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BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES 



ASTRONOMIQUES. 



COMMISSION DES HAUTES ÉTUDES. 



MM. PUISEUX, président. 
BERTRAND. 
HERMITE. 
SERRET. 
BOUQUET. 
BRIOT. 
PHILIPPON. sécrétai re. 



AVIS. 

Toutes les communications doivent être adressées à M. J . Hoihtl, Secrétaire 
de la rédaction, Professeur de Mathématiques pures à la Faculté des Sciences 
de Bordeaux, cours d'Aquitaine, GG. 



7911 Paris. - Imprimerie de (iAL'TMIKIl-VlLI.ARS. quai de» Aupuslins, Si. 



BIBLIOTHÈQUE DE L'ÉCOLE DES HAUTES ÉTUDES, 

PUBLIÉE SOUS LES AUSPICES DU MINISTÈRE DE LINSTRUCTION PUBLIQUE. 



BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES 



ASTRONOMIQUES, 

RÉDIGÉ PAR MM. G. DARBOUX, J. HOUEL ET J. TANNERY, 

AVEC LA COLLABORATION DE 

MM. ANDRÉ, BATTAGLIM, BELTRAMI, BOUGAÏEF, BROCARD, LAIS.AjVT, LAMPE, 

LESPIALLT, MANSION, POTOCKI, RADAU, RAYET, AVEYR, ETC., 

SOUS LA DIRECTION DE LA COMMISSION DES HAUTES ÉTUDES. 



DEUXIEME SERIE. 
TOME VI. - ANNÉE 1882. 

(tome XVII DE LA COLLECTION.) 



PREMIERE PARTIE. 




PARIS, 

G AUTHIER-VILLARS , LMPRDIEUR-LIBRAIRE 

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE LÉCOLE POLYTECHNIQUE 

SUCCESSEUR DE iMALLET-BACHELIER, 

Quai des Augustins, 55. 

188^2 



ûA 

Digitized by the Internet Archive 

in 20Téwitli funding from 

University of Ottawa 



Iittp://www.archive.org/details/s2bulletindessci06fran 



ii.V>' 



BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES 



ASTRONOMIQUES. 



PREMIERE PARTIE. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 

Catalogue de modèles pour l'enseignement des Mathématiques supérieures, 
en vente chez L. Brill, à Darmstadt, 1881. 

Cette collection, contenant 86 numéros, renferme 106 modèles, 
destinés à l'enseignement, dans les écoles supérieures, des Mathé- 
matiques, de la Physique et de la Mécanique. Souvent on s'est 
demandé s'il était utile d'employer des dessins et des modèles dans 
l'enseignement mathématique. La réponse est bien différente sui- 
vant le degré que l'on veut atteindre et le but qu'on se propose. 
De plus, cette question n'avait jusqu'ici aucune signification pra- 
tique, en ce qui concerne les Mathématiques supérieures, parce 
que, en Allemagne du moins, il n'y avait pas de grandes collec- 
ions mathématiques appropriées à l'enseignement supérieur. Et 
pourtant toute personne, quelle que soit son opinion sur la ques- 
tion posée précédemment, voudra bien convenir que le modèle 
fournit non seulement à l'élève, mais aussi au professeur, un élé- 
ment plein de vie, saisissant, alors qu'après un calcul pénible ou 
après une discussion ardue le résultat peut être présenté sous une 



6 PREMIÈUE PARTIE. 

forme réelle, concrète et élégante. Même pour le travailleur, le 
modèle peut soulever maintes questions, qui, sans une représen- 
tation plastique, ne se seraient pas présentées. 

C'est cette certitude qui a engagé l'Institut Mathématique de 
l'École Technique supérieure de Munich, d'abord sous la direction 
de MM. Klein et Brill, maintenant sous celle de M. Brill seule- 
ment, à faire construire par les étudiants les modèles des diffé- 
rentes surfaces qui se présentaient dans les problèmes dont on 
s'occupait dans le séminaire. Comme nous le disions en publiant 
notre première série : « En faisant construire ces modèles, l'idée 
principale était d'exciter les étudiants qui assistaient aux confé- 
rences de Mathématiques à pousser jusqu'au bout la discussion 
de chacun des problèmes qui se présentaient et par là même à 
aller plus avant dans l'étude de ces questions. Les questions aux- 
quelles se rattachent les modèles sont prises à différents cours faits 
à l'École Technique supérieure. On reconnaîtra certainement qu'il 
était utile de publier une telle collection, que c'était rendre un 
service que de la répandre partout. De plus, ces modèles offrent, 
en bien des cas, beaucoup de particularités nouvelles et intéres- 
santes ; les notes qui y sont ajoutées présentent maintes fois des 
recherches originales. » 

C'est ainsi que cinq séries de modèles préparés à l'École Tech- 
nique supérieure de Munich se trouvent maintenant dans le cata- 
logue de l'éditeur. Parmi les séries qui ont une autre origine, nous 
avons à citer la belle et riche collection des types des surfaces du 
troisième ordre et de leurs surfaces hessiennes, faite par Roden- 
berg à Darmstadi, et aussi différentes représentations élégantes 
des surfaces du second ordre. Nous allons parler d'abord de ces 
dernières surfaces. 

Si la plupart des modèles du catalogue ont nécessité des éludes 
préliminaires profondes, des recherches géométriques toutes spé- 
ciales, nous devons dire cependant que l'ensemble des surfaces du 
second degré constitue une partie importante de notre collection. 
On a déjà, dans le Bulletin, parlé du modèle en carton, de l'el- 
lipsoïde. La série à laqu(;lle il ap|)arlieiit contient tous les types 
de siM'faces du second ordre, repri'scnlés de la même manière : on 
prépare d'abord avec du carlon um- série des sections circulaires 
rie la surface, et on 1rs réunit en sorlc cjue, lorsque Ton fait varier 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 7 

l'angle des deux plans de section circulaires, on obtient toute une 
suite de surfaces. On connaît les beaux modèles en fil de surfaces 
du second ordre qu'Olivier a fait préparer pour le Conservatoire 
des Arts et Métiers. Notre collection contient cinq modèles de cette 
espèce, trois où les tiges métalliques auxquelles sont attachés les 
fils de soie sont mobiles, deux où ces tiges sont fixes. Une autre 
série de surfaces du second ordre, en gypse, donne sur tous ces 
tvpes la ligne de courbure. 

La considération des lignes géodésiques de V ellipsoïde de ro- 
tation, ainsi que de celles qui passent par les ombilics de l' el- 
lipsoïde à trois axes, se rattache, on le sait, aux fonctions ellip- 
tiques. Ces lignes ont été représentées de différentes manières sur 
plusieurs modèles. Dans les notes qui y sont jointes, on a indiqué 
la marche du calcul, comment l'intégrale elliptique a été réduite 
à sa forme normale, et comment les fonctions Hr ont été in- 
troduites. 

Quant à la série de suri'aces du troisième ordre dont nous par- 
lions plus haut, ce sont des modèles où sont figurées les droites et 
les courbes paraboliques. On a eu l'intention de donner les types 
caractéristiques de surfaces du troisième ordre, et également de 
celles ayant des singularités élevées. On peut alors se faire une idée 
claire, exacte et complète de toutes les formes possibles des sur- 
faces du troisième ordre. Il était impossible de songer à faire une 
collection complète de toutes les formes qui peuvent se présenter, 
mais il est possible de déduire des différents modèles construits 
un type quelconque ; la chose se fait d'une façon bien claire, sans 
aucune difficulté, par la déformation continue d'une des surfaces, 
procédé qui permet d'arriver non seulement à toutes les formes 
existantes, mais aussi de voir comment on passe d'un des modèles 
à un autre. Le même problème a été aussi résolu pour les surfaces 
hessiennes qui correspondent à un pentaèdre réel. 

Parmi les surfaces d'ordre supérieur, citons d'abord quatre mo- 
dèles élégants représentant des types différents de la surface de 
Kummer, cette surface connue du quatrième ordre, à seize points 
doubles, qui est sa propre réciproque. Signalons encore quatre 
tvpes de la cyclide de Dupin et cinq types de la courbe gauche du 
troisième degré représentés sur des cylindres du second ordre. 

Une surface curieuse est la surface transcendante qui représente 



8 PllEMlÈUE PAIITIE. 

la marche de la fonction elliptique cp = sn(;/, A) pour toutes 
les valeurs de u et k (même pour A" >> i) ; pour k = i, une dis- 
continuité se présente. 

Pour l'application d'une surface sur une autre, les surfaces à 
courbure constante, et en particulier deux surfaces hélicoïdales, nous 
servent d'exemple. L'une d'elles est applicable sur l'ellipsoïde de 
rotation, l'autre, Thélicoïde ordinaire, peut être développée sur la 
caténoïde ; dans ce dernier cas, les lignes asvmptotiques se trans- 
forment en lignes de courbure et réciproquement. Une bande de 
laiton courbée d'une façon convenable permet d'effectuer réelle- 
ment le développement. 

De même nous avons ajouté aux nombreux tvpes de surfaces à 
courbure constante, positive ou négative, des bandes de surface 
en gutta-percha pour faire avec elles un essai analogue. En parti- 
culier, le déplacement d'une bande à courbure constante négative 
sur la surface correspondante a quelque chose d'étonnant ; cela 
rappelle l'impression curieuse que l'on éprouve en déformant par 
une pression légère une sphère creuse de gutta-percha. La courbe 
méridienne de la surface hélicoïdale à courbure constante positive 
conduit, on le sait, aux intégrales elliptiques de troisième espèce ; 
dans les notes adjointes à la surface on a ramené ces intégrales à 
la forme la plus commode pour le calcul des fonctions 2r. Parmi les 
surfaces à courbure constante de la collection, il faut signaler la 
surface de L. Bianclii, dont S. Lie a parlé précisément dans le 
Dulletin. L'auteur du ]Mémoire ajouté au modèle, Th. Kuen, de 
Munich, fait remarquer, ce qu'on n'avait pas vu jusqu'ici, qu'un 
des systèmes de lignes de courbure de cette surface est composé 
de lignes planes, et que, par suite, la surface appartient à un 
genre de surfaces découvertes depuis longtemps par J^'.uneper. 

Signalons encore lemodèled'une.çM/yace /?////////////? du neuvième 
ordre, d'après Enneper, qui possède des lignes de courbure planes 
du troisième ordre. 

Viennent ensuite dcii\ surfaces focales. La j)rcmière, duc à 
SckIcI, s'oblieiil (|Maii(i un iuil loiiibcr sur un s\slruu' de IcnliUcs 
à centre un faisceau de rayons dont le point de convcrgenct! est en 
dehors de l'axe du système. On jicut b; i-f'-aliscr d'une façon élé- 
ganlc en faisant l'expérience dans un li(|uiile coloré. La seconde, 
du dnii/irriic oidrr, csi \\\ surface focale des ra\ons (|ui parlent 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. g 

d'une ligne et se réfléchissent sur un cylindre dont l'axe rencontre 
la ligne. Cette surface offre un point sextuple remarquable. La 
première surface focale citée peut aussi servir comme surface du 
centre du paraboloïde elliptique. Trois modèles donnent aussi la 
surface du centre de l'hyperboloïde à une nappe. 

En ce qui concerne la Physique et la Mécanique, nous citerons 
la trajectoire du pendule sphérique, la chaînette sur la sphère, 
différentes représentations de la surface des ondes pour les cris- 
taux à deux ou à trois axes ; une d'elles donne les ombilics et les 
courbes sphériques. 

Enfin, on trouve à côté de ces modèles de surfaces parfois com- 
pliquées quelques perspectives relief de corps géométriques 
simples. Xous n'appuierons pas sur leur utilité. La plupart des 
modèles sont en gvpse, à surface d'un mat brillant. On a adjoint 
à beaucoup d'entre elles un texte explicatif, provenant, en géné- 
ral, de celui qui a fait le modèle, et qui donne la marche du calcul 
ainsi que les propriétés principales du corps i^eprésenté. Dans le 
catalogue, les modèles sont ari'angés en séries qui correspondent 
à Tordre dans lequel ils ont paru, mais qui, en somme, ne forment 
point des groupes de modèles de même espèce. 



GÙNTHER (S.). — Parabolische Logarith.mex ind parabolische Trigono- 
métrie. — Leipzig, 1882. In-8°, 100 pages, 18 figures. 

L'idée de réunir et de signaler, dans un même parallèle, les pro- 
priétés et les analogies de certaines courbes, qui ont, pour ainsi 
dire, un air de famille, s'est présentée depuis longtemps à la 
sagacité des géomètres. La Géométrie des Grecs nous en offre 
un premier exemple, emprunté, il est vrai, à la mesure des so- 
lides, forme plus accessible que Fétude des courbes; cependant, 
pour ces dernières, elle ne tarda point à se développer dans les 
écrits de Grégoire de Saint-^ incent, de Pascal, de Roberval et 
de Hobbes. Mais il faut arriver à Brendel pour trouver une étude 
méthodique des analogies de la parabole et de la spirale d'Archi- 
mède. C'est Brendel qui le premier a complété ces analogies par 
l'indication de la nature logarilhinique des arcs de la parabole: on 



10 PREMIÈRE PARTIE. 

lui doit rinvention des logarithmes paraboliques. Cette notion a 
été reprise avec succès par James Boolb, qui a montré les consé- 
quences de ces relations de nature à développer les propriétés 
géométriques des fonctions elliptiques, dans un travail publié en 
i85i. 

Ces considérations servent de point de départ à la nouvelle 
monographie que M. Gûnther vient de consacrer à ses recherches 
parallèles sur les logarithmes paraboliques et la trigonométrie de 
la parabole. Elles forment le premier Chapitre de ce travail. 

Le Chapitre II renferme un rapide aperçu des formules de la 
trigonométrie hvperbolique , dont on aura besoin pour l'étude 
principale de la courbe dont l'auteur s'occupe plus particulière- 
ment, la strophoïde droite, qui, entre autres modes de génération, 
peut se définir la podaire du pied de la direction d'une parabole. 

Les propriétés de cette courbe, à laquelle J. Booth avait pro- 
posé de donner le nom de logocyclique, ont été rappelées avec 
détails en s'inspirant des études du géomètre anglais. Mais, à un 
autre point de vue, l'on peut considérer ce travail comme un nou- 
veau Chapitre de l'Ouvrage récemment édité par M. Giinther, Sur 
les fonctions hyperboliques, dont il a été rendu compte au Bul- 
letin (avril 1881). L'auteur retrouve, en effet, au moven de ces 
fonctions, les principaux résultats obtenus antérieurement par 
J. Booth, et les complète par d'autres propriétés. Il énumère suc- 
cessivement celles qui se rapportent à la définition de la courbe 
comme lieu géométrique, à ses points conjugués qui la classent 
au nombre des auallagmatiques; aux tangentes et normales; aux 
ravons de courinire; à la quadrature et à la rectification. 

Ces divers problèmes forment l'objet du Chapitre III, et il est 
intéressant d'y rencontrer l'emploi de la trigonométrie de l'hyper- 
bole équilatère, qui semble ainsi avoir servi de transition natu- 
relle entre les analogies de la trigonométrie du cercle et la trigo- 
nométrie de la parabole. 

Les analogies les plus fra[)pantes qui exislenl entre ces trois 
ordres de formules sont présentées j)ar fauteur sous iornie de ta- 
bleau syno()ti(pie. (^ettc disposition est des plus lavorables pour 
faire ressortir futilité de cette comparaison, qui sert ainsi de ré- 
sumé aux aperçus développés par.L Bootb dans son Mémoire pu- 
blié en i8.)6', Sur ht I ri i^anonu'lrir dr ht jKirithnh' ri V ori o;itie 



COMPTES UEiNUUS l'T ANALYSES. u 

géomélrif/ue des logaritJirnes, et son Traité, publié en i8-3, 
relatif à diverses méthodes géométriques nouvelles. De nombreux 
extraits de ces deux Ouvrages sont indiqués par M, Giinther et 
forment, pour ainsi dire, la matière du quatrième Chapitre. Au 
surplus, les considérations exposées par le géomètre anglais dans 
le Mémoire de i856 ont été en partie reproduites dans le Traité 
de 1873, dont la tendance et l'esprit ont été appréciés déjà dans le 
Bulletin (mars 1874)- 

Le cinquième Chapitre, qui termine ce travail, est consacré à la 
représentation graphique d'un système de logarithmes, au moyen 
de paraboles homofocales et de même axe, associées à la logocy- 
clique. On y trouve d'intéressantes considérations sur le mode de 
représentation de la formule de Moivre étendue aux fonctions hy- 
perboliques ou paraboli(}ues. 

La monographie dont nous venons de nous occuper aura bien- 
tôt sa place marquée dans nos livres classiques, parce qu'elle vient 
heureusement compléter la trilogie des coniques particulières, cir- 
conférence, hyperbole équilatère et parabole. Ces trois courbes 
présentent, comme on le voit, de nombreux points de ressem- 
blance, que la Trigonométrie ouïes logarithmes mettent en lumière 
à tour de rôle. Il est intéressant pour l'enseignement de savoir où 
l'on peut les rencontrer. H. Brocakd. 



RIBAUCOUR (A.). — Étudk des élassoïdes ou surfaces a courbure moyenne 
NULLE, Mémoire couronné par l'Académie royale de Belgique, dans la séance 
publique du 16 décembre 1880. — Bruxelles, Hayez. Extrait du Tome XLIV 
des Mémoires couronnés et Mémoires des Savants étrangers, publiés par fA- 
cadémie, 1881. 

L'Académie de Belgique a eu souvent la bonne fortune de rece- 
voir, en réponse aux questions qu'elle proposait, des travaux du 
mérite le plus éclatant. Sans remonter jusqu'à l'immortel Aperçu 
hisloriqiie, et sans sortir de France, il nous suffira de rappeler 
que le beau Mémoire sur la théorie générale des séries de 
M. O. Bonnet était la réponse à une question posée par l'Aca- 
démie. 



12 PREiMIÈRE PARTIE. 

Le Mémoire de AI. Ribaucour dont nous allons rendre compte 
présente, lui aussi, le plus haut intérêt. Nous avons récemment fait 
connaître dans le Bulletin les belles recherches de M. Lie sur les 
surlaces minima. Ces recherches paraissaient presque avoir épuisé 
la question. M. Ribaucour est venu nous prouver une fois de plus 
qu'il y a toujours à faire, même dans les questions les plu sétudiées, 
quand on apporte dans leur étude un esprit ingénieux et inventif; 
son travail mérite d'être consulté : il ouvre bien des points de vue 
nouveaux, et il contribuera certainement d'une manière notable 
aux progrès de la théorie qui trouve son origine dans l'intégrale 
de Monge. 

Par ses lecherches sur la théorie des surfaces en général, 
M. Ribaucour était bien préparé à l'étude que demandait l'Aca- 
démie. L'importance même de son travail provient de ce que la 
plupart des propositions qu'il y démontre sont des cas particuliers, 
ou mieux des applications, à la théorie des surfaces minima, de 
propositions ayant une portée générale. 

Dans le Chapitre P"", M. Ribaucour développe le programme de 
ses recherches, et indique les procédés de démonstration dont il 
fera usage. Ces procédés de démonstration reposent sur les for- 
mules de la théorie des surfaces, et en particulier sur celles qui 
portent le nom de M. Codazzi. Alais la méthode employée presque 
constamment par l'auteur repose sur l'emploi d'axes variables dont 
l'origine se déplace sur une surface. Elle est donc analogue à celles 
qu'on emploie en Mécanique, lorsqu'on substitue aux axes fixes 
des axes mobiles, et au mouvement absolu un mouvement relatif. 
M. Ribaucour désigne cette méthode sous le nom de périmor- 
phie. 

Le Chapitre II contient une démonstration géométrique de la 
formule de Riemann qui fait connaître l'aire de la ])ortion d'élas- 
soïde terminée à un contour donné. 

Le Chapitre III donne la solution également géométrique du 
problème de Alonge, c'est-à-dire l'intégration elTectuéc par la 
géométrie dt- l'cMphitioii aux dérivées partielles des surfaces minima. 
Nous aurions ici une objeclion à présenter. Nous ne vo\ons pas 
d'abord j)f)urfpioi M. Ril)aucour aj)pel[e les surfaces minima des 
sur/arcs moulures. La génération géométrique qu'ilcn donne n'est 
millcincnl ir.iccoi-d mvcc I;i di'-linil iom imi\ ci^-cllcnirnl addphV des 



COMPTES lUiNDUS KT ANALYSES. i3 

surfaces moulures. Nous croyons cgalenicnl que Je raisonncnienL 
de l'auteur aurait besoin d'un compiénienl, si l'on ne voyait pas 
immédiatement que l'intégrale obtenue par ses procédés géomé- 
triques coïncide avec celle de Monge. 

Le Chapitre IV est consacré à la définition d'un élément, la 
congruence isotrope, qui joue un rôle essentiel dans toute la suite 
du Mémoire. L'auteur définit ainsi la congruence dont la surface 
focale est formée de deux développables circonscrites au cercle de 
l'infini. Le théorème suivant explique comment la théorie des 
congruences isotropes est liée à celle des surfaces minima. Appe- 
lons /?/rt7i moyen d'une droite de la congruence le plan qui est 
perpendiculaire à cette droite, et qui passe à égale distance de ses 
deux foyers ou points de contact avec les deux nappes de la sur- 
face focale. Le plan moyen enveloppe une surface que l'auteur 
appelle enveloppée moyenne : cela posé, l'enveloppée moyenne 
d'une congruei^ce isotrope est une surface minimum. 

Dans le Chapitre V, M. Ribaucour étudie et construit toutes les 
congruences isotropes, admettant pour enveloppée moyenne une 
surface minima donnée. Elles sont en nombre triplement infini, et 
il est ainsi démontré que l'on peut toujours faire dériver une sur- 
face minimum d'une congruence isotrope. Les Chapitres VI et VII 
contiennent des conséquences de cette importante proposition. 

Le Chapitre VIII traite des propriétés des surfaces moyennes. 
M. Ribaucour donne ce nom à la surface, lieu des milieux des 
segments compris entre les points focaux sur toutes les droites 
d'une congruence, et il fait d'abord connaître ce beau théorème : 

La surface moyenne d'une congruence isotrope est le lieu 
des milieux de cordes égales entre elles dont les extrémités 
décrivent des surfaces applicables Vune sur Vautre. Récipro- 
quement, si les deux extrémités d'un segment constant de droite 
décrivent deux suif aces [C), (C) applicables l'une sur l'autre, 
la droite engendre une congruence isotrope, et le plan per- 
pendiculaire sur le milieu de la droite enveloppe une surface 
minima. 

Dans le Chapitre IX, M. Ribaucour montre comment on peut 
faire dériver de chaque système orthogonal isotherme de la spiièn* 
une infinité de congruences isotropes donnant naissance à des sur- 



i4 PREMIÈRE PARTIE. 

faces minima ou élassoïdes, qui sont étudiées dans le Mémoire sous 
le nom à'élassoïdes groupés. Tous ces élassoïdes sont applicables 
sur l'un d'eux, mais ils ne sont pas superposables. Parmi eux il 
faut distinguer des couples de surfaces conjuguées, dont on doit 
la découverte à M. Bonnet, et qui jouissent de la propriété que 
l'image sphérique des lignes de courbure de l'un des élassoïdes 
coïncide avec l'image sphérique des asymptotiques de l'autre. 
M. Ribaucour ne se contente pas de la considération des élassoïdes 
groupés, il leur associe les élassoïdes stratifiés, pour la définition 
desquels nous renvoyons à son beau Mémoire. 

On peut dire en résumé, et en laissant de côté une foule de 
résultats de détail, que la méthode de M. Ribaucour a pour carac- 
tère distinctif l'emploi des congruences isotropes. Il nous sera 
permis de regretter que l'auteiir se soit trop renfermé dans la 
question posée par l'Académie, et qu'il n'ait pas complètement 
développé plusieurs belles propositions générales, notamment 
celles qui se trouvent à la fin de son travail. G. D. 



MELANGES. 

SUR LE PROBLÈME DE PFAFF; 
Par m. g. DARBOUX. 

La méthode que Piaffa fait connaître en i S 1 4 . dans les Mémoires 
(le i Académie de Berlin, pour l'intégration dune équation aux 
dérivées partielles à un nombre quelconque de variables inch'-pen- 
dantes, a été longtemps négligée : les belles découvertes de Jacobi 
et de Cauehy ont seules attiré l'allciition des géj.)mèlres qui 
s'occupent de cette théorie. 

Cependant, la méthode de l'fall", qui est, d'ailleurs, la générali- 
sation de celle que l'on doit à Lagrange pour le cas de deux 
\aiiablcs iiHh'-peiidantrs, olfrc de sérieux a\antages. Elle substitue 
a des calculs souvent coiiq>li(|U('s l'emploi de certaines idenlilés 
différentir'lles (jui donnent la clef et la solution inliiitixc des diffi- 
cultés (|ur se |ir(''seMl( ni A.{\\< les aulres UM-lliodes. Les beaux 



MÉLAiNGES. i5 

résultais oblenus par M. Lie dans différcnls xMéinoires inséi'és aux 
MathematiscJie Annalen montrent tout le parti qu'on peut tirer 
de ces identités, par exemple si l'on veut réduire au j)lus petit 
nombre possible les intégrations que l'on a à effectuer successi- 
vement avant de parvenir à la solution complète d'une équation 
aux dérivées partielles. 

Dans le travail qu'on va lire, je me suis proposé d'expliquer la 
solution du problème de PfafF sans rien emprunter à la théorie des 
équations aux dérivées partielles, et je me suis surtout attaché à 
mettre en évidence les propriétés d'invariance qui jouent un rôle 
fondamental dans cette solution. Je ne me suis nullement occupé des 
intégrations qui sont nécessaires pour amener une expression diffé- 
rentielle à sa forme réduite, et d'ailleurs, d'après les formules que 
j'ai données, les opérations que Ion doit faire pour obtenir la 
solution de ce problème peuvent se calquer en quelque sorte sur 
celles qui se rapportent à l'intégration d'une équation aux dérivées 
partielles. 

Dans la première Partie j'étudie les formes réduites, et je montre 
que l'intégration du premier svstème de Pfaff suffit et donne immé- 
diatement la forme réduite quand il s'agit de l'expression diffé- 
rentielle correspondante à une équation aux dérivées partielles. 

Dans la seconde Partie j'étudie les relations entre les formes 
réduites, et je démontre en particulier trois propositions qui 
servent de base à la théorie des groupes de M. Lie ('). 



(') La première Partie de ce travail a été écrite en 1876 et communiquée à 
M. Bertrand, qui enseignait alors au Collège de France la théorie des équations aux 
dérivées partielles. M. Bertrand a bien voulu exposer la méthode que je lui avais 
soumise, dans sa première leçon de janvier 1877. 

Quelque temps après paraissait dans le Journal de Borchardt un beau Mémoire 
de AI. Frobenius qui porte d'ailleurs une date antérieure à celle de janvier 1877 
(septembre 1876) et où ce savant géomètre suit une marche assez analogue à celle 
que j'ai communiquée à M. Bertrand, en ce sens qu'elle repose sur l'emploi des 
invariants et du covariant bilinéaire de I\I. Lipschitz. En revenant dans ces der- 
niers temps sur mon travail, il m'a semblé que mon exposition était plus affran- 
chie de calcul et que, par suite de l'importance que la méthode de Pfaff est appelée 
à prendre, il y avait intérêt à la faire connaître. 

Dans la même année 1877 a paru aussi, dans YArcliw for Matliernatik de 
Christiania, un important Mémoire de M. Lie sur le même sujet (t. Il, p. 338). 
Mais ce travail repose sur des méthodes tout à fait différentes de celle que je vais 
exposer. 



lO PREMIÈRE PARTIE. 

IMIEMIKKE PARTIE. 
I. 

Considérons l'expression différentielle 

où X|,...,X« sont des fonctions données de .z',, ...,.r,i. Nous 
la désignerons par la notation B,/, où l'indice r/ indique le système 
de différentielles adopté. Ainsi l'on aura 

(i) e,i r= Xi dxi + , . . + X„ <:/j-„, 

et si l'on emploie d'autres différentielles désignées par la caracté- 
ristique 

(2) ôs=XiOXi-h . . . -hXnO.T„. 

Des deux égalités précédentes on déduit 

00,; nz y SX,- dXi + "y X,- odXi, 

des=^ \ r/X,o.r,H- \ X,do.r,, 
et, par conséquent, 

.:0^^ _ r/e!i= y (3X,- r/.r,— r/X,- ox,-) 



la somme étant étendue à toutes les combinaisons des Indices 
1,2, . . .n, et se composant, p 
Nous poserons, pour ;d)réger, 



, n(n — I ) 
1,2, . . .n, et se composant, pnr consciquenl, de lermes. 



<).r/, (f.r/ 
et l'égiilih' |ii ('( rdciilc <lc\ icndiii 

(4) oH,/- f/H,^=l y y r/,/.(//.// 0.//. — r/,r/. o.r,.). 



MÉLANGES. i- 

En vertu des idenlités 

qui découlent de la formule (3), on peut encore écrire l'équa- 
tion (4) sous la forme 

i = n k = n 

{^ bis) o6,i — d&s=z \ \ aïkdxi'rtXk- 

i = 1 A = 1 

Supposons maintenant que dans l'expression différentielle (i) 
on remplace les variables x^par d'autres variables jk/; en effectuant 
la substitution définie par les formules 

(5) •27/=<l'j(ri,...,.r„), 

qui donnent 

l'expression Q^ prendra la forme 

(6) 0,, = ^Y,^j,-. 

Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons que les n fonc- 
tions 'hi soient indépendantes; par suite, les nouvelles variables jKj 
pourront être regardées comme fonctions indépendantes des 
anciennes, xi. Quant aux coefficients Y/, on peut toujours, par 
l'emploi des formules (5), les transformer en des fonctions des 
variables yi. 

Cela posé, appliquons la formule (4) à la nouvelle expression 
de 0,/. Si nous posons 

nous aurons 

i = n k = n 

00,/ — d&s = \ \ ^il^ ^y'i V'k, 
i = 1 A = 1 

et, par conséquent, 

i= n k = n i = n k=:n 

( 8 ) zj y, ^''' ^^^' ^"^'^ ~ \ Zj ^'''' '^'^^ ' ^-^'^" 

i = 1 A = 1 i = 1 A- = 1 

Bif/l. des Sciences mnthém.. i" série, t. VI. (Janvier 1882.) a 



,8 PREMIÈRE PARTIE. 

Cette formule est fondamentale dans notre théorie; aussi, avant 
de continuer, nous en donnerons une démonstration directe sans 
nous appuyer sur la propriété exprimée par l'équation 

dont nous avons fait usage. 

De la comparaison des expressions (i) et (6) de (■),/ on déduit 
les égalités 

qui servent de définition aux quantités Y^. On déduit de là 
dji ^ Zu ° àfk-àfi ' ZjZj àjc^. dyic dvi ' 

a a a' 

et, par conséquent, 

àVi àfk~ ZjZuKà'Ta.' djrajyâvkdvi dfidfkj' 

a. a' 

la somme du second membre étant étendue à tous les systèmes de 

valeurs différentes de a, a' et comprenant, par conséquent, 

« ( /? — ^ 
termes. 

2 

Si l'on multiplie l'équation précédente par (IviOfk — <^0'a^JV> et 

1 • r 1 ,nin — I ) , . . . , , 

que 1 on lasse la somme des équations ainsi obtenues, le 

coefficient de 

dans le second membre sera 

7 7 -i— "1 T" 1 r (<'(»■/'■<>■/, — r/vA. 01/), 



i A 

c'est-à-dire 



(l.r^Z.r^— fl.r^l.r^.. 



MÉLANGES. 19 



On aura donc 



(9) '' 

ce qui est la même chose que l'équation (8). 

IL 

Cela posé, considérons les variables Xi comme des fonctions 
d'une variable auxiliaire t définies par les équations diflerentielles 

Ia,, dxi-{- ... -I- a„i djc„z=z XXi dt, 
a,, dxi -h ... -h a„o dx ,1 = XX, dt, 
v-/ I ' ' ",.. 

' «!„ f/^r^H- . . .H-«„„<ij7„ = XX„^^, 

où ). sera une quantité que Ion pourra choisir arbitrairement, o, 
une constante ou une fonction de t, suivant les cas. Nous ferons 
remarquer que les équations (10) peuvent être remplacées par 
l'équation unique 



(io)« 



\' \ aïk dxi Ixk — / dt \ Xj Ixi, 

i k 



aue l'on obtient en les ajoutant, après les avoir multipliées respecti- 
vement par oXf, . . . , oxn ', pourvu que l'on exige que cette équation 
soit vérifiée pour toutes les valeurs attribuées aux différentielles 
auxiliaires ox,-. Ainsi le système (10) peut être remplacé par 
l'équation unique 

-( 1 o )'' oGrf — ^e,^ = À 05 dt, 

qui devra avoir lieu, quelles que soient les différentielles 0. Dans 
les applications, il sera toujours préférable de former directement 
les deux membres de cette dernière équation au lieu de calculer 
successivement les quantités a//; qui figurent dans le système (10). 
Dès à présent, les remarques qui précèdent vont nous conduire à 
une propriété fondamentale du svstème (10). 



uo PREMIÈRE PARTIE. 

Supposons que Ton effectue un changement de variables et que 
l'on remplace les variables xi par d'autres variables jv en nombre 
égal, qui Soient fonctions indépendantes des premières. Il est aisé 
de voir que le svstème (lo) se transformera dans celui que l'on 
fprmerait de la même manière, en prenant les nouvelles variables 
indépendantes. Cela résulte immédiatement de ce que ce système, 
écrit sous la forme (lo)*, est évidemment indépendant de tout choix 
de variables indépendantes. Mais, pour plus de netteté, considérons 
l'équation (lo)'^. On sait, en vertu de l'égalité (8), que son pre- 
mier membre deviendra 



11^^ 



kàyioy^.. 



Quant au second membre, il se transformei'a évidemment dans le 
suivant 



kdtS\kh 



°7a- 
Ainsi l'équation (lo)'' prendra la forme 

\ \ ^^ik dji oy,, — \ dt \ Y,- >-,. 

i A i 

Les fonctions vi étant indépendantes, leurs différentielles 0)7 
sont arbitraires, comme les différentielles ùXi : on pourra donc 
égaler les coefficients de ces différentielles dans les deux membres, 
et l'on aura les équations 

■ /;,, dy^ + ^01 d\\ -h ... h ^,,1 r/) ,, =: À Y, dt, 

, , \ hi,rh\-\- =l\.^dl, 

(il) ■ ■ 



l ^>in dy\ + -t- bnn dVn^^^ Y„ d/. 

Ainsi, toutes les fois que les fonctions .// satisferont aux équa- 
tions (10), les fonctions j',- satisferont aux. équations (i i). La réci- 
proque se démontrerait évidemment de la même manière. On peut 
donc dire que les systèmes (10) et (11) sont absolument équiva- 
lents, qu'ils sont deux formes d'un même système d'équations 
différentielles écrites avec des variables dillerenles. Comme ils sont 
composés de l:i iiirmc maniric ;iii iiii>\rii des \;in;d»h's rpn v 



MÉLANGES. 21 

entrent, nous exprimerons d'une manière abrégée la propriété 
dont il s'agit en disant que le système (10) est invariant. Nous 
allons faire usage de celte proposition pour indiquer les formes 
réduites auxquelles on peut ramener l'expression différentielle 0,^;. 

m. 

Supposons d'abord n pair. Le déterminant gauche 

'L±aiia.2i . . . a, in 

sera un carré parfait. Nous commencerons par supposer que ce 
déterminant est différent de zéro. 

Alors on pourra résoudre les équations (10) par rapport à 
dxi, . . ., dx„, et l'on obtiendra un système de la forme 

"•2"i "i^/i __ - j. 

TÎ7 HT" ' 

admettant 11 — i intégrales indépendantes de t. 

Prenons pour nouvelles variables ces n — 1 intégrales, que nous 
désignerons par ri, . . . ,jKrt_o 6t une fonction r/z assujettie à la 
seule condition de ne pas être une intégrale du système. Alors 
j» .,, . . . ,yfi formeront un système de n fonctions indépendantes, et 
le système (10), écrit avec les nouvelles variables, prendra la 
forme (i 1). Il faut donc exprimer que les équations (i 1) sont véri- 
fiées quand on y suppose constantes les ?i — i fonctions T) , . . . , r«_ 1 ■ 

On devra donc avoir 

; — r(>'„ = — A \ 1 dt, 

OYn (JYi J 

ÔY, dY,\ 

ÔY,, âfi / 



O :=. ÀY„ dt. 

On déduit de là 

Y„=o, 

^loiiY, _ t)logY2 _ _ r)losY„-, _ —Idt 

àr„ ~~ dvn ' àj'a dva 

T^es dernières équations nioiilrenl que les (ijuchons ^ ,. 



22 PREMIÈRE PARTIE. 

dépendent réellement de r,i, mais que leurs rapports mutuels en 
sont indépendants. On pourra donc poser pour i < n 

Y? étant indépendant de la variable j^^, et K, au contraire, la 
contenant nécessairement. On a ainsi ramené l'expression différen- 
tielle à la forme 

qui a un terme de moins, mais qui jouit encore de la propriété de 
ne contenir la variable t'„ que dans le facteur K. On peut encore 
écrire 

(12) 0rf=j„(Yîd'ji + ... + Y«_jrf7„_,), 

en désignant maintenant par jk« le coefficient K. 

Supposons maintenant ii impair. Alors le déterminant 

sera nul comme symétrique gauche d'ordre impair, et, par consé- 
quent, les équations (lo) ne seront jamais impossibles si l'on y 
fait ). = o. Nous supposerons d'abord que tous les mineurs du 
premier ordre de A ne soient pas nuls. Dans ce cas, les équations 
(lo), où l'on fera \ = o, détermineront complètement les rapports 
des différentielles. Elles admettront donc n — i intégrales indé- 
pendantes, que nous désignerons encore par j',,. . .,jk«_i, et que 
nous prendrons pour nouvelles variables en leur adjoignant une 
fonction jK«, qui ne sera pas une intégrale, et formera, par consé- 
quent, avec elles un système de /i fonctions indépendantes. Alors 
les équations (ii) devront être vérifiées par la substitution des 
équations 

X=:o, dfi = o, ..., djn-i = o, 

ce qui donnera 

dY^ âY„ _ 



MÉLANGES. 23 

Il est aisé de trouver la forme la plus générale des fonctions 
satisfaisant à ces équations. Posons, en effet, 

Les équations exprimeront que les dérivées des fonctions Y^, 
par rapport à >'«, sont toutes nulles. On pourra donc poser 

Qa^ dw + YJ ^n + . . . + Yo_, dvn-i, 

les fonctions \^. ne dépendant pas de j^„. 

Mais ici deux cas différents peuvent se présenter. En général, W 
contiendra r„, et, par conséquent, W,y\, . . .,y,/_i seront n fonc- 
tions indépendantes. En changeant de notation, et désignant W 
par >'„, on aura la première forme réduite 

(i3) 6^= 6()-„+ YJ dr, + . . . -h Y«_i df„^,. 

Mais il peut aussi arriver que W ne contienne pas y^. Alors on 



aura 



ou plus simplement 

(i4) ea= Y? «(xi + • • • + Y^j ^j„_,. 

Il sera, du reste, très aisé a priori de distinguer ces formes 
l'une de l'autre. La seconde, en effet, est caractérisée par cette 
propriété que 0^/ s'annule cjuand on a 

On voit donc que l'on obtiendra cette forme toutes les fois que 
l'équation 

Xj dx^ + . . . + X„ dxn = o 

sera une conséquence, une simple combinaison linéaire des équa- 
tions (lo), où l'on aura fait ). == o. 

Considérons, par exemple, la forme à trois variables 

Frf= \dx -\- Ydy -^Zdz ■= o. 



24 PREMIÈRE PARTIE. 

Le système (lo) devient ici 

dx dr dz 

(10) 



()Y_dZ £Z_^ ^_!^ 
dz- dr djr âz dr ôjc 

Si l'on remplace dans la forme dx, dr, dz- par les quantités qui 
leur sont proportionnelles, on obtient l'expression bien connue 

^.[dY dZ\ ,,fàZ dX\ ^fdX ÔY 

Si cette expression n'est pas nulle, on pourra ramener F,/ à la 

forme 

d'i-^Mdx-^Xd'^, 

oii a, [j sont les intégrales du système (i5), M et N des fonctions 
de a et de p, et y une fonction indépendante de x, ,3. Si, au con- 
traire, l'expression (i6) est nulle, le terme dy disparaîtra et il 

reste 

F,^ = M rfa -f- N ^^ = |JL du , 

ce qui est d'accord avec les résultats connus. 

IV. 

Nous avons supposé jusqu'ici que le système (lo) était déter- 
miné. Imaginons maintenant qu'il ne le soit pas. Alors, si n est 
pair, le déterminant 

^ dzff,,- - •««« 

sera nul, et il en sera, par conséquent, de même de tous ses 
mineurs du premier ordre, en vertu d'une propriété connue des 
déterminants symétriques gauches. Si n est inij)air, les mineurs du 
premier ordre du même déterminant seront tous nuls. 

Alors les équations (lo) se réduisent à moins de n équations 
distinctes, et ne suffisent plus à délcnuiner les rapports mutuels de 
dxt,. . ., dx„, dt. Mais je remarque qu'elles forment toujours un 
système équivalent au système (i i), le raisonnement que nous 
avons fait pour établir cette équivalence ne souffrant pas d'excep- 
tion. 



MÉLANGES. 25 

Pour simplifier, supposons que l'on ait fait A = o. Les équa- 
tions (lo) seront indéterminées. Supposons qu'elles se réduisent à 
p équations distinctes,/» pouvant être égal à zéro. 

J'ajoute arbitrairement n — p — i équations différentielles, par 
exemple, les suivantes : 

d'Çi=^ o. ch.2 =^ o? • • • ) (i'^n-p-\ ^=^ 0, 

où C5,, . . . , 'J„_y,_, sont des fonctions quelconques, et j'obtiens 
ainsi un système parfaitement déterminé. J'appelle encore 
j',,. . . , T',j_, les n — I intégrales du système ainsi complété, et, 
en leur adjoignant une fonction y^ qui ne soit pas une intégrale, 
j'obtiens encore n fonctions indépendantes j'i, que je substitue aux 
variables .r/. Le svstème (i i), où l'on fera A = o, devra être vérifié, 
comme le premier, quand on y fera 

dy i = o, ..., dyn_i = o. 

En raisonnant comme nous l'avons fait dans le cas où n est 
impair, nous serons conduits aux mêmes conclusions, et nous 
trouverons l'une des formes (i3) ou (i4)- En résumé, nous pou- 
vons énoncer le théorème suivant : 

Une forme %d à n variables peut toujours être ramenée par 
r intégration du système (lo) à Vune des trois formes 

( J« ( Yi oTki + . . . 4- Y„_i dyn-i) . 
( A ) j Y, dvy -+-... + Y„_i dyn-\ , 

' dyn -+- Yi dyi + . . . + Y„_i ^r„-i , 

où les variables y f, . . . ,jK«-< sont indépendantes, et où les fonc- 
tions Y,- ne dépendent que de yi, . . . ,yn-{- Quelques-unes de 
ces fonctions Y i pourront, d'ailleurs, être nulles. La première 
de ces trois formes ne se présente que lorsque n est pair et le 
déterminant 

différent de zéro. 

On peut encore énoncer le résultat précédent de la manière 
suivante. Désignons par Ç)'^, une forme différentielle à n variables. 



('7) 



26 PREMIÈRE PARTIE. 

On peul toujours ramener 0," à l'une des trois formes 

où y,i est une variable tout à fait indépendante de celles qui 
figurent dans la nouvelle expression difi'érentielle 6^^"'. 

V. 

Nous pouvons maintenant démontrer le théorème suivant : 

Une forme 0,/ peut toujours être ramenée à Vun des deux 
types suH'ants : 

( df — Zi dfi — z, dji — . . .— :-p dVp, 
\ ^1 dy\ + z.y dy\, + . . .+ Zp dvp, 

où les fonctions y , y i , . . .,z-fs constituent un système de variables 
indépendantes , c' est-à-dire sont des fonctions indépendantes de 
toutes les variables qui entrent dans la forme Sd- 

Le premier des deux types précédents sera appelé type indé- 
terminé; l'autre sera le type déterminé. 

Cette proposition, nous allons le démontrer, est une consé- 
quence presque immédiate de la précédente. En effet, elle est 
évidente pour les formes à une et à deux variables. Il suffira donc 
démontrer que, si elle est vraie pour une forme k n — i variables, 
elle l'est aussi pour une forme contenant une variable de plus. 

Pour cela, nous remarquerons qu'une forme à n variables peut 
être ramenée à un des trois types A. Négligeant le; second, qui ne 
dépend que de n — i variables et pour lequel, par conséquent, le 
théorème est admis, nous remarquerons que les deux autres se 
composent d'une manière très simple avec la fonction à n — i 
variables Y, c^r, + . . . + ¥„_,<:/)'„_,. 

Remplaçant cette forme an — i variables par l'un des deux 
types (17), nous obtiendrons pour la forme à n variables l'une des 
expressions suivantes : 

fn{du— f, du y— t'oc/z/j — . . .— S'i,d(li,), 

r„(\-idifi + . . .4- \-pditf,), 

d(fu ■+- ") l'i dit y — i\.d/t2 — . . . — »•,, f////,, 

dy„ -\~ i'yfluy +■ (V, di/,' ... ty du g,. 



MÉLANGES. 27 

où u, Uii i'/i sont des fonctions indépendantes dejKi,- • • ,yn-{, et 
où, par conséquent, j'„, w, Ui, i'k sont des fonctions indépendantes 
des variables primitives. 

Les deux dernières expressions rentrent évidemment dans le 
type indéterminé. Quant aux deux premières, on les ramène au 
second type en substituant aux fonctions Vi,. . ., Vples suivantes : 

Le théorème est donc établi. Il en résulte évidemment la consé- 
quence suivante : 

Si la forme réduite de l'expression à n variables 0,/ est 

les ip fonctions z-i, v/^ des variables jCi étant indépendantes, on a 
nécessairement "xp^n. 
Si la forme réduite est 

dy — ^, d\\ — ... — Zp dyp, 

il faudra de même que l'on ait ip -|- i ^/i. 

VL 

Nous allons maintenant résoudre le problème suivant : 

Etant donnée une forme 6^ à n variables, auquel des deux 
types (1^) peut-elle être ramenée et quelle est alors la valeur 
du nombre p? 

Ce problème est susceptible d'une solution extrêmement simple. 
En effet, supposons que l'on transforme l'expression 0^ en pre- 
nant comme nouvelles variables celles qui figurent dans la forme 
réduite, et d'autres d'une manière quelconque pour compléter le 
nombre de n fonctions indépendantes. Voyons ce que deviendra 
le système (10). Ce système peut se remplacer par l'unique équa- 
tion 

(18) 00,/ — dQ$ = l es dt , 

(\\n doit avoir lieu, quelles ([Ue snlenl les différentielles 0. Stippn- 



28 PREMIÈRE PARTIE. 

sons d'abord que la forme réduite de Sa soit 

0^:= dy — ^, dvi — Zo dy^_ — ... — ^^ dvp. 
On aura 

rj@a — r/04^= dzy >•, — dy\ o;::i + . . . + dzp ovp — dy,, oZp, 

et le système (lo) ou l'équation (i8), qui lui est équivalente, nous 
donnera 

dfi = O, dZi rr: — Xz^ dl, 

dy^ ^=- o, dz=^ = — X Zo dt, 
(19) \ ■ 

l o = X dt. 

On voit que l'on aura nécessairement A = o, et que les équa- 
tions (10) se réduiront à ip, qui seront complètement intégrables. 
Si, au contraire, la forme réduite est 

&a=^'i <>'i + . . . + ^p dVp, 

le système (10) sera équivalent au suivant : 

dyi =: o, dzi ^ Izi dt, 



. dy^ r=z o, dz=> = iz=> dt, 

(20) ./ - 7 . 



l djp = o , dzp = À Zp dt. 

Il ne sera pas nécessaire ici de faire X = o, ce qui distingue ce 
cas du premier. D'ailleurs les équations admettront 2/> — i inté- 
grales indépendantes de t, 

V — r ^ — c 



'p- 



c ^ — c 



Nous pouvons donc énoncer les théorèmes suivants : 

Si les é(juations (10), considérées comme déterminant les 
différentielles dxi, sont impossibles tant que \ est différent de 
zéro, la forme ('),/ est rédiiclihle an type indéterminé 

dy j, (7v, — ^2 r/vj - . . . Zp dy,,. 



MÉLANGES. ir, 

Le nombre ip est égal à celui des équations distinctes aux- 
quelles se réduisent les équations (lo) quand on y fait )v=: o, 
et, par conséquent, il sera facile de le déterminer a priori. De 
plus, les ip écpiations auxquelles se réduisent alors les équations 
(lo) sont complètement intégrables, et les variables y i, z-k de la 
forme réduite sont des fonctions de leurs ip intégrales. 

Si les équations (lo) peuvent être vérifiées en supposant 
\ différent de zéro, la forme est réductible au type déterminé 

Le nombre ip est égal à celui des écjuations distinctes aux- 
quelles se réduisent alors les équations (lo). De plus, ces équa- 
tions sont toujours complètement intégrables, et Von aurait, 
au moyen des variables de la forme réduite, un système cU inté- 
grales de ces écpiations par les formules 

7, = a,, z.^e-^-^d^=%. 



-I,- ~ - y3—fXdl Q 

/ p -'/)7 "p ^ ^p- 



En d'autres termes, ces équations différentielles admettent 
pour intégrales indépendantes de t les fonctions y ^, . . ',yp et 

les quotients —^ ~^ 



, — 
-^1 



Comme application, étudions la forme réduite de 0</ dans le cas 
le plus général. 

Si n est pair, le déterminant 



n'est pas nul, et Ton peut résoudre les équations ^^lo) par rapport 
aux différentielles dx,: A nest pas nul, et les équations (lo) sont 
toutes distinctes. On a donc ici le second type (17), et la forme 
réduite est 

Zy dvi -I- ^2 d^■.2 + . . . + ^„ dy„ . 
2 2 

Si, au contraire, n est impair, le déterminant 
est nul; mais ses mineurs du premier ordre ne sont pas nuls en 



3() PREMIÈRE PARTIE. 

général. Il l'aiit donc^ nous l'avons vu, sauf un cas exceptionnel, 
que A = G, et alors les équations se réduisent à /? — i distinctes; 
la forme réduite est 

dy — r., dvi — ... — ^ „^i dy„_i . 
•> s 

VII. 

Nous avons vu comment on reconnaît à quel type se rattache 
une forme différentielle et comment on détermine le nombre /?; il 
resterait à indiquer les intégrations qui sont nécessaires pour ra- 
mener une expression différentielle donnée à sa forme canonique. 
Les belles découvertes de MM. Mayer et Lie ont beaucoup dimi- 
nué la difficulté de ce sujet; mais, dans ce travail, je ne m'occupe- 
rai que des propriétés d'invariance relatives à une forme difieren- 
tielle. Je vais donc me contenter d'expliquer la marche générale 
des intégrations, mon unique but étant de montrer que la méthode 
de Pfalf, appliquée à une équation aux dérivées partielles, conduit 
aux mêmes résultats que celle de Cauchy. 

Considérons d'abord une expression différentielle 

ejj = X, dx^ + . . . H- X„ dxm 
dont la forme canonique soit 
(21) Zidy\^.. . + Zj,dy,,. 

Nous savons qu'alors le système de Pfaff 

00^ — d%s — X0S dt 

est complètement inlégrable si ip <Cti^ et admet par conséquent, 
dans tous les cas, ip — i intégrales indépendantes de t. Il y aura 
donc toujours au moins n — "xp — i des variables xt qui ne seront 
pas des intégrales. Supposons, pour fixer les idées, que ce soient 
les dernières 

L(.'S 'if) — I intégrales du système de l'falfsc réduisent, (juand 
on fait 



MÉLANGES. U 

x\ , . . . , x^j^ étant des constantes numériques, à des functlons de 
Xi, . . ., X2p^\. Il y aura donc une intégrale qui se réduira à Xi, 
une autre à Xy, et ainsi de suite ('). Nous désignerons par \^Xi\ ou 
Ui celle de ces intégrales qui se réduit à Xi. Nous savons que les 
fonctions Ui dépendent uniquement des variables ji, • • 'lYp qni 

figurent dans la forme canonique (21), et des quotients ^, ...,-'-. 

z-i z^ 

Cela posé, prenons pour nouvelles variables 

qui sont évidemment des fonctions indépendantes des premières. 
La forme 0," deviendra 

(22) K{\]^dui -^...^l].2p-idu.2p_^), 

U), . . ., Uo/j-i ne dépendant que de w, , . . . , //o/j^i et R contenant 
au contraire une ou plusieurs des variables Xop, • • • , Xn. Cela est 
aisé à démontrer de plusieurs manières. Par exemple, si l'on part 
de la forme canonique (21) 



-1 ( <^fyi + ~ ^b'i + • • • + T^ ^.>> ) 



on sait que — 5 J7 sont des fonctions des variables //,. Si donc on 

remplace yi^ ^ par leurs expressions en fonction des intégrales iii 

-"1 

et si l'on remarque que ;;, est une fonction indépendante des pré- 
cédentes, on retrouve bien l'expression (22). , 

Je ferai remarquer que la fonction K, qui figure dans cette expres- 
sion, n'est pas complètement définie. Rien n'empêche de la divi- 
ser par une fonction quelconque c:>(//, , . . . , u-2p-\), à la condition 
de multiplier les quantités u par la même fonction co. Mais on peut 
déterminer complètement K par la condition suivante : 

Supposons que, pour x^p = xl^, . . . , .ro» = J""„, Rse réduise à 



(') Cette classification des intégrales d'un système d'équations est, comme on 
sait, due à Caucby dans le cas où il y a une seule variable indépcndanle. Elle a 
clé déjà ulilisce, en ce qui concerne les systèmes complètement intégrables. par 
M. I,ic, dans le M(''moirc, que nous avons <l('j;i cite'', sur le )irol)lèmc de PtafT. 



32 PREMIÈRE PARTIE, 

une fonction 

Nous diviserons K par «L(?/,, ;/o, ..., ?/o^_,), et alors la nouvelle 
valeur de K sera complètement définie et jouira de la propriété 
de se réduire à i quand on fera x.2p = ^l,,^ ••• ? J^« = -^ fi- 
cela posé, écrivons l'identité 

et faisons dans les deux membres x^p = x^^,, . . . , ;r„ = j?^. Dési- 
gnons par X° ce que devient alors X^. Comme K devient alors égal 
à I , Ui égal à Xi, on aura 

X» r/^i + . . . 4- Xlp^i djc.,p_, =r U, flfj", + . . . + U,^_, dx,p_i, 
et par conséquent on pourra écrire 

ce qui nous conduit au théorème suivant : 

Supposons que la forme eanonique d'une expression diffé- 
rentielle 

e^ — X'i dx^ H- . . . -h X„ dxn 

soit 

Zidvx +. . .^Zpdvp. 

Le premier système de Pfctff sera complètement intégrable si 
ip <. n, et dans tous les cas admettra ip — i intégrales indé- 
pendantes. Il y aura donc toujours au moins n — 2/> + i des 
variables Xi qui ne seront pas des intégrales de ce système. 
Soient x-ip-, • • • ,^n7 n — 2/> + i variables jouissant de cette pro- 
priété. Considérons les ip — i intégrales du système de Pfaff 
qui se réduisent à x^, . . ., x.2p-\ quand on fait x^p = x\^, . . . , 
^„ = ^JJ, et désignons par ui celle qui se réduit à Xi. Si l'on 
choisit ces intégrales pour nouvelles variables, V expression 0"^ 
prend la forme suivante 

K(Uiû?«, +. . .4- Uap-i duop-i), 

oii l'on déduit Ua de X^ en y remplaçant respectivement 
ic,, . . . , x-ip^s par //, , . . . , u.,p , : x.,p, . . . , x„ par les con- 
stantes xl^,, . . ., x",. 



MÉLANGliS. M 

Considérons maintenanl le cas où Ja lornic (-)'J est réductible au 
type 

( 23 ) c/) — ^1 dfi — z-i dy., —...— Zj, dy,,. 

On sait qu'alors le système de Pfaffne sera possible que si Ton y 
fait )v= o^ et que dans tous les cas il admettra ip intégrales qui 
seront ;, , . . . , Zp, )■, , ... lYp. Nous pouvons ici raisonner comme 
précédemment. Parmi les it variables Xi, il y en aura au moins 
Il — ip qui ne seront pas des intégrales. Soient 

n — 2.p variables jouissant de cette propriété. Désignons par iti 
celle des intégrales qui se réduit à Xi quand on remplace 
^■2p+i j . . ., x,i par les constantes numériques xl^^^^, . . . , x^. Enfin 
effectuons un changement de variables c|ui substitue aux variables 
primitives les suivantes 

lll, • • • j '^2/J) •^îp + ly • • • J '^ If 

On aura, pour la nouvelle forme de l'expression différentielle, 

( -lA ) du + U, dtii-h. . . + LU/, du, p. 

En effet, dans la forme canonique (23), les variables ^/, ]'a, qui 
sont les intégrales du système de Pfaft", peuvent être regardées 
comme des fonctions de ?<,, ..., i/.yp- Si donc on les supposait 
exprimées en fonction de /^,, ..., a.,p, on obtiendrait bien un 
résultat de la forme précédente. 

Dans l'expression {^4), la fonction H n'est pas définie et il est 
clair que cette expression ne changerait pas si on remplaçait H par 

II — 'f("l, • • -, "2/;). 

à la condition d'ajouter —-^ à U/. Si II se réduit à •l{x,, r-.p) 

pour jTo/,^, = ^Ip+i y • • • , ^11 = -^li nous conviendrons d'en retraii- 
cher 

'W"i "i,>); 

alors la nouvelle valeur de Use réduira à zéro })Our.ro,.^, =:,r"^^^,, .., 
Bull, des Sciences matliCDi.. -i' série, l. \\. (Janvier i88j.) 3 



34 PHIÎMIÈUK l>AUriE. 

Ecrivons mainlenant l'idenliu' 

Xi dx^ + . . . H- X„ dx,i =r d\\ + U, dui + . . . + V.,p du.,,,. 

et faisons-y x<,pj^^ = -^'i/'+i' • • • > -^/z = -^/i- Soit encore X" ce que 
devient X/ par cette substitution. Comme ui devient alors égal 
à Xi et H égal à zéro, on aura 

XJ dx^ + . . . + X*^^ dx.,p = Ui ,^.r, + . . . + U.,, «^.rj/.., 

et par conséquent 

Xous pouvons donc énoncer la nouvelle proposition qui suit : 

Supposons que la forme eanonique d'une expression diffé- 
rentielle 

e;j = X,c/.r, +...-r-X„^r„ 

soit 

dy — Cl d\\ — ... — Zj.dvp. 

Le premier système de Pjoff ne sera possible que si l'on r 
fait ').= o et il admettra ip intégrales. Soient ^2/7+M •'•,^11 
un système de variables qui ne fassent pas partie de ces inté- 
grales, et désignons par u, l'intégrale du système de Pfaff qui 
se réduit à xipour œ-^p+i = -^Ip+^i • ' > ■> ^n = -'c^r L'expression 0^ 
pourra être ramenée à la forme 

d\{ + Uj r///, + . . . + V.,,, du.2,„ 

oii l'on déduit Ua- de X/i en r remplaçant j^,, . . . , x.>p respecti- 
vement par ?;,, ..., Uxp\ JC-ipj^x-, • • • : -^w />•'//■ Ic^ constantes 
x\ , .. -î^/^j. H est une fonction (jui se réduit à zéro jtour 

•^•lp-lf-\ •^2/J+l ' • ' ' 1 '*-■ Il -^ Il • 

11 est bon de remarquer que H se déterminera sans difficullé 
[)ar une quadrature, cpiand //,, .... u^p seront connus, (^ar on a 

ciw — e;j — r , du^ — ... — i ',/, du.,, , 

et tout sera connu dans le second uiciubre. 

Les deux théorèmes qui précèdent conduisent à plusieurs con- 
séquences. On voit tout de suite (pie les divers .svslèmes d'é(jua- 
llons dillérentielles auxquels contluil successivement l'application 



MÉLANGES. 35 

de la mt'lliode acquièrent en quelque sorte une existence indé- 
pendante. On peut écrire chacun d'eux avant d'avoir intégré 
le précédent. M. Mayer avait déjà fait des remarques analogues 
relativement aux svstèmes complètement intégrables. On voit, de 
plus, qu'à partir du second s\stènie, on n'a j)lus d'indétermina- 
tion et l'on ne rencontre plus que des formes appartenant aux 
deux types généraux. 

On peut faire une application importante des résultats qui pré- 
cèdent à la forme particulière que l'on rencontre dans la théorie 
des équations aux dérivées partielles. 

Soit 

(25) py—J\z, a-i, .. ., a'a, Pi, ..., Pn) 

une équation aux dérivées partielles, où/?/ désigne -r-^- 11 est clair 

que l'intégration de cette équation est équivalente au problème 
suivant : Annuler la forme 

eu = dz. — fcLvi — Pi dx, —...—;>„ dx„ 

à 2 n variables ;;, ^, , . . . , x„,/)o, . . . ,yj„, en. établissant n relations 
entre ces variables ; el l'on sait cpie la solution de ce problème 
n'offre aucune difficulté dès que 0,/ est ramené à la forme cano- 
nique. Or, je dis que pour ramener 0,/ à la forme canonique, il 
suffira d'intégrer le premier système de PfafJ' relatif ii cette 
forme. 

Ecrivons, en effet, ce svstème 

ou bien 

dfox^ — r<fd.i\ + dp.2 o.r^ — r.p^ dx\ -t- . . . + dp,, o.r„ — f/.r„ Zp,, 
= ldt{rjz — /'o.r-i — . . . — y^jOXrt), 

ce qui donne les équations 

d/—4^ d.i\ — — l/df. 
r^ d.i'i + dp., =z — A/)., d/. 

() V.y 



3(» 



PIIEMIEHE PARTIi:. 




+ (fPn = — ''Pn dt. 


'^^ dx 


= ldt. 


— - — dXy 

dp. 


— djr, = o, 


— —^ — dj-. 


— d.r„ = o. 



àp,i 
que Ton mcl aisément sous la forme suivante 



d.t\ dr. 


dx„ — 


-dp, _ 


— dp,, 


-i~ àf '-- 
àp. 


■ ■ ^ àf ~ ôf 
àpn àx, 
dz=pidxi -+- 


• ■ --^Pn dx„. 


~ df df 

--.^ ^Pn T" 

dx,^ dz 



(26) ^ 

On reconnaît les équations différentielles de la caractéristique. 

Nous Yovons ici que x, n'est jamais une intégrale. Désignons 
par [:?], \pk\, [-^/] les intégrales de ce système qui se réduisent 
respectivement à z, j)^, o:/ pour J7, ^ x\, x\ étant une constante 
quelconque, llii'y aura aucune difficulté à déterminer ces inté- 
grales dès que le système (26) sera complètement intégré. Si 
nous appliquons maintenant le premier des deux théorèmes que 
nous avons démontrés, nous voyons que l'on aura 

[ dz — fdXi — p, dx, — ... — p„ dx„ 
^'■^ ( = L î d[z] - [/.,] d[x,] - [p,] d[x,]-...-[p„]d[x„] |, 

L dépendant de Xf. Nous obtenons ainsi du premier coup la l'orme 
réduite qui devait être le terme de nos calculs. L'équation précé- 
dente se rencontre dans la mélliodc de Caucliy et t'ile y joue un 
rôle l'ondamenlal. 11 est inutile de revenir sur des propositions 
l)ien connues et de montrer comment elle conduit à l'inlcgration 
de l'équation aux dérivées partielles proposée. Il nous suflira 
d'avoir établi que la méthode de Plall", au moyen (l'un facile com- 
plément, devient aussi parfaite que les autres. .Mais il est juste 
aussi d'ajouter que cette classilication des intégrales, qui nous a 
permis d'ariiser au bul , consliliic un progrès Inen essentiel, (jui est 
cneore dû à ( ';iii<ii\ . ( -■/ .v/z/e/v'. ) 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 

REINE (E.). — Handbucii der Kigelfinctionen. Théorie lnd Anwendln- 
GEx; Zweiter Band : Anwendingex der Klgelfunctionex und der ver- 
WANDTEN Flnctionen. — Berlin, G. Reiner, 1881 ('). 

Nous avons déjà rendu compte du premier Volume de la nou- 
velle édition que publie M. Heine (-) de son Traité des fonctions 
sphériques. Le second \ olume, que" nous avons sous les veux, 
termine l'Ouvrage et contient les applications à la Phvsique mathé- 
matique et à la théorie des quadratures mécaniques. En fait, les 
fonctions sphériques jouent un rôle fondamental dans tous les 
problèmes de la théorie de l'attraction et de la chaleur. Exposer 
en détail toutes leurs applications équivaudrait à écrire un Traité 
complet de Physique mathématique. M. Heine, sans avoir cette 
prétention, a passé en revue les problèmes essentiels, et il a exposé 
les résultats les plus importants acquis à cette partie de la science 
par les beaux travaux de Laplace, de Gauss, de Green, de Lamé 
et aussi par ses propres recherches. 

La première Partie tiaite des quadratures mécaniques. L'auteur 
examine avec quelque détail, en même temps que la méthode de 
Gauss, celle de Cotes et dcNev^ton, fondée sur l'emploi des ordon- 
nées équidistantes. Il termine en exposant ce qui concerne la 
généralisation de la méthode de Gauss et l'intégrale 






La seconde Partie traite du potentiel. Un premier Chapitre 
contient les généralités et les problèmes relatifs à la sphère. Puis 
M. Heine examine successivement, et dans des Chapitres séparés, 
l'ellipsoïde de révolution, l'ellipsoïde à trois axes inégaux, le 
cylindre, le cône, l'emploi de la méthode des rayons vecteurs 
réciproques et son application à deux sphères, ainsi que le tore. 



(') Voir BiiUetin, II,, 371. 

(') Décédé le 24 orlobrc 1881, à l'i'ige de (ii ans. 

Bull, des Sciences nxit/ie/»., .r série, I. \ I. ( l-éviicr i8Sj.) 



38 PREMIÈKE PARTIE. 

La troisième Partie comprend les applications à la Théorie ana- 
lytique de la chaleur. 

Enfin, une quatrième Partie, assez peu développée (vingt pages), 
comprend l'étude de quelques questions des plus simples d'Hvdro- 
dvnaraique. 

L'Ouvrage se termine par quelques suppléments au Tome 1", 
où l'auteur a eu surtout pour but de faire connaître les recherches 
les plus importantes, faites depuis la publication de son premier 
\ olume. 

Nous ne pouvons que canfirmer l'appréciation déjà donnée lors 
de l'apparition du premier Volume. La publication de l'Ouvrage 
de M. Heine est un véritable service rendu à la Science; cette 
nouvelle édition, si augmentée, sera accueillie avec faveur et exer- 
cera une influence réelle sur le développement des théories au 
progrès desquelles l'auteur a déjà si notablement concouru par ses 
travaux personnels, G. D. 



BEF.TRAMI (E.). — Sill' eouilibuio delle superficie flessibim ed ines- 

TENSIIÎILI ( ' ). 

L'auteur fait remarquer que le Mémoire de M. Lecornu, inséré 
dans le XLVIIP Cahier du Journal de r Ecole de Polrteclmique, 
a, très opportunément, ramené l'attention des géomètres sur un 
sujet qui n'avait pas été convenablement approfondi, et qui pa- 
raissait même abandonné dans ces derniers temps. Il ajoute que 
M. Lecornu a suivi une méthode nouvelle, et qu'il a établi un lien 
étroit enlre la question mécanique par lui traitée et la théorie géo- 
métrique de la déformation des surfaces. INIais la question pure- 
ment mécanique de l'équilibre d'une surface flexible et inexten- 
sible avait été souvent étudiée, bien que son historique ne soit 
pas, à la vérité, aussi bien établi que celui d'aulres ([ueslions moins 
intéressantes et moins coniplicpiées. 

Sans remonter justpi'au problème de la voile de Jean Bcrnoulli, 
(pii d<''rive de la lln'oric dv la courbe lumeiilaire, M. Hellrami fait 



( ') Afpmnri'e fir/f \rr(iil<-t)iiii ifcllc Scirnzi' drU' fslihilo ili finfn^iin. \' s<'rir. 
l. \\\: iSS,. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. Sg 

remarquer que Lagrange [Méc. anal., Partie I, Section V, Cha- 
pitre III, § II) et Poisson, dans son Mémoire de i8i4, Sur les 
surfaces élastiques {31ém. de VInst. de France, 1812, p. 167), 
avaient cherché à établir une théorie générale qui s'applique^ en 
particulier, au cas d'une surface flexible et inextensible. Cisa de 
Grésy, dans ses Considérations sur l'équilibre des surfaces 
flexibles et inextensibles {Mém. de l'Ac. de Turin, V^ Série, 
t. XXIII, 1817), n'a fait autre chose que remettre en examen et 
discuter les hypothèses et les formules de ces deux illustres au- 
teurs. S'ils n'ont pas à la vérité donné les véritables équations de 
l'équilibre, ils ont du moins indiqué clairement la voie à suivre, et 
leur méthode devait se prêter à l'emploi des coordonnées curvi- 
lignes. 

Mais M. Beltrami insiste surtout sur les recherches de Mossotti 
qui, en i85i, a consacré une des leçons de son cours de Méca- 
nique rationnelle à l'étude de l'équilibre des surfaces flexibles et 
inextensibles, en l'accompagnant de quelques exemples. M. Bel- 
trami discute ce travail, en examinant une erreur dans laquelle 
est tombé Mossotti, erreur qui n'aff'ecte pas du reste les applica- 
tions faites par ce géomètre. 

M. Beltrami, après avoir mis en évidence par des considérations 
extrêmement simples les imperfections de la marche suivie par 
Mossotti, établit, dans l'article 2 de son travail, le principe général 
de l'équilibre, et de cet unique principe il déduit les équations 
indéfinies et les équations aux limites en coordonnées curvilignes 
les plus générales. C'est une application très élégante du principe 
des vitesses virtuelles. De ces équations d'équilibre il déduit en- 
suite une théorie de la tension superficielle qui est pleinement 
d'accord avec celle que M. Lecornu a obtenue par des procédés 
géométriques. 

La suite du Mémoire est consacrée à l'étude de plusieurs cas 
d'équilibre remarquables par leur simplicité et leur généralité. 
L'un d'eux avait été signalé par Poisson, les autres sont nouveaux. 
Cet important travail se termine par l'étude de quelques formules 
relatives à la déformation infiniment petite d'une sui'face flexible 
et inextensible. M. Beltrami fait remarquer que l'on pourrait 
aussi écrire les équations du mouvement d'une telle surface. Mal- 
heureusement, on connaît si peu do surfaces pour lesquelles on 



4o PREMIÈRE PARTIE. 

puisse résoudre le problème de la déformation, que ces équations 
auraient peu d'applications utiles. 

G. D. 



MELANGES. 

LISTE DES TRAVAUX SUR LES OVALES DE DESCARTES; 

Par m. V. LIGUINE, 

Professeur à lUniversité d'Odessa. 

Interrompu, par des circonstances particulières, dans la prépa- 
ration d'une monographie sur les ovales de Descartes, j'ai cru qu'il 
V aurait un certain intérêt à publier séparément cette liste, assez 
complète, je l'espère, des Ouvrages et Mémoires concernant ces 
courbes, liste que j'ai été conduit à dresser en étudiant l'historique 
de la question. Outre les travaux d'une certaine étendue, il v avait 
lieu de citer beaucoup de questions, proposées sur les ovales dans 
divers journaux, principalement dans VEducational Times; à ces 
citations j'ai ajouté les énoncés mêmes des théorèmes à démontrer, 
afin d'épargner aux lecteurs de pénibles recherches et de présenter 
en même temps une suite de propriétés relativement moins con- 
nues des ovales. 



1637. Descartes. — La Géométrie. Livre IL 

1087. Nea-tofi. — Philosophise naturalis principia mathematica. 
T. I : De motus corporum, lib. T, proposilio 97, pro- 
blenia Al et cor. 1-2. 

1090. Iluvf^ens. — Traité de la lumière. Cliap. AI. 

1093. RohervaL — De geomelrica planarum icquationum rcsolu- 
tione (Mémoires de l'Académie royale des Sciences de- 
puis 1666 jusqu'à lOpf). T. VI, y>. 157-194). 

1799. Mniiliifhi . Ili>l(iirc des MalIn'rnalKpics. '!'. Il, p. xik)- 

i3(.. 



MÉLANGES. 4i 

1823. Quetelet. — Mémoire sur une nouvelle manière de consi- 

dérer les caustiques soit par réflexion soit par réfraction 
(Nouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. III, 
p. 89-140). 

1824. Sturni. — Recherches sur les caustiques (Annales de Ger- 

gonne. T. XV, p. 2o5-2i8). 

1827. Quetelet. — Résumé d'une nouvelle théorie des caustiques 
(Nouv. Mém. de l'Acad. de Bruxelles, t. IV). 

1829. Quetelet. — Démonstration et développement des principes 

fondamentaux de la théorie des caustiques secondaires 
{IbicL, t. V). 

Quetelet. — Des surfaces réfléchissantes ou dirimantes qui 
ont deux foyers conjugués (Correspondance mathéma- 
tique et physique, publiée par Quetelet. T. V, p. 1-6). 

Quetelet. — Sur les lignes dirimantes à deux foyers con- 
jugués [Ibicl., p. 109-116). 

Chasles. — Sur les lignes dirimantes à deux foyers conju- 
gués [Ibicl., p. 1 16-120). 

Chasles. — Sur les lignes aplanétiques [IbicL, p. 188-190). 

Quetelet. — Sur les lignes aplanétiques [Ibid., p. 190-193). 

1830. Plana. — Mémoire sur les caustiques (//^/r/., t. VII, p. iio). 

1832. Chasles. — Sur les propriétés des coniques qui ont des 

foyers communs (Ibid., p. 290-29-). 

1833. Quetelet. — Analogie entre la théorie des caustiques et 

celle des développantes et des développées (Traité de la 
lumière par Ilerschel. T. II, Supplémentô, p. 38o-4o-). 

1837. Chasles. — Aperçu historique sur l'origine et le dévelop- 
pement des méthodes en Géométrie. 4^ épocpie, § 18, et 
Note 21. 

1850. Boberts (Tp^illiam). — Théorème sur les arcs des lignes 
aplanétiques (Journal de Liouville, V^ série, t. X\ , 
p. 194-196). 



42 PREMIÈRE PARTIE. 

1850. Cavlev. — Addition au Mémoire sur quelques transmuta- 
tions des lignes courbes (Jbid.., p. 35i-356). 

I806. Cavlev. — A Memoir upon Caustics (Philos. Transactions 
of the Royal Society ofLondon. T. CXLVII, p. 2'-3-3i2), 

1857. Cavlev. — On the Ovals of Descartes (The Quarterly 

Journal of Mathem. T. I, p. 320-328). 

L'auteur, ayant en vue d'exposer plusieurs détails concernant 
l'histoire des recherches sur les ovales de Descartes, destine ce 
premier article à la reproduction textuelle du passage de la Géo- 
métrie de Descartes relatif aux ovales. 

1858. Mannheiin. — Constructions du centre de courbure de la 

courbe, lieu des points dont les distances à deux courbes 
données sont dans un rapport constant (Annali di Mate- 
mat, pubblic. da Tortolini. T. I, p. 364-309). 

1860. Mannheini. — Application de la transformation par rayons 
vecteurs réciproques à l'étude des anticaustiques (Nou- 
velles Annales de Mathématiques, P^ série, t. XX, p. 220- 
222). 

186!2. Mannheini. — Sur les arcs des courbes planes ou sphé- 
riques considérées comme enveloppes de cercles (Journal 
de Liouville, 2'' série, t. VII, p. I2i-i35). 

1864. Darhoux. — Sur les sections du tore (Nouv. Ann. de Math., 
2" série, t. III, p. i56-i65). 

Darboux. — Théorèmes sur l'intersection d'une sphère et 
d'une surface du second degré {Ibid.j p. 199-202). 

1804. Darboux. — Remarque sur la théorie des surfaces ortho- 
gonales (Comptes rendus de l'Académie, t. LIX, p. 240- 

242). 

Genocchi. — Intorno alla retlificazione e aile proprietà délie 
caiislichc secondarie (Annali di Matcm. j)uhblic. da Tor- 
lolini. T. VI, p. 97-123). 

De Trenq(ielléon. — Sur rinlerscclion de deux cônes 
(Nouvelles Annales de Mathématiques;, 2" Série, t. III, 
p. ,'Ï39). 



MELANGES. 43 

1866. Crofton. — On certain properties of llie Carlesian Ovals, 

treated by the method of vecLorial coordinales (Proceed- 
ings of ihe London Mathem. Society. T. I). 

Crofton. — Question 1924 (Malliem. Questions froni tlie 
« Educational Times », ediled by Miller. T. VI, p. X\ I). 

L'arc «l'un ovale de Descartes en un point quelconque P fait des 
angles égaux avec la droite tirée de P vers un foyer quelconque 
et la circonférence passant par P et par les deux autres foyers 
(pour la solution de cette question, voir le même Recueil, 
t. XXV, p. 17, question 4.79o). 
Svhester. — Question 1990 (IbicL, p. 35, 70, 88; rof> aussi 
IbicL, t. VIII, p. G9). 

L Les trois points où une cubique circulaire est rencontrée par 
une transversale quelconque sont les loyers d'un ovale de Des- 
cartes passant par les quatre foyers de la cubique. IL Lorsqu'une 
circonférence et une droite rencontrent une transversale quel- 
conque en trois points, ces points sont les foyers d'un ovale de 
Descartes appartenant à un sjstème de ces ovales ayant entre 
eux double contact en deux points fixes. (Le second théorème 
est dû à AI. Crofton). 

1867. Burnside. — Question 1874 (Ihid. T. VII, p. 69). 

Appliquer la théorie de Plucker à la détermination des~foyers 
des ovales de D. 

Srh'ester. — Question 2332 (Ibid., p. yq)- 

Démontrer que l'on ne peut construire que deux ovales de Des- 
cartes avant un axe donné et passant par quatre points donnés, 
et faire voir conséquemment, à l'aide de la proposition I de la 
question 1990 (voir plus haut ), que tous les ovales que l'on peut 
mener par quatre points donnés situés sur une même circonférence 
consistent exclusivement de deux tribus (familles de familles) 
dont les foyers se trouvent respectivement sur les deux cubiques 
circulaires ayant les quatre points donnés pour foyers. 

Crofton. — Question 2280 (Ibid., t. VIII, p. 66"). 

Un ovale de Descartes ou une ellipse sont rencontrés par une 
circonférence, dont un diamètre coïncide avec l'axe, en deux 
points dont les coordonnées bipolaires relatives à deux des foyers 
sont ( r, r')et {s, s'). Gela posé, si l'on mène une circonférence 
concentrique à la première et tangente à la courbe, les coordon^ 
nées bipolaires de chaque point de contact seront 



I I 

.- ( /• ^ s >, - ( /■ 
». '>. 



44 PREi\lIÈRE PARTIE. 

1867. Cro/lon. — On varions properlies of bicircular quarlics 

(Proceed. of the Lond. Math. Soc, t. II, p. 33-44)- 

1868. Cayley. — Question 2573 (Math. Quest. from the Educ. 

Times, t. IX, p. y3). 

L'enveloppe d'un cercle variable ayant pour diamètre la double 
ordonnée d'une cubique rectangulaire est un ovale de Descartes. 
(L'expression « cubique rectangulaire » est eniplovée pour dési- 
gner une cubique à trois asymptotes réelles, ayant un diamètre 
formant un angle droit avec l'une des asymptotes et un angle de 
45° avec chacune des deux autres, c'est-à-dire une cubique 
ayant pour équation a^K" = x'^-\- bx^-^ cx-\- cl.) 

Darhoux. — Note sur une classe de courbes du quatrième 
degré et sur l'addition des fonctions elliptiques (Annales 
de l'École Normale, i"^*^ Série, t. IV). 

Panlon. — Question 2562 {Ihid., p. 85). 

L'équation d'un ovale de Descartes, le foyer triple étant pris 
pour origine, est 

[^2 ^_^2_(^3.^ ^ .,^ _^ 5,p)]2+ 4 aû.v[2.r- (a + ?-+- Y)] = o, 

où a, p, Y expriment les distances des trois foyers simples au 
foyer triple. 

1869. Pantoii. — Question 2622 {Ibicl., t. XI, p. 56). 

L'équation qui relie les distances (/-j, /-j, r-i) d'un point quel- 
conque pris sur un ovale de Descartes aux foyers est 

( ;3 — Y)a2 /-i + (y — a) fii /•-,-;- ( a — !3)y'2 ^3 = o, 
a, [j, Y désignant les distances des foyers au foyer triple. 

Roberts {Samuel). — Question 2888(//^tV/., t. XII, p. 94) . 
Lorsqu'un ovale de Descartes a deux foyers axiaux imaginaires 
et par conséquent deux foyers extra-axiaux réels, la tangente en 
un point quelconque est la bissectrice (intérieure ou extérieure) 
de l'angle formé par le rayon vecteur mené du foyer axial réel 
et le rayon d'un cercle passant par les foyers extra-axiaux et le 
|K»iiit d(î conlacl, le rayon étant mené à ce dernier point, l'ro- 
piiclii correspoiidanlc pour une conique. 

('uscy. — On hicircidai' (piartics (Transactions ol the Koval 
Irish Acadcmy, t. WIV, p. 457-569). 

1870. liohcitsi s.). — ( )ti ilic (i\als of iJescarles (Proceed. of the 

I.oikI. \I;i|Ii. So( ., I. III. p. io()-iC4()). 



MÉLANGES. 45 

1870. Roberts (S.).— Question 'Moi. (Math. Quest. Irom ihe Ed. 
Times, t. XIV, p. 21). 

Dans un ovale de Descartes à nœud fini (limaçon à nœud), la 
différence entre les longueurs des boucles est égale à quatre 
fois la distance des sommets. 

Cro/to/i. — Question 2111 (Ibid.). 

Dans un ovale de Descartes dont les deux, foyers intérieurs 
coïncident, la différence des deux arcs interceptés par deux 
transversales quelconques menées du foyer extérieur est égale à 
une portion de droite que l'on peut déterminer. 

1872. Cavley, — Note on the Cartesian (Quarterly Journ. of 

Math., t. XII, p. iG-19). 

Darboux. — Mémoire sur une classe remarquable de courbes 
et de surfaces (Société des Sciences physiques et natu- 
relles de Bordeaux, t. VIII et IX, i^^ Série). 

1873. Roberts (S.). — Note on the expression of the length of 

the arc of a Cartesian by elliplic functions (Proceed. of 
the Lond. Malh. Soc, t. V, p. 6-9). 

Clifford. — Question 4010 (Math. Quest. from the Educ. 

Times, t. XIX, p. 78 ). 

Les lignes de courbure d'une surface du second degré sont 
pi-ojetées d'un ombilic sur un plan parallèle au plan tangent en 
ce point suivant une série d'ovales de Descartes confocaux. 

1874. Roberts (S,). — Question 4242 (Ib/d., t. XXI, p. 91). 

Deux ovales de Descartes conjugués rencontrent l'axe en quatre 
points réels A, B, C, D, dans l'ordre même de ces lettres. Les 
diamètres axiaux peuvent alors être groupés en trois paires 
(AB,GD), (AG, BD), (AD, BG). Si l'on construit trois ellipses 
ayant leurs demi-diamètres principaux égaux aux trois paires de 
diamètres des ovales, la circonférence de l'ovale extérieur sera 
égale à la demi-somme des circonférences des ellipses construites 
sur (AGjBD), (AB, GD), la circonférence de l'ovale intérieur 
sera égale à la demi-différence des circonférences des mêmes 
ellipses, et les arcs des ovales compris entre l'axe et les points de 
contact des tangentes menées du foyer extérieur seront expri- 
mables à l'aide d'arcs de la troisième ellipse et des circonfé- 
rences de? premières. 



46 PREMIERE PARTIE. 

1874. Panton. — Question it279 (IbicL, p. 89). 

La somme des aires des deux ovales de Descartes conjugués est 
égale au double de l'aire du cercle qui a le foyer triple pour centre 
et qui passe par les points de contact de la tangente double. 

Catalan. — Question 27 (Nouvelle Corresp. Malhém., 1. 1, 

p. 67). 

Un quadrilatère ABCD articulé en A, B, C, D a pour axe de 
symétrie la diagonale AC. De plus, le côté AB est fixe. Gela étant, 
le lieu du point de rencontre des côtés AD, BC est un ovale de 
Descartes (Pour la solution de cette question, voir le même 
Recueil, t. II, p. 89). 

'187o. Merrifield. — Question 4621 (iNIalhem. Quest. fi'om the 
Educ. Times, t. XXIII, p. 64). 

L'équation bipolaire d'un ovale de Descartes dont les foyers 
sont P et Q est 

l m 

Si l'on pose PQ = c, le troisième foyer R est déterminé par la 
relation 



QR:PR = (,_^):(,-^) 



le 

et l'indice de réfraction est entre P et Q, m -^ entre Q et R 

m ' L 

, ni , ^ 

et rn — entre R et P. 
c 

Cajley. — On the expression of the coordinates of a point 
of a quartic curve as func lions of a parameter (Proceed. 
of theLond. Math. Soc., t. VI, p. 81 -83). 

Johnson. — Bipolar équations. Cartesian ovals (The Ana- 
lyst, t. II, p. 106-118). 

1876. Crofton. — Question 4795 (Mathem Quest. froni tlic Educ. 
Tim., t. XXV, p. 17). 

Voir la question I92i du même Recueil, t. \I. p. XM. 

W'olsLenliobne. — Question i.l)î2G (/^/f/., p. 5i). 

Si dans un ovale de Dcscarlcs on mène des cordes par le foyer 
tri|jle, le lieu des milieux de ces cordes est 



MÉLANGES. 47 

1870. Jf'iUiamson. — Qiieslion 4901 (IbùL, p. 65 ). 

Si P est un point quelconque d'un ovale de Descartes, G le 
centre de courbure correspondant et M le point où PC rencontre 
l'axe de la courbe, on a 

ÎNG sinasin^sinY 
PC ^ smë ' 

a, p, Y désignant les angles formés par PC avec les trois rayons 
vecteurs du point P menés des foyers et 6 étant l'angle entre PC 
et l'axe delà courbe. (Cette propriété fournit une construction 
géométrique du centre de courbure de l'ovale de D. en un point 
quelconque de cette courbe.) 

S f tester. — Question 4922 {IbicL, p. 68). 

En partant de la définition primitive d'un ovale de Descartes, 
trouver l'équation polaire de cette courbe, un foyer étant pris 
pour pôle et la droite qui joint les deux foyers pour axe polaire, 
et en déduire l'existence d'un troisième foyer sur la droite pas- 
sant par les deux premiers. 

Croftoii. — Question 5082 {Ibid., t. XXVI, p. 79). 

Si 6 est l'angle au sommet dans un triangle, dont la base est 
une ligne fixe AB = 2c, et si x^y sont les coordonnées du som- 
met, on a 

sin 6 f/j- f/^' = 8 c ( a ^ c ), 



//' 



l'intégration étant étendue sur un ovale de Descartes quelconque, 
dont les foyers intérieurs sont A, B et dont l'axe est ia. 

1877. Roberts (/?.-^.). — Question 5069 {Ibid., t. XXVII, p. M)- 

Le lieu des foyers triples d'une série d'ovales de Descartes 
passant par cinq points fixes est une hyperbole équilatère. 

Cayley. — On ihe construction of Cartesian (Quarterly 
Journ. of Math., t. XV, p. 34)' 

Williamson. — Note on the Cartesian Oval (An elementary 
Treatise on the differential Calculus.3'''^ edit., p. 4 1 i-4i6). 

1878. Darboux. — Sur la rectification des ovales de Descartes 

(Comptes rendus de l'Acad., t. LXXXVII, p. SpS-ogy). 

Darboux. — Addition à la Note sur la rectification des ovales 
de Descartes (//>/r/.. p. ~l\\). 



48 PREMIÈRE PARTIE. 

1878. Roberts {R.-A.). — Question 5oo3 (Mathem. Quesl. from 

the Educ. Times, t. XXIX, p. 86). 

Les points de contact des tangentes parallèles menées à un 
ovale de Descartes sont situés sur une conique qui passe par 
quatre points fixes. 

Miller. — Question 48o6 {Ibid., t. XXX, p. 20). 

Étant donnés les trois foyers axiaux d'un ovale de Descartes, le 
lieu des points de contact de sa tangente double est la conique 

a, [3, Y désignant les distances des foyers à l'origine. 

1879. Ribaucour. — Mémoire sur les courbes enveloppes de cer- 

cles et sur les surfaces enveloppes de sphères. (Nouv. Cor- 
resp. Math., t. V). 

1880. Dewiilf. — Extrait d'une Lettre. (Nouv. Annales de Math., 

2" Série, t. XIX, p. 428-429). 

L'auteur propose une nouvelle construction de la tangente à 
un ovale de Descartes. On donne une circonférence de cercle 
dont le centre est le point C, et un point fixe A, On sait que le 
lieu géométrique des points dont les distances au point A et au 
cercle (G) sont dans un rapport constant est un ovale de Des- 
cartes. Soient F un point de la courbe, N le point où PC coupe 
le cercle (G). Si l'on élève en P une perpendiculaire à PG qui 
coupe AG en P', si l'on mène par P' une parallèle à AN qui 
coupe en P" la perpendiculaire en P à AP, si, ensuite, on élève 
en P' une perpendiculaire à PP' et en P' une perpendiculaire à 
PP", ces perpendiculaires se coupent en un point Q, et la droite 
PQ est la tangente en P à l'ovale de Descartes. 

miliamson. — Question 6177 (Math. Quest. from the 
Educ. Times, t. XXXIII, p. 85). 

Désignons par F, Fj, F2 les trois foyers des ovales de Descaries, 
F2 étant le foyer extérieur, et posons FF] = Cj, FF2=Ci, 
FiF2= c; alors, si mr-{- lrx-= ne, est l'équation de l'ovale inté- 
rieur ra|)porlé à F et Fj, 1° son rcpiation rapportée à F et F2 est 

nr -+- Iri = nic\, 

et son équation rapportée à F| et F2 est mr-, — nr\ = le; 9,° pour 
avoir les équations correspondantes de l'ovale extérieur, il suffit 
de changer / ph / dans les éqiiatirnis prért'dentes. 



M KL ANGES. Î9 

18X1. D'Ocagne. — Sur la construction de la normale dans un 
certain mode de génération des courbes planes (Nouvelles 
Annales de Math., i^ série, t. XX, p. 199-200). 

Lignine. — Sur les aires des courbes anallagmatiques 
(Bulletin des Sciences Math., 9/ série, t. \ , p. 25o-264). 

1882. Barbavin. — Xote sur les coordonnées bipolaires (Xouv. 
Annales de Math., Z" série, t. I, p. 10-28). 



SUR LE PROBLEME DE PFAFF; 

I'ar m. g. DARBOLX. 
(Suite.) 

DEUXIÈME PARTIE. 

MIL 

La proposition relative aux propriétés d'invariance du sys- 
tème (10), qui nous a été si utile dans la première Partie de ce 
travail, est susceptible d'une généralisation que nous allons main- 
tenant exposer. 

Considérons, en même temps que la forme 

6,;= X, cU\ -h ... H- X„d.r„, 

d'autres formes 0,'^, 0,% . . ., 0,^'', détlnies par les équations 
e,5 =iX\dx^ + ...-\- xf; dx^. 

Assujettissons les variables Xi et des variables ti à satisfaire aux 
équations différentielles 



(') 



(0 



«7 , , r/.r 1 -H ... -H a„ , dx,i = X | <:/^, -h X "j f/^, -j- . . . H- X^' dl^, , 

ciiadxy + . . . ^- a,t„ dx„ — \},dti^ -+'X'n <^fl,,^ 

/ X'I'-'dx, -|-...-HXr'^.r„ =0. 

\\" ^dx,^...-}-\f,''^dr„=o. 



5o PREMIERE PARTIE. 

qui sont au nombre de n -\-p — i , et qui, par conséquent, forment 
un système déterminé. On peut écrire ces équations sous la forme 
abrégée 

( ce,; — des = ei dti -{-... ^ e^ dtp, 



en supposant que la première ait lieu pour toutes les valeurs attri- 
buées aux différentielles auxiliaires o. 

Le système (i) étant écrit sous la forme (2), on reconnaît immé- 
diatement qu'il exprime des propriétés indépendantes de tout 
choix de variables, et, par conséquent, il aura les propriétés d'in- 
variance du système (10) de notre première Partie. 

Si Ton remplace les variables ^/ par n variables jv, et que la 
forme (-)'; devienne 

&^=Y'ldY, + ...-}-Y^dr„. 

le système (i) prendra la forme 

^hi'^h'i -h. . .-h b„idv„ =.Y[dti-h. . .-+-\';dlp. 



(3) 



^1 « dVi +...+ &„« <:/}•„ = Y,^ r/^i 4- . . . 4- y/; dtp , 



Yr"'^-i + -.. + Vr"'f/v„=o, 



les quantités bik avant la signification déjà donnée. 

Si l'on considère maintenant une nouvelle forme B^^'', le quo- 
tient 

^^^ dt,~-^' dt, +--- + -^« dt/ 

q désignant l'une quelconque des variables <,,..., t„, se transfor- 
mera dans Texpression 

'» dt„ +•••+ '" dt,, 

et d se foriiicra de la même manière, soit au moyen des anciennes 
variables et du système (i), soit au moyen dos nouvelles et du 
s\slènie(3V Kri diiiilics Icniics. < <■ (jiioiit'Dl •^(■r;i iiii in\;iiiant 



MÉLANGES. 5i 

absolu pour tout changement de variables. Il n'y a, d'ailleurs, 
aucune difficulté à le calculer; il suffit d'éliminer entre les équa- 
tions (3) et (4) les différentielles dxi^ dU, et l'on obtient le 
résultat suivant : 



Posons, pour abréger, 



(5) 



e'; 



07+1 er^ 



©r^ \ 



«1 



V7+P 



«„i Xj 

X'^+i o 

xr" o 



x^ 

o 



On trouvera, par exemple, 
(6) 



67 

dtn 



e,j.i 



es i 



( er' 



02.-1 



Remarquons que, si l'on avait /> = i , le dénominateur devrait 
être remplacé par 

A=: :î: ±«1,- • •«««• 

D'après cela, si Ton considère in formes et que l'on désigne, 
pour un moment, par A^ le déterminant 

( 0i ••• ^a\ 



^T^ 



les quotients 



A, 



A„-, 



A,j_i A„_2 
sont des invariants absolus. Mais on a 



(-i)"A„ = 



x;' 

X" 



X 



A 



x;- 



Y"+i 



et il est aisé de voir que, si l'on remplace les variables j",- par 
d'autres variables Vi, chacun des déterminants qui figurent dans 
le second membre de celte équation se reproduit multiplié par le 



52 PRIÎAIIÈRE PARTI H. 

déterminant fonctionnel 

(?(j,...v„) 

ou déterminant de la substitution. Donc A„ et, par conséquent, 
A„_), .,., A,, A se reproduisent multipliés par le carré de ce 
déterminant. 

Par suite, toutes les fonctions 



I ©r' «r^ 



0/;+'/ 



sont des invariants relatifs qi/e l'on transformera en invariants 
absolus en les divisant par Vune d^ elles, par exemple par A. 

Je ne m'arrêterai pas à montrer comment on peut exprimer 
toutes ces fonctions au moven des plus simples d'entre elles 

\ ^. M et je me contenterai, pour cet objet, de renvoyer à mon 

Mémoire Sur la théorie algébrique des formes quadratiques, 
où se trouve résolue une question analogue. Mais il y a une pro- 
priété que j'établirai en terminant cet article : Toutes les fois que 
ces invariants contiendront sur leurs deux lignes la forme B,/ 
elle-même, qu'ils auront, par conséquent, pour expression 






0^' 






ils jouiront de la propriété de se reproduire multipliés par une 
puissance de p, quand on remplacera la forme B,/ par ^^)d} 
étant, d'ailleurs, une fonction quelconque des variables indé- 
pendantes. 

En elfct, considérons l'expression de A sous forme dç déter- 
minant 

«,, . . . a,., \, M ... \'' 



A = 



-^ 1 

W 



a, m 



G 



-\;, 

o 



■^ n 
O 



.MÉLANGES. "il 

Si l'on multiplie 0,/ par p, il l'audra, dans le déterminanl pré- 

eédent, remplacer X/ par pX/, «//f par p<'//A-r- X^ -r-^- — Xt -r— -- 

Après avoir effectué cette substitution, ajoutons à la A'''"'^ ligne 

1 ^ • ^^ f l do , , . . , , 

la n -+- 1"""' multipliée par —) et a la t"''"*" colonne la /? + !'*""' 

I ôo 
multipliée par — p-- Nous obtiendrons alors l'ancienne expression 

de A, où tout élément compris dans le carré formé par les /? -f- i 
premières lignes et colonnes aura été multiplié par o. Le déter- 
minant A se reproduira donc multiplié par 0"+'"'^. 



IX. 



Nous allons appliquer les propositions précédentes, mais en 
considérant seulement les formes les plus générales. Nous avons 
vu, d'ailleurs, à l'article VII, cpie tous les cas peuvent se ramener 
presque immédiatement à ceux que nous avons l'intention d'étu- 
dier. 

Supposons d'abord n pair et égal à 2/w. La forme réduite peut 

alors s'écrire 

Q^l — />! f/j7] + . . . + /?,„ dur,,, ; 

je considérerai seulement les deux invariants suivants. 

Le premier s'obtient avec la forme fondamentale et la diffé- 
rentielle d'une fonction quelconque 9; son expression générale est 



(7) 





«'il 


«21 • 


■ ■ ^nl 


X. 




rt,2 




■ ^,,2 


X, 


&d j_ 










d'f î " 


«1« 


«2« . 


■ a„„ 


x„ 




do 


d'à 


âo 






dXy 


ÔX2 


àx,^ 






Nous emploierons avec Clebsch le symbole ('-p) pour désigner le 
quotient 



(8) 



qui sera un invariant absolu. 

Bull, des Sciences mothém., ■?." série, t. VI. (Février iS8a.) 



54 PREMIÈRE PARTIE. 

Le second invariant que nous considérerons sera le suivant 







^11 




«/M 


do 


i do 

1 — 




«i« 




(tnn 


ào 






ôxi 






G 


et nous poserons 
(9) 


('fS 


= 


— I 

A 


do j 

d'b r 





en sorte que ('-2'}) sera encore un invariant absolu. 

Si l'on calcule les deux symboles ('-i), ('-p'}) avec les variables 
de la forme réduite, on obtient sans difficulté, par quelques combi- 
naisons de lignes ou de colonnes, 



(lO) 






ôo <)o 

àjh àp,n 

do âà ào ()']> 

âpi ôa^-i dxi âpi 



ào à']/ do â<\i 

Opm 0.r„i ()X„i dp,n 



Les deux symboles que nous venons de définir sont des cas 
particuliers du suivant qui joue un rôle fondamental dans la théorie 
des équations aux dérivées partielles, qui s'applique à des fonctions 
de 2/;< + I variables 5, Xi, pk-, et qui est défini par l'équation 



, X r , n d'^ ( à^ d'\ 



d<)j / do do\ 



Ici nos fonctions ne dépendent pas de :;. On a donc 
Mais il est clair que Ton a aussi 

(,2) (?) = [?--]• 

En vertu de cette remarque, les relations établies entre les sym- 
boles ('^), ('f']>) par Clebsch peuvent toutes se déduire d'une 
équation j,M'nénilo donnée par M. Maycr(Afafhrm(ftisc/iPÂ/>/iafen, 



MÉLANGES. 5', 

t. IX, p. 370). M. Mayer a montré que, si l'on considère trois 
fonctions cp, •];, y des 2 m -{- i variables z, Xi, p^^ on a 

( [?['^7;j]^['K7;f]] + [/['f^]] 

Si l'on applique cette relation à trois fonctions ne contenant pas z, 
on en déduit la relation de Jacobi 

(i4) ('f (-^z)) + (-Mz?)) + (/.('f'^)) --0, 

entre les symboles ('f'}). 

Si l'on pose y= 5, et si l'on suppose les fonctions ':;, •!/ indi'-- 
pendantes de z, on trouve de même 

(i5) ('.(.^))-(.H'f)) = ('f'i>) + (('f'^)). 

Telles sont les deux relations qui servent de base à la méthode 
d'intégration de Clebsch. 



X. 

Je vais faire une application des résultats qui précèdent àlétude 
des relations entre deux réduites différentes d'une même forme. 
Considérons une expression différentielle (-),/ et soit 

p^dJry+.. .+p,ndx,„ 

une première forme réduite ; je dis d'abord que, toutes les fois que 
l'on pourra trouver m fonctions X,, . . ., X„j, donnant naissance à 
une identité de la forme 

(16) p,cU\-^. . .~\-p„,dx„, = PidXi -+-. ^.-h P„^dX„„ 

le second membre de cette égalité sera une forme réduite nouvelle. 
Pour cela, il suffira de démontrer que les fonctions X/, Py^ sont 
indépendantes, et cela est à peu près évident; car s'il y avait une 
ou plusieurs relations entre les variables X,-, P^, on pourrait, au 
moyen de ces relations, exprimer quelques-unes de ces fonctions 



( I- ) 



'A] PREMIÈRE PARTIE. 

au moven des autres, et par conséquent ramener 

à une forme normale contenant moins de am fonctions. On sait 
que cela est impossible et l'on peut conclure que, si m fonctions X/ 
satisfont à l'équation (i6), le second membre de cette équation 
sera certainement une nouvelle forme réduite de 0,/. En d'autres 
termes, les fonctions X/, Pa seront indépendantes. 

Cela posé, les deux symboles (--p), ('f'}), étant des invariants abso- 
lus, conserveront la même valeur quand on les formera en consi- 
dérant '^, 'l, soit comme des fonctions de X,, Pa, soit comme des 
fonctions de Xi, />a- 

On aura donc 

^ dpi dxi dpi oxi'' 2u à^ i d\i d\, dP, 

Appliquant ces équations générales aux fonctions- X,-, Pa elles- 
mêmes, nous obtenons sans difficulté les équations suivantes 

( (P,) = P„ (X,) = o, 
'^ |(P,X,) = i, (P,Xa.) = o, (X,Xa.)=o, (P,Pa.) = o. 

Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante : 

Si m fonctions X/ des ini variables Xj, p^ satisfont à une 
identité différentielle de la forme 

Pir/X,-^. . .-:- V,„d\,n—Pida\ — . . .-~p„,flr,„, 

les im fonctions \iVjiSont indépendantes et elles satisfont aux 

relations 

(P, )--=?,, (X,)-o, 

(P,X,-) = I, (P,XA,)=ro, (X,Xa) = o, (P,Pa.) = o. 

Les deux premières équations expriment que P,- est une fonction 
homogène de degré i et X, une lonclion homogène de degré «» 
des variables p/^. C est ce que mettent en (•videnee les équations 
finies données par Clebsch, qui permettent de passci- iriinc forme 



MÉLANGES. 5; 

normale à toute autre. Je ne reviens pas sur ce point, qui est bien 
connu. 

Je vais maintenant établir une proposition fondamentale et dont 
M. Lie a fait le plus heureux usage dans sa théorie des groupes : 
Si l'on a k fonctions indépendantes^^, Xo, . • ., ^k satisfaisant 
aux équations 

(X,)^0, (X,X/,)=:0, 

il sera possible de trouver une forme normale dont feront partie 
les k fonctions 

P^/X, -h . . . - P,.^X,. -H P,.,, d\,^, + P„, f/X„, 
= 7^1 r/j;^! H- . , . 4- />„, dx,„. 

Je commencerai par démontrer cette proposition dans le cas 
où l'on a une seule Ibnclion Xj. Alors, je détermine une fonction 
Pi par les deux équations 

(19) (Pl)--=P,, (PiX,)r=i. 

Il est aisé de voir que ces équations ne sont pas incompatibles. 
La première nous montre que Ton aura 

D / P-i P'" 

Pi=/^i?H^i> • • •• -^ni, — ' •••' — 

V Pi Pi 

et, si nous nous rappelons qu'en vertu de l'équation 

(X,) = o, 

à laquelle satisfait Xj, cette fonction est homogène de degré zéro 
par rapport aux variables/?/, nous reconnaîtrons sans difficulté que 
l'équation 

(P.X,) = i 

se réduit à une relation entre les dérivées de cp et les variables 

j"/, — dont elle dépend. Ainsi, il est toujours possible, et d'une 

infinité de manières, de déterminer une fonction P, satisfaisant 
aux deux équations (19)- Il suffira de prendre une intégrale d'une 
é(pi;tli()n hnéair;^' \\im — • 1 \ariables iudi'pcndaiilcs. 



58 PREiMIÈUE PARTIE. 

Supposons donc P, déterminé. Considérant la forme 

lj,i = pi f/j"i + . . . + p,„ dx,„ — Pi ^Xi , 

nous allons faire voir qu'elle appartient au t\pe 

(20) Pi^X-^H-. . .-I-P,„<^X,„, 

ce qui démontrera la proposition que nous avons en vue. 

Pour cela, j'écris le système des équations différentielles de Pfalf, 
relatif à cette forme \j,f On a 

oU^; — d\]$^r^ opidxi — dpiOXi + . . . + (iPioX, — dXioPi, 

ce qui permet de former les équations différentielles cherchées sous 
la forme suivante 

( ^^ ._ ^ dX, + ^ dP, = _ P, ^ X dt, 
\ dpi àpi dpi 

\^ ^Pi^v <^^>^D ^ ^J r, àX,\ 

Je vais démontrer que ces 2 m équations peuvent être vérifiées 
sans que l'on fasse a = o et que deux d'entre elles sont la consé- 
quence des autres. Introduisons les inconnues auxiliaires <^X,, dPi 
en fonction desquelles les différentielles dxi, dpi se déterminent; 
et essayons de déterminer c?X, , <iP, en portant les valeurs de dxi^ 
dpif dans les expressions développées de <r/X,, f/P(, 






nous obliendi'ous ainsi les deux équations 

[(P,X,) - i](rfP, + ÀP,r//) = \dt[{\\)- P,J, 
[(P,X,)-i]^/X,^X.//(X.), 

([ui sont identiquement vérifiées. Donc les équations (21) jx-uvcni 
être vérifiées sans (ju\»n lasse ). = o^ elles iidiiK'llent une indélcr- 



MÉLANGES. în 

iiilnalion du second degré, et par suite la forme U</ appartient au 
type (20), comme il fallait l'établir. 

Il nous reste à démontrer d'une manière générale que, si Ton a 
A" fonctions indépendantes X,, . . . , X;;, satisfaisant aux équations 

(X/,)rr:o, {X,,Xu') = O, 

il sera possible de trouver une forme normale dont elles fassent 
partie. Puisque nous avons démontré le théorème pour une fonc- 
tion, il suffit de prouver que, s'il est vrai pour A" — i fonctions 
X,, . . ., X;t_,, il sera vrai pour une fonction de plus, V, sous la 
condition que cette fonction V satisfasse aux équations 

(22) (V) = o, (YX,) = o, 

et ne soit liée aux premières par aucune relation, indépendante 
des variables. 
Soit 

P.rfX, -^. . . - P,._,^X,._, 4- P,.c/X^.-. . . + P„rfX„ 

une des formes normales dont font partie les A" — i fonctions 
X,, . . ., X/f_,. Si l'on exprime \ au moyen des variables X/, P^, 
les équations (22) deviendront, en vertu des propriétés d'inva- 
riance des symboles (o), {'■^'^), 

^""^^ p^5pI.-^----P"^. = "' ^^"' •••' 

La fonction V est donc indépendante de P( , . . . , Pa_) 1 niais elle 
ne l'est pas nécessairement de Xj, ..., Xa_,. Faisons pour un 
instant ces dernières variables constantes. Comme, par hypothèse, 
la fonction V n'en dépend pas uniquement, elle demeure variable; 
et comme elle satisfait à la première des équations (28), on voit, 
d'après la proposition démontrée en premier lieu, que l'on pourra 

ramener 

PA.fl?X/,4-.. .-HP,„rfX,„ 

à UTic forme normale 

qui contiendra V. Mais on a regardé X|, .... \f,^\ coMinic ron- 



Go PREMIERE PARTIE. 

stantes; si on les rend variables, l'expression précédente s'augmen- 
tera de termes en r/X,, . . . , r/Xyi_i et l'on aura, par conséquent, 

P,dX, + . . . 4- P,„^X„, r= P',d\ 

Ainsi la forme normale primitive 

P,^X. -. . . -P,._,«'X,._, -!- P;,dX,-^.. . ^ P„,r/X 



/n "^^ -* m 



se changera dans la suivante 

(P, + A0^X,+...4-(P,._, + A;,._,)rfX/,_, 

_ P'^dx + p,., dx',^, -f- . . . ^ p:„^x:„, 

qui contient bien les /: fonctions 

Xi, . . . , X/i_,, \ ; 

le théorème est donc démontré généralement. 

En résumé, nous pouvons énoncer la proposition suivante : 

Toutes les fois que l'on aura des fonctions indépendantes 
X,, ...» X;- des variables JCi, p^, homogènes et de degré zéro 
par rapport aux variables y?/, et satisfaisant en outre aux 

équations 

(X,X^) = o, 

// sera possible de leur adjoindre ini — /• autres fonctions don- 
nant naissance à l'identité différentielle 

Pidxi -+- . . . + p,ndx,n = Pif/X, H- . . . + \\ndX,„. 

Le cas où r = ni n'est pas exclu. Les fonctions X,, P/ seront 
toutes homogènes par rapport aux variables pi, les premières 
du degré o, les autres du degré i. Elles auront une forme 
quelconque p)nr raj>pnrt aux vaiiables X/. 

Ce théorème important donne naissance, par un simple chan- 
gement de notation, à une; autre proposition fondamentale (pie 
nous allons exposer. 

On peut d(tnner une lornu' ndiixellc à I idcnlilc 

( 2 ', ) /', ^/./ 1 -H ... 4- l>m dx,„ - P, f/X , -f- . . . 4- I '„, d\ ,„ 



MÉLANGES. 



Posons 



Pi—PmQi, ^, 



Elle deviendra 



pP,.. 



^ in — \ dX„i_i). 



Considérons une fonction es des variables :r/, /)/, homogène et de 
degré [jl par rapport aux variables/>/. Elle prendra la forme 



'f — P'niJ Vl \' ■ ■ ■ ^ 'l m-\i ^l-> • ■ • 1 ^iii-l: ~-)j 



et l'on aura 



A- .-ri/ 
Jj_ _ .^_, C>/' 

^/?;„_, ^^'" ()7„,_1 



il — ... ^f 



. àf^ 



^''"' ôx-i" dz ~^'"' Oz 



dp 



- =P>n' 



(^•^ m — 1 

â(ji 



P 



. àf 



dx. 



àf 



dq, 



Si nous calculons de même les dérivées d'une autre fonction cp, , 
de degré [j.| par rapport aux variables /?/, et que l'on substitue 
toutes ces dérivées dans le symbole (ocp, ), on aura 



[/y, ] désignant l'expression 












7l 



ôz 






àf_ , .. à/ 

ÔXi 



'dz\ 



Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de fonctions homogènes 
de degré zéro ; on aura a = jji., = o, 



(25) 






[/A] 

Pm 



Si maintenant on opère de même avec les variables Z, Q,, X/,, et 
si l'on applique la seconde équation (17), on aura 



[./.y. 



IJ'Ah 



n-i PREMIÈRE PARTIE. 

les lettres r, Z placées en indice indiquant le système de variables 
avec lequel on forme le crochet. Nous pouvons donc écrire 

(■^6) [//.]= = p[//i]z. 

Si nous appliquons cette équation à toutes les fonctions Z, X,, 
Qa nous en conclurons 

[X,Z] = o, [X,X/,] = o, [Q,Q,.] = o, 
[Zq,]^pQ, = o, [Q,X,] = p. 

On a donc, en changeant les notations, la proposition suivante : 

Considérons ini + i fonctions Z, X/, P;;, satisfaisant à l'iden- 
tité différentielle 

( 2- ) 6^Z — Pi f/Xj — . . . — P,„ ^X;„ = p{dz—pidjri—...-- p,,, djr,„) ; 

ces fonctions sont nécessairement indépendantes. Elles satis- 
font en outre aux relations 

i [ZX,]:=ro, [X,X,.]=:0, 
(28) [P,X,] = p, [P,X,.]=o, [P,P/,] = 0, 

( [ZP,.] + ?Pa-=o. 

Réciproquement, toutes les fois que l'on aura k fonctions in- 
dépendantes Z, X, , . . . , X/t_, , dont les crochets seront tous nuls, 
on pourra leur adjoindre d'autres fonctions telles cjue l'iden- 
tité {q.-^) soit satisfaite. 

Il est essentiel d'ajouter aux équations (^-8) les relations sui- 
vantes, que l'on obtient en appliquant la formule de M. Mayer à 
trois des fonctions Z, X/, V^ 

Ces Inrmulo, (pi on poiinail (lémontrer dirccloinciil . (loivciti v[\v 



MÉLANGES. 



(Vi 



jointes aux équations (28), si l'on veut avoir l'équivalent des rela- 
tions (18) relatives aux fonctions satisfaisant à l'identité (16). 

Signalons encore un cas particulier de la proposition précé- 
dente: On peut satisfaire à Inéquation (27) en prenant arbitrai- 
rement Z, et alors p devra satisfaire uniquement à la p^r entière 
des équations (ay). 

XL 

Supposons maintenant Ji impair et égal à 2/?i + i. Le détermi- 
nant A^]S(7(, ... a„,i sera nul; mais, si nous nous bornons 
au cas général, tous ses mineurs du premier ordre ne seront pas 
nuls. Tant que l'invariant R, défini par la formule 

«11 ... «„, Xj 

«12 ... a„2 



(3o) 



R-^ = 



— «rf 



X, 



Xi 



'■nn 

X, 



x„ 

o 



ne sera pas nul, 0^/ appartiendra au type indéterminé, et sa forme 
réduite pourra s'écrire 

dz — Pi dXi — . . . —p,n dx,n. 

Nous considérons les deux invariants suivants. 
Le svmbole (es) sera défini par la formule 



(30 KH'.y- = 



-cl. \ 







â'^ 


«Il 


a„i 


Ojti 






à'r 


Cl\,i 


(1,1 a 


ÙJ-a 


<h 


do 




ÔJCi 


ÙXn 






et le symbole ['f'}] par la relation 
(32) R-^['..^] 






do 



d'I 



D'après les propriétés des déterminants symétriques gauches, tous 
ces invariants sont rationnels. 



6i PKEMIÈRli PARTIE. 

Si on les calcule sur la forme réduite, on trouvera 



(33) 



lV- = i, 






Ô'h 



d'h 



du; ' ^'' 0^. 






ôo 



l\ 



Nous prendrons 



(?) = 



dz. 



Il suffira, quand on prendra les racines carrées dans la formule 
(3i), de choisir le signe du second membre de telle manière que 

l'invariant absolu (o) se réduise à -y^, lorsqu'on le calculera sur la 

forme réduite. 

L'invariant R appartient à la classe de ceux que nous avons con- 
sidérés à la fin de l'article VIII, et il est aisé de reconnaître qu'il 
se reproduira multiplié par p"+', quand on multipliera la forme 0,/ 
par une fonction quelconque p. Donc pS^ appartiendra, quelle 
que soit p, au type le plus général. Considérons en particulier une 
forme normale de ©</. Nous aurons le théorème suivant : 

Quelle que soit la fonction p des variables :-, x,^ p^^ il est pos- 
sible de trouver des fonctions Z, X,-, P/;- satisfaisant à ïidentité 



dZ — Pj d\^ — 
déjà considérée . 



V,n dX,n ■= p ( dz —jt^dx^—... —p,„ dx„i ) 



Les expressions (33) permettent de développer une méthode 
d'intégration toute semblable à celle que Clebsch a employée dans 
le cas d'un nombre pair de variables. J'utiliserai seulement leurs 
jiropriétés d'invariance pour étudier encore ici les relations entre 
deux formes réduites différentes. 



XII. 

Je dis d'aboid (pic. loiilos les fois (|iii' l'on .i 
(^,1 - d7.-~\\d\, ... l',„//\,„ 



MÉLANGES. G5 

les variables Z, X., Pa sont indépendantes. Cette proposition se 
démontre comme dans le cas précédent. 

Considérons maintenant deux formes réduites diflférentes don- 
nant naissance à l'identité 

( 34 ) clz —py dx^ — ... — p„i dx,n =r f/Z — Pj c/X, — ... — P,„ cK,„ , 

et remarquons que l'on aura, en appliquant les propriétés d'inva- 
riance des symboles ('-i), ['-i'i'], 



^ — ^ 
(35) \tz~M 



y 11 
\ dz 

La première équation appliquée à Z nous donne 

ffL __ 
dz'-'' 
et par conséquent 

Z — Z-+-U, 

Q ne dépendant que des variables ;r/,/;A. La même équation, appli- 
quée aux fonctions X,-, P^, nous montre c[u elles sont indépen- 
dantes de z. Si donc on remplace Z par sa valeur dans l'identité 
(34), elle devient 

(36) dW. — P, ^/X, H- . . . + P,„ d\,n —pi f/.r, — . . . —p„, dx,„, 

et z est complètement éliminée. 

Réciproquement, de toute égalité de la forme (36) on peut reve- 
nir à l'égalité (34) en remplaçant II par Z — z. Ces deux égalités 
doivent donc être considérées comme absolument équivalentes. 

Appliquons la seconde des formules (35) aux fonctions Z, X,, 
Paj nous aurons 

MX,X/,)=o, (P,P,.)=o, (X,P,.)=o, (P,X,)--=r,, 



Nous sommes ainsi conduits à la proposition suivante : 

Lorsque >.n/ -'-i fonctions X,-, Pa, W des V(iri(d)les x,-. p/, srtfis- 



66 PREMIÈRE PARTIE. 

font à une équation de la forme 

( 38 ) ^n = P, r/Xi + . . . + P,„ <^X,„ — />i f/xi — . . . — /?„, clx„, , 

les fonctions Xi, P^ sont indépendantes, et, Jointes à la fonc- 
tionn, elles satisfont aux relations (3y). 

Je vais maintenant terminer en démontrant que, si /• fonctions 
indépendantes X,, . . . , X;- des variables ^/, /?a satisfont aux équa- 
tions 

(X„Xg) = o, 

on peut leur adjoindre des fonctions qui permettent de satisfaire 
à l'équation (38), ou, ce qui est la même chose, nous l'avons dé- 
montré, à l'équation (34). 

La démonstration étant semblable à celle qui a été développée 
à l'article X, je me contenterai de l'indiquer. 

Considérons d'abord le cas d'une seule fonction X, et détermi- 
nons une fonction P, des variables ^/,/?a par l'équation 

(P.X,) = i; 

il est aisé de voir que, si l'on considère la forme 

Urf ^= dz —pi dxy —...— p,n dx„i -f- Pi «r/X,, 

les équations de Pfaff relatives à cette forme et comprises dans 
l'équation unique 

oUrf — dV,^ ■=■ o 

sont indéterminées. D'ailleurs, par suite de la présence de la dif- 
férentielle dz, Ua ne peut appartenir qu'au type indéterminé. On 
aura donc nécessairement 

Urf = dZ — P^dX,-...- P,n dX,„ , 

et par conséquent 

dz — Pi dx^ —...— p„i dx,„ ■=. dZ — P, <r/X, — ... — P,„ dX,,, , 

ou encore 

du - P, rfXt -t- . . . H- P,„ d\,„ — /), rAr, — ... — />,„ dx,„. 



iMÉLANGKS. 67 

Le théorème est donc démontré pour le cas d'une seule fonction. 

Quand il y en aura plusieurs^ il suffira de répéter, presque tex- 
tuellement, les démonstrations de l'article X. Nous nous dispen- • 
serons de les reproduire. 

Nous avons fait maintenant connaître les trois propositions de 
M. Lie relatives aux identités 

/>! dXi + . . . H- p,n dx„i rzz Pj f/X, + . . . -h P,„ dX„i, 

p{dz —pi dxi — ... — Pmdx„i) -=dZ — Pi (iXi — ... — P,ndX,„, 

Pi dxi + . . . -h p,n dx,n = Pi dXi + . . . -h P„j dX,n 4- du. 

Comme elles ont de nombreuses applications, nous avons voulu 
les démontrer par les procédés les plus élémentaires. La seule pro- 
position que nous ayons empruntée à la théorie des équations aux 
dérivées partielles est la suivante : Toute équation du premier 
ordre admet au moins une solution. Et même cette proposition 
est démontrée par les raisonnements donnés à l'article VIL 

Nous ferons remarquer que la proposition de l'article X, à sa- 
voir, que l'on peut satisfaire à l'équation 

p{dz—pidxi—... —p,n dx„i ) = dZ — Pi dX^ — . . . — P„i dx„i 

en prenant pour Z une fonction quelconque, offre un moyen, diffé- 
rent de celui de l'article Vil, de rattacher la théorie des équations 
aux dérivées partielles à la solution du problème de PfafT. 

Car, si 

Z = o 

est l'équation à intégrer, on pourra se proposer de ramener l'ex- 
pression différentielle à un nombre impair de variables 



à la forme 



dz — y^, dx^ — . . . —p,n dx,, 



- {d7. — ]\dXi—. . .— P„, dx,„), 

P 



et, ce problème une fois résolu, les équations 
X,-=C], ..., X„j = C„i 
donneront une intégrale complète de la ])ropos('e. A la vérité, ce 



68 PUEMIÈKE FAUTIE. 

moyen paraît moins direct que celui de l'article VII, et il semble 
qu'il augmente la difficulté du problème, puisqu'il conduit à la so- 
lution, non seulement de l'équation 



Z = o, 
mais aussi de 



Mais il est aisé, comme on sait, d'introduire une constante dans 
une équation aux dérivées partielles. Par exemple, on remplacera 
Xi par Xi + C, ^ par :; + G ou ;; -h G^ ^a ; et en résolvant par rap- 
port à cette constante, on fera disparaître l'objection que nous ve- 



nons de signaler 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. Gq 

COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 

MASONI (U.)- — SOPRA ALCUNE riRVE DEL QUARTO ORDINE DOTATE DI PVXTl 

Di ONDVLAziONE. Memoria del Dottor Udalrigo Maso.vi, presentata per dis- 
sertazione di laurea ail' Università di Napoli, il 20 novembre 1881. — Napoli, 
tipografia dclla R. Accademia délie Scienze fis. e mat., 1882. 

M. Ca\lev est le premier géomètre qui ait considéré les points 
d'ondulation^ c'est-à-dire ceux où la tangente coupe la courbe en 
quatre points consécutifs, et il a démontré d'une manière générale 
qu'en ces points la courbe est touchée par sa hessienne. M. Sal- 
mon, dans sa Géométrie, a reproduit le théorème de M. Cayley, et 
il a donné l'équation d'une courbe du quatrième ordre douée de 
quatre points d'ondulation situés sur une conique qui touche la 
courbe en ces quatre points. Enfin M. Kantor, dans un Mémoire 
publié en 18-9 ('), a étudié géométriquement un faisceau de 
courbes du quatrième ordre ayant quatre ondulations. Ce sont là 
les seuls travaux publiés sur ce sujet. 

L'auteur s'est proposé d'étudier toutes les courbes du quatrième 
ordre douées de points d'ondulation. Après avoir établi quelques 
propositions générales relatives à ces points, il donne l'équation 
générale des courbes du quatrième ordre admettant un, deux ou 
trois points d'ondulation. Puis il considère les courbes du qua- 
trième ordre ayant quatre ondulations. 

Si l'équation d'une conique est 

C = o 
et que l'on écrive les équations 

ti ^ O, ^2 = O, ^3 =: O, ^4 =: O 

de quatre tangentes à cette conique, il est clair (pic l équation 

t,i.,t,t, = lC- 
représente un faisceau de courbes du quatrième ordre avant toutes 



( ' ) FvANTOR, Ueber gewisse Curvenbuschel dritter itnd vierter Oir/ntin^ 
(Sitzb. der K. Akad. der Wiss. zu Wien, Bd. LX\1\; 1S79). 

Btil/. des Sciences mat/iem.. 2' «rric, t. VI. (Mars iNSj".) " 



70 PUEMIÈUE PARTIE. 

quatre poinls d'ondulation communs, à savoir les points de con- 
tact de la conique C et des quatre tangentes. C'est le faisceau 
considéré par M. Kantor. L'auteur démontre que ce cas est le seul 
dans lequel les quatre points d'ondulation soient réels; c'est- 
à-dire : si une courbe du quatrième ordre a quatre points d'' on- 
dulation réels, ces quatre points sont sur une conique qui 
louche la courbe du quatrième ordre en ces points. Et l'on dé- 
duit aisément de là qu'une courbe du quatrième ordre ne peut 
avoir plus de quatre points d'ondulation réels. 

Le reste du Mémoire contient une étude des cas, beaucoup plus 
difficiles, où tous les poinls ne sont pas réels. En particulier, au 
^ Mil, l'auteur fait connaître une courbe n'ayant pas moins de 
douze points d'ondulation : c'est celle qui est représentée par 
l'équation 

.r* + V* -h z^ =z o. 

Les poinls d'ondulation sont sur les droites 

a: =: o, r ^= o, ^ =: o, 

et leur considération donne naissance à quelques propositions élé- 
gantes par lesquelles se termine le Mémoire. 



D'ESCLAIBES. — Sur les ai'plccations des FONcrroNS elliptiqles a l'ktude 
DES COURBES DU PREAU KR GENRE.. TlièsB présentée à la Faculté des Sciences 
et soutemie le -21 mai 18H0 — Paris, Gaiitliier-Villars, 1880. 

La première Partie de celte Thèse reproduit les résultats obte- 
nus par Clebsch au sujet des courbes elliptiques. L'auteur a no- 
tablement simplifié le mode d'exposition adopté par rilluslre géo- 
mètre. Signalons en j)articulier la méthode nou\ellc au mo\en de 
la(|uellc il ('-value le degré du polynôme placé sous le radical qui 
figure dans l'expression des coordonnées d'un point de la courbe. 
Cette méthode peut s'appli(|ner également aux courbes du second 
genre. 

Ce iM(''Ui(Hic conlient eiicnre une (léMinnslr;il rou très sirii|ile des 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. ;, 

formules d'Aronhold relatives aux courbes planes du troisième 
degré, et des formules de M. Westphal relatives à la courbe 
gauche intersection de deux surfaces du second ordre. Au moven 
de la fonction />(m) considérée par M. Weierstrass, l'auteur ob- 
tient, en fonction des invariants d'une cubique et des coordonnées 
d'un de ses points, les racines de l'équation du neuvième degré 
qui détermine les points d'inflexion. Il établit ensuite plusieurs 
propriétés des courbes de sixième classe, enveloppées par les 
droites, qui joignent deux points de la cubique dont les argu- 
ments ont une différence constante. Ainsi, par exemple : une 
quelconque de ces courbes est tangente à la cubique en ses dix- 
huit points de rencontre. Quatre de ces courbes ont pour tan- 
gentes triples les trois côtés d\in des triangles d"^ inflexion, et 
les points de contact sont situés sur les neuf polaires liarmo- 
niqi/es, etc. 

A l'égard de la biquadratique gauche, l'auteur établit la relation 
qui existe entre les valeurs des paramètres relatifs à un même 
point dans deux modes de représentation différents, et retrouve, 
en les complétant, plusieurs théorèmes, démontrés par MjM. La- 
guerre et Westphal au sujet de cette courbe. 



OP^OBT) (repacuMij). — O Ht.KOTopwxij nojumoMax'b cb o^hohj 
Il MHoriiMH nepeMtHHHMii. — CaHKTnexepGyprTj 1881 r. ('). 

(Analyse faite par rAuteur.) 

Ce travail a pour objet l'étude de certains systèmes de poly- 
nômes à un nombre quelconque de variables, analogues aux polv- 
nômes X„ de Legendre et leurs semblables (-). 



(') Orlof (*) (Ghérassime), Sur quelques polynômes à une ou plusieurs va- 
riables. Saint-Pétersbourg, 1881 (124 pages in-4°). 

(') Quelques-uns des résultats exposés dans ce travail ont l'té communiqués dans 
la séance du 27 décembre 1879 du sixième Congrès des Naturalistes russes, tenu à 
Saint- l'étersbourg. 

t*) I.'orlhograplie adoptée pour les transcriptions par le Bulletin traduit Oîîl) par «/"et non paro// 
on oiv, le douhlement de 1/ étant absolument inutile, et w n'étant pas une Ictlre française 



72 PREMIÈRE PARTIE. 

C'est M. Hcrmlte qui a indiqué pour la première fois deux sys- 
tèmes de polynômes U,„,„ et Ym,n-, qui dépendent de deux variables 
et jouissent de la propriété suivante : 

« Pour toutes les valeurs entières et positives de m, n, [j., v, et 
pourvu que les indices m et a, n et v ne soient pas égaux en même 
temps, on a 

les variables étant limitées par la condition x--h^-^^. » 

Les polynômes [),«,„ présentent la plus grande analogie avec les 
fonctions X,, de Legendre, et l'expression générale de ces poly- 
nômes, 

'"■" ^ m : n : a'^^-» dx'" dy'^ ' 

est bien remarquable par son analogie avec l'expression bien con- 
nue de la fonction X,, trouvée par O. Rodrigues et Jacobi. 

Les fonctions V,„^„, qu'il faut associer aux fonctions ^3m,n pour 
que l'égalité (i) ait lieu, sont déterminées par M. Hermite au 
moven de la formule suivante 

( I — 2 a ^ — 2 6 r -!- «2 /^2)-i = "V am h'i V„, „ . 

M. Hermite fait voir que ces deux systèmes de polynômes IJ m,n et 
V,„ „ conduisent à des développements de fonctions de deux varia- 
bles ar,r, dans l'étendue limitée par la condition ;r--l-J)'"= i, et que 
la méthode bien connue, consistant à déterminer les coefficients par 
l'intégration, après a\oir multiplié la fonction par un facteur con- 
venable, s'applique encore dans ces nouvelles circonstances. Mais 
ici il V a une différence essentielle entre le cas d'une variable et le 
cas de plusieurs variables. Les seules proj)riétés des fonctions Um,n 
ne permettront pas de faire le calcul de leurs coefficients dans la 
série qui exprimera une fonction de deux variables, et c'est dans 
la nécessité d'introduire dans le calcul les fonctions associées A ,„,,?, 
pour pouvoir déterminer ces coefficients, que consiste la modifica- 
tion caractéristique pour les fonctions de [>liisieurs variables. 

