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in 2010 with funding from 

University of Ottawa 



http://www.archive.org/details/s1nouvellesannal19pari 



NOUVELLES ANNALES 



MATHÉMATIQUES. 



1860. 



PARIS. — IMPKIMF.r^lE DP. MALLF.T-n\(.HF.I.lFU 

Rue du Jardinet , i 2. 



DE 



ilATUÉMATiaUES. 

JOURll DES CAIIDATS 

AVJL ÉCOIiES P01..YTECHIVIQITE ET ^ORMAEiE: 

REDIGK 

Par I?I. Vei*<iuein, 

Ollicier de, l'Université, Docteur es Sciences, Professeur aux itcolts Impériales d'Artillerie, 
OlUcier de la Lésion d'honneur. 



]?I. Cwerono, 

Tiofosseur ilc Mnlliéraaliques 






** ^ 7 rà • 

BILLETI^ DE BlBLfofiRAPlIIE, D HISTOIRE 

ET DE 

BIOGRAIMIIE MTHÉMATIOlfiS. 



PARIS, 

MALLET-BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE 

nu FURK\U OKS T.ONGITIIDF.S , DE i/kCOLï POI.YTFCHNIOUF, , FTC , 

Quai (.les Augustins, n° 55. 

18G0 



GA 
I 






DE 



MATHÉMATIQUES. 



SOLITION DE LA QIESTIOX 493 

(voir t. XVIII, p. 444); 

Par m. a. DE JOLIVETTE, 

Élève de Spéciales (institution de M. de Lassalle). 



Soient P un point d'une conique , C le centre de cour- 
bure en P , O le centi'c de la conique ; par C on mène 
une parallèle à la tangente en P. Soit D le point où cette 
parallèle est rencontrée par le diamètre OP; on a CD 
égal au tiers du rayon de courbure de la développée 
en C. ( Abel Tramson.) 




Supposons Id conique rapportée à deux axes de coor- 
données rectangulaires 5 prenons pour axe des Y la nor- 
male en P et pour axe des X la tangente au même point : 



(6 ) 
1 équation de la combe sera de la l'orme 

ay- -h bxy -f- •'••' -f- '(t = o ; 

léquation de la normale en un point M [x' . y') voisin du 
point P sera 

?. ay' -+- bx' + r/ , loy' -+- b.r' 4- cl , 

Y zrz • r -|- } = • X . 

■^ by' + 2 x' ■ hy' + ix' 

Le rayon de courbure R de la conique en P est la limite 
de l'ordonnée à Torigine de celte normale quand x' ten- 
dra vers zéro , d'où 

, , 9.«r' H- bx' -f- d\ 
R = Inn r' ^,-^-- -, — 

by -\- IX ' 

1 ay' -\- br' -\- d\ cl 



= hm / > 



l.X^--: 



Car lim — étant le coeflicicnt aiiiiulaiie de la laugenlc 

x' 

en P est égale à zéro. 

La développée sera tangente à l'axe des Y en C et à la 
normale MCi en K; menons HR perpendiculaire à MC, 
et prolongeons jusqu'à la rencontre en T avec C parallèle 
à l'axe des X. 

Lorsque le point M se rapproc liera indéfiniment de P, 
la longueur CT aura pour liinile le rayon c de courhur*' 
de la développée en C 

Les triangles semblables TCII, C, PL donnent 

d ou 

,. CT p ,. Cil 

'""crp = R = '""ïïr/ 



( 7) 
et 



d ,. CH 






tlont nous allons nous occuper. 
Observons d'abord que 

l"n-=i, 

ce qui est facile à vérifier en tirant la valeur de PL de 
l'équation de la normale en M \ puis encore que 

1 ^^ 

''"^cc; = '- 

ce 

En effet le i apport de -— ^ tend vers Tunité; car, si Ton 

joignait le point C au milieu I de la corde CK, cette 
droite serait le diamètre conjugué de la corde CK dans 
une parabole tangente aux droites CY, CM aux points 
C et K; doue l'angle Ci IC ne peut devenir nul en gé 

ce c K 

néral, et les rapports — r ? -^ de chacune des tangentes 

CCi , Cl K à la moitié de la corde CK tend vers runil«'>, 
d'où résulte 

ce, 



et 



De là on déduit encore 

.. CH .. eu a ce, »:' ,. aee, 





,. Cl 

'^•""e.K^" 


,. ce, 

''"C,K 




IR 




eu 

"%ec.^ 


ce, ,. eu 

^2ee, + '"'e,K 


C, K 1 i 

2 ce, 2 2 



or 

d , 2 ay' + bx' ■+- d , 



ce, = R — C, P = y' + 

ce, = 



by' -f- 2,r 
4 (« — \)x' y' -y 1 bj:'^ — 2 by'- — bdy' 



2 i by' -1- 2.>.-' ' 

Pour avoir la limite, il faut diviser les deux termes par 
x'-. et il vient 

,. 2 ce, , bd y' 

liin — = y — — lim — - : 

X 2 X ■ 

y' 

lim — se déduit facilement de l'équation de la courbe. 

On l'obtient en divisant ses deux membres par j'" e( 
passant à la limite 

, 1- y' 

I -I- f/.lim -y; = G, 



(1 OU 



Substituant 



cl 



d y< lim ^ = — I 

.r •' 



,. 2 ce, 3 b 
lim — — = — 



^bd 

Cherchons actuellement la partie CD tic CT intercep- 
tée entre le diamètre PDO et l'axe des Y; 1 équation de 
ce diamètre qui coupe en parties égales les cordes paral- 
lèles à Taxe des X est 

by + 2.r = G, 

CD est la valeur absolue de l'abscisse corrrespondaiile à 

'/ bd . . . , . / 3 bd \ 

) = 1 ou ;- nui est le tiers de — — 7- =rr c - re 

2 4 ' ^ 4 ' 

(Itii «Icinniilrr le ihcnrcnic cnonrc. 



9 ) 



SOIITIOX DE LA QUESTION : 

Trouver la limite vers laquelle teoi! le rapport du vide au plein dans une pile 
de boulets, lorsque le nombre des boulets augmente indéfiniment ; 

Par m. FLEURY, 

Chef d'institution à Saint-Etienne. 



Un boulet repose sur trois autres dans la pile triangu- 
laire et sur quatre dans la pile quadrangulaire, ce qui 
pourrait faire croire, que le rapport cherché ne sera pas 
le même dans les deux cas; mais on peut remarquer que, 
dans l'un comme dans l'autre cas, chaque boulet de l'inté- 
rieur de la pile est en contact avec douze autres, et que 
les centres de ces douze boulets sont les sommets d'un 
polycdre qui a pour faces six carrés et huit triangles équi- 
latéraux. Le rapport du vide au plein dans un de ces 
polyèdres ne donne pas le résultat cherché, parce qu'on 
ne peut les juxtaposer sans laisser d'intervalles vides en- 
tre eux , tandis qu'on le peut très-bien pour les cubes 
formés en prolongeant jusqu'à leur rencontre les six 
faces carrées de chaque polyèdre. Je vais donc déterminer 
le rapport du vide au plein dans chacun de ces cubes. 

En prenant pour unité le diamètre dun boulet , l'arête 
du cube sera y/2 et son voKime 2 sji. 

Le plein de ce cube se compose d abord du boulet in- 
térieur et ensuite du quart de chacun des douze boulets 
en contact avec lui ; car deux faces du cube passent par 
le centre de chacun de ces douze boulets : la première en 
retranche la moitié, et la seconde la moitié de l'autre 
moitié, en sorlr qu il ne reste dans le < uiir (|ue le quart 
des douze boulets. On a donc trois boalcis .1 ajouter au 



( 10 ) 

boulet iulérieur [>oui obtenir le \o!ume du plein, (jui se 
trouvera ainsi représenté par -^- Le rapport du cube à 

3 i 2 _ . 3 v/2 
ce volume sera -, et celui du vide au plein — ~ 1. 

ce qui fait un peu plus de -• 

Ce rapport sera la limite cherchée; car il ne pourrait 
être modifié que par la partie superficielle de la pile , 
qui est infiniment petite par rapport au volume total des 
lubes, quand le nombre des boulets devient infini. 

La pyramide triangulaire ou quadiangulaire formée en 
joignant le centre d'un boulet qui repose sur trois ou 
((uatre autres avec les centres de ceux-ci, est régulière et 
a toutes ses arêtes égales au diamètre d'un boulet. Le vide 
renfermé dans chacune de ces pyramides pourra se cal- 
culer en ôtant du volume de la pyramide celui de la par- 
lie occupée par les boulets. On observera ensuite que le 
nombre des vides de chacune de ces deux espèces est dou- 
ble du nombre de boulets, et cette considération conduira 
au résultat cherché, qui se déterminera exactement sans 
l'emploi des tables trigonométriqucs , en remai'quant que 
dans la pyramide régulière à base carrée et à arêtes éga- 
les , les plus grands angles dièdres sont doubles des pe- 
tits Cl suppléments de ceux du tétraèdie régulier. 

Le moyen peut-être le plus expéditif, mais un peu dé- 
tourné, d'arriver au résultat cherché, consiste à calcu- 
ler, dans riiypothêse d'un nombre infini de boulets, le 
rapport du volume d'une pile au volume des boulets 
(|u elle contient. 

Je prends toujours j>our unité le diamètre d'un bou- 
let, cl je désigne par // l'aièl»- d'une pile triangulaire-, 

«' V'2 'Il '' i" — ') \" ' "?•) I 

en rcpi escntc u voluinr cl ,. le imm- 

12 ' <' 



( ï' ) 

htc de boulels qu'elle lenferiue. L'hypollièse ilc // iiifiui 

réduit cetle dornièse expression à — - par romission des 

termes qui s'effacent devant li^. 

Ltivolume des boulets étant alors ^rrr- > le rappoil de 

6b 

celui de la pile à ce derjiier sera -■> comme nous l'a- 

77 

vous trouvé plus haut. 



SOLUTION DES Ol]ESTIOi\S 483, 484, 48;» "^ S^^^^à^^^/^'t 

voir I. XVIll, p. 337); fi^^ V^.^ A)-/2 L 

Par m. Emile FRAKÇOISK, 
Elève du lycée de Caen. 



Solution de la question 483. 
D'un point B extérieur à une circonférence O on mène 

Fie. I. 




deux tangentes HA et BC , on projette C en Dsur le ravoii 
OA , et l'on fait exécuter une révolution complète à la 
figure autour de OA , 1 un des rayons des points de con- 
tact; il faut démontrer que le volume engendré par le 



( '^ } 

triangle uiixliligno CBA est équivalent au cône engendre 
par le triangle BOA. P^ î 
On a , en eflet , 

vol. ABD = ^ 7T AB". ad, 

vol ABCD = :^7r (ÂbVcD -+-AB.CD) AB, 

vol. ABC = :^ TT Âd' (3 r - AD ). 

Soit ABC = a ; on a 

AD =r AB sin a , 
CD = rsin (X , 

/• étant le rayon du cerele. 

I>es expressions précédentes deviennent 

I — 3 . 
vol. ABD = - TT AB sin X, 

vol. ABCD=-;tAB sina -f- -7r/-'ABsitv^a -l-^7T AB /sin'a, 

vol. ACD nr 77 BA /• sin- a — ^ TT AB sur' a , 

C 
vol. ABCD — vol. AJBD 

— -- AB sin a I AB sin- z + (AB — /sin «)' j 

— ^7T ABsina | Ad' -f- ( AB — CD)] 



- ^ 77 Ab' sin» a = vol. ABD 



Q r n 



( '3 ) 

So/ufion de la questioii 484. 

La même (igun; étant faite que précédemment , cl exé- 
cutant la même révolution , il faut prouver que le seg- 
ment spliérique engendré par CDA est équivalent au vo- 
lume engendré par le triangle CBD. 

En effet, 

vol. CBD = vol. ABCD — vol. ABD , 

vol. CAD = vol. ABCD — vol. ABC, 

et comme 

vol. ABC = vol. ABD, 
on a 

vol. CBD = vol. CAD. 

C. Q. F. D. 

Solution de la question 48o. 
Le volume compris entre un cône droit AS A' et deux 

FlG. 2. 




sphères O cl C qui le louchent intérieurement et se lou- 
chent elles-mêmes extérieurement, est la moitié du vo- 



( «4 ) 

hmie compris entre le cône et la sphère qui passe par les 
deux cercles tle contact. 

l^v volume compris entre le cône et la sphère qui passe 
par les points de contact a pour mesure 

;l ~ Bd' . EF. 

D 

Je mène GH tangente commune aux (U>ux eir(>onf<^- 
rences. 

Je joins GF et GE; on a 

GR = CtD = GB, 

el. par conséquetil, £ 

Kje^±= KF. 

D'ailleurs {Qucsfio/i i83), 

vol. BGK = vol. GKF, 
vol. GEK= vol. GRD; 



doi 



vol. BKD ~^Tz Gk' EF = — - Bd' EF. 

O I 2 



C'est l;i moitié du volume < om|)i-is entic \v cône et la 
S|>hère qui passe par les cercles de rouiaci. 



ÉQl!\TION Dl] OIATRIÈME DEGRÉ. 



I . Soit Téquation 

\ fi^x" -}- a,x^ -{- aj.T- -i- o^.v +- a, =: o, 

I [ce, , aj, Xj, a,). 

On .. 

rto(ai4- '/,-t- x,-f- y.,)-[- n,=i o ( rolatioii d' Albert Girard 



( ^5 ) 
Calculons l'équalioii qui a pour raciiu-s 

(«3 h K,— «, — y,)', [z, I- a,— («,+ «i ) ]-', [a. -h a,, - («, -f- a.) ]', 

<tu. co cjui levicnl au luùmc, qui a pour racines 

a, -h -ytio (y , -I- y-i ] \' F «, + 2 «„ ( x, 4- y..,) 
«0 J ' L -^0 

rï| -h 2rt„(a, + a. 

On obtient 

+ rt' 9 (3 a^ — i6rt„rtj a, + i6rt^ rt^ + i6«', n, a^ — 64«^ ^/ ) 

— {n\ — ^ dit <i \ (i 1 -^ ^ (i\ o.y :=. o ; 

c'est la réduite. 

Soient r]^ r', r\ les trois jacines de cette réduite, on 
trouve facilement 

où les r ont le double signe ± ; donc cette dernière équa- 
tion équivaut à huit équations. Ainsi, «., a huit valeurs, 
dont quatre sont les racines de l'équation donnée et les 
quatre autres sont les mêmes racines, changées de si- 
gnes. Eu effet, Téquatiori qui a pour racines — a, , — aj , 

— «3, — 5C4 est 

( 2 ) «0 •■'"' — ''. '^'^ + ^/2 X- — «., .r -!- <?; = o. 

Cette éqviation a même réduite que l'équation (i); c'est 
ce qu'oîi voit à priori, d'après la forme des racines de la 
réduite, et aussi à posteriori , car il u'v a que a^ et «y 
qui aient changé de signes. 
Posons 

Oo ri = a^-h ^n^ (a, -f- a, ! , 

a^r-i^ (7, + ?, rto(a, -f- a,), 
aar^z= a, -+- 2rt^,(a3 -h a«). 



( I^ ) 

Un a 

4 (i„ a, -+- <i» [r\ -+- r^— r,) -+ II, =1 o, 

4 «0 2<2 H- «u ( '•i + r. — ;■,.') -f- rt, = o , 
4 flu ^3 -H fl« \ ^'i + '•■ — r^ ) + r/, = o , 
4 «„ a, + ^'o ( ^. -h ^. — Tj) + a, = o ; 

chaugeaiit les signes de /', on a les quatre autres racines. 
Il s'agit maintenant de savoir lequel des deux systèmes de 
racines s'applique à l'équation (i). 

Dans les deux systèmes , la somme des racines a 
mène à la relation d'Albert Girard, et les /■ disparaissant , 
on n'a aucune indication sur les signes des /■; la somme 
des a pris deux à deux, ou quatre à quatre, donne 
évidemment le même résultat dans les deux systèmes 5 il 
reste à prendre les a trois à trois. 

l6al a, c.,= fl^ [/•• — r] — r] -y- 2.r\r\] -+- 2a, «„ Tj + a] , 
4flfo(a.i+»i) = ■>{a^r:, — a,), 
[a, aj (a, -f- a, ) -h a, x, (a, -h o-i) ] 

a^a\[r] -^ r\ -h r\) =z "^ a] — 8rt,a,; 
ainsi , 

8flJ[a,y.,(K3-l- =£0+ a3a,(a,+ y.,)\ = alr,r-,i\-\-(i,[a\-— ^0^]. 
On a donc 

a, a, a., 4- a, '/.^ z, + a, Xj Zj -|- 'x-, x, a, 



d\)ù 



fli n\ r\ li r, -^ a] — 4 "» ''• ''j 



Il faut donner aux /'des signes tels. i|m ils salislasscMl 



{ '7 ) 
à cette équation : et cette loiidilion suffit pour faire cesser 
l 'indétermination. 

Si a, = o («0 étant positif) , il suffit que r, , /■, , /j donne 
un signe opposé à as ; règle connue. 

Exemple : 

X* -h ?.4 ^' -^ 4^ -^ ■+" 52 := o ; 

réduite 

9'+ i20= + a39 — 36 = o. 

On a 

r]=l, r\ = — /^, rl=: — g; 

d'où 

r, = ± I , r,=z±2i, 7-3 =r — 3 j ; 

il faut prendre les signes de manière que j\ /•, i\ ait le 
signe moins. Donc 

et 

4j:, =/ — I, 

4^2 =1+ 5/, 

4^3= 1 — 5/, 

4^-, = — I— '. 

Cet exemple est pris dans les Comptes rendus (juil- 
let i858, p. 3 1)5 ce qu'on lit là-dessus p. 32, paraît su- 
perflu. Une telle observation m'a été aussi communiquée 
par M. Macario, élève des Ponts et Chaussées de Naples. 



Amn. de Uaihimat.. t. Xl\. (JtBvi«i i86a.) 



i8) 



NOTE 

Sur les fonctions symétriques des racines communes à deux équations; 

Par m. Ed. DEWULF, 

Capitaine du génie. 



I. Dans un Mémoire inséré aux annales de Mathc- 
mathiques de Gergonne, Abel a donné un moyeii de cal- 
culer une fonction quelconque d'une racine commune à 
deux équations. Ce procédé exige que les équations n'aient 
qu'une seule racine commune. 

On peut ainsi calculer une fonction symétrique des raci- 
nes communes à deux équations • quel que soit le nombre 
de ces racines, et par suite ces racines elles-mêmes. 

II. Soient les deux équations 

(i) /(_^-)z=j'"-+-p,j'"-'4-/;,r"'-= + . ..-f^™=o, 
( 2) F {y) = X" -h qo'"-' -H G^y"-' -h...-hq„ = o, 

qui ont t. racines communes et qui n'en ont pas d'autres. 

Proposons-nous de calculer la fonction symétrique 9 de 
ces t racines. 

Soient ji, }%» Ji, ' • -i Jn les n racines de l'équa- 
tion (gt). En portant ces racines dans le premier membre 
de l'équation (i), nous aurons ces n résultais 

Les t premiers de ces résultats sont nuls , par hypothèse. 
Faisons les produits n — ta n — f de ces résultats , et 

désignons , en général , par Ry, v, ^ . 'e produit 

/(j.)/0-0/(jO •••/(>.) 

le nombre des facteurs du dénominateur étant K. 



Ja's qiiaulilt'S 

1.2.3... (' l.î.l... (r— 1) C+l) ' l.î..t. .. ((— I) (/-(-2) ' 

sont toutes nulles, excepté la première, qui ne contient 
aucun des facteurs nuls /(ji) ? /(}"« )i •••'./(/<) î ^" ^ 
donc , identiquement , 

ï^!...3.... +?(r.J^r5- ■■}'')= R',.,.3..., + 'f(r..r3.r3... r,) 
+ K.u^... (/-.•) (/+,) H- ? (r. • • ■ .r-/-, jv, ) + ..., 

ou, symboliquement, 

Tindice //,v,ct... désignant une des combinaisons tkt des 
ihifï'res i . 2.3. . . , m. 

On a de même, identiquement, 

1.1.3...? ^^ y, y, cr... 

11 résulte de ces deux identités, que 



,3) ^(ji, 72,73, • • ., .r^) 



2^.^,^,^.. 



Cette expression est une fonction symétrique et ration- 
nelle des racines de l'équation (2). On peut donc la cal- 
culer par des méthodes connues. 

m. Soit 

(4) p„j' + P,7'-'-^ P2r'-' + . . .-t-P, = 

l'équation qui donnerait les racines communes aux équa- 
tions (i) et (2), et posons 

1. 



( .u ) 
11 est très- aisé de voir que 

P„ = y R' =-ri' 

t{t — l) r/'R 



= + 



I .2 dp[,','^' dPm^i 



L'équation (4) peut donc s'écrire 

Cette équation, déjà donnée par IVl Brioscln , se déduit 
ici d'une théorie générale. 



EXERCICES DE TRIGONOMETRIE. 
1. 

m ces z + « sin z = (/ , m = — i , 049833*2 ; 
rt = + 0,74^6898, 7 =— 0,4316893; 
z = 35°, z = 254° 9' 20". 
2. 

Asin(a + z) = w, a = 200°, ;« = — o,4?.345 ; 

/rsin(p + z)== «, p=i4o", «= — o,20i23; 

z = 68"2i'38",6, X.— 0,4236234. 



( -^^ ) 

3. Mêmes équations j 

a = 280° i6', w = — 0,62342; 

P = 200° 10', « = + 0,69725; 

z =1= 207° 5' 34", 4 , Z- = 1,0273643. 

Nous avons extrait ces exercices de l'ouvrage suivant: 
A Treatise of plane and spherical Trigononieliy , by 
William Chauvenel, professeur de mathématiques à l'E- 
cole de Navigation des Etals- Unis. Philadelphie, i854 ; 
in-S" de aSô pages-, 3*^ édition, la i*"*^ est de iSSo. Tri- 
gonométrie complète*, on y trouve les équations aux dif-*' 
férences et aux différentielles relatives aux triangles , 
sans lesquelles aucune opération trigonométri(|ue n'est 
susceptible d'approximation. Il est singulier de rencon- 
ti*er, chez nos auteurs élémentaires , des méthodes et des 
exemples à toison concernant les erreurs en aiilhinéti- 
(|ue, et de ne rien dire sur les erreurs Irigonométriques, 
qu'il est si important de connaître. Quelle intlueiice les 
erreurs des mesures ont-elles sur les résultats des calculs? 
Il faut savoir répondre à cette question, si l'on tient à se 
rendre compte de ce qu'on fait. On a 

a- ^=i b- -\- c^ — 2 bc CCS A ; 

si l'on a mesuré Z» et c à quelques centimètres près, A à 
quelques secondes près, à combien près obtient-on la 
valeur de a) Les problèn^es loudamentaux des deux tri- 
gonométries devraient ètn- aie ompagnés de ce renseigne- 
ment indispensable. 

Le chapitre IV (page 2x4) de t-'el ouvrage, donne les so- 
lutions des triangles sphériques lorsque les côtés et les 
angles dépassent i 80 degrés, triangles qu'on rencontre sou- 
vent en astronomie; par exemple, les ascensions droites 
se comptent de o à S60 degrés, (^xauss, dans sa Thcoria 
ntoius , fait voir qu'il est commode de résoudre ce génie 



( 2^ ) 

de triangles directement, sans recourir à des triangles 
auxiliaires. On peut y appliquer les mêmes formules que 
pour les triangles ordinaires. Soit 



ces ( 2 TT — a) = CCS a ; 

supposons que dans le triangle rectiligne ABC on désigne 
par A', B', C les angles extérieurs 27: — A, 27: — B, 
2 77 — C; l'équation fondamentale de la trigonométrie 

rectiligne est 

a = b cos C -f- c ces B , 
f t Ton a aussi 

a = b cos C -h c cos B' ; 

de même, dans la trigonométrie sphérique, toutes les 
autres équations sont des déductions de cette équation 
fondamentale. 

Quant aux applications à la géométrie pratique et aux 
diverses questions d'astronomie et de navigation , la tri- 
gonométrie la plus complète est celle que M. Dienger a 
publiée à Stuttgart en i855, <[ue nous ferons connaître 
à nos lecteurs, et à ]a({uelle nous emprunterons beaucoup 
d'exercices numériques. 



TRIGONOMËTRIE SPHËRIQIË. 

Formules oe A. BRETSCHNKIDER. 
Creli.e, I. XIV, p. i/,,"); iH^f). 

Dans un triangle sphérique, posons 

A = 4A', a = /^(i\ A'-h B'-f- C = P; 

R = 4 B', liTzr./lb\ n' + h' -h r' = />; 

c = /^(:\ ,-.4 



f „/ 



( ^3 ) 
on a * 

sin (P — 45" ) sin ( P — 2 A' + 45" ) cos i a 
= ûu p sin [p — 2/7) sin 2 A' ; 

cos(P — 45") cos(P~ 2 A' -+-45") fos -la' 
■^= cosp cos {p — 2 rt) sin 2 A' ; 

sin (P — 45°) cos (P — 2 A'+ 45") cos 2 a' 
= sin [p — 2 « ) sin {p — 2c) cos 2 A ' ; 

cos(P — 45°) sin (P— 2 A'-f- 45") cos 2 «' 
= cos{p — la) cos {p — 2c) cos 2 A'; 

sin ( P — 2 B'+ 45° ) sin ( P — 2 C'-l- 45" j sin 2 a 
= sin p sin [p — 2 «' ) sin 2 A' ; 

cos(P — 2B'-|-45")cos(P — 2C'h-45") sin 2 n' 
= cos/j cos [p — 2 a') sin 2 A' ; 

sin(P— 2A'-l-45") cos(P— 2C'H-45")sin ■?. n 
= sin (p — 2^') cos [p — 2c') cos 2 A' ; 

cos(P — 2B'+45°) sin(P — 2C'+ 45") sin 2«' 
= cos {p — 2.b') sin (/> — 2c') cos 2 A'. 

Par voie de multiplication , on obtient de nouvelles 
formules. 



SIR QUËLQIËS QUESTIONS U'ALGEBRE; 

Par m. Michael ROBF.RTS. 



Etant donnée l'équation 

[a, b,c,d,e,/,. . .)(.r, i)" = o, 

dont les racines sont (.r, , 0:2 , . . . , a„) 5 soient .«0 , -^^i , v^ , 
les sommes des puissances zéro, première, deuxième, 
de ces racines. 



( =^4 ) 

Calculons les valeurs de la fonction symétrique 
V(;Cj_Xs)^P, ou bien de l'invariant quadratique 

(S ) ^^^^ forme (*) 

pour pz=i, p = 2, p=:Zy p = 4- 
Nous trouvons 

[(« — 2) (« — 3) ,1 
^ ^ 6 I ) 

X(ae-4bd+Zc^) J 

n'{b^—acY—yn'{/i — '2){n — 5)a-' 

I X ( è=— ac) {ae — 4 W-|- 3c=) 

\ n(n — 2.) {'] n — i5) 

««V =n'{n — i) ^ 

^ lyc, {ad^-j-eb--h C — abcd — ace) a^ 

f {n-^){n-3){n-/i){n-5) 
I 2.3.4.5 

\x {ag — 6 bf + i5 rc — 10 d' ) a' j 

(*\ Voir l XVm, p. 3o.i 



( 25 ) 



n'- [b''-~acy— -x'i^ [fi — 2 ) [n — 7 ) «' 

X ( b^— ac)' [ae — f^ hd + 3 c- ) 

-\-'i.n}[n — 2 ) ( 3 « — 7 ) «'' 

X ( b'^ — oc)[ad'^-\- eb'' -r- c^ — 1 bal — ace ] 

72 
y< (ae — ^ bd -^ 3 C'Y 

M» y =n'(n — i)l /?'(«— 2)(/^ — 3)(/. — 4)(/^ — 21) ^^ 
\ 90 

X (6- — ac)[ag — 6b/ -h i5ec — 10 d'') 

n{n — 2)f« — 3)(« — 4)(3« — 7) 



9 
A^g' — 2C6?- + bde — Zbcf — acg'^ 



X 

" 3 adf — 2 ae"- -h 3 c^ e ) 

j (/^-2)(/^-3)(/^-4)(/^-5)(/^-6)(/^-7) 

2.3.4-5.6.7 
1 X ( «/ — 8 è/i +• 2 8 cg — 56d/-+- 35 6'^ ) 

On trouve aussi pour l'invaiiant cubique (I3) de la forme 

(so, s,, .y^, .V3, s,){x,y)\ 

l'expression suivante 

[n{b^—oc) {(ir—/\bd-h 3c-) ~ 
— 3 {n — 2.)a 
X [ad'-{-cb''-i-c — 2 bcd—cicc) _ 

Posons Aï 1= 3 , e = o , l'on retombe sur le discriminant 
de la fonction cubique homogène à deux variables (*). 
Pour w = 4i nous avons 

2(Z'- — ac){ac — 4^^"l-3f-') 1 

3(7 (rtr/^-f- cè'-f- c' — ilicd — ave) j 



«M,= i 



92 X y 



(*) Résultai connu 



( '^6 ) 

Or, eu nous leporiant à 1 équation au carré des ditî'é- 
rences des racines d'une équation biquadratique que j'ai 
déjà donnée (*) , nous tirons l'équation suivante 

^ (,r , — .rj )■- (x , — x.,y ( X, — X, )•- ( x-, — .rj )" (x, — x') ^ 
= 6 ( ae — 4 '^''^ + 3 c') X 



•^0 


•^•i 


*2 


*l 


y-2 


*3 


S: 


•*j 


*. 



en sorte que la relation entre les racines d'une équation 
du quatrième degré exprimée par l'équation 



entraîne l'une ou l'autre des conditions 



ac — ^ bd -\- 3c^ = o , 



s, 


s, 


i-j 


•V| 


■V-i 


■h 


S2 


^3 


*•< 



THEOREMES DE GÉOMÉTRIE SEGHENTAIRE; 



D'après O. HERMES. 



Chelle, t. LIV, p. 2o5 ; 1809. 



i . Soient AI3CD un tétraèdre coupé par un plan Irans- 
Acrsal T, et 

'1 (Iroilc (l'intcisfcùon de ABC ot T, 

7 .. ABD cl ï, 

6 ' ACD et T, 

'-y. > BCD et T, 

D' pôle tlf rc'lalil à ABC, 

C ' ABO. 

B' .. ACD. 

A' " BCD; 



(") Vo:, I. \M, p 3fiS 



( ^7 ) 
les quatre droil(«s AA', liB', CC, DD' so c()iij)ent an iiième 
point P; <e poiiit est le pôle du plan I rejali\enient au 
tétraèdre ABCD. 

/t -\- nia + nv -r- ptv = s, tMjiialiori du pl;in T: 
li = mu = rtf =z pi>i> , équati(jn liii point P. 

Lorsque le plan T est à l'infini, le pôle est au centre de 
gravité du tétraèdre (pour le triangle, voir Bulletin, t. \, 
p. 67). 

2. Soient une série de triangles ayant un sommet com- 
mun , et dont les bases sont sur une seule et même droite ; 
les pôles d'une transversale coupant ces triangles relati- 
vement à chaque A sont sur une même droite. 

3. Soit un tétraèdre ARCD coupé par un ciiujuième 
plan T: on a un pentaëiire (fiintflach) : ce cinquième 
plan T coupe BCD suivant la droite a: nommons le plan 
(jui passe par A et ladroilea un plnn fliaiiiét/al ^ cv Y>\nu 
diamétral coupe les faces ABC, ABD, ACD suivant trois 
droites passant par A et la face BCD suivant la droite a: 
on a ainsi trois triangles ayant le sommet commun a et 
hiurs bases sur la même droite a ; nommons ces triangles 
triangles ilianiètraux. 

Théorème. Si 1 on coupe un pentaèdre par un plan P, 
ce plan coupe un plan diamétral suivant une droite ; si 
1 ou prend les pôles de cette droite relativement aux trois 
triangles diamétraux, ils sont sur une même droite; on 
obtient ainsi quatre droites , fournies par les quatre som- 
mets AUCD, el ces quatre droiles appartiennent an même 
hvperboloïde. 

i. Tliêoriinc. Si, dans un hexaèdre,, les trois droite- 
d iulerscc lion des couples de plans opposés sont dans un 



( ^8 ) 
rnèiue plan, les liuis diagonales de 1 hexaèdre se eoupenl 
suivant un même point. 

5. Si sur quatre droites d un hvperboloïde à une nappe 
on prend respectivement sur chacun deux points, soient 
«, a, b^ [5, c, y, J, cî, les quatre faces homonymes des deux 
tétraèdres abcd^ a^yê se coupent suivant quatre droites 
éléments d'un hyperboloide à une nappe. (Cayley,) 

Si les quatre faces homonymes de deux tétraèdres ahcd., 
oL^yd se coupent suivant quatre droites situées sur un 
même hyperboloide à une nappe, les droites qui joignent 
les sommets homonymes sont aussi sur un tel hyper- 
boloide. 



COURBE LOGOCYCLIOIE (BOOTII) 



Trouver l'enveloppe d'un cercle dont le centre est sur 
une parabole donnée et qui a pour rayon la distance du 
centre au foyer de la parabole \ nommons cette enve- 
loppe F courbe logoc) clique. 

1°. Démontrer (ju'en prenant le fovej- pour pôle et 
pour axe celui de la parabole, la courbe rccip roqua de 
cette enveloppe coïncide avec cette enveloppe ; propriété 
analogue à (elle du cercle. 

a". La directrice de la parabole esl une a>vnq)l()le de 
I l'iiveloppe. 

3". Soient V le point d'intersection de deux tangentes à 
lenveloppe menée par deux points réciftroqnc^ W cl H,, 
et par conséquent tous deux sur l'envelopi»' ; T le mi- 
lieu de {\\\^ : la dioite NT est perpendi* nlairc >ur iUi, 
et louche la parabole en un jioinl Q. 

4". O étant le souunel de la paralxjlc . I aigle H()ll| csf 
droil . 



( '^9 ) 

5'\ QH, (^H, sont iiorniales à l'enveloppe; VK, VR, 
sont égales et également inclinées sur la corde RR, , 
comme dans le cercle. 

6". Le lieu du point \ est une cissoith avant le sommet 
de la parabole poui- point de rebioussement , et la direc- 
trice de la parabole pour asymptote. 

'j^ . La somme des distances des points R et Rj à l'axe 
est égale à la distance du point Q à l'axe. 

8". Soient C et C'ies points d'intersection des tangentes 
VR, VRi avec une perpendiculaire au rayon vecteur 
FRRi menée par F; la somme FC-t-FCi est constante, et 

vc=vc,. 

9". Le lieu des points C et Cj est une cardioïde. 
\o^. Mêmes notations 

, ^^ arcparab.OQ — QT 
log FR = i ^: -^ ; 

c'est ce qui a fait donner à cette enveloppe le nom de logo- 
cyclique, parce qu'elle a des propriétés analogues au cercle 
et aux logarithmes [Quarterly Journal, t. III, p. 38; 
i858) ; la logocyclique est carrable. 



SUR V\m QUESTION DE GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE ; 

Par m. gros, 

Professeur de mathématiques. 



Dans les cours de géométrie descriptive, on démontre 
ordinairement que si les axes de deux surfaces de révolu- 
tion du second degré sont dans un même plan , la projec- 
tion sur ce plan de la courbe d'intersection de ces deux 
.surfaces est un arc de courbe du second degré. 

On peut, en outre, à la simple inspection des don- 



( 3o ) 
nées, u'coniiailie si relit; projeclioii esl un aie d'ellipse, 
tVliyperbole ou de parabole. 

En effet, si nous prenons pour origine le point de ren- 
contre des deux axes , et pour plan des zx le plan de ces 
deux droites, nous pouvons écrire les équations des deux 
surfaces sous la forme suivante ; 

.r^-T- r'^+ z' = /" [n r + zV -\- n {a x + z) -^ p, 
.r--h r'-H- -'= m'ift'.r -4- z)- -i- n'[a'.r -f- z) -h p' ■ 

La projection sur le plan des zx de la courbe d'inter- 
section de ce6 surfaces a pour équation 

m'nx-hz)- — ni' {a'j:-i-z)'-\-n(nx-{-z) — n'[n'.v-^z)+p—p'=:o. 

Le genre de cette courbe est indiqué par le signe de 
1 expression 

/// i/i' {a — f^')', 

ou ^ ce fjui !evi<M)i an même, par le signe du produit 

m ni' . 

Actuellement, pour reconnaître le signe de ///, d'après 
la forme dv. la surface représentée par l'équalion 

x--^ y '-\- z^ = m [a x -{- z)'4- « [ax-h z) -hp, 

nous remarquerons qu'en prenant tiois nouveaux axes 
j'cctangulaires avant même origine que les premiei's, on 
a , en désignant par x, y, z et .r', y', 5', les coordonnées 
d'un même point M , dans les deux systèmes, 

x--i-Y--i- Z- = ,r'--f- r'--i- z" , 

car chaque membre de cette égalité repiésente le carré de 
la dislance du point M à l'origine commune. 

Si , de plus, ïious prenons pour axe des x' l'axe de la 
surface, les étpialions de cette droite étant 



( 3i ) 
\f plan représenlé par réipiation 
ax + z =z o 

lui est perpendiculaire; par conséquent, la distance du 
point M à ce plan est représentée par x' dans le se- 
cond système; mais celte même distance est représentée 

par ^'^ dans le premier; donc 

v/i + û^ 



\/i'H-r/^ 



Par suite, l'équation de la surface, par rapport au nou- 
veau système d'axes , est 



'4- z'- = /;/ ( iH- a- ).r'--{- n x' \l !-)-«'+ p. 



[i — //?(i -4- <ï')]a;''^4- /'■■'-l- z''^ — n x' \l \ -t- a- — /j = o. 

Or, dans toute équation du second degré à trois varia- 
bles, où n'entrent pas les rectangles de ces variables, les 
coefficients des carrés sont inversement proportionnels aux 
carrés des axes de la surface représentée par cette équation . 

Par conséquent : 

Si m est négatif, la surface est un ellipsoïde aplati ; 

Si ni est nul , la surface est une sphère; 

Si ni est compris entre o et -5 la surface est un 

'■ I H- <7^ 

ellipsoïde allongé ; 

Si m est ésral à ? la surface est un paraboloïde ou 

° 1 4- a' 

un cylindre; 

Si m est plus grand que ^1 la surface est vui liy- 

perboloïde ou un cône. 

En résumé, ni est négatif dans le cas de rellipsoïde 
aplati, nul dans le cas de la sphère, et positif dans tous 
les autres cas . 



( 32 ) 

D où 1 on conclut que , si Tune des surfaces seulement 
est un ellipsoïde aplati, la projection est un arc d'el- 
lipse j si lune des surfaces est une sphère, la projection 
est un arc de parabole. Dans tous les autres cas , la pro- 
jection est un arc d'hyperbole. 



THÉORÈME SIR LE BIiXOME DE NEWTON POUR L'EXPOSANT 
ENTIER ET POSITIF (*); 

Par m. GARCET, 

(^.apitaine du f[pnie. 



Si l'on décompose la série des coefficients du binôme 
de Newton en trois parties, en prenant les termes de trois 
en trois, deux de ces sommes sont égales et la troisième 
surpasse les deux autres ou en est surpassée d'une unité. 

Ainsi appelons 5i , 5,, s^ ces (rois sommes 





m . m 


' — I .i 


m - 


- 


2 


m . m - 


— I . . 


. m — 


-5 
-1- 




m .i 


1 2.3 










I . 2. . 

• 5 


.6 




.ï.. 


m — I 


.m 




• 2 


./« — 


3 




m., 


I , 


.1. 


3 


4 










m — I 


m 

7 




6 






~v- ■■ ■ 


1 .2 

I m 








ni . m — 


.m 




- 1 


.rn — 


2 


.m — 

475' 


"i .m - 

• ' • > 
somr 


-4 


•^3 


1 . 2 

égalité à 1 


m 

■+■ - 

unité 








I .2. 


3, 




on a 


,m 
pr 


I 
es 


- y. ... m — n 
.,...8 ^ 

entre ces trois 


nos. 


(") 


A «leiiioDlrf^r. 





















{ y^ ) 

Comme on sait ensuite que 

•«•| + *J + ^3 = 9.'", 

on peut spécifier quelles sont les sommes égales suivant 
la nature de l'exposant ni, ainsi qu'il suit: 
Si 













m 


= 


r6« 


> 


















m 




= 6« 


H- 


'» 
















m 




--Ç>n 


+ 2, 
















m 




= 6« 


-h 


3, 
















m 




^6/e 


-t- 


4, 
















m 




= 6/i 


+ 


5, 






on 


a respec 


livement 
























^3 
^2 




s. 


— I 

+ I 




2"' 


— 


I 






.^1 





= 


= 


2" 


3 
3 


I 






•^3 


= 


■y. 


= 


•"i 


— I 


= 


2" 


' — 


I 






3 








■V, 


= 


•^3 


= 


■y. 


H- 1 


= 


2"' 


'^- 


I 






3 












S2 
Si 










2" 


' — 


I 






•^3 


= 


= 


s-,_ 


+ I 


= 


2"' 


3 

H- 
3 


I 



THÉORÈME SIR LES COIRBES PLACES (*) 

Par m. STREBOR. 



Étant donnée une courbe plane, construisons la courbe 
semblable en doublant les rayons vecteurs tirés d'un point 

(') A démonlrer. 

Ann. de Maihèm., t. XIX. (Janvier 1860.) 3 



( 34 ) 
fixe, et supposons qu'où ait trouvé l'équatiou de la 
courbe parallèle à cette dernière, qui s'obtient en prenant 
sur ses normales une longueur constante (A). Si l'on 
substitue daus celte équation \/x--\- J' au lieu de A, on 
tombera sur l'équation de la courbe, enveloppe des per- 
pendiculaires qu on mène aux extrémités des rayons vec- 
teurs de la courbe donnée. 

Puisque la courbe parallèle est tout à fait indépendante 
de la position de l'origine fixe, il est évident que si Fou 
en a l'équation, on aura aussi Téquation de ladite enve- 
loppe, quelle que soit la position de l'origine. 

Nota. Très-facile à vérifier pour la ligne droite et pour 
le cercle. 



TUOISIÈME SOLUTION DE LA QIESTIOX 461 

(voir I. XVIll, p. 242 et 27a }; 

Par I\!M. Charles KESSLER et LEMOINE, 

Elèves du Prvtanée militaire. 



Démontrer que la série 

I I I 

S -::^ I 1- 1- . . . 

1.2,3.. .« 2,3...(/z-f-i) 3.^. . . {n-h 2.) 
est convergente et a pour limite 

I 

{n — I ) 1 . 2 . 3 . . . ( « — I ) 

On voit d'abord immédiatement que celle série est con- 
vergente, car ses termes sont respectivement plus petits 
que ceux de la série 

I 1 1 



( :^5 ) 

et l'on sait que celte séiie est convergente . n^ i. Cher 
chons maintenant sa limite 5 pour cela je pose 

j, I I I 

~ 1 .2.3. . .(« — i) 2.3. ..« 3.4. . .(«H- 1) '""' 

I.2.3...(« — l)"^2.3 4...«'^"' 
et je retranche membre à membre, j'aurai 



1.2.3... (« — l) I.2.3.../7 2.3...(rt4-l) 

ou, en désignant par S la somme cherchée, 

— (« — i)S; 



I . 2.3. . . (« — I 

d'où 



n — 1) 1.2.3... (rt — 1) 

C. Q. F. T. 



DEUX PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE DU COMPAS 



Par m. Georges DELÏSLE, 
Avocat à la cour de Caen. 



V" Problème. Tromper le centre d'une circonférence 
en ne se servant que du compas. 

1°. Du point A pris à volonté sur la circonférence 
donnée, ei avec un rayon arbitrait e, je décris un arc 
qui rencontre la circonférence aux points B et C. 

a". De ces points B et C comme centres, avec le même 
rayon, je décris deux arcs qui se coupent au point A', 

3. 



( 3M 
symétrique de A par rapport à la droite BC supposée 

tracée. 

3°. Du point A' comme centre avec un rayon égal à la 
distance A A', je décris une circonférence qui rencontre, 
aux points M et N , l'arc BC prolongé. 

4°. De ces points M et N comme centres , avec un 
rayon égal à la distance ÂB, je décris deux arcs qui se 
coupent au point O, symétrique de A par rapport à la 
corde MN, supposée tracée. 

Ce point O est le centre demandé. 

En effet, concevons que l'on ait tracé le diamètre AA'G 
de la circonférence de centre A'. 

Cette droite, ayant deux points A et A' également dis- 
tants des extrémités de BC, est perpendiculaire sur le 
milieu de cette corde. Elle contient donc le centre cher- 
ché*, et ce point O sera ce centre, si la distance AO est 
égale au rayon. 

Soit R ce rayon inconnu. 

Soit D le point où la corde BC rencontrerait la droite 
AA'G. 

La corde AB est moyenne proportionnelle entre le dia- 
mètre 2 R et sa projection AD sur ce diamètre. On a donc 

(i) Ab'= 2RX AD. 

Cette même droite AG, ayant aussi les deux points A 
et A' également distants des extrémités de MN, est per- 
pendiculaire sur le milieu de cette corde. Soit E le point 
où cette corde rencontrerait AG. 

La corde AM de la circonférence de centre A' est aussi 
moyenne proportionnelle entre le diamètre a A A' et sa 
projection AE sur ce diamètre. On à donc 

(2) Âm'=2AA'XAK. 



( 3;} 
Mais 



AM 


= 


AB, 


AA' 




2AD, 


AE 


= 


AO 

2 



Donc l'égalité (2) devient 

— 2 AO 

AB =2X2ADX » 

3- 

ou 

(3) Âb'=2ADXA0. 

Les premiers membres des égalités (i) et (3) sont les 
mêmes. Les seconds sont donc égaux, c'est-à-dire que 

2RX AD = 2ADX AO; 
donc 

R = AO. (*) 

C. Q. F. D. 

II* Problème. Construire le côté du décagone régulier 
inscrit en ne se servant que du compas. (Comme Masclie- 
roni.) 

Note. Ces deux problèmes m'ont été communiqués 
verbalement par M. Georges Delisle, avocat à la Cour de 
Caen, professeur de droit romain, doyen de la Faculté 
de Droit, auteur de deux ouvrages de jurisprudence très- 
estimés. 

Jurisconsulte éminent, il s'était acquis une grande ré- 
putation par ses consultations, qui révélaient un esprit 
vaste et profond, et devant lesquelles s'inclinaient les 
magistrats. 



(*) Résolu différemment pai- Mascheroiii {Géométrie du compas, p. \Zl). 

Tji. 



( 38 ) 

Cet homme, qui faisait autorité dans la science du 
droit, cultivait sérieusement la géométrie, afin, disait-il, 
de conserver à son esprit l habitude des raisonnements 
précis et rigoureux. 

Les deux problèmes difficiles dont nous venons de rap- 
porter une solution si simple et si élégante , prouvent qu'il 
eût pu faire un mathématicien distingué. 

Il connaissait le calcul infinitésimal et il se proposait 

d'étudier avec moi le calcul des variations, lorsque sa 

mort (arrivée en i854) rempècha démettre ce projet à 

exécution. 

Ch. Diguet, 

Professeur de mathématiques 
pures et appliquées au lycée de Caeii. 



SOllTIOX DE LA QIJESTIO^ 4i(r 

(voir lome XVll, page 31). 



Le produit de cinq ou de six nombres entiers consé- 
cutifs ne peut être un carré. 

Je ferai d'abord quelques remarques sur la résolutioji 
çn nombres entiers de lécjuation 

(l) ,r (j; -f- i) (xH- 2). . .(.r + «) =j^-. 

\ . Tout diviseur conunun a deux quelconques des nom- 
bres entiers x, {x -\- 1), (x-t- 2),..., (.r -f- /z), devant di- 
viser leur difîércnce, est nécessairement l'un des nom- 
bres I, 2, 3, 4,...,n. Par conséquent, tout diuiseur 
premier commun à deux quelconques des nombres entiers 
.r , (x -f- 1) , (a: -h 2) , ... , (x 4- «) , est nécessairement 
l'un des nombres premiers 2,3,5,.. > ■, p , en désignant 
par /> le plus grand dos nombres premiers compris dans 
la suite r , 2 , 3 , 4^ • • • > "• 



(39) 

(^ue si le produit x [x -h i) {x ■+■ u) . . . [x -+- n) est 
un carré exact, comme le suppose l'équation (i), et qu'en 
outre l'exposant de la plus haute puissance d'un nombre 
premier divisant l'un de ses facteurs soit impaire , ce 
nombre premier appartiendra à la suite 2,3,5,...,/^,. 
car il devra diviser au moins deux des facteurs du pro- 
duit 5 et de là je conclus que : 

i**. Si un facteur du produit x[x-+-i) . . .[x-^ii) n'est 
divisible par aucun des nombres 2 , 3, 5 ,...,/:', il sera , 
par cela même, un carré exact. 

2". Si un facteur de ce produit n'admet comme divi- 
seur qu'un seul des nombres premiers 2 , 3, 5 , . . . , ^, il 
sera un carré, ou le produit d'un carré par ce nombre 
premier. 

2. Aucun des facteurs j: , (a;-f-i), (x4- 2),..., (x4- n), 
ne peut admettre comme diviseurs tous les nombres 2, 
3,5,...,;:?. C'est ce que je vais démontrer. 

Supposons, en premier lieu, que l'un des deux fac- 
teurs extrêmes , par exemple x , soit séparément divisible 
par 2,3,5,...,/;. Alors x -h i qui est premier avec x., 
n'admettant aucun de ces diviseurs, sera un carré exact 
(1, 1°). Et comme x est, par hypothèse, multiple de 
(2.3.5. . . p), les facteurs x -+- ^ , x -\- 4 seront divisi- 
bles par 2 , et n'auront pas d'autre diviseur compris dans 
la suite 2 , 3 , 5 , p. En outre , aucun des deux fac- 
teurs X 4- 2 , X -h 4 n'est un carré , car [x-hi) étant le 
carré d'un nombre entier plus grand que l'unité, tout 
autre nombre plus grand que x -+- i ne peut être le carré 
d'un nombre entier que s'il surpasse x -h i d'au moins 
cinq unités. Il faut donc (1, 2'') que x4-2, .r + 4 
soient des nombres entiers de la forme 2 a-, 2b-, ce qui 
exige qu'on ait h^ — a-=i. Ou est donc conduit à cette 
ccyiclusiou que, si Jf était muliiple de ( 2 .3.5 . . . />>), l-î 



( 4o ) 

différence des carrés des deux nombres entiers b^ a serait 
égale à l'unité. 

La même démonstration convient à l'autre facteur ex- 
trême X -\- n. 

Quant aux facteurs intermédiaires x-\-i, x-\-i ^. . ., 
[x-\-n — 1)5 sil'un d'eux, xH-i par exemple, était mul- 
tiple de ( 2 . 3 . 5 ...;?), les deux facteurs x, x-\-2. qui le 
comprennent seraient des carrés (1, 1°), ce qui est évi- 
demment impossible, puisqu'ils diffèrent seulement dç 
deux unités. 

3. application. L'équation 

T{x-hi) (a: 4- 2) (^4- 3) (.r + 4) = j2 

n'a aucune solution entière. En d'auties termes : le pro- 
duit de cinq nombres entiers consécutifs n'est jamais un 
carré. 

Dans le cas actuel, p = "5, et {^-i. . . p) = 6. Donc , si 
les cinq nombres x,x-{~i,..., x-\-4t remplissent la 
condition que l'équation proposée exprime, aucun d'eux 
ne peut être multiple de 6, (2). Il en résulte que le plus 
petit de ces cinq nombres, x, est de la forme 6'«-|-i. 
D'où il suit que x n'admettant pour diviseur aucun des 
deux nombres premiers 2,3, est un carré (1, 1®). Par 
conséquent, le produit (a: + i) (x-f- 2) (x + 3) (x+4) 
de quatre nombres entiers consécutifs devrait aussi être 
un carré; ce qui est impossible [Noiwelles annales, 

t. XVII, p. 393.) 

4. Soit, maintenant, 

X [x -\- i) {x + ■?.) {x 4- 3)(j: + 4)(.r 4-5)=jS 
l'équation proposée. On a 

j) = 5 cl ( -2 , 3 . . . y; ) = 3o. 
Nous allons faire voir que si l'équation adn^etlail un^ 



(4i ) 

solution entière, il en résulterait cette absurdité : que 
parmi six nombres entiers consécutifs x, (a: -f- i), . . . , 
(j: H- 5) , il n'y aurait pas un seul multiple de 6. 

Démontrons d'abord qu'aucun des deux facteurs ex- 
trêmes jc, (j:-I- 5) , du produit x (j: -+- i),. . . , (x 4- 5) 
ne peut être multiple de 6. 

Si a: = 6a, le nombre entier a n'est pas divisible par 
5 (2). Or, l'égalité x=z6a donnant x-f-S =6a + 5, 
on voit que a:-f- 5 est premier avec 2, 3, 5^ donc (x-f-5) 
est un carré (1 , i°. ) Par suite, le produit 

j:(^ 4-i) (.r 4- 2) (x + 3) (a: -H 4) 

de cinq nombres entiers consécutifs serait un carré exact; 
c'est ce qui n'a jamais lieu (3). 

La même démonstration convient à l'autre facteur ex- 
trême a: -h 5 . 

Il reste à considéier les facteurs intermédiaires (:p4-i), 
{x -h 2) , (x + 3) , (x -t- 4)- Si l'un d'eux, x -t- 2, par 
exemple, est multiple de 6, il est clair que les deux fac- 
teurs a: H- 3 , x -\- 1 qui comprennent x + 2 , seront pre- 
miers avec 65 et comme ils ne peuvent être, tous deux, 
multiples de 5, l'un d'eux n'admettra aucun des divi- 
seurs 2, 3, 5, et sera par conséquent le carré, a^, d'un 
nombre entier. L'autre facteur «-±2 n'étant pas un 
carré, devra être divisible par 5 (1, 1°). On aurait donc 

frzt 2 =r 5« ; 

pr, cette égalité ne peut exister, car la formule des carrés 
qui ne sont pas multiples de 5 est, comme on sait, 

«= = 5/z± I . 

Il résulte de ce qui précède , que le produit de six nom- 
bres entiers consécutifs ne peut être un carré. 

5. Il en est de même du produit de sept nombres con- 



( ^'^ ) 

sécutils. Car, si 1 équation 

admettait une solution entière, aucun des sept nombres 
j;, (x -h i) , . . ., (a:-H 5) , [x-{-6) ne serait divisible 
par 6, 

En effet, p étant encore égal à 5, on démontrera, 
comme dans le cas précédent, qu'il est impossible que l'un 
des facteurs intermédiaires x + i,. . . , a: -4- 5 soit mul- 
tiple de G. Il n'y a lieu à démonstration nouvelle que pour 
les facteurs extrêmes .r , x -\-6. 

Supposons x=6in^ on aura 

.r + 6 = 6 ( w + I ) ; 

l't aucun des deux nombres m, m-f-i ne sera divisible 
par 5 (2). Or, les égalités 

.r = 6m, .r -i-6 = 6 (/« -i" i) 
donnent 

.r -h I = 6 (w + i) — 5 et x + 5 = 6//j + 5. 

Ces dernières montrent que les facteurs x H- i , x -|- 5 ne 
sont divisibliîs par aucun des trois nombres premiers 2, 

3, 5. Donc (1, 1°), on a 

a- -H I = «-, X -\-5 =^ b-, d'où b'^ — ^i- = 4 ; 

égalité qui est impossible, puiscjue la différence des carrés 
de deux nombres entiers b^ a, plus grands que l'unité, 
est égale au moins à 5. Il est ainsi démontré que l'équation 
proposée n'admet pas de solution entière. G. 



(43 ) 

* ' = 

QIESTIOKS. 



498. On donne, i'' une droite fixe:^ i^ un point B sur 
cette droite; 3° un point fixe A, Trouver une courbe telle, 
qu'en menant par un point quelconque pris sur cette 
courbe une tangente, et par le point A une parallèle à 
cette tangente, ces deux droites interceptent sur la droite 
fixe deux segments, comptés du poin t B, tels, que la somme 
des carrés de ces segments soit égale à un carré donné A*. 
Mêmes données, mais prenant la différence des carrés; 
ou bien le produit des segments , ou bien la somme des 
inverses des segments égale à une constante donnée. 

499. Soient: i°. A, B, C, D quatre droites dans un 
même plan, et m, o, l, s quatre points fixes dans ce 
plan ; par m menons une droite quelconque coupant C et 
D aux points c et d-^ par c et o menons la droite co cou- 
pant A et B aux points a el b -^ par a ei l menons la 
droite al et par c et 5 la droite C5; l'intersection p des 
droites al et es décrit une ligne du troisième ordre. 

a". Soit un quadrilatère plan variable ABCD ; o, p^ 
<7, r quatre Y>oints Jixes ; o est sur AB , p sur BC, ç sur 
CD, r sur DA. Les sommets opposés A et C sont sur deux 
droites fixes données dans le plan du quadrilatère ; le som- 
mets opposés B, D décrivent des lignes du troisième ordre. 

oOO. 

j; = ^2 H- ^2 H- y/'a, x" = 6j:' -h aSx' -+- l8a;- — 12j:+ ?. , 
X =z ij 2. ~\- \J^ , x' = io.r' H- lOJT + 6, 



v'f-v/f' 



>•■■ = 5v.x--+- 5p.r + — 4- 



(EuLEU.) 



( 44 ) 

501. Par un point fixe M pris sur une conique, on 
mène une tangente 5 soitT un point quelconque pris sur 
cette conique 5 TN une seconde tangente et N le point de 
contact; au point T on élève une perpendiculaire sur la 
tangente TN5 elle sera rencontrée en R par la perpendi- 
culaire abaissée de N sur la tangente fixe TM. Quel est le 
lieu du point R? 

0O2. Par un foyer d'une ellipse on mène une corde AB ; 
par le point de rencontre des deux normales en A et B^ 
on mène une parallèle au grand axe-, cette parallèle passe 
par le milieu de AB. 

503. Déterminer les six racines rationnelles de cette 
équation 

(rt* — ay (x- -]- 1^1 X -h if = {a^ -\- i ^ a'' -h i) X {x — i)*. 

Abel. 

504. AB = 2R = diamètre d'un cercle de centre K y 
O = un point sur le diamètre AB -, 

KO = a; 

P = un point de la circonférence 5 

AnglePAB = (3; 

Angle POB = t|;. 

On a 

R sin 2 p 



sin ^ 



V'(R + «)' ces' p + ( R — «)^ sin^ p 
idp _ . d-\> 



v/(R+a)'cos^PH-(R— aj'sin'p \/R^^s=4' + (R'— «') sin^j> 

fonction elliptique. Jacobi. 

505. On connaît les levers et les couchers du Soleil en 
temps moyen à Paris ; en déduire les mêmes données pour 
le r' de cha([ue mois de 1860 à Alger (*). 

(") Ces iloiuiiios Irès-uliles, surtout pour les Arabes, mamiuciit dan» 
)'Aiinuaii e du Btiicuu dus l.onsiiiudcs. 



( 45 ) 

506. Deux points parcourent chacun une droite. e( 
dans le même plan. Soient e, ^ To^pace parcouru et la 
la vitesse du premier point au bout du temps t-^ <?, , ^^l les 
mêmes données pour le second point: si l'on a la relation 

('(a, 4- b, e,) = c, {a -h b e), 

où les a et les b sont des constantes, la droite qui réunit 
les points au même instant a pour enveloppe une conique ; 
en indiquer le genre et l'espèce. 

507. rip nombre de combinaisons de n éléments pris p 
à p sans répétition et n' avec répétition. On a 

,/ — n, {n —i)'^^n,{n — 2)'^ — n,{n — 3)'^ -1- . . . 

-f-(~i)"«„_,(i); = («-i)^_,. 

508. A' est un nombre entier positif j 

n 

\^/'(A') est la somme d'une fonction de Ar, où A prend 

o 
successivement les valeurs o , i , 2 , 3 , . . . , « ; 
n^ coefficient de x'' dans le binôme (i -+- x)" \ 
n ! produit continuel i . 2 . 3 . . • n. 
Si/(A) = {— i)^/z,A"+S on a 



2;/(^) 



, n.n -f- I 

n ! 



2 
o 

(DunÈGE , de Zurich.) 

509. Soient p et q deux nombres donnés ; p^ la 
moyenne arithmétique, q^ la moyenne géométrique; p^ 
la moyenne arithmétique de pi, «715 q^ leur moyenne 
géométrique, et ainsi de suite, de sorte que p„+i , qn+\ 
sont les moyennes arithmétique et géométrique de p„^ 



( 46 ) 

i//>- (^ut^lle est la valeur de p^ et démontrer que p^=ç^. 

GAtJSS. 

oiO. Par les trois extrémités des axes principaux d'un 
ellipsoïde, on mène trois cordes parallèles ; on projette 
chacune de ces cordes sur l'axe d'où elle part-, on divise 
cette projection par Taxe sur lequel elle se trouve ; la 
somme des trois quotients est constante. 

oH. Soient sept carrés égaux liés de telle sorte 



5 6 
3 4 

2 



clîaque carré peut tourner à charnière seulement autour 
de la droite qui lui est commune avec le carré voisin; le 
carré i ne pourra prendre une position quelconque qii'en- 
vers le carre y, et pas envers les antres carrés. Ainsi , si 
le carré i est maintenu Gxe, il n'y a que le carré y qui 
soit entièrement libre. (Môbius.) 

512. Lorsqu'un corps peut tourner autour de six axes 
indàpe/idants , on peut le faire tourner autour d'un axe 
quelconque. (Mubils.) 

513. Lorsrju'on donne un nombre de droites plus 
grand que six, il est toujours possible de trouver des 
forces qui, agissant suivant ces droites, se fassent équi- 
libre; Iors(jue le nombre de droites est moindre, cette 
possibilité exige encore certaines conditions. (Mobius.) 



( 47 



QlESTiOi\ Dli GRAND CONGOIRS GENERALISEE 

(Toir t. XVIII. p. 77, Î61 el29i); 

Par m. DESBOVES, 

Professeur. 



On donne dans un même plan une conique C et une 
courbe quelconque A ; de tous les points de A on mène 
deux tangentes à la conique, et par les points de contact 
les deux normales correspondantes ; il faut trouver le lieu 
B des intersections de ces normales. 

Réciproquement, connaissant la courbe B de tous les 
points de celte courbe, on mène des normales à la coni- 
que C, et par les pieds des normales les tangentes cor- 
respondantes : on demande de trouver le lieu D des inter- 
sections de ces tangentes. 

Remarque. Le lieu l) pourra être identique avec la 
courbe A ; mais plus généralement il se composera de 
plusieurs courbes distinctes , dont la courbe A fera néces- 
sairement partie. 

On a un exemple du premier cas, lorsque B est une 
ligne droite et la conique C une parabole ; alors la courbe 
A et la courbe D sont identiques, et représentent toutes 
deux une hyperbole. 

On peut donner du second cas deux exemples remar- 
quables : 

1°. Lorsque la conique C est une parabole, et que la 
courbe A se confond avec elle, la courbe B est évidem- 
ment la développée de la parabole 5 mais si Ion prend 
pour ligne B la développée de la parabole, on trouve que 
le lieu D se compose non-seulement de la parabole C, 
mais ausài d'une seconde parabole qui a même axe que la 



( 48 ) 
première, un paranièlre huit lois plus petit el la con- 
vexité tournée en sens contraire. 

2^\ La conique C étant une parabole , et la ligne A une 
perpendiculaire à l'axe de la conique (c'est le problème 
particulier du concours général), on trouve que B est 
une parabole ayant même axe que la parabole C 5 mais si 
on se donne pour ligne B la parabole précédemment trou- 
vée, on voit que le lieu D se compose de la perpendicu- 
laire à Taxe de la parabole, et d'une hyperbole du troi- 
sième ordre ayant pour asymptotes Taxe de la parabole et 
une perpendiculaire à cet axe. 

Voici quelques théorèmes généraux, qui lient entre 
elles les courbes A et B. 

Théorème I. Lorsque la courbe A est la plus géné- 
rale de son degré, la courbe B est de degré double si la 
conique C est une parabole, et de degré triple si la coni- 
que C est une ellipse ou une hyperbole. Une discussion 
qui n'exige pas que l'on connaisse l'équation de la courbe 
B , fait connaître les cas particuliers où le degré de cette 
courbe s'abaisse. 

Théorème II. La réciproque du premier théorème est 
vraie : en général , le degré de la courbe D est double ou 
triple du degré de la courbe A , suivant que la conique C 
est une parabole, ou bien une ellipse, ou une hypeibole. 

Théorème 111 . Si la conique C est une ellipse ou une 
hyperbole, et si la ligne A a une branche de courbe in- 
finie ayant pour asymptote (3 = A a -f- h (A n'est ni nul ni 
infini) , la ligne B a une branche infinie correspondante, 
dont 1 asymptote est 

(*) a, h, c sonl los demi-axes et la demi-exrentricilé de la rciniqnr 



( 49 ) 
Cette asymptote devient une normale à la conique, lors- 
que la première est une tangente à cette môme conique. 

Théorème IF. Si la conique C est une parabole, et si 
la courbe A possède une branche infinie ayant pour 
asymptote une droite non parallèle à l'axe de la para- 
bole C, la ligne B aura une brancbe infinie perpendicu- 
laire à la première à linfini , mais cette brancbe ne pourra 
avoir d'asymptote que dans le cas où l'asymptote de A sera 
tangente à la parabole C. D'ailleurs dans ce cas même 
l'asymptote n'existera pas nécessairement^ mais si l'a- 
symptote de A est parallèle à l'axe de la parabole C, la 
courbe B a toujours une asymptote normale à la para- 
bole. 

Tliéorème V. Si la ligne A passe par le centre de la 
conique C , et qu'en ce point le coefficient angulaire m de 
la tangente à la courbe A ne soit ni nul ni infini , c'est- 
à-dire si la tangente n'est parallèle à aucun des deux axes , 
la ligne B a une brancbe infinie ayant pour asymptote 

ff- m 

Théorème FI. Lorsque la conique C est une liyper^ 
bolc, outre les asymptotes données par les théorèmes 
précédents, la ligne B a encore des asymptotes en nombre 
généralement égal au nombre des points d'int(>rsection 
de la ligne A et des asymptotes ue l'hyperbole C. Voici 
la construction à faire pour obtenir l'asymptote corres- 
pondant à l'un des points d'intersection. 

Par le point d'intersection qu'on a clioisi, on mène 
une tangente à l'hyperbole C, puis par le point de con- 
tact une normale à la même courbe; l'asymptote de la 
ligne B sera parallèle à cette normale. On aura ensuite 
l'abscisse à l'origine de la même asymptote en prenant 

Ann. de Malhêwai., t. XIX. fFpvricr iSfîo.) 4 



( 5o) 
une quatrième proportionnelle aux axes a et b el k moins 
l'ordonnée à l'origine de la normale précédente. 

Les théorèmes généraux précédents conduisent immé- 
diatement aux conséquences suivantes : 

{ . Lorsque la conique C est une parabole et la ligne A 
une ligne droite, la ligne B est une parabole dont Taxe 
est perpendiculaire à la ligne droite donnée. Dans le cas 
particu-lier où la droite A est tangente à la parabole C 
ou parallèle à Taxe de cette parabole, la ligne B est une 
normale à la même courbe (théorèmes I et IV). 

2. Lorsque la conique C est une ellipse ou une hy- 
perbole, et la ligne A une ligne droite (B = Aa -f- A, la 
ligne B est du troisième ordre , et a une asymptote 



c'h 






k n- k' zb b^ 

Dans le cas de l'hyperbole, le théorème VI donne deux 
autres asymptotes. 

Ces derniers résultats ont déjà été trouvés par MM. Ter- 
quem et de Jonquières. 

3. Lorsque la conique C est une ellipse ou une hyper- 
bole, et la ligne A une droite |3 = ma passant par le 
centre de la conique, en vertu des théorèmes lU et V, la 
ligne B est une hyperbole qui a pour asymptotes 

I a^ m 



m 



iP 



Dans le cas particulier où la ligne A est l'une des diagonales 
du rectangle construit sur les deux axes de la conique C, 
la ligne B est une droite perpendiculaire à la diagonale, 
menée par le centre de la conique. 

4. La coni([ue G étant toujours une ellipse ou une hy- 
perbole , et la ligne A devenant une parallèle à l'un des 
axes de la conique , le coeflicient A du théorème IV de- 



( ^I ) 

vient nul ou inliiii, et l'on ne peut plus airirmer lexls-^ 
tence de la branche infinie de B et de son asymptote. Dans 
ce cas on trouve très-facilement , par un calcul direct , que 
la ligne B est une ellipse ou une hyperbole, suivant que 
la conique C est elle-même une ellipse ou une hyperbole. 
Tous les théorèmes énoncés sont la conséquence des 
formules suivantes : 

2a p 2/;' — cf.p-hp'' 



y = 



p ' p 



dz^'a^ + a^p^ 



Les deux premières sont relatives à la parabole rap- 
portée à son axe et à la tangente au sommet , et les deux 
dernières sont relatives à l'ellipse et à l'hyperbole rap- 
portées à leurs axes : a et (3 sont les coordonnées d'un 
point du plan de la conique C d'où l'on mène les tangentes 
à cette courbe; x éij sont les coordonnées du point d'in- 
tersection des normales correspondantes. 

JRemaryue. Les formules que nous venons d'écrire 
conduisent aussi de la manière la plus simple aux équa- 
tions des développées des coniques. 

Note du Rédacteur. La courbe B a-t-elledes points dou- 
bles et de rebroussement ? et combien? Ces données dé- 
terminent la classe de la courbe. 



OllESTlON 503. 



Correction. «*4-i4«^-l-i doit être élevé au cube. 
(Communiqué par M. Le Royer, professeur de spéciales 
au lycée de Bordeaux.) 

4. 



{ 5a ) 
SOLITION DES OÏESTIONS 483 ET 484 

(TOir t. XVIII, p. 357); 

Par mm. DE LA BRIÈRE et DE CHARODON, 

Élèves de l'école des Carmes (classe de M. Gerono). 



Question 483. 
Le volume engendré par le triangle rectiligne ABD 




loumant autour de AD est 



-ttAB.AD. 

Le volume engendre par le triangle mixliligne ABC 
est égal au volume engendré par le trapèze ABCD moins 
le volume engendré par le segment AC. 
Or, le volume engendré par le trapèze est 

^ttAdIb + DcV AB.DC); 
le volume engendré par le segment est 



(^dcV^ad), 



i7rAD(-DcV-AD 

3 \ ? 2 



le volume engendré par le triangle mixtiligne sera doue 
1 TT AD (ÂB V d'c V AB . ne — - OC - ^ A D 



{ 53 ) 
Il faut doue prouver qu'on a l'égalité 

^ttAD (ÂbVdcVaB.DC — -Î)c'— -ad') =^7rAD.ÂB' 

3 \ 2 2/3 

ou bien 

DC V A B . DC DC — - Ad'= o , 

2 2 

2 . AB . CD = DcV Âd'= Ac! 

Abaissons de C une perpendiculaire CH sur AB , on 
aura 

Âc'=ÂÏÏ'-4-Hc'. 
Il faut donc prouver que 

2AB.CD=rÂHVHc! 
Or 



HC = CB — HB z= AB — HB = HB -h AH + 2 HB . AH — HB^ 

= ÂhV 2HB.AH; 
donc 

AhV HC= 2AhV 2HB.AH = 2AH.(AHh-BH) 
= 2AH.AB. 

L'égalité à prouver devient donc 

2AB.CD = 2AH.AB, 

qui est évidente puisque AH = CD. 

Question 48-4. 

Ce théorème est un corollaire du précédent. 

Nous venons de démonti cr que \c volume engendré par 



( 54 ) 
le triangle mixtiligne ABC était égal au volume engen- 
dré par ABD. Retranchant de chacun de ces volumes la 
partie commune engendrée par le triangle mixtiligne 
AB-M, il reste les volumes engendrés par les triangles 
mixtilignes MBC , AD.M et qui doivent être égaux. Ajou- 
tant à chacun de ces volumes le volume engendré par 

D.MC , on a 

vol. AMCD = vol. BDC. 



SECOXDE SOLUTION' DES QUESTIONS 485 ET 484 

, voir t Wlll, p. 357 ; 

Par m. DROUARD, 

Élève du lycée Napoléon. 



Quession 483. 

D'un point B extérieur à une circonférence O, on 
mène deux tangentes BA et BC-, on projette C eu D sur 
le rayon OA et l'on fait exécuter une révolution com- 
plète à la figure autourde OA, l'un des rayons des points 
de contact; il faut démontrer que le volume engendré par 
le triangle mixtiligne CBA est é(iuiN aient au cône engen- 
dré par le triangle BDA. 

Le volume engendré par le triangle mixtiligne CBA 
est équivalent au volume du tronc de cône à bases paral- 
lèles engendré par le trapèze rectangle ABCD , moins le 



( 55 ) 
vol unie (In segQient sphérique engendré par CDA r 

vol. BAMC = vol. ABCD — vol. CDAM. 
Soient 

nous aurons 



volBAMC =~X AD(«^+ b'-h «6) — - X é' X AD — - X AD 



= ^ X AD (2 «''H- -ictù — Z»-— AD ). 

Le volume engendré par le triangle BDA est un cône qui 
a pour mesure 

^ X «' . AD , 

il faut donc prouver que l'on a 

5x AD (ao'-H 2rtè — 6' — AD )=5xAD,«' 
D 6 

ou 

2«6 — 6^:= AD'=r (r+OD)'. 

Si nous menons OC , le triangle rectangle ODC donne 

OD = \/r^^ b' ; 
nous aurons donc : 

2«ô — 6^ = r- ■+• r- — ^' H- 2/ y/r^ — b\ 



ab z= r'^ -\- r yr^ — 6% 
d'où l'on tire, par un calcul facile , 



2flr= 
b 



Il suffit donc de démontrer rexislence de celle équa- 



( 56 ) 
tion. A cet effet, joignons le point B au centre O, cette 
droite BO est bissectrice de l'angle ABC et est perpendi- 
culaire sur le milieu de la droite AC puisque le triangle 
ABC est isocèle 5 soit I le point où BO coupe AC"; dési- 
i>nant AI par x , le triangle rectangle OIA donne 

Ôï = /•= — x\ 

le triangle rectangle AIB 

BI«= a- — x\ 

Si nous faisons la somme de ces deux égalités et que nous 
augmentions de 



2.0IXBI = 2 \,[r' — x'j {a- — x') 
chaque membre de l'égalité obtenue, nous aurons 
01 H- aOIxBI^Bl' 



= r- — X- 4- fl- — JT- -4- 2 y(r- — x-) , a- — ./••) =: BO. 
Or dans le triangle rectangle OBA, on a 

OB = rt=+ r', 
donc 



rt- H- r- =: r= — IX- + a- H- 2 v'('" 


-x'){a^ 


— X-}, 


x' = v^i '■' — ■'^- .1 ( "' — •*■• ; 7 




.r* = {r' — x){a' — x^] , 






:^a'-hr')=a'r'. 






a' r= 







Les triangles AIO. \I)C sont semblahlcs, puisqu'ils 
sont rectangles et ([ut; 1 angle A leur c<t loniniun. On a 



b AC 




ACXOI ixsJr-' — x^ 
r r 




lar //■' (//'H- r') — 


n'r-' 


\Ja-+r'\- a--^r' 


r 




"Xar sjr'^ [a"^ -\- r) — «- r' 




/•(fl^-+-r'j 
7.ar- 





à" 4- /•' 

c Q. F. n. 

Question 484. 

La même figure étant faite que précédemment et exécu- 
tant la même révolution , il faut prouver que le segment 
sphérique engendré par CDA est équivalent au volume 
engendré par le triangle CBD. 

Le volume engendré par le triangle CBD est équiva- 
lent au volume engendré par le trapèze ABCD, moins le 
volume engendré par le triangle BDA. Il faut donc prou- 
ver que 

vol. CDA = vol. ABCD — vol. BDA. 

■H .b- TT 3 TT , , TT 

X AD -+- - X AD = X- X AD rt^ -4- ^>' + un ] — - 

2 b 3 3 

X AD rt-, 

3b- + Ad'z= {a' -\- b- Jr nb) — 2«-, 

AD ^=.iab — /.*', 
{r-\- OD)- = -xab — b'. 



( 58) 

r' -+- r- — A' -4- 2/- yV- — f =. lab — b'^, 

r sj r"^ — b- = ab — r% 
r* — a^ b' = a^ i' H- r' — i.abr'^, 
b-[a- -\- r^) sr labr^, 
lar- 

ce que nous avons prouvé plus haut. 

Note. MM. Henri Delorrae, élève du lycée Louis-le- 
Grand, Charles Ressler, élève du Prytanée Militaire, et 
Puech, élève du lycée de Castres, ont résolu ces deux 
questions de la même manière. 

DETERMiN4TI0i\ DU DEGRÉ DE L'ÉQUATION DE CERTAINES 
SURFACES ENVELOPPES; 

Par m. Th. MOUTARD. 



On est fréquemment conduit, dans l'élude des surfaces 
et des lignes à double courbure algébriques , h rechercher 
le degré du résultai de certaines éliminations spéciales où 
l'application immédiate du théorème de Bezout conduirait 
à un nombre trop élevé. Plusieurs de ces questions, par- 
liciilièrement celles qui se rapportent au contact des sur- 
faces et aux surfaces enveloppes, se résolvent simplement 
par la considération de deux lieux géométriques, à savoir: 
i" Ze lieu du point dont les plans harmoniques par rap- 
port à quatre surfaces données se coupent en un même 
point j 2" le lieu du point dont les plans harmoniques 
par rapport à trois surfaces données se coupent suivant 
une même droite. 



{ 59 ) 
1 . L'étude du premier de ces deux lieux n'offrant au- 
cune difficulté, je me bornerai à énoncer les résultats 
auxquels elle conduit. 
Soient donc 

L=o, M = o, N = o, P=o, 

les équations de quatre surfaces algébriques mises sous 
forme homogène, désignons d'ailleurs par /, /n, n, p 
leurs degrés respectifs et par jr, j, z, t les coordonnées 
variables \ on trouve immédiatement que le lieu du point 
dont les plans harmoniques se coupent suivant un même 
point est la surface représentée par l'équation 
^/L rfL clL r/L 



S = 



(t.r 
dx 

dx 



d^\ 

dy 

r/N 

"dj 

r/P 

dr 



dz 

"dz 
dN 

dP 

dT 



de 

dM 

~dt 

d^ 
ITt 
dP 
dt 



Le degré de cette surface étant égal à 

(/-4- w 4- n -+-P — i] 

on a les théorèmes suivants : 

i". Dans le réseau des surfaces représentées par l'é- 
quation 

XL-h pM -+- vN = o, 

où ^, fji, V sont des constantes arbitraires, il y en a une 
infinité qui sont tangentes à la surface P-, le lieu des 
points de contact de toutes ces surfaces avec P est la 
courbe (P, A) d'ordre p {l -\- m -[- n -h p — 4)- 

a^. Dans le faisceau des surfaces représentées par l'é- 
quation 



( 6o ) . 
il en existe eu général ?ip [l -\- m -\- n -\- p — 4) qui sont 
tangentes à la courbe d'intersection de ]N=o et de P = o. 

3*^. L'équation de condition à laquelle doivent satisfaire 
les coefficients de l'équation d'une surface de degré m 
pour qu'elle soit tangente à la courbe d'intersection de 
deux surfaces données, l'une de degré /i, l'autre de de- 
gré p^ est par rapport à ces coefficients de degré 
np {2m -\- n -\- p — 4 ) • 

4". La surface enveloppe de toutes les surfaces de de- 
gré / dont les coefficients sont des fonctions de degré m de 
trois paramètres variables liés entre eux par deux rela- 
tions, l'une de degré fi, l'autre de degré /?, est en géné- 
ral d'un ordre marqué par hip [^.m -i- 7i -\- p — 4)- 

2. Le lieu géométrique du point dont les plans har- 
moniques par rapport à trois surfaces passent par une 
même droite, consiste en une ligne à double courbure, 
dont la définition algébrique complète exige la connais- 
sance de quatre surfaces. Soient en effet 

L = o, M=:o, N=o, 

les équations de trois surfaces algébriques respectivement 
d'ordre X-|-i, /ijt-hi, v4-i; les plans harmoniques 
d'un point x, y, z, t. par rapport à ces surfaces ont pour 
équations 



X 


dL 
d^ 


-t-Y 


dL 
dy 


-+-Z 


dL 


+ T 


dL 
~di 


= 


0, 


X 


da: 


4- Y 


dm 


+ z 


dM 

dz 


-f-T 


dt 


= 


0, 


X 


d^ 


-l-Y 


rfN 
dr 


-l-Z 


dz 


+ T 


dN 
lu 


= 


0. 



Pour que ces trois plans passent pnr une même droite, 
il faut et il suffit <|ur Ion ail, pcmr loul<"s les valeurs de 



^, ^: 'h ^' 



( 6. ) 



A =: 



a 


P 


7 


f. ^ 


r/L 


r/L 


rfL 


r/L 


r/r 


^ 


'Th 


dl 


</M 


r/M 


dU 


d^\ 


<ix 


'iy 


dz 


dt 


rfN 


dN 


dN 


dis 


d.T. 


d^ 


'di 


~dt 



Le lieu cherclié consiste donc dans le système des points 
communs à toutes les surfaces que peut représenter l'é- 
quation 

A = G. 

Or il est aisé de voir que toutes ces surfaces passent par 
une même courbe, et qu'il est en général impossible de 
définir celle-ci d'une manière précise avec moins de 
quatre équations. Considérons en effet les quatre sur- 
faces 



rfA 



r/A 



r/A 



A = — = o, B = -=o, C = -=o, l) = - 



d^ 



df 



r/A 



on a identiquemeni 



<IL 
dx 

dx 

r/iN 



B 



dj 
d\l 



dL 



djr dz 



D 



D 



r/L 

r/M 
'dt 



hH 



d^ 

dy 



dN 
dz 



^r/N 
D— =o. 

dl 



Par suite les coordonnées de tout point situé sur deux 

d'entre elles 

A =^ G et B = o 



(*) Cela ne s'accorde pas avec le résultat (t. XVI , p. iC^S). On (;it Icr- 
reur? Tm. 



62 



salisfont aux éqviations 



dz dt 

^ dU ^ dU 

C ^ H- D ^ =0. 



dz 



dt 



Posant 







r/L 


dL 






a.' 


'di 


'dt 




A' = 


S' 


dU 

dz 

dN 


dm 
dt 






7' 


dz 


"^ 




et 










Q = 


dà' 


-è 


on tire de là 








PC = o, 


QC 


= , 


RCrrro 


PD:=o, 


QD 


=: , 


RDc=o 


D'autre pari les équatio 


ns 






P=z:0, 


Q: 


= 0, 


R = 


eu traînent (.'vicleininent 








A - 





et B 


=r 





sans entraîner 



C = o et D=r o. 



De là résulte que dans le système des points coraniuns à 
A et à lî, il faut (listluf^uei-, à coté des points situés aussi 
sur C et D, lesquels loinienl une courbe ^, les j)oints com- 
muns P, Q, R. (leux-ci forment eux-mêmes une courbe 



(63 ) 
ù' qui ne constitue en général rinterseclion complète 
d'aucun couple de surfaces algébriques; car les identités 

clh cm p^^N_ 

dz dz dz 

^dL ^ dm „ d^ 

dt dt dt 

montrent que l'intersection complète de P et Q se com- 
pose , d'une part , de la courbe commune aux deux sur- 
faces 

- = o, et -=o, 

et, d'autre part , d'une courbe d' située sur R. L'intersec- 
tion complète de A et B se compose donc de deux cour- 
bes : la courbe principale o qui constitue le lieu clierché 
et une courbe auxiliaire o'. Si l'on adjoignait aux deux 
surfaces A et B la surface C = o, laquelle ne contient 
pas à\ la courbe d ne se trouverait pas encore entière- 
ment définie, car parmi les points où d' rencontre C, il 
en existe qui ne sont pas situés sur c?, à savoir les points 
communs aux trois surfaces 

dL _ f/M _ rfN _ 

dt ' dt ~ ' dl ~ 

La discussion qui précède permet d'établir immédiate- 
ment le nombre des points où la courbe à est rencontrée 
par un plan, ou plus généralement par une surface al- 
gébrique de degré m, F = o. Pour cela, je remarque 
que les surfaces 



dz dt 



A, -B, P, Q, 
ont respectivement pour degrés 



( 64 ) 
le nombre des points communs à F, A, B est donc 
m (À H- fz -I- v)*^ il se compose des points d'intersection 
de F et cî et des points d'intersection de F et o'^ or ces der- 
niers sont les points communs ta F, P, Q , en exceptant les 

, „ r/N r/IN ., , , 

points communs al,——, — -? ils sont donc en nombre 

^ dz dt 

/« (pi + V ) (v -f- >-) — m V- = m {]t.-i + •//. -I- Àfx) , 

et par suite le nombre clierclié est 

m f( À + p. -I- v)^ — p.v — vA — \^\ 
ou 

m ().- H- a- -f- v'^ -h fiv -f- VA 4- >p. ). 

On peut ajouter que le nombre des points communs aux 
deux courbes cî et d' est égal à 

(a -f- u. -|- V y (|:av 4- v/, H- Àja) — Aptv. 

Si l'on joint à ces résultats le degré de la surface dévelop- 
pable formée par les tangentes à la courbe o, lequel peut 
s'établir par des considérations analogues un peu plus 
complexes, et que je trouve égal à 

a {\ 4- p. -h V — i) ( A- H- u? 4- v= -j- pv H- VA 4- Xp) 

— ( pv 4- VA 4- >.p) (^ + P + ^ ) -*- V"'' ' 

on aura tous les éléments essentiels relatifs à cette courbe ; 
car on en déduira par les formules de Stciner le degré et 
la classe des cônes qui ont cette courbe pour directrice; 
le nombre de leurs arêtes doubles , de leurs plans d'in- 
flexion , de leurs plans donblcment tangents , et par suite 
aussi le nombre des plans osculaleurs que Ton peut me- 
ner à la courbe par un point quelconque, (m, ce (jui re- 
vient au même, la classe de la suiface (lévi'l(tj)pable for- 
mée par ses tangentes. J.a connaissance du nombre des 
points où la «ourbc è est rencontrée par une surface al- 



( 6^> ) 
gébrique, tournit la solution de la question suivante. 

Dans le faisceau,des surfaces représentées par l'équa- 
tion 

SM 4-7]\ = G, 

ou M est de degré u -f- 1 , N de degré v H- i , combien y 
en a-t-il qui soient tangentes à une surface donnée L 
de degré \-\-i. 

Il suit, en effet, des propriétés connues du plan har- 
monique, que les points de contact de L avec les diverses 
surfaces du faisceau qui lui sont tangentes sont situés sur 
la courbe d relative aux trois surfaces L, M et N et que 
leur nombre est par conséquent égal à 

( ), + i) (),' -H fA= H- -j"- H- wj H- -/a + lu. ). 
D'ordinaire on suppose a = v , cette formule devient alors 

et le résultat qu'elle exprime peut s'énoncer sous la forme 
suivante, utile à signaler : 

L'équatiori de condition à laquelle doivent satisfaire 
les coefficients des équations de deux surfaces algé- 
briques V une d^ ordre A + i , Vautre d^ ordre fz + i , pour 
que ces deux surfaces soient tangentes entre elles, est de 
degré 

(>-h l)(r-4- 2/p-|--3p') 

par rapport aux coejfficients de In seconde, et de degré 

(u. H- i) (fA' -+- S/u. -H 3>.-) 

par rapport aux coefficients de la première. 
De là on déduit enfin que : 

La surface enveloppe de toutes les surfaces de degré 
1 dont les coefficients sont des fonctions de degré m de 

Aiin. de Mathpnint., t XIX. (Février 18G0. ) 5 



{ 66 ) 
trois paramètres arbitraires liés entre eux par une rela-^ 
tion unique de degré n est en général d'un ordre mar- 
qué par 

/n.[{n— 1?-+- 2(« — i){ni — i ) H- 3(w — i)']. 

Ce théorème et son analogue de la fin du n" i sont 
susceptibles d'applications importantes dans la théorie 
des surfaces algébriques. Ils permettent entre autres 
d'obtenir immédiatement des résultats analogues ta quel- 
ques-uns de ceux énoncés pour les courbes dans un 
Mémoire de INI. Steiner présenté dans la séance des sec- 
tions réunies de T Académie de Berlin du lo août i848 
[Journal de Liouville , t. XVIII, p '.^og). Je me bornerai 
à citer les deux suivants : 

Lorsqu'un point O parcourt une surface de degré /', la 
surface polaire de degré [m — p) du point O, par rapport 
à une surface donnée d'ordre m, est enveloppée par une 
surface de degré 

(^m—p)r[fr~ lY -{- -i [r — i){ p - i) -\-3{p — lY\. 

Lorsque le point O parro;u l la courbe d'intersection 
de deux surfaces de degré /■ et /■', la polaire de degré 
jn — yy du point O, par rapport à une surface de degré ///, 
est enveloppée par une surface de degré 

[m — p)rr' {-y.p + r + r ' — 4 ^• 
En faisant 

on trouve 

[m— p)r[r-\- ■?p — 'i), 

ce qui est le résuhat donné par M. Steiner (p. 3ii du 
Mémoire cité). 



67 



APPLICATION 

De la transformalioQ par rayons vecteurs réciproques ('*') à l'étude de la 

surface enveloppe d'une sphère tangente à trois sphères données ; 

Par m. a. MANNHEIM. 



1. M. Dupin, à Id p. 22 du t. P'' de la Correspon- 
dance sur r Ecole Polytechnique, a montré que les lignes 
de courbure de la surface dont il s'airit sont des circon- 
férences; à la p. 4?-0 du t. IP, le même géomètre a donné 
l'analyse d'un Mémoire, qui n'a pas été imprimé, relatif 
aux principales propriétés de cette surface 5 enfin, dans 
les Applications de Géométrie , p. 200, on trouve les 
démonstrations de la p/upart des propriétés de cette même 
surface, que jNI. Dupin désigne sous le nom de cjclide. 

Je me propose de faire voir comment , au moyen de la 
transformation par rayons vecteurs réciproques, on ar- 
rive simplement aux propriétés connues de la cyclide et 
à d'autres qui n'ont pas été remarquées. 

Je vais d'abord montrer qu'on peut toujoui's trans- 
former une cyclide en tore 5 cette transformation étant 
faite, il ne restera plus qu'à revenir des propriétés du 
tore aux propriétés de la cyclide. 

2. Lemme. On peut toujours transformer un groupe 
de trois sphères données en un groupe de trois autres 
sphères ajant leurs centres en ligne droite. Le lieu des 
pôles de transformation est la circonférence qui coupe à 
angle droit les grands cercles des sphères données situés 
dans le plan passant par leurs centres. 

(*) Nous ne ferons usage dans ce travail que de cette transformation ri 
nous 60US-entendrons les mots : pnr rayons vecteurs réciproques. 

5. 



( 68) 

Il est bien évident que les pôles de transformation doi- 
vent être dans le plan des centres des sphères données. 
Il est bien clair aussi que si nous transformons les grands 
cercles sifués dans ce plan eu trois autres dont les cen- 
tres sont en ligne droite, la même transformation donnera 
lieu pour les trois sphères à trois autres sphères dont les 
centres sont en ligne droite. 

Le problème est donc ramené à ce problème de géomé- 
trie plane : Transformer trois cercles en trois autres cer- 
cles dont les centres sont en ligne droite. 

Chacun des points de la circonférence qui coupe or- 
thogonalemeut les circonférences données , peut être pris 
pour pôle de transformation. Eu effet, si l'on prend un 
de ces points pour pôle, cette circonférence orthogonale 
se transforme en une droite qui coupe à angle droit 
les transformées des circonférences données; cette droite 
coupant à angle; droit ces transformées, contient leurs 
centres: donc, etc. 

3. La cyclide se compose généralement de quatre 
nappes. 

D'après le lemme précédent , nous pouvons transformer 
les trois sphères données en trois autres sphères dont les 
centres sont en ligne droite, e'esl-à-dire transformer la 
cyclide en tore. 

Examinons ce qui se passe dans le cas particulier où 
les centres des s|)hères données sont en ligne tlroite. Pour 
cela, menons par «elle ligne un plan quelconque qui 
coupe les sphères suivant trois cercles. On peut généra- 
lement mener à ces circonférences huit circonférences 
tangentes, mais ces huit circonférences sont symétriques 
deux à deux par rapport à la ligne des centres des circon- 
férences données. En faisant tourner toute la ligure autour 
de cette droite, on n'engendrera donc (jue quatre tores. A 



(69 ) 
ces quatre loros correspondent les quatre nappes de la cy- 
clide. Les huit cercles qui engendrent les quatre tores 
pouvant se réduire selon les positions relatives des grands 
cercles auxquels ils sont tangents,^ on voit que ce n'est 
que dans le cas le plus général que la cyclide se compose 
de quatre nappes. 

4. Les nappes de la cyclide se coupent deux à deux 
suivant, des circonjérences. 

Car les tores provenant de la transformation de la cy- 
clide se coupent deux à deux suivant des circonférences. 
Nous verrous plus loin que ces intersections sont des li~ 
gnes de courbure de la cyclide. En transformant les tores 
pour revenir à la cyclide , on peut prendre le pôle de 
transformation sur la surface de l'un d eux ou en un point 
de l'une des circonférences résultant de leur intersec- 
tion : dans le premier cas , la cyclide a une nappe s'éteu- 
dant à l'infini; dans le deuxième cas , il y a deux nappes 
s'éteudant à Tinfini. 

Nous allons étudier en particulier Tune des nappes de 
la surface, c'est-à-dire la cyclide provenant de la trans- 
formation d'un tore. 

5. Les lignes de courbure de la cyclide sont des cir-» 
conférences (*). 

Le tore a pour lignes de courbure les méridiens et les 
parallèles: comme ces lignes sont des circonférences, 
leurstransformées sont aussi des circonférences -, donc, etc. 

6. Le plan d'une ligne de courbure de la cyclide 
coupe cette surface partout sous le même angle. 

Par un point quelconque /; de l'espace, on peut toujours 
faire passer des sphères contenant les parallèles ou les nié- 

(*) Vo/V le Mémoire de M. Liouville { Journal de Mathématiques, t. \II 



( 70 ) 
ridiens d'un tore donné. Toutes ces sphères coupent le 
tore, le long de leurs lignes d'intersection, sous le même 



angle. 



En transformant, le pôle de transformation étant en /?, 
ces sphères deviennent les plans des lignes de courbure de 
la cyclide; donc, etc. 

En transformant par rapport à un point quelconque, 
on voit que : 

ZJne sphère <fui rencontre une cyclide sidwanl une 
ligne de courbure , coupe cette surjace partout sous le 
même anqle. 

Ce théorème est un cas particulier du suivant : 

Si une surface a une ligne de courbure sphérique , la 
sphère sur laquelle se trouve cette ligne de courbure 
coupe la surface partout sous It^ ménic angle [*). 

Ce théorème comprend, comme cas particulier, le 
théorème suivant, de M. Joachimstahl, d'où on l'a déduit : 

Si dans une surface une ligne de courbure est plane, 
le plan de cette ligne coupa la surface partout sous le 
même angle (**). 

7. La cyclide admet toujours deux plans tangents qui 
la touchent suivant des lignes de courbure. 

Par un point (|uelconque p de l'espace , on peut tou- 
jours mener deux sphères tangentes à un tore. Les lignes 
de contact sont un méridien et un parallèle, ou deux mé- 
ridiens, ou deux parallèles. 

En prenant p pour pôle de transformation , le tore de- 
vient une cyclide et les sphères tangentes des plans tan- 
nfenls à celle surface. I es lignes de contact sont les irans- 



(*) Voir Journal de M. Liouvillc, t. XVIII , p. i'j8 , Mémoire sur les sur- 
ficesdont toutes les lignes de courliurc sont plams ousptiériifues ; par ^1. J.-A. 
lierret. 

(**) Voir./oi/r;ifl/ de M. (-.rollo, 1. XXX, p. :5/(7. el Noui-,-llis Annales. 



(71 ) 
Ibrmées des lignes de courbure du toie , c'est-à-dire des 
lignes de courbure de la cyclide. 

Lorsque les deux plans touchent la cyclide suivant des 
lignes de courbure d'un même système, cette surface 
peut être considérée comme l'enveloppe d'une sphère tan- 
gente à deux plans et à une sphère donnée. 

8. La cyclide peut être considérée de deux manières 
différentes , comme la surface enveloppe de sphères tan- 
gentes à trois autres. * 

Le tore peut être considéré comme l'enveloppe d'une 
sphère tangente à trois autres dont les centres sont en li- 
gne droite, ou comme l'enveloppe de sphères tangentes à 
trois autres sphères dont les rayons sont égaux. La trans- 
formation des sphères de chacun de ces systèmes de gé- 
nération conduit aux deux systèmes de sphères dont la 
cyclide est l'enveloppe. 

Nous appellerons premières sphères de la cyclide, celles 
qui correspondent aux sphères de rayons égaux du tore, 
et deuxièmes sphères celles qui correspondent aux sphères 
enveloppant le tore,etdont les centres sont en ligne droite. 

Si l'on se donne (rois des premières sphères, les 
deuxièmes sphères enveloppent la cyclide, que l'on ob- 
tient encore en cherchant l'enveloppe des sphères tan- 
gentes à trois des deuxièmes sphères supposées fixes. 

Il est facile de voir que pour le tore , dans l'un ou l'au- 
tre système de génération, les lieux des points de contact 
des sphères variables et des sphères fixes sont des circonfé- 
rences-, on a , d'après cela , par la transformation , le théo- 
rème suivant, du à Dupuis [*) : 

Les lieux des points de contact des sphères mobiles et 
des sphères fixes sont des circonjéreîices. 



(*) Correspondance sur l'Ecole Polytechnique, t. 1 , p. ig; t. H, |>. ffij 



(7^) 
On peut ajouter que , ces circonférences sont des lignes 
de courhure de la surface em^eloppe des sphères mobdes. 

9. Le lieu des centres de courbure de la cyclide se 
compose de deux coniques situées dans des plans per- 
pendiculaires entre eux. 

M. Dupin a démontré ce théorème d'une manière très- 
simple dans ses Applications de Géométrie. 

Nous allons examiner séparément le lieu des centres 
des sphères de chacun des systèmes. 

Commençons par le lieu des centres des deuxièmes 
sphères , c'est-à-dire qui correspondent à celles du tore 
qui ont leurs centres en ligne droite. 

Les centres de ces sphères sont dans le plan passant 
parle pôle de transformation et par l'axe du tore qui a 
donné lieu à la cyclide que nous considérons. 

Nous voyons donc déjà que le lieu des centres des 
deuxièmes sphères est une courbe plane; nous pouvons 
ajouter que le plan de celle courbe est un plan de symé- 
trie de la cyclide. Ce plan cotipe la cyclide suivant deux 
circonférences, le lieu des centres est maintenant facile à 
trouver, puisque ce n'est autre chose que le lieu des points 
également distants de ces deux circonférences, c'est-à- 
dire une conique ayant pour foyers les centres de ces cir- 
conférences. 

Examinons le lieu des centres des premières sphères. 

Par le pôle p , menons une sphère coupant orlhogona- 
lement le tore, qui par la transformation conduit à la 
cyclide que nous considérons; à cette sphère correspond 
un plan qui doit contenir les centresdes premières sphères. 
Ce plan est évidemment un plan de symétrie de la cyclide. 

Les centres des premières sphères doivent se trouver 
aussi sur la surface conique, que Ton obti<Mit en |oignanf 
p aux cenlrcs des prcinièics sphères dn loie. 



( 73) 

Le lieu cherché étant sur un plan et sur un cône, est 
la courbe d'intersection de ces surfaces, c'est-à-dire une 
conique. 

Le lieu des centres de ( ourbure d'une cyclide se com- 
pose donc de deux coniques: il est facile de voir que 
chacune d'elles a pour sommets les fovers de l'autre. 

La sphère qui passe par p et qui coupe orlhogonale- 
ment le tore, a son centre sur l'axe de cette surface-, 
elle est donc coupée à angle droit par tous les plans 
méridiens; mais par la transformation elle devient un 
plan de symétrie de la cvclide; ce plan doit donc être 
perpendiculaire au plan méridien passant par p ^ qui est 
aussi plan de symétrie de la cyclide. Nous voyons donc 
que les plans de symétrie de la cy(;lide sont perpendicu- 
laires entre eux. 

iO. Les plans des circonférences , lignes de courbure 
de la cyclide , passent par deux droites perpendiculaires 
entre elles. 

Par /; faisons passer des sphères contenant les paral- 
lèles du tore transformé de la cyclide, toutes ces sphères 
se coupent suivant un petit cercle qui passe par p, dont 
le plan est perpendiculaire à l'axe du tore, et dont le 
centre est sur cet axe. De même , les sphères passant par p 
et qui contiennent les méridiens du tore, se coupent sui- 
vant une circonférence située dans le plan méridien qui 
contient p. 

En transformant toutes ces sphères , on a les plans des 
ligues de courbure; lous ces plans passent par les trans- 
Ibrmées des deux circonférences que nous venons de trou- 
ver, c'est-à-dire par deux droites. 

Chacune de ces droites est dans un plan de symétrie et 
perpendiculaire à l'autre; elles doivent donc être perpen- 
diculaires entre elles. 



{ 74 ) 

Ces droites sont les axes radicaux des deux systèmes 
de sphères qui engendrent la cyclide. 

Le lliéorèmeque nous venons de démontrer est un cas 
particulier du théorème suivant, du à M. Bonnet (*) : 

Dans toute surface à lignes de courbure planes , les 
plans des lignes de courbure d'un même système sont 
tangents à un cylindre, et les deux cylindres, enveloppes 
respectives des lignes de courbure du premier et du se- 
cond système, ont leurs génératrices perpendiculaires . 

1 4 . Les centres des circonjérences , lignes de courbure 
de la cyclide , sont sur deux courbes planes transformées 
de coniques. 

Les deux droites perpendiculaires entre elles que nous 
venons de trouver, coupent les plans de symétrie en 
deux points. Les pieds des perpendiculaires abaissées de 
ces points sur les tangentes aux coniques lieux des centres 
de courbure de la cyclide , ne sont autres que les cen- 
tres des circonférences, lignes de courbure. On sait que 
le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un point 
fixe sur les tangentes d'une conique, est la transformée 
d'une conique-, donc, etc. 

12. Le lieu des sommets des cônes circonscrits à la 
cyclide le long des lignes de courbure se compose des 
axes radicaux des deux systèmes de sphères (**). 

On démontie facilement celte propriété, en remar- 
([uant que les plans de symétrie coupent la cyclide sui- 
vant des circonférences qui ont |)oui' centres de similitude 
les points où ces mêmes plans sont coupés par les axes ra- 
dicaux des systèmes de sphères. 



(*) Journal de V Ecole l'oly irchnitiui;, !^5* caliier, p. 137. 

(*•) Voir un Mémoire de M. Chasles {(."joiirspondunci- sur I 'hcoh' Pol) - 
technique, t. III , |i. '■'<!\\). 



[f- ) 

13. Toute sphère doublement Lcuigeiite à une cyclide. 
coupe cette surface suivant deux circonférerices [*). 

Il suffit , pour trouver ce théorème, de transformer celui 
de M. \ illarceau : Uu plan doublement tangent à un tore 
coupe cette surface suivant deux circonférences. 

14. Les plans des circonférences , résultant de l'in- 
tersection de la cyclide avec une sphère qui lui est dou- 
blement tangente , sont eux-mêmes doublement tan- 
gents à la cyclide. 

Concevons un tore, un plan doublement tangent et les 
circonférences résultant de rinlersection de ces surfaces: 
par un point/;, faisons passer des sphères qui contien- 
nent chacune l'une de ces circonférences. Toutes ces 
sphères sont tangentes au tore. En transformant cette pro- 
priété , le pôle de transformation étant en /J , on a le théo- 
rème que nous venons d'énoncer. 

