy dq. _j _^ 



1 ''" 


dqn 


dq„ 


dt ' 


, <í? 


dqn 


dqn 


dt ' 


1 d, 


dqn 



dqn dt 



aplicables dichas ecuaciones á todos los puntos p. 

Las funciones a, [i, y y la función U, forman aquí las 



- 311 — 

verdaderas incógnitas y están expresadas por diferenciales 
parciales, y de ellas debemos disponer para que coincidan 
las ecuaciones diferenciales del grupo (2) con la del gru- 
po (1). 

¿Es esto posible? Pues el problema físico tiene una ex- 
plicación en la hipótesis mecánica, y podremos encontrar 
las dos funciones Uy T, áe las cuales, la primera, conten- 
drá tan sólo los n parámetros q, y \a. segunda, estos pará- 
metros y sus derivadas con relación al tiempo. Además T 
será homogénea de segundo orden por relación á dichas 
derivadas, como hemos hecho observar anteriormente, y 
como se ve en las ecuaciones que acabamos de escribir. 

Claro es que, según lo que hemos explicado, el sistema 
mecánico escogido satisfará el principio de la conservación 
de la energía: 

T^ U = constante. 

Si no encontramos funciones para Ty U en las condicio- 
nes explicadas, el problema no tendrá una explicación en la 
hipótesis mecánica. 

¿Es esto tan seguro como acabamos de afirmar? 

No lo es, y apuntaremos una idea sin discutirla, porque 
nos alejaría de nuestro objeto. 

Al fin y al cabo, las ecuaciones del grupo (1) son ecua- 
ciones deducidas experimentalmente, de suerte que darán 
valores numéricos aproximados, pero no formas algebrai- 
cas rigurosas. 

Si un método experimental da una elipse, y la verdadera 
curva que explica el fenómeno es una cicloide, es imposible 
hacer coincidir las ecuaciones de ambas curvas; cuando 
más, podrán coincidir sus valores numéricos, por sus des- 
arrollos en series, en un cierto intervalo. 

Pero esta observación que hacemos de paso, no afecta al 
rigor ni á las transcendencia del teorema de Mr. Poincare, 
porque, en rigor, el teorema es éste. 



— 312 — 

Supongamos que se han encontrado dos funciones T y U 
que cumplen con las condiciones explicadas anteriormente, 
y que consiguen la coincidencia exacta ó aproximada de los 
grupos de ecuaciones diferenciales (1) y (2). 

Tendremos de este modo una solución dentro de la hipó- 
tesis mecánica. Pues el teorema de Mr. Poincaré, afirma, 
que si se ha obtenido una solución, se pueden obtener infi- 
nitas soluciones; y esto es evidente, porque obtenido un 
valor para T, que, abreviadamente, representaremos por 
T{q',q), se puede hacer idéntica la ecuación 



'1 ,]-^'-(i^\'+í^]'+ 



m) 



dt / 2 \\ dt J \ dt , 

da d[j dy 

un aiiico uijiiuv^o, ot iciiuia paia - — 

en general. 



en que, según antes dijimos, se tendrá para 

dt ' dt ' dt 



da _ da dQi I da dq^ da dq„ 



dt dq^ dt dq^ dt dqn dt 



de infinitas maneras, puesto que disponemos de infinitas 
funciones a, p, y. 

Así, el eminente maestro Mr. Poincaré, no niega, ni la 
importancia de la hipótesis mecánica, ni su eficacia en mu- 
chos casos, ni su fecundidad, de que da muestras toda la 
ciencia clásica del siglo xix; lo que sí niega á estas solucio- 
ciones, es valor absoluto , y, en cierto modo, sentido meta- 
físico. 

Si admitiendo una solución mecánica para un fenómeno 
físico, á la par de ella se encuentran infinitas soluciones, no 
podemos asegurar que ninguna de ellas sea la verdadera. 

La realidad es una, y no debe tener más que una explica- 
ción; y si á la inteligencia humana es dado encontrarla, la 



— 313 - 

encontrará con carácter de unidad, y no ciertamente un nú- 
mero infinito de soluciones entre las cuales escoger. 

Tal es, si no hemos comprendido mal, el sentido del teo- 
rema del ilustre maestro. 

* 
* * 

Para que mis oyentes comprendan aún mejor el teorema 
que acabamos de explicar, y sobre todo su última parte, 
presentaremos un ejemplo sencillísimo, un caso particular 
en que los cálculos son elementales. 

Supongamos un fenómeno físico, que dependa de un solo 
parámetro q, y en que se satisfaga á las condiciones que 
quedan establecidas, tan sólo por el movimiento de dos ma- 
sas m, m'. 

En estas hipótesis, las ecuaciones de-Lagrange se reduci- 
rán á una sola: 

dT 



d 



dq dT dU ^^ 



dt dy dq 

Las ecuaciones que determinan las coordenadas de los 
dos puntos serán : 

x, = cL^ (q) 

yi = Pi (q) 
^i = ri(^) 

^2 = ^2 (Q) 

^2 = r2 (q) 

Y la forma de T será la siguiente : 

2 l\dq dt ¡ \dq dt ) \ dq dt j \ 



314 - 






ó bien 



LV dq dt]~^ \ dq ' dt I \ dq ' dt) \ 



T= — m 
2 






•[(^)'-(^)'-(^)i(f)' 



0) 



ó abreviadamente 

Supondremos, además, que la función í/que lia de deter- 
minarse en función de x^, y^, z^, x^, y 2, z^, satisface á las 
condiciones que exige el principio de la conservación de 
la energía, es decir, que en las ecuaciones del movimiento 
de las masas my m' 

d^x^ V 

m = Ai 

dP 

dP 

d-'z^ 

m = Zi 

dP 

, d'^x, „ 

m ^ = A, 

dt^ 

' d-y. „ 

m — ^-^ --= y, 

dt^ 
. d^^z^ 



dr- 



sc tiene 



— 315 - 

V _ dU ^ _ dU „ _ dU 

dxi dyi dZi 

V dU ^ _ dU „ _ dU 
dx^ " dy^ " dz.. 

Por otra parte, suponemos determinada experimental- 
mente la ecuación diferencial que define el fenómeno fí- 
sico de que se trata, y suponemos, para aplicar el teorema 
de Mr. Poincaré, que la ecuación de Lagrange que hemos 
establecido coincide con esta última ecuación deducida de 
la experiencia, para los valores indicados a^, pi,yi, 0-3, p2>T2> y 
para el valor de U, que queda también determinado en fun- 
ción de q. 

Obtenida esta solución, veamos si pueden obtenerse otras 
varias; por ejemplo, tomando otros cuatro puntos. 

Es decir, si en esta hipótesis podemos dar á las y., p, y de 
estos puntos valores que satisfagan á la ecuación 

'<'>(f)'44-((Sf)"-(fíí)'+ 

Comprendiendo la S los resultados de aplicar á a, p, y 
y m los subíndices 3, 4, 5, 6. • 

En suma, estudiemos si con este nuevo sistema de puntos 
materiales podemos obtener la misma T, que hace coincidir 
la ecuación de Lagrange con la ecuación obtenida experimen- 
talmente. 

La última ecuación puede escribirse así : 



-(ihmi 



— 316 — 

pero el parámetro q debe expresarse del mismo modo en 
función de /, ya se deduzca de la ecuación experimental, 
es decir, que hemos obtenido experimentalmente, ya se de- 
duzca de la aplicación de la hipótesis mecánica con cualquier 
sistema de puntos. 

Así, I — ^ I será la misma cantidad en el primer miem- 
bro que en el segundo, y podremos dividir por ella; luego 
nos quedará 



y se reduce el problema á determinar las doce funciones in- 
determinadas de q del segundo miembro, de modo que re- 
sulte la función que indica el primero. 

Y decimos doce funciones, porque hemos tomado cuatro 
puntos, pero pudieran ser tantas como quisiéramos. 

Sin embargo, si se tratase sólo de masas ponderables, que 
todas debieran ser positivas, la multiplicidad de soluciones 
podría en ciertos casos ser ilusoria, y no existir más que una 
solución, que sería la primitiva. 

En efecto; supongamos que de los cuatro puntos dos de 
ellos coinciden con dicha solución primitiva, y entonces la 
ecuación anterior podrá escribirse de este modo: 



Pero como las a, ,3, y de subíndices 1,2, son precisa- 
mente las que han dado para T el valor '^{q){ —^ ) como 
prueba la ecuación (1), podemos suprimir como iguales el 



- 317 — 



primer miembro y la primera parte del segundo, y quedará 
como condición á que deben satisfacer las a, p, y con los 
subíndices 3 y 4, es decir, á que deben satisfacer los nuevos 
puntos: 



S3.4/" 



mn^Hm- 



ó desarrollando 



m 



y como todos los términos son positivos, será preciso que se 
tenga: 



dq dq dq 

da, =0, _í?í_=0, ^^ = 0; 



dq dq dq 

es decir, que los dos nuevos puntos x^ y^ Z;~, x^ y^ z^ no se- 
rán funciones de q, sino que, en todo caso, serán puntos 
fijos. 

De todas maneras, el teorema subsiste, porque la hipóte- 
sis mecánica es tan amplia, que una de las dos masas m-¿ 
ó /TZi pueden ser masas negativas de un fluido hipotético, y 
la condición quedará satisfecha sin necesidad de ser cero los 
coeficientes diferenciales. 

Una discusión más amplia del teorema de Poincaré, pasa- 
ría los límites naturales de estas conferencias. 



- 318 - 

Hemos terminado nuestra tarea en el presente curso. 

Hemos visto cuál es el carácter y cuáles las condiciones 
de la Física experimental. Huir de las hipótesis; á ser posi- 
ble, renunciar á ellas por completo; consultar sólo la reali- 
dad, ponerse en contacto con ella, deducir fórmulas que pre- 
cisamente habrán de ser empíricas, pero que por lo mismo 
que proceden de los hechos, á los hechos se aplican sin duda 
ni vacilación. En cambio, de aquí resulta que las fórmulas 
deducidas de este modo, carecen de generalidad, están en- 
cerradas, por decirlo de este modo, en el encasillado de los 
hechos, y sus formas analíticas es muy posible que sean 
completamente distintas de las que corresponden al fe- 
nómeno. 

Acaso se dirá á esto, que son primeras aproximaciones 
de las fórmulas verdaderas, como, por ejemplo, cuando son 
ecuaciones de primer grado, en que á la verdadera curva ó 
á la verdadera superficie, se substituyen la tangente ó el 
plano tangente. 

El principal inconveniente del método experimental, que, 
por lo demás, en la ciencia positiva es inevitable, y es de 
inmensa fecundidad, consiste, en que por él no se llega fá- 
cilmente á las grandes leyes, es decir, á las leyes generales, 
que son las que constituyen la unidad de la ciencia. 

Lo contrario hemos dicho y podríamos repetir para los 
métodos de la Física matemática: acaso no son tan seguros, 
no son tan sólidos; pero tienen una grandiosidad y una be- 
lleza estética indiscutible. Las hipótesis dan unidad, dan, si 
es permitida la frase, belleza estética, hacen á la ciencia ama- 
ble y simpática, descubren ó fingen horizontes inmensos y 
fortalecen la razón y la alientan, sin contar con que alientan 
y guían también al método experimental. Todo esto lo he- 
mos expuesto muchas veces y de muchas maneras en estas 
conferencias. 

En nuestra opinión, y claro es que respetamos la opinión 
contraria, aun cuando no participamos de ella, la hipótesis 



- 319 - 

mecánica, es insubstituible en la Física matemática; y hasta 
ahora no ha sido substituida por ninguna otra. 

Toda tendencia en sentido contrario, ha de tener uno de 
estos dos caracteres: 

1.° O caer resuelta y exclusivamente en la Física expe- 
rimental, entregándose en absoluto á la ley empírica, dedu- 
cida de la pura experimentación; y entonces desaparece la 
Física matemática por mucho cálculo y muchas matemáticas 
con que después se vistan y se adornen las leyes puramente 
empíricas y aunque se las dé el nombre de principios; ó 

2^ Substituir al concepto de cantidad el de cualidad, mul- 
tiplicando este último indefinidamente á medida que los he- 
chos se vayan acumulando. 

Respecto al primer punto, nada tenemos que agregar á lo 
ya establecido en otras ocasiones: es un procedimiento legí- 
timo, más que legítimo, necesario; es la base sólida de toda 
ciencia positiva; es un germen fecundo de nuevos descubri- 
mientos, y es guía, regulador y comprobador de la Física 
matemática. 

No se dirá que le regateamos las preeminencias; pero, con 
todo esto, no hay motivo para abandonar para siempre los 
grandes métodos de la Física matemática, que son, á nuestro 
juicio, los únicos capaces de dar unidad y armonía y sentido 
racional á la Ciencia. 

Respecto al segundo, llamaremos la atención de nuestros 
oyentes sobre esta circunstancia: que los grandes adelantos 
de la Física matemática y sus grandes triunfos, han consis- 
tido siempre en substituir al concepto de cualidad de la an- 
tigua Física, y aun de la Metafísica, el concepto de cantidad. 

Todo lo que sea restringir el campo de las cualidades, dan- 
do la preferencia en lo posible á la cantidad, es dar á la 
Ciencia carácter matemático. 

Porque, aunque las Matemáticas comprenden algo más 
que las hyes de la cantidad, como hemos explicado en otro 
tiempo y en otras ocasiones, aun así y todo, las aplicaciones 

Rev. Acad. Ciencias. — V.— Diciembre, 1906, 22 



— 320 - 

más vastas de las Matemáticas á los fenómenos de la Natu- 
raleza, á la cantidad se refieren. 

Las leyes de la cualidad, y también pudiéramos dacir de 
la calidad, no son leyes a priori, como no sea en la Metafí- 
sica antigua. 

Como no se acuda á la experiencia, un cerebro humano, 
por potente que sea, en el vacío no puede crear a priori ni 
la electricidad, ni el calor, ni el magnetismo, ni la luz; y 
puede, en cambio, forjar a priori el triángulo y sus propie- 
dades: y claro es que prescindimos del origen de la Geome- 
tría y sólo tenemos en cuenta el estado actual de la inteli- 
gencia del hombre. 

Si hay hipótesis, si hay teorías, si hay leyes que puedan 
demostrarse sin el concurso de la experiencia ó con el me- 
nor concurso posible, todo esto en las Matemáticas ha de 
buscar su fundamento. 

Y esta es una de las grandes ventajas, como tantas veces 
hemos procurado poner en evidencia, de la hipótesis mecá- 
nica. 

¿Es acaso independiente en absoluto del método experi- 
mental? 

Ya hemos dicho que no; pero no se nos negará que la 
parte experimental de la Mecánica, es mínima en compara- 
ción con el papel que la experiencia representa en las demás 
ramas de la Ciencia. 

Por eso, explicar los fenómenos de la Física por fenóme- 
nos de la Mecánica, es simplificar las dificultades, es pro- 
curar la unidad, y es ir convirtiendo cualidades en canti- 
dades. 

¿Qué es más claro para la inteligencia humana? ¿Qué la 
satisface más? ¿Decir que el calor es una substancia que 
tiene tales ó cuales cualidades en número indefinido, ó decir 
que el calor es una cantidad de fuerza viva? 

Con esto no se pretende penetrar en absoluto, porque se 
empieza declarando lealmente, que no se sabe lo que es la 



- 321 — 

masa, ni el espacio, ni el tiempo de donde resulta la ve- 
locidad; pero es preferible, repetimos, para la inteligencia 
del hombre, á tener cuatro enigmas: 

masa, tiempo, espacio, calor, 

reducir los cuatro á tres, 

masa, espacio, tiempo. 

Pues esto podríamos repetir para todas las ramas de la 
Física. 

Y si todas ellas pudieran explicarse racionalmente por 
cuatro ó cinco factores comunes, por ejemplo; 

materia, éter, fuerza, espacio, tiempo. 

y nada más; ¿no sería un triunfo inmenso para la Ciencia 
reducir sus incógnitas á cinco en vez de tener tantas subs- 
tancias, tantas cualidades, tantos enigmas, ó tantas incógni- 
tas como fenómenos existen ó van apareciendo? 

Y querer anular la primera tendencia favoreciendo la se- 
gunda, ¿no es trabajar por el retroceso científico? 

Claro es que con esto no se pretende crear una nueva 
Metafísica, la Metafísica de la Mecánica, por decirlo así, 
para explicar con la Mecánica el Universo. En el Universo 
hay algo más que Mecánica: ciego y presuntuoso sería el 
que defendiera exclusivismo tan absurdo. 

Pero no hay que negar que la Mecánica es un factor co- 
mún de todos los fenómenos del mundo inorgánico. 

Dice un autor inglés, y esto se ha dicho ya muchas veces 
bajo una ú otra forma, que toda ciencia parcial, es algo así 
como una sección de prueba dada en la masa del Cosmos á 
ver qué resulta en dicha sección: como si se cortase un mi- 
neral ó una piedra, un bronce ó un acero, para ver el aspec- 
to y la estructura interna del objeto en estudio. 



— 322 — 

Y aquí puede agregarse que las ciencias parciales son 
secciones diversas del Universo en diversos sentidos para 
ir adivinando lo que contiene la masa cósmica, si podemos 
expresarnos de este modo. 

Pero hay secciones, siguiendo esta imagen, que interesan 
poco, y relativamente descubren poquísimo, y son limitadas 
y parciales; y hay secciones que llegan á todas partes, que 
penetran mucho, que descubren, por decirlo así, lo univer- 
sal impregnando lo particular, y quizá ninguna de estas 
secciones puede competir en fuerza sintética y en carácter 
universal con la Mecánica. 

Por eso no hay fenómeno en Física ni en Química en que 
la Mecánica clásica, ú otra mecánica más amplia, la Mecá- 
nica de la fuerza ó la Mecánica de la energía, no esté pal- 
pitando. 



* * 



Hay más todavía, la inteligencia humana tiene facultades 
creadoras, y se gobierna por la Lógica en general y por las 
Matemáticas en particular. El que desprecia la Lógica, aca- 
so tendrá razón en despreciarla; pero lo mejor que puede 
hacer es irse á un manicomio á ejercitar sus facultades su- 
periores. 

La inteligencia humana es creadora, no diré de realidades, 
pero sí de sistemas, y puede forjar, y tiene derecho á for- 
jar un mundo á su capricho, con tal que lo defina de tal 
suerte, que, en el contenido de ese mundo imaginativo no 
exista, ni imposibilidad, ni contradicción lógica; y, por lo 
tanto, ese mundo deberá estar sujeto á las leyes de las Ma- 
teméticas, porque á ellas está sujeta la razón humana, en 
cuanto es razón humana. 

Y luego puede aplicar ese mundo imaginario al mundo 
real y ver si ambos ajustan ó no ajustan, y si las combina- 
ciones del primero representan, y aun más , si pueden pre- 



— 323 — 

ver realidades del segundo; y en este caso, aunque el mun- 
do de la imaginación haya sido formado arbitrariamente, no 
podrá negarse que es una especie de símbolo de la Natura- 
leza con todas las ventajas, aunque con todos los inconve- 
nientes del simbolismo. 

Será algo parecido, aunque en esfera más alta, á esos mo- 
delos mecánicos á que los grandes sabios ingleses son tan 
aficionados, y en que representan materialmente la electri- 
cidad, el magnetismo, la luz y hasta las ondas hertzianas. 
Sobre esto dijo cosas muy dignas de meditación el ilustre 
Lord Kelvin, gloria de la ciencia. 

Pues en todo esto, en la inmensa labor del último siglo, 
está palpitando la Mecánica, y en ninguno de los descubri- 
mientos modernos, ni en ninguno de los conceptos moder- 
nísimos, ni en los iones, ni en los electrones, ni en los cor- 
púsculos, ni en los rayos catódicos, ni en los rayos X, ni en 
los rayos «, ¡5, y del radium, ni en las emanaciones, ni en la 
teoría giroscópica del éter, ni en el más insignificante ele- 
mento de la Física moderna, se prescinde de la Mecánica, 
ni aun á costa de dificultades y contradicciones, que al fin 
resultarán aparentes. 

Todos los trabajos modernos están impregnados de Me- 
cánica; y es más, la Mecánica racional parece inquebranta- 
ble como primera aproximación de los fenómenos. 

Aproximación decimos; ¡quién piensa en lo absoluto! • 

Es decir, pensar, todo el mundo piensa, y desdichado del 
que voluntariamente se corte las alas y se encorve hasta to- 
car la tierra con la frente. 

Pero, en fin, con la hipótesis mecánica, al menos hoy por 
hoy, nadie pretende penetrar en lo absoluto. 

* 

Dos palabras más para concluir esta conferencia y para 
concluir este curso. 



— 324 — 

Con el teorema de Mr. Poincaré hemos demostrado: que 
si un fenómeno de la Física puede explicarse con la hipóte- 
sis mecánica, la solución no será única, porque habrá otras 
infinitas soluciones que expliquen el mismo fenómeno. 

Esto dice, y esto debe decir, una crítica severa é impar- 
cial como la del eminente sabio á que nos referimos. 

Pero desde el momento en que con la hipótesis mecánica 
no se pretende realizar lo imposible, explicar lo inexplica- 
ble, pronunciar la última palabra en una ciencia definitiva, 
la hipótesis mecánica es legítima y es fecunda, así lo reco- 
noce el ilustre autor, y así lo practica en la inmensa labor de 
sus admirables obras. 

Mas permítaseme exponer una idea para terminar. 

Aunque las soluciones mecánicas sean muchas para de- 
terminado fenómeno, ¿no podrán agruparse y clasificarse en 
familias? 

Las soluciones mecánicas, ¿son infinitas, desordenadas y 
arbitrarias, ó pueden ordenarse, clasificarse y no podría de- 
mostrarse que obedecen á una ley? 

Infinitas son las integrales de las ecuaciones diferenciales 
parciales, pero tienen sus leyes de coordinación. 

Y creo yo que la historia de las hipótesis pudiera demos- 
trar, que la hipótesis, como las especies vivientes, tiene su ley 
de evolución también. 

Sólo apunto la idea, no pretendo desarrollarla. 

Acaso queda para otro curso; acaso no he de volver á 
ocuparme en ella nunca. 



325 



XVI. — Estudios de síntesis mineral, 

Por José Rodríguez Mourelo. 

Generalmente son las citadas las influencias que suelen 
tenerse en cuenta para explicar las anomalías é imperfeccio- 
nes producidas en la cristalización por fusión y es de notar 
cómo se refieren tan sólo á los cambios de forma de cuerpos 
ya constituidos y no á formas creadas al ser éstos genera- 
dos en las metamorfosis de otros, incluyendo, á lo sumo, las 
que tienen carácter aditivo, son completas y no ocasionan 
productos secundarios ó intermedios, y así se refieren á in- 
dividuos y sólo por excepción á asociaciones de las más 
sencillas. No son las únicas las causas indicadas y he pro- 
curado estudiar otras de importancia, sobre todo la veloci- 
dad de las reacciones generadoras que considero principal, 
y además, regulándola de modo conveniente, permite conse- 
guir buenas cristalizaciones la mayoría de las veces y tiene 
interés muy particular en los métodos de reproducción de las 
rocas, que no son materiales homogéneos y en cuya masa 
precisamos distinguir y reconocer los distintos componentes, 
que al agregarse suelen conservar casi íntegras sus respec- 
tivas y peculiares individualidades. 

Variadas son las causas que retardan los cambios de es- 
tado físico y muy distinta la naturaleza de cada una de ellas. 
Para la solidificación de masas fundidas se cita, como la de 
mayor influencia en su velocidad, precisamente la orienta- 
ción que han menester tomar las moléculas, en cuyo trabajo 
invierten determinado tiempo, y con mayores razones habrá 
retraso si el cambio implica la formación ó constitución del 
estado cristalino, de suyo lenta; pero cumplida, representa 
un equilibrio definitivo y perfecto, que tiene sus puntos in- 



— 326 — 

termedios, determinados por otros estados de equilibrios pro- 
visionales ó aparentes; así es que las orientaciones molecu- 
lares, en los casos de las cristalizaciones, sin metamorfosis 
químicas, como en la de la alúmina ó en la del sesquióxido 
de cromo, representan mayor suma de trabajos, más tiempo 
y, por consiguiente, disminuciones en la velocidad propia 
del cambio, y esto explica lo favorable de su lentitud para 
obtener buenos y perfectos cristales, operando con sistemas 
homogéneos unimoleculares, cuya temperatura, estando fun- 
didos, es igual en todos sus puntos, indicio de haber alcan- 
zado el afino completo. Se ha de suponer, asimismo, que el 
enfriamiento no experimenta aceleraciones y las pérdidas de 
calor son uniformes, sin que las perturbe la presencia de 
ninguna causa extraña, condiciones verdaderamente ideales, 
bien distintas de las ordinarias en los experimentos de sínte- 
sis mineral completa. 

Hay que notar que en cualquier punto ó elemento de la 
masa fundida, homogénea en el estado inicial, se puede pro- 
ducir un cambio local, casi siempre mediante enfriamiento 
rápido, que destruya en el momento la uniformidad y sea 
suficiente para modificar el trabajo de la orientación de las 
moléculas. Quizá la perturbación cese al punto y éste siga su 
curso con su velocidad propia; se producirán cristales de di- 
versos tamaños, con formas idénticas á los naturales; pero 
su estructura no será homogénea y las superficies límites 
nunca aparecerán tersas y perfectas; que el estado cristalino 
responde á trabajos moleculares lentos, iguales y de absoluta 
uniformidad, condiciones indispensables para que el movi- 
miento que le es peculiar y su propia energía impulse á los 
elementos materiales y les obligue á orientarse en determi- 
nadas direcciones, formando cristales, que en cierto respecto 
son función de la velocidad de enfriamiento de los cuerpos 
fundidos, por ellos mismos ó por verdadera disolución en 
un fundente apropiado. 

Ya se comprende que lo dicho es aplicable, de la propia 



- 327 — 

suerte, á los sistemas multimoleculares, constituidos de ele- 
mentos heterogéneos ó de distinta naturaleza, que es el caso 
de las cristalizaciones de los cuerpos en el momento de ser 
generados como resultado de acciones químicas más ó me- 
nos complicadas, pero que se cumplen siempre á tempera- 
turas muy elevadas, y entonces en el sistema final coexisti- 
rán con el cuerpo principal, formando diversos productos 
secundarios, otros residuales y quizá algunos consecuencia 
de sus mismas disociaciones parciales. Aqui, como si hay 
fundentes, las reacciones químicas generadoras de necesidad 
se efectúan, completas ó incompletas, en un medio que pre- 
cisamente influye en su velocidad; el movimiento de las mo- 
léculas, que no tienen en este caso igual masa, ha de estar 
perturbado en relación con ella y sus orientaciones, aunque 
se dirijan en igual sentido para formar cristales, no serán 
perfectas, y cuando el estado final definitivo sea llegado y 
cumplido el enfriamiento, habremos sin duda reproducido 
los cuerpos deseados; pero en la estructura, en las estrías de 
las caras, en las huellas que marcan las esfoliaciones, en la 
irregularidad de la transparencia, quedarán las señales de 
las perturbaciones indicadas: lo propio acontece en la Natu- 
raleza, y es dable notarlo en muchas cristalizaciones cuya 
perfección tan sólo es externa. 

Júntanse á las dichas otras causas inherentes al movimien- 
to molecular originario de las reacciones químicas y cuyo 
influjo en su velocidad aparece notorio: es de ellas acaso 
la principal el frotamiento interno, en un todo asimilable al 
de un sistema de cuerpos con su disolvente líquido. Se com- 
prende que así deba acontecer, porque se trata, al cabo, de 
moléculas de distinta naturaleza, constituidas en un medio 
fluido formado por sus residuos, por algo del sistema primi- 
tivo ó inicial y por las materias secundarias que hayan podi- 
do ser constituidas y no se encuentran todas en iguales con- 
diciones para afectar el perfecto y completo estado cristali- 
no, en cuanto lo dificulta el dicho frotamiento interno, que 



, - 328 - 

de igual manera retarda ó aminora la velocidad del enfria- 
miento, como perturba las orientaciones moleculares y los 
movimientos vibratorios propios de los elementos de los 
cuerpos en sus cambios de estado. 

Al considerar los resultados de ordinario obtenidos en las 
cristalizaciones por fusión, cuando intervienen reacciones 
químicas, á veces bastante complicadas, ocurre el pensar que 
su velocidad no es uniforme en toda la masa, en particular 
no habiendo fundentes; por su misma naturaleza, efectuarse 
entre cuerpos bastante inertes y haber menester para llevar- 
se á cabo temperaturas muy elevadas, suelen ser lentas de 
suyo, y en los casos de aumentar la velocidad, es con riesgo 
de no conseguir cristales. Débese á ello la complejidad de 
los sistemas resultantes, aunque la síntesis sea aditiva: su- 
pongamos mezclados en las proporciones necesarias para 
constituir la ambligonita, el fosfato de aluminio anhidro 
fP/z, Os Al.,), cuerpo fijo y estable, el fluoruro de sodio 
(Fl Na), que funde á 902", y el fluoruro de litio (Fl Li), fu- 
sible á algo más de 800"; al actuar el calor, no toda la masa 
se funde al mismo tiempo ni reacciona de una vez, y co- 
existirán con el cuerpo formado sus componentes libres y 
toda una serie de combinaciones intermedias, que necesaria- 
mente han de modificar la velocidad del. cambio, influyendo 
en la constitución del estado final del sistema, que no será 
el cristalino perfecto, sino una mezcla suya con otros inter- 
medios ó posteriores, en los cuales habrá siempre defectos 
en las orientaciones moleculares, que vemos modificadas de 
muy variado modo en la Naturaleza, sobre todo cuando los 
cuerpos son dimorfos ó polimorfos y alguna de las formas 
es transitoria, comD en las operaciones de laboratorio. 

Importa buscar á los hechos observados explicaciones ra- 
cionales, siquiera en la ocasión presente hayan de apoyarse 
en analogías y en relaciones de semejanza con otros fenóme- 
nos ahora bastante bien conocidos. Es evidente que los cris- 
tales, naturales ó artificiales, cuyas caras vemos estriadas, 



— 329 — 

marcados los sentidos de las esfoliaciones y faltos de trans- 
parencia, contienen entre la materia cristalina otra materia de 
su misma composición é idénticas propiedades; pero en 
otro estado, que acaso no es definitivo, obedeciendo su for- 
mación al conjunto de las causas estudiadas, cuyo influjo 
perturbador logró Verneuil anularlo con sus ingeniosísimos 
procedimientos de reproducción del rubí oriental, mediante 
la fusión directa de la alúmina cromatada, llevada á térmi- 
no en condiciones especiales para alcanzar el estado cristali- 
no perfecto y completo. 

Bastante general es el hecho de la coexistencia de dos ó 
más estados distintos de una substancia en el mismo siste- 
ma ó en el mismo medio, y de ello ofrecen el mejor ejemplo 
las disoluciones salinas cuando es el agua disolvente: en 
realidad, aparte de la disociación química que experimentan 
las sales sólidas, si se exceptúan las alcalinas, su materia 
hállase, á la postre, dividida, y no á partes iguales, en dos 
estados principales, uno de ellos coloide, y á lo que parece 
transformables; y de sus relaciones depende, al cabo, el 
general del sistema líquido considerado en conjunto. Par- 
tiendo de semejante doctrina, no es aventurado, á lo que en- 
tiendo, imaginar que así están también constituidos los cris- 
tales defectuosos y no homogéneos obtenidos con mayor 
frecuencia por vía seca, en particular si en su formación in- 
tervienen reacciones químicas y si no es uniforme la velocidad 
de ellas y la del enfriamiento. Entonces, no sólo será gene- 
rada materia cristalina, sino que se concretará en otros esta- 
dos intermedios, también sólidos, pero no tan perfectos 
como aquél, y los dos aparecerán unidos, sin perturbar el 
aspecto externo de los cristales, ni influir en sus elementos 
geométricos, conforme el coloide que contienen, en nada 
cambia el aspecto de las disoluciones líquidas, con la ven- 
taja, en el caso que nos ocupa, de resultar el sistema sólido 
más estático y definitivo, con organización sencilla y fija. 
Quizá de esta manera tienen explicación adecuada hechos de 



— 330 - 



antiguo observados en las operaciones de síntesis mineral y 
que pueden ser evitados, llegando á producir la materia cris- 
talina homogénea. 



Lejos de contrariar la hipótesis, apóyanla de modo deci- 
dido ciertos fenómenos que no son la cristalización, pero 
que se efectúan muchas veces, no pocas de ellas con com- 
binaciones aditivas, mediante el enfriamiento de masas fun- 
didas á temperatura elevada, ocasionando diferentes estados 
particulares intermedios y transformables, pudiendo resultar 
de sus cambios verdaderas y perfectas cristalizaciones; son 
disoluciones cuya masa puede cristalizar, separándose cuer- 
pos definidos y combinaciones estables, debiéndose al calor 
semejante linaje de cambios en sistemas de estructura física 
homogénea, pero que acaso representan reacciones químicas 
incompletas. 

Cuando es calentada la sílice á elevada temperatura, ad- 
quiere ciertas actividades y energías que sólo por excepción 
pudiera tener á la ordinaria; en realidad, ya desde los 100° 
se manifiestan, aunque de modo incipiente, semejantes trans- 
formaciones, cuyo resultado definitivo, operando con siste- 
mas heterogéneos de naturaleza básica, es la formación de 
agregados particulares de silicatos, considerados disoluciones 
sólidas de silicatos cristalizados en silicatos amorfos, cons- 
tituyendo los vidrios y cristales ordinarios. Por lo general^ 
toda masa fundida, mono ó multimolecular, es vitrificable y 
puede convertirse en masa, no cristalizada, pero sí vitrea, 
cuyo estado representa un primer término del cambio ó mo- 
dificación para llegar á la materia cristalina. Ofrecen de 
ello excelente ejemplo ciertas escorias, que son al cabo ver- 
daderos vidrios, bastante complejos, sirviéndoles de base el 
silicato de calcio, al que acompañan los de hierro, aluminio 
y magnesio algunas veces y diversos fosfatos, asimismo sus- 
ceptibles de convertirse en vidrio cuando la temperatura es 



— 331 — 

propicia y el enfriamiento se ha llevado á cabo en circuns- 
tancias apropiadas; y no es hecho aislado el que se cita sino 
frecuente y pueden presentarlo muchas síntesis minerales, 
aun después de generados los cuerpos que se intenta repro- 
ducir, si las condiciones del medio y la temperatura no son 
todavía las necesarias para que cristalice, y puede asegurar- 
se que la vitrificación es término obligado en los cambios, á 
cuyo fin aparece la materia cristalina, que no pasa de re- 
pente desde el estado amorfo á semejantes perfecciones, ni 
se aisla pura, ni se separa del medio que la contiene y en el 
cual se ha formado sin recorrer las etapas de una evolución 
bien determinada. 

Mas, lejos de ser definitivo el estado vitreo, lo distingue 
precisamente la relativa facilidad de los cambios, cristalizan- 
do algunos de sus componentes en la masa de los otros y 
adquiriendo las formas regulares que se observan, á veces, 
en el interior del vidrio ordinario cuando no es muy fusible, 
y semejantes metamorfosis se deben al calor. Constituyen el 
fenómeno llamado desvitrificación y se reduce á la cristaliza- 
ción más ó menos completa de uno ó varios cuerpos, sepa- 
rándose de los demás con los cuales formaban un sistema 
hemogéneo, ni amorfo, ni cristalino. 

De la misma índole de tal hecho, no privativo del vidrio, 
conócense muchos y algunos sirven de fundamento á proce- 
dimientos industriales, y se cita la separación de la plata y 
el plomo manteniendo fundidas sus aleaciones á la tempera- 
tura adecuada, en cuyo caso este último se separa y crista 
liza en un medio á cada punto más enriquecido de plata. 
Siempre que el vidrio se calienta hasta reblandecerlo, per- 
maneciendo durante algún tiempo en ese particular estado, 
luego de frío adviértese que su composición es la misma, 
pero que sus cualidades físicas han variado; ha perdido 
transparencia, tórnase opaco, y, examinándolo, diferéncianse 
dos partes en su estructura, una todavía vitrea, la otra cris- 
talizada; la masa no es homogénea y parece como si en un 



— 332 - 

medio vitreo se hubiesen producido cristalizaciones, que si 
bien distínguense separadas, no se aislan completamente de 
la materia en que se formaron, ya sean de la misma natura- 
leza química ó parezcan segregadas de una mezcla ó disolu- 
ción que lac contuviera unidas á otras que pudieran ser sus 
propios generadores, según se advierte en diversos procedi- 
mientos de síntesis mineral. 

No es otro, á mi entender, el mecanismo de las cristaliza- 
ciones por fusión y enfriamiento, en particular interviniendo 
reacciones químicas; es lo general partir de materias tan iner- 
tes á la temperatura ordinaria como la misma sílice y de 
cuerpos los más refractarios á toda suerte de cambios de es- 
tado; el calor los funde, provoca sus actividades y hace po- 
sibles combinaciones y metamorfosis, que de otro modo no 
se realizarían. Genéranse en aquel medio variadas substan- 
cias, á veces muy complejas, y el sistema líquido constituye 
una masa vitrificable, porque en momento dado, vidrio se 
tornaría, como las escorias de los hornos altos ó la masa 
fundida de los vidrios ordinarios; pero la temperatura au- 
menta, las reacciones hácense completas, el sistema llega á 
su estado definitivo, algunas de sus moléculas pueden orien- 
tarse en determinadas direcciones y al sobrevenir el enfria- 
miento, aparecen los cristales reunidos en el interior de una 
materia vitrea, según están los del vidrio desvitrificado, con- 
forme se ven, formando geodas, los de algunos silicatos en 
el interior de las escorias, tapizando sus cavidades, ó á la 
manera de los cristales de plomo metálico separados por el 
calor de sus particulares aleaciones con la plata. 

Entre los experimentos que he realizado con intento de 
esclarecer algunos de los problemas relativos á las imper- 
fecciones de los cristales obtenidos por fusión, en particular 
las que atañen á defectos de transparencia, voy á fijarme en 
uno solo. Se mezclaron lo más íntimamente posible 71 gra- 
mos de fosfato disódico perfectamente desecado y libre de 
agua y 39 gramos de fluoruro de calcio puro, exento de hie- 



- 333 — 

rro; colocada la mezcla en un crisol de carbón en la forma 
antes dicha, fué sometida por seis horas á muy elevada tem- 
peratura en el horno Roessler, siguiendo lento enfriamiento; 
en el fondo del crisol había una masa fundida, cuya cara 
superior presentaba un entrecruzamiento de finísimos crista- 
les; lo restante de la superficie era masa amorfa; luego de 
dividida, advertí en su interior brillantes agujas cristalinas, 
casi blancas, no tan opacas como las superficiales, envueltas 
en la materia amorfa, cual si de ella se hubieran despren- 
dido, y noté que la substancia no cristalizada presentaba en 
alguna de sus partes aspecto vitreo y era en las porciones 
más alejadas de los agrupamientos cristalinos. 

Obsérvanse muy bien hechos semejantes cuando se for- 
man y cristalizan algunas combinaciones metálicas á tempe- 
ratura elevada, constituyendo el medio un gran exceso del 
mismo metal fundido, según acontece en la producción de 
los boruros de aluminio; sólo que aquí, si partimos del he- 
cho de la reducción del ácido bórico con el metal en presen- 
cia del carbón (método de Sainte-Claire Deville), aparte de 
las combinaciones binarias, Bo^Al^ (en láminas cristalinas 
amarillas), Bo^Al (Joly) y Bo^_^A 4 de Hampe (cristales mo- 
noclínicos negros), suele formarse un compuesto ternario de 
aluminio, boro y carbono, ya de antiguo conocido y bien 
estudiado, sin duda por haber recibido ciertas aplicaciones. 
Y es singular que en la reducción del ácido bórico y algunos 
otros cuerpos empleando metales, además de resultar aisla- 
do el boro, se constituyen otros estados moleculares diver- 
sos y se generan combinaciones binarias y ternarias defini- 
das, estables, singulares á causa de su extremada dureza, 
unas vitreas, otras en los comienzos de la cristalización y al- 
gunas ya cristalizadas, demostrando así la existencia de va- 
riados y transformables estados de la materia, que en perfec- 
ciones sucesivas y progresivas llega á constituir formas geo- 
métricas regulares y características, como término de un tra- 
bajo en el que la Naturaleza invierte muchísimo tiempo. 



— 334 — 

Fácilmente se comprende que, en definitiva, se asimila el 
hecho que estudiamos á los cambios de estado ordinario, y 
todo ello redúcese á un trabajo molecular, que puede ser más 
ó menos completo y su velocidad variable. Partimos de un 
sistema inicial amorfo, supuesto homogéneo cuando se trata 
de un solo cuerpo ya formado (por ejemplo O-., A I o), ó he- 
terogéneo, constituido por varias substancias, de cuyas mo- 
dificaciones deben resultar otras nuevas y tratamos de llegar 
á un sistema final formando la materia cristalina, y para lo- 
grarlo, admitiendo efectuadas las reacciones y la masa fun- 
dida, es menester recorrer largo camino, indicado por la serie 
de estados intermedios, dependientes de la forma y meca- 
nismo del enfriamiento, de la adherencia de la materia á las 
paredes de la vasija que la contiene, de la temperatura y de 
las reacciones cuando las hubiere, es decir, de todas aque- 
llas causas que tan por menudo estudió Verneuil para su mé- 
todo de reproducción ó síntesis del rubí oriental. 

Partiendo de los estados transitorios ó intermedios, cuya 
existencia demuéstranla los conocidos fenómenos de la des- 
vitrificación, que es al cabo un caso particular de las crista- 
lizaciones por vía seca, se explican aquellas imperfecciones 
de la transparencia, que sin afectar á la forma geométrica de 
los cristales, hacen que su masa aparezca heterogénea, por- 
que significan la coexistencia de dos estados que represen 
tan dos trabajos, uno completo, el otro incompleto, á causa 
de las influencias externas ó del medio, que impidieron su 
libre desarrollo. Son á modo de formas no acabadas de la 
materia, que acaso guardan con la cristalina la misma relación 
de los vidrios con la materia amorfa; en todos los estados 
puede tener igual composición química, únicamente cambian 
las disposiciones y orientaciones de las moléculas y del va- 
lor de la intensidad de la variación depende el estado final 
del sistema, y como puede no ser la misma en toda su 
masa, de ello se origina la heterogeneidad, acusada en los de- 
fectos ó irregularidades de la transparencia de los cristales. 



— 335 — 

el estriado de las caras, las líneas, á veces muy profundas y 
marcadas, la propia fragilidad que no siempre corrige el re- 
cocido, la escasa adherencia de unas capas á otras y tantas 
otras imperfecciones, no sólo de nuestros procedimientos de 
laboratorio, que también son frecuentes en los cristales na- 
turales, demostrando cómo contribuyen á su producción los 
medios en que se generaron. 

Gracias al minucioso estudio de la intervención de los mis- 
mos, es como han podido especificarse sus influencias en la 
formación de los cristales y aprovecharlas en numerosas 
operaciones sintéticas, cuyos resultados sirven para conocer 
los modos naturales de generarse no pocas especies minera- 
les, ahora reproducidas de variadas maneras , diversas rocas, 
en particular eruptivas y hasta meteoritos de distinta compo- 
sición; y si á ello úñense los nuevos métodos aplicados á 
obtener sólo mediante fusión cristales transparentes, se ve 
en conjunto el alcance de aquellas investigaciones tan inte- 
resantes. Al cabo son la base y punto de partida para clasi- 
ficar los procedimientos sintéticos, aun los que se practican 
á temperatura baja y no en medios fundidos, sino en disol- 
ventes líquidos que hacen tales oficios. 



Quisiera ahora presentar algunos ejemplos corrientes de 
experimentos que he repetido, modificándolos más ó menos, 
con objeto de lograr cristales bien formados de substancias 
puras en medios de muy distinta naturaleza. De los cuerpos 
que mejor se prestan á este linaje de operaciones es, sin 
duda, el fluoruro de calcio, que constituyendo la fluorina, 
hállase abundante en la Naturaleza y se puede obtener de 
modos diversos y en formas variadas; en general, cuando es 
tratada una disolución de cloruro de calcio con un fluoruro 
soluble, el fluoruro de calcio que se precipita es gelatinoso; 
con disoluciones diluidas (Cl^ Ca 4 por 100, D= 1,039 á 15°) 

Rkv. Acad. Ciencias. — V. — Diciembre, looó. 23 



— 336 - 

y (Fl Na 1,081 por 100 D = 1,011 á 15°) resulta coloide. 
Becquerel aprovechó esta reacción, empleando el fluoruro 
amónico, para obtener por vía húmeda y en frío la fluorina 
cristalizada, á cuyo fin separaba las disoluciones acuosas de 
los cuerpos citados con una membrana ó tabique de papel 
pergamino; la reacción es en extremo lenta, pero se consi- 
gue ver buenos cristales formados sobre la cara que está en 
contacto con el cloruro de calcio. Intentando reproducir el 
experimento, trabajé con disoluciones acuosas bastante di- 
luidas (50 gr. de C/._, Ca en 1.000 de agua y 33 gr. 34 de 
Fl NHi en igual cantidad del mismo líquido); en tales pro- 
porciones, las pérdidas motivadas por la transformación de 
la sal en fluorhidrato á la temperatura ordinaria y las que 
ocasione el ataque del vidrio de la vasija que contenga la 
disolución son insignificantes y no influyen en el resultado 
final de las operaciones^ las cuales han de efectuarse con ex- 
tremada lentitud. 

Hechas las disoluciones, se dispone un dialisador en cuya 
vasija exterior se pone la de fluoruro amónico; la interior 
contiene la de cloruro de calcio; efectúase la reacción á tra- 
vés del papel pergamino, y poco á poco van formándose los 
cristales de fluorita de la manera que Becquerel indica. Al 
cabo de dos meses sus proporciones no aumentan, y como 
no alcanzan á 35 gr. 513, que es la cantidad de fluoruro de 
calcio que debía resultar, colijo que la reacción es limitada 
y llégase á un régimen de equilibrio, dependiendo de la di- 
lución de las disoluciones, conjetura que he visto compro- 
bada en varios experimentos con tal intento practicados. 

Reaccionando el ácido fluorhídrico con la cal viva ó el car- 
bonato de calcio, ó apelando á dobles descomposiciones, se 
consigue el fluoruro de calcio gelatinoso ó á lo sumo pulve- 
rulento y granudo; por vía seca reaccionan fundidos el clo- 
ruro de calcio bien desecado y el fluorhidrato de potasio: 

C/.. Ca ! FIH.FIK = Fl. Ca -f- CIK CIH; 



- 337 - 

generándose la fluorita cristalizada con el rendimiento teóri- 
co, y el medio gaseoso constituido por el ácido clorhídrico 
que se desprende favorece grandemente la cristalización. A 
su vez, los productos amorfos, luego de recogidos y secados 
á temperatura no superior de 150°, pueden transformarse en 
cristales definidos, siempre por vía seca y fusión, de varias 
maneras: consiste la primera en emplear como fundentes y 
en gran exceso los cloruros alcalinos y aun el propio cloruro 
de calcio, mantener la mezcla líquida durante algún tiempo 
y luego enfriarla con la mayor lentitud posible; la masa re- 
sultante tratada con agua deja por residuo fluorita cristaliza- 
da. Operando con una mezcla muy íntima de 150 gr. de 
cloruro de sodio fundido y 20 gr. de fluoruro de calcio 
amorfo, siempre he notado pérdidas, á causa de una reac- 
ción secundaria que origina el cuerpo Fl— Ca — Cl, el 
cual aparece en forma de agujas cristalinas, blancas y bri- 
llantes, y de otra aditiva, de la que resulta el cloruro doble 
CUCa.2ClNa, dependiendo de la temperatura las propor- 
ciones de los cuerpos formados. Concrétase la segunda ma- 
nera, también muy expedita, á constituir el fundente con una 
mezcla de cloruro y fluorhidrato de fluoruro de potasio; sá- 
bese cómo á la temperatura del rojo esta sal se descompone, 
con desprendimiento de ácido fluorhídrico, cuya presencia 
es favorable en sumo grado á la formación de cristales, y 
sus perfecciones se relacionan con la lentitud del enfriamiento 
de la masa fundida. 

Indícanse todavía mejor las influencias de los medios,, 
condiciones externas y estados particulares de la materia, en 
aquellas operaciones sintéticas cuyo objeto es formar cuer- 
pos que dentro de un mismo tipo de combinaciones quími- 
cas sus elementos puedan ser sustituidos con otros isomor- 
fos; tales son, entre otros, las espinelas Og/?.,- OR, en las 
cuales R y R., pueden ser el mismo ó diferentes metales y es- 
tar todo ó parte de cada uno, en RO, sustituido con otro 
cualquiera M". Es conocida la espinela de cinc ó aluminato 



V - 338 -- 

cíncico normal 0-^AL,.OZn, que, más ó menos impurifica- 
do, constituye el mineral denominado gahnita; su obten- 
ción, siguiendo los procedimientos de Ebelmen, requiere la 
temperatura de los hornos de porcelana, sometiendo á ella 
mezclas de alúmina anhidra y calcinada (25 gramos), óxido 
de cinc (30 gramos) y anhídrido bórico (35 gramos) diez y 
ocho horas consecutivas. No entra en la reacción, que es sim- 
plemente aditiva, el último cuerpo; pero júzgase indispensa- 
ble para la constitución del medio apropiado, fuera del que 
no se producen los cristales del aluminato, susceptibles de 
adquirir gran dureza y hermoso color rojo empleando como 
materia colorante, que se incorpora con la mezcla primitiva, 
pequeñísima cantidad de bicromato de potasio, agregando 
exceso de óxido de cinc. 

Siempre resulta mejor, no disponiendo de temperaturas 
extremadas, adoptar el sistema de Daubrée y usar como me- 
dio la magnesia anhidra y de primeras materias los cloruros 
de aluminio y de cinc exentos de agua, que, en semejantes 
condiciones, reaccionan al calor rojo vivo sostenido algunas 
horas; la reacción teórica podría representarse en esta forma: 
Cl.Zn-^Cl,Al,+ 4(OMg)~0.,Al,.OZn^4(Cl,Mg); 
pero hay que contar y tener presentes varias circunstancias, 
á saber: el exceso de magnesia anhidra contenido en la mez- 
cla primitiva, la posible disociación del cloruro de magnesio 
á la misma temperatura de su formación y las reacciones si- 
multáneas. En virtud de ellas, parte del cinc es substituido 
con el magnesio y en ciertos casos se llega hasta generar el 
compuesto definido y aislable O -A /,. O (ZnMg), que es una 
espinela bastante más complicada; y si en la mezcla origina- 
ria á los cloruros de aluminio y cinc se añade el férrico, se 
llega á substituciones dobles y el aluminato representante de 
la gahnita se transforma en este otro: O ^(Al.Fc.)(Zn.MgFe), 
siendo los límites de semejantes cambios 14 por 100 para el 
ferroso y 42 por 100 para el férrico, á partir de 4 y 9, res- 
pectivamente. 



- 339 - 

Juntamente pueden observarse las influencias de los me- 
dios y las correspondientes á la temperatura en la formación 
sintética de la variedad de silice anhidra denominada tridi- 
mita; los métodos empleados son bastante sencillos y gene- 
rales, sobre todo operando por vía seca. Se suele partir, 
como hacía ya Rose, ó de la silice anhidra y calcinada ó de 
un silicato, y el medio ó fundente lo constituye una mezcla 
hecha, á partes iguales, de bórax y sal de fósforo, y se ha de 
añadir en mucho exceso; es bien fundir en crisol de carbón, 
sosteniendo la temperatura del rojo muy vivo durante algu- 
nas horas; después de lento enfriamiento, la masa es tratada 
con ácido clorhídrico y el residuo insoluble constituye la 
tridimita, cristalizada en láminas exagonales. Cambiando el 
fundente por carbonato de sodio, bórax ó tungstato de sodio, 
se consiguen análogos resultados, y con el último, operando 
á la temperatura de la fusión de la plata, lógrase la transfor- 
mación íntegra de la sílice amorfa en tridimita cristalizada, 
en lo cual adviértese de qué modo un cuerpo fundido trans- 
forma sin reacciones químicas, á lo menos aparentes, los es- 
tados de la materia, facilitando la orientación de las molécu- 
las y ejerciendo funciones análogas á las reconocidas para 
los disolventes neutros en las cristalizaciones por vía húme- 
da, aproximando de esta suerte fenómenos cuyo objeto defi- 
nitivo tiene grandes semejanzas. 

Todavía cabe una variante de importancia en el sistema, y 
es cambiar el fundente, empleando cloruros en un medio ga- 
seoso húmedo, y así con 1 gr. de Si O,, 15 gr. de Cío Ca y 3 
gramos de ClNa, calentando al rojo sólo media hora en una 
atmósfera húmeda, obtuvo Gorgeu la tridimita en granos 
cristalinos redondeados. Operando con un baño de cloruro de 
litio y sílice amorfa á la temperatura del rojo vivo bien sos- 
tenida, siempre que haya mucho exceso de fundente (de 90 
á 95 por 100) siguiéndose enfriamiento lento y tratando la 
masa resultante con agua y ácido clorhídrico, se obtienen 
buenos y limpios cristales del cuerpo que nos ocupa, y en 



— 340 — . 

el caso de no alcanzar la temperatura necesaria, resulta re- 
producido el cuarzo: tal es el método de Hautefeuille y 
Margottet que hace tiempo he ensayado, modificándolo con 
el fin de evitar pérdidas del cloruro de litio, que ya desde 
la temperatura de 560°, correspondiente á su punto de fu- 
sión, emite abundantes vapores, y pude notar en los experi- 
mentos llevados á cabo que la transformación de la sílice no 
es completa y queda de continuo un residuo que no cristali- 
za, aun prolongando mucho las acciones del calor rojo vivo. 



XVII.— Ensayo de Geometría analítica noeuclidiana. 

Por José A. Pérez del Pulgar, S. J. 

Bases fundamenlales de la Geometría angular de la radiación 
de primer orden. 

INTRODUCCIÓN 

Uno de los obstáculos, quizá el único, que se oponen á la 
difusión y desarrollo de las geometrías noeuciidianas, á pe- 
sar de la autoridad indiscutible de algunos de los matemáti- 
cos que las han cultivado, es la extrañeza paradójica y á 
veces casi ridicula de las consecuencias que de ellas se han 
sacado. Esta es la causa por que muchos geómetras, sin atre- 
verse á declararlas falsas, porque á ello parece oponerse el 
teorema de Lobatchefsky, rehusan entrar en su terreno, re- 
pugnancia que tiene algo de instintivo, pero que es por otra 
parte muy racional. Cuando nos habla la geometría riema- 
niana de recias cuya longitud total es finita y la lobatchefs- 
kiana de rectas que, teniendo un punto común y formando un 



— 341 — 

ángulo nulo, no coinciden, lo primero que se ocurre á cual- 
quiera es que esas propiedades pueden convenir con la defi- 
nición adoptada de línea recta; pero, indudablemente, dicha 
definición no contiene todos los elementos necesarios para 
caracterizar lo que todos entendemos por línea recta. Esto 
nos conduce á una discusión filosófica interminable sobre la 
naturaleza metafísica de la línea recta, que ha hecho resuci- 
tar todas las antiguas polémicas sobre la constitución del es- 
pacio, y en que (dado que sean de alguna utilidad), no es 
posible entrar á los matemáticos de profesión. 

En estas memorias me propongo demostrar que la geome- 
tría noeuclidiana puede ser estudiada sin incurrir en dichas 
paradojas, repugnantes á nuestro modo de concebir los ele- 
mentos geométricos, y que, sea lo que fuere del problema 
filosófico de la constitución del espacio, puede establecerse 
una métrica tan racional y tan práctica como la de Euclides, 
sin necesidad de apoyarse en la teoría vulgar de las para- 
lelas. 

§ 1.° 
Bases geométricas del problema. 



1. Admiteremos que: 

a) Dos puntos cualesquiera del espacio determinan la 
posición de una línea, á que daremos el nombre de recta. 

b) Un punto y una recta determinan la posición de una 
superficie, á que llamaremos plano. 

c) Dos planos cualesquiera del espacio determinan la po- 
sición de una recta. 

De estas tres proposiciones, se deducen las siguientes: 



Un plano queda determinado 
por dos rectas con un punto co- 
mún ó por tres puntos. 



Un punto queda determinado 
por dos rectas con un plano co- 
mún ó por tres planos. 



Un plano y una recta cualesquiera determinan la posición 
de un punto. 



— 342 — 

2. Según estas proposiciones, únicas en que vamos á 
apoyar toda nuestra teoría geométrica, convenimos con la 
geometría riemaniana en que ignoramos por completo la 
existencia de los elementos llamados del infinito, y no consi- 
deraremos más que elementos propiamente tales; pero nos 
separamos de ella en que no negamos la existencia de los 
elementos del infinito, con tal de que ellos satisfagan á las 
proposiciones a) b) c), exactamente como los propios. La 
geometría riemaniana se apoya en las proposiciones del nú- 
mero 1 .° y además en la negación de los elementos límites 
del infinito. Nosotros prescindiremos de esta negación y nos 
apoyaremos exclusivamente en dichas proposiciones. Es de- 
cir, prescindiremos de la teoría euclidiana del paralelismo, 
sin negarla, ni siquiera prejuzgarla por ahora. Nuestra geo- 
metría no será, pues, euclidiana, porque no nos apoyaremos 
para nada en la existencia de las paralelas ni, en general, de 
los elementos del infinito, que no distinguiremos en nada de 
los elementos propiamente tales; pero tampoco será riema- 
niana ni lobatchejskiana ^ porque no negaremos positiva- 
mente dicha existencia. Por lo demás, establecemos esta 
proposición más bien como el enunciado de una tesis, que 
quedará demostrada por el desarrollo mismo de las teorías 
que como consecuencia inmediata de los principios estable- 
cidos en el primer número. 

3. Las definiciones a) b) c) nos permiten establecer las 
de multivértice y multilátero planos, multivértice y poliedro 
completos en el espacio (que no se diferencian en nada de 
los de la geometría vulgar), así como todos los teoremas su- 
jetos á la ley de correlación que en ellas se funda. 



' Aunque esto es cierto, y por ello he designado esta Geometría 
con el nombre de Geometría angular para evitar confusiones, lejos 
de negar el mérito de las Geometrías de Riemann y de Lobatchefsky, 
y sobre todo de la de Cayley, he tomado de ellas la mayor parte de 
los procedimientos, en especial en cuanto á su mecanismo algébrico, 
como será fácil reconocerlo al lector. 



343 



4. — Si dos triángulos ABC, 
A'B'C, no situados en un plano, 
están de tal manera relacionados 
que cada dos lados homólogos 
AC—A'C',BC-B'C',AB—A'B' 
cortan á la recta r de intersección 
de sus planos en unos mismos 
puntos E,F, G, son homológicos; 
es decir, que los tres pares de 
vértices homólogos están en rec- 
tas ¿4.4', BB', ce concurrentes. 
Pues los tres pares de lados ho- 
mólogos determinan tres planos 
(por tener de dos en dos un pun- 
to común), AEA',BFB',BGB', 
que forman un triedro OA'B' C, 
cuyo vértice O es el centro de 
homología. 



Si dos triedros de distintos vér- 
tices, O^ABC, OoA'B'C, están 
de tal manera relacionados que 
cada dos aristas homologas 
0,A — O^A', 0,B - OoB', 
OjC — OoC determinan con la 
recta Oj Oj de unión de sus vér- 
tices unos mismos planos, son 
homológicos; es decir, que los 
tres pares de caras homologas se 
cortan según rectas de un plano. 
Pues los tres pares de aristas 
homologas determinan tres pun- 
tos, vértices de un triángulo, 
sección común de los dos trie- 
dros, y cuyo plano es el plano 
central de homología. 



Los recíprocos son también ciertos y se demuestran lo 

mismo. 
5. De estos dos teoremas se deducen los dos siguientes: 
Dos triedros V A B C, VA'B'C del mismo vértice y 

cuyas 



caras homologas se cortan en 
rectas de un plano P, son homo- 
lógicos; es decir, que sus pares 
de aristas homologas están en 
tres planos que pasan por una 
misma recta. 

En efecto, poruña recta R del 
plano P tracemos dos planos::, t:' 
que corten á los triedros respec- 
tivamente en triángulos ABC, 
i4'fi'C'. — Estos dos triángulos 
serán homológicos, por tener sus 
lados dispuestos de manera que 
se cortan de dos en dos en unos 
mismos puntos de la recta /?, lue- 
go sus pares de vértices .4.4', 
BB', ce homólogos están sobre 
rectas que concurren en un pun- 
ts V, y por tanto, los planos de- 



aristas homologas están en pla- 
nos que pasan por una misma 
recta/?, son homológicos; es de- 
cir, que sus caras homologas se 
cortan en rectas de un plano. 

En efecto, en cada uno de los 
planos determinados por los pa- 
res de aristas homologas y por 
un mismo punto P de su intersec- 
ción, tracemos una recta que cor- 
tará á las aristas de los dos trie- 
dros en puntos .4.4', BB', CC 
respectivamente. Los triángulos 
ABC, A'B'C son homológi- 
cos por tener sus vértices sobre 
rectas que concurren en un punto; 
luego sus pares de lados homólo- 
gos se cortan en puntos de una 
misma recta (la intersección de 



— 344 — 



terminados por cada par de aris- 
tas homologas de los dos triedros 
pasan por la recta VV. 



sus planos), y por consiguiente, 
en rectas del plano determinado 
por esta recta y el vértice V se 
cortan los pares de caras homo- 
logas de los dos triedros. 



6. Dos tetraedros radiados completos ABCD, A'B' CD' 
de distinto vértice, que tengan cinco pares de aristas homo- 
logas A B- A' B', A C~A' C',AD-A' D', BC- B' C 
y BD—B'D', de tal manera dispuestas que se corten dos 
á dos, son homológicos y, por tanto, las otras dos aristas 
homologas también se cortarán. 

En efecto; aquellos cinco pares de aristas forman dos pa- 
res de triedros A BC—A'B' C, ABD — A'B'D' homo- 
lógicos respecto de un plano central de homología K que 
es el determinado por las rectas A A' y BB'; luego las rec- 
tas C D y C D' se cortan en un punto de dicho plano. 



Si dos tetraaristas radiados 
completos del mismo vértice tie- 
nen cinco pares de caras homo- 
logas que se cortan en rectas de 
un mismo plano, son homológi- 
cos, y por tanto, las otras dos 
caras se cortan en una recta del 
mismo plano. 



Si dos tetraedros completos 
del mismo vértice tienen cinco 
pares de aristas homologas sobre 
planos que concurren en una mis- 
ma recta, son homológicos, y por 
tanto, las otras dos aristas están 
en un plano que pasa por la 
misma recta. 



De estos teoremas, que sólo hemos recordado para que 
el lector pueda convencerse por sí mismo de que se apo- 
yan directa y exclusivamente sobre los postulados del nú- 
mero 1, se deduce, como en la geometría vulgar, la defini- 
ción y propiedades de los haces armónicos de rectas y de 
planos. (Véase la obra del Sr. Torroja, Geometría de la po- 
sición, pág. 94 y siguientes.) 

7. Llamaremos haces proyectivos dos de rectas, dos de 
planos ó uno de rectas y otro de planos que se correspon- 
den elemento á elemento, de modo que, á cuatro de ellos 
que constituyen una forma harmónica en uno de ellos, co- 



— 345 — 

rresponden cuatro del otro, que forman también un haz har- 
mónico. 

Si dos haces proyectivos de la misma base tienen tres ele- 
mentos dobles, los tienen todos; y si no son de la misma 
base y tienen uno doble, son perspectivos. 

Las nociones de eje proyectivo y plano central proyectivo 
se deducen fácilmente de la última proposición. 

8. Lo dicho nos permite establecer toda la teoría de los 
conos de segundo orden y clase, como en el cap. XI de la 
obra citada, sin otra diferencia que, en nuestro caso, no es 
posible hacer extensión de la teoría al caso en que el vérti- 
ce de la radiación esté en el infinito. Esta es la condición ne- 
cesaria y suficiente para que toda la teoría de la radiación 
riemaniana sea idéntica á la eucUdiana, á saber: que el vér- 
tice de la radiación sea un punto propio, pues es claro que 
todos los demás elementos de ella habrán de serlo también. 

9. Recordaremos, en particular, las propiedades siguien- 
tes de que vamos á hacer uso: 

Todo cono ó haz radiado de rectas de segundo orden de- 
termina en cada una de las rectas de la radiación una invo- 
lución de planos conjugados, cuyos elementos dobles son los 
tangentes que por dicha recta pueden trazarse al cono, y, 
sobre cada plano, una involución de rectas conjugadas, cu- 
yos elementos dobles son los que dicho plano tiene comunes 
con la superficie del cono. 

10. Si designamos con el nombre de elemento imaginario 
una involución de rectas ó planos, sin rayos dobles, tomada 
en uno de los dos sentidos, positivo ó negativo, es claro que 
todo plano de la radiación contiene dos generatrices del cono, 
reales, confundidas ó imaginarias conjugadas, y toda recta, 
dos planos tangentes, reales, confundidos ó imaginarios con- 
jugados. 

11. En virtud de las propiedades (8), los elementos bi- 
sectores de los dobles de una involución son conjugados y 
además rectangulares puesto que dividen al haz en cuatro 



— 346 - 

ángulos que pueden hacerse coincidir. Por consiguiente, el 
conjunto de las rectas y planos perpendiculares de una ra- 
diación, constituyen una radiación polar, cuya directriz es 
un cono de segundo orden imaginario, puesto que todas las 
involuciones rectangulares tienen sus rayos dobles imagi- 
narios. 

Consideremos dos rectas, A, B, de una radiación y dos 
planos T T' que pasen por cada una de ellas. La recta TT 
es la polar del plano A B con respecto á todas las superfi- 
cies cónicas de segundo orden que pasan por Ay B y tienen 
á los planos TT' por tangentes en ellas. Uno cualquiera de 
estos conos diremos que está inscrito en todos los demás, 
siendo el plano AB, plano central de inscripción y la recta 
TT' eje de inscripción. 

Si definimos el cono de revolución como aquel cuyas gene- 
ratrices todas equidistan de una recta, que llamaremos eje 
del cono, observaremos las siguientes propiedades: Todos 
los planos que pasan por el eje contienen involuciones de 
rectas polares conjugadas con respecto á la superficie cónica 
de revolución, y cuyos elementos rectangulares son los bi- 
sectores de los ángulos formados por los rayos dobles: cada 
dos rayos dobles y los bisectores de los ángulos que ellos 
forman constituyen un haz armónico. 

El haz de planos que pasan por el eje y el de rectas con- 
tenido en su plano polar, considerados como involuciones de 
elementos polares conjugados con respecto á la superficie 
cónica de revolución, son rectangulares. Designando, pues, 
con el nombre de cono absoluto, ó simplemente absoluto de 
una radiación el cono director de la radiación polar consti- 
tuida por el conjunto de todos los planos y rectas perpen- 
diculares que pasan por su vértice, todo cono de revolución 
tiene con el absoluto dos generatrices comunes, los rayos 
dobles de la involución de rectas contenidas en el plano po- 
lar del eje, á que llamaremos p/íz/zo central del cono de re- 
volución; y dos planos tangentes comunes, los dobles de la 



— 347 — 

involución que pasa por el eje. Y por estar las generatrices 
comunes en el plano polar de la recta intersección de los 
planos tangentes comunes, toda superficie cónica de revolu- 
ción está inscrita en el absoluto de la radiación del mismo 
vértice que ella. Recíprocamente: el absoluto de una radia- 
ción es la superficie cónica en que se hallan inscritas todas 
las superficies cónicas de revolución del mismo vértice. 

No difiriendo, por lo demás, esta teoría de la euclidiana 
en nada absolutamente, hemos preferido citar, sólo para me- 
moria, estos enunciados, en que vamos á fundar las demos- 
traciones ulteriores, remitiéndonos para lo demás á la obra, 
ya citada, del Sr. Torroja. 

§2." 

REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE LOS ELEMENTOS GEOMÉTRI- 
COS EN LA RADIACIÓN 

12. El elemento métrico de que vamos á hacer uso ex- 
clusivo es el ángulo, razón por la cual designamos á la mé- 
trica y analítica que en él se funda con el nombre de geome- 
tría angular, á diferencia de la geometría usual , que, por re- 
ducir todas sus medidas á medidas de longitud ó lineales, 
podría designarse con el nombre de lineal. Si en un haz de 
primer orden escogemos un elemento origen, todo número n 
representará un rayo dado por su distancia angular al ele- 
mento origen y referida á un ángulo tomado arbitrariamente 
por unidad. Designemos por O, O' los dos semirrayos del 
rayo origen y por /?, R' los de un rayo cualquiera, dado 
por su distancia angular RO = n. A partir de un cierto valor, 
que designaremos por -, el semirrayo /? comienza á tomar 
las posiciones que ocupó el /?' durante la primera semirre- 
volución. A partir de 27r, hasta 3n, el rayo RR' vuelve á to- 
mar las mismas posiciones que en su primera semirrevolu- 
ción. También podríamos haber designado por r. el valor de 
una revolución entera. En el primer caso, representando por « 



- 348 — 

un ángulo menor que - y por m un número entero, todos los 
rayos representados por 2/72-— a, coinciden invertidos con 
los representados por (2/72 +1) -pct. En realidad, pues, 
basta el ángulo « para determinar la posición de un rayo. 
Pero conviene tener presente que dos números que se dife- 
rencian en - representan el mismo rayo invertido. Por el con- 
trario, en el segundo sistema, dos números que se diferen- 
cian en - representan el mismo semirrayo. Mientras no ad- 
virtamos lo contrario expresamente, adoptamos la primera 

convención, de suerte que ~ representa un ángulo recto re- 
ferido á una unidad cualquiera. En cuanto á los signos, repre- 
sentan los sentidos en que son contados los ángulos. Por lo 
que hace al signo y— 1 de imaginarismo, puede, en esta 
geometría, representar, exactamente como en la geometría 
vulgar, ó bien los elementos dobles de involuciones que ca- 
recen de ellos, ó bien puede ser el signo de rectangular idad. 
En este segundo sentido, y teniendo en cuenta que los án- 
gulos diedros tienen la misma medida que los planos corres- 
pondientes (como es fácil deducir de las proposiciones del 
párrafo primero), si sobre un plano, á partir de un origen, 
representamos por números reales los ángulos planos, un 
número imaginario a y — 1 representa un ángulo plano per- 
pendicular al plano dicho, ó también la medida de un ángu- 
lo diedro á partir del mismo plano. Nosotros daremos á los 
números imaginarios la misma representación. 