^L Hermite indique encore un autre système de fonctions as- 
sociées, qu'il désigne par V),„„ et V'*,,,,,,, et pour lesquelles l'in- 



tégrale double 



I I V,„j,-<',,,d.r,h 



COMPTES UENDUS ET ANALYSES. yi 

étendue sur la surface du cercle x--+-y'-=i, se réduit aussi à 
zéro, à moins qu'on n'ait 



m = 'Ji, n 



L'expression générale de la fonction i'),„_„, 

(m~hn)] (—iy>>+"(m-\-ri-hi) d'"+"(i —T^—y"^) 



'Ont n 



ml ni I . '3 . j . . . [ 2 ( /?i -h n ) -t- I J dx'"^ dy^ 

présente une ressemblance remarquable avec celle de la fonction 

sin [( n -f- 1) arc cos.r], 

sous la l'orme de la dérivée multiple donnée par Jacobi. 

Les fonctions associées t?,,,^,^ sont les polynômes entiers, déter- 
minés par la formule 

3 

{i — -ia.v — -2by -ha^'-^ b') ^ = ^ «"'<^"V/«7i- 

Les recherches postérieures des propriétés des polynômes de 
M. Hermitc appartiennent à Didon, qui a traité diverses questions 
qui s'y rattachent assez directement, et qui a généralisé pour un 
nombre quelconque des variables les résultats trouvés par M. Her- 
mite. 

Aux deux systèmes de fonctions de M. Hermite, Didon en ajouta 
encore un troisième, à savoir : les fonctions U„,^,i et V m^nt satis- 
faisant aussi à la condition (i). Les fonctions U„i n ^t l m,/i-> dont 
la première est un polynôme entier analogue par ses propriétés à 
la fonction trigonométrique cos(n arc cosj?), sontdéterminécs par 

les formules suivantes : 

1 
_ (m-^ n)l (—1)'"+" \/i—x^'—y^- d"i+"(\ — a:^ — r^) ^ 



m ! n\ 1.3.5... \%{in + n)—\\ dx'" dy"- 

1 ■ \_ 

{l—X^- — j2 ) 2 (^ I _ 2 rt .^ _ 2 ^) r -f- «2 ^4- ^>2 ) 2 = V fl'" ^" V,„u- 

Didon a montré encore qu'il existe une infinité de svstèmes de 
polynômes associés satisfaisant toujours à l'égalité (i), et, parmi 
tous ces systèmes, il y en a un qui se distingue des autres par la 
circonstance que les deux séries de pol\nônies qui lo constituent 
sont identiques, \insi, en désignant les jxiIn n('»nu's tle cliruiinc des 



/4 



PREMIÈRE PARTIE. 



deux séries par V„,^,i, on aura 

/ / P/« 'J\,^dx(/y = o, 

en supposant que {m — [J.)- 4- (n — v)- n'est pas nul et que les 
variables sont limitées dans l'intégration par la condition 

L'expression générale des polynômes P/„,//, qui présentent, de 
même que les polynômes U„,,«, la plus grande analogie avec les 
fonctions X„ de Legendre, est donnée par Didon sous la forme 

suivante, 

1 

(/( -hn-h- 

_ I d" (y- — I ) - d"'(j-^—y- — \}"' 

' /Il II ^= '^iii II r 






K.w,« désignant une constante. 
En posant 

'^iii II = 



' /) ' r>«-t-2»; 



il trouve, pour la fonction génératrice des polynômes V,,,^,,, c'est- 
à-dire pour la somme 



m = oa n — 



7 , ' , ' III If 

m = n = 

l'expression 

et pour l'intégrale 

/ / ^'îii.iiii^dy 
la formule 

( / fvi,,ndxdy^ — ^^^^ 

Ci) < 

( 7./» -t- n ~ •ji)(y.m -4- n -f- 3). . .(am -f- 9.n -\- i) i . 3 .>...( ■■>. /n -t- a /t -t- i ) 

n\ -i^in+^'t 2.4.6. . .(2//H- 2/i-t-2) 

Au ni(>\(n ilr CCS propriétés, il déduit ICxprcsMon du coeffi- 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 7Î 

cient /V,„^„ de la série sous la forme 

f{x,y) = ^A„,„P„,„. 

En étudiant les propriétés des polynômes Vm,ni j'^i trouvé que 
les expressions (2) et (3), assez compliquées, peuvent être rem- 
placées par d'autres plus simples. 

Dans la Note sous le titre : Sur la fonction génératrice des 
polynômes P,«,« de Didon, insérée dans les Nouvelles Annales 
de Mathématiques (2" série, t. XX, p. 481 ), j'ai fait voir que, si, 
au lieu de l'expression employée par Didon pour le facteur con- 
stant K„,^„, on pose 

_ ^ti-m ( ,n ^ i ^( m — 2. } . . .{ m — n ) 

"''" ml nl{-zrn ^ n -T- i){i/n -T- n -+- i). . .{2m -^ in ^ 1) 

on aura, en place des expressions (■2) et (3), les formules sui- 
vantes : 



U' 



(-J) 



V V a">b"V 



m =0 ;; - 



= [t I — lax — iby — b-){i — -ibr — b-) -^ a'-a — y-)] -, 
1 . 3 . J . . . ( 2 /?i — I ) ( 2 «? -+- 2 )( 2 /n ^^ 3 ) . . . ( a m — n ^- i) 



Par conséquent, en effectuant le développement d'une fonction 
quelconque de deux variables en série ordonnée suivant les poly- 
nômes Pni,n, on obtient pour le coefficient du terme général une 
expression plus simple et plus commode pour les applications que 
celle de Didon. 

L'expression que j'ai trouvée pour la fonction génératrice des po- 
lynômes P„i,n est encore remarquable par la possibilité d'être géné- 
ralisée. Donnant à cette expression la forme 

_i 

([ — -zb-y-T-b^) - 1 — lax — 1br-~b--^ ^ — - — —\ ' 

1 ^ i — iby^b^\ 

et inlrodiiisnnt dans ioxposant du second facteur un pararnrirc ar- 



76 PREMIÈRE PARTIE, 

bilraire ^i, ou forme une nouvelle expression 

ou bien 

(6) 

( X [(I — •2aa7 — aôv-f-^^Xi — 26j-^62)_|-«2(i_j2)] 



is + i 



qui est à son tour la fonction génératrice des fonctions plus géné- 
rales que je désignerai par lî„, „(^, r, ,3) et qui se présentent sous 

la forme 

1 

,, 3+/W + H-I-- 

_p I ^(T-^— 1) 5 

/// Il — ^-'m n I 



(7) \ (J2— I) - 

X 



C„, „ désignant une constante. Ces polynômes se réduisent aux 
Pw,« dans le cas particulier ^ = o. 

Les polynômes 12,„ „ présentent la plus grande analogie avec les 
fonctions connues (.)/ déterminées par l'une des égalités suivantes : 



ga+l 



/= = 



(i — rtax -^ a^') ^ =^ a'to/. 



to/ = Cl 



t <i/(\r2— 1)«+/ 



(.r- — i)" dx^ 



où C/ désigne ime constante, a un paramètre arbitraire, / un nombre 
entier et positif. 

C'est dans l'élude des propriétés des polynômes *à,„^„ que con- 
siste l'objet principal de mon travail. Mais je ne trouve pas inutile 
d'analyser préalablement les propriétés des fonctions (O/, pour 
montrer en premier lieu l'analogie complète entre les résultats qui 
expriment les propriétés diverses des fonctions lo/ et tî/„,„, et les 
méthodes mêmes qui y conduisent, et, en dernier lieu, pour établir 
toutes les pio[)ositions auxiliaires indispensables à l'exposition des 
propi i(';lés des fondions ti,„ ,,. .l'ai Irouvé d'autant plus nécessaire 
d'exposer les prupriélés des fonctions <«>/, que, dans les divers 
(Juvrages où ces lonctlons sont Irailt'-es, les dillrrenls résultats ne 
sont pas présentés sous la lornie dont j'ai besoin, cl <'n oulre 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 77 

qu'il n'y a aucun Ouvrage russe complet consacre à l'éLude de ces 
fonctions remarquables. 

Dans ce but, j'ai divisé mon travail en deux Chapitres. 

Dans le premier Chapitre, j'expose les propriétés des poly- 
nômes (0/. 

En partant de l'égalité 

(i — "xax -\- a'^) ^ =7 a'hii, 
/ = u 

je trouve le polvnôme co/ sous la forme 

(aa -\-\)ii% -h 3). . .(2a -H- 2/ — I) 



C0/ = 



X \x' 



II 



2(23C-T-2/ — 1) 

q\-ï'l{^in.-\-il — i)(2a+2/ — 3) ..(2a-i-2/ — agr+i) '■j' 

et je forme encore quelques autres expressions de ce polynôme. 

Avant déterminé ensuite la relation entre les trois polynômes 
consécutifs w/^,, to/, to/_,, et quelques autres relations qui subsis- 
tent entre les polynômes to/ pour les différentes valeurs de /et de a, 
j'obtiens l'équation différentielle 

, „ , , ^ d'-io , d<ji , , 

(8) ii — x^') ^-5- — 2(a-Mjj" ^^-^(2a-^/-t-i)w = o, 

à laquelle satisfait le polvnôme (o/, et qui le définit complètement, 
c'est-à-dire que le polynôme le plus général w satisfaisant à cette 
équation ne diffère du polynôme w/ que par un facteur constant. 
Je trouve, au moyen de l'équation (8), l'expression du polvnôme co 
sous la forme de la dérivée multiple 

, , I d'(x'^~i)''+' 
( Q ) to = c - — ■ z—r- J 

d'où Ton déduit le polynôme to/> en posant 

_ i (2a + i)(2aH- 2). . .(2a -I- /) 
^~ T\I' ~(aH^i)(â"+"^).T(a+/)' 

J'ai trouvé aussi la seconde intégrale de l'équation (8), et je l'ai 
présentée sous la forme de série hypergéométrique, de quadrature, 



FREMIÈllE PARTIE. 



de dérivée et d'intégrale multiple. En ayant égard à la formule (9) 
et à l'expression de seconde intégrale de l'équation (8) sous la 
forme d'une dérivée multiple, on obtient pour l'intégrale générale 
de cette équation l'expression suivante 

I \ d'{x'-—\f+i d' r , „ . C dx 1 / 

^'^^ '' = 0^^=77 ( '^ dx' --''-d^ r "- ' ' J ix^-yr-'A^ 

Passant maintenant aux développements des fonctions en séries, 
je démontre que le [)olvnôme co/ satisfait à l'égalité 



r: 



X- fx'-o}/ dx = o, 



qui subsiste, SOUS la condition a ^ — i, pour toutes les valeurs en- 
tières et positives de X inférieures à /, et qui détermine aussi com- 
plètement le polynôme to/ à un facteur constant près. 

On en conclut que, '■^{■x) désignant un polynôme entier, on 
aura 

( I — X- )'^'f{x)())/ dx = o , 



/ 



toutes les fois que le degré du polvnôme 'ff-/") sera inférieur à / et 
a>— I. 

A laide de cette dernière égalité, je démontre que l'équation 
(0/= o a toutes ses racines réelles, inégales et comprises entre les 
limites — 1 et -h i, en appliquant la belle méthode de Legendre 
pour la démonstration du théorème analogue à l'égard de l'équa- 
tion X„ = o. 

Puis j'établis les formules fondamentales 



' ,-4-1 



.+1 

/ ( I — .r2 )» co/ co- dx =3 o, ( / ^ X ), 
— 1 

/ ( I — x-^foyj dx = ^^ — J -^- — ^ 



au moyen desquelles je trouve, j)0ui- le coefficient du Icrmo général 
de la série 



.(X) — \ ^//OJ/, 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 79 

la f'orniulc suivante 

Pour donner l'application de celte formule, je forme le dévelop- 
pement de la fonction x'^ suivant les polynômes co/, et j'obtiens la 
formule 



(•ia-M)(2a-H 3). . .('îa-t- 2n-f-i) 

{ 1 3 ) <' 1 

^ j r „ 2 a -f- 2 /i -i- 1 

I X (2 a -+- 9, /i 4- I ) w,i H- ( 2 a + 2 /i — 3 ) -_ ^n-i -t • • • h 

se réduisant à une formule bien connue, proposée par Legendre, 
dans le cas où a = o, co,^= X„. 

La formule (12) permet de démontrer les propriétés suivantes 
des polynômes oj^ : 

1° Parmi tous les polynômes o{x) du degré n, dans lesquels 
le coefficient en x'^ est égal à V unité, celui qui vend minimum 
r intégrale 

i (X — X'- )''{':. (.T)Ydx 
f-'—i 

est égal au polynôme to/, à un facteur constant près. 

2° Dans la série ordonnée suivant les polynômes Wo, w , , Wo, . ■ v 
gui représente une fonction donnée ^[oc), un nombre quel- 
conque de termes, pris à partir du premier, forme un polynôme 
entier ¥[x)qui, partni tous ceux de même degré, donne à l'in- 
tégrale 



/ (T — :r'2)«[cp(,r) — F(.r)]-^o?,r 



une valeur minimutn. 



Au moyen des formules précédentes, on peut généraliser les ré- 
sultats proposés par Didon dans un Mémoire intitulé : Sur une 
intégrale double {Annales de T École Normale, t. VIÏ, 1870). 
Didon montre que la valeur de l'intégrale 



(( 



(I — ar2— j-2)^ (, __ 2,rt,r-i- rt-) ^ (i — 2^1- + ^>"- ) ^d.rJv 



8o PREMIÈRE PARTIE. 

dans laquelle les variables x et >' sont limitées par la condition 

ne dépend que du produit ah, dans le eas où |j(. est un nombre en- 
tier et positif quelconque, et où a et h sont moindres que l'unité. 
A cet effet, il établit deux formules auxiliaires, desquelles cette pro- 
position découle immédiatement. 

Je démontre que la proposition de Didon subsiste aussi dans le 
cas de [x fractionnaire positif, et que les formules auxiliaires que cet 
auteur établit, indépendamment l'une de l'autre, ne sont que deux 
cas particuliers d'une même formule générale que je déduis du dé- 
veloppement de l'intégrale précédente en série. 

Revenant au développement des fonctions en séries, je montre, 
en m'appuyant surlaformule(i3),que toute fonction développable 
en série suivant les puissances de la variable peut être représentée 
encore sous la forme d'une série ordonnée suivant les fonctions w/. 
Comme exemple, je forme le développement de la fonction 
()■ — ^■)~'5 et j'obtiens la formule 

/ =o 

Ce développement conduit à de nouvelles fonctions p/(j"i a), 
dites fonctions de seconde espèce. Je trouve l'équation diffé- 
rentielle à laquelle satisfait la fonction p/. Cette équation se confond 
avec l'équation (8) dans le cas où a = o. Dans les autres cas, elle 
en est différente par les coefficients; mais, en posant 

on trouve la fonction •// satisfaisant à l'équation (8) : d'où l'on con- 
clut qu'on peut ramener la théorie des fonctions de première et de 
seconde espèce à la considération d'une seule équation différen- 
tielle. Je donne huit expressions différentes j)(>iir l.i Innction p/. 
Ces expressions, sauf un facteur constanl, ne pi('-si'nl(iil (|tic des 
cas particuliers de celles de -M. Darboux pour la fonction de se- 
conde espèce relative aux pol\ nomes de.lacol)i (voir son Mémoire 
inliluli' : Mriiioirc sur /'(ii>pri>.iiin<ilii>ii des fonctions de très 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 8i 

grands nombres et sur une classe étendue de développements 
en série). 

En exprimant la fonction p/ j)ar la fonction linéaire de Oq, on 
trouve la formule 

OÙ X^i est un polynôme entier du degré / — ^ i . Cette formule, pour 
a = o, se réduit à une formule remarquable de Gauss. La formule 
précédente montre que le produit du polvnôme to^ par la fonction 

(i4) -F( -, I, a-t- -, — 

^ a? \2 IX' 

exprimé par la série, ordonnée suivant les puissances décroissantes 
de X, ne contient pas de termes en 

III I 

— , —, —, • • • , — - • 

.r .r^ x^ x' 

Cette nouvelle propriété, qui caractérise aussi le polynôme w/ à 
un facteur constant près, montre encore que ce polvnôme ne dif- 
fère que par un facteur constant du dénominateur, de la réduite de 
Tordre /, de la fraction continue résultante du développement de 
l'expression (i4 )• 

En terminant le premier Chapitre, je considère les propriétés des 
polynômes co/ pour les valeurs particulières du paramètre a, à sa- 
voir : a = p et a = — (/? étant un nombre entier et positif quel- 
conque). Le polynôme oj/ s'exprime parla dérivée multiple de la 
fonction X„ de Legendre dans le premier cas, et de la fonction 
cos(/i arc cos.2:) dans le second. 

Enfin, dans le cas de a = oo , les polynômes t.oi se réduisent à 
un nouveau système des polynômes entiers du degré /, que nous 
désignerons par \i[x), et qui peuvent être déterminés par une des 
formules suivantes : 

o , V «' I. > . d' e-^' 



82 PHElMlÈRE PARTIE. 

Les propriétés de ces polvnômes ont été étudiées par JNIM. Tche- 
bychef et Hermite. 

Le second Chapitre, sur lequel est principalement appelée l'atten- 
tion du lecteur, est consacré à l'étude des polvnômes Ù„i^„. 

Je commence par établir, pour la fonction génératrice de ces po- 
lynômes, les diverses expressions dépendantes des valeurs attribuées 
à C„i^,i. En posant 

9.'>-'" (2^-^ t)(5', 3 -f- 2). . .(9.3^ m) 
'"'" "" l^iîT?. c3 + iX[i-f-2)...(,3-+-m) 

(|3-l- /?^-m)(|3-4- /n-t- 2).. .(^-h m-^ n) 

(2,3 -f- 2/n -f- /i -i- 2)(2P -)- 2m -I- «■-!- 3). . .(2|îi -+- 2/« -}- 2« -(- 1/ 

on trouve pour la fonction génératrice demandée l'expression 
simple (6). Le calcul même a été publié dans les A^oiivelles An- 
nales de Mathématiques, 2*^ série, t. XX, 1881. 

En posant encore C,„ „= — j — ; — ^ iai trouvé, pour la fonction 

génératrice des polynômes considérés, une autre expression qui, dans 
le cas où |S = o, se réduit à l'expression (2) trouvée par Didon; mais 
dans le cas général on obtient une expression très compliquée et 
de peu d'intérêt. J'ai reproduit ce calcul pour que le lecteur puisse 
comparer les calculs de deux expressions et voir jusqu'à quel point 
se simplifient l'expression et le calcul de la fonction génératrice 
par un choix convenable du facteur constant. 

Je montre ensuite que le polynôme ^m,n satisfait à un système 
d'équations aux dérivées partielles du second ordre. Pour former 
ces équations, on peut négliger le facteur cojistant C,„,„ dans la 
formule (-); de sorte que, en posant 

I f/"'Cr2 -4- r^ — r/+"' _ 



?+ III + >i+ - 
I r/"( r^ — I) ' _ M 



(j--i; 



p-t-iii-i- - 



f/i" 



et ({('.Mgniiul , jioni' ahri'-^cr. le poK iitMiic iî,„^„ par une scidc Irllrc ti. 
(in aura <> =r MN. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 83 

Je forme d'abord les équalions aux dérivées parlielles 



(i — x^ — v2 ) ^_ — 2 ( ^i _i- i)a- _ u jn( 2 fi -+- m -{- i ) ^\ — o. 

j ^l^i 1 ' dx 

( I — .r2) _^ -^ (r — y-) -,-z 2xr 

dx- •" -'>- 



^ ' dx ^ dy 

d- N f/\ 

-^ ^ 6(^2 ^ ' dy 



pour les fonctions M et ÎS. La formation de la seeonde de ces 
équations est assez longue, tandis que la première et la troisième 
se déduisent immédiatement de l'équation (8). Le polynôme O ou 
MN satisfait évidemment à la première équation. En multipliant 
la seconde équation par N et la troisième par j\f, et en les ajou- 
tant, on obtiendra une autre équation à laquelle satisfait aussi 
le polynôme O. De cette manière, nous obtenons pour le poly- 
nôme îî,„ ,1 le système suivant d'équations aux dérivées par- 
tielles : 



(i — .r2 — rM-i 2( 3 — i)J?^ m(i'i-^ m + j )<2 = o, 

l dx- dx 

f (^t> 

I — ( 2 [3 -1- 3 )y -i — h ( »? -4- « )( 2 p -f- »? -f- n -I- 2 ) Q = o. 



Je démontre directement que ce système caractérise la fonction 
^m,ii} en se bornant aux solutions rationnelles et entières; en 
d'autres termes, que le polynôme le plus général qui satisfait aux 
équations (i5) est le polynôme 0,„.„ ou C0,„^„. Mais, outre ce poly- 
nôme, le système des équations aux dérivées partielles sera vérifié 
par d'autres fonctions. La solution complète du système (i5) ne 
contient que quatre constantes arbitraires, et, par conséquent. 
il y aura comme solution quatre fonctions distinctes. Pour trouver 
la solution complète de ce système, je forme un nouveau système 



84 PREiMlÈRE PARTIE, 

d'équalions 

(i— a:-2— 1-2)-— _i_2(p-i-m — i)j"-^ -^ 2( J3 + m)K = o, 

-)-(2,3 -+- 2m — 3)j-y^ + (n-t- 2)(2p +2m + n)K = o, 

tel que, en posant -^—^ = (^- + y- — i)^^' ^'^ fonction Q satisfera 

au système des équations (i5). 

Si l'on pose K = (j;- + j>'- + i)i^+'"L, le dernier système se 
transforme dans le système suiyant : 



« ^ C?^ L / n ' X dXi 

(I _ ^2 _^,.2) __ _ ^^( P _^ ;,, _^ ,)^__ = O, 

— (23-f-2m + 3)7' ^ h «(23-1-2 m -f- n-f- 2)L = o. 

- dy 

La première équation de ce nouyeau système s'intègre immé- 
diatement. On Irouye 

r^ dr 

et, en substituant celte valeur de L dans la seconde équation, on 
obtient, après quelques simplifications, une équation qui se réduit 
à deux suivantes : 



( I — J- ) -^ — (2p-^2m-f-3)j^-i-«(2p4-2m+n-+-2)/i = o, 

(i-J^)-^ +(2?-4-2m — i)/-^ -l-(/i4-i)(2P-i-2/n4-n^i)/î = o. 

T.a seconde de ces deux équations se réduit à la première si Ton 
1 
fait /j = (i — )-) ^ f\- Quant à l;t |>i<Miiièr<' é(|uati()n, elle se 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 



85 



réduit, en posant [^ -f- /;? -f- - = a, n = l, y = .r, à Téquation (8 ) 

déjà citée plus liaut, dont l'intégrale générale se détermine au 
moyen de la formule (lo). En ayant égard à cette formule et aux 
relations entre les fonctions L, K, 0, nous obtiendrons la solution 
complète cherchée du système des équations (i5) sous la forme 
suivante : 



Û = 



(i6) < 






I) 



ii H- m -f- H + - 



d.r"' 



I) 



d" 



dv'i 



{ y 



d'" 



(x-^^ y'^ — if dx'" 



-" + { r dy 1 I 

/ g ^- ,„ -H „ -H .' Il 



(a"2-+-j2 _i)?+/« / (.-^2 



X <^ < :.. 



r/"(y2-l) 



dy" 



Cl 







rf)' 



? + ;« + " + - 
.) 'J 



C(, Ca, C:}, C/, désignant quatre constantes arbitraires. Le coeffi- 
cient seul de Cj est une fonction entière de x et de r, d'où l'on 
peut conclure aussi que 0„,^,, est le seul polynôme qui est la solu- 
tion du système des équations (i5). 

5 
En posant, par exemple, in = i, n ^= i, [3 = 

le système des équations aux dérivées partielles 



- 1 nous aurons 



(i — a?2 — 72) +3:p 
^ "^ ' dx^ dx 






dHl 
dx dy 



3 lî = o, 
dâ 



du 



IX —. — \-ny-r- 
dx -^ dv 



o, 



dont la solution complète, d'après la formule (^Hi), j)rend la 
linU. des Sciences itiatliein., ■?.' série, l. VI. (M.irs 1S8'.) 7 



8(5 
loiriK 



l'IUiMliiRE PAUTIK. 



L> = Ci.7( 7-2 — I )— Co.r r -^ - (^ V- — I ) loi; 

^^ cJ[.Ti—-2(y-i — I ) ] /r^-^ y^ — 1 -T- 3 .r( j- ^ — 1 )I„o- 



.r-f-V^ ./•- — ->'- — 11 



v/.v 



n v — - ( 1-2 — I ) log 



\y 



\ j v^a^^ -;- Y- 



i -;- 3^1og;" 



v/. 



^^^ J 



/F^ 



Dans Je cas particulier où [B = o, c'est-à-dire quand les fonc- 
tions se réduisent aux Jonctions P de Didon, le système (i5) 
prendra la forme 



, r/2p ,/p 
( I — .r- — r- ) -y-7 — 2.r -^ 1- /??.( «i -t- I ) F = o, 



f/.r2 



f/r 






^K^ 



dV 



'} T , -+- f «' -4- /n ( m -f- // -i- 9. ) P 
• c/)- 



l la formule (16) se réduira à la suivante : 

I ri"Hx- -f- Y- — l)'" 



P = 



dx'" 



( 1-2 — , ; 



xlC 



cln{ yï _ I) 



dr" 



■ dy" 



>n + n + ' 



i 1-2 - I ) 



dy 



/n (1-2 — 1) 



J: 



dx"^ 



r „ , N r" dx 

(j-2 _^ y2_, /« / __^ ^ 

L • .'0 (.r2-.r2-. 



)«/-Hl 



X '' C3 



dv" 



L J,> ( )-2 — I ) J) 



COMPTES UENDUS ET ANALYSES. 87 

Il importe ici de remarquer que la solution complète du système 
des équations (17), donnée par Didon, est inexacte. 

Après ces recherches, je passe à l'étude de polynômes Q,„ „ au 
point de vue du développement des fonctions de deux variables, 
suivant ces nouvelles expressions algébriques. 

J'établis la proposition suivante : 

Théorème I. — Pour toutes les valeurs entières et positives 
de pL et de v, dojtt la somme est inférieure à m -\- n, et aussi 
quand cette somme est égale ou supérieure à m-\-n, pi étant 
inférieur à ni, on aura l'égalité 

l'Ji^i _ x'--y''fQ,„„xV-y'drdy = o, 

en supposant les variables limitées dans Vintégration par la 
condition x- -\- y- 5 1 et en outre [îi ^-> — i , 

Ce théorème caractérise aussi les polynômes, sauf un facteur 
constant. En s'appuyant sur ce théorème, on conclut que, ^[x, ^■) 
désignant un polynôme entier du degré a + v, on obtiendra 



(18) 



/ / ( I — a-2 _ y2 )P o„,_ n'^i^^y) dx dy = o, 



toutes les fois que [x + v <; /« + /i, et que les variables x, y et le 
paramètre |3 sont limités par les mêmes conditions que précédem- 
ment. Si, en outre, l'exposant de x ne surpasse pas jj. dans le po- 
lynôme (^^ y), la dernière égalité aura aussi lieu quand 

p. -i- V ^ /« -1- n, 
à moins que l'on n'ait [Jt. -< /;«. 

Si l'on pose cp(.2;, j^) = Ojx^v, on obtient le théorème suivant, le 
plus important de la théorie des polynômes li,„ „ : 

Théorîîme II. — En limitant toujours les variables x, y et le 
paramètre [i par les conditions x- -{- y-<\, ^ >> — i, on aura 



(•9 



Jfi I — .r'- - r2 )? o,,, ,^ o^^ dx dy = o, 



pour toutes les valeurs entières et positives de nt, n, a. v à 
moins qu'on n "ait sinnillanéinent m = 'x, n = v. 



88 PREMIERE PARTIE. 

En calculant celle intégrale douille, on peut démontrer le second 
lliéorèmc indépendamment du premier et trouver même sa valeur 
pour m = a, n = v. En désignant l'intégrale considéix'e par S, el 
ayant égard à l'expression générale des polynômes t^,,,^„ (7), on est 
d'abord conduit à chercher la valeur de 



/ 



d"'{T^- -4- j2 — 1/+'" dy-iT"^ -4- j2 — if+V- 



V/,-j-2 



(^ .^2 _j_ yl _ I j? dx'n dx^ 



Cette expression, en posant x =^ t \J \ — v-, se réduit à la forme 

(i — .r^) ■' j {i—f^y'(.o,„M^dt, 

à un facteur constant près. Au moyen de la première des for- 
mules (11), on conclut que celle intégrale, et par conséquent l'in- 
tégrale S, est nulle si m et [jl sont dilTérenls. Dans le cas où 
/n = pi, on trouve 

où A est un facteur constant connu; et, comme la dernière inté- 
grale est aussi nulle si /i<v, nous pouvons conclure que l'inté- 
grale S se réduit à zéro pour toutes les valeurs entières et posi- 
tives des nombres /«, n, tj., v, à moins que l'on n'ait m = y. et 
/i = V. Dans l'hypollièse contraire, en ayant égard à la valeur de 
la constante A, on trouve, à l'aide de la seconde des formules (i 1), 
après des réductions faciles, 



( ffi\-^-'- 72 f iih,u dx dy 
(v.o ) < 



r(-2!3 -+- m -t- i)r(?,3 -4- y.m -(- « -f- 2) 



p -f- m -+- K -I- 1 m!/i!22/«(ap -+- 2 m -H i)[( p -+- i)([i -+- -2). . .( ^ -H m)r(2^ 

Si l'on fait |J = o, cette formule se réduit à la lormulc (5). 

Les propriétés précédentes permettront d'edectuer le dévelop- 
pement d'une fonction quelconque '-p(-f", 1 ) de deux variables, en 
série suivant les polvnomes Q.,»^,,. 

En j)osanl 



/( — )ii II • 



COMPTES RENUUS ET ANALYSES. 8y 

on déterminera A„i a en multipliant le.s deux membres de cette 
égalité par (i — x- — y'-)'^il,„^,i(Lr dv^ et en les intégrant dans 
l'intérieur du cercle x- H- >- = i . On obtiendra ainsi 



( a-2 I 



( / / ( I — ^^ — 7- )•' ^-i-mn 'f ( ^, y ) dx dy 
\ = -^1 /«,«//( i — -K-- — y^ f i»,^,.„ dx dy, 
d'où 1 on tr()u\e, au moNcn de la formule (20), 

(' A — ^^•"•2-"' ( [j -^ m — « -M)C2p -+- 2/«-i-l)f([i -4-l)([i^- 2)...( ^ -^ /«)r<23-|-r)] 



7: r( 2 |j -t- «i -t- 1 )r( 2 [j -^ im-r- n -^ %) 

xj j {i — x-^ — y^y'iî„in'-^[-^, y)dxdy. 

Si l'on pose ici ^j = o, on obtiendra une nouvelle formule, plus 
simple que celle de Didon, pour la détermination des coefficients 
de la série ordonnée suivant les polynômes P„, „. 

Au moyen de la formule ( 23), on peut démontrer les théorèmes 
suivants, qui expriment les propriétés les plus remarquables des 
polynômes i^,„,« : 

Théop.ème m. — Pa/'/uf tous les polynômes '-^{x, y) de deux 
variables du degré p -\- q, qui ne contiemwiït jxis de puissances 
de X d'exposants supérieurs à p, et dans lesquels le coefjicienl 
de xPyi est égal à l'unité, celui qui rend minimum V intégrale 

(24) C f {i- x^' - y^f[<^(x, yîYdx dy 

est égal au pol)/u3/ne i.l„i,ii, à un J'acteu)- constant pri's; les r(t- 
riables x^ y et le paramètre |ii sont limités par les conditions 
x=i+ r^<i, i3>— I. 

Théorème IV. — Dé^'eloppons une fonction o{x^ y) sui^cint 
les ^ni,n\ prenons tous les termes qui correspondent aux valeurs 
de m + n inférieures à un nombre donné k, et les termes ^o,,n+ii-> 
iii,w+«-i? •••, ^/ii,,i P'^iff lesquels m-^n = A\ .\ous formerons 
ainsi le polynôme §{x, y) du degré k, dans lequel l'exposant 
de la variable x ne surpasse pas m, et //ui, parmi toits les po- 
lynômes du même degré qui ne contiennent pas de jiuissances 



90 PREMIÈRE PARTIE. 

de X avec les exposants supérieurs à m, rend minimum l'inté- 
grale 

(25) / C(i- x^ - y'-f[^{x, y) - §{x, Y)Ydxdy, 

étendue à la surface du cercle x--\- r- = i , sous la condition 

Pour démontrer le théorème III, je mets le polynôme '-o^x^ y) 
sous la forme (21); le second membre de cette égalité contiendra 
tous les termes en O^^^ pour lesquels m 4-/? <Cp + q-, et parmi 
ceux pour lesquels m -\- n = y;» + ^, elle ne contient que les sui- 
vants : 

-'^P,1"P,'li ^/>— 1,7-t-l ~p-l, 7-1-1 J • •■> ''^Qj>+']^0/l+I)^ 

Le coefficient A^^^ se détermine par la condition que le coeffi- 
cient en xPyi du polynôme cherché soit égal à Tunité; tous les au- 
tres coefficients se déterminent au moven de la formule (23). Alais, 
en égalant à zéro les dérivées de l'intégrale (24) par rapport à ces 
coefficients, on obtient des équations de la forme 



//' 



(i — x^ — y''-'YQ.,n,i cp(a-, y)dx dy = o, 

d'oîi l'onconclut; en s'appu^antsurlaformule(23), que tous ces coef- 
ficients s^évanouissent, et que, par conséquent, o{x,y) =Ap^qQp^q. 
Pour la démonstration du théorème IV, je mets le polynôme 

^(x,y) aussi sous la forme ^{x^j') ^^ -^'m n^^'»,"' ^^ seconde 
partie de cette égalité contiendra tous les termes \\^^,^ù,„^,i dans 
lesquels m -\- n <i k, et, parmi les termes pour lesquels m -\- n =^ k, 
les seuls termes 

-''/«,/)--/«, «7 ^*m—\,n+\--in-\n+l^ ■ • • ^ ^ Q.m+n--om-\-n • 

En égalant à zéro la dérivée de l'intégrale (aS) par rapport à 
■^^'m,ny ^^ obtient 



//' 



(i — x^ — y-f[o{x, y) — ^{x, y)]il,„ ndx dy = o, 
c'est-à-dire 

yy( I _ ^2 _ ^2 y ç, ( j., y ) t)„,_,, ,/,,. ,ly 

= A',„„JJu- x^-~y^-)^in,,u^l-rdy 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 91 

et, en comparant cette égalité à la formule (22), on obtient 

Si nous rejetons la condition qui exige que l'exposant des puis- 
sances de la variable X, dans les poljnômes cherchés cp(^, jk) et 
.T(j:, y), ne surpasse pas un nombre donné p ou /n, il faudra, pour 
former ces polynômes, après les avoir représentés sous la forme (21), 
prendre dans le second membre de cette égalité tous les termes 
pour lesquels m ■+ n 5/? -\- q el m -{- n'Sk. Il est remarquable que 
pour un exposant de x quelconque nous obtiendrons, outre les fonc- 
tions 0„,^„, un nouveau système de polynômes, pouvant servir 
également bien à la résolution de chacune des deux questions de 
minimum que nous avons considérées. 

L'expression générale de ce nouveau polynôme, que nous dési- 
gnerons par \X„,^n{^i Yi l^)î est la suivante : 

j llin-\-n { yi _u -)-2 jY9+/«-(-/i 

U/« n = '^ m II ', :, 3 73 7 ~ ) ~ ' 

' {X'-^y^—xy ax'>^ay"- 

7)1, n étant les nombres entiers positifs, p un paramètre arbitraire, 
D,„^,i un facteur constant. 

Les fonctions U,„^„, 0,„ „, U,n,ui dont nous avons cité plus haut 
les expressions générales, ne sont que les cas particuliers de U,„,«. 
Posant, en effet, 

3 = 0, D,„ ,1 = j ; , 

on obtient 

'*-m^n ^^ ^ mil- 

Si l'on pose 

■i ' ml n: i . i . ^ . . .( 2 m ^ "i. n -^ i ) 

on trouve 

U//J /i 



'0,„ .. 



Posant enfin 



J 



„ _ I {m^ n 



ml ni i .3. a. . .{'im -i- xii — 1 ) 
i aura 

V.n élu(li:u)l en détail les propriétés «les p()lvn('»nu'S V ,,1 m Didon 



92 PREMIÈRE PARTIE. 

indique aussi en passant quelques propriétés des polynômes U,„,„, 
en supposant que le paramètre [i soit un nombre entier et positif. 
Je ne fais pas cette supposition, et;, en limitant ce paramètre toujours 
par une seule condition ^ > — i, je démontre les théorèmes sui- 
vants : 



//' 



Théorème V. — Uintégrale double 

( I — ^3 — 72 )? u,,^ ,^ u^_^ dx dy ( 1 ) 

est nulle si Von a m + /; ^ |jl + v. 

Théorème VI. — L'intégrale double 

ff{i — x'^ — y'^fVinin %,d^ dy 

est nulle quand |jl + v n'est pas égal à ni -\- n, et niême quand 
jj. 4- V = /?^ + 7? , à moins que \x <C m. 

Pour effectuer le développement d'une fonction quelconque de 
deux variables, suivant les polynômes U„, „, il faut considérer 
encore un nouveau système de polynômes qu'on associera aux 
polynômes U„i,„. Je désignerai par S3,„^« ces polynômes associés et 
je les déterminerai par l'égalité 

/H =r 00 n - X 
TO=0 7I=:0 

On reconnaîtra immédiatement que S3„, ,1 est un polynôme 
entier en x et r du degré m + n, mais ayant .r"*)'" pour seul et 
unique terme de ce degré. Ce polynôme se réduit à l'un des deux 
polynômes Vw^„ ou \'^„,«, si l'on pose 

ou 



(') Celle inléfj'i'ulc el tuiitcs les suivanlcs soiil élcndues à la surfucc du cercle 
a:'-hy'' = i. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. gS 

En posant 



' 2 



on obtient 



aS/n,« = y/i — ^- — 7'^. V,n„. 
Théorème VII. — Uinti^srale double 

{i—x'^ — y'- y Vin, n as... «^•^ ^7 



//< 



5e réduit à zéro pour toutes les valeurs entières et positives des 
nombres m, n, [x, v, à moins que Von n'ait m = tx, n = v et en 
supposant toujours jj >■ — i . 

Si les indices m et ;a, n et v sont égaux en même temps, on 
obtient 

I h I — a-2 — r2 )?u,„,„ ©/«.« dx dy 

~^'"."^ P + „i + n-M 

En posant ici successivement 3 = o, -, ■> et en attribuant 

au facteur constant />,„,« les valeurs correspondantes citées plus 
haut, on aura les trois formules suivantes 






1- \ri 1 ^ (m^n) 



X)mnV>nndxdy = 
Um n V,n n dx dy = 



m -H rt -!- I m: re: 

2T (m -H n -1- i)! 

2m -^- an -f- 3 m! n! 

2 - ( m -^ n )\ 



îin ~r 'XII -r- i ml n: 



dont les deux premières ont été obtenues par M. Hermile, et la 
dernière par Didon, au moven d'autres considérations et, de plus, 
tout à fait indépendantes les unes des autres. 

Nous pouvons déterminer maintenant les coefflcienls du déve- 
loppement d'une fonction quelconque f (x, r) en série ordonnée 
suivant les polynômes U,„,„ ou 93,„^«. En posant 

ci(\r, j ) = 7 3t,„ „U„,„. ou cp(.r. r) = ^S,» «©/«,«. 



94 PREMIÈRE PARTIE. 

et en attribuant au facteur constant D,„ „ la valeur — j — ; 1 on 

trouve 

3 -^ /?? -^ ji -;- I m\ n\ 






_ ^ 

S3/« n — 



- (,3 -f- i)(!3-r- 2). . .(J3 -i- /n -i- «) 

X f I (i — x^— y^ f Umn o{x,y)dx cly. 

Les propriétés analysées des polvnômes U,„^« et 35„, „ suffisent 
pour démontrer que les polynômes U,„^h, de même que ÎÎot,/o peu- 
vent servir pour la solution des deux questions de minimum, dont 
nous avons parlé plus haut. En effet, le polynôme entier '^{^x, y^ 
du degré p + (]' dans lequel le coefficient de xPyi est égal à l'unité 
et qui rend minimum lintégrale (•24\ est déterminé par un svs- 
tème d'équations que nous obtiendrons en égalant à zéro les 
dérivées de l'intégrale (24) par rapport aux coefficients du poly- 
nôme 'f (x, )'). Ainsi, nous aurons des équations de la forme sui- 
vante 

(26) / / (i — x^ — r- )? ^{x, j')x'''-r''dx dv = o, 

qui doivent subsister pour tous les svstèmcs de valeurs entières 
et positives a et v qui satisfont à la condition u + v 5 /> -|- q^ ex- 
cepté un svstème <^ = p, y = q qui correspond au terme xPyt 
du polynôme cherché ^(j;', )). Pour montrer que le polynôme ll„,^„ 
satisfait aux équations (^6), développons x'^y' suivant les poly- 
nômes 3S,„ „, 

xfy — î8,i oS3o,o -+- 33i oS3i,o -^ 53,),! ^\\ ■ • • • H- S.j,,./^.,.,- 

'^i,\ est, en général, un pol\nôinc du degré i -^ / . (jui ne loiitiont 
qu'un seul vV unique terme de ce degré et de la furnu' %x' \ J\ par 
conséquent, la seconde partie de l'égalité précétlenlc ne contiendra 
qu'un seul et unique terme ïBx., Q^i.... ptuir le(|uel la stuiinu' des indices 
est égale à jjl -f- v ; pour hms les an 1res ternies elle sera moindre que 
|j. H- V. Ainsi, ayant égard aux conditions ci-dessus mentionnées, 
auxquelles satisfont les nombres iji, v dans les équations ('•>()), nous 



COMPTES RIiNDUS ET ANALYSES. 95 

pouvons conclure que lorsque ul + v -< /> -h 7, la somme des in- 
dices dans tous les termes de l'égalité précédente sera moindre que 
p + q. Lorsque u. -(- v =/) -f- q^ la somme des indices ne sera égale 
à p -\- q que dans le dernier terme ^■,.,.,^ ■,._■/, dans tous les autres 
termes elle restera moindre que p-\-q, comme précédemment. En 
outre, les égalités a = />, v := ^ ne peuvent pas subsister en même 
temps : donc, lorsque |j. -|- v = y> + q, le terme ^^,y^j,,,ne peut pas 
être égal à ^p,q ^p,(f, mais à Tune des valeurs suivantes : 

Multipliant les deux membres de la dernière égalité par 

( I — a-2 — j2 f Up,f dx dj, 

et intégrant à l'intérieur du cercle x- -\- y- = i , nous aurons une 
nouvelle égalité, dans le second membre de laquelle tous les 
termes s'évanouissent sous la condition ^ >— i, et nous obtien- 
drons 

(I — x''- — j'2 f%pqcc^y''dxdy — o, 



//' 



pour toutes les valeurs entières et positives de u et v qui satisfont 
aux conditions ci-dessus mentionnées. 

Pour démontrer que les fonctions U„, „ résolvent encore une 
autre question de minimum, c'est-à-dire qu'elles déterminent un 
polynôme 5^(^, j') du degré k, tel que, parmi tous les polvnômes 
entiers du même degré, il donne à l'intégrale (20) une valeur mi- 
ninjum dans l'intérieur du cercle x- -\- y- = i, sous la condition 
p >> — I , on donne au polynôme 0„,^„ la forme 

1 27 ) L>,„ „ = V 3{^ ,^ n,, ( ;J. -;- V 1 m -f- n), 

OU 

3 -T- u H- V H- I a! v! 



3t,. V = 



xffi I — ^- — 7' y^-m,„ 3i.^.,dx dy. 

Le second membre de cette expression, et par conséquent, le 
coefficient %x,. s'évanouissent sous la condition u -f- v •< /;/ + n, 



96 PREMIÈRE PARTIE. 

en se fondant sur l'égalité (i8), et la formule (27) prend la 
forme 

On en conclut que i^,„,« est une fonction linéaire des polynômes 
Uw rn pour lesquels la somme des indices [x +v est égale km -\- n] 
par exemple, les polynômes Û3,o? ^2,i> ^^1,2? ^0,3 ne s'expriment 
que par des fonctions linéaires des polynômes U;i,o> Ho,,, ll|,2j Uo,3. 
D'après cela, rappelons-nous que le polynôme cherché ^(j',y)est 
déterminé en développant la fonction donnée c2(x, y) en série de 

la forme > A„,^„Q„t^„, et en rejetant de cette série tous les termes 

pour lesquels ni + /^ >> A". Si nous changeons dans l'expression ob- 
tenue les polynômes Q»i,« en U,„,« au moyen de la dernière égalité, 
nous aurons le même polynôme sous la forme 

jggam 

où m + n ^A', et à chacun des termes A,,,,,, ^^m,ii de la série pré- 
cédente, m et n ayant de certaines significations déterminées, ne 
correspondra dans cette nouvelle série qu'un seul terme 5twj„ !(„/,« 
avec les mêmes valeurs de /n et n. Il en résulte que la fonction 
entière ^(x^y) s'obtiendra également bien par le développement 
de '^(j:',j') suivant les polynômes U,„,„, en négligeant toujours les 
termes en U,„ « dans lesquels m + n est supérieur à k. 

Je vais faire deux applications du développement des fonctions 
qui résulte de la considération des polynômes ii,„,rn U,„^,/, 35„,,„. Je 
vais développer effectivement \Xm,n suivant ^m,ny et iir»,n suivant 

as, 



Si l'on pose 



\a.^.. 



9_ ' 1/ 



K 



jH -f- |x -1- V -t- I 1^ 



''••' 11 (2jB-4-iX-2?+3)...(ap-l-'2!x — I) 

î^^^! (P + i)...(i3 + tx) , 

(afin- 2|ji.-4- a). . .(a^i -f- '^[x^- V -)- i> («^ ^- i). . .(afi ->- [x)' 



COMPTI-S H EN DUS KT ANALYSES. 97 

doù l'on conclul, en s'appu\ant sur le llif'orème \ I, que[jL + v 
doit être égale à m + u et in ne doit pas surpasser p.. Pour que le 
coefficient yl;it,v ne soit pas nul, les nombres \x et m doivent encore 
être de même parité. On peut donc poser ja.:=;« + aX, v = /z — 2/.-, 
k pouvant prendre toutes les valeurs entières et positives com- 
prises entre o e\ ~ ■> et, par conséquent, 

k 

De la même manière, on verra que 

A 

Les coefficients ont les valeurs 

( m -^\ )(' m -^ -1). . .{ m ■— ik ) 

( ^ -f- m-^ A'-i-i). . .( ^ + 7?i-!- n) 



A ,„ + 2 A«-2A — /^.; 2, «-(-2 A- 



(2^-4-1^2 ,3 -i-3). .. (2p-+-2 /?l -i-4 A- — 1) 

(2 3 -f- m -^ 2A -4- i). . .(2^ -^ 2//t -h ik) 

( 2 |3 — 2 «H- 4 A- -4- 2 j . . . ( 2 3 -4- 2 /?l -i- /i -i- 2 A- -+- I ) 

( 7i -h O ( /i -^ 2) . . . ( ;i -!- 2 A ) 

a3/H-2A- /i-r2/.- = - 



A"! a'""*"^' 

(2; 3-^i)(2^+3)...(ap + 2W— 2A — 
^ ~ (P-^i)(|i-^2)...(?-i-m) 

En posant dans cette formule |j = o, on obtiendra les relations 
suivantes entre les polynômes U„i,rn ^ in,ii, P/«,« 

L'/»i7î=^ ^ -■i;«+2/.- /i— 2A •' m-i-2A- /i-2/î' t^ m n ^^ ^ JBm-i.k n+ik^ m+-2kn+2ki 



_ (»i-f- i)( /n -4- 2). . .( 7?* -i- 2A) 

-T /«-I-2A n 2/l =^ 



A!2"'^-^i .3.5. . .( 27« -^ 4 A — i) 

(m ~- A -T- I ) . . . ( /?i M- rt ) 



ôh^^^] 



( 2 m -H 4 A -;- 2 ) . . . ( 2 m -4-71-^-2 A 

(7t — l)( /i -r- 2)...(7l +- 2A) l.3.5...(2//l — 2A — l) r < , < W'1 



ç)H rREMII':i\l- PARTIE. 

Ces relalions n'onl été indiquées par Didon dans aucun de ses 
Mémoires. 

Je démontre ensuite le théorème suivant qui montre encore 
l'analogie entre les polynômes Q„i,n et to/. 



Théouïsmk \ III. — Le produit du polynôme Q„,,n p<^n' linté- 
(j — ir- — v^-fdi(dç 



g raie double 



ff 



{x—u){y — v) 



dans laquelle |j > — i , étant développé en série ordonnée suii'ant 
les puissances décroissantes de x et r, ne contient pas le ternie 

en —. — 7—- — r pour toutes les valeurs entières et positives de a et 

de V dont la somme est inférieure à m -^ n, et aussi quand cette 
somme est égale ou supérieure à m -\- n, pour les valeurs de [Jt 
inférieures à m. 

Avant de finir, je me propose de déterminer les fonctions aux- 
quelles se réduit chacun des trois systèmes des polynômes Qm,/i, 
Vi„i^n< 35w.« dans le cas de |j = ce , et j'ai trouvé que tous les trois 
systèmes ne se réduisent dans ce cas qu'à un seul et unique système 
de fonctions. Ces nouvelles fonctions , que nous désignerons 
par ^m,ny pcuvcnt être déterminées par lune des égalités sui- 
vantes : 

^"-1 n>n h" 
jB^ m. ni 

d'où Ion conclut que les fonctions î,„ „ sont aussi des poly- 
nômes entiers en x et r du degré m +//, que l'on obtiendra en 
multipliant les deux polynômes dans le svstèmedes fonctions h{x) 
que nous avons considéré à la fin du Chapitre I. Chacun de ces 
deux polynômes ne dépend que d'une seule variable, et, en les mul- 
tipliant, il faut les prendre avec des valeurs différentes des indices 
m et //. 

Enfin, j'ajouterai que la généralisation de tous les résultats 
exposés dans le second Chapitre de juon Ouvrage, j)our le cas 
d'un nombre (pielc<»n([ne de variables, ne ])rési'nle aucune diffi- 
culté, (j. O. 



M f: LAN G ES. 99 



MELANGES. 

SUR LES FRAGMENTS DE HÉRON D'ALEXANDRIE CONSERVÉS PAR PROCLUS; 
Par m. PAUL TANNEHY. 

I . Dans son Commentaire sur le premier Li^'re cV Euclide{^'), 
Proclus cite six fois Héron d'Alexandrie. 

La première, où il énumère (p. 40' P^r^^i les subdivisions de la 
Mécanique, — « la thaumatopœique (construction de jouets ou 
d'artifices merveilleux), qui s'attache aux effets obtenus soit par 
les vents, comme en traitent et Ctésibios et Héron, soit, etc. » — se 
rapporte à l'Ouvrage bien connu des irvEnaaTixâ, publié dans les 
Veteres mrtZ/ie/??«<ïCt de Thevenot (Paris, 1693). 

Les cinq autres citations sont des fragments relatifs à la Géomé- 
trie élémentaire ; 

I(p. 19G). 

« Il ne faut d'ailleurs ni en réduire le nombre (des axiomes) 
au minimum, comme le fait Héron qui n'en pose que trois, — 
car c'est un axiome que le tout est plus grand que la partie; le 
géomètre (Euclide) l'emploie assez souvent dans ses démonstra- 
tions, comme aussi que les choses qui coïncident sont égales; 
celui-ci sert immédiatement pour le but de la proposition I\ , — 
ni, etc — » 

Ainsi Héron n'aurait admis que les trois premiers axiomes 
connus par Proclus, — l'égalité entre elles de deux choses égales 
à une troisième, — l'égalité des sommes de parties égales, — 
l'égalité des différences de choses égales de part et d'autre. 

H (p. 3o5V 

Sur la proposition X\ I du Livre P"^ d'Euclide : « Dans tout 
triangle dont on prolonge un côté, l'angle extérieur du triangle 
est supérieur à l'un quelconque des intérieurs non adjacents. 



(') Nous citons l'édition Procii Diadochi in primum Euclidis ElemeiUoruni 
libriim commentarii, de Ericdlein. Leipzig, 187.3. 



loo PREMIEUE PARTIE. 

» Cette proposition, énoncée incomplètement par certains 
auteurs, sans le membre de phrase dont on prolonge un côté, a 
fourni une occasion d'attaque, peut-être à plusieurs autres, en 
tous cas à Philippos, comme le dit le mécanicien Héron. Car en 
général, un triangle, en tant que tel, n'a point d'angle exté- 
rieur. » 

III (p. 323). 

Sur la proposition XX, que dans tout triangle la somme de 
deux côtés quelconques est supérieure au troisième. 

« Il faut rappeler brièvement les autres démonstrations du 
théorème proposé, comme elles ont été données par les héroniens 
et Porphvre, sans prolonger de droite, comme l'a fait l'Elémen- 
taire (Euclide). 

» Soit le triangle ABC. Il faut montrer que AB + AC>-BG. 
Divisez par moitié l'angle en A. Dans le triangle ABE, l'angle 

extérieur AEC > BAE. Mais BAE = EAC. Donc AEC > EAC, 
de sorte que le côté AC > CE. De même AB >> BE. Car dans le 

triangle AEC, l'extérieur AEB > CAE = EAB, de sorte que 
AB >> BE. Donc AB + AC >- la somme BC. Nous ferions la même 
démonstration pour les autres côtés. » 

A la suite de cette démonstration, Proclus en donne deux 
autres; la dernière, faite par l'absurde, ne peut être attribuée à 
Héron, qui évitait ce procédé (voir le fragment suivant); la 
seconde revient à la première, mais elle en dilTère en ce qu'on se 
borne à l'efFectuer dans le cas où un côté est plus grand que 
chacun des deux autres, et qu'au lieu de mener la sécante AE 
comme bissectrice de l'angle en A, on lui fait intercepter sur le 
plus grand côté un segment égal à l'un des deux autres côtés; il 
ne reste donc qu'à démontrer l'inégalité j)our l'autre segment. Ces 
simplifications apparentes et terre à terre semblent peu dignes 
d'un maître. 

IV (p. 340). 

Sur la proposition XXV : « Si deux triangles ont deux côtés 
égaux chacun à chacun, et l'un la base plus grande que l'autre, 
son angle compris entre les côtés égaux sera également phis 
grand. » E;i (h'-nionsli a! ion d'Iùicbdc est failc par l'absurde. 



MELANGES. i..i 

« Voici comuienl celle [)rO})Osilion est dcnionlrée, par Jlcron 
le mécanicien, sans rédiiclion à l'impossible. 

» Soient les triangles ABC, DEF elles iiièiues liypollièses (savoir 
AB = DE, AG = DF, BC > EF). 

» Puisque BC > EF, prolongez EF en prenant EH = BG. De 
même prolongez ED en prenant DG = DF. Le cercle décrit de D 
comme centre avec DF pour rayon passera par G; soit FKG ce 
cercle. Puisque BG ■< AG + AB = EG, et que BG = HE, le cercle 
décrit de E comme centre, avec EH pour rayon, coupera EG. Soit 
HK ce cercle, menez RD, KE de l'intersection commune des deux 
cercles à leurs centres. 

» Puisque D est centre de GKF, GD = DK = DF = AG. 
D'autre part, puisque E est centre de HK, EK= EH = BG. Donc, 
puisque les côtés AB, AG, BG sont respectivement égaux à DE, 

DK, EK, BAG = EDK. Donc BAC > FDE. » 

V (p. 429). 

Sur la proposition XLVII, théorème du carré de l'hypoténuse. 

« Ge que d'autres ont ajouté en plus, comme les héroniens et 
Pappus, oblige à recourir à des propositions du Livre VI, et n'a 
point de rapport avec le sujet présent. » 

2. Les questions que soulèvent ces fragments sont surtout rela- 
tives à leur origine. Viennent-ils d'un commentaire particulier 
composé par Héron sur les Eléments? Ont-ils été tirés d'un autre 
Ouvrage, et quelle était, dans ce cas, la nature de cet Ouvrage? 

M. Th. -H. Martin (') admet l'existence du commentaire parti- 
culier; Héron aurait, d'ailleurs, composé un giand Ouvrage de 
Géométrie, connu, d'après Eutocius, sous le nom de .Métriques 
(JMsTpixQc), et dont il nous resterait d'importants débris, apparte- 
nant à quatre parties distinctes : 

1. Prolégomènes aux éléments d'AritJimétique (Ta irpô Tr,ç 

'Api6(/.r]Ttx9îç GTOl/EltOCTStOç). 



(') Recherches sur la vie et les Ouvrages de Héron d'Alexandrie et sur tous 
les Ouvrages mathématiques grecs qui ont été attribués à un auteur nomme 
Héron. Paris, iSo'^; voir p. 95-98, loa, 10^, 120, 17'). 

Bull, des Sciences mathém., 2° série, l. VI. (:\l;irs i88'2.) S 



.io2 PREMlÈllIi PARTIE. 

II. Prulcgoinènes aux élcinenls de Géoniéiric (la upô vr^ç, 

III. liïtl'odiictioJiS ii'coniétrifjues ( KiaaywYa't twv yswuLETpouoLevojvV 
W. Introductions stérconirtriques ( K-îa-^coYai tîov CTspsoaeTpou- 

•IJLSVtOv). 

Le savant éditeur de la collection des écrits liéroniens ('), 
M. Hultscli (-), doute de l'existence du Commentaire particulier; 
mais reconnaissant, avec M. Th. -H. Martin, que les Prolégomènes 
sont relatifs aux Éléments d'Euclide, il les rejette hors du gi-and 
Ouvrage héronien , dont le titre semble avoir été Géométrie 
(rscooiErpta OU rewasipouasva), et qui devait comprendre la partie 
métrique citée par Eutocius. 

En somme, ces deux illustres érudits admettent, chacun sous 
nne forme différente, un travail particulier de Héron sur Euclide. 

M. Canlor (•') remarque, à bon droit, qu'il est ti^ès douteux 
<i priori qu'un commentaire sur les Eléments ait été écrit dès le 
i'"'" siècle avant J.-C et qu'on puisse surtout Taltribuer à un mathé- 
maticien aussi incontestablement original que Héron d'Alexandrie. 

En ce qui concerne les Prolégomènes, exclusivement connus 
par le petit Traité des Définitions des termes de Géométrie [Hé- 
ron ('), p. i-4o) fl^'J *^" faisait partie, j'ai déjà soutenu, ailleurs, 
l'opinion de Friedlein qui refuse à cette compilation l'attribution au 
géomètre alexandrin. De l'aveu même de jNI. Hultsch, la rédaction 
actuelle de ce petit Traité est dune époque 1res postérieure; à 
mes veux, son authenticité, même sous une forme plus ancienne, 
serait inadmissible, en raison, d'une part, de l'absence dans le 
recueil des définitions spéciales de la Geometria [Héron, p. 44~ 
46), bien plus sûrement héroniennes, et, d'un autre côté, de la 
présence, au contraire, d'importants enq)runls fiiils à Posidonius, 
comme il est facile de l'établir d'après l'roclus (Geminus). 



(') Heronis Alexandrini Geotnetricorum et Stereometricoruni reliqidœ. Ber- 
lin, 186^. Nous citerons plus loin celle cclilion sous la rubrique {Héron). 

(■) Mctrologicoruni scriptorum reliquiœ, I. Leipzig, i86^, p. i3-i8. 

(') Yntlesungen iiber Gescliiclile der Matiiematik. Leipzig, 1880, p. ?no. 

(*) L'Aritliméliquc des Grecs dans Héron d'Alexandrie {Mémoires de la 
Société des Scie/ire.s p/i)\sif/iirs et nndirelfes de Hnrdeattx. t. I\". ■.>' série). 



MÉLANGES. io> 

Ces Prolégomènes doivent donc èlre écarlés, et nous rcslons en 
présence de rhvpolhèsc d'nn commentaire spécial. Nous allons 
la discuter en rtudiaiit les fragments reproduits plus haut. 

3. Le premier point à ('■ tablir, c'est que Proclus n'a pas lui-même 
d'ouvrage héronien entre les mains; il cite d'après Porphvre et 
Pappus. 

Tout auteur d'un commentaire travaille sur ceux de ses prrdi'- 
cesseurs, s'il en a eu. Proclus n'a, d'ailleurs, guère d'originalit '■ ; 
presque tout, chez lui, est évidemment emprunté, et s'il cite 
souvent ses auteurs, il néglige aussi souvent de le faire. La source 
principale pour les prologues est la Théorie des Mathématiques 
de Geminus: pour le commentaire (\cs Propositions, c'est évidem- 
ment le travail de Pappus. 

L'existence de ce commentaire est assur.'c pp.rEutocius (Archi- 
mècle de Torelli,p. 90); il doit avoir été complet, car la citation 
du commentateur d'Archimède se rapporte au Livre XII des iLlé- 
ments, et des quatre que fait Proclus, il en est deux (p. 189 et 197) 
qui sont relatives aux axiomes. 

Proclus ne paraît point, d'ailleurs, connaître l'Ouvrage qui nous 
reste de Pappus, la Collection mathématique ; mais ce dernier 
nous fait suffisamment connaître la riche érudition de son auteur 
pour que nous soyons assurés qu'il a pu emprunter ses citalioiis 
de Héron à des ouvrages quelconques de ce dernier, de Géométrie 
ou même de ^Mécanique, sans se borner à rechercher dans les 
commentaires précédemment écrits sur Euclide s'il \ en avait 
déjà de son temps. 

Le fragment \, dans lequel le nom de Pappus se trouve accolé 
à celui des héroniens, nous rappelle cependant l'intéressante 
généralisation du théorème sur le carré de Ihvpoténuse, qui forme 
la proposition I du Livre IV de la Collection mathématique. 

Dans un triangle quelcon<iue ABC^ sur deux côtés AB, BC^ 
on construit des parallélogrammes quelconques ABED, BCFII^ 
on prolonge leurs côtés ED, Fil jusquéi leur rencontre en G, 
on joint GB, et l'on construit su/- le troisième côté AC^ du 
triangle un autre parallélogramme dont le second côté soit 

TtB, sous un angle égal éi 1) \C j DGI). Le troisième parallé- 



io4 PREMIÈRE PARTIE. 

logranune sera équivalent à la somme des deux précédents. 

Je suis tenté d'attribuer à Héron ce théorème, que Pappus aura 
pu reproduire également dans son commentaire, avec d'autres 
généralisations. Mais si l'on se croit obligé de prendre à la lettre 
ce que dit Proclus, la nécessité des théories du Livre YI pour ce 
qu'avait ajouté Pappus, on ne peut méconnaître dans cette adjonc- 
tion un théorème qui figure dans les Eléments (VI, 3i), que si 
l'on construit sur les côtés d'un triangle rectangle des figures sem- 
blables et scmblablement placées, la figure sur l'hypoténuse est équi- 
valente à la somme des figures sur les côtés de l'angle droit. 

Si l'on examine, au reste, la contexture de ce Livre VI des Elé- 
ments, il est clair que le cadre logique en est rempli après l'expo- 
sition de la théorie généi-ale de la Trapa^SoXv] (solution géométrique 
des problèmes du second degré), c'est-à-dire après la proposition 30, 
application nécessaire de cette théorie. Les trois propositions qui 
clôturent le Livre dans sa forme actuelle n'ont aucun lien ni 
entre elles, ni avec les précédentes. Ce sont de véritables hors- 
d'œuvre, et l'on sait, d'ailleurs, que la moitié de la dernière propo- 
sition est due à Théon. On peut donc parfaitement admettre que 
ce soit à cet éditeur d'Euclide qu'il faille attribuer l'incorporation 
aux Eléments de ces trois propositions, dont il aurait emprunté 
au moins la première au commentaire de Pappus. 

Originairement elle viendrait de l'école héronienne, et peut-être 
du maître lui-même. Mais nous verrons plus loin qu'elle aurait, 
dans ce cas, été énoncée dans son Traité de Géométrie beaucoup 
plus tôt que dans un commentaire sur Euclide. 

4. En dehors de Pappus, Proclus invoque pour ses citations de 
Héron un autre garant, qui est Porphyre. 

L'existence d'un commentaire de ce fécond polygraphe sur 
Euclide n'est point établie d'une façon précise; mais on peut la 
conclure des appels que fait Pioclus à son autorité. 

Si h; premier (p. 56) se rapporte nommément aux ZufjLui'xTa 
[Mélanges)^ Ouvrage en sept Livres, d'après Suidas; si le second 
(p. •iTiO.) peut se référer à un écrit philosoj)hi(pic, il en est quatre 
autres à la suite desquels Nirnnciit des démonstrations tout à fait 
semblables à celles (pic l'on peut rencontrer dans \\\\ commen- 
taire. 



MÉLANGES. io5 

Nous savons, d'ailleurs, que Poi'phyre avait écrit des Introduc- 
tions astronomiques, c'est-à-dire, en fait, commencé à com- 
menter Ptolémée; il nous reste enfin de lui un commentaire sur 
les Harmoniques de ce dernier mathématicien. Pappus, d'un 
autre côté, un peu plus jeune que Porphyre, a pu le connaître; la 
tradition lui attribue d'avoir achevé le travail sur les Harm.o~ 
niques ('), et il a certainement commenté l'Almageste. Quoique 
la longue vie de Porphvre paraisse sètre surtout écoulée à Rome, 
tandis qu'on suppose mieux Pappus écrivant à Alexandrie, il n'en 
est pas moins dès lors naturel de voir dans le second, sinon le 
disciple, au moins l'héritier mathématique du premier, et l'on 
peut croire que le commentaire sur Euclide forma une partie de 
l'héritage. 

Le travail de Porphyre connu de Proclus, soit directement, soit 
peut-être seulement par celui de Pappus, a-t-il été le premier? ou 
y a-t-il trace de commentaires antérieurs? Nous sommes, sur cette 
question, ramenés exclusivement soit à Héron, soit aux héro- 
niens (oî Trspi "Hpojva). 

11 est certain que, depuis qu'une école héronienne existait et 
publiait, sous le nom du maître, des traités et des recueils de pro- 
blèmes sur la Géométrie pratique, en les mettant constamment au 
courant des changements des svstèmes métriques, elle s'était habi- 
tuée à les enrichir d'emprunts faits à Euclide (-) et à d'autres 
auteurs, d'abrégés et de compilations diverses. Ainsi a pu se con- 
stituer la fausse attribution à Héron du Traité des Définitions, 
dont j'ai parlé plus haut, parce que toutes les productions de 
l'école paraissaient sous le nom illustre du disciple de Ctésibios. 
Mais rien ne semble indiquer, dans cet ensendjle de travaux, une 
tentative sérieuse de commenter les Eléments. Toutefois un érudit 
comme Porphvre, n'eût-il pas eu de valeur réelle comme géomètre, 
était suffisamment averti par l'existence de cette école, qu'il con- 
venait, pour commenter Euclide, de faire des recheixhes dans les 
écrits de Héron, puisque ce dernier avait traité avec succès les 
mêmes sujets, sui^ant des tendances diflerentes. Porphyre, enfin, 



(') Voir FAiiRiLiis, liiljlii)th. i^rœca. i- I. H.irlo<. t. \, \\. -\o. 
(') Voir, uomiiiLiiiciil. litron, |j. '\i-'\'i cL p. nf). 



io6 PREMIÈRE PARTIE. 

n'avait sans doute pas besoin, comme modèle, d'un commentaire 

déjà existant. 

O. Nous avons recherché à quelles sources Prochis emprunte, 
selon toute probabilité, ses citations de Héron. Il convient main- 
tenant d'en rapprocher les données un peu précises que Ton pos- 
sède sur le contenu de la Géométrie de cet auteur, dont ces cita- 
tions peuvent découler originairement. Or, dans l'écrit héronien 
qui présente le plus de caractères de fidélité, Y Introduction de 
Géométrie, avant le tableau du système métrique, se termine 
comme suit (Héron, p, 46) : 

« Voici quels sont, pour le métrage, les points de repère fixes : 

» a. Dans tout triangle, la somme de deux côtés quelconques 
est supérieure au troisième. 

» b. Dans tout triangle rectangle, la somme des carrés des côtés 
de l'angle droit est égale au carré de l'hypoténuse. 

» c. Dans tout cercle, la circonférence est 3 y par rapport au 
diamètre. 

» d. L'aire mesurée par le produit du diamètre et de la circon- 
férence du cercle est égale à quatre cercles. » 

Si Héron a réellement écrit une Géométrie, il s'est évidemment 
attaché à démontrer ces propositions et à en développer les consé- 
quences. 

Comme on le sait, les deux dernières sont dues à Archimède; 
il suffit de remarquer, en passant, que la Kûy.Xou ii.iz^-riQKc.i Mesure du 
cercle) du Syracusain qui nous a été conservée n'est qu'un extrait 
du Livre Sur la circonférence du cercle, aujourd'hui perdu, 
mais encore connu de Pappus, et que l'usage de faire cet extrait 
de la partie la plus importante peut dater du temps de Héron; le 
dernier éditeiu', avant Eutocius, de la Afesure du cercle, le nu'-ca- 
nicien Isidore de Milet, n'aura lait (pie continuer la tradilit)n du 
mécanicien d'Alexandrie. 

Quant aux deux premières j^ropositions, elles sont tirées d'Eu- 
clide, et il est remarquable cjue les fragments conservés par Pro- 



MÉLANGES. 107 

dus, à lexceplion de celui qui est relatif aux. axiomes, se rappor- 
tent, II, III, IV à «, et V à b. 

Nous avons déjà suffisamment parlé du fragment Y; le frag- 
ment III est expressément la proposition a démontrée autrement 
que ne l'avait fait Euclide; II se rapporte à une proposition invo- 
quée dans cette démonstration. 

Quant à la relation du fragment IV, elle est moins claire, quoique 
la proposition a y soit invoquée, ce qui n'a pas lieu dans la démon- 
stration correspondante d'Euclide; mais il appartient évidemment 
au même ordre d'idées : donner des règles permettant de contrôler 
la possibilité de figures auxquelles on suppose des dimensions 
déterminées. 

Quant au fragment I — ■ sur les axiomes — , peut-être la donnée 
a-t-elle été empruntée à Geminus, et non à Porphvre ou à Pappus; 
en tous cas, il n'est certainement pas tiré dun commentaire, mais 
bien dun traité original de Géométrie. 

La conclusion de ces rapprochements serait donc négative en ce 
qui concerne l'existence d'un commentaire composé par Héron. 

On peut, il est vrai, faire à cette conclusion une objection spé- 
cieuse tirée du fragment II. Le singulier renseignement historique 
qui s'y trouve ne semble, en elFet, guère à sa place dans un traité 
didactique ('). 

Mais c'est supposer que ce traité était conçu dans la forme 
euclidienne, et nous avons tout droit de penser le contraire. S'il 
y a, en effet, un fragment bien authentique de la Géométrie de 
Héron, c'est le début (Héron, p. 43 et 106), qui raconte, « sui- 
vant ce que nous apprend l'ancienne tradition », l'invention de la 
Géométrie chez les Egyptiens. C'est le ton d'un écrivain qui se 
plaît aux digressions historiques, ce n'est plus la sévère nudité des 
œuvres classiques. 

En résumé, nous admettons les conclusions suivantes : 

1° Il n'y a aucune raison plausible de supposer que Héron ait 
commenté Euclide. 



(') Le Philippos dont il y est parlé semble être le disciple de Platon, Philippe 
d'Oi)onte ou de .Medma. Du moins on ne connaît aucun maihématicien postérieur 
du même nom. L'identité de ce personnage, sous les deux épithètes relatives à sa 
nationalité, a daillcurs été démontrée par Hœck {Sonncnkreise der Alten, p. 3'(- 
40 ). 



loH PREMIÈUE PARTIE. 

2" Les citations faites par Proclus, de seconde main, se rap- 
portent à une Géométrie composée par le disciple de Ctésibios. 

3*^ Cet Ouvrage, spécialement destiné à renseignement de 
l'arpentage, se bornait, quant aux démonstrations, aux théorèmes 
pratiquement utiles à connaître pour les élèves, tout en se com- 
plétant par de nombreuses applications numériques. 

4" L'exposition des théories s'y trouvait agrémentée de remarques 
instructives et de renseignements historiques qui la diflTérenciaient 
d'une pure série de propositions mathématiques. 

5° Il est possible que ce soit par cette voie indirecte, aussi bien 
que par Geminus, que nous soient parvenues diverses données que 
Proclus a empruntées à Eudème, dont il ne semble pas avoir eu 
y Histoire entre les mains. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 109 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 

CLIFFORD (W.-K.)- — Mémoires mathématiques édités par R. Tucker avec 
une Préface de H.-J.-S. Smith. — In-8°, lu, 648 pages. Londres, Macmillan 
and C". 

William Kingdon Clifford, né à Exeter le 4 'wai i845, est mort 
emporté par la phtliisie à Madère le 3 mars 1879. Cette fin préma- 
turée excita d'universels regrets, non seulement en Angleterre, 
parmi les maîtres et les amis de Clifford, mais aussi en France, sur 
le continent, partout où la Géométrie et l'Analyse sont cultivées. 
Clifford s'était toujours occupé des questions les plus abstraites et 
les plus difficiles; de son vivant, son nom n'a pas été aussi connu 
qu'il méritait de l'être, mais ceux d'entre nous qui se tenaient au 
courant de ses travaux n'hésitaient pas à leur accorder le plus 
haut degré d'estime et d'admiration; ils s'expliquaient sans peine 
le jugement des plus grands géomètres de l'Angleterre qui faisaient 
reposer sur Clifford leurs meilleures espérances. Un grand nombre 
de travaux, accomplis dans des directions très variées par cet 
excellent géomètre, portaient la marque d'un esprit inventif et 
profondément philosophique. 

En parcourant les Mémoires rassemblés avec un soin pieux par 
la veuve et les amis de Clifford, les uns déjà publiés du vivant de 
leur auteur, les autres inédits et trouvés dans ses papiers, on re- 
connaît sans peine une foule de vues originales et profondes que 
Clifford aurait certainement développées et qui se seraient mon- 
trées fécondes. M. Tucker, secrétaire honoraire de la Société 
mathématique de Londres, s'est chargé, dans la Préface, de retracer 
le plus simplement possible les laits principaux de la vie de Clif- 
ford, ses succès de professeur et de géomètix^. Il nous donne aussi, 
dans leur ordre chronologique, la liste des publications de Clifford. 
Dans une Introduction fort étendue, qui vient à la suite, M. Smith 
apprécie les principaux travaux; il montre avec autorité la place 
importante qu'ils doivent occuper dans le développement de la 
science moderne. Il les classe ensuite de la manière suivante : 

Un premier groupe se rapporte à ce que l'on pourrait appeler 
Bull, des Sciences mathém., 2' série, l. VI. (Avril 1S82.) y 



iio PREMIERE PARTIE. 

l'algèbre de la logique. Il compi'exid deux Mémoires sur les pro- 
positions composées. 

Deux autres Mémoires se rapportent à la théorie des équations 
et de Téliniination. L'un d'eux, qui est très court, contient une 
démonstration du tliéorème que toute équation algébrique a une 
racine. 

Un troisième groupe se compose de quatre Mémoires sur les 
fonctions thêta et les intégrales abéliennes. Nous y remarquons 
surtout un Mémoire sur la forme canonique et la dissection des 
surfaces de Bienrann. 

Une quatrième division comprend les Mémoires sur la théorie 
des invariants et des covariants, des recherches sur les théories 
nouvelles d'Algèbre appliquée à la Chimie et sur les nombres 
complexes alternés. 

Mais c'est surtout de Géométrie que Clifford s'est occupé. Il a 
publié environ trente Mémoires sur la Géométrie synthétique et 
projective, sur l'application de l'Algèbre à la Géoméli'ie, sur la 
Cinématique, sur la théorie géométrique de la transformation des 
fonctions elliptiques et enfin sur les conceptions généralisées de 
Tespace dont l'origine est dans un célèbre Mémoire de Riemann. 

On voit, sans que nous insistions davantage, que la publication 
actuelle n'est pas seulement un hommage rendu à la mémoire de 
Clifford : c'est aussi un service rendu aux géomètres et aux ana- 
lystes par MM. Tucker, Smith et tous ceux qui les ont aidés dans 
la tâche qu'ils avaient entreprise. 



MÉLANGES. III 

MÉLANGES. 

RECHERCHES SUR LES FONCTIONS 2r FOIS PÉRIODIQUES 
DE /• VARIABLES. 

(Lettres de M. C. Weierstr.vss à M. C.-W. Borch.vrdt.) 

Traduction publiée avec l'autorisalion de l'auteur, 

l'AR M. J. MOLK. 

Première Lettre (^^). 

Dans les Monatsberichte de notre Académie (1869, p. 855), tu 
trouveras énoncé le théorème : 

Si l'on désigne par J{ii^^ Wo, ..., u,^ une fonction uni^^oque (-), 
ir fois périodique, ayant le caractère d'une fonction ration- 
nelle pour toutes les valeurs Jiijiies des r variables Ui, ..., Ur', 
toute autre fonction, jouissant de ces propriétés et ayant les 
mêmes systèmes de périodes, peut être exprimée rationnelle- 
ment à l'aide des (r~\-\) fonctions A, -—--, • • • > -f-^, ces der- 
nières étant liées par une équation algébrique. 

Ce théorème, cher ami, correspond, comme tu le vois, à celui de 
M. Liouville, d'après lequel, y") (?(r) étant une fonction univoque 
doublement périodique, à deux infinis, toute autre fonction uni- 
voque /(m), ayant les mêmes périodes que f\{u) et un nombre 
quelconque d'infinis, peut être mise sous la forme 

U + nf\{u) 
./(«)= Y, ' 

L, M, N désignant des fonctions rationnelles entières de /( (?/). 



( ' ) Journal fiir Mathematik, t. LXWIX. 

(') Je me suis permis de traduire eindeutig par univoque, le mot uni/orme me 
semblant devoir être réservé pour exprimer l'idée fondamentale de Gleiclimàss- 
igkeit; gleicliniàssige Convergenz — convergence uniforme. Comparez : Re- 
marques sur quelques points de la théorie des fonctions analytiques par M. C. 
Weierstrass. Traduction par M. J. Tannery. Paris, 1882. 



H2 PREMIÈRE PARTIE. 

La difTéience consiste seulement en ce que, d'après mon théo- 
rème, f{u) peut être exprimée rationnellement en fonction de 
f\{u) et de f[{u)i f\{ii) étant une fonction quelconque de l'es- 
pèce considérée, ayant les mêmes périodes que f{ii)- On peut 
d'ailleurs facilement déduire ce théorème de celui de M. Liouville. 

L'énoncé que je viens de donner est à peu près celui des 
Monatsberichte, mais il demande à être modifié. 

Je dirai que toutes les fonctions univoques ir fois périodiques 
f{U{i . . ., Ur)i ayant le caractère d'une fonction rationnelle pour 
tout système fini des variables w,, ..., Ur, font partie d'une même 
classe. J'énoncerai alors le théorème en question de la manière 
suivante : 

Toutes les fonctions f{u\., ■•-, Ur)-, faisant partie crime classe 
déterminée, peuvent être exprimées rationnellement à l'aide 
de l'une d'entre elles /i(ui, . . . , Ur) et de ses dérivées partielles 

-f-^> • • • ? -f-^- Le choix de /, est, en général, arbitraire ; il peut 

cependant se faire que l'on cdt à exclure certaines fonctions 
de la classe considérée. Chaque fonction f est liée à ses r déri- 

, f)f df df ,.-,,. 

vees——-, -T- ■)•••■> -r— pm^ m^c- équation algébrique, 
àui du-i ou,. ■'■ ^ Cl 

Ce théorème n'est d'ailleurs qu'un cas particulier d'un autre 
plus général que je vais te communiquer. Mais il me semble né- 
cessaire den faire précéder l'énoncé par quelques remarques ayant 
pour but de fixer exactement le caractère des fonctions auxquelles 
il se rapporte. 

M. Liouville désigne, dans les Leçons que tu as rédigées (*), les 
fonctions qui font l'objet de ses recherches par fonctions bien dé- 
terminées, sans préciser davantage ce qu'il faut entendre par là. 
Mais il résulte des hvpolhèses qu'il l'ait dans la démonstration de 
ses théorèmes, et des résultats qu'il obtient, ([u'il a toujours en 
vue des fonctions univoques d'une variable, n'ayant aucun point 
essentiel fini (-). En effet, ses théorèmes n'ont plus lieu pour d'au- 



Cj Journal fur Mathematik, t. LWXVIII. 

(') Pour la terminologie employée par M. Wcierslrass, consulter son Mémoire : 
Zur Théorie der eindeuligen Functionen. traduit par M. Picard (Annales de 
l'Keole \ormale supérieure, 18-1). 



MÉLANGES. 1 1] 

très fonctions univoques. Par exemple, 

F{u) = e*î"«""' 

est univoque et doublement périodique; cependant, on ne peut 
exprimer F(«) rationnellement en fonction de sinamw et de 

d bin a m M 



du 

Gela tient à ce que tous les arguments u, pour lesquels 

sinam u = ta , 

sont des points essentiellement singuliers de esinamM ^^ effet, le 
développement de F(/^) suivant les puissances entières de (u — a) 
contient un nombre infini de termes à exposant négatif. Si donc 
on veut étendre les théorèmes de M. Liouville sur les fonctions 
doublement périodiques d'une variable au cas de fonctions 2 /"fois 
périodiques de r variables, il est manifeste que ce ne sera pos- 
sible que pour des fonctions jouissant de propriétés particu- 
lières. 

Dé/Initions. — Lorsque je considère simultanément les variables 
M,, . . ., i(r, je nomme, pour abréger, chaque système de valeurs 
de ces variables un^om^dans le domaine de u,, ...,u,', {ai,...,ar) 
étant un point déterminé du domaine, et un nombre réel positif 
donné, l'ensemble des valeurs pour lesquelles 

I «A — «/•■ I < 0, (A- = I, 2, .. ., /•) 

forme le voisinage (0) du point («<, ..., a,-). Dans le cas où la va- 
leur de ô n'est point fixée à l'avance, je parlerai simplement du 
voisinage de («,, ..., a,-). Enfin, je conviens de remplacer u — co 

I 

par -• 

Lorsqu'une fonction univoque f{u\, ..., u,-) peut être repré- 
sentée dans le voisinage d'un point («,, ..., a,-) par une série con- 
vergente de la forme 

^A,,,j. , {u^ — a^)''^{u^ — ai)'^-^ ... {u,.— a,.y-- (vi.v., ...,v,. = o,i, ...,00 ), 

je dirai que cette fonction A régulière au point (r/,. ...,0,) 



ii4 PREMIÈRE PARTIE. 

V,, ..., V,. sont des nombres entiers positifs, et les coefficients 

Av,,...,vr sont indépendants ^^ ^'^' ••••> "'"• 

Dans toute considération où la forme de la série joue seule un 
rôle et où la valeur des coefficients est indifférente, je désignerai 

cette série par 

P ( «1 — «1 , . . . , a,. — a,.) 

ou par 

P(«i, .. ., «,. I «1. . .., a,.). 

L'ensemble des points où une fonction f[u\, • ••, itr) est régu- 
lière forme un continua/n de 2 /-dimensions, qui est nécessairement 
limité. Tout point («', , ..., «^.) situé sur la limite du continuiun est 
un point si/ig'ulier de la fonction considérée. 

Il peut arriver que le produit de f{ii\, ••., Ur) par une série en- 
tière Po(W), ..., Ur\ci\f •••, o\.), qui s'annule pour 



soit une fonction régulière au point (<?',, ..., (7^.). Alors, pour tous 
les points (z/|, ..., Ur) situés dans le voisinage de {ci\, ..., f/).), on 
peut mettre /(;<), ..., u,-] sous la forme 

Pl(»l, ■■., llr\a\ fl'r) 

Po(mi, ..., ii,.|a'i, ...,«;.) 

Dans ce cas, nous dirons que («', , ..., a\.) est un point singulici- 
non essentiel. Dans tout autre cas, ce point singulier est essen- 
tiel. 

Pour y ^ I, il importe de distinguer entre ces deux genres bien 
différents de points singuliers non essentiels. 

Si («', , ..., a\.) désigne l'un de ces points, on peut toujours re- 
présenter y'(«,, ..., Ur) par un quotient 

Pi(;<i, .. ., tfr [q'i, ..., a'r) 

tel que les séries entières Pq cl P) no soient pas toutes deux divi- 
sibles par une série entière P(mi, ••■, //,]<'/,, ..., a\.) s'annulant 
pour u I = rt', , . . . , Ur = a'^ . 

Mais alors, si P,(rt',, ...,a\.\ r/, , ..., f/).) n'est pas nulle, il est 
manifeste que la valeur de /{ut, ..., //, ) est infiniment grande pour 



M fi LANGES. ni 

tous les points (;/,, ..., 11/) slliiés dans un voisinage infiniment 
petit de («',, ..., a'^) (' ); et, par suite, que /(«',, ..., fi'^) = ce . 

Si, au contraire, Pi(«', , ••-, «)■ | «', , •••, «)■) ^ o, on peut démon- 
trer qu'il existe, quelque petit que soit 0, dans le voisinage (0) de 
(«', , ..., a\.), des points («, , ..., Ur) tels que f{ii\, •••, i(r) ail- une 
valeur quelconque fixée à l'avance. Alors f[tt\, •■•, (f,.) n'a aucune 
valeur déterminée. 

Remarquons encore que Tensemble des points où f{ii\, •••, Ur) 
se comporte comme une fonction rationnelle, c'est-à-dire l'en- 
semble de ses points non singuliers et singuliers non essentiels, est 
un continuuni à ir dimensions dont la limite est formée par les 
points singuliers essentiels de la fonction. 

Si (rt| , ..., ctr) est un point déterminé à l'intérieur du coiitinuuin 
et si /{^i, ..., ffr) a une valeur finie bien déterminée, /\?/i , ..., 11,) 
est une fonction /égufière pour tous les points situés dans un voi- 
sinage déterminé de (r/,, ..., <7,.). 

Si y(<7|, . . ., (7;-) ^ ce . /'^i, il V a dans tout voisinage de 
(r/,, ..., ((,) qui ne contient aucun point singulier de la fonc- 
tion 

I 

/(Uu .... Ur) 

un nombre infini de points, formant une variété {2r — 2 )""'"', où 
la fonction f{ii\, ..., Ur) a une valeur infiniment grande, tandis 
qu'elle est régulière en tout autre point du domaine considéré. 

Si enfin /{a,, ..., a,-) n'a aucune valeur déterminée, il y a non 
seulement dans le voisinage (0) de (a,, ....Or) un nombre infini 
d'autres points singuliers non essentiels où la fonction /(//(,..., //,-) 
a la valeur co , mais encore pour /■ ]> 2, un nondjre infini de points 
où elle est indéterminée; et cela, quelque petit que soit 0. Les 
premiers forment une \ariété (2/- — 2)'^'""; les derniers, une va- 
riété (2/-— 4)'^-°''. 

J'ajoute à ce qui précède l'énoncé dun théorème fondamental 
dont je ne ferai usage que plus tard. 



(') C'est-à-dire que, quelque grand que soil uu nombre donné G, on peut tou- 
jours déterminer un assez petit pour que, pour tous les points {u\, ..., »,) du 
voisinage (5) de {a\, ...,n',.). la valeur de (/(»',, ■••, ih)\ soil plus grande que G. 



ii6 PREMIERE PARTIE. 

Une fonction univoque /{u^, ..., //, ) tv avant aucun point es- 
sentiellement singulier dans tout le domaine des variables 
Ut, ..., Ur, est une fonction rationnelle. 

J'ai démontré ce théorème pour des fonctions d'une variable 
dans mon Mémoire cité tout à l'heure; pour des fonctions de plu- 
sieurs variables, la démonstration n'est pas de beaucoup aussi 
simple qu'il le semble au premier inslant. 

Je désire, enfin, appeler ton attention sur un dernier point. 

Si, par un procédé quelconque, on forme à l'aide de r variables 
Ui, ..., Ur un continuum k ir dimensions, on peuttoujours déter- 
miner des fonctions univoques de m,, ..., u,-^ se comportant comme 
des fonctions rationnelles en tous les points situés à l'intérieur de 
ce continuum, et en aucun des points de sa limite. Les points sin- 
guliers essentiels d'une fonction univoque de r variables ne sont 
donc pas nécessairement isolés; il est, au contraire, possible qu'ils 
soient représentés par ua ou plusieurs des complexes (') que l'on 
peut former dans le domaine des /* variables imaginaires. 

Après ces remarques préliminaires, dont je compte faire souvent 
usage, je conviens, pour abréger, d'entendre par fonction ir fois 
périodique de /• variables, non seulement une fonction univoque, 
mais encore une fonction n'ayant aucun point essentiel fini. 

Ceci posé, je démontre qu'il est possible, d'une infinité de ma- 
nières, d'adjoindre à une fonction quelconque /)(w(, ..., w,), ir 
fois périodique, d'autres fonctions 

f,(Ui, .... Ur), fi{Ui, U-î, . .., Ur), ..., /,.( Mj , «2, . . . , J<,.), 

faisant partie de la même classe que /, , et telles que le détermi- 
nant fonctionnel 



au,,. 



(i. A" =: I, 2, .... /•) 



ne soit pas identiquement nul, c'est-à-dire telles que fi, fi, ..., fr 
soient indépendantes les unes des autres. 

J'ai montré, dans un Mémoire publié dans les Monatsberichte 
(18-6, p. O87) et intitulé Nou^^elle démonstration d'un tliéo- 



(•) (îebilde. 



MÉLANGES. 117 

rème fondamental de la théorie des fonctions périodiques de 
plusieujs variables, que lorsque /, jouit des propriétés que nous 
lui avons supposées, le déterminant 



df\ ( U\ 



.,^i,.) 



àfi{u\, ..., u',.) 
j 



(Jii,. 
du' 



duÇ.-^ 



n'était pas identiquement nul. 

Si donc nous désignons par c\, ..., c'^\ ...; c','' ", ..., c^'^"" des 
constantes par rapport à «,, ..., Ur, et si nous posons 



u^ = 11^ -^ c^ ; 



(a = 1, 2, ..., r), 



nous pouvons donner à q, ..., cl^" " des valeurs telles que le dé- 
terminant 



àfiJUi, ..., Ur) 

àui 

ifl(.tl,-^c\, ..., Ur^c'r) 

Oui 

"••••••••■"•• ) 

dMUi-^C<r^\...,Ur^c\r-^^) 

Oux 



àfi(Uu ..., Ur) 
dUr 

^A("l — C'i, .. -, llf-^ U'r) 
dUr 

df,{u,-r-c\'-'K...,Ur-^C^r'''^) 
dUr 



ne soit pas identiquement nul. 

Choisissons alors f-ii^i, •••, iir)= f\{u\ + c, , •••, ''r+ c^)l •••; 
fr{a,, ..., Ur) = fi{iii -\- c\''^^\ ..., Ur-\- c^r~*^)- ^^ ^^^ manifeste 
que les fonctions f[,f2, •■■i fr ont mêmes systèmes de périodes, 
et que leur déterminant fonctionnel n'est pas identiquement 
nul. 

Soit maintenant /((//), ..., ?/;-), ..., fr{ui^ ..., Ur) un système 
quelconque de /• fonctions indépendantes les unes des autres, et 
faisant partie de la même classe. 

On peut démontrer ce théorème : 



Supposons que les r variables ?/,, ..., Ur soient liées aux va- 



ii8 PUEMIÈIIE PARTIE. 

fiables 5,, s.>, ■■•, s,- pa/- les r équations 

fl(Ul, ...,llr) = Si, fo(Ui, ...,ll,.) — S.y, ..., fr{Uu ^^^,H■,■) = Sr^ 
Sl l'on fait abstraction de s)stè}nes particuliers (a,, s^, •••, Sr) 
qui ne forment qu^une variété {ir — lyème^ ^) chaque système 
de vcdeurs 5,, s^, •■•, Sr correspond une infinité de points 
(u,, ..., Ur) ne f casant partie, ni des points singuliers des fonc- 
tions y,, ...,fr, ni des points pour lesquels le déterminant fonc- 
tionnel 



duk 



(î, A- = i, 2, ..., /•) 



est nul. Mais, si nous gioupons les points [ut, ..., Ur) corres- 
pondant à un même système (5,, ..., 5,), de manière que deux 
points (u\, ..., u[.) et {u\, ..., u].) fassent partie du même 
groupe ou de groupes différents, selon que les différences 
?/', — ?/', , ..., u,. — u\. forment un système de périodes des fonc- 
tions f, ou non, « le nombre m de ces groupes est fini et ne dé- 
pend pas du système s ^, ..., s,, clioisi ». Je nomme ce nond)re m 
le degré du système de fonctions /', , . . . , /, . 

Ce théorème démontré, on en déduit les suivants : 

Désignons par f{u\, ..., u,) une fonction t.r fois pério- 
dique dont les systèmes de périodes contiennent tous ceux des 
fonctions f^, ...,/,.('). 

f est liée à fi, ..., /,. par une é([uati<)n irréductible dont le 
degré par rap/)ort à f est égala m ou à un di\'isru/' de m. 

Entre toutes les fonctions ir fois périodiques de la classe à 
lacpielle appartieni^ent f^, ..., /",., il y en a une infinité qui sont 
liées à f\^ ..., fr j>ar une écjuation irréductible de degré n\. Si 
fr^\ désigne l'une de ces fonctions, fiui^ ..., Ur) peut être ex- 
primée rationnellement en fonction clefi,f.y, ..., /',-^|. 

Les dérivées de /(, ...,fr+t i^onl partie de la classe de ces fonc- 



(') Il n'csl point dit que les sjslèmes de pciirnirs <lf / lu- (■uiilirmicnl i|uc coux 
fies fonctions/,, ■..,/,.. 



on a aussi 



MÉLANGES. 119 

lions. Si, donc R, R(, ..., R;- désignent des fonctions rationnelles 
de/i, ..., j'r^\^ et si l'on pose 

/=R(/„ /„..., /,+,), 

On peut élimier /, ,/2i ••■■,fr+\ entre ces (/•+ i) équations et celle 
qui lie f,^.i à /{,/•>, •••■, fr- On obtient ainsi, en général, fk ex- 
primée en fonction rationnelle de 

C'est le théorème que j'énonçais en commençant. 

Je n'ai point recherché les conditions auxquelles doit satisfaire 
R(/, , ...,/r+\) pour que /i , ..., /,+{ puissent être vraiment ex- 
primés rationnellement en fonction de / et de ses dérivées 

AL, ..., AL. 

àui du,. 

C'est pourquoi j'ai dû modifier l'énoncé donné dans les Monats- 
berichte. 

Le premier de ces théorèmes, qui permet de donner la défini- 
tion du degré d'un système de r fonctions ir fois périodiques, 
indépendantes les unes des autres et faisant partie de la même 
classe, est le plus difficile à démontrer. Cela vient principalement 
de ce que, pour /'^i, il existe dans le domaine de («,, ..., Ur^ 
des points singuliers où les fonctions y,, ..., y^.,., sont toutes ou en 
partie indéterminées. 

Si tu veux bien me permettre de continuer à le communiquer 
mes résultats, je l'exposerai, dans une autre Lettre, la voie que 
j'ai suivie pour démontrer les théorèmes énoncés. Elle n'est point 
courte, il est vrai, mais je crois les démonstrations parfaitement 
rigoureuses. Elle m'a, d'ailleurs, amené au but que j'avais en vue 
dès le début de mes recherches : montrer que toute fonction 
y(//,, ..., Ur) de r espèce considérée peut être er primée ration- 



120 PREMIÈRE PARTIE. 

nellement à Vaide cVun cei^tain nombre de fonctions 

ayant toutes les mêmes modules, et dont les argum.ents i'i, •••> ^V 
sont fonctions linéaires et homogènes de ?/,, ?/o, ..., Ur- 



SUR LES INTÉGRALES ALGÉBRIQUES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES ; 

Par m. COURSAT. 
Soit 

' dx^ dx "^ 

une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients 
rationnels; si l'intégrale générale de cette équation est une fonc- 
tion algébrique, il est clair que, entre deux intégrales quelconques, 
il existera une relation algébrique à coefficients constants. Mais 
la proposition réciproque n'a été, du moins à ma connaissance, 
établie nulle part ; je me propose de montrer que, sauf des cas 
tout particuliers^ quand deux intégrales distinctes de l'équation (i) 
sont liées par une relation algébrique, ces intégrales sont elles- 
mêmes des fonctions algébriques de la variable x. 

Soient donc j>'4, j'o deux intégrales linéairement indépendantes 
de l'équation (i), liées par la relation F(jKi, JK2) = o> où F désigne 
une fonction entière à coefficients constants. Des deux équa- 
tions 



(') Pf)iir la dcfinilion des fondions 5 (f,, . . ., k\), romparc/ : Jiniriuil fiir M(i- 
thematik, f. LWXl, p. 170. 



MÉLANGES. 

on lire 

^^^2 dfi d.-Y\ dy, 
dx^ dx dx''- dx 

(4) b— -i 7 

«ri _ dy^ 



D'ailleurs, 


si l'on considère jo comme une fonction de /(, 


on a 




dy. 




dy. 


dx 




dy\ ~ 


dyi 
dx 

d^ y, dy^ d^Vi dy^ 




d\y. 


dx^ dx dx"' dx 


• 


dy\ " 


\dx) 



el la relation (4) devient 

dy. 



lA(K.Y_ 


7' ''dy, 


b\dx) 


d\y2 




dy\ 



Désignons par u l'expression contenue dans le second membre; 
// sera liée à )', par une relation algébrique à coefficients constants 
fi^u, Vk) = o, qu'il sera facile de calculer en partant de la relation 

La fonction Vi de x vérifiera donc les deux équations différen- 
tielles 



différentions les deux membres de la dernière par rapport à x, et 
dx 



dy 
divisons par -f^- On obtient une nouvelle relation 



d'^ Yi f dh dy, b du 

d.r- -2 dx dx :>. dv. 



192 PREMIÈRE PARTIE, 

qui, combinée avec l'équation (3), nous donne 

cib\ dvy ,, (du 
1 ah — -j- -5— = b- -j— — 2 ji 

Enfin, si l'on compare cette dernière avec Téquation (5), on 
obtient la relation 

/ , dh\^ (du 
(6) (^^'^-Z^J J^-^-^" 



lab f-] 

dr ! , , . 
ne se réduit pas a une quantité constante, en 

éliminant 11 et -y-^ entre l'équation (6) etles équations /"(//, j',) = o, 

— — i- -4- — ; — = o, on sera conduit à une relation aloébrique entre 
^r, ' àa dy, ' ° ^ 

X et jKi- \^ intégrale générale de V équation (i) est donc une 
fonction algébrique. 

M. Appell a montré {Annales de U Ecole Normale, t. X, p. 4 18) 
comment on pouvait reconnaître l'existence d'une relation algé- 
brique entre deux intégrales linéairement indépendantes de l'équa- 
tion (i), et comment on pouvait calculer les coefficients constants 
qui entrent dans cette relation quand on se donne les valeurs ini- 
tiales de ces deux intégrales et de leurs dérivées premières, pour 
une valeur de x qui ne coïncide pas avec un point singulier de 
l'équalion différentielle. On pourra donc, dans ces cas, trouver 
l'intégrale générale de l'équation (ij par de simples éliminations. 

/ db\- 
[ 2ab J— 

Les conclusions précédentes sont en dclaut si -^ -j-^ — ne 

contient pas x', mais, dans ces cas, il est aisé de reconnaître que 
l'intégralion de l'équation (1) se ramène à des quadratures. Suppo- 
sons d'abord ([ucl'on ait -^ '.iaO = o; alors l'équalion (1) admet 

les deux intégrales 

^1-, =r sill[ç(,r)], V'2=:COs[(i(a-)], 
OÙ 



MÉLANGES. 123 



Entre CCS deux inlégralcs existe la relation 



Si l'on a 



/^_2«/,) ^A^,3 



x^fij^) de façon à annuler le coefficient de -V' l'équation (i) 
devient 



h étant différent de zéro, en faisant un changement de variable 

I 

elle admet les deux intégrales 

/VA. V' (s'il, 

/', et i\ désignant les deux racines de l'équation 
hi{r — i) — 4 = o- 

Il y aura une relation algébrique entre r, etio^ si les deux ra- 
cines de cette équation sont commensurables entre elles. 

Ces cas exceptionnels écartés, je remarque que les considéra- 
tions précédentes s'appliquent sans modification à des équations 
différentielles linéaires du second ordre d'une forme plus générale 
que l'équation (i) : ce sont les équations 

d^z dz 

où cp(x,_r), <^{x,r) désignent des fonctions rationnelles de x et 
de j>-, y étant liée à j:: par une relation algébrique F(j^, r) = o. 
De pareilles équations ont été considérées par M. Appell dans di- 
verses communications. La méthode précédente prouve que, s'il 
existe une relation algébrique entre deux intégrales d'une équation 
de cette forme, l'intégrale générale est elle-même une fonction 
iilg(''bri(jne. Si le genre de la relation F(.r, )) =o est égal à l'unilé, 
alors .r et r peiivcnl s exprimer par des (oiiclions uniformes dou- 



1^4 PREMIÈRE PARTIE. 

blement périodiques d'un paramètre <, et l'intégrale générale est 
elle-même une fonction algébrique de sinam^. 

Enfin, je ferai remarquer que la même méthode s'applique à 
toute équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients 
quelconques, quand on connaît une relation, algébrique ou non, 
entre deux intégrales distinctes de cette équation. Elle permet de 
former l'intégrale générale par des différentiations et des élimi- 
nations, sauf, bi-en entendu, dans les cas exceptionnels que j'ai 
signalés plus haut. 



CO.Ml'TKS HKNDUS Kl" AN\i.VSi:s. 



COMPTES RENDUS ET W VEYSES. 

KLEIN (F \ — Ueber Riemann's Théorie der algebr^ischf.x Fi.nctioxen 
i>D iiHiER Intégrale, eine Ergiinzung der gewuhnlichen Darstellungen. — 
Leipzig, bei Tcubner, 1882. 

Dans le semestre d'hiver 1 880-1 881 et dans le semestre d'été 
1881, M. Félix Klein s'était proposé de traiter, dans le Cours dont 
il est chargé à rUni\ersité de Leipzig, la théorie des fonctions à 
un point de vue spécialement géométrique. Etudier à fond la 
première partie du Mémoire de Riemann sur la théorie des fonc- 
tions abéliennes, montrer comment des considérations empruntées 
à la Phvsique permettent de se faire une idée assez nette et assez 
précise de l'emploi du principe de Dirichlet par Riemann, donner 
enfin aux étudiants une idée claire et exacte de ce que Ion doit 
entendre par surfaces de Riemann, tel est le but que M. Klein 
s'était proposé; tel est aussi le sujet de ce petit li\rp, où il a ré- 
sumé et ordonné les leçons de ces deux semestres. 

Premiehe Partie. 

Co/isidérations pic liminaires. 

J. Emploi des courants stationnaires dans le plan pour lu 
représentation des fonctions de x -h / r. — Soit 

il- = « — i\\ z = .r — /i-. ir =r f(z ), 



on a 










(I) 




~" i)r' 


ait _ 


cj.r 


et, par suite, 










(i) 




f)- u 


f)-U 






O.r- 


ilr- 





et de même 










'3) 




lir- 


i)y- 


= 0. 



On considérera u comme un potentiel de l'ifesse {^Geschwind- 

fiitll. des Sciences mallieni.. >" si'rio, 1. \\. (Afai 188;!.) 10 



126 PREiMIËRE PARTIE. 

• 7 • • i\ du du ^ -, , , 

igkeitspotential)^ en sorte que y-? ^ sont les composantes delà 

vitesse avec laquelle un fluide se meut parallèlement au plan XY, 
L'équation (2) exprime alors que le courant est statio/inaù'e. Les 
courbes u = const. seront appelées courbes de niveau, les courbes 
r=z:const., qui, d'après les équations (i), sont orthogonales aux 
précédentes, sont les courbes de courant. 

La fonction // + à' ainsi représentée est seulement déterminée 
à une constante près. De plus, les équations (i), (2) et (3) demeu- 
rent invariables quand on remplace u par v et v par — u. On est 
donc conduit à considérer un second état stationnaire où le poten- 
tiel de vitesse est c et où les courbes du courant sont u = const. 
On a ainsi la représentation de la fonction r — ui, et nous dési- 
gnons le courant correspondant sous le nom de courant conjugué. 

c • ■ dw d- (ï' . ^^ d'^ w , 

bi, au point Co; -71 ' "TTT' • • • ' jusqu a — r^ sont nuls, ence point 

Cl ^ Ct^" Cl ^ 

(a + i) courbes u ■= const. se coupent en faisant des angles égaux, 
et autant de courbes c = const. viennent bissecter ces différents 
angles. 

Un point de croisement de multiplicité supérieure peut être 
considéré comme la limite de plusieurs points de croisement 
simple. 

2. Considérations des points où w =/\:-) devient infini. — On 

suppose que le courant diff'érentiel —r ne possède aucune position 

singulière essentielle, ou, ce qui revient au même, que «r ne peut 
devenir infini que comme une expression de la forme 



^z — ^0) (-^ — -3o )'" (^ — -^o)^ 

V étant un nombre fini déterminé. 

On a donc à considérer différentes sortes d'infinis ; inlini loga- 
rithmique, infini algébrique de multiplicité un, etc. 

Voyons ce qui, dans la représentation par des courants, corres- 
pond aux difi'érents cas. 

Considérons d'abord un point d'infini logarillumque 

w = k log(i; — ;;„)-l- C-f- G,( ^ — ^o)-^ GîCx: — Co)2-h. . . ; 
■xS.i~ est le lésidii icKilir.'i ce i)()iiil. 



COMPTAS UKNDUS KT ANAI,VSKS. i>- 

Sl A est réel, les courbes de niveau sonl, dans le voisinage de^„. 
de petits cercles; les courbes de courant, des ravons parlant de ce 
point. :: = ^0 est une source, et Ton trouve, pour son rcndcnienl, 
le quotient par i du résidu. 

Si A esl purement imaginaire, les deux systèmes de courbes se 
permutent; on dit alors qu'il y a au point ^o ufi tourbillon. 

Pour les jîoints d'infini algébrique d'ordre i, les courbes 
u = const. et r = const. sont, dans le voisinage du point z^t, de 
petits ovales. La l'onction u prend, dans le voisinage de ce point, 
une valeur quelconque. 

3. Fonctions rationnelles et leurs intégrales. Déduction c/es 
points (V in fini (Vordre supérieur de ceux d'ordre moindre. — 
Soit 

a- -^^"^^ 
"'-^(1)' ■ 

<I> et ^r étant de degré n. En comptant chaque point avec son ordre 
de multiplicité, on peut dire qu il v a n points d'infini algébrique 
et o.n — 2 points de croisement. 
Si Ion considère l'intégrale 



.1 nu:. 



'\l.. 



pour qu'elle reste finie pour c = ce , il faut que le degré de $ soit 
de deux, unités inférieur à celui de T; $ = o donne les points de 
croisement libres (c'est-à-dire qui ne coïncident pas avec des 
points d'infini). Si l'on compte chaque point d'infini aussi souvent 
que l'indique la multiplicité du facteur correspondant de W, l'en- 
semble despointsde multiplicité est inférieur de deuxiiniti'S à celui 
des points de croisement. 

La considération des Iractions rationnelles et de leurs intégrales 
permet de déduire de singularités connues des singularités plus 
élevées. 

A. Réalisation expérimentale des courants considérés. — Si 
l'on admet le principe de la superposition des singularités, il est 
évident que la seule question à se proposer est celle de la réalisa- 
tion des formes de monvcmenl et des singiilaiiti's les plus sini- 



li-S PRE-MIERE PARTIE. 

pies. On est amené ainsi à considérer les deux tvpes suivants : 

Aloiïl^ — -0 ) et ■ 

x\ii premier, et pour ne pas avoir à considérer ;; = x , on sub- 
stitue 

A iog 5 

^ z — ^1 

qu'on divise d'ailleurs en deu\ parties, en posant A = a -7- in. 

r'Alog^^ ^' En ^0 on a une source de rendement 2.4.7:, en;, 

une autre de rendement — 2At:. On n'a qu'à mettre en z^ et en ;, 
les deux pôles d'une liatterie galvanique d'une force choisie con- 
venablement pour réaliser un tel mouvement. 

2' /filog^^ '^ ' La chose est plus dilficile à réaliser. On peut 

supposer ^o l'elié à z, par une courbe qui ne se coupe pas; cette 
courbe doit être le siège d'une force constante électromotrice. Les 
points .^0 et ^i seront alors des points à tourbillon. 

Les formes de mouvement correspondant à ^; ^-,^ pourraient 

se déduire des précédentes. On s'appuie sur ce que, en faisant 
coïncider des points d'infini logarithmique pour lesquels la somme 
des résidus est nulle, on olitient un point d'infini algébrique. 

o. Passade siii' ht sphino. Courant sur une surface courbe 
(juelconque. — On peut évidemment, dans tous les développe- 
ments précédents, substituer au plan une sphère dont le plan serait 
la projection stéréographique, et alors il est tout à fait inutile de 
parler de la valeur ; = ce . 

On peut considérer aussi des mouvements stationnaires sur une 
surface quelconque. Soit u une fonction de lieu sur cette surface, 
on trace les courbes // = const.. et l'on imagine que le lluide se 

meut norniiilenieiit a ces courbes avec une vitesse ecjaJe a -p-? en 

^ du 

désignant par dn l'élément d'arc de la direction normale sur la 
surface; u sera encore appelé potentiel de vitesse. A // corres- 
pond imc autre fonction r; les propriétés de //et v sont récipro- 
(lurs. iJi's loi-.. Mvanl // et r. on appelle l;i (■oinbinai'^oM // -— /f 



COMriKS lU'.NDLS ET ANALYSES. 129 

Ibnction complexe du lieu sur la surface, (^iiarid une surface est 
appliquée conformément sur une seconde, Loule fonction com- 
plexe du lieu sur la première surface se transforme en une fonction 
complexe de même espèce sur la seconde. 

6. Connexion de Ui théorie précédente avec V étude des 
fonctions complexes d' une variable. — Les différentes fonctions du 
lieu que l'on étudie sur la splière sont des fonctions de la variable 
x-\-iy. Mais cela tient à un fait plus général : deux fonctions 
complexes du lien sur une surface quelconque sont fonctions l'une 
de l'autre, dans le sens habituel attribué à cette expression dans 
la théorie des fonctions. Enfin, si, sur deux surfaces, on connaît 
deux fonctions complexes du lieu et si l'on rapporte les surfaces 
Tune à l'autre, en sorte que, aux points correspondants, correspon- 
dent aussi des mêmes valeurs de la fonction, les deux surfaces 
se trouvent par là-même rapportées conformément Tune à l'autre. 

11 est évident que les théorèmes énoncés sont relatifs à des por- 
tions de surfaces; nous verrons plus tard ce qui arrive quand on 
considère dans leur entier des surfaces fermées. 

7. Encore une fois les cou/r/nts sur la sphère. Exposé général 
de la question de Rieniann. — On appelle courants unifornws 
ceux pour lesquels, en chaque point de la sphère, il n'y a qu'un 
courant. Les courants considérés, pour lesquels n'existe d'autre 
genre d'infini que ceux qui ont été définis dans le n" 2, sont les 
courants uniformes les plus généraux qui existent sur la sphère. 
On peut se proposer de suivre un chemin tout différent de celui 
qu'on a suivi dans le premier Chapitre : commencer par l'étude des 
courants et développer ensuite la théorie de certaines fonctions 
analvtiques. M. Klein substitue ainsi à l'emploi du principe de 
Dirichlet, qui formait la base de toute la théorie de Riemann et 
que Riemann avait probablement été conduit à employer par des 
considérations physiques, ces mêmes considérations physiques. 

Mais, au lieu de se borner à la sphère, on peut évidemment 
prendre la question à un point de vue plus élevé et s'occuper des 
surfaces fermées. Sur ces surfaces nous aurons des courants uni- 
l'ormes, des fonctions complexes du lieu dont la comparaison nou.-> 
fournira luiiiiils théorèmes d'AnaKse. 



i3o PREMIERE PARTIE. 

Deuxième Partie. 
Exposition de la théorie de Ricmann . 

8. Classification des surfaces fermées d'après le nombre p. 
— Un des caractères principaux pour une surface est le nombre 
que Riemann a désigné par la lettre p et qui iudique combien on 
peut faire dans la surface de sections linéaires fermées, chacune 
d'elles formant une courbe sans point double, sans que la surface 
se sépare en plusieurs morceaux. Pour la sphère, p = o. 

Pour que deux surfaces puissent être rapportées univoque- 
ment l'une à l'autre, il suffit que les deux surfaces aient le 
même/». 

Comme tvpe de surface du genre p on peut prendre une sphère 
avec/> anses. Relativement à chacune des anses, on peut considérer 
deux sections linéaires (jue, par analogie avec le cas du tore, on 
appelle courbe méridienne K[ et courbe parallèle^i. Dès lors on 
peut supposer la surface normale de genre p coupée par ip 
courbes, p méridiens et y> parallèles, toute autre section allant d'un 
poiut du bord à un autre point quelconque du bord, la décompo-' 
sant alors en plusieurs morceaux, deux au moins. 

9. Détertnination première des courants stalionnaires sur 
une surface donnée. — Eu ne considérant (pie des infinis tels 
qu'il a déjà été dit (n° 2), et en exigeant que la somme de tous les 
résidus logarithmiques soit nulle, on a sur la surface que l'on con- 
sidère des fonctions complexes du lieu, qui deviennent infinies 
eu des poinls donnés quelconques, et d'ailleurs d'une laron donnée 
qiielcontpie. Partout ailleurs la fonction est conlinue. 

On peut concevoir sur la surface des courbes fermées qui ne 
décomposent pas la suilace et d'où part dans un sens le lluitle 
pour revenir dans l'autre ; on obtient ainei des courants (pii, en 
général, ne possèdent pas de discontinuité; on a par suite ainsi des 
fonctions partout finies. Toute courbe feruiée tracée sur la surface 
est équivalente à une conibiriaison de courbes \/ et de courbes 
B/. Il en résulte que la fouelion la plus génc'rale (pic Ion puisse con- 
struire, et (pii soit partout finie, est celle dont la partie réelle pus- 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. i3i 

sède, relalivemcnt aux a/> sections normales, des modules de 
périodicité donnés quelconques. 

10. Courant stalionnaire le plus général. Démonstration de 
V impossibilité de courants d^ autre espèce. — La fonction de lieu 
la plus générale est ainsi définie : en des positions données quel- 
conques, la fonction devient infinie (avec les conditions données 
relativement aux infinis); déplus, sa partie réelle possède aux 
ap sections normales des modules de périodicité quelconques 
donnés. C'est là la fonction la plus générale qui, sur notre surface, 
réponde à un courant uniforme. Cela résulte de ce qu'il n'y a pas 
de fonction qui ne devienne nulle part infinie et pour laquelle les 
modules de périodicité de la partie réelle soient tous nuls. 

11. Exemples de courants. Courants sur le tore et le double 
tore. — En général, le nombre des points de croisement est 
u + 'ip — 2, en désignant par a le nombre des infinis logarith- 
miques. 

12. Sur la formation de la fonction complexe de lieu la 
plus générale au moyen de fonctions simples — Considérons 
d'abord les fonctions partout finies. On peut toujours de bien 
des manières trouver ip potentiels linéairement indépendants, 

Ui, «2, • .., K-lp-, 

tels que tout autre potentiel partout fini peut être formé linéaire- 
ment avec ceux-là, 

u = Ui iti -i- «2 ?/2 + • • •+ «2/< if-ip -+- A. 

Des /// on peut déduire les Vi en prenant, par exemple, sur la 
surface un système de coordonnées x^ )■ tel que u et v soient reliés 

par les équations 

à II _ f)i> au àç 

<Jx ôy ûy à,r 

* 
et cela en sorte que l'on obtient enfin a/) ])otentiels linéairement 

indépendants : 

nu l'i, 1(2, t'2, "/), t'/'- 

En posant Uy, + 'V^. = iV-x. nu ohliont /> fouctinns iiailoiil iinie> 



i3i PREiMIÈRH l'AUTlK. 

et linéaireuienl indépendanles 



Une fonction quelconque partout finie peut être dès lors consti- 
tuée au moyen des fonctions iv sous la forme 

n- = (', U] -I- Ci a-.2 — . . .-^ Cp iv p -;- C. 

Si maintenant nous avons une fonction avant des infinis, elle 
pourra être mise sous la forme 

F, — Fo — - • •— F,^-^ Cici'i — fo (ro — . ..-^CpiVp-^ C, 

F, étant une fonction qui est infinie comme la fonction proposée 
au point ç, et qui a de plus, en un point pris quelconque j>', un 
point logarithmique dont le résidu est égal et de signe contraire au 
résidu de la fonction donnée correspondant au point c. y relatif. 

13. Plurnoquie de nos Jonctions. Considération pcuticitlière 
des fonctions univoqites. ■ — En général, deux chemins dilTérents 
(c'est-à-dire non équivalents) conduisent à deux valeurs dififérentes 
de la fonction, quand on part d'une même valeur. Cette différence 
est composée de modules de périodicité correspondant aux points 
logarithmiques et des modules A/ et B/. 

On aura des fonctions univoques lorsque l'on astreindra tous les 
points d'infini à être algébriques et tous les A/ et B, à être nuls. 
Supposons que tous les infinis algébriques soient simples et dési- 
gnons par m leur nombre ; en représentant par Z, une fonction 
devenant simplement infinie au point d'indice ;, on aura, pour la 
forme générale des fonctions avant les m infinis donnés, 

a l'Ai — rt.Zo —...-- <'//«Z/« — fi»i — . . . - Cpi\p~.- G. 

Si on assujettit les A et les B à être nuls, on trouve qu'il ne 
])eut V avoir de fonctions univo(pics du lieu (pie si Z = /> -j- i, et 
abus ces fonctions contiennent /// — /> -f- i constantes linéairement 
indépendantes. I^'cnsemble de ces fonctions exislanl sur la sur- 
face considérée foi'me donc un continuiin} à Mn — p - i dimen- 
sions et la fonction Il -\- i^' peut iircndic une valeur donnée (juel- 
<;(iiiqii(' //„ • /»„ |>récisi''nieiil ni /// posilioiis. 

1 i. Siirfdcrs 1)1 diiiaiics de liiemann sur le jdaii .r ;- / r. — ( )ii 



COxMPTES lU'NDUS ET ANALYSES. i3i 

peul iii;iirer sur un plan la distribution des valeurs de la fonction 
que nous appelons alors x -^ iy au lieu de a -\- iv. On obtient ainsi 
à la fois une applicalion conforme de notre surface sur le pi ni, et 
aussi les surfaces à j)lusieurs feuilles et à points de ramification 
que l'on appelle 5////'rtce5 de Riemann. Dans les conditions indi- 
quées précédemment, la surface a m feuilles; à un point de croi- 
sement d'ordre v, v H- i feuilles se trouvent reli es en sorte que, si 
l'on tourne autour de ce point, on passe de la première feuille 
dans la deuxième, de la deuxième dans la troisième, ..., de la 
(v-l-i)""™'^ dans la première. En ces points la conformité ne 
subsiste plus. On voit dès lors le passage immédiat aux surfaces 
recouvertes de plusieurs feuilles. 

On reconnaît aussi que le nombre yy, ainsi que les modules de 
périodicité, sont des choses essentielles, tandis que la position et 
le mode d'existence des points de ramification ne sont que des 
faits secondaires. 

lo. L'anneau, p= i, e/ la surface à deux feuilles et quatre 
points de ramification sur le plan. — Dans le cas du tore, 
M. Klein effectue réellement lapplicalion sur le jilan, 

10. Fonctions de x -h iy cjiii répondent aux courants étudiés. 
— Soit i\" une fonction complexe de lieu fpii sur notre surface est 
aussi bien que x -\- iy univoque; w est une fonction algébrique de 
;. r/équation irréductible /"(iT', :;) = o entre ti' et :; est en w du 
/«""'"*■ ordre et en c du /?'''"'". 

De plus, (V, donne une nouvelle fonction univoque sur notre sui'- 
face, a'i est une fonction rationnelle de (\' et z, et réciproquement 
toute fonction rationnelle de (\" et z- est une fonction de même 
caractère que ^v^ . 

Si l'on considère les fonctions plurivoques sur la surface, on 
trouve qu'une telle fonction ^\ est de la forme 

W = j !',( u,. z\dz, 

et la réciproque est vraie : toute intégrale de cette espèce repré- 
sente sur la surface une fonction du lieu. 

17. I^ortéc cl signification de nos considérations. — Il résiillc 



i3i PllKMIÈUE PARTIE. 

des développements précédents que, en fait, c'est Fensenible des 
fonctions algébriques et de leurs intégrales qui s'est présenté dans 
les recherches de M. Klein. On a vu combien des considérations 
physiques simples se prêtaient facilement à l'étude des caractères 
fondamentaux des fonctions. On reconnaît aussi, inversement, 
dans la théorie de Riemann, un moyen de simplifier l'étude ana- 
lytique de l'application conforme des surfaces fermées l'une sur 
l'autre. 

18. Extension de la théorie. — Au lieu de considérer seule- 
ment des surfaces applicables l'une sur l'autre conformément, on 
peut prendre également toute surface qui, par une déformation 
continue, peut se transformer en la surface donnée, et plus géné- 
ralement tout composé géométrique dont les éléments correspon- 
dent univoquement et d'une façon continue à ceux de la surlace 
primitive. Les surfaces normales considérées (n° 8) constituent un 
exemple de la première correspondance; les réseaux polygonaux, 
bien des fois employés par M. Klein [Math. Annalen, XIV), par 
Al. Dyck {Mat II. Annalen, X\ II), fournissent des exemples du 
second mode de représentation. 

TuoTSii:MK Partir. 
Conséquences. 

19. Sur les moclales des équations (d^'éù/iques. — M. Klein 
s'occupe maintenant de la détermination des modules des fonc- 
tions algébrifjues, c'est-à-dire de la détermination des constantes 
qui jouent dans les transformations univoquesrelativesà/((ï',^) = o 
le rôle d'invariants. Il démontre que le nombre des modules est 
égal à o pour yj = o, égal à i pour/> = i, et à 3/> — 3 pour 

20. Application conforme des surfaces' fermées sur elles- 
mêmes. — Jl y a à distinguer deux sortes d'applications : l'une 
dans laquelle le sens des angles est conservé, l'autre où il v a pour 
ainsi dire réilcxion des angles : applications de première et de 
seconde espèce. Les surfaces pour lesquelles /> = o ou /> = i peu- 
vent d'une infinité de mauières être représentées conforntément 
sur elles-mêmes par dc> applications de |)remièrc espèce ; pour 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. i3J 

des surfaces à /? >- i , cela est impossible. Si/> = o, Tapplicalioii de 
première espèce se trouve définie quand on détermine les trois 
points correspondants à trois points donnés. Si p^=.\, on {)eut 
iaire correspondre à un point quelconcpie de la surface un second 
point à volonté, et, en général, il y a encore deux modes d'applica- 
tion ; dans un cas particulier, il peut y en avoir quatre ou six. 

Pour les surfaces de p ^ o, il y a une infinité de transforma- 
tions de seconde espèce qui peuvent les appliquer conformément 
l'une sur l'autre ; si/> =. i , il n'y a plus en général de telle transfor- 
mation ; de même poury; > i . Il n'y a exception que si Ton a des 
surfaces symétriques. 

!21. Examen particulier des surfaces symétriques. — On dit 
que l'on a affaire à des surfaces symétriques quand il y a des trans- 
i'ormations qui font correspondre par couples les points delà sur- 
lace. Certains points dans ces transformations restent fixes et con- 
stituent les courbes de passage [Uebergai^gscurveti). Le nombre 
de ces courbes ne peut jamais être plus -grand que p -r- i . A. ce 
genre de recherches se rattachent les travaux de M. Dyck {^AlatJi. 
Annalen, XVII), de INI. Cayley [iùid., XV), etc. 

22. Application conforme de différentes surfaces V une sur 
Vautre. — Les surfaces p ^= o peuvent toujours être appliquées 
conformément l'une sur l'autre. Si/> >> o, pour qu'il puisse y avoir 
application conforme des deux surfaces, il y a pour /? ^ i deux 
équations de condition entre les constantes l'éelles des surfaces; 
pour/) >> I , il y en a idp — 6. Si l'on a affaire à des surfaces svmé- 
triques, le nombre des conditions diminue; si /> = i , il suffit que 
les deux surfaces aient le même invariant; si /> > i , il n'y a plus 
à écrire que ?>p — 3 équations entre les constantes réelles des sur- 
faces. 

23. Su/faces limitée^ et surfaces doubles. — IM. Klein, dans 
ce jjaragraphe, montre comment les considérations précédentes 
peuvent être étendues à des surfaces limitées par des bords (licf/a/- 
curven) et aux surfaces doubles ou à un seul cê)té. Il montre alors 
les liens qui rattachent sa théorie à la méthode de Schottky 
( Borchardt's Journal, I3d. 83) et à celle de Schwarz [Leber die 
. \ bbildun g gesc/ilossener Polycdc/fltic/ic/i au/ die /\ff gel [fier- 



lîf) PHEMIËUE PAUTIE. 

liner Mo/iafshe/ic/ite, i86,5, p. i5o el suiv., et Boiclutrdt's 
Journal, Bd. 70; p. lai-iJ^; Bd. 7o, p. 33o]. 

24-. Remarque finale. — M. Klein ne s'est occupé dans le Cha- 
pitre précédent que de la correspondance nnlvoque établie entre 
deux surfaces au moyen de l'application conforme. Riemann avait 
aussi pensé aux correspondances plurivoques. On devrait imagi- 
ner les deux surfaces à examiner avant plusieurs feuilles et appli- 
quer conformément l'une sur l'autre ces deux surfaces à feuillets. 
Les points de ramification que peuvent posséder ces surfaces fourni- 
raient dé nouvelles constantes complexes dont la considération 
serait nécessaire. Un cas particulier a d'ailleurs été effectivement 
traité dans le n" lo de ce Mémoire. 

On voit dès lors, sans avoir traité à fond cette question, comment 
elle se rattache aux autres spéculations de Riemann avant rapport 
à la théorie des fonctions etdontll a été question dans le Mémoire 
de M. Klein. G. B. 



MELANGES. 

NOTE SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS DE JACOBI 
A PLUSIEURS VARIABLES; 

Par m. C. WEl li RSTIi ASS. 

I Séance du 4 mai 1SS3 da l'Académie de Berlin.) 



Tradiu'lidii publiée avec l'aiilorisatioii de raiilriii-. 
Par m. J. Mdl.K. 

La fonction <7(?f I (oco'), (pie nous désigtierons simplemciil par 
a-(//,), satisfait à l'équation 

i T( Il -- Ht ) 7( a Ui I 7( U-x -'■■ »3 )7( II, 11,1) 

(l) ■ — m II -ll-î) 'Ji II — 11-2) Ti ll.i - lll > ^i ll:i — H\ ) 

' 71 II - //:, ) 7( Il — ll.i ) 7( lli ~ //2 > "' "1 lli) ^ n i ^ ), 

II. Uf. u-,. Il -^ d(''sign;uit (pcilic (punit ili'-s (piclcoinpies. 



(') M. Weicrslrass dcsigiic par 3( m) une IVniction aiialvlitiue uuivi>([iic. a>aiil. 



M f: LANGES. ,3; 

J'ai démontré ce lliéorème, pour la première ibis, en iMfia, dans 
mon cours à l'Université de Ikriin. 

La nature de celte équation est bien dilFérente de celle des re- 
lations découvertes par Jacobi, entre les produits de fonctions S" 
prises quatre à quatre (page 007 du tome I de ses OEinrcs com- 
plètes). Elle ne contient qu'^//^e .v^w/e fonction, tandis que cha- 
cune des équations de Jacobi, que l'on peut d'ailleurs en déduire, 
contient deux ou plusieurs fonctions Sr. 

On sait que des relations, analogues à celles que Jacobi a trou- 
vées entre les fonctions Sr à un argument existent aussi entre les 
fonctions "^ à plusieurs arguments. Par contre, je ne crois pas que 
la généralisation suivante de l'équation (i) ait été jamais exposée. 

La fonction <3-(;/) peut être exprimée à l'aide de la fonction 
S^,(.r) de Jacobi, par la relation 

(2) <:{u) = Cea'"^Jj^(cu) 

C, a, c désignant, ainsi que q qui paraît dans ^i(j7), des fonc- 
tions déterminées de w, tù' , indépendantes de u. Il est d'ailleurs 
facile de vérifier que l'équation (i) a encore lieu lorsque Ton y 
remplace ^{u) par l'expression (2), en laissant les constantes 
^, a, c, C complètement arbitraires. 

Je définis de même une fonction a-(//, ;/', . . ., w'p~' ") de va- 
riables, en considérant une fonction impaire quelconque 37 de 
p arguments, 



pour toute valeur finie de soa argument, le caractère d'une fonction rationnelle, et 
s'annulant une fois, aux points 

W =z 2 IJLO) -T- 2 l-i-'w', ( |J:, [i' = 0, ±1, — 2, dr. . ., dz oo ). 

On suppose que la partie réelle de — . est positive. 

w i 

Cette fonction est impaire. Elle peut être représentée par une série entière, con- 
vergente pour toute valeur finie de u, dont les coefficients sont des fonctions ra- 
tionnelles entières de g,^ et g^, les invariants de la fonction C7, 

-L^ = V -L, 1^. -V' _!_. 

Comparez Formein itnd Lehrsàtze zum Gebrauche der elliptischen Funktio- 
nen, formules rassenil)lées et publiées par M. Scliwarz, d'après le cours de M. Weier- 
strass. 



i38 PREMIÈRE PARTIE. 

en y substituant à r, v', . . . , r'P~" des fonctions linéaires et homo- 
gènes de it, it', . . . , //^P~'^, dont le déterminant est différent de zéro, 
et en posant ensuite 

où 'l désigne une fonction entière et homogène du second degré 

de u^ u\ . . . k'-?'^', et C une constante ar])ilraire. 

Ceci posé, si /• = aP, choisissons arbitrairement /• + 2 systèmes 

d'arguments : 

//. Il', . . ., ?/'f-i', 

in. Il',, . . ., </',f^'' , 



.) ^(lli -i- I13, . . .^ 


1 . . . l( U,. 


-{- llr+i, ...) 


.) C7( Ui — U:i, . . . 


) ... 7(?/., 


■ — llr+u ...') 



"r+:^ "'r+l ";+,"' 

et formons le produit 

k T ( Il -+- U 1 
I .^(U — Ki 

OÙ, pour abréger, nous n'avons écrit que le premier argument de 
chaque fonction t. Permutons ensuite les indices i , 2, . . . , /• -j- i : 
de la manière suivante : Faisons d'abord parcourir à ces /' -f- 1 
indices un cycle complet; dans chacune des permutations ainsi 
obtenues, répétons la même opération avec les /• — i derniers 
indices; dans chacune de ces permutations, avec les /• — 3 der- 
niers indices, et ainsi de suite ( ' ) 

A chaque permutation correspond un produit (3) de i'onctions 
7; la somme de ces produits est identiquement nulle. 