Les théorèmes 13 et li sont vrais pour le toie^ on a 
donc le théorème suivant, qui comprend comme cas par- 
ticulier celui de M. Villarceau. 

Toute sphère doublement tangente à un tore coupe 
cette surface suivant deux circonférences qui sont dans des 
plans doublement tangents au tore. 

Voici encore une généralisation du même théorème : 

Toute sphère doublement tangente à la surface en - 
gendrée par une circonférence qui tourne autour d'une 
droite quelconque , coupe cette surface suivant deux cir- 
conjérences. 

M. J.-A. Serret, en étudiant cette surface, a trouvé 
que, par chacun de ces points, il passe sept sections ciicu- 
laires : leparallèle, deux circonférences imaginaires et ([ua- 



(") J'ai énoncé le même théorème sous une forme différente dans lo. 
t. XV, p. 6o. 



(76) 
tre réelles qui sont , deux à deux , symétriques par rapport 
au plan méridien passant par le point considéré sur la sur- 
face. Par deux de ces circonférences symétriques on peut 
faire passer une sphère; cette sphère coupe alors la sur- 
face suivant deux circonférences qui ont deux points 
communs. Il y a en chacun de ces points deux tangentes 
qui sont à la fois tangentes à la surface donnée et à la 
sphère, c'est-à-dire que ces deux surfaces ont en deux 
points des plans tangents communs; elles sont donc dou- 
blement tangentes : d'où l'on peut déduire le théorème que 
nous venons d'énoncer. 

NOTE A. 

Nous avons vu que la cyclide peut être considérée 
de deux manières différentes comme l'enveloppe de 
sphères. 

Au moyen du lemme, nous avons montré qu'on pou- 
vait toujours transformer la cyclide en tore, et pour cela , 
nous avons cherché les pôles de transformation l«;ls, que 
les deuxièmes sphères de la cyclide aient leurs centres en 
ligne droite. 

En opérant ainsi , nous avons transformé les premières 
sphères en sphères de rayons égaux. 

Nous pouvons donc "dire : 

On peut toujours transformer un groupe rie trois 
sphères données en un groupe de trois autres sphères de 
rayons égaux ^ le lieu des pâles de transformation est 
une circonférence. 

Il s'agit de voir comment cette; circonférence est placée 
[)ar rapport aux trois sphères données, et pour cela, il 
faut d'abord examiner sa position par rapport aux 
deuxièmes sphères. 

Elle(;sl dans le plan (l<'s crniri's des deuxièmes sphères , 



( 77 ) 
Sou centre est au point où ce plan est percé par l'axe la- 
dical des deuxièmes sphères, et son rayon est la racine 
carrée de la puissance de ce dernier point par rapport aux 
deuxièmes sphères. 

Elle est donc dans le plan mené par l'axe radical des 
sphères données perpendiculairement à la ligne des cen- 
tres de similitude externe de ces sphères. Son centre est 
à l'intersection de ce plan et de celte ligne, et son rayon 
est la racine carrée de la puissance de ce point d'inter- 
section par rapport à l'une des circonférences touchant 
de la même manière les trois grands cercles des sphères 
données situées dans le plan des centres de ces dernières. 

La circonférence, lieu des pôles transformations, est 
ainsi définie par rapport aux sphères données. 

La puissance de 1 un de ses points a , par rapport à 
l'une des sphères données, divisée par le rayon de celte 
sphère, est proportionnelle à l'invei'se du rayon de la 
transformée de cette sphère, obtenue en prenant le pôle 
en a. On peut obtenir ainsi trois rapports, un pour cha- 
cune des sphères données^ ces trois rapports doivent être 
égaux, puisque les rayons des transformées sont égaux. 
Nous pouvons donc dire : 

Le lieu des points tels , que leurs puissances , par rap- 
port à trois sphères données , soient entre elles comme 
les rayons de ces sphères , est une circonférence dont le 
plan est perpendiculaire au plan passant par les centres 
des sphères données. 

NOTE B. 

Nous avons vu que le lieu des centres des circonfé- 
rences, lignes de courbure de la cyclide, sont des courbes 
planes transformées de coniques. Nous pouvons déduire 
de là deux théorèmes de géométrie plane. 

Ces transformées sont dans les plans de symétrie de la 



( 78 ) 
cyciide. Considérons l'un de ces plans et la transformée 
qu'il contient 5 ce plan coupe la cyciide suivant deux cir- 
conférences; et la droite, suivant laquelle se coupent les 
plans des lignes de courbure , dont nous considérons le 
lieu des centres, en un point qui est le centre de simili- 
tude des deux circonférences dont nous venons de parler. 

On a donc dans ce plan de symétrie deux circonfé- 
rences, l'un de leur centre de similitude et des dioites 
issues de ce point, qui représentent les iiitcrsections des 
plans des lignes de courbure. Les points de la transformée 
sont les milieux des portions de cesdroites comprises entre 
les circonférences. On peut donc dire : 

Par le centre de similitude de deux circonférences on 
mène des transite/ sales ^ on prend sur ces droites les 
points également distants des points antidiomologues 
au elles contienneîit ; le lieu de ces points est une trans- 
Jormce de conirjue. 

Par une transformation facile, on déduit le théorème 
suivant : 

Par le centre de similitude de deux circonférences 
on mène des transversales , on prend sur ces droites les 
conjuguées harmoniques du centre de sinnlitude par rap- 
port aux points anti-homologues qu elles contiennent. 
Le lieu de ces points est une conique. 

^OTE c. 

JVous avons énoncé quelques propriétés des surfaces 
dont les lignes de courbure sont planes ou sphériques. 

Nous ajouterons encore la suivante, que nous allons 
généraliser : 

Si une surface admet un s) stème de lignes de cour- 
bures sphériques , toute surface qui lui est parallèle jouit 
de la même propriété. 



( 79) 
La démonstralion de ce théorème connu esl immédiate, 
lorsque l'on s'appuie sur le théorème de M. Joachimstahl. 
Nous allons le généraliser en le transformant, mais 
pour cela nous allons l'énoncer différemment. 

On peut considérer une surface parallèle à une autre 
comme l'enveloppe de sphères égales constamment tan- 
gentes à celle-ci. Nous pouvons donc dire : 

Si une surface admet un système de lignes de courbure 
sphériques , la surface enveloppe de sphères égales tan- 
gentes à la première surface jouit de la même propriété. 

En transformant la surface donnée, on obtient une 
surface qui jouit encore de la propriété d'avoir des lignes 
de courbure spbériques. Les sphères se transforment en 
sphères tangentes à cette nouvelle surface, et comme elles 
ont des rayons égaux, leurs transformées sont telles, que, 
pour chacune d'elles, le rapport de la puissance du pôle 
de transformation à leur rayon est constant. 

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant: 
On donne un point fixe p et une surface qui admet 
un système de lignes de courbure sphériques; on con- 
struit les sphères tangentes à cette surface, telles que la 
puissance de p, par rapport à chaque sphère, divisée 
par le rayon de celle-ci , soit constante : l'enveloppe de 
toutes les sphères ainsi construites est une surface qui 
admet un système de lignes de courbure sphériques. 

Lorsque p est à l'infini , toutes les sphères ont le même 
rayon, et l'on retrouve le théorème d'où nous sommes 
partis. 

Note du Rédacteur. Logocyclique (p. 28) : c'est l'en- 
veloppe du cercle décrit sur le rayon vecteur comme dia- 
mèti^e. 



So ) 



SOLITION DE LA QUESTION 488 

(voir U XVIII, p. 359); 

Par m. Charles KESSLER, 

Élève du Prytanée Militaire. 

On donne : i" une conique-, 2° deux tangentes fixes à 
cette conique; 3° deux points fixes dans le plan de la co- 
nique; 4" une tangente mobile rencontre les deux tan- 
gentes fixes en deux points variables formant avec les 
points fixes les sommets d'un quadrilatère variable; les 
diagonales de ce quadrilatère se coupent suivant des points 
situés sur une conique passant par les points fixes; et 
énoncer le théorème correspondant d'après le principe de 
dualité. 

Solution. Je rapporte la conique aux deux tangentes 
fixes prises pour axes coordonnés; son équation sera 

XY -\-\ [ax -{- hy — i)' = o, 

ax -h hy — i = o étant Téquation de la ligne des con- 
tacts . 
Soient 

A(x=a, r = p), C{^ = 7, j = ^), 

les deux points fixes, O l'origine. 

L'équation d'une tangente en un point [x\ y') est 

jr [ j' + 2 fl / ( ax' + by' — i )] H- j [x' + 2 ô A ( ax' -\- by' — i )] 
— •?.![ ax' •+■ by' — i ) =z o , 

ou, en réduisant, 

xy' 4- yx' + 2 a [ax' + by' — i)(ax -{- by — i ) =: o. 



( 8' 
baisons suc<c'ssi\ émeut 



= o, j =o 



dans cette équation , nous aurons pour l'ordonnée et l'ab- 
scisse à l'origine 

Qg _ -iliax' -h hj'—i) 



x' H- 2 A è ( ax' H- by' — i 

OD— ^>(«-^' + V— . 
y'-'r la h {ax' + bf — i) ' 

on aura donc, pour les équations de AB et de CD, 

^ ^ -^ x'^'2.b\{aa^' -\-hy' — i) 

(i) \ '2.\[ax' -^by' —\) 

x' -\- ib\{ ax' H- by' — [ ) 
:= 1 ^, 

(2) (CD)r-^î = . , ~ ", (•^-v). 

^ ' ' ' 2 Â ' ax' -^ by' — 1 j ^ ' ' 

y' -f- 2« A {ax' H- èr' — \) ' 

Éliminant x' et j' entre l'équation (i) , (2) et l'équa- 
tion 

(3) a;'j'-î-À(ax' 4-èr'— 1)^ = 0, 

mi obtient l'équation du lieu cherché. 
De l'équation (3) on tire 

i^ax' + by-iy ^ 

x' 
par suite, léquation (2) se met sous la forme 

w ^ f ax' ^ by' — I \ 



X 



— 3 



I ax' -h by' — I ' 
2 — 2 ff 7 -«- 7 ( j 



Ànn. de Mathcni., t. XIX ( Mars 18G0.) 



( H^ ) 
d'où l'on lire 

nx' + b)' — I _ 'JLd [ -j Y — ox) — 2 {y — -V} 
x' "1 y — ûx 

Or divisant certains termes de l'équation (i) haut et bas 

par [ax^ -\- by' — i) , on peut la mettre sous la forme 

(^^' - P-*-') ax' + V ^^ "" ""' ^*~"''^ ^ ^^■'" ~ "-^'^ "^^'^^ 

x' 

et substituant la valeur de — ; 7—, ' o'^ ^ 

a.r' -\- by — 1 

(aj — ^x){^y ~rJx) = I^a.\ {u — x){yy —Sx) 
— ^l{y — S){oL — .v)-h^abl[^x — xy ) (7/ — Sx) 
-4M.(|î,r-aj)(r-5}, 

c'est l'équation du lieu : on voit facilement à son inspec- 
tion que c'est une conique passant par les points fixes 
donnés. 

Si maintenant je transforme cette propriété par la mé- 
thode des rayons vecteurs réciproques, j'aurai cette nou- 
velle proposition : 

On donne une conique tangente^ deux droites fixes, 
deux points fixes , un cercle tangent à cette conique et 
passant par le point de concours G des deux tangentes 
rencontre ces deux dernières en deux points. Par l'un 
de ces points, le sommet O et 1 un des points fixes, je 
fais passer un cercle-, de même par l'autre point, le som- 
met O et l'autre point fixe : ces deux circonférences se 
rencontrent suivant une corde passant par O et dont 
l'autre extrémité est toujours sur une conique passant 
par les points fixes. On peut encore transformer cette 
proposition par la méthode des polaires réciprofjues. 

Ktant donnée une conique, une; corde fixe AB et deux 



( »^ ) 

droites ûxes A', B' dans le plan de Ja conique, on prend 
un point variable O dans ce plan , on joint OA qu'on pro- 
longe jusqu'à sa rencontre C avec A', OB qu'on prolonge 
jusqu'à sa rencontre D avec B' 5 la droite CD est constam- 
ment tangente à une conique tangente aux deux droites 
A', B'. 

Il est facile de voir que c'est la réciproque de la ques- 
tion proposée. 



SECONDE SOLUTION DE U QUESTION 49:> 

fTOlr p. S); 

Par m. Charles KESSLER, 
Élève du Prvtanée Militairp. 



Soit P un point d'une conique , C le centre de courbure 
enP, O le centre de la conique; par C on mène une pa- 
rallèle à la tangente en P; soit Die point où cette paral- 
lèle est rencontrée par le diamètre OP : on a CD égal au 
tiers du rayon de courbure de la développée en C. 

(Abel Tbanson.) 



p F. 




Soit une ellipse, O son centre, P un point quelconque, 
C le centre de courbure en ce point, FF' l'axe focal. Fai- 
sons la construction indiquée. Soitp le rayon de courbure 
CP au point P de lellipse. On sait que, OE étant la 
perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente PK, 

6. 



(84 ) 

[Méthodes eu géométrie de M. P. Serret) 

_ b" b'' 
'-ÔÊ-^b' 
en posant 

OP = a', 

et le demi-diainèlre conjugué = b' ; car on calcule facile- 
ment OE en fonction du rayon vecteur 

^^ oé ab 

OE = — = T7- 

s/a' 4- b'~a" f> 

Désignons par a l'angle CPD , on a (triangle PCD) 



V^l — ces' a 
' " ■ cosa 

Or, dans le triangle OPE on a 

OE = a' CCS a. 



d'où 



OE ab 

,,os. = - = —. 



et, par conséqueut, substituant dans lV''(|ualion (i), 



CD = -V -^ 7 = -77-, v/«" f^' - «= ^% 

ao ab a^ b^ 

Tb' 

Désignons maintenant |)ar p' le rayou de courbure de 
la développée en C. On sait que 



d'où 



ianga = 3 t. , 



p' = 3|i tanga , 



i 85 ) 
el substituant les valeurs trouvées de p et de langa, on a 

r/=:3CD, 

car 

p tanga = CD, 
donc on a bien 

C. Q. F. D. 

Pour l'hyperbole, on changera b^^b'^ eu — Z>^, — ^'*,ei 
on aura le même résultat. 



SOLITION AmYTlQlE DE L\ QUESTION 502 



Par m. J. LARROSE, 

Elève du Ivcée Saint-Louis, 



Lemme. Si l'on appelle a, è, c les trois côtés d'un 
triangle et ( x', /'), {x" ^ y"), {x'", y'") les coordonnées 
des sommets opposés, le centre du cercle inscrit a pour 
coordonnées 

■ _ax' + bx' + cjc'" 

1 ^ ~ a + b + c~ ^ 

(A) 



Je prends pour axes coordonnés les axes de Tellipse. 
Soient {x\y') et [x".,j") les coordonnées des points A 
et B où la corde passant par le point F rencontre l'el- 
lipse. 

Je joins A et B au second foyer F'. Le point de ren- 
contre C des normales en A et B est le centre du triangle 



( 86 ) 
ABF', dans lequel les côtés 

ct! a- -\- ex' 

F'A — « H = ' et h a 

a (i 



FA= , FB: 



D'après les formules { A) , rordonnée du point C donne 

car l'ordonnée de F' est nulle et le périmètre du triangle 

ABF' est 4a. 

Or l'on a 

y' AF a' — ex' 

'^" ~ BF ~ a" — ex" ' 



d'( 



y'+y")-c[y'x" -\-x'y\ 

y' + y" 
y = 



2 

C. <^. 



Cette démonstration est évidemment applicable à l'hy-^ 
perbolc et avec une facile modification à la parabole. 

Noie du Rédacteur. M. de Jolivette, élève de l'insti 
tution de Lasallc, part de l'équation Comte 

x' -h J-' = ( niy -f- iix -+■ pf, 

et cherche directement les cooidonnées de l'intersection 
des deux normales par les écjuations de ces lignes, ce 
qui entraîne un calcul qui exige des multiplicateurs indé- 
terminés que cet élève emploie adroitement. 

M. L. Rabeau, élève du lycée de Poitiers, donne une 
solution analytique, analogue à celle de M. Larrose, et 
njoule uni" solution gconiélri(me poui la parabole seule- 



(87 ) 
menl, fondée sur ce que la normale bissecle l'angle foimé 
par le rayon vecteur et le diamètre adjacent. 

M. Charles Kessler, élève de la Flèche, établit aussi 
l'équation Comte, mais prend pour coordonnées du point 
d'intersection celles qui ont été consignées t. XVIII, 
p. 78. 

M. Eugène Dupont, élève du lycée Louis-le-Giand ; 
pose les deux équations 

«'j' ■+■ b- .r' = fl' b\ y = m [x — c) ; 

les ordonnées j', y" des points A et B sont données par 
l'équation 

Y^ [a- m- -\~ b-) -+- imb^ cy — nr è* =^ o, 

mb'' c . „ nr b' 



I «," 



^ '^^ ^2™2-J_A2' ^ ^ ~ ,.3 



b^- 



et 



mx' z=. y' -\- me , nix" = y" H- me. 
De là les équations des deux normales en A et B sont 

^'(j —/')(/ + 'ne) = a''y' [mx — y' — me), 
b^ [y — y") {y" + me] = û^y"[mx — /" — ///r;l. 

Eliminant x , il vient 



m^ cb 

.y _ çy y. __ 



mb' Y = "-' -" 



me 



b^- 



a-m^-h i^ 



«-/«'-f- b^' 






y + y" 






2 






c. Q. 


Y. 


D 



MM. J. Bonnet , François de la Bruière (école de 
Sainte-Geneviève), H. Delorme (lycée Louis-le-Grand), 
Journeaux (de Liège), Desgranges ont envoyé des solu- 
tions identiques. M. Cuénoud (de Lausanne) fait observer 
que cette propriété est une conséquence immédiate de la 
question i33 (i. XVII, p. 285). 



88 ) 



SOLUTION GEOMETRIQUE DE LA QUESTION 502 

(voir p. 85); 

Par m. E. MAILLOT, 

Élève de Spéciales au collège Stanislas. 



Par un foyer d'une ellipse, on mène une corde AB; 
par le point de rencontre O des deux normales en A et 
B , on mène une parallèle au grand axe : cette parallèle 
passe par le milieu de AB. 




Soit AB une corde passant au foyer F; on mène AO, 
BO normales à la courbe en A et B et par leur point de 
rencontre OM parallèle au grand axe : M sera le milieu 
de AB. 

En effet, à cause des triangles semblables AMO , AFD 
d'une part, BFC , BMO de l'autre, on a 



AM = MO 



AF 



BM = MO • ^• 
PC 



., . , AF BF , 1 1 . • 

Mais les rapporl.s -— » — soiii égaux; car les bissectrices 

AD, BC des angirs A ol B rUns los triangles FAF', FBF' 



( 89 ) 
partagent la base FF' eiv segments tels , qu'on a 



donc 



AF 


AF 4- AF' a BF + BF' 


BF 


FD 


~ FF' ~ c~ FF' 
AM = BM. 


~"FC 



F. D, 



Corollaire (*). Si l'on place l'ellipse de sorte que son 
grand axe soit vertical, une droite pesante et homogène 
AB sera en équilibre si elle passe au foyer. 

Car la résultante des réactions est égale et opposée à la 
pesanteur qui s'applique en M. 

Remarque. La condition que la droite passe au foyer 
est suffisante pour l'équilibre, mais est-elle nécessaire? 
Ou plus généralement : Si par le point de rencontre des 



Fie 




normales qui ont leurs pieds aux extrémités d'une corde 
quelconque on mène une parallèle au grand axe, dans 
quel cas cette parallèle coupe-i-elle la corde en son mi- 
lieu ? 
Soient 

( I ) y — m.r -h // 

1 équation de la corde AB; 



C) CcUe partie Hp celte belle ^olMlinn .) déjà éti- Irnilee (tome XNII 
paffe K>iï). Tm. 



1 9'» ) 
(a) a^j' + b-.v' = d'à'- 

celle de l'ellipse. Les coordonnées des points A, B, inter 
sections de la corde et de l'ellipse, sont 

— a- mn zt ab ^a^m' -h b^ — m 



a^m'+-b' 

;3) 



b^ n"^ amh y/a' m' -f- é' — n- 
a- /«' -4- b- 

Les équations des deux normales menées par ces points 
sont de la forme 

L'ordonnée du point K où ces normales se coupent est, 
ayant égard aux valeurs trouvées de x' et de j' 

, .. c? a'^ m- — n- 

où C" = a^ — b-. 

Nous aurons la relation cherchée entre ni, n, en ex- 
primant que j'i est égal à la demi-somme des ordon- 
nées des points A, Bj cette demi-somme, d'après l'équa- 
tion (3) , est 



.(5 



. 2. a- ni'' -\- b'' 

Egalons les é(|uatioiis (4) et (5), il vient 



Donc l'équatioii de la corde sera 
Y = m ( X zt c ) ■ 
\.v douhlc si^nc conv i<'nl ;i la (|ii(\sliun ^éométi'ique, 



( 91 ) 
mais celle d'équilibre est moins générale el n'admet que 
le signe positif. En discutant celte équation 

on voit que pour l'équilibre il faut, si m n'est pas infini, 
que la droite passe au foyer 5 si m est nul, elle coïncide 
avec le grand axe 5 mais si m est infini, la droite est hori- 
zontale et en équilibre dans toute la moitié inférieure de 
Tellipse. 



SOLlTlO^i HE LA QIESTION 492 

(voir t. XVIIl, p. 443) ; 

Par mm. Charles KESSLER et Emile LEMOINE, 

Élèves du Prvtanée Militaire. 



Lemnie. Dans un triangle ABC si trois droites par- 
tant des sommets AR', BK", CK'" se coupent au même 
point O (K' est sur BC, K" est sur AC, K'" sur AB), 
on a 

OK/ _j_ OK/^ _^ 0¥J^ _ 

âk'~bk7^~"ck"'~ '■ 

Si O est intérieur à ABC, on aura 

OK' OK" OK^' _ 
ÂK? "^ BK^ "*" CK^' ~ ' ' 

si O est dans la partie de l'angle BAC extérieure à BC, on 

aura 

OK " OK'" OK' _ 
BK?^ "^ CK^' "~ ÂK ' ~ ' ' 

•si O est dan.s l'angle o[)puhé au soimuel à BAC, on 



(9^ ) 
aura 

AK' "~ BK? ~ CK^' — ' ' 

et ainsi des autres. 

(Ce théorème est proposé en exercice dans la Géomé- 
trie de Legendre revue par M. Blanchet et résolu dans les 
problèmes de géométrie élémentaire de M. Catalan.) 

Cela posé, la solution de la question 4-92 n'en est plus 
qu'un corollaire très-simple. 

Nous conservons les notations des Nouvelles Annales. 




Joignons OZ», Ou, Oc ; joignons 

AO qui coupe BC en K', 
BO » AC » K", 

CO » AB . K'". 

Les deux triangles semblables OK'a, AK'a' nous don- 
nent 

OA_OK' 
Art' "~ AK" 

les deux triangles semblables OK"/^ <! 0K"7> donnent 

0^ _ OK" 

b7/"~bk^" 

les deux trianglcb send)lablcs 0¥J" c cl CK"'t' donncnJ 

0< _ OK" 
C? ~CYJ 



(93) 
Ajoutant ces trois égalités meml)re à membre, ou a 



0« Oh Oc 


OK' 


OK" OK' 


ha' ' Bé' ' Ce' 


~AR' 


' BK' ' CK' 



Remarque. On verrait de même que si O était dans 
l'angle BAC en dehors du triangle ABC, on aurait 

Ob Oc Oa _ 
bT' "^C7~Â7'"~ '' 

et que si O était dans l'angle opposé au sommet de A, on 
aurait 

Oa Ob Or _ 

Â^' ~ B^' ~~ C? ~ ' ' 

et ainsi pour les autres côtés. 

Note. M. E. Martin, élève du lycée Louis-le-Grand, 
et M. Joseph Derbès, élève de l'institution Barbet, ont 
résolu la question de la même manière. 



SËCOPË SOLUTION GÉOMÉTRIQUE DE LA QUESTION :i02 

(voir p. 8« ) ; 

Par m. L. VOLLANT, 

Élève de Mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis. 



Je joins les points A et B au second foyer F' 5 le point 
de rencontre O des normales en A et B est le centre du 
cercle inscrit dans le triangle ABF'. Soit K le point de 
►contact de ce cercle avec AB. Le point de rencontre O' 
des tangentes en A et B est le centre du cercle exinscril 
au triangle ABF', et comme O' F est perpendiculaire sur 



(94) 
AB (propriété connue), ce cercle est tangent en F au côté 
AB. D'après un tliéorème connu, on sait que BK est 
égal à AF. D'autre part , F' étant le centre de similitude 
des deux circonférences O et 0', le rayon OC du cercle 
inscrit est parallèle à O'F et par suite perpendiculaire 
sur AB. Cette droite devra donc passer par le point K. 
Mais le centre O divise le côté CK du triangle KFC en 
deux parties égales, la parallèle OM au côté CF divise 
donc FK et par suite AB en deux parties égales. 

N. B. La même propriété a lieu pour l'hyperbole, on 
le démontre de la même manière. 

Il en est de même pour la parabole. 

Soit KF l'axe d'une parabole dont F est le loyer. La 
corde AB passant par le point F, les tangentes en A et 
B se coupent en O' à angle droit. Les normales aux 
mêmes points qui se coupent en O sont aussi rectangu- 
laires. Le quadrilatère AOBO' esi donc un rectangle et 
la diagonale 00' coupe AB en son milieu M. Mais O'M 
est un diamètre (propriété connue) \ par suite OO' est 
parallèle à KF. 



Ql'ESTIOKS. 



.^14. 



w-'-:) 



r. =. base népérienne , 
a = sinvj/, ^ <^90", 

tlémoiilrer ipren posant 



( 95 ) 
réquatiun trausceiidaute a deux laciiu's égales; de même 
en posant 



515. 



A := 



b = 


2 






(Pliseux 


î^-r.i 


^-2,1 • ■ • X/M 




^i.-2 


a,,,. . . a,,,, 




«l.n 


a_i_n • • . ^n,n 





Si dans ce déterminant on remplace «,< par 5;f~', on 
obtient le produit 

(«, — y-j) (a, — a.i)--- («i— a«)X, 
(a, — a,) (a, — aj).. (x, — x„)x, 



(«„_, — a„). 
516. Soit l'équation 



hx'' 



+ /J7 + /^ :=: o. 



qui ne renferme que des puissances impaires de l'incon- 
nue (excepté a:") ; il y a une racine réelle comprise entre 

H- 2 1/ - et 2 V/ ~' ( ICHEBICHEF.) 

517, i". Le segment intercepté sur une normale quel- 
conque à une ellipse par les deux axes étant multiplié 
par la distance p du centre à la tangente adjacente à sa 
normale donne un produit constant-, 2° le segment in- 
tercepté sur une normale quelconque à une ellipse par 
un cercle concentricjue d'un rayon égal à la demi -somme 
des axes et multiplié par la dislance p donne un produit 
constant. 



( ytJ ) 

318. A partir de l'origine P, normale quelconque à une 
ellipse, on porte de part et d'autre sur cette normale 
deux longueurs égales PN, , PNa telles , que le produit 
de PNi ou de PN, par la distance du centre à la tangente 
adjacente à la normale donne un produit constant ; les 
lieux des points JN, , N* sont deux ellipses confocaîes de 
même centre que l'ellipse donnée. 

519. Les droites qui dans deux ellipses confocaîes 
joignent deux points correspondants, sont normales à une 
troisième ellipse qui bissecle ces normales. 

Obseivation. Deux points sont correspondants lors- 
que les coordonnées de ces points sont respectivement 
proportionnelles aux axes sur lesquels sont rapportées 
ces coordonnées. 

520. Soient P, Q les intersections respectives d'une 
normale par les axes a ai h. Si , à partir de l'origine ni de 
la normale, on prend des longueurs égales mS,, r/iSs, 
telles, que /«Si soit égal au demi-diamètre parallèle à la 
normale, les quatre points Si, P, Sj, Q sont placés liar- 
moniquement; les lieux de S,, S» sont deux cercles con- 
centriques à l'ellipse décrite des rayons a± b. 

521. Soit décrite une ellipse ayant pour axes une nor- 
male et la tangente adjacente quelconque d'une ellipse 
donnée et touchant le grand axe de l'ellipse au centre ^ et 
de même soit décrite une seconde ellipse touchant le petit 
axe au centre ; les lieux des foyers de ces ellipses sont 
deux cercles concentriques à l'ellipse donnée et ayant pour 
rayons la demi-somme et la demi-différence des axes. 

Observations. Les cin(| propositions 517 à 621 subsis- 
tent d'une manière analogue dans rellipsoïde et ont pour 
auteur M. le D"^ Heilermann, directeur de l'Ecole indus- 
trielle provinciale de Coblentz. 



(97 ) 
SOLITION DE LA QUESTION 418 (LAFFITTE) 

(TOir t. XVII, p. 3i: - 

Par mm. E. CARÉNOU et M. LAQUIÈRE, 

Elèves du lycée Saint-Louis (classe de M. Faurie\ 



Deux figures étant en perspective , si leurs plans tour- 
nent autour de leur commune intersection, il faut, pour 
que ces figures restent en perspective, que Tœil change de 
position; les perpendiculaires abaissées chaque fois du 
point de vue sur cesplaus restent dans un rapport constant. 

Soient OX, OY les intersections des deux plans parle 
plan mené par le premier point de vue S , perpendiculai- 
rement à l'intersection commune OO' des deux premiers 
plans (*).Nous allons démontrer qu'il existe dans ce même 




plan un point unique S', par rapport auquel les deux fi- 



(*) Dans la figure les deux parties séparées par la lif;ne LT sont suppo- 
sées dans des plans rectangulaires. 

Ann. de Maihém.ft. XIX (Mars iSfio.) 7 



(98 ) 
gures seront eu perspecÙTe lorsque le plan O' OY sera 
mené en O'OY'. 

Considérons les différents points M, N, P, etc., situés 
dans le plan fixe. Appelons m, n, p, etc., leurs per- 
spectives dans le premier système (dans le plan O'Ol ), et 
m', n', p\ etc., les nouvelles positions des points m, 
/2, /?, etc., lorsque le plan du tableau aura pris la posi- 
tion O'OY'. 

Soient A, B, C, etc., les projections orthogonales de 
M,]N",P, etc., sur OX. Si nous joignons SA, SB, SC, etc., 
les points a^b ^c^ etc., d'intersection de ces droites avec 
OY seront les projections sur OY des points m', «', 
p', etc., homologues des premiers: lorsque le tableau 
aura pris la nouvelle position 0'0\', les points a,b, 
c, etc., seront devenus a', b' , c', etc., projections sur 
OY' de m', n', p' , 

Les équations des droites Ka, BZj, Ce, etc., issues du 
point S, étant 

X Y X y X y 

--1-'t = i, — + 77='» v^^v"' — '•••' 
ah a b no 

par rapport aux axes OX, OY, si nous joignons A a', 
Bb\ Ce', etc., leurs équations seront les mêmes par rap- 
port aux axes OX, OY'. Par conséquent, (a, (3) étant 
les coordonnées du point S dans le premier système, le 
point S', qui aura aussi (a, (i) pour coordonnées dans le 
second système de coordonnées, sera situé sur toutes les 
'droites ka\ Bè', etc. 

Les distances d, tî' du point S aux deux plans XOO', 
YOO' sont 

^=psinYOX, 5'=asinY0X. 

Le rapport 



(99) 
sera le mèrne pour le point S', puisqu'il est indépeiidanl 
de l'angle des deux p^ans. On peut du reste remarquer 
que, le tableau tournant autour de 00', le point S' dé- 
crit un cerele de rayon |3 ayant son centre en L, pied de 
l'ordonnée d'une quelconque de ses positions dans le 
système de coordonnées correspondant. 

Cela posé, pour démontrer que les points m', n' , 
p', etc., sont les perspectives des points M, N, P, etc., 
par rapport au point S', il suffit de prouver que l'on a 

AM _ S^A 

Car alors la droite Mm' passera par S'j il en serait de 
même des autres. 

Or les points m M' étant en perspective par rapport à 
S, on a 

AM _ SA 

am S a 
OU 

AM SA 
a' m' Sa 



-, — 7 = 3— [oui = a' m'). 



Mais les triangles S' LS, a'Oa étant isocèles et ayant les 
côtés égaux parallèles deux à deux, leurs bases SS', aa' 
sont parallèles \ d'où 

SA_S'A 

S^~S'a'' 

SA 

et , a cause du rapport commun — » 

AM S'A 



a' m' S'a' 
et le ihéorème est démontré. 



( ïoo ) 

^OTE SIR QllELOlES COURBES A DOUBLE COIRBIRE; 

Par m. AELT. 



Déterminer, parmi les diverses courbes isopérimètres 
tracées sur une surface quelconque, celle qui renferme 
une aire maximum sur cette surface. 

Ce problème a été traité à l'aide du calcul des varia- 
tions, par M. Delaunay [Journal de ^l. Liou\ille,l. VIIJ, 
p. 24 1)- Quelques considérations de géométrie inflnité- 
simale me permettront d'en donner une solution eu quel- 
que sorte élémentaire. 

Je pose d'abord en principe que, deux surfaces Set S' 
se touchant suivant une courbe AB, s'il arrive que cette 
courbe AB jouisse d'une propriété de maximum ou de mi- 
nimuna par rapport à toutes les couibcs voisines tracées 
sur S, elle jouira de la même propriété par rapport aux 
courbes voisines tracées sur S'. 

En eiïet, conformément à la théorie des maxima et 
minima , les lignes tracées sur S et qu'il faudrait com- 
parer à la ligne AB pour vérifier dans celle-ci une pro- 
priété de maximum ou de minimum, doivent en être in- 
finiment voisines. En d'autres termes, les éléments de 
ces courbes voisines sont nécessairement compris sur les 
divers plans qui touchent la surface S le long de AB. Ces 
éléments appartiennent donc aussi à la surface S'; ce qui 
prouve le principe. 

On pourrait établir cette vérité au moyen du calcul 
des variations; mais ce serait faire perdre à celte INote le 
caractère que j ai voulu lui donner. 



j 



( l'^l ) 

Quant au problème de tracer sur une surface uue 
ligne de périmètre donné passant par des points fixes 
A cl B, et comprenant une aire maximum, il faut en- 
tendre qu'entre ces deux points on a tracé une première 
courbe , par exemple une ligne géodésique. L'aire maxi- 
mum sera limitée par cette première courbe et par la 
courbe cherchée qui doit avoir un périmètre donné. On 
peut aussi ne donner sur la surface en question aucun 
point, et demander d'y tracer une courbe fermée qui sous 
un périmètre donné renferme la plus grande aire, ou 
bien qui circonscrive une aire donnée dans le plus petit 
périmètre^ car ces deux questions n'en font qu'une. 

Si la surface donnée est un plan , on sait que toutes ces 
questions se résolvent par des arcs de cercle ou par des 
circonférences. Dans le cas général j'imagine une surface 
développable touchant la surface donnée tout le long de 
la ligne demandée. Considérée comme appartenant à la 
surface auxiliaire, cette ligne, en vertu du principe ci- 
dessus énoncé, y jouira de la même propriété que sur la 
surface donnée, c'est-à-dire qu'elle y renfermcia sous 
un périmètre donné la plus grande aire possible. Dès lors 
il est clair que si l'on fait le développement (sur un plan) 
de la surface auxiliaire, la ligne en question deviendra 
soit un arc de cercle, soit une circonférence entière. 

Admettons d ailleurs, ce que je démontrerai à l'instant, 
que, si 1 on fait la transformée plane d'une courbe tracée 
sur une surface développable, on a entre le rayon p de 
première courbure de cette courbe, l'angle a de son plan 
osculateur avec le plan tangent à la surface développable , 
et le rayon de courbure r de la transformée plane, la 
relation 

p = r oos a . 

Comme la transformée dans le pioblèmc actiu'l est un 



( I02 ) 

arc de cercle, /■ est constant 5 et l'on obtient aussitôt ce 
résultat que M. Delaunay tire de l'équation différentielle 
de la courbe, et qui au besoin pourrait faire i^etrouver 
cette même équation , savoir que : Eti chacun de ses 
points , le rayon de courbure de la courbe demandée est 
proportionnel au cosinus de Sangle formé par son plan 
osculateur avec le plan tangent à la surface. 

L'auteur imagine ensuite une sphère contenant le cercle 
osculateur de la courbe cherchée, et, de plus, ayant son 
centre sur le plan langent de la surface. Il est aisé de voir 

c|ue le rayon de cette sphère est égal à — — • Il est donc 

constant, ce qui est une très-belle propriété, et notam- 
ment il est égal au rayon du cercle dans lequel la courbe 
cherchée se transforme par le développement de noire 
surface auxiliaire. 

IL 

Pour établir la propriété dont nous venons de faire 
usage, considérons deux faces consécutives du polyèdre 
infinitésimal que, conformément à la méthode des infini- 
ment petits, on substitue idéalement à la surface dévelop- 
pablc. Soit A le point où la couibe proposée rencontre 
l'intersection de ces deux faces. J'appelle AT le prolonge- 
ment au delà du jx)int A de l'élément de courbe qui est sur 
la première de ces deux faces , et AT' l'élément même qui 
est sur la seconde. Ainsi le plan des deux lignes AT, AT' 
est le plan osculateur^ il forme avec le plan de la pre- 
mière face un angle dièdre a dont l'arête est la ligne AT. 
Cependant rabattons la deuxième face sur la première; la 
ligne AT' viendra y prendre une position AT" qui est en 
léalité la projection de AT' sur celte premièie lace; l'an- 
gle trièdre ATr'T"adonc un angle dioit suivant rai-èle 
AT", cl un ani^lc lepréx'iilé par y sui\;int r.'irêl<' Al'. 



( io3 ) 
D'ailleurs les laces TAT' el TAT'' sont respeclivement 
les angles de contingence de la courbe primitive et de sa 
transformée plane. Si on les appelle e el0, la propriété 
connue des triangles spliériqucs rectangles donnera 

tang G =r tang s . cos a , 

ou plutôt, à cause des infiniment petits , 

Q z=z i .cos a. 

Soit maintenant ds l'élément de la courbe primitive^ 
élément qui ne change pas de grandeur dans la transfor- 
mation • on a à la fois 

(Is = ps et cJA= r. ; 

de là il est aisé de conclure (*) la relation 

p = r coj.^ a . 

m. 

De la ligne géodésiqae sur une surface quelconque. 
Concevons une surface développable tangente à la sur- 



(*) Depuis longtemps (i843) M. Catalan a déduit de l'équation différen- 
tielle donnée par M. Delaunay pour la courbe qui, parmi celles de lon- 
gueur donnée, comprend sur une surface quelconque une aire maximum, 
la propriété de cette môme courbe d'avoir pour transformée plane un arc 
de cercle lorsqu'on la considère comme appartenant à la surface dévelop- 
pable que j'ai définie dans le texte sous le nom de surjace auxili tire ( voir 
Journal de l'École Polytechnique, 29^ cahier, p. i5i). M. Catalan a dé- 
montré aussi la relation entre le rayon de courbure d'une courbe tracée 
sur une surface développable et celui de sa transformée plane {Comptes 
rendus, t. XVII, p. 738). Mais outre que la démonstration donnée par 
M Catalan pour ce second théorème est aussi purement analytique , M. Ca- 
telan n'a pas montré l'emploi de la relation p = rcos« pour établir les 
théorèmes de M. Delaunay. D'après tout cela, j'ai pu croire que mon tra- 
vail offrirait au moins par sa forme, sinon par la nouveauté du fond, 
quelque intérêt aux lecteurs des Nouvelles Annales. On peut voir aussi pour 
l'a relation p = rcos a VA/yf/licnCion de l'Analyse à la Gconictrie do iMoii{;o 
5^ édition (i85o); notes de M. LLouvillc, p. 37(1. 



( i«4 ) 

face proposée tout le long de la ligne géodésique; celle- 
ci sera également géodésiqiie par rapport à la surface 
auxiliaire , et par conséquejit sa transformée plane sera 
une ligne droite. Ainsi dans le cas actuel r est infini, de 
sorte que cosa est nul*, d'où on peut déduire ce résultai 
bien connu, que le plan oscillateur de la ligne géodé- 
sique est constamment perpendiculaire au plan tangent. 

IV. 

En i85i on a proposé pour le concours d'agrégation 
la question suivante , traitée avec élégance par M. Dieu 
dans les Nouueiles yJnnales (t. IX, p. 33) : Trouver 
V équation différentielle des courbes planes qui , enrou- 
lées sur un cylindre droit à base circulaire, donnent des 
courbes dont le rayon de première courbure est constant. 

Pour résoudre cette question , je remarquerai ici et je 
démontrerai à l'instant que si /• est le rayon de courbure 
d'une courbe plane, R le rayon du cylindre sur lequel on 
l'enveloppe, w l'angle que la tangente de la courbe en- 
veloppée forme avec l'arête du cylindre, et a l'angle entre 
son plan osculaleur et le plan tangent, on a la relation 
très-simple 

r sin^w 
tanga- ^ 

Or, si l'on élimine a entre cette équation ot la relalioi> 
précédemment obtenue 

p = r cos a , 
il viendra 



Il' — p'sm' 



Il et^ sont ici des quantités conslanle.s, cl celle c(pialio»i 
peut être considérée comme cxprim.inl la propriété ca- 



( io5 ) 
raclérislique de la courbe plane demandée; si l'on y rem- 
place r rayon de courbure, el co angle de la tangente avec 
une perpendiculaire à la base du cylindre développée en 
ligne droite, par leurs valeurs connues au moyen des dé- 
rivées de la fonction qui exprime l'ordonnée de la courbe, 
on obtiendra l'équation différentielle demandée. Mais 
déjà sous la forme présente on peut reconnaître que si 
le rayon de courbure p de la courbe enroulée doit sur- 
passer le rayon R du cylindre, on pourra par chaque 
point de la surface cylindrique faire passer deux hélices 
satisfaisant à la condition voulue. En effet, en supposant 
deux droites menées sous les angles- déterminés par la 
condition 

_^ /R 
sm w = dz i / —•) 

V P 

Féquation caractéristique ci-dessus est satisfaite, puis- 
qu'en même temps le rayon de couibure /• est infini. Si 
l'on devait avoir p = R, ces deux hélices n'existeraient 
plus, ou mieux elles se confondraient en chaque point 
du cylindre avec sa section droite. 



Voici comment se démontre la propriété énoncée dans 
le précédent paragraphe : 

Considérons deux faces consécutives du prisme droit 
infinitésimal qu'on substitue idéalement au cylindre. La 
droite intersection de ces deux faces, el, sur chacune 
d'elles, les éléments correspondants de la courbe en- 
roulée, forment les trois arêtes d'un angle trièdre dans 
lequel on connaît deux faces et l'angle compris. En effet, 
les deux faces contiguës à l'arête du prisme sont w, el 
n — w — d(j). Quant à Tangle de ces deux faces, il est le 
supplément de l'angle de contingence de la section droite. 



( io6 ) 
Donc, puique R esl le rayon du cylindre, si da repré- 
sente l'élément du cercle de base , l'angle en question est 

7^ — — • Or si l'on appelle ds l'élément de l'arc de courbe 



enroulée, on a 

da =. ds . sin 



de sorte qu'en appelant A l'angle du dièdre suivant l'a- 
rête du prisme, b ei c les faces adjacentes, on a pour ces 
trois éléments les valeurs suivantes 

S\X\(^.ds 

Or l'angle C opposé à la face c est donné par la formule 
de trigonométrie sphérique 

cot c . sin ^ = cot C . sin A -f- ces ô . cos A , 

qui à cause des valeurs ci-dessus devient 

— col (w -f- <■/&)) .sin w 

. /sinw.r/.vX /sinw.r/^v 

= cot C. sm I — ■ 



cji réduisant et en ne conservant que les infiniment petits 
du premier oidre, on tire aisément de cette dernière équa- 
tion la relation suivante 

^ rsin'w 
tang C = — j^ • 

Or l'angle C est ici l'angle du plan des deux éiémenis 
consécutifs de la courbe enroulée avec la première face du 
prisme, c'est-à-dire l'angle du plan osculaleur avec le 
plan (angcnti c Csl ce (|uc nons aj)p('lions a dans les pa- 
ragiaphcs prccédcnis. 



( I07 } 

En suivant une marche analogue, on démontrera que 
si l'on fait la transformée plane d'une courbe tracée sur 
un cône de révolution dont le demi-angle au centre est 0, 
on a la relation 

r siu' td 

tang a = ^ r » 

° (/-+- /-sin w) tang G 

dans laquelle l est la distance du point correspondant de 
la courbe donnée au sommet du cône, et par conséquent 
le rayon vecteur de la transformée , w l'angle de la tan- 
gente de cette transformée avec son rayon vecteur 5 /■ son 
rayon de courbure 5 a l'angle du plan osculateur de la 
courbe primitive avec le plan tangent. 

Eliminant a entre cette équation et la relation 

p = r ces a , 

on obtiendra une équation caractérislic{ue pour les courbes 
(jui, enroulcts sur un cône de rêvoluiion, donnent des 
courbes dont le rayon de première courbure est constant. 
Ce qui renferme comme cas particulier la question du 
concours de i85i. En effet, pour revenir à celle-ci, il 
suffira de remarquer que, pour passer du cône donné au 
cyliudie de rayon R, il faut concevoir que 6 tende vers 
zéro, et en même temps «[ue / tang 9 tende vers R. 

Paris, il novembre 1859. 



( »o8 ) 
HOMOGRAPHIE; 

Par m. poudra. 



Problème. Etant donnes cinq points a, b, c, d, e 
appartenant à une figure quelconque de l'espace, et les 
cinq points homologues a', b', c', d', e' d'une figure ho- 
mographique à la première , on demande de construire 
cette deuxième figure fiar des moyens analogues à ceux 
de la perspective. 

Les quatre points a, ^, c ^d peuvent être considérés 
comme sommets d'une pyramide triangulaire 5 soit abc 
la base et d le sommet. 

Soit de même a' , b\ c', d' là pyramide homologue, et 
a' b' c' la base, et d' le souimet. 

La droite de ({ui joint le ciiu|ulènie point e de la 
première ligure à /7, rencontrera le plan abc en un point 
/, qui sera homologue du point f, où la droite d' e' 
de la deuxième figure rencontrera le plan a'b' c' . 

Supposons dan.-' le plan abc une figure appartenant au 
snjet donné, et dont font pa nie les quatre points a, b^c^f 
homologues à ceux a', b', c', f contenus dans le plan 
a'b'c' de la deuxième figure. 

Ces deux figures plaïu^s situées dans les plans abc, 
a'b'c' sont liomographiques entre elles, et par suite ho- 
luùlogiques; il s'ensuit ([u'elles peuvent se mettre en 
perspective; il suffit pour cela de placer en perspective 
les deux quadrilatères abcj\ a' b'c'j'. 

SoitO le point de vue. Regardons ce [Joint comme ap- 
partenant à lu [)rcmière figure; il lui correspondra dans 
la deuxième un [>oinl O', qu'on (bicrminera ainsi : On 



{ »"9 ) 
joint o à rit't à e; ces deux droites od, oe reiiconlrent le 
plan abc aux points respectifs g et h^ qui ont pour homo- 
logues les points g' et h', où ces mêmes droites rencon- 
trent le plan a'è'c'. } oignons g' a d' et h' à e' . Ces deux 
droites g'd', h' e' seront dans le même plan, déterminé 
par les deux droites f g' h' et /' e' d' -^ donc elles se ren- 
contreront en un point O' homologue de O. 

D'après cela , il est très-facile de déterminer le point M' 
de la deuxième figure, qui est l'homologue d'un point 
quelconque M de la première. Eti effet, i" la droite MO 
rencontre le plan abc en un point /// , et le plan a'b' c' en 
un point homologue m'. La droite O'M.' ni' est donc l'ho- 
mologue de la droite OMm, et passera par le point M' 
cherché. 2°. Joignons le point M à un point de la pre- 
mière figure, tel que d^ dont on connaît l'homologue d' \ 
cette droite ^Id rencontrera le plan abc eu un point /, 
dont l'homologue /' sera à l'intersection du plan a' b' c' et 
de la droite OU' \ il en résulteia que la droite Mf/^ aura 
pour homologue la droite M'd'i' passant par le point M', 
il sera donc à l'intersection de O'M'm' et de ^l'd'i'. 

Il résulte de la construction : 1" que la perspective 
plane de la première figure , sur le plan a'b' c' prise du 
point O, est la même que celle de la deuxième figure, sur 
le même plan prise du point O ' homologue de O 5 et 2° que 
la perspective plane de la première figure, prise d'un 
point quelconque M de l'espace , considéré comme ap- 
partenant à la première figure, sur Je plan abc, étant 
mise en perspective sur le plan ù'b'c' pour le point O, 
donne sur ce plan a'b'c' une figure qui est la perspective 
plane de la seconde figure sur ce plan , pour le point M', 
homologue de celui M. 

Ce qui donne un moyen très-simple de construction 
d'une figure homographique à une figure donnée, lors- 
qu'on connaît cinq points homologues des deux figures. 



( MO ) 

Au moyen des cinq points homologues dans chaque fi- 
gure, on les place dans la position indiquée ci-dessus, où 
deux des plans homologues tels que abc ^ a' b'c' sont en 
perspective pour un point O ci-dessus déterminé. On 
construit ensuite deux points homologues tels que M , M'. 
Alors la construction s'achève comme il suit : 

Pour déterminer d'abord le point K' homologue d'un 
point h^ on mène : i" la droite KO qui rencontre le plan 
abc en K et a'b' c' en K', homologue de K. La droite 
K'O' passe par le point K' cherché^ 2° on fait la perspec- 
tive de K sur le plan abc pour le point M. Soit n cette 
perspective: la droite «O rencontrera le plan a' b'c' an 
point «', homologue de n , de sorte que n'M' sera l'homo- 
logue de n M , et passera par le point K'. 

Pour avoir la droite L', homologue d'une droite L, on 
fait d'abord passer par O et la droite L un plan qui coupe 
a' b' c' suivant une droite, par laquelle et par O' faisant 
passer un plan , il contiendra la droite cherchée. Ensuite 
par L et M un autre plan qui coupe celui abc suivant 
une droite, par laquelle et O on fait passer un plan qui 
coupe a' b'c' suivant une droite^ par cette droite et M' 
faisant passer un autre plan , il contiendra la droite cher- 
hée -, donc , etc. 

Entre deux figures homographiques ainsi placées, il 
existe , outre les relations métriques connues , les relations 
descriptives suivantes : 

1°. Les deux figures ont pour droite commune l'in- 
tersection des deux plans abc , a' b'c'. 

a". Elles oiit la droite 00' commune, mais seulement 
en direction 5 on voit, en effet, (jue O' est Ihoniologue 
de O. 

3". Dans deux figures hoinologi(|ucs , les droites et les 
plans homologues étant prolongés, se rencontrent sur le 
j)laii dit Alioniologic ; dans les deux figures homographi- 



( 'Il ) 

ques ci-dessus , les deux plans abc^ a' h' c' l'ont l'office de 
plans liomologiques de la manière suivanle, c'est que les 
droites et les plans de la première figure étant prolongés 
jusqu'au plan ahc^ et celles homologues de la deuxième 
jusqu'au plan homologue a'h' c\ il en résultera deux 
figures planes qui sont en perspective. 

4°. La perspective plane de la première figure sur le 
plan abc pris d'un point quelconque de l'espace, et celle 
de la deuxième sur le plan a'è'c'pris du point de vue 
homologue, sont deux figures en perspective pour le même 
point de vue O •, d'où résulte que si les points de vue ho- 
mologues sont O et O', la perspective de la première fi- 
gure sur le plan a' b' c\ prise deO, sera la même que celle 
de la deuxième , sur le même plan , prise de O'. 

5". Au plan à Tinfini de la première figure corres- 
pond dans la deuxième un plan I à distance finie , et réci- 
proquement aux points à l'infini de la deuxième, cor- 
respondent des points situés dans un plan J à une dis- 
tance finie. 

Dans les figures liomologiques de l'espace, ou ce que 
j'ai nommé perspcctives-r^liejs , il y a un plan d'homo- 
logie et les deux plans I et J qui sont tous les trois paral- 
lèles; dans les deux figures homographiques, il y a deux 
plans d'homologie et les deux plans I et J, et ces quatre 
plans ne sont généralement pas parallèles -, de sorte que 
si les deux plans d'homologie se réunissent en un seul , 
les points O et O' se réunissciit aussi , les plans I , J et le 
plan d'homologie deviennent parallèles, et alors les deux 
figures sont homologiques. 



( ^12 ) 



THÉORÈME SIR CI!VQ NOMBRES CONSECUTIFS 

(TOir p. 38 ); 

Par m. le BESGUE. 



Théorème. Le produit de cinq nombres consécutifs ne 
saurait être un carré. 

Démonstration. C'est un théorème connu que , si une 
puissance n"""% savoir 

A" = a" p" 7" . . . (a , p , 7, . . . , premiers) , 

est décomposée en facteurs premiers entre eux, chaque 
facteur sera une puissance fi"""\ 

De là suit que si dans un produit A.B.C, . . . , on met 
en évidence tous les facteurs premiers communs à plu- 
sieurs des nombres A, B, C, . . . , ainsi qu'il suit : 

A = 2«3^5^. . A', B = 2=''3'^'5'^'.. .B', 
C= 2°'" 3'^" 5'^"... G'..., 

il faudra, 1° que A', B', C',... soient des puissances 
firmes ^ et 2° que les sommes a -h a' -i- a"..., iS-f-j3'-|-|S"..., 
y4_y'_l-y"... , soient multiples de n. 

Ceci posé, pour démontrer le théorème ci-dessus, il 
suffit de remarquer ([u'il ne saurait y avoir d'autres fac- 
teurs premiers que 2 et 3 communs à plusieurs des cinq 
uombres consécutifs. 

Voici les six seules hypothèses admissibles : 

j a = 3='rt', fl + i=2'^A', «+?. = c', 

i a = a', rt + I = ?,«3'V/, a + 2 = r', 

I a 4- 3 = 7yd', rt -»- 4 = -i^e'i 



( "3 ) 

. I a ■=: a' , a -{- i =z 7.''^ b' , a -{- 7. = 3'' c' , 

{ « + 3 = 9.'' </', a -h ^ = c'; 

a étant impair. 

( a = 2^3^fl', rt -4- I = 6', « 4- 2 r= 2'' c\ 

( a -{- 6 = 6 (l , a + \ = 1- e ; 

( n=i'^a', <ï -h i.= 3'^6', « + 2 = a'-^c', 

{ «-|-3 = r/', aH-4 = 2'3-e'; 

.^, j rt = a'^a', a -\- \ =L b' , tf H- 2 = a'^S'-^c', 

f rt -h 3 =r (f' , «-f-4=^2'e'; 

a étant pair. 

Comme a', ^', c', <^', e' doivent être des carrés, l'hy- 
pothèse (i) est impossible, parce qu'elle donne 

e' — c' = 2. 
L'hypothèse (2) Test aussi à cause de 

c' — a' = 2. 

L'hypothèse (3) l'est également à cause de 

e' — a' = 4- 
L'iiypothèsc (6) est Impossible à cause de 

d'— b'=7.. 

L'hypothèse (4) est impossible, parce que b' étant un 
carré impair, a est divisible par 8 ; de là 

Y = I , j = 2 et 4 ^' — b' = 3; 

ce qui ne peut arriver que pour 

r' = y, //= i; 
ce qui n'est pas. 

Ann. de Malhéni., t. XIX. (Mars 1860. ) S 



( >M ) 

Enfin, l'hypothèse (5) donne d' carré impair; par suite 
a est de forme 

8 A -f- 6 , donc a = 1 ; 
et comme on a 

d'—'}.n'=?>, d'où ./' + «'= 3 («'+i), 

oji aurait une somme de deux carrés divisible par 3, ce 
qui est impossible; les nombres impairs non divisibles 
par 3 étant de forme 

6«±:i, 
ont un carré de forme 

12«-H I, 

et la somme de deux tels carrés est de forme 

1 2 m -f- 2 , 
non divisible par 3. 

Ce même théorème a été démontré ainsi par M. Alvin , 
élève de l'institution Jauffret. 

Letnme. Le produit n [a -{-?>) de deux nombres qui dif- 
fèrent de 3 n'est pas un carré. 

Corollaire, [tr — 4) ("' — n't'st pas un carré. 

Théorème. Le produit 

n — 2 .n — i.n.n-\-i.n-\-'?.=i [n- — 4 )("*"" i),« = P, 

de cinq nombres consécutifs n'est pas un carré, i° pour 
n impair; 2° pour n égal au produit d'un nombre im- 
pair n'par une puissance paire de 2(2*,A^o). Dans ces 
deux cas, on est conduit à rendre (n* — 4) {^^ — ï) carré. 
3°. Le produit P n'est pas un carré si /îi=2'"+'^n' 
(/r>o, n' impair). Car la plus haute puissance de 2 qui 
divise P est 2« '*+')+'. ^o. Pour // doublcd'un impair et de 
forme 8/?'-+- 2, ou prouve par la considér.iliou du <livi- 



(ii5) 
seur ^ (qui divise iiéccssairomcnt uu des iioiubies n — i), 
7i , // H-i), que 8 «'h- i et 8/i'-h4 sont carrés conformé- 
ment au lemme. 5". Pour // = Sn' ■+- 6, la même consi- 
dération du diviseur 3 montre que l'un des deux nombres 
Sfî'-I-S, Sn'-\-y (« — i^ n -\- i) est carré; ce qui est 
impossible. 

Il est donc prouvé que le produit P n'est jamais carré. 



TROISIEME SOLITIO^ DE LA QIJESTIO^' 273 

(voir t. XIII, p. :}»); 

Par mm. BELLAVITIS, MANNHEIM 
Et Angelo GENOCCHl. 



Le triangle ABC a un sommet fixe A , un angle con- 
stant CAB ; les sommets B et C sont sur une droite fixe. 
L'enveloppe du cercle circonscrit est vin cercle. 

Lenime. La courbe réciproque dune ciiconférence est 
une circonférence touchant les tangentes menées du pôle 
à la circonférence donnée. La courbe réciproque d une 
droite est une circonférence passant au pôle et touchant 
en ce point une parallèle à la droite donnée. 

Soit A le sommet fixe de l'angle mobile CAB, D'un 
point quelconque O de la perpendiculaire AD et avec OA 
pour rayon je décris une circonférence. Elle rencontre 
les droites AB et AC aux points E et F. 

L'enveloppe des droites telles que EF est une circon- 
férence, puisque l'angle EAF est constant. 

L'enveloppe des circonférences réciproques des droites 
EF est donc aussi une circonférence. 

La courbe réciproque de EF passe par le pôle A et par 
les points B et C, réciproques des points E, F; elle est 

8. 



( l'fi) 

donc la circonférence circonsorilo au triangle CAR. 
Donc, etc. 

(*). On peut employer la même méthode pour résoudre 
la question suivante : 

D\in point S pris dans le pian d'une circonférence O 
on mène une sécante SAB , on décrit deux circonférences 
' passant en Set tangentes à la circonférence O aux points 
A, B. Le lieu des points de rencontre C de ces circonfé- 
rences est une circonférence décrite sur SO comme dia- 
mètre. 

Cette question donne lieu à un genre de transformation 
dans lequel à un point correspond un cercle, et à une 
ligne droite correspond un point. 

Les questions que Ton obtiendra par ce procédé peu- 
vent s'obtenir par deux transformations successives. A 
une question A en correspond une autre B, obtenue par 
la théorie des polaires réciproques^ à cette dernière en 
correspond une autre C , obtenue par la théorie des rayons 
réciproques. 

La question C que Ion obtient ainsi aurait été trouvée 
directement, si l'on avait appliqué à la question A le 
genre de transformation dont nous avons parlé plus haut. 

Remarque. Soit JN la courl)c polaire réciprocjue d'une 
courbe M par rapport à un cercle dont le centre O est 
quelconque. Le lieu des pieds des perpendiculaires abais- 
sées du point O sur les tangentes à la courbe N est la 
courbe réciprocpie de M. Réciproquement , la réciproque 
du lieu des pieds , etc. 

De cette remarque on déduit inimédiaicment ce théo- 
rème important bien connu : La polaire réciproque dune 
cotiique par rapport à un cercle décrit d'un de ces foyers 

{*) O qui siii( csl de M. M.iniiliciin. 



( '»7 ) 
t;st un cercle. En uilet , la projection du foyer sur les 
tangentes est un cercle. 

Un théorème analogue subsiste pour le triangle splié-^ 
rique ABC, et se démontre par la projection sléréogra- 
phicjue, qui n'est encore qu'une transformation par rayons 
vecteurs réciproques. 

M. Genocchi (Angelo) ajoute qu'on peut se donner un 
autre point fixe O dans le plan du triangle ABC, et sup- 
poser que l'angle constant soit BOC au lieu de BAC. On 
verra que le centre du cercle circonscrit doit encoie par- 
courir une hypejbole. Si, au lieu de l'angle BOC, on sup- 
pose constant le produit OBXOC, le même centre par- 
court une ellipse, et l'on trouve enfin une parabole si la 

somme OB -f- OC demeure constante. 

Dans ces différents cas, les enveloppes des cercles cir- 
conscrits seront, en vertu d un théorème de MM. Quetelet 
et Sturm, les caustiques secondaires par réflexions rela- 
tives aux coniques. Ce sont aussi les lieux des perpendi- 
culaires abaissées d un point donné sur les tangentes d'une 
conique, comme l'a démontré M. Dandelin , qui les dé- 
signe sous le nom général de leniniscates. [Nouv. Mém, , 
Acad. de Bruxelles, t. IV.) 



THEOREME SIR IN M\\m\ ARITIIMOLOGIQIË 

OOil- t XVIII, p. 4i3), 

Par m. Joseph DERBÈS, 
Elève de rinstitutioii Barbet 



Démonstration. i'\ Soitr=:2: N est pair, les deux 

nombres cherches sont -i -\ si i\ est itnnau, les umu 
2 2 ' 



( 'i8 ) 
bres cliercliés, c'est-à-dire les deux nombres sont égaux 
ou ne diffèrent que d'une unité. 

2°. Soit /' un nombre entier quelconque; si a et è dé- 
signent deux nombres composants de N, il faut, d'après 
ce qui précède, pour obtenir un produit maximum, que 
ces deux nombres soient égaux ou ne diffèrent que d'une 
unité. Ainsi N pour le produit maximum doit se décom- 
poser en X nombres égaux chacun à A' -f- 1 , et en / — x 
nombres égaux à A-, de là donc 

.r ( A- -f- I ) H- (/• — x) A- = N = /-X H- x = rf> •+- v ; 
donc 

... , N — f 1 , 

Ainsi j: est connu et A= : donc le maximum est 

{k-+-iyk'-'\ 

Note du Rédacteur. Il reste à démontrer poui quelle 
valeur de /• ce produit devient un niaxiniuni niaxinionuu. 



CERCLES OSCliLATElRS ET SlUFACES OSCILATRICES 

dans les lignes et surfaces du deuxième ordre ; 

Par m. g. DUCOROY , 

Officifi- (lu [jénie. 



I. Soit 



X' Y 



l'équation d'une ellipse (coordonnée rectangulaire) \ l'é- 
quation générale de toutes les courbes du deuxième de- 
gré osculatriccs à cette ellipse, au point x' , j\ sera 

X- Y' I xx' y y' \ 



( »i9 ) 
Cherchant les conditions pour que celte équation repré- 
sente un cercle, on trouve pour la valeur de ni 






ce qui donne la conslruction connue du cercle oscula- 
leur (*). 



2. Soit mainlenani 



(0 



Y' Z- 
0^ c- 



l = o 



un ellipsoïde. Soit b l'axe moyeu. 

Deux surfaces du deuxième degré qui sont osculalrices 
eu un point doivent avoir une intersection plane passant 
par ce point ; en effet, le plan qui passe par deux points 
quelconques de la courbe d'intersection et par le point de 
contact , coupent les deux surfaces suivant deux coniques 
qui ont cinq points communs et qui par conséquent se 
confondent. Toutes les surfaces du deuxième degré oscu- 
latrices à l'ellipsoïde (i) sont donc comprises dans l'équa- 
tion 

!x- y- z^ i'x.ï:' yy' zz' \ 

a- 0- c- \ a- 6' c^ ! 

X [z — z' 4- /«()• — y ) -h n [x — .r')] = o. 

Leur intersection avec 1 équation (i) se trouve tout en 
tière dans le plan 

(3) z — z' -h m [j —y') -h II (.r — j;' ) = o. 

Poiu- que l'équation (2) soit une sphère, il faut que cette 

(") I.''cqii;\tjon de ce cercle, après avoir tlotermiiie / , est 



( 120 ) 

interseclioli soit circulaire, il faut par conséquent que le 
plau (3) soit parallèle à Taxe moyen-, donc m = o. 
On trouve alors 



v' =dzai/ 

y a' — c' 

y a — c- 

a y b-' — C-' 



Remarquons que ces deux valeurs de n sont précisément 
celles qui donnent les deux sections circulaires. 

Cela posé , on trouve aisément le rayon de la sphère , 
qui est précisément le même que celui des cercles oscu- 
lateurs à la section principale [x, z) au point [x', z'). 

On obtient ainsi 

b' 

^ = 7c' 

Les quatre ombilics d'un ellipsoïde se réduisent à deux, 
si a =: b. 

3. Des deux valeurs de x' et z' on tire 



— b' 



C'est le lieu des ombilics de tous les ellipsoïdes homofo- 
caux à l'ellipsoïde donné j ce lieu est une hyperbole ho- 
mofocale aux sections de ces surfaces par le plan des xz. 
On fera exactement les mêmes recherches pour les au- 
tres surfaces du deuxième ordre. 

4. La méthode donnée plus haut pour trouver le 
cercle osculaleurdc l'ellipse ne s'Mppli(juo qu'aux courbes 



(') Ainsi la s|)h<»i'i; ostiilalriri' nV-xisto ipic )icnir iiiintic iiiiitit», s;ivoir 
)<?s ombilics, Tm 



( I^' ) 

du deuxième degré 5 mais il exislc une propriété du cercle 
qui permet d'écrire immédiatement l'équation du cercle 
osculaleur en un point d'une courbe quelconque sachant 

que son rayon p = ^^ —^ • 




Soit un cercle O, DC une tangente fixe, M un point 
quelconque de la courbe, MD la perpendiculaire sur 
cette laneente, on a 



MC 
MD 



=^ME = MF = 2R. 



Si le cercle O est osculateur en C eî une courbe quelcon- 
que au point x', j', on aura donc pour son équation 

' V^ rrrrr^irrr ^^ _ -i ' ' . 



{x — .v'y-i- {y —yy^ 



v/TT 



X- 



ou 



p = 



dy 



(V- y 



rM3. 



[y~y'Y= 



y ~ y' — v{^ — ^ 



K^^P')^ 



qu on peut mettre, si l'on veut, sous la forme de déter- 
jninant 

.r — .r' )- -\- [y — y' )- .»■ — x y — >■' 
o dx' d\ 

2(r/.-t'"H- ^j") <fx' d'y' 



( »■" ) 



^OIVELLE COKSrRl)CTIO\ 

des axes d'uue elli[)se au moyen d'un système de diamètres conjogués sans 
tracer la tourbe ; 

Par m. SOMOFF, 

Prot'essoiir à runiversité de Saint-Pétersbourg. 



Il V a déjà plusieurs solulious de ce problème élémeu- 
taire. Celles de M. Cliasles (*), de M. Broeli (**) et 
celle qui se trouve daus la Géométrie des courbes de 
IM. Bergérv sont les plus simples. Je présente ici une 
nouvelle solution qui, étant aussi simple que celle de 
M. Cliasles, repose sur une démonstration directe qui dé- 
rive naturellenicnt du procédé bien connu pour tracer 
une ellipse par points au moyen d'un système de diamè- 
tres conjugués. 

Soient AB et CD les diamèties conjugués d'une ellipse 
dont on veut trouver les axes. Menant par le centre O de 
Tellipse une perpendiculaire à AB, portons sur cette 
droite deux longueurs OE et OF égales au demi-diamè- 
tre OA. Joignon:> erisuite les points E et F par des droites 
avec l'extrémité C du second diamètre, et menons OH et 
OG parallèlement à CF et CE. H est sur CE et G sur CF. 
Cela fait, on trouve que OH -f- OG et OH — OG sont les 
grandeurs des demi-axes, et les bissectrices de l'angle 
HOG et de son supplément HOG sont iTspecti veulent 
les directions de ces axes. 



(') Aperçu histori'/ue, etc., note ?.'i. 
(»"l Joiiinnl <lo (".ivlle. I. XL. 



( 1^3 ) 



LIEU OËOMÉTIUQVE; 

Par m. LENGLIER, 

Professeur an lycée de Versailles. 



On donne une ellipse ou une hyperbole dont AB est 

Taxe focal et F le foyer le plus voisin du point A 5 par ce 

point A on mène une droite quelconque qui rencontre la 

couibe au point C, et on la prolonge d'une quantité CD 

,, AD m [ m . • . i . \ 

telle, que — :p = - I - étant une quantité donnée : puis 

on tire FD et BC qui se coupent en E , et Ton demande 
le lieu des points E quand AD prend toutes les positions 
possibles autour du point A. 

Nous allons résoudre la question en supposant que la 
courbe donnée IK soit une courbe quelconque définie ou 
non géométriquement. Les trois points A,F,B étant assu- 
jettis à la seule condition d'être en ligne droite, la trans- 
versale CB donne dans le triangle ADF 

DE X FB X AC = FE X AB X CD , 
d'où 



CD 

— -î car 
AC 





DE AB ^ CD 
ËF ~"FB ^ÂC 


AB 

— est constant , 


ct il en est de nicm 




AD m 




AC n 


donne 






CD m — n 




AC ~ n 



DF 

Donc — -' est aussi ( ouatant, ct il en sera de même d» 
EF 



( ^^4 ) 

£>E -f- EF , FD ,, , ,. , _ . ,, 

— rr^; OU de — -. Uoiic le lieu clierdio est homolhe- 

t,r tt, 

tique du lieu des points D par rapport au point F. Le lieu 

des points D est homothélique de la courbe proposée par 

rapport au point A. Donc le lieu cherché est aussi homo- 

thétique de celte dernière. Comme les trois centres dlio- 

mothèse doivent être en ligne droite et que de plus C et 

E sont des points homologues, le troisième centre est le 

point B. C'est ce que l'on peut voir aussi directement; 

car la transversale AD donne dans le triangle CDE 



d'où 



BE X FD X AC = CB X FE X AD, 



BE _ FE AD 
BC~ FD'^ÂC" 



Or le second membre est constant, donc le premier l'est 
aussi. Si le point B est à l'infini , ou si l'on mène CE pa- 
rallèle à AF, le lieu cherché sera une courbe égale à la 
proposée, car on aura 

EC _ CD m — n 
ÂF~ÂD ^ ~' 
d'où 

EC = constante, 

et l'on sait qu(î si par les différents points d une courbe 
on mène des droites égales et parallèles , le lieu des extré- 
mités de ces droites seia une courbe égale à la première. 

Logocyclique. Les (k'iiiiitions (janvier et février) sont 
d'une défectuosité flagrante. F et A sont deux points fixes, 
AY une |)erpendiculaire sur FA; menons une droite 
quelcon([ue par F i'<;ncontraiit la pci'pondiculaire en T; 
prenant sur cette droite TR =rr 'I'|{', h's points R et R' ap- 
partiennenl à hi logocvclicpic d sont dits réciproques ; 
décriv.nnl une n.ii aholc av.inl F ni>ni fovcr cl A pour 



( 123 ) 

sommet, ou a les propriétés énoncées (p. '28). C'est la 
même courbe que la strophoïcle de M. Monlucci (t. V, 

p. 470). 



NOTE SIR LES ÉPICYCLOIDES; 

Par m. dieu, 

Professeur à la Faculté de Lvon. 



La théorie des épicycloïdes a une grande importance, 
en raison de ses applications au tracé des engrenages ; 
ainsi , dans les engrenages à flancs , les plus employés de 
tous , ce sont des arcs tV épicycloïdes qui terminent les 
profils des dents des deux roues, si l'engrenage est réci- 
proque, ou seulement de la roue conductrice, si Fengre- 
nage est simple, et, dans les engrenages à fuseaux, les 
profils des dents de la roue conductrice sont des déve- 
loppements d'épicycloides. Cette théorie a donc attiré 
l'attention d'éminents géomètres , et nous devons craindre 
que le mode de construction de la développée qui fait 
Tobjet de cette Noie ne soit pas nouveau; cependant nous 
le livrons au jugement des érudits et des dessinateurs : les 
premiers décideront s'il est original, les derniers nous 
sauront peut-être gré de le faire connaître, ou de le rap- 
peler, s'ils veulent bien s'assurer par quelques essais do 
l'extrême facilité et de la grande exactitude qu'il procure. 




Soient (O , OA) le cercle fixe, (C , CB) le cercle rou' 



( 126 ) 
laut dans une de ses positions, où il louche en B le pré- 
cédent, D le point diamétralement opposé à B, et M le 
point décrivant. 

Voici la règle très-simple de construction du centre de 
courbure : 

« Prolongez OD de DE= C)A , tirez ME, et menez du 
)) point O une parallèle à ME, qui va rencontrer en N le 
» prolongement de la normale MB; le point N est le 
» centre de courbure correspondant à M. » 

Cette règle convient aussi bien aux épicycloïdes inté- 
rieures qu'aux extérieures, et la démonstration est la 
même pour ces deux genres ; nous ( onsidérerons le se- 
cond. 

En prenant Taxe des x suivant le rayon du cercle fixe 
qui passe en A , lorsque M s'est trouvé sur ce cercle, si Ton 
désigne par R , r les rayons OA , CB , par n le rapport 

— t et par cp Tangle BCM , les deux équations 

l r = R j ces rt;p-t-2rtsin-sin \n -\ — |(j) l, 
/ 7 = R sin « q) — 2 /? sin - cos [n-\ — j ç , 



(') 



représentent la courbe. De ces équations et de la formule 



dy dy dx 
dx dta dv 

on tire 

"Il 
dy 



|: = rang(. + i) 



de laquelle il est facile de conclure que la norm de en M 
passe par le point de contact B. 

MeltanI ces valeurs de .r, }% — i en fonction de 5} , 



( ^^1 ) 

dans ré(jualion générale connue 

Ct.T 

on a pour la normale 

n — R sin rt 'j> -I- ( i — R cos fi -A .co\. in -\ | » = o , 

cl en dérivant cette équation par rapport à 9 considérée 
comme seule variable, il vient 

2 « R sin - • sin ( « H ) œ + ( 2 « + 1 ) ( H — R cos /? tp ) = o , 

qui achève de déterminer le centre de courbure. Ces ilcux 
équations donnent , pour les coordonnées de ce centre, les 
formules 



2) 



1 r 2 « . & . / I \ 1 

i H = R cos n o sin — sin « H o 

1 L 2« + i 2 \ 2/J 

i I . 2 // . 9 / • \ n 

f yj = R sm /? o 4 sin - ros [n-K \ o 

■ L ' 2 « -f- 1 2 \ ^- J 



dont la comparaison avec les équations (i) nionire c|ue la 
développée est une épicycloïde. [Afin de le reconnaîlre 
avec précision, on déduit des écjuations (i) et {2), les 
carrés des rayons vecteurs 0!M el O, (^, ■/]) ; le rayon du 

cercle fixe de la développée = ? et le rapport de 

Taiitre rayon à celui-là est n , comme pour la proposée.] 
Des quatre équations (i) et (2), on tire 

4 « <" « -f- 1 ) „ . o . /' I 

R sin - sin \ n -h 



an -i-\ 2 \ 2 

An {/i -\-i) ^ . 9 ( \\ 

» — r = - — !^ ■- R sin - cos // + - U , 

2 « + 1 2 \ 2 y ' 

et, par consé(juent, en désignant par p le rayon de cour- 



( i-^s ) 

buio, il xiciit 

o=dtz-^—^ -^ R sin i = dl 2— 5— Z_J sin i-. 

' 2/2 + 1 2 2/-+K 2 

Enfin , comme ± 2 r sin - = MB, on a 

2 

„„ MB.OB 

dont, notre règle n'est que la traduction en langage ordi- 
naire; cette règle est conséquemment démontrée. Si l'on 
convient d'appeler MB la normale en B à l'épicycloïde, 
la formule précédente conduit encore à cet énoncé : 

(c Le rayon de courbure et la normale en chaque point 
» d'une épicycloïde sont dans un rapport constant, qui 
» surpasse de i celui des rayons du cercle fixe et du cercle 
» roulant. » 

Il suffit de changer /ï,^, r; en — n, — y, — yj dans toutes 
les formules précédentes, pour avoir celles qui se rappor- 
tent aux épicycloïdes intérieures. 

Nous n'avons besoin de rien ajouter sur le tracé des 
épicycloïdes (engrenages à flancs). Quant au profil d'une 
roue conductrice dans les engrenages à fuseaux, il est 
bon de faire remarquer que deux manières de procéder 
se présentent ; i". On peut décrire par points une partie 
de répicycloïde qui donnerait le profil , si le cercle qui 
représente celui d un fuseau se réduisait à son centre, 
puis chercher (par la règle) les points correspondants de 
la développée, et enfin diminuer tous les rayons de cour- 
bure du rayon des fuseaux. 2". On peut aussi décrire 
immédiatement par points la développée, épicycloïde 
dont le cercle fixe cl le cercle roulant se construisent sans 
difficulté, puis, IN étant un de ces points, chercher M par 
la règle inverse ; enfin, diminuer MN du rayon des fu- 
seaux . etc. 



( *^9 ) 
Pour le iracé des profils épicycloïdaux, les cercles os- 
culateurs ont un très-grand avantage sur les cercles tan- 
gents généralement adoptés d'après M. Poncelet. [Feu 
M. Savary a proposé l'emploi du ceicle osculateur dans 
ses cours à TEcole Polytechnique. Y donnait-il la con- 
struction du centre de courbure que nous indiquons? 
Nous n'avons pu nous fixer à cet égard 5 mais il nous 
semble que s'il l'avait donnée, l'usage des cercles oscu- 
lateurs aurait prévalu.] Dans la plupart des cas, les cer- 
cles tangents diffèrent beaucoup trop des cercles oscu- 
lateurs respectifs, pour ne pas s'éloigner très-sensible- 
ment de l'épicycloïde , même fort près du contact, et, 
par conséquent, on doit en employer beaucoup plus pour 
tracer un profil avec assez d'exactitude. Il est facile de 
justifier cette assertion , en discutant la dernière expres- 

j MB.OB , 

sion de p. 3on second terme — n est pas en ee- 

r OD '^ *=" 

néral très-petit par rapport au premier MB , et peut même 

en approcher beaucoup. 

En effet, i° si OB ^ CB ,_ ce qui est le cas du profil 

d'une roue engrenant avec un pignon, on a OD <^ 30B, 

par suite ouBy>-MB, et la différence OD — OB 

peut être fort petite, de sorte que BN soit très-voisin de 
JNIB; 2° si OB <^CB, ce qui est le cas du profil d'un pi- 
gnon , on a OD > 3 OB , par suite BN < - MB, mais BN 

peut être très-près de cette limite supérieure. Or BN est, 
pour ainsi dire, l'erreur sur le rayon dvi cercle que l'on 
prend, au lieu du cercle osculateur. 



Ann. de ilathéniat., t. \IX. ^Avril 1860.) 



( i3o ) 

NOTE 

Sur la question proposée comme sujet Je composition mathématique 

pour l'admission à TÉcoie Polytechnique en 18o7 ; 

Par m. Ch. BOURGEOIS. 



La question dont il s'agit était énoncée dans les termes 

suivants : 

Trouver le nombre des racines réelles qu admet Vé- 

qualion 

X = A sin .r -f- B 

pour chaque système de valeurs des coefficients A ef B. 
et effectuer la séparation de ces racines. 

Application à V équation x = 3i42 sin j: + iSj. 

Deux solutions de cette question ont été données dans 
le tome XVI de ces Annales (p. 376 et 43o). La pre- 
mière solution laisse beaucoup à désirer au point de vue 
théorique, et l'autour ne traite rap])lication numérique 
qu'après avoir fait subir aux coefficients donnés une pro- 
fonde altération. La deuxième solution a rinconvénient 
de ne pas rattacher la question d'une manière suffisante 
aux principes fondamentaux de l'algèbre. Il ne s'agissait 
pas efTeclivement, pour les candidats, de résoudre un 
problème, mais seulement d'appliquer les théorèmes 
connus relatifs à la variation des fonctions. 

On obtient une solution fort simple de la question en 
suivant la marche tracée par M. J.-A. Serret dans un 
article cjui fait partie du t. V des Annales de l'Obsen^a- 
toire impérial, et cpii est intitulé : Note sur l'équation 



( i3r ) 
dotit dépend V anomalie excentrùjue eLiur les séries qui 
se présentent dans la théorie du moui^ement elliptique 
des corps célestes. J exposerai ici cette solution en peu 
de mots, afin de présenter aux candidats le type de la ré- 
ponse qui leur était demandée. 

Solution. Remarquons d'abord que l'on peut toujours 
supposer A positif^ en effet, si le contraire a lieu, et que 
l'on fasse 

A = — A', B = TT — B', X =z T. — x', 

l'équation à l'ésoudre deviendra 

x' = A' sin x' -h B'. 

Cette équation ti ansformée est de même forme que la 
proposée, et le coefficient A' est positif. 
Cela posé , nous ferons 

( f ) j- = X — A sin x — B , 

et en désignant par ^'' la dérivée de y, on aura 

(2) )' =1 — A CCS X. 

Nous distinguerons les trois cas A<^i, A = i,A>>i. 

i''. Si Ton a A<; I, la dérivée j^' est constamment po- 
sitive, donc Y est une fonction croissante; par suite l'é- 
quation proposée 

f = f> 

ne peut avoir qu'une seule racine réelle. D'ailleurs cette 
racine existe effectivement , puisque l'oii a 

j = — ce pour X =^ — 00 , 
r = -+- co pour x = -\-cc . 

2°. Si Ton a A = 1 , la conclusion précédente subsiste , 

9- 



( i32 ) 
ear réquation (2) donne 

r' = 2 sin' - X ; 

la dérivée j^' peut s'annuler, mais elle n'est jamais néga- 
tive, en sorte que la fonction y est croissante, comme 
dans le cas de A <^ i . 

3°. Si l'on a A^i, on peut faire A = — — •> a dési- 

^ cos a 

gnant un arc compris entre o et -; les équations (i)et(2) 
deviennent alors 

I 1 . \ %mx ^ 

( I bis) r^=^x B - 

^ ' -^ ros a ^ 

cos a- 

\ibis] r^ i H ' — • 

^ ' cos « 

Soit K un entier arbitraire positif, nul ou négatif, et fai- 
sons croître a: depuis aKyr — «jusqu'à 2(K-i-i)7r — a. 
Dans rintervalle de x = 2KTr — a à a: = 2K7: -h a , la 
fonction y est décioissante, car la dérivée j-"' est alors 
nulle ou négative; au contraire, dans l'intervalle de 
a:=2K7r-f-a à a:=2(R-l-i)7: — a, la fonction y 
est croissante, car la dérivée y" est nulle ou positive. 
L'équation proposée ne peut donc avoir qu'une seule 
racine entre lY^v. — a et 2X7: -h a, et une seule entre 
2K7r 4- a et 2 (K -|- i) tt — a. Il est facile de reconnaître 
si ces racines existent effectivement. 
Posons 

^ 27T- 

B— a -H lani'a 

(4) ï^r-^ = "-•'• 

/; ct/i' étant des entiers positifs nuls, ou Déi^atifs, / et f 



( i33 ) 
des fractions inférieures à ruiiité et positives ou nulieà, ■ 
on aura 

y = 2.n [K — n-\-f) pour .»=:7.K7r — a, 

j = 27t(K — «'+/') pour .z: r= îKtt-H a, 

j = 27r(K + i — n -\-f' ) pour a: =r 2 ( K -h i ) tt — y. ; 

donc pour qu€ l'équation (i) ait une racine entre 2K71 — a 
et 2K7r-+- 5C , il faut et il suffit que K soit l'un des nom- 
bres «, « -h I , /2 4- 2 , . . . , n' — I . Ou ne peut jamais 
avoir n'<Cn; mais si n'=n, il n'existe pas de racines 
entre aKu — a et 2K7: -f- a. Pareillement, pour qu'il y 
ait une racine entre ^Kn -\- oc et 2 (K + 1)7: — ex, il faut 
et il suffit que K soit l'un des nombres n — i, ti, «4-1,..., 
n' — I . li résulte de là que l'équation proposée a 

2 («' — a) + I 

racines réelles dont la séparation est évidemment effec- 
tuée par ce qui précède. Celte conclusion subsiste si l'une 
des fractions f ouf est nulle: seulement dans ce cas 
l'équation proposée a deux racines égales. 

On peut abréger le calcul des nombres n et n' lorsque 
A est un grand nombre; car l'on a 

__,=.s.n --a +gSio' -_a)4-. 



et comme sin { a] = - , on aura 

2 ,/ A 



~2 U'^^A^^'V' 






en outre, 



tani!;a= y/A'— i = A -f- (v/a^— 1 — a) = A ; ; 

A H- VA-— I 



( i34 ) 
on peut donc écrire 



B — A f- / • ' . \ 

^ 2 7T ' \27rA 12 77 A' / 



27r(A + v'A^— 1 } 



2 ir A 1 2 TT A^ 
I 



27t(A+ V^A'— i) 

A étant un grand nombre , les deux dernières parties de 
ces formules n'influeront pas sur les valeurs des parties 
entières w et n'; on aura donc avec une exactitude géné- 
ralement suffisante 

. B — A r 

(5) n~f— h 0,25, 

., B + A ^ 

(6) n' — S'— 0,25. 

^ ' 27r 

jépplication. Dans l'exemple propose on a 

A = 3i42, B =r. 157. 

Les formules (5) et (6) donnent 

n—f = — 474,82; 
//—/'= H- 523,80. 

Avec les formules (3) et (4) on aurait eu 

«—/= — 474,82; 
«' — /'= -h 524,81 ; 

donc 11 = — 474 , n'= SaS , n'— n = 999 5 le nombre 
des racines de l'équation proposée est donc 



( '35 ) 
RKMAROIES Sliî L'AUTICLE M LA PA(iE M 2 ; 

Par m. le BESGUK. 



1. La déniouslration par laquelle on prouve dans l'ar- 
ticle de la page 1 1 a de ce volume, que cincj nombres con- 
sécutifs ne peuvent avoir un carré pour produit, peut 
aussi montrer que ce produit ne saurait être un cube. 

Pour cela, il suffit de changer dans les systèmes (i) à 
(6), a', b', c', d', c' en A% B% C% D% E^^Il en résultf^ 
les six équations suivantes : 

E»~0 = -?., 0—A'=2, E'— A' = 4, 
a' E^ - a" G^ — 2 , D^— a" C^ = i , D»— B^ = s>. , 

qui toutes rentrent dans l'équation 



démontrée impossible (Legendre, Théorie des Nombres, 
t. II, p. 9). Il faut remarquer que j^ peut être positif ou 
négatif. 

2. Les 22 dernières lignes de l'article page 112 con- 
tiennent une seconde démonstration de ce théorème . 
Cinq nombres consécutifs ne peuvent avoir un carré pour 
produit. Il eût été naturel de la supprimer connue moins 
simple et moins directe que la première. Il eût fallu sur- 
tout n'y pas laisser les fautes suivantes, qui la rendent 
presque inintelligible. 

Page 1 14? ligne i5 , au heu de ainsi , lisez : ainsi ([u'ii 
suit. 

Ibid, ligne i8 , ajoutez : excepté pour « = i . 

Jbidj ligue 24-, changez : 2'' en 2^'. 



( ^36 ) 

Page 1 15 , ligne 2, changez : conformément en conlrai- 
remenl. 

Ihicl, ligne 4 5 mettez : l'un au moins des deux nom- 
bres, au lien de l'un des deux nombres. 

Ces corrections faites, chacun rétablira facilement la 
démonstration. 



THÉORÈME SUR LES COURBURES DES LIGNES^ 

Par m. O. BOKLEN (de Sulz, Wurtemberg). 



1 . Étant donnée une ligne quelconque sur une surface, 
û' étant le rayon de courbure de la ligne, désignons par (p 
l'angle que son plan osculateur fait avec le plan tangent 
de la surface , par a l'angle que la ligne fait avec une ligne 
de courbure, par R et R' les rayons de courbure princi- 
paux ^ on a 

I 1 /cos-rt sin'rt 

^ ' p sm <p \ R R 

Pour le démontrer, soit p le rayon de courbure de la 
section normale de la surface qui passe par la tangente 
de la ligne; on a. d'après les théorèmes connus d'Euler 
et de Meunier, 

1 cos'^ a sin'^ a , 

— = i — 5 r, zz^ p. sm <û ; 

p R R' ' ' ^ 

donc , etc. 

12. Le rayon de courbure p' de la ligne est donné ici 
par quatre variables (]p, a, R et R'; supposons, par exem- 
ple, que dans une certaine ligne* cp soit une fonction donnée 
de p', l'équation 

eus (l blll (I 



( i37 ) 
exprimera toutes les lignes sur les surfaces où i'anfjle du 
plan osculatcur de la courbe et du plan tangent à la sur- 
face est une fonction donnée du rayon de couibure de la 
ligne. 

Si cet angle est constant, on a 

I /cos'« sin'rtX 

(3) _=com..x(^-jp + -^), 

et si la constante dans cette équation est égale à l'unité, 
nous avons 
, , , I cos^« sinVi 

cette formule se rapporte aux lignes géodésiques, dont le 
plan osculateur est normal à la surface, c'est-à-dire où 
l'angle (p est égal à 90 degrés. 

Pour montrer l'application de celte équation , prenons 
le cas des lignes géodésiques sur l'ellipsoïde 5 ici on a en 
coordonnées elliptiques 



En substituant ces valeurs dans réf[uation (4), on trouve 
après quelques réductions 

- = ^^^^ ^T^ ^[p'^~(f.-^cos^«-}--/sinVO]. 

D'après M. Liouville, on a 

jx-cos^rt + V- sin' a =z coiist. ; 

I I 

J)=(r./- — a-)' , D' = (/:- — V-)', soni les dcnii-dianiè- 



{ i38 ) 
1res de rellipsoïde. parallèles aux ]li>iies de courbure; 
donc nous avons 

=r const. 

p 

pour les lignes géodésiques de rellipsoïde. 

3. Dans les surfaces où R et R' sont de même signe , 
d'après l'équation (i), p' ne peut pas devenir égal à l'in- 
fini, et par conséquent trois points consécutifs d'une 
courbe sur ces surfaces ne sont jamais eu ligne droite. 

Mais dans les cas où R et R' sont de signes différents, - 
est égal à zéro , si 






4. Dans les surfaces développables , les formules pré- 
cédentes se simplifient remarquablement; on a alors au 
lieu de (i) 

, siny.R 

5) p = — r 

' cos' a 

et pour les lignes géodésiques 

R 



(6) 

5. Soient X, Y, Z les (juotients différentiels de l'é- 
quation 

fix,f, s) = o, 

on a pour les lignes géodésiques 

( Y t/z - Z r/j ) fl' x-h(7. dx 4-X dz) d\Y -h ( X dy — Y dx) d' 2 = 0, 

et pour les lignes de ( ourburc 

i\(h — y.dy)d\-i- r/.d.r - \dzui\ 4- [\d\-~Ydx) d'L — o. 



( i39 ) 
Désignons, pour abréger, ces deux équations par 

J = 0, J' =: g; 

M, Joachimsthal a prouvé (*) , en employant une foi- 
mule de Jacobi , que l'on a 

(iXd-x-{- dY d'y + dZd-z X dx -\-Y dy-\-Zdz 



J.J' = 



rfX d.T 4^ dY dy + dZ dz X' 

dxd'x -+- dyd^y + d- z dz 



dx""- -\- dy^- -H f/z- 
Supposons que 

(7) F(/.,;.',...)=C 

soit une intégrale de cette équation différentielle; C est 
une constante, ;», p',. . . sont certains paramètres, par 
exemple : les diamètres de la surface qui sont parallèles 
aux tangentes ou aux tangentes conjuguées des lignes 
géodésiques et de courbure auxquelles l'équation (7) se 
rapporte: des rayons de courbure de sections normales 
qui passent par ces tangentes -, des perpendiculaires abais- 
sées du centre sur ces tangentes ou sur les plans tan- 
gents; des distances polaires (Journal de M. Liouville, 
t. XIII, p. 4^5), etc. Comme l'équation (7) représente 
en même temps les lignes de courbure et les lignes géodé- 
siques, elle doit établir la liaison intime qui existe entre 
ces deux espèces de lignes ; et l'on pourra en général dire, 
du moins dans tous les cas où il n'y a pas d'autres para- 
mètres dans l'équation {7) que ceux c[ue je viens de 
citer, que la constante (Z a la même 'valeur pour toutes 
les lignes géodésiques qui sont tangentes à la même 
ligne de courbure. Maintenant nous pourrons distinguer 
plusieurs espèces de surfaces : 

i". Surfaces où à chaque ligne de courbure convient 
une valeur spéciale de C , différente des autres. 

(*) Nous nous proposons fie donner cette démonstration. I'm. 



( i4o ) 

Une ligne géodésique ne peut être tangente qu'à une 
seule ligne de courbure ; elle coupera toutes les autres 
qu'elle rencontre. Pour toutes les lignes géodésiques qui 
sont tangentes à la même ligne de courbure dans les points 
où elles rencontrent une autre ligne de courbure, la con- 
stante C aura la même valeur dont nous avons l'équation 

F{p,p',...) — F{p,,p\,...), 

qui établit des rapports entre les paramètres p, p\ ... et 
Po^ P'of • • pour les points de rencontre. 

Si la surface a un ombilic , ce sera de même une valeur 
particulière de C qui lui correspond 5 donc toutes les lignes 
géodésiques qui passent par lui ombilic couperont les li- 
gnes dccourburesans toucher aucune d'elles. Prenons, par 
exemple, une surface conique et développons-la dans un 
plan. Les lignes de courbure se changeront en cercles 
concentriques ^t les lignes géodésiques en droites , et 
comme une droite ne peut toucher qu'un seul des cercles 
concentriques, et qu'elle coupe tous les autres cercles, les 
lignes géodésiques sur les surfaces coniques ne touchent 
qu'une seule ligne de courbure et coupent toutes les autres, 

2*^. Surfaces où une même valeur de C correspond à 
deux lignes de courbure. 

Chaque couple de telles lignes divisera la surface en 
trois parties ou zones, Z, Z', Z", dont elles enferment la 
moyenne Z'. Toutes les lignes géodésicjues ([ui touchent 
la première ligne de courbure traverseront la zone Z' en 
coupant toutes les lignes de courbure qui s'y trouvent, 
puis elles toucheront la seconde ligne de courbure qui li- 
mite cette zone, et après elles parcourront une seconde 
fois cette zone, et ainsi de suite, en y formant des tours 
innombrables qui sont limités par les deux lignes de 
courbure. Si ces surfaces ont des ombilics, elles en au- 
ront en général qualic, auxquels convienJ la même va- 



( Ml ) 

leur de C ; loiites les lignes géodésiques qui partent d'un 
luêiiK! ombilic se coupent dans un autre ombilic. Voici 
des exemples de ces surfaces : la sphère, l'ellipsoïde, les 
hyperboloïdes ; les surfaces de révolution qui sont symé- 
triques par rapport à un plan équatorial, perpendicu- 
laire à l'axe de révolution , et en général aussi les autres 
surfaces qui sont symétriques par rapport à un plan. 

^°. Si la même valeur de C convient à plus de deux li- 
gnes de courbure, on ne pourra en général dire que les 
lignes géodésiques sont enfermées dans des zones limitées 
par deux lignes de courbure seulement; mais il peut ar- 
river que la même ligne géodésique touche trois ou plus 
de lignes de courbure. Développons, par exemple, une sur- 
face développable dans un plan, l'arête de rebroussement 
se changera en une courbe plane; les tangentes de cette 
courbe et celles des courbes parallèles qui coupent ortho- 
gonalement les tangentes à l'arête de rebroussement, sont 
les transformées des lignes de courbure , des lignes droites 
tracées dans le plan sont les transformées des lignes géodé- 
siques. Or il arrivera souvent que les droites touchent trois 
ou plus des courbes parallèles , et dès lors on conclura 
que dans une surface développable les lignes géodésiques 
peuvent loucher trois ou plus de lignes de courbure (*). 



SOLITIOX DE LA QIESTIOK 436 

'voir t. XVII, p. 18Gj ; 

Par mm. L. BRAULT, LAQUIÈRE, E. RAGONNEAU, 
MARQUET ET DALICAN. 



Quelle est l'enveloppe de la droite dont la somme des 
carrés des distances à deux points lixes est donnée? 

(*) Je ne sache pas que ces belles relations de contact entre les lignes 
géodésiques et de courbure aient déjà été signalées. Tm. 



{ ï4-^ ) 

Soient A , B les deux points donnés. Prenons AB jwur 
axes des x , et pour axe des y une perpendiculaire élevée 
sur le milieu de AB. Appelons ac la distance AB. 

L'équation de l'enveloppe s'obtiendra en éliminant a 
et b entre les trois équations suivantes : 

(1) / =zax -+- b, 

(2) 2 (fl^c-+ /!>')— /?--\rt-'+ i) = o, 

(3) -^ 

^ ' rt(2 c'— /•») ib 

La première équation est l'équation d une droite quel- 
conque-, la deuxième exprime que la somme des carrés 
des distances des points A et B à cette droite est égale 
à k^\ enfin, l'équation (3) n'est autre que 

vji' a v' b 

quand on suppose les équations (i) et (2) ramonées à la 
forme 

f{Xyj,a,b) = o, (p(o,^)=:o. 

L'élimination est assez simple et donne pour résultat 

(4) 2(2C-— /')/-— ?,/-.r'=: P{9.r' — f,'). 

Discussion. 

1°. (2C' — /-) <^ O. 

Dans ce cas 1 équation (4) représente une ellipse. Les 
demi-axes sont 

' V'- 



h, ^ '"--'■ 



V 



( ^43 ) 
Les foyers se Irouvent sur l'axe des j^ leur dislance à 
l'origine est égale à la dislance des points A et B à cette 
même origine. 

2", (2C- X-^) = G. 

L'équation (3) nous donne x = o^ c'est-à-dire l'axe des 
Y, ou plutôt une portion de l'axe des y. L'analyse devait 
conduire à ce résultat. Supposons en effet 2 c^ — A^ différent 
de zéro : 2c* — A'= £. Nous rentrons dans le cas précé- 
dent. Le lieu est une ellipse dont le demi grand axe est 

—=■) et dont l'autre (5) tend vers zéro avec e. A la limite 

(e = o) l'ellipse se réduit à son grand axe^ nous avons là 
une sorte d'ellipse é^^anouissanle. 

Or à toute ellipse on peut mener deux tangentes pa- 
rallèles à une direction donnée. Considérons donc une 
certaine direction et une ellipse, correspondant à une 
certaine valeur de e. Nous trouverons toujours deux tan- 
»gentes à cette ellipse , parallèles à la direction considérée. 
Chacune de ces tangentes sera d'autant moins éloignée 
du sommet le plus voisin du grand axe, que e sera plus 
petit. Ces distances convergent vers zéro avec e. Nous 
sommes donc, par ces considérations, amenés à ceci : que 
louie droite passant par les points 

X =r O, ;r =r G, 

sj-x sj-?. 

est telle , que la somme des carrés des distances des points 
A , B à cette droite est égale à 2c^. C'est ce (ju'on peut vé- 
rifier directement. 

3°. (ar^— /')>o. 



( i44 ) 

L'équation (4) représente une hyperbole rapportée à 
ses axes. L'axe imaginaire est dirigé suivant Taxe des x. 
La distance des foyers à 1 origine est égale à c. 



APPLICATION DE LA NOIVELLE ANALYSE AUX SIRFACES 
DU SECOND ORDRE 

[voir tome XVIII, page 407 (*)!; 

Par m. PAINVIN, 

Docteur es Sciences. 



CHAPITRE IV. 

PROPRIÉTÉS DES SURFACES DU SECOND ORDRE. 

§ P'". — Centre. — Plans conjugués. — Polaires 
réciproques. — Génératrices rectilignes. 

1°. Centre. 

XXX 

82. Représentons par —S —^■) — ^ les coordonnées du 
A4 X4 X4 

centre de la surface ayant pour équation 

(i) ç) = <| -H Q.nnXtXi -h 2 0|3 j:, .t^ + ar?,, x, r^ . = o; 

- 2.rt23 X2 X~ + 2^21 -Î^J ^i + 2 '7,1i '^3 J", j 

on sait que les coordonnées du contre vérifient les équa- 
tions 

- -7 ^ = «Il X, -[-«liX, + «nX:-, -f- «14 X4 =n O, 
2 rt.r, 

1 do . 

(7.) ■ - -r- = «ïi X, -t- «3: A2 + fl,, Xj -f- rtj, X( = o , 

* ' 2 </X2 

' ''l* •»- ir -vy ■\^ 

- — ^ = «M X| -h ay,X. + «„3 X3 + «31X4 =0, 

2 «.r , 

(") La fin du chapili-o III incessaninicnl. 



( »45 ) 



Or le discriminant 



A = 



«M »Vt «U «M 

a i^ (tii (12, //j4 

«31 «3-' «33 «31 



tlonne identiquement 



r/A û?A r^A <r/A 

~, ^- «ij -; H «,3 -7 \- «li -3 — = o, 

dûn (l(i\i "«i3 "«:ii 



d^ 

^A 
rfrti, 



r/A 



d^ 



d\ 



(3) ' «213 ^ "---i-i '-'^^s-j i- "2i 3 — =<^> 

''" ««42 "«43 ««4 5 

rfA c?A f/A 

32 -; H «33 -j f- «34 -} — = o- 

aai, da^^ aa^. 



La comparaison des systèmes d'équations. (2) et (3) nous 
fournit immédiatement les coordonnées du centre 



(4) (x,= 



-3 — 1 \i — -, — > A3 — - — » A4 — ~ — (• 
a«4, aa,^ aaa da^s,) 



La surface , rapportée à son centre , aura alors pour équa- 
tion 



(5) 



cinx\-^a-,ix\-\-aiT,x\ -f- 2rtn^,a^2 -{- 1a^■^x^x■s-\- la-^zx^x^ 



+ -^"^ = ^- 



da„ 



83. Si l'on regarde le piemier membre de l'équation (1) 
comme une fonction des variables —•> —•, — et qu'on y 

XXX 

remplace ces variables par—'? — -% — ^j la fonction ac- 

A4 A4 A4 

querra, en général, une valeur maximum ou mini^ 
mum. 

Ann. de Mathcmat., t. XIX. ( Avril ib6o.) !0 



( i46) 

Or 011 a, d'après le principe des foiirtions homogènes, 

(lia flw da ci (D 

En désignant par <î> la valeur de 9 lorsqu'on y faii 

Xy = Xr 

où 

r—\, 2, 3, 4» 
il viendra, eu égard aux relations (2), 



"* = ^VX, 



D'un autre coté , 

I d<^ 



, ^ =«4, X, H- ffs2X:.-f- 0,3X3 + O4, Xj; 
2 dXi 

ou, d'après les valeurs (4) , 

1 rf4> f/A r/A </A rfA 

- — — - = a. y h n,t H «43 ~ h n^^ - — = A. 

2 rfX* ^<7,, ^/«i2 ««4J ''«4i 

Par suite, la fonction que nous considérons, c'est-à-dire 
— CD. aura pour valeur, dans ce cas , 

do y, 

En appliquant les lègles ordinaires du calcul des va- 
leurs maxima et minima, on constate facilement que la 

fonction — <f n'obtient de telles valeurs que lorsque celte 

fonclion, égalée à zéro, représente une siuiate apparie- 



\ ^7 ) 
nani au genre ellipsoïde; et alors 

•1 ■ '^^ ^ 
il y a maximum, si <^ o, 

., . <l^ 

il y a mi.'iin/um , si ^ o. 

