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CAUFO»^"^ 



MATH-STAT. 



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Elimini'iili fli^kti 



Vorlesung 



von 



F. Klein, 

gehalten während des Sommersemesters 1891-92. 



-^> Zav eitel* ^t>di*uck. <^ 



GÖTTTNGEX 1894. 






Inhalts-Verzeiehniss. 



9A 33'; 

KL 

STAT. 
UBRARY 



Seite 
Zii^lpuiicto dPi' Vorl'^sung' 1 

Erster Theil : Grundlegung der Riemann'schen Theorie. 

Moiiie Auffassuii^u- d<^s Kicmanirsdieii Progi'riniins 4 

I. Von der Existenz des Hauptpotentials H auf vorge- 
gebener Riemann'sclien Fläche. 

A. Physikalische Betrachtung. 

Die Rieniantr.sche Flüche als Substrat der Potentiale 8 

Die Zahl p . . . . 10 

Die Potentiale H, L. ete 12 

B. Mathematische Ergänzung. 

Xothwendigkeit einer solchen 16 

Verallgejneinernng der Voraussetzungen 20 

Prinoip der conforinen Abbildung: Historisches zum Existenzbeweise . . 20 

Allgemeines Beweisycrfahren 29 

Aufzählung hi'auchbarer Flächen : die Bedeutung der Min inialf lachen ... 31 

II. Synthetischer Aufbau weiterer Potentiale und ein- 
fachster Functionen. 

A. Construction der Potentiale. 

Verschiedene Arten von Unstetigkeiten 35 

Die überall endlichen Potentiale und ihre Periodicitiit 41 

Allgemeines Potential. Green"scher Satz 46 

B. Uebergang zu den complexen Functionen. 

Conjugirte Potentiale etc 48 

Unstetigkeiten der Functionen 53 

Einfachste Functionen 54 

C. integrale der 1 ten, 2ten, 3ten Gattung. 

Xormirung der Integrale erster Gattung . 60 

Normirung der Integrale dritter und zweiter Gattung 65 

Gesam mtverlauf der Integrale 1. Gattung. Conforme Abbildung der zer- 
schnittenen Riemann'schen Fläche 70 

Erste Abzahlung der Moduln 80 

Gesammtverlauf der Integrale 2ter und 3ter Gattung. Analytische Foit- 

setzung. Mehrfach pei-iodische Functionen 85 



Jvi';'78G77 



Seite 

III. Algebraische Functionen auf der Riemann'schen 
Fläche. 

A. Allgemeine Sätze vorab. 

Die Kiitstchuiig der inehrblätti-i^^en (»beiieii Fläcli^v 03 

Minimalwerth der Blätterzahl 97 

Bede\itnrif>' der neuesten Arbeit von Ihirwitz 99 

B. Herstellung algebraischer Functionen auf gegebener RIemann'schen Fläche. 

Zwei unterschiedene Herstellungsniethoden 104 

Eiemann-Roeh'scher Satz 106 

Freie und gebundene Functionen 110 

Endgültige Abzahlung der Moduln 113 

Folgei'ungen aus dem Eieinann-Roch'schen Satz. Xorinalflächen, insbesondere 

kanonische Flüchen 117 

Angabe des folgenden Kapitels 120 

IV. Algebraische Darstellung auf der über der Ebene 
ausgebreiteten Fläche. 

A. Vorbemerkungen. 

Die „gcoinetrischc" Siirechwcist! ; dei' ,,allgeineiii<r' Fall . . , . . . . TiS 

B. Darstellung aller algebraischen Functionen durch s und z. 

Auswahl di^s s. Seine Discriniinante 131 

Darstellung i\or andei'cn algel)raischi'n Functionen 13() 

C. Von den zu der mehrblättrigen Fläche gehörigen „Formen". 

Formen und j>aiize Functionen l,-59' 

Darstellung aller Foi-nien dui'ch z,, Z2 und eine zutretende Form .... 144 

Der Satz von der Minimalbasis 149 

PunctgTui)pen auf der Fläche, und deren Aeqnivaleuz. Darstellung beliebiger 

algebraischer Functionen durch die Foi'men 100 

Extnirs über die Theorie der algebraischen ganzen Zahlen Iü7 

Darstellung der Integi-ale. insbesondere auf den kanonischen Flächen . . 177 

V. Anwendungen der bisher entwickelten Theorie, nebst 
Andeutung über deren Weiterbildung. 

Gruppentiieoretisches Kintheilungsprincii» 18;i 

A. Von den Minimalflächen. 

Differentiation und integi'atiou bei homogenen Variab(^len 188 

Darstellujig von Minimalcui'ven 191 

üebergang zu den Minimalflächen 194 

B. Zur Theorie der algebraischen Gleichungen. 

K. Fläche und (Uch. mit i^nein Tarameter. Dedeutung von Tschinhaustrans- 

formation und llesolventenbildung 200 

Keguläi-e Flächen, ülx-rhaupt Fl. mit eindeutigen Ti'ansf. in si(,'h .... 204 



Seite 
C. Vorläufiges über algebraische Curven. 

Die Noriiialciirve aus einer Rienianii'scheii Fläche erwachsend 209 

Uebertragung des Satzes von dtM- Minimalbasis. Einordnung dos Xiit.her'schen 

Fundamentalsatzes 215 

Beziehung zusammengehöriger Curven auf einander 220 

Darstellung von F'unctionen auf vorgelegter Curve 228 

Rückwirkungen der Curvenlehre auf die Riemann'scho Theorie 227 

Zweiter Theil: Beziehungen von Riemann's Theorie 
zur Lehre von den algebraischen Curven. 
la. Allgemeiner Bericht, betreffend ebene Curven. 

A. Historisches zur Grundlegung der Theorie. 

Analytiker und Synthetiker. Plücker 1S30 230 

Chasles, v. Staudt, Grassmann 235 

Postulirung fMn('S direct<Mi Uebergangs zwischen Curven und l\*i('mann"scht'r 

Fläche 240 

B. Anschauungsmässiges. 

Die reellen Zügt^ der niedersten Ordnungscurven 242 

Desgl. der niedei-sten Chisseiicurven 248 

Allgemeine Sätze ül>er Curvengestalten 251 

Die einfachsten Beispiele der ,, neuen" Flächen 255 

Die neue Fläcjie bei belii'biger reeller (Uirve mit i'infachsti^i Singularitäten 

Uebergang zur gewöhnlichen (x i-iyi-Ebene otc 2G1 

Functionen auf der neuen Fläche. Die Bedeutung der leellen CurvtMizüge 206 

C. Weitere Verbindung des Plückerschen Ideenkreises mit der Riemann'schen Theorie. 

Die ciufMchstcn Schiiirti»uiikrsätzc 277 

.V(M-gleich mit dem Kiemann-Hoch'scheu Satz 281 

Fall, dass singulare Puncto auftreten, die keine Schnittpuncte sind . . . 284 

Complicirtcre Fälle. Tragweite der Schnittpunctsätze 287 

D. Weiterbildung der Curventheorie über den Plöcker'schen Ideenkreis hinaus. 

\'()ii der ln\ ariantciitheDrii' linearer SuiistitutiniuMi 2i)0 

Eindeutige Transformationen, nisbesondere Cremona-Transformatiouen . . 295 

(leometrie auf der Curve ((rrupi)irungsverhältnisse. Abzählungstechnik) . . 298 

Progi-amm für das Sommersemester 300 



/ 






2. 