La démonstration de ce théorème est facile. Il suffit de rempla- 
cer dans le produit (3) chaque facteur par la série qui le repré- 
sente; on peut alors translbrmer cette expression en une suite de 
produits dans lesquels chaque l'acteur ne dépend (pic de l'un des 
systèmes d'arguments considérés, l^ermulant alors les indices 
I, 2, ...,/■+ I de la manière indiquée, on voit que la somme des 
termes obtenus est identiquement nulle. 

(') Pour p = 2, par exemple, /• — \ elles permiilalioiis, ohlenncs p;ir le proeédé 
indiqué, sont 

I 234 ■>! 2 3 4 ô I, 3 4 ,') 1 ■.», 4 •' ' " •^" 5 1 2 3 4> 
I 2 4 J '^1 ■' 3 5 1 4' ■'' \ ' '-' -ï' ■\ •"• •' •' ' • •' ' '^ '\ '■'■' 
I 2 j 3 '(, ■! 3 :>. \ .'), 3 \ ■>. 5 I. '1 j !i I 2. .') 1 \ .< 3. 



MÉLANGES. 139 

Le nombre des termes de l'équation augmente lri;s rapidement 
avec p; il est égal à i, 3,5, . . . , (/' + i). 

Si l'on remplace ?/, ii' , . . . par ii^^, if\^, . . . , et si Ton pose 

et 

■^ ( <7(Uo-^Ui, ...) (7{U2-\- U3, . ..) ... r!(u,.-h Ur+i, . . .) } 

S = > ' ; 5 

-^^ ( ,7(f<0 — "1, . • •) =^("2 — «2, • • •) ••• '!{l(r— l'r+U '■•)) 

on voit que S^ „ = o et S^ = = — S. „, et l'on a identiquement 

S- = I S; A- 1 ( f, A- = O, 1 , . . . , /• -T- 1 ). 

On peut donc aussi démontrer le théorème énoncé, en prouvant 
que le déterminant 

I S,-^ I («, A- = o, T /•— 1) 

est nul pour des valeurs quelconques de Uq, //'„,...; ?/i, f/j, ... ; 
Mr+i, w^ + n* • •• ^^^ théorèmes connus conduisent à ce résultat ('). 
Remplaçons dans l'équation S = o 

u, u , ... par u — —t u -^ i • ' • ', 



par Ux -■> u, 

2 



U,.+u «r+1 , • • • pat" "r-Hl + — ' "/■+! "^ Y ' * * ' ' 

nous obtiendrons 



(4)o=y 

.^^{.^{U Ui, 



.) . . . 1(11-2 — 113, . . .) 7{Ur U,.+ i,. 



la somme étant étendue à toutes les permutations indiquées. 

Dans la théorie des fonctions elliptiques on déduit des consé- 
quences nombreuses de la formule (1). Je laisse ici de côté les con- 
séquences non moins nombreuses que l'on peut déduire de la for- 



(') C'est Jacobi qui a, le premier, dounc une niélhode pour l'oriiier l'expression 
dont le carré est un déterminant de PiafT, et que M. Cayley nomme, pour cette 
raison, Pfaffian. {Zur Pfaff'schen Integration.sDielhode, l. 2 du Journal de 
Crelle.) 



j\o PREMIÈRE PARTIE. 

mule (4) par des méthodes analogues. Par contre, je désire appe- 
ler l'attention sur une question à laquelle donne naissance l'équa- 
tion S = o, et qui se rapporte à la théorie des fonctions. 

On peut démontrer directement, sans rien savoir de la fonction 
a-(;<), qu'il existe une fonction transcendante entière de la variable 
u, conlenant quatre constantes arbitraires, telle que l'équation (i) 
soit vérifiée lorsqu'on y remplace 3-(;/) par cette fonction. 

A cet effet, on cherche d'abord s'il est possible de satisfaire 
identiquement à l'équation (i), en y remplaçant 'y{if.) par une 
série entière; on voit alors que cette série ne saurait contenir que 
des puissances impaires de u, et que ses coefficients peuvent être 
exprimés en fonctions rationnelles et entières des quatre premiers 
d'entre eux, qui restent arbitraires. A l'aide de l'équation (i) elle- 
même, on démontre ensuite que cette série entière est conver- 
gente, quelles que soient les valeurs que Ton donne à la variable ii 
et aux quatre constantes arbitraires ; elle représente, par suite, 
une fonction jouissant des propriétés énoncées. 

bi maintenant nous posons 'f{i() = f-:, — ' nous tirons del e- 

qualioTi (i) la relation 






A 'i3( u ) ^ Bo2( u ) 4- Coin) -H D, 



où A, B, G, D sont des constantes. (]ette relation nous montre lu 
connexité des fonctions a- définies par ri'qualion (i ) avec la théorie 
des fonctions elliptiques. 

Mais alors on est amené à se demander s'il ne serait pas j)os- 
sible de démontrer directement, d'une manière analogue, l'exis- 
tence d'une fonction transcendanlc entière de p variables 
u, u', ..., u^^~*^, telle que l'équation ( 4 ) soit vérifiée lorsqu'on 
y remplace ^[f/, u' , . . ., //^P'^") par cette fond ion. 

Il suffirait également de montrer d'abord qu'il est possible de 
satisfaire identiquement à l'équation (4) en y remplaçant 
's[u, a' , . . . , //,fP"") par une série entière de //, //, . . . , //^P ". Sans 
doute l'expression des coefficicnlsde <;elte série, en fonclion diin 
certain nombre de constantes arbilraircs, se présentera sous une 
forme bien phis comj)liquée que dans li' cas d'une variable //. 
Ces coelficicnls sont,(;n effet, néressairenicnl des lonclions ;ilgé- 



MELANGES. fji 

hriqiies des conslanles arhiliairos ; cela lésultc déjà de rexistence, 
pour > 1, de plusieurs fonctions impaires 7(//, //', .... /<fp~'\) 
contenant les mêmes conslanles arbitraires et satisl'aisant à Téqua- 
lion (4); de 6 par exemple pour p z=^ i. Cependant le grand déve- 
loppement auquel est parvenu le mécanisme de l'Algèbre me permet 
de croire que le problème posé ne saurait être considéré aujour- 
iliiui comme impossil)le à résoudre. 



QUELQUES ERREURS RÉCEMMENT DÉCOUVERTES DANS LES TABLES 
NUMÉRIQUES. 

ÏNIonsieur et cher collègue, 

L n calculateur belge, M. \ . Fauvel, de Trazegnles, me Iransmcl 
la liste d'erreurs suivante dans divers recueils de tables : 

1. LiBESGUE. Tabh's jxjiir la décomposition des nombres en 
/(■ui s facteurs pi entiers^ \). \:\ : 

l\.:= 350,3(39,909 au lieu de 3 'Î9,66>. . . . 

"1. Thoman. Tables de hjgaritlimes à •î'j décimales pour As 
calculs de précision : 

Log 45, .)'■ tranche, lire (i3i()9, p. Ji, au lieu de ^^\'^Qc^, 

\\. Namir. Tables de lo<^a/itlimes à i >. décimales, cic. : 

Page 8, log 637 983 répond à '(34 'Î9'2 i()oH) cl non ;"i 
i34 i^^'i 1(3.509. 

Page 9, log (338 187 ré|)ond à 'i34(H)7'357352 et non à 
43469-357452; log(338i88 répond à 434^98 8^8 '.Si et non à 
134698858 38 1. 

Page 10, log"63833> ré[)ond à 43483'25 i()o9 3 d non i'i 

43483'a5i6393. 

i. Callet. Tables portati^'cs de logarithmes, etc., |). 211. 
ï.e 29^" et le 3o'^ cliiilre décimal du logarithme nc'pc'rK 11 de 10S7 
>onl 45 et non 54- 

Bull, des Sciences niathcni., !" s(''ric, 1. \1. (Atai if>>8>.) it 



t\2 PRExMlERE PARTIE. 

S. HoppE. Tafeln zur dreissiasteUi^en los^aritJnniscltoii JRec/i- 
nung, p. i3, T. III. 

La 31*^ figure du logarithme népérien de un centième esl 7 cl 
non 9. 

Veuillez agréer, Monsieur et cher collègue, mes salutations 
distinguées. P. Maasion. 

P. S. M. Fauvel m'a envoyé tous les calculs à l'appui. 



SUR L'INVENTION DE LA PREUVE PAR NEUF; 
Pau m. Paul TAN.NERV. 

Il est suffisamment établi que la preuve par neuf nous vient 
des Arabes, et au moins très probable quelle a été empruntée par 
ceux-ci aux Hindous, comme le témoignent Aviccnne et Maxime 
Planude. Supposer qu'elle fût connue des anciens Grecs semble 
d'ailleurs, à première vue, une hypothèse difficile à soutenir; 
comme ils emplovaient en effet des caractères spéciaux pour repré- 
senter les dizaines et les centaines, il leur eût fallu, [)Our pratiquer 
la preuve en question, substituer mentalement à ces caractères 
leurs correspondants dans la série des unités, leurs pvthmènes 
(bases) suivant l'expression d'Apollonius ( ' ). 

Les opérations sembleraient donc atteindre un degré de com- 
|)lication assez grand pour n'avoir jamais été usitées, quand mènic 
les Grecs auraient connu les principes de la preuve par 9. 

Mais, si l'on peut établir au contraire que le calcul par somma- 
lion du résidu d'un nombre par rapport à 9 était un exercice 
courant dans les écoles grecques, sans que l'on saclie cependant 
dans quel but on l'v pratiquait, ne ])ourrait-on pas conclure sans 
Irop de hardiesse que ce but inconnu riait précisémcnl la preuve 



(') Pappi Alexandrini collectionis qiiœ supersunt, cd. Ilultsrh. Hcrlin, 187(1. 
liv. II. — Voir mon essai VArilhniclique des Grecs dans Pap/>iis duns les Mc- 
nioires do la Société des Sciences phjsiques et naturelles de Bordeaux. 1" série. 
I. \\\, p. .35',. 



MÉLANGES. .13 

jjar 9? Or ce que je viens d'avancer comme fait me paraît n!'sullcr 
d'un long- passage que saint Hippolvto consacre à la rcfu talion 
d'une superstition passablement puérile ('), et notamment d un 
endroit (p. 8i) où il dit : « Je pense que ces hommes étantde loi- 
sir et d'ailleurs exercés au calcul auront voulu profiter de Tari 
appris par eux dès leur enfance pour s'en glorifier vainement et se 
déclarer devins. » 

Cette superstition consistait à traiter les mots et particulière- 
ment les noms propres comme si les lettres qui les formaient 
avaient représenté des nombres, à calculer les résidus par rapport 
à 9, et à en tirer des conséquences. Ainsi le résidu pour ''KxTwp est 
I , pour IIotTûozÀoç, 7; donc Hector devait être vaincu par Patrocle, 
1 étant plus petit que 7. 

Sans m'arrèter à ces luliles rapprochements, dont saint liippo- 
lyte multiplie les exemples, je vais relever les données historiques 
que nous fournit ce passage. 

P. 7'i, 1. 68. Le calcul en question est appelé Pythagorien (IIu6a- 
yopsio) J;-/]'^o)). 

P. 72, 1. 80. Le pvthmène des milliers, centaines, dizaines, 
unités est défini comme chez Apollonius. 

P. 74? 1- 97- Le sens de ce mot est étendu à la somme des pvtii- 
mènes des lettres formant un nombre. Le pvthmène du nombre 
sera égal au pythmène de cette somme, la sommation étant natu- 
rellement répétée jusqu'à ce qu'on tombe sur an résultat égal ou 
inférieur à 9. 

P. 74, 1- i4- On peut aussi obtenir le pythmènc d'un nombre 
en cherchant le reste de la division par 9. 

P. 76, 1. 27. C'est là le pvthmène suivant le canon annt'o- 
dique (règle novenaire). Mais on peut aussi considérer le pvth- 
mène suivant la règle seplenaiz-e, cest-à-dire le résidu par rapport 
au module 7. 

P. 76, 1. 34. Si le reste de la division est nul, on prendra pour 
pvthmène, non pas zéro, comme nous le ferions, mais le moduK^ 
lui-même. 



(') 5. Hippolyti episcopi et niait y ris rcfutationis oniniu/» hœresiiini libro- 
i-uni decem quce supersunt, cet. Duncker, Gœllinguc, iSjy, liv. \\ , p. 72-81. — 
S. Hippolyte vivait vers la (in du 11" siècle après J.-C. 



i4î PRE.Mli:UE PARTIE. 

I\ 109-1 12. Des calculs analogues, faits sur des mots grecs, sont 
donnés comme dérivés de la sagesse égyptienne. 

On ne peut, en tout cas, pas méconnaître dans ces données 
lextevision du concept du pvthmène , tel qu'il apparaît clie/ 
\pollonius, au sens de résidu par rapport à un module quelconque. 
<'t cette extension semble impliquer nécessairement la connai>- 
sance de cette proposition que, par rapport à un module donné, le 
résidu du produit est le mèjne que celui du produit des résidus, 
c'est-à-dire la dernière proposition qui nous manque pour com- 
|)1éter les principes de la preuve par 9. 

Je m'abstiendrai des rapprochements faciles à faire entre cette 
e\|)ression de pythmène et celle qu'employait Avicenne, et qui- 
Ton peut traduire par norau (' ). Mais, restant chez les Grecs, j<- 
dois signaler un autre indice de l'habitude du calcul par somm;i- 
liim des pjt/iniènes novenaires. 

C"est dans les Théologoumènes del\irit]iniétiqiic, \ J, la pro|)()- 

silion que, dans un groupe quelconque de trois nombres consécn- 

iifs el se terminant par un multiple de 3. le résidu, par rappoil 

à (), est (i. 

I^n cdel, 

( j /< -^ I ) -i- ( 3 /i -^ 2 j -^- ( 3 /i -r- 3 ) = 9 /? -T- (■) . 

11 n'y a pas d'ailleurs à s'étonner tle voir saint Hippolyte faire 
remonter jusqu'à Pylhagore et aux Egyptiens les calculs dont il 
parle: s'il n'v a pas d'autre preuve de leur anli(piité, elle peut étr<' 
supposée sans absurdité. 

Au reste la tradition est conslantc, car on ne jieut méconnaître, 
ditns les pratiques que raille l'apologiste chrétien, cette « di\inati()n 
numérique » que Pytliagoie aurait, sui\ant la légende, enseignée à 
Abaris (-). Jamblique le répète en deux endroits dont l'un, iiu 
moins, semble avoir pour source primitive le conte (VHxiris. 
composé par Héraclide du Tout, disciple de Platon. 



(') MiiMi i.urii;r, Dictionnaire des Sciences niatlieinalii/iics, iirliilc Aritlinw 
liijue. C.eUe Iraduclion d'uno parlic du Irailé inédit d'A\i(oiinc otail inconnue ('r 
M. C.anlor dans les Vorlesiingen iiber Gesehicltte der Matlienialih. p. (jj(). 

(') De y ilu prthagoiica liber, éd. Kicsslin^. I.ei))>ik, iSi.j, p. >.> ; el 3i(>. 



REVUE DES PUBLICATIONS. yy 

l-cs polynômes P sont donnés |nir les fomiuks 



^-.m^i] 



Les polynômes de degré impair adaieltent les racines — h, o, -r- h; les poly- 
nômes de degré pair admettent une racine comprise dans chacun des intervalles 
de cette suite ; il n'y a pas d'autre racine réelle. 

D'après cela, une fonction quelconque de a; pourra, dans linlervailc de — h à 
-i- A, se développer par la série indéfinie 

y = P„(moy.^)i^; - P, ( moy. ^"^ j_^^^- • • • 

Voici les premiers termes du développement 

^ = (moy.^-)i^4-3-^(moy.-^)_^^ 
3^;'— /j2/ d'Y .+'' 

^ 3.3! H^"-^0-/, 

■ ) V - dx' /^A 



Quand l'intervalle considéré diminue indéfiniment, la série précédente devient 
celle de Maclauriu. 

Mathieu {E . ). — Remarques sur les Mémoires relatifs à la théorie 
de la lumière renfermés dans les Exercices d'A/iahsc et de 
Physique inci thématique de Cauchy. (201-214). 

Brassinne. — Détermination des trois axes d'un corps, sur lesquels 
les forces centrifuges exercent, pendant la rotation, une action 
maximum. ( 2i5). 

Si en un point d'un corps on détermine les trois axes principaux, et si par 
chacun d'eux on mène un plan qui divise en parties égales l'angle des plans 
rectangulaires dont il est l'intersection, les trois perpendiculaires menées par le 
point donné aux plans bissecteurs seront les axes sur lesquels l'action des forces 
centrifuges est maximum. 

Mathieu {E.). — De la polarisation elliptique par réflexion sur 
les corps transparents, pour une incidence voisine de langle de 
polarisation. (2ig-238). 

D'après les théories de Fresnel et de Neumann, il existe un angle d'incidence 
pour lequel la lumière naturelle est polarisée complètement, angle trouvé au- 
jiaravant par Brewsler au moyen de l'expérience. D'après les rcrherrhcs de 
/itift. des Sciences nuilhem., >" série, t. \ I. (Mai i88>.) H.- 



98 SECONDE PARTIE. 

M. Jamin, il existe cependant très peu de substances diaplianes qui polarisent 
complètement la lumière dans le plan d'incidence; mais lintensité du rayon 
réfléchi peut seulement être très petite. Il en résulte que, dans le voisinage de 
l'incidence calculée par la loi de Brewster, un rayon de lumière polarisée dans 
un azimut quelconque donne lieu à un rayon réfléchi polarisé elliptiquement, 
l'ellipse de vibration étant en général très allongée. Reprenant la théorie de 
Neumann, M. Mathieu recherche quelle petite perturbation modifie cette 
théorie : « Cette perturbation », dit-il, « provient d'une très petite perte de force 
vive qui se fait sur le plan réflecteur, en sorte que les rajons réfléchi et réfracté 
ne prennent pas toute la lumière qui sort du rayon incident. 

« Imaginons un rayon de lumière tombant sur un corps diaphane et polarisé 
perpendiculairement au plan d'incidence; je démontre qu'à la rencontre du plan 
réflecteur il se fait en général dans les rayons réfléchi et réfracté un change- 
ment de phase par rapport au rayon incident. Quand l'incidence varie depuis 
zéro jusqu'à l'angle droit, le changement de phase dans le rayon réfléchi varie 
depuis une fraction très petite de la demi-ondulation jusqu'à la demi-ondula- 
tion. Quand le rayon incident est au contraire polarisé dans le plan d'incidence, 
le changement de phase du rayon réfléchi reste toujours très petit. Si donc l'on 
suppose que l'on décompose un rayon polarisé dans un azimut quelconque en 
deux pareils rayons, la polarisation elliptique pour une incidence voisine de 
l'angle de Brewster dépendra surtout du changement de phase du premier rayon 
composant. » 

Combescure {E.). — Sur quelques questions concernant les 
forces centrales. (239-270). 

Dans le deuxième Tome de la première série du Journal de Mathématiques, 
Binet a considéré, au lieu des trois équations ordinaires relatives au mouvement 
produit par une force centrale, un sj^stème de n équations présentant la forme 
caractéristique des équations mentionnées : jM. Combescure reprend et développe 
cette idée, en introduisant à la place du rayon vecteur la racine carrée d'une 
forme quadi-atique générale des coordonnées. Il traite le cas d'un milieu rési- 
stant et divers exemples particuliers. 

Teixeira [G.). — Sur le développement des fonctions implicites 
en une série. (276-282). 

Il s'agit de développer en série ordonnée suivant les puissances de x une 
fonction u définie par les deux équations 

«=/(r), 

y = t^x'^^iy) ^ X- 9, {y)-^...-^rX" 9,, {y ) : 
l'auteur parvient au développement suivant : 
u^-f{t)-^xf{t).-^,{t)-^... 

i ..'.... n ^i 1.2 ... a X 1 . 2 ... 3 X ... X 1.2 ... a ilt'' 



où l'on doit donner à a. Ji, y, ..., X toutes les valeurs entières cl positives (pii 
satisfont à l'équation 



UEVUK DES PUBLICATIONS. 99 

et où b est donné par la l'urniuk 

<!/ — 1 = a — ? — 7 — . . . -^ A. 

Ce développement contient naturellement comme cas particulier la formule 
de Lagrange. 

André (J^-)- — Intt-gralion. sous forme finie, d'une quatrième 
espèce d'équations différentielles linéaires, à coefficients va- 
riables. (283-288). 

L'auteur a donné, dans un ^lémoire inséré dans le Journal de Mathématiques 
(3° série, t. ^'I, 1S80, p. 27-48), un procédé pour intégrer trois espèces d'équa- 
tions différentielles linéaires. Ce Mémoire a été analysé dans le Bulletin (2° série, 
t. IV, 1° Partie, p. 26g). Nous renvoyons à cette analjse pour les définitions et 
les notations; la quatrième espèce, dans le genre des équations à dérivée régu- 
lière, que l'auteur, dans cette addition à son Mémoire, apprend à intégrer est 
caractérisée par la fonction F(n), que définit l'égalité 

F(n) = 



p{p-^i) ... {p — n — i)/(/0 



dans laquelle/? est un nombre quelconque non entier, et où /(«) représente un 
polynôme quelconque entier par rapport à « et à des exponentielles de la forme 
a". L'intégration, sous forme finie, s'obtient à l'aide de fonctions algébriques 
rationnelles et d'expressions irrationnelles de la forme (t — ax)P : elle dépend 
de la sommation de la série dont le terme général U„ est donné par l'égalité 

" i .2 ... Il 

où î'„=/(«)i'„ est le terme général d'une série récurrente proprement dite. 
M. André effectue cette sommation et parvient ainsi, par la voie décrite dans 
son premier .Mémoire, à l'intégrale cherchée. Comme application il considère 
l'équation 

/ - o , V rf'V /16 A rfY 8.. 

a.r' Vi ' dx 9 

d(jnt l'intégrale est 

C, C, 



y 1 — X v 1 — 2X 

Cornaglia. — De la propagation verticale des ondes dans les 
liquides. (289-340). 

liesal. — Recherches sur la théorie mathématique de la capilla- 
rité. (341-374). 

1. Formules fondamentales. — 2. Forme de la surface capillaire. — 3. In- 
lluence d'une paroi sur la surface de contact. — 4. Rappel des résultats de l'ex- 
périence. 

IL Phénomènes capillaires relatifs aux liquides pesants. — 5. l'orme <pie 
prend la surface d'un liquide au contact d'une lame verticale. — G. l'orme <le 



loo SECONDE PARTIE. 

la surface d'un liquide entre deux lames verticales parallèles dont Tune est 
uiouiilée et l'autre non mouillée par le liquide. — 7. Forme d"ua liquide entre 
deux lames parallèles de même nature. — 8. Deux lames parallèles et verticales 
sont très rapprochées l'une de l'autre. — 9. De la surface capillaire dans un tube 
circulaire d'un faible diamètre. — 10. Expression du volume d'un liquide com- 
pris entre sa surface libre et un plan horizontal déterminé, quelle que soit la 
forme de la section du tube. — 11. Liquides superposés dans un tube circulaire 
capillaire. — 12. Forme d'une très petite goutte d'un liquide reposant sur un 
plan horizontal qu'elle ne mouille pas. — 13. Goutte très large. — 14. Liquides 
soustraits à l'action de la pesanteur. — 15. La surface diffère peu d'une sphère. 
— 16. La surface diffère peu d'un tore. 

III. Des liquides uniquement soumis à leurs actions mutuelles. — 17. Équa- 
tion générale des surfaces de révolution dont la moyenne courbure est con- 
stante. 

Poincaré (//•)• — Mémoire sur les courbes définies par une équa- 
tion différentielle. (3-5-424)- 

L'auteur se propose d'étudier les courbes définies par une équation différen- 
tielle du premier ordre 

dx _ dv 
"\" ~ 'V' 

oh X et Y sont des polynômes entiers en x,y. 

Four éviter les difficultés que pourrait présenter l'étude des branches infinies, 
il suppose la courbe projetée sur une sphère, l'œil étant au centre. Le plan de 
l'équateur (parallèle au plan de la courbe) partage la sphère en deux hémi- 
sphères; à chaque point {3:,y) de la courbe correspondent deux points {x,y, i), 
{x, y, 2) situés chacun dans un hémisphère. Une telle courbe est dite carac- 
téristique. 

En général, par un point de la sphère i)asse une caractérisliciue et une seule. 

I. Définitions et généralités. — In cycle spJiérique est une ciuirbe telh; 
qu'après avoir décrit un arc lini, on revienne au point de départ : tel est, par 
exemple, un cercle de la sphère; toute courbe algébricjue se compose de un ou 
plusieurs cycles. 

Une spirale sphérique est une courbe qui coupe un cycle si)héri(|ue en un 
seul point; exemple: la loxodromie. 

Les deux portions d'une même caractéristi(|uc qui se trouvent de part et 
d'autre d'un de ses points forment deux demi-caractéristiques distinctes, à 
moins que la courbe considérée ne soit fermée. 

Si l'on divise une caractéristique qui n'offre ni point double, ni point d'arrêt 
en deux deini-caractéristiqucs, si l'une de ces demi-caractéristiques ne coupe 
aucun des cycles algébi'i(|ui;s (|u'en un nombre lini de points, la caracléristi(iue 
donnée est un cycle. 

Un polycycle est une courbe fermée qui présente des points diiulilcs. 

Un système topographique est un système de cycles et de pulycycles tracés 
sur la sphère tels que par chaque point passe un cycle ou un polycycle et un 
seul, excepté en quelques points singuliers par lesquels ne passe aucun cycle. 

Les points doubles des polycycles sont des cols, les points singuliers par les- 
iiucls ne pa'isc aucun cmIc sont des fonds, ou i\f^ soni mets. 



I 



ri: VUE DES PUBLICATlOxNS. loi 

Le lieu des points où chacun des cycles d'un système topograpliique est tangent 
à une caractéristique est la courbe des contacts. 

II. Étude des caractéristiques dans le voisinage d'un point de la sphère. 
— Soient a, ^ les coordonnées de ce point et 

\ = a„ -^ (7, ( j: — a ) — <7.j {y — ^ ) — . . . . 

Si a, et bg ne sont pas nuls à la fois, par le point (a, |j) passera une caracté- 
ristique et une seule. 
Soient «„ = 6„ = o. Si l'équation 

( (7, — À ) ( 6, — A ) — b^a., = o 

a deux racines différentes a, et À^, et si le rapport de ces racines est positif ou 
imaginaire, l'intégrale générale de l'équation 

dx _ dr 

est de la forme 

Z'-'Zj^'i = const., 

où Z, et Z^ sont des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de j; — a, 
y — P et s'annulant pour x = :t., y = |î. 

Si le point (x,y) se rapproche indéfiniment du point (a, p) suivant une certaine 
courbe, la tangente à cette courbe en a, ^ et la limite de la tangente à la carac- 
téristique en X, y forment un faisceau homographique. Il y a maintenant lieu 
de distinguer divers cas selon la nature de cette homographie. 

Si les droites doubles du faisceau homographique sont réelles et si deux 
droites conjuguées quelconques ne sont pas Tune dans l'angle aigu, l'autre dans 
l'angle obtus formé par ces deux droites doubles, l'intégrale générale est de la 
forme 

Z'j'Z^'- = const., 

où Z, et Zj sont des fonctions réelles de x et de y; À,, a, des nombres réels po- 
sitifs, toutes les caractéristiques qui pénètrent dans une région de la sphère 
assez voisine du point (a, ?) pour que les séries Z,, Z., soient convergentes vont 
passer par le point singulier (a, jâ); le point est un nœud. 

Si deux droites conjuguées quelconques des faisceaux sont situées de part et 
d'autre des droites doubles (réelles), deux caractéristiques seulement passeront 
par le point; la démonstration de ce fait a été donnée par MM. Briot et Bouquet 
(Journal de l'École Polytechnique, XXXVI" cahier). Le point singulier est un 
col. 

Si les droites doubles sont imaginaires, sans que le faisceau soit en involution, 
les caractéristiques sont des spirales qui s'approchent indéfiniment du poiirt 
singulier (a, ^) : ce point est alors un foyer. 

I-;nfin, si le faisceau est en involution avec des droites doubles imaginaires; ou 
bien les caractéristiques sont des spirales et le point (a, fl) est un foyer, ou elles 
forment un système topographii[UL' dont le point (a, |i ) est un sommet; ce point 
ist alors un centre. 

M. Poincaré étudie en outre f|uel([ues cas plus parli< iilicrs et iiiuiitrc conuiiriil 



D2 SECONDE PARTIE. 

létiule des points situés sur l'équateur peut être rameaée à l'ctude des cas pré- 
cédents. 

III. Distribution des points singuliers. — Après avoir prouvé que tout système 
de caractéristiques admet des points doubles, l'auteur établit que, sans nuire à 
la généralité, on peut supposer : 

1° Que les polynômes X, Y sont de même degré; 

2» Que si Xj et Y, sont les termes de degré le plus élevé de X et de Y, on n"a 
pas identiquement 

X Y, — J' X^ = o : 

3° Que les courbes X = Y = o ne se coupent nulle part en plusieurs points" 
confondus et ne se coupent pas sur l'équateur; 
4° Que l'équation homogène 

xY,— .7X5 = 

n'a pas de racines multiples. 

L'équateur est alors une caractéristique; de plus on peut supposer que tous 
les points singuliers sont des nœuds, des cols ou des foyers. 

Le nombre des points singuliers étant toojours pair est au moins égal à 2. 

Tout point singulier situé sur récjuateur est un nœud ou un col. 

M. Poincaré introduit ensuite une considération importante, celle de X'indice 
d'un cycle. .Soit un cycle situé tout entier dans un hémisphère. Ce cycle divise 
la sphère en deux régions, dont l'une, située tout entière dans l'un des hémi- 
sphères, s'appellera l'intérieur du cycle. 

Si le cycle est tout entier dans le premier hémisphère, on dira qu'un point 
mobile décrit le cycle dans le sens positif s'il a constamment l'intérieur du cycle 
à sa gauche; si, au contraire, le cycle était dans le second hémisphère, im point 
décrirait le cycle dans le sens positif s'il en avait constamment l'intérieur à sa 
droite. 

Supposons qu'un point mobile décrive le cjxle dans le sens positif cl consi- 
dérons les variations de l'expression — • Soit h le nombre de fois que cette 

expression saute de — x à -+- x , soit k le nombre de fois que cette expression 

saute de -!- 00 à — oc . Soit 

. h - A- 



le nomi)re i s'appellera l'indice du cycle. 

On peut ramener le calcul de l'indice d'un cycle quelconque au calcul de 
l'indice des différents cycles infiniment petits qui le composent. 

Un cycle infiniment petit qui ne contient à son intérieur au<iin point singu- 
lier a pour indice zéro. 

Un cycle infiniment petit rpii contient à son intérieur un pnint singulier a 
pour indice — i. 

L'indice d'un cycle situé tout entier dans l'un des hémisphères est 

_(X + F-C), 

en désignant par X le nombre des nœuds, par V celui des foyers, par C le nombre 
des cols situés à l'intérieur du cycle. 

L'indice de l'équateur est !\' — C — i, en désignant par 2\' le nombre des 
nœuds, par iC le nombre des cols situés sur l'équateur. 



REVUE DES PUBLICATIONS. io3 

La courlîc X = o et la courbe Y = o se composent d'un certain nonrihre de 
cycles. 

Considérons deux quelconques de ces cycles; ils se couperont en un certain 
nombre de points. 

Soient a^, a,, ..., a^,, les 2n points d'intersection de ces deux cycles rangés 
d'après l'ordre où on les rencontre en parcourant l'un des deux cycles, le cycle 
\ = o, par exemple, dans le sens positif: Si deux points consécutifs sont situés 
dans un même Iiéniisplière, l'un est un nœud, l'autre est un col. 

IV. Théorie des contacts. — L'objet principal de ce Chapitre est l'étude du 
nombre de points où un arc ou un cycle donné touche une caractéristique, 
c'est-à-dire du nombre des contacts de cet arc ou de ce cj'cle. 

Le nombre des contacts d'un cycle algébrique est toujours pair à la condition : 

i' Que l'on compte un contact du /i'^""' ordre pour n contacts; 

2° Qu'un point anguleux du cycle donné soit considéré comme un ou comme 
deux contacts selon que la caractéristique qui y passe y touche ou y traverse le 
cycle; 

3° Qu'un point singulier compte pour n -\-i contacts si le cycle a, en ce point, 
un contact du ;*'*"" ordre avec une caractéristique; 

4° Qu'un foyer qui est un point anguleux du cycle donné soit compté pour 
un contact; 

5" Qu'un col ou un nœud qui est un point anguleux du cycle donné soit 
compté pour un ou deux contacts, selon la position des tangentes au cjxle en ce 
point. 

Si, entre deux points de la sphère, on peut mener un arc quelconque sans 
contact, on peut aussi mener entre ces deux points un arc algébrique sans 
contact. 

Si AB est un arc algébrique sans contact, si AA, et BB, sont deux arcs de 
caractéristiques, on peut mener de A, à B, un arc sans contact. 

Si AB et A| B, sont deux caractéristiques, si AA, et BB, sont deux arcs algé- 
briques qui ne coupent AB et A, B, en aucun autre point que A, B, A, ou B,, les 
nombres des contacts de AA, et de BB, sont de même parité. 

Si un arc de caractéristique qui ne passe par aucun point singulier est sous- 
tendu par un arc de courbe, le nombre des contacts de cet arc de courbe est 
impair. 

(L'expression sous-tendu signifie que les deux branches de courbe formées par 
la caractéristi([ue prolongée au delà des deux points qui limitent les deux arcs 
sont toutes deux intérieures ou extérieures au cycle formé parles deux arcs.) 



ANNALI DI MATEMATICA i>ura ed applicata, direlti dal prof. Francesco 
Brioscih. 

Tome X; 1 880-1881. 

Briosclii. — Sur tme propriété tics équations différcnti elles li- 
néaires (lu second ordre. (i-3). 



loî SECONDE PARTIE. 

Généralisation d'une proposition due à .M. Hermite {Comptes rendus des 
séances de V Académie des Sciences, 23 décembre 1879). Soient J'^ et _>% deuv 
solutions de l'équation 

y -i- py -^ qy = o, 

dont le produit j'ijK, = :: est connu : on peut foruïer une équation différentielle 
linéaire du second ordre 

Y" -T- i\' -T- niY = o. 

dont les solutions soient 

Mi, i/j étant des fonctions connues de x; en faisant 

p = Y,Yi — y^y;, 

^--^> '« = -p(y;y;-y'.y:), 

p et m s'expriment au moyen des quantités p, rj, u^, u^, z et de leurs dérivées; 
les formules prennent un intérêt particulier quand on suppose que «, et u., sont 
des solutions d'une équation différentielle linéaire telle que 

u" -f- A II' -r- ;i. w = o ; 
on a alors 

et 

^ Cive-J>'^ T// -^'-p- — 2(j\ -^Bze-^'"'' Fa' -;- 1 à= - 2 ^jlI | , 
où iv = "lî'î et où C, D sont des constantes. 

Brioschi. — Sur une classe d'équations difTérentielles linéaires 
du second ordre. (4-9)- 

Suite des recherches publiées sous le mènio litre dans le volume précédent ; 
Soit 

y" + py' -i-çy = o 

une équation différentielle linéaire du second ordre: une forme binaire d'ordre 
n, F{x) = (^,,^'2)» ^^ yt> y-i représentent un système fondamental d'intégrales 
satisfera à une équation linéaire d'ordre n -i-i; soient 

on aura, comme il a été vu plus haut, 

«<")-;i(7r^[^^"-^)'^'"-""'"i' 



HEVUE DES PUBLICATIONS. io5 

où ij. = e'''"''^ et oi'i C est une constante; soient 

Po= ., P, =0, V, = H{x), \\=.e{x), 

l'équation difTérentiellc d'ordre n-hi, à laquelle satisfera h' (x), sera 
g [(«-o)F'p„_Fp;,]--»(«-.)P,P„_, =. o: 

pour /i = 2 on retombe sur l'équation connue du troisième degré. 
Cette équation prend la forme 

2 9 S F'" + 3 7 F" -{- (r + y' m- 8 '| 5 ) F' -!- 4 ( '^ 4- d>' o )]<'=: n 

en supposant l'équation en y écrite sous la forme 

" i/o' I \ , '■1' 

En supposant 

9 (.r) = 4-^^ — §2^ — 03' T C-^) ~ ?' "T" '~ = ^-^^ + ^^ + ^' 

on trouve aisément que j est une racme e de '-pix) et que 

a = 4(P + 3), 6 = 4pe, c = 4p^' — & s (?+')> o=-(^— e), 

en faisant l = ~- 

P 
Les substitutions 

X — e, = ( ^2 — e, ) sn^ ?<, x — e.^ = {e^ — e„ ) cn^ u, x — ■ ^^ = ( f , — P3 ) dn^ «, 
en supposant A' = -^ ^ > donnent, à la place de l'équation en y et .r, l'équation 



en X et ît 



cPv , , sn?/cn«<dn;< c/r a.x 



f/«^ ' .r — e du C3 — e, ' 

qui fournit trois types distincts, suivant que l'on prend pour e l'une ou l'autre 
des racines e,, e^, e^ de o{x); si, en particulier, on détermine les constantes a, p, 
p de façon que l'on ait 

(]; -f- (]>' = o, 

l'équation du troisième ordre en F(.r) admettra une solution de la forme 
F{x) = const., et les trois éepiations dont on vient de parler seront 

cPy mit dnii dv ,,, , 

-7^, -; nvk' sn'uy = o, 

du' su u du 

d^y sn u Anu dy , ,, , 

««•* en u du, '' 

d^y , , sn u en u dy , , , 

-r-. -\- k^ — ; j- -\- m- dn'w v - o, 

du^ (\nu du 



io6 SECONDE PARTIE. 

et en se servant de la relation y^y., = consl., on trouve qu'elles admettent 
respectivement comme intégrales particulières 

I , dn« — k CQ II 

X = - lOC -; ; 1 

■2 dnw -i- A' en M 

Y = — i arc sin(A- sn«/), 
Z = — i amz/.' 

Enfin ;M. Brioschi montre qu'on peut encore déterminer les constantes de façon 
que l'équation en F(j:) soit vérifiée par un polynôme du degré n. 

Casorati. — Le calcul des différences finies interprété et accru 
de nouveaux théorèmes; utilité de ce calcul dans les recherches 
actuelles relatives aux fonctions de variables complexes. (lo- 

45). 

I. Première interprétation. — Appelons couronne la portion du plan d'une 
variable imaginaire x comprise entre deux cercles ayant le point x^ pour centre 
commun : soit^ une fonction analytique de a; ayant en x^ telle singularité que 
l'on voudra, mais n'admettant aucun point singulier à l'intérieur de la couronne, 
en sorte que, x^ étant un point de cette couronne, y puisse être développée en 
une série procédant suivant les puissances entières de a; — a;„, convergente à 
l'intérieur d'un cercle qui n'ait pas de points en dehors de la couronne. Soit 
maintenant Ar la différence de la fonction j)', c'est-à-dire l'accroissement qu'elle 
subit quand là variable partant du point x de la couronne revient en ce point 
après avoir fait un tour dans le sens direct, accroissement qui sera nul si la 
fonction est nionotrope dans la couronne. 

De l'équation 

A log(j; — a:,) = 2 — i = ra 

résulte que la fonction log(x — x, ) se comporte, relativement aux différences 
dont s'occupe M. Casorati, comme la variable indépendante dans le calcul ordi- 
naire des différences : on est ainsi amené à introduire la varialdc 



log(a7 — X,) 

l — : : 



d'où 



Les fonctions mouotropes (qu'on représentera dorénavant par la lettre ï) ont 
la période A< = i ; on aura 

A-^=.o. A(-f^O = '-?Av. 

L'auteur introduit, outre les symboles Ay, A'^', A'^', dont le sens est cclairci 
par ce qui précède, les symboles 6)', 6'j>', O'j^-,.. .,0"^- est la valeur que prend la 
l'onclion >' ((uand <>n y remplace t par / -i- « ; on a, par exemple, 

A,- ^. O^-v. 

L'opération hy est éminemment dislribulive. 

Si l'on désigne par F(t/, v", i\',...) une fonction uniforme des variables u. w 
\v, ... (jui sont elles-mêmes des fonctions de la \ariablc x ou l, on a é-vidcm- 



REVUE DES PUBLICATIONS. io- 

nien L 

0" F ( u, v,w,...) = F ( 0" II, 0" ç, 0" (V, . . . ) • 

On convient encore crécrire (0 — a) y à la place de Ojk — «T> en sorte que 

(f)-i)j' = A^; 

d'après cela, les équations symboliques 

0—1= A, i^A = 6 

se comprennent d'elles-mêmes. 

Si Ao, A,, . . ., A„ sont des quantités constantes par rapport à t et si l'on dé- 
signe par a,, a^,..., a„ les racines de l'équation 

A„ z"-^\,z'-'^...^ A„_, 5 ^ A„ = 0, 
on pourra écrire 

A.dy -H A. h"-' y -^. . .-f- A„_,e r -^ \„y = A„ (8 — a, ) (0 — a,).. • (f» — a„)y. 

Différentiation finie. — En faisant 

^(") = t{t — i)...{t— n^\), 

on a 

0^!")=: (f-^,)^«-l), A^:")= Ji6"-'), 

plus généralement, si on fait 

F = <ï.„i(''! 4- <!>,;(''+') -H... -^<I>,„ 

les* étant, comme il a été dit au début, des fonctions monotropes, on aura 

(0 — a)a'F = «a'[/MPo<("-')-^ (/i — i)<î>, ^("-')—. . .-H <!>„_,]. 

Intégration finie. — La solution la plus générale de l'équation 

(6 — a)y = a'(<^„^:")^...-^-4.„) 
est 

/{" 



y = — ( 4>n ■ -H <P„ - -T- 4>„ , 1 . 

•^ a \ " « -T- I " 1 ""7 

*!'„+, étant une fonction monotropc arbitraire. 
La solution la plus générale de l'éiiuation 

(0_a)V- = o 
est 

a' r ^('-'> ^(^-2) -1 

^ = «'- L'^» (>— ryra -- *■ (X3T)C^) +• • - 't'x-. J • 

En introduisant la variable x, on peut écrire, 

y = {x-x,)''\ r,[Iog(x - X, )]'-' -4-. • .-^ r^-, ! = 

^L Casorati intègre encore l'équation 

V,6''j' -^ A,0''-' j' -^. . .H- .\„j^ = o, 

ou les coefdcients sont des constantes. 

On aperçoit de suite la liaison de ces recherches cl des résultats exposés par 



io8 



SECONDE PARTIE. 



.M. Fuchs dans son Mémoire sur les fondements de la Ihéorie des équations dif- 
férentielles linéaires, concernant le mode d'existence des solutions d'une telle 
équation dans le voisinage d'un point singulier. 

II. Critérium pour reconnaître si plusieurs fonctions sont liées entre elles 
par une relation linéaire à coefficients d'une nature particulière. — Les 
ibnctions 

J'i) y-n • • • ) J'«) 

de la variable x auront entre elles, dans la couronne de centre x, une relation 
linéaire, homogène, à coefficients monotropes, si l'on a identiquement 



6.V, 



Ov., 



0)- 



^"-■.r. &"-j-. 



fjH-l y 



La réciproque est vraie. 

M. Casorati l'établit en s'appuyant sur une transformation du déterminant 
précédent donnée par M. Hermite (Jour-nal de Liouville, t. XIV, p. 25 et 26). 

Au lieu d"^ ce déterminant, on peut évidemment prendre celui où l'opération A 
remplace l'opération 6. Enfin on déduit de là, sans difficulté, une proposition 
analogue pour reconnaître si les fonctions J',, J%, ...,,7'„ sont liées entre elles 
par une relation linéaire et homogène dont les coefficients reprennent leur valeur 
à la fin de v tours de la variable. 

III. Application aux fonctions définies par une équation algébrique à coef- 
ficients monotropes. — Si l'on désigne par z une quelconque des racines 5,, 
z.^,..., z^i en un point x de la couronne, on devra avoir 

V étant le nombre des éléments du système circulaire auquel apparlicnt la ra- 
cine J, il en résulte que l'on a nécessairement 



= (x — X,) ■'■^,-h{X — X^)-"^2-h...-h (x — X.^) 



?v-i + rv 



IV. Application aux /onctions définies par une équation, différentielle li- 
néaire à coefficients monotropes. — On trouve ici une équation aux différences 
qui correspond à Vé(\u^lu)\\ fondanientale de M. Fuchs. 

Soit 

Y)'" y -X- p^ D"'-'.7- -t-. . .-4-y>„ , D)- -^p,„y = o, 

réc[uation proposée. 

A cette équation se joint, pour toute valeur particulière de la variables ind('' 
pendante, une équation aux différences linéaires d'ordre m, à coefficients con- 
stants, qui caractérise le mode d'existence des intégrales de l'équation différen- 
tielle proposée aux environs de ce point. Cela résulte de ce (|uc le déter- 
minant 

y '*„T ••• '*'".>' 

Oj' I»0)- ... Il'" Or 



0"'j- l)0"'_>- 



l)"'0"'r' 



REVUE DES PUBLICATIONS. ro(, 

est nul quand on y remplace jk par rinlégrale générale de l'équation différen- 
tielle proposée; on en conclut l'existence d'une relation à coefficients constants 

A, 0'"^ -f- A, 0'"-'/ 4- . . . -h A„, j- = o, 

On voit aussi que, à une telle écjuation, correspond inversement une équation 
différentielle linéaire à coefficients monotropes dans la couronne. 
L'équation algébrique 

A,0'« + A.O'«-'-+-...-f- A,„= o 

est l'équation fondamentale de AI. Fuchs; l'intégration de l'équation en 8jk con- 
duit naturellement l'auteur aux résultats développés par M. Fuclis dans le Mé- 
moire cité; les sous-groupes de iM. Hamburger, le théorème de M. Jiirgens sont 
aussi des conséquences faciles de la même étude. 

V. Application aux fonctions définies par une équation différentielle li- 
néaire à coefficients polytropes. — Supposons que les coefficients soient des 
fonctions rationnelles de x et de z, z étant défini par une équation de la 
forme 

-" "^ ^1 ^"~' 4- • • • -)- 4'h-i ^ ^ '^1= o ; 

soit V le nombre des éléments du système circulaire autour de a:,, auquel appar- 
tient la racine z de cette équation que Ion considère, on sera conduit, en sui- 
vant la même voie que précédemment, à une équation fondamentale aux diffé- 
rences 

Ao 6"'V + A, j- 6("'-')-' -(- . . . H- A,„_, fJ=''jK + \,„y = o, 

à coefficients constants : M. Casorati en conclut la forme de l'intégrale générale, 
à savoir 

'Ji. !j Du 

r = (a;— .r,)'/,+ (^_^jvy^_u...+ {x — x,) " /„„ 

forme valable quand toutes les racmes de l'équation fondamentale algébrique 
sont distinctes et où les / sont des fonctions qui reprennent la même valeur 
après /• tours de la variable. 

VL Interprétation du calcul des différences; son utilité particulière dans 
les recherches sur les fonctions périodiques d'une seule variable indépen- 
dante. — Les détails dans lesquels nous sommes entrés permettent de bien apercevoir 
le point de vue auquel s'est placé I\I. Casorati : dans ce Chapitre, il montre avec 
quelle facilité sa méthode permet de traiter les questions résolues par M. Picard 
et M. Mittag-Leffler dans les Comptes rendus du 21 juillet 1879, du 19 février 
1880, du 16 février 1880; le Bulletin a rendu compte de ces recherches; notons 
encore cette proposition : 

Entre plusieurs fonctions doublement périodiques de seconde es/n'ce, pour 
lesquelles les multiplicateurs relatifs à la première période sont distincts 
entre eux, comme aussi les multiplicateurs relatifs à la seconde période, il 
ne peut exister aucune relation linéaire homogène à coefficients doublement 
périodiques. 

VIL Application aux équations linéaires à coefficients périodiques. — La 
condition nécessaire et suffisante ])our la double périodjclic' d('< cdcfluicnls de 



,10 SECONDE PARTIE. 

l'équatioa différentielle est que l'intégrale complète puisse s'exprimer linéaire- 
ment au moyen de m fonctions doublement périodiques de seconde espèce. 

VIII. Nouvelle interprétation utile dans les recherches sur la périodicité si- 
multanée relativement à plusieurs variables indépendantes. 

Beltrcnni {J^-)- — Sur quelques nouveaux théorèmes de M. C. 
Neumann sur les fonctions potentielles. (46-63). 

L'auteur dit, avec quelque modestie, que son Mémoire est consacré à la dé- 
monstration de quelques-uns des théorèmes énoncés par M. Neumann {Mathe- 
matische Annalen, t. XVI, p. 409-431, 432-438) et relatifs à la théorie du poten- 
tiel (M. Beltrami ne s'est occupé que de ceux de ces théorèmes qui concernent 
le potentiel newtonien). Toutefois, l'élégance des démonstrations de M. Beltra- 
mi n'est pas le seul mérite de son travail; les beaux théorèmes de M. Neumann, 
en effet, concernent des surfaces fermées, tandis que M. Beltrami établit des 
propositions analogues concernant des portions de surface limitées par un con- 
tour. 

Ces portions de surfaces sont rapportées à des coordonnées quelconques u, v; 
on suppose toutefois que le réseau des courbes u, v qui décompose la portion de 
surface en éléments superficiels est analogue au réseau de parallèles aux axes de 
coordonnées dans le plan qui représente la surface. Il est utile d'établir d'abord 
quelques propositions générales, en se plaçant au point de vue de l'auteur 
dans son Mémoire Sulle variabili complesse in una superficie qualunque {An- 
nali...., série II ; t. I, § 1 ). 

Soient \, t,, Ç les coordonnées d'un point quelconque {u, v) de la surface; on 
mdiquera dans ce qui suit les dérivées prises par rapport à u par un accent, 
celles prises par rapport à v par un indice. 

En posant 

E = ?" -+- -rr- -T- Ç'-, 

F =v^, + t;t..-(-î;'^„ 
G = ?î +-'A -^i. 



H r= v/KG — F^>o, 
l'élément linéaire sur la surface sera , 

E du"^ -H 2 F rfa dv ->- G dv^. 

et le cosinus directeur a = --^ 1 i — -r^ » y — -^ de la normale seront données 
on on on 



par les formules 



Hp = !;'?,-!;,r, 



Si l'on suppose que la surface a partout une courbure finie, on peut regarder, 
dans le voisinage de la surface, regarder les coordonnées ?, t,, Ç d'un point quel- 
conque de l'espace comme des fonctions uniformes de u, v, n; u,v étant les 
coordonnées du pied de la normale n, et l'on aura 

d'i — l' du. -■- S, dv -)- a dn, 
dr^ — T,' du H- T,, dv -\- p dn, ^ 
rfÇ = Ç' du -)- Ç, rfi' ^- y dn : 



REVUE DES PUBLICATIONS. ni 

CCS formules résolues par rapport à du, dv, dn, donnent, après une transforma- 
tion facile, 

du= ^{ M: d\ -i- M^^ rfr, -i- M. c/: ), 

di> = ^ ( N; rf; — S^ dr, -4- \r rf;), 

dn = a rf; -^ |î dr, -— y t/^, 

en convenant de représenter par les symboles M^. ^^„, où -f est une fonction quel- 
conque de M, i', les expressions 



Gcs'— F», ,, E»,— F'i' 



On déduit de là 

puis, en représentant par ^,(9, '.^) Y invariant bUinéaire des deux fonctions c; 
et C^ de i< et de r, 

on trouve 

t^'f d>^ d's> à']/ do O'^ _ do d'^ 

^'' àl "di '^ 'dr, &F, ^ dt 'dî~ '^''^' '^' ~ àJi dJi' 

Considérons ensuite l'intégrale 



/■■ 



étendue à tous les éléments de la surface et où a, 9, 'li sont des fonctions uni- 
formes de u, i> admettant, les deux premières, des dérivées premières, et la troi- 
sième des dérivées secondes ; on la transforme en se servant des théorèmes don- 
nés par M. Beltrami dans le Mémoire cité et exprimés par les formules 

où les intégrales du second membre sont étendues à tous les éléments ds du 
contour et où v désigne la direction de l'élément linéaire de ï conduit norma- 
lement vers l'intérieur de la surface à l'élément ds du contour. 
Ou arrive ainsi à la formule 

(2) fyx\{o.-:^)d7=-f\'xX,-r-^ (9. ;x)].;r/7- ^,^^.;^ds, 



MA SECONDE PARTIE. 

on 

X'f= ^[(M,)'+(NJ.] 

est le paramètre différentiel du second ordre de la fonction 9. 

Ces résultats s'appliquent à la théorie du potentiel d'une masse répandue sur 
une surface. Soit en général 



V= Ch'^^ds 



un tel potentiel;, où h est la densité et i^ une fonction de la distance /• de \'i;\c- 
ment potentiant ch au ^o\\\t potentië x,y',z; ^ se réduira à - pour le potentiel 
newtonien. 

En remarquant que y^ = p- et appliquant les formules (1) et (2), on 

trouvera aisément 

eu remplaçant 'ji par - et supprimant l'intégrale finale relative au contour de la 

surface, on obtient l'une des formules de M. Xeumann. On peut remarquer ipie 
la masse totale qui figure dans le potentiel du second membre, savoir 



/ [ A A,? ^- A, ( h, \ )] dz -^ j hj' ds, 



est nulle d'après la formule (2). 
Le calcul de la dérivée d'un potentiel de la forme 



est un peu plus compliqué : on met d'abord cette dérivée sous la forme 

puis, en utilisant l'identité 

( X f/; -1- Y dr, -h Z rf^) 

r\[ÔZ à\\ . (â\ ,)Z\ , fàY d\\ '] . 



f. 



flans laquelle l'intégrale du premier membre est étendue aux éléments du con- 
tour de la surface parcourue dans le sens positif, on parvient à l'expression 



ôx 



rdg dà , r ^ I 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 146 



COMPTES RENDUS Eï ANALYSES. 

.T.-L. HEIBERG. — Literargeschichtliche Studien l'ber Euklid. — Leipzig, 
Teubner. 1882. In-S", 224 pages. 

Le savant danois qui vient de s'illustrer par une édition cri- 
tique d'Archimède a entrepris d'accomplir la même tâche pour 
Euclide ; dès aujourd'hui, comme prémisse de cette œuvre qui 
réclamera un travail assidu de plusieurs années, il publie un im- 
portant ensemble d'études historiques et philologiques sur l'au- 
teur des Eléments. 

La première des six Sections qui composent le Volume est con- 
sacrée aux. renseignements fournis par les Arabes. M. Heiberg 
arrive à reconstituer, d'une façon probante, l'origine des données 
historiques sur la vie d'Euclide qui nous viennent de cette source; 
il démontre que ces données ne peuvent dériver d'une tradition 
grecque en dehors des documents que nous possédons, que par 
conséquent elles sont tout à fait inutilisables. Quant aux écrits 
du géomètre grec, il établit que désormais l'on ne peut guère es- 
pérer de recherches dans les manuscrits arabes, ni quelque ré- 
forme importante pour le texte des ouvrages qui subsistent, ni la 
découverte de quelqu un de ceux qui ont été perdus. Cependant il 
reconnaît une traduction du Livre ïlepl f^iatpsGscov [Sur les diri- 
sio/is ), non pas dans le Traité de Mahomet de Bagdad, qu'a recueilli 
l'édition de Gregory, mais bien dans un écrit du Ms supplé- 
ment arabe pSa, 2, de la Bibliothèque JVationale, sur lequel 
A\oepcke a donné une notice très complète {Journal asiatique, 
i85i , p. 233 et suiv.). 

La seconde Section (sur la vie et les écrits d'Euclide) est 
également traitée avec un sens critique qu'on ne saurait trop louer. 
Pour la vie, malheureusement, on ne saura jamais sans doute 
qu'une chose : c'est qu'Euclide vivait à Alexandrie sous PtoléméeP"", 
qu'il florissait par conséquent vers l'an 3oo avant Jésus-Christ. 
Quant aux écrits que nous possédons et dont l'authenticité est con- 
testée, je remarque que M. Heiberg nie celle du fragment De levi 
et ponderoso (;l de ['Introduction harmonique. Il admet, au con- 
rtull. des Sciences mal fient., n' série, r. \I. (.înin iSSi.l 12 



t4g première partie. 

traire, c[ue ni les Phénomènes ni les Optiques ne sont supposés; 
mais il constate que le texte connu s'écarte notablement de la ré- 
daction originaire. Toutefois il espère que celle-ci peut être à très 
peu près relrouvée, en particulier dans le manuscrit de Vienne, 
gr. io3. Comme spécimen, il publie, dans la quatrième Section 
de son \ olunie, le texte des Optiques d'après ce manuscrit. Quant 
aux Catoptriqucs, sans se prononcer définitivement, il fait sérieu- 
sement valoir les raisons qui militent contre l'authenticité. 

La troisième Section, relative aux écrits perdus, réunit tous les 
renseignements que l'on peut trouver sur les Porismes, les Lieux 
en surface et les Coniques. La discussion relative au premier de 
ces Ouvrages est particulièrement remarquable; j'y reviendrai du 
reste plus loin, me contentant, pour le moment, d'en mentionner 
la conclusion, à savoir que' la restitution tentée par Cliasles ne peut 
certainement, quelle qu'en soit la haute valeur, être considérée 
comme définitive. 

Des deux dernières Sections, la première est consacrée à des 
•recherches sur les anciens commentateurs d'Euclide. Hjpsiclès 
ouvre la marche comme auteur du Livre XIV des Eléments ; pour 
le Livre X\ , il doit être attribué à un condisciple d'Eutocius, 
élève de l'architecte-ingénicur Isidore de Milet. A iennent ensuite 
Héron d'Alexandrie ('), Porphyre, Pappus, Proclus, les Scoliastes 
et les B\zantins, Isaac Argyrus, Barlaam et Psellus. 

M. Heiberg établit, sans réplique possible, à mon sens, que Pro- 
clus n'a pas continué, comme il s'était proposé de le faire, son 
px'olixe commentaire, borné au premier Livre des Eléments. Les 
scolies qui se rapportent aux autres Livres doivent en général 
remonter au travail de Pappus, le(|uel, au contraire, semble bien 
avoir été complet. Son étude sur le Livre X, particulièrement dé- 
tadlée, subsiste peut-être, traduite en arabe, dans le manuscrit de 
la Bibliothèque Nationale dont nous avons déjà parlé. Woepcke, 
il est vrai, a lu pour le nom de l'auteur grec « B. I. s. » ou 
(( B. n. s. le Roumi », et l'a identifié avec l'astrologue Vetlius 
Valens. iNl. Ileiberg démonlre que cetlc idcnlilication <^sl insou- 
lrii;d)l('. l'.n loul cms. la Iradnclion eonqjlrle i\y\ TraiU' est très 



(') Mniiiiircs pri'sentc.s ci l' Arinicmic des Scienccx. i.s.Vi, I. \l\. |i. (i- !. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. i j; 

désirable, et, seule, elle peut perrnettre de résoudre la question 
d'attribution. 

La dernière Section enfin (pour l'histoire du texte) ren- 
ferme un recueil, soigneusement fait, des citations dEuclide par 
les auteurs grecs jusqu'au xiv*" siècle après Jésus-Christ. Ce recueil 
n'a pas la prétention d'être complet, mais, pour ma part, je n'ai 
pu V découvrir qu une seule lacune ( '). 

En résumé, le travail de l'illustre érudit, par le soin avec lequel 
il est composé et par la publication de tous les textes intéressant 
son sujet, sera désormais indispensa^jle à quiconque voudra faire 
des recherches sur Euclide et ses œuvres. 

Je pourrais, à la vérité, faire quelques réserves sur quatre ou 
cinq points sur lesquels je ne partage pas l'opinion de M. Heiberg. 
Mais comme j'ai déjà eu l'occasion de les discuter ici-méme, et que 
l'Ouvrage que j'examine n'apporte pas en réalité de nouveaux 
arguments que j'aie à combattre, je préfère me boi-ner, avant 
d'aborder la question des Porismes, à quelques remarques qui 
me sont suggérées par les abondantes citations et les lumineux 
développements du savant philologue. Qu'il me permette d'es- 
sayer d'apporter ainsi mon humble pierre à l'édifice qu'il élève. 

On considère l'écrit des Wevày.pix comme absolument perdu. Or, 
M. Heiberg fait remarquer (p. 38, note) qu'il a été connu d'A- 
lexandre d'Aphrodisias; celui-ci le mentionne dans son commen- 
taire sur Aristote aoo'.'y-:. i/syy. , sous le titre : les Wev^o^^'zoid^r,u.x-:x 
d'Euclide. Il me semble dès lors que c'est à cet Ouvrage qu'A- 
lexandre a dû emprunter ce qu'il dit de la fausse quadrature du 
cercle par Antiphon, et de celle par les lunules, fragments conser- 
vés par Simplicius ( - ). On expliquerait ainsi la conservation des 
faux théorèmes attribués à tort à Hippocrate de Chios, et qu' Ari- 
stote connaissait déjà. Peut-être pourrait-on faire aussi remonter à 
la même source ce que l'on sait de la quadrature de Brvzon (^). 

Dans les citations de Pappus qu'il est amené à faire, M. Heiberg 
propose d'importantes corrections au texte de l'excellente édition 



(') Pour la mention de la proposition III, 3, dans Siniplicii in Aristotelis phy- 
sicorum libros quatuor priores, éd. Diels. Berlin, Reimer, 1883, p. 65i. 
(') Ouvrage cité, p. 54, 55, 56, 57, peut-être 58. 
(') Alexand. Aphrod. comment, in Aiistot. sophist. elencli., fol. 3o. 



i48 PREMiEUE PARTIE. 

de M. HuUsch. En jjrt-sence de ses conjectures hardies et de ses 
heureuses explications, j'ai été quelque peu surpris de le voir 
s'arrêter devant quelques passages et y reconnaître une corruption, 
sans essayer d'y porter remède. 

Pour l'un d'eux, relatif à l'analyse des Données d'Euclide, la dif- 
ficulté est, à la vérité, très sérieuse. Après avoir dit que six théo- 
rèmes (les propositions d6-6i) concernent des parallélogrammes 
et des paraboles de figures données d'espèce, Pappus continue : 
« Des cinq suivants, le premier (62) est '^^a<:^6iJ.zvo^ {écrit); les 
quatre autres concernent deS triangles. » (Hultsch, p. 638, 11; 
Heiberg, p. 222, noie 4-) 

Hultsch traduit avec Commandin ypacpçj'jxevov « in lineis » [en- 
lignes), comme s'il y avait iv ypay-ij-aîç. M, Heiberg se con- 
tente de remarquer qu'il faudrait alors Iv suQeiatç [en lignes 
droites). Je me demande si le texte n'est pas intact et si Hal- 
lev ne l'a pas bien traduit « primiun jani descriptuni est », 
c'est-à-dire : « le premier théorème rentre dans ceux dont je 
viens de parler. » 

Il est certain, en effet, que la proposition 62 des Données dont 
il s'agit a un rapport intime avec la précédente, 61; Pappus aurait 
donc dû la classer avec les six antérieures. Toutefois le début de 
l'énoncé a pu le tromper au premier regard, et il aura mis à part 
cette proposition 62. Puis, quand, l'ayant mieux lue pour la bien 
qualifier, il a reconnu son erreur, il aura constaté celle-ci dans les 
termes que nous axons vus, au lieu de corriger ce qu'il avait 
déjà écrit. Si cette hypothèse implique une assez singulière préci- 
pitation de rédaction, elle ne m'en semble pas moins la plus plau- 
sible que l'on puisse faire. 

Quoi qu'il en soit, je proposerai avec plus de confiance l'expli- 
cation des deux autres passages dont M. Heiberg signale l'obscu- 
rité. Le premier est au début de l'analyse du Traité des Lieux 
plans d'Apollonius (Hullsch, j). ()6"2, a-io). 

Pappus vient d'ex{)oser (|u'Aj)ollonius classe les lieux en éphec- 
tirnies (quand un point est lieu <riiii |)()inl, une ligne d'une 
ligne, etc.), en diexodirjues (quand une ligue est lieu d'un point, 
une surface d'une ligne, etc.), et en anastiojihifiues (quand une 
surface est lieu d'un point, un xolume d'une surface). Il conli- 
iiuc ensuite ilaus un passage <piel<pie peu ((iiioniitii , mais (pu* 



C()M1»IIÎS HENDUS HT ANAI.VSES. ij., 

M. Hullsch ne me paraît pas avoir eu bien raison de considZ-rer 
comme interposé : 

« Des lieux Irai tés dans ràvaluop-evo; ( e'esl-à-dire dans la col- 
lection des ouvrages d'Analyse à laquelle Pappus consacre son 
Livre VII), les éphectiques sont ceux des données de position. » 

Pappus veut dire, sans doute, que les points, lignes, figures, dé- 
terminés de position dans les i5o/i/ree5 d'Euclide, doivent être con- 
sidérés comme des lieux éphectiques. Mais à ces propositions des 
Z>o/?/?t%5 on peut joindre celles qui présentaient le même caractère 
dans d'autres ouvrages d'Analyse, dans les Porisnies notamment. 

« Les lieux dits plans (droites et cercles), les Yieux solules (co- 
niques) et les lieux grain iniques (courbes plus complexes; il faut 
ajouter au texte xal o\ avant ypa[x[j.!,/0[, 1. 7) sout les lieux diexo- 
diques de points. Les lieux en surface (les surfaces traitées 
comme lieux dans les Livres qui portaient l'intitulé : tottoi iz^Oi 
i-Kirs^oMzla.) sont anastrophiques de points, diexodiques de lignes : 
toutefois les graminiques se démontrent d'après les lieux en sur- 
face. » 

Si l'on se reporte aux définitions des lieux diexodiques et ana- 
strop/iiques, ce passage n'offre aucune difficulté. Il suffît de remar- 
quer que, tandis que VyyxX'jou.cvoç comprenait des Traités intitu- 
lés : Lieux plans, Lieux solides, ou Lieux en surface, il n'en 
aiwah pas pour les Lieux gra/nniiques; c'est ce qui motive lare- 
marque finale, que ces derniers lieux apparaissaient comme divisés 
(par intersection) des Lieux en surface, traités par Euclide. 

Voici de même la traduction du premier lemme donnée par 
Pappus suv les Lieux en surface (Hultsch, p. ioo4, 17-22) : 

« Soit une droite AB, une autre CD donnée de direction, si le 
rapport de AD XDB à DC- est donné, C se trouvera sur une co- 
nique. 

» Si maintenant AB cesse d'être donnée de position ( par con- 
séquent reste donnée de longueur) et que les points A, B, au lieu 
d'être fixes, soient assujettis à se trouver sur des droites (lire eùôst'aiç 
au lieu de cùOsî^a) données de position AE, EB; si enfin C n'est pas 
dans le même plan, il se trouvera sur une surface donnée de posi- 
tion. Cela a été démontré. » 

La figure des manuscrits, reproduite par Hullsch, est absurde, 
mais on voit immédialcmcnl de quoi il s'agit. L^ne droite AB de 



i5o PREMIÈRE PARTIE. 

lonaueur fixe a ses extrémités çlissant sur deux droites AE, EB 
(qui se coupent en E); elle entraîne dans son mouvement une 
conique dont elle est le diamètre, et dont les cordes conjuguées 
restent parallèles à une direction donnée en dehors du plan AIlB. 
Le lieu de cette conique est évidemment une surface, d'ailleurs 
passablement complexe. 

Il semble probable qu'Euclide avait considéré le cylindre en- 
gendré dans le cas où les droites AE, EB, au lieu de se couper, sont 
parallèles. Pappus aura cru bon de mentionner dans toute sa géné- 
ralité une proposition dont l'auteur des Lieux en surface avait 
implicitement fait une application toute restreinte. 

J'arrive enfin à la question si discutée du sens à attribuer au 
moi po)-isme. M. Heiberg Ta traitée avec une clarté bien rare dans 
ce qui a été écrit sur cette matière; l'exposé des résultats auxquels 
il arrive mérite donc d'intéresser le lecteur. Cependant, peut-être 
n'a-t-il pas toujours été jusqu'au bout de sa pensée; si j'essaye, 
dans ce qui suit, de la préciser, peut-être m'arrivera-t-il à mon 
tour de la dépasser. J'espère, cependant, qu'il ne me démentira 
point. 

Le mot poris/ne a eu dans l'antiquité deux sens essentiellement 
différents, qui n'ont entre eux aucun rapport, quoique leur origine 
soit suffisamment explicable parla racine du mot. L'un de ces sens 
a été celui de corollaire; l'autre a désigné une certaine forme 
de propositions intermédiaires entre les théorèmes et les pro- 
blèmes. 

La distinction de cette classe de propositions doit remonter à 
l'époque immédiatement antérieure à celle d'Euclide, alors que 
Ton discutait, dans l'École après Platon, si tout était théorème ou 
si tout était problème. La constitution de cette classe des porisnies 
pour les propositions d'un caractère ambigu fut le niovcn terme 
qui servit à résoudre la difficulh'-. 

C'est à cette épotpK; (juil faut rappnrler les aiicienncs définitions 
que donnent Proclus et Pappus; si obscures qu'elles soicul, elles 
s'interprètent au mieux de la façon suivante. 

Dans le théorème, la figure est tracée; il s'agit de (h'-inontrer 
(jm'i/iic ((Mlaiiie rclalion énoiici'e exislc cnlir lesélémcrils; dans 
le j)roblè(ne, une partie au moins de la ligure est à ronsiruirc, 
d'après certaines condihons énoncées; dans le porisnie enfin, la 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. i5i 

figure est tracée comme dans le théorème, mais il y a à trouver 
entre ses éléments une relation non énoncée, et qui permette de 
déterminer l'un d'eux d'après les autres. 

En d'autres termes, le porisnic peut être considéré comme un 
théorème dont l'énoncé est incomplet ou bien comme un problème 
qui, par sa position même, est supposé résolu. 

En choisissant ce terme àeporisme comme titre de propositions 
touchant un ensemble de matières relativement restreint, Euclide 
s'astreignit-il exactement à les énoncer sous la forme correspon- 
dant au concept que nous avons essayé de définir? On ne peut le 
savoir, puisque son Ouvrage est entièrement perdu, et que Pappus 
peut avoir dénaturé sensiblement la forme des deux seuls énoncés 
qu'il nous ait conservés. 

Mais, si Euclide a pu laisser incomplètes, dans ses énoncés, cer- 
taines constructions se déduisant immédiatement des autres don- 
nées, et en dehors de la solution même de la question proposée, 
il n'en est pas moins clair qu'il a dû conserver le caractère générai 
des porismes, essentiellement approprié à la recherche analy- 
tique. 

Les porismes d'Euclide devaient donc pi'ésenter des questions 
dont la solution s'offrait comme nécessairement possible, et comme 
absolument déterminée. Sur ces deux points, ils différaient essen- 
tiellement des problèmes, dont l'énoncé pouvait être soumis à con- 
tenir des conditions relatives à leur possibilité (^iocituo:), et aux- 
quels les anciens regardaient toujours comme suffi.«ant de satisfaire 
par une solution unique, sans s'inquiéter de savoir s'il y en avait 
d'autres. 

En tous cas, la rédaction même des trois Livres des Porismes 
semble avoir entraîné une modification ultérieure du concept ori- 
ginaire, et Pappus nous apprend que ce concept avait été dénaturé 
par des auteurs plus récents. Il leur reproche, d'une pari, d'avoir 
cru suffisant d'établir la possibilité d'une construction supposée, 
sans déterminer la relation pouvant servir à la faire, d'un autre 
côté de s'être attachés à une circonstance particulière et acciden- 
telle en définissant le porisme « un théorème de lieu dont les don- 
nées sont incomplètes ». 

Le sens de cette définition, deviné par Chasles sous une Iradiu- 
• ioii viaimeut incompréhensible en elle-même : <( T^e porisme est 



i52 PREMIÈRE PARTIE. 

inférieur, par l'hypothèse, au ihéorème local », ressort suffisam- 
ment de ce que nous avons dit. Mais notre illustre compatriote 
s'est trompé en admettant que le mot lieu avait pour les anciens le 
même sens que pour nous. Si l'on se reporte à la définition des 
lieux éphectiques, que nous avons donnés plus haut, il est clair 
que pour nous ce ne sont nullement des lieux géométriques, et 
que, pour les anciens, une proposition concluant : « Telle droite 
passe par un point déterminé » était une proposition de lieu. 

Si la situation du point est donnée dans l'énoncé de cette pro - 
position, elle constituera d'ailleurs un théorème; si, au contraire, 
il est demandé de trouver le point fixe par lequel doit passer la 
droite mobile, on aura un porisme. 

Il convient également de remarquer que le problème local, tel 
que le définit Chasles : « Trouver la nature, la grandeur et la position 
du lieu commun à une infinité de points soumis à une loi com- 
mune », ne semble jamais avoir été posé sous celte forme chez les 
anciens, au moins pour les questions àe lieux plans ou solides. 
Ils ont toujours défini, dans les énoncés, si le lieu diexodique à 
trouver était une droite, un cercle ou une des trois coniques. 
Leurs propositions de lieux étaient donc, en général, de véritables 
porismes. P. T. 



MELANGES. 

DEUX CAS PARTICULIERS DE LA TRANSFORMATION BIRATIONNELLE; 

Par m. l'.-II. SCHOLTE. 

de Grôninfjiie C Hollande). 

Dans ce qui suit, je m'occupe de deux cas parlicidiers bien 
simples de la transformation birationnelle. Je commence dans le 
plan par la transformation par droites symétriques et je continue 
par celle par cercles symétriques. Ensuite, au moyen de la transfor- 
mation par rayons vecteurs réciproques, j'indique la relation intime 
qui existe entre les deux transformations consitlérées. Enfin 
j'étudie dans l'espace la Iranslorjnalion [)ar [tians s\ nu'lrnjiM's cl 



MÉLANGES. i53 

j'indique dans quel cas la transformation par sphères symétriques 
est possible (M. 

Je suppose que le lecteur s'est familiarisé avec la théorie géné- 
rale de la transformation birationnelle de M. Cremona, comme on 
le trouve dans le Mémoire excellent de M. le colonel du génie 
T>e\\u\[ {Bulletin, t. III, p. 200). 

I. — La transfoi^niation par droites symétriques. 

\. On joint les sommets A, B, C d'un triangle de référence (y?^. i) 
à un point quelconque O du plan de ce triangle par les droites AO, 
BO, CO et l'on construit les droites AA', BB', CC situées symé- 

Fig. I. 




triquement à AO, BO, CO par rapport aux bissectrices des angles 
A, B, G du triangle. Ces droites AA', BB', CC passent par un 
même point O', car l'équation 



in [3 sin y 



sin(A— a) sin(B— p) sin(G — y) 

qui est vérifiée, parce que les droites AO, BO, CO passent par un 
même point, indique en même temps que les droites AA', BB', CC 
concourent en un même point. 



(') A l'occasion de la solution d'une question d'équilibre, l'équilibre d'un triangle 
donné, dont les sommets s'appuient sur les faces d'un angle Irièdre donné, 
M. F.-J. van den Berg, professeur à Delft, a trouvé, principalement par l'analyse, 
en se servant des coordonnées trilinéaires, quelques-uns des théorèmes suivants : 
les théorèmes des articles 1, i, G, li, 29 et 30. Ils m'ont engagé à étudier la mémo 
matière au moyen de la tliéoric des transformations birationnclles. 



j54 PREMIÈKE partie. 

!2. Les points O et O' forment une transformation birationnelle, 
parce qu'à un point quelconque O du plan correspond un point 
déterminé O', et réciproquement; de plus, cette transformation 
est une transformation birationnelle en involution, parce que les 
points O et O' se correspondent doublement, c'est-à-dire que le 
point O' se place en O quand on a mis le point O en O'. 

Les points O et O' pouvant être les deux foyers d'une conique 
qui touche les côtés du triangle ABC, la correspondance est celle 
c[ui existe entre les deux foyers de toutes les coniques qui touchent 
ces trois droites ('). 

3. Chaque point d'un des côtés du triangle ABC correspondant 
au sommet opposé, ce côté tout entier doit correspondre au som- 
met opposé. Les sommets du triangle de référence sont donc des 
points fondamentaux simples de la transformation et les côtés 
opposés en sont les courbes fondamentales. 

On voit sans peine que les trois points A, B, C sont les seuls 
points fondamentaux, parce qu'à chaque autre point du plan cor- 
respond un point déterminé. 

4. A une droite AO passant par un des trois points fondamen- 
taux. c[ue nous venons de trouver, correspond évidemment une 
droite AO' passant par le même point fondamental. D'oii l'on 
déduit que la courbe qui correspond à une droite quelconque est 
mie conique passant par les sommets du triangle ABC et que le 
réseau des coniques passant par A, B, C correspond au réseau des 
droites du j)lan. 



(') La théorie des coniques présente encore bien d'autres transformations hi- 
rationnelies. Je n'en cite que deux exemples, qui forment îles transformations l>i- 
ralionncllcs tangentielles en involution, la correspondance des deux axes d'une 
conique qui passe par trois points fixes ou qui touche trois droites fixes. 

Dans les deux cas cités, la transformation a une droite fondamentale tri|)le, la 
droite l.^ silu(';e tout entière à rinfini, et six droites fondaiiieulales simples (|ui 
sont: dans le premier cas, les trois perpendiculaires aux côtés du triangle formé {VAr 
les trois points aux points milieux de ces côtés et les trois firoitcs (|ui joignent 
ces points milieux entre eux ; dans le second cas, les six bissectrices des liois angles 
du triangle formé par les trois tangentes. 

Dans les deux cas, l'enveloppe corresponilanl à un point (|n(liiin(pic e>t de la 
quatrième classe, etc. 



MÉLANGES. i33 

Plus directement on trouve le dernier résultat de la manière 
suivante. Quand le point O parcourt une droite quelconque /, les 
faisceaux de rayons (') AO et BO sont perspectifs ; donc les fais- 
ceaux des rayons symétriques AO' et BO' sont projectifs. L'en- 
semble des points d'intersection de leurs rayons homologues, 
c'est-à-dire le lieu des points O' qui correspondent aux points O 
de la droite quelconque /, est donc une conique qui passe par les 
points A et B. Mais si, dans les raisonnements, on remplace un des 
deux faisceaux AO et BO par le faisceau CO, on trouve que cette 
conique passe de même par le point G; donc, la conique qui cor- 
respond à une droite quelconque /passe par les trois points fon- 
damentaux A, B, C. 

En particulier, on trouve que le cercle circonscrit au triangle 
ABC correspond à la droite l^_ du plan qui se trouve tout entière à 
l'infini, car, les faisceaux de ravons AO et BO des points O de l^_ 
étant congruenls, les faisceaux des rayons symétriques AO' et BO' 
le sont aussi, etc. Eu égard à la fin de l'article 2, ce cas particulier 
démontre un théorème connu :■ Le lieu des foyers des paraboles 
qui touchent trois droites données est le cercle circonscrit au 
triangle formé par ces droites. 

5. Il y a quatre points et six droites qui coïncident avec leurs 
éléments correspondants. Les points, ce sont le centre du cercle 
inscrit et les centres des cercles exinscrits au triangle ABC; les 
droites, ce sont les six droites qui passent par deux de ces quatre 
points, les six bissectrices des angles du triangle ABC. J'indique 
les points par M, M^, M^, M^ et les droites par A^, A_, B^, B_, 
C4., G_, le signe + représentant la bissectrice d'un angle même du 
triangle, le signe — représentant la bissectrice d'un angle adja- 
cent. 

Eu égard à la fin de larticle -i, les résultais de cet article-ci sont 
bien évidents. 

6. La courbe correspondante d'une conu[iie C-, qui passe par 
deux des trois points fondamentaux, A et B par exemple, est 



(') Par rapport à la terminolugie, j'ai suivi M. O. Chemin dans sa traduclion 
du travail excellent rie M. Th. Reyc, Lerons sur la Géométrie de position. 



i56 premiers; partie. 

encore une conique parées deux points. Car à une conique quel- 
conque correspond une courbe quarlique, dont A, B, C sont des 
points doubles. Et quand la conique passe par A et B, la courbe 
correspondante se compose d'une partie accessoire, les droites BC 
et CA qui correspondent aux points A et B, et d'une partie essen- 
tielle, une conique qui passe par A et B. 

Quand la conique C- par A et B contient encore deux des 
points M, qui ne sont pas en ligne droite avec A et B, c'est-à-dire 
M et M,, ou jMrt et M^, elle coïncide avec sa conique correspon- 
dante. Car le faisceau des coniques qui passent par A, B, M, M^ 
coupe la droite M^M^ ou G_ suivant une involution, qui ne diffère 
guère de l'involution des points correspondants de cette droite, 
puisque ces deux involutions ont les mêmes points doubles, les 
points M„ et M^. D'où il s'ensuit que les deux coniques doivent 
coïncider, parce qu'elles passent par les mêmes six points, les 
quatre points A, B, M, M^ et les deux points d'intersection de C- 
avec C_- Le centre de l'invokition des points correspondants sur 
cette conique C- est situé sur la. droite C_, parce que les deux 
points d'intersection de C^ avec C_ correspondent l'un à l'autre. 
La droite C_ est donc le lieu des centres d'involution des points 
correspondants de toutes les coniques C- du faisceau, déterminé 
par les points de base A, B, M, M^. Ce qui se démontre de la même 
manière de chacune des six droites A^, A_, etc., par rapport à un 
faisceau déterminé de coniques. 

7. Au faisceau de rayons /, dont un des points M est le centre, 
correspond le faisceau de coniques C-, dont A, B, C et le point M 
en question sont les points de base. Les tangentes à ces coniques 
au point M forment un faisceau de ravons /', qui est projectil au 
faisceau de rayons /. Mais ces deux faisceaux projectifs coïncident, 
parce qu'ils ont trois éléments correspondants communs, les 
droites MA, MB, MC. Donc, chaque courbe qui passe |)ar un des 
points M est touché en ce point par sa courbe corrcspondanle. Et 
quand un des points M est un |)oint inulliplc tl'uric couibc C" , ce 
point se trouve avec le môme degré de mulli[)licité sur lu courbe 
correspondante, tandis que les langenles au\ deux courbes en ce 
point coïncident. 

On relrouNC donc le ré^^lll;ll de rmiiilc |»ré(é(K'nl . t|iic cluquc 



.MÉLANGES. i'J7 

conique qui passe par A, B, M et M^- correspond à elle-même. 
Car les deux coniques ont communs les quatre points A, B, M, 
M,- et les tangentes en M et M^.. Béciproquement, l'article précé- 
dent aurait pu conduire au résultat que nous venons de trouver. 

8. Chaque droite contient deux points qui correspondent l'un à 
l'autre, les points d'intersection de cette droite et sa conique cor- 
respondante. En particulier la droite /„ coupe le cercle circonscrit 
au triangle ABC en deux points correspondant l'un à l'autre. D'où 
l'on déduit qu'à chaque cercle qui passe par deux des trois points 
A, B, C correspond encore un cercle passant par ces deux points. 

Comme on le voit sans peine, le précédent contient la solution 
de la question suivante : Déterminer les joyers d'une conique, 
qui touche trois droites données et dont un des axes est donné 
en position. 

9. Le lieu des points correspondants, qui sont en ligne droite 
avec un point donné P, est une courbe du troisième ordre D'', qui 
correspond à elle-même. Car cette courbe passant une lois par P, 
chaque droite par P en contient le point P et les deux points d'in- 
tersection de la droite avec sa conique correspondante. En P la 
courbe est touchée par la droite qui joint le point P à son point 
correspondant P'; elle passe par les points A, B, C (parce que le 
point dinterscclion de PA avec BC correspond au point A, etc.) 
et par les quatre points M. 

La courbe D^* est encore l'ensemble des points d'intersection 
des courbes homologues de deux faisceaux projectifs, dont l'un 
est le faisceau de rayons ayant P pour centre et l'autre le faisceau 
des coniques correspondantes a\aiit les points A, B, C et P' pour 
base. D'où l'on déduit d'une manière non moins simple les pro- 
priétés du lieu. 

D'un autre côté, chaque courbe du troisième ordre qui passe 
par A, B, C et les quatre points M ne peut différer de sa courbe 
correspondante, parce que ces deux courbes ont au moins onze 
points communs, les trois points A, B, C et les quatre points ^[ 
où elles se touchent. Le réseau des courbes D' qui passent parles 
sept points (les points A, B, C et les points M) es! donc j)rojeclif 
au réseau des points P du plan. 



l'JS PHi;.MIÈHK PAHTIK. 

Autrefois j'ai étudié en général la correspondance entre les 
deux points de base mobiles d'un faisceau de courbes planes du 
troisième ordre ayant sept points de base fixes (Association fran- 
çaise, congrès de Montpellier, ,innuaire de 1879, p. 194-206). 
De cette correspondance la transformation par droites symétriques 
forme un cas très particulier (voir loc. cit., p. 100, fig. 10, co- 
lonne 1, case du milieu, où les trois points i correspondent aux 
points A, B, C, tandis que les quatre points sans chiffre corres- 
pondent aux points M). 

10. L'indication de courbes L" d'un ordre plus élevé /?, qui 
coïncident avec leurs courbes correspondantes L', n'offre en géné- 
ral plus de difficulté. On n'a qu'à observer que : 

1° La courbe L' doit s'accorder à la courbe L" en ordre (à cette 
fin on doit faire passer L" une ou plusieurs fois par les points A, 
B, C); 

2" Le nombre des conditions simples équivalent à celles qui 
expriment que la courbe L" passe par les points simples et mul- 

• 1 -, 1 • 7? ( /î -4- 3 ) 
tiples assignes ne doit pas surpasser ; 

?)° Les points simples et multiples qui déterminent L" doivent 
être choisis de manière qu'ils ne déterminent qu'une seule courbe 
L" de l'ordre désiré; 

4° Le nombre des points communs à L" et sa courbe correspon- 
dante doit surpasser n'-. 

Ainsi l'on trouve les courbes suivantes : 

{a) Chaque courbe E' (du quatrième ordre) qui passe deux fois 
par A et M et nue fois par B, C, jM/,, M^. et deux points corres- 
pondants O et O'. J'indique ces courbes par le symbole 

4(A2BG, M2.M/,.M^, 00'); 

(b) Chaque courbe F' caractérisée par 

.")( A^H-^C, M2M;;mL\I,., 00'); 

(c) Chaque courbe G" avec le symbole 

G(A2i>2r,2. MiM;,Mi^M7,. (^O' ), .... 

.l'observe encore <pi On jx'ut rcuipUicer les (h'u\ points () et ( )' 
par les points où {haipie ccrch' est coiqx' [)ar la droite /, [)our 



M f: LANGES. i>9 

obtenir comme cas particuliers des courbes circulaires, des quar- 
tiques, des quiiitiques, des sextiquos circulaires, qui coïncident 
avec leurs courbes correspondantes. 

11 va sans dire que les droites qui joignent les points correspon- 
dants des courbes E^, F-*, G" ne passent pas par un même point 
comme dans le cas des courbes D^, mais qu'elles enveloppent des 
courbes nouvelles. 

11. Pour la construction des droites symétriques, on a renversé 
dans cbaque angle du triangle ABC les deux parties a et A — a, 
[j et B — [3, Y et C — y déterminées par les droites AO, BO, GO. 
Si, au lieu de renverser ces parties des angles, on renverse les seg- 
ments déterminés par les prolongements de AO, BO, GO sur les 
côtés opposés, on trouve encore trois droites passant par un même 
point O'. 




Gar le théorème du marquis de Géva donne par rapport aux 

droites Ao, Bb, Ce {fig- a), qui passent par un point O, léqua- 

tion 

Xb Bc Ca _ 
èC ^ «B ""'' 



lui dans la forme 



b'Q. C'A a'B 
\b' B c' C a' 



exprime que les droites Ar/, BZ>', Gc' passent par un même 
point O'. Ainsi Ton trouve encore une transformation birallonncllc 
en involution. Parce qu'il v a une grande analogie entre cette 
Iranslormation nouvelle et celle par droites svmétriques, j'indique- 
rai seulement les différences entre les deux transformations. 

1^. La démonstration du'ccte de rarlicle ï doil subir nu petit 
cliangenient de nonu'nclalure. De plus, à la droite h corrcspoml. 



i6o 



PREMIÈRE PARTIE. 



au lieu du cercle circonscrit au triangle ABC, une ellipse qui 
touche en A, B, C les droites menées par ces points parallèlement 
aux côtés opposés BC, CA, AB. Seulement^ si le triangle de réfé- 
rence ABC est équilatère, cette ellipse est encore un cercle. Mais 
dans ce cas les deux transformations sont identiques. 

Quand la droite l^ correspond à une ellipse, les points où cette 
droite est coupée par un cercle quelconque ne correspondent plus 
l'un à l'autre; à un cercle par A et B ne correspond donc plus un 
cercle, etc. De plus, les points M qui correspondent à eux-mêmes 
sont, dans la nouvelle transformation, le centre de gravité du 
triangle ABC et les trois points d'intersection des droites par A, 
B, C parallèles aux côtés opposés, etc. 

13. Une combinaison des deux constructions, le renversement 
des parties des angles et le renversement des segments sur les côtés 
du triangle, conduit encore à une transformation qui présente 
beaucoup d'analogie avec celles que nous avons étudiées. A la 
droite l^ correspond une autre ellipse et les points M y ont une 
autre signification, etc. 

Les transformations considérées ne sont toutes que des cas par- 
ticuliers de la transformation quadratique générale où les trois 
points simples A, B, C sont les seuls points fondamentaux. 



II. — La transformation par cercles symétriques. 
M. Si trois cercles a, [îi, y {fig- 3) décrits sur les côtés d'un 

Fig. 3. 




triangle ABC comme cordes ont un point coninuin O cl cpic 1 on 
fasse subir à ciiniiiic ccrcir une (Icnii-ic' voliilion ;iiilonr(lc lu conlc 



MÉLANGES. i6i 

sur laquelle il a été décrit, on obtient trois cercles a', ^', y' symé- 
triques aux premiers par l'apport au\ côtés du triangle; ces cercles 
passent encore par un même point O'. 

Si l'on représente par rt, ^, c les angles BOC, COA, AOB con- 
tenus dans les cercles a, [i, y par rapport aux côtés du triangle, 

on a 

a -i- 6 -f- c = 360°, 

parce que les trois cercles a, ,3, y passent par un même point O. 
Mais, sous la foi^me 

b = (i8o°— a) + (i8o°— c), 

cette équation exprime également que le point d'intersection O' 
des cercles a' et y' se trouve aussi sur [i', etc. 

io. Les points O et O' forment une transformation birationnelle 
en involution. 

16. A chacun des points A, B, C correspond un cercle, le cercle 
qu'on obtient en faisant subir au cercle circonscrit au triangleABG 
une demi-révolution autour du côté opposé du triangle. Ces cercles 
passent par un même point D i^fig. 4)i le point d'intersection des 




trois hauteurs du triangle; car, dans le cercle circonscrit et dans le 

triangle, on a 

B rt . « C = A « . « D,j 

Brt.aC = Aa.Drt; 

ce qui prouve que les deux segments r/D^ et Drt sont égaux et que 
liull. des Sciences mathcin., 2° scric, t. VI. (Juin i88a.) i^î 



i(;>. PREMIERE PARTIE. 

le cercle symélriquc au cercle circonscrit par rapport à BC passe 
par D, etc. ^lais ce raisonnement prouve en même temps que les 
cercles symétriques à BCD par rapport à BC, à CAD par rapport 
à CA et à ABD par rapport à AB, coïncident avec le cercle circon- 
scrit an triangle, c'est-à-dire que ce cercle circonscrit tout entier 
correspond au seul point D. Les quatre points A, B, C, D sont 
donc des points fondamentaux doubles, ayant des cercles pour 
courbes fondamentales. 

17. Les jDoints d'intersection de deux courbes fondamentales ne 
pouvant être que des points fondamentaux, les points circulaires 
à riniîni w et to, sont deux points fondamentaux imaginaires, dont 
le degré de multiplicité sera indiqué plus loin. 

18. Si le point O s'est éloigné infiniment dans une direction 
donnée, le point O' se trouve aussi à l'infini, mais au premier 
abord la direction de ce dernier point n'est pas évidente. 

19. Les trois côtés du triangle correspondent à eux-mêmes. Sur 
chacune de ces droites les points cori'cspondants forment une in- 
volution, dont un des points doubles est situé à l'infini (suivant 
l'article précédent), une involution hyperbolicpie équilatère, dont 
l'autre point double, le pied de la perpendiculaire abaissée du 
sommet opposé sur le côté en question, est le milieu des segments 
formés sur la droite par les points correspondants. 

20. Quand à chaque point delà droite /^ correspond un point 
bien déterminé (de celte même droite), ce qui est la seule suppo- 
sition admissible, la transformation biralionnelle ne connaissant 
pas un lieu de points fondamentaux, chaque point de 1,. doit coïn- 
cider avec son point correspondant; car ces points déterminent 
sur cette droite une involution avec trois points doubles, les points 
d'intersection de /«, avec les côtés du triangle, etc. 

21. Les points A, B, C, D, (o, w, sont les seuls |)oint■^ fonda- 
mentaux de la transformation. 

22. La courb(; correspondante d une droite (|ueh'on<|Uf /est une 



MÉLANGES. ir.3 

courbe C^ dont les points A, B, C, D sont des points doubles. 
Elle passe un noni])re de fois encore indéterminé par o) et oj, et a 
une asymptote parallèle à /. 

La courbe a des points doubles aux points A, B, C, D, ces 
points étant des points doubles de la transformation. Elle est du 
cinquième ordre, parce qu'elle est coupée par un côté AB du 
triangle en cinq points, les deux points doubles A, B et le point O' 
correspondant au point d'intersection O de / et AB. 

123. Les points w et (p, sont des points fondamentaux doubles de 
la transformation et des points doubles de chaque courbe G'' (qui 
est donc une quintique bicirculaire) ; car deux courbes C^ ne se 
coupent en dehors du point O', correspondant au point d'intersec- 
tion O des droites corres|jondantes, qu'en des points fondamen- 
taux; et les quatre points doubles communs A, B, C, D équivalent 
à seize points simples communs, les deux points communs (o et to, 
équivalant à huit points simples communs, résultat qui n'est 
d'accord qu'autant que w et oj, sont des points doubles de 
chaque courbe C'^, etc. 

12 i. La transformation en question admet donc six points fonda- 
mentaux doubles, les points A, B, C, D, m, to,. La courbe fonda- 
mentale de chacun des quatre points réels est la conique passant 
par les cinq autres points; la courbe fondamentale d'un des 
• points w, M, est la conique passant par le point même et par les 
quatre ])oints réels. 

12^). l^a courlje correspondante d'une droite / par un des points 
A, B, C, D, 0), to, est une courbe G'', qui passe deux lois par le point 
Ibndamenlal sur / et une fois par les autres points fondamentaux; 
et chaque droite qui joint deux des points fondamentaux corres- 
j)ond à elle-même. 

l2G. Les points correspondants forment sur chacune des droites 
AD, BD, (iD, qui correspondent à elles-mêmes, une invohi tion bv- 
perbolique équilalère; de ces involutions les points a^ b^c i/ii;'- ■\) 
sont les points doubles non situés sur l^. Donc les six côtés du 
(piadrangle complet ABGD correspondent à eux-mêmes et eon- 
li<'unent des iiivohilions l)V[»erboli(pies écpiilalères a\aMi pour 



i64 PREiMIÈRE PARTIE. 

point double le point d'intersection du côté en question avec le 

côté opposé. 

27. La courbe correspondante d'une conique qui passe par 
quatre des six points fondamentaux est encore une conique: car 
la courbe C'", qui correspond à une conique quelconque, se com- 
pose, quand la conique passe par quatre points fondamentaux, 
d'ime partie accessoire, les quatre courbes fondamentales de ces 
quatre points, et d'une partie essentielle, une conique. En général, 
cette conique correspondante passe par les mêmes points fonda- 
mentaux que la conique donnée ; seulement quand celle-ci contient 
w sans cl)|, celle-là contient w, sans to. 

28. A chaque cercle passant par deux des quatre points A, B, C, 
D correspond donc encore un cercle par ces mêmes points. Ce 
théorème, évident pour les combinaisons BC, CA, AB, est nouveau 
pour les combinaisons AD, BD, CD; et l'on voit sans peine que 
ces cercles correspondants sont symétriques l'un à l'autre par rap- 
port aux droites AD, BD, CD, car deux cercles correspondants 
par C et D coupent AB en deux couples de points correspondants 
dontc est le point milieu, etc. On retrouve donc la même transfor- 
mation, quand on remplace le triangle de référence ABC par un 
des triangles BCD^ CAD, ABD : ce que l'on ne peut pas encore 
déduire du seul fait que chaque sommet du quadrangle ABCD est 
le point de rencontre des hauteurs dans le triangle formé par les 
trois autres sommets. 

De plus, au lieu des trois groupes symétriques de cercles BC, 
CA, AB, on peut se servir des trois groupes symétriques de cercles 
décrits sur AB, BD, CD, pour déterminer la correspondance en 
question; ce qui nous sera utile au Chapitre suivant. 

Toutefois la correspondance est déjà déterminée par deux qu(d- 
conques des six groupes de cercles svmétriques. 

29. A chaque conique passant par A, B, C, D (cl, comme on sait, 
cette conique est toujours une hyperbole équilatère), correspond 
encore une hyperbole équilatère qui contient les mêmes j)oiuls 
fondamentaux. Mais ces courbes coïncident, parce qu'elles ont six 
points (-omiiiiiMS. les (piatic puiiits \ , 15. ( ',, D el deux p()iiil> sur I , . 



MÉLANGES. 



i65 



30. Les droites qui lient les points correspondants d'une liyper- 
bole équllatère par A, B, C, D passent par le centre de cette 
courbe. Car ces droites passent par un point, parce que les points 
correspondants forment une involutlon sur la courbe, et ce centre 
d'involutlon doit coïncider avec le centre de figure de la courbe, 
parce qu'il doit se trouver sur les deux asymptotes, eu égard à 
l'article 20. 



31. Le lieu des centres d'involutlon, c'est-à-dire des centres de 
figure des hvperboles éqilllatères passant par les points A, B, C, 
D, c'est le cercle circonscrit au triangle abc, le cercle des 
neuf points par rapport au triangle de référence ABC; car le 
j)oint correspondant à D sur une de ces hyperboles, c'est le qua- 
trième point d'intersection de l'hyperbole avec le cercle circonscrit 
au triangle ABC, et l'on volt sans peine que le lieu des points mi- 
lieux des rayons vecteurs du cercle circonscrit au triangle ABC par 
rapport au point D comme pôle est le cercle des neuf points du 
triangle ABC, le milieu du rayon vecteur DD^^ (/'o'- 4) étant le 
point <7, etc. 

3'2. De plus, les cercles décrits sur les côtés du triangle ABC 
comme diamètre correspondent à eux-mêmes, chacun de ces 
cercles étant symétrique à soi-même par rapport au côté corres- 

Fiff. 5. 




pondant du triangle. Et l'article 28 montre que la même propriété 
convient aux cercles décrits sur AD, BD, CD comme diamètre. 

Dans chacun des cercles décrits sur un des côtés du quadrangle 
complet ABCD comme diamètre, le centre d'involutlon des points 



i66 PREMIÈRE PARTIE. 

correspondants est le point milieu du côté opposé; car sur le 
cercle a, décrit sur BC comme diamètre, les points ^ et c sont les 
points doubles de l'involution { fig- 5) et les tangentes en ces 
points au cercle a se coupent au point milieu de AD. Car le tri- 
angle Qbe formé par la corde CA de a et les deux tangentes à a 
aux deux extrémités de cette corde étant isoscèle, le triangle sem- 
blable A6y' est aussi isoscèle, etc.; ce qui montre que les tangentes 
en 6 et c au cercle a s'intersectent en un point /de AD situé à 
égale distance de A, />, c. Mais le cercle passant par A, b, c passe 
aussi par D ; donc /est le point milieu de AD. 

33. Cherchons les courbes d'un ordre plus élevé qui corres- 
pondent à elles-mêmes. 

La courbe qui correspond à une courbe du troisième ordre pas- 
sant par les sis points fondamentaux est encore une courbe du 
troisième ordre par ces points ; car, dans ce cas, la courbe C'"' avec 
six points sextuples se compose des six coniques fondamentales 
et d'une courbe du troisième ordre passant par les points foiula- 
mentaux. 

Les courbes D-' svmbolisées par 3(ABCD(.)(0i, abc) correspon- 
dent à elles-mêmes; car les deux courbes correspondantes ont di\ 
points communs, les neuf points indiqués et le troisième point 
d'intersection des deux courbes avec /==. Au premier abord il peut 
sembler paradoxal qu'on parle d'une pluralité de courbes D-' pas- 
sant par neuf points donnés, tandis que neuf points quelconques 
déterminent une courbe unique du troisième ordre. Mais les neuf 
points entre parenthèses dans le svmbole donné peuvent être les 
neuf j)oints tic base d'un faisceau de courbes du troisième ordre; 
car on démontre sans peine que les courbes 3(ABCD (-ko,, «7,00') 
passent en même temps par b et r, parce que la supposition con- 
traire mène à l'un des deux résultats absurdes suivants : ou que 
cette courbe contient les points d'intersection de /» avec AB, 
AC, BD et CD, ou qu'elle coupe encore un de ces cùtés en deux 
points correspondants. On voit donc (\\\''\\ v a une infinité de 
courbes du troisième oi-dre passant par les six jinints i'oiidamcn- 
taux et les trois points a^ b, r; mais que cette inlinité ne saurait 
être qu'un faisceau, toutes les courbes passant par neuf points 
lixes. 



MÉLANGES. iCy 

Les courbes E'' avec le svnibole 4(^^'^I^CD(o(o, , OO') coïnci- 
dent avec leurs courbes correspondantes; car la courbe corres- 
pondante est une courbe de la même nature et les deux courbes 
ont dix-huit points communs, neuf au point A, cinq aux autres 
points fondamentaux, les deux points O et O' et deux points sur 
/«, etc. 

Nous trouverons jjlus loin des courbes du cinquièjne ordre, qui 
correspondent à elles-mêmes. 

34. Chaque droite / contient deux couples de points corres- 
pondants, car elle coupe sa courbe correspondante C'' en dehors 
de /:c en quatre points. 

33. Les points correspondants qui sont en ligne droite avec un 
point donné P se trouvent sur une courbe F-^ par P qui touche en 
ce point la droite PP'*, car chaque droite par P coupe cette 
courbe au point P et aux quatre points indiques dans l'article pré- 
cédent. Les points A, B, C, D sont des points doubles de la 
courbe (caria droite PA coupe deux fois la courbe fondamentale 
de A, le cercle BCD). Elle passe une fois par les points a, b., c, w, 
oj, et touche la droite /» en (o et co,. 

Il va sans dire que les courbes F"' coïncident avec leurs courbes 
correspondantes. Leur svmbole est 5( A-B-C-D tocoi , abc) et elles 
l'orment un réseau correspondant au réseau des points P. 

36. La courbe F% dont le point P se trouve sur le cercle des 
neuf points du triangle ABC (le cercle «6c), se compose de deux 
parties; car elle doit contenir l'hvperbole équilatère par A, B, C, 
1) et P, et, par suite, encore une courbe du troisième ordre par les 
six points Ibndamenlaux et par <^/, 6, c. Cette courbe du troisième 
ordre est une des courbes D' trouvées plus haut. 

La courbe F', dont le point P est le point milieu dun des six 
cotés du quadrangle complet ABCD, se compose de trois par- 
lies, une hvperbole équilatère, un cercle et une droite. 

37. Les droites qui lient entre eux les points correspondants 
situés sur une courbe D' passent par un même point de cette 
courbe, le sixième point d'intersection de la courbe avec le cercle 



iG8 PREMIÈRE PARTIE. 

abc. Ce théorème est une conséquence immédiate de l'article pré 
cèdent; caries courbes D"* qui font partie d'une courbe F** se pré- 
sentent en nombre infini, chaque point du cercle abc donnant lieu 
à une de ces courbes, ce qui prouve qu'elles forment un faisceau 
avant les mêmes points de base que le faisceau trouvé à 
l'article 33. 

Mais le théorème en question peut être démontré d'une manière 
plus directe; caries points correspondants d'une des courbes D' 
de l'article 33 sont les points d'intersection mobiles de D^ avec une 
hvpei^bole équilatère par A, B, C, D (cette hvperbole correspon- 
dant aussi à elle-même); et la génération d'une courbe du troi- 
sième ordre au moyen de deux faisceaux projectifs, un faisceau 
de rayons et un faisceau de coniques, apprend par inversion du 
raisonnement que les droites en question passent par un point 
fixe de la courbe D'', le point opposé (piinto opposto) du qua- 
drangle ABCD par rapport à la courbe D^. 

Les points correspondants d'une courbe E'* sont bien les points 
d'intersection mobiles de cette courbe avec une hyperbole équila- 
tère par A, B, C, D ; mais les droites qui lient les points corres- 
pondants de £'' enveloppent une courbe au lieu de passer par un 
point fixe. 

Quand on représente les points d'intersection d'une droite 
quelconque / avec le cercle abc par /■ et s, on trouve qu'un des 
deux couples de points correspondants situés sur / a[)partient à 
l'hyperbole équilatère de /• et à la courbe D'' de s, tandis que 
l'autre couple fait partie deriiyperbole équilatère de 5 et de la courbe 
D' de /*; et réciproquement, les deux points d'intersection mobiles 
d'une hyperbole équilatère par A, B, C, D et d'une des courbes 
D' se trouvent sur la droite qui joint les deux centres d'involu- 
tion de ces deux courbes. 

38. Au moyen des hvperbolcs équilatères, des courbes D^, E', 
F**, nous ti^ouverions sans peine des courbes d'un ordre phis 
élevé qui correspondent à elles-mêmes. Mais cet examen ne jouis- 
sant pas de cette simplicité qui a caractérisé les résultats obtenus, 
je passe à un ;uilre sujet. [A suis'fe.) 

lia a *■ 



r.OMl'TES HKNDUS HT ANAI.VSKS. ilk, 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES 



HERMITE (C.)- — Cours PROFESSÉ pendant le '2^ semestre de l'année 1881- 
1882, rédigé par M. AxnovER, élève de l'École Normale supérieure. — Paris, 
i88'2. Hcrmann, libraire, rue delà Sorbonne, i vol. in-4", 202 p. lith. 



M. Hermite a rendu un grand service à ceux qui étudient les 
Mathématiques en autorisant la publication du Cours qu'il professe 
avec tant d'éclat à la Faculté des Sciences de Paris. 

Ce n'est pas sans étonnement qu'on trouvera, dans les vingt- 
Cf/i^ Leçons que comporte ce Cours, tant de matières touchées ou 
approfondies ; il convient, avant d'en faire l'énumération, de rappe- 
ler la nature de l'enseignement donné par M. Hermite. 

Le programme de la licence es sciences mathématiques est, 
chaque année, entièrement développé à la Faculté des Sciences 
de Paris : cinq professeurs, deux maîtres de conférences suffisent 
à cette tâche. Deux chaires sont, en fait, consacrées à l'enseigne- 
ment du Calcul différentiel et intégral; M. Bouquet occupe l'une 
pendant deux semestres, M. Hermite occupe l'autre pendant un 
seul semestre. Leur enseignement est strictement élémentaire et 
ne dépasse pas les limites du programme de la licence; mais on 
jugera qu'il ne peut être complet et au courant de la Science que 
grâce au rare talent et aux efforts extraordinaires de ceux qui le 
donnent, si l'on veut bien penser à l'étendue du programme et au 
développement considérable que les découvertes récentes ont 
donné à quelques-uns de ses Chapitres. 

M. Hermite s'est chargé d'enseigner ce qui concerne les appli- 
cations du Calcul intégral à la quadrature et à la rectification des 
courbes, à l'évaluation des aires des surfaces courbes et des vo- 
lumes; la théorie générale des fonctions d'une variable imagi- 
naire; l'application de cette théorie à l'étude des intégrales eulé- 
riennes et des fonctions elliptiques. 

Cinq Leçons sont consacrées à la partie géométrique; les appli- 
cations sont naturellementchoisies en vue de ce qui suivra; ainsi la 
rectification des coniques, ou la quadrature des cubiques planes con- 

Rull. des Sciences mntbem., ■>." sério, t. W. (Juillet i88.>..) l 'l 



170 PREMIÈRE PARTIE. 

duisent à la considération des intégrales de la forme / f(^x^y)dx^ 

on f(x,y) est une fonction rationnelle de ^ et àey, et où j' est la 
racine carrée d'un polynôme du quatrième degré en a: : c'est, pour 
le professeur, l'occasion d'exposer, d'après Legendre, la réduction 
des intégrales de cette espèce aux intégrales elliptiques, d'indi- 
quer quelques-uns des résultats si simples obtenus à ce propos 
par M. Tchebychef, de signaler enfin quelques cas de réduction 
d'intégrales elliptiques à des fonctions algébrico-logarithmiques ( ' ). 
Dans la même partie de son Cours, M. Hermite trouve l'occasion 
de préparer l'introduction des intégrales prises entre des limites 

imaginaires en considérant des intégrales de la forme / f[x^y)dt, 

où X et r sont des fonctions réelles de la variable réelle t. 

Trois Leçons sont ensuite employées à l'exposition des pro- 
priétés les plus simples des fonctions d'une variable imaginaire, à 
la définition des intégrales prises entre des limites imaginaires, à 
la démonstration du théorème fondamental de Caucliy relatif à ces 
intégrales. Dans ces Leçons et celles qui suivent, M. Hermite tire 
le plus grand parti de l'expression simple donnée par M. Dar- 
boux dans le Journal de M. Resal (-) pour les intégrales de la 

r'' , 

forme / f{jc) ¥ [x] dx .^ oh f{x) est une fonction continue de la 

forme o[x) -\- i'\{x) de la variable réelle x^ où. a et b sont 
des quantités réelles, où f{x) enfin est une fonction constam- 
ment positive entre les limites de l'intégration ; il signale une 
autre expression des intégrales de cette nature due à M. Weier- 
strass. La méthode suivie pour établir le théorème de Cauchy est 
celle que M. Cari Neumann a développée au début de ses Leçons 
sur les intégrales abéliennes. Dans les quatre Leçons qui suivent, 
]\L Hermite expose les conséquences immédiates du théorème de 
Cauchy et les principes, dus à M. Weierstrass et à M. Miltag- 
Leffler, delà théorie des fonctions uniformes; il y donne la décom- 



(') Voir Sur une formule d'Euïcr (Journal de M. Hcsal, l. VI, p. 5); Bulletin, 
2' srric, t. IV, II" Partie, p. 2f)7, et t. III, I" Partie, p. 2i(i. 

(') Sur les développements en série des /onctions d'une variuble. III* Srrie, 
l. II, p. 2(^1. — Voir Bulletin, u' série, l. I, 11° Parlic, p. 3.3.'^. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. ï-^t 

position d'une fonction transcendante entière en facteurs pri- 
maires et l'expression générale des fonctions uniformes admetlant 
un nombre infini de points singuliers, isolés, essentiels ou non, 
dont l'ensemble admet le point ce pour limite unique, expres- 
sion donnée par MM. Mittag-Leffler dans les Comptes rendus des 
séances de l'Académie des Sciences]^o\xv l'année 1882. La marche 
suivie par M. Hermite est celle qu'il a ouverte dans sa lettre 
au géomètre suédois ('), insérée dans le tome XII des Acta Socie- 
tatis Scientiarum Fennicœ. Dans celte lettre, à la vérité, le 
théorème de M. Mittag-Leffler n'est établi que dans le cas où tous 
les points singuliers sont des pôles ; mais la même méthode con- 
duit au théorème général. 

Le professeur s'arrête ensuite un peu (Leçons XIII, XIV etXV) 
sur les intégrales eulériennes : la forme donnée par M. ^^'eie^- 

strass àla fonction 7; > celle que M. Prvm a obtenue pour la 

fonction r(x) elle-même, fournissent des applications immédiates 
des résultats établis dans les Leçons précédentes; outre les pro- 
priétés élémentaires de la fonction r(^), déduites de la consi- 
dération de la série qui représente la dérivée seconde de logr(j7), 
M. Hermite démontre la formule de Laplace, relative au calcul 
approché de r(.r), quand x est un nombre entier très grand. 

Dans les deux Leçons qui suivent, il développe, comme dans la 
lettre déjà citée à M. Mittag-Leffler, cette idée si simple et si na- 
turelle que la notion de coupure et ce genre spécial de disconti- 
nuité auquel elle correspond s'offrent d'eux-mêmes , au début du 
Calcul intégral, dans la considération d'une intégrale définie où 
figure un paramètre varialile. 

Le théorème de Cauchv sur le nombre de racines d'un poly- 
nôme contenues à l'intérieur d'un contour, l'établissement de la 
série de Lagrange, quelques indications sur la nature des séries 
qui proviennent de la résolution par rapport à y d'une équation 
algébrique entre >' et x, en particulier la démonstration du célèbre 
théorème d'Eisenstein à ce sujet et l'énoncé de la curieuse propo- 
sition de M. Tchebychcf sur les séries à coefficients rationnels 
qui peuvent représenter des fonctions composées de fonctions algé- 

(') Voir Bulletin, ■>.' strie, l. \', I" Partie, p. ailo. 



i7a PREMIÈRK PARTIR. 

briques, exponentielles et logarithmiques, sont l'objet de la XVIIP et 
de la XIX*^ Leçon. Les deux Leçons suivantes sont consacrées à 
l'étude de la nature des fonctions multiformes qui proviennent de 
l'intégration soit de fonctions uniformes, soit de fonctions multi- 
formes, ainsi qu'aux moyens de rendre ces fonctions uniformes 
par l'introduction d'un système convenable de coupures. 

Enfin les éléments de la théorie des fonctions doublement pé- 
riodiques sont l'objet des dernières Leçons. 

Le professeur montre comment on peut construire une fonction 
transcendante entière satisfaisant aux équations fonctionnelles 

<i>(x -^ a) = 'P( x), 

Ht. h 

I2.r + ii 

f^{x -J- 6) = e " *(j-), 

OÙ k est un nombre entier; la solution trouvée est la solution la 
plus générale possible et permet de construire la fonction uni- 
forme la plus générale qui admette les deux périodes a el b ei qui 
n'ait pas d'autres points singuliers que des pôles. De cette solu- 
tion se déduisent immédiatement les quatre fonctions de Jacobi, 
qui conduisent elles-mêmes aux fonctions sn, en, dn. La formule 
de décomposition en éléments simples donne ensuite les pro- 
priétés les plus essentielles des fonctions doublement périodiques; 
en particulier, son application aux fonctions k-snxsn[x -\- a)... 
conduit immédiatement aux formules d'addition; enfin l'étude 
attentive de la marche des valeurs de la fonction sn.r, quand la 
variable x décrit les côtés du rectangle dont les sommets ont pour 
affîxes les points o, K, K', K -f- i¥J , oîi l'on suppose les quantités 
K et K' réelles, conduit, de la façon la plus claire, à l'inversion de 
l'intégrale de première espèce 

lorsqu'on suppose Â* réel et plus petit que l'unité. On rcmar- 
(lucra la façon dont i\L Ilermitc a traité le même problème 
dans le cas génc-ral : il prend pour point do départ les résul- 
tats obtenus par M. Fuchs (') relativement à la iaçon dont va- 



(') Die Periodicitatsmodidii der /n jieicl/ij/tischen Intégrale (ds Functionen 
eincs l'itrainetent aufgcfaxsl. (Joiinuil de Hurchnrdt, I. TiT, p. ()i). 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 173 

rient les intégrales 

K= / > 

quand on fait décrire au point dont Taffixe est A- un contour fermé 
quelconque; les quantités K et iK' sont alors remplacées par les 
quantités L = aR + ^iK', l'L' = yK + o/K'; a, [i, v, sont des 
entiers assujettis à la condition ao — [^y = i , [i et y étant pairs, 
tandis que a et sont impairs et ^ i (mod 4)5 par la substitution 
des quantités L et L', aux quantités K etK', les transcendantes de 
Jacobi se reproduisent multipliées par des facteurs constants, les 
fonctions sn, en, dn se reproduisent sans changement; enfin les 
quantitésy/A" et y/A' se reproduisent multipliées par une racine 
quatrième de l'unité. Ces résultats, joints à ce qui a été dit sur 
l'inversion de l'intégrale de première espèce quand le module est 
réel et plus petit que i, et à ce fait que, au moyen des quantités K 
et K' définies par les intégrales rectilignes 

d'si 



Jo \/i — (i — a- 



/i — (i — a — ■ ib) sin^ tp 

on peut, la partie réelle du quotient -^7^ étant positive, construire 

les quatre transcendantes de Jacobi, permettent de résoudre le 
problème de l'inversion, quel que soit le module A". 

Enfin, en terminant son Cours, M. Hermite a donné l'expression, 
due à M. Appell (Comptes rendus, 5 avril 1882), des fonctions 
doublement périodiques uniformes admettant des points singuliers 
essentiels. 

Ces Leçons ont été rédigées avec le plus grand soin par M. An- 
doyer, élève distingué à l'Ecole Normale supérieui-e. On y retrou- 
vera cet enchaînement artistique des idées, ces rapprochements 
inattendus et pourtant naturels, cette clarté qui ne s'arrête pas à 
la surface, mais pénètre au fond du sujel, cette richesse de sou- 



174 PREMIÈRE PARTIE. 

venirs, ce coloris et cette chaleur communicative du langage, toutes 
ces rares qualités dont l'ensemble émerveille les auditeurs de notre 
grand Géomètre. 

M. Hermann s'est chargé de l'exécution matérielle, qui est fort 
satisfaisante. L'éci'iture est élégante et se lit facilement; quelques 
fautes devaient nécessairement se glisser dans ces feuilles, litho- 
graphiées après chaque Leçon; mais elles sont peu nombreuses et 
ne peuvent dérouter le lecteur, J. T. 



MELANGES. 

DEUX CAS PARTICULIERS DE LA TRANSFORMATION BIRATIONNELLE : 

Pau m. p. -h. SCHOUTE, 

de Groningue (Hollande). 

(suite.) 

JÎL — La relation entre les deux transformations. 

39. La transformation par cercles svmétriques est déduite de 
la transformation par droites symétriques au moyen delà transfor- 
mation par ravons vecteurs réciproques ( ' ). 

En eftet, quand A, B, G, D {Jig. 6) sont les points fondamen- 
taux réels de la transformation par cercles symétriques, que le 
point D est le centre des rayons vecteurs réciproques et que le pro- 
duit D V. DA' = DB.DB' = DG.DG' représente la puissance né- 
gative des ravons vecteurs, de manière que dans cette transforma- 
tion auxiliaire les points A', B', G' correspondent aux points A, 
B, G, il est évident que les cercles DEA et DFA qui sont symé- 
triques par rapport à DA se transforment dans les droites A'E' et 
A'F' par A' également symétriques par rapport à DA'; car, suivant 



(') Pour la translMiniaUim par laymis vcclcurs rôci|)rO(|ius (in peut conseiller: 
Rkve, Leçons sur la Géométrie de position, t. F, p. 2o'), ou Gi:i>r.ii, Kinlcituiii^ in 
die synthctische Géométrie, p. iôf)-i83. 



MÉLANGES. 



175 



la théorie de la transformation par rayons vecteurs réciproques, 
ces droites sont parallèles aux tangentes De et D/ menées à ces 
cercles au point D et ces tangentes sont symétriques elles-mêmes 
par rapport à DA'. Ce qui prouve que la transformation auxiliaire 
fait changer la correspondance entre les points d'intersection O et 
O' des trois couples de cercles symétriques décrits sur AD, BD, 
CD comme cordes, de l'article 28, en la correspondance entre les 
points d'intersection P et P' de trois couples de droites par A',B', 
C svmétriques par rapport aux mêmes droites A'D, B'D, CD. Et 
cette dernière correspondance ne diffère dans le moindre détail de 
celle de la transformation par droites symétriques, dont le triangle 

Fig. 6. 




A'B'C est le triangle de référence, parce que les droites A'D, 
B'D, CD sont les bissectrices des angles du triangle A'B'C. A la 
vérité, les cercles fondamentaux BCD, CAD, ABD et ABC des points 
fondamentaux A, B, C, D de la transformation par cercles symé- 
triques se transforment dans les droites B'C, CA', A'B' et le cercle 
A'B'C qui correspondent dans la transformation par droites symé- 
triques aux trois points fondamentaux A', B',C' et à la droite /« ; 
tandis qu'on retrouve les points A', B', Cet la droite /», qui coïn- 
cident avec leurs éléments correspondants dans la transformation 
des cercles en A, B, C, D, les quatre points qui jouissent de la 
même propriété dans la transformation des droites. 

40. D'après ce qui précède, il est évident qu'on doit pouvoir 
trouver le point O' correspondant dans la transformation par cer- 
cles symétriques à un point quelconque O au moyen de la trans- 
formation par droites svmétriques en passant deux fois par la trans- 
formation par rayons vecteurs réciproques. D'abord on cherche 



176 PREiMIERE PARTIE. 

le point P correspondant au point O dans la transformation par 
rayons vecteurs réciproques; ensuite on cherche le point P' cor- 
respondant au point P dans la transformation par droites symé- 
triques et enfin on cherche le point O' correspondant au point P' 
dans la transformation des rayons vecteurs réciproques. Ce point 
O' est en même temps le point correspondant du point O dans la 
transformation par cercles symétriques. 

Par ce détour on trouve encore que la courbe correspondante 
d'une droite / dans la transformation des cercles est une courbe 
du cinquième ordre, qui a des points doubles aux six points A, B, 
G, D, (0, O),. A la vérité, la transformation par ravons vecteurs ré- 
ciproques étant elle-même une transformation birationnelle en 
involution qui forme un cas particulier de la transformation géné- 
rale avec trois points fondamentaux simples (ici les points D, w, 
(0, ) indiquée à la fin de l'article 13, la courbe des points P corres- 
pondant aux points O d'une droite / quelconque est un cercle 
par D ((.j, co,). La courbe des points P', correspondant dans la 
transformation par droites symétriques aux points P du cercle par 
D(to, to,), est une courbe du quatrième ordre passant une fois par 
D, 0), (0, et deux fois par A', B', C. Et la courbe des points O', 
correspondant dans la transformation par rayons vecteurs récipro- 
ques aux points P' de la courbe du quatrième ordre, est une courbe 
du cinquième ordre avec des points doubles aux six points A, B, 
C, D, w, to, . Réciproquement on peut trouver la courbe des points 
P', correspondant aux points P d'une droite / quelconque dans 
la transformation des droites, au moyen de la transformation des 
cercles en passant deux fois par la transformation auxiliaire; je 
laisse cette vérification aux lecteurs. 

41. Les courbes des deux transformations considérées qui cor- 
respondent à eux-mêmes se transforment les unes dans les autres 
au movon de la transformation auxiliaire. Cette vérité mène sans 
peine à de nouveaux résultats. D'abord les coniques passant par 
les points A,B,jM,iMf. de la transformation par droites syméliiquos, 
c'est-à-dire les coniques passant par les points A', IV, D, (i de la 
/ig. 6, se transforment dans les courbes du troisième ordre (pii 
passent une fois par A, I^, (o, (o,, C et deux fois par D; on trouve 
donc lés courbes 3 (ABD- (0 0),, r), qui correspondent à elles-mêmes 



MfiLANGKS. 177 

dans la transformation par cercles symétriques. D'un autre côté, 
les hyperboles équilatères passant par A, B, C, D dans la transfor- 
mation par cei'cles symétriques deviennent des courbes du troi- 
sième ordre qui passent une fois par x\', B', C, o>, (0| et deux fois 
par D; ces courbes sont les courbes 3 (ABC, M-, ojto,) dans la 
transformation par droites symétriques, etc. 

IV. — La transformation par plans syméiriques. 

i!2. La transformation par droites symétriques peut être éten- 
due à l'espace de la manière suivante : 

Si dans le triangle sphérique ABC {fig- 7) sur la sphère dont M 
est le centre, on renverse dans chaque angle les parties a et A — a, 
jîi et B — [3, Y et C — y, déterminées par les arcs AO, BO, CO, 



on obtient trois arcs nouveaux AA', BB', CC, qui passent encore 
j)ar un même point O'. On copie sans peine la démonstration de ce 
théorème de l'article 1. Eh bien, si l'angle trièdre M fait partie d'un 
tétraèdre irrégulier ABCD et qu'on renverse dans ce tétraèdre les 
parties déterminées dans les angles dièdres par les six plans qui 
passent par un point quelconque O et chacune des arêtes, on ob- 
tient six autres plans qui passent encore par un même point O'; 
car le théorème du triangle sphérique montre que ces six plans 
passent trois à trois par quatre droites et ces droites se coupent 
deux à deux sans qu'elles se trouvent toutes dans un même 
plan, etc. 

43. Les points O et O' forment dans l'espace une transforma- 



lyS PREMIÈUE PARTIE. 

lion blralionnelle en involution, que j'appelle la transformation 
par plans symétriques (par rapport aux plans bissecteurs des an- 
gles dièdres du tétraèdre). 

44^. Les sommets A, B, C, D du tétraèdre de référence sont des 
points fondamentaux simples de la transformation; ils ont pour 
surfaces fondamentales les faces opposées du tétraèdre. 

45. A un plan passant par une des arêtes du tétraèdre corres- 
pond évidemment un autre plan passant par cette arête. De même 
à une droite quelconque passant par un des sommets du tétraèdre 
correspond une autre droite passant par ce sommet. 

Si à un plan passant par une des arêtes AB du tétraèdre corres- 
pond un autre plan passant par la même arête, ce dernier plan 
n'est que la partie essentielle de la surface correspondante, qui 
contient en outre encore les deux plans accessoires BGD et CDA 
qui correspondent aux points fondamentaux A et B. A un plan 
quelconque correspond donc une surface F^ du troisième ordre 
qui, comme je le démontrerai tout de suite, a des points doubles aux 
quatre points fondamentaux. Et si la surface F^ a des points dou- 
bles aux points fondamentaux, elle est coupée par chaque arête du 
tétraèdre en quatre points; d'oii il suit qu'elle doit contenir les six 
arêtes. 

On démontre de la manière suivante que les points A, B, C, D 
sont des points doubles de la surface correspondante F''. Si /repré- 
sente la droite d'intersection d'un plan quelconque tz avec la face 

ABC du tétraèdre et qu'on mène un plan /D par / et le sommet 

opposé D, il est clair que la surface correspondante du plan /D est 
une surface F- du second ordre. Parce qu'à une droite passant par 
D correspond une autre droite passant par ce point, cette surlace 
F- doit être un cône, dont 1) est le sommet. D'où l'on dérive qu'à 
la droite / correspond l'ensemble des points du cône F- situés à 
une distance infmiment petite du sommet D (parce que la droite 
/se trouve dans le plan (bndamental de D) et que ce cône F- con- 
tient les tangentes à la surface F=' au point D, c'est-à-dire que le 
point D est un point double de la surface F-' correspondant au 
[)lan -, etc. 



MÉLANGES. 17.J 

4(3 La courbe correspondante d'une droite quelconque / est une 
courbe gauche cubique R^ passant par les quatre sommets A, B, 
C, D; car un plan quelconque r. coupe cette courbe en trois points, 
parce que sa surface correspondant F^ est coupée en trois points 
par /. Ou bien, parce que les surfaces F^, qui correspondent à deux 
plans quelconques passant par /, passent déjà par les six arêtes du 
tétraèdre, elles se coupent encore en une courbe R'^ Ou bien encore, 
parce que les plans BCO, CAO, ABO engendrent trois faisceaux 
de plans projectifs quand O décrit une droite quelconque / et que 
cette propriété convient aussi aux trois faisceaux des plans symé- 
triques BCO', CAO', ABO', il est clair que le lieu du point O' est 
l'ensemble des points d'intersection des plans homologues de trois 
faisceaux de plans projectifs, c'est-à-dire une courbe gauche cu- 
bique passant par A. B, C (et D). 

Quand / coupe une des arêtes du tétraèdre, la courbe correspon- 
dante est une conique passant par les deux points fondamentaux 
situés sur celte arête. Dans ce cas, la courbe correspondante R'^ de 
/ se compose d'une partie accessoire qui correspond au point d'in- 
tersection de / avec l'arête, l'arête opposée, et d'une partie essen- 
tielle, la conique. On voit sans peine, en effet, que la conique peut 
être considérée comme la partie complémentaire de l'intersection 
du plan correspondant au plan par / et l'arête et de la surface F^ 
correspondant à un plan quelconque passant par l, l'autre partie 
étant l'arête même. 

Si la droite / coupe deux arêtes opposées du tétraèdre, la courbe 
correspondante est encore une droite qui s'appuie sur les mêmes 
arêtes. 

Le résultat qu'à un point quelconque d'une des arêtes corres- 
pond l'arête opposée tout entière forme la clef des dégénérations 
de la courbe R'. Il explique de même pourquoi chaque surface 
F-', qui correspond à un plan quelconque -, contient les six arêtes, 
ces arêtes étant les éléments qui correspondent aux points d'in- 
tersection de - avec les arêtes opposées. 

Al. La transformation contient douze plans, vingt-huit droites 
et huit points, qui coïncident avec leurs éléments correspondants. 
Les plans, ce sont les douze plans bissecteurs des angles dièdres 
du tétraèdre. Les droites, ce sont les droites d'intersection des 



i8o PREMIERE PARTIE. 

plans bissecteurs, ayant mis à part les arêtes. Et les points, ce sont 
les points d'intersection des plans bissecteurs avant mis à part les 
sommets, c'est-à-dire les centres des huit sphères qui touchent les 
quatre faces du tétraèdre. 

Le nombre des droites qui coïncident avec leurs droites corres- 
pondantes est vingt-huit ; caries arêtes figurent parmi les soixante- 
six droites d'intersection des douze plans bissecteurs et les 
soixante droites restantes, contenant trois fois les mêmes seize 
droites, doivent être diminuées de trente-deux. D'ailleurs ces 
droites sont les droites qui passent par deux des huit points qui 
correspondent à eux-mêmes. 

Si Ton indique le centre de la sphère inscrite par M, ceux des 
sphères exinscrites par M^, M^, M^, M^ et ceux des sphères qui se 
trouvent dans un des deux combles opposés par M^ô (ou Mcd), 
Mac (ou ^ibd), M^f/ (ou Mie), OU peut distinguer cinq types dif- 
férents de droites qui coïncident avec leurs droites corres- 
pondantes, dont MMfl, MAI^è, M^Mi, M^M^è, M(i/,Mac sont des 
représentants. Les droites du premier et du quatrième tvpe se 
trouvant à la fois en trois des douze plans bissecteurs sont les 
droites qui figurent trois fois parmi les droites d'intersection de 
ces plans; on voit sans peine que la droite MM^ se trouve dans 
les plans AB^, AC^, AD^ et la droite M^Maô dans les plans 
AB^, BC_, BD_ où les signe -|- et — ont la signification établie 
dans l'article o. 