8i. Dans tout ce qui précède^ nous avons supposé im- 
plicitement - — différent de zéro; sans quoi les équa- 
tions (2) n'admettraient plus une solution finie et déter- 
minée. 

Si le centre est sur la suiface, on a, d'après l'équa- 
tion (6), A = o, et réciproquement-, la surface alors est 
un cône. 

Lorsque - — est nul, il faudra distinguer les deux cas 

suivants : 

1". A est différent de zéro; les relations d'identité du 

chapitre V"^ nous montrent qu'une au moins des quanti- 

, d^ r/A dA „ , 

tes - — 5 - — 5 - — est diiierente de zéro : le centre est à 
aa,, da^i aas,^ 

l'infini. 

o A . 1 1 1 . , dA dà dS 

2°. A est nul; alors les quantités - — , , sont 

da^i day, da^^ 

aussi nulles, et il peut y avoir indétermination ou impos- 
sibilité. 

Je n'insisterai pas davantage sur cette discussion. 



?.". Plans conjugues. 

85. Si l'on représente par Aj , Ag , A3 , A4 les demi-dé- 
rivées par rapport à Xj , Xj, X3, x,, du premier membre 

de l'équation (i) dans lesquelles on a remplacé —^ —S — - 



( i48 ) 

par —»—;—» le plan ayant pour ôqualion 

{ 7 ) .r, A , 4- ^2 A,, -+- .r, A, + ar, A 4 = o 

est dit le plan polaire du point ( — ? — ? — ) par rapport 

à la surface 9 = ; le point ( ~' ~' "~ j est appelé le pôle 

Je ce plan. 

Trois plans sont dits conjugués lorsque le pôle d'un 
({uelconqae de ces trois plans se trouve sur Tintersectiou 
des deux autres. 

Soient les équations de trois plans 

!/«, jr, + m^x, -+- Wt Xj -f- ^4 x^ = o , 
«, Xi 4- «2 0:2 -h «3 ^3 H- «4 Xi = a, 
Pt -^1 ■+• Pi X. H- /73 .rj 4- /^, a^'4 = o. 

Si — » — ? — sont les coordonnées du pôle du premier de 

a^ y.^ IX, 

(PS plans, on devra avoir 

«,, a, -f- r/,2 a, -f- /7|3 a, -+- c'u ^4 = /w, , 
«2, a, -!- On 'J-i + «« »s 4- ^^24 a« = ///■. y 
«3, a, 4- (h-. =^.1 4- «J.1 X.1 4- «31 sCi = "'3 , 
«4, a, 4- (^iv «: 4- «43 a-. 4- «n «i = «4 ; 

el les valeurs de «j , «2 , «3 , «;., déduites de ces quatre 
équations devront vérifier les deux dernières équa- 
tions (8). On obtiendra ainsi deux équations tie condi- 
tion. On opérera de la même manière pour le second el 
I(.' troisième pl;in. On trouvera, en définitive, trois équa- 
tions de condition seulenieni. 

Les trois conditions pour que les trois plans (8) soienl 



( i49 ) 
conjugués sont données par les relations suivanles . 



(9) 



«il 


«!.■ 


«i . 


«li 


///, 


a-,, 


û:. 


«2. 


«•1 


W;. 


(hi 


<',i 


«33 


<ï.;, 


"'3 


f'.y 


(7,2 


«U 


«il 


//7, 


/'i 


«2 


«3 


«4 


O 


"n 


«i; 


«1.3 


«M 


«. 


a„ 


"i^ 


«23 


«V, 


«.• 


«,, 


^'32 


«33 


«J4 


'' 


«l, 


Cii 


«« 


«44 


'U 


P' 


P' 


/^^ 


P> 


<) 


(lu 


«12 


«13 


«n 


/^' 


(h< 


(7,3 


«-•3 


«2, 


;^, 


('3> 


«37 


«33 


«3i 


y'3 


flu 


«n 


«4 3 


«4 1 


/A 


ni, 


W, 


"h 


"l\ 


o 



( Z« .s7<//e proclidinciiifiit. ) 



SOll]TIO\ DE LA QIESTION 464 

(voir t. XVIll, p. 11"}; 

Par m. CREMOi\A, 

Professeur à Crémone (*). 



Soient a , jS , y , tî les distances d'un point quelconque à 
quatre plans donnés; il est évident que l'cquation la plus 
générale d'une surface du second ordre circonscrite au 
tétraèdre formé par les ([uatre plans 

a = o, p = o, y^o, o = o 



(*) Maintenant professeur au lycée it Milan 



( »5o) 
seia 

Cette surface est coupée par le plan â = o suivant la co- 
nique 

Soient a', |S', y' les distances d'un point quelconque du 
plan ô = o aux côtés du triangle o = o (a = o, j3 = o, 
y = o) : triangle formé par l'intersection du plan â avec 
les plans a , |3 , y; on a 

a=:a'sina^, p = É>' sin^S, y = y' siw^S , 

où aâ est l'angle des plans a = â = o, etc. Donc l'équa- 
tion de la conique rapportée au triangle inscrit sera 

H — :—. i = o ; Salmon ). 



«'sina^ ^'sinpj '/'sin'/iî 

Les angles du triangle sont jSd'y, yoa^ oco[ù où Çiây [*) ex- 
prime l'angle cjue fait l'intersection des faces j3 = o = o 
avec l'intersection des faces y = d* = o. On sait (pie la 
conique représentée par l'équation ci-dessus est une cir- 
conférence, si l'on a 

l l m : n = sin xS . sin ^ây : sin p§ . sin 7^» : sin 7^ . sin a^p. 

(Salmon.) 

De même, si les plans a = o,/3=:o,y=o coupent la 
surface suivant des circonférences, on aura 

/ : p : V = sinc?a .sin pa7 : sin 7a. sin ^ap : sinpa.sinya^, 
/// : V : > = sinrîp.sin7pa : sinafi .sin5fJ7 : sin7p.sinap(î, 
// : '). : u. =; sin 07 .sin«7P : sin(57 .sin(Î7x : sina7 .sinp7^. 



(") /5o/ csl rain;le (|ui , ilanb roiioiicc dt-, la <|ucslioii, a clc dcsiyiié pai 



{ i5i ) 
De là ou lire iruinédialemcnt que / , in^ n ^)^, a, v sont 
proporiioiincllcs aux quantités 



— r- Sin Sa7 . sin Sd7 , 

n p7 



1175 



nj7 
n aJ 
n7a 



np^ 



sin Y^a. sin 7^7., 
sina7p.sina(îp, 
sina^(î.sin«7(î, 
sinp7^.sinpa<î, 



n aS . 

sin7ao .sin7Po , 



n 7^ 



te qui démontre le théorème de M. Prouhet. 



SOLlTiON DE LA QlESTiON 465 

(voir t. XVIll,p. 117), 

Par m. CREMONA, 

Professeur à Crémone. 



Soient «0» ^1 T'-i ^n-i 1 n quantités quelconques ^ a une 
lacine primitive de l'équation binôme 



et 



X" i =z o . 



jr = a„ -4- «I ar + «î a , 



en supposant oc,. = y.' 



( ï5. ) 
Multiplions entre eux les deux déterminants 



D 



A = 



«0 


(i\ 


^/.. . . 


('n- , 


«1 


a-. 


«3. • 


(lo 


«2 


f'i 


fi,. . 


«1 


Oji- 


-1 <''« 


a,. . 


«n-2 




I 


I . . . 


I 




^•1 


y.,. ■ ■ 


«n-l 




-: 


0.1... 


11— 1 




n — 1 


a "" . 


n— 1 

a 



En exécutant la multiplication par lignes , les colonnes 
du déterminant produit deviennent divisibles respective- 
ment par 0, , 02 V • 5 ^"i ^^ 1 on a 



DA = 6, 



I I I . . 

I a„_, a" 

n — I 

2 

I ^,i_i a 



n— I 

M 1 



Or K; déterminant du second membre est évidemiiuiit 
i ) ' A ; donc 



égal a 



«(«—•) 



D=(— 1 



0,0,. . . 0„. 



Ce théorème, mciiliouiic par M. Michael ïloberls 
(^Nouvelles Annales., cahier de mars iShj, p. 8y) csi de 
M. Spollisvvoode (i/o///7m/ de drelh', l. LI)j la démons- 



{ t53) 
tration ci-dessus m'a été communiquée pai' M. I3rioschi , 
et je l'ai publiée comme lomme dans une petite Note In- 
torno ad un teorema di Ahel [Annali di Torlolini, 
i856). 

En supposant 

a,, rrz a -\- rd , 
il s ensuit 



nd 



pour r = I , 2 , . . . , rt — I 



et 



don( 



n(n — i) 
6i„ = na -^ i d \ 



el, par conséquent, 



D = 



a a -\- d . . . a + [n — l) d 

a -\- d a -j- id . . a 

a + (« — \) d a . . . rt + (« — l) d 
(w-4- 7){n — i) 



c<' qui est bien la question 465. 



i54 



SOllTIO^ DE LA QUESTION 498 

( voir p. *. ) . 

Par m. Léon RABEAU, 
Élève de Spéciales au lycée de Poitiers, 

Et m. Charles KESSLER, 
Elève au Prytanée Militaire. 



On donne une droite fixe, un point B sur cette droite 
et un point fixe A. Trouver une courbe telle , qu'en me- 
nant par un point quelconque pris sur celte courbe une 
tangente, et par le point A une parallèle à cette tangente, 
ces droites interceptent sur la droite fixe deux segments 
comptés du point B, tels , que la somme des carrés de ces 
segments soit égale à un carré donné k^. Même question 
en prenant la ditïérence des carrés. 

Je prends la droite donnée pour axe des y, et la droite 
BA pour axe des x. Le point B sera alors l'origine des 
coordonnées. 

Soit (Xi, yi) un point de la courbe. L'équation de la 
tangente en ce point sera 

L'équation de la parallèle menée par le point A sera, 
en appelant a la distance AB , 

jr = y'{x — a). 
Les ordonnées à l'origine sont pour les deux parallèles 



( »55 ) 
On doit donc avoir, en cnaçanl les indices , 

OU tire de cette équation 



y=.x'àislk^-a'-y'\ 
et en prenant les dérivées des deux membres, 

„ , , — a^y' 
y'-=y +7 x-±Ly 



slk' — a'y'- 
d'où 

/ __ a^y' 

V slk^ — a'y' 

Celle dernière équation est vérifiée par 

j"=o 
et par 



a y j;-H- a'' 

La première solution donney'= m (une couslanle arbi- 
traire). Transportant cette valeur dans l'équation (i), on 
a, pour première solution du problème, 

(a) J = "'•^' ^ V'^"' — '^' "^'• 

La seconde valeur de j', iransportée dans la même 
équation, donne, en réduisant, 






d'où 



é(}uation d'une hyperbole dont deux diamètres conjugué.' 



( i56) 
sont en direction, les axes coordonnés, et en longueur, 
ia et aA , 2 a étant l'axe imaginaire (l'axe des x). 

Nous remarquerons que l'équation (a) est celle d'une 
tangente menée à cette hyperbole 5 il est évident, en effet, 
que toutes ces droites, se confondant avec leurs tangentes, 
répondent à la question. 

Si a=: A, l'hyperbole devient équilatère. 

Si l'on avait pris la différence des carrés, au lieu de 
considérer leur somme, rien n'aurait été changé dans le 
calcul précédent, (|ue a} en — cr . En faisant celle trans- 
formation , on arrive encore à 

j"=o, trou y'=in, 
et à 



kx 



y -. 



La première solution donne 



y z=z ni.T ± \/ /t' -+- n- in^ , 
et la seconde. 



Y' X- 



équation d'une ellipse dont les diamètres conjugués sont 
2rt et 2 A. La première équation représente encore l'équa- 
tion d'une tangente à cette ellipse. 

Si rt = A", cette ellipse devient un cercle si les axes 
sont rectangulaires, et s'ils sont obliques, une ellipse rap- 
portée à ses deux diamètres conjugués égaux. 

Noie. M. Franck, licencié es sciences, chef d'une ins- 
litulion Israélite à Lyon , donne une solution idcnti(|ue à 
la piécédciile , et ajcuite : 

Supposons <|U('. l'on vt.'uillc salislairr à la (ondi- 



( i57) 
lion 

1 + -!. = ^; — '1=1 (•) 

X, Xi px — j a 
ce qui donne l'équation difleientielle 



y=p^ ., , ,x 






F/U (lifférentiant 



, r a{p -\- ak)apy\ 

ou 

f/w .r — — - = O. 

L'équation de la courbe cherchée sera le résultat de 
l'élimination de /; entre les deux équations 





{p 


+ 


ahf ^ 




— p2 


— 


ap 


y 


p -\- ak 



l'équation (i) donne 

(3) p——hk + ^, 

en posant 



remplaçant dans l'équation (2) la valeur de p lournie par 



(");; c'est r'. 



{ i58) 
l'équation (3), on obtient 

s{y -+- bkx -\- b)= ib k^ 
et en élevant au carré 



on obtient 



fy2 ^- 

(j + bk.r -fr by = ^b' k\ 



y =■ — ( akx H- rt ) dz 2 a ^kx , 



équation d'une parabole facile à construire. 

M. Kessler trouve un lieu du troisième ordre lorsqu'on 
prend la somme directe des segments. 



SOLITIONS IRIGOKOMETniQllES DES QllESTIOXS 483 ET 484 

(voir t. XVIII, p 337); 

Par m. Theofik HAZAN, 
Lieutenant, élève de l'École impériale Ottomane à Constantinople. 



Théorème I. D'un point B extérieur à une circonfé- 
rence O on mène deux tangentes BA et BC, on projette 
C en D sur le rayon OA, cl l'on fait exécuter une révo- 
lution complète à la figure autour de OA, l'un des rayons 
des points de contact*, il faut démontrer que le volume 
engendré par le triangle mixtilignc CBA est équivalent 
au cône engendré par le triangle BDA ((juestion 483). 

Tlièorkme . II. La même figure étant faite que pré- 
cédemment, et exécutant la même révolution, il faut 
prouver que le segment spliéiique engendré par CBA est 
équivalent au volume engendié par It; triangle CBD 
(question 484). 



( ï^9 j 
Si nous su])posons le ravoii OA égal à l'unité, nous 




aurons 



BA = tang-) 

CD := sin a , 

AD = 1 — CCS a. 
Considérons : 

1°. Le volume engendré par le quadrilatère DABC =: w: 
2°. Le volume engendré par CD A =: P"'; 
3''. Le volume engendré par le triangle mistiligne 
ABC = V; 

4". Le volume engendré par le triangle ABD = ^ '. 
Nous aurons 



(I) fz=-T: (i — cosa) I tang' — \- sin'a + tang 

(II) v' = — Tz[i — cosa) [3 sin- a 4- (i — cosa)^]. 
En soustrayant i^ de t^ on obtient 



- Sin a I 

2 / 



(I) P — /=V=:-7r(l — ces: 



2tan£r= sin- a 

* 2 



2 tang — sin a 

° 2 
[l — ces a)- 



(III) 



P — i/ = V r= — TT ( I — COS X ) lATlS,- — 
5 "2 



I , ,\ sin- a — atancr-sina 

î; ( r — cosa) < ° 2 



6" 



H-(l — cosa) = 



( i6o ) 
mais comme 

V = — TT (i — co&a) tang^ — •) 

et 

sin- a — 2 rang - sm a + ( i — cos a.y^= ( o) , 

en substituant dans l'équatiou (III) on obtiendra 

V = V. 

C. Q. F. D. 

Théorème 11. En soustrayant le segment CD A du 
quadrilatère ABCD, on obtiendra, d'après le théorème 
prouvé en haut, le volume du cône ABD5 en effet, si 
du volume du cône ABD on soustrait du quadrilatère 
ABCD, on obtiendra le volume du triangle engendré par 
CDB; enfin le segment engendré CDA est équivalent au 
volume engendré par le triangle CBD. 



SOLUTIONS GÉOMETRIQIES DES OHESTIOXS \U ET hU 

(YOir l. XVm, p. 356); 

Par m. Jules PUECH, 

Klcve d(i lycée de Castres (T.irn ). 



Même énoncé j même figure que dans la solution tri- 
gonométrique. 

Le volume du cône décrit par ABD est représenté par 

^ttADX AB; 
d'un autre côte ' . 

V . ABC = V . ABCD — V . ADC, 



( i6. ) 
ce qui doniu- 

V. ABC = ^ TT AD (ÂbV CdV AB X DC ) 

/l 2 , : 

— I-ttAD XDC-+-;T7rAD 

\2 D 

par suite 

V.ABC=7rAD(^ÂBV^CD — -CdV^ABXDC — ^^Ad'"), 

\3 3 '->. o b / 

OU 

V.ABCr=l7TADXABV7rAD (^AB X DC— ;^Cd"— ;^Ad' )- 

3 \ 3 b n / 

Il suffit donc de démontrer c]ue la quaniité 

4 AB X DG — ;î: CD — ^ AD 
3 b o 

placée entre crochets est nulle, ce qui revient à faire voir 
que 

CD (?,AD — CD) = Ad' 

Cette égalité devient manifeste si l'on mène par le point 
C, CF perpendiculaire sur \B. I.e triangle rectangle FCB 
donne 

Âd'=i: Cf'= BC — Bf'— BA — (BA — AFj- 
= BÂ*— (B A ~ CD)= = ? AB X DC — DC = DC ( 2 AB — DC) . 

Corollaire (question 48i). Dans !a même figure le 
segment sphérique CDA est équivalent au volume engen- 
dré par le triangle CBD. 

Note. MM. de la Brière et de Cliarodon, élèves de 
l'école des Carmes, ont résolu la question de la même 
manière. 



Ann. de Mnllii-mnt., t. \l\. CMai iSfio.) 



( i62 ) 



SOLITIOX DE L\ QIESTION 504 

(voir p. 43) ; 

Par m. Charles RESSLER, 
Élève du Prytanée Militaire. 



AB = 2R = diamètre d'un cercle de centre K, O un 
point sur le diamètre AB, KO = <7, P = un point de la 
circonférence, angle PAB ■= (i, angle POB = «j^. On a 

R sin 2 p 



siniL ^ 



V/(R — a)=cos-^P -h(R-f-rt)-'sin^P 



2f/p 



(n 



Fonction elliptique. Jacobi. 




1". Je mène PK et j'abaisse PM perpendiculaire sur AB; 
je mène PB : 

Triangle PKM Pj\I =: R sin 2 p, 

Triange POM PM = OPsi^^j/, 

d 'où 

Rsin 2^ =:OPsin^j/, 

Rsin2fi 



si mi =^ 



OP 



( '63 ) 
Pour démon 11 ei Ja [troposilion, il suflit donc de piouver 
d'abord que l'on a 



OP - v^( R — « y cm' fi 4- ( Il -T- r^ ;■• sin ' ft 
= v'4rtRsin^p -+- (R — «)'; 
or le triangle PBO 

OP = PB^-f- BO'— 2 PB . BO cos PBO, 
PB=2Rsin^, BO = «-R, PBO == 90 -I- p, 

0P = 4R'sin'p -h (R — «)^ — 4Rsin^P (R — «) 
=r4Rrtsin',S -T-(R — «)^ 

C. O. F. D. 

2rf8 

2". , ^ ^ 

\J{R— ay cas' p H- { R + rt ;^ sin^ P 

\/K'cos'l> -i- (R^ — n') sin--^ 
ou 



d-^ \'{\\.- — ri- siii" 



(i^ y/(K^— a^jcos'p-{- (R -i- a y sin' p 

J'abaisse KR perpcndlculaiie sur OP, il faut prouver que 

d^ _ V R' — kr' _ ^ i*R 
71 ~ ^ ÔP ~" " ÔP ' 

et comme 

PR = Rcos(2S + -J/), 0P=^4^, 

sin 4* 

il faut donc prouver que 

dli cos ( 2 (3 -I- \}/ ) sin J/ sR rns (2 p + ■} 

d p "~ sin 2 p ~ v'(R — f'ï' cos' S -H (R= 4- aysm-p 

En effet la première équation 



V/( R - n y cos^ p + ( R -H « j- sin^ S = Ë^l^P, 

sni\p 



( »64 ) 

ôiaiit déiivée, en regardant di comme foiiclii)ii de /3, 



2(R + <?)- sin p cos !5 — 2 ( R — /? )- sin jE cos fj 
2 \/( R — fl ;- cos= p -f- ( R + <^ r sin-' ^ 



2 R cos ■?. fJ sin i/ — R sin 2 B cos ^^ 



r/f. 



el comme 



rt sin .{^ = R sin ( 2 Ê -h .!> ), 



2R 



■Rsin(ofi4-^|')sin2jjsin^!/ + cos2{3sin^î; V(R — <?)-cos'^ + (R4-^rsin-p 
Rsina^cosi}/ \''(R — rt)-cos' jB + (R 4- <7/sin-(5 



on 



O.P. 



sin-!/ sin (2 ^ -h •>!> ) -+- cos 2 ^ <■/•]< 



OPcosiî/ 
2R 



^/3 



\/(R — fl)- cos- 6 + (R -+- Oj- sin= [i 

rcos2 p 



lang-i sin (-> p + ^) 



:>. R 



S/(R — ay cos' p -f- (R H- ^)' sin= ji 

! cos "^^ B I 

1 — '—f — taiiH ^1; (sin 2 H cos -h ■+■ cos 2 B sin •]/) 1 
1 cos|/ u . \ 1 j 

2R 



v'(R — a y cos- P 4- ( R -T- «;- sin- fi 

/ . cos 2 6 . , cos 2 S \ 

^ X — sin ? B sin ■!> -\ f — sin' ^L p- 

\ ' ' cosr^ cos-^ / 



2R cos ;2 [i H- •>}/) 



y^^ H — fiy cos- 6 -(- I II 4- rt 1' sin' fi '^ f' 

e. y. f. I». 



( •^>:> ) 
Note, (lu liéilaclcur. Dans 1 (''iioutu du piobièiiie le, 
point O est entre A et B. 



NOTE 

Sur la loi des petites oscillations dn pendule simple dans un milieu résistant :, 

Par m. h. RESAL, 

Docteur es Sciences, Ofliciei- de l'Instruction publique. 



La recherche de la loi des petites oscillations du pen- 
dule, dans un milieu dont la résistance est proportion- 
nelle au carré de la vitesse, est une question qui fait 
partie du progrannne de la licence. La solution que Pois- 
son en donne dans son Traité de Mécanique est assez 
compliquée et comporte deux méthodes, l'une pour le 
calcul de la décroissance des amplitudes, l'autre pour la 
détermination de la durée des oscillations. 

Dans mes leçons à la Faculté des Sciences de Besançon 
de i835 à 1859, j'ai donné la solution suivante qui me 
paraît plus simple que celle de Poisson, et dans laquelle 
un seul et même calcul conduit aux divers éléments du 
mouvement. 

INous prendrons pour origine du temps l'instant où le 
pendule vient de terminer l'une de ses oscillations et 
nous désignerons par «o la demi- amplitude correspon- 
dante. 

Soient : 

g l'accélération de la gravité; 

/ la longueur du pendule; 

m la masse pesante qui le termine: 

a l'angle qu'il forme au bout du temps f avec la verti- 
cale : cet angle sera considéré comme posilif ou négatif 



( i66) 
selon que le pendule se trouvera ou non du même côlé 
de la verticale de suspension qu'à l'instant initial 5 

\= q= — - la vitesse correspondante de m. 

La résistance éprouvée par m dans le milieu pourra 
être représentée par //i^ — ? K étant une constante li- 
néaire-, et l'on aura d'après le principe des forces vives 

I . V 

— r/V- = — ir sm x.dy-{- s; — da. 

Cette équation, linéaire en\ ^, permettra de déterminer V 
en fonction de a, et de ramener, à l'aide de la relation 

V ==}=——, la recherche du temps à inie quadrature, 

quelle que soit d'ailleurs la grandeur des amplitudes et 
la jiature du milieu; mais les formules auxquelles on ar- 
rive ainsi sont trop compliquées pour que l'on puisse bien 
se rendre compte de l'influence de la résistance du milieu 
sur le mouvement du pendule : aussi nous bornerons-nous 
à considérer le cas des petites oscillations, le seul qui 
sous le rapport de l'observation présente de l'intérêt. 

Il résulte des faits tirés de l'observation que le coeffi- 
cient de la résislance de l'air est très-petit, et que pour 
des vitesses aussi faibles que celles du pendule, on peut 
sans inconvénient en négliger le carré-, ce (pii revient, 
dans l'évaliialion de cette résistance, à lemplacer \- par 
sa valent- dans l'hypothèse (Ui vide ou par i,' (a^ — a'), 
en négligeant la quatrième puissance de «o et a. On trouve 
ainsi pour le tia\;iil total absorbé par la résistance do 
l'air 



( »67 ) 
le principe des forces vives donne par suite 

-V-=-^/(aJ - n^) —-g':^, («0— a) (2y.„ + a), 

d'où 

(0 V=y/^/(a,-.)j(a„+a) [^, _ | g (., - a)] -^l^ a, (a„- 

La deini-ainplitude ascendante qui suit la denii-oscilla- 
lion descendante correspondant à \=o est une racine 
négative de l'équation \ = o, qui, prise en valeur abso- 
lue, diffère de «o d'une quantité de l'ordre de — • Poui 
l'obtenir il suflSt donc de poser 

(2) (a, -4- a) [^, - ^ 1^^ («„ ~ ''^l "" I ë "■" ^"" ~ ''^' 

Si l'on continue à négliger le carré de ^^t on pourra 

remplacer dans le second membre de cette équation, <x 

par — cKo, supprimer le terme en ^^ du coefficient de 

«0 + *; et l'on obtient, en désignant par oci la demi-am- 
plitude ascendante, ou la racine cbercbée prise en valeur 
absolue, 

4 gi :. 

on a de même pour les demi-amplitudes suivantes, ofj , 
ce,..., 

""'-"■'"s K^''' -"■''~ -3R=''^' 

4 gi . oU^ , 



«.,• 



( it)« ) 

de sorte que les deiui-amplitudes décroissent sensiblement 
en progression s^éométrique. 

Le produit des racines de 1 équation (2) étant 







4 


^l 




■^0 




3 


K' 


''o 




2 


^i 


, 






3 


K' 


''û 





en le divisant par — a,, on obtient pour 1 autre racint 



2 gl- 

3 K- 



et \ se met par suite sons la forme 



2 e/ \ W 

r = K/ gl {y.. -h ^) ^:^ -h y.:i {^ 

d'où 



.),a+a,)(--a+ .)=_, ^^ 



_ 1 

1 r 1 



Or 



X 



^/a 



« V'('='» — a) (a -4- a,; 



a (a„ — s 

2 
= arc sni 



\/--(^)' v/"-" C-^^)' 



( ^69 ) 

on peut négliger (- -) devant «oan ''t de plus on a 

avec la même approximation 

on peut donc prendre 

Ç'' du. 

D autre part 
r-^ o:da ^ _i r d[—u:^ 



a,, — ai a -f- a, a,, 



- + (a^ — «ij a -f- s'-i «0 
+ 






i?/ 



mais comme celte expression se trouve multipliée par ^^5 

il convient de négliger l'intégrale du second membre et 
de poser 



r 



y.dy. I 

-= — V(ai. — a,j (a H- a,). 



'«, V'=«o — a) (« -f- a, y 
Il vient donc pour l'expression du temps 

; TT . [y. 1 2 fi'/ \ 2 "•/ I 

|-_arcsm^-^i+--..)_-_..J 

( ~3 K2 V ('"''" ^'^ ("* + *') 
En y supposant a = o, on a pour la diuée de la première 



( 170 ) 



oscillation descendante 



-v/Ki 



l (-r. . 1 si I S,l 

— V- arc sin ^ '— «o — tt ^- 

3 K^ " 3 K- 



V 



1 1 ( TZ I Sll 



3 IC^^'^' 



dans le vide ou 



Pour avoir la durée de l'oscillation complète, on sup- 
posera a = — «0 dans la formule (3), et l'on trouve, en 

négligeant le carré de |-^ , que cette durée est la même que 

Il suit de là que la résistance de l'air augmente la du- 
rée de chaque demi-oscillation descendante, mais diminue 
de la même quantité la demi-oscillation ascendante sui- 
vante. De sorte que le nombre des oscillations exécutées 
dans un temps donné est, en raison du mode d'approxi- 
mation adopté, très-sensiblement le môme que dans le 
vide (*). 



SOLITIOX DE LA OIEST10\ 432 (PU\VI\] 

(voir t. XVII, p. iSo) ; 

Par m. g. -F. BAEHR, 

Professeur à Groningue. 



Soit 

<7, rt, = ^73 — r/,, = . , . 1= C/„ — Un-, = <î , 

a„ — «, = (// — I ) (î, 

a, -1- rt^ -f- . . . -f- n„ I =r .v„, 

(*) M. Somofa fait un travail très-instructif sur les très-petites oscilla- 
lions d'un système de points matériels ( lilénioires dr l'Académie de Snint- 
Petersbourg, t. 1, n° i^; i83i)). Il y dcmonlrc, contre La[jranf;c et La- 
2)lacc, l'existence de racines éyalcs, dans l'équation fondamontalo do cctlc 
théorie, existence seulenn'nl «'noncéc jkip Cauchy. Tm. 



( »7i ) 
et considérons le déterminant 



= 



/7i a. 


o. 


■ (',.- 


(7„„ 


1 a„ 


ai (h 


(', 


• '''«— 1 


«„ 


fl, 


a-, n, 


Ci, 


• fin 


«1 


a. 



««-1 



On auia, en écrivant les colonnes dans un ordre inverse, 

fJ„ fln^t r7,,__2 . 



D =± 



«3 'Il a, 

ll\ Oi «2 

ti^ Oi r/j 



I Ou—i CIn—Z f^ii—\ • '''i "n (In— 
I fl„_, r/„_j <7„_3 . <■/., rt, «„ I 

-\- si // est de \x foriiie 4/-' o^' kp~^ '> 
— si /? est (le la forme 4/'' -t- 2 ou 4/^ + 3, 

parce que dans le premier cas on a échangé un nombre 
pair (2/7) de fois deux colonnes entre elles, tandis que 
dans le deuxième cas cela a eu lieu un nombre impair 
(2/J 4- i) de fois, la colonne du milieu, si n est impair, 
restant à sa place. 

Si dans ce dernier déterminant ou ôte les éléments de 
la deuxième colonne de ceux de la première, les éléments 
de la troisième de ceux de la deuxième, et ainsi de suite, 
il viendra (*) 

^ S . S 'î rti 

— (rt — I ) ^ ^ . S S cij 

a — (« — i) S 3 . S a^ 



S . —{n— j)rî 

3 . s 



Il — \]rj (!„ 



y') Tome Xlli. paGc 7S. 



( ^7-- ) 
puis ajoutant aux éléments de la pretnièi e ligne la somme 
des éléments pris en colonnes des lignes suivantes corres- 
pondantes, on a 



D 



o o o 

[n— i)S § 

— 'n — 1 ') 3 a 



o .s„ 



±{-&~^K 



OU bien (*' 



d 






(// — 


i)5 







f>i 


s 




— 


[n~ 


) S (1 


3 . 




5 




3 


S . 




3 




3 



3 ^ . _(„_,)^ s 

S 3 . 3 — '// — I ) o 



D = ii:(- i)"-'.v„^"- 



X 



(« - 1) 



1 . — ( « — I ) 1 



ou ajoutant encore une lois aux éléments de la première 
ligne tous ceiix pris en colonnes des lignes suivantes, et 
ensuite, les éléments de la première ligne à ceux de cha- 
cune des lignes suivantes en particulier, on obtient suc- 



("} Il n'y ;t plus i|ui; n — l t:)loiiinjs. 



.73 



ct'ssi veinent 

D = db(- i)''-'.v„o"- 



— I — I — I . 

I ( /! I ) I 



:^ _,)«-.,,„,)■ 



— 1 c rY'l — I 



1 — f « — r 



ce qui se réduit à 



— I — I — r . — I — I 

o — n o . o o 

o o — /i . o o 

o o o . — no 

o o o . o — fl 



—no . o o 
o — // . o o 



I) = dt f — I )" S„ rî''- 



O o , — no 
o o . o — n 



= ± (— 1 )" s„ rî"-' (— ri)"-- =±:3"-' «"-' .v„. 
Faisant 



<7. = I , 0=1, 



2 2 



D = ±:«"-'- 



C. Q. F. D. 



Soit la progression géoraélriquc 



fi . ff/\, nr-, . . . , nr' 



{ Ï74 ) 



on 


aura 
















n 


ni 


ar- 


. ai''-' 


ar"~- 


ai"- 






nr 


nr^ 


nf 


. ar"-' 


«/"-' 


n 


D 


= 


a,--' 


ai^ 


ar' 


. ar""' 


a 


ar 



,V1-Î 



ar"- 



n— I 



ni-"'^' ai — n . ar- - ar- ■ ar"" 
I a/''-' a ar . ar"-' ar""-" ar"- 

+ si « est de la fonue 4/^ ^^^ ^P + ' > 
— si n est de la forme ^p + 2 ou 4/^ + 3. 

Car en intervertissant Tordre des colonnes, et faisant n 
fois sortir en dehors du déterminant le facteur a, qui est 
commun aux éléments de toutes les colonnes, on a 

ft j. 



D=rdl«" 



1" /•' 






I r" 



r"~- 



011, multipliant les éléments de la première ligne par /• et 
ôtant des produits les éléments correspondants de la 
deuxième, puis multipliant de même les éléments de la 
deuxième par /• et ôtant des produits les éléments de la 
troisième, et ainsi de suite, 



D=± 





( 


/•"— 


) 




















(/"-.) 













a" 

n—i 







(r" — 


'■) . 


























r"- 


' 






,,-i 


r"-' r"-' 




r 


1 


,.,-- 


a" 


i'' 


-0 


'-' . '"-' =±a" 


r" — 


•)' 


— 1 





lyS 



MEMOIRE SIR LES POLAIRES imiNÊES 

( voir t XVI II, p. 312; ; 

Par m. DEWULF. 



XIV. Reprenons les équations du ^ X qui nous don- 
nent les n^ points fixes du faisceau (p" des polaires in- 
clinées d'un point a|3 par rapport à un faisceau F", et 
dans ces équations remplaçons |3 par Aa -f-B, nous au- 
rons 

, /r/F , r/F\ , , /(IF , dF\ 

Ces équations peuvent se mettre sous la forme 

|_ \df (Ix ) flx dy J 

./VF , r/F\ IdF dF\ 

L \ df dx ) dx (iy j 

-<«->(l-4)-^(:;^-|)='- 

En éliminant a entre ces deux équations, nous aurons 
le lieu décrit par les n^ points fixes du (p" quand le point 
(a|S) décrit la droite 

j = A .r -h B . 

Cette élimination nous conduit à l'équation (5). Donc 



( '76) 
Quand un point P décrit une droite L, les vr points 
Jixes du faisceau (f" de ses polaires inclinées par rapport 
à un faisceau F" décrivent le même lieu que les n (n — i) 
points polaires de L par rapport à Vune des courbes du 
faisceau F" quand cette courbe tourne autour des n" 
points fixes du faisceau. 

Remarque. Ces thcorèaaes renferment comme cas par- 
ticuliers les beaux théorèmes que Bobiliier a démontrés 
sur les polaires ordinaires au tome XVIII des Annales 
de Gergonne, p. 89 à 985 1827. 

XV. Je reprends l'équation générale de la polaire in- 
clinée d'un point (a/5) par rapport à une courbe C" re- 
présentée par l'équation 

(1) F(j:,r)=:o. 

Soit 

cette équation 

Supposons que le point (a, j3) décrive la courbe 

(3) /(^,j)=rO. 

Nous aurons la relation 

(4) /(«,P) = o. 

Cherchons l'enveloppe des premières polaires inclinées 
du point (a , .S ) par rapport à C„ quand ce point décrit la 
courbe (3). 

Pour cela, différentions les équations (i) et (4) par 
rapport à a et à [3, nous irouvorons ainsi 

a y. (l\j (lot. 



( '77 ) 

d¥ . d¥\ idV (IF \ d'/j 



\ d.r dy ) \ dy dx ' dy. 

d'où, par 1 éliminaiioii de x et fi, 

I^S 'if (dF dY._df Id? d¥\ 

Eliraiiiant maintenant a et (3 entre les équations (1), 
(4) tît (5), nous aurons l'équation de Tenveloppe clier- 
chée. 

Soient x' et y' un point de la courbe (3), la tangente 
à cette courbe en ce point a pour équation 

Cherchons le lieu décrit par les n [11 — 1) points po- 
laires inclinés de cette droite par rapport à la courbe C", 
quand le point x' j' décrit la courbe {3 ). 

Reprenons pour cela les équations (3) et (4) du para- 
graphe XI : 

.IdY dF\ fd¥ clF 

^ -^ '\dy dx j \dv dy 

Ces équations donnent les n (/; — i) points polaiies in- 
clinés d'une droite 

y z= A.r, •+ B. 

Faisons 

ai ^ 

dx' ^ , , dx' 

dy' dy' 

Ann. de Miilhém., t. XIX (Mai 18G0.; J2 



( '7« ) 
Il viendra 

(6) '!I('JI^,'S\^^rJI_,'IlV 

^ ' dx' \dy dx j dy' \dx dj J 

") '^ -^> (;77 +*, 7? )+(--—'n -'¥)="■ 

Il suffit, pour avoir le lieu cherché, d'éliminer x' y' entre 
les équations (6) , (7) et l'équation (8) 

(8) f[x\y') = o. 

Or ces équations ne diffèrent pas des équations (5), (1), 

(4). 

De là ce théorème r 

U' enveloppe des premières polaires inclinées des 
points d^une courbe par rapport à une certaine direc- 
trice est la même que le lieu des points polaires inclinés 
des tangentes à cette courbe par rapport à la nuûne di- 
rectrice. 

Ce théorème donne comme cas particulier le célèbre 
théorème de Poncelot, polaires réciproques. 

X\[. Supposons que la courbe C" ait un point mul- 
tiple de l'ordre p. Les coordonnées (or, y) de ce point sa- 

tisiont aux —- équations 

9. ^ 



r) 



1 


F(,r, 


y) = 


= 0, 






r/F 


dY 










.77=°' 


^ = ^' 










d'ï' 


d'Y 




d' Y 






d.r- 


dx dy 




dy'^'"' 






dP-' V 


di'-' Y 


,/!'- 


-'F 


dP 'Y 




\ dxP-^ ' 


ilxl- - (t) ' 


dxl- 


v/r' ■""'•' 


•' 7v>-'^ 


0» 



( »79 ) 
et les p valeurs de — sont données par réqualion 

\ dxP "^ '^ cUr-' dy \dx) i .2 dxi'-' dy'- \dij 

V dfP \dxj 

La première polaire inelinée de l'origine par rapport à 
C" est identiquement satisfaite par les coordonnées x 
et j: 

Il est facile de voir que les dérivées successives de tp 
jusqu'à celle de l'ordre (yy — i) sont nulles pour les 
coordonnées x et y du point multiple. Par conséquent ; 
Tout point multiple de l'ordre p de C" est multiple de 
V ordre p — i sur une première polaire inclinée quel- 
conque dun point quelconque du plan de C". 

Les coefficients angulaires des p — i tangentes sont 
donnés par l'équation 

-d^p^^^'-^'^d^Tri^'^^-'''^ 

^ "^ ^[djdxP-^' •- ' dj'-dxP-^^-' ]\dxj 

\_dy^dxP-- ' dyulxP-"^-^ '^ \dx ^ 



•+- 



La deuxième polaire inclinée dun point j)ar rapport à 
une courbe, jouissant, par rapporta la premièie, des pro- 



( i8o ) 
priétés dont celle-ci jouil par rapporl à la courbe, il est 
clair que 

Tout point multiple de l'ordre p de C" est nudtiple de 
r ordre p — 2 sur C", la seconde polaire inclinée. 

De même : 

Tout point multiple de V ordre p de C" est multiple 
de r ordre p — k sur la polaire inclinée Q'I de l ^ ordre k. 
Eu d'autres termes, les premières polaires inclinées seules 
passent par les points doubles de C" et elles n'y passent 
qu'une fois. 

Les premières et les secondes polaires inclinées passent 
seules par les points triples \ les premières y passent deux 
fois, les secondes une fois. 

Et ainsi de suite. 

X^II. Nous avons vu au ^ X que les premières po- 
laires inclinées d'un point par rapport à un faisceau F" 
forment un faisceau bomograpliique tp". 

11 est évident que les deuxièmes polaires d'un point 
quelconque forment aussi un faisceau bomograpliique 
aux deux précédents, et que les polaires inclinées d'ordre 
h forment un faisceau bomogra|)bique o^'l- ]Nous pouvons 
dire plus généralement que le faisceau cp^ des polaires in- 
clinées d'ordre/? dont le cocfticient est A, d'un certain 
point, correspond anharmoniquement au faisceau (p'^ des 
polaires inclinées, d'oidre ^, dont le coellicient est h'x 
d'un autre point quelconque. 



( iSi ) 



SOLUTION DE LA QUESTION !il5 

(voir p. 9S ) ; 

Par un PROFESSEUR. 



L'énonce doit être leclifié comme il suil ; 
Le déterminant 



«ï 



dans lequel les indices supérieurs sont des exposants, est 
égal au produit 

P = a, Xj. . .a„(a„ — a„_i)(a„— a„_2).-.(a„_2 — a.„_^).. (aj— a,). 

Ce théorème, ordinaireiucnt attribué à Vandermonde (* ), 
est démontré de deux manières dans le savant Traité de 
M. Brioschi (p. 90 de la traduction française). La dé- 
monstration suivante, due, je crois, à Caucliy et qui ne 
suppose que les premières propriétés des déterminants, 
paraîtra plus simple. 

11 est d'abord évident que tous les termes de A sont 
divisibles par «i , «., , . , . , a„. 

Ensuite si l'on suppose «a^^ai, A s'annule, puisque 



C) VaiideiMiioiiclc (A. S, 1771, p. 369) décompose en facteur un poly- 
nôme qui peut être considéré comme un déterminant du 3* ordre : mais 
rien n'indique (lu'il ait eu en vue le théorème général, ni même qu'il ait 
considéra ce polynôme comme un déterminant. 



( i8'2 

deux colonnes du déterminant deviennent identiques. 
Donc A est divisible par aj — oci. On verra de même que 
A est divisible par toutes les différences des quantités 
«1 , «2 , «3 , . . . , a„ prises deux à deux. 

Donc A est divisible par P, et puisque A et P sont évi- 
demment du même degré, ils ne peuvent différer que par 
une constante. Mais le terme a, al al. . .a" a le même 

' i J n 

signe dans A et dans P. Donc A = P. c. q. F. d. 

Il résulte de ce théorème que le produit P représente 
symboliquement le déterminant A quand les exposants 
se changent en indices 

IVotc m/- hi (jucsiion 510. 
Elle a déjà été résolue t. X\ il , p. !33 i . 



SUR LA THEORIE DES PLANS DIAMETRAIX 

Dans les surfaces du second ordre; 

Par m. Abel TRANSOIN. 



Deux théories relatives aux plans diamétraux sont à 
peu près également répandues dans l'enseignement. L'une 
d'elles est sujette à des difficultés capables, ainsi que j'en ai 
l'expérience, d'embarrasser dans un examen les meilleurs 
élèves. C'est ce qui me décide à publier la présente JNote. 

Soient rt, h, c les coordonnées du milieu de l'une des 
cordes parallèles à une direction donnée. Si l'on trans- 
porte l'origine en ce point, et qu'entre l'équation tians- 
formée de la suiface et les équations d'une corde menée 
par cette nouvelle origine; on élimine deux des varia- 
bles, r et y par exemple, rét|uation résultante du se- 



( »83 ) 

coud degré en z devra manquer du iciine du pretuier 
degré. En exprimant cette cundition, on obtient une re- 
lation entre a^h^c qui n'est autre chose que l'équation 
du lieu cherché. 

Cela est simple; mais voici les difficultés : la surfac(! 
peut être de telle nature, que les cordes menées dans cer- 
taines directions ne la rencontrent qu'en un seul point, 
parce que la seconde rencontre passe à l'infini. Alors il 
ne semble pas qu'on puisse proposer la recherche d'un 
lieu diamétral; car s'il existe, ne doit-il pas se trouver 
tout entier à l'infini ? Cependant le résultat de la méthode 
subsiste encore, et c'est encore un plan situé à une dis- 
lance finie! Quelle est donc la signification géométrique 
d'un tel plan , et surtout quelle lumière pouvons-nous 
espérer à ce sujet d'une méthode qui , dans la circonstance 
actuelle, nous a fait transporter l'origine successivement 
dans une suite de points qui n'existent pas, ou au moins 
qui sont à l'infini?. . . 

C'est pourquoi je trouve préférable la méthode donnée 
par Leroy dans son Analyse appliquée à la Géométrie , 
p. 8i. \oici ce qu'il en est : 

L'élimination de .r eiàej entre les équations générales 
de la corde mobile et Téquation de la surface donne une 
équation en z de la forme suivante 

(i) R3--J-SZ4- T = o. 

L'équation obtenue en égalant à zéro la déiivée du 
premier membre de (i), c'est-à-dire l'équation 

(2) 2R3-j-S = o, 

donnera la coordonnée z du milieu de la corde; et ensuite 
l'élimination des paramètres variables entre cette équa- 
tion (2) et les équations de la corde mobile donnera h; 
lieu cherché. D'ailleurs, on peut évilcr toute élimination , 



( i«4 ) 

et obtenir immédiatement le résultat clierclié en consi- 
dérant, dans Téquation de la surface 

Ffa-, j-, z) — G, 

X ely comme étant des fonctions de z déterminées par les 
équations générales de la corde , et en égalant à zéro la 
dérivée de F (.r , y, z) calculée à ce point de vue. 

On voit combien cette méthode est élégante 5 mais de 
plus elle éclajrcit parfaitement la difficulté que nous 
avons soulevée. Car dans la circonstance où les cordes 
dont on cherche les milieux ont une rencontre à Finfini , 
R est nul; et, par conséquent, l'équation (2) se réduit à 
S = o; cela veut dire qu'on a écrit la condition pour que 
l'équation (1) ait sa seconde racine infinie comme la pre- 
mière. Donc le plan qu on trouve en ce cas est le lieu 
des points par où doivent passer' des sécantes parallèles 
à la direction donnée pour que leurs renconlns auec la 
su/face soient toutes les dtux à Vinfini. 

Et si l'on demande pourquoi un lieu ainsi déiini se 
trouve, par son équation même, faire partie des plans 
diamétraux, ne pourra-t-on pas répondre que chaque 
point d'un tel plan est effectivement le milieu d'une corde 
dont les extrémités sont de part et d'autre infiniment dis- 
tantes. 



THÉORÈMES SUR LA SIRFVCE DES O^DES 

Par m. STREBOR. 



(¥ 



J^es deux théorèmes suivants semblent établir une es- 
pèce de réciprocité entre la surface des ondes (de Fresnel] 
et rellipsoïdc. 



*) A (Icinoiiirer. 



( isr. ) 

1°. Si Ton décrit autour des rayons vecteurs parlant 
du centre d'un ellipsoïde , des cylindres circulaires droits , 
les rayons des cercles étant les inverses des rayons de 
l'ellipsoïde, la surface, enveloppe de tous ces cylindres, 
sera une surface des ondes. 

2°. Si 1 on décrit autour des rayons vecteurs partant 
du centre d'une surface des ondes, des surfaces circu- 
laires droites , les rayons des cercles étant les inverses des 
rayons de la surface des ondes, la surface , enveloppe de 
tous ces cylindres, sera un ellipsoïde. 



IVOTE SIR LES FOXCTIOXS ELLIPTIQIES; 

Par m. STREBOR. 



Considérons deux courbes, dont lune est le lieu des pro- 
jections orthogonales du centre d'une ellipse sur ses tan- 
gentes, et laulre l'enveloppe des perpendiculaires aux 
diamèti'cs, menées parleurs extrémités. Soient P, P'deux 
points sur ces courbes, qui répondent au même point sur 
l'ellipse. Désignons par C le centre, par «, b les demi- 
axes de l'ellipse, et par w, o les angles que font avec a les 
droites CP, CP'. Alors on aura 



(^ •_ 

Cette relation , remarquable à cause de sa symétrie, com- 
porte le théorème célèbre de Jacobi sur les fonctions el- 
liplicjues de première espèce pour le cas particulier de 



( i8b- ) 
^; = 3. Il est beaucoup à désirer (ju'ou la tlémoulre par 
la Géométrie, ou bien au moins par des considérations 
mixtes de la Géométrie et de l'Analyse, 



SOLITIOK DE LA QIESTION 438 (MA^\HEIM) 

(TOir t. XVn, p. 186 ) ; 

Par m. Marius LAQUIÈRE. 



Démontrer que le lieu des pieds des perpendiculaires 
abaissées du centre O d'une circonférence sur les tangen- 
tes à la développante D de cette circonférence est itne 
spirale d'ArcliimèJe. 

M 




Soit A l'origine des arcs sur le cercle, M le ])oinl de 
contact d'une tangente, G le point de la développante si- 
tué sur cette tangente: on a 

IMG = Rw, 

en appelant R le rayon du cercle et Q l'angle MO A. Or le 
cercle étant la développée de la courbe G , MG est la nor- 
male en G à la développante-, donc la tangente GP est 
parallèle à OM. Par suite si je prends un axe polaire OX 
perpendiculaire au diainèln; OA , P étant la projection 
dti centre sur GP, Tangle POX sera égal à fo , et rétjua- 



( -87) 
lion du lieu des points P sera 

p =zr R w , 

puisque dans le rectangle OPGM 

0= 0P= MG = Rw. 

Le lieu est donc une spirale d'Archimède. 

Remarque. On peut facilement reconnaître la pro- 
priété remarquable de la tangente à la spirale. Soient P, 
P' deux points de la courbe très-voisins. Soit P' Q un arc 
de cercle décrit de O comme centre-, en négligeant un in- 
finiment petit du troisième ordre, le point Q est le pied 
de la perpendiculaire abaissée du point P' sur PO 5 et par 
conséquent le rapport 

, riPT ^'Q P'Q ^^' 

^ PQ NN' R 

est approché à un infiniment petit du second ordre. Pas- 
sant à la limite, on a donc ligoureusenient 

tangV = w 
pour fangle de la tangente et du rayon vecteui'. 

Note fin Rédacteur. Le cercle est une spirale où 
V =: Qo". La droite est un cercle à rayon infini et l'hélice 
une spirale à double courbure; de là résultent trois lignes, 
et les seules possibles, jouissant de la propriété que les 
portions de mêmes longueurs peuvent se superposer, pro- 
priété connue des Anciens. La spirale plane est exclue, 
parce que les rayons de courbure y varient de grandeur. 

Théorème de M. Diipain, j)rofesseiir. 

Si une coni(jue à centre tourne de 90 degrés autour de 
ce centre, la somme des carres des perpendiculaires abais 



( »«y ) 

sées des foyers de l'une des coniques sur une langente de 
l'autre est constamineut égale au demi -carré du grand 
axe. 



SECmE^ SOLllTIOX DE LA QIESTIO^ 485 

(voir page 13) ; 

Par m. Th. DE CHARODON. 



Il s'agit de prouver que le volume engendré par 1 es- 
pace AEB est égal à la moitié du volume compris entre le 
cône et la sphère qui passe par les cercles de contact des 
deux sphères inscrites O et C et du cône. 




Par le point de tangeiice E des deux sphères, jt; mène 
une tangente EF commune aux deux cercles. D'après le 
théorème I (t. XMI, p. 35-, question -i83), le volume 
engendré par le triangle mixliligne AFE tournant autour 
de SD est égal au volume engendré par le triangle CEE, 
D'après le même théorème, le volume engendré par le 
triangle mixliligne EFB est égal au volume engendii- par 
FED. 



( i89 ) 
On a (Jonc 

vol. AEB rrr vol. CFE -f- vol. EFD ~ ^7rFË'(CK + ED) 

=r^7rFË'.CD. 

Le volume compris entre le cône cl la sphère qui passe 
par les deux cercles de contact AC, BD est égal an vo- 
lume engendré par le segment AMB de cette dernière 

1 2 

sphère; or ce volume est égal à ^ ttAB . CD. 
Il s'agit donc de démontrer que 



|7:FE:CD = g7rAB.CD ^v^u.^ a^/^i'/-^ 



2 -—2 I 



ou que 

4fë'=ab', 2FE = ab, 

ce qui est évident. Donc, etc. 



TRANSFORMATION DES PROPRIÉTÉS METRIQIES DES FIGURES 

(voir t. XVIII, p. 381); 

Par m. FAURE, 

Capitaine d'artillerie. 



APPLICATIONS. 

I. Relation antre des points situés sur une même 
droite. 

Si loti a entre des points a', b', c', d', etc., situés sur 
une même droite une relation lionio^cne 

V {(i' 0' , c' <•/',. . .) = o, 



{ i9« ) 
on aura entre les points correspondants a, b, c, d de la 
figure homographique la relation 

ah cd 



a- S' ; — o» 

a . p 7.0 

les lettres grecques désignant les distances des points 
a , b, c, etc., a une droite fixe I. 

Car, d'après la formule (i), les valeurs de R et de 
sin (c,i) restent les mêmes dans l'expression de chacun des 
segments a' b\ c' d' , etc. Au moyen des différentes for- 
mules indiquées (9), on pourra mettre la relation précé- 
dente sous d'autres formes. 

i". Des points a', b' ^ c', . . . , e' ^ f se succédant sur 
une droite d'une manière quelconque 

«'//-^ b' c' . . .e'f' = a'f' 

dans la figure homographique, on aura 

ab bc cf af 

Cf.. ^ S 7 £.(5) a. y 

OiP . Deux cercles de centre o' et o', se touchant en un 
point n\ on a 

o' a' -\- a' o'~ =: o' o\ . 

La figure homographique donne ce théorème : 

Lorsque deux coniques se touchent en un point a , elles 
se coupent en deux autres points jp et pi , réels ou ima- 
ginaires:, si l'on prend les pôles o et Oj de la droite pp, 
dans les deux coniques, la droite 00, passera par le 
point a, et si l'on appelle w, 0)1, a les distances des 
points o, o,, a rt /a droite pp, , on aura 

na .Oit ■+- ft<)t w = 06», .a. 

Ce théorème est susceptible de plusieurs corollaires. 



( '9' ) 

II. Relation entre, des segments situés sur ries droites 
parallèles. 

La formule (3), dans laquelle R restera constanl, iiion- 
ire que : 

Si l'on a une relation homogène 

¥{a' h', c'd'. . .)=o 

entre des segments a'b', c'd', . . . situés sur des droites 
parallèles, on aura dans la figure homographique la 
relation 

' I II I 

ï 7 

dans laquelle a , |3, y, J sont les distances des points cor- 
respondants a, b, c, d rt une droite fixe I. 

i*' Dans un parallélogramme a' h' c' d' les côtés op- 
posés tels que a' b' et c' d' sont égaux. De là : Étant 
donné un quadrdatère abcd , 5/ l'on désigne par a, jS, y, J 
les distances de ses sommets à la diagonale extérieure, 
on a 

X I I I 

oP. Si Ton coupe deux droites parallèles A', B' par des 
droites issues d'un point arbitraire, eu des points a\ h' , 
c'y d', ...,«',, b\ , c\ ,<■/',,..., on a la relation 

a'b' b'c' c'd' 



n\ h' b' . r', r, d\ 



Dan? la figure lioniographique nous avons deux droites h 
et B se coupant sur une droite I, et un faisceau de droites 
rencontrant les premières aux points a ^c. . . /?, /?, c,, etc. , 
et si l'on appelle a , |3 , y, . . . , a, , ^, , y,, . . . les dislance» 



( 192 ) 
do ces points à la droite I, on a 

If II 



«, P, P, 7. 

3**. Considérons deux polygones ayant leurs côtés a'//, 
n^ Zj', , h' c\ h\ (•', , etc. , respectivement parallèles: on a 

a' b' b'c' 



- = —, — j = constante. 



a', b'. b 



1 I 



La figure liomographique donne deux polygones dont les 
côtés vont se couper deux à deux sur une droite I; donc 
Étant donnés deux polygones honiologiques , si Von 
appelle a, (3 , y,..., a,, [3i, yj , les distances des sommets 
correspondants à l'axe dliomologie, 



I I I 




I 




I I I 


— 


J_ 
I 


. = constante 


a, p, «1 




7' 





m. Relation entre des points situés sur une conique. 

Si l'on considère une corde a' b' d'un cercle, sa lon- 
gueur est donnée généralement [formule (2)] par la re- 
lation 

a' b' = i /^I_Wîlï «^i^ ( t. XVIII, p. 383 ) ; 
V pp, y- . p 

ab sera la corde d'une conique correspondant au cercle 
donné, a , (3 les distances des points a ci b h la droite pp^ 
qui correspond à l'infini de la première figure, 7: et tt, 
sont la distance des points p et p^ de la conique au seg- 
ment ab. 

Soient P et A les diamètres de la conique parallèles 



{ -93 ) 
aux droites jjpi el ab , d'après une propriété bien connue 
{que nous démontrerons plus loin) 



la formule ci-dessus devient 



a' b' = \h'" V~' P' . «^ . 

nous déduirons de là que : Si V on a entre des points si- 
tués sur un cercle la relation homogène 

¥{a'b', c'd',...) = o, 

on aura entre les points rie la conique correspondante 
la relation 

ab cd 



A v/a .fi B s/7 . ^ 

dans laquelle A, B, . . . sont les diamètres de la conique 
parallèles aux cordes ab , cd, . . . , a , |S, y, cJ, . , . les dis- 
tances de leurs extrémités à une droite Jîxe I. 

Si l'on suppose que celte droite fixe est à V infini, on 
a simplement 

ab cd \ 

pour relation correspondante. 

i''. Lorsque deux cercles sont concentriques, la corde 
a'b' de lun, tangente à Fautre, est de longueur con- 
stante. De là : Lorsque deux coniques ont un double 
contact suivant une droite I, si Von mène à l'une une 
tangente et que l'on appelle ab la portion de cette tan- 
gente comprise dans Vautre, d A le diamètre de celle- 

Ann. de Mathêm., t. XIX. (Mai 1860) l3 



( '94 ) 
ci parallèle à la fan^enlt; 

ab 
=^ constante, 



A s/a . p 



ex. et ^ étant les dislances des points a et h à la droite 1. 
Si la seconde conique est un cercle dont A est le dia- 
mètre, on a 

ab 

= constante. 



Va.p 



Si les deux coniques sont homolhétiques, 

ab 

— = constante. 

A 

2°. Lorsqu'un quadrilatère a'/?' c'<i' est inscrit dans un 

cercle 

a' b' .c' d' H- b'c' . d'à' = a c' . b'd'. 

Comme correspondant à ce théorème, on trouve celui-ci : 
Un quadrilatère abcd étant inscrit dans une conique^ si 
Von appelle A, B, C , D, E, ¥ les diamètres de la co- 
nique jHirallèles aux côtés, pris successii'enient , cl aux 
diagonales , on a la relation 

ab.cd bc.da ac.bd 



A.C B.D E.F 

3". Si l'on joint un point arbitraire ///'d'un («'rclo aux 
extrémités a' et b' d'un diamètre 

ma -f- mb = ab , 

D'où ce théorème : Etant donnés une droite I et son 
pôle o , rclati\^etnent à une conique, menons par ce point 
une droite arbitraire rencontrant la conique aux points 
a et h 5 m étant un point de la conique, A, B, C ses 



( »9^ ) 
diamètres parallèles aux droites ab, ma, inb, et enfin 
(X, fi , i/. les distances des points a , h , m à la droite I, on 
a la relation 



im 


bm 


ah 




. S 4 


y 


B- 


C^ 


A' 



Si la droite I est à l'infini , ah est un diamèlie de la 
conique, et l'on a 

am brn ab 

[Lit suite fjrocliaincnwnt.) 



QUESTION. 



522. Toutes les surfaces polaires d'un point d'une sur- 
face algébrique , prises par rapport à cette surface, ont 
en ce point même indicatrice*, les rayons de courbure des 
sections faites par un plan issu de ce point dans la sur- 
face et ses diverses polaiies , sont en ce point inverse- 
ment proportionnels aux degrés des surfaces diminués 
d'une unité. {Th. Moltard.) 



SOLITIOX DE L4 QIESTION 419 (M. STREBOU) 

(voir t. XVII, p. 339); 

Par m. DEWULF et M. MARTELLI (de Mii.ax). 



Soient 

( 1 ) «c' H- 4 ^^^ + ^ <-^' + 4 ''-^^ -f- '" = o , 



i3. 



196 



et 



(2) t'-hV,t'->rV, t'-hP, t'+ Pj'-h P,t-hP, =0, 

Féquation aux carrés des différences des racines de celle 
équation. 
Posons 






et substituons dans l'équation (2), il vient 



et 



2à(u— 



u-^r 



D'après la INole sur l'équation aux carrés des diffé- 
rences, insérée t. XVII, p. 268, 



et 

Donc , si 
on a aussi 

et par suite 

et 

D'ailleurs 
M 



Ps = — 256 X I 296 ( fx CI H- / ) fx 

ae^ — ^bd -\- "^0^= i 2 a' (x. 

ae''— ^bd -f- 3f' = o. 



Ps = o, 



(a-pV 



bo Î5| ^3 

Si Sj 03 

O2 bl ^4 



-f- N(fxnT + a)= o, 



M, N étant des constantes. 



Donc, si 



( »97 ) 



So 


s, 


s. 


s, 


s, 


s, 


s. 


Sa 


s, 



et 



et par suite 



P5 = o, 



(a — P)' 



PROPRIÉTÉS DES CONIQUES SPIIÉRIQUES IIOMOFOCALES ; 



Par m. VANNSOJV, 
Professeur au lycée de Versailles. 



Lemnie. Etant donnés deux grands cercles AL, AM et 




deux points B, C d'où l'on a abaissé les quatre arcs per- 
pendiculaires BD, BM , CL, CM , si l'on accorde que leurs 
sinus soient proportionnels, les trois points A, B, C se- 
ront sur une circonférence de grand cercle 5 car suppo- 
sons que AB et AC soient deux arrsdisiincts l'un de 1 autre, 



on aura 



d'( 



ou 



sin BÂD 



( ^98 ) 

sin BAD _ sin CAL 
sin BAN ~ sinCAiVl' 

sin BAN sin CAL 4- sin CAM 



sin BAD — sui BAN sinCAL — sin CAM 



tang 



tant 



/BAD — BAN\ 

tang(^ , ) 



tang 



/CAL — CAM 






on conclura de là facilement que BAD = CAL. Donc les 
trois points A, B, C sont sur un même grand cercle. 

Théorème. Si deux coniques sphériques ont. un foyer 
commun et qu elles se coupent en deux points , ces deux 
points seront sur un arc de grand cercle passant par 
Vintersection des directrices correspondantes au foyer 
commun j et si elles se coupent en quatre points, on 
pourra, par deux d'entre eux, mener un arc de grand 
cercle passant par l'intersection des directrices ; il en 
sein de même des deux autres. 

Soient O le foyer commun et A, B deux points d'inter- 



Fk;. '1. 




sc<lion.^ AC-, Al), etc. , deux perpendiculaires al»aiss«''e> 







( ' 


yy ) 


sur les 


directrices; 


on ;i 








sinAC 


sinAO 






sin bp 


sin bO 


et 












sin Ad 


sin AO 




sin ô K " 


""sin 60 


(F où 












sin A d 


sinAC 



sin b R sin bp 

donc les trois points è, A , L sont sur un grand cercle. 

La même proposition peut aussi se démontrer par un 
calcul très- simple. En prenant le foyer commun pour 
oiigine. les deux coniques auront pour équations 

_rM- .r- = {mj -+- nx -+ pY, 
>-■-■+ .?•- = [m'r-^ n X -4- //)-. 

Les coordonnées réelles ou imaginaires communes à ces 
équations vérifieront léquation qui résulte de la sous- 
traction membie à raembi e , laquelle donne deux circon- 
férences de grands cercles passant au point où se cou- 
pent les deux directrices, ce qui démontre le tliéorème 
même pour le cas où il n'y a pas de points réels com- 
muns aux deux courbes. 

TuÉORiiME. Si deux coniques ont un joyer commun, 
que par ce point on mène un arc coupant les courbes 
en deux points A, B, quaux points A et b on mène 
deux tanqentes, le lieu de leur point de rencontre sera 
une circonjèrence de grand cercle passant par la ren- 
contre de directrices. 

Soient O le foyer commun , OCD une perpendiculaire 
sur O^ prolongée jusqu'à la rencontre des directrices aux 
points Cl et D, 1rs arcs Ch ci l)A seront les lang» ntes aux 



{ 200 ) 

points /j et A j abaissons les arcs // et is perpendiculaires 




sur les directrices, et «K perpendiculaire sur OC, enfin 
bq et ag perpendiculaires sur les directrices. Nous au- 
rons 

sin // sin bg 

sin/K sinèK 



a , rapport constant . 



et 



sin /K sin AO i 



sin /S sin A^ 
de là en multipliant 



rapport constant ; 



sin il ce 
sin f S a' 

Donc le lieu du point i est une circonférence de grand 
cercle passant au point .r . intersection des bissectrices, 
et aussi par les deux points communs aux deux courbes. 

Problème. Tromper I équation générale des courbes 
du second degré passant par quatre points ADCD et le 
lieu de leurs centres. 

La première partie .se traite coujme pour les courbes 
j)lanes, et l'on trouve, en prenant pour axe des x l'arc 
qui passe par deux des poinis A. H ri Cl) ])ohi a\r 



( 20I ) 

des j, 

(■' (f-)(^-)-(ï-)(^-')-'"- = " 

B est une indéterminée; aa', oo' les coordonnées des 
points. Pour avoir le lieu des centres, on prendra les 
deux équations qui donnent ce point , et l'on éliminera B,. 
On trouve ainsi une équation du troisième degré. Si l'on 
suppose 



l'équation (i) deviendra 



^^■y- 



J— I ) + ( 1 ) -|-2E^j 



c'est l'équation des courbes du second degré, tangentes aux 
deux axes en deux points donnés. Le premier membre de 
1 équation du centre est alors divisible par le facteur 

j 4 I , qui 5 égalé à zéro , représente la circonfé- 
rence passant par les deux points de contact. Le lieu des 
centres est donc une conique sphérique dont l'équation est 

o s. 

Nous allons construire cette courbe en supposant les axes 
Ox,Oj rectangulaires. 




( 20y ) 

Soil OA = a', arc dont la tangente égale a, 00 = 6'^ 
la courbe passe à l'origine , el pour trouver la tangente 
en ce point, il suffit de joindre l'origine au point H ayant 
pour coordonnées a', ê'. Si le rayon de la sphère deve- 
nait infini, le lieu des centres se réduirait à cette tan- 
gente, C{ui serait alors ime ligne droite. 

Si l'on fait r = o, on trouve x =^ : si donc ou 

a 

prend un quadrant à partir de A, on a un point D de la 
courbe. Si l'on calcule pour ce point le coefficient de la 

tangente, on trouve ? en sorte que si l'on joint O au 

point K symétrique de H, l'arc OK ira rencontrer la tan- 
gente en D, qui a le même coefficient que OK à 90 degrés 

de l'origine. Soit donc OKL = -•, l'arc DL sera la tan- 

gente en D. On trouve de même la rencontre de la courbe 

avec l'axe desj^; elle se ( onstruilen prenantOC'=- — CO, 

et la tangente en C s'obtient en joignant L au point C, 
Ayant trois points et leurs tangentes, la courbe est dé- 
terminée, et l'on peut, au moyen du théorème de l'hexa- 
gone de Pascal, obtenir autant de points (ju'on voudra 
géoniétriquemenl. On peut encore remarquer (jue le point 

\. étant à - de l'origine, si par ce point on mène des arcs 

sécants (/;/, /; ), le centredes moyennes distan< es des points 
/// , n et de leurs analogues sous une ciiconférence de grand 
cercle joignant les points de contact C et D; en sorte que 
si nous appelons I la rencontre Ç.'\) avec mu ^ le point I 
satisfera à r<''«pialion 

tang j'H- tang j" 
lang )• -= •■ •< 



( 2o3 ) 

1 , y', ;) " élaiil les onlonuées des trois points 1 , /// , // , cl 
dv nirmc à léquation 

tAuax' -{- tanc.r" 
lanif jo — — 

* 2 

On peut conclure du problème précédent, par la con- 
sidératiou des ellipses supplémentaires, que le lieu des 
centres des ellipses tangentes à quatre grands cercles 
donnés est aussi une courbe du troisième degré. 

Problème. Trouver rér/iiatton rV une conique sphè- 
rique pcissanl par quatre points, connaissant en un de 
ces points la direction de la tangente. 

Cboisissanl les axes comme dans le problème précé- 




dent, nous avons l'équation d'une courbe passant par les 
quatre points donnés, savoir 

(6j-l)(ê'j-l) + (a.r-i)(a'.;:-l)-f-Bjrj=i, 

en appelant, pour plus de simplicité, a la cotangente du 

serment OA, ol' . etc. Si nous désignons par — le coeffi- 

cienl angtilaire de la tangente au point A , nous nnrons 



^'•'("•0 



m , / I 



tirant R de celte dernière^ relation, nous irouAons pour 



( 204 ) 

équation de la courbe 

(6j— l)(ê'j — l) -f- {U.T—1){'/X — 1} 

-i-[6 +ê'-l- (a — a')/«]a^/= l. 

Remarque. On peut trouver Téquation générale des 
coniques passant par quatre points A, R, C, D, sans 
donner aux axes une position particulière. Pour cela soit 

êj H- a J.- — I =r o 

l'équation de la circonférence passant pai" deux des points 
A, B, et 

f!' J + y.' X — I = G, 

celle qui passe par les deux autres \ soit aussi 

■y J -\- S X I i^r o , 

la circonférence menée par A et C , et enfin 

7/ + ^' -^ — I =: O, 

l'équation de la circonférence menée par les points B et 
D5 si nous posons l'équation 

( a X H- 6 j — i)['x' X -\- o y — 1 ) 
+ >. (iîa; + 7j — 1) [8' X -!- '/ y —i) = o 

(analyse de MM. Briot et Bouquet), il est évident que les 
coordonnées d'un quelconque des quatre points donnés 
vérifieront cette équation; X étant indéterminé : c'est donc 
l'équation générale des courbes du second degré passant 
par les quatre points \ X se détermine comme dans les pro- 
blèmes précédents, si Ton donne un cinquième point, ou 
le coefficient angulaire de la tangente en un des quatre 
points donnés. 

PnoBLÎiME. Trouver Véquation gèncrale des conùjucs 
.sphcrù/ucs f,a//g('/i(cs à quatre circonj'érences de grand 
cercle données. 



( 20a ) 

Nous prendrons pour a^es les diagonales du ([uadrila- 

FiG. G. 

C 




tère formé par les quatre tangentes. Soit 

tangOB = a, tang?OA = a', ting OC = ? , (angODc=§', 

l'angle COB = 0. 
Repiésentons par 

J = Aj: 

l'équation de l'arc MN passant par deux points de contact 
opposés; l'autre arc PH aura pour équation 

y = — Xx; 

nous l'avons démontré précédemment , en faisant voir que 
les quatre arcs se coupant au point O forment un faisceau 
harmonique. 

Cela posé, il sera facile d'avoir les coordonnées du 
point N, intersection de deux cercles dont on a les équa- 
tions , on trouve 

a^ aêA 

X = •) ) =: • 

S -+- A a ' § + A a 

Les coordonnées des points M, H , P se trouvent par 
des formules analogues. On connait d'ailleurs le coeffi- 
cient angulaire de la tangente en N. Or on sait, par une 
formule précédemment établie, trouver l'équation d'une 
conique passant par quatre points, connaissant le coeffi- 
cient de la tangente en un de ces points; cette équation 



{ ■.o6 ) 
aura 1 indétorminéc \, ce sera dont- ré(jualion géuéiale 
des roiii(|aes tangciUes à quatre circonférences données. 
Si on lui applique les deux équations qui donnent le 
centre en éliminant entre elles A, on aura le lieu des 
centres. 



QUESTIONS D EXAMEN SIR LES COIVIQlESi 

Par J. t., Abonné. 



I. 

Lieu décrit par le milieu d une droite de longueur con- 
stante, dont les extrémités glissent sur une ellipse. 

Soient iZ la longueur de la corde, x\ y\ x'\ y" les 
coordonnées de ses extrémités, x et y celles de son mi- 
lieu. Pour résoudre la cj[uestion, il faut éliminer x\ y\ 
x'\ y" entre les cinq équations suivantes, qui expriment 
les conditions du problème ; 

[y—y"Y+[.T'-.r"r = ^l^, 

IX =: x' -^ x" , 
2 >-=>•'+ r". 

Ces relations donnent, pour ré(juation du lieu cherché, 

[à'y^-\- b-x- — n'h'){a'j'-\- 6».r') 

+ rt= h' r- In'f- + h' .r^) = o (*}. 



{") Lorsque / = 1 ou lr=l). In poui-bc (loil se contliMiscr au ccnlriî; coin- 
ineul? et que devifut \a ooiirl)e lorsque il sijnifie le (i;rand axe!' Tm, 



( '-i»? ) 

ReinaKinc I. Dans le cas où a = h^ It-llipse si; récliiil 
à un cercle, et l'équation devient 

.r' + 7' =:«'/', 

ce qui doit être. 

Remarque II . La surface comprise enlie la courbe et 
l'ellipse a pour expression tï/^, d'après un théorème de 
M. Holdisch. La formule se vérifie immédialemeut dans 
le cas du cercle. 

Si la droite glisse sur une parabole, un calcul entière- 
ment analogue donne pour équaliou du lien 

(^>-' — ipx) ( j^ + p') 4- /}' /- = o. 

IL 

Déterminer, dans le plan d'une ellipse , un point tel, 
que 1 on puisse mener deux tangentes égales à la courbe. 

Soient Xi , yi les coordonnées du point cherché. La 
corde de contact correspondante a pour équation 

a'jr, + b- ,vx, = a^ b-, 

et la perpendiculaire abaissée du point sur la cokK 

Eliminant j', on a pour la valeur de l'abscisse du pied 
di' la perpendiculaire 

_ a^x,[b*-h^a' — b')y]] 
^~ a'x\-hb*x] 

Si l'on exprime que cette valeur est celle du milieu de 
ia corde de contact, il est évident que les tangentes seront 
égales. 

Les abscisses des points de rencontre de la corde de 



{ 2o8 ) 

ronlaci et de l'ellipse sont données par léliniination de y' 
enlre les équations 

a- y- -f- b-x- = a- b'^, 

b^x, b- 
y = ; — ^ -\ ' 

te qui conduit à réquation 

{f,-b-y, -h b'x])x'— 2rt' //jr.r, 4- n' b' — r/' b\Y'\ = o; 

d'où 

.r' A- x" a- b* .r, 



n^b'^y] + b'x] 



La condition à laquelle doivent satisfaire Xy et/, dans le 
cas des tangentes égales est donc 

a^b\y]-^ b\x\~' n'x\-hb'x\ ' 

celle équation est satisfaite, même par .ri=:o ou par 
)'j =: o , c'est-à-dire pour des points situés sur les axes \ de 
plus, simplifiant, on a 

b' /;• 4- («'— é^)j;_ 



o-'y^-^b'x] a'x\ + b'x] ' 

d'où l'on déduit comme facteur 

a'jî-i- b''x\ — a^b\ 

(6 qui donne tous les points situés sur l'ellipse. En effet, 
alors les deux tangentes sont également nulles; de même 
pour les deux autres coniques. 

III. 

Deux poids P et P' attachés aux extrémités d'un cordon 
reposent sur une ellipse dont le grand axe est vciiical. 



( 209 ) 

Déterminer la relation qui existe entre les poids et les 
ordonnées correspondantes à la position d'équilibre. 

Soient M et M' les points correspondants à la position 
d'équilibre. Les poids seront, par rapport aux tangentes 
menées en ces points, comme sur deux plans inclinés. 
On aura donc, dans le cas de l'équilibre, a et a' étant les 
angles que font les tangentes avec le grand axe, 

P ces a = P' cos a' ; 

or, l'équation de la courbe étant 

on a 

— fl'r , — a- y 



et par suite l'équation de l'équilibre devient 

P2j2 __ P'-j'^ 

rt^j^H- b' x'' ~ ^r''+ è^r'' ' 

1' ' 
(l ou 

a^y'^y- ( P^ — P'') = Z»' ( P'^ .r' /^ — P2 j;' V) , 

et remplaçant x^ et x'^ par leurs valeurs déduites de l'é- 
quation de la courbe, il vient 

(a»_ b')[Ç^—'9'')y'y" = b' (p'^ j'^ _ p^j^); 

d'où, enfin, 

b' ~~ y' /=' 

équation qui exprime la relation qui existe entre les poids 
P et P', et les ordonnées j^ et ^'des points correspondants 
à la position d'équilibre. 

Un calcul entièrement analogue conduit, dans le cas 
de la parabole , à la condition 

p:_ p'^_ p'2 p: 

—p-~-y-~ 

Aiin. de Maihcinat., i.XlX. (Juin iSGo.) l4 



( 2IO ) 

Cette relation peut aussi se déduire du résultat qui vient 
d'être obtenu pour l'ellipse. On pose, à cet effet, 



a — i/rt^ — 6* = — /7, d'où h'^z=ap y 

1 4 



On aura alors 



— h' 



a''-ap-\--r 



divisant par a*, et posant a== oo , cette dernière équa- 
tion devient 



a^ — h'' _ I 



p2 p/J p'j pi 



SIR LES COURBES A PLISIEIRS POINTS D'ARRÊT 5 

Par m. Hermann LAURENT, 

Élève du lycée Napoléon (*). 



Existe-t-il des courbes telles, qu'une même branche 
présente deux points d'arrêt? 

i". Soit une courbe PQ présentant un point d'arrêt 



FlG. I. 




C) Fils du célèbre cliimistc prématurément enlevé à la science qu'il cul- 
tivait avec un esprit si philosophique. 



( ^^^ ) 

en P, une autre courbe présentant un point d'arrêt en S, 
on pourra toujours placer ces courbes l'une par rapport 
à l'autre de telle sorte, que, si on les rapporte à deux axes 
rectangulaires Ax et Ay, les ordonnées de ces courbes 
correspondant à la même abscisse soient réelles et finies 
dans l'intervalle compris entre x = AV et a:=AS', 
abscisses des points d'arrêt des devix courbes. Alors soit 
j = ç(x) l'équation de la première courbe, y = '^(^x) 
l'équation de la seconde -, la courbe représentée par 

présentera deux points d'arrêt, l'un pour x = AP', l'autie 
pour X = AS'. 

Il est clair que la courbej^ = t^(^x) peut être remplacée 
par la courbe y = <f [x] placée dans une position diffé- 
rente. En suivant cette règle, on forme les exemples sui- 
vants : 



Ix l[a — , 

sin y « 



I 



Si dans la dernière courbe on prend le radical avec le 
double signe, on a deux branches de courbe inégales pré- 
sentant chacune deux points d'arrêt. 

2". On peut encore obtenir le même résultat de la ma- 
nière suivante : 

Considérons une courbe MN quelconque telle, qu'une 
même valeur de a: fournisse deux valeurs ditrércntes pour 
y, et de plus située d'un même côté de l'ordonnée (^(^., 
soit y :=y(x) son équation. 

Considérons en second lieu une courbe y =:z (^ {^x) 

,4. 



{ 212 ) 

présentant un point d'arrêt en P, le point P ayant une 

FiG. 2. 



^/ 



M i 



11 



,, ^ 



abscisse telle, que f{x) reste réel quand x varie de AP' 
à AQ'- 

Prenons la courbe j^ =f(^x) et augmentons ses ordon- 
nées de A(jp(a:), nous aurons une courbe présentant deux 
points d'arrêt sur la même branche. 

Exemples : 

I 



y = ^x -(- e 



J = VI 



Ix 



Ko,... 



3**. Il arrive quelquefois que les courbes j = (f(^x) 
présentant un point d'arrêt ont une asymptote parallèle à 
l'axe desj^5 en transportant alors l'origine sur Taxe àesy 
demanièrequelepointd'arrêtnesoitpas sur l'axedesa:, on 
a une équation telle que j" =a -+-(f[x), v.l alors la courbe 



y = 



cf{x) 



présente deux points d'arrêt. 
Exemples : 



X -— 



h 



I 
La: 



y = 



I ■+- f '«"GX 



La courbe j^ = 



j^^ se compose d'une inliuiié de 

branches présentant deux points d'arrêt. 



REiMARQtlËS 

sur qnelqaes produits doDt les facteurs sout en progression arithmétique ; 

Par m. Marie-Pierre-Adolphe GUIBERT. 



I. Si n, r sont premiers entre eux, eîr*<^2"' — i, le 
produit (n — r) n (n-f-r) ne sera pas la puissance m'^'"" 
d'un entier. 

Admettons que ce produit soit une puissance exacte du 
degré m : comme n est premier avec les deux autres fac- 
teurs n — r, /z-f-r, il faudra que n, n^ — r'^ soient des 
puissances /^'""" exactes a'", h'" 5 on aurait alors 

(fl^)'"— b"'<^i"' — i, 
ce qui ne peut être. 

II. Le produit P de huit entiers consécutifs n'est point 
un carré. 

Soit 

P = (/^ — 3) (« - 2 j . . . (« + 3) (« -i- 4). 

Ce produit équivaut à 

(/2*H- 2«^ — 9«^ — io« -l- 4)^ — 16(2/2 H- i)^j 
donc 

P<^(«* -h 2/2' — 9/2- — lo/e H- 4)'' 

La différence P — (/z''-f- an^ — p/i^ — io/2-i-3)^, égale 
à 'i.n''-\- 4"^ — 82/^^ — 84 /i — 9, reste positive tant que 
n est supérieur à 6 5 donc, pour « ^ 6, 

P ]> ( «* -t- 2 /2^ — <^rû — 10/2 -h 3 )% 

Ces inégalités prouvent que pour «^6, P n'est point un 
carré, par conséquent P n'est jamais vm carré, puisque 
d'ailleurs on n'obtient aucun carré, en prenant n égal à 
1 un quelconque des nombres 4? 5, 6. 



( 2'4 ) 

On déduit de là que le produit de trois nombres en- 
tiers consécutifs n^est une puissance exacte d^aucun 
degré. 

III. Le produit de trois nombres entiers en progression 
arithmétique 7i est jamais un cube. 

Le produit en question est susceptible d'être représenté 

par 

d^ [/i — r) n [n -\- /•), 

d étant le plus grand commun diviseur entre la raison et 
l'un quelconque des ternies de la progression. 

Supposons que ce produit soit un cube ; n — /' et n-i-r 
étant premiers avec n, [n — r), (« + /') et n devant être 
des cubes. Soit 

Si l'un des nombres «, r est pair, n — r et n-\-r n'au- 
ront pas de diviseur commun, chacun de ces facteurs 
devra être un cube; mais leur somme est égale à 2//, 
c'est-à-dire à la^, on aurait donc la somme de deux cubes 
égale au double d'un cube, ce qui est impossible. 

Si les deux nombres «, r sont impairs, le plus grand 
commun diviseur de n — /• et de n -f- r sera 1 ; leur pro- 
duit ne pourra être un cube que si l'un est le double d'un 
cube et l'autre égal à quatre fois uu cube, ce qui donne 
toujours une égalité semblable à celle-ci : 

2 /? := 2 a^ -f- 4 6% 

de laquelle on tire 

a^ — yj = 2 ê^, 

résultat encore impossible. 

IV. Le produit de six, de neuf nombres entiers consé- 
cutifs }icst point un cube. 
Soit d'abord 

P=(// - 2) («-!)/?(«-+- i)(/;-f- 2) (// -f- 3). 



( 2i5 ) 
Ce produit n'est pas un cube quand n = 3-, nous allons 
prouver qu'il n'en est pas un si n est plus grand que 3. 
On a identiquement 

d'où 

33P<(3«'-h 3n — 8Y; 

mais la différence 3 ^ P — ( 3 /i - + 3 /^ — 9 ) % égale à 

27/2* -f- 54«' — 3'-j8n^ — /{o5n — 295, 

est positive tant que n est supérieur à 3 5 par conséquent, 
dans cette hypothèse, 

33P>(3/î' + 3rt— g)^ 

donc P n'est jamais un cube. 

En dernier lieu, considérons le produit de neuf nombres 
entiers consécutifs 

P=(«-4)(«~3)...(n + 3){«-f.4); 

observons qu'on n'obtient aucun cube, en faisant n = 5, 
6, 7, 8, 9, 10 : il suffira de prouver qu'on n'en obtient 
pas non plus lorsque n est plus grand que 10, 
Or P revient à 

(«' — lony — (27/2* — i8o/?' — 5']6n), d'où ?<;[(«' — 10/2)'; 

car 2j n^ — 180/2' — Syôn est une quantité positive, 
si, comme on le suppose, on a /i^io; mais, en sous- 
trayant de P le cube immédiatement inférieur au précé- 
dent, on obtient la différence 

3/1" — 27/2* — 60 /z' H- 177/2^4- 3oort'+ 3o« -H 576, 

laquelle est aussi positive dès que n est supérieur à 10, 

ce qui donne 

P>(/2'— ion — i)\ 

Par conséquent P n'est un cube dans aucune circonstance. 



Il 6 



TROISIEME SOLUTION DE LA Ql'ESTlON 493 

(voir p 83); 

Par m. François SIACCI (de Rome). 



Soient P un point d'une conique , C le centre de cour- 
bure en P, Q le centre de la conique; par C on mène une 
parallèle à la tangente en P; soit D le point où cette 
parallèle est rencontrée par le diamètre OP : on a CD égal 
au tiers du rayon de courbure de la développée en C. 

(Abel Transon.) 

Soient p le rayon de courbure de la conique au point P, 
et R le rayon de courbure de la développée au point C ; 
soit çp l'angle que la tangente au point P fait avec l'axe 
des j;; soient enfin 5 et S deux arcs pris à partir des points 
P et C sur la conique et sur la développée. Nous aurons 
ds ^ dS 

mais dp = dS ; donc 

Soit maintenant A l'angle que fait la tangente au point 
P avec le diamètre PO. On aura, le triangle PCD étant 
rectangle en C, 

CD = CPcotA = pcotA. 

La question, par conséquent, se réduit à démontrer l'é- 
quation 

pdp „ 1 • '''^ ^ 

— 7-^ =: op col A, ou bien -p-=3cotA. 
as ds 

Soit en général 
(i) .7'= A.r-4- 2Bjr 

l'équation de la conique, £ étant l'angle des denii axes. On 



( 217 ) 



aura 



i< 



Or 



A.r-f-B 




'- y ' 




„ Ay^-{Ax + By 


B^ 


^ y' 


J^' 


„_3BMA^ + B) 





donc 



y 



— (i -h y'^+ 2 j'cosc)' 
^ y sinô 

ds =1 [i -{- j'^H- 2 j' cose)^ dx; 



dni — 3 f. , . (iH- j''H-2j'cose) j" 

1 / "'_J_ cOSê ^ 



sine L 



</^ sine L'-' ' y"'- J 

et remplaçant j^', /'Sj^" au moyen des équations (2), on 
aura , réductions faites , 

\ ds sin £ 

■3)< 

' j (B=[(Ajc+B)+jcos£]— (Ax + B)[j'+('Ajc+B)=4-2r(Aj--4-B)cos£]) 

( x) B^^^ j' 

Dans l'équation (1), l'origine des coordonnées se trouve 
sur un point de la courbe. Ce point, pouvant être quel- 
conque, supposons que ce soit le point P. On aura 

x — o y — o, £ = A; 

ces valeurs étant substituées dans Féqualion (3), on 
trouve, après avoir exécuté la division, 



, — 3 cet A , 

as 



C. Q. F. D. 



O 



^3 

II 

< 

11 

- a-.\ - 






^ 05 



2l8 



•-d 



o 

en 

O 

O 
S 
o> 
fB 

< 
O 

3 



fî- 


N^* 


!=- — 


V 


=z » 


3 


« _ 


^ 


- (7i 


fT 


o. 




o 


p- 


5! 


o 



-H 

as 



+ 



3^ 

0^- 



^ 



+ 



aq 



a' 

s 

o 






o 



1^ ^ 



fi il 



d 



I c- 

i* 3 
o 



(5 

3 



=- sa 



;i- W -■" 
5- H £ 



CX3 

-3 






r«3- 

es 
r«3 



•T3 

O 



( 219 ) 

Le dénominateur de r est éeal à -^-rî chassant ce déno- 

minateur dans l'équation (2), et multipliant les deux 
membres ^ar fgh , on a 



= ^{\r-s^^^ 



(3) 6rV=l/ [jr-g^hm 



en appelant M la quantité sous le radical dans le numéra- 
teur de r. 

En comparant les notations de Legendre avec celles de 
M. de Staudt, on voit que 

«=//', b=gg', c=hh\ 

:,s=//'+gg'+/ih', 

o.^ = s{s -//' ) {s - gg'){s - hh') , 

Ur= 2 f K , 

K=la hauteur du tétraèdre correspondant à A. (Le- 
gendre, livre lU, théorème XXXIL) 
Cela posé , 

,_j_/ :tf^rg-g'^+irrhui'^'+^f-g'^irh'^\^ 

mais 

/'2 =: gi ^ h'' — Igll cos a , 
g'-" =/^ -\- }f — if h cos s , 
//' =/' -\- g"— o-fg ces 7. 

Remplaçant dans l'équation (4) /'% §•'% /i'% par les va- 
leurs précédentes, on trouve, après calcul fait, pour w-, 
la quantité sous le radical dans le second membre de l'é- 
quation (3) ; donc, 

6rV = w; 



( 220 ) 

mais 

donc, 

A' a = w. 

T • 1 A/ J 1 . . //' gg' 'i'^' 

Le triangle A' dont les cotes sont -^5 ^5 -p? a pour 

surface 

(5) ' - =r- 

a II 

Donc 

a' ;f = w , 
et , par conséquent , 

A = A'. 



DÉMONSTRATION 

D'un Ihéorème de M. Cajiey sur les relations entre les fonctions de Sturm (*)^ 



Par m. V. DE ZEIPEL, 

Doyen à l'université d'Upsal. 



Quarlerl/ Journal, mai iSôg. 

1". Soient 

Y [x) = a^x"' -\- Gy a.-"*"' -H n,a:^~- -f- (?„ x"'~" . . . , 
f{x) = b,x'^-{- h, jc'"-' + b-, x'"^-- + b„ x"'-' + . . . ; 

opérant comme pour la recherche du plus grand commun 

(*) Jouiihil de M. Liouvilic, ( W, |). ■>()7-a<)i) ; i8/((). 



( 221 ) 

diviseur, on obtient 

F(j:) = ry,/(x} + R,, 
/(x) = 7,R. +R,, 
R, =^3 R, -I-R3, 



R/i— 2 = (/n Rn-i 4- Rnj 

éliminant les R, on obtient 

Rn = o„{j:)Fx -}--}^„{x) fj:, 
ep„ (.r) = Ao .r"-' + A, x"-' + . . . , 
^J/„ (x) = Bo x"-' + B, .T"-^ .... 

Il faut déterminer les A et les B de manière que R„ de- 
vienne de degré m — /z 5 de sorte que les termes d'ordre 
supérieur s' annulant en 

R„ = (floAo + 6oBo)x'«+''-' + (a,A„ + rtoA,-+-i,BoH-^oB.)~"'+''-' 
H-(«2A„ + «,A,4-«oA2 + ^,Bo + 6,B,-|-^/oB2)x+''-='-h. . .; 

tous ces termes jusqu'à x'""""''' inclusivement doivent 
disparaître; ce qui donne ces an — i équations de con- 
dition 

^0 A„ 4- o +0 + +0 = — ^0 B» 

■ rt, A„-+-/7oA|+ G H- ^„B, -f- o = — bi Bo 

«2 Ao + «, A|-4- r/u A2 . .-h IfiBi + b.Bi. .= — Z>2B(, 

<7j A„ -4- flTîAi + flt, A. + ^2 B| 4- i, B,, . .=: — èjBo 

/72„_2 Ao + rt'î„_3 A,-i-<72„_4 A....+ Z',„_3B,4-6:„_iB;... = ^în-îBo 

On déduit les valeurs de i?i — i quaiitilés Aq, Ai,.--'» 
A„_, , B, , B2,... , B,;_i de ces 2/1 — i équations, parla 



( 222 ) 

méthode de Cramer. A cet effet, posons 



P" 



«0 b„ 






^0 ^ol 


a.b, 


■> 


P',= 


(72 6, 1 


«0 ^0 


> • • • 


; ^'? = 


«U ^0 


«1 ^3 






^r+, ^r+i 




«0 


o bt, 


O 




?,= 




a, bj 








«3 


«2 ^3 


^, 





Pour avoir Pj^, on change dans Pg la dernière ligne 
les indices en r+ 3 j (/) désigne les accents. 



P,^ 



flo o o /-> o o 

<7, «u O ^0 bf bj 

a-, <7< a-, b=. b,: b. 



cl de là Pj"^' en changeant les indices en r+ s dans la der- 
nière ligne. 

Les P^ se forment en prenant dans chaque ligne des 
2/i — I équations s termes à partir de la seconde ligne. 
On a donc 

o o o b„ o o 

<7„ o o bt bg o 

a, <7„ o b, b, ba 

a , c/| /7o b ^ b, i, 

(7j a^ '7, b, Aj b^ 

'"'ïii— .1 '^ïfi— i '^Jn- r. • » . • WvH— J bi„_3 t'.'n — » 



floP«-.A„=(— i)"B„ 













( 


223 


) 










et, 


en 


g« 


néral , 


«.P„_ 


A, 


= (- 


— I 


1 Oo 








«0 


o 




o. . . 


o 




O 




O. . . 


o 


*« 


o 


Ih 


«0 




o. . . 


o 




O 




O. . . 


o 


b, 


^0 


«J 


^1 




Oo- . • 


o 




O 




o. . . 


o 


K 




az 


«2 




fl,. . . 


o 




o 




o. . . 


o 


h. 




(ik 


«3 




«2 . . . 


o 




o 




o. . . 


o 


h, 




«,-i 


flj_ 


-1 


a,_3 . . . 


o 




o 




o. . . 


o 


bi-s 




«i 


«,- 


-1 


fl,_2 . . . 


o 




o 




o. . . 


o 


bi 




• - • • 


«. 




fl,-, . . . 


a^ 




ao 




o. . . 


o 


bi^. 





et 

Pour avoir S, on remplace dans le déterminant précédent 
la première ligne par a:"~% x"'^, x"~', . . . , o, o, o , et 

"(I * n— I 

pour avoir T, on remplace la même première ligne par 

o, o, o, x"~\ x"'-, j:"~%. . . + 5 de là 

remplaçant la même ligne par 

.r"-'Fx, .V~-Y(x), x"-^F[.r),. . .,x"-'/{x), a-"-'/(j:), 

x"-'/[x), 
on obtient U. 



Faisant 



( 224 ) 



on a 



R„ 



U; 



mettant dans U au lieu de F [x), f{x) les développe- 
ments , et ne conservant que les termes de degré m — n 
et inférieurs, on a 

n est quelconque; r, 5, t étant des nombres entiers posi- 
tifs, on trouve par le procédé ci-dessus les valeurs de 



• j ?i > ?n 



Rr, R., Ro 

on a identiquement les deux déterminants 



<?-•> 


■w. 


?'-Fu) 




?r, 


•^. 


■^/(^) 


?^> 


^., 


?. F (^) 


= 0, 


?., 


•]'.<, 


J'./(^) 


70 


^l'r, 


?/F(,) 




?" 


^., 


■}./(^) 



ajoutant 



bien 



O,, -i/,, O, F('jr) + rî',/(x) 



¥i> "t^o R^ 



= o, 



Rr 



C'est la relation découveric par M. Cayloy. 



( 2 2r) ) 



PROPOSITIONS SEGMENTAIRES 

snr la parabole , l'hyperbole équilalère et propriété dn cercle principal 
de l'ellipse; 

Par m. Arthur LESCAZE, 
Elève à Sainte-Barbe ( cours de I\I. Gerono). 



Proposition I. Le produit des distances du sommet 
d^ une parabole à une tangente quelconque et àlacourhct 
distances comptées sur la même droite, est constant. 

Soient 

l'équation de la parabole rapportée à son axe et à sa tan- 
gente au sommet S 5 

p 

y =r mx -\- 

2 m 

l'équation d'une tangente quelconque en fonction de son 
coefficient angulaire ///,• 

I 

y— — — .T 

m 

l'équation de la perpendiculaire SP abaissée du som- 
met S sur la tangente. Enfin, soit R le second point de 
rencontre de SP prolongée avec la courbe. Cela posé, on a 

(i) SP = 



4to'(to'-i-i] 



d'après la formule connue qui donne la distance d'un 
point S à une droite. 

Nommons [x'^y') les coordonnées du point K. On 

Ann. de Malhrnial., l. XIX. (Juin iSfio.) l5 



( 2o_6 ) 
aura 



SR =a:'^H-j"; y= x' ; y'^=ip.x'; 

m 

éliminant a:' etj', il viendra 

(2) SR'=4/j'm=(/«^-f-i). 

Multiplions les égaillés (1) et (2) membre à membre et 
extrayons la racine carrée, il vient 



SPxSR=/?= 



D.) 



Remarque I. Cette remarque peut être utile dans la 
résolution de certains problèmes. Soit proposé, par exem- 
ple, de construire une parabole dont on donne une tan- 
gente, le sommet et le paramètre. On aura immédiate- 
ment un point R de la courbe, eji abaissant du sommet 
donné S une perpendiculaire SP sur la tangente et dé- 
terminant le point R de façon que 

SP X SR = p\ 

On sera alors ramené à cet autre problème dont la solu- 
tion est connue et fort simple : Construire une parabole, 
connaissant le sommet, le paramètre et un poiut de la 
courbe. 

Remarque II. Il y a une démonstration plus simple 
de la proposition. Le lieu du point Pest, comme on sait, 
une cissoïde dont l'équation est 



.r= 



passant aux coordonnées polaires, on trouve 

p si n- a 



l'équation polaire de la parabole est 

2 p cos a 

le produit des deux rayons vecteurs p est — fr. 

Note du Rédacteur. M. Lescaze est l'ingénieux auteur 
du Lemme qu'il a proposé comme question [voir t. XVIII, 
p. iji), et qui a été démontré par M. Joseph Vigne 
[voiri. XVIII, p. 265). 

Proposition II. Le produit des distances du centre 
d^une hyperbole équil al ère à une tangente quelconque 
et à la courbe, distances comptées sur la même droite, est 
constant. 

Soit en effet 

.r' — )'' =■ «' 

l'équation de l'hyperbole équilatère rapportée à ses axes. 
Je désigne son centre par O, par P la projection de ce 
centre sur une tangente quelconque et par R l'un des deux 
points de rencontre de OP avec la courbe. 



y = /nx 4- \ rt^ m- — a^ = mx + a \j m' — i 

étant l'équation d'une tangente quelconque à la courbe, 
on a 

2 

Cherchons OR , nommons x' , y' les coordonnées du 
point R, on aura 

OR z=.r'^-f~/'; 
d'ailleurs 

I. ,-, - , I , 

x- — ) -=rt- et r =: .X . 

m 

i5. 



( 228 ) 

Tirons x'^ et j '^ de ces deux dernières expressions et 
portons dans 

il viendra 

OR = 4- --^ = -^ -^ -, 

(-2.) OR — -^ —-—; 

multiplions les égalités (i) et (2) membre à membre et 
extrayons la racine, il viendra 

OP X OR = a\ 

(c. Q. F. D ) 

Remarque. Le lieu du point P est une lemniscate dont 
Téquation polaire est 

p2 z:.: fl'cOS 2 Cf., 

Téquation polaire de l'iiyperbole est 



donc, etc. 

Proposition III. Si d'un point fie la directrice d'une 
ellipse on tire deux tangentes à la courbe et quon les 
prolonge au delà du point de contact jusqu'à leur ren- 
contre avec la circonférence principale^ la droite qui 
joindra les deux points de rencontre sera un diamètre 
parallèle à la corde des contacts. 

Lemnie. Les projections du sommet d'un triai)gle 
sur les bissectrices correspondaul aux deux aulies som- 
mets sont situées sur une droite qui passe par les mi- 
lieux des deux côtés se coupant au sommet considéré. 

Celaposé,joignonssurlafigureTT',TF',TT',F'R,FR' 



( 229 ) 

La droite Tr' passe par le foyer F, puisque le point P est 




sur la direclriee ; done on a les égalités d'angles 

RTF' = PTF = HTR. 
De même 

F"r'R'=:H'rR'. 

Donc les droites TR, T'R' sont les bissectrices des angles 

HTF, H'T'F'. Mais FR est perpendiculaire sur TR, 
F'R'sur T'R', puisque TRetT'R' sont des tangentes à 
Tcllipse et que les points R et R' appartiennent à la cir- 
conférence principale. Donc, d'après le lemme, la droite 
RR' passe par les milieux de TF'et de T'F', ce qui montre 
d'abord qu'elle est parallèle à TT', et en outre elle pas- 
sera par le milieu O de FF', c'est-à-dire qu'elle est un 
diamètre. (c. q. f. n.) 

On déduit de là les deux corollaires suivants : 

Corollaire I. Si des extrémités d'un diamètre mobile 
de la circonférence principale on mène d'un même côté 
de ce diamètre des tangentes à l'ellipse, le point de con- 
cours de ces tangentes décrit la directrice correspondant 
au foyer i^elatif au côté considéré. 

Corollaire II. Quand l'un des sommets d'un parallé- 
logramme circonscrit à une ellipse est assujetti à se mou- 



( =^3o) 
voir sur Tune des deux directrices, le sonimel opposé 
décrit l'autre directrice, et les deux autres sommets dé- 
crivent la circonférence principale. 



SOLl]TiO^' DE LA QUESTION 514 

(voir p. 9i) ; 

Par m. Ed. GRESSIER, 

Élève au collège Stanislas (classe de M. Frin ). 



L'énoncé de cette question est incorrect. Il faut rem- 
placer 

b = tang ^ e- <=°^ ^ par h = tang ^ e<=o« ^, 



et 



^ = cet ^ e<^°' i^ par ^» = cot ^ 0-^°^^^ (*) 



JNous allons le prouver 

Pour qu'une équation transcendante 

f{x)=o 

ait deux racines égales, il faut qu'elle ait une racine 

commune avec 

J'{x) = o. 

Prenons la dérivée de l'équation proposée. 

d où 

nx- — IX + a = o. 

(') Nous avons co|iic \e> Coinplcs rrndus du t) jiiuvici' i8()0, p. i i i-i i' 



( 23i ) 
Celle équation a pour racines 



l-hv'' — ^^ ï — Ji—a' 
et — 



ou, puisque a = sintj>, 



col - et tanc - • 

2 2 



Il faut donc que l'une de ces quantités mise à la place 
de X dans les équations 



„ 2^ ^) ^tang^e-*^"^'^, 

r^(-i) = .ot^ 



_„cosii 
2 ' 



en vérifie au moins une. 
Posons 



alors 



X , ^ cet - 5 .T-j = tang - 

2 ° 2 



I 2 COSij; I 2 COS-i 



»c, sin-i}^ .rj sin-i 

Il faut donc que l'une des relations suivantes se vérifie : 

(i) .r,6' ^V' "^'^ :^ tangue- ^"^^'^ 

(2) jr.e '\''' ''/ =cot^tf*=«s^, 

2 

(3) ^,e~^V '~^/ = langue- '=°^^. 

(4) .r,rn"''~^)^,^,ti:^cos^ 



( 232 ) 

or ces relations se réduisent à 

,1, -h 

15) col- = tan2-, 

' . 2 ° 2 

(6) ^-cosi^_^cosi,^ 

(8) tang- = cot-. 