JAarzc den. wz^aTicay/ci't&K t/:A/KoiccW^ e/iMc/^^</^ c^jmn(:^kl 
^t&fce'K s --. p^'/^i ^<k/ki/^^ü Te^iCoo^i/e den. ^^c^e^^^t^-m/tg&yi 
Tj^f-^.tyvnof >/^^^ ^ri/m^oCc S^oCe^n. Ai^^'/Km^^ o/e^u ^ctfum. - m^^ 

^caneK djen SüCC<^^ ^ up^ e/^di>'/e/^ea^^ Uct ^ae^ytSoomtCtckje, 
di%/e , ^v-e&jkt nta/MyfHA/ {X£^6<rw^^Lq6^ ^'^e7üö'C</yk'0(/J<j2d^ den. 

d^c e4C'^ </^ mi&t/HJjC/^yta rovtd 6ejbe^ 4nik/oe^ , 

diK'Pift /:^Ccn. l^Ce/bWK0^e^ t>oi6<'Mtä.e/i^ta/dcqt ^e^^di 'den 

^c^de/i (lAr^oCsm/nci c^m'?id';f^di ^tiMkk(rrPt/m>e^^dHyne'i<.^ dct 

6(^irie/^^xdt en^Ac^v-^M^ K^ytX , d^ j4< A;M'H/l^rij^i^^^ ^yr^cx.^ 

'/kemtod<y^dtt v7d co (/dd^w^t cfe^ z^in üeMtfijd/ßookerLdi p ed,j(r<^S6 ^ 

^e/6<M^ ^i^if^kt^dißM. J(ocdeOH. '^</^denj5.wdd / ^n^öokt öd/c o^i 
^502^ Möoinc UerL fik^c^dt/m^e. en^/don,diA ai^a^/Acd^a^tj 




d^MoCöt/yng C7pt d^^oltCu^ <XJiz djct l^T^/e/Ut^H^ö^w^cAeT^ /Xcn, 



S)^j7/5oke/yL '&66^66U <^t//<yd c^a- e^m.t %ta^aii/<r^^e/j^^9^^^/^ 















^e/Sk^i/e/pt /iMx/7^tM/A?c^ 47tcvif^(/!}k 4^ofc /:icvzo(A^ 6^G^a/^vk^ 



f. 

zc(M.f <A. t to- ^yCa/bJ&yuci^e <^/, a^ooi 4<nn 6c6:f eiMe coT^tCmo 

^<5^/ /X4Je'6e-^e/t/y?^€^t aAA^d.e/m, f^^^i^ ^iiUn^Jfie^ 

4;(.ook tm^^men. danmK Aam/^d! ^vütj^daecC&it^ru^^m^ PO7<.fmo07toCe/t] 
/xAAmtat^ ^i4. rA^a^Jüto^J ^M/(Ä4t€/yi ^^twi ^ti/vm. ^(X/cc Woi/M ^ ^^'^ 

4)k^e/(/kt ec^töf^t <>Ce7i,<fOÖ^^ ^'e/d^ ß^ ^<^eA&7^\ "Oc^t 
SmwU(mc/yc ^g^^^/A- ^ ^'^0*] <mt a^yt>S'^öuyke/K^^^ 

joCou^f Jö^(oCMw:>e/ioi ^(Ari^füiu44.aS(kk^ d^oUAt^'Wit^ 









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^x^c ^m/V-(rAn Ctc^te/ri <Sany:f/e6(a/Kü^€/K Ao(4<j^ ^m^a/K </.a.6U 

wii^ t^ <x.6^e/i/6'^xjze^n j</o onn,e/2/(/<jic4t ^ n^ok/ /?c6<rL ^piö^dCt 

üi^M. <Amj<X, /Mof^^ /X^ie ^9t<j^/em/^ >^em)4e^ J^^e^tooCt ^ {^m.oC 
mze^ ^ iAM^ / Vi/Wt ^a/if &oKt <X.cny j<A^€^A^fe^ ^e6/<zv ^ 



<r/^^//e^ <^/<r/te/K A&ty^^^ 4'n.6^ ^e/cM Aod ayCcf ecKt ^ij^ 

^ck 4vt(l^Sf-L^e/M/5 4vca&Hy rOCteöoi S^ccC&Ky c^a/o^/t^^^^^ 

dm. ^(nt ^K4t . Jru'ckt 6^ccnSuieie/K. 't^e^wK.qe/H. ^^en. 
e^tjo:?okt J(if(H^^ctm:^c(rKe/K n^tnr^&o^e^^ . u>^ Stehen d(rf/ 

/idtce/K; o/j^oieA. 6€/ba7<.oCm.&H. ^Qrm, den 4'^^eAriS^a/^^^l^foi 









4clca/ ^ci/K^ Mrta/cM&yi /X/tA^de/yyi 4tc^CcAenA<H<öt e^}i/^/mt(XemK 
§(m.o02/(/c/oi^ ^/oU<^oyicvtt e/e/^r^4^ ^rum<.i^4^ea^ . Jw^on, 
dcnt Mt^^ocMe^^yfrtn dc^e/yi/Cat ö//p(lt(mJjtt e^&z^fw^tkt 5ma^^ 

eriitae^ ^m^üe/2/1^ 4<.amt&c<jk /^^^ dot/<? ^tt ^<^€k ^tM,^e^i^td/b 









€M^(jcn^ ^wzt unn /ytoo^'m:. 6t&6</l 'i^ocae/^^ c^c » jiiKtoCc^Ke/^<j60r^j?c ^ 

^cm.&n/^cjT^ie/^'o <ytteü/&2^ ämiyk.c/K €^(/KoC<y^7^ 4X^Li/7<A^€a^ K.6ce6e^n, 
J[M/(/m.t aercocoCt ^/ywook. o(/^t ^e^t^Caß&^i/tt HW^ J^x/pmea^y jfe^ 
iköü/t (tS^e t'-OLö^/mt Ctcfu/K^ ^a/meaa^ oC(Kk dc& Ma^e^ 

doofen. Jt^^J^cM.Ci^e/^^t Sj dexiüt(r^eZrt^€km.7^^/e-^^^^^ 






44^(n. 







ne/2^ Se/nM^/oj^ 6^^//jm. ^^Wt'/e:^ ^e&Ke4iTL (hwvj^omi/t 
vtae/KüU^M}- 4^/eA/^m. Ade^ü^wn^ (^e/Zu^i^wtM^^j e/c^/tot /^^. 









4u,okJ /p^/t^eTt Siootk/feJ '^(^^^U/z^ - ^W 4<a^<A/ 4^1 mw^ 6eßs/ 

tf- doinA/yo dct ^66 a(/nvm.^^^ff(/mM4<jq, den. c^tdc^M. . 
Ti^tf. dtc %^4<kcke^UM^e4<, ^^^^th. ^^ /. o ^ dM ö<rA om^ 



^covke. iH/rIooi<jfeyH.keai. ^/a/<:(r^^uzzLe^ e/ek^tMcke^i. ^^^<5^\ 
d6^-.% d/ü^i-^ ^df> d^ ^f d^^, 



6CK44t 



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'f^iA/b6-e/^<n^oCaiz enlooAmj:/K ^pwz €0(/c6 dm, e/e/KPi^o^cmK 



^e/K ] ' ^oc^oCunjrJt i6{ /?Cai^A^ ^ StA wu^&(/Kt <iö^^ 

^ <aI ^oc^^^Cdv ^eK JVooyztt /ivm. /P(e/p<' oaa^ /?Ce^ J^a.^ 
<^Ae, w>2^ y^Xj^c/^^ ^2/i/cC<:Ae /^<.c4t a^f /oCce 7^/o(a/v ^ 



oa'tObeTi 6e/^/e7tt Jool^/(^/ ^ ^^^e </k oCeM a^e/^oona<./e/n^ 
/€oc^ ^Z&^/^^oiaf^ 4^a/cAoC&nx. ^p^^uk/^ w?^oi, KAjpo:^e/u. ^>m, 

/nti/eutvt ^uKe4^cC6cofc 4ootoCe^(kß/Pt t^/cnc&/oc^e 4^h«.C:, 
yO^^f eifere/. ^4K6^c^f^ ^Aa/ 4>/a/i /?Ce7LjH;€<^ ^(}fLvi/C^ 






/oCe/H^, .oC^^ö <H<xoH. ^ ^oaA. f ^ /jCcj^vte^^A/U / o^^^j^oi&^Unj&K 

cj^'t 'Jb(h ge/y(^'<?7^tftOH.€4< ^^ o^ of^ qT ^€^ci ^^<>t<4<. 6(?ß^ y 

T/Tri '^^€/oo</(/ce/^^€M. /pCa/? 00601 .oc^oC /^cSopc ^*t^<:^(^,' 



Joe A&t/yc moode^ ^eg^ea^^^'^oC ^e/'^ey^^ ^w-ck/O ^a/c/t<^cfc^ 
öcneA^AeM/co'e/n /o/t^6cAa.^oko^ ^t6€;t^cu.^w^^<S4<. 







ioC6e.A^e/iC(^/f/5 o^^/cAc/^^^^(j^^^ t/l^^e/vtA/^^ü^&H. ^^/ /^Ccm. 0%^ 
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r^jytJ^^iA/T^tae^yi ^m^&oKe^ ^^.€/Kje/:>/e/K. ^€yt/-:?o(M^o^ ,, >w^ •^^y^/t/ ^ 

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Oy^ ^pi/^^^44^ ^m^oM. 6/6t^/: jfeoCt XßMjvi^t <^^ezi^/€ayJtc^ä£/ieK 

^f&6te/t ^<e6/€^ ^^(m^(4^ 'U^e/i/S't/ii/ceoCt ^ ^^^/cCc/Ztc ^oCtc ^noU^ 



-^^i^^^^^ (^ ^/^ '^x^d A^eri ,u^eTv6€^ec^e^tA^ ltCck ^ 
^Udd Oyöb ^olt&K^ jfem^^y^ M^^tn.^ f^.<^u/eMf6a^&^ ^el^ 






^{/kta/^eK€/K ^2a/>kc4t. u/^t/ie4f Jlcu^y^^^ ^ou</.y ^^€rt/9<^ 
[^.h?i6 '^m^ ,i7Ca/:> w^^^^^J, ^^65^MnA, ///x^ ^/z^6c^^^6(/kc 



^aJuv]^ fc^^/cAc ^m/oke/y^ ;^(;^^^ ^^W6^^ ^a-ae^^^oH, 




au^cOuloJil^^ 4€^yH.a&yL^ d.o^ö^t<M/beKz ^^e/m.oopvpt ^ 

V/y^i'J</c<A^^t<ydCß6ei6(.(^&^.^^<jiSe^j^ cH jf-. ^if^M''i &€<?9i<eüf^c cO!K.<it<?€, e^üacC/e^ . 