48. La surface correspondante d'une surface G- du second ordre, 
qui passe par les quatre poiuts fondamentaux, est encore une 
surface G' du second ordre passant par ces points; car la surface 
correspondante d'une surface quelconque du second ordre est une 
surface du sixième ordre qui a des points quadruples en A, B, C, 
D et passe donc deux fois par chaque arête du tétraèdre. Et dans 
le cas particulier d'une surface G- par les points A, B, C, D, 
cette surface correspondante du sixième ordre doit contenir 
quatre j)lans accessoires, les faces du lélraèdre; d'où l'on dérive 
([ue la partie esseuliflle complémentain; est une surlace du second 
ordre <|ui passe par A, B, C, D. 

Chaque surface G- par A, B, C, D, qui contient encore quatre 
des huit points INI, choisis de manière (|u'aucun des points A, B, 



MÉLANGES. iHi 

C, D n'est en ligne droite avec deux de ces quatre points, c'est- 
à-dire les points M^, M/,, M^, M^ ou les points M, Mab, ^ac M^,/, 
correspond à elle-même; car une surface G^ par A, B, G, D et M^, 
Mo, IVfc, M,/ est coupée par le plan AB^ suivant une conique par 

A, B, Ma, Mb, et à leur tour toutes ces coniques sont coupées par 
la droite MM^i suivant une involution qui ne diffère guère de i'in- 
volution des points correspondants sur cette droite, ces deux invo- 
lutions ayant les mêmes points doubles, les points M et M^é- D'où 
l'on voit que les deux surfaces du second ordre par A, B, G, D et 
Ma, Mb, Me, Md, qui correspondent l'une à l'autre, sont coupées 
par chacune des six droites qui passent par deux des points M, 
Mab Mac, Madi aux mêmcs points. Ainsi l'on a obtenu déjà vingt 
points communs aux deux surfaces. Et parce que ces vingt points 
se trouvent six à six dans les douze plans bissecteurs, ils ne peu- 
vent être situés sur une courbe gauche du quatrième ordre, qui 
est la courbe d'intersection totale de deux surfaces du second 
ordre. Donc les deux surfaces doivent coïncider, etc. 

49. A la gerbe de i-ayons /, dont un des points M est le centre, 
correspond le réseau des courbes gauches cubiques R^, dont A, 

B, G, D et M sont les points de base. Les tangentes à ces courbes 
au point M forment une gerbe de rayons /' projective à la gerbe /; 
car à une droite /correspond une droite /' et aux droites / situées 
dans un plan -correspondent des droites /'également situées dans 
un plan-', le plan tangent en M à la surface correspondante F^ de 
TZ. Mais ces deux gerbes coïncident, parce que les quatre ravons 
MA, MB, MG, MD correspondent à eux-mêmes. Donc, chaque 
courbe et chaque surface qui passent par un point M sont touchées 
en ce point par leur courbe et leur surface correspondantes, etc. 

Ainsi l'on retrouve le résultat de l'article précédent. Ghaque 
surface G* par A, B, G, D et M^, Mj, M^, M,/ doit coïncider avec 
sa surface correspondante G', ces deux surfaces se touchant eu 
quatre de ces huit points, tandis que les plans de contact sont 
indépendants de la position des huit points. 

50. Dans chacun des douze plans bissecteurs la correspondance 
des points est la correspondance générale dont il était question 
à la fin de l'article 13; car le plan ABM coupe le tétraèdre suivant 



i82 PREMIÈRE PARTIE. 

le triangle de référence de la correspondance du plan ; mais le 
poinL M n'est centre du cercle inscrit ni centre de gravité et peut 
être placé en un point quelconque du triangle par une altération 
convenable du tétraèdre qui n'alfecte pas le triangle. 

51. Le lieu des droites qui passent par un point donné P et qui 
contiennent deux points correspondants est un cône H^ du troi- 
sième ordre par A, B, C, D dont P est le sommet; car un plan 
quelconque t: par P coupe sa surface correspondante F^ suivant 
une coui'be du troisième ordre C-', dont les points se correspondent 
deux à deux. Eh bien, les droites qui joignent un point quelconque 
Q de cette courbe aux couples de ses points correspondants forment 
un faisceau de rayon en involution; ce qui prouve que trois de ces 
droites passent parle point Q, les deuxrayons doubles decette invo- 
lution et la droite qui lie le point Q à son point correspondant Q'. 
Mais cela prouve encore que les droites en question enveloppent 
une courbe de la troisième classe, une courbe qui admet trois tan- 
gentes passant par P; donc le plan t: par P contient trois arêtes 
du cône H^, etc. 

La considération d'un plan par P et par une des arêtes du té- 
traèdre mène encore à l'ordre du cône ; car ce plan ne peut contenir 
que trois arêtes du cône, les droites qui lient P aux deux points 
fondamentaux de l'arête et la droite par P qui s'appuie sur l'arête 
et sur l'arête opposée. 

Le cône H* peut être considéré sous un autre point de vue. On 
sait qu'à la gerbe de rayons par P correspond le réseau des 
courbes R^, dont A, B, C, D et P' sont les points de base. Tandis 
qu'une droite menée au hasard par P ne coupe pas sa courbe 
correspondante H*, le cône H' est le lieu des droites / par P qui 
s'appuient sur leurs courbes correspondantes en deux points corres- 
pondants. 

Considérons les dégéncrations du cône H'. Quand le point P est 
situé dans un des plans bissecteurs, le cône se compose de ce plan 
et d'un cône du second degré. Quand P est situé dans deux des 
plans bissecteurs à la fois, ce qui arrive quand P se trouve sur une 
des arêtes ou sur une des droites qui correspondent à elles-mêmes 
du deuxième, troisième ou cinquième tvpe, le cône se compose de 
trois plans, les deux plans bissecteurs et le plan par P cl les deux 



MÉLA.NGES. îR-î 

points M qui ne se trouvent pas dans un des deux plans bissecteurs. 
Quand P se trouve en trois des plans bissecteurs, le cône se 
compose de ces trois plans. Et quand P se trouve en plus de trois 
de ces plans, c'est-à-dire quand il coïncide avec un des sommets du 
tétraèdre ou avec un des points M, le cône est indéterminé, parce 
que dans ce cas il doit contenir chaque droite passant par P. 

52. Le lieu des points correspondants, qui sont en ligne droite avec 
un point P quelconque, est une courbe R^, qui passe parles sommets, 
les points M et le point P; car chaque plan par P coupe la courbe 
en sept points, le point P et les trois couples de points situés sur 
les trois arêtes du cône H' de P contenues dans le plan. Cette 
courbe est touchée en P par la droite qui joint le point P au point 
correspondant P'. J'engage le lecteur à étudier les dégénérations de 
la courbe R^. 

53. Suivant la théorie générale delà transformation birationnelle 
dans l'espace, la surface qui correspond au cône H-' du point P est 
une surface R^ dont A, R, G, D et P' sont des points triples. Cette 
surface qui passe une fois par les arêtes du tétraèdre, par les droites 
P'A, P'B, P'C, P'D et par les points M est le lieu des courbes R=' 
par P' qui sont coupées en deux points par leurs droites corres- 
pondantes. Les dégénérations du cône H^ amènent des dégénéra- 
tions de la surface correspondante R', dont je recommande l'étude 
au lecteur. 

54. En continuant mon sujet, j'aurais à examiner les surfaces 
d'un ordre plus élevé qui coïncident avec leurs surfaces corres- 
pondantes. Cependant cet examen me mènerait trop loin à présent. 
Je termine donc ce Chapitre avec l'observation bien simple que les 
courbes qui correspondent à elles-mêmes sont trouvées aussitôt 
qu'on a trouvé les surfaces qui jouissent de cette propriété; car 
la courbe d'intersection de deux surfaces qui correspondent à elles- 
mêmes est une courbe de la qualité désirée. Ainsi la courbe 
d'intersection R'' de deux surfaces G- qui correspondent à elles- 
mêmes est une des courbes en question, etc. 



i8î 



PREMIEUE PARTIE. 



V. — La transformation par sphères symétriques. 

5o. La transformation par ra3'ons vecteurs réciproques mène à 
l'extension de la transformation par cercles symétriques à 
l'espace. 

En effet, quand ABCD {^/ig. 8) représente un tétraèdre, dont les 
quatre perpendiculaires AA', BB', CC, DD' abaissées des sommets 
sur les faces opposées ont un point E commun, les produits AE. AE', 
BE.BE', CE. CE', DE. DE' sont égaux. Donc, dans la transforma- 
tion par rayons vecteurs réciproques, dont E est le pôle et le 
produit constant la puissance négative^ aux points A', B', G', D' 
correspondent les points A, B, C, D et aux plans passant par 
deux des points A', B', G', D' correspondent des sphères passant 
par E et les deux points correspondants parmi A, B, G, D. Eu 
égard à l'invariabilité des angles dièdres dans la transformation 
auxiliaire, le théorème de l'article 4 se transforme dans le suivant, 
où, à ce qu'il me semble, les expressions « angle dièdre formé par 
deux sphères » et « sphères bissectrices de cet angle dièdre » 
n'auront pas besoin d'explication. 

Dans un tétraèdre ABGD à perpendiculaires concourantes (dans 




im point E) on construit les sphères qui passent par un point 
quelconque O, par E et par deux des quatre sommets A, B, G, D. 
l'insulte par rapport à chacune de ces sphères on conslruit une 
sphère adjointe passant par 1*^ cl le mrme roupie de sonimcls, (h' 
Iclle manière que les sphères bissectrices ch' langh' «hècb'c forni(' 



MÉLANGES. i83 

par ces deux sphères sont en même temps les sphères bissectrices 
de l'angle dièdre d'un autre couple de sphères par E et par les 
mêmes deux sommets, dont l'une passe par l'un et l'autre par 
l'autre des deux sommets restants. Les six sphères adjointes ainsi 
obtenues qui passent déjà par E ont encore un point O' commun. 

56. Quand le plan passant par E et deux des quatre points A, 
B, C, D figure comme une des deux sphères bissectrices de l'angle 
dièdre formé par une sphère quelconque, par E et ces deux sommets 
et par sa sphère adjointe, ces deux sphères sont symétriques l'une à 
l'autre par rapport au plan par E et les deux sommets. Démontrons 
que la transformation précédente ne mérite le nom de transforma- 
tion par sphères symétriques que quand le tétraèdre de référence 
est un tétraèdre régulier. 

La droite CD est perpendiculaire au plan ABE. Prolongeons le 
plan ABE jusqu'à ce qu'il coupe la droite CD au point F. Il y a 
deux cas à considérer, que le point milieu G de CD coïncide avec 
F, ou que ce point se trouve ailleurs. Eh bien, il va sans dire que 
les sphères ABEC et ABED sont symétriques l'une à l'autre par 
rapport au plan ABE dans le premier de ces deux cas, c'est-à-dire 
que la transformation par sphères adjointes est une transformation 
par sphères svmétriques quand le tétraèdre de référence est régu 
lier. Et, d'un autre côté, les sphères ABEC et ABED ne sauraient 
être symétriques l'une à l'autre par rapport au plan ABE, dans le 
cas contraire où F ne coïncide pas avec le point milieu G de CD ; 
car il est impossible que la sphère ABEC coupe CD encore en un 
point D" symétrique de D par rapport à F, parce que ce 
deuxième point d'intersection D", qui n'est pas indiqué dans 
la fig. 8, se trouve bien au même côté que C de F, mais à une 
distance D"F qui est toujours le double de ED. 

En effet, le deuxième point d'intersection H de BF avec la 
sphère ABEC est déterminé par l'équation 

A'E.A'A = A'B.A'H, 

tandis que dans le triangle ABF on a 

A'E.A'A = A'B.FA'; 

ce qui donne 

A'H = FA'. 

Bull, des Sciences mathém., a* série, t. VI. (Juillet i88j.) ij 



i86 PREMIÈRE PARTIE. 

On a donc encore sur les deux cordes par F l'égalité 

2A'F.BF= CF.D'F, 

tandis que le triangle BCD donne la relation 

A F.BF= CF.FD; 

on trouve donc enfin 

D"F = 2FD. 

Ainsi, il est évident que, seulement dans le cas d'un tétraèdre de 
référence régulier, la transformation par sphères adjointes est en 
même temps une transformation par sphères symétriques. 

57. L'ordre de la transtormation par sphères symétriques se 
trouve par la considération de la surface correspondante d'un plan 
passant par E et deux des sommets, du plan ABE par exemple. La 
partie accessoire de cette surface se compose des surfaces fonda- 
mentales des trois points A, B, E, tandis que la partie essentielle 
est le plan ABE lui même. Aux points A et B correspondent les 
sphères BCDE et CDAE; comme nousle verrons d'ahord, la surface 
fondamentale du point E est du sixième ordre ; donc la transforma- 
tion en question est du onzième ordre, c'est-à-dire que la surface 
correspondant à un plan quelconque est une surface F' '. 

La surface fondamentale du point E se trouve au moyen de la 
transformation par rayons vecteurs réciproques. Dans cette trans- 
formation, le plan — x, situé tout entier à l'infini, correspond au 
point E. Dans la transformation par plans symétriques, la surface 
correspondante de -» est une surface F3 ; et à cette surface F3 doit 
correspondre dans la transformation auxiliaire une surface Fc qui 
n'abaisse pas son ordre, parce que la surface F3 ne passe ni par le 
point E, ni parle cercle imaginaire situé dans le plan tt», qui est 
commun à toutes les sphères. En effet, le j)hin 7:^ ne passant pas 
par E, la surface F3 ne saurait contenir ce point; et la surface F3 
coupe Tz^ suivant trois droites, les droites d'intersection de tCx avec 
les trois plans passant par deux des trois axes de l'octaèdre dont les 
sommets sont les points milieux des arêtes du tétraèdre régulier de 
référence. 

58. Au premier abord, on peut croire qu'il soit possible de déter- 



MÉLAiN'GES. 187 

miner la transformation par sphères symétriques d'une manière 
plus simple en s'appuyant sur le théorème suivant, qui semble être 
une extension tout évidente du théorème de l'article 14. 

Étant donné un tétraèdre quelconque ABCD et un point O, on 
construit d'abord les quatre sphères passant par BCDO, CDAO, 
DABO, ABCO et ensuite les quatre sphères symétriques par 
rapport aux faces BCD, CDA, Dx\B, ABC du tétraèdre; les sphères 
symétriques ainsi obtenues passent encore par un même point O'. 

A la vérité, ce théorème mènerait à des considérations plus 
simples par rapporta la transformation en question, s'il était vrai ; 
seulement il est faux, comme nous allons le voir tout à l'heure. 

D'abord je remarque que l'extension de la démonstration du 
théorème de l'article lia des difficultés qui lui sont propres, la 
sphère n'étant pas dans l'espace le lieu des points d'où l'on voit 
un cercle donné par trois points sous un angle solide donné : ce 
qui cependant ne prouve pas encore la fausseté du théorème. 

Si le théorème était vrai, les points O et O' formeraient une 
transformation birationnelle en involution dans l'espace, où les 
sphères, dont les cercles circonscrits aux triangles BCD, CDA, 
DAB, ABC sont de grands cercles, correspondraient à elles-mêmes : 
ce qui exige que le deuxième point d'intersection de trois de 
ces quatre sphères qui passent par A se trouve aussi surla quatrième. 
Eh bien, dans le cas en question d'un tétraèdre régulier de référence, 
ce point commun aux quatre sphères doit être le centre du tétraèdre. 
Mais cela est impossible, parce que le quart de la hauteur du tétraè- 
dre n'égale pas les deux tiers de la hauteur du triangle équilatéral 
des faces du tétraèdre. 

59. Le raisonnement précédent mène encore à une autre trans- 
formation par sphères svmétriques au moyen d'un trièdre A limité 
{fis- 9)' c'est-à-dire d'un tétraèdre ABCD ouvert par une de ses 
faces BCD. Construisons d'abord les sphères qui passent par 
ACDO, ADBO, ABCO, et ensuite les sphères symétriques à 
celles-ci par rapport aux faces ACD, ADB, ABC; ces trois 
sphères symétriques, qui passent déjà par A, ont encore un point 
commun O', qui forme avec O une transformation par sphères 
symétriques, plus générale que celle des articles précédents. 
De même c[ue, suivant la dernière remarque de l'article 23, 



i88 



PREMIÈRE PARTIE. 



deux groupes de cercles symétriques suffisent pour la détermina- 
tion de la transformation par cercles symétriques, on voit que les 
trois groupes de sphères symétriques suffisent pour la détermina- 




tion de la transformation par sphères symétriques. L'omission du 
planBCD et des sphères passant par B, C, D a donc enlevé toutes 
les difficultés. 



60. En continuant mon sujet, j'aurais à examiner de plus près 
les deux transformations par sphères symétriques, dont je viens 
de donner l'énoncé. D'abord j'aurais à rechercher l'ordre de la 
deuxième, qui très probablement est différent de onze. Mais 
l'examen minutieux de ces deux transformations, présentant 
des difficultés tout à fait différentes de celles que nous avons ren- 
contrées jusqu'ici, doit être ajournée présent, ce petit Iravail étant 
déjà plus volumineux que je ne m'étais proposé de le faire. 



MÉLANGES. ,89 



MELANGES. 

LES PREUVES MÉCANIQUES DE LA ROTATION DE LA TERRE; 
Par m. Pu. GILBERT ('). 

1. 

On sait que la doctrine de la isolation de la Terre autour de son 
axe, enseignée dans l'antiquité par Heraclite de Pont, Ecphantus, 
Aristarque de Sanios et Seleucus de Babylone, fut admise au 
xv^ siècle par Nicolas de Cues, évêque de Brixen. Elle était donc 
restée en quelque sorte dans la circulation des idées, et, bien 
longtemps avant Copernic etGalilée, les hommes qui réfléchissent 
avaient su se mettre au-dessus de l'illusion des sens. Mais il était 
réservé au chanoine de Thorn et à Kepler, par des travaux im- 
menses où les calculs les plus arides s'alliaient aux vues les plus 
hardies, de mettre dans tout son jour la belle ordonnance du vrai 
système du monde. 

Bien que le nom de Galilée soit constamment associé au 
triomphe de ce système, on doit dire que le grand physicien ita- 
lien a peu fait directement pour l'établir dans la science. Ses 
découvertes télescopiques sur la rotation du Soleil, sur les phases 
de Vénus, sur les satellites de Jupiter^ ont cependant renversé 
quelques-uns des préjugés dont on s'armait contre la rotation de 
la TeiTC. Mais les raisons d'harmonie, de simplicité et de conve- 
nance qu'il faisait valoir en faveur des idées de Copernic avaient 
été déjà, pour la plupart, signalées par son illustre prédécesseur. 
Quant à l'argument qu'il lire du phénomène des marées, dont la 
cause réside, suivant lui, dans une certaine inégalité due au 
double mouvementde laTci-re, tout le monde sait aujourd'hui que 
cette explication est fausse et que la rotation du globe n'est pour 
rien dans le flux et le reflux de la mer. 



(') Conférence faite à la Sociélé Srienlifuiiie de Hruxelles en avril i88j. 
//////. des Sck'/ires ludlkcni., r'/' série, l. VI. (Août 1882.) i(i 



Kjo PREMIÈRE PARTIE. 

Galilée rendit des services plus efficaces à la cause de la vérilé 
ea découvrant, en expliquant les px^incipes de la Mécanique, en 
réfutant avec autant d'esprit que de force les objections que les 
péripaléticiens, par exemple, opposaient à la thèse delà rotation de 
la Terre. C'était là, en effet, un terrain sur lequel se portait vo- 
lontiers l'effort des défenseurs de Ptolémée, dont plusieurs, comme 
Riccioli, étaient doués d'un véritable talent d'observation. N'ayant 
aucune idée nette du principe de l'indépendance des mouvements, 
persuadés qu'un corps cesse de se mouvoir juste au moment où 
disparaît la force qui le sollicite, les adversaires du mouvement 
de la Terre opposaient que, si l'on abandonne une pierre du som- 
met d'une tour, elle tombe au pied de celle-ci; or, disaient-ils, si 
la Terre était en mouvement, la tour aurait parcouru déjà un grand 
espace pendant la durée de la chute, et la pierre irait nécessaire- 
ment toucher le sol bien loin en arrière, c'est-à-dire à Voiiest de 
la tour. Jamais, ajoutaient-ils, un boulet de canon ne pourrait at- 
teindre son but; jamais les oiseaux sortis de leurs nids ne pour- 
raient y rentrer, la Terre les ayant emportés avec elle, etc.... 
Mersenne et Petit plantaient même un canon la bouche vers le 
haut, pour voir dans quel sens dévierait le projectile ; malheureuse- 
ment, l'un des boulets disparut, le second alla tomber à 2000 pieds 
à l'ouest, le troisième autant àl'est, elles expérimentateurs, jugeant 
probablement que le quatrième pourrait prendre la moyenne et 
leur tomber sur la tête, cessèrent l'expérience. 

Aces mécaniciens attardés, il fallait expliquer, comme le firent 
Galilée et Gassendi, que le mouvement imprimé se conserve dans 
un corps; que la pierre, animée à son départ d'une vitesse égale 
à celle de la tour, ne perd pas celte impulsion reçue et continue 
à se transporter dans le sens horizontal^ avec la même vitesse que 
la tourelle-même; il fallait montrer que, si rapide que soit la 
marche d'un navire, la pierre lâchée au sommet du grand mat 
lombe, non |)as à l'arrière comme elle le ferait si l'objection était 
l'ondée, mais au j)ied mêmcî du mal; que limprudent qui saule 
d'une voilure lancée à fond de train vient heurter le sol avec toute 
la violence de l'impulsion cpi'il a reçue du véhicule. 

Mais, en détruisant ainsi les mauvaises raisons de ses adver- 
saires, loin d'apporter à son lour des preuves [)hysiques. méca- 
niques, sensibles (.\v\ mouvement de rotation de la Terre, Galilée 



MÉLANGES. 191 

ne vit pas jusqu'au boul de sa propre doctrine. En plusieurs en- 
droits de ses Dialogues, il nie formellement la possibilité de con- 
stater cette rotation par des expériences exécutées à la surface de 
la Terre. « Car », dit-il, k le résultat de ces expériences sera néces- 
sairement le même, que la Terre soit en repos ou en mouvement ». 
Plus conséquent ou plus pénétrant, il eût vu que l'objection des 
péripatéticiens peut se retourner contre eux, et que l'expérience 
proposée pour constater l'immobilité du globe terrestre, exécutée 
avec une précision suffisante, fournirait une preuve irréfragable 
de son mouvement. 

En efl'et, par suite de la rotation de la Terre autour de la ligne 
des pôles, les points les plus éloignés de cet axe sont animés de la 
plus grande vitesse. Dans une tour d'une élévation suffisante, le 
sommet, étant plus loin de l'axe terrestre que la base, aura, dans 
le sens horizontal et vers l'est, un mouvement plus rapide. Un 
corps, tombant du haut de la tour, participe à sa vitesse et la con- 
serve indépendamment de son mouvement vertical; par consé- 
quent, pendant la durée de sa chute, il parcourt horizontalement 
vers Test un espace plus considérable que ne fait le pied de la 
tour : il ira donc toucher le sol en un point situé quelque peu à 
l'est de la verticale passant par son point de départ. Tel est le rai- 
sonnement fort simple qu'auraient dû faire les défenseurs de 
Galilée. Sans doute, cette dé^'iation, par rapport à la verticale, 
des corps tombant d'une grande hauteur doit être minime, la dif- 
férence des distances à l'axe étant peu de chose relativement au 
rayon de la Terre. Une théorie plus savante, et dans laquelle on 
tiendrait compte de la résistance de l'air, indique qu'elle doit être 
de o'",oi I seulement pour une hauteur de chute de 80'" sous la 
latitude de Bologne. Néanmoins on pouvait espérer, par des expé- 
riences conduites avec beaucoup d'adresse, de la mettre en évi- 
dence. Mais Galilée n'y songea pas, ni personne à cette époque. 

C'est à Newton, semble-t-il, qu'il faut reporter l'honneur d'avoir 
le premier aperçu cette conséquence du mouvement diurne, cette 
expérience cruciale, pour décider entre Ptolémée et Copernic. On 
voit, dans l'histoire de la Société Royale de Londres par Bird, qu'à 
une réunion chez le président Williamson, le 8 décembre 1679, le 
D'" Hookc lut une lettre de Newton, où le grand physicien taisait 
observer que, si on laisse tomber un corps pesant dune bnutcur 



192 PREMIÈKE PARTIE. 

suffisante, il devra, par suite de la rotation diurne, tomber à 
l'est de la verticale de son point de départ. La Société Royale ayant 
exprimé le désir de voir réaliser cette expérience, Hooke fit quel- 
ques objections à l'idée de Newton, et prétendit que la déviation 
se produirait, nonàl'e^/^ mais au sud-est. Par quelle considéra- 
tion théorique Hooke justifiait-il cette conclusion? Nous l'igno- 
rons; mais il est fort curieux que les expériences dont nous aurons 
à parler s'accordent, presque toutes, à signaler une faible dévia- 
tion vers le sud, dont la théorie est, jusqu'ici, impuissante à rendre 
raison. 

Le i8 décembre, Hooke rend compte de ses expériences : il a 
trouvé, effectivement, un écart vers le sud-est ; mais, comme la 
hauteur de chute n'était que de 27 pieds anglais et que la déviation 
ne devait pas, par suite, dépasser un demi-millimètre, il y a tout 
lieu de croire que le phvsicien anglais aura été dupe d'une illu- 
sion. La Société émit alors le vœu d'assister aux expériences. Il 
est impossible de savoir ce qu'il en advint : les procès- verbaux 
ne renferment plus aucune mention à cet égard. 



IL 



Plus de cent ans se passèrent, et le système de Copernic était 
entré en possession de l'adhésion unanime des astronomes, avant 
que l'on songeât à reprendre les expériences suggérées par Newton. 
Ce fut un jeune abbé italien, J.-B, Guglielmini, qui, en 170)0, à 
la suite de controverses théoriques sur la matière, eut l'audace de 
les tenter et l'énergie de les mener à bonne fin, dans cette même 
Vour de gli Asinelli àe Bologne où, un siècle auparavant, Riccioli 
avait cxpérimenti' sur la chute des corps en vue de conti^edire 
Galilée ('). 

La tour Asinelli se prête bien à ces recherches. Elle a cnxiron 



(') Jo. liaplistœ Guglielmini de cliiirno tcrrw ntolit cxperiniciitis physico- 
mathematicis confirmalo opusculum. Dononiœ, MDCCA'CJI, ex typograpliia 
S. Tkoniœ Aquinalis, cuni superiorum permissu. Cet opuscule, fort rare et qui 
ne se trouve probablement dans aucune bibliothèque de Belgique, a été mis à 
noire disposition, aven une libéralité dont nous lui r\|)riinons ici tnntc iiotir i-c- 
connaissanrc, |iar le savanl prince lî. Uiiiic(inip:ii;in. 



MÉLANGES. igS 

loo"' de haut; on en fait l'ascension par un escalier tournant qui 
laisse libre, dans l'axe, un espace plus que suffisant. 

En haut, la tour est fermée par une voûte, que surmonte un 
clocheton ; en s'établissant sous la voûte, ouvrant les trappes des 
étages et perçant la voûte de l'étage inférieur, on dispose d'une hau- 
teur verticale de 0.^0^'. Malheureusement, les constructeurs ontlaissé 
dans les murs bon nombre d'ouvertures, par lesquelles le vent fait 
rage à certains moments : on ne pouvait donc opérer, pour ces 
expériences délicates, que par un temps parfaitement calme. De 
plus, les premiers essais révélèrent à Guglielmini la nécessité 
d'expérimenter entre 2'' et 5'' du matin; en tout autre temps, la 
circulation des voitures dans le voisinage détermine, sur cette 
tour élancée, des vibrations telles qu'il est impossible d'amener à 
l'immobilité complète le corps dont on veut étudier la chute. Or 
cette immobilité est de rigueur, car la plus minime impulsion dans 
le sens latéral, imprimée au départ, conserve son influence pen- 
dant toute la chute et suffit à masquer le phénomène principal, en 
donnant au coi'ps, au lieu d'une déviation de o'",oo5 ou ©""jOoô à 
l'est, une déviation de o'",o4 à o'",o5 dans un sens inconnu. Les 
malheureux expérimentateurs ne l'ont que trop souvent éprouvé. 

Une plaque de cuivre horizontale, percée d'un petit trou, fut 
reliée solidement à la maçonnerie de la voûte supérieure, et par 
ce trou passait le fil auquel pendait une balle bien sphérique. 
Dans les premiers temps, le fil était attaché à un crochet au- 
dessus de la plaque, et on le brûlait quand la balle était arrivée 
au repos, ce dont on s'assurait en l'observant à l'aide de micro- 
scopes. Au bas de la tour était disposé, dans un cadre fixe, un pla- 
teau de cire sur lequel les balles, en tombant, venaient marquer 
une empreinte profonde, dont on relevait ensuite la position par 
rapport à la verticale passant par le point de suspension du fil. 
D'après toute probabilité, les balles devaient venir frapper toutes 
à la même place, et l'expérience eût été fort simple. 

Mais les choses ne marchèrent pas si facilement, et les échecs 
successifs auraient abattu un courage moins tenace que celui du 
jeune savant : les premières balles ne passèrent même pas par 
l'ouverture, assez large pourtant, de la voûte inférieure. Il fallut, 
par une série d'expériences minutieuses, exécutées à l'Observatoire, 
où Guglielmini disposait de 90 pieds de chute seulement, mais 



194 PRIÏMIÈUE PARTIE. 

où il était abrité contre les courants d'air, déterminer la cause de 
ces déviations insolites. Il crut la trouver dans des oscillations im- 
perceptibles qui persistaient dans la balle ou s'v produisaient, au 
moment même où elle paraissait parfaitement tranquille. Pour y 
remédier, après divers essais infructueux, il adopta comme mode 
de suspension une pince travaillée avec soin par Comelli, dont 
les mâchoires serraient le fil suspenseur de la balle, et que l'on 
ouvrait par une pression insensible sur un levier lorsqu'on s'était 
assuré que l'air était calme, la tour dépourvue de toute oscillation 
et le fil en pariait repos. 

Les études préliminaires à l'Observatoire ayant bien réussi, car 
les balles tombèrent toutes sensiblement dans l'empreinte de la pre- 
mière, à o'",oo4 à l'est du point d'aplomb, Guglielmini recommença 
avec un nouveau courage, dans la nuit du i"' janvier 1791, à obser- 
ver dans la tour Asinelli, avec l'assistance de M^'" Bonfioli, prélat 
domestique du pape Pie \ I ( ' ). Traversées par de nouvelles décon- 
venues et un état atmosphérique désolant, les expériences furent 
reprises aux mois de juin et d'août 1791 , parles nuits les plus tran- 
quilles et avec des précautions telles, que deux balles seulement 
étaient lancées chaque nuit. Guglielmini observa ainsi seize chutes 
dont une, à cause de l'agitation sensible de l'air, offrait un résul- 
tat discordant qui dut être rayé de la série des expériences. 

La moyenne de ces chutes donna une déviation vers Vest de 
o'",oi67, avec o"',()i i j5 de déviation vers le sud; toutes les dévia- 
tions étaient orientales, sans exception, l'écart entre les extrêmes 
étant de o"',oi4 environ, résultat assez remarquable, eu égard aux 
difficultés de l'expérience et à l'époque où elle s'efiectuait. En 
comparant ces chiffres à ceux de sa théorie, Guglielmini trouva que 
la différence était seulement de j^ de millimètre pour la déviation 
vers l'est. 

Malheureusement un défaut grave infirme la valeur de cette com- 
paraison. Pourdéterminer la déviation, ilfallaitcomparer, au moyen 
de fils tendus sur un cadre rectangulaire, les positions des em- 



(') A ceUe circonstance, il convient d'ajouter que le livre de Guglielmini parut 
avec l'approbation du saint-office de Bologne, en 1792. C'est donc à tort que cer- 
tains auteurs reculent jus(|u'cn i8-.>.! raulorisatinn ccrlcsiastifiiic d'enseigner le 
iiii.iivciiKMil de la 'Ici re. 



.MÉI.AXGKS. i<j5 

prelnles laissées par les balles à la position du lil à plomlj suspendu 
au même point que les balles. Non seulement le physicien italien 
ne déterminait pas sa verticale chaque jour, comme il eût dû le 
faire, mais, par suite de circonstances délavorables, la vérification 
de la verticale fut retardée de six mois. Les expéiiences avaient eu 
lieu en été; ce fut en hiver que Ton détermina la verticale du 
point de suspension. Or, dans un édifice aussi élevé et construit 
d'ailleurs dans des conditions aussi insolites que la tour Asi- 
nelli ('), il se produit nécessairement, par les changements de 
saison et par bien d'autres causes aisées à concevoir, des change- 
ments sensibles dans l'inclinaison : Guglielmini avait donc une 
verticale toute différente à l'époque des expériences et à ré|)oque 
de la vérification. 

Aussi les calculs de la déviation théorique, refaits par Laplace, 
ne donnèrent que o"',oii de déviation orientale, et rien vers le 
sud. Guglielmini, d'ailleurs, reconnut lui-même l'incertitude de 
ses résultats, quoiqu'ils eussent été accueillis favorablement par le 
monde savant. Dans une lettre à Benzenberg, datée de janvier 
i8o3, il parle de nouvelles recherches auxquelles il se serait livré, 
et d'une variation de courbure dans la tour par les changements de 
température. Il reconnaît aussi s'être trompé dans sa théorie, qui 
lui annonçait une déviation vers le sud, dont Laplace a prouvé le 
néant (-). Ajoutons que, au lieu de calculer lécart théorique au 
moyen de la hauteur de chute, facile à déterminer exactement, 
Guglielmini se servait de la durée de chute, mesurée par un pro- 
cédé peu exact et qui comportait conséqiiemment une erreur très 
sensible. 

Ainsi ces expériences de Bologne, malgré la ténacité courageuse 
avec laquelle elles ont été menées à travers tant de difficultés, 
n'ont donné définitivement aucun résultat dont la Science puisse 
se prévaloir avec sécurité. 

Quelques années après les essais de Bologne, le D' Benzenberg, 



(') C'est une des célcbi'cs tours penchées de Rulogue. 

(') Il s'agit, bien entendu, de déviations observables. Celles que l'analyse indique 
comme étant de l'ordre du carré de la vitesse rotatoire du globe ( w' = 0,00000000.)) 
tombent au-dessous de nus irnivcns d'ibservalion. 



Hj6 PREMIÈRE PARTIE. 

qui habitait Hambourg, fut amené par une convei'sation avec le 
D'" Horner, ainsi qu'il le conte lui-même ('), à reconnaître l'heu- 
reuse disposition de la tour Saint-Michel, à Hambourg, et à l'uti- 
liser pour des expériences sur la résistance de l'air et sur la dévia- 
tion des corps tombants. Ces expériences furent terminéesen 1802. 
Deux ans plus tard, il en fit de nouvelles sur le même objet 
dans un puits de mine de Schlebusch.Nous allons en donner briè- 
vement la disposition et les résultats, car ceux-ci, comme on le 
verra, ne sont guère de nature à faire époque dans la Science. 

Le sommet de la tour Saint-JMichel est à une hauteur totale de 
i3o'",5o. La vue y est splendide : le mouvement du port de Ham- 
bourg, le large cours de l'Elbe coupé par des îles ; au loin, les jar- 
dins et les villas des riches armateurs; au pied de l'église, Ham- 
bourg, avec sa population bariolée, ses voitures se croisant dans 
tous les sens, son activité prodigieuse, forment un merveilleux 
panorama. Achevée en 1780, cette tour est un monument de l'au- 
dace de Sonin, l'architecte original et intelligent qui accepta un 
jour le pari de bâtir en soixante-douze heures une salle pouvant 
contenir deux cents personnes, et qui le gagna. 

Benzenberg n'avait d'abord aucune idée des précautions minu- 
tieuses exigées par les recherches auxquelles il allait se livrer; le 
livre de Guglielmini, les résultats grossiers des premières expé- 
riences qu'il fit en octobre 1801 lui ouvrirent les yeux. Au com- 
mencement, on suspendait le corps tombant à un fil passant par 
un petit trou à travers une plaque, et l'on coupait le fil au-dessus 
du trou : les balles ainsi lâchées tombèrent, l'une à o"',oj4 à l'ouest 
et autant au sud de la verticale du point d'attache; l'autre à o'",ii 
à l'est et o'",oa7 au sud. 11 fallut revenir à la pince de Guglielmini 
plus ou moins modifiée, et renoncer à la hauteur de 34o pieds 
dont on pouvait disposer, à cause des courants d'air qui se pro- 
duisaient dans une sorte de tuyau par où les balles devaient pas- 
ser. Les balles étaient faites d'un alliage de plomb, d'élain et de 
zinc; leur diamètre atteignait o'", 027. Elles étaient fondues avec 
soin, puis tournées et soigneusement polies. Pour éviter les rota- 
tions de la balle sur elle-même pendant la chute, un liou fin était 



( ' ) Versuche iibcr lUts Gcsetz des Falls, Liber den Widerstctiid der l.iifl uiid 
liber die Unidreliini" der l.'rde. <lc. I »(>rlimin(l. iSo'i. in-S''. 



MÉLAiNGES. 197 

percé suivant un ravon de la sphère et servait à fixer le fil de soie 
ou de crin auquel on suspendait la balle 5 de cette manière, on 
s'assurait que le centre de gravité de la balle était au-dessous du 
point par lequel elle est attachée au fil. La balle, en tombant, 
venait frapper la surface d'une table horizontale saupoudrée de 
craie et portant à son centre un trou de o™,oo6 de diamètre, dont, 
à chaque expérience, on amenait le centre juste dans la verticale du 
point de suspension en y faisant passer le fil à plomb; après quoi 
l'on vissait solidement ce plateau sur un plancher supporté par de 
fortes pièces de bois. Deux lignes, se croisant au centre du trou, 
étaient orientées sur les points cardinaux. 

L'administration de l'église, par malheur, ne permit pas l'usage 
de lumières dans la tour. Benzenberg ne put ainsi profiter du 
calme de la nuit, ni même emplover le microscope pour vérifier 
limmobilité des balles à l'instant du départ. Cette condition in- 
dispensable ne fut probablement jamais remplie, tant à cause du 
passage continuel des voitures dans les rues fréquentées qui se 
croisent près de la tour, que par suite des courants d'air impos- 
sibles à éviter dans cet énorme tuyau. Cette circonstance, et 
d'autres contretemps sur lesquels l'auteur s'étend avec complai- 
sance dans son livre, exercèrent sur les résultats une fâcheuse 
influence. Après bien des essais, bien des perfectionnements 
apportés à la confection des balles et au mode de suspension, dé- 
sespérant de vaincre les difficultés qui s'opposaient à une grande 
précision dans le travail, Benzenberg se résigna à compenser l'in- 
fériorité des expériences par leur multiplicité, s'appuyant sur ce 
principe contestable que, dans la masse des essais, la déviation 
constante résultant de la rotation terrestre finirait par se manifes- 
ter; comme si une loi physique pouvait se dégager d'une manière 
certaine d'un ensemble d'observations dans lesquelles les erreurs 
possibles dépassent de beaucoup la grandeur à évaluer! Il se livra 
donc, le i4t le i5, le 23 et le 26 octobre 1802, à des séries d'expé- 
riences (3i en tout), dont il élimina arbitrairement celles qui, 
parleurs résultats, lui paraissaient devoir être entachées de quelque 
cause d'erreur. La moyenne des déviations, prise sur l'ensemble 
des expériences ainsi triées, fut de o'", 009023 vers l'est et de 
o'", 00448 vers le sud pour une hauteur de 235 pieds. 

La comparaison de la liiéorie axec Icxpérience fut failc par deux 



igS PREMIERE PARTIE. 

maîtres de la Science, Olbers et Gauss; elle donna lieu à une 
controverse fort intéressante, et à un de ces beaux Mémoires 
de Mécanique comme Gauss en savait écrire. Etablissant 
directement les équations du mouvement apparent d'un corps 
pesant à la surface de la Terre, il trouva que la déviation vers l'est 
devait être, à Hambourg, de o"', 00891, résultat extrêmement voi- 
sin du chiffre obtenu par Benzenberg, mais que la déviation vers 
le sud se réduisait à zéro. Cette dernière conclusion, d'accord avec 
la théorie de Laplace, et à laquelle Olbers ne tarda pas à se ranger, 
contredit le résultat trouvé par l'observateur hambourgeois, et 
enlève, par conséquent, beaucoup de sa valeur à la concordance 
des déviations vers l'est. 

D'ailleurs, il faut bien le reconnaître, dans les observations de 
Benzenberg, il se trouve des déviations dans tous les sens, 11 vers 
le nord et 16 vers le sud, d'une part; 8 vers l'ouest et 21 vers l'est, 
de l'autre, et tout cela entre des limites relativement fort étendues, 
allant de o™,o47 vers l'est à o'°,o3i5 vers l'ouest, et comprenant 
toutes les valeurs intermédiaires, sans qu'aucun écart paraisse 
spécialement favorisé. Ce ne sont pas là, on en conviendra, les 
conditions ordinaires d'une bonne expérience : l'écart entre les 
valeurs extrêmes observées est à peu près neuf fois aussi grand 
que la déviation movenne obtenue. 

Benzenberg ne se laissa pas pourtant décourager par une telle 
déception. Désireux surtout d'éclaircir la question de la déviation 
australe, il se transporta dans un puits de charbonnage abandonné 
de Schlebusch, zur alten Rosskunst, qui mesurait 262 pieds de 
chute verticale. Tous ses appareils soigneusement revisés, ses balles 
refondues et suspendues, avec plus d'attention que jamais, dans 
une caisse destinée à les abriter contre les agitations de l'air de 
mine, sous la surveillance de deux microscopes qui lui en révéle- 
ront les moindres mouvements, il s'installe, au cœur de l'hiver, à 
une distance considérable et qu'il lui faut parcourir tous les jours, 
dans la sordide cabane d'un mineur dont la personne et la famille, 
raconte-l-il, rcj)aiKliii('iil aiilour d^'llcs des énuinalious à (aire 
reculer nu li!s(jtiimau. L'is(jl(Miient de la mine, l'absence de toute 
cause d'élu'aulemcnl perturbateur remplissaient Tàme de l'obser- 
vateur de l'esjioir du succès; mais \\ iallut une prciuière lois renon- 
cer à toute expérience : lliutnidiN'' de la iiiinc pcndaiii lliiver cri- 



MÉLANGES. 199 

blail lalmosplière de goullelelles d'eau qui, rejaillissant partout, 
atteignaient et déviaient les balles dans leur chute. De plus, un 
courant d'air violentsoufflait des galeries inférieures vers le haut du 
puits; on dutboucherhermétiquementl'ouverture supérieure et mas- 
quer les galeries du fond; encore ne parvint-on jamais à obtenir un air 
entièrement tranquille. Les expériences régulières commencèrent 
le 7 octobre i8o4- Les deux premières furent détestables; le 8 oc- 
tobre, on observait 12 chutes irrégulières; le 9 octobre, 16; le 
10 octobre, 8; en tout, en laissant de côté les résultats visiblement 
altérés par des causes inconnues, 29 chutes, dont les déviations 
par rapport à la verticale variaient, comme limites extrêmes, entre 
o™, 043 au nord et o™, o34 au sud; entre o™,o45 à lest et o'",0225 à 
l'ouest. Les limites d'erreur étaient donc plus élevées encore qu'à la 
tour Saint-Michel, et d'ailleui^s, comme dans les premières expé- 
riences, rien n'indiquait une accumulation dans le voisinage de la 
niovenne, qui fut trouvée de o"',oi i3 vers l'est, au lieu de o"',oio3^ 
indiqués par la théorie. Il n'v eut pas, en moyenne, de déviation 
sensible vers le sud. En somme, en dehors d'une tendance persis- 
tante à marquer une déviation vers l'est, conformément à l'hypo- 
thèse de la rotation de la Terre, on peut considérer ces expériences 
de Benzenberg, plus encore que celles de Hambourg, comme n'ap- 
portant pas à la théorie une confirmation de quelque valeur. 

Chose curieuse! en terminant le récit de sa peu fructueuse 
campagne^ Benzenberg recommandait, comme un local éminem- 
ment propre à des expériences sur la déviation des corps tombant 
d'une grande hauteur, la coupole du Panthéon de Paris. Le docteur 
allemand ne soupçonnait pas, assurément, que cinquante ans plus 
tard ce même dôme du Panthéon verrait une expérience bien plus 
originale et bien plus décisive, dans laquelle, regardant tourner le 
plan d'oscillation du pendule de Foucault, un public étranger aux 
Sciences toucherait en quelque sorte du doigt la rotation diurne du 
globe. 

III. 

L'issue fâcheuse des tentatives de Benzenberg dans la mine de 
Schlebusch n'en dégoûta pas les continuateurs de son œuvre. C'est 
encore dans un puits de mine que, vingl-cincj ans plus lard, un 



200 PREMIERE PARTIE. 

observateur aussi patient et mieux outillé, dans des expériences 
aujourd'hui classiques, allait tenter d'arracher à la nature la preuve 
physique d'une vérité dont la Science ne doutait plus, d'ailleurs, 
depuis longtemps. 

Lorsque, en 1820, on ouvrit près de Freiberg, dans la mine de 
Beschert Gluck, le puits appelé Dreibriiderschaclit, le baron de 
Herder eut l'idée d'utiliser sa grande profondeur pour y reprendre, 
avec toute la précision que les progrès de la Science permettaient 
d'atteindre, les expériences sur la déviation des corps tombants. 
Retardées par les démarches pour se procurer un mètre authen- 
tique, ces études furent préparées, à partir du 4 mai i83o, par le 
professeur Reicii et le mécanicien Brendel. Les expériences pro- 
prement dites commencèrent le 19 août i83i et furent terminées 
le 8 septembre, pour ne pas entraverl'exploitationC). L'intervalle 
d'une année fut rempli par les préparatifs, la construction des ca- 
bines, des appareils, de l'horloge, etc. 

La position du puits déterminée (5o"53'22" lat. N.), on éta- 
blit dans toute sa hauteur (160™ environ) une sorte de cheminée en 
bois, de o'",42 sur o™,35 d'ouverture, bien exactement verticale, 
solidement rattachée de distance en distance aux parois du puits, 
enfin, soigneusement close et calfeutrée du haut en bas; on vou- 
lait par là éviter l'humidité, les courants d'air, les oscillations 
transmises par une cause quelconque qui auraient pu inlluer sur la 
direction des corps pendant leur chute. Cette cheminée aboutissait, 
en haut et en bas, aux cabines où étaient installés les appareils de 
lancement et de réception des corps tombants, et où se tenaicntles 
expérimentateurs. Des précautions spéciales furent prises, à la suite 
de quelques mécomptes rencontrés dans les premières expériences, 
pour qu'à l'extrémité inférieuie du tuyau, au-dessus du bloc où 
venaient frapper les balles, il n'y eût pas introduction de courants 
d'air pouvant occasionner des déviations sensibles ; on s'assura, par 
l'immobilité de la flamme d'uni; chandelle, (juc le but avait été 
atteint. 



(') Les lésullaLs en ont Ole consignés ilans l'opuscule, aujourdluii assez rare, 
inliluli; : Fallversuche iiber die Unidrehiing der Erde angeslelll au/ hohe Obev- 
bergamtliche Anordnung in dein Dreibriiderschacht bei Freiberg und heraus- 
gegeben von F. Jieic/i, Prnfessor der l'Iiysik (tn der K. .'>. Herg-Akadcmie. 
Krcibcrg, i83n, in 8". 



MÉLANGES. aor 

Reich choisit, pour l'éLudc de la déviation, des balles sphéiicjues 
de o'",o4 environ de diamètre, pesant 2708', aussi liomogènes et 
aussi bien polies que possible; fondues d'un alliage d'étain, de. 
bismuth et de plomb, elles se montrèrent assez résistantes au choc 
pour qu'on pût les employer plusieurs fois. On se servit aussi de 
balles de plomb de a^oS'' et de trois billes d'ivoire. 

Il ne paraît pas que l'on se soit préoccupé suffisamment de sa- 
voir si le centime de gravité coïncidait avec le centre de figure, con- 
dition sans laquelle il se produit dans la chute des rotations irré- 
gulières, provoquant un frottement spécial de la part de l'air, ce 
qui peut produire une déviation notable. 

Reich savait que la moindre impulsion latérale, causée par un 
souffle d'air, une oscillation des appuis, une faute de l'opérateur, 
suffit à produire une déviation accidentelle bien supérieure à 
celle qu'il faut observer : il attacha donc une importance extrême 
au mode de suspension de la balle. Dans une partie de ses recher- 
ches, il se servit d'un fil 1res court et très fin, de cuivre ou de crin 
de cheval, passé dans un chas imperceptible de la balle, et serré 
ensuite entre les mâchoires d'une pince, au-dessus desquelles le 
fil était coupé court. Ces mâchoires s'ouvraient ensuite doucement 
pour abandonner la balle à l'action de la pesanteur, sous la pres- 
sion d'une vis, afin d'éviter absolument toute impulsion étrangère. 
Une pièce accessoire de la pince servait à pendre le fil à plomb, 
destiné à déterminer exactement, de temps en temps, la verticale 
du point où les balles étaient suspendues. Tout ce système était 
enfermé dans une caisse solidement reliée aux parois du puits, et 
ne pouvant recevoir aucune oscillation des mouvements de l'opé- 
rateur; cette boîte restait hermétiquement close jusqu'au moment 
de la chute. 

Deux microscopes à axes croisés étaient disposés pour obser- 
ver l'instant où la balle ne marquait plus aucune oscillation appré- 
ciable, ce qui demandait environ quinze minutes : c'est à cet 
instant que l'on ouvrait la pince. 

Un autre mode de suspension, dont Reich espérait d'excellents 
résultats, mais qui nous paraît sujet à de graves objections, fut 
employé dans la cinquième série d'expériences. Il consistait à dé- 
poser la balle, préalablement chaufféC; sur un anneau circulaire 
en cuivre, légèrement conique à l'intérieur, fixé bien liorizonlalc- 



202 PREiMIÈHE PARTIE. 

ment, et dont le diamètre intérieur excédait un peu celui de la 
balle refroidie. Au bout d'un certain temps, la balle, contractée 
par le refroidissement, passait à travers l'anneau et la chute se pro- 
duisait sans secousse. On comprend sans peine que, pour peu que 
le refroidissement s'opérât d'une manière inégale sur le pourtour 
de la courbe de contact, il devait se produire un petit glissement 
latéral très fâcheux. Pour déterminer alors la verticale, on rem- 
plaçait l'anneau par une plaque circulaire de même grandeur, 
dont le centre était percé d'un trou par lequel on descendait le fil 
à plomb. 

La verticale était repérée, au bas de la cheminée, sur une plaque 
d'acier fixée au centre d'une tablette en bois, solidement installée, 
destinée à recevoir les balles à la fin de la chute. Chaque balle 
laissait dans le bois une empreinte plus ou moins profonde, et 
l'on prenait, au moyen de fils tendus, les coordonnées du centre de 
cette impression par rapport à deux lignes orientées tracées sur la 
plaque d'acier : c'est par ce moyen que les déviations furent re- 
levées. 

La comparaison des résultats de l'expérience avec ceux de la 
théorie exigeait la connaissance exacte de la hauteur de chute. Au 
moyen d'un mètre en fer fourni par Fortin, on mesura avec soin 
la longueur d'une latte en bois, qui avait séjourné assez longtemps 
dans le tuvau pour en prendre la température et l'humidité, et l'on 
porta cette latte de bout en bout sur ime autre, fixée du haut en 
bas de la cheminée. Ce mesurage fut contrôlé d'ailleurs par une 
mesure directe, au moven d'un fil de cuivre suspendu dans la che- 
minée. Comparées et corrigées avec un soin qui paraîtra excessif, 
si l'on songe au peu d'influence qu'une petite variation dans la 
hauteur peut produire sur le phénomène à étudier, ces mesures 
donnèrent une moyenne de i58'",5o entre le centre de la balle sus- 
pendue et le plateau où elle venait frapper à l'arrivée. 

Reich attachait aussi une grande importance à déterminer exac- 
tement la durée de la chute, pour évaluer l'intensité de la pesan- 
teur; il installa dans ce but une excellente horloge à pendule co- 
nique dont l'opérateur arrêtait le mouvement à l'instant où la 
balle atteignait le plateau inf»';rieur, instant mar(pi<'' rnécaniqurmont 
par l'extinction de la lumière réfléchie d'une lampe d'Arganl. La 
(lun'c de la cliiile ( .)5(S iici-ccs envii'iin, après rt-liminal ion de Ter- 



MÉLANGES. 2o3 

reur personnelle) donna un résultat sensiblement d'accord avec la 
formule du capitaine Sabine pour l'intensité de la pesanteur. 

Avant d'indiquer les résultats des diverses séries d'observations 
instituées par Reich, nous noterons encore que Reich, comme 
Benzenberg , commit la faute d'écarter du calcul des moyennes 
toutes les observations dont le résultat s'écartait beaucoup de la 
moyenne générale, même quand aucune raison spéciale, antérieure 
à tout calcul, ne lui avait signalé quelque chose de défectueux, 
dans l'observation même, comme une secousse imprimée au fd, 
une agitation de l'air, etc.. Tout le monde sait qu'un pareil rema- 
niement des résultats de l'expérience est aujourd'hui unanime- 
ment condamné par les observateurs consciencieux (*). 

Six séries d'expériences, comprenant respectivement 23, I2, 
12, 18, 21 et 21 chutes observées, furent exécutées avec un soin 
extrême dans l'intervalle du 2.'3 août au 8 septembre i83i. La 
moyenne générale déduite de ces six séries, après l'élimination 
critiquée plus haut, se monte à o™, 028396 de déviation orientale 
pour o™,o43" de déviation australe, la hauteur moyenne de chute 
étant de i58™,54- La théorie donne, dans les mêmes conditions, 
une déviation à l'est de o'", O2.yo, qui s'accorde très bien avec la con- 
clusion des expériences; elle n'indique, comme nous l'avons 
observé déjà, aucune déviation vers le sud. 

Tel est le résultat célèbre, classique, connu de tous, présenté 
dans tous les Traités de Mécanique et d'Astronomie comme une 
confirmation éclatante des théories fondées sur la rotation de la 
Terre. Ehbien, nous avons éprouvé une réelle déception en étudiant, 
dans l'ouvrage même de Reich, le détail de ces expériences fa- 
meuses ; carie résultat final et concordant que l'on se borne à 
citer ne donne absolument aucune idée des écarts qui se sont pro- 
duits dans les différentes expériences. Entre les moyennes des 
diverses séries même, il y a des discordances notables, car les dé- 
viations moyennes à l'est varient entre o'",o4634 (4" série) et 
o", 01 070 (6^ série); quant à la déviation vers le sud, elle est rem- 
placée dans trois séries par une déviation moyenne vers le nord, 
allant jusqu'à 0,0 id. Mais ces écarts sont encore bien éloignés des 



1/ ) IV)//- iHilaniiiuMil M. n'Aiinvoii., Géodésie d'Ethiojiic. 



2o4 PREMIERE PARTIE. 

anomalies qui se montrent entre les chutes, dans une même série 
d'expériences. Ainsi, dans la première série ( 28 chutes), la moyenne 
de o'", 027 de déviation est ne nous laisse nullement soupçonner 
que, dans cette même série, la déviation est oscille entre ©""jOigS 
et o"% 179, et que même, dans une partie des chutes, on trouve des 
écarts vers Vouest, en sens contraire de ce qu'exige la théorie, 
qui vont à o™,o4o et même o"^,0'j']. Quelle confiance accordera 
une movenne de o™,02- à l'est, dans une suite d'observations qui 
en comportent où la déviation est le triple en sens contraire? 
Dans la deuxième série, on relève des déviations passant par 
toutes les valeurs, depuis o™,oo6 jusqu'à o'",i 19 vers l'est et depuis 
o'",oo97 jusqu'à o"^, io5 vers l'ouest. Dans la troisième séi'ie, les 
déviations vont de o'"^,o-9 à l'orient à o'", 080 à l'occident, et ainsi 
de suite. 

Les anomalies sont plus prononcées encore dans le sens paral- 
lèle au méridien. Ici nous passons par tous les nombres entre 
o™, 187 vers le sud et o™, i5i vers le nord; il se trouve même des 
séries, nous l'avons dit, dont la moyenne donne une déviation 
nord. Un tableau résumant graphiquement les résultats obtenus, 
que Reich a annexé à son Mémoire, met sous les yeux, de la ma- 
nière la plus nette, l'incertitude des résultats. 

La conclusion qui s'impose lorscpi'on réunit et étudie dans leur 
ensemble les expériences de Gugiiehnini, de Benzenberg et de 
Reich sur la déviation produite, par la rotation de la Terre, dans 
les corps tombant d'une grande hauteur, c'est, à notre avis, celle- 
ci : ces expériences sont vraiment insuffisantes eu égard au rôle 
important qu'on leur a assigné dans la science; elles sont à re- 
faire. 

La perfection dans les appareils et les méthodes d'expérimen- 
tation a fait assez de progrès depuis i83o ; si une grande hauteur 
de chute est jugée nécessaire pour ces recherches, la France et la 
Belgique possèdent aujourd'hui des puits d'extraction assez pro- 
fonds ('); la question offre un intérêt suffisant; enfin, nous avons 
assez de jeunes physiciens désireux de se signaler par une étude 
où l'importance des résultats s'allie à la dlfliculté de l'entreprise, 



(') On nous a sigii;ili-. iHilimmicnl. iiii |iiiil< ;"i l'!|iiii;ir et deux (I;ms le viiisin;if;c 
(le iMons {Tmo"'). 



MELANGES. .;,o> 

pour que l'on puisse espérer d'une tentative bien dirigée des con- 
séquences précieuses pour la Science. N'y eùt-il que la question 
de l'existence d'une déviation vers le sud à éclaircir, comme la 
théorie n'en indique pas, c'est déjà là un problème qui mérite 
un effort. 

Mais, à ne considérer que les l'ésultats obtenus jusqu'à ce jour, 
et abstraction faite d'une tendance à la déviation vers l'est qui se 
révèle manifestement dans l'ensemble des phénomènes, on pour- 
rait répéter ce que disait déjà Laplace en rappelant les objections 
des adversaires de Galilée : « On é|)rouve maintenant à recon- 
naître dans la chute des graves le mouvement de la Terre autant 
de difficultés que l'on en trouvait alors à prouver qu'il doit y être 
insensible ( ' ). '» 

IV. 

Il était réservé à un physicien français, enlevé trop tôt dans la 
force de l'âge et du talent, de fournir une démonstration bien plus 
nette, plus accessible à tous, du mouvement diurne du globe ter- 
restre. 

Les oscillations du pendule conique ou pendule à un seul fil 
avaient été étudiées par les acadénn'ciens du Cimcnlo. à Florence; 
ils avaient observé une déviation constante, sans cause apparente, 
dans le p/an d'osctl/atio/i du pendule. Rien n'indique qu'ils aient 
eu la pensée de rattacher cette déviation au mouvement de la 
Terre; rien ne prouve même qu'elle n'ait pas été due à quelque 
défaut de l'appareil. 

Par quelle série de déductions Léon Foucault fut-il amené à 
chercher, dans le pendule libre, un signe sensible de la rotation 
terrestre? La persistance du plan d'oscillation d'une tige élastique 
i.iontée sur un tour en l'air fut, paraît-il, le point de départ. 
Quoi qu'il en soit, après bien des tâtonnements, l'expérience 
réussit le 8 janvier i85i et fut communiquée le 3 février à l'Aca- 
démie, où elle excita une vive émotion et provoqua d'intéressantes 
recherches théoriques. Pour comprendre la liaison entre le phé- 
nomène observé et la rotation du globe, plaçons sur une table mo- 



(') Expositinir du système du inonde, Liv. V, Cliap. IN. 

riull. des Sciences niat/iéni.. <." srrio, t. VI. ( \nrit iSS".) 



2o6 PREMIÈRE PARTIE. 

bile un support, auquel nous suspendrons un lil portant une balle 
de plomb et bien également flexible dans tous les sens. Ecarté de 
sa position verticale d'équilibre et abandonné à lui-même, ce 
pendule prendra un mouvement d'oscillation dans un plan pas- 
sant par la verticale du point de suspension, et ce plan occupera 
une position invariable par rapport à la table, comme par rapport 
aux murs de la pièce où l'on opère, si le fîl satisfait exactement à 
la condition d'égale élasticité dans tous les sens. Supposons main- 
tenant que, pendant la marche du pendule, on vienne à mouvoir 
la table sans secousse, à lui donner, par exemple, un mouvement 
de rotation autour d'un axe vertical, passant par le point de sus- 
pension du pendule. On serait tenté de croire, au premier abord, 
que le mouvement gyratoire du support va entraîner celui du plan 
d'oscillation du pendule; que ce plan ne cessera pas de corres- 
pondre à une même ligne tracée sur la table et tournera par con- 
séquent avec celle-ci. Mais, avec un peu de réflexion, on aperçoit 
qu'aucune cause réelle ne tend à dévier ce plan ; grâce à la qualité 
que nous lui avons supposée, le fil se plie avec une égale facilité 
dans toutes les directions; rien ne l'empêche donc d'osciller dans 
un plan fixe, alors même que l'extrémité supérieure du fil est forcée 
de tourner sur elle-même. 

C'est ce que l'expérience vérifie fort bien. Au fur et à me- 
sure que la table se déplace, le plan d'oscillation du pendule 
correspond à des lignes difl'érentes sur la table et semble tour- 
ner en sens contraire de celle-ci; mais la comparaison avec des 
objets restés fixes montre aussitôt que ce plan n'a pas changé 
et que c'est la table seule dont la rotation produit cette appa- 
rence. 

Ce qui se passe entre le pendule libre et la table où est fixé son 
point d'attache se produit également sur la terre. Si nous conce- 
vons d'abord le pendule porté au pôle nord et suspendu à un 
point pris sur le prolongement de l'axe terrestre, puis écarté de la 
verticale et abandonné sans vitesse, il se mettra à osciller suivant 
l'un des méridiens qui se croisent au pôle. Rien n'oblige son plan 
d'oscillation à se mouvoir; mais comme, en vertu du mouvement 
diurne, les méridiens successifs passent sous le pendule en tour- 
nant de droite à gauche, l'observateur, qui n'a [)as conscience de 
ce mouvement, verra le plan d'oscillation dévier en apparence de 



MKLANtiKS. j!.); 

la gauche vers la droite, el celte apparence inattendue lui révélera 
le vrai mouvement du gloJDe terrestre. 

Si nous transportons le théâtre de l'expérience sous une latitude 
quelconque, la nôtre par exemple, le phénomène va se compli- 
quer, parce que la verticale du point d'attache du û\, qui, au pôle, 
se confondait avec l'axe de la Terre et avait une direction fixe, 
participe maintenant au mouvement du globe et décrit un cône 
autour de cet axe. Le plan d'oscillation du pendule libre, assujetti 
par l'action de la pesanteur à passer constamment par cette verti- 
cale, ne peut donc garder une direction invariable dans l'espace, 
mais, suivant une induction de Foucault que des calculs plus sa- 
vants ont confirmée, il s'écarte le moins possible, à chaque instant, 
de sa direction à l'instant qui précède, et si l'on suit les consé- 
quences de ce principe, par un calcul qui ne peut trouver place 
ici, on trouve que la déviation apparente du plan d'oscillation, par 
rapport à la trace horizontale de sa position primitive, est propor- 
tionnelle au sinus de la latitude. Egale à la rotation même du 
globe, au pôle, elle va s'amoindrissant jusqu'à l'équateur, où elle 
est nulle ('). On peut donc dire avec l'ingénieux inventeur : « De 
même qu'en pleine mer, à perte de vue du rivage, le pilote, les 
yeux fixés sur le compas, prend connaissance des changements de 
direction accidentellement imprimés au navire; de même, l'habi- 
tant de la Terre peut se créer, au nioven du pendule, une sorte de 
boussole arbitrairement orientée dans l'espace absolu, et dont le 
mouvement apparent lui révèle le mouvement réel du globe qui le 
supporte, w 

L'appareil sur lequel Foucault vérifia d'abord ses déductions 
n'avait pas plus de 2™ de haut. Plus tard, il installa à l'Observa- 
toire de Paris un pendule de i i"" de fil, sur lequel le phénomène 
se traduisit d'une manière bien plus sensible. Enfin, par la volonté 
du prince-président Louis-Napoléon, l'expérience fut reprise au 



('; « Un jour, daii? le jardin du Lu\enil)oui'K, Foucault rcni'oiUranl un ami, 
digne, je crois, de toute sa ronfiance, le pria, sans lui parler du pendule, de cal- 
culer un angle infiniment petit qu'une construction géométrique sur une petite 
boule définissait avec précision, et qui, par 1 enchaînement de deux trian{;les sphé- 
riques, fut trouvé proportionnel au sinus de la latitude. « J'en étais sûr », dit 
Foucault, et un éclair de triomphe et de joie illumina un instant sa physionomie 
fine el r.ullcusc ». (.1. Bertrvm», /■'Inr^r hixfnriqiir <i'i- !.. Fmirnull, p. ti.' 



•^(.8 l'HEMIEKE PARTIE. 

Panthéon dans des proportions grandioses. On fixa inébranlable- 
inent, au sommet de la coupole, les pièces métalliques auxquelles 
était suspendue la tige du pendule, fd d'acier de 63;™ de long 
sur o'",ooi4 de diamètre, soigneusement retouché par Foucault. 
Au-dessous du pendule, une table circulaire, sur laquelle on avait 
tracé des diamètres de a" en 5", permettait de lire la déviation. 
Les oscillations du pendule ayant une grande anq:)litude et une 
durée de seize secondes, la progression du plan d'oscillation était 
sensible à chaque va-et-vient; pour la rendre plus nette encore, 
on garnit la sphère d'une pointe qui, à chaque oscillation, entail- 
lait de petits monticules de sable disposés sur le pourtour du 
cercle. Celle déviation s'effectua d'ailleurs régulièrement dans le 
sens anoncé par la théorie, el la loi du sinus se vérifia même d'une 
manière satisfaisante. 

Plus tard, un appareil électromagnétique, imaginé par Foucault, 
permit de prolonger à volonté la durée de l'expérience, qui, jusque- 
là, avait été limitée par l'extinction naturelle des oscillations du 
pendule. 

L'expérience de Foucault présente, sur celle de la déviation 
des corps tombant d'une grande hauteur, un avantage singulier : 
elle accumule, pendant un temps assez long pour les rendre sen- 
sibles, les effets, d'abord tout à fait inappréciables, que la rota- 
tion si lente du globe terrestre exerce sur le mouvement apparent 
des corps. C'est là son caractère le plus précieux. INJais, malgré 
l'éclatant succès qui Ta couronnée dans les mains de l'inventeur, 
on ne doit se laire d'illusion, ni sur les difficultés expérimentales 
qu'elle présente, ni sur celles que sa théorie même soulève à un 
examen approfondi ( ' ). 

On a dit parfois que l'expérience du pendule de Foucault est 
très facile à re))roduire. Il n'en est absolument rien, et Lissajous 
était certainement plus près de la vérité lorsqu'il écri\ait : « Ceux 
qui ont répété consciencieusement son expérience ont j)u seuls se 



(') On ne pciil iloiilcr (|iic rclLc lliciuii- ail ('•Li' ><iii\riil m, il loiiiinisc en \iiviml 
proposer clans les Annules de l'ogiiendnrjl' {l. lAWIII, p. io.i) ce moyen naïf 
(le coiislaler la rolalion du f,'lobe : l 11 iil l>ien délii- suspi'ndii à une voùlc et por- 
lanl, à son eslrémité inférieure, un index liorizonlal nioliilc au-dessus d'un vn- 
dran. (Iràce à la torsion du fil, l'index est rendu indcpendanl de la l'otation ler- 
lesirc. 



MÉLANGES. wij 

rendre compte des difficnlli's pratiques que présentait sa réalisa- 
tion. Foucault a avoué qu'il ne les avait surmontées qu'après plu- 
sieurs années d'essais. C'est à sa persévérance, à sa ténacité, à la 
fermelé de ses convictions qu'il a dû d'atteindre le iKit('). » 
« L'éniinent constructeur F"'roment », dit à son tour M. Bertrand 
dans son bel Éloge de Foucault, « dérobant, sous la simplicité 
apparente d'un travail diligemment achevé, la difficulté d'une 
exécution très délicate, a été pour Foucault un digne collabora- 
teur. » Des physiciens exercés et bien outillés nous ont déclaré 
n'avoir pas réussi à installer un pendule marchant convenable- 
ment, d'autres avaient obtenu une déviation du plan d'oscillation, 
mais beaucoup trop raj)ide. 

Il importe d'observer que le pendule doit être mis en mouve- 
ment sans aucune vitesse latérale, c'est pourquoi l'on attache la 
boule dans une sorte d'anse en fil organique, que l'on bnile quand 
la boule est en repos. Mais il est bien difficile encore d'éviter 
toute secousse, et la plus laible exerce une modification perma- 
nente sur la trajectoire du corps pesant. En outre, celte trajectoire 
n'est pas proprement vme droite, mais une ellipse très allongée 
qui tend à se déformer plus ou moins rapidement; les résultats 
de cette déformation se confondent bientôt avec ceux, de la rota- 
lion de la Terre, et l'observalion devient très difficile. 

Mais où se rencontre la principale cause d'erreur ou tout au 
moins de doute, c'est dans l'inégale élasticité du fil de suspension 
dans les dift'érents sens autour du point d'attache. La théorie de 
Foucault suppose essentiellement, nous l'avons vu, que le fil n'ait 
aucune tendance par lui-même à osciller dans un plan plutôt que 
dans un autre. La plus minime variation d'élasticité qui peut exis- 
ter autour de l'axe du fil constitue une cause déviatrice permanente 
du plan d'oscillation; la rotation de la Terre en est une autre, 
très faible aussi, et c'est de la grandeur relative de ces deux forces 
perliirbatrices que vont dépendre les effets observés. Or, qui ne 
comprend coml)ien il est difficile de réaliser un fil métallique et 
un mode d'attache qui réunissent cette égale facilité d'oscillation 
dans tous les azimuts? Foucault supportait quelquefois le fil par 



('» l'ra\(tu.v scicn/i/î'/iies itc t.. Futiraiilf. l. II. 



2IO PUEiMlERE PARTIE. 

la filière même à laquelle il avait été étiré; d"autres fois, il se 
servait d'un fil martelé et écroui à plusieurs reprises; il a conseillé 
aussi de soumettre le fil, pendant plusieurs semaines, à des oscil- 
lations dans tous les sens. Ces moyens doivent être efficaces, mais 
on ne peut guère s'assurer qu'ils ont atteint le but, si ce n'est par 
la réussite même de l'expérience. Si l'on encastre le fil entre deux 
mâchoires ofii'ant une rainure demi-cvlindrique et serrées au 
moyen de vis, on risque de modifier l'élasticité très inégalement et 
d'obtenir des déviations dans le sens qui plaira à l'opérateur. 

Aussi semble-t-il préférable d'appliquer au pendule libre la sus- 
pension de Cardan, comme l'a fait le D' Garthe dans ses expé- 
riences à la cathédrale de Cologne, en 1802. Ces expériences, 
d'ailleurs peu connues, sont au nombre des plus parfaites qui 
aient été inspirées par la belle découverte de Foucault; on nous 
permettra de nous y arrêter un instant (' ). 

La voiite du chœur du célèbre Doin atteint 5»)"' d'élévation au- 
dessus du pavé. Dans une pierre formant clef de voûte, offrant au- 
dessus une cavité qui se terminait par une ouverture cylindrique 
à la partie inférieure, on fixa inébranlablement un bloc de chêne 
percé d'une ouverture verticale en correspondance avec celle de 
la pierre, et Ton garnit cette ouverture d'un anneau circulaire en 
cuivre, vissé dans le bois. Un deuxième anneau, concentrique et 
plus petit, portait par des pivots d'acier très soignés sur le premier, 
de façon à être mobile autour d'un diamètre horizontal. Un axe 
d'acier, à angle droit sur ce diamètre, était soutenu par des cous- 
sinets faisant corps avec l'anneau intérieur, et à cet axe, dans l'es- 
pace resté libre au centre de l'anneau, pendait la pièce métallique 
à laquelle était fixé le fil de suspension de la masse pendulaire, fil 
de o'°,oo7 d'épaisseur. Grâce à la délicatesse extrême de ce mode 
de suspension, les oscillations étaient encore bien visibles au bout 
de six heures. 

Pour mesurer le déplacement du plan d'oscillation, un double 
secteur circulaire divisé, concentrique avec la projection horizon- 
tale du pendule au repos, était disposé au-dessous de l'appareil et 



(' ) Foucault' s Versuch als direkter Beweis der Axendrehung der Erde, clr., 
von D' Garlhe. Kôln, i852. L'ouvrage donne la description d'nn pp'oxfrephnmètre 
imaginé par l'autetir. [^'appareil ne paraît pa* avoir rons»i. 



MELANGES. 211 

orienté dune façon convenable. Toutes les précautions étalent 
prises pour abandonner le pendule sans aucune vitesse à l'action 
de la pesanteur, dans un plan choisi à volonté et dont l'azimut 
variait à chaque expérience. La durée d'une oscillation était de 
i3%5 et comportait une déviation deo™,oo3 sur le cercle divisé. 

Cinq séries d'expériences eurent lieu du 28 mai au 1 4 juin i852. 
Dans chaque expérience, on mesurait avec le plus grand soin le 
temps que mettait le plan d'oscillation à se déplacer de 5°, pour 
en déduire le temps nécessaire à une déviation de 1°, temps qui, 
d'après la théorie et abstraction faite des petites variations que les 
études postérieures ont indiquées, devait être de 5" 8% 23, temps 
moyen. Cette durée a varié, dans la première série, de o^-j'jfioà 
5™ io%4<^; dans la deuxième, de 5"' 6-, 20 à 5"" 10' 5 dans la troisième, 
de 5"' 8%4o à 5™ I i%4o ; dans la quatrième, de 5™ 7%8o à 5"" i i%4o '■, 
dans la cinquième, de 5"' 4% 60 à j^io^So. La moyenne générale, dé- 
duite de 36 expériences, adonné 5™ 8% 70, avec une erreur probable 
n'atteignant pas une demi-seconde. Pour mieux mettre en évidence 
l'accord fort remarquable entre la théorie et l'observation, nous 
remarquerons que, d'après la moyenne des expériences, la dévia- 
tion du plan d'oscillation en une heure de temps sidéral aurait été 
de ii"38'3o",9, tandis que le calcul donne, pour la latitude du 
Doin et d'après la loi du sinus, 1 1°38' 5o'', 3. 

Parlons maintenant de la théorie. Si, comme le voulait Poinsot, 
on ne regarde la question que sous le point de vue géométrique, 
elle paraît fort simple. Soit qu'on décompose la rotation du globe 
en deux autres, soit qu'on adopte le principe de Foucault et que 
l'on suive la voie tracée ces jours derniers par M. J. Bertrand et 
par M. Hatt ( ' ), rien n'est plus facile que d'en déduire la déviation 
du plan d'oscillation et la loi du sinus. Mais on ne sauiait admettre 
qu'il V ait là une simple question de Géométrie : la Dynamique y 
joue un rôle essentiel. Traitée sous ce point de vue au moyen des 
formules générales du mouvement relatif, par Binet et par M. Quet, 
la théorie du pendule libre a conduit à des résultats conformes à 
ceux que le génie intuitif de Foucault lui avait signalés. Seule- 
ment, on ne perdra pas de vue que, dans celte anaivse. on a sup- 



( ') Comptes rendus dea séances de l'Académie des Sciences, st-ancc-i du 1 •? IV- 
^ rii.'i' ft ilii I) iiiiirs 188 '. 



2.?. PRIÎMIÈRE PARTIE. 

posé le pendule porlé par un fil idéal, dont la section transversale 
est réduite à un point, et dans lequel, naturellement, il n'y a pas 
à se préoccuper de différences physiques en différents sens. Sur le 
terrain réel, le fil a toujours une section circulaire ou à peu près; 
son extrémité, encastrée dans une filière, participe forcément au 
mouvement de la Terre; toutes les fibres parallèles à la longueur 
du fil qui ont leur origine à son extrémité y éprouvent une sorte 
de torsion, qui tend à orienter le fil d'une certaine manière; la ro- 
tation qui en résulte entraîne la rotation de la boule autour de l'axe 
du fil, et met ainsi enjeu successivement l'élasticité du fil dans les 
différentes directions en le forçant à se plier tantôt en certains 
points, tantôt en d'autres. Qui ne voit là l'origine d'une foule de 
perturbations possibles ? 

Aussi, la théorie du pendule de Foucault a-t-elle été l'objet d un 
grand nombre de savantes recherches, sans que l'on soit bien 
d'accord encore aujourd'hui sur tous les points. Les études de 
Poncelet('), les Mémoires approfondis deHansen(-), de Dumas (^), 
de MM. Serret et Yvon Yillarceau ( ') et, tout récemment, de 
M. le comte de Sparre (^), ainsi que les recherclies expérimentales 
de M. Van der Willigen, à Harlem ("), montrent qu'il y a, dans 
cette question tant étudiée, bien des faces obscures, bien des pro- 
blèmes non encore élucidés. 

Toute la question a été reprise récemment, au point de vue 
théorique et expérimental, par un jeune savant hollandais, M. Ka- 
merlingh Onnes. Dans une Dissertation assez étendue ('), il a 
jnontré que les expériences pendulaires de Foucault sont un cas 
particulier de phénomènes plus généraux, de perturbations |)ro- 



(') Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, iSfio, séances du 
2'| scpteiiil)re cl du i" octol)rc. 

(') TIteorie der Pendelbeneguiig ntit Itiirhsiclit diif die Ces ta/ 1 iind Bcwc- 
gung der Krde. 

(') Journal de C relie, l. 50. 

(*) Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, i8;2, ^9 janvier, 
cl iH-(), 31 juillcl. 

(') ïlièse docloralo sur \c tnoiivemenl dn pcmliile cniii<nic à la surface de la 
'l'errc. 

(") Le pendule Foucault au Musée J'eyler {Arc/iives du Musée Teyler, t. I). 

(') .\ieuive hewijzen voor de aswenteting der aarde, ("ir<jnin;;uc. 1^70. Ml" !'• 
cl '1 plauclies. 



MELANGES. 2ii 

duites par la rotation de la Terre dans les oscillations d'une lige 
élastique. Au laboratoire de Groningue, il a tenté l'expérience 
sous une forme toute nouvelle, caractérisée : i" par le mode de 
suspension, qui consiste en un double système de couteaux d'a- 
cier croisés à angle droite de façon à permettre des oscillations 
également libres dans tous les sens; 2" par la suppression de la 
résistance de Tair, le pendule étant renfermé dans une enveloppe 
conique où Ton a fait préalablement le vide; ?>" par la faible lon- 
gueur du pendule, qui mesurait seulement i°"',2 de longueur. La 
mise en mouvement du pendule, dans cet espace inaccessible à 
cause du vide, a demandé des dispositions ingénieuses qu'il serait 
trop long de décrire ici('). L'observation des oscillations s'effec- 
tuait au moyen d'un rayon de lumière pénétrant par une ouver- 
ture dans l'enveloppe, s'y réfractant sur deux prismes, et arrivant 
par une autre ouverture à une lunette munie d'un oculaire micro- 
métrique. M. Onnes pense que la disposition adoptée par lui 
comporte une précision bien plus grande que celle dont on faisait 
usage d'aprèsFoucault, bien que le pendule soit beaucoup plus court. 
La moyenne de ses observations, prolongées pendant plusieurs mois, 
lui a donné 1 2^,04 pour la vitesse lioraire de la rotation de la 
Terre autour de la verticale de Groningue, au lieu de i2°,o3 que 
lui assigne la théorie, résultat assez remarquable. 



L'influence perturbatrice qu'exerce la rotation du globe sur les 
corps en mouvement à sa surface est d'autant plus sensible que 
leur vitesse est plus grande : c'est là ce que la Mécanique nous 
révèle. Mais sur ces corps en mouvement rapide, sur la balle d'un 
(usd par exemple, mille autres causes perturbatrices agissent gé- 
néralement, et, de plus, l'observation en est à peu |)rès impossible. 
Il paraissait donc que l'expérience eut peu de prise sur de sem- 
blables phénomènes. 

Ce fut encore le génie de Foucault qui triompha de cette diffi- 
culté. 11 eut recours, pour cela, aux propriétés singulièies, et jus- 
Ci Voir dans l"Ouvraf;c cilr, p. '.\--:>.'}i}. 



ui4 PHEMIÈRIÎ PARTIE. 

qu'alors peu remarquées, du mouvement d'un corps lourd tour- 
nant rapidement autour d'un axe de symétrie, comme la toupie ('). 
Lorsqu'on suspend, par la méthode de Cardan, l'axe de figure 
d'un disque en bronze renflé sur ses bords, d'un fo/'e, suivant 
l'expression usitée, de manière à lui donner la liberté de se mou- 
voir dans tous les sens autour d'un point fixe de cet axe, et qu'on 
lui imprime une rotation rapide autour de l'axe, on observe de cu- 
rieux phénomènes. Ce tore, que le moindre elïbrt agitait tout à 
l'heure lorsqu'il était au repos, oppose maintenant une résistance 
très sensible au changement de direction de son axe, et l'on peut 
transporter le pied de l'instrument dans tous les sens, le faire 
pirouetter : l'axe du tore leste sensiblement parallèle à lui-même. 
Veut-on le forcer à dévier? On éprouve une résistance étrange dont 
on a peine à se rendre compte, et l'axe tend toujours à s'échapper 
dans une direction perpendicidaire à celle qu'on s'efi^orce de lui 
imposer. C'est la loi de la tendance des axes de rotation au pa- 
j'allélisnie, loi qui se peut formuler ainsi : « Lorsqu'un corps 
tourne vivement autour d'un axe de symétrie, et qu'une force agit 
sur cet axe pour changer sa direction, en d'autres termes, pour 
faire tourner le corps autour d'un nouvel axe de rotation, le mou- 
vement attendu ne se produit pas; mais on observe un déplace- 
ment de l'axe de symétrie, qui tend à se mettre parallèle au nouvel 
axe, et cela de telle façon que les deux rotations (celle que possède 
le tore et celle que la force tendait à produire) s'elTectuent dans 
le même sens ('). » C'est ce qui se passe dans la toupie, lorsque, au 
lieu de se renverser par l'action de la pesanteur, son axe de figure 



(' ) Il est juste cependant de rappeler que Hohnenbcifîcr, parlant du petit appareil 
qui porte son nom, disait, en 181^ : « On peut le transporter dans des directions 
arbitraires et avec des vitesses quelconques, et pourtant l'axe de la sphère garde 
une direction constante. Si l'on a commencé à le iliriger vers le nord, il se dirige 
dans toutes les positions vers le nord, comme une aiguille magnétique. » Et Pog- 
gendoriï, citant ce passage en juin i8.5i, ajoutait : « En vertu de ce phénomène, 
la machine de Bohnenberger deviendrait, en même temps, un appareil pour la dé- 
monstration de la rotation delà Terre (peut-être pour la détermination de la lati- 
tude), si, ce qui ne semble pas impossible, on lui conimuni([uait un mouvement 
continu par un ressort ». (Annalen, t. LWXIII.) 

(') On nous permettra de renvoyer le lecteur, pour des explications plus com- 
plètes sur cette loi, à notre L'tucte sur te prohfèiue de fa rotation autnitr it'im 
point fixe {Annales de la Soc. Scient, de Uru.relles, >• auiM-c, 18-8). 



MÉLANGES. 



2l5 



prend un mouvement conique autour de la verticale passant par 
son point d'appui. C'est encore là l'explication du jouet bien connu, 
qui nous montre un disque en rotation rapide, dont l'axe, supporté 
par une extrémité seulement, se maintient horizontal en dépit de 
la gravité. C'est enfin sur ce principe que sont fondés les ingé- 
nieux instruments de Fessel, de M. G. Sire, de M. Hardy, de 
M. Gruey. Parmi les conséquences importantes de ce principe, il 
faut signaler celle-ci : lorsque l'axe du tore est astreint, par un 
moyen quelconque, à rester dans un plan déterminé, et que ce 
plan est emporté lui-même dans le mouvement d'un support tour- 
nant autour d'une droite fixe, l'axe du tore en rotation ne peut 
rester en équilibre sur le plan mobile que dans la direction la 
plus rapprochée de la droite fixe. 

Appuyé sur ces principes, après huit mois de lutte contre des 



Fig. I. 




difficultés d'exécution presque insurmontables, Foucault présenta 
à lAcadémie des Sciences, le 27 septembre 1832, un instrument 
construit par Froment avec une merveilleuse délicatesse, le gyro- 
scope. Un tore en bronze T ijîg- 1) est monté sur un axe d'acier, 



2ir. p IU-: M 11-: u K paktie. 

dont les pointes pivotent librement sur deux vis implantées dans un 
anneau métallique A. Cet anneau repose, par des couteaux d'acier, 
sur deux plans durs, horizontaux, enchâssés dans un deuxième an- 
neau B qui est vertical, suspendu à un fil sans torsion f et repo- 
sant sur un pivot, le tout porté par un support S dont le pied P 
est muni de vis calantes. Tel est l'instrument. En même temps 
que le tore tourne sur son axe, celui-ci peut s'orienter dans toutes 
les directions. Grâce à de petites vis plongeant dans la masse du 
tore, à d'autres masses mobiles distribuées sur les anneaux, on 
amène, à force de tâtonnements, le centre de gravité de tout le 
système mobile en coïncidence avec le point où se coupent l'hori- 
zontale passant par les arêtes des couteaux de l'anneau A et la ver- 
ticale du fil auquel est suspendu l'anneau B; c'est le seul point 
fixe de tout ce système. La vis V sert à agir sur le fil suspenseur 
de manière aie débarrasser de toute torsion. 

Ces diverses pièces sont montées avec une telle perfection qu'un 
souffle suffit à les mouvoir; mais cet état d'équilibre indifférent dis- 
paraît lorsque, transportant l'anneau A et le tore sur un rouage 
accélérateur dont la dernière roue dentée engrène avec un petit 
pignon monté sur l'axe du tore, on a communiqué à celui-ci une 
vitesse d'environ 200 tours par seconde et que l'on a replacé 
l'anneau et le tore sur le support. Dès cet instant, tout le système 
se consolide dans l'espace avec une surprenante énergie; la direc- 
tion de l'axe d'acier est devenue, en quelque sorte, indépendante 
du mouvement de la Terre, qui ne s'v imprime plus (jue par une 
trépidation absolument insensible à l'œil. 

Si l'axe était d'abord pointé sur une étoile, il continue à viser 
celle étoile tant que la vitesse du tore ne descend pas au-dessous 
d'une certaine limite, et par le déplacement apparent qu'il prend 
ainsi relativement aux objets environnants, comme une lunette 
montée sur un pied parallaclique, déplacement que l'on observe au 
moyen d uii imk r()S((ij)(', soit stii- ! axe mrnu', soil siii' une des 
pièces de lappareil, il ré\èlcà l <)bs(,'r\al('ur le mouNcmciil réel de 
notre globe dans l'espace. 

L'expérience comporte une loi nie jk iit -èl ic |)iiis détMsivc. Au 
lieu de laisser à l'axe du tore cette liln rt(') complète d'orientation, 
fixons 1 un à raiitii^ les anneaux \ et 1?, de laciui qu'il ne puisse 
plus se nioMNoir que dans un plan lion/.oiilal : la tcndaiicr '\y'> 



MÉLANGES. ui; 

axes de rotation au parallélisme va produire son effet. L'axe du 
tore se dirigera \ers le plan du méridien, oscillera de part et 
d'autre un certain temps, et finira par s'y arrêter, la pointe 
tournée vers le nord étant celle d'où la rotation du tore serait vue 
s'effectuant de droite à gauche. Laissons au contraire les couteaux 
libres, et maintenons l'anneau B perpendiculaire au plan du mé- 
ridien : l'axe du tore ne pouvant plus que se balancer dans ce 
plan, après quelques oscillations, ira se fixer dans la direction 
parallèle à l'axe du monde, et l'équilibre n'aura lieu, cette fois 
encore, que lorsque les rotations de la Terre et du tore se feront 
dans le même sens. 

Ainsi cet admirable instrument, en fournissant des signes sen- 
sibles de la rotation terrestre, peut même servir, en l'absence de 
la vue du ciel, à déterminer la direction de la méridienne et la lati- 
tude du lieu où se fait l'opération. 

De savantes théories mathématiques ont, en perfectionnant nos 
connaissances mécaniques sur les corps tournants, confirmé les 
hardies déductions de Foucault; maison ne doit pas se dissimu- 
ler les difficultés excessives que présente leur réalisation, et qui 
font du gyroscope un instrument d'un prix énorme, réservé au 
petit nombre. Bien peu de physiciens ont, après l'illustre inven- 
teur, répété avec succès ces expériences si délicates. 

Le gyroscope, en effet, pour fonctionner conformément aux 
vues de la théorie, doit satisfaire à un certain nombre de condi- 
tions absolument /■ii>oureuses et presque irréalisables. La plus 
importante, en même temps que la plus difficile, est cette position 
idéale du centre de gravité du S3'stème mobile au point d'intersec- 
tion de deux droites à peu près géométriques. Non seulement le 
tore doit, par sa construction, satisfaire à cette exigence que son 
centre de masse soit exactement sur la ligne qui joint les pivots 
de rotation, cette ligne étant, en outre, ce qu'on nomme un axe 
d'inertie du tore; mais il faut encore, par d'imperceptibles agis- 
sements sur les vis de réglage, amener très exactement le centre 
de gravité du tore et de l'anneau A sur la ligne d'arêtes des cou- 
teaux. Or, ceux qui ont passé de longues heures à essayer d'at- 
teindre ce but savent que le problème est à peu près insoluble; 
(|u"au moment où l'on semble v atteindre, les plus légères retou- 
ches suffisent pour faire passer le centre de gravité au-dessus, au- 



.18 PREMIËUL PAiniE. 

dessous, à droite, à gauche, et pour modifier profondément la 
position d'équilibre du tore. D'ailleurs, il faut bien laisser un jeu, 
si imperceptible qu'il soit, entre les pivots de l'axe et les touril- 
lons coniques dans lesquels ils tournent. Cela suffit pour que, 
dans le rapide mouvement du tore, son centre de gravité passe 
d'un côté à l'autre de l'axe de suspension, et comme le tore a for- 
cément une masse considérable, il peut résulter de là une cause 
perturbatrice assez sensible pour masquer le phénomène principal. 
La force apparente due à la rotation de la Terre, qui tend à dé- 
vier l'axe du tore et à lui assigner une certaine position d'équi- 
libre théorique, est excessivement faible ; d'autre part, les anneaux 
A et B, les vis de réglage, les têtes des vis dans lesquelles l'axe 
pivote, constituent des masses relativement considérables qui 
augmentent l'inertie du système mobile sans tendre à développer 
les forces d'orientation; la faible action déviatrice de la Terre peut 
être insuffisante, si la vitesse rotatoire n'est pas excessive, à vaincre 
cette inertie compliquée de frottements. Voilà bien des motifs, 
pour l'opérateur consciencieux, de se demander si les phénomènes 
qu'il observe sont des signes réels de la gyration du globe, ou des 
indices révélateurs d'imperfections inconnues, contre lesquelles il 
trouve difficilement une garantie, un contrôle dans l'appareil lui- 
même. 

Aussi ne sait-on ce qu'on doit le plus admirer, de Tinstinct mé- 
canique étonnant qui a guidé Foucault dans le choix des disposi- 
tions propres à rendre son appareil sensible aux influences du 
mouvement de la Terre, ou de la ténacité qu'il a dû déployer pour 
y vérifier les conditions qu'exigeait sa théorie, ou de l'habileté du 
constructeur célèbre à qui l'on a pu demander la réalisation d'un 
pareil programme. 

VI. 

Il y a trois ou quatre ans, dans le cours de recherches de Méca- 
nique pure sur les mouvements apparents, nous fûmes amené à 
essayer l'application de la théorie à un très joli appareil imaginé 
et construit par M. G. Sire, le pendule gyroscopique (' ). 

(') I.a ihéoiie analytique du pendule Sire .t été traitée avei' Iteaiicrmp d'habileté 



MÉLANGKS. v,.| 

Dans cet iugéuleux instrument, un tore en bronze T est mobil»» 
autour d'un axe dans une chape C, suspendue par une tige relati- 
vement légère à un axe horizontal, autour duquel cette espèce de 
pendule peut osciller librement. L'axe horizontal pose sur un sup- 
port S qui se fixe par son pied, au moyen d'une vis, dans un azimut 
quelconque, sur un bâti ou bras horizontal V [Jig. -2), lequel, à son 
tour, est lié en D à un arbre vertical auquel un système d'engre- 
nages communique une rotation assez rapide. Quand le tore est en 
repos, la tige pend verticalement, et, si l'on fait tourner le bâti P 
autour de son axe D, le pendule ne s'écarte guère de cette posi- 
tion d'équilibre stable que lui assigne la pesanteur. Mais les choses 
se modifient profondément si l'on a d'abord communiqué au tore 




une rotation rapide autour de son axe de ligure. On voit alors, 
dès que le bras a acquis une vitesse suffisante, la tige quitter sa 
position verticale et se porter, soit vers l'axe central D, soit vers 
le dehors, d'après le sens dans lequel tourne le tore, le support S 
ayant la position marquée sur la figure; l'axe du tore tend, con- 
formément au principe du parallélisme des axes, à rapprocher sa 
direction de celle de l'axe central, et v parvient si les vitesses gyra- 
toires sont assez rapides. 

Lorsque l'on fixe le support dans une position telle que le plan 
d'oscillation du pendule soit à angle droit sur le bras P, on observe 
des phénomènes aussi paradoxaux. Le pendule, obéissant au 



par M. Resal {Annales des Mines, iSîg), mais il saf^issail d'appliqiior une mé- 
thode ilifTéronte. 



%io PREMIÈUE PARTIE. 

même principe, se porte en avant ou en arrière du mouvement du 
bâti, selon le sens de la rotation qu'on a imprimée d'avance au tore. 

Frappé de cette idée que la rotation de la Terre devrait pro- 
duire, sur un pendule gyroscopique suspendu à un axe horizontal 
lixe, des effets analogues à ceux que la rotation du bâti P déve- 
loppe ici dans l'appareil de M. Sire, pourvu que l'instrument fût 
construit dans des conditions de sensibilité et de précision suffi- 
santes, nous essayâmes d'aborder par l'analyse ce problème inté- 
ressant. 

La question n'était pas simple. On n'avait guère considéré jus- 
qu'alors, dans cet ordre de recherches, que le cas où, comme dans 
le gyroscope de Foucault, le centre de gravité du système mobile 
est fixé; où Ion n'a, par conséquent, à combiner que les effets de 
la rotation de la Terre et de celle du gyroscope. L'action de la gra- 
vité sur le système suspendu compliquait nécessairement le phéno- 
mène ; il y avait de plus à tenir compte de la masse de la chape, etc. 
Mais une forme très simple, que nous avions réussi à donner au\ 
équations du mouvement des corps pesants à la surface de la Terre, 
facihtait beaucoup la solution de ce problème ardu, et nous arri- 
vâmes à déterminer les conditions de l'équilibre relatif et dumou- 
ment du pendule gyroscopique sous l'influence de la rotation ter- 
restre, pour un azimut quelconque du plan d'oscillation. Nous 
reconnûmes ainsi que, pour une vitesse très grande du tore, le 
pendule ne pouvait conserver sa position verticale d'équilibre, 
qu'il de\ait s'en écarter vers la droite ou vers la gauche suivant 
que le tore tournerait dans un sens ou dans l'autre. 

Mais les mêmes calculs qui conduisaient à ces résultats mon- 
traient que Vinertie du pendule autour de son axe de suspension 
exigerait, pour obtenir une déviation à peine sensible, que l'on 
imprimât au disque T une vitesse rotatoire dépassant ton le limite 
raisonnable; dans les conditions habituelles de l'appareil, un écart 
de 8' était tout ce que l'on pouvait espérer. JNous fûmes ainsi 
amené à étudier des dispositions plus avantageuses, où l'on eût 
fait une part moins large à l'inertie des masses mobiles. Un premier 
projet nous conduisit à une sorte de balance à deux tores, dont le 
fléau eût été en équilibre horizontal dnns le plan du méridien, et 
se fût incliné pbis ou moins dans les autres azimuts. 

Mais, ici encore, l'inertie du système anliuii- de son axe de sus- 



MÉLANGES. 221 

j}ension rendait l'expérience peu accessible. Guidé parles indica- 
tions très précises que fournissait la théorie^ nous avons adopté 
définitivement une autre disposition qui rapprochait davantage de 
l'axe les centres des masses en mouvement, et c'est cette der- 
nière tentative qui, grâce à la bonne volonté et à Ihabileté d'un 
constructeur bien connu, M. E. Ducrelet, nous a enfin conduit au 
résultat désiré. 

Imaginons un tore en bronze D ^fig- 3), dont Taxe d'acier a pi- 

Fig. 3. 




vote librement dans les tourillons coniques creusés dans des vis en 
acier v et c', qui traversent une chape CC en acier anglais, repo- 
sant par les couteaux A et A' sur des surfaces en acier trempé, de 
forme cylindrique, dont les couteaux occupent le fond. Ce sys- 
tème présente une symétrie exacte par rapport au plan passant par 
l axe du tore et les arêtes des couteaux, et sa mobilité autour de 
celles-ci est telle qu'un souffle léger suffit à provoquer des oscilla- 
tions. En agissant sur les vis v et t»', sur d'autres vis u et u' , ou 
Bidl. des Sciences mathém., 1' série, t. VI. (AoiU i88j.) 18 



222 PREMIERE PARTIE. 

amène, par tâtonnements successifs, le centre de gravité du tore et 
de la chape à se trouver sensiblement sur l'axe de suspension, en 
sorte que l'appareil resterait de lui-même (théoriquement) dans 
un état d'équilibre indifférent autour de cet axe. Mais la vis infé- 
rieure v' porte, en prolongement de l'axe du tore, une aiguille sur 
laquelle glisse, à frottement dur, un petit poids curseur p, qui, 
lorsque le tore D est en repos, assure à l'aiguille ou à l'axe du 
tore une position verticale d'équilibre stable, ce dont on s'assure 
en faisant osciller le système autour de l'axe de suspension. Enfin 
le support S des couteaux est monté sur un pied H, de façon à 
tournera frottement dur autour d'un axe vertical, en sorte qu'on 
peut amener dans tous les azimuts le plan vertical passant par la 
ligne d'arêtes des couteaux. 

L'axe du tore porte un pignon d'acier E desliné à être mis en 
rapport avec un svstème d'engrenages ou rouage accélérateur de 
Foucault, servant à communiquer au tore une rotation extrême- 
ment rapide (i5o tours par seconde environ). 

Après avoir, au moyen des vis calantes V, V, \" etd'un niveau, 
assuré l'horizontalité de l'axe de suspension, on porte la chape sur 
le rouage moteur et l'on imprime au tore une rotation très rapide 
dans un sens voulu, après quoi l'on replace le système mobile sur 
son support en le guidant par des fourchettes F, afin que les arêtes 
des couteaux occupent exactement la position horizontale qui leur 
est assignée. C'est à cet instant que se développent les pliéno- 
mènes délicats, mais bien nets, qui accusent la rotation du globe 
terrestre. La position d'équilibre stable du tore et de la chape ne 
répond plus, généralement, à une direction verticale de l'aiguille, 
et la théorie nous apprend ce qui suit : 

i" C'est quand le plan d'oscillation de l'aiguille coïncide avec le 
plan du méridien que la déviation est la plus forte. L'aiguille se 
porte, par des oscillations décroissantes, vers le nord ou vers le 
sud, suivant que le tore tourne de gauche à droite ou ilc droite à 
gauche j)Our Tobservaleur qui le regarde à'en haut, la déviation 
étant d'ailleurs sensiblement plus ibrle dans le premier cas <pie 
dans le second. 

2" Au contraire, si le plan d'oscillation de l'aiguilb^ est perpen- 
diculaire au méridien, ce qu'on réalise facilement, même pendant 
le mouvement du tore, en faisant tourner le supp(jrt S sur son 



MÉLANGES. 2?.3 

pied, la position d'équilibre stable de l'aiguille est de nouveau 
verticale, comme lorsque le tore était immobile, et cela, quel qur 
soit le sens de la gyration du tore. 

3" Dans les azimuts intermédiaires, la position d'équilibre est 
plus ou moins inclinée entre les deux limites extrêmes. 

4" L'inclinaison de l'aiguille, quand l'équilibre a lieu, est d'au- 
tant plus marquée que le tore tourne plus rapidement, que son 
diamètre est plus grand, que l'expérience se fait en un lieu plus 
rapproché de l'équateur, enfin que la distance du curseur/? à Taxe 
de suspension est plus petite. On pourrait même réaliser une dé- 
viation allant jusqu'à l'horizontalité de l'aiguille, au moyen d'une 
vitesse de rotation suffisante. 

L'appareil construit par M. Ducretet, movennant certaines pré- 
cautions auxquelles on s'accoutume facilement, réalise d'une ma- 
nière très nette cet ensemble de phénomènes; nous lui avons 
donné le nom de haro gyroscope, afin de rappeler que son principe 
repose sur une combinaison des effets de la pesanteur avec ceux de 
la rotation de la Terre et du disque. 

L'avantage qu'il nous paraît offrir sur d'autres appareils destinés 
au même objet, indépendamment d'une exécution plus facile, c'est 
qu'il porte avec lui ses propres movens de contrôle. Rien de plus 
simple que de vérifier, par la verticalité de l'aiguille, quand le tore 
est au repos, que le centre de gravité du système est dans la posi- 
tion voulue. Les phénomènes observés pendant la rotation du tore 
ne sont plus explicables, dès lors, que par le mouvement de la 
Terre, et d'ailleurs leur conformité avec les formules théoriques 
qui les ont fait découvrir ne peut laisser aucun doute sur leur 
origine. 

L'Analvse mathématique nous a guidé constamment dans la con- 
struction de l'instrument, dans le choix des métaux, dans la forme 
de la chape, dans la distribution et la forme des masses pour obte- 
nir des effets certains, sensibles, dont la valeur a été mesurée 
d'avance. Sous ce rapport, on pourrait dire que, si le gyroscope de 
Foucault fait surtout honneur au génie de l'inventeur et à son 
habileté expérimentale, notre appareil est principalement une 
démonstration de l'utilité de la Mécanique analytique. 



224 PREMIÈUE PARTIE. 

EXTRAIT D'UNE LETTRE DE M. CATALAN. 

Le deraier numéro de votre Bulletin donne (p. 48) 1 indication 
suivante : 

» Considérant de même le polynôme 

« M. Muir montre qu'il est toujours divisible par 

La proposition est intéressante, mais elle n'est pas nouvelle, l'-ii 
effet, le polvnôme entre parenthèses égale 

^{x^y){y-^z){z^x). 

Or. dans mes Mélanges mathématiques, à propos du tliéorcino 
de Fermât, j'ai démontré que 

est divisible par 

{x -h y)( y -^- z){z~x); 

j'ai même donné l'expression du quotient. Donc... 



Liège, 22 juillet 1882. ) 

î 



COMPTHS KENDUS KT ANALYSES. 



COMPTES RENDUS ET AWLVSES. 

G. KOEMGS, ancien Elève de l'Ecole Normale supérieure. — Sur les 
PROPRIÉTÉS INFINITÉSIMALES DE l'espace RÉGLÉ. — Thèse présentée à la 
Sorbonne. — Paris, Gauthier-Villars; 1882. 

C'est à Pliicker qu'on rapporte généralement les fondements de 
la théorie de V espace ré £" lé, c'est-à-dire, de celui dont la ligne droite 
est l'élément. L'usage d'un système particidier de coordonnées, 
qu'il imagina, lui permit de faire reposer cette théorie sur les pro- 
priétés des complexes linéaires et de lui donner pour la première 
fois un développement systématique. D'éminents géomètres l'ont 
suivi dans cette voie : nous citerons M. Klein, qui a montré tout 
le parti qu'on peut tirer des coordonnées plûckériennes et de leurs 
transformations linéaires. 

Mais, dans l'étude des systèmes de droites, Pliicker avait eu des 
précurseurs, entre autres, Monge, Malus, Hamillon, Sturm, Kum- 
mer, Mobius, Chasles. De plus, dans ces derniers temps, par des 
raisonnements divers, M. Lie est parvenu à montrer l'identité 
d'un complexe général avec le système géométrique qui accom- 
pagne certaines équations aux dérivées partielles. Tout portait 
donc à penser qu'on pouvait établir sur des bases profondes, indé- 
pendantes des coordonnées, grâce à l'étude directe du déplacement 
d'une ligne droite, toutes les propriétés infinitésimales de l'espace 
réglé : en un mot, il y avait lieu de chercher à appliquer à l'espace, 
ou variété, à quatre dimensions dont la droite est l'élément, la 
méthode dont Gauss a indiqué le premier l'usage, pour l'espace 
ponctuel. 

L'auteur du présent Mémoire est parvenu à reconnaître que, 
dans l'espace réglé comme dans l'espace ponctuel, comme dans 
l'espace tangenliel, comme dans celui dont la sphère est l'élément, 
toute propriété infinitésimale s'exprime par une propriété 
dHnvolution. 

M. Kœnigs commence par définir certains éléments primor- 
diaux qui paraissent nécessaires et suffisants pour exprimer par 
leurs relations mutuelles les propriétés infinitésimales. 

Bull, des Sciences nial/tein., 2' série, t. VI. (Seplcnihrc i88-.>.) 19 



•2-26 PREMIÈRE PARTIE. 

Un point a et un plan a mené par ce point forment un couple 
{a, et). 

Parmi les couples en nombre cc^ qui sont situés sur une droite A 
(c'est-à-dire, dont le point est sur la droite A, contenue elle- 
même sur le plan a), il v en a une simple infinité ( co' ) qui vérifient 
une condition donnée : leur ensemble constitue une corrélation. 
Si la condition consiste en l'égalité des rapports anharmoniques 
des quatre points et les quatre plans de quatre couples quelconques 
de la corrélation, la corrélation est dite anha/monique. En vertu 
du théorème de M. Chasles sur la distribution des plans tangents 
dans les surfaces réglées, à toute droite infiniment voisine d'une 
droite A correspond une corrélation anharmonique sur cette 
di'oite A : 

<f Ainsi, de jnême qu'un point de V espace infiniment voisin 
d'un point fixe définit une direction issue de ce point fixe, et 
in^'evsenient, ciiie dans une foule de questions la considération 
de cette direction peut être substituée à celle du point voisin, 
de même, dans Vespace réglé, une droite infiniment voisine 
dhuie droite définit sur elle une corrélation anharmonique 
dont V usage peut réciproquement être substitué à celui de la 
droite infiniment voisine, au moins dans certaines questions. » 

L'étude du déplacement d'une ligne droite infiniment voisine 
comprend donc tout d'abord celle des corrélations anharmoniques, 
en nombre oo', qui existent sur la position initiale de la droite. 

Si Ui , u-i , Uz, Ui, sont les paramètres dont dépend la connais- 
sance d'une droite (z/), et Ui-\-clui ceux qui se rapportent à une 
droite voisine (u -j- du), l'évanouissement d'une forme homogène 
/(du) des différentielles â^w exprime une propriété du système de 
droites (u) et (u -{- du) et, par suite, de la corrélation qu'elles 
déterminent sur l'une d'elles (u). On peut même considérer les 
différentielles, du, ou des quantités finies t proportionnelles à ces 
différentielles, comme des coordonnées homogènes des diverses 
corrélations anharmoniques qui existent sur la droite (u). 

Parmi ces corrélations, celles qui annulent uue ou doux (ormes 
de coordonnées t constituent un réseau ou une série de corréla- 
tions. Ces réseaux et ces séries remplacent évideninient les cônes 
de directions élémentaires dans l'espace ponctuel. 

Dans ce dernier espace, parmi les formes des différentielles, il 



1 



COMPTES RKNDUS ET ANALYSES. i->- 

en est une qui se distingue spécialement : c'est celle qui repré- 
sente le carré ds- de la distance élémentaire. Ici aussi, M. Kœnigs 
trouve qu'une forme quadratique fondamentale joue un rôle 
prépondérant. 

La condition de rencontre de deux droites(«), {u-\-du), s'ex- 
prime par l'évanouissement d'une forme quadratique N(du) : il 
est clair que toutes les formes telles que KN(<:/w), où K est seu- 
lement fonction des variables u, expriment par leur évanouisse- 
ment la même propriété. L'auteur remarque qu'il est possible de 
choisir K, de sorte que la forme qui en résulte représente le mo- 
ment des deux droites (w), (m + ^w), c'est-à-dire, le produit de 
leur plus courte distance par le sinus de leur angle; et c'est cette 
forme qui remplace le ds- de l'espace ponctuel. Les angles, l'or- 
thogonalité se définissent par les mêmes formations covariantes. Il 
en résulte d'intéressantes analogies avec l'espace ponctuel. 

Après avoir établi les propriétés infinitésimales du premier 
ordre, M. Kœnigs en fait diverses applications au théorème de 
Sturm sur les pinceaux, et à un mode particulier de représentation 
linéaire des surfaces, sur lequel M. Darboux, dans son cours delà 
Sorbonne, avait donné des indications dont l'auteur déclare avoir 
profité. Enfin, dans une dernière application, on examine un 
svstème de coordonnées, dans lequel les complexes linéaires ofi'rent 
les propriétés des sphères, et l'on en déduit un svstème analogue 
aux coordonnées pentasphériques, dont les coordonnées pliické- 
riennes et le système sextuplement orthogonal de M. Klein sont 
des cas particuliers. 

La troisième Partie du Mémoire est consacrée aux propriétés 
infinitésimales du second ordre. Le premier problème traité est 
une extension de la théorie des géodésiques et conduit à une 
interprétation géométrique des coordonnées appelées normales 
par M. Lipschitz. 

A et B étant deux droites d'un système réglé (espace réglé, com- 
plexe ou congruence), il s'agit de trouver une surface réglée fai- 
sant partie du système, passant par A et B, et telle que l'intégrale 

I = / ^M{du) 

• A 

ail sa première varijitioti nulle : M(du) représentant la forme fou- 



928 PREiMIÈRE PARTIE. 

damentale. On arrive à ce résultai curieux. : Les liélicoïdes gauches 
sont les surfaces géodésiques de V espace réglé. 

L'analogie précédemment reconnue entre les complexes linéaires 
et les sphères permet de définir les hyperboloïdes osculateurs 
d'une congruence, ou d'un complexe. Ici encore, le moment élé- 
mentaire M(f/«) sert de lien aux diverses propriétés du second 
ordre. Ainsi, après avoir déterminé exactement le rôle du cône 
de Malus, elle montre que les propriétés du second ordre sont 
identiques avec celles d'un faisceau de cônes du second degré 
dont fait partie le cône de Malus. 



MELANGES. 

SUR UN PROBLÈME D'INTERPOLATION 

(Extrait d'une Lettre à M. Hermite); 

Par m. a. KORKINE. 

« Monsieur, 

« Dans le Bulletin des Sciences Mathématiques et Ast/'onomi- 
ques deM. Darboux(tome II, i87i),M. Ermakof apubliéun crité- 
rium de convergence des séries à termes positifs, qui est plus sensible 
que tous les critériums semblables connus jusqu'à présent. 

» 11 existe un certain problème d'interpolation lié avec ce crité- 
rium ; c'est sur ce problème que je prends la liberté de vous présen- 
ter quelques réflexions. 

» Soit'j/^C) une fonction ou une branche d'une fonction qui 
a une seule valeur pour chaque valeur de x. Nous ferons la môme 
supposition par rapport à toutes les autres fonctions que nous allons 
considérer, en ayant toujours soin de choisir une branche conve- 



(') J'écris '^x au lieu de '!^(x), pour ne pas emharrasseï- de [larcnllièses nos for- 
mules 



MÉLANGES. 2.19 

nable, si plusieurs valeurs de la fonction correspondent à une 
même valeur de x. 

» Soit encore '|-i^ ■'^ fonction inverse de -ix déterminée de 
manière qu'on ait 

)) Convenons de représenter par les formules 

<\llX, 4/2,27, 4/337, ..., <\l,^X 

respectivement les fonctions 

<^x, 4/'{/,r, •\>'!^'\^T, ..., y^n^ix, 

et par les suivantes 

•h-iX, '1/^3 X, ..., 'ii-nor 
les fonctions 

4/_i4/_ix, '^_i 4/_i 'i/_i a-, ..., '|/^i'}_„4-i^, 

n étant un nombre entier positif. 

» Conformément à cette notation, désignons aussi par à^j; la 
variable x elle-même. 

» Alors, la fonction 'Ix étant donnée, on peut déterminer la 
valeur de '\iyX pour chaque valeur de x, y désignant un nombre 
entier positif ou négatif. 

» Le problème d'interpolation que je viens de mentionner con- 
siste dans la détermination de la fonction ^yX pour toutes les 
valeurs de y, en l'assujettissant à satisfaire à l'équation 

y et z étant des quantités quelconques. 

» Comme nous supposons que 'Ix soit donnée, il faut que les 
valeurs de ^yX pour les valeurs entières àey soient les mêmes que 
nous avons définies tout à l'heure. 

» Avant d'aborder ce problème, nous déduirons une certaine 
identité qui nous servira dans la suite et qui conduit immédiate- 
ment au théorème de M. Ermakof. 

» Soient y(x) une fonction de x et a une constante; désignons 

aussi par la formule 'l'^x la dérivée ' '^■' • 



23c) PKKMIKIIE PÂUTIE. 

» Cela posé, celle identité résultera, si l'on ajoute membre à 
membre celles qui suivent, 

„ija ^^a ^ija „-ii,a 

/ f{x)dx^ i fix)dx, / /('l.T)'Yxdx== / f(x)dx, 

Ja ^'a «-a •^- ^a. 

/ /(<]^j-i^)']'Ui^^-^= / f{x)dx\ 



on aura ainsi 

.■In 



== j J^x)dx. 

» Pour en déduire le théorème de M. Ermakof, supposons qu'il 
soit donné une série 

Ci.) /(O) +/(!)+/( 2) -h..., 

à ternies positifs, et prenons la fonction ^x telle que la série 

(3) Ax)-^-A^x)^'x+f{^.x)^'^x^... 

soit également à termes positifs pour toutes les valeurs de x com 
prises entre a el '^a. 

» Supposons aussi que pour les valeurs indéfiniment croissantes 
de j' la quantité '\iyX soit positive et indéfiniment croissante, x 
étant compris entre a et <ba. 

» Cela posé, considérons le rapport 

/( '\'y^)Vy^ _ /( '\"\'y-i ^ ) ¥'\'y-i ^ 



A "^y-i •*■ ) "^'y- 1 ^' A 4^r-i ^ ) 

de deux lerines consécutifs de la série (3), qui devient 

(4) -7^' 

en faisant •!»y_, x = z. 

» Si le rapport (4) pour les valeurs infiniment grandes de z reste 
inférieur à une certaine quantité, qui est elle-même inférieure à 



MÉLANGES. 23i 

Tunité, la série (3) est convergente et le premier terme de l'iden- 
tité (i) sera fini quelque grand que soit j'. Il en est de même du 
second terme, qui devient à la limite 



/ f{x)dx. 



» Or dans ce cas la série (2), d'après le théorème deCaiichv,est 
aussi convergente. 

» Si le rapport (4) reste supérieur à l'unité, z étant infiniment 
grand, la série (3) est divergente et les deux termes de l'identité (i) 
seront infiniment grands pour les valeurs indéfiniment croissantes 
àey. 

» Dans ce cas, en vertu du même théorème de Cauchy, la série 
(2) est divergente. 

» M. Ermakof déduit de son théorème un remarquable caractère 
de convergence des séries, en faisant 

» En revenant à notre problème, laissons à '|x la signification 
d'une fonction donnée quelconque. 

» Nous allons chercher d'abord la forme que doit avoir la 
fonction '^yX, si elle est continue par rapport k x et y, au moins 
entre certaines limites. Nous supposons aussi que la dérivée 

-^^— tende vers une limite déterminée lorsque j' s'approche de zéro. 

» Désignons cette limite par \jc et difi'érentions l'équation 

par rapport à z ; nous aurons 

d'\/:<l)yX _ d'\'y+z^ _ d'\<Y+Z^ 

dz ~ d5 ~ dy ' 
ou, en faisant ^yX = ^, 

~dr dy 

» Posons z=o dans cette équation. Comme la dérivée —7^ 
deviendra alors A; et que 'ly+zX sera $, il viendra 



/ 



23-?. PREMIÈRE PARTIE. 

» En désignant par 'i; l'intégrale 

W 
on déduit de là 

Ox étant une fonction de x. 

» Il résulte de cette équation celle qui suit 

<\iyx = tp_i(j+Or). 
» En ayant égard à ce que 'IqX ^=x, on aura^ pour j' = o, 

par conséquent C5_,x et Hx sont des fonctions inverses l'une de 
l'autre; ^x ne diffère donc pas de ox. 

» Ainsi la forme définitive de <lyX peut être exprimée par la 
formule 

» Pour que les valeurs de 'lyX, qui correspondent aux valeurs 
entières de >', soient celles que nous avons définies précédemment, 
il faut et il suffit que la fonction ox satisfasse à l'équation 

(6) 9_l(l -r-cpa-) = 4^37, 

que l'on obtient en faisant >' = i dans la précédente. 

» Réciproquement, si l'équation (6) est satisfaite la formule (5) 
donnera une solution du problème proposé. 

» En effet, on déduit de cette formule 

et encore 

'^^yX = y -h ox; 
donc on aura 

>l:'\iyX = 0-1(5 -T- y -T- «?a7). 

» Le second terme de cette équation représentant '\>y+zX en 
vertu de la même formule (y), il en résulte 

r f'I z élaul des quanlilcs quelconques. 



MÉLANGES. 233 

» Ainsi, puisque la condition (G) est remplie, la formule (5) 
donne efiectivernent une solution. 

» De cette manière la recherche de la fonction -lyX est réduite 
à celle de la fonction ox, qui ne dépend que d'une seule variable x. 

» Proposons-nous maintenant de déduire toutes les valeurs de 
•J^yX lorsqu'une seule d'entre elles est connue. 

» Soit Z'X la fonction qui détermine cette solution connue de 
notre problème, de sorte qu'elle soit donnée par la formule 

» Toute autre solution peut être exprimée par l'équation 

^x et it.^{X étant des fonctions inverses, qui satisfont à la condition 

[J._l(l -f- [xx) = 'Ix. 

» En supposant que >' soit un nombre entier, ces deux formules 
représenteront la même quantité 'byX. 
» Or on en déduit 

o'\>yX=y-^ox, ix<\>yX=y-^[LX, 

par conséquent 

[xiiyX — ^'\>yx = [XX — ox. 

» En remplaçant ici 'lyX par sa valeur 

?-i(7-^?^), 
nous aurons 

\xo-i(y -H ox) — oo-iiy-^ox) = [xç_i(_}' -+- ox) — ( JK -i- ox) = [xx — ox. 

» Faisons cajc = u et par conséquente = o_, «; il viendra 

t^?-i(7-^ «)— (7+ «)= [>-o-iU — u. 

» La fonction \t-'f^\ u — u est donc périodique ayant pour période 
l'unité, puisque j' est un nombre entier arbitraire. En la désignant 
par o-M, nous aurons 

jJ.Ç_l u := u -^ ff M, 

ou, en remplaçant cp_ , u par J7 et u par ^.r, 

[j.^ = ox -^ lOX. 



234 PRIiMlÈllK FAKTIE. 

» Ainsi \d ioiiction ^ux, qui donne une seconde solution, se 
déduit de la fonction ox, qui détermine la première, par l'addition 
à cp^ d'un terme (T'sx, tx étant une fonction périodique avec la 
période égale à Uunité. 

» C'est la seule condition à laquelle doit satisfaire <7X, car si 
Ton prend au lieu de 'jx la fonction 

on obtient toujours une seconde solution. 

» En effet, on a 

iD'lyX =y -h ox, 

et supposant quej>' soit un entier, il viendra 

a(^<byX = t(j' -+- cpa") = aox. 

» Donc on aura 

cp'ly a; -r- ao<hyX =y -T- ox -h <!^x, 
ou bien 

^•^fly-X =J--\- ^X. 

» Il résulte de là 

i^,.^:- = ;j._i(r -h [t-x). 

» Ainsi la fonction àyX donnée par l'équation 

<}^yX = 'f-i( V H- cpa:-) 

est représentée aussi, pour les valeurs antérieures de j', par la 

formule 

P-i(v-f- \t.x). 

» Cela étant, cette formule donne une solution lorsque y est 
une quantité quelconque, comme nous avons démontré. » 

)) Il suit de là qu'il suffit de trouver une seule solution de notre 
problème pour en déduire toutes les autres. En effet, àyX étant 
connue, on déterminera oj? en résolvant par rapport dv l'équation 

'l/ya = X, 

a étant une constante. La valeur de y en fonction de x, obtenue 
de cette manière, est la fonction fx, telle que 

ct)mme il est facile de son assurer. 



MÉLANGliS. 235 

» A^ant cpx, on trouvera toutes les solutions, comme il a été 
expliqué ci-dessus. 

)) Passons maintenant à la détez^mination de la fonction '^^yX^ 
lorsque ^x est donnée. On peut procéder en suivant deux mé- 
thodes : la première consiste dans la recherche de la fonction ox, 
dont on déduira (];j^; la seconde_, dans le développement direct 
de ^jX en série, sans déterminer préalablement cpx. 

» Si l'on veut chercher ^x^ il faut résoudre l'équation 

(6) U)_i(H- cp:r) = 4'^> 
OU bien cette autre, qui lui est équivalente, 

(7) 1+ cp^ = cpt^/^. 

» On trouve l'équation (■j) dans un Mémoire d'Abel ('), où il ré- 
duit sa résolution à celle d'une équation ordinaire aux différences 
finies. Or, comme celle-ci n'est pas plus facile à résoudre que 
l'autre, sa solution étant la valeur de la fonction ^yX pour une va- 
leur particulière de jc, j'essayerai de traiter directement l'équa- 
tion ('j). 

» Soit/(^) une fonction quelconque, mais telle que la série 

soit convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre 
certaines limites. 

» Comme la fonction <^yX est connue, tant quejK est un nombre 
entier, si l'on a choisi la fonction f{x), on peut, pour une valeur 
donnée de x, déterminer la valeur de chaque terme de la série (8), 
et par conséquent celle de la somme d'autant de termes qu'on 
voudra. 

» La somme de la série (8), que nous allons désigner par to(a:), 
est une fonction de x^ qui satisfait évidemment à l'équation 

(9) ^^ii<\x)'yx = u>{x). 

» En prenant une constante C et la valeur de x comprises entre 



(') Détermination d'une fonction au moyen d'une équation qui ne contient 
qu'une seule variable {Œuvres complètes, t. II). 



J.30 PREMIÈRE PARTIE. i 

les limites de convergence de la série (8), faisons i 

6(j-) = / bj(x)dx, 

et nous aurons, en vertu de l'équation (9), 
(10) 6((L:r) = 6(.r)-i-C, 

C étant une constante déterminée, exprimée par la différence 

» En faisant 

^ Q{x) = ox, 

l'équation (10) deviendra 



et la fonction '-dx est donc ^ ^•^)- 

» Si l'on peut assigner une quantité a, de telle façon que la série 
(8) soit convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre 
a et t|>rt, il est possible de déterminer la constante C indépendam- 
ment de la fonction 9(^). 

» En effet, d'après l'identité (i), on a 

« Il 

» On aura de la même manière 

-^J{^^.^xy\'_,x\dx=. f f(x)dx. 
» En ajoutant ces deux identités terme à terme, on aura 

/ \A^) -^ A'\^W^ -^ A^i^)^> -^ • • --^ A'^y-i^Wy i-'^ 

-T- /(•{/_, a; )'}!, x -^ /('^ -2^ )»{/'. 2.r -4-. . .-\-f{'h-.x)'y-x\ dr 



MÉLANGES. 287 

» Supposons maintenant les entiers y et z infiniment grands et 
passons à la limite; comme celle du premier terme est 



nous aurons 



/ wl.r)f/.r = e(' '];«) — Ofa) = C, 
< Il 

£limi a 
'' fi.x)dx. 
., . . .„ .1. 



Iim4'_ " 

» Quant au choix convenable de la fonction y'(^)^ nous ne nous 
en occuperons pas ici, cette cjuestion dépendant de la nature de la 
fonction 'hx. 

» Le second moyen de déterminer '^yX est son développement 
en série suivant les puissances croissantes entières et posilivesde 
la différence x — a, a étant une racine de l'équation 

<]^X = X. 

)) Je suppose que la fonction 'Ix soit aussi développable en une 
semblable série. Je ne discuterai point la possibilité de ces déve- 
loppements; en les supposant possibles, je me propose seulement 
de déterminer les coefficients de la série exprimant >hyX en fonc- 
tion de ceux de la série qui représente '^x. 

» Il est évident que, en vertu de l'équation 

(la = a, 
on aura 

4/^.a = a 

pour toutes les valeurs entières de j . 

» Si^ n'est pas un entier, on peut faire 

m étant un nombre entier et). -< i • Comme on a 

la quantité <]>xa est une racine de l'équation ^x = x. 
» Or on a de même 

<i^y^ = 4^,,,+^a = 4/^'>,„a = <|;^a; 

donc <^yy. est aussi une racine de cette équation. 

» En supposant que 'byX soit une fonction continue de r dans 



238 PREMIÈRE PARTIE. 

le voisinage delà valeurj'=:o et en admettant la possibilité des 
séries mentionnées, il faut qu'on ail '];_>.a = a pour des valeurs 
quelconques de y. 
n Soit maintenant 



1 



<\i X = 0L-+' Ao{^ — a)-i- Ai(a" — a)2 -^ A.2(ar — a)' -+-. . . 
le développement de t|>^. Nous considérons les coefficients 

Ao, A], A,, 

ainsi que a, comme connus, et nous allons nous borner au cas 
le plus ordinaire, en supposant que Aq ne soit pas nul. 

» En vertu de ce que 'lyOL^x, le développement de àyX sera 
de la forme 

(a) iiyX =: OL-T- oioix — a)-r-ai(3' — a)2-i-«2(^ — a)' -4-.... 

» Les coefficients 

'^0, ^1, «2, • • • 

sont des fonctions de }', telles que pourT= o on a 
ao = I , ai = a, = . . . = o, 

car <];o^ = ^i et pour j' = i on a 

tto = Ao, aj = Al, a, = Ao, ..,, 



i 



puisque iJ^x = ^x. 

» Pour déduire les valeurs générales des coefficients ao,a,, 
a2, . . . , on peut procéder de difterentes manières. 

» D'après la forme ç^, (j -t-<p^) de la fonction 'ly-x, il est évi- 
dent que le rapport 

d'hyX _ d^yX 
dv ' dx 

est éffal à -r- =\x. Donc on aura 

d'I/yX d'I^yX , 

—^ — = —^ — • kx. 
Oy Ox 

» Le développement de \x étant de la forme 

'kx= Po(a:— a)-+- ^^{x — a)'^ -^ ^^{x — a)-">^f-. .., 

l'équation précédente fournit l'identité 

-— (a: - - a) -(- -r-i (x - a)2 -4- . . . 

= fao 2^1^-^' - - 2" •- 3a2(.r — a)--; ...||^i„i./- - a") -i 3,(j-— a)*--, 



> 



MÉLANGES. 239 

» En comparant les coefficients des mêmes puissances de x — y. 
dans les deux termes, on en déduira ces équations 

-3— — po *0) -ç— — 2 po ai — pi a,i, .... 
dy <iy 

» De la première il suit 

C étant une constante. Or pourv' = o on a ao = i, et j)Our r =^ 1 , 
ao = Aq ; donc 

G = I, j3o = logAo, ao = A>'. 

» De la même manière, de l'équation 

-— i = 23oai -^ 3, a,,, 
dy 

il résulte 

A Av-1 a;^-t 

Ao — I 

et ainsi de suite. 

» On parvient plus directement aux valeurs des coefficients 
a, , ao, a3, . . . , comme il suit. 

» On a l'identité 
('11) '^y'^^ — a. = ^^yX — a. 

)) En avant égard aux développements de 'Ix et d/,j", il vient 

^y'i^x — a = ao('{^:r — a j — a,('^a' — a)2 -f- i^i'l^x — a)-^ -i-. . ., 
<{;(l/y:r — a = Ao('J/ya^ — ^) -+- ^ii'^y^' — ^)" -r- A-('j;ya" — a)^ --.... 

» Or, en désignant x — a, pour abréger, par z, on a 

<\x — a = Ao^ -1- Ais2 -i_ A2^^ -+-.. ., 
'ijyX — a = ao .3 + aj 2^ _)_ «2 z^ + . . . ; 

donc on obtient 

^J/y't'^ — '^ =^ ao(Ao2-f-Aiz2_^j\,2^-^...") 

-f-ai(Ao5-4- Aix;2_uA2s5_|__ ^ .j2_i_a2(Ao^-f-Aiz2 -t-. . .)3 -f-. . ., 
Yiy^ — a = Au(ao^-l- ai^2 — - a, :;-^ -f- . . .) 

-i- Ai(aox; — a,^2_i. 2j, -3_i__ /)2_u ^^(aos — a,s2_|_. . .)3_i_ 



» En vertu de l'identité (11), ces deux développements sont 
égaux. En comparant les coefficients des mêmes puissances de g. 



a4o PREMIÈRE PARTIE. 

on aura les équations pour déterminer successivenieni a,,ao. as, 
a^, . . . , la quantité ao étant trouvée et égale à A-J. 
» Ces équations sont 

I Ajao-f- Agxi = Aoai -^ Aja^, 
Aoao -f- îtApAia, — A^ oto = Aoa. -^ aAïa^aj -!- AiX-;, 
^ ^ , A3ao-f-(2AoA2-r- Af )ai-f-3A2Aia.2-^ AJas 

(l9.) / 

j = Aoaj-f- Ai(2aoa2-H af )-H SAaagai -^ Ajaj, 

/ Ai ao-T-2( Ao Aa-^ Al A,)ai -f- 3( A5 Az-^ Aq Af )a2-^4 Ag Ai a3-4- A^ a^ 

\ = Ao «4 -;- 2 Al ( ao as -^ ai xj )-t- 3 A2 (ag a, -f- ao af ) -^ .} A3 ag ai -^ A4 aj , 

et ainsi de suite. 