' ° 2 2 

Pour que l'équation (5) ou l'équation (8) soit satisfaite, 
il faut que 

4. = 90°; 

et de même, pour que l'équation (6) ou l'équation [y) 
soit satisfaite, il faut que 

4, = 90°. 

Mais, d'après l'hypothèse faite dans l'énoncé de la ques- 
tion , ^ est inférieur à 90 degrés. L'é({uation transcen- 
dante proposée ne saurait donc avoir deux racines égales. 
Au contraire, si l'on pose 

2 
la valeur 

j;=: tang- 

annule à la fois l'équation transcendante proposée et sa 
dérivée, et par suite l'équation 



c ^\ '/ =tang-e*-"=*^ 



a deux racitu's éi^aics a lany-* 



( 233 ) 
De même, en posant 

2 

Téquation 



a deux racines égales à 1 



QIESTIONS. 



523, Un débiteur doit acquitter sans intérêt : 
Une dette C, au bout de «, années, 



Il veut payer les sommes Cj H- Co H- • • •+ C^ à la fois-, 
démontrer qu'en appelant t le nombre d'années au bout 
desquelles il doit payer cette somme, on a 

100 / //,Ci n-iCi «:,C.5 

t=-—[ -. H : + 



V \IOO + rt|/ ICO + //,/ lOO -h l'J 

+ "■■^- ) 

I OO -t- /ip I } 

i = intérêt annuel pour loo, 

/ loOC, lOoCj iooC„ 

/ = ; H -. +.-.+- ■ . 

\ I oo + // 1 / J uo -f- //. / I oo + n., i j 



( '^M ) 

524. On donne un triangle conjugué à une ellipse 
jjp * (chaque sommet est le pôle du côté opposé) : la tangente 

^- «lenée du centre de l'ellipse au cercle circonscrit au tri- 

\f gt ansrle est égale à la corde du quadrant dellipse. 

^' (Faure, capitaine d'artillerie.) 

525, Soient Xi, x^, x^, . . . ,Xn\es racines d'une équa- 
tion 

/(.r) = 0, 

que nous écrivons sous la forme maintenant bien connue 

(«„,/7,,flj, . . ,«„)(.r, i)"= o; 
posons 

où f esl la. dérivée def-^ démontrer que la forme 

( A05 A, , A2, . . . , A2n_4 ) {^)X ) 

est un covariant de la forme 

(MlCUAEL ROBERTS.) 

o26. Si l'équation 

rto-2^' + 4'^i-^' — ôdjX' -\- ^a^x -f- «4= o 
a une racine double a , posons 

M = : ; ^ r-, 1 



( 235 ) 
démontrer les équations suivantes : 

du et M dM dM_ 

da" 2 r/fli 2 da, da, 

da, doi dOi da^ 

(MiCHAEL ROBERTS ) 

527. On donne deux cercles tels, que l'on puisse con- 
struire un triangle inscrit à l'un et circonscrit à l'autre ; 
on sait qu'il existe alors une infinité de triangles satis- 
faisant à cette condition \ le lieu des points de rencontre 
des hauteurs de tous ces triangles est une circonférence 
ayant pour rayon l'excès du rayon du cercle circonscrit 
sur le diamètre du cercle inscrit. (G. Salmon.) 



SOLITIOIV DES QUESTIONS 517, 518, 519 ET 520 

( voir p. 95 et 96) ; 

Par m. Honoré PRAT (*), 

Elève de rinstilution Royé-Micé à Bordeaux. 



Solution de la question 517, 
i". L'équation de la normale est 



n-y c'y 

b'.T b' 



Je cherche les intersections de cette droite avec les axes; 
j'obtiens 



— c'y c'T 



(*) Résolues également par MM. L. Marc, élève du lycée de Caen,Ed. 
Gressier, élève du collège Stanislas, Jules Faure, élève de ritistitutioii 
Mover. 



236 



Le segment inlerceplé par les deux axes a pour expres- 
sion 

(.) J^-t^'^ = 4-. 4^/^i^^- 

V b^ fl' ab- 

La tangente a pour équation 



y y 



a'b'. 



La longueur de la perpendiculaire abaissée du cenlie 

est 

. . a'b' 

(2) • 

s/a\y"-h b'x'- 

En multipliant l'équation (i) par l'équation (2), on 
obtient un produit constant c'. 

2°, Si l'on joint le point O aux points M et N et si l'on 

FiG . I . 




mène le diamètre M'O parallèle à la tangente, en dési- 
gnant par B l'angle .M'OM, on a dans le triangle O.MN 

(,, + by= ÔmV -MN — '1 OM . !\IN cos ( -^ — 9 ) » 

MiN est normale. 

Mais, M'O et OM formant au système de diamètres 
conjugués, on sait que 

,u -f- bf=îr\\\ M'O — :>UM. .MN cos (--- — | ; 



tlonc 

MN = OM', 

c'est-à-dire le Jemi-diamèlre parallèle à la tangente. On 

trouve aisément que OM' a pour expression 

I 1 t' 

en cherchant l'intersection de la droite j^= — !_ -, x 

avec l'ellipse. 

a- b' 
La multiplication de OM' par n = dnnnn 

\Jn'y"'-\-b''x'' 
ta constante ah. 

Solution de la question ol8 (*). 
Soient x et y les coordonnées des points N et N', et 

MIV = MN' = , J 

a'b' 

OÙ R^ est la quantité constante. 




Il est évident sur la ligure que 

.r = x'± MN ces NMP, 
j = j' ±: MN sin NMP, 

x' et y' sont les coordonnées de M, 

Eu remplaçant MN par sa valeur, et cos NMP, sin NMP 



(*) Cette question a élc aussi résolue par M. L. Blanché-Aiiiaiilt, élève 
du lycée Loiiis-le-Grand. 



( ^:^8 ) 

par leurs valeurs " et - — z — ^—^ -^t on ob- 

\l o' y'- + h'.c"' \/a*x"-h b'x" 

tient 



I .r = JT 



■■, d'où x' =: 



rt* 



a±:K} 



2 }■ = >■ zn- 



_,. R^7' i/;^ihK^).r' ,,,^,. „,_ A=r 



b' b' 

Substituant x', j' dans 



' ^^'^'^ -^'^F^K^- 



a- b- 

on a 

a-x'' b"-j^ 

L'équation (3) représente deux ellipses confocales, 
comme il est facile de s'en assurer en formant les diffé- 
rences des carrés des deux axes. 



Solution de la. question 519. 



Soient (x',j'), ( — x', j-j' j deux points correspon- 
dants, (r,, j-i) les coordonnées du milieu M. 
On a 



.. (a^-n')x' 



x' 


+ 


n 
a 


x' 






2 




[b 


-f- 


^'; 


)r' 



(^' ' ■''■= ,« 



Pour avoir le lieu des points M, je remplace x' el y' par 
leurs valeiws tirées de réqualiun (i) el (2) dans 



x" y" _ 
(i- b' 



( 2^9 ) 

J'obtiens 

équation d'une ellipse. 

La droite 

h' , 



-r y —y 

—; \X X ) 



est normale a rette ellipse. En effet, si on reinplace x' et 
y par leurs valeurs, on a 



2 évi b' — b a -h a') j, 

i — b' ri' — a b 



-f- a') Jx I agJ^i \ 

-h 6') x, V^ a + a'J 



En tenant compte de la relation rr — h- z= a'- — b'- qui 
exprime que les ellipses données sont liomofjcales. on a 

y = ,b^b' ■ ï^ ^ "^ 6 — 6' ^6 — 6' ^ ' 

ou enfin 

(4) - J " " 



c" étant égal à (« -f- a')^ — ib -f- ^)*. 

Celte équation (4) est précisément celle de la normale 
à l'ellipse (3) au point fx,. >,). comme il est facile de 
s'en assurer en la formant dixectement. 

SoliUion dis la question Ô20. 

Correction, nis^ doit être pris égal au demi-dJarKètre, 
parallèle à la tangente et non à la normale. 
Il faut démontrer l'égalité 



\ I 



PS.XQS = PS XQS,. 



On 



( 240 ) 

PS2 = {m S, — P m), QS, = {m S^ + Q /«), 
PS. = {m S , + P w) , QS, = (Q w — m S,) . 

FiG. 3. 




En remplaçant dans régalité (i), on obtient 

(w S, — P w) {m S, + Q w) = (/« Sj 4- P m) (Q /« — /;/ S,), 

OU bien 

(2) //7Sj= Pw.Qw. 



Oi 



»; S2 = m O = 



'""=\/'(-'-^7 









ûe même 



Qw 






En substituant, on voit (jue l'rgaliié (o.) est vérifiée. 

c. Q. K. n. 

Les lieux de Si et Sa sont deux cercles concentriques à 
Tellipse décrits avec les rayons [a±h). On peut le dé- 
montrer directement ou considéier la ({ucstioii comme un 
cas particulier de la question 518. 



( '^4i ) 

Dans I ('■(inalloji 

■ , -\- — — 7-^ = r voir snhaion i>18). 



il suffit défaire 
et on obtient 



4- y-' = [ri ±1 h)\ 



C. Q. F. D. 



Remarque. La question n'est qu'un corollaire du pro- 
blème de la détermination des axes d'une ellipse, connais- 
sant deux diamètres conjugués et leur angle. 

On sait, en effet, que les axes OAetOB sont les bissec- 
trices de S2OS1 et Sa OR, angles intérieur et extérieur du 
triangle S^OSi- Donc les quatre points Q, S^jP, Sj, divi- 
sent harmoniquement le côté QSi . 

On sait aussi queOSi est égal à (a + b) et OS? à ia — h). 
Donc les points Si et Sa sont sur les cercles décrits du 
centre avec {ci-\-b) ou [ci — h) pour rayon. 

Note. Ces questions ont été résolues pour l'ellipsoïde, 
par M. Jules Faure, élève de l'institution Mayer. 

Ellipsoïde. 

1°. Le segment intercepté sur une normale quelconque 
à un ellipsoïde par deux des plans principaux étant multi- 
plié par la distance p du centre au plan langent adjacent 
à la normale, donne un produit constant. 

Soit l'ellipsoïde rapporté à ses axes, en un points, r, 
le plan langent a pour équation 

(r b ■ c' 

Ànn. de Malhcni., l. XlX. (Juillet iSfio.) l6 



{ 242 ) 

Au morne point, les équations de la normale sont 



X— r , Y— r Z 

=6^ 



au point où la normale perce le plan zoy pour 

au point où elle perce ZoX pour 
La distance de ces deux points est 



£.+!_)(«._ i^.- 



la distance de l'origine au plan tangent. 



Le produit de ces distances := a~ — h^. 
De même, si Ton avait pris le segment de la normale 
compris entre zox et xoy^ le produit aurait été 

Enfin , si l'on avait considéré le segment compris entre 
xoy et yoz, ce produit aurait été 



2". Pour l'ellipsoïde, si loi) prolonge une normale quel- 



{ ^43 ) 
conque à un ellipsoïde dont les axes sonl 2<7, ih^ ac, 
jusqu'à un ellipsoïde de révolution de mêmes plans prin- 
cipaux, dont les axes sont, par exemple, 2 (a + Z>) pour 

lès deux axes situés dans xoj', afcH | pour celui qui 

est dirigé suivant oz, le produit du segment de la normale 
compris entre les deux ellipsoïdes par la perpendicu- 
laire p abaissée du centre sur le plan tangent adjacent à 
la normale est constant. 

En suivant la même marche que pour l'ellipse, on 
arrive à une équation en k 

k\ l h\ I h 



'+-A JM' + p) ^M' + 



+ 



{a + bf [a + by ( ob 



c 



qui est vérifiée pour h = ab, h étant le produit cherché. 
Dans le cas où l'ellipsoïde proposé serait de révolution, 
par exemple pour « =z c, le second ellipsoïde deviendrait 
une sphère de rayon a-\- b. 

Même résultat en prenant a — ^, c pour axes. 

3°. Si l'on porte sur une normale quelconque à un el- 
lipsoïde, de part et d'autre de son origine, deux longueurs 
MNi, MN2 telles , que le produit de MNi ou de MN, par />> 
soit constant, les lieux des points Ni, N2 sont deux ellip- 
soïdes confocaux de même centre que l'ellipsoïde donné. 

En suivant la même marche que pour l'ellipse, on 
trouve pour équations de ces deux lieux 

X2 Y^ A- 



H^)' ( 



*4 



On voit d'ailleurs que pour k = ab, on tiouvc les deux 

16. 



( M4 ) 

ellipsoïdes de révolution indiqués plus haut, qui devien- 
nent des sphères si c = a ou b. 

4**. Ellipse. Soient P, Q, les intersections respectives 
d'une normale par les axes a, Z> ; si à partir de l'origine M 
de la noi-male on porte des longueurs égales entre elles 
MSi , 1MS2 , telles que MSi soit égale au derai-diamètre 
parallèle à la tangente adjacente à cette normale, les 
quatre points Sj , P, S, , Q, sont placés harmoniquement; 
les lieux de Si , S, sont deux cercles concentriques à l'el- 
lipse, de rayons a-\- b. 

La tangente à un point j:,/ de l'ellipse 

.1- r- 

- + 7^ = 1 
a- b- 

b^ X 
a pour coefficient angulaire 5 le diamètre parallèle 

est 

(i) Y=-— X, 

"y 
les coordonnées X, Y de sou intersection avec l'ellipse 
vérifient aussi 

X2 Y' 



Des équations (i), (2), on tire 

/ I b-x'\ 
\n' n'y) 











X' — 




xV ■■ ' 


a'j'+b'x' j- j;'' 
b' "^ rt» 


de même 




a* 

Y" — 1 









( 245 ) 
cl 

^^ + Y' = a'b'l--^Ç^ 
\a' o' 



Tel est le carré de la longueur du demi-diamètre. Les 
coordonnées des points Si, S-2 , satisferont l'équation de 
la noimale 



:3) 



X — j: y 



On aura en outre, puisque MSt = ^82= le demi -dia- 
mètre 



(4) 



;x-^?-+(Y-ri'=^'^M^+^: 



De ces équations on déduit 



i^--y['-^%.]^-""''vi+T. 



d'où 

de même 
pour P 
pour Q 

par conséquent 

S, P ' = x' 



y^ = x{ i± 






X=.r( I -), Y = 0, 



X = o, Y==j{,__), 



,.iU(,-^ 



) 



"tn)' 



b'[ — -1--— ](.^ + bY, 



et 



S,P 



de même 



i-f- 



( 246 ) 



<-iy 



1+ 



[a-by, 






j^ 



T + T^ («-^)% 



SiP _S,P __^_ 
S,Q~S,Q~a' 

Les deux points Sj, S,, divisent la ligne P, Q dans le 

même rapport, par conséquent Si , P, So , Q sont placés 

liarmonicpiement; car en admettant un sens positif et un 

sens négatif sur la normale, comme Pa est entre P et Q, 

SaPsera de sens contraire des autres longueurs. On aura 

donc 

S^.SjP _ _ 



Sa est entre P et Q, car 
h' 



MP 
MS 



-x' + j 



Or, la longueur du segment de normale intercepté par le 



( ^47 ) 

cercle de rayon a±b est aussi dz ab i/ [-71? donc les 

'' y «^ 0* 

lieux de S„, Sa, sont ces deux circonférences. Pour l'ellip- 

soïdcj on prend MSi égal à un demi-diaraètrc, quatrième 

proportionnelle de f/; et par exemple a, b, et au lieu du 

cercle, l'ellipsoïde de révolution a -\- b a. été -, 

M. Saphore , élève du lycée de Douai, a résolu de même 
ces diverses questions. 

r ' » 

QIESTIOMS. 



528. Le nombre figuré par 1 121 ne peut être un carré 
parfait dans aucun système de numération. 

(RoucHÉ, professeur.) 

529. Deux cubes étant premiers entre eux et se termi- 
nant [h droite) par les trois mêmes derniers chiffres si- 
gnificatifs, démontrer que les deux racines cubiques ont 
aussi les trois derniers chiffres communs dans un système 
quelconque de numération. 

(RoucHÉ, professeur.) 

530. 

sinP 

-T— - = tancq>: 

smQ ^^' 

d'où 

P — Q P H- Q 

ta%'— ^ tang-^— =:lang(y — 45). 

531. Soit A l'aire d'un polygone régulier circonscrit 
à un cercle, A' l'aire du polygone semblable inscrit, 

l'aire du cercle est comprise entre A et A — - (A — A'). 

(lluYGHENS.) 



( 248 ) 

532. Soit A Taire d'un polygone régulier de i?i côtés 
inscrit dans un cercle, A' l'aii^e d'un polygone régulier 
inscrit d'un nombre n de côtés, l'aire du cercle est com- 
prise entre A et A •+- - (A — A'). 

(HuYGHENS.) 

533. Soient deux cercles égaux dans le même plan :, 
P un point variable duquel on mène des tangentes 
aux cercles et dont le produit est constant. Le lieu de ce 
point est la podaire du centre d'une ellipse. 

534. Soient j'"' = ¥ [x] l'équation d'une courbe algé- 
brique; j' — ji = ¥'[Xi) [x — Xi) l'équation d'une tan- 
gente au point Xi ji\ X, Y un point quelconque de cette 

Y"' . • 1 

tangente. est un maximum ou un minimum lorsque 

Y=j)^i, X=a:i. (Duhamel.) 



SUR LES FORMILES D'INTERPOLATION DE LAGRANGE 
ET DE NEWTON (*); 

Par m. Abel TRANSON. 



\ . Il faut, de la formule de Lagrange, déduire celle de 
Newton, lorsque les nombres x^^ jTi, . . . , :r,„ forment une 
progression arlilunétique. 

Cette déduction consistera à faire voir que si, dans la 
formule de Lagrange, on remplace w,, u^^- . ., u,,,^ par 
leurs valeurs en fonction de Uq et de ses différences, le 

(*) Voir l. \V1, p. 23;, 398; l. XVlll, p. iC) à i()3. 



( M9 ) 
coefficient (ruiie différence d'ordre quelconque sera, pour 
la circonstance indiquée, le même que dans la formule de 
Newton. Le calcul s'appliquera d'ailleurs au cas où 1 in- 
dice de la différence dont on étudie le coefficient est nul, 
c'est-à-dire qu'elle s'appliquera au coefficient de Uo ; car 
I/o est représenté par Aq Uo- 

2. Pour abréger l'écriture, je représenterai un pro- 
duit de facteurs qui croissent en progression arithmé- 
tique et qui sont en nombre « , tel que le produit 
a[a-\-h). . .[«-+-(« — i) ^0 P^^ ^^ symbole usité 
a"' ; et le produit de n facteurs décroissants, tel que 
a [a — A)... [a — (^^ — i)A]par«"'~ . Et à ce sujet je 
rappellerai qu'on a la formule suivante 



Priant le lecteur d'observer que les facteurs qui com- 
mencent par a dans chaque terme sont croissants au lieu 
que ceux dont le premier est b sont décroissants. 

3. Je vais calculer le coefficient de A,,»o, et je remarque 
premièrement que par la substitution des valeurs de 
1*1, 112. . . iim en fonction de //(,, Ai/^,. . ., A,„//o, la dilïé- 
rence Ap Uq ne s'introduira que par la valeur de u^et par 
celles de w^+i, • . . , jusqu'à u,„. 

C'est pourquoi, avant de faille cette substitution, je 
vais transformer les coefficients fractionnaires de la for- 
mule de Lagrange_, mais seulement à partir du terme qui 
contient m^. 

4. Tous les coefficients, à partir de celui de «^, ont en 
facteur commun au numérateur le produit 

(a) (,r — x„) [x ~ X,) . , . [x — X/,^., ). 



( 200 ) 

Ensuite le numérateur de Tun de ces coefficients, de celui 
par exemple qui multiplie //p+„, se complète par cet autre 
produit 

{X—Xp) ... [X — Xp+:,_, )[x — J-^+„+, ) . . . [X — X^). 

Ce nouveau produit contient m — p facteurs; je le dé- 
compose en deux autres : Tun formé de n facteurs décrois- 
sants, savoir : 

( ^ '~~ ^ p ) • • • [^ ^p+n—t ) ) 

et l'autre de m — n — p croissants, savoir : 

[X Xm) \X Jr„,_|j ... IX Xp_f_„_f_fj. 

Donc je puis dire, en employant les symboles conve- 
nus, que le coefficient de iip^,,, a pour numérateur le pro- 
duit ci-dessus (a) multiplié par l'expression suivante : 

(x-xpri-\{x-x4"-p-"iK 

5. Considérons maintenant le dénominateur de //,,+„, 
c'est-à-dire le produit 

{'^p+n -^'o) • • • \Xp^„ Xp^n._,j ^Xp^„ Xp^^^^j . , . [^Xp^„ X^j . 

D'après la relation qui est entre les .r^, Xi,. . ., x„„ 
tous ces binômes en nombre m contiennent le facteur //; 
déplus les m — p — n derniers, c'cst-à-dirc les binômes à 
partir de ^/,+„ — J:^,,+„+i, sont négatifs. Ce produit reçoit 
donc la forme suivante : 

(— I )'"-/'-" . //'" . (y; + //) (/^ J- « — 1 ) . . . ?. , I . 1 . 2. . . [ni —p— n). 

Mais pour mettre en évidence ce qui est comuiium à 
tousces dénominateurs, j'éci'i.s la même expression comme 



( 25i ) 
il suit : 



X 



■i)"'-P.h'".{ï .0.. .. p) [i ,■?... .m— j)) 

(/.+ i) ■■■ (p + ri) 

[—iy[ni—jj — n-i-ij ... {ni—jj} 



6. Finalement le coefficient de Up^,, se compose : 
1° d'un facteur commua à tous les coefficients à partir de 
Up, et que voici : 

{x — .T„){a:—x, — h) . . . [x— jt, — (p — i)/i] 
^"'' (— i)'"-/'./i'».(i.2 . . .p)[i.2 . . .{m — p)] 

et 2° du facteur suivant qui lui est propre 

^ (/>-hO(/'-+- 2)... (/; + «) 

7. Donc la formule de Lagrange reçoit des relations 
prescrites une première transformation telle que Ten- 
seinble des termes à partir de celui qui contient iip jus- 
qu'au dernier, se trouve égal au facteur ci-dessus ((3) 
multiplié par la suite des termes que voici : 





m - 


-P(r. 


-r^y 


-\x- 


■p 


P + i '^ 


+ 


[m 


-P)( 


ni — p 


~''(r 




{P^ 


')/^-H 


2 ^-^ 


X 


{X 


-T„,)"'-P- 


'''"",^.. 



8. Et maintenant il est manifeste que pour avoir le 
terme m A^ «^ il faudra multiplier le même facteur 
((3) par la suite précédente dans laquelle on aura rem- 



( .5. ) 
placé 

Up par A^ Ko 5 

/j -+- I 

K^+, par àp Uo , 

Up+î par ^^ — Ap«o' 

' 1.2 

Mais alors cette suite devient égale au produit de A^ ii^ 
par 



I 

i.n,—p)[m—p—\) 



-j:^f-\a: — .r,„y"-f'-^-l^—.. 



c'esl-à-dire par 

[.r - .r„ _(,r _^^) ]'— rlh ^ (^.^^ _^.„J'« -/V/'^ 

expression égale à 

( — I )'"-/' . h"'-P ( />? — y>>) [m — p — i) . . . 2 . I . 

Sion la combine avec le facteur (j3),on reconnaîtra que 
coefficient de ^ 
formée est ésral à 



le coefficient de A^ u^ dans la formule de Lagrange trans- 



(x — sc„){x — .Tq — h) ... [x — -rp — (p — i)/<] 

{l.-2.3,..Jj)/lP ' 

ce qui est précisément son coefficient dans la formule do 
Newton. 



2fï3 



LIEU DES POLES DES CORDES 

qui daos les courbes du second degré joignent les pieds des normales à ces 
courbes menées d'un point de la développée. — Tbéorèmes 5 

Par m. DESBOVES. 



Ellipse. Rappelons d'abord les formules de la page 5r 

rt, b^ c ont leur signification ordinaire dans les coniques 
à centre, a et jS sont les coordonnées du pôle d'une corde 
quelconque de l'ellipse, et x eiy celles du point d'intersec- 
tion des normales menées par les extrémités de la corde. 
On aura immédiatement l'équation du lieu demandé, 
en remplaçant, dans l'équation de la développée de l'el- 
lipse 



m-^^iï-' 



xeij par les valeurs que donnent les formules (i). On 
obtient ainsi pour équation du lieu 



En chassant les radicaux on trouverait une équation du 
18® degré, c'est-à-dire que le degré atteint le maximum 
fixé par le théorème II (p. 45). 

Mais cette équation peut se décomposer en facteurs. 

(*) Voyez la note page .iGS. 



( 254 ) 
Eu effet, posant 

a = apcosw, p = èpsinw, 
et faisant disparaître les radicaux, on obtient 

p.'jp-sin'wcos^w {p' — I — p'sin-wcos-w)' 
= (p* — 1 — p*sin^wcos'w + 4p"sin'ucos'co)^, 

et si l'on pose 

p-sin-wcos- w = «, p- — i=z, 
il vient 

z ( I — «) [2 ( I — «) — 9 "]' = o • 

Le lieu cherché se compose donc des trois courbes 

qu 

z = 0, u = i , z = -^ — : 
I — u 

si l'on remet pour z et u leurs valeurs en p, sinovet 
cosw, puis pour ces dernières quantités leurs valeurs en 
a etjS, on obtient pour équations en coordonnées rec- 
tangulaires 

(3) 
(4) 

En laissant de côté la solution ([ui donne la courbe cllc- 
mùnie, on voit que le lieu se compose de deux courbes 
distinctes (4) et (5), faciles à construire [*). 

(*) La conslruclioii ilc la courbe (5) se ranicnc racilenicnt à celle de la 
courbe dont Téquation polaire est 

, p*-f-8 



rt^ 


8- 






a- 


+)?' 


1 ^^ 


o, 


a.- 


ir 


— T = 


o, 



( 255 ) 

Il reste à expliquer pourquoi on trouve deux courbes. 
Pour cela nous allons détenniner successivement les lieux 
des cordes qui joignent, les premières, les pieds d'une 
normale double et d'une normiile simple, et, les secondes, 
les pieds des deux normales simples, et on verra que les 
deux lieux ont précisément pour équation les équa- 
tions (5) et (4). (J'appelle normale double celle des trois 
normales qui est tangente à la développée au point de dé- 
part, et noTmBÏes simples les deux autres.) 

Déterminons un point X, Y de l'ellipse par des équa- 
tions de la forme X = «costp, \ = bs'in'Xi. L'angled' ano- 
malie ç caractérisera alors un point de l'ellipse que nous 
appellerons, pour abréger, le point (p. 

Soient x'^yies coordonnées du point de la développée 
d'où l'on mène les trois normales, t^p' le pied de la normale 
double et (f'\ <f'" les pieds des deux normales simples. 
Soient aussi a', |3' les coordonnées du pôle d'une corde de 
l'ellipse qui passe par deux points ©' et «p", et x et y les 
coordonnées du point d'intersection des norm'ales menées 
par les extrémités de la même corde. 



L'équation de la corde (cp' c^") sera 



(6) 



cos 9 r sin 'SI — sin cp x 



[ Sf" — o') b sin (o" — '^') a 



et on aura les coordonnées du pôle de la corde par les 
équations 

/ a' sin©" — sin'/ 

\ a~ sin(y' — /j ' 
("7 ) < 

\T~~ sin(/'— /) ' 

Si d'un autre côté on cherche les coordonnées du point 
X, y^ point d intersection des normales menées par les 



( 256 ) 
points 9', 9", il vient 

1c- si n cp' sin 9" (cos o" — cos »' ) 
^ ~ Z^ sin ('/' - '/) 
c- cos ^' cos (p" ( sin o" — sin ^' ) 
a sin (o" — ç' J 

En faisant dans les équations précédentes o' = û", on trouve 
pour les coordonnées x', y' du point de la développée cor- 
respondant au point d 

C' C' 

(9) x'=-cosy, jr' = — -^ sin'f; 

mais les points x,y étant sur la développée, on a 
x' = a:, y'z=r, 

et par suite il vient 

. sino" — sin'/ cos--^' cosep" — coso' sin-o' 

sin (y" — q) costp" sin(«p" — ^') sintj/" 

ou 
(il) sinç"cos^/+ sin' a' cos «" — cos ^" sin '/' =: o. 

Remplaçant mainteuantdans cette dernière équation sinip" 
par sa valeur y/i — cos"^", faisant disparaître le radical et 
divisant les deux membres de 1 é(|ualion résultante par 
le facteur double (cos(p" — cos^')", il viendra 

(12) cos- ^" + 2 cos 9' sin- o' cos ^" — cos' (p' =r o, 

et une équation semblable en changeant (p" en ^" . 

D'ailleurs, en vertu des équations (10), les équations (y) 
deviennent 

a'_cosV fi'_sinV 
' a cosip b einip 

Nous pouvons maintenant obtenir séparément les deux 
lieux, cl d abord le premier. 



( 2'^7 ) 
Pour cela, rcinplaçons dans les équations (ii) et (12) 
cosop" et sin tp" par leurs valeurs tirées ries équations (i^), 
il viendra 

(lAj — COS9 4- 7- sincp = !, — coso' -H rr sin» = — i, 
a b a fi 

et éliminant coscp' et sincp' entre ces équations et 1 équa- 
tion 

sin- 9' -f- cos^o' = I , 
on aura 

{b'a.'' — a'p'^-y= a^x''{b^--]-.p'')--\- b- <^'- {et? -h rj.'^f-, 

et il est facile de voir que cette équation peut se ramener 
à la forme 

|i'= \ (a' b 



sous laquelle nous l'avons d'abord trouvée. 

Cherchons maintenant le second lieu. Soient a", /S" les 
coordonnées du pôle des cordes (9" 9'"). Si dans les équa- 
tions (7) et (8) on remplace a', (3', (j>' par a", (3", (p" et que 
X ely représentent maintenant les coordonnées du point 
d'intersection des normales menées par les points©", çc'", 
on déduira de ces équations 

r = — t; 3"sino"sincp"', .r = — a"cosa'"c()s«)"'. 
b^ a- ' ' 

En égalant les valeurs précédentes de y et x respective- 
ment à j sln'«p' et - cos^û', il vient 

b a ^ 

(i5) — ,sin^9 ^ sm<p sin^ , — , cos'(p= ces» cos<j> ; 

mais l'équation (12) étant une équation du second degré 
en coscp" qui admet à la fois pour racines ros^p" et cos(p'*, 

Ann. de Malhàmat., t. XIX. (Juillet 1860.) 17 



( 258 ; 
oii a 

(l6) COS9"cOS^"' = COS'tt-', 

et par un calcul semblable on a de même 

(i-j) sinç"sin<p"'= — sin'tp'; 

remplaçant maintenant dansles équations (i5}cos05"cos(}/'", 
sin;p" sinçp''' par les valeurs que donnent les équations pré- 
cédentes, il vient 

a , h 

(i8) — = — cosw, — = — sin«p, 

a p 

et par suite 

C'est ce qu'il fallait trouver. 

Nous allons donner maintenant deux équations très- 
simples qui lient entre eux, la première , les angles ç' et 
(p",el la seconde, les angles ^''et ç'". 

En complétant deux carrés dans le premier membre de 
l'équation (12), on a 

(cos<p'H- coscp")^sin2(p'= cos=^'sin'fp"; 

mais si on était parti de l'équation en sin(j)", analogue à 
l'équation (12), on aurait eu de même 

( sinç'-t- sinip")^ cos=(p' = sin^ep'cos'/', 
en extrayant les racines, on a donc 

>- sirKp'cosï)' = sin (fztt}-"), — sin^'costp' = sin ((p"±: ^'). 

Pour que les résultats donnés par ces dernières équations 
soient d'accord, on doit avoir 

(10) — siiKp'roscp' = sin('/ H- y") : 

c'est la première équation que nous voulions obtenir. 



( ^^9 ) 
On aurait évideiniiu-ni de même 

— sin »' cos »' = sin ( ep' + i-y'"), 
el par suite 

sin (cp' -{-rf")= sin (>' + /'), 

Mais pour que deux arcs aient le même sinus, il faut que 
leur différence soit un nombre pair ou que leur somme 
soit un nombre impair de demi-circonférences. Or la 
première hypothèse doit être rejetée, puisque les deux 
arcs (j>" et (j>"' étant tous deux plus petits que atô ou au 
plus égaux à acr (ce qu'on peut toujours supposer en géo- 
métrie), leur différence est tou^jours inférieure à 2t7. 
Cela a lieu aussi d'ailleurs dans le cas où l'un des angles 
est nul, parce qu'alors l'autre est nécessairement égal à 
cy. La seule hypothèse possible est donc, en représentant 
par a/cH- I un nombre impair quelconque, 

2 o' H- ©" -+- ©'" = (2 / -4- l) C7. 

Oe l'équation précédente on tire 

cos ('cp' -f- cp'") =1 — cos 2 tp', 

[(f H- cos(^" -+- cp'")]-' = 4s'n^'p' = — 4''i"?"s<n f'", 

, O -h '^ . „ . „, 

(20) cos*-; '■ |-Sint9 smrp =0; 

l'équation (20) est la seconde équation demandée. 

Los équations (19) et (20) peuvent être utiles dans la 
résolution de plusieurs problèmes. 

Hyperbole. Les deux méthodes sont applicables; seu- 
lement, dans la seconde, on détermine un point X, Y de 
l'hyperbole par des équations 

X = (7séc(p, y = étang q). 

Parabole. On trouve l'équation du lieu par la pre- 
mière méthode, c'est-à-dire en substituant dans l'équa- 

17. 



( 260 
lion de la développée 



les valeurs de y et de J? données par les formiJes 

y = ^, x=-i- i- — (page5i); 

P P 

on a ainsi l'équation 

le lieu est donc la parabole 

^p- -h py. = G. 

On peut aussi résoudre la question en supposant un point 
de la parabole déterminé par des équations 

X = 2/^ lang-(p, Y = ay.» tangcp. 

En désignant par ç-' et çp" les angles qui déterminent les 
pieds de la noi^male double et de la normale simple, on 
voit immédiatement qu'on est ramené à éliminer tangi])' 
et tangç" entre les trois équations 

I a= 2/->tang(p'tang(}-", p =/j(tang y' + tangcp"), 
(21) \ 

( 2 tang(p' -H tang9"=: G. 

THÉORÈMES. 

1. X', Y' étant les coordonnées du pied de Ja normale 
double dans l'ellipse, si on remplace dans les équa- 

X' Y' . 

tions (i4) costp' et sini^' par — 5 -j--, il vient 

a'X' S'Y' —X' —Y' 

u^ b' a [J 

d'où résulte < e théorème ; 



{ ^6l ) 

Si on projette un point de la courbe (5) sur les deux 
axes de l'ellipse^ la ligne droite qui joint les deux pro- 
jections passe toujours par le point de V ellipse diamétra- 
lement opposé au pied de la normale double correspon- 
dante. 



IL Si on remplace dans les équations (i8) coso-' et 

X' Y' 
sincf»' par leurs valeurs — i -r-, 11 vient 
' ^ a b 

n^== — X'a", é'=— Y'p", 

et on a le théorème suivant : 

Si on projette un point de la courbe (4) sur les deux 
axes de l'ellipse^ la ligne qui joint les projections touche 
r ellipse donnée en un point diamétralement opposé au 
pied de la normale double correspondant au point de 
la courbe (4). 

Les mêmes théorèmes ont lieu pour l'hyperbole. 

IIL Les équations (ai), dans lesquelles on remplace 

Y' X' 

langtp' par — ? tang^tjp' par — adonnent évidemmeni 

Y' 

fi= , a = — ?.X'. 

' 2 

De là on déduit facilement ce théorème : 

Si on mène une tangente quelconque à la parabole et 
quon la prolonge, à partir de sa rencontre avec V axe , 
d'une longueur égale à sa moitié., V extrémité de cette 
longueur engendrera une courbe identique au lieu des 
pôles des cordes qui joignent les pieds des normales 
menées dun point de la développée. 

IV. Il a été démontre que les angles d'anomalie corres- 
pondant aux pieds des trois normales menées d'un point 



( .6. ) 
(le la développée tle Tellipse sont liés entre eux par l'é- 
(|uation 

2 (p' 4- y" -f- a/'" = (2 /?■ H- 1 ; CT. 

On peut prouver de plus que le nombre 2A -f 1 est 5 ou 3 
suivant que le point de la développée est au-dessus ou au- 
dessous du grand axe de l'ellipse. Mais ce théorème est 
un corollaire évident d'un théorème plus général qu'on 
peut énoncer ainsi : 

Si (V un point intérieur à la développée de V ellipse 
on mène les quatre normales à cette courbe, la somme 
des quatre angles d'anomalie correspondant aux pieds 
des normales {^chacun d^ eux variant entre o et acy) est 
égale « 5cy OM 3cî suivant que le point est situé au-dessus 
ou au-dessous du grand axe. 

En efïet, si d'un point x.,jà\\ plan de Fellipse on mène 
les normales à cette courbe, et qu'on désigne par X, Y 
les coordonnées d'un des pieds des normales, on sait que 
les pieds se trouveront sur une hyperbole équilatère 

(22) c^XY+ ^-J-X— «^rY = o. 

En remplaçant dans cette équation X et Y par a eostp et 
èsino, puis cosç et sin<p par leurs valeurs en langcp, il 
vient 

rt'arHaDg'(|) — 2«6jtang^(p + [a-.v- -\~ h-j^ — c') tang-ij» 
— 2 aba-y tangcp -\~ h^j^ = o. 

Les coefficients de tang'(p et taiigcp étant égaux dans 
l'équation précédente, on en conclut, en désignant par 
0)', a", <f"', cp'' les quatre valeurs de cp correspondant aux 
pieds des quatre normales, et représentant par A un 
Tinnil)rc entier quelconque, 

ntais si l'on se rap]iclle que par hypothèse les angles 



( ^63 ) 
d'anomalie soûl compris enlre o et 2Cî, el que le centre 
de courbure d'un point de l'ellipse a toujours une ordon- 
née de signe contraire à Fordonnée du point lui-même, 
on voit sans-difficulté que, suivant que le point de départ 
des quatre normales est au-dessus ou au-dessous du grand 
axe de Tellipse, la somme (f'-+- 9"+ 9'"-!- 9"' est toujours 
comprise entre 4ct et 6cj ou entre its et 4^5 elle est 
donc 5cy dans le premier cas et Sur dans le second. 

V. Si l'on suppose qu'un point de l'hyperbole est dé- 
terminé par des équations de la forme 

X=:aséc(p, Y = 6 tangjp, 

l'angle 9 étant toujours un angle compris entre o et au, 
et tellement choisi, que a séc9 et b tang9 donnent X et Y 
à la fois en grandeur et en signe, on prouve par une dé- 
monstration toute semblable à la précédente que la somme 
9'H- 9"-f- 9'"-t- 9*^, correspondant aux pieds des quatre 
normales menées d'un point du plan de Thyperbole à celte 
courbe, est égale à dcj ou 3cj, suivant que le point de 
départ des quatre normales est situé dans le premier et le 
troisième angle des coordonnées, ou dans le second et le 
quatrième. 

VI. Quant à la parabole, si Ton suppose, comme pré- 
cédemment, un de ses points X,Y déterminé par des 
équations 

X = 9.J) tang'' <p, Y = 7./J tang ip, 

on trouve, pour déterminer les valeurs de tang9 corres- 
pondant aux pieds des normales menées d'un pointer, y du 
plan, l'équation 

4/^tang tp -4- 2 [/) — ,x) tang-p — y = o ; 

<>n a donc 

tang'/-t tang'/'+ tangy"'=o, 



( 264 ) 
et si l'on suppose le point de départ des normales sur la 
développée, on retrouve l'équation précédemment citée 

2 tang o' H- tang cp" = o . 

MI. On a trouvé que la somme des angles d'anomalie 
était égale à A cr pour les points d'intersection de l'ellipse 
et de l'hyperbole équilatère (22) ; on est conduit alors à 
se demander, en général, par quelles courbes du second 
degré on doit couper l'ellipse pour que la même relation 
subsiste. Cette question, avec plusieurs autres du même 
genre énoncées par M. Joacliimstal , a été résolue par 
M. Terquem [Annales, t. IX, p. 170). Les démonstra- 
tions sont semblables à celle que nous avons donnée tout 
à l'heure. On voit, en particulier, que la somme des 
quatre angles d'anomalie est toujours égale à Acî quand 
la seconde courbe est un cercle. 

J'ajouterai ici que lorsque les quatre points d inter- 
section sont d'un même côté du grand axe, la somme des 
angles d'anomalie ( supposés toujours com])ris entre 
o et 2cy) est égale à 1x5 ou 6nj, suivant que les quatre 
points sont au-dessus ou au-dessous du grand axe, et que 
la somme est égale à 4^^, lorsque deux points sont au- 
dessus et les deux autres au-dessous du grand axe. 

Le théorème est évident lorsque les quatre points sont 
symétriques deux à deux par rapport à l'un des axes; 
et lorsque la symétrie n'existe pas, on remarque (|u'en 
remplaçant deux des points par les symétriques des deux 
autres, on ne pourrait qu'augmenter ou diminuer la 
somme des angles d'anomalie d'une quantité plus petite 
que CT, et que par consccpient la somme qui est un mul- 
tiple de cj doit lester la même. Les réciproques sont évi- 
dentes. 

En rapprochant le théorème actuel de celui (jue nous 
avons démontré sur les pieds des normales à l'ellipse, on 



( 265 ) 
arrive à une démonstration très-simple d un autre théo- 
rème dû à M. Joachimstal, et dont voici l'énoncé : 

Dans l'ellipse, trois des pieds des normales à cette 
courbe menées d'un point de sofi plan, et le point dia- 
m.étralement opposé au pied de la quatrième normale, 
sont sur une même circonférence. 

En effet, supposons, pour fixer les idées, qu'on ait 
mené les quatre normales d'un point situé au-dessous du 
grand axe. Trois des pieds des normales sont au-dessus 
de l'axe et le quatrième au-dessous. Alors, suivant qu'on 
remplacera l'un des trois premiers pieds ou le quatrième 
par le point diamétralement opposé, on augmentera ou 
on diminuera de cj la somme des angles d'anomalie. Dans 
le premier cas on aura deux points au-dessus de l'axe et 
deux au-dessous, et la somme des angles d'anomalie sera 
égale à 4cT- Dans le second cas les quatre points seront 
au-dessus de Taxe, et la somme sera égale à 2Cî. Les 
quatre points sont donc, dans les deux cas, sur une même 
circonférence. Le cas où le point de départ des normales 
est au-dessous de l'axe conduit à la même conclusion. 

Pour l'hyperbole, les mêmes théorèmes ont lieu encore, 
et se démontrent dune manière analogue. 

Détermination du lieu par la géométrie. 

Théorème L Si deux points pris dans le plan d'uJie co- 
nique à centre sont tels, que les rapports de leurs coordon- 
nées aux demi-axes sur la direction desquels 077 les co7npte 
sont inverses et de sig7ie co7itraire, les deux polaires 
corresponda/ites coupe7it la courbe e7i quat7'e points, 
dont les tiormales vont co7icourir en U7i 77 lê i7ie poi/it du 
plan. 

Le théorème est une conséquence évidente des for- 
mules (i). En effet les valeurs de j: et j' données par ces 



( 266 ) 
formules ne cliangont pas, quaudfon y icmplacc a cl j3 par 

— a' - b' 

et — -—• 

(i 

Théorème II. Deux points étafit donnés sur une co- 
nique à centre, si l'on trace la corde qui joint les deux 
points diamétralement opposés aux premiers, que par 
les points oii cette corde rencontre les axes on mène des 
parallèles à ces lignes ^ et, par le point d'intersection 
des deux parallèles, des tangentes à la conique, les deux 
points de contact et les deux points donnés seront tels, 
que les normales des quatre points se couperont en un 
mente point du plan. 

En effet, les cordes qui joignent respectivement les 
deux premiers et les deux derniers points ont pour pôles 
deux points dont les coordonnées satisfont à la condition 
indiquée par le premier théorème. 

Théorème III. Étant donné un quadrilatère circon- 
scrit à une conique à centre dont les points de contact 
avec la courbe sont les pieds de normales menées d'un 
même point du plan, si on projette les quatre sommets 
sur les axes et qu'on mène les droites qui joignent les 
projections d\tn même sommet, les quatre droites ainsi 
obtenues formeront un quadrilatère inscrit dans la co- 
nique et dont les sommets seront diamétralement op- 
posés aux points de contact du premier quadrilatère. 

Soient A , B, C , D les quatre poinls de contact; A', B', 
C, D' les points diamétralement opposés; (A, B), (B, C), 
(C,D), (DjA) les quatre sommets; (A,B) désignant le 
sommet situé entre A et B; (B, C) le sommet entre lî 
et C , etc. Les deux droites qui réunissent les projections 
sur les axes des points (A, R) et (A,T)) viendront toutes 
deux passer parle point C ( lliéoiènie JJ). Pour les autres, 



( ^67 ) 
la démonslralion esl évidemmcnl la même. On a donc 
un quadrilatère inscrit A', B', C , D . 

Théorème IV, Si Von projette sur les axes le point 
d'intersection rVune normale simple et d'une normale 
double, et celui de deux normales simples , et qu on joigne 
les projections de chaque point par une droite, les deux 
droites passeront par le point diamétrale me îit opposé 
au pied de la normale double, et de plus la deuxième 
sera tangente à V ellipse. 

En effet, si l'un des points de contact, D par exemple, 
se confond avec le sommet voisin A, D' se confond 
avec A', et le quadrilatère A'B'C'D' est remplacé par la 
figure formée du triangle A' B' C et d'une tangente en A' ; 
mais alors le point de départ des quatre normales est sur 
la développée, et la normale partant de A est la normale 
double. Le théorème est donc démontré. 

l^e théorème IV comprend les deux théorèmes démon- 
trés par le calcul p. 261, § I et § II. 

Il est facile maintenant d'obtenir les équations des deux 
courbes. En effet, si l'on désigne par X et Y les coordon- 
nées du point A, par a', (3 ' celles du point (A,B), par 
a'', |3" celles du point (B, C), on a évidemment, d'après 
le théorème IV, les équations suivantes : 

_X -Y Xa' Y8' „ —X 



En substituant dans l'équation de la conique les valeurs 
de X et de Y déduites des deux premières, et aussi celles 
qui sont déduites des deux dernières, on aura immédia- 
tement les équations du double lieu. 

Remarque. On peut aussi déduiie du théorème 1 une 
démonstration très-simple du théorème de M. Joachim- 
slal (§ Ml, p. 9.6'^). 



( ^68 ) 
En effet, conservant les mêmes notations que précé- 
demment, nous voyons, d'après le théorème I, que si 

1)1 

le coefficient de AD est m. celui de BC est -, et par 

a- m 

suite celui de BC, corde supplémentaire de BC , est — m. 
Les droites AD et BC sont donc également inclinées sur 
les axes, et par conséquent, d'après uu théorème connu, 
le quadrilatère ADBC est inscriptihle dans une circon- 
férence. 



NOTE. 

Démonstration des formules (i). Soient a et |3 les 
coordonnées du pôle d'une corde quelconque ((p' (p") 5 des 
équations (7) et (8), dans lesquelles on efface les accents 
de a et (B, on déduit 

y =. — -TT ^ sin^' sin^", j7 =: — a coS(j)'cos^"; 

d'un autre côté, en introduisant dans les équations (7) les 

' 0" 
angles — et — -. il vient 

(P H- <p . ? + ? 
cos — „ sm — 

a 2 p 2 



a f — ? 

cos 



b 



2 2 

et on en tire immédiatement 

a' — a? sin^'sin^" /.>'-=- P' coscp'cosy" 







II 


cos' 


? - 


-f 










2 


a'^ 




Ë!- 


— 


4- 


a' 




b' 



( 269 ) 
et par suiic 

substituant maintenant dans les deux premières équa- 
tions les valeurs de sini^' sinfp", costp' coscp", on aura les 
formules (l). 



SIR LES COMQIES SPHÉRIOIES 
ET NOUVELLE SOLUTION GÉNÉRALE DE L\ QUESTION 498 (*; 

Par m. CREMONA, 

Professeur au lycée de Saint-Alexandre à Milan. 



Dans le n° i3 (26 mars 1860) des Comptes rendus de 
r^cadémie des Sciences, M. Chasles a communiqué un 
résumé d'une théorie des coniques sphériques homofo- 
cales. L'illustre géomètre déduit ses nombreux théorèmes 
d'un petit nombre de propositions fondamentales. Ce sont 
ces propositions fondamentales quenous allons démontrer. 

A cause de la dualité constante à laquelle est soumise 
toute la géométrie de la sphère, la théorie des coniques 
homofocales donne lieu à une autre série de théorèmes. 
C'est, comme le dit l'auteur même, la théorie des coni- 
ques homocycliques. Dans notre analyse, les variables x, 
r, z pourront exprimer indifféremment des coordonnées 
cartésiennes de points ou des coordonnées tangentielles 
de lignes. Dans la première hypothèse, il s'agira de co- 
niques homocycliques \ dans l'autre, de coniques homo- 
focales. Pour fixer les idées, nous supposerons que les 
coordonnées se rapportent à des points; le lecteur eu fera 

(*) Pour bien comprendre ce travail , il est nécessaire d'avoir devant soi 
le n" i3 des Comptes rendus. 



( 270 ) 

menlalemenl la Iransformation, s'il veut ubteiiir les pro- 
priétés des coniques homofocales. 

\. Soient x'.y.z les coordonnées oilhogonales d'un 
point quelconque d'une surface sphérique donnée. L'équa- 
tion générale d'une conique (ligne de second ordre) est 

(i) a.r'-|- Sj- -h 73' H- 2 0JK2 + 2.szx -h 2çjr>- = o. 

La conique est un (petit) cercle si son équation est de la 
forme qui suit : 

(2) ^ [x- -4-7' + 3') — {a.T -^ by -h czy = o ; 

le centre sphérigue du cercle est le pôle (absolu) de la 
ligne géodésiqiie (grand cercle) : > 

a.i: -f- bj -\- cz = o. 

Le cercle (2) devient géodésique (grand cercle) si A = o. 
Pour X infini on a le cercle imaginaire 

(3) x'-^j'-i-z' = o, 

situé à une distance infinie (car il est la ligne du contact 
idéal entre la sphère et son cône asymptote). 
L'équation (2) démontre que : 

Tous les cercles [grands ou petits) tracés sur la sphère 
peui^ent être considérés comme des coniques sphériques 
qui 07it un double contact av>ec le cercle imaginaire à 
l 'infini. 

2. Soit 

(4) ^ = ^ = ^ 

un point de la surface sphérique. La géodésique polaire 
relative au cercle imaginaire (3) pris comme courbe di- 
rectrice est 

(5) .r„.r -I- ju j 4- 3, z =: o, 



( 271 ) 
et la géodésique polaire du même point, par rapport à la 
conique (i), est 



^ ' \ +£ (£^„+5ro-4-7Zo) = o. 

Si lesdeux lignes géodésiques (5) et (6) doivent coïncider, 
c'est-à-dire si le point (4) a la même polaire par rapport 
à la conique (i) et au cercle imaginaire, (3) on aura 

ax^ -+- ç Jo 4- î Zo = 9 j:„ , 

L'élimination de XqIJq'.Zo de ces équations donne une 
équation cubique en 9 5 on sait que cette équation résul- 
tante a ses racines réelles, et que si l'on désigne par 

(7) [xr.yr.^,), {^2:72:^,), {x,:y,:z,) 

les systèmes de valeurs de {xolj^l ^0) qui correspondent 
aux trois valeurs de l'indéterminée 6, on a 

^î-rsH-JjJKs -h Z2Z3 = O, 
^^3 -^i -+- J3 Ji 4- S3 z, = o , 
^, J-j-f-JiJ. 4-z, Z2 = 0. 

Donc les trois points (7) sont les sommets d'un triangle 

trirectangle, et par conséquent la géodésique polaire de 

chacun d'eux par rapport à la conique (i) et au cercle (3) 

(ou absolue) passe par les autres deux. En prenant ce 

triangle pour triangle des coordonnées, c'est-à-dire en 

posant 

(>j)' j, =z,= o, Z2 = Xj^=o, ^3:j3 = o, 

l'équation (i) deviendra 

(8) a.r' -H 8)'-(-7Z^= o. 



( 272 ) 
La forme de cette équation enseigne que si par Tuii quel- 
conque des points (7)' on mène arbitrairement une corde 
(géodésique) de la conique (8), elle y est partagée en 
parties égales. 

Donc les points (7)' sont des centres de la conique 
sphérique. En supposant a ^ (5 ^ o et 7<^o, le point 
a: = > = o est le centre intérieui-; les autres sont au 
dehors de la courbe. 

Ainsi : 

Les centres d'une conique sphérique sont des points 
dont chacun a la même géodésique polaire par rapport 
à la conique et au cercle imaginaire situé à l'infini. 

3. Le létragone (*) complet (imaginaire) inscrit à laco- 
nique (8) et au cercle imaginaire (3) a deux côtés réels; 
les autres sont imaginaires. En effet, en combinant les 
équations (3) et (8), ou obtient 

(a — i^) y'--\- [x — 7) z- =^ o, deux géodésiques imaginaires; 

(P — y) z' — (a — p) x''= o, deux géodésiques réelles; 

(a — 7)j"'+(p — 1) J'^=^ ^ y deux géodésiques imaginaires. 

Donc la conique (8) et le cercle (3) ont en commun les 
cordes géodésiques réelles 

(9) z \/p — y -h X \'oL — p = o , z\jp — y—x\ja.— p = 0. 

Une géodésique quelconque 

( I o ) ax -\- by -ir- cz = o 

est tangente à la courbe (8), si on satisfait à la condition 

fl' b-' c^ 

(n) - + -^-f-- = o. 

^ a [3 7 

Soient 0), 0/ les angles que la géodésique (10) fait avec 

(*) Donné par les quatre grands cercles joignant les intersections de (3) 
et (8). Tm. 



( ^73 ) 
les géodcsiques (9), nous aurons 



COSw 



rt y/a — B + c y/fi — 7 , a si y.— b — c Jf!. — v 
— ? ces M =3 ' — - ; 

donc, si l'on pose 

en vertu de la condition (n), on obtient 

cos-oj + ces' 01' — 2 COS2 9.COSW cosw'= sin'aO, 
d'où 

w it 0/ = 20 = constante, 

c'est-à-dire la surface du triangle spliérique formé par 
les trois géodésiques (9) et (lo) est constante, quelle que 
soit la tangente (10). 

Les géodésiques (9) sont appelées lignes cycliques de 
la conique sphérique (8). 

Donc : 

Les lignes cycliques (F une conique sphérique sont les 
deux arcs de grands cercles [toujours réels) sur lesquels 
se trouvent les points d'intersection [imaginaires] de la 
conique et du cercle imaginaire situé à V infini. 

4-. Pour obtenir les géodésiques tangentes communes à 
la conique (8) et au cercle (3), cherchons les points com- 
muns à leurs courbes réciproques : 

, , X- y- z- 

('2) ~^-"^ + -; = o, x^+jr''+z'= o. 

Celles-ci ont en commun les cordes réelles 



{l3) z v/rMa-7)±J v'7(P - a)= o; 

donc les pôles (absolus ou relatifs au cercle (3), ce qui 

Ann. de Malhémal., t. XIX. (Juillcl 1860.) 18 



2 74 



est la même chose) de ces lignes, savoir les poiiits 



(i4) x=o, j:2 = ±v'7(? — a):v^p(a-7) 

sont les sommets réels du quadrilatère complet (imagi- 
naire) circonscrit à la conique (8) et au cercle (3). Les 
géodésiques (i 3) sont les lignes cycliques de la conique (12), 
et par conséquent la somme ou la différence des angles 
qu'elles forment avec une tangente quelconque de cette 
courbe est constante. Donc la somme ou la différence des 
arcs géodésiques qui joignent les points (i4) à un point 
quelconque de la conique (8) est constante. 

Ces points (i4) sont appelés les foyers de la conique 
spliérique (8). 

Ainsi : 

Les foyers d'une conique spliérique sont les points de 
concours [toujours réels) des géodésiques tangentes 
communes à la conique et au cercle imaginaire situé à 
l'infini {*). 

Il s'ensuit : 

Deux coniques sphériques homocjcliques sont deux 
coniques dont le tétragone inscrit est aussi inscrit au 
cercle imaginaire situé à Vinfini. 

Deux coniques sphériques honiofocales sont deux co- 
niques dont le quadrilatère circonscrit est aussi circon- 
scrit au cercle imaginaire situé à rinfini. 

5. Les érpiations 

A = ax- + by'* -+- cz"- -F â ( j' + j' 4- z"-) = o, 
A'= ax' -f- hy 4- f-' + >■ ( J^' -f j' + 3') = o , 
représentent deux sphériques homocycliques. Soit 

U = ax'+ P/" + 72' + ^SjZ -t- 2£Z.r + 2(pJ-> =r 
C) r.oinmc dans les coniques planes, Tm. 



( 275 ) 
une autre conique quelconque. Les équations 

(i5) B=U + fxA = o, B'=UH-pi'A'=:o 

représenteront deux coniques circonscrites, l'une au 
tétragone UA (*), l'autre au tétragone UA'. Des équa- 
tions (i5) on tire 

B — B'=fy.A— /A', 

f.'B — f.B = (p'— fx) U + (À - V) ^i,' {x-^ -hj = -+- z') ; 

donc l'équation 

B — B'=o 

représente une conique circonscrite au tétragone BB' et 
homocyclique aux coniques A , A', et l'équation 

p'B — (zB'= o 

représente une conique circonscrite au tétragone BB' et 
homocyclique à U. 
Donc : 

Théorème L Étant données deux coniques homo- 
cycliques A, A' et une troisième conique quelconque U, 
si aux tétragones UA , UA' on circonscrit deux coniques 
quelconques B, B', le tétragone BB' sera inscrit tout à la 
fois à une conique homocyclique aux deux A, A' et à 
une conique homocyclique à U. (Chasles. ) 

6. Soient encore données les coniques A, A', U, d'où 
l'on déduit B, B'. On peut donner à la fonction B+AB' 
la forme 

Il suffit , en effet , de poser 

/• -H I = o , f/ — fx' = () ; 

(*) Donne par l'intersection de V cl de A. Tm. 



( ^76) 

alors on a 

B — B' = fx().-V)(x= + j^ = +s'), 

c'est-à-dire les coniques B, B' sont liomocycliques. 

Ainsi : 

Théorème II. Étant données deux coniques honio- 
cycliques A, Èi! et une troisième conique quelconque U, 
si au télragone UA on circonscrit une conique quel- 
conque B, on pourra circonscrire au tétragone UA' une 
conique B' homocyclique à B. (Chasles.) 

7. Soient données trois coniques homocycliques 

A = «X- 4- by- -h cz' 4- \ (.»■' -f- j = + z') = o , 
A' = ax-" 4- 6j»H- cz' -+■ V (.r^- + r' -H z^) = G , 
A"=r ax-" + by' -h cz"- 4- )^" (•?•' 4- J= 4- z') = o , 

et une quatrième conique quelconque 

U = o, 
d'où nous dérivons les trois coniques qui suivent : 
B.;=rU4-jAA =o, 

B' = U 4- f^' A' = G , 
B" = U4-p"A"=G. 

On peut circonscrire au télragone BB' une conique qui 
coïncide avec B'\ En effet, on a 

B 4-/ÇB'=(i 4- k)\} + pA 4-/?p^'A', 
donc , si nous posons 

on obtient 

B4- /•B'=(i4-^)B". 
Donc : 

TriÉonÈME III. Etant données trois coniques lioino- 



( 277 ) 
cycliques A , A', A'' et une quatrième conique quelcon- 
que U, si aux deux tétragones UA , UA' on circonscrit 
deux coniques B, B', les deux tétragones UA'' et BB' 
seront inscrits dans une même conique B". (Chasles.) 

8. Soient données trois coniques 

U = o, V=o, W=U — V = o 

circonscrites à un môme tétiagone. On décrit une conique 

U' = U + >. (^^ + j^ -H z') = o 
homocyclique à U, et une antre conique 

V' = V+ pL(a:' + j' + zO = o 
homocyclique à V. Il s'ensuit que la conique 

W' = U' — V' = AV+ i'A — p) (x=H-jM-z') = o 

est tout à la fois circonscrite au télragone U'V et homo- 
cyclique à W. De plus, les tétragones TJV, U'Vsont 
insci'its dans une même conique 

K= j:aU'— AV'=f/U — XV=o. 

Ainsi : 

Théorème IV. Quand trois coniques U, V, W sont 
circonscrites à un même tétragone, si Von décrit deux 
coniques U', V homocy cliques à U eï V respectivement, 
on pourra circonscrire au tétragone C ' V une conique W 
homocjclique à la troisième conique W. Et les deux 
tétragones UV, U'V auront leurs huit sommets situés 
dans une même conique. (Chasles.) 

Il suit d'ici qu'on aura deux faisceaux homographiques 
de coniques, dont les bases sont les tétragones UY, U' V, 
et les deux coniques correspondantes 

U — /V = o, U' — /V' = a 

sont toujours homocycliqucs. 



( ^78 ) 
Il est évident qu'à la condition d'être homocycliques, 
on peut substituer celle de rencontrer une conique don- 
née dans un même système de quatre points réels ou 
imaginaires. En vertu de cette observation, les c|uatre 
théorèmes de M. Chasles ne constituent qu'un théorème 
imique, auquel on peut donner l'énoncé suivant : 

Etant données plusieurs coniques 

U = o, V=o, W, = U— /rV=o 

circonscrites à un même tétragone, et une autre conique 
quelconque 

C= o; 

si aux tétragones UC , \ C on circonscrit deux coniques 
U', V, on pourra circonscrire aux tétragones W,.C res- 
pectivement des coniques W'. qui soient toutes circon- 
scrites au tétragoJielj'\'. Et les deux tétragones UV, 
U'V auront leurs huit sommets situes sur une même 

conique 

K = o. 
Il s'ensuit encore : 

Si deux tétragones UK , U' K inscrits da?is une même 
conique K sont les bases de deux faisceaux homogra- 
phiques de coniques, les points d'intersection de deux 
coniques correspondantes 

À W. = (/ — /.fx) U — f,.K = G, 

XWV= (> — /Vp)U'— /.K = o 

i 
se trouveîit toujours dans une même conique 

U — U'=o. 

Et réciproquement : 

^Jin que toutes les intersections des couples de cent- 



( 279 ) 
ques correspondantes fie deux faisceaux honiogra- 
phiques appartiennenl à une même conique, il faut que 
les tétragones, hases des faisceaux, soient inscrits à une 
même conique. 

Ces théorèmes généraux ne cessent pas d'avoir lieu en 
substituant aux coniques circonscrites à un même tétra- 
gone des courbes sphériques de l'ordre n circonscrites à 
un même polygone spliérique de n^ sommets. 

Théorème général comprenant comme cas très-parti- 
culier la question 4Î^)8 (p. i54). 

On donne dans un plan : i° une droite fixe; 2° un 
point O sur celte droite; 3° un point fixe A. Trouver une 
courbe telle, qu'en menant par un point quelconque pris 
sur celte courbe une tangente, et par le point A une 
parallèle à celle tangente, ces deux droites interceptent 
sur la droite fixe deux segments comptés du point O, liés 
entre eux par une relation algébrique du degré n. 

On peut considérer ces segments comme des coordon- 
nées tangentielles 5 donc l'enveloppe demandée est une 
courbe de la classe n [voir la Géométrie supérieure de 
M. Chasles, cliap. XXIV). 

On donne dans l'espace : 1" une droite fixe; 2° un 
point O sur celle droite; 3° deux points fixes A, B. 
Trouver vuie surface telle , qu'en menant par un point 
quelconque pris sur celle surface un plan tangent, et par 
A, B deux plans parallèles au plan tangent, ces trois 
plans inlerceplcnt sur la droite fixe trois segments comptés 
du point O, liés entre eux par une relation algébrique du 
degré n. 

L'enveloppe demandée est une surface de la classe n. 



( 28o ) 
THÉORÈME D'ÏKÉGALITÉ SIR M PRODUIT CONTINU 5 

D'après M. le D' SCHLOMILCH. 



Théorème, i^. 2^.3^. . . n^ ^ «". 

Démonstration. On a l'inégalité 

a"» — b'" 

ma"'-' > i 

a — b 

lorsque a~^ b^ o. 

Faisant 

b = m, (i = m -\- i, 
il vient 

m [m -h i )'"- ' Xot + 1 )'" — m"', 

m'" ^ (/w + i)"""' (excepté pour m = i), 
»j'"(otH- I )->(/« + 1 )'"+', 

( w + I ->■ ^ 

m'" 

Faisant successivement m égal à i, 2, 3,...,/i — i, et 
multipliant ces inégalités, on obtient 

i\2=.3\ . . n-^'^n". 
Corollaire. La série 

_log_I^ Jog2 . log" 

On -1 1- . . • -f- 

«4-1 « -f- 2 « + « 

devient infinie lorsque n= ce . 
En effet 

log I -f-log 2 H- . . . + log rt 



S„> 



2./1 

log ( 1 . 2 . 3. . . «) 

2« 



( ^8' ) 
Or 2 log 1.2.3. . . n'^ n log/i [voir ci-dessus ) , doue 

S„> — , 
donc, elc. 

NOTE SLR L'ARTICLE PRÉCÉDENT-, 

Par m. PROUHET, 

Professeur. 



Les limites les plus approchées du produit i.2.3.../i 
sont fournies par la série de Slirling, dont M. A. Serret 
vient de donner une belle démonstration, complétée par 
M. Bonnet (*) 5 cependant des limites moins approchées, 
mais plus simples comme celle de M.Schlomilch, peuvent 
être utiles dans des recherches particulières. En voici 
deux qui se prêtent à une démonstration tout à fait élé- 
mentaire. 

1°. Lorsque n est supérieur à 5, on a 



,.2.3...«<^- 

ou 

I . 2 . 3 ... « 



— <' 



Représentons le premier membre de cette Inégalité par 
x,,. On aura 

1 .2.3...// 



(") Comptes rendus de VAcadc'tme des Sciences, t. L (1860), p. C62 cl 86:;. 



( 282 ) 

et 

1.2.3...«(«+l) 



et par suite 





//^^- i\" 




\ - ) 


Wi 


2 



■+i^" 



Le second membre est égal à i pour n = i, et diminue 

quand n augmente 5 donc -^ est toujours moindre que i . 

Ainsi les fonctions désignées par x„ vont en diminuant. 
Or déjà X5 est moindre que i, donc x„ sera moindre que 
I lorsque 71 sera plus grand que 5 : ce qu'il fallait démon- 
trer. 

2°. Quand n est ^5, on a 

1.2.3... 



e désignant la base des logarithmes népériens. 
En effet, en posant 



i .2 .3. . . /i 

5 ^ 

\ C 



on trouvera, comme dans le cas précédent, 



1+ - 

n 



Le second membre est toujours plus grand (jue i . Donc 
Xn augmente avec //. Mais pour /^ = 5, on trouve x^^\-. 
Donc, etc. 

En sul\aiil lu mrmc marc lie, ou pouiiuit trouver tics 



283 



valeurs plus approchées, pour n^ 6, 7, 8, etc. Mais ces 
limites finissent toujours par être en dehors des suivantes 

1.2.3...// >> v^-«' (- ) ' 



I . 2 . 3. . . /2 <CV^277./2M -) e''^"? 



qui résultent d'une formule donnée par M. Liouville 
(^Journal de Mathématiques, t. IV, p. 821 ). 



SOLliTIOX DE LA QIESTION 478 

(voir t. XVUI ,p. 171) ; 

Par m. g. WIART, 

Élève du lycée de Douai (classe de M. David). 



A, B, C, trois points fixes; AB = C, BC = «, CA = h ; 




\' B' 



a, [3, y, distances respectives des trois points à une droite 
fixe : ou a 

S = aire du triangle ABC (Salmoii). 



( 284 ) 
Soient 

AA' = a, BB' = p, ce = 7, 
ou a 

surf. AA'C'CB = - ( p -h 7) B' C -j- - (p + a) A' B', 
surf. AA'C'C = - (a -f- 7) B'C -+- - (a + 7) A'B', 

d'où, en retranchant, on tire 

2S = (P — a) B'C 4- (P - 7) A' B'. 
Elevant les deux membres au carré, il vient 

4 S' = (P - uy B^' V (P - 7)= Â^'V 2 (p — a) (p - 7) 
X B'C X A'B'. 



Par C, je mène une parallèle à A'Cj dans le triangle rec- 
1 a 

ÂC — ÂD = (A'B' -h B'C y-, 



tangle ADC, on a 



ou 



(i) AG — AD — A'B' — B'C = 2 A'B' X B'C. 

Par les points A et C, je mène des parallèles à A'C et 
dans les triangles ABF, BEC ainsi formés, on a 



AF ou A' B' = c' — (p — a)', 
et 

Éc' ou B^c'=:rt2— (p — 7)^ 



Je porte dans (i) ces valeurs de A'IV cl B'C cl je rem- 
place AC et AD par leur valeur, on a 

^,2_(a — ^)^_[c-'__(p_ y.y] — [(r- (p ^)'] =::>A'B' X B'C, 



( 285 ) 
ou, touic réduclioli faite, 

b'—c' — a'-h 2(p' + «7 — fia — p7)=z2A'B' X B'C 

On remarque ici que (/5^+ «y — [txx — (3y) est égal au pro- 
duil {(3 — a) (^ — y). Je remplace maintenant dans l'ex- 
pression de 4S% 2 A'B' X B'C par sa valeur trouvée et je 

remplace B'C, A'B' par leur valeur, on obtient 

4S^= iP-<y.y[a^ - ([5-7?] -+- i^—lYic' — i^ - «?] 
^_ (P _ a) (p - y) [è^' - «^ - c' + 2 f p - a) (p - 7)], 
OU 

4S'^ = rt'(p-a)^ + c'(p-7)^-t- (p_a)(p_7)(è' — rt=-c^). 

En effectuant les calculs et les réductions et disposant les 
termes convenablement, on arrive à la relation 

n'^a? + Z»^ p' + c'f ~ [a? + è' — c') a^ — (Z»' + r' — «') ^7 
— (o'H-c^— Z'2)a7 = 4S-. 



RAYONS DE COURBURE. 

Trouver l'équation de la courbe telle, que ses rayons de courbure soient 
vus d'un point donné sous un angle donné j 

Par m. h. LECOCQ, 

Licencié es Sciences malhémaliques, Maître répétiteur au lycée 
Louis-le-Grand. 



En prenant le point donné pour origine des coordon- 
nées et désignant par x^j^ /•, les coordonnées rectangu- 
laires et polaires, on a 



( 286 ) 
D'un autre côlé, le rayon vecteur mené de l'origine au 
centre de courbure fait avec l'axe des x un angle o dont 
la tangente est le rapport de l'ordonnée à l'abscisse de ce 
centre, savoir 

I -f-»' 

•^ + -^ 

tansw = — 



I H- p' 
X — p 



(iy cl"^ Y 

p et q étant respectivement égaux à — et -7-7 • On doit 

donc avoir, en appelant K la tangente de l'angle donné, 

K = tang(w — 6), 

ce qui conduit à l'équation différentielle du deuxième 
ordre 



K = 



9 K + J') H- (1 + A'') ( J — /'•î^) 



Celte équation étant homogène par rapport à x^j^ dx, 
dy, d^y, on sait que si l'on pose 

j = uXj dj= pdjCf d^y = — dx'^, 

X 

X et dx disparaissent : on obtient en effet par ces sub- 
stitutions 

(0 K [Q (i + lû) 4- (i +/>') (« -p)\ = (i +p'-) (i +pu) ; 

on sait aussi qu'alors on doit avoir 

du _ dp _ R dp ( 1 + «2 ) 



^ ' p-n Q {i ^p^)[i-i-pu) + K{i-^p^){p-u)' 
ov si l'on pose encore 

p = langflp, // = taiigO, 



( =^87) 
d'où l'on tire 

/ f/Ô 

' COS'cp ^ cos'O 

l'équalion (2) se transformera finalement dans l'équa- 
tion 

(3) r/6 = Rtang(<p — 9).rf((p — 0). 

En intégrant, on en tire 

e y- , , 

— - =z:Lv/Acos((p— 0), 

A désignant une constante arbitraire. 

Passant aux exponentielles et développant le cosinus 
en se servant des relations 



sino^-;-? sine = -î 
' as r 



dx .T. 

C0S<i>=-7-î COS0=:-, 

' as r 



on trouve facilement 

r/9 

1' " 
d OU 



/ 1^ 



dr (IQ ^, r/z 



Va.^'^-i 



si 1 on a pose 

z' = Ae^ — i. 
L'équation chercliée se trouvera en intégrant de nou 



( 288 ) 
veau. On obtient ainsi 



/~1! — 

, . B/- = K arc tang y Ae^ — i , 



B étant une seconde constante arbitraire. 
On peut remarquer que la formule 



rrlB 



I 26/„ 



donne la tangente trîgonométriquc de Vangle que fait la 
tangente en un point quelconque de la courbe avec le 
rayon vecteur de ce point. 

Si l'on suppose K=o, on en conclut dr=o ou 
/• = constante. C'est-à-dire que la courbe se réduit à une 
circonférence dont le point de vue est le centre. De ce 
point on voit en effet les différents rayons sous un angle 
nul. La valeur de z est infinie, car la tangente est per- 
pendiculaire à l'extrémité du rayon. 

Si l'on suppose K — oo , l'équation donne pour z une 
valeur constante, propriété qui appartient à une spirale 
logarithmique. Dans ce cas on voit que tous les triangles 
qui ont pour sommet le point de vue et pour base le rayon 
de courbure sont tous semblables entre eux, car ils sont 
rectangles et ont un angle aigu égal dont la tangente est 

- : il en résulte que le rayon de courbure est propor- 
tionnel au rayon vecteur. 

En général , les coordonnées du centre de courbure a 
et j3 seront 

I -1-//' K.r -f- r 



fi 



«7 I 4- K s 

lj{\ -\- p'') _ -y — K .r 

7, "" I -f Kz 



( ^89 ) 
m se servant des valeurs 

^z4-j (H- s^)(H-Kz)/' 

p z= ) a = — — — - — . 

■r — yz K{x — jz )' 

Les valeurs de a et (3 donnent 

X a + Kp' 



(i -HKz)'^ 



Or z n'étant fonction que de -j il en résulte qu'entre 

les deux équations précédentes et celle de la courbe, on 
peut facilement éliminer x et y, ce qui conduit à l'équa- 
tion de la développée qui est , en appelant y l'angle donné 
dont la tangente est K, 

Br I \/ |(^-/) I 

L , -f- L L I + K arc tang \ Ae*^ — i J 

= K arc tang y A f*^ — i . 

Le valeur générale du rayon de courbure est 






^l»»i. (if- Mathcniat., t. XIX. (Août iS6o.) 19 



29< 



PROPRIÉTÉS DES TETRAEDRES CONJIGIIÉS DANS LES 
SURFACES m SECOND DEGRÉ 

fil solution (le la qnestion o24 (Faure) ; 

Par m. pain vin, 

Professeur. 



1 . Un tétraèdre est dit conjugué lorsque chacun de ses 
sommets est le pôle du plan qui passe par les trois autres. 

Je désignerai par M, , Mj , M3 , M4 les quatre sommets 
d'un semblable tétraèdre, et par (xi, }'i, s, ), (x.>,j)'9, 2?) 
(xs,.)'», 23), (x4,/4, Zi) leurs coordonnées respectives, 

1". Surfaces à centre. 

2, Prenons, par exemple, l'ellipsoïde 



Posons 

et 

(^) 

Si l'on se rappelle que l'équation d'un plan passant par 
les trois points Mg, M3, M4 peut se mettre sous la forme 

.}' y 2 fi y, i 



qu'on identifie cette équation avec ccllf du jtlan polaire 





X 

a 


H- 






.r, 


x^ 


•'^■3 


x^ 




.}■•. 


X^ 


X^ 


X* 




z, 


Z-i 


"i 


3i 




«, 


«2 


a. 




(ID 



( ^9» ) 
du jjoiul IVI, , savoir : 

a' ^ b' ^ c^ ~" ' • 

et qu'on opère de la même manière pouf les (quatre som- 
mets Ml, Mr, M3, M4, on obtient les douze relations sui- 
vantes 

d\i , r/D rfD 

a.r,. " dy,. dzr 

où 

r= I, ?., 3, 4- 

Remarquons tout de suite ([ue D est égal à six fois Je 
volume du tétraèdre Mi M, M3 M,, \ Di à six fois le volume 
du tétraèdre OM2 M3 M4 ; D, à six fois le volume de 
OM3M4M1, etc. ; O est le centre de l'ellipsoïde. 

3. Les formviles bien connues du développement d'un 
déterminant au moyen de ses déterminants dérivés, ap- 
pliquées au déterminant D, en ayant égard aux relations 
(v3), nous conduisent aux égalités suivantes : 

(4) D, -l-D, + D, 4-D,, = D; 

D, x] + D: x\ H- D, .t\ 4- D, x\ -i- «' D " o , 

D,,rÎ4-Do1^D,.r^, + D,r^ -h6^D = o, 
( D, z^ + D, :.: -+- D, z\ 4- D, 3^ --h r^ D = o ; 
I D, jr, j, H- D2X2 jî H- D.i.r3 jr, + D4 x^ >-, = o , 
'6) ' D, X| z, + D, JTj z, + Di .r,; z~ + D4 .r, z, = o, 
' D, y ! z. + I^'^ )'■' ^2 -+- D3 j:, 2, -f- D, j, z, = o ; 



î?: 



.r; r,' z'' D 

«- /r C^ Dr 

/• = !, ?., 3, 4; 

.7.7 .1;,- r,- r , z, Zg 

/•,,v = I, •-'., 3, 4; '•<•*■• 

'9- 



( 292 ) 

Les six dernières relalioiis (8) sont suffisaïUes pour 
exprimer que le létraèJre M, M. M3 INI; est conjugué 5 eai- 
elles indiquent que le plan polaire dun quelconque de ses 
sommets passe par les trois autres. 

4. Cherchons maintenant Féquation de la sphère cir- 
conscrite au tétraèdre en question. Si, 

j:'! _|_ y-i _(_ 3- -f- oni.r -+- y. nr -h 2/?z 4- 7 .■= o 

étant l'équation de cette sphère, on exprime qu elle passe 
par les quatre sommets, l'élimination de m, //, p, fj 
entre les cinq équations obtenues nous donnera pour l'é- 
quation de la sphère circonscrite 



H- .?■' 



(9) 



2.r 


2/ 


2 S I 




■?..Vi 


a r, 


2 ?i 1 




■?. X-i 


2-7î 


2C, 1 


= 0; 


2 r. 


2 j- 


2x:., l 




?..r, 


2 V, 


>', 1 





on a pose 

(10) •. 

f i= 1, 2, 3, .|. 

On voit facilement <[u'en repiésentant par X, Y, Z les 
coordonnées du centre de la sphère et par L' le carré de 
la tangente menée de l'origine à celle sphère, ou aies re- 
lations suivantes : 



elx, d.r, 



2DY 








+ '•: 


dx^ 




-h'- 


r/D 



2DZ = r] 



r/D 



r/D 



r/D 

f/z, ' ' dz] 

\ - DL== / : O, 4- /', D. 4- ri D, + /^ D, 



dD 



r/23 «3, 



( ^93 ) 

5. Les foiuiules que je viens d'élahlir peiiiieiloiil fie 
conslalei de nombreuses propiiélés relatives aux tétraè- 
dres eonjugués. Je signalerai les suivantes. 

Les égalités (5), ajoutées membre à membre, donnent 
(12) D, r] -f- D.r] + D, /-^ +D., r] + D («^+ ù'--hc^) = o. 
D'où 

Théorème L Désignant par V le vo/uinc d'un té- 
traèdre conjugué Ml Ma M3 M4, par V, celui de 
OMaMsMi , par V2 celui de OM3 M,, M, , etc., on aura 
entre ces volumes la relation constante 

V {fi' 4- i^ + c^) = V, . ôm] + \, . ôml -h Va.ôÂJa + V4 .ôm' . 

Les volumes Vj, V^, Vs, V4 doivent être affectés d'un 
signe tel, que leur somme soit égale V(4)', O est le 
eentre de l'ellipsoïde. 

0. Le déteiniinant D peut s'écrire des deux manières 
suivantes : 





x^ 


.r. 


A-; 




a 


<l 


a 




y\ 


} - 


y. 


D z- (ibv 


h 


J 


7) 




z, 


Z2 


S; 




(• 


c 


r 




I 


I 


1 



— D 



du 



h 




r 


Z-i 


Z;-. 


2 



l^lïeeluons par colonnes l.i mulliplicalion de ces tleux de 



( 294 ) 
terminants; on faisant intervenir les relations [y) et (8), 
on trouve 

— D' = n' b- c- —• 

D, D, D, D, 

On en conclut que 

Théokème 11. Entre les volumes \ , ^ i? ^ a, ^ s: ^.v cf 
le tétraèdre construit sur les axes rie r ellipsoïde, on. a la 
relation con.stanle 

V.VjV, V, înhc\^ 



v \ 6 ' 

7. Eu égard à la relation (12), la dernière des égali- 
tés (11) nous donne 

(i3) L^ = rt- + (!>= -^ c-', 

doù 

Théorème III. Le carré de la tangente menée du 
centre de V ellipsoïde à la sphère circonscrite à un té- 
traèdre conjugué quelconque est constante et égale h 

C'est la généralisation du beau tliéorènie énoncé par 
M. Faure sur les coniqnes (p. ^34) (*)• 

8. Si Ton multiplie les égalités (11) par ./,, y,, 2,, i, 
respecti\enient, el (ju'on ajoute les résultats, on obtient 
les quatre relations suivantes : 

?. (Xjc, H- y r, -f- Zz,) = r; -|- n- ■+■ b- + c\ 
(i4) 



/ = 1, 2, 3, 4- 
l^'oii 

rHÉ0KF:ME JN . Si Ion se donne un point fixe, M. par 
exemple, les centres des sphères circonscrites aux tétraè- 

(*) OlifîiiiP rie loiil < liavail. Tm. 



( 2y>> ) 
flidi conjugués en nombre infini, a) anl un de leurs soni- 
niels au point Jixe^ seront constainnu-nt dans un plan 
perpendiculaire à OMi et à une dislance de l'origine 



égale à 



70M, 

2". Surfaces dénuées de centre. 
9. Prenons, par exemple, le paraboloïde elliplique 

' 1 IX =. o. 

JJ q 

Conservant toujours les notations (i), (2), les conditions 
qui expriment que le tétraèdre Mi M, M3 M; est conju^ 
gué pourront s'écrire 

. «N (^ '^D dD YrdD dD Zr dD 

\ (iXr dfr p dXr dz,. q dXr 



„ dD dD dD dD 

nemaïquous eiicoie que — — > —-5 -7- ^ -7— représentent 
' dx, dx2 dx^ dx-i *■ 

le double de la projection sur le plan des xy des triangles 
Ma M3 M4 , M3 Mi M,, M4 M, M,, Ml M, I^ig. 

10. Les formules relatives aux déterminants, combi- 
tiées avec les relations (i5), nous donneront ici 

(16) 



\n) 



dD dD dD dD 
dx, dr^ dr^, di^ 


= 0; 


. f/1) , dD , ^D 
X _-(-.r — -^x 7-4-.'- 
dx, dx^ dx 


dD 

-— — 0, 

dx, 


dD dD .. dD 

- ' dy, - ' dy, ' ' (h ,, ' ' 


dD 

--4-/.D = o 


, dD , r/D , dD 

' f/z, de-, dz~ ' 


dD 



296 



(ID (ID r/D ^D 

rt.r, ax. (Ix, a Xi 

iD rfD f/D iD 

. .r, z, h x. Zi h "Tj s, \- X, z^-— = o, 

*■ dXi ax^ ax^ ilx^ 

du dï) dD dD 

dxt dx-2 dx, dXi 

p. q du 

•9) 1 ;^,. 

r=i, 2, 3, 4; 

!, , s yrVs Z,.Z, 

') •y = i, 5, 3, 4; r>s. 

11. Les égalités (17), ajoulécs membre à membre, con- 
duisent à 

. . ,^/D ^dD ,r/D .dD 

^^') '•■ .7^ + ^= ;?:^ + '-^TF^ ^ '-^ .7;: -^ ^^^ + '^^ ° = "• 

D'où 

Théorème V. Désignant par \ le volume d'un té- 
traèdre conjugué M1JM2M3M4, par Si, Sj, S3, S4 les 
projections^ sur le plan des yz, des faces Mo M3 Mi , 
M3M.M1, M. M, Ma, Ml M2 M3, on a entre ces quanti- 
tés la relation constante 

3 (/> -f- 7 ) V -4- S, . ÔM ,V S . ÔÂT '+ S,, mh-h s, . ÔM,'=: o. 

Les surfaces Si, Sa, S3, S^ doivent èlre affeclées de si- 
gnes tels, que biur somme soit nulle (i6). 

12. Le déterminant D peut encore s'éciire sous les 



deux Ibuiios suivantes 



D = v/^7 



( ''97 ) 

■T.-, X. Xi X^ 

y^ Zi ^ Il 

sjjj \!p \Jp sjp 

Zi 22 Zj Z^ 

vy v^7 V'7 ^1 

I I I 



D =r sipq 



I 



I 



I 





J'2 


— 73 




— -3. 


^^ <^2 


— Z4 


— Z4 



v/7 s/7 v'^/ V^y 



Effectuant, par colonnes, la multiplication de ces deux 
déterminants et faisant intervenir les relations (19) et 
(20), ou trouve 

_ D' 

_D-_/>v^^j^ r/D clD dD' 

(Ixi (l.r-, cl.r cl.T^ 

On en conclut que 

Théorème M. Entre le volume Y et les surfaces S,, 
S2, S3, Si, on a la relation constante 



Si 5,83 Si _ q 

4 



V-- 



pq. 



43. La première des relations (11) coiriparée avec la 
relation (21) nous donne 



;22) 



x = ~ 



l> + V 



( ^98 ) 
D'où 

Théorème MI. Le centre de la sphère cireonscriie à 
un tétraèdre conjugué quelconque est constamment dans 
un plan perpendiculaire à V axe de la surface et à une 
distance du soniniei égale à 



DES COORDOXXEES PARABOLIQIES 

cl (If leur applicalion à la géoraélrie des parabolnïdfs {*)\ 

Par m. C.-Alph. VALSONS, 

Professeur à la Faculté des Sciences de Grenoble. 



^ ai essayé précédemment de faire une théorie générale 
de lellipsoïde et des figures qu'on peut tracer à sa sur- 
face, en partant des méthodes de .M. Lamé relatives aux 
coordonnées elliptiques. C'est l'objet d'une thèse éditée 
chez M. Mallet-Baclielier en i854: et dont il a été rendu 
compte dans les l\ouvelles Annales [voir année i85(;, 
p. .jt» du Journal et p. lo du BulL'tin bibliographique^. 

Je me propose, dans ce nouveau travail, d'étendre 
les mêmes recherches aux su i faces du second deijré dé- 
liuées de ceulr(; et en pai ticulicr au paraboloïde ellip- 
tique. 



(*J Le calcul difrérentiel fait partie de l'enseignement des lycées sons le 
nom de dérivées et de limite. Le nom ne fait rien à l'affaire. Ainsi ce Mé- 
moire est à la portée des élèves des lycées, excepté ce qui concerne les 
li;;tu's peodésitpies; mais cette partie s'adresse aux élèves de l'École Normale 
et do ri''.cole Polyteclinique,' et il i\\ a pas de |)rofesseur qui i(;nore les tra- 
vaux de MM. I.amé, I.iouville, Reiirand, Monnet sur celle i;éoinélric des 
surfaces ;A7/c*//.'n( sii/n'ricuir. ' i\<>I.:- du Hrduclriir . ' 



( '^99 ) 

î. 

Des paraholoïdes orthogonaux. 

Considérons le syslème des uois équations 



• 1- -^ 1= // + 2.r, 



(<) 



(' r -h (■ 



(V + 2X, 



«' f — (V 



dans lesquelles e conserve une valeur fixe et où 1 on 
donne aux variables u, v. tv toutes les valeurs possibles, 
pourvu toutefois que u reste toujours supérieur à e el que 
w lui soit au c outraire toujours inférieur. 

On vérifie facilement que ces trois équations appar- 
tiennent à trois séries de paraboloïdes dont les deux pre- 
miers sont elliptiques et le troisième hyperbolique, et de 
plus que ces surfaces sont orthogonales. L'équalion qui 
exprime, par exemple, que les deux premières surfaces se 
rencontrent à angle droit est 

.■)' J , ;• 2 

- . - 4 . 1 = o, 

u V u C V -f- c 

el elle se déduit immédiatement des deux équations de ces 
surfaces en les ajoutant et supprimant le facteur commun 
H -+- u. 

' Ce système est analogue à certaines surfaces orthogo- 
nales du second degré douées de centre qui constituent 
la base de la méthode des coordonnées elliptiques. Dans 
le cas actuel, on aura à considérer ce qu on peut appeler 
les coordonnées paraboliques dont je vais examiner les 
principales propriétés. 



3oi 



11. 

Des coordonnées paraboliques. 

On voit, d'après ce qui précède, qu'en un poinl Al de 
l'espace on peut faire passer trois paraboloïdes orlhogo- 
naux. Réciproquement, ce point poum^a être considéré 
comme déterminé au moyen de ces trois paraboloïdes, 
ou bien analytiquement au moyen des trois variables //, 
p", w qui les caractérisent-, ces trois variables seront les 
coordonnées paraboliques du point. 

Cela posé, occupons-nous d'abord d'exprimer les coor- 
données rectilignes a:, j^ z du point M en fonction de ses 
coordonnées, paraboliques u, u, w. On remarquera que 
les trois équations (i) se déduisent de la première en 
changeant u en — p" dans la seconde et en + w dans la 
troisième. L'équation en u peut être mise ensuite sous la 
forme (*) 

U' -h H- [2.x — e) — u (2t'x -h y- -\- z- 1 -(- ej- = o. 

Si l'on y regarde je, j. z comme connus, ses trois ra- 
cines seront t/, — v>, — u\ et on eu conclura 

n — (' ^- (»• =1 r — 2.T', 
il'oîi 

2 .r = (' — ir — u -t- f , 
) sjc = \'ii . y'i . y d'. 

On aura ensuite .sans didiculté 

z \/c' ^ \n — c yc -1- e yr — (»■. 

On a en déiiiiilive les trois ibrnudes de Iraiisforma- 

(•) Voir ISuuvcllcs Annales, l. \ , |i. l'i'i. 



llOll 



('•) 



( 3oi ) 



\ M. y«'. y/<«' 



\'// (' . \ <• -+- C. \ C — (f 

S'" 
\ oici quelques formules qui s'en déduiseiii. Ou a «ii 
diflV'ri'u liant 

2.dc:= — (il( ■+- fif fi'(\' , 

1(1 y 



■y.dz 



\je . y'f — w 
Si l'ou fait varier séparément ii. ^', u-, on en déduira 
les différentielles des trois lignes de courbure qui résul- 
tent des intersections des surfaces prises deux à deux; il 
suffira d'ajouter les carrés des valeurs précédentes où l on 
conser\e successivement les termes qui contiennent du^ 
fiv, <U\'. on aura 

(Is,, = — • ri H =: L du , 

V' « . S 'i — P 



Vf 


• v'" 


du-{- 


v« 

v/7- 


lu ^ 


dv — 




•V" 


d(V, 


_ v't' 


\ '• V 


■ \^' — 


d' 


\"- 


— r . 


S'-- 


— ff 


\ 


Il — < 


V 


r.sj. 




1' 




v« 


— e 


+ c 



(4) . d.s\ = ^ L JL -dv =\rli'. 

y/t> . yc + c 



\,i H — cv. Ji' -f- a' 

^ * dn' = ^^ rAi 



y(v yt' — H' 

Pour un arc de courbe quelconque dans Tespace, ou aura 
(5) ds'= d.si -f- ds^. + dsl = \]- du- + y d<'- + W- r/(»'=. 



( 302 ) 

III. 

Des ombilics et des sections ciicul aires. 

On sait que le paraboloïde elliptique a deux ombilics 
situés dans le plan zOx de la parabole de moindre para- 
mètre en deux points symétriques où la tangente à la 
courbe fait avec l'axe des x un angle détiiii par la rela- 
tion 



(6) rang 6 = 



Soit F un de ces points, FT la tangente. F> la normale. 








/ 


\ 

\ 


1 


s p 


/O N j: 



FP la coordonnée z. La parabole SF a pour équation 



oïl aura 

^„ NP ii — c 
tangO=r tangFTiN = tang>FP= — - = — -— , 

et à cause de la valeur précédente de tang5, on aura poni 
l'ombilic 



Il sera encore utile, par la suite, de remarcpu'r <|ue la 
même iiguie donne pour la normale 

pp 

(8) R - FN = = V « (" — '')^ 



( 3o3 ) 
et pour l'abscisse de l'ombilic 

(9) — .r = OP = - 



Ainsi les coordonnées de l'ombilic seront 



(10) .r = 1 j = G, z=y'a(M— (•). 

Si l'on remonte aux valeurs de )^ et de z ( '^), on en ( on- 
clura, en les identifiant aux valeurs précédentes, (jue 
pour les ombilics on a 

(' = o , w = o . 

Enfin nous aurons à considérer une sphère ayant pou: 
centre le pied v de la normale à l'ombilic et pour ra^on 
cette normale elle-même. On peut encore la définir en 
disant qu'elle est tangenle au paraboloïde en ses deux 
ombilics. Nous conviendrons de l'appeler sphère focale^ 
ce qui sera justifié par ses propriétés. 

Nous rappellerons (uicore que les sections circulaires 
du paraboloïde sont parallèles au plan tangent de la sur- 
face à l'ombilic. 

IV. 
De la courbure fia paraboloïde elliptUjtie. 

Nous commencerons l'élude du paraboloïde par les 
propriétés lelatives à sa courbure. 

Soicnjt 

l X — .r H- » ( Z — z ) = o 
(11) 

) Y-.r+ry(Z-/.) = 0, 

les équations d'une normale, et 

(Ix dz . ., , dp 

_ + /.__.(Z-z)-^ = o, 

<ly dz , d(j 

7-+ 7-^- Z-z)-/=o, 
dt' dv (Iv 



( 3o4 ) 

les équations de la normale infiniment voisine quand on 
se déplace suivant la ligne de courbure w = constante. 
On trouvera sans difficulté 



</x 


1 

2 


dz 


_\u 


— 


c .\je — 


M' 


do 


2 
-7, 


s/e 




C 


\Jc. \ja ■ 


— C 


. sju — e 


./,. . _ ./ 









3 (c -f- eY .\le — (v 
La première des équations (ra) devient alors 
Il — c Z — 3 H — e , ^ , 

on en déduira Z — z-^ on aura de même X — >r, Y — ) . 
ce qui donne le système 

X — or = « -f- c, 



U-.,.=-^ 






/.-.=-. 



a — I' 

OÙ x^j, z désignent les coordonnées d'un point M de la 
surface et X,l , Z celles du centre de courbure correspon- 
dant. Par réliinination de x, y, z^ on trouvera 

/ « 4- 3 c — ff + r 

1 "* 

1 V <'v/".s/»' 



— (<' + e) y/c -f- g ■ y/t' — »' 

Pour le rayon de <:ourl)nre lui-même on aura 
R,. z={Z~ z) \/i -{-p^ -\- q'. 

(*) \oiy ri"i|n;ilinii ' -A. 



( ;v>r> ) 

t)n trouvera 



on en conclura la valeur de R^, on aura de même la va- 
leur du second rayon de courbure R,,,, c'est-à-dire 



^^^{u+vf.s/'i 



. r,, , sju.\lii~ 

iu—ivy.sji 



\l u . \l II — a 

Si 1 on voulait avoir le lieu des centres de courbure, il 
suffirait d'éliminer u et w des équations (14)5 ce qui se fe- 
rait sans difficulté. Mais il sera plus simple de définir 
cette nappe de courbure par deux séries de lignes dont 
les unes correspondent k i' = constante et les autres à 
■w = constante, c'est-à-dire aux deux systèmes des lignes 
de courbure du paraboloïdc. 

Si l'on élimine iv, on trouve 



^+.— .Z^ = .X 



(16) ; 



Il — 


- e 


{e + 


")' 


{u- 


eY 



+ ) f Z'= 2«+ St»— 2X, 

équations qui expriment que les lignes de la nappe de 
courbure qui correspondent à l'hypothèse v = constante, 
résultent de l'intersection de deux paraboloïdes ayant 
même axe que le paraboloïde proposé. De plus, en élimi- 
nant successivement X, Y, Z, on reconnaît que ces cour- 
bes se projettent suivant des ellipses sur le plan des YZ 
et suivant des paraboles sur les deux autres plans. 

Si au contraire on élimine p" des équations (i4)î o^^ aura 

Ann. de Mathcm.,\.. XIX. (Août i8()0. ) 20 



io6 ) 



es trois 


equalioiis 




/"-'Y- r"VY'-r^ 




\[c-J-^ [n.)-^ ^' 


•7) 


< 3 (— jY-^ =2X— ,7 ^-rv — f, 










e — ri' 



le , 



qui expriment que les projections des lignes du second 
système seront des développées d'hyperbole sur le plan 
des YZ et des développées de paraboles sur les deux 
autres plans. 

Au sujet des rayons de courbure, on peut remarquer 
que l'on a 

R.' _ (« + f)' ^'' __ ( « — «')' 



(i8) 



u[u — e) R.. u [a — e) 



D'où l'on conclut que le premier rapport reste constant 
tout le long d'une même ligne de courbure i' = constante, 
et le second tout le long d'une ligne de courbure tv = con- 
stante. Cette relation, qui a été démontrée par M. Ossian 
Bonnet pour les surfaces du second degré à centre, se 
conserve donc pour les paraboloïdes. 



QUESTIONS. 



335. Si deux polygones, i*' sont semblables , 2" ont 
les côiés homologues parallèles, 3" ont 1rs intervalles 
entre les côtés homologues égaux, (es deux polygones 
sont circonscriplibles à des cercles. - (BorxnOM.) 

53G. Ouel esl Icniininuun de matière pour ( onslinii e 



( 3o7 ) 
un vase cylindiique dioit dont on donne! : i^' 1 épaisseur 
uniforme du fond ^ 2" l'épaisseur uniforme de la partie 
latérale 5 3" la capacité; 4'^ Taire de la paroi intérieure; 
5° Taire de la paroi extérieure; 6'* enfin une section faite 
parallèlement au fond, et semblable à une fii^ure plane 
donnée? (Ror.noNi.) 

537. Discuter la surface donnée par Térpialion po- 



laire 



p-'[3sin2^cos-iJ/ H- V (i -f- fxjsin^G — 1] =r pr/', 



surface à centre; trouver les longueurs des trois axes; 
démontrer qu aux valeurs 



9 = -, •l' = o, 



'V: 



répond un point singulier de la surface, tel, que le sys- 
tème de plans tangents qu on peut mener par ce point 
forme un cône du second degré qui devient de révolution 
lorsque y = o. 

Nota. Extrait d'un Mémoire de haute importance sur 
les atmosphères planétaires, et particulièrement sur les 
almosphèies cométaires. Les professeurs y tiouvcront 
d'instructifs exercices sur la discussion des équations. Le 
savant professeur de la Faculté de Montpellier démontre 
(ju on ne peut expliquer 1 existence d'une queue unique 
opposée au Soleil qu'en admettant dans la phoronomie 
céleste une nouvelle force, nne force répulsive, déjà soup- 
çonnée par INcwton, et qui paraît devoir être confirmée 
de nos jours. 

o38. Discuter la cubique donnée par Téquation 

1 3 ) =: p ( ?.5 X — I 2 .r^ ) . 

yola. Exilait d un Mémoire du même profond ana- 

20. 



( 3o8 ) 
lyste sur la loi de lu pesanteur clans l'inlérieur de la terre : 
y est la pesanteur correspondant au rayon a:, et p la pe- 
santeur à la surface où x = i . 

M. Edouard Roche signale (p. 9) une erreur échappée 
à Poinsot, dans son Mémoire sur la théorie des cônes cir- 
culaires, n° 34- 

539. Trouver Térjuation d'une courbe qui représente 
les trois folioles égales du Trifoliuni pratense. Chaque 
foliole est partagée symétriquement par une droite qui 
aboutit vers l'intérieur à un point de rebroussemcnl, et 
à l'extérieur à un point d'inllexion. Les trois droites for- 
mant entre elles des angles de 1 20 degrés se réunissent (*) 
au même point du pédoncule. 

IDENTITÉ 

de deux expressions du rcsie de la série de Taylor; 
D'après Cnn. .IIJRGENSEN. 



(CREi.i.r, t. X\il, |>. 291.) 



1" Lagrange. On a 



f{z)=f{.v + z - ^) =:fjc +/'.r. ^—^ 

1.2 1.2.3,..// 

où R est une fonction de z et de .r <|ui devient nulle m 
faisant 2 := x. 

DifTérenliant par rapport h x^ el intégrant dans les li- 
mites de z à a:, il vient 

J^ 1.9. 3...« 

C) A peu prc's. 



( 3o9 ) 
a" yfmpère. 

fz — f.r 
fz = f.v ■■\- V [z — v ; V= —. 

z — x 

Dillérenliant par rapport à x, jusqiià l'ordre /i, il vient 
successivement 

O z= f X -\- P'(z _ x) — P, 
o =/".r 4- P"(3 — .v) — 2?', 
[a) { o= /'" X + P'" {z-.r) — 3 P" , 



1 o =/l'')xH- P(")(3 _ .,.) - «PC'-'). 

Eliminant les ti quantités P, F, P'', . . . , P""') entre les 
n-\-i équations, il vient 

/(z) =/{x) -^f'.r.z - X +/".r. i^=-^' + . . . 

{z — x.y pC''J(2_.ry'+' 
+/"-^. ^^— H ^-ô ^ • 

l . ■->. . . . . « I . 2 . o . . . « 

On a donc ici 

1 .2. J. . .« 

[An finies de Gergonne, t. XVII, p. 3 17.) 

Cette expression est aussi celle de M. Cauchy (Moi- 

gno, Calcul différentiel, p. 62). 

DitTérentiant la dernière des équations (a) par rapport 

à Xi on a 

o=/(»+')a:+ P("+'''(z — o.-) — (« 4- i)PC"); 

multipliant celle équation par [z — x)", elle peut se 
mettre sous la forme 

/C+Ox.^z —xY -f-[Pi"^(z — x)(''+')]= o; 



( -^lo ) 
intégrant^ on u 

/(«+.: .V ,/,■ H ^ , ' =r o. 

J ^ 1.1.6..// l .2.3. . ./i 

Donc l'expression d'Ampère est identique avec celle de 
Lagrange . 



NOTE SIR LA DIFFERENCE DE DEUX PllSSAWlES 
CONSÉCIÏIVES ; 

Pau m. a. TRONSENS, 

Élève ilii Ivcee de Douai. 



\ . La différence de deux carrés consécutifs est égale à 
la somme des deux racines. 

2. La ditlérence de deux cubes consécutifs est égale à 
la somme arithmétique d'une suite de termes de la pro- 
gression arithmétique 6, 12, 18, 24, etc., augmentée 
d'une unité. 

3. La différence de deux quatrièmes puissances consé- 
cutives [n -h 1)' — n^ est égah^ à la somme de la suite des 
nombres consécutifs 

i>. n- -f- // H- 1 , 7 //■ -4- 2 // -t- 2, . • • , ? /'"■ -f- 3 // -i- I . 

Le nombre des termes est 2 /i -h i, car 

( «' -h I )' — //' = ( 2 rt H- I ) ( 2 «■- H- 2 // -i- I ). 

Soitxle premier lermcd une progression arithmétique; 
I la raison el 0. ti -h i \v nombre de termes^ la somme 
sera [x -t- // ) (2// H- 1) ^ [)nni' (pie cette somme soit ('-g.!!»' 
à la dillérence de deux (piah iciucs puissances, il siillil de 



{ .'I' ) 

faire 

4. Il existe une infinité de progressions arithmétiques 
dont la somme est égale à (i + «)'', p étant un entier 
positif. 