6cle/- ii^^y(;^n.o(jemy ^eCn^&ÜK t^^pookeac^ ^d ^cc^ 6e/Si>/^JMA^ 



ÖOKOC (^60-/X^ö '^PtOM.^ '^t/{/;M<. ^f^^^ .{,t6trL /€C6(A ^/6xm£4C, 



4>/mAy6date/iiem.oC .oc/h. ^t eMtt ^aM.oC</?AmK ^zCa^a/ 
ßl^<y^ ^/WAe^e^/i^ Moz/oyKt /^e/Vt/e/^^ joCen^e/K i<nn, ^y^i4> 

'yic€4tf 'TU^^ eMte ^t^/e Kj^eoCe€</^t/C2^^ ßtxk <pCte ^^wc ^c/vpo5 



6^qi/ve4^^ Set: 47(je/i J^^<44.oo/t^it ß^^e/i&a^ ^ ^6^St6(M(/z 
jc^e/St\ ^L^^</KOüA/Pi<.t j^ oc6le /)ok ^ ^ /^n^^myl/t/e^/toCc/n. 



(0. 



' ^^(Hf€/yc 6<M^ ci, /nj)c gen. .o Ct&^ e66€4^ ty^e4<!J<^oo^e.y ^^ i^oC '^ cn^oC 



ePvs/e^K/ JlouAt ^&^^ff/^ ^e/p02^/ &6u<y6crpf>-o^C /:^e^ <^cj^e. 






^Aa^t'OC&C/, 4?0ct /m.e^i^^a//rvc^ u.^oz den, a^Se/H^ ^cu</)^e6)^^ 

44^ocMm. ^</yc /oCeK Qi^(}€<^/e/2yt ^^6ac^e, öc<A<^^rL J^eCK/K^^e/y^ 
<Akn j(4ti ^^cke f^/t^Tia/te<.ke. ^^x^o(/2^t^4^e/i</A^ 

^Uf0K^ H;c/ökoc6&' i'Mc^t^ ^cok 'tmuxy^^^/^y ^ö6eAm. ko(/j dair 






¥jJmt kaMe mcut, äAßm(XK^ o(ce^6()fd!a:^t ^ke<c{^k ^oCct 



Soder^y /^(un/Jo ^^/cAftm. mo^tric^/M^^^zaat fedea<lcK^^ ^€c f^m^ 




(^^ i^o(M w^*<y ^enecekm. ^^?^g^<:^(g^^!^^ /^Wc 

ho(mk^cxn ^ / ^^ dcvbcn. ^<M6<k:^ ^^^^^^mc mn. ^(n^ocS 'i>aa&^ di<?^ 



Ja. 




^e/yty Koc/i'^/yo 



ne/K; e^(M^ ^ c(mf<^^^ J^y/e^^^aZ'^^ ^■tAy<y^n^/nMA/^ 
/Mt&Uong ßCvt ^'io^atSvU'tü ^nAOie/s iy-<,</Mi^ ^pcocfä<y& 
(POfc&VH/iZs/c ^^wut ^yn-om^ eoH-€/ Si^oocock6>-an,t 'J(pou<^/2^^ 

■'/UloC 'OCtC/5 €^/ 6^<Jcvt '^<mM ^<^i^i^<^^/ ^^^^«^«5^ <^ 





^e/dh/'fvmoC. wf,6cAe ^ tM^e^oOöokka^Uio " 'f^^^ '^'^^ 






^e/i/m./c(m jf4y^tA(rn^^/i ^^^wo/oone/^ //x&^te/H A^^y^t ^^ • 

Äan, 05/. 

^^w ^(nv dm. ■^'(^^iy/vA^ y ^^^ i^y^yte/yuCCccA ^e^ tjfme^, , 



dwK^ ■^4</acc^<4^ ^m^a/Jte^ ^a^t/^^ ^cC^/WoA ^n/^öcAc ^^ 
^e/K^ Jfe^C6t /udeM^e In^ft&osdcSiSe aeßc^a/ 






ötdv <x^.d^'e ^SuC&'yb j/u/z^kt t*trL/ke/tU^o6eJ^{/i/2/iae.^u/K^ 

me/n- ^ 

e^eM, ^/cA(^. a//if^ Ait St Steige e ik^^.t' c^cCen. ^^- ^oaTo t^^t /te. »j ^e^ 
.^(erij offnen. ^^0^hk</6 ^nkoC 6cz/ü. ^(?cm 6<^cryi^o(jQ^ ^ft/C/^cCa^ %mfi^ 

^^^^/H 0^a/K '^^Ce !n'€/caeA^^ ^^t^te^t^^en c^'okt fi^^^x/m/me/yty ^ 

^4riCl dciH/^t t^o^ ^Cl&ro ^</2i^e/yi i^^den/:^^^^^/ ^u^ , "^e. com. 

den ^'7'tß/^d£6t^ Ie7i4te/yc (^^t J^^c^f^^^pto^j^/^^e^ ^ ^^nt. 
M&tt <Hien. ^JCt e</^erL^e^/eo^ Jf^Ji^^wm /[ona^M ^(^t/H. 

J^d.. // rmlße/)^ Hrvz d^}i>k '7^o<)k&(/n&'K ^/^(ntden^ ^Ptndt^ 
<^y^^ ^^j^c/vx. ^^a/c4tt ^iH4^a&n . ^^^ <a/ den ^^^ de^i 



dwK^ yL4t>act6c^ ^toooke^ ^a.4t/yc^ d^t^t/wk ^ri/^6okc >^^ 
^e/!K/ ^&itt ^oui/&(/>te !/rn,e<^dcS£de ^em^a/ ^ 







ötdty (XAd^^Ccc ^S/y(£ryb JiM/i^kt ^'e^z^^e^<^^^ey'i^:W^|7eÄ<5^ 

me/K- ^ 

?^mt/K 0^om. ^^^Ct !n^e^^ dtt^te/(/pten c?ckt ^<^4^cm^pt/me/?^ ^ 




Ad., fj m/ilßeo^ Hrvz d(}<)k. ^n.adt&t/n&T^, ^/^OT^denj^ ^pmdt^ 
^^a&pt ^^j^cy^^ ^^O/c/^ STH4^ae^ . <^^^ </^/ den ^^^ deTt 



// 



^ 



^^gAe/ii f^ <few. / voKoC yOCM.oCe/i/^e/i^ cCcmdheui^t eA<^oC&ccAt 

^t ^^ ^^e^ . m/<^. i^e</2/ie ^A^tnt^/ t^^n^ ////, u^ ^rvdcfce^ 

^ M'ö<4y?t^wyL0 4XSät dct U^6lti!^Aei/e/P^ den <^ oc , > . > 
^ 'fviAoA^^^^^'ö^^^ ou<A ^ d>ce. J^m/t^oo^t^ <r^^< ^ 



38. 

Ao(J/ ^Utf ^Ot 6i4<.c^iy ie<V^ ^o(jerL o?^^^e ^^^^ e<M,e/yi <^cnoo/ou< 



S9. 

AZt ^yy^^Jtcö oU^ ^ä,e/2^ CP^o(/'tw^e den. ^^e/>u^ä^c ^(^ e^ 
äjm. M^^C^'tMT/m^ OAAj^öxAA/e^dt J^o^cxn^/vi^kel ^ 6<^Ac^6<,i4. 




^^.oot/ /im^k^<^; ^^ icok #1<^ ^9t/?taAen^K^om/^, ntfift. 