» On en déduit facilement, en ayant égard à la valeur, 

a, =A,A>-' '4^ 



1-^0 



Ao-i 



.2-2AiA„ ^^^_,,^^,^_^, . A2A„ ^^ ^ 

_ ...v^o (A;-i)(Ar'-i)[(Ao-t-5)Ai^-5Ag-i] 
"' - ^^"""o ' • (Ao-iHAi-inAo*-i) 

, , , V-, ( A-J - i) ( A{-i — i) [(3Ao^5)A^ + r5Ao + 2)] 
'^^^'^^'^"''" (Ag-i,.A^-., ■ 

-1- A , A ■^■- 1 -^ 



Ao*-i 

. , > y-, (A;-i KA^^-tVA-^-''-i)[(2Ag+3Ao+7)A^-(7Ag-f-2Ao+3)| 
''^ ~ *^ (Ao-i)(Ag-i)(Ag-)(Aâ-i) 

, (AJ-i)(A-;-i-i)[(3Aa+i4Ai+2oAo+2i)Agr ^ 

--(-9Aâ-i5A3+2A'5+9Ao+i)AJ 

. j, 4j._2 [ — (2lAâ4-I2Ag+6A,^ + 5Ao-4-2)] ' 

■ ' ' ' (A§-i)(Ag-,)(Aè-i) 

\ (A>-i)(AJ-i-i)[(2A2-i-2Ao+3)A2r j 

, . ,v-, ) +(2Ag+3Ao-^iU-^+3A^-^A„-^i1 S 

-'^''^'''' (Ag-iKA^-.) 

_^ 3 , 2 Av ( Ag->--i)(Ag.v-2_,) ^__ A^v-. 

et ainsi de suite. 

» On peut vérifier ces expressions, en remarquant que, si Ton 
prend pour ^'un entier [)ositif arbitraire et pour Aq une racine de 
l'unité de degré quelconque, les valeurs de a,, y..,, a,, ... ne de- 
viennent j)oint infinies. 



i 



MÉLANGES. 24, 

» Les équations (12) déterminent aussi les coefficients |j,, 
[32, . . . , du développement de la fonction \x = -r- • En effet, nous 
avons vu que la dérivée 

'■ = — ix — a) H (x — ap -+-. . . 

ày o!r dy ^ ' 

devient kx, pour j- = o ; donc les quantités -— > -— ? -—, • • • > pour 

y=zo, ont respectivement les valeurs [^oi i^n 1^25 • • • • 

» Différentions donc par rapport ky les équations (12) et fai- 
sons ensuite r = o dans les équations que nous allons ainsi ob- 
tenir. 

» En remarquant que ao se réduira à l'unité et cf.^, a2,y.3, . . . 
s'évanouiront, on obtient 

Ai^o-i-Ag;3, = AoP.,+2Ai!3o, 

A3po-^(2AoA2^-Af).3l^-3A2Al^, + Aè!33 = Ao?,3-t-2A,p.,-^3A,^,--4A3?o, 

et ainsi de suite. 

» Or nous avons trouvé |îo = logAo; par conséquent, 

_ 2(AoA2-Af) 
'^^-AiCAo-DlAo-D'^-^"- 

3 A2(Ao ^ ijAs - (8A0 -4- 7)AoAi A, -h (5Ao -+- 4)A? 



Hs = 



A3(A^-i)(Ao-M) 



logAo, 



et ainsi de suite. En faisant dans la série (a) a^o et Ao= i, 
on aura, comme cas particulier, celle qui a été obtenue par 
M. Cayley {Quarterly Journal, t. III) et mentionnée depuis par 
M. Schroder {MatJiematische Annalen, t. III). 

)) Je dois réclamer toute voli-e bienveillance. Monsieur, pour 
les considérations précédentes, qui ont tant de défauts et je m'es- 
timerai très heureux si elles peuvent jeter quelque jour sur le 
problème en question. 

» C'est en espérant qu'elles peuvent servir aux géomètres, qui 
s'occuperont du même problème, que je vous prie, Monsieur, de 
vouloir bien faire paraître un extrait de cette Lettre dans le Bul- 

Btill. des Sciences mathem., 2' série, t. VI. (Scptrmbre i8Sa.) jo 



■).\x PREMiEKE PAUTII-:. 

letin de M. Darboux, où est aussi inséré le Mémoire de M. Er- 
makof. 

» Veuillez agréer, Monsieur, l'expression de mon ])rofond res- 
pect. « h. KoRKINE. » 

i" mai iSSl>. 



THEORIE DE LÀ SERIE DE FOURIER ( > ). 
Par :\I. i.e D' AxiiL HARNACK, A Dresde. 

1. PuiINClPES GÉTVÉRAVX PU CaLCUL IJNTÉGRAL. 

La condition nécessaire et sulïisanle pour qu'une fonction y(.r) 
soit intégrable entre des limites aexb a été énoncée par Riemann(-) 
de la manière suivante : « Jï enn die Function f{jc) inimcr 
endlich ist, iind bei unendliclieni ^Ibnehmen sâmmtlicher 
Theilintervalle o die Gesaniint grosse s der Intervalle, in wel- 
clien die ScJuvankungen der Function f{x) grosser als eine 
gegebene Grosse t sind, stets unendlich klein (vird, so conver- 
girt die Sunime 

wenn sâmmtliche o unendlich klein werden. 

Pour donner à ce principe une forme plus courte, il est opportun 
de ranger une masse infinie de points dans un intervalle linéaire, 
comme il suit : Si l'on appelle l'intervalle de x — oàj7+o Ven- 
lourage d'un point x d'une longueur 20, où représente une petite 
quantité quelconque, mais finie, on nommera « masse discrète » 
(discrète Menge) wm^ iiiultiludc inliuie de jioints, contenus entre 



(') Ce travail n'est en partie (|u'unc nouvelle rédaction d'un article publiô par 
moi dans les Math. Anncden., t. XVII et \1\; j'ai roi;ardo coniinc un devoir de 
le publier, parce que la faute relevée (p. r)a(i) a de riiillueiicc sur (|U(Iquis prin- 
cipes énoncés par moi. 

(') Œuvres comp., p. an-, l'vhvr tlic IhirsIcllhdiLrit l'iiirr l'mirlinn iliirvh 
(inr trii^onntnf'trhrhr firilir. 



MELANGES. alî 

les limites a et h, si toutefois il est possible de renfermer les 
points de cette quantité dans des entourages dont la somme 
peut être faite plus petite qu'un nombre quelconque, tandis que 
le nombre des entourages pourra croître à volonté. 

Par contre, on nommera « masse linéaire » la multitude infinie 
de points, si la somme des entourages ne peut pas être aussi 
petite qu'on le désire. 

L'idée de quantité discrète, qui a été énoncée pour la première 
fois par H. Hankel ('), ne peut pas être confondue avec celle 
d'une quantité de points de première espèce qui sert de fonde- 
ment à une série de théorèmes généraux du Calcul intégral dans 
les travaux de MM. Cantor (-) et Dini ('). Mais il est nécessaire 
de remarquer que chaque quantité de points de première espèce 
est en même temps une masse discrète. Pour rendre aussi claire 
que possible cette différence, je vais d'abord donner quelques 
exemples faciles. 

1. Chaque nombre fini de points dans un intervalle d'une lon- 
gueur finie est une quantité discrète; on désigne leur ordre par o. 

2. La quantité infinie de points dans l'intervalle de o à i, qui 
sont déterminés par les nombres 

est discrète, car les points de cette masse se rassemblent seulement 
au point o. Si l'on sépare du point o un petit intervalle quel- 
conque, on retient un nombre fini de points de la masse dans 
l'autre partie, de telle façon que la somme totale des entourages 
peut devenir aussi petite qu'on le veut. Les endroits où les points 
de la masse se concentrent d'une manière infinie s'appellent les 
limites ou points limites [GrenzpunJUe)\ l'ensemble de ces limites 
s'appelle la première dérivée. Dans le cas présent, la première dé- 
rivée est de Tordre o ; c'est pourquoi on désigne l'ordre de la masse 
primitive par i . 



(') Ueber die iinendlich o/t oscillirenden iind itnstetigen Functionen ; Tïibin- 
gen, 1870, et un article intitulé Grenze, dans le Allg. Encyclopàdie, v. Erscli. 
u. Gruher. 

(') Math. Annalen., t. V, W, WH. 

(') Fondanienti per la teorica délie f un zioiii di variabili reali, 1S7S, Série di 
Fnitrier. Pisa; i8f^o. 



244 PREMIÈRE PARTIE. 

3. Une quanlité discrète peut avoii" plusieurs dérivées, ou être 
d'un ordre plus élevé. Les points 

I, h (l)^ a) + (IK (ï)^ (ï) -^ (IK (i)^ + ( ^)^ (i)s (î) + (i)s • • • 

se rassemblent en un nombre infini de points, qui correspondent 
aux places 

o, b(i)^(i)^' 

ce qui n'empêclie pas cette masse d'être discrète. Si Ton porte à 
partir de o un petit intervalle quelconque, il reste encore un 
nombre fini de points, où existe une accumulation de points 
infinis, et si l'on enveloppe celte masse de petits intervalles, il ne 
reste plus qu'un nombre fini de points de la masse donnée. La pre- 
mière dérivée est du premier ordre, la masse primitive du second 
ordre. 

En général, toute masse de points possédant un nombre fini de 
dérivées est discrète ; car, si l'on prend comme point de départ la 
dernière dérivée, d'ordre o, c'est-à-dire un nombre fini de points 
«1, rto, ..., rt,„, la masse de points, dont on prend la dérivée, 
possède seulement en ces points des amas de points infiniment 
nombreux, et en outre un nombre fini de points bi, b-2-, • • ., b,i. La 
grandeur totale de leurs entourages peut par conséquent être dimi- 
nuée à volonté. La masse de premier ordre est discrète; elle sert 
de point de départ pour arriver aux ordres plus élevés : la masse 
de deuxième ordre ne contient qu'un nombre fini de points 
C), C2, . • . , Cp, après qu'on a enveloppé les «,, r/o, . . . , a,„ et les 
bi^b-ij ...,b,i par des intervalles arbitrairement petits; ce qui prouve 
qu'elle est discrète. Le caractère d'une masse discrète reste donc 
conservé chez un nombre fini de progrès. 

Mais l'exemple suivant va nous indiquer la manière dont on 
peut construire une masse discrète qui n'appartient pas à la pre- 
mière espèce. Représentons-nous un intervalle de o à 1, partagé en 
un nombre infini de parties, ayant les longueurs de o à |, de -j à 
(D + d)'» ^e|-h(|)-ài+(|)2H-(;)^ Ole, et supposons que 
l'on ait disséminé sur la première division de riulervalle une masse 
de points du premier ordre, sur la deuxième division une masse du 
second ordre, sur la troisième une du troisième ordre, elc; ces 
masses infinimeni nombreuses ne possèdent plus dans leur totalité 



xMÉLANGES. 245 

un nombre fini de dérivées, mais la totalité esl discrète ; ce qui est 
facile à prouver. Si l'on sépare à partir de l'endroit i un intervalle 
aussi petit que Ton voudra, de longueur 0, il se trouve sur la lon- 
gueur de o à r — un nombre fini de masses de première espèce, 
dételle sorte que tous les points qu'elles contiennent peuvent être 
enfermés dans un nombre fini d'intervalles, dont la somme est 
aussi petite qu'on le désire. 

La masse discrète possède la propriété qu'on peut déterminer près 
de chaque endroit, à une distance arbitrairement petite, un inter- 
valle de longueur finie, dans lequel il n'y a aucun point de cette 
masse, et cela de chaque côté de l'endroit considéré. Soit a un 
point quelconque de l'intervalle a, b ; il serait impossible à une 
distance quelconque de a de trouver un intervalle qui ne contînt 
pas de points de la masse, si dans l'entourage d'un point quel- 
conque sur une longueur prise à partir de a il y avait un nom- 
bre infini de points. De plus il serait impossible de renfermer tous 
les points de la masse dans des intervalles dont la somme fût plus 
petite que 0, c'est-à-dire que, contrairement à l'hypothèse, la masse 
ne serait pas discrète. 

Utie niasse discrète n'est, enaucun intervalle, aussi petit qu'il 
soit, partout dense [iiberall dicht). Une masse de cette propriété 
est toujours linéaire, comme, par exemple, la totalité des nombres 
rationnels ou irrationnels dans un intervalle; de même tous les 
nombres dont le dénominateur (réduit à sa plus simple expression) 
est une puissance d'un nombre a. 

Le théorème précédemment énoncé n'est pasrenversable, quoi- 
que Hankel ait cherché à le prouver dans le travail nommé ])lus 
haut ('). C'est aussi la raison pour laquelle la condition d'inté- 
grabilité donnée par Dirichlet (-) est inadmissible et que le 
théorème de l'intégrale de Riemann ne peut être exprimé par 
un autre. On peut aussi distribuer une masse linéaire de 
telle façon qu'elle ne soit pas partout dense dans aucun inter- 
valle. 

L'exemple suivant prouve cette possibilité. Sur un espace de 



(') L'inadmissibilité de la preuve a été remarquée par Dini : Fondanicnti\ 
p. iSo. 

(■) Journal f. Mathcm.. t. FV, p. i.fiç). 



246 PREMIÈRE PARTIE. 

o à I on construit n -\- 1 points à égale distance, comme les 

nombres o, - ? -,••••, , i . Un porte a partir de o une longueur 

et de même de chaque côté de chaque point de division, et à 

la fin de i - — o à i la même longueur. Soit 2 o <; -5 ou o <^ — • Les 

points de la masse à construire ne doivent se trouver que sur ces 
longueurs, de plus les points nommés doivent appartenir à la 
masse. Le nombre n^ ainsi que plus loin les nombres n', ;z", . . . 
sont par exemple des nombres pairs. Appelons ]i la somme des 
longueurs, soit ino et partageons de nouveau chaque intervalle 
en n! points, portons de chaque côté de chaque point de division 

la longueur o', soit iii'o <^o ou o' <:^ — 7- Posons la somme de tous 

ces nouveaux intervalles égale à h' = 271. 2/«'o', et h' <^ h. Si nous 
continuons ce mode de division, que dans l'intervalle 0' on con- 
struise les intervalles 0", dont le nombre 2 //et dont la'grandeur soit 
déterminée par l'inégalité in'^o" -< o', de telle façon que la somme 
de tous ces espaces q.ji. in', in". 0" soit h"<^h'., nous avons une 
masse linéaire, si les valeurs de h, h' , li" ., ... ne descendent pas 
au-dessous d'une valeur déterminée; par contre, la masse deviendra 
discrète, si cette valeur limite devient égale à zéro. Dans les deux 
cas on peut, à l'intérieur d'un intervalle aussi petit qu'il soit, déter- 
miner un nouvel intervalle, qui ne contienne aucun point de la 
masse; en outre, la masse de points n'appartient plus à la pre- 
mière espèce, parce que chaque point de division devient un point 
limite, et que dans l'entourage voisin de chaque point il tombe 
un nombre infini de points. 

Les masses de points, qui dans tout intervalle ne sont pas par- 
tout denses, diffèrent peu des autres, quant à ce qui touche aux 
problèmes du Calcul différentiel; par contre la différence entre une 
masse discrète et une masse linéaire est inqîortante dans le Calcul 
intégral, quand même la masse linéaire n'est pas partout dense. 
Pour donner aux théorèmes suivants un énoncé général, j'ai pré- 
féré m'appuyer sur l'idée d'une masse discrète, quoique dans la 
preuve des cinq premiers théorèmes la seconde qualité générale 
de celle-ci soit seule employée. 

Théorème L — lue fonction qui dans rinlrv^nllc tic n a h 



MELANGES. 247 

doit être pat-tout continue, est complètement définie, si elle est 
donnée à l'exception des points discrets. 

Soit X une valeur pour laquelle la fonction f{x) est encore 
inconnue ; on peut déterminer dans le voisinage de x des points 
X — £ et ^ + £, qui n'appartiennent pas à la niasse discrète, et 
dont les valeurs f{x-\-t)elf{x — t) sont connues. La valeur 
f{x) est la limite des progressions déterminées par f(x-+- t) et 
f(x — c), pendant que £ tend vers o. Le théorème peut être 
aussi énoncé de la manière suivante : deux fonctions continues, 
qui ne peuvent différer qu'en des points discrets, sont identiques. 
C'est" un énoncé particulier du théorème général : une fonc- 
tion continue est parfaitement définie lorsqu'elle est connue 
dans chaque petit intervalle en un point. 

Théouème il — Si une fonction continue reste sur tous les 
points d'un intervalle, à V exception d' une masse discrète, tou- 
jours au-dessus ou toujours au-dessous d'une limite déterminée, 
elle ne peut en aucun point dépasser cette limite. 

Soit G la limite supérieure, il serait possible, si la fonction con- 
tinue était en un point x égale à G + /i (/i>-o), de déterminer 
un intervalle fini x ± z, dans lequel toutes les valeurs de la fonc- 
tion diffèrent de f{x) d'une valeur plus petite que la grandeur 
positive Ji. Cet intervalle contiendrait des points qui n'appartien- 
nent pas à la masse discrète, et dans lesquels, contre l'hypothèse, 
les valeurs de la fonction sont supérieures à G. 

Théorème IIL — Si pour une fonction continue f[x) on peut 
déterminer en chaque point d'un intervalle, à l'exception 
d'une masse discrète, une limite supérieure de \x, de telle 
façon cpie f{x -\- ^x) — /(^) ne puisse pas devenir négative 
{resp. positive)., la différence fix -V- !^x) — f{-£) ne sera ja- 
mais négative {resp. positive), aussi petit c/ue soit Ax >> o. 

Considérons d'après la première hypothèse le cours de la fonc- 
tion dans un intervalle de Xo à ^1 ; si la fonction ne croît pas partout 
entre Xq et Xi, elle doit être dans tout l'intervalle constante, 
c'est-à-dire partout /(.r -f- Ax) — f(x) = o., ou bien elle atteint 
dans un point entre Xq et .r,, qui peut être égal à Xq, un maxi- 



248 PREMIÈRE PARTIE. 

muni relatif. Pour cette valeur x on peut déterminer Ax de sorte 
que /{x-\- àx) — f{x) soit -< o. Soit — r, la valeur de cette dif- 
férence, si X tend vers o, r, tend aussi vers o. Soit t une valeur 
positive quelconque plus petite querj, on peut déterminer un en- 
droit, j:'-t- A'j;-(A'.r < A^), pourlequel/(jc + A'j;) — /{.^) = — s, 
et j" -f- \'x marque la place première entrer + Ax et x, oîi l'éga- 
lité se trouve remplie. Il suit de là que 

/{a--i- \x)—f{.r^-\'x) = — T, -1- s<o, 

pendant que Ix décroît jusqu'à l'x. 

Il serait possible que, par un choix déterminé de e, la place 
X ■+- \'x appartienne à la masse discrète, pour laquelle il n'est pas 
connu que la différence doive devenir ou égale ou plus grande 
que o; mais, comme s prend toutes les valeurs entre o et Tj d'une 
manière continue, les points correspondants x + l'x doivent 
aussi parcourir des intervalles continus, dans lesquels il v a des 
points qui n'appartiennent pas à la masse discrète, pour lesquels 
la différence ne peut pas devenir négative. Il n'y a pas par consé- 
quent, dans un intervalle quelconque de Xq à j:,, de valeur maxi- 
male, la fonction ne décroit pas. Un cas spécial est : 

Théotième IV. — C ne fonction continue cjiii dans un inte/- 
i'alle que/conque doit être constante partout, à l'exception d'une 
masse discrète, est constante dans tout l'intervalle, c'est-à-dire 
qu^ elle possédera partout sans exception la même valeur. 

Théorème V. — Toute la fonction continue f(x), ait l'on peut 
déterminer, à l'exception d'une masse discrète, en chaque 
place de V intervalle de x =^ a à x^=.h une limite supérieure 
pour Ax, de sorte que 



abs r.A.^+A^j-/(^)1 



soit plus petite qu'une petite valeur quelconque o, sera con- 
stante dans tout C intervalle. 

Considérons la fonction 'l(x) = ± [f{x) — /(«)] — (-^ — <^0^' 
où o est une valeur arijilraircmcnt petite, on a 



MÉLANGES. 249 

La différence 'b{x-i-\x) — 'i/fjc) sera partout, à l'exception 
d'une masse discrète, négative ; par conséquent, elle ne peut pas 
devenir positive d'après le théorème III. De plus -{/(j:) est une 
fonction, qui nulle part ne croît et qui, ayant pour x = a \a va- 
leur o, ne sera nulle part positive. Dans tout l'intervalle on a 

alors 

ahs[f{j:)—/(a)]<(x — a)o<{b — a)o 

et, comme o est une valeur aussi petite qu'on le veut, on a 

Les fonctions, partout finies, qui dans un intervalle deviennent 
discontinues, peuvent se montrer à la place d'une discontinuité 
sous plusieurs formes. La discontinuité est premièrement />OAic- 
tuelle, si à une place x \\mf{x-{- t) de même que \ïïnf{x — t) 
pour £ = possède une déterminée et même limite, mais la va- 
leur de f[x) diffère de cette limite ou est tout à fait indéterminée 
entre des limites finies. La différence entre la valeur de f{x) ou 
les limites de l'indétermination {Jjnbestimw.theits^renzeii) de cette 
valeur et entre les valeurs voisines doit s'appeler V oscillation de 
la fonction. La fonction subit secondement un brusque change- 
ment déterminé dans ses valeurs, si Wva fi^x -\- 1) et lim/(x — s) 
pour ô ^ o prennent des valeurs déterminées, mais différentes 
entre elles. La différence de ces valeurs s'appelle V oscillation. La 
fonction sera troisièmement complètement indéterminée à la place 
X, si une des limites ou toutes deux sont complètement indétermi- 
nées, ce qui est le cas, si f[x ± e) possède un nombre infini de 
maxima et de minima, dont la différence n'est pas nulle. Soient G 
la valeur de la limite supérieure, qui ne doit pas être dépassée par 
les valeurs de la fonction, g la limite inférieure dans l'intervalle 
de ^ à .r + s; G peut, pendant que s tend vers o, avec une dimi- 
nution constante ou sans variation, atteindre une grandeur déter- 
minée G', de même que g avec une progression constante une 
valeur "'. Ces valeurs G' et s' donnent les limites de l'indétermina- 
tion de la fonction à la place x prise en avant; de la même ma- 
nière on pourra déterminer les limites de l'indétermination G'' et 
g" pour l'autre côté. Les valeurs extrêmes de ces quatre grandeurs 
déterminent la valeur du maximaetdu minima à la place de discon- 
tinuité; leur différence donne l'oscillalion de la fonction en cette 



■25o PREiMlERE PARTIE. 

place. Il est clair qu'une discontinuité ponctuelle peut se combi- 
ner avec les deux autres systèmes; dans ce cas, la différence des 
valeurs extrêmes est l'oscillation de la fonction. 

Une fonction, qui est en général continue, mais en un nombre 
infini de places discontinue, est appelée ponctuée discontinue 
(punktirt unstetig) ; si les places ou les oscillations de la fonction 
sont plus grandes qu'un nombre fini quelconque o, elles ne repré- 
sentent toujours qu'une masse discrète de points. 

Linéaire discontinue est une fonction dans laquelle ces points 
forment une masse linéaire. 

On tire directement le théorème suivant de la définition de 
l'intégrale donnée par Riemann : 

Théorème ^ I. — Les fonctions ponctuées discontinues dans 
un intervalle sont ùitégrahles, et inversement : chaque fonction 
partout finie et intégrable est ou partout continue ou ponc- 
tuée discontinue. 

On ne peut pas dire que, dans une fonction ponctuée discon- 
tinue, les points de discontinuité représentent, pris dans leur en- 
semble, une niasse discrète; il se peut que dans chaque intervalle, 
si petit qu'il soit, une discontinuité se présente, ce qui est contre 
la nature même d'une masse discrète. Il n'v a que dans les places 
dans lesquelles les oscillations sont plus grandes qu'un petit 
nombre o qu'on rencontre la masse discrète. 

D'un autre côté, on saisit facilement qu'une fonction intégrable 
contiendra des endroits dans ses intervalles, si petits qu'ils soient, 
où elle est continue, quoique cette condition ne suffise pas pour 
rendre l'intégrabilité possible. En effet, soit o un nombre petit à 
volonté, on laissera de coté toutes les places où les oscillations 
sont plus grandes que o. Comme ces points représentent une 
masse discrète, on peut déterminer un point x dans un voisinage 
quelconque de chaque point, pour lequel l'inégalité 

/■(,r : : f}/i)—f{.r ) < o 

sera remplie; h est une grandeur dépendante de o et un nombi-o 
quelconque entre o et i. On pourra dire aussi : dans un voi- 
sinage quelconque de chaque point, on pcul déterminer un 
intervalle fini (do.r — /? à .r -+- /i) pour ]t'(|ucl toutes les valeurs 



MÉLANGES. 2Ji 

de la fonction diiîerenl entre elles d'une valeur moindre qu'un 
petit nombre 2 0. 

Si tend vers o, l'intervalle se réduit à un point, dans lequel 
la condition de continuité est remplie. Un tel point se trouve 
par conséquent dans un voisinage quelconque de tout point; c'est- 
à-dire dans chaque intervalle, si petit qu'il soit. 

Théorème VIL — L'intégrale d'une fonction est déterminée 
dès que la fonction à intégre?^ est déterminée à V exception des 
points discrets; ou plus exactement : deux fonctions intégrahles 
donnent la même intégrale, si les places oit elles diffèrent 
dune grandeur plus grande que le petit nombre quelcon- 
que 3 représentent une masse discrète. 

Théorème VIII. — Le quotient différentiel, pris en avant de 
l'intégrale finie 

F(^)= f fix)dx, 

est en général égal à f(x). Les places où il diffère de cette 
valeur de plus quune grandeur quelconque, ou dans le cas 
où f(x) est indéterminée, les places dans lesquelles la diffé- 
rence entre les limites de V indétermination et le quotient dif- 
férentiel est plus grande que 5, ou enfin les places où les. li- 
mites de V indétermination du quotient diffèrent de plus que 8 
des limites de la fonction représentent une masse discrète. 

Dans l'intervalle d'intégration de a à ^, représentons-nous tous 
les points de discontinuité, où les oscillations de la fonction inté- 
grable/(a?) sont plus grandes qu'un petit nombre 0, renfermées 
dans un intervalle petit à volonté; .r peut alors désigner chaque 
valeur dans un voisinage quelconque de tout point, et l'on a 



^ »■ H- A 



¥{x-^h) — ¥{x)= \ f{x)dx. 

Nous avons trois cas à considérer. 

i*^ Ou bien la fonction est continue à la place x, et 

;l%fi^+h)=f{x); 

et alors le quotient différentiel pris en avant de F(.r) est égal 
à/(^). 



252 PUEMIÈUE PAIITIE. 

2° Ou lim f[x -\- h) a. une limite déterminée f(x -+- o); mais 
cette valeur diffère de la valeur y(.r) ou de la limite d'indétermi- 
nation de celte valeur de moins de o, et l'on a 

F'(^)=/(^ + o)==/(^)±«o). 

3° Ou enfin la fonction a, dans un voisinage quelconque de x 
pris en avant, un nombre infini de maxima et de minima; les oscil- 
lations resteront pourtant plus petites que 8. Soient G la limite su- 
périeure, o- la limite inférieure des valeurs de la fonction dans 
l'intervalle de x à x -\- h: 

G> ^ >ff 

tend h vers o ; le quotient des différences n'a pas besoin de prendre 
une valeur déterminée, cependant il reste toujours entre G et ^ 
qui tendent vers G' et «■' dont la différence est plus petite que S. 
Ce sont par conséquent les limites du quotient différentiel, dont 
la fonction diffère de moins de o : toutes les places x, par les- 
quelles ces rapports n'ont pas de valeur, sont mises à part dès le 
commencement : elles sont discrètes. 

Il est bon de remarquer que dans le dernier cas il peut encore 
se montrer pour y'(x) une discontinuité ponctuée, ce qui n'em- 
pêche pas la différence entre les valeurs extrêmes de /(x) d'être 
plus petite que o dans l'intervalle desquelles tombent les limites 
de l'indétermination du quotient différentiel. 

Pour le quotient pris en arrière le même théorème subsiste. 

Comme les places où la différence des valeurs f(x -+- o) et 
f(x — o) est plus grande que o ou bien les valeurs extrêmes G', g'' 
et G", g" diffèrent de plus de o ne peuvent représenter qu'une 
masse discrète de points, on reconnaîtra facilement que le quo- 
tient pris en avant ou en arrière de l'intégrale définie ne difi'ère 
entre elle qu'en des points discrets d'une valeur déterminablc. Us 
donnent la même intégrale, d'après le théorème VII, que la fonc- 
tion y(^). 

Théorème IX (théorème fondamental du Calcul intégral). — 
Soit F (x) luie fonction continue qui possède une déri^'cc par- 
tout finie et inlégrable F'(.r), on a 



f F'(.r)dx —F(.r) = ronst. 



MÉLANGES. 253 

¥' [x) peut rcprésenler la dérivée de ¥[x) de deux côtés et celui- 
ci naturellement peut être changé à volonté aux points dis- 
crets. 

Ces deux corollaires sont les suites immédiates du théorème VII 
et de la remarqvie à la fin du théorème VIII. 
Soit F'(x) la dérivée prise en avant, on pose 

^{x)= f V{x)dx — ¥{x) 
et l'on a 

^(x-^^x)-'.(x) _ I r^^%,,^.^^ F(^+A^)-F(r) 

Par suite du théorème précédent, on ne peut pas directement en 
des points discrets déterminer un Ax, pour lequel le côté droit de 
Tégalité soit plus petit que tout petit nombre. Il faut tout d'abord 
excepter les points où F (j;) ne possède aucune dérivée définie, 
dans lesquels les limites de l'indétermination de 

lin) F(.z--i- ^x) — F(x) 

diffèrent de plus de o; puis les places où F'(^) a une valeur dé- 
terminée, mais où /J^^F' [x -{- h) diffère avec F'(x) de plus de o. 
Mais tous ces points représentent, par suite de l'intégrabilité de 
F'(jp), une masse discrète. On peut alors conclure, d'après le théo- 
rème V, que la fonction continue 'f (-c) est constante. Il s'ensuit 
que l'on fait reconnaître aux places singulières que le quotient 

vj(x -+- Aj") — 'f (^) 

devient égal à zéro et l'on a : 

Théorème X. — Si une fonction continueF (x) posssède dans 
un intervalle une dérivée F' (x) partout finie et intégrable, la 

valeur du quotient des différences — '■ —^ ^—^ est égale à 



ii: 



^x <=> 

Aa- 

F'(.r)f/;r , 



c'est-à-dire qui est partout égale à une valeur qui se trouve 



254 PREMIÈRE PARTIE. 

entre la plus grande et la plus petite des valeurs deF'{x) dans 
Vintervalle de x à x -\- ^x respectii'ement entre les limites 
extrêmes de V indétermination de cette fonction, si petit que 
soit Ix. 

L'intégration de fonctions, qui deviennent dans un intervalle 
infinies ou indéfinies entre des limites infinies, demandent une défi- 
nition spéciale, si les points d'infinité forment une masse infinie. 

Quant à ce qui suit, il suffira de poser : si une fonction /(x) 
devient infinie, dans un intervalle de a k x en un nombre infini 
de places, qui forment une masse discrète, on doit considérer sous 

rintégrale / f[x)dx la fonction continue de x qui pour x=^a 

devient égale à o et dont la dérivée en général, c'est-à-dire à 
l'exception des points discrets, diffère de la valeur f{x) d'une 
petite quantité quelconque, moindre que o, dans le cas oiî il existe 
une telle fonction. 

Cette définition est déterminée; car, d'après le théorème V,il ne 
peut pas y avoir deux fonctions continues différentes l'une de 
l'autre qui possèdent la qualité demandée. 

Il n'est pas difficile de former un exemple de fonctions inté- 
grables qui deviennent infinies dans des points discrets infiniment 
nombreux. La fonction 



['^(''"-)'] 



est une forme simple de cette espèce. Elle possède pour o<i r <ii , 
dans un intervalle si petit qu'il soit près de o, un nombre infini 
de points d'infinités. 

Si une fonction à intégrer est infinie dans un intervalle dans (]o9' 
points discrets, le problème de l'intégration se trouve dans hi 
preuve de l'existence d'une fonction continue avant la qualité de- 
mandée. 

Il est nécessaire pour ce qui suit de niodilirr un peu ri'iionc»'' 
du théorème IX. 

Une fonction V{x), qui n'est nulle part, dans un intervalle, sou- 
mise à de brusques changements de valeurs (ce qui n'est pas suf- 
fisant pourdétcrminer la conlinuilé, car elle pciil élre indélerniinéc 



MÉLANGES. . 255 

entre des limites finies ou infinies, ou bien être déterminée et in- 
finie), et dont la dérivée est partout connue comme une fonction 
finie et intégrable (à l'exception des points discrets), ne peut être 
déterminée et infinie ou indéterminée aux points discrets que si la 
valeur de la dérivée au rapprochement des points discrets croît en 
dehors de chaque limite. 

En effet, soit xun point dans lequel la fonction F(j^) entre des 
limites finies ou infinies est indéterminée, ou bien déterminée et 
infinie pendant que dans l'intervalle de a: — h k x il n'y a aucun 
point singulier, on peut déterminer dans cet intervalle dans un 
voisinage quelconque de x deux places x — s et x—z^\x, 

telles que la valeur absolue de — '■ '■ — sera plus 

grande qu'un grand nombre quelconque K, 
Le quotient est égal à 

1 + ^.v 



^x\ 



car, d'après l'hypothèse, il existe dans l'intervalle de ^ — s à 
X — £ + ^x une dérivée partout finie et intégrable. 

Il s'ensuit que la valeur absolue de la fonction ¥' [x) ne peut 
pas être dans cet intervalle de l'intégration partout plus petit 
que le nombre K; que, par suite, les valeurs de la dérivée crois- 
sent en dehors de toute limite à l'approche des points discrets. 

Ce résultat se trouve brièvement résumé delà façon suivante : 

Théokème XI. — Une fonction qui nest soumise en aucune 
place d'un intervalle à de brusques changements de valeur 
et dont la dérivée, à V exception des points discrets, est connue 
comme étant une fonction intégrable, dont la valeur absolue 
ne dépasse nulle part une valeur déterminée, est continue dans 
tout V intervalle, et sa valeur est 



F(.) =/f'(.)^.. 



lime reste à démontrer le théorème qui, depuis les recherches 
de Riemann, représente le fondement de la théorie des séries tri- 
gonomélriques. Comme on sait, on a ce théorème : Si l'on peut dé- 
tcjminrr pour ti]ir fonction continue f(.r). dans tout inirrvalledc 



256 PREMIÈRE PARTIE. 

X == a à X = b^ une limite supérieure de ^x, telle que l'on ait 

ab. 1^ — J < 0, 

f[x)sëra une fonction linéaire. 

La preuve qu'a donnée M. Schwarz va trouver ici sa place. 
On fait 

<j.(^) =/(.T) -/(«) - 1^ [f(b)-f(a)] 

où représente un nombre positif aussi petit qu'on le veut ; on 
aura alors 

y(x-\-\x) — iy{x)-^y{x — Arr) , f{x-^\x) — if(x) — f{x — A.r) ^ 
A^- A^'- 

valeur qui peut être faite positive en chaque endroit x si l'on 
choisit une limite supérieure de ^x. Il s'ensuit que la fonction con- 
tinue y{^), qwi aux confins de l'intervalle a la valeur o, ne peut 
être nulle part positive; car elle devrait prendre une valeur maxi- 
mum en un endroit quelconque. Les places où ce maximum a 
lieu pourraient être innombrables. 

Désignons par x la dernière place dans l'intervalle de a d b, d 
laquelle appartient ce maximum, il nous faut avoir 

y {x -\- \x) — y(x)<io, y(x — \x) — y(x)^o, 

et l'on aurait contre la supposition 

y [x-^ ^x) — ly^ix) -+- yjx — \x) < o. 

Par conséquent, y (^■) est partout négatif, et 

abs i\i{x) <. - {x — (i) {b — x) < - {b — a)-. 
Comme o est aussi petit que l'on veut, on aura 
/(cr)=/{a)^ ^^J/ib)-/(a)]. 

Dans le cas où la condition de ce théorème ne jirévant phis pour 
h^s points d'une masse discrète, on a le tli(';orèrnc suivant : 



MELANGES. 2 5; 

Théorème XII. — Vue fonction continue J\.r), rjui cï chaque 
place d'un intervalle, à ^exception (f une masse discrète, pos- 
sède pour ^.x une limite supérieure, telle riue Von ait 

abs •'- < 0, 

A./- 

peinietlra de déterminer, dans un voisinage quelconqiu' de 
chaque place, un intervalle de longueur finie, dans lequel f[x) 
est une fonction déterminée et linéaire. 

La fonction continue f{x) est à considérer géométriquement 
comme une ligne formée de zigzags possédant autant qu'on le veut 
un nombre infini d'angles. 

Il nous reste encore à poser la condition pour laquelle, dans le 
cas où elle est remplie, f{x) sera exprimée par une seule fonction 
linéaire. 

Pour les applications qui viennent, il importe de prouver que la 
condition suivante suffit. On doit avoir partout sans exception 

, f{.r-^\x)~if{x)-^f{x — A^) ^^ 

abs •— ■- •- • < . 

A.r 

La fonction continue qui donne une ligne de zigzags est une in- 
tégrale, c'est-à-dire qu'elle possède une dérivée intégrable. 

Car, après la mise à part des points discrets, il y a dans tous les 
intervalles une dérivée qui dans chaque intervalle est constante et 
par conséquent intégrable. 

On peut donc poser, quand même la dérivée à l'approche des 
|)oints discrets deviendrait infinie, 



/(•^) = f'\f'(.T)dx. 



La nature de celle seconde condition est de faire disparaître 
les changements brusques (\e/'[x) en chaque place; car on a 



f(x -+- ^x) — ■if(x) -\-f{x -f- A^) 



Si les limites lini/'(.r +A.r)et lim/'(.r — A.r) ont des valeurs finies 

et déterminées par A.r = o, ces valeurs ne peuvent pas dillércr 

Bull, des Sciences matliém., 2' série, l. VI. (Septembre i88:>.) -"'i 



258 PREiMIERE PARTIE. 

Tune de l'autre. Pour la fonction/'(;r), on connaît partout la valeur 
(le la dérivée f"(x) = o (à l'exception des points discrets): On 
sait alors, d'après le théorème XI, que/'(x) est une fonction con- 
linue, pour laquelle 

/'(;r)-/(a) = f /"(x)dx = o 

cl, ce qu'il faut démontrer, f'{x) est constante dans tout l'inter- 
\alle. Le résultat est le suivant : 

Théorème XllI. — Si f{x) est une fonction continue, pou)- 
laquelle on peut détermine!' i° à chaque place d'un intervalle 
de a à b [excepté une masse discrète), une limite supérieure 
jiour Ax, de sorte que l'on ait 

. f(x-]- \x) — if(.r)— f(.r — l.r) 

abs ■ ■■ ■■ C : 

Ix- 

:i" faire partout sans exception 

. fix^\x) — if{x)-^ fix — :s.x) ^ ^ 

abs • < 0. 

\x 

un aura 

jXx) = f{t) + '^^\f(b)-fya)\. 

Très uni avec ce théorème se trouve le suivant : 

Théorème XIV. — Si l'on peut déterminer dans une fonction 
continue ¥ [x] à chaque place [excepté une masse discrète), 
une limite supérieure de A.r, telle que 

Vjx^ lx ) — 2F(j')-t-F(.g-i-Aj- ) 
Ix- 

diffère (V une fonction intégrable f{jc) de moins que de tout 
petit nombre o et que 

,. l^(x-i- \x) — 2F(x)-]-F(x-h ^x) 

lim ~ H — ^-^ = <>- 

Ix 

pour chaque valcui' de x, et si l'on désigne par l''i(.') i inté- 
grale double 

V^(x)= f dy I /{z)dz.. 



MÉLANGES. 25., 

(a et ^ sont des valeurs quelconques dans V intervalle donné), 
la différence (F x) — F, (.r) ^ 'f (•^) <^st une fonction linéaire 
de X. 

La fonction F, (r) possède la première dérivée partout continue 

Il s'ensuit, d'après un théorème connu sur double définition de 
la seconde dérivée d'une fonction, qu'on a 

Fi (X -4- A^) - 2 Fi {a-) + F, {X — \x) _ 

partout où \'imf{x±\x) prend une valeur déterminée pour 
A.r =: o . 

On peut prouver ce théorème directement par l'égalité 

Fi(x)=j /(r)(a7— jO^r+const., 
Fi(,r + Aj?) — 2Fi(a-)-+- Fi(j7 — \x)= I [/(x -^ 'x)-+-/(x — a)J(A^ — 7.)d'x 

= [/(x + ^^x)-^/ix-^^x)]—-. 

Si l'on met à part les places appartenant à une masse discrète, 
dans lesquelles l'égalité de la fonction f {x) avec la limite du quo- 
tient de la différence d'ordre 2 de la fonction F(^) n'est pas 
donnée; de plus, les places où les limites de l'indétermination de la 
fonction f{x') diffèrent de plus de 8 ou, dans le cas où /(x) pos- 
séderait une valeur déterminée, où les oscillations de la fonction 
f{x — A^) ety(^4- ^x) sont plus grandes que o, places qui, par 
suite de l'intégrabilité def(x), ne représentent qu'une masse dis- 
crète, on verra que f{x) remplit la condition du théorème XII, et 
que cette fonction doit être linéaire dans chaque intervalle séparé. 

Elle remplit aussi la condition du théorème XIII, d'après \a 
seconde supposition. 



'f{x-^\x) — 2cp(x)-i-(f(a7 — \x) 
Ax 
F{x-^\x) — 2F{x)-^F{x — \x) r""^"^'. , 

m ' ^ ft A .. 



A^ 



^6o PREMIÈHE PARTIE. 

Les deux termes de droite tendent vers o avec A^, le premier 
d'après l'hypothèse, le second puisque f{x) est une fonction 
intégrable. 

Donc '^{x) est linéaire dans tout l'intervalle. 

Un cas spécial de ce théorème est le suivant : Si une fonction 
F(.r) a la propj^iété que 

,. ¥(x-^ ^x) — -i.¥{x)^¥{x—\x) ., , 

lim -— ^ — ~-r^ — f(x) 

\x^ ''^ ' 

donne une fonction partout finie et intégrable, on a 

f dy r/(5)f/^ = [F(r)-F(p)]-(^-^)F'(a), 

•h 

même si l'on change la valeur de la fonction f {z) arbitraire- 
ment aux points discrets. 

Pour le cas où la fonction /(.r) devient infinie dans l'intervalle 
sans pourtant cesser détre intégrable, l'équation précédente n'a 
de valeur que si 

¥{x-^\x) — i¥{x)^Y{x — \x) 
Ax 

devient partout égale à zéro. 

(A suivre.) 



» 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. a6i 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 



G. ZEUTHEN. — Grundriss einer eleme?sTAR - geometrischen Kegel- 
SCHNITTSLEHRE. I vol. in-8°; 97 p. — Leipzig, 1882. 



Le nom de M. Zeuthen recommande suffisamment ce petit Livre, 
écrit pour l'enseignement élémentaire : il n'est sans doute pas utile 
d'en louer la clarté et la précision 5 nous nous bornerons à expli- 
quer succinctement l'ordre qui a été suivi. 

L'auteur commence par exposer les propriétés des axes radicaux 
et des faisceaux de cercles dont il aura besoin ensuite : il définit 
les sections coniques comme lieux du centre d'un cercle passant 
par un point fixe et tangent à un cercle ou à une droite fixe : cette 
définition revient sans doute à celle qui exprime la propriété fon- 
damentale des foyers, mais elle a l'avantage de réunir les trois 
courbes et de relier immédiatement les propriétés des cercles pré- 
cédemment établies au problème de l'intersection d'une conique 
par une droite et à la détermination de la tangente en un point, le 
second problème n'étant qu'un cas particulier du premier. 

Les quatre premiers Chapitres sont consacrés à l'exposition des 
propriétés les plus simples relatives aux fovers et aux tangentes ; on 
remarquera dans les Chapitres V et VI la construction si simple 
qui permet d'établir la propriété fondamentale de la directrice, et 
les procédés ingénieux suivis par l'auteur pour établir l'existence 
et les propriétés des diamètres ainsi que l'équation d'une conique 
à centre rapportée à deux diamètres conjugués : tout est établi 
sans calcul et sans le secours de la Géométrie projective ; M. Zeu- 
then traite ensuite (Chapitres VII à XI) de la parabole, des 
asymptotes dans l'hyperbole, de l'hyperbole équilatère, de la dé- 
termination de l'aire des coniques, des sections du cône de révo- 
lution. Nous signalerons dans le Chapitre suivant une curieuse dé- 
monstration du théorème de Pascal, pour un hexagone inscrit dans 
un cercle : cette démonstration, due à Steiner, repose sur les pro- 
priétés bien connues des causes de similitude d'un système de trois 
Bull, des Sciences mnthém., 2» série, t. VI. (Octobre 1882.) 22 



262 PREMIERE PARTIE. 

cercles ; la démonstration du théorème de Brianchon, due à 
M. Bing, est aussi élégante et d'un caractère tout aussi élémen- 
taire. Dans les deux Chapitres suivants, l'auteur traite de la nature 
des sections planes d'un cône circulaire quelconque ainsi que des 
propriétés fondamentales des pôles et des polaires. 

Dans le Chapitre XV sont développées diverses propriétés des 
coniques homofocales, avant pour point de départ la proposition 
suivante : 

Si l'on considère une conique (C), deux points A et kl de cette 
conique et un cercle aycint pour centre le point d^ intersection 
des deux tangentes à cette conique, les quatre tangentes me- 
nées des points A. et A' à ce cercle sont tangentes à une conique 
honiofocale à la, conique C. 

La proposition réciproque permet d'établir que les bissectrices 
de l'angle de deux tangentes à une conique sont conjuguées par 
rapport à cette conique. Enfin un Chapitre consacré aux lois de 
Kepler, à l'atti^ction suivant la loi de Newton et à l'attraction pro- 
portionnelle à la distance termine cet excellent petit livre, qui ne 
peut manquer d'être bien accueilli parles étudiants et par les maîtres. 
Ajoutons que les uns et les autres trouveront à la fin de chaque 
Chapitre de nombreux et intéressants exercices. 



JORDAN (C.)- — Cours d'Analyse de l'École Polytechnique. Tome I, Calcul 
différentiel. — i vol. in-8°, 878 p. Paris, 1882. 

Le Cours d^ Analyse de M. Jordan prendra assurément placé à 
côté des Livres classiques que la France possède déjà sur celle 
matière; le nom de l'auteur dispense de tout éloge banal : il suf- 
fira d'indiquer l'ordre suivi et ce qui distingue particulièrement le 
Livre de M. Jordan des Trailés analogues. 

L'Ouvrage comprend une Introduction et six Chapitres; hîs 
deux premiers traitent des dérivées et des difierentielles, de leurs 
propriétés principales et de la formation des équations dilTcren- 
tielles ordinaires ou aux dérivées partielles. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 263 

Le troisième Chapitre est intitulé : Développement en série ; 
l'auteur débute par l'étude de la formule de Ta3lor et des prin- 
cipaux procédés pour effectuer les développements en série : on 
remarquera là une exposition claire et concise de la marche à 
suivre pour développer en série les racines d'une équation algé- 
brique entre deux variables et des résultats essentiels obtenus par 
M. Puiseux. Vient ensuite une étude fort bien faite des séries et 
des produits infinis; la distinction entre les séries convergentes et 
des séries semi-convergentes, les conditions sous lesquelles on 
peut affirmer qu'une série est uniformément convergente sont 
présentées d'une façon simple et précise; comme application, 
M. Jordan traite des séries qui servent de fondement à la théorie 
des fonctions exponentielles et circulaires, puis de celles qui défi- 
nissent les transcendantes de Jacobi; il donne aussi quelques 
indications sur la série hypergéométrique et la fonction r(^), et 
applique aux séries d'Eisenstein et aux fonctions â- à plusieurs va- 
riables les propositions relatives à la convergence des séries mul- 
tiples; enfin l'auteur termine en établissant les propriétés élémen- 
taires des fractions continues arithmétiques et algébriques. Le 
Chapitre IV est consacré aux maxima et minima. Le Chapitre A 
est intitulé : Applications géométriques de la série de Taylor; 
ce titre nous paraît plus heureux que celui d'Applications géo- 
métriques du Calcul différentiel, sous lequel on range ordinai- 
rement les théories du contact et de la courbure, parce qu'il met 
nettement en évidence la nature essentiellement analytique des 
hypothèses sur lesquelles reposent ces théories. M. Jordan traite 
du contact en suivant à peu près la même voie que M. Herniite 
dans son Cours d'Analyse : on remarquera dans ce Chapitre les 
paragraphes consacrés aux propriétés infinitésimales du premier 
ordre des surfaces réglées, des congruences et des complexes de 
droites, ainsi que la façon ingénieuse dont l'auteur établit la no- 
tion de l'aire d'une surface courbe. 

Eufin, dans le Chapitre VI, l'auteur établit diverses propriétés 
des courbes algébriques, propriétés dont l'importance, au point 
de vue du Calcul intégral, ne peut plus être contestée depuis les 
travaux de Clebsch et de ses successeurs. J, T. 



264 PREMIÈRE PARTIE. 



ROBERTS (R.-A.). — A Collection of examples and problems on conics 

AND SOME OF THE HIGHER PLANE CURVES. — I VOl. in-I2. Dublin, 1882. 



L'auteur dit, dans sa Préface, que la plupart des théorèmes et 
problèmes qui composent cet intéressant petit recueil lui ont été 
suggérés, pour les coniques et cubiques, par la lecture des Livres 
bien connus de M. Salmon sur les coniques et les courbes de de- 
gré supérieur, et, pour les quartiques bicirculaires, par la lecture 
du INIémoire de M. Casey et du Livre de M. Darboux, Sur une 
classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques : on 
y trouvera un grand nombre de questions curieuses résolues par 
ces méthodes brèves et élégantes qui sont en honneur chez les 
professeurs anglais. 



MÉLANGES. 265 

MÉLANGES. 

THÉORIE DE LA SÉRIE DE FOURIER. 
Par m. le D' Axel HARNACK, a Dresde. 

(suite.) 

IL 

Preuve que la représentation cV une fonction par une sé- 
rie trigononiétrique est possible seulement dUine manière 
unique ('). 

Les points de divergence d'une série infinie sont de deux es- 
pèces : ou la somme des termes croît au-dessus de toute limite; 
la série sera alors en cet endroit intinie d'une manière détermi- 
née ou indéterminée ; ou bien la somme donne des valeurs qui 
oscillent entre des limites finies. Dans le premier cas, la divergence 
peut être nommée infinie ; par contre, dans le second, on peut lui 
fixer une mesure finie. Désignons par S,,_, la somme des tei'- 
mes possédant l'indice o, i, . . . jusqu'à n — i, et par R^la somme 
de tous les autres, bref le reste de la série, et formons la suite 
^//-i, S/,, S„^(, . . .; il existe une limite supérieure (finie) G„ et 
une limite inférieure g,i, qui ne sont pas sui'passées par les termes 
de la suite infinie. 

Si l'indice n croît à volonté, G^ atteindra, en diminuant conti- 
nuellement ou en restant constant, une valeur G', et g,i en aug- 
mentant continuellement ou en restant constant, une valeur g' . Ces 
valeurs G'et o' représentent les limites dernières pour l'oscillation 
delà série et leur différence sera appelée la mesure de divergence. 



(') Ce paragraphe contient les deux principes fondamentaux des séries trigonn- 
Miétriques prouvés par M. Cantor {Math. Annalen., t. IV et V), et cela sous la 
l'orme la plus généi-ale qu'on puisse leur donner. Les preuves mornes pourraient 
rester sans changer dans leur principe, mais l'idée dune masse discrète rend fort 

^îiniplc la prouve du second théorème. 



266 PREMIERE TARTIE. 

Si cette mesure est égale à zéro, la série sera convergente en ce 
point. 

Soit la difierence S„+a- — S,^_,=R„^a; l^i suite de restes 
R« ojJ^Wjiî • • • a la propriété que la valeur de chaque terme est au 
plus égale à la différence G„ — g',i. Si la mesure de divergence 
est plus petite qu'un nombre d. on pourra trouver une place n 
à partir de laquelle la valeur de tous les restes R„,a reste plus 
petite que d. 

La série trigonométrique 



A 



^ rt/. sin A'jr -^ 6/, eus kx 

doit être appelée <( en général convergente » dans rintervalle de 
a à b, si les places x, où la mesure des divergences est infinie 
ou plus grande qu'un petit nombre quelconque o, ne représentent 
toujours qu'une masse discrète. Il n'est pas dit, pour cela, que les 
places où la série diverge déterminent dans leur ensemble une 
masse discrète; au contraire, il peut y avoir dans chaque inter- 
valle, si petit qu'il soit, des places de divergence. Il n'y a que les 
points de divergence, possédant des valeurs infinies, ou des limites 
d'indétermination dont la diflérence est plus grande que ô, qui 
forment une masse discrète. 

Théorème XV. — Dans une série trigoiu)inétii<iue qin\ dans 
un intervalle quelconque, est « en général convergente », on a 
lim«„ ^ o, \\n\bn = o pour n = ce . 

Pour chaque point j?, où la mesure de la divergence peut être 
faite plus petite que o, on peut déterminer une limite inférieure 
de Ai, de telle sorte que les termes de la série, dont l'indice est 
égal ou plus grand que /i, possèdent une valeur plus petite que o. 
Puisque les points où la mesure de la divergence est plus grande 
que ô n'appartiennent qu'à une masse dicrète, il s'ensuit qu'on 
peut déterminer, dans un voisinage cpiclconquc de tout point de 
l'intervalle, une partie de x — s à j' -f- t, dans laquelle on ne 
trouve aucun |)oint où la mesure de divergence reste plus grande 
(|ue 0. 

On peul aus>i Irouvf'r une Nalciii' //. de liicon (|n('. pour (••Ih'-ci 



MÉLANGES. 267 

et pour toutes les valeurs plus grandes, les termes 

«„sin/i(a7-T- £) -+- b„cosn{x -{- z) 

= {a„s,'innx -j- b„cosnx)cosnz -+- (a^icosnx — b,isinnx)S:'ii\ nz, 
a„smn(x — s) -r- b,iCOsn{x — z) 

= (a,is'\nnx -f- b„cosnx)cosnt — (a^cosnx — b,isinnx)s'm nz, 

en valeur absolue deviennent plus petits que 0, où x est une va- 
leur dans un voisinage quelconque de chaque place, z une valeur 
arbitraire à Tintéricur de l'intervalle construit. 

Il se peut que, pour chaque valeur de $, il reste à fixer une 
autre limite de /i ; il n'est pas encore dit que la même limite de 
ti suffise à toutes les valeurs de s, pour remplir la condition de- 
mandée. 

On reconnaît facilement, par addition et soustraction de ces 
égalités, que les valeurs de 

(ansinnx -\- bnCosnx)cosnz et (ancosnx — bnsinnx)s'iiinz 

doivent être sûrement plus petites que 0. 

Si l'on multiplie la première égalité par sin/îxsin/?;, et la se- 
conde par cosnxcosjit, on trouve par addition que ««sina/^î, et 
d'une manière analogue que b,isino.m doivent être plus petits que 
40 = 0', bref peuvent être faits plus petits que tout nombre donné 
0'. Soit la valeur 2; = î'-, on dira alors : il faut, pour toutes les 
valeurs de a dans un intervalle déterminé (dont nous appelons 
les limites a et b) que \'im a „ s'in /i y. (ainsi que lim^„sin/ia) 
devienne plus petit que 0'. Cela montre que pour chaque a on 
peut déterminer une place n, à partir de laquelle les valeurs 

[a„sinn7i] ... [0,,4-x sin(« -^ A)a] . . . 

sont toutes plus petites que 0' (pourtant il n'est pas dit que le 
même n suffise pour toutes les valeurs de .r). 

Cette demande ne sera accomplie que si à partir d'une place /i 
toutes les valeurs [<?«], . • ., [^''w+a] sont plus petites que 0'. 

Admettons que ce n'est pas le cas; on pourra former une série 
avec un nombre infini de membres a„^, «„,, . . . , rt„^, . . . , dont les 
valeurs sont toutes égales ou plus grandes que 0. Dans ce cas on 
pourra trouver une valeur a dans l'intervalle donné de a à b (et par 
suite dans chaque partie de celui-ci, si petite c[ue soit celle partie), 



268 PREMIÈRE PARTIE. 

pour laquelle la série «„_sin/iia, ««^sin/îoa, . . ., «„^sin/i/fa n'a pas 
la limite o. 

Car on j^eut de la série des nombres entiers positifs croissants 
sans limite /i,, /<2, ...,n/f... tirer une seconde série infinie /l'j, /?. 2, 
. . ., ti';., . . ., pour laquelle on peut déterminer une valeur a, de sorte 
que les produits n\ a, n'^ a, . . . , n,.o(. . . . diffèrent toujours de moins 

d'un petit nombre quelconque £ avec un multiple impair de ^; 

par conséquent, que la valeur du sinus se trouve aussi près qu'on 
lèvent de l'unité et par suite la valeur de a)^/, sin /i'/. a au moins 
aussi près qu'on le veut de la valeur 0' différente de o. 
On pose 



d'où 



«i2«>7i ^ et /tia<;-i- 



Xi Ji - 

1 1 
< a < 



y ^ désignant un nombre impair entier, et encore à déterminer. La 
valeur de a tombe dans l'intervalle donné de a à h si l'on a 



a< , b ' 



'h 
OU 

{iha-hz)-<yi <()iib — £)-• 

Cet intervalle contiendra sûrement un nombre impair si l'on 
clioisit 

\ni[0 — a) — 2£— ^2 ou «1:^-7 • 

t: o — a 

Cette demande sert à fixer une limite inférieure n\ pour la sé- 
rie à former, et c'est justement en ce qu'il est nécessaire de fixer 
une limite inférieure que repose l'essentiel de toute la preuve. 
Aurait-on choisi ^,, d'après l'inégalité précédente, a se trouve sur 
un intersalle déterminé brièvement [)ar 

a' =■ -, , h' = '- , 



rt d'une longueur — f • 



MÉLANGES. aG., 

Dans cet intervalle, il nous faut déterminer a, de telle façon 
que, pour «', >- Ji\ , on ait 

-, <X< -, ; 

^'2 doit répondre à l'inégalité 

{n\a' -^ -)- <72 <{n\,b' — z) - ; 

il est plus grand que ri ; dans cet intervalle il se trouvera au 
moins un nombre impair si 

n. 



b' — a' 



De cette façon nous ne possédons toujours qu'une limite infé- 
rieure, selon laquelle on tire n'^ de la série primitive /?), /îo, ... et 
après que jKa est choisi selon l'inégalité donnée, il reste encore 
la grandeur a limitée sur un intervalle fini, dont la longueur 



est —r- 



Dans cet intervalle, on peut déterminer un nouvel intervalle, 
pour les valeurs duquel une grandeur z^'^- a répond à la question, 
et ainsi de suite une place a sera définie par ce procédé, pour 
laquelle les valeurs sin/î'^a, sin/i'^ a, . . ., sin/i'^.a, . . . sont difie- 
rentes de l'unité de quantités aussi petites qu'on le veut, de sorte 
que contrairement à l'hypothèse la valeur absolue des membres 
de la série 

a,,' sinn'j a, «„' sin/t'j a, . . ., a,,' sinn^a • • • 

n'est pas plus petite que 0' . 

Il n'existe donc pas de série a„^, cr„,, . . . dont les valeurs sont 
toutes égales ou plus grandes que tout petit nombre ù' , c'est-à- 
dire que l'on ait lim<7« = o, de même que lim^,, = o. 

Théorème XVI. — Si deux séries trigonoinét)-iques, en général 
convergentes , concordent partout , excepté aux points discrets 
dans un inteixallede — 7: à -{-t., c'est-à-dire si leur différence 
forme une série trigononiétriquc, cjui en général est nulle et 
seulement aux points discrets différente de o d'une quantité 



270 PUExMIEUE PARTIE. 

plus grande que o, ou enfin, dans le cas où elle dU^erge, seule- 
ment aux points disci'ets posséderait des limites d'indétermi- 
nation dont la valeur est plus grande (pie o : ces deux séries 
sont identiques dans leur forme, c'' est-à-dire que les coeffi- 
cients correspondants sont égaux et leur différence est partout 
nulle. 

La différence des deux séries donne une série avec des coeffi- 
cients qui finalement disparaissent. 

7 ( c/,.sin A\r -H d/^ cos kœ), 

Jeaà 
/, = 

ce qui définit une fonction /'(^) qui seulement aux points dis- 
crets diffère de o d'une valeur déterminable, ou possède des limites 
d'indéterminations dont la différence avec o est plus grande 
que 0. 

La série trigonométrique 

A = oc 

I , „ "V' r^;. si n A" .r -I- d/, cos kx 

.^^""■-2- B 

A =1 

définit une fonction continue F(.r) qui, comme Riemann (M l'a 
démontré, a la propriété que premièrement 

lim ¥{x-^~ \x) — i¥(x)-\-V{x — \.v) 

partout où J{x) est convergente, et secondement (pie partout 
sans exception 

lim V(x~ A.r) — 5!F(.r)^- F(.r— A.rO _ 

D'après cela, la fonction F(.r) répond aux conditions du lliéo- 
rème XIll et est une fonction linéaire : 

C^-H C'+ 1 d,a- Jyc>.--^r^k.r-,^d,co.kor^ 
2 J^ k- 

k-\ 



(' ) /.. r., p. Ï.V.i. \ai ihcorème ilc Iticniami scil ilc fondciiiciiL à la ilciiKJiisliatinn 
ici comme plus loin, § (i. 



M 1"' LANGES. 271 

Il s'ensuit que C=<'/o = o, car l'égalité doit subsister pour 
toutes les valeurs de x, et le second membre de l'égalité est une 
i'onction périodique. 

La série infinie du second membre est uniformément conver- 

1 V^ I 

irenle, car la série > -j- est convergente. 

A- = o 

On peut alors facilement prouver, en intégrant entre les limites 
— - à -7- t: (le second membre peut être intégré terme à terme), 
après que l'on a multiplié chaque membre par sinlx et coslx, que 

G' = et c^- = d/^ = o 

pour toutes les valeurs de k, parce que 

I sinkw'dx:^ I coi k x' dx =^ T. 
et 

/ i'\n kx ^\n l X dx ^ f cos kxcos Ixdx = j ^ïn k x cos kx dx ^= o 

(A" et / sont des nombres entiers différents). 

Ces dernières équations sont appelées les propriétés des inté- 
grales des fonctions trigonométriques. 

Le théorème démontré attire l'attention sur une circonstance par- 
ticulière de la série trigonométrique. Si une fonction /"(x) est défi- 
nie par une série trigonométrique dans l'intervalle de — 7: à -f- t:, 
et qu'on la change aux points discrets, il n'existera pour cette nou- 
velle fonction aucune autre série trigonométrique que la primitive. 
On peut même dire que celle-ci doit être considérée comme la 
seule et unique représentation de la nouvelle fonction par une 
série trigonométrique, quoique la fonction et la série diffèrent 
en un nombre infini de points, qui, il est vrai, sont discrets. 

Le premier théorème de ce paragraphe repose sur la propriété 
plus générale d'une masse discrète et peut par conséquent être 
étendu à des points qui, dans un intervalle, ne sont pas partout 
denses. 

Le deuxième théorème demande pour sa preuve le théorème XIII 
et est, par cela même, joint à la seconde propriété d'une masse 
discrète. 



272 PREMIÈRE PARTIE. 

Il nie semble impossible de prouver le théorème XIII sans em- 
ployer cette propriété. 



III 

Sur la représentation des valeurs moyennes d'une fonction, 
par une série de Fourier. 

Une série trigonométrique sera dite série de Fourier, si ses 
coefficients ont la forme 

a/^ — - l /(x)sinAxdx, 6/t = - / f{x)coskxdx, 
bo = ~ I f{x)djr. 

f{x) est une fonction quelconque intégrable, seulement dans Tin- 
tervalle de — t: à -+- -n. 

Pour qu'une série infinie composée avec ces coefficients puisse en 
général être convergente, il faut que, d'après le premier théorème 
du paragraphe précédent, lim Uk '■=^ o, limZ>;; = o pour A' ^ oo . La 
fonction f{x) doit aussi remplir cette condition. Je remplace 
cette condition par la condition, plus étroite comme on le verra 
plus tard : « Non seulement f [x), mais aussi [/(•^)]"j doi^^ent 
être intésrables dans le même intervalle. » 

Celte condition sera remplie d'elle-même si f{x) est partout 
une fonction finie et intégrable; elle peut aussi subsister, si/(.r) 
devient infini; il n'y a que la manière de devenir infini qui est 
limitée. 

Celte condition sera introduite pour montrer Va propriété im- 
portante des coefficients que ^I. Plarr(' ), et plus tard, indépendam- 
ment de ce dernier, M. Tr)|)ler(-), ont démontrées. 

Si l'on considère le problème de représenter une l'onction qui est 



(') Compter rendus, mai i8.'>-. 

(') Les (|ucslu)ns gcmrales de celle espèce oui ét('' éludiées dimo maiiière plu> 
large dans la disserlalinn de M. Grani : Oin liœkkeudviklingcr bcslenile ved 
lljœlp aj de mindste Kvadratcrs Méthode. Kjôbenliavii, i>^7<). Anzeiger der 
.\l,(ul. zu Wicn, - déc. iS-(j. — licpcrtoriuni drr Math.. V. I. p. '(Oj. 



MÉLANGES. 273 

intégrahle ainsi que son carré, et qui est donnée arbitrairement 
|)Our toutes les valeurs de x dans l'intervalle de — 7: à -f--, par 
une série avec un nombre fini de termes, 

k — n 

bg -7- \ (a^. sin/i r-4- ô^cosÂ'^), 

et cela de la manière la plus avantageuse, c'est-à-dire que , d'après 
la méthode des moindres carrés, 

/ [f(^ ) — ^0 — ^ (<^k sin /ex -f- b^ cos kx)^ dr 

soit un minimum, on trouve, par la différentiation partielle de 
l'intégrale relativement à chaque coefficient, que d'après la pro- 
priété des intégrales des fonctions représentant sin et cos, chaque 
coefficient doit prendre la valeur qu'il possède dans le développe- 
ment de la série de Fourier. 11 obtient cette valeur indépendamment 
du nombre n de membres pris dans la série et de la manière de 
laquelle ceux-ci ont été choisis. 

Théokème XVII. — Chaque ternie de la série de Fourier a 
la propriété, quHl donne, considéré en lui-même, avec la plus 
petite déviation, définie plus haut, une représentation de la 
fonction dans un intervalle de — t^ à -f- -. 

Je me sers de l'intégrale précédente, au moyen de laquelle la 
grandeur de la déviation est mesurée pour la démonstration du 

Théouème XVIII. — Si une fonction f[x) et son carré sont 
intégrables, on a 



lim I j\x)^'\\\nxd.r ^= o 



et 

lim I f{x)cosn.rd.T = o 

pour n ^= y: . 

En cflel. si l'on résout l'intégrale, dans lacpiellc r//; cl h/, sont k^s 



274 PREMIÈRE PARTIE. 

intégrales au commencemciU définies, on ol)tient Tégalité 

/ |/(^) — ^0 — - (a/,sinkx-T- bi-coskx) \' dx 

-^- L t^^ J 

k = n 

Le premier membre de l'égalité est positif, quelque grand que 
soit /?, et par conséquent le second membre ne devient pas négatif 

si grand que soit n. De là 

h -Il 

1-bl + T.^ al-\-bl 

k = 1 

ne dépassera pas la valeur / ]^f{x)^-clx pour les valeurs arbi- 
trairement croissantes de n. 

On peut alors déterminer ;«, de telle façon que 

k = n + m. 

y^aj.-^bl 



k = n 



reste pour toutes les valeurs de m une grandeur aussi petite qu'on 
voudra. 

Il s'ensuit que lim«„ et lim^„ sont égales à o. 

En même temps se trouve démontré le théorème suivant : 

Théorème XIX. — Les coefficients cViine série de Fouricr où 
f{x) est intégrahle ainsi que son carré tendent vers o de façon 

que 

lim<7„ \/ Il et \\mb,i fn = o. 

Il est utile de remarquer que dans cette preuve la fonction n'est 
nullement limitée quant à ce qui touche le nombre des maxiiua 
et minima. 

Dans le cas que le nombre de maxime et minima dans la fonc- 
tion f{x) est fini, MM. Heine et C. Neumanu oui donné des 
limites supérieures pour les intégrales 

I /(x)^\nri.r(l.r cl I /{ x)co< nxdx 



MÉLANGES. 



27t) 



pour chaque valeur de n { Ku fieJfunctionen^ i. Auflage, t. I; el 
Die Kreis- Kiif^el- u. Cvlinderfunctionei2^\^e\^7A<^^ 1 88 1). 

Il faut remarquer du reste que, dans le théorème précédent, 
n désigne l'indice que «„ et b,i reçoivent véritablement dans la 
série S rt|. + bl ; il s'ensuit que le théorème XIX /?'a pas de va- 
leur dans sa forme pour une série, dans laquelle manque un 
nombre infini de membres : comme par exemple dans la série 
Srt"&in(^"x), où b est nombre entier quelconque et où l'on peut 
avoir a «< i et a y/6 >> i . 

Comme /(a?) est une fonction quelconque, on pourra donner 
au théorème XVIII la forme suivante : 

Théorème XX, — Sif(x) et son carré sont des fonctions 
inté ^râbles, on cl entre des limites cjuelconrjues 

lim 1 /(x)sinnxdx et lim / f(x)cosnxdx = o. 

Le résultat nous dit davantage; car, si l'on désigne le reste delà 
série de Fourier, à partir du terme possédant l'indice n au terme à 
l'index n -\- m, parR«„j, on a 

A = n -4- »z 



et 

k=zn-'- tn 



I f^fnndx = -^ a 






bl. 



Le reste R„w a alors la propriété, qu'en choisissant n on pcul 
rendre Tintégrale de Rf^,,, plus petite que tout petit nombre o, el 
comme l'intégrale ne contient que des termes positifs, il est clair 
que, entre des limites quelconque jTq et j", tombant dans l'inter- 
valle de — - à -\- ~, on aura 






^nmdx < Ô. 



Nous tirons de cette inégalité que toutes les places où la valeur 
R«m est plus grande qu'un nombre quelconque a- ne peuvent 
remplir qu'un intervalle h, qui est déterminé [)ar la condition 



27G PREMIÈKK PARTI I-. 

o-li <; 0. De là on a 



/ abs [R;j;„]<:te<^(a"i — .7-0 



etsi l'on DOse "■= 1 / — ? le second membre de l'inéffalité sei'a 

alors plus petit que isJo{Xi — ^0) et 

' R«m dx'g l abs R„,„ dx < 2 y/o (a-j — a"o ) . 

pour toutes les valeurs de m, seulement en choisissant n ('). 
Désignons par S„ la somme des termes 

bo-^ 2. (aksinkx -^b/^coskx), 

A = l 

on aura, d'après le théorème démontré plus haut, que 

hm / Sn(x)dx, 
pour /? = 00 , a une valeur déterminée. Car 

' Sn+mdx — j Sn{x)dx = j Rn++l,mdx 

est une différence qui, par le choix de /??, devient aussi petite 
qu'on le veut, indépendamment de m. 

Nous avons à déterminer la valeur de cette intégrale. D'après la 
sommation connue et développée par Dirichlet, on a 

A — n _ 

S„ = 6n4-^ («A-sinAvr -1- 6/,cosAr) = -^ / /(a)f/a 
A = 1 ~" '^ 

-+- - Z. / /(^)cosÂ-(a-a^)c^a= - / /(a)- ^—^ -dx. 

^-.4^ J_- ^.'__ 9,sin.,(a — x) 



(') Il ne faut pas conclure de celle inégalité ([ue H„,„, par un choix de 11 indé- 
pendant de m, devienne aussi pelile qu'on le vcul même pour une valeur uiii(|ue de 
,t; car, d'après les valeurs variées de 77*, des valeurs oscillantes peuvent ap|>arlenir 
à la même placeur, et ces valeurs peuv(Mil deveniraussi faraudes (|u'<iii le veut. L'en- 



MÉLANGES. 977 

Après le remplacement de l'ordre de rinlégralion , on a 

Linlégrale se partage en deux parties, 

/ S„(^)f/^=- / J{'x)d% \ ■ :— -~ dx 

J ,. '--J-^T ^T 2Sini(a — X) 

I r+" r'^ 

-T- ^^ / f{7.)d'x I cos«(a — x)dx. 

1-e second terme du second membre reçoi t, après le développement 

de l'intéffrale intérieure, le facteur - et tend vers o, avec des va- 
° Il 

leurs croissantes de n ; il faudra alors considérer la limite du pre- 
mier terme et nous la désignerons par le signe 1. 

Nous posons / /(x)r/x :=: cpf.r) ouy"(jr) = cp'(x); delà ilsiiii 

1= — / cp'(a)f/a / sin/i j cot l^^f/-; 

désignons rintégrale intérieure simplement par '}(a), on a, après 
l'intégration par parties, 

I = -- / cp'(^)'|/(a)fl^a 

= -L[o(a)'^(a)]^:- — f '^(a)-y(a)f/a. 

Cette formule est valable pour toutes les valeurs finies de n^ car 
les fonctions C2 el'l sont partout finies. Mais, comme 'j( — -) =: o et 

■y (a) =: sin/i(a — .Tq) cot](a — j-q) — sin /?( a — .r, j col î (, a — .rj ) 
on a 

1 = ^2 / /{x)dx I s'innzcot^zdz 

-: j t5(a)[sin«(a — J7i)coti(a — J"i) — sinncx — .ry)col^(a — Xu)\d-Ji. 

' ' " — - 

semble de ces places ne doit remplir, pour chaque valeur de m. (|u'uii inter- 
valle plus petit que — ;• 
S 

Bull, des Sciences mathém., 2° série, t. VI. (Octobre 1882.) 23 



->78 PREMIÈRE PARTIE. 

Si .^0 et .r, se trouve dans V intervalle de — - à -7- -, Targu- 
iiient \z dans Tintégrale de la première somme ne sera ni nul 
ni égal à?:; cot^:; sera alors une fonction continue et finie dans 
rintervalle d'intégration et, d'après le théorème XX, 

lim / ^\wnz çQ\\zdz = o. 

n — yo ,'^ 

On prend de nouveau dans l'intégrale 

I 9 fa) cot-2(a — ri") sin«(a — Xi)d'x 

un petit intervalle aussi petit qu'on le veut et qui renferme les 
places a = .r(. A l'extérieur de cet intervalle c5(a)cot-7(a — .r, ) 
est une fonction continue et finie et la valeur limite des intégrales. 



relatives à ces parties d intervalle est égale à zéro. On a 

liin / S„{x)dx = lim -— / {'^{xi-^ z) — c5(j'o-^-)lcf't i-^ ?in » -^Z^- 

. ',. /! = 30 2 t. J _ ^ ' 



D'après les théorèmes qui seront démontrés dans le pai'agra|ilie 
suivant à propos de la valeur limite de l'intégrale 

I r^^ 

— / F (^) col 1^ sin «-;<:/-:, 

cl comme la fonction 

o{xi ~- z) — o{xo -^ z) = f(x)dx^F{z) 

est continue et possède une dérivée dont le carré est intégrahle. 
on a 

lim / S,i{xi)dx :=F(o) = I /{x)dx; 

cela j)rouve le théorème suivant : 

ThéouèmeXXI. — Si l'on forme, à l'aide d' une fonction (jui. 
de même que son carré, est intégrahle [spécialement (fvec une 
Jonction continue), les coefficients de la série de Pourier, cette 
série donne toujours une représentation des valeurs moyennes 

de f(x), quand même la fonction a un nonihrc in fini de ma. rima 



MÉLANGES. x-ij 

et de miiiima en un nombre infini de places. Pur rapport à 
tout petit intervalle de jr„ à ^,, la valeur moyenne de la 
fonction se/a donc exprimée avec une appjroximation (juelcon- 
que par la valeur moyenne de la séi ic de Fourier intégrée 
terme à terme. 

Cette représentation peut être appelée viniformément conver- 
gente. Soit h la longueur de l'intervalle d'intégration; on peut 
rapprocher à volonté la valeur moyenne de S,j(.r) dans l'inter- 
valle de X à X -T~ h de la valeur moyenne de /{x), et cela pour 
toutes les valeurs dex, uniquement parle choix de n. 

Car la série 

. k= n 

r /"""',, , , xr' a^. cosk(x^ h) — coskx 
j^ I Sja:)dx = bo - 2^ - j, ^ 

b/c siii k(x -^ h) — sin Icx 

est, d'après le théorème XIX, uniformément convergente, dès 
qu'une valeur déterminée et finie de fi est donnée. 

Cette formule reste valable si les limites de l'intégrale se con- 
fondent avec les limites — t: à ^- -, soit séparément, soit toutes 
deux. 

Nous verrons plus tard que l'on peut encore plus étendre les 
suppositions de ce théorème. 

Ce théorème peut être considéré comme la suite du théorème 
sur l'intégration d'une série triçonométrique, qui sera discuté 
dans le dernier paragraphe. La preuve donnée ici est plus générale, 
car on ne fait pas l'hypothèse que la représentation de la fonction 
/(.r) doit avoir lieu par une série trigonométrique. 

Il me semble important de rendre attentif sur ce que la natui'c 
de la série de Fourier existe dans la représentation de la valeur 
moyenne (comme toutes le séries analogues). Elle rend ce ser- 
\ice pour toutes les fonctions continues sans exception. 

Une autre question plus éloignée est celle-ci : Sous quelles 
conditions la série de Fourier nous donne-t-elle la valeur de la 
fonction/(.2;) en une place déterminée? 

La réponse est donnée par le théorème de Riemann ; Si la série 



28o PREMIÈRE PARTIE. 

en lin point pour lequcL— ■■ a une valeur déter- 
minée eut convergente, elle tend toujours vers cette valeur. 
\^\ oir plus loin le théorème XXVIII, intimement uni au théorème 
de M. du Bois-Revmond (théorème XXVII)]. 

Les recherches commencées par Dirichlet, et poursuivies par 
d'autres, cherchent à répondre à la question suivante : Sous 
quelles conditions la série de Fourier devient-elle convergente 
en une place déterminée? 

(A sui\-/-e.) 



COMPTES RENDUS ET ANALYSE; 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 

RE^'E iW.-Tli.), Professeur à l'Université de Strasbourjz. — Leçons sur i,.\ 
GÉo-MÉTRiE DE POSITION, traduites de rallemand par 0. Chemin, Ingénieur 
des Ponts et Chaussées, Professeur à l'École des Ponts et Chaussées. 2 vol. 
grand in-8, avec figures, 1881-1882. — Paris, chez Dunod. 

Il y a longtemps que Topinion du public niatbénialique est faite 
sur le Livre dont nous avons sous les yeux une excellente traduc- 
tion française. Cet Ouvrage qui a eu ])0ur origine les leçons faites 
par l'auteur à l'Ecole Polytechnique de Zurich, pour servir d'in- 
troduction à l'étude de la Statique graphique, mais qui s'adresse 
aussi à tous ceux qui désirent s'initier aux méthodes de la Géomé- 
trie de situation, a pleinement répondu à son but. Ecrit avec la 
clarté et l'élégance de style qui distinguent M. Reye, il a su rendre 
accessibles les théories de la Géométrie der Lage du profond géo- 
mètre d'Erlangen, von Staudt. 

Il n'est pas besoin d'insister ici sur toute l'importance de l'œuvre 
de Staudt. Qui ne sait aujourd'hui que c'est lui qui a établi sur des 
fondements indépendants la science des propriétés descriptives 
des figures, propriétés qu'une distinction bien tranchée sépare des 
propriétés métriques, lesquelles ne doivent plus être regardées 
comme des propriétés inhérentes aux figures de l'espace, mais plu- 
tôt comme des relations de ces figures avec une autre figure, le 
cercle à l'infini sur la sphère? 

Si l'on peut citer dans les Mathématiques des chefs-d'œuvre ac- 
complis, au point de vue du développement et de la coordination 
des idées, l'œuvre de Staudt en est un. Ainsi l'étude de la Science 
qu'il a su fonder se recommande à tous ceux qui s'intéressent aux 
Mathématiques, quelque restreint que puisse paraître son cadre. 
On trouvera dans cette étude achevée d'une portion, peut-être li- 
mitée, mais fort belle de la Géométrie, la réalisation de l'idéal qui 
reste encore à atteindre dans d'autres parties des ^lalhématiqucs. 

M. Rêve n'a cependant point suivi pas à pas la marche de 
v. Staudt. Les travaux antérieurs de Poncelet, de Mobius,dc Steiner 
lui ont servi à apporter plusieurs perfectionnements à son exposi- 
tion. Mais son Livre contient aussi plusieurs Chapitres qui lui sont 
Bull, des Sciences malhéni., 1' série, t. VI. (Novcnilirc 18S2.) i\ 



98-2 PREMIÈRE PARTIi:. 

dus en enlier et qui sont son œuvre personnelle. Et certes ce ne 
sont pas ces Chapitres, consacrés au développement purement 
géométrique de plusieurs sujets difficiles et nouveaux en bonne 
partie, qui constituent la partie la moins importante de son travail. 
Ainsi on lira avec le plus grand intérêt les Chapitres sur les svs- 
tènies linéaires de coniques et de surfaces du second ordre, sur les 
correspondances quadratiques dans le plan, sur les complexes té- 
traédraux, sur les surfaces et les courbes planes du troisième ordre, 
sur la surface de Steiner, sur le système de ravons du deuxième 
ordre, sur la surface de Kummer, etc. 

La traduction de M. Chemin, faite avec infiniment de goût et 
avec une connaissance parfaite du sujet, ne laisse rien à reprendre. 
Elle fait lionneur à Thabile professeur de l'Ecole des Ponts et 
Chaussées, qu'on ne saurait trop féliciter de l'heureuse détermina- 
tion qvi'il a prise de faire connaître en France divers travaux ma- 
thématiques justement renommés. 

Le choix des termes pouvant rendre en français les expressions 
de l'original a été l'objet de beaucoup de soin; et ce n'était point 
la portion la moins ardue du travail. 

Aussi nous crovons que le livre dont M. Chemin nous a offert 
une si bonne traduction française trouvera en France un accueil 
chaleureux, non|seuIement auprès des personnes qui voudront en- 
treprendre l'étude de \di Statique graphique de Culmann('), mais 
aussi auprès de tous ceux qui s'intéressent à la Géométrie. 

C. S. 



MELANGES. 

THÉORIE DE LA SÉRIE DE FOURIER. 

Pak .m. LI-: D- A\i;i. HARXACK. v I1iu;sdi:. 
(srnc i;t tin.) 

IV. 

De la com'ersence d'une séiie en une place déterminée. 

Dans le paragraphe j)récédont, nous avons montré (pie la 
(') Pont une première partir vifnl tif'jà Hc parallrp rlipz Diinod. 



MELANGHS. 28: 

somme 



est égale à 



S„(^) = /vo-;- > «A- sin A.r -(- ^^ cosA- 
X = 1 

«in {n -h j) (oi — .t) 



y:^^^ 



d%. 



Cette intégrale se partage en deux parties 

c, I /"^ /• sin«(a — a7)cos^fa — .r) , 

^n-= z /< '^) ^ — ^-n ^^ ^^ 

•^J-T. 2Sinf(a — x) 

^+- 
-, / f(oi)cosn(a — x)d'x. 

La limite du second membre pour n = yo est à déterminer. 

La seconde intégrale converge uniforinéinent, c'est-à-dire indé- 
pendamment de X, vers o, si l'on choisit n aussi grand qu'on le 
veut, parce que la fonction /(.r), ainsi que son carré, est inté- 
grable. 

Dans la première intégrale, on prend un petit intervalle quel- 
conque à partir de a = x — jusqu'à a = j" + ; à l'extérieur de 

cet intervalle, la fonction /(a ) ■ . ", — - est, ainsi que son carré, 

'' ^ ' 2Sin|-(a — x) ^ 

intégrable, et de là l'intégrale 

I r^^ I r^ r , sinnfa — .r")cos5^(a — x) , 

- / — - / f{'X) T- ^-^^ d% 

~J__ ~ Jr-+.^ 2smf(a — a-) 

converge uniformément vers o pour une valeur constante de ô. 
Nous n'avons plus qu'à considérer l'intégrale 

z .A'') ^ — -\ ■ ^^ 

^'Jy.^i 2Sini(a — x) 

et nous aurons prouvé le théorème suivant : 

Théorème XXIL — La valeur de la série de Fourier en une 
place quelconque ne dépend que de la nature de la fonction 
f{x) aux environs aussi rapprochés qu'on le veut de cette 
place. 



284 PHEMIÉRE PARTIE. 

Après la substitution a — ^r =: [i, l'intégrale prendra la ibrmc 






sin/? 3 cos^3 ,„ 
- ■ r/4 



,/_^ - 2sin|]î 



QM sin«^ cos^3 



"Jo 2Sin.j3 

La limite de cette intégrale décide dans tous les cas sur la 
valeur o(.r) de la somme de la série, et la série de Fourier 
convergera unil'ormément vers cette valeur, si l'intégrale peut 
être, indépendamment de .r, amenée aussi près qu'on le veut 
de sa limite par un choix convenable de /^, pendant que o est 
invariable. 

3 
Mais cos^[it — ^-7--: est une fonction continue de 3, et égale à 
- ' asinip ' " 

l'unité pour [îi =: o; de plus, celte fonction est positive dans l'inter- 
valle de |3 = o à ^ = 0, et possède des valeurs décroissantes. On 
pourra alors, à l'aide d'un théorème connu, donner une autre 
forme à l'intégrale. J'emploie ici ce théorème dans sa forme la 
plus simple donnée par Bonnet (' ). 

Dans le cas où f{^) et 4'(-^) sont intégrables et 'f (^) une fonc- 
tion continue, constamment positive ou négative, dont les valeurs 
absolues décroissent, on a l'égalité 

a *- (i 

Par le renversement des limites on obtient, si les valeurs crois- 
sent, pendant que x parcourt l'intervalle de a à />, l'égalité 

/b pd pb 

':j{x)'^{x)dx =^ — / ^{x)<^{x)dx = t:^{b) I '\i(x)dx. 

*^ b Ja + li[b-<ii 

On peut alors, au Keu de notre intégrale, substituer directement 

"i/o P 

û' étant une valeur entre o et 0. La limite supérieure est \ariable. 



C) Jnurnnl de Matlii'Dintiqin's, t. \\\ , p. -.j'iç). — r>r IIius-Hevjkimi, Jnunud 
fur Mttlhcmatik. l. LXIX. 



MÉLANGES. 28} 

elle dépend de n, mais l'intégrale 

a toujours la valeur limite o. 

Il faut alors, dans le cas où V intégrale primitive donne une 
valeur limite déterminée, que V autre inté grale possède la même 
valeur limite et réciproquement . 

En posant, dans l'hypothèse que/(.r 4- |ii) -\-f{x — |j) ait une 
valeur déterminée pour ^3 = o, 

[/(^+?)-/(^-?)]-[/(^ + o) + /(:r-o)] = X(^X 
on aura 

\\m^„{x) = \f{x+o)-^f{x-o)]\\m'- f ^^^ fZ3 

- ^ sin « i 

smni r sm3 t 

— ^p-t- f/3 = lim I — ^^<r/[i = -. 

i-" H = X Jç^ [J 2 

L'énoncé de ce résultat sera le suivant : 

Théorème XXIII. — La série ne converge en une place 

/•. • ' V ^ / 7 f(x-\-o)-hf(a; — o) 
déterminée d après la valeur •— — --^ que si 



hm / À(^) — ^—J- f/3 = o. 
« = «.'() 



Les recherches nombreuses et pleines de valeur qu'ont laites 
MM. du Bois-Reymond (') et Dini (-), sur les conditions pour la 
convergence de cette intégrale, vont être discutres. 

Nous ne prendrons que les théorèmes les plus importants, qui 
se trouvent directement dans l'équation ainsi formée, et qui sont 
indispensables pour ce qui suit. 

1. Si la fonction continue A(;3), qui disparaît par ^ ^ o, no 



{') Abhandlungeii d. K. Bay. Akad., 2 Kl. L. \II, Abth. II. 
(') Série di Fourier. Pisa, 1880. 



286 PREMIERE PARTIE. 

possède pas aux environs de la place o un nombre infini de 
maxima et de mininia (condition de Dirichlet), on a, d'après le 
théorème de Bonnet, 

Cette dernière intégrale reste toujours finie indépendamment 
de 0, si grand que soit n, pendant que a(o) est aussi petit qu'on le 
veut. Il se trouve alors démontré que, par un choix convenable 
de n, la valeur de S,i[x) diffère aussi peu qu'on le veut de 



•2 



c'est- à -dire (|ue 

/ . "V / • / .A / , /■( .2- — O ) — /■(./• — O ) 

Oq — > (x/^smkx -r- ô^coskx) = — 

A = 1 

On obtient en même temps que la série de Fouriev converge 
partout uni/or?nément,si la fonction f[x) est partout continue, 
et ne possède pas un nombre infini de maxima et de mininia. 

Car, dans ce cas, on peut choisir une valeur de o, telle c[\\e,pour 
toutes les valeurs de jr, la valeur absolue de A(o) soit plus petite 
que tout petit nombre déterminé. Si la fonction f{jc) ne subit 
de brusques discontinuités qu'aux points discrets, on renferme 
ceux-ci dans des intervalles aussi petits qu'on le veut; à l'exception 
de ces places, la série convergera uniformément. 

!2. La série converge en une place x oit les valeurs absolues 
du cpiotient ^-yj- sont inlégrables aux environs du point o, même 
if A( |i) contient un nombre infini de maxima et de minima. 

Car, dans ce cas, / -^— s'inn '^dp est aussi petit qu'on le veut, 

par un choix convenable de o pour toutes les valeurs de /?, et cela 
parce que la valeur de cette intégrale est plus petite que l'intégrale 

Cette coiidiliou contient celle (jti a doinuT M. LipscFiilz ( ' ). L;i 



(') Journal fUr Matlieniatik, l. fi). 



MÉLANGIiS-. 287 

série de Fourier converge, si la valeur de /.([j) reste toujours plus 
petite que le produit C,^ja, où G est une constante et a un 
nombre quelconque positif aussi petit qu'on le désire. 
Celte condition sera en particulier remplie si 

/J [i ) _ /(.r-T- ^')— /(.r — o ) _/(.r — 3 ) — /(> — o ) 
6 ô si 

reste finie pour |j = 0, c'est-à-dire si la fonction f{x) au point 
X possède des valeurs finies du quotient différentiel [j ris en 
avant et en arrière. 

3. Ce théorème peut être généralisé. Si la l'onction 'A(Jij pos- 
sède dans l'intervalle de o à une dérivée a'( ,j) intégrable, on a, 
d'après la règle de l'intégration partielle, 






h'{-x)dy. I — o-^ <^ = / a'( a )<:/-/ / ^ 4)'. 

Si les valeurs absolues de ).'( a) sont intégrables, on a 

f À'(a)c/a / f(,)' < / ' — - dj f abs [À\7)]c/a, 

ir la valeur de / ^ — ~ dy reste toujours plus petite que 



£ 



— ^ dy- 

y 



Le second membre peut être fait aussi petit qu'on le veut par le 

choix de 0, et comme hm / A(,i ) — ^7— d-i devient sûrement 

" = =^ d^ ' i-* 



a o, on aura 






aussi petit qu'on le veut, c'est-à-dire nul. Nous nous trouvons 
alors avoir démontré que : Si pour la fonction /{x), au point x, 
f{x -f- ^) -i-f(x — jS) est une fonction continue de {i qui pos- 
sède une dérivée absolument intégrable par rapport à P, la série 
de Fourier converge en ce point vers la valeur 
\\J(x-^o)-^.-f{x — o)\. 



■1&8 PREMIÈRE PARTIE. 

V. 

Des fonctions dont le carré n'est pas intégrable. 

Dans les recherches cki § III, la propriété nécessaire pour la 
convergence, c'est-à-dire la disparition de lirrirt^, lim^^ pour 
/? = oo , était la suite de l'intégrabilitéde [/(•^)]'- Si nous laissons 
de côté cette hypothèse, et que nous considérions une fonction qui 
aux points discrets est infinie, de telle façon qu'elle-même reste in- 
tégrable, mais pas son carré;, nous nous poserons nécessairement la 
question : pour quelles conditions dans ce cas la série de Fourier 
nous donnera-t-elle une représentation des valeurs moyennes? 

Désignons l'intégrale de la fonction donnée /(^), qui a — - 
comme limite inférieure, par 

J f{x)dx = ¥{x), 

de sorte que F'(^) concorde ayec f(cc) à l'exception des points 
discrets (théorème VIII); on a alors, d'après le théorème de 
l'intégration partielle, 

/ F(cr) slnnx dx = \ F(^)cosnx -. / f(x)cosiixdx 

= ( — ()'»+'- F(-^ -) — i / /{x)sinrixdx, 
et 

/ F(^) cosn^ f/^ = i — F(.r) sinn^ / /{x)6innxdx 

= / /(x)sinnx dx. 

Multiplions ces égalités par ^/i, on aura 
yn I F{x)sinnx dx = (— 1)"+^ —r F{~T.}-. — — / /{x ) cou iixdx, 

v/rt / F(x)cosnx dx = — / f{x) »innx (/x. 

•-'- T. \J II •' - 

D'après le théorème Xl\ le picniici- iiKinbrc de ces égalité.-; 
converge vers o pour // i= ce . ci le llK-drèmc siii\iiiil se troiiNc être 
df'monlré : 



MÉLANGES. 289 

Ïhéorèmk XX1\ . — Pour chaque Jonction intégrablc, on a 

lim — - I f(x) sinnx flx et lim -— / /"{xjcosnx dx, 

égal à o pour n =: 00 ■ 

Du reste, ce théorème n'a tle valeur, comme il a été remar- 
qué au théorème XIX, que dans l'hypothèse que la série des inté- 
grales est complète. Si ce n'était pas le cas, le théorème subsistera 

toujours si l'on introduit au lieu de --=. le facteur - • 

Les intégrales mêmes peuvent devenir infinies pour /? = 00 , et 
Riemann en a donné un exemple. 

Mais la disparition de ces intégrales est la suite nécessaire de l'in- 

légrabilitéde/(x) dès que l'intégrale / /(x) c/j; est absolument 

convergente, c'est-à-dire, dans le cas oîi elle est finie et déterminée, 
si l'on remplace /(x) par ses valeurs absolues. Car la disparition 
des intégrales par rapport à un intervalle d'intégration où se trou- 
vent les points d'infinis peut être prouvée de sorte que l'on fait la 
décomposition suivante : 

P+T. r'^^ pf+^ Mi—^ p'\+^ 

~a,i= f f{x)smnxdx= j ~^ \ '^ i ~^ f -^ . • • 

Chaque intégrale de la forme / J(j-) s'innx dx est en va- 

/>'■ + * 

leur absolue plus petite que / ahs\^f{x)^dx et peut être 

faite aussi petite qu'on le veut en choisissante; les autres inté- 
grales disparaissent pour /^ = 00 . 

Théorème XXV. — Si la fonction f{x) est absolument inté- 
grable, on a lim<7„ et Y\mbi, = o. 

La condition de la convergence absolue est remplie d'elle-même, 
dèsque/(x)estpartout infinie d'une manière déterminée; car, pour 
devenir infinie d'une manière déterminée en ime place c, il faut 
qu'on puisse déterminer aux environs de cette place un inter- 
valle où la fonction ne change plus son signe. Elle peut pourtant 
de chaque côté du point posséder des signes dillérenls. On peut 
alors formuler le corollaire sui\anl : 



290 PREMIÈRE PARTIE. 

Si la fonction intégrahle n'est infinie que d'une manière 
déterminée, on a lim a,i = o^ \'\inb„ = o. 

lia représentation des valeurs moyennes de la l'onction /{jc) de- 
mande que l'on ait 

lim / 'èii{x)dx = b^^h -\-\\T(\ > — a/^ ^ j — '- 



A = l 



— O/, = / f{x}dx, 

pour des valeurs quelconques de x a x -\- h . 

Mais, d'après les égalités développées plus haut, on a 

— ^ = / ¥(x)co^nxdx, 

Il "^ J_ ^ 

-.^=( — i)«— F(-f-TT)^- - / F(x)s\i\nxdx, 

n tlTZ TZ f 

^0=,-^ / /{x) dx = ^ F {-h -^y, 
de là 

h— Il 
I „ , \ X -^ ( — \)''^\n k x'^ 
__F( + .)[^-l->^ 1 J 

/,= i 
-1- — 7 cosA-(^-i-/0 / ¥{x)co'ikx dx 

-T-?>\nk{x -\- h) / F( r)siii/K.z' f/j7 






aos/i.r / F {x)co%kx dx 



l'inkx / F(.7) sin/i\r <5^^. 



Soient X et x -{- h deux places, où la dérivée do la fonction 
F(^) ne devient pas infinie, d'après les recherches du J:5 IV 
(n°2); le second membre de l'égalité convergera vers la valeur 

F(x + h) — F(.r), car on a 



.r ,. v^ , , sin/».7' 



f =lim2("')^ ' 



k 



iMÉLANGES. 291 

11 en esl de même (§ IV, n° 3) en une place où la dérivée devient 
infinie, mais reste absolument intégrable. L'énoncé de ce résultat 
sera le suivant : 

Théorème XXVI. — Chaque jonction intégrable fix) est re- 
présentée dans ses valeurs moyennes par la série de Fourier; et 
cela de telle façon cjue dans chaque intervalle pour les points 
finals ducjuel la fonction ne devient pas infinie, ou bien reste 
absolument intégrable, la valeur moyenne de la fonction se 
trouve représentée, avec une approximation d'une grandeur 
quelconque, par la valeur moyenne formée à l'aide d'un grand 
nombre cjuelcojique de membres de la série. (Tous les points 
pour lesquels la condition exprimée plus haut n'est pas remplie 
ne forment qu'une masse discrète.) 

Dans le cas où les coefficients de la série deviennent à la fois 
infiniment petits, le théorème XXII subsiste, et la convergence 
de la série en une place unique ne dépend que du cours de la 
fonction aux environs aussi rapprochés qu'on le veut de cette 
place. 

VI. 

Des rapports d'une série trigonométrique avec la série 
de Fourier. 

Si la fonction f{x) est définie dès le commencement par une 
série trigonométrique qui n'est pas connue comme étant une sé- 
rie de Fourier, on peut facilement montrer que la série trigono- 
métrique sera la série de Fourier chaque fois que la fonction ainsi 
définie est intégrable. C'est ce qu'on peut facilement prouver à 
l'aide des recherches de Riemann. 

L'égalité qui donne la définition de la fonction est la suivante ; 

h = n 

f(x) = bi) -h ^ (a/^sinAx-ir- ù/^coska:). 

Les coefficients ne sont pas donnés comme étant des intégrales, 
J{x) est une fonction intégrable; voilà pourquoi lima/, z= o el 
lim^,, = o, car la série doit converger en général. ?Sous f()rnu>n> 



292 PREMIÈRE PARTIE, 

alors l'égalité 






A- = l 

et 

F(:r) — F,(^) est une fonction qui, d'après Riemann, remplit 
les conditions du théorème XIV et qui, par conséquent, est li- 
néaire. 

On aura alors l'égalité suivante : 

F,(a:) + C-f-G'(^)= f /(<^){a; — ^)d^ -^ C -h- G'x 



bnx^- 



■^ a/,s'inkx-+- b^cofikx 

2d x^^ 



Le deuxième terme du second membre de l'égalité est une fonc- 
tion périodique; on a alors 

Fi(x-l-2T:)-f- C ^ C!{x ->r iT.) — \ b^{x -^ iTzy = Fi(37)-(- C-^Cx — \ b^^x"- 

ou 

V i{x -\- "XT.) = ¥ i{x) — 1 G'tt -\- bQ{ix t. -V- iti^), 

et pour j; = — t, comme F, ( — t:) = o, 

Fi(-)= — ac'-n, 
On tire de la même égalité, en différentianl par rapport à a;, 

¥\{x -\- 271) = Fj(a:) 4- 2^0 t:, 
et pour :r = — t. 

Si nous multiplions par sinA">r ou cos .r et que nous intégrions 
chaque terme du second membre de l'égalité, on trouve les relations 

/ [¥^{x)-\- G-ir Cx]s\nkx dx=z — — a^i-r, 
I [Fi{x)-^ C -h C'x]cosAx dx = — ~ bk-^{-iY'^ T.. 
V^{x) est difl'érentiablc, cl la valeur de la |)icMilèrc iulégralo est 



MfiLANGES. agS 



égale à 



— 71 / f(x)^ïnkxdx. 
Les valeurs entre parenthèses disparaissent, et l'on a 

ak— - I f{x)s\nkx dx et hi^— - 1 f{x)co?.kxdx. 

Théorème XXVII. — Chaque série trigonométrique, qui dé- 
finit une jonc lion intégrable, est une série de Fourier; ou bien : 
une fonction intégrable, si Von peut La représenter par une sé- 
rie trigonométrique, ne peut être représentée que par une sé- 
rie de Fourier. 

L'exemple donné par Riemann (art. 13) d'une fonction inté- 
grable, qu'on ne peut pas développer en une série de Fourier, 
est en même temps un exemple d'une fonction qu'on ne peut pas 
représenter par une série trigonométrique. 

Par les recherches de Riemann, le théorème suivant est aussi 
démontré : 

Théorème XXVIII. — Si la série de Fourier converge en un 
point, ou- '— aune valeur déterminée, elle con- 
vergera toujours vers cette valeur. 

Car la série de Fourier a, en chaque place où elle conv(!rge. la 
valeur 

F(x -h- \x) — iV(x)-\-F(x — \x) 



lim 



(')Ce théorème a été démontré pour la première fois par IM. du Bois-Rcymond : 
Ab/iandlungen der K. Bayer. Akad., i Ci. ^'ol. \II, Ahtii. I. — Voir aussi Ascoi.i, 
Atti délia Accademia dei Lincei, ser. 3, Vol. Il, p. jS'|.— Math. Aiiiialvn. t. W. 



294 pri-:mii:re partie. 

1 ^ f{^ -^ O) -\- fix — O) . 1 11' I-.. 

et cette valeur esf-^ ^-^ -■> par suile de 1 égalité 



/ 



f 



[f{x -^ a) -}- /(.r — a) ] {\x — a) o?a 



= [/(:r--ea)-/(:r-ea)]:^, 

même si f(x-]- o) Q^f[x — o), considérés séparément, ne repré- 
sentent aucune valeur déterminée. 

Réciproquement, il est possible que la série de Fourier converge 
en un point a pendant que la fonction qui a donné naissance à 
cette série, f{x + 5) -\r f{x — 3) pour = 0, soit indéterminée; 
de pareils exemples ont été donnés par M. du Bois-Revmond. 

Il se présente des cas semblables dans le Calcul intégral, où la 
dérivée de l'intégrale a une valeur déterininée, et la fonction à 
intégrer est au même point indéterminée. 

Il faut encore remarquer que les théorèmes précédents de ce 
paragraphe et ceux du § V peuvent être étendus aux fonctions, 
qui ne sont pas en général intégrables, dans le cas où il n'existe 
que des valeurs singulières de l'intégrale. 

Le cas le plus simple de cette espèce est le suivant, donné par 
Riemann. 

L'intégrale principale 

f f{x)dx= / \f{c-^%)-\-f(C — %)]d% 

C - « «0 

peut donner une valeur déterminée finie qui, pour =: o, tend 
vers o, pendant que/(^), au point c, devient infinie sans avoir 
un nombre infini de maxima et de minima et que la fonction /"(o:) 
n'est pas intégrable. 

Dans ce cas [/(c -h a) H-/(c — ^•)]^- doit être égal à zéro pour 
a = o. 

Si c'est le cas, et si, en outre 

lim / f(x)%\nn{x — c)dx = \[m j [/"(c-f-a) — /(c — a)] sin /> a <7a = 0, 



MÉLANGES. 295 



lim I f{x)cosn(x — c)dx=\\n\ j f/ic-î- a)-i-/(c — oi)]cosny. dx = o, 

tous les théorèmes précédents auront lieu, si dans le calcul 
des coefficients de la série de Fourier on se sert des valeurs de 
l'intégrale principale. 

Ces conditions se trouvent remplies, si les produits a/(c-|-a) 
et y. f{c — a) tendent chacun vers o. Cette condition est aussi né- 
cessaire; car, la fonction /'(c -f- a) -f-/(c — a) étant intégrable 
d'une manière absolue, on a 



abs 



/ i/i^ ~^ ^) '^fi'^ — ^)] cos « a dx < / abs [f(c -r- a) -hfic — a) ] d-x, 



si grand que devienne x. 

La deuxième des intégrales trouvées plus haut peut alors deve- 
nir aussi petite que l'on veut pour toutes les valeurs de x par un 
choix convenable de 0. De plus, afin que 



/ [/(^"i"^' — /(c — a)] sin/ia r/a= / [/(c-r-a) — /(c — a)] a 



s I n /! a , 
dx 



devienne aussi petit qu'on le veut, le § IV nous dit que la fonction 

[/( c -f- a) — ./'(c — ai] a 

doit nécessairement disparaître. Cette fonction n'a pas un nombre 
infini de maxima et de minima. Il s'ensuit que 

lim[/(c-i- a)-^/(c — a)]a et [f(c -^ u.) — f( c — co|x = o, 

ce qui prouve notre affirmation. 

TuÉOHÈME XXIX. — Si la fonction devient infinie en quel- 
ques points sans oscillation, de telle façon que son intégrabi- 
lité se trouve touchée, cette fonction pourra être encore repré- 
sentée par une série de Fourier, dans le cas oit. aux environs 
(le tels points f(c-\-cf.)-\-f{c — y.) pour a ^ o reste intégra h le 
et de plus y-f(c H- a) et yf{c — a) disparaissent. Les coefficients 
de la série se calculent d'après la formule 

T.'x/^ =z I /(x)sinnx dx-]- sinnc j f /( c -!- a )-!-/( c — y. ) \ cos nx d-j. 

*^~ T. «-0 

-+-cos«c / [/(c-i-a) — /(c — y.)]^inny.d'x-r- j f{.T)sinnx dx, 
et d'une manière analno ur pour />/,. 



296 PREMIÈRE PARTIE. 

VII. 

Règles pour la différentiation et Vintégratinn d'une série 
trigonométriquc. 

Soit /(a?) une fonction continue dans tout l'intervalle de — 7: 
à + TT, et représentée par série trigonométriquc convergente en 
o^énéral 

bf, -\- ^ a./^- sin /x.r -+- 6/.cos A%r. 

Supposons qu'on sache que cette fonction possède une diffé- 
rentielle intégrable, que cette différentielle soit inlégrable absolu- 
inent(en particulier, finie ou déterminée infinie aux points discrets). 
D'après les théorèmes précédents, la série pour f{x) converge 

partout sans exception, et donne la valeur / f'{jc) dx. 

De plus, les valeurs moyennes de la fonction intégrable f'{x) 
peuvent être représentées par celles d'une série 

A— a, 

po -4- 2^ «A- sin kx -+- '^ic cos kx, 



ou 



rxi.z=- j /'(x)s'mkx dx= - \/(x)?,inkx]^l ^ / f(x) coskx c/x 

-=-kbk, 
p/,.= - / f{x)co^kx dx= -{f{x)co?,kx]t.1^ / f{x)s'\nkxdx 

= ^^ r/(+ ^) -/(- ^) 1 + /^«A- 

La valeur moyenne de la fonction y"'(^) sera alors reprcsenlée 
par la série trigonométriquc 

A = «> 

1,-1 
+ j ^r^ [/(■^-)-f{-T.)]^ka, [ cos/.r. 



MÉLANGES. -.^97 

Parloul où celte série converge, elle converge aussi vers la valeur 

Pour le cas où /(-r t,') = /Y — ~), on aura la forme plus simple 
/ — kb/^iinkx -r- kai^co'ikx, 

(jui sera obtenue par une difTérentiation dii^ecte de chaque terme 
de la série primitive. Si cette condition n est pas remplie, cette sé- 
rie ne convergera pas, car limArz/f ne devient pas nulle. On aura 
pourtant une représentation de la valeur moyenne de la fonction 
f'{jc), car la série 

a la valeur moyenne o. 11 n'y a à excepter que les intervalles dont 
les derniers points se confondent avec les limites — - et + tt. 

Il existe, par conséquent, pour la fonction avec la valeur con- 
stante o deux représentations à l'aide d'une série trigonométrique : 
l'une nous est donnée par la série dont tous les coefficients dis- 
paraissent; l'autre est la série nommée plus haut, qui ne converge 
pour aucune valeur de x. 

La première forme prévaut partout par un intervalle àex kx-\- h. 
la deuxième manque aux points finals — t: et + t: de l intervalle. 
11 n'existe pas d'autre représentation sans exception de la valeur o; 
car, dans le cas où la série trigonométrique 

Aq -+- ^ ( «/; si n k x -~ h/, cos kx), 

a la propriété que, pour toutes les valeurs de .r et de x -\-li (inclu- 
sivement — -et 4--), 

, ,, , , v^ LOs/i( x-t- //) — cosA.r 
o = hA(x-\- h) — -r — ^ — f//, 1 

Mmi k ■ 

sin A( ,r-f- A ) — sin kx 



l'k 



k 



tous les coefficients />,!. "/.i ''>/, doivent dispiiiaitrc 

D'après ce théorème, «ni v«>il (piil ircxislc (pi une seule (orme 
Bull, des Sciences nialhéni., i" série, t. \J. ( XonciuIhc 1SN3.) .û 



298 PREMIÈRE PARTIR. 

pour représenter une fonction intégrable par une série trigonomé- 
trique, l'orme qui reste valable aux points finals — 7: et +7: (dans 
le cas où la fonction à représenter possède en ces points une va- 
leur finie ou est au moins intégrable sans restriction). A cause de 
cette exception possible, je veux spécialiser un peu ce théorème 
et dire : 

Théorème XXX. — Pour toute fonction inté ^rahle absolu- 
ment, il n'existe qu'une seule représentation trigononiétrique 
des valeurs moyennes, qui est valable pour chaque intervalle. 
Cette forme nous est donnée par la série de Fourier. 

La règle pour l'intégration a la forme suivante : 
Une série trigonométrique 

A" = OD 

b^ -T- y a/,sin A.r-;- 6x- cosA'J", 

qui représente une fonction intégrable périodique f{x), est une 
série de Fourier. 

Si l'on veut former l'intégrale 

C /ix)dx^F{x) — F(a), 

où les limites a et x tombent dans l'intervalle de — - à + tt, il 
existe pour cette fonction, en tant qu'elle est partout continue, une 
série de Fourier. 
Posons 

A = l 

on a 

Bo = -^ r F(x)dx — F(a), 

A/;—— I F(a:)s'mka:dx = -. — [F(ar)cosÂ\r];!:- 

-^T- f fix)C0^kxdx= ( — -l)'-' ^p^_^^^_p(_^)^_;. I /,,., 

lîTZ f Alt A 

•- — r. 

-h t: /%-4-~ 

H;i.= -i I F(x)cn&Âxdx= -j^[F(x)sinkx]-^l— -j^ 1 /(x)&inAxdx 
I 



MÉLANGES. 299 

F(.r) sera alors, en général, représentée par la série 

A=oc 



> 



— j a/^coskcc. 



Cette série se partage en deux parties, car la valeur de 



/.. 



V( — I j^'-i 
^ ^.^ [F(-i--)-F(-7T)Jsin/.-.r: 



x = i 



est convergente et égale à 



car 



_L[F(-7:)-F(-r)] = 6o^: 



Ao=^ r /(.r)rf.r= ;^ [F(--i — F(--)|; 



seulement aux points finals de lintervalle 

\r , , , sinX-.r 

( — 1)^-1 — -, — = o. 

La fonction F(x) est alors, en général, égale à 

— / Fixjdx-^ ÙqX-^ ^^ y b i- sin a- X — y«/.cos/i\r. 

A = l 

C'est aux points discrets que la valeur de la série peut différer 
de celte valeur. 

Si la fonction est intégi^able absolument, la valeur de la série 
<ioit se confondre sans exception avec la valeur de F(jr), et dans 
cette forme, pas tout à fait purement trigonométrique , on a 
aussi 

F(--)= -î- f F(.r)^.r-^,--- V — -J .?;;.(_, y-. 



3oo PREMIERE PARTIE, 

comme 

F( + Tr) + F(-7:) i 






~ /, = 1 

et 

F(^7:)-F(— ::) , 

= o^r.. 

•1 

La différence ^{oc) — ^i'^'-) 6^t égale à 

bo{x — rt)-f- 7 j b^{sinkx — sinAa) — ja/,{coskx — coska), 

A = l 

c'est-à-dire égale à la série qu'on obtient par intégration terme à 
terme entre les limites a et^ de la série primitive. 

Pour plus de clarté, nous formulerons brièvement les deux 
règles : 

Théorème XXXI. — Toute série trigonométrique qui déjinit 
cil générai une fonction continue, avec une dérivée intégrable 
absolument, est elle-même une fonction partout continue, dont 
la dérivée peut être représentée en moyenne par une série tri- 
gonométrique. Celle-ci sera tirée de la série primitive par une 
différentiation terme à terme, en ayant soin d'ajouter après 
chaque terme de la série à former le /nembre 

(-on/(^-)-/(--)jcos/..r. 

En chaque point oii la série converge, elle donne la valeur de 
la dérivée f'{x)^ ou la valeur ïnoyenne 

i[/'(^+o)-f-/'(x-o)l. 

TuÉORÈME XXXII. — L'intégrale de toute série trigonomé- 
trique, entre des limites (juelconques tond>ant dans l'inter- 
valle de — - à -h", est représentée en général par une intégra- 
tion terme à ternie ; il est sous-entendu que la série déjinit une 
fonction intégrable. Si la série donnée di'Jinit une fonction 
intégrable absolu/nent, la série formée par intégration sera 
égale sans exception à l' intégrale. 



COMPTFÎS RENDUS ET ANALYSES. 3oi 



SC.HLEGEL (V.), Oberlelirer am Gymnasiiim in Waren. — Leiiuiujcii dkr 
KLEAiKNTAREN MATiiEMATfK. — Wolfpnbiiltel, Diuck und Vorlag von .Iulins 
Zwissier, 1878-18^^0. ~ { vol. in-8°. 

Xous sommes habitués depuis longtemps à considérer l'appa- 
rition d'un Traité élémentaire de Mathématiques comme un événe- 
ment pédagogique ou commercial n'a vaut rien de commun avec 
la Science pure. Si Ton met à part quelques honorables exceptions, 
c'est toujours le même Livre qui reparaît sous une couverture de 
couleur différente, avec quelques pages transposées, cjuelques 
propositions secondaires introduites ou supprimées, quelques dé- 
monstrations modifiées sinon pex-fectionnées, quelques développe- 
ments de plus suivant les tendances des programmes officiels. 
Quant à la manière d'exposer les principes fondamentaux de la 
Science, rien n'est changé. Les découvertes qu'on a faites dans 
les hautes Mathématiques depuis un siècle et qui ont si admira- 
blement éclairci les difficultés que présentaient encore les éléments 
d'Algèbre semblent éti-angères à nos auteurs, qui expliquent les 
imaginaires comme au temps de Bézout et de Lacroix, et présen- 
tent parfois à leurs lecteurs des notions géométriques en arrière 
de beaucoup sur celles qu'exposait Euclide il v a plus de deu\ 
mille ans. 

Cet état de choses est commun à lous les peuples de l'Europe. 
En Angleterre, l'enseignement est resté ce qu'il était au temps de 
Barrow et de Simson; heureusement le vieil Euclide a été choisi 
et fidèlement conservé à l'abri des prétendus perfectionnements 
des Traités modernes. En Allemagne, les auteurs cherchent encore 
leur voie, et, malgré quelques Traités hors ligne, comme celui de 
M. Baltzer, l'esprit du haut enseignement ne pénètre qu'avec peine 
dans l'enseignement élémentaire. 

Dans ces dernières années, un disciple de H. Grassmann, 
M. Victor Schlegel, déjà auteur d'une lumineuse exposition de la 
doctrine de son illustre maître, a entrepris de lancer les Mathé- 
matiques, et la Géométrie en particulier, dans une autre voie plus 
courte et plus sûre, et il a publié, en s"ins]iirant des vues originales 
et hardies de l'auteur de Viusrichnnii us/clnc, un (^ours élémen- 
taire en quatre minces volumes. ci)m|»renaiil . en - 1 :> pages, l'Arilli- 
Jiiill. des Scie/iccx nuillu'ni., i' série, l. NI. ( I •<criiilirc inS.'î.) j(j 



3o2 PREMIÈRE PARTIE. 

métiqiie el lAlgèbro, la Géométrie plane el solide el la Trigono- 
métrie tant rectiligne que sphérique. 

I. 

Nous ne nous arrêterons pas longtemps sur le contenu du pre- 
mier Volume, intitulé yirithmetik itnd Combinatorik (182 pages), 
et traitant de l'Algèbre élémentaire et de la Théorie des combi- 
naisons. La première Partie comprend d'abord les principes du 
calcul littéral, la résolution des équations des quatre premiers 
degrés, les séries, les fractions continues, le calcul décimal et les 
calculs d'intérêts. Puis, dans l'autre Partie, il est question des com- 
binaisons et des permutations, et des premières notions sur le Cal- 
cul des probabilités. Le tout est exposé avec une concision qui 
n'exclut pas la clarté, et avec une rigueur irréprochable. 

IL 

Nous nous occuperons avec plus de détails des Volumes sui- 
vants, qui forment la partie vraiment originale de l'Ouvrage, el 
d'abord du tome II, Géométrie, où l'auteur expose, en 222 pages, 
les principes de la GéoxnélTie plane . C'est ici que l'on peut appré- 
cier la révolution dans l'enseignement préparée par les idées de 
Grassmann, et dont nous essayerons de présenter un résumé. 
Comme la Géométrie des Anciens, la nouvelle méthode repose 
aussi sur des hvpothèses, suggérées par l'expérience, mais diffé- 
rentes, au moins parla forme, des axiomes euclidiens. 

Un corps ou voUtine est une portion limitée de l'espace; sa 
limite est une surface. 

Une aire [Fiii-iw) est une portion limil(''e de surface. 

Une figure {(jebilde) limitée conq)lèlement par des aires est un 
volume. 

La limite d'une aire est une ligne. — Une portion de ligne est 
un segment (S trec/ie). 

Une ligure limitée complètement |)ar des segments est une (/ire. 

Les limites d'un segment sont tics poinls. 

Un point est un lieu dans l'espace. 

Un ])oinl, en se mou\ant, décrit une ligne; de même un seg- 
ment décrit une surface; une aire décrit un corps. — Ces figures 



! 



COMl'TKS UHNDUS IH' ANALYSES. ;{o3 

soiil limih'fs ou lllimilécs, snivanl que le inouvemenl lui-même est 
liuiilé ou illiuiilé. 

De la loi du mouvement dépend la forme {Gcslall) de la 
ligure engendrée. Un point n'a pas de forme. Deux figures de 
même forme sont dites semblables. 

Le mouvement par lequel une figure est engendrée devient une 
propriété inliéi'ente à cette figure, et s'appelle dimension. — Le 
j)oiut n*a aucune dimension, le segment en a une, l'aire deux, le 
\olume trois. 

Suivant que le mouvement est continué plus ou moins loin, la 
dimension correspondante sera dite plus ou moins grande. La 
grandeur d'un segment est sa longueur ; la grandeur d'une aire 
dépend de sa longueur et de sa largeur ; celle d'un volume, de sa 
longueur, de sa largeur et de son épaisseur. 

Deux figures de même grandeur sont dites égales ('). 

Sommes et différences de deux segments, de deux aires, de deux 
volumes. 

Mouvement simple; mouvement composé. — Un point, au mo- 
ment où il commence à changer de lieu, a le choix entre une 
infinité de mouvements qui se distinguent entre eux par leur di- 
reetion. 

Si un point conserve toujours la direction qu'il a choisie au 
départ, son mouvement est dit un mouvement simple, et le seg- 
ment qu'il parcourt est une ligne droite. — Le caractère distinctif 
d'un mouvement simple est donc sa direction. 

Si un segment de droite se meut de telle manière que chacun de 
ses points exécute un mouvement simple, c'est-à-dire parcourt 
lui-même une ligne di'oite, le mouvement total du segment sera un 
mouvement simple, et l'aire résultante sera une a'ive plane. 

Si un point mobile change à chaque instant de direction; il 
décrit une ligne courbe, et son mouvement est dit composé. 
Toute surface non plane est une surface courbe. 
Une figure ne peut se transporter par un mouvement simple 
d'une position à une autre que d'une seule manière, au plus. L n 



(') Ou, ronforménienl aiiv habiliidcs françaises, équivalentes. Les Alleniaiuls 
e\primenl la relation ({'«'■sïalité par roii£;iMienee par les (Ieii\ mots i;leirli iind 
a lin lie II. 



io\ PREMIER!" PARTIE. 

même déplacement peut s'efTectuer j)ar une inllnilé de mouvements 
composés diflerents. 

De la loi particulière du mouvcinenl qui engendre une con- 
struction résulte pour celle-ci la propriété d'avoir une forme 
déterminée. Le point n'a pas de forme; toutes les lignes droites, 
ainsi que toutes les surlaces planes, ont la même forme; il en est 
de même pour les lignes ou les surfaces engendrées par la même 
loi de mouvement. 

Le mouvement est limité ou dlimité; il en est de même des 
ligures qu'il engendre. 

Le mouvement est fini ou infini. Lin mouvement illimité peut 
engendrer une ligne ou une surface finie, lorsque ce mouvement 
est rentrant sur lui-même. 

Toute figure illimitée peut être considérée comme un domaine 
pouvant contenir des figures limitées d'un nombre de dimensions 
égal ou inférieur, ainsi que des figures illimitées d'un nombre de 
dimensions inférieur. 

Un domaine est simple, lorsqu'il est engendré par des mouve- 
ments simples. Les domaines simples sont le point, la droite, le 
plan et l'espace. 

Un domaine est libre, lorsqu'il peut se mouvoir sur lui-même 
d'une manière quelconque. Tels sont les domaines simples de la 
droite, du plan et de l'espace et les domaines non simples du cercle, 
de l'hélice et de la sphère. 

La science de l'espace se divise en deux parties : la science 
des figures planes [reine Géométrie), et la science des figures 
dans l'espace [Stéréométrie). A ces deux parties se rattachent 
les deux parties correspondantes de la Trigonométrie. 

Le tome II s'occupe de la (iéomctiie (plane). 

PiiEMih;RE SKCTio^. — (îéotnétric des /iait/cs en ntomement. 

I. Géométrie de la droite. — Le |)oin[ cl son mouNcmcnl sur 
la droite. 

(7.) Afot/\e//ic/it intKfue d'un poinl. — In poini se dislingiie 
il'un antre j);ir sa position . — In pctinl mobile ((jiii\iuil j une 
série de points lixes (pielcontpics. 

Lorsqu'un point A décrit une droite, celle-ci ol déterminé»' : 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. Soï 

I" par la/7o,s7V/o/« [Lage) du point mobile ; 2" par la diiertion 
du mouvement de ce point. — Deux droites de même position et 
de même direction coïncident entre elles ('). 

La direction suivant laquelle un [)oint A, animé d'un mouve- 
ment simple, commence à se mouvoir, détermine d'avance tous 
les points qu'il doit rencontrer dans son mouvement. Réciproque- 
ment, l'un de ces derniers points B suffit, avec le premier A, 
pour déterminer la direction de la droite. — Un point quelconque 
de la di-oite pouvant être pris pour le point initia-l A, la droite est 
déterminée eu position et en direction par deux quelconques de 
ses points. 

Une droite est dite avoir même position quiin point, lorsqu'elle 
passe par ce point. 

(|ii), Mouvement multiple d'un point. — Mouvement d'un seg- 
ment sur une droite. 

i" Opérations géométriques sur les segments : addition, sous- 
traction, multiplication, partition (division par un nombre), me- 
sure (division [)ar un segment). 

2" Les deux directions opposées d'une droite. — Segments 
positifs et négatifs. 

3" Mouvement d'un segment le long d'une droite. — Relation 
MA+MB==o; généralisation; centre de gravité d'un segment. 

IL Géométrie du plan. 

[a] La droite et ses moin'ements dans le plan. 

(a) Mouvement unùiue de la droite. — Détermination de la 
droite. 

1" Changement de [)Osition de la droite. Lorsqu'une droite 
change de position sans changer de direction, les deux situations 
obtenues sont dites deux àvo'xles parallèles. 

Dans ce cas, tous les points de la droite primitive ont aussi 
changé de position, en éprouvant tous des déplacements identiques 
en grandeur et en direction. 



(') I^a donnée de la iliiecLion ciiiiivaiit à ce (jue la Géomclrie moderne appelle 
le point à l'inlini de la druile: de sorle que la délerminatioii actuelle peut être 
envisagée comme un i;is p;irliiiilicf de la détcrniinalion de la droite au moyen de 
deux points. 



3o6 PREMIÈRE PARTIE. 

Par un point donné on ne peut mener qu'une seule parallèle à 
une droite. — Deux droites parallèles à une troisième sont paral- 
lèles entre elles. 

De la considération du mou\ement dun point sur une droite 
mobile parallèlement à elle-même, ce mouvement étant tel qu'à 
des déplacements égaux de la droite correspondent toujours des 
déplacements égaux du point, on conclut facilement le lliéorème 
de la proportionnalité des segments. 

2" Changement de direction de la droite, h'angle. — Relations 
entre deux droites : Deux droites de même position ont la même 
direction. Deux droites de même direction ont des positions dif- 
férentes. Deux droites de position diftérentes ont la même direc- 
tion. Deux droites de direction dift'érente ont la même position. 

Lorsqu'une droite fait le tour complet autour d'un de ses points, 
elle décrit un angle fermé. Tous les angles fermés sont égaux, 
ainsi que leurs moitiés et que leurs quarts. Le quart de l'angle 
fermé est l'unité angulaire (angle droit), pour laquelle l'usage a 
conservé l'incommode division babylonienne. 

La direction d'un segment redevient la même lorsque le segment 
a fait un nombre 11 quelconque de tours autour d'une de ses extré- 
mités, Il étant positif et entier. Le résultat sera donc le même (jue 
si on l'avait multiplié par (+ i)", ou, ce qui revient au même, par 
( — i)'-'*. S'il fait un nombre impair 111-^ 1 de demi-tours, il s'ar- 
rêtera sur lu direction opposée à la première et sera multiplié par 
— 1 ou par ( — 1)-"+'. Ainsi, dans tous les cas, une révolution d'un 
demi-tour équivaut à une multiplication par — i. 

Si X est le facteur (|ui correspond au (|uarl de loui-. on devra 

avoir 

j" X a^' = — I , 

d'où 

X = \J — I = /. 

En général, si x est le l'aclcui' (pii corrcs[)on(l à la //""" partie de 
l'angle droit, on aura 



1 

X = i". 

On prul rjonc rrpiésentcr la rotation d un sppnicnt pai hi mnlli- 



COMPTES KliMJL'S liT ANALYSES. lo; 

plicaLion de ce segment par une puissance du facteur i qui est le 
symbole d'une rotation d'un angle droit. 

Lorsqu'une droite tourne autour d'un de ses points, chacun des 
autres points décrit un cercle. Centre, angles au centime, etc. 

(j3) Moiiveine?H double de la droite. — Changement de direc- 
tion et de position. 

Opérations élémentaires sur les angles. 

Les deux côtés d'un plan; ces deux côtés diffèrent en ce que les 
rotations de sens positif" pour l'un de ces côtés sont négatives pour 
l'autre côté. — Angles positifs et négatifs. 

Mouvement d'un angle dans un plan. — Angles avant leurs 
côtés parallèles chacun à chacun. 

Angles autour dun point, opposés, supplémentaires. 

Angles de deux j)arallèles avec une sécante. 

Point à l'infini sur une droite. 

Le triangle. — Somme de ses angles. Démonstration de Thi- 
baut. 

Sens du triangle. — Relation entre les angles. Angles exté- 
rieurs. Extension aux polygones. 

Détermination du triangle par ses éléments. — Nous ne pou- 
vons nous empêcher de mettre en doute la légitimité de la 
démonstration de l'égalité de deux triangles équilatéraux entre 
eux, fondée sur ce que la position d'un sommet est déterminée par 
l'intersection de deux cercles décrits des deux autres sommets 
comme centres, tant que l'on n'aux-a pas montré, autrement que 
par Vévidence, l'impossibilité de la rencontre de deux cercles en 
plusieurs points situés d'un même côté de la ligne des centres. La 
tendance de la nouvelle école à remplacer le raisonnement par le 
coup d'œil nous semble éminemment dangereuse. Le sentiment de 
la forme est un. précieux auxiliaire, auquel les illustres inventeurs 
de la Géométrie pure ont du une grande partie de leurs découvertes ; 
mais rien en Mathématiques ne peut dispenser de la démonstration, 
d'autant plus que cette partie de la tâche est en général la plus aisée. 
Dans le cas actuel, la marche d'Euclide n'est pas plus longue, et ne 
laisse aucun doute dans l'esprit. 

Triangle isoscèle. — - Il eût mieux valu, selon nous, commencer par 
les ligures les plus régulières aux(pn'llcs on ramène ensuite l'étude 
des ligures irrégulicie> : d'aulanl plus, ici, cpio riiinjc du tiiangle 



3o8 PIIEMIËRE PARTIE. 

isoscèle est absolument identique à celle des propriétés du cercle. 
On aurait pu ainsi démontrer rigoureusement la proposition sur 
Tégalité des triangles de côtés égaux, sans sacrifier en rien la briè- 
veté et l'évidence. 

(y) Mouvement triple de la droite. — Le quadrilatère. — Le 
parallélogramme. 

(o) Mouvement multiple des segments. — Opérations géomé- 
triques sur les parallélogrammes. — Cotés opposés d'un parallé- 
logramme. — Théorème de Pvtliagore. 

Changement de direction des segments. — Le cercle. — Angles 
dans le cercle. — Polygones réguliers. — Deux cercles. 

Deuxième Section. — Géométrie des figures en /epos. — Deux 
figures sont dans une sïluaùon perspective , lorsque les lignes qui 
joignent les points correspondants de ces deux figures passent par 
un même point. 

Deux figures qui peuvent être amenées à une situation perspec- 
tive sont dites projectives. 

[a) Si les lignes de jonction passent par un point infinimenl 
distant, et que i" les droites homologues se rencontrent sur une 
droite infiniment distante, les deux figures sont congruentes. — 
2" Si les droites homologues se coupent sur une droite à dislance 
finie, les figures sont seulement affines. 

(b) Si les lignes de jonction se coupent en un point à distance 
finie, et que 1° les droites homologues se rencontrent sur une droite 
infiniment distante, les deux figures sont semblables. — 2" Si les 
droites homologues se coupent sur une droite à distance finie, les 
ligures sont eollinéaires. 

I. Similitude. — Triangles semblables. — Division harmo- 
nique. — Simililudc inverse. — l'olsgones. — Cercles. 

II. (yollinéalidn. — (Quadrilatère conq^lct, — Double rapport. 
— Triple raj)porl. — (Quadruple rapport. — Pôles et polaires dans 
le cercle. 