Î^OIVELLE SOMME Dl RESTE DE LA SÉRIE DE TA\LOR 

.voir p. 308 ; 

D'après M. E. ROCHE, 

Prolesseur à Montpellier. 



i . Lemnie. Lorsque la dérivée d'une fonction par rap- 
port à une variable reste constamment positive pour 
toutes les valeurs comprises entre deux limites, la fonc- 
tion primitive va en croissant depuis la petite jusqu'à la 
grande limite. 

2. R désignant le reste de la série de Taylor, on a, en 
s'arrètant au /i"""" terme, 

R =/(.r + h) —fx —lif'x f'x + . . . — h'\f"x ; 

faisons x -{- h^ z^ on. a. 

R =fz -fx -{z- x)fx - ^^~^^' f"x 



deli 



1.2.3 

<:/R (3 — -r; 



-/''+'(^.-)- 



dx 1.2.3, 

Retranchant de cette équation l'identité 

d / {z — x)P+'C \_ i^z — xy 

dx \i .2.3. . ,n.p -h 1/ 1.2 3 . . . / 



( 31-^ ) 
où C est uue constante quelconque, on obtient 



4-iR- "--'^''^ 



dx \ I .a 3. . n .p -\- \ f 

= ^^^=^ [C - (z - . r-/'/('--.r] = ii^' (C - o (x)J. 

Supposons X <C 2'- p un nombre positif ne surpassant 
pas «, et^ "■'■'^ a: restant continue dans l'intervalle de x à 

z ; dès lors 

(z — j:)"-'/("-*-') j; = s (a:) 

reste continue dans le même intervalle. 

Désignons par M la plus grande valeur que prend cette 

fonction çp (a:) dans cet intervalle. 

Prenons 

C = M; 

M — o [x] reste donc constamment positif 5 donc, d'après 
le lemme, la fonction primitive 

I . 2 . 3 . • ■ '' f + I 

va toujours en croissant depuis x jusqu'à z. 
Mais lorsque x = z , on a. 

R=o et -^^ —- =0; 

] .1. 5 . . .n .p 

et par conséquent <^ {x)= o, et puisque ']/ (x) va en crois- 
sant, il fautdonc que les valeursdei|> [x) soient négatives. 
On a donc dans l'intervallo de x k z 



1 .2 .3 ... «./j + I 



Désignons maintenant par m la plus petite valeur deçp(j:), 
croissant de x à z: le même genre de raisonnement con- 



( 3i3 ) 
duirait à l'inégalilé 

U — x]P-^' m 
R> 



F . 2 . 3 . . . /? /y H- I 

Il existe doue entre M et m une valeur intermédiaire N 
de ip (a:), coi^respondant à une valeur intermédiaire entre 
X et z^ telle que 

R= — ^„ 

1.2.0. . .n .p -+• 1 

La valeur intermédiaire entre x et z est égale à 
x-\-3[z — x), où est une fraction, un nombre compris 
entre o et i ; on a donc 

]^ = [z — X — [z — x)]"-P/i"+'^ [x -i- Q{z — x)] 
= {z — j: )"-P ( I — ô )"~P/"--> [x ^Q[z— x)]; 
donc 

( - X )P'^^ 

R = — !^ '- (z — xY-Pli —e)"-Pf("+'nx-^9(z—x)]. 

I .2. ..«./? H- I ^ ■■ ^ 

Posons 

h ■==. z — x; 
où h est positif, on a 

(A) R=: ^-^ (i_e|«-/'/«+.(^+0/i); 

I . 2 , O ...«./» + I 

telle est la nouvelle expression de R. 

On arrive au même résultat en supposant x^ z\ et 
dès lors h négatif. 

2. Lorsque n = o, cette formule n'est plus applicable j 
alors on a 

R = /(z.)-/r, 

''R /■// ^ 



( 3i4 ) 
lelrauchanl de celle équaliou 1 ideiililé 



(IX /-» + I 



il vient 



(Il l z X \P+' \ 

^^{k ^-^ )=(,_,), [C - (--, - x)-./'.,.] ^ 

Si p est positif [z — x)~^ devient infini lorsque x = z -, 
si p est négatif, c'est (z — xy qui devient infini ^ la con- 
tinuité exige donc que p = o : doue 

ji[R-(.-.,-)]C=C -/',.. 

M et ni étant la plus grande et la plus petite valeur de 
J' {x) dans l'intervalle de x à z, R — M (3 — x") et 
R — m ( z — x) sont de signes contraires 5 donc 

K = {z-x)f'[x^(i[z-a-)\ 
ou 

6 et h comme ci-dessus. 

3. Si Ton fait dans ( A) /? = //, et ensuile /> = o, on 
oblicnt 

R = /"+' {x -T-e/i) (Calchy \ 

i .2. . ./i . n -}- i 

R= ^ ^/(''+') (a;H-0/O 

I . 2 . 3 ... « 

Le nombre /> qui entre dans la lormule générale pouvant 
[»rcndre toutes les valeurs de])nis o jusqu'à n, donne des 
limites plus resserrées cpie celles qui sont en usage. 

liciiuLiipic. L aiiteui' lait observer (jue ce procédé est 
analogue à celui de Slurm [Cou/s ffyJualyac. l. 1, 



( ^'3 ) 

p. 87) ; mais il donne encoie un second procédé fondé sur 
le calcul intégral, et qui a déjà été employé par M. Jur- 
gensen, géomètre danois (p. 3o8). 

4. Série de Maclaurin l*). Faisant x = o et remplaçant 
h par X, on a 



/(•^■)=/(o)-f-^/(o) + .. .-h 



1.2.3. . .n 

^ — y«-' 6x. 



SOLITIOX DE LA QIESTIO^ 190 

YOir l. VU, p. 240 ; 



Par m. J.-Ch. DUPAIN, 

Professeur. 



L'énoncé nous semble devoir être un peu modifié. 
Voici nos notations : Par un point P de la surface d une 
sphère, nous menons deux arcs dun quadrant PA, PB, 
perpendiculaires entre eux. Soit M un point à déter- 
miner; nous traçons l'arc de grand cercle AM qui inter- 
cepte sur PB l'arc PC = y;; nous traçons encore lare de 
grand cercle BM qui intercepte sur PA l'arc PD = | ; 
enfin nous appelons p l'arc PiM et 6 l'angle MPA. On 
peut prendre pour coordonnées du point M, | et y?, ou p 
et Q. On passe d'ailleurs d'un système à l'autre au moyen 
des formules 

tangç = taDgp.cos&, tangy) = tango. sin6i. 
En géométrie plane léquaiion d une droite peipeudi- 



' (") M.Houel, le savant professeur de Bordeaux, croit ((iie lu formule a|>- 
particiit à Slirling. A examiner. ()uello est la forme du reste pour une sé- 
rie l<(//or«7Mc- à plusieurs variables? 



(3i6) 
culaire à l'axe polaire est 

_ A 

cost 

et l'équation de l'hyperbole ëquilatère qui reuconlre Taxe 
polaire est 

COS 2 1 

Sur la sphère, l'équation du grand cercle perpendicu- 
laire à PA sera ^ = constante, ou 

A 

tango = •) 

*'• ces 9 

l'équation d une hyperbole équilatère rencontrant PA 
sera 

A 



tang-H — tang^n =: A ou tiuig'p = 



ces 2 9 



De même qu on passe de la ligne droite à Thyperbole 
plane en doublant l'angle t et en élevant r au carré, ainsi 
on passe du grand cercle à l'hyperbole sphérique en dou- 
blant l'angle d et en élevant tango au carré. 

Tel est, sauf erreur, ce que M. Roberts proposait de 
faire voir. 



SOLITION DE LA QIESTION 407 

(voir t. XVI, p. 40!); 

Par m. E. DE JONQUIÈRES. 



Lemme. Etant données, sur une droite, deux séries 
de segments en involution, qui se corres^fondent anhar- 
inoniquctncnl, il existe deux segments de la /)remièrc 



(3i7) 
scne c/uisonl divises harnioniquenieiif par ceux qui leur 
correspondent dans la seconde série. 
En effet, supposons que les équations 

( I ) x'' -\- a.r -\- b =1 o 

et 

(2) a:=-f-Ax + E = o 

aient respeclivcmenl pour racines les distances des points 
doubles des deux involutions proposées à une origine fixe 
prise sur la droite donnée ; r/, è. A. B sont des quantités 
connues i les équations suivantes : 

( 3 ) X- -\- a' X -\ b z= o 

et 

AA' 
(4) x^^Mx-i. B = o, 

dans lesquelles a' et A' sont deux indéterminées, pour- 
ront représenter les deu"x séries de segments en involulion. 
Car chaque valeur particulière de a' détermine un seg- 
ment qui est divisé harmoniquement par le segment fixe 
que représente l'équation (i), puisque la relation 

, ! aa' ,\ aa' . . ^ , ^ „ . 

b -\~ ( b\ =: o I von' Geom. sup., n° 93, p. 61) 

est satisfaite-, et réciproquement, chaque segment de la 
première involution détermine une valeur de a\ et le 
même raisonnement s'applique à Féquation (2). Mais, 
d'après l'énoncé, les segments des deux séries se corres- 
pondent anharmoniquement ; donc il existe, entre les 
deux variables a' et A', une relation du premier degré de 
la forme 

«' A' + >. . rt' -f a . A' -f- V rrr o ; 



(3.8 ) 

d'où 

A.rt' + V 

A = — , 

a -H p 

el, par conséquent, réquation (4) devient, en v substi- 
tuant celte valeur de A', 

\.a' -\--j ( A /.«' 4- v\ 
(5 .r' .r — B H • — -, ) r= o. 

<7 H- p. \ ■?. a H- u. ) 

Pour qvie les deux équations (3) et (5), qui ne conlieiuicnt 
plus qu MU seul paramètre variable «', représentent deux 
segments en rapport harmonique, il faut qu'on ait [Gcoin. 
sup., n'^ 93) 

na' , A "/.(7' H- V n' ('k.a' -\- v) 

/; _ B ^ \ , / = O, 

■J. ■?. n -\- u. 2 ( rt -+■ y. ) 

ci'st-à-diie une équation de la forme 

n'- -+- art' -+- ^ =: o 

([ui donnera pour n' deux valeurs (réelles ou imaginaires) 
auxquelles correspondront, dans chaque série, deux seg- 
ments satisfaisant à la qui'stion. • c. Q. F. d. 

Théorjîme. Étant données deux coniques dans un 
même plan, le lieu d\in point tel, que les quatre tan- 
gentes, menées de ce point aux deux coniques, fornie.yn 
un faisceau harmonique est une conique (les deux tan- 
gentes d'une même conique étant conjuguées entre elles 
dans le faisceau harmonique) (*). 

On va démontrer qu une droite quelconque L ne coupe 
le lieu cheiché qu'en deux points. 

En effet, soit T Tune des tangentes communes aux deux 
coniques. Si un pointa se meut sur L, les tangentes aux 
deux coniques, issues de ce point, marcptent sur T <leux 
séries de segments en involution [(îéoni. sup., n" 7(^2), 

(*) Évident pour deux corclcs ; donc... Tm. 



( -^^9 ) 
cl les sogmeiils ilc la première série rorrr.s[)oii(lcni aiiliai - 
moiii(jucnient n ceux de la seconde série, [)aree (|iie les 
uns el les autres correspondent aux points a. 

Donc, d'après le lemme, il y a, dans chaque série, deux 
segments qui divisent harmoniquement leurs homologues, 
et par suite il y a sur L deux points (réels ou imaginaires) 
qui satisfont à la question. Donc le lieu cherchée est une 
conique. 

Cette conique passe par les huit points de contact des 
quatre tangentes communes aux deux coniques. Car, pour 
chacun d'eux, les deux tangentes à l'une des coniques se 
confondent avec l'une de celles qu'on peut mener de ce 
point à l'autre conique, et, par conséquent, ces quatre 
tangentes, dont trois sont coïncidentes, satisfont à la con- 
dition. Donc, inversement, ces huit points de contact soni 
sur une même conique, comme on le démontre directe- 
ment (voir JYouuel/es annales, t. XV, p. ()4). 

Ces points de contact peuvent être définis d'une ma- 
nière qui donne plus de généralité à l'énoncé et à la con- 
struction, en disant qu'ils sont les points d'intersection 
des devix coniques par les polaires de deux centres d'iio- 
mologie conjugués, prises relativement à ces deux courhes 
respL'Cliveraent. 

Le théorème qui précède, transformé par la théoiie des 
figures corrélatives, devient celui-ci : 

L'envelopj)e d'une droite mohde, qui coupe deux 
coniques données en quatre points qui sont constam- 
ment en rapport harmonique, est une conique^ et cette 
conique touche les /mit tangentes quo/i peut mener aux 
deux courbes par les quatre pâles de deux de leurs ares 
de sjmptose conjugués, ces pôles étant pris par rapport 
aux deux coniques respectivement. 



( 320 



NOTE SIR LA QIESTIOIV 40 j 
ET SIR li^E DECO^IPOSITIO.X DE CARRÉS 

l'TOir t. XVII, p. 192} ; 

Par m. C. SOUILLART, 

Ancien élève de l'École Normale. 



La solution de la question 405, telle qu'elle est dojinée 
(t. XVII, p. 192 el 193), nçst pas un cas particulier de la 
formule générale indiquée p. 19^ ; elle est comprise dans 
la foimule aénéralc suivante : 



I xyzm'...rst 
\yzuv. . .stx 
\ zuv . . .txr 



I txy 



JL y z II (' 



X 



..r' s t' 
.s' t' x' 
t' x' y' 



IXYZUV.. RST 

j YZLî V .. STX 
iZL V TXY 



t' X y 



dans laquelle on pose 



X = xx' + yy' -\-z-J -^ . 
Y = xy' -+ yz -f- zu! -\- . 



TXYZ 



-F SX 4- tt , 

-\-St' ^tr! ^ 



RS 



T = x/' + yx' H- -. > ' H- . . . -t- sr' -V- ts . 

Le signe qui précède le déterminant produit est-f-, 
quand l'ordre n du déterminant est un nombre de la 
forme I\p + 1 ou de la forme 4/^ -f- 2 ; il est — , quand n 
est de la forme ê^\) -f- ?> ou de la forme ê^p. 

La fornnile générale indiquée (p. 193) doit également 
porter un double signe devant le déterminant produit 5 ce 
signe est -H, quand // est de la forme 4 A* ou ^p -\- \ \ il 
est — , quand // est de la foniu- l\p -f- -x ou 4/' H- 3. Dans 
le cas du troisième ordre, la^formule donne 

Y ^=J ='+.>;■' -4- zx', \r=:.rx'-\-yz'->rzy' , Z = .r)'-f-i,r'-<- z-s' . 



( 321 ) 

Ce qui rouriiiluiiodeuxicmcsoluliuu d*,- la (jueslioii i03. 
Ou pourrait se demander si la question n'en admet pas 
encore d'autres. 

Comme nouvelle application de la multiplication des 
déterminants, j'indiquerai une démonstration de ce théo- 
rème connu [Algèbre de M. Rouclié, p. 126) : Le pro- 
duit de deux sommes de quatre carrés est une somme de 
quatre carrés. 

Le polynôme [a~ -\- b- -+- c' -h d^)- peut être mis sous 
la forme d'un déterminant. 

On a 







a 


b 


V 


d 


(«^4-7;^ -H t- -h r/-) 


' = 


-b 
— c 


a 
d 


— d 
a 


C 

— b 






— d 


— c 


b 


a 


de même 














P 


<l 


T 


s 






— y 


}) 


^ 


r 


ip' -+■ T -^ f' + ^' 


1- =r 














'' 


s 


P 


— 7 






— s- 


— r 


'1 


P 



Le produit de ces deux déterminants peut se faire de 

verses manières. 

En faisant le produit par lignes, et posant 



acj -i- bp — c<i 4- ///■, 
as ~ br -\- cq ~\- dp. 



D')', 



A = ap -\- bq -\- rr + ds , B : 
C =^ (ir -h bs H- cp — dq , D :: 

on trouve 

(«^ 4- ^' -^ r' -h d^Y l />- H- 7- -4- r' -+- .v'j' = ( A^ -1- lî^-l- C' 
ou 

(rt2 4-i-_|_c'-f-r/^) ip-^rf'-^- n-h s-)= A'-l-ir+C'-H I)'. 

Si l'on fait le produit par colonnes, on obtient une autre 

>4/i/i. de Malkém , l. XIX. (Scptcnibro iSGo.) 21 



( 3^^ ) 
somme de quatre carrés^ les valeurs de A, B, C, D, ont 
alors 

A,=: ap -{- bq -h cr -\- ds, B, = bp — nq — dr-\- es, 
C, = cp -i- dq — ar- — bs, D,= dp — cq -f- br — os. 

On obtiendra une troisième décomposition du produit 
(«^-}- Z>^-i-c^-f- d-) {p'-+- 7"+ /■"+ •«") en une somme de 
quatre carrés, en multipliant par lignes et colonnes : on 
peut en trouver encore beaucoup d'autres, par exemple 
en permutant, dans les solutions déjà trouvées, les lettres 
rt, b, c, d, d'une part, les lettres/?, 7, /", j; d'autre part. 
On peut aussi permuter des lignes ou des colonnes, avant 
d'effectuer le produit. 



GR4P COMOIRS DE 18C0 

(voir t. XVMI, p. 293). 



MATHÉMATIQURS SPÉCIALES. 

COMPOSITION DU II JUILLET 1860. 

Mathématiques. (Prix d'honneur.) 

On donne deux ellipsoïdes A et B. On demande le lieu 
des sommets des trièdres dont les faces sont tangentes à 
l'ellipsoïde A, et parallèles à trois plans diamétraux con- 
jugués de B. 

COMPOSITION DU 12 JUILLET 1860. 

Chitnie. 
Première question. L'ammoniaque. 
Deuxième question. Tout l'azote contenu ilans un 



( 323 ) 
mètre cube d'air humidcà lo degrés et o'",y5, étant con- 
verti en cyanure de barium par son passage sur de la 
baryte chauffée au rouge avec du charbon, on demande : 

1°. Combien il se forme de cyanure de barium; 

2°. Combien ce cyanure de barium, élant converti en 
ammoniaque sous l'influence d'un courant de vapeur 
d'eau à 3oo degrés, donne d'ammoniaque; 

3''. Combien cette ammoniaque, élant convertie en 
acide azotique, sous l'influence de la mousse de platine 
et d'un courant de vapeur d'eau, donne d'acide azo- 
tique ; 

4°. Combien cet acide azotique donnera d'azotate de 
potasse. 

COMPOSITION DU l4 JUILLET l86o. 

Physique. 

1°' Capillarité. 

2°. Un récipient A de 3 litres de capacité peut être 
mis en communication avec une pompe foulante P et avec 
l'air extérieur. La soupape R ouvre la première commu- 
nication, le robinet R' la seconde. Le récipient A est pri- 
mitivement plein d'air sec à o degré et o"',^6o, La pompe 
P puise dans un gazomètre de l'acide carbonique à la 
pression constante àeo™^y6 et à la température de o de- 
gré, et elle peut l'injecter en A, lorsque R s'ouvre; le 
corps de pompe a une capacité de o. litres. Ceci posé, ou 
ferme R', on donne un premier coup de piston, et quand 
le mélange gazeux est bien achevé, on ouvre R' pendant 
un instant de manière à ce que réquili])rc de pression se 
rétablisse enlre A et l'air (>Méiieur; cela fait, on ferme 
R', on donne un second coup de piston, et ainsi de suite, 
en prenant soin chaque fois de rouvrir h^ robinet IV pen- 
dant un niomeni. Ou demande combien il faut doinier de 



( 3^4 ) 
coups de piston au moins pour qu'il ne reste plus que 
I centigramme d'air dans le récipient A. 

Le litre d'air, dans les circonstances normales, pèse 
i^%iq3. On néglige la capacité des conduits de commu- 
nication entre la pompe et le récipient. On suppose nulles 
les variations de température pendant l'expérience. On 
suppose la pression extérieure égale à o''\y6^ la densité de 
CO^ par rapport h l'air i,5'i. 

hOGiq\}E. — Sciences. 

COMPOSITION Dt 9 JUILLET 18G0. 

Mathématiques. 

Première questio7i. — La surface d'un triangle ABC 
est égale à un carré donné. Le côté AB est égal à une ligne 
donnée C5 la diflerencc (A — B) des angles adjacents est 
égale à un angle positif donné a, moindre que 180 de- 
grés. On propose de calculer les angles A et B. Le pro- 
blème est-il toujours possible, et admet-il plusieurs solu- 
tions ? 

Deuxième question. — Soient AMA' et BNB' deux 
circonférences concentriques, et A A' un diamètre fixe-, 
soient OlM et OM' deux droites rectangulaires menées 




par le centre O, dont l'une < oupe les deux circonférences 



( i^:> ) 
eu M cl N, cl I autre en M et W. On abaisse sur A A' les 
perpendiculaires MQ cl M'Q'^ des points N et jN', on 
abaisse sur MQ et M'Q' les perpendiculaires PnP, IN'P'. 
Enfin l'on joint OP et OP", et l'on forme ainsi l'angle 
POP'. Comment doivent être tracées les deux droites 
rectangulaires OM, OM' pour que l'angle POP' soit le 
[)lus grand possible? 

COMPOSITION DU lO JUILLET 1860. 

Physique ci Mécanique. 

Prcniicre question. — On a deux morceaux de métaux 
difïéicnts dont les capacités calorifiques sont inconnues. 
L'échantillon du premier métal pèse 2 kilogrammes, il 
est cliaulïé à 80 degrés-, réclianlillon du second métal 
pèse 3 kilogrammes, et estchautïé à 5o degrés. On plonge 
ces deux échantillons ainsi chaufiés dans i kilogramme 
d'eau à 10 degrés, et la température finale du mélange est 
26'',3. 

On recommence Texpérience, en chauffant le premier 
métal à loo degrés et le second à ^o degrés, et en les 
plongeant toujours ensemble dans 1 kilogramme d'eau 
à 10 degrés 5 cette fois la température finale est 28", 4» 

On demande de déterminer, d'après ces dounées, les 
capacités calorifiques de deux métaux; on néglige les 
pertes de chaleur qui se font à l'extérieur, ainsi que Tiu- 
lluence du vase dans lequel le mélange s'opère. 

Deuxième question. — Faire connaître les lois de l'é- 
coulement des liquides, et les expériences qui servent h 
vérifier ces lois. 



( 326 ) 

COMPOSITION DU 12 JUILLET 1860. 

Histoire naturelle. 

Première question. — Des mammifères: de leur orga- 
nisation et de leur classification. 

Deuxième question. — Structure de la fleur. 
LOGIQUE. — Lettres. 

COMPOSITION DU l4 JUILLET 1 860. 

Dissertation française. (Prix d'honneur.) 

Faire voir que la science humaine est nécessairement 
un mélange de connaissances solidement démontrées, et 
d'ignorances reconnues invincibles. 

COMPOSITION DU I7 JUILLET 1860. 

Mathématiques . 

Première question. — Etant donnés deux parallèles 
ax., yz., et un point A sur la première, on mène par ce 
point une sécante quelconque AB \ et par le point B, où 
elle rencontre la seconde parallèle, on élève BC perpen- 
diculaire à AB. Au point C on fait Tangie ACD, double 
de BAC, et du point A on abaisse sur CD la perpendicu- 
laire AM. On propose de démontrer que si l'on répète la 
même construction pour d'autres sécantes menées par le 
point A, tous les points analogues à M seront sur une 
même circonférence de cercle. 

Deuxième question. — Une pyramide régulière à base 
hexagonale, dont la hauteur est de 90 centimètres, a un 
volume de i mètre cube. Quel est le côté de riicxagone 
(jui lui sert de base:' 



( 3p-7 ) 
RHETORIQUE. — Sciences. 

COMPOSITION DU II JUILLET 1860. 

Mécanique. 

1°. Un vase prismatique à parois verticales est plein 
d'eau, et tixé sur une base qui se meut horizontalement 
avec une vitesse de 4 mètres par seconde. La direction du 
mouvement est perpendiculaire à l'une des parois du 
vase. On perce dans cette paroi un orifice à bords amincis 
et dont le centre est à 9 mètres au-dessous du niveau du 
liquide dans le vase. On conçoit qu'à un instant donné Q 
on mène dans l'espace, par le centre de Forifîce d'écoule- 
ment, deux axes fixes, l'un vertical, l'autre horizontal et 
parallèle au mouvement du vase. Ceci posé, on demande 
à quelle distance de ces deux axes se trouvera à l'instant 
0-1-2 secondes la molécule liquide qui partait du centre 
de l'orifice à l'époque Q. On résoudra la question en sup- 
posant successivement que le vase marche dans le sens 
de l'écoulement et en sens inverse. On suppose que pen- 
dant l'écoulement le niveau ne varie pas dans le vase; on 
suppose en outre que dans le lieu donné la vitesse acquise 
en une seconde par le corps qui tombe est 9,8088. 

2°. Décrire les machines à vapeur locomotives, et 
expliquer comment el'es fonctionnent. 

COMPOSITION DU l3 JUILLET 1860. 

Mathématiques . 

1". Exposer les lois du nlou^cment des pianèles. Dire 
comment l'observation a pu y conduire Kepler, et quelles 
conséquences on en a tirées. 

2". Mener une tangente à une ellipse, parallèlement à 
une droite donnée. 



328 



ECOLES DU GOUVERNEMENT. 



CONCOURS D'ADMISSION 4 L'ÉCOLE NORMALE EN 1860. 



Mathématiques . 

i". Dire comment on forme le carré d'un polynôme; 
calculer le coefficient de x* dans le développement de 
(i H- IX -\- 3x^ -f- . . . H- rix"~^y^k étant supposé moindre 
que n. On expliquera pourquoi la formule trouvée n'est 
pas applicable au cas où A surpasse n (*). 

i'^. Trouver l'intersection d'un cône de révolution 
par un plan. Si par tous les points de l'intersection on 
élève des normales au cône, chacune de ces normales 
perce la surface en un second point. On demande la 
courbe formée par ces points. 



CONCOIRS D ADMISSION A L ÉCOLE NAVALE EN 1860. 



COMPOSITION DU 3 JUILLET 1860. 

Thème anglais {**)• 

Le vent étant tombé vers les huit heures du soir, et la 
mer s'étaul aplanie, le vaisseau demeura immobile. Ce 



(') On n'inscrira jiaS) de réponse U ccUo Iroj) facile question. 

C'J Vojcz, pour 1.1 «■omi'ositinn Iranç.iisc cl la version lalinr, la Tinuc 
<lu .") juillet iSCio. 



( 32y ) 
fui là que je jouis tlu premier coucher du soleil et de la 
première nuit daus le ciel de la Grèce. 

Nous avions à gauche Tile de Fano el celle de Corcyrc 
qui s'allongeait à l'orient; on découvrait, par-dessus ces 
îles, les hautes terres du continent de l'Epire; les monts 
Acrocéroniens, que nous avions passés, formaient au 
nord, derrière nous, un cercle qui se terminait à Teutrée 
de l'Adriatique. A notre droite, c'est-à-dire à l'occident, 
le soleil se couchait par delà les côtes d'Otranle. Devant 
nous était la pleine mer qui s'étendait jusqu'au livage de 
l'Afrique. 

Dessin . 
Une tête d'enfant, grandeur naturelle, au trait. 

Calcul numérique de trigonométrie recliligne. 

Calculer les angles et la surface d'un triangle dont on 
connaît les trois côtés : 

« ^ 24i3o ,23, 
h z= ^00.1 'j ,o5, 
c = 56803,87. 

Tracé graphique. 

On donne une pyramide triangulaire placée d'une 
inauière f[uelcouque par rapport aux plans de projection, 
et on demande de construire une pyramide égale à la pre- 
mière, mais ayant une de ses faces dans le plan hori- 
zontal. 



( 33o ) 

CONCOIRS Dil'VMISSIOK A L'ECOLE POLVTECUXIQIE 
m 1860. 



COMPOSITION DU 20 JUILLET 1860. 

(Le matin.) 

Mathématiques. 

Etant donnée la parabole CAB, la sécante MAB se meut 
sous la condition que les normales menées h la parabole 
par les points d'intersection A et B se coupent en un 
point C de cette courbe. Par ce point C on mène la tan- 
gente CM qui coupe la sécante MAB en un point M. 

Cela posé, on demande de trouver Téqualion de la 
courbe décrite par le point M, quand la sécante MAB 
prend toutes les positions compatibles avec la condition 
à laquelle elle est assujettie; on construira cette équation 
qui est du troisième degré, 

( Le soir. ) 
Dessin . 

UEcorché de Michel-Ange. 

COMPOSITION DU 21 JUILLET 1860. 

(Le matin. ) 

Composition française. 

LE COL'BAGE. 

Il y a divers genres de courage. 

Le courage civil, celui qui fait aflronter pour une jusit 
cause l'impopularité ou la tyrannie. C'est le courage du 
juste dHo'ace : Jus! uni et tcnaccnt propositi viruni, etc. 



( 33. ) 
Analyser ce genre de courage, un des plus nobles el des 
plus rares. Chercher des exemples, soit dans ranliquilé, 
soit dans les temps modernes. 

Le courage militaire. — Il est entretenu par la dignité 
personnelle, l'amour de la gloire et de la patrie. Des sol- 
dats mercenaires ou des esclaves sont en général de mau- 
vais soldats. Comparer les qualités militaires des diffé- 
rentes nations. 

Analyser enfin ce genre de courage que l'homme exerce 
contre lui-même, contre ses passions, contre les obstacles 
dont la vie est semée, contre l'adveisité. — Le suicide est 
un acte de découragement, par conséquent c'est l'opposé 
du courage. 

( Le soir. ) 

Lavis à r encre de Chine. 

Faire le lavis à l'encre Je Chine d'une surface cylin- 
drique, de lo centimètres de diamètre sur i5 centimètres 
de hauteur. Ce cylindre devra se détacher sur un fond 
formé d'une teinte plate grise 5 il reposera sur un socle 
dont la surface plane sera indiquée par une teinte plate 
d'une très-faible intensité. 

Le modèle de cette surface cylindrique pourra être fait 
à teintes fondues ou adoucies, ou bien à teintes plates su- 
perposées. 

On admettra que le rayon de lumière a pour projection 
horizontale et verticale des lignes inclinées à 4^ degrés 
sur la ligne de terre. Le cadre limitant le dessin aura 
24 centimètres de haut sur 18 centimètres de large. 

Calcul thgonoméirique. 

Dans un triangle sphérique, on donne les côtés «, b el 
r angle C : 



( 332 ) 

o ' 

, I <^/ = 36 . 28 . 26 , 7 , 

I ^= gi .39-54,5, 

Angle. C 87. 18.23,9, 

el ou demande de calculer le côté C. 

COMPOSITION DU 2 2 JUILLET 1860. 

Epure de géométrie descriptive. 

Un cylindre horizontal plein terminé d'un côté au plan 
vertical de projection, et de l'autre à un plan vertical 
parallèle, rencontre un cône dont la base est posée sur le 
plan horizontal. Ondeuiandc : 

1°. De construire les projections de lintersection des 
snifaces 5 

2". De faire le développement de la surface du cylindre 
avec les transformées des bases et de 1 intersection; 

3". De construire les projections d'une tangente de 
l'intersection , et la tangente au point correspondant de 
la transformée de celte courbe. 

On supposera que le cône est enlevé, et en consécjuence 
sa trace et toutes les lignes qui le concernent seront 
pointillées. 

Les bases du cvlindre seront des cercles; celle du cône 
un ellipse. 
• Le cylindre ne sera pas perpendiculai re au plan vertical . 

Le croquis ci-contre indique comment les données peu- 
vent être disposées (*). 

Distances de la projection verticale du centre de la 
base de gauche du cylindre : 

A la ligne tracée au-dessous du titre . . i 10 millimètres, 
Au bord de gauche du papier 160 millimètres. 



(") Le Iciiips" nmi» .» inainiiio iiour laiio ijravcr ifltc litjurc 



( 333 ) 

Les distances marquées sur le eiocjuis soûl exprimées 
en millimèlres. 

On placera le développement de la surface du cylindre 
à la droite de Fépure el de manière (juc les généraîrices 
soient parallèles au plus petit côté de la feuille. 



CONCOIRS D'ADISSION A L ÉCOLE M SAIIVT-CYR m 1800 



COMPOSITIONS DU 20 JUILLET 1860. 

Dictée. 



LE LAC DE MOERIS. 



11 n'y avait rien que de grand dans les desseins et dans 
les travaux des Egyptiens. Ce qu'ils ont fait du Nil est 
incroyable. Lorsqu'il s'enflait outre mesure, de grands 
lacs creusés par les rois tendaient leur sein aux ondes 
répandues. Ils avaient leurs décharges préparées : de 
grandes écluses les ouvraient ou les fermaient selon le 
besoin, et les eaux ayant leur retraite ne séjournaient sur 
les terres t|u'autant qu'il fallait pour les engraisser. 

Tel était l'usage de ce grand lac, qu'on appelait le lac 
de Myris, ou de Moeris : c'était le nom du roi qui l'avait 
fait faire. On est étonné quand on lit, ce qui néanmoins 
est certain, qu'il Lvait de tour environ cent quatre-vingts 
de nos lieues. Pour ne point perdre trop de bonnes terres 
en le ci eusant, on l'avait étendu principalement du côté de 
la Libye. La pèclie en valait au prince des sonnnes im- 
menses, et ainsi c|uand la terre ne produisait rien, on en 
tirait des trésors en la couvrant d'eau. Deux pyramides, 
dont chacune portait sur un trône deux statues colos^ 
sales, Lune de Myris et l'autre de sa femme, s'élevaient de 



( 334 ) 
trois cents pieds au milieu du lac, et occupaient aous les 
eaux un pareil espace. Ainsi elles faisaient voir qu'on les 
avait érigées avant que le creux eût été rempli, et mon- 
traient qu'un lac de cette étendue avait été fait de main 
d'homme sous un seul prince. (Hossuet, Histoire univer- 
selle^ 3'' part., ch. III.) 

Composition française . 

LE GÉNIE MILITAIRE DE LA FRAXCE. 

Le génie militaire de la France est, comme celui de 
Rome, universel. Il a pour plus haute expression Cliar- 
lemagne et Napoléon P' . Partout où notre armée déploie 
son drapeau, elle cherche ou porte la civilisation. Char- 
lemagne civilise 1 Allemagne; nos chevaliers recuoilleiU 
en Orient de nouveux éléments sociaux. JNos armées 
d'Italie sous Charles Mil, Louis XII, Fiançois P', rap- 
portent de la Péninsule les germes de la Renaissance. 
Sous Louis XIV, nos soldats répandent au dehors l'esprit 
et le goût français du grand siècle. Leurs triomplies ac- 
compagnent nos triomphes littéraires. 

Que dire des armées napoléoniennes? Elles portent les 
idées de droit et d'égalité jusqu'aux bords de la \istule. 
Le grand conquérant transforme tout le droit européen. 
Nos armées, sous Napoléon III, ont également une mis- 
sion des plus hautes. Elles sauvent récjuilihre de l'Europe 
et sont au service des plus grandes idées. 

* Thème allemand. 

UTILITÉ DE l'histoire. 

L histoire est un maître impartial, dont nous ne pou- 
vons réfuter les raisonnements appuyés sur des laits. F'^^lie 
nous montre le passé pour nous annoncer l'avenir. Elle 
est le miroir de la vérité. 



( 335 ) 
Les peuples les plus fameux, les hommes les plus célè- 
bres sont jugés par le temps, qui détruit toute illusion. 
Devant le liibunal de l'histoire, des conquérants descen- 
dent de leurs chars de triomphe, les princes nous appa- 
raissent sans leur cortège, et dépouillés de la fausse gran- 
deur que leur prêtait la flatterie. 

COMPOSITIONS DU 2 1 JUILLET 1860. 

Tracé géométrique. 

Echelle = ^• 
20 

Construire le plan, l'élévation et la coupe de l'ensemble 
des corps A, B, C, C, C,. . ., limités par les plans hori- 
zontaux abc, linn^ V9^' ^f§j ^^^ ^^^ ^*^ plan horizontal 
(le projection. Les corps sont placés symétriquement par 
rapport à deux plans verticaux perpendiculaii es dont l'un 
est parallèle au plan de l'élévation. Les distances succes- 
sives des plans horizontaux désignés sont les hauteurs des 
corps; les horizontales aZ», Im, pq, ri f sont parallèles au 
plan de l'élévation ; les droites bc, inn, qr, fg lui sont 
perpendiculaires. La coupe sera faite par un plan vertical 
passant par l'axe de symétrie, et faisant avec celui de 
l'élévation un angle de 55 degrés. 

Légende. — A parallélipipède rectangle creux dont 
les parois et le fond ont partout la même épaisseur 5 
B parallélipipède rectangle; C, C, C, C r|uatre cubes. 

DIMENSIONS KN MÈTUF.S. 

A. 

Hauteur^ 0,8, 

/g— 0,8, 
Épaisseur des parois ==0,1. 



( 336 ) 
B. 

m 

Hauteur = o,3, 
«6 =: 3 , 
^^=1,8. 

\JJ \Jj \jy Li. 

m 

Côté des cubes = o ,4» 

qr= I ,2. 

Mathématiques . 

Enoncé. —Calculer la distanced'un point accessible A 
à un point inaccessible C, ainsi que la surface du liian- 
gle ABC. 

DONNEES. 

AB = 843"S64, 
CAB = 59''42'28,4, 
CBA = 6i°i9'i7,6. 



SOLUTION DE LA QUESTION 323 ET ANNIITES 

(voir paco 2li:i) ; 

Par m. CUENOUD, de Lausanne. 



Une somme C placée à intérêts simples pendant // 
années, à /pour loo par an, devient, au bout de ce temps 



C( 1 H 

lOO 



en sorte (ju une somme C, payable dans n années, vaut 



( 3:^7 ) 

actuel lenient 

C looC 



ni 1 oo H- ni 

i -\ 

lOO 



En appliquant le résultat ci-dessus aux diverses sommes 
mentionnées dans l'énoncé, on trouve que 

La somme C,, payable dans «, ann., vaut actuel 



C 



lOO + «1 i 

100C2 

\oo -\- n^i 

\ooCp 






100 + «D i 



En ajoutant ces divers nombres, et désignant leur somme 
par V. on a 

V = 1 00 . H- 



1 00 + «I / 1 00 -f- //i / 1 00 + ih ' 



C, 



100 + «pi 



Cette somme V vaudra, dans t années, V ( i H )» 

\ 100/ 

et comme cette valeur doit être précisément égale à 

C, -+- Co H- . . . -I- Cp, on aura 



d'où 



ou 



V ( I -+- — ) = c, H- c, 4-. . . + C„; 
100 ' '^ 



//=^(C, + C2 + .. +C/, — V), 



100 r/„ looc, \ /„ 100C2 \ 

/Y = — - C, ■ . + C, ■ : -h . . . 

V L\ 100 4-//,^/ \ 100 -h n-^ij 

\ '^ 100 H-«,'/J 



Ann. df Malht'niat., t. XIX. (Septembre 1860. 



ou 

lOO 



( 338 ) 



V \ I oo + «I J I GO -i- n, i I oo + np i 

OU enfin 

lOO / /2,C, «2C2 npCp 



I t = 



100 H- «, / 100 -h «2^ 



Remarque. On peut présenter le calcul d'une manière 
un peu différente, qui conduit à un autre résultat. 

Désignons par /: un nombre d'années plus grand que 
les nombres Ui, /Zs, ^3,..., n^, t. Le créancier qui re- 
cevra la somme Cj dans «1 années pourra placer immé- 
diatement cette somme, en sorte qu'à la fin de la A""'"^ an- 
née il pourra disposer d'une valeur 

S'il place de même la somme Ca, après l'avoir reçue, 
elle vaudra, à la fin de la A'"'"^ année, 

et ainsi de suite. La dernière somme C^ vaudra égale- 
ment, à la fin de la à'^""" année, 

(/, — np)r 



(l) Cp ^i -h 

Afin que le créancier ne subisse ni gain ni perte en re- 
cevant la somme totale Ci + Cj -I- . . . 4- Cp au bout de t 
années, il faut qu'à la fin de la A''"" année cette somme 
totale ait la même valeur que la somme des nombres [a), 

f*) MM. V. Nad.jl, professeur à 1 croie <le Son/c , il Tli Vannier, de 
Bt>mi;-lu-Keiiie, doiirieiil la même solution 



( -y^^9 ) 
[h), (/). On a donc 

;c, + c. + ...+c,,) (i + ('^-')' 



lOO 

= C, I H-^ ^ +CJ i-h^ ^ + 

\ 100/ \ 100 / 

[k — 11, 



C^(i 4- 



-> 



100 
OU, eu réduisant, 

(C, + C, -f- - ..+ C^) î = C, /?,+ C-, «,+... + Cp «/, ; 

d'où 

, , C, «, -h Cj/io-f-. . .4- c„«„ 

(2) ^ = ^- — -• 

^ ' C + C, +...-+- Cp 

Telle est la formule que l'on emploie dans le commerce 
pour la reclierclie de Véchéance commune de plusieurs 
billets. Le résultat qu'elle fournit diffère assez peu de 
celui que donne la formule (1). Du reste, l'une et l'autre 
sont vraies, suivant le point de vue auquel on se place : la 
formule (1) est celle qu'établirait le débiteur, tandis que la 
formule (2) est celle que doit trouver le créancier. En effet, 
le débiteur cherche quelle est la somme qu'il doit placer 
actuellement pour obtenir Ci dans n, années, ou pour 
obtenir d dans //, années, etc. Il ne dispose donc que des 
valeurs actuelles, plus petites que les nombres Ci, C2, etc., 
et ce sont les intérêts que peuvent rapporter ces valeurs 
actuelles qu'il doit chercher à équilibrer pour établir l'é- 
quation en t. Le créancier, au contraire, pourra disposer 
des sommes Ci, C, , . . . , Cp, et ce sont les intérêts de ces 
sommes qui doivent donc entrer dans l'équation. Les deux 
résultats doivent donc être différents, et aucun ne peut 
avoir la prétention d'être plus exact que l'autre. Si la 
formule (2) est toujours employée dans le commerce, 

22. 



( 34o ) 
elle le doit à sa plus grande simplicité et au peu de diffé- 
rence qu'elle présente avec la formule (i). Il y a ici une 
différence analogue à celle qui existe entre l'escompte en 
dedans et l'escompte en dehors. 

Du reste, les deux formules sont identiquement de la 
même forme, comme on peut s'en assurer en remplaçant 
dans (i) V par sa valeur; elles sont toutes deux l'appli- 
cation du théorème des moments, l'une pour les valeurs 
actuelles, l'autre pour les valeurs à l'échéance. En dési- 
gnant par C„ la valeur actuelle d'une somme C payable 
dans H années, les formides (i) et (2) peuvent se mettre 
sous la forme 

(I) t = 



» f = 



2C„ 

Te" 



annuités. Voici maintenant un calcul assez intéressant 
relatif aux annuités. On trouve, dans tous les ovivrages 
d'algèbre, que pour rembourser en n aimées une somme 
C, il faut payer annuellement une somme 

C/-ii -I- /•)« 

a =: r-- 1 

( I + r)" — I 

;• désignant l'intérêt annuel de 1 fr. 

Pour appliquer cette formule au cas d'un emprunt 

contracté par obligations, je désignerai par ni le nombre 

total d'obligations et par s la valeur de chacune d'elles; 

j'aurai alors 

C = nis , 

«t, par suite, 

msr(i -H /■)" 

a = -, ^ r 

(I + r)"— I 
.Te me piopose de cIrtcIum- combien (roblii^alions 



( 34i ) 

peuvent être remboursées la i"^, la 2*^, la 3*", . . . , la p""" 
année. 

La i""*^ année, il faut prendre sur la somme a l'intérêt 
de la somme m^, qui est nisr, en sorte qu'il reste pour le 
service de l'amortissement une somme de 



a — msr- = 



Le nombre Xi d'obligations que l'on peut rembourser 
la i*^"" année s'obtient en divisant le résultat précédent par 
la valeur s d'une obligation ; j'ai donc 



Le nombre x^ d'obligations que l'on peut rembourser 
la a'" année se compose du nombre x^ remboursé la 
i"^*^ année, augmenté du nombre d'obligations que peut 
donner l'intérêt de ces Xi obligations, intérêt qu'il n'est 
plus nécessaire de payer la 2^ année. J'ai donc 

, . mrii-k-r) 

X. = X, -\- x,r=z j.\[i -^ r) = - — -^-— — '— . 

(i -h rj" — I 

Le même raisonnement montrerait que le nombre x-i 
d'obligations remboursables la 3*^ année serait 

vir{\ -\rr\- 
x.=.xA\ -\- r) — ^ ' 



(i-t-r)" — 1 

En général, le nombre d'obligations à rembourser la 
^leme aj^mig scrait 

Le nombre d'obligalioucî qui se Irouvcroiil icmboursées à 



( 342 ) 
la lin de la p'""^ année sera 



mr[ï -+- r) mr(i -+■ rf 



[1 -h r'y — l (l + r)" — I [\+ry' — i 

H ^ r—^ 

i I _|_ r)" — 1 

soit 

""" [, + (1 + r) + ( I -+- r)^ + . . .+ (i + r)P-% 



OU 



mr , [i-hry — i _ /«[(i-t- r^ — i] 



X 



(i + r)"— 1 r (i H- r '■ — i 

Cette formule montre immédiatement que le nombre 
d'obligations qui seront remboursées à la fin de la n'^"" 
année est m. 

Le nombre y^ d'obligations qu'il reste à rembourser 
à la fin de la p''"'" année est 

_ m[{i H- ry— i] __ m[{i -+- /•)" — (i + r)P\ 

yf-'"— ( , ^_ ^)« _ , - (, H_ r)" — i 

1 _L- r)"-F — . 



'•)'' X 



( • -+- ry- 



Remarque. Ces résultats ne sont pas entièrement nou- 
veaux, mais ils sont peu connus. M. Boudsot esl arrivé 
aux mêmes formules dans un travail fort intéressant qu'il 
a publié dans les Mémoires de la Société d'émulation du 
Doubs (1857), mais en suivant une marche différente: 
j'ai cru utile de vous communiquer ce petit calcul. 

Note du Rédacteur. Dans les entreprises mdustrielles, 
le nombre aniniel (ïohligations à rembourser dépend 
aussi des bénéfices ou pertes. 



343 ) 



EXERCICES SUR LES EQIATIONS MHERIQIES 

(TOir t. X, p. 89; t. XI, p. 119; t. XU. p. 319; t. XIII, p. 595 et 362). 



Le savant professeur de l'université de Padoue (*), 
auteur de la méthode dés équipollences , M. Bellavitis 
(Giusti), a publié en iS5y l'ouvrage suivant : Sulla re- 
soluzione numerica délie e^uaz/owz' (grand in-4 de 5^ p. 
Venise. ) 

C'est un recueil de tous les procédés en usage pour ré- 
soudre les équations numériques, algébriques et transcen- 
dantes, avec douze exemples scrupuleusement discutés, 
d'après lesquels on apprend à se diriger en d'autres cas. 
L'auteur recommande, avec raison, cette très-excellenle 

pratique : Soit 

f[x) = o 

l'équation donnée; on la divise en deux parties 

on construit par points les deux courbes 

les abscisses des points d'intersection de ces deux courbes 
donnent les racines réelles de l'équation. Ce procédé sert 
au moins à découvrir les nombres entre lesquels ces ra- 
cines sont comprises, bien entendu qu'on fait lo partage 
de manière à obtenir les cas les plus faciles à construire. 
Pour les racines imaginaires, on remplace x par u-\- ^'^', 
et les deux courbes en m et v" font connaitre l'existence 
des racines imaginaires. 

(*) Né à Bassano en i8o3. 



( 344 ) 

La méthode Budan, que les Anglais et les AUemauds 
désignent sous le nom de Horner et aujourd'hui devenue 
classique, est très-développée, et en certains cas perfec- 
tionnée, dans ce Mémoire. 

Voici quelques exemples tirés de ce Mémoire : 

4-' H- 5^ — I G ; 
posant 

on trouve 

t = 5,598948 . 

jt"-' — x-i- 0,1=0, ^=:o,2ioi3, jr = o,68igig, 

X = 0,227765 + 0,925312 y/ — 1, 

y/28 -f- ^ — v^65 ->r X -\- xz=o, 

.r = — 5,718985, 

x= — o,i883o2, 

./•>■' + (-^^ + 7) j — .7;' -t- X = o, 

4 /■ — 3 .r;' — ^* -4- 5 .r = o, 

X = 3,8347, 
y = 0,4530, 

r' — 4 ■'■/ ~*~ ^•^' — •'^"' ^= ^f (■^" — I ) j- + x' = o, 

x= — 1,11374, 7^=0,76606, 

.rzzz 0,773573, 

x= o,8i83o4, 

a-' -l-j' =r 3oo, x^-hy^ = So, 0:^=14,2143, 
sin*(69) = sina)sin*(5'î/), sin(p:= 0,23122417, 



.f' -h ./• 4-1=0, X = 0,790667 -f- y/o,3oo5o7. 



345 



SUR LE THEOREME FAIRE ET COURBES PARALLELES 

(voir page 234); 
Par le Révérend G. SALMON. 



Note du Rédacteur. Le raisonnement porte snr des 
formules du savant ministre -, ses ouvrages, d'un mérite 
hors rang, connus dans toute contrée civilisée, sont 
presque totalement inconnus en France. 

Plusieurs éminents professeurs ont fait des traductions, 
mais qui ne trouvent pas d'éditeurs, et cela pour une rai- 
son commerciale très -naturelle. Désormais tout ouvrage 
qui ne porte pas pour enseigne conforme n'a qu'un mi- 
nime nombre d'acquéreurs. Commerçant, voudriez-vous 
vous charger d'une marchandise qui n'a pas de cliance 
de débit ? Par contre, les ouvrages de physique, de chimie, 
d'industrie, en général, tout ce qui peut enseigner à con- 
fectionner quelque objet matériel, vendable, jouissent 
d'une grande faveur en librairie. 

Nous crovons donc nécessaires quelques explications : 
nous nous servirons de quelquies expressions que nous 
avons déjà expliquées (t. XMII, p. 249), et sur lesquelles 
nous ne reviendrons pas. 
1**. Soient 

L = o , M ;= 0, rs= o 

les équations de trois côtés d un triangle^ 

L'^ -h IVP = N^' 

représentera l'équation d'une conique. Le triangle est 
conjugué à la conique. Eu effet, on aura 

r.' =^ i\-^ — W = (N + M) (N — M 1 ; 



( M6 ) 

les droites représentées par les équations 
N-t-M = o, N — M = o 

touchent la conique, et 

L:=o 

est l'équation de la corde de contact. Mais l'intersection 
de ces tangentes est la même que celle des droites M, N5 
donc ce point d'intersection est le pôle de la droite L; on 
démontre que l'intersection de ]N et de h est le pôle de 
la droite M 5 de même l'intersection de M et de L est le 
pôle de la droite N 5 alors les deux tangentes N -f- L y/«^ i , 
N — L \/ — I sont imaginaires 5 c'est que ce pôle est situé 
dans l'intérieur de la conique. 
La conique 

«LM + ^LN + rMN = o 

passe évidemment par les sommets du triangle conjugué. 
2°. Soit 

U = ax^ -f- by -+- cz- -{- 2djz -f- 2.ezx -+- ^/■^f 
= («, b, c, d, e, f) (x, j, z) = o 

l'équation d'une conique. 

Représentons par A son discriminant ou invariant 
principal 5 on a 

A = nhc H- o.def — ad"^ — be"^ — cf^. 

Soit V=o une seconde conique ayant pour coeffi- 
cients a\ b\ c', d', e',/', et soit A' son discriminant, 
Uh-).V= o, où 1 est une constante arbitraire, est l'é- 
(jualion d'une troisième conique passant par les quatre 
points d'intersection des deux premières coniques. Dési- 
gnant par A" le discriminant de cette troisième conique, 



(M?) 

ordonnée suivant les puissances de X, on a 

A" = A + A0 + i' 0' + a' A', 

= a'{be — d'] -+- b' [ca — e') -h c' (ab —/') 
-\-id' {ef— ad) -\-'}.e' {fd — be -\- if [de — cf). 

On dérive de même 0' de A'. 

et 0' sont deux invariants du système des deux co- 
niques . 

Si = o, alors la conique V passe par les sommets 
d'un triangle conjugué à U. 

Car, si cela a lieu, la conique U pourra se mettre, au 
moyeu d'une transformation linéaire, sous la forme 

■ï^' + j' -h z* = o {voir § I), 

et la conique V sous la forme 

2 d' yz -\- ie' zx -+- if xy = o, 
et alors 

a' ^ b' = c' = d =1 e =/= o , 

et = O par cette transformation ; mais étant un inva- 
riant s'annule donc pour une transformation linéaire 
quelconque des deux équations U et \ . 

La même condition = o, exprime que les côtés d'un 
triangle conjugué à V touchent U. 

Voici maintenant la lettre du Révérend Salmon : 

J'ai lu avec plaisir le beau théorème du capitaine Faure, 
n° 524, Nouvelles Annales, t. XIX, p. 234. 

On le déduit très-facileraent par la méthode que je 
donne Lessons on higher Algebra^ p. 107, Qu'on forme 
le discriminant de 

U + XV. 



( 348 ) 
Qu'il soit 

A + /© -f- A^0' H- >.' A'. 

= est la condition, ou que les sommets d'un triangle 
conjugué à U soient à la circonféxence de \ , ou bien que 
les côtés d'un triangle conjugué à \ louchent U. 
Formons donc le discriminant de 

Nous trouvons 



n 



A =r 


1 




= 


,A.('-^?= 


— /■^ — rt^ 


0' = 


1 ' 


— /- 


a^- ^ 


b^ '' 


A' = 


— r-. 





= donne le théorème du capitaine Faure. 

0'= o est la relation entre les coordonnées du centre 
et le rayon d'un cercle inscrit à vm triangle conjugué de 
l'ellipse. "" 

Ainsi : 

On donne un triangle conjugué à une hyperbole équi- 
latère : le centre rlu cercle inscrit au triangle est sur la 
circonférence de riijperbole. 

On donne un triangle conjugué à une parabole, le 
centre du cercle circonscrit est sur la directrice. Etc., etc. 

Je remarque aussi que la méthode la plus facile de 
lormer réqualion de la courbe parallèle à une ellipse 
(c'esl-à-dire la tourbe dont la distance à l'ellipse mesurée 
sur les normales du l'eilipse «;sl constanle = /•) est comme 
suit : 



( H\) ] 

Il est seulement nécessaire de former le discriminant 
de l'équation 

A 4- >, -f- >.' ©' + ',- A' = O, 

où A, etc., ont les valeurs données ci-dessus. 

De même, on trouve l'équation de la surface paral- 
lèle à 

cr b' c- 
en formant le discriminant en X du discriminant de 

(^-+-"p + ^-')+H(-^-«)'-i-(.r-p}'-+-(2-7?-'1. 

Ainsi on trouve l'équation de la surface parallèle, sous 
la forme, 



QIESTION DU GRAND CONCOURS 
DE MiTHÉMATIQlJES SPÉCIALES (JlILLET 1860); 

Par m. LEMOINE, 

Elève du Prytanée Militaire. 



Étant donnés deux ellipsoïdes A et B, trouver le lieu 
des sommets des triedres dont les faces sont tangentes 
à A. et parallèles à trois plans diamétraux conjugués 
de B. 

Letnnie. On peut supposer A et B concentriques; car 
en transportant B, par exemple, parallèlement à lui-même 
jusqu'à ce que son centre coïncide avec celui de A, on 
ne changera pas la direction des diamètres conjugués. 



( 35o ) 
Soient alors 

(a) A^- -f- A' r' -H A" 3^ -h 2 B zf -+- 2 B' a-z -+- 2 B" xy h- F = o, 
(P) A,.r=H-A', 7= + A,"z--t- 2B,3x-^ 2B',.r3 -1- sB" .r) -f-F" "o, 

les équations des denx ellipsoïdes. 
Soit 

X = mz, y = z, 

les équations d'une droite. Les plans diamétraux corres- 
pondants à cette direction de cordes seront dans les deux 
ellipsoïdes 

[Am + B'+ B"n)a: -+- (A'«+ B + B"m)y-+-{A"-tBn-h B'ni)z = o, 
(A,w?-t-B', +B" n)x-^{A\ «+B, +B", w>-f-(A" 4-B,«4-B', m z=o. 

Si 

A w H- B' + B" « _ A'fi +B -+-B" /H _ A" -+- B// + B'w _ 
A,/«-f-B', H-B> ~ A>H-B,^B"w ~^ A" -i- B,« 4^',T/ ~" ^' 

alors ces deux plans coïncident. 

Appelons z la valeur commune de ces rapports : si je 
démontre qu'il y a des valeurs réelles pour z, il y en aura 
pour m et n. 

On aura donc 

(i) (A — A,z)/»4-(B"- B'\z)n^{B' — B\z)=o, 

d'où 

(2) {B"—B'\z)m-h{A' — A,z)n -h (B— B,3)— o, 

(3) (B'— B,z)w+(B — B,z)rt-|-(A"— A', z) — o. 

Eliminant m et «, on trouve (déterminant) 

o=2(B — B,z)(B'— B»(B"-B';z) 

H- (A - A,z) ( A' — A', z) (A" - A", ^j — { B - B.z)' (A - A,z) 
— (B — B', z}' { A' - A» - ( B" - B'; zy (A" — A" ), 



(35i ) 
équation du troisième degré qui, ayant pour coefficient 
de z"^ 

— 2B,B', B; — AsA', a" -t- A,B^ 4- A', B',' + A", B';% 

et pour terme tout connu 

-|-2BB'B"H- AA'A" — AB' — A'B'^ — A"B"S 

a toujours une racine réelle finie et différente de zéro, 
car les deux expressions précédentes représentant les dé- 
nominateurs des coordonnées du centre des deux surfaces 
ne sont pas nulles, puisqu'il s'agit de deux surfaces à 
centre. 

Soit OZ la droite qui a pour équation x=^Tnz,y=nz^ 
m et n ayant les' valeurs que donnent deux quelconques 
des équations (3), (2), (i), jointe à la valeur réelle 
que nous venons de déterminer pour z. 

Considérons le plan diamétral qui correspond à cette 
droite, il est le même pour les deux surfaces. 

Soient G' a et ÇJ'b les ellipses suivant lesquelles il coupe 
les surfaces A etB. On sait qu'étant données deux ellipses 
concentriques, on peut toujours trouver un système de 
diamètres conjugués commun aux deux ellipses. Appelons 
OX et OY ces deux diamètres conjugués pour les ellipses 
C'a et Clb. Cela posé, il est évident que les trois droites 
OZ, OY, OX, forment un système de diamètres conju- 
gués communs aux deux ellipsoïdes. Donc en prenant ces 
droites pour axes coordonnés, on peut donner aux équa- 
tions des deux ellipsoïdes les formes suivantes : 



(B) 
' (A) 



x^ 




X' 


V' 


-+- 


b'' 


.7^ 




f' 


à" 


-h 


b"-' 



( 352 ) 

Solution fie fa question. 

Posons x = a! Xi, y = b'y^, z = c'z,, et substituons. 
Les deux équations deviendront 






c'^ 



Et résolvons la question poui' ce système d équations, il 
est évident que si nous trouvons pour équation du 4ieu 
J i^OijiZi) = o, le lieu pour le premier système sera 

•^ \a' b- c' 

Cela posé, considérons le système suivant en supposant 
les axes rectangulaires 

(3) \ ,.„, a'^K . h'^yl , c'^-z\ . 




La première équation B" représente une sphère, et par 
suite tous ses plans diamétraux conjugués sont rectangu- 
laires^ donc pour ce système la (juestion revient à ce 
théorème de Monge : Le lieu des sommets des tricdres 
trirectangles circonscrit à une ellipsoïde est une sphère, 
sphère qui, dans notre f[Ucstion, a pour équation 

a- b'' c' 

■r] +r] ■i-z]=z~ + — -h -' 

n ^ b ' c - 

Mais les relations algébriques que donnent le système de 
l'équation (2) et le système de l'équation (3) sont identi- 
quement les mêmes-, donc le résultat du calcul algébrique 
seia pour le système de l'équation (2) comme pour 



(353) 
léqualion ( i) 

a' b' c^ 

et en remphiçant a:i,yi, s, par leur valeur en x^ y^ z.^ on 
aura pour l'équation dans le système (i) 

a;' y'^ z' n^ b- c' 

^ "^ ^ "^ 7"^ ~ ^ "*" ^ "^ ?"'' 

c. Q. F. n. 

Ce qui est un ellipsoïde semblable à B, conccnlrique 
et semblablement disposé. 

Note du Rédacteur, lue théorème subsiste pour deux 
surfaces du second degjé quelconques. On le démontre 
par des transformations linéaires qui maintiennent le 
parallélisme des plans et des droites. 



NOTE SUR LES OKDES. 



Soient n molécules «i , «a, rts,-.., «„ rangées sur la 
même droite, et R la distance de «o ^ «« '•> supposons qu'un 
petit mouvement, un léger ébranlement de la molécule «, 
mette aussi en mouvement la molécule «„ au bout de t 

unités de temps 5 — est ce qu'on nomme la vitesse de pro- 
pagation de l'ébranlement, et la droite a^ «„ est la direc- 
tion de la propagation , qui peut n'être pas la même que la 
direction que prend a„ el qu'on nomme direction de in- 
bration. La vitesse de propagation peut n'être pas la 
même dans toutes les directions de propagation; alors 
toutes les molécules <?„ qui entrent en mouvement au bout 
du même nombre d unités de temps forment une surface 

Ann. de Mnthcni., t. XIX. (Soptcmliro 1860.) 23 



( 354 ) 
qu'où uonime onde. Si par un point de celle surface on 
mène un plan tangent, la direction de vibralion est tou- 
jours dans ce plan ou perpendiculaire à ce plan, qu'on 
nomme aussi onde plane. La vitesse de propagation dans 
le sens normal au plan est toujours plus grande que la 
vitesse dans le sens même du plan ; celte dernière vitesse 
se nomme aussi 'vitesse trans<^>ersale ou polarisée- cette 
vitesse peut avoir plusieurs directions : elle en a deux 
dans la double réfraction. \^ étendue de l'oscillation d'une 
molécule se nomme amplitude de 1 onde. 



THÉORÈMES SlJft LES CERCLES Qll TOICHENT LES COTÉS 
D'I'N TRL\NGLE. 



Le cercle qui touche intérieurement un triangle donne 
lieu à trois points de contact intérieurs et les trois cer- 
cles qui louchent extérieurement donnent lieu à trois 
points de contact extérieurs . 

Théorème 1. Les trois droites qui vont des sommets 
aux points de contact intérieurs des côtés opposés se 
coupent en un même point \ ce point, le centre du cercle 
intérieur, le centre de gravité de l'aire du triangle sont 
sur une même droite. Ce dernier point tombe entre les 
deux autres et partage leur intervalle dans le rapport de 
1 : 2. 

Théorème H. Les trois droites qui vont des sommets 
aux points de contact intérieurs se coupent en un même 
point I. 

Les trois droites qui vont respectivement des centres 
des cercles extérieurs aux points milieux des côtés du 
triangle qu'ils touchent se coupent en un même point Ii 5 



( 355 ) 
les points I, Ij cl le centre de gravité de 1 aire sont sui 
une uiéme droite, et ce centre partage l'intervalle entre I 
et II dans le rapport de i t 2. 

Théorème 111. Les perpendiculaires abaissées des cen- 
tres des cercles extérieurs sur les côtés du triangle qu'ils 
touchent, se coupent en un même point également éloigné 
de ces trois centres^ ce point, le centre du cercle inscrit, 
le centre du cei'cle circonscrit sont sur une même droite 
et ce dernier point est au milieu des deux auties points. 

Théorème IV. Prenons deux cercles extérieurs Ej, 
Ej, le cercle intérieur I -, du centre de Ej abaissons une per- 
pendiculaire sur le côté correspondant à Eo ; du centre 
E2 une perpendiculaire sur le côté correspondant à Ej, et 
du centre de I une perpendiculaire sur le troisième côté: 
ces ti"ois perpendiculaires se coupent en un même point 
également éloigné des trois centres des cercles Ej , E2, I- 

Ce point, le centre du cercle extérieur E3 , le centre du 
cercle circonscrit au triangle, sont sur une même droite, 
et le dernier point est au milieu des deux autres. 

Théorème V, Soit le triangle ABC. Le cercle E touclie 
BC (opposé à A) prolongé, en e, -, le cercle Eg touche AC 
(opposé à B) prolongé, en e,; le cercle intérieur I touche 
AB (opposé à C), en iy \ les trois droites A Cj , Bcg , C/j se 
coupent en un même point 5 ce point, le centre du cercle 
qui touche AB extérieurement et le centre de gravité sont 
sur une /«e//ie droite, et ce dernier point partage linler- 
valle entre les deux premiers dans le ra])port de 1 : 2. 

Ces théorèmes sont énoncés par M. Nagel , recteur de 
TEcole Industrielle {Real-Schule) à IJlm. 



23. 



( 356 



SOLITION DES QUESTIONS 494 ET 499, 

mélkode Grassmann et propriété de la cubique ganciic 

(TOir t. XVUI, p. W4, elt. XIX, p. W); 

Par m. CREMONA, 

Professeur. 

La question 4-99 embrasse deux énoncés, qui, si je ne 
nie trompe, exigent quelques corrections. Dans le pre- 
mier énonce, les droites B, D et le point ni sont des élé- 
ments fixes superflus à la construction du point variable/?. 
Il suffirait de dire : « Si les côtés ap^ cp^ ac d'un triangle 
» variable acp tournent autour de trois points fixes 
» /, 5, o, et si deux sommets a, c glissent sur doux droites 
» fixes A, C, le troisième sommet/^ décrira une conique.» 
C'est le célèbre tliéorème de Maclaurin et Brail^euridge. 
Si le lieu du point p doit èlre une cubique (courbe du 
troisième ordre), il faut modifier les données de la ques- 
tion. 

Le deuxième énoncé n'est pas complet. On n'y trouve 
pas de données suffisantes pour définir un lieu géométri- 
que. Il faut lire : « Si les côtés ab^ bc, cd, da, et la dia- 
« gonale bd d'un quadrilatère plan variable abcd tour- 
)) ncnt autour de cinq points fixes o, p, q, i\ s, et les 
)) sommets rt, c, qui sont au dehors de la diagonale, glis- 
« sant sur doux droites fixes M, N, chacun des autres 
» sommets b^ d décrira une cubique. » 

Ce beau théorème a été donné par un éminent géomè- 
tre allemand, M. Hermann-Gunther Grassmaim, de Slei- 
lin (*), dans un Mémoire inséré dans le l. XXXI du 
Journal de Crelle, p. iii-iSa; 1846. 



C) Professeur au gymnase de Stetlin Né dans celle viUe en i8o»j. 



( y^l ) 

A l'occasion do ces théorèmes qui se rapporlcni à la 
gcométrie des intersections^ je ne puis m'empêcher de 
mentionner une méthode très-expédilive et très-curieuse, 
dont la première idée parait appartenir à Leibniz, mais 
qui a été vraiment établie par M. Grassraann dans un 
ouvrage intéressant ( die TVissenschaft der exiensiven 
Grosse oder die AnsdcIiiiuiigslcJtrc)^ imprimé à Leipzig 
en 1844? et dans des Mémoires postérieurs [PreisschriJ- 
teji gohroiit and Iwraiisgegehen von der fiïrslîicJi Jahlo- 
nowshi schcn Qcscllschajt^ Leipzig, 1847, Journal de 
CroUe, t. XXXI, XXX\L XLII, XLIV, XLIX, LU). 
Excepté MM. Mobius [Preisschrifteii, etc., ut supra) et 
Dellavitis [Atti delV Islilulo Veneio^ décembre i854), 
je ne sache pas que quelque géomètre ait donné aux 
recherches de M. Grassmann l'attention qu'elles mé- 
ritent. 

Je vais reproduire ici les premières définitions et 
conventions de cette ingénieuse théorie, que l'auteur 
nomme analyse géométrique. Je désignerai toujours les 
points par de petites lettres, cl les droites par des lettres 
majuscules. 

Première définition, ah représente la r/;'o/ie qui joint 
les points a al h. 

Deuxième dé. finition. AJ\ représente le point commun 
aux droites A et B. 

Conuentions. On pose : 

ah = o si les points a et h coïncident ; 

AB = o si les droites A et B (indéfinies) coïncident; 

aB = o ou bien Da = si le point a est sur la droite B. 

Cela posé, soient «, b deux points fixes, x un point 

variable : 

abx =. o 

est l'équation d'une droite, car elle exprime que x est 



( 358 ) 
toujours sur ah . De même 

ABX = o 

esil équaliond un point, enveloppe de la droite mobile X. 

M. Grassmaun démontre la proposition qui suit, et 
qui est la généralisation du théorème de Pascal [hexa- 
^ramnia mysticum). 

(c Si un point x mobile dans un plan est assujetti à la 
» condition qu'un certain point et une certaine droite, 
» dèduisihlcs du point X et d'une série de points et droites 
» fixes au moyen de constructions exécutées avec la seule 
» règle, doivent tomber Tun dans l'autre, et si le point jr 
» a été employé n fois dans ces constructions, le lieu du 
)) point X sera une couibe de l'ordre n. » 

L'auteur donne aussi le théorème corrélatif pour la 
génération des courbes de la classe «, et les propositions 
analogues dans l'espace pour la génération des surfaces 
algébriques. 

La construction du point variable x [p] dans le pre- 
mier énoncé rectifié, question 499, est représentée par 
Véc\u.aiûoiiplanii)iêtiiqiie (selon l'appellation deM. Grass- 
maun) : 

xsCoklr = G 

(la droite xs coupe C dans un point, la droite qui passe 
par ce point et par o rencontre A dans un autre point qui 
avec / donne une djoite passant par j;). 

Celte équation contient deux fois l'élément variable x, 
et par consé((uenl, selon le théorème généial de M. Grass- 
maun, elle appartient à une conique. Cette coni(jue passe 
par les cinq points : 

ï, /, AC, .vriA, /"C; 

le (lui est évidiiit. p;ufe (|ui' cluKun d'eux salislail itleu- 
li([ueinent ré<jualion de la courbe. 



(359) 
Dans l'autre énoncé, question 499, la construction du 
point variable j: [b) est indiquée par l'équation planimé- 
t ri que qui suit : 

(x/pNy) (xoMr) {jf:s) = o 

(exprimant que les trois droites xpNq, xoMr, xs pas- 
sent par un même point). Cette équation contient trois 
fois le point variable a:; donc elle appartient à une cubi- 
que. On trouve aisément que cette courbe contient les 
neuf points : 

o, p, s, MN, (pq) (or), 9^N, r^M, pqM, orN. 

M. Grassmann démontre que l'équation ci-dessus est 
complètement générale, c'est-à-dire, elle représente toute 
courbe plane du troisième ordre. 

La question 494 [Nouvelles Annales^ t. XVIII, p. 444) 
est un autre théorème de M. Grassmann (^Journal de 
Crelle, t. XXXI). La construction du point variable x («7) 
donne l'équation planimétrique 

{xak){xb'&) (.rcC)= o, 

exprimant que les trois points .raA, x^B, xcQ sont en 
ligne droite. L'équation contient trois fois l'élément va- 
riable X, donc le lieu de la question 494 est une cubique, 
(jui passe par les neuf points : 

rt, b,c, BC, CA, AB, bcX, ca^, abC. 

Soit X la droite variable qui contient les trois points 
xaA, xbB, xcC : on aura évidemment 

(XA«)(XBi)(XCc)=:0; 

donc la droite X enveloppe une courbe de la troisième 



( 36o ) 
classe, qui touclic les neui droites : 

A, B, C, bc, en, ab, HCn, Ckh, ABc. 

Ainsi on peut regarder comme résolues les ques- 
tions 494- et 499. 

Propriété de la cubique gauche. 

J'ai trouvé cette propriété en m'occupant de cette 
couibe à double courbure dans ma solution de la question 
435 [Nouvelles Annales, t. XVIU, p. igp). 

a Par une cubique gauche osculée par le plan à l'infini 
» passe un seul cylindre du second ordre, et ce cylindre 
» est parabolique. » J'ai énoncé cette proposition dans 
mon dernier IMémoire inséré dans les Annali di Mate- 
matica (Rome, juillet et août iSSg) : Intoruo aile coni- 
che inscritte in una stessa superjicie sviluppahde del 
quart' ordine. Or voici le nouveau théorème. 

« Pour chaque plan parallèle au cylindre, la courbe 
•» admet un système de cordes parallèles à ce plan, dont 
» les points milieux sont situés sur une même droite 
» (diamètre). Ce diamètre passe par le point de la cu- 
)) bique gauche où elle est touchée par un plan parallèle 
» aus cordes: il est la droite d intersection du planoscu- 
» lateur avec le plan asymptote, qui correspondent à ce 
» môme point (par chaque point de la courbe passe un 
» plan asymptote, c'est-à-dire tangent à 1 infini, et tous 
» ces plans sont parallèles entre eux). 

») Donc par chaque point de la courbe passe un dia- 
)) mètre, qui bissecte les cordes parallèles an plan (jui 
» touche, sans osculer, la courbe au même point. Tous 
» ces diamètres sont parallèles à un même plan. saM)ir à 
» la diiection des plans asynqUoles, et roiinenl une sni- 
!) face du troisième ordic 

» La courbe admet au moins un peint (cl .ai plus liois) 



( 36. ) 
» uù la duMlo lanyciile cl le diamèlit; concspondanl se 
)) rencoiilicnt sous un ongle droit. » 

On voit par là la trappanto analogie entre celle courbe 
à double courbure et la parabole ordinaire (*). 



QUESTIONS. 



SiO. Dans une ellipse donnée inscrire un triangle éc/ui- 
latéral dont le côté soit i° un maximum, 2" un mini- 
mum. 

5il. Même question pour le triangle équilatéral c,\y- 
conscrit. 

542. Supposons que z^ puisse se décomposer de n ma- 
nières en produits d<; facteurs inégaux (i.z" compris); 
démontrer que J\z^ peut se décomposer de n manières et 
pas davantage en différence de deux carrés entiers. 

543. 

a.v — by = x'' — j> % a -{- b = c', 
bx -i- ay =: l^x) , a — b ■=^ d', 

^x = [c' 4- cr-) {c + d), 4jr = (c' -f- d'){c— d). 

544. 

«1 -h v'"-' + ^"i -f- • . • 4- sjf'n = P. 

Changeant dans ce polynôme n signes et désignant le nou- 
veau polynôme par Q, combien PQ renferme-t-il de 
quantités irraliounellcs.^ 

(*) On peut consuher le Mémoiie IVaiiçais de M. Creinona dans Crello. 
t. LVIII , p. i38, 1860 , qui vient de paraître. On y cite oc théorème rcmar- 
qiiaLle de Cayley : « Toute surface réglée ( non dévcloppalde) est d'une 
classe égale à son ordre. << 



( 362 ) 

THÉORIE GÉNÉRALE 
DES SYSTÈMES DE RAYOXS RECTILIGKES {*)) 

Par m. E.-E. KUMMER. 



CUELLE , t. LVII. 



Traduit par M. E. DEWULF, 

Capitaine du Génie. 



Ou a peu étudié jusqu'ici dans toute leur généralité 
les systèmes de rayons rectilignes qui remplissent tout 
l'espace ou une partie de l'espace de telle manière que, 
par chaque point donné, il passe un rayon ou un nombre 
déterminé de rayons. Dans les reclierclies géométriques, 
on s'est occupé surtout d'un système déterminé de rayons, 
savoir : celui où tous les rayons peuvent être considérés 
comme normaux à une même surface. La théorie de ce 
système a la connexion la plus intime avec celle de la 
courbure des surfaces. Les propriétés les plus remarqua- 
bles de ce système ont été trouvées par Monge et exposées 
par lui àixnsV jépjdicalion de V analyse à la géomélric (**) . 
Coninie les systèmes de rayons rectilignes dans l'espace 
ont une grande importance dans l'optique, leur ihéorie a 
souvent été étudiée comme question de physique; mais, 



(*) Ce Mémoire est un modèle de géométrie analytique d'une grande 
Iccondilé théorique et physique et il est élémentaire. Je donne ce nom à 
tout ce qui est bien étage , bien éclairé, à ce qui n'exige point des pas trop 
élevés. Les ouvrages d'Euler, de Lagrange sont plus élémentaires .que cer- 
taines arithmétiques. {Note du Rédacteur \ 

{*') b' édition, par M. Liouville; i85o. 



( 363 ) 
il ce poiiil de MIC, oji n'a guère cliulié non plus (|ue les 
systèmes de rayons normaux à une même surface. La 
llieorie générale de ces rayons a conduit d'une manière 
remarquable à un des plus beaux ihéorèmes de ropli({uc, 
au théorème de Malus généralisé par Dupin. ^ oici l'é- 
noncé de ce théorème : Tons les systèmes lumineux issus 
d'un point sont normaux à une même surface après 
ai^oir subi un nombre quelconque de réflexions sur des 
surfaces quelconques données et un nombre quelconque 
de réfractions par le passage au trai'ers de nu'lieux 
limités jouissant de pouvoirs réfringents différents. Cette 
propriété n'appartient pas aux systèmes irréguliers de 
l'ayons que l'on obtient après le passage de la lumière à 
travers lés cristaux. Ces rayons forment des systèmes qui 
ne sont plus normaux à une même surface et que, pour 
cette raison, on a nommés systèmes irréguliers. Quoique 
les cristaux ne donnent naissance qu'à certains systèmes 
particuliers, ils ont cependant amené Fétudc des sys- 
tèmes les plus généraux de rayons rectilignes. 

A ma connaissance, ces systèmes ont été étudiés pour 
la première fois par Hamilton, dans les Transac- 
tions of tlie royal Irish Academy, t. XM, dans un sup- 
plément à son grand traité : Tlieory of Systems of rays, 
où il ne les avait pas-encore considérés. Ce traité, rédigé en 
vue de l'optique, ne renferme que les systèmes réguliers 
et leurs modifications par réflexions et réfractions, et les 
systèmes irréguliers donnés par le passage de la lumière 
à travers les cristaux. Dans ce premier supplément, 
Hamillon part de pjincipes physiques et notamment de 
celui du moindre travail, et il cherche à déduire les pro- 
priétés géométriques du système généial de rayons recti- 
lignes, de la formule que donne ce principe. 11 a décou- 
vert, par cette voie, une suite de propriétés remarquables 
du système le plus général de rayons. Il semble que ces 



( 364 ) 
propriétés soient peu connues, car il n en est pas fait 
mention dans les Mémoires qui ont paru depuis sur le 
même sujet. Approfondir de nouveau cette j,héorie traitée 
pour la première fois par Hamilton en employant la 
géométrie analytique à trois dimensions, la compléter en 
quelques points importants, tel est le but de ce Mémoire. 

§ I. — Formules et notations. 

Un rayon rectiligne du système sera déterminé si l'on 
donne un point x,j^, z (coordonnées rectangulaires) de ce 
rayon et les angles que ce rayon forme avec les trois axes 
des coordonnées. Soient ^, yj, ^ les cosinus de ces angles. 
La relation qui lie entre eux différents rayons et qui en 
forme un système pourra être donnée de la manière sui- 
vante : les six quantités x, y^, z, ^, y^, ^ sont des fonc- 
tions continues de deux variables indépendantes u cl v. 
D'après cela, les points {x, j^ z) se trouvant sur une cer- 
taine surface, les rayons du système peuvent être con- 
sidérés comme issus des divers points de cette surface. Un 
point d'un rayon sera déterminé par sa distance à l'ori- 
gine du rayon. Cette distance est comptée sur le rayon, 
nous la désignerons par /■ et nous la nommerons abscisse. 

Considérons deux rayons du système. L'origine du pre- 
mier rayon et sa direction sont déterminées par or, j, z, 
^, Y], (^. Pour le second, ces mêmes (piantités deviennent 
x-i-Ax^y-hAj, z-^Az, ^ + A?, -/î 4- Avî, ^ 4- A^^ 
Ax, Aj^ etc., ont des valeurs finies. La relation qui 
existe entre ces deux rayons sera connue, si l'on déter- 
mine: l'angle e qu'ils forment entre eux, la longueur p de 
leur plus courte distance et la direction de cette plus courte 
distance, ou le cosinus /, X, ^ des angles qu'elle forme 
avec les trois axes, et enfin l'abscisse r du pied de celle 
plus «ourle dislaiice sur le prcmit'i' rayon l.a géoniélrie 



( 36r, ) 

analytique (loiinc ces (juatrc (|uaiililcs vu loiulioii des 
coordonnées des origines des deux rayons et de leurs 
direelious, eouime il suit ; 

(1) coSê = ^(^+Aç)-hy)(>i-f- A/î)-f- <;(!;+ AÇ), 

(2) sm'£ = {n^K—K^y>y-h{^<:^^ — ?A>,)' + (^A„ — >îA2)-, 

(3) p sin £ = {nA^—-<;\n)^x H- (ÇAÇ — ^AÇjAr + ( ÇAvî — nà^)Az, 

yjAi; — ÇA» ÇAÇ-^^AÇ ÇA»— yjAç 

(A) y. = : ) A = ^ •> y. = -, • , 

sms suis sins 

(5) 'p — xA X ■+- ).Aj>- 4- p-A 2, 

,. \ rsint =[p.(rj4- A»:) ~ A ?+ AÇ)] A.r 

^''1 +[x(<;+Aî;)— p(Ç + At:)]Aj+[À(Ç+A^)— v.(--,-+-A»)]Az. 

Au moyen des relations 

(?+ A;j'+(» -f- A/,)'+ ((; + AÇ)==I, 
d'où Ton déduit 

(7) CAS -+- »A» + ÇAÇ = — -L(AÇ=-f- A»2 4-AÇ'), 

on peut mellro les expressions de cos e, sin î, /' sous la 
forme suivante ; 

(8) COS£= I — -(a?-'4- A»'+ Ai;^), 

(9) sin^e=: A^-'+ A»^-(- Ai;'— ^ (a?'+ A»^ + AÇ')', 

^ ^ \ rsin''£=— (ArAç + ArArî+A3A(;')+ - (AÇ' 4- A»- + Ai;^ 

(10) j - -. 

{ X [Az-(ç 4- Aç) -h A7(» + A») 4- A3(Ç+A(;)]. 

Considérons les dislances des deux rayons en chucun 
de leurs points, ces distances étant mesurées par les per- 
pendiculaires abaissées des diOérents pointsdu second siu' 
le premier, nommons «y les loiigueurs de ces perpendicu- 



( 366 ) 
laires, R ies al)scissos de leurs pieds sur le pieniier rayou, 
x', X', p.' les cosinus des angles qu'elles forment avec les 



trois axes ; nous avons 



(R — P)iç -(- At) 






COSi 


R 


-P)(7,-h Ay,) 




COSî 


(R 


-V)U-h^■ç) 



;^o 



Nous avons posé, pour abréger, 

P r=çA.r + >jA/ + ÇA?. 

Supposons que le second rayon se rapproclie infini- 
ment près du premier, de manière que les dilVérences A.r, 
Ay, etc., deviennent les dillércntielles r/j:, dj , etc. Les 
quantités p,(J-, e deviennent infinlmentpeliles, désignons- 
les par dp, dq^ de. Les infiniment petits d'ordre supé- 
rieur disparaissant, il vient 

(12) cit'= d^' + dn' -+- d^-, 

(i3) x= , 1= , ..=._-^-_, 

( 1 4) dp ^= ■/. dx -r-\dy -\- a dz , 

(ij) /•_ ,/^^4_^^5_|^,/i:' ' 

iy.' dq =: dx ->rR.dc — ç ( ç f/.c + r,dy -f- ï; r/z \ 
â' d(j = c/)- -}- R c/y) — ri (ç r/.r -f- yj rA>- -+- tdz), 
a dq ~ dz -f- Rc/i; — i;(;'-/x 4- »î d) -+- 'C,dz), 

X, y, z, f, y;, (^ étant des Ibnclious des deux variables 
indépendanti'S u cl p", leurs dinerentlelles peu \ eut s'ex- 
primer par les <[uollenls didéreutiels parliels pris par 
rappori à «et à »', cl par les differenliclles du et /7t'. 



{ 36; ) 
Nous emploierons les mêmes nolalions que (jauss 
dans ses DisquisiLÎones générales circà superficies ciuvas 
pour les prciiiiets quotients ditrérentiels partiels et pour 
les expressions qui résultent de leurs combinaisons \ ainsi 
nous posons 

(17) dx-=. adu + a' de ; dy = bdu -f- b' dv ; dz ^ cdu -^ c'di> ; 

(18) bc'—b'c = k, en' —ac' —Ji, nb' — ha' = C, 

(19) fl^H-é'+6-'=E, aa'+bb'-^cc'—Y, «"+6"-t-c'^=G (*). 

Nous emploierons des notations analogues pour les 
quotients différentiels partiels des quantités ^, V;, ^ et poui' 
les expressions qui résultent de leurs combinaisons : 

{20) d^=&du-\-&'d(>; dn=:hdu-\-h'di'; d'i^=cdu-hc'di', 

(2 1 ) bc' — cb' = al) , ca' — ac' = ill, , ab' — Ija' = G, 

(22) a^+b'4-c'=C, aa'+bb'-i-cc'=^, a'^+b'^+c'^—C^. 

Par suite, nous avons 

(23) .V+llb' + G'^rCg' — 3?^ = A'. 

Plus loin, nous emploierons aussi les abréviations sui- 
vantes : 

Iaa + bh-\- ce = e, 
a'A-frb'h -l-c'c = f, 
^'■'■'^^ ' mV-h ÙW -}-cc' = (', 



«'a' + b'W -f-c'c': 



&' 



Le quotient des diirérenti elles des deux variables indé- 
pendantes du et dy sera représenté par /, ainsi 

De l'équation 

(*) Voir Nouvelles Annah's, t, XI, p. 195; i853. 



ça-(-y)b -f-Çc=o, 
Ha'+nb'-f- Kc' =o. 



( 3(kS ) 
([ui, dilTôrentit'c surrossivcmenl [ua rappoi l à // cl a »-, 
donne 

(26) 

on tire 

-l, Dî, C 

(27) o ^^-J' r,= -, 4= -' 

nous emploierons ces expressions avec avantage. 

Les valeurs de ç, /;, (^ sont indéterminées dans le cas 
où A = o, car l'équation A = o entraîne les équations 
X = o, iil)= o, G = o. Ce cas ne se présente que pour un 
système particulier de rayons, et dans son étude il exige 
une légère modifleation dans les méthodes générales. 
Nous ne le considérerons pas spécialement, le système de 
rayons correspondant peut être <onsid-érc comme une 
limite du système général. 

^ II. — Points limites des plus courtes distances diui 
rayon à un rayon infiniment voisin. 

En lemplaçant JjT, dj^ dz^ dq,, dr,, d^ par les quotients 
différentiels et les ditrérenliellcs des variables indépen- 
dantes, l'expression (i5) de Tabscissc du point du pre- 
mier rayon le plus rapproché d'un rayon inliuiment 
voisin sera 

/,^ e + (/-t-/-)^-f-r 

Pour une certaine valeur de f =:= -—•> celte expression 

(lu '■ 

donne la plus couile distance du premiei' rayon à un 
layon infiniment voisin déterminé. On tibiicnl toutes les 
valeurs de /", c'est-à-dire les valeurs de /qui correspon- 
dent à tous les rayons infiniment voisins, en l'aisanl varier 



( 369 ) 
^ de — 00 à -h ce . La valeur de /• ne peut être nulle pour 
aucune des valeurs det, puisque CÇ — 3^^= a, ^4- \j\,*-f- £' 
n'est jamais négatif^ nous écartons le cas où ^CJ — ^^=0. 
Donc, les valeurs de /■ ne peuvent jamais être infinies et 
doivent rester comprises entre certaines limites données 
par le maximum et le minimum de /•. On a donc le théo- 
rème suivant : 

Les pieds des plus courtes distances d'un rayon à 
tous les rayons infiniment voisins qui Fentourcnt, se 
trouvent tous sur un segment déterminé de ce rayon. 

Egalons à zéro le quotient différentiel de /' par rapport 
à t. Cette équation nous donnera les valeurs de t qui dé- 
terminent les points-limites (extrémités du segment) 

(2) (C-i-2-T7+cj'^^)(f+f'-+ 2g?)-[e-^f+P>-^g^'](2J"-t-2g/)=ro, 

ou en simplifiant 

(3) Lf- ^ (H- f)? j t^-ieÇ-^Ct^ ^^ (f -^f') C-c^j = G. 

Soient t^ et t^ les racines toujours réelles de cette équa- 
tion quadratique, on a 

eCi — gô 2 ' 

(4j t,-\~t, = ^ — ^ , t,t, = 

g,-?-l(f-Hf')fJ ..f_l(f+r)(y 

De là, on tire ces deux équations remarquables : 

(5) i.' -h rf(t,-i-f,)-^(jt,t, = o, 

( 6 ) e 4- - ( f 4- ^ ) ( ^ -^ ''î ) -h g ^ r, = o , 

auxquelles on peut ajouter celles-ci qui se déduisent 

Ann. de Malhcnuit.. t MX (Octol)rc iSGo.) ^4 



( 370 ) 
facilement des précédentes 

( 7 ) v^" + 2 it, -f- {\t\ = [t, — t^){^ + (,> t, ) , 

(9) (i? + f,'^)(.î+(j/.)=-^% 

( lo) ( 6 + 2.f^, H- (,7=)(£ + 2.f>5 4- (,7^) =r A^ (r, — />, )'. 

Si l'on désigne par /•, et /'o les valeurs extrêmes de v 
<|ui correspondent à ? = f , et £ = f , , on a 



(.1) 

(12) 



e + (f+f')^ 


+ 8^^ 


C-f- 2^?, + ijt\ 


e+(f+P)f 


2+ g'? 



r^H- 1^1;+ Lit 



l'î 



Au moyen de l'équation (2) on peut donner à ce- 
expressions les formes plus simples : 



2 2 /cl 

i3) r, = 



-+--(f+r)<. -(f-+-f') + (,7. 



(.4) r,=: 



:' + -îr, .V 4- Ç|7j 



Si 1 on élimine ?, et f, entre ces équations, on obtient 
Téquation quadratique suivante dont les racines toujours 
réelles r, et Ta sont les abscisses des points-limites des plus 
courtes distances d'un rayon à tous les rayons infiniment 
voisins : 



»5) < I 



( 37C ) 
On tire de celte équation 



C'^' ' eg-:(f.p; 



Le segment sur lequel se trouvent les pieds de toutes 
les plus courtes distances d'un rayon à tous les rayons 
infiniment voisins est égal à la diirérence des abscisses des 
points-limites. Désignons par 2.d\a longueur de ce seg- 
ment, par m l'abscisse du point milieu des deux points- 
limites, on aura 

, r, — r, .- _i- - 

(17) rf= •> inz 



2 
[La suite prnchainement.) 



SOLITION DES QIESTIOKS DE L'ALGEBRE BERTRAND 

(voir t. XVIi.p. 12); 



Par m. E. MATHIEU, 

Professeur. 



X. Trouver la somme des carrés des coefficients du 
binôme. Cette somme peut être représentée par les deux 
formules 

2/l(2« — l) . («4- l) 2.6.l0.l4- • -(4" — 2)_ 

I .2. 3. . .« 1.2 3. . .« ' 

prouver que ces deux formules sont équivalentes. 
Remarquons d'abord que l'expression 

in{in ~ \]. . .{n -\~ i) 

1.2.3. . .Tl 

24. 



( 372 ) 
représente le nombre de coinbiiKiisons de in leltres n h 
n. Or, pour former ces combinaisons, supposons qu'on 
agisse de la manière suivante : 

On partage ces in lettres en deux groupes, chacun de 
n lettres. 

Puis, ne prenant d'abord dans le premier groupe au- 
cune lettre, on prend toutes celles du second groupe ; ce 
€jui formera une des combinaisons cheichées. 

En second lieu, on prend une lettre dans le premier 
groupe, ce qui peut se faire de n manières, et on la com- 
bine avec n — i lettres du deuxième groupe,' ce qui peut 
encore se faire de n manières. On aura ainsi n'^ combi- 
naisons. 

En troisième lieu, on prend deux lettres dans le pre- 

r . j n[n — \) 
mier groupe, ce qui peut se fane de manières, 

et l'on combine chacun de ces produits avec n — 2 let- 
tres du deuxième, ce qui donne pour chacun des produits 

de deux lettres du premier groupe produit.*». Ou 

( ti[n — \)\ . . 

aura donc en tout — ^ combinaisons. 



En imaginant que Ton continue ;iinsi, il devient évi- 
dent que l'on a 



'.nlirt — l)h.n — n). . .in-\-i) i nin — 1 )\ 
_v _i^_^ '. i i= ,v_,_„._^, _!^ ^ 

12.3...// \ 1 



)'■ 



Remarquons maintenant que Ton a 

( a ) 9. « ( 2 « — 1 ) . . . ( « + I ) = 2 . 6 . I O . I 4 . • • (4 'ï — ^- ) • 

En effet, 1 égalité est vérifiée quand on fait // = 1 , il 
suffit dont de prouver que si cette égalité a lieu lorsqu on 
y change n en n — 1, régalilé (a) elle-mcme aura lieu. 



( :^73 ; 
Suppusous doiu ([ue 1 on ait 

(2/î 2)(2/^ — 3). . .(« 4- l)/î := 2.6. lO. . .(4" — 6); 

en multipliant les deux nierabres par 4" — 2, on tombe- 
sur Tégalité (a)-, donc cette égalité est démontrée. 

La somme des carrés des coefficients du binôme peut 
donc encore être représentée par la formule 

2.6. lo. . .(4" — 2 ) 
1 , 2 . 3. . .« 

XI. Prouver que si dans la somme 

I — X- (i — •r)(a — ■ï') 



.S = 



II '71 — ' ; n(u +-11 



on fait j: = n". cette somme devient égale à n. 

Si dans Texpression de S on fait x =■ rt", tous les 
termes après le dernier écrit dans celle expression s an- 
nulent, et en désignant par S„ le résultat de la substitu- 
tion, on a 

\ — a" l'i — «"Ifi — rt"-') 
I — a i — a- 

(i — n"){i — «"-'). . .{i —a] 



Oi 



(l — «")(! — rt"-'). . - (l — a"' ' 

_{i — a"-' ) . . . f I — n"^i' j i I — a"-P-' ) 
— — I — ar+' 

r il -• n"-'i ■ .i'i — a"'r)(i"'r-' ; 



374 



donc 


on 


aura 












s,= 


I — 


-«"-' 


-1- 


('- 


- a"-' 


)('- 


.««-) 


1 - 


— a 




I 


— «' 






(1- 


- «"-' 




,.{i 


-a^] 


1(1- 





4-. . 



I — n"-' ^ ' 

-4- a°\\. — a"j . . .(i — «')(i — n). 

Posons 

A„=a"-f-«"-'(i — «") + ., -h «°( I —«")...(« —o')(i —a), 
et nous aurons 

et 

A„=a"-f- (i — «") 

X [«"-' + «"-' ( I — a"-') H- . . . 4- «„ ( I — fl"-- ') . . . ( « — rt=) ( I — «) , 

ou 

A«= «"+ ( I — «")A„_,. 

Or on a Ao = 1 5 donc, d'après cette dernière formule, 
on aura Aj = i , A, = i , . . • , A„ := i . 

D'autre part on a Si = i ; donc on aura S* := 2, 

Ss =: 3,. . ., S„ = n. 

XIII. On donne l'équalioii 

ax'' -V- hy -V- cz' -\- iit.r\y- -f- ^.f.r'z^ -\- 'i.fy'^z' 
-\- inx -\- ny' -\- pz' -t- r/ = o. 

Trouver enlre quelles limites peut varier x"- -\- y' ■+- z^. 

Commençons par tirer z'^ de l'équation donnée pour le 
porter dans l'équation 

M = x'-^ y'-\- z'; 
ei nous chercherons ensuite entre (|uell«s limites peut 



{ 37^' ) 
varier a. Eu liraiil 2^ de l'équalion douuée, on a 

— P — 2 ex'' — a/JT^ 

eu posant 

/' — ^t 2 e/ , <?■' — flc 
A=-^ , B = ^, C = : — , 

pf—cn pe — cvi p' — 4 <7 

Portant z^ dans lexpression de //, on a 

c — € c — f p 

c r 1C 

± s/ky-'~^^Bx^^ -\-Cûs*-h T)y^ H- Ex' -+- F. 

Résolvons cette équation par rapport à 7^, et pour cela 
chassons d'abord le radical, ce qui nous donne 



(?: 



e — c f — f 

x' 4- r' + 



r>. c 1 



c c ic 

= Ajr' -+- Bx'j- + C,r« H- Dj-^ + E-r^^ F. 



En résolvant cette équation par rapport à y', on trou- 
vera une expression de la forme suivante 

r= = XX- -f- p dl y/N.r' H- P j:- -f- Q , 

/3, P et Q étant des quantités qui contiennent «, et a et N 
étant des quantités qui ne le contiennent pas. 

y^ doit d'abord être réel, il faut donc que l'on ait 

(>î) Nx' -f- Pa-'4- Q> 0. 

N peut être positif ou négatif. S'il est négatif, il faudra 



l ^70 ) 

que x^ soit compris entre les deux racines de 1 équation 

IV-r'-f- Pj'+ Q = o, 

ce qui exigera que 1 on ait 



P et Q étant fonctions de w, ces deux inégalités nous in- 
diqueront des limites de u. Si N est positif, l'inégalité [m) 
pourra toujours avoir lieu, quelle que soit zi, et la réalité 
de )'" ne donne plus de conditions. Enfin il faudra que 
y soit réel, ou que j^ soit positif, et pour cela il suffira 
que la plus petite valeur dej'^' soit positive. Or, en résol- 
vant l'équation [l) par rapport à x", on aura 



Soient j^' ^tjXî ^65 racines de l'équation 

N,(v'+P,«'+Q=ro, 

on aura 

y] = A u- + n « 4- V , 

yl = y u^ ■+- u' u -+- v'. 

Supposons jNi<^o, nous cliercherons entre quelles 
limites doit varier i/, pour que la quantité 

(), _ V ) a' + (p _ u') « -h V — •/ 

soit plus grande ou plus petite que zéro. On trouvera 
ainsi que^a est minimum quand u varie entre u^ et z/j, et 
l'on posera 

u"^ II, , « <C "2 . ''•' "' 4- fjt' a -i- v' ^ o. 

On trouvera aussi que -> 1 est minimum quand 11 varie 
depuis — ce jusqu'à //,, et depuis «j jusqu à -h 00 , et l'on 
aura 

« <C " . "" " ^ " j avec y u- 4- (X /< -|- V ^ o. 



( 377 ) 
Si N, élait ^o, on exprimerait encore que le minimum 
dey est ^ o. 

XJV. Entre quelles limites peut varier l'expression 

{x -h y)' -\- {x -\- Zf -h [z — 3xj--h 2.r— j H-z -I- lO, 

lorsque x, y, z prennent toutes les valeurs possibles? 

Ordonnons ciîlte expression par rapport à x., et, d'a- 
près la règle générale, égalons-la à une quantité indéter- 
minée m. Ainsi nous posons 

lO jr' + 2(y — 3z-|-i)x+ 2JK'-f- 2jrz-4- 2z^ — y -i- z H- lo = /w, 

et nous allons chercher entre quelles limites peut varier 
/// pour que x^y^ z restent réels. Résolvons celte équation 
par rapport à a:, nous trouverons 

— j-h 3 3 — lit y/ — 197* — 2(i3z — 6)>- — 1 1 z' — i6z — 99 -T- 

10 

Pour que x soit réel, il faut que la quantité qui se trouve 
sous le radical soit positive, ce qui donne 

(i) igv' +2(i3z — 6)j4-iiz'H- i6z+-g9 — io/«<^o. 

Or, pour que cette inégalité soit satisfaite, il faut et il 
suffit que j^ soit compris entre les racinesj^'et j " de l'é- 
quation 

1 97' -H 2 ( 1 3 z — 6 ) j- 4- 1 1 z- -t- 1 6z -f- 99 — I o w = o ; 
ainsi les valeurs de y' e\. y" sont les suivantes 



— i3z -f- 6rh: v' — ^oz^ — 46oz — i845 -+- 190W 

> — — - J^ 

Les valeurs de r' et de y" devant être réelles, on a 

(2) 40^" + ^^oz-^- 1845 - 19QW < o. 



( 378) 
Pour que celte inégalité puisse avoir lieu, on voit encore 
([u'il faut et il suffit que z soit compris entre les quan- 
tités z' et z'\ dont les valeurs seront données par l'ex- 
pression 



23o ± v^23o* — 4o X 1845 + 4o X I 



90/M 



40 
z' et z" devant être réels, nous aurons 

25o' — 4o X 1845 + 4o X igow^ o, 

et en efîecluant les calculs, 

lelle est la condition nécessaire et suffisante. Ainsi le 

polynôme proposé peut varier depuis -j- jusqu à 00 quand 

.r,y, z prennent toutes les valeurs possibles. Il faut bien 
remarquer que les inégalités (i) et (2) ne donnent que 
des conditions auxquelles doit être assujettie m^ puisque 
,r, Y^ z peuvçnt être quelconques. 

X\ . On donne trois équations à deux inconnues, 

ox -V- h Y = <l , 

fl'.r -f- b'y = d' , 

(IX -+- h' y = d" 

Il existe un nombre infini de facteurs X, X', X", tels, qu'en 
mullipliant la première équation par X, la seconde par X', 
la troisième par X", et en ajoutant les résultats, on obtient 
une équation de la forme 

x = ;d+ Vd' -h a'V/'". 

l'rouver les fii( leurs /, X', /." fpii, remplissant celle con- 



( '^79 ) 
dition, rendent la somme X^ H- X'^ -J- X"* la plus petite 
possible. 

Les quantités X, /', X" sont reliées entre elles par les 

équations 

a A A- a' y -ha" \" ■=. i , 

b\ + b'y -+- b")" = o. 

Ajoutons-y l'équation 

(rj.-h(i'r-{-d"r = -j, 

V étant une indéterminée, et résolvons ces trois équations ; 
posons 

R = a'b'ct — ad' h" -+- da' b" ~ ba' d" 4- bd'a" ~ db'a", 

et nous trouverons 

_ [b'd"— d'b")-h{a'b"— h'a")-j 

\ 

^^_bd'—db'-{ 
~~ R 

En désignant donc par h la somme X' -+- '/.'--+- a"-, nous 

avons 

R-.'i = [b'd" — dh" -4- a' b" — b'n")-i\- 

' -t- [db" — bd" — (r///'— bn"]-j]' 

-h\bd' — db' -^- {ab' — ba')jy; 

u se trouve ainsi exprimé au moyen de la seule indéter- 
minée V ; posons 

b'cf— db" = A , db' — bd" z=z A', bd' — db' = A", 
a'b" — b'n' — 'R , ab" — ba" =. B', ab'— ba' — B", 

et l'équation précédente pourra s'écrire 

R-« = ( A ^ Bv)2 4- (A' -H B'v)--|-(A"-4-B"vi% 













R 




/ 


= 


[db"- 


-bd 


"+( 


ba" 


— ab" !'■> 








R 






„ 




bd'— 


db' 


4-(' 


ab'- 


- ba'yj 



( iSo ) 
ou, si nous ordonnons par rapport à v, 

(B=+ B'^+ B"')v'-t- 2(AB + A'B'-I- A"B")v 

-h A'+ A'--|-A"'— R=« = o. 