^^. 



uftöK^ßook "tKtldw/i^ae^ tA^/e^ia^C ^e^m. ^cu^ 4^cMM'f(^^ 









QiKt ottA/i/:A oCe/2/L €/^eej4, ^ 6*/<M<y y^0(^ 7t<. /^<,t^^K/y^^^^^^^ 

6Cvie4<y /^t^Jit /^Un. J^ce/yi^^m^v ^^c^ua^ i/^ackjc. ^e^&e/rty 
^pvi^TtoCt . lpS^4<^ 'OC^^ ;^uxy66- ^-Ptuftf fuhrt ^ > ^ '^6n^cot<j^ae^ 

une/yyv ^a€cfce/j/v t/a/:/a)^ '^Pti/iC^t^Ctovie/yL y (:^0x/(> <^ <^ 



,93. 

e^je/yn 6cf/6e6i?e^<y tyna-^Aft ^ d^en. i^lclckt ^X/^/iok eMtJaL 
oUa^. T'v^vL e/c^te:wt^b^i> c t- A^ ^..^utc/iai o&ti6 ^Jja,^/t> om^^ 

tyf/yuX. He/e/ 6a.^yca6 de/t e^/i^el^ 
KOK. tne/itfoop<J?CMt&tCc ^oCCy^ 











n.. 

/aW u^oC 6€'7&iyit/i^e/ ^^o- de^o [rH.Sca*M.^^jt den -/^^ .^^ 
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Jje/i^j6 mx^küL ^J^m^-^eC [joCc&<^ ^e£&t/4u</i/X//^/tat0ncz , 
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Mj£äjtiM^erAy 4M^M/e/^my^ 4^tHn^itl44<,^z^ de/i<4<yjcc^ Sax^j^x. 



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307. 



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Vorlesung 



von 



F. Klein, 

gehalten während des Sommersemesters 1892. 



-4cp^ Z^veitel• ^bdi'uck. o^ 



GOTTINGEN 1894. 



Inhalts-Verzeiehniss. 



Zuniiclist Fortsetzung des sclion im Winter begonnenen „Zweiten Theils" der (iesanimtordnung. 

Seite 

II. Allgemeiner Bericht betr. algebraische Raumcurven. 

A. Die älteren Arbeiten (bis ca. 1870). 

Vorbeinei'kiing(Mi 1 

1. Niederste Raumcurve oder sonst specielle Raumcurve. 

Voller und theihveiser Schnitt zweier Flächen. Beispiele, Kationalitäts- und 

Integritätsbereieh einer Raumcurve 3 

Parameterdarstellung: Kegel und Monoid 11 

Curven, welche durch Patrices definirt werden 14 

Curven auf Flächen 2. und 3. Ordnung 17 

2. Nähere Untersuchung der Raumourven. 

Cayley's Uebertragung dov Plücker'schen Formeln 2G 

Erläuterungen zum Chasles'schen Correspondenzprinzij) 32 

Anwendung des Princips auf Raumourven 39 

Das Cayley-Briirsche Correspondenzprinzip und das Princip der specit'llen 

f.age 41 

Zugehörige analytische Ansätze 49 

Schnittpunctsätze bei Raumcurven 52 

Realitäts Verhältnisse 57 

B. Die neuere Periode ivon 1870 an). 

1. Einführung neuer Ideen. 

Das Heranziehen der Riemann'schen Sätze. Clebsch 68 

Die Arl)eit von Brill und Nöther im 7. Annalenbande 70 

Kritische Bemerkungen, alg. Functionen zweier Variabeler 79 

Mehrdimensionale Anschauungsweisen 85 

Programm einer allgemeinen Tlieoi-ie der alg. Uurven 87 

2. Durchführung des neuen Programms. 

Von den allgemeinen Normalcurven, bes. für p::=0,l 91 

Von der Normalcurve der y (bei p > 1) : 

Der hyperelliptische Ausnahmefall 98 

Weiei-strass" Bestimmung der Modubi . • . . . . 101 

Einwände und Ergänzungen lOö 



Seite 

Von den Flächen, Avelche durcli die Noi-inaleui-ve der tp gelicii .... 110 

Allgenieines; üboi- das Problem dci- Sjiecialgnipijeji 114 

Von i\ov Anzahl der Speeialgni|»])(Mi : Die Methode von Oastolniiovo . . . 122 

Von dem Problem der Tlioilcurven s^^- . \\]{) 

Dritter Theil: Von den symmetrischen Riemann'schen 
Flächen (unter theilvi^eiser Benutzung der 
Abel'schen Functionen). 

I. Elementarer Theil der Theorie. 

A. Definition der symmetrischen Flächen und Stellung derselben innerhalb der 

Riemann'schen Theorie 131 

B. Aufzählung aller symmetrischen Flächen. 

])- lind di(.^ liyi>f're]]i[)tischen Fälle 13y 

Ueberhau|)t Ip-fl] diasyniinetrisclie, f^-^"| orthosymnictrisehc Arten . . . 143 

AVesen des Artbegriffs, Abzilhliing d(3r zugeliürigeii Moduln InO 

Die „hy|)erelliptisclie-^ und die ,,I)oj)i)elpunots-'-Met}iode löO 

C. Beziehungen der symmetrischen Flächen zur Curvenlehre. 

Gen(M'elle NormaleufviMi -[r^<^ 

Die Normalcurve di'i- (p: Kinoi'dnung der hypi-irdl. FälL^ 1(13 

Nähere Angaben übei" p .3 und \) A- Kjy 

(Jonti-olc der Angab(Mi dureli die Dop])('l|)unetsni(^thode 17.") 

D. Von dem Problem der </^ 

Die allgemeine algebraisch-analytische Theorie 180 

Bestiitigungvn \)o\ p ;! 183 

Dt'Sglcichcn bei p I und p > 4 . ' . . . . 187 

Das allgemeine Realitätstheorem 1!)2 

Erläuterungen und Beweise für p H • 19(j 

Desgleieheu für j) -4 uiul ]> > 4 \\)\) 

Ein besonderes Realitätstheorem fui- das (Mu/elne Oval bei p 4 . . . . 200 

II. Heranziehen der Abel'schen Functionen. 

A. Die allgemeine Grundlage. 

Das Abcrsolie Th(Mji't'ni und seine Tnikehr >ir) 

Das rnikelii-problein und das IJiukeiutheoreni 219 

A'en d(M' Px.'stiuiniung d(u- Berührungsflächen F 22.'} 

Charakteristiken. (ii-u|»j)irungss;itze 228 

Vei-aligemeiiuTungen 231 

B. Von den Thetafunctionen. 

Definition, Fnnetionaleigensehaften, Potenzentwickelung 2:^2 

Zusaunnenhang mit den «^h, insbes. im hy])erelliptisclien Falle 21^8 

Priincharakteristikeu 241 



Seite 

C. Realitätsdiscussion vom hyperelliptischen Gebilde aus 247 

D. Directe Realitätsdiscussion der F, bez. der ^', in den orthosymmetrischen Fällen. 

Aiischluss au AVeiehold : Symmetrisches Schnittsystem 252 

Das Ppi-indicitätsscht'ma der zugehörigen Normalintegrale 257 

Die Realität der F .263 

Die Realität der </> : Erhringiing der früheren Resultite 269 

E. Directe Realitätsdiscussion der F, bez. der ^. in den diasymmetrischen Fällen. 

R.'f<'rat iUmt W^'ichold. liebst Fnlg.'rung.'ii 272 

F. Von der Vertheilung der Charakteristiken auf die einzelnen Schaaren reeller F, 

bez. die reellen ^\ 

Allgemeint^s, Durchführung der hyperelliptischen Methode 276 

Bemerkung zu Hurwitz, Grelle 94 284 

Schlussbemerkiingen 285 



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0t ^/^^6^cke/^ft j/x^^ eriö/m^ sJ(^^^ /?Coeye<M/a/)/<^/e i^a4/t/M<uouH ^ 

AäiiMoKi? /^/rca/u^Je/ ^p<^(nH^(Mt m/. ^a^^ Jet ik/K^i> /Xe^tC^ 



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^M/ioUmtck ^t/teK ^"H^deri ^^^/^^f:^^ diesen M*6x^6Xu^aptu^f 
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^aj&'tawJt M4yj!in.e/e^ : 

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cM^Me/^m^oC^ m^dd/d^i dtey&66Ptm^ Mim^t ^dm, tMcdte m. 
den(LgiMe.^.<jt a£^ ^wimK du//en ^^koUwopc^ e^cüßC^ept , :^e^, 
{^e df/tn/uk die tU'(MC^mei^cKj^U/(4u/e/t et^H/^a^:^ d(<n/^(/ou/Jm . 

fe?^^/^^ den wß^&iz &t^K^c ^wt4^ ^4^ (kdm^Ka^t^e , 
4eu, MÖtUt ^^fi ^/€^r/ dw(£k dm. ^^^ f2c^(/)(a4ue^oo6/{^ 
^dti^ öc^-Me^-/ düc,6 mzi^^n jid^ ez<fCoü/icoü. mtc ^wvtK 
df^. (hdjt<u'Ka Jk - £' cLi . W^ ^e^c^. dce^t jfoc^C den jI^c^ 
/kmJt ^ (Td^z^ mcd6w'cAe/n.d^fom^^€(AjSc^e4<^<^^ 

n^e^t de^L6^c^iefL^^'d6ter(/'^/&ßm<^deK d^'(^'tr^(M</c^d(e/Pt. 