Según estas convenciones, todo número menor que -, po- 
sitivo, negativo ó imaginario, representa un rayo de un haz, 
dado por su distancia angular, plana ó diédrica, contada con 
respecto á una unidad previamente adoptada, y á partir de 
un elemento origen. Llamaremos abscisa de un rayo á una 
función X de su distancia angular al elemento origen y tal 
que, á un sólo valor de x corresponde uno de la distancia 
angular y viceversa, dejando por ahora la función x sin otra 
determinación. 



— 349 - 

13. Toda ecuación de grado m representa un conjunto ó 
haz de m rayos. Dos haces quedan relacionados elemento á 
elemento cuando se conoce la relación /(x, y) = 0, que liga 
á las abscisas de cada par de elementos correspondientes. Si 
los dos haces son de distinta base, cada par de elementos 
correspondientes x^ y^ determina la posición de otro elemen- 
to de distinta especie, de quien x^y^ son las coordenadas. 
Dadas por sus abscisas x^y^^, Xo^o» ^sJ^s» tres elementos 
correspondientes de dos haces, hemos visto en el párrafo pri- 
mero que queda geométricamente determinada una homo- 
grafía, pudiéndose determinar (geométricamente también) 
la posición de otro par de rayos correspondientes cuales- 
quiera xy. Sujetemos, pues, las funciones x y de las distan- 
cias angulares de dos rayos correspondientes, á la condición 
de que las abscisas de los cuatro rayos de un haz harmó- 
nico satisfagan siempre á la relación 

Xi — Xo Xt — Xo y^ — y 2 y i — y^ 

= -l„- — "^-l— — ^ = _1 [1] 



xi — Xg Xi — x. yi — y-s yi-y-i 

ó sus equivalentes. Para convencerse de la posibilidad de 
esta condición, basta asignar á tres rayos cualesquiera A,B,C 
tres números cualesquiera x^ x., x.¿; al conjugado armóni- 
co de B con respecto á ^,C, el valor que nos dé [1] para 
X4 y le llamaremos D. Al conjugado armónico de C con 
respecto á BD, el valor que nos dé una relación de la for- 
ma [1], sustituyendo las abscisas de BCD y despejando la 
cuarta, y así sucesivamente. Es fácil ver que jamás repetire- 
mos ni los números ni los rayos; todos los valores de las 
abscisas dependerán de los tres primeros valores arbitrarios. 
Al primer miembro de [1] llamaremos razón doble de los 
cuatro elementos, representados por sus abscisas. Si éstos no 
forman un haz armónico 

Xi — Xo X4 — X2 
X, — Xo ' X. — Xo ~~ 



— 350 — 

Si fijamos tres elementos Xi,X2,X:; arbitrariamente, á cada 
valor de x^ corresponde uno y uno sólo de /. En este caso >. 
puede ser la abscisa del mismo elemento representado por X4. 
Los tres elementos fijados arbitrariamente se llamarán ele- 
mentos de referencia. Sabemos que las coordenadas "/. cum- 
cumplen también con la condición |1], cuando se trata de 
cuatro rayos de un haz harmónico. 

Además, los cuatro valores de x, correspondientes tam- 
bién cumplen con la condición [1]. Por consiguiente, dos ha- 
ces X, Y, cuyos rayos tienen relacionadas sus abscisas de 
suerte que las razones dobles de cuatro cualesquiera de los 
elementos de uno de ellos sean iguales á las de los cuatro 
correspondientes del otro, son proyectivos, en el sentido 
geométrico de esta palabra (núm. 7). En efecto, á un rayo 
de uno de ellos corresponde uno y sólo uno en el otro, y á 
un haz harmónico corresponde otro. Igualando, pues, las ra- 
zones dobles de cuatro elementos, los tres de referencia y 
uno variable x,y, verificando operaciones y llamando A, B, 
C, D cuatro funciones de las constantes Xi Xo x^, ^ij'o)':; l3 
condición para que los haces X 7 sean proyectivos, es que, 
entre las abscisas x j de sus rayos correspondientes exista 
una relación bilineal de la forma 

Axy-}-Bx+ Cy + D=0. [2] 

A esta condición hay que añadir que AD ^ BC para 
que haya correspondencia unívoca. 

14.— SiXé F son dos haces de I Sean í/, Vdos haces de rectas 
planos (dados por sus aristas) 1 planos (dados por sus planos) 
proyectivos, en el caso particular proyectivos; en el caso particu- 



en que el plano X Y común sea 
también doble, los dos haces son 
perspectivos y, por consiguiente, 



lar en que la recta U V común 
sea también doble, los dos haces 
son perspectivos y, por consi- 



proyectivos; es decir, que las guíente, proyectivos; es decir, 

abscisas de cada par de rayos que las abscisas de cada par de 

correspondientes deben estar li- rayos correspondientes deben 

gadas por la relación [2], la cual estar ligadas por una relación de 



— 351 



debe quedar satisfecha para las 
soluciones x = m, y=^ n, siendo 
m, n las abscisas del plano doble 
X Y.Y recíprocamente una ecua- 
ción bilineal que tiene la solución 
x = m, y = n representa un haz 
de rectas perspectivo de los dos 
de planos, cuyo plano común y 
doble tiene las abscisas m, n. Es 
decir, que la ecuación [2] repre- 
senta un plano, puesto que cada 
solución nos da un rayo de un 
haz plano de rectas como inter- 
sección de dos planos correspon- 
dientes de los haces XY pers- 
pectivos. 

Podemos, pues, hacer que un 
plano venga dado por una ecua- 
ción de primer grado con sólo 
convenir en dar al plano XFlas 
abscisas x = oo, y=^co; y si se 
verifica esta condición, toda ecua- 
ción de la forma 

Ax^By^C = [3] 

representa un plano. 



la forma [2j, la cual debe quedar 
satisfecha para los valores u = s, 
v = f, siendo s, t las abscisas de 
la recta doble uv. Recíproca- 
mente, una ecuación bilineal que 
tiene la solución ü = s, v = í re- 
presenta un haz de planos pers- 
pectivo de los dos de rectas, cu- 
ya recta común y doble tiene las 
abscisas s,t. Es decir, que la 
ecuación [2] representa una rec- 
ta, puesto que cada solución nos 
da un rayo de un haz de planos 
como el determinado por dos rec- 
tas correspondientes de los haces 
u, V perspectivos. 

Podemos, pues, hacer que una 
recta venga dada por una ecua- 
ción de primer grado con sólo 
suponer que las abscisas de la 
recta son u := oo, v = oo; y si se 
verifica esta condición, toda ecua- 
ción de la forma 

aí/ + 6v + c=:0 [4] 

representa una recta. 



Luego una misma ecuación de la forma 

ux ~\- vy -}- wz = O 



[5 



en coordenadas homogéneas, nos representará un plano ó 
una recta, según que tomemos por variables las cantidades 

— , — , ó las — , — . A las primeras llamaremos coordena- 

das de rectas, á las segundas coordenadas de planos ó tam_ 
bien tangenciales. 

15. Tratemos de hallar ahora las relaciones que enlazan 
á las coordenadas de un elemento, referidas á dos haces de 
referencia, con las coordenadas del mismo referidas á otros 
dos haces, ó sea tratemos de resolver el problema de la 
transformación de coordenadas. 

Rev. Agad. Cibncias.— V. — Diciembre , looó. 24 



— 352 - 

Para esto, observemos que las coordenadas (no homogé- 
neas) xyáe una recta deben ser una función de las nuevas 
coordenadas x' y' de la misma recta, tal que, á cada sistema 
de valores de estas coordenadas corresponda para aqué- 
llas un solo sistema de valores, y, por tanto, se deben tener 
las siguientes relaciones: 



f(x',y') y ^ ^(^',/) 



-Kx',/) ^(x',/)' 

pero la ecuación Ax ^ By | C -- O, que representa un 
plano, se transforma en 

Af{x, y) + B'^{x, y') ^- C-l{x, /) = O, 

que, por representar el mismo plano en el segundo sistema, 
hade ser de primer grado, lo cual exige que las funciones 
f{^\ y')> ^{^i y) y '\{^' y')^ sean lineales; por consi- 
guiente, las relaciones pedidas son: 

a'x + b.,y' + C3 ' a.¿x' ■{- b^y' + c.¿ 

y en coordenadas homogéneas, 



^ix' i b^y' + c^z üox' -{- b-iY H- c.^ z' 
_ z 



m 



Del mismo modo encontramos para las fórmulas de trans- 
formación en coordenadas tangenciales homogéneas 



— 353 — 
ü _ 1' _ 

= — ^--"^ . [8] 

Estas fórmulas encierran todos los casos posibles y con- 
tienen nueve parámetros que, como veremos más adelante, 
pueden reducirse á tres en el caso general de una rotación 
cualquiera de toda la radiación alrededor de su vértice, me- 
diante las condiciones que estableceremos entre los elemen- 
tos de referencia. 

El triedro, que en el segundo sistema x' y' z' tiene por 
caras los planos dados por las ecuaciones 

a^x -\- b^y H c¡z - O, a.yX -j- b.^y ^ CoZ -^ O, 
a.^x f b^y i c.¿z ^ O, 

recibirá en adelante el nombre de triedro de referencia del 
primer sistema. Lo mismo hay que decir en coordenadas 
tangenciales. Más adelante determinaremos las propiedades 
de estos triedros de referencia. 

Una ecuación homogénea de grado m, con tres variables, 
representa una superficie cónica, dada como lugar de rectas 
ó como envolvente de planos. Según el número anterior, el 
grado de la ecuación de una superficie cónica es el mismo, 
cualquiera que sea el sistema de haces de referencia á que se 
refieren las coordenadas de sus elementos. 

16. Lo dicho nos pone en condiciones de resolver todos 
los problemas de la radiación en que no intervienen más 
que rectas y planos. Como nuestro objeto no es dar un des- 
arrollo completo á la geometría de la radiación, trabajo he- 
cho ya con toda la perfección deseable por el Sr. Vegas en 
el primer tomo de su excelente obra que acaba de publi- 



— 354 — 

carse ^ sino exclusivamente mostrar que esta geometría 
puede establecerse con absoluta independencia de la teoría 
euclidiana de las paralelas, sólo vamos á resolver un pro- 
blema que nos ha de servir para las demostraciones que se 
siguen, remitiendo, para lo demás, á dicha obra. 

La ecuación del plano que pasa 
por las rectas x, y^ Zj, x^yz^i es 





X y z 






Xi y, z, 


= 




X2 y. z^_ 




De aquí se sigue que las coor- 
denadas tangenciales de dicho 
plano son 


u = y,z._—y„^z, 


V = X^Zy — XjZ, 




w = x^y„-- 


x,y, 



La ecuación de la recta inter- 
sección de los planos u, v, vv,, 
«2 1^2 W2 es 



u 


V 


IV 


"1 


V^l 


IV, 


"2 


^1 


IVo 



-o [9] 



De aquí se sigue que las coor- 
denadas de líneas de dicha inter- 
sección son 

a: = Vj Wo — i'o 11', 

j; = UglV,— «1 Wo [10] 

z = u^v^ — Uo V, 



Las ecuaciones [9] dan también la condición para que tres 
rectas estén en un mismo plano ó tres planos pasen por una 
misma recta. 



17.— Siendo x,;;,, Xo^j las coor- 
denadas no homogéneas de dos 
rectas, las coordenadas de una 
tercera recta contenida en el pla- 
no determinado por dichas dos 
rectas puede expresarse por 



puesto que, substituidas en vez 
de xy en 



X3 


ys 


1 


Xx 


>'i 


1 


x. 


y^ 


1 



Siendo u, v, , í/j Vo las coordena- 
das no homogéneas de dos pla- 
nos, las coordenadas también no- 
homogéneas de otro plano que 
pasa por la recta común á los dos 
primeros son 



U,— /Uo 
1 -/ 



V,— AJ^ 
l-> 



nn 



puesto que substituidas en 



u 


V 


1 


«1 


l'l 


1 


u. 


V? 


1 



Tratado de Geometría Analítica, Madrid, 1906. 



- 355 — 



Que son idénticos á los [9] para el caso de coordenadas 
no homogéneas, quedan satisfechas. 



De las nn resulta: 



^3 — ^2 ^s — ya 



> 



De las [II] resulta: 
— u, 



)> = 



Un Uo 



Por consiguiente, como para cada valor de X corresponde 
un elemento en [11], dos valores iguales y de signo contra- 
rio de este parámetro determinan la posición de dos elemen- 
tos separados harmónicamente por los Xj y^, x, y 2, según 
la condición [1] (núm. 13). 

Todas las demás propiedades de las coordenadas y de las 
razones dobles, así como los problemas sujetos á la ley de 
de correlación, se resuelven de un modo exactamente igual 
a! que se emplea para resolver los problemas de puntos y 
rectas en la geometría plana euclidiana. (Véase el cap. V, 
1. 1 de la obra del Sr. Vegas.) 

18. Una ecuación de segundo grado en coordenadas no 
homogéneas, x, y 

F(xy) = Ax' + By''^C-^2Hxy-{-2Gxi-2Fy^0 [12] 

representa un haz de rectas de segundo orden, es decir, un 
cono de segundo orden dado por sus generatrices. Un plano 
P=0 tiene con él dos generatrices comunes, que son las so- 
luciones del sistema 

/ F = 0. 

Sean los elementos (x^ y^) (x., y2): un rayo cualquiera de 
su plano viene dado por las relaciones [11]. Si este rayo ha 
de pertenecer al cono [12] poniendo en ésta última ecuación 
x-¿ y^, en vez áe x y, debe convertirse en una identidad. 



- 356 — 

Haciéndolo y verificando operaciones, la [12] se convierte 
en una ecuación de segundo grado en /, cuyo segundo tér- 
término tiene por coeficiente 

— x^{2Ax,-\-2Hy^ t 2G) ~y^{2Hx. 2By.-{2F)— 
-{2Gx. t 2Fy^^2C). 

Cada una de las dos raíces de /w, nos da una de las dos 
generatrices comunes al plano determinado por las rectas 
(Xi y^) (Xo y^) y al cono [12]. Pero según el núm. 17, si es- 
tas dos generatrices han de formar con los rayos (x^ y^) (x., >',) 
un haz harmónico, las dos raíces de la ecuación de segundo 
grado en >^ han de ser iguales y de signo contrario, lo que 
exige que el coeficienie del término de primer grado en \ sea 
nulo, y, por consiguiente, que las coordenadas (Xj y^) (x, y^) 
anulen el polinomio anterior. Esta condición, en la hipótesis 
de que la [12] esté escrita en coordenadas homogéneas, pue- 
de escribirse 

x,F',._-\-y,F',j,-\-z,F'-_,=^OK \\2] 

Si x, y 2 z-i son constantes, Xj y^ z, coordenadas genera- 
les, la [13] representa el lugar geométrico de todas las rectas 
conjugadas armónicas de la x, y^ z, con respecto á la super- 
ficie cónica [12] y por ser de primer grado demuestra que 
este lugar es un plano, el polar de la recta x., y,_ ^.,, como ya 
sabíamos. 

De una manera correlativa podemos demostrar que el lu- 
gar de todos los planos conjugados del u^ v, iVj, con respec- 
to á la superficie cónica de segunda clase, dada por el haz 

{A )(z/i'iv)^ = [14] 



En la notación de Cayley, la [12] puede escribirse: 
{a \xyz\ = 0, y la [131 (fl )(x,>',2, -r x^y^z^) ^ 0. 



- 357 — 
es el haz de planos cuya arista viene dada por la ecuación 

{A Xí/oVgWoXw V iv) =^ 0. [15] 



Las ecuaciones [13] y [15] demuestran que 



Todo plano de la radiación con- 
tiene una involución de rectas po- 
lares conjugadas con respecto á 
una cierta superficie cónica, y cu- 
yos rayos dobles, reales ó imagi- 
narios, son generatrices del cono. 



Toda recta de una radiación 
contiene una involución de planos 
polares conjugados con respecto 
á una cierta superficie cónica, y 
cuyos rayos dobles, reales ó ima- 
ginarios, son tangentes al cono. 



El conjunto de todas las rectas y de todos los planos po- 
lares conjugados con respecto á un mismo cono de segundo 
orden es un sistema polar radiado, cuya directriz es dicha 
superficie cónica. 



19. Dada la ecuación de una 
superficie cónica de segundo or- 
den en coordenadas de rectas, 
hallar su ecuación en tangen- 
ciales. 



Dada la ecuación de una super- 
ficie cónica de segunda clase en 
coordenadas tangenciales, hallar 
su ecuación en coordenadas de 
rectas. 



Para resolver, por ejemplo, el de la izquierda, basta ha- 
llar como en geometría plana euclidiana, 



de donde 



(AB )iuvwy 






u 


V 


w 


u 


a 


h 


S 


V 


h 


b 


f 


w 


g 


í 


c 



■bc~p „ B = ca-g^ „ C=ab-h^ , F^gh -af 
G=hf^bg „ H=fg-ch 
^=^ abe ap—bg' — ch' — 2fgh. ' [16] 



— 358 — 

En el caso correlativo hubiéramos encontrado otro valor 
A' correlativo del A. 

Si A^O, la superficie se reduce á dos planos : Si A' = 0, 
la superficie se reduce á dos rectas. 

20. Fácil sería seguir reconstituyendo la teoría de los co- 
nos de segundo orden y clase calcándolas de la geometría 
plana euclidiana. 

No es este el objeto de nuestro trabajo, y contentándonos 
con las ligeras indicaciones hechas, pasamos, desde luego, á 
determinar qué clase de funciones de la distancia angular son 
las coordenadas x, y, z, u, v, w, que hemos adoptado. Esto 
nos conducirá á una teoría enteramente correlativa de la 
cayleyana, y mediante ella podremos hacer extensivo el es- 
tudio analítico de la radiación á todos los problemas no su- 
jetos á la ley de correlación. 

Por ahora haremos notar solamente que si dos conos cu- 
yas ecuaciones sean il = 0, V^= O tienen los mismos pla- 
nos tangentes en dos generatrices comunes á ambos, uno de 
ellos, V. gr., el V=0, puede representarse por la ecuación 

U^lP^=0 [17] 

siendo P=^0 la ecuación del plano determinado por dichas 
dos generatrices. La [17j nos da para cada valor de a un 
cono inscrito en el representado por U=0. El plano cuya 
ecuación es P=0 es el plano central de inscripción (núme- 
ro 11), y la intersección de los dos planos tangentes comu- 

( P = O 
nes á todos los conos [17] en las generatrices ' , será 

el eje de inscripción. 

(Continuará.) 



índice 

DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NUMERO 



pAos. 



XV.— Introducción á la Física matemática, por José Eche- 

garay 303 

XVI.— Estudios de Síntesis mineral, por José Rodríguez Mou- 

relo 325 

XVII. — Ensayo de Geometría analítica noeuclidiana, por el 

P. José A. Pérez del Pulgar, S. J. 340 



La sabscripción á esta Revista se hace por tomos completos, 
de 500 ¿ 600 páginas , al precio de 6 pesetas en España y 6 francos 
en el extranjero , en la Secretaría de la Academia , calle de Val- 
verde, núm. 26, Madrid. 

Precio de este cuaderno , una peseta. 



AUG -g? 

REVISTA 

DK LA 



REAL ACADEMIA Uíí CIENCIAS 



EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES 



MADRID 



(Knero de leOT.) 



MADRID 

IHPBEHTA DE LA "GACETA DE MADRID., 

CALLiK DE PONTEJOS, NÚM. 8. 

''"^' 1907 



ADVERTENCIA 



Los originales para la Revista de la Academia 
se han de entregar completos, en la Secretarla de 
la Corporación, antes del día 20 de cada mes, 
pues de otro modo quedará su publicación para 
el mes siguiente. 



-'i«^ >' ,907 



- 359 — 



XVIII. -Elementos de la teoría de la elasticidad. 

Por José Echeqaray. 

Primera parte. 
Conferencia prinnera. 

Señores: 

En esta primera conferencia no lie de entrar en materia, 
es decir, no he de empezar el estudio de la teoría de la elas- 
ticidad. Me limitaré tan sólo á exponer el plan del presente 
curso. 

Esto hice en la primera conferencia del año anterior, en la 
cual manifesté, que el programa de aquellas conferencias, lo 
consideraba dividido en cuatro partes, que eran éstas: 

1 .° Carácter de la Física experimental y de la Física ma- 
temática: sus diferencias fundamentales y sus relaciones 
mutuas. 

2.° Resumen de los principales problemas que compren- 
día la Física matemática hasta fines del siglo anterior; esta- 
bleciendo en forma elemental sus ecuaciones fundamen- 
tales. 

3." Críticas que en estos últimos tiempos se han hecho y 
siguen haciéndose de dichas teorías, que pudiéramos llamar 
clásicas; y 

4.° Manifestaba, por fin, que, á ser posible, empezaría el 
estudio de la teoría matemática de la elasticidad. 

Procuré cumplir este programa, pero di más extensión de 
la que pensaba á la pnmera parte, y de ella no pasé. 

Expliqué á mis oyentes, por medio de ejemplos, que la 
Física experimental, considerada en su absoluta pureza, 
prescindía ó debía prescindir de toda hipótesis. 

Rf.v. Acad. CiBStciAS. — V.— Enero, 1907. 25 



— 360 - 

Examina los hechos, decía, los reproduce, los clasifica, 
por analogías y diferencias, determina en cada caso los pa- 
rámetros que en cada fenómeno influyen, los divide en pa- 
rámetros independientes y parámetros dependientes, y por 
una serie de experiencias, procura determinar las funciones 
empíricas, que los enlazan. 

Estas funciones expresan en el orden racional, y para la 
inteligencia humana, las leyes de los fenómenos observados; 
leyes que se han considerado siempre como símbolos, por 
lo menos, de las que se han llamado, con mayor ó menor 
atrevimiento, leyes de la Naturaleza. 

El procedimiento de la Física experimental es, según se 
ve, sólido y firme, y es ineludible. 

Sin él, la ciencia humana se pierde en sueños y fantasías: 
sueños hermosos, fantasías brillantes, pero que se deshacen 
como niebla, muchas veces, al rudo contacto de la realidad. 

En cambio, si de aquí no pasa la ciencia, corre el peligro 
de convertirse en un catálogo de hechos sin enlace, sin ar- 
monía y sin unidad: esto sería lo prudente, pero sería mez- 
quino. 

En cambio, la Física matemática parte casi siempre de 
una ó varias hipótesis, que claro es, que no estarán escogi- 
das arbitrariamente, sino que, por el contrario, habrán sido 
inspiradas por los hechos mismos, y que, por el pronto, tie- 
nen el propósito de explicarlos, siquiera sea en términos ge- 
nerales: esto, aun antes de descender á los cálculos mate- 
máticos. 

En estas hipótesis, ¡cuántas veces lo hemos dicho!, domi- 
na la llamada hipótesis mecánica, por la cual se procura aco- 
modar los fenómenos físicos, con todas sus apariencias y ac- 
cidentes, á los fenómenos de la Mecánica, admitiendo, como 
se admitía á principios del siglo anterior, que todos los fenó- 
menos del mundo físico, no eran más que apariencias múlti- 
ples y complejas de la materia en movimiento: ya de la ma- 
teria ponderable, ya de la materia etérea. 



— 361 — 

Y, por último, la aplicación de las fórmulas de la Mecáni- 
ca y del cálculo matemático, daban, en la mayor parte de los 
problemas, por manera más ó menos perfecta, la solución 
buscada. 

De este modo se creó, en el siglo precedente, la Física 
matemática, uno de los monumentos más prodigiosos de la 
razón humana. 

De este modo, decimos, se llegó ó se procuró llegar á la 
unidad. 

En rigor, se obtuvieron varias unidades parciales, con 
íntimas relaciones entre sí, pero sin lograr una gran unidad 
de conjunto, que todavía persiguen los sabios, y á que, 
lentamente, y de íejos, se van aproximando; aunque, bien 
lo sabemos, aproximarse no es llegar. 

Es evidente, por otra parte, que todas las teorías de la 
Física matemática están sujetas á la comprobación de la Fí- 
sica experimental: ya cuando afirman leyes racionales, ya 
cuando establecen relaciones entre los coeficientes numéri- 
cos, ya cuando prevén y anuncian nuevos fenómenos toda- 
vía no conocidos. 

Sobre estos dos extremos, mejor dicho, sobre estos dos 
métodos, el experimental y el matemático, que ambos son 
ineludibles y complementarios, disertamos con la posible 
extensión en el curso precedente. 



* 



Para que aquel programa no quede incompleto, antes de 
empezar, como empezaremos en la conferencia próxima el 
estudio de la elasticidad, algo diremos de la segunda y la 
tercera parte del programa, que al principio reprodujimos. 

El resumen de los principales problemas que comprendía 
la Física matemática en el primer tercio ó en la primera mi- 
tad del siglo anterior se hace con facilidad suma. No hay 



— 362 — 

más que copiar el índice de cualquier tratado general de Fí- 
sica matemática, por ejemplo, el de Mr. Resal, en la segun- 
da edición de esta obra, ó el de Mr. Mathieu, ó basta reco- 
ger una serie importantísima de tratados y memorias espe- 
ciales, de Navier, Poisson, Lame, Clebsch, Beer, Clausius, 
Briot, Saint-Venant, Bertrand y otros muchos, cuya lista se- 
ría inagotable; y en todos estos trabajos encontraremos que 
la Física matemática, que podemos llamar clásica, compren- 
día por entonces el calor y su equilibrio y movimiento en 
los cuerpos, la termodinámica , aunque ésta es algo más 
moderna, la capilaridad, la elasticidad, la luz, la electro- 
estática, la electrodinámica, el magnetismo y algunas otras 
ramas más ó menos ligadas á las anteriores.. 

Cada una de dichas teorías especiales tienen sus ecua- 
ciones fundamentales, que en todas, menos en una, parten 
de la hipótesis mecánica; y estas ecuaciones fueron las que 
prometimos, al empezar el curso anterior, establecer desde 
luego, sin perjuicio de ir inmediatamente á la tercera parte 
del programa y hacer la crítica, según el espíritu moderno, 
de las hipótesis establecidas, de los métodos seguidos, y 
sobre todo, de la hipótesis fundamental: la hipótesis me- 
cánica. 

Después he pensado, que sería más conveniente y más 
claro modificar, no el programa, pero sí su distribución, fun- 
diendo la segunda y la tercera parte en una sola. 

Es decir, explicando, al menos en sus elementos, todas es- 
tas diversas ramas de la Física matemática clásica, y hacien- 
do que la crítica acompañe á la exposición de cada una 
de ellas. 

Y esto que acabo de decir constituye, en parte, el progra- 
ma del presente curso y aun el de los cursos sucesivos. 



* 
* * 



— 363 — 

Apliquemos lo dicho, para aclarar la idea expuesta, á lo 
que ha de constituir la primera mitad de este curso del 1906 
al 1907, á saber: la teoría de la elasticidad. 

La teoría de la elasticidad puede exponerse de muchas 
maneras. 

1.° Según el sistema de Cauchy, que es sencillo, elegan- 
te y elevado; que lleva, en suma, la marca de genio del 
gran matemático francés. 

2.° Por el sistema de Lame, y tomamos este nombre 
ilustre para caracterizar el sistema en cuestión, aunque otros 
muchos matemáticos insignes, como, por ejemplo, Navier, 
Clebsch y otros, lo han seguido con pequeñas variantes. 

3.° Adoptando el sistema del eminente matemático mon- 
sieur Poincaré en su tratado de elasticidad, que es una obra 
moderna digna del mayor estudio. 

4.° Por el sistema fundado en la aplicación de la Termo- 
dinámica. 

Pues bien, en todos estos sistemas obtendremos las fór- 
mulas fundamentales, y á la vez haremos las críticas res- 
pectivas. 

* 
* * 

La misma marcha hemos de seguir más adelante, llevan- 
do á la par la exposición de las diferentes ramas de la Física 
matemática clásica, que antes enumerábamos, y la parte cri- 
tica con arreglo á las ideas modernas é inspirada también en 
los recientes descubrimientos sobre radiaciones y radioacti- 
vidad. 

Pero en rigor, y antes de emprender la extensa y difícil 
tarea, que acabamos de indicar, brevemente pudiéramos cum- 
plir todo lo que nos resta del programa del curso anterior; 
sobre todo, si nos atenemos á las líneas generales y prescin- 
dimos de pormenores. 

Casi toda la Física matemática del siglo anterior, al me- 



- 364 — 

nos hasta el término de su secular evolución , puede decirse 
que es la Física matemática de las fuerzas centrales, y así 
la define Mr. Poincaré. 

En todas las ramas de esta ciencia ó en casi toda ella do- 
mina la hipótesis mecánica: siempre se supone que los sis- 
temas en que se desarrolla este ó el otro fenómeno, se com- 
ponen de un conjunto de puntos ó de pequeñas masas pon- 
derabas unas veces, y otras de masas etéreas, sujetas á fuer- 
zas centrales de atracción y repulsión mutuas, dependientes 
de las distancias, y sometidas á la vez á determinadas con- 
diciones iniciales de posición y velocidad y á otras condicio- 
nes relativas á los límites del cuerpo. 

De suerte que un problema cualquiera de Física se con- 
vierte en un problema de Mecánica. 

La parte física propiamente dicha, sólo aparece en tres 
momentos. 

Primero, cuando se establecen las hipótesis, que siempre 
se procura; y se procura de antemano, que se acomoden á 
la realidad de los fenómenos, porque, después de todo, sólo 
de explicarlos se trata. 

Segundo, cuando se interpretan las fórmulas en el sentido 
de explicar por el fenómeno estático ó dinámico, es decir, 
por el fenómeno mecánico, todas las apariencias del fenó- 
meno físico. 

Tercero, cuando se determinan experimentalmente los 
coeficientes numéricos para dar carácter práctico á las fór- 
mulas y para comprobarlas, en cierto modo, numérica- 
mente. 

Todo lo demás de la Física matemática no es más que la 
aplicación de las fórmulas de la mecánica racional y la apli- 
cación, por último, del cálculo matemático, y, sobre todo, 
del cálculo integral. 

Esta es, si se nos permite la palabra, la gran masa de to- 
das las obras de Física matemática: integración de ecuacio- 
nes, sobre todo de ecuaciones diferenciales lineales. 



- 365 — 

Por eso la Física matemática lia contribuido poderosa- 
mente á los progresos del cálculo integral y de las matemá- 
ticas en general; porque ha sido un constante y poderoso 
estimulante de la investigación matemática. 

Si en cualquiera de las grandes obras de Física matemáti- 
ca del siglo pasado se suprimiesen las ecuaciones de la Me- 
cánica y los métodos de integración, la obra quedaría redu- 
cida á bien pocas páginas: una hipótesis más ó menos acer- 
tada y una interpretación de los resultados más ó menos 
feliz. 

Por eso hemos dicho algunas veces en el curso anterior y 
en este volvemos á repetirlo, para los que no asistieron á 
aquél, que en la teoría de las fuerzas centrales, casi todos 
los problemas de Física matemática se podían plantear de 
este modo. 



r 



rfCr ... 



F \ 



F' 



Figura 1. 



Un sistema de puntos ó de pequeñas masas m, m', m", m" 
(figura I."*) ocupando determinada posición en el espacio é 
infinitamente próximas, aunque las dimensiones de tales 
masas sean incomparablemente más pequeñas que sus dis- 
tancias mutuas; una serie de fuerzas F, F' , F" aplicadas 

2l m, m', m" , y representando las fuerzas exteriores; otra 



— 366 - 

serie de fuerzas/,/', /" entre cada dos puntos ó masas, 

representando á su vez las fuerzas interiores, centrales todas 
ellas, puesto que van de punto á punto, de /tz á m' , de m 
á m" , de m' á ni" 

Y después, para acabar de definir el sistema, pos/c/o/zes 
iniciales determinadas, velocidades iniciales también deter- 
minadas, y condiciones conocidas para toda la superficie 
del cuerpo ó del sistema; á no ser en los casos en que se 
suponga, que el sistema es indefinido y llena el espacio 
infinito. 

Con estos datos, el problema mecánico queda completa- 
mente definido, y á pesar de su inmensa complicación, es de 
los más sencillos; porque los puntos son libres, de modo 
que no hay que considerar ninguna clase de enlaces, que era 
por entonces el bello ideal en estos problemas. Así como 
en tiempos posteriores se han aficionada, si se me permite 
la palabra, los matemáticos al sistema de los enlaces, y por 
eso, en vez de emplear las ecuaciones de los puntos li- 
bres, aplican el principio de las velocidades virtuales, y en 
vez de las ecuaciones primitivas de la Dinámica, las ecua- 
ciones de Lagrange; como veremos en su día al explicar 
los admirables métodos de Maxwell, adivinadores y pre- 
cursores de las experiencias de Herz y de la telegrafía sin 
hilos. 

* 

* * 

Cuando se suponen las fuerzas centrales, como acabamos 
de indicar, puede admitirse que los puntos son libres, ac- 
tuando sobre cada uno las fuerzas externas F, F' ...., y las 

fuerzas internas/,/' ; y así, obteniendo para cada punto 

las componentes de las F y f, paralelas á los tres ejes coor- 
denados, componentes que designaremos por X, Yy Z 

las ecuaciones del sistema, sea el sistema el que fuere, ten- 
drán esta forma general: 



— 367 — 



m = X 

dP 

jfi " y = Y P^ra el punto m, 
dH 

d^z „ 

m = Z 

dP 

^' d'x , 

m — — -• = A 
df' 



\ 



m 



' y = Y' P^ra el punto m', 



dP 



\ 



m = Z 

dt- 



en las que m, m' , m" son las masas como ya hemos dicho; 

X, y, z , las coordenadas del punto m, y lo mismo para los 

demás puntos; y X, Y, Z...... las componentes de la fuerza 

que actúa en m , que será en último análisis la resultante 

de las fuerzas F y /para cada punto en particular. 

Claro es, que X, Y, Z contendrán ó podrán contener 

en general todas las coordenadas del sistema. Por ejemplo, 
/, que es la acción mutua entre m y m', dependerá de la 

distancia OT/7z', que es V {x —x'y ^-{y — y'y^{z — z'y; 
y por lo tanto, entrarán las coordenadas áe m, m' en/. Pero 
como por el pronto, debemos suponer, que en cada punto 
m actúan las atracciones y las repulsiones de los demás pun- 
tos, por eso decimos que en/, y por lo tanto en la resultan- 
te de las /y F, y por fin, en sus componentes X, Y, Z en- 
trarán, al menos en una primera exposición de la teoría, y 
aunque esto luego se limite, las coordenadas de todos los 
puntos del sistema. 
Circunstancia que importa poco para el problema mecáni- 



— 368 - 

co; pero que dificultaría enormemente ó haría imposible, la 
integración de este sistema de ecuaciones, que son ecuacio- 
nes diferenciales simultáneas de todas las variables x, y, z 

en número de 3/?, siendo n el de puntos, como funciones, y 
de una variable independiente, que es el tiempo. 

Para aminorar un tanto esta complicación, y porque ade- 
más esta nueva hipótesis está en armonía con la experiencia, 
se supone que sobre cada punto no actúan todos los del sis- 
tema de una manera sensible, sino los que están á peque- 
ñas distancias, ó sea dentro de la esfera de la actividad del 
punto que se considera. Mas por ahora prescindamos de esta 
simplificación. 

* * 

De todas maneras, planteadas las ecuaciones anteriores, 
el problema ya no es de Física, ni siquiera de Mecánica: fué 
de Física, al establecer la hipótesis; fué de Mecánica, al 
plantear las ecuaciones; mas desde aquí es problema pura- 
mente de cálculo integral. 

Por eso la Física matemática, á cada momento y en cada 
problema, está pidiéndole al matemático nuevos métodos de 
integración, más y más perfectos. Y hay que confesarlo: el 
matemático no siempre sabe resolver el problema que se le 
presenta; casi nos atreveríamos á decir, si no se nos tachase 
de pesimistas, que muy pocas veces sabe resolverlo por 
completo, y aun éstas con grandes esfuerzos y á costa de 
prodigios de ingenio. 

¿Quién sabe? Acaso muchas deficiencias de la Física ma- 
temática, acaso y sin acaso, son impotencias del cálculo in- 
tegral, á pesar de sus admirables teorías. 

Sea como fuere, planteadas las ecuaciones anteriores; lo 

que procede es integrarlas, lo cual nos dará x, y, z , en 

función de / y de 6 /2 constantes arbitrarias, que determina- 
remos por las condiciones iniciales respecto á las coordena- 



- 369 - 

das de posición y á las componentes de las velocidades, que 
son 6 para cada punto, y 6 /z en totalidad: tantas como 
constantes arbitrarias. 



Planteado así el problema, aunque en teoría queda resuel- 
to, en la práctica se convertiría la solución en una solución 
ilusoria, por imposibilidad material. 

Y, en efecto, el número de puntos es inmenso é inmenso 
sería el número de ecuaciones. 

Por eso, y restableciendo en cierto modo la continuidad 
del sistema, las ecuaciones generales, que son ecuaciones 
en diferenciales simultáneas, se convierten en ecuaciones en 
derivadas parciales, según vimos en un ejemplo de la confe- 
rencia 5."* del curso anterior y según veremos en todas las 
cuestiones que hemos de tratar más adelante. 

Estas tres indicaciones que acabamos de hacer, son gene- 
rales para la mayor parte de los problemas de Física mate- 
mática, por eso volveremos á repetirlas. 

Supondremos, pues: 1.°, que las fuerzas son centrales; 
2°, substituiremos á las ecuaciones ordinarias, que son de di- 
ferenciales simultáneas en número infinito, otras ecuaciones 
en número finito, que serán en diferenciales parciales , res- 
tableciendo, en cierto modo, la continuidad del sistema; 
3.°, admitiremos que sobre cada punto material sólo actúan 
los más próximos ó sean los comprendidos en una esfera, 
cuyo radio puede denominarse radio de actividad, despre- 
ciando la acción de los demás puntos. En términos genera- 
les, mientras no se trate de problemas concretos, esto es lo 
único que tenemos que decir respecto al segundo punto de 
los cuatro, que abarca el programa del curso anterior. 

Sin embargo, á modo de paréntesis, como explicación 
que casi huelga para los que ya tienen alguna práctica en 
estas materias, pero que no me parece inútil para los princi- 



370 



piantes, y los deberes de la enseñanza me obligan á supo- 
ner, que principiantes son muchos de los que me honran si- 
guiendo mis lecciones orales ó escritas, para estos, digo, 
hay un punto sobre el cual debo insistir. 



* 
* * 



Decíamos, que para un sistema cualquiera de puntos, de 
los que en la hipjtesis mecánica han de explicar tal ó cual 
fenómeno físico; sobre cada uno de estos puntos, repetimos, 
actuaban en general dos clases de fuerzas, á saber: fuerzas 
inferiores, que designábamos por/....., todas ellas centrales, 

y sobre éstas hemos dicho, por ahora, todo lo que teníamos 
que decir; pero que además podían actuar fuerzas exterio- 
res, que designábamos por F...... y sobre estas últimas algo 

tenemos que decir todavía. 

Pongamos un ejemplo para que se comprenda mejor nues- 
tra idea 

Supongamos, como antes, un sistema de puntos. 

En cada uno de ellos m actuarán las atracciones ó repul- 
siones de los demás puntos del sistema, de las que, como 
antes indicábamos, puede prescindirse si están fuera de la es- 
fera de actividad del punto m. Pero actuarán otras fuerzas 
exteriores: por ejemplo, la acción de la gravedad ó la atrac- 
ción de una masa cualquiera, ó, si el sistema es eléctrico, 
centros exteriores de electricidad. 

Cada sistema exterior al dado, por ejemplo, una masa pon- 
derable ó una masa eléctrica ó magnética, cada uno de estes 
sistemas exteriores, repito, tiene un campo de acción, que 
puede ser todo el espacio que ¡e rodea, aun cuando para pun- 
tos muy distantes su acción pueda suponerse despreciable. 

Una masa M', para fijarnos en el primer caso, dada la ley 
newtoniana, atraerá á todas las masas del espacio y el espa- 
cio entero constituirá su campo de acción. 



— 371 — 

Mas hay que fijar bien las ideas; ¿es que la masa M, por- 
que el espacio sea su campo de acción, atrae á todo el es- 
pacio hacía sí?; esto en la hipótesis que vamos considerando 
no tendría sentido. La masa M no atrae ciertamente á cada 
metro cúbico del espacio. 

Sólo cuando en el espacio se presente otra masa M' , la 
atraerá con arreglo á la ley de Newton, con una intensidad 

MM' 

siendo C una constante, M y Ai' las masas y /? la distancia 
entre ellas. 

Esto da un sentido claro y preciso á esta frase un poco 
vaga, campo de acción, vaguedad que puede confundir á 
los principiantes. 

Campo de acción no es un campo todo él en actividad 
perpetua; es, si se me permite la palabra, un campo de po- 
sibilidad. 

Si en un punto cualquiera se presenta una masa M' , en 
este caso M atraerá á M' según la ley indicada; pero donde 
no se presente masa ninguna, la acción de M será nula; á 
los volúmenes aislados y vacíos del espacio ni los atrae ni 
los rechaza, mientras no los encuentre, por decirlo así, re- 
llenos de materia. 

La ley newtoniana se desarrolla y aplica entre materia y 
materia, no entre la materia y el vacío. Todo esto parece pue- 
ril; luego veremos si lo es. 

Por eso cuando decimos, que F es una fuerza, que para 
cada punto del espacio depende de las coordenadas de ese 
punto y que se expresa por 

F{x,y, z), 
esto no significa que baste dar valores á x, y, z y determi- 



— 372 — 

nar el valor de F para conocer la acción de dicha fuerza so- 
bre el punto en cuestión. 

F es la fuerza que se ejercería, no sobre el punto, sino 
sobre una masa igual á la unidad, si existiese en este 
punto. 

Por eso, considerando nuestro sistema de la fig. 1.^, para 
cada punto m, que ocupa una posición determinada, definida 
por las coordenadas x, y, z, actuará la fuerza Fcon el valor 
que resulte de poner en vez de x, y, z los valores de dicho 
punto. Y si F está referida á la unidad y se trata de masas 
ponderables la fuerza será 

m F (x, y, z). 

En cambio para otro punto a en que no hay materia, la 
acción F será nula. 

Lo que hemos dicho respecto á las fuerzas exteriores 
cuando son atracciones newtonianas, pudiéramos repetir 
punto por punto para la fuerzas eléctricas y magnéticas. 

Una masa eléctrica tiene un campo de acción, y la ejerce 
para cada punto del espacio según la función de las coorde- 
nadas de ese punto; pero es preciso que en dicho punto 
exista otra masa eléctrica. Si no la atracción ó la repulsión 
eléctrica será una mera posibilidad. 

Todo lo cual puede repetirse para las masas magnéticas 
que tienen su campo propio, que también podemos llamar 
como antes campo de posibilidad; pero las acciones no se- 
rán reales para cada punto, si eñ él no existe otra masa 
magnética. 

* * 

Lo dicho parece sencillo, elemental y evidente, y hasta 
cierto punto lo era en la Física matemática clásica. No lo es 
tanto en la Física moderna, porque el espacio no se supone 



— 373 — 

que sea una mera abstracción geométrica, sino que está por 
lo menos ocupado por el éter; de suerte que los puntos del 
espacio no son, si se me permite expresarme de este modo, 
puntos vacíos, inertes, símbolos infinitesimales de la nada, 
pura abstracción geométrica, 

Y así, los campos de acción que antes llamábamos cam- 
pos de posibilidad, se convierten en campos de realidad, y 
sobre cada punto del espacio se comprende, que podrá ac- 
tuar de algún modo una masa ponderable, aunque no exista 
en ese punto otra masa ponderable también. 

Y podrá actuar toda carga eléctrica, aunque en el punto 
que se considere no exista otra carga eléctrica. 

Y otro tanto pudiéramos repetir para toda corriente eléc- 
trica ó toda masa magnética. 

Es más, en la antigua Física matemática sólo se admitían 
acciones y reacciones entre ciertos elementos de los que 
acabamos de señalar, á saber: masas ponderables, masas de 
éter, corrientes eléctricas ó elementos de corriente y masas 
magnéticas, ó sean polos magnéticos. 

Puntualicemos aún más esta idea. 

Existían acciones ó se admitían entre dos masas ponde- 
rables. 

Entre dos masas eléctricas. 

Y entre una masa ponderable y otra eléctrica. 

Esto último, ya en la hipótesis de un sólo fiúido eléctrico, 
ya en la hipótesis de los dos fluidos ó electricidades. 

Se admitían también acciones y reacciones entre dos co- 
rrientes eléctricas ó entre dos elementos de corriente, y ha- 
bía fórmulas para determinar la intensidad de dichas fuerzas. 

Y se aceptaban y calculaban acciones y reacciones entre 
dos masas magnéticas ó dos polos. 

Pero de aquí no se pasaba en la enseñanza elemental ni 
aun en la más elevada; y claro es, que prescindimos de Me- 
morias y trabajos especiales, que, como vulgarmente se 
dice, se anticipaban á su tiempo. 



— 374 - 

Las fuerzas naturales estaban cada una dentro de su es- 
fera propia, como si fueran estados independientes; pero 
entre unos y otros estados ó esferas las relaciones mecáni- 
cas eran escasas ó nulas. 

¿Dónde se explicaba la acción de las masas ponderables 
sobre un volumen de éter, sobre una corriente ó un elemen- 
to de corriente eléctrica ó sobre el polo de un imán? 

¿Dónde se explicaba, repetimos, la acción de una masa 
eléctrica sobre el éter del espacio, sobre una corriente eléc- 
trica ó sobre sus elementos, ó, en fin, sobre un polo mag- 
nético? 

Sólo como gran triunfo, gracias á la hipótesis de Ampére 
y á la trascendental experiencia de CErstedt, se establecie- 
ron relaciones mecánicas entre los imanes y las corrientes, 
según exponíamos en una de las conferencias del curso an- 
terior. (Conferencia séptima.) 

Y bien, la Física matemática no habrá conseguido, ó no 
se aproximará, como es de apetecer, á la unidad, mientras 
no se resuelvan todos estos problemas, que pueden definirse 
de este modo: relaciones mecánicas entre todos los elemen- 
tos señalados y además el calor y la luz, y todas las nue- 
vas radiaciones descubiertas en estos últimos años. 

Estos son los problemas y los elementos que han de en- 
trar en la nueva Física matemática. 

Todo lo cual es mayor desarrollo, progreso y comple- 
mento, pero no destrucción de la Física matemática clásica. 

¿Se destruyó, por ventura, cuando se encontraron rela- 
ciones entre el calor y la electricidad, ó entre las corrientes 
eléctricas ó el magnetismo, ó entre el magnetismo y la luz? 



* 
* * 



Para completar la parte del programa, del curso prece- 
dente, que había quedado para éste, todavía haremos algu- 



- 375 - 

ñas observaciones sobre la crítica en general, observaciones 
que se enlazan con las que acabamos de exponer. 

La critica de la Física matemática clásica, crítica de la cual 
ya dijimos mucho en el curso anterior, sobre todo respecto 
á la hipótesis mecánica, empieza combatiendo rudamente los 
principios de la mecánica: al edificio por su base. 

Ya lo hemos dicho en otra ocasión, y más adelante des- 
arrollaremos aquellas ideas, pero son del momento las que 
vamos á exponer. 

Las fórmulas fundamentales del movimiento, y como caso 
particular del equilibrio de un punto cualquiera en un siste- 
ma, son éstas: 

d- X „ 

m = X, 

dP 

m — = Y, 

dP 

d^z „ 

m = Z, 

dP 

Pues la crítica censura: 1.°, el concepto de masas; 2.°, el 
concepto de fuerza; 3.", el sistema para establecer estas 
ecuaciones, fundado, por decirlo así, en la independencia de 
un movimiento, que se combina con otro movimiento de 
traslación uniforme. 

Para no apurar demasiado la cuestión, corriendo el peligro 
de hacer interminable esta conferencia, y, sobre todo, por- 
que más adelante hemos de insistir sobre estos conceptos y 
postulados, sólo nos fijaremos, y no por mucho tiempo, en 
los tres puntos que acabamos de señalar. 

Era axioma, en la antigua Física matemática, y" aun en la 
Física experimental, y, sobre todo, en la Química, el princi- 
pio de la invariabüidad de la masa. 

La masa podía transformarse formalmente, podía dividir- 

Rev. Acad. Ciencias. — V. — Enero, 1907. 26 



- 376 — 

sCj podían acumularse unas masas á otras, pero la masa era 
invariable, inmutable en su esencia, eterna. Era, si se nos 
permite la imagen, una divinidad maciza de la Mecánica: tal 
era el átomo de la Química. 

La crítica niega este concepto con los caracteres señala- 
dos, y algunas experiencias, de que nos haremos cargo más 
adelante, lo niegan también. 

Hay quien supone que la masa es una apariencia, y que 
la inercia que acompaña á la masa, es otra apariencia sin 
ninguna realidad. 

Cuando una masa acompañada de una carga eléctrica se 
mueve con velocidades pequeñas relativamente á la veloci- 
dad de la luz, aunque prácticamente sean muy grandes, la 
masa, para nosotros y en los usos de la vida, y como pri- 
mera aproximación, puede considerarse como constante. 

Cuando su velocidad crece, acciones eléctricas, que estu- 
diaremos en otra ocasión, pueden determinar un aumento de 
inercia y un aumento aparente de masa; y algunos físicos, 
siguiendo por este camino, y toda vez que hasta aquí se 
aprecia la masa por la inercia, llegan, repetimos, á suprimir 
la inercia y la masa, explicando una y otra por acciones 
eléctricas y magnéticas. 

Esto, así dicho, parece un tanto obscuro; ya lo precisare- 
mos en la segunda parte de este curso. 

La tendencia es, pues, anular las masas ponderables, con- 
virtiéndolas en conjunto de electrones positivos y negativos: 
valga por ahora esta idea anticipada. 

Si todo esto fuera tan cierto como se supone, y en el sen- 
tido en que se supone, la Mecánica racional, la Mecánica 
clásica, dijéramos mejor, se habría quedado sin masas. Y si 
seguimos atendiendo á la crítica, se va á quedar también sin 
fuerzas. 

Porque la crítica moderna, lo hemos dicho otras veces, 
niega la acción á distancia en toda clase de sistemas. 

Niega la acción á distancia entre dos masas ponderales, 



— 377 — 

entre dos corrientes eléctricas, entre dos polos magnéticos, y 
entre dos sistemas cualesquiera. 

Y no sólo la niega la crítica, de la cual pudiera decirse 
que tiene afición á negarlo todo, sino que la negaron hom- 
bres inmortales como Faraday, y sabios matemáticos de ge- 
nio admirable como Maswell, ya que Newton, el autor de 
la atracción universal, tampoco la dio por cierta. 

No tendremos la osadía de afirmar la acción á distancia; 
pero negarla en absoluto nos parece un tanto aventurado. 

Tanto atrevimiento hay á veces en negar las cosas , como 
en afirmarlas; que toda negación es, en cierto modo, una 
afirmación con signo negativo. 

Contentémonos con decir, como decía Newton, que las 
cosas pasan en el mundo físico, como si la acción á distan- 
cia existiese. 

Es, por lo menos, un símbolo fecundo, que da regulari- 
dad á los cálculos, que da ley racional á los fenómenos, que 
sirve para prever hechos que todavía no se han realizado. 
¿Qué más puede pedirse? 

* 
* * 

Después de todo, dicen algunos filósofos modernos, y ya 
se dijo hace mucho tiempo, que el hombre no está en con- 
tacto con la realidad, ni la conoce directamente. Conoce tan 
sólo representaciones internas de esa misma realidad desco- 
nocida, cuyas emanaciones, y valga la palabra, penetran á 
través de los sentidos y pintan en la conciencia imágenes 
más ó menos deformadas de la verdadera realidad. 

Así como en la caverna del filósofo griego, unas veces se 
extendían las sombras y otras á ella llegaban las luces del 
mundo exterior, sombras y luces que penetraban por la boca 
del antro; y así como el espectador, por estar de espaldas, 
sólo veía el fondo de la caverna, y conocía tan sólo la reali- 
dad del mundo exterior por las imágenes que se agitaban 



- 378 - 

sobre el fondo escabroso y desigual, asimismo, para muchos, 
la Naturaleza y los fenómenos, que en ella se agitan, no son 
más que proyecciones sobre el telón infinito del espacio y el 
tiempo de una realidad inaccesible. 

¿Y por qué entonces no ha de existir la acción á distancia 
entre dos astros? 

Por lo menos, esa acción á distancia será la proyección de 
algo real, ni más ni menos que los astros que vemos son 
proyecciones de otros astros reales. 

Permítaseme una imagen, quizá extraña, pero que pinta 
con fidelidad mi pensamiento. 

/j Sea otra vez la caverna que 

antes recordábamos; y fuera de 
* ella imaginemos dos reflectores 

"^"— -- ^_j/ A, B (fig. 2), con dos luces a, 

*^ gC b, y unidos ambos reflectores 
^,éo\^ por un resorte C, que podemos 
■ B' /i-'-^''' B cambiar de forma y de tensión 

I / para que cambien los ejes de 

I / dichos reflectores. 

Fi 2* Estos últimos proyectarán so- 

bre el fondo de la caverna dos 
discos luminosos, que consideraremos como dos astros A', 
B' , colocados á cierta distancia uno de otro. 
• Si el resorte C cambia, cambiará la posición de .4', B\ 
parecerá que entre ellos se ejercen acciones y reacciones, y 
que ambos astros imaginarios se atraen ó se rechazan. 

Algún físico, que no conozca ni los reflectores, ni el resor- 
te, supondrá que entre los discos de luz A' , B' , existen ac- 
ciones á distancia; al paso que otro físico de crítica más se- 
vera, negará que entre A', B' pueda existir acción alguna 
Pues ambos se equivocan, aunque más se equivoca el se- 
gundo, porque en rigor esa acción á distancia que niega, es 
el símbolo ó proyección de una fuerza real C entre los dos 
reflectores. 



— 379 — 

Pero prescindamos de esta especie de metafísica poética 
y digamos como resumen que, gracias á la hipótesis de 
la acción á distancia, se ha creado la mecánica celeste, de 
suerte que tal hipótesis y otras análogas, no sólo son hipó- 
tesis cómodas, sino fecundas; que fecundo es todo simbo- 
lismo, si tiene número suficiente de puntos de contacto con 
la realidad. 

* 

* * 

Pero aun admitiendo la acción á distancia, ya como símbo- 
lo fecundo, ya como apariencia de otras acciones, la crítica 
que de la fuerza se hace, tiene más variados puntos de vista. 

En primer lugar, según ella, no es evidente, ni mucho 
menos, que las fuerzas sean centrales, como suponía la Fí- 
sica matemática del siglo anterior; y sobre esto disertamos 
en el curso precedente (conferencia 8.^), y no hemos de re- 
petir lo que allí dijimos. 

Realmente la hipótesis de las fuerzas centrales, que sim- 
plifica extraordinariamente los cálculos, es muchas veces 
por todo extremo aventurada; y no cabe duda que la Física 
matemática adquiriría nuevo rigor si se pudieran establecer 
las fórmulas fundamentales prescindiendo de tal hipótesis. 

Esto es lo que hace Mr. Poincaré en sus notabilísimos 
tratados sobre la elasticidad y sobre la teoría de la luz, que 
á su debido tiempo estudiaremos con la detención que me- 
recen, y que nos han de servir de guía en buena parte de 
estas conferencias. 

Por último, se critica el concepto de fuerza por conside- 
rarlo excesivamente antropomórfico y por suponer, que ó 
sobra el concepto de masa ó sobra el concepto de fuerza. 

Se ha dicho que este concepto dualista de una masa so- 
bre la cual actúa una fuerza, es algo así como un carruaje 
del cual tira un caballo: concepto verdaderamente infantil, ó 
que como infantil lo consideran algunos. 



— 380 - 

¿Y por qué no como un concepto experimental necesa- 
rio? ¿Qué sería del carruaje si de él no tirase una fuerza? 
¿Y para qué sirve una fuerza si no actúa sobre algo? ¿Para 
qué el caballo sin el carruaje? 

Quizá este dualismo es más hondo y más necesario de lo 
que se supone; pero no nos separemos de nuestro objeto. 

Sea como fuere, sobre esta opinión rígida y cerrada, 
tendríamos que hacer muchas reservas por el momento, y 
sin perjuicio de volver á tratar este punto, nos atenemos 
por ahora á las observaciones que hicimos en las conferen- 
cias del curso anterior. 

En resumen, ya notarán mis oyentes, que la crítica sobre 
el concepto de fuerza no es, en verdad, muy benévola. 

1.° Se niega la acción á distancia substituyéndola por la 
elasticidad de los medios que rodean á los cuerpos. De 
suerte que hoy se busca en esta elasticidad etérea, por unos, 
y por otros en ciertas radiaciones que no se especifican, y 
que no sabemos si se convertirán en las antiguas granizadas 
de partículas que, cayendo sobre los cuerpos que se hacen 
pantalla, por decirlo así, los precipita unos sobre otros; se 
busca, repetimos, por estas diferentes hipótesis, la explica- 
ción de la atracción universal. 

2." De todas maneras se combate resueltamente la teoría 
de las fuerzas centrales. 

3.° Se considera el concepto de fuerza como artificioso, 
y á la mecánica de las fuerzas se la pretende substituir la 
mecánica de la energía, á la que se da el nombre de ener- 
gética. 

Nombre ya tiene y sonoro, pero dudo mucho, que una 
mecánica que empezase por el estudio de la energía, fuera 
más clara para la enseñanza, que la vieja Mecánica de las 
fuerzas, con todos sus inconvenientes y obscuridades, que 
se me antoja que se convertirían en ráfagas de luz, compa- 
radas con las nuevas obscuridadas de la nueva Mecánica, 
sin que por esto neguemos su profundidad. 



- 381 — 

Hasta aquí se había creído que la enseñanza debía proce- 
der por análisis, por conceptos sencillos, aun cuando resul- 
tasen algo abstractos, dejando la síntesis, es decir, lo com- 
plejo, para el fin de la enseñanza. 

Hoy parece que se marcan corrientes en sentido contrario. 



* * 



Hemos apuntado algunas ideas críticas sobre el concepto 
de masa y sobre el concepto de fuerza; veamos lo que se 
dice respecto al procedimiento, que hemos seguido para es- 
tablecer y demostrar las ecuaciones fundamentales de la Di- 
námica antes citadas. 

Ya lo recordarán mis oyentes, si asistieron ó han leído las 
conferencias del curso anterior. 

Decíamos que partía la Mecánica clásica, ó podía partir, 
de tres conceptos fundamentales é irreducibles unos á otros. 

Estos conceptos eran la masa, el espacio, ó mejor dicho 
la longitud, y el tiempo. 

Para no entrar en discusiones filosóficas, ni discutir antes 
del momento oportuno ciertas Mecánicas de carácter cinemá- 
tico, que pudiéramos llamar de enlaces ocultos, y perdónese 
lo extraño de la denominación, tomábamos estos tres con- 
ceptos, masa, longitud y tiempo, de la experiencia. No pre- 
tendíamos explicarlos filosóficamente, los considerábamos 
como parámetros independientes de la Dinámica, y medía- 
mos: 1.°, las masas por su equilibrio en la balanza, que es 
un hecho, y no más que un hecho, independiente del peso 
é independiente de la situación geográfica: una balanza y un 
fiel en el cero, nada más; 2", medíamos la longitud por la 
superposición material ó por la superposición óptica, según 
los métodos modernos; 3°, medíamos el tiempo por el pén- 
dulo ó pDr la aplicación del péndulo á los movimientos as- 
tronómicos. Estas ideas son tan conocidas que no necesita- 
mos insistir sobre ellas. 



- 382 — 

A estos tres parámetros fundamentales agregábamos otro 
parámetro derivado: la fuerza, considerándola como otro 
hecho, si se quiere como otro fenómeno, y, en último caso, 
como un parámetro de la Dinámica. 

No pretendíamos penetrar en su esencia, pero procurába- 
mos" medirlo y fijar la unidad de fuerza: que era la que apli- 
cada en una línea recta constantemente, durante un segundo, 
á un punto material de la unidad de masa, le comunicaba, al 
terminar el segundo, la unidad de velocidad. Es decir, que 
si, al terminar este segundo de tiempo, la fuerza cesase de 
actuar, el cuerpo seguiría caminando con movimiento unifor- 
me y con una velocidad igual á 1. 

Lo primero es una definición; pero esto último no es evi- 
dente : la razón humana no puede demostrarlo á priori como 
demuestra un teorema de Geometría. Puede negarse, sin que 
al negarlo, se sienta desquiciada la razón y desquiciadas sus 
leyes lógicas; pero todo esto, aunque no sea evidente, es 
perfectamente claro. Decimos que es claro, en este sentido: 
que se entiende lo que se quiere decir, lo cual no sucede con 
muchas críticas modernas. 

Partiendo, pues, de todos estos hechos experimentales, 
se pueden demostrar las ecuaciones del movimiento de un 
punto libre, á saber: 

m = A, 



/72-^í-^ = Y, 



dP 


d-^y 


dt' 


d-'z 



m = Z, 

df' 



y, por consiguiente, las de un sistema cualquiera de puntos. 

Se pueden demostrar, repetimos, agregando una nueva 

hipótesis, la más natural, y que, sin embargo, me atreveré 



— 383 — 

á decir que es la más formidable (perdóneseme la palabra) 
y la más atrevida de toda la Dinámica: la que pudiéramos 
llamar de la independencia y de la superposición de ciertos 
movimientos. 

Recordemos brevemente la demostración de las fórmulas 
anteriores, y la recordamos, á pesar de ser elemental, para 
que se comprenda la crítica que de ella se hace. 

Supongamos que una masa m, partiendo de A (fig. 3.^) y 
bajo la acción de la fuerza F, recorre la trayectoria A B L. 




Figura S.'' 



En A tiene una velocidad V, en el sentido de la tangen- 
te A C. 

Y admitamos que está en A en el instante t, y que en el 
instante t -j- d t está en B: el arco ^ B es un infinitamente 
pequeño del mismo orden que d t. 

AI llegar á B, su velocidad es distinta de la anterior; re- 
presentémosla por Vj y claro es que se contará en el sentido 
de la tangente en B, es decir según BVj^. 

Por el punto B tracemos la recta B V, paralela á A C é 
igual en magnitud á la velocidad V que tenía el móvil en A. 

Uniendo los puntos V y l^i , la recta V V^ será la veloci- 



— 384 — 

dad que hay que componer con V para obtener B V^, como 
demuestra el triángulo V B V^. Designémosla, para abreviar, 

por W. 

W 

Pues bien, se llama aceleración al límite del cociente 

dt 
cuando el punto B tiende á confundirse con A. 

Se supone, y se comprueba por la experiencia, que esta 
aceleración es la que comunicaría la fuerza F al punto A, si 
partiera del reposo. En términos precisos: si B tiende á 
confundirse con A, la dirección de V V^ tiende á ser la mis- 
ma que la de la fuerza F, y al fin se confunde con ella; y 

W 
puesto que representa la relación entre el incremento 

de velocidad y el incremento de tiempo, no será otra cosa 
que la aceleración comunicada á la masa m; en fin, toda 
vez que esta velocidad la ha comunicado la fuerza F á la 
masa m, en la unidad de tiempo, es claro que 

dW ^ 

m = F, 

dt 

según el sistema de medidas que hemos escogido para las 
fuerzas; que era (repitámoslo) el producto de la masa por 
la velocidad que le comunicaba la fuerza en la unidad de 
tiempo. 

Todas estas son nociones, que mis oyentes conocen y en 
que no necesito insistir. 

Pero veamos cuál es la nueva hipótesis á que antes nos 
referíamos. 

Si á un punto en reposo m le comunica una fuerza F, 
una velocidad W, en un tiempo dt, en la unidad de tiempo 

W 

le comunicará una velocidad ; y esta sería la medida de 

dt 
la fuerza si la masa fuera 1, pero como es m, habrá que 

multiplicar la aceleración por la masa: tal es la definición 

de Kirchhoff y la que resulta de lo expuesto. 



- 385 — 

Mas aquí aparece la nueva hipótesis: la acción de la fuer- 
za F será la misma, cuando el punto parte del reposo, que 
cuando está animado de una velocidad V. 

Esto no es evidente: no es evidente, decimos, que en la 
acción de una fuerza no influya el movimiento anterior, y 
hay que considerar el expresado principio, ó como una 
hipótesis de carácter metafísico, ó como un postulado que la 
experiencia comprueba. Todavía más, y aquí aparece otra 
complicación: el movimiento que estamos considerando es 
un movimiento absoluto; pero bien pudiera ser relativo y 
¿la hipótesis se aplica en ambos casos? 

Y aún hay quien niega, que sea lícito introducir en la 
ciencia el concepto de movimiento absoluto y de ejes absolu- 
tamente fijos. 

Ante tales conflictos ha sido preciso llegar entre la crítica 
y la mecánica clásica á una especie de modus vivendi, to- 
mando por ejes rectas trazadas desde un punto de la Tierra 
á tres estrellas tan lejanas que parezcan fijas. 

Todos estos son puntos difíciles, delicados, y no podemos 
hacer aquí otra cosa que señalarlos de pasada. 



* 
* * 



Por lo demás, el resto de la demostración es bien sencillo. 

Hagamos AC= Vdt; tracemos BC y tomemos B C -= 
= Vdt, BB' = V^di; con lo cual tendremos B' C — Wdt, 
puesto que los triángulos BC'B' y BW^ son semejantes. 

También son semejantes BCD y B'C'B. 

Pero 

AC= Vdt, 



BB'^^V^dt 



- 386 — 

son próximamente iguales, salvo infinitamente pequeños de 
segundo orden. 

Además, BD es la mitad de AB, también con diferencia 
de infinitamente pequeños superiores, luego 

BD = - B' B' 
2 



BC = - B' C; 
2 



de donde se deduce; 



BC = ^B'C'= ^^^ 



2 2 ' 

BC \ W 1 , ., 
= — aceleración, 



dt- 2 dt 2 

2BC 



aceleración = 



dt- 



Ahora bien, BC es la distancia entre el punto C, que es 
donde estaría el móvil obedeciendo á la velocidad que traía 
en A, que era V, y el punto B que es donde está por la 
acción de la fuerza F. En suma, fíCes el desplazamiento del 
punto por la acción de la fuerza F, puesto que en virtud del 
postulado general BC,F y B' C son paralelas. 

De aquí podría resultar esta regla práctica. 

La aceleración es igual al doble del desplazamiento en el 
tiempo dt, dividido por dt-. 

Lo cual, por otra parte, se deduce directamente de la co- 
nocida fórmula del movimiento, uniformemente variado, es 
decir, el engendrado por una fuerza constante g (que en 
nuestro caso es F). En efecto 

1 ,.. 
2^ ' 



— 387 — 

queda 

2s 

y será para d t y para el camino ds 

2ds 



g 



dP 



Ahora bien, como esta regla lo mismo se aplica al movi- 
miento curvilíneo, que al rectilíneo, proyectando los pun- 
tos yl, .4 , C sobre el eje de las x, en a, b, c, tendremos: 

b c = B C eos (B C, x), 
ó bien 

be = B C eos {F,x). 

Por virtud de la regla anterior. 

, ., , 2bc 2Bc ,^ , 

aceleración según x -= = ■ eos (F, x), 

^ df' dP ^ 

y como 

dP 
se deduce: 

aceleración según x = W eos (F, x). 

Es decir, en forma abreviada, que la aceleración de la 
proyección, es la proyección de la aceleración en el espacio, 
y otro tanto puede decirse de la fuerza. 

Así, multiplicando por la masa para obtener la fuerza: 

mx aceleración según x = Feos (F, x) = X, 
puesto que m W= F. 



— 388 — 

Sólo nos falta calcular la aceleración del movimiento pro- 
yectado sobre el eje de las x. 

Supongamos que la ecuación de este movimiento esté de- 
finida por 

x=f(t). 
Correspondiendo el punto a al tiempo /, tendremos 

aa=x=f(t), 
oc = oa + ac = f(t)^-f' (t)dt, 

ob=f(t + df)-^f(t)-^f(t)dt + -^r(f)dn; 



luego 



de donde 



bc^^^/"(f)dr, 



aceleración sobre x = f" (t) = 

dt' dt^ 



Y, por fin, 



d'x „ 

m = X. 

dP 



* 

* * 



Claro es, que al resultado anterior puede llegarse con mu- 
cha más rapidez; pero á veces lo más breve no es lo más 
claro, para el principiante al menos; porque el camino en lí- 
nea recta, puede dejar sombras y dudas á un lado y otro. Y 
por eso hemos querido desmenuzar, si la palabra vale, la de- 



- 389 — 

mostración clásica, que por otra parte se encuentra en todos 
los Tratados de Mecánica. 

Por lo demás, ha dicho resultado se llega, desde luego, con 
sólo proyectar sobre el eje de las x el triángulo BVVj^. 

Sean b, e, g, las proyecciones sobre dicho eje de los tres 
vártices. 

Evidentemente, be que es proyección de la velocidad V, 
será la velocidad en el movimiento proyectado para el tiem- 
po t; y bg, que es, á su vez, la proyección de la veloci- 
dad Vj, será la velocidad en el tiempo t + dt- Luego eg 
será la aceleración en el movimiento proyectado; y se ve que 
es, en efecto, la proyección sobre el eje de las x de la rec- 
ta VV]^= W, ó sea de la aceleración en el espacio. 

Su valor sera 

, dx 
d 



dv — V dv df d' X 



dt dt dt dP 



* 
* * 



Hemos insistido tanto en esta demostración elemental, 
para marcar en ella los diferentes elementos de que se com- 
pone: la parte experimental, de la que dedujimos los con- 
ceptos de masa y fuerza; la parte matemática, que constituye 
toda la estructura de la demostración; y además, los con- 
ceptos de espacio y tiempo. 

Y, por último y sobre todo, para marcar la hipótesis fun- 
damental y la más atrevida de toda"S, á saber: la de la inde- 
pendencia y superposición de los movimientos. 

Vemos que el concepto de fuerza, que es, evidentemen- 
te, experimental, se introduce en el cálculo, y se define y 
mide con referencia á masas ponderables; y siempre que de 
masas ponderables se trate, es decir, de problemas de Me- 



- 390 - 

canica racional, no puede ocurrimos duda alguna respecto á 
las explicaciones. 