D'après la règle générale, résolvons celte équation, ce 
qui nous donnera 

— (AB+A' B'-t-A" B")±: v/(AB-H.\' li'-+-A" R")'--(R---4-B"-i- B"-) (A'-i- A'^-i-A"^— R' u 

B-H-B"-t-B"^ 

Pour que le radical soit réel, il faut que u soit au moins 
égal à 

( B^ + B'^-f-B^^^')(A--+- A^'+ A'^) — (AB-h A'B' + A"B^^)' 
R'IB^H- B'2+B"^) ' 

ou à 

(AB^-BA^)^4-(A'^B — AB^^)^+ (A' B" — B^A^^)-^ 
R2 ( B= -t- B'^ + B""^l 

Donc cette expression est le minimum de //, la valeur 

1 , AB-l- A'B'+ A"B" ,.,„ j 
de V correspondante est — -7^ ^;7^ — 5 qu li taucira 

porter dans les expressions de A, X', X" pour avoir celles-ci. 

CHAPITRE XII (p. 166). 

I. Quelles sont les progressions par difïérence dans 
lesquelles la somme de deux termes quelconques fait par- 
tie de la progression ^ elles progressions par quotient dans 
lesquelles le produit de deux termes fait partie de la 
progression ? 

Soient M et P" deux termes (|uelconques d une progres- 
sion par dillérence dont la raison est /', on aura 

u = n -+- n/ , !■ z^ n -\- pt 
et 



( 38i ) 
Si u -h u est un terme de la progression, on a aussi 

u -\- i> =1 a -ir kr. 

En comparant ces deux valeurs de u -\- p-, on voit que le 
premier terme a sera un multiple de la raison. 

Considérons maintenant deux termes quelconques 
d'une progression par quotient; ils seront 

a = aq'', i- =: nqP, 

et Ton aura w = a^q"^''\ in' étant un terme de la pro- 
gression, on a aussi m^ = aq^ ; a est donc une puissance 
de la raison. 

III. Dans quelles progressions par différence exisle-t-il 
un rapport indépendant de «, entre la somme des /; pre- 
miers termes et la somme des n suivants. 

La somme des ?i premiers termes est 

g _ [:>.n-^{n— \]}-']n 
a 

la somme des n suivants est 

2 

et Ton aura 

S nr-'ria — r 

S' 3«r-f-2fl — /■ 



S , 
Ainsi en général — n'est pas indépendant de n. mais il tend 

vers - à mesure que n augmente. Le raisonnement n'est 
3 

en défaut que lorsque /• est nul, parce que Ton ne peut 
plus diviser les deux termes de la fraction par /. Dans 



I -f- 


ICI 


r 


nr\ 




3 + 


la — 


j 



( 382 ) 
ce cas, — , est évidemment constamment égal à i, et la 

progression cherchée a tous ses termes égaux à a. 

V. Si l'on prend la suite des nombres impairs i, 3, 5, 
7, . . . , et qu'on la sépare en groupes dont le premier ait 
un terme, le second deux termes, le troisième trois, etc., 
la somme des termes d'an même groupe est un cube. 

Le nombre de termes qui précèdent le //'""" groupe est 

' 1 ^ o . n[n — i) ^ 
égal a I-|-2-^-3^-...^-/^ — i , ou a — ^ • Un 

trouve alors facilement le premier terme du n"""" groupe 5 
il est i-{- n [n — 1), et il nous reste à trouver la somme 
des Ji termes de la progression 

n[n — i) + i, n{n — i)+3,..., n [n — i)-|-2/? — i; 

„ \n\n — i) -f- I -h « (rt — i) -h 2« — il« „ 

elle est - — ^ ^— ou tr . 

■> 

VI. Si Ton considère la suite i , 2,4, 6, 8, 10, . . . , la 
somme des n premiers termes est impaire et, augmentée 
des //. — I nombres impairs suivants, elle donne un cube. 

La somme des /z — i nombres 2, 4^ 6,..., 2« — 2 est 
n(^n — i), et la somme des n nombres impairs que nous 
recherchons est 

n{n — i)H-i-+-«(/2 — i)-|-3-l-. . .-H-«(« — i) + 2« — i, 
comme dans l'exercice précédent; elle est donc ti^. 

X. Soit AB une ligne quelconque, on marque son 



milieu C, puis le luilicu D de Cfî, puis le milieu E de 
DC, puis le milieu F de ED, le milieu G deFE, ci ainsi 
de suite indéGniment; prouver ({uc les points C, I), E, 
F, G s'approchent de plus eu ])lus du tiers de AB, à 
partir du point B. 



( 38/> ) 
Un allia 

BF, = |, 

3 1 

3 I I 

BG = y r + T- 

8 ib 32 

En continuant ainsi, on voit qu'en désignant par X le 
point cherché, on aura 

Ayant fait la somme des termes de chacune de ces pro- 
gressions, on aura 

3 I 1 I 

b 12 24 ^ 

ce qui est précisément ce qu'il fallait trouver. 

XI. Trouver la limite de la somme des fractions 

1234 5 

2 4 o '^ 32 « 

dont les numérateurs forment une progression par diffé- 
rence, et les dénominateurs une progression par quotient. 
Désignons par S la limite de cette somme, nous aurons 

^1234 5 

2 4 ^ '^ 32 

ce ({ui peut s'écrire 

I I ! I 

T 4 *^ in 

1234 
4 o 16 32 

La première série est une progression par quotient, donl 



( 384 ) 
la somme des termes est égale à i i la deuxième série est 

éeale à - ; on a donc 

S=i+-S; 
d'où 

S= 2. 

XIII. Si dans une progression par ditîérence trois 
termes consécutifs sont des nombres premiers, la raison 
est divisible par 6, à moins que le premier de ces termes 
ne soit 3. S il y en a 5, la raison est divisible par 3o, à 
moins que le premier de ces termes ne soit 5, et s'il y en 
a y, elle est divisible par aïo, à moins que le premier de 
ces termes ne soit j. 

Considérons en général A termes consécutifs dune pro- 
gression par différence 

a, a -\- r, a -\-Q.r, . . , a -{- [^ — i) r, 

et supposons A vui nombre premier; si aucun de ces 
termes ncst divisible par A, /' est divisible par A. 

En ellet, supposons, si cela est possible, que ;' ne soit 
pas divisible par A, je dis d'abord que les restes de la divi- 
sion des nombres /', ar, 3/,. .., (A — i)r par A seront 
tous différents, et, par conséquent, seront dans un ordre 
quelconque i, a, 3,. . .,A — i. 

Car, si deux de ces restes étaient égaux k a^ m et // étant 
des nombres plus petits (jue A, on aurait 

mr = qk + 'X , nr ==: (j' k -(- y. , 
et par suite 



et 



\^m — ,7)r = (7 — 7') / 
[m — n)r 



( 385 ) 
ce qui est impossible, puisque le nombre premier k ne 
peut diviser ni m — «, ni /■. 

Or a n'étant pas divisible par A, l'addition de a à un 
des nombres i , 2, 3, . . . , A — i donnera un nombre divi- 
sible par A. Ainsi il est impossible de supposer que /• ne 
soit pas divisible par A . 

Cela posé, si dans une progression par différence deux 
termes eonséculifs sont des nombres premiers, la raison 
est divisible par 2, à moins que le premier de ces termes 
ne soit 2, 

Si trois termes consécutifs sont des nombres premiers, 
la raison est divisible par 3, à moins que !e premier de ces 
termes nesoit3; elle est d'ailleurs divisible para; donc elle 
est divisible par 6. 

Si cinq termes consécutifs sont des nombres premiers, la 
raison est divisible par 5, à moins que le premier de ces 
termes ne soit 5 ; elle est d'ailleurs évidemment divisible 
par 2 et par 3 ; donc elle est divisible par 3o. 

On voit de même que si sept termes consécutifs sont des 
nombres premiers, la raison est divisible par 3o X 7 ou 
210, si le premier de ces termes n'est pas 7. 

XIV. Dans une progression par quotient dont le nom- 
bre des termes est impair, la somme des carrés des termes 
est égale à la somme des termes multipliée par l'excès de 
la somme des termes de rans, impair sur la somn'.e des 
termes de rang pair. 

Soit 

■r^. a '. ar/ ; aq'' : ... ; acj" 

la progression donnée ; u y est pair, et les carrés des termes 
de cette progression forment une autre progression par 
quotient 

H o' I <?(/" *. «^7' I • . '.a-q'^". 

Les sommes des termes de ces deux progressions sont 
Ann. lie Mûihcm., i. XIX. (Octobre i8(io ) 25 



( 386 
respectivement 



^^ a (7"-'- I) ^^ ^ ^ a^[q"^^'— I) 



' q—\ 7-— i 

Si peut s'écrire 



'7—' 9'— ï 

Or, «+ I étant impair, on aura, en effectuant la divi- 
sion de ç"+' H- I par 7 H- i 

7""^' -i- I 



7 + I 

Donc 



7" — 7"-' -+-7"-^-+-. 



S, = S[(fl7"H-a7''-^-H. • .-h a) — («7''-'-ha7"-5H-. . .-t-«7)J, 

C. Q. F. D, 

XV. Eliminer j^ entre les deux équations 

Les premiers membres de ces deux équations sont deux 

y >' 
progressions dont les laisons sont - et "— : ces deux équa- 
tions peuvent donc s'écrire 

'- = 0"'y 

y —^ 

= b"". 

_r' — x' 

Divisant la seconde par la première, on a 

)'"-+-! 4_.r'n-+-' b-"' 
y -h .r a"' 















{ 387 ) 






On 


aura 


donc 


les 


de 


IIX 


équations 










J 


m-t-i 


— 


x"'-*-' ■= a'" y — a"' x, 








J 


m+\ 


4- 


X"'- 


b '" 
a"' 


a'" 


X 



Retranchant ces deux équations membre à membre, ou 

aura 

b"" — n^'" h'^"' + «"" 

a"' *" a"' 

d'où 

2 «"'x™-*-' — ( b'"' -+- a'"").K 

On portera cette valeur de ) dans l'équation 

^- : — == «'", 

y — X 

et après les réductions, on trouvera 

.r'" ( 2 a"' .r"' — a2"i — ^ 2m y«+ 1 
=. ( i^"' — a""' )'" [ ( 6'^"' + a'"' ) jt"" — 2 a"' h"^'" ] , 

équation qui ne contient plus que x. 

XM. Trouver une progression par quotient, connais- 
sant la somme de ses tei^mes, la somme de leurs carrés et 
celle de leurs cubes. 

Les carrés et les cubes des termes de la progression 
cherchée forment aussi une progression par quotient. 
Soient Si, Sa, 83 la somme des termes, la somme de leurs 
carrés et celle de leurs cubes, on aura les trois équations 

s, = '^-" 

s, = 

q" — I 

25. 



7 — ! 




i^,r- 


- a' 


T — 


i 


l'fj^ — 


a 



( 388 } 
dans lesquelles //, /, q sont les trois inconnues. Divisons 
membre à membre les deux dernières équations par la 
première, et nous aurons les trois cqualions 



S, 


= 


Iq — a 

1 
7 — 1 


s, 




Iq -\- n 


s, 




7 + 1 


S3 


= 


/2 y' -)- laq -h (7- 


s, 


r 4-7+1 



îies deux premières ne contiennent les inconnues qu'au 
premier degré; tirons a ci q de ces deux équations, nous 
trouverons 

_ Sf — S^ _ 2S1 S.— /S? — /S. 

(a) 9 — grir^s.H-S, *^' """ ^^S; — 2/S, -f-S: 

Portant ces valeurs de q et de « dans la troisième écjua- 
lion, nous aurons une équation qui ne renfermera plus 
que l'inconnue /•, elle est 

S3(3S; — 6/S^ -h 4/^S; +s- — 2/S,S,) 

= s, ( 3 /^s* — 2 /s^ S, — 6/s, s^ -I- 4 s^ s^ + /s ; h 

el si on la résout par rapport à /, elle devient 

S,(Sî + 4S,S, + 3S^.)/'— 2(StS,-3S^S3+3S;s; — S.S.S,)/ 

+ 4S-; s^ — 3s; s.'^ïs-s^^ s, = o. 

/ étant trouvée par cette équation du second degré, on por- 
tera sa valeur dans les expressions (a), ei l'on aura a el q . 



( ;^8ç) 



SOLUTION DE L4 QUESTION bOO 

■Toir p. i:i ; 

Par J. de VIRIEU, 

Regoiil à Saumiir. 



1 . La seconde des équations proposées 

J-^ — 1 G X- — I O J." — 6 =r O 

se déduit de la troisième 

r' 00 X' DOJT — =. O, 

a g ' 

en posant a = 2, o = 2. 

Cette dernière n'est qu'un cas particulier d'une équa- 
tion de degré quelconque, mais d'une certaine forme. 

2. M et N étant deux quantités réelles, proposons-nous 
de former léquaiion dont les racines se déduiraient de 
l'expression 

pM -I- p^N, 

en y remplaçant p par chacune des racines de ré([ualion 

uP — I =r o ; 

soit 

\\) xP-^ k,xi'--' -H . . . -»- Ayix/'-'^-l- . . . -I- A^ = o 

l'équation cherchée. 

Désignons par S;,, h étant un nombre entier absolu qui 
peut être nul, la somme des puissances d'exposant h des 
racines de ré([ualiou (1) \ par S'/, la même somme pour les 
racines de léquation 

«/' — 1 = 0, 



390 ) 



-a 
4- 



+ 

Ali 
S- 
îiA 



+ 



U 
>• 






=■■? G- 



AH 
>- 
Il A 

-Ci 



S3 









bO 



AH 



IIA 



IIA 

<5 



S B 

a « 

S 5* 

c + 



S i 
a w 

3 ^ 




C^ 


en 


— o 






p 


C en 




-o^ 




- " ? 




lï' 


w- 


3 ra s 






«l^^ 




&- 


^*^ 


es d 
l'éq 
t nu 


AH 




o 


rr = s 


a- 


o 





O o 

» <; 

^' su 

S c 



Ë- 1 



cri' 



cri. 



T 



CT- 



O 


n 


s 






& 


to 


rt< 




P^ 




C 








■TS 




&9 




O' 




S3 




o- 




a^ 


-o^ 


■< 




m 




h--> 


-D 


O 


*- 
+ 


*-a 


ii 


"^ 


m 









B 

•o 

s 



I 
î 

+ 



2 



eu 



( 391 ) 
Enlin si h^^p^ lous les termes du deuxième memVtre se 
détruisent, excepté le premier et le dernier qui sont 

3. On en déduit : 

i S, =8, = . . .=Sy=o, 



i. Substituant dans les équations connues ; 

S, H- A, = 0, 
S, H- A, S, H- 2A, = 0. 



S/, + A, Sp_,H-. . .H- A^_,S, -\-p Ap=:o, 
on a 

, Ad ^^ A| ::= . . . := Ay_i ^:^ O, 

i>=::tn\ o^r<7— I, . ^'^^/ iqWW-'--^{q + r)k,i^, = o, 

Al ^^^ A2 :=^ . . . — A|y ^^ O, 
l (27 + i)(M'î+' + N'î+')H-(274-i)A:y+, = o. 



( 392 ) 
o. On a enfin 

l A, = A, = . . .+ A,_, = o, 

/■ A,=^ A2=:. . .= Ay=o, 

' A2,+, = — (M'7+'-|- N^î+i). 

6. Eu substituant dans l'équation (i) on a 

'—-7—' 



(4) 



I j:'7+' — (2r/ + i) y '^"^^,~'^ r, M^'-'Nî+'-'-JCî+'-M 

-^ L(y •t-i-/-j(2r-i)' \ 



r = I 

M "7+' -f-N-î+') = o. 



7. Convenons que, A étant une quantité positive, l'ex- 
i 
pression A^ désigne la quantité positive qui, élevée à la 
puissance p, reproduit A; et que B étant une quantité 

réelle, B^^"*"' désigne la quantité réelle qui, élevée à la 
puissance ifj -h i-, reproduit B. 

Désignons par a et b des quantités positives, par a 
et 6 des quantités réell<!s. Si dans (3) on pose l»nir à 



( 3.93 ) 



lOlU" 



M 



M 






et que dans (4) on pose 



b'i \i(i _^ , .-iq 



M=|-^\^^-^', N=.fï^"^^"' 



on aura les propositions suivantes. 
8. Les racines des équations 



:q—l 



, X-7— 2 



I — r /,r ,17— r 



(5) 



(6; 



'• = ? — • 



;=:0 



aï- 



— rtM =0, 



où a et Z> sont des quantités positives, sont respeclive- 
ment comprises dans les formules 

— ± — -L 

Çi olanl une quolconqur des racines de iri — i = O: 



( 394 : 

9. Les racines de l'équation 



où a et S désignent des quantités réelles, sont comprises 
dans la formule 



p étant une racine quelconque de îi^^+' — i = o. 
En posant dans (7) (7 = 2, on a 



5aa;^ — 56.r — — = o, 

a 5 



équation proposée dont les racines sont 



>n5 /«ns 



p étant une quelconque des racines de u' — 1 = 0, 

10. Quant à la première des trois équations proposées 
x^ — 6.r' — 28x'— iSar'-h i2x — 2 = 0, 

elle est un cas particulier dune équation de même degré 
que nous allons former. 

il. P étant une quantité positive, proposons-nous de 
former l'équation dont les racines se déduiraient de 



pV^ -\-rr V' + p ' P^' (Ml r, P^' 4- C' P'* -h r. P '' , 



{ 395 ) 



d'après le sens attadié à P^" (n° 7), en y remplaçant p 
par les racines de ii'^ — i = o. 
Soit 

l'équation cherchée 

Désignons par S,„ et par S,„, m étant un nombre entier 
absolu qui peut être nul, les sommes des puissances d'ex- 
posant m des racines de l'équation cherchée et des racines 
de l'équation u* — i = o 

On aura évidemment S,„ en remplaçant dans le déve- 
loppement de 



1\^ 



oP 



/ - \ 



-h\pV 



)6 n6( 



5P^y par p^s;. 

Il suffira même d'avoir égard aux termes où l'exposant 
est un multiple de 6, car Si, est égal à 6 ou à o, suivant 
que q est ou non un multiple de 6. 



. X)r on a 




« -+- a- H- lû z=i u -\- u- 


■^u\ 


(î/-|-tt'4-M')'= M^-h . 


. 4- u% 


(tt + «'-|-H^)^=«'-+ . . 


. -f- 7 m" -f . . . 4- u>. 


(« H- lu -(- W^ )' =: 11^ 4- , . 


. -H Fo ?<" + ■. •-!- «'% 


{U-^IÛ+ ti^Y=: «=•-!-. . 


. -i-5«^-|-. . -+- 3oK'-, 


( « ■+- u- -+- U^ Y = «*^ -f- . . 


. -hl^in'- -h ■ . . + M'% 



13. On en déduit 

S,=ro, S, = eiP, S, = /^iP, 

S, = 6oP-1-6P-, Ss=3oP-f-i8oP% S. = 6P-h846PM-6P' 



( 396 ) 
Substiluanl dans les équations connues, 

SiH-f 1 = o, 
Sj-h/'.S, H- 2/?,= o. 



S.-hf'iSs H-. . .4- 6p^= o, 
et résolvant, ou a 

p, = 3P.{P-5), /., = 6P.(P-i), p, = — P (P— 1)% 

d'où la proposition suivante. 

14. Les racines de Téquation 

.r«— 3P^' - i4Px M- 3P.(P — 5).r2 
-h6P.(P— i).r — P.(P— i)'=i o, 

où p est une quantité réelle, sont comprises dans la for- 
mule 

I 1 I 

pP +p^P +p'P , 

étant une quelconque des raciiu's de /*'' — 1 = 0. Si l'on 
pose P = 2, on a 1 équation d'Euler 

^'^ — 6x' — -îSx^ — i8.r-'-t- I2,r — 2 = 0, 
dont les racines sont données [)ar 



6 , i , " 

p . 2 + p- ■ 2 -i- p ' . 2 



'^97 



SOLITION DE LA QlËSTION 507 

(voir p 43) , 

Par m. .1. DE VIRIEU, 

Régent à Saumur. 



X étant une variable positive entière qui ])eut être nulle, 
u^ une fonction de cette variable, n un nombre entier 
absolu, on a 



ni 



2 ( - ')''tT7Z -, 'W«-A = A"//,. 



A=o 

Posons u^. = x(x H- 1 ) . . . (x -4- /) — i ), où p est un en- 
tier absolu non nul, Ax = i, 

,' «! 

\ fp—„)l (■^ + «)(-^+"-M)- • • i-^+p- I), si n<:p, 

A" u' = ' 

jpl, SI n=p, 

o si n'^p. 

L'équation (i) devient, en y supposant a: =: o, divisant 
les deux membres par/^! et remarquant que le dernier 
terme du premier membre devient nul, 



/ A—n— 7 

Zd^ I A!(«_/)! 
i^Ji l n n -h \ A' — I 



n \ n — k n — X- -t- i « — ^ -h p — ( 

A=o 



I 


2 


p-n 


si 


n=p. 


o, 






si 


">P' 



( 398 ) 
Désiguous par n\ le nombre îles combinaisons de n 
élémients pris A à k sans répélitiou; par (aï — h)\, le 
nombre des combinaisons àen — h éléments pris p '^ p 
avec répétition; on a 

"' (« — -^O « — ^ + 1 n—/,-\-/j — 1 

=«* ^ ={"— ^')p 



/cl{n—A)\ 
et 

( 



n n -\- i p H- I ^ 

» si PJ>n, 



p — n 
o, si p <^ n. 



[p — i)„_,= 

I , SI /J = // , 



Donc on a en général 



A- = n — i 



2;(-,)*«*(«-x)v=(/;-i)„-., 



A- = o 



formule qui montre qu'il s'est glissé une faute d'impres- 
sion dans le second membre de la proposée où il faut 
remplacer îi par p, p par n. 



SOLITION DE LA QIESTION 508 

(TOir p. 45) ; 

Par m. J. de VIRIEU, 

Régent à San mur. 



1 . On a identiquement 

A"(j:« I = A"~' A [xu) = A"~' [:r Am -f- m -|- A«] 
= A"-' {x \u) + A"-' M + A" H, 



( 399 ) 

iroù 

A"(.r«) = A"-'(^Aw) + A" ' M + A" u, 
A"-' [x^ii) = A"-'(.rA'//) + A"-' M -f- A" m, 

A(xA"-'m) =a;A''« + A"-' M + A"«; 
ajoutant membre à membre, 

A" [xu ) = « A"~' u -\- [x ->r n) ik" u. 

2. Posons u =^"+', /' entier absolu qui peut être nul, 
on aura 

A"(a:"+'"-^-') 

= «A"-'(x''-*-'") -f- (j: +/?)A"(a;''+'"), - 

«A"-'(jr''+'') 
= «(n — i)A"-2(^"+'-') -1- n[x -\- n — i)A"-' (^«-'+'-), 

«.(« — !)... 3a'(:c'-+-3) 
= «.(« — i) .. . 2A(a;'-+-) +« . («— i). . .3(^-|-2)A'(x2+'); 

ajoutant membre à membre, 

k=.n — 2 
(A) A"(jr"+'+')=:«! A(x^+^]+ 2 ^"^"^^^"7, A''--*(j?"-*+^) A. 

k — O 

3. En posant 7' = o, comme A'?x'' =</!, la formule (A) 
devient 

k-^n — ■! 
A''(x"^') = /?! A(x')— 2^ ^_t_„_/- 

A=:0 

12 .r H- rt H- 2 « — il 
2 .7 -f- I H 



2 



( 4oo ) 
donc 

(B) A"(.r"-):^(« + ,)!if^; 

mais on a 

h = n 

2 (— i/«* (,r + A- )«+'=: ^—i)"A"(.r"+'), 

et enfin 

ce qui montre que le deuxième membre de la formule 
proposée doit être multiplié par ( — i)". 

4. En posant i=i dans (A) et employant (B), on arrive 
au moyen de quelques transformations à la formule sui- 
vante , qui est peut-être nouvelle : 

>i-£/«i(^-+-X- )»+'=( -!)".(« -h 2)! ^ —r^ 

^^ 24 



RECTIFICATIONS (p. 214 



1°. La phrase O/i définit de. In que le prod^iit de trois 
nombres, etc., doit suivie immédiatement lu proposi- 
tion I , p . 2 1 3 . 

a**. La fornuile attribuée à INL Catalan (t. XIII, p. 323 ; 
1854) se trouve dans la Géoiiictric àc M. \ inc«'nt, 2'" édi- 
tion, p. 558; i83a. (Communiqué par M. Auge, de Péri- 
gueux.) 



( 4oi ) 

RECIEIL DE FOUMILES RELATIVES AIX FO\CTIONS 
CIRCILAIRES ET LOGARITiniililES (suite) 

(voir t. V, p. ilt). 



Tétragonométrie sphérïqite. 

85. rt, Z», c, d les côtés, e,y'les diagonales, g distance 
<lcs milieux des diagonales : 

cosrt -+- cos.b -+- cosc + cosd = 4 cos- c cos — fcos g 

1 1 

(t. IV, p. 494). 

85 bis. I — (cos-rt-hcos-^H-cos^c+cos'rf + cos'jr + cos'j) 

— (cos-fl cos^c + cos-ô QQ^Pd + cos^«c cos' j) 
4- 2 (cos a cosi cosx H- cosrt cosc? cos j 

+ cos 6 cosc cosjK H- cosc cos^ cosar) 

— 2 (cosa cos^ cosc cos(^+ cos« cosc COSX COSJK 

H- COS i cos r/ COS .r cosj ) =z o. 
ABCD, AB = rt, 60 = ^^, 
' CD=::c, DA = r/, AC = a:, BD=j. 

Trigonométrie sphéiique, 
cosa -\- COSC 



84. 



2 sin - i 



jc =: arc qui va de B au milieu de h (t. V, p. 19). 

1 T + cosrt -h cosi + cosc 
8S. cos-f= — > 

2 I I / I 

4 cos — a cos — o cos - c 
2 22 

€ = excès spbérique. 

/l/i/i. dt' Maiheniai.y t. XIX. (Novembre 18G0.) 26 



402 ) 



86. cosMN = cos- rt cos- e, 

2 2 



MN = droite qui joint les milieux de ^ et de c (t. V, 
p. 2l). 



. b . c . ^ 
sm- sin — sinA 



f . , T\ \ OIU- — 3111 — 

87. sin - = V/^(/^-«K/^ — ^)(y»— <^) _ ?- 2 



2 11,1 a 

2 cos - a cos- o cos - c eos - 

2 2 2 2 

2p = a -H & -h C (t. YII, p. 17). 

cet — c cot — h 

1 2 2 

QT bis. cot-c:= ^ t-cotA. 

2 sin A 

„_ abc . c 

8«. 2lang- tang - lang - = tangp sin -, 

p = rayon spliérique du cercle circonscrit ( t. \ II, p. 19). 

sin f w — «Isinfw — b)sin(p — c) 

89. taneV- = ^^ '- H '- ^-^ ' , 

° sin/' 

;•= rayon sphérique du cercle inscrit (t. ^ II , p. 20). 

a b . e . c . 

90. i cos— cos- sin - = sm - sm // , 

222 2 

h = hauteur sur la base c (t. VII, p. 18). 

91. langrtangr' tan^/" tang/'" 

=: Acos^- ces'- cos'-sin - (t. VII, p. 20). 
^2222^ ' ' 

/', ;■', /'", /•'" sont les rayons s|)hch'iques des cercles (|ui 
louchent les trois côtés du triangle (t. Vil, p. 20). 



I 



4o:') 



02. sin - Il cos - b sinC = siii - c cos f P — A ) , 

2 ?. ;i 



cos — a cos - 6 sin C = cos - c cos ( P — C ) , 

2 2 2 ' 



sin — a sin - b siii C = cos - c cos P. 

2 2 2 



2P=:A + B + C(i. VIII, p. 435), 



„_ . I . I , .1 . Cl . \ 

i)5. sin^- a -\- sin^ - y 4- sin^ - c = 2sin - siii - 6* c<;s(/ 

2 2 2 2 2 

f . I , . I , . I 

-h- 2 Sin — a sin— c cosB -t- 28)ii - b sin- r ros A , 

2 2 2 2 

A', IV, C' angles du triangle leciiligne formé par les 
cordes (t. VIII, p. loo). 

sin s cos (7 sin s' cos a' sin s" cos c?" 

94. -^ -, : + — 



sin(*H-<7) sin(,v' + '7') sin (*"-+- fr") 

Trois transversales partent des sonnncts et se coupent en 
un point dans rintérieur de Tangle^ (7, a', a ', segments 
comptés du point aux sommets des angles ^ 5, 5', 5", seg- 
ments compris enlie le point et les côtés (l. IX, p. 363). 

9S. I H- cos 2 « + cos 2^-1- cos 2 c 

+ 32 cos' — a cos= - /; cos' — c sin^- t' 
2 22?. 

= cos (rt 4- 6 -hc) + cos (<7 -H ^ — c) 4- c(is(« + r — /;) 

-)- cos 'yb ~- c — a) 

(t. X, p 25). 

2.6. 



( 4o4 ) 

Têtragonométrie rccliligne. 

96. /z' C + fl« r' + Z»V/' H- x\y' 4- .1-' j' 

:=a-b'c''-i-a-b'd- -+- a'c'^d- -h a- c- x- -\- a' c- y- + n- x'' y'' 

-4- h'^ c^d- + /»- d' X- 4- ^- f/'j- ■+- b'x-y- 4- C' -r- J" 4- d' x-f'^ , 

ABCD, AB = «, BC=è, 

CD = r, DA = ^, AC = x, BD=j) 

(t. IX, p. 127). 

Trigononiétiie rectiîigjie. 

97. sin2A sinaB 4- sina AsinaC 4- sinaBsinaC 

= sin A sin (aC — A ) + sinBsin (aA — B) 
4-sinCsin (aB — C). 

98. cos2AcosaB4-cos9.Acos2C 4- cosaB cosaC 

= cos A cos(aC — A) 4- cosB cos (a A — B) 
4- cosC cos(aB — C). 
A4-B4-C = 7r. 



OIESTIONS. 



545. Quel est le lieu (juc doit décrire le centre d'une 
sphère, pour que la polaire réciproque d'une surface du 
second ordre donnée, par rapport à cette sphère, soit 
toujours une surface de i-évolution. (I.aguekre-Verly.) 

546. Etant donnée une conique A, trouver les trans- 
formations qui la changent en une conique B, de telle 
sorte ([ue les iionualcs à la ronif{ue A restent par la 



( 405 ) 
Iraiisfoiiualion normales à la conique lî. Même r|uesliou 
pour les surfaces. (Laguerre-\ euly.) 

5i7. I^oisqu'une conique est circonscrite à un triangle, 
la somme des carrés de ses demi-axes est égale au carré de 
la tangente menée de son centre au cercle des /7ez</'poinls, 
multiplié par le produit des distances de ce centre aux 
cotés du triangle et divisé par le produit des distances de 
ce centre aux droites qui joignent les milieux des côtés du 
triangle. (Faure, capitaine. ) 

548. Une conique passant par trois points A, B, C 
louclie une droite donnée; appelons a, j3, y les distances 
respectives de ces trois points à la droite-, F étant un des 
foyers de la conique, on a la relation 

}^ \_ 

[a;FB — FC)^— BC']' + [S(FC — FA)' — Âc']' 

+ [v (FA — FB)5 — Âb'] " = o. 

Ohseivatioii. On a ainsi très-simplenjcnt le lieu du 
foyer des coniques qui passent par trois points donnés et 
touchent une droite donnée. Les coordonnées cartésien- 
nes mènent à une équation du soixante-quatrième degré. 

(Fal'he, capitaine.) 

549. Le lieu des foyers des coniques inscrites dans 
un quadrilatère est une courbe du troisième ordre, 
qui passe, comme on suit, par les six sommets du quadri- 
latère complet; mais elle passe aussi par les pieds des 
hauteurs du triangle déterminé par les trois diagonales 
du quadrilatère, et comme elle passe d ailleurs par les 
deux points situés à l infini sur un cercle, cette courbe 
doit occuper parmi les courbes du troisième ordre le 
même rang que le cercle dans les coniques; ainsi elle 
a comme le cercle un double foyer. (Facre. capitaiae.) 



( 4o6 } 



o50. Soîi 






«^"*~ b^ 



l'équalion d une ellipse (coordonnées rectangulaires) ; par 
un point de sa développée on peut mener trois normales 
à l'ellipse, dont deux ne sont pas tangentes à la dévelop- 
pée: la corde qui réunit les pieds de ces deux normales 
est normale à IV-llipse qui a pour équation 

(Desboves.) 

551. Démontrer que Téqualion 

x' -+- J"' = pz^ 

est impossible en nombre rationnel, lorsque /) est de la 
forme 4'* -f- 3 (*). (Le Père Joubert.) 

552. On donne une conique; quel est dans le plan de 
(Cite conique le lieu d'un point tel, que les deux tangentes 
menées de ce point à la conique et la corde de contact for- 
ment un triangle ayant un périmètre donné? Déterminer 
directement une construction géométrique de la tangente 
en un point quelconque de ce lieu. (INLvkivheim.) 

553. Étant donnée une équation algébrique n'ayant 
pas de racines égales, si l'on appli(|ue à cette équation le 
procédé Sturm, et si l'une des équations ainsi obtenue a 
des racines égales, l'équation donnée a nécessairement 
des racines imaginaires. (Rouget, professeur.) 



(") Mémoire sur la théorie drs fonctions elliptiques et son application a lu 
théorie des nombres. In-Zj de 35 pages ; iSO'o. — Savant travail faisant suite 
aux travaux de MM. Herniite et Kronecker sur la limite du nombre de 
lorlaines classes des déterminants; au delà de cette limite le nombre des 
(lasses quadrali(jiics surpasse nt-ccssaircmcnt un nombre donne : une des 
«juestions les jilus ardues de rariilimoloyio cl (|ui n'est pas encore eom- 
plélcinenl résolue 



( 4o7 ) 

EQIATIO^ 

des rapports anharmoDiqiies correspondant aux racines d'uue équation du 
quatrième degré; 

Par m. L. PAINVIN , 

Professeur au lycée de Douai (*). 



1. Désignons par Xi, Xj, Xg, X4, les quatre racines de 
l'équation 

(i) Ax' -\-^Bx'-\-6Cx^-\-/lDx-tE = o, 

cl par rt, Z», c, c/, les jîoints déterminés par les lon- 
gueurs Xi, X2, .Ta, X4, portées sur une ligne droite, à par- 
tir d'une même origine -, poinls-racines. 

A ces quatre points correspondent six rapports an- 
harmoniques, savoir : 



ac bc ^ ad cd ab db 

et 



ad bd ab cb ac de 



I I i 

_, _, _ 

/*, t\ r. 



Si maintenant on pose 



I 



(2) {p'-''-^+7,' 



(*) Réccmmenl nommé; remplaçant M. David, nomme professeur à la 
Faculté de Lille. 



( 4o8 ) 
les ([uaulilés pi, p^, ps, seront les racines de l'équation 

(3) p' — Mp^H-Np — P = o, 

où 

/ M = p, H-p,-hp3, 

(4) I N = pi P^ + pi P3 -H ^2 pj , 

( P =p, p^Pj. 

Il s'agit actuellement de déterminer les coefficients de 
l'équation (3) en fonction des coefficients de l'équa- 
tion (i). Le calcul direct est presque inabordable^ je crois 
donc utile de développer quelques considérations qui 
m'ont conduit au résultat chcrclié. 

2. Je rappellerai d'abord les relations qui existent entre 
les rapports /j, r^, î's ■ 





I 


I 


— n 




1 — r, 



(5) 

d'où 

'"i r^ r, = — l. 

[Géoméirie supérieure j p. 25.) 
De plus, la valeur de /'i est dans le cas actuel 

en posant 

' f 7 = (.rj — Xi) [x^ — X,). 

Ou trouve alors, sans aucune difficulté, en ayant égard 



( 4o9 ) 
aux relations (5) et (6) : 

M = /•, H \- r,-\ \- r,-\-- = 3 ; 

'■, r, r, 

p^ — Sp^q + 3p'' q'^ — p^q^ -+- 3p''q* — ^P9^ -+• T . 
— p'q'{p~qf 

, S/;»" — Çtp=q + 7//r/' — ^i?q^-ir 7 />'7' — Qpq^ -+■ q" 

Or on constate aisément que le dénominateur de N 
et P n'est autre que le produit des carrés des différences 
de l'équation (i), c'est-à-dire le discriminant de cette 
équation; en le désignant par A, nous aurons 

(8) ^ = p'q'[p-qr- 

= [x^—x^y [xi—x^Y [ri — x^)' {x-i—X^Y {.r^—x^Y {Xi—x^)■. 

Nous obtenons ainsMes trois relations 

I M=3 

I 1° — AN=/*« — 'àp^'q 4- "ip^q- —p'^T 

(9){ H-3/^V/-3yV + 7"; 

\ 2° — A(P + 4) = ip'^ — ^p'-q-^-^p'q^ —-\P'<r 

-h 7/W'</' — ^pq'' 4- 2r/. 

3. On peut combiner les deux dernières équations de 
manière à faciliter bcaucou[> le calcul dos coeflicienls ^^ 
et P. 



( 4io ) 

De Tcgaliié 2" roliaiichoiis le double de Tégalité i^, 
il vient 

A[9.N - P - 4J =p'q^ - ip^q^ H- py=p^q^[p—gy=S. 

d'où 

(10) 2N — P = 5. 

De légalité 2° multipliée par 3 retranchons l'éga- 
lité 1*^ multipliée par 5, il vient 

A[5N — 3P— 12] = p' — 3p^q + 6/^72 — 'jp^q^ 

-^6p-y — 3pff -+- q^. 

Mais le second membre est le cube de [p'^ — pq -j- q-), 
on a donc 

^ ' A 

La détermination des coefficients M, JN', P, se trouve 
ainsi ramenée au calcul des deux quantités A et 

iP'-P^ + f)- 

i. Or si l'on pose 

( 1 = AE — 4BD4-3CS 
' ' ' i J = ACE + 2BCD — AD- — EB'— es 

on a, d après un théorème connu, 

(i3) A''.A = 76'[P— 27P]. 

Ou trouve d'ailleurs facilement que 

(l4) A' {p' -pq -h cj^)=:z 12.1. 



( 4'i ) 

Les égalités (co) et (i i) dcvieiiueiil alors 
'2N — P = 5, 

tu cil déduit 

i5P -I- 12.27 .J^ 

l N = — » 



1 _ SoP 4-4 27. P 



En ayant égard à ces valeurs (i5) et à la première des 
relations (9), Téquatiou (3) , qui est l'équation chercliée , 
deviendra 

Cette dernière équation peut aussi s'écrire sous la forme 
suivante, aussi simple qu'élégante : 

(.7) P(p+2' (^p--)'=27P(p+l)=. 

On voit ainsi que ré(}uaiion aux rapports anliarmoni- 
(|ues des racines de l'équalion (1) ne dépend que des in- 
variants fondamentaux I et J de cette équation. Et, en 
outre, les racines de l'équation (16) ne dépendront (pu; 

1 1' 

ilu rapport -• 

Si Pi est une racine de l'équation (16), en posant 

on aura une é(jualion du second degré qui déterminera 
un des rapports anliarmoniques et son inverse. 



(412) 

5. La résolution de l'équation (i6) ne saurait présen- 
ter de difficulté 5 je n'insisterai donc pas sur ce sujet, et 
je mécontenterai d'ajouter les remarcjues suivantes : 

i". Si l'équation (i) a deux racines égales, c'est-à-dire 
si son discriminant est nui, ou, en d'autres termes, si 
l'on a 

{i8) F— 27P = o, 

l'équation {i6) se réduit <à p= 2^ et admet deux racines 
infinies j il y a donc deux rapports anharnioniques nuls 
et un égal à l'unité : résultat évident à priori. 

2°.- Si les quatre points correspondant aux racines de 
l'équation (i) forment un système harmonique, on devra 
avoir, par exemple, /'i = — i, et par suite , pi = — 2 ; 
l'équation [ly) devra donc admettre la racine — 2, ce 
qui conduit à 

(19) J = o, 

La réciproque est facile à vérifier 5 on retrouve ainsi 
un théorème connu. 

3°. Si l'on suppose p^ = i, c'est-à-dire 



l'équation (17) nous donne 

(20) 1 = 0; 

la réciproque est également vraie. La condition pour que 
les trois rapports anliarmoniques soient égaux est 
donc I = (). 

4". L'équation (16) ne peut avoir une racine double 
que lors(iue 

l — 27J' ^= o , 



{4i3) 
ou bien lorsque 

.1=: O. 

Ces deux hypothèses nous conduisent aux deux pre- 
miers cas déjà examinés. 

6. Considérons deux équations du quatrième degré : 

(21) Ax" -4- ^Bx' -\-6C.r- -{- /^Djc -i-V. = o, 

(22) A'x' -h^B'x^ -|-6C'^-= + 4D'^-+-E'=:o; 

les équations aux rapports anharmoniques des racines de 
ces équations seront respectivement, en adoptant la 
forme (17), 

(23) r(f+2) (^p_-j"=27P(>+l)S 

(24) P(p + 2) (^p_5)'=27J'^'p-+-i)'; 

I' et J' désignant les invariants de la seconde équa- 
tion (22). 

Pour que les équations (28) et (24) aient une racine 
commune, et alors les trois seront communes, il faut et il 
suffit que 

ceci résulte immédiatement de la forme même des équa- 
tions (23) et (24). 

En général, si Ton a une suite d'équations du qua- 
trième degré, dont les invariants fondamentaux sont res- 
pectivement I et J pour la première , 1' et J' pour la 
seconde, F et J" pour la troisième, etc., les rapports 
anharmoniques coi respondanl aux racines de ces diver- 



( 4'4 ) 

ses équations seront les mêmes, si l'on a 



P __ 1'^ _ ï"^ 

p — ri — }"2 



ces conditions sont nécessaires et suffisantes. 

La proposition que je viens d'énoncer peut être d\in 
grand secours dans des questions d'homographie. 



SUR LA UÉSOLITION NlMÉmQlE DE DEEX ÉOIATIONS 
Dl SECOND DEGRÉ, 

Par m. Abel TRANSON, 



1. L'exposition de la méthode géométrique exigée par 
les programmes pour la résolution de deux équations du 
second degré à doux inconnues présente, dans les Traités 
les meilleurs et les plus récents, soit à^AIgèbrc_, soit de 
Géométrie analytique^ une lacune qu il m'a paru utile 
de signaler. 

2. La résolution numérique de deux équations du se- 
cond degré se ramène par l'élimination immédiate de 
Tune des inconnues à la résolution d'une é<|uation du 
cjuatrième degré. Mais une antre méthode bien connue 
conduit, soit à résoudre deux équations du second degré 
après avoir calculé préalablement une quantité ({ni dé- 
pend elle-même d'une équation auxiliaire du troisième 
degré, soit à résoudre qualic équations du premier tiegié 
construites à l'aide de deux des racines de c(>tte même 
équation auxiliaire. 

3. Cette seconde raéiliode, inlcrprélée géométrique- 



( 4i5 ) 
luent, (onsisle à chercher un ou deux des trois couples 
de sécantes communes aux deux courbes du second ordif 
(|ue représentent les équations proposées, parce qu'alors 
il ne reste plus qu'à calculer, soit les rencontres de l'une 
de ces courbes avec uu système de deux lignes droites, soii 
les rencontres de deux tels systèmes entre eux. 

4. A chaque racine de l'équation auxiliaire du troi- 
sième degré que fournit la méthode dont il s'agit, corres- 
pond un couple de sécantes communes, couple réel ou 
imaginaire. A une racine imaginaire correspond toujours 
un couple de sécantes imaginaires; mais à une racine 
réelle ne correspond pas toujours un couple de sécantes 
réelles. Car il faut, pour que les sécantes existent eifecii- 
vement, que la racine réelle qui leur correspond rende 
positive une certaine fonction des paramètres des équa- 
tions proposées. 

5. Lorsque les deux courbes du second degré se ren- 
contrent en quatre points, les trois couples de sécantes 
communes sont nécessairement réels. Et comme l'exis- 
teiicc de deux de ces couples entraîne forcément celle du 
troisième, on saura que cette circonstance de quatre ren- 
contres a lieu si les trois racines de l'écpiation auxiliaire 
sont réelles, et si en même temps deux d'entre elles 
rendent positive la fonction dont nous venons de parler. 

6. Quand les courbes ne se rencontrent pas en quatre 
points, elles se rencontrent en deux, ou bien elles ne se 
rencontrent pas du tout. Mais dans l'un comme dans 
l'autre de ces deux derniers cas, on sait à priori qu'il 
existe un couple de sécantes réelles, les deux autres étant 
imaginaires. 

7. Dans cette circonstance d'un seul couple de sécantes 
réelles, comment vider la ([uestion de savoii' s'il v a deux 



( 4i6 ) 
rencontres^ ou s'il n'y en a pas? On n'indique pas d'aulrc 
moyen que de chercher les intersections de chacune des 
sécantes réelles avec l'une des deux courbes proposées. 
De sorte que, si eflectivenient il n'y a pas de rencontres, 
on aura fait un calcul inutile. C'est ici que je crois pou- 
voir signaler une lacune. 

8. En ciïet, deux cas distincts donnent lieu à l'exis- 
tence d'un seul couple de sécantes réelles, savoir : 

1°. Les trois racines de l'équation auxiliaire étant 
réelles, une seule rend positive la fonction dont il a été 
question précédemment; 

2°. L'équation auxiliaire n'a qu'une seule racine réelle. 

Or on peut démontrer que dans le premier cas il n'y 
a aucune rencontre, et qu'il y en a deux dans le second. 

9. Pour démontrer ce théorème, j'observe d abord que 
la nature des rencontres, et que par suite la nature et les 
propriétés des racines de l'équation auxiliaire sont indé- 
pendantes du choix des coordonnées 5 que, de plus, l'un 
des systèmes de sécantes communes est toujours réel; de 
sorte qu'on peut étudier la question en supposant les 
deux courbes rapportées à deux sécantes communes prisi s 
pour axes de coordonnées. 

10. Les deux équations de ces courbes ne diffèrent 
alors que par un seul paramètre, et peuvent être discutées 
sous la forme suivante : 

nf'' -\- Bxf + c.r'' -f- df -\- ex +/= o, 
aj^ •+■ B| xy -H ex'' •+- dy -+- ex -\-fz= o. 

Leur combinaison est : 

a{\ -!-/).>' + {^ + AB,).rj 
-\-<[y +a)j:' h- ^/( j -h À).>-J- '.'(i + ).)^ ^/(i + >)= o. 



(4i7) 
Et l'cHjiiaiioii auxiliaiie, tléJ^anasscc du facteur i H- À 
qui, égalé à zéro, donne la racine réelle correspondante 
au système de sécantes prises pour axes de coordonnées, 
se trouve abaissée au second degré comme il suit : 

[ae- -h rr/-' — ^cicf) (' + '^)^ 
— r/c'(B + ).B,) (i 4- a) +/(B + -/B,)' = o. 

Dailleurs la réalité des deux racines de cette équa- 
tion, se confondant avec la réalité du rapport r; ^— -? 

' ^ *^ B -h /. B, 

entraine une condition qui se transforme aisément dans 
la suivante : 

(e-'-4r/j(,/'-4n/)>o. 

Or les facteurs binômes e"- — ^cft et d^ — A^f'> sont 
respectivement ceux dont le signe décide la réalité des 
rencontres de chacun des axes de coordonnées avec les 
courbes proposées. Et par là on voit que, si les quatre 
rencontres sont imaginaires, les trois racines de l'équa- 
tion auxiliaire sont réelles, et que si deux des rencontres 
seulement sont imaginaires, cette même équation n'a 
qu'inie seule racine réelle. 

H. Je termine par une simple réflexion. La méthode 
que je viens d'étudier est certainement intéressante et 
instructive; mais peut-elle être d'un grand secours dans 
la pratique des équations numériques? Je crois qu'il est 
permis d'en douter. En effet, l'équation auxiliaire du 
troisième degré pourra lîien n'avoir aucune racine com- 
mensurable*, même il pourra arriver que les deux sécantes 
qui correspondent à une racine commensurable de l'équa- 
tion auxiliaire aient des équations à coellîeients incom- 
mensurables. Et alors, si on a besoin de résoudre avec 
un degré d'approximation déterminé les deux équations 

Ann. de Maihrmni., t. XI \ ( Novoaibrc iSfio). 2T 



( 4i8 ) 
du second degré, ne vaudrait-il pas mieux s'en lenir à 
l'équation du quatrième degré fournie par l'élimination 
de l'une des inconnues? 



SOLITIOX DE LA QIESTION 550 

(voir p. 247); 

Par m. Eugène FORESTIER, 
Elève du lycée Saint-Louis, 

Et mm. vannier (Pourg-la-Reine) et SIACCHI (Rome). 



La frueslîon 530 doit èlre rectifiée de la nianièi'e sui- 
vante : 

sinP 

(i -: — = tango, 

il' OÙ 

tang ~"^ cot = tang ((p -- 45°). 

En elVet. V égal! té (i) peut s'écrire 

sin P sin ^ 
tangfp I 

ce (jui dojjue 

sinP sinP -4- sin^p sinP — sin» 

tang^ I ■+■ tango tang(p — i 

doù 

sin P — sin w tang w — i 

sinP H- sinv i 4- tanga> 



( 4i9 ) 

et en vcilii (le Iraiislornialions romiuos 

P — .> 

tani; - 

1 tango — I 

P +<P I -I- tango ' 

* 2 

niaià 

I r= tang45°, 

donc 



tang'p— I tango— tang4ti" , ,^ . 

I H- tangep I H- tangçtang43'' 



Par conséquent 



P — '^ P + ? 
tang ^ cot =: (ang (cp — 45" 



On ne pourra donc avoir eu même temps 

P — ç) P 4- 'j 
tang tang = tang («p — 45°)? 

que si 

P.4-<p = ^(i + 4^), 

A étant un nombie quelconque. 

Note. M. Dellac. professeur à Amiens, fait observer que 
ce problème est consigné dans tous les Traités de Trigo- 
nométrie. Gaiiss se sert fréquemment de cette transfor- 
mation dans son célèbre Traité. 



27. 



420 



SOLUTION DE LA OLESTIOK 555 

( voir p. 306] ; 

Par m. J.-Ch. DUPAIN, 

Professeur, 

M. l'abbé POITRASSON (du séminaire de Vais, près le Puy 
ET M. SIACCHI (Francis) (de Rome). 



Les Jeux polygones proposés sont homolliéliques. Du 
centre dliomotliétie, j'abaisse sur deux côtés homologues 
les perpendiculaires /?, p'^ et sur deux autres côtés homo- 
logues les perpendiculaires «7, (j'. 

Ces perpendiculaires étant des lignes homologues , 

d'où 

r <■/ ■ 

mais d après la (loisième liv[)othèse 

V — P = <l — 7j 
donc 

y. = 7, l>' = q'. 

Le (cutie d honiothélie est en même temps Iccenlredc 
deux circDuréronces respectivement inscrites aux deux 
polygones. c. (^). F. d. 

M. Siacchi fait observer : 1" (jue deux [)olygoues satis- 
faisant aux deux premières conditions et ayant les iulei- 
valles entre les sommets homologues égaux, soi»l insciip- 
tibles tians deux cercles ; •>." ([iie c!cii\ polyèdres s.ilisfaisant 



( 421 ) 

ù (les condilioii-s analogues à celles qui sonl iiidi(|uées 
dans la question on à celles qui sont indiquées dans (i"), 
sont circonscriptibles à des sphères ou inscriplibles. 

M. l'abbé Poitrasson donne ce scolie : 

1°. Si les deux polygones sont convexes, ils ne satisfont 
aux conditions du théorème que si l'un des polygones est 
intérieur à l'autre; 2" s'ils sont non convexes, ils doivent 
èlre extérieurs l'un par rapport à l'autre. 

Les polygones étoiles circonscrits rentrent dans le cas 
des polygones convexes. 



XOTE SLR LES POLYGONES RÉGULIERS SPBERIQIES 
ET SOLUTION DE lA OIESTION 153 (Strebor) 

( voir t. VI, p. 5i2;; 

Par m. FAURE. 



Si l'on appelle a, Z», c les côtés d'un triangle sphérique, 
C l'angle opposé au côté c, on a la relation 

COSC =:r COSfZ COi, Il -\- s'iu o siti b cosC , 

d'où l'on déduit facllemenl 

1 .1 I , I . I , 
sin- — c = sin^ — a cos' - u -\- cos* - a sin^ - b 

2 22 22 

— 2 sin — a sin — a cos — a cos — b cos C 1 
■? 1 L> 2 



I I I , . , I . , I , 

cos- — r = ces- - a cos^ - + sin- — a sur — 

o 2 3. 2 2 



1.1, 1 l , 

4- 2 sin - <7 sin - b los - a eus - b cos C . 
:> z 2 2 



( 4^2 ) 

Legendre, dans les précieuses IN oies de sa Trigonomé- 
trie, développe la valeur de sin - c et ces - c en série, 
et trouve (les logarithmes sont hyperboliques) 

tan? - b 
\o\i sin — c = lo" sin - a cos - b 



2 " \ 2 2 / I 

lans - a 



tanir' - b 



COS2C 



2 tanii' - <i 



tang - h 



loi; co? - c = loi' cos - a ros — b ] -\- — 

'^ 2 V 2 27 I 



cosr 
cot — a 



I , 
tant;' - b 

* 2 
cos 2 f 



t 
2 cet- — a 
2 



et ayant de telles séries, on peut repasser aux équa- 
tions finies d'où elles proviennent; observation essen- 
tielle pour ce qui suit. 

Legendre montre aussi (jue la valeur de x , que Ton 
lire de F équation 



m -\- n I 

tang.r r= tang - C, 



peut s expiiiner par cette série 

1 ti . //' . «■ . T „ 

X = - C H SI n C H sin 2 C 4- r. — : sin o C -f- — 

2 m •>, nr 6 iir 

Oi . les ainloi^iies de Niprr dornu ni, A t l R élanl les 



( 4^3 ) 
deux aiilres angles du triangle sphérique, 

A-B ^i^^^'-^^^ . 

cot = tang - C 

sin - fa — b) 

2 

tang ^ « 4- tang - b ^ 

=z taiiy — C , 

I 1 " ?. 

tanc -a — tan;; - o 
° 2 2 

„ cos - (a -\- b) 

A + B 2 *" ^ I 

col =: tani:; - C 

cos - (n — b) 

2 ^ 

I I 7 

I — tang - a tang - y 

= tang - C , 

I I ° 2 

I -H tang — a tang - b 

donc, eu vertu de la formule précédente, 

tang - b tancr^ - b 
= sin C sin 0. C 

2 ?. I ,1 

tanc -a 2 tang- - a 

"2 2 

tang' - b 
2 
sin 3 C — . • • , 

3 tang^ - a 



tang - b tang^ - b 

+ B 7r — C *'2 .^ ^2 .^, 

= (- sin C — sm 2 C 

22 t .1 



cot- a 2 cot^ -a 

2 2 

tang' - b 

H sin 3 C — ... 

3 tang' - a 



( 4-^4 ) 

Si l'on iait la somme de ces deux valeurs, on oblieut 



tang- h lang - b 
A=77— C-!-( — IsinC 

cot -a tans' - </, 

'2 * 2 



tang- - b tang^ - ^ \ 

-r- + — ^ 

)t - a tang^ - « / 



2 

/tang^^ô tang'i^ 

+ 2I 1 ;— IsinSC 

\ cot^ - a tang' - a 
\ 2 ^ 2 ^ 

On peut donc regarder celle expression comme élam 
le développeaient de la valeur de A donnée par la re- 
lation 



cotA 



car 



\.nnii~b\ I — tan"''-/? 1 — tan^r-rt | i — tan"--^ ) cosC 
lang - c/( I -h tang' - b jsinC 



.- / A 4- B 
cot A = cot 



Développant et substituant les valeurs ci-dessus, on obtient 
celle dernière relation ([ui n'est (|ne la Iransfbrinalion de 

cote/ siii b = cos b cosC H- sinf cot A. 

Ces principes établis, proposons-nous de liouver en 
coordonnées polaires sphériques le lieu d'ini point P sur 
la surface d'une spbèie, tel que si de là on mène des arcs 
de grands cercles aux soitiniels P,. P.,. . . . P.,. d'un j)0- 



( 4'^:^ ) 
lygone régulier sphériquc inscrit dans un jK'lit cercle 
donné, i° le produit des sinus des demi-arcs PPi, PP,,,..., 
PP„ soit constant; 2° et 3" le produit des cosinus ou des 
tangentes des mêmes demi- arcs soit constant-, 4" la somme 
des angles PPj P, , PP^Pj,..., PP„ Pi soit constante (*). 
1°. Prenons le centre O du petit cercle pour pôle, et 
le grand cercle OPj pour axe polaire. Soient 0P= p; 
POPj = w les coordonnées d'un point P du lieu cher- 
ché. Désignons aussi par Oi, 0.2^... ^ 0,, les distances 
sphéiiques du point P aux ditïérents sommets P, , P*,..., 
P„ du polygone, on a par hypothèse 

. 1 . I .1 • I , 

sm — 0| sm -'■'.,... , sm - û„ = sin" - k. 

A indiquant une constante quelcon([UC. Formant les 
triangles OPPj, OPP.,,..., OPP„, on trouve de suite, 
a étant le rayon sphériquc du petit ceicle, 

1 .1 I I . I 
sm'— p, = sin- - n ces- — -f- cos^ - a sin- - 

2 2 2 ' 2 2 • 

. I . I I I 

— 2 sm — a sm - cos - a cos — ces w, 

2 2 ' 2 2 

1 .1 I i . I 
sin- - o-i = sin- — fi COS' — a -{- cos^ - n ?,\n- — 

2 ' 2 2 ' 2 2 ' 

. I . I I I • / 2 7r\ 

— 2 sin — rt sin - cos — a cos — cos w 5 

2 2 ' 2 2 ' \ ■ « / . 



i .1 I 1 . I 

sin' — p., m sin' — a cos' — 4- cos- - n sin- - 
2 ' 2 2 ' 2 2 ' 

. I . I I 1 / 2 « — i)7r 

— 2sm-<7 sui — cos- <7 cos - rj cos I w 



(') Ce .(" seul est le sujet de la qiu'.^lion. 



( 4-^6 ) 



ou déduil doiii Je là 



loc sin - r-i = It)^ ( sin -a cos - o ) — 

^ 1 ^ V 2 - 1' ' 



lang - ç» 



lanii - n 



" 2 ' 



COS 2W 



2 taniî- - Il 

* 2 



loi» sin - 6 , = loi^ ( sin - a cos - p 1 — 



umg-p 



tanL' - a 



(-v) 



1 
lang' - p , 

cos 2 f.> 

2 tantr- - a 



loiç sin - ,s;„ =r loi^ ( sin - n cos — 
2 *" \ 2 2 ' 



tang - p 
^ 2 ' 



tang — n 



2(rt 



^^) 



tang- - p , , 

^ 2 ' / 1 [Il — 1 ) 7r 
cos 1 \M 



2 tang- — a 
Ajoutons ces résultats : 



log sin " - /= log ( sin - a cos - 

2 ° \ 2 2 ' 



„ tang"-p 



tang" - n 

^ 1 



tang'" - p 



cos 2«w — 



? lan;:-" - a 



( 4^7 ) 
On voit en eflct facilement, en ayant égard à la valeur 
de la somme 

cos m 0) + cos w? w ... 4- oos m w 

\ n) \ n 

que cette somme est nulle toutes les fois que m \\ est pas 
un multiple de /?, et lorsque le contraire a lieu, celte 
somme est égale à n sin mo). 

La valeur que nous Acnotis de Uou\er pour log sin - A 

donne en passant aux nombres (p. 4^1 et \'i.i) 

n 1 I I . I 

sin' - / =: sin-" - a cos-" - a + ces'" - a sin'" - o 

2 9. 2 ' 2 2 • 

— 2 sm" - fl COS" - a sin" - p cos" - cos « &> , 

2 2 2 2 

équation du lieu. 

2". Mêmes notations. On a par hypothèse 



cos - G, cos — p,. . . cos - p„ = cos - /.. 

2 2 ' ' 2 ' 2 



Ol 



cos- - 0. = cos' - rt cos- - ù -I- sin' - « sin- - p 

2 ' 2 2 ' 2 2 

. I 1.1 1 

-+- 2 sm - a cos - <? sin — <; cos — o cos w , 

2 2 2 2' 

1 1 " . 1 . , » 

cos' - f-' = cos' - rt cos' - H- Sin' - n sin- - p 

2 2 2 ' 2 2 ' 

. 1 I . I 1 f -2- 

4- 2 Sin - a cos - « sin - & cos - o cos w 

2 2 2 2 \ // 



ros' - On = cos- - n cos- - p -f- sin- - a sin- - p 

2 '^' 2 2 ' 2 2 ' 

1 I . I 1 

4- 2 Sin - n cos - rt sin - o cos - p 

2 2 2 ' 2 ' 



•>, [H — I W 
X eos I M ^ — 



( 4--8 ) 
Ajoulanl cl ayaul égard à la lemarquc précédeiile, ou 
obtient 



loi^cos" - Â- = lo" ( cos - n cos - o \ 

2 ^ \ 2 2 ' / 



I 

tant;" -o 



col" — a 

1 ^ 

tant:"' - p 

2 

— cos-2 « fo dz. . . ; • 

I 

2 COt" - rt 
2 

le signe supérieur si /« est impair, ei liiiférieur si n est 
pair. Passant des logarithmes aux nombres, on a 

ces'" - A= cos^" — a cos " - p + sm" - a sm™ - p 

2 2 2 ' 2 2 ' 

, . I 1 . I I 

rt: 2 sm" — a cos" - <7 sm" - o cos" - o cos // w, 

2 2 2 ' 2 ' 

équation du lieu. 

3°. Si enfin on donnait le produit des tangentes des 

demi-axes pi, /^î,.--? Pm ^g^^ ^ taug" - /■", on se servira 

des formules précédenles pour avoir 

log tan- - p,,. . , log tang - ,c„ 

2 2 

et Ton arrive à la rclalion 

tani?'" - <7 -f- tani.'- " -0-1-2 tan"" -rt tang" - p cosww 
I, ^2 ^2' "2 ''2'^ 
tang'" - / = , 

^ i > _i_ ï ' 

I H-tanii-'" — c; tani»'"— r>rE:2tant:"-« taniï"-Pcos/?w 
* 2 =2' ^2 *' 2 

selon que n est impair ou pair. 

4°. Relativement à la dernière question, j'appellerai A 
le demi-angle formé par deux eôtés eonséculifs du po- 
lygone régulier, P,, Pj,..., P„, les angles PP, F* , 
PP,P3,...,PP„P,, et jé- pose 

A — P, = w , A — Pj = w , . . . A — P„ r= &)„ ; 



( 4^y ) 

on auia par suite 

« A — ( P, -4- Pj . . . -I- P„ ) = oj, 4- Wi ■ • ■ w« = /? h. 
Les triangles OPP,, OPl^,..., OPP„ donnent 

tan[T- « I I — tanjj'- p\ — tang- pli — tang"- a \ cosw 



I -f- tang' - a 1 sin w 



latljj 'j),j =: 



tarif; - p ( i 
'■* \ 

tan[j -ail — tang" - p J — tang^ ~ p ( ' — tang' - a j cos | w — ^-^ I 

tang - p I 1 -»- tang' -n| sin (w — '— 1 

tangua ^[—taiig^ipj—tangip^i-tang^^fljcosL—' " ^ ' - | 



I / ,'\./ 2(n — i);r\ 
tang -plu- tang' - a j srn ( w ^^ I 

d'où (p. 4^3) 

Aang^rt tang^rt 

&>, := 77 — w -+- sin w J 

\ cot - a tanc - o 

\ 2 ' ^ 1' 



1 I ^. 

tanu'-fl tanij'- a \ 

2 2 

— siri 2 w 

1 I 
2cot^- p 2 tan*'- — 

2 ' "2' 



tany- a tanff - « > 

1- \ . I 2 77 \ / ■'2 2 



W, =:: TT — w 



(^.-i;îj^sin 




I I 

cot — p tang - p / 




( 43o 




Ajoutant et remarquant aussi que la somme 

2 7r\ . / on — 1 ) ÎT 

sin m w -h sin m [ta H- . . . 4- sin w w — 



n j \ n 

est nulle lorsque m n'est pas divisible par «, et devient 
égale à 71 sin /nw dans le cas contraire, on trouvera 

1 I 

tane;" -a tan^" - a 

, . "2 " " 

nk =^ t: — // w zt sin « o) 

1 i 
cot" - c tan"" — 

2 ' ''2 



I r 

tansï"" — a tan"'" - a 



sin 2 /; r.) 



1 I 

2 cet'" - p tani'-'' — p 

2 ' 2 



On prendra le signe supérieur lorsque /; sera impair, et 
l'inférieur pour n pair. A l'inspection seule de cette rela- 
tion, on déduit pour l'équation du lieu cherché 



coXnk = 



laiig"- a I iq:tang"'-(5 J — tann" - ,0 ( 1 zplang'" - a j 
Ian(^" - î I I ± tang-" - " ) ^"i n co 



( 43i ) 
SOLUTION DE LA QIESTION 522 

( voir p. 193); 

Par m. DEWULF. 



Toutes les surfaces polaires d'un point d'une surface 
algébrique, prises par rapport à cette surface, ont même 
indicatrice en ce point; les rayons de courbure des sec- 
tions faites par un plan issu de ce point dans la surface 
et ses diverses polaires, sont en ce point inversement 
proportionnels aux degrés des surfaces diminués d'une 
unité. (Th. Moutard.) 

Soit 

itj" H- u,t"-^ -f- W2^"-=H- . . . + u„ == o 

l'équation d'une surface : 

Wo = A , 

M, =B,a: H- B,.) 4- BjS, 

u, = C,.r-^ ■+- C,,r^ + C, 3^ -h C, xy + C,.rs + C^yz. 

Prenant l'origine en un point de la surface, le plan 
langent à la surface en ce point pour plan de xj^ on a 
//„ = o, Bi = o, Bo = (^^ et Técpiatiou de la surface devient 

(l) U = «I + «. 4- «3 -t- • • • + "n = O. 

Nous savons cpie l'équation de l'indicatrice en un point 
f|uelconque xjz d'une surface est 

/•(X - .r )' -f 2 .V (X — x){Y — r)-he{Y— yy = C ; 

posons X = o^ y z= o^ s := o, et cette? équalion devient 

rX' H-2i-XY-f/Y' = C: 



■ ( 432 ) 

oi'; en calculant /', .?, /, on a : 

( 2 ) C, X^ + C, YM- C, X Y = CB, . 

La polaire d'ortlre A de rorigine des coordonnées, par 
rapport à la surface (i), a pour équaliou 



-^ _ A, Ui -f- A. «2 + . . . + A„_i w„_A == o , 



~7? 

A 1 = (« — \)[n — i)[n — 3 ) . . . ( « — k) , 

A^=i{n— i){n — Z). . .{n — k)[n — k —\), 

et l'équation de l'indicatrice à l'origine de celle surface 
est 

(3) C,X^4-C,Y=+C,XY=CB,^- 

A, 

Cette équation fait voir que l'indicatrice ue varie pas 
avec /f. donne des courbes semblables, ce qui démontre 
la première partie du théorème. Quant à la seconde, elle 
résulte aussi immédiatement de l'équation (3). On sait 
que les rayons de courbure des sections normales passant 
par un point sont proportionnels aux demi-diamètres 
que ces sections déterminent dans l'indicatrice; or ces 

1 . T , • 1 < A, n — I 
demi-diametres sont proportionnels a — = et, 

^ ^ A; «— / — I ' 

par suite, Inversement proportionnels à (// — A) — i. 

Le théoième de Meusnicr étend ce que nous venons de 
dire aux sections obliques. 



( 43:5 ) 



SOLITION DE LA QIESTION o34 

(voir p 2iS; ; 

Par m. Charles KESSLER. 



Théorème. Soient 

J- =r F {x) 

V équation d'une courbe algébrique ^ 

y — f, = ¥' (x,) {x —a\) 

Véquation d'une tangente au point Xj Vj j X, Y un point 

Y" 
quelconquedecette tangente : ^ — - est un maximum ou 

un minimum lorsque Y = j'i, X =: Xi. 

Démonstration. Je remarque que l'équation ci-dessus 
de la tangente à la courbe est inexacte; pour qu'il en fût 
autrement, il faudrait que l'équation de cette courbe para- 
bolique lût y = F [x) : c'est du reste à celte dernière 
forme que je vais la ramener. Je pose 



j = ';F{.t)=/{x]. 
L'équation de la tangente est y — j^ =/' (.r,) {x — Xi), 

. ,. y" / Y \'" Y 

et le dis que ^ ,^. = -^,^^, ou -..^ . est maximum ou 

J 1 F(X} V/(X)/ /(X) 

minimum pour X = aTi , Y = y,. 

Ceci peut être considéré comme évident à priori, car 

pour tous les points de la courbe -r- — -, = i =constante, 

et par conséquent la dérivée est nulle : ce qui indique que 
tous les points de la courbe, et en particulier le point j:, , >, 

Ann. de Maihémat., t. XIX. (Novpmi>ie iSfio.) 28 



( 434 ) 
jouissent de celle propriété qu'ils rendent maximum ou 
minimum la fonction précédente. 

En voici du reste une autre démonstration, ou plutôt 

Y 

une extension. Le numérateur de la dérivée de est 

t (A) 

Y'/(X)-Y/'(X), 

ou, en remarquant qu'entre l'ordonnée et l'abscisse à 
l'origine, on a la relation 



Y /'(^> 



X 



d'où 

/'(^,)/(X)-X/'(.r,)/'(X)+x./'{x,)/'(X)-j,/'(X); 
et comme 

on voit que cette expression est nulle pour X:r=Xi, y=)'\- 



SOLITION DE LA QIESTION 542 

(voir p. SGI); 

Par m. Charles KESSLER. 



Théorème. Supposons que t.- puisse se décomposer de 
n manières en produits de facteurs inégaux (i . z* com- 
pris)'^ démontrer que ^t? peut se décomposer de n ma- 
nières, et pas dai'aîitage^ en différence de deux carrés 
entiers. 

Démonstration . Supposons 

p, q étant deux ([uauiilés didercnles entre elles 5 on 
pourra toujours trouver deux quanti lés cl deux quan- 



tîlés sculcincnl tilles ^ ijuc 

■J. + fi 

d'où 



Ceci apprend déjà que toul carré est la (liHerciice de 
deux autres carrés, et d'autant de manières ((u'il peut se 
décomposer en produit de facteurs ijiégaux. De là on tire 

(a et |3 soûl tous deux pairs ou tuus deux impairs). 

Des quantités a, |3 étant déterminées et uniques pour 
chaque système de valeurs de p et ^, la proposition est 
démontrée. Elle s'étend eii outre évidemment à tout 
nombre qui n'est pas premier et peut se formuler : 

Supposons que A non premier puisse se décomposer 
de n manières en produits de facteurs incîgaux (i -A) com- 
pris, 2^"A peut se décomposer de ii manières au moins en 
différence de deux carrés entiers : du reste, tout nombre 
est la différence de deux carrés. 

Il est facile de montrer plus clairement cjue le nombre 
de manières dont /\z^ peut se décomposer en différence 
de deux carrés entiers, ne surpasse pas celui dont z~ se 
décompose en produits de deux facteurs inégaux. Si, en 
effet, il eu existe une autre 

4 z' =: m- — «' , 
d'où 

m -+■ n m — n 



z^ se décompose en produits de deux facteurs inégaux, et 
par hypothèse on a considéré toutes les manières dont 
cela arrive. 

28. 



(436) 



SOLUTION DE LA QUESTION 34i 

voir p. 3.1 ; 

Par m. Charlfs KESSLER. 



Je suppose qu'on cliauge «'signes, et désiguaul le nou- 
veau polynôme par Q, combien PQ renfernie-l-il d irra- 
tionnelles? Soit n = «' 4- n" . 

Soit A l'ensemble des w" termes dont le signe n'est 
pas changé, B celui des w' termes dont on change le signe, 

PQ=r (A + B)(A — B) = A- — E% 
et le nombre des irrationnelles est 

n'{n'— i) n" («" — i ) _ n" + n" ' — («' + n"\ 

2 2 2 

n^ — 2 n' n" — n 



CONCOIRS D'AD^ilSSIOX A L'ECOLE NORMALE EIV 4860 

( voir p. 328) ; 

Par m Charles KRSSLER. 

Trouver l'intersection d'un cône de révolution par ini 
plan. Si par tous les points de rinlersection on élève des 
normales au cône, chacune de ces normales perce la 
surface en \x\\ second point. On demande la courbe formée 
par ces points (*). 

Solution géométrique. On sait que la section peut être 

(*) La surface formée par les n<>rin;iles est du sixiiiiie ch'grc. T.m. 



( 4;^'y ) 
l'une quelconque des trois courbes du second degré. 
Soit M l'un des points de l'intersection, ASB plan méri- 
dien passant par M; = ASB. 

La normale en M à la surface sera perpendiculaire à la 
génératrice SB, et rencontrera SA en M', par exemple ; car 
dans une surface de révolution le plan tangent est per- 
pendiculaire au plan méridien qui passe par le point 
de contact. M' est un point de la courbe cherchée, et 
l'on a 

MS 
ces 9 



p = M' S 



Donc les rayons vecteurs de la courbe des iM' sont propor- 
tionnels aux rayons vecteurs correspondants de la secliojj, 
donc la couibe est la même que celle qui serait faite par 
un plan parallèle à celui de la section d'une distance du 
sommet S marquée par le rapport précédent 5 la courbe 
est donc de même nature que la section 5 algébriquement 
parlant, elle lui est semblable: ses sommets sont sur les 
mêmes génératrices, son plan est perpendiculaire à ASB. 
Si l'on opère le développement du cône en le coupant 
d'abord suivant SB, puis en le coupant suivant SA, que 
dans le développement on superpose SA et SB, les déve- 
loppées des courbes sont semblables. 



THÉORÈHE SIR LE TRIAXGLE CIRCONSCRIT A M CERCLE^ 

Par m. Joseph HARCOORT, 

Proi'esseurà î\'eM\vry( Irlande). 



Théorème. Un triangle étant circonscrit à un cercle, 
on mène une cjuatrième tangente quelconque j des som- 
mets du triangle on abaisse des perpendiculaires sur cette 
quatrième tangente. On multiplie chacune de ces perpen- 
diculaires par le côté du triangle opposé au sommet 



{ 438} 
d'où pail la perpendiculaire; la somme algébrique dos 
trois produits est égale au double de Taire du triangle. 

Démons il ation (communiquée par IM. Le Besgue) (*). 
A chaque sommet appliquons une force proportionnelle 
au côté opposé du triangle 5 lorsque les trois forces sont 
parallèles , le centre du cercle inscrit au triangle est le 
centre des forces parallèles, et le périmètre du triangle 
représente la résultante; prenant les moments par rap- 
port à la quatrième tangente, on a la propriété énoncée; 
une propriété analogue existe pour le tétraèdre en rem- 
plaçant les côtés par les aires des faces. 

La démonstration analytique ne présente aucune dif- 
iiculté. 



DEMONSTRATION Dl THEOREME III DE M. IVVGEL 

(voir p. Soi ^ ; 

Par m. HOUSEL, 

Professeur. 



Lemme. Si 1 ou divise en parties égales les angles d'un 
triangle, ainsi que les suppléments de ces angles, pour 
avoir le centre du cercle inscrit et ceux des cercles ex- 
inscrits, ces bissectrices étant évidemment perpendicu- 
laires deux à deux, on sait cjue le triangle formé par les 
trois derniers centres a pour liauteurs les bissectrices in- 
térieures ; de là résulte le théorème connu : 

Les hauteurs d'un triangle sont bissectrices du triangle 
formé en réunissant les pieds de ces hauteurs. 

Théorî:aie. Dans un triangle, les lignes qui joignent 
les pieds fies hauteurs sont respectivement perpendi- 
culaires aux ruyons qui joignent les sommets avec le 
centre du cercle circonscrit. 

(■*) Kclourné à l^onlr.TUN Im. 



(439) 
Pour le laiio vuir, soit O le cciilie du cercle circon- 
scrit au triangle ABC, et représenlons respecliveinenl 
par a, j3, y les angles à la base dans les triangles BOC, 
AOC, AOB, ce qui donne 

A = P + 7, E = a-|-7, C = y.-hp 
ce — cjo° — A, p = go" — B, 7 = go° — C. 
Mainleuant, soient A', B', C les pieds des hauteurs 



et 




correspondant aux sommets A, B, C, nous savons qu'une 
hauteur AA' est bissectrice de l'angle A', et CC de 
l'angle C. 

Soit H le point de concours de ces hauleurs, et considé- 
rons le quadrilatère BA'HC'dans lequel les angles opposés 
en A' et en C sont droits; donc A'HC'= i8o — B. 

Mais d'après le lemme, nous savons que dans le 
triangle A'HC la droite HA' est bissectrice de Tangle A' 
du triangle B'A'C; de même HC est bissectrice de 
Tangle C. 

Donc , dans le triangle où l'angle A' HC = A-h C, 



d'où 



A' C 

1 t-A -l-C=i8o, 



A' C „ 

2 2 



{ 44o) 

On aura Je même 

A' B' B' C 

1 — C, 1 = A, 

2 2 2 2 

B'-^C'= 2A = iSo'^— 2a = i8o"— A'î 

par conséquent 

A/ _ ?! _ r ^' — 

2 ' 2. ~ "' 2 

A' 

Ainsi nous voyonsque les angles OBC = ix et C'A' H' = — 

sont égaux; mais déjà le côté BC de Tun de ces angles 
est perpendiculaire au côté HA' de l'autre angle : donc 
leurs côtés OB et C'A' sont aussi perpendiculaires; on 
verrait de même que B'C et B'A' sont respectivement 
perpendiculaires à OA et à OC. c. Q. f. d. 

Il est facile de reconnaitre que ce qui prêt ède revient 
au théorème III de M. jNagel. En effet, le centre du cercle 
circonscrit à A' B'C est, comme on le voit, celui du 
cercle des neuf points par rapport à ABC; donc, par un 
tliéorème connu, ce point est au milieu de la droite OH. 
A, B, C sont les centres extérieurs des cercles qui tou- 
chent les côtés du triangle A' B'C. 

Note. Dans le théorème I, il faut lire contacts exté- 
rieurs et non intérieurs. Tm» 



APPLICATION DES IlÉTEIWllNWTS 
Al] COXTICT DES CERCLES ET DES SPHÈRES; 

D'après M. C.-W. BAUER ('), 



7 rois cercles. 
1. Soit OA, A2 A;, un (jnadrilatère reclilignc plan. 

( " ; JoH/nn/ (11' SchliimiliM . 1. \. |i Sfif) ; \ff\o. 



( 44i ) 

Coordonnées, .r,, y, de A, 
./•,, j, de A, 



^3, j3 de A, 
o, o de O origine. 



(0 



A = 



■r, 


7: 





^•2 


J''^ 





■z-3 


J:! 






Appliquant à ce déterminant le procédé connu, on a 

j^i-î^a +ji73 •2^2-ï'.i -+-J2J3 •*'! H-j';! 

3. Posons 

n'L = xl, -h j;„ , a;nn = ( J-^ — ^n)" + ( J»i — J/i )' > 

«;! = xi + >■;; , 

2 (.>r„, r„ 4- J« J h) = (il, + «,' — uL„ , 

<7ot„ distance du point A^ à A„. 

Lorsque les coordonnées sont rectangulaires, les «,„ 
expriment les distances OAj, OA2, OA3, cl les <-/„.„ îes^ 
distances AjAî, A2A3, A3A1. 

Ces équations donnent 



A-: 



ia\ a- -+- a:^ — a 

ri] -\- û', — a 'l ., 2 a \ 

a] H- «; — aU d] + al — '''': 



?. a ■ 



-i. Soient donnés trois cercles de rayons, /'j, i\_, /'s, et 
un quatrième cercle de rayon inconnu ;■ qui les louche. 
Considérant le centre inconnu de ce cercle comme 



{ 442 ) 

origine, posons 

ri + r,i — a,,,., = l/r^„ 

(a,„„ représente les distances respectives des centres). 

A la gauche du déterminant écrivons la colonne o, o, o, 
formée de trois zéros et au-dessus la ligne horizontale 

+ 1, — 27-(r-f /-,), — 2r{r-i~ r^), — 2r{r -+- r^) , 

oti aura nn nouveau déterminant de i6 termes, mais 
égal à A^, puisc[u'il se réduit à i . A-, et par conséquent 
ce nouveau déterminant est aussi nul ; on sait qu'un dé- 
terminant ne change pas de valeur absolue en ajoutant 
une ligne successivement terme à terme aux autres 
lignes; faisant cette opération avec la première ligne 
horizontale, on trouve le détei'minant à i6 éléments: 



4-1 —2 /•(/• + '•,) —2 /•(/•-!- rj) —2 /•(/■■>■■ ^3) 

+ 1 4- 2/-, (/•+/•,) 4- 2/-/-, -h2/-,2 -f-2/ri H-2/-,3 

4-1 4-2r/-j4- 2/12 4-2^^ (/'4-^2) 4- 2 r/-;; 4-2 /.s 

4-1 4- 2 rra 4- 2/13 4-2r/3 4-2/-,3 4- 2/:,{/-4-r3) 



= (A) 



Écrivons à gauche une colonne de (quatre zéros, et en léle 
la ligne horizontale 

-f-1,0, 4-2/-, 4-2r, 4-2/-, 

nous aurons un nouveau déterminant de 25 éléments, 
ayant même valeur que le précédent, à cause des (|ualrc 
zéros; dans ce nouveau déterminant, multipliant celte 
première ligne par r, on a 

r,0, -t- 2/-=, 4- 2/% 4- 2/-'; 

ajoutant cette ligne à la deuxième ligne, savoir à 

0,1, — 2/'(/- 4- /'i), - 2r(/' M- /-j), — 2/(r4-/'s), 



443 ) 



ou obliciii 



+ '•, +1, 



2 /•/•, , — 2 n\ 



2 /Ta. 



Ce nouveau déterminant sera toujours nul. 

Multipliant successivement la même première ligne 
par — Ti, — 7*25 — ''3) et ajoutant respectivement à 
la troisième, quatrième, cinquième ligne de (A), on obtient 



4- I o 

+ r 4-1 

— n +1 

— r, -f- I 

— r, +1 



-\- lr 
— 1 rr^ 

+ 2 /•' 

4-2/-„ 



H- 2 r -f- 2 /• 

— 2 TA- — 2r/-3 

H-2X-,, +2Â-,,, 

-f- 2 r!; +2 / j;, 



-h 2/,, -f- 2/?%j -I- ir] 



Mettant i° la seconde colonne à la place de la pre- 
mière, et vice versa; 2° divisant par /' les termes de la 
première et seconde ligne 5 3° par 2 les colonnes troisième, 
quatrième et cinquième, on obtient 



+ - 



-h 1 



-4-1 — ^1 — ^3 — r^ 



+ I 



4-1 — r^ 



-+-/■, 
4-/Î-2 



4- f(n 

+ r't 



+ A" 23 



= O (*)• 



Effectuant ce déterminant, on obtient - en fonction de 
'■j» ''2? ''3? ce qu'il fallait trouver. Le développement s'ob- 
tient facilement, les termes -5 + 1, -+- i, 4-ij donnent 

r 

chacun 24 termes^ ainsi tout au plus 96 termes 5 on voit 
qu'il suffît de calculer les termes provenant de - et de 4- i . 



{") Je lie sache pas ^u'oii ail dcjà trouvé ;• en fonction des trois autres 
raviiiis r. , / „ , /■ . 



( 444 ) 

Eu faisant varier les signes de /'i, r^, /'s, on obiieni les 
huit solutions que comporte le problème, r est donné par 
une équation du second degré 5 une des racines se rap- 
porte à unmoded'attouchement, correspondant aux signes 
de /'i, r,, Ts, et l'autre racine se rapporte au mode d'at- 
touchement correspondant à des valeurs de t\, 7\, r^, avec 
des signes opposés -, car on voit d'après le déterminant (A) 
que l'équation ne change pas en changeant simulta- 
nément les signes de Tj, r^, /'s, et ceci, combiné avec la 
relation entre le coefficient du second terme de l'équation 
et la somme des racines, donne le théorème suivant, dû 
à M. G.-W Hearne. 

Appelons rayon réciproque d'un cercle l'unité divisée 
par le rayon de ce cercle. 

Soient : 

— le rayon réciproque du cercle qui est touché exté- 
rieurement par les trois cercles donnés 5 

— le rayon réciproque du cercle qui est touché inté- 
rieurement par les trois cercles donnés 5 

^ — la somme des rayons réciproques de cercles qui 

sont touchés extérieurement par un des trois cercles 
donnés ; 

^ — la somme des rayons réciproques de cercles qui 

sont touchés extérieurement par deux des trois cercles 
donnés. 
On a 






5. Cas où les trois cercles donnés se louchent luulucl- 
Icnient. Dans ce cas a",„„ -~ (/•„, -\- /'„)'•, donc A,„„ = — '",«'«• 



(445 ) 
Divîsanl respectivcnienl par /', , /%, /'a les dernières lignes 
horizontales, et ensuite par /■,, z?, 73, respectivement les 
trois dernières lignes verticales (à droite), on a 

1 I I 

o H-- +- +- H- 
r r, r, 



- + I 



4- - 



+ - 



H- I 



— I — I -4-1 



Eirectuant, on trouve 
I I I I 



bien 



[I I I r 1 il 
! \ 1 H 1 

jLd r" ^^ rr. 



^ SoJJj! 



formule qui peut ainsi servir à trouver trois cercles qui 
se touchent mutuellement et touchent un ceixle donné. 

Quatre sphères. 

6, Soit le tétraèdre Ai A2 A3 A4 ; d'un point O on mèn^ 
les droites OAi , OA2, OA3, OA4. 

Coordonnées rectangulaires. 

j",, /,, z, de A, 
X,, j)2, 22 de A2 

■^3) y. il ^3 <'<^ "3 

.r<, ;•, , 3« de Ai 

o, o, o de O oriiiinr. 



(B)A' = 



446- 



Posons 



0A„ 



d'où 

(0 

Ou a 



aJn = -ï^m •+- y II + zl, ; ni = x';, -\- ri + z-l ; 



2 \ J'm J"n -r J) m ^'n ~f~ Z^ Z„j 



(^„ 



A = 



o, 



X, 7, z, 

■^3 ^'3 Z3 

X, T,-4-^,r3 + s, 2. j:^ -+- J^i -4- z\ J^jÏ3-)-r,r,-+-^a?3 ^■^^8-^-^^■>'4^-^s^4 

A l'aide des équations (i), on change ce déterminant 
eu un autre dans lequel il n'entre que des a. 

7. Lorsque les sphères des rayons /' touchent les sphères 
des rayons n, r^. /-j, 7-4, on a 



posons 

rln + r), — <7,^,„ = 2 / ,„„ , 

et opérant comme ci-dessus, on trouve finalement 



(B) 



- -+- 1 



+ I 



-H 1 



+ I 



— /•, — r. — r, — /\ 

4- r\ -+- h\ + /,, + /,< 

-f- /,, -<- /' -4- /.., -t-^.. 

4- /•,. 4- ^-.3 4- r\ + /•„ 

4-/5,, 4-/.., 4-X-.„ 4-/-' 



( 447 ) 

Le développement, abstraction faile des réductions, 
donnerait 600 termes. 

Les divers signes des rayons donnent les seize solutions 
que comporte le problème. 

Cas oit les quatre sphères données se touchent. 

8. Raisonnant comme ci-dessus, on parvient au déter- 
minant 



+ I 



— — I — I 



-+- 1 



— I -f- 1 — i 



+ — 



ou bien 



— I + I 



^ r' ^ rr, 



-h I 



— o, 



9. M. Bauer donne les relations suivantes analogues à 
la relation donnée ci-dessus par M. Hearne. 
Soient : 

— le rayon réciproque de la sphère qui est touchée 
extérieurement par les quatre sphères données; 

— le rayon réciproque de la sphère qui est touchée 
intérieurement par les quatre sphères données 5 

5j^ la somme des rayons réciproques des sphères 



( 448 ) 
qui sont touchées extérieurement seulement par une des 
quatre sphères*, 

V^ — la somme des rayons réciproques des sphères 

qui sont touchées extérieurement seulement par deux des 
quatre sphères. 
Ou a 

Soient : 

R,„ le rayon de la sphère qui est touchée extérieure- 
ment par une des quatre sphères données, 

Et R'„, le rayon de la sphère qui est touchée différem- 
ment par les quatre sphères, on a 

R4R0 "^ ^ R,R': ~ 2é R3R,, * 

10. Ou a 

•^m -^n -+- ymrn ■+- 3„, S„ = 0„ n„ COS [fl^ a„). 

Au moyen de cette relation qui équivaut à six équa- 
tions et du déterminant (B), on trouve une équation 
entre les cosinus des six angles intérieurs cpie donne un 
faisceau de quatre rayons, et les longueurs de ces rayons. 
C'est la relation donnée la première fois par Carnot (*) 
[Géométrie de position, i8o3, p. 4 '6) 5 il fait voir com- 
ment on peut se servir de cette dernière relation pour 
trouver le rayon de la sphère qui touche quatre sphères, 
Il présume que l'équation sera du second degré et ajoute : 
« Le calcul étant fort long, quoique sans aucune dilli- 
» culte, je me contente de rinditjuor. » 

M. Mention a exécuté le calcul [Nouvelles Annales^ 
l. XVllI, p. 438). 

(*) Né à Nolay (CiMc-dOr) en 175;^, niorl on o\il ii M;t[;<lcboui(; on iSi3. 



449 ) 



MOIYEMENT DU PENDULE; 

Par m. FLNK, 

Professeur à Strasbourg. 



M. Delaunay a traité dans sa Mécanique entre autres 
deux questions intéressantes, à savoir : la déviation des 
corps graves vers l'est, déviation due au niouvenicnt de 
rotation de la terre combinée avec 1 action de la pesan- 
teur dans la chute verticale, et le déplacement du plan 
d'oscillation du pendule due au même mouvement de 
rotation. Ce savant emploie à cet effet la théorie du mou- 
vement relatif. Je me propose de résoudre les mêmes 
([uestions sans ce secours; on verra qu'en négligeant le 
carré elles puissances supérieures de la vitesse angulaire 
de la terre, mes résultats coïncident avec les siens. 

Déviation. Je prends trois axes fixes dans l'espace: l'axe 
O2 sera dirigé sur celui de la terre, du centre au pôle 
nord; l'axe Oj: aura la position initiale de la trace du plan 
méridien du lieu sur Téquateur : Taxe Oy est perpendicu- 
laire aux deux autres. Soient A la position initiale du lieu 
ou de l'observateur, R sa latitude, a le rayon terresti'e, 
0) la vitesse angulaire de la terre; au bout du temps t , 
compté de l'instant où le point matériel commence a 
tomber, les coordonnées de ce lieu seront 

(i) a:, = rt cosA cnso)/^, 1, =: ^cos Asin w/, 3i=:(7sin),; 

l'équation du plan tangent au globe en ce point, c'est-à- 
dire du plan horizontal de l'observateur, est, au temps t. 

(2) j:cos!Xcosw^ -4- r cos Asin w/^ -\- ssin a — n =z o. 

Je nomme h la distance initiale du mobile au centre 

Ann. de M,ith,-mal., t. Xl\. (Dfroiiil.ro i8(;o.) 29 



( 45o ) 
de la terre, de sorte que b — « est la hauteur d'où il tombe ; 
ses coordonnées initiales sont 

(3) Xa=^bcosk, jo = o, 2o=^sin).. 

La vitesse initiale du mobile, perpendiculaire au plan xz^ 
est ^wcosX-, ses composantes parallèles aux x^y^ z sont 
respectivement 

(4) O, èwCOS). , G. 

La pesanteur g étant dirigée sur la verticale de l'obser- 
vateur, les équations du mouvement sont 

d' X 

—— = — sr cosl cosa t , 

à'y , . 

— — = — g'cosÀsmw/, 
dt- 

dH 

Ayant égard à (4) on trouve, au moyen d'une première 
intégration , 

dx p 

— - = — — cosXsni w/ , 

de w 

dy p" 

-— = - COS> ( ces Oit — I ) + i w cos). , 

dt w 

dz . ^ 

— z= — gtsm\. 

La position initiale du mobile a jjour coordonnées (3), 
donc 

a- 

• = — cos). (cosw/ — + ^cosÀ, 

(5) j jr = cos"/. -^sinw/+ (Z>w— -| \ty 
z =. sinl ib gt- 

Pour avoir l'époque de la chulc sur le plan hori/.onlai 



( 4:>' ) 
de l'observateur, il faut substituer pour x, y, z, ces ex- 
pressions dans l'équation (2), puis la résoudre par rap- 
port à /. 

Or 00 étant éaal à 



0^0000729, 



861 64" 

«n pourra développer les sinwï, coswZ suivant les puis- 
sances de wf, et comme la durée du mouvement de cbute 
se réduit à quelques secondes, on négligera oi^, w*, etc. 
On trouve 



.r = ces A 



ou 



X = cosl b — 



2.3.4 



•)] 



(«j 



Y "= ces A \ OMt 

v « 



gf 



2.3 2.3.4 



ou 






Dans (2), je remplace également coswf et siuwf parles 
séries, etx,y, z par les valeurs précédentes*, je sup- 
prime w^/',. . . et j'ai 



(7) 



d'où 



-^■- 



comme si la terre ne tournait pas. 

La déviation est la distance du point de cbute repré- 
senté par (6) et (7) au point Xj, ^i, z^. Avec l'approxi- 
nialion adoptée, on trouve pour le carré de cette dis- 

29. 



( 45-^ ) 

lance, avant d'avoir égard ^ {y). 



Ib — a — ^gA' +(^'t' U 



b ~ a — - gf\ +(,i'^ f [b — a — j: gt-\ cosU, 



Le premier terme est nul en vertu 'de (7), et la dévia- 
tion tout entière à Test (vu que x — Xj = o) 



M^cosX ( b — a — 7: st- 



Avec la valeur de t (équation 7), elle se transforme 



en 



(8) ■,„cosx[îI^]' 

que je nomme m, comme dans l'ouvrage cité. Dans les 
expériences que l'auteur cite, on avait 

^* — «= lôS-^jS, X = 5i°, g- = 9,8o88 et « = 0,0288; 
le calcul de la formule (8) donne 

U = 0,02'j6, 

Pendule. Je conserve les mêmes axes de coordonnées 
et j'appelle Xi, ^1, z, le point de suspension du pendule 
simple, / sa longueur, N la réaction du fil de suspen- 
sion, — X^y^ z les coordonnées du point matériel; sa 
niasse est supposée =^i. Les équations du mouvement 
sont 

/ d}x ^^[x — X,) 

] (i^Y . Y — >'i 

(i) { -p- = — ^cosAsinwf — N -^ 



d'z 



= — fi-sin^ — N 



\ dr- " / 

Comme plus haut, on a i< i 

(2) Xf = acos\ COSoyt, y, -rr rt cos). sine.)/, Z|::j:rtsinA. 



( 453 ) 
Par le point x, y, z, j'imagine un second système 
d axes de coordonnées fixes dans la terre, à savoir : la 
verticale du lieu axe des ^, la méridienne axe des Ç, et 
la perpendiculaire axe des r,. On aura 

I ,r := :r, + çCOSH.r 4- jîCOSrjX + ÇCOSÇJ^, 
(3) ' J = Xi 4- ?cosH.> -+-. . ., 

f 2 = z, + ç cosÇz. . . 

L'axe des ^, c'est-à-dire la verticale, donne immédia- 
tement, au temps t, 
cos^x = cos/cosM^, cos(;j = cos/sinw?, cosÇH = sinX. 

L'axe des /î, perpendiculaire au plan méridien qui fait 
avec le plan xz l'angle wt, donne 

COS»;^= — sinrof, COSri)== COSOit, COS>îZ = 0. 

Quant à l'axe des ^, il fait avec Taxe z un angle de 

90 + go — )>, d'où cosEz=: — cos^. 
Il est de plus perpendiculaire à Taxe ^, ce qui donne 

cos:,r cosÇx + cos?j^ cosÇj + cosSz cosÇz = o, 
ou, à cause des valeurs déjà données, 
( 5 ) ces ^,a: cosX cos*» t -h cosÇ j cos> sinat — cosX sinX = o. 
Avec cos'|j:-f-cos*^/H-cos*^z = I et comme cos^z 
égale — cos X , 

cos'Çx -f- cos'? J + COS'X = I. 
Cette équation avec (5) donne 

COS Ç .r = sin /. cos &) t , cos ? y = sin X sin w / , 
et les formules (3) deviennent 

x=-Xi + ^sinXcosw? — r, sinw^+ Çcos). coswf, 
(6) l j = j, + HsinX sinwf + rjcoswf + Çros). sinw?, 
z =z Zi — Çcos). + Çsin).. 



( 454 ) 
Les équations (i), multipliées respectivement par 

Zij- — ji 3, Xi z — Zj X, j'j X — Xir donnent, par addi- 
tion , 

(7) (~i7 — J' z)d- œ + [x^z — z, x) d' j -^ {j^ X — .i\y) dr- zz=o. 

On va remplacer toutes les quantités qui y entrent par 
des fonctions de |i , a"^i , w/. 

D'abord les équations (3) et (2) fournissent 

z, j — y\ z = a [ï,s\n M t -\- Y. sin ). ces w t), 
Xi z — Z|X = a [ — Ç coswf + jj sin À sinwf ), 
ji X — x^y =1 — ar, ces).. 

Avec cela l'équation (j) peut être mise sous la forme 
suivante 

( S { sin w ^ d''x — cos (« r d^j) 

l -+- Y> (sinÀ cosat d-x -h sin), sin w^r/'j) — cos). d'z z=: o. 

Pour calculer les coefficients de ^ et y;, je multiplie la 
première des équations (6) par sinoj/, la deuxième par 
— coscof , j'ajoute et j'ai 
(g) ^sinw? — j coifjit = — n. 

Je multiplie les mêmes équations par sin/ cosm?, 
sinX sincof, la troisième par — cosX, j'ajoute et il vient 
( 10) sin). (.r cosw? +jsinw^) — z cos> = ?. 

L'équation (9), dilférentiée deux fois, donne 

, sino) ? d''.r — cos w/ d'y 

(il) < = — cPyi — 7. (o dt (cos Ci t dx -{-s'm M tdy) 

[ -\- M^ dt^ [xsxnoyt -{-y cos oyt) , 

d'après l'équation (9) le dernier ternie = — o)^/} th^. 
L'équation (10), dillérentiée deux fois, donne 

/ sin). (cosû)^.^/'.r4- sinw/r/'j ) — ros/rt-z — d^^ 
(12) ( -h 2<>)Sm\dt(s\noit dx — (fbs^tdy) 
[ + (,)-r/f'sin). (.rcoscd^4- jsinw/). 



( 455 ) 

Le dernier terme, en vertu de léqualion (lo), se ré- 
duit à tù^ dû [^ ■+- z cosl) , et d'après l'équation (lo), à 
0)^ dt* sinX [|sinX + (« + ^) cosX]. 

Restent les facteurs de 2 w dt. 

Or de l'équation (9) on lire 

sinwf.r/x — cosoit.df = — dri — a dt[x cos(>it+ y sinw^), 

et d'après l'équation (10) 

oidt 
?>\nwt.dx — cosoU.rfr = d-n r^ (? + z ces/), 

d'après l'équation (6) 

{i3) sinw^c?.r — cosw^rf/ = — d-n — m dt[lûn\ -\- [a -{- z) cosX]. 

De l'équation (10) on déduit 

dl, + cos\dz 

cosûi t . dx -\- s\n vi t dy= .-^ — — 

smA 

+ wdt[x^\nwt — y ces &j t ) 

■==■ sin )> . r/ ^ + CCS \dC, — (Sit\dt. 

Cette valeur, ainsi que les équations (11) (12) (i3), 
subtituées dans l'équaiion (8), donnent 

[ ^[ — f/^r) — 2wf/^(sinA(/Ç -}-cos/<fî; — M-fidt)— M"-ndc-] 
^i^-j |4-„|f/2Ç4-2w<'/?sin/(— r/rj — w^r[?sin).4- («+ <;)cos).j) | 
( -i-(^^sin\dt^[Q.a -\- i;(cosX + ^ sin/)] = o. 

EtFectuant, etc. , 

o = r,d^^ — ï,d''n — 2&)siiU (Ç^Ç 4- ndn) dt — lo^ cosl . d l d t 
-h w^Ti cosArf^^[£cosX 4- (rt 4- Çjsin/.]. 

En négligeant le terme en oi'\ de même que — qui est 
très-petit dans les expériences, on a une équation dont 



( 456' ) 

1 JlJlC'^lilfc «'St 

çdr, — r, (Il -\- w sin A [dV ■+■ di\- ) = C. 

Obsurvaiit de plus, encore avec M. Delauuay, que le 
pendule Foucault est installé de façon que pendant chaque 
oscillation il revienne coïncidei" avec la verticale du point 
(le suspension, on voit que l'équation doit être satisfaite 
par I = o avec y; = o, de sorte que la constante est nulle. 
On poseia ensuite, si on vent, > = /cosS, y; = /'sinô, 
et l'équation devient 

r/ô = — w sin), <■//, 
d'où 

6 =r 6u — ojsin). X f-, 

ce qui donne ojsin/ pour la rotation relative du plan 
du pendule en i seconde. 

Ces calculs se simplifient beaucoup si dès le comraen- 
ceuient on néglige w*, .... En ne remontant qu'à l'équa- 
tion (8), on voit que cette équation devient 

ç {(ûtd'.r — d'y ) H- 71 ( sin / d''.r -+- Mtsinl d'y — cos). d^z ) = o^ 
Les équations (6) donnent (S^tx — y =: — yj, 

( rt ) ( j- 4- w ty ) sin A — î; cos À = ç , 

d'où 

w t d- X — d'y = — d' z — 2 w r/x dt, 

{<Px -+- otd'y) sin À — cosl. d' z^d^l — iMsin'kdtdy . 

Ces mêmes formules [a) donneront r/j", <7^-, dans les 
expressions desquels on pourra supprimer les termes 
<'ri 0), puisqu'on mulli[iliera par 2(j)(it. On aura ainsi 

d^ -\- cosldzdz 

r/i ii: dn, d.V=: .— =: COS a dC -+- SIH A . dE, 

•^ sniA •' 



( 457 ) 
L-l réqualioii {i4) (leviout 

^[ _ (l-r, — iM dt (sin/. dl H- cos a ï/Ç)] 
-H r, [r/'H — 2wsin A r///<-/f] = o 
OU 

jr/'Ç — Id-r, — i>.wsinA dtildl H- jjr///) — loi COS^.dzdt = O. 



DÉFIMTIONS DES MODES DE REPRÉSEMATIOX 

inciilioiinés dans l'extrait d'un Mémoire sur les Cartes géograpliiques, iuséré 

au Compte reudu de la séance de l'Académie des Sciences 

du 5 mars i860-, 



Far m. a. TISSOT. 



Lorsqu on a égaid uniquement à la nature des lignes 
du canevas, on peut classer de la manière suivante les 
divers systèmes de projeriion qui ont été employés ou 
seulement pioposés pour la représentation de la surface 
entière du globe. 

1°. Le dêvelo])('nienl de 3Icrcator est le seul dans le- 
quel les méridiens et les parallèles soient remplacés par 
des lignes droites. 

Il y a six systèmes où, quand le pôle occupe le centre 
de la carte, les méridiens se trouvent figurés par des 
lignes dioitcs partant de ce point, et faisant entre elles 
des angles ('gaux aux dillérences de longitude, les paral- 
lèles par des circonférences ayant toutes ce même point 
pour centre. Ce qui vai ie de l'un à l'autre de ces sys- 
tèmes, dont les quatre premiers sont des perspectives, 
c'est la manière dont les rayons des parallèles de la carte 
dépendent de la latitude-, voici leurs noms : 



( 458 ) 

2°. La perspectii^e cent/aie ou projection gnomo^ 
nique ^ 

3°. La projection stéréo graphique [voir la Noie à la 
fia) 5 

4". La projection de La Hire y 

S**. La projection orthographique; 

6°. La projection de Lorgna (*); 

7°. La projection stéréo graphique équatoriale modi- 
fiée. 