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Jm^e^ycd£n. u^6&Kt, ^/o^&cAe ^c^Cc/nrJt ^eoi'teMy J'WKO^rKC/Hmy^ ^ 

^^m^t ne^üittt fov2^en- / 60?^6 /^ ^^U Mt^.^1// äen. J^ 

^Myo{ ^&^^ {Ayrcd ä^6 /?Ue6m, y/?U^4^e.d^ .<,Ufik&^^So(Z66/. 
S-4<^en/y(//K ^wüi /?(/lt Sia^&pt , /pCcc 6^. a^f/^ /o(io M^^^t /^ 



^ ^{ ja.nyO(m.m. ^wook^m. S^i^eJceM^^ ^m^^l ^^Mc^ke<)f ^oc^^ 

äic mo^M/dfi^' /(^/Mt iH^enJat ^6^ Mta^e^^^cA/i/ ^ax//e4<' . — 
^•4^j>v ^ot/y.4^ 'm.oo^ Zimten wi</en^z^teku<£^,^£^ (^/un/JC/yL 



V- 

^^a^ei^t / ^^ocäjt^ ^e^/e/&^PWidM^ - 1^ k6t^{4t doc ^x/ö 6(M^<^ ^ 
^e.jt<4j^ariJ</t/^dm. ^^m^a^ dm. ^(^Jvt <^ &(4<.&n !neqcC 

mKd^yvi^ dmMübeie/^ mm^oC ^^-e^ -^ den. ^S^4^t ^^ 4i^^(dMt , 
d/d6 4ftz d<yVi/ok ^'^ ^ ^<M ^/<4i<4n/€^ 4^e?^5^^ hptdcwM^, 
4^vm- wt/mi.doc ^^tüiM d^^M^ die. if}<4^^e, dß6 ^i^c£6 ^Mi^:(c(;t/!^(£w^^ 



4l^l■t^mvM/wt /?0v6/{erc (Ac^'M/C/(/^'tß [^p^^ &t^x,/^':K':i6 dwzc/o -^£ 
Jhaejö^f^^tffc/t/myu^u^ae^^ f ^^ ^'^^^ ec^/Kcil- ^eAHe<^^ 




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cke;(j6{4(£M ^^"^^62^^ /U<>fdct y^^:^^W4^^/€ d^ *^(90M^aAn/H^ / 

4'widntwK^ ^^oki e</y^e<./<^ dyco i^iU/K^/e den. Sk^u^tc wiM ^^ 
/^yGuide/Kj 6crw^'K <^^M/ypüerL ^&ü^e't/<^a dc'c ^cx-rKi^m-üfc d^^d^ 



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d/tt7ocAC y .dm.,. %S€^Hjm^ /Xk/vo^ Z^m^oH.'^^^pveSoktd^aidL 



^^erc ^66Ke Cce^&H. . 

^öf&ca/ öcc^j 4pCa/'^ /?U^c Kewj^ ßo/c^e^ <~r 

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{^fw(m(Ma ^tc^^t ^a/</ie^ftm(rJe ^(^f^te^m^M/e ^Mdj(fmot/e 

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a.^kcma'Cgt f^eM<:^K&pt ^^^üj^/t^&pt^ Aa/en, tM^^ocMc^ ^^ 
tc ¥, H-3 ,y'^0' , yc^^^ (x-^/ ^r/. 

/pi}Cch ^/Hü^t^/cumo/^Pt den ^oum^/cwwt ^mc/44<. ^e/nc^M^u 



(^ ^m^€</coU/e'^ ^ndc4</un£6 ^We <:/rwi6^ ^6(/cm^ e/ d^^ocMjt 

Me<M AofAertj' ^ S^ruxyo^ei ^a<^mH. ^^^oc^^w/i deK ./W<^4 

j^efd<^-<nt0OKer/c JUm/e, den <m^(^</to(ßim. /XA/^^ ^^tk öC^Ptm<. 
fi'tMUt d^^ 4^^J^:^^<:;<^ij^5^ 4e£ß^/^?ooc6 e^c, e/ö-. <m/x/(^'mM4U<7l 
d^ xzö^ei^tmte^ c6&Km. S^^t^a^^ ^(rnden4tdc6 .^^/^ 'ptd/ 

/;:i&i^y6en^ '/t/^tcften^ jf^^aJl/e^ ^^c den. dwc/^co?yke/Pt Ji^M^e4ds^^ 
cfkM£M Aien ^<4m;t^ dn. (hd4U<4<^ di^ Jzix^^ y ^^ 






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^WMK, (TdccfooAl^^ <Sfof<J^i<^/^t ^ Z dc& den. J^f(^t&&^m^e^^ 
l^ka^^m^dcm/^i^^n^^Sc^^ d/d^6 

^4^6mt^cft, i/t^tC^At dc&6tß(y^^y(e^ dvcwü^d^et^^e6pc&^ ofyfft^- 
^MoC i^<2^J^ke/ft/tA/yy(/Jt en^yto(m^ . Sk. cK^k MecC dte^^t^ 4S?o/<^ 
/m^o^y /Xm^Mi^Uc^n. ^kcca^t^^u/k&ck^ 6c6<,kaf/t^e^ ^.^^^^^'t^ 

da/6 dce tyc^u^u/K^^/t^M<rJe.^dert Ja4ycgept/e4<.^ ^^^ö^e ^^^^ 
^.^md&oke^i4^ Sw^t ^/XM^ M'cd/^c u?wu^ f- ^6xM/fept^dct 

dA ' '^ehdß;fi/wi4/t^e ,ocuf f^o- durt^k dz^^'mm^^^m/.d^erL 
S^e/^e ^^^im<, ^.wwt i;-(r/v^ ^ü'm,^i/4<^j^dj&pt . (P^€4tdaAMc, 
duow-.dcri jh{anM<.^ 4(rce dm. ^s/^e '^lAe^ (^un/^jtiK/:^&^^ 



ß2, 

/^vCen^oU/t <^^e ^4(^(£4<. ^^ovik . ^P^^zmSm^&Po /?(wLimte(/^tt 
,^7doCf m:c i^cK ^^cfiat ^c/mt&üe^ 0t//z/2/u4<x>C ^^e^ui&ut .• 



3S. 

ä^j^ /^ ^'/yc Ä5^ u6&cof(/^/Pta fj^fm. ^nocoCe, << //^ ä<jtoLf/i 

/e //zTL ^^ie^e . o^cou/c J^ foeAe^ ^^n/t e</t<M<. f/vt/e^ f/rw(Jl 
[:<), z^Utl /Xjce ^^^^e/ta/e ^o(k/H <£^ ^ Juf^en ^C'yi/ZÄC(^. 




j6^^,(/6/e^^^Jß^ (^ • (jt<- '^) *y^^0^^ Z^Ül^yP<^.e4<. KnK 4<XCC 



ft;66ckeK d<z ^H'^i}^M/:ü^^ eÄ{4^4x/(/5 ß{^^c<4<. ;^^ JS 
jtict^ /X/^/6 44ta4t /^e. ^^{AcoK^ ^6^/y)^ 0^^ -^^ J'^^c^ 

^<:m.tok^eam^e^ . JtcAaJ^/i/t ^cck ^^^^m^ehi Set j^S-. 



' /ck z:^(jcnA €4^fn.eK m^^üS/o^ e/tjaxj^e^^ 4^^c^6 ^ ^^ ^emla/e^^ 
^ooptae4c^tM^(^i(^da.^^ 



^ Mt4coc/t6 fta^^ z?Cc^ ji6f(xMi<^ Mj^m^^^ 



ßcldm.^daj(/e/n, ^wüt&tM^K^ ^yuwc/ J/Tlf/t m^OKC cmj:?C ^^ 
^mc/ t/jdocrcÄ^t ^KoA^m. C^J ^^Oi^o2^a?6m. . ^^/az^^/p(k. 