Por regla general, los problemas se plantean inmediata- 
mente y la fuerza es siempre, según la definición de Kir- 
chhoff, el producto de la masa por la aceleración; pero, 
cuando salimos del campo de las masas ponderadles y pa- 
samos al de las masas eléctricas, al de las corrientes ó ele- 
mentos de corriente y al de los polos ó masas magnéticas, 
la definición que hemos dado de la fuerza, en rigor, ya no 
tiene aplicación ni sentido, si el método experimental no 
acude en nuestro auxilio. 

¿Qué quiere decir en este caso la ecuación del movimien- 
to de una masa eléctrica, si se copia literalmente de la esta- 
blecida para las masas ponderables? 

En rigor 

d-x 



dt- 



= X 



carece de sentido, como antes decíamos, si la masa eléctri- 
ca u no tiene inercia como la masa ponderable m. 

Las contradicciones resultan á cada momento. Por ejem- 
plo, de la ecuación anterior se deduce integrando. 



m'-s 



^^ = ^'- 



dt 



C2Xdx, 



Pero como la electricidad no tiene masa, por lo menos 
masa ponderable, que es la que debía entrar en la fórmula, 
p. es cero, y el valor de v es infinito. 

De manera que cualquier fuerza de la que hemos consi- 
derado en la Mecánica clásica, es decir, en la Mecánica de 



— 391 — 

las masas ponderables, aplicada una masa eléctrica determi- 
naría en ella una velocidad infinita. 

Para que la ecuación anterior tuviera sentido, sería preci- 
so dotar á las masas eléctricas y después á las masas mag- 
néticas y á las corrientes, de cierta especie de inercia, que 
es á lo que se ha venido á parar al fin, buscando ese mode- 
rador de la acción de la fuerza en el fenómeno de inducción. 

Y tan lejos se ha caminado en este sentido, que pasando 
de un extremo á otro, ha concluido cierta crítica moderna 
por convertir toda la inercia de las masas ponderables en 
una resistencia eléctrica. 

Todos estos problemas, con los que ya dejamos apunta- 
dos, negando la acción á distancia y limitando la influencia 
de las fuerzas centrales, son los que en cierto modo cons- 
tituyen la materia de la Física matemática moderna, á la que 
reservamos la segunda parte de este curso. 

Por lo demás, en todo este período de transición, la difi- 
cultad que antes indicábamos se ha salvado cerrando los 
ojos, por decirlo de este modo, á la dificultad misma, y apli- 
cando las fórmulas de la Mecánica clásica, lo mismo á las 
masas ponderables, que á las masas eléctricas y aun al éter. 

Así en la teoría de la luz, se habla de \a fuerza viva de 
los elementos del éter, y se la designa por 

como si la masa eléctrica fuera una masa ponderable; sólo 
que se agrega, que es pequeñísima en comparación con las 
masas de la materia ordinaria y que su pequenez la com- 
pensa en parte el factor v-. 

Claro es que este subterfugio, no teniendo otra explica- 
ción ni otro fundamento, no puede satisfacer á un espíritu 
severo, y está en contradicción con el concepto del éter. 

Y luego, las dificultades y las dudas, surgen á cada mo- 
mento. 

Rkv. Acad. Ciencias. —V.— Enero, 1907. 27 



— 392 — 

La fuerza está definida por y para las masas ponderables. 
Pero las acciones entre masas eléctricas, corrientes ó masas 
magnéticas ¿podrán llamarse también fuerzas? ¿Serán como 
aquéllas? ¿Será posible unificar unas y otras? ¿Cuál será 
su medida común? 

La experiencia demuestra que sí, que las atracciones y re- 
pulsiones entre masas eléctricas, corrientes, y corrientes y 
masas, y todas éstas y polos magnéticos, pueden en último 
caso medirse por kilogramos, como pueden medirse las mis- 
mas fuerzas químicas; pero hay que confesar que todo esto 
se hallaba envuelto en la Física matemática clásica en gran- 
des sombras, que los físicos modernos se esfuerzan por ir 
desvaneciendo. 

Quizá hay que buscar en estas dificultades la causa de la 
predilección, que ciertos sabios muestran hacia el concepto 
de energía, y su empeño de crear una Mecánica que pudié- 
ramos llamar energética, en substitución á la vieja Mecánica 
de la fuerza. 

* 

* * 

En resumen, me propongo, como he dicho antes, dividir 
este curso en dos partes ó períodos. 

En la primera, estudiaremos el problema de la elasticidad, 
considerándolo como una de las ramas fundamentales de la 
Física matemática clásica. 

En la segunaa parte, ó segundo período del curso , empe- 
zaremos á estudiar los principales problemas de la que he- 
mos llamado. Física matemática moderna. 

Y claro es que en una y en otra parte, nuestro trabajo 
debe considerarse no más que como preparación al estudio 
de las memorias originales y de los trabajos novísimos de 
los ilustres maestros, que pugnan por ensanchar los horizon- 
tes de la ciencia y por dar cada vez más rigor á sus teorías. 



393 — 



XIX. — Estudios de síntesis mineral. 

Por José Rodríguez Mourelo. 

IV 

Observaciones acerca de algunos óxidos é liidrafos metálicos. — Resulta- 
dos de métodos especiales. — Combinaciones por adición de sistemas 
binarios. 

Lejos de concretarse la síntesis mineral, considerada des- 
de el punto de vista de sus métodos y procedimientos, á re- 
producir cuerpos cristalizados, idénticos á los que se en- 
cuentran en la Naturaleza, á cada momento ensancha sus 
dominios y aporta valiosos datos para esclarecer los proble- 
mas de su constitución interna y averiguar por cuáles meca- 
nismos se han generado, que causas intervinieron en ellos y 
de que maneras pudieron actuar, sobre todo cuando los 
cuerpos puestos en contacto son capaces para efectuar reac- 
ciones simultáneas, casi siempre obedeciendo á las excita- 
ciones externas de temperaturas muy elevadas, que originan 
productos de diversas categorías. Reside cabalmente el prin- 
cipal interés de las investigaciones sintéticas en estas conse- 
cuencias inmediatas suyas y en lo que importan para deter- 
minar la estructura, harto compleja en muchas ocasiones, de 
las moléculas minerales, con el fin de deducir de ella las 
funciones especiales de cada una y sus relaciones con otras 
cuyos orígenes pueden no ser análogos. 

Uno de los ejemplos más claros y sencillos que en seme- 
jante orden se encuentran, lo presentan algunos de los tér- 
minos de la serie de los compuestos oxigenados del manga- 
neso, á saber: el monóxido, que forma el mineral llamado 
manganosita; el bióxido, que es la pirolusita; el óxido salí- 



V - 394 - 

no, que constituye la hausmanita, y el sesquióxido ó brauni- 
ta natural. Cristalizan los cuatro, pueden originar hidratos 
definidos, algunos de función compleja, capaz de producir 
combinaciones salinas de la forma f OoMn^^.O-M". Aquí 
sólo se consideran los óxidos citados anhidros, en especial 
atendiendo al modo de formarlos y á sus relaciones particu- 
lares en tal sentido, partiendo del hecho, general tratándose 
de cuerpos de parecida índole, de sus múltiples combinacio- 
nes mutuas, á veces numerosas, como los manganitos de 
manganeso, que representan toda la serie de reducciones de 
que es susceptible el permanganato de potasio disuelto en 
agua á diferentes concentraciones, dependiendo de ellas y de 
la naturaleza del cuerpo que las modifica las clases de com- 
binaciones formadas. 

Muy bien calcinado el nitrato de manganeso 2(0,N)=Mn, 
haciendo con rapidez la operación, da el bióxido OoMn 
amorfo, pulverulento, negro y muy puro, excelente primera 
materia en la obtención de los otros óxidos que nos ocupan, 
y para ello basta someterlo, según los casos, á oxidaciones 
ó á reducciones así representadas: 

O O 

(a) 3 O2 Mn = O 2 -f Mn yMn(' ;Mn (óxido rojo, hausmanita natural) 
^O Ó 

O 

(b) 2 0.2 Mn^=' O -\-0=Mn'^ ,Mn (óxido negro, b> aunita natural) 



O 

H 

(c) OMn-\-H.~0'^ -\-0^=Mn (óxido verde, manganosita natural), 



en cuyas representaciones advertimos cómo en (a) está 
comprendida la máxima oxidación, antes de llegar á los com- 



- 395 - 

puestos que son anhídridos de ácidos conocidos, y en (c) el 
término de las reducciones, correspondientes al óxido que se 
ha considerado generador. 

Vese acaso mejor la dependencia buscando las relaciones 
del segundo ó sesquióxido OgTW/?, con el bióxido 02Mn, 
el monohidrato de aquél (acerdesa ó manganita natural) es 
descomponible por el calor (á 300°) y desprendiendo agua 
é hidrógeno pasa al óxido indicado, cuyas funciones son 
análogas á las del anhídrido del ácido manganoso. Forma la 
síntesis de los cuatro términos de la serie un conjunto de 
instructivos experimentos, que sirven de fundamento para 
explicar la estructura molecular de cada uno y sus funciones 
propias, de las que acaso dependen, en cierto respecto, las 
del manganeso en las oxidasas, quizá debidas á las mutuas 
transformaciones y cambios de que son susceptibles sus óxi- 
dos, sin contar las hidrataciones; pues es de observar cómo 
á la generación de los superiores (a) y (b) acompaña de 
continuo desprendimiento de oxígeno activo, cuyo hecho 
tiene indudable importancia para explicar fenómenos de suyo 
extraños y complicados. 

No es difícil pasar del compuesto OoMn al de la forma 
OiMn¿, lo cual equivale á convertir la pirolusita negra en 
hausmanita roja; pues basta calcinar el primer cuerpo á tem- 
peratura suficiente, teniendo presente que el óxido salino de 
manganeso es siempre el límite de las acciones del calor so- 
bre los demás óxidos: suele resultar cristalizado; pero convie- 
ne apelar á otros artificios cuando se quieren conseguir bue- 
nos cristales. Se obtienen fundiendo el cuerpo amorfo con vez 
y media su peso de bórax y mejor todavía adoptando el pro- 
cedimiento de Sainte-Claire Deville: en un buen tubo de por- 
celana se calienta hasta el rojo el óxido amorfo y se hace pa- 
sar una corriente lenta de ácido clorhídrico puro y seco, 
cuanto más lenta mejor, y al cabo de cierto tiempo (seis ho- 
ras para 10 gramos en mis experimentos) se consiguen her- 
mosos cristales; llégase á resultados semejantes usando el 



- 396 - 

cloruro de calcio en calidad de fundente. Prodúcenlo, ade- 
más, estas dos reacciones, que son muy características: 

3(S0iMn) + SOiK, = 0,Mn., + 3(S0.,) + O, -f- SO^K^ 

(Debray), 

siendo menester mantener fundida largo tiempo la mezcla de 
las dos sales y tratar por agua el producto resultante luego 
de frío, para disolver el sulfato de potasio que sólo sirvió 
de fundente; 

3(Cl^Mn) : 0-\-3(OHo)= 0,Mn, + Q(ClH) (Gorgeu); 

se calienta al rojo el cloruro de manganeso en un tubo de 
porcelana y se somete á las acciones del oxígeno ó de una 
materia oxidante saturada siempre de vapor de agua. 

Ya para el sesquióxido de manganeso no hay tantas faci- 
lidades; resulta, es cierto, formado en las condiciones antes 
dichas, calentando á menos de 300° el bióxido; pero no 
cristaliza y es también amorfo el procedente de la descom- 
posición del nitrato, el carbonato ó el oxalato, llevada á cabo 
en contacto del aire y á temperatura no muy elevada. Com- 
préndese como pudiendo efectuarse, mediante el calor, la 
transformación del sesquióxido negro en óxido salino rojo, 

3(0^Mn,) = 2(0,Mn,) ^- O, 

que es el límite de los cambios, no es posible calentar sólo ó 
con fundentes el primero de estos cuerpos con ánimo de fa- 
cilitar la cristalización, porque ya se altera casi á la misma 
temperatura en que se forma y así no ha sido posible repro- 
ducir por tales medios la braunita natural, ni la acerdesa, que 
es su monohidrato. 

Otro es el caso de la manganosita = Mn, considerada 
á su vez límite de las reducciones del bióxido de mangane- 



— 397 — 

SO. Para realizar su síntesis he practicado, con algunas va- 
riantes, el método de Sainte-Claire Deville, que se funda en 
la acción del hidrógeno seco, conteniendo un poco de ácido 
clorhídrico, sobre la pirolusita pura y amorfa, procedente de 
la descomposición del nitrato manganoso. En una navecilla 
de porcelana colocaba en mis ensayos unos 8 gramos de 
O2M/2 y la ponía en el interior de un tubo ancho de la mis- 
ma materia; el hidrógeno atravesaba un tubo de bolas que 
contenía disolución acuosa de ácido clorhídrico puro, y lue- 
go era secado del modo ordinario. Cuando llenaba el apa- 
rato, alcanzaba la temperatura del tubo el rojo cereza, y en dos 
ó tres horas la reducción era completa, y después de fríos 
tubo y navecilla, recogía en ésta el protóxido de manganeso 
formando menudos octaedros de color verde, dotados de mu- 
cho brillo. También se genera la manganosita cristalizada, 
aunque no con tanta facilidad, ni de manera tan perfecta, 
en estas reacciones: 

CLMn-^ClNH, ^ C0sNa,=2(aNa)+ CINH, ~ OMn^CO. 

(Wcehler) 

en la cual el cloruro amónico sólo sirve para favorecer la 
cristalización, constituyendo un medio gaseoso, por ser vo- 
látil á la temperatura del rojo á que se opera, fundiendo en 
un crisol las substancias destinadas á reaccionar en la forma 
expresada: parte del cloruro sódico formado también se vo- 
latiliza en las circunstancias particulares del experimento, y 

Bo,0,Mn+OCa = Bo^O,Ca^OMn(Ebelmen), 

que exige más elevadas temperaturas para el doble cambio 
de lugar del calcio y del manganeso. 

A su vez es posible reproducir la pirolusita natural cris- 
talizada partiendo del nitrato de manganeso; y pondré aquí 
el método de Gorgeu, que no he practicado. Una disolución 



- 398 — 

acuosa de 800 gramos de esta sal es evaporada rápidamen- 
te y el residuo calentado hasta 155°, á cuya temperatura da- 
ya vapores rutilantes y comienza á depositarse el bióxido; 
entonces toda la masa que está fundida se vierte en un ma- 
traz de buen vidrio, cuidando que sólo ocupe los dos tercios 
de su cabida, y se le tiene en tal estado por algunos días á 
160° fijos; después del enfriamiento vense menudísimos 
cristales negros de pirolusita. Por maneras tan sencillas, 
apelando á las más elementales oxidaciones y reducciones, 
se liega á obtener cuatro de los principales términos de la 
serie de compuestos oxidados del manganeso. 

Para ver sus relaciones tocante á la estructura molecular, 
es menester partir de la existencia de un hidrato de bióxido, 
de composición no bien definida, ó cuando menos muy va- 
riable, dotado de funciones acidas débiles, por lo cual es 
llamado ácido manganoso, que ejerce de modo muy diferen- 
te, según los medios sean ácidos ó alcalinos, generando en 
el primer caso manganitos de manganeso, y en el segundo 
manganitos alcalinos; es, pues, en rigor, un seudoácido. 
Sin entrar en pormenores acerca de semejantes compuestos, 
que no son objeto del presente trabajo, diré que el hidrato 
de más probable composición es el bihidrato O.Mn.l 
(O Hn), que podría ser representado en forma de ácido, y 
considerando al manganeso tetravalente, de esta manera: 

HO OH 

\ / 
Mn (seudoácido manganoso), 

/ \ 
HO OH 

y el bióxido de manganeso sería su anhídrido. En el anterior 
símbolo el hidrógeno de los hidroxilos puede ser substituí- 
do por un metal ó varios, produciendo manganitos, cuya 
naturaleza y estructura dependen de que los medios sean 
ácidos ó alcalinos; y si el metal fuese el propio manganeso. 



— 399 — 

podrían resultar las dos formas de combinación aquí repre- 
sentadas: 



O O 

'^ AJÍ n^^mnnrrnnífn ritm/nnrrrtnncn^^^ f^ A4n 



Mn^ ^Mn. ^Mn^manganito dimanganoso^=O^Mn^ 



O O 

O 

y 0=zMn(^ yMn^manganito monomanganoso^=^O^Mn.¿, 
O 

ó sean el sesquióxido y el óxido manganoso mangánico, que 
de esta manera adquieren el carácter de combinaciones sali- 
nas, derivadas de un seudoácido. 

Bastaría, para demostrar la legitimidad de semejante hipó- 
tesis, el examen de las relaciones moleculares (a) (b) de 
los tres óxidos superiores, base de su síntesis, en la manera 
que va dicha; porque se prueba cómo uniéndose dos ó tres 
moléculas de bióxido, y desprendiendo al juntarse una ó dos 
moléculas de oxígeno, es como se constituyen los otros dos 
óxidos. Su generador puede asimismo servir como punto de 
partida en la formación de numerosos compuestos oxidados 
intermedios, inestables, capaces de ser producidos mediante 
progresivas reducciones del anhídrido y ácido permangáni- 
co, de los cuales bien sabido es cómo deriva también el bi- 
óxido de manganeso. 

Quizá las facilidades para las oxidaciones y reducciones 
formando cuerpos cuyas funciones son variables y depen- 
dientes, hasta cierto punto, de la naturaleza del medio en que 
han de ejercerlas, explican las que tiene el manganeso, sobre 
todo para los efectos de las oxidasas que lo contienen acti- 
vísimo; y es de notar que precisamente el bióxido en algunos 
estados de hidratación es coloide y sus disoluciones, de color 
pardo, conservan la transparencia por tiempo indefinido, no 
siendo difícil el conseguirlas. No sería extraño que la misma 
estructura salina, procedente de un seudoácido muy inesta- 



— 400 - 

ble, asignada á los óxidos superiores que anteceden al anhí- 
drido mangánico, explicara el fácil tránsito de unos á otros, 
siendo OiMn-¡ el límite de las oxidaciones y = Mn el de 
las reducciones; porque el paso del primero al último se 
efectúa simplemente tratándolo por el hidrógeno seco, á la 
temperatura del rojo (O^Mn.,'=- 3(0 = Mn) -\- OH.,), mé- 
todo muy expeditivo, en ciertos casos, para obtener el óxido 
verde, el cual resulta formando masa de estructura cristalina 
y sólo por excepción aquellos cristales definidos, producto de 
la reducción del bióxido en presencia de pequeñísimas can- 
tidades de gas ácido clorhídrico. 



Conviene advertir que en las transformaciones de los com- 
puestos oxidados del manganeso hay á la continua conden- 
sación molecular, acompañada de desprendimiento de oxí- 
geno, y el no efectuarse completa en las combinaciones 
intermedias, explica acaso su inestabilidad y el que varíen 
de manera harto irregular las relaciones del metal al oxíge- 
no, y de ello son excelente ejemplo los manganitos de man- 
ganeso, derivados del seudoácido manganoso. Infiérese de 
aquí también el que sea límite fijo de las oxidaciones la for- 
ma OiMn.., y la más estable, sin función determinada, sólo 
oxidable, conforme lo ha demostrado Moissan, á 300 ó 330", 
cuando ha sido obtenido á baja temperatura 2(0iMn.^) + 
-f 0=^3(0¿Mn2), que en otros casos permanece inaltera- 
ble, y aun semejante oxidación tiene en la práctica sus difi- 
cultades y no se logra tan perfecta como la del monóxido ó 
la del sesquióxido y en ella influye, bien á las claras, la clase 
de oxidante empleado. Guardan ciertas semejanzas con los 
hechos apuntados, varios concernientes á otra categoría de 
experimentos de síntesis mineral cuyo objeto era reprodu- 
cir combinaciones oxidadas, que tienen asimismo marcado 
carácter de anhídridos ó de singulares compuestos salinos. 



— 401 — 

Refiérense á la reproducción del mineral español denomi- 
nado cervantita, que se encuentra en la sierra de Cervantes, 
en la provincia de Lugo, y en Losacio, de la de Zamora; se 
trata de un curioso producto de las alteraciones de la estibi- 
na natural en contacto del aire, mediante fenómenos de oxi- 
dación lenta en circunstancias particulares; es el antimoniato 
de antimonio típico, y su formación puede ser así represen- 
tada: 5y Sb^ r 10. O = 3 5O2 + O^ Sb2, que viene á ser 
el peróxido de antimonio, límite de la oxidación del metal, 
de lo que proviene su carácter salino bien definido. Por ex- 
cepción se presenta cristalina, ya que no cristalizada, la cer- 
vantita; lo ordinario es que forme sobre su mismo generador 
costras ó masas terrosas y deleznables, de color amarillento 
ó casi blanco, infusibles; tiene la propiedad de combinarse 
con el agua, originando un monohidrato definido H.j, O5 Sb2, 
que constituye la estilbita, procedente también de las modi- 
ficaciones de la estibina en contacto prolongado del aire 
húmedo; mas el hidrato es susceptible de perder toda su 
agua en variadas circunstancias, sobre todo mediante calci- 
nación, regenerando al momento el peróxido de antimonio. 

Desde luego es de notar la diferencia que existe, tocante 
á las formas, entre los óxidos de antimonio; cristaliza el an- 
hídrido antimonioso O^Sb.,, que tiene la estructura de un 
sesquióxido y hasta es dimorfo; el peróxido aparece alguna 
vez constituyendo masas cristalinas poco considerables, y el 
anhídrido antimónico O5 Sb.2 es siempre amorfo; como si los 
aumentos de las proporciones de oxígeno dificultasen la 
orientación de las moléculas y fuesen obstáculos para su 
agrupamiento, según determinada simetría. No obstante, á 
los tres puede asignárseles el mismo origen natural, median- 
te alteraciones de la estibina por oxidación lenta, 

So Sb, + 9. = 3 50. + O;- Sb. (valenünita, senarmonita) 

5;, Sb, + 10. = 3 50, -f O4 Sb, (cervantita) 
S-.Sb.^-W. = 2 SO. r O-, Sb. (anhídrido antimónico) 



- 402 - 

demostrándose así cómo es progresiva y puede seguir una 
serie regular, cuyo primer término corresponde á la substitu- 
ción total y completa del azufre del trisulfuro con el oxíge- 
no, y es singular que la forma estable del producto de seme- 
jante cambio sea un prisma romboidal recto de 137°, y la de 
su generador también un prisma romboidal recto sólo de 90", 
54', siendo frecuentes en ambos los cristales aciculares. 

Según lo dicho, parece cosa fácil la síntesis de la cervan- 
tita, partiendo de la estibina ó del propio antimonio metáli- 
co; porque es de observación corriente, cuando se les so- 
mete al fuego de oxidación en la llama del soplete emplean- 
do soporte de carbón, notar cómo se forma una especie de 
depósito pulverulento, en parte volátil, de color más ó me- 
nos amarillo en caliente, que al enfriarse tórnase blanqueci- 
no, cualidades que convienen al peróxido de antimonio. Mas 
la operación descrita, aun suponiendo que todo el metal ó su 
sulfuro se hayan transformado, no es tan regular como indi- 
ca la teoría; y lo que de ella procede, aun llegando la tempe- 
ratura al rojo vivo, es una mezcla de los tres óxidos, porque 
el paso del anhídrido antimónico á peróxido de antimonio, 
por pérdida de oxígeno, mediante las acciones del calor, no 
resulta completo y está limitado el cambio á causa de la pre- 
sencia de cierta cantidad de cervantita ya generada y de la 
proporción no alterada todavía del óxido superior; se trata, 
pues, de una disociación parcial que se inicia al alcanzar los 
300° y quizá antes. 

En el límite del desdoblamiento Or,Sb2^ OiSb.,-\-0 influ- 
ye la presencia de cierta cantidad, nunca grande, de anhí- 
drido antimonioso; porque, aunque dada su volatilidad cuan- 
do se le calienta, gran parte se elimina y puede sublimirse, 
y teniendo en cuenta sus aptitudes para oxidarse, ( O.^^Sbo-^ 
+ 0=0iSb.2), ardiendo en contacto del aire cuando se eleva 
lo suficiente la temperatura, otra porción ha de ser así modi- 
ficada, siempre queda algo sin alterarse y cuya transforma- 
ción impídenla acaso las proporciones de los otros óxidos. 



— 403 — 

Quizá entonces, llegado el límite de las acciones apuntadas, 
se constituye un sistema particular formado por los tres óxi- 
dos en cantidades variables, productos unos de otros y todos 
ellos del metal ó de su trisulfuro natural : es un ejemplo de la 
influencia del medio, en este caso sólido y enteramente infu- 
sible ni al rojo muy vivo y sostenido; por consiguiente, tam- 
poco hay cristalización por enfriamiento, á no ser de las por- 
ciones volatilizadas, cuyo vapor, enfriado de manera con- 
veniente, es susceptible de dar dos especies de cristales, 
unos prismáticos, correspondientes á la forma estable del 
anhídrido antimonioso (valentinita), otros octaédricos, pecu- 
liares de la forma transitoria (senarmonita). He creído notar 
semejantes fenómenos en mis ensayos y hube de tenerlos 
muy en cuenta al obtener la cervantita, partiendo del mismo 
cuerpo de cuyas naturales alteraciones proviene. 

Tuve como punto de partida la estibina natural, que hube 
de someter alas necesarias purificaciones, y cuando no con- 
tenía materias extrañas fué pulverizada y sometida á una cal- 
cinación lenta, progresiva y larga, aumentando la temperatura 
hasta el rojo vivo. Operaba en crisoles de barro de boca an- 
cha, sin tapadera, poniendo en cada uno 150 gr. de sulfuro; 
calentaba tres horas, dejaba enfriar, sacaba la masa del cri- 
sol, la pulverizaba en mortero de porcelana y volvía á ca- 
lentar, repitiendo hasta cinco veces, para terminar sometien- 
do los crisoles al rojo vivo durante cuatro horas seguidas y 
recogía una masa poco compacta, amorfa, de color amari- 
llento, casi toda ella formada de peróxido de antimonio, pero 
conteniendo leves proporciones de anhídrido antimonioso y 
de anhídrido antimónico. Su mezcla íntima es, en realidad, 
el producto inmediato de la oxidación de la estibina, llevada 
á cabo en las condiciones dichas, y la cervantita que sobre 
ella se genera no es más pura que la así obtenida. 

Fácilmente se eliminan sus congéneres aprovechando las 
propiedades de cada uno: el trisulfuro que pudiera haber 
quedado sin descomponer es atacable en caliente con ácido 



— 404 — 

clorhídrico, disolvente también, cuando está concentrado y 
aun frió, del anhídrido antimonioso, y así la masa extraída de 
los crisoles con dicho ácido fué tratada, digiriendo primero 
en frío y lavando luego en caliente y no se advirtió el menor 
olor sulfhídrico; se lavó de nuevo sobre un filtro y el residuo 
seco se calcinó por cuatro horas al rojo vivo, y después de 
enfriada la masa, continuaba amorfa y de color amarillo muy 
claro; se le humedeció con ácido nítrico concentrado y se vol- 
vió á poner al rojo, y al cabo de repetir tres veces el tratamien- 
to, resultó el peróxido de antimonio blanco, que se vuelve 
amarillo calentándolo y es de nuevo blanco después de frío 
(D = 4,073). Hay en las operaciones considerable pérdida 
que, en ocasiones, pasa del 15 por 100, y el cuerpo es amorfo 
sin la menor traza de estructura cristalina, terroso, muy dife- 
rente en cuanto al aspecto de la cervantita natural y sin aque- 
llos cristales aciculares de que hablan los autores; y el ser 
cuerpo insoluble, inatacable, de absoluta fijeza y práctica- 
mente infusible, impide su cristalización, que no se consi- 
gue ni siquiera con medios gaseosos ácidos empleando el 
artificio del transporte, usando en calidad de vehículo otra 
substancia volátil sin descomposición y tan inerte, tocante 
á la cervantita, como ella lo es respecto de todos los demás 
cuerpos. 

Un experimento intenté con ánimo de conseguir modifi- 
carla, y consistió en someterla por seis horas consecutivas 
(10 gramos) á las acciones del vapor de agua recalentado 
(á 300"), operando en un tubo de porcelana y procurando 
regular, hasta hacerla uniforme y nada considerable, la velo- 
cidad de la corriente de vapor. Cuando ésta hubo cesado, se 
calentó el tubo por el exterior hasta el rojo bastante vivo y 
luego de enfriarlo fué recogido el anhídrido antimonioso, 
cuya estructura aparecía algo alterada; no era tan terrosa, 
las partículas habían adquirido cierta adherencia y observa- 
das al microscopio advertíase á modo de un comienzo de es- 
tado cristalino incipiente del cual en vano intenté pasar, pro- 



- 405 



longando los tratamientos con el vapor de agua recalentado 
y variando los modos de actuar el calor. 



Guiado por los resultados obtenidos, constituidos algunos 
de ellos en métodos clásicos, emprendí, hace ya bastante 
tiempo (1896), el estudio de las formas de hidratación del 
sesquióxido de aluminio, repitiendo experimentos anterio- 
res, modificándolos en la práctica casi todos. Eran mis in- 
tentos investigar ciertos coloides minerales, que en diversos 
estados pueden originarse, al precipitar el aluminio en forma 
de hidrato, de las disoluciones que lo contienen y ver ade- 
más de qué manera, según los medios en los cuales reaccio- 
ne, se manifiesta la función acida ó la función básica de la 
alúmina. Ambas se observan de continuo en la Naturaleza, 
que no son raros los silicatos de aluminio, simples ó múlti- 
ples, anhidros ó hidratados, ni son escasos los aluminatos 
metálicos. Y los dos problemas entran por completo en la 
síntesis mineral, por cuanto el estado coloide ejerce influen- 
cias decisivas en la mineralización, é hidratos de aluminio 
son: el diasporo, la bauxita y la gibsita, conforme á las es- 
pinelas sirve de tipo el aluminato de magnesio: fuera de esto, 
observaré que de dos hidratos que pueden ser coloides, la 
sílice y la alúmina, resulta la arcilla, cuyo cuerpo, en estado 
coloidal soluble, suelen contenerlo muchas aguas potables 
exentas de compuestos calcicos, y el asunto, en esta parte 
á lo menos, tiene ahora cierto interés de actualidad, porque 
los cuerpos que afectan aquellas formas suelen estar dota- 
dos, al adquirirlas, de actividades que pierden en el momento 
de su separación de los medios ó disolventes que los contie- 
nen y ser agregadas "de otro modo sus partículas. 

Varios son los hidratos de aluminio, unos reales y otros 
hipotéticos, que se encuentran citados; partiendo del hidrato 
de Mitscherlich O AL OH, se conocen: O, A lo (OH)., co- 



- 406 — 

rrespondiente al diasporo; O Al,(OH)^ que es la bauxita, 
(OH),, AU ó gibsita, el normal O.^AL (0H,).„ el de Villiers 
0.¿Ai>(OH,l;, el de Zunino O^AU(OH,)-,, todos insolu- 
bles en el agua, y además la alúmina coloide soluble en el 
agua de Walter Crum (metalúmina), la alúmina coloidal de 
Graham y el hidrato trialumínico O], Al,- Ojo que ha obtenido 
Schlumberger, también coloide. Demuestra la existencia po- 
sitiva de los últimos que la alúmina, en determinadas condi- 
ciones, es soluble en el agua y establécese la relación entre 
sus formas coloidales y amorfas por el hecho bien conocido 
de que la evaporación de las disoluciones de la metalúmina 
produce el hidrato definido é insoluble O A l.> (OH)^. 

Habida cuenta de la semejanza de propiedades de los hi- 
dratos alumínicos en ambos estados y los modos de generar 
los coloides -hidrólisis del acetato básico de aluminio, diá- 
lisis del cloruro de aluminio, acción del aluminato y el car- 
bonato de sodio sobre el alumbre en disolución alcalina dé- 
bil é hirviendo -, puede explicarse la generación de mine- 
rales oxidados de aluminio sólo por cambios de estado y 
transformaciones de la materia coloidal en materia amorfa 
insoluble ó en materia cristalina. Recordaré á tal propósito 
los métodos de síntesis de los hidratos insolubles que han 
sido reproducidos: el diasporo, que cristaliza en prismas rec- 
tos romboidales de 129^ 17', puede ser resultado de la hi- 
dratación directa del sesquióxido de aluminio realizada ya 
á 300° (Mitscherlich), ó producirse sobre la hoja de pape 
pergamino que separe una disolución de aluminato de pota- 
sio y otra de sesquióxido de cromo, del lado de la primera 
(Becquerel); y la gibsita, cuyos menudos cristales tabulares 
exagonales no están bien determinados, procede de la des- 
composición espontánea, en contacto del aire, debida á su 
anhídrido carbónico, de las disoluciones de aluminato de po- 
tasio (Bonsdorff), 02 las acciones del agua sobre la amalga- 
ma de aluminio (Cossa) y, principalmente, de la reacción su- 
mamente lenta efectuada á través de papel pergamino entre 



— 407 — 

una disolución de aluminato de potasio y otra de ácido clor- 
hídrico, que es el procedimiento de Becquerel, AI2 O^K,. 
3H,0 + 2CIH=^ (OH), AI, + 2 ClK-\- H, O, ensaya- 
do con excelentes resultados, disolviendo 10 gr. de alúmina 
lavada y húmeda en disolución de potasa al 10 por 100, di- 
luyendo hasta 500" y otro tanto de agua acidulada con áci- 
do clorhídrico al 15 por 100 (D.Cl H= 1,19). 

Y conviene tener presente que la bauxita, representada 
por OAl,(OH)i, nc cristaliza, y en masas terrosas ó grue- 
sos granos, siempre asociada con hidratos férricos, aparece 
á modo de sedimento desligado de otras combinaciones; á 
su vez, los cristales de diasporo son raros, su forma habitual 
es la de masas fibrosas y se halla en rocas metamórficas; 
tampoco abundan los de gibsita, que suele constituir masas 
en las que se distinguen capas ó zonas superpuestas y es mi- 
neral de formaciones sedimentarias, conforme lo denota su 
estructura. No suele contener hierro y sólo le acompaña un 
poco de sílice, que acaso denote la procedencia en las trans- 
formaciones lentas de un silicato de aluminio, quizá debidas 
á fenómenos hidrolíticos. 

Llaman desde luego la atención los modos de manifestar- 
se las funciones peculiares del aluminio: de las disoluciones 
que lo contienen formando sales, lo separan en estado de 
hidrato normal los álcalis, los carbonatos alcalinos y lossul- 
fhidratos, un exceso de álcali disuelve el precipitado, y ya 
entonces funciona el sesquióxido como ácido y se generan 
los correspondientes aluminatos de variable estabilidad. En 
medios ácidos también son solubles los hidratos alumínicos 
y se producen combinaciones salinas definidas y cristaliza- 
bles; y es singular que la mayoría de los hidratos, así los 
que forman especies minerales como los que son coloides, 
tienen por generadores aluminatos que son descompuestos 
empleando diversos artificios, y esto induce á pensar si 
las masas sedimentadas que constituyen la bauxita y las 
masas amorfas ó cristalinas, mejor que cristales perfectos, 

Rf.v. Acad. Ciencias. — V. — Enero, 1907. 28 



- 408 — 

formas ordinarias del diasporo y la gibsita, pudieran ser la 
consecuencia de transformaciones de los hidratos coloides, 
de la propia manera que los ópalos y las resinitas son los 
naturales representantes de la sílice gelatinosa, y justifica 
la hipótesis el que los hidratos de aluminio cristalizables se 
obtienen partiendo de combinaciones correspondientes á la 
función acida, en las que podemos considerar la alúmina 
disuelta en un medio alcalino, en estado tan provisional 
que basta el anhídrido carbónico del aire para desalojarla, 
en cuyo sentido, sus hidratos, ya concretados é insolubles, 
procederían de formas anteriores coloidales, que no pare- 
cen ser muy solubles, sino á condición de que haya en los 
líquidos una traza de ácido libre, cuyo hecho apoya lo di- 
cho, porque excluye la existencia de aluminatos y explica de 
modo suficiente la formación de la gibsita cuando el ácido 
clorhídrico actúa sobre el aluminato de potasio á través de 
un tabique de papel pergamino. 

A veces, según acontece en los casos de la metalúmina 
y el coloide de Graham, ácidos y álcalis son suficientes para 
coagular los hidratos de sus disoluciones acuosas, y es pro- 
bado que, con el tiempo, aun de las más puras y transpa- 
rentes, se deposita el hidrato alumínico en forma gelatinosa, 
y de ello se infieren varios hechos: la alúmina puede proce- 
der en la Naturaleza de orígenes variados y distintos, pues 
son numerosas sus combinaciones, en especial los silicatos 
múltiples, que en su mayoría, aunque parezcan muy fijos, 
distan bastante de ser estados definitivos, como lo prueba la 
misma descomposición de los feldespatos potásicos; y no 
sería extraño que, habiendo elementos para ello y medio 
apropiado, se formasen aluminatos, á modo de combinación 
intermedia y transitoria, que en presencia de ácidos ó por el 
propio anhídrido carbónico del aire, se descompondrían ge- 
nerando los hidratos coloides, á su vez origen de los inso- 
lubles. Su número considerable, la composición irregular y 
no siempre bien definida, la inestabilidad de muchos, los 



— 409 — 



cambios de unos en otros, hasta dar en el trihidrato conside- 
rado normal, y las transformaciones de sus funciones confor- 
me á los medios, me parece que lo demuestran cumplida- 
mente por ahora. 



XX. -Sobre algunos fenómenos de polarización en luz 
convergente, observables en láminas de cuarzo 
dextrogiras, superpuestas, de igual espesor, nor- 
males al eje, teniendo intercaladas láminas de mica 

deV„ V2, V8, óVs"^. 

Por Esteban Terradas. 

El aparato usado para observar ha sido un microscopio 
petrográfico Zeiss. Las dos láminas de cuarzo, con la lámina 
de mica intercalada, se disponen en la platina, cuidando de 
señalar la dirección del plano principal de la mica. 



A) Luz monocromática Na. 

Primer caso.— Lámina de Va ).. 

a) Nicoles cruzados. 

Sea a el ángulo que el plano de la mica forma con 
el analizador. 
aa) a = 0. El centro del campo es negro. Del mismo 
arrancan los brazos de una cruz completamente ne- 
gra, hasta un primer anillo obscuro, cuya máxima 
obscuridad corresponde á una dirección paralela á la 
principal del polarizador. Los brazos de la cruz están 
á 45° de la sección principal de la mica. Los cuadran- 
tes de los anillos, que están bisecados por la sección 



— 410 — 

principal del polarizador, son los más obscuros, de 
modo que la región ó curva de obscuridad parece ser 
como una lemniscata deformada. Si se examina me- 
jor, se encontrará formado el primer anillo por dos 
muy próximos, pero de distancia y grosor variables, 
éste disminuye y aumenta aquélla partiendo de un 
brazo de la cruz, y corriendo en el cuadrante consi- 
derado en el sentido de las agujas de un reloj. En 
los otros dos cuadrantes es también observable la 
descomposición del primer anillo obscuro en otros dos 
más finos. 

Pasado este primer anillo, se puede observar un 
espacio anular, brillante, interrumpido por cuatro 
manchas en los brazos de la cruz que atraviesa el 
círculo ó anillo central blanco, y después de este ani- 
llo, otro, etc. 

La dirección de los brazos de la cruz que atravie- 
san el campo, es á 45° de la sección principal de la 
mica, y esta posición se determina con mucha exacti- 
tud al girar la platina, pues los brazos de la cruz se 
deforman y cesan de ser prolongación uno de otro, á 
poco que se mueva la platina á partir de la posición 
en la que se ve la figura con más limpieza y sen- 
cillez. 

Si la sección principal de la mica es paralela á la 
sección principal del analizador, los cuadrantes, cu- 
yos anillos son más obscuros, son aquéllos que biseca 
la sección principal del polarizador, y si la mica tiene 
su sección principal paralela al polarizador, ocurre lo 
propio en los cuadrantes que biseca la sección princi- 
pal del analizador. 

Paralelamente á la sección principal del analizador, 
si á ella es paralela la de la mica, hay dos manchas 
obscuras que se destacan, en los anillos en que están, 
de sus inmediaciones menos obscurecidas. 



- 411 — 

Los cuatro casi-cuadrantes comprendidos entre las 
ramas de la cruz y el primer anillo obscuro, presen- 
tan desigualdades en la intensidad de la luz; los dos 
bisecados por la sección principal del analizador son 
más obscuros que los otros dos. 

El segundo anillo está á una distancia del primero, 
próximamente igual á la mitad del radio de éste. 

La experiencia puede servir para determinar si una 
lámina de mica es de V2 ^ Y fij^f su sección principal 
con gran exactitud. 
a[íi) a = 90°. La figura es exactamente igual á la del 

caso anterior, salvo la ligera variedad indicada, 
a/) a =í 45°. El centro es ahora blanco, es decir, perfec- 
tamente iluminado; diríase que el campo está atrave- 
sado por una cruz blanca, cuyos brazos son paralelos 
á las secciones principales del polarizador y analiza- 
dor. En los cuadrantes aparecen, en negro bien deli- 
mitado, los contornos de lúnulas constituidas como 
por arcos de elipses y cincunferencias concéntricas. 

p) Nicoles paralelos. 

pT.) a = 90°. Centro del campo blanco. Anillos formados 
por trozos bien delimitados alternativamente, brillan- 
tes y obscuros, en número de ocho. Suponiendo una 
cruz central blanca, ancha é intensa, hay cerca del 
vértice de cada uno de los cuadrantes una manchita 
negra. Entre los dos anillos y en los extremos de la 
cruz blanca, en el campo, cuyos brazos están á 45° 
sobre el plano de polarización de la luz emergente 
del polarizador, hay una pequeña disminución de in- 
tensidad que parece prolongarse difundiéndose circu- 
larmente y en sentido contrario del de las agujas de 
un reloj. 

í^P) a =: 45°. Atraviesa el campo una cruz, cuyas ramas 
son paralelas ó perpendiculares respectivamente al 



- 412 — 

plano de polarización de los nicoles. El centro es ne- 
gro. Y la mayor obscuridad corresponde á puntos 
algo alejados del centro y comprendidos entre dos 
anillos completos á iguales distancias de éstos y en 
el plano principal de la mica ó en el perpendicular á 
este último. Este fenómeno es también sumamente 
vistoso. Los puntos de que se ha hablado son mejor 
pequeños arquitos, pero bien contorneados y claros. 

SEGUNDO CASO. — LÁMINA DE Vi 

a) Nicoles paralelos. 

aa) a = 0. Se ven en el campo del microscopio una se- 
rie de circunferencias concéntricas, en la primera de 
las cuales hay dos trazos negros bien delimitados en 
los extremos de un diámetro paralelo al plano de po- 
larización de la luz que emerge del primer nicol. 
La segunda circunferencia tiene cuatro trazos negros, 
dos á dos, están en las tangentes á la primera circun- 
ferencia en las manchas de la misma. Lo que hemos 
dicho se puede repetir para el tercero y segundo círcu- 
los, y así sucesivamente, pero con una variedad: si 
trazamos una tangente en una mancha del segundo 
círculo á éste, encontraremos en ella, á uno y otro 
lado, una mancha del tercero y otra del cuarto, no 
otra del tercero. Esta ya es ley que se cumple para 
todos los demás (aproximadamente todo, claro está). 

p) Nicoles cruzados. 

pa) a = 90. La parte central del campo está ocupada por 
dos manchas negras circulares; la recta que une sus 
centros es paralela á la sección principal del analiza- 
zador. Si la posición de la mica no es la que se ha in- 
dicado, ó los nicoles no están á ángulo recto, las dos 
manchas son desigualmente obscuras. De aquí puede 



- 413 — 

sacarse aplicación del fenómeno para disponer dos 
nicoles á extinción. 

El resto del campo está cubierto por un sistema de 
circunferencias y elipses bitangentes en los extremos 
de un diámetro ó eje, los cuales ejes tienen la direc- 
ción de las secciones principales de los nicoles en el 
plano de observación. Este fenómeno es extraordina- 
riamente vistoso. 
^;í) a = 45. Como en el caso de V2 onda ay , pero las lú- 
nulas alternadas en anillos sucesivos. 

Tercer caso.- Lámina de Vs- 

a) Nicoles cruzados, 

aa) a = 90°. El mismo sistema de circunferencias y elip- 
ses como en el segundo caso Pa, con la diferencia 
que las dos manchas centrales son ahora dos circun- 
ferencias negras, y las elipses han disminuido su cur- 
vatura en los puntos de tangencia. 

^) Nicoles paralelos. 

Lo mismo que en el caso correspondiente de V4; nías 
aquella ley que parecían cumplir las tangentes en los 
puntos más obscuros de las circunferencias, es menos 
exacta. 

Cuarto caso.— Lámina de Vs- 

a) Nicoles paralelos. 

aa) a = 90". El fenómeno es análogo al correspondiente 
en el tercer caso. La ley de las tangentes se verifica 
con más exactitud que en éste. Las curvas aparecen 
más apretadas. La dirección de la recta que une la 
mancha de la primera circunferencia es paralela al 
plano principal de la mica. Lo mismo ocurre si í7 = 0. 



- 414 - 

a^) fl = 45°. Todos los círculos tienen cuatro manchas, 
menos el interior, que tiene dos. Las manchas están 
dos á dos en rectas paralelas de la unión principal 
de la mica ó perpendicular á 45°. 

p) Nicoles cruzados. 

a,B) a = 0. Sistema de circunferencia y elipse no bitan- 
gente ni secante, pero con ejes de direcciones comu- 
nes. Parte central iluminada. 

Quinto caso.— Lámina de Vs y fuera de la combina- 
ción DESPUÉS DEL SEGUNDO CUARZO, LA DE Vm- 

Secciones principales de las micas coincidiendo nicoles 
cruzados a = 0. 

Caso análogo al de la de Vs» P^ro con una ligera variante 
que hace parecer el fenómeno al que presenta una lámina de 
cuarzo, hecho por compresión cristal de dos ejes, en luz 
convergente y nicoles cruzados. 



B) Luz blanca. 

L° Lámina de 1/2 onda. 

tx) Nicoles cruzados. 

aa) Mica paralela al analizador. 

La cruz negra de que se habló en el caso de luz 
monocromática aparece perfectamente delimitada cru- 
zando sus brazos á 45° el campo en la parte central. 
En los cuadrantes bisecados por la sección princi- 
pal del analizador y del centro, los bordes del campo 
aparecen los siguientes colores: 

Rojo subido, círculo negro, azul, amarillo, rojo, 
segundo anillo negro, verde, amarillo rojo, etc. 



- 415 — 

En cambio, en los cuadrantes que quedan, la suce- 
sión de colores es, por el mismo orden, 

anaranjado, primer círculo negro, azul, etc. 

De modo que los cuadrantes aparecen dos á dos de 
distinto color. 

Al girar la platina del microscopio, gira, por decir- 
lo así, la figura deformándose considerablemente, 
para reaparecer igualmente orientada del plano prin- 
cipal de la mica, cuando éste coincide con el plano 
principal del polarizador. 

P) Nicoles paralelos. 

,3a) Plano de la mica (principal de polarización) coinci- 
diendo con los planos principales de los nicoles. 

Las cuatro manchitas centrales (ya descritas) son 
azules. Se conserva con la misma intensidad la cruz 
blanca á 45°. Los segmentos de anillos en los octan- 
tes con la sucesión de colores 

amarillo, rojo, verde, azul. 

Segundo.— LÁMINA de 74- 

a) Nicoles cruzados. Mica cuyo plano principal coincide con 
el del analizador. 

Atraviesa el campo extensa banda verde paralela á la 
sección principal del analizador, que termina por dos 
manchas juntas al primer anillo, en el que la sucesión 
de colores es del centro á los bordes: 
amarillo, rojo, azul. 

Las manchas son de color púrpura, contorneado de 
verde obscuro. 

Contiguas á la banda verde y cubriendo los seg- 
mentos comprendidos entre sus bordes y la primera 
circunferencia amarilla, hay, á cada lado, dos bandas 
contiguas, una amarilla y roja la otra. El anillo azul 



— 416 - 

presenta mayor intensidad paralela y normalmente á la 
sección principal del analizador. 

A este anillo azul van adosadas dos lúnulas en la di- 
rección paralela á la sección principal del analizador. 
Los colores en estas lúnulas son amarillo, rojo, azul. Y 
el conjunto de las dos lúnulas y el de los anillos apare- 
ce envuelto como en una elipse, al que sigue el se- 
gundo anillo amarillo, etc. 

La mancha central de tono más obscuro, al girar en 
sentido de las agujas de un reloj, la platina está siempre 
á la derecha, tanto si se coloca la mica de modo que su 
sección principal sea paralela á la del analizador, como 
á la del polarizados 

Tercero.— Lámina de Vs- 

a) Nicoles cruzados. Mica con su sección principal paralela 
á la del analizador. 

El aspecto del campo es bastante análogo al anterior. 
Las dos manchitas centrales tienen sus centros en el 
plano principal del polarizador; son de color rojo púr- 
pura. Su contorno es más delimitado. La posición de la 
mica se puede precisar bien gracias á que, cuando su 
plano principal coincide exactamente con el del polari- 
zador ó analizador, las dos manchas tienen la misma 
intensidad; más á poco que se gire el plano hacia la 
derecha, desaparece la situada á la derecha del obser- 
vador, y lo mismo respecto de un movimiento levógiro 
del citado plano (mutatis mutandis). 

Hacia los puntos en que dos direcciones á 45° res- 
pecto de los planos principales del polarizador y anali- 
zador, cortan al primer anillo, por ejemplo, arrancan 
sendos arcos obscuros que van á confundirse con el se- 
gundo círculo en los puntos en que el plano ó sección 
principal del polarizador corta al mismo. 



— 417 — 

EXPLICACIÓN DE LOS FENÓMENOS PRECEDENTES 

INTRODUCCIÓN 

La teoría de los electrones admite, para explicar el fenó- 
meno de la polarización rotatoria natural, electrones oscilan- 
do en movimiento lato alrededor de su posición de equili- 
brio, y en sentido restricto, animados además alrededor de 
sus posiciones de equilibrio dinámico correspondientes al 
movimiento lato, de movimientos en órbitas circulares, de 
modo que el movimiento total es una especie de movimiento 
helicoidal, en un campo electromagnético regido por las 
ecuaciones de Maxwell Hertz 

^"^ /=curl//, 



c 

4t.L 



== curljE", 



en que /es la intensidad eléctrica medida electrostáticamente; 

H, la fuerza magnética; 

E, la fuerza eléctrica; 

c, la velocidad de la luz; é 

/;„, la intensidad magnética en un punto del medio. 
El movimiento del electrón, definido por su carga eléctri- 
ca e, por su masa material m y por sus coeficientes de vi- 
bración propia 5 y de resistencia r, es en el sentido lato, 
siendo s la variable que lo define 

m 1 s + re- =i e(E 4-/' curl E) ; 

f es la constante característica de los electrones correspon- 
dientes á los cuerpos que presentan la polarización rotatoria 
natural. 



— 418 

Poniendo 



a 








1+-- 


m 






^+'' - 


b ' 

-2 


f . 


— N' 


mf 


, 




1 


i a 


b 




^ 


^2 



en cuyas expresiones, S hace referencia á los distintos elec- 
trones; N es el número de electrones en la unidad de volu- 

1 2r. 

men, — = — , y 7 es el período propio de la onda de luz 
T T 

que atraviesa el medio, se tendrá para la intensidad eléctri- 
ca Y, en un punto del dieléctrico naturalmente activo en que 
flotan del modo dicho sistemas diversos de electrones, 

dF dF 

4T.Y=e-^ +/curl--. 
dt dt 

Las expresiones en e y / pueden simplificarse si supone- 
mos que la onda incidente es tal, que x difiera de los perío- 
dos propios de los electrones. 

Además, también, para la intensidad magnética Ym 

Llevando estos valores de F y K„, á las ecuaciones de 
Hertz, y escribiendo, para simplificar, 

hEx = u 



a = — 6=— — — =^' 



T-£ 



— 419 — 

y eliminando las componentes de la fuerza magnética se 
llega á las ecuaciones diferenciales establecidas por Lang, á 
saber: 

= a^u [a \- b 1- c I + 



dp dx \ dx dy dz 



Introduciendo como solución particular valores de « v iv 
—it— '!i^i±j}y_±PA\ 
de foma compleja Me "^^ ^ ^ se halla, eli- 

minando las tres amplitudes complejas MNP, y escribien- 
do gz V=^, la ecuación de la superficie de onda 

m'{V'- — b) (V — c) + n^V — c){V'-a)-{- 
-\- p^V'^ — a) (V^ — b) = <7\ 

Se deduce de las fórmulas anteriores, que el movimiento 
vibratorio del vector polarización eléctrica, en la propaga- 
ción por ondas planas que estamos estudiando, está definido 
por dos elipses girando en sentidos contrarios, iguales, pero 
colocadas de modo que donde está el eje mayor de una está 
el menor de la otra. 

Los ejes ópticos, aunque propiamente no existen, pues no 
existe dirección para que los dos valores de V sean iguales, 
definidos por aquellas direcciones para las cuales es un mí- 
nimo la diferencia de los valores de V, son en óptica siempre 
dos direcciones ó jalones de diferencia. Si ^ y ^' son los án- 
gulos que la normal á la onda plana forma con los mismos, 
y llamamos o y í' á los dos valores de V correspondientes á 
unos mismos valores de ^ y g, se tendrá 

2o'' = a -{- c -}- (a - c) cosg cosg' -f- 
+ V(^ — ^y sen2^ sen-^' + 4<7^ 



- 420 — 

2e''- = o -|- c + (a - c) cos^cos^' í 
+ V(^ — ^Y sen-^ sen-^' + 47- 

Además, llamando Kg al cociente de los ejes de la elipse 
correspondiente al rayo ordinario, y K^ al cociente de los 
ejes de la elipse correspondiente al rayo extraordinario 

2iKo = -^ = (a — c)sen^sen^' + 



+ V(a' — c)-' sen-g" sen-^' -^ 4^2. 

Tal es la teoría de la polarización rotatoria, bastante satis- 
factoria, si no fuera que las observaciones de Voigt en el 
cuarzo y de Pocklington, que obligan á adoptar para las/ 
diferentes valores, según los tres ejes. Para nosotros nos 
será suficiente. 

Téngase en cuenta que, en lo que precede, no nos hemos 
propuesto detallar esta teoría, ni mucho menos, sino mostrar 
los puntos de partida para la explicación de los fenómenos 
observados. 

APLICACIÓN Á LOS FENÓMENOS OBSERVADOS 

Recordemos antes la disposición experimental: La luz atra- 
viesa primeramente un nicol, después un cuarzo, luego una 
lámina de mica, por último otro cuarzo normal al eje como 
al primero y un analizador. (Luz convergente.) 

Al abandonar el primer cuarzo, la luz que entra en él pola- 
rizada rectilíneamente, sale polarizada elípticamente; la mica 
modifica la vibración elíptica, haciendo experimentar un re- 
traso á las dos componentes, según las secciones principales, 
y de tal modo, que una retrase respecto de la otra tal ó cual 
fracción de onda ('/o, Vi, '/s ó \ ,s). La vibración elíptica asi 
modificada entra en el segundo cuarzo, donde se modifica 



— 421 — 

como en el primero, y sale por fin para penetrar en el anali- 
zador. 

¿Cuál es la modificación que experimenta la luz, vibre rec- 
tilínea ó elípticamente al atravesar oblicuamente un cuarzo, 
tallado normalmente al eje y dispuesto en placa? 

La vibración se descompone, como hemos visto, en dos 
vibraciones elípticas, una levógira, otra dextrogira, cuya ra- 
zón común de ejes es Kq ó , y estas dos vibraciones se 

propagan con desigual velocidad, de modo que al salir del 
cuarzo, una lleva, respecto de la otra, un retraso 



2- 
T 



(7-7)'- 



siendo d el espesor. Nosotros supondremos, para mayor sim- 
plificación, que la diferencia de fase de un rayo oblicuo es la 
diferencia de fase correspondiente á un rayo paralelo al eje, 
más la que se deduce al prescindir de la polarización rotato- 
ria, y considerar sólo la doble refracción del central, cuyas 
constantes de polarización fueron las mismas ay c. 

Igualmente, en atención á simplificar los cálculos, supon- 
dremos que el efecto en la mica es, en incidencia oblicua, 
igual que si fuera normal ; ambas cosas nos obligan á que- 
darnos cerca del eje de simetría del haz de rayos de luz. 

Prescindiremos, además, de las modificaciones que intro- 
duce la reflexión vitrea á la entrada y salida de las distintas 
placas cristalinas, sobre la amplitud y fase de la vibración 
incidente. 

Igualmente haremos caso omiso de los coeficientes de elip- 
ticidad. 

Sean: 

^'"^ La vibración incidente. 



— 422 - 

a El ángulo que el plano de polarización de la luz que sale 
del polarizador forma con uno de los planos de pola- 
rización del rayo que entra en el cuarzo con la inci- 
dencia /. 

Y El ángulo que el plano de polarización del rayo que sale 
del polarizador forma con la sección principal de la 
mica, 

■^ El ángulo que el mismo plano de polarización de la luz 
que atraviesa el cuarzo definido cuando se definió a, 
forma con el plano de polarización de la luz que sale 
del polarizador. 

8 El ángulo que forma uno de los ejes de la elipse que de- 
fine el movimiento vibratorio del vector-polarización 
eléctrica, á la salida de la mica, con el plano principal 
de la misma. 

La vibración e"'^ al entrar en el cuarzo primero, se des- 
compone en las dos vibraciones elípticas siguientes: 

í l^ = [cosa cosp + /sena seni^i] eos ¡5 e'"', 
\ ó abreviadamente: =CiCos,je"", 

, = — [eos a eos ,3 + / sen a sen ¡5] / sen '^ e'"^, 

= ClSen.3e'''^ 

evogira si p >> o (además su valor absoluto } <— siem- 
pre) y dextrogira si ,3 < o. 
Y 

^2 = [cosa sen ,3 — / sena eos I":!] sen ,3 e'"^ = 

C, sen.^e'"' 

•f\2 = [cosa sen, 3 — / sen a cos^] /coSi3e"" = 

/coSi3C, e"" 

A esta última le ocurre, al atravesar el cuarzo, un retraso 
e~''' respecto á la primera. Designaremos por Í._, y r^o las vi- 



— 423 — 

braciones así modificadas, es decir, en vez de Cj se enten- 
derá C, e-'^. 

Así, pues, paralela y normalmente á la sección de la mica, 
habrá las siguientes vibraciones: 

£■ = (ii + I2) cos(y — a) — (yii + Tis) sen (y — «), 
/^ = (ii + ?2) sen(y — «) + (^ii + 02) eos (y - «). 

Ya en la mica, á F le ocurre un retraso que la transforma 
en Fe-'^==F', de modo que, representando por R la am- 
plitud de la vibración EyporJ su fase, y por /?' y / la am- 
plitud y fase de la vibración F', 

E =R e'J' e'"*, 

/? 

Ahora bien : si escribimos tg 5- = se tendrá 

R 

tg 26 = cos(/ — y) tg 2-, y la razón de los ejes de la vibra- 
ción elíptica, cuyas componentes son E y F, será, llamán- 
dola tg P', tal, que sen2[:i' = — sen(/ —y) sen2T. 

Así, llamando e á una cierta constante de fase, las vibra- 
ciones componentes sobre los ejes de la vibración elíptica á 
la salida de la lámina de mica, serán: 



E = c cos{3'e'"^' 
H = /csen(¿'e'"'' 



disponiendo del tiempo para anular la constante de fase e. 

Esta vibración elíptica, incidente en el segundo cuarzo, se 
descompondrá en dos elípticas como antes la lineal, y ob- 
servando que c = 1 porque la energía del movimiento debe 
conservarse, se tendrá llamando 3^ H^, S.^ H.^ á las compo- 

Rev. Acad. Ciencias.— V. — Enero, 1907. 29 



t _ 424 — 

nentes de las vibraciones elípticas, dextrogiras y levógiras 
según sus ejes, y dentro del segundo cuarzo, 

E^ = My eos pe'"' 
Hi = — /i^íisenpe'"' 

B, = iM.,cos^e'''^, 
en que 

Mi = eos a' eos (|3 — ,3') -f 

/sena'sen(p + ,3') 
M2 = eos a' sen ( p — ¡i') 
— /sena'cos(,3 + í^') 

a' = a — y + 0. 

La So H, experimenta un retraso e~'^ de modo que al sa- 
lir del cuarzo se habrá convertido en H^, H2, en que las ra- 
yas superiores indican que Mo se supone substituida por 
M^e-'^ 

Por fin, de las vibraciones elípticas H^ 11^ y Z., Ho, no que- 
dan más que sus componentes sobre el analizador, de modo 
que la intensidad, al salir de éste, se encuentra ser después 
de algunas reducciones, la expresión siguiente: 

/= sen-,r + eos 2, 3' [* eos (/ — « -p y — O)cos Z/. 

4- sen (Z — a + y — O ) sen 2 13 sen 5/2 f 
-j- eos- (7. + a — y f 0)eos-2,3sen-á/2] 

4- sen2P'eos2j3(cos2/sen2,3sen2í '2 — sen2Xseno'2 cos^a)- 

. Apliquemos estas fórmulas á la experiencia primera, mica 

de — onda. 
2 



- 425 - 

f == Fe-l^'' = — F, 
Re'J = /?cosy -f íR sen y = 

cosa cos^p -\ sena sen2p + cosa sen- pe-'^ 



72 sena sen2pe-'<^ cos(y — a) 



— cosasen2B + senasen^S -| cosa sen 2,3^"''* 

L 2 . 2 

+ sena coS"p e-^^\ sen (y — a) 

de donde 

R eos; = (1) eos (y — a) — (2) sen (y — a), 
R sen/ = (3) eos (y — a) - (4) sen (y — a), 

siendo (1), (2), (3), (4) expresiones abreviadas, tales que 

(1) = eos 7. cos'-'p -j- cosa sen^p eos 3 

sena sen2B sena, 

2 

(2) = sena sen- ¡5 -\ cosa sen2p senS 

4" senaeos^pcosS, 

(3) = — sena sen2[:i — cosa sen'-p sen 5 

senasen26cosB, 

2 

(4) ^ cosa sen2S A cosa sen23 cos8. 

2 2 

— sena eos- p senB. 
De cuyos valores deduciremos tgj y R 



— 426 - 
(1) eos (y - a) — (2) sen (y — a) 



(3) eos (y — a) — (4) sen (y — a) ' 
/?^ = [( 1 ) eos (y a) - (2) sen (y — a)]'+ 
+ ((3) eos (y - a) - (4) sen (y - a))^. 

Análogamente 

— (3) sen (y — a) — (4) eos (y — a) 



tg/ = 



(1) sen (y — a) — (2) eos (y — a) ' 

R''= 



Apliquemos estas fórmulas al easo particular de la expe- 
riencia primera y = 90", x — * = 90°- 

Para el centro del campo de visión ¡i = 45°, Para otros 
puntos será P+A. Quedándonos con términos de segundo 
grado en A. 

/?cos; = — — sen^[l +2A sen2atg ^2 — 2A2], 

R seny = sen^' Vi [1 — 2 A sen2a cot í/. — 2 A'-^J, 
R'cosl= ~ cos-^ V-, fl — 2A tg-^ o/, eos2aj, 

/?'sen/ = — seni5|l -2Acos2aJ, 

j =^ — ^2 + 2A sen2a, 
/= — g/2 — Aeos2atgV2. 

R = senVo, 

R' = eos ^/., , 

(7=90-^2. 

O .= 90-^0, 
i3' = A (eos 2a tg V2 4- sen 2 a) sen^, 

y por tanto, 

/=(4sen-'V, cos2a)-A-. 



— 427 — 

Siguen términos en A^. 

Para A=0, 7=0, lo cual era de esperar, puesto que la 
vibración rectilínea entrante en el primer cuarzo es desviada 
por éste de un cierto ángulo. La mica cambia esta desviación 
por la simétrica, respecto á la primera, de modo que al atra- 
vesar el segundo cuarzo, que es en la experiencia dextrogira 
como el primero, se recompone la vibración tal como está á 
la salida del polarizador, luego á 90 de la que permite pasar 
el analizador; por consiguiente, la intensidad en el centro 
del campo es igual que si los nicoles estuvieran cruzados y 
no hubiera interpuestos ni los cuarzos ni la mica. 

Cuando = 45°, /= o. Esto explica la cruz negra 

2/2+1 

que aparece en el campo. Los anillos corresponden á la anu- 
lación de sen S/2, es decir, 3/2 = /f-; luego á los mismos 
círculos que en el caso de una lámina sola de cuarzo. 

De igual manera, para el segundo caso {i, se tendrá refi- 
riéndolo al anterior. 

F" = iF\ 

llamando F á la expresión análoga á la F' del caso anterior. 
Si R" y /" son las correspondientes á /?' y / 







/?" eos /" = — R' sen /, 






R" sen /" = R' eos 1, 


de donde 




/" = /-f-90°, 
R" = R'. 


Y por tanto, 








0- : 


= 90 -S/2, 


■• 


e = 


^ sen S/o .« , N , X 
= - 2 -^ sen(2a -f S/„), 

cosS 




r 


- ^U - 90, 



— 428 - 
y en consecuencia, 



I = — sen^^ — 8 A sen"' S/o eos ^/., eos 2a. 
2 



Para los valores de c¡ que hacen sen ^/^ = O, hay mínimo 
en el valor de la intensidad, que se reduce á cero. A tales 
valores corresponden los círculos que se ven en la figura, 
del mismo radio que en el caso anterior. 

Además, para los puntos en que 



!a = j 

!a = \ 



Z = 7: eos 2a = O 

h = 3T. • eos 2a = 
í = (2n + l)7i eos 2a = O 



que son 4 en cada circunferencia o = (2 /2 -f 1 ) tt, la inten- 
sidad es también un mínimo. 
Para la dirección a = O ó 7t, si 

eos Vi eos í = 4 A sen V2 ^^ 

la intensidad es un máximo ó un mínimo. 

Como A es pequeño, podemos tomar en las inmediaciones 
del valor de S que anula á eos. ^2- 

coto/2 = 4A, 

que corresponde á un mínimo. En cambio 

cot^ = 4A 

corresponde á un máximo. 

TZ 3 

Si a= — Ó - — - -, la intensidad es máxima ó mmima 
2 2 
para 

eos V2 eos ^ + 4 A sen V, 8 = 0, 



Kg. 4.« 



Kg. S.' 







Pig. 1.' 



/// 



'11^' 






ií 



11(1 









^/z?, 



' ■■ / / 



IN^ 



""^ 



'f 
^ 





PÍ6.&.* 



— 429 — 

y por tanto, pueden repetirse con ligera modificación las con- 
sideraciones anteriores. 

De ahí resulta que en las cercanías de donde el círculo 
h = 2n-7z corta á la direcciónn a = O, hay obscuridad, mas 
dentro del círculo. En cambio para el mismo círculo, donde 

corta á a = — ^ hay obscuridad, mas fuera de él. Y así que- 
da explicada la forma de las curvas que al describir el fenó- 
meno se han asimilado á elipses. 



XXI.— Ensayo de Geometría analítica noeuclidiana. 

Por José A. Pérez del Pulgar, S. J. 

(Continuación.) 

§3.° 

Relación entre las coordenadas y las distancias 
angulares. 

21. Sean las rectas A {x^, y^, z^), B^{Xo, y^, Zg)» 
^{x3>y's>^¿) (íig- O' de una misma radiación y designe- 
mos los ángulos planos que ellas forman por 

AB = fi„ AC = K, BC=%. 

Sabemos que, á condición de que las tres rectas estén en 
un mismo plano, 

■ e, = h,±6„ [18] 

ecuación que puede escribirse de uno de los modos si- 
guientes: 



— 430 - 

eos O3 = eos ^1 eos íio — 
Ch 0^ = Ch \ Ch &, =p 



sen ^i sen &2, 



[19J 
[20] 



donde las razones trigonométricas vienen dadas exclusiva- 
mente como funciones algebraicas de los ángulos, por las 

o 




Figura 1." 



ecuaciones de Euler ó por las series equivalentes, y no su- 
ponen ninguna relación geométrica entre un ángulo y sus 
razones trigonométricas circulares ó hiperbólicas. 

Designemos por (11), (22), (33), (12) funciones de las 

coordenadas de las rectas A,By C, tales que verifiquen una 
de las dos condiciones: 



cosí»! = 



(12) 
V(ll)(22) ' 



eose, = 



(13) 
V(ll)(33) 



cose„ = 



(23) 
V(22)(33) ' 



[21] 



Cho, 



^ (12) 

V(íl)(22) 



ChK = 



(13) 
V(ll)(23) 



ChK = 



(23) 

V(22)(33) 



|22] 



431 — 



Las dos ecuaciones [19] y [20] pueden escribirse indistin- 
tamente en forma de determinante, del modo siguiente: 



(11) (12) (13) ¡ 

(12) (22) (23) i = 0; 

(13) (23) (33) 1 



[23] 



como es muy fácil de verificar, sin más que desarrollar este 
determinante y substituir los valores [21] ó los [22]. En el 
primer caso se obtiene la [19] y en el segundo, la [20]. Pero, 
estas dos ecuaciones expresan que los tres elementos A, B 
y C están en un mismo plano, lo cual exige que se verifique 
la condición [9], izquierda del párrafo 16: luego podemos 
escribir la identidad 



(11) (21) (31) 

(12) (22) (32) 

(13) (23) (33) 



M 



Xi yi ^1 

^2 3^2 ^2 

X-s ^3 ^3 



[24] 



en donde M es un número cualquiera constante, distinto de 
cero. 

Esta igualdad no se diferencia de la identidad de Cayley ' 
sino en el parámetro M, que en esta última es precisamente 
igual á A [19] y que en el primer miembro hay que substi- 
tuir los valores 

(1 1) = (a X^.y.z.y, (12) = (a )(XxyxZ,Xx2y2Z.); 

(22) ^^ (a )(x,y,z,y, (13) = (a )(x,y,z,Xx,ysZ,y, [25] 

(33) = (a Xx.ysZ.y, (23) = (a X^2:>'2 ^2X^3X3 ^3). 



La ecuación 



(fl Xxyzy = 



^ A Sixtfi Memoir apon Quatitics, pág. 81. 