(.(ileul géométricjue. — Espace supeiliciel et produit de seg- 
ments. — Comparaison des aires de plusieurs ligures. (^onslruc- 
linii de'i i;i<iiiP> iriiiir <'qiialioii. I ,i' jutK^^onc ri'i^ulu'i cl le 

reiclc 



COMPTES UENDUS IsT ANALYSES. log 

Appendice. — Les couihes du second ordre. — Ces courbes 
sont définies par la relation focale /■, dz r.,=^ /•, /• étant une con- 
stante, qui est ijilinie dans le cas de la parabole. 

Le Volume est terminé par un recueil de ^3^ problèmes et exer- 
cices divers sur la Géométrie plane. 

IIL 

Le troisième Volume contient la Trigonométrie rectiligne, et 
l'auteur l'a rédij^é en prenant pour modèle un Traité publié par 
Grassmann en i865. 

Après une courte Introduction, où il e\|)lique la notion de fo ne- 
lion, l'auteur aborde la Trigonométrie;, en commençant par l'étude 
des fonctions angulaires sous forme finie. Il traite d'abord des 
l'onclions d'un angle aigu, en prenant pour point de départie co- 
sinus. Il nous semble que cette dérogation à l'usage établi est con- 
forme au rôle prépondérant que joue le cosinus dans les calculs, 
comme exprimant la partie réelle du déplacement e'P : la seule 
objection que l'on nous oppose, c'est la dénomination de sinus du 
complément sous laquelle il est universellement connu; mais on 
peut dire avec une grande probabilité qu'on lui donnerait un autre 
nom si la nomenclature était à refaire aujourd'hui. 

Cosinus de la somme de deux angles aigus. — Calcul des cosi- 
nus des angles aigus, suivi d'une Table des cosinus à trois déci- 
males, pour chaque demi-degré du quadrant. 

Les autres fonctions angulaires se déduisent du cosinus. — Sejis 
de l'accroissement de chaque fonction. — Valeurs limites. — Dé- 
termination des fonctions au moyen les unes des autres. 

Fonctions d'un angle quelconque. — Formules diverses. 

Les fonctions angulaires sous forme transcendante et sous Ibrme 
de série. — L'auteur démontre, du moins avec autant de rigueur 
qu'en peuvent comporter les notions que le lecteur a dû puiser 
dans le Tome I du présent Ouvrage, qu'il existe une série infinie 

a- a'\ 

Fx = • -i- «1 •«• -^ -, -r- -h —, ^'5 -f- ... , 

qui jouil de la propri(''(é que 



3to PREMIÈUE PARTIE. 

En parlicuUirisant celte série, çn délinil 1»" nombre (', qui cor- 
respond à (ti = x = 1 . 

Si l'on remplace x par ij-, on a une série complexe, que l'on 
peut écrire sous la forme 

^'•^=/..-^ ''fa- 
La partie réelle /[i- est le cosinus de x et la partie imaginaire est 
/sin)>. 

Représentation des fonctions angulaires inverses sous la forme 
de logaï'itlimes. — Développement de arcsinen série. — Séries 
logarithmiques. — Calcul des logarithmes. — Calcul de -. 

Maintenant vient la Trigonométrie proprement dite : 

Calcul des triangles. — Triangle rectangle. 

Le triangle obliquangle. — jNous ne pouvons nous empêcher de 
remarquer que l'auteur pense, comme la majorité, que l'on gagne 
toujours du temps dans les calculs numériques, en les efl'ectuant 
tous au nioven des logarithmes, après avoir translormé toutes les 
sommes en produits. Rien n'est plus inexact et nous avons plus 
d'une fois montré, par une supputation rigoureuse du nombie de 
lectures auquel oblige chaque formule, que le plus souvent, tant 
dans les calculs de Trigonométrie rectiligne que dans ceux de Tri- 
gonométrie sphérique, ce sont les formules sous la forme de somme 
qui, contrairement au préjugé régnant, sont les jdus avantageuses 
dans le calcul. 

jNL Schlegel énumère les diverses méthodes sur les(piclles repo- 
sent les formules trigonométriques. 

Première méthode. — («) Procédé géométrique. — Théorème 
des sinus. — Théorème des cosinus. 

[b) Procédé algébrique. — Nous n'v tiouvons pas la iormule 

a = l) cos Y -t- c (OS 3. 

d Où les autres se hreiil avec; lanl de lacdilé, e! cpii, niisr sous la 
forme 

(( = t}<'''-\- ce'-', 

cou lient la ! rigonoméliMe [)rcsque tout entière. 

DcuXK'iiK' mi'llinflf. — (^/j riiéorème du cercle cn■c(M)^crll. 
(h) Théorèiue (je? I;in^enles. 

(c) 1 Ih'Oi èiiie du (('icle lll•^l^ll. 



COMPTES UENDUS ET ANALYSES. 3ii 

Résolution des cqualions du dt-uxièine el du troisirnie dej^rc'. 
Résumé svno[)tiquc' des loruiules et des régies. 

Appendice. — Exercices et problèmes. 

Une addition très précieuse, et que nous vo\ons ici })0ur la pre- 
mière fois dans un Ouvrage élémentaire, consiste dans une Table 
des triangles /rtf/o/^/^e/^, tant rectangles qu'obliquangies, oi!i Ton 
peut puiser d'excellents exercices de calcul numériques. Cette 
Table est précédée d'un exposé des méthodes pour la recherche 
des triangles rationnels. 

L'Ouvrage est termiué par un recueil de Tables lagarilhmiques 
à quatre décimales, savoir, une Table des logarithmes des nombres 
jusqu'à 2000 et une Table Irigonométrique de minute en minute. 
La première de ces Tables est très commodément disposée et d'un 
usage facile. Nous sommes moins satisfaits de la seconde; bien 
qu'elle ait le grand avantage de procéder par intervalles très rap- 
prochés, elle a l'inconvénient grave de donner seulement les loga- 
rithmes des tangentes et des sinus, sans suppléer, par une gradua- 
tion complémentaire, à l'absence des logarithmes des fonctions 
colangente et cosinus. 

IV. 

La quatrième Partie, consacrée à la Géométrie de l'espace, est 
précédée d'une Introduction où l'auteur indique les méthodes les 
plus convenables pour représenter clairement les figures dans l'es- 
pace. Ces méthodes consistent soit dans l'emploi de modèles eu 
relief, soit dans celui des images stéréoscopiques. On trouve à la 
fin du Volume quatre planches (h-stinées à être vues au stéréoscope, 
cl représentant des pohèdres plus ou moins compliqués. 

L'auteur aborde ensuite son sujet, en exposant la génération dn 
plan. Un plan est déterminé par trois éléments : la posilion, dé- 
terminée par un point ; \\x (lireclion, déterminée par une droite 
|)assant par ce point, et enfin le côté (Seite), qui distingue entre 
eux les plans de même position et de même direction. 

(a) Mouvement simple du plan. - 

Diverses manières de déterminer \r,\v d'autres éh'uients la [)o>i- 
tion d'un plan. 

(>hangcmenls <\c posilin/i et r\ç r/i/cctio/i du |daii. 



{i2 PREMIKHE PAirnii. 

> Changement de cùlé du plan. — Ani;le dièdre ( Rn///mvui/,r/). 

Mouvement d'une droite entraînée par un plan mobile, liénéra- 
tion du cône et du cvlimlre de révolution. 

Droites et plans perpentliculaires ou parallèles. 

Inclinaison d'une droite sur un plan. 

Lieux d un point assujetti à certaines conditions. — Sphère. 

(,3) Double mouvement du plan. 

Intersection de trois plans. 

Angles Irièdres. — I^eur mesure au mo\cn de la sphère. — 
Angles trièdres. considérés comme analogues aux triangles(trianglcs 
sphériques). 

Le tétraèdre. 

La pvramlde. 

Le cône (droit ou oblique, à base circulaire). 

Le pentaèdre (pyramide cpiadrangulaire, tronc de p\rauude 
Iriaugulaire, prisme triangulaire à bases parallèles ou non). 

Les figures et leurs mou\emenls dans l'espace. — Mouvement 
du triangle (prisme triangulaire). — ^louvement du parallélo- 
gramme (parallélépipède, Siiule), d'un poKgone (prisme), du 
cercle (cvlindre). 

Mouvement du parallélogramme. — Parallélépipède et prisnu' 
triangulaire. — Prisme et pvramide triangulaires ( le volume de la 
pyramide est le tiers de celui du prisme, etc.). 

Variation du côté des figures. — Corps de révolution. — S[)hèrc, 
ses propriétés. 

Polyèdres réguliers. 

Application du calcul à la Stéréométrie. — Mesures des volumes 
et des surfaces. 

Trigonométrie spliérique. — Triangles s|)héri(pjes rectangles. 

Triangles obliquangles. — Les i'oi-mules sont établies par trois 
méthodes : i" méthode géométrique; 2" iiKiliodc algébrique; 
3'* méthode des angles auxiliaires. 

Appendice. — Les surfaces du se("ond dci^ré. — l*>lles sont con- 
sidérées comme engendrées par le déplacement des combes du 
second ordie. 

Ij'Ouvrage csl Iriimiic par un llrcncil de '\Sl\ |»n)blrin('S sur le>- 
matières traitées dan> le hune |\ . 

|) ;q)ics I cNposi'- r,i|>i(|c que inHi-' ,i\m|i> (b'nnc de cfl inliTOsanl 



COMPTES RENDUS HT ANAI.VSES. 5iJ 

J railé, on peiil <Ji"jà se faire une idée de la iionveaiilé des mé- 
thodes et des avantages (ju'elles pcuvenl j)résenler dans un iirand 
nombre de cas. Ln auteur se disposante écrire un Traité classif|ue 
ne saurait trouver une meilleure préparation que la lecture du 
Ijvre de M. Schiegel, où il apercevrait tant d'horizons nouveaux, 
inconnus à la routine et qui eux-mêmes peuvent conduire à des 
découvertes ultérieuics. 

Peut-être certaines méthodes sendileront-elles reposer sur des in- 
novations ti'op hardies. Par exemple, est-il hien sur que l'on gajine 
beaucoup en rapidité et en clarté lorsqu'on remplace l'axiome eu- 
clidien des parallèles par la notion vague et un jjeu nuageuse de la 
direction d'une droite, et qu'on substitue la démonstration de 
Thibaut à la classique déjnonstration qui sert depuis deux mille 
ans? Dans la Géométrie à trois dimensions, les éléments qui fixent 
la position du plan présentent-ils aux commençants des idées par- 
faitement nettes et plus rigoureuses que celles que présente la mé- 
thode ancienne? C'est ce que nous n'oserions affirmer. 

Quoi qu'il en soit, nous sommes si peu accoutumés à rencontrer 
dans les Manuels de Géométrie des idées neuves et hardies, que nous 
n'hésitons pas à saluer comme un heureux événement dans la lit- 
térature géométrique rap[)arilion de ce Traité, où le disciple fidèle 
de Grassmann s'est fait le sagace interprète des idées du maître sur 
l'enseignement élémentaire. 

A coté des innoNations que les partisans du passé ])Ourront tiou- 
ver téméraires, combien ne trouve-t-on pas dans ce Livre de cha- 
pitres traités avec une supériorité incontestaJjle et par des méthodes 
qui sont au fond celles de tout le monde, mais plus largement 
comprises ! Combien de passages qui deviennent clairs quand on 
s'est habitué au stvle un peu trop laconique de l'auteur! \ous ne 
pouvons donc trop recommandei- l'étude du Lehrbucli de M. Schlc- 
gel, et surtout celle des deux A olumes de la Géométrie à l'altt'n- 
tion des maîtres qui désirent rajeunir et perfectionner leurs mé- 
thodes d'enseignement, et même aux bons élèves, qui pourront y 
apprendre à penser et s'exercer à la discussion des doctrines scien- 
tifiques. J. II. 



3i4 PREMIÈRE PARTIE. 

AIÉL\N(.ES. 

SUR UNE ÉQUATION LINÉAIRE AUX DÉRIVÉES PARTIELLES ; 
Pau 1\I. P. APPELE. 



(0 



L'équallon difït'rcntielle linéaire 

â- z m ( I — m) 



(Kr Oy {T — r)- 

d laquelle M. Daiboux a consacré une ]Note si inléressanle dans 
les Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences du 
lo juillet i88'2, peut être considérée comme un cas particulier de 

l'équation 

â-K. ^, du r, àu 

^ ^ Ox i)y ' âx- ûy 

que j'ai rencontrée dans la théorie des lonctions hj'pergéomé- 
Iriques de deux variables (Comptes rendus des séances de l'Aca- 
démie des Sciences, séance du 29 mars 1880). En effet, si dans 

l'équation (i) on fait 

z = (x-y)"'ii, 

cette équation prend la forme (9.), où [^ = jj'= m. Cette remarque 
m'a conduit à essayer d'étendre à l'équation (2) les principales 
propriétés indiquées par M. Darboux pour l'équation (i). 

Tout d'abord, l'équation (?.) ne change pas si l'on remplace 
respectivement .v et i' ])ar 

n T -+- h, oy -i- 6, 

a et h étant des constantes quelconques. Elle ne change pas non 

plus si l'on V remplace .r par -•> rpar-el // pai- .rl^rP'//. En 

combinant ces deux pi'0|)riélés, on voit (pie, si 

// " C5(.r,_7-) 

est une soliil ion fie l'iMpial ion ( 2), la fonction 

, . , r., U-x-\-d ry-\-d\ 

{ax -^ l>)-''(ar -\- h)-'-':, ^, -^ ;- , 

• ' \ax->r ay -^ / 

en est iiiir <nil ir xiiiil ion . 



MÉLANGES. Ji^ 

Clierchons iniiiiilonaiit les soliilions fond ions du ><iil lapport -• 



Soit - = / ; alors 
.r 



r}a du Y au __ du I 

dx dt x- ôy dt x 

&' u du I d- a Y 



()x ôy dl x- dt- x'-' 

Substituant ces expressions dans l'équation (2) et faisant en outre 
j^^tx, on obtient l'équation 

qui admet l'intégrale 

le signe F désignant, comme il est d'usage, la série hvpergéomé- 
trique de Gauss. L'équation (2) admet donc la solution 

(3) ,.= (-ryF(?,3-^3',3-,,^) 

et, par raison de svmétrie, la solution 

(3') «=(^)''f(^',? + ?',?'4-i,^). 

Les deux solutions précédentes sont des cas particuliers des so- 
lutions 

( 4 j H. = x-'^y'-" F / 3, ;x -H [i', ;x -1- i , - ) , 



(4' ) u = .r\r-?'F (',3', X + ^3, X + i, - ], 

dans lesquelles A et a sont des constantes arbitraires. Les solu- 
tions (3) et (3') s'obtiennent en faisant u. = ^i el A = [i' ; et la so- 
lution de l'équation (i), 

indiquée par M. Darboux, s'obtient en faisant dans (4) 
;ji=:o, ^=3'= m. 
Cherchons mainlenant la solution ciilièrc la plus générale de 



UG PREMli:RE PARTIR. 

l'équalion (:>.). Eruplo^yons, à cet ellet, la inéllitHlc (.lf> eut- riiciriils 
indéterminés et cherchons à vérilier l'éqiialion (■>.) j)ar la série 



111,11 — -r- 



(5) // = y A„,„.r"'r«: 

in. ri = 

on trouve, pour déterminer les coefficients A,„^„, Téqualion 

{m -i- i)(/i H- ,3' )\,„+i „ = (/t-f- OCw -f- ^ )A„, „+,, 
d'où 

'iCi-i-i).. .(S -^ m ~})9j'i'i'— n ...(3'-^ n —i) , 
^ ■ 1 .j.. . .1)1. 1 .i. . .11 

•\) étant une fonction ariji traire. En particulier, si l'on prend 

%( % — \) . . .{ y. — m -^ n — i) 

'li ni -+-«)= 

on obtient comme solution la série hypergéoniétrique de deux 
variables désignée par 

F, (a, 3, li'. Y. ;7-.r). 

( )n voit fpie réc[uation (2) admet toujours j)our solution des jjo- 
lynumes en nombre infini de tous les degrés. W suffit en efi'el, 
|)Our que la solution (5) donne un pol\nome de degré N, d'assu- 
jettir la fonction arbitraire ']>(/;/ -f- /? ) qui figure dans (6) à la 
condition 

'\{)n -^ «) = o pour m -f- « > î\ ; 

pour cela on pourra, par exemple, poser 

<h{m.-\- n) = N ( N — n . . . ( \ — m — n -^ \)rrs{m -n n ), 

la l'onction 777 étant aihili ;nre. 

Dans le cas particulier où les deux iioiuhies ^"j et |j' sont des 
entiers négatifs, toutes les solutions données par la série (5), 
A„, „ a\ant la valeur (6), sont des ]>olvnomcs; en efiet, si 

ou ;i \,„ „ =: o pour toutes les \ aleiirs de /y/ et // ><at i^lai-^aiil aux 
cuiiditions 

m > N, // > \'. 



MÉLANGES. 317 

D'une façon gcacrulc, désignons par ('^([ii, [i') une soliilion de 
l'équation (2) ; on aura 




e'esL-à-dire que, si u{[it,[j) est une solution de l'équation (2), 

— ' ' ' est une solution de l'équation (2) où l'on a remplacé ^ 

par ^-i-i, et — -^j^ — une solution de cette même équation où 

l'on a remplacé [i' par [i'-f- i. Pour le démontrer, il suffit de dilfé- 
rentier le premier membre de l'équation (2) par rapport à jt ou 
à )'. 

La propriété exprimée par les équations (- ) conduit à linté- 
grale générale de l'équation (2) quand ,3 et [ii' sont des entiers 
positifs •" 1^ = m, f-t =^ n. 

Remarquons, en effet, que si p ^'^'= 1, l'intégrale générale de 

l'équation (2) est 

X-Y 

u{i, i) = , 

x—y 

X étant une fonction de oc seul et Y de j' seul. Alors, d'après (^). 

X — Y\ 



^x — y 
?i(2, i) = 



dx 

et 



u{m, n) = ■ 



Telle est donc l'expression de l'intégrale générale quand [j et 'p' 
sont des entiers positifs m et n. Le cas où [^ et fJ sont des entiers 
négatifs se ramène immédiatement au précédent. En effet, si, 
dans l'équation (2), on fait 

(8) u = {x~yy-^-'^'t, 

cette équation prend la forme 

- \ / , d'''t . ^. dt ù'\^^ 

i9) (- -r) ,-:^ - (■ - P) 5^ + (' - n ^ = o, 

c'est-à-dire la forme (2), où [3 et [3' sont changés respectivement 
Bull, des Sciences matheni., 2» série, t. VI. (Décembre 1882.) 27 



2i8 PRE.MIERE PARTIE. 

en I — 13' et I — ,3. Si donc [i et |j' sont des entiers négatifs, i — ,3 
et I — 1^' sont des entiers positifs et l'intégrale t de l'équation {()) 
est donnée par la formule établie précédemment. 

Supposons enfin que, |^' étant quelconque, ^ soit nn entier que 
l'on pourra toujours supposer positif à cause de la transforma- 
lion (8). En supposant d'abord ,3 ^ i , on voit que l'intégrale gé- 
nérale de l'équation (a) est 

»(i. ^3') = (,r —:>■)-•-' r / Y(.r — rf-' dv — \ : 

et, par suite, 

m étant entier. On a une formule analogue si, ^3 étant quelconque. 
|3' est entier. 

Lorsque les nombres |3 et ,3' sont quelconques, on peut, par la 
transformation (8) et l'application répétée des formules (7), rame- 
ner ces deux nombres à avoir leurs parties réelles comprises entre 
et I. On obtient alors l'expression suivante de l'intégrale gé- 
nérale : 

u= I o(a)(j>' — a)-'°'(a — x)-^ d'x 
o et 'h dési'onanl des fonctions arljitraires. 



LETTRE DU D' P. VETH, 

Professeur de IT nivcrsilc de I.eyde, 

A M. AUrSTM)!: MAUIU;, 
de Paris, ^[en1brc correspondauL de l'Iiislilul royal des liules ni'-erlandai-i's. 

Monsieur et très honoré (]ollègu<\ 

Je vous SUIS bien recoiuiaissaiit de la boiihMpu' vous avez eue de 
m'envovcr votre traduction du ('(ilali>m(i' des rioilcs iiKslralcs. de 
I''r('déric <le Houluian. 



MÉLANGES. 'iir, 

En rcsliUianl à un homme de mérite 1 lionneur qui lui est dû. 
vous avez en même temps revendiqué pour ma patrie un des titres 
de gloire qui lui appartient, mais qui était oublié en partie par sa 
propre négligence. Il est vrai que le mérite de de Houtman comme 
astronome n'était pas entièrement inconnu en Hollande. W . Blaeu 
en a fait mention dans son Institiitio aslronomica et sur un 
grand globe céleste qui se trouve dans la Bibliothèque de l'Uni- 
versité dLtrecht; et d'après Blaeu, feu le professeur G. MoU 
il'Ltrecht a renouvelé, en 182J, la mémoire des services que l'an- 
cien navigateur a rendus à la Science; mais, comme il ignorait par- 
faitement l'Ouvrage dans lequel de Houtman a rendu compte de 
ses recherches, il n'a pas su concilier le témoignage de Blaeu sur 
de Houtman avec celui de Merula, dans sa Cosmographia gene- 
ralis, sur un certain Pieter Dircksz, pilote du navire sur lequel 
de Houtman fit son premier vovage aux Indes orientales. 

Chose curieuse 1 Le Spraeckende ]] ooi'denhocckde de Houtman 
n'a jamais été inconnu à ceux qui s'occupaient de l'étude du 
malai^ il a été réimprimé avec omission du Catalogue des étoiles 
circumpolaires australes, à la suite de la grammaire malaie de 
Werndlv, et le titre est répété dans plusieurs Ouvrages bibliogra- 
phiques; mais, autant que je sache, les mathématiciens et les astro- 
nomes néerlandais n'ont jamais fixé leur attention sur l'appendice 
si remarquable qui se trouvait au bout d'un livre qui, pour son 
contenu principal, était étranger à leur domaine. Le seul qui ait 
remarqué cette omission n'était pas un astronome, mais l'illustre 
historien, feu M. de Jonge, qui, en faisant mention des énoncia- 
lions douteuses du professeur Moll, observe qu'il paraît ne pas 
avoir connu le Catalogue des étoiles de Vhémisphère austral, 
que de Houtman lui-même avait publié à la suite de la première 
édition de son Spraeckende JVoordenboeck in de Mcdeijsclie 
ende Madagaskarsche talen, dont un exemplaire se trouve à la 
Bibliothèque royale de la Hâve, 

Excité par votre exemple, j'ai composé un petit essai sur la re- 
lation qui a existé entre le pilote Dircksz et le commis de Houtman. 
et sur les causes qui ont amené l'oubli des découvertes astrono- 
miques de ces deux hommes remarquables qui, dans leur humble 
sphère, ont donné des preuves de connaissances solides réclamant 
l'hommage de la postérité. J'ai trou\r dans la Bibliothèque de la 



$2.) PREMIERE PARTIE. 

Société des Lettres Néerlandaises, de Levde, un second exemplaire 
de l'édition originale du Spraeckenclc }J oorclenboec/x, lequel, 
avec l'aide de votre Introduction, m'a fourni la matière de quel- 
ques éclaircissements. Ce petit essai, intitulé : Jeta over de vcr- 
diens/en van Frederik de Uoutman als Sterrekundige, je l'ai 
otlert à notre Société de Géographie, et il sera inséré prochaine- 
ment dans son Bulletin. 



FIN" DE \.\ PREMIERE PARTIE 1)1 TOME SIXIEME. 



TABLES 

DES 

MATIÈRES ET NOMS D'AUTEURS. 

TOME VI; 1882. - PREMIÈRE PARTIE. 



TABLE ALPHABETIQUE 

DES MATIÈRES. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 



l'agos 



Iti.i.mvMi (K.). — Siiir c iiiilibrio cicllc superlicie flcssiliili ed inc.-teiisi- 
l)ili 3N-1.ii 

(Utm.dglc fie mr)clèlcs pour l'enseignement des Malhi'iiiatii|ucs suj»'- 
rictires, en vente chez L. Brill, à Darmstadt .')-i) 

Ci.iiioRD (^^^-lv.). — Mémoires mathématiques, édités par l\. Tiuker. . . 109-110 

Ksci.AiRES (le p. d'). — Sur les applications des fonctions elliptii|ues à 
l'étude des courbes du premier genre. (Thèse.) 7""7' 

(aNïHKR (S.). — Paraliolisclie T.ogarithmen und paraholischp Trigono- 
métrie f)- 1 1 

IIi;ii!ERi; (J.-L.). — Litterargeschichlliche Studien ûher lùiklid i^â-ijj 

lliciNiî (E.). — Handl)uch dcr Kugelfunctionen. Théorie und Anweiuhm- 
gcn. 2. Band : AnxM'iidiingen iler Kugclfunclioncn nnd der ^er\\alld- 
ten Functionen !i7-3s 

IIermite (C). — Cours professé à la Faculté des Sciences de l'ari-^ pen- 
dant le 2" semestre i88i-S:i ; rédigé par M. Andoyer iGi)-i-;'i 

.loRiiAN (C). — Cours d'Analyse de l'École Polytechnique. Tome I : Calcul 
différentiel -iCM-MS 

Ki.EiN (F.). — Ueber Itieiuaiin's Théorie der algcbrai-i( lien !■ unitiunen 
nnd ihrer Intégrale, cin(^ l'rgiiiiziing der gcwôhniichcii I )arstcllungcii. il'.'i-i .'i(i 

kdENiGS (G.). — Sur les proprii'-tés infinitésimales de l'espace régie. 
(Thèse) j.'.")-:.j8 

Masom (U.). — Sopra alcniie curve del quarto ordinr dulalc di |iiinli di 

undulazione ''».l- 7'J 

liull. des Sciences nialheni.. 2" série, t. M: iS8^. ..«S 



32-2 PREMIÈRE PARTIE. 

l'aies. 

Orlof (G.)- — Sur quelques polynômes ;i une ou plusieurs variables.... 71-9^^ 

Reye (W.-Th.) — Leçons sur la Géométrie de position, traduites de l'al- 
lemand par O. Chemin 281-282 

lîiRAvcorR (A.). — Étude des élassoïdes ou surfaces à courbure moyenne 

nulle I i-i '1 

RoBERTs (R.-A.). — A Collection of Examples and Problcms on Conics 

and of the Higher plane Curves 26] 

ScnLEGia (V.). — Lehrbuch der elementareu Mathcinalik .'îoi-Sio 



MÉLANGES. 

Appell (P.). — Sur une équation linéaire aux dérivées partielles 3i4-3i8 

Catalan (E.). — Extrait d'une Lettre 224 

Darboux ( G.). — Sur le problème de Pfaff 1 4-36 et 49-68 

Gilbert (Ph.). — Les preuves mécaniques de la rotation de la Terre.... 189-228 

GoL'RSAT. — Sur les intégrales algébriques des équations linéaires 120-124 

Harnacr (Ax.). — Théorie de la série de Fourier 242-260, 260-280 et 282-800 

KoRKiNE (A.). — .Sur un problème d'interpolation 228-242 

LiGcisE (V.). — Liste des travaux sur les ovales de Descartes 4^-49 

Mansion (P.). — Quelques erreurs récemment découvertes dans les Tables 

numériques i4i-i4- 

ScHOCTE (P. -H.). — Deux cas particuliers de la transformation bira- 

tionnelle i52-i68 et 174-188 

Tasnery (P.). — Sur linvention de la preuve par neuf 142-144 

Veth (D"' p.). — Lettre à M. Aristide Marre 818-820 

Weierstrass (C). — Recherches sur les fonctions ir fois périodiques de 

/variables..... u 1-120 

— Note sur la théorie des fonctions de Jacobi à plusieurs variables i36-i4i 



FIN DE LA PUE.MIEUE P.VHTIE DU TOME VI. 



Paris - Imprimerie GAUTIIIER-VILI.ARS, quai de» Augustlns, 51 



BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES 



ASTROAOMIQUES. 



Bull, des Sciences nialhém., 2* série, t. VI. (Janvier 1882.) R.i 



AVIS. 

Toutes les communications doivent être adressées à M, J. Houel, Secrétaire 
de la rédaclion , Professeur de Mathématiques pures à la Faculté des Sciences 
de Bordeaux, cours d'Aquitaine, 66. 



Pari» Imiirlaierle do GAI TIUKU-VU.I.AIIS. quai dee AunusUn», il. 



BIBLIOTHÈQUE DE L'ÉCOLE DES HAUTES ÉTUDES. 

PUBLIÉE SOUS LES AUSPICES DU MIMSTÈRE DE l'iNSTRUCTION PUBLIQUE. 



BULLETIN 

DES 

SCIENCES MATHÉMATIQUES 



ASTRONOMIQUES, 

RÉDIGÉ PAR MM. G. DARBOUX, J. HOUEL ET .1. TAiNNERY, 

AVEC L\ COLLADOR.VTION DE 

MM. ANDRÉ, BATTAGLINI, BELTRAMF, BOUGAÏEF, BROCARD, LAISANT, LAMPE, 
LESFIALILT, MA^SION, POTOCKI, RADAU, RAYET, WEVR, ETC., 

SOUS LA DIRECTIO.N DE LA COMMISSION DES HAUTES ETUDES. 



DEUXIEME SERIE. 
TOME VI. - ANNÉE 1882 

(toMF, XVII DE LA COLI FXTKO.) 

SECONDE PARTIE. 




PARIS, 

GAUTHlIiR-VILLARS, IJIPRI.MEUR-LlliliAIRlî 

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE LÉCOLE POLYTECHNIQUE 
SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER, 

Quai des Aii[;ustins, 55. 

18.S:2 



BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES 



ASTROxNOMIQUES. 



SECONDE PARTIE. 



KEVUE DES PUBLICATIONS ACADÉxMlQUES 
Eï PÉRIODIQUES. 

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEUllE, plbliéks 

sous LES AUSPICES DU Ml.MSTRE DE l'InSTRUCTION PUBLIQUE, PAR UN C0.MITÉ 
DE RÉDACTION COMPOSÉ DE MM. LES MAÎTRES DE CONFÉRENCES DE lÉcOLE ( •). 

Tome IX; 1880. a^ série. 

Sainte-Claire Deville et Mascart. — Sur la conslriiclion de la 
règle géodésique internationale. (9-20). 

Cornu {A.). — Sur le spectre normal du Soleil, partie ullra-vio- 
lette. (21-106). 

André {L>.). — Développements par rapport au module des Ibnc- 
tions elliptiques a(^), Y-{x) et de leurs puissances. (10--118)- 
Si l'on pose 

V-F*' {x) = 0P^ -t- C/^'A-^ -i- C[f"k* -r- Cf^k" -i-..., 
V (.r) = D'o^' + Dfk- H- D',/" A* + D'f A" -f- . . . , 
;jL*''^-'(x) = E^/" + E',^'A'-i- E'^^'A' + El/"A«-î-..., 
Ix-z'C.r) =: F'„^' -4- hY' A' H- Vfk* + Fif^ k' -t-. . ., 

(') Voir Imlleliii, \\\. p. iti. 



6 SECONDE PARTIE. 

un aura 

C^f = N G„ya;='sin(2y-T-i)a: + N H,.ya7''+'cos(2y + j)jr, 

D;/" = V Gi,j xr"' C05 a/j; -r- V H,.,^ a;2'+' sin 2jx, 

m'- = 2 Gi„a;^' cos(ay -hi)x 4-^ H„^.a;-'+' siu ( ay + i)^, 

F^^' = 7 Gi,jar'cos-3jx ■+- y ^ H,,^^;'''''' sin 2jx, 

tfans chacune desquelles on désigne par G,y et H^y des coefficients indépendants 
de X, par i et y des entiers quelconques, non négatifs, et dans chacune desquelles 

on étend le premier ^ à tous les systèmes de valeurs des entiers i et y qui 
satisfont à la fois aux deux conditions 

2Î%n, 2 1 -hj=n -\- p, 
ft le second à tous ceux qui satisfont à la fois aux deux conditions 
2i + i^n, 7i-{-i-hj = n-i-p- 

Appell {P-)- — Sur une classe de polynômes, (i 19-144)' 

L'auteur s'occupe des polynômes en x, formant une suite A,,, A,, ..., A,„ ..., 
telle que l'on ait 

polynômes dont la forme générale est 

n n(n — i > , n 
A,, = a,, + - a,,_,a; H ^n-i^ +. . .H 3.^x" ' + s-^x", 

les a étant arbitraires; dans chaque polynôme figure un de ces cocfficienls, qui 
n'entrait pas dans les précédents. 
Si l'on considère le développement 

/' /*' 

a{h) = a^-h -a, -h — a., -r..., 

Il' produit a{k)e''^ sera de la forme 

A„-.--A,-^ — A,-r-..., 

d'où le nom de fonction génératrice des polynômes A,. Aj, .... donné par 
M. Appell à la fonction a{li). 

Si l'on considère deux séries île polynômes 

Ao- \: •■•- A 

Ii„, 15,, ..., li„, ..., 
iu série de polinômct dunl le terme général est ).A„ ; :j.I5„, où \, \y dé^igncnl 



REVUE DES PUBLICATIONS. 7 

des constantes, jouit de la propriété fondamentale : elle a pour fraction généra- 
trice '>^a{h) -h \xb{h). 

Si dans le polynôme A„ on remplace x", x\ ..., ^' respectivement par 
B„ B,, ..., B„, on obtiendra un polynôme (AB)„; la suite des polynômes dont 
( AB)„ est le terme général jouit encore de la propriété fondamentale, et la fonc- 
tion génératrice de cette suite est a{h) b{h); on en conclut 

(AB)„=(BA)„. 

Cette propriété s'étend évidemment à un produit symbolique d'autant de fac- 
teurs qu'on veut et conduit à la notion des puissances entières symboliques. 
L'opération inverse de la multiplication conduit à la notion de division symbo- 
lique; ainsi les polynômes B, tels que 

(AB)„ = j;", 

ont pour fonction génératrice ■> et on peut les représenter par — ou par A-' : 

par exemple, les polynômes B, inverses des polynômes A, qui ont pour fonction 
génératrice i — h, sont donnés par la formule 

_ , X X- r" 
B„ = 1 . 2 . . . « I H 1 1- . . . -;- ■ 



la considération des polynômes inverses (P~')n des polynômes P„, ayant pour 
fonction génératrice e-''S conduit à la formule 



où m est un nombre quelconque entier ou fractionnaire, positif ou négatif. 

En désignant par (d'^X)^ les polynômes qui ont pour fonction génératrice 
d''a(h) 

Dans le second membre, tous les termes en x de degré supérieur à n se dé- 
truisent. 

Lorsque la fonction a{h) satisfait à une équation différent ielle linéaire dont 
les coefficients sont des polynômes en h, on en déduira facilement, en vertu de 
ce qui précède, une relation linéaire entre un certain nombre de polynômes 
A, (c?A), (rf'A), que l'on pourra ensuite transformer en une relation linéaire 
par rapport aux polynômes A; enfin cette dernière relation permettra de former 
une équation diftérentielle linéaire à laquelle devra satisfaire le polynôme A„. 
\insi les polynômes Q ayant pour fonction génératrice la série hypergéométrique 
F(a, 3, Vj /i) conduisent à l'équation dilTérentielle 



2 ) -h-^x -\~ b] —~ — n ( n -\- y — i) Q,, = o. 
dx 




SECONDE PARTIE. 

Les polynômes (rf~' A) ayant pour fonction génératrice / a (/t)c//t sont donnés 
par la formule 

(rf-' A)„ = x''{d-' A)o 4- A„_, + a:A„_2 +. . .+ a;"-' A„. 

Si l'on a formé le polynôme inverse (A~')„ du polynôme A„ cl que l'on ail 

(A-')„ -\x" -^-X^x"-' -+-... -i-À„, 

la définition même des polynômes inverses donne 

X" = A, A„ -+- A, A„_, -t-. . .-h );„ A„, 

d'où le moyen de développer un polynôme entier en x en une série procédant 
suivant les puissances entières et positives de x, suivant ces polynômes : citons, 
par exemple, la formule 

I r P r, P 1 

e L 1-2 I .2.J.4 '1.2.0.4 J 

où le développement procède suivant les polynômes P, déjà considérés, qui ont 
pour fonction génératrice e— ^'. 

Etant donnée une série ¥ {x) procédant suivant les puissances entières et po- 
sitives de X, si l'on y remplace partout a;" par le polynôme A^, on obtient ainsi 
une nouvelle série qui, si elle est convergente, définit une fonction que M. Appell 
désigne par F(A). 

Si ¥ {x) satisfait à une équation différentielle linéaire à coefficients constants, 
F( A) satisfait à la même équation. Supposant ensuite que F(;r) satisfasse à une 
équation différentielle linéaire, dont les coefficients et le second membre sont 
respectivement des polynômes entiers en x qI une série <!>{x) procédant suivant 
les puissances entières et positives de x, l'auteur traite particulièrement le cas 
où l'on considère des développements qui procèdent suivant les polynômes P 
définis plus haut : la même marche conduit au but toutes les fois qu'on a affaire 
à des polynômes tels qu'un certain nombre de polynômes consécutifs soient liés 
par une relation linéaire. 

Le premier membre de l'équation différentielle que vérifie la fonction y = F (a?) 
est une somme de termes de la forme 

„ diy 
dx"! 

multipliés par des coefficients constants. 

Or, en supposant la série z z= F(P) convergente, on reconnaît aisément qu'il 

existe une fonction linéaire de z et de ses dérivées successives, fonction dont les 

coefficients sont des polynômes entiers en x, telle que, en y remplaçant :; par 

F(P) et ordonnant suivant les polynômes P, on tombe sur une série dans laquelle 

le coefficient de P„ soit le même que le coefficient de x" dans la série obtenue 

d''y 
en remplaçant, dans xP -y-^> y par ¥{x); la fonction ^ = F(P) vérifiera donc 

une équation différentielle linéaire dont le premier membre se déduit du pre- 
mier membre rio ri'quatinn diffi-renlicilc linéaire que vérifie la fonction y -■-- F(,r) 
cl flnnl le Sficmd nirinlirr c>l '^fP). 



REVUE DES PUBLICATIONS. 

Ainsi de l'équation 



dx'^ dx 



(' - -^'^ ;r;r. - -^ wT + "'•>' = "' 



que vérifie le polynôme j' = cos«(arcr-os^), on déduit l'équation 
, d'z , d'z ^ , .^ d'z , dz 

^Tû^-^'^d^^'-^-^ -'^d^^-^'^dx-'''^''' 

que vérifie le polj'nôme 

z = cos/i(arccosP). 

Enfin, M. Appell termine par quelques remarques sur ce que deviennent les 
polynômes considérés lorsque n augmente indéfiniment. 

Picard (B.). — Mémoire sur les fonctions entières, (i45-i(i6). 

L'objet principal de l'important travail de M. Picard est la démonstration 
de deux théorèmes généraux sur les fonctions entières (au sens de M. ^^ eier- 
slrassà). 

1° 11 ne peut y avoir plus d'une valeur finie que ne puisse prendre pour une 
valeur finie île la variable une fonction entière. 

2° Il ne peut y avoir plus d'une valeur finie a pour laquelle l'équation 
G{z) = a, G{z) étant une fonction entière, ait seulement un nombre limité de 
racines, à moins que G{z) ne soit un polynôme. 

I. La démonstration repose sur la considération de la fonction 

K'i 

où K' et K ont le sens habituel dans la théorie des fonctions elliptiques; w est 
regardé comme une fonction de la variable x = k^; l'équation dilférentielle 
linéaire à laquelle satisfont K et K' permet de définir ces quantités dans 
tout le plan; w n'admet que les points critiques o, i, oo; dans toute région à 
contour simple qui n'enferme aucun de ces points, c'est une fonction uniforme 
et continue de x; si on la met sous la forme ordinaire des quantités imagi- 
naires, le coefficient de i n'est jamais négatif; on en conclut aisément que ce 
coefficient n'est jamais nul, en dehors des points critiques. 

Ceci posé, si la fonction entière G (s) ne peut prendre ni la valeur a = o, ni 
la valeur è = I, cette fonction est une constante; en effet, si l'on pose a; = G (;), 
w devient une fonction de s; si l'on fait décrire à -s un chemin fermé, partant 
de z„ et y revenant, x décrira un chemin fermé que l'on pourra réduire par des 
déformations continues au point x„ = G{zJ, et cela sans passer par le point o 
ou par le point i, puisque la fonction G{z) ne peut atteindre ni la valeur o ni 
la valeur i. 

Si maintenant, z allant du point z^ au point;, par diiïérents chemins, w, par- 
tant toujours d'une détermination w» qui corresponde à j7„ = G (;„), arrivera 
toujours en ;, avec la même valeur w, ; en sorte qu'on peut regarder to comme 
une fonction entière de z. Soit/(5) cette fonction; la fonction entière e'A') 
aurait son module constamment moindre que i, puisque le coefficient de i dans 
M est constamment positif: /(;) ou io[G(;)], est donc une constante; il en est 
clo niômc de G ( c"). 

.M. l'iritnl déiliiit (Ir i;i (iniMir foiKiiMii iiiiirormo n'iMlmoUanl pas d'aulrcs 



o SECOND !•: l'AUTIli. 

jjoinls singuliers que tles piMes et qui ne j)eut prendre ni la valeur a ui la 
valeur b, peut prendre toute autre valeur c; il suit en efl'et des prineipes posés 
par M. \\ eicrstrass qu'une telle fonction peut se mettre sous la forme 

P(c), Q(c) désignant des fonctions entières de z : l'équation 

f{z) = c 

équivaut donc ù une équation de la forme 

Q(^)-P(c) = log 1^+12/7*-/; 

mais, le second membre pouvant prendre une infinité de valeurs, il est clair, 
d'après le théorème précédent, que cette équation peut être vérifiée. 

Enfin, la même proposition fournit une démonstration immédiate du théorème 
fondamental de l'Algèbre. 

L'auteur donne ensuite une expression, valable pour tous les points du plan, 
d'une fonction n'ayant que les trois points critiques o, i, co. 

11. Pour la démonstration du second théorème général, M. Picard se sert de 
la transcendante v(w) définie par les deux équations 



K 27 x\i — x)' 



; cette transcendante a été étudiée, à divers points de vue, par 

M. Hermite et par M. Dedekind. La quantité v, regardée comme fonction de w, 
n'est définie que dans une moitié du plan, où elle est uniforme; elle reprend la 
même valeur pour deux nombres u et w„, liés par la relation 



où les entiers réels )>, a, v, vérifient l'équalion 

\o — av = I . 

Si l'on regarde w comme une fonction de v, on aura cuMime points ci'iliques les 
seuls points o, 1, 00; le coefficient de j dans w sera toujours jxtsitif; à chaque 
valeur de v correspondront une infinité do valeurs de w liées entre elles par la 
relation précc'dcnte. 

Si maintenant les équations 

(_;(;:)--= o, C.(;:) = i 

avaient un nombre fini de racines, la fonction o) de v, où l'on remplacerait v par 
(!(•:), deviendrait une fonction F(-) dont les points critiques, autres que le 
point "-C , étant en nnmlir(^ fini, pourraient être enfermés à l'intérieur d'un renie 
r d'inl l'origine serait jr < cniic ; c'est par une élude ajqtrofondie tir l.i loin imu 



V 


-- Çjb) 


A + [XW ' 


a -f 


-liF(-) 


Y -" 


-5F(c) 


X + 




. 





IIKVUE DES PUBLICATIONS. ii 

t.) = V{z) ou j)lut()l de la funclion 

Y + Su 

à l'extérieur du cercle c, que M. Picard atteint son but : a, fl, y, g sont des con- 
stantes telles que, la variable z ayant fait le tour du cercle et la fonction l'(z), 
pour laquelle on prend tout d'abord une détermination w, ayant, par suite de la 
révolution de la variable z, pris la détermination 



l'expression 

prenne la détermination 



k étant une constante; les constantes a, p, y, S, A étant déterminées, il est aisé 
de former une fonction qui, après une révolution de z autour de c, reprenne la 
même valeur; lexamen des différents cas conduit toujours à des conclusions 
inadmissibles (telles, par exemple, que la variation de signe du coefficient de i 
dans (jj), sauf dans le cas où l'on aurait 

dans ce cas, on peut déterminer des entiers a, p, y, S, M tels que py — aS = i et 

a + Su , , , , . , , . ,, a -H Sw 
que k— se change, après une révolution de la variable z, en î^ H I\i. 

^ y -H ou D 7 r ' y _|_ OU) 

M. Picard parvient alors à établir que le module de G(^) augmente indéfini- 
ment de quelque façon que z se rapproche du point oc , et cela suffit à prouver 
que G(.ô) est un polynôme : c'est ce qui avait été annoncé. 

L'auteur termine en montrant comment cette proposition permet de compléter 
l'étude faite par M. Weierslrass d'une fonction uniforme dans le voisinage d'un 
point essentiel ; il établit qu'il existe dans ce voisinage une infinité de valeurs 
de la variable pour laquelle cette fonction prend telle valeur a qu'on veut; il 
peut toutefois y avoir exception pour deux valeurs de a. 

Elliot. — Sur la transformation des intégrales abélienncs. (lo-- 
i86). 

i. Transformations réversibles. — Étant donnée l'équuLion irréductible 

(') f{x,y) = o, 

à chaque point {x,y) de la rouri)C définie par cette équation, on fait correspontire 
un point (-r,, j»',) par les formules suivantes 

)•'''-- M.r,r)' 
) , _ l'(.r. r) 

oii .M, N, r, O désignent des pulynùnies quelconques. A une solution analj Ikjuc 



■>. SECONDE PARTIE. 

{x, y) correspond toujours un seul point {x^,y^), uue solution analytique étant 
définie non seulement par les valeurs de a: et j' pour le point considéré, mais 
par le développement en série de y pour la branche considérée qui passe par ce 
point. 

IM. Eliiot montre comment on peut parvenir à l'équation irréductible 

(3) /, (x,,,r,) = o, 

de la courbe lieu des points x^,y^. 

Pour une solution quelconque de l'équation (3), les équations (a) n'auront, 
en général, qu'une solution commune en x,y; à cette condition, qui n'exclut 
pas la possibilité de plusieurs solutions communes pour certains points particu- 
liers {x^, y^) de la courbe (2), la transformation sera réversible et l'on pourra 
exprimer x, y rationnellement en x^, j),. 

II. Transformations rationnelles guelconejues. — Si, dans l'équation (i), on 
remplace x, y par les valeurs 

(A) X- ^^''■^'•■'■'\ r=r2±£il2h), 

oii M,, N,, P,, Q, sont des polynômes quelconques en x,, y^, on tombera sur un 
résultat de la forme 

F(.r,,r,) 



ff^h P,\ F(.r,.r , 



Pour toute solution (x. y) de l'équation (i), les équations (4) ont une ou plu- 
sieurs solutions dont l'ensemble constitue la courbe transformée; si, pour une 
solution {x, y), les équations (4) avaient une infinité de solutions, celles-ci 
appartiendraient à une courbe qui aurait le premier membre de son équation en 
facteur dans l'équation transformée : soit/, le quotient de F par ces facteurs, qui 
donnent des courbes répondant à des points particuliers de/= o; /, =0 sera 
l'équation de la courbe transformée : l'auteur montre que, si cette dernière 
courbe se décompose en plusieurs autres, chacune d'elles peut être regardée 
comme la transformée de la courbe (i), ou, en d'autres termes, comme décrite 
par un ou plusieurs points x,, j>', quand le point x,y décrit la courbe (i); pour 
qu'on ait affaire à une transformation réversible, il faut ainsi que la courbe 
/, = o se décompose en d'autres courbes dont l'une soit décrite par une seule 
des solutions des équations (4)- 

m. Transformation des intégrales algébriques. 

L'auteur montre comment les notions qui précèdent permettent de préciser le 
sens d'une telle transformation. Il traite en particulier le cas des intégrales de 
première espèce mises sous la forme 

i{x.r) (Lr 



'IL 

Oy 



CCS intégrales, par une transformation rali<)nnellc, doivent rester de première 
«•s|>èce, et, en elfcl, M. IMIioi montre comment, après la transformation, on re- 
tombe sur la même forme. On ii'oblicnl d'ailleurs, par ce procédé, toutes les in- 
tégrales de première espèce, (juc -i la tr.mslormatioii est réversible. 



RHVUE DES PUBLICATIONS. iJ 

tiiliii Iciiitciir .i|i|>liciiii- tes rcsullals un (ms m'i l'équation (i) est de la fortin- 

on obtient alors un résultat analogue au tliéorènie de Jacol)i sur lu Iransloriiia- 
lion des intégrales elliptiques; la courbe étant du genre i, il n'y a qu'une seuli- 
intégrale de première espèce, à savoir 



f 



dx 



(Ax'+Bx'-f- CiT-î- D)' 



Si Ton t'ait la transformation y =.i',. x — r:^ ' f^t ^uf ' <"i déternnine les pol\- 
nùmes U, et V, de telle façon que l'on ail 

AUf -^ Buj V, 4- eu, v| + Dv; = p; O,, 

P,. O, étant des polynômes dont le second est du troisième degré, on aur^ 

J (Kx'-^Bx'-^Cx-'rUy J O^ 

A étant une constante. 

Mathieu {E.). — Réflexions sur les principes mathématiques de 

l'électrodvnamique. (iS^-aoS). 

Admettant, dans les mouvements acromiilis par les actions des courants, les 
principes suivants : 

I. Le principe de la conservation vive: 

IL Le principe de la réaction (''gale et directement opposée à l'action; 

III. La supposition que les actions mutuelles de deux éléments de courants 
parallèles, de même sens et perpendiculaires à la droite qui joint leurs milieux, 
varient en raison inverse du carré de cette distance. 

IV. La supposition que les actions mutuelles entre deux éléments de courants 
linéaires, donnés en intensité et en position, ne varient pas avec leurs cour- 
bures. 

M. Mathieu parvient aux résultats suivants : 

Si l'on suppose que chaque courant soit formé par deux mouvements égaux ei 
opposés des deux électricités positive et négative, l'action entre deux molécules 
de fluide se compose de deux parties : l'une qui donne la force trouvée par ^^'e- 
ber, et l'autre (jui renferme une fonction arbitraire. .Mais cette seconde partie 
disparaît dans l'action de deux éléments de courants, qui se trouve être celle qui- 
donne la loi d'Ampère. 

Ensuite, par la condition qu'un courant fermé et constant soit sans action sur 
de l'électricité statique, la loi de Weber se trouve avoir lieu nécessairement. 

Si l'on suppose l'électricité positive seule en mouvement et une même ([uan- 
lité d'élcitricité négative lixi'i- au corps loiulucl ciii-, rm IroiiNc p:iri'illciiiriil que 



i4 SECONDE PARTIE. 

deux molécules ôlccliiques ne peuvent agir l'une sur Taulre que suivant la loi 
de Weber, et deux éléments de courants que suivant la loi d'Ampère. Toutefois, 
d'apfès cette théorie, un courant fermé constant agirait sur de l'électricité sta- 
tique, à moins qu'on n'admette que l'action de l'électricité de courant sur de 
l'élcctricitc statique ne peut pas se déduire de l'action de l'électricité de courant 
sur une pareille électricité : ce qui est peu vraisemblable. 

Les principes I, II, III paraissent incontestables à l'auteur; le principe IV, au 
contraire, n'est pas évident a priori, en sorte que la fin de ses recherches pour- 
rait seule être modifiée. 

André (^•)- — Second Mémoire sur la sommation des séries. 

(209-226). 

L'auteur se propose de donner la somme de toutes les séries convergentes 011 
la forme du terme général se définit par l'égalité 



" «(/; -T-i)... (« — y^ — i) ' 

où n désigne un entier quelconque supérieur à zéro et où le numérateur U„ est le 
terme général d'une série récurrente proprement dite. 

On suppose que U„ n'est divisible ni par n, ni par n -\- p — i et que, en outre, 
dans l'équation génératrice de la série récurrente dont U„ est le terme général, 
nulle racine n'est de degré de multiplicité supérieur à p\ M. André montre 
d'ailleurs comment on peut toujours ramener le cas où cette condition ne serait 
pas remplie à celui où elle le serait. 

Après avoir établi la formule 

V (-')' 



//(« -T-i )...(« 4-/^ — " ^ {p ^\~ t)\t\ n -.t 



I -- 



l'auteur montre comment U„ peut être décomposé en deux parties : 

Désignons par a l'une quelconque des racines de l'équation génératrice et par x 
son degré de multiplicité (inférieur à />): on a 

/ = ,)-! 



/ = o 



(p — i--t)ltl H-A-t 



où le premier S s'étend à toutes les racines de l'équation génératrice, où les po- 
lynômes 9 et v}/ sont définis par les égalités 

»J„---y 9„('i)n", 

?"(") _ ,. ,,. ,. . '■?"(-( ) 
■ . ~- Vrt (n, c) -t- • 

11 + t T ' V I / „ -i- t 

l'"n faisant la •.ummiic de Iniis les l'^^, les preniirrcs |i;iilirs (iisparaissciil : la 



HEVUE DES PUBLICATIONS. 

vomirif» ilr< seronilpe parties, ou la somme de la série, est «'sale à 

t = p - I 

•^ ^ {— I )"^' 9fl(- O /«'^ r/'.r' a' .t' \ 

^ ^ (p — \ — t)\t\ a'x' \i ' ~i ' ' T J 

t - 1 



■ 7 7 ^^ i — ■ ^-^—, — r-^loc{i— fl 



X). 



M. André donne ensuite quelques applirations. 

Niewengloivski. — Exposition de la méthode de Ricmann pour la 
détermination des surfaces minima de contour donné. (227- 
3oo). 

M. Niewenglowski a cherehé dans ce travail à rendre plus aisée la lecture du 
Mémoire où Riemann a déterminé les surfaces minima dont le contour se com- 
pose de lignes droites; il s'est aidé pour cela des travaux de M. O. Bonnet. 

On sait que les variables (x, y) dont ce géomètre s'est servi sont définies par 
les formules 

e^ — tang - 0, x = 9, 

où 9 et 6 sont la longitude et la colatitude du point m où une sphère fixe de 
rayon i est rencontrée par une parallèle menée par son centre à la normale en 
un point quelconque de la surface considérée. 
L'équation du plan tangent à cette surface est alors 

Ç cos.r + r, sina: -!- ï i sin iy = — z, 

où %, T\, Ç correspondent à un sjstème de coordonnées rectangulaires dont l'ori- 
gine coïncide avec le centre de la sphère et où z est une fonction de x, y qui 
définit la surface. 

Cette équation fournit le moyen d'exprimer en fonction de x <tl y les cortr- 
données d'un point (E, tj, Ç) de la surface; celle-ci est minimum si l'on a 

t)x' ' 'h-' ~ "■ 
Les variables ;j. et \j.' de Riemann sont définies par les formules 
tx = ey-+-^'', ;x' = e.T— -ri; 

La variable \x est représentée par la projection stéréographique du point m. 
l>e celle remarque que Tcxprcssion 



{dh>gu.y 



d log'i 



ne change pas quand on fait varier le trièdrc des roordonnées, résulte Tintro- 
durtion de la variable L" définie par Téiiuation 



.' y d loga 



d logJA, 



i6 SECONDE PARTIE. 

et de la conjuguée U' ; de ce que Z, est la somme d'une fonction de a et dune 
fonction de a', il résulte qu'on peut faire 

s = I ^ d\J. -~ I -r-, cl\x . 
ou 

^ = ~ ' / ( il ) d log \x + i I ( — ; ) d log ;x' ; 

par une transformation de coordonnées, on en déduira 

2^ \(>lo;^ix/ \, |J./ "' 2^ \6)log;jL/ \ \i / 

Transformant ces formules en y introduisant les variables 

x, = X -h iy et y\ = y — x i, 

l'auteur parvient à des formules permettant de trouver une infinité de surfaces 
minima à contour indéterminé; M. Weierstrass a donné pour le même usage des 
formules équivalentes. 

Si l'on se donne U exprimé au moyen de li, on voit que la surface minimum est 
par cela même donnée : pour le problême spécial qu'il avait en vue, à savoir la 
détermination des surfaces minima dont le contour est formé de lignes droites, 
Hiemann introduit une variable auxiliaire /; la question est ainsi ramenée à ex- 
primer U et ;a en fonction de t. Cette variable est assujettie aux conditions sui- 
vantes : elle est réelle tout le long du contour; elle y est infinie en un point pour 
lequel U a .une .valeur finie; pour les points à l'intérieur du contour son argu- 
ment est compris entre o et — . 

Il est essentiel de remarquer qu'un point (du contour) où passent deux droites 
non rectangulaires est nécessairement singulier. 

Soient a^, a.^, ... les valeurs de t qui répondent aux points multiples relatifs 
à la variable jx et situés à l'intérieur du contour; soient b,, b^, ... celles qui ré- 
pondent aux points multiples non anguleux du contour; soient c,, c,, ... celles 
qui répondent aux points anguleux; soient enfin e,, e-^, ... les valeurs de t qui 
répondent aux secteurs infinis de la surface minimum, on aura 



dl] _ /\\(t — o)U(t —a')U{t — 0) II 

HT ~y Il(/ — e) II(^ — e) ' 

oii les a sont les quanlili's conjuguées des quantités a. 

(hianl à l;i délcrminalinn de ;x en fonction de /, voici le procé<lc indiqué p. 
Hiemann. 

\' étant une fonction indéterminée de t, on a idcnticpicmcnt 



KEVUE DES l'UblJCATlONS. 17 



dS <Pk dk d'\ /d\'V d^-k 
dt dl- 



aK «' V _ ia\ x" a-K 
~ 'di ~df ~\di) dV' 



. ,, . , . i d'k . . . 

en sorte que, si I on parvenait a exprimer - -r— - en lonction de l, si cette quan- 

k d\^ ' 

tité était, par exemple, égale à F(<), k^ et k^ se trouveraient être deux solutions 

particulières d'une équation différentielle linéaire du second ordre liées par la 

relation 

dk^ dkf _ 

' "rfV ~ ^ "^ ~ ' ■ 

/i'i et /.•„ étant supposés connus, le problème s'achèvera facilement par les for- 
mules précédemment établies. 

Pour trouver la fonction V, on fera en sorte que les points singuliers se trou- 
vent parmi les points a, b, c,.... Riemann indique deux solutions. Dans la pre- 
mière, il pose 

d\ _ tp(0 

où 

9(0 =nit ~ a)U{t— a')U{t^ b), 
y [t) = n{t — r)U{t — e)-, 

et dans la seconde 

d\ I 



dt v/'-?(Oz(0 

Les applications de la méthode concernent les cas où la surface doit contenir 
deux droites non situées dans un même plan; trois droites non parallèles; trois 
droites dont deux se coupent et dont la troisième est parallèle au plan des 
deux autres, enfin les quatre côtés d'un quadrilatère gauche faisant partie d'un 
tétraèdre régulier. 

Duport. — Sur un mode particulier de représentation des imagi- 
naires. (3oi-362). 

Hautefeuille. — Sur la reproduction de quelques minéraux. (363- 
408). 

Picart (A.). — Mémoire sur l'attraction des ellipsoïdes. (409- 

418). 

La détermination du potentiel, lorsque l'on connaît les surfaces de niveau, dé. 
pend de l'intégration d'une équation différentielle du second ordre. 

Du théorème de Steiner, l'auteur déduit la nature des surfaces de niveau pour 
une couche ellipsoïdale homogène infiniment mince comprise entre deux ellip- 
soïdes concentriques et homothétiques; il est ensuite mené à l'intégration de 
réquation 

d'-\ / p p \ d\ _ 

~df "^ [?''— b- ~'' p'— cV rfp ~ "' 

<i'où il déduit l'expression connue de V. 

Bull, des Sciences maHiém., 2° série, t. VL (Janvier 1882.) W.i 



i8 SECONDE PARTIE. 

Gohierre de Longchamps. — Sur les intégrales eulériennes de 

seconde espèce. (419-427). 

Démonstration nouvelle de la formule que Gauss a adoptée comme définitive 
de ces intégrales. 

Chane (L.). — De la réduction des formes quadratiques ternaires 

positives et de son application aux irrationnelles du troisième 

degré. (3-i56 du Supplément.). 

Ce travail, qui a fait l'objet d'une Thèse soutenue devant la Faculté des Sciences 
de Paris, a été analysé dans la première Partie du Bulletin. 



MATHEMATISCHE ANNALEN, begrlindet von A. Clebsch und C. Neumann, 
gegenwartig herausgegeben von F. Klein luid A. MwKn (') 

Tome XVI; 1880. 

Sonine {N.). — Recherches sur les fonctions cylindriques et le 
développement des fonctions continues en séries. (1-80; fr.). 

« Ces recherches sont divisées en six Sections. La première est consacrée à 
l'étude des conséquences auxquelles conduit la propriété récurrente des fonctions 
cylindriques exprimée par la relation 

(,) s,„.(.r)-2^^^^-S„_.(^) = o. 

Comme résultat final on obtient le développement d'une fonction Sj(a-f- jr) en 
série de la forme 

n = 06 

(2) S„(a-;-:r) = .!«(»), S„( j:) -i- 22(- i)M"(a), \{x). 

11 = I 

» Dans la seconde Section, j'adjoins à la propriété (i) celle autre 

(3) «S,.(a:) = ^[S„_.(-^) + S„^.(a:)], 

et je considère les intégrales définies d'une forme nouvelle qui possèdent ces 
deux propriétés caractéristiques des fonctions cylindriques et «jui s'expriment 
linéairement par ces fonctions. 

» La troisième Section est consacrée à révaluation des intégrales indéfinies 
contenant les fonctions cylindriques. Le sujet a été traite récfemment par 
M. Lommel, mais à l'aide d'une méthode peu directe et peu générale. 



(') Voir linllctin. V,. i.t. 



REVUK DliS PUBLICATIOxNS. 19 

» Dans la quatrième Section, j'étudie les intégrales définies contenant les 
fonctions cylindriques. J'y établis une formule très générale et, je crois, très 
importante, à savoir 



C^) 



1 •-'n 



im/i \ ,u < y'(n\j:'' — z'-) 

i"'{bx). x'"^'. =i:^z= dx 

i^x-'-z^)" 



b'" A/a^- 6^ "'"'"' 



j j«-n/-i ( - ^ ^^i _ ^.)^ p„y,. ay- b 



et = 0, pour a <. b: /?>/?!> — i. 



et j'en fais plusieurs applications; par exemple, j'en déduis la généralisation 
d'une formule célèbre d'Abcl, 

9.a sin pr. r^ x'i'dx r^¥'{axt)dt 
(o) F(a) — F(o)= — / — - / — ^ — ,-V-; ' o < p < I . 

Une formule de AI. H. Weber me conduit au développement d'une fonction con- 
tinue pour chaque valeur réelle positive de la variable, en série procédant sui- 
vant des polynômes entiers d'une forme déterminée. 

» A la fin de la Section se trouve une expression très élégante de la fonction 
cylindrique de seconde espèce Y"(x), savoir 



\. , , cns (x -h -a) , 
r(x) — — -dx 



(6) 



< T. 

j r-^ 3'{x)dx n . , 



» La cinquième Section traite de l'équation différentielle de Bessel, dont on 
n'a fait aucune mention dans les quatre Sections précédentes. J'j' considère la 
forme symbolique de la solution, donnée par M. Hargreave, et je fais voir sur 
cet exemple particulier de quelle utilité peut être souvent la forme symbolique, 
lors même qu'elle n'a pas d'interprétation directe. Je me permets de faire remar- 
quer que c'est par la considération de la forme symbolique de la fonction ^(x ) 
que j'ai trouvé son expression qu'on vient d'écrire. 

» Enfin, dans la sixième Section, je présente la généralisation des considéra- 
tions développées dans la première Section, et j'en fais une application, en me 
réservant de traiter ce sujet à fond dans un Mémoire spécial. » 

Coyley {A.). — Noie sur le Mémoire de Rieniann : « ^ ersiich 
elner allgemeinen Auffassung der Intégration und DifTerentia- 
tion y>{TFerke, p. 33i-344)- (81-82; angl.). 

Kraiise {M.). — Sur la transformation du cinquième degré des 
fonctions li\perelliptiques du premier ordre. (83-88). 

fhirtnester (L.). — Sur le svstème variable bifocalement. (89- 
111,2 pl.V 

Si. tiaiis un système |ilaii 1,. on (Immc dciiv priiiil^ '\^^. M',, cl d;iii> nii autre 



■^o SECONDE PARTIE. 

^ysttiiie plan — .,, tIeiiN. jioiuls ^l»^, U", ; si, en outre, on détermine deux points eor- 
respondants P,, P^; de ces systèmes de telle sorte que l'on ail les équations 

*,P, = *,P., T|P. = ^'2P„ 

alors les deux systèmes £,, Sj ainsi définis' seront appelés bifocaux. A un point 
P, de S,, aussi bien qu'au point Q, de ce système placé symétriquement àP, par 
rapport à la droite focale *,^,, correspondent dans Sj deux points Pj, Q^, 
symétriquement placés par rapport à la droite focale <ï>2^*2? ^^ réciproquement, 
à chacun des points Pj, Q2 de S^ correspond le couple de points P,, Q, de S,. 
Les deux systèmes sont dans une affinité doublement double {zwei-zweideutig), 
dont les relations fondamentales ont été indiquées aphoristiquement par Jacobi 
dans une lettre à Sleiner ('). 

Dans le présent Mémoire, l'auteur fait voir qu'un système déterminé Si, sem- 
blable au système S,, peut être considéré comme la projection horizontale, et le 
système Sj comme la projection verticale d'un hyperboloïde à une nappe, dont 
deux des axes sont respectivement perpendiculaires aux plans de projection. 
De cette relation on déduit de la manière la plus simple les théorèmes les plus 
importants sur les systèmes bifocaux. 

Un système plan qui varie de telle sorte que toutes ses phases soient des 
systèmes bifocaux correspondants est dit un système bifocalement variable. La 
détermination des vitesses des points d'une phase S du système variable fait 
voir que le système S, des points terminaux de. ces vitesses est avec la phase du 
système S en affinité simplement double {ein-zweideutig). Un système déter- 
miné Un, semblable à S^, peut être considéré comme la projection verticale, et 
le système S comme la projection horizontale d'un hyperboloïde à une nappe, 
dont deux génératrices sont perpendiculaires à la projection horizontale. De ce 
théorème découlent avec une grande facilité une série de relations intéressantes 
des deux systèmes d'affinité simplement-double S^, S. L'auteur établit ensuite 
synthétiquement plusieurs autres théorèmes sur les états de vitesse du système 
bifocalement variable, et termine par un examen concis du système analogue à 
trois dimensions, qu'il nomme système trifocalenient variable. 

Du Bois-Reymond (P.)- — Proposilion générale concernant la 

théorie de l'intégrabilité. (112). 

Les fonctions inlégrablcs 9, ( j;), »^(.-c), ...,cp„(a;) étant, dans rinterxaiie 
a^x~b, renfermées entre les limites a- = ^j ^ p,, et la fonction 

étant continue dans le domaine :i,_x/_ '^„ la lonctiou 

F[-f,(a-). ?,(.r), ...,oJ.c}] 
sera intéfjrable dans l'intervalle a ... h. 
C(inl<n- ((m.). — iK'iii.irqiic sur les -;(''ii("s lrli;(>nonu''liH(|iies. (1 1 3- 



(') Juiinidl de Ci elle. 1. 



KKVUR DES PUBLICATIONS. vi 

ii4). — Nouvelle remarque sur les séries Irigononiétriques. 

(267-269). 

Dans la théorie des séries trigonométriques, il s'agit de la démonstration de 
ce théorème (') : « Si, pour toute valeur particulière de x, comprise dans l'in- 
tervalle (a... P), la condition 

lim (<7„ cos nx -\- 6„ sin nx) = o, pour n = .c , 

est reinjilie, alors a„ et b,^, pour n croissant, deviendront infiniment petits •>. 
Une démonstration donnée par M. Appell dans VArchiv cler Malli. uiid Phys. 
t. LXIV, contient implicitement l'affirmation que « si, pour toute valeur parti- 
culière de a; = aet^p, on a lim/(«, a;) = pour n =^ x , /(«, j) désignant 
pour chaque valeur particulière de n une fonction continue de x, dont le 
maximum absolu soit B„, on aura alors lim B„ = o pour 11=00 ». Cette affir- 
mation ne peut être admise sans discussion, comme on peut le constater sur 
l'exemple suivant : 

-, , nx{i — x) < < 

f(n,x) = —i — ; ; ——,1 pouro^a; = i. 

n-x- -^ (i - xY 



On a ici iim/i n. x) = o pour n = ^c; mais B„ = /( x, — ^ — ) 
Si l'on pose 

■■?v(-r)=/(v,j;)-/(v + .,x). 



il vient 



-=yc?,(j^). 



X^ ^^ ( I — x) 

v = l 

série infinie qui, dans le voisinage de a^ = o, définit bien une fonction continue, 
et qui cependant ne converge pas uniformément. Des exemples semblables ont 
été déjà présentés par .MM. Darboux (') et Du Bois-Reymond ('). 

Du Bois-Reymond (P-)- — La démonstration du théorème fon- 
damental du Calcid intégral : 1 F'(x)djc =¥(6) — F(rt). (iio- 

128.). 

ï oss (A.). — Sur la théorie de la transformation des expressions 
difTérenlielles du second degré et de la courbure des variétés 
d'ordre supérieur, (i 29-1 -9). 

Schubert {H.). — Sur la conservation du genre dans deux 



(') Voir C.v.NToR, Math. Ann.. l. 1\ . 

(-) Mémoire sur les fonctions discontinues. {Ann. de CÉc. Aorni.). 

(-) AM. der baver. Akad. d. Wiss., Bd. Ml. 



^2 SECONDE PARTIE. 

courbes planes liées entre elles par une correspondance uni- 
forme. (180-182). 

Nous reproduisons ici la démonstration, fondée sur le principe de correspon- 
dance de Chasles. Soient C et C deux courbes planes, rencontrées par toute 
droite du plan en n et n' points respectivement, auxquelles on peut mener par 
un point quelconque /• et /•' tangentes respectivement, et qui ont respectivement 
X et Y.' points de rebroussement. A chaque rayon d'un faisceau du centre P, qui 
rencontre la courbe C en n points, correspondent n rayons d'un faisceau P', 
qui sont les lignes de jonction du point P avec les points correspondants de C; 
de même, à chaque rayon de P' correspondent n' rayons du faisceau P. 

Déterminons maintenant, et cela de deux manières différenles, le nombre de 
fois qu'il arrive qu'un rayon * de P et un rayon *' de P' soient liés entre eux 
de telle façon que deux des points d'intersection du i-ayon s correspondent ù 
deux des points d'intersection du rayon s'. Soit V ce nombre de fois. Un rayon 
quelconque passant par P coupe C en « points, auxquels correspondent n points 
sur C. La ligne qui joint chacun de ces points avec P' fournit n' — 1 autres 
points d'intersection, auxquels correspondent n' — i points sur C. Joignons 
chacun de ces points avec P. Alors à chaque rayon de P correspondront 
n{/i' — i) autres rayons, et réciproquement aussi, à chacun de ces rayons cor- 
respondi'ont pareil nombre de rayons du premier système. 11 existe donc en P 

2 n {n' — I ) 

rayons de coïncidence. A ces rayons appartient d'abord deux fois cliacun des V 
rayons cherchés; en second lieu, chacun des /•' rayons correspondants aux r' 
tangentes menées à C par P'; en tioisième lieu, chacun des x' rayons menés 
aux •/.' points qui correspondent aux points de rebroussement de C. On a donc 

a V = a 7? ( h' — I ) — /■' — x', 

et de même aussi 

= -m' (u — I ) — /• — y.. 

Il en résulte l'égalité 

/• -H X — -2 n -i- 2 ■= /•' ■+- •/.' 2 n' -i- 2 = 2p. 
Lommel {E .). — Sur la ihéorie des fondions de Bcsscl. (i83-iiu8 ). 



I. L'intétirule défiuic 



— I cos (/Jio — ^ coso) )<:/tiJ, 



par laciuelle Bessel a défini la fonction J"(x') qui porte son nom, dans i'h\po- 
thésc de n entier, satisfait, seulement dans celte hypollièsc, à l'équation dilïé- 
rentieile caractéristique des fonctions de Bessel. L'extension au cas d'une valeur 
de n quelronciue de la relation de celte intégrale avec les fonctions de Bessel 
est le premier proljjème résolu dans le présent Mémoire. 

M. Le problème des phénomènes de dinVaclion des ondes sphériques a élr 
ramené par FrcsncI aux deux intégrales 



/ 



sin - w''.f/w et / cos -^ v'.rfi". 



REVUE DES PUBLICATIONS. 23 

L'auteur fait voir que ces intégrales peuvent se représenter et se calculer sous 
la forme d'intégrales de Bessel, d'où résulte en même temps la discussion des 
phénomènes physiques. 

IIl. De même, les intégrales 



/ -^dz et / 

■- ~' "^ z 



peuvent se représenter au mojen des fonctions de Bessel, et Vtm oblienl leurs 
maxima et leurs minima. 

Tf^edekind {L.). — Relations de position dans des triangles plans 
en perspective. (209-244? 12 pi.). 

Kl ans (L.). — Note sur les groupes spéciaux extraordinaires dans 

les courbes planes. (245-259). 

Les courbes spéciales du genre p qui sont ici considérées se distinguent en ce 
qu'elles possèdent des systèmes d'un nombre simplement ou multiplement infini 
de courbes, qui touchent la courbe fondamentale ea p — i points. Les groupes 
spéciaux extraordinaires sont les groupes en nombre simplement ou multiple- 
ment infini de ces p — i points de contact. Ces courbes se présentent dans les 
cas où les fonctions thèla, paires ou impaires, et leurs dérivées s'annulent pour 
une valeur nulle de l'argument. 

Cayley {A.). — Sur les groupes finis de transformations linéaires 
d'une variable. (260-263 ; angl.). — Correction à la Note précé- 
dente. (439-440 î ^ï^&l')- 

Piaszycki (/.). — Extrait dune lettre à M. Neumann. (2(34- 
266; fr.). 

Dans son Mémoire intitulé : Réduction hyperelliptischer Intégrale auf 
algebraisch-logarithmische Functionen ('), ISL Konigsberger se propose de 
chercher « les conditions nécessaires et suffisantes pour que des intégrales 
hyperelliptiques soient réductibles aux fonctions algébriques et logarithmiques », 
et il donne une règle pour obtenir la valeur de l'intégrale, quand la réduction 
est possible. M. Piaszycki cite ici une intégrale qui s'exprime par les logarithmes 
contrairement à cette règle. 

Noether {M.). — Sur la théorie des fonctions thêta d'un nombre 

quelconque d'arguments. (2-0-344)- 

L'auteur étend ici aux fonctions thêta d'un nombre quelconque /j de variables 
l'exposition du théorème d'addition des fonctions thêta et des relations de 
thêta, qu'il a présentée pour les fonctions de quatre arguments, dans le 
tome XIV des Mathematische Annalen ('). Ses recherches reposent essentielle- 



(') Matheni. Anna/cn, IM. \I. 
(') Voir Bulletin. \\ .. m S, 



a4 SECONDE PARTIE. 

ment sur la considération des rapports de groupement des caractéristiques, 
savoir sur la distinction, signalée principalement par l'auteur, entre les groupes 
et les caractéristiques proprement dites. 

Ces deuv espèces de concepts résultent des ■:l'p complexes de nombres 

"i «, ... n^ 
m'\ ml ... m^ 

où les nombres «", m" ne doivent être pris que suivant mod. 2. 

La première espèce se compose des a-''"' complexes (a), dont les éléments ne 
sont pas tous = o (mod. 2); ils correspondent aux 2'''"' demi-périodes, et sont 
tous gleicliberechtigt. 

La seconde espèce se partage en 2''~'(a'' — i) caractéristiques paires et 

2P-'(2P — i) impaires, suivant que 7 /^^ 7»^ est pair ou impair, et elle corres- 

pond respectivement aux deux classes de fonctions thêta, celle des fonctions 
paires et celles des fonctions impaires. On ajoute les caractéristiques en ajoutant 

leurs éléments respectifs. A chaque somme quelconque d'un nombre 1 . . { 

^ ^ ( impair ) 

de caractéristiques propres, on fait correspondre la 

£ caractéristique de groupes 
I caractéristique propre 
qui s'y rapporte. 

Dans l'étude des systèmes formés au moyen de caractéristiques, ]\L Xoethcr 
emploie seulement les propriétés qui sont invariantes dans toutes les substitu- 
tions propres. Il parvient ainsi à former tous les systèmes et à discuter leur 
forme et leur dépendance mutuelle. La marche suivie par l'auteur consiste à 
démontrer que la théorie des caractéristiques de p séries est identique avec 
la théorie des caractéristiques de /? — i séries. Tel est, en substance, le contenu 
du premier Chapitre du ^lémoire (§§ 1 à 10). 

Comme application, l'auteur traite, au g 11, les résolvantes successives des 
équations dont les racines peuvent correspondre aux systèmes de caractéristiques 
(par exemple, la bissection des fonctions abéliennes, etc.). 

Le Chapitre II a pour objet le théorème d'addition des fonctions thêta. Comme 
on sait que Sr(M -f- v + tv)2r(î< — v) peut s'exprimer en fonction linéaire de 2' 
produits de 2r, linéairement indépendants, et de la forme 2r^(;f -l- tv)2r„(u), il 
ne reste plus maintenant qu'à déterminer fes coefficients indépendants des u. 
L'auteur choisit à cet effet (§ 13), pour les (a), un certain système de caracté- 
ristiques propres pour les demi-périodes des u correspondantes à un deuxième 
système de 2^ caractéristiques de groupes, qui est coordonné au premier système. 
Alors les coefficients se présentent encore (§ 14) comme des sommes de if'^ 
produits, chacune ayant pour arguments v -\- w e\, v. Mais l'auteur fait voir 
(§ 15) que le déterminant des équations linéaires qui donnent les valeurs des 
coefficients jouit de la propriété remarquable de se décomposer, par excmpk-, 
en un produit de facteurs linéaires; et il se sert (§ IG) de cette propriété pour 
établir, à la place du théorènie d'aildition ci-dessus, une formule fijuilamonlali- 
pour /> ^ 3. Dans cette formule, le premier membre est une sonimo de a''""* [iro 
iliiils simples, dr la foriin- 

2f/, ( o ) -^ V < "' } - a ( " -'- ^ + "■ ) ^ » ^ " - *'' ^- 



REVUE DES PUBLICATIONS. jA 

le second membre est également une somme de a^ produits simple, de la forme 

Les coefficients sont purement numériques. 

Cette formule simple permet aussi de présenter toutes les relations de Sr sous 
les formes les plus simples (§ 17) : ainsi il existe, par exemple pour /> ^ j, des 
relations homogènes entre 5.2P-* produits, de la forme 

-a)(0)-{?j(«i^(a)(")27i?,(î0; 

pour jt?^6, des relations homogènes entre ô.'i''~'' produits de la forme 

2^.a)(o)Sr,o,(o)=;(.^;(o)%,(o). 

L'auteur traite encore des dépendances entre les relations (§ 18). Il termine 
(§ 19) en discutant les conditions sous lesquelles, pour p~o, les fonctions S; 
deviennent hjperelliptiques. 

Brill^A.). — Sur une propriété de la résultante. (345-347)' 

Soient données deux équations algébriques y(:27) = o, o{x)^=o, dont les 
coefficients dépendent des quantités a, b, c, ..., de telle sorte que, si une 
rationnelle déterminée de ces quantités R(a, b, ...), qui n'est pas elle-même 
une puissance d'une telle fonction, vient à s'évanouir, il y ait chaque fois n 
racines des deux équations qui coïncident; alors R est un facteur au moins 
n - uple de la résultante. 

Brill {A.). — Sur les singularités des courbes planes algébriques, 
et sur une nouvelle espèce de courbe. (348-4o8). 

Si, au moyen de l'équation d'une courbe plane algébrique, rapportée à un 
système de coordonnées cartésiennes et passant par l'origine de ces coor- 
données, on développe l'ordonnée suivant les puissances ascendantes de l'abscisse, 
on obtiendra, pour un point singulier, plusieurs développements procédant sui- 
vant les puissances entières ou fractionnaires. Si une telle série, ordonnée sui- 
vant les puissances de xP, est interrompue à un terme convenable, on aura 
l'équation d'une courbe dont les coordonnées, par l'introduction d"un paramèlre 
X = ÀP, sera transformée en une fonction rationnelle de a. 

Pour la détermination des nombres d'équivalence de la singularité considérée, 
établis pour la première fois par Cayley, il suffit maintenant, comme le fait 
voir l'auteur, d'étudier la singularité de cette courbe rationnelle; on peut même 
indiquer des courbes dont les coefficients sont des fonctions rationnelles et 
entières de "k, et qui peuvent remplacer non seulement un système cyclique 
déterminé (singularité unicursale), mais encore toutes les branches. Cette couriie 
rationnelle peut toujours alors être déformée de telle manière qu'il en résulte 
une courbe de même ordre et de même classe qui, au lieu de la singularité con- 
sidérée, possède les singularités élémentaires équivalentes. De cette manière on 
^.•agne deux avantages : d'abord le principe de la déformation est précisé algé- 
briquement; en second lieu, on fait voir que les nombres d'é(iuivalfiice ont en 
rèalii('' une signilicalion géométrique déterminée. 

Ccllf (■■Inflo a pour point <\v dépari les propriéti's des courbes qui. «laiis le 



26 SECONDE PARTIE. 

système cartésien, sont représentées par des fonctions rationnelles et entières 
d'un paramétre, que l'on appelle « rationnellement entières », et dans lesquelles 
la propriété de l'égalité de la classe et de l'ordre permet une dualité complète 
de représentation. Le Mémoire se divise dans les paragraphes suivants : § 1. La 
courbe rationnelle et entière. — § 2. Les développements en séries définissent 
une singularité d'ordre supérieur. — § 3. Les singularités unicursales et l'opé- 
ration de la déformation. — § 4. Les singularités composées. — § 5. L'équation 
aux points doubles d'une courbe rationnelle et entière, et son discriminant. — 
§ 6. Les facteurs du discriminant. — § 7. L'indice de réalité d'une singularité 
d'ordre supérieur. — § 8. Détermination des nombres d'équivalence d'une singu- 
larité unicursale. — § 9. Détermination des nombres d'équivalence au moyen de 
la représentation par un paramétre. — § 10. Les nombres d'équivalence d'une 
singularité composée. — §11- Forme des courbes adjointes en un point sin- 
gulier. 

Aeiunann (C). — Nouveaux, théorèmes sur le potentiel loga- 
rithmique. (409-431). 

Neumann {C). — Nouveaux théorèmes sur le potentiel newto- 
nien. (432-438). 

Lie {S.). — Théorie des groupes de transformations I. {^^\-o-i^). 

Le présent Mémoire est une exposition détaillée de la théorie que l'auteur a 
publiée dans une suite de travaux, insérés pour la plupart dans VArchiv for 
Mathematik og Naturvidenskab ; Christiania, 1876-78-79. Le premier Chapitre 
traite des groupes de transformations d'une variété simplement étendue. Il s'agit 
du problème suivant : « Une série de transformations x' = f{x, a^, a^, ..., Oy), 
où x' représente la variable primitive, x la nouvelle variable, et les a,- des para- 
mètres, forme un groupe de transformations, quand la succession de deux trans- 
formations de la série est équivalente à une seule série de transformations. 
On veut, d'après cela, déterminer la fonction la plus générale / de x et des 
/• paramètres a,, «.„ .... «,., qui satisfasse à une équation de condition de la 
forme 

où l'on suppose que les c, ne dépendent que des a et des i, ». Le groupe est dit 
de /■ = termes (r gliedrig), lorscjue le nombre des paramètres ne peut pas être 
abaissé. Etant connu un groupe quelconque de /• termes, on trouve facilement 
de nouveaux groupes de /• ternies. Soient, en eiTet, 9 et <I> deux fonctions quel- 
conques inverses l'une de l'autre; l'équation 

délerminora encore un groupe de /• termes. Ce groupe est dit .semblable au pre- 
mier; des groupes semblables, dans les recherches générales, doivent être, à un 
certain point, considérés comme identi(|ues. Le résultat général de ces études 
est ex[)rimé par ce tliéorème : Tout groupe de trans/orniations d'une variété 
simplement étendue est semblable à un groupe linéaire, et contient, par suite, 
trois paramètres au plus. 

Dans le deuxièmi; (iliajiilic. nialil ù la (Iclcrniiii.ili Ir ton-- le-- groupes de 

Iraiiblurmalions d'une \arièlc doublenicnl i tciidiu'. un ct.iiilil il.iboiil que toul 



REVUE DES PUBLICATIONS. 27 

groupé de r termes dont les transformations peuvent se correspondre deux à 
deux comme transformations inverses contient tx''"' transformations infinité- 
simales, qui sont caractéristiques pour le groupe. 

D'après cela, létude des transformations infinitésimales est la voie qui con- 
duira à la solution du problème général. On oi)lient d'abord les théorèmes sui- 
vants : A une transformation infinitésimale déterminée appartiennent des 
séries de courbes 5(J7, y) = a, en nombre illimité, qui restent invariantes ; il 
en est de même aussi pour chaque groupe à deux termes. Au contraire, à un 
groupe à trois termes appartient une, et en générale une seule série inva- 
riante de courbes. Si un groupe de plus de trois transformations infinitési- 
males laisse invariante une série de courbes es = a, 9 devra être alors une inté- 
grale commune d'une série d'équations différentielles. Pour décider s'il existe 
une telle intégrale, il suffit de considérer les transformations infinitésimales indé- 
pendantes d'ordre zéro ou I, dans le voisinage d'un point {x^,y^). Les transfor- 
mations finies qui laissent invariante une série de courbes, puisqu'il s'agit ici des 
transformations d'une variété simplement infinie, se décomposent, en vertu des 
théorèmes trouvés dans le Chapitre I", en transformations qui laissent chaque 
courbe invariante, et en transformations qui transforment les courbes suivant 
un, deux ou trois paramètres. Ces transformations peuvent être complèlenieut 
déterminées au moyen de la transformation infinitésimale qu'elles contiennent. 
Enfin, on détermine complètement tous les groupes qui ne laissent invariante 
aucune série de courbes s = a, et l'on obtient alors un dénombrement de tous 
les groupes dans le plan. Finalement, lauteur expose en peu de mots la manière 
de s'orienter relativement à la dépendance qui règne entre ses recherches, dont 
l'importance se rattache essentiellement au domaine des équations différen- 
tielles, et la théorie des substitutions de Galois, la théorie des groupes de C. Jor- 
dan, et les recherches générales sur la transformation des différentielles quadra- 
tiques étudiée par Kiemann et Helmholtz. 

Meissel. — Considéfations sur la Géométrie de la sphère. (329- 
532). 

Korteiveg. — Sur la théorie des forces électriques. (533-536). 

Court extrait, fait par l'auteur, de son Mémoire intitulé : Allgemeine Théorie 
der ponderomotorische Krdften, et publié dans les Mémoires de l'Académie 
rojale des Sciences d'Amsterdam, pour l'année 1879. 

Bachmann (P-)- — Complément dune étude de Dirichlet. (53-- 
549). 

Du Bois-Reymoiid {P-)- — Sur le théorème /'{-i') = lini' 

(55o). 

.\oellier{M.). — Note sur une classe de déterminants symétriques, 
(55 1-555). 

\ oss {A.). — Interprétation j^éomélrii|ue de léciiiatiun tlillércu- 
lielle iV/.r -i- ( W/r -^ \\rlz = ... ('55()-559 ). 



28 SECONDE PARTIE. 

Voss (A.). — Sur l'élude de la surface des centres, (oëo-o^o). 

La surface projective des centres d'une surface générale du n'*"' ordre /= n 
est la surface des foyers du système de rayons qui se compose des droites qui 
joignent les pôles Q des plans tangents de/ par rapport à une surface du second 
degré ç = o avec leurs points de contact P. L'auteur détermine, par voie algé- 
brique, les nombres suivants : 

Ordre de la surface = 2n{n — i ) ( 2 « — i ) : 

Classe de la surface — 2«(/i^ — n — i); 

Rang de la surface =6«(/i — i)'; 

Ordre de la courbe de rebroussement = 2n(n — i) (11 n — 16) ; 

Classe des plans paraboliques =: 2n{n — 2){Sn — 5). 

Ces nombres suffisent pour déterminer aussi l'ordre de la courbe double, sa 
classe et l'ordre de la congruence des tangentes principales et des tangentes 
doubles. 

l oss (A.). — Sur la théorie de la mesure de la courbure de Rie- 
mann. (5" i-5j6). 

Bianchi (L.). — Sur les surfaces de courbure négative constanlc. 

(577-582). 

Cantoj'J^G.). — Sur la théorie des fonctions arilhniologiques. 
(583-588). Ax. H. 



COMPTES RENDUS hebdomadaires des séances de l'Académie desSciences ( ' ). 
Tome XCIII; 1881, 4'^ trimestre. 

N" 14; 3 oclubre. 

Tisserand. — Sur les déplacements séculaires des plans des orbites 

de trois planètes. (525). 

Dans un Mémoire Sur le mouvement des nœuds des orbites planétaires 
{Œuvres, t. IV), Lagrangc détermine les expressions analytiques, en fonction du 
temps, des angles que les pians des orbites de trois planètes font entre eux, 
mais sans déterminer les positions absolues des orbites. Cette seconde question 
a depuis été reprise par M. Radau et M. Iliibner; M. Tisserand parvient à 
l'expression des inclinaisons des trois orbites sur un plan fixe; ces expressions 
rontiennent deux intégrales elliptiques de troisième espèce, en nuire du sinus 
d'amplitude qui (igurc dans les inclinaisons mulnclles. 

(') Ncir- liiillilui. \,, 171. 



HEVUI-: DKS l'UBI.I CATION S. a,, 

iivldén. — Sur une applicalioii uouncHc de l'é(|uali<)ii de J.ainé. 

■(53-). 

Jiigourdan {G.). — Observations de la comète d i88r (Encke) 
et e 1881 (Barnard), faites à l'Observatoire de Paris. (54o). 

N° 13; 10 octobre. 

Fore. — Sur le premier Volume des « Nouvelles Annales de l'Ob- 
servatoire de Bruxelles ». (553). 

Coggia. — Comète découverte par M. Denning-, le 4 octobre 
1881; observation faite à l'Observatoire de Marseille. (oSp). 

IN° 16; 17 octobre . 

Instructions formulées parla Conférence internationale pour lob- 
servation du passage de Vénus sur le Soleil. (5(3t)). 

Bigourdaii (G.). — Observations de la comète b 1881 (Tebbutt- 
Gould-Cruls), faites à l'Observatoire de Paris. ^5^5). 

Stephanos. — Sur une configuration remarquable de cercles dans 
l'espace. (578). 
Les diverses spliéres de l'espace, constituent un système linéaire 
).,S| + TvjSj -t- À3S3 -f- À^S4 -1- )ijS=, = o. 
On peut considérer comme coordonnées d'un cercle déterminé par deux sphères 

i:/'s, = o, ia"?,. = 

le> dix quantités 

Pu = '>'■''} — '^>' 'V- 
liées entre elles par les cinq relations du ty[)f' 

Pl„.Pk. -^P,nKPin-^PhP„.n = O- 

.M. Stephanos déduit tic là qu'à tout système de quatre cercles de l'espace est 
attaché un cinquième dont les coordonnées sont composées linéairement avec 
les coordonnées correspondantes des quatre premiers. Exposant ensuite comment, 
étant donnés quatre cercles, on peut construire le cinquième cercle (formant 
avec les quatre premiers \in pentacycle), il est amené à considérer une figure 
ciiinposée symétriquement de (juinze cercles, pouvant être groupés en six pen- 
tacvcles et situés trois à trois sur (piinze sphères; dans une Communicatiou 
pustérioure ( >') oitnliri' ). il (li'\ il(ip|if li< |irii|)ii(-|i's de lel le figure. 



]o SECONDE PARTIE. 

Poinccui'. — Sur les fonctions fuclisiennes. (58 1). 

Sur un mode d'expression des fonctions fuclisiennes au moyen de séries. 
Sur le genre de la relation algébrique qui a lieu entre deux fonctions 
fuclisiennes du même groupe. 

N** 17; 21 octobre. 

Clausiiis (/?.). — Sur une déterminalion générale de la tension 
et du volume des vapeurs saturées. (Oig). 

Stephanos. — Sur une configuration de quinze cercles et sur les 
congruences linéaires de cercles dans l'espace. (633). 

Mathieu {i^-)- — Sur la théorie mathématique du mouvement 
vibratoire des cloches. (636). 

N" 18; 51 oclobrc. 

Stéphon. — Observations de la comète Cruls (comète b i88ï) 
faites à l'Observatoire de Marseille. (656). 

Bigourdan. — Observations des comètes e i88i (Schaeberle), 
c? iSSi (Encke), e i88i,/i88i (Denning), faites à l'Observa- 
toire de Paris. (657). 

Bosscrt. — Eléments elliptiques de la comète h 1881. (65y). 

N° 19-, 7 novembre. 

Sléphcu}. — Observation de la comète / 1881 (Denning), faite à 
l'Observatoire de Marseille. {^"J^)- 

Srlnilliof. — Eléments de la comète de Denning (1881 /*). 

Baillaiid. — Sur une formule générale pour le développement de 
la partie principale de la fonction perturbatrice, ((xj/j). 

l*itar(l{K .). — .Sur la réduction des intégrales abélicnnes. (6y6). 

Soient 

/ " ( ){x,y)(l.v l'^VJ .T,j^ du: 



IIKVUE DES PUBLICATIONS. 5i 

deux inl(''f,'ral('s abéliennes de première espère relatives à la comlif 

/■( j. y) — o. 

dont le genre est d'ailleurs quelconque. 

Supposons que ces intégrales n'aient l'une et l'autre que quatre périodes, et 
cela de telle manière que, w„, w,, w., Wj et v„, v^, fj, V3 représentant quatre couples 
de périodes correspondantes convenablement choisies, tout autre système de 
périodes correspondantes ait la forme 

/»(, v„ -^ m, i\ -h /?(; v.^ -+■ /»3 t'j, 
où les m sont entiers; le sj'slèmc d'équations difTi-rentieiles 

Q(j7„v,). 0(x,,v,), Q{^3,r,), 



P(a:„.r,) , P(^.„,.r..) , , Pf^,. r,) , 



/yA^nJ'i) ' /v,(-z^-.-.ri) .K,(^,,.r 

a son intégrale générale algébrique. 

Il résulte de là que, si l'on considère les équations 

/"• 0(.r,, r,) , r""' 0(.r.„ .n) , 

/ -7 - f/jr, + / -i - ■ rtjc., — u, 

'-'n /y,i-r>,r,) Ju fyÂX.,}-;) 

X, -h x^ et x^x., sont des racines d'équations algébriques dont les coefficients 
sont des fonctions uniformes de u et v. 

S'occupant ensuite particulièrement des courbes du troisième genre, l'auleur 
indique un cas intéressant, où les coefficients de ces équations algébriques s'ex- 
priment au niojen des fonctions 6 de deux variables. 

[ppelL — Sur des équations difTérenlielles linéaires dont les 
intéffrales vérifient des relations de la forme 

V\':.ix)] = 'h{x)Y{x). 
Soit une équation dilTèrcntielle linéaire dordre n, 

en posant x = '•?(<), J' = X'^{t) et supposant les deux fonctions -^ ot 'i Icllcf 
<|uc l'équation transformée soit 



32 SECONDE PARTIE. 

si l'équation (i) admet la solution j' = <i>{cc), elle admet aussi les solutions 

*.(^) = ;T;^)i'[r(-2^)], 

Entre n +i telles intégrales particulières existera une l'clation de la forme 

d'où il suit que, en posant 

V{x) = iig'P{x) +. . .+ !J-„_,0„_, (œ), 

on pourra déterminer les \x. de façon que F{a:) vérifie la relation 

F[9(.r)] = A^(^)F(a:), 
A étant une constante. 

Si maintenant on réduit l'équation proposée en faisant 

y = F (x) I T, dx. 



f> 



on vérifie que, si l'équation en r, d'ordre ii -\- i admet une intégrale t, = 4'('^)) 
elle admet aussi l'intégrale 

en sorte qu'on pourra répéter les mêmes raisonnements sur cette équation. 

Or M. Appell montre que ces circonstances, exceptionnelles en général, se 
présentent toujours pour les équations différentielles linéaires du second ordre. 
Si, en particulier, une telle équation est de la forme 

f{x) désignant une fonction qui vérifie la relation 

/(^^^) = (^-^ + 2)y(.r), 

où 

aô — Py = I, 

cette équation différentielle admettra une solution V {x) vérifiant l'équation 

(7.x + ?\ A 
F ^ = ^V{x). 

\fX-{-(j/ fX-\-0 

Gomes Teijceira. — Sur l'inlégration d'iine équation aux dérivées 
partielles du deuxième ordre, (yo'i). 

I.'é(|ualiori 

, 'J'c „ >)z , ,/fPz à: r)z \ 

\ 15 , H 6 — -, . - 1 , . .r, y, z) — n, 

O.nh- >)y ^^tl.r' i).r />|- ' ' 



REVUE DES PUBLICATIONS. 33 

où A el B sont des fonctions de x,y', z, —^ , peut t'ire transformée dans une autre 

. (V^ d-z 
du même degré par rapport a 



Boussinesq. — Comment se transmet dans un solide isotrope (en 
équilibre) la pression exercée sur une très petite partie de sa 
surface. (^oS). 

LcK'y {L.). — Stir la possibilité de l'équilibre électrique. (706). 

La démonstration classique du théorème fondamental de l'électrostatique, que 
tout système de corps électrisés admet un état d'équilibre et un seul, suppose 
essentiellement qu'un certain déterminant est toujours différent de zéro. M. Lévy 
comble cette lacune en démontrant le théorème suivant : 

Tout déterminant dont tous les éléments sont positifs, sauf deux de la dia- 
gonale principale qui sont négatifs, est différent de zéro toutes les fois que 
la somme des éléments de chaque ligne horizontale est négative. 

Lévy {M.). — Sur le rendement et la limite de l'opération du 
transport de la force par l'électricité. (709). 

Gagarine. — Systèmes articulés assurant le mouvement rectiligne 
oti la courbure circulaire. (711). 

L'auteur paraît ignorer les recherches publiées sur les systèmes articulés, et 
en particulier les solutions dans lesquelles on emploie cinq tiges seulement pour 
obtenir le mouvement rectiligne, et sept tiges seulement pour obtenir le mouve- 
ment d'une droite qui reste parallèle à elle-même, tous ses points décrivant des 
droites. 

N° 20; 14 novembre. 

Cruls. — Observations de la comète Scliaeberle (<? 1881), faites à 
l'Observatoire impérial de Rio-Janciro. (777). 

Callandt'caii. — Sur la théorie du mouvement des corps célestes. 

(779)- 

Halphen. — Sur certaines séries pour le développement des fonc- 
tions d'une variable. (781). 
Soit 

A, R, C, . . .,a, &, c, . . . étant des constantes, et prenons pour P„, (a;) le coefficient 
du (m + i)'""» terme dans le développement de e'''>v(Ç) suivant les puissances 
ascendantes de Ç. 11 existe une classe de fonctions /(.r) pour lesquelles la série 
dont le terme général est 

[A/"")(a) -)- B f'Kb) + C/""(c) -i-...]P„,(^) 
Ihdl. des Sciences mathéni., 2" série, t. VL (Février 18S2.) R.3 



34 SECOxNDE PARTIE. 

représente la funclion f{x) elle-même, si loutel'ois À{!^) n'a pas de racine 
nulle; au cas où a(Ç) a la racine zéro, muUiplc d'ordre A', la série représenterait 

Les conditions sous lesquelles le développement s'applique sont indépendantes 
de X, en sorte que la fonction /(^) est nécessairement svnectiquc dans tout 
le plan. 

Pour que la série s'applique à une fonction /{x), il faut et il suffit : i" qu'il 
existe une constante a telle que le produit a."'/'-"'>{x), pour toute valeur finie de 
X, ne devienne pas infini avec 771 ; 2° que les racines, autres que zéro, de la fonc- 
tion >v(^) aient leur plus petit module p supérieur à celui de -• 

P„{x) ayant toujours le môme sens, la série 

F{x) = [x„P„ + jx,P, {X) + :i,P,(x) +. . ., 
où les [1 sont des constantes, convergera quel que soit x, si la série 

ii.„ -+- [l^X -\- ll^X^-T-. . . 

converge à l'intérieur d'un cercle de rayon supérieur à -• 
S'il en est ainsi, la série 

\ ( J7 ) = IX,, -f- ;->., r- JJLj ^ + . . . 

est sj'ncctique dans tout le plan. La fonction F(x) est une solution de 
l'équation 

AF(a + .r) -h BF{b -{- x) -h CFic-hx) +. . .= V(*) (:r), 

l-'''"''(.r) 1 

caractérisée par la propriété suivante : ■ a pour limite zéro avec — 

On a, en outre, cette consé([ucnce 

\'{x -t-j-) = P„V(r) - l\{x)\'{y) +.. .H- Vk{-v)\^'{r) -f-. . .. 

Boiissinesq. — Égalité des abaissements moyens que produisent, 
chacune, aux points où est déposée l'autre, deux charges égales, 
arbitrairement distribuées, le long de deux circonférences con- 
centriques, sur un sol horizontal, ou sur une plaque circulaire 
horizontale avant même centre que ces circonférences et appuyée 
ou encastrée sur tout son contour. (^83). 

Lévy {M-)- — Sur le rendement maximum dont soûl susceptibles 
deux machines dynamo-électriques données, lorscpi'on les em- 
ploie au transport de la foixe. (7<^'^). 

N" 21; 21 iiflvombre. 

Calldtidrcdn . — Eléments de Torhilc et rpliéint ruirs de la pla- 
nète (^217^' Eudore. (<S3i). 



REVUE DES PUBMCATIONS. 35 

Halphen. — Sur certains di-veloppcmenls en série. (832). 

M. Halphen est parvenu, pour le développement cle/(^ +y) suivant les dé- 
rivées d'une fonction (juclconque, à la série suivante 

(0 PoV(y) + P,(:r)V'(j-)-^P,(.r)V"(r)+--.- 

V^{x) est le coefficient du (/?i -t- i)'*""" terme dans le développement suivant les 
puissances croissantes de ^ de la fonction 



/ 



(i{x)e^'' dx 
h 

et la fonction ^){x) doit être déterminée par la condition 
fi{x)J{x+y)dz = \{y)- 



X 



les limites 6 et c sont des constantes à volonté 
Il est nécessaire d'ajouter que si, posant 



T^.^ f ^{x)x'''dx, 



on avait zéro pour T», T,, T.^, . . ., T*_,, et que T^ fût différent de zéro, la série (i) 
représenterait/^*' (a; +jKjj au lieu Ac J{x -{- y). 

Quant à la légitimité de ce développement, voici le résultat qu'énonce 
M. Halphen. 

Supposons que la fonction 



^ b 



9(.r) dx 



soit synectique aux environs de Ç = o, et soit A" l'ordre de multiplicité de la ra- 
cine nulle pour cette fonction, k pouvant d'ailleurs être nul; soit aussi o le mo- 
dule minimum des valeurs de Ç, pour lesquelles Ç*: (p(î;) cesse d'être synectique. 
Dans ces conditions, formons le développement (i). Pour que ce développe- 
ment représente /*)(x+jk), il faut et il suffit : i" qu'il existe une constante a 

laissant a."'/'."') {x) fini pour m infini; o" que le module de a soit supérieur à -• 

P 
Le cas de p infini oflre un intérêt particulier; l'énoncé suivant répond à un 

exemple de ce cas. 

Soient les polynômes P„, (-r) ainsi définis, savoir : 

' d'» r^.( ,in„>-2«"' 

1.2. . .//i \d'%'" 

X" 



P„(^) = __^(«;:,cr.(-.)x-j^ 



+ (->)" 



( ;» — 2 fi y. ;> ! ( m — '\n)\ 
s\ (in — Asn)'. 



3G SECONDE PAUTIE. 

Formons, avec une fonction /(.r), la série 

-^ "V (-,)'" P„,(.r) f dx f <:/oj/(x)<?-"'^w"'cos( J7W-I- — y 

III— 

("ette série représente /(j?) pour les valeurs réelles de a:, sous les condilions 
suivantes : /{x) doit être développable en série trigonomélrique dans tout in- 
tervalle fini, et en outre être telle que les intégrales, formant les coefficients de 
la série, puissent être effectivement étendues, par rapport à x, jusqu'à rboc. 
Par exemple 

cosj; = e-"(P„— PJ+P4 — ...), 

sin^r = ('-"(P.— P3+ P, — ...)• 

Si Ion suppose quey"(,r) est une fonction analytique, le résultat se complète 
ainsi. 

Si, entre deux parallèles à l'axe des quantités réelles placées de part et 
d'autre de cet axe, la fonction / est synectique, elle est, dans cette étendue, re- 
présentée par la série précédente. 

Si l'on prend n = i, on tombe sur la série de M. Hcrmite. 

Pica/rl {E .). — Sur une courbe parliculière du troisième genre 
et sur certaines fonctions iinirormes de deux variables indépen- 
dantes. (835). 

La considération des périodes d'un système d'intéj;ralcs ahéliennes correspon- 
dant à la courbe 

f' = u[ii — I ) (m — x) (u — ^■), 

où u, V sont les coordonnées, conduit l'auteur à un exemple de fonctions de 
deux variables indépendantes se reproduisant par la substitution k u ci v d'ex- 
])ressions linéaires convenables en nombre infini 

m' -^ n' u -^ p' V m" -+- n"u -+- p" v 



m -h nu -T- /n' m -r- nu -î- pv 

Cet exemple même amène l'auteur à un procédé beaucoup plus f;énéral pour for- 
mer de telles fonctions, ce que l'on pourra faire si les éc|uatious linéaires aux 
dérivées partielles 

s = ap + ù(/ -i- cz, 

r = aji î b^(j '\- r, c, 

où les a, b, c sont fonctions de x ci y, ajant trois solutions communes linéai- 
rement indépendantes (v, n'', iv"; les valeurs de x et y tirées des équations 



sont racines d'(''(|ii;itioiis al;;i'-liriqiies à coiflicieuls uniformes, en u, r. 

Pcllct. — Méthode nouNclle pour la division du cercle. (S.'mS). 



REVUE DES PUBLICATIONS. i; 

Mathieu. — Intégralion des c'qualions cllfïVTcnliellcs du mouve- 
ment vibratoire d'une cloche sphériquc. (84o). 

Lévy {M.). — Applications numériques de la théorie du rende- 
ment maximum de deux machines dynamo-électriques employées 
au transport de la force. (84'i). 

N-^ 22; 28 novembre. 

Villcirceau (i^ •)• — Nouvelle méthode pour annuler la llexion as- 
tronomique des lunettes. (886). 

Bigourdan. — Observation de la nouvelle comète (i?i88i), faite 
à rObservatoii'e de Paris. (889). 

Laguerre. — Sur les équations algébriques de la forme 



Ao A, A„ 




X — a„ X — a^ X — rt„ 


— () 


(890). 




Étant donnée une suite 




A + B + C + D -i . . . , 





l'auteur appelle nombre des alternances de cette suite le nombre de variations 
([ue présente la série des sommes partielles 

A, A + B, A + B + C, 

Ceci posé, on a la proportion suivante, \ désignant un nombre entier arbi- 
traire, compris entre a,_, et «;, de telle sorte que les nombres 



forment une suite croissante ou décroissante. Le nombre des racines de l'équation 
proposée, qui sont comprises entre \ et «„ est au plus égal au nombre des alter- 
nances de la suite 

A, , A,.„ , . A,_, . 

? — «, ' ? — «,>i ' "^ ? — «,-, ' 

si ces nombres sont différents, leur différence est un nombre pair. 

Soient % et \' deux nombres arbitraires ne comprenant aucune des quantités 
o„, a,, a.,, . . ., et tels que les nombres 

..., «■_,, (7,_p e, ç', (7,, (7,_^|, ... 

rormcnt une suite croissante ou décroissante. 

Le nombre des racines de l'équation proposée comprises entre \ et \' est au 



38 SECONDE PARTIE. 

plus égal au iiunibrc des variations des termes de la suile 

A, . A,,. , A,,, . , A._. 

5 — «i "^ l' — «i-hi ' V — Oi^i ' ■ ;' — «i_, ' 

Aj . A,^, , A,^, . A,_, 

? — «i ' ç— «,+, ' S' — «i+j ~^ ' ?' — «,_,' 

A, . A,,., _^ A,,, , , A,_. 

A,- A,,, , A,., , A,_, 



Entre | et |' la valeur du premier nombre de l'équation est comprise entre le 
plus grand et le plus petit nombre de cette suite. 

Deprez {M.). — Distribution de l'énergie par l'électricité. (892). 

N« 23; 5 décembre. 

Mouchez. — Observations méridiennes des petites planètes et de 
la comète b de 1881, faites à l'Observatoire de Paris pendant le 
troisième trimestre de l'année 1881. (913). 

Rcsal. — Sur la théorie des l)oulcts rames. (916). 

Ilermite. — Sur quelques applications de la théorie des fonctions 
elliptiques. (920). 
Si l'on écrit Téquation de Lamé pour n = 2 sous la forme 

DljK = (6Â' sn-jT -\- GA^ sn'a — 4 — 4A')j', 
lu solution est donnée par les formules 

et l'on a pour la détermination des conslanles oj cl \ les relations 
sn'a (a/,'^ sn'a — i — A'') 



sn-* w = 
dn'ti) — 



3 A^ sn*rt — 2(1 + A-) sn^a -i- 1 

en' a (aA'^ sn-a — 1) 
3 A'' sn''rt — :i (i + k'^) sn-'rt -f- 1 ' 

dn*rt (■? sn^rt — I) 
j A^ sn^a — j ( 1 -i- A') sii^« -t- 1 
( ik- sn-a — I — A' ( iA'' sn'a — 1) ( ! sii-V/ — r) 
3A' sii'a — :î(i -l- A^*) su^« 4- 1 

SM M (Ml b) (In (•) 

•in' (i — sii'co 



REVUE DES PUBLICATIONS. 39 

Apres avoir rappelé ces rcsullats, l'auteur se propose (rcxaniiner ce qui arrive 
quand la constante X est nulle ou infinie. 

On a X =; G si w = 0, K, K + iK'; on obtient alors aisément, suivant les cas, les 
solutions 

y — l)^ sax, y = D^cno:, y = L)^ t\nx. 

Soit maintenant le cas de )> infini : en désisnaiU [lar a un(^ solution de l'équa- 
tion en a 

3/,' snV/ — 2 (i + A"^) sn-a -}- I = o, 

l'auteur pose a = a + t,, w = iK! + s, t; et s étant des infiniment petits ; celle 
des formules précédentes qui donne sn'w conduit au développcinenl 

OÙ p et g sont des constantes, et la dernière, qui donne X, fournit de môme le 
développement 

L'équation 



A = — 1- ( A- sn^ a 
(■)'{iK' — c) M'(£) i- I i~ , /J I -)-/.■•' 



0(tK'-f-£) H (s) ■.. K £ :ilv Viv 
donne ensuite 



^> 



s +. 



X --^TT-, • = -fr + A'sn^a— - î +.. ., 



et il en resuite 



6(a;) «(je) 

f)ii 

^ = -ij-.(A^sn^.-i).; 
d'ailleurs 

Un obtiendra tloiic la limite cherchée en remplaçant e par - : la limite, pour 
e = o, de 

. ri(fjîii),,j 

£ M «(-Z^) J 

sera 

I'0'C^1 1 

^j-.o'J=A=(sn=a-sn=.r) 

où la constante sn^a est déterminée par l'équation 

> /.^ su' a — > ( I -!- A- ) sn^ a -f- 1 = o. 

Le pindule conique fouinit une application inléressanle tic ces ré>nltats : 
l'étude de son mouvement dépend, comme on sait, di,' linléjïraliou des équa- 



4o SECONDE PARTIE. 

lions 

d'où l'on tire d'abord 

ds"^ , ^ dx dv , 

dt^ * ^ " -^ dt dt ' 

puis 

^ . ^ [dx . dv\ dz , 

^ - ' \ dt dt 1 dt ' 

L'avant-dernière équation, divisée membre à membre avec l'équation 

conduit à la formule 

X — iy = e J 1— -- 

qui permet d'obtenir les expressions explicites de ^ ety données par M. Tissot 
{Journal de M. Liouville, t. XVII, p. 88). M. Hermite procède d'une manière 
différente : la formule N = jg'(3« -i- 2c) conduit en effet, pour la détermina- 
tion de J7 + iy, à l'équation 

d^(x-^iv) ,T , , . . 
^7^7^- = — ^(3- + 2c) (.r-f-îr-): 

qui n'est autre qu'une équation de Lamé dans le cas de n = 2. 
En posant en effet 

2g(z. + C) (I- ^^) -l^=-2giz-:L){z-^.){z- V), 
T>a>Y, a > o, — i<p, — i<y<o. 



a — y V -^ 

u = n{t— t„), 

z = !x — (a — ^) sn- {u, A), 



celte équation devient 



Dh (.r + iy) = ((ik^ sn=M - 2 *— -^^ — ~) ("^ + '>)' 

et la formule 

_ Çzdz-ildt 
X + iy = e J '- =- 

rapprochée de la solulioii générale de l'équalion de Ijamé, nionlrc (piOn doit 
prendre 

X -I- /^ _ Ai)„ - e(,o)e(io~ ^ •- '^""-^ ■' 



REVUE DES PUBLICATIONS. \\ 

il reste à déterminer les constantes A, >., oj; c'est ce que fuit M. Ilcrmite dans 
une Communication postérieure (26 décembre); on a d'abord les formules 



sn'o) 


= 


— 


aM? + T 


) 


a-l-i 




cn^ w 


== 


P^ 


(* + T) 






a-li ' 




dn'w 


_ 


t' 


(='+?) 





a-li 

^2^ _ (a + p)(? + r)(r + ^) . 

a — Y 

On voit que sn^w, dn'u sont positifs et que cn^w est négatif; on est donc amené 

à faire 

w = d= K + iV ; 

une analyse plus approfondie montre qu'il est permis de prendre 

w = + K + iv, 

V étant compris entre — K' et + K' et déterminé par les expressions 



sn2(t^, A-') 



^'{t-'r) 



cn^ ( y. A- ) = ' , /, ., — 

3 — a 



aM? + Tl 



On trouve ensuite 



>^' = - ^.• 



/2 



Les quantités );, y sont déterminées par ces formules au signe près; l'auteur 
établit qu'on doit prendre 

et que v aura le signe de l ou un signe contraire, suivant que la racine moyenne 
p sera positive ou négative. Quant à A, on devra prendre 

A = (a— Y)e'>, 
» désignant un angle arbitraire. 

Brioschi. — S tir la théorie des équations diflereiitielles linéaires 
dti second ordre. (94')- 

M. Kummer a démontré {Journal de d'elle, t. l'y) que, étant données deux 
équations différentielles linéaires du second ordre, 

iPy , ^^ cly 



dx^ dx 



+ (ly ~ O) 



d'z ^dz _ 



42 SECONDE PARTIE. 

en posant 

el en supposanl l funcliou de a:, on a 
où 

Si P el O peuvent s'exprimer en t comme/?, q en x. et quev = F( J^) soit une 
intégrale de la première équation, z = F (t) sera pareillement une intégrale de 
la seconde équation, et l'on aura 

V{x) = ivF{t). 

La théorie des fonctions livpergéométriques et elliptiques donnent des exemples 
de cette propriété des fonctions P, Q, p, g, dont le plus important est dû à Le- 
gendre : les recherches de MM. Schwarz, Klein, Cayley, Fuchs, Brioschi ont pour 
point de départ le sjstème d'équations ci-dessus. 

TaccJiini. — Observations des taches et faciiles solaires, faites à 
rObservaloire du Collège Romain pendant le troisième trimestre 
de 1881. (948). 

Tacc/iini. — Sur le spectre de la comète dEncke. (p/jp)- 

Tacchini. — Sur la comète Wendell, ,4'" 1881. (949)- 

DuponcJiel. — Rectification et addition à une Note précédent!? 
concernant la courbe des taches solaires. (c)Jo). 

Poincaré. — Sur les courbes définies par les équations difTéren- 

tielles. (951). 

Dans un Mémoire inséré dans le Journal de Mathématiques (18S1). et qui a 
été anah'sé dans \c Bulletin, lautour a élutlié les courtes définies par une équa- 
tion différentielle 

clx _ il y 



11 étend les résultats précédemment obtenus au\ équations île la forme 

cly' 
clx, 



l'I^.v, -,-)=o, 



p étant un polymiuic cntiei". 
ICii posant 



REVUE DES PUBLICATIONS. 43 

où les 5 sont des fonctions rationnelles, il en résultera, à cause de l'équation dif- 
férentielle, 

'!>(?, T„l;)r^O. 

Celte équation définil une surface, el lYniualion dilïérenliellc définit certaines 
caractéristiques tracées sur cette surface. Si l'on suppose que cette surface se 
compose d'un certain nombre de nappes fermées, on aura pour une de ces nappes 
la relation 

N 4- F — C = 2 — np, 

où \, F, C sont les nombres de nœuds, de foyers et de cols [voir le Mémoire 
cité), et où p est le genre de la nappe, c'cst-à-dirc le nombre des cj^cles séparés 
que l'on peut tracer de cette nappe sans la séparer en deux régions distinctes. 

Deprez. — Distribution de l'énergie par rcleclricité. (gJa). 



N° 24; 12 décembre. 

Slephanos. — Sur les faisceaux de formes binaires avant une 
même jacobienne. (994)- 

L'auteur présente à l'Académie un Mémoire, dans lequel il étudie les faisceaux 
de formes binaires ayant une même jacobienne par les seules ressources de l'Al- 
gèbre binaire. 

Dans la première Partie, après une InlroducUon concernant les systèmes li- 
néaires de formes binaires et les invariants et covariants de ces systèmes (com- 
binants des formes binaires), il examine les relations qui ont lieu entre les 
formes d'un faisceau et sa jacobienne, ainsi que les relations qui existent entre 
deux faisceaux ayant une même jacobienne. 

Dans la deuxième Partie, il étudie d'une manière détail'ée le problème de la 
détermination des faisceaux de formes biquadratiques, ayant une jacobienne 
donnée, problème qui acquiert un intérêt particulier, par ce fait qu'on peut y 
ramener la rccherclie des substitutions linéaires qui font disparaiU'c le second et 
l'avant-dernier terme d'une équation du dixième degré. 

La g lierre. — Sur les équations de la forme 

(1000). 
Une telle éi|uation i)eul toujours se mettre sous la l'orme 

r ''" r ''" 

f e--' l\{z)d: —...-^ f e'--" I'„ {:)(/z = o, 

*^' /'u '■' (1,1 

où les i|uuulilés rt^, b^,. . ., a„, b„ sont rangée- i)ar oi-bc de gramlciir, ou sous la 
f'iriiie 

/ c ■'-[•(zidz, 



i SECOND li PARTIE. 

F(^) étant une fonction discontinue qui s'annule tlans des intervalles conve- 
nables. 

Le nombre de ses racines positives est au plus égal au nombre des racines de 
l'équation 



f 



F (x) dx = o, 



qui sont comprises entre a„ et «„. 

En supposant que les i[uantiîé5 F„, F, se réduisent à des constantes, ou a le 
théorème suivant : 

Etant donnée l'équation 

UfiX'^u-^ a^x^\-r-. . .-ha„ x^n= o, 
où les nombres a,,,..., a„ vont en croissant, si l'on forme les quantités 

Po=«0) /'| = «(.-^«, /?„= «o-r- ■• + «.. 

le nombre des variations des termes de la suite 

l'oint— ï.,), 

p„{7.,— aj — />, (a,— a,) -hp-j(.:t,— xj, 

/j,(a,— a„) -i-p, (a,— a,) -H. .. — /»„_,( a,.— a„^,). 
Pu 

est au plus égal au nombre des racines de l'équation proposée, qui sont supe ■ 
rieures à l'unité. 
L'équation 

où les exposants sont positifs, a, au plus, autant de racines positives que l'équa- 
tion 

A B , C , 

x"- -i X' -f- X> -T- . . .^ O. 

r(a^i; r(:i-hi) r(r-r-i) 

L'équation 

A -h Bx — Cj'—Dj:' — ...T= o 

a. au plus, autant de racines positives que l'équation 
A-^-îi-.-^ C 



(0 étant une quantité positive quelconque. 

On peut toujours déterminer une valeur de z telle (pie, |)our celle valeur et les 
valeurs plus grandes, le nombre de variations que présente le dévcloppcmcnl de 
f{x)e'' suivant les puissances ascendantes de x soit cxacteinenl égal au nond)re 
des racines positives de ré([uati()n f(x) — o, chacune de ces racines élanl 
comptée avec son degré tle mulliplicilé. 

Halphen. — Sur une séilc d "Ahcl. ( loo.î). 



REVUE DES PUBLICATIONS. 

il s'agit (le la série 



■?..i.../l •' ' 



indiquée par Abcl (t. 11, p. 8j). 

Voici les conditions dans lesquelles cette formule est légitime : 

l^our qu'il existe des quantités Jâ rendant exacte cette formule, il faut et il 
suffit qu'il existe aussi des quantités a laissant fini le produit a"/'") (a:) quand n 
est infini. 

Soit a le plus grand module des quantités a, et soit u la racine positive 
de «e'+"= I (m = o, 27. . .) ; la formule est exacte pour les valeurs de ji dont le 
module est moindre que le produit ua. 

Soit/j tout nombre compris entre o et n. Les produits z"eP/'-''^ (pz) restent 
finis, pour n infini, tant que le module de z reste inférieur à ua. Mais si z con- 
serve un même argument w et que son module croisse d'une manière continue 
au delà de ua, ces produits restent encore finis jusqu'à une autre limite 9 (w), 
dont la forme dépend de /{x). 

La condition nécessaire et suffisante à l'existence de la formule d'Abel con- 
siste en ce que le point p soit à l'intérieur de la courbe p = 9(w). 

]\r. Halphen considère comme exemples les fonctions e^, e^-^. Un exemple cu- 
rieux du cas où la série converge sans représenter la fonction est fourni par 
Abel lui-même à son insu. L'illustre géomètre l'applique en effet à la fonction 
log(i-H.r), et alors la série définit une transcendante nouvelle, tout autre que 
le logarithme, dont AL Halphen indique quelques propriétés intéressantes. 

Appell el Janaad. — Remarques sur l'introduction de fonctions 
continues, n'avant j3as de dérivée, dans les éléments delà Méca- 
nique. (ioo5 ). 

Considérant, par exemple, une force discontinue dans tout intervalle, agissant 
sur un point mobile suivant une droite Ox et toujours dirigée suivant cette 
droite, les auteurs admettent que l'accroissement de vitesse pendant un intervalle 
de temps est au plus égal à celui qui se serait produit si la force avait constam- 
ment conservé sa plus grande valeur et au moins égal à celui qui se serait pro- 
duit si la force avait constamment sa plus petite valeur : on en déduit la conti- 
nuité de la vitesse; si la fonction '-^{t), qui représente la forme, est susceptible 

/-' ' 
d'intégration, 1 expression / ■^{t)dt représente les variations de vitesse pen- 

"- '11 
dant l'intervalle de temps /„= t. 

Iléciproquemenl, si l'on se donne la vitesse v =/(^),ct si la fonction /( t) admet 
une dérivée o{t) susceptible d'intégration, la force 1*"= <^{t) produira le mou- 
vement considéré; maison ne changera pas le mouvement en modifiant cette force 
pour un nombre limite- et même pour une infinité de valeur de t. 

EllioL. — Sur nue classe de fonctions analogues aux fonctions 0. 

(^1008). 

Soient u'-'\ u'-^>,..., u '' les y> intégrales normales tle première espèce relatives 
à une ('quation r(j:. t) = o, tv '■' une intégrale normale de deuxième espèce, 



46 SECONDlî PARTIR. 

(''*) une intégrale normale de Iroisième espèce, l'aiiliMir a|)prcnil à former une 
fonction B'^/j qui ne dépend de la variable x que par l'intermédiaire de p inté- 
grales m('), des q intégrales pC', des /■ intégrales «'('') et qui est une fonction holo- 
morplie de ces p -\- q -\- r quantités considérées comme variables indépendantes, 
et il indique quelques propriétés de ces fonctions. 

N*^ 2o; 19 décembre. 

Le Cordier (P.). — Recherches stir les lois fondamentales de 
l'électrodynamique. (io55). 

Laguerre. — Sur l'introduction des logarithmes dans les crité- 
riums qui déterminent une limite supérieure du nombre des ra- 
cines d'une équation qui sont comprises entre deux nombres 
donnés. (io6i). 
Considérons l'équation 

\„V {a„x) + A, F(f7,a:) +. . .+ A„F(rt„a;) = o, 

où V {x) désigne une fonction quelconque de x telle que, dans son déveloiipcmcnt, 
tous les coefficients soient positifs, et où a„, «i,.. ■•a,, sont des ([uanlités posi- 
tives rangées par ordre de grandeur; si l'on pose 

p„=A„, y>,=:A„+A,, /?,= A„+A, + A,,..., />„= A„+ A, + . . .H- A„; 

le nombre m des racines positives de cette équation est au plus égal au nombre 
de variations de la suite 



P., P„ Pi----, P„, 



ou de la suite 



/>„ log — , 

«o log f- p. log — > 

p„ log 1- p log H p log ~ , 

) 

pjoii \- p log -J -\-. . .-l-/^,_, log 

r 

Fitclis (L.). — Surnne équation différenliclle de la forme 

du' 



■^ <"'./. 



(io63). 

\.;\ rcclicrclic du cas où les é((ualions 
/ (In '" 



REVUE DES PUBLICATIONS. 47 

s"intcgrenl par des fondions unifurnics cl <lonl)!(Mncnt pcrioiliqucs a élé com- 
plélcmcnt cffcctiicc par MM. lîriot et Bonquct. L'aulcur montre comment la mé- 
thode exposée par M. Hermite, dans son Cours d'Analyse, pour intégrer les équa- 
tions de la forme /( u, - ) = o, conduit aux résultats obtenus par MM. Briot et 



Bouquet. 

Pellet. — Sur les fonctions irréductibles suivant un module pre- 
mier. (io65). 

IJ eill (M.). — Théorème d'Arithmétique. (1066). 

N" 26; 26 décembre. 

Hermite. — Sur quelques applications de la théorie des fonctions 
elliptiques. (1099). 
Voir plus haut. 

Bigourdan. — Eléments et éphémérides de la comète g i88i 
(Swift). (1122). 

Darhoux. — Sur les différentielles successives des fonctions de 
plusieurs variables indépendantes. (1128). 

Picard (/-•). — Sur quelques exemples de réduction d'intégrales 
abéliennes aux intégrales elliptiques. (ii2(3). 
Si l'on considère la courbe du second genre 

y'^ — X (^x — \) {x — aY , 
l'intégrale de première espèce 

C {^ — m\){x-~a^ — (^ — m\■')r , 
/ 7, — dx, 

. ! . y' 



A = cos -^ h i sin -5-> 

et où m est un nombre réel et commensurable, n'a que deux périodes. 
Il en est de même do l'intégrale 



r h' {m ^ i 



) — (m — i)x'^ 



relative à la courljc du troisième genre 

_}■'= x'^ -}- ax''-\- b, 
on sup|)osaiU m couiniciisuralde. 



48 SECONDE PARTIE. 

THE QUARTERLY JOURNAL of Pure and Applied Mathematics ('). 

Tome XVI; 187g. 

Cayley. — Sur la cinématique du plan. (1-8). 

Un plan variable se meut sur un plan fixe. Chaque point du plan variable 
décrit une courbe sur le plan fixe; chaque courbe de ce plan a une enveloppe 
sur le plan fixe. Réciproquement chaque point du plan fixe trace sur le plan 
variable une courbe et chaque courbe de ce plan fixe donne lieu à une enveloppe 
sur le plan variable. Enfin, le mouvement relatif peut être produit par le roule- 
ment d'une courbe du plan variable sur une courbe du plan fixe. M. Cajley 
reprend la théorie analytique de cette question et en fait Tapplication au cas le 
plus simple. 

Muir (Th.). — Sur le développement de l'expression 

(>r H- r)" + (— ^)«+ (— r)". 
(9-i4). 

Cet article se relie à celui de ^I. Glaisher sur le thcorcmc, dû à Cauchy, que 
{x -i-y)" — x" — y" est divisible par x^-i- xy -\-y^ si n est de la forme 6/;i =b 1 
et par {x^-h xy -hy')* si n est de la forme 6m -hi. 

L'auteur se propose de généraliser cette proposition et il obtient en particulier 
le théorème suivant : 

Posons 

p =z x'-i-xy -^y", 

r = xy'--{' x^y. 

L'expression (x -T-y)"-\- ( — x)"-h ( — y)" n'est divisible ni par ^ ni parysi 
n = 6p ; elle est divisible par Jî' y si n = dp + i , par Jî si n — 6p ■+- 2, par y si 
n = 6p + 3, par p^ si n = 6p -+- 4, par Py si n — 6p -r- 5. 

Considérant de même le polynôme 

(x -\-y + ^)-"'+' — ^•!'"+« _ _j/5"i+« _ -2'"+', 
M. .Aluir montre qu'il est toujours divisible par 

^-^[{x + y -^ zy — x^ - y^ - z^]. 

Glai.shrj- (J.-JJ .-L.). — Sur un déterminant de forme spéciale sur 
certaines fonctions de n variables analogues au sinus et au cosi- 
nus. (i5-33). 

Ce Mémoire peut être considéré comme la suite d'un travail |)récédent : « Sur 
les facteurs d'une forme spéciale de déterminant» inséré au t. W, p. 3'i7-356 



(') Voir lUilIrtin, IF,, iS;. 



iniVUK [)I-S PUBLICATIONS. 

du Oiuirlerh' Jouriidl. l/auleur v ronsidi-i'f^ les n foriclioiis 



49 






X" 



{in)\ 



(«-^')! 



( 2 n 



*«-,(-2^) 



(«-!)! 



o: 



et il en montre l'analogie avec le sinus et le rosinus hyperboliques, les for- 
mules d'addition, les relations différentielles, la généralisation de la formule de 
Moivre, etc. 

Mais il faut remarquer (]u'clles ne donnent pas la véritable généralisation du 
sinus et du cosinus. Il faudrait avoir n fonctions de n — i variables liées par 
une seule relation. .M. Glaisher rappelle que ces n fonctions ont été en effet 
obtenues par M. Appell dans un intéressant Mémoire publié en 1877 dans les 
Comptes rendus et il reprend, en les développant, les résultats de ce travail. 

Tanner [IL-]] .-Lloyd)- — Sur certaines fonctions analogues au 
Pfaffian. (3H5). 

Considérons n fonctions j)',, y.^, . . .,j)'„ de « variables .r, , . . ., .r,,. Si Ton forme 
le déterminant 



Xi 


_T, 


j)-„ 


ô 


() 


r) 


()x^ 


()X^ 


dx„ 


Xi 


.y- 


■ ■ r,. 


<) 


ô 


r) 


c)x, 


()x. 