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'^4<yoC6cok4iKridä^myt/^(M./^^^^^ 

^ /im. ^(/6^ /Xj:x/^ J-^-c/al- m^ ^^^iMt/iA^m^/e. ^^> 









"faUf^obc den. ^o-^e^ (Ac&ierc/e/K J^€//<od<^ ^ , i>^^, /. S f^] 

44ju^^c/ /fAm/eri ßct ^t/&vyi/ü(eM. 4r€^4^Jtt^ 6(^2/w(£A/yt ^M't^k ^mta^2<. 

/^e jkkC^en. ^erux.dm dfd^ , < , / /, ] dA^ den. ^e;wcdt4't^ 
jpt^Ac t^i^^en^^t d^ d. ^^^Heid^M. u/Kd d<.t ^oa<MtC€<r^^ 

d/ciecMm. den. ^mßouüft dfd^^ ^ ^/i^J / "^^^k^d^ &(/it^ 



^^€4^ ä^t o^a^ ^yia/s/c dw- ^K^^Soofu^i jf^/^m/cm-aeK d&i 







Hem ^ dm/Jc fC'>^/fJ^ ^ dtm^e^/^^^t^afid - / ^«^^ dm. 
^fi^mtdcoamc dk4</(KJ^ mcMm/ti dx^ Jz/fj(^/t S'/m/56{^H,e{de/ 
dce df^P^fe^e4e^e4<. ^ m/ö^/t^o^c^ci^ , ^endm/^ /i«/^. d^n fmf/o/ 

4e/mjSfeH^ mdvz /^ dotö ^e/^jz^edd deri^ru^/^dcwt^t ^^ov^^sx/f<de/K ! 

4dd^^ f^#r^f ,^ %. (hd4^Jt^op(^(7h<f^'^<^<^^^o(/^ ^, 

mc(/d.'t ikto^oH Jmy^^n ^/^cAe/H^ JG^^^d^^^jeny^/d^e^i. : 

Ji:^ i^dd kce/i M^6e;v^/ e/mf^cJt . *M<^/^^dct^efeSeM^ 
4o(mt, ^^^^eh^e/K ^^wzCtdt o/^^.^ do^6 dai ^uadc3pi^em&t 



9S, 

^ ^^oüM/A- 'Pt^AaJ^&K a^(^er(/nt (^-/y (yi-(J ^^m^^w/^m^j 
=r^ (^0. -/J §(nw<^o(^^M.; dA . iyjtutJ&y(/&yL üxm, ^ ft^^i dem/ 



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^fumoCe/i<j^ ^ ^^^^^-^'' --^'^ /^v.,.^^ A. 



$iüü^f^ ^ 0^/en/toK Si^e^^ Ct^^J- ^0MC4<^^ejfeM<£K^/e 

t j^i^Mt^umrJey^ (:(ß66^e/2^f ^^^c^ dct Sico(sft ^4.^joc^ {^^m<^ 

^C^" ^J ^ Cd- 'OC^ 'V- ^ ^^n4<Mä£^e/i^^ dA y da. y-z-C^^ ^U/u^-y 

/ *^^ [^ "^ ) ^in'^^io[j^pt^e4<.y 'i<4^ddo(/6 'os/iu. den, tMoc/^dcJt 
fud(/'catfc?ckCdm ^fmdeftaMrJe, . - 



4^oxnoC^,S- ^^focM dai'ü(^^ (^m</5 O/rtärCc ^w^c^ Sni/e^, 

/$^W.^^t d//m<. ^ KM(^cc/<^(rK dm. u^^maK i^w^ (^/u<4> ^aul 
ecke^en^ocde ^c'mt /?Ut ^^&yt {/k den J^ud ^fi^^wt^^cm^4f , 

d^ ^öfook^om^ de/^ v M^^'MM^de<M.t 4^ceae^ ^'^> 
€/idö</r2<^d^U/td<^^^Üe4^d£^ ^W . 

dmjeK ^o^a <^/. ^^(/^ 6ct dm, J&m^c^dcuto, d&6 $^^ 
<^- ^ndC^4fd(jMt M^omc^öc^/ec/i^ S^cd^ /0<£düz^6dc^6ßlA&^ 

<^edtm5dtci^ ^cMc^ ^fwc^ e^&idScck iftcm. ^6ae^(^Cf Aa/ . 



O-coM 4^1/^ dct ^^oowc &X4^end0x^ J^^eii/m. riedicoin,eM. 



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^ün^j -m e^tcn. Se/ce3tf&K '$3e4<z ^^e^ ^m ) . J2m ^m^i^ 







/eK't^6^4<wie6^(jt6o&/(jL ^c'«'-^t^^/^-^i^^^. ämm^6dmp^/&.</ct ^fe^ 
ä^ M^ccA ^ ö (/S c^ ^&'^ n<.<:k/<4 ^/> 



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proj, /x4foikCa^o^ytm^t<e^ '^ jfai^^/c^4^^^^6(Mt . ^m^ ^^ 



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i^ö/im^ect tm'^th^, f'<^.^ cioowk jgCco ^/^eM^at ß^^t /^Ce^cMitc 
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Olli ^'^(^/'^cdiAdt&w^c^TKcc^^ <!^um,t . (^.'^ c^ ^'c6e</^<^t7^a?U(^3Pi<d ^ 






'MZi^<m^^ ^u.en/}/doC6 <^e^^o{^t ^f(ert t^i^e/2<, jUom^^cocK 



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^^ ^/ -^-^ •• ^- ^ 

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oJa^ /sicc u^Jic d(£n. &)i^tZü(K^/Mo(^uX'Hc/t^^^^^ v^f</^t€e4^ et ^ 
e€^ 4ij^ 4^C^iAK/tok ^u6m^oU4<^ v^^u^/cw/e^ ^m. 6^^^<^€^U^en 

ojK^eK ^^; ä^ic^(j^&Sf4^ S^tei^l^ Sccäe^ ^(/äe^^ ojzwJc64(M(M^ 

Ä^^ie4>-/e7U ^44r66t^M.. ^. aA( r/toc Ce4t / ^otn/j c^t t/(jn^t& ^<. /^/x, >^ ) 

<<4to(. ^/^&^i6(^ ^m mMe/2^i. ^/^H^yK T(f//^^ ' ) ';^<^^<^ 



ijf&ty^/Md. ^^äe^^ ^^i4^^G&i üe-Huzdd f^^jOy^f^^. , .^/d^ uf^tt 
(lÜL^A^^c^ide^t/i- f:^SCfJ^<^^^^ S^>v<J^p}U)i£tQ^ -^i^- 



JkZ M^ul^^tum ^^oftßt^t/t i^e/njC)(rJ(/4/4^ /7(m,^^ 



deM.j 4!>S'dct ^'(A/iA^ /jOcc ^^ - /e/mjt ^^^Kt 

/(taCe/i e(M.m/xZ ödtnaoCe/ ^m<^e^yt i^wxZ ^^n/^M; 
%^^ Me6 dot Ja/l dtfiff cic^ckw^ o^^/^^t ^ d£Tt .^ u^Jv^cftm. 












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(^^€e l^iw^ /^m^oC t^^t^&cKOM. jfiae/sc^twt^ Ai^M^ . ^^^ ^^ 

^^imeM. ^^rU/^ eu^e^ e//Köi/ca/(h&yL My/^M^ndCf ccu^j£<jU^öe^ 
mcoCoUÄ&tH^e^e^ e^^e^ <;^ <^t^>^e ^^<:^^<^(5 $w(/^ ^ ukoC^ 



0. 

i/tm. ^<ZSe/ i/ , Sn^oc/f(^ Jkej^en, 4m^oC J^fU6t ^A^^f^^tm ; ctA ^iASc^6t 

4^i</ü/e/e4t ^ 4crj^(^t de4^ J^e^ot^^t ^^i^Jt'^arw.ou^ ^e^^/^ , 
do(/^ d(t fook^dj^ i<4^er(/>cüicc^cfte/^ j^^e eute/i €/Sm£4^ $^4^ 
dctß(J(X ^ -h / e/(Xm/ce/K^ /oc^ 4^u/m <lS^roS{^e</e4<. Acw^ ^^ ^^ 
mt^ den. ^e/ka^dt -^ti^^ . ^wtMO^k ^/M/ dom/^ %op<jSuA^ 
Tii<jpog ^/<ß^^44deK^ dvt ^c(r>Pce/fü^d(Mi. ^H/e/i/oie/cdc^^p^ ^^ , 
^a4ta^dwt yiddm4^^^^(mi^te^ dce ^^c</vf/cyv / ^'yx^c&Jcc c*c /XjÖ^ 