- 432 — 

representa un cierto cono arbitrario, pero propio , puesto que 
de todos modos ha de verificarse la condición A ^ O [19J. 
Si, pues, representamos por el símbolo ar. cos.x el argu- 
mento ó ángulo, cuyo coseno circular (definido algébrica- 
mente) es jc, é igualmente por ar. Chx el ángulo dado nu- 
méricamente, cuyo coseno hiperbólico (definido algébrica- 
mente) es X, podremos expresar los ángulos ^Ji, O^ y 0.^, en 
función de las coordenadas de las rectas que los limitan, sin 
más que substituir los valores [25] en las expresiones [21] 
y [22] de suerte que, v. g.: 

^^1 = ar. eos — ^ — -^^ i-^^ -í- ^,--^- -^, ^26] 

v(a Xxiytz.yvia Xx2y2z,y 

ó también 

(« XxiyiZ,)(x,y,z,) 



\/(« Xxú'r^.rVia ){x,y,z^^ 

donde, como hemos dicho, 



eV-i -oV-i e , -fi 
eos ^ = ■ y Che r= '. 



-; [27] 



que pueden servir de definición de coseno circular é hiper- 
bólico. 
22. Las expresiones [26] y [27], puestas bajo la forma 

(a X^lVl^l)- . (a Xx-^y^z^Y cos^o^ 

— [{a Xx,yyZ,Xx,x,z.)Y = O, 

(a XxiyrZ,y-.(a Xx,y,z,y Ch-'o, 

-[{a Xxty,z,Xx,y2Z,)y=^0, 

pueden escribirse, respectivamente, en la forma 



- 433 — 

{a )(x^y,z,y.{a )(x,y,z,ysQn''o, 

— (A XJi>'2 — y-2^i> ^1^2 — z^Xu x^y. — x.yO^ = O 

{a X^i>'i'2'i)'.(« X^^y-.^-iysh'o^ 

4- (A XVí^^ — y2^i, ^íXi — z.Xy, x,y^ — x^^y^y = O, 

en virtud de la identidad 

{a tx^y^z.y . {a \x,y,z.^^ - [{a tx,y,zj,x,y,z,)\' 

= {A Xyi'2^2 — y-Zx, z^x. — z,,Xi, x^y. — XoyO'- 

Lo que permite dar á las expresiones [26] y [27] la forma 

e _ar gen ^^^ Xyi^2->^2^i, z,x.-z^x„x^y, -x^y^y ^^^-^ 

\J{a tx,y,z,y\J{a X^2>'2^2)^ 

e = ar Sh V^(^ X^i^s— )^2^i> z^x^~z,^x^, z^y^—x^y^)'' ^^gj 

\/ {a....){x^yyz^y \J{a tx.y.zly 

23. Si designamos por -. la distancia angular entre dos 
planos dados por sus coordenadas {u^ v^ w^) y (Wg 1^2 ^1)1 si- 
guiendo un procedimiento enteramente correlativo al que he- 
mos seguido para hallar las expresiones [26], [27], [28] y 
[29], encontraremos fácilmente 

T = ar . eos ^ '^ ^ ^ — ^ - - -/ — 1201 

V (.4 X«i^iW^i)' V(^ Xw-iV.iVi)- 

ó lo que es igual, 

T = ar sen ^^^ X^i^^2— ^^2^^i> w.u^—WoU^, ii^v.—u^v;)-'^ 

\/{A X«i Vi w^y "^{A tu, V, u;.,)2 



ó también á partir de la [20] , 

[32] 



T = ar . C/z ^^ Xwii^iW'iXWíVíWo) 



V(^ tUyV^w;)^\J{A tu^v^w.;)- 



— 434 - 

Ó lo que es igual, 






El subradical del numerador en [31] y (33J puede escri- 
birse 

(A Xx'y'z'y, 

siendo x' y' y z' las coordenadas de la recta de intersección 
de los dos planos dados por las coordenadas («i Vi Wi) y 

(«2 V., IV2). 

24. Para resolver por completo el problema de expresar 
los ángulos en función de las coordenadas, resta, pues, co- 
nocer las cantidades a, b,c,f,g y h que intervienen en todas 
las expresiones anteriores. Consideremos Xi y, y z^ como 
constantes y Xc, y^ y z^ como coordenadas generales : en este 
caso, las expresiones [26] y [27] puestas bajo la forma 

cos2e(fl tx,y,z,y.{a \xyzy—[{a tx,y^zJ,xyz)Y^O 

Ch^Ka ){x,y,z,y.(a Xxyzy-[{a Xxiy,ZiXxyz)V=0 

para O constante, representan el lugar geométrico de todas 
las rectas de la radiación que equidistan de la (x^ y^ z-¡) un 
ángulo 0; es decir, representan un cono de revolución que, 
según la observación hecha en el párrafo 20, está inscrito 
en el cono representado por la ecuación. 

(fl X^;''^)^ = o. 

Es éste, pues, un cono en el que se hallan inscritos todos 
los de revolución de la radiación, es decir, el absoluto [11]. 
El plano central de inscripción está representado por la 
ecuación 



- 435 — 

y el eje de inscripción es la recta cuyas coordenadas son 
X, y, y z,. 

Dos elementos conjugados con respecto al absoluto son 
rectangulares. 

De esta observación podemos deducir la expresión del 
ángulo formado por una recta {x^ y^ zj y un plano {u^ v^ w^). 
En efecto, el coseno de este ángulo será igual al seno de su 
complemento, ó sea, al seno del ángulo formado por la recta 
(Xi yi Zi) con la polar del plano {u^ v^ w^) con respecto al 
absoluto, ó correlativamente al seno del ángulo formado por 
el plano {u^ v^ w^) con el plano polar de (x, y^ z^). Este plano 
es el representado por la última ecuación, donde los coefi- 
cientes áe X y y z son F/ Fy y F/, respectivamente, y, por 
consiguiente, éstas serán también las coordenadas tangen- 
ciales del mismo plano. 

Llamando, pues, o- al ángulo buscado, 

. = ar.sen \/^ («i ^t + ^^ ^i + «^i ^> ) 



V(« )(x,y,z,y\iA X«iv,iv0"-' 

En rigor, podríamos adoptar para a, b, c, valores cua- 
lesquiera, con tal que A 5 O, condición que ha de verificarse 
siempre en la ecuación del absoluto, ya venga dada en coor- 
denadas tangenciales ó en coordenadas de rectas. La geo- 
metría angular de la radiación es, pues, en su más estricto 
sentido (por lo que hace á su forma algébrica), cayleyana. 

25. Observemos, sin embargo, que existe una diferen- 
cia entre la geometría angular, tal como queda establecida, 
y la geometría cayleyana, tal como la interpreta su autor y 
sus continuadores. Donde éstos dicen punto, recta, plano, 
aquélla substituye recta, plano, punto, respectivamente; á 
segmento rectilíneo, corresponde ángulo plano, etc.; y por 
eso á la geometría cayleyana del plano corresponde la angu- 
lar de la radiación. Ahora bien; no existiendo ni pudiendo 
existir ángulos poliedros semejantes ni homotéticos en una 



— 436 — 

radiación, por no haber en ella más que elementos propia- 
mente tales, reales ó imaginarios, pero nunca en el infinito 
(supuesto el vértice propio), la existencia de una geometría 
euclidiana del plano no bastaría para probar que esta geo- 
metría era también aplicable á la radiación; y, por consi- 
guiente, retorciendo el argumento, la existencia de una geo- 
metría noeuclidiana de la radiación, no prueba que ella pue- 
da ser aplicable al plano. En otros términos; para justificar 
la geometría cayleyana, tal como la entienden actualmente 
los geómetras noecluidianos, es preciso demostrar que, 
donde ellos á\ctr\ punto, recta y plano, no habrían de decir 
recta, plano, punto, respectivamente, con lo cual, sólo se 
harían todos los sistemas geométricos perfectamente compa- 
tibles entre sí. Si dicho cambio de palabras fuese siempre 
lícito, poniendo en la geometría euclidiana del plano, en vez 
át punto, recta, plano, recta, plano, punto, respectivamen- 
te, nos resultaría una geometría de la radiación propia, en 
que se nos hablaría de rectas y planos del infinito, pertene- 
cientes á la radiación, de triedros semejantes y homotéticos, 
etcétera: cosas que no tienen sentido en ninguno de los tres 
sistemas posibles: y, sin embargo, no podría descubrirse en 
la tal geometría contradicción alguna. No haré más que ano- 
tar, por ahora, esta consecuencia, sobre que insistiré más 
adelante, por ser una de las principales que se desprenden 
de este trabajo. 
26. Representaremos el absoluto por la ecuación 

que presenta la ventaja, no sólo de reducir los coeficien- 
tes a, b, c, á la unidad ó á cero, sino de que la ecuación 

del mismo cono en coordenadas tangenciales es también 



— 437 - 

El plano polar de la recta {x^ y^ z^ ), con respecto al abso- 
luto, es el representado por la ecuación 

^1^ + Vxy + ^xz = o, 

que es perpendicular á su polar, y, por consiguiente, expre- 
sa la condición para que dos rectas, (x^ y^ z^ y (x y z) sean 
perpendiculares. 

La condición para que lo sean los planos cuyas coordena- 
das son («1 Vi iVi) y (m V w), es: 

u^ü -\- VjV + Wiiy = 0. 
El coseno circular ó hiperbólico del ángulo formado por 



las rectas {x^y^z^ y {x..y.,z.^ es 



los planos (u, v^w,) y {u., v^w.^ es 

ü, «2 -I- V, V., 4- w, IV, [34J 



Los senos circulares ó hiperbólicos de las mismas cantida- 
des serán, pues, según las [28] y [31], 



S(yxZ.—yf^--\-{z^x.,-z.x^-^{x(y.,—x^yJ' 



V'(ViW.+v,H;i)2+(iy,¿/,-jH;,ü^)2+ («iv,— «2Vi)2 



V/«2j+v2,+iv2, Vtt2,.f v2,+u;2. 



que pueden también escribirse, designando por 



í/vw las coordenadas tangencia- 
les del plano común á las dos 
rectas, 



Vu^+v^+iv^ 



vx^+>'^+^^ v^^+z.+z^. 



xyz las coordenadas de rectas 
de la recta intersección de los 
dos planos, 

Vx2+/+2:2 



V«-í + v2,+iv2,\/"'2 + v2,+h;2, 



[35] 



[36] 



27. Tratemos de hallar la distancia angular entre una 
recta (x, y, z), y un plano («, y, w). Y, para ello, observe- 
mos que, si la llamamos o- 



COSt 



= sen I <T V 

\2 ; 



- 438 — 

Pero como -^ representa un ángulo recto, el coseno del 

ángulo que buscamos es igual al seno de su complemento, ó 
sea al seno del ángulo formado por la recta (x, y, z), con la 
polar del plano {u, v, w), con respecto al absoluto. Esta po- 
lar viene representada por la ecuación 

y, por consiguiente, sus coordenadas son precisamente u, v 
y w, según la advertencia final del párrafo 14. Por tanto, la 
distancia angular de la recta {x,y,z), al plano (u, v, w) 
es el complemento de la distancia angular de dos recias que 
tuviesen por coordenadas respectivamente estas mismas can- 
tidades; por tanto, 

XiU^ +3^1 Vi + 2'iiVi 
(7 = ar. sen ^ "^^ ^ ^ ^ [371 

Vz\-{-y\-i-z\\/ii\ + v\-\-w\ 

28. De lo dicho se saca fácilmente la condición de per- 
pendicularidad de dos elementos cualesquiera, dados por sus 
coordenadas ó por sus ecuaciones. Así, por ejemplo, la con- 
dición para que dos rectas 

ax + by -f cz = O, 

a'x -j- b'y -f- c'z = O, 

sean perpendiculares, es que 

aa + bb' -\- ce' = 0. 

Las expresiones [36| nos dicen que: 

Todas las rectas situadas so- Todos los planos que pasan 

bre los planos tangentes al cono por las generatrices del cono ab- 

absoluto forman entre sí ángulos soluto forman entre sí ángulos 

nulos, aunque no se confundan, ' nulos, aunque no se confundan, 

puesto que las coordenadas tan- puesto que las coordenadas de 

genciales del plano que ellas de- la recta que determinan dos de 

terminan anula el seno del ángu- ellos anulan el seno del ángulo 

lo que los separa. ¡ que los separa. 



- 439 - 

La interpretación geométrica de este modo de hablar es 
clara y precisa, teniendo en cuenta el significado que hemos 
dado á las palabras recta y plano imaginario. 

Todas las generatrices y los planos tangentes del cono ab- 
soluto son isótropos, puesto que sus coordenadas anulan el 
coseno del ángulo que forman consigo mismos. 

§ y 

RELACIONES MÉTRICAS ENTRE LOS ELEMENTOS DE UN TRIEDRO 



29. De lo dicho se desprende la relación que existe en- 
tre los ángulos planos y los ángulos diedros de un triedro. 
Adoptemos, por ejemplo, las razones trigonométricas circu- 
lares , y después haremos notar brevemente las modificacio- 
nes que hay que introducir en los resultados si se quieren 
escoger las hiperbólicas. 

Si las tres rectas A {x^ y\Zi), B (x> y^z^), y C (Xg y^ z^ 
no estuviesen en un mismo plano, el segundo miembro de la 
igualdad [24] no es nulo; y entonces, haciendo para simpli- 
ficar 



a ==.(11) úf=(22) 


Xi y, Zi 


b = {\2) /-(33) /z = A 


Xo y. z. 


c^(13) £ = (23) 


X; ys z. 



podremos poner dicha igualdad en la forma 



abe 
b d e 
c e f 



= /2; 



y desarrollando y reduciendo, 

ae' + fb' + dc^' — 2bce — adf+h = O, 



Rkv. Acad. Ciencias.— V. — Enero, 1907, 



— 440 — 

Ó bien, 

fd ad af afd adf 

que puede ponerse bajo la forma 

V'^f) \'Td V'^d Vaf 



+ 



Ifd^ ad^ adf^ _\ 



c 
ecuación de segundo grado en — -=r- que nos da, para esta 

V af 
cantidad, después de despejada, 



c _ e b _^A / e^ b^ e^ -^j-i í_ 

\'^f~Vfd \/7d~\ fd ad fd ad adf 



ó bien 



\/a/ yfd V 
ó por último, 



ad VI adl\ fd] adf 



\Jaf \/fd Mad 






139] 



Desde luego sabemos que 





- 441 — 




c 


(13) , e 

= —r^ — ' = C0S&2 „ — ; — 

V(ll)(33) Sjfd 


(23) 


Vaf 


V(22)(33) 




b 12 


= COSí'i. 




^ad V(ll)(22) 





= cose. 



[40] 



Sólo nos resta conocer el significado del último radical: 
para ello hagamos 



•V 



Q 1/ 1 ^^/ 

cosp= V 1 



1 '' 



ad)\ fd 



= \ \ ^^/ 



sen^e^sen^Og 
de donde 

sení^i sen 63 

Ahora bien; h es una cantidad cualquiera distinta de cero; 
y, como en la ecuación del absoluto x- -|- y-' -f z2:=0, A = 1, 
podemos hacer h^\; pero, según las relaciones [36], 



sen 01 = 





Vu\ 


+ 


v^ + 


w'\ 




\/x\ 


+ y^ + 


^'1 


\/x% 


+ yS 1 


z\ 




VuK 


+ 


v% + 


w\ 





sen O3 = _ , 

ahora bien: 

í/fl/=(ll)(22)(33) = 



— 442 — 

Sustituyendo estos tres valores con el de /z = 1, en la ex- 
presión de sen p, obtenemos 

^^'2+y\-^-zK^ .yin 

sen [i = — / — ; [41] 

\u\ + v^ + w\ y ü\, + v\ + w\_ 

que es precisamente el seno del ángulo diedro de arista 
{^^y^^i) opuesto al ángulo plano O2. Sustituyendo, pues, 
en [39j los valores que se deducen de [40J y [41], resulta 

COSO2 = cosO^ COSO3 ±: sen^i sen 6;, eos ¡5, [42] 

que es una consecuencia importante de la identidad de Cay- 
ley [24], de la cual no sé haya sido deducida hasta ahora. De 
todos modos, la expresión [42] hace aplicables á la geome- 
tría angular de la radiación todos los teoremas conocidos en 
la trigonometría esférica. Es claro que, mediante un procedi- 
miento enteramente correlativo, hubiéramos obtenido un re- 
sultado también correlativo para la expresión de uno de los 
ángulos diedros en función de los otros dos. No nos deten- 
dremos en esta operación, fácil de verificar, prefiriendo dejar 
para más adelante el obtener dichos resultados por otro pro- 
cedimiento enteramente distinto, y que acabará de comple- 
tar la teoría de la métrica angular radiada. 

30. Hasta aquí hemos empleado las coordenadas homo- 
géneas — , — , y — , — , que hemos sometido á las condi- 
z z w w 

ciones establecidas en los párrafos 13 y 14. Sabemos, pues, 
que ellas nos representan cierta función de las distancias 
angulares de dos rayos homólogos de dos haces perspecti- 
vos á uno tomado como origen, á condición de que el rayo 
común y doble tenga sus dos coordenadas infinitas, y que 
las abscisas de cuatro rayos de un haz harmónico satisfagan 
á la condición [1] en cada uno de los haces coordenados. 



— 443 — 

Ahora nos encontramos ya en estado de poder determinar la 
forma de dicha función y, por consiguiente, la manera de 
construir geométricamente un elemento dado por sus coor- 
denadas ó por su ecuación y la significación de los elemen- 
tos de referencia. 

Para ello determinemos el valor de las coordenadas ho- 
mogéneas, haciendo 

«2 + v2 -f w2 = zt R^ (1) [43] 

donde R es una constante arbitraria. 

El signo de R', que pudiera parecer arbitrario, no lo es, 
como vamos á demostrar, siendo preciso escoger el signo 
positivo, si adoptamos las razones trigonométricas circula- 
res, en la expresión de las distancias angulares en función 
de las coordenadas, y el signo negativo, si adoptamos las 
hiperbólicas. 

En efecto; según las expresiones [10], párrafo 16, 

v2=(x2Zi — XiZ.^' = X'.2Z\ rx-iZ-., — 2x^x.2 z^z., [44] 
u;2 = (x^y.. - x^^y^y = x-'i/-, + x\,y-i — 2x^ Xo ^i^a, 

Expresiones que, sumadas, teniendo en cuenta la [43], 
dan 

±R^^(x\-{-y\+z\)(x\-{-y%+zK)~(x,x, f y,y2-\-z,z.;)K 

De aquí, y de las [34], resulta que el coseno circular ó hi- 
perbólico del ángulo formado por 



' Téngase presente que aunque hubiéramos podido poner tam- 
bién x^ +y^ + z~ = ±: r~, como después diremos, no pueden ambas 
condiciones verificarse á la vez, porque [43] determina el valor, no 
sólo de w, sino también el de z. 



- 444 - 



las rectas {x^y^z^) y (a-oJ^ozJ es 

X^X.+y^y. + Z^Z, 



\/±:R'-Hx,x.,+yj,+z^z.J^ 



[45] 



los planos (w, v,iv,) y (u.¿v.Wi) es 



±/?2 



[46] 



31. Escojamos, pues, en primer lugar, para /?-, el signo 
positivo. La expresión [45] exige que 

coi e==-Il^^l±Ml±Ilh. [47] 

R 

puesto que, bajo la forma 



R 



V 



' R 



es el coseno necesariamente circular, y no hiperbólico, de un 
arco, cuya ; cotangente, también circular, es igual al nume- 
rador. 

f^La distancia angular de un plano («,, v^, iVi), á una recta 
(^i> yu ^í)> sstá dada por 

cr = arsen ' \^ ^^ ^ ^ _^ . r4gi 

R\x,^-\-yr + z,^ 

Vese, pues, que la geometría angular de la radiación es 
correlativa de la geometría lineal del plano en un espacio de 
curvatura constante positiva, ó sea riemanniana, en el caso 
en que escogemos el signo positivo para /?'. En virtud de 
la propiedad 

U2 J^ y> _^ w2 = f^l^ 

la radiación tiene una geometría idéntica á la de los círculos 
máximos de una esfera euclidiana de radio R, geometría que 



- 445 — 

puede ser deducida de la radiación, cortando á ésta por una 
esfera cuyo vértice esté en su vértice. 

32. Si escogemos el signo negativo para 7?^, la expresión 
[45] exige que 

Cot /z . O = ^i^2+}^iy2 + ^i^2 [49, 

R 

puesto que bajo la forma 

^1^2 +>'l}'2 + ^2^1-^2 



R 



V 



^1^2 -{■yiy2 + Ziz.. Y 

R 



— 1 



es el coseno, necesariamente hiperbólico, y no circular, de 
un ángulo, cuya cotangente, también hiperbólica, es igual al 
numerador. La distancia angular de un plano (u, , v^, w^) á 
una recta {x^, y^, z^), está dada en este caso por 

'7 = ar. ¿« . [50J 

^V^i' + j'i' + ^i' 

Observemos que la expresión [46] del coseno del ángulo 
formado por dos planos, no hace más que cambiar de signo, 
y por consiguiente, aun en este caso, los ángulos diedros 
pueden seguir viniéndonos dados por sus razones trigono- 
métricas circulares. 

Por consiguiente, en este segundo caso, un ángulo plano 
de un triedro viene dado por la relación 

Ch\ = Ch%Ch% + Sh%Sh% cosp, [51] 

sus análogas derivadas y correlativas, que demuestran que 
todas las propiedades del plano lobatchefskiano son aplica- 
bles á la radiación. 



— 446 — 
La propiedad 

«2 + V2 _|- iv^ = — /?- 

hace que la radiación pueda ser comparada á la superficie de 
una pseudoesfera euclidiana; y toda la geometría de la ra- 
diación, en este segundo sistema, sea correlativa, por corre- 
lación del espacio, con la geometría del plano de Lobat- 
chefsky; es decir, que la radiación tiene una geometría an- 
gular idéntica á la geometría lineal del plano, en un espacio 
de curvatura constante negativa, sin que entre esta conclu- 
sión y la del número anterior haya la más pequeña contra- 
dicción, sino sólo un mero cambio de signo de la constante 
arbitraria /?-. 
33. La hipótesis 

x^ + y + z' = ± R' 

nos hubiese conducido á otros dos sistemas enteramente co- 
rrelativos de los anteriores, donde la hipótesis r R- nos 
exigiría el uso de las razones trigonométricas circulares para 
todas las distancias angulares, confundiéndose (en cuanto á 
esto) con el primero de los dos sistemas que hemos exami- 
nado, pero diferenciándose de él en cuanto al valor y signi- 
ficado de las coordenadas. La hipótesis — R^ exigiría el em- 
pleo de las razones trigonométricas circulares para la medida 
de los ángulos planos, en función de las coordenadas, y el 
de los hiperbólicos para los diedros. Como el uso de todas 
estas geometrías nos conduce á resultados equivalentes, nos 
contentaremos con usar las dos expuestas en los números 
anteriores, que son las que más directamente se prestan á la 
interpretación de las conclusiones, sacadas por los geóme- 
tras noeuclidianos en los planos de Riemann y de Lobat- 
chefsky. 

Al sistema de coordenadas absolutas definidas por la pro- 
piedad 

W-' + V- + IV-' = /?•-' 



— 447 - 

lo designaremos con el nombre de sistema esférico; porque 
en él, el estudio de la radiación es enteramente parecido al 
de las formas constituidas por geodésicas sobre la superficie 
de una esfera. 
Al sistema definido por la propiedad 

u- + v2 ^ iv2 = -- /?2 

lo llamaremos sistema pseudoesférico , por la analogía casi 
absoluta que presenta con el estudio de las figuras formadas 
por geodésicas sobre la superficie de una pseudoesfera. 
También podrían designarse con los nombres respectivos de 
Riemann y de Lobatchefsky, en memoria de los geómetras 
que más han contribuido á preparar el terreno para el esta- 
blecimiento de ellas, como geometrías independientes de la 
teoría euclidiana del paralelismo: aunque estos nombres po- 
drían engendrar confusiones, porque las geometrías que hoy 
en día se designan con estos nombres, aunque idénticas en 
la forma á las dos geometrías de la radiación que acabamos 
de establecer, son, en realidad, distintas por completo, en 
cuanto á la interpretación que dan á las expresiones que en 
ellas intervienen, y sería un grave error confundirlas. 

De todos modos, no estará demás observar que la geo- 
metría angular de la radiación tiene lugar lo mismo en un es- 
pacio euclidiano, que en un espacio riemanniano ó lobatchefs- 
kiano; y esto, cualquiera que sea el valor de la constante 
espacial, y que, por consiguiente, debe ser aceptada porto- 
dos los metageómetras indistintamente. 

DIVERSOS SISTEMAS DE COORDENADAS 

34. Consideremos una radiación de vértice O (fig. 2)> 
siempre propiamente tal. Si tomamos como abscisa y del 
plano AX út uno de los dos haces coordenados X, la razón 



- 448 — 

de los senos circulares de los ángulos POUZ y POUY, y 
asimismo, tomamos como abscisa x de un plano A Kdel haz 
de base Y, la razón de los senos circulares de los ángulos 
QOVZ y QOVX, el triedro XYZ es el triedro de referencia. 
Si es trirrectángulo, las coordenadas absolutas binarias de una 
recta son las tangentes de los ángulos que los planos de los 




Figura 2." 



haces generadores, que la contienen, forman con las respec- 
tivas caras del triedro de referencia, ó las cotangentes de los 
que forman con el plano común XY de los dos haces gene- 
radores. 

X V 

En las coordenadas homogéneas — , -^, los planos YZ, 

XZ, XY del triedro de referencia, vienen dados respectiva- 
mente por las X ^ O, j = O, z = 0. Como las dos abscisas 
del plano XKson infinitas, este sistema satisface á las exi- 
gencias antes pedidas para un sistema de coordenadas. 



- 449 — 

35, Es fácil, en este sistema, dar una interpretación geo- 
métrica á las coordenadas absolutas binarias, tangenciales de 
un plano dado por la ecuación 

Ax + By^\=0. 

Sabemos que estas coordenadas son precisamente A y B. 

Pero, A = , para y = 0, \o que prueba que A es igual 

á la razón de los senos de QX y QZ, con el signo negativo. 

Asimismo, B= , para x = 0; lo que indica que B 

y 

es la razón de los senos áe PY á PZ, con signo negativo. 
En el caso de un triedro trirrectángulo, las coordenadas tan- 
genciales son iguales á las inversas con signo cambiado de 
las tangentes de los ángulos que forman las intersecciones 
del plano dado con los planos ZX, ZY, con el eje Z. 

36. Coordenadas triédricas.— Si llamamos <? á la distan- 
cia del plano {u v w) á la recta (x y z), sabemos que, tanto 
en el sistema esférico como en el pseudoesférico, 

ux ^ vy 4- wz 
<i = ar . sen , V . 

\/±/?2Vx2 + 3;2-f2:2 

Sean, pues, tres planos de un triedi'o de referencia 

a ax -^ by -^cz =0 j 

b ax -^b'y -{-c'z =0 ■ [52J 

c a"x + b"y + c"z = O ) 

y una recta, r, de la radiación cuyas coordenadas sean (x y z). 
Sus distancias á las caras del triedro de referencia vienen 
dadas por 



I 



sen<xi 



sen 3-, = 



serícTo = 



— 450 - 
ax 4 hy -^ cz 



\/± /?-' \/x2 + y^ + 2 

a'x + b'y 4- c'z 

V/±;?-Vx' + >'' + 2:' 

a"x + ¿í";' + c"z 



Es claro que, conocidas las posiciones de los elementos 
del triedro de referencia, es decir, los coeficientes de las 
ecuaciones [52] y los valores de estos senos, queda deter- 
minada la posición de r. Pudiéramos, pues, tomar estos senos 
por coordenadas, y entonces, una ecuación de primer grado, 
en coordenadas triédricas, homogéneas, representaría un 
plano, puesto que sustituyendo sus valores en función las 
antiguas coordenadas, la ecuación de primer grado seguiría 
siéndolo en X, }; y z. 

37. Correlativamente, podemos tomar por coordenadas 
triédricas de un plano los senos de los ángulos que forman 
con él las tres aristas del triedro de referencia, y, en este 
sistema, por idéntica razón, toda ecuación de primer grado 
representa una recta. 

38. Coordenadas triédricas de M. Barbar in. — Si el trie- 
dro es trirrectángulo (fig. 3.'^), sea la recta OM{xy z). Sus 
coordenadas triédricas de rectas, son: 



^ = cosMOB — 1 I ^1^ I 1 



\Jx(^ 4- y^^ -i- zC-^ X} ^- ^2 r z' 



Mtr^n x^x-\-y.^y -{- Z^Z 

eos Ai o C = ^' . " 



:senMO¿ = cosiWO>l= — =S^ÍJltí;¿Í 



S^^^y^-^z.^\lx''^y''\z'' 
Pero 



- 451 — 

l=cosMOB=cosMOL.cosLOB=cosMOLcosLACB 
r,=cosMOC=:cosMOL.cosLOC=cosMOLcosLAOC[53] 
^==cosMOA=SQnMOL I 

son las coordenadas triédricas de Mr. Barbarín i, que pre- 




sentan la particularidad siguiente : Si las elevamos al cuadra- 
do, y las sumamos, resulta: 

^2_|_.,,2 ^-f^cos'MOL{cos'LAOB-^cos'LAOC—\)-\-\^\, 
puesto que los dos ángulos en 0.4 son complementarios. 



* Eludes de Géométrie Analytique non euclidienne. — Bruxelles, 
1900, pág. 16. — Es claro que Mr. Barbarín las usa como coordenadas 
ternarias de un punto sobre un plano riemanniano ó lobatchefskiano. 



— 452 - 

Si en vez de usar las razones trigonométricas circulares, 
hubiésemos preferido usar las hiperbólicas, para obtener 
la unidad hay que restar del cuadrado de la última la suma 
de los cuadrados de las otras dos; es decir, que 

?-(;^ + ^0 = i. 

Y designando por s la unidad afectada del signo positivo 
ó negativo, según que usemos el sistema esférico ó el pseu- 
doesférico, tendremos por relación constante, en cualquier 

sistema, 

C^ + s(i-3 + v')=l. 

Presentan estas coordenadas la ventaja de poder tratar, 
casi siempre, los dos sistemas al mismo tiempo, sin por eso 
confundirlos: y, sobre todo, de prestarse, como veremos, á 
una discusión sencillísima de la ecuación general de segundo 
grado. 

39. Coordenadas polares. ~L\2imQmos o al ángulo AOM 
y O) al MA OB. En función de estas dos cantidades, podemos 
determinar la posición de la recta OM, mediante las rela- 
ciones siguientes, que se deducen como caso particular de 
la [42], párrafo 28: 

q = senp costo 

T, = seno eos lu [54J 

9 = coso 

que serán las fórmulas de transformación para pasar de un 
sistema á otro. 

40. Para pasar de un triedro de referencia, ABC, trian- 
gular, á otro también rectangular. A' B' C, cuyas caras ten- 
gan por ecuaciones 

ax -\- by -\- cz = 

a'x -}- b'y -f c'z = O 
a"x -\- b"y + c"z = O, 



[55] 



- 453 - 
tenemos las condiciones 

aa -^ bb' -{- ce' = 

aa" -f bb" -{- ce" = O 
a'a" 4- b'b" -\- c'c" = O 
«2 4- ¿,2 ^ c2 = ± R' 

a''2 _|_ ¿,'2 4_ c'2 == dz 7?2 

a"2 _|_ b"2 _|_ c"2 = ± /?^ 



y, por consiguiente, podemos disponer de tres de los nueve 
parámetros. Existen, pues, tres cantidades, que definen com- 
pletamente una rotación cualquiera de un triedro trirrectán- 
gulo alrededor del vértice de la radiación, conclusión idén- 
tica á la de Euler. 

(Concluirá.) 



Concurso internacional de sisniómetros. 

La Comisión permanente de la Asociación Internacional de 
Sismología ha encargado, á la Oficina central de la misma, 
el organizar un Concurso para la construcción de un sismó- 
metro, destinado á indicar los temblores de tierra próximos. 

El aparato debe cumplir las siguientes condiciones: 

Registrar los movimientos horizontales y verticales de los 
temblores de tierra próximos. 

Ser todo lo más sencillo posible. 

Amplificar á lo menos 40 ó 50 veces los movimientos te- 
rrestres. 

El precio del aparato, comprendido todo el mecanismo 
registrador, ha de ser poco elevado: unos 300 marcos. 

Los premios del concurso son: 1.000 marcos, 500 marcos 
y 300 marcos. 



— 454 - 

Los aparatos se remitirán, antes de 1.° de Septiembre 
de 1907 y por cuenta y riesgo de ios inventores, al Vicepre- 
sidente (M. le Directeur, Dr. J. P. Van der Stok en De Bilt, 
Países Bajos), para que sean expuestos cuando se reúna la 
Asamblea general en El Haya, á mediados del próximo mes 
de Septiembre. 

De juzgar los aparatos con arreglo á su funcionamiento, 
está encargada la Oficina central de Estrasburgo. 

Un Jurado compuesto de cinco sismólogos designados por 
la Comisión permanente, hará las calificaciones, que se pu- 
blicarán en las Pascuas de 1908. 

Para más pormenores, dirigirse al Sr. Gerland, Director 
de la Oficina central (Strarsburg i E Schwarzwaldstrasse, 
/0-Alsacia). 



ÍNDICE 

DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO 



píos. 

XVIII.— Elementos de la teoría de la elasticidad, por José Eche- 

garay 359 

XIX.— Estudios de Síntesis mineral , por ¡osé Rodríguez Mou- 

relo 393 

XX.— Sobre algunos fenómenos de polarización en luz con- 
vergente, observables en láminas de cuarzo dextro- 
giras, superpuestas, de igual espesor, normales al 
eje, teniendo intercaladas láminas de mica de '(4, V2, 
^/s ó Vs ^ » por Esteban Tenadas 409 

XXI.— Ensayo de Geometría analítica noeuclidiana, por el 

P. José A. Pérez del Pulgar, S. J. 429 



La subscripción á ,esta Revista se hace por tomos completos, 
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos 
en el extranjero , en la Secretaría de la Academia , calle de Val- 
verde, núm. 26, Madrid. 

Precio de este cuaderno, 1,60 pesetas. 



REVISTA 



REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 



EXACTAS. FÍSICAS Y NATURALES 



DE 



MADRID 



(Febrero de 1907.) 



MADRID 

IMPRENTA DK LA "GACETA DE MADRID,. 

CALLE DE PONTEJOS, SÚM. 8. 

1©07 



ADVERTENCIA 



Los originales para la Revista de la Academia 
se han de entregar completos, en la Secretarla de 
la Corporación, antes del dia 20 de cada mes, 
pues de otro modo quedará su publicación para 
el mes siguiente. 



455 - 



XXII. Elementos de la teoría de la elasticidad. 

Por José Echegaray. 

Conferencia, segunda. 

Señores: 

Difícil es definir con exactitud y claridad un objeto ó un 
concepto que nos sea de todo punto desconocido; despertar 
en nuestra conciencia, mejor dicho, llevar á ella lo que en 
ella no estaba de antemano; aumentar, en suma, su caudal y 
su contenido. 

Pero no es mucho más fácil definir cosas y seres, que nos 
son familiares; y cuanto más familiares más difícil será la 
definición. 

Por ejemplo: ¿cómo definiremos el tiempo ó el espacio? 

Y sin embargo, todo el mundo sabe lo que son ambos 
conceptos; y si la palabra saber no parece propia, digamos 
que ¿quién no los siente? ¿quién no se siente en el espacio 
y en el tiempo? 

Si decimos como algunos filósofos que el espacio es la 
forma del coexistir y que el tiempo es la forma del mudar, 
ambas definiciones podrán ser buenas ó malas, no las discu- 
timos; pero si ambas ideas no existiesen ya en nosotros, 
dudo que las adquiriéramos por fuerza y virtud de una ú 
otra definición. 

Por eso encontramos difícil empezar cualquier materia, 
dando unas cuantas definiciones previas, como no sea cuando 
se trate de asuntos de pura ciencia matemática, en que ya 
muchas veces, no siempre, la definición puede ser clara y 
rigurosa. Pero no tratamos de las matemáticas puras, sino 

Rev. Acad. Ciencias. — V. — Febrero, 1907. 51 



— 456 — 

de la Física matemática, que es ciencia mixta, si vale la pa- 
labra. 

Todo el mundo sabe lo que es la elasticidad, la práctica 
de la vida nos lo enseña: la elasticidad de un resorte, la 
elasticidad de un puente de hierro, la elasticidad de una 
masa de gas son para nosotros ideas familiares. Una masa, 
un sistema, que bajo la acción de determinados esfuerzos, 
cambia de forma, y que cuando los esfuerzos cesan, vuelve 
á recobrar la forma primitiva, es un concepto bastante claro. 

Pero aquí hay dos puntos que considerar. Cuando una 
fuerza ó varias se aplican á un sistema material, dos casos, 
en efecto, pueden ocurrir al cesar los esfuerzos; ó diremos 
mejor, al cesar lentamente, para que no se complique el pro- 
blema del equilibrio con el problema del movimiento ó de las 
vibraciones: 1.° Que el sistema tienda á recobrar su forma 
primitiva, pero que no la recobre por completo, quedándose 
en otra forma de equilibrio distinta de aquélla. Entonces el 
sistema no será perfectamente elástico; será, por ejemplo, 
viscoso, ó pastoso, ó de alguna forma especial, que no he- 
mos de estudiar en este curso. 2." Que el sistema vuelva 
exactamente á su primera forma al cesar las acciones que 
sobre él se ejercieron. En este caso se dice que el sistema es 
perfectamente elástico. 

Pues bien; la Teoría de la elasticidad se ocupa en estudiar 
ias relaciones entre los esfuerzos aplicados á un sistema ma- 
terial y las deformaciones que producen. 

Este es el problema general de la Elasticidad. 

Mas la Elasticidad, como la Mecánica, tiene dos partes: 
la parte estática y la parte dinámica; la elasticidad del equi- 
librio y la elasticidad del movimiento. 

1." Las deformaciones, y así lo demuestra la experiencia, 
tienden á oponerse á las fuerzas que las determinan, por el 
desarrollo de fuerzas internas contrarias á los esfuerzos de 
deformación: y puede llegar un caso, al menos en teoría, en 
que estas fuerzas internas, ó fuerzas elásticas, equilibren 



— 457 — 

las fuerzas deformantes, y el sistema venga á un estado 
perfecto de equilibrio entre unas y otras fuerzas. 

Este problema pertenece á lo que hemos llamado el equi- 
librio de elasticidad. 

2.° O puede suceder, que todos los puntos del sistema 
vibren, ó se muevan, en general, bajo la acción de las fuer- 
zas internas y de las fuerzas deformantes, como le sucede 
á la cuerda de un violín, á un diapasón, ó á sistemas más 
complejos, como un puente de acero. 

Tales problemas están comprendidos en la segunda parte 
de la Teoría de la elasticidad, á la que hemos llamado ó po- 
demos llamar «Dinámica de la Elasticidad». 



* 



En la teoría general de la elasticidad, todavía hemos de 
distinguir dos casos; y esta es una nueva división: 

1.° Cuando las deformaciones son infinitamente peque- 
ñas, es decir, cuando cada punto, bajo la acción de las fuer- 
zas deformantes, se separa infinitamente poco de su posi- 
ción primitiva; y este es el caso que por lo común se consi- 
dera, porque es relativamente el más sencillo, aun cuando 
sus dificultades, como veremos luego, sean casi siempre 
enormes. 

2° Cuando las deformaciones son infinitas, lo cual cons- 
tituye una teoría de la elasticidad mucho más difícil que la 
primera, y que recientemente ha sido estudiada por varios 
matemáticos, sobre todo por Mr. Duhen en una obra de 
que daremos cuenta á su tiempo. 

Por último, como en rigor tratamos de un problema de 
Física matemática, y el punto de partida de todos estos pro- 
blemas, como decíamos en el curso anterior, es siempre una 
hipótesis, advertiremos que aquí, en rigor, pudieran estable- 
cerse dos: ó bien admitir la continuidad de la materia, ó su- 



— 458 — 

poner que los cuerpos están divididos en elementos infini- 
tamente pequeños, es decir, en átomos ó en partículas, en- 
lazadas unas á otras por fuezas internas. 

A primera vista, parece que esta última hipótesis es la 
que más se adapta á la experiencia, ya sean estas fuerzas 
internas, acciones á distancia, ya acciones transmitidas por 
algún fluido, que se extienda entre unas y otras partículas. 

En cambio, la continuidad es la que más se acomoda al 
cálculo matemático, porque permite substituir á las sumas, 
las integrales, y porque la continuidad, cuando se trata de 
un número inmenso de puntos, es la que más simplifica las 
operaciones; bien es verdad que á veces á costa de la rea- 
lidad. 

La hipótesis de la continuidad es una especie de inter- 
polación entre términos discretos de series de tres dimen- 
siones. 

Poisson y el mismo Lame se preocuparon mucho de este 
problema y aunque después algo se ha prescindido de él, 
en obras, por otra parte de gran mérito, bien pudiéramos 
decir que él se venga, cuando al fin de los cálculos presenta 
dificultades sobre la continuidad de algunas derivadas. 

Pero no anticipemos las ideas; contentémonos con recor- 
dar, que en forma elemental, no diré que tratásemos, pero 
sí que apuntamos estas dificultades en la conferencia 5.' del 
curso anterior, al substituir á una serie discreta de puntos 
materiales una continuidad de puntos, y analíticamente, á 
una serie de ecuaciones en diferenciales simultáneas, una 
sola ecuación en diferenciales ó derivadas parciales. 

Pudimos hacer esto simplificando el programa; pero fué 
prescindiendo del equilibrio de los puntos extremos, dificul- 
tad que veremos surgir en el caso general al tratar de las 
ecuaciones de los límites. 



* 
* * 



— 459 — 

Vamos, pues, á empezar el estudio de la Teoría de la elas- 
ticidad en el caso de deformaciones infinitamente pequeñas, 
ya respecto al equilibrio, ya respecto á la cuestión dinámica; 
y uno y otro problema, el estático y el dinámico, ó bien para 
sistemas indefinidos, ó bien para sistemas limitados. 

La Teoría de la elasticidad puede estudiarse de diversas 
maneras y por diversos métodos: lo decíamos en la confe- 
rencia anterior; y para entendernos, dábamos nombres á estos 
diversos métodos, escogiendo los de autores insignes. 

Así anunciábamos, que estudiaríamos la teoría de la elas- 
ticidad: 

1.° Por el método de Cauchy. 
' 2.° Por el método de Lame. 

3.° Por el método de Poincaré. 

4." Por los métodos de la Termodinámica. 

Y podemos agregar: 

5." Que terminaremos el estudio de la Elasticidad por el 
caso de deformaciones finitas, según Duhen. 

Claro es que no pretendemos hacer un estudio completo 
de esta inmensa teoría, á que insignes autores han consa- 
grado obras voluminosas é importantísimas memorias y es- 
tudios, y que al fin y al cabo, palpita, por decirlo de este 
modo, en la Teoría de la luz, en la Termodinámica, y en las 
modernas teorías de la electricidad, aunque en estas últimas 
se trate de una elasticidad especialísima : la del éter y la de 
los medios dieléctricos. 

Así es que á todas las anteriores subdivisiones de la Teo- 
ría de la elasticidad, pudiéramos agregar otra más, á saber: 

L° La elasticidad de los cuerpos ponderables, que es la 
elasticidad clásica. 

2." La elasticidad del éter ó elasticidad eléctrica. 

Y no pretendemos, volvemos á repetirlo, hacer una ex- 
posición completa de dichas teorías; toda una vida sería in- 
suficiente, por lo menos sería insuficiente la mía, para tal 
empresa. 



— 460 — 

Sólo aspiramos á dar ciertas nociones, que sirvan como 
de preparación, al estudio de las obras y memorias especia- 
les, sobre la materia. 

Empecemos, pues, por la primera de las cuatro partes 
que antes indicábamos, á saber: 



Teoría de la elasticidad según el método de Cauchy. 

El ilustre autor supone que el sistema elástico que se 
considera, se compone de una serie de moléculas, puntos ó 
partículas ponderables, á pequeñísimas distancias unas de 
otras, pero de dimensiones infinitamente pequeñas compa- 
radas con estas distancias. 

Entre cada dos de dichos puntos, m y m', se supone que 
existen fuerzas centrales, es decir, que van de punto á pun- 
to, cuya intensidad depende del producto de las masas m 
y m' y de una función de la distancia, / (r), que es la que 
llamábamos en una conferencia del año anterior, función de 
Saint-Venant. 

Esta función es continua, sus derivadas son continuas tam- 
bién; cuando r es suficientemente pequeña, /es negativa, es 
decir, representa una repulsión; luego pasa por una posición 
de equilibrio reduciéndose á cero; después es positiva y de- 
crece al fin, hasta ser despreciable cuando sigue creciendo r. 
Precisamente por esta propiedad de / de poder represen- 
tar atracciones y repulsiones, el sistema es elástico, y existe 
un equilibrio de elasticidad. 

Si siempre representase una atracción, los puntos se apro- 
ximarían constantemente; ¿hasta cuándo? 

Si, por el contrario, siempre representase una repulsión, 
el sistema tendería á difundirse en el espacio, como sucede 
con los gases ¿hasta dónde? 

Se admite, además, en el caso general, que sobre cada 
punto m puede actuar una fuerza ó resultante exterior, por 



— 461 — 

ejemplo, la acción de la gravedad: todos los puntos m,m',... 
tendrán, en efecto, un peso. 

Por último, si el sistema está envuelto en una superficie 
límite, en cada punto de esta superficie actuará en general 
una fuerza exterior. 

Esta fuerza podrá representar la acción del medio am- 
biente sobre el sistema, y, en un caso cualquiera, será obli- 
cua respecto á la superficie; pero si no existe ni rozamiento, 
ni viscosidad, ni adherencia, ni ninguna acción análoga, la 
expresada fuerza será normal á dicha superficie. 

Sobre estas acciones en las superficies límites, precisare- 
mos las ideas más adelante. 

En la figura 4.'' hemos representado cuanto acabamos de 




Figura 4.^ 



indicar. A saber: un sistema V limitado por la superficie S, 

y comprendiendo un número inmenso de puntos m,m',m" 

Cada dos puntos m y m' están enlazados por la fuerza / refe- 
rida á la unidad de masa, fuerza que podrá ser atractiva ó 
repulsiva, según sea la distancia mm'. 

Sobre cada punto m,m'm" actúa una fuerza exterior 

F..... también referidas estas fuerzas á la unidad de masa. 

En cada punto a de la superficie obra una fuerza P, refe- 



— 462 — 

rida á la unidad de superficie, que si tiende á introducir el 
punto a en Vserá una presión, y si tiende á separarlo será 
una tensión. 

Por virtud de las fuerzas F,fy Peí sistema se deforma 
hasta llegar á una situación de equilibrio; de modo, que cada 
punto del sistema, por ejemplo, m, no ocupará la posición 
que ocupaba al principio: así m habrá tomado la posición m^, 
determinando un desplazamiento elástico mm^ que supone- 
mos infinitamente pequeño, y además ¿infinitamente pequeño 
respecto á cualquiera de las distancias mm? Ya lo veremos. 
El problema de la elasticidad se puede ahora definir mate- 
máticamente en los dos casos, el del equilibrio, ó el del mo- 
vimiento. 

Los datos son: 1.°, V, es decir, un conjunto de masas en 
determinadas posiciones, que dependerán de la estructura del 
cuerpo; 2", la ley de las fuerzas internas/, es decir, la fun- 
ción f(r); 3.", las fuerzas exteriores F y los esfuerzos sobre 
la superficie límite P, que si el sistema es indefinido, total 
ó parcialmente, es decir, en una dirección ó en todas, des- 
aparecerán en todo ó en parte. 
Estos son los datos. 
Las incógnitas serán las siguientes: 
1.° Si se trata de un problema de equilibrio, dichas in- 
cógnitas serán los desplazamientos, tales como mnii, cuyas 
componentes paralelas á los ejes, representaremos por 
u, V, w; y para resolver el problema será preciso determi- 
nar u, y, IV, para cada punto en función de las coordenadas 
X, y, z de dicho punto. 

De suerte que el problema del equilibrio elástico estará re- 
suelto, cuando tengamos tres funciones, que nos den los va- 
lores de w, y, w para cada punto del sistema, ó sea: 

« = a(x,y,2'), 

y = ;:i(x,y,z). 



— 463 — 

En rigor, hay otras incógnitas, por decirlo así comple- 
mentarias, á saber: las presiones ó tensiones interiores; 
pero el estudio de éstas más bien corresponde á los métodos 
de Lame y Poincaré. 

En el sistema de Cauchy pueden también establecerse y 
se deducen y las deduciremos de u, v, w, pero son más fun- 
damentales en los otros métodos. 

2.° Si se trata de un problema de Dinámica elástica, los 
datos serán los mismos; sin embargo, habría que agregar el 
estado dinámico inicial, ó sea los desplazamientos iniciales 
de los puntos para / = o y las velocidades también iniciales. 

En todo caso, las incógnitas son las mismas, u, v, w, pero 
entra una variable independiente más, el tiempo t. 

Por tanto, resolver el problema de los movimientos elás: 
ticos, es determinar u,v, w, en función de las coordenadas y 
del tiempo. Y así, resuelto que sea el problema, tendremos- 

« = a^ (x, y, z, t), 

v = ^i {x, y, z, t), 

w =-{1 (x, y, z, t). 

Por medio de estas ecuaciones será dado conocer en cada 
instante t y para cada punto (x, y, z) cuáles son los despla- 
zamientos («, V, w) de este punto, qué velocidad y qué fuer- 
za aceleratriz posea en ese instante; y hasta eliminando el 
tiempo entre cada dos ecuaciones podremos determinar las 
déla trayectoria, tomando por coordenadas u, v, w, y refi- 
riendo dichas coordenadas á tres ejes paralelos á los ejes x, 
y, z, y que pasen por el punto que se considera como 
origen. 

No habrá para ello más que substituir después, en vez de 
X, y, z sus valores para el punto en el instante inicial, valo- 
res que serán las constantes de la trayectoria. 

En estos problemas están comprendidos, en rigor, los pro- 



- 464 — 

blemas de la Acústica, la Teoría clásica de la luz y, en ge- 
neral, la Teoría de los movimientos vibratorios. Dicha teoría 
fué también la que intentamos aplicar á algunos ejemplos 
para la teoría del calor en el curso precedente. 

Advirtamos para completar, estas nociones preliminares, 
que para el equilibrio general del sistema, será preciso que 

las fuerzas F y P satisfagan á las seis ecuaciones del 

equilibrio de un cuerpo sólido: las tres componentes totales 
y los tres ejes de los pares deben ser cero. 

Con las fuerzas interiores/ no hay que contar, porque, 

como son iguales dos á dos, se anulan sus efectos en las 
ecuaciones anteriores. 

* 
* * 

Séannos permitidas todavía algunas observaciones para 
completar y aclarar lo que precede. 

Respecto á las fuerzas F, ya dijimos en la conferencia an- 
terior que, por ahora, supondremos que son el resultado de 
atracciones entre masas ponderables; si fueran atracciones 
eléctricas ó magnéticas, deberíamos hacer de ellas un estudio 
especial. 

El tipo de estas fuerzas F es el de la gravedad; y claro es 
que en este caso, como para todas las fuerzas centrales» 
dichas fuerzas F tienen una función de fuerzas: es decir, que 
sus componentes son las derivadas, con relación á x, y, z, 
de una función de estas tres variables. 

Respecto á las fuerzas /, ya hemos dicho, que así el méto- 
do de Cauchy, como casi toda la Física matemática clásica, 
supone que son fuerzas centrales, que van de punto á punto 
en la recta que los une; y también dijimos que esta hipótesis 
es un tanto aventurada y que convendría prescindir de ella. 
Porque fijemos las ideas y recordemos algo de lo ya ex- 
puesto. 

Si/(r) puede representar fuerzas atractivas para ciertos 



- 465 - 

valores de r, y fuerzas repulsivas para otros valores, es de- 
cir, si /puede cambiar de signo, es preciso que en m y m' 
entre no sólo el elemento ponderable, ó sea la materia ordi- 
naria; porque la materia ponderable, actuando según la hi- 
pótesis newtoniana, no puede hacer otra cosa que atraer, y 
/tendría siempre el mismo signo. 

Los puntos m y m' no pueden, por lo tanto, estar simple- 
mente compuestos de materia ponderable: han de tener éter 
ó electricidad, ó algo que en la práctica represente el elemen- 
to repulsivo, á fin de que la función de Saint-Venant tenga la 
propiedad, que le dábamos en las conferencias del año ante- 
rior y que hemos reproducido en la Teoría de la elasticidad 

Podremos suponer, por ejemplo, que cada dos puntos m 

y m' (fig. 5) se componen: 

de dos núcleos de materia >, 

V, — ^,-, — ^ 

ponderable, a, a , de forma ^ a\ r-^ ) 

esférica, y de dos atmósfe- ^^3/ VJ^' 

ras eléctricas, b, b', de forma 

también esférica y concéntri- piaura 5.* 

cas con las primeras. 

En esta hipótesis particularísima, y siendo todo simétrico 
alrededor de la recta a a', será legítimo suponer, que las 
fuerzas son centrales y la función f(r) resultará de las atrac- 
ciones y repulsiones entre a, b y a , b'. 

Una dificultad subsistirá todavía, y es que, sí las atraccio- 
nes y repulsiones indicadas varían, como se supone en la 
Teoría de la electricidad, en razón inversa del cuadrado de 
la distancia y siempre se conservan las formas esféricas, no 

C 

podrá existir la función de Saint-Venant; porque — siempre 

será factor común de todos los términos, y las curvas Ry A 
(fig. 7, conf. S."* del curso anterior) no se cortarán. La teoría 
sería ilusoria. 

De todas maneras, al cambiar de forma las atmósferas 
eléctricas, ya por la aproximación de las dos moléculas, ya 



— 466 — 

por la influencia de las restantes, la hipótesis de las fuerzas 
centrales se hace cada vez menos verosímil. 

De todas maneras, en los trabajos clásicos de Navier, 
Poisson, Lame, Cauchy y. otros ya citados, dificultad es ésta 
que no se discute, porque la hipótesis de las fuerzas centra- 
les parecía la más natural, y, sin analizarla, se la admitía 
como indiscutible, suponiendo á priori, que todas las accio- 
nes eran centrales y que variaban con la distancia. 

No insistiremos, pues, sobre este punto por ahora, ni 
discutiremos otra hipótesis: la de que el calor represente 
la fuerza repulsiva; porque de este modo no se resuelve 
la dificultad. 

Una última observación sobre las fuerzas P (fig. 4."), que 
actúan en la superficie del sistema, cuando éste no es inde- 
finido. 

Realmente la distinción entre fuerzas exteriores F y fuer- 
zas que actúan sobre la superficie P, es más propia del mé- 
todo de Lame, que del método de Cauchy. 

En rigor, decimos, en este último método, ¿que más da 
un punto situado en la superficie, que en el interior? 

El punto a de masa /tz, estará sujeto á las acciones de to- 
dos los demás puntos del sistema V, y además á la fuerza P» 
como m" está sujeta á !a fuerza F. 

Así, pues, por ahora, no haremos distinción ninguna en- 
tre los puntos interiores y los puntos límites, como no la ha- 
cíamos en los ejemplos elementales del curso anterior (con- 
ferencias 4.'', 5.'"* 6."''), cuando estudiábamos el equilibrio ó la 
vibración de un sistema compuesto por dos, tres ó más pun- 
tos materiales en línea recta. Lo mismo planteábamos las 
ecuaciones de equilibrio de los puntos interiores, que las de 
los puntos extremos. 

Eran distintas, pero todas se contaban para la integración 
del sistema. 

* 

* * 



— 467 — 

Planteemos ahora: Primero: las ecuaciones de equilibrio 
de un sistema sujeto á fuerzas interiores y exteriores, es de- 
cir, á fuerzas f y F,y por la razón indicada no hablamos de 
fuerzas aplicadas á la superficie límite. 

Consideremos un punto m^ del sistema (fig. 6) y vamos 
á establecer sus ecuaciones de equilibrio, que serán tres, re- 
lativas á las tres componentes. 

Debemos ante todo, fijar las condiciones iniciales de equi- 




Figu^a 6. 



librio; definiendo el estado del sistema antes de que actúen 
las fuerzas deformadoras. Y aquí encontramos divergencia 
en los autores, porque unos suponen que en el estado de 
equilibrio natural todas las fuerzas exteriores F, que actúan 
sobre cada punto a, dan para este punto. «/la resultante nu- 
la, definiendo precisamente por esta condición, el equilibrio 
natural; á diferencia del equilibrio forzado, que resulta de 
la aplicación de todas las fuerzas. Es decir, que en el equi- 
librio natural el sistema está entregado á sí y á sus fuerzas 



- 468 — 

internas no más; y aun hay otra distinción importante, que 
al tratar del método de Lame discutiremos. 

Mr. Poincaré cree inútiles tales restricciones, y nosotros 
seguiremos su opinión por los motivos que explicaremos 
más adelante. 

Determinaremos, pues, las ecuaciones de equilibrio, supo- 
niendo que se parte de un estado inicial en que entran fuer- 
zas exteriores. 

El punto /7Zo ocupa inicialmente la posición a (fig. ó."*). 

Bajo la acción de las fuerzas deformantes viene á ocupar 
la posición b; de modo que ab representa su desplaza- 
miento. 

Otro tanto puede decirse de cualquier otro punto, así a 
sufrirá el desplazamiento a b' y ocupará la posición b'. 

Y para el equilibrio de m^ será preciso, que las tres com- 
ponentes sobre el punto b que resulten: 1.° de los esfuerzos 

que ejerzan todos los demás puntos del sistema, b', b" 

sobre m^^, y además, 2.", de las nuevas fuerzas exteriores, F' 
será preciso, repetimos, que dichas tres componentes sean 
iguales á cero. 

Llamando P^, Q,, R^ las componentes de la acción de b- 
sobre b; y F^, Fy, F^ las componentes de la fuerza total F 
que actúa en b, las ecuaciones de equilibrio para el punto b 
serán : 

vQ + /77o/^. = ¡ (1) 

El signo ^ se refiere á todos los puntos del sistema me- 
nos b, para comprender la acción de todos ellos sobre este 
último: es decir, á P^, P._, Qi, Q> /?,, R, 

Además advertiremos, que la fuerza exterior F corres- 
pondiente al punto /77o que al empezar el desplazamiento ac- 
tuaba según Fo, al fin del desplazamiento y al llegar al equi- 



— 469 - 

librio, actuará en b, según F=Fo, y paralelamente á F,j, 
puesto que en la pequeña distancia ab puede suponerse que 
conserva su dirección y su magnitud: en último análisis, la 
misma fuerza actúa en b que actuaba en a. 

Segundo: Las ecuaciones (1) son, pues, las ecuaciones del 
equilibrio elástico; las ecuaciones del movimiento serán á su 
vez, llamando x, y, z las coordenadas del punto b, 



d'x 



mo-^^_=^Q + m^Fy 

d'z 
mo^^=^R + m^F, 



en las que claro es, que las fuerzas P, Q, R del segundo 
miembro no están referidas á la unidad de masa, sino á la 
masa efectiva de cada punto; entrarán, pues, en cada tér- 
mino uno de los factores m^m^, m^m^ 

Ahora bien, en vez de tomar las coordenadas variables del 
punto b , á saber: x, y, z, conviene tomar las tres compo- 
nentes del desplazamiento ab, que hemos designado por 
w> 'V, ^i y como en este caso se tiene evidentemente, siendo 
^o> Jo» ^o> las coordenadas del punto a en el estado inicial de 
equilibrio, 

x = x^-^u, y = y^^v, z = z^^w, 

y por lo tanto, 

d'x_d''u d'y _d'^v d^z _ d"w 
Tñ~~~dt^'' 'dP~~~dP' dr^~~ dt^' 

puesto que x^^, y^, Zq son las constantes, que definían la si- 



- 470 - 

tuación inicial de a, las anteriores ecuaciones del movimien- 
to elástico del punto b podrán escribirse de este modo: 



^■" VD I C 



d'-v 
mo r-iT = ^Qi-mQFy (2) 



dt 



* 

* * 



Podemos estudiar á la vez las ecuaciones (1) del equilibrio 
y las (2) del movimiento. 

Cada una de las fuerzas P, que, como hemos dicho, es la 
componente paralela al eje de las x de la acción, por ejem- 
plo, de b' sobre b, será desde luego, llamando p á la distan- 
cia bb' (fig. 6). 

P=A«o/ni/(p)cos(p, x); 

en que / representa la función que, para abreviar, hemos 
llamado en el curso anterior, función de Saint-Venant. 

Ahora bien; el valor de P depende evidentemente de la 
posición de los puntos b y b', y éstos, á su vez dependen 
de la posición de los a, a', y de los desplazamientos ab 
y a b'. 

Dichos desplazamientos están definidos cada uno de ellos 
por sus tres componentes: 

u, V, w para el punto b, 
U\, y,, w, para el punto b'. 

Así, pues, podremos decir que cada componente P está 



- 471 - 

definida por una función cp de este modo: para la acción de 
b' sobre b 

Pí = ri (^0, yo, ^0, ^1. 3^1, ^], u, V, w, «1, Vi, Wj, /77o, "h); 

y de igual suerte para la acción de los puntos restantes 
b" , b'" sobre b. 

Pi = ?1 r^O» yo, Zii, X.2, y-i, ^2, U, V, W, «2, V.,, IV2. /"o, /TZ^) 

^3 = ?i (Xo, yo, ^0, Xs, ys, z^, u, V, w, U3, V.., w., mo, ms) 



Estudiemos ahora la forma general de -f^, sin perjuicio de 
precisarla después con algunas hipótesis respecto á la cons- 
titución física y geométrica de cada sistema. Lo que nos im- 
porta estudiar es la parte 



V 



p=^n> 



que entra en las ecuaciones generales, así del equilibrio 
como del movimiento, y que representa para cada punto la 
componente total, paralela al eje de las x, de las acciones 
de las fuerzas internas sobre b. 

Claro es que, en -'^-^ entrarán todas las componentes de 
los desplazamientos de todos los puntos del sistema, puesto 
que según vemos los valores de P^, P2, P¿ contienen: 

Pl U, V, W, «1, Fi, Wi 

Po U,V,W, U.2, V2, w.> 

P¿ U,V,W, «;., Vg, u/3 



lo cual nos prueba, que si el problema está planteado ana- 
líticamente, ya para el equilibrio, ya para el movimiento, la 

Rev. Acad. Ciencias. — V. — Febrero, 1907. 3a 



- 472 - 

solución analítica sería de todo punto ilusoria para ambos 
casos. 

Tenemos, en efecto, tantas ecuaciones como incógnitas 

u, V, w, «1, Vi, Wi , es decir, 3 n siendo n el número 

de puntos, pero este número de puntos es enorme; para 
nosotros como si fuera un número infinito: y la inteligencia 
humana si comprende teóricamente la solución de un siste- 
ma de millones y millones de ecuaciones, en la práctica 
choca contra la imposibilidad absoluta de resolverlas. 

Es, pues, indispensable transformar el problema y eludir 
dificultades, que de frente son insuperables. 

Y aquí puede decirse que empieza una serie de simplifica- 
ciones. 

* 
* * 

Simplifiquemos, pues, esta expresión IP =2'f i como sim- 
plificaremos después de la misma manera 1 Q y 2 /?• 

La experiencia demuestra, que cuando la distancia entre 
dos moléculas pasa de cierto límite, que siempre es muy pe- 
queño, la acción entre ambas moléculas, si no es teórica- 
mente nula, porque siempre quedará la atracción neutonia- 
na, prácticamente puede despreciarse. 

De modo que en las - no hay que tener en cuenta, para 
el equilibrio ó el movimiento de cada punto, más que las ac- 
ciones de los puntos sumamente próximos al punto ítIq, com- 
prendidos en una esfera cuyo centro sea el punto dado a de 
masa m^, y cuyo radio, que se llama radio de actividad mo- 
lecular £, tiene un valor pequeñísimo. 

El orden de pequenez de t se ha determinado por las ex- 
periencias de Quincke spbre la capilaridad. 

Si se estudian estos^fCnómenos en el agua, con un tubo de 
cristal recubierto interiormente de una capa finísima de plata, 
se observa que dichos fenómenos son idénticos á los que se 
obtienen con un tubo de plata del mismo diámetro desde que 



— 473 — 

la capa de plata alcanza un espesor de O""", 000054 (Mecá- 
nica de Appell). 

En cambio, si es menor, se alteran los efectos capilares; 
luego evidentemente esta distancia puede considerarse como 
la distancia límite de las acciones moleculares. 

Vemos, por lo tanto, que el radio e de actividad molecu- 
lar se obtiene dividiendo un milímetro en un millón de par- 
tes y tomando de éstas 54. 

Ya es ésta una simplificación notable de las expresiones 
^, porque en cada punto nio, y para calcular las fuerzas 
interiores, que actúan sobre él, basta trazar desde rrio como 
centro, y con un radio e de cincuenta y cuatro millonésimas 




Figura 7.^ 



de milímetro, la esfera de actividad s (fig. 7), y sólo compren- 
derá ^ los puntos que estén dentro de dicha esfera. 

Otro tanto puede repetirse para los puntos m^... del siste- 
ma; sólo habrá que tener en cuenta para cada uno de ellos, 
los puntos que caen dentro de su esfera de actividad : de to- 
dos los demás del sistema V puede prescindirse. 



— 474 — 

La simplificación anterior parece importantísima, pero aun 
así las ecuaciones que resultasen serían en número inmenso, 
porque todavía dentro de cada esfera de actividad hay mi- 
llones de puntos materiales, y además el número de puntos 
cuyo equilibrio ha de establecerse es el mismo de antes: to- 
dos los de V. 

Y sin embargo, esta simplificación es decisiva, porque per- 
mitirá desarrollar en serie las funciones que resulten, y per- 
mitirá considerar como constantes, dentro de la esfera de ac- 
tividad, las derivadas de u, v, w con relación á x, y, z, como 
veremos en breve. Más aún; las fuerzas exteriores podrán 
considerarse también como constantes en lo interior de cada 
una de dichas esferas de actividad. 



* 
* * 



Sigamos todavía las simplificaciones. 

Una de las P, la que se refiere á dos puntos /n^, y m^, por 
ejemplo, hemos visto que dependerá de w, v, w, u^, v^, w^, 
pero si se tuviese (fig. 6) 

u = Ui, V = v^, w = Wi, 

la acción elástica entre los puntos m^ y m^ sería la misma an- 
tes y después de la deformación, porque la recta a a se ha- 
bría movido paralelamente á sí misma, ya que ab y a' b' son 
iguales y paralelas; y si otro tanto sucede para los demás pun- 
tos, realmente no existirá acción elástica nueva, pues la esfé- 
rula de radio e no habrá hecho más que trasladarse toda ella 
de una pieza paralelamente á sí misma. Parece natural, se- 
gún esto, que las fuerzas elásticas dependan, no de u, v, w, 
Ui, Viy Wi aisladamente, sino de sus diferencias 

iii -■ u , Vi — V , w^ — w. 



— 475 - 

Claro es, que sólo se trata aquí de una presunción ó de 
una hipótesis, y no de una demostración, ni de un concepto 
evidente; pero téngase en cuenta, que sólo hacemos po 
ahora un avance general, y que más tarde procuraremos da¡ 
demostraciones rigurosas, en lo posible. 

Con esta nueva simplificación, Í^P = ^cpj tomará esta 
forma: 

^P = Z'^, = ^z, ( u, — u,v,-v,w,-w, ) 

Si desarrollamos la función por la serie de Taylor, tendre- 
mos, tomando los primeros términos: 

I.P = ^{a -}- b,(u,- u)^b,(v,-v) + b,(w, -w)). 

Las a y b dependerán de las coordenadas y las masas. 

Ahora bien, «i es el valor del desplazamiento de un punto 
que está dentro de la pequeñísima esfera de actividad, lue- 
go será el valor en que se convierta u, dando incrementos 
infinitamente pequeños á x, y, z; de suerte que representan- 
do estos incrementos por oxo, oy^, oz^ (diferencias de las 
coordenadas de a y a'), que serán infinitamente pequeños, 
podemos desarrollar u^ por la serie de Taylor, tomando tan 
sólo, por ejemplo, los primeros términos. 

Y advirtamos, en general, que en esto de las aproxima- 
ciones hay algo de arbitrario, como vimos en el curso ante- 
rior; y que á veces, para apurar el estudio de ciertos fenó- 
menos, hay que acudir á aproximaciones mayores de las que 
se aceptaron al principio. 

Tendremos, pues: 

d u ^ du ^ du ^ 

Ui = u ^ ox -^ oy -^ oz + 



dx dy dz 

2ldx' ' dy'- dz-' dxdy 



I ird'U ^ ,, , u-u ^ ., , u-u ^ ^ . ^ u-u ^ ^ . 
-\ OJC- H -oy-i -Á á22-f 2 ^X3v + 



476 



+ 2 -^^ ÍXOZ + 2 ^^ oyí zl; 



oxoz + 2 '"' 

dxdz dydz 



que para abreviar la escritura, escribiremos de este modo: 

«1 = « + S -— ox [- - p: — -y ox- + 2S -— — oxoy I 
í/x 2L dx- dxdx J 

extendiéndose cada S á las tres variables x, y, z. 

Recordaremos ahora, que en la serie de Taylor los coefi- 
cientes se refieren al punto inicial, de modo que para todos 
los puntos de la esfera de actividad, es decir, para m\, /7z"o, 

/n'"o las derivadas de u tendrán el mismo valor respectivo, 

el de /no, y podremos más adelante sacarlas fuera del signo S. 

Del mismo modo, obtendremos: 

Vj = V + S — Sx+ _ S 0X-' + 21- — — oxoy 

dx 21 dx-' dxdy J 

. = iv + l oxH 1 úfx- + 21 oxoy 

' dx 21 dx' dxdy J 



y 

w 



y substituyendo los valores áe u^ — u, v^ — vy w^ — w en 
el valor de IP, sacando las derivadas fuera del signo 1, 
como antes decíamos, y representando por A, B, C, coefi- 
cientes que dependerán para el punto m^ de Xq, y o, Zq, de 
todas las masas comprendidas en la esfera de actividad de 
m^ y de todas las o, -tendremos: 

dx dy dz dx- 

(¡y dz'' dxdy dxdz dydz 



477 



dx dy dz dx' dy^ 



dz'^ " dxdy " dxdy " dydz 

dx dy dz dx' dy^ 

. „„ d'w , ^ d'^w . ^, d^w ^„ d^w 

+ ^3 — r~ + (-3 -; — r — I- <-3 — — - — h <-2 



dz' dxdy dxdy " dydz 

ó, abreviadamente, 



í/x í/x- í/xí/y 

en que una ^ se refiere á x, j;, z, y la otra, á m,v, iv. 

