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Vorlesung
von
F. Klein,
gehalten während des Sommersemesters 1891-92.
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GÖTTTNGEX 1894.
Inhalts-Verzeiehniss.
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STAT.
UBRARY
Seite
Zii^lpuiicto dPi' Vorl'^sung' 1
Erster Theil : Grundlegung der Riemann'schen Theorie.
Moiiie Auffassuii^u- d<^s Kicmanirsdieii Progi'riniins 4
I. Von der Existenz des Hauptpotentials H auf vorge-
gebener Riemann'sclien Fläche.
A. Physikalische Betrachtung.
Die Rieniantr.sche Flüche als Substrat der Potentiale 8
Die Zahl p . . . . 10
Die Potentiale H, L. ete 12
B. Mathematische Ergänzung.
Xothwendigkeit einer solchen 16
Verallgejneinernng der Voraussetzungen 20
Prinoip der conforinen Abbildung: Historisches zum Existenzbeweise . . 20
Allgemeines Beweisycrfahren 29
Aufzählung hi'auchbarer Flächen : die Bedeutung der Min inialf lachen ... 31
II. Synthetischer Aufbau weiterer Potentiale und ein-
fachster Functionen.
A. Construction der Potentiale.
Verschiedene Arten von Unstetigkeiten 35
Die überall endlichen Potentiale und ihre Periodicitiit 41
Allgemeines Potential. Green"scher Satz 46
B. Uebergang zu den complexen Functionen.
Conjugirte Potentiale etc 48
Unstetigkeiten der Functionen 53
Einfachste Functionen 54
C. integrale der 1 ten, 2ten, 3ten Gattung.
Xormirung der Integrale erster Gattung . 60
Normirung der Integrale dritter und zweiter Gattung 65
Gesam mtverlauf der Integrale 1. Gattung. Conforme Abbildung der zer-
schnittenen Riemann'schen Fläche 70
Erste Abzahlung der Moduln 80
Gesammtverlauf der Integrale 2ter und 3ter Gattung. Analytische Foit-
setzung. Mehrfach pei-iodische Functionen 85
Jvi';'78G77
Seite
III. Algebraische Functionen auf der Riemann'schen
Fläche.
A. Allgemeine Sätze vorab.
Die Kiitstchuiig der inehrblätti-i^^en (»beiieii Fläcli^v 03
Minimalwerth der Blätterzahl 97
Bede\itnrif>' der neuesten Arbeit von Ihirwitz 99
B. Herstellung algebraischer Functionen auf gegebener RIemann'schen Fläche.
Zwei unterschiedene Herstellungsniethoden 104
Eiemann-Roeh'scher Satz 106
Freie und gebundene Functionen 110
Endgültige Abzahlung der Moduln 113
Folgei'ungen aus dem Eieinann-Roch'schen Satz. Xorinalflächen, insbesondere
kanonische Flüchen 117
Angabe des folgenden Kapitels 120
IV. Algebraische Darstellung auf der über der Ebene
ausgebreiteten Fläche.
A. Vorbemerkungen.
Die „gcoinetrischc" Siirechwcist! ; dei' ,,allgeineiii<r' Fall . . , . . . . TiS
B. Darstellung aller algebraischen Functionen durch s und z.
Auswahl di^s s. Seine Discriniinante 131
Darstellung i\or andei'cn algel)raischi'n Functionen 13()
C. Von den zu der mehrblättrigen Fläche gehörigen „Formen".
Formen und j>aiize Functionen l,-59'
Darstellung aller Foi-nien dui'ch z,, Z2 und eine zutretende Form .... 144
Der Satz von der Minimalbasis 149
PunctgTui)pen auf der Fläche, und deren Aeqnivaleuz. Darstellung beliebiger
algebraischer Functionen durch die Foi'men 100
Extnirs über die Theorie der algebraischen ganzen Zahlen Iü7
Darstellung der Integi-ale. insbesondere auf den kanonischen Flächen . . 177
V. Anwendungen der bisher entwickelten Theorie, nebst
Andeutung über deren Weiterbildung.
Gruppentiieoretisches Kintheilungsprincii» 18;i
A. Von den Minimalflächen.
Differentiation und integi'atiou bei homogenen Variab(^len 188
Darstellujig von Minimalcui'ven 191
üebergang zu den Minimalflächen 194
B. Zur Theorie der algebraischen Gleichungen.
K. Fläche und (Uch. mit i^nein Tarameter. Dedeutung von Tschinhaustrans-
formation und llesolventenbildung 200
Keguläi-e Flächen, ülx-rhaupt Fl. mit eindeutigen Ti'ansf. in si(,'h .... 204
Seite
C. Vorläufiges über algebraische Curven.
Die Noriiialciirve aus einer Rienianii'scheii Fläche erwachsend 209
Uebertragung des Satzes von dtM- Minimalbasis. Einordnung dos Xiit.her'schen
Fundamentalsatzes 215
Beziehung zusammengehöriger Curven auf einander 220
Darstellung von F'unctionen auf vorgelegter Curve 228
Rückwirkungen der Curvenlehre auf die Riemann'scho Theorie 227
Zweiter Theil: Beziehungen von Riemann's Theorie
zur Lehre von den algebraischen Curven.
la. Allgemeiner Bericht, betreffend ebene Curven.