^4Addm/V2^<MA^(mdercc dte djau^m^^^Kim^. i^trpK ^MicM(X^, 
aesddedd. mn,4m^6e/H. d(P(Ja ^(^rtctjfe^KoC ^erocoMe^ z dods 
4iadce(/pte4i<. v^<n< ^^^^ftkeH iw^ Joohit /S/O^m. de/K wo^m6 

emcn.m€Mem<^e4<.M^ 0kdm<4^ü'^t</^M^&t^—^; 

äA^e6 J[pa^<)mo(/^e^cAjMd mvs<^ 

diddce. t^^ ^ruxde^ ^o/. Pod6<jdH/:MMd m>'f^^Mdc^eTi 






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Sm^^M^cnt6 'i^mv /^ß^j /SS¥, ///^' /zi<^/d^6c€^e(^e7m^^ 

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/ocüe /^.^e/Ke^^^ ^^^e^ . J^e ^fMdcm^ ^idc pumdtdt /dfy07ydt^ 




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zGiJc(mAx/jt yPwwt 4^&cM/e/t (hdJU^ta'^M ^ dcoc<4^en üf:>^d(/e4^ 
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djx/^m^ de/K m^Adl , dj^A ^mjxMy die t^ccu'W/e^un/t^ ü^o^ cm. 
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^/wtoCe/b 6mt m^m^i^m^ ^Pt^/e^^t^ <m<. l&c/c^ dm, Jf<m/i ^ 



4<M/iat ^&a&dop(y ü/?c6{^ : 




^/tßi^^licdc/i d^i m^e4td^</'Jte/^c Xk'l^e/ •e^^>t '^^uru^j^t oh, ofoc^ , 



Jü^^ i*(XMf •{/-'tc M/VL ^örrc^m /XM^ 6</t^rK ^^w^/ ^pux^imeM. )^ ^^ 
^/Xj^i/c6n ■i^A.ä^^ u^<m^<A/eA^ ^mjcCoot ^(tk /^f^ [ -^oC.ß^) ^^m/tt 



^eS<riäce ^i^^c^mc^c^cs^Sac^änceK emoCi^e JCim^UidccHQi^ cCsK yam^^e^focc . 



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/^Uotdw{^eü/ ^ 4M</oC ^utTtfo^^nt^tept A^ 4u^vt e/'co^ ^c^?^ dte6e6 >^^, 
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f^lg&icffl f a^ dMt eu<^e&j<.&pt dceöen Jicwtit d/x/ifmou^'mc^ 



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mK^ ^m^/ 4<^oide^^v , {de^eK '^a/lozd&ü^ dce. c<£^efnH^do^/<&<. 



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j-m^/o^oKe/K ^m^oC<^^t f^/caK^oA ^im^-o/K. . ^^'^A^^rt^/um^aA^ 

^U4</(.44}&M<.<^^A, 'S4<j;/(M^CrLOC^CKOK /'^(^^'(^^/^ö^Wi^e, ji(^-^ 

/MarA ^e^K dorn^^ ^a-^ü^dt/äit ^;(ja/m^^ joCo^ö mA/dt'e '>jocaen, 

mokl a/Mrt&ccki^ do^6 /^(^a-z^^e, m.6^t/piyc(£/t dCe. pc^^&^ ^ 
/^/MTiH^c ^ <m^€^fte/m. m/^^ ' Jm, dem/ ^o^/m^^^^^ ^<rK, 






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^nM^yc -^^^ ^^ <^e///pttkaK den a/^e^i^O^cÜMt c/^^A^, 
/K&H.^ 'p^CJt^ ^i/ina&Käi^(^ 4WAeM/^cJt /Sa^ai^/oait (&n/Uey Atx,^ 

jiofj^yK ^ttcfj 6o^^f^U/^c , do^^ m/ri Aten. eo^^t Kf^^aAötAu'^i ^6^ 

"^^di^t e^^(jfdm.e/K ^ m^ryt^rc <4l e6 d9^K ^^^ '^^-^ ^jC6^/^^6^c^t 
f/ukc^ ddü ^firzn. die ^cK/üe^rH?(/4dm^ J/t^v^<;(^te//t 4</?(/zS/'üxk - 

da/ö wvcm.6 /^ cm.o(£^üe. die Joed&t<.^^'j^^y^ de/iptkO<? dös eo^ 
4WiJ$tk^ ''j^u'6A.e/K. y dct Ad£/y<^ß.t6a/?i</2<K&K^/fj:u^^ ''' dj^6 a/^e^ 

dct ^eome/en,^ ^pcßckc /5u^^ a^ d(£öeMc^c /x^P05tAöi'^66Ky ^^ 



/ci/m. i4^ i!^e/rcou^, ^m^6c6(mdje:^ /?c6öißua/enj /^^ See 
.foimrJe. /^(£fi4</(rJ ^^t/^rt^^^y^- j u*tf4)kjt ^4^^^ /CTCoO^xj^^^e. J^oü^cm, 



JÜpan/m^U ^^ ^HdowtAetü ^<^^e6 *^(?uA€4^^ x^en,e/M^ 
(ß^ff/^Sj- *^aSfJ^^k^ ümzM(/^ 4tan ^ ancijlö e/ /6c<K^a>ceA 



SS. 

"^fta/öJK/X/ti/Pt Ao(//PL ^</(ürt /SW<^ ^e^0taL^^ ^'ico56(m'^cc<^6^ 
/pKe^M^txe^^ ^aoioif^/^/yLy c6m^ dm. ^PM^^kZöcy^ ^tnt^on ^trcme^^ 

dx^ ji^tM^dlotua j^ (M./S^k(xrJ Yt(m^fc^''m.d^^M^ 

k'(n<4^dhtd<k^^^oi(ks6^ de/t'^ecm<^t<e ^c^kcout^^e^ 
^(yy-dm.^armt' ^ dtt 4^i£lka/c^^<^&dtt nM/?(fe dt^ ^^ite^ridc\ 

dj^ö es öodt Aieri ^.(44^e<M^ w.^A&f^H/^'Cöt^ >y^e^xh[?CeAaK^ 



^^e ^ 4/yyt ^n^A^^oMe 4^/(,e/t^ey5 ^^n^aM^en, ^H/KC'^/(K(^^a4eo$ 



'^i/6(/5e' <j6/ /oC&n. y^ßn/u/^e^^ /C^€/kScvi ^ej&^^i<^'a J ooS(K^i7^^ 
/<^/e^iö/ $4tt^de/i fO-^ M^t^ ^Mj^pon ^^^UH^e öoCGe^ /i^cc/uA 

o^oMta^ eK/:>'&ü/^^^ o(Mt^^<A m/oSeöm</:(.en.e 't^tm^ ^Krw&'t 



i^fc^^e M(ß^^(z6irat/cf'tfteK 7/ i'(H^ j<y(/?'^ av^/ea-t. ^/x/t ^w^ /pCc\ 
mSte^n^e/i't ,; ^.d^Ju^H " .^ytt JfeoCt ^/. m^^ AäMt ^eoptt ^, 



/n-^vM^ß.^. ^^t i$c'& . 4^t . #;/ j^[/SpJm0<M/e /<m^e6/dC/ . 



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fi^(?^nvm,m/^öe^^ öchyccS ^tW^/t nrnm^e^t ^M/ok 4i<m- (f^^<^ 

^(^tdmi. ^4ne_jCK . ^Cpt^en^de^c //m/ö<Ae4<. ^em^e/eM<^ ^ux/ 



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d('& tMecSs^^oxan ^ ^\ 4^^ a^ jl ^ , ci;^(Myt/edcö(?^At Sifooca^ 
^fm/^M^ /:(oümz ecMCy ^/Xtc^/c/^wh^ /den. M^4iam^ ^dc&t 
<MccAt u^ pe^lod/ ecMyüL Jfaz<Mm^wi - da/5 m^tc J^aZ /ccös 

djoc6 m<ydene. JCpocC /xS^ ^e^6ywwt ^- (\äsdmta /de^ Jf^ [ 



Htm. /^%. ^ t'€</^/e/K ^/ ^rt{0 ''; dit nAiafe/fA^o^^ /^^w/. 









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^w/ta/e/yt djPft, / /^ ; ^^^p -^^^ e^^^^^#^.^:^'fc^>^^^;t^ 

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^küuiM^Scok ke-t/'ytMv,, J(u^(HÜiC ! sSp<y</e7cen^ocü e^d/<k/ m</ e<4<£r^ 













X, -X ^. . . A^.A^-'.' >v^•/. 

^^K&Se^/^CcejöeK oc(n.ffc^4^mi^ie^im/^ /z/x$ ptjc^ 4i^u?of<. /i:r.n. 