En una palabra, el segundo miembro es un polinomio li- 
neal de las derivadas de pt imero y segundo orden de n, v, w, 
con relación íí x, y, z, todas referidas al centro de la esfera 
de actividad. 

Como si no hubiera deformación y, por lo tanto, u, v, vv 
fuesen cero, y también las nuevas fuerzas F, la primera 
ecuación de equilibrio (1) 

Sa4 A,-^- + /7Zo/^x = 0, 

dx 

se reduciría á 

y lo mismo puede repetirse para las otras dos ecuaciones; 
resulta que pueden suprimirse Sí? y los dos análogos. 

En resumen, las ecuaciones de equilibrio del punto Mq, 
podrían ponerse bajo esta forma: 



478 — 



dx dx' dxdy 



dx dx- 

dxdy 
^ '- dx ^ ^' dx^ 

dxdy 



y las ecuaciones del movimiento elástico se presentarían bajo 
la misma forma, agregando á los prímeros miembros, 

d-u d-v d-^w 



* 
* * 



Todas estas ecuaciones que parecen complicadas, en el 
fondo son extraordinariamente sencillas. 

En efecto, las ecuaciones de equilibrío son polinomios li- 
neales de las derivadas de u, v, w de primero y segundo 
orden respecto á x, y, z; y los coeficientes dependen, como 
hemos dicho, de Xo, yo, ^o, además de todas las masas 
comprendidas en la esfera de actividad, y, por último, de 
ox, hy, oz, para todos los puntos de la esfera de radio £. 

A estos polinomios hay que agregar: para la prímera 
ecuación, moF^; para la segunda, m^Fy-, para la tercera, 
nif^Fz, é igualar á cero estos tres resultados. 

La misma forma tienen las ecuaciones del movimiento, sin 
más que sumar á las anteriores, como antes decíamos, las 
fuerzas de inercia. 



— 479 - 

Todo este análisis elemental no tiene otro objeto, que ha- 
cer comprender á mis oyentes la marcha general de estos 
problemas y cuál es la primera simplificación, que se in- 
troduce en esta Teoría de la elasticidad, y que la hace posi- 
ble; pues de otro modo no podríamos resolver ninguno de 
sus problemas. 

Esta simplificación, que es la que hemos efectuado, con- 
siste en substituir á las ecuaciones primitivas, que son 
las que se obtienen aplicando á los puntos libres las ecua- 
ciones generales de la Mecánica, que para el equilibrio son 
ecuaciones en términos finitos de u, v, w, y para el caso 
general, es decir, para el caso del movimiento, constituyen 
ecuaciones diferenciales simultáneas, con un número enor- 
me de funciones u, v, w , es decir, tantos grupos como 

puntos, y una sola variable independiente, /; consiste dicha 
simplificación, repetimos, en substituir á estas ecuaciones 
otras en diferenciales ó derivadas parciales reducidas á tres 
ecuaciones. 

Todos estos son pormenores triviales seguramente, pero 
necesarios, á mi entender, para orientar á los principiantes. 

En la conferencia próxima desarrollaremos todavía todas 
estas ideas. 



XXIII. — Estudios de síntesis mineral. 

Por José Rodríguez Mourelo. 

Insistiendo acerca de las condiciones de formación de va- 
rios minerales por vía sintética, quiero ocuparme en al- 
gunos experimentos relativos á la reproducción del tungs- 
tato de calcio ó scheelita natural, que constituyen métodos 



- 480 — 

ya conocidos, algo modificados en la práctica. Se trata del 
cuerpo definido WOiCa, para el cual tuve como punto de 
partida el volfram, ó tungstato de hierro y manganeso 
WO^(Fe.Mn), y los ensayos efectuados concretáronse á es- 
tos puntos: transformación del volfram en tungstato de sodio 
WO^Na,,; preparación del aníhdrido túngstico puro WO-^; 
producción del volfram más ó menos rico de manganeso 
hasta la total eliminación del hierro, procurando obtener de 
continuo productos cristalizados lo más semejantes posible á 
los naturales. Aunque suele ser el estaño, en forma de casi- 
terita, el obligado compañero del volfram, el que utilicé es- 
taba exento de aquella impureza, aunque contenía otras que 
luego hallé en el ácido túngstico, y fué largo trabajo el se- 
pararlas enteramente hasta conseguirlo muy puro, para que 
así resultasen luego sus sales, en especial la de sodio, pri- 
mera materia en la reproducción de la scheelita. 

Bien conocidos están, y se practican á menudo, distintos 
métodos analíticos para determinar, en forma de anhídrido 
túngstico, el tungstenio contenido en el volfram, y uno de es- 
tos procedimientos, modificación de los clásicos de Woelher, 
es el que he adoptado. Reducido el mineral á polvo finísimo, 
agrégasele 10 por 100 de nitrato de sodio, y la mezcla se 
echa, por pequeñas porciones, en un baño de carbonato de 
sodio fundido (200 gr. para 150 de volfram), y cuando toda 
ia masa está líquida, viértese sobre un piedra, y estando 
fría, se trata con agua que disuelve la sal sódica formada, 
la cual se puriñca mediante cristalizaciones reiteradas. Luego 
es descompuesta con ácido clorhídrico en exceso; se precipi- 
ta el anhídrido túngstico, que después de recogido, lavado y 
secado, es transformado en sal amónica; se evapora á se- 
quedad y se calcina al rojo para descomponerla; de nuevo el 
residuo es disuelto en amoníaco y la sal resultante descom- 
puesta, repitiendo la operación hasta cuatro veces, y así se 
logra el anhídrido túngstico puro, con el cual, por vía direc- 
ta, se obtiene el tungstato de sodio, y éste, el mismo anhí- 



- 481 — 

drido, y, en ciertos métodos, el propio volfram, pueden ser 
los generadores de la scheelita, en particular tratando de lle- 
var á cabo su síntesis apelando á las reacciones á elevada 
temperatura. 

Muy sencillo es el método, bastante general, que utilizó 
Manross, aprovechando las acciones especiales de los cloru- 
ros fundidos para esta doble descomposición, cuyos resul- 
tados mejoran agregando exceso de cloruro de sodio: 

WO, Na, -t Cl, Ca = 2ClNa-^ WO, Ca. 

Obtuve excelentes resultados operando como sigue: 50 gr. de 
tungstato sódico se mezclan con 100 gr. de sal común fun- 
dida, y la mezcla, bien pulverizada, se proyecta en un baño 
de 200 gr. de cloruro de calcio fundido; se mantiene la tem- 
peratura del rojo por tres horas en el crisol tapado, seguidas 
de lento enfriamiento ; la masa resultante es tratada con agua 
y quedan insolubles los cristales octaédricos cuadráticos de 
tungstato de calcio, que de nuevo son sometidos á la acción 
de un baño fundido de cloruro de calcio y cloruro de sodio 
á partes iguales; de 50 gr. de WO^Na, conseguí 47 gra- 
mos 76 de WOi Ca, poco menos del rendimiento teórico, 
y debo aquí notar las ventajas que resultan de hacer in- 
tervenir el cloruro de sodio, ya señaladas por Genther y 
Forsberg de modo algo diferente, y que en 1879 utilizó Mi- 
chel al repetir el método; el medio así constituido, en el que 
hay vapor de los dos cloruros, sobre todo de sodio, es, sin 
duda, grandemente favorable á la constitución del estado 
cristalino de la materia del tungstato de calcio. 

Considero prueba evidente de lo dicho el sistema que 
adoptó Debray para conseguirlo, partiendo del mismo cuer- 
po amorfo; mezclábalo con cal, y calentando al rojo, hacía 
actuar gas ácido clorhídrico, puro y seco, en corriente mo- 
derada y constante; la masa resultante, tratada con agua, de- 
jaba por residuo scheelita cristalizada. Empleando 25 gs. de 



_ 482 — 

tungstato de calcio y 5 de cal viva, sosteniendo el calor rojo 
y la corriente lenta y uniforme de ácido clorhídrico hasta 
cerca del enfriamiento, la cristalización es regular y abun- 
dante, y sin que entre en ella para nada el tungstato, se 
efectúa una reacción química, originaria de un medio cloru- 
rante, en extremo adecuado para la formación de cristales 
ejerciendo de fundente, y que interpreto así: 

WO, Ca-j-0 Ca'\-2CIH= Cío Ca f OH.^WO , C a (cristalizado) 

y aparte las dobles descomposiciones, también se constitu- 
ye una atmósfera de cloruros en vapor al transformarse el 
volfram en scheelita, con sólo someterlo á las acciones del 
cloruro de calcio fundido, las cuales, como antes, he visto 
facilitadas agregando esta vez sólo 5 por 100 de cloruro de 
sodio; la reacción es bastante más complicada y acaso se 
produzcan los cloruros de hierro y de manganeso, volátiles, 
á lo menos en parte, á la temperatura del rojo que exige el 
experimento, practicable en un buen crisol, donde se funde el 
cloruro de calcio, agregándole el volfram pulverizado. 

No es difícil llegar desde el tungstato de sodio al volfram, 
realizando con aquel cuerpo y los cloruros ferroso y manga- 
noso anhidros los cambios que aquí se representan: 

WO.Na, + C/,Fe+ Cl.Mn = WO^(Fe.Mn) + 2ClNa; 

y es de advertir que semejantes transformaciones sólo son 
posibles en presencia del cloruro de sodio en calidad de me- 
dio y fundente apropiado. Se comprende asirnismo que, au- 
mentando ó disminuyendo las proporciones relativas de los 
dos cloruros, se cambie la composición del producto resul- 
tante, teniendo por límites el tungstato ferroso ó el manga- 
noso, según los casos. También es punto de partida en este 
linaje de síntesis el anhídrido túngstico, y citaré á tal propó- 
sito un experimento de Debray, que data de 1862, y es sólo 



- 483 - 

aplicación de sus habituales procedimientos: consiste en so- 
meter á las acciones del gas ácido clorhídrico seco una mez- 
cla del dicho anhídrido y óxido de hierro, operando en tubo 
de porcelana y á la temperatura del rojo; se genera un tungs- 
tato de hierro y son productos secundarios constantes el 
óxido magnético y el cloruro de hierro, volátil en las condi- 
ciones del ensayo. 

Desde luego se advierte el carácter reversible de las reac- 
ciones mencionadas, cuyo conjunto forma un verdadero ci- 
clo de transformaciones químicas; su principio ó punto ini- 
cial es el tungstato de hierro y manganeso y en el volfram 
vienen á terminar, pasando por una serie de estados espe- 
ciales, en los que se forman el tungstato de sodio, el tungs- 
tato de calcio representado por la scheelita y el propio an- 
hídrido túngstico. Acusan los hechos apuntados, referibles á 
la función acida del tungstenio, que sus combinaciones de 
este género no son de estructura compleja, aunque sí bas- 
tante fija, en cuanto permanece después de experimentar di- 
versas substituciones; pues á ellas queda reducido todo el 
mecanismo de los cambios descritos, y no son ciertamente 
los únicos del género, que es dilatada la serie de los tungs- 
tatos metálicos y algunos término obligado para aislar su 
generador y aun otros compuestos oxigenados que no par- 
ticipan de las mismas funciones. Sin duda que el medio en 
el cual han de formarse, las condiciones de su producción y 
las de los sistemas que reaccionan, son partes muy princi- 
pales para que aquéllas se determinen con su variabilidad 
característica, y en su peculiar contingencia influirán, de se- 
guro, los medios de modificar la estructura y el estado de 
las masas, sobre todo en punto á lo térmico, ya que del ca- 
lor depende al cabo el que las transformaciones resulten 
completas ó incompletas. 

Otra circunstancia parece intervenir en estos fenómenos 
observados en los diversos compuestos de un mismo metal, 
y es la constante que llamamos peso atómico. Cuanto más 



— 484 — 

elevado, mejor se prestan los cuerpos simples á los cambios 
funcionales, que permiten asignar, según los casos, propie- 
dades de anión ó de catión á metales como el tungstenio, 
(183,6), el uranio (239), el platino (194,4), el oro (196,6), el 
plomo (206,4) y aun el mercurio (200), cuyos cuerpos tie- 
nen la especialidad de unirse á varios, ya solos, ya constitu- 
yendo sistemas binarios, para originar á la continua molécu- 
las complejas de carácter ácido, estables, definidas y capa- 
ces de producir combinaciones salinas, otras conjugadas y 
algunas en las que son patentes las condensaciones y no 
raro el fenómeno de disociaciones internas, por las cuales no 
se manifiestan los caracteres de la función acida, según 
acontece en determinados compuestos de cromo ó se pro- 
ducen constantes anómalas, sin relaciones manifiestas con el 
metal generador, y así no puede decirse que representen 
equilibrios límites definitivos. 

En tales caminos, sin acudir á hipótesis nuevas, aplicando 
lo sabido respecto de los cuerpos simples que tienen funcio- 
nes variables y de los estados alotrópicos que presentan, 
algo pudiera indicar, con las mayores reservas, tocante á 
ellas. No hay error en asegurar que todos los metales pue- 
den ser coloides, dependiendo el aislarlos en semejante 
forma de los métodos empleados para conseguirlo, y vale 
decir que son precisamente los de mayor peso atómico y los 
que tienen diversas furkciones, los que mejor se prestan á 
adquirirla más ó menos estable; por donde venimos á parar 
en admitirlos así como solubles ó semisolubles en el agua, 
conforme pueden serlo algunos hidratos de aluminio, hie- 
rro ó cromo. Resulta también de muchos experimentos, 
hasta ser ahora tenida como propiedad general, el conside- 
rable aumento de la energía y actividad de los metales, 
aun de los más inertes, cuando proceden de la reducción de 
sus óxidos, efectuada á temperatura poco elevada, en cuyo 
caso manifiestan sus aptitudes no sólo uniéndose á cuerpos 
con los cuales de niní^una distinta manera se unirían, sino 



— 485 — 

provocando combinaciones de otros con sola su presencia, 
sin experimentar las más leves alteraciones. Y es probado en 
numerosos procedimientos de síntesis mineral el hecho de 
las modificaciones de metales por el calor, adquiriendo en- 
tonces la aptitud para unirse á variadas substancias; mas los 
cambios de temperatura ó la presencia de materias diversas 
ocasionan modificaciones, y sin alterar los elementos del sis- 
tema se generan, por ejemplo, la senarmonita cúbica ó la 
valentinita ortorrómbica. 

Pudieran responder á diferentes estados de agregación 
molecular de los cuerpos simples sus distintas funciones, de- 
rivando de ellas el carácter de las combinaciones y su es- 
tructura, lo cual significa que no son invariables, ni repre- 
sentan sistemas estáticos, fijos, permanentes y siempre igua- 
les, sino sistemas dinámicos susceptibles de modificaciones 
que aceleran ó retardan los movimientos de sus elementos. 
Conforme á ésto, acaso el tungstenio de la scheelita ó del 
volfram sea diferente, en cuanto á su estado atómico, del 
tungstenio de su cloruro ó de su carburo, y no importa que 
el análisis no aprecie la distinción; tampoco puede decir que 
en ciertos sulfatos de cromo verdes hay ácido sulfúrico, y 
sin embargo contienen en las necesarias proporciones sus 
elementos; nuestros conocimientos positivos en tal respecto 
son todavía muy limitados y apenas acertamos á darnos 
cuenta de cómo las moléculas de los cuerpos simples, sin 
cambiar de masa, pueden tener distinta estructura, residiendo 
en tal cosa la diferencia de sus actividades. 

Fácil sería encontrar analogías entre las variaciones de 
estructura y los cambios de funciones de los agregados 
moleculares, en particular las combinaciones oxigenadas, y 
en ciertos casos, las cloruradas y sulfuradas, que no depen- 
den en absoluto de las proporciones relativas de los compo- 
nentes, sino de su estado dinámico. No cambian las cantida- 
des de metal, oxígeno é hidrógeno en los hidratos alumíni- 
cos amorfos y cristalizados, ni en los coloidales, y es, sin 



— 486 - 

embargo, mucho mayor la actividad de estos últimos, acon- 
teciendo lo propio con la sílice soluble; en el sulfato crómico 
violeta acusan los reactivos la presencia del ácido sulfúrico 
y en las correspondientes sales verdes no la manifiestan; 
obtenido por deshidratación á temperatura baja el sesquióxi- 
do de cromo, es atacado por el cloro en presencia del car- 
bón al rojo, y el mismo óxido, luego de calentado ó cuando 
se ha preparado á temperatura muy elevada, permanece 
inerte, en iguales condiciones, y en los cuerpos dimorfos ó 
polimorfos las formas transitorias responden á estados ó tér- 
minos de una evolución de la estructura interna que sólo es 
definitiva cuando las moléculas adquieren las posiciones co- 
rrespondientes al equilibrio más estable del sistema. Todos 
estos hechos, unidos á lo conocido respecto de la alotropía 
de los cuerpos simples que la presentan marcada y es sólo 
forma de la isomería, inducen á pensar en la variación cons- 
tante é interna de los agregados materiales, debiéndose á 
ella los cambios de funciones y propiedades, en los que tan- 
to intervienen las influencias externas, los medios en que se 
realizan, completos ó incompletos, y los procedimientos em- 
pleados para llevarlos á cabo. 



Queriendo buscar nuevos apoyos á la doctrina, examina- 
ré un caso sencillísimo de síntesis mineral, en el que la ge- 
neración del estado cristalino, partiendo del cuerpo amorfo, 
es, por decirlo así, espontánea, y se realiza en el propio me- 
dio en que éste se ha formado y en presencia de los produc- 
tos secundarios de la reacción. Se trata del doble fosfato de 
uranio y cobre hidratado 2P/?0,f ¿/r, OJ,,Cw, 8 O//,,, que 
constituye la chalcolita natural; mineral cuadrático, de color 
verde más ó menos amarillento, hállase muy diseminado y 
suele vérsele formando escamas delgadas y brillantes en va- 
rias rocas, acompañado de otras materias complejas cuya 



- 487 - 

asociación forma masas radiactivas, que en la actualidad 
son estudiadas con los mayores cuidados y sometidas á me- 
didas en semejante respecto. 

Generalmente se produce este cuerpo mediante una reac- 
ción sencilla, lenta y cuya práctica presenta algunos fenóme- 
nos dignos de ser notados; el medio es líquido y constituyelo 
una disolución acuosa de nitrato de uranio al 10 por 100, 
destinada á actuar sobre el fosfato tricúprico, á la tempera- 
tura constante de 60°. Poco á poco, el color verde del último 
va transformándose y el precipitado adquiere tonos más cla- 
ros, convirtiéndose al cabo en menudas láminas cristalinas 
de marcada apariencia cuadrática; la modificación llega á ser 
completa y toda la masa del precipitado conviértese en fos- 
fato doble cristalizado, siempre que haya la cantidad sufi- 
ciente de nitrato de uranio, que se puede añadir sólido á me- 
dida que vaya empobreciéndose la disolución primitiva; en 
otro caso, la proporción de chalcolita formada está limitada 
por la cantidad de uranio, y el producto resulta ser una mez- 
cla con el exceso de fosfato tricúprico no alterado. Debray 
quiso generalizar el método, substituyendo este cuerpo con 
el fosfato tricálcico, pretendiendo reproducir el fosfato doble 
2PhOi (Ur^ 0-2)2 Ca. 8OH2, ó sea la uranita, cuya estruc- 
tura es análoga á la de la chalcolita; pero entonces resulta 
otro cuerpo distinto, aun cuando sea fosfato doble é hidrata- 
do de uranio y calcio; mas ni la hidratación es la misma, ni 
las escamas cristalinas se refieren al prisma romboidal recto 
peculiar de la uranita; vése, por lo tanto, cómo las circuns- 
tancias de la formación de un cuerpo no pueden ser aplica- 
das siempre á sus congéneres é isomorfos, indicando así las 
influencias de los medios para constituir la materia cristali- 
na, que no siempre implica grandes cambios químicos, ni ha 
menester ser generada de continuo á elevadas temperaturas, 
aunque suelen ser favorables á las cristalizaciones por fu- 
sión, sublimación y arrastre. 

Requiere la práctica de este experimento mucho reposo y 

Rev. Acad, Ciencias. — V. — Febrero, mo;. 33 



- 488 — 

consiente una variante, limitada á substituir el fosfato tricúpri- 
co ordinario con el mineral llamado libenita, que es de la 
forma Ph^ O^ Cu... O Cu. OH.,, en cuyo caso, procurando 
que la transformación no sea completa, se consiguen varia- 
das asociaciones de esta última, todavía no alterada, con la 
chalcolita ya formada en las condiciones ordinarias del ex- 
perimento. Con mezclas de fosfatos tricúprico y tricálcico 
puede producirse la chalcolita cristalizada; pero no he podi- 
do asociarla á la sal calcica doble de Debray, sin duda por 
lo indeterminado y variable de su estado de hidratación, que 
no corresponde á la definida del fosfato de uranio y cobre. 
Hay que notar en la reacción productora de la chalcolita 
que es, en definitiva, una doble descomposición completa, 
que se parte de un sistema inicial mixto, uno de cuyos ele- 
mentos, el uranio, hállase disuelto, siendo el otro, el fosfato 
tricúprico, sólido é insoluble, y el cuerpo resultante de sus 
transformaciones es asimismo sólido y no se disuelve en el 
agua. Puede cambiarse el sistema inicial empleando el ura- 
nio sólido, insoluble en medio neutro, al estado de fosfato 
amarillento, procedente de haber precipitado una sal uránica 
con un fosfato soluble, é invirtiendo los términos, el cobre 
estaría en la disolución en forma de nitrato cúprico, siendo 
iguales las demás condiciones del experimento y no pasando 
la temperatura de 60": es una variante del procedimiento sin- 
tético, que no altera sus resultados, y, por eso, prolongando 
el contacto, el precipitado cambia de aspecto, vuélvese cris- 
talino y acaba convirtiéndose en laminillas ó escamas verdo- 
sas, delgadas y flexibles, las cuales, luego de secas, adquie- 
ren brillo característico y son idénticas á las del fosfato hi- 
dratado de uranio y cobre, cuya presencia en las formacio- 
nes de la sierra de Guadarrama, en estado de gran disemina- 
ción, ha sido indicada de mucho tiempo atrás. Acaso es pre- 
ferible el último sistema, porque los resultados del anterior 
dependen, en gran parte, de la naturaleza del fosfato de co- 
bre y se conocen distintos compuestos salinos básicos del 



- 489 - 

género, diferenciados unos de otros por los grados de hidra- 
tación correspondientes y las cantidades de metal, y aunque 
el medio lo constituye una disolución acuosa, no parece in- 
diferente lo primero. Empleando el nitrato cúprico disuelto, 
conviene que el agua se encuentre saturada y conservar el 
líquido neutro, porque el fosfato de uranio, sobre todo el 
precipitado, es soluble en los ácidos minerales, y entonces 
no puede generar la chalcolita; de todas suertes, tampoco 
conviene que quede exceso de sal cúprica, y, terminado el 
experimento, el color del líquido ha de ser azul muy claro. 

Se percibe, no obstante, mayor tendencia á formarse la 
sal doble hidratada en un medio cúprico y no en el medio 
rico de compuesto uránico disuelto, como si en ello influye- 
ra la capacidad del metal y sus aptitudes para constituir nu- 
merosas combinaciones complejas, al igual de los cuerpos 
simples de elevado peso atómico, y éste lo tiene mayor que 
ningún otro, y acaso sea susceptible de presentar variados 
estados de agregación atómica, correspondientes á diversas 
formas alotrópicas, que son caracterizadas por los cambios 
de función peculiares de los grupos de combinaciones que es 
capaz de producir. 

Incluyen algunos, al lado de los métodos indicados, otros, 
aplicables á la reproducción de diversos minerales hidrata- 
dos, generalmente fosfatos y arseniatos; pero las analogías 
no son tan inmediatas. Concrétanse á poner en contacto pro- 
longado y á temperatura menor de 100°, un cuerpo sólido 
insoluble, casi siempre precipitado, y otro cuerpo disuelto en 
agua, á veces un ácido muy diluido; mas suelen resultar hi- 
dratos salinos sin representante en la Naturaleza, transfor- 
mables, no obstante, en minerales cristalizados sometiéndo- 
los á operaciones cuyo objeto puede ser deshidratarlos ó 
hacerles cambiar de estructura molecular. Es del número la 
síntesis de la libenita empleando el método de Debray, re- 
ducido á la reacción lenta del carbonato de cobre con el ácido 
fosfórico en extremo diluido, de la que resulta el hidrato 



— 490 — 

Ph.¿0.¿Cu.^.3CuO.OH.,, y sólo pierde dos moléculas de 
agua, transformándose el libenita cristalizada, cuando se ca- 
lienta, mezclado con agua y en tubos cerrados, á la tempe- 
ratuí-a de 250 grados, y es singular que disminuye esta tem- 
peratura y se facilita mucho la cristalización si en el medio 
líquido se disuelven cortas cantidades de compuestos cúpri- 
cos, siendo los de mayor eficacia entre los ensayados el clo- 
ruro, el nitrato y el sulfato. 



Tienen caracteres bien diferentes otras reacciones aditivas 
de varia índole, generadoras de distintos cuerpos, cuyo me- 
canismo de formación no es fácilmente explicable y se presta 
á interpretaciones especiales, según se agreguen sistemas 
simples perdiendo sus respectivas individualidades ó siste- 
mas ya constituidos, por lo general binarios. De tales agre- 
gados los hay que son difusiones ó disoluciones de un cuerpo 
sólido más ó menos volátil en otro asimismo sólido y fijo á 
elevada temperatura; así el cinc metálico, reducido á vapor, 
puede penetrar en la masa de su óxido bien calentado y en 
ella repartirse, de suerte que, al enfriarse, presenta estruc- 
tura homogénea y uniforme color gris; acontece lo propio 
con el plomo y otros metales y es el método de producción 
de sus subóxidos, si es que deben considerarse combinacio- 
nes definidas y no mezclas íntimas del óxido metálico con el 
metal generador muy dividido. No es el hecho privativo 
suyo, sino bastante general y hasta puede ocasionar que se 
formen minerales metálicos bastante complejos, susceptibles 
de cambios y modificaciones, asociándose combinaciones 
definidas de análoga estructura, con predominio de las cuali- 
dades de alguna que las tiene marcadas y peculiares. 

Justamente hay un experimento, debido á Guntz, que pue- 
de indicar á las claras la índole de las combinaciones á que 
me refiero y de los problemas que comprenden; se trata de 



— 491 — 

la unión del litio metálico con su cloruro. Calentada la mez- 
cla de ambos cuerpos en las proporciones Li-\-ClLi, pue- 
den combinarse dando un cuerpo sólido de color blanco, cuya 
composición, á lo que parece, es la correspondiente al sub- 
cloruro ClLic,; pero la reacción sólo es posible en presen- 
cia del hidrógeno puro y seco, y el fenómeno resulta bastante 
general, porque en análogas condiciones también el cloruro 
calcico fundido es disolvente del calcio metálico, producién- 
dose el subcloruro Cío Ca.,, y en ambos casos es menester 
operar con los cuerpos bien desecados, que si estuvieran hú- 
medos los resultados difieren mucho y se recogen mezclas 
de los óxidos y los hidruros metálicos, cuya estabilidad es 
relativa. Respecto del mecanismo del fenómeno y de su in- 
terpretación, aunque parezcan sencillas, hay diversas opinio- 
nes, extensivas á otros géneros de asociaciones, sin duda me- 
jor conocidas, siquiera atendiendo á su inmediata aplica- 
ción en la industria. 

Una de las cosas que importa averiguar es el papel del 
hidrógeno en estas reacciones, y el propio Guntz ha demos- 
trado que se halla en condiciones de unirse al metal forman- 
do el correspondiente hidruro de litio, y siendo así, ya no 
considera el producto resultante como subcloruro definido y 
admite que sólo se constituye una mezcla muy íntima y ho- 
mogénea de hidruro y cloruro así representada: ClLi-\- HLi, 
ó bien HLioCl, cuya estructura molecular y composición 
química se relacionan con las del compuesto ClLL,, y para 
el calcio sería, de la propia suerte, Cl.Ca -\- H.,Ca ó 
HoCüi Cío. Quizá pudiera determinarse el modo de forma- 
ción de los subcloruros, en el caso de ser generados, estu- 
diando la curva de solubilidad de los metales puros en los 
cloruros, siguiendo el parecer de Bruñí; pero se tropieza con 
un inconveniente de monta, que ya Guntz notara, y es la exi- 
güidad de las proporciones de metales disueltos, empleán- 
dolos puros y sobre todo el no ser posible afirmar si las 
pequeñas cantidades de metal que se unen á los cloruros 



— 492 — 

fundidos en presencia del hidrógeno, forman verdaderas 
combinaciones ó sólo son disoluciones muy poco concen- 
tradas, y este hecho sencillo, reducido simplemente á una 
reacción aditiva de un metal con un sistema binario ó de dos 
sistemas binarios, admitiendo la producción de hidruros, in- 
dica ya la dificultad que hay para darse cuenta de los fenó- 
menos de semejante orden. 

Llaman cobre gris, y también panabasa, á un singular mi- 
neral, cuya estructura es fija y la composición variable, como 
resultado de asociarse, en ios filones concrecionados, distintos 
sulfuros metálicos en cantidades diversas, conforme al me- 
dio, originándose agregados cristalizados bastante complejos 
y sistemas particulares, en los que adviértese dominante la 
función de uno de los componentes sulfurados binarios, capaz 
de adquirirla acida y formar distintas combinaciones salinas, 
que representan, no la unión del azufre con varios metales 
para constituir un sulfuro múltiple, sino mejor, la asociación 
química de sulfuros ácidos de la forma S-. M'"., con otros 
sulfuros que se representan SM'.. y SM" y ejercen funciones 
básicas. Corresponden á los primeros los de antimonio y ar- 
sénico, y á los segundos los de cobre, mercurio, cinc, bismu- 
to, hierro y plata, pudiendo, en ocasiones, faltar alguno, y 
en otras agregarse todavía mayor número de metales, siem- 
pre por combinaciones binarias sulfuradas. 

Ya se comprende que las panabasas han de constituir ver- 
dadera serie de asociaciones de sulfuros metálicos, partiendo 
de uno típico, S.,- Sb., 4SCu.,, que resultaría sulfoantimo- 
niuro de cobre, pudiendo citar hasta cuerpos en los cuales 
llega á haber más de siete sulfuros, dos cuando menos, el de 
arsénico y el de antimonio, de función acida, con la particu- 
laridad de que las formas cristalinas de los términos todos 
de la serie pertenecen al sistema cúbico con muy contadas 
excepciones. Al igual de los experimentos de Guntz, referen- 
tesal litio, al calcio y á sus hidruros y cloruros, podrían ha- 
cerse varias hipótesis respecto de la c nstitución y estructu- 



- 493 — 

ra de las numerosas variedades de cobre gris, desde opinar 
que se trata sólo de disoluciones sólidas verdaderas y crista- 
lizadas, hasta admitirlas en calidad de combinaciones defini- 
das ó como agregados S.¿ M"\¿ . SM", que en algo se aseme- 
jan á los de cloruros é hidruros antes dichos. Pero aquí, aun 
tratándose de los sulfuros reunidos ó asociados en las me- 
nores proporciones, son lo bastante crecidas para decidir que 
se efectúa combinación, sin apelar al estudio de las curvas 
de solubilidad, tampoco ahora realizable, por las condiciones 
en que se efectúa la adición de los sistemas binarios, for- 
mando otro homogéneo y más complejo, el cual puede ser 
generado por vía sintética, acudiendo á métodos de cierta ge- 
neralidad y no difícil práctica, que consienten reproducir nu- 
merosas variedades de panabasa, efectuándose reacciones 
simultáneas producidas completas en medios gaseosos á la 
temperatura del rojo. 

Muchas tentativas se hicieron para lograr, fundiendo jun- 
tos los correspondientes sulfuros, su asociación perfecta, y 
todas resultaron infructuosas, y así hubo de apelar Duro- 
cher, á quien es debida la síntesis del cobre gris, á otro gé- 
nero de reacciones, también directas, llegando á unir los sis- 
temas binarios en el momento de ser formados. Se funda el 
método en un sencillísimo experimento: cuando se ponen en 
contacto el cloro y el gas sulfhídrico, prodúcese al punto 
ácido clorhídrico y se aisla azufre Cl^ - SH2 = 2ClH-\- S; 
substituyendo el cloro por un clururo metálico y operando 
en caliente debe formarse sulfuro metálico y desprenderse 
asimismo ácido clorhídrico CLM"^ SH2=SM"-\-2ClH, cuya 
acción es limitada y reversible en las condiciones del expe- 
rimento, porque el ácido clorhídrico puede descomponer el 
sulfuro, regenerando el cloruro y desprendiéndose al propio 
tiempo gas sulfhídrico. 

Actuando con este cuerpo, á la temperatura del rojo, clo- 
ruros tan volátiles como los de antimonio y arsénico, y otros 
cloruros metálicos que lo son bastante menos, pudiendo re- 



— 494 — 

sultar un cuerpo sólido fijo, la reacción es más completa, y la 
reproducción de la panabasa su verdadero ejemplo típico. 
En un ancho tubo de porcelana, cuyo largo no sea menor de 
75 centímetros, se colocan, mezclados en proporciones equi- 
moleculares, los cloruros anhidros de cobre, plata y cinc, 
por ejemplo, y cuando están calentados al rojo, se hacen pa- 
sar, separadamente, corrientes, no muy rápidas, pero sí 
constantes, de ácido sulfhídrico y de vapores de los cloruros 
de antimonio y arsénico; éstos últimos arrastrados por el ni- 
trógeno: sólidos y gases deben emplearse muy desecados; 
las reacciones son análogas y simultáneas en todos los 
casos: 

a) 2Ci,Sb -\-2Cl.,As + QSH, = S,Sb, + S^As, + 1 2C/// 
b)2Cl,Ag^CloCu+CL,Zn+4SH,=SAg,+SCu,+SZn^SClH 

y estanco en presencia, á la temperatura del experimento y 
en las proporciones convenientes, los sulfuros producidos 
en el momento de ser generados, se combinan constituyendo 
un verdadero agregado por adición de sistemas binarios de 
diferentes funciones. Fácilmente se comprende que, añadien- 
do ó quitando cloruros, es factible reproducir todas las va- 
riedades de cobre gris, las sencillas con un solo sulfácido 
y una sola sulfobase y las complicadas del tipo que sirvió 
de ejemplo, y aun cabe que contengan otros sulfuros, prin- 
cipalmente los de hierro, de mercurio y de bismuto, siendo 
éste el menos frecuente. 

No es preciso insistir en pormenores respecto de las ope- 
raciones sintéticas de que trato, cuyos resultados depen- 
den, en mucha parte, de que los cuerpos destinados á la 
reacción, gases, vapores y sólidos, se hallen perfectamente 
secos, y en el tubo de porcelana no ha de penetrar ni una 
traza de humedad; los cloruros deben ser, pues, anhidros y 
en lo posible, obtenidos por vía seca. De no reunirse estas 
circunstancias, el ácido clorhídrico desprendido, en contacto 
del agua, ataca profundamente á los sulfuros y tiende á re- 



- 495 - 

generar el sistema inicial; así se explica la conveniencia de 
modificar el procedimiento de Durocher, operando en una 
atmósfera inerte de nitrógeno puro y seco, haciéndole servir 
de vehículo de los vapores de cloruro de antimonio y cloruro 
de arsénico, que sólo dentro del tubo de porcelana y al rojo 
se mezclan con el gas sulfhídrico. 

Bien sería, tratándose de combinaciones definidas, aunque 
son complejas, establecer una fórmula general que expresara 
su constitución binaria, en la cual pueden considerarse cons- 
tantes los sulfuros de antimonio ó de arsénico, ó cuando me- 
nos el primero en las panabasas más sencillas; estos sulfá- 
cidos son de forma S^M'''^, siendo M"'=Sb ó As. Respecto 
de las sulfobases, revisten las tres formas: SM'^, SM"^ y 
SM", en las que M'^^=Ag2] M'\ = Cu2 y M"=Fe, Hg, Zn, 
etcétera. Hay un grupo de sesquisulfuros y otro de mono y 
y subsulfuros metálicos, pudiendo constar el primero de dos 
términos á lo sumo y el segundo de un número indetermi- 
nado de ellos, y así el símbolo general de las asociaciones 
se escribiría: [S^M"\]c¡.n[SM\^.SM"2.SM"], y general- 
mente n=A; otras fórmulas sólo se aplican á agregados es- 
peciales, como el sulfantimoniuro de cobre, considerándolo 
tipo de la serie y de seguro uno de sus individuos de estruc- 
tura más sencilla. Importa notar la persistencia de la cons- 
titución binaria, tanto en los cuerpos ya formados como en 
cada agrupación generada, según las funciones especiales 
de los sulfuros originarios, lo cual indica cómo la individua- 
lidad se conserva dentro de las asociaciones moleculares que 
por causa de ella se engendran en el caso presente, cuando 
á la temperatura del rojo pueden actuar cloruros metálicos 
fijos y volátiles con el gas sulfhídrico seco; y aquí también, 
como en los casos anteriores, la síntesis, reproduciendo en 
sus operaciones, á voluntad, las variedades del cobre gris 
natural, aporta valiosos datos para esclarecer los problemas 
relativos á su estructura molecular. 

(Laboratorio de (Química do la Esenela Superior de Árteii é Industrias de Madrid, I89i)-I90 7.) 



— 496 — 



XXIV. Poliedi'os regulares. 

Por Luis Cátala 

Polígono adjunto á un poliedro regular. 

I 

El punto y el plano son los elementos dualísticos del es- 
pacio; luego, estableciendo una correspondencia biunívoca 
entre los planos de las caras de un poliedro y un complejo 
de puntos del espacio, determinamos un nuevo poliedro co- 
rrelativo; siendo el número de caras y aristas de cada ángulo 
poliedro de uno de ellos igual respectivamente al de vértices 
y lados de las caras correspondientes del otro. 

Si el poliedro dado es regular y el complejo de puntos es 
el formado por los centros de sus caras \ la figura correlati- 
va obtenida es otro poliedro regular, que se llama su con- 
jugado. 

Así son conjugados: el exaedro y octaedro regulares; el 
dodecaedro é icosaedro regulares convexos; el dodecaedro 
regular de tercera especie, de caras estrelladas y de caras 
convexas; el dodecaedro é icosaedros regulares de séptima 
especie. 

Llamaremos polígono adjunto á un poliedro regular; aquel 
cuyos vértices son los puntos terminales de las aristas que 
concurren en un vértice del poliedro; este polígono es regu- 
lar y su género y especie son las del ángulo poliedro del po- 



' Llamaremos centro de un polígono regular el de su circunferen- 
cia circunscrita, y centro de un poliedro regular al de su esfera cir- 
cunscrita. 



— 497 - 

liedro, siendo su lado la diagonal de una cara que separe 
uno de sus vértices. 
Así (fig. 1 ), el polígono adjunto del icosaedro regular con- 




Figura 1. 



vexo F,A,B,C,D,E,a,b,c,d,e,f es el pentágono regular de 
primera especie a,b,c,d,e, y el del icosaedro regular de sép- 
tima especie, que tiene los mismos vértices que el polie- 
dro anterior, es el pentágono regular de segunda especie 
a, b, c, d, e. 

Ahora bien; sea (fig. 2) o el centro de un poliedro regu- 
lar i; A, B, D tres vértices consecutivos de una cara de cen- 
tro K, KN la apotema, K^ el centro de la cara contigua, 
i4D el lado del polígono adjunto, L su centro; KK^ será 



- 498 



la arista del poliedro conjugado, y ¿i el centro de una de 
sus caras. 

Llamando a, R, r,p, I al lado ó arista, radio de la esfera 
circunscrita, inscrita, tangente á sus aristas y ángulo forma- 

-5 




Figura 2." 

do por dos caras contiguas del poliedro, y a' R' r' p' /' los 
elementos correspondientes de su poliedro conjugado, ten- 
dremos: 

(1) /?' = r 

de la semejanza de los triángulos BKo, KL^o 



oK 
oB 



oLi 
~oK 



r 



r 

Ir 



(2) 



Siendo oB, oA perpendiculares á dos caras contiguas del 
poliedro conjugado, 

A ip) B será el suplemento del ángulo diedro de dichas ca- 
ras; por consiguiente, 

B(o)yV = 90"--/'. 
2 



— 499 - 
Del triángulo rectángulo B o N resulta: 

cosBio)N = eos (90° --!') = sen - /' = -¿-. (3) 

2 2 /? 

Del KoN se deduce: 

oK^ = oN.oh „ p^'-=r\ (4) 

Del triángulo Kho sale: 

Kfi = Ko sen/z(o)A'= sen(90° — -!-/) = eos/; 



luego a' = 2/- eos — I, y como 2r = jx . o, 

- = [A eos/. (5) 

a 



De lo dicho resulta que, halladas las relaciones existen- 
tes entre los elementos de un poliedro regular de género y 
especie conocidos, es fácil hallar las correspondientes del 
poliedro conjugado. 

Cálculo de los elementos de un poliedro regular.— 
De los triángulos FBA, ABL, AFL, KNo (fig. 2), resulta: 

BF=\JaB^ — AF''^ „ BL=\/aB' — AL^ 



LF=\/aD — AF^ „ sen K{N)o = — . 

oN 

De la semejanza de los triángulos oKB, FBL y del tri- 
ángulo BNo sale: 

oK FL oB BF FL oK 



BK BL BK BL BF oB 

No = \/Bo' - BN'~; 



— 500 
luego 



^^BK^Fl^ ^ BK.BF Z_ ^ Z^ (3) 

BL ^ BL ^ R BF^ ' 

p = lv/4^rr¡^> (4') sen-/ -- — . (5') 
2 2 f5 



Llamando yl, K a! área y volumen del poliedro y y al área 
de una cara y /? al número de ellas, tendremos: 



A = ny V = — n ,y .r. 
' 3 ' 



-A-r»Lic-<í^oiojsrES 

Tetraedro regular. — La cara del poliedro y el polígo- 
no adjunto son triángulos equiláteros de lado a; luego 



AB=^a , BK=-\/3 „ AL = ^-\/^ 
3 3 

AF=-a „ BF=^^J^ „ LF=-V3 

2 " 2 6 

3 
y por consiguiente: 



12 r " 4 "'^4' 

2 3 12 



— 501 - 



Cubo ó exaedro. — La cara 
del poliedro es un cuadrado de 
lado a, y el polígono adjunto, un 
triángulo equilátero, cuyo lado 
es aV2, luego: 

AB = a „ BK-^=\'2 



AL 



V6 



fíF=— \/2 
2 



BL 



AF-=fv'2 



¿F= — V6 
6 



V3, 



por consiguiente: 




a R 
'-2 ^ r 


= V3 


/? = |-V3 „ ?^ 


^fv. 


sen-^/ = -^V2 „ 


A=ña^ 



Dodecaedro regular con- 
vexo.— La cara del poliedro es 
un pentágono regular de primera 
especie, de lado a, y el polígono 
adjunto, un triángulo equilátero, 
cuyo lado es el del pentágono de 
segunda especie de la circunfe- 
rencia circunscrita á la cara del 
poliedro; por consiguiente, 



AB=^ 

AD 



a»BK 

a 



«V- 



5 + V5 



10 



(V5 ^ \)^AF 



a 



AL = ~{\/l5-\-\3)=.FL 



BL 
BF- 



-(V15-V3) 
j\/l0~2v5i 



Octaedro regular. — Tener 
mos, llamando a' su arista 



a' 1 ,- 
a 2 



R' 



-^V2 
2 



R^ 

f 



r' = — Ve 

6 



a'V2 

= V 3" 

1 

— - a 



1 1 - 

sen — /' = — V 6 



A = 2a'\[Z 



V2. 



Icosaedro regular convexo: 
a'=-^(3V'5+5) 



'^-f\ 



/ 5 + \/5 



r'= — V3(3 + V5) 

a' , — V 
P'-— (V5 + 1) 



sen — /' 
2 



^(Vl5 + \3) 

6 



^=:5a'V3 K= — g'3(3 + V5). 



- 502 — 



luego 



VsV^ — 2V5 



f^A /^+11V5 

2 V 10 

r 

R^±(\-[5 + \/3) 
4 

p==y(3 + V5) 
4 



sen — / 
2 



V- 



5 + V5 
10 



i4=3a2Y25 + 10V5 
V==~-(7V^+15). 



Poliedros regulares estrellados. 



Dodecaedro regular de sép- 
tima ESPECIE.— La cara del po- 
liedro es un pentágono de segun- 
da especie, de lado a, y su polígo- 
no adjunto, un triángulo equiláte- 
ro, cuyo lado es el del pentágono 
de primera especie en la circun- 
ferencia circunscrita á la c;ira del 
poliedro. 

Luego, 



AB = a » BK 
AD 



«V 



2 



5 + V5 



|(V5-0 



^F=-(\5-l) 
4 

AL^ ■^{\T5- V 3 ) 



BF= — \'lO + 2^5 
4 

B¿ = -^(\T5 f-\3) 
o 



LF 



12 



(\ 15 -\ 3); 



Icosaedro regular de sépti- 
ma ESPECIE.— Tendremos 

a'=-^(3\5-5) 



--tV' 



V5 



'-' = -^\3(3-\5) 

4 
sen-/'=-(vT5- \3) 
A=5a"-\3 



503 



por consiguiente, 

a 1/25 — liVS 

'--2\ 10 

— = \/3\/5T27f 

R=-^(VT5-V3) 

4 

p=-(3V/5) 

4 



sen — / 
2 



V5 



10 






r= — (7\/5 — 15). 
4 



Dodecaedro regular de ter- 
cera ESPECIE, DE CARAS ESTRE- 
LLADAS.— La cara del poliedro es 
un pentágono regular de segunda 
especie, de lado a, y el polígono 
adjunto es el pentágono de pri- 
mera especie de la circunferencia 
circunscrita á la cara del po- 
liedro. 

Luego, 



AB^a 



BK=á\l- 



5 + V5 



D/1=-^(V'5-1) 



AL 



W- 



10 — 2V5 



^f = — \/lO+2V5 

4 



BL 



LF 






10 + 2\/5 



10 + 2V5 



Dodecaedro regular de ter- 
cera ESPECIE, DE CARAS CONVE- 
XAS.— Tendremos 



a 



(5-V5) 



^'= — Vl0 + 2V'5 



^-^V 



10 + 2V5 



p'= — (V5+l) 



1 



sen 



2 
A=\5 



r^V- 



V5 



10 



,„a/5 + 2\/5 



a 



V= — (3V5 + 5). 



Rbv, Acad. CiBNniAS. — V— Febrero, 



34 



504 - 



luego 



r-~N 



10 -2V5 



-|- = V5 „ /?--|\/lO-2V5 



p = -(V5-l) 
4 



sen 



2 






5 + V5 



10 



5-2V5 



\/= — (3V5-5) 
4 



SCL. -Los elementos de los poliedros de la derecha pue- 
den calcularse por medio de las fórmulas generales, teniendo 
presente que: 

La cara del octaedro regular es un triángulo equilátero, de 
lado dado, y su polígono adjunto, un cuadrado de lado igual 
al de la cara. 

La cara del icosaedro regular convexo es un triángulo 
equilátero, de lado dado, y el polígono adjunto, un pentágo- 
no de primera especie de lado igual al de la cara. 

La cara del icosaedro regular de séptima especie es un 
triángulo equilátero de lado dado, y su polígono adjunto, un 
pentágono de segunda especie, de lado igual al de la cara. 

La cara del dodecaedro regular de tercera especie, de ca- 
ras convexas, es un pentágono de primera especie de lado 
dado, y su polígono adjunto, un pentágono de segunda espe- 
cie, inscrito en la circunferencia circunscrita á la cara del po- 
liedro. 



505 — 



11 



Áreas y volúmenes aparentes de los poliedros regulares 
y su desarrollo. 

Dodecaedro regular de séptima especie.— La cara del 
poliedro es el pentágono de segunda especie ABCDE, de 




lado AB=^a (fig. 3), y su cara aparente, cinco triángulos 
isósceles iguales al Amn, cuyos lados son 



Am = An = —(^ -\J 5) y mn=a{^5 — 2\ 



que es el lado del decágono de primera especie, inscrito en 
la circunferencia de radio igual k Am. 

La superficie aparente está formada de 60 triángulos igua- 
les al Amn, y como 



A . A mn=- — ^J 85 — 38V 5, 
4 



resulta que: 



>4i=15fl2V85-38\/5 „ Vi=-a'{\3\/5- 21). 

4 



— 506 - 
El desarrollo del poliedro es la figura: 




Icosaedro regular de séptima especie. La cara del 
poliedro es el triángulo equilátero Fce, de lado Fe = a (figu- 




a 4); la superficie aparente la forman 120 triángulos obli- 
cuángulos, ¡guales al mFn, y 60 iguales al rii s^ q, deter- 
minados en la cara real por la sencilla construcción que se 



507 



indica en la figura; los puntos m, r,n, q dividen los lados 
Fe, ce, Fe en media y extrema razón, siendo el segmento 
áureo 

cm = re = Fg = ne - —{\/5^\) 




Fiaura 5.'' 



y el menor 
m 



F^ Cr = Fn^ =^ qe=-^{3- v'5). 



— 508 — 
La recta n^ h es paralela á la 

Fr y m{n)r = n^{Si)q „ mn = niq 



= ií!^(7\/5-15) 



A . mFn 

40 



por consiguiente, 

V^^= — (83 -37V/5)\/5. 
4 

Su desarrollo es la figura 5. 

Dodecaedro regular de tercera especie, de caras 
ESTRELLADAS. - La cara del poliedro es el pentágono de se- 

A 




gunda especie A B CDE, de lado AB = a (fig. 6), y su cara 
aparente, cinco triángulos iguales al isósceles Amn, cuyos 
lados son 

Am = An = -(3 — \/5) y mn = aW5-2). 

La superficie aparente la forman 60 triángulos iguales al 
Amn, y como 



- 509 - 



A.^/n/z = — V85-38 \/5, 

4 



tendremos ; 



A= ISa^VsS — 38 ^5 „ V,^ ^^{25 - \\\/ 5). 

4 

Su desarrollo es la figura 7. 




Figura 7. 



Dodecaedro regular de tercera especie, de caras 
CONVEXAS. --La cara del poliedro es el pentágono de primera 
especie ABC DE, de lado AB=a (fig. 8), y su cara aparente, 
cinco triángulos iguales al isósceles AmB, cuyos lados son: 



Am = mB = -{\/5 — \), AB = a, 



- 510 - 
y la superficie aparente, 60 triángulos ¡guales al AmB; pero 



A.>l/nB = — V5-2V5 
4 





luego 



Figura 9.* 



yi, = 15W5-2V5 „ l/,=.5^(V5-l). 



Su desarrollo es la figura 9. 



511 - 



XXV.— Ensayo de ¿*:eometi*ia analítica noeuclidiana. 

Por José A. Pérez del Pulgar, S. J. 

(Conclusión.) 

§ 6.^ 
Medida de ángulos sólidos. 

41.— Las teorías expuestas en los párrafos anteriores nos 
permiten establecer una métrica angular independiente de 
las medidas lineales á que suelen reducirse todas las deter- 
minaciones numéricas de la métrica usual. 




Figura 4. 



En efecto; de las expresiones [42J y [51] se deduce á pri- 
mera vista una consecuencia importante, á saber: entre los 
elementos de un triedro infinitesimal existen las mismas rela- 
ciones que entre los elementos de un triángulo plano euclidia- 



— 512 — 

no. Es tan fácil deducir esta conclusión en toda su generali- 
dad de las expresiones citadas, que no insistiré más en ella, 
pasando desde luego á aplicarla. 

Sea O el vértice de una radiación y una recta OM de ella. 

Consideremos dos planos AOM y BOM formando el 
diedro t. Llamemos r al ángulo en el vértice de una superfi- 
cie cónica, BAC, de revolución de eje OM. Es claro que si 
llamamos a á la porción de superficie cónica BA O, compren- 
dida entre los planos AOM y BOM, 

^=f{r). 



Al disminuir r disminuye a; y, por ser cantidades de igual 
orden infinitesimal, admitiremos que su razón -^ tiende ha- 
cia un límite ^ finito y distinto de cero, que tomaremos como 
medida del diedro t. 

Tendremos, pues, 

, T = lim — [56] 



Por consiguiente, para toda la superficie cónica será, re- 
presentando por con. r la superficie cónica de un cono de 
revolución, cuyo ángulo en el vértice es r, 



/\ con r 
diedro ABC = \\m '- — 



y de aquí y de la anterior, 



lim 



ABC con . r 



' La existencia de este límite, evidente en el espacio euclidiano, es 
susceptible de una demostración rigurosa en las otras dos clases de 
espacios; y no siendo posible más que estos tres, es cierta en toda su 
generalidad. 



— 513 - 



y poniendo que con. r==2r.'^{r), donde 27i representa, según 
la convención hecha más arriba, la medida de cuatro ángu- 
los rectos diedros, es decir, ABC, tenemos: 



= lim 



27r 



2-f(0' 



ó bien 



y pasando al límite 



T= lim 



9(r)' 



a = Tc<(r). 



[57] 



42. Sea ahora el triedro O ABC. Designaremos por 

O 




a, b ye, los ángulos planos y por A, B y C \os diedros 
opuestos. Es claro que 



a = ^(^,6,c), 



y, por consiguiente, 



, da , . , da .. , da , 

da = dA -\ db H de. 

dA db de 



[58] 



514 - 

^ , , da da da 

Calculemos, pues, , y . 

dA db de 

Para ello demos al ángulo en A un incremento infinita- 
mente pequeño. Sea OC la nueva posición de la arista O C. 
Hagamos girar la arista O C, describiendo una superficie có- 
nica de revolución de eje OB. Evidentemente, da— POC. 
En el triedro infinitesimal OPCC, rectángulo en OP, se 
tiene: 

da -= COC'cos(POC'C) = COC'senC; 

y, como en este incremento se supone b constante, COC 
es un elemento de suparficie cónica de revolución de eje O A 
que, según acabamos de ver, viene dado por 



COC =^'^ 


{b)dA. 


Substituyendo, pues. 






da = 


'^{b).senC .dA, 


da 
dA 


= 'f(^)- 


senC; i 


or análoga razón, 




1 

senR ) 


/ da 
dA 


= He) . 


De aquí se deduce que: 




-(«) _. 


m _ 


. r(0 


sen .4 


senfí 


senC 


Por consiguiente, 







159] 



-^^ - Q. |60| 



cp(¿7)= Qsenfi. 
De ésta y de la primera de [59J resulta 



_^ = QsenBsenC, [61] 

dA • 



- 515 - 

siendo Q una constante. Busquemos la derivada parcial de 
a con respecto á b. F ira ello demos al ángulo plano b un in- 
cremento infinítame jte pequeño, y sea OC la nueva posi- 
ción de la arista OC (fig. 6). Hagamos, como antes, girar la 

■ O 




Figura ñ' 

arista describiendo una superficie cónica de revolución de 
eje OB, cuya intersección con el plano OBC sea OP. En 
el triedro infinitesimal OPCC, rectángulo en OP, tenemos: 

da= COC'cosC. 

Pero COC = db; luego 

da eos C . db = eos C . db; 



de donde 



Por igual razón 



da 
db 



da 
de 



= eos C. 



= eos B. 



[62] 



- 516 - 
Délas [58], [61] y [62], resulta: 

da = Qsen B .senC .dA -\- cosC .db -\- cosB . de. [63J 

43. Diferenciando totalmente una cualquiera de las ecua- 
ciones [60], resulta: 

^'{a)da = SQn AdQ + QcosAdA, 

de donde, substituyendo este valor de Q eos. A dA en la [63], 
previamente multiplicada por eos. A, obtenemos: 

eos A da = senB sen Ci'f' (a) da — sen AdQ) + 
+ cosCcoSi4£/6 -j coSiBcoSi4í/c, 
ó bien 

da [eos A — '^' {a)sen B sen C] — eos .4 cosCdb — 
— cosBcoSi4í/c -r senBsenCsen^í/Q = 0. 

Pero, el último término de esta suma es una función simé- 
trica con respecto áA,By C; luego también lo es la suma de 
los términos restantes. Luego, por permutación circular, ob- 
tendremos otra ecuación de la misma forma que la anterior, 
con el último sumando idéntico. Igualando, pues, las sumas 
de los restantes resulta 

da[cosA — cp'(a)senBsenC]— coSi4cosCí/6 -cos5cos>ií/c= 
= db[cosB — 'f '(^)sen Csen ^4] — eos ^cos^l de - eos CcosBda, 

esta ecuación es una identidad, que ha de verificarse para 
valores cualesquiera de da, db y de. Igualando, pues, sus 
coeficientes, resulta: 

cos>4 - ^'(a)sen5sen C - — cos5cosC; 



- 517 



de donde 



?'(«) 



coSi4 + cosacos C . 

: j 

SQüB sen C 



[64] 



y otra igualdad análoga puede también sacarse de ésta por 
permutación circular. 
44. Ahora bien; llamemos B al determinante 



1 


— eos C 


— cosB 


— cosC 


1 


— eos .4 


— eos 5 


— eos A 


1 



= í. 



[65] 



de donde desarrollando 
§ = 1 — eos- A — cos'-B — eos- C — 2coSi4 cosB eos C, 



ó bien 



^= sen^B sen^ C - (coSv4 + cosfí eos Cf, 



lo que nos permite poner el segundo miembro de la ecuación 
[64] bajo la forma 



coSj4 -j- coSiScosC 



sen B sen C 



y, como según la [60] 



V 



1 — 



sen-fisen"-C 



'f(«) 



= 1, podemos hacer simé- 
Q sen. .4 

trico el denominador del segundo término del subrradical, es- 
cribiendo 



eos A - cosBcosC 
sen 5 sen C 

y haciendo, por último, 



-V' 



Íc2(íí) 



senM sen^fisen^C.Q- 



Q^sen-Msen'fisen'C 



[66] 



- 518 



en que A"^ tiene siempre el mismo signo que o, resulta que 
la ecuación [64] puede ponerse bajo la forma 



Es fácil ver que K es una constante con respecto á A, B 
y C, y, por consiguiente, teniendo en cuenta la [64], '^ (a) 
no es función de K, la ecuación anterior escrita en la forma 

da ^'^'^'' 



Vi - A'- f (oy- 
es susceptible de una integración inmediata, que da 



. . senA'a ro-,-, 



'z.'{a) = eos Ka. 
45. De esta ecuación y de la [60] resulta 
senA'a sen Kb sen Kc 



[68J 



sen A sen 5 sen C 

Además, la [64] se transforma en la 

coSi4 -t- eos B eos C 

eos Ka = — 

sen B sen C 

ó bien 

eos >1 = —cosacos C-f- senfísenCcosA'a, |69| 

que con otras dos que se obtienen por permutación circular, 
nos dan las ecuaciones correlativas de la [42] del párrafo 29, 
obtenida por otro procedimiento enteramente distinto, y que 



— 519 - 

nos permitirá dar una interpretación geométrica á la cons- 
tante/e^. Si comparamos la [69], sus análogas y correlativas 
con las obtenidas anteriormente para los elementos de un 
triedro, veremos que 

y que si tomamos, para expresar los ángulos diedros, razo- 
nes trigonométricas circulares, y para los planos también 
circulares, pero dejando el factor K en todas las expresio- 
nes, podremos pasar de un sistema esférico á otro pseudo 

esférico, ó viceversa, sin más que multiplicar á K por y — 1. 
Observemos que K no es una constante más que para un 
mismo triedro. La cantidad 8 es la que suele llamarse vulgar- 
mente seno del triedro, y para triedros infinitamente peque- 
ños, K =0: en este caso, y suponiendo que uno de los án- 
gulos, V. gr., el A es recto; 

cosaK = cosbKcoscK 
ó bien 

1 — sen^a/r _ (1 — sen^A^^Xl — sen-' /Te) 



J sen ^ Ka _ (1 - sen^/T^— sen-ZTc— sen^/Tósen^A^c) 

y, en el límite, después de suprimir el término común — , 
a^ = ¿72 + c'2. 

Luego a, b, c son cantidades que no se anulan necesaria- 
mente cuando el ángulo O se anula, y una cualquiera de ellas 
es la que en la geometría límite ó euclidiana recibe el nom- 
bre de distancia lineal entre dos rectas paralelas. En otra 
Memoria insistiremos sobre la posibilidad algébrica de esta 

Rf,v. Acad. Ciencias. — V. — Febrero, 1907, 35 



- 520 - 

geometría límite de las de la radiación propiamente tal , que 
ahora nos contentaremos con indicar. 
46. Hemos visto que 

con . r =- 2-<p(/-) 
y que 

a = T o (r). 

Una vez, pues, conocida la forma de sj, podemos determi- 
nar la medida de una superficie cónica cualquiera ó de una 
porción de ella comprendida entre los planos de un ángulo t 
en función de la unidad angular. 

Sabemos que 

senA'r 



^(/-) = 



K 



luego 



senA'r \ 
con . r =^2t^ i 

sen Kr \ 



[70j 



K 



El elemento í/w de cono sólido OABO'{i\g. 4) de revo- 
lución para x constante y r variable es 

úfto z=0Ldr = -zo (r) dr 

Jo Jo A 

y por consiguiente , 



— 521 — 

47. El triedro sólido O ABC (fig. 6) tiene por incre- 
mento para OC constante y OB variable y A recto; 

1 —cosKa 
d<7 = dB 

3-= I dB = — \B— I cosKadBl; 

Jo K' K^l Jo I 

pero según la 

eos B eos C 

COSKfl = 

sen B sen C 

y también 

eos C = eos Kc sen B, 

cuya derivada logarítmica 

sen C , ^ eos 5 , „ 



eos C . sen B 

eos 5 eos C .n j /-. 
dB = — í/C, 

sen B sen C 
de donde 

eos KadB= — dC 



1 

(7 = 



Je. J K' 



donde C es el ángulo que el semirrayo CB forma con el BA 
cuando B se anula, es decir, que C es — si se cuentan los 

ángulos diedros interiores, — 3 — si se cuentan los exte- 
riores. 



— 522 



Para el caso de un triedro cualquiera trazaríamos por una 
de sus aristas un plano perpendicular á la cara opuesta y 
quedarían dos triedros rectangulares, cuya suma sería 



de donde 






A + B-^C = 2C,-\- SK'. 



[711 



48. Resta discutir las ecuaciones [71] y |70]. Para ello 
observaremos que hemos visto que K puede ser real ó ima- 
ginario. En el primer caso, todas las razones trigonométricas 
son circulares. Si tomamos el segundo caso, las razones tri- 
gonométricas de los ángulos diedros siguen siendo circula- 
res, y en cambio las de los planos serán hiperbólicas. La 
razón es la siguiente. Si convenimos en tomar la cantidad a 
(figura 7) por unidad de ángulos planos contados en sen- 




tido AB sobre un plano A 08, — a será la unidad de los 
ángulos planos contados sobre el mismo plano en sentido 

contrario. Pero a\J — \ será la de los ángulos planos conta- 
dos en un plano rectangular con el A 08, la cual puede 



— 523 - 

adoptarse como unidad de ángulos diedros, y entonces refe- 
rimos todas nuestras medidas á medidas angulares planas. 
En un sistema correlativo hubiera ocurrido la inversa. Y pue- 
den también adoptarse unidades independientes para ambas 
clases de ángulos, ambas, por consiguiente, reales. En rea- 
lidad, todas las hipótesis son posibles; pero siendo todos los 
sistemas equivalentes, conviene hacer de una vez para siem- 
pre una convención racional y atenerse á ella. 

Hemos visto, además, que el ángulo sólido viene dado por 
un producto de un ángulo plano t cp (r) por otro dr rectan- 
gular al primero. Por consiguiente, 5 contiene un factor igual 

á v — 1. Llamando S' al otro factor, podremos escribir la 
igualdad [71]. 

^ + 5 H- C = 2 Q + V^~ S'K', [72] 

la cual será cierta cuando una de las dos unidades angulares 

tenga el factor y— 1; y quedando en la forma [71] cuando 
ambas unidades sean independientes, y, por consiguiente, 
reales. 

Pueden, pues, ocurrir tres casos en total. 

Primer caso: Ambas unidades angulares reales — C^ 

TC 

debe contarse positivamente y es igual á — , 

S = [A + B-\- C — 2 rectos] = E 

con . /■ = 4 rectos . sen . r 

oi = Tsen . r 

Segundo caso: Unidad diédrica imaginaria. — Llamando 
A', B' y C á los factores reales contenidos en los die- 
dros A, B y C,\a. [72] se convierte en 

^V^+5\/-í+C'V'-í=(2 rectos)\/^ S'K'\^^; 



— 524 — 

en este caso, como en el anterior, K tiene que ser real, 
puesto que lo son los ángulos planos que lo contienen como 
factor, siendo el otro factor un número siempre real. 
Resulta, pues, la relación 

A' + B' + C = (2 rectos) -f S'K' 

entre los números de veces que los diedros del triedro con- 
tienen á la unidad diédricá. Las demás fórmulas quedarán 
iguales por no encerrar ángulos diedros. 

Tercer caso: Unidad angular plana imaginaria. — Como 
para obtener la diédricá ha de multiplicarse la plana por 

V— 1, la diédricá será real, pero negativa. Entonces todos 
los diedros cambian de signo y C^ representa —3 rectos.— 
Luego la [72] da, por ser A' imaginario, y, por consiguiente, 
K^ negativo, 

— yl— B— C-=— 6 rectos + S'K'\ 

siendo K el factor real de K. 
Además, 

con /■ = (4 rectos) ¡^^i;:: — = (4 rectos) S h r' , 

Sin que esto, como es fácil de ver, signifique otra cosa 
que otra manera de escribir las ecuaciones antes encontra- 
das para la medida de una porción de la superficie cónica. 

Resulta, pues, que los dos primeros casos exigen que la 
suma de los ángulos diedros de un triedro sea mayor que dos 
rectos, y corresponde á las geometrías riemannianas: El ter- 
cero exige que dicha suma sea menor que 6 rectos, y corres- 
ponde á la geometría de Lobatchefsky. Hubieran podido es- 



— 525 - 

tablecerse todas las proposiciones de este párrafo á partir de 
esta propiedad, sin más que aplicar á la radiación los pro- 
cedimientos de demostración usados por Mansión ^ para 
la geometría riemanniana, y por Gerard- para la lobat- 
chefskiana. 

49. No menos sencilla que ésta es la interpretación que 
reciben en la geometría angular de la radiación todas las de- 
más proposiciones de la geometría plana noeuclidiana. He se- 
ñalado ésta por vía de ejemplo, y porque, mediante las con- 
venciones que para llegar á ella hemos hecho, pueden igual- 
mente interpretarse todas las demás, con virtiéndolas, de pro- 
posiciones extrañas y paradójicas, en naturales y sencillos 
enunciados de propiedades que no repugnan en nada á nues- 
tro modo de concebir los elementos geométricos. Téngase, 
además, presente al hacer esta traducción de la geometría no- 
euclidiana á la geometría angular de la radiación, que los 

senos y cosenos hiperbólicos se hacen infinitos para -^, y, 

4 

á partir de este valor del argumento, son imaginarios. De 
suerte que en el sistema pseudoesférico correspondiente á la 
geometría lobatchefskiana , no porque la distancia angular 
entre dos elementos venga dada por una función imaginaria 
ó infinita de las coordenadas de éstos, hemos de creer que 
uno de ellos está en el infinito ó es imaginario, y, en gene- 
ral, no se ha de olvidar que las expresiones algébricas no 
son más que signos que tienen el valor representativo que 
les hemos dado al establecer las convenciones fundamen- 
tales. 



1 Principes fondamentales de la Géométrie non euclidienne de 
Riemann.— París, 1895. 

2 Nouvelles Annales de Mathématiques, liv. Fevrier, 1893. (3.* 
serie, t. XII, pág. 74.) 



~ 526 — 

§ 7.° 
CASO LIMITE, K =0. 

50. Acabamos de ver que todos los ángulos planos, cu- 
yas expresiones en función de las coordenadas han sido 
halladas en los primeros números del § 3.", y que siempre 
hemos designado por la letra O, pueden considerarse como el 
producto de dos factores: uno, K, y otro, cierta cantidad que 
PUEDE permanecer finita y aun constante cuando K tiende 
hacia cero. 

En este caso O tiende también hacia cero, y, por consi- 
guiente, sus senos, dados por las igualdades [28] y [29], 
también se anulan; pero, la razón del ángulo al seno pudiera 
no tender hacia cero, sino hacia una cantidad finita, como 
nos lo hace sospechar la observación hecha en el párrafo 42. 
Veamos de hallar dicho límite, si existe. Para ello recorde- 
mos que las expresiones de los ángulos en función de ios 
coeficientes de la ecuación general del absoluto 

{a \xyzf = 0, 

ó también 

(.4 Xuvwy = 0, 

han sido hallados, á condición de que A^O en la hipótesis 

de que A hayan sido calculados en función de a , ó 

también, y por la misma razón, de que A'^0 (siendo A' el 
discriminante de la ecuación tangencial del absoluto), si 

fuesen dadas A y calculásemos en función de ellas las 

a En otros términos, la condición impuesta á dichas ex- 
presiones ha sido que el absoluto sea un cono propiamente 
tal y no un par de planos ni un par de rectas. 

Pero, pudiéndose diferenciar A y A' de cero en menos que 
una cantidad cualquiera dada, por pequeña que ella sea, si al 



- 527 - 

reducirlos á cero y substituir en las relaciones anteriores los 
límites hacia los cuales tienden en este caso las cantidades 
que en ellos intervienen, no se nos anulan todas ó se nos re- 
ducen aquéllas á identidades, en virtud del teorema de los lí- 
mites, estaremos en el derecho de deducir que las relaciones 
así halladas son las que, en efecto, ligan á dichos límites. 
Otro problema distinto de éste será averiguar si estos límites 
tienen interpretación geométrica y qué interpretación es ésta. 