ôx„ 




et que l'on suppose que, dans chaque terme, les différenliations portent sur la 
partie qui les suit, alors, si le déterminant se termine par une ligue 



d 
<)x, 



à 
()x„ 



il indique une opération que l'auteur désigne par le symbole ! i, 2. 
au contraire, le déterminant se termine par une ligne 



,.,/?;; si. 



j-i, •>-,, . . ., -)-„, 

il acquiert un sens quantitatif; mais on peut le transformer en un opérateur si 
on multiplie la dernière ligne par une fonction u. On désigne cette opération 
par le symbole [i, 2, ..., n]. L'auteur développe différentes propriétés relatives 
à ces deux symboles, dont nous venons de faire connaitre la déflnilion. 

Tanner (H.-]] .-Llovd). — Sur la transformation criine expres- 
sion différentielle linéaire. (45-t)4j. 

/in//, des Srirnrrs nuil liém.. •y." série. I. \T. (Mars iS8:î.) R.'! 



5o SECONDE l'AUTlE. 

Dans ce Mr-nioire, rautcui" consklrrc rexiirossiou (Urfi-renlicllo 

y, dXy -f- • • • -T- J>'„ (Ix^, 

où y\,..., y„ sont des fonctions de j:*,,. .., j:„, et il donne les conditions néces- 
saires et suffisantes pour qu'elle puisse être ramenée à l'une des formes cano- 
nifiucs 

dUi + i\di<^-h . . .-- i'^du^., 

V, f/f/| H-. . .— i\.du^. 

La méthode suivie par l'auteur repose sur la considération de certains déter- 
minants symboliques dont l'étude fait l'olijct du présent ^lémoirc. 

JejD'ery (^H.-M.). — Sur les courbes planes de troisième classe à 

trois fovers singuliers. (65-8 1). 

Continuation des études de l'auteur publiées dans le A olumc jirécédent. Dans 
les articles antérieurs, l'auteur avait classé les cubiques de troisième classe qui 
ont un triple ou un double foyer. Il traite maintenant le cas de trois foyers 
simples et elVectue la classification d'après la position de ces trois foyers relati- 
vement à la droite de l'infini. Pour chaque position des trois foyers, M. Jeffery 
donne récjuation de la courbe en coordonnées tanijentielles. Il discute en 
détail les dillérents cas et examine en particulier ce qui concerne les tangentes 
doubles. 

Coates (C-T .). — Sur le mouvement tourbillonnaire à rintérieur 
et à l'extérieur d'un cylindre elliptique. Seconde Partie. (81-88). 

L'auteur étend les résultats connus relativement à un cylindre circulaire au 
cas d'un cyliuflre elliptique. Il emploie pour cela les coordonnées elli|)ti(jnes 
qu'il substitue aux coordonnées polaires employées dans le cas du cylindre cir- 
culaire. La difficulté de Ja question consiste dans la discontinuité qui se pré- 
sente pour le cas du mouvement à l'intérieur. L'auteur surmonte celle diffi- 
culté en employant des fonctions et il montre que, même aux foyers, les vitesses 
demeurent finies et continues. 

Glaisher (./.-!( .-L.). — Sur le théorème de Caucliy relatif aux 

facteurs de {jn +^r)" — j?" — r«. (89-98). 

P^xtension des résultats déjà donnés par l'auteur et par .M. Muir. L'auteur 
démontre difTérentes identités et en fait des applications. 

Jeffery {II. -M.). — Sur la classification des courbes [)laiies du 
troisième ordre. (98-109). 

Ces courbes ont déjà été classées par l'Iiieker d'après la nature de leurs asym- 
ptotes et par M. Cayley [On the classification of cubic cui-kcs ( Cambridge Pliil. 
'J'rans., i8G()) ]. 

L'auteur se j)ropose de compléter ces recherches en cherchant l'enveloppe de 
la droite satellite (droite passant par les points de rencontre des asymptotes et 
de la courbe), quand les cubiques sont assujetties à des conditions déterminées. 
I^n particulier, l'enveloppe de cette dioite est détermiiK'c quand, les asymptotes 
ic~lant fixes, la ciibicini' c'-t a<>njeltii' à a\oii- mi ri'liii>ii-.--c'iiiciii. 



REVUE DES PUBLICATIONS. ji 

Cayley i^A.). — Note sur la théorie des surfaces apsidales. (109- 

1 12). 

L'illustre géonièlre douiie un syslèinc de forimiles ijiialyliiiiies qui permel d'é- 
tablir d'une manière réellement simple que les surfaces apsidales de deux sur- 
faces polaires réciproques sont clles-iiiémes polaires réciproques. 

tUcksi ]J .-M.). — Sur le mouvement de deux c\lindres dans uu 

fluide, (i i3-i4o et U).)-2i9). 

L'auteur suppose que les axes des deux cylindres sont indéfinis et demeurent 
•toujours parallèles, que le mouvement est le même dans tous les plans perpen- 
diculaires à ces axes; en sorte que le problème dépend de deux dimensions seu- 
lement et, au lieu des cylindres, on peut prendre les cercles qui leur servent de 
base. Il s'agit d'abord de déterminer le potentiel des vitesses du fluide incom- 
pressible dans lequel se meuvent les deux cercles. Cette détermination s'effectue 
sans difficulté, si l'on prend des coordonnées curvilignes correspondantes au 
système formé de cercles orthogonaux; on est alors ramené à un problème 
antérieurement traité par l'auteur. L'auteur discute d'abord le cas où les deux 
cercles se touchent; puis il examine et développe en détail tout ce qui concerne 
le cas général. 

l^oiviisend (B.). — Sur l'équation de M. Jellett dans la théorie du 

potentiel et sur son application à la délermination de l'attraction 

d'un disque circulaire, quand l'attraction est en raison inverse 

d'une puissance quelconque de la distance. (i4o-i5i). 

La jjroposition de M. Jellett, dont l'auteur fait usage, est la suivante : 
Suit, pour /.■ variables J:, y, -, ..., 



et soit 

,'■= (X — «)=-4- (y — à)' 

alors 



peut être appelé le potentiel des points {a, b, c) de masses ;x dans un espace à 
/. dimensions, quand l'attraction est proportionnelle à la n''"'" puissance de /•. 
I^'équation de M. Jellet est 

AV„ = («-i)(/(^-A--i)V„_,. 

Ce théorème élégant conduit l'auteur à une solution simple de la question 
proposée. 

Lewis ( T.-C). — Application de la Géométrie à quatre dimensions 
à la détermination, sans aucune intégration, des moments d'iner- 
tie des solides, (i 52-159). 



.V> SECONDE PARTIE. 

L'auteur consiilorc successivenienl le tétraèdre, le parallélépipède el Tellip- 
soïde. 

Hoberts (S.). — Sur l'irapossibilité d'une extension générale du 
théorème d'Euler sur le produit de deux sommes de quatre car- 
rés au produit de deux sommes de 2" carrés, où /^ est plus grand 
que 3. ( I J9-J 70). 

Il s'asil ici d'une question très intéressante et sur laquelle ont été émises les 
opinions les plus contradictoires. On sait, depuis Euler, que le produit d'une 
somme de quatre carrés par une somme de quatre carrés est encore une somme 
de quatre carrés. Ce théorème a élé généralisé par Lagrange, qui a substitué à 
la forme x- -:^ ^■- ~- z'^ ~ t- la suivante : x^ -^ ay- -^ bz'^ -^r abi'. On a reconnu 
également que le produit d'une somme de huit carrés par une somme de huit 
carrés est encore une somme de huit carrés, ce qui a porté quelques personnes 
à penser que le théorème d'Euler peut s'étendre aux sommes composées de 
2"' carrés, ni étant quelconque. I^'induction était séduisante, le théorème étant 
démontré pour toutes les valeurs de m inférieures à [\. Cependant elle est 
inexacte et .M. lloberts montre qu'il est impossible de généraliser le procédé qui 
réussit dans les cas que nous venons d'indiquer. 

L'étude de celle question est d'autant plus importante qu'elle joue un rôle 
essentiel dans toutes les équations relali\es à la généralisation de la méthode 
des quaternions. 

Contes (C.-T ."). — Sur le \ortex. annulaire. (170-178). 

L'auteur considère un filet lourbillonnaire de petite section. On a à développer 
une intégrale elliptique complète de première et de seconde espèce dont le 
module est très voisin de i. L'auteur effectue ce développement en conservant 
seulement les termes qui sont proportionnels au carré du module complémen- 
taire, el il compare les résultais ainsi obtenus avec ceux que l'on connaît rela- 
livemenl au Miouvcnienl d'un tilel lourbillonnaire l'ecliligne. 

(%(vley {A.). — Application do la niéthode de Newton-Fourier 
aux racines imaginaires dune équation. (t7()-i8()V 

W. C.aylev considère l'éciuation du second degré 



el il cherche quelle est la ciiiiditinu pour (luc, eu parlant d'une valeur apjiro- 
chée x^ et en appliquant la mélhode de ISewlon, r)n s'approche inili-linimenl de 
l'une des racines. La solvition de cette question est fournie par la relation 






<(ui exisU; (;nli(' deux valeurs approchi'-es conséculives. 

S/ia//J ( // .-('.-./.). - - Sur les courbes du troisième ordre. (18G- 
192). 

I)i-iii(iii'.| rai iniis él(-niiiil;{ins de (|iiili|nrs piii]iiii-l(-s (nridaiiiciilalrs des cti- 



UEVUK DES PUBLICATIONS. 53 

l)iqiies pur remploi de réquali<ni réduite 

dx'^ -'.- ''}(\xz' - cz'' -r ?>h-.y-z ^ I). 

Warreii (./.-// .). — • Sur une (orme parlieullère de la formule de 
Gauss, donnant la mesure de la courlnire. ('ii()-:ii/\). 
La courbure k peut être mise sous la (orme 

(>'-<■) ^ (ïi^ _ (H] 
ÔpOq ' Ùq Op 

• où w est l'angle sous lequel se coupent les courbes/» = c, q — c'. 

Cayley\A.\. — Sur uni; formule covariante. ( iii\-i'^>(S). 

'S\. Cayley remarque (]ue, si l'on considc're la l'oiiiiub^ <Ie Newton 

■^■--•^ /.>■)' 
ou a 

ix - II) f ix) -- f( X \ 

Le numérateur de cette expression admet !a lacine double x ^ a et pai- con- 
séquent le discriminant de l'expression 

{X — X,)/' {X) ~J'{X) 

contiendray'( j;, ) en l'acteui". (!ela le conduit à consiilérer le covarianl 

ar~r,x){:c ^ -;- ^ -J^ )/(;, -rj - ( a r - ?^)/(;, r,), 

dont le discriminant par rapport à ç, r, est une fonction d'ordre an — 2, soit eu 
iT, j', soit en a, |j. Ce discriminant contiendra/( J7, jk) en facteur, et il restera 
un polynôme du degré ii — 2 en x, y, in — 2 en a, [3, et an — 3 par rapport 
aux coefficients àa f{\, r,). ^L Caj'ley vérifie ces résultats dans les cas les plus 
simples, oîi f est du second et du troisième degré. 

Greeiihill [^.i.-G .). — Mouvement trun Iluide compris entre des 

cylindres elliptiques conlbcaux et entre des ellipsoïdes liomolo- 

caux. ( 22^-256). 

Un fluide est com|)ris entre deux cylindres elliptiques indéfinis confocaux. 
L'un des deux cylindres commence à se déplacer soit parallèlement à l'un des 
axes de la section droite, soit à tourner autour de Taxe commun, pendant que 
l'autre reste fixe. L'auteur détermine le potentiel des vitesses relatif au mouve- 
ment initial du fluide. La solution a exactement la même forme que dans le 
problème connu du mouvement d'un seul cylindre dans un fluide indéfini. 
L'auteur examine ensuite le même problème dans le cas du mouvement simul- 
tané des deux cylindres. Il résout tics (pieslions analogues relativement à deux 
ellipsoïdes confocaux. Kn terniinaul, il di>cMlc 1res en détail, par le moyen de> 
fonctions ciliptiijucs, le mouvcmciil il'uii ellipsoïde de révolution allongé ou 
aplati dans un fluide indéfini. 



54 SECONDE PARTIE. 

Glaisher (J.- Jl ,-L.). — Sur certains théorèmes symboliques du 
professeur Crofton. (i2y-^56). 
Ces théorèmes concernent cerîains opérateurs exponentiels. 
Rappelons les notations D = -- » e\p. u = e", on aura 



'xp. {^a'D^)/{x) = exp. (- i fï)F(«^D). exp. (^i g j, 

;xp. (-^' ) exp. (- D^ ) f^^P- ( ~ •^" ) f ('^) 
= exp. (^ir^^exp. (^j:^)exp. ('^ D- ') F(j:). 

îxp. (-^^•^)/(D)exp. (^x^JF(.r)=exp. (^D^)/(:r)exp. (^-iD--)F(j'), 

?xp. ( - a- \y- ) exp. ( - b^x'^ ) F (x) 



rt-(i — a'-b'') _ 



= exp. ( ; 1 F(r<*D) exp. 

(i-a-'b')- ^ 

'r(J^y(l))V{x) = 'i{x-x')/{i))Fix), 

Dans le développement de cette dernière formule x' désigine x précédant l'opé- 
rateur /(D) et X désigne cette variable suivant l'opérateur. 

Glai.s/ief (J.-Jf .-L.). — Sur certains théorèmes symboliques déri- 
vés de la série de Lagrange. (263-268). 

Cet article contient diiïérentes formules symboliques dont (pielqucs-unes 
avaient été déjà données par M. Cayley- 

Ccnlev (A.). ■ — Note sur une série hvpergéomélrique. (268-2^0). 
Vériflcalion de ce résultat de M. Schwarz : réijuation 



d-r 



— r ^ I 
h dy 



dx- x{\ — y) dx x{\ — x) 

ailniil l'intcgrale ali;ébriqnc 



y - ". 



j'— V a — a'J^J -r- V— a°-l- ax», 
a ('-lanl niic r.niiii- \\i^ !'(''(|nation a' — a'+i =0. 

^tforn [II. -T.]. Sur les (-(mclics lourbillonnaircs. ( >- i-'.>.j8). 



REVUE DES PUBLICATIONS. 55 

Un fluide a ses particules animées d'un iiiouvemcnL de rolalioii à rinlérieur 
d'un cylindre infinimenL mince de rajon a, de telle manière fju'un mouvement 
tourbillonnairc est dirigé suivant l'axe de ce cylindre, pendant que le cylindre 
est entouré extérieun-ment de fluide en repos. Le fluide en repos et le fluide en 
mouvement sont sép.irés par une cloison infiniment mince. L'auteur recherche 
quel efl'et l'éloignemcnt brusque de cette enveloppe a sur le mouvement du 
fluide en repos. 

Pour que ce fluide demeure encore en repos, il faut remplacer la cloison 
solide par une couche infiniment mince de filets lourbillonnaires. Si j/-est 
l'épaisseur de cette couche, la surface cylindrique doit tourner avec une vitesse 

déterminée — = autour de l'axe, pendant que ses génératrices tourmut sur clles- 
2a' 

mêmes avec la vilcsse > a désignant le ravon du cvlindre. (ne telle coui'hc 

•j ai- 
de filets tonrijillnnnaires a donc |K)ur elfet de supprimer, comme la cloison, 
tout ell'et de tourbillon central sur le liquide ([ui l'environne. l>auteur lerniim- 
en généralisant ces résultats. 

Toivnsencl {R-)- — • Sur le moment dinerlie diin anneau circu- 
laire solide engendré par la révolution d'une courbe à cenln; 
fermée. (279-280). 
L'auteur fait connaître une proposition générale sur ces moments. 

Cayley {A.). — Stir la fonction octaédrique. (aSo-'îSi). 

11 s'agit de la fonction U du sixième ordre considérée par M. Klein et qui est ca- 
ractérisée par cette propriété que le covariant (LU)* est identiquement nul. 

Supposant que, par une substitution linéaire, U ait été débarrassé de ses 
termes extrêmes, AI. Cayley montre comment celte condition fera connaître U. 

Carier {A.). — Sur certaines identités algébriques. (■.>.Hi--2S->). 

Glaisher [J.-]\\-L.). — Sur un lieu géométrique relatifà ICllip- 

so'i'de. (283-294 i- 

Le lieu des milieux des cordes de longueur constante dans l'ellipse est une 
courbe du quatrième ordre. Pour l'ellipsoïde, ce lieu se compose d'une portion 
de l'espace comprise entre les nappes d'une surface du sixième ordre. C'est 
l'étude de celte surface qui est l'objet principal du .Mémoire de M. Glaisher. 
L'auteur en trouve différentes équations, il en étudie la forme, les sections par 
les plans principaux, etc. 

Greenhill (A.-G.). — Sur l'équation de Riccali et ré(|ualion de 
Bessel. (294-298). 

L'équation de Kiccati 

—, h Otl^ = ex'", 

dx 
qui, comme on sait, se transforme pai' la sub>titiili(iii 



56 SEGONDI^ PARTIE. 

dans réijiialiiiii linéaire 

dUv 

—, — r = i/cu;'"iv, 

clx- 

se transforme encore, si l'on pose 

'l hc 



dans l'équation 



2= — k°. ~ n, M ^ y \ X, x" 



d'y dv 



à laquelle satisfait la fonction de Bcssel y„(Av). La condition que la série qui 
délermine y",, soit limitée équivaut, en ce qui concerne l'équation de Riccati, à 

la condition bien connue m = . > ot^i i désigne un nombre entier quel- 

21 -!- I 

conque. 

De la même manière, l'équalion plus gt-nérale 

x^iv" -^ axw' -r- {bx'" -r c)h' = 

I)eutse ramener à l'équation de Bessel, et la condition pour qu'elle soit inlégrahle 
en termes finis se traduit par la condition 



V («-!)'- 4 c. 



Sharj) ( [[ .-J.-C). — Sur les cubiques planes. (2()8-3o5). 

Suite du .'Mémoire signalé plus liaut ; étude des invariants et des covarianls: 
analogie de cette théorie et de celle des quarticjues binaires, etc. 

I/ill (J.-Jf.). — Du mouvement permanent de réleclriclté dans un 

courant laminaire sphérique. ( 3o(J-323). 

I/écoulement de l'électricité dans les surfaces d'épaisseur très petite et par- 
tout la même a déjà été traité par divers auteurs. M. Ilill forme d'abord l'équa- 
tion fonflamentale du potentiel jtour le cas d'une couche sphérique mince; si l'on 
détermine un point par sa longitude 9 et sa latitude /, l'équation du potentiel 
sera, dans le cas d'un courant constant, 

àyj 

ou, en posant \j. — loi 



I ' 


_u 

sir 


cos y 


() 
à/. 


(>„ 


cos/ 














-î- 





C<;lle équation sert de base aux recherches ullérieurcs de l'aiilenr. 

Cmfton. — Théorèmes relatifs au calcul des opcialions. (323-329). 



REVUE DES PUBLICATIONS. jj 

1,'aiilenr jiart îles équation» données par Boolc 

/[ 1) - '^'{x)] \ r^ exp. [- r{x)]f{ D ) exp. ■i{x)\, 
f[x- 'f '( n )] X = exp. [ c? { D )]f{x) exp. [- -f ( D )J \, 

cl eu (lédiiil seize autres formules seiiil)laljles, dont quelques-unes ont ét('; aussi 
données i)ar Doole et M. (jlaislicr. 

Glaisher (J.-JJ'.-L.). — Addition au Mémoire « Un Théorème de 
Trigonométrie. » (32C)-33j). 
Le lliéorènie auquel se reporte Fauleur est le suivant : si Von a 



/ IX'\ f IX '\ 



= A -T- iB, 



on a aussi 



XX B 

arc tanir — n arc tana; -r -;-. . . — arc tans — • 

M. Glaisher indique de nouvelles applications de celte proposition. Nous cite- 
rons par exemple les suivantes : 

■y.qcosix in^co?,ix in'rns^.x 

arc tans —^ ^ arc tans: —^ '- arc tang • — - 

'^ i — q- - ,_yo I — r/'" 

2 (7 COS 2 J7 -^ 2 fl^ COS (i X ^- . . . 

= arc tans 



1 -r- 2^'cos4"^ -r- 2iy"*cos8j; - 
4^cos2j; 4'7^cos6a7 



1 — 7" 



\ r/' COS 'i X 

I — • 7 i- . . . 

1 -T- fy' 

Lavis [T. -C). — Snr les images des tourbillons par rapport à 

une sphère. (338-347)- 

On donne un lilel lourbillonnairc circulaire et une sphère dont le centre se 
trouve sur l'axe du fdet. On doit déterminer un second lilct circulaire de même 
axe par la condition que sous l'action des deux fUets la vitesse du liquide à la 
surface de la sphère soit tangente à la sphère. On trouve que le second fdet doit 
être l'image du premier, par rapport à la sphère. L'auteur traite ensuite la 
inème question en supposant l'existence de plusieurs lilets circulaires, et il 
montre que la solution n'est possible que si ces fdets sont sur une même sphère 
concentrique à la sphère donnée. M. Lewis est ainsi conduit à étudier le mou- 
vement d'un filet circulaire à l'intérieur d'une sphère fixe. Il termine en donnant 
quelques résultats approchés, obtenus par le développement en série des for- 
mules connues. 

Jeffery (//.-.]/.). — Sur les cubiques planes delà troisième classe 
à trois fovers singidiers. (348-3-4). 

Dans le Mémoire antérieur, l'auLiur avait considéré les cas oii un ou plusieurs 
foyers sont à Tinlini, ceux oii un ou plusieurs foyers se confondent en un foyer 
multiple; il examine maintenant l'hypothèse dans laquelle ils sont diilincls et 



58 SECONDE PARTIE. 

l'urnienl soit un triangle éqiiilatéral. soit un triangle isoscèle, soit un triangle 
sralène. A la considération des foyers, l'auteur joint celle du point satellite ou 
point de concours des trois tangentes menées des trois fojers à la courlie. 

Pcarson (A.). — Sur la déforniation d'une sphère solide élas- 
tique. (375-38i). 

On doit rechercher la forme que prend une sphère élastique sous l'action de 
' forces agissant normalement sur la surface et variant duu point à un autre. 
L'auteur montre que le pntbième inverse peut aussi être résolu, et il fait deu\ 
applications intéressantes de ses formules. 

Glaislier (J.-ïl .-L.). — Sur une formule de la théorie des fonc- 
tions elliptiques. (382-383). 
L'auteur donne des expressions de 

cn-(« -r ^')cn' (u — i'), du'-(u — v)da'-{u — »•)• 



ANNALI DI MATE.MATICA vvrx ed applicata. direlli dal ]irof. Francksco 
Briosciii ('). 

i" Série. — Tome IX; 1878-187(1. 

Pépin. — Sur les équations dinérentiellcs linéaires du second 

ordre, (i-io). 

Rectifications de quehiucs résultais contenus à la fin du Mémoire de l'auteur, 
inséré dans les Anna/i di Male/nativa (t. \, p. iS.V). 

B/ioschi. — Sur une classe d'équations différenlitlles linéaires 
du second ordre, (i 1-20). 

Les recherches que nous résuuu)ns ci-après peuvent être regardi-es conime la 
suite de celles qui sont contenues dans la lettre à M. Ivlein, publiée dans les 
Mdthentalische Annalen (t. XI, p. ^01) sous ce titre : La théorie dea /ormes 
dans l'intégration des étjiiations diJférentieUes linéaires du second ordre. 

[•artant de l'équation difTérentielle du second ortlrc 

(1) .v" -•/>»•' -i- 7j- - (), 

désignant I>ar /(rp ,T,) "iic loiinc i(iiiiiii'c d'urdrc /;/, et regardant dans telle 
forme >', etj", comme tles snUilicins parliculièi-cs de i"éi|ualiiiii (i), nir pourra 
poser 



(') \i>ir liullelin, IL. p. 



REVUE DES PUBLICATIONS. 59 

un calcul facile, fonde sur l'idenlilé bien connue 

conduit à la relation 

( 2 ) /t ij\,r,) = „t°-(m-i)C- ^ '" ^^ — ('« - i) F" -4- mp FI" + /«-' ^ F'^], 
où 

est la hessienne de la forme /. En désignant ensuite par P (x) le second membre 
de l'équation (2) et par h{y,,y.^) le covariant d'ordre 3(m — 2) 

^(j-pv,) = .(/.//,-/, A,), 

on parvient à la relation 

(3) 6(r,0',)= ,n(,n--,)C t -' ('" - 2) F'(-r) P(^) -m P'Co:) F(ar)]. 
Si l'on pose 

et que l'on prenne/ = i'', puis que l'on suppose 

où 9(.r), '^(J?) sont des polynômes entiers en x de degrés s, s — 2, la relation (3) 
donnera 

j 29[3/-(r - ,) FF' F" _ (;•_ t) (2;-- i) F'-'- HF=F"'] 

I +3rF?'[(r — i)F'' — /-FF"] — /■2(9" -f- 8'i/) F^F'— ^ r'^'F' = o, 

équation qui, pour /' = 1, se réduit à 

(5) 2 9F"'-^3cp'F"-^ (:î"-i-8';)F'-4-4';'F = o. 

Or une première remarque essentielle relative à cette équation consiste en ce 
qu'elle peut être vérifiée, si l'on choisit convenablement le polynôme '^(■z:), en 
remplaçant F(^) par un polynôme en a; du degré n; ce qui se voit immédiate- 
ment en comptant les équations qui résultent de l'hypothèse que le polynôme 
F(j7) vérifie l'équation et le nombre des coefficients arbitraires dont on dispose : 
s'il en est ainsi, on aura, sous forme d'un polynôme, le produit F(J?) de deux 
solutions j>',, y, de l'équation (i), et l'équation 



j'ij'î — y'.r'i = t^e' 



-fpJx 



permettra d'efTectuer l'intégration. 
En prenant 

■i{x)^ 'iX' — s\x — g„ ^{x) = :ix-\-f., 

et posant ensuite 

X — e, = ( e, — e, ) sn^ u, 

X — e, = (e, — t'Jcn';/, 

X — e^ — (e, — e,)dn=«, 



6o SECOND li PAUTIIÎ. 

oii 



et où e,, e., ^3 sont les racines du polynTuue '-^{x), M. Brioschi montre que 
l'équation (i) revient à léquatioa de Lamé 

— ^, = l Ti(n -r- 1) k^ sn ^u -^ h], 
air 

Un examen analoi;ue de l'équation (1) conduit maintenant à ce résultat : En 
prenant pour c?(x) le même polynôme, et pour '!^{x) uue expression de la 
forme ax -^- |î, où a, ji sont des coefficients convenables, on peut faire en sorte 
que le produit 

y\y\ = f(j:) 

soit un jKiIynùnie qui vérilic l'ériuation ( \ ), et ce polynôme est de la forme 

¥{x) = {x-\)V\ 

où ç est une racine de '^{x) et P un polynôme en x à cocflicients convenables. 
On parvient ainsi, pour Téquàtiou (i), à la forme 



cl'-y I n ( n -■- ! ) , ., ., ,1 

lia- l \ J- 



et cela par le même changement de variables (|ue précédemment. Cette équation 
se réduit à celle de Lamé pour n pair, et pour n impair il suit de ce qui pré- 
cède que le produit j", t., peut se mettre sous la foi-me 

j'i j'j = P (sn'?/) su u\ 

M. Brioschi montre que les intégrales exprimées eu x sont algébriques. 

Le cas de « = i est particulièrement intéressant : ré([uation diirérenlielle 
prend alors la forme 

1 ■i'(x) , •) X 

-^'"-^n^Fï^'^Tfû^'^'^"' 

les intégrales i',,j>'j rendent alors égale à la conslanle \V? la forme biiiuadra- 
tique 

où 



et dont les invariants sont g. et g^. 
Puis ré(iuation (a) donne 

/((.)■,,.)-,) - —\C.'-x. 

L'équation éludii-c curiliciit cipiiiinc <'as particulier ( |)our g, o) l'équation 
hypcrgéométri(|ue ilu lètraeiire 

dz' '' (j -(1 — ;;) dz ^ \S z(i— z)^ "' 
rctiroMtrè'f par M. Srjiwar/, dans son Mi-mnirc mit la miic Ii\ pcrgi'umi'lrii|uc. 



REVUE DES PUBLICATIONS. fit 

Knfin coiisidcrons IVwjualiou 

" L '''(■^) ' _ ^t(^)-^? _ 

OÙ la fonction <s(x) et les constantes a, ^ ont la même signification que précé- 
demment, et où t{a:) vérifie l'équation 

dt dx 



en posant 

<i>(0 = 4i!' — G,f — G3. 

M. Brioschi montre que l'équation différentielle se transforme dans l'équation 

f/'r 1 *'(<) dy a/— ^ _ 
df- ~ ~i *(0 ITt ~ <I>(0 "^ ~'^' 

qui appartient à la classe considérée. 

Hermite. — Sur l'équation de Lamé. (2I-9-4)- 

M. Hermite était parvenu, de son côté, à l'équation différentielle du troisième 
ordre, que vérifie le produit de deux solutions d'une équation différentielle 
linéaire du second ordre. 

Partant de l'équation du second ordre 

{.) 2Aj-"-A>'=B^-, 

on parvient à léqualioii du troisième ordre 
(2) 2A^"'-f-3A'^"-T- A"i'= 4B^'t- 2B'^, 

et, en faisant dans l'équation de Lamé 

t = sn^.r, 

on aura pour transformée l'équation (i), où 

2B = n{n -\- i)k'^t — /(. 

L'équation (2) admet comme solution un polynôme F(<)de degré n\ cette 
remarque et l'égalité 

f/r, d_}\ _ J]_ 

■^ - ~di -^ ' "dt ^ ~^ 

conduisent à l'intégrale générale 



(3) 






où G, G' sont des constantes arbitraires. 

Maintenant, l'équation (2) conduit aisément à l'éciuation 

(')) k{-îz.z" — z'-^) -^ Mzz' = 2B7.= — N, 

où \ est une curisliiiilc. ft l'on trnuNC iiiic rctic cimslantc csl lii'C à < '. |iar la 



6î SECONDE PARTIE. 

relation 

lorsque N est différent de zéro, le polynôme F (t) n'a que des racines simples 
en désignant par t l'une de ses racines et faisant 



F(0 .^F {^){t~i) 
T = A(T), 



TF'2 


(-) = 


= N, 




y 





l'équation (4) donne 
d'où 



si maintenant l'on fait t = sn^j;-, t = sn^w, en prenant 
^ T = sn 10 en to dn o), 

on effectuera sans difficulté les quadratures qui figurent dans l'équation (3), et 
l'on trouvera pour les deux parties de l'intégrale générale 

Hf X— 10,) H(j- — wJ...H(x — u) .rV *•''"" 



H(:r — 0),) H(:c-f-u.)...H(j7 — 0)) 
e"{x) " 

où u , tu„ sont les diverses valeurs de lo. 



etc., 



Fiiclis. — Sur une classe d'équations différentielles qui s'in- 
tègrent au moyen des fonctions abéliennes ou elliptiques. (25-34)- 

M. Fuclis a donné, dans un Mémoire inséré dans le t. LXWI du Journal de 
Borchardt, les résultats suivants : 

l.a condition nécessaire et suffisante pour que l'équation 

^■ = rv 

admette une intégrale de la forme 

I Zl r Hz 

y = ï(c)-e^"^.' ?'^)» 

où '■?(-)* est une fonction rationnelle de z et X une constante, consiste en ce que 

P ait la forme 

_ 1 ^'r/liigi^ I rf^iogcp 



■'=T(^)-i 



dz^ 4 c?'' 



Si X est différent de zéro, ré(juation admet deux intégrales de cette forme ([ui 
ne diffèrent que par le signe du radical qui figure en exposant : ces deux inté- 
grales forment un système fondamental }\,y.\ si >i = o, un tel système est 
donné par les formules 

4: 1 r dz 



REVUE DES PUBLICATIONS. 03 

1' osl iiiliiii (Ml nij.na temps que 'j(^); poiir une rarino h di- f (c), I' n'est 
iiillni (|ii<' si rmi il 

Considérons inaintcna.il récjualion 

où R(-), H(r) sont d.-s pol\nùnies entiers en z de degrés ni et m — 2, et où 
H (5) n'a qne des racines simples: on la ramènera au tyi)e considéré i)ar la sub- 
stitution 

et on posera 

en avant éj;ar<l à ce qne, pour les tlil'férents points singuliers de l'équation diffé- 
rentielle (i), réquatinn (li'terniinantc admet les racines o, - -, on voit tpie cette 
éi|uation (1) admetlia une intégrale de la forme 



G 






dans le cas (et seulement dans le cas) oii G est un poljnùme entier en ; tel ([ue, 
pour chacun de ces zéros b, on ait 

(V {bY\\{b) r= —À, 

cl où 

r I /f/logG\- 1 (P\nfiG I f/loïïG r/logR ^ ] r 

Si A est dilTérenl de zéro, G(;) n'a pas de racines doubles, ni de racines com- 
munes à R (s) ; si À = o, le zéro b est double ou simple selon ({uc l\{b) est 
différent de zéro on nul: dans le premier cas, on a 

(■/"(b) _ _ ^ \{'{h) 
r.lb) "" 2 [{tb)' 

enfin, si À = 0, \ <r satisfait à l'équation (1), sous les conditions précédentes, 
G(c) vérifie l'équation 

l/autcur dé'tluit de là le moyen de déterminer les coeflicients do II. i|iil 
s'expriment tous en fonction de l'un d'eux: dans le cas où \ G doit satisfaire à 
l'équation (i), aux équations qui déterminent les coeflicients de II s'adjoint une 
équation exprimant que G est divisible par un facteur carré : ou obtient ainsi^ 
pour ce cas, une équation algébrique que doit vérifier le coefficient restant. 

Si G n'a pas de racines doubles ni de racines communes à R, A est différent de 
zéro, et l'on a le système fondamental d'intégrales de l'équation (i) 



w, --- G -e- '' '' V ". ;/,. I G-( 






G4 SECONDE PARTIE. 

/ — -A^ est une inU-urale al)élietine de Iruisièiiie espèce: en inlioduisanl les 
J G vR 

fonctions abéliennes, ^\ et r^ s'expriment au moyen de fonctions 6 à o argu- 
ments, en supposant /n = 2 p h- i , ou 2 p -h a. 

Laissant de côté le cas de X = o, M. Fuchs passe à l'examen de l'équation de 

Lamé 

cPr 



la substitution 



'1^ = S\\(Z.), R(-.) = (i- j')(.-A = c') 



permet de lui donner la forme 

(3) \\{z) g. -iir(;) 'l^_-[n{n-,)k^-z^--h]u = ox 

c'est un cas particulier de l'équation (i) ; pour toute valeur de h, il existe alors 
une fonction G{z) entière en z"^. du degré m en z, qui vérifie l'équation (2); 
l'application de la méthode précédemment décrite fournit ensuite l'expression de 
l'intégrale générale sous une forme équivalente à celle qu'a donnée AL Hcrmite. 
Dans le cas exceptionnel qui a été signalé plus haut, eu général, l'équation (3) 
doit admettre une intégrale de l'une des formes 



où F(,3 est un polynôme en z du degré n — a — [il ; l'auteur apprend alors à for- 
mer l'équation algébrique 

•y { /') = "• 

que doit vérifier li: c'est, au fond, l'équation donnée par Lamé et Heine, pour 
l'existence de solutions entières; l'examen des différents cas conduit encore l'au- 
teur, de la façon la plus simple, aux résultats de M. Hermite. 

Geiser. — Sur la théorie des courbes planes du qualrièiiie ordre. 

(35-40). 

Ce postulatum de la théorie des courbes algébriques, « la hessienne de la 
courbe générale du n}'""" ordre n'admet ni point double ni point de rebrousse- 
ment », n'a été démontré que pour les courbes du troisième degré (Clkbscu, 
Voiles, iib. Geoni., p. 36i); M. Geiser établit qu'il est vrai pour la courbe du 
quatrième degré; sa démonstration se relie à la recherche des conditions sous 
lesquelles l'équation homogène d'une courbe du ((Uiitriiiin- degré peut être, par 
une substitution linéaire, ramenée à la forme 

a:\ -+- ux; -h v = 0, 

u el V étant des formes du deuxième et du i|n,itririiii' (h grc en .r,, j",, x, ; si cette 
réduction est possible, la hessienne admet un point doulilc mm situé sur la 
courbe, et réciproquement. 

('asorali. — Kecherclies sur Ic-^ ('«juiilious algrUrico-diUérenlielles. 
(4 1-53). 



IIRVUI-: DES PUBLICATIONS. 07 

r.onsiih'Tant une équation de la l'ornic 

J'iO-) = nO.'" — b9."'-^ — rn'"-'-'—.. .-s9. — t - .), 

• Ml a, II, r. ..., .s, t sont des fonctions enlirres de dp^rrc- n di-> deux vririaliles 
1/ et c, en ('liniinant il entre cette équation et ri'qiuition dillVirnl irllc 

dn ii'" -+- dh il'"-' -i-...~dl = o, 

on est conduit à une équation de la forme 

F — \du"' - M du'"-' r/f — . . .— Il dv"' ~ o. 

A, B, ..., T sont des fonctions entières de u et i', dont le degré est en général 
in{2n — i). Mais cette équation différentielle, tout en restant du degré m par 
rapport aux différentielles, relativement aux variables u, v, peut s'abaissera un 
moindre degré; une telle réduction peut provenir de la suppression de facteurs 
communs à tous les coefficients A, B, . . ., T; elle peut aussi provenir de ce que, 
dans ces mêmes coefficients, les termes de plus haut degré en u, v disparaissent; 
-Nf. Casorali donne les conditions pour que cette circonstance se présente. 

Henneherg. — Détermination de la classe minimum des siiil'ifces 
minima algébriques. (54-5y; ail.). 
Voir Bulletin. IV,, 38.3. 

Henneherg. — Sur les oscillations infiniment petites d'un fil 
dont une extrémité est fixe, dont l'autre extrémité porte un 
poids, sous l'influence de la pesanteur et d'une percussion ini- 
tiale. (58-6;; ail.). 

L'auteur examine successivement le cas où la masse du fil est quelconque et 
celle où elle est très petite; il montre que, dans ce dernier cas, la masse du fil 
tend à augmenter la durée des oscillations. 

Halphen. — Sur les lignes singulières des surfaces algébriques. 
(68-ioj; fr.). 

Voici le résumé que l'auteur donne lui-même au début de son ."Mémoire : 
« Aux environs d'un point singulier, une courbe algébrique peut élre envisagée 
comme la superposition de plusieurs courbes élémentaires distinctes, dont l'or- 
donnée de chacune est représentée par un développement en série. Ces courbes 
élémentaires, nommées par 'SI. Cayley branches superlinéaires, je les appelle, 
pour abréger, des cycles.... Dans beaucoup de problèmes, chaque cycle est 
suffisamment caractérisé par deux nombres entiers «, v, que l'on peut appe- 
ler Vordre et la classe de ce cycle. Le premier est l'ordre de multiplicité du 
point simgulicr sur le cycle; quant au second, il est ainsi défini : le quotient 

— est l'ordre commun de contact de chaque branche du cvcle avec sa tan£;enle 

avi point singulier. Les nombres n, v suffisent notamment à déterminer leur-; 
analogues pour une figure corrélative : ce sont les mêmes nombres en ordre 
in\erse. 

Ilnll. des Sciences nuilhéni .. r' sérii'. t. \l. ( \vril i>!S>.i I{.'i 



GG SRCOiNDE PARTIE. 

» On ne manquera pas de remarquer ([u'un point simple d'une e<iurl}C esl uu 
cas parliculier d'un point singulier ainsi envisagé. 

)) Sur une surface S, considérons à la fois une ligne (a), une section plane arbi- 
traire (S) el un point de rencontre a de ces deux lignes. 

« La surface S, aux environs du point a, est caractérisée dans une certaine 
mesure par l'ordre et la classe de cliacun des cycles en lesquels (S) se décom- 
pose au point a. Quels éléments faut-il connaître en outre pour pouvoir trouver 
les nombres analogues et relatifs à une surface corrélative de S? Telle est la 
question qui s'offre tout d'abord. Les résultats suivants fournissent la réponse. 

» 1. Aux environs d'une courbe algébrique {a) tracée sur une surface algébrique 
S, cette surface est la superposition de surfaces élémentaires dont chacune jouit 
de la propriété suivante : au point de rencontre avec (a), une section plane faite 
arbitrairement dans une surface élémentaire se compose d'un seul cycle. Je 
donne aux surfaces élémentaires le nom de cycles de nappes. L'ordre n et la 
classe V du cycle unic[ue que possède, en un point de rencontre avec {a), une 
section plane de cette surface élémentaire, je les appelle l'ordre et la classe du 
cycle des nappes. J'appelle (a) la ligne origine du cycle. 

» 2. En cha([uc point de la ligne-origine, toutes les nappes d'un même cycle 
ont un même pian tangent, qui contient la tangente de la ligne-origine. 

» .3. Ce plan tangent peut être constant le long de la ligne-origine, ou bien 
variable. Dans le premier cas, la ligne est plane, et il y correspond, dans une 
figure corrélative, un point singulier. Dans le second cas, il y correspond une 
ligne. C'est à ce dernier cas que se rapporte tout ce qui suit. 

» 4. La classe V d'un cycle de nappes (dont le plan tangent est variable) esl 
égale ou inférieure à l'ordre n de ce cycle. 

» 5. Quand la classe est égaie à l'ordre, la tiiéorie de l'indicatrice est appli- 
cable. 

» G. Tout cycle de nappes a pour corrélatif un cycle de nappes. Les classes de 
deux ej'cles corrélatifs sont égales. 

» 7. Tout cycle de nappes dont l'ordre égale la classe, et dont l'indicatrice 
n'est pas parabolique en chaque point de la ligne-origine, a pour corrélatif un 
cycle du même ordre que le proposé. 

» Pour les autres cas, il esl nécessaire de distinguer trois groupes principaux 
et des sous-groupes. 

» 8. Groupe A. f^e plan tangent en chaque pt)inl de la ligne-oiMgine n'est pas 
osculatcur de cette ligne. 

» Sous-groupe A,(v, v). Cette notation indique ([ue l'ordre et la classe sont 
égaux à V, mais avec cette particularité que l'indicatrice est paraboli(iue en 
chaque point de la ligne-origine. En chaque point de cette ligne, une droite 
unique a, avec cluuiue na|)pe, im contact d'ordre supérieur an premier; soil 
1 -t- X cet ordre. 

» Sous-groupe A' («, v), /j > v. 

» Un cycle A,, défini par les nombr<-s /. /. ;i pmir «ortrialif un cmIc \',. déliiii 
par les nombres /? ~ (t aiv et v. 



FIHVUIÎ DKS PUBLICATIONS. G; 

» I{énii)roqu("riK'iit un cycle A', (//, vj a pour cnrrélalif iwi cycle A,(V|, v) |)oiir 



lequel A 

» 9. (iroupe 15. Le plan tangent en chaque point de la ligne-origine est oscil- 
lateur fie cette ligne. 

» Sous-groupe B, («, v), v < -• 

» Sous-groupe B', (av, v), avec cette particularité que la tangente de la ligne- 
origine a, avec chaque nappe, un contact d'ordre supérieur à 2 ; soit 2 -+- 9 l'ordre 
de ce contact. 

» Sous-groupe li.^(2'^, v), avec cette circonstance que l'ordre de ce dernier 
contact est égal à 2. 

» Sous-groupe B, («, v), v > - • 

?} — 2 V 
» Un cycle B,(/?, v) a pour corrélatif un cycle B', (2v, v), avec = 

Réciproquement, un cycle B', (2v, v) défini, en outre, par le nombre 9 a pour 
corrélatif un cycle B,(n, v), avec « = 2 (i -t- 9)v. 

» Un cycle B.^(2v, v) a pour corrélatif un cycle B;(2v, v). 

» Un cycle Bj{n, 'j) a pour corrélatif un cycle B3(/?, v). 

» 10. Groupe C. La ligne-origine est droite. 

» Un pareil cycle {n, v) a pour corrélatif un cycle de même définition {n,y). 

» La question indiquée plus haut se trouve résolue par l'ensemble des résultats 
dont je viens de donner le tableau synoptique. Je consacre une seconde Partie 
lie ce Mémoire à montrer qu'entre les éléments précédemment définis et relatifs 
aux diverses lignes singulières d'une même surface les éléments analogues et 
relatifs aux lignes le long desquelles le plan tangent est constant, et entre le 
degré et le rang de la surface, il existe une relation. Cette relation, je la forme 
dans toute sa généralité. C'est celle qui fournit le degré du lieu des points à 
indicatrice parabolique sur une surface à singularités quelconques. 

» Enfin je termine ce Mémoire par quelques applications aux surfaces de révo- 
lution et aux surfaces gauches. 

» Les éléments si simples et si peu nombreux, que j'ai été conduit à envisager 
ici suffisent à caractériser les lignes singulières dans une catégorie importante 
de questions. Par exemple, ils suffisent pour traiter, dans toute sa généralité, 
le problème de trouver le degré du lieu des points qui, sur une surface algé- 
brique, satisfont à une équation algébrique aux dérivées partielles du second 
ordre. Cette nouvelle question fera l'objet d'un autre Mémoire. 

» En terminant ce préambule, je dois signaler à l'attention du lecteur les 
recherches antérieures de AL Zeutlien sur le même sujet, principalement celles 
dont les résultats sont contenus dans son iMémoirc : Sur une classe de points 
singuliers de surfaces {Mathei7iatische Annalen. t. I\). » 

Casorati. — Recherches sur les équations alj^ébrico-difl'ércn- 
tielles (suite et fin). (« 06-1 18). 

Kiepert. — Sur la résolution de Téqualion du cinquième degré. 
(119-123; ail.). 

Si 210. 210' conslituent un Cfiuplo de péiiodc^ de la fonctiiui p\i (\A eierstrass) 



68 SECONDE PARTIE. 

définie par léquation 

P"' « = 4/j' " — g; pu — gi 
et si l'on pose 

/= -- 



T 



/ 2 lo' -i- i6rw\ /A ( 



les quantités / et /r (/• = o, i, 2, 3, 4) sont racines c!e l'équation du 12' degré 

où 

Ces quantités /, f^ peuvent aussi se calculer par les formules 

i— /i' 



/="'-'^^n G^ 



ni I-/i>£« 
jr- - •' - 



OÙ s= e i et où /i = e "* est connue quand on connaît linvariant '-- > 
En posant 

les y sont les racines de l'équation du cinquième degré 
\-iyi _i_ loA'j'' + \b \y — aiôg-j = o. 

Or cette équation se ramène à l'équation générale du cinquième degré 
a;^ + Aa;* + Ba;^ ^Cx"^ -\-Dx -{- E = o 

par la substituli(jn 

les quantités w, v, a, ^', ^J se trouvent déterminées par lu résolution de deux, 
équations du second degré. 

Briosclii. — Noie sur le Mémoire [)rt"eé(leiil. (i:>.4-i2r)). 

T/auteur inonlro le lien des résultats olilenus par M. Kieperl et de ses pro]ir(". 

rerliei-elies mii- l<'s ('•qualinn'^ imidulaii'cs. 



REVUE DES PUBLICATIONS. O9 

Weber. — Sur la théorie de la transformation des fonctions S', 
en particulier dans le cas de trois variables. (126-166; ail.). 

I. Transformation des fonctions 2/7 fois périodiques. 

II. Connexion entre deux transformations. 

III. La multiplication complexe. 

IV. La transformation des fonctions S^. 

V. Les transformations linéaires. 

VI. La transformation du w'*"" degré. 

VIL La transformation du deuxième degré. 

Brioschi. — Sur une classe d'équations modulaires. ( 16--1J2). 

Tonelli. — Sur un théorème de la théorie des fonctions. (i73- 

192). 

Il s'agit de ce théorème : 

Une fonction quelconque monoclrome S des points d'une surface ip ~i 
fois connexe T qui représente la ramification d'une fonction s de z définie 
par l'équation algébrique 

H m 
F(5, ::) = o 

s'exprime rationnellement au moyen de s et de z, et, si elle devient m' fois 
infinie du premier ordre, contient 

m' — p -t- 1 
constantes arbitraires. 

Ce théorème a été énoncé et établi pour la première fois par Riemann dans le 
g 9 de son Mémoire sur les fonctions abéliennes, mais en supposant la position 
des points pour lesquels la fonction S devient inflnie, soumise à certaines restric- 
tions : ainsi sont exclus les points pour lesquels s ou z deviennent infinis. 
M. Prym en a donné récemment (Journal de Borchardt, t. 83) une démon- 
stration élégante et générale, mais sans se préoccuper du nombre de constantes 
arbitraires. M. Tonelli reprend la question au point de vue de Riemann, mais 
dans toute sa généralité : il établit que le nombre de constantes arbitraires ne 
coïncide avec celui qu'a donné Riemann que dans des cas particuliers. 

Uennehcr<!. — Sur les oscillations élastiques d'une sphère isotrope 
qui nest soumise à l'action d'aucune force extérieure. (193- 
209; ail.). 

Sdicring. — Discours prononcé à la séance publique de la So- 
ciété rojale des Sciences de Gijttingue le 3o avril 1877, à l'oc- 
casion du centenaire de la nativité do Charles-Frédéric Gauss. 
(210-239). 

'l'radurtion italienne de ce discours par M. Rcltrami. suivie (lintércssanles 
additions cl de curieuses lettres adressées à Clauss ou l'crites par (iauss lui- 
niènie. 



70 SECONDE FAKTIE. 

Cliristo()eL — Sur la forme canonique des intégrales de pre- 
mière espèce de Riemann. (24o-3oi; ail.). 

Pour qu'une équation irréductible 



F(S, Z) = o 



soit d'espèce />, il faut que les coefficients soient déterminés de façon que S, con- 
sidéré comme fonction de Z, admette précisément r = {m — i)(/^ — i) — /> 
points doubles : alors, à cette équation appartiennent p intégrales de première 
espèce linéairement indépendantes, contenues dans l'expression 



r «-2 w -î f/Z 
/ * (S, Z) -^, 



ÔF 
où F' = -rj; et où la fonction entière <t> s'annule aux points doubles- 
os 

Déterminer le polynôme F de façon que la variable S, regardée comme fonc- 
tion de Z, admette le nombre présent de points doubles et déterminer ces points 
doubles au moins dans la mesure nécessaire pour la détermination de 4>, tel est 
le problème que M. Christoffel désigne sous le nom de problème des points 
doubles. 

L'expression précédente de dw ne peut être réalisée qu'autant que le pro- 
blème des points doubles est résolu : sans doute cette solution n'est pas néces- 
saire pour prouver l'existence de la fonction w et des p fonctions linéairement 
indépendantes de cette nature; mais elle est nécessaire pour parvenir à l'expres- 
sion finale de div. 

La difficulté du problème reste tout entière quand on substitue aux va- 
riables Z et S un autre couple z, s de fonctions de Z ramifiées comme S, telles 
qu'on puisse passer d'un système à l'autre par des substitutions rationnelles; si 
;x et V sont les ordres de ces fonctions (l'ordre d'une fonction algébrique de Z 
ramifiée comme S est le nombre qui exprime en combien de points S, Z, sépa- 
rés ou confondus, la fonction devient infinie du premier ordre), il existe entre 
les variables Z, S une équation irréductible 

/(S,Z)=.o. 
et l'expression de tv prend la forme 

«•= I o (S, Z) yr' 

où y = ^; et la déterminalion des polvm'imcsy" et 'f est le même problèmi- (|ue 

la détermination des polynômes F et <1>; on a simplement substitué les nombres 
|x et V aux nombres ni et n\ on ne peut, d'après l'auteur, avancer dans celle 
voie tant qu'on s'attache à représenter dw comme une fonction rationnelle de 
deux variables réciproquement irrationnelles, et l'on n'évitera les difficullés cjui 
viennent d'être signalées ((n'en regardant dw comme fonction d'une seule va 
riable Z: c'est-à-dire (|ue, au lieu d'ad joindic ,i ; une irrationnelle .v pan'ille 
ment ramifiée, mais qui n'esl p;i~ :iiil reiiii-iil (leliriiiinéf, el d'exprimer ration 



UKVUK DES PUBLICATIONS. 71 

iiolleincnl (hv au moy(Mi de ces deux variables, il faut introduire la fonction 

dw 

comme l'irrationnelle inconnue. 

Parmi les diverses hypothèses que l'on j)eut faire sur les fonctions z, de nirnic 

ramification, la plus importante consiste à supposer que l'ordre [j. est, dans un 

, , . dw . 

rcrtam sens, un niinimum : dans ce cas on obtient, pour 5 — —r-i une tormc re- 

dz 

marquable que l'auteur appelle canonique, à savoir 

(1) « = V, C7, +^,7, +...-Hj-^_, cr,,_,; 

Xx/y-ii •■•'.)'n-i sont des fonctions entières de z avec des coefficients arbitraires 
a;,, x^, . . ., x^, et leurs degrés a,, a.^, . . ., a,^_^ sont tels que le nombre de tous 
les termes de s, à savoir a, + a^ +. . .+ a , -1- ;x — i, soit égal à p; a^, o-j, . . ., 
^n.-i sont les intégrandes de première espèce, qui pour les valeurs infinies de z 
s'annulent avec les ordres a, + 2, a2 + 2, . . ., a + 2. L'établissement de cette 
forme et diverses lemmes préliminaires remplissent les sections 1 et II du Mé- 
moire de M. Christoffel. 

La Section III est consacrée à l'étude de l'équation dont x est racine; cette 
équation a la forme 

( 2) As!'- + A.si'--' + A3 il'--' +. . ,H- A|^ = o; 

le second terme manquera toujours; A; est une fonction entière homogène du 
jii-ma degré dejK|,>'2i •••»J'a-i> fonction dont les coefficients sont des fonctions 
entières de Z ; la théorie de cette équation est faite dans le cas où s, comme 
fonction de z, n'a que des singularités simples et séparées. En désignant par 
5,, s.„ . . ., s,^ les branches de z et en faisant 

A = A '- n(5,5, ... -v), 

. on trouve que A est une fonction entière de z, et, en désignant cette fonction 
par X et par I) le discriminant de l'équation {2), on a 

L) = !x/iA.Â>2; 

aux points d'embranchement, on a A = o; aux points doubles de s, «ui a cAa = <>, 
h est une constante. 

Dans la quatrième Section, l'auteur étudie les fonctions A^, \j, . . ., A^^, regar- 
dées comme des formes homogènes à ;x — i variables jKi.jKj. •••0\-\'' ^<^s quan- 
tités sont des fonctions symétriques de s,, s.^, . . ., s^^, et, à cause de l'équation 



on iK'ut les regarder «oniuic dt-^ roriiic- liuiiiogcncs cl sMiicIriques A^, \',. .. . 
A.l des u -I variables s., s.,. . . ., s,^_^: en ;i|>plH|iiaiit ré(iiialinii ma l'Iiaiiu. 



î SKCONDE PARTIE. 

liraïKlif (II- s. (iii [larvieul à ;j. — i tqualioiis telles t|iic 

s.^ = y, s'ij -T- y.^i.^., -r-. . ■ — J'ji_, ^^_i,2- 






-1 "'JL-I/X-I- 



En siilistiluant ces quantités dans les formes canoniques Al, A',, ..., A^, on 
obtient les formes A,, A^, . . ., A.j^; l'étude de la substitution jirécédeute montre 
(jue son déterminant 

à{s,s,_ ... s,^,„,) 

àO\yt •••.>>-!* 

est égal à — ^- Au moyen de ce théorème, on obtient une forme canonique pour 

chaque invariant ou covariant du système de formes Aj, A3, .... A.j,: en particu- 
lier, on obtient Texpression de la fonction rationnelle A= ala. cjui s'annule aux 
points douljles de s. savoir 

^^ _ t) (A,A3...A^-,) 

Dans la Section V, Tauteur montre inversement que l'équation (3) suffit à 
toutes les conditions du problème et détermine en effet s comme intégrande de 
première espèce, sous la forme canonique (i), si, pour le degré prescrit de ses 
coeflicients, son discriminant D est égal à [iAAjiI»^. 

Dans la Section VI, relativement à la classification des fonctions algébriques, 
à même ramification, d'une seule variable, on prouve que chaque genre (/?) se 
décompose en familles ([a); cette classification ne souffre pas d'exception : les 
fonctions hyperelliptiques forment avec les fonctions elliptiques le système jjL=:a: 
comme exemple de la théorie générale, l'auteur étudie le système tjL = 3. 

Enfin, dans la Section ^ II, M. Christofi"el fait la théorie de la fonction \.\ 
dans la substitution qui change Aj en son adjointe, les coefficients s'expriment 
d'une façon remarquable au moyen de quantités irrationnelles. 

La forme de cette substitution conduit à diverses propriétés tant île lu forme 
Aj elle-même que des formes suivantes. 

llarnaeh. — Sur les différentielles algébriques : cxliiiit (riiiu- 
Lettre à M. Cremona. (3o3-3oJ; all.V 

L'auteur complète sur quelques points la méthode donnée par .M. Cremona 
dans les MémoirPs de l'Académie des Sciences de Bologne (i8fi(), t. \dela ■?.' sér.) 
{Sugli integrali a dijferenziale cdgebrico). W montre comment on peut, en 
cin|iIoyant des coordonnées homogènes, étudier la nature de l'intégrale d'une 
diUérenlielle algél^riquc dans le voisinage d'un point double et lionne ([uelques 
indications sur la démonstration du théorème d'Abel et sur l'intégration des 
fonctions rationnelles. 

Mdli'l. — Sur un prohirnu' d' AIg;èl)re. (3()()-3 i > ; aiigl.). 

Elaul duiini'o deux cqualioiis al;;'liiiquc-. cl(''lciiMiiiir rc'qual imi dnnl lo ra- 



REVUE DES PUBLICATIONS. 73 

rines soul di' la loriiie aji, a étaul une racine ilc l'une des équalions données cl ^ 
une raeiae de l'autre. — L'équation rherchéc est mise sous forme de déterminant. 



COMPTES RENDUS hebdomadaires des séances de l'Académie desSciences('). 
Tome XCIV; 1882, i" trimestre. 

N" 1 , 2 janvier. 

Faye. — Sur la correction des boussoles et sur le récent Trait*'' 
de la rémilation et de la compensation des compas de M. Collet. 

(18). 

Le Paige (C). — Sur les formes algébriques de plusieurs séries 

de variables (3i ). 

L'auteur indique plusieurs covariants des formes quadrilinéaires; il énonce en 
outre le théorème suivant : 

Soient les deux formes à trois séries de variables 

f ^ a'^^h'n cil, 9 = a;?p?; 

si l'on désigne par {/, u)^, (/, f')^y, ■ ■ ■ les covariants 

( rt a ) « J- 1 a ■;.- 1 ^^' ^ ;;: ci '(% , 
{aa')a'j.-^ a'J.'-^ {bb')b'^'-i b\"' i cC c'J', 
on a 

(/, ").(/ ")r= - li/'-ir, r'W- 2/?(.A r W"^ r(/,/ Wl- 

C'est la généralisation d'un théorème bien connu de Clebscli. 

Gasparis (de). — Sur la théorie du mouvement des planètes. (32). 

Note relative à certaines séries exprimant les quantités variables des ellipses 
des planètes en fonction de l'anomalie mojenne exprimée en parties du rayon, 
et de l'excentricité. Pour que ces séries convergent rapidement, il convient de 
compter les anomalies à partir de l'aphélie. 

Exemple. — Soient [x et s l'anomalie moyenne et excentrique, comptée de 
l'aphélie; on aura pour le rayon vecteur 

/• '1^ e 'X* 3 e' — (' 

— = 1 — e — 7 



2: (i-re)' 4: (i-T-ej' 
[x" 45e' — 24e' -T-e 5X* iS-^ôe^ — 1107e" -^ 1 17e* 

(TT ( I — e )8 8l (î^ey 



C; \uir Bulletin, M,, j«. 



74 SECONDE PARTIE. 

Boussinesq. ■ — Intégrations de certaines équations aux dérivées 
partielles par le moven d'intégrales définies contenant sous le 
signe /le produit de deux fonctions arbitraires. (33). 
La dérivée seconde par rappoil à t de rintégrale 

est 

Ceci posé, si l'un fait 

.,0 -■ " ' •.-■*.■ 

on pourra particulariser M" en vue de faire vérifier à -s Téqualion au\ dérivées 
partielles 

f/-"o rf"-.p _ 

dp" ' ' f/j:" " "' 

qui devient par la substitution 

il suffira de prendre pour W une des n intégrales distinctes de réquation diUé- 
rentielle linéaire (qzi)''^'(") +AT=o, et de choisir en outre la fonction/ de 
manière à faire acquérir pour Z = o, entre les limites x ■= z:^ x ■, telles valeurs 
qu'on voudra à 9 ou à sa dérivée en t d'un ordre pair donné ip s'il s'agit de la 
première forme, et au contraire à sa dérivée en t d'ordre impair 2/) -t- i s'il s'agit 
de la seconde; or ces dérivées, exprimées par 



i^,)P f\f.(a;z^^)yi-i'»(^)d. 



où q désigne soit />, soit/?-T-i, se réduisent jxiur / = o à la fonction arbitraire 
/('')(a;), abstraction faite d'un facteur constant. On conçoit que dans le cas où 
il y aura n couples possibles de pareilles intégrales, leur superposition constitue 
l'intégrale générale de l'équation aux dérivées partielles avec ses m fondions 
arbitraires. 

I^'auteur applique cette méthode aux problèmes de l'écliiiuHenK ut cl ilii mou- 
vement transversal dune barre, qui s'étend depuis l'origine des abscisses posi- 
tives jusqu'à l'infini et qui d'abord à zéro ou en repos viendrait à être soit 
«haullee, soit agitée à^son'extrémité x o. 



lUsVUE DES PUBLICATIONS. j5 

]N'^ 2; 9 jaovier. 

Sylvester {J.-J .). — Sur les puissances et les racines de substi- 
tutions linéaires. (55)- 

Un déterminant de substitution ne diflère pas par sa forme extérieure d'un 
déterminant ordinaire ou absolu : mais les lois de composition sont un peu 
différentes. 

Si l'on appelle trans^>ersal d'un déterminant ce qu'il devient quand, en prenant 
la diagonale qui joint le premier au dernier terme comme axe, on lui fait décrire 
une demi-révolution autour de cet axe, l'inverse d'un déterminant de substitution 
est le transversal de l'inverse du déterminant absolu. Pour obtenir le produit 
du déterminant de substitution A par le déterminant de substitution B, il faut 
multiplier ensemble le transversal de A par B selon la règle ordinaire, ce qui 
donnera un déterminant C; le transversal de C sera le produit de la substitution 
A par la substitution B. 

Si dans un déterminant quelconque donné on ajoute le terme — a à chaque 
terme diagonal, on obtient ainsi une fonction de )>, dont les racines sont nommées 
par ÎM. Sylvester racines lanibdaïques du déterminant donné. 

Les racines lambdaïques de l'inverse d'un déterminant sont les réciproques des 
racines lambdaïques du déterminant lui-même. 

i étant un nombre entier et positif quelconque, les j'*"""» puissances des 
racines lambdaïques d'un déterminant de substitution sont identiques avec les 
racines lambdaïques de la puissance î''"" du déterminant. 

i étant une quantité commensurable quelconque, les i'^""' puissances des racines 
lambdaïques d'un déterminant de substitution sont identiques avec les racines 
lambdaïques de la j''"' puissance du déterminant. 

Ces propositions permettent à l'auteur de résoudre ce beau problème : 

Trouver la puissance i'''"'' d'une substitution donnée, i étant un nombre 
commensurable quelconque. 

Voici la solution : 

Soit n l'ordre du déterminant de substitution donné. Soient K un terme quel- 
ionque dans ce déterminant, Kj le terme qui occupe, dans la puissance 6''°" du 
déterminant, la même position que K dans le déterminant lui-même. De plus, 
soient K, = i quand K est un terme dans la diagonale et K,, = o dans tout autre 
cas. Alors, pour une valeur commensurable quelconque de i, positive ou négative, 
en nommant la somme des quantités )i,, >.3, ..., "k,,. S,, leur produit S„_|, et en 
général la somme de leurs combinaisons binaires, ternaires, etc.. S,, S,, on aura 

I- - V '^,,-1 — S. K,,^, -f- S, K„_, -.■.= S,._,Ko . 

où X,, \, . . ., À,, sont les racines lambdaïques du déterminant donné. 

Cette proposition doit être modifiée quand les racines lambdaïques ne sont pa* 
inégales. Enfin, l'auteur insiste sur un cas très singulier oii le nombre de solu- 
tions devient infini pour une valeur finie de /. 

l*oiiU(ii('. — Sur uik; cxtcusioii tic la noiion anlliiii> ii(|uc Je genre. 



((>7}. 



7G SECONDE PARTIE. 

Deux formes algébriquement équivalentes appartiennent au même ordre quand 
le plus grand commun diviseur de leurs coefficients est le même, quand il en est 
ainsi du plus grand commun diviseur de ces mêmes coefficients affectés des 
coefficients binomiaux (ou polynomiaux) et du grand commun diviseur des 
coefficients de leurs covariants, contravariants, mixed concomitants, etc., afl'ectés 
ou non des coefficients binomiaux. 

Deux formes /(j;,, x^_, ...,cCn) et o{y,,y^, ..., r„)sont équivalentes suivant 
le module m quand on peut trouver n^ nombi'es entiers «/a dont le déterminant 
soit ;=; I (mod ni), et qui soient tels qu'en posant 

J'i = (^ii ■2",- -^ a^.x^-i-. . ■-T' ai,, j;„ 

on ait identiquement 

ï(,T,,j-2, ...,x„)^/{x^,x.,, ..., .r„)(mod m). 

Deux formes algébriquement équivalentes appartiennent au même genre quand 
elles sont équivalentes suivant un module quelconque. 

Ces définitions s'appliquent à des formes (juelconques. 

Deux formes équivalentes suivant deux modules m et ni' premiers entre eux 
sont équivalentes suivant le module tnm'. 

Deux formes équivalentes, suivant tous les modules qui sont des puissances 
d'un nombre premier appartiennent au même genre. 

Deux formes qui appartiennent à la même classe appartiennent an même 
genre. 

Deux formes qui appartiennent au même genre appartiennent au même ordre. 

L'auteur applique ces définitions aux formes quadratiques d'un nombre quel- 
conque devariables; il considère ensuite la forme cubique binaire et son hessien. 

Le Paige (C). — Sur les formes algébriques à plusieurs séries de 

variables. {6g). 

Sur la réduction d'une forme quadrilinéaire à sa forme canonique et sur le rôle 
(jue jouent dans cette réduction les covariants signalés par l'uulcur. 

lioussinesq. — Equations difïerenlielles du niotivenient des ondes 
produites à la surface d'un liquide par l'éniersion d'un solide. 

(70. 

]N" 3-, 16 jaiivicr. 

Darboux (G.). — Sur la représentation sj)liéri(pie (\cs surfaces. 

(i:io-i58). ' 

l.a représentation sphérique, due à M. Bonnet, consiste, comme on sait, à faire 
correspondre à chaque point d'une surface un point (l'une spliêre par la condi- 
tion que les deux plans tangents soient parallèles. Aux lignes de courbure rie la 
surface correspondent des lignes orthogonales sur la sphère. M. Darbuux a 
résolu {Comptes rendus, t. I,\\ Il cl IA\ III) la <|uesli(in suivante : 

Trouver toutes les sur/aces dont 1rs (ii;»f's de courbure ont pour rc/niscnta- 
tùin sphérii/ue un système d'ellipses et d'/n/ierùo/es /tomo/ocules. 



REVUK DES PUBLICATIONS. -- 

Dans les communioalions dont nous rendons complo, il compU'-le ce résultat, 
et montre qu'on peut obtenir toutes les surfaces ayant pour représentation 
sphérique, soit un système d'ellipses et d'hyperboles homofocales, soit le système 
ortiiogonal que l'on déduit du précédent par l'inversion la plus générale. 

Si dans le plan dont l'équation est 

w .r -r vy + (v z -\- p ^= o 

II, V, w, p sont des fonctions des deux variables p et p,, ce plan enveloppera 
une surface non développable, les lignes p = C, p, = C, seront conjuguées toutes 
les fois qu'il existera une équation 

opc/p, oo t)o^ 

dont a, V, (V, p seront des solutions; réciproquement, si a, r, iv, p, p' sont des 
solutions de cette équation, les surfaces -, 2', enveloppes des plans 

ux -'■:- vy -^ wz + p =0, 
ux -^ vy -i- \vz -i- p' = o, 

seront telles que pour les points correspondant aux mêmes valeurs de p, p, les 
plans tangents seront parallèles. Si l'une des surfaces est une sphère (S), les 
lignes p = C, p, = C, seront, sur la sphère, des lignes orthogonales, représentant 
les lignes de courbure de l'autre surface ; donc : 

Étant donnée une équation aux dérivées partielles telles que (i), si l'on peut 
trouver quatre solutions de cette équation liées par la relation 

(2) u^ -i- i'- -^- w^ —- p-, 

les équations 

u V »' 

X = -, y = -, z = — 

P ' P P 

définiront un système de lignes sphériques orthogonales, et la surface la plus 
générale dont les lignes de courbure ont ce système pour image sphérique sera 
l'enveloppe du plan 

ux ^- vy -^ (v^ + P = 0, 

où P est l'intégrale générale de l'équation (i). 
Par exemple, l'équation 

admet des solutions de la forme 



I 
ï 

P = ^D; V/(p + «,) (P,+ «,), 



78 SECONDE PARTIE. 

liées pav la relation (i). Le système sphérique orthogonal correspondant sera celui 
(jui a été indiqué au début. 

Considérons maintenant une surface (S) et supposons que ses lignes de cour- 
bure aient pour image sphérique deux systèmes de lignes orthogonales, tracées 
sur une sphère (S). Soumettons ces lignes sphériques à une inversion dont le 
pôle sera un point quelconque O et dont le module sera choisi de telle manière 
que la sphère (S) se corresponde à elle-même. Soit (P) le plan polaire de O 
par rapport à (S). 

Considérons uu plan tangent quelconque (nr) de la surface (2) et abaissons du 
centre C de la sphère (S) la perpendiculaire sur ce plan, perpendiculaire qui 
rencontrera la sphère en un point M; soit M' l'inverse du point M. Le plan (ra'), 
perpendiculaire à CM' et passant par l'intersection du plan (a) avec le plan 
fixe (P), enveloppera une surface (S') dont la représentation sphérique sera 
fournie par les lignes orthogonales inverses de celles qui servent de représenta- 
tion à (S). 

Cette méthode, qui réalise géométriquement la transformation par directions 
réciproques de M. Laguerre, permettra, toutes les fois que le problème de la 
représentation sphérique sera résolu pour un système de lignes, d'en donner la 
solution pour tous les systèmes orthogonaux que l'on peut en déduire par une 
inversion. M. Darboux indique plusieurs applications; il généralise en outre la 
méthode ordinaire de représentation sphérique, en s'appuyant sur le théorème 
suivant : 

Considérons une sphère variable (U) assujettie à toucher à la fois une sur- 
face {^) et une sphère (S). Quand le point de contact de (U) et de {^L) décrit 
une ligne de courbure, le point de contact de (U) et de {S) décrit une ligne 
sphérique qui correspond à la ligne de courbure. 

Cela posé, les lignes sphériques qui correspondent aux deux systèmes de lignes 
de courbure se coupent mutuellement à angle droit. Ce mode de représentation 
subsiste ([uand on effectue toutes les transformations qui conservent les lignes 
de courbure, et l'on peut démontrer que toute transformation effectuée sur une 
surface (S) et conservant les lignes de courbure entraine un changement dans 
la représentation spiiérique de cette surface, qui équivaut à une ou à plusieurs 
inversions. 

Pépin. — Nouveaux théorèmes sur réc[iiation indélerminée 

ax'' -^ bj'' = Z-. (122). 

Cas généraux où ré(|uation n'a pas de solutions ralionnolios, l'équation qua- 
draliiiue correspondante en admettant, au contraii'c, une infinité. 

Poiiicaré. — Sur une extension de la notion arithmétique de 
genre. (124). 

Conditions pour ([ue deux formes quaclratiqucsy"(5:,, .r,,. . ,-r„), 'f{x^,x.j, ..., 
x„), appartenant au mémo ordre et ayant même déterminant A, soient éijuiva- 
lentes suivant une puissance quelconque d'un facteur premier impair 7^ de A, 
pour qu'elles soient équivalentes suivant une puissance quelconque de 2. 

Répartition en genres, par rapport aux modules 2, 3, 5, des formes cubi(|ucs 
lunaires. 

//ui/.\si/>csr/. Sut' k's ondes (|ii(' fiiit iiallrc, dans l'caii en repos 



UEV^Uli DES PUBLlCATIOiNS. 79 

d'un canal, l'immersion d'un cvlindic solide, |)lonf;é en travers 
dans ce canal, (i '*■'])■ 

IS" 4; 23 janvier. 

Davhoux. — Sur la représentation sphéric[ue des surfaces. (i58). 

Lagiierre. — Sur quelques équations transcendantes. (160). 

Une transcendanle entière est flu premier genre si ses facteurs primaires sont 
de la forme 

Si une transcendante entière l' {x) est du premier genre et a toutes ses racines 
réelles, ses dérivées sont également du premier genre et ont toutes leurs racines 
réelles. L'auteur indique en outre diverses propriétés qui rapprochent singuliè- 
rement les transcendantes des fonctions rationnelles entières ayant toutes leurs 
racines réelles. 

Poincaré. — Sur les fonctions fuchsiennes. (i63). 

Méthode nouvelle pour exprimer une fonction fuclisienne donnée à l'aide dt- 
séries thêtafuchsiennes. 

]N° 5 5 30 janvier. 

Bertrand (/.). — • Sur la théorie des épreuves répétées. (i85). 

Démonstration du théorème de Bernoulli sur les épreuves répétées. 
Soient/? et q les probabilités de deux événements contraires A et B; on a 

p-r-fj = l, 

et les termes du développement 

{p + (J y'- = p'^ -H \i-P'^~^ q -^ . . . ^ A,,/?'' q'^-'' + . . . -f- «7I* 

représentent les probabilités des diverses combinaisons que le hasard peut ame- 
ner sur une succession de [x épreuves. Supposons qu'on s'engage à payer, après 
les p. épreuves accomplies, une somme égale à 



(^^y 



/( désignant le nombre de fois que révénement A s'est présenté; l'espérance ma- 
lhémati(|ueE de celui à qui l'on fait une telle promesse s'obtient en multipliant 
la valeur de chacune des sommes à espérer par la probabilité qu'on a de 
l'obtenir : 

E = 2 ( - — /? ) /• Aif/^^v"-* 



= ^^ ■Zk\\kp''f !"-'<- -;- -/• V-t />'■>/"-'•-" p-^- ^</'*7""^^ ~f ■ 



8o SECOND!-; PARTIE., 

E tend vers zéro (jiiantl a augmente, ce (jui exige évidemment ([u'il en soii de 

même de la probabilité pour que la difTérencc p surpasse une limite dnnnée. 

si petite qu'elle soit. 

Hermite {€■•). — Sur quelques apj)lications de la llu'orie des fonc- 
tions elliptiques. (i86, 3^:j., 477' "^94)- 

I^a solution de l'équation 

D- 1" =--[ii{ n -^ i) A-î sw'x -r- h ]y 

n'a encore été obtenue que pour ii = i et /? = 2. Les méthodes de 'S\. Fuchs 
montrent que l'intégrale générale est une fonction uniforme de la variable: en 
utilisant l'importante proposition de M. Picard que cette intégrale est une fonc- 
tion doublement périodique de seconde espèce, la solution de l'équation de Lamé 
est donnée directement par l'application de principes généraux s'appliquant aux 
équations linéaires d'un ordre quelconque. M. Hermite expose une méthode in- 
dépendante de ces principes et traite la question difficile de la détermination 
sous forme entièrement explicite des éléments de la solution. 

Le point de départ est le développement en série que l'on tire de l'éciuation 
quand on y remplace x par zA'-t- £. 

On trouve alors que l'équation est vérifiée par deux développements en s(''rie 
de la forme 

y ~ Tn'^ ^1 -^ • • • -t- -^û^ji --•••, 

y = £^'+' (i + h\ e= -- a; £'-;-...). 



V.n outre, si l'on met dans l'expression 



-11-2 



à la place àcy, tous les termes en -^j^^') —■> ■■-, -^^/rj disparaissent, en sorte 

1 . ,. 
que, CM supposant ii -~- iv, ou n = 2v — i, on n aura aucun terme en -■> si I mi 

picnd dans le premier cas 

I h^ /j,^., 



et dans le second 






Ceci pos('-. en faisant 



■/,{x) 



/{x) - e'^('-'*''y(jr), 
H{<,>)H(.r) 



HKVUE I)r:S PUHI.ICATIONS. Si 

lc% expressions 

satisferont, suivant les cas de n = 3v et /j = av — i, à l'équation difTcrcnlielIc, 
l)ourvu qu'on détermine convenablement les constantes wet)». 

En effet, on voit immédiatement que, en prenant x = ik' -h £, les parties prin- 
cipales du développement suivant les puissances ascendantes de s coïncident 
respectivement avec les parties principales des développements correspondants 
de j>', donnés plus haut; de plus, on peut s'arranger, dans le premier cas, pour 
que le terme constant et le coefficient de s soient h.^ et zéro, et, dans le second 
cas, pour que ces coefficients soient zéro et h.^. 

Alors les deux fonctions doublement périodiques de seconde espèce 

Dl- F(.r) — [n{n -^ i)/r&n^3: -^ h]F (x), 

étant finies pour x = i/,', sont nécessairement nulles; en sorte que l'expression 

r =CV{x)~C'Fi-x) 

fournit l'intégrale générale. 

Mais les deux équations de condition auxquelles on est conduit par cette voie, 
équations algébriques en snoj et X, sont compliquées et difficiles à traiter : rela- 
tivement à )>, par exemple, Tune est du degré n, l'autre du degré n h- i. Il parait 
tlifficiie de mettre en évidence qu'elles ne donnent pour a^ et sn'o) qu'une seule 
flétermiuation. 

Dans le cas de n = 3, M. Hermite parvient à la résolution complète, en sorte 
que, dans ce cas, la solution de l'équation de Lamé est obtenue sans ambiguïté; 
il met, en outre, en évidence les valeurs de la constante h qui fournissent les 
solutions doublement périodiques ou les fonctions particulières de seconde espèce 
de ^I. Mittag-Leffler et, chemin faisant, rencontre un exemple simple de réduc- 
tion d'une intégrale hyperelliptique de seconde classe à l'intégrale elliptique de 
première espèce. 

Le cas de 71 quelconque est ensuite l'objet d'une analyse profonde, où l'expres- 
sion du produit des deux solutions F(x), F( — x) et d'autres produits analogues 
([ui s'obtiennent tous en fonctions linéaires de k^sn^x et de ses dérivées succes- 
sives joue un rôle essentiel. En désignant par y N la valeur constante du déter- 
minant fonctionnel formé avec les solutions F{x), F( — x), l'auteur prouve que 
N est un polynôme entier en /«,, et par conséquent en /«, du degré a/j -f-i. La 
condition X = o détermine les valeurs de cette constante pour lesquelles l'équa- 
tion de Lamé est vérifiée par des fonctions doublement périodi(|ues, la solution 
générale subissant alors un changement de forme analytique. 

Dans le cas où N est différent de zéro, M. llcrmitc élaltlit que sn-(o est 
une fonction rationnelle de h et que a ne contient [)as d'autre irralioimaiité 

que v'X. 

F (x) 

Enfin, dans le cas f>ù \ est nul, le quotient -— se réduit à une constante 

F(— a.) 

el les multiplicateurs de la fonction de seconde espèce F{x) deviennent égaux 
RiiU. des Sciences niallieni., .)' série, t. VI. ( \vril 18S1.) lî.ii 



82 SECONDE PAKTIE. 

à +i; à cause des quatre combinaisons de signes, on voit qu'il peut exister des 
solutions de quatre espèces, ayant respectivement les périodicités de sna;, cnj;, 
dn^, sn-^r. Pour les trois premières on a X = o avec w = o, ou to = K, ou 
tù = K-hiK'; les valeurs de h qui con-espondent à ces diverses espèces de solutions 
sont respectivement données par des équations de degré v; les valeurs de h qui 
donnent les solutions de la quatrième espèce sont fournies par une équation de 
degré v + 1 ou v — i selon que /i = 2v ou 2v — i; dans ce cas les valeurs de >k 
et de snw sont infinies. C'est en montrant comment on peut déduire ces solu- 
tions de la solution générale que M. Hermite termine son analyse. 

Appell. — Sur une classe d'équations différentielles linéaires à 
coefficients algébriques. (202). 
Étant donnée une équation de la forme 

-p^, — 'Mx-, -»')- = o, 
cLv 

où '^{x,y) est une fonction rationnelle des variables jj' et x liées entre elles par 
une équation algébrique ^"(a:,^) = o de degré m at de genre p, M. Appell est 
parvenu à reconnaître les cas où elle admet une intégrale de la forme 

z = e /"ri.vo-)'^-, 

où -s^x,}') est une fonction rationnelle de x, et à obtenir les intégrales de retle 
forme. 11 examine en particulier le cas où /? = o et celui où /) = i et termine 
par la remarque générale que voici : 
Étant donnée Téciuation 

où les çp sont des fonctions rationnelles de x, y liées par l'équation ¥ {x,y) = o 
de genre p, si l'on a jo > i, on peut ramener l'intégration de cette équation dif- 
férentielle à celle d'un sjstème de p équations diflcrentielles linéaires simulta- 
nées aux dérivées partielles dont les coefficients sont des fonctions uniformes de 
p variables indépendantes à "îp groupes de périodes conjuguées. 

Spoercj'. — Sur le caractère oscillatoire de la cause qui détermine 
la distribution variable des taches à la surface du Soleil. 

(ao.")). 

Boussinesq. — Sur les intégrales asymptotes des équations diffé- 
rentielles. (208). 

J'^a/i/'rp/c. — Sur la génération des surfaces et des courbes à 
double courbure de tous les degrés. (210). 

i\" (>: Il fôvrirr. 
Séance |iidib(|iic iiiiinicllc. 



UFVUE DKS PUBLICATIONS. 8{ 



N" 7; l.> février. 

Bertrand (J.). — Sur la loi de déviation du pendule de Fou- 
cault. (•^71)- 

Soit M la position de robservateur sur la surfarc de la Terre. Après un temps 
dt il sera transporté en M'* sur le parallèle passant par le point M; si le plan 
d'oscillation du pendule n'avait pas de mouvement apparent, il tournerait avec 
la Terre et ses positions successives envelopperaient un parallèle; soit I le point 
de contact dans la position primitive, transporté en I' lorsque M est lui-mèm<; 
venu se placer en M'; parmi les grands cercles passant par M', celui qui fait le 
plus petit angle avec Ml est M'K qui va couper I\1I à une distance MK du point M 
égale à un quadrant. Le cercle ISI'l' ne laisserait paraître aucune déviation; la 
rotation apparente 6 du plan est donc l'M'K; M. Bertrand en donne l'expression 
suivante : 

6 = cosMP — • 

cosMP est le sinus de la latitiule, p le rayon du parallèle. Ce résultat diMiionlre 
le principe sur lequel s'est appuyé Foucault. 

HermiteiG.). — Sur quelcjues applications de la théorie des fonc- 
tions elliptiques. (0^2). 

Sylvester [J.-J.). — Sur les racines des matrices unitaires. (Sgô). 

M. Sylvester désigne sous ce nom une matrice dont tous les termes sont des 
zéros, sauf ceux de la diagonale qui sont des unités. Il donne la forme générale 
des matrices dont la i'""" puissance donne une matrice unitaire en admettant 
pour loi de multiplication la loi qui résulte de la combinaison des substitutions 
linéaires. 

Bigourdaii. — Observations des planètes (221) Pallas et iS^ Pa- 
lisa, faites à l'Observatoire de Paris. (409)- 

André {€.). — Sur le compagnon de l'étoile y d'iVrchimède et sur 
un nouveau mode de réglage d'un équatorial. (4 10). 

Laguerre. — Sur la distribution dans le plan des racines d'une 
équation algébrique dont le premier membre satisfait à um^ 
équation différentielle linéaire du second ordre. (4i3-)- 

Mittag-Lefjler (G.). — Sur la théorie des fonctions uniformes 
d'une variable. (4i4)- 

Nous résumons à la fois les diverses communications de l'auteur des i.l et 
io février, du i3 mars et du 3 avril. 

M. Mittag-Leffler apprend à construire la fonction analytique la plus géné- 
rale F(.r) jouissant des proprii'iè'* suivantes : Ses points singulieis (]iùles et 



4 SECOxNDK l'A in 11-:. 

points essenliels) forment la suite infinie «,, a.. «3, .... cionl tous les termes 
sont distincts et tels que lim«„= x, pour n infini; aux: environs de ces points, 
elle se comporte comme les fonctions 

G. ('— ^j, G,(— ^U ..., 
\x — rt, / \^ — a.,J 

en désignant en général par 

G,(r) = c/ .r — c'/' 1-2-^... 

une fonction entière, rationnelle ou transcendante, s'annulant pour J' = o; en 
sorte que, aux environs du point «„ par exemple, on puisse poser 



¥{x)= G„( ^ ^ — V,Ax — a„), 

\x — a„ I 



où P„(,r — a„) désigne une série procédant suivant les puissances entières et 
positives de {x — a„). Le procédé de formation repose sur ce que, sous la con- 
dition 

;• = 50 

on peut développer G„ ( | en une série de la forme > Al."' x'^ et sur ce 

\x — a,,/ ^^ 

;■ = o 

que l'on peut, pour chaque point a„, déterminer un nombre positif entier ;»„ tel 

(jue la série 

« = ac 

n = 1 

OÙ Ton fait 

r = ;h„ 

F„(^) = G„ i ^-~\ - V A'/"x'-, 

^ X — a„ / ^^ 

r _ n 

soit absolument convergente, sauf pour les points a. 
Cette série 

jouit évidemment des propriétés demandées. Le mode de démonstration est tout à 
fait semblable à celui que M. ^^'eierstrass a employé, dans un Mémoire inséré 
dans le Derliner Monatsbericht An mois d'août 1880 et dont la traduction a paru 
dans le Bulletin \w\\t établir la proposition moins générale, mais analogue, à la- 
(luellc le nom de M. -AIiltag-l.,efller reste attaché. Au reste, ce dernier avait lui- 
même employé le même procédé de démonstration dans ses leçons à l'L nivcrsité 
dllelsingfors de l'année 1879. 

Mnliii la fonction la plus générale satisfaisant aux conditions imposées sera 



2^[\-J,x)-r-s„{J:)], 

ce 

où ▼ i' (x) iH*|H'i*s(*iilr uiif litiK'liuii f'iiliric ;irl»itr;iiro de w. 



REVUE DES PUBLICATIONS. 81 

Il est bien clair que l'expression oljlenue ne répond pas à lous les modes de 
discontinuité que l'on peut imposer à une fonction nnifornie. A l'cnsendjle (V) 
des valeurs singulières distinctes peut correspondre un ensemble fini ou infini 
(P) de valeurs limites, c'est-à-dire telles (pie dans le voisinage d'une (pielconque 
d'entre elles il y ait une infinité de valeurs (P); l'existence de telles valeurs 
limites a été, comme l'on sait, étalilie par M. ^^eierstrass; de même l'ensemble 
de valeurs (P') supposé infini fournit un ensemble de valeurs limites (P"), etc.; 
en continuant ainsi, il peut se faire qu'on arrive ou qu'on n'arrive pas, à un 
nombre fini de valeurs limites : on aperçoit ainsi la possibilité d'une classifica- 
tion des valeurs singulières; au surplus cette classification, pour un nombre 
infini de valeurs réelles comprises entre des limites finies, a été faite par 
M. Cantor et les beaux résultats de ce dernier s'étendent sans difficulté au cas 
qui nous occupe. A ces différents genres de discontinuités répondent des théo- 
rèmes généraux sur lesquels M. Mittag donne quelques indications et qu'il a 
développés dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Stock- 
holm (février 1882). Nous revenons maintenant au premier cas, celui oii l'en- 
semble (P) des valeurs singulières a,, a^, a^, ... n'a pas d'autre valeur limite 
que le point 00 . 

Quand la fonction \'{x) est donnée, la première question à résoudre consiste 
à trouver les éléments l\^{x:) de la série 

qui la représente, ou, si l'on veut, les entiers ]\I„ qui ciirrespondent à rlia([ue 
point singulier a„ ainsi que la fonction entière G{x); l'auteur y parvient, dans 
un cas très général, par le procédé suivant : 

Soit S un contour simplement connexe qui embrasse le point z = o, ainsi (jiir 
les seuls points singuliers z = a,, a.,, ..., «,^ et soit x une valeur différente de 
zéro. 

On aura 

V = 1 

Si ^ = appartient aux points «,, o^, . . ., rt,,, il ne sera pas compris sous le 
signe de sommation. En supposant d'abord que x n'ait aucune des \aleurs «,, 

fl,, . . ., a , on aura 

C,= F{x); 

puis 

-C„=G,{x) = F(o) -:-^F'(o)+...4- ^ , ;^|"J_,) F'"'"') (") 

si zéro n'est pas un point singulier, 

si /.(-ro est un point singulier, en supposant que, aux. eu\iions de ce point, un 
ait 



•■■(-) = <v(^)-l-C'„'>-CV''-(-C4'' 



86 SECONDE PARTIE. 

et en l'aisant 

G,{x) = c;/' + cp x-h...-^ c;;;'i, x""-'. 

enfin on aura 

"' \x — a.^/ ^^ • \«.,/ 

u. -^ u 

si Ton représente cette quantité par V.j{x) on aura doue une torniule telle ipu' 






Si les points a,, «.^, ..., a„ sont tous des pôles, cette formule coïncide avec 
celle que l'auteur a donnée antérieurement dans une lettre à M. Hermite, publiée 
par le Bulletin. .^I. Mittag-Leffler en établit d'ailleurs une autre analogue, mais 
plus générale en prenant pour point de départ, au lieu de l'intégrale 



dz[. 



■lT.lJ^Z—X\z; Jg IZ^X i]^ Z \Z I 

la suivante : 

Si l'on fait maintenant croître les dimensions de la courbe S, de façon que 
chaque ligne embrasse la précédente et qu'il corresponde à chacun des points a 
une ligne S qui embrasse le i)oint et si le module de l'intégrale précédente ou de 
l'intégrale 

2-1 J^ Z-X\zj 

peut être rendu pour une ligne S et les suivantes plus petit qu'uni^ quantité ar- 
bitrairement petite 6, on parviendra au développement cherché 

F{x) = G (a;) -f-ll\(,r), 

la série qui figure dans le second membre étant uniformément convergente par- 
tout ailleurs qu'aux [)oints singuliers. 

.M. Mittag-Lefller ap[)li(iuc cette méthode aux fonctions l'(x) de la (orme 

F(,r) -. n{y)r(x), 

où 

}- = e' 

et oii H(.;>') et r{x) sont des (onctions raliomiellcs en f et ./•. la pri-Miiérc a\anl 
une valeur finie pour t — o et a." — » ; il retrouve ainsi deux <l('-v('liqp|icnicnl> 
rcmaniuables pour la fonction rcol-j; déjà obtenus par M. (îyidi'ii. 
I'!n preiKinl 

y(x) = /(x)r(x). 

iiii /(x) ol une Inniiion iinifuriin il iiionngénc, n .i\;iii( iLiii- un (jonianii' Uni 



REVUE DES PUBLICATIONS. 87 

(|u'un nombre liai de points singuliers et qui esl soumise ;ni\ conditions 

f(x-^-2w ) = \i.f{x). 
/(.r-f-2(v') = \i-'/{x), 

les modules de a et 'j.' étant inférieurs à i, et le rapijort — , éiant imai;inaire, on 

est conduit à des formules intéressantes dans la théoi'ie des fonctions ellip- 
tiques. 

Poincaré. — Sur les points singuliers des équations diiréren- 
tielies. (4it>)- 

L'auteur donne pour les points singuliers des éciualions dilTércnticlles de la 

forme 

dx _ dy _ dz 

T ~ T ^ z 

une classification analogue à celle qu'il avait déjà établie pour les équations 
différentielles à deux variables x, y. 

Picard {E .). — Sur les fornies des intégrales de certaines équa- 
tions différentielles linéaires. (4 18). 

Cette étude se rapporte à des équations différentielles linéaires dont toutes les 
intégrales ne sont pas régulières. 

Appell. — Sur un cas de réduction des fonctions de deux va- 
riables à des fonctions h d'une variable. (42')- 
Si l'on considère la fonction 

H, Hi = -l-cc 

B(.2-' >') = ^ g;;i»-(-«y-+-m"-(JH-2;nH_)' + n-,3 

//, m — — « 

les périodes normales des fondions abéliennes correspondantes sont 

Pour .r i-i, o, ix, 2 y, 

PourjK o, a-j, 27, 2 fi; 

si l'on suppose (ju'entre les périodes relatives i\ y il y ait une relation de la 
forme 

2/.V = 2k"^-r-'2k"~i, 

ces A" étant des nombres entiers, la fonction 0(x, r) pourra s'exprimer au moyen 
de fonctions 0. 

Le Paige {€.). — Sur les formes quadratiques à deux séries de va- 
riables. (424)- 

L'auteur établit que ces formes peuvent èlre ramenées à la forme réduite sui 
van le : 



88 SECONDE PARTIE. 

André {D.). — Sur la divisibilité d'un cerlain quotient par les 
puissances tl'une certaine factorielle. (4'i(>)- 
; Si 5:^ el n sont des nomljrcs entiers, l'expression 

{nx)\ 



Q = 



{X\)" 



est toujours un nombre entier. M. Weill a démontré que Q était divisible parn!. 
M.André établit que, s'il est impossible d'exprimer x par une somme de moins 
de A' puissances d'un même nombre premier, le quotient Q est divisible par la 
puissance A'*""" de la factorielle «!. 

N° 8; 20 février. 

Mouchez. — Observations méridiennes des petites planètes, faites 
à l'Observatoire de Paris pendant le quatrième trimestre de 
l'année i88i. (474)- 

Bigourdan. — Observations de la comète Z> = 111 i88i, faites à 
l'Observatoire de Paris, (uoa). 

Tacchini. — Sur la distribution des prottdjérances, des facules et 
des taches solaires observées à Rome pendant les deuxième et 
troisième trimestres de i88i. (jo5). 

Tacchini. — Observations spectroscopiques solaires faites à l'Ob- 
servatoire royal du Collège romain pendant le deuxième et le 
troisième trimestre de i88i. (5o6). 

Laqaerre. — Sur la distributioTi dans le plan des racines d'une 
équation algébrique dont le premier membre satisfait à une 
équation difierentielle linéaire du second ordre. ( jo8). 
Cette étude est faite pour le polynùmc hypergéométricjue 
F ( — " I a, 1^ — rt + I , a: ) . 

Mitlag-Lefjler . — Sur la ihéorlc des fonctions uniformes d'une 
variable. (5 i i). 

l>oussincs(/. — Sur l'intégration de l'équalion 

, d"'^ 1 d^ di Y 

^-dF-^id^^-^dy^-^---)'^ = ''- 

(5.4). 

Lckiv {M.). — Sur la solution pratique du |)roblèmc du Iraiispori 
de la force à de grandes dislancrs. (."ii j). 



REVUE DES PUBLICATIONS. 8() 

Michelson. — Sur le mouvemenl relatif de la Terre et de lélher. 

(520). 

NO 9; 27 février. 

Daiboux. — Sur les difTérentielles successives des fonctions de 
plusieurs variables et sur une propriété des fonctions algé- 
briques, (yja). 

Poincaré. — Sur lintégration des équations différentielles par 

les séries, i^']')' 

Soient les équations 

£/£, _ dx., _ _ dx^ 

où les X sont des polynômes réels entiers, par rapport aux variables réelles x, 
en adjoignant aux rapports précédents le rapport supposé égal 

ds 



\\ -^\l-^...^\l 



l'auteur démontre qu'on peut toujours trouver un nombre a, tel quear,, x.,, .... 
x,^ puissent s'exprimer par des séries ordonnées suivant les puissances de 



et convergentes pour toutes les valeurs réelles de s. Les coefficients sont des 
fonctions rationnelles de a, des coefficients des polynômes X et des valeurs ini- 
tiales des variables. 

Picard {E.). — Sur certaines fonctions uniformes de deux va- 
riables indépendantes et sur un groupe de substitutions linéaires. 

(579)- 

Sur la recherche de fonctions de deux variables qui puissent être considérées 
comme les analogues des fonctions elliptiques modulaires, c'est-à-dire qui se 
reproduisent pour un groupe dune infinité de substitutions linéaires faites sur 
les variables. 

IS'* 10; G mars. 

Ilennite. — Sur quelques applications de la théorie des Ibnclions 
elliptiques. (094). 

Laguenc. — Sur la délenninaliou du genre dune fonction Irans- 
ceridantc entière. (63")). 



90 SECONDE PARTIE. 

Si les facteurs primaires d'une fonclioa enlière sont de la fui-iiu- 

\ aj 

où V (x) = i ■ -+-. . .-i ) n est le genre de la fonction. 

a ■> a- n a"- 

Les fonctions de genre zéro et i ont des propriétés analogues aux fonctions 

rationnelles entières; ainsi entre deux racines réelles consécutives il y a une et 

une seule racine réelle de la dérivée. On en conclut que, si toutes les racines 

sont réelles, la dérivée qui a aussi toutes ses racines réelles est encore du premier 

genre. 

f'(z) 
Si le rapport ~ — ^ ■, où n désigne un nombre entier, tend vers zéro iiuand ;; 

z"f(z) - ' 

croît indéfiniment, la fonction y(^) est du genre n. 

N" 1 1 -, 13 mars. 

BrioscJii. — Sur une application du théorème d'Abel. (686). 

Dans une Communication insérée dans les Comptes rendus (i4 février i88i), 
M. Brioschi a montré comment le théorème d'Abel se prétait à l'étude de l'écjua- 
tion de Lamé; il montre comment, en suivant la voie qu'il a ouverte, on parvient 
aisément, pour n = 3, aux résultats de M. Hermite. 

Mittag-Lefjler . — Sur la théorie des fonctions unifornies d'une 
variable. (^i3). 

Goursat. — Sur les fonctions uniformes présentant des lacuues. 

(7i5). 

Soient 
(') «0, «,, <''„ ••• 

une suite indéfinie de (juantités imaginaires, et 
(2) c„, c,, c„ ..., 

une seconde suite, toile (lue la série 

.^^ ' "' 

u 

soit convergente. 

Soit A une région du plan à contonr simple ne contenant aucun des nombres <^/. 
dans celte région la série 



(3) 



V 



(■>L ali-^niniiii'iil lonvergentc. Si niaiiilciianl rmi i<insi(lirc iiiir iiiii- T \\v l'ciifcr 
iiiaiil aucun puiiit ric la si'-ric (r) liinilir par iiiir '\\\ plii>iiMiis coiirbi'-^ ayaiil 
une l,iiii:ciil(; en ( li.iruii de l(iir~ pdilil--, il Icllr ipic, --iii Mil iirc liiii de l'illir 



REVUE DES PUBLICATIONS. 91 

d'elles, il y ait toujours une infinité de points de la série (1), on ne pourra con- 
tinuer la fonction définie par la série (3) au delà de l'aire T. 

IS" l!2; 20 mars. 

llermite. — Sur quelques applications de la théorie des fourtions 
elliptiques. (753). 

Faye. — Lettre de M. Fuss sur les grands objectifs, trouvée par 
M. Truchot dans les papiers du conventionnel Romnie. (768 ). 

Bigourdan. — Observations des planètes (22?^ et ^223^ faites à 
l'Observatoire de Paris. (777). 

Laguerre. — Sur les hypercycles. (778). 

On sait que M. Laguerre appelle semi-droite, cycle, une droite, un cercle 
parcourus dans un sens déterminé. 

Certaines courbes algébriques {courbes de direction) constituent un être 
géométrique quand on les regarde comme enveloppe d'une semi-droite, quand 
on attribue à leurs tangentes un sens déterminé; pour de telles courbes, l'enve- 
loppe d'un cercle de rayon contenu, dont le centre les décrit, se décompose en 
deux courbes distinctes. 

Les hypercycles rentrent dans cette classe de courbes; ils comprennent l'hy- 
pocycloïde à quatre rebroussements et toutes les anticaustiques de la parabole, 
les rayons incidents étant parallèles. 

Etant donnée une tangente quelconque V à un hypercycle, il lui correspond 
une autre tangente A' telle que A, A', et deux semi-droiles fixes V et P' (que Ton 
peut appeler les semi-droites fondamentales de la courbe) forment un système 
luirmonique. 'SI. Laguerre entend par là que les deux semi-droites (A, A') et les 
deux semi-droites (P, P') touchent un même cycle, les points de contacts divi- 
sant harmoniquement le cycle. 

A est alors dite conjuguée harmonique de A' par rapport à (P, P'). Deux 
tangentes telles que A, A' constituent un couple de tangentes conjuguées. 

Cela posé, Thypercycle est défini par la propriété suivante : les conjuguées 
harmoniques d'une semi-droite du plan D, par rapport aux couples de tangentes 
conjuguées de la courbe, enveloppent un cycle K. 

M. Laguerre donne diverses propriétés curieuses de ces courbes. 

Mittag-Leffler. — Sur la théorie des fonctions uniformes d'une 
variable. (781). 

-ibdanIc-Abakanonicz. — Sur l'intégrateur mécanique. (783). 

>« 13; 27 mars. 

Coggia, — Comète découverte en Anu-ricpie. le iç) mais i<S8i: 
ohscr\ali()ns faites à rOjiser\ atoirc dr M;ii-soillc. ('82()). 



9î SECONDE PARTIE. 

Bigourdan. — Observations de Ja nouvelle comète a 1882, faites 
à l'Observatoire de Paris. (829). 

Tacchini. — Observations des protuliérances, des lacules et des 
taches solaires, faites à l'Observatoire du Collège Romain, pen- 
dant le quatrième trimestre de 1881. 

Laguerre. — Sur les hypercvcles. (832). 

Darboux. — Sur le problème de PfafF. (835 ). 

-M. Darboux montre comment la méthode de Pfaflf, pour intégrer une équation 
aux dérivées partielles, convenablement appliquée, devient aussi simple (jne 
toutes les autres. 

Considérons une forme 

( 1 ) 6^, = X| dx^ -f- Xj rfXj -i- . . . -f- X„ (/j:„, 

où X,, Xj, ..., X,j sont des fonctions connues de x,, x.^. ..., j:„, à un noiuluo 

pair de variables. 

Soit 

. . .)X, ,)\>; 

( 2 ) a,i — 

' '* OXf, ûXi 

le premier système à intégrer, d'après PfafT. en 

. a^^dXy -i-. . .-f- r/,„ <:/j"„ = X, dt, 
(3) ^ 

«2, dx^ — . . . -i- rt„„ (/vT,, = X„ dt, 

où t est une variable introduite pour la symétrie. Ce système admet n — i inté- 
grales indépendantes de t. Si Ion désigne ces n — i intégrales par j-,, .-.,}'„ ,, 
on démontre que l'expression 6^ est réductible à la forme suivante : 

( '1 ) 9„ = K ( V, dy, -•-...- Y„_, <)'„_, ), 

où les quantités Y sont des fonriions des seules variables j'. 

l'nisquc le système (3) a /t — i intégrales seulement, une au moins des va- 
riables x,...,x,^, par exemple, ne sera pas une intégrale. Parmi les différents 
systèmes d'intégrales indépendantes, nous choisirons celles qui se réduisent à 
^v •••)^„_i> pour ^,1 — ^rt' ^" sorte que pour cette valeur jv', se réduise à x-. 
Supposons que, pour cette même valeur, K se réduise à 'l'C-^p •••' -^«-i)- *-^" 
|)cut, sans changer la forme de l'équation {\), diviser K par'^(}-|, ...,J)'„_,), •' 
condition de multiplier par la même fonction toutes les quantités Y; alors la 
nouvelle valeur de K se réduira à i pour J:„ = xJJ, et l'on aura lidentité 

\,dx^~...'\- \„dx„- K(Y,f/>-, -h...-f- Y„_,f/v„_,), 

<iii les valeurs de K, t,, se réduiront, pour x„ — j:-JJ, à i cl à x^. 
( >n aura donc, |)our .r„ -= a")J, 

\" dx^ -i- . . . -h \ )) , </j„ . , — ^ ; dx^ '.-... - - \'„ , dx„ _ , . 



REVUH DES PUBLICATIONS. g3 

où Y^ dt'signo le rcsiillal tic l;i <ni)siitiitii)ii de x, :r„_| à y, y^^ , dans 

Yi : donc 

v; =\r. 

Ainsi, pour obtenir la forme qui muUi|)lic K dans l'équation (4), il suffit de 
faire ir„ =: a:» dans léqualion (i), puis de remplacera;,, ...,x„_, parj',, ..., 
.}'„_,. Une proposition analogue a lieu pour n imiiair. 

Soit maintenant à intégrer une équation aux dérivées partielles 

(■') Pi^/i^y^n ■■■,^,„Pr ■■■,P,.), 

et soit 

dz -— fdXj — p . dx.^ — • •• — Pn ^l^n 

la forme de PfafF correspondante à cette équation, forme qui contient les -xn va- 
riables ;r,, ..., x„, z. p.y .-.,/>„. l-c iiremier sj^stème de Pfaff relatif à cette 
forme sera 

/ — _ -■£! — _ _ ^l£jL — '^P' _ _ ^U\, 

dp. Op,^ dx^ ^ - <)z ôx„ ^" âz 

et l'on voit que x^ n'en sera jamais une intégrale. Si donc nous appliquons le 
théorème précédent et que nous désignions par {z), (x^), (p^) les 2/1 i inté- 
grales qui se réduisent respectivement à z, x^, />,., quand on fait a;, = x^, nous 
aurons 

(6) dz — p,dx,—. . .^ p„dx,,= K[d(z) — {p._)d{x.J — ...— {p„)d{x„)]. 

c'est-à-dire que nous obtiendrons du premier coup la forme réduite qui devait 
être le terme de tous les calculs. 

Picard {E.). — Sur un groupe de substitutions linéaires. (887). 

Étude arithmétique des substitutions linéaires introduites par l'auteur dans 
sa communication du 27 février et par lesquelles se reproduisent des fonctions 
uniformes de deux variables indépendantes. 

Poincaré. — Sur les groupes discontinus. (84o ). 

-M. Picard a donn<- un exemple de groupes discontinus contenus dans le groupe 
linéaires à deux variables 

/ ax -^ bv -^ c n' X -^ b' y 



X -\- b" y -1- c" a" X H- b" y -t- 

M. Pf)incaré indique diverses méthodes pour former de tels groupes discon- 
tinus. Le procédé suivant fournit, par exemple, des groupes de substitutions de 
cette forme, discontinus pour les valeurs réelles de x et dey, ce qui entraîne la 
discontinuité pour les valeurs imaginaires de ces variables, au moins dans une 
certaine étendue. 

Soit une forme quadratique V {x, y, z) à coefficients entiers, elle admettra 
une infinité de substitutions semblables à coefficients entiers 

{x, y, z, ax -^ by -- cz. a' x -h b'y ~ c' z. (■/"./• -+-/>")--;- c"-) : 



9Î SECONDE PARTIE. 

les siibslitutioiis c(M'rcsponclantcs 

ax -^ bv -^ cz a' X -^ h' y '- c' z \ 

X 1' ■ — • ■ > '• — I 

' " ' a X -^ b" y -^ c z a" x -r- b"y -^ c" z ) 

formeront un groupe discontinu. 

M. Poincaré montre encore comment de cliaque groupe fuchsien on peut d('- 
duire un groupe formé de substitutions de la forme (i), à co&fllcients réels, et qui 
est discontinu pour les valeurs réelles et, par conséquent, aussi pour les valeurs 
imaginaires de x et de J^'. 

Léauté. — Sur rapplicalion de la résistance des matériaux aux 
pièces des machines. (843). 



JOURNAL DE Mathématiques pires et appliquées, fondé par J. LiolvillepI 
continué par H. Resal. - 3" série. 

Tome VU. — Année i88i. 

IJesf. — Exposé des méthodes générales en Matliématiques ; 
résolution et intégration des équations; applications diverses, 
d'après Hoené ^^ronski. (5-3i). 

Besal. — Sur quelques théorèmes de Mécanique. (32-48). 

I. — Applications de ce théorème, dû à M. Habich : L'accélération d'un point 
libre, lorsque sa direction est constante, est proportionnelle au rapport du cube 
de la vitesse du mobile au rayon de courbure de sa trajectoire. 

II. — L'accélération d'un point dirigé vers un centre fixe est proportionnelle 
au cube delà vitesse, au rayon vectiMir et à la courbure de la trajectoire. 

IIL — Du problème inverse du mouvemenl d'un point uialériel sur une surface 
de révolution. 

Recherche des conditions auxquelles doivent satisfaire les composantes, 
suivant la méridienne et la tangente au parallèle d'une force capable de faire 
décrire au mobile une courbe donnée. 

Gcnty. — Aj)|^liraLious nu-caniqnes (hi ( '.aUnd des qualernions. 

(49-70)- 

Exposition, au moyen de la mélliode des qualernions, des principaux n'-snllals 
obtenus par .Minding et M. l)arbou\ dans la ihcorie île létiuilibre asiatique. 

I*('jiin (le P.). — Sur les surfaces oscidatrices. (71-108 ). 

La llii'-iirie de ces -inrfarcs conduil ( lli inii 1 1 . ' ''<///'\ r/' \iifil\sc. I. I, \>. i 'i i i à la 



lUîlVUE Di:S PUBLICATIONS. ç,î 

recherche des solutions entières de l'équation 

m' + 6 «i* -H 1 1 /7i = .3 ( /« -+- 1 ) ( n -T- 2 ) ; 

l'auteur parvient à la conclusion suivante : 

Si, outre les surfaces du premier, du cinquième et du vingtième degré, il en 
existe d'autres que l'on puisse rendre osculatrices en des points arbitraires d'une 
surface donnée, leur degré ni est supérieur à 675 et l'ordre n de leur contact est 
supérieur à i.Soon. 

Resal. — Sur les propriétés d'une courbe qui roule sur une droite. 

(109)- 

JVest. — Digressions sur les séries. (111-128). 

Resal. — Recherches sur rÉlectrodynamique. (i-i()-i46)- 

Démonstration de la loi d'Ampère. — Action d'un courant fermé sur un 
élément de courant. — Action sur un élément de courant d'un courant circulaire 
dont le rayon est très petit par rapport à la distance du centre à l'élément 
considéré. — Action d'un solénoïde sur un élément de courant. — Action d un 
courant fermé sur l'un des pôles du solénoïde. — Action d'un solénoïde sur 
l'un des pôles d'un autre solénoïde. 

Boussinesq. — Coup d'œil sur la théorie des séries trigonométri- 
ques les plus usuelles et sur une raison naturelle de leur 
convergence, applicable au\ autres développements de fonctions 
arbitraires emplovés en Physique mathématique. (147-1(^0). 

Sire {G.). — Le dévioscope : appareil donnant directement le 
rapport qui existe entre la vitesse angulaire de la Terre et celle 
d'un horizon quelconque autour de la verticale du lieu. (i()i- 
iG(3). 

André {D.). — Sur les permutations alternées. (iGj-iS'î). 

Considérons n éléments distincts x,, a,, . . ., a„ et formons-en toutes les per- 
mutations. Si, dans l'une quelconque d'entre elles, on retranche chaque indice 
du suivant, on obtiendra une suite de n —i différences, dont aucune n'est égale 
à zéro, et qui, dans toutes les permutations, sauf deux, sont les unes positives, les 
autres négatives. Lorsque, tout le long de cette suite, ces différences sont 
alternativement positives et négatives, la permutalinn correspondante est dite 
alternée. 

Le nombre des permutations alternées de n éléments distincts est toujours 
pair; M. André le désigne par a A„ et établit la relation 

2 A„^. = CO A„ V,- C^ V, \„_, - Cl A,A„_,- . . .-^ C;[ A,.Ao. 

tlette égalité, vraie encore pour // = 1, n'est plus vraie |ioiir n — <> 

(A„= A, =A,--=0. 



.)(i SKCONDK PARTII-. 

On a 



Il : 



A„ + A,f; + A,|î,-i-.... 



tang œ = A, — i- A, — -f- A, ^ -4-. . . . 

M. André donne en outre diverses relations du second et du premier degré 
entre les coefficients A„ et les coefficients d'indice moindre. 

Léauté. — Développement d'une fonction à une seule variable, 
dans un intervalle donné, suivant les valeurs moyennes de cette 
fonction et de ses dérivées successives dans cet intervalle. (i85). 

L'auteur se propose de déterminer un polynôme en a; de degré n tel que sa 
valeur moyenne et celles de ses premières dérivées successives, dans un 
intervalle donné, soient égales à n -f- 1 quantités données. Si l'on suppose que 
l'intervalle s'étend de — A à -h h, on est ramené, en désignant les quantités 
données par V„, Y,, . . ., V„, à déterminer le polynôme j-' par les équations 



:> h J 1^ dx 



ydx — Y, 



dx 



2 h j_i^ dx" 

On trouve aisément ([ne l'on peut poser 

j=P„Y„--P,Y,H-...+ P„Y„, 

les symboles P„, .... P„ désignant des polynômes en x de degré égal à leur 
indice et indépendants des quantités Y et satisfaisant à l'équation générale 

"~'~^ dx' 
En posant ensuite 

P„ = B„ -; H- B„_, ^—^ + . . . -H B„ h", 

" n! (n — i); 

on reconnaît que les coefficients numéri(|ucs Ho, H,, .... I'.,, forment une snilc 
indépendante de l'indice du polynôme P que l'on considère : M. I.éaulé donne 
pour déterminer ces coefficients la formule 






dx' 



RRVUK DES PUBLICATIONS. 

il 

En se servant de l'identité (i) et en posant 



r ^.; en - \, f g'idr, = Y, f g'^i d\ - z, 

on obtient finalement 






Pour le potentiel newtonien, le terme où figure v^* disparait; si le contour 
est nul, les trois derniers termes disparaissent en outre et Ion retombe encore 
sur une des formules de M. Neumann. 

Si maintenant on admet la continuité (quand on traverse la surface) de la 
fonction 



et la discontinuité de la fonction 



^^' = f g ~ ch. 



discontinuité définie par la formule 

les formules précédentes permettent d'obtenir les formules relatives au passage 
de la surface pour les dérivées première et seconde : pour les dérivées premières 
on a 

— - -T- — — — ^T./l, 

On On 
rAV dW 



Pour les dérivées secondes, on ;i 

ï' On' ' " 'VK, ■ H, '' 



O^W rPW_ ^_ 
On' ~~ On"' -" ■^'•^■'î 



La première a été donnée par Al. Neumann, elle avait été d('j;i démontrée avec 
quelques restrictions par Al. Paci (Journal de BattagUni, t. \V ) ; la seconde 
est nouvelle. 

Enfin AI. Beltrami rattache ces dernières formules à une proposition plus gé- 
nérale; en considérant un système triple de surfaces u, v, w, dont les deux pre- 
mières sont orthogonales à la troisième, la surface considérée appartiendra à la 
troisième famille pour la valeur o du paramètre ce; le carré de rélémenl linéaire 
Ihdl. des Sciences ninf/ieni.. y série, t. \ I. (Alai iSH'î.) R.K 



ii4 SECONDE PARTI H. 

de l'espace sera évidemment de la forme 

E du^ — -1 F du dv 4- G dv' -h K'^dw^; 

on suppose que (\' croît dans la direction de la normale positive à la surface z. 
En continuant de désigner par A, et A2 les paramétres différentiels du premier 
et du second ordre relatifs à l'hypothèse dw = o et en désignant par Vp V2 '<^* 
(piantités analogues relatives à l'espace à trois dimensions, l'auteur établit la 
formule 



_ , -^,(r. 'v) rP? / I I \ 



où R,, Rj sont les rayons de courbure principaux de la surface <v =: const. au 
|)oint u, V, iv et où s est l'arc de la courbe d'intersection des surfaces 11 = consl. 
4' = const., compté positivement dans le sens oii w croit. 

En supposant ensuite que la \ariable ce soit le segment n de la normale à •7 
au point u, v, en sorte que la surface n' =^ consl. soit une surface parallèle à t, 
on trouve 

„ — 4 ,, _4 ^^ '■? i ' ' '\ ''r 

V, '■? - i ? ^- ^jï -^ \\^^ '^ \rj -jii- 
puis l'équation limite, dont le sens est assez clair, 

;^-^=--'^^'^"-'^'")-(r;-*-r:K^.-^^')-"(^^?^"-(^='^^"- 

C'est de cette équation que l'auteur déduit les deux formules dont il a été 
question plus haut. 

Kaiitor (6r.). — Coml)ien y a-t-il de f^roupes cycli([ues dans une 
transformation quadratique du plan. ((J/j-^o; ail.). 
Si N est un nomlire entier qui, décomposé en facteurs premiers, a la forme 

N = rt',"'a'.^-...r/'"', 

le nombre des groupes de points d'un plan tels que chacun d'eux, en appliquant 
N fois une transformation t[uadrati(iui' quclconiiui" du plan, revienne sur lui- 
même, est égal à 



= ^2Î<- 



N 
N 



oii on doit prendre pour /•,, /:,,..., r.^ cha([ue combinaison de ;j. nornbi'cs diffé- 
rents de la suite 1, j,..., v. 

Ainsi, pour toute transformation quailraliquc, il existe un couple de points 
involutifs, fleux groupes périodiques de trois p(»ints, trois grouprs ih- (pialn' 
pojnK. G, f), iK, .. groupes périodi([ui"- de ."). li, - point--. 



UKVUI-: DliS PUBLICATIONS. ni 

L(' fait (|uc Z-^ csl nécessairement entier conduit à un inl('-n'ssanl tliéon-me 
tl'Aritlimétique, qui, pour iN' premier, se réduit au lliéorènie de Fermât. 

liantor (G.). — Réponse à la inénie question pour les transforma- 
lions de Creniona. (-1-^3; ail.). 
Dans une transformation rationnelle du «'"""* ordre d'un jdan, il y a toujours 

«N— (af'^...^-a''-') + in-^'J- -^. . .^ Cl'-'-' '•')—.. .-i- (—,)•'«/'/- /' 

H>= ^ 

groupes de N points pour lesquels la transformation est périodique, en ce sens 
que chaque point du groupe, après N transformations, est ramené à la position 
primitive '• f^^ /■^i- • •■: f~, sont les facteurs premiers distincts du nombre N. 

Le fait (jue Hn est un nombre entier conduit à une nouvelle généralisation du 
théorème de Fermât. 

Brioschi. — Sur la génération d'une classe d'équations différen- 
tielles linéaires qui s'intègrent au moyen des fonctions ellip- 
tiques. (74-78). 

Développement d'un point particulier d'un Mémoire présenté par l'auteur à 
l'Académie des Lincei (juin 1880). 

CJiristoffel. — Preuve algébrique du théorème concernant le 
nombre des intégrales de première espèce linéairement indépen- 
dantes. (81-100; ail.). 

Ce travail se rapporte aux fondements de la théorie des fonctions abéliennes; 
il concerne spécialement, d'une part, la détermination d'un nombre des inté- 
grandes iv' de première espèce, linéairement indépendantes, qui appartiennent à 
une équation donnée 

F(s"|^"')-o, 

et d'autre part l'établissement d'un critérium pour reconnaître l'irréductibilité 
de F ou le nombre des facteurs irréductibles qui entrent dans F. 

Hermite. — Sur les équations différentielles linéaires du second 

ordre. (ioi-io3; fr.). 

L'auteur montre comment, connaissant le produit F(j;) île deux solutions U, 
\ de l'équalion 

on peut former l'équation du second ortlre ayant pour intégrale rexpressidii 

Z = CU^'+CV'. 

<|uolle ((uc s<iil l'expression '.) ; cetle t''f|uation ol 

(•.;;-- lU-i-K;; = n. 



ii6 SliCONDE PAUTIIÎ. 

on pusaiit 

G r-. K(J7), 

H = (w- i)F'(^) —pF{x), 

K = - (w^ — u)F"'{x) -i — (w' — oi)pF' (x) -T- b)''F{x). 

Le résultat appliqué à Téquation de Lamé donne un type d'équations linéaires 
dont les coefficients sont des fonctions doublement périodiques uniformes, l'in- 
tégrale cessant d'être uniforme quand (o n'est pas entier. 
Pour w = o, on trouverait l'équation 

F{x)z"-h [F' (x) -{- pF{x)]z' = o, 

dont l'intégrale est 

^=As-Blog^.. 

Briosclii. — Sur les équations différentielles du tétraèdre, de l'oc- 
taèdre et de ricosaèdre. (io4-i28). 

M. Brioschi part du fait suivant : 
Les trois expressions 

(i) f = i-T-ac2, 

, , az^ -^ b 



(3) 
vérifient l'éciuation 



'- = fëVK( = ). 



\dz,f 
où l'on suppose, suivant les ras, 



(0 R = ^(«='^'+3rt^2+3), 

(2) R = -^(ac^-hlG), 



(3) K=^(«..^-.i^6.>+S'c 

pourvu (juc l'on ait, suivant les cas. 

(2) ab'= -^, 

•27 

!'■>■' 

(3) b'^=:>oac, bc'' = i — -• 



On lruu\c d'ailleurs aiséincnt ipie r('-(|uati<in différentielle erUr;ilnc la sui- 
\ante : 



HEVUE DES PUBLICATIONS. 117 

où 

•? ( n — 1 ) 

P = ■; ' 

(«—2) 

Il étant, suivant les cas, le degré 4, ti, \> de K en z. 

;j t"^ I t 

Or, en faisant P = - — » O = — - — 

' i t^ — i ^ S W — I 

Cette dernière équation du troisième ordre n'est autre que celle qui est vérifiée 
par une forme quadratique à coefficients constants de deux solutions v^ et v.,Ac 
l'équation difTcrentielle 

cPv dv 

'dt^~' lit 



Or, en supposant ;: = <,\k\ et en faisant 

dt r d:_ 

les intégrales i',, v^ ont les valeurs (algébriques en z) 



„,, r dt r dz 

J ^v^^— 1 J zs/R(,z, 



I— -CZiti ,- — icZ(<i 

i\= ^^/ ze- , v., — \jze' , 



et Ton trouve, suivant les cas (1), (2), (3), 

2 v'3 l ^ 

Quant à la détermination de z au moyen de Z, M. Brioschi parvient aux ré- 
sultats suivants : 

(i) Z=^logw, 

où 



Puis 



V «a 
Ç'(-) = — ^=. [s V I — £'(i -T- a^-) — j£^ ^' I — £(i -î- a^'jj- 

i—^ — I, c est une racine cubique imaginaire de l'unité. 
De là résultent les égalités 

- ''1/3 

ll{.v^, v,)\/'6 — v\ — 2\/3v'i V"! — iJj =— i^ ^. 

(^1 Z = — ~-^ log 10. 

.3v 6 



nS SECONDIî PARTIE. 

OÎl 

puis 



^]^' ^'=^I^T 



va V « 

(i'où résultent les égalités 

/(f,, 1%) = v.,t,.,(t,.;_v,;) =-4i/-=— ,,-^^ ^ 

fj-/i ( i-',, ç'j) = — ( v] — 14 t'î r; — v\ )—— —t. 

(3) Z = — logio, 

3 V c 



w = — - — : ( 'i . j- 1 c R b z'^ — -i.n^c ) : 

1! Al ^^ \ j / 



puis 



d'où résultent les égalités 

i2'/t(»V t-j) =— [i^;"-^ v:" — 228fjt'f (f'/ — i'I») -4-49'|fl''r;"] = — - /. 

Dans chacun des cas (i), (2), (3), h(i'„ v.,) est la liessiennc de la forme bi- 
naire correspondante /(t'p v^J, qui, dans chaque cas, est égale à une constante. 

^'oici maintenant l'objet de la seconde Partie du .^Fémoirc de M. Brioschi. 

Si dans l'équation différentielle linéaire en t" et f dont il a été question plus 
haut, on fait t^ — I, on tombe sur ri''([ualion hypergéométrique 

d'y 11 4 — 7I (fy ^ ±^ I ^ _ 

^ ' ^ di' ''' (i 1(1— 1) 777 ' 72 '" 1 (I — 1) -^^ " °" 

Ceci posé, si dans lécpiation hypergéométrique générale, écrite sous la fornic 
rf'r I — À — (2 — X — V ) dy 1 (1 — A — V )' — \x' _ 

on fait la substitution 

*■• — h a; — a 



' c — a X — h 
elle deviendra 

(5) y"-r py' 'I- qy ^ '>. 

les cocffnieuls //. 7 avanl dis \alcuis rpi'il oi ai-i' de ralnilci 



REVUK ORS PUBLICATIONS. i ly 

M. Briosclii détermine les valeurs des quanlilés X, \i., v, a, h, r pour lesquelles 
les équations différentielles (4) el (5) se transforment l'une dans l'autre, c'est- 
à-dire pour lesquelles d'une intégrale particulière^ de la seconde on peut déduire 
l'intégrale particulière correspondante v de la première au moyen de la relation 

y = «l'f, 

w étant une fonction de x, avec la condition que I soit une fonction rationnel le 
de X. 

Il établit d'abord la relation 

l' I) e-Svi^' I) I 

V V i— 1 

en posant 

(V =z T, e - 

où D et C sont des constantes convenables, et déduit de là la forme de la fonc- 
tion rationnelle 1 de x 



(7) I 



^{x) 



o est une constante, U'(a:) est un polynôme du quatrième degré qui dépend de 
a, b, c, X, [X. V et de trois nombres entiers positifs a, !ï, 7 non supérieurs à c: 

y (x) a la forme 

[{x — a) {x — b) (x — c)y 

n-{x) 

où 

^•(x) = (x — a)"" (x — b).- {x — c)t -- -ry-. 

Entre les polynômes ^"(:r) et N(:r) doit exister une certaine relation qui, re- 
gardée comme une identité, fournit précisément les conditions cherchées; enfin, 
la fonction tv a la forme 

{x — a)'^i{x~ b)h{x —c)'!i, 

les nombres a,, jî,, y, dépendant d'une façon simple des nombres a, p, y, >i, \i, v. 
Lne discussion approfondie des conditions conduit à la solution complète du 
problème posé. 

Voici maintenant quelques conséquences : 

En désignant par /(jk,, .>%) ce que devient la forme /( r,, t'.,) précédemment 
considérée, on voit que 

/(.V,,r2) = 'V«/(^'n ^'i)- (" =4, 6, 12). 
Mais/(t'|. r.) est dans tous les cas une constante G: on a donc 

L'équation (6) donne 

cil D dx 



^1 ,— -j- <-' ^{x-ar{x-b)Hx-c)t 
cl pour chacune ries valeurs Ironvi'-cs par l'auteur pour les imiubrcs i. |i, y on 



I20 SRCONDR PARTIE. 

a les relations correspondaïUes entre I et x qui réihiisent aux fonetions elli|)- 
tiques les transcendantes du second membre. 

Enfin de la valeur de w et des relations trouvées entre y et r, on déduit les 
intégrales des diverses équations différentielles linéaires du second ordre de 
forme (5), en supposant connues les intégrales particulières c,, v., dont on a 
donné précédemment les expressions. 

Ces équations différentielles sont celles que "SI. Brioschi désigne sous le nom 
Adéquations du tétraèdre, de l'octaèdre et de l'icosaèdre à cause des relations 
trouvées par M. Schwarz, dans son Mémoire sur la série hypergéométrique, entre 
ces équations et ces corps réguliers. 

Sclnvarz (II. -A.). — Généralisation d'un théorème fondamental 

de l'Analvse. (129-136; ail.). 

En admettant que le plan qui passe par trois points d'une courbe, voisins d'un 
point M, a pour limite le plan osculateur en M quand les trois points tendent 
indépendamment vers le point ."\I, on est conduit à cette proposition, que le rap- 
port 



I r(^) 'Ht,) 




I ^ t\ 


' riQ '^{t,) 




I /, ti 


' ?ifj '^it,) 




« t, n 



est compris entre deux limites qui doivent se rapprocher indéfiniment lorsque 
les quantités t„ /,, t, tendent indépendamment vers la limite commune t^: on 
suppose, bien entendu, l'existence des dérivées secondes des fonctions 9 et <!^. 

M. Schwarz établit en effet que ce rapport est compris entre les limites su- 
périeure g et inférieure A^ du déterminant 

'■?'(«') Vin 

r"{f') 'Vif") 
où t' et t" satisfont aux conditions 



Voici sa démonstration : partant de rinégalitc 



Vit') 'Y if) 

Vil") ■Y'(t") 



multipliant par dt" et intégrant entre les limites /' et /". on trouve 



/. 



f 11 Yii') Vin 

r ri Y il") Vif") 



■^s 



I /' 
I /" 



multipliant par dt' et intégrant entre les limites /, cl t', il vient 
A 



1 /' 



g 



f(f") -y if") 

f'-f, !(''—/;) 



REVUE DES PUBLICATIONS. 



multipliant de nouveau par dt" et intégrant entre les limilcs t^ et t" , où <j-< f , 
on obtient 









faisant enfin ^'= ?2> ^ " = t^, on parvient aux deux inégalités à démontrer. 

Plus généralement, soient /,(<), /2(f ),..., /„(<), «fonctions réelles delà 
variable réelle t qui, ainsi que leurs dérivées du premier, du deuxième,..., du 
n — i'*"" ordre sont finies, continues, uniformes pour toutes les valeurs de t que 
l'on considère ; 

Soient ?,. t.„ .... ^„, n valeurs distinctes de la variable t comprises dans l'in- 
tervalle a. . .b, le quotient 





/.(<>) Â{t,) . 


.. Ut,) 




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Ait,.) Mt„) . 


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I t, t), . 


fit \ 
II, 


n'est pas pi 


us grand que 











ni plus petit que 



i!2!3!...(/i — i)! 
A- 



i!2!3!... (« — i)l 
où g est la limite supérieure, k la limite inférieure des valeurs du déterminant 

/,('') Ait') ... /„(/') 

Ait") Ait") ... A'nit") 



Af~^Ht"^) //'"*'(f'"') 



sous les conditions 



^%t"^b, t"^t"'^b, t"%t"'1^b. 



Ar'\t"'') 



t{^~')<lW<b. 



Hevinitc. — Sur une représentation analytique des fonctions au 
moyen des transcendantes elliptiques. (i35). 

Cette Communication et la suivante se rapportent à un mode de représenta- 
tion des fonctions donné par M. Hermite, dans son cours à la Sorbonne, vers 
i87'4. M. Mittag-Leffler suivait alors les leçons de l'illustre géomètre; dans une 
conversation qu'il eut il y a environ deux ans avec M. Dini, qui commençait 
alors la publication de son beau livre Série cli Fourier, etc., il communiqua à 
ce dernier les résultats donnés par M. Hermite. 