Dans les deux systèmes suivants, les parallèles sont re- 
présentés par des cordes d'une même circonférence pa- 
rallèles entre elles, et les méridiens par les ellipses qui 
divisent ces cordes en parties proportionnelles aux diilîe- 
rences de longitude; ce sont : 

8°. La projection de P astronomie populaire d'^rago ; 

i)^. La projection homalograpJiique de M. Babinet. 

Ils se distinguent Tun de l'autre par le rayon du méri- 
dien principal et par l'écartement des parallèles. 

Pour les deux derniers systèmes, savoir : 

io°. La projection globulaire ou projection anglaise, 

II". La projection stéréo grapliique méridienne modi- 
fiée, 

Toutes les lignes du canevas sont des circonférences. 

Dans le premier et les quatre derniers modes de repré- 
sentation, c'est un lieu de l'équateur qui se trouve au 
centre de la carte; pour tous 1(îs autres, il conviendrait 
aussi d'efïectuer la projection sur un méridien : de cette 
manière on rejetterait les plus grandes déformations vers 
les bords de la carte, c'est-à-dire vers les régions qui sont 
occupées en grande partie par les contrées polaires ou 
par l'Océan; mais afin de les définir plus facilenuuit, 



(') Antonio-Maria Lorjjna, no à Vérone en i7^^o, inorlà Vérone en 1796. 

Tm. 



( 45^ ) 
nous supposerons d abord qu'il nes'agissc pour eux que de 
la projection équatoriale. Nous pourrons alors ajouter 
que dans les onze systèmes, à l'exception du S*', du c;*^ et 
du lo*^, les deux séries de lignes qui leprésentenl les mé- 
ridiens et les parallèles se coupent à angle droit. 

Il reste à dire quelques mots de cliaque système en 
particulier. 

1°. Le développement de JMercalor i^*'), qui conserve 
les angles et donne des lignes droites pour projections des 
loxodioinies, est destiné à la construction des cartes 
marines ou cartes réduites. L'écartement de deux méri- 
diens y est le même C{ue celui qu'on mesurerait sur le 
globe le long de Téquateur, et, quand on néglige l'apla- 
tissement, la distance d'un parallèle à l'équateur y est 
égale au logarithme népérien de la cotangente de la 
demi-distance polaire du parallèle. 

tP. La perspective centrale est prise du centre de la 
sphère, comme son nom l'indique; il est facile d'y recon- 
naître les diO'ércnts lieux qui se trouvent sur le plus 
court chemin de deux points donnés du globe, puisque 
tout grand cercle y est représenté par une ligne droite. 
En appelant 1 la distance polaire d'un parallèle et r le 
rayon du cercle qui lui sert de projection, on a 

/•:= tang. ).. 

Sur un cadran solaire, les lignes d'heures s'obtien- 
draient comme les méridiens, et les courbes de déclinai- 
son comme les parallèles de la perspective centrale • celte 
reraar([ue d'ailleurs est indépendante de la position du 
plan sur lequel on fait la perspective par rapport à la 
ligne des pôles, et de celle du mur sur lequel on tiaee le 



(") Mercalor ( Gérard ), né à Rurenionde en 1012, mort à Duisboury en 
lôg.'i ; sa première carie est de 13G9. Tm. 



{ 46o ) 

cadran par rapport au style, pourvu que les deux posi- 
tions se correspondent; de là est venu le nom de pvojec- 
lioii gnomonique. 

3°. En cliercliant la condition qui doit être rem- 
plie pour que le canevas des droites concourantes et des 
circonférences concentriques n'altère pas les angles, on 
trouve 

^ 2 

on est ainsi conduit à une perspective de l'hémisphère 
prise du pôle opposé, c'est-à-dire à la projection stérèo- 
gra])hique. 

4°. La H ire (*) a proposé de mettre le point de vue en 
dehors de la sphère, à une distance de sa surf;ice égale 
au sinus de 45", ce qui donne 

[i\i 4- i)sin)> 
\/2 H- I -t- v'acosÀ 

5°. En l'éloignant jusqu'à l'infini, on obtient la pro- 
jection ortliographique, et le rayon du parallèle devient 



6°. Parmi les modes de j)rojcction que comprend ce 
même canevas à droites concourantes et à circonférences 
concentriques, il en est aussi un qui conserve les sur- 
faces: c'est celui de Lorgna; la condition indiquée con- 
duit à prendre 

r= 2sin ->.; 

cette longueur est celle de la corde de méridien comprise 
entre le parallèle et le pôle. 

(*) Philippe de la Hire, ne à l'aris cii iG'|0, mort ii Paris en 1718; 
pciiitri' aicliilfrlo, Ircicm- royal, nteinbrc ilo l' Aradcniic (losSrionces. Tu. 



( 46i ) 
7". Le 1' et le 3*" svslème augmentent les cllstances le 
long des méridiens, tandis que le 5*^ et le 6'' les dimi- 
nuent; elles ne seront pas modifiées si on fait 



Supposons maintenant que dans l'une des six projec- 
tions précédentes on veuille placer un lieu de 1 équateur 
au centre de la carte ; alors ce qui a été dit des méridiens 
s'appliquera aux grands cercles passant par ce lieu, et ce 
qui a été dit des parallèles aux petits cercles paiallèles à 
sonliorizon. Le canevas géographique ne sera plus aussi 
simple; au lieu des droites et des circonférences qui re- 
présentaient respectivement les méridiens et les paral- 
lèles, on aura les lignes indiquées dans le tableau sui- 
vant : 

Système n°2. Droites parallèles Hyperboles. 

« 3. Circonférences Circonférences. 

« 4. Ellipses Kllijiscs. 

" 5. Ellipses Droites parallèles. 

» 6. Courbes cîii 4*^ degré. . Courbes du 4^ degré. 

» '] . Courbestranscendantes. Courbes transcendantes. 

8°. Dans le 8*^ mode de représentation, le méridien 

principal a pour ravon -■> ~ étant le rapport de la ( ircon- 

férence au diamètre, et les parallèles gardent leurs dis- 
tances mesurées le long d'un niéiidicn du globe. 

9". Le suivant conserve les sui faces; le rayon du méri- 
dien principal y est égal à y 2, et récartemenl des paral- 
lèles y est déterminé par l'équation 

"?. z -\- i>in 7. z := - s'in l , 

dans laquelle /désigne la latitude du parallèle, et sins sa 
dislance à Técpiateur sur la carte. Celle é{{uation se trouve 



( 462 ) 
réduite en tables dans la Notice qu'a publiée M. Babinet. 
io°. Supposons que l'on veuille tracer de lo en lo*' les 
méridiens et les parallèles de la projection globulaire; 

après avoir décrit un cercle avec un rayon égal à - 

pourfigurer le méridien principal, et deuxdiamètres à angle 
droit pour le méridien central et l'équateur, on divisera 
chaque quart de la circonférence et chacun des quatre 
rayons en 9 parties égales; par les pôles et les points 
de division de l'équateur, on fera passer des circonfé- 
rences, ce qui donnera les méridiens; par les points de 
division qui se coi'respondent sur le méridien principal et 
sur le méridien moyen, on fera passer d'autres circonfé- 
rences et on aura les parallèles. 

11°. Enfin le canevas du dernier système est formé par 
la réunion des méridiens de la projection globulaire avec 
les parallèles de la projection sléréographique. 

Note. Le nom de sféréograp/iic a été introduit par le 
jésuite Aguillon (François) [*). 

« Quarc lametsi stereographices nominc nusquam 
» vocatum hoc projectiouis genus reperimus ; quia tamen 
» nec alio quidem ullo solitumest appellari, placuit hoc 
» nomen usurpare, quod nobis in praesenti visum est ad 
» rem ipsam quam mayime accommodatum, » (Aglilo- 
Kii Opticonan libri sex. Parisiis, i6i3, in-f^', in Pra;- 
fatione.). ( ^o/r Chasles, Métliodes, y*. 5 16.) 

(*) Né à Bruxelles en i.îGS, mort à Anvers en 1(117. Tm. 



463 ) 



THÉORÈMES CIXÉMATIQIES SIR LES SIRFACES ET VOLIMES 
EXGE.\DRÉS PAR MOIVEMEXT^ 

Par IM. Emile BARBIER, 
Elève de l'Ecole Normale ("). 



1. Le centre de gravité G d'une surface plane S se 
meut avec une vitesse constante dans son plan, pendant 
que ce plan tourne uniformément autour d'une droite 
cju'il contient ; le volume engendré par la surface S a 
pour mesure le px^oduit de Taire S par la longueur de 
l'arc engendré par le centre de gravité de la courbe par- 
courue par le centre de gravité G. En particulier, si l'on 
suppose un cercle C tournant autour d'un point fixe I, 
en même temps que son plan tourne autour d'une droite 
qui y est contenue 5 de plus, si la rotation du plan s'a- 
chève pendant qu'un nombre entier de rotations au- 
tour du point I se sont accomplies, et si les rotations 
simultanées sont uniformes, les volumes engendrés sont 
indépendants de la distance du cercle C au point I. La 
surface engendrée est un anneau ondulé à moins que le 
centre C ne soit en L 

2. Toutes les sections droites d'un cylindre quelcon- 
que, tournant autour d'un axe situé dans le plan de l'une 
quelconque d'elles, engendrent des volumes équivalents. 

3. Le volume engendré par une surface plane quel- 
conque, tournant autour d'une droite quelconque, est 
équivalent au volume engendré par la projection de la 
surface plane sur un plan méridien passant par son 
centre de gravité. 

C) Devenu agrégé no i. Tm. 



( 464 ) 

4. Une sphère de rayon constant, dont le conlre par- 
court une hélice ordinaire, est enveloppée par une sur- 
face canal qu'on peut appeler serpentin. 

Cette dénomination étant adoptée, nous pourrons dire 
que le serpentin donne lieu à la proportion suivante : 

Sa section perpendiculaire à Taxe du cylindre est au 
grand cercle de la sphère génératrice, comme la longueur 
dune spire d'hélice est à son pas. 



QIESTIOXS. 

Soi. On a fait arriver dans un poids d'eau x un poids 
p de vapeur d'eau à d degrés sous la pression de c centi- 
mètres; on a aussi porté la températuie t de celle eau à 
la températuie i' \ l'eau est renfermée dans un vase nu'— 
tallique pesant A kilogrammes et dont la chaleur spéci- 
fique est m : on dcmaïuU" la valeur de x. 

ooo. Dans un triangle isocèle donné, inscrire une pa- 
rabole (jui touche les deux côtés égaux, soit bornée par 
la base et dont Taire soit un maximum. 

(Kamchlkdra, professeur indien à Calcutta). 

5o6. Cl, Cî, C3 sont trois cônes de même degré ayant 
leurs trois sommets sur la même droite; C, coupe C3 sui- 
vant une courbe pii/ie., C2 coupe C3 suivant une courbe 
plane, Ci et Cj se couperont aussi suivant une courbe 
plane, et les trois plans passent p.ir la même ilroile. 

(STri.NEU.) 



5o7. 



X X I ,. 

_L -I f- ■ . = - r poiM' iiin '■ — o. 



^ï 4- , ' .r' -h 2' X- -\- 3' 



{ 4^)5 



TABLE DES M\TIEBES PAR ORDKE MÉTHODIQIE. 

(TOME XIX.) 



Analyse algébriqae. 

Pages, 
Sur les fonctions symétriques des racines communes à deux 

équations; par M. E. Dewulf 1 8 

Soit (fl', b, r, r/, e,/. . .)(^, i)" = o; calcul de la fonction sy- 
métrique \](-î^, — ^i)'^ {invariant cubique); par M. Mi- 

chael Roherts a3 

Théorème sur le binôme de Newton; exposant entier, positif; 

par M. Garcet Sa 

Nombre de racines réelles de l'équation x — Asin^r-f B; par 

M. Ch. Bourgeois 1 3o 

flx* 4- f^bx^ + 6 cx^ -\- ^clx -\- e ^ o, 
e 

ae"^— 4W+ 3c- = o; alors ^ - — î— — = o (M. Strebor); 

MM. Demilf et MartelU igS 

Relations entre les fonctions de Sturm (Caylev) ; par M. de 

Zeipel 220 

Condition de l'égalité de deux racines dans l'équation 



■^('-^) 



tan^'^.-cos/- 



xe 

( PuiSEUX ) ; par M. Gressier 23o 

Sur les formules d'interpolation de Lagrange et de Newton ; 

par M. A. Transnn 248 

Intérêts et annuités (question 523) ; par M. Cuenoml, Nadal 

et Vnnnière 336 

Ann. de Malhrm.. t. XTX. (Dor^nmliro i SC>o ^ 3o 



(466 ) 

Pages. 

Exercices sur les équations numériques; d'après M. Bella- 
vitis 343 

Questions de YJlgèbi-e Bertrand résolues par M. Mathieu 3; 1 

Résolutions d'une certaine équation du cinquième degré et 
d'une équation du sixième degré ; par M. de J'irieii SgS 

Résolution numérique de deux équations du second degré; 
par M, Abel Transon 44i 

Produit de deux polynômes déduits l'un de l'autre par chan- 
gement de signes; par M. C. Kessler 437 

Analyse iodéterminée ; Arithmologie ^ Arilhmétiqae. 

Le produit de cinq ou de six nombres consécutifs ne peut être 

un carré ; par M. Gcrono 38 

Le produit de cinq ou de six nombres consécutifs ne peut 

être un carré ; par M. Le Besgiie 1 12 et i35 

Théorèmes de M. CEttinger sur un maximum arithmologique, 

démontrés par M. Derbes 117 

Sur quelques produits dont les facteurs sont en progression 
arithmétique : 1° le produit de trois nombres entiers n'est 
jamais une puissance exacte ; 2° le produit de six, de neuf 
nombres entiers consécutifs n'est point un cube; parM.P.--:/. 

Guibeit 2 ' 3 

I' . 2^ 3' «'>«"; d'après M. Schhmilch 280 

Note sur l'article précédent; par M. Pronhet 281 

Note sur la différence de deux puissances consécutives; par 

M. Tronsens 3 1 1 

Sur une décomposition de carrés ; par M. SoiiilUut 32o 

Décomposition d'un carré en facteurs inégaux; par M. C. 
Kessler 435 

Analyse algorithmique 5 Déterminants. 

Théorème sur un certain déterminant de M. Roberts; démon- 
tré par M. Cremona ' 5 1 

Théorème sur un certain déterminant de M. Painvin ; par 

M. Baehr »7«' 

Théorème sur le produit de déterminants; par M. Souillait. . 32o 

Contacts des cercles et des sphères démontrés par les déter- 
minants; par M. Baucr ii-« 



{ 46; ) 
Calcul iiiGiiitésimal-, dérivées: séries. 



Convergence de la série 



Pages. 



I I . I I .a 1.2.3 

« ! n -r- \\ « + 2 ! « + 31 

par MM. Kessler et Lemoine 34 

Construction géométrique d'une fonction elliptique; par 

M. Ch. Kessler 1 62 

Sur les fonctions elliptiques ; par M. Strcbor i85 

Identité de deux expressions du reste de la série de Taylor ; 

d'après M. Jurgensen 3o8 

Nouvelle somme du reste de la série de Taylor ; d'après M. E. 

Roche 3 1 1 

Géométrie élémentaire. 

Rapport du vide au plein dans une pile de boulets ; par 
M. Fleiuj 9 

Volume engendré par un triangle mixtiligne. 11, 1 3, 1 58 et 160 

Volume compris entre un cône et deux sphères inscrites; par 
MM. Emile Françoise, de la Brière , de Charodon et 
Drouard 1 3, 52 et 188 

Le triangle a un sommet fixe A, un angle constant à ce som- 
met; les deux autres sommets sont sur une droite fixe; 
l'enveloppe du cercle circonscrit est un cercle ; par 
MM. BclUn'itis, Mannheiin, Genocchi 1 1 5 

L'enveloppe d'une droite dont la somme des carrés des dis- 
tances à deux points fixes est constante, est une conique ; 
par MM. Brault, Lacjuière, Ragnnneau, Manjuct, Dalican. i4i 

Equation d'une sphère circonscrite à un tétraèdre; par 
M. Crcmona 1 49 

La podaire du centre d'une circonférence sur les tangentes à 
sa développante est une spirale d'Archimède (Mannheim); 
par M. Marins Laqidèrc 1 8G 

Théorèmes sur le tétraèdre ( Staudt) ; par M. Gentil 218 

Fielation entre les trois côtés d'un triangle et les distances de 
ses trois sommets à une droite située dans son plan (Salmon); 
par M. JFinrt 283 

Théorème sur les cercles qui touchent les côtés d'un triangle ; 

3o. 



( 46-8 ) 

Pages. 

par M. Nngcl 355 

Analyse géométrique, Méthode Grasmann ; par M. Cremona.. 356 
Propriété d'un triangle circonscrit à un cercle; par M. Joseph 

Harcourt 4^9 

Théorème de M. Nagel sur les cercles inscrits dans un trila- 

tère ; par M. Housel 44o 

Cercle tangent à trois autres, sphère tangente à quatre autres ; 

par M. Bauer 442 

Géométrie segnienlaire. 

Tétraèdre coupé par un plan ; par M. O. Hermès a6 

Triangle inscrit dans un triangle ; faisceau de trois droites 
partant d'un point fixe et par trois sommets d'un triangle, 
et formant des segments sur les côtés du second triangle ; 
propriété segmentaire; par M^I. Kessler et Le moi ne , 
Martin et Joseph Derhes 91 

Étant donnés cinq points d'une figure dans l'espace et cinq 
points homographifjiœs d'une seconde figure, construire cette 
seconde figure par un moyen perspectif; par M. Poudra. . 108 

Propriété segmentaire des coniques i54 

Transformation des propriétés métriques des figures : 1° points 
situés sur une même droite; 2° segments situés sur des 
droites parallèles ; 3° points situés sur une conique ; par 
l\[. Faure 189 

La perpendiculaire abaissée du sommet d'une parabole sur 
une tangente, et prolongée jusqu'à la courbe, est divisée 
par le sommet en deux segments, dont le produit est con- 
stant; de même pour l'hyperbole équilatère; par M, A. 
Lescazc 225 

Équations du quatrième degré, rapports anharmoniqucs ; par 
IM. Painvin 4*^7 

Trigononiélric plane el spliériquc. 

Exercices 20 

Formules de Bretschneider 22 

Équation d'une sphère circonscrite à un tétraèdre ; par M. Cre- 
mona 149 

llecueil de formules 401 



( 469 ) 
Coniqaes plaDes el sphériqnes. 

Pages. 

Rayon de courbure d'une courbe et celui de la développée ; 
par IVIM. Jolivctte, Siochi et Kessler ^ 83 et aiG 

Une conique C et une courbe plane A quelconque ; de tous 
les points de A on mène deux tangentes à C; par les points 
de contact, on mène des normales à C ; lieu de Tmlersec- 
tion des normales ; par M. Desboves 47 

Conique; T, et T^ deux tangentes fixes; A, B deux points 
fixes; S tangente mobile rencontrant T, et T^ en D et E; 
les diagonales du quadrilatère ABDE se coupent suivant 
une conique ; par M, Ch. Kessler 8o 

Propriété d'une corde passant par un foyer ; par MM, Moillot 
et Voilant 85, 88 et gS 

Nouvelle construction des axes d'une ellipse au moyen des 
diamètres conjugués ; par M. Somoff 122 

Lieu géométrique de deux droites passant, l'une par le foyer 
et l'autre par le sommet le plus éloigné de ce foyer; droites 
assujetties à certaine loi ; par M. Lcnglicr laS 

Étant donné un point fixe A et un point fixe B sur une droite, 
menant une tangente à une courbe rencontrant la droite en 
C, et par A une parallèle à cette tangente rencontrant la 
droite en D; si BC"^-4-BD~* est constant, la courbe est une 
conique ; par MM. Léon Rabcau et €Jt. Kessler i54 

Propriétés d-es coniques sphériqueshomofocales; par M. Fann- 
son ^ 197 

Parabole et hyperbole équilatère (voir Géométrie segnien- 
taire). Si de la directrice d'une ellipse on mène deux tan- 
gentes prolongées jusqu'au cercle principal , la droite qui 
joint les points de rencontre est parallèle à la corde de 
contact ; par ]\I. A. Lcscazc 229 

Quatre propriétés d'une normale à l'ellipse ; par MM. Honoré 
Prat, Marc, Grcssier, Jules Faurc, Saphore 235 

Lieu des pôles des cordes qui, dans les courbes du second 
degré joignent les pieds des normales menées d'un point 
de la dévelopi)ée ; par M. Desboves 253 

Démonstration de quatre théorèmes de M. Chasles sur les co- 
niques homofocales ; par M. Crenuma 2G0 

Sur le théorème Faure et courbes parallèles ; par le révérend 
G. Salnion, 345 



( 470 ) 
Surfaces du second ordre. 

Pages. 

Cercles osculaleurs et surfaces osculatrices dans les lignes et 
surfaces du deuxième ordre ; par M. Ducoroy. 1 18 

Application algorithmique. Centre, plans conjugués, polaires 
réciproques, génératrices rectilignos ; par M. Paiiwin i44 

Ellipsoïde et surface des ondes i84 

Propriétés des tétraèdres conjugués dans les surfaces du se- 
cond degré ; par M. Painvin 290 

Lieu des sommets d'un angle trièdre dont les faces sont tan- 
gentes à un ellipsoïde A et parallèles à trois plans diamé- 
traux conjugués de l'ellipsoïde B ( question du grand Con- 
cours) ; par M. Lemnine 449 

Intersection d'un cône de révolution par des normales à ce 
cône ; par M. C. Kessler 438 

Courbes plants en général. 

Courbe logocyclique ( Booth ) 28 et 79 

Théorème sur les courbes parallèles; par M. Strcbor 33 

Rayons de courbure des épicycloïdes ; par M. Dieu laS 

Sur les polaires inclinées; par M. Dcwulf. 175 

Courbes à plusieurs points d'arrêt; par M. Hcrmann Laurent. . i la 

Rayons de courbure vus sous un angle donné; par M. Lcanq. 2S5 

Courbes parallèles ; par le révérend Salinon 348 

Propriété des tangentes; par M. Kessler 4^4 

Géométrie de l'espace ; Lignes et Surfaces. 

1" L = o; M = o; N = o; P = o; quatre surfaces de degrés 
/, in, n,p\ le lieu du point dont les plans harmoniques se 
coupent suivant un même point est de degré /-h'//-|-//+/^— 4. 
2" Lieu du point dont les plans harmoniques par rapport à 
trois surfaces se coupent suivant une droite. 3° La surface 
enveloppe de toutes les surfaces de degré /, dont les coeffi- 
cients sont des fonctions de degré m, trois paramètres liés 
par une relation de degré «, est en général d'un degré 

/// [( 1)1 -\- n — 2 )- + 2 ( /;/ — I )■] ; 

par M. Moutiird .')8 

Kiudcs géométriques sur la cyclidc : r transformation de 
tr()is S[>iièros en trois autres dont lis centres sont en Ugne 



( 47- ) 

Pages 

droite; i" transformation d'une cyclide en tore; 3° les lignes 
de courbure de la cyclide sont des circonférences dont les 
plans coupent la cyclide sous un angle constant; et autres 
propriétés de celte surface ; par M. Mannheim G7 

Courbes isopérimètrps tracées par une surface et renfermant 
une aire maximum sur cette surface ; et de la ligne géodé- 
sique, équation différentielle des courbes planes qui, enrou- 
lées sur un cylindre droit à l'axe circulaire, donnent des 
courbes dont le rayon de première courbure est constant ; 
par M. Jelt loo 

Sur les courbures des lignes; théorèmes sur la ligne géodé- 
sique, sur l'ellipsoïde et sur les lignes de courbure ; par 
M. Bôklen * i3G 

Analogie entre la surface des ondes et l'ellipsoïde; par 
ai. StreboT- 1 H4 

Coniques sphériques homofocales ; par M. FanrLson 197 

Des coordonnées paraboliques et de leur application à la géo- 
métrie des paraboloïdes ; par M. C.-AIph. Valson 299 

Cubique gauche ; par M. Cremonn 356 

Théorie générale des systèmes de rayons rectilignes; par 
M. E.-E. Knmmcr ( traduit par M. Deividf) 36^ 

Génération de surfaces et de volumes par mouvement; par 
M. Emile Barbier 463 

Géométrie descriptive et Perspective. 

Intersection de deux surfaces de révolution du second degré; 

par M. Gros 29 

Deux figures en perspective dont les plans tournent autour de 

leur commune intersection; par WA. Carénou QiLaquière. 97 
Cartes géographiques ; par M. Tissot 4^7 

Géométrie du compas. 

1° Trouver le centre d'une circonférence ; 1° construire le côté 
du décagone ; par M. Georges Delisle 35 

Mécaniqne. 

Sur la loi des petites oscillations du pendule simple dans un 

milieu résistant ; par M. H. Rcsal i(i5 

Chute des graves et pendule; par M. Fink 44o 



( 47-^ ) 
Physique mâtkéniatique. 

Pages, 
Note sur les ondes 353 

iMélangcs. 

Trigonométrie de M. Clunn'cnct a « 

Biographie de M. George Delisle ; par M. Diguet Sy 

Qttestions résolues. 

Question 190 ; par M. Dupain 3 1 5 

Question 273; par MM. Bdim'itis, Mannheun^ Genocchi ... ii5 

Question 4o5 ; par M. Souillart 32o 

Question 407 ; par M. de Jonqaières 3 16 

Question 4i6 ; par M. Geronn 38 

Question 418; par ilM. Carénou, Luquière 97 

Question 432; par M. Bnchr 170 

Question 436; par MM. Brault, Laqiiière, Ragonncaii, Mar- 
queta Daliran 1 4 1 et 1 70 

Question 438 ; par M. Marins Luquière 186 

Question 461 ; par MM. Ch, Kesslcr, Lemnine 34 

Question 464 ; par M. Cremona 1 49 

Question 465 ; par M. Cremona 1 5 1 

Question 478 ; par M. JFiart 283 

Question 483 ; par MM. Emile Frafiçoise, de la Brière, de 

Charodon, Drouard, Théojik Hazan^ Jules Puech 

1 1; 52, 54, i58 et 160 
Question 484 ; par MM. Emile Françoise, delà Brière, de Cha- 
rodon, Tliéofik Hazan, Jules Puech .... i3, 52, 54, i58 et 160 
Question 485 
Question 488 
Question 492 
Question 493 
Question 498 
Question 5oo 
Question 5o2 
Question 5o4 
Question 5i4 
Question 517 
Uueslion 5i8 



par M. Emile Françoise 1 3 

par M. Ch. Kessler 80 

par M. Ch. Kessler, Le moi ne 91 

par M. de Jolivette i 

par MM. Ch. Kessler, Cremona i54 et 269 

par M. de f iricu 393 

par MM. Larrose, Maillot, Voilant 85, 88 et 98 

par M. Charles Kessler 162 

par M. Gressier 23o 

par M . Honoré Prat 235 

par M. Honore Pral 2^7 



(473 ) 

Paijes. 

Question Sig; pur M. Honoré Prat. ... v.38 

Question Sac; par M. Honoré Prat uSç) 

Question 524 ; par M. Painvin 290 

Question du grand Concours de 1860; par M. Lemoine 349 

Questions de \ Algèbre Bertrand ; par M. Malhicu 370 

Question 542 ; par M. C. Kessler 43.5 

Question 544 ; par M. C. Kessler 437 

Question 554 ; par M. C. Kessler 434 

Question d'admission à l'École Normale; par M. C. Kessler.. 439 

Questions proposées. 

Questions 498 à 5 1 3 46 

Question 5o3. — Correction 5i 

Questions 5 1 4 à 02 1 94 

Question 522 195 

Questions 523 à 527 233 

Questions 528 à 534 ^47 

Questions 535 à 539 3o6 

Grand Concours de 1860 : 

Mathématiques spéciales 323 

Logique. — Sciences 324 

Logique. — Lettres 326 

Réthorique. — Sciences 327 

Concours d'admission pour lÉcole Normale en 1860 328 

Concours d'admission pour lÉcole Polytechnique en 18G0. . . 33o 

Concours d'admission à l'École de Saint-Cyr en 18G0 333 

Questions 540 à 544 36 1 

Questions 545 à 553 404 

Questions 554 à 557 4G4 



'4 7'J 



TABLE DES NOMS PAR ORDRE ALPHABÉTIQIE. 



[ Les noms des Collaborateurs sont précédés d'un astérisque. ] 



Pages. 

ABEL 18 et 44 

AGUIUOX 462 

A^IPÈRE 3io 

*BAEHR, professeur à Groningae 170 

BARBIER (Emile) , élève de l'École Normale 463 

BAUER 44a 

*BELLAVITIS, professeur à Padoue 1 15 et 343 

BERGERY, professeur 122 

BERTRAND, Membre de l'Institut 278 et 279 

BEZOUT 58 

*BL.VNCI1É-ARNAULT, élève au lycée Louis-le-Grand 237 

BOBILLIER '. 176 

BOKLEN , . i3G 

*BONNET (J.) 87 

BONNET (0 .) , professeur 281 et 298 

BOOTH , professeur 28 

BORDONI 3o6 et 307 

BOUDSOT 342 

^BOURGEOIS (Cn.) i3o 

*BR,\ULT 141 

BRETSCHXEIDER (A.) 22 

*BRIÈRE (de la), élève (admis à l'École Polytechnique le 

137'' sur 145) 52 et 161 

BR()( .H 1 22 

'BRUIKRE (Fram. delà), élève de l'École de Sainte-Gene- 
viève 87 

BUDAN 344 

' CARENOU , élève du lycée Saint-Louis 97 

CATALAN, professeur io3 

CAUCllY 1 7" et 3o9 

CAYLEY. avocat 220 cl 224 



( 475 ) 

Pages. 

CllARLEMAGNE 334 

* CH A RODON (de), élève de l'école des Carmes. 5'^, i6i et i88 

*CHASLES, Membre de l'Institut 122 et -265 

CHAUVENET (William) 21 

CREMONA, professeur à Milan. . . 149, i5i, 265, 279 et 350 

*CUENOUD, de Lausanne 87 et 336 

*DALICAN 141 

DANDELIN 117 

DAVID, professeur 407 

DEGRANGES 87 

DELLAC, professeur 4^9 

DELAUNAY, Membre de l'Institut io3 et 449 

*DELISLE, avocat 35 

* DELORME, élève du lycée Louis-le-Grand 58 et 87 

*DERBES, élève de l'institution Barbet g3 et 117 

*DESBOVES, professeur 47, 253 et 4f'4 

*DEWULF, capitaine du génie 18, 175, 195, 362 et 43^ 

DIENGER, professeur 22 

*DIEU, professeur à Lyon 104 et i25 

DIGUET, professeur à Caen 38 

*DROUARD, élève du lycée Napoléon 54 

*DUCOROY, officier du génie ;.... 118 

DUHAMEL, Membre de l'Institut 248 

DUPIN, Membre de l'Institut 67, 72 et 363 

*DUPAIN, professeur 187, 3i5 et 420 

'DUPONT, élève du lycée Louis-le-Grand 87 

DUPUIS 71 

*DURÈGE ( DE Zurich ) 45 

EULER 43 et 362 

*FAURE, capitaine d'artillerie 189, 234, 290, 345 

347, 421 et 404 

*FAURE (Jules), élève de l'institution Mayer 241 

*FINK, professeur au lycée de Strasbourg 449 

*FLEURy, chef d'institution 9 

FORESTIER (Eugène), élève 4i8 

*FRANÇOISE ( EMILE ) , élève n 

*GARCET, capitaine du génie 32 

GAUSS 46 

*GENOCCHI ( Angelo), professeur à l'université de Turin. . . ii5 

* GENTIL, chef d'institution 21a 



( 4-6 ) 

Pages. 

*GERONO, rédacteur 42 

GIRARD (Albert) 16 

GRASMANN , professeur 356 

*GRESSIER, élève au collège Stanislas 280 

* GROS , professeur 29 

*GUIBERT, examinateur d'admission de la Marine 21 3 

HAMILTON ( sir) , professeur à Dublin 363 

HARCOURT, professeur 439 

*HAZAN (Theofik), lieutenant à Constantinople i58 

HEARNE 446 

HEILERMANN, professeur 96 

HERMES (0.)- professeur 26 

HORNER 344 

HOUEL, professeur à la Faculté de Bordeaux 3i5 

HOUSEL , professeur 440 

HUt GHENS 247 et 248 

.JACOBI , 44, 162 et i85 

JOACHLMSTH.\L, professeur 70, 1 39, 264 et 265 

* JOLI VETTE (de), élève ". . . i et 86 

JOUBERT S. J. (l'abbé) 406 

*JOURXEAUX (de Liège) , 87 

JURGEXSEN, professeur 3o8 

*KESSLER (Ch.), élève de la Flèche... 34, 58, 80, 83, 

91, i54, 162, 434, 435, 437 et 438 

KUMMER , professeur 362 

LAFFITTE 97 

LAGRAXGE 170, 248 et 362 

LAGUERRE-VERLY, capitaine d'artillerie 4o4 et 4o5 

LA IllRE 460 

LAMÉ, ^Membre de l'Institut 298 

LAPLACE 170 et 3o8 

*LAQUIÈRE (Marius), élève du lycée Saint-Louis. ... 97, 

i4i et i85 

* LARROSE ( J . ) , élève du lycée Saint- Louis 85 

* LAURENT (Hermann), élève (admis à l'École Polylecli- 

ni(iue) 210 

* LE BESG UE , professeur-doyen 1 1 2 et 1 35 

*LECOC0, miiilre répétiteur au lycée Louis-le-Giand 28J 

LEGENDRE 1 35 

LEIBNIZ 357 



(477) 

Pages. 
*LEMOINE, élève de la Flèche (admis à l'École Polytecliniquo 

le 93^ sur 145) 34; 91 et 349 

*LENGLIER . professeur au lycée de Versailles 123 

* LE ROYER , professeur 5 1 

*LESCAZE, élève à Sainte-Barbe 225 et 227 

LIOUVILLE, Membre de l'Institut G9, i3i, 283 et 298 

LORGNA ." 458 

*MACARIO, élève des Ponts et Chaussées (Naples) 17 

MACLAURIN 3i5 

* MAILLOT, élève du collège Stanislas 88 

MALUS 363 

*MANNI1EIM, capitaine d'artillerie 67, 1 15 et 407 

* MATHIEU, professeur 372 

*MAROUET 14 r 

*MARTELLI (de Milan) 19,5 

* MARTIN, élève du lycée Louis-le-Grand g3 

mercator 457 

meusnier 433 

MOBIUS 46 

MONGE 362 

*MOUTARD, professeur 58 et 195 

*NADAL, professeur à l'école de Sorrèze 338 

NAGEL, recteur de l'école industrielle d'Ulm. .. . 355 et 440 

NAPOLÉON I" 334 

NAPOLÉON III 334 

NEWTON 248 

*PAINVIN, professeur i44, 290 et 407 

POISSON i65 

POITRASSON ( l'abbé) 420 

PONCELET, Membre de l'Institut 178 

* POUDRA, chef d'escadron d'état-major en retraite 108 

*PRAT ( Honoré ), élève à l'institution Royer-Micé, à Bor- 
deaux 235 

*PROUHET, professeur 281 

*PUECH , élève du lycée de Castres 58 et i5o 

PUISEUX, professeur 95 

QUETELET, professeur à Bruxelles 117 

*RABEAU, élève du lycée de Poitiers 86 et i54 

*RAGONNEAU (E ) i4i 

RAMCHUNDRA, professeur à Calcuta 464 



, { 478 ) 

Pages. 

* RES-Mi, professeur à Besançon i65 

*ROBERTS .* i85, 195, 3i6 et 421 

*ROBERTS (Michael) 23, i52, 284 et 235 

ROCHE (Edouard), professeur à Montpellier 3o8 et 3ii 

ROUCHÉ, professeur 321 

ROUGET, professeur 247 et 407 

*SALMON (le Rév.) i5o, 283 et 345 

*SÂPHORE, élève du lycée de Douai (admis à lÉcole Poly- 
technique le 1 45") 247 

SCHLOMILCH, professeur 280 et 281 

SERRET (A.) 281 

SERRET, Membre de l'Institut 70 

*SIACCI ( DE Rome) 216 

*SOMOFF, professeur à l'université de Saint-Pétersbourg. .. 

122 et 170 

*SOUILLART, professeur 320 

SPOTISWOODE i52 

STAUDT 218 et 219 

STEINER 66 et 464 

STIRLING 281 et 3i5 

STURM 117 et 3i4 

*T (J.), abonné 206 

TCHEBICHEF, professeur 95 

*TISSOT ( A. ) , professeur au lycée Saint-Louis 457 

TERQUE^I (Alfred) , élève à l'École Polytechnique 264 

TERQUEM, rédacteur .' 61 et 353 

TRANSON (A.), examinateur d'admission à lÉcole Polytech- 
nique I. 83, 100, 182, 216, 248 et 4 '4 

*TRONSENS, élève du lycée de Douai 3io 

* VALSON, professeur à la faculté de Montpellier 296 

VANDERMONDE 181 

* VANNIER (Tii . ) , de Bourg-la-Rcine 338 

*VANNSON, professeur à Versailles 197 

* VIGNE (.Iosepii ) 227 

* VIRIEU ( de) , professeur à L\ on 393 

VOLLANT (L.), élève du lycée Louis-le-Grand 93 

nVIART (G.), élève du lycée de Douai 283 

ZEIPEL (de), (UrsAL) 22.. 



'4 79 



ERRJTÀ. 



TOME XIX. 

Page i8, dernière ligne, au lieu de K, lisez /,. 

19, lignes 6 et 7, remplacez les -+■ par des X. 

19, dernière ligne, remplacez les , par des X. 

20, ligne 6 , au lieu de ( — i) , lisez ( — i]'. 

45, ligne 12 , au lieu de {n — Op_i ; l'^^z (p — '\_t- 
§5, ligne 5 en remontant, au lieu de Sa, lisez la. 
(,6, ligne 10, au lieu de normales, lisez droites. 

-4?) lignes 1 1 et 17, au lieu de Rouchc, lisez Rouget. 

267, lignes 4 et 3, au lieu de normale, lisez tangente. 

33G, ligne 7 en remontant, au lieu de 333, lisez 523. 

354, ligne 12 en remontant, au lieu de intérieurs, lisi-z extérieurs. 

36i , ligne 7 en remontant, au lieu de n , lisez m. 

30: , ligne 10 en remontant , r.u lieu de d', Us<z rf". 



48o 



QUESTIONS NON RÉSOLUES 
Dans les dix-neuf premiers volumes. 





TOME II. 






TOME 


XVI. 




NOS. 




Pages. 


NOS. 






Pages. 


6i 


TOME IV. 


48 


356 
357 






57 
57 


93 


TOME V. 


259 


37. 
375 






127 
179 


130 


TOME VU. 


203 


3/9 
383 






180 
182 


192 




368 


385 






i83 


,93 


TOME VIII. 


368 


398 
399 






390 
391 


•99 


TOME X. 


44 


4 00 

4o3 






391 
40. 


240 




357 


404 






401 


245 


TOME XI. 


358 


410 

4.. 


TOME 


XVIII. 


4o3 

404 


a5i ( 


échecs ) ( Faire. ] 


ii5 


473 

474 






172 


252 ( 


domino) (Rédact 


.) ii5 






172 


■j66 


TOME XII. 


4oi 


475 

479 






172 
172 


270 




90 


480 






172 


280 




327 




TOME XIX. 






TOME XIV. 




499 






46 


30- 




262 


5i5 






94 


3i3 


TOME XV. 


3o5 


5i6 

521 






94 
94 


3i6 




52 


522 






195 


317 




52 


523 






233 


324 




229 


526 






233 


3a5 




229 


527 






•233 


33 1 




243 


52S à 534 






247 


333 




243 


535 à 53q 






3ofi 


342 




353 


540 à 541 






36. 


343 




353 


543 






36 1 


347 




38- 


545 à 553 






40', 


349 




407 


555 à 557 






464 


Ohseivation. Sur 557 q 


uestions, i 


en reste 7 


9 à rosoudre. 





PARIS. — IMPRIMERIE DE M ALI.ET-R.XCUELIER, 

nie de Seine-Saiiit-(icrniain, 10, pi'i's l'Institut. 



BULLETIN 



BIBLIOGRAPHIE, D'HISTOIKE 



BIOGRAPHIE MATHÉMATIQUES. 



LA STÉRÉOTOMIE DES ABEILLES. 



Maxinuis in miiiimis certc Deiis cl milii major 
yu!)in vaslo cœli in templo astrorumqiie calcrva. 
V l'oLicxAc, Anii-Lucret, lib. VII, v. JSS3-13ôt; 



Si l'on veut classer les animaux d'après leuis aptitudes 
industrielles, on devra les ranger dans cet ordre : 

i". Insectes-, 

2°. Oiseaux 5 

3**. Quadrupèdes, parmi lesquels on ne peut guère 
citer que les castors, de la famille des Rongeurs. 

Les deux premières classes construisent des demeures 
et des magasins d'approvisionnement pour leurs progé- 
nitures : ce qui exige des connaissances géométriques et 
mécaniques dont le fabricaleur des mondes a doué ces 
êtres, qui paraissent toutefois privés à' intelligence et de 
conscience morale {*); car leurs qualités en tout genre 



C) C'est celle privation qui a porté Descarlcs à assimiler les animaux à 
des machines, mais il ne leur a jamais refusé le sentiment et la volonté 
qui constituent la vie animale. Môme chez l'homme, les idées intu-es vieii- 

liuUelin mathématique, t. VI. ( Janvier i86o.) I 



( ■■' ) 

sont slaiiomiaires, luillemént fonctions du temps, li- 
milécs, et sans ces progrès qui oaracléiisenl l'espèce hu- 
maine, pi'ogrès qui sont les conscqucnces de la faculté 
de parler. Dans la classe des Insectes, genre Hyméno- 
ptèi^e, c'est l'espèce mellifère; et dans celle-ci la sec- 
tion des abeilles à miel, Apis mt-Uijeva^ qui a attiré de 
toute antiquité l'attention. Il est à remarquer pourtant 
que la Bible mentionne l'industrie delà fourmi [Prov. \i , 
7), et ne parle nullement de 1 industrie de l'abeille, ne 
la cite que pour figurer une poursuite acharnée {Dent, i, 
Prow cxviii), et toutefois le miel était un des trois pro- 
duits principaux, avec l'huile et le lait, de ]a terre pro- 
mise. Dans les temps modernes, l'industrie des abeilles a 
fixéaussi V alienlion des a,éomèlvcs[\ . Nom^elles Annales, 
t. XV, p. 178) , et récemment un éloquent avocat, savant 
géomètre, le célèbre lord Brougham , en a fait l'objet 
d'uU Mémoire très-instructif [Comptes rendus, t.XLVI, 
p. 1024-, i858). Un motif intéressé a fait négliger d'au- 
tres espèces qui produisent aussi du miel, mais non ali- 
nientâire, et dont le travail est cependant aussi et peut-èti'e 
encore plus admirable que celui de l'abeille domestique. 
En elfet, celle-ci trouve un local tout préparé pour la rece- 
voir, soit une ruche, soit une cavilé quelconi|ue-, elle lait 
partie d'une société aussi nombreuse qu'une ville irès- 
peuplée compte d'habitants : de là ime républiipie d'ou- 
vriers travaillant pour une présidente et pour une agré- 
gation polyandrique-, tandis que dans les autres espèces 
les ateliers ne consistent qu'en un petit nondare d'indi- 



ncnl aussi Je Difiu. C'est ce qu'a parraitcmciU exposé Cul'uerol, i>liilosoi>lie 
hollandais, complctcmcnl i^jnorc, et i|\ie je u'iiésitc pas à plaror au pre- 
micr ran[;, comme précurseur de la philosopliio riitique fondée par Kaul, 
la seule (pii fasse bien le départ de ce que l'homme peut savoir el de ce 
(ju'il est condamné à élerncUcmonl ignorer ici-i>as , la seule qui resti; sut 
la terre sans jamais pcnln' de vue h- «iel. 



( 3 ) 
vidas, au plus cent, liès-souvent moins, jus([u à un ou- 
vrier tout seul^ et là, avant tout, il faut construire un 
logenieut, nu nid pour y placer la génération à venir. 

Il est vrai que l'abeille vulgaire résout un problème 
difticile de maximis et de niinimis 5 mais les espèces soli- 
taires exécutent des opérations stéréotomiques qui exigent 
plus d'adresse, plus d'imagination, plus de raffinement 
dans le choix des matériaux , dans la précision des formes. 
Lisons ce que dit à ce sujet l'immortel Réaumur, dans la 
préface du tome VI (1742) de sa délicieuse Histoire des 
Insectes, où l'on reconnaît la main de Dieu, tandis que 
dans l'histoire de l'homme on reconnaît trop souvent la 
main du démon (*), 

« Les huit derniers Mémoires du volume précédent (\'') 
ont été employés et ont à peine suffi à raconter les mer- 
veilles que celles-ci (les mouches à miel) nous offrent, 
et à en prouver la réalité. Il semble qu'elles ont dû épui- 
ser tout ce que nous pouvions donner d'admiration à des 
mouches. î en a-t-il de dignes de leur être comparées? 
Le nombre des abeilles d'une ruche bien peuplée égale 
celui des habitants d'une grande ville 5 toutes y travail- 
lent de concert au bien de leur société 5 leurs gâteaux 
sont des ouvrages inimitables à l'œil des hommes qui 
ignorent jusqu'aux secrets de ramasser et de préparer la 
matière dont ils sont faits. La plus sublime géométrie 
n'eût pu déterminer une figure plus avantageuse à tous 
égards pour les cellules dont elles composent leurs gâ- 
teaux , que celles dont elles ont fait choix. 

» L'air de grandeur qu'ont pour ainsi dire les établis- 



(") Pourquoi la Uoclielle, à l'instar d'autres villes, n'ëlève-t-elle pas 
UHC statue au gvançl homme (|ui l'a illuslrëe? Quelle Sociélo, consacrée à 
l'étude de la nature, ne souscrirait pas ii un tel monumenli' Lisez le ju- 
Heincnl que porte Cuvier sur Kéauniur ( Biogiaf)hic Michaud ), 



(4) 

semenls des mouches à miel, l'ordre qui y l'ègne, les 
ouvrages qui s'y exécutent , et l'utilité dont ils nous sont , 
ne doivent pourtant pas nous éblouir au point de nous 
ôler le désir de savoir comment se conduisent d'autres 
mouches dont les sociétés sont peu nombreuses, et ce 
que font dans le cours de leur vie d'autres mouches du 
même genre, dont le goût est de vivre solitaires. On ad- 
mire avec raison ces grandes manufactures dont les 
ateliers sont remplis d'ouvriers qui s'entr'aident, où les 
uns ne sont destinés qu'à ébaucher l'ouvrage, les autres 
l'avancent encore plus, les autres le perfectionnent, et 
les autres le finissent; on pense avec plaisir ce qu'il y a 
à gagner en faisant passer successivement la même pièce 
par différentes mains; mais quand on est au fait des dif- 
férentes pratiques de nos arts, on n'en estime pas moins 
un ouvrage pour avoir été commencé et fini dans une 
boutique obscure par un seul ouvrier, et où l'on fait plus 
de cas de celui qui seul y a mis la main. C'est ainsi que 
le vrai connaisseur des ouvrages de la nature, que le bon 
observateur saura encore admirer les abeilles solitaires 
dans leur travail , malgré le plaisir qu'il a eu cent et cent 
fois à voir tant de milliers de mouches occupées en même 
temps à différents ouvrages dans la même ruche. Enfin 
ces ruches si peuplées sont de grandes villes ; mais on peut 
être curieux de connaître les mœurs simples des villa- 
geois et même des sauvages, après avoir étudié les m(eurs 
des habitants des plus grandes villes et des plus policées. » 
Nous choisirons pour exemple le problème de stéréo- 
tomie résolu par l'abeille erripilcusc , ^Ipis centticularis 
(Réaumur, t. VI, p. 97 et suivantes) : C'est une femelle 
solitaire, fécondée, qui est obligée de construire sa de- 
meure et d'engendrer sa société. A cet effet, elle choisit 
\\\\ terrain ni irop dur ni trop friable, et y creuse un 
cylindre parfaitement calibré de l'S à \/\ millimèlres de 



diamètre, sur 26 à 27 centimètres de longueur, et le plus 
fré([ucmnient l'axe est horizontal -, elle enlève la terre par 
mottes extrêmement petites, mais avec une telle acti- 
vité, que le cylindre est terminé au bout de quelques 
heures. Le déblai est déposé près de l'entrée 5 nous ver- 
rons à quel dessein. Il s'agit maintenant de tapisserie cy- 
lindre; à cet effet, l'abeille se dirige vers un rosier, vole 
longtemps autour, et quand son choix est fixé, elle se pose 
sur le bord d'une feuille, trois jambes dessous et trois 
jambes dessus, et la tète tournée vers le pédoncule. 
Supposons qu'on ait tracé avec de la craie, sur la demi- 
feuille, une portion d'ellipse, convexe vers la nervure 
médiane 5 si avec des ciseaux on découpe la feuille en sui- 
vant cette trace, on obtient un morceau borné par l'ellipse 
découpée et par le bord dentelé de la feuille qui est aussi 
sensiblement elliptique. C'est celte opération qu'exécute 
notre ouvrière; ses dents lui servent de ciseaux, et l'image 
qu'elle doit avoir dans la tète , lui sert de trait et la di- 
rige , et tout est découpé avec plus de précision et en moins 
de temps que nous ne ferions avec nos instruments (*). 
A mesure qu'une partie est coupée, elle la plie avec les 
deux jambes du milieu de son coips; de sorte qu'elle finit 
par tenir entre ces jambes un morceau triangulaire formé 
par un quart d'ellipse découpée et par un quart d'ellipse 
dentelée du bord de la feuille, et par la droite de la pli- 
cature. Alors le morceau prend par son poids une po- 
sition verticale; elle s'envole, le porte dans le creux 
cylindrique, le déplie et l'applique contre les parois; la 
partie pointue formée par la rencontre des doux ellipses 
est pliée pour recouvrir le fond du cylindre; elle recom- 



(") Descartes construit les courbes au moyen d'un système de iî'i>U\<, 
liées d'une certaine manière. La trisection du corjis de l'inseclo [)arait 
servir au même usa{;e. 



(6) 

nienco le uiéme manège jusqu'à ce que le cylindre soil 
entièrement tapissé j mais ce n'est là qu'une besogne pré- 
paratoire. Cette enveloppe doit servir de moule à former 
les cellules, qui sont le but essentiel. 

Prenons trois trapèzes égaux et appliquons chaque 
trapèze contre la même concavité cylindrique; ces trois 
figures se changeront en trois surfaces cylindriques, ter- 
minées chacune par deux droites et par deux arcs de 
cercles inégaux*, réunissons ces trois surfaces, de telle 
sorte que le bord recliligne de la première passe sous la 
seconde surface, le bord de la seconde sous la troisième, 
et le bord de la troisième sous la première*, nous ob- 
tiendrons ainsi une sorte de cône tronqué ouvert par les 
tleux bouts, et si l'on plie le petit bout en forme de 
voûte, on aura une espèce de dé à coudre. Telle est la 
forme d'une cellule. L'abeille découpe successivement 
trois morceaux dans des feuilles de rosier, comme elle 
a fait pour Y enveloppe, mais les ellipses sont de moindre 
dimension ; le grand axe a 4 m.illimètres et le petit 2 milli- 
mètres environ; les trois morceaux sont égaux*, mais elle 
ne les déplie plus, et leur laisse la forme triangulaire et 
en construit une cellule en forme de dé, comme il a été 
dit; et les trois morceaux, les trois voussoirs tiennent 
ensemble par l'élasticité et par la résistance qu'oppose 
la paroi de l'enveloppe cvlindrique , qui sert aussi à leur 
donner la forme cylindrique. La sléréotomisle taille ces 
voussoirs sans aucun gabarit, ou plutôt l'artiste suprètnc 
a mis ces gabarits dans la tète de l'insecte. Pendant ces 
(!\cnrsions de l'arbre au nid et du nid à l'arbre, il faut 
(|u'ell(î conserve dans son seusoriitni li's dimensions des 
cercles et des ellipses. Après vient l'opération chimique; 
rabcille vole de fleur en fleur pour élaborer le miel 
(ju'elh' dépose dans la cellule, ainsi (|u'un œuf, ilesllné 
à devenir successivi'menl ver, « brysalidc , mouche; le 



(7 ) 
miel servaiii de pnUirc au ver. Pour donner pins de ron- 
sislance à la cellule, l'abeille met par-dessus encore Irois 
cellules semblables, qui se recouvrent, s'empilent, de 
sorle que chaque cellule est triple et est composée de neuf 
morceaux irianijulaires. 

Le miel étant liquide, il faut l" empêcher de s'écouler: 
l'abeille découpe, toujours dans une feuille de rosier et 
toujours marchant sur la circonférence, un cercle parfai- 
tement rotid , d'un diamètre un peu moindre que celui de 
Touveiture de la cellule-, elle fait entrer de frottement ce 
cercle dans cette ouverture, et comme pour les cellules, 
elle empile deux à trois de ces cercles, et y laisse une 
certaine distance ou certain vide entre cet opercule et 
l'ouverture. Ayant construit successivement huit ou neuf 
cellules, elle fait entrer le bout fermé de la seconde cel- 
lule dans le vide laissé dans la première cellule; de même 
la troisième cellule dans la seconde, et ainsi des autres 
jusqu'à ce que tout le cvlindre soit rempli. La dernière 
cellule restant ouverte, l'abeille la ferme au moyen de 
la terre qu'elle a déblayée et qu'elle remblaye mainte- 
nant, de sorte que le nid est entièrement caché sous terre. 
En juillet lySG, un paysan des environs des Ande- 
lys, en labourant, trouva de ces cylindres 5 il crut que 
c'était un maléfice de quelque sorcier pour faire man- 
quer la récolte. Efïrayé, il apporta cette trouvaille au 
seigneur du village , auditeur de la Chambre des Comptes, 
et qui habitait Paris 5 celui-ci consulta son chirurgien, qui 
s'adressa à l'abbé Nollet ; celui-ci envoya le cylindre à Pvéau- 
mur, qui conjectura aussitôt que cela pouvait bien être le 
produit d'un travail d'Insecte, et appliquant son génie 
observateur, il découvrit toutes les opérations qu'on vient 
de lire-, quant au fait, il était déjà connu du célèbre Piay. 
Comme tout le genre, cette espèce d'abeilles renferme 
trois sortes d'individus, mâles, femelles, ouvriers , qui 



(^ ) 

n'ont ni la mémo taille, ni la nièine grosseur. Aussi les 
cellules, toutes de même diamètre , ont des longueurs ap- 
propriées aux individus qui doivent éclore. Comment la 
mère ouvrière peut-elle connaître d avance le résultat de 
la poule? Ce sont là des mystères qui n'ont pas à redouter 
les attaques des incrédules: toute négation, toute expli- 
cation est impossible. 

Voici ce qu'eu conjecture Kewton : 

Aiinon sensoriiim aninialiimi est locus cui substantia 
senlicns adest , et in quem sens/biles rcruin species per 
nervos et cerebruni deferantur, ut ubi pnesenies a prœ- 
sente sentiri possint? Alque his rite expedilis, annon ex 
phœiionienis constat esse entein l'ncorporeuin, viven- 
teni, iiiteUigentein, oiimiprœsentem , qui in s patio infi- 
nilo , lanquam scnsorio suo (*) , res ipsas intime cernât, 
peniliisquc perspiciat ^ totasquc intta se prœsens prœ- 
senles conipleclaiur ; quaruni quideni rentni id qitod in 
nobis sentit et cogitât, imagines tantumad se per oigana 
sensuum delatas, insensoriolo suo percipit et contuetur. » 
( Optices lib. m, questio XX\ UI.) 

La charmante production de M. Miclielet, V Insecte, 
devrait être donnée en prix dans toutes les Institutions j 
il y règne une morale pure, élevée, revêtue d'un style où 
brillent les mêmes qualités 5 heureuse exception au dé- 
vergondage littéraire du jour. 

Note bibliographique supplémentaire sur l' Alx^éole 
des abeilles. 

Aux renseignements que nous avons donnés (t. XV, 
p. 175), il faut ajouter : 

1°. Mémoires de V Académie des Sciences de Paris ^ 
1702-1739. On y trouve la question posée par Réaumur 
à Kœnig, et qui est le point de départ ; 

(*) Expression qui fnil i)i'ii.scr ii Spinosa. 



(9) 

2°. Mémoires de l'Acadéifiie de Berlin, ij8r. Cas- 
tillon et Lhuiller traitant la question de minimum mini- 
m.orum , trouvent un polyèdre différent de celui de l'al- 
véole, et en concluent que l'abeille n'a pas satisfait 
aux plus économiques conditions: mais lord Broughani, 
dans le Mémoire cité ci-dessus, fait voir que ces géomè- 
tres ont fait une omission qui vicie tous leurs calculs et 
annule leurs conclusions. 

Dans ce même travail, le géomètre anglais démoiitre que 
le minimum exige que la largeur du rliombe soit égale au 
côté de l'hexagone, et réciproquement, de cette égalité 
on déduit le minimum. 



BIOGRAPHIE. 



Sophie GERMAIN. 

Ualierem forlem quls invenletr 
(Prov. ch. XXI, T. 10). 

Cette fille de génie vit le jour à Paris le i" avril 1776, 
deux ans avant la mort de Voltaire, Rousseau, Lekain. 
Comme Pascal, elle montra une intelligence précoce, et, 
ce qui est bien plus rare , un jugement d'une sagesse pré- 
maturée et en donna des preuves en cette occasion. Son 
père(*) , membre de l'Assemblée constituante, réunissait 
souvent chez lui ses collègues , et l'on pense bien que l'on 
discutait avec ardeur les grandes questions de l'époque. 
La jeune personne , dévouée aux saintes idées de 89, as- 
sistait avec un vif intérêt à ces réunions, mais trouvait 
qu'on allait trop vite et trop loin, et craignait qu'en sur- 
excitant des passions populaires, on ne tombât sous la 

(*) Député de la ville de Paris, demeurant rue Saint-Denis , au Cabas 
d'or; enseigne qui a disparu il y a peu de temps. 

Bulletin mathématique, t. V'I. (Février iS^o.) 2 



(10) 

tyrannie désordonnée des masses, qui n ont pour logique 
que des passions, pour arguments des poings fermés et 
pour but des intérêts grossièrement matériels. Ces crain- 
tes ne tardèrent point à se réaliser. Profondément affli- 
gée, la jeune prophétesse cherclia à se distraire de ses 
chagrins dans le monde des abstractions. Elle parcourut 
V Histoire des Mathématiques de Montucla, étudia Be- 
zout, et, pendant les saturnales sanguinaires de 93 , elle ne 
quittait presque plus la maison 5 se séquestrant volontai- 
rement , elle s'enfonça dans les méditations sur la théorie 
des nombres et sur le calcul infinitésimal qu'elle apprit 
dans les œuvres de Legendre et de Cousin. Ses progrès 
furent si considérables, si rapides, qu'en 1801 elle entra 
en commerce épistolaire avec Gauss, sous le pseudonyme 
d'un élève de l'Ecole Polytechnique; d'abord sur les Dii- 
quisisitiones , qui venaient de paraître , et ensuite sur des 
sujets dignes d'un tel correspondant. Pendant la campagne 
de 1804, le général d'artillerie Pernetty, ami delà famille 
Germain , étant venu à Brunswick, découvrit à l'illustre 
mathématicien le vrai nom de ce prétendu élève dont il 
n'avait jamais soupçonné le sexe. Sa surprise fut exti'ême, 
et ses lettres subséquentes portent le témoignage de sa 
haute admiration pour l'esprit profond et pénétrant de la 
jeune Française : admiration d'autant plus sincère, qu'a- 
lors le professeur allemand, froissé dans ses aflections, 
dans son bien-être (*) , n'éprouvait que des sentiments de 
répulsion pour notre nation. 

Connu et apprécié de Lagrange, Laplace, Legendre, 



("') Le duc de Brunswick, mort si iiiiséraJ)lement à la suite de la ba- 
taille d'Iéna, bioiifailcur de Gauss, avait i)ourvu aux frais de ses études. 
Dans la contril)ulioii de fjuerre imposée à la ville de Gottingue, la part 
de Gauss fut assez, forte ; Laplace l'acquitta à Paris , mais Gauss ne voulut 
pas accepter cet acte de (;énérositt», et se libéra plus tard, voulant même 
payer les intérêts. 



( " ) 

Lacroix, ce talent éminent restait ignoré du public géo- 
mètre. Ce fut le travail d'un ph)sicien allemand qui 
donna de l'éclat au nom de Sophie Germain. 

En i8io, Chladni, se dirigeant vers Paris, séjourna 
quelque temps à Mayence où j'étais alors professeur-, il 
voulait bien partager quelquefois mes repas -, sa conver- 
sation était extraordinairement intéressante. Doué d'une 
mémoire surprenante, il savait par coeur des chants en- 
tiers d'Homère, de Virgile, du Tasse, de Schiller, et con- 
naissait l'hisloii^e des sciences : hommes, ouvrages, dates. 
Il portait à Paris le clavi-cylindre, piano à sons prolon- 
gés, et de plus ses célèbres figures acoustiques : il s'était 
rendu très-habile exécutant sur son instrument et comp- 
tait faire sensation plutôt comme artiste que comme sa- 
vant. L'exécution me semblait traînante, larmoyante, 
élégiaque et d'une impression monotone, fatigante. M'a- 
percevant qu'il avait une susceptibilité d'artiste , je n'osai 
lui découvrir entièrement ma façon de penser. 

Il vint à Paris 5 on s'occupa peu de son piano, mais ses 
belles expériences acoustiques attirèrent même l'attention 
de Napoléon. Il invita l'Institut à proposer pour sujet de 
prix extraordinaire le mouvement moléculaire des pla- 
ques élastiques. Lagrange considérait la question comme 
présentant des difficultés presque insurmontables : So- 
phie osa l'aborder. En 1811, elle présenta une solu- 
tion renfei'mant une équation défectueuse corrigée par 
Lagrange; en i8i3, elle obtint une mention honorable, 
et finit en 181 5 par remporter le prix. Ce succès répandit 
la réputation de notre célèbre compatriote dans le monde 
mathématique, la rangea désormais parmi ces êtres pri- 
vilégiés qui, planant dans les hautes régions, aperçoivent 
et créent même des oasis dans des saharas. Depuis, elle 
développa et perfectionna la théorie des surfaces élasti- 
([ues dans divers Mémoires insérés dans des recueils scien- 



( lO 

tifiques. En arithraologie, elle démontra des théorèmes 
nouveaux, que Legendre a admis dans son ouvrage. Une 
maladie cruelle mit fin à ses progrès, mais non à raciivité 
de son esprit. Au milieu des douleurs atroces d'un can- 
cer, elle se livrait à une composition philosophique que 
le mort vint interrompre. C'est ainsi que Coudorcet, tra- 
qué et enfin déchiré par des tigres qu'il avait aidé à dé- 
museler, rêva ses progrès de l'esprit humain, merveil- 
leux édifice auquel il manque le nom de V architecte [voir 
la Note). 

Le 17 juin i83i mit fin aux tortures et à la vie de 
l'illustre demoiselle âgée seulement de cinquante- cinq 
ans 5 c'était une perte déplorable pour la science et pour 
la société. Elle était belle-sœur du membre de l'Institut 
Dutrochet, qui a attaché son nom à Y endosmose. Son 
neveu, M. Lherbette , député de l'Aisne, qui, sous la 
Restauration, a souvent défendu la cause libérale avec 
énergie et talent , a trouvé dans les papiers de sa nièce 
l'opuscule dont nous parlerons plus loin. Nul doute 
que les lettres de Gauss ont été conservées de même que 
celles de Sophie dans les papiers de Gauss. La publi- 
cation de cette correspondance offrirait un haut intérêt 
de curiosité et d'instruction. L'opuscule publié deux an- 
nées après la mort de l'auteur n'existe plus dans le com- 
merce 5 une nouvelle édition est très-désirable. 

Note. On lit à' la fin du huitième livre de V Anti-Lu- 
crèce du cardinal de Polignac (vers 1741) ces belles pen- 
sées : 

Silicet astronomes et qui cœlestia quondam 
Lustrarunt orculis et ({iios nova piotulit aetas 
Contemplatores j œtcrnà noniine dignes 
Censuimiis, quod sint aiisi signare figuram 
Astioruni, et spalia , et uioles vaiiosqiic mcatiis, 



{ ^3 ) 

Et caiisam supremam ipsis qnaj tradidil aslris 
Materiam , formam atque situm, normamque movendi 
Légitime, ingrati , laudurn fraudamus honore! 
Est grave mentis opus charta describere cœlum 
Ac terras , duplicique globo diversa notare 
Climata, sidereumque rôtis effingere motum. 
Et potuit sine menti fabri consistere miindus! 
O pudor! miserse vecors insania gentis! 
O mirum artifîcem! Quis tam praeclara videndo 
Non stupeat genus esse hominum qui talia casu 
Facta velint, et materiœ sine more vaganti 
Accepta haec référant; cum non sine mente, sine arte 
Tôt portentorum reddi mera possit imago ! 



PROCÉDÉS DE MllLTiPLICATIOWÎ ISITÉS AD MOYEN AGE 
EK ITALIE. 



i", La figure explique suffisamment le procédé. C'est 
la multiplication de 456*7 par 326. On fait les additions 
diagoualement. Le produit écrit autour est 1488842. 



\^4 
2 ^v 


X. 
3 X^ 


X^6 

sX^ 


4X^ 


\^^8 

\. 




\^^2 

1 x^^^ 


\. 4 

1 x. 


\,^ 2 
1 \^ 


1 X^ 


X^^8 


X^^J 
2\^ 



Ce procédé se nomme per geîosia. La ligure simule les 
jalousies d'une feijêtre. 

Notre procédé actuel portail ces trois noms : 
2". Pcr scacvhero, par échiquier ; 



( M) 

Per haricocolo, espèce de petits gâteaux ronds 5 

Ver organetto , petit orgue. 

Il y avait encore les procédés : 

3°. Per colonna. On multiplie de tète tout le mul- 
tiplicateur par chaque chiffre du multiplicande et on 
n'écrit que les unités en retenant les excédants^ de sorte 
qu on obtient tout de suite le produit sans avoir recours 
aux produits partiels. 

4**. Per repiego, par composition; plutôt par décom- 
position enjacteurs. 

5°. Per crosetta, en croix. On additionne de tête 
toutes les unités, les dizaines, les centaines, etc., ce qui 
oblige de multiplier en croix, et on obtient le produit 
sur une seule ligne. Ce procédé est encore en usage dans 
la multiplication par approximation, 

6". De Fiorentini, des Florentins. On fait la multi- 
tiplication de gauche à droite. 

7**. Per spezzatamento, par morcellement. On décom- 
pose le multiplicateur par voie d'addition; ce qui rend 
l'opération moins pénible. Exemple : 

20 = 3-1-4 + 5 + 8; 

le produit par 6 se conclut de celui par 3 ; 8 de celui par 
4, et 5 n'exige qu'une dimidiation. 

(Tartaglia, General Trattato di numerif libro se- 
condo, p. 26). Cet ouvrage de i546 contient beaucoup 
de prix de denrées et de marchandises qui présentent de 
l'intérêt pour les économistes. 



EXTRAIT D'UNE LETTRE. 



l.c il" I (ie i858 du Huiicliii de la Sociclé des Sciences 



( i5 ) 
historiques du département de l'Yonne renferme diverses 
lettres de l'illustre Fourier. 

Dans celle du 22 mai 1788, adressée à M. Bonnard, son 
maître et sou ami , datée de l'abbaye de Saint-Benoît- 
sur-Loire, où il commençait alors son noviciat de béné- 
dictin, on y trouve l'énoncé d'une question qui peut-être 
par sa singularité pourra, si vous le jugez convenable, 
être soumise aux lecteurs des Nouvelles Annales. 

« Voici, dit Fourier à son ami, une question d'un 
» genre assez singulier. Elle me vient dans l'esprit au 
« sujet de certaines propositions d'Euclide dont nous 
» avons parlé quelquefois. 

» Disposer dans un même plan 1 7 (m ) lignes droites 
)) de manière qu'elles donnent loi [n) points d'inter- 
» section. Il faut supposer les lignes prolongées à Vin- 
» fini et qu'un point d^ intersection n'appartienne pas 
» à plus de deux lignes. Il faut ramener le problème à 
)) une pure analyse , en sorte que m et n étant déter- 
» minés, on puisse par^fenir aux équations nécessaires. » 

Dans une autre lettre, Fourier déplore le malheur de 
sa situation. 

« N'est-ce pas, dit-il, être condamné à l'ignorance 
» que de ne pouvoir lire d'autres ouvrages que les siens. 
)) C'est une privation dont toute la philosophie ne peut 
» se consoler. Je n'ai de livres à lire qu'un chétif exem- 
» plaire de Montaigne auquel il manque des feuillets que 
)) je suis réduit à deviner. Je m'occupe un peu de grec; 
» vous croirez bien que c'est plutôt pour lire Euclide et 
» Diopliante que Pindare et Démosthènes 

Et plus loin : 

)) J'ai encore travaillé ces méthodes d'élimination; il 
» n'est pas difficile de reconnaître combien celles dont 
>> on fait usage sont défectueuses, mais il l'est beaucoup 
» de leur en substituer de meilleures. Vous voyez bien 



( »6) 
» qu'il faudrait que j'eusse sous les yeux l'ouvrage de 
» M. Bezout sur le même sujet. Seul et sans secours , on 
» peut méditer mais non découvrir : souvent on fuit les 
» hommes, on en devient meilleur mais non plus savant. 
» Le cœur y gagne et l'esprit y perd, etc. » 

Cette lettre est datée du 22 mars 1789, et à la suite se 
trouvent ces mots où le grand analyste laisse entrevoir la 
prescience de sa grandeur future. 

« Hier j'ai eu vingt-quatre ans accomplis-, à cet âge 
» Pascal et New^ton avaient acquis bien des droits à l'im- 
)) mortalité. » 

FOURWERAT, 

Membre de la Société historique de l'Yonne, 

à Ancy-le-Franc. 



MACHINE A CALCILEU DE SCHEITZ PERFECTIONNÉE. 



Tout géomètre connaît la célèbre machine à calculer 
les seines, due au génie de M. Scheutz, Suédois, ou du 
moins en a entendu parler. Cette machine est fondée sur 
la théorie des différences introduite aujourd'hui dans ren- 
seignement. M. Donkin, célèbre constructeur anglais, 
vient d'apporter quelques perfectionnements à celte admi- 
rable production. Un rapport approbatif est signé par 
MM. G.-G. Stokes, C. Whcatstone, R. Villis, et un se- 
cond rapport aussi approbatif par l'illustre astronome 
G.-B. Airv (en date du 3i août i85g). Par cette machine 
perfectionnée une Table à' annuité sur la vie a été calcu- 
lée et imprimée en so*ixantc-quin/x minutes 5 un calcula- 
teur par la voie ordinaire y mettrait cent soixante-quinze 
minutes, et encore le contrôle exige deux calculateurs. 
On ne peut rien ajouler à de tels noms, à une telle expé- 
rience. 



7) 



BIBLIOGRAPHIE. 



Journal flr die Reike ukd Angevvandte MathemAtik 

(Crelle, t. LVII , 2<= cahier, iSSg ) 

(voir t. V. p. 76). 

Mécani<ju€. 

A. Clebsch (de Carlsruhe) (p. g'iàiio). Sur la figure 
d'un fil fiexible. 

Connaissant la fonction des forces, Jacobi ramène les 
équations du mouvement à une certaine équation aux 
différences partielles. M. Clebsch applique la même mé- 
thode à la recherche de la figure que prend un fil flexible 
soumis à l'action de diverses forces en équilibre; le Mé- 
moire contient neuf paragraphes : 

1°. Equations générales . U étant la fonction des forces, 
ï la torsion qu'éprouve Félément ds , toute la théorie re- 
pose sur ce que | \} ds doit devenir un maximum entre 

des limites données. On trouve pour l'équation aux diffé- 
rences partielles 

où V est une fonction de x, j^, z, 5, renfermant trois 
constantes arbitraires /i, a, /», et Ton trouve pour la fi- 
gure cherchée 

X , a , /3 sont trois nouvelles constantes. 

nullrlin inathématic/iir, t. VI. (Mars 1860.) «* 



{ ^« ) 

:i". La ehainette ordinaire. 

3**. Les deux extrémités du fil sont attachées à un aXe 
de rotation 5 la figure d'équilibre est telle, que le mo- 
ment d'inertie du fil relativement à l'axe devient vin 
maximum, elle est indépendante de la grandeur de la vi- 
tesse initiale; et on ramène l'intégrale à une fonction el- 
liptique de troisième espèce. La figure est hélicoïde, se 
rapprochant et s'éloignant alternativement de l'axe. 

4". Lorsque le fil n'est pas libre; il est tenu de rester 
sur une surface donnée. 

5*^. Lorsque la surface donnée est de révolution. 

6°. La chaînette sur la sphère. 

7*^. Fil sur une sphère tournant autour d'un dia- 
mètre. 

8°. Fil mince doué d'élasticité, et dont la section 
transversale est si médiocre, qu'on peut négliger la ré- 
sistance à la flexion. 

9". Fil mince soumis à la pesanteur. 

Les deux derniers problèmes sont résolubles par des 
équations analogues à celles qu'on a trouvées pour les fils 
privés d'élasticité. 

A. Clebsch (p. 149 à 168). Sur r équilibre des corpn 
flottants. 

La plus ancienne théorie sur la stabilité des corps flot- 
tants est celle du nictacenlre. En supposant le coips in- 
finiment peu dérangé de sa position, on cherche les 
conditions (jui doivent être remplies pour que le corps 
manifeste des dispositions à revenir dans sa première po- 
sition , et l'on regarde la position comme stable et seule- 
ment stable lorsque cette condition était remplie. Cette 
théorie a été critiquée et rectifiée par M. Duhamel {^Jour- 
nal (le r École Polytechnique, Cahier XXIV). On pour- 



( »9 ) 
railsigiialer encore d'aulrcs défauts do l ancienne ihéorie, 
il peut se faire que le corps , dans le premier moment, ne 
soit pas ramené, augmente, s'écarte davantage et soit ra- 
mené par l'effet des pressions hydrodynamiques avant 
que les oscillations aient acquis une étendue apprécia- 
ble. Dans ce cas le corps serait stable , contrairement à la 
règle du métacentre. 

Abandonnant cette règle , on chercha les équations des 
oscillations du corps, et l'on s'approcha ainsi d'une so- 
lution plus rigoureuse^ on trouve ces équations dans les 
traités de Poisson et de M, Duhamel. Toutefois ces équa- 
tions sont fondées sur la supposition que, dans ces mou- 
vements infiniment petits , on peut remplacer les pres- 
sions hydrodynamiques, ceWes qui résul ten t du mouvemen t 
du fluide, par les pressions hydrostatiques que le fluide 
exerce quand il est en repos. Il est vrai que ces deux sortes 
de pressions diffèrent de quantités infiniment petites, de 
Tordre des vitesses 5 ce qui n'autorise pourtant pas à né- 
gliger les pressions hydrodynamiques \ car dans le voi- 
sinage de l'équilibre les pressions hydrostatiques se dé- 
truisent mutuellement -, mais il n'en est pas ainsi des 
pressions hydrodynamiques, car elles réagissent contre 
le mouvement du corps, et leurs effets sont du même 
ordre que l'effet total de la pression hydrostatique. 

II résulte de là que les équations de mouvement des 
corps flottants données jusqu'ici sont non-seulement 
inexactes , ne donnant au plus qu'une première approxi- 
mation, mais sont comT^léiemenl fausses, car elles né- 
gligent des termes de même ordre que ceux que Ton 
conserve. 

M. Clebsch, et c'est le point principal de ce Mémoire, 
a égard aux termes négligés, et parvient, pour repré- 
senter le mouvement des corps , à une équation transcen- 
dante, jiar conséquent susce|)tible d'une i 11 li ni lé de formes. 



et la stabilité a lieu lorsque cette équation n'admet que des 
racines négatives. La difficultédu problème n'a pas permis 
de traiter à fond un cas spécial , et encore moins d'indi- 
quer une règle générale simple. 



Ànaly, 



se. 

C. W, BoRCHARDT (p. III à i2i). Sur la représentation 
d'une résultante d'élimination correspondante à une 
représentation interpolatoire . 

Soit 

/j» (a;) =r o 

une fonction entière donnée par les valeurs 

faisons 

f{x) ={x — iZo) [x — a,)(a; — aj) . . . (x — a„), 
on a 



? l-^-) = 2 



f CA,X — 



(théorème connu). . 

C'est ce développement de cpa: qui est la représentation 
interpolatoire de (^x. 

Le but de ce Mémoire est celui-ci : 

Soient les deux fonctions algébriques entières de degré n 

?(') = "' 4;(z) = o; 

chacune de ces fonctions est donnée par les valeurs 
qu'elles prennent en faisant 

3 = a„, a,, «2, . . . , a„, 

c'est-à-dire <j[u'on donne <jpa,, ^y-,i i prenant les valeurs 
depuis zéro jusqu'à // \ rélimin.ilioti df z donric iiin- rcsul 



( ^I ) 

tante fonction des coefficients qu'on trouve de ces fonc- 
tions, et ces coefficients sont des fonctions de cpa, , '];«•• il 
s'agit d'établir directement , immédiatement cette résul- 
tante en fonctions de cp (a,) , ^ {^-,)' 

M. Cayley a démontré {^Nouvelles Annales , t. X\ III, 
p. 397) , que si l'on développe l'expression 

suivant les puissances de x et dej", et a,^ j:' y^ étant un 
terme général. Alors le déterminant D formé par les coef- 
ficients a,i (f cl A prennent les valeurs de o à /i) donne la 
résultante. M. Borchardt suppose que les fonctions (jp^cet 
(p {x) sont données sous forme interpolatoire 



^ ' ^fi^ f aix — a,- 






Par d'admirables considérations sur un déterminant d'or- 
dre [n H- i)^, le célèbre analyste parvient à trouver D en 
fonction de F (a,, a^;)-, / et A prenant toutes les valeurs 
de o à 71. 

M. Rosenham a le premier traité cette importante ques- 
tion (Crelle, t. XXX) , en supposant que cp [z) est donné 
par les n valeurs ç» (a,) et^j> (2) par les h autres valeurs 
<]/ (|3,) \ pour passer à la forme interpolatoire, il faut sup- 
poser que les a et les (5 conicideJil, ce <pii amène une 
grande complication, que M. Borchardt a évitée en 
abordant le problème directement. On apprécie l'utilité 



( -^^ ) 

de ces recherches en considéi'aut que dans les sciences 
physiques, les fonctions ne sont données que par leurs 
valeurs numériques. 

C. W. BoRCHARDT (p. i83 à i86). Comparaison entre 
deux formes de la résultante d^ élimination d'une 
inconnue entre deux équations. 

i". Première méthode d'Euler : 

f{x) = a„,x'"-\-a„,_,x"-' -f-.'. . 

«o = «m(-^ — a.) (-t" — «2). • .(•«•• «m), 

v)[x) = b,„ x"' -\- bn-i .ï"'~' -+-.-. 

4-/^0-— b^[x-^,){x—<^,,). ..(.r— [i,„). 

On forme le produit 

p=n !!(?'—•'• 

1 = 1 A =1 1 

Désignant la résultante de l'élimination x entre^ (x) =: o 
et (p (x) = o par R , on obtient 

li=a" b"'P 

m II 

Pour avoir P, désignons par A (a,, «j , . . . , oc,,,) le produit 
OC), —a,; on prend toujours A\> r, A est coinui en fonc- 
tion des coelïicicnts de J {x). 

Posons 

A — A (a,, y.,, . . ., a,„), 



( --3 ) 



D = 



I, a.,, a . . . ., a. 



a m+n— i 

I , a , Cf. ..... y. 



on aura D == (— i)'"" ABP , d'où P = ^• 

2°. Deuxième méthode d'Euler; = celle de Bezout^ 
= dialytique de Sylvester, 

On élimine les puissances a:", x% x^, . . . , x'""*"""' entre 
les m -+- n équations 

G =fx ; o = xfa-. ; . . . , o = .7;"-'/a-, 
o=ïp.r; o=r^«p.r; ..., o = .r"~' cp x , 

et l'on obtient la résultante, au moyen du déterminant 



T=:o 

i 



N 1 

n 
III -\- n — I 



<7||, c/| , . . . , «m, o o , o 

o «0, • • -, ('m-y O.O, ,0 

O O , , o . O <7i, , n ,,..., r/„, 

^0, bii > bn-i, b„. o, . , o 

o.), ba, , b„_i, l>„,o, o 

o o, b,, b,, />„ 



( 24 ) 
Les chiffres placés à gauche du premier Irait indiquent 
les rangs des lignes horizontales. 

Il faut démontrer Y identité T= R. 

Multipliant, d'après la règle connue, les déterminants 
D et T, on obtient un nouveau déterminant, lequel étant 
développé donne 

D.T = AB/p,/p,.../p„.tfa, cpa,. . . » «„ 

" I m II 

d'où 

O. Hesse (à Heidclberg) (p. 1^5 à 182). Nouvelles 
propriétés des substitutions linéaires çui transforment 
des Jonctions homogènes du second degré en d^ autres 
qui ne contiennent que les carrés des variables. 

M. Kummer est parvenu le premier à décomposer en 
carrés le carré du produit des différences des racines 
d'une équation cubique , problème d'où dépend la re- 
cherche des axes principaux d'une surface du second or- 
dre (Crelle,t. XXVI,p. 268). 

Ensuite M. Borchardt, à l'aide de la théorie des dé- 
terminants, est arrivé au même résultat, et l'a généralisé 
pour une fonction de degré n-^ ce qui fournit un moyen 
de calculer les perlurbalions planétaires (Crelle, t. XX.X , 
P-38). 

Déjà Jacohi avait déduit le résuItalKumnier de formules 
entièrement nouvelles [Giornale Arcadico, t. XLVIII), 
el (Crelle, t. XXX, p. 46) ; la dernière de ces formules est 
surtout imporlanle-, elle conduit à des propriétés nou- 
velles, but de ce Mémoire. 

Soient X, , Xa,. . ., X„, // vari.ibh's liées aux n varia- 



. ( •^•^' ) 

blcs .r, , r^ , . . . , .r„ par les // tVjUiilioiis linéaiios 

( 1 ) X^ := a'^ .c. H- n^> .r, + . . . -^ a^f ^ ..■„ ; 

/. prenant successivement les valeurs i, 2, 3, ...,//, on 
en déduit 

(2) ^^ = ê-'^ X, H- //) X., + ... 4- 6'J;) x„ , 
formons un no-uveau système de n équations 

(3) Y,=.(''0-,4-.^V, + ...+ ^^l^)j„, 

d'où l'on déduit 

(4) j-^ = .;Y. + «:Y.. + ... + a';'Y„, 

et aussi l'identité 

(5) X,Y, + X,Y,4-...4-X„Y„ = ^,j, + jr2j,+..+.r„J-„ (*). 

Si l'on élève les deux membres de l'équation (5) à la 
?t"""' puissance, et si l'on supprime de ])art et d'aulre le 

produit continu TT (/i) = i .2.3. . . «, on obtient li- 

dentité 

y -^ î X';- Xf-. . .X^"Y'f'Y^ . . . Y'^", 



(7 , c. . . . y.,, 



(7 

IC 



> 7^ '* 1 '*^ 2 • • • •'■ f> J \ y l ■ ■ ■ J n » 



«, a,. . . y./i 

«I H- «jH-- • • + a„ = «, 

c.,a,....a„=n(^-')n(«^)---n(^«)- 

C) Le lecteur peut vérifier en posant n =z i. 

VtitUclin inalUèwat'que, t. VI. (Avril iSHo. 



( 26 ) , 

Remplaçons dans le produit y'^' y'^^- . . . v,^" , lesj perdes 
Y déduits de réi[ualiou (4), et désignons dans ce déve- 
loppement le coefficient dej,ys. . . y^„ par 

«,«,... C/.n «, a, . . . Kh' 



où A^ ^^ ...«„ est une fonction rationnelle entière des a, 

et on laisse x'^'x''^' . . . x'^; . 

Alors le coefficient de YiY2...Y„ dans le premier 
membre est Xj Xj. . .X„. 

Et dans le second membre ^ A^_ ,^^ x'^- x""^' . . . x^ . 
Donc 

(8) X,X.. . .X„ = 2 ^«. -.••--, •^'^'•^^' • •■"""• 

De même si Ion développe jr^'x'^' . . . x^;" à Taide de l'é- 
quation (3), et qu'on désigne par 



a, a... .a„ «, «, 



les coefficients de X,X2 . . ■ X„, où E est composé en e 
comme A en a, on aura 

(9) Y. Y, Y3 . . . Y„ = 2 ï'a, r,, . . v„ r'1' ^^ • • • ^"m" 

Si Ton développe l'équation (7) suivant les pnissances 
et les produits de x et j, et qu'on égale des deux côtés 
les coefficients de X, Xj . . . X„ et de V, Y, . . . Y„ , on a 



(10) ' = 2 ^«. "•.'•-« "^^M 'A- • 



a Cf., a,. . «„ ' 



premier nouveau théoième, déduit des substitutions li- 
néaires. 



Si 



liot 



( -7 ) 
X = Y, 

X-' -h X' -f- • . . -f- X,' =z x]-h x] 4- . . 4- .rj, 



et 

(" ) ' = 2 ^«. ''■'.■ ■ • ''■,. (^«. ^-^ • • «" )' ' 

second nouveau théorème, qui décompose l'unité en 
carrés. 

M. O. Hesse donne encore d'autres belles propriétés, 
ainsi que les formules de Jacobi. 



ORIGINE PKEiMIÈRE DES DETERMINANTS, 

LEIBNIZ (1693). 



Dans une Lettre de Leibniz à L'Hospital, datée de 
Hanover {sic) 28 avril 1693, et insérée dans le t. II, 
p. 238-24» des Leibnizciis iiiaihcmalische Schriflen, édi- 
tés par C.-L Gerliardt, Berlin , i85o, on lit : 

« Puisque vous dites que vous avés de la peine à croire 
(ju'il soit aussi gênerai et aussi commode de se servir des 
nombres que de lettres, il faut que je ne me sois pas bien 
expliqué. On ne sçaurait douter de la généralité en con- 
sidérant qu'il est permis de se servir de 1, 3, etc., comme 
de a ou de Z>, pour veu qu'on considère que ce ne sont 
pas des nombres véritables. Ainsi 2.3 ne signifie point 6, 
mais autant (.\\xah. Pour ce ([ui est de la commodité de 
l'épreuve par des nombres , et même par Tabjottion du 
noveiiairo, j'y trouve un très grand avantage même pour 



( ^8 ) 
ravancement de Tanalyse. Comme c'est une ouverlurc 
assez extraordinaire, je n'en ay pas encore parlé à d'au- 
tres, mais voicy ce que c'est. Lorsqu'on a besoin de beau- 
coup de lettres, n'est-il pas vray que ces lettres n'expri- 
ment poiiit les rapports qu'il y a entre les grandeurs 
qu'elles signifient, au lieu qu'en me servant des nombres 
je puis exprimer ce rapport. Par exemple soyenl pro- 
posées trois équations simples pour deux inconnues à 
dessein d'oster ces deux inconnues, et cela par lui canon 
gênerai. Je suppose 

( I ) I O -h I I X -J- I 2J = O 

et 

(2) 20 -t- 2 I .X- -f- 22 J = O 

et 

(3) 3o -f-3i.r + 32.) =0, 

ou le nombre feinst estant de deux characîeres, la pre- 
mière me marque de quelle équation il est , le second me 
marque à quelle il appartient (*). Ainsi en calculant on 
trouve par tout des harmonies qui non seulement nous 
servent de garans, mais encore nous font entrevoir d'a- 
bord des règles ou théorèmes. Par exemple ostant pre- 

(*) Ces équations d'ai)iès 1 ecriliirc actuelle sont 

"lu ^" "si ^1 -^- "jj ^J = O» 

"an + ^si-^i -^-''ai'^^^'^- 
Kliiniiiaiil j-, , jr, , on a lu ilcteiiuiiianl 

["i„ "1, "a,] =0 

que trouve Leibniz ; il fait celte oix'iatioii par la \oiu onlinairo lUb nuil- 
lij)litationi). 



( 29 ) 
mîeremciit }' par la prcmièie et seconde erjuaiion, nous 



aurons 



\ -H- I0.22 + I I .22.r i 



(4) ■ = o, 

^^' ^ — 12. 20 — 12.21. . \ ' 

et par la première et troisième nous obtenons 

,^ \ + I0.32 + I I .32.r 1 __ 

^^^ ^ -I2.30-+- 12.3.... j -"*' 

où il est aisé de connoistre que ces deux équations ne dif- 
férent qu'en ce que le charactere antecedant 2 est change 
au charactere antecedant 3. Du reste, dans un même 
terme d'une même équation les characteres antecedanis 
sont les mêmes et les characlercs postérieurs font une 
même somme. 

» Il reste maintenant d oster la lettre x par la qua- 
trième et cinquième équation, cl pour cet effect nous 
aurons 

l,.2j.3„ V = I I,.2,.3j (*) 
1 2 • 2(1 . Oi I \ i 2 22 . Oi} 

qui est la dernière équation délivrée des deux inconnues 
qu'on voulait oster, et qui porte sa preuve par soy par les 
harmonies qui se remarquent par tout, et qu'on auroit 
Lien de la peine à découvrir en employant des lettres a, b., 
c, surtout lors que le nombre des lettres et des équations 
est grand. Une partie des secrets de l'analyse consiste 
dans la caractéristique, c'est à dire dans l'art de bien em- 
ployer les notes dont on se sert, et vous voyés. Monsieur, 
par ce petit échantillon, que Viete et Des Cartes n'en ont 
pas encore connu tous les mystères En poursuivant tani 
soit peu ce calcul , on viendra à un ihcoremc gênerai 

(*) Ii-i Leibniz écrit lo bccond caractère sous la (orme acluoUc d'inilicc. 



(3o) 
pour quelque uombrc de lettres et d'équations qu'où 
puisse prendre. Le voicy comme je l'ai trouvé autre fois : 

» Datis œqualionihus quotciniqiie sujficientibus ad 
tollendas q nantit ates, quœ siniplicetii gradiirn non egre- 
diuntur, pro œquatione prodeiinte, primo sumandœ siint 
omnes conibinationes possibiles, quas ingreditur iina 
tantum coejficicns iiniuscujusque œqualionis ^ secundo , 
eœ comhinationes opposita hahent signa, si in codent 
œquationis prodeuntis latere ponantur, quœ hahent tôt 
coejjicientes communes , quot sunt unitntes in numéro 
quantitatum tollendarum nnitate niinuto ; cœterce ha- 
hent eadem signa [*). 

M J'avoue que dans ce cas de degré simple on auroit 
peut estre découvert le même théorème en ne se servant 
que de lettres à l'ordinaire, mais non pas si aisément, 
et ces adresses sont encore bien plus nécessaires pour dé- 
couvrir des théorèmes qui servent à oster les inconnues 
montées à des degrés plus hauts. Par exemple pour oster 
la lettre x par le moyen de deux ecjuations dont l'une est 
de trois degrés et l'autre de deux, je suppose 

I o x' H- Il .»■ - H- 1 2 .r -f- 1 3 = o 
et 

2 0.c' -I- 2 I .r -t- 22 :^ O, 

où le caractère antérieur du eoeflicient maïque le degré 
dont il est coefticient, en remplissant la loi des homo- 
gènes (**), ee qui sert à les observer dans tout le pro- 

(*) Tous les termes étanl dans le iiièiue membre, le nombre des incon- 
nues élaiil H, les termes qui ont en commun « — i coellicieiils ont des 
siyncs opposés et les autres ont même signe. 

(**; Cela revient à 

o„, i' -t- rt,, r -f- «,, = o; 
la somme des indiLcs et des exposants est toujours \ 



( 3. ) 
grès de 1 opéralion. Dans les ecjuaiion.s plus hautes, pom 
mieux s'assuier du (aïeul, on p(!Ut au lieu du deniiei- 
ternie prendre un nombre lel que 1 étpialion donneroil en 
prenant x pour lunilé ou pour quelque nombre \eri- 
lable, par exemple au lieu de 

I G r' -I- I I j:- -I- I 2 r -(- I 3 = o , 

on pourroit ecriie 

1 G X^ -}- I I r^ H- I 2 .r — Il 220 ; 

prenant x pour lo, pourveu qu on se souvienne que 
II220 signifie un solide ou une grandeur de Irois di- 
mensions (*) : ainsi le calcul se vérifiera toujours en nom- 
bres véritables et se pourra même examiner à tout mo- 
ment par rabjecilon du novenaire, ou de l'ondenaire, et 
neantmoins les harmonies paroistront par tout substi- 
tuant i3 pour II220. En calculant ainsi on trouvera des 
théorèmes et on dressera les tables que j'ay souhaittces. 
On voit aussi par là une chose que j ai indiquée déjà 
dans les occasions, c'est que la perfection de l'analyse 
dépend de l'art des combinaisons qui est proprement la 
spécieuse générale (**). » 

La réponse de IHospital est datée de Paris, i5 juin 
1693 : 

« C'est avec un plaisir sensible, Monsieur, que je 
reçois vos lettres, j"y trouve toujours des \ùes nouvelles 
auxquelles personne n'a voit encore pensé. La manière 



(*) Preuaiit 

on prend pour tenue tout connu 

''tg + ''ii«î-H''„a„. 

("") Spécieuse Aans le sens de Victe, et signiûe la représentation figurée 
de quantités. 



( '^^ ) 

dont vous voila serve? des nombres au lieu de lellies dans 
les cc[uations pour en tirer ensuite des règles ou lliéo- 
remes est très ingénieuse, et comme l'analyse n'est que 
l'art d'abbrcger les raisonnements et de représenter tout 
d'une vue à l'esprit ce qu'il ne pourrait appercevoir au- 
trement que par un long circuit, il est certain que les 
caractéristiques eu font la principale partie. Je ne doute 
pas que celle dont vous vous servez pour exprimer la si- 
tuation des angles et des lignes, et que vous appeliez ca- 
lacteristica sans, ne contienne quelque chose de très 
beau et de très utile. Vous m'en eclaircirez davantage 
quand vous le jugerez à propos ^ je crois avoir ouï dire 
que vous aviez aussi imaginé une espèce de caractéris- 
tique pour servir à composer des machines de mécanique, 
cela peut estrc d'un grand usage dans cette science qui 
n'est pas encore arrivée à la perfection (*). » 

Ainsi l'origine des déterminants remonte à 1693 (**); 
c'est un nouveau bijou dans le splendide écrin immen- 
sément riche de l'auteur de la hiérarchie et de la carac- 
téristique infinitésimales. Il a découvert non-seulement les 
déterminants de Cramer (i^So), mai^ ce qui encore est 
plus essentiel , la caractéristique de Vandcrmonde (1772); 
l'admiration est au comble quand ou entend l'illustre 
prophète proclamei-, deux siècles d'avance, la haute 
position de cette caractéristique combinaloire dans toute 
l'analyse , position ({ui n'a été révélée que de nos 
jours. 

Si l'on me demandait quelle est l'intelligence la plus 
intense en profondeur, la plus universelle en directions, 



(*) Se Uouvc dans iiiic lettre à Huyglieiis daloc île Itaïuivro, 8 soplcin- 
brc iG-;ç) (Gehuardi , t. Il, |>. 30). M. Habba|>' a invciile iiudtnic chose 
d'analogue pour les niachincs. 

(**) Date malheurcusenioiil trop innt'iiionii|iic. 



( 33) 
dont Dieu ait gratifié la terre, depuis l'appariiion de 
l'homme, je répondrais, sans hésiter : Leibmz. 

Les esprits sérieux, amis des fortes méditations, doi- 
vent une vive reconnaissance à MM. George Henri Per- 
ihes, C.-I. Gerhardt et à notre compatriote le comte 
Foucher de Careil. Il est à désirer qu'on voulût bien pour 
la partie matliéraalique consulter quelque géomètre let- 
tré. Lorsque dans ce siècle utilitaire on rencontre un 
homme vouant à la science abstraite ses veilles, sa for- 
tune , c'est découvrir inopinément une source vivifiante 
au milieu d'un Sahara ; nouvelle gloire que la France peut 
ajouter à tant d'autres. 

Inter scahiem tnntam et contagia lucri 
Nil parvum sapit et scmpcr sublimia curât. 

(HoRAT, Epist. XII, lib. I, ad Iccium.) 



BIBLIOGRAPHIE. 

SuLLA GEOMETRIA ANALITICA DELLE LIA'EE PIANE. OpUSColo 

di Giiiseppe Sacchi , dottore in matematica. Pavia, 
i854i in-8 de viii-i3i pages; i planche lithographiée. 

En i85o, le célèbre Bordoni, dont la science déplore la 
perte récente (*) , après quarante années de service uni- 
versitaire prit sa retraite, et M. Sacchi le remplaça 
comme suppléant dans la chaire de Géodésie et d'Hydro- 



(*) Le 26 mars iSfio. 11 a appliqué le calcul des probabilités aux exa- 
mens universitaires. Nous ferons connaître ce Mémoire, si nous parvenons 
à nous le procurer. Jouissant d'une haute réputation au delà des Alpes, il 
est complètement inconnu en deçà. L'abbé Julien est le premier et le seul 
géomètre français qui l'ait cité dans ses excellents Problèmes de Mccauiauc 
ralionnelle. 

Bulletin mathématique, t. VI. (Mai 1860.) Û 



( 34 ) 

inélrie. Il fit ce cours pendant huit années et enrichit la 
collection d'instruments appropriés à ce cours. Deux fois 
Tîordoni le proposa au gouvernement autrichien pour être 
nommé définitiwement; mais s'étant attiré l'animadversion 
de ce gouvernement, il fut éloigné de Pavie et on le nomma 
professeur au lycée dit de Porte-Nem^e à Milan, dont le 
directeur était commissaire de poiice. Occupant encore la 
même position, il est permis d'espérer qiie sous le régime 
actuel on réparera cette longue injustice, et qu'on repla- 
cera M. Sacclii à Tuniversité de Pavie, position où rap- 
pellent ses talents et qui est aussi dans l'intérêt de l'en- 
seignement. L'analyse suivante est une pièce justificative. 

Beaucoup de systèmes de coordonnées ont maintenant 
cours dans l'enseignement. Pour chaque question, il faut 
savoir discerner le système qui facilite la solution. Sou- 
vent même il convient d'imaginer un système approprié 
à la question. Lorsqu'une fonction représente une ligne 
sur une surface donnée et que la même fonction repré- 
sente une ligne sur une autre surface donnée, mais ces 
coordonnées ayant une signification différente, alors beau- 
coup de propriétés d'une de ces lignes peuvent se trans- 
porter sur l'autre. Ainsi la fonction aj -\-hx -\~ c repré- 
sente une droite sur un plan et un cercle sur une sphère, 
mais les coordonnées étant des fonctions transcendantes 
des tangentes d'arcs, les propriétés des droites sur un plan 
sont transférées sur les cercles de la sphère, conception de 
Gudermann qui a ramené la sphérométrie à la géométrie 
plane (*). Découvrir de semblables connexions à l'aide 
d'autres fonctions transcendantes pour chaque surface, est 
la besogne de l'avenir. 

On peut aussi imaginer un système de coordonnées cl 
réunir une suite de problèmes, comme applications. C'est 

(•) yoir dans Ifs yom-cllcs AnnaUs les travaux inslructifs de M. > annsoii. 



( 35 ) 
ce qu'a exécuté avec talent le savant auteur de ( et opus- 
cule, titre modeste ([ui tient plus qu'il ne promet. 

Soit AMB un arc de courbe plane*, d'un point fixe O, 
considéré comme pôle, on abaisse une perpendiculaire OP 
sur la tangente à la courbe menée au point jNIj on prend 
pour coordonnées OV et le rayon vecteur OM; l écjuation 
d'une ligne est une relation entre ces deux lignes, et l'au- 
teur établit quinze relations fondamentales qui facilitent 
l'emploi du système. L'utilité de ce système ressortit sur- 
abondamment des applications suivantes, qui en mon- 
trent la fécondité et très-souvent l'élégance. 

Soit OA un axe polaire (A est sur la courbe) ; OT une 
perpendiculaire à OM et terminée à la tangente en M, 
de sorte que T est sur la tangente. Prolongeons la per- 
pendiculaire TO jusqu'à ce qu'elle rencontre en N la nor- 
male menée en M et qui est parallèle à OP. 

Notations. 

OV — p, MP = fy, 0M = /, 
POT = a , TMO = p , MOA = w , 
MN = N , MT = T , 
R = rayon de courbure en M , 
s = l'arc AM j 
A = aire du secteur AOM ; 

les accents désignent des dérivées par rapport à une va- 
riable quelconque, à moins qu'on ne la dénomme expres- 
sément. On a 



COSpr, 



1} 


r' = p' -h q 


> 


") 


p = /• sin fi , 


7 =r ;■ c 


ni) 


p 


7 

01=:^ 



( 36) 



(IV) 

(V) 

(VI) 

(VII) p = 



tam 


;P = 


r —1 

r 


r' 


_dr 
d(à 


__rq 
P 


dp 
du 


= V, 





\/'^+(*„' 



„ rdr , , 1 > 

(VIII) R = — (rayon de courbure] 

(IX) 

(X) 

(XI) 

(XII) 

(XIII) 

(XIV) 

(XV) 

Au moyen de ces formules, ou passe des coordonnées po- 
laires ordinaires aux nouvelles coordonnées et vice versd. 

P"" Exemple. Cercle : r' — 2 J/cosw -h c?' — «' = 0^ 
équation 

-— ( r — d cos oi) ^= dr sin w , 

q [r — r/cosw) = pd Sin u , 
(r' — P'){f — rfcoS&))^ = p^d' (l — COS'o)). 



dq _ 
da ~ 


R-/., 




s'z=^ 


— » 
P 




y = ^l, 
? 




ds _ 


R, 




ds _ 

d0L~ 


aq 


5 


2A' = 


=''7 = 


f*', 


dA 


= pB. 





(3; i 
Eliminant cos Cl), il vient pour équation en nouvelles coor- 
données 

VL" Exemple. Ellipse : 2fl, ib axes-, 2a = arc po- 
laire j (^ = distance du centre à l'origine ; e* = ir — b^ -, 

/•'(e'cos'w — fl')-h 2b-cIrcos(^ H- è'(rt' — f/') = o, 

équation polaire. 
On en déduit 

e'p'' (ladl ~ e'r^— c'm') = b' { am' — diy , 

nv = d' — e\ c^ — a'^b', l' = e' r' + m' b\ 

IIP Exemple. 

(c,) 4'ïcos'w -+- r cosM — 4« = o, cissoïde, 

(c,) 2n cos'w -+- ^cosw -H 2rt = o, 

(c) (r' + rt') cosw — arw = o, strophoïde 

en nouvelles coordonnées sont exprimées par les équa- 
tions 



^'^'^ » — 2/>'/-*(2r^ — 3r^/-'-+-2g^')-|-g'r»=o, 



(C3) /j'(r*-+-6â^H -^-«*; = 4û''^• 

IV* Exemple. 

r"=z a'"oi, d'où />' ( w' /•='" -H «"" ) = m^ r" 



m = 1, spirale d'Archimèdej 
m = 2, spirale parabolique j 



( 38 ) 
m = — I , spirale hyperbolique j 
m z= — 2 , trombe 5 

r=ae"''>, p := ■- 1 spirale logarilhniiqiie, 

VI + «' 

1{r — b)"' = a'" cos /( w, 
= m-r' (r-— ^)™--'; 
w =r — I , /î :z= 1 , conchoïde de Nicomcilf' , 

B.emplaçant a et ^ par 2rt. 2/^, on obtient 
4/;'(é»r4-rt- — b') = r', 

conchoïde circulaire. 
Faisant 

2 é» = « , 

on a le limaçon de Pascal , et 

b = a, 4 ^P^ ^= '■'' cardioidc. 