Suponiendo, pues, que A' tiende hacia cero, los senos de ^ 
en [28] y [29] tienden también á cero; y, por consiguiente, 
puede suponerse el caso en que K y ^' tiendan á la vez hacia 
dicho límite sin que se alteren las demás cantidades que in- 
tervienen en dichas expresiones. Suprimiendo, pues, estos 
dos factores, iguales en su límite, después de haber igualado 
el ángulo á su seno, puesto que también ellos tendrán lími- 
tes iguales, obtendremos las relaciones pedidas. 

51. Para verificar esta operación observemos que en el 
límite, ó sea para A'=0, la ecuación del absoluto en tangen- 
ciales, se reduce á la ecuación de dos rectas, que podemos 
representar por 

2{pu + qv ^ rw) (p^u + QoV + r^w) = 0. 

Pasando á coordenadas de rectas, la ecuación del plano 
que las contiene, ó sea del plano absoluto, es 



X y z 
p q r 



Igualando, pues, el seno al ángulo y suprimiendo los fac- 
tores que se anulan en [28] y [29], la distancia entre las rec- 
tas dadas por (x^ y^ z^) {x^ y 2 z^), será: 



— 528 




A la cantidad a daremos, por convención, el nombre de 
distancia lineal entre las dos rectas dadas por sus coordena- 
das (Xj, yi, Zi) y (^2, y^, z^) ^^ ^ste caso límite. 

Las expresiones [30] y [32] toman la forma 

T=ar eos ± (P"i+g^i+^^i)(/^o"2+^o^^2+roW2)+(pa2+^V2+rw/2)(pof/,+gQVi+roM;J _ 



T=ar.sen± 



ó lo que es igual : 

(g^o— ^<7o)(ViW2- Va'Vj+CPor— JP/-o)(Wit/2— w^2"i)+ (p^o - 9Po)("ii'2— "2"!) 



V2(/7t/,+^v,+nv,)(poí/,+^oV,+roiVi)V2(p«2+^V2+riV2)(Po«2+^oV2+roW2) 

Pasando asimismo al límite en la expresión de la distan- 
cia de un plano á una recta, puesto que, como hemos visto, 
se reduce al caso de la distancia de una recta á otra, viene 
aquélla dada por 



¿/,Xt -^ y,yr- w',z, 



^1 yi ^1 
p q r 



\/2(/7Wi+^i^, -I riViXPo«i-f9'oi'i+''oWi) 



- |76! 



[7! 



A la cantidad t' daremos, por convención, el nombre de 
distancia linea! entre una recta y un plano, en el caso límite. 



52. Nos encontramos, pues, de nuevo con que en el caso 
límite, lo mismo que en el caso general, podemos escoger 
los valores po, qo,r(^,p,qy r, que determinan la ecuación del 



— 529 — 

absoluto (el cual geométricamente no ha perdido la signifi- 
cación que le hemos dado en el caso general). 
Escojamos, pues, como forma más sencilla 

para ecuación del absoluto; lo que significa que 

/7=1 „ q=\/~ \ „ r=0 po-l „ ^o = — V/ -1 „ ro=0. 

El absoluto es, pues, en este caso, la intersección de los 
dos planos imaginarios conjugados, representados en coor- 
denadas de rectas por la ecuación 

x2 -f >;2 = O, 

con el plano dado por la ecuación z = 0. Esta intersección tie- 
ne como coordenadas, según es fácil verificar, x = oo, y = oo. 
Si, pues, por convención, llamamos plano del infinito al re- 
presentado por la ecuación z = 0, resulta que, en el caso 
límite, el absoluto es el conjunto de dos rectas imaginarias 
conjugadas situadas en el plano del infinito. Es decir; en el 
caso límite, la geometría de la radiación es idéntica á la 
geometría de la radiación paralela euclidiana. 

En este caso, todos los ángulos planos de la radiación se 
reducen á cero, sin que se identifiquen las coordenadas de 
las rectas (al menos, sin que esto suceda necesariamente). 
Llamemos paralelas á dos rectas que se encuentran en este 
caso. 

La distancia [73] entre dos rectas que 9e encuentran en 
esta posición, se reduce á 

La expresión [74] de la distancia angular entre dos planos 
es, en este caso, 



— 530 - 
T = arros , ^ -r_ L _^ ^ ^ar sen 



\Ju\ f v-'i V«^,+ v^ ' \Ju\ -i- v^ \Ju\^v\ 



y que puede escribirse también 



ar . tg —i ar . tg — ^ 



y, por último, la expresión de la distancia de una recta á un 
plano es 

que son las expresiones ordinarias de geometría plana, en 
coordenadas cartesianas rectangulares, halladas para la geo- 
metría prismática, por un procedimiento nuevo. En realidad, 
estos teoremas no son más que los correlativos de la geome- 
tría cayleyana, de donde están calcados ^ 

53. Las coordenadas absolutas de rectas (núm. 33) tie- 
nen por límite las cartesianas. Las tangenciales (núm. 34), 
á las pluckerianas. Las triédricas, á las ternarias trilineales, y, 
por último, las polares tienen por fórmulas de transformación 
en el límite (núm. 36), 

i = p COSOJ 

■r\ = p sen 10 

§ 8." 

Dejando para una segunda Memoria el desarrollo de la 
geometría de la radiación, especialmente en el sistema pseu- 

' A sixth memoir upon Quantics, by. Arthur Cayley, Esq., F R. S. 
página 87. 



— 531 — 

doesférico y para los problemas no sujetos á la ley de co- 
rrelación; pues, en lo demás, sería difícil añadir algo impor- 
tante á lo que mi estimado amigo y respetado profesor, el 
Sr. Vegas, dice en su obra ya citada; dejando, además, algu- 
nas aplicaciones prácticas de que es susceptible esta teoría, 
así como su extensión á la geometría de tres dimensiones, 
terminaré esta ligera indicación sobre las bases de la geome- 
tría angular de la radiación, llamando la atención sobre al- 
gunas consecuencias de interés puramente teórico que, ya 
desde ahora, nos encontramos en estado de sacar. 

Primera consecuencia. — Es posible establecer una métrica 
y una analítica, directamente sobre los postulados de Rie- 
mann, y sin apoyarse para nada en la teoría euclidiana de 
las paralelas, sea cual fuere la naturaleza del espacio En 
efecto; geométricamente considerado, un número puede re- 
presentar lo mismo una distancia angular que una distancia 
lineal, sin que haya más razón para tomar una interpreta- 
ción que otra. Por consiguiente, cuando los autores de geo- 
metría general, como Tilly, Cesaro, Study, Riemann, etc., nos 
hablan de distancias y de números, que determinan la posi- 
ción de un elemento, estamos en el derecho de aplicar sus 
conclusiones, lo mismo al caso de puntos determinados por 
distancias lineales, que al de rectas determinadas por distan- 
cias angulares. Esto supuesto, los autores de metageometría, 
por distintos procedimientos, vienen todos á parar en una 
consecuencia común, á saber: en un espacio de tres dimen- 
siones, homogéneo, no hay más que tres geometrías posi- 
bles: una euclidiana, otra riemanniana y otra lobatchefskiana. 
De esta proposición general y de las establecidas en esta 
Memoria, podemos deducir que, no pudiendo ser jamás eu- 
clidiana la geometría de la radiación propia en ninguno de 
los tres sistemas, es necesariamente lobatchefskiana ó rieman- 
nianas; pero como hemos visto que estas dos geometrías, en 
el caso de la radiación, son perfectamente compatibles y se 
reducen á dos sistemas distintos, que pueden adoptarse ar- 



— 532 — 

bitrariamente, resulta que la geometría noeuclidiana de la 
radiación es independientemente de la llamada constante es- 
pacial, y cierta en las tres clases de espacios metageomé- 
tricos. 

Segunda consecuencia.— De los mismos principios, se de- 
duce en segundo lugar, que á toda proposición de geometría 
plana, noeuclidiana, corresponde una proposición de geome- 
tría angular de la radiación sin excepción alguna. Provisto 
de esta clave puede, pues, el lector emprender el estudio de 
los trabajos de todos los geómetras noeuclidianos, seguro 
de encontrar en ellos multitud de teoremas importantes de 
geometría angular, resueltos, á veces, con una novedad y 
elegancia admirables. Como ejemplo, que puede familiarizar- 
se con esta clase de ejercicio, citaré una Memoria famosa de 
Newcomb \ donde, haciendo la traducción conveniente, en- 
contrará el lector fácilmente muchos de los teoremas y pro- 
piedades demostradas en el § 6." de esta Memoria. 

Tercera consecuencia.— Lo dicho nos permite dar una 
nueva demostración del famoso Teorema de Lobatchefsky, á 
saber: El postulado de Euclides es indemostrable. En efecto, 
el tal postulado puede, en vista de lo demostrado en esta 
Memoria, plantearse así: De las definiciones fundamentales 
se deduce que entre el plano y la radiación de vértice propio 
existe una diferencia esencial] aquél tiene una recta en el in- 
finito, por lo que sólo le es aplicable la geometría euclidiana; 
la radiación propia no tiene elementos en el infinito, por lo que 
sólo le son aplicables las geometrías de Riemann y de Lobat- 
chefsky. 

Lobatchefsky dice que esta proposición es indemostrable; 
yo creo que sería más exacto decir que es falsa. En efecto; 
de las definiciones del núm. 1 no se sigue, ni puede seguir- 
se, que entre el plano considerado como lugar de puntos y 



' Elementary theorems relating to the gcometry of a spacc ofthree 
dimensions, etc. Journal... von Crelle, 1877, t. LXXXIII, pág. 293-300. 



— 533 - 

rectas y el punto, considerado como vértice de una radiación 
de planos y rectas, exista diferencia alguna, ni esencial ni 
accidental. Para convencerse de ello, basta en las proposicio- 
nes de dicho número colocar la palabra punto en vez de la 
palabra plano, y viceversa, y se volverán á encontrar las 
mismas proposiciones que antes en distinto orden. Esto 
prueba que dichas proposiciones son, por decirlo así, simé- 
tricas con respecto á estos dos elementos. Por consiguiente, 
es enteramente imposible llegar, por un desenvolvimiento ló- 
gico de las ideas establecidas en esas proposiciones, á en- 
contrar la más pequeña diferencia entre el plano y la radia- 
ción. Pero ¿podría establecerse dicha diferencia, mediante 
algún carácter, no contenido en dichas proposiciones, aunque 
compatible con ellas? En primer lugar, de esto nada nos 
dice el teorema de Lobatchefsky, como se ve fácilmente; lo 
que será bueno tener presente, para no atribuir á este teo- 
rema una significación, que no tiene, y que han querido dar- 
le algunos autores. En segundo lugar, el problema de añadir 
á las proposiciones fundamentales del núm. 1 otra proposi- 
ción, definición, postulado ó como quiera llamarse, que com- 
plete las nociones de punto, recta y plano, no es un proble- 
ma matemático, sino filosófico. Esto supuesto, el teorema de 
Lobatchefsky, lejos de oponerse á que se añada á las dichas 
proposiciones una más, parece exigirlo imperiosamente. En 
efecto; si esas definiciones han sido admitidas para estable- 
cer de una manera refleja y científica las nociones vulgares 
de punto, recta y plano, diciéndonos estas nociones que exis- 
te indudablemente una diferencia entre el plano y el punto, 
y asegurándonos, por otra parte, el teorema de Lobatchefsky 
que las proposiciones admitidas hasta hoy no bastan para 
establecerla, sigúese que á dichas proposiciones hay que 
añadir una más, si se quiere que llenen completamente el fin 
á que se las destina. El problema, pues, entre euclidianos y 
no euclidianos debe plantearse así: ¿existe algún carácter 
métrico diferencial entre el plano y la radiación ? 



— 534 — 

Cuarta consecuencia.- - Sin indicar siquiera las distintas 
soluciones que pueden darse á e3te problema, establezcamos 
una consecuencia importante que se sigue ya desde luego de 
esta nueva manera de plantearlo. La compatibilidad lógica 
de los distintos sistemas geométricos con las definiciones 
fundamentales de recta y plano y punto no basta para ase- 
gurar que dichos sistemas son aplicables indistintamente al 
plano ó á la radiación. En efecto; hemos visto que la geome- 
tría euclidiana no es aplicable á la radiación de vértice pro- 
pio; luego, por idéntica razón, las geometrías no euclidia- 
nas podrían no ser aplicables al plano. 

De aquí se sigue la distinción importantísima entre geome- 
trías no euclidianas y concepciones no euclidianas del espa- 
cio. Hemos visto que las teorías no euclidianas, aplicadas 
exclusivamente á la radiación, no se oponen en nada á la 
concepción euclidiana del espacio. Puede, pues, admitirse la 
exactitud absoluta de las geometrías no euclidianas y, al mis- 
mo tiempo, la verdad de la concepción euclidiana del espa- 
cio con tal de que, al mismo tiempo, se admita también que 
dichas teorías son aplicables sólo á la radiación y mediante 
una métrica angular. 

El problema de las geometrías está, pues, definitivamente 
resuelto en favor de los geómetras no euclidianos. Indudable- 
mente, sus geometrías son ciertas, son independientes de la 
teoría de las paralelas, equivalentes á la geometría de Eucli- 
des, por lo que toca á las aplicaciones prácticas, y aun aña- 
diré que, para mi gusto particular, son más ingeniosas y más 
sintéticas que aquélla. 

¿Puede decirse otro tanto del problema de la concepción 
filosófica del espacio? Por ahora contentémonos con hacer 
constar que el teorema de Lobatchefsky nada nos dice sobre 
este segundo problema. 

En segundo lugar, y más como un ensayo que someto á 
la aprobación del lector, que como una proposición demos- 
trable, he establecido en el párrafo último una definición de 



— 535 — 

distancia lineal, que, añadida á las proposiciones del nú- 
mero 1 , deja sólo posible la concepción euclidiana del espa- 
cio, sin quitar nada de su importancia á las geometrías no 
euclidianas, antes al contrario, considerándolas como una 
métrica más general que la euclidiana y haciendo una sínte- 
sis natural y sencilla de todos los sistemas posibles de la 
moderna Metageometría. 

Sin avanzar, pues, afirmación alguna sobre el segundo de 
los problemas antes enunciados, es decir, sobre el rigor filo- 
sófico de las concepciones no euclidianas del espacio, lo que 
S2ría ajeno á este trabajo, voy, para terminar, á plantearlo de 
otro modo, tal como debe planteársele una vez admitido el 
valor lógico de la geometría angular de la radiación. De este 
planteo se seguirán dos ventajas: en primer lugar, se preci- 
sará del todo la proposición, cuya verdad ó falsedad habrá 
que demostrar en lo sucesivo; en segundo lugar, se fijará 
por completo el terreno de la discusión. 

Los partidarios de la concepción euclidiana del espacio, en 
vez de ocuparse en demostrar el postulado de Euclides en 
el sentido tradicional de este problema, empresa absurda é 
inútil, puesto que hemos visto que semejante demostración 
es imposible, han de dirigir sus trabajos á demostrar que, 

A), TODA métrica compatible con las definiciones adop- 
tadas de recta, punto y plano, puede ser igualmente apli- 
cable á la medida del espacio real. 

Demostrada esta proposición, que sería, si se quiere, un 
nuevo postulado, de lo dicho en esta Memoria, se deduce 
que las concepciones noeuclidianas del espacio son inadmi- 
sibles. En efecto, hemos demostrado: 

B), que existen tres geometrías posibles é igualmente ló- 
gicas; 

C), que las tres no son igualmente aplicables al plano y 
á la radiación propia. 

De estas tres proposiciones se sigue que las geometrías ó 
sistemas métricos noeuclidianos son exclusivamente aplica- 

Rkv. Acad. Ciencias.— V. — Febrero, 1907. 30 



"■■ - 536 - 

bles á la métrica angular de la radiación y no al plano. Pues- 
to que, si fuesen aplicables á éste, el sistema euclidiano no 
sería aplicable al plano (cuya geometría sería noeuclidiana), 
tampoco sería aplicable á la radiación (puesto que á ella es 
siempre y en todos los espacios inaplicable). Luego la geo- 
metría euclidiana no tendría ninguna aplicación al espacio 
real, lo cual es contra la proposición A). Pero las concep- 
ciones no^uclidianas del espacio exigen que los sistemas no- 
euclidianos sean aplicables al plano real; luego dichas con- 
cepciones son inadmisibles. 

Queda, pues, establecido que si con los metageómetras 
concedemos iguales derechos á todos los sistemas posibles, 
en un espacio donde se verifiquen las definiciones fundamenta- 
les de punto, recta y plano, las concepciones noeuclidianas de 
este espacio son absurdas; consecuencia precisamente inver- 
sa de la que se ha pretendido sacar. 

Resta por demostrar la proposición A). Ahora bien; fácil- 
mente se ve que su establecimiento es un problema de orden 
puramente filosófico; depende de la teoría que cada cual 
adopta sobre la objetividad de las ideas abstractas. Se trata 
de averíguar si todo desenvolvimiento lógico de una abstrac- 
ción tiene una significación real, fuera de la consideración 
del entendimiento, y hasta qué punto'. Los relativistas y 
muchos idealistas resuelven por la negativa, y, para ellos, 
en especial para los prímeros, el problema del espacio no 
tiene solución posible, en absoluto; pero siempre podremos 
encontrar una solución práctica suficientemente exacta para 
el estado actual de nuestros conocimientos. Los que admiten 
la proposición AJ tienen que sostener que las geometrías 
lineales del plano noeuclidiana son simplemente una colec- 



' Exactamente lo mismo debería decirse, si, en vez de la pro- 
posición A), ponemos esta otra: La definición de distancia lineal, 
dada en el núm. 47, corresponde , en realidad, á lo que en la práctica 
entendemos por distancia lineal. 



— 537 - 

ción de palabras, sin sentido alguno, resultado de una subs- 
titución puramente mecánica de las palabras punto, recta, 
plano, donde debieran decir reda, plano, punto. De todos 
modos, la discusión se ha trasladado completamente al te- 
rreno filosófico, sin que el antiguo argumento sacado de la 
existencia de las geometrías noeuclidianas pruebe lo mas mí- 
nimo en favor de las concepciones noeuclidianas del espacio. 
Esto no significa, de ninguna manera, que el problema 
haya dejado de ser uno de los más obscuros que se presen- 
tan al entendimiento humano y que, por su transcendencia 
y lo ligado que se halla con la teoría del origen de las ideas, 
no lleva trazas de resolverse por ahora. 



OBRAS CONSULTADAS PARA LA COMPOSICIÓN DE ESTA MEMORIA 

«Tratado de Geometría de la Posición >. Madrid, 1899.— D. Eduar- 
do TORROJA. 

«Tratado de Geometría analíti<"a . T. I, segunda edición. Ma- 
drid, 1906. -D. Miguel Vegas. 

«Essai de Géométrie Analytique genérale >. Mémoires couronnés 
et autres mémoires publiés par l'Académie royale de Belgique (Coll. 
in 8.°), t. XLVII. Memoria leída en la clase de Ciencias en 10 de Mayo 
de 1892. -M. de Tilly. 

: Elementary theorems relating to the geometry of a Space of 
three dimensions and of uniforme positive curvature in the fourth di- 
mensión-. Journal für die reine angewandte von Crelle, 1877, 

tomo LXXXIII, pág. 293 300.-M. Simón Newcomb. 

<; Principes fondamentaux de la géométrie non-euclidienne de Rie- 
mann >. París, 1895. -M. Paul Mansión. 

Kürzeste Wege im Komplexen Gebiet . Mathematische Anna- 
len, LX, 1905. Deducción de la noción algébrica de distancia, á partir 
de las propiedades de las formas he rmif lanas bilineales complejas.— 
E. Study. 

«Géométrie imaginaire .Journal von Crelle, t. XVII pág. 295. — 

LOBATCHEFSKY. 



- 538 — 

«Nouveaux principes déla géométrie avec une théorie complete 
des paralléles . Traducción al francés del ruso por F. Mallieux. Bru- 

xelles, 1901.— LOBATCHEFSKY. 

«Sur l'emploi d'un tetraédre de référence mobile en géométrie 
Cayleyenne . Comp. R. de l'Acc. des Sciences, 1904, CXXXIX, pági- 
nas 393-396.— M. A. Demoulin. 

< Lezioni di geometría intrínseca». Ñapóles, 1896. — S. E. Cesaro. 
A Sixth Memoir upon Quantics . Philosophical transactions, 1859, 

tomo CXLIX, pág. 61-90.— Arthur Cayley. 

< Le cinquiéme livre de la métagéométríe ^. Mathesis, 3.^ seríe, t. I, 
1901, pág. 177.- M. P. Barbarin. 

«Etudes de Géométrie analytique non-euclidienne . Bruxelles, 1900. 
M. P. Barbarin. 

< Etude critique sur la théorie géométrique du general Tilly». Re- 
vue de Métaphysique et de Morale. Janvier, 1904, pág. 75. — M. G. 
Léchalas. 

«Pour la géométrie non-euclidienne >. Suivi de diverses notes. 
Colección de varios artículos sobre este asunto. Gand, 1898. — M. P. 
Mansión. 

«Sur la géométrie non-euclidienne (de Lobatchefsky). Nouvelles 
Annales de Mathématiques. Fevrier, 1893, pág. 74.— M. Gerard. 



índice 

DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO 



pjlos. 



XXII.— Elementos de la teoría de la elasticidad, por José Eche- 

garay 455^ 

XXIII. -Estudios de Síntesis mineral, por /osé Rodríguez 

Mourelo 479 

XXIV.— Poliedros regulares, por Luis Cátala 496 

XXV. -Ensayo de Geometría analítica noeuclidiana, por el 

P. José A. Pérez del Pulgar, S. J. 511 



La subscripción á esta Revista se hace por tomos completos, 
de 600 & 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos 
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val- 
verde, núm. 26, Madrid. 

Precio de este cuaderno, 1,25 pesetas. 



REVISTA 



DE LA 



REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 



EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES 



MADRID 



TOJvno v.-isrxjiva:. 9 

( Nlarzo de ISOT.) 



MADRID 

IMPBENTA DE LA GACETA DE MADRID 

caíTjT. de pontejos, núm. 8. 

10O7 



ADVERTENCIA 



Los originales para la Revista de la Academia 
se han de entregar completos, en la Secretaría de 
la Corporación, antes del día 20 de cada mes, 
pues de otro modo quedará su publicación para 
el mes siguiente. 



i.o»y 



539 



XXVI.- Elciiioiitos (le la tcoi'í i de la elasticidad. 

Por José Echeqaray. 

Conferencia tercera. 

Señores: 

El carácter de conferencias que doy á los presentes estu- 
dios, ya orales, ya escritos, me permite una amptitud en la 
exposición, que no tendría, si se tratase de un curso divi- 
dido en lecciones ó de una obra didáctica, en que todo se 
ha de encadenar lógicamente, en que toda repetición debe 
evitarse y en que el estilo ha de ser constantemente preciso 
y severo. 

En cambio, como ya he dicho en otra ocasión, en estas 
conferencias tengo gran libertad, de la que ampliamente he 
de aprovecharme, sacrificándolo todo á la claridad del pen- 
samiento y, si es posible, á la sujestión científica que pueda 
ejercer sobre mis oyentes. 

Me aprovecho, pues, de esta circunstancia para repetir, 
condensando, lo que expuse en la última conferencia. 

Dije en ella, que en el método de Cauchy se consideraba 
cualquier sistema elástico, limitado ó ilimitado, como un con- 
junto de puntos sujetos á fuerzas interiores, todas ellas cen- 
trales; á fuerzas exteriores distribuidas en la masa; y, si el 
sistema era limitado, á fuerzas que actuasen sobre la su- 
perficie. 

El problema consistía, si se trataba del equilibrio: en de- 
terminar las componentes del desplazamiento a, v, w, en 
función de las coordenadas de cada punto, ó sea para cada 
punto del sistema. 

Rrv. Acad. Ciencias. — V. — Marzo, 1907. 37 



— 540 - 

Si se trataba del movimiento, en determinar, asimismo, 
dichas componentes del desplazamiento por cada instante 
y para cada punto, ó sea: u, v, w, en función de x, y, zy t. 

No había para ello más que aplicar; en cada masa, las tres 
ecuaciones de la mecánica á los puntos libres, con lo cual 
tendríamos: 

1.° En el caso del equilibrio, n grupos de tres ecuacio- 
nes cada uno, siendo n el número de puntos ó masas; por 
consiguiente, tantas ecuaciones como incógnitas. 

2° Si se trataba del movimiento, tendríamos, asimis- 
mo, 3n ecuaciones diferenciales, que serían evidentemente 
ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden. Las 

funciones serian u, v, w; u^, v^, w^, , y la única variable 

independiente, el tiempo. Las coordenadas de cada pnnto re- 
presentarán el papel de constantes de las ecuaciones. 

Todo esto resulta de que las fuerzas internas entre cada 
dos puntos, dependen de los desplazamientos de estos pun- 
tos, según lo desarrollamos minuciosamente en la conferen- 
cia anterior. 

* * 

Nada más sencillo que el planteamiento del problema: es 
un problema de Mecánica racional de extraordinaria sen- 
cillez. 

Pero, una vez planteado, la resolución de las ecuaciones 
es absolutamente imposible, y la solución del problema, ilu- 
soria de todo punto, porque el número de puntos n es enor- 
me: es de millones y millones; para la inteligencia humana 
es como si n fuese infinito. 

Las Matemáticas no saben, mejor dicho, no pueden resol- 
ver un número infinito de ecuaciones. 

Esto parece á primera vista, y, sin embargo, tan peligro- 
sas son las proposiciones absolutas, no sólo cuando revelan 
soberbia, sino cuando reflejan modestia, que el aventurar la 



— 541 — 

proposición anterior, hemos cometido un error que en breve 
vamos á rectificar. 

Para ello, propongámonos transformar el problema intro- 
duciendo en él diversas modificaciones. 



* 



En la conferencia última, introdujimos dos simplificacio- 
nes: de gran importancia la primera, y la segunda que trans- 
formaba el problema de tal suerte, que en vez de dejar un 
número infinito de ecuaciones, las reducía sólo á tres. 

1 .° Observando que las fuerzas interiores entre dos pun- 
tos son despreciables, cuando la distancia entre dichos pun- 
tos pasa de un límite á que llama radio de actividad mole- 
cular, para obtener los componentes de las fuerzas interiores, 
que actúan en cada masa, trazamos alrededor de ésta, como 
centro, una pequeña esfera de radio z, cantidad que llamá- 
bamos radio de actividad y prescindíamos por completo del 
resto del sistema. 

Es decir, que sobre cada punto, sólo ejercen influencia di- 
recta para el equilibrio ó para el movimiento los puntos ma- 
teriales que están dentro de su esfera de actividad. 

Más claro; en un sistema V, fig. 8.^ para establecer las 
ecuaciones de equilibrio del punto m, sólo se contará, en el 
cálculo de las fuerzas internas, con los puntos que están 
dentro de la esfera e; para el punto m' sólo se contará igual- 
mente con los puntos interiores á e', y así sucesivamente.. Y 
en cada caso se prescindirá en absoluto del resto del sis- 
tema V. 

Dichas esferas e, tienen por radio e. 

Esto es lo mismo, que hacíamos en el curso anterior al 
estudiar el equilibrio ó el movimiento de una serie de puntos 
en línea recta, cuando suponíamos, que para cada punto 
sólo había que tener en cuenta los dos inmediatos entre los 



542 



cuales estaba colocado: lo que en aquel caso era Tq es en 
este caso e. 

Simplificación importante, pero no porque reduzca á lími- 
tes prácticos el número de ecuaciones. Estas continúan sien- 
do en número 3n; es decir un número de millones y millo- 
nes, que para nosotros es como si fuera infinito. 

En cambio, como sólo se tomarán en cuenta valores 
de u, v, w, muy próximos, es decir, para puntos compren- 





Figura 8.» 



didos en la esfera e, las diferencias de las componentes de 
los desplazamientos u^ — w, v^ - w, w^ — w serán su- 
mamente pequeiías, y serán lícitos los desarrollos en serie 
limitándonos á los primeros términos. 

2." En cambio, la segunda simplificación es transcenden- 
tal, y tanto, que hace el problema posible; cuando no lo se- 
ría si fuera preciso manejar 3/z ecuaciones, ya que el núme- 
ro n es inmenso. 

Recordarán mis oyentes, que después de desarrollar las 
ecuaciones del equilibrio del movimiento, y de hacer en ellas 
varias simplificaciones é hipótesis, llegábamos á tres ecua- 
ciones para el equilibrio de cada punto, que abreviadamente 
podremos expresar de este modo: 



— 543 - 

^, + m,Fy ^-= O, 

y á otras tres análogas para el movimiento; es decir, 



A i- m^Fx — /no — — = O, 
dt., 

^^ -f /TZoFy — /72o -; — = O, 
at' 

A, + /77oF. - nio-j— - O, 
a/' 



si F se refiere á la unidad de masa. 

Representamos abreviadamente por las A polimonios li- 
neales, que contienen todas las derivadas de 1.° y 2." orden 
de y, V, w, respecto á x, y, z, en que los coeficientes son fun- 
ciones de las masas y de las coordenadas del punto que se 
considera, y cuyo equilibrio ó cuyo movimiento expresan las 
ecuaciones anteriores. 

La forma general de estas ecuaciones es la misma para 
todos los puntos del sistema, si es indefinido, y para todos 
los puntos, menos los de una zona de espesor s, si es limi- 
tado. 

En efecto, todas ellas tendrán los tres términos que quedan 
indicados: primero, el polinomio lineal respecto á las deriva- 
das que hemos llamado A; segundo, la componente de F, y 
tercero, la fuerza de inercia. 

Respecto á A, para todos los puntos del sistema indicados 
antes, tendrá la misma forma, puesto que ya hemos dicho 
que es un polinomio lineal respecto á 

du du du dv du- 

dx' dy ' d z ' dx dx- 



- 544 - 

es decir, á las derivadas de u, v, w, de primero y segundo 
orden con relación á x, y, z. Por otra parte, los coeficientes 
de los diferentes términos son sumas, que se forman de la 
misma manera dentro de cada esfera de actividad; de suerte 
que sólo dependerán de x, y, z, y serán funciones de estas 
variables independientes. Si el cuerpo fuese homogéneo, 
serían coeficientes constantes en toda la extensión del sis- 
tema. 

Luego las 3 n ecuaciones primitivas pueden considerarse 
condensadas en sólo tres ecuaciones, dejando á x, y, z su 
variabilidad. 

En suma, en vez de las 3 n ecuaciones primitivas que eran 
simultáneas, tenemos tres ecuaciones en diferenciales parcia- 
les, siendo u, v, w las funciones, y siendo x, y, z las varia- 
bles independientes para el caso de equilibrio, y x, y, z, t 
para el caso de movimiento. 

Las X, y, z eran constantes del sistema en las primitivas 
ecuaciones de la elasticidad, y son variables independientes 
en las ecuaciones en derivadas parciales. 

El problema ha pasado de ser imposible, por el número 
enorme de ecuaciones, á ser posible, porque ya no hay más 
que tres ecuaciones diferenciales. 

Sólo que antes teníamos una sola variable independiente, 
el tiempo, y ahora tenemos cuatro variables independientes 
en el caso general ó del movimiento interno del sistema. 

Además, las ecuaciones son de las más sencillas, puesta 
que son diferenciales parciales, lineales, y sólo de segundo 
orden. 

Sin contar con que todavía hemos de simplificar extraor- 
dinariamente el número de términos, cuando apliquemos el 
verdadero método de Cauchy; pues cuanto vamos diciendo 
hasta ahora no son más que generalidades de dicho método 
para la mejor inteligencia de mis oyentes. 

Por último, los coeficientes de estas ecuaciones lineales, 
en general, serán funciones de x, y, z; pero cuando se trate 



— 545 — 

de sistema homogéneo, los coeficientes de las derivadas se- 
rán constantes, como antes indicábamos. 

Y todavía, como veremos en la lección próxima, la sime- 
tría del sistema, si existe, nos permitirá simplificar notable- 
mente las tres ecuaciones fundamentales, que expresan el 
equilibrio ó el movimiento en cualquier punto interior del 
sistema. 

Así y todo, como veremos, el problema es enormemente 
difícil, y sólo puede resolverse por completo en algunos ca- 
sos particulares. 

* 

Estas dificultades nacen, desde luego, de dificultades pro- 
pias á todo problema de integración; pero aun se complican 
en este caso por la última sinplificación, que hemos intro- 
ducido. 

Esta simplificación hace posible la solución del problema, 
que de otro modo no lo sería, sino para un corto número 
de puntos aislados. 

Pero hemos conseguido esta inmensa ventaja á costa de 
una nueva complicación. 

Hemos reducido las 3 n ecuaciones del problema á tres 
ecuaciones no más, aplicables á casi todos los puntos de V, 
menos á una zona del mismo sistema lindante con la super- 
ficie límite y de espesor t. 

Más claro: si V es el sistema de puntos (fig. 9) y está li- 
mitado por la superficie S, trazando una superficie inte- 
rior S' paralela á la primera y á la distancia t, todos los pun- 
tos del sepacio V^ comprendido en dicha superficie S', se en- 
contrarán en el mismo caso y darán lugar á ecuaciones de 
equilibrio de la misma forma y en que los coeficientes 
serán funciones idénticas de x, y, z, que sólo variarán de 
un punto á otro por la substitución de unas á otras coor- 
denadas: así por ejemplo, los puntos m^, m^, mj, dan lugar á 



- 546 — 

ecuaciones diferenciales parciales de la misma estructura al- 
gébrica y que pueden estar comprendidas en un solo grupo 
de tres; basta substituir á x^, yi, z^, del punto /n, las x^, 
y,, Z2 del punto m., ó x-,, y-,, z-„ del punto m-,, es decir, que 
tendremos un solo sistema en que x,y,z, serán las varia- 
bles independientes, además del tiempo si se trata de un 
problema del movimiento. 



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Figura 9/' 



Pero no se puede aplicar lo que acabamos de exponer ni 
á puntos que está en la superficie S ni á puntos de la zona 
de espesor s. 

Por ejemplo; para el punto /t?.. que está en la superficie 5 
no existe esfera de actividad e como para los puntos del es- 
pacio V,, sino una semiesfera e^, que será la que marque el 
límite de las X correspondientes al punto ///..; luego ya los 
coeficientes de las ecuaciones diferenciales tendrán formas 
distintas y las ecuaciones no serán del tipo general antes 
indicado. 

Si el cuerpo no es homogéneo, los coeficientes de las ecua- 
ciones diferenciales para m.., serán funciones diferentes de 
las que hemos hallado para el polinomio A. 

Y si el cuerpo es homogéneo, serán constantes para toda 



— 547 -^ 

la superficie límite, pero constantes diversas de las que co- 
rresponden á los puntos interiores. 

Es más; veremos en la lección próxima, que los coeficien- 
tes de las derivadas de primer orden, se anulan por razones 
de simetría dentro de la esfera de actividad, pues esta sim- 
plificación no puede aplicarse á la esfera e^ del punto m^. 

De manera que tenemos ecuaciones generales, que se re- 
ducen á tres para todo el espacio Vi, que es casi todo el es- 
pacio V; pero estas ecuaciones no se aplican á la zona 
V — Vi de espesor s. Las ecuaciones para esta zona son 
distintas á las anteriores en la forma y en los coeficientes, y 
sin embargo, para la integración hay que tenerlas en cuenta, 
porque dicha zona influye en el, equilibrio ó en el movimiento 
de las masas contenidas en V^, no directamente, pero sí por 
trasmisión, si la palabra vale. 



* 
* * 



Pero la dificultad es todavía mayor: hasta aquí hemos con- 
siderado dos casos extremos; ó que el punto pertenecía a! 
espacio Vi como m^, m^, tn-^, ó que pertenecía á la superfi- 
cie como mg; pero puede suceder, y éste será el caso gene- 
ral, que el punto pertenezca al interior de la zona, como rtii, 
y sus ecuaciones de equilibrio no serán ni de la forma que 
corresponde nii, ni de la que corresponde á //z.,. De suerte 
que, en rigor, si para el espacio V^ hemos conseguido redu- 
cir el número infinito de ecuaciones diferenciales á tres, este 
número infinito de ecuaciones, batiéndose en retirada, si se 
me permite la frase, se ha reconcentrado en la zona de es- 
pesor £ para la cual todas son distintas. 

Precisamente estas ecuaciones son las que establecen la 
continuidad entre el espacio V^ y la superficie. 

Querer identificar desde luego las ecuaciones diferenciales 
de la superficie S' con las ecuaciones diferenciales de la su- 



— 548 — 

perficie límite S, prescindiendo de la continuidad que esta- 
blece la zona, á primera vista es un absurdo y una imposi- 
bilidad. 

En los otros métodos para resolver el problema de la 
elasticidad, que estudiaremos después del de Cauchy, se 
procura salvar estas dificultades por diferentes medios más 
ó menos ingeniosos, más ó menos atrevidos; pero la difi- 
cultad siempre palpita en el fondo, como veremos en dife- 
rentes ejemplos. 



Para no dejar ninguna duda, volveremos un poco atrás 
en este análisis, aclarando un punto, que no hemos dilucida- 
do por completo, aunque es tan sencillo, que hasta resulta- 
ría inútil la explicación, si no fuera porque me he propuesto 
allanar por completo el camino á mis oyentes, evitándoles 
toda duda ó confusión, al menos hasta donde yo pueda. 

La reducción de las ecuaciones diferenciales simultáneas 
en número infinito á tres únicas ecuaciones en diferenciales 
parciales, se funda en esta circunstancia: que una vez ex- 
presadas u, V, w, por medio de sus coeficientes diferencia- 
les por virtud de la fórmula de Taylor, todas las ecuaciones 
primitivas se convierten en polinomios de primer grado de 
dichas derivadas, y que sus coeficientes, para cada tres ecua- 
ciones relativas á las tres componentes de las fuerzas inter- 
nas, son funciones de la misma forma, en x, y, z, porque de 
la misma manera se obtienen. 

Pero en estos coeficientes entran las masas. ¿Entrarán del 
mismo modo, y continuarán siendo los coeficientes de las 
ecuaciones de la misma forma en x, y, z? 

Esto sucede evidentemente. 

Porque recordando cómo se han formado estas ecuacio- 
nes, por ejemplo, para el punto /n,, podemos observar: 

1." Que en todos los términos de ^P entran en cada uno 



— 549 — 

de ellos m^ rUo, m^ m^, m^ m^ ; además, en el término F 

entra también nii, porque es /tz^ F^ y en el término relativo á 
la fuerza de inercia, también entra /tZi. 

2° Que, por lo tanto, podemos dividir toda la ecuación 
por /TZi, y ya no entrará ninguna masa en los dos últimos 
términos de cada ecuación. 

3." Que en 1^ P, después de dividir por nii en cada tér- 
mino entrará una masa m,, /Hg Pero nótese que todas 

estas masas están comprendidas en una de las pequeñas es- 
feras e de actividad, y que, por lo tanto, si el cuerpo es ho- 
mogéneo y las masas son iguales podrá sacarse una masa 
cualquiera como factor común para todo el término, y aun 
podrá substituirse por tUi , que está dentro de la misma es- 
fera. Pero aun suponiendo que el cuerpo no sea homogéneo 
y que las masas sean distintas, en último resultado estarán 
expresadas por la misma función de x, y, z, y todas las 2 ó 
las integrales que las substituyen tendrán la misma forma 
sea cual fuere el punto que se considere. 

Queda, pues, desvanecida la duda á que antes nos refe- 
ríamos. 



* * 



Pero queda en pie, reanudando lo que veníamos diciendo 
antes de la presente digresión, la dificultad principal relativa 
á la superficie límite. 

Y cosa singular, el problema es mucho más sencillo cuan- 
do el sistema es indefinido, que cuando está limitado. 

En el primer caso, las tres ecuaciones fundamentales, en 
diferenciales parciales de segundo orden de u, v, w, con 
relación á x, y, z, para los problemas de equilibrío, y á x, y, 
z, t, para los problemas del movimiento; estas ecuaciones, 
repetimos, se aplican á todos los puntos del espacio infinito, 
sin dificultades ni excepciones, porque siempre, alrededor de 
cada punto a, se podrá trazar la esfera de actividad de a, 



— 550 - 

y las ecuaciones tendrán la misma forma para ese punto que 
para otro cualquiera. 

Toda la dificultad consistirá en integrarlas: dificultad enor- 
me por regla general, pero de distinta índole, que la que nace 
de una imposibilidad ó de una contradicción entre los térmi- 
nos del pi'oblema, como antes señalábamos. 

Y en este caso, las condiciones relativas al instante ini- 
cial, es decir, desplazamientos iniciales, y velocidades inicia- 
les, si se trata del movimiento, pueden ser satisfechas sin 
imposibilidad alguna, en general, según demuestra la teoría 
de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, y 
según vimos, para un ejemplo, en el año anterior. 

El problema físico queda determinado, en un sistema inde- 
finido conociendo las masas, la distribución de éstas, la ley 
de las fuerzas internas, es decir, la curva de Saint-Venant, 
las fuerzas externas que actúan sobre el sistema, los despla- 
zamientos iniciales y las velocidades iniciales, y suponiendo, 
para simplificar, que sólo se trata de movimientos sumamen- 
te pequeños. 

Pues á la vez y paralelamente, por decirlo así, está deter- 
minado el problema analítico y la solución es única, como lo 
era para las ecuaciones primitivas en diferenciales simul- 
táneas. 

La solución será difícil, será insuperable quizá; pero que, 
la conozcamos ó no, existe y es única. 

Dicho sea todo esto dentro de los límites de la Ciencia 
actual. 

* 

* * 

Pero desde el momento en que el sistema tiene una super- 
ficie límite, las dificultades, no sólo crecen, sino que cam- 
bian de carácter, como hemos dicho varias veces, porque ya 
las ecuaciones diferenciales del interior del cuerpo no se 
aplican á la superficie ni á la zona inmediata de espesor e. 



- 551 — 

Como vimos en el ejemplo de la conferencia 5;' del año 
anterior, la ecuación 

d" X , d' X 
a- 



dP dz' 

se aplicaba á todos los puntos menos á los dos puntos ex- 
tremos, que alli eran los límites; porque para los puntos in- 
termedios, cada uno de ellos estaba entre otros dos, y esto 
no le sucede á los puntos extremos, de modo que la integral 
que encontrábamos para la ecuación anterior no era la inte- 
gral de todo el sistema: podrá, cuando más, ser una integral 
aproximada; pero habrá que modificaría al llegar á los pun- 
tos límites. 

Y no se diga, que á fuerza de buscar soluciones particu- 
res para la ecuación diferencial y de formar con estas solu- 
ciones particulares, soluciones más y más generales, se sal- 
va en general la dificultad; porque todo lo arbitrario, es 
decir, todo lo disponible que pueda haber en la integral ge- 
neral, sólo basta para cumplir las condiciones del instante 
inicial, á saber: desplazamientos y velocidades para t = o. 
Y ya no queda la arbitrariedad ó la disponibilidad necesaria, 
como no sea alguna constante, para satisfacer las condicio- 
nes de los límites, á saber: en el ejemplo citado, las de los 
puntos extremos, en el caso general, las de la superficie que 
limita el sistema. 

Si se nos permite expresarnos de este modo, diremos 
que el resorte de las integrales generales, se agota en satis- 
facer á las condiciones iniciales, y que no queda nada para 
las condiciones relativas á los limites, exceptuando casos 
particulares, y salvo lo que resulte de un estudio más pro- 
fundo, que eso, en otra ocasión lo discutiremos. 



* 
* * 



— 552 — 

¿Pero no habrá modo de salvar esta dificultad? 

Sin llegar al fondo del problema, ni entrar en un estudio 
detenido, que convertiría estas conferencias de pura propa- 
ganda, en una memoria o en una monografía, séannos per- 
mitidas algunas consideraciones generales, que quizá tenga- 
mos necesidad de aclarar y precisar más adelante. 

La dificultad ha quedado, por decirlo así, reconcentrada 
en la zona de espesor e, que aun con ser de espesor míni- 
mo, contiene un número enorme de puntos materiales, áto- 
mos ó moléculas. 

Establecer las ecuaciones fundamentales del equilibrio del 
movimiento para cada punto y para todos ellos, es bien 
fácil. 

La dificultad consiste en que estas ecuaciones no coinci- 
den con las del interior del cuerpo, ni á primera vista pare- 
ce que puedan reducirse á un tipo único; porque un punto 
en la zona s, puede tener infinitas posiciones distintas, pue- 
de estar en la superficie S' ó en la superficie 5, ó á menor ó 
mayor distancia de éstas, y parece que la forma de cada 
una de estas ecuaciones diferenciales ha de ser diversa. 

Sin embargo, haremos una indicación, que por ahora de 
indicación no pasa, quizá en otro momento la desarrolla- 
remos. 

Ocurre, para soslayar en cierto modo la dificultad ó sim- 
plificarla, hacer un cambio de variables independientes. 

Tememos, para aumentar la posición de una de las ma- 
sas comprendidas en la zona s, las tres coordenadas siguien- 
tes, (figura 10.') X, y, e, definidas de este modo: un puuto 
cualquiera a comprendido entre las superficies S, S', es 
decir, en la zona V -Vy de espesor s, igual al radio de ac- 
tividad molecular, se definirá bajando la normal ab á la su- 
perficie S, y si representamos la longitud de esta normal 
por e, las nuevas coordenadas del punto a serán, como de- 
cíamos, X, y, coordenadas del punto b y ab = c, longitud de 
la expresada normal. 



- 553 — 

No tenemos en cuenta la coordenada z, porque como el 
punto h está en la superficie 5, cuya ecuación es conocida 
por ser la superficie límite, dadas x, ;;, la ecuación de la 
superficie 5 dará el valor de z y el punto b quedará deter- 
minado. 

En suma, para la zona que estamos considerando, á las 
coordenadas x, y , z del resto del sistema en el espacio V^ 
hemos substituido las coordenadas x, y, e. 

De esta manera todos los puntos de la zona límite que- 




y 



Figura 10. 



dan definidos; porque el punto b puede recorrer toda la su- 
perficie 5, y la coordenada e puede variar desde e = o, en 
cuyo caso determina un punto de la superficie límite, hasta 
e= e que determinará otro punto en la superficie S'. 

Se comprende, en términos generales y sin descender á 
pormenores, que nos alejarían del objeto principal, que to- 
das las consideraciones que hemos hecho en esta conferen- 
cia y en la anterior respecto á x, y, z, podemos repetirlas 
respecto á. x, y, e, y asi podemos llegar á tres ecuaciones en 
derivadas parciales de segundo orden, de los desplazamien- 



— 554 — 

tos u, V, w, con relación á las variables independientes 
Xy y, e, que se aplicarán á cualquier punto de la zona. 

Suponiendo que se sabe integrar esta ecuación, exacta ó 
aproximadamente, que este es un problema de cálculo inte- 
gral distinto del problema de Física matemática que estudia- 
mos, habremos obtenido los desplazamientos en función de 
las nuevas variables para cualquier punto de la zona. 

Si para fijar las ideas llamamos á dichos desplazamientos 

Us, Vs, Ws, 

tendremos, una vez efectuadas las integraciones, las tres 
ecuaciones: 

Ws = y{x,y,e) 

para los problemas de equilibrio; y en general, siendo las 
nuevas «, ¡i, y evidentemente distintas de las anteriores, 

w, = a {x, y, c, t), 
Vs = t^ {x, y, e, t), 
w, = Y {x,y, e, t). 

para los problemas de movimiento. Todo esto para puntos, 
volvemos á repetirlo, de la zona límite. 

Ahora, es preciso que estas ecuaciones tengan bastante ge- 
neralidad para satisfacer á las condiciones iniciales de la 
zona, que en rigor son las de la superficie S. las cuales se 
refieren á los desplazamientos y velocidades iniciales y á las 
fuerzas que actúan en dicha superficie. Respecto á lo prime- 
ro, las integrales de ecuaciones en derivadas parciales de 
segundo orden tienen, por regla general, bastante latitud 
para satisfacer á dichas condiciones, y en cuanto á las fuer- 



- 555 - 

zas, ya están comprendidas y tenidas en cuenta en las ecua- 
ciones diferenciales que hemos integrado; pero esto no bas- 
ta, es preciso que las integrales anteriores relativas á la 
zona límite no aparezcan en contradicción con las integrales 
del interior del sistema, que podemos representarlas por 

11 = A {x,y, z) 

v = B{x,y,z) 

w= C{x,y,z) 
para el equilibrio y 

ü = A^{x,y,z,t) 
v = B^{x,y,z,t) 
w=C^{x,y,z,i) 

para el movimiento. Es preciso, repetimos, que en la fron- 
tera común Si de la zona limite y del interior del cuerpo, los 
valores de 

Us, Vs, Ws II, V, W 

coincidan. Pero esta coincidencia se comprende que debe 
verificarse, porque las ecuaciones diferenciales parciales de 
las variables x, y, e coinciden con las ecuaciones diferen- 
ciales parciales de las variables x, y, z para puntos de la 
superficie 5i, es decir, haciendo en las primeras e^z. Y si 
coinciden las ecuaciones diferenciales, coincidirán las inte- 
grales disponiendo, no ya de ninguna función arbitraria, 
sino en tal caso de constantes de integración. 

Todo esto se ve como intuitivamente: el desarrollo deteni- 
*do del método sería el que pudiera darle valor definitivo. 

Quizá más adelante apliquemos estas ideas á algún 
ejemplo. 

De todas maneras, no hay que preocuparse de la varia- 
ble z, porque ésta, lo mismo para las ecuaciones del espa- 

Rkv. Acad. Ciencias.— V. —Marzo, 1907. 33 



- 556 — 

cío Val llegar á S^, que para la zona límite, está expresada 
en función de x, y, por la ecuación de la superficie S, que 
es próximamente igual á la de S'. 

En fin, se comprende que la circunstancia de ser e suma- 
mente pequeña permitirá introducir simplificaciones impor- 
tantes; por ejemplo, desarrollos en series, según e, de los 
coeficientes que encontremos, despreciando desde la segun- 
da potencia de e en adelante. 

Asimismo, como la distancia cb = e es muy pequeña, las 
derivadas primeras de u, v, w con relación á e podrán con- 
siderarse como constantes respecto á dicha variable en todo 
el espesor s, y sólo dependientes de x, y; bastará determi- 
nar estas derivadas en los puntos b y c y tomar el término 
medio. 

Y probablemente podrán igualarse á cero las derivadas 
segundas de e. 

Volvemos á repetir que estas son consideraciones gene- 
rales, que exigen más detenido estudio y el desarrollo com- 
pleto de los cálculos, pero que de todas maneras es posible 
que salvasen las dificultades que se encuentran y que he- 
mos señalado al pasar del espacio interior V^ á la super- 
ficie 5. 

* 
* * 

Las ecuaciones diferenciales, así del equilibrio como del 
movimiento elástico, las hemos desarrollado, como prepara- 
ción para el método de Cauchy, en toda su primitiva exten- 
sión, por decirlo de este modo. 

Así, los polinomios de ^ comprendían todas las derivadas 
de u, V, w, de primero y segundo orden, con relación 
á X, y, z, y esto nos daba 27 coeficientes para cada ecua- 
ción y para las tres ecuaciones fundamentales y del equili- 
brio ó del movimiento 81 coeficientes. 

Claro es que número tan considerable puede reducirse 



— 557 — 

desde luego, porque todos ellos no pueden ser indepen- 
dientes. 

En el interior del cuerpo sólido existen relaciones, que 
forzosamente reducen el número anterior, y esto lo veremos 
en la conferencia próxima. 

Por lo demás, tales ecuaciones pueden plantearse con 
gran generalidad, y así las ha planteado Mr. Briot en la 
Teoría de la luz, por notaciones simbólicas, como acaso es- 
tudiemos en uno de los cursos próximos: al menos este es 
mi propósito. 

* 

* * 

Antes de concluir la presente conferencia, quisiera insis- 
tir, sin embargo, en algunas consideraciones que ya apunté 
al principio. 

La primera se refiere al método que hemos seguido, y que 
desarrollaremos en la conferencia inmediata, método que es, 
en rigor, el mismo que para el problema de la Luz y para la 
Acústica, en la Física matemática clásica. 

Ya indicamos que en el método seguido hay un verda- 
dero dualismo. 

Un dualismo entre el punto de partida y el desarrollo 
analítico. 

O sea entre la discontinuidad y la continuidad absoluta. 

La hipótesis de Cauchy supone la discontinuidad. Masas 
en número enorme, pero separadas por distancias enormes 
también, respecto á las dimensiones de cada masa. 

El sistema elástico es una especie de sistema astronómico 
de cielos archimicroscópicos, si vale la palabra. 

La discontinuidad aquí, no nos cansaremos de repetirlo, 
es evidente; tanto, que los autores que siguen el método de 
Cauchy, empiezan planteando las ecuaciones, no con el sig- 
no integral, f, sino con el signo suma, ^; esto hace, por 
ejemplo, Mr. Briot en su obra citada. 



— 558 — 

Pero avanza la aplicación del método, y el matemático 
que con él quisiera ser consecuente se encontraría con un 
número infinito de ecuaciones; y aquí la hipótesis de la dis- 
continuidad cambia por completo y de pronto se acude á las 
derivadas de u, v^w, y á los desarrollos por la serie de 
Taylor, que, en rigor, y en el cálculo clásico, suponen la 
continuidad. 

Realmente, si dos puntos in y m^ están separados por 
una distancia r, y entre ellos no hay puntos intermedios, las 
componentes de los desplazamientos para estos puntos no 
seguirán una ley continua, sino discontinua; y así, siendo 

u, V, w las componentes dei desplazamiento para m, 

y 

í/j, v^, iV|, las del deplazamiento para /n^, 

es evidente, que 

u, — u V, — V w, — w 



d X ' dx ' dx 

no serán verdaderas derivadas de u, v, w; á saber, 

du dv dw 
d x' d y' dz' 

Claro es, que esto se supone y se hace en Física experi- 
mental, y aun en Física matemática, con grandes ventajas 
casi siempre; pero también de esto resultan dificultades y á 
veces aparentes contradicciones. 

La substitución de la continuidad á la discontinuidad equi- 
vale á un método de interpolación, y preocupó mucho á los 
fundadores de la Física matemática. 

Equivale, repetimos, á substituir al sistema discontinuo, 



— 559 — 

un sistema ficticio continuo, como se substituye á una serie 
de puntos una curva que pase por todos ellos. 

Pero de esto, que casi siempre es lícito y ventajoso, y 
hasta quién sabe si tiene un fondo de filosofía, pueden sur- 
gir dificultades precisamente por la discontinuidad de las de- 
rivadas. 

Por ahora no insistimos más sobre dicho punto y pasamos 
á la segunda observación de las dos que antes indicábamos. 



Causa cierta sorpresa á los principiantes, y no sólo á los 
principiantes, sino á escritores de mérito, que en estas ecua- 
ciones de la Elasticidad, como en la Teoría de la luz y en 
casi toda la Física matemática, las ecuaciones sean en deri- 
vadas parciales de segundo orden y de forma lineal. 

Y el principiante ve en estas coincidencias algo extraño, 
misterioso, relaciones ocultas entre los más recónditos senos 
de la Naturaleza, y entre sus leyes: algo así como una es- 
pecie de nueva cabala para uso de los matemáticos y apli- 
cación á la Física. 

En rigor, tales coincidencias son naturales y no deben ex- 
trañarnos. 

Lo diré desde el principio en forma muy concreta, aunque 
luego tenga que explanarlo. 

Son coincidencias, en muchos problemas al menos, que 
tienen su origen en haber adoptado un mismo grado de 
aproximación para los cálculos; y son casi siempre, y en este 
problema de la Elasticidad que estamos estudiando, conse- 
cuencia forzosa de la aplicaciín de la serie de Taylor. 

Ella marca con un sello único todos estos problemas para 
el planteamiento de las ecuaciones; como luego hay otra se- 
rie, la de Fourier, que marca asimismo con su carácter pro- 
pio muchas familias de integrales, si se me permite la pala- 



— 560 — 

bra, dando semejanza y analogía á las soluciones analíticas; 
las que á su vez parecen dar analogías y semejanzas á los 
fenómenos físicos. 

Y cabe aquí la pregunta: ¿será que estas ecuaciones dife- 
renciales en derivadas parciales expresen alguna propiedad 
íntima de los fenómenos de la Naturaleza? 

En rigor, á esta pregunta pueden darse dos contestaciones 
distintas. 

Un crítico de espíritu positivista, que sólo tenga fe en la 
realidad material y en la experiencia, que mire al cálculo 
matemático como un artificio más ó menos ingenioso de la 
inteligencia humana, pero sin que las fórmulas representen 
ninguna ley íntima y profunda de las cosas en sí, tablas 
más ó menos cómodas en que se condensan los hechos, y 
cuando más, procedimientos nemotécnicos para recordar le- 
yes empíricas; todo el que esto piense y esto crea, no dará 
importancia á las coincidencias entre las fórmulas aplicables 
á las diversas teorías de la Ciencia. 

Pero el que considere, que la cantidad es un concepto que 
palpita en todos los fenómenos naturales, y aun, si se quie- 
re, algo así como un parámetro de éstos; el que haga constar 
que todas las ciencias positivas se dirigen y aproximan al 
apogeo de su perfección, cuando eliminan el concepto de 
cualidad substituyéndolo por el concepto de cantidad, que 
es el que aparece en todas las fórmulas y en todas las ecua- 
ciones; el que observe, que si la realidad inaccesible depende 
de las cualidades, aun en este caso las apariencias, la diver- 
sidad, la evolución de los fenómenos pudiéramos decir, de 
la cantidad depende y á ella está íntimamente unida; el que 
sin llegar á ser metafísico de profesión , tenga aficiones filo- 
sóficas, si nos es permitido expresarnos de este modo, éste 
dará á las fórmulas y á las coincidencias entre las fórmulas 
una transcendencia, que no le dará el primero, el crítico 
positivista ó el partidario intransigente de la Física experí- 
m^ntal. 



— 561 — 

Porque si la cantidad palpita en todos los fenómenos, la 
ciencia de la cantidad y de sus leyes lógicas ha de marcar 
su sello en todos los fenómenos, de suerte que las analogías 
en las fórmulas indicarán forzosamente analogías en las va- 
riaciones de los parámetros, y esto es algo que con el fenó- 
meno en sí mismo se relaciona. Pero aun en tales coinci- 
dencias y analogías no hay nada misterioso. 

Aclaremos esto por un ejemplo. 

Si dos parámetros a y ¡í de un fenómeno físico están ertla- 
zados de tal modo, que ya en toda la extensión en que va- 
rían, ya entre ciertos límites y de una rrtanera aproximada, á 
incrementos iguales del uno corresponden incrementos igua- 
les del otro, la fórmula que los enlaza será de primer grado 

siendo a, b dos constantes. 

Y si en otro fenómeno completamente distinto del prime- 
ro, pero que sólo contiene otros dos parámetros a' y p', 
existe de una manera absoluta ó de una manera aproxima- 
da la misma proporcionalidad entre los incrementos, tam- 
bién estarán enlazados por una ecuación de la misma forma 
que la precedente 

Y unos dirán: ¡qué maravilla, qué misterio, qué coinci- 
dencia tan prodigiosa entre dos fenómenos tan distintos! 
¿no están proclamando estas analogías la unidad del uni- 
verso? 

Y otros dirán: pura coincidencia casual; porque claro es, 
que la naturaleza nada tiene que ver con estas fórmulas 
abstractas, con estos simbolismo vacíos. 

Pues á nuestro entender ni unos ni otros tienen razón y 
todos exageran. 

La coincidencia de ambas fórmulas ni revela misterios, ni 



- 562 — 

señala prodigios: expresa la aplicación de una ley matemá- 
tica, de una ley de la cantidad, á dos fenómenos diversos. 

Si son leyes exactas, es que la cantidad de ambos fenó- 
menos, para emplear esta palabra, varía del mismo modo: 
puede variar la velocidad de un astro por los mismos grados 
que varía la sensibilidad de un nervio humano, sin que esto 
nos cause asombro. Si son leyes aproximadas, la coinciden- 
cia se explica admitiendo, que en uno y en otro ejemplo se 
ha detenido el matemático en el segundo término de una se- 
rie, es decir, en el mismo grado de aproximación. 

Esto es natural y sencillo y nada tiene de prodigioso. 

Pero no es tampoco casual, ni arbitrario, ni es desprecia- 
ble la coincidencia; que el hecho de aplicarse á uno y otro 
fenómeno los cánones de la lógica, las leyes de la cantidad, 
y al fin las mismas series y hasta el mismo grado de apro- 
ximación, sin quebrantar por eso los resultados experimen- 
tales, indica un principio de unidad: ó en la Naturaleza; ó 
en el ser humano, reflector del fenómeno; ó en ambos á la 
vez, que no se comprende que marche cada uno por su 
lado sin que al ponerse en relación no resultaran contradic- 
ciones perpetuas. 

En suma, el hecho de aplicar las matemáticas en mayor ó 
menor grado á todas las ciencias físicas revela, á no du- 
darlo, \xn principio de unidad, y hasta habría quien se atre- 
viese á formular esta afirmación^ la cantidad y sus leyes ma- 
temáticas están en todas partes, en todos los fenómenos 
inorgánicos (pues de otros no tratamos), en todas las cua- 
lidades, pudiéramos decir. 

* 
* * 

Y lo que hemos indicado en el ejemplo sencillísimo qu2 
precede, pudiera repetirse para casi todas las teorías mate- 
máticas de la Física. 

Si ciertas fórmulas y ciertas relaciones se expresan por 



— 563 - 

una suma; si cada término contiene una cantidad, que varía 
de un punto á otro del espacio, es decir, que es función 
át X, y, z; si estas cantidades se desarrollan por la serie de 
Taylor, cuyos coeficientes son derivadas referidas al punto 
de partida, y si el calculador se detiene en las derivadas se- 
gundas, ¿qué tiene de milagroso ni de extraño, que resulten 
ecuaciones lineales respecto á las derivadas de primero y 
de segundo orden para todos los fenómenos en que esto su- 
ceda? 

La coincidencia no es coincidencia, ni es casualidad: es 
resultado inevitable: 1.°, de la aplicación de las mismas fór- 
mulas ó series; y 2.°, del hecho de detenerse en los mismos 
términos para obtener el mismo grado de aproximación. 

Pero si esto nada tiene de prodigioso, es, por lo menos, 
digno de consideración, y vale la pena de que se medite so- 
bre el hecho de aplicar y poder aplicar la serie de Taylor á 
todos los fenómenos naturales. 

Mas, por lo mismo que esta serie es un producto racio- 
nal y es una construcción á priori, ella nos puede dar re- 
sultados, á priori también, de fenómenos puramente expe- 
rimentales. 

En resumen, lo á priori pretende dominar á lo á posteriori 
por medio del cálculo matemático; como antes se decía, la 
razón se impone á la experiencia por la aplicación de las fór- 
mulas matemáticas. 

Este era, al menos, el espíritu de la Física matemática clá- 
sica del siglo pasado. 

No ha de desconocerse que, en estos tiempos modernos, 
aquella poderosa corriente va desviándose de su cauce 
propio. 

¿Para buscar cauce más ancho y menos accidentado ó 
para perderse en estéril arenal? 

La historia del siglo xx, cuando el siglo xx tenga historia, 
podrá contestar á estas preguntas. 



— 564 - 



XXVII.— Elementos de la teoría de la elasticidad. 

Por José Echegaray. 

Conferencia cuarta. 

Señores: 

Hemos procurado, en las dos conferencias precedentes, 
dar un avance ó concepto general de la Teoría de la elasti- 
cidad según las ideas de Cauchy, dejando para ésta la expo- 
sición completa del método, tal como se publicó en los Nou- 
veaiix exercices impresos en Praga y formando parte de los 
ejercicios de análisis y de Física matemática del eminente 
autor. 

En muchas obras se han dado extractos de dicho método, 
pero como estas conferencias tienen un carácter puramente 
elemental, escogeremos una de las exposiciones más sen- 
cillas, tomando por guía la de Mr. Laurent, que es breve y 
precisa, aunque tendremos que desarrollarla mucho, precisa- 
mente para hacerla más clara y sencilla. Cauchy reduce este 
problema, como todos los de Física matemática, á un proble- 
ma de Mecánica. 

Ya lo explicábamos en las conferencias anteriores. 

El sistema elástico en cuestión, se reduce á un sistema de 
masas en posiciones determinadas y sujetas á fuerzas .cen- 
trales é internas, todo lo cual define la naturaleza física y 
mecánica del sistema en cuestión. 

Bajo la acción de fuerzas exteriores, el sistema se deforma, 
los puntos sufren desplazamientos, que supondremos muy 
pequeños, y el equilibrio y el movimiento es el de un sistema 
de puntos libres. 

Para cada punto hay, pues, tres ecuaciones de equilibrio, 



— 565 — . 

en que no entra el tiempo, si del equilibrio se trata, ó tres 
ecuaciones para el movimiento, en que entran derivadas de 
u, V, u con relación á /. 

Como primera simplificación, se admite, según dijimos, que 
cuando la distancia entre dos puntos es superior al radio de 
actividad, la acción entre estos puntos es despreciable, de 
suerte, que en las ecuaciones de equilibrio de cada punto, 
sólo se tendrán en cuenta las acciones de los puntos que le 
rodean y que están comprendidos en las esferas de radio í. 






Pero es preciso definir la situación del sistema, que se con- 
sidera, en el instante inicial. 

Sobre este punto algo dijimos en la última conferencia, y 
aunque sobre él hemos de insistir más adelante, bueno será 
recordarlo para fijar las ideas y evitar toda duda. 

Si representamos por X, Y, Z,... las componentes de las 
fuerzas deformantes, es decir, de las que actúan sobre el sis- 
tema elástico, ocurre preguntar, y este en rigor es un proble- 
ma previo: ¿en qué estado se encuentra el sistema al actuar 
sobre él las fuerzas X, Y, Z,... ya cuando lo deforman, ya 
cuando hacen entrar en movimientos sus diferentes partes? 

Decíamos que sobre este particular no estaban conformes 
los autores. 

Unos suponen que el estado inicial es lo que llaman el 
estado natural; ó de otro modo, el estado en que se encon- 
traría el cuerpo abandonado á sí mismo, sin que actuase 
ninguna fuerza exterior. Las únicas fuerzas actuantes serían 
las fuerzas internas. 

Otros autores, van más allá, y suponen que el estado na- 
tural es aquel en que las componentes de las presiones ó 
tensiones interiores son nulas; caso, como veremos en mo- 
mento oportuno, que difiere del anterior, exigiendo ambos 



— 566 — 

un estudio especial, que no encontramos en la mayor parte 
de los tratados de Elasticidad. Los autores se contentan con 
las indicaciones vagas que preceden. 

Mr. Poincaré, en su notabilísimo Tratado de Elasticidad, 
prescinde en absoluto de lo que se- llama «estado natural» 
y toma como punto de partida un estado inicial, perfecta- 
mente definido, que es el de la realidad, el de la Naturaleza 
pudiéramos decir. 

El sistema V está en equilibrio bajo la acción de las fuer- 
zas internas y de fuerzas externas perfectamente definidas, 
cuyas componentes designaremos por X,, Yi, Zi 

A este sistema es al que se aplican las fuerzas deforman- 
tes X, Y, Z ; y se trata de estudiar sus efectos, es decir, 

los desplazamientos u, v, w, para cada punto, en función de 

las coordenadas de este punto x, y, z y de las nuevas 

fuerzas que han de determinar ciertas deformaciones. La hi- 
pótesis del equilibrio inicial, en vez del equilibrio natural, no 
sólo está conforme con los hechos, sino que, como dice 
Mr. Poincaré, no dificulta en lo más mínimo la solución del 
problema cuando puede hallarse dicha solución. Las expre- 
siones de í/, V y IV, en función át x, y, z y X, Y, Z, se ha- 
llarán del mismo modo, sea cual fuere el estado inicial, en 
virtud de la superposición de efectos, como veremos más 
adelante. 

Y entremos ya en el problema, que será repetir lo que ya 
hemos dicho, aunque en forma más concreta, desarrollando 
todos los cálculos é introduciendo nuevas simplificaciones. 

Sea el sistema V^(fig. 11) limitado ó indifinido. 

Tomemos en él un punto A de masa /;/ y busquemos sus 
ecuaciones de equilibrio ó movimiento. 

Como estas últimas sólo difieren de las primeras por la 
adición de las componentes de la fuerza de inercia de dicho 



— 567 -^ 

punto, en adelante no hablaremos más que de las ecuaciones 
del punto, sin especificar si se trata del caso particular del 
equilibrio ó del caso más general del movimiento. 

Tracemos alrededor del punto A la esfera de actividad del 
radio e, y consideremos en ella otro punto material A' de 
masa m'. 

Determinemos la acción de A' sobre A y las componentes 
de esta fuerza; y lo que digamos para el punto A' podría- 
mos repetir para otro cualquiera comprendido en la esfera s. 




Figura 11. 



Primero estudiemos el estado de equilibrio inicial de los 
puntos m, m', bajo la acción de las fuerzas F,. 

La acción de A' sobre A depende, como sabemos, del 
producto de las masas, y de una función de la distancia 
r = AA', función que es la que hemos llamado siempre, 
para abreviar, función de Saint-Venant, es decir, /(r). 

Pero debemos hacer aquí una observación á fin de acomo- 
dar nuestras notaciones á las generalmente adoptadas. 

•Podemos poner /(r) bajo esta forma: 



• — 538 — 

rj{r) 
r 

multiplicando y dividiendo por /'. - 

fin 
Y representando ^ ' por /i(/), la función de Saint-Ve- 

r 

nant será 

rf^in, 

y suprimiendo el sub-índice, para no complicar la escritura, 
quedará: 

' rf{r), 

en que claro es, que esta /no es la anterior. 

El objeto es evitar un denominador en los cálculos que 
siguen, y, como mis oyentes observan, sólo se trata de una 
cuestión de notaciones. 

Como las proyecciones de A A', sobre los tres ejes, no 
son otra cosa que las diferencias de las coordenadas de los 
puntos A y A', tendremos: 

proyección úq A A' sobre el eje x ^t x 

proyección de A A' sobre el eje ); o ;- 

proyección de i4 .4' sobre el eje z o z 

y los cosenos de los ángulos át A A' con los tres ejes 
serán: 

eos {A A', x) := , 

/" 

^ V 

eos {AA',y) = -^^, 
r 

r 7 

cos(i4i4', z) = — — . 