A. Historisches zur Grundlegung der Theorie.
Analytiker und Synthetiker. Plücker 1S30 230
Chasles, v. Staudt, Grassmann 235
Postulirung fMn('S direct<Mi Uebergangs zwischen Curven und l\*i('mann"scht'r
Fläche 240
B. Anschauungsmässiges.
Die reellen Zügt^ der niedersten Ordnungscurven 242
Desgl. der niedei-sten Chisseiicurven 248
Allgemeine Sätze ül>er Curvengestalten 251
Die einfachsten Beispiele der ,, neuen" Flächen 255
Die neue Fläcjie bei belii'biger reeller (Uirve mit i'infachsti^i Singularitäten
Uebergang zur gewöhnlichen (x i-iyi-Ebene otc 2G1
Functionen auf der neuen Fläche. Die Bedeutung der leellen CurvtMizüge 206
C. Weitere Verbindung des Plückerschen Ideenkreises mit der Riemann'schen Theorie.
Die ciufMchstcn Schiiirti»uiikrsätzc 277
.V(M-gleich mit dem Kiemann-Hoch'scheu Satz 281
Fall, dass singulare Puncto auftreten, die keine Schnittpuncte sind . . . 284
Complicirtcre Fälle. Tragweite der Schnittpunctsätze 287
D. Weiterbildung der Curventheorie über den Plöcker'schen Ideenkreis hinaus.
\'()ii der ln\ ariantciitheDrii' linearer SuiistitutiniuMi 2i)0
Eindeutige Transformationen, nisbesondere Cremona-Transformatiouen . . 295
(leometrie auf der Curve ((rrupi)irungsverhältnisse. Abzählungstechnik) . . 298
Progi-amm für das Sommersemester 300
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2.
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307.
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Vorlesung
von
F. Klein,
gehalten während des Sommersemesters 1892.
-4cp^ Z^veitel• ^bdi'uck. o^
GOTTINGEN 1894.
Inhalts-Verzeiehniss.
Zuniiclist Fortsetzung des sclion im Winter begonnenen „Zweiten Theils" der (iesanimtordnung.
Seite
II. Allgemeiner Bericht betr. algebraische Raumcurven.
A. Die älteren Arbeiten (bis ca. 1870).
Vorbeinei'kiing(Mi 1
1. Niederste Raumcurve oder sonst specielle Raumcurve.
Voller und theihveiser Schnitt zweier Flächen. Beispiele, Kationalitäts- und
Integritätsbereieh einer Raumcurve 3
Parameterdarstellung: Kegel und Monoid 11
Curven, welche durch Patrices definirt werden 14
Curven auf Flächen 2. und 3. Ordnung 17
2. Nähere Untersuchung der Raumourven.
Cayley's Uebertragung dov Plücker'schen Formeln 2G
Erläuterungen zum Chasles'schen Correspondenzprinzij) 32
Anwendung des Princips auf Raumourven 39
Das Cayley-Briirsche Correspondenzprinzip und das Princip der specit'llen
f.age 41
Zugehörige analytische Ansätze 49
Schnittpunctsätze bei Raumcurven 52
Realitäts Verhältnisse 57
B. Die neuere Periode ivon 1870 an).
1. Einführung neuer Ideen.
Das Heranziehen der Riemann'schen Sätze. Clebsch 68
Die Arl)eit von Brill und Nöther im 7. Annalenbande 70
Kritische Bemerkungen, alg. Functionen zweier Variabeler 79
Mehrdimensionale Anschauungsweisen 85
Programm einer allgemeinen Tlieoi-ie der alg. Uurven 87
2. Durchführung des neuen Programms.
Von den allgemeinen Normalcurven, bes. für p::=0,l 91
Von der Normalcurve der y (bei p > 1) :
Der hyperelliptische Ausnahmefall 98
Weiei-strass" Bestimmung der Modubi . • . . . . 101
Einwände und Ergänzungen lOö
Seite
Von den Flächen, Avelche durcli die Noi-inaleui-ve der tp gelicii .... 110
Allgenieines; üboi- das Problem dci- Sjiecialgnipijeji 114
Von i\ov Anzahl der Speeialgni|»])(Mi : Die Methode von Oastolniiovo . . . 122
Von dem Problem der Tlioilcurven s^^- . \\]{)
Dritter Theil: Von den symmetrischen Riemann'schen
Flächen (unter theilvi^eiser Benutzung der
Abel'schen Functionen).