Celui-ci n'avait d'ailleurs établi que les formules relatives au susdit mode de 

développement et n'avait point traité des conditions sous le bénéfice desquelles 

il était réalisable. M. Dini, qui était en possession d'une méthode très générale 

pour traiter les questions de cette nature, réussit pleinement, ct>inme on le 

Bull des Sciences mathém., 2" série, l. VI. (Juin 1882.) H. 9 



22 SECONDE PARTIE. 

sait depuis la publication de son livre, à établir, sous des conditions précises, 
la possibilité de ce développement; à l'occasion de ces recherches, une corres- 
pondance s'établit entre M. Hermite et M. Dini, et ce qui suit est l'analyse de 
l'extrait d'une Lettre de M. Hermite. 
Les formules 

2K B' (a;) V? r ~ , -.-'N ~ / •T-.^^ 

— • — ^^ — - = y < (H — r- ( X -- 7)iiK ) -^ cot —r- (x — niiK ) \, 
- e(j7) .^L 2K^ ' 2K^ ■'J' 

— ■ rr-T — - = cot —TT -^ 7 cot —- {x -^ niK ) -h col —rrix — niK) \, 

où 7?i = I, 3, 5, . . .; n = 2, 4, 6, ... , permettent d'établir directement que l'équa- 
tion 

0'(jr) = o 

a pour seules racines réelles des multiples de K, et pour racines imaginaires 

.r = rt K -T- / w, 

les quantités w étant en nombre infini et comprises successivement entre deux 
multiples impairs consécutifs de K'. Si l'on fait abstraction des multiples pairs 
de K, on pourra écrire pour ces racines 

« = o, « = K, a -= io). 

De la même façon, les racines b de l'équation 

H'ix) = 

seront 

b = K, b = im, 

n ayant une infinité de valeurs, renfermées chacune entre deux multiples pairs 

consécutifs de K'. Voici la démonstration de ces résultats : 

En posant 

X — \ + iiù 

B' {x) 
dans l'expression de -— — -» afin de la mettre sous la forme A -h iB, et tenant 
B{x) 

compte de la relation 

singa — sinazô 

cot (a --- ib) — ,, ■ , rr-» 

•> m(>d''sin {a -^ ib) 

on trouve 

Ar^sin ^ S, 



S=iVi 1 -H \ /. 

I mod'sin — — [? -h (w H- /») ' ] mod'sin — - [Ç + (to — »j ) ij i 

On ne peut donc avoir A = o qu'en supposant \ multiple de K; les seules racines 
réelles sont donc a = o, « = K, et les racines imaginaires sont de la forme 
a = i w ou a — K H- /w. Or, en posant a: = K -i- / w, on a 

■>.K e'(ar) . /-w V" » 

— — i — - z= — siii > ~ — ■ : 



T. H(J.-) K 



■os — 1^ (m -(- ni K') cos — 1^ f w - m k' ) 
' K .' K 



REVUE DES PUBLICATIONS. lai 

cette expression ne pouvant s'annuler pour aucune valeur de o), il est prouvé que 
toutes les racines imaginaires sont de la forme a = ïm. 
Maintenant la relation 

a ( ; w, K' ) = i/^ e'' ^^ H, (w, /.' ) 



donne 



H'i (w,/.') _^ -M _ 
H, (o), A') ~ 2 KK' ~ '^^ 



De là résulte immédiatement l'existence d'une infinité de racines w, comprises 
chacune entre deux racines réelles consécutives de l'équation 

H,(w, A') = 0. 

Enfin, entre ces limites, il n'y a qu'une racine. Si l'on pose, en effet, 

b> = 2pK' -h V, 

on .aura 

H;(v, A') -irv pr. 

— î-^— H h - — = O. 

H, (v, A') 2KK' K 

Or la dérivée par rapport à v du premier membre est essentiellement négative. 
Celte dérivée est, en effet, 

_ J^ _ A^sn^(v.A') 
'~ ÏC ~ cn^(v, A-) ' 

cl celte expression, en tenant coraplc de la relation 

il _ i - ~ 

k" "~ K ^ TivTv' 

devient 

"" K' cn^v. A') 

La même méthode, appliquée à l'équation 

H'{x) =0, 

conduit aux résultats énoncés antérieurement; elle prouve aussi que, si l'on con- 
sidère l'expression générale 

n(^) =^ ^m cot -^ {x-i- fniK') -h ?„cot ^{x — miK') , 

où les coefficients a„, et |î,„ sont supposés réels et positifs, l'équation 

n{x) = 0, 

aura toutes ses racines de lune ou l'autre de ces deux formes 

X — iti), 37 = K + io>. 

Ces principes posés, les termes des développements considérés par M. Hcrniilc 
sont proportionnels aux quantités 

Hix-i-a) Bjx-hb't 

B(.r) ' W(.r) 



124 SECONDE PARTIE. 

où a, b sont les racines des équations 

e'(a) = o, H'(6) = o; 

pour le calcul commode des coefficients, il est amené à écrire ces développements 
sous la forme 

^^^)=2^-^ e(a)e"(a) ' 

^(^)-2i^ H(6)H"(6)' 

où, en supposant les développements possibles, les coefficients A, B sont don- 
nés par les formules 



-4/ Fwiife^^'-. 



:K 



O(x-'b) 



= - - r c.(^) "';; "' dx. 



M. Hermitc traite ensuite un cas où l'on peut obtenir ces intégrales, à savoir 
celui où les fonctions uniformes V{x), G{x) satisfont aux conditions 

F(a: + 2K) =— F(^), ¥ ix + iiiK) = ]i.V{x), 
G{x-^-iK) =-}-G(^-)' Oix-hiiK") = ]i.G{x), 

et n'admettent qu'un nombre fini de pôles dans le rectangle des périodes aK et 
2iK'; [j. est un facteur constant. 

Les produits qui figurent sous les signes d'intégration sont alors des fonctions 
doublement périodiques de seconde espèce pour lesquelles le multiplicateur re- 
latif à la période 2K est l'unité; pour de telles fonctions l'élément simple se ré- 

, • . 1. • ©(■î^ + w) ,, , , ,, ,. . , . 

duit a 1 expression • — — ; d après cela, on trouve pour 1 une ou 1 autre «p (x) 

des quantités soumises à l'intégration, l'expression 

*(ar) = S[R/(a; - a) 4- RJ'ix - a) +. . .+ R../(') {x - a)], 
où 

■'^ ' H(w)e(a;) ' 

et où les coefficients R du premier terme sont les résidus de ^{x) qui corres- 
pondent à tous les pôles de cette fonction, a: = a + i\\', situés à l'intérieur du 
rectangle des périodes. 
On déduit de là 



'' •.'il 



<I>(,r) dx- I:R. 

. TTW 

sin — 7T 
2 K 



Knfin la constante u» se déduit du multiplicateur [x de la façon suivante : si l'on 
fait 

[1 — e "* , 

on aura dans le premier cas w = Ç — a, dans le second m = l — b. 



REVUE DES PUBLICATIONS. laî 

Ces résultats s'appliquent au cas particulier suivant : 

11(37 + 5 + A) 



F(^) 



0(j; + II) 



^^^^- e(^ + /i) 

On trouve alors, en posant, pour abréger, 

A/.'II(,r + «) 



•/_{x,a) - 



Q{x)(d{a)Q"(a) 
kk'e{ir-hb) 



0(j;)H(6)H"(6) 
H(.r+g + A) _ "^ e(a)0(g + /t)-e(g)6(a + /O 

0(a; + /i) ~Zi „,, -„,,, . ^ ,, , /.(■»>«). 

Il ( ) H ( /t ) sin — ( ? — a ) 

et 

e(a; + /0 i^ H'(o)H(/i)sin ^(^-6) 

On tire de là d'autres formules en différentiant par rapport k h; la seconde, 

différentiée par rapport à |, donne, quand on y fait | = o, le développement de 

0' ( ^ + A ) 

l'élément simple — -; z— des fonctions doublement périodiques de première 

' B ( a; + A ) ' ' ' 

espèce. 

Enfin jM. Ilermite termine par l'indication suivante : 
a C'est un résultat dû à M. Gyldén, que l'équation 

d^v A*sna7cna; dy , , . 

-y-^, — j — -T — h a' dn'iT.r = o 

dx^ dnj; dx 

a pour solution 

jK = C sin[jL ama? + C'cos[jl ama;. 

» La fonction, réelle et uniforme pour toute valeur récllede la variable u = amx, 
croit constamment avec .r de — oo à +oo , en prenant les valeurs u ~ o, t:, a—, 
pour a; = o, 2 K, 4K; d'après cela, les formules 



X 



2K 

cofipamx cos^ama: Aama? dx — o, 

cos'^p amx Inmx dx = -> 



on p, q sont des entiers inégaux, paraissent conduire au mode de dévcloppciiient 
suivant, généralisation de la série de Fourier : 

F(,t) — 2(\ cos/> am.?7 + 1) sin/> anur). » 

Dini[U.). — Sur les développements des fonctions d'inic \aiialilo 
réelle en séries de fonelions de Jacobi. (14^-1 '>3). 



126 SECONDE PARTIE. 

Voici maintenant, concernant ces développements de M. Hermite, la proposi- 
tion à laquelle M. Dini est parvenu : 
Les formules 

A A-' yi \\{z-^-b) f "S, ^ , Wjx-b) 

oîi les a sont la racine K et les racines purement imaginaires de l'équation 
H' (ce) = o, et oît les b sont les racines o et K et les racines purement imagi- 
naires de l'équation 

0'(x) - o, 

sont applicables à une fonclion quclconque/(j7), pourvu que, pour les valeurs 
de ^ comprises entre o etaK, l'une au moins des conditions suivantes soit 
remplie : 

1° Faire seulement un nombre fini d'oscillations; 

2° Admettre une dérivée qui, dans cet intervalle, reste susceptible d'intégra- 
tion, lors même qu'on la réduit à sa valeur absolue. 

3° En décomposant cet intervalle en intervalles suffisamment petits, la somme 
des oscillations dans ces intervalles est inférieure à un nombre aussi petit qu'on 
le veut. Aux points non extrêmes de l'intervalle (o, 2K), pour lesquels/(^) est 
continue ou a seulement une discontinuité ordinaire, ces développements ont 
pour sonimc/(ar) ou la valeur mojenne 

f(x-ho) 4-/(.r — n) 
aux points extrêmes, le premier développement a pour somme 

/(+0)+/(2K-0) 
■A 

et le second a pour somme, au p(jint o, la Naicur 

/•(-o)-/(3K-o) 
2 

et, au point :!K, la valeur 

/•(,K_o)-/(+o) 



Pour la démonstration, nous devons renvoyer le lecteur au livre déjà cité de 
M. Dini. 

Casorati[F.). — Sur un récent écrit de M. Stickclberger. (i54- 
157). 

Brioschi (F.). — Michel Cliasles. (i 58- 160). 
Jirioschi. — Les relations de G(")pcl pour les fonctions hvporel- 
liptiques d'cndrc quelconque. (i6i-i7>. ). 
Dans son célèbre Mémoire 7'lienriœ trdnscendcnlittDi if'cfidiiariiin priini 



REVUE DES PUBLICATIONS. 127 

ordinis aditmbrallo levis {Journal de Crelle, t. 33, p. 2^7), Gôpcl a démontre 
(|u'il existait entre (juatre fonctions à deux variables, convenablement clioisics, 
une relation homogène du qualrième degré formée avec les (juatriénies puissances 
de ces fonctions, les produits deux à deux de leurs carrés et le produit des fonc- 
tions elles-mêmes; les recherches de M.M. Cajley et Borchardt ont montré l'im- 
portance de cette relation dans la théorie de la surface de Kumnier. 

M. Brioschi établit des relations analogues entre 2« fonctions à n arguments, 
convenablement choisies. 
En posant 

R{j>) = \{x — a,) (j? — flîj) ...{x — «2n+i)' 
o{x)= {x — .r,) {x — X,) ...{x — a:,,), 
P(a:) = {x — a^) (x — a.^) ...{x — a„), 
Q (^) r= A (.r — a,,^, ){x — a,,^,) . . .{x — a,„+i ), 

en indiquant par /„, une quantité égale à P(a„J si ni est supérieur à « et à 
— Q(a„,) si m est égal ou inférieur à n, on sait, d'après les travaux de M. Weier- 
strass [Zur Théorie der AbeVschen F unctionen {Journal de Crelle, t. 'Cl, p. 02)], 
(|ue les 2« -f- 1 fonctions à indice unique 

et les n\in -f-i) fonctions à deux indices 

i = n , 






^^ {X,— a,. ) ( ^i — a, ) -f ■ ( x, ) 

i = 1 

sont égales aux rapports de deux fondions à n variables : dans tous ces rapports 
le dénominateur est le même. 

Soient r,, r,,..., r„, n quelconques des nombres i, 1, 3, ..., 2«-(-i, tous dif- 
férents les uns des autres: on aura entre les fonctions p les relations 

' ''" /„S(rt,J ^^ S' (a,)' 

' ' /• = 7', 

l., ^5 _ W'ia .^) ^'V" —hfSil—, 

S(aJ^'''='~^ /.^(a,,— «,)~S(a.^) ' Zà (o.^— «,) S' («,) ' 

;• = /•, 

dont les deux premières sont ducs à M. Weicrstrass {loc. cil.), et la dernière à 
M. Brioschi {Annali, t. I, p. 29). 

C'est de ces relations que ce dernier déduit les formules analogues à celles 
de Gopei, mais d'un caractère jiius général: le type de ces formules est le sui- 
vant : 

_ (a -a^^l^l., jj, _ ^j^jj _, ^^^^ ^ 

b (a)b{n) ^ ' 



128 SECONDE PARTIE. 

où 

M= '^li^ + IlKl, 

j, ^ R'(«v) '"y" ^'^'-'^ + R' («;.. ) 'y" 'rPh, 

l,S{a^) 2d (a,- a,) S' (a,) /„S(«~) ^ (« — o,)S'(ff,) 



G = 






v — Vn . , ;■ = 7 



^ («,— flJS'(a^)^'''' Zd (a„— rt,,)S'(a,) 



/■ = /'i /■ — /•■ 



^^ S'(a,) J • 



Ces relations sont évidemment homogènes et du (jualrième degré; elles con- 
tiennent les quatrièmes puissances des an fonctions Pr,,^ p^^^, les produits deux à 
deux des carrés de ces fonctions et les produits quatre à quatre de la forme 

Prw^Pr^,',Pr,,'.Pr'.,-r 

M. Brioschi, qui applique ces formules au cas considéré par Gôpel, retombe 
naturellement sur la relation découverte par ce dernier et la transforme de ma- 
nière à la faire coïncider avec l'équation de la surface de Kummer rapportée à 
quatre de ses plans tangents singulier^" il donne ensuite les coordonnées d'un 
point quelconque au mojen des quatre fonctions liypercllipti(iucs du second 
ordre />,^, yj,^, p.^^, p^^. Enfin l'auteur montre comment des mènuîs équations 

on peut déduire ~^ " relations entre (/t-f-i)' fonctions p ([ui, par 

leurs formes, sont susceptibles d'apidicalions variées; n + i de ces éiiuaticuis 
sont du type 



, Il ( a -\- \) , 

les 1 autres sont du type 

/■ ^ /•„ 



r = In 

V 






REVUE DES PUBLICATIONS. 129 

on suppose dans ces formules 

""'■^ y (/•v)R'(aj,)S'(flJ'^'-".^' 

"■ V^ ir(«js(a.j/V' 

le symbole (rv) est mis à la place de a^ — a^; enfin les quantités [x, v sont des 
nombres de la suite i, 2, 3, . . ., an + i différents entre eux et distincts de /",, 



Betti {E.). — Sur les mouvements qui conservent à une masse 
fluide hétérogène la figure ellipsoïdale. (lyS-iB^). 

Cette question a été l'objet des recherches de Lejeune-Dirichlet {Journal de 
d'elle, t. 58, p. 181), puis de Dedekind, Brioschi, Riemann, Padova. On suppose 
que les seules forces qui agissent sont les attractions réciproques des diverses 
pa^-ticules suivant la loi de Newton; les auteurs cités ont regardé la densité 
comme constante; M. Betti regarde l'eUipsoïde comme st'^atifié suivant des 
couches homothétiques, la densité pouvant d'aiMews varierd'une couche à l'autre. 
On n'augmente point amsi la difficulté des intégrations; les équations restent les 
mêmes, si ce n'est qu'un terme se trouve multiplié pa''un coefficient numérique 
dont la valeur dépend de la variation de la densité de couche en couche et qui 
est égal à l'unité quand on suppose la densité constante. 

Dirichlet a montré que dans les mouvements qui conservent à la m sse fluide 
la forme ellipsoïdale, les coordonnées d'un élément du fluide peuvent s'exprimer 
par des fonctions linéaires homogènes des coordonnées initiales et que, ainsi, la 
détermination des coefficients et par conséquent des coordonnées de l'élément 
fluide dépend de huit équations différentielles ordinaires du second ordre, dé- 
duites des équations de l'Hydrodynamique sous la forme due à Lagrange. Il a 
trouvé sept intégrales premières; il reste donc à en trouver neuf autres. 

Riemann a décomposé le mouvement en deux : d'une part la rotation des axes 
de l'ellipsoïde autour du centre, de l'autre la déformation de la masse; il reste, 
après lui, à intégrer un système de sept équations différentielles du premier 
ordre. 

M. Betti forme l'équation aux dérivées partielles du premier ordre dont l'in- 
tégrale complète, si elle était connue, fournirait, par de simples différentiations, 
toutes les intégrales des équations différentielles du mouvement. Pour déduire 
cette équation de celle qui exprime le principe de Hamilton, il faut ajouter à 
l'énergie cinétique augmentée du potentiel du système la dérivée prise par rap- 
port au temps d'une fonction des variables qui doit rester constante en vertu de 
l'invariabilité de la masse, multipliée par un coefficient indéterminé. M. Bclli 
trouve que la dérivée prise par rapport au temps de ce coefficient est égale à la 
différence entre la valeur de la pression à la surface et la valeur moyenne de la 
pression dans toute la masse, multipliée par un coefficient Tuiinéri(|uo dont la va- 
leur dépend de la loi de variation de la densité. 

Il trouve ainsi la valeur de la dérivée du cocriicicnl indéleriiiiné oxpriiuéo au 



i3o SECONDE PARTIE. 

moyen des quantités qui déterminent le mouvement et la figure, et obtient en 
conséquence la valeur moyenne de la pression exprimée au moyen de la pression 
à la surface et ces mêmes quantités. 

M. Betti a encore déduit des équations canoniques une équation analogue à 
celle que Jacobi a trouvée pour un système de points soumis à des forces ayant 
un potentiel homogène par rapport aux coordonnées et dont on peut déduire 
des conséquences analogues relativement à la stabilité du mouvement. 

L'équation aux dérivées partielles du premier ordre contient neuf variables in- 
dépendantes; M. Betti a conservé les variables de Riemann. On trouve sans dif- 
ficulté cinq intégrales jacobiennes. Pour obtenir la solution générale, il reste 
seulement à trouver une intégrale complète d'une équation aux dérivées par- 
tielles du premier ordre à quatre variables indépendantes, 

Beltrami [E-)- — Sur les équations générales de l'élasticité. 

(188-211). 

Des équations générales de l'élasticité établies en coordonnées cartésiennes 
rectangulaires, Lamé a déduit, comme l'on sait, les équations qui conviennent au 
même problème quand on suppose les coordonnées orthogonales, mais d'ailleurs 
quelconques {Leçons sur les coordonnées curvilignes), AL >ieumann [Zur Théo- 
rie der Elasticitàt {Journal de Crelle, t. 57)], et M. Borchardl sont parvenus 
au même résultat par des analyses plus simples; le Mémoire de M. Borchardl a 
été reproduit dans le Bulletin, 1" série, t. VIII. 

AI. Beltrami établit les mêmes équations directement en prenant l'élément li- 
néaire sous la forme 

rf5== Q\d(]', ■+- 01 dq\ -h 0\dq\. 

La marche qu'il suit met en évidence ce fait bien intéressant que les équa- 
tions auxquelles il parvient, et qui coïncident d'ailleurs avec celles de Lamé, sont 
indépendantes de toute hypothèse sur les fonctions 0,, Q,, Q3 et que, ainsi, elles 
ont plus de généralité que les équations cartésiennes, d'oii Lamé les a tirées, 
puisiju'elles ne supposent pas le postulatum d'Euclidc. De ces équations, M. Bel- 
trami déduit ensuite les é([uations indéfinies des milieux élastiques isotropes : or 
celles-ci ne coïncident plus avec les équations de Lamé que sous le bénéfice de 
certaines conditions, et ces conditions expriment précisément que l'expression 

rf5»= Q; dq\ -T- Qî -I- dq\ -r- Q; dq\ 

est une transformée de Tcxprcssion 

ds"^— dx--\- dy'^-\- dz-. 

Ainsi les équations ordinaires de l'isolropie sont subordonnées à la vi'ritc' du 
postulatum d'Euclide, mais non les équations obtenues par AL Beltrami. 

Cette remarque donne la raison du succès des arlilices employés par AI. \<u- 
mann et par Borchardt, ainsi que le montre la lumineuse analyse ([uc fait l'au- 
teur des méthodes suivies par ces savants. 

Les équations de l'isolropie obtenues par Al. Beltrami conviennent à tout es- 
pace de couri)urc conslante; l'élutlo de ces é(|uations le cdiiduit à d'intéressants 
rapprochcmenisavcc les conceptions ducs à Faraday, à Al AL AIa\well et llclmhollz 
{Treutise on Klectricity and Magnetisnt, I. I, ji. (i.i et iiS; _}fnnatsbericli(e iW 
rVcadi-mie de licrlin, rKS|) sur la con-l iluli'ui ilr- iniliciix <liil('(lriquc-^. 



REVUE DES PUBLICATIONS. i3i 

Scherrcr (F. -IL). — Sur les formes biquadraliques ternaires. 
(212-223 ; ail. ). 

I. Théorie des polaires des courbes algébriques planes. 

Si l'on identifie une forme ternaire K" du /V'"" degré, où les variables sont dé- 
signées par a, |î, 5, savoir 



V 

jmmà 
q, r. 

avec l'expression 



,^lrls'. ^"'^ "'' '" '^''' ( 7 + '• -^ * = « ) , 



\ /?i,.(xj:,+ .3^',— 0)», 



où Xi, y'i sont les coordonnées iTCtangulaires d'un point de niasse in^ et où la 

... ,. , ,. , (rt-+-2)(n-f-i) 
sommation est relative aux diverses valeurs de i, i, 2, 3,... -, 

on parvient aisément à une suite de propositions analogues à celles qu'a dévelop- 
pées M. Reye dans son Mémoire mX.\\.\x\é Enveiterung der Polarentheorie alge- 
braischer Flàchen {Journal de Borchardt, t. 78). 

Si C* désigne une courbe du /i'^""" degré et Cj,. le premier membre de l'équa- 
tion de cette courbe, l'auteur appelle polaire de la courbe C* par rapport à la 
courbe K" (courbe dont l'équation tangentielle est K"=o), une courbe de la 
classe n — h dont l'équation tangentielle est 



2'",c:;',j,(aa7,+ iîj';-8)''-*: 



II. Représentation d'une forme biquadratique ternaire comme somme de 
six bicarrés. 

Cette représentation est possible d'une triple infinité de façons. L'auteur montre 
que la condition pour qu'une. telle forme soit la somme des quatrièmes puissances 
de cinq fonctions linéaires est qu'un certain déterminant A soit nul; si les mi- 
neurs de ce déterminant sont nuls, la forme est la sommç des quatrièmes puis- 
sances de quatre fonctions linéaires. 

III. Le système des coniques associées aux points du plan par rapport à K*. 
Si la polaire d'une conique C^ par rapport à la courbe de quatrième classe 

K* = o se décompose en un point double x, y', on dit que le point et la conique 
C sont associés. Si la conique associée à un premier point passe par un second 
point, la conique associée à ce second point passe par le premier point. Tel est 
le système dont l'auteur développe les propriétés. 

Casoiati {F.). — Généralisation de quelques théorèmes sur les 
équations différentielles linéaires du second ordre dus à 
MM. Hermite, Brioschi et Mittag-Leffler. (224-232). 

Soient u, v, ... un système fondamental de solutions de l'équation différen- 
tielle linéaire 

>•■'"'-: pj {"•-')■ qyi'"--)- ...— n. 



[32 SECONDE PARTIE. 

Si l'on se donne les dérivées logarithmiciues 



on pourra, au i7ioyen de ces quantités, exprimer les coefficients p, q,- . ■ . 
Si l'on fait maintenant 

'' u V 

on voit aisément que toutes les quantités G,, pourront s'exprimer au moyen 
de m — I d'entre elles; de plus, on aperçoit de suite l'existence de relations telles 
que les suivantes : 



G.a^Viqi'-i-yi^, 



Supposons maintenant que l'équation différentielle linéaire soit du second 
ordre, on aura 

et 

ff: + î' = G„ ^£' = 1(G: + g;-go. 

Si donc on se donne une expression quelconque 

•^(^'17'^)' 

on pourra l'exprimer au moyen de x, p, q, G,, G', et le résultat sera rationnel 
par rapport à ces quantités si /désigne une opération rationnelle, symétrique 

par rapport à — et — • En particulier, on pourra former une équation différen- 
tielle linéaire du second ordre 

Y"+PY'+QY = o, 

telle que les dérivées logarithmiques des solutions U, V soient des fonctions don- 

1 u' v' . 

nées de x et des rapports — > — > savoir : 

U \ u v) \ \ u vj 

Deux cas ont été considérés par M. Ilcrmilc; dans le premier ( Comptes rendus, 
séance du n) décembre 1879), on a 

L" «' V i'' 

7- = -+/^- ^ = 7,-/': 



REVUE DES PUBLICATIONS. i33 

dans le second {Annali, t. X), on a 

U' u' V v' 

— =w— , — =(0-; 

le cas considéré par M. Briosclii (Annali, t. X) s'obtient en posant 

- = - + a(^), - = -+?(^); 

enfin le cas considéré par M. Mittag-Leffler (Comptes rendus, séance du i3 dé- 
cembre 1880) s'obtient en posant 

La même méthode permet de résoudre le problème analogue pour les équations 
linéaires du troisième ordre; elle ne réussit plus pour les équations du quatrième 
ordre. 

Binoschi (/'.). — Sur un système d'équations différentielles. (233- 
240). 
En posant 

f(u) = (u — u^)(u — u^)(u—u^), 

les équations considérées par l'auteur (voir la Communication de M. Halphen, 
insérée dans les Comptes rendus, séance du i3 juin 1881) sont 

Iu\ = mJ + a, /'(?/,) +9(37), 
m',= ul + ^^f'(u:\) + ':i(x), 
u\=ul-\-a.^f'(u^) -h'ç.(x), 

où a,, aj, ttj sont des constantes, et où ©(a;) est une fonction qui sera particula- 
risée plus tard; en introduisant la fonction t de x, définie par l'égalité 



«3— "2 i— ' 
et en posant 

a, -h I = p n, a, + I = p /, «3 + i — p m, 

- — - (l -\- m -\- n — i), 

p 2 

l'auteur parvient aux expressions suivantes de w,, u^, u^ : 

_ 1 d log t' 1 — / (/ log t l -i- m d log ( I — / ) 

' ~~ 2 dx 2 dx 2 dx 

_ I d log t' m -+- n d log t i — n d log (i — t) 

^ ~ 2 dx 2 dx 2 dx 

_ 1 d log t' I — / rf log t I — « rf log (i — t) 

^~ 2 dx 2 dx 2 dx 

qui, substituées dans l'une quelconque des équations (1), montrent (juc la fonc- 
tion t(x) doit satisfaire à l'équation différentielle 

(•->) [n.+ ,t^.-ty ^^--r{^)-o, 



i34 SECONDE PARTIE. 

où le symbole [t]^. est mis à la place de 



dx'^ 1 \ dx 

et où 

L = I — ni^, M = F-i- «?^— «^— I, N = I — l^. 

Si maintenant on suppose 

2^7^(1 — 07)- 
où 

A = i— ;x2, B = >.2h-|j.2_v2— I, C = i — V, 

on aura, pour déterminer t{^x), Téquation différentielle hypergéométrique 
L <^+M/ + N j _ Aa;='+B37-t-C _ 

^^^'^ 2tHi-ty- ^ 2x'{i-xY """ 

On satisfait à cette équation en posant 

/ = >v, m = \i, n = V, t = X, 

en sorte que, en attribuant à '^{x) la valeur précédente, on satisfera aux équa- 
tions (r) en prenant 

_ {1 + ]^)x — (i — À) 



ix{\ — x) 




{i-{-\x)x — ( [X + V ) 




2a;(i — x) 




(2 — X — v);r— (l — 


>0 



' 2.r(i — ,r) 

En second lieu [l'oir la iNotc de M. Brioschi sur la Théorie des forme.t danx 
l'intégration des équations différentielles du second ordre {Math. Ann., 
t. XI)], on sait que, si les constantes /, m, n ont les valeurs suivantes : 

■(3) / = !, m=^^^-^y n^\, (r=i,G, 12), 

il existe une série de valeurs pour "k, \x, v, telles que la fonction t{x) soit ration- 
nelle; les fonctions i<,, j/,, «3 seront aussi rationnelles. M. Brioschi traite en par- 
ticulier le cas de /• = 12. 

Soient maintenant j>',, y., deux intégrales fondamentales de l'équation linéaire 
du second ordre 

y"+py'+ qy = o, 

et soit/(rp J'j) une forme ])inaire d'ordre /• de ces quantités, dont le covariant 
(//)( soil identiquement nul, en posant 

/*=;(//)., o = 2(//i), 

on aura entre/, h. la relation identique 

I 
')'-- '1 h'-- a/'" = o, 

m'i 2 est une constante, oii m est donni- par la (ormulc (.îl; enfin /• nc> peut 



REVUE DES PUBLICATIONS. i35 

avoir (|u'iinc dos valeurs 4) d, 12; en posant 

r 
4/1^+ »//'" ~ ") 

la fonction t(x) vérifiera l'équation différentielle (2), en prenant pour /, m, n 
les valeurs (3) et pour »(.r) la valeur 

on parvient alors aux valeurs suivantes de ?/,, «<,, 11, : 

I d \os, v' I f/6 >-' 

l( z= — • • — __ , 

' 2 dx 3 ( /■ — 2 ) f/jK 6 

_ I d Iort' r f/Q 1-' 

' 2 cfj7 2 ( /• — 2 j f/j- /i 

1 d log }-' I c// r' 

oùjK désigne le rapport —; les quantités a,, a,, «3 ont dans ce cas les valeurs 
a, = 3 /• — 7, a, = 2 ;• — - 5, a3 = /• — 1 . 

Sous les mêmes conditions, les quantités 

1 d loi; 9 

^, = '■ — ) 

3 ( /• — 2 ) dy 

I d loK 9 



I ( /• — 2 ) dy 



I d loi; f 

V,- ■ — 7^^ 

/■ dy 

satisferont aux équations 
dv, 



— -- = v. + a.,(f,— t',) (i».— i',), 
dy 



dy 



'1+*3(''3— ^'l) (^'3— ''2)- 



Beltrami [E.). — Sur le potentiel magnétique. (241-260). 

Sir William Thomson, dans le volume intitulé : Beprint of Papers on Electro- 
statics and Magnetisin (Londres, 1872), a introduit des définitions nouvelles 
pour Vaxe et le centre d'un corps magnétique. 

M. Beltrami reprend la question à un point de vue nouveau : il ne spécifie pas 
la nature de la force d'attraction, ou plutôt il ne lui impose que des conditions 
très larges; il arrive ainsi à cette conclusion, qu'il y a lieu de conserver la défi- 
nition donnée par Sir William Thomson pour Vaxe magnétique, mais que le nom 
de centre magnétique paraîtrait convenir à un certain point situé sur Taxe ma- 
i:ii('tiquc, jouissant de pr<)]irii't('s reiiiarqiialiles, indi^iiendanlcs de la loi d'attrar- 



i36 SECONDE PARTIE. 

tion, comme celles de l'axe magnétique, et qui ne coïncide (dans le cas de la loi 
de Newton) avec le centre magnétique de Sir ^^ illiam Thomson que sous cer- 
taines conditions. 

Voici la marche suivie par M. Beltrami. 

Soient deux systèmes M, M', auxquels appartiennent les masses m, m' de deux 
points situés à une distance mutuelle r; le potentiel mutuel des deux systèmes 
sera 

W = ^I.mni'-^{r), 

la nature de la fonction cp(r) définissant la loi de l'attraction. 

Si l'on suppose maintenant que les dimensions des sjstèmes M, M' soient 
petites relativement à leur distance, on pourra les rapporter à deux systèmes 
d'axes rectangulaires T, T' semblablement orientés et dont les origines et O' 
soient respectivement à des distances des points M ou M' qui, relativement à la 
distance 00', soient du même ordre que les dimensions des systèmes M et M'; 
soient a, b, c les coordonnées du point »i relativement aux axes T, a', b', c' celles 
du point m' relativement aux axes T'; on pourra développer la distance mm' = r 

sui\ant les puissances ascendantes de -■> en désignant par o la distance 00': si 

p " ^ ' 

maintenant on suppose la fonction ^(r) continue ainsi que ses dérivées et si, 

plus particulièrement, on admet que les dérivées successives «'(p), tp''(p), 

r"(p)>-'' t'c la fonction '-p(p) soient de même ordre que les quantités 

'illl, il?}, liîl, 

on nliticndra, on ulilisant la formule de Taylor, une valeur approchée pour 
-f (/•) qui, substituée dans 

W = J:Zmm''.f{r), 

fournira une valeur approchée pour le potentiel ^^": il y a lieu maintenant de 
distinguer différents cas selon que l'on suppose que les masses ^m, £/?*' des 
systèmes sont différentes de zéro ou nulles; en combinant les différents cas pos- 
sibles, on trouve diverses formules qui, dans les cas où cp(r) = -» coïncident avec 

les formules classiques de la théorie du magnétisme. 

Si, en particulier, la masse ^ni est nulle, on pourra déterminer les axes T de 
telle sorte (lue l'on ait 

S/7ia = o, Zmb = o, S/» (a*-;- 6'-f- c') = o, 
Zmbc = o, ^mca = o, "Zmab = o. 

i.e plan des ab est alors le plan central, l'axe des c est Vaxe magnétique de 
Sir William Thomson, et l'origine est le point uucpiel M. Beltrami propose de 
donner le nom de centre magnétique, à l'cMlusion du point ainsi dénonmié par 
l'illustre mathématicien écossais, imint cjui, |juiirle système d'axes précédemment 
défini, aurait les coordonnées 

3 ^m(a-^~ b^) 
rt„=o, b.,-0, c„ = — 7 -• 

M. Beltrami termine son .Mémoire par une élégante exposition d(' la théorie 
des moments d'inertie pour un système de points matériels dont la masse lolalc 
est nulle. 



llliVUI' DES PUBLICATIONS. n- 

Casorati (J^-)- — Addition aux récents travaux de MM. Weier- 
strass etMittag-Leffler sur les fonctions d'une variable complexe. 

(261-278). 

Presque en même temps que M. .Miltag-Leffler, mais toutefois un peu plus 
tard, .M. Casorati est arrivé à reconnaître que la démonstration donnée par 
.M. ^^'eierst^ass dans les Monatsberichte de l'Académie des Sciences de Berlin 
(démonstration reproduite dans le Bulletin) et relative au mode de construction 
dû à M. Mittag-I^effler, d'une fonction uniforme admettant une infinité de pôles, 
s'étendait sans difficulté à la construction toute semblable de fonctions uni- 
formes admettant une infinité de points singuliers essentiels dont l'ensemble a 
le point 00 pour limite unique. Dans la présente Note il développe ses recherches 
à ce sujet. Nous signalerons la proposition suivante, qui constitue une générali- 
sation naturelle du théorème de M. Mittag-Leffler et qui s'établit toujours par 
le même procédé. 

• Soient données une infinité de fonctions de la variable z dont 

/"■(-), M-), /3( = ), ••• 

désignent respectivement certaines branches qui, à l'intérieur de cercles ayant 
l'origine pour centre et dont les rayons /•,, /,,, r^, . . . sont tels que l'on ait 

r,<r <r 1 

peuvent être représentées par des séries procédant suivant les puissances entières 
et positives de ^; on admet que ces séries permettent de définir dans tout le 
plan (sauf pour certains points singuliers) les fonctions données quand on 
prend le chemin décrit par la variable à partir d'un certain point initial; 
» Si l'on considère la somme 

des »? premiers ternies du développement 



/.= y A^^ 



valable à l'intérieur du cercle de rayon /• , les nombres entiers m pourront tou- 
jours être choisis de façon que la série dont le terme général est 

f^{z)-P^{z) 

soit convergente inconditionnellement et uniformément dans tout le plan, à l'ex- 
ception toutefois de certains points singuliers pour les fonctions /. » 
L'application de ce théorème aux fonctions 

,og(,_i-j, log(i-i), iog('-|;)' •••' 

où l'on suppose les quantités <7,, a^, a^, .. . telles que l'on ait 
I «1 I ^ 1 «= I S 1 «3 I • • • lim I «„ I = « , 
liiifl. (les Sciences mntliém.. :^' série, t. \'I. (Juin 1S81.) R.io 



i38 SECOiNDE PARTIE. 

est immédiate et conduit de la façon la plus naturelle au théorème fondamental 
de M. Weierstrass sur la construction d'une fonction entière dont les zéros sont 
donnés. Il est inutile d'insister sur la proximité de cette démonstration et de 
celle qu'a donnée M. Hermite dans sa Lettre à M. Mittag-Leffler Sur quelques 
points de la théorie des fonctions, insérée dans le t. XII des Acta Societatis 
Fennicœ et dans le t. 40 du Journal de Borchardt. 

Cazzaniga. — Expression d'une fonction transcendante entière 
qui prend des valeurs données en des points arbitrairement 
donnés. (2-9-290). 

Soient les quantités données 

difTérenles entre elles, telles que l'on ait 

la. Il|a,|l|a3| ... lim | aj .= x , 

n = » 

et dont aucune n'est nulle. 
Soit en outre 

V 



In fonction 






r(-') = nE(|,,,> 



représentant, comme on le sait, une fonction entière admettant pour zéros les 
quantités a,, a,, a^, ..., en supposant que les nombres entiers/? soient tels que 
la somme 



^ I f, \('J '\ 



soit convergente, quel que soit x. 

Cela posé, l'auteur parvient, pour la fonction cherchée /(^). qui doit prendre 
au pointa la valeur/, à l'expression suivante : 



/(--) 



•-- /^,v(^)E'(i,/,^) 



4r^ 'V( a 



Mi^p-)i 



nù 'x{z) désigne le produit de ~{z) par une fonction de la forme 

<,\\(z) étant une fonction entière de z. 

Tonclli. — Sur la fonction potentielle dans un espace à i) di- 
mensions. (291 -^si). 



REVUE DES PUBLICATIONS. ijg 

En parlant de la formule donnée par M. Beltrami dans son Mémoire Sulla 
teorica dei paranietri differenziali (Memorie dell' Accademia di Scienze di 
Bologna, i86g) et qui fournit l'extension du théorème de Green à un espace 
ayant un nombre quelconque de dimensions, M. Tonelli établit élégamment les 
propriétés fondamentales de la fonction potentielle dans un espace à n dimen- 
sions; il traite d'abord le cas général sans rien supposer sur la courbure pre- 
mière et s'occupe ensuite plus particulièrement du cas où l'espace est plan. 

Dans une seconde partie de son Mémoire il montre, en généralisant un procédé 
dû à M. Dini, comment, dans un espace plan, on peut déterminer la fonction 
potentielle dans un champ sphérique, lorsque l'on donne sur le contour la va- 
leur de la dérivée première (ou d'un ordre supérieur), prise le long de la normale 
au contour. .1. T. 



ZEITSCHRIFT fijr Matiiematik L'Nd Piiysik, herausgegeben von Dr. O. 
ScHLO-MiLcii, Dr. E. Kahl und Dr. M. Cantor ('). 

Tome XXVI; 1881. 



J'eltmann (JJ\). — Détermination d'une fonction sur la surface 
d'un cercle, des conditions étant données pour les points de la 
circonférence de contour. (i-i4)- 

L'intégration de l'équation 



ou des deux équations 



sur la surface d'un cercle pour des valeurs données de u sur le contour, a été 
effectuée par MM. Prym et Schwarz dans les vol. 73 et 74 dn Journal de Crelle, 
dans les cas où une solution existe. AL Schlaefli s'est aussi occupé de la ques- 
tion dans un Mémoire intitulé : Quelques doutes sur la représentation géné- 
rale d'une /onction périodique arbitraire d'une variable réelle par une 
série trigonométrique. On s'est déjà occupé également du cas où le rayon du 
cercle croit indéfiniment et aussi où la surface est à connexité complexe avec 
un point de ramification. 

M. Veltmann se propose d'arriver aux résultats déjà connus par une méthode 
simple et naturelle. Pour cela, il part des propriétés fondamentales des fonctions 
(monogénéité, application conforme), au lieu d'employer les conséquences que 
l'on déduit de ces propriétés, par exemple l'existence des équations difTéren- 
tielles écrites plus haut. 



(') Voir /iulletin. V.„ 2.;. 



fP u 


fP u. 


àx'^ "' 


-^r^-" 


f)u d{> 


r)u âv 


àx ~" ày 


dy " dx 



i4o SECONDE PARTIE. 

Ce procédé peut être plus simple, mais aussi il demande, pour être bien suivi, 
plus de conlention desprit; nous ne voyons pas qu'il soit bien nécessaire de 
laisser de côté une partie des théorèmes de Cauchy et de Riemann sous prétexte 
d'apporter une modification peu importante dans la démonstration de résultats 
connus. 

Buka {F.). — Courbure des surfaces gauches aux points d'une 
génératrice rectiligne. (i5-49). 

Partant de la considération de deux éléments voisins, l'auteur arrive, par des 
considérations géométriques assez simples, à montrer la relation qui existe entre 
les rayons de courbure des sections quelconques d'une surface gauche aux diffé- 
rents points dune génératrice; il étudie la courbe lieu des centres de courbure 
correspondants et montre comment on peut la construire et en déterminer les 
princijjales propriétés. Il construit et discute les hyperboloïdes osculateurs, la 
surface gauche formée par les tangentes aux lignes de courbure aux différents 
points dune droite, etc., etc. ( Voir sur ce sujet Chasles, Correspondance mathé- 
matique et physique, tome XI; de la Gourncrie: Alannheim; Fiedler, Géomé- 
trie descripti\'e; Wcyr, Kriimmung ivindschiefer F/cic/ien, etc.) 

Giinther [S.). — Détermination d'un lieu en Astronomie sphé- 
rique. (5o-56). 

1° Etant donné un quadrilatère sphérique dont la surface est imundrc qu'une 
demi-sphère, déterminer le point d'intersection des diagonales, quand on se 
donne les coordonnées des quatre sommets relativement à un système d'axes 
rectangulaires sphériques quelconques. 

2° Solution du problème. 

M. Giinther donne à la solution une forme calculable par logarithmes. 

Ce problème avait été posé et résolu par Michel Maestlin. le professeur de 
Kepler. Mais la solution, si exacte qu'elle fût, conduisait à des calculs longs et 
pénibles; c'est là ce qu'évite la solution de M. Gunther. 

DietricJi. — Mesure du rapport des ravons de courbure en un 
point d'une surface au moven de l'angle des tangentes d'in- 
flexion correspondantes. (Sj-jg). 

1, "auteur trouve rexjircssion sini])lf 

Pi o ts 

p, et p^ étant les rayons (h- couritni'c et ç l'angle des tangentes d'inllcxion. 

Sclilornilch (O.). — Sur des sommes et des j)rodiiits de ra\ons 
vecteurs de l'ellipse et de courbes analogues. (5t)-()"^). 

l.'i'rpiatinii de l'cllipsr ('■tant écrite en coordonm-cs i)()lairrs 



W 



«-sin^U -:-^»c<>s'fj (t^ />■■'—(«'- A'') eus jO' 



KEVUE DES PUBLICATIONS. iji 

on a, en dcsignaiil jiar R| le rayon vecteur qui correspond à l'angle polaire k — 

n 

R„ . R, . R,. . . R„ ^- (2abf \/-r^ 



nh 



ù)-"— (rt — 6)-"' 

on trouve une formule analoj;uc (jiiaiid on exprime le rayon vecteur central au 
moyen de l'anomalie excentrique. 

On a aussi des formules sendilahles pour les courbes dont les équations en 
coordonnées polaires ont une des formes 

r:^= a -f- jiicos 6, ou /■!^= a -f- |jCos2 6. 

Schlomilch (O.). — Sur les séries à la fois convergentes ou à la 
fois divergentes. (<)3-()'i). 

Cauchy, dans son Cours d'Analyse algébrique, a montré que les deux séries 
infinies 

«, -T- u^-^ u-^-~ u^-~ «5 + ... 

I Uf-r- iU^-r- 4 "3-+" Si/^-f- 16M5-T-. . . 

sont en même temps convergentes ou divergentes. Schlomilch montre comment 
on peut former une infinité de tels groupes de séries. L'application de son pro- 
cédé lui donne, par exemple, 

\ -.?(.)-- «(2)-^ 9(3) -4- 9(4)--..., 

i log 2.[.9(,)-2cp(2)--49(3)--f-89(4)-...]; 

S -fd)-- 9(2)-i- 9(3) -4- 9(4) -..., 

I ,-ç{i) -.- k-^{k) ^ k'-^(k') -- f<-'-Hf^') "■ ■ ■ ; 

{, 9(1)- 9(2)- 9(3)- 9(4)--... 
\ .9(1) -29(4) -^39(9) -^49(16) --.... 



IVeihrauch. — Sur les déterminants doublement ortiiosynié- 
triques. (64-70). 
Le déterminant doublement orthosymétrique 



a„. . . a 



-2 


««-l 


-3 


«„-2 ' 


-4 


««-3 


-1 


«0 



c = 



a^ a., «j 

peut, d'après Stern (Journal de Crelle, 73) et Zehfuss (Zeitsc/tri/C/ûr Mathe- 
niatik und Physik, 7° année, p. 4-^9 ); être mis sous la forme 

h= n / J = n — 1 



n i: 



a^ étant uni' ile^ /; i.iriiics de l'i-ijnatiiMi 

x' — 1 — o. 



x42 SECONDE PARTIE. 

Weihrauch donne d'abord de ce développement une démonslratiun nouvelle, 
puis il arrive facilement au résultat suivant : 
Si, partant de l'équation 



2 «ir*-'-'=o, j' = ?p ?., •■•, ?„. 



on forme l'équation aux puissances n'^'"^' des racines, 

i - n—l 

X^ /) -«-1-1 _ r. '■■'"^ '"■'" '■■'" 



I =/I — 1 

c= V b.. 

i-O 



Schaertlin (G.). — Déterminer un point tel que la somme de ses 
distances à n points donnés soit un minimum. (70). 

Ciamician. — Sur la constitution des éléments. (71-72). 

Erdmann [G.). — Sur les variations d'ordre /i. (yo-gô). 
Soit à chercher le maximum ou le minimum de 






) dx, 



ou y = -j- ; posons 



L'équation différentielle 

(i) «,»=«0, 

doit être vérifiée. L'auteur se donne les limites j'^ ci y^ de v et traite le pro- 
blème dans les cas où : 

1° L'équation (i) est une équation différentielle de second ordre, où, par suite, 
la solution contient deux constantes d'intéçiration indépendantes l'une de 
l'autre ; 

i" Toutes les quantités «,„„ deviennent, quand on y remplace y par la valeur 
que l'on tire de (i), des fonctions de x qui demeurent finies et continues entre 
les limites de l'intégration; 

3° Désignant par c, et c, les constantes d'inlégration, tous les quotients difié- 

flm+n y cl'"'" y' 

rentiels de y et v' par rapport à c. et c, de la forme — ... " .. et ., • „ ■ restent 

•^ -^ ' " ' - dc'['dc"^ dc'l'dc'i^ 

finis. 

Il appliiiuc ensuite les résultats Irouvt's au problème du principe de la moiiulri' 
action dans In mouvement elliptique, puis au cas où le corps mobile est attire 



REVUE DES PUBLICATIONS. ii3 

proportionnellement à la distance. Dans ce dernier cas. le principe de moindre action 
est applicableau mouvement elliptique dumobile, tantque sa trajectoire est com- 
prise entre deux tangentes rectangulaires. Quand le mobile décrit cet arc en 
entier, le principe de la moindre action n'est plus applicable que dans le cas où 
les deux extrémités de l'arc se trouvent de côté et d'autre du grand axe, les tan- 
gentes en ces points faisant avec le grand axe l'angle » = arctaug(^/2 —i). 

Lange {E.). — Note sur un théorème de Chasles. (98-10.3). 

Il s'agit du théorème suivant, donné par Chasles dans son Aperçu historique, 
\). 4o4, note XXXIII : Quand les quatre faces d'un tétraèdre mobile sont as- 
sujetties à passer respectivement par quatre droites situées d'une manière 
quelconque dans l'espace, et que trois sommets du tétraèdre doivent se trouver 
sur trois autres droites, placées aussi d'une manière quelconque dans l'es- 
pace, le quatrième sommet du tétraèdre parcourra une courbe à double cour- 
bure du troisième degré. 

Ce théorème ainsi énoncé n'est point exact. M. Lange se propose de rechercher 
à quelles conditions doivent satisfaire les droites de l'espace pour qu'il ait lieu; il 
détermine aussi les cas où la cubique se décompose. 

Frenzel {C). — Nouvelle solution d'un problème de rotation. 
(104-126). 

Le problème en question est la détermination du mouvement d'un solide de 
révolution autour d'un point fixe situé sur son axe sous l'influence de la pesan- 
teur. 

Ce problème a déjà été résolu bien des fois, mais l'auteur considère comme 
manquant de symétrie les solutions de Lagrange {Mécanique analytique, t. II), 
Poisson {Traité de Mécanique, t. II), Resal {Traité de Cinématique pure), 
Jullien {Problèmes de Mécanique rationnelle, t. II). 

-M. Frenzel se propose d'appliquer à la solution du problème les méthodes et les 
notations de Weierstrass, renvoyant d'ailleurs lui-même le lecteur qui a l'habi- 
tude d'employer les notations de Jacobi au Mémoire si intéressant de M. Her- 
mite [Sur quelques applications des fonctions elliptiques {Comptes rendus, 
2° semestre 1877 et i" semestre 1878)]. 

M'eihraiich (A.). — Développement d'un polynôme. (i2--i32). 

metnétantdesnombres entiers, développer l'expression {i-\-x-\-x''-\-. . .4- a;"-')". 
Posant 

A - / A = 

et de plus suivant toujours la notation employée dans le Zeitschrift, 

/?(/; — i)...(n — A- -^1) 

^ ' 1~' — ir~ — ' 

on trouve 



«A = 7 (— ')'("),(" — ' -^ /' — "'O,,-,- 



i44 SECONDE PARTIE. 

Weihraiich (A). — Valeur de quelques déterminants doublement 
orthosymétriques. (i32). 
Déterminant doublement orthosymétrique où l'on fait 

CT/ = '— ou = (A-T-i)' ou — C05 (Art) ou = sin (ka). 

IVeiliraucIi. — Théorème sur le quadrilatère plan. (i33-i34). 
Thomae {J-)- — La loi de réciprocité. (i34-i3o). 

Simplification de la troisième démonstration de Gauss. 

Schlbmilch (O.). — Une propriété des ellipses et des hyperboles 
concentriques. (i35-i36). 

ScJiumann (Ad.). — Sur l'hyperboloïde équilatère. (i36-i43). 

Dans le 86' volume du Journal de Crelle, M. Voigt a publié un Mémoire sur 
l'h) perboloïde déterminé par trois droites dont les directions constituent un 
trièdre trirectangle. 

-M. Schumann expose analytiqucment les résultats trouvés par Voigt. 

Hess (ff •)• — Propriétés de la leraniscate. (i43-i44)- 

Sur quelques théorèmes analogues à ceux qui se ra|iportent aux coniques. 

Horn (Th.). — Sur les discontinuités du second quotient différen- 
tiel du potentiel superficiel. (i45-i56 et 209-s<3i). 

Le problème que Fauteur se propose est le suivant : 

« Comment varient les seconds quotients différentiels du potentiel d'une sur- 
face courbe massive, pour des directions variables, et lorsque le point pour lequel 
on les forme traverse la surface ». 

Schumann (Ad.). — Sur la cinématique des systèmes variables. 

(,5;-i;8). 

Dt'jà dans le 2j' volume du Zeitschri/t, W. Burmester s'est occupé du mouve- 
ment des figures variables, employant la méthode synthétique dans la détermi- 
nation des vitesses et des accélérations des points du système. 

II ne s'occupe ni des aires décrites par une courbe, ni des tangentes des arcs de 
courbe tracés par un point, ni des volumes décrits par une surface. M. Lignine 
[Sur les aires des trajectoires décrites dans le mouvement plan d'une figure 
de forme invariable {Bulletin des Se. math., IIj, p. .)o6)] et M. Darboux [Sur 
les mouvements d'une figure invariable ; propriétés relatives aux aires, aux 
arcs de courbe décrits et aux volumes des surfaces trajectoires {Bulletin des 
Se. math., IIj, p. 383)] ont traité des questrons de cette nature. Déjà, en 
1867, M. Schumann s'était occupé de la mesure des surfaces décrites par une 
droite d'un système invariable dans son mouvement [Schumann, Beziehungen 
zwischen Flàchen. ini Zusammenhange mit dein Kriimmungsschwerpuncte 
ron Curvpn (Progr. d. Louisenstndt. nenhrhulr in Berlin)], et il n donné à «e» 



REVUE DES PUBLICATIONS. iji 

théorèmes une forme plus générale, en s'appuyanl sur le Mémoire de M. Darboux, 
dans un travail public dans le 25" volume du Zeitschrift {Ueber die Flcichen- 
ràume und Bogenlàngen, welche bel der Bewegung eines starren Systems 
von einer Gerade unischrieben werden). 

Dans le présent travail, l'auteur se propose d'étendre ces théorèmes aux sys- 
tèmes qui, dans leur mouvement, demeurent semblables à eux-mêmes. Quelques- 
uns des théorèmes peuvent aussi s'étendre faeilcnieat au ras où le système, tout 
en changeant de forme, demeure en affinité. 

Matthiessen [L.). — Intégration des équations difTérenlielles qui 
se présentent dans la dioptrique des cristallins sphériques des 
poissons. (ijc)-2oo). 

Suite du travail dont une première partie a |)ara dans le 2j° volume du Zeit- 
schrift. 

IVeiti {E.). — Sur la détermination de la position d'une étoile par 
l'intersection de deux grands cercles. (201-204). 

Boklen (O.). — Sur les surfaces homofocales. (204-207). 

Etant donné un sjstème de surfaces homofocales, on prend un point S de 
l'espace comme sommet d'un cône tangent qui touche une des surfaces, par 
exemple un ellipsoïde le long d'une ellipse E, considérée comme ellipse focale : 
déterminer un second système de surfaces homofocales. Les trois surfaces homo- 
focales du second système qui passent par S ont avec les trois surfaces homofo- 
cales du premier système un contact supérieur, en ce sens qu'il y a coïncidence 
non seulement entre les tangentes aux lignes de courbure, mais aussi entre les 
génératrices réelles ou imaginaires de chaque groupe de surfaces tangentes. 

Hocevaj' {F.). — Théorème de Géométrie. (20J-208). 

Sclwnetnaun (P-)- — Transformation d'nn triangle en un carré. 

(208). 

Holzmïïller (G.). — Sur les faisceaux isothermes, les parentés 
isogonales et les systèmes variables conformes qui sont en con- 
nexion avec les modes de représentation exprimés par les équa- 
tions 



(20 1 -256). 

Suite des travaux de M. Ilolzmûller sur la géométrie lemniscatique et ses ra]v 
ports avec des questions physiques. Etant donnée une courbe dans le plan Z, 
quelle est la courbe correspondante dans le plan Z et récipro(]uemcnt? (^es con- 
sidérations conduisent l'auteur à des courbes qu'il appelle hyperboles d'ordre n. 
lemniscates d'ordre n. dont il étudie les propriétés et qui lui fournissent des fais- 
ceaux de lignes isothermes. Il étudie aussi la correspondance entre les mouvc- 



146 SECONDE PARTIE. 

ments de deux points correspondants figures, l"un dans le plan z. l'autre dans le 
plan Z. 

Miencr [CJir.]. — Sur le double mode de génération des roulettes 

allongées ou raccourcies. (25--263). 

Toute épicjxloïde ou toute hypocycloïde généralisée peut être engendrée de deux 
manières : le point qui décrit la courbe se trouve dans un cas à lintérieur du 
cercle mobile, dans l'autre cas à l'extérieur. L'auteur donne une démonstration 
simple de ce théorème; il remarque cependant que le théorème se trouve déjà 
énoncé dans un livre de Proctor {A Treatise on the cycloid and ail forms of 
cycloidal curves, London, 1878), mais l'auteur anglais appuie sa démonstration 
sur les propriétés des courbes épicycliques établies précédemment. 

B'ôkleii (O.). — Sur les lignes géodésiques. (264-269). 

L'équation d'une courbe tracée sur une surface quelconque est donnée en 
coordonnées géodésiques bipolaires; au point M de la courbe on mène le plan 
tangent et les tangentes aux rayons vecteurs géodésiques sur lesquelles on porte 
des segments proportionnels au numérateur et au dénominateur du quotient dif- 
férentiel — si Ton a pour la courbe u=z/{v) ; la diagonale du parallélo- 
gramme complété avec ces deux segments est la normale à la courbe. 

Applications à quelques exemples. 

Sclubter (H.). — Remarque au sujet de la Note sur un théorème 
de Chasles par E. Lange (p. (j8 de ce volume). (2-0-272). 

llaiick {G.). — Sur les principes fondamentaux de la perspective 

linéaire. (273-296). 

L'auteur, (pii a déjà publié un Mémoire sur la « Perspective subjective et les 
courbures horizontales du style doritjue », où il cherche à donner à la perspective 
une base purement scientilique en i)artant des lois de l'optique physiologique 
moderne, se propose ici de donner pour ainsi dire un commentaire de ce travail. 
Il prétend fonder la perspective sur la physiologie et essaye en somme, dans le 
présent Mémoire, de donner à ses idées métaiihysicpics une forme un peu plus 
mathématique qu'il ne l'avait fait d'abord. 

Kùitiier { W.). — Sur la statistique mathématique. (297-3i3). 

Tliomac (/.). — Théorie élémentaire de la série hypergéomé- 

liicpie. (3i/î-332). 

Dans ce travail, l'auteur se propose non pas tant de donner des résultats nou- 
veaux, que d'exposer d'une façon simple et élémentaire les propriétés connues de 
la série hypergéomélrique. Thomae commence d'abord par l'itude ilcs facult :s 
( Facultàten). Une fonction telle que 

rin^l-j) ■= {/H-i)'f («). 
Il m -z {n -;- 1\' ) : z {w)\v" ^1, -^ (o) :- 1, 

IV <-l.inl uni' quiiiil il ■■ pii-il ivr qui <\<,\{ .\\\ dc!.i c|r imilr liiiiilc, (•>( cnmph'lciiii-nl 



REVUE DES PUBLICATIONS. 147 

définie. La marche suivie poui- arriver à une représenlalion de la fonction est 
celle due à Wcierslrass {Journal de d'elle, t. 51, p. 1-70). 11 passe ensuite à 
l'étude dos formules de rccursion à trois termes : 

A„'f («-^2) — lî„9(/n-i) -^ C„9(») = o, 

A„, B„, C„ étant des fonctions entières de n. Enfin il montre rup])lication des 
considérations précédentes à la série liypergéométrique. 

Miich. — Sur la méthode due à Sturm pour la démonstration du 
théorème d'addition des intégrales elliptiques de première 
espèce. (333-335). 

Finacr. ■ — Sur un pendule analogue à celui de Kater et son appli- 
cation à la mesure de la pesanteur. (335-336). 

]] ittwer [JV.-C). — Eléments de Chimie mathématique. (33j- 
356). 

Krey {H.). — Quelques applications d'un théorème de la théorie 
des fonctions. (35--3~6). 

M. Krey part du théorème fondamental de Cauciij^ qui donne les conditions 
sous lesquelles une intégrale prise entre deux limites quelconques ne change pas 
quand on fait varier le chemin d'intégcation. Il l'applique successivement à la 
démonstration d'un théorème d'Algèbre dû à Jacolii [Theoremata nova alge- 
braica {Journal de Crelle, t. 14)], à la détermination du nombre des solutions 
d'un système d'équations algébriques, et enfin pour la démonstration du théo- 
rème d'addition des intégrales elliptiques de première espèce, tel qu'il se présente 
comme cas particulier du théorème d'Abel. 

Biehringer. — Sur une extension des lois de Mariotte et de Gav- 
Lussac. (3---383). 

Boklen (O.). — Sur les foyers des lignes de courbure de l'ellip- 
soïde. (383-38;). 

Les lignes de courbure de l'ellipsoïde sont sur des ellipsoïdes ou des hyperbo- 
loïdes de révolution. Propriétés qui en résultent. 

Lauermanii (A.). — Sur les normales à l'ellipse. (387-390). 

Démonstration analytique assez simple de propriétés connues depuis longtemps 
sur les pieds des normales al)aissées d'un point sur l'ellipse. 

\ ogel (P-)- — Note sur la discontinuité dans les courbes. (3qi- 
393). 

y — f{x) étant l'équation d'une couriie ayant un point double au point x = a, 
INL Plateau croyait qu'en remplaçant y par )' — cos \'a — .r. <in obtiendrait une 
courbe à point saillant. 'M. Mansion a montré dans ce /hillclin (l'^iyS, 11.) (pie 



i48 SECOiNDE PARTIE. 

rela n'était pas exact. .M. Vogel propose de remplacer y par y — — — » 

n étant entier et 51 et appli(]ué à quehjues cas particuliers. 

Hovestadt[H.). — Démonstration d'tni théorème de Weierstras.s. 

(392-393). 

Théorème sur les formes quadratiques bilinéaires, donné par Weierstrass dans 
les Monatsberichte de Berlin, de i858, p. 207. 

Hornstein. — Sur la connaissance du système des astéroïdes. 
(394). 

Bicliringer. — A propos de la Météorologie. (395-4oo). 

G . B. 



MÉMOIRES DE L\ Société des Sciences physiques et naturelles de Bor- 
deaux (' ). 

Tome II; 1878. 

Ddj'hoKX. — jMémoire sur l'équilibre asiatique et sur Teffet que 
peuvent produire des forces de grandeurs et de directions 
constantes appliquées en des points déterminés d'un corps solide 
quand ce corps change de position dans Tespacc. (i-65). 
Voir le Bulletin, 1" série, t. II. I'''' Partie, p. 278. 

De Tilly. — Note sur la théorie de la rotation des projectiles et 
sur la similitude mécanique. (<)()-j'i ). 

L'auteur donne quelques indications sur les travaux faits sur ce sujet par 
M. le général Mayevski, par .M. ^lagnus de Sparrc et par lui-même; il avait 
dirigé quelques critiques, fondées en théorie, sur la méthode de M. Mayevski; 
les résultats obtenus par ce dernier sont cependant exacts, ainsi que l'a montré 
l'étude approfondie faite par AI. Masnus de Sparre ; M. de Tilly justifie le prin- 
cipe de ses critiques. 

Tauuprv (P-)- — ^>()lo sur la genèse des forces attractives cl 
répidsives. (95-104). 

Il s'agit de ce problème : « iJéterniincr les hypothèses nécessaires pour >.ubsli- 
tuer, à des attractions et répulsions s'exerçant à distance entre des molécules 
matérielles, l'action d'un milieu s'exerçant par pression sur ces molécules. >• f-'auteur 
admet que les molécules sont fies solides invariables et (]iie le milieu est fluide. 

(') \oir /iiil/rti/i. I.. p. i'>-. 



REVUE DES PUBLICATIONS. i {t, 

Ravel (G.). — INole sur quelques propriétés géométriques du 
canevas des cartes orlhodromiqucs équaloriales. ('lay-iSo). 

Il s'agit de la projection orthodromique de M. Ililleret où le canevas des 
méridiens et des parallèles est formé par des droites et des hyperboles. M. Ravel 
donne en particulier la loi de la dilatation des surfaces. 

Tan lier y [P.). — Hippocrale de Chic et la quadrature des lu- 
nules. 

Réfutation de l'opinion d'après laquelle le géomètre grec aurait voulu passer 
de la quadrature des lunules à relie du cercle. 

Caslet. — Du plus court chemin sur une surface de révolution 
entre deux points delà génératrice. (i85-i8-). 

Glotin. — Navigation orthodromique. (188-210). 

Jacquier. — Noie sur les propriétés des systèmes de deux forces 
qui sont équivalentes. (:^ 11-216 ). 

Tannery (P.). — Sur les solutions du problème de Délos par 
Archjtas et par Eudoxe. 

Essai de restitution de la solution par Eudoxe du problème des moyennes 
inoportionnelles, solution sur laquelle on n'a que quelques indications fournies 
par Eutocius. 

Goines Teixeira {F.). — Sur le nombre des fonctions arbitraires 
des intégrales des équations aux dérivées partielles. (3i5-32i). 

L'auteur se propose d'étendre la théorie d'Ampère à une équation contenant 
un nombre quelconque de variables indi'pendantes 

Tome III; 1879. 

De Tillv. — Essai sur les principes fondamentaux de la Géométrie 
et de la Mécanique, (i-ujo). 

« L'auteur rappelle d'abord les définitions ordinaires du ]iiiiiit, de la ligne, de 
la surface, et il énumére alors les trois axiomes irréductibles (jui forment la base 
de la Géométrie, savoir : 1° l'axiome de la distance et de ses propriétés essen- 
tielles, communes aux divers systèmes de Géométrie; 2° l'axiome de l'augmen- 
tation indéfinie de la distance, qui exclut la géométrie dite elliptique ou 
doublement abstraite, dans laquelle l'espace serait rentrant sur lui-niènic: 
.'4° l'axiome de la parallèle unique, qui sépare la géométrie usuelle ou (Miclidienne 
de la géométrie abstraite de Lobatchefsky et de Holyai. 

» On peut définir la position d'un point de l'espace avec une approximation 
indéfinie, sans avoir besoin d'aucune comparaison directe des positions di^ 
l'éundue, en concevant l'espace rempli par trois systèmes de surfaces dont on 



liio SECONDE PARTIE. 

peut subdiviser à l'infini les intervalles, et auxquelles on attribuerait des numéros 
d'ordre. Entre deux points ainsi définis, il existe une certaine relation, dont nous 
n'avons d'idée que par le sentiment de la constance de l'impression qu'elle pro- 
iluit sur nos sens : c'est la distance. Cette quantité dépend des numéros des 
surfaces qui déterminent les deux points. 

» Les propriétés que l'expérience nous porte à admeltrc dans les êtres géo- 
métriques ne sont compatibles qu'avec trois formes générales de cette relation, 
formes dont chacune caractérise un des trois systèmes de géométrie dont nous 
venons de parler. 

» De là, l'auteur passe aux notions de la sphère et du cercle, et il établit les 
propriétés de la rotation d'un sj^stème invariable autour d'un point fixe, puis 
autour de deux points fixes. Dans ce dernier mouvement, il existe une série 
continue de points immobiles qui constituent la ligne droite, définie ainsi indépen- 
damment du plan. 

» Vient ensuite l'étude des triangles, après laquelle l'auteur établit la défini- 
tion du plan, comme lieu décrit par une droite tournant autour d'une droite qui 
lui est perpendiculaire. Propriétés de la perpendiculaire au plan. 

» La ligne droite considérée dans le plan. Axiome des parallèles. 

» Tel est le contenu du Chapitre L Le Chapitre II a pour titre : Exposition de 
la Géométrie dans les Traités élémentaires. M. de Tilly passe en revue, numéro 
par numéro, le Traité de .ALM. Rouclié et de Comberousse, en indiquant seule- 
ment le chifi"ie des articles auxquels il ne trouve rien à changer, et donnant pour 
les autres l'exposé succinct des modifications qu'il croit devoir y apporter. De 
cette manière, il a pu faire tenir en quarante pages tous les matériaux nécessaires 
pour reconstruire un Traité de Géométrie entièrement conforme aux principes 
établis dans le premier Chapitre, tout en conservant une forme appropriée à 
l'enseignement élémentaire. 

» Le Chapitre III contient un travail analogue sur la Trigonométrie usitée. 
Dans le Chapitre IV, l'auleur indique les changements qu'il faudrait apporter à 
la Trigonométrie usitée pour l'approprier aux systèmes de Géométrie plus géné- 
raux. 

» Le Ciiapitre A' traite des principes de la ^Mécanique. Après avoir indiqué les 
raisons pour lesquelles il y abandonne les systèmes plus compliqués que le 
système usuel, l'auteur expose successivement ses idées sur la notion de vitesse 
et quelques points de Cinématique, l'axiome de l'inertie, le théorème des vitesses 
virtuelles, les théorèmes généraux de la Dynamique, enfin sur une question 
spéciale relative au mouvement de rotation d'un corps solide. » 

IVerr {^Ed. ). — Sur l'arrangement des plans tangents de certaines 
surfaces. (191-21 1). 

L'auteur s'occupe des surfaces engendrées par une coni(iuc mobile, variable de 
grandeur et de forme, et fie l'arrangement de plans tangents le long d'une 
conique génératrice; la solution du problème suivant ft)rme la conclusion prin- 
cipale de son travail. 

Considérons une surface II sur huiiiclli' il se trouve une série de coniques 1. 
Soit donnée la surface développable \ enveloppe des plans des coniques 2, et 
soient données de plus cinq courbes (directrices) de 11. l'ar cela, II est par- 
faitement déterminée. En efi"et, tout plan ci tangent à A ( tiendra une coniipn; 

i- de ri: cette conif|ue passera par les traces sur n îles cin(| courbes données. 

')ti ilrmandc de rori'itrMiic le plan langent de II en un point (|ucl(f>nque de ï. 



REVUE DES PUBLICATIUNS. i3i 

Laisant. — Remarques sur les fractions périodiques. (212-234). 

L'auteur rnmplète l'étude de certaines propriétés, concernant les fractions 
périodiques, puldiées en collaboration avec AI. Baujeux dans deux .Mémoires 
insérés dans les Nouvelles Annales de Mathématiques {1" série, t. VII cl 1\.) 

Abria. — Sur les surfaces équipolentielles. (235-28jJ). 

Bayssellance. — R.eprésentation proportionnelle des minorités. 
(285-3o4). 

Tannevv (P-)- — L'arithmétique des Grecs dans Pappus. (35 1- 

371)." 

Analyse des débris, mallieureuscment trop rares, qui, dans la Collection 
mathématique de Pappus, concernent l'Arillimétique. 

Daj^boiix (G.). — Note sur deux intégrales elliptiques qui se pré- 
sentent sous forme indéterminée. (3-3-376). 

Lorsque A tend vers zéro, lexpresslon log— constitue une valeur approchée 

de K'. 

Recherche de la valeur de i'intésrale 



r 



(\n'adu 



Jq sn'« cn'a(i -^ A'^ tn'^rtsn-'w) 

pour la valeur K' attribuée à l'argument a. 

Glotiii. — Navigation ortliodromique. (377-394)- 

Glotin. — Résolution des triangles sphériques par des triangles 
reclilignes sur une projection gnomonique. (395-4oo). 



NOUVELLES ANNALES de Mathématiques, rédigées par MM. Gerono et Cii. 
Brisse ('). — 3*^ série. 

Tome XX; 1881, ■2." semestre. 

Lrtnikof (A.). — Sur les propriétés principales des foyers des 
courbes du second degré et sur la détermination analytique de 
ces points. (289-304). 

(') Voir Bulletin. V,. lîi. 



i5'2 SKCUNDii PARTIK. 

Cet article résume des propriétés connues et n'en contient pas de nouvelles. 
Il y a lieu cependant de remarquer, à la fin de celte exposition, une formule 
très simple donnant l'excentricité d'une conique. — La définition des foyeVs qui 
a été adoptée ici est celle d'Euier. 

Droz (A.). — • Xote de Géoniélrle. (3o5-3o7 ). 

Il s'agit d'un théorème de Chasles sur l'intersection du plan tangent et de la 
normale à une surface du second degré avec un des plans diamétraux de cette 
surface. 

Leinekugel {A.). — Solution de la question du concours général 
de 1879, en rhétorique. (Soy-Sio). 
Problème de Géométrie sur des volumes engendrés par des figures tournantes 

Lez (//•)• — Solution des questions du concotirs général de 18-9, 

en seconde. (3io-3i4)- 

1° Lieu géométrique dérivant d'un système de deux droites parallèles. 
2° Calcul relatif au triangle équilatéral. 

Moret-Blanc. — Solution de la question du concours général de 
1880, en philosophie. (3i4-3i5). 
Lieu des points d'une sphère pour lesquels la longitude est égale à la latitude. 

Moret-Blanc. — Solution de la question du concours général de 
1880, en rhétorique. (3i5-3i6). 
Volumes engendrés par des ligures tournantes. 

Un abokwé. — Solution de la question du concours général de 
1880, en seconde. (317-319). 
Problème relatif au triangle. 

Moret-Blanc. — Solution des questions du concours général de 

1880, en troisième. (3 19-321). 

1° Lieu géométrique relatif à deux droites parallèles. 
•_>" Construction d'un quadrilatère inscriptibie. 

CoRiiEspoivDAKCE. — M. L. Doucct i Sur la question comprise sous 
les n"^ 970 et 1028. Un triangle circonscrit à une elliptique a 
pour hauteurs les droites joignant les sommets aux points de 
contact; lieu des sommets; lieu du point de concours des hau- 
teurs. — M. A. Legoux : Sur l'intégration des équations des 
lignes de courhure de l'ellipsoïde. — M. A. Ililaire : Sur un 
théorème de Steiner, attrihué par erreur à M. Mention, et rela- 
tif à une conique inscrite dans un triangle. (321-328). 



REVUIÎ OKS PUBIJCATIONS. i',? 

//. . . (Cit.). — Solution de la qiioslion 127. ('^^(j-.'k^o ). 
Kn rendant rationnelle ré(iuatii)n 

(a, -I- a:) ' -1- (a^ + 37) - -u . . . + («„ 4- a;) ' = o, 
on parvient à une équation du dcsré 2"~'. 

Moret-Blanc. — Solution de la question 119o. (33o-332). 

Le nombre des boulets d'une pile à base carrée ou triangulaire n'est jamais 
n^ ni n^. 

Moret-Blanc. — Solution de la question 1328. (333-335). 

Sur un certain système de surfaces du second degré. 

Realis (S.). — Solution de la question 1330. (335-330). 
Propriétés des expressions 

X = 2 ( a= — fl' — v! -4- Ô2 ) -1- 2 a ( 2 ;î + 3 V + :^ ), 

j,,= 2(-a^-f-:i^-72+r7)+2:j(2a-h3YU-4r:,, 

Z = SC-a'- fl2 + y'-Ho2)-|-4y(a-4-?-f-2Ô). 

\oir A'ouvelles Anna/es, 2" série, t. XVIII, p. .5on, sur un sujet analogue. 

Resal {H.). — Note sur la généralisation d'un théorème de Pap- 
pus. (337-338). 

La proposition de M. Resal consiste en ce que les points qui divisent propor- 
tionnellement les côtés successifs d'un polygone fermé ont même centre de gra- 
vité que les sommets du polygone. Elle a été énoncée antérieurement en 187-, 
avec bien d'autres propriétés, par .M. Laisant, dans une Communication au Con- 
grès du Havre. 

Fauve (//.). — Sur l'expression du volume de certains tétraèdres. 
(338-344)- 

Cet article est une intéressante application des déterminants à diverses ques- 
tions concernant des volumes de tétraèdres. On y retrouve certains résultats 
figurant dans la Théorie des indices, du même auteur. 

Jamet (F.). — Sur une classe de surfaces du quatrième ordre. 
(344-348, 385-391, 434-443). 

Cette étude prend son origine dans un travail de M. Amigucs sur les girocy- 
clides, surfaces spéciales engendrées par des circonférences passant par deux 
points fixes. L'auteur s'est proposé d'obtenir certaines propriétés des girocy- 
clides du quatrième ordre au moyen de propriétés des cônes du second ordre, 
eu établissant la corrélation entre ces deux surfaces. Nous regrettons de ne 
pouvoir signaler, même à grands traits, les principales de ces propriétés, parmi 
lesquelles il y a lieu de remarquer surtout celles qui se rapportent aux lignes de 
«ourbure. 

litill. des Sciences nuilliéni.. -r série, l. VI. (Juillet \ï>S:>..) It.ii 



i54 SECONDE PARTIE. 

Fauquenihergue (^.)- — Solulion d'une question de licence : 
Faculté de Montpellier, novembre iSjp. (348-35o). 

Etude d'une certaine courbe tracée sur un cylindre droit à base circulaire. 

Agrégation des Sciences mathématiques. Cokcouus de 1880. — 
Compositions en Mathématiques spéciales, en Mathématiques 
élémentaires, en Calcul infinitésimal (théorie et application), 
en Géométrie descriptive; leçons de Mathématiques spéciales et 
de Mathématiques élémentaires. Enoncés. (35 1-358). 

Ecole Normale supéiueure, section des Sciences; Cgivcours de 
1881. — Enoncé de la composition en Mathématiques, du 
27 juin. (359). 

CoJNcouiis d'admission a l'Ecole Centrale des Akts et Manufac- 
tures, EN 1880. — Première et seconde session : Compositions 
en Géométrie analytique, en Géométrie descriptive, en triangle, 
en Physique et Chimie. Enoncés. (36o-365). 

Publications récentes. — (365-368). 

Genty. — Solution de la question 1306. (368-372). 

Enveloppe d'une droite, de la quatrième classe et du sixième ordre. 

Moret-Blanc. — Solution de la question 1331. (372-373). 

Théorème relatif aux coniques. 

Pisani (/*'•)• — Solution de la question 1338. (373-374)- 
Sur l'équation indéterminée jr' + i = iy-. 

Moret-Blanc. — Solution de la question 13o0. (375-376). 
Propriété du nomjjre 12. 

Pccquerv {E •)• — Solution de la question 13oi. (376-378). 
Propriétés d'une certaine é(iuati()n du quatrième degré. 

Du Montel{H.). — Solution de la question 13i)8. (379-380). 

Propriété de l'ellipse. 
Questions proposées : 13Gi à 1375. (38o-384)- 
Dewiilf {E.). — Exercices de Géométrie. (391-401). 

Ces exercices s'applitpient aux faisceaux de coniques. L'auteur emploie uni- 
rotation empruntée à M. l'amiral de jonquièrcs, et s'en sert pour développer 



REVUE DES PUBLICATIONS. i55 

plusieurs propriétés dignes d'intérêt, qui prennent principalement leur Bource 
dans les travaux de Chasies et de j\f. Cremona. 

Dewulf[E.). — Question : Combien existe-t-il de courbes ration- 
nelles (unicursales) du qualrième ordre qui ont deux points 
doubles en r/, et a^ et qui passent par les sept points simples 
I, 2, 3, 4, 5, 6, 7? (4oi-4o2). 

Catalan {E.). — Note sur la question 393. (4o3-4o5). 
Sur les aires de paraboles d'ordres quelconques. 

Legoux (A.). — Note sur un système de courbes orthogonales et 
homofocales. (4o6-4o8). 
Les courbes dont il s'agit sont représentées par l'équation 



Realis {S.). — Démonstration de propositions énoncées. (4o8- 

4ii). 

Ces propositions (voir 2' série, t. XVII, p. 178) se rapportent aux racines 
entières de l'équation du troisième degré, et conduisent à d'intéressantes pro- 
priétés des nombres. 

Dioz {A.). — Note sur des formules de Joachimsthal. (4i i-4i3). 

Surface du triangle, connaissant les équ tions des trois côtés. — \'olume du 
tétraèdre, connaissant les équations des quatre plans formant les faces. 

Genty. — Note sur les conditions qui expriment qu'une surface 
du second degré est de révolution. (4i4"4i6)- 

L'auteur ol)tient ces conditions par une méthode très élégante en employant 
la polaire réciproque de la surface, par rapport à une sphère concentrique. 

Fauquemhergue {E.). — Solution d'une question de licence; 
Paris, juillet 1880. (4i6-4i8). 

Problème sur la chaînette. 

Henry (C). — Décomposition des nombres/'- — 9^?'" ft du 
double de ces nombres en deux cubes rationnels. (418-420). 
Conséquences d'identités dues à -M. Ed. Lucas. 

Fauquenibcrgue (E.). — Solution d'une question de licence; 
Paris, juillet 1880. (420-421). 

Question de Cinématique dans l'espace. 



i56 SECONDE PARTIE. 

Ecole spéciale militaire; Concours de i88i . — ('omposition ma- 
thématique; épure. Enoncés. (421-422), 

CoRRESPOKDANCE. — ^I. L. Lévy : Au sujet de la question 13o7; 
propriétés des triangles et de certaines cubiques. (423-424)- 

RoccJietti{M.). — Solution de la question 1335. (425-42y). 
Solutions entières et positives de certaines équations indéterminées. 

Goffart {N.). — Solution de la question 13-45. (427-428). 
Propriété de trois coniques. 

Goffart (TV.). — Solution de la question 1347. (428-43o). 
Lieu géométrique se composant de quinze cubiques. 

Moret-Blanc. — Solution de la question 1349. (421-432). 

Résolution de l'équation indéterminée 

y (.>' -f-0(j' + 2) — x{x ^\'). 
Resal {H.). Sur un théorème de Pappus. (433-434)- 

Aire d'une certaine spirale sphérique. 

Pellet {E .). — Sur le nombre des points multiples d'une courbe 
algébrique et les courbes unicursales. (444"453). 

L'auteur, en employant une notation ingénieuse, établit d'intéressantes for- 
mules sur les nombres maxima de points multiples des divers ordres. II donne 
ensuite un critérium des courbes unicursales plus simple que celui fourni par 
1\L Chasles, et termine par l'exposé de diverses autres propriétés, et par plusieurs 
équations générales. 

Barharin (P-). — Solution d'une question proposée par jM. Cata- 
lan. (453-456). 

Une cycloïde reste constamment tangente, en M et N, à deux droites fixes 
OX, OY; lieu du centre du cercle circonscrit à OAIN. 

D' Ocagne {M.). — Note sur le système articulé du colonel Peau- 
cellier. (456-409). 

Détermination des rapports des vitesses des divers mouvements à considérer 
dans cet appareil. 

Geneix-Martin (A.). — Solutions de quelques questions posées 

aux examens d'admission à l'Ecole Polytechnicpie. (459-464). 

L Équation générale de certaines hyperboles. 

2. Lieu dos foyers des hyperboles équilatères conccnlri(|ucs passant i)ar un 
point fixe. 
11. Lieu des foyers d'un certain système d'ellipses. 



REVUE DES PUBLICATIONS. iS; 

Chamheau (^.)- — Solution de la question proposée au concours 
d'admission à l'Ecole Centrale en 1880; 2" session. (464-468). 

Problème sur les paraboles passant par deux points fixes, et dont les dia- 
mètres ont une direction fixe. 

CoNCOLRs d'admissio>' A l'Ecole POLYTECHNIQUE EN 1 88 1 . — Mathé- 
matiques; Littérature; Lavis; Calcul; Géométrie descriptive. 
Enoncés des compositions. (468-470). 

Faiiquembergne {E.). — Solution d'une question de licence; 
Paris, juillet 1880. (471-47:5). 
Equation dilTèrenticllc des lignes asymptoliques d'une certaine surface. 

Bourget {J-). — Solution de la question l251. (473-48o). 
Problème des huit racines. 

Question proposée : 137G. (48o). 

Rectification : question 1306, p. 870. (48o). 

Orlof (G.-A.). — Sur la fonction génératrice des polynômes P,«,« 

de Didon. (481-489). 

Cet article a pour origine les travaux de Didon publiés notamment, dans les 
Comptes rendus des séances de /'Académie des Sciences, t. LXX, p. 7^9, sous 
le titre : Sur un mode d'approximation des fonctions de plusieurs variables, 
et dans les Annales de l'École Aormale, i" série, t. VII, p. 247 : Développe- 
ments sur certaines séries de polynômes à un nombre quelconque de varia- 
bles. Dans ces deux articles, ce géomètre, trop prématurément enlevé à la 
Science, a étudié les propriétés de ces fonctions P„„„ qui présentent une grande 
analogie avec les fonctions X„ de Legendre. L'article de .M. Orlof contient des 
résultats nouveaux et souvent de notables simplifications. 

Bieliler {Ch.). — Théorie des points singuliers dans les courbes 

algébriques. (489-498, 537-546). 

Ces deux articles forment la suite d'études précédemment publiées sous le 
même titre dans \e.s Nouvelles Annales (voir Bulletin IV.^, jGj; V^, i'M\). Dans 
cette troisième partie, l'auteur étudie la construction des branches paraboliques 
fournies par une direction multiple de points à l'infini. Il suppose successive- 
ment que cette direction est parallèle à Taxe des y, ou bien quelconque, et se 
livre à une discussion très complète des divers cas qui peuvent se présenter. 

TFeill. — Théorèmes sur les courbes algébriques. (498-5oo). 

Ces théorèmes portent sur la somme des carrés des dislances mutuelles des 
])oints oit une sécante rencontre une courbe. 

Healis (S.). — Exercices de calcul algébrique. (.h)i-jo6i. 



i58 SECONDE PARTIE. 

Ces exercices se rapportent à de remarquables identités, et conduisent ù des 
propriétés des nombres rationnels, soit réels, soit complexes, spécialement en 
ce qui touche les décompositions en sommes de trois carrés. 

D'Ocagne (-!/•)• — Sur le mouvement vertical d un point pesant 
dans un milieu résistant. (5o6-5ii). 

Cette Note a pour but de faire connaître une propriété commune aux deux 
mouvements, ascendant et descendant. Il s'agit de la loi qui lie les espaces par- 
courus par le mobile en des temps égaux. 

Concours d'admission a l'Ecole navale en 1880. — Géométrie et 
Statique; Tracé graphique; Arithmétique, Algèbre, Calcul de 
Trigonométrie rectiligne. Enoncés des compositions. (5ii-Di4)' 

Lionnet. — Propositions. (5i4-3i5). 
Six énoncés sur les propriétés des nombres. 

Un anonyme. — Solution de la question 127Î2. (5 1 3-5 18). 
Propriétés du tétraèdre dont les faces sont équivalentes. 

Moret-Blanc . — Solution de la queslioa 1283. (5i8-52o). 
Enveloppe d'une droite. 

Moret-Blanc. — Solution de la question 13 i3. (Sao-Saa). 
Questions relatives au triangle. 

Goffart (-\-)- — Solution de la question 1373. (523-524 )• 
Propriété de la circonférence. 

Goffart {N.). — Solution de la question 1374, (524-326). 
Lieu géométrique dans l'espace. 

Questions proposées : 1377 à 1381. (326-027). 

Rectifications : Questions 1364 et 1376. (SaS). 

Resal {II.). — Sur la détermination de quelques intégrales indé- 
finies. (329-337). 
Ces intégrales sont celles des expressions suivantes : 

f{x)\^T—x'dx, ■ — [ . iix, /{x) ^/x^ — idx, ■ _ _ ^j 

V I -- x' y X^ — I 



\i\uxcix, y/coscc.c(/x^ \lnn^xdx. 

Saltel (L.). — Contribution à la tliéorie de la substitution des 
systèmes d'équations. Application do cette théorie à la recherche 



REVUE DES rUBLICATIONS. riy 

de l'équalion et des points multiples d'un lieu défini par k 
équations contenant k — i paramètres variables. (54<3-5(")4). 

L'auteur définit ainsi l'objet de son Mémoire : 

« On rencontre, en Alirèbre élémentaire, de nombreux problèmes se résolvant 
sans peine, grâce à lintrodurtion de solutions étrangères préalablement connues; 
il suffit en effet de les supprimer à la fin du calcul. 

» C'est, je crois, faute d'avoir remarqué l'existence et la détermination précise 
de certains résultats étrangers, qui s'introduisent nécessairement par les substi- 
tutions connues d'un système d'équations à un autre système d'équations, que 
l'on ne développe pas, dans les Traités de Géométrie analytique, un procédé 
élémentaire permettant de trouver l'équation d'un lieii géométrique défini par 
k équations contenant k — i paramètres variables. En traitant, dans le présent 
travail, quatre cas particuliers de ce dernier problème général, j'aurai donc 
surtout en vue de mettre en parfaite évidence Texislence et la détermination 
exacte des non-solutions que l'on rencontre dans l'application des règles les plus 
élémentaires relatives à la théorie de l'élimination; j'indiquerai en outre un 
moyen, non encore remarqué, d'ol)tenir, en même temps que l'équation du lieu, 
les coordonnées des points multiples de ce lieu. » 

Voir, du même auteur : Historique et développement d'une méthode pour 
déterminer les singularités ordinaires d'un lieu géométrique défini par k 
équations. 

Ecole Normale sipkrtexjre; CojncgufvS de 1881. — Composition 
de Physique. Enoncé (565). A. L. 



ASSOCIATION FRANÇAISE pour l'avancement des Sjikncks. Comptes 

RENDUS DES SESSIONS ( ^). 

5^ Session (Clermont-Ferrand); 187G. 

Lucas {K-)' — Sur la recherche des grands nombres premiers. 

(61-68). 

Le Afémoire de M. Lucas a pour objet l'étude de la décomposition ou de l'ir- 
réductibilité des grands nombres en facteurs premiers. Les nouvelles méthodes 
reposent sur une idée fondamentale, l'étude des fonctions symétriques des racines 
d'une équation de degré quelconque à coefficients commensurabics et sur la réci- 
procité d'un théorème de t'ermat. Si l'on désigne par a un nombre quelconque 
non divisible par le nombre premier/», a''~' — i est, comme on sait, un multiple 
de p. Mais la réciproque de ce théorème n'a pas lieu nécessairement. Cependant 
on peut énoncer la proposition suivante: « Si a'^ — i est divisible par p pour 



I ' ) Voir liutlelin, L, 17'. 



i6o SECONDE PARTIE. 

x = p — I el n'esl pas divisible par p lorsque x est uu diviseur de p — i, on 
peut affirmer que le nombre p est premier. » Celte proposition n'est qu'un cas 
particulier d'une proposition plus étendue, puisque l'on peut, comme M. Lucas 
l'a prouvé dans un très grand nombre de cas, remplacer le nombre entier a par 
un nombre complexe. Mais la méthode qui résulte de l'application de ce théorème 
est pour ainsi dire opposée aux anciennes méthodes. Dans celle d'Euler, par 
exemple, on divise le nombre supposé premier par des nombres toujours infé- 
rieurs et différents, et c'est l'insuccès de la division qui conduit à affirmer que 
le nombre essayé est premier. Dans la méthode de M. Lucas les divers essais 
consistent dans la division de nombres d'un calcul facile par un même diviseur, 
le nombre donné. Par conséquent, d'une part, on n'a pas besoin de se servir 
d'une Table de nombres premiers; d'autre part, dans le cas d'un nombre pre- 
mier, le résultat se trouve affranchi de Tincerlitude des calculs numériques. De 
plus, la division se trouve nécessairement supprimée, puisqu'il suffit préalable- 
ment de calculer les dix premiers multiples du diviseur constant. 1\I. Lucas a 
déduit de là le plan d'uue machine automatique qui permettrait de trouver 
de très grands nombres premiers. 

Catalan {E.). — Sur les fonctions X,. de Legendre. (68-74)- 

Indication de très nombreuses relations entre ces polynômes et leurs inté- 
grales associées aux facteurs i — x, i — x-. 

Grolous (J.). — Elude sur la tliermostalique des corps. (yS-So). 

Arso/i. — Essai de théorie sur le ventilateur à force centrifuji;e. 

(82-87), 

CoUignon (E.). — Problème des raccordements. (8--io()). 

Le tracé des routes, des canaux, des chemins de fer, etc., présente une série d'ali- 
gnements droits reliés par des courbes. On emploie généralement, pour opérer 
ces raccordements, des cercles ou des paraboles. Il résulte de là que le tracé pré- 
sente, au point où une courbe succède à un alignement droit, une variation 
brus{|ue de courbure qui n'est pas sans inconvénient, surtout sur les chemins de 
fer où la trajectoire des wagons est fixée d'une manière invariable. Le dévers 
transversal qu'il convient de donner à la voie pour équilibrer la force cenlrifuge 
élaut proportionnel à la courbure, on serait conduit à faire varier brusquement 
la hauteur du rail à l'entrée d'une courbe; en réalité, 011 substitue une variation 
graduelle à cette dénivellation brusque, mais cette variation graduelle suppose- 
rait en toute rigueur une variation analogue de la courbure, c'est-à-dire une 
altération du tracé. 

M. Collignon reprend cette question eu se plaçant à un point de vue plus 
géométri(|ui'. Il s'agit donc de raccorder deux alignements droits en des points 
lionnes jiai- une (■f)urbe dont la courbure soit nulle en ces points extrêmes et 
varie d"un(; manière continue de l'un à l'aiilrc. L'auteur examine successivement 
diverses sohitiims. 

/.((/<)// (yl.). — Sur les accl■Ols^3em(■nls gécMiK-tiKHics (lo^- 
l'I). 



REVUE DES PUBLICATIONS. i6i 

L'auteur s'est proposé d'étendre aux parallélo;;rainmes et aux parallélépipèdes 
la notioa des accroissements géométriques. Afirés avoir introduit une notation 
nouvelle, il en fait des applications aux courbures géodésiques, aux tlicorèmcs 
de Gauss et de Dupin, aux problèmes sur les enveloppes. 

TchebycJief [P .) . — Sur la généralisation de la formule de M. Ca- 
talan et sur une formule arithmétique qui en résulte. (ii4" 

117). 
M. Tchebychef généralise la formule 



en remplaçant les unités des numérateurs par les termes d'une série quelconque. 
Il donne ensuite des applications. 

Deprez {M.). — Sur une machine destinée à l'étude des lois du 
l'rottement et du pouvoir luljréfiant des corps gias. (i 1 8-1 24)- 

Baehv (C.-F.-lf.). — Note sur la cinématique des fluides. 

(iy.4-127). 

En considérant pour tous les points du fluide qui environnent à une très petite 
distance un point pris pour centre le déplacement relatif par rapporta ce centre, 
estimé dans la direction du rayon vecteur, on trouve qu'autour de chaque point 
du fluide on peut décrire un système d'hj'perboloïdcs à une nappe séparé par le 
cône asj'niptote d'un système d'hyperboloïdes à deux nappes, ces deux systèmes 
jouissant de la propriété suivante : La composante du déplacement relatif est 
dans le sens positif du rayon vecteur pour tous les points des surfaces de l'un 
des systèmes, et dans le sens négatif pour tous les points des surfaces de l'autre. 
Sur le cône asvFiiptote le déplacement est perpendiculaire au rayon vecteur. 

Jung (G.). — Sur les problèmes inverses des moments d'inertie 
et des moments de résistance d'une section plane. (12--128). 
Résumé de la solution graphique communiquée à l'Institut Lombard. 

Mannheim{A.). — Remarque sur la surface de l'onde. (i3o-i4<j)- 

Cornu {A.). — Théorie de la liaison synchronique des appareils 

oscillants (i3i-i4c')- 

Un corps eu oscillation, pendule ou lame vibrante, reçoit une attraction très 
faible pendant un temps très court, mais à des intervalles bien égaux. Si la du- 
rée de l'oscillation diffère peu de la période de succession des attractions exté- 
rieures, le système finit par prendre un mouvement oscillatoire et permanent, de 
même jjériode que ces attractions. 

Gariel {C.-M.). — Transformation perspective d'une unamoi- 
pliosc rrlali\(' à l;i (orinidc des Icnlilles. (i4o-i43 >• 



i62 SECONDE PARTIE. 

6'' Session (Le Havre); 1877. 

Piarron de Mondesir. — Sur les nombres premiers. Formules 
pour le calcul exact de la totalité des nombres premiers com- 
pris entre o et un nombre pair quelconque 2N. (79-92). 

II s'agit ici d'une formule permettant de calculer a priori et exactement le 
nombre des nombres premiers compris entre o et un nombre pair quelconque. 
La formule est fondée sur une notation qui exprime, soit en plus, soit en moins, le 
nombre entier qui se rapproche le plus du quotient du nombre quelconque N 
par un nombre premier ou par le produit de plusieurs nombres premiers. La 
formule peut être transformée en vue de simplifier les calculs. .'Sf. de Mondesir 
a pu ainsi aborder le calcul du nombre total des nombres premiers compris 
dans le premier million, nombre qu'il a trouvé égal à 78490. 

Collignon {E.). — Recherches sur le mouvement épicycloïdal. 

(92-120). 

Le problème que l'auteur s'est proposé de résoudre consiste à réaliser le 
mouvement donné d'un point dans un plan, à l'aide d'un mouvement épicycloï- 
dal satisfaisant à l'une des deux conditions suivantes : ou bien que la courbe 
roulante applique en temps égaux des arcs égaux sur la courbe fixe qui lui sert 
de directrice, ou bien que la vitesse angulaire de la courbe roulante soit con- 
stante. On est ainsi conduit à des équations différentielles, que M. Collignon in- 
tègre dans plusieurs cas intéressants. 

Mannheiin (^J-). — Sur les plans tangents singuliers de la sur- 
face de l'onde et sur les sections faites dans cette surface par 
des plans parallèles à ces plans tangents. (i2j-i2j). 

L'auteur déduit de l'existence des points singuliers celle de plans singuliers, 
et il démontre que les sections faites daas la surface de l'onde par les plans 
jiarallèles à ces plans tangents singuliers sont des anallagniaticiucs du ([iia- 
trième ordre. 

Catalan {E.). — Sur la somme des diviseurs du nombre n. (12-- 
129). 

L'auteur examine les conséquences d'un théorème donné par ]\L Halphen à la 
Société Mathématique. Il montre qu'il est facile de tirer de là d'autres proposi- 
tions analogues au célèbre théorème d'Euler. Par exemple, '^{n) représentant 
le nombre des décomposiiions de n en parties entières positives, égales ou iné- 
gales, M. Catalan établit que la somme des diviseurs de n a pour expression 

•;(« — i) -;- 2'j/(« — -2) — .-v^(n — .-)) _-.!,(„_ ^) _i-,24/(« — 12) -i-.... 

Ij-Koaii. — Note sur la coinrte p(''ri()di(pic de d'Arresl. (129-1.^.!). 

L'auteur rend compte do ses recherches sur ceUe comète. Le but de son tra- 
vail a été de relier les observations faites en iK-o à celles de iR.")! et iS.'iH et dVn 
déduire des positions exactes pour le iclcinr de i!^77. I.e micc.cs a couronne. 



REVUE DES PUBLICATIONS. i63 

comme on sait, ces eirorts, et l'on a pu faire des observations d'après les épliémé- 
rides fournies par l'auteur. 

Halphen. — Sur les points singuliers des courbes gauches algé- 
briques, (i 32-142). 

On trouve dans ce Mémoire une théorie générale des singularités quelconques 
des courbes gauches algébriques. La détermination des points singuliers, tan- 
gentes singulières, plans stationnaires, les relations entre Tordre, la classe, le 
genre de ces courbes forment la partie la plus importante de cette étude inté- 
ressante. 

Laisant [C.-A.). — Sur quelques propriétés des polygones. 

(142-104). 

L'auteur s'est proposé surtout d'étudier les relations qui existent entre un 
polygone plan et celui qu'on obtient en construisant sur chacun des côtés du 
premier un triangle semblable à un triangle donné. La métliode des équipol- 
lences s'applique naturellement à ce genre de questions. 

Piarron de Mondesir. — Sur une nouvelle formule algébrique. 
{i54-i58). 

Cette formule peut être considérée comme la généralisation du binôme de 
Newton. L'auteur l'emploie pour démontrer la formule du Waring relative à la 
somme des puissances semblables des racines d'une équation. 

Lemoine (^Em.). — Sur qtielques questions de probabilité. (i58- 
109). 

Lucas (Ed.). — Considérations nouvelles surir, théorie des nom- 
bres premiers et sur la division géométrique de la circonfé- 
rence en parties égales. (log-id-). 

C'est la suite des communications faites par l'auteur au Congrès de Ciermont; 
on y trouve de nouveaux développements sur la division de la circonférence en 
parties égales et l'interprétation d'un passage des Œuvres de Mersenne: on y 
rencontre aussi des théorèmes semblal)les à celui de ^^ ilson, pour la recherche 
des grands nombres premiers. Ce Mémoire débute par un résumé historique des 
recherrhes antérieures, dans lequel on remarquera la différence des méthodes 
employées; elles reposent soit sur la considération des progressions arithmé- 
tiques, soit sur celle des progressions géométriques. 

Mannheim [A.). — Sur la surface de l'onde. (167-168). 

)-'auteur cherche et détermine quelles sont sur la surface de l'onde les trans- 
formées des lignes de courbure de l'ellipsoïde. 

Pia/'fon de Mondesir. — Sur la résolution de Téqualion trinôme 
de degré impair x"^ ± x = r au moyen d'un nouveau signe al- 
gébrique. (168- 17 2). 



IC4 SECONDli PARTIE. 

Glaislier [J.-lf .-L.). — Théorème d'Arithmétique sur \d somme 
des inverses des puissances semblables des nombres premiers. 

(172-175). 
Désignant jsar S„ la somme 

s«-' + i + i+--- 

cL par !„ la somme 

^ _ I 1 , I 



où ne ligiireuL que les nombres premiers, on a 



^.. = l S.. 



- /S,,, - -: /S,„ + ^ /S,.„ 4- - /S,„ 4-. 



où la loi est que les nombres qui contiennent un facteur carré n'entrent pas et 
cjue le signe est positif ou négatif selon que le nombre des facteurs premiers du 
nombre est pair ou impair. 

Mannheim i^A.'). — Sur les normales de la surface de l'onde. 

(175-176). 

Les points où une normale quelconque de la surface de l'onde rencontre les 
plans principaux de cette surface, le pied de la perpendiculaire abaissée du 
centre sur cette normale déterminent quatre points dont le rapport anharmo- 
nique est constant. 

On a une propriété analogue en considérant le point où la normale est ren- 
contrée par le diamètre perpendiculaire à celui qui passe par son pied. 

Glaisher [J.-JJ .-L.). — Sur un déterminant. (177-179). 

M. Glaisher, généralisant une proposition connue, décompose eu facteurs les 
déterminants, tels que le suivant : 

a — X b c cl e 

b c — X d e a 

c d e — X a b 

d e a b — x c 

e a b c d — x 

ipie l'on savait décomposer seulement pour ^ = o. 

Giiresse [P-)- — Note sur les sondages à grande profondeur. 
(181-188). 

Jablonski. — Sur uuc classe d'équations difrércnlielles (i88-i94)< 



Intégration du svstémo 



d^ 



)U l'|. ..., 1', sont de? IVuu lions liniiurc.-~ der,, .. ■,y„- 



REVUE DES PUBLICATIONS. !65 

Goliierre de Longchamps. — Noie sur l'intégration dune équa- 
tion aux différences finies. (194-197). 

Cette équation est la suivante : 

{X -\'2)¥{x) ^-ï+{x — \)¥{x — i). 

La méthode de l'auteur consiste à changer de fonction et à procéder en quelque 
sorte d'une manière récurrente. 

Normand [J.-A.). — Sur les occultations d'étoiles par Mars, ob- 
servables pendant l'opposition de 1877. (199-202). 

Baehr (^G.-F.-JV.). — Sur un moyen mécanique de déterminer 

les rayons de courbure des différentes sections normales en un 

point quelconque d'une surface, par l'observation du temps 

d'oscillation d'une règle placée sur la surface. (2o3-2o4). 

Soient l la demi-longueur, d la demi-hauteur d'une règle homogène, /• le 
rayon de courbure de la section, g la gravité, t la durée dune oscillation. On 
aura 






') 
équation que donne r si t est déterminé par l'observation. 

Fouvet {G.). — Théorèmes sur les normales aux surfaces algé- 
briques. (2o5-2o8). 

L'auteur généralise quelques théorèmes déjà donnés par j\[. ^lannlicim et les 
étend à des surfaces algébriques quelconques, définies par leur degré, leur 
classe et leur rang. Les démonstrations reposent sur le théorème suivant que 
l'on doit à M. de Jonquières : le nombre des points de contact des surfaces d'un 
système (ix, v, p) avec une surface algébrique d'ordre m, de classe n, et de rang 
/• indépendante des surfaces du système est mw -h n\j. -h- rp. 

Groloiis (/.). — Note sur la convergence des séries. (209-211). 
Glcdshcr {J.-\V.-L.). — Théorème de Trigonométrie. (21 1-21 3). 



Si l'on a 



^<-) = -^-- = (-!)(-?)■ 



arc tang H arc lang '— +. . .— arc tang — • 



on en déduit 

X 
arr' t n n cr — _u îl ri* t :» Il «v ^ ^ ^ ^ i.n ^^ vu..j* 

L'auteur fait plusieurs applications. 
Lucas (Éd.). — Sur l'échiquier auallagmatique (h; M. Sylvcster 

(2l3-2l4). 



i66 SECONDE PARTIE. 

Catalan (-£'•)• — Sur quelques développements de l'intégrale el- 
liptique de première espèce. (2i4-2i9)- 

Parmi les résultats qu'obtient M. Catalan au moyen d'ingénieuses transforma- 
tions, nous citerons seulement celui-ci, dans lequel F,(c) représente Tintégrale 
complète de première espèce de module c, 



où Tj désigne un nombre entier. 
Duvergier (A.). — Perfectionnement à l'indicateur Richard. 



( 219-222). 



7^ Session (Paris); 1878. 



Joiiquières [E. de). — De la représentation des nombres par des 
formes quadratiques binaires. Application à l'analyse indéter- 
minée. (40-49). 

Le problème de la représentation d'un nombre par une forme quadratique bi- 
naire donnée peut être résolu très simplement dans le cas fort étendu où cette 
forme est u^ H- <f ', t désignant un nombre rationnel positif ou négatif. Le 
nouveau mode de solution consiste à faire dépendre la représentation du nom- 
bre donné N de la décomposition préalable de son carré en une somme qua- 
dratique de même forme que celle qui est demandée. 

M. de Jonquicres se propose deux objets distincts : 

1° Faire connaître deux formules générales qui permettent d'écrire immédia- 
tement toutes les décompositions propres du carré d'un nombre donné N et de 
ce nombre lui-même en une somme quadratique de la forme u'' -}- tv^, toutes 
les fois qu'une telle décomposition est possible; 

2» Montrer comment la dépendance mutuelle qui existe entre les représenta- 
tions propres de ÎN* et celles de N, chacune à chacune, trouve son application 
dans la résolution des systèmes de deux équations indéterminées du deuxième 
degré en nombres entiers et premiers, dans certains cas où l'on a à considérer 
simultanément un nombre indéterminé y et son carré ^'. Les équations 



- + P, 



Gohierre de Longchamps. — Sur les normales aux coniques. 
(49-33). 

Considérant les coniques comme des courbes unicursalcs, on trouve, en appli- 
quant cette idée aux normales, des démonstrations simples de propriétés con- 
nues et de quelques autres qui sont nouvelles. L'auteur a complété ainsi le 







y 


■= 


x-" 


_j- 


tu 






y- 


== 


-J 


-f- 


u-'' 


avec les conditions 
















u 


= X 


-\- 


a. 


V 


— 


rentrent dans cette catéf 


;oric. 













REVUE DES PUBLICATIONS. 167 

théorème de Joachimstbal, et montre que le cercle qui passe par les pieds de 
trois normales menées d'un point et par le point de la conique diamétralement 
opposé au pied de la quatrième normale, A', passe aussi : 1° par la projection 
du centre de la conique sur la tangente en ce point A'; 2° par la projection du 
point P d'où Ton mène des normales sur la droite qui joint le point A' au se- 
cond point de rencontre avec la conique de la normale au point A, diamétrale- 
ment opposé à A'. 

CoUignoii iE'\ — Enveloppe des ellipses planétaires obtenues en 
faisant varier la direction, mais non la grandeur de la vitesse 
initiale. (53-56). 

Généralisation de la propriété de la parabole de sûreté, démontrée par des pro- 
cédés élémentaires et de pure Géométrie. 

Catalan [E.]. — Sur les lignes de courbure de l'ellipsoïde et de 
la surface des ondes. (56-62). 

Suite au Mémoire du même auteur Sur une transformation géométrique et 
sur la surface des ondes (Académie de Belgique, 1868). La question est sur- 
tout traitée au point de vue analytique. 

Maniihelm [A.]. — Sur la surface de l'onde. (63-6j). 

L'auteur fait usage d'un nouveau mode de représentation des pians tangents 
à une surface réglée, et il retrouve ainsi des résultats qu'il avait déjà fait con- 
naître au Congrès de Nantes, et en outre quelques conséquences nouvelles qui 
donnent par exemple la solution de la question suivante : 

On donne un pinceau de normales; on fait tourner d'un angle droit chacun 
des rayons de ce pinceau autour d'un point fixé dans les plans passant respecti- 
vement par ce rayon et par ce point fixé. Après la rotation, chaque rayon est 
venu prendre une nouvelle position et appartient à un pinceau de normales; 
construire les foyers et les plans focaux de ce nouveau pinceau. 

Collignon [E .). — Sur une manière de rendre tautochrones les 
oscillations d'un point le long d'une courbe plane. (68-80). 

Le procédé employé par M. Collignon consiste à substituer au point matériel 
un solide de révolution assujetti à rouler sur une voie dont la construction géo- 
métrique est indiquée. L'auteur fait ensuite l'application au pendule composé. 

Laisant [A.]. — Sur la cinématique du ])lan. (81-88). 

Application de la méthode des équipollenoes aux principales questions de Ci- 
nématique plane : vitesses, accélérations des divers ordres, mouvement d'une 
figure invariable. On sait que les méthodes de Bellavitis sont très propres à 
l'étude de ce genre de questions. 

Gilbert i^Ph.). — Sur la réduction des forces centrifuges compo- 
sées dans le mouvement relatif d'un corps solide. (88-92). 
Dans ce mouvement les forces centrifuges composées de tous les points sont 



i63 SlîCONDE l^V.RTlt\ 

réilucLihlos à une force H et k nn roupie G. Partant d'une expression partirn- 
Hère de la force centrifuge composée, on exprime les composantes parallèles à 
trois axes liés aux corps, en fonction des composantes de la rotation du sys- 
tème de comparaison et de la rotation relative du corps lui-même. De là 
M. Gilbert déduit: i" le théorème de M. Resal; 2° une construction géomé- 
trique très simple de la résultante R; 3° une construction géométrique égale- 
ment très simple de l'axe du couple résultant G; 4° diverses propriétés des 
forces composées en général. Les formules relatives à l'axe G donnent immé- 
diatement l'équalion des mouvements par rapport aux axes d'inertie du corps, 
obtenue par M. Quel. 

Lucas {É.). — Sur l'emploi de l'arithmomètre Thomas dans 
l'Arithmétique supérieure. (94-90). 

Picquet. — Mémoire sur les courbes et les surfaces anallagma- 
tiques. Conséquences relatives à quelques courbes et surfaces 
du quatrième degré. (93-1 Sa). 

Ce Mémoire est divisé en sept Chapitres. Dans le premier l'auteur donne 
l'équation générale de la courbe ou de la surface anallagmatique de degré ni et 
sa classe en fonction de l'onde de multiplicité des points cycliques ou du cercle 
de l'infini. 

Dans le deuxième Chapitre, il en est déduit une classification des courbes ou 
des surfaces anallagmatiques. Rour un degré donné m, il y a autant d'espèces 
qu'il y a d'entiers de même parité que ni et inférieurs à m, y compris zéro. En 
particulier, pour le quatrième degré, il y en a deux dont l'une avait été étudiée, 
mais dont l'autre est signalée ici pour la première fois. 

Dans le troisième Chapitre, il est démontré que la courbe déférente de l'anal- 
lagmatique de degré m et d'indice k est de classe ni — k et de degré 
k(ini — 'ik — i), avec ni — 2 A- sommets à l'infini. 

La surface déférente de l'anallagmatique de degré ni et d'indice k est de 
classe m — k, de degré A(3/n' — ç^nik -+- 7A'' — \ni 4- 6A" -f- 1), et admet le plan 
de l'infini comme plan tangent multiple d'ordre ni — 2 A. 

I^e quatrième Chapitre étend à toutes les courbes du quatrième ordre à i point 
double les résultats démontrés pour les anallagmatiques de degré 4 et d'indice 1. 
Il y est démontré en particulier ([ue les points tie contact des six tangentes 
menées du point double à une pareille courbe sont sur une même conique. 

Le cinquième Chapitre est consacré à la démonstration d'un nouveau mode 
(le génération applicable à toutes les courbes du (juatrième degré à pf)int 
double. 

Dans le sixième Chapitre l'auteur considère les surfaces du ([ualrièmc degré 
à directrice recliligne double et du cincjuièmc degré à directrice rcctiligne 
triple. 

Enfin, dans le septième Chapitre, M. Picquet examine le cas «ni la surface du 
quatrième degré est involutive, c'est-à-dire où les deux j)lans tangents passant 
en chaque point de la directrice double forment une involution. 

Mannhoim {A.). — Transformation par polaires réciproques d'un 
|)inccau de normah's, et extensions. (i3s>-i35). 



REVUE DES PUBLICATIONS. 169 

M. Mannhcim emploie la théorie des polaires réciproques pour la transforma- 
tion des pinceaux de droites et établit ainsi différentes propositions nouvelles. 

Laisant (A.). — Sur une généralisation de la division harmonique. 
(i35-i36). 

L"auteur étend au plan la propriété des quatre points harmoniques sur une 
droite en se servant de la représentation des imaginaires. 

Lalanne (L.). — Sur l'emploi de la Géométrie pour résoudre cer- 
taines questions de mo\ennes et de probabilités. (iSS-iSp). 

Tagliaferro {N.). — Sur de nouvelles fonctions numériques 
transcendantes (i4o-i44)- 

Broch {O.-.T.). — Note sur la convergence de la série du binôme 
de Newton pour le cas de x^=i. [iJ\^-i^-). 

M. Broch reproduit ici la démonstration qu'il donne pour ce cas dans ses 
cours à l'Université de Christiania. 

Gilbert (Ph.). — Sur l'application des équations de Lagrange 
aux mouvements relatifs. (147-152). 

On sait que Bour a donné les équations différentielles de Lagrange sous la 
forme convenable pour l'application aux mouvements relatifs. Ces équations 
sont ici établies par M. Gilbert d'une manière immédiate et leur interprétation 
géométrique conduit à un théorème général important sur le mouvement appa- 
rent d'un système dont le centre de gravité est fixé sur la terre. Appliqué aux 
problèmes du gyroscope complet traités par M. Lottner et par Bour, ce théorème 
fournit presque sans calcul les équations différentielles du mouvement, même 
en tenant compte des quantités du même ordre que le carré de la rotation ter- 
restre. Dans le cas où l'axe du gyroscope est libre dans tous les sens, l'intégra- 
tion s'effectue au moyen des fonctions elliptiques. Dans le cas où cet axe ne 
peut se mouvoir que dans un plan fixe par rapport à la terre, on démontre qu'il 
oscille par rapport à sa position d'équilibre comme un pendule simple, dont le 
plan d'oscillation tourne autour de la verticale avec une vitesse angulaire con- 
stante. 

Mannheim {A.). — Construction de la normale à la surface tra- 
jectoire d'un point d'une figure de forme invariable dont le dé- 
placement est assujetti à quatre conditions. (i52-i54). 

Cette construction ne s'appuie pas sur l'existence des droites D, A, et demeure 
applicable quand elles sont imaginaires. 

Mannheim {A.). — Construction des centres de courbure princi- 
paux de la surface de vis à filet triangulaire. (loG-iSp). 

Tchebychef. — Sur les parallélogrammes les plus simples svmé- 
triques autour d'un axe. (i59-i63). 

Bull, des Sciences malhem.. ?.•■ série. I. \ I. (■.(iiilict iS8>.) n.i:; 



I70 SECONDE PARTIE. 

Applications mécaniques du beau théorème sur les fonctions qui approchent 
le plus de zéro. 

Lucas {É .). — Sur les Ibrmules de Cauchy et de Lejeune-Diri- 

chlet. (164-173). 

Ce Mémoire est le développement de théorèmes intéressants, dus à Auri- 

feuille et Le Lasseur. L'auteur a rapproché les résultats obtenus par ces savants 

de ceux que l'on doit à Gauss, Cauchy, Dirichlet relativement à la transforma- 

xP I 

tion de 4 ■ en une forme quadratique. 

Fouret {C). — Sur les surfaces de vis. {173-179). 

Les surfaces hélicoïdales de même axe et de même pas forment dans leur en- 
semble un implexe dont les caractéristiques sont toutes deux égales à l'unité. 
De ce fait M. Fouret déduit immédiatement plusieurs propriétés intéressantes 
de ces surfaces hélicoïdales. Entre autres résultats, on trouve que la courbe 
d'ombre propre d'une surface de vis à filet carré, éclairée par un point lumineux 
(luclconquc, est l'intersection de cette surface par une surface de troisième 
ordre. 

Laisant {A.). — Formule relative à des sommations algébriques. 

(179-180). 

Laisanl {A.). — Sur la délormation mélalliquc des surlacos. 
(180-181). 

8" Session (Montpellier); 1879, 

Laisant {C. -A.). — Notice historique sur les travaux des première 
et deuxième sessions jusqu'en 1878 inclusivement. (64-117). 

Cette Notice fort étendue rend compte des diverses communications présentées 
à l'Association Française dans les sessions précédentes. Elle est divisée de la 
manière suivante : 

I. Analyse algébrique. — Calcul des probabilités. — Théorie des nombres. 

II. Géométrie. 

IIL Calcul infinitésimal et calcul des fonctions. 

IV. ISlécanique rationnelle. — Mécanique appliquée. 

V. Mécanique céleste et Astronomie. — Géodésie. — Topographie. — Arpen- 
tage. 

VL Physique malhémaliiiiie. 

VIL Questions diverses. 

Elle se termine par la note finale suivante : 

« La Notice historique qu'on vient de lire peut donner une idée de l'impor- 
tance croissante des communications malhématiciues dans l'ensemble des Ira- 
vaux de l'Association Française pour l'avancement des Sciences... » 

Aux travaux analysés ci-dessus il iriiporle d'ajouter ceux communiqués soit 
à la section de Physique, soit à <cilc du génie civil el militaire, soit à celle de 



REVUE DES PUBLICAT[ONS. 171 

navij^ation, et qui ne sont souvent autre chose que des applications directes des 
Matliématiques. 

Amigues {E.). — De quelques propriétés d'une famille de 
courbes représentées par une équation difTércnliellc à deux va- 
riables, (i 18-128). 

Collignon [Ed.). — Problème de Géodésie. (129-137). 

A partir d'un point M pris sur la surface d'un ellipsoïde do révolution, du 
globe terrestre, par exemple, on mesure suivant le méridien et suivant le paral- 
lèle deux arcs très petits, correspondants chacun à une variation d'une seconde 
en latitude et en longitude. On demande les dimensions de l'ellipsoïde; la lati- 
tude X du point M est supposée connue. 

Ce problème, appliqué au sphéroïde terrestre, se trouve résolu dans les Traités 
de Géodésie par une méthode approximative, fondée sur la faible valeur de 
l'excentricité de l'ellipse méridienne. L'auteur s'est proposé de reprendre la 
question d'une manière générale sans faire aucune hypothèse sur l'excentricité 
de la courbe cherchée. 

Il remarque pour cela que le problème revient à construire une ellipse, con- 
naissant un point et le cercle osculateur en ce point, ainsi que la distance de 
ce point à un axe. Cette construction est faite d'une manière géométrique. 

Simon (Ch.). — Mémoire sur la nouvelle navigation astrono- 
mique. (i38-i43). 

Ce travail est une étude de pure géométrie. Qu nd on considère à un point de 
vue purement théorique ce qu'on a appelé la nouvelle navigation astronomique, 
il est naturel de se demander quelles sont les cartes sur lesquelles subsisterait 
la théorie des droites de hauteur. On reconnaît aisément que ce sont celles où 
les angles sont conservés, et l'on est ainsi conduit à examiner ce que deviendrait 
la théorie de la navigation si l'on faisait usage de cartes construites à la même 
échelle que celle de Mercator, mais en projection stéréographiciue sur l'cqua- 
teur, et la conclusion qui se présente d'elle-même est que, dans la pratique 
courante, les nouvelles cartes u'oflriraient aucun avantage sur les anciennes, 
mais qu'il pourrait être utile, pour la résolution de certains problèmes, d'em- 
ployer concurremment les deux systèmes de cartes. 

Ritter {F.). — Quelques inventions mathématiques de Viète. 
(143-149). 

Parmentier. — Sur la quadrature des paraljolos du troisième de- 
gré. (i5o-i54). 

Démonstration d'un théorème connu avec applications numériques. 

Sclwule {P. -IL). — De la projection sur une surface. (ijj-iGi). 

L'auteur appvUe projection d'une courbe sur une sur/ace le Hou des piodsdes 
normales menées à la surface des dillorcnts points de la courbe. 11 connnonce 
par domonlrer quelques théorèmes connus et ajoute quelques pioposilions nou- 
velles. 



172 SECONDE PARTIE. 

Collignon [Ed.). — Note sur rinscription dans le cercle d'un po- 
lygone régulier de dix-sept côtés. (162-170). 

Le but de cette Note est de faire connaître une démonstration géométrique 
nouvelle, qui repose sur remploi de certains angles auxiliaires dont la considé- 
ration permet de simplifier un peu la théorie de cet intéressant problème. 

Berdellé {Ch.). — Sur l'élévation aux puissances et le calcul d'in- 
térêts composés. (l^O-I'jÔ). 

Berdellé (Ch.). — Propriétés des puissances de 5 et de leurs 
multiples. (1-6-179). 

Schoute [P. -H.). — Sur les courbes tracées sur une surface du 
deuxième ordre. (180-28-). 

Cet article est un complément aux études de MM. Chasles, Cayley et d'autres 
géomètres sur les courbes tracées sur les surfaces du second degré. 

Boche {É .). — Sur l'aplatissement terrestre et la distribution de 
la matière à lintérieur du globe. (187-190). 

L'état intérieur de la terre, au point de vue de la répartition de la masse au 
centre, est lié à trois éléments astronomiques, savoir : la densité moyenne, la 
valeur numérique de la précession et enfin l'aplatissement superficiel. Il résulte 
de là trois conditions auxquelles doit satisfaire la loi des densités des couches 
terrestres, mais qui sont insuffisantes pour déterminer cette loi. 

M. Roche, en admettant la fiuidité et une certaine hypothèse sur la compres- 
sibilité des couches, avait trouvé autrefois que Ton satisfait à ces conditions au 
moyen d'une loi très simple qui ferait varier la densité de 10,6 au centre du 
globe à 2,T à la surface. Cette loi. d'où l'on déduisait la variation de la pesan- 
teur à l'intérieur du globe, s'accordait avec l'expérience de M. Airy sur l'oscilla- 
tion du pendule au fond d'une mine. 

Dans ces derniers temps, l'hj'pothèse de la fiuidité a été vivement attaquée 
par MM. Hopkins et W. Thomson. Sans prendre parti sur cette question, 
M. Roche remarque que considérer la terre comme un bloc solide à peu près 
uniforme, ayant à son centre un noyau très dense et enveloppé d'une couche 
sphérique assez mince et beaucoup moins dense, constitue une hypothèse tout 
opposée à celle du fluide compressible. Mais par sa netlclé cette hypothèse 
se prête au calcul et, en la combinant avec les valeurs connues de la densité 
moyenne, de la précession et de l'aplatissement, l'auteur a pu arriver à la dé- 
termination des inconnues qu'elle renferme. 

Tout calcul fait, on trouve que le bloc composant la majeure partie ilu globe 
terrestre aurait une densité égale à 6. La masse centrale serait le —: de la masse 
entière. 

Enfin la couche extérieure à laquelle M. Roche attribue la densité moyenne 
2,7 aurait une épaisseur égale à à du rayon. Sa masse serait le y de la masse 
entière. 

Alexéief. — Sur l'intégration de l'équation )" -f- Vj' -\- Q >' = o. 
(190-192). 



REVUE DES PUBLICATIONS. lyS 

L'auteur montre que, lorsque Téquation linéaire du second ordre admettra 
une intégrale première de la forme 

où A, B, C sont des fonctions de œ, l'intégration complète de l'équation sera 
toujours ramenée aux quadratures. 

Ramona [D.). — Sur vine nouvelle méthode pour mesurer la dé- 
clinaison magnétiqtie en un lieu donné. (iqS). 

Schoute [P. -H.). — Sur la transformation conjuguée. (i94-2o5). 

Les courbes planes du troisième ordre qui passent par huit points donnés ont 
encore un neuvième point commun qui, avec les huit points donnés^ forme la 
base du faisceau. Quand on ne fixe que sept points de cette base et qu'on fait 
mouvoir le huitième, le neuvième se meut aussi. Ces deux points forment donc 
dans le plan des courbes du troisième ordre une correspondance birationnelle 
en involution, que AL Schoute commence par étudier. Il considère ensuite la cor- 
respondance entre un plan simple et un plan double. Les deux points du plan 
simple qui correspondent à un point du plan double forment une correspondance 
involutivc birationnelle, à laquelle M. Schoute donne le nom de transformation 
conjuguée. Une telle correspondance a déjà été étudiée par M. de Paolis. 
M. Schoute reprend cette théorie, en faisant l'étude de quelques cas spéciaux et 
en mettant en évidence plusieurs points de vue nouveaux. 

Laisant (C.-A.). — Sur la transformation exponentielle. (206- 
21 1). 

Il s'agit ici de la transformation définie par l'équation ^'— e-, où z et z' sont 
deux variables imaginaires. L'auteur donne les principales propriétés géomé- 
triques qui se rapportent à cette transformation. 

Giiieysse (P-)- — Etude sur les sondages. (21 1-235). 

1. Sondes à grande profondeur. — Détermination des courants de surface en 
pleine mer et des courants de fond. — Sondes d'atterrissage. 

2. Sondes en embarcation. 

Delsaulx. — Note sur une propriété caractéristique des surfaces 
du second degré dans la théorie de l'électricilé statique. (206- 
239). 

L'auteur se propose de démontrer que, parmi toutes les surfaces convexes, les 
surfaces du second degré jouissent seules de la propriété que, dans l'équilibre 
électrique, les actions élémentaires sur un point intérieur se détruisent deux à 
deux. 

Forestier. — Note sur les équations d'une même courbe en coor- 
données polaires par rapport au même axe. (240-241). 

Landré {Corneille-L.). — Remarques sur les solutions singulières 



174 SECONDE PARTIE. 

des équations difTérentielles du premier ordre à deux variables. 
(241-245). 

Pellet (A.-E.). — Sur les équations de degré premier solubles 

par radicaux. (245-249)- 

L'auleur démontre, par des considérations purement algébriques, le théorème 
de Galois relatif aux équations de degré premier solubles par radicaux, en appli- 
quant la méthode qu'il a développée, en 187S, dans sa thèse présentée à la Faculté 
des Sciences de Paris. 

Deivit/f et Sclioute (P. -II.). — Déterminer une courbe unicur- 
sale du quatrième ordre ayant des points doubles en A| et Ao, 
et passant par les sept points i, 2, 3, 4? ^1 ^ 6t y. (249-253). 

Appell {P.) — Sur certaines équations difTérentielles linéaires 
contenant un paramètre variable. — Sur des polynômes satisfai- 
sant à une équation différentielle du troisième ordre. (253-2G0). 

Dans le premier paragraphe de ce Mémoire, l'auteur étudie les fonctions satis- 
faisant à une équation linéaire de la forme 

clp y clP' ' V 

où A„, ..., Ap sont des fonctions données de x, et m un paramètre variable. Il 
considère plus particulièrement le cas oîi m = 3, et il généralise sous certaines 
hypothèses des formules bien connues relatives aux polynômes de Legendre et 
de Jacobi. 

Dans la seconde Partie, M. Appell considère les polynômes qui naissent de la 
série 

■^ a . . .{a + n — \) b . . .{b + n — i) c . . .{c + n — \) 
^d 1.2. ..n. . .cl. . .{d -\- n — 1) e. . .(e -r /i — i) ' 

lorsque c est égal à un nombre entier négatif. 

MarsiUv [L.-J.-A. de C. de). — Mémoire sur une métliode de 
calcul appropriée aux corps discontinus qui obéissent à des 
actions à distance. (261-2^3). 

Escary. — Valeur finale de la foncllon \„ pour des valeurs indé- 
finiment croissantes de rentier n. {•tl-\->.'j^). 

La forme eu intégrale délinio sous laquelle Jacobi a mis la fonction Y„ de 
Laplace permet d'obtenir la valeur linale de ce polynôme pour des valeurs crois- 
santes de n. 

liiiosclil [F.). — Rccbcrclics sur les équalious différcnlielles 
linéaires du second orcbc. (2^8-<S3). 



HEVUE DES PUBLICATIONS. 175 

Applications de la théorie des formes à celle des équations linéaires selon les 
méthodes que la Science doit à M. nriosciii. 

Hennary. — Surle jeti du Solitaire. (284-290). 

L'auteur se propose de simplifier la théorie de ce jeu si difficile, donnée par 
Reiss dans le Journal de Crelle, et, après lui, par M. Kuchonnet dans le t. III 
de la Correspondance mathématique. 

9*^ Session (Reims); 1880. 

Gilbert [Ph.). — Stir une propriété de la fonction de Poisson et 
sur l'intégration des équations aux dérivées partielles, (6i-65). 

Schoute [P. -H.). — Sur une transformation géométrique et sur 
la généralisation d'un problème de la théorie des enveloppes 
dites « courbes de sûreté ». (65--2). 

M. Schoute se propose de déterminer l'enveloppe des ellipses obtenues comme 
mouvement régi par une attraction centrale proportionnelle à la distance du 
mobile au centre d'attraction, en supposant que l'on fasse varier la direction, 
mais non la grandeur de la vitesse initiale. Cette enveloppe est une ellipse. 

Les différentes ellipses considérées sont les projections obliques d'un même 
cercle, ce qui conduit M. Schoute à étudier les progressions d'une courbe 
donnée sur un plan et les enveloppes sous certaines conditions. 

Catalan {E.). — Sur une suite de polynômes entiers et sur 
quelques intégrales définies. (73-78). 

Soit 

jKp= iP-^iPx -{- 'iPx'-h.. .-i-/i''.r"- '-{-..., 

on a 

_J%_ _ 2 _^ ^ r''-e-"'?+(i + ^)cos(sin9)-a7e-'? 

1JZr^,--nP + ^)J^ e-co., - . a; cos ( s.n y ) + .r- e--? ""^-^ '^ ^?> 

1 ^, . C^ sin (sincs) 

•^ P Tî ^^ J^ e-'^"^?— 2a7cos(sin!p) + j;-e"''? ^ ' ' 

M. Catalan s'occupe ensuite de l'expression des sommes des puissances de la 
suite des nombres naturels et des nombres de Bernoulli par des intégrales 
définies. 

Collignon {E.). — Sur les polvgones inscriptibles. (78-91). 

Application de la Statique à la démonstration de ce théorème bien connu : 
De tous les polygones qu'on peut construire dans un plan avec des côtés 
donnés, le plus grand est celui qui est inscriptible dans le cercle. 