— 569 — 

Así, pues, siendo la fuerza entre los puntos A y A', ó sea 
entre las masas m y m', el producto de dichas masas por la 
función de Saint-Venant, que la hemos puesto bajo la for- 
ma rf(r), tendremos para tal fuerza 

mm'rf(r): 
sus tres componentes paralelas á los ejes, tendrán la forma 



mni rf(r) 



mm rf{r)—^~, 
m m rf{r) 



r 

^ z 



ó bien 



mili f{r)^jx, 
mm'f(r)oy, 
m m' f{r)^i z. 

Precisamente para que desaparezca la r que traían los co- 
senos en el denominador, y para simplificar la escritura, es 
para lo que se ha dado á la expresión de Saint-Venant la 
forma indicada. 

Y perdonen mis oyentes estas minuciosidades en la ex- 
plicación; á ellas acudo, no sé si acertada ó desacertada- 
mente, pero con el deseo de no dejar la menor duda en el 
ánimo de los principiantes, que tienen la tendencia de dar 
importancia excesiva á cosas verdaderamente insignifi- 
cantes. 

Las acciones de todos los demás puntos comprendidos en 
la esfera £, sobre el punto m, serán de la misma forma que 



— 570 - 

acabamos de expresar, de suerte que las tres componentes 
de las fuerzas internas, que actúan sobre el punto m, serán 
las siguientes: 

l]/n m f{r) o x, 

- m m' f{r)o z. 

El signo i; se extiende á todas las masas m', m" , m" 

que ocupan el interior de la esfera t. 

En todos los términos de li^ entra la masa m del punto A, 
que es el punto para el que nos proponemos establecer las 
ecuaciones de la Elasticidad. 

En cambio para cada uno de dichos términos, la m, la r 
y las ox, o y, oz serán distintas; unas se referirán al pun- 
to m', otras al punto m" , y así sucesivamente para todos los 
comprendidos en la esfera z, menos el punto A. 

Si representamos por X,, K,, Z, las componentes de la 

fuerza exterior, que actúa sobre cada punto del sisma V en 
su estado de equilibrio inicial, es evidente que al establecer 
dicho equilibrio inicial, tendremos que escribir para ca,da 
punto tres ecuaciones análogas á las siguientes: 

Xi-\-^imm' f{r)ox = o, 

Cada una de ellas expresa, que las sumas de las compo- 
nentes paralelas á cada eje coordenado, así de las fuerzas 
exteriores, como de las fuerzas interiores, es igual á cero. 

Y hemos empleado el subíndice / para recordar que se 
trata del estado inicial. 

Es un equilibrio establecido y previo; y suponemos que 
todos estos grupos de tres ecuaciones, un grupo para cada 
punto de los que comprende V, quedan satisfechos por jÍ 
mismos. 



— 571 — 

Aquí no hay incógnita que determinar, son ecuaciones, 
volvemos á repetirlo, satisfechas por sí mismas, según el es- 
tado inicial del sistema. 

A dicho sistema es al que vamos á aplicar nuevas fuer- 
zas, X, Y, Z , para cada punto; éstas serán las fuerzas 

deformantes y producirán desplazamientos en todas las ma- 
sas de V. De suerte , que A vendrán á parar á B, con el des- 
plazamiento A B. A' vendrá á B' con el desplazamien- 
to A' B' y así sucesivamente. 

En el caso del equilibrio, estos desplazamientos, cuyas 
componentes hemos designado por u, v, w, son los que 
queremos determinar para cada punto, es decir, en función 
de X, y, z y de los datos. 

En el caso del movimiento para cada punto, el desplaza- 
miento dependerá del tiempo y deberemos determinar u, v 
y IV en función de x, y, z, y /. Esto lo hemos explicado infi- 
nitas veces, pero no hay que olvidar el adagio latino: las 
cosas repetidas, aprovechan. 

' Las nuevas posiciones de los diferentes puntos del siste- 
ma, serán A', B' y en estas posiciones deberán hacer 

equilibrio las fuerzas, que desarrollan los desplazamientos, á 

todas las fuerzas del sistema, á saber: X,, K,, Z, 

y X, Y, Z 

Luego deberemos establecer las mismas ecuaciones que 
antes, con estas diferencias: que los puntos ya no estarán 

en A, A', sino en B, B' Las fuerzas no serán como en el 

instante inicial X,, Yi, Zi , sino Xi + X; Yi -f Y; Zi-^Z. 

Las masas continuarán siendo las mismas; pero las dis- 
tancias entre cada dos puntos, en vez de ser A A' ^= r , 

tendrán por valor BB' , que será distinta de r; y si llama- 
mos p á la diferencia, en vez de r tendremos r -[- p. 

Por último, ox, oy, oz, eran las diferencias de las coorde- 
nadas de los puntos >l .4', y en lugar de estas tres diferen- 
cias habrá que substituir en las ecuaciones de la Elasticidad, 
para cada punto las diferencias de las coordenadas de B, B' 

Rev. Acad. Ciencias, — V. — Marzo, 1907. 3^ 



— 572 — 

si se trata de las acciones de m' sobre m, ó las diferencias 
de las coordenadas de 5 y B" si se trata de las acciones del 
punto B" sobre B; y así sucesivamente. 

Vamos á calcular estas últimas diferencias y consideremos 
el eje de las x, porque lo que de él digamos podremos de- 
cir de los otros dos ejes. 

Proyectemos para ello el cuadrilátero AA' B' B sobre el 
eje de las x, y tendremos los cuatro puntos a, a', b, b'. 

A ^x, que entra en la primera ecuación fundamental y 
que es aa', habrá que substituir bb'; pero tenemos evidente- 
mente, 

bb' = aa' -\- a'b' — ab, 
ahora bien, 

aa' = ox; a' b' -^ u{, ab = ü; 
luego 

bb' = ox + Wj — u; 

y llamando a' u^ — u, que es la diferencia entre las dos 
componentes del desplazamiento para dos puntos infinita- 
mente próximos A, A', y que, por lo tanto, es una variación 
de u correspondiente á variaciones de x, y, z; llamando, 
repetimos, á esta diferencia ow, tendremos: 

bb' = ox -j- oü. • 

En suma, las ecuaciones del equilibrio elástico, después 
de la deformación por la acción de las fuerzas X, Y, Z.... 
serán de la misma forma, que las del equilibrio inicial, ha- 
ciendo las siguientes substituciones: 

por Xi Xi -j- X, 

Y i Y,-^Y, 

Z, Z, + Z; 

por r /- - p; 

pof í-Y ox -f- ^w, 

Zy oy -f ^v, 

Iz ÍjZ -J- OW. 



- 573 — 

Resulta, pues, para las ecuaciones del equilibrio elástico 
en cada punto: 

X,- + X 4 ^/72/777(/' + p) i^.X + 0«) .. O, 

r, 4- K+^/7z/n7(r+p)(^); + ov) = 0, (1) 

Z, 4- Z + ^2mm'f(r + p) (oz -f ^.w) = O, 

Para las ecuaciones del movimiento bastaría agregar á las 
anteriores las componentes de la fuerza de inercia, 

d'-u d'-v d-w 

— m , — m , — m 



dP dt- dP 

del mismo modo que hicimos en la conferencia anterior. 

Una advertencia todavía: al poner en el primer miembro 
de cada ecuación las componentes de las fuerzas, hemos de 
darles el signo que les corresponde. 

Por ejemplo: si X es positiva, es decir, si la componente 
va de izquierda á derecha, deberá llevar el signo +; si al- 
guna de estas componentes fuere negativa debería entrar en 
el primer miembro con el signo propio: suponemos, pues, 
que X, Y, Z. ... llevan el signo que les corresponde. 

Lo mismo podemos decir de todos los términos en que 
entra /(r + p). Si r -]- ? es mayor que /'„, distancia del equi- 
librio en la función de Saint-Venant, la fuerza sobre el pun- 
to /72 será atractiva, y /deberá llevar el signo positivo que 
es precisamente el que le hemos dado. 



* * 



La única simplificación que hasta ahora hemos introduci- 
do, es la de limitar á la esfera de actividad £ las masas que 
han de actuar sobre cada punto. 

Pasemos ahora á la verdadera simplificación, que es la 



— 574 — 

aplicación de la serie de Taylor á ou, Zv, ow; simplificación 
que nos permitirá convertir las ecuaciones del equilibrio, 
que eran en términos finitos, pero en número infinito, en 
tres ecuaciones, en derivados parciales áe u, v, w, con re- 
lación á X, y, z, en número de tres. Y asimismo nos per- 
mitirá convertir las ecuaciones del movimiento, que eran 
diferenciales simultáneas en número infinito, en tres ecua- 
ciones, en derivadas parciales de u, v, w, con relación á 
X, y, zy t. 

Para ello necesitamos desarrollar algunos cálculos que, en 
rigor, son bien sencillos. 

Ante todo, calculemos p. 

Hemos dicho que p es la diferencia entre BB' y A A'. 

Pero las proyecciones de A A' son ox, oj, Iz y las de 
BB' son á su vez 5x + í«, íy -)- Sy, Zz -\- ow; luego ten- 
dremos: 



P=BB' - AA'^^^\/{ox-^ouy-\-{Zy-i-ovy^{Zz + Zwy— 

— V íx"-' + Zy' -\- oz-, 
y desarrollando, 

p =\/nx''i-Zy'-\-Zz-'-^2{oxou-\-Zy(Jv-\-ozow) Sü2_^.>-.'^§^._ 

Como \as u, V, w son los desplazamientos de cada punto 
y éstos son muy pequeños, puesto que sólo se trata de de- 
formaciones infinitamente pequeñas, y como sus variaciones, 
es decir, Zu, Zv, Zw serán todavía más pequeñas, supon- 
dremos que estas variaciones se pueden despreciar; luego 
bajo el primer radical podremos despreciar sus cuadrados ó 
sean los tres últimos términos, y recordando que 



r = AA' =\/Zx'' -f- oy^ r Sz-, 
tendremos reducido el valor de f á la siguiente expresión: 



575 — 



ó bien. 



1 



r 1 4- 2 ^^- — - r. 



Desarrollando el radical por la serie de Taylor, y no to- 
mando más que los dos primeros términos, puesto que en los 
siguientes entrarían cuadrados y productos de ou, ^iV,(iw, 
resultará: 



_,,, + _. 2 y- -,-, 



( 

y, por último: 



hxhu4-^ynv4-nzhw 
p = 



Podrá chocar tal vez, que habiendo despreciado ^u,^v,^w 
al príncipio de este cálculo los tengamos en cuenta en la ex- 
presión anterior, pero es que en la fórmula precedente todos 
los términos son del mismo orden, porque p es del mismo 

? ? N ^jx ^y hz 

orden de pequenez que bu, bv, ow y , — ^-, son 

r r r 

en general cantidades finitas. Aunque bajo el radical los hu- 
biésemos conservado, que acaso hubiera sido lo más correc- 
to, ahora aparecerían elevados al cuadrado y podríamos 
despreciarlos. 

Conociendo ya el valor de p podremos desarrollar por la 
sene de Taylor la expresión 

/(/■ + ?), 

que entran en las tres ecuaciones (1). 

Y de todas maneras y sea cual fuere el orden de peque- 
nez de r y de p, se supone en este caso, como en casi toda 



— 576 — 

Física matemática, que el desarrollo por la serie de Taylor 
es legítimo. Si no lo fuera, porque se presentaran puntos sin- 
gulares ó falta de convergencia en la serie, toda la teoría 
fundada en el desarrollo en cuestión caería por su base. 

Desarrollando, pues, / y no tomando más que los dos pri- 
meros términos, tendremos 



El término siguiente sería — /" (r) p-, que evidentemen- 
te, y por contener p-, es ya de segundo orden dentro del gra- 
do de aproximación, que hemos aceptado. 

Y substituyendo el valor de p que encontramos hace un 
momento se obtiene 



Las ecuaciones generales se convertirán, por lo tanto, en 
estas tres, para cada punto x, y, z del sistema 

Xi-{-X^\mm /(r)+/(r) ^^ 

Yi -f Y-\- \mm /(r) -r / (r) '- 

Zi + Z + \mm f{r) ^ f (r) j 

si se trata del equilibrio, y en estas mismus agregándoles las 
fuerzas inercia para el caso del movimiento. 



577 



Desarrollando, obtendremos para la primera ecuación, y 
luego podremos repetir los cálculos para las otras dos, 

Xi -f- X + ^mm' \f(r)ox + /(r)íü h 

^, , , hx'^u + ^yov -^ ozow ^ . 

+ / (r) =^-^^T "^ + 



+ /' (,) Mu_±}yZv-]-^zhw_ ^1 _ ^ 



Pero evidentemente, las sumas de los términos 
X, + ^iUim f{r)dx 

es cero, según la primera de las ecuaciones {e) del equilibrio 
inicial, y por lo tanto, podrán suprimirse de la ecuación an- 
terior. 

Y obsérvese que, como Mr. Poincaré afirma con mucha.ra- 
zón, el problema no es más complicado, porque se parta de 
un estado inicial de equilibrio, bajo la acción de las fuerzas 
iniciales Xi Y i Zi, en vez de partir de lo que se llama estado 
natural, que sería aquel, según algunos autores, en que es- 
tas tres componentes fueran iguales á cero; en ambos casos 
resulta lo mismo, puesto que de todas maneras desaparecen 
de las ecuaciones fundamentales Xi y ^iTum f{r) dr. 

Estas últimas quedan, pues, reducidas, suprimiendo en la 
primera X/ r- ^mm'f{r)ox, en la segunda 7, ^ ^mmf{r)Sy 
y en la tercera Z/ ¡ vmm'/(r)Sz, á las siguientes: 

^X+Sm/77'j/(/-)^« -f ^^ i^x^ju + rjyhv + oz^jw) ^jx + 



Y-j-^^lmm' 



— 578 - 



f{r)ovi-í^{^xou -f- ^yhv-\- ozhw)ly + 



(A). 



f'(r\ ~\ 



r 



-p -^ ^ ^ (^x6f/ -f- oj;^i' -j- ozí5u')oiv =0. 



Esto suponiendo que se trata del equilibrio. 

Aun podemos despreciar los términos '<^'^ti, ^n, iv , y 

no quedarán más que primeras potencias de ^u, ^v, ^w. 



* 
* * 



Si consideramos las tres ecuaciones, que en el caso del 
equilibrio expresan el de cada punto del sistema, vemos 
aquí claramente, lo que ya hemos repetido en muchas oca- 
siones; á saber: que no entran más que las componentes de 
los desplazamientos y bajo forma finita, puesto que en rigor, 
considerando dos puntos m y m' y llamando u, v, w, u^, i\, iv, 
las componentes de dichos desplazamientos, se tiene 

f)U = Ui — U, <^V = Vy — V, ^IV = IV, w. 

De suerte, que las ecuaciones anteriores son ecuaciones en 
términos finitos y lineales respecto á las incógnitas u, v, w, 
si se desprecian cuadrados y productos de Sw, or, ^w. Todas 
las demás cantidades que entran son los datos, que dependen 
de la naturaleza del sistema y de la distribución de sus masas. 

Datos del problema son ox, ^y, ^z, toda vez que conoci- 
dos los puntos y sus coordenadas son conocidas las diferen- 
cias. 



- 579 - 

Datos del problema son todas las distancias r, si, como 
suponemos, el problema está definido geométricamente. 
Datos del problema son todavía las fuerzas X, Y, Z..... 

Y dato del problema es, por último, la naturaleza de la 
función de Saint-Venant de la cual depende /. 

De suerte que, como hemos dicho, en rigor todas las ecua- 
ciones, en este caso, son ecuaciones en términos finitos y más 
aún, con la simplificación indicada, lineales de las incógnitas 
«, V, w, Ui, y^, n\ para los diferentes puntos del sistema. 

Y el número de ecuaciones es exactemente igual al núme- 
ro de incógnitas. 

Supongamos' que el sistema contuviera mil puntos ma- 
teriales; claro es, que contiene un número infinitamente ma- 
yor dentro de la hipósis de la discontinuidad, pero valga el 
ejemplo meramente como ejemplo y para fijar las ideas. 

Pues si el número de puntos es mil, el número de compo- 
nentes de los desplazamientos será tres mil. 

Pero para cada punto hay tres ecuaciones; luego el núme- 
ro de estas ecuaciones será también tres mil, número igual 
al de incógnitas. 

Tendríamos que resolver tres mil ecuaciones de primer 
grado. 

En el caso del movimiento habría que agregar las fuerzas 
de inercia, que son las derivadas de segundo orden de u, y, 
w con relación á f, y ya no serían ecuaciones en términos 
finitos, pero serían ecuaciones en diferenciales simultáneas de 
segundo orden y de forma lineal, que es la más sencilla y 
siempre para los mil puntos del ejemplo. 



* 
* * 



Puede parecer extraño que insistamos, como hemos in- 
sistido en las conferencias anteriores y en la de hoy, sobre 
esta primera forma de las ecuaciones del equilibrio y del mo- 



— 580 - 

vimiento elástico; que parece insistir en algo sin importan- 
cia ni transcendencia, puesto que á nadie puede ocurrirle que 
sean ecuaciones para la solución de un problema las que en 
sí mismas, y por su número, llevan la imposibilidad de la 
solución. 

Esto es exacto, y, sin embargo, no creemos inútil llamar la 
atención de nuestros oyentes sobre estos dos hechos: que las 
ecuaciones del equilibrio son ecuaciones lineales y en térmi- 
nos finitos en u, v, w , y que las ecuaciones del movimiento 

son ecuaciones diferenciales simultáneas en u, v, w , con 

una sola variable independiente, /, y lineales también res- 
pecto á las funciones y á sus derivadas. 

Es decir, que la forma general de las ecuaciones del equi- 
librio será ésta: siempre despreciando en cada ecuación el 
grupo que contiene o-w, Zu, ov 

A u-^B v-^C w Al u^-^Bi V, ^C^ w, - ^X, 

A' u -i- B' V {- C w r A\u,-]- B\ V, r C\ iv, + - V, 

A" ü T B"v r C"iv f >^",í/i + B",yi +C"iiVi + = Z, 



siendo las A, B, C constantes conocidas dependientes de 

la naturaleza del sistema; X, Y, Z las componentes en 

cada punto de las fuerzas exteriores; 3n e\ número de incóg- 
nitas, y 3/2 el número de ecuaciones. 

Una forma análoga tendrán las ecuaciones del movimien- 
to, á saber: 



A 11 -\- B v-f-C iv + y\, Wi-f- = X— m 

A' u-^ B' V -\-C' w ^ A\ Ui + =Y —m 

A"ü -{- B" V ^ C" w -\- A'\u^ 4- ^ Z—m 



dt- 
d¿v_ 
di^ 

(/•' u 
dP 



— 581 — 

Así escritas las ecuaciones de la Elasticidad, podrán no 
servir para la resolución de los problemas comprendidos en 
esta rama de la Física matemática; pero, en cambio, dan la 
demostración inmediata de algunas propiedades de la Elasti- 
cidad, y esta es una de las razones de nuestra insistencia. 

1." La forma de dichas ecuaciones demuestra casi á la 
simple vista un teorema importantísimo, que pudiéramos lla- 
mar el de la superposición de efectos, ó también el de la su- 
perposición de movimientos y desplazamientos, en el caso de 
ser sumamente pequeños. 

Porque ha de comprenderse bien que estos teoremas que 
vamos á explicar se refieren á deformaciones y movimientos 
nfinitamente pequeños, y en rigor son teoremas de aproxi- 
mación; aproximaciones útilísimas para la práctica, conve- 
nientes para orientarse en la teoría, pero que no expresan la 
verdad matemática rigurosa, aunque puedan pasar á ser ver- 
dades absolutas en ciertos casos aplicando la teoría de los 
límites. 

Expliquemos, pues, fundándonos en las ecuaciones ante- 
riores, el 

Teorema sobre la superposición de deformaciones y movimientos 
infinitamente pequeños. 

Empecemos por la superposición de deformaciones ó des- 
plazamientos. 

Si á un sistema V, que se encuentra en el estado de equi- 
librio E, se le aplica un sistema de fuerzas X, Y, Z y ob- 
tenemos para cada punto desplazamientos cuyas componen- 
tes sean u, v, w ; 

Si al mismo sistema V, partiendo del mismo estado de 
equilibrio E, se le aplica otro nuevo sistema de fuerzas 
X', Y', Z' y obtenemos las deformaciones u' , v', w' ; 

Cuando aplicásemos al mismo sistema V, partiendo del 
mismo estado de equilibrio E, ambos sistemas de fuerzas, á 
la vez X^X', Y+Y', Z \-Z' , la deformación resultan- 



— 582 — 

te será la suma de las dos deformaciones anteriores; mejor 
diciio, las componentes de cada desplazamiento resultante, 
será la suma de los dos sistemas de desplazamientos, obte- 
niéndose, por lo tanto, u -\- u, v -\- v', w w' 

O abreviadamente, al agregarse las fuerzas y superponer- 
se, se agregan y se superponen los desplazamientos, que es 
como decir que se suman sus componentes. 

Pero esto se deduce inmediatamente de las propiedades 
conocidas y elementales de las ecuaciones lineales. 

Si u, V, w, son los desplazamientos para el sistema de 

fuerzas X, Y, Z , satisfarán á las ecuaciones del equilibrio 

que antes escribimos, y que ahora no tendremos más que. 
copiar. 

A u+B y+Civ-i-^,«i4-0iVi-f CiW, + =X\ 

A' u^B' i; f = K; (2) 

A"u-\-B"v - = Z 



Asimismo, si u' , v' , w' , son los desplazamientos produ- 
cidos por las fuerzas X', Y', Z' , satisfarán á las siguien- 
tes ecuaciones cuyos coeficientes serán los mismos que en 
el grupo anterior, porque se trata del mismo sistema V, que 
parte del mismo estado de equilibrio inicial E, y dichos co- 
eficientes sólo de ambas circunstancias dependen: de la na- 
turaleza del sistema y de su equilibrio inicial, luego ten- 
dremos: 

A u'-rB /-Hfíiv' + yl.w'i+^i/, -f CiW'i-f • =^' 1 

A' u'^B'v' - r (2') 

A"u' B"v'-i- ^^ Z'\ 



(3) 



- 583 - 

Ahora bien; sumando los grupos (2) y (2') ordenadamen- 
te, resultará 

A (w + «') + 5 (y + v) + C(iv + w') + 

4-c,K-fO+ =X4-X' 

A' {u * ii') + ^' (y + y') + = K+ r 

yi" (x w') -I- B"(y r v') + = Z-{-Z' 



Pero este sistema (3) de ecuaciones es el resultado de po- 
ner en las ecuaciones generales del sistema V, partiendo del 

equilibrio E, en vez de los desplazamientos, u -\- u' y en 

vez de la fuerza, X -[- X' 

Y como las últimas ecuaciones quedan satisfechas, en ra- 
zón á que resultan de sumar los dos sistemas (2) y (2), esto 
nos demuestra evidentemente, que cuando se superpongan 

ó se acumulen los dos sistemas de fuerza X, Y, Z. 

y X', y, Z', las deformaciones que corresponderán á este 
tercer sistema, será la superposición de las deformaciones 
de los dos sistemas de fuerza, es decir, que habrá que sumar 
las componentes, para obtener las nuevas componentes. 

Ya sé que todo esto se puede decir con muchas menos 
palabras; pero hay que recordar lo que decía un sabio ma- 
temático francés: '<hay libros que serían mucho más breves, 
si fueran mucho más largos >. 

Todo lo que hemos expHcado para el equilibrio, se puede 
aplicar punto por punto para el movimiento. 

Si un sistema de fuerzas, X, Y, Z...... producen sobre un 

sistema V de puntos, un movimiento elástico, en que las 
componentes de los desplazamientos en función de x,y,zy 

de t, estén representadas por u, v, w , estas componentes 

satisfarán á las ecuaciones. 



- 584 — 
Au 4 j5v+ Cí/ + v4iWi+ =X - m -^-^ 

A u f = Y-m 

dt' 

A u -+- ^ Z — m 

dt' 



Si otro sistema de fuerzas X , Y' , Z' , determina sobre el 
mismo sistema de puntos V, un movimiento definido por los 
desplazamientos u' , v' , w' , éstos satisfarán asimismo al gru- 
po de ecuaciones, 

Au f Bv' + Cw' ^ ^i«\ -t- ^ X' — m . 

% ' dP 

d-v' 

A'u 4- ... = Y' — m , 

dt' 

A u + = Z — m , 

dt' 



y sumando ambos grupos, en que los coeficientes A, B, C, 
son los mismos, puesto que del mismo sistema V se trata, 
tendremos evidentemente: 

A{u-\-u')-\r B{v + u')-\- C{w - w')-\- 

dt- 

A' (u J- u) + = Y+y' — m ^ ^ - 

^ ^ dt' 

/« " / , 'X , 7 7' d-(W -f- W') 

A (// 4- w ) 4- = Z Z — m ^ 



— 585 — 

ecuaciones que prueban que u -\- u',v 4- v',w -\- w' son las 
integrales generales del movimiento cuando las componen- 
tes de las fuerzas son X - X'; Y' ^ Y'; Z -{- Z' 

Es decir, que cuando se superponen las fuerzas se super- 
ponen componentes de los desplazamientos, ó sean las inte- 
grales generales. 

Lo mismo pudiéramos decir de las condiciones iniciales, 
puesto que, desplazamientos y velocidades se componen lo 
mismo que las fuerzas, sumando las componentes paralelas 
á los ejes. 

El teorema, pues, de la superposición de efectos elásticos, 
dicho sea en términos generales, resulta demostrado de una 
manera general y sencillísima por la consideración de las 
ecuaciones lineales que preceden. 

Como se demostrarla también, es cierto, por las ecuacio- 
nes diferenciales que vamos á obtener más adelante, con 
sólo observar, que son lineales respecto á las derivadas 
de u, V, w. 

* 
* * 

Todavía de la forma lineal de las ecuaciones del equili- 
brio y del movimiento para desplazamientos infinitamente 
pequeños, se deducen otras consecuencias importantes; qui- 
zá más importantes que las anteriores, porque al fin, éstas 
pueden demostrarse con la misma sencillez, por medio de 
las ecuaciones en derivadas parciales, que obtendremos en 
la próxima conferencia. 

Pero las consecuencias á que ahora vamos á llegar no se 
demostrarían con tanta facilidad, como vamos á hacerlo aho- 
ra, apoyándonos en la forma lineal de las ecuaciones del 
equilibrio y del movimiento. 

Nuestro objeto es poner en armonía los resultados expe- 
rimentales con los resultados teóricos; hacer ver que cuando 
el problema físico es determinado y no tiene más que una 



- 586 - 

solución, el problema analítico es determinado también y la 
solución es única. 

Fijemos las ideas. 

Consideremos, en primer lugar, el caso del equilibrio. 

La experiencia demuestra, hasta donde puede demostrarlo, 
y el buen sentido lo confirma, que cuando á un sistema físi- 
co determinado se le aplican fuerzas determinadas también, 
dicho sistema físico no tiene, en general, más que una solu- 
ción de equilibrio. 

Decimos en general, porque en la Mecánica aplicada á las 
construcciones hay cas3S particulares que merecerían una 
discusión especial. 

Pues bien, para que exista armonía entre la experiencia y 
el cálculo, es indispensable, que las ecuaciones del equilibrio 

nos den un sistema de valores u, v, w, y uno sólo como 

soluciones de las ecuaciones dadas. 

Pero esto es precisamente lo que sucede, porque hemos 
visto que las ecuaciones son de primer grado respecto á estas 
incógnitas, y dichas ecuaciones de primer grado no tienen 
más que una solución, dicho con más exactitud, un solo sis- 
tema para u, v, w. 

Y aun para el caso en que la realidad pudiera ofrecer más 
de una solución^ según antes indicábamos, la teoría no re- 
sulta en contradicción con la experiencia, si la determinante 
de los coeficientes es nula y los valores de u, v, w se pre- 
sentan en forma indeterminada. 

Pero esta discusión nos llevaría muy lejos. 

Consideraciones análogas podemos repetir para el caso 
del movimiento. 

El problema debe quedar perfectamente definido, si se dan 
los desplazamientos iniciales, y las velocidades iniciales 
también. Esto nos dice la experiencia, y, repetiremos lo que 
antes indicábamos, hasta el sentido común lo afirma. 

Pero esto concuerda con la teoría de las ecuaciones dife- 
renciales simultáneas y con los teoremas de Cauchy. Las 



— 587 ^ 

ecuaciones diferenciales y las condiciones del momento ini- 
cial, determinan las integrales para cada caso, salvo lo que 
en casos particulares arroje una discusión más detenida. 

A todos estos resultados, ó no se llega, ó se llega de 
una manera tan elemental, cuando á los dos grupos de ecua- 
ciones, que hemos establecido, se substituyen, par las sim- 
plificaciones que hemos de introducir, ecuaciones en deriva- 
das parciales. Sobre todo, las dificultades son grandes cuan- 
do el sistema es limitado, si se consideran ecuaciones en 
derivadas parciales; y no existen para el caso que hemos 
considerado. 

* 
* * 

Y ahora empecemos la serie de simplificaciones que anun- 
ciamos, simplificaciones necesarias, sean cuales fueren sus 
inconvenientes. Porque la forma lineal, ya para el problema 
del equilibrio, ya para el problema del movimiento, forma 
lineal, decimos, en u, v, w será muy sencilla y muy pro- 
pia para ciertas demostraciones; pero es de todo punto im- 
posible, al menos en el estado actual de la Ciencia, para la 
determinación de u, v, w 

Porque, como hemos dicho más de una vez, por sencillas 
que sean las ecuaciones de primer grado, no se resuelven 
millones y millones de ecuaciones con millones y millones 
de incógnitas. 

En cambio, sí se pueden agrupar éstas en un número fini- 
to de ecuaciones, de modo que cada una de ellas represente 
un grupo infinito por la variabilidad de x, y, z, que es lo que 
hemos hecho en otras conferencias, y vamos á precisar aún 
más en la inmediata, el problema pasará de ser totalmente 
imposible, á S2r dificilísimo sin duda alguna, pero dentro de 
la categoría de lo hacedero. 

Hemos obtenido en esta misma conferencia para las ecua- 
ciones del equilibrio: 

Rev. AcAD. CiEN<-iAS.— V. — Marzo , 1907. 40 



588 



(4) 



j^ U¿1 (?,jcow -f- oj^^v + ízow;)^y1 = O, 



Las tres ecuaciones, que hemos descrito, se refieren á un 
punto determinado del sistema para el cual las coordenadas 
son X, y, z, en el cual actúan fuerzas cuyas componentes 
son X, Y, Z, y las - se extienden á todos los puntos com- 
prendidos alrededor de m en la esfera de actividad s. Asi- 
mismo ^x, 'iy, oz, 'Jii, ov, ow se refieren á todos estos pun- 
tos, comparados con el punto m de coordenadas x, y, z, ya 
para determinar las variaciones de estas coordenadas, ya 
para fijar los valores de las variaciones de los desplaza- 
mientos. 

Para cada punto del sistema atendremos tres ecuaciones 
de la misma forma que estas últimas. La forma será la mis- 
ma, decimos, y sólo variarán las cantidades ya expresadas 
X, y, z, X, y, Z las masas y las variaciones de las coor- 
denadas y de los desplazamientos. 

Y ahora vamos, como indicábamos en la conferencia an- 
terior, á la simplificación más importante, á la que hace po- 
sible la substitución de tres ecuaciones á un número infinito 



- 589 — 

de ecuaciones, á saber; al desarrollo de ^u, '5 y, 'iw por la 
serie de Taylor. 

En los autores no se insiste sobre este punto, se conside- 
ra como una simple operación de cálculo, y en rigor tampo- 
co hace falta insistir para las personas versadas en esta ma- 
teria; mas para los principiantes, para los que por primera 
vez estudian la Física matemática, en una palabra, para la 
enseñanza, me parece, que todo esto es necesario, de lo 
contrario queda cierta nebulosidad, y por qué no decirlo, 
cierta obscuridad. 

¡Empezamos, dirían ellos, por plantear infinitas ecuacio- 
nes ó un número enorme, que para nuestro caso da lo mis- 
mo, y por virtud de unos desarrollos, nos encontramos de 
pronto sólo con tres ecuaciones! Y es preciso, á mi entender, 
que los principiantes no consideren al cálculo como una es- 
pecie de juego de cubiletes más ó menos ingenioso. 

Cuando el cálculo da un resultado, es necesario saber por 
qué lo da y por qué se ha escogido aquel cálculo y no otro, 
una transformación determinada y no otra distinta: y en acla- 
rar todo esto nos empeñamos, quizá con demasiada proliji- 
dad; pero procurando siempre apartar de la Ciencia lo mis- 
terioso y lo confuso, para venir á parar á conceptos claros y 
hasta vulgares. 

Prefiero que una explicación sea hasta infantil, por lo mi- 
nuciosa, á que sea confusa é ininteligible por lo sublime. 

A veces, y perdóneseme la comparación, lo sublime se 
parece al pobre burgués disfrazado con manto de monarca. 



* 

* * 



En la ecuación anterior vamos á substituir 3i'^u = u^ — u, 
^i; = Vi —y, oiy = rv'i — \v sus desarrollos por la fórmula 
de Taylor, sin olvidar que 



- 590 - 
ü, V, w son las componentes áeAB{íA\) desplazamiento de A 

y 

Ui, Vi, Wi son las componentes de A'B', desplazamiento de A': 
A es el punto cuyo equilibrio expresan las tres ecuaciones; 
y A\ otro punto cualquiera dentro de la esfera de activi- 
dad £. Las - se refieren á todos los puntos tales como A', me- 
nos A. 

Todo esto ya lo explicamos al principio de la conferencia; 
pero como han venido después tantas digresiones, es posi- 
ble que mis oyentes lo hayan olvidado. 

Los desarrollos de u^, v^, w^, por la serie de Taylor, son 
evidentemente: 

, du ^ , du , . du ^ . 

dx dy dz 

. 1 / d'-u . ., , d'u ^ ., . d-u . - . 

2 \ dx-' dy' dz- 

, _ d'u ^ ^ , „ d-u ^ ^ _ d-u ^ ^ 

+ 2 oxoy -\- 2 oxoz -\- 2 oyoz 

dxdy dxdz dydz 



y análogamente para x^ y Wi. 
De aquí deduciremos los valores de 

U^'- u = ou, v^ — v = ov, Wi — w =Zw 

para substituirlos en las ecuaciones generales (A). Pero an- 
tes observaremos que en dichas ecuaciones hay una parte, 
la cual, dentro del orden de aproximación que hemos adop- 
tado, debe evidentemente suprimirse; nos referimos al últi- 
mo grupo de términos. 

Por ejemplo: en la primera ecuación al grupo 

fifí 

•' ^ ^ (oxow4-6;;ív-[-c¡zc¡/r)oí/. 



— 591 - 
Este grupo contiene los productos 

"bu-, ^V^jU, ^W^iU, 

que son de segundo orden, si las variaciones de los despla- 
zamientos se consideran de primero. Y como lo mismo po- 
demos decir para la segunda y tercera ecuación (A), despre- 
ciando dichos conjuntos de términos, las ecuaciones genera- 
les quedan reducidas á las siguientes para el caso de equi- 
librio: 

¡X-^'^mm' \f{r)ou -f ^-^{^xou -^oyov -{-oz^jwy^x =■ O, 

y á estas mismas agregando 

d-u d'-v d-w 

— m , — m , — /77 _- 



dt^ dt. dt, 

para el movimiento. 

Todavía estas ecuaciones son en número 3//, es decir, 3 
para cada punto del sistema. 

Pero recordemos que en los desarrollos, por la serie d: 
Taylor, de o//, ^y, ow, 

du -. , du ^ , du ^ I 1 / d'u ^ „ , 

ó« = ox~\ óyH oz -i ox' 4- 

dx dy dz 2\dx'' 

5. dv . . dv ^ du . . \ / d'^v . , , ., 

dw ^ , dw ^ , dw ^ , 1 / d'w ^ ,. , 

ow= ox-^ úy -j cjz-\ ( ox- i^ 

dx dy dz 2\ dx- 



— 592 ~ 

las derivadas de u, v, w, con relación á x, y, z, se lefieren 
a! punto de partida ó de origen, es decir, al punto A (fig. 11), 
y únicamente á este punto. De mDdo que expresan las va- 
riaciones de los desplazamientos en cualquier punto A de la 
esfera £, por derivadas relativas á su centro A. 

Para toda la esfera de actividad cuyo centro es ^, no ten- 
dremos en las ecaazioms del equilibrio ó de! movimiento más 
que derivadas para dicho centro A. 

Las demás cantidades que entren serán: ox, oy, oz, rela- 
tivas á todas los puntos de dicha esfera; p2ro éstas son ver- 
daderas constantes del problema, porque son las que definen 
las posiciones di los puntos en el estado inicial y depen- 
den de la naturaleza del sistema y del estado en que se en- 
contraban al aplicarles las fuerzas deformantes X, Y, Z 

Así, y por ser dichas derivadas de u, v, w, las mismas en 
todos bs términos de II podrán salir como factor común, 

Pero la forma de todas las ecuaciones relativas al equili- 
brio, será en virtud de lo expuesto, la misma con relación á 
cada punto, y sólo variará por los valores x, y, z del punto 
que se considere. 

Esto legitima, como explicábamos en la conferencia ante- 
ri3r, la reducción de las 3/2 ecuaciones á 3 ecuaciones no 
más, con tal que consideremos k x, y, z como variables. 

Sólo nos resta substituir en las tres ecuaciones {B) los 
valores (C), desarrollar los cálculos y ordenar por relación 
á las derivadas. Después seguiremos haciendo todavía nue- 
vas simplificaciones como veremos en la conferencia inme- 
diata. 



— 593 



XXVIII.— Infoniie acerca de las notas tit liadas «The 
Problem of Shadow-Bands » y Note on the valué of 
a projected image of the suii for meteoi'ological stu- 
dy », de la señorita Catalina O. Stevens. 

Por José M. de Madariaga. 

La señorita Catalina O. Stevens dirige á la Academia una 
atenta carta, fechada el 14 de Septiembre último en Reading 
(Inglaterra), en la cual ruega se le manifieste la opinión que 
á la Corporación merecen los estudios que viene practicando 
sobre las corrientes atmosféricas de las regiones elevadas 
p3r medio de la observación de la imagen proyectada del 
sol, y sobre la hipótesis que emite acerca de la formación de 
las franjas volantes en los eclipses, estudios é hipótesis que 
aparecen, respectivamente expuestos, en un folleto titulado 
Note on the valué of a projected image of the sun for meteoro- 
lógica! study, y en un pliego, también impreso, The problem 
of Shadow Bands, tomado, el primero, de The Qaarterly 
Journal of the Royal Meteorological Society (vol. XXXII, nú- 
mero 139, July 1906), y el segundo, del Journal of the Bri- 
íish Astronomical Association (vol. XVI, núm. 2, páginas 
60-62), y que la autora remite con su carta. 

Después de reconocer que el estudio de las capas eleva- 
das de la atmósfera puede hacerse por la observación de las 
estrellas, cuyo centelleo revela secretos de regiones para 
nosotros desconocidas, pone de manifiesto los inconvenien- 
tes que este medio ofrece, y hace resaltar las ventajas que 
sobre el mismo presenta el de las imágenes proyectadas del 
sol, que la autora observa por medio de un pequeño teles- 
copio, cuyo objetivo dirige hacia el astro, colocando delante 
del ocular, á una distancia apropiada, una pantalla blanca 
situada en una habitación, de preferencia obscura. 



- 594 - 

En los bordes de la imagen aparece, entonces, claramente 
perceptible en general, un movimiento bien conocido de los 
astrónomos, semejante al producido por la ebullición de un 
líquido, al que los ingleses, por tal motivo, llaman botling. 
Este fenómeno, resultado de la interferencia del movimiento 
de las capas atmosféricas con las radiaciones solares, ofrece 
diferentes aspectos, según la señorita Stevens; en los puntos 
en que el rfiovimiento de la atmósfera és tangencial al limbo 
solar, tiene el carácter de trepidación (trippiing), y donde 
aquél es normal ó transversal á éste, es tielicoidal (sprin- 

ging)- 

Hace constar la autora, como resultado de sus repetidas 
observaciones, que estos dos movimientos, más ó menos 
distintos entre sí, son continuos aun en ausencia de toda 
nube visible, y que su observación puede servir, no sólo 
para acusar la existencia de movimientos en las regiones ele- 
vadas de la atmósfera, sino para distinguir, unas de otras, 
las capas que puedan corresponder á diferentes corrientes 
atmosféricas, aunque sean invisibles directamente. 

En la discusión que siguió á la presentación de la nota de 
la señorita Stevens, que acabo de extractar, á la Sociedad 
Meteorológica, dice la autora que la distinción de las corrien- 
tes atmosféricas existentes á alturas diferentes, puede hacer- 
se sin más que fijar la atención en el hecho —sin duda com- 
probado por la observación simultánea con las de la imagen 
del sol de los movimientos de algunas nubes visibles —de 
que la agitación perceptible en el borde de aquella imagen 
es tanto mayor cuanto más bajas están las capas atmosféri- 
cas que las producen. 

El ponente que suscribe encuentra dignos de aplauso los 
estudios de la señorita Stevens, y considera de interés para 
la ciencia meteorológica la prosecución de los mismos. 

La autora suplica también en su carta que se le dé noticia 
de las investigaciones semejantes que en nuestro país se ha- 
yan hecho; y, con la mayor complacencia, el que suscribe 



— 595 - 

puede consignar que el primer astrónomo que fué del Ob- 
servatorio de Madrid, Sr. D. Vicente Ventosa, hoy individuo 
de la Sección de Ciencias Exactas de esta Academia, ha lle- 
vado á cabo durante un largo período de tiempo trabajos se- 
mejantes á los de la señorita Stevens. Pueden consultarse los 
fundamentos del procedimiento del Sr. Ventosa y los detalles 
de sus observaciones en las publicaciones siguientes : Método 
para determinar la dirección del viento por las ondulaciones 
del borde de los astros, folleto cuyo contenido apareció en el 
número 299 de la Crónica Científica, de Barcelona, corres- 
pondiente al día 25 de Abril de 1890; La direction des vents 
supérieurs déterminée par les ondiilations du bord des astres, 
folleto impreso en Anvers, imprimerie veuve de Backeer, Rué 
Zirk, 35, 1895, y La direction du vent et la scintillation; Ré- 
ponse aux objetions faites á la méthode d'observation des 
vents supérieurs par les ondulations du bord des astres, folle- 
to publicado en Bruxelles; P. Weissenbruch, 45, Rué du 
Poingon, 1899, y cuyo contenido vio por primera vez la luz 
pública en la revista Ciel et Terre, 20 année. 

El Sr. Ventosa avanza más en la resolución de este pro- 
blema que lo hace la señorita Stevens, pues da el medio de 
separar las corrientes atmosféricas que pueden existir á dife- 
rentes alturas, fundándose en la teoría de los focos conjuga- 
dos. Haciendo salir más ó menos dentro de su tubo el ocu- 
lar de la ecuatorial de Merz, instrumento de que general- 
mente se ha servido el Sr. Ventosa, consiguió tener proyec- 
tadas, separadamente sobre la pantalla, las ondulaciones co- 
rrespondientes á las distancias focales determinadas por las 
diferentes posiciones del ocular, haciendo de este modo un 
verdadero análisis de las diversas corrientes que cruzan la 
atmósfera. 

Todavía hará el que suscribe una cita que parece confir- 
mar los puntos de vista de la señorita Stevens y del señor 
Ventosa. Refiérese á una nota del Sr. Langley titulada Good 
Seing, presentada en 12 de Noviembre de 1902 á la Natío- 



- 596 — 

nal Academy of Sciencies, de Washington, en la cual su au- 
tor indica el modo de evitar el molesto boiling — ondulacio- 
nes del borde del astro observado, — haciendo la visión clara 
y cómoda. Redúcese aquél á determinar, por medio de un 
ventilador, una fuerte agitación en el aire contenido dentro 
de un tubo que dispone en prolongación del del instrumento 
empleado. 

La interferencia de las imágenes correspondientes á este 
movimiento del aire en la parte próxima al instrumento, con. 
los de los de las distintas capas atmosféricas, determina, 
dentro del anteojo, la anulación del efecto causado por los 
últimos. 

Atribuye la señorita Stevens á estos movimientos de las 
capas atmosféricas la formación de las franjas ó bandas os- 
cilantes en los eclipses; opinión muy digna de tenerse en 
cuenta para la explicación de este curioso fenómeno, y que, 
sin duda, considerarán verosímil los que reconocen en aquél 
un carácter más bien atmosférico, que de difracción en los 
bordes de la luna. 



XXIX. — Nota sobre la ulinina natural. 

Por Salvador Calderón. 

La ulmina y el ácido úlmico se encuentran en estado libre 
ó de combinación con alguna frecuencia en la superficie de 
ciertas rocas, y se dice que en algunos lignitos. Sin embar- 
go, en las obras de Mineralogía no se hace mención de estas 
substancias, sin duda por no concederlas importancia ó por 
su procedencia superficial y moderna en la mayoría de los 
casos, ni tampoco se habla de ellas en las de Geología, por 



— 597 — 

no constituir masas que llamen la atención como rocas. De 
aquí resulta desatendida una producción natural que, por lo 
menos en nuestro país, parece no deja de presentarse con 
cierta abundancia, y que, por lo tocante á su origen, ofrece 
evidente interés, como trataré de probar. 

La ulmina natural consiste en una materia vitrea y frágil, 
de un negro brillante cuando está bien seca. No se disuelve 
en el agua, pero sí en el alcohol y en los álcalis, á los cuales 
satura. Arde con llama hinchándose. 

Al parecer, la ulmina y el ácido úlmico no son más que 
dos estados del mismo cuerpo, pues el segundo, por deseca- 
ción, disminuye su solubilidad en los álcalis y se transforma 
en la primera. A esta ulmina, tal como se presenta en la Na- 
turaleza, es á la que se refiere la presente nota, y para defi- 
nir dicho cuerpo mineralógicamente, vamos á decir dos pa- 
labras sobre los siguientes ejemplares que hemos podido 
estudiar, los cuales se encuentran en nuestro Museo de 
Historia Natural y son de procedencias españolas y cono- 
cidas. 

Uno, de Villaza, en el valle de Monterrey (Orense), forma 
una costra gruesa, íntimamente adherida á un granito des- 
compuesto é infiltrándose por las grietas de la roca. La ulmi- 
na es muy negra, brillante, cavernosa y de superficie ma- 
melonada. 

Otro ejemplar existe también de antiguo en el mismo es- 
tablecimiento procedente de Castañares de las Cuevas (Lo- 
groño), y consiste en una arenisca ferruginosa con una cos- 
tra de ulmina, de superficie negra, brillante y arriñonada 
como la del anterior ejemplar. 

En fin, el P. Navas hizo donación al Museo de otro re- 
cogido por él en San Cosme, sierra de Guara (Huesca), que 
forma una masa libre, es decir, no adherida á roca, de as- 
pecto resinoso, color rojo obscuro, y sólo negruzco ó negro 
en las superficies, que son muy arriñonadas. Engloba grani- 
tos cuarzosos y otras piedrecillas. Nuestro distinguido con- 



— 598 — 

socio de Zaragoza, el Sr. Dosset S en otra muestra de la 
misma procedencia, puso de manifiesto, por medio de bellas 
preparaciones, que en dichas substancias se distinguen fibras 
de varias clases, células vegetales y hasta estomas y pelos 
ramosos. 

Pasemos ahora á la cuestión del origen de estas materias. 

El Sr. Dosset cree que en el ejemplar de la sierra de Gua- 
ra se trata de «una formación de excrementos de ganado 
lanar ó cabrío, aglutinados con la humedad y transformados 
con el tiempo». Yo creo más bien que la substancia predo- 
minante, la que produjo esos conjuntos de superficie mame- 
lonada, es un agregado de musgos, entre los cuales habría 
algunas de esas hierbecillas que con ellos se crían; lo infiero, 
tanto del aspecto de dichas masas, como de otras razones, 
que después indicaré. Además, entre los ejemplares antes ci- 
tados, los hay que dejan percibir los filamentos vegetales, 
como en el estudiado por el Sr. Dosset, al paso que en el de 
Villaza, por ejemplo, más compacto que aquél, ya no se ven 
tejidos orgánicos, al modo como en los turbales hay una va- 
riedad musgosa, que está en la superficie, otra terrosa más 
abajo y una compacta en la base. 

Mas cualquiera que sea la materia vegetal originaria, 
siempre queda por explicar por qué no ha desaparecido y 
por qué ha experimentado dicha transformación, puesto que 
en las condiciones ordinarias, las plantas muertas expuestas 
al aire acaban por cambiarse en combinaciones gaseosas, 
que pasan á la atmósfera; en otras condiciones, preservadas, 
al menos en parte, de la acción aérea, dan productos carbono- 
sos, y, en ciertas circunstancias, materias sólidas ó liquidas 
de carbono é hidrógeno, como la nafta, el petróleo y la ozo- 
cerita; pero en ninguno de estos casos se origina un produc- 
to semejante al de que aquí se trata. 



Bol. R. Soc. Esp. de Hisf. Nat., t. IV, 1904, pág. 160. 



— 599 — 

En los laboratorios, la ulmina se ha obtenido repetidas ve- 
ces tratando el azúcar, la goma, la celulosa y la materia ami- 
lácea por los ácidos minerales diluidos mediante una ebulli- 
ción prolongada; se forma así al principio glucosa, que se 
cambia á su vez en productos, pardos unos (que son humina 
y ácido húmico), y negros los otros (ulmina y ácido úlmico). 
Estas experiencias no explican la producción de la ulmina 
natural, en la que no ha intervenido, sin duda, ni el calor ni 
la ebullición. Pero se sabe también que, actuando lentamen- 
te los ácidos diluidos sobre las substancias orgánicas en las 
circunstancias normales, se obtienen dichos productos par- 
dos y negros. 

La condición más favorable de la materia orgánica para el 
expresado ataque, es que se encuentre en un estado terroso. 
Una antigua experiencia de Mulder ha probado que la ma- 
dera podrida tratada por una débil disolución de potasa ó 
sosa da un líquido pardo, en el cual la adición de un ácido 
determina un precipitado moreno negruzco, que es una mez- 
cla de ácido úlmico, húmico y geico. Precisamente, los mus- 
gos son los vegetales más adecuados para proporcionar una 
substancia terrosa, propicia para esta transformación, por su 
propiedad de ir creciendo en altura al paso que perecen y se 
pulverizan por su pie. 

Como queda dicho, se necesita en todos los casos la ac- 
ción de un ácido para que la celulosa se transforme, en parte 
al menos, en ulmina, y pensamos que en la Naturaleza, lo 
mismo que en las citadas experiencias de laboratorio, este 
ácido ha debido ser el sulfúrico. Es bien conocida su abun- 
dancia por efecto de la reducción de las piritas que acompa- 
ñan con tanta frecuencia á los lignitos y demás rocas carbo- 
nosas. Estas piritas se engendran en las aguas de los panta- 
nos y charcas que contienen sulfato de cal, bicarbonato de 
oxidulo de hierro y materias orgánicas, y una vez desecados 
aquéllos, dicho sulfuro se altera en contacto del aire, y mo- 
ado nuevamente por las aguas pluviales, que siempre llevan 



— 600 — . 

oxígeno en disolución, pasa á sulfato, y éste, por oxidacio- 
nes ulteriores, se cambia en limonita. Recordaré la formación 
del bog iron de Europa y Norte América, la cual se explica 
análogamente por los sulfatos del agua del mar y de la ma- 
teria orgánica que mantiene en suspensión ó están en el fon- 
do, operando el cambio parcial del hierra de los minerales 
que le contienen en sufuro, el cual, por oxidación, da lugar 
á la precipitación de la substancia limonítica. Del mismo 
modo se han originado las pequeñas, pero abundantísimas, 
concreciones de manganeso dispersas en las profundidades 
marinas. En todos estos casos queda ácido sulfúrico en liber- 
tad, que, actuando sobre las materias vegetales, producirá 
ácidos orgánicos, y entre ellos señaladamente el último. 

En el ejemplar de Castañares de las Cu ivas antes men- 
cionado, la ulmina impregna hasta cierta profundidad á la 
roca en que yace, y se va desvaneciendo al contacto, lo cual 
se señala por una diferencia de coloración que indica la 
acción recíproca operada entre el elemento orgánico y el 
hierro reducido de una disolución de sulfato por la materia 
del musgo, según nuestra opinión. Además, la misma are- 
nisca pudo ser piritífera. 

Fácilmente se comprende también que aguas de lixivia- 
ción con sulfato de hierro pudieran afluir á depresiones del 
terreno en que vivieran los musgos con los otros vegetales 
que les acompañan, operando su materia orgánica desme- 
nuzada la reducción de aquella sal y el depósito consiguien- 
te de limonita, el cual formaría areniscas ó conglomerados 
si encontraba arenas, cantos ó trozos de rocas que empas- 
tar. Pero no es precisa condición la de que existiera una 
charca para la realización de este proceso tratándose de los 
musgos, y sobre todo los Sphágnum, que por su avidez, por 
la humedad atmosférica, son capaces de crearse el medio 
acuoso á expensas de las lluvias, las nieblas ó la nieve. Sin 
duda los cambios de sequedad y humedad reinantes en los 
parajes en que se encuentran los ejemplares, ha debido ser 



- 601 — 

la causa principal de la transformación del detritus musgoso 
en ulmina, en vez de hacerlo en turba. En otros sitios, una 
activa evaporación, impidiendo la condensación de la hume- 
dad, hace que los musgos no originen ni turba ni productos 
úlmicos, aunque el suelo posea condiciones favorables para 
estos procesos. 

La cuestión del origen de la ulmina natural es, sin duda, 
interesante y bastante compleja por referirse á procesos geo- 
lógicos, químicos y biológicos, y para desarrollarla por 
completo habría que relacionarla con otras referentes al gé- 
nesis de los ácidos orgánicos y aun de su acción minerogé- 
nica; asuntos transcendentales, pero que no caben en el 
marco de una nota tan ligera como la presente. 



XXX— Nuevos caractei*es de (Uvisibilúhul por módulos 
primos distintos de 2 y 5. 

Por Francisco Simón y Mayorga. 

1. Se sabe que la condición general para que un núme- 
ro sea divisible por un módulo primo, es: 

a^-±a.r^^±a.,r.,±: ünrn^m, 

en cuya expresión, m representa el módulo; Oi, o..,» ^3 cin, 

las cifras de las unidades de primero, segundo enésimo 

orden que tiene el número, y r, , r.,, r¿ r,,, los restos mí- 
nimos, aditivos ó sustractivos (según vayan precedidos de 
los signos + ó — ), que dá la unidad de cada orden con re- 
lación al módulo que se considera. 



— 602 — 

De esta fórmula general se deducen caracteres de divisibi- 
lidad por los diferentes módulos, sin más que substituir en 
ella las letras por los números que en cada caso particular 
representan. 

Este procedimiento, de aplicación sencilla cuando se trata 
de módulos primos, como el 2, 3, 5, 9, 11 y algunos otros, 
presenta bastantes dificultades en muchos módulos superio- 
res al 5, exigiendo una serie complicada de operaciones, en 
la que se invierte más tiempo que efectuando directamente la 
operación. 

Buscar reglas generales, sencillas y, sobre todo, de fácil 
aplicación cuando de módulos primos, distintos de 2 y 5, se 
trata, es lo que nos hemos propuesto con el presente traba- 
jo, limitándonos á los números escritos en nuestro sistema 
de numeración. 

Para conseguir nuestro proposito, estableceremos el si- 
guiente 

2. Principio fundamental. 

Todo número es igual á un múltiplo de un módulo primo, 
distinto de 2 y 5, más el décuplo de la diferencia entre las de- 
cenas y un múltiplo de las unidades. 

En efecto; la expresión de un número N descompuesto 
en sus unidades u y sus decenas d, es 

N=\Qd + u. 

Sumando y restando al segundo miembro de esta igualdad 
un múltiplo del módulo y de las unidades, que podemos re- 
presentar por m. u. p, tendremos: 

N ^\0d -\- u -\- m.u.p — m.u.p, 
de donde 

N= m ^ \0d — u{m.p 1). 



— 603 — 
Y si determinamos /7 de modo que 

m.p — 1 = 10. o, 
cosa siempre posible, tendremos, substituyendo 
N=m + \0{d-a.u), 

que demuestra lo que nos proponíamos. 

3. De esta última igualdad, deducimos que, si 

d — au = m, N = m, 
y recíprocamente, que si 

N^ m, d — au = m, 

ó en otros términos: 

Que si la diferencia entre las decenas de un número y un 
múltiplo de la cifra de las unidades del mismo, es múltiplo de 
un módulo primo distinto de 2 y 5, el número es divisible por 
el módulo y recíprocamente. 

Por consiguiente, una vez determinado el valor de a, po- 
demos establecer la siguiente 

4. Regla general de divisibilidad. 

Para conocer si un número es múltiplo de un módulo pri- 
mo distinto de 2 y 5, se resta de sus decenas el producto de a 
por la cifra de las unidades; si la diferencia obtenida es múl- 
tiplo del módulo, el número será divisible y no lo será en caso 
contrario. 

5. Determinación de a. 

De la condición antes establecida de que |2J 

m.p - 1 = 10.a, 

Rev. Acad. Ciencias. — V. -Marzo, 1907. 41 



- 604 - 
deducimos que 

10 ^ 

y como a debe ser un número entero, m.p — 1 tiene nece- 
sariamente que terminar en O, condición precisa para que 
m.p ~ \ sea múltiplo de 10, bastando para esto que m.p sea 
el menor múltiplo de m terminado en 1. 

Ahora bien; como los módulos de que tratamos no pue- 
den terminar ni en O, 5 ni cifra par, es claro que m sólo 
puede terminar en 1, 3, 7 ó 9, resultando que si 

m termina en 1 P = 1, 

m » » 3 P = 7, 

m » » 7 p== 3, 

m » » 9 jP = 9, 

y una vez determinado el valor de p, tendremos el de a, 
puesto que la relación (1) nos indica que a representa las 
decenas del producto m.p, puesto que m.p no puede termi- 
nar en cero. Pero las decenas de este producto constan de 
dos partes: 1.", decenas del módulo, que llamaremos o, por 
/?, y 2.", decenas que resultan de multiplicar las unidades del 
módulo porp; y por consiguiente, si: 



m termina en 1, a = ^ (A) j 

m » 3, í7 = o . 7 + 2 (B) f 

m » 7, a = o . 3 + 2 (C) I 

m » 9, fl = o . 9 f 8 (D) ) 



m 



Ejemplos: 

¿217 es múltiplo de 31? 

Apliquemos la regla general 1 4 ] de que í/ — a . u = 3\. 



— 605 — 

Según (A), a = 3, luego 21 — 3 . 7 = 31 ó O = 31, 
y como O es múltiplo de todos los números, resulta que 217 
es múltiplo de 31 , conforme con todo lo expuesto. 

0. Abreviación. — Cuando a sea mayor que la mitad del 
módulo, podremos introducir una abreviación de mucha im- 
portancia en la práctica. 

En efecto; si hacemos 

d ^ m — a, a = m - y, 



y SI 



m , m 



y si en la igualdad 

d — a .u =^ m, 

sustituimos a por su igual m — a, tendremos 

d{m — -j.) ü ^ m, 
de donde 

d -]~ OL . u = m, 

que nos conduce á establecer otra regla general de divisibi- 
lidad. 

Para saber si un número es divisible por otro primo dis- 
tinto de 2 y 5, se añade á las decenas del número dado el 
producto de « por las unidades del número; si la suma obte- 
nida es múltiplo del módulo, el número lo será también y no 
en caso contrario. 

7. Determinación de a.- Hemos visto que 

c = /n — a (2), 
y siendo 

m = 10,0-^ unidades, 



606 



conocido el valor de a, tendremos, sustituyendo, 

si m termina en 1, a = (^5 . 10 + 1) — ^ = (.^ . 9) + 1 (A') 

,Si/n » 3, a = (r^.l0 + 3) -('í.7 + 2) -(r^.3) + 1 (B') 

Sim » 7, a = 0. 10 ^- 7) -0.3 + 2) = (o. 7) + 5 (C) 

Si/TZ » 9, « = 0. 10 + 9) — (0.9 + 8) =(o+l) (D') 

8. Observación. ~Dq\ examen de los cuadros {X), (Z), 
que nos dan los valores de í7 y a, resulta: 

1.° Que estos valores se determinan con gran facilidad, 
una vez conocido el módulo, mediante un cálculo mental. 

2." Que en la práctica debe hallarse el valor de a, ó sea 
aplicando la primera regla general de divisibilidad [41, cuan- 
do se trate de módulos terminados en 1 ó 7; y debe hallarse 
el de a (segunda regla general |6|), si se trata de módulos 
terminados en 3 ó. 9. 

Todo cuanto llevamos dicho queda resumido, formando 
los cuadros siguientes que nos dan para cada módulo, según 
su terminación y distintos de 2 y 5, reglas prácticas senci- 
llas y de aplicación fácil. 

9. Nos concretamos á exponer los caracteres de divisi- 
bilidad por módulos primos, menores que 100 y distintos 
de 2 y 5, pudiendo ampliarse hasta el límite que se desee: 



MÓDULOS TERMINADOS EN 1 


o- 

Ci. 

c 
o 

11 


Valor 
<ie a. 


Valor de OL, 


CARACTERES DE DIVISIBILIDAD 


d — a . 11 = m 


d -\- ■x .u = m 


Regla práctica. 


a^\ 


« = 11—1 = 10 


d— « = 11 


í/+io.í/=n 


d— U=\\ 


31 


a^2 


3 = 31-3 = 28 


í/-3í/=31 


í/ |-28.i/ = 31 


í/-3u=31 


41 


a=A 


3 = 41-4 = 37 


í/_4i/=41 


d + 37.í/=41 


d —4 ii =41 


61 


a = 6 


a = 61-6 --55 


rf— 6u=61 


í/ + 55.u=61 


í/-6ü=61 


71 


a 7 


3 = 71-7 = 64 


í/-7ü=7"l 


í/ + 64.í/=-71 


d-7u=il 



(Z) 



- 607 - 

Del presente cuadro deducimos la siguiente regla general 
y práctica, para conocer si un número es múltiplo de un mó- 
dulo primo distinto de 2 y 5, terminando en 1. 

10. Para saber si un número es divisible por un módulo 
primo distinto de 2 y 5 y terminado en 1 , basta restar de las 
decenas del número el producto de las decenas del módulo por 
las unidades de aquél; si la diferencia es múltiplo del módulo 
el número lo será, y no en caso contrario. 

Ejemplos: 

¿El número 5.629 es divisible por 61 ? 

562 — 54 = 508, y 
50-48 = 2, 

vemos que 508 no es múltiplo de 61; luego 5.625 tampoco lo 
es de 61. 
¿2.769 es múltiplo de 71? 

276 — 63 = 213, y 
21—21=0, 



luego, como 213 es múltiplo de 71 , 2.769 también lo es. 



MÓDULOS TERMINADOS EN 3 


o- 






CARACTERES DE DIVISIBILIDAD* 


"1 


c 


Valor de a 


Valor de y 


■ ■- 


Regla práctica. 








íí — Í7 . 1/ *= »I . 


d -\- y, . u = m. 




3 


a= 2 


a= 1 


d— 2.u= 3 


d+ u= 3 


a. 


13 


a= 9 


a= 4 


d— 9.u = \3 


d+ 4.u=13 


1 


23 


a =16 


a= 7 


rf— 16.w = 23 


d+ 7.11=23 


-i 


43 


a = 30 


a = 13 


úf-30.ü = 43 


í/+13.u = 43 


+ 


53 


a = 37 


a = 16 


d—37.u=53 


í/+16.u = 53 




73 


a = 51 


a = 22 


d-5l.u=73 


í/ + 22.u=73 


II 

a- 


83 


= 58 


a =.25 


d—58.u = 83 


d + 25.u=83 



- 608 - 

Del cuadro precedente se deducen, además de las reglas 
particulares de divisibilidad para cada módulo, la general 
para los terminados en 3. 

11. Así, para saber si un número es divisible por otro 
primo terminado en 3, se restan de las decenas del número, 
el séptuplo de las decenas del módulo aumentado en 2, por 
las unidades del número; si la diferencia es múltiplo del mó- 
dulo también lo es el número, y al contrario. 

Ejemplos: 

¿5.428 es múltiplo de 73? 

542 (7. 7 + 2). 8 = 542 — 408=134, 

y como 134 no es múltiplo de 73, tampoco lo es el número 
propuesto. 

¿1.825 es divisible por 73? 

182 -(7.7 + 2)5= 182-255= -73, 
y como 73 es múltiplo de sí mismo, 1.825 es múltiplo de 73. 



MÓDULOS TERMINADOS EN 7 


o- 






CARACTERES DE DIVISIBILIDAD 


1 


c 


Valor de a 


Valor de > 






Re^la práctica. 


7 


a= 2 




d — a . u = m. 


d + a . m = w. 




a= 5 


d— 2u=- 7 


d-\- 5 u= 7 


1 


17 


0= 5 


a^ 12 


d— 5 « = 17 


d + \2u = \7 




37 


0= 11 


-X ^26 


í/ - 1 1 . u = 37 


í/ 4 26 ü = 37 


co 


47 


0=14 


a =33 


d-\4.u = 47 


í/+33u =47 




67 


í/ = 20 


y. = 47 


d-20.u = 67 


í/+47.u=67 


II 
3- 


97 


a ^29 


:£ -. 68 


t/-29.u = 97 


í/ }-68.í/ = 97 



De donde, aparte de las particulares á cada módulo, po- 
demos establecer la regla general de divisibilidad para mó- 
dulos primos terminados en 7. 



— 609 — 

12. Un número es divisible por otro primo terminado en 7 
si restando de las decenas del número el triplo de las decenas 
del módulo más 2, multiplicado por las unidades del número, 
la diferencia así obtenida es múltiplo del módulo, y no lo será 
en caso contrario. 

Ejemplos: 

¿El número 15.577 es divisible por 37? 

1.557 -(3.3 ^2)7=1.557-77 + 1.480, 
148 — (3.3 + 2) O = 148 = 37. 

¿4.659 es múltiplo de 97? 

465 - (3.9 + 2) 9 = 465 — 262 = 204; 

y 204 no es múltiplo de 97, luego el número tampoco lo será. 
¿El número 8.841 es múltiplo de 7? 

884 — (0.3 + 2) = 884 2 = 882, 
88 - (0.3 + 2) 2 = 88 - 4 = 84, 
y 8 - (0.3 n- 2) 4 = 8 — 8 = 0, 

luego 8841 = 7. 



MÓDULOS TERMINADOS EN 9 


2 

cu 
o 


Valor de a 


Valer de a 


CARACTERES DE DIVISIVILIDAD 


Regla práctica. 


d — a . u=^m. 


d-\-i u = m. 


19 
29 
59 
79 
89 


c=17 
a = 26 
a = 53 
a = 71 
a = 80 


a = 2 
a = 3 

a = 6 
7 = 8 
a = 9 


í/ — 17.«=l'9 
Í/-26 « = 29 
Í/-53 « = 59 
rf— 71 « = 79 
d-m «=89 


d + 2u=\9 
í/ + 3« = 29 
rf + 5« = 59 
í/4-8« = 79 
úf + 9« = 89 


a. 
+ 

+ 

R 

s- 



— 610 - 

Deduciendo de aquí las reglas particulares de divisibilidad 
para cada módulo y la general para los terminados en 9. 

13. Conoceremos que un número cualquiera es múltiplo 
de un módulo primo terminado en 9, si sumando á las dece- 
nas del número, el producto de las decenas del módulo, au- 
mentadas éstas en una unidad poi las unidades del número, 
la suma es múltiplo del módulo. 

Así, 

¿1.889 es múltiplo de 29? 

188 + (2 4- 1 ) 9 = 188 + 27 = 215 
21 +(2 -f 1)5 = 36 

1.889 no es múltiplo de 29 porque 36 no lo es, etc. 



Observaciones prácticas. 

14. Si el número termina en ceros, se prescinde de ellos 
y se aplica la regla al número que resulte. 
En efecto; si 

N=N'.\0" = m, 

siendo m distinto de 2 y 5, es primo con 10, y tendrá que 

dividir á N', que es el número que resulta al suprimir los 

ceros, y si /n no divide á N, tampoco dividirá á A^'. 

2.'' Si después de aplicar al número dado la regla, no se 

í diferencia ) 
sabe si la -^ / que resulte es múltiplo del módulo, 

( suma ) 

se aplica nuevamente al número que resulte la misma regla, 

( diferencia ) 
y así sucesivamente, hasta llegar a una { , que co- 

( suma ) 

nocidamente sea múltiplo del módulo. 

3.'" Si alguna sustracción no puede efectuarse por ser 



— 611 - 

d<Ca- u, se puede añadir á d un múltiplo de m, necesario 
para hacer á d^ a. u, puesto que 

d -- a. u = m 

puede transformarse en 

d ^ m ~ a.ii = m; 

y si t/ — a. u, no es múltiplo de m, tampoco lo será 
d j- m - a. u. 

Es preferible efectuar la sustracción directamente, puesto 
que si la diferencia es negativa, no influye en el fin que nos 
proponemos. 

4/ Si < ' > > /7Z, en vez de , ) las decenas 

{ a. u ) ( sumar a ) 

{a.u. ( restan de ) , , {(a.u):mi 

{ se ( , ) las decenas el resto /- de • >. 

( a. u) ( suman a ) ( a. u: m ) 

porque siendo 

a. u ^^ m, será a. u=^ m ~\- r, 
de donde 

d — a. u = d — (m -\- r) = d — r = m, 
y si 

d— a.u = m, d ~ (m -}- r) = m ó d - r = m.. 

Lo mismo razonaríamos para d -]- d u = m. 

15. Son dignas de notarse las sencillísimas reglas prác- 
ticas que se deducen de los cuadros precedentes, y que va- 
mos á enunciar, limitándonos á los módulos 11, 31, 3, 13, 
23, 19, 29, 7, 17 y 37, que con frecuencia se presentan en la 
práctica. 