I. Elementarer Theil der Theorie.
A. Definition der symmetrischen Flächen und Stellung derselben innerhalb der
Riemann'schen Theorie 131
B. Aufzählung aller symmetrischen Flächen.
])- lind di(.^ liyi>f're]]i[)tischen Fälle 13y
Ueberhau|)t Ip-fl] diasyniinetrisclie, f^-^"| orthosymnictrisehc Arten . . . 143
AVesen des Artbegriffs, Abzilhliing d(3r zugeliürigeii Moduln InO
Die „hy|)erelliptisclie-^ und die ,,I)oj)i)elpunots-'-Met}iode löO
C. Beziehungen der symmetrischen Flächen zur Curvenlehre.
Gen(M'elle NormaleufviMi -[r^<^
Die Normalcurve di'i- (p: Kinoi'dnung der hypi-irdl. FälL^ 1(13
Nähere Angaben übei" p .3 und \) A- Kjy
(Jonti-olc der Angab(Mi dureli die Dop])('l|)unetsni(^thode 17.")
D. Von dem Problem der </^
Die allgemeine algebraisch-analytische Theorie 180
Bestiitigungvn \)o\ p ;! 183
Dt'Sglcichcn bei p I und p > 4 . ' . . . . 187
Das allgemeine Realitätstheorem 1!)2
Erläuterungen und Beweise für p H • 19(j
Desgleieheu für j) -4 uiul ]> > 4 \\)\)
Ein besonderes Realitätstheorem fui- das (Mu/elne Oval bei p 4 . . . . 200
II. Heranziehen der Abel'schen Functionen.
A. Die allgemeine Grundlage.
Das Abcrsolie Th(Mji't'ni und seine Tnikehr >ir)
Das rnikelii-problein und das IJiukeiutheoreni 219
A'en d(M' Px.'stiuiniung d(u- Berührungsflächen F 22.'}
Charakteristiken. (ii-u|»j)irungss;itze 228
Vei-aligemeiiuTungen 231
B. Von den Thetafunctionen.
Definition, Fnnetionaleigensehaften, Potenzentwickelung 2:^2
Zusaunnenhang mit den «^h, insbes. im hy])erelliptisclien Falle 21^8
Priincharakteristikeu 241
Seite
C. Realitätsdiscussion vom hyperelliptischen Gebilde aus 247
D. Directe Realitätsdiscussion der F, bez. der ^', in den orthosymmetrischen Fällen.
Aiischluss au AVeiehold : Symmetrisches Schnittsystem 252
Das Ppi-indicitätsscht'ma der zugehörigen Normalintegrale 257
Die Realität der F .263
Die Realität der </> : Erhringiing der früheren Resultite 269
E. Directe Realitätsdiscussion der F, bez. der ^. in den diasymmetrischen Fällen.
R.'f<'rat iUmt W^'ichold. liebst Fnlg.'rung.'ii 272
F. Von der Vertheilung der Charakteristiken auf die einzelnen Schaaren reeller F,
bez. die reellen ^\
Allgemeint^s, Durchführung der hyperelliptischen Methode 276
Bemerkung zu Hurwitz, Grelle 94 284
Schlussbemerkiingen 285
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JimMt ir(rpo c// ^' ^- s€we y^A^^d tmw^cocrwt -^^ (/kd^
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/tauft/ St6<M ,. 'jct'füK(^f<^-<^^^^ ^(^eUv-OL, 4if£d^/24. '^^jz .die.6m<. ^€<rL^
^ka-x//i cdf&t (mAoij^ tH^<xjt /m/i^h cnJtcd/ept . <^hm^k. ^PH^aM. e</>tc
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(P^^d£tdi£4^ M(tae/H^ /imt^^ -
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^/wtoCe/b 6mt m^m^i^m^ ^Pt^/e^^t^ <m<. l&c/c^ dm, Jf<m/i ^
4<M/iat ^&a&dop(y ü/?c6{^ :
^/tßi^^licdc/i d^i m^e4td^</'Jte/^c Xk'l^e/ •e^^>t '^^uru^j^t oh, ofoc^ ,
Jü^^ i*(XMf •{/-'tc M/VL ^örrc^m /XM^ 6</t^rK ^^w^/ ^pux^imeM. )^ ^^
^/Xj^i/c6n ■i^A.ä^^ u^<m^<A/eA^ ^mjcCoot ^(tk /^f^ [ -^oC.ß^) ^^m/tt
^eS<riäce ^i^^c^mc^c^cs^Sac^änceK emoCi^e JCim^UidccHQi^ cCsK yam^^e^focc .
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