Faisant dans {/) 

6 = 0, w = — I , spirale de Cotes, 

è = o, m =z i rhodoracées de Grandi , 

^m — 2 /"' ( b'" — a"- cos moi) -+- e-'" = o , 
{g) ^p* r""-' [&-"/•""+/'" (a""— 6-'"— c'"') -k- b"' c'""] =.- (r""— c^ 

m = i, ovales de Descaries ou aplaiiétiqiics : 

Propriété fondamentale v -|- nt\ = h ; 

r et /', distance d'un point à deux foyers; 

w, h constantes. 

m = I , e = o, conchoïde circulaire; 

m=:i, e = o, h T=: a., cardioïde^ 



( 39 ) 

a = /;. r- =rr <), // := ± i , conique. 
Posai! l 

il vient 

(g-j) 2 c"'pr'"-' ■= r"' H- f^"' _ a''"', 

m entier positif^ c'est le lieu cruii point dont le produit 
de ses distances aux sommets d'un polygone régulier de 
m côtés est constant, n est le rayon du cercle circonscrit 
au polygone, et l'origine est au centre de ce cercle 5 le 
produit constant est c'". Si m est négatif, l'équation est 
celle du lieu d'un point dont le produit des distances aux 
sommets d'un polygone régulier de m côlés est égal à la 
jjjieme puissaHCC dc la distance de ce point au centre du 
cercle circonscrit au polygone régulier : cassinienne à m 
foyers. 

m = 2, ellipse cassinienne; 

Si c = a^ m = I, lemniscate de Bcrnoulli ; 

m = — I une droite; 

m = — a, riiyperbole équilatère; 

ni = -1 cardioïde: 

2 



m 



= 1 parabole ; 



2 



m = o, spirale logarithmique; 

//i = -9lieu du sommet d'une parabole touchant le 

cercle de rayon 4^ et a\ant pour origine le foyer, point 
fixe placé sur la circonférence; 

171= — 5? causli([ue par réflexion de la parabole, les 

rayons incidents étant perpendiculaires à l'axe; 

m = ^^ podaire du centre de la lemniscale. 



(/') 



{4o ) 

Equation de Vépilrochoïde. 

4 nip'^ [ r^ — fl' -4- ( w — 1 ) ^^ ] 

= [(w — i) r= — a' + (wi — i)*^'?' 



û = rayon du cercle fixe ^ 

b = rayon du cercle se mouvant extérieurement sur le 
cercle fixe \ 

m = — - — » c^ = d^ — ^*, distance du point décrivant 

M au centre du cercle mobile, l'origine est au centre du 
cercle fixe. 

On parvient à cette équation directement, en considé- 
rant que N étant le point de contact des deux cercles cor- 
respondant à une position donnée du point M, MN est 
une normale à la courbe de cercle. 

Changeant b en — b, on a l'équation de Vhypotro- 
choïde, cercle mobile intérieur. 

Faisant 

a ^= b , 711 =z 2., 

on a une conclioïde circulaire dont l'origine est au centre 
du cercle. 

Si /i? = è, on a les épicycloïdes. 

Le chapitre IV traite des asymptotes, rayons de cour- 
bure, points d'inflexion, de rebroussement. 

P 



Sous- tangente =: 



v/.-: 



si donc pour ;• = ±: co , /> a une valeur finie réelle, il y a 
des branches infinies. 
Dans les coniques 

R = •> oncineau cm Ire, 

P 



(4i ) 

Dans l'hyperbole équilalère 

R + N = o. 

Dans la strophoïde (cj) 



R = 



S/^ + rt^ 



Ainsi celle ligne n'a ni points d'inflexion ni points de 
rebroussement. 

Le chapitre V traite des développées, développantes, 
trajectoires. 

Soient 7', p, q, a [voir ci-dessus) les quantités relatives 
à un point d'une courbe donnée; f\, ^j, ^i, a^ les quanti- 
tés correspondantes au point de la développée , on a [voir 
ci -dessus) 

7r (Ipt dq 
2. da.^ dy. 

et, à l'aide des relations {I) et (VIII), 

(,) p\ = r^-p\ r: = r^-+r^{±^'-,.p/^^. 

Eliminant r et p, on obtient l'équation de la dévelop- 
pée en /'i el pi ; 

Eliminant pi, /'i, on obtient l'équation de la dévelop- 
pante. 

Exemples : 

p:=mr, spirale; 

p, = /«/•, , développée ; 
si l'on a 

4 mp^ = [m -{- i)- (r- — a^), épicydoïik-, 
DuUctin mulhcinaiiqiic, t. VI. (Juin iSfio.) 6 



(4^ ) 

on obtient 



4»;,; = („, + .)'[^;-(^)"»'] 



développée, seconde épicycloide; 

m — I m — I , , 

/w H- I m-i- i 

rayons du cercle fixe et du rayon mobile. 

Si donc 

« = 00, ai = a, bi = b, 

la développée est une cycloïde égale à la cycloïde déve- 
loppante*, de même pour la spirale logarithmique. 

Trajectoires. 
Soit l'équation d'une ligne 

ç(r,,/?,) = o; 

faisons-la tourner dans son plan autour de son origine O 
et soit 

l'équation de la trajectoire qui coupe ces lignes sous un 
angle constant dont le sinus est égal à m. On a, d'après 
un théorème projectif, 



j},:=p \/ 1 — rn' -i- qm ; 
p et q ont même signification que ti-dessus j d'où 
y^' +/?■ = /«'/■^ 4- 2/>/^i V I — w'- 
Exemples : 

/^, = 0, 

faisceau de droites passant par l'origine; la trajectoire est 
fj -= inr, spirale logaritlimi(iiie; 



(43 ) 

faisceau de cercles concentriques*, trajectoire 
p = rs/i — /w', spirale logarithmique; 

faisceau de spirales d'Archimède; trajectoire 
/^'(«' H- r') = r' (wrt -h r \/i — w^), spirale logarithmique. 
Si 

/n = I , 
on a 

OU 

/7, = 7. 

mri -h nr^ =. a, ovales de Descartes ; 

/'i , Tj rayons vecteurs allant à deux points fixes; 

a paramètre variable. 

L'équation de la trajectoire orthogonale est 

tang"" - W| tang" - t.ij = a 

(pour (i> voiV' ci-dessus). 
Si 

l'ovale devient une conique et la trajectoire une conique 
coofocale. 

Note. Nous venons de recevoir les Mémoires de Ror- 
doiii, ainsi que les Manuels anglais publiés par les Rév. 
Galbraiih et Hauglilou j on eu rendra compte. 



(44) 

Traité de Perspective-relief, par M. Poudra; in-8 
de 224 pages j i86"o. 

La perspeclive-relief est une application nouvelle de 
la géométrie. Cette science s'adresse à tous les arts d'imi- 
tation. L'ouvrage a reçu de l'Académie des Sciences un 
accueil favorable; l'auteur a cru devoir en conséquence 
placer en titre, comme introduction, le Rapport instructif 
fait à cette Académie par deux de ses membres, MM. Pon- 
celet et Chasles. 

Les sculpteurs y trouveront des principes extrêmement 
simples pour la construction des bas-reliefs 5 tout est ra- 
mené à la construction de trois perspectives planes sur les 
faces du parallélipipède qui doit contenir le bas-relief. 

Les géomètres y trouveront les formules qui servent à 
payer des coordonnées d'un point à ceux du point homo- 
logue. 

On y expose ensuite les principes sur lesquels repose le 
tracé des décorations théâtrales; ces constructions sont 
un résultat de l'alliance de la perspective plane à la per- 
spective-relief. Ces principes n'avaient jamais été exposes 
et ne pouvaient l'être avant que cette dernière science 
fut connue. On en tire quelques applications aux diora- 
nias et panoramas et aux décorations dans les fêtes pu- 
bliques. 

Comme application à l'architecture, on y expose une 
théorie des apparences donnant une appréciation des 
causes diverses des illusions de la vue; fauteur en déduit 
quelques principes sur la décoration des monuments et 
sur la j)Osition à leur donner pour rendre leur apparence 
agréable à la vue; il appelle Tattention des archilecles sur 
ce sujet, c(ui peut faire éviter des erreurs de construction 
toii|()urs lort dispendieuses à léparer. 



(45 ) 
Des applications de la perspective-relief à la décoraiion 
des parcs el jardins terminent l'ouvi'age (voir Nouvelles 
Annales^ t. XVI, p. 107). 



NOTE SIR m OIVILIGE DE JEAN CEVA 

(voir Nouvelles Amnales , t. X, p. 184) ; 

Par m. GENOCCHI. 



Ayant passé quelques semaines à Plaisance, il y a plu- 
sieurs années, j'ai troui»é dans la bibliothèque communale 
de cette ville un exemplaire de l'ouvrage en question. Je 
transcris le frontispice; De re îiumavia quoad fieri poluil 
geometrice tractata. Ad illustrissintos et excellenlissi- 
nios Dominos Prœsidein Qiiœstoresque hiijus arciducalis 
Cœsari magislratus Mantuœ. jduclore Joanne Ceva. 
Manluœ, apud AlberluniPazzanum. linpress. Arciduc.^ 
superioribus anniientibus. MDCCXI. C'est un volume de 
64 pages petit in-8". Après la dédicace il y a un second titre 
qui explique mieux le but de l'ouvrage, savoir ; De uionciis^ 
quibus de cousis valores ininiuleiitur, quidve curandum^ 
ut publico indeiunitali consulaLur. Ainsi le sujet est tout 
à fait du domaine de l'économie publique, et me semble 
traité d'une manière remarquable pour sou temps. On y 
trouve des détails intéressants sur le taux des monnaies a 
JMantoue, à Milan, à Venise, sur les frais de fabrication, 
sur la valeur de l'or et de l'argent. Le rapport de l'argent à 
l'or était, dix ans auparavant, de i à i3, et s'élcit réduit 
alors à celui de i à i3 ^. L'auteur veut bien que le souve- 
rain lire un profit de la fabrication des monnaies, duin 
id konc.sli limites non transcat. Il propose qu'on ferme 
l'eulrée aux monnaies de cuivre étrangères, et que les 
autres monnaies des pays étrangers et surtout des pays 



( 46) 
limitrophes soient reçues seulement pour leur valeur 
intrinsèque, en exceptant toutefois les plus communes 5 
il conseille de borner au nécessaire la fabrication des 
monnaies de cuivre, et qu'à l'exception de ces petites 
monnaies, sous, demi-sous, etc., dont la valeur normale 
sert à évaluer toutes les autres, on s'abstienne de donner 
aux monnaies un nom de leur valeur et exprimant une 
somme fixée de livres ou de sous. Il débute par des défi- 
nitions, pétitions, solutions ^ puis viennent des théorèmes, 
des corollaires, des problèmes : il démontre, par exemple, 
que la valeur intrinsèque des monnaies est en raison com- 
posée directe de la population et»inverse de la quantité 
d'argent monnayé, en prenant un terme moyeu comme on 
démontre en géométrie que l'aire d'un rectangle est en 
raison composée de la base et de la hauteur. 



NOTE SUR LE CENTRE SPONTANE DE ROTATION. 



Ce point, qui occupe une si grande place dans la géo- 
métrie et dans la mécanique, a été signalé et dénommé 
par Jean Bernoulli : 

P^ocG sponianeum, çuia a natura sponte quasi eligi- 
tur, pro diversitate circumstantiarum j ita ut non sit in 
potestate nostra illud ponere pro libilu [Opéra omnia^ 
t. IV, p. 268). 

On trouve ce passage dans le n° CLXXMI, qui porte 
pour titre Proposiliones varice mechanico-dynaniicœ. 

Ces propositions sont au nombre de cinquante-neuf et 
méritent encore de fixer l'attention aujourd'hui, elles 
renferment ce qu'on a écrit de plus clair, de plus philoso- 
phique sur le mouvement de rotation et siu" la (juestiou 
coiiMcxe des forii-s \ivcs; en général, tout ce (|u il a écrit 



(47 ) 
est utile à lire et à méditer. Ce n'est pas seulement un 
géomètre, c'est un savant et, qui plus est, un penseur: le 
charme de telles lectures rend fort ennuyeuses grand 
nombre d'autres lectures. 



MOYEN HYDRODYNAMIQUE POUR TROUVER L'AIRE D'UN 
CERCLE-, 

D'après MAUROLYCUS. 



On construit : i° un cylindre creux, ayant pour base le 
cercle et pour arête le diamètre de ce cercle ; 2° un cube 
creux, ayant pour côté ce même diamètre. On place les 
deux corps par leurs bases, sur un plan horizontal , bien 
nivelé; ensuite, après avoir rempli d'eau complètement le 
cylindre, on verse cette eau dans le cube, qui ne sera 
pas rempli complètement. Multipliant la hauteur qu'at- 
teint l'eau dans le cube par le côté du cube, on a l'aire du 
cercle servant de base au cylindre (*). On trouve ce pro- 
cédé dans la traduction d'Archimède, par Maurolycus, 
éditée par Cyllennius, Hesperius. Palerme, i685. 

On y indique aussi le moyen de trouver le centre de 
gravité d'une surface plane, en la suspendant à un fil à 
deux points différents, moyen qui est aujourd'hui indi- 
qué dans tous les Traités de Statique. 

On lit ce qui précède dans l'ouvrage suivant : 
j4dmirandi jirchiniedis inonunienta oinnia mathema- 
tica quœ extant, quorumque catalogum irwersa pagina 
démontrât. Ex traditione doctissimi viri D. Francisai 
Mauroljci, nobiîis Siculi abbatis Sanctœ MariœaPartu. 
Opus prœclarissimun, nunc prius typis cornmissuni,a ma- 

(") On n'insérera pas do démonstration. 



(48) 

theseos vcvo stuJiosis enixe desideratum^ tandemque e 
fuligine temporum accurate excussum . Ad dlustr. et re- 
ligiosissimwii vîriim Fr. Sùnonem Rondinelli, Sac. Hie- 
rosolymitanœ Religionis Equitem laiidatiss. S. Joan- 
7iis Baptistœ a Sauigliana, nec non Poudade a et S. 
Phdippi de Osmo Commendatorem diguiss. Unius e 
3IeIileJisibns triremibus olim strenuissvnum ductorem, 
pîuniiiarnmque Jïaviuni Turcicariiin debellatorem glo- 
riosum, in urbe feliciss. Panormo pro sua sac. relig. 
pluiibiis annis vigilantiss. Legatum, Receptorum ac Pro- 
curatorem generalem, et incljtœ Reaccensoruni Aca- 
demiœ Orbe in ipsa erudilissimum principem Panormi. 
Apud D. Cjllenniuni Hesperiwn , cinn lie. sup. 
MDCXXXF . Sumpl. Antonini Giardinœ bibîiopolœ 
Panorm. Fol. IF. 296 pages. 

Maurolycus (François), né à Messine eu i494i d'une 
famille originaire grecque de Fanariole, est mort le 
21 juillet iSjS. Grand géomètre, il se mêlait, à ce qu'il 
paraît, d'astrologie. Don Juan l'ayant consulté, il lui pré- 
dit, à ce qu'on prétend, la victoire de Lépante. 

« Les plus grands hommes demeurent toujours en- 
fants par quelque endroit. Ceux mêmes qui ont recon- 
nu l'illusion de ces présages en ont substitué encore 
d'autres plus ridicules à ceux qu'ils ont rejetés. Il semble 
que l'esprit humain ne puisse se défaire d'une folie, qu'en 
la remplaçant par une nouvelle, et que toute la perfection 
se trouve à changer seulement d'erreurs. » (La Motte, 
OEiu'rcs, t. III, 17145 P- 26.) 

En 1714 La Motte a écrit l'histoire de notre temps. 
Extravagances pour extravagances, aux charlatans /^yj/zo- 
manciens, nécroscopcs, aux esprits frappeurs, médiums, 
etc, je préfère les horoscopes, les œuvres hermétiques, 
qui au moins ont été utiles aux sciences. 



{ 4y ) 
TRACÉ DES CARTES GÉOGRAPHIQUES. 



DISCOURS PRONONCE LE 8 FEVRIER 1856 

A LA SÉANCE ANNUELLK DE l'uMVERSITÉ IMPÉRIALE DE SAINT-PÉTERSBOURG, 

Par p. TCHÉBYCHEF (*). 



Messieurs, 

Les sciences mathématiques, dès la plus haute anti- 
quité, ont attiré l'attention d'une manière spéciale; de 
nos jours elles ont acquis encoie plus d'intérêt par leur 
influence sur les arts et l'industrie. Le rapprochement de 
la théorie avec la pratique donne de très-heureux ré- 
sultats, et la pratique n'y gagne pas seule 5 les sciences 
elles-mêmes se développent sous son influence : elle fait 
découvrir des objets nouveaux de recherches ou des faces 
nouvelles dans les sujets connus depuis longtemps. 

Malgré le haut degré de développement auquel sont 
parvenues les sciences mathématiques par les travaux 
des grands géomètres des trois derniers siècles, la pratique 
dévoile clairement leur imperfection sous beaucoup de 
rapports", elle pose des questions essentiellement neuves 
pour la science, et provoque ainsi la lecherche de mé- 
thodes entièrement nouvelles. Si la théorie gagne beau- 
coup aux nouvelles applications d'une vieille méthode 
ou à ses nouveaux développements, elle doit encore ac- 
quérir davantage par la découverte de nouvelles métho- 
des, et dans ce cas la pratique est pour la science nu 
guide sûr. 

(') Traduit du russe par M. Mention. 

Uullelin malhcmatiqur, i. VI. (Juillet 1860.) T 



{ 5o ) 

L'activité pratique de l'homme office une extrême divcr' 
sîté, et povir en satisfaire toutes les exigences, le défaut 
de méthodes nombreuses et variées se fait sentir dans la 
science. Une importance particulière s'attache aux mé- 
thodes que nécessite la solution des aspects divers d'un 
même problème général, savoir : Coininent disposer de 
ressources données pour en retirer le plus grand profit 
possible? 

La solution des problèmes de ce genre constitue l'ob- 
jet appelé théorie des maximums et nnnimunis , D'un 
caractère purement pratique, ces problèmes ont une im- 
portance particulière pour la théorie*, ils se rencontrent 
dans toutes les lois déterminant le mouvement de la ma- 
tière, soit pondérable, soit impondérable. Il est impossible 
de ne pas reconnaître leur influence salulaire sur le déve- 
loppement des sciences mathématiques. 

Jusqu'à l'invention de l'analyse infinitésimale, on ne 
possédait c{ue des cas particuliers de la solution de pa- 
reils problèmes; mais ces solutions renfermaient déjà le 
germe de la nouvelle et si importante branche des malhé- 
maticjues, connue sous le nom de Calcul différentiel. Pour 
montrer l'iniluence des questions de maximum et de mi- 
nimum sur cette découverte, je rapporterai ici le passage 
du célèbre ouvrage de Newton, Philosophiœ naturalis 
principia mallietnalicn , où il parle de l'origine d'une dé- 
couverte, dont les applications et les résultats sont aujour- 
d'hui innombrables . 

«Il y a dix aus {en i6|7'y) ,(juaud je correspondais avec 
le très-savant géomètre Leibuitz, je lui écrivis (|uc j'avais 
une méthode pour la détermination des maxiina et minima, 
pour mener les tangentes et résoudre d'autres questions 
analogues, et que cette méthode pouvait être employée 
avec la même facilité pour les équations tant irrationnelles 
cjue rationnelles. .Te cachai alors ma méthode sous des 



( 5i ) 
lettres transposées, dont le sens était le suivant : « Une 
» équation renfermant un nombre quelconque de quanli- 
» tés fluentes, trouver la fluxion et réciproquement. » A 
quoi l'illustre Leibnitz répondit que, de son côté, il avait 
trouvé une méthode semblable, et il me la communiqua 
dans sa lettre même. Cette méthode se distinguait de la 
mienne seulement par la dénomination et la notation. » 
(Remarques sur la '^^ proposition du i^ livre, édition 
de 1713.) 

Mais la découverte du calcul différentiel et la solution 
de problèmes analogues à ceux qui y avaient conduit, n'é- 
puisaient pas complètement le sujet; les recherches de 
Newton lui-même le manifestèrent: la question, qu'il 
résolut, de déterminer la forme d'un corps qui, se mou- 
vant dans un fluide, rencontre la moindre résistance, 
offrit un problème de maxinia et minima^ essentiellement 
distinct de ceux pour lesquels on avait employé le calcul 
différentiel. La méthode générale pour résoudre les pro- 
blèmes de ce genre, important surtout en mécanique ana- 
lytique, conduisit encore à la découverte d'un nouveau 
calcul , connu sous le nom de Calcul des variations. 

Malgré un tel développement des mathématiques, rela- 
tif à la théorie des maximums et minimums.^ il est aisé 
de remarquer que la pratique va plus loin, et exige la so- 
lution de problèmes sur les maxima et minima^ encore 
d'un nouveau genre, essentiellement distinct de ceux 
qui ont recours aux calculs différentiel et des vaiiations. 

Comme exemple de semblables questions et de leurré- 
solution, nous pouvons présenter nos recherches sur le 
parallélogramme cleTVntt, imprimées dans les Mémoires 
fies Sauanls étrangers de notre Académie pouri854. Par 
les résultats auxquels nous sommes parvenu, en exami- 
nant la méthode nécessaire pour déterminer la meilleure 
construction îles mécanismes de cette espèce, on voit que 



( 52 ) 
dans ce cas les questions pratiques conduisent à beau- 
coup de résultats théoriques intéressants pour la science; 
que, des méthodes provoquées d'abord par la pratique, 
découle le moyen de résoudre de nouvelles questions 
théoriques, intéressantes même indépendamment de leur 
signification pratique (*). 

Le tracé des cartes géographiques offre un autre exem- 
ple, particulièrement remarquable, de questions de ce 
genre. Dans l'état actuel de la théorie des cartes géogra- 



(*) Ainsi nous trouvons ici, entre autres choses, la solution de la ques- 
tion suivante : « Une fonction entière 

x"' + A ^"'-' -+- B x"*-' -+- C x"" H- . . . H- H 

variant nécessairement avec x, quel sera le moindre degré de sa variabi- 
lité? » Et ensuite : « Par quelles valeurs de A, B, C,..., H atteint-elle cette 
limite? » La solution de ce problème fournit beaucoup d'intéressants résul- 
tats d'algèbre supérieure. Par exemple : 
1°. Si l'on a l'équation 

/(x) = x"+ Bar"-'-f-Cx"-' -+-. . .H-H = o, 



'\'±f{h) 
alors entre les limites h&ih± l\^ , il se trouve au moins une 

racine d'une des équations 

/(^)=o, /'(x) = o. 

Le signe du radical se détermine par celui de la fraction • Ceci est 

J (''■) 
d'une application importante dans la séparation des racines par la mé- 
thode de Fourier. 
2°. Dans l'équation 

^^"+-' + B x^"- ' -4- C x"*--^ -^ . . . -H H X ± K = o, 

il y a toujours une racine entre — 2 i / - et rt J V/~' ^ ''"^ résulte 
cette propriété des équations : 
Dans l'équation 

x^--^' -H B x"'-'4- Cx"'-'h-. . .-H H x±K = 0, 

renfermant x à des puissances impaires, si K est compris entre — J et 
t- 9, il se trouve, entre les mêmes limites, au moins une racine. 



( 53 ) 
phiques, on peut enseigner en nombre infini diverses mé- 
thodes pour leur iracé, de manière que les éléments très- 
petits de la terre conservent dans la représentation leur 
véritable forme. Mais puisque, en outre, par la propriété 
de la terre d'être spliéroïdale, l'échelle de représentation 
de ses divei s éléments varie nécessairement, les éléments 
égaux ,^pris à des endroits différents, seront représentés 
sur la carte avec des dimensions différentes. Plus les 
changements d'échelle seront sensibles, plus inexacte 
sera la carte géographique. Et puisque la grandeur de ces 
variations d'échelle , sur l'espace d'une même portion de 
surface, est plus ou moius forte, selon la méthode de pro- 
jection, la question suivante se présente naturellement : 

Pour quelle projection ces changements d'échelle se- 
ront-ils le plus petits possible ? 

Dans une Note que j'ai lue à l'Académie des Sciences, 
dans sa séance du i8 janvier, j'ai montré que ce pro- 
blème, traduit en analyse, se ramène à un problème spé- 
cial de maximum et minimum^ essentiellement distinct 
de ceux qu'on résout dans les calculs différentiel et des 
variations. Ce problème ressemble à ceux qui ont fait 
l'objet du Mémoire précité sur le parallélogramme de 
JVatl y mais il se rapporte à une classe plus élevée: là 
on cherchait quelques constantes, ici on demande de 
trouver deux fonctions inconnues , ce qui correspond à la 
détermination d'une quantité infinie de constantes. Cela 
établit entre ces problèmes une différence analogue à 
celle qui existe dans les problèmes du calcul différentiel 
et du calcul des vaiiations. Sous le rappoil théorique, cet 
objet est d'autant plus intéressant qu'il se ramène à la 
recherche d'une équation aux dérivées parlielles, parti- 
culièrement remarquable, exprimant, entre autre choses, 
l'équilibre de chaleur dans les plaques infiniment minces. 
Ainsi, le problèmi- sur les projections de caries les plus 



( 54) 

avantageuses est liée à cette propriété remarquable de la 
chaleur: Dans l'équilibre de chaleur d'une plaque circu- 
laire infiniment mince, la température du centre est la 
moyenne de la température de tous les points de la cir- 
conférence-, de même pour la sphère, la température du 
centre est la moyenne des températures à la surface. 

La solution définitive de la projection la plus avanta- 
geuse pour les cartes est très-simple : la projection la plus 
avantageuse, pour représenter une partie quelconque de 
la surface terrestre, est celle dans laquelle aux limites de 
la représentation l'échelle conserve une même grandeur 
facile à déterminer, d'après la grandeur normale de 1 é- 
clielle adoptée. En ce qui louche la détermination de la 
projection jouissant de cette propriété, elle se réduit au 
problème ordinaire dans lequel // s'agit, d' intégrer une 
équation aux dérivées partielles , où la valeur de l'inté- 
grale aux limites est donnée, limites entre lesquelles elle 
doit rester finie et continue. 

Ainsi, pour la représentation de chaque contrée sur la 
carte, il n'y a qu'une projection la plus avantageuse. Elle 
se détermine par la position de la contrée par rapport à 
l'équateur et la forme de ses limites: en outre, les paral- 
lèles et les méridiens représentent diverses lignes cour- 
bes, mais généralement approchantes du cercle et de la 
droite, si l'on projette une petite portion du globe ter- 
restre. Ces ligiies se construiront par points sans aucune 
dilliculté. 

Les cas où les parallèles et les méridiens se transforment 
complètement en cercles ou lignes droites, sont surtout 
remarquables; cela facilite notablement le tracé des cartes 
de dimensions minimes. Lagrange, dans ses IMémoires 
Sur la conslruciion des cartes géographiques [winwcaxw 
Mémoires de l'Académie de Berlin, 1779) a déterminé 
toutes les piojections où cela a lieu. En se fondant snr la 



( 55 ) 
projjriété générale de la projection la plus avantageuse, 
il n'est pas difficile de montrer pour quels pays il con- 
viendrait de s'en servir: les limites de ces pays se déter- 
mineront par les points pour lesquels l'échelle, dans ce 
genre de projection, conserve la même grandeur. Les li- 
mites déterminées de cette manière représentent généra- 
lement des courbes assez compliquées. Mais, à mesure que 
l'espace décrit diminue, elles se simplifient et convergent 
rapidement vers des ellipses, tellement qu'elles ne diffèrent 
guèredeceslignes, pour la représentation decontrées assez 
étendues, comme par exemple la R.ussie d'Europe. Ces 
ellipses ont des positions connues, déterminées; leur 
centre se trouve au centre de projection 5 l'un des axes 
est dans la direction du méridien. Le rapport des axes de 
ces ellipses se détermine au moyen de la position du 
centre, relative à l'équateur, et d'une certaine quantité 
que Lagrange appelle exposant de projection. 

Réciproquement, pour la représentation de chaque 
partie du globe, assez petite et bornée par une ellipse 
semblable, on peut trouver la méthode de projection, sui- 
vant laquelle les parallèles et les méridiens seront des 
lignescirculairesou droites, et qui donnera une représenta- 
lion approchant de la réalité. Mais pour cela, d'après ce 
qui a été dit plus haut, le centre de projection et son ex- 
posant doivent être choisis d'une manière convenable, 
d'accord avec la position du pays et la forme des frontiè- 
res {*). De là des méthodes particulières de projection, 

(*) L'exposant de projection se détermine par la formule 



v/^ 



cos' /, 



où l est la latitude du centre , n le rapport de l'axe dirigé suivant le mé- 
ridien à l'autre axe. [Voyez ma Note bur la construction des cartes géogra- 
phiques, lue à rAcadémie le. 18 janvier de la présente année.) 



(56) 
où l'on conserve la similitude des éléments infiniment 
petits, telles que : stéréograpliique , polaire et horizon- 
tale, projection de Gauss et de Mercalor, qui se concluent 
toutes de la méthode générale par une hypothèse parti- 
culière sur le centre de projection ou l'exposant. Elles 
ne peuvent donner une représentation approchant de 
l'exactitude que dans des cas particuliers connus. 

Ainsi, si l'ellipse ci-dessus mentionnée se transforme 
en cercle, l'exposant devient égal à l'unité, et la projec- 
tion la plus avantageuse se réduit en général à la projec- 
tion stéréographique horizontale ^ qui se transforme en 
polaire, quand le centre du cercle coïncide avec le pôle 
de la terre. A mesure que l'axe de l'ellipse, dirigé selon 
le méridien, diminue, la projection la plus avantageuse 
s'approche de celle de Gauss. Le centre s'approchant de 
l'équateur, cette projection devient celle de Mercator. 

Il est clair, d'après cela, que, avant en vue d'obtenir 
la meilleure représentation cartographique de pays diffé- 
rents, on ne peut se borner à un seul ou plusieurs des 
procédés particuliers, mais qu'il est nécessaire d'em- 
ployer la méthode générale, en choisissant chaque fois 
convenablement et le centre de projection et la grandeur 
de l'exposant. 

D'après ce qui a été dit plus haut, cela s'effectue aisé- 
ment, parla projection d'une partie du globe dont les 
limites leprésentent une ellipse, avec un axe dirigé selon 
le méridien. 

Mais la pratique n'offre jamais de cas aussi simples 5 
les frontières des divers pays ont toujours la forme de 
courbes extrêmement irrégulière?. Malgré cela , pour la 
meilleure représentation d'une contrée pas trop étendue, 
on peut déterminer la position du centre de projection 
et la grandeur de l'exposant, en comparant la forme des 
frontières à l'ellipse ou aux autres sections ioniques. 



( 57 ) 
Pour cela il sulTil d'avoir une reprosenlaliou approchée 
du pays, pour la projccliou duquel on cherche le centre 
el l'exposant les plus avantai^eux, et à cet effet on peut 
employer une carte tracée par qut l([ue méthode que ce soit. 
A proprement parler, ici trois hypothèses sont à faire, 
qui donnent le principe de trois solutions distinctes* 
mais, eu les comparant entre elles, il ue sera pas difficile 
de trouver la plus avantageuse, i" On peut regarder la 
contrée à projeter comme une portion d'espace bornée 
par une ellipse, avec un axe dirigé selon le méridien ; pour 
les pays où la plus grande étendue en méridiens el paral- 
lèles se trouve presque opposée au centre , cela correspond 
toujours à la solution la plus avantageuse : ce cas se ren- 
contre le plus dans la pratique. 2" On peut regarder la 
contrée à projeter comme une portion d'espace comprise 
entre deux ellipses, deux hyperboles ou deux paraboles 
semblablement disposées : cela peut donner la solution la 
plus avantageuse, seulement pour les pays recourbés en 
forme de faucille ou offrant une bande étroite inclinée 
sur les méridiens et les parallèles. 3^* Enfin elle peut être 
comparée à un espace compris entre les branches de deux 
hyperboles opposées : cela correspond aux contrées dont 
les frontières sont sensiblement courbées en face du 
centre (*). 



(*) Pour un espace qui, dans la projection stéréographiqne liorizontale 
avec le rayon dr i, est borné par l'ellipse 



la limite des changements d'échelle (la dilTcrence entre la plus grande et 

la plus petite, divisée par l'échelle moyenne) s'exprime ainsi : — ; 

a -i- t 

pour l'espace entre les deux ellipses 

f! -L' — ■ 1 — ■ ^2 — 
•j' II- n^ h' 

Hulhiin nitilhcnuU'ufUf, \. W ( Aniit iSGo.) " 



( 58 ) 

En nous arrêtant à la première hypothèse, qui com- 
prend la plus grande partie des cas qu'on rencontre dans 
la pratique, nous remarquerons que , parmi la quantité 
d'ellipses qui peuvent être décrites autour de la contrée à 
projeter, la projection la plus avantageuse se déterminera 
par la plus petite, si pour la comparaison des diverses 
ellipses entre elles nous adoptons la longueur de leur 
diamètre moyen, également incliné sur les axes. 

D'après la forme des frontières, il n'est pas difficile de 
reconnaître les points sur lesquels cette ellipse s'appuiera, 
et par eux de trouver les axes et le centre. Le centre de 
cette ellipse sera le lieu le plus avantageux du centre de 
projection-, la position de ce centre et le rapport des axes 
de l'ellipse se détermineront au moyen de l'exposant le 
plus avantageux. Tout ceci se rapporte principalement à 
la représentation des contrées très-petites-, mais pour les 
contrées étendues, d'après la méthode générale d'approxi- 



celte limite égale ^-!^— ^ ^i î «"^^c les deux byperboles 

a -i- 

<^( X* i") l't' 

elle égale ■ _^, , ,.- • ; entre les deux paraboles 
;t ( a — b ) 

x^=i2py -ha, x^ ^= 7 py -{- a.' , 

elle est égale h 2(« — «'); enfin dans l'espace entre les branches des deux 
hyperboles opposées 

û» b-~^' a' b'~ *' 

■1 I 1' _)_ l) n^ h* 

la limite du channement d'échelle égale . , . rrr-* Cela résulte des 

" — ("' ~ ^ ) 

dernières équations de la note pins haut mentionnée et est exact jusqu'à 
tanç* - près, où u est la dislance angulaire des points du pays prwjoté au 
point adopté pour centre de projection stéréograpliiquc. 



(59) 
luatîon successive, il est aisé de trouver les corrections 
et pour la position du centre et pour la grandeur do l'ex- 
posant. Ainsi s'obtiendra la méthode la plus avantageuse 
de tracé géographique d'un pays donné, dans lequel les 
parallèles et les méridiens restent des cercles. 

On voit donc que le tracé des cartes géographiques 
appartient au nombre de ces questions pratiques, qui se 
résolvent diversement pour les diverses contrées-, que la 
méthode de tracé, avantageuse pour la France, l'Alle- 
magne ou l'Angleterre, peut être désavantageuse pour la 
Russie. En outre, par son étendue, la Russie offre des 
difficultés particulières dans la représentation cartogra- 
phique; c'est pourquoi le choix de projection le plus 
en rapport avec son espace, la forme de ses frontières et 
sa position relativement à l'équateur, a une importance 
spéciale. Sans parler des cartes embrassant toutes les par- 
ties de la Russie, les cartes de ses diverses parties présen- 
tent des variations d'échelle très-sensibles. Ainsi, en pro- 
jetant tout ce qui lui appartient du côté des monts Ourals 
par la méthodede Gauss, on admetdes variations d'échelle 
de plus de ^; ce qui, pour la mesure des surfaces, donne 
une différence de mi mille carré sur dix^ erreur très-sen- 
sible. Les erreurs deviennent moindres par la projection 
stéréographique horizontale, avec un centre convenable- 
ment choisi 5 mais la différence d'échelle atteint yj, ce qui 
fournit pour l'évaluation des surfaces une erreur de un 
mille carré sur dix-sept. Ces erreurs ne sont pas assez 
petites pour être négligées; le moyen de les diminuer 
consiste à déterminer la projection correspondant le 
mieux à la forme et à la position du pays projeté. 

En examinant sur la carte cette partie de la Russie, nous 
remarquons que dans le contour général de ses limites, elle 
est loin d'être une ellipse dontl'axe se dirigerait selon le mé- 
ridien ♦, et, dans ce cas, comme nous l'avons vu, on ne peut 



{6o) 
parvenir à la meilleure représentation, en conservant pour 
méridiens ou parallèles des cercles ou des lignes droites. 

Simplifier ainsi la construclioa de sa carte, ce serait 
diminuer sensiblement le degré d'exactitude de la repré- 
sentation. Pour atteindre la représentation la plus exacte, 
il est nécessaire de déterminer, d'apiès ce qui a été dit 
plus liant, la mélliode de projection, en intégrant une 
certaine équation. Puisque l'intégration doitètre effectuée 
sous des conditions dépendant de la forme des limites et 
que ces limites présentent toujours des courbes compli- 
quées, il s'entend que l'intégration exacte est impossible. 
Mais la pratique ne l'exige pas. Il lui suffit de se borner à 
des variations d'échelle de dix-millièmes, et dans ce cas 
tout repose sur la détermination de certains coefficients 
qui, avec uiïe précision suffisante pour la pratique, peu- 
vent être calculés d'après la forme des limites, si recour- 
bées qu'elles soient. Quant aux parallèles et aux méri- 
diens, ils se construiront par points sans difficulté. 

Passant à la méthode la plus simple de tracé des car- 
tes, où les parallèles et les méridiens représentent des 
cercles ou des lignes droites, nous remarquons que les 
possessions de la Riissie, du côté des monts Ourals, du 
Caucase et de la Géorgie, s'étendent plus du nord au 
sud que de l'est à l'ouest ^ dès lors on ne peut comparer 
cet espace à un ceicle, encore moins à une ellipse dont 
l'axe dirigé du nord au sud serait très-petit, en comparai- 
son de Taxe dirigé de l'est à l'ouest. Par conséquent, 
d'après ce qui a été dit ci-dessus, ni la projection de 
Gauss, ni la projection stéréographique ne correspondent 
à la forme du pays. Appliquant au cas actuel la méthode 
de détermination du centre et de Texposant que nous 
avons montrée, nous remarquons f|ue le centre de Tel- 
lipsc miuimuui qui , ayant un axe diiigé suivant le niéri- 
dieu, embrassant toutes les possessions ouralieuues de la 



(6i ) 
Russie, y compris le Caucase et la Géorgie, se trouve 
entre Jaroslaf et Ouglilcli , à S^" de longitude et 
57", 36' de latitufîe; le rapport de ses axes est égal à y|. 
Partant de cette ellipse, nous trouvons qu'à la projection 
la plus avantageuse corresjtond l'exposant 1,0788 (*). 
Cette grandeur ne diffère de i, exposant de la projection 
stéréographique, que d'une quantité inférieure à un 
dixième. Mais une telle différence a une notable in- 
fluence sur le degré d'exactitude de la représenlalion. 
Nous avons vu que la projeclion stéréographique, pour 
la position la plus avantageuse de son centre, sur l'espace 
de la portion de Russie examinée par nous, offre une va- 
riation d'échelle allant jusquà —-. En adoptant la quantité 
trouvée 1,0788 pour l'exposant de projection et plaçant 
son centre entre Jaroslaf et Ouglilch (à 5 7'' de lon- 
gitude, et 57'^42'3o" de la latitude), nous avons obtenu 
une carte de celle partie de la Russie, où les changements 
d'échelle ne dépassent pas t^ , et c'est le plus haut degré 
de précision qu'on puisse atteindre , en conservant 
pour parallèles et méridiens des cercles et des lignes 
droites. 

C'est ainsi, Messieurs, que la majeure partie des ques- 
tions pratiques se ramène à des pioblèmes de maxinnims 
et ininiinuuis^ entièrement nouveaux pour la science; et 
ce n'est que par la solution de ces problèmes que nous 
pouvons satisfaire aux exigences de la pratique qui cher- 
che partout ce qu'il y a de meilleur, ce qu'il y a de plus 
avantageux. 



(*) Par la formule de la remarque faite pa^je 55, pour /^^S/^SG', 
n=:i,-y, l'exposant est i,oGy5. Calculant les corrections, nous trouvons 
qu'on doit augmenter ccltf! quantité do 0,01 13, et que la latitude du centre 
de projection est éyalc à 5y° 3G' -t-G' 3o" = 5;° /fi' 3û". Sa longitude reste 
é^jale à 5";". 



62 



BIRGI (JOBST) 

ET SENS NÉPÉRIEN DU MOT LOGARITHME (»); 

D'après M. Wilhfm JIATZKA , 

Professeur à l'université de PrajTiie. 



Eu 1620 Burgi publia l'ouvrage suivant : 

j4nthmensche itnd geometrische Progress-Tahuîen , 
sambt griuidlichen Uriterricht, wiesolchc niitzllch in al- 
lerley rechnimgen zii gehrauchcn wid vers tan clen verden 
sol. Gedrucht in der allcn sladt Prag, hei Paul Sessen , 
der loblichen Universitet bnclidrucher. Im jaJire 1620. 

« Tables progressives arilhméliques et géométriques, 
avec une instruction solide pour les comprendre et s'en 
servir utilement dans toutes sortes de calculs. Imprimé 
dans l'antique ville de Prague, par Paul Sessen, impri- 
meur de la louable Université, Dans l'année 1620. » 

Format petit in-4 de 7 feuilles et demie. 

\J Instruction solide a été omise, il n'y a que les 
Tables : de sorte que le but véritable de ces Tables n'était 
pas bien connu. Cela a contribué à faire croire que Burgi 
a inventé les logarithmes longtemps avant Neper; à 
(juoi il faut ajouter l'assertion de son beau-frère Bramer 
que nous avons citée [Bulletin, t. IV, p. 5^), et surtout 
ce que dit Kepler avec tant d'assurance dans ses Tabulée 
Jludolphinœ ; fol. Ulma^, 1617 : 

Hoc inqunin ii expctis : ecce tihi apices logistici Juste 
Byrgio mullis aunis aiite cdilioncm ncpcrianam, ^uanl 
prœiverunt ad lios ipsissimos logarithnios. Etsi home 

^^') Journal tic ijiuruit, I \\ , p. \>{ ; lSJ)0 cl l. \X\1V, \>. ;i.|i) ; 18O0. 



( ^>;^ ) 

ounctalor el sccretorum suoiuin cuslos^ fœt uni in paitu 
(lestituit, non ad iisiis puhlicos erhicauif. 

D'après cela, des doutes sur la priorité de rinvention 
étaient légitimes, et M. Matzka, dans son Mémoire de 
i85o, se prononce même en faveur de Burgi ; mais depuis 
la question a changé de face. M. le D"" Gieswald, profes- 
seur en premier du gymnase de Dantzig, a eu le bonheur 
de découvrir dans la Bibliothèque de celte ville le manus- 
crit de V Instruction solide ci-dessus mentionnée, et l'a 
publié in extenso (p. 26-36) dans sa dissertation Pro- 
gramme scolaire (*) de i856 : 

Justus Byrg als matJiematiher and dessen Einleitung 
in seine logarithmen. 

« J. Byrg comme mathématicien et sur son Introduc- 
tion à ses logarithmes. » 

Dans la préface à cette Instruction^ on lit : 
Betrachtent derowegen die eigenschaft und corres- 
pondenz der i progressen alz der arithnietischen und 
der geometrischen j das -was in der ist multipliciren, ist 
in jener nur addiern^ und was in der ist dividiern in 
jener suhtrahiren ^ und -was in der ist radicem quadra- 
tam extrahiren., injeuer nur ist halbiren \ radicem cubi- 
cam extrahiren, nur in 3 dividirn ; radicem zensi in 4 di- 
viern. sursolidam in 5 und alsofort in atidevn quanli- 
taten . 

« Considérant à cet effet la propriété et la correspon- 
dance de deux progressions, telles que l'arithmétique et la 
géométrique, ce qui dans celle-ci est multiplier est àans 
celle-là seulement additionner^ ce qui dans celle-ci est 

(*) 11 est d'usage en Allemagne que les directeurs ou supérieurs des col- 
lèges publient à la fin de l'année scolaire, non pas des discours qui le 
plus souvent impatientent les élèves et ennuient les spcctaleurs, qu'on 
croit auditeurs, mais des dissertations scientifiques, curieuses et instruc- 

lÏTCS. 



diviser est dans celie-là soustraire j ce qui clans celle-ci est 
radicem qiiadratam extrahere, est dans celle-là ditni- 
dierj radicem cuhicani extrahere^ seulement diviser par 
3 5 radicem ze/î^/ par 4 5 sursolidam par 5, et ainsi de suite 
pour les auti-es quantités. » 

Mais tout ce paragraphe de Burgi n'est que la traduc- 
tion presque littérale d'un passage de l'arillunétique de 
Micliael Sliffel (voir Bulletin, t. I, p. 71), dans son 
Aritlunetica intégra [i^^'j, p. 249). Stifld place Tune 
au-dessous de l'autre les deux progressions : 

—3, —2, — I , o, I, o, 3, 4,.. ., 
y» T") i' '' ^' ^' ^' '^'' • • 

Et dit là-dessus : 

Qnaliaqtie facit progressio geonietrica multiplicando 
et dividendo, talia J'acit progressio aritlunetica addendo 
et sublrahendo. 

Et Lil). 1, p. 35, il ajoute : 

yiddilio in arithmeticis progressionihus respondet 
jnuhiplicationi in geometricis . — Suhstractio in arith- 
meticis respondet in geometricis divisioni. — Divisio in 
arithmeticis progressionihus respondet extraclionihus 
radicum in progressionihus geometricis^ ut dimidiatio in 
arithmeticis respondet extractiotii quadratœ in geome- 
tricis. — Iriplatio in arithmeticis lespondet multiplica- 
tioni cuhicœ in geometricis. — Quint uplatio in arithme- 
ticis respondet mulliplicationi surdesolidœ in geome- 
tricis. Et sic de aliis in infïnilum. 

Ikirgi dit presque mot à mol la même chose et même 
la phrase finale. 

L'Instruction solide débute ainsi : 

Zu diescn Tahulcn Jindcl man Zweierley Zahlc/i : 



(65) 

cuic initt rothcn Caractern, welchc wie cincni iedcn 
Icichilich zn sehen, niclils anders dann cin arithmeschev 
progrcssj die aiidre aber mit schwarzen nichts anders 
dann ein geonietvischer progress ist : und auf das -wir 
in dieseni desto kiirzer durchgehen, wollwir dorlhin den 
arithnietischen progress die rothe et den geonietrischen 
progress die scirwarze zahl nennen, daniitauch einieder 
die fiindamenta dieser tabulen griindh'cher fasse und 
diesel/fige besscr gehrauchen, so wollen wir in folgender 
begriff dieser i progressen fïir aiigen stelleti und 
dieselben mit ellichen excniplen erklaren. 

o. 1.2.3. A. 5. .( rodi ) 
Jrithmetik ... 



I .2.4.8. i6. 32. . .{schwartz) 



« Dans ces Tables, on trouve deux sortes de nombres : 
îes uns en caractères rouges, qui, comme chacun le voit 
facilement, ne sont autres qu'une progression arithmé- 
tique 5 mais les autres noirs ne sont autres qu'une pro- 
gression géométrique: mais afin d'abréger le trajet, nous 
appellerons nombre ronge la progression arithmétique 
et nombre noir la progression géométrique, et afin que 
chacun saisisse à fond les fondements de ces Tables cl 
puisse mieux s'en servir, nous voulons mettre sous les 
yeux la propriété de ces progressions et les expliquer par 
(quelques exemples : 

, Ci. 2. 3. 4- 5... (^ rouge) 

1.2.4 '8. 16. S?.. . .(noir) 

Ainsi Burgi se sert des deux mêmes progressions que 
Sliflel, et quoiqu'il ne le nomme nulle pari, il dit partout 
(|ue d'autres arilhméliciens, et entre autres un nommé 
Simon-Jacob Zons, ont traité des propriétés de ces deux 
séries. De là il résulte avec évidence qu'il n'a pas voulu 
passer pour l'invenieur de la relation entre les nond>rcs 

Uttllciin nialhèmai'ijuc, t. \'I. ( Sppti'mhre 18^0.) () 



{66 ) 
rouges et noirs, de ce qu'on nomme aujourd'hui loga- 
rithme et logarithmand (*). 

Dans la préface citée ci-dessus, il dit même expressé- 
ment : 

So habe ich nichts nutzlicheres erachtet, alsz dièse 
Tabulen also zu continuern, dass aile zahlen so vor- 
fallen in derselhen mogen gefunden werden, aiich 
welcher continuation dièse Tabulen envachsen. 

« Ainsi je n'ai pensé rien de plus utile que de con- 
tinuer ces Tables, de manière qu'on puisse y trouver tous 
les nombres qui se présentent \ cette continuation a donné 
naissance à ces Tables. » 

Ainsi Burgi se donne seulement comme continuateur 
de Tables qui ont existé avant les siennes. 

Burgi met dans le rang des nombres rouges toutes les 
dizaines 

G . I o . 20 . 3o . . . I oo . I I o . 1 20 

(terme général ion). 

Au-dessous de zéro, il met le nombre noir 1 00000000 
(huit zéros). 

Au-dessous de 10, il met le nombre noir loooioooo. 

Ainsi en style moderne, le terme général de sa progres- 
sion géométrique est 10*. (1001)". 

Si l'on prend pour unité un dixième, la progression 
rouge se change en 

0.1.2. 3. ..10. II. 12, • 

et en divisant chaque nombre noir par 10*, la progres- 
sion noire devient 

1. 1,001; I ,0002001 ., .(i ,001)". 



(') Les AUcmaaiis cinploiuiit ce mol jiour <losi(;ner le nombre corres- 
pondant à un lojjaritlime. 



(67 ) 

Stiffel avait adopté 2" pour la progression géométrique, 
à quoi Burgi substitue (1,001)". 

Dans nos Tables, les nombres se suivent selon l'ordre 
naturel, et les logarillimes approchés sont placés vis-à-vis ; 
dans les Tables de Burgi, ce sont les logarithmes qui sont 
disposés suivant l'ordre naturel i , 2 , 3, . . . , et les nombres 
approchés sont placés en regard. Ce sont des Tables dites 
anlilogarlthmiques, beaucoup moins commodes que les 
nôtres. 

On peut conclure, de ce qui précède, que Stiffel le pre- 
mier a vu la possibilité de remplacer les multiplica- 
tions, etc., par des additions, à l'aide de deux progres- 
sions correspondantes (voir JVoituelles annales, t. V, 
p. 496) 5 que divers ont calculé, à cet effet, les termes de 
ces progressions en les réduisant en Tables, et que Burgi 
a continué et donné plus d'extension à ces Tables. 

11 reste démontré que plusieurs, avant Néper, avaient 
en vue le même but que Néper, et que celui-ci l'a mieux 
atteint que ses prédécesseurs et d'une manière bien plvis 
philosophique, et ses Tables sont tellement accommodées 
aux besoins des calculateurs, qu'elles sont entrées dans le 
domaine public, surtout avec la base 10 de Briggs (*). 

Burgi ne se sert jamais de l'expression logarithme. On 
a donné à ce mol une origine qui se rattache à la théorie 
suivante qu'on doit à Kepler [Tabiilœ Rudolphinœ, 

cap. III, p. II, col. i). On dit qu'un rapport y est con- 
tenu m fois dans un rapport — lorsque le produit de m 



P , « « , 1 , «' , , . ( a\" 

facteurs égaux a j est égal a — : ce qu on écrit I -j 1 



(") Les opérations inrinilésiiiialcss'excculcnt avec la l)ase népérienne e ; 
il serait comnioilc d'avoir des Tables trigononiétriques avec cotte base : 
par là on éviterait les chanj;ements de systèmes. 



( 68) 
Supposons qu'on adopte un rapport fixe - et qu'on y com- 
pare successivement tous les rapports possibles j;; alors m 

est dit le logarithme de - 5 par exemple, prenons j = — , 

a' 2 1 10 N"''"'" 2 

et y7= -•, alors ( — | =- (à peu près), et o,3o)o3 

est le logarithme de 2 : c est la définition de Kepler, qui 
ne diffère pas essentiellement, comme l'on voit, de la d^- 
nition exponentielle d'Euler, aujourd'hui enseignée. De 
là on a déduit que logarithme est l'expression abrégée 
des mots grecs «îoirf^.os rav AoyâT", ratioiiuni nunicrus. 
Mais M. Matzka objecte très-judicieusement quelNéper a 
introduit le premier ce mot dans son ouvrage de i6'i4 
[Min/ici Logarithmoruni, etc.) et que sa théorie n'est 
nullement fondée sur l'idée d un nombre de rapports, car 
cette théorie est purement cinématique^ et, soit dit en 
passant, contient le premier germe des Jîuxions, le- 
quel, entré dans la tête de Newton, en sort comme calcul 
fluxionnel ^ de même que la théorie des grandeurs ex- 
trêmes de Fermât contient le premier germe des différen- 
tiels, lequel, entré dans la tétede Leibnitz, en sort comme 
calcul dijjérentiel. Il faut donc chercher chez Néper 
même le sens qu'il attachait au mot logarithme, dont d'ail- 
leurs il n indique nulle part explicitement la dérivation. 
Or, dans llntroduclion à l'ouvrage ci-dessus cité, on lit : 
Quum jiiliil sit... mathematicœ praxi tani molestum, 
quodque logistas (les calculateurs) magis remoretur, ac 
retardet, quani magnorum numerorum mulfiplicationcs, 
partitioncs^ quadratœque et cubicœ [scilicet radicis) 
cxtractiones, quœ, prœter prolixitatis tœdium, luhricis 
etiani erroribus /)larimum suut obnoxiœ, cœpi igitur 
anima rcvoh'crc^ (put artc ccrta et cxpcdila posscm dicta 
impcdila anioliri. AJu/tn snbinde in hune fuieui pcr- 



{ 69 ) 
pcnsis, nonniilla fnndem ùwoni jyrccchira compendia 
alibi JorLassc tract nnda (*) : veruui intcr oninia nidlum 
hoc utdiiis^ qiiod ti/ia ciim multiplicatiouibus , partitlo- 
nihus, et radicum extractiouibus ardais et prolixis, ipsos 
etiani numéros midtiplicandos^ di^ideiidos^ et in radi- 
ées resolvendos , ab opère rejicit et eorum loco alios 
subslîtuit numéros, qui illorum munere fungantur per 
solas addïtiones^ subtractiones, bipartitiones et triparti- 
tiones. Q^uod quideni arcanuin ciim... sit, qiio comniu- 
fiiiis eo meliiis: in publicnin mathematicoruni itsum pro- 
palare libuit. 

Voilà le but bien clairement exposé : il consiste à sub- 
stituer aux nombres données, d'autres dont les calculs 
sont plus faciles. Eu effet, dans son ouvrage publié en 
1619 sous le titre : Logarithmorum canonis construction 
il appelle les nombres nwneri naturales et leurs loga- 
rithmes numeri artijiciales, nombre arliGciel, nombre 
servant à calculer; or un nombre de compte se rend en 
grec par XoytTrtKÔç d^iOfiôç-^ le mol logistique était très- 
usité du temps de Néper-, Kepler dans ses Tables Ru- 
dolphincs appelle les nombres chiffrés des apices lo- 
gistici. Ainsi logarithme signifie donc dans le sens de son 
inventeur nombre artificiel. 

M. Matizka, qui donne cette ingénieuse et exacte déri- 
vation, fonde là-dessus une manière très-élémentaire d'ex- 
poser les logarithmes dans les écoles primaires. Un pro- 
duit ne change pas dans quelque ordre qu'on multiplie 
les facteurs ; une somme ne change pas dans quehjue 
ordre qu'on ajoute les nombres. Cette analogie suffit 
pour expliquer les logarithmes considérés comme nornbi es 
auxiliaires artificiels. 

(*) Probablcineiit ba Ilabdologie (1617 \ 



( 7« ) 



BIBLIOGRAPHIE. 



Mémoihe sur la théorie géométrique des surfaces du 
SECOKD ordre; pai^ M. Cit. Mèraj, docteur es sciences; 
Rome, in-4 de ^4 p^ges, 1860 (extrait des Annali di 
Mat. para ed applicata, t. III, janv.-fév. 1860). 

C'est une bonne élude sur la Géométrie supérieure de 
M. Chasles, et dont les théorèmes fondamentaux sont dé- 
montrés géométriquement. Ou n'y trouve qu'une seule 
équation, qui porte le n" i ; de quoi on aurait pu se dispen- 
ser, puisque cette équation est unique; c'est la méthode 
logique de IM. Chasles, rendue moins équationnelle, s'il 
est permis de s'exprimer ainsi. Est-ce un avantage? Nous 
trouvons même que la classique et célèbre Géométrie 
supérieure est trop peu équationnelle. Des équations 
écrites valent mieux que des équations parlées^ mais dont 
on se sert volontiers pour ressembler, à ce qu'on croit, à 
Euclide. Pure archéolàtrie. C'est faire rouiller une mé- 
daille fondue hier pour lui donner un vernis d'antiquité. 
La géométrie moderne se compose de Jigures, d' équa- 
tions et de déductions., sans négliger les inductions, 
source de découvertes, et de chacune selon les besoins de 
la cause, comme l'on dit au barreau. Pourquoi les Grecs 
n'ont-ils pas fait usage d'équations? Même réponse que 
pour les chiffres : parce qu'ils ne les connaissaient pas. 
Apollonius ressuscité ne marcherait pas plus sur les traces 
d'Euclidc (jue Platon ne serait ])latonicien, ([u'Aristolc 
ne serait aristotélicien; honmics de génie, ils appren- 
. draient nos procédés cl se placeraient bientôt au premier 
rang. Un courtisan disait au grand Frédéric que si César 
revenait, il trouverait à qui parler. « Si C'ésar revenait, 



( 7^ ) 
répondit i'illuslre capitaine, il éliulicrait nos moyens dé- 
lensifs et offensifs, et puis nous baltrait. » C'est vrai 
en toute chose. 



DIOPilAME 



Voici l'inscriplion yîc^/Ve sur son tombeau, rpi'on 
Jrouve dans V AntJiologie grecque [*) : 

Ovroç rov ùio(pxvrov t^ii TUfOî «. p<îyx Oc.ûuce 
K'Jt ru<poç en re^vijç fiîTi-cc /3{oio Myit. 

T>j a »^' iTt iCâ ojxxTti To y -u'/iXiov i^^/eno Çiyyoçy 

Ex dt yciLiav TiifJi.'Trrtf ttu-Û/ ntzt'iv(ri\ ira. 
Ai ou Tt>^uyiTOv àiiXov ny-cç, !;/kis~j TTctr^o-; 

Toi» èi «cri »i K^utC'Oi fûrf-O)/ iXav /3iÔtov. 
riêi/^af oàpj 7r ta-D'-ia-a-t TTHOt^youiay 't*tuvTo7s, 

Tti di TTOTou <rof(i^ "^^^F' îTrootjcn ^sov. 

Traduction latine. 

Hune Diopliantiis liabct tnmiilom qui tcmpora vii.-e 

Illiiis, mira dénotai arle tibi. 
Egit sextantem juvenis; laniigine nialas 

Vcsdre hinc cœpit parte duodecima. 
Septante uxori post hsec sociatur, et an no 

Formosus quinte nascitur inde puer. 
Semissem œtatis postquam altigit ille paternae, 

Inftlix subita morte peremptus obit. 
Quatuor aestats s genitor lugerc superstes 

Co-jitur, hinc annos illius assequere. 



(*) Bachet, n» iijjBr.LNCR, t. II, p. ^23; t. Ili, ji. a.?r); Jacods, t. XIV, 
p. 12G; Heilbronxer, p. Sjg. 



Imitât ion versifiée. 

Passant, sous ce tombeau repose Ijiophante, 
Et quelques vers tracés par une main savante 
Vont te faire connaître à quel âge il e-.l mort : 
Des jours assez nombreux que lui compta le sort, 
Le sixième marqua le temps de son enfance; 
Le douzième fut pris par son adolescence. 
Des sept parts de sa vie une encor s'écoula, 
Puis, s'étant marié, sa femme lui donna 
Cinq ans après un lils, qui, du destin sévère, 
Reçut de jours, hélas ! deux fois moins que son père. 
De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut : 
Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut. 

Solution. 

Représente par x le nombre en question 

Et, sans rien oublier, pose une équation 

Où dans le premier membre on trouve le sixième. 

Puis le douzième d'or, augmentés du septième. 

Ajoutes-y neuf ans : le tout égalera 

L'inconnue .r. Transpose, ajoute..., et caetera. 

Tu verras aisément, sans qu'on puisse en rabattre, 

Que l'âge du bonhomme est bien quatte-vingt-quatre. 

H. EUTROPE. 

Note (lu licdncleur. La poésie est plus ancienne (|ue 
la prose. Avant rinvcntion de l'écriture, riiistoire et la 
science se transmetlaieiit par des moyens ninénioni([ues, 
et le rliylhme est un de ces moyens. Les traités d'algèbre 
indiens, tel (jue le Lilnwa'i, sont en \ers. Que de milliers 
d'années écoulées avant la décomposition de la parole en 
mots et sons élémentaires et combinés, et d'autres mil- 
liers d'années avant la représentation graphique de ces 
sons ! 



( 73 



GENEALOGIE DE VIÈTE 



§ I. ViÈTE. — Famille originaire des environs de Fon- 
tenay, illustrée par l'un de ses membres, le fameux et sa- 
vant mathématicien François Vîète, créateur de l'algèbre. 

Nous devons les éléments de cet article à l'obligeance 
de notre collègue et ami JM. B. Fillon, qui lui-même a 
publié sur François \iète une Notice pleine d'intérêt. 

I. — Vielle (François), marchand à Foussays, men- 
tionné dans un acte de i528,estle premier de cette famille 
qui soit connu. Il fut père de : i'' Etienne, qui suit; i^ Ma- 
thurin, rapporté § IV ; 3° Jean, qui eut pour enfants : Alié- 
nor, dame de la Sablièie, mariée à Louis Suppin, et le 
23 janvier i583 à Charles Clabat, écuyer, seigneur des 
Granges 5 Anne, femme de Jean Cardinault, morte avant 
i58i*, 4° Jeanne, épouse de Jean Dubois, seigneur de 
Sainl-Cyr; 5° Josèphe, épouse de François Beau, sei- 
gneur des Cambaudières. 

II. — Viète (Etienne), qui le premier écrivit son nom 
avec un seul T, fut bachelier es lois, procureur à Fonte- 
nay et notaire de la seigneurie du Busseau. Il eut de 
Marguerite Dupont, fille de François et de Françoise 
Brisson : i'^ François, qui suit 5 2° Nicolas, rapporté 
§ II; 3° René, relaté § III; 4° Claude, mariée le 17 juin 
i568 à Crislophe Bonnet, mourut en i573 ; 5° Françoise, 
épouse de Pierre Robert, seigneur du Vignaulî, notaire à 
Fontenay, moite vers 1397; 6" Jeanne, morlc fille 
en 1.096 ainsi que 7" Julie. 

(*) Extrait du Dictionnaire hisloriqur, hiographiquc et i^rnciilogiquc des 
familles de l'ancien Poitou, par M. Filleul de la Touche. Poitiers; i8i'(0-i8;">'|. 
Bulletin malhèmaliqne, i. VI. ( Octobre iSini.) lO 



( 74 ) 

III. — T^iète (François), né à Foutenay en i54o, lit 
son droit à Poitiers et le termina dès l'âge de vingt ans. 
Après avoir plaidé comme avocat pendant quelque temps 
dans sa ville natale jusquen iSô^, il devint plus tard 
conseiller au parlement de Bretagne, où il figure le 6 avril 
1574. On doit supposer qu'il dut ce poste à la faveur dont 
jouissait soa cousia et condisciple le président Barnabe 
Brisson (*), près duquel il fut sans doute appelé à Paris, ce 
qui lui permit de faire des études sans lesquelles ses immen- 
ses découvertes eussent été sans base ni fondements. Obligé 
de quitter Rennes pour se réfugier à Beauvais-sur-Mer 
près de Françoise de Rohan, il y composa deux ouvrages. 
Nommé maître des requêtes ordinaires de Ihôtel du roi 
par le crédit de Brisson et du duc de Rohan (28 mars 
i58o), il se rend à Paris, mais il est très-promptement 
dépouillé de sa charge. On a lieu de croire qu'il courut 
quelques dangers, causés sans doute par une certaine 
tendance vers les idées de la Réforme. Retiré dans le 
bas Poitou, il se livra aux travaux les plus sérieux, et 
publia dans l'espace de neuf années presque tous les ou- 
vrages qui ont consacré son immortalité. Lié aux Poli- 
tiques, il suivit les membres du parlement attachés à celte 
faction qui siégèrent à Tours, et rentra avec Henri lY à 
Paris pour y occuper son siège dans le Conseil privé. 

On apprendra avec plaisir la cause de cette insigne fa- 
veur. Pendant son séjour à Tours, on avait saisi plusieurs 
correspondances en chiffres enlevées aux Espagnols. 
Henri IV les soumit à \ ièie et lui en demanda le secret. 
En quatorze jours, le puissant cerveau du mathématicien 
possédait la langue espagnole, et le secret des correspon- 
dances était livré à son roi, qui s'en servit avec succès 
pour déconcerter les Espagnols 5 car, malgré le soin qu'ils 

(') IViiilii h Pnris on l'xii |inr les Seize. Tm. 



( 7^ ) 
avaient de changer les figures. Viète, dans sa méthode 
étant parvenu à décupler des décuples, trouvait toujours 
la clef. En son absence, Dulys , son secrétaire, qu'il 
avait instruit dans cet art difficile, put servir de sûr in- 
terprète {*). 

On raconte aussi de lui qu'un mathématicien hollan- 
dais (Adrianus Romanus) ayant proposé à tous les sa- 
vants du monde la solution d'un problème, et ayant 
oublié, dans la liste des mathématiciens qu il avait ré- 
digée, d'en octroyer un à la France, Viète, mandé par le 
roi pour soutenir l'honneur du royaume, n'eut qu'à lire 
l'énoncé du problème pour en donner aussitôt plusieurs 
solutions. I.orsque Adrianus Romanus fut instruit du 
fait, il se rendit à Paris, de Paris à Fontenay, de Fonle- 
nay à la maison de campagne de Viète, toujours courant 
après le mathématicien et lui soumettant par écrit des 
propositions que Viète résolvait aussitôt. Enfin les deux 
savants finirent par se rencontrer, et le Hollandais 
charmé resta chez son hôte pendant six semaines. 

Viète, au milieu des immenses travaux qu'exigeaient 
ses publications, ne négligeait aucun de ses devoirs de 
magistrat, et s'il a laissé quelques œuvres auxquelles 
manque la dernière main, c'est que les loisirs manquèrent 
à leur auteur. Il mourut au mois de février i6o3. 

Viète est incontestablement le créateur de l'algèbre; 
c'est à lui qu'on doit l'ingénieuse idée de représenter les 
quantités par des signes qui, ne pouvant se fondre par le 
calcul, présenlc'-f, au moyen de certaines notions con- 
ventionnelles, la trace des opérations effectuées pour 
arriver à la solution des questions proposées; et c'est 
cette idée qui a fait de cette science le plus puissant in- 
strument du génie. Sans Viètc^, on peut le dire haute- 
ment, Descartes, Fermât, Newton, Pascal, Leibniz, 

C) Voir f. IX, p. ■>37; i85o. 



( 76 ) 
qui ont éclipsé leur maitre, soiaienl aujourd'hui bien 
moins connus que lui, ou plutôt sans \'ièle ils n'eussent 
pas existé. Nous pouvons donc le répéter, \ iète est in- 
contestablement l'un des plus grands hommes cju'ait en- 
fantés le Poitou, et eu songeant à tout ce que ce puissant 
génie a donné au monde, nous pouvons prononcer avec 
orgueil ce nom trop peu connu, même des héritiers de sa 
gloire modeste. 

Pour les détails sur les ouvrages de ^'ièle, voir sa No- 
tice publiée par M. B. Fillon et Rilter, dont nous n'avons 
fait que présenter le résumé. 

François laissa de Julienne Leclerc, son épouse, Su- 
zanne, morte fille en janvier i6i8. 

§ II. — Deuxième brandie. 

III. — f^iète (Nicolas), seigneur de la Motte de Mou- 
zeuil, fils puîné d'Etienne et de Marguerite Dupont, rap- 
portés IP degré du § P"", avocat, contrôleur ancien et con- 
seiller en l'élection de Fontenay, mort en 1626, épousa : 
1° Anne Quinefault, fille de Guillaume et de Penette Au- 
dayer, et 2° Marie Bauchier. Il eut du premier lit : 1° Ni- 
colas, qui suit 5 2° Marie, épouse d'Etienne Bran, sei- 
gneur de la Grande -Maison, conseiller en l'élection de 
Foutenay 5 3° François , prêtre, prévôt de Notre-Dame de 
Fontenay, chanoine de Luçon; 4" Elisabeth, mariée le 
23 mars iSpS à Jean de Saint-Michcau, conseiller en l'é- 
lection de Fontenay 5 5*^ Jeanne, femme de Pierre Guille- 
min, écuyer, seigneur de Thouars 5 6" Barnabe, écuyer, sei- 
gneur d'Aziré^ assesseur au siège de la Rochelle, épousa Eli- 
sabeth Galais, dont il eut : i*^ Elisabeth, mariée le 19 mars 
1626 à Jean Faure, seigneur du Chiron, avocat à Fon- 
tenay; 2" Pierre, écuyer, échevin de la Rochelle, fut un 
des signataires de la capitulation de cette ville en lO'^S. 
Sa postérité existait encore eu 17/(7 '^^'"'^ ^'' p«i'sonne 
(rElicnnc-Auguste, cciiycr, .seigneur de la Eivagerie, 



( 77) 
conseiller au présidial de la Roclielle. 11 est à croire (|ue 
MM. Piosper et Hyacinthe Vièle de la Livagerie, officiers 
eu retraite, qui habitent aujourd'hui la Pvochelle, des- 
cendent de ce dernier.^ ce sont alors les seuls représen- 
tants de la famille de notre illustre compatriote. 

IV. — Viète (jNicolas), écuyer, seigneur de la Grais- 
Pissote, fut maître des requêtes de la maison et cou- 
ronne de France, substitut du procureur du roi, puis se 
lit prêtre. Il avait épousé, le 6 juin 1609, Jeanne Alé- 
aume, fille de Jean, seigneur de la Chenulière, avocat du 
roi à Fonlenay, et deMarieRegnouf, dont il eut: 1° Louis, 
écuyer, seigneur de Saint-Thomas 5 a° Marie 5 3° Jeanne, 
mariée : i'^ le 7 novembre i64i à Jean Baucher, écuyer, 
seigneur de l'Aulnay, et 2" le 8 février 1640 à François 
Bourgaing, écuyer, seigneur de la Grande-Basse; 4*^ Ca- 
therine, morte fille. 

§111. — Troisième branche. 

III. — Vièle (René), fils puiné d'Etienne et de Margue- 
rite Dupont, relaté au IFdegré du § F"", seigneur du Breuil, 
de Longesve, lieutenant généi'al en l'élection de Fouie- 
nay-le-Comte, épousa Gabrielle de Saint-iMichean, fille de 
René, seigneur de la Guerinière, et de Catherine Chabot, 
et fut père de : 1° Gabrielle, mariée : 1" le 8 juin 1614 à 
Charles Masson, seigneur du Pin, et 2" à Charles Cla- 
vier; 2*^ Catherine, mariée le 1 1 février 161^ à Lancelot 
Pailler, seigneur de la Macardière, avocat du roi en l'é- 
lection de Fontenay-le-Comte; 3*^ René, né le 28 oc- 
tobre 1593, mort jeune ; 4" Marguerite, née le 1 2 août i SgS, 
mariée le i3 mars 1620 à René de la Court, écuyer, sei- 
gneur du Fonteinan ; 5" Claude, née le 7 novembre 159O", 
épousa le 19 septembre itjai Jean Audouart, écuyer, sei- 
gneur de la Higatière, avocat du roi au siège de ÎSiort; 



( 78) 
6° Anne, née le i8 février iSpS, fut reçue le 19 avril 
1623 religieuse du tiers-ordre de Saint-François à Fon- 
tenay; 7° Jeanne, née le 26 avril iSyg, Peut-être est- 
ce la même que Jeanne Viète, épouse de Jean Gabriault, 
écuyer, conseiller au parlement de Rennes; 8° André, né 
le 23 septembre 1600, mort jevine-, 9" Marie, née le 5 fé- 
vrier 1602, épousa François Régnier, écuyer, seigneur 
de la Remaudière; io° François, écuyer, seigneur du 
Breuil, mailre des eaux et forêts en la sénéchaussée de 
Livrai. 

§ IV. — Quatrième branche. 

II. — F^iète (Matliurin^, fils aine de François Vielle, 
rapporté au P"" degré du § 1", seigneur de la Brelinièrf , de 
Faussays, mourut en février 1598, laissant de INicole née 
Robin, son épouse : 1° Jean, qui suit 5 2°François, rapporté 
§ V 5 3° Jeanne, femme de jNicoIas Pigueriet, seigneur de 
la Marlinière; 4° Jacques, seigneur de la Motte-d'Ardin, 
épousa, le 26 mai i568, Marie Renaillon, fille de Pierre 
et d'Honorée Gaultran, dont il eut : Marie, femme de 
Jean Thubin, seigneur de Sérigué-, Elisabeth, épouse de 
Jean Caut, seigneur de Maigre-Souris; Catherine, ma- 
riée le 22 août i6o4 à Saloraon Pougart, seigneur de 
Thies; Suzanne, mariée : 1° le 16 avril 1598 à Benja- 
min Gilbert, seigneur de la Dacolière ; 2° en mai 1608 
à Louis Lezin, seigneur du Maigue; elle est morte en 
septembre 1612-, Judith, femme d'André Pauillan; 
Jeanne, mariée le 25 avril 1594 a Hélye Desayvrc, sei- 
gneur de la ^ergue; 5° Gilles, marchand à Foussays, 
mort en juillet i563, et qui, de Marie Boureau, son 
épouse, laissa Gilles, émancipé le 1 1 juin 1579, épO([ue à 
laquelle il était déjà l'époux de N. Jausseaume, fille de 
Jacques. 

III. — Ficlc (Jean), époux de Jeanne Avord ou Au- 



( 79 ) 
vard, fui père de : i° Elisabeth: a" Suzanne, élevée par 
son oncle Nicolas \ iète, seigneur de la Motte de Mau- 
geuil. Elle épousa, le i6 avril 1612, Paul Poyblon ; 
3° Jeanne; 4° Pierre. 

§ V. — Cinquième brandie. 

III. — Viète (François), fils puîné de Malhurin 
et de Nicole, rapporté au IP degré du § IV, seigneur 
de Saint-Nicolas, marchand à Morons et receveur des 
décimes du domaine de la Maillezais, épousa Catherine 
Jouslain et fut probablement père de : 1° Guy, mort gar- 
çon à Saint-Hilaire-de-la-Forèt, vers i594; 2° Guil- 
laume, notaire à Morons \ 3° Loys, marchand à Niort ; 
4° René, qui suit : 

IV. — Viète (René), demeurant à Saint-Hilaire-d'Y- 
sernay, épousa Perinne Chanteau, dont Hilaire. 

armoiries. — François Viète, membre du conseil 
privé du roi, portait d^ argent au chevron d\izur accosté 
de six étoiles de. . . , accompagné en chef d 'un soleil de. . . 
et en pointe d'un Ijs de jardin arrosé par une main 
dextre issant d'une nuée au côté senestre du chei^ron. 

Cette dernière figure fait allusion aux services rendus 
par le célèbre mathématicien au roi de Navarre à l'occa- 
sion de la découverte du chiffre des dépèches diploma- 
tiques espagnoles. Quant au soleil et aux étoiles, ils rap- 
pellent le système planétaire connu au xvi*^ siècle. 

JVote du Bédacteur. Nous avons inséré avec plaisir 
cet arbre généalogique. La noblesse réelle, celle du génie, 
est décernée de Dieu. 

J'ai lu quelque part, l'endroit m'échappe, qu'à l'article 
de la mort, la famille a eu beaucoup de peine à f;iiie ac- 
cepter à Viète l'intervention d'un prêtre. A ce qn il pa- 
raît, il était libre penseur ou seulement partisan du libre 
examen. 



( 8o 



CALCIL 1\FJMTESIMAL. 



La TEomcA belle funziom ellitiche, monografia del 
prof. Henrico Betli [Annali di Mateniatica. Mar- 
zo e aprile 1860, p. 85-128). 

C'est lexposition, à ma connaissance, la plus satisfai- 
sante des fonctions monodromes, monogènes, synectiqucs, 
elliptiques à double période. La haute estime que nous 
professons pour le talent du célèbre analyste nous enhar- 
dit à dire que l'on découvre ici une qualité inattendue, 
la clarté 5 d'autant plus que nous considérons cette qua- 
lité comme très-précieuse, mais non pas comme la plus 
essentielle. La limpidité des petits ruisseau^, dit Voltaire, 
tient souvent à leur peu de ])rofondeur. On arrange plus 
facilement une échoppe qu'un vaste magasin d'idées. 
Lorsque cette importante production sera terminée, nous 
en parlerons dans le corps du Journal. En attendant, 
nous en conseillons la fructueuse lecture aux géomètres 
familiers avec l'harmonieux idiome de l'antique Ausonie. 
Dans aucun temps, sous aucun jégime, cette terre n*a 
été stérile en hommes de génie. Au xiii*^ sièdc, Tappari- 
tion de Durante est un phénomène prodigieux, inexpli- 
cable. 

navis, réfèrent in marc lo novi 

Fluctus? 

L'habile géomètre, M. le capitaine Dewulf, traduit le 
Mémoire italien qui sera un utile commentaire au savant 
ouvrage de TNIM. I3riot et Bouquet, aujourd'hui sur les 
rayons de toutes les bibliolhètines mathématiques, et dont 
M. le professeur (iarlin, (jui vient de conquérir un rang 
honoiable dans l'agrégation, nous a promis de rentire 
compte. 



8i 



PENSÉE DE GERGONNE SIR LES EXAMENS EN (844. 



« Il n'est point du tout démontré que ce qu'il faut 
•>) faire pour briller dans les examens, du moins suivant 
)) leur mode actuel, soit aussi ce qu'il y a de plus propre 
» à se rendre habile dans les sciences. » [Journal de 
Gergonne, t. V, p. 62.) 

Il y a de cela un demi-siècle. Que dirait-il aujourd hui 
de notre enseignement liypertropliique ? 

Supposons qu'une piace de premier violon soit vacante 
à l'Opéra, et qu'on exige des candidats les connaissances 
suivantes : 1° la langue française^ s>.° la langue italienne^ 
3** l'histoire de la musique chez les peuples anciens et 
modernes •, 4° 1^ lecture et l'écriture de la musique j 5° les 
éléments du contre-point j 6" l'histoire de 1 instrument; 
j° la théorie des cordes vibrantes; 8'' la théorie de la 
position du chevalet, de l'àme, des ouïes; 9° la théorie 
de la table de résonnance; 10° la théorie des sons nor- 
maux et harmoniques; 11° la théorie de l'archet, de ses 
extrémités et du milieu ; 12° enfiu l'exécution d'un adagio 
de Tiotti. 

Supposons, de plus, qu'on attache des coefficients nu- 
mériques à ces diverses connaissances, et que leur somme 
soit décisive : il est ])ossible qu'un ménétrier l'emporte 
sur un Paganini. Rides : de te fabula narratur. 



Uullelin malhèntalii]Ui',\. VI. (Novembre i8()u.) 



82 



LES TÉTRAGRAMMES MATHEMATIQIJES. 



Jehovah s'écrit en hébreu avec quatre lettres ; il est 
défendu à un israélite de prononcer ces lettres. Ainsi 
Jehovah, lisez Adonaï. Il en est de même maintenant 
pour certaines expressions qu'il n'est pas permis de pro- 
noncer dans l'enseignement secondaire. 

Différentielle, prononcez prime. 
Intégrale, prononcez primitive. 
Couple, prononcez rotation. 

Il y a même des mots sur lesquels il faut garder un 
silence respectueux 5 par exemple : honiolhéiie, rapport 
nnliarmonique , homographie , pôle., polaire, etc., et 
autres expressions qui, appartenant à la cabale mathéma- 
tique, ne doivent pas être répandues chez le vulgaire. 
Je possède le fameux livre Razael : il va des formules 
telles, qu'en les prononçant on peut incendier tel édifice 
qu'on veut. On comprend le danger qu'il y aurait de 
répandre de telles formules. 



CROMWELL ET NEWTON COMPARÉS PAR VOLTAIRE. 



Cromwell (Olivier), né en 1399, mort en i658. Il n y 
a guère d'exemples en Europe d'aucun homme qui, ^enu 
de si bas, se soit élevé si haut. Mais que lui falhiit-il abso- 
lument avec tous ses grands grands talenis? l.a fortune:' 
il l'eut cette fortune. Mais fut-il heureux? il vécut 
pauvre et inquiet jusqu'à (juarante-trois ans; il se bai- 
gna depuis dans le sang, passa sa vie dans le trouble et 
mourut avant le temps à cinquante-sepi ans. 



(83 ) 
Newton (Isaac), né en 1642, mort en 1727. Que l'on 
compare à cette vie celle de Newton, qui a vécu quatre- 
vingt-quatre années, toujours tranquille, toujours ho- 
noré, toujours la lumière de tous les êtres pensants, 
voyant augmenter chaque jour sa renommée, sa réputa- 
tion, sa fortune, sans avoir jamais ni soin, ni remords; 
et qu'on juge lequel a été le mieux partagé. 

O curas hominum, o quantum est in rébus inane! 

(Pers. Sat. I, v. I .) 

[Dictionnaire philosophique^ article Cromwell.) 



PREMIER EXEMPLAIRE 

de rédilioii sléréotype des Tables de Logaritbmes de lalaude 
aiiDOté par l'aDteur. 



Je possède le premier exemplaire que Lalande reçut 
en 1802. 

Voici comment et de quelle manière ces Tables stéréo- 
typées, qui sont devenues si répandues, ont été dounées 
au public. 

Lalande (*), comme on le sait, notait minutieusement 
tout ce qui le concernait, et je joins ici ce qu'il a noté 
de sa plume de corbeau, dont il avait l'habitude de se 
servir, sur l'exemplaire dont il s'agit. Ce sont peut-être 
là des singularités de bibliomane ; je suis loin d'en dis- 
convenir. Il me semble cependant assez curieux de voir 



(*) Jérôme-François de La Lande, ne à 15our[;cii-Bresse , i i jiiillel 1732, 
mort à Paris, l\ avril 1807. 



( H ) 

que la publication de ces Tables, qui depuis ont été tant 
de fois réimprimées, a peut-être tenu à une misérable 
somme de i5o francs prêtée par Lalande à M. Didot, et 
que, sans cette facilité, l'imprimeur ne se serait peut-être 
pas décidé à fondre les caractères et à se risquer à im- 
primer, car les Tables à 6 décimales, publiées bien an- 
térieurement et dès 1760 par les soins de La Caille et de 
Lalande, très-répandues à cette époque, et nombre de 
fois réimprimées avec la savante explication de l'abbé 
Marie, pouvaient être regaixlées comme suffisantes aux 
besoins des calculateurs. 

Ces Tables allaient souvent jusqu'à 20000; mais, se- 
lon Lalande, elles ne doivent pas outrepasser les ioooo, 
ce nombre lui paraissant suffisant, à tel point que de 
l'exemplaire de la dernière de ces Tables dont il se ser- 
vait au moment de sa mort, et que je possède chargé de 
ses annotations, il en avait supprimé les 10 000. 

Au surplus, le projet de Lalande a porté ses fruits, et 
par l'exiguïté de son format et la netteté des caractères 
de MM. Didot, cette publication a puissamment contri- 
bué à propager l'usage si précieux du calcul loga- 
rithmique. Ces mêmes Tables à 5 décimales, de même 
que celles des sinus, des tangentes, etc., ont été stéréoty- 
pées toujours sous le nom de Lalande, en plus d'une 
partie du monde et spécialement à Leipsig en i833 par 
les soins de M. 11. -G. Kôhler, docteur en philosophie, 
qui y a joint une assez grande quantité de Tables spé- 
ciales, de même que celles des logarithmes de M. Gauss^ 
dont vous parlez dans votre Bulletin. En un mot, cette 
édition me parait constituer un véritable manuel de 
calcul logarithmique. 

Notes (le Lalande sur son exemplaire de i8oa. 
6 novembre 1799. —Projet aiiètc av( ( l)i(l<ii. 



( 85 ) 

i3 novembre. — Commencé l'explication. 

7 février 1800. — i5o francs prêtés à Didot pour la 
fonte. 

17 mars. — Première page d'essai. Il change le carac- 
tère. 

24 août 1801. — Dernière épreuve. 

Octobre. — On fait un tirage de 2 000. 

23 octobre i8o3. — Mention de l'ouvrage dans le 
Journal des Déhats. 

23 octobre. — Mention de l'ouvrage dans le Moni- 
teur à\x 24, dans la Clef du Cabinet et dans V Histoire 
de l'Astronomie, à V errata. 

Le 25 octobre. — Je promets 100 francs pour chaque 
faute. 

Le 6 juin i8o3, il y en avait déjà 2 5oo de vendus. 

En novembre i8o4, je corrige l'explication. 

FOXJRNERAT, 

Juge honoraire du tribunal de la Seine, 

à Ancy-le-Fraiic (Yonne). 



BIBLIOGRAPHIE. 



DiSSERTATIO INAtJGUKALIS QUA SELECTA DE JURIBUS MATHE- 

MATicORXJM cAPiTA in illustri Academia Basileensi pro 
obtinendo jurium doctoris gradu publicœ disquisi- 
lioni submittit </oA. Fridericus TVeidlerus. A. R. G., 
MDCCXXVII, d. 24. mart, Basileœ. Litteris Brand- 
millerini. In-4'', 4o pages. 

Cette instructive Thèse renferme six chapitres. 
Cap. I. De noniinis mat lieniaticoruni ^ prouti in legi- 
bus occurrit signijicatione singulari et ejus causis. 



{ 86 ) 

Au dire 18, lib y, du Digeste, ou lit : De nialejicis et 
mathe ma fiais et ceteris sindlibus. On confond les niatlié- 
maliciens avec les astrologues, les magiciens, etc. 

J^oir Tacite, Hist. lib. I, c. 22. Juvenal, Sat. XIV, 
V. 248. 

On lit dans Aulu-Gelle, N. A. lib. I, c. 9 : J^ulgiis, 
g nos Chaldeos gentilitio vocabulo dicere oportet^ ma- 
thematicos dicit. 

Cap. II. De nielhodi niathcniaticœ iisii in jurispru- 
dentia. 

Cap. III. De juribus arithmeticorum. 

Ces arithméticiens portaient divers noms. 

1" Calcidalores ; 2° tabularii ^ '5'^ discussores • 4° ratio- 
cinatores. 

Les calculateurs jouissaient de ce droit : le chef de la 
province [provinciœ prœses) était tenu de juger leurs 
procès avant ceux des autres. 

Discussores erant qui rationes publicas ab aliis trac- 
tatas sub examen vocabant. 

Espèce de conseillers de la chambre des comptes 5 ils 
exerçaient aussi un certain arbitrage^ ainsi que les ratio- 
cinatores. 

Tous ces arithméticiens étaient exempts de la milice et 
de payer certains impôts. 

On comprend l'importance qu'avaient les calculateurs 
avant l'introduction des chiffres arabes; certains comptes 
exigeaient autant de jours qu'aujourd'hui d'heures. 

Cap. IV. De juribus gcometrarum. 

On dislingue : 1° mensores j 2" agrinicnsoresj 3° gco- 
dœtœ j 4° metatores. 

Il y avait des mcnsores : 1" agrorum j -x^ Jrumen- 
toruuij 3" militâtes. 

Mensurœ in jure loinano scqucnlrs coinmeinoraiiLuf . 



{ 87) 

Di^itus ; lube d'un diamètre égal à l'épaisseur d'un 
doigt; en usage dans riiydiométrie. 

Pes , cubitus^ passas, decempeda , mdliariuni. 

Areœ agvorum : Aclus = carré de 1 20 pieds de côté. 

Jugeriim = actus dnplicalus et ab eo qiiod eral junc- 
t.um, nomen jugerius usurpm'it. 

Cap. V. Jure picloriiin siue opticorwn. 

Cap. \I. Jure archilectoriiin et inechanicoruni. 

Severus et Celer étaient les mécaniciens de Néron. 
(Tacite, Ann. lib. XV, cap. 42.) 



SIR LES DIVERSES DEFINITIONS D'APRES LEIBNIZ. 



Vers 1686, Leibniz écrivit en français (*) un discours 
de métaphysique qu'il envoya à l'illustre Arnauld pour 
en avoir son avis; il nie Faction du corps sur l'ànie et 
des substances les unes sur les autres : ce sont des appa- 
rences, dont la l'éalité consiste dans l'intervention directe 
de Dieu; en d'autres termes, c'est son système de \har- 
monie préétablie^ développé depuis dans la Théodicée. 
Chaque substance exprime tout l'univers ; c'est ce que 
Kantanommé das dingan sich selbst [eus per se), etdont 
nous n'avons aucune connaissance; en résumé, ce dis- 
cours est un développement scientifique de cette asser- 
tion de saint Jean, ^n'uinius in Deo j cette véiilé à laquelle 
nous devons la notion de certitude logique, de devoir 
moral, renferme en raccourci les bases des systèmes de 
Spinosa et de Malcbranclie, de Hegel. Leibniz croit aussi 



(*) Parmi les géomètres du xvii*^ siècle, Leibniz écrit notre langue 
aussi bien que Descartes et n'est inférieur qu'à Pascal, écrivain liors Jans». 



(88) 
avoir expliqué la questiou épineuse de raccorder la pré- 
vision divine avec la liberté humaine, et il n'a fait qu'ob~ 
scurcir la matière j le tout pour n'avoir pas, comme 
Kant, rangé le temps parmi les formes des apcrceptions 
humaines, nullement applicable à Dieu-, mais Leibniz 
nie la réalité de l'espace; en quoi il a un grand avantage 
sur Spinosa, qui fait de l'espace un attribut divin. Au 
reste, ces sujets sont étrangers à notre Bulletin^ mais 
nous jugeons utile de rapporter le paragraphe XX1\ de 
ce discours, qui a de l'intérêt pour les géomètres. 

« 24. Pour mieux entendre la nature des idées, il faut 
toucher quelque chose de la variété des connoissances. 
Quand je puis leconnoitre une chose parmi les autres, 
sans pouvoir dire en quoy consistent ces différences ou 
propriétés, la connoissance est confuse. C'est ainsi que 
nous connoissons quelquefois clairement, sans estre eu 
doute en aucune façon, si un poëme ou bien un tableau est 
bien ou mal fait, parce qu il y a un je ne sçais quoy qui 
nous satisfait ou qui nous clioquc('*') : maislorsque je puis 
expliquer les marques que j'ay, la connoissance s'appèkî 
distincte. Et telle est la connoissance dun essayeur, qui 
discerne le vray or du faux par le movcn de certaines 
épreuves ou marques qui sont la définition de l'or. Mais 
la connoissance distincte a des degrés, car ordinairement 
les notions qui entrent dans la définition, auraient besoin 
elles-mêmes de définition et ne sont connues que confu- 
sément {**). Mais lorsque toutce qui entre dans une defini- 



{*)Ces sortesde jugements, dont on ne peut toujours se rendre compte, 
constituent le bon goût. Les théories des osculations, des incommensu- 
rables, des quantités infinitésimales sont des connaissances confuses, mais 
certaines. Telle est aussi la notion sans laquelle aucune autre n'existe, du 
moi. Tm. 

(**) La définition de la droite, chemin le plus court, mais clicmin a be- 
soin d'une di'firiition. Tm. 



( 89 ) 
tion ou connaissance distincte est connu distinctenieni, 
jusqu'aux notions primitives, j appelle cette connoissance 
adéquate. Et quand mon es[)rii compiend à la fois et 
distinctement tous les ingrediens primitifs d une notion, 
il en a une connoissance intidlwe (*) qui est bien rare, 
la plupart des connoissances humaines n'estant que con- 
fuses ou bien suppositives. Il est bon aussi de discerner 
les detînitioiis nominales et les réelles. J'appelle défini- 
tion nominale, lorsqu'on peut encoie douter si la notion 
définie est possible, comme, par exemple, si je dis qu'une 
vis sans fin est une ]ii;ne solide {**) dont les parties sont 
congruentes ou peuvent inceder l'une sur l'autre; celuy 
qui ne connoist pas d'ailleurs ce que c'est (ju'une vis 
sans fin, pourra douter si une telle ligne est possible, 
quoyque en elfect ce soit une propriété réciproque (***) 
de la vis sans fin, car les autres lignes dont les parties 
sont congruentes (qui ne sont que la circonférence du 
cercle et la ligne droite) sont planes, c'est-à-dire se peu- 
vent décrire in piano. Cela fait voir que toute propriété 
réciproque peut servir à une définition nominale, mais 
lorsque la propriété donne à connoistre la possibilité de 
la chose, elle fait la défini lion réelle, et tandis qu'on n'a 
qu'une définition nominale, on ne sauroit s'assurer des 
conséquences qu on en tire, car si elle cachoit cjuelque 
contradiction, ou impossibilité, ou en pourroit tiier des 
conclusions opposées. C'est pourquoy les vérités ne depen- 



(") Par intuitive, on entend ordinairement ce qu'on conçoit de suite, 
sans réflexion, du moins s.'^ns q-ie nous ayons la conscience do cette ré- 
ilexion. Il sutlit de regarder le sujet, intueri. T.m. 

(*") Ligne s'étendant dans l'espace, à double courbure. 

(***) Ce mot réciproque n'a pas ici le sens habituel: il signifie ici deux 
choses qui s'obtiennent par la même voie. Deux droites parallèles :.ont 
partout également distantes; deux courbes parallèles sont une propriété 
réciproque, dans le sens de Leibniz. 

Bulletin malhêmaliiiue, X. VI. (Décembre 1860.) ' - 



( 90 ) 
(lent pas fies noms et ne sinil point ai Mlraires oonune ([uel- 
qiies nouveaux philosophes ont cru (*). Au reste, il y a 
eneorc bien de la difiference entre les espèces de défini- 
tions réelles, car quand la possibilité ne se prouve que 
par expérience couime dans la définition du vif argent 
dont on connoist la possibilité, parce qu'on sçait qu'un 
tel corps se trouve effecr.ivement qui est un fluide extrê- 
mement pesant, et neanlmoins assé volatile, la défini- 
tion est seulement réelle et pas davantage; mais si la 
preuve de la possibilité se fait a priori, la définition est 
encore réelle et causale^ comme lorsqu'elle contient la 
génération possible de la chose; et quand elle pousse 
l'analyse a bout jusqu'aux notions primitives sans rien 
supposer, qui ait besoin de preuves a priori àe sa possi- 
bilité, la définition est parfaite ou essentielle. » (Extrait 
du Briefwechsel zwischen Leibniz, Arnauld, efc.j édité 
parC.-L. Grotenfeld. Hanovre, 1846; p. 178.) 



CHARLES (JACQUES) LE GÉOMÈTRE. 



Né à Clunv ( Saône -et-Loire) : on ignore l'année de sa 
naissance; décédé à Paris, hôtel Roval, place du Palais- 
Royal, et enterré le 22 août 1791 à Saint-Germain - 
l'Auxerrois. (Renseigne^nent recueilli par M. Bienaymé, 
membre de l'Institut.) 

Tous les biographes et bibliogiaphes, sans exception, 
confondent le géomètre, membre de l'Académie, avec son 
homonyme le physicien, aéroiiaute, mort en 1823. 

Une biographie de l'académicien est un desideratum à 
remplir par le Set rétaire perpétuel de l'Institut. 

(*) Entre auli'es Pascal. Tm. 



9' 



TABLE DES MATIERES PAR ORDRE METHODIOIE. 

(TOME VI.) 



Analyse algébrique. 

Pajjes. 

Sur la représentation d'une résultante d'élimination corres- 
pondante à une interprétation interpolatrice (Cbelle); par 
M. Borchtinlt 20 

Comparaison entre deux formes de la résultante d'élimination 
d'une inconnue entre deux équations (Ckelle) ; par M. Bur- 
rlittrcU 11 

Nouvelles propriétés des substitutions linéaires qui transfor- 
ment des fonctions homogènes du second degré en d'autres 
qui ne contiennent que les carrés des variables ( Crelle ) ; 
par O. Hessc 24 

Arithmologie. 
Multiplication usitée au moyen âge en Italie i3 

FonctioDS elliptiques. 
Teorica délie funzioni ellitiche ; par Henri Beltt 80 

Géométrie. 

Stéréotomie des abeilles f 

Sulla geometria analitica délie linee piane ; opuscolo di Giu- 

scppe Sncc/ii 33 

Praité de Perspective-Relief de M. Poudra 4/, 

-Moyen hydrodynamique de trouver Taire d'un cercle; d'après 

Maurol) eus 4? 

Tracé des cartes géographiques; discours prononcé par 

M. Tchebychcf 49 

Théorie géométrique des surfaces du second ordre : par 

M. Ch. jVJertn 70 



Mécanique. 

Pages. 

Machine à calculer de Scheutz perfectionnée i6 

Sur la figure d'un fil flexible ( Crelle) ; par M. Clehsch 17 

Sur l'équilibre des corps flottants (Crelle) : par INI. Clebsch. 18 

Note sur le centre spontané de rotation 46 

Historique et Biograpiiie. 

Sophie Germain 9 

Lettres de Fourier ; par M. Fournerat i 4 

Origine première des déterminants '^7 

Note sur un ouvrage de Jean'Ceva ; par M. Genocchi 4^ 

Burgi (Jobst) et sens népérien du mot lognriiliine ; d'après 

M. fnihem Matzha 62 

Épitaphe de Diophante 7' 

Généalogie de Viète l'^ 

Tables de logarithmes de Lalande 82 

Disserlatio de juribus mathematicorum ; par ïf'cidlerus 85 

Charles 1 Jacques) 9*^ 

Mélanges. 

Pensées de Gergonne sur les examens ' 81 

Tétragrammes mathématiques 81 

Cromwell et Newton 82 

Définitions d'après Leibnitz 87 



93 



TABLE DES NOMS PAR ORDUE ALPHABÉTIQUE. 



( Les noms des Collaborateurs sont précédés d'un astérisque. 



Pages. 

ALIÉNOR DE LA SABLIÈRE (dame) 73 

AIRY (G.-B.) 16 

APOLLONIUS 70 

ARCHIMÈDE ^7 et 47 

ARISTOTE 70 

ARNAULD 90 

AUDAGER (Penette) 76 

BABBAGE 3-2 

BACHET 71 

BARNABE, écuyer 76 

BEAU (François), seigneur de Cambaudières 73 

BERNOULLI (Jean) 46 

BETTI (Henri) , professeur 80 

BEZOUT 'I et 16 

BIENAYMÉ, Membre de l'Institut 90 

BONNET (Christophe) 73 

BORCHARDT '^o, -n et 24 

BORDONI 33 et 43 

BOUQUET, professeur 80 

BRAN ( Etienne) 7^ 

BRIOT, professeur 80 

BRISSON ( Barnabe ) , président 74 

BRISSON (François) 73 

BROUGHAM (lord) '^ et 9 

BRUNCK 71 

BURGI (Jobst) 62 

CARDINAULT ' 73 

CAREIL (FoucHER de) 33 

CASTILLON 9 

CAYLEY '^i 



{ 94 ) 

Paj'.es. 

CEVA 45 

CHARLES (Jacques 1 90 

CHASLES, Membre de llnstitut 44 cl "70 

CHLAD.XI I I 

CLABAT -3 

CLEBSCH 17 et 18 

COUSIN 10 

CRAMMER 3^ 

CROMWEL ( Olivier i 8-^. 

CUVIER 3 

CYLLENIUS ( Hesperus ) 4/ 

DÉMOSTHÈXES i5 

DESCARTES 5. ^9 et 76 

DEWULF. capitaine du génie 80 

DIDOT 84 

DIOPHANTE i5 et 71 

DUBOIS (Jean ), seigneur de Saint-Cyr 73 

DUHAMEL. Membre de llnstitut i8 

DURANTE 80 

EUCLIDE i5 et 70 

EULER 23 et G8 

FAURE . seigneur du Chiron 76 

FERMAT 75 

FILLON 7^01 7(i 

FOURIER i5 

'FOUHNERAT, juge en retraite iG et 85 

(iALBRElTH 43 

GARLIN , professeur 80 

GAUSS 5G, 59 et 84 

* GENOCCHI , professeur à Turin 45 

GERGONNE 81 

GERHARDT ( C.-J . ) 27 ^ 3/ et 33 

GERMALN ( Sophie ) 9 

GIESWALD (DM tJ3 

(iROTENFELD 9« 

GRUNEUT. professeur G-2 

GUILLEMIN, écuyer : 7G 

hau(;hton.....' 43 

iii:mh IV 74 

HFILimo.NNER 7« 



( 9^ ) 

Pages. 

HESSE (Otto) . prolesseur 't.- 

HOMÈRE II 

HUYGHENS 32 

JACOBI 24 

JACOBS 71 

JUAN ( DON ) 48 

JULIEN ( l'abbé i 33 

KtPLER 62. G7 et 68 

KŒNIG 8 

KÔHLER 84 

KUMMER , professeur 24 

LACROIX II 

LAGRANGE 10 

LALANDE 83 

LA MOTTE 48 

LAPLACE 10 

LEGENDRE 10 

LEIBNIZ •. 27. 5o. (18, 75 et 87 

LEKAIN 9 

LHERBETTE 12 

L'HOSPITAL 27 et 3i 

LHUILLIER 9 

MATZKA (W.) , professeur à Prague Ga et 68 

MAUROLYCUS 47 

* MENTION, professeur 49 

MÉRAY (Ch .) , docteur es Sciences 70 

MONTUCLA. 10 

MONTAIGNE i5 

NAPOLÉON P' Il 

NEPER 67 

NEWTON 8 . 5o, .5i . 68 . 7 j et 82 

NOLLET ( l'abbé ) 7 

PASCAL 9. 7"i et 87 

PERSE 83 

PERTHES iG.-H.) 33 

PINDARE i5 

PLATON 70 

POLIGNAC ( le cardinal de) 12 

PONCELET, Membre de l'Institut 44 

POUDRA, chef d'escadron d'élat-major en rolraite 44 



(96 ) 

Pages. 

PROUHET, professeur 7^ 

RAY 7 

RÉAUMUR 3, 4 et 8 

RÏTTER 76 

RORERT ( Pierre ') , seigneur du Vignault 7^ 

ROUAN ( Françoise de) 74 

ROMANUS (Adrien) • 75 

ROSENHAM *i 

ROUSSEAU (J.-J.) 9 

SACCHI, professeur à Milan 33 

S.UNT-MICHEAU ( Jean de) 7^ 

SCHEUTZ i<^ 

SCHILLER • I ' 

STIFFEL <^4 et 85 

STOKES • ^ 

SUPPIN 73 

SYLVESTER, professeur ^3 

TASSE (le) II 

VANDERMONDE 32 

VIÈTE ^-9 et 73 

VILLIS (R.^ '^ 

VIRGILE " 

VOLTAIRE 9 et 82 

WATT ^" ^^ ^^ 

WEIDLERUS ^^ 

WIIEATSTONE (C.) • '^ 

ZONS (S.-.I.) • 



65 



ERRATUM. 

TOMI-: 111. 

Page Ç)7, ligne 9 , au lieu de So , Usez '<8o. 



l'AK(S. — IMPUlMliRIli DR M A LLET-IwVCH KLIKR, 
rue de Seirie-Sainl-GiTiiiaiii , id, pn-s rinslilnt. 



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QA 

1 

N8 

V.19 



Nouvelles annales 
de mathématiques 




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