— 612 - 

a) Un número es divisible por 11 si la diferencia entre las 
decenas y unidades es múltiplo de 11. 

b) Un número es múltiplo de 31 si la diferencia entre las 
decenas del número y el triplo de las unidades es divisible 
por 31. 

c) Un número es divisible por 3 si la suma de las dece- 
nas y unidades es múltiplo de 3. 

d) Un número es múltiplo de 13 si la suma de sus dece- 
nas y el cuadruplo de sus unidades es divisible por 13. 

e) Un número es múltiplo de 23 si la suma de sus dece- 
nas más el séptuplo de sus unidades es divisible por 23. 

f) Un número es divisible por 19 si la suma de sus dece- 
nas más el duplo de sus unidades es múltiplo de 19. 

g) Un número es múltiplo de 29 si la suma de sus dece- 
nas más el triplo de sus unidades es divisible por 29. 

h) Un número es divisible por 7 si la diferencia entre las 
decenas y el duplo de las unidades es múltiplo de 7. 

i) Un número es divisible por 17 si la diferencia entre las 
decenas y el quintuplo de sus unidades es múltiplo de 17. 

j) Un número es múltiplo de 37 si la diferencia entre sus 
decenas y el producto de 11 por sus unidades es 37. 

Como se ve, estos caracteres son de más fácil aplicación 
que los fundados en los restos. 



índice 

DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO 



pjloa. 

XXVI.— Elementos de la teoría de la elasticidad, por José 

Echegaray 539 

XXVII.— Elementos de la teoría de la elasticidad, por José 

Echegaray 564 

XXVIII.-- Informe acerca de las notas tituladas «The problom 
of Shadovv-Bands» y «Note on the valué of a pro- 
jected iniage of the sun for meteorological study», 
de la señorita Catalina O. Stevens, por José María 
Madariaga 593 

XXIX.— Nota sobre la ulmina natura), por Salvador Calderón. 596 

XXX.— Nuevos caracteres de divisibilidad por módulos pri- 
mos distintos de 2 y 5, por Francisco Simón y 
Mayorga 601 



La subscripción á esta Rbvista se hace por tomos completos, 
de 500 á 600 páginas , al precio de 6 pesetas en España y 6 francos 
en el extranjero , en la Secretaría de la Academia , calle de Val- 
verde, núm. 26, Madrid. 

Precio de este cuaderno, 1,26 pesetas. 






REVISTA 



REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 



EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES 



MADRID 



XOHX^LO V_-ISIXJ]M. lO. 
(Abril de 1©07.) 



MADRID 

IMPRENTA DE LA GACETA DE MADRID 

CALLF, DE PONTEJOS, NÚM. 8. 

1©07 



ADVERTENCIA 



Los originales para la Revista de la Academia 
se han de entregar completos, en la Secretarla de 
la Corporación, antes del día 20 de cada mes, 
pues de otro modo quedará su publicación para 
el mes siguiente. 



- 613 - 



XXXI.— Elementos de la teoría de la elasticidad. 

Por José Echegaray. 

Conferencia quinta. 

Señores: 

Hemos obtenido en la conferencia anterior las tres ecua- 
ciones fundamentales , según el método de Cauchy, para el 
equilibrio de un sistema elástico, 

Y agregando á éstas las componentes de la fuerza de iner- 
cia, obtendremos las tres ecuaciones del movimiento, que 
serán, 

— m + mX -\- 2lmm 

d'^v . ,, V, 

— m \- mV 4- i^mm 

dP 

d'^w 

— m — — + mZ + ^mm 

dP 



De éstas nos ocuparemos tan sólo en adelante, porque es 
claro que en sí comprenden, tanto el movimiento, como el 
equilibrio, del sistema elástico. 

Rkv. Acad. Ciencias. — V.— Abril, 1907. 4a 



- 614 - 

Para obtener estas últimas, bastará suponer que u, v, \\> 
son independientes del tiempo, con lo cual sus derivadas se- 
gundas con relación á / serán iguales á cero; no habrá más 
que suprimir el primei término en cada una de las ecuacio- 
nes anteriores, es decir, suprimir las fuerzas de inercia. 

Advirtamos que mientras existan las cantidades, 

^u = Uy — u, ^y = v, ~v, ^)w =.w^-'- w, 

las ecuaciones son simultáneas con 3 n funciones u, v, w... 
y en número 3 n; por eso después de escribir las tres ecua- 
ciones, hemos puesto una línea de puntos suspensivos. 

Ahora, según decíamos en la conferencia anterior, tene- 
mos que substituir en dichas ecuaciones los valores de 
hu, 'h, hw desarrollados por la serie de Taylor; á saber: 

nx hy ^>z 2 V ^^2 

^ ^ ^x hy "^ ?iz 2\ dx- I 

OX-\--:^oy-^ r,z+-[ _— OX-'-l- 

^y dz 2\ ox- / 



oiv 

'íx 



Pero desde el momento en que efectuemos dicha substi- 
tución, podremos considerar que las 3 n ecuaciones se han 
reducido á 3, condensándose cada serie de n ecuaciones en 
una sola por la identidad de forma. 

Además, las x, y, z, ya no serán constantes del sistema, 
sino que las consideraremos como variables independientes. 

Y por último, las ecuaciones, que eran en diferenciales si- 
multáneas para una sola variable independiente t, se habrán 
convertido en ecuaciones, en derivadas parciales de tres 
funciones u, v, w, y de cuatro variables independientes 
x,y,z,t. 



— 615 — 

Si se tratase del problema del equilibrio, las 3/2 ecuacio- 
nes en términos finitos y lineales, se habrían convertido tam- 
bién en tres ecuaciones en derivadas parciales, y las funcio- 
nes u, V, w serían sólo funciones de x, y, z. 

Ahora hagamos la sustitución indicada de los valores 
de ou, óv, Sw y desarrollemos los cálculos. Tendremos, 
pues, para la primera ecuación: 



m 



/n + X + Im/n /(r) — - ox + — - oy ^ -— íz + 
L \ úfx dy dz 

1 / d^u ^ , , í/'^« ^ , d-u ^ , , 



dP 



2 V dx" dy^ dz- 

, _ í/^w ^ ^ , „ d'U ^ ^ , _ d'U ^ ^ 

-f 2 ^x<iy + 2 ^x^z 4- 2 ^y^z 

dxdy dxdz dydz 

, f'{r) ^ , / du , : du ^ , du ^ , 1 / d'u ^ ., , 

' -^ ^ ^ ^x- \ — ox -j ^y H ^z -\ ^x- -f- 



r \ dx dy dz 2 \ dx- 

f^ \dx dy dz 2 \ dx- 



f'{r) ^ ^ / dw ^ i dw . , dw ^ ,1 í d'w ^ ., 
- ^ ^ oxoz i — '^x H ^y -\ '5z ^ ^x^ 



f \ dx dy dz 2 \ dx- 



))J 



Y efectuando los productos y ordenando por relación á 
las derivadas de «, y, w, 



'■- dx\ ^ ) 



dx r dx r 

dy \ r j 

-j 1/72/72 ^^—^-^^x'iy^-\ ^mm^^—^^cix^jy^Á 

dy f dy f 



616 — 



OX'^OZ + 



Uo. 



dz\ ^ 

4 1/77 /n ■!-^^-^fiX0yrjZ-\ 1/77A77 ^^-^^ OXOZ¿ 

dz f dz r 

4- 1 Hmm'fir) (-^ Zx'^ + "l + 

H L/W/77 -^—^-^ { — — OX- + I OX- + 

2 , ^ Wx'^ / 

-] 1/77/77 •' ^ ^ i OX- -I- \^JX0y-\- 

2 r \ dx' I 

-I 1/77/n ^^-^^ I 0x2 4- I oxoz. 

2 ^ \ í/x2 ' / 



En la expresión anterior pueden evidentemente suprimirse 
todos los términos que contienen las derivadas de primer 
orden de w, v, w, con relación á x, y, z. 

En efecto, se demuestra desde luego, que todos sus coefi- 
cientes son próximamente iguales á cero. 

Para ello se observa que las 1 se refieren á una esfera su- 
mamente pequeña de radio s trazada para cada punto alre- 
dedor de él como centro. 

Pero como la esfera es pequeñísima, puede suponerse, con 
alto grado de aproximación, que los puntos materiales están 
distribuidos uniformemente. 

Luego, si por el centro, es decir, por el punto de las co- 
ordenadas X, y, z, se traza una recta de longitud r, y se 
considera el punto material situado en la extremidad, este 
punto tendrá otro simétrico, es decir, á la distancia /' del 
centro y del lado opuesto, y estos dos puntos darán en 
cada 1 de las indicadas valores iguales y de signo contrario, 
que se anularán; porque siempre entrarán uno ó tres factores 
de los Sx, hy, Iz. 



- 617 - 
Por ejemplo: 

en ^mm f{rY X 

entrarán ! 

mm'f{r)lx y — mm'f{r)lx; 

en 1 m/7z ^ ' bx-^ 
r 

entrarán, correspondiendo á 8x y — ^x, 

. f'{r) a , > f'ir) . 3 

enS/TZ/n'^^^-^^x^^y 



entrarán asimismo 



f ir\ f(r) 

mm' -^ "^ ^ hx'^^y y — mm' - ^ ' Ix'ly; 

fin 
en ^mm' ■" ^ ' 'hx^y^z 



f'(f\ f'(r\ 

mm' -^ ^ ' ^x^y^z y — mm' ^ ^ ^xhyhz, 



y así sucesivamente. 

Claro es, que en todos estos coeficientes la r es la misma 
para ambos términos de signo contrario, porque, como he- 
mos dicho, se toman pares de puntos simétricos con relación 
al centro. 

Suprimiendo, pues, todos estos términos relativos á las 
derivadas de primer orden, nos quedará como ecuación sim- 
plificada 



618 - 



m-^-^-^mX+^Zmm'f{r) 



\dx-' dy' dz'^ 

-f 2 0X6); ^ 2 oxoz+2 oyoz] 

dxdy dxdz dydz / 

_|_1S 772/77' -^í^ 8x2 

2 '■ 

d^u ^ -, , d^u ^ , , . r, d^u . . 
ox- H 0^2 + +2 o);oz 



Í/X2 í/>;2 dydz 



H y.mm ■' ^ ' oxQV 

2 '' 



/ cf2y 

\Í/X2 



= 0, 



í/x2 £/);2 •" í/).í/z j 

A )i.mm •' ^ ' óxoz 

2 ^ 

\ dyC' dr ' dydz ' ) 



en que no entrarán más que derivadas parciales de segundo 
orden. 

Ordenando por relación á dichas derivadas, tendremos 



d 
m— 

di 



ÜL 4_ ;„ X+ -^ f i 1/77 7n'/(r)6x2 -h 1 E 777 777' 4^ oxA 4- 
72 ^ í/x2\2 2 '^ / 

/72íf 

-f .l/n/77 ¡{ryjxoy -f 

í/xí/;; 

^ _í^_ Xm/777(r)ox6z+ -^^ X777 77Z'/(r)5>;8z 



619 — 



dy-^ \2 '^ ^ ' 2 . r ' ) 

-\ 2m/72 ^ ' úx^<iy -\- 

dxdy ^ 

, dHi ^, ,/(r) . ,. , ¿/2í/ ^, ,/(r) . ,. . 
dxdz ^ dydz f 

_^ Éll. /I ^mm'f(r)oz^^ + - I/77/77' ^Q^ Sx^-^zA _|_ 
dz'- \2 '^ ^ 2 r ; ' 

-\ 2/77/n -^ ^ -ox-o};-4- 

H l/n/77 ^^-'^^ íx^OJ/OZ-f- 1/77/77 ^^-^^^ OXOZO;^^ 

. d'^w ^ , f'(r) ^ .,^ . , 
-| Zmm --^-^ox^oynz^ 

dxdy ^ 

l/n/77 -^-^^ íx-óZ"'H > /w/77 ^^-^^ ^jz^^jx^y=0. 

dxdz f dydz f 

H —1/77/77 -^ ^ ^ OX-^Oy 

dx' 2 r ^ 

. d-v \ ^ , f (r) ^ ^ .. 



dy- 2 

H — 1/77777 ^ ^ OXOyóZ^ 

í/z-' 2 r -^ 

-r • — 1/77/77 ^ ^ OX^OZ 

í/x^ 2 '' 

H • — 1/77//7 ^ ^ OXOZoy^ 

, í/'w 1 ., , f'(r) ^ . , ^ 

í/z^ 2 ^ 



— 620 - 

En esta última ecuación podemos hacer simplificaciones 
análogas á las que hicimos para los términos en que entra- 
ban las derivadas de primer orden de u, v, w. 

Allí, las simplificaciones se fundaban en que, dentro de 
cada esfera de actividad de radio t, podíamos suponer una 
distribución uniforme de los puntos materiales y podíamos 
acoplarlos dos á dos en todas las líneas, que pasasen por el 
centro, tomando cada dos masas á igual distancia de dicho 
centro. 

Como en este caso las ^x, ^>y, ^z para ambos puntos eran 
iguales y de signos contrarios, y como en los coeficientes de 
todas las derivadas, estos factores entraban un número im- 
par de veces, claro es que los términos de que tratamos se 
destruían dos á dos. 

Pues ahora, la simplificación se fundará, no en la simetría 
por relación al centro.de la esfera s, sino por relación á tres 
planos coordenados que pasen por dicho centro; y con tal 
que una por lo menos de las cantidades Bx, oy, oz tenga una 
potencia impar, se demuestra fácilmente que el coeficiente 

en cuestión es nulo. 

d-v 

Por ejemplo, consideremos el coeficiente de , que es 

dx' 

— \mm ^ ox'oy. 



Por el centro de la esfera tracemos un plano paralelo al 
plano coordenado x, z. 

Suponemos, como siempre, que en el interior de la esfera, 
la distribución de las masas es uniforme, y por lo tanto, si 
tomamos delante del plano un punto de coordenadas '^y, ten- 
dremos otro punto detrás del plano simétrico con él, de coor- 
denada - ^y, y las otras dos coordenadas '^x, nz serán las 
mismas para ambos puntos. 

Por lo demás, la m, m son todas iguales, ó se supone 
que son iguales en la pequeña extensión de la esfera, y las 



621 



distancias desde el centro á ambos puntos, que son simé- 
tricas por relación al plano, también serán ¡guales; luego 
la ^ se compondrá de pares de términos de esta forma: 



que se destruirán dos á dos. 

En rigor, si el cuerpo es heterogéneo , las masas simétri- 
cas no son iguales: suponer que lo sean, es admitir que el 
error que se comete es de orden superior y despreciable. 

Sobre esto acaso insistamos más adelante. 

De todas maneras, en los cuerpos isótropos no cabe esta 
duda. 

Son pormenores en que no podemos detenernos como 
quisiéramos. 

Lo dicho podría repetirse para todos los coeficientes de 
las derivadas, menos para los tres primeros, que no contie- 
nen más que potencias pares de ^¡x, ^¿y, ^z; y además para 
estos dos términos: 

^mm •' ^ ' ^iX-^y\ \mm ■' ^ ' 0x^02-, 



dxdy f dxdz 

que se encuentran en el mismo caso. 

Suprimiendo, pues, todos los términos, menos estos cin- 
co, la primera de las tres ecuaciones fundamentales se redu- 
ce á la siguiente: 

d^u . ,, , d'u í 1 
— m 



dt 



^ dx' \2 

2 ■ r ) 

dy'-\2 J^' ' 



(O 



622 



+ — i:/n/72' ¿^ ox'oyA 



d'u (\ ^, 



í/^2 



(i^ 



— ^mm'firyjz' -j- 



, _ d-v 1 ., , /'(r) . .,s , I 

4- 2 — l.mm -^^^-^ ox'oy^ -f 

í/xí/>; 2 r -^ 

+ 2 1/77/77 -^ ^ ' OX-OZ-' -L 0. 

dxdz 2 r 



Del mismo modo es fácil transformar y simplificar la se- 
gunda y tercera ecuaciones (1) substituyendo los desarro- 
llos (2) ordenandos por relación á las derivadas primeras y 
segundas de u, v, w; suprimiendo todos ios términos corres- 
pondientes á las derivadas de primer orden, y otros de las 
derivadas segundas. 

Pero pueden escribirse desde luego las dos ecuaciones 
finales con sólo comparar á la primera de las ecuacio- 
nes (1) la segunda y la tercera, cambiando unas letras por 
otras como vamos á explicar. 

Copiemos la primera y la segunda ecuación del grupo (1) 
alterando en la segunda el orden de los tres últimos tér- 
minos. 

d^u . V 1 V 

\f{r)'^u 4- ^-^ {oxou + oyrjv + ^z^w) íxl - O, 

-j- m Y -\- ^mm' 
\f{r)uv -\- ¿^ {oy^jv -} ozoii; + ^x^u)oy I = 0. 



— m - 


dV' 


f'ir) 


(oxo 


r 




d'^v 




df' 


f'ir) 


. í ?.Mr¡ 



- 623 — 

En estas ecuaciones se observa, que se puede pasar de la 
primera á la segunda aplicando á aquélla estas tres substi- 
tuciones circulares 



X Y Z 

Y Z X 



U V w 
V w u 



X y z 

y z X 



Se dice, que se aplica una substitución circular de tres le- 
tras, por ejemplo, u, v, w, cuando se substituye en una fór- 
mula, en vez de la primera letra u, la segunda v; en vez 
de la segunda v, la tercera w, y en vez de la tercera w, la 
primera u. Como si las tres letras estuvieran escritas en un 
círculo y el círculo girase avanzando un intervalo. 

Hemos escrito las tres substituciones desarrolladas, no 
en forma abreviada («, v, w) como se acostumbra; de modo 
que habrá que substituir en la primera fórmula (1) por cada 
letra de las tres substituciones circulares, la que está debajo. 

Así, en vez de la X, la Y; en vez de la Y, la Z; en vez de 
la Z, la X; que por lo demás estas dos últimas no entran 
en la fórmula primera. 

Después, en vez de la u, la que está debajo, que es la v; 
en vez de la v, la w, y en vez de la doble w, la u. Y lo 
mismo podemos decir para la tercera substitución circular 
de las X, y, z. 

Efectuando dichas substituciones, se ve que, en efecto, la 
primera fórmula se convierte en la segunda. 

Esto mismo puede repetirse para todos los desarrollos, 
mejor dicho, en cualquier estado del cálculo, y por consi- 
guiente para las fórmulas finales, porque en último resul- 
tado es un cambio de notaciones: es la substitución de unas 
letras por otras. 

Aplicando, pues, dichas substituciones circulares á la fór- 
mula ( 1 ), obtendremos directamente la transformación de la 
segunda fórmula del grupo (1) sin necesidad de nuevos 



— 624 — 

cálculos, que son elementales, pero que son largos y enojo- 
sos. Así tendremos: 

d'^v d-v í\ 

í/^ dy- \2 

2 r ' } 

dr' \2 



1 v^^' f'ir) ,,., 



A S mm 

2 



(II) 



dx- \2 

H 1/77/77 -^ '- ^ OV'^áX-' I 

2 r -" / 

-t- 2 — 1 /n/77 •" ^ ^ ov-'óz- 4- 

í/yí/z 2 /■ 

r. d'U 1 „ , /'(r) ^ .,^ ., ^ 



úfyí/x 2 

Del mismo modo y con la misma rapidez podemos escri- 
bir el resultado de la transformación y simplificación de la 
tercera ecuación del grupo (1). 

En efecto, escribamos la segunda y la tercera ecuación, 
alteremos el orden de los términos en esta última, y ten- 
dremos 

d-v . , , , V 
dt- 

\f{f)^v + ^^-^{^xfju + oyov -{- lzhw)ny^ = O 

— m \- m Z 4-i^mm 

dV' 



(III) 



- 625 - 

Comparándolas se observa que puede obtenerse la últi- 
ma, aplicando á la anterior las tres substituciones circulares 
que establecimos al principio. 

De esta manera, la ecuación (II) se transforma en la si- 
guiente: 

- ^ -777 + '"^ + -7-7 U" -^'^ ■^(^)'^ + 
dP dz^ \2 

2 r J 

+ -r7\77-"^^fi^y'^ + 
dx^ \ 2 

4- — ymm'¿-^oz''óx^ 
2 r 

+ -7-r\-^ -'^^ f^^^'^y -^ 

dy^ \ 2 

-A 1/77/7? ^ ^ 02^ oy^ 

2 r -" 

dzdx 2 r 

2 _^!l- . 1 1,72/n' Zíls22g);2=0. 
í/zí/y 2 r •" 



Las tres ecuaciones (I) (II) (III) son las tres ecuaciones 
fundamentales del movimiento elástico, y suprimiendo las 
fuerzas de inercia, resultan las del equilibrio; para todo el 
sistema elástico, si es indefinido, y para todo el interior, 
prescindiendo de la superficie, si estuviera limitado. 

Para escribirlas en una forma más cómoda, representa- 
remos cada uno de los coeficientes de las derivadas por una 
letra, según la notación de M. Laurent; y además dividire- 
mos todos los términos por m, que es la masa del punto 



- 626 — 



cuyo equilibrio se ha establecido; y para simplificar notacio- 
nes, en vez de m' escribiremos m. 

En este supuesto representaremos los coeficientes de las 
derivadas en las tres ecuaciones (1) (II) (III) del siguiente 
modo: 

Iv^ /lííisx' = A', 
2 r 

— \m -' ^ ' oyioz- -= A , 



~-2mf{r)6y^ = B, 
Ls:mL^Zy^ = B', ' (IV) 

2 r 

2 



2 

— -jin 
2 r 



fjr) 
r 

fir) 



ox-o-/^= C". 



Con estas anotaciones, las tres ecuaciones fundamentales 
pueden escribirse en la siguiente forma: 



dt^ dx- dy- 

+ ÉlL (C 4- B") + 2 -^^ C"+ 2 -^^ B"= O, 
í/z-' í/xí/v dxdz 



627 



dt- dy- dz' 



dx- dydz dxdy 

dP dz- dx' ' 

+ ^!ü^ (B + 4 -) + 2 JÍÜL ñ- + 2 ^!^ 4- = 0; 
dy- dzdx dzdy 



que también se deducen unas de otras por la substitución 
circular de A, B, C. 



Hemos reducido, pues, las tres ecuaciones fundamentales 
del movimiento ó del equilibrio elástico á tres ecuaciones en 
derivadas parciales de u, v, iv con relación á x, y, z, / en ge- 
neral, ó á X, )/, z si se trata del equilibrio. 

No entran en estas ecuaciones más que derivadas segun- 
das y no todas, pues no entran más que cinco en cada 
ecuación. 

Los coeficientes en A, B, C serán en general funciones de 
X, y, z que están perfectamente definidas por las ecuacio- 
nes (IV); pero esto lo aplicaremos en otra conferencia más 
detenidamente. 

Claro es que las sumas, que las representan, podrán subs- 
tituirse aproximadamente por integrales, que dependerán de 
la estructura del sistema. 

Para que se comprenda el sentido y la significación de las 
ecuaciones (IV) que representan como hemos visto los co- 
eficientes de las tres ecuaciones fundamentales, fijémonos 
en uno de ellos, y lo que de él digamos, podríamos repetir 
de los demás. 



— 628 - 
Sea, pues, el coeficiente 

C = 1 -lmf{r)lz\ 

Este coeficiente expresa una suma, y todos los términos 
de esta suma son conocidos y en teoría podrían calcularse. 
Tomemos uno de sus elementos, 

mfiry.z^ 

que se referirá á un punto determinado dentro de la esfera 
de radio e: al punto cuya masa es m. 

Todos los factores de este elemento son conocidos en teo- 
ría, puesto que se refieren al estado inicial, que es uno de 
los datos del problema. 

En efecto, en el punto m la masa tiene un valor determi- 
nado m. 

La función /, que es la de Saint- Venant, dividida por r, 
para el problema teórico, debemos suponer que se conoce. 

Y, por último, la posición del punto determina r y oz. 

En resumen, puede calcularse numéricamente este ele- 
mento y todos los demás comprendidos en la esfera de acti- 
vidad, ó sea bajo el signo H. 

Pero todo esto, que en teoría es sencillísimo, si se inten- 
tara llevarlo al cálculo práctico, sería imposible por el nú- 
mero inmenso de puntos comprendidos en la esfera de 
radio e. 

Así, en este caso, como en todos los análogos, á la suma 
se substituye la integral; es decir, á la discontinuidad, la con- 
tinuidad; integral que en el caso presente, por tratarse de 
una esfera, será una integral triple. 

Tendremos, pues, 

^• = ^1 1 1 rnfiryoz-^ 



-ifff 



— 629 — 

En rigor, la masa m, si el cuerpo no es homogéneo, será 
distinta para cada punto de la esfera molecular; mas para 
simplificar, podemos suponer que la densidad es constante 
dentro de dicha esfera, y podremos substituir á la masa, su- 
poniendo que ocupa un volumen dV, y que la densidad me- 
dia en dicha esfera es Dm, el producto de esta densidad por 
el volumen: así: 

m^Dm.oV. 

Pero fíjense bien mis oyentes; suponemos la densidad 
constante en la esfera de radio £, pero no en todo el siste- 
ma elástico. 

Podremos sacarla fuera de la integral, puesto que para la 
integración es constante; pero en general, y á menos que el 
cuerpo no sea homogéneo, será distinta de una esfera á otra 
ó de uno á otro centro. En resumen, será una función de 
X, y, z. 

Por lo tanto: 

C -= ^Dmix, y, z)fffdV.f{r) ^z\ 

Tomando, por ejemplo, las coordenadas polares, para la 
determinación de cada punto, y llamando (fig. 12) r á la dis- 
tancia o a del punto al centro de la esfera; 

■h al ángulo que forma con o A, paralela á Ox, la proyec- 
ción de oa, sobre el plano que pasa por o, paralelo al xy; 

y O al ángulo que forma el mismo radio con el eje oh, pa- 
ralelo eje de las z, expresaremos el volumen infinitamente 
pequeño relativo al punto a por la fórmula conocida: 

dV = ab . aa' . al r. dh .ga . d¿ . dr, 

y siendo ga = r sen 0. 

dV= rd^i . r sen O . í/<} . í/r = r^ g^^ ()dhd<¡^dr. 

Rev. Acad. CiENOiAS. — V. — Abril, 1907. 43 



- 630 — 
El coeficiente C, toma, pues, la forma 




Figura 12. 

Se ve, por último, en la figura, que 



dz = os: = r eos 0; 



por consiguiente 
1 



C= 



-Dr„{x,y,z)j i i r'^f{r)seni)cos-i)dfí.d'l.di 



Queda, pues, el coeficiente C perfectamente definido y las 
integrales, por lo demás, son bien sencillas. 



- 631 — 

La integración respecto á r, comprenderá desde cero hasta 
el radio de la esfera e. 

Pero respecto á esta última integración, algo tenemos que 
advertir; y entiéndase que éstas, únicamente son reflexiones 
generales y observaciones que hacemos de paso, para que 
mis oyentes comprendan, que á veces en estas teorías de la 
Física matemática pueden presentarse dificultades, que na- 
cen de la substitución de lo discreto por lo continuo, de las 
sumas por las integrales. 

Facilitan estas substituciones el cálculo, hacen posible lo 
que de otro modo sería imposible; pero el cálculo tiene sus 
leyes propias, que no siempre se doblegan, ni siempre con- 
ciertan con las exigencias de las hipótesis propias de la Fí- 
sica matemática. 

Y pronto comprenderán mis oyentes el objeto de estas 

observaciones, 

* 
* * 

Integremos respecto á -]> y resultará: 

C = — Dm(x,y,z) I r'f{r)dr psenOcos^Bí/0 .2-; 
2 Jo Jo 

integremos asimismo respecto á 9 y tendremos: 

C = T.D,n{x,y,z) rr^f{r)dr . - (-cos^Of ; 
Jo 3 o 



ó bien 



2 f^'. 

C == - T.Dm{x,y,z) i r^fir)dr. 

3 Jo 



La última integral relativa á f no podrá efectuarse mien- 
tras no se conozca la forma de la función de Saint-Venant, 
de la cual depende /. ' 



— 632 — 

Pero dicha función para r = o, según vimos en las confe- 
rencias del curso anterior, es infinita, y también será infini- 
ta /, con lo cual el elemento de la integral con relación á r, 
para r^ o, podrá ser infinito y la integral ilusoria é inacep- 
tables los coeficientes, y en esta hipótesis toda la teoría 
caería por su base. 

Es necesario, por lo tanto, ó sería necesario, porque dado 
el carácter elemental de estas conferencias no podemos 
entrar en un estudio detallado de esta duda que aparece; 
sería necesario, repetimos, analizar todos los coeficientes 
A, B, C demostrando que no son infinitos. 

Séannos permitidas, sin embargo, algunas hipótesis. 

Si la función de Saint-Venant no contuviera más que r^ en 
el denominador, el elemento de la integral correspondiente 
al centro de la esfera, no sería infinito. Porque entonces la 
función /, que es igual á la función de Saint-Venant di- 
vidida por r, contendría r' en el denominador, y tendría- 

mos/(0 = ^^-y 
r^ 



2 n-^ f,{r) 2 /^£ 
C= - - DJ,x,y,z) r' — - dr^-- Dm{x,y,z) f, 

3 ./o /-' 3 . ./o 



(r)dr. 



siendo /i (r) una función que no es infinita para r=^o:\a. 

integral, pues, sería finita. 

Pero si en vez de la tercera potencia de r admitimos que 

las repulsiones eléctricas contienen la sexta potencia de r en 

f (r) 
el denominador, entonces tendríamos /(r) = y 

C=^Dnjix,y,z) r' dr=—r.Dm{x,y,z) d r. 

Jo r' 3 . Jo /■' 

que para r = o da un elemento infinito en la integral, corres- 
pondiendo dicho elemento al centro de la esfera £. 



* 

* * 



— 633 ~ 

Séanos aquí permitida una pequeña digresión, que en 
nada perjudicará á esta conferencia, porque el asunto prin- 
cipal, que era la determinación de las tres ecuaciones funda- 
mentales, está ya terminado. 

Estamos estudiando la naturaleza de los coeficientes 
A, B, C, y acabamos de ver que dichos coeficientes no son 
infinitos cuando la función de Saint-Venant contiene cierta 
potencia de r en el denominador; pero que pueden ofrecer 
dificultades los expresados coeficientes, por presentarse bajo 
forma infinita, para otras potencias de la expresada distan- 
cia. Y sobre esto vamos á insistir, anticipando algunas ideas 
que acaso desarrollemos más adelante. 

La función de Saint-Venant, según vimos en las conferen- 
cias del año anterior, ó la curva que la representa, es el re- 
sultado de restar las ordenadas de dos curvas: una que co- 
rresponde á las atracciones entre los dos puntos que se con- 
sideran, otra que corresponde á las repulsiones; repulsiones 
que puede suponerse que son debidas á las dos atmósferas 
eléctricas, que rodean respectivamente á los dos núcleos 
ponderables, según expusimos en una de las conferencias 
anteriores. 

Las atracciones, puede admitirse, y se admite general- 
mente, que varían en razón inversa de los cuadrados de las 

distancias, es decir, que contienen el factor — . 

r- 

Pero respecto á la potencia de r, que entra en el denomi- 
nador da las repulsiones eléctricas, hay opiniones diversas 

y diversas hipótesis que varían desde — hasta — . 

r- r'' 

La primera hipótesis es la que se admite en la teoría clá- 
sica de la ele:tricidad, ya para un fluido, ya para dos fluidos. 

La segunda, es decir, la que contiene la sexta potencia 
de r, es la que indica Mr. Briot en su Teoría de la doble re- 
fracción y de la dispersión de la luz. 

Y entre estos dos límites todavía hay alguna otra hipótesis. 



- 634 - 

De este género son ciertas vacilaciones y dificultades de 
la Física matemática, de donde resultan á veces, al profun- 
dizar las teorías, ya concordancias, ya sus contradicciones. 
Contradicciones que no siempre son estériles, porque obli- 
gan, como acabamos de decir, á ahondar más y más en los 
problemas, y acaso á abandonar ciertas hipótesis ó á modi- 
ficarlas. 

Digamos algo sobre estos dos límites extremos: — y — . 

La hipótesis para la repulsión del factor — es muy cómo- 

r- 

da en la teoría clásica de la electricidad, como veremos en 

la segunda parte de este curso; pero aplicada á la teoría que 

vamos estudiando pudiéramos decir que casi la anula. 

Ya lo hemos indicado en otra ocasión y ahora vamos á 
completar aquellas ideas. 

Si la repulsión eléctrica fuese de la forma 

N 
r- 

siendo N una constante en que entra el producto de las ma- 
sas eléctricas, pueda creerse, al menos como primera impre- 
sión, que la curva de Saint-Venant no existiría, con lo cual 
toda la teoría de la elasticidad, que vamos exponiendo, cae- 
ría por su base; á menos que no se buscasen, por otra hipó- 
tesis, otras fuerzas repulsivas. 

En efecto; si la ordenada de las fuerzas repulsivas es de 

la forma 

_N_ 
,, > 
r- 

y la de las fuerzas atractivas, 

M 



— 635 — 

la ordenada de la curva de Saint-Venant tendrá por expre- 
sión 

N _ M 
r z r- ' 
ó bien 

TV— M 



salvo el signo, que depende del sentido en que se cuenten 
las ordenadas positivas. 

Pero es claro que en esta hipótesis la figura 7, de la con- 
ferencia tercera del año anterior, no existe. Las curvas de 





Flgjra 13. 

las atracciones y repulsiones no se cortan; no hay ningún 
valor de r que reduzca la expresión anterior á o, como no 
sea r= 00. De modo que ni existe elasticidad entre dos mo- 
léculas, ni en un sistema de moléculas unidas dos á dos, por 
la curva de Saint-Venant. 

Hemos dicho que ésta es la primera impresión; pero hay 
la esperanza de que algo puede modificarse acudiendo á dos 
hipótesis nuevas. 

Y como todo esto nos va á servir más adelante, permitan 
mis oyentes que insista sobre el mismo punto. 

Sean A, A' (fig. 13) dos moléculas iguales, compuestas 
cada una de una masa ponderable m de forma esférica, y al- 
rededor una masa eléctrica, ^, extendida en una capa , esféri- 
ca también. 

Mientras estas formas subsistan será aplicable al sistema 
todo lo que acabamos de explicar, de suerte que no podría- 



- 636 - 

mos utilizar la curva de Saint-Venant para darnos cuenta de 
los fenómenos elásticos. 

Pero penetrando algo más en el fenómeno físico, ó mejor 
.dicho, en la hipótesis establecida, observaremos que estando 
en presencia ambas masas m,m y sus atmósferas ¡j., jj., es 
imposible que éstas conserven la forma esférica. Se rechaza- 
rán en la parte interna del sistema y se acumularán en la par- 
te exterior en 5 y B'. 

Hemos representado, pues, en la figura los núcleos ponde- 
rables A, A' y hemos representado las atmósferas en las par- 
tes rayadas B,B'. 

En rigor, este problema es el de las dos esferas de Poisson, 
que se estudia en muchos tratados de Electroestática. 

No pretendemos aquí hacer un estudio minucioso de dicho 
problema, sino únicamente de presentar un avance por un 
cálculo sencillo y de aproximación grosera, pero que nos dé 
cierta orientación. 

Designemos por a y a' los centros de las dos esferas pon- 
derables, y supongamos que b y b' son los dos centros de 
gravedad, ó, por mejor decir, los dos centros de fuerza de las 
atmósferas deformadas B, B'. 

Por último, hagamos 

aa'=r; ab = a'b'=o. 

La acción recíproca de ambos sistemas se compondrá de 
cuatro partes, con arreglo á una de las hipótesis de la Teoría 
de la electricidad. A saber: 

1.° De la atracción entre, las dos masas ponderables 



m- 
a 

r' 



siendo a. una constante que dependerá del sistema de unida- 
des que se elija. 



— 637 - ' 

2.° De las atracciones entre las masas ponderables y las 
atmósferas etéreas; es decir, de A sobre B' y áe A' sobre B, 
cuya suma, representando por ¡i una constante, será. 



{aa'-\-a'b'y (/"+?)' 

Y 3.° De la repulsión entre las dos masas eléctricas. 

fi.-' 

r 



siendo v otra constante. 

La fuerza resultante de ambos sistemas, tomando como 
positivas las fuerzas de atracción, y como negativas las de 
repulsión, estará evidentemente representada por 






r^ {r^py ' ir + 2r.y' 

dicha expresión tendrá por valor la ordenada de la curva de 
Saint-Venant para este caso, si es que existe dicha curva. 

Para ello es preciso que cumpla con tres condiciones: 

1.'' Para valores muy grandes de r debe ser positiva; y 
para r = oo debe reducirse á cero. 

2^ Debe reducirse también á cero para un valor finito, 
pero muy pequeño, porque ha de ser del orden de las dis- 
tancias moleculares, y lo designaremos por rg. 

3." Para r^ < /"o debe la expresión tomar el signo nega- 
tivo; y para r = O debe llegar á — oo. 

De estas tres condiciones, la expresión precedente sólo 
puede cumplir con la primera. 

En efecto, la expresión de que se trata, puede ponerse 
bajo esta forma : 



r'\ í, , pV Í, , 2? 



(■HY ('^^y 



- 638 - 

y á medida que r crece, y cuando sea muy grande, ya que ^ 
es una cantidad finita y del orden de las dimensiones de la 
molécula, aunque variable evidentemente con r, se reducirá á 

cantidad positiva si se tiene a/772 4- 2|^^H^ — Ti''"^,^ 0; é 
igual á cero para r ^^ ce. 

Pero no cumple con las otras dos condiciones, porque la 
expresión general se deduce del primer miembro, de la des- 
igualdad anterior, dividiendo el término negativo — ya por 
(r-[-2pJ2 y los otros dos 2p/77;j. y a 777 ^ respectivamente por 
(r-f-p)'"^ y r^ que son menores que (r-|-2p)2. 

Luego con más razón será positiva la expresión general 



a/n2 , 2|3/77¡JL Yfx 



r' (r+p)-' (y + 2r)2 

En efecto, hemos disminuido más el término negativo que 
cada uno de los dos términos positivos. 

Todo esto suponiendo que p se cuenta como cantidad po- 
sitiva, como parece natural, puesto que el centro de grave- 
dad de las masas B, B' ha de caminar hacia afuera á medi- 
da que dichas masas se alejan una de otra. 

En suma, y sin hacer un análisis más minucioso, porque 
esto nos alejaría del objeto principal de la conferencia, ve- 
mos que la primera hipótesis, á saber, que las fuerzas repul- 
sivas varían siempre en razón inversa del cuadrado de la 
distancia, parece incompatible con la acción de las fuerzas 
elásticas, es decir, con las propiedades fundamentales de la 
curva de Saint-Venant. 

Resulta, por lo tanto, una contradicción, que por el pron- 
to no hemos de empeñarnos en vencer, entre la teoría clási- 
ca de la elasticidad estática y la teoría de la elasticidad y de 
las fuerzas elásticas. 



— 639 — 



En la teoría de la eiectrícidad estática, según la explican 
todos los autores, y según resulta de las experiencias de 
Coulomb, la acción entre dos masas eléctricas u, u.', ya sea 
atractiva ó repulsiva, es de la forma 



¡J.|A 



de modo que en el denominador entra la distancia por su 
cuadrado. 

Mas esta ley experimental está en contradicción con las 
propiedades de la curva de Saint-Venant y es impotente para 
explicar las fuerzas repulsivas que en la elasticidad han de 
desarrollarse: al menos así resulta de un primer estudio del 
problema. 

Y no se diga que son casos distintos: que estas masas son 
masas eléctricas y que en la primera parte de esta discusión 
realmente no hemos hablado de la electricidad, sino del éter,, 
que va unido á la materia ponderable de los átomos; porque 
en la hipótesis ya clásica de la unidad eléctrica, ó sea de un 
solo fluido, el éter con la electricidad se confunde, según se 
explica claramente, por no citar más que una obra, en el 
preámbulo de la teoría del calor de Briot. 

Y á la verdad que en este preámbulo se suponen expo- 
nentes distintos para r en las fuerzas atractivas y repulsivas, 
llegando á una fórmula que, en rigor, y prescindiendo de un 
término que á nuestro entender falta, coincide con la función 
que hemos llamado de Saint-Venant. 

Sin embargo, el mismo autor, en el cuerpo de la obra, ad- 

mite constantemente expresiones de la forma 



r 



Sobre este asunto hemos de volver más adelante; por 
ahora, y aunque admiramos la inmensa labor de la Física 
matemática en el siglo último, no podíamos menos de ex- 
presar nuestras dudas, ni de llamar la atención de nuestros 



640 — 



oyentes sobre las contradicciones que encontramos entre 
unas y otras teorías. 



* 



Pasemos al segundo caso, aquel en que la fuerza repulsi- 
va de dos átomos ó moléculas lleva en el denominador la 
sexta potencia de la distancia. 

Al estudiar los coeficientes A, B, C de las tres ecuaciones 
fundamentales, tomando como ejemplo el coeficiente C, cuyo 
valor es 

C=^r:Dm{x,y,z)C'r^f{r)dr; 
^ Jo 

siendo /(/') la función de Saint-Venant dividida por /', vimos 
que para el valor r = o el elemento de la integral parecía 
presentarse bajo la forma infinita, con lo cual todo el cálculo 
de los coeficientes y aun toda la teoría pudiera ser ilusoria. 
Para estudiar más á fondo este punto, y para fijar más las 
ideas, supongamos que la función de Saint-Venant, ó sea la 
ordenada de la curva que representa las atracciones y repul- 
siones entre dos moléculas es de la forma 



Y- ^ 
r- 


N 


r« 


n este caso la f{r) será 




r' 


r 



y el valor de C, representando por H su coeficiente para 
abreviar la escritura, 



— 641 - 
Ó bien 

y por fin 

\2 2 f' U 

que para el límite inferior se reduce al parecer á infinito. 

Esto procede, sin duda, de haber substituido, para el cál- 
culo de la suma, á la discontinuidad entre los puntos m.a- 
teriales, la continuidad; con lo cual hemos supuesto que 
existe una masa infinitamente próxima al punto que se con- 
sidera, es decir, al centro de la esfera. Pero esto no es legi- 
timo porque es variar por completo las condiciones del pro- 
blema mecánico. 

Podemos dividir el volumen de la esfera en volúmenes 
infinitamente pequeños, que comprendan en su interior cada 
uno de los puntos materiales, cuya acción sobre la masa m 
del centro de la esfera de actividad queremos calcular. 

Podemos aún distribuir uniformemente en cada uno de 
estos pequeños volúmenes dicha masa m. 

Pero no podemos hacer lo mismo en la esfera infinitamen- 
te pequeña, ó mejor aún, en el volumen que rodea á m, por- 
que introducimos un elemento infinito en la integral. 

Para alguna otra potencia que sea inferior á r'', por ejem- 
plo, para r'\ no hay inconveniente en extender este fluido 
hipotético hasta el centro de la esfera e, ya que con esto no 
se introduce ningún elemento infinito en la integral. Pero 
no podemos hacer lo mismo en el caso presente por la 
razón indicada. 

Vamos, pues, á variar el límite inferior, y no extendamos 
el fluido hipotético y continuo más que hasta las últimas 
moléculas próximas á m (fig. 14). 

Más claro; sea a el punto que estamos considerando, en 



— 642 — 

el cual existe la masa m, y sea t la esfera de actividad mo- 
lecular. 

Rodearán al punto a una última capa de moléculas 
m', m", m" y sea ni la más próxima. 

Pues desde a, con un radio ab = X, tracemos una esfera 
que pase por m, y no efectuemos la integración sino entre 
>. y £, de modo que tendremos 




Figura 14. 



En este caso el último elemento de 
la integral, que será el de la última 
capa de la faja rayada en que hemos 
supuesto distribuido el fluido, ya no 
se presentará bajo la forma infinita. 
Porque, en efecto, la distancia X 
será muy pequeña; pero no es cero. 
Y hay más: los puntos m, m", m'"...:. 
más próximos á a serán tales, que la 
distancia >. podemos suponer que difiere muy poco de la 
distancia de equilibrio entre dos moléculas ó dos ma- 
sas m y m . 

Aceptemos para este caso como hipótesis general, que 
los puntos se separan cantidades muy pequeñas con rela- 
ción á las distancias de equilibrio, que tendrían si estuvie- 
ran aislados. 

Ahora bien, para calcular esta distancia de equilibrio 
basta igualar á cero Y y tendremos 






de donde 



Mr' — N = Q\ 



— 643 - 



y despejando r y llamando r^ á su valor, que será la distan- 
cia de equilibrio buscada, resultará 



•V- 



M' 



que verificará á la ecuación anterior, puesto que es su 

raíz. Así 

M/'o' — N=0. 

Según hemos dicho, X y todas las distancias de las molé- 
culas que se' encuentren sobre la esfera de radio X, ó próxi- 
mas á ella, que son precisamente las que constituyen el 
límite inferior de la integral, diferirán muy poco de i\. 

Es decir, que podemos escribir ). = r,, + í5 /-q. 

Así, el último elemento de la integral será, ponien- 
do a = k, 

x* I I í/A. = /J úfi= al, 



y substituyendo por ). su valor, 

M{r, + ^r,y - N _ Mjr,^ -^ 4ro^ dro) - A^ ^.^ 

Pero como M r^ ' — N= O, quedará reducida la expresión 
precedente á 



r 3 
'o 



que ha perdido ya la forma infinita. 

No insistiremos más sobre este punto, que más bien como 
ejemplo, que como solución de esta clase de problemas, 
hemos presentado. 



— 644 — 



Lo mismo hubiéramos podido iiacer, después de la in- 
tegración, substituyendo en vez de N su valor en función 
de To. 

Avertiremos que hubiéramos podido repetir el anterior 
cálculo para cualquier otro exponente mayor ó menor que 6 
y distinto de 2. 



* 
* * 



Dijimos en la primera conferencia de este curso, que en 
vez de exponer las teorías generales de la Física matemática 
clásica, deduciendo rápidamente las ecuaciones en que están 
condensadas, para hacer después la crítica de todas ellas, 
habíamos preferido, que la exposición de dichas teorías y su 
crítica fuesen á la par; y esto es lo que vamos haciendo, 
por eso caminamos con cierta lentitud, y por igual razón en 
nuestras conferencias abundan las digresiones. 

Pero nuestras críticas son de tres clases: 

1.° Unas son fundamentales, marcan deficiencias eviden- 
tes de la ciencia clásica, y éstas sólo podrán desaparecer 
cuando se modifiquen ó se amplíen las hipótesis para aco- 
modarlas á los nuevos descubrimientos: por ejemplo, cuando 
se sepan calcular, como decíamos en la primera conferencia, 
las acciones y las influencias entre todos los elementos ma- 
teriales, que la Física experimental va descubriendo. Es decir, 
cuando se sepan calcular las fuerzas ó las energías que se 
desarrollan entre cada dos elementos da esta serie: masas 
ponderadles, masas eléctricas, corrientes de conducción ó co- 
rrientes de desplazamiento , elementos de corriente, masas 
magnéticas aisladas, polos magnéticos, toda clase de radia- 
ciones y elementos de éter, ó átomos de electricidad , como 
ahora se les llama. 

Resolver todos estos problemas que hoy se plantean con 
cierta confusión ha de ser la obra de la nueva Física mate- 
mática. 



- 645 - 

Si representamos por A un elemento cualquiera de la lista 
anterior, y por B otro elemento cualquiera de la misma lista, 
de igual 6 distinta clase de aquella á que A pertenece, la 
Física matemática caminará desahogadamente hacia su uni- 
dad cuando conozca la función ^ {A,B) que exprese la ac- 
ción mecánica entre estos dos elementos. 

Y esto lo mismo si los elementos están inmóviles que si 
están en movimiento; y cuenta que lo último ha de constituir 
uno de los problemas más transcendentales de la Física ma- 
temática del porvenir. Labor que supone la transformación 
completa de muchas teorías. 

2." Mas hay otras críticas, y ya las vamos señalando, 
también muy importantes, porque marcan deficiencias, ó en 
las hipótesis ó en los cálculos, pero que aunque señalan 
conflictos ó contradicciones, acaso podrán resolverse sin 
la transformación total de la rama de que se trate. 

Una contradicción hemos señalado, que en verdad no es 
fácil decidir si está comprendida en la crítica de la primera 
ó de la segunda clase y si será transcendente ó circuns- 
tancial. 

Nos referimos á la determinación del exponente de r en el 
denominador de las fuerzas repulsivas. Porque en la Teoría 
de la electricidad estática se supone que es 2, lo cual es in- 
compatible con la Teoría de la elasticidad, y es incompatible 
con otra hipótesis de Mr. Briot en la Teoría de la luz; pues 
dicho matemático supone que las repulsiones de dos masas 
de éter contienen en el denominador r'\ 

Más aún, si no recordamos mal, el ilustre lord Kelvin, en 
uno de sus estudios, da á dicho exponente el valor 4. 

Tales diferencias en el exponente de r, para diferentes 
teorías, despiertan dudas sobre algunas ó sobre todas ellas. 

Es imposible admitir, que las leyes de repulsión sean 
hasta tal punto distintas. Y para armonizar resultados tan 
opuestos, sería necesario suponer, que dichas repulsiones 
están expresadas por una fórmula aún más compleja de lo 

Rev. Acad. Cikncias.— V. — Abril, 1907. 4+ 



- 646 - 

que hemos supuesto. Por ejemplo, por una serie de térmi- 
nos con exponentes negativos de /', cuyos coeficientes fue- 
sen también funciones de r de variación lenta á intervalos, y 
de los cuales algunos pudieran despreciarse entre ciertos 
valores de esta cantidad, al paso que fueran preponderantes 
en otros intervalos. 

Hipótesis por todo extremo compleja y que no hacemos 
más que señalar de paso. 

3." Por último, en las observaciones criticas que vamos 
haciendo hay otras menos importantes para la ciencia que 
las de los dos grupos anteriores; pero que pueden tener su 
importancia para la enseñanza, en cuanto ayudan á vencer 
dificultades y á esclarecer puntos dudosos para los princi- 
piantes. 

Y terminadas por fin todas estas digresiones, hemos de 
volver en la conferencia próxima á las ecuaciones generales 
de la Elasticidad, continuando la serie de simplificaciones 
que en ellas pueden hacerse. 



XXXIl. -Estiidií» experimental de algunas propiedades 

del Grisú. 

POR Enrique Hauser 

Como consecuencia de los estudios que he necesitado ha- 
cer para dar unas conferencias sobre El grisú en las minas 
de carbón , expongo á continuación varios de los resulta- 
dos obtenidos que presentan alguna novedad. 

Representación gráfica del retraso ú la inflamación del 
grisú. — Si trazamos una curva (fig. I) en la cual las ordena- 
das representan temperaturas y duración en segundos las 



- 647 — 

abscisas, el valor de ésta nos indicará el tiempo que tarda 
en quemarse ó en inflamarse el gas en cuestión á una deter- 
minada temperatura. En dicha figura están representadas las 
curvas de inflamación para el hidrógeno, óxido de carbono 
y grisú (metano), por lo cual vemos que cortan al eje de 
ordenadas á la temperatura de inflamación, sin retraso, y se 




hacen asintóticas del eje de abscisas á la distancia corres- 
pondiente á la temperatura en que empieza la combustión 
lenta. La parte rayada dentro de la curva del grisú, corres- 
ponde á combustiones que terminan por inflamación y que 
empiezan con una duración de 10" á la temperatura 
de 650° C 

Causa principal del retraso á la inflamación del grisú.— 
La razón científica de ese retraso creo que hay que buscarla, 
al menos parcialmente, en el hecho de ser el metano un gas 
exotérmico que exige para su disociación 22,1 calorías por 



— 648 — 

peso molecular, y que no llega á quemarse sino una vez di- 
sociado. Como estas calorías ha de tomarlas dicho gas de la 
combustión de parte del mismo, previamente disociado, diré, 
para fijar ideas, que la disociación de 100 litros de metano 
exige el calor equivalente á la combustión de 32 litros de 
hidrógeno. Si esta consideración fuera exacta, una mezcla 
de metano é hidrógeno conteniendo 25 por 100 de este gas, 
debería inflamarse, sin retraso. En los ensayos que he hecho 
aplicando el calor en un solo punto, la cantidad de hidró- 
geno necesaria ha resultado, por lo menos, de 32,3 por 100, 
es decir, 7,3 por 100 mayor. 

Verificación experimental del retraso á la inflamación del 
grisú. — Este fenómeno del retraso pudiera hacer creer en 
una temperatura más elevada de inflamación del grisú que 
la verdadera, al no encenderse una mezcla de aire y metano 
al contacto de una barra de hierro calentada al rojo vivo, 
pues dicha mezcla gaseosa al ir á ponerse en equilibrio de 
temperatura con la barra, disminuyendo de densidad por su 
calentamiento, se eleva y va á difundirse inmediatamente en 
la masa gaseosa que la rodea y la enfría el corto tiempo du- 
rante el cual ha sido calentada, no siendo suficiente para 
provocar su inflamación. 

Haciendo estas consideraciones, los Sres. Mallard y Le 
Chatelier idearon un experimento fundado en la considera- 
ción siguiente: Que si esa explicación es exacta, todo artifi- 
cio, oponiéndose á la circulación del gas, debe hacer la in- 
flamación posible, y á este efecto, poniendo al rojo un pe- 
queño crisol de hierro, la abertura hacia abajo, sobre un 
tubo de desprendimiento de una mezcla de metano y aire, al 
acumularse los gases calientes en el interior del crisol, se in- 
flaman éstos; mientras que no sucede así si el crisol se pone 
boca arriba, y la mezcla gaseosa le toca por el exterior. Yo 
he simpliflcado la repetición de este experimento en cátedra, 
empleando, en vez de crisol de hierro, un tubo de porcelana 
cerrado por un extremo, calentado exteriormente por medio 



— 649 - 

de la corriente eléctrica que circula por un alambre resisten- 
te que le rodea. Con esta disposición, por tomar el tubo el 
calor por su exterior, no hay razón para temer que su tem- 
peratura en la cara externa, á causa de la radiación, sea me- 
nor que la del interior del tubo. 

Naturaleza del grisú empleado. -Peltel el examen cualita- 
tivo del fenómeno del retraso á la inflamación del grisú, 
puede emplearse metano que contenga algunas centésimas 
de hidrógeno ú otro gas sin retraso; pero para la verificación 
de los fenómenos que á continuación se describen, es indis- 
pensable emplear, ya sea grisú natural, ó bien metano puro 
que lleve algunos días de preparado (para evitar que halle 
al estado naciente). El metano puro que he empleado en mis 
experimentos lo he obtenido por la acción del agua sobre el 
carburo de aluminio puro, y sus propiedades concuerdan 
con las del grisú natural. 

Precauciones para la buena ejecución de análisis eudiomé- 
tricos del grisú. -Para preparar con exactitud una mezcla 
grisuosa de ley determinada, es menester conocer previa- 
mente la del grisú de que disponemos, para lo cual es nece- 
sario hacer un análisis del mismo. Este análisis puede veri- 
ficarse con gran exactitud por su combustión en el tubo para 
análisis orgánica; pero es mucho más breve, y casi tan 
exacto, el método eudiométrico si se observan en él las pre- 
cauciones que indicaré ahora. 

Desde luego, en nuestro caso, el grisú que examinamos 
sólo ha de contener metano, oxígeno y nitrógeno, y acciden- 
talmente un poco de hidrógeno si el carburo de aluminio no 
fuera del todo puro (los residuos de etileno y acetileno han 
de quedar disueltos en el agua del lavado). 

Para preparar la mezcla explosiva que conduce al análi- 
sis, han de tenerse presentes las observaciones de Bunsen 
hechas con el gas detonante {Ho + O) respecto á las cantida- 
des límites que han de existir para que la combustión resulte 
completa, pero no excesiva por quemarse parte del nitróge- 



— 650 - 

no del aire. Ahora bien; Bunsen dedujo de sus experimentos 
que el volumen de mezcla H. -f- O = 3 vol. debía oscilar en- 
tre 26 y 64 para 100 de aire si La explosión había de llenar 
las condiciones indicadas. 

Como la mezcla explosiva C//, + 2 O., = 6 vol. desarro- 
lla 3,1 veces más calor en doble volumen, ó 1,55 para igual 
volumen, que la mezcla H. + O, sus límites, atendiendo tan 

1 

sólo á la igualdad de poder calorífico, serían ^ 26 = 1 6,8 

1,55 

X 64 = 41,3 de mezcla explosiva para 100 de aire; 



1,55 

pero como dicha mezcla contiene un tercio de su volumen 
de metano y dos tercios de oxígeno, la relación buscada se- 
ría de 5,6 de metano para un volumen de 100 de aire, más 
11, 2 de oxígeno en el primer caso y 13,8 de metano con 100 

56 

de aire más 27,5 de oxígeno, es decir, '— = 4,8 por 100 

^ 116,8 

de C//, para 95,2 por 100 de aire enriquecido al 29 por 100 

1 ^ 8 
de oxígeno como límite inferior, y - = 10,25 de C//, 
^ 141,3 

para 89,75 de un aire enriquecido al 26,3 por 100 de oxígeno 
como límite superior. En la práctica, estos límites resultan 
aún más próximos, pues debido sin duda al retraso á la infla- 
mación del metano, la mezcla al 4,8 por 100 no es inflamable 
en masa por la chispa, y para el límite 10,25 por 100, como 
la presión teórica de la explosión á volumen constante de la 
mezcla C//, + 2 0. es 1,65 veces la de H., + O, resulta 
quemado un poco de nitrógeno antes de llegar á este límite. 
Ahora bien; como para hacer un análisis exacto hay interés 
en emplear la mayor cantidad de grisú, debemos acercarnos 
en lo posible al límite superior, y como mezclado con aire la 
ley de grisú no ha de exceder de 9,4 por 100 para que la 
combustión sea completa, algunos añaden oxígeno al aire, 
con lo cual, activándose la combustión, hay la casi seguri- 
dad de quemar parte del nitrógeno. 



- 651 - 

Veamos ahora los errores á que puede conducirnos la 
combustión de dicho gas. Desde luego puede decirse que 
siendo de 2.150° C. la teinperatura de combustión á volumen 
constante de una mezcla de aire y metano en las proporcio- 
nes necesarias para su combustión completa, y empezando 
ya á oxidarse apreciablemente el nitrógeno á los 1.538", se- 
gún Nernst, éste es un factor que hay que tener en cuenta. 
Ahora bien, si en vez de operar con mezcla de metano y 
aire solamente, la enriquecemos con oxígeno, como hace 
Th. Schloesing (Annales des Mines, 1897), empleando aire 
con 32,8 por 100 de oxígeno, y grisú (de próximamente 90 
por 100 de C/Zj) en la cantidad de 1 1,6 por 100 del volumen 
total, ó sea 10,44 por 100 de CH^ puro, el volumen de la 
mezcla combustible sería 10,44 x 3 = 31,32 por 100, en vez 
de 9,4 X 3 = 28,2 por 100, y la temperatura alcanzada sería 

10 44 
entonces próximamente de — - — x 2.150 = 2.390" C. 

9,40 

En estas condiciones encuentra dicho químico, operando 
con metano puro del mercurio-dimetilo, un exceso sobre los 
valores teóricos de la contracción y volumen del ácido car- 
bónico correspondientes que llegan á 0,55 por 100 de la con- 
tracción y 0,4 por 100 del CO.,, y que pudieran hacernos 
creer en la existencia de hidrógeno libre. 

Para comprender bien la causa de estos errores variables 
según el modo de operar, necesito explicar antes el modo 
que tienen de evolucionar ó transformarse los productos de 
la combustión del nitrógeno hasta la conclusión del análisis. 
En efecto; la combustión del nitrógeno por formación de óxi- 
do nítrico se verifica sin contracción según la ecuación: 

2 vol ■ 

Ahora bien; como la combustión se hace siempre con un 
exceso de oxígeno, este óxido se transforma inmediatamente 



- 652 — 

en peróxido, produciendo una contracción igual á la mitad 
de su volumen, con arreglo á la siguiente ecuación: 

2 vol 1 vol 

Por otra parte, el peróxido de nitrógeno sabemos que tie- 
ne la propiedad de ser absorbido completamente por el agua 
fría con formación de ácidos nitroso y nítrico conforme á la 

ecuación 

2N0, 4 H, O = NO,H + NO.H. 

Si el agua no es fría, por la reacción se regenera nueva- 
mente óxido nítrico conforme á la ecuación siguiente: 

3N0. -^ H.0 = 2N0^H-\- NO; 

pero si la temperatura del agua en vapor excede de 312°, á la 
que se descompone el ácido nítrico en 2N0,-^ O -\- H-, O, 
según Carius, la reacción no puede tener lugar. 

De manera que como después de una explosión, y calien- 
te aún el gas, ya se ha condensado la mayor parte del agua 
engendrada por la explosión en las paredes del tubo ó bola 
del eudiómetro, resulta que la reacción NOj, y H,0 tarda- 
rá cierto tiempo en verificarse, y según la rapidez de la ma- 
nipulación ó el modo de operar, las contracciones observa- 
das serán distintas. Si operando la explosión en un eudió- 
metro tubular con envolvente de agua, sólo damos tiempo á 
la lectura, haciendo pasar en seguida el gas al tubo con po- 
tasa para absorber el ácido carbónico," entonces en este tubo 
tendrá lugar también la absorción del N0.> formado. Ahora 
bien, como el volumen ocupado por este gas es doble de la 
contracción que originó el oxígeno absorbido por el NO al 
pasar á NO,, en el caso de tratarse de un análisis de meta- 
no puro, obtendríamos para la contracción, por vapor de 
agua formado, un valor menor que el doble del encontrado 
para el ácido carbónico; y creeríamos en la existencia del 



— 653 - 

homólogo superior del metano, ó sea del etano (C, //,;). Si, 
por el contrario, dejamos pasar algún tiempo antes de tras- 
vasar el gas al tubo de potasa, ó si empleando una pipeta 
Hempel dé bola para producir la explosión, la agitamos des- 
pués que ésta haya tenido lugar, con objeto de facilitar por 
el contacto con el mercurio el enfriamiento de las paredes de 
la bola, entonces el NO., queda descompuesto y absorbido 
en su totalidad por el agua condensada, y la contracción ob- 
servada es entonces triple del volumen de oxígeno absorbi- 
do, resultando que el volumen atribuido á la contracción por 
condensación del vapor de agua resulta ahora mayor que el 
doble del encontrado para el ácido carbónico, en el caso de 
grisú puro, y podemos creer en la existencia de un homólo- 
go inferior al metano, es decir, del hidrógeno (//o). 

Debido principalmente á estos efectos, Th. Schloesing 
(hijo), encontró en sus análisis de grisú números siempre 
mayores que los teóricos; pero unas veces obtuvo números 
en los que el exceso de la contracción es menor que el 
doble del del ácido carbónico encontrado, y otras veces, ma- 
yor^ como puede verse en la siguiente lista, deducida de al- 
gunos de los resultados de sus análisis (1). 

Exceso de la contracción en 200, y del C0.> en 100. 

0,9 0,2 

1,8 0,5 (2) 



0,4 


0,8 


0,7 


0,7 


0,9 


0,8 


1,0 


1,3 


1,4 


1,9(3) 


La interpretación 


detallada de estos resultados exige tener 



(1) Annales des Mines, 1897, pág. 14. 

(2) Estos dos ejemplos conducen á la existencia de hidrógeno. 

(3) Estos cinco ejemplos conducen á la existencia del etano. 



— 654 - 

en cuenta otra importante causa de error que puede ocurrir 
en estos análisis por explosión, y que creo ser el primero 
en señalar, cual es la combustión posible del mercurio del 
eudiómetro. En efecto; si no nos extraña la combustión par- 
cial del nitrógeno del aire en el eudiómetro que necesita una 
temperatura superior á 1.500"C., el enunciado sólo de que el 
mercurio es oxidable rápidamente á 350", y lentamente á una 
temperatura inferior, bastaría para convencernos. Este hecho 
no se observa tan fácilmente ni es tan importante en los eu- 
diómetros de tubo, como en la bola de una pipeta de explo- 
sión Hempel, en la cual el mercurio presenta, generalmente, 
mayor superficie libre que en el eudiómetro. En estas circuns- 
tancias es fácil observar, después de una explosión, si la 
superficie del mercurio estaba bien limpia, que ésta se cubre 
de una tela gris de óxido mercurioso, la cual, por la pérdida 
de oxígeno que ocasiona, puede producir mayor contracción 
que la debida y hacernos creer en la existencia del hidró- 
geno en el grisú puro. Esta causa de error es tan fácil de 
comprobar como de evitar, haciendo salir de la pipeta-eudió- 
metro Hempel el mercurio que queda en la bola después de 
haber introducido la mezcla explosiva, creando así en ésta 
una depresión máxima de un quinto de atmósfera (130 ce. 
en 155 ce), que evita á su vez casi por completo la combus- 
tión del nitrógeno. 

Para dar idea de los errores enormes á que puede llegarse, 
diré que con grisú puro al 94 por 100 (el resto es oxígeno y 
nitrógeno) sin rebajar la presión y haciendo la combustión 
con aire oxigenado, puede llegarse á pensar en la existencia 
del hidrógeno en cantidad tal que la suma de 110,2 pDr 100 
no permite admitir. 

Con aire sin oxigenar, 89,70 ce. para 8,7 ce. de grisú, el 
contenido de metano resulta 91 por 100 con 7 por 100 de 
hidrógeno; pero si hacemos salir el mercurio de la bureta de 
la manera antes indicada, los resultados obtenidos, con otra 
muestra del mismo gas, son como sigue: 



— 655 - 



ce. 



Aire 118,05 

Gas 11,60 

Total 129,65 



ce. 



Después de la explosión 107,35 107,35 

Contracción 22,30 

Después de la absorción por potasa 96,25 

Acido carbónico 11,10 

(Volumen del agua condensada en el eudiómetro. 

^ Contracción ^ j2,30 _ ,^^ 

1300 1300 ^ 

En la diferencia (0,05) entre el volumen del CO^ y la mi- 
tad del de la contracción se suman: el nitrógeno quemado, 
el CO., disuelto en el agua condensada, = 0,02, y los erro- 
res de lectura. En este caso, el CH ^ oscila entre 

= 95,86 y — - = 96,03, 

11,60 ^ 11,60 

2 

con menos de de error. 

1000 

Después de dicho esto, se comprende que, admitida la 
posibilidad de una pérdida de oxígeno no prevista y el deter- 
minar después de una explosión el sobrante de este gas por 
combustión con el hidrógeno, puede conducirnos á la creen- 
cia de mayor cantidad de oxígeno consumido en la combus- 
tión del gas y por ende mayor contenido de gas combustible, 
por lo cual los errores obtenidos resultan menores de lo que 
son en realidad. Si en vez de proceder por este medio, bus- 
cando el volumen de gas combustible, partimos del metano 
puro, cuya ley puede conocerse en menos de 1 por 1.000 por 
su límite inferior de inflamabilidad determinado con la bureta 
Le Chatelier, inclinada de 45", y producimos la explosión en 



- 656 

la pipeta Hempel sin preocuparnos de alejar el mercurio, es 
fácil ver después (absorbiendo ó quemando el oxígeno) que 
la cantidad de nitrógeno (suma del del grisú y el del aire) es 
casi la misma que en un principio, mientras que el oxígeno 
estará en déficit. Por estas consideraciones se comprende la 
poca confianza que han de prestar análisis eudiométricos, en 
cuya ejecución no se hayan tenido presentes las circunstan- 
cias expuestas. Resumiendo lo dicho, y aparte de las pre- 
cauciones ya sobradamente conocidas que deben observarse 
en estos análisis, debode indicar lo que sigue en el supuesto 
que se trabaja con los aparatos Hempel. 

1.° Para mayor exactitud en la medida del grisú, es ne- 
cesario introducir primero el aire y luego el grisú en la bu- 
reta medidora, determinando por diferencia la cantidad de 
éste último gas. 

2.° Una vez trasvasado el aire á la pipeta de explosión, 
el mercurio debe llenar el tubo capilar, debe agitarse bien 
el gas por medio de un movimiento de rotación del mer- 
curio para tener una mezcla homogénea. De no observarse 
esta precaución, pueden tenerse explosiones incompletas de 
una parte de la mezcla poco oxigenada y nula en el resto 
por haber en esta otra parte gran exceso de aire. El resulta- 
do es entonces una contracción mayor que el doble de volu- 
men de ácido carbónico (pues parte del carbono pasa á óxido 
inabsorbible por la potasa), lo cual puede conducirnos á pen- 
sar en la existencia del hidrógeno. 

3." Antes de verificar la explosión hay que hacer bajar el 
recipiente de mercurio para dar salida á este líquido que debe 
quedar al nivel de la superficie interna de la bola de explosión. 

4." La depresión que se produce por la extracción de 
mercurio no debe ser excesiva, sino próximamente como 
máximo de un quinto del volumen de la mezcla, para no 
exponernos á tener una explosión incompleta como en una 
mezcla con oxígeno insuficiente. 

5.'' Para conocer la cantidad de aire necesaria á la expío- 



— 657 — 

sión, debe calcularse por un primer análisis la riqueza y 
composición aproximada del gas y repetirse el análisis sin 
más exceso total de aire que 3 á 5 por 100. 

6.° Aunque para una gran exactitud se considera por mu- 
chos indispensable el empleo del mercurio en la bureta me- 
didora del gas como lo es para la de explosión, he podido 
cerciorarme que, observando las siguientes precauciones, es 
posible obtener muy buenos resultados empleando el agua 
salada en la bureta medidora. Para ello se necesita: a), agi- 
tar, antes de emplearla, el agua saturada de sal común con 
ácido carbónico, y abandonarla veinticuatro horas en una at- 
mósfera de este gas; b), agitar después esta agua en un vo- 
lumen igual á la mitad del suyo de una atmósfera de grisú, 
con lo cual desprenderá el exceso de CO,, saturándose 
de C//4; c), que no llegue á introducirse este líquido en la 
bureta de explosión. 

Que el agua salada así preparada no tiene acción alguna 
sobre los gases de la explosión, se observa dejando algunos 
minutos el gas en la bureta medidora y observando que no 
hay variación en la lectura; pero como si se introdujera de 
este líquido en la pipeta de explosión, los gases que se des- 
prendan de él en la contracción subsiguiente á la explosión 
nos conducirían á un error, es necesario evitarlo, y por eso 
hay que tener en cuenta el volumen del tubo capilar, en el 
cual no arderá la mezcla explosiva, para hacer la corrección 
proporcional correspondiente. Sin embargo, si se ha obser- 
vado la precaución indicada en el párrafo primero de intro- 
ducir en la bureta medidora el aire antes que el grisú, como 
éste es el primero que sale de ella, el tubo capilar de la pi- 
peta de explosión quedará lleno de aire y no habrá lugar á 
hacer corrección. 

Inflamación del grisú por alambres incandescentes.— La in- 
flamación del grisú por medio de alambres puestos al rojo por 
una corriente eléctrica ha dado lugar á discusiones, debidas 
principalmente á no estar bien precisados ni el grado de in- 



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