^ji^ene/L a/^^mKec^ei<, ^M^o(/öc{yKff' ^f^t/iy^e ^^^<^t6 u4^4>m.vL 
Si(XfW€/K/ i>/d^e^ ^^v^oC. uk'Ptt 6eM6/äcc J^a^ ^c^S^ /?Cmro^^^ 

tj Jm, ^^ ^(^ cn.ßlJm/M(jOOU ^(^^(/^ /?C6tf^^ ^^ -^ 






ü^c(t J^l^ 4>eül . 

¥J i!ge/sa^^e. c^(:u^7yL ^^^Jtc/e4<^ ufKZoCeAf ^^-c^m. ocooi^ 

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^yM. ^i^ f^ji,eW4^WL^e/K^ H/tMcje. OMötruen ^^caot^ €^^'</cc/e^/^C^^ 
e/u/ijooM ^ ^cxm.- Mc^<^^fcc(44x/€^ S^e^H^eM. . ^<K6 ^oc^ joÖzH 

jdm. <^c/eKa/<xjt erileoCca^ iHT^eae^<, f J^oken,t^'^tkd.do(j6 m<ffA^ 



j^m/ü ^c^A.^th^^''K^tftm<.<M^ Jt4A^t ^€/Vj!a/4>e4A. 4M^0Ct^4XK "^(^rl^tO^/^Uf 

e/Mey t/notae^ ^^i/^öc^ 4ta/A e^okex eJi<focö' a.i^dm&^t!^ü^^MC0^ 

/6oom.44ij&^t/ütaMC''ytC/^ i^^ut/x/t doz Se<^o(£My &mvi'Cpc y.^/. t 
^^e /Xit (}6c/(/LlaA'(n(^ehKeM^ dK£/^ 



/e/2^) , dcte>S€Mt ^icv^ ^ut^e/L choCMMi^ ert/^/en, ^^(ecie^ .^eeät^ 

i(^.e£^e/^ öuk Scc /pCc^en. t/u^eovce mck/^c^e/yJßcck com, ^tjeccjt /jcho,^ 
^/(j5ckjt ^tidife^ £(n<jdau< s<^hz ^u^^ üe/rmj^/fUötAe v^-^^y. • 

^o^j. e£Ccyc^c6</kj^ ^/eOMcC Sej^ecät^^WH. <M^d <4M/en f/?Cc^ 

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^/^ ^^^^- Zot'^j^ = ^^^ j^4^,i^i<e^4ec^ 



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ckttyudf i^^^Mce dce Jem^t^ /^^ / d^K ^ce^4^y?^w^ '4>cke^jh> 
J^y/C &t^/c?co^le/K (Ao/Se. , dm. ^^ de/s Jf^^ d-A dM,d^t^ 

/^■f/ytjt We^/enjt^ atke^(^^U/^t .- dez ^^'^/(^o(</^i^^^(;vajC6U<^ d^MCx^ 
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ia^/'6(renj^/6c<:^ d^K f/x.&^^yt ^^(Ä^ fa^: -^005 ^a^<jt&Kn^^;^^ 
(MonM. /^^e7L Cm/^C(/cc<M.^ //My oCtt M^atAK ae&^/ 44}Oto(e^^ K^'Mije^^.^ 

^üe/t2My. oÄ:^<^(^^^ ^^^e^^e^^ 

^ m^Axfocck Sege^H^eH. , e^^C/c^ ^Cöcn^tdeKC^ ypcierc^öt jGÜ,^ 
/OCooLokf da^6 ^<y(A OM^ äe^Pi6&^/K ^'KenAc<ft^n.o(/^t ^an/ca</Cy 



S-. M^ den, ^mta/cwwt /oCtn f^ See /o > /, 

de/>^^ene4<,,dttwvt f^ , f^j f^Hjm/K&K^WA^/ de^/b 

^e (^ ^3et ^/6<^^K ^KM//t(nte^ aM//fü^e4<dt y&/jS4</?c^(ucef(i£^ 
4^(jdpu, Si^tOüte^sK. J^iu^t^^ ^W6^^?^ Hx^cü(MeK. o^.4Mte^</^c^m^e^^ 



/Xo(/6 /^'<K^</ce4<.- äjßM^ ^K/-^ , ^dji<^j^ e^Att ^iteoott t!^e/oc/cat<^^ 

e/m^ ui^njut, i^<J(jt äeM<y ^^^^ &coe4^6cck OM^doc^^ ^c^HyOU/t 

€</il^(kAuiyt S^en/ioCcn^OK Joo6(e /XM^e^^e d(7/</te^/ ud^o(^^ 

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A^^i^cTK dex -J^^m^ax^covwe, den f/XMA /i6^ dc& S66(T;<deru/K 
j^&M'^tm^ ^wtrid tnJt^t&e/p<^^(mHe/^ ^ dc^ cum U^Ajöenenß^^oc/^^ 

.doMcwMmlc^m.^ /S(^ ^apvKeM, ut 4 eck m/f^derc /xdoUrteK 
[n {AjnoC- 2) ^eSoH^e/t4<.^/2/t düf<ftß^^e/KfeMi4;€<^(^ 



.6oci^^ 4Xocf. Jm le^/aL€ypo J^S6t ^i^txuioC ^^a/K e^cot'^^ ß^^^t^&c 



^m.. UoCot Oj^ cCct ./Icm^a/mt ^^(/^üt ^^At Jctl/o^ m. j-pooü 

MkM4 fo So5<:^/ . o^ctO^'O ^&^e^ /::^!k^ert t^ocAc m^ 
/^toüpu^e/yc .^^ . ^€<^^ '(^^^^ ^&?(}Jct 4^ffVLoC Su> ^oUn. 'fei^en6tta^6 - 



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f^^^km^e r^u^m/u/^^'Jte- <^r^j^^e/^^M^^ ^44y/m(X^ . Jr^ 6ot<.^ 

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w^tHfcmckeu (kAcekuty ^atippat ^4<m. 6 



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Min. m4^^jKc(/(.m. .fe^t^w^^ 
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^i^ , dM/5ut 'ßoffothk - pamtd^j^sdi Stdcit/eJ dce^ , d^6 dit 

wi'tfuwc'Jt, dd^oHt cS^t/c&^^t(/M^^^ <.^mJd^S^•6md^ öuwCe^^ de.. 
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^lüwt^ 4ot ^^6dc&i öidt eoiwb de^ ^' (^^oolt ju.otMe4/n </>d<7i/€^ 

^mAoien /6c6dte^ t^^<md^c6(m^m/d^/m den. ^md^'^ ^, • 
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/e^^mt <MAi/Jm^ &ö&M/a/65 eckt McMJtfi ^(^Jcen. ^ea^dmiMen 






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Z^'^'^"^ n,e&6U. ^S'm^^ ^ 4wMz<4M6(;ie ^wv^ uhax/t S<mjkmc^ 

'k^äm ^(TT^^t^do^/cm fe^ d/Je^foUtt den 7(£££fe^ 0; a4<di^. 
m^id5<nA(?o(A/</ dctf^^ den Kedie^0^ o-J ■ 

^ koMde/eM, ^^Wat i;m^de^ £e6 Ümmm^ den 0da^ 
dct MäoiJmidi^rmyi . ^'^ -^ipd/^^ dce Me/a/^^uU^^'^^te^ 
dMMk dCt ^etke^ de/m/uJi 









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de^ieK enj^/at 4/oKoC ^^Ue^ m^ ^<kA rwM6<4tüC; ^i}{Xy^eMoC ßun. 
/eu . cff-c&^en, S!oo6tät ß^kat ^ütoC^Ctt c r^^ ^Secdt J^c6l/4oi 

^ X ^/ hkeJv? 6a/^m. ^ dm/e/K,. /x/lt f<^p^a/^^ de^re^ fndm 
> X, ^leii^k J^:zäM ^e/fm^^'^t/^e/y^ • J-<^ ^/ dM f<mßi /u^acm 

■MM Ax^' A^^Jio(m.^co66s St^ce^ ■'mh^<^e4^. iäa. /jüi. 

ß4iHc ^C^6C4^ ^M,e^ä, /t 4t^Ade^pft ^^'^ eucc4H. j<^we(m(mi 



i4TU(?(üv<4t ^n/ß4C jo Ho/Jc den. ji</(X)ff^a.^den.(A^^; ^m^ktöct 
mifCMCo(fiüokCca ku^ktm. . $^^tMcdc e^^UkdS/ jede ^n/ ? ^"mi/a, 

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Ikä/^uoKO^ e/c. e/c. off-^^^ ^H%cd£?i 44i(^ae/^<^ /mn ^'^ a^fowccle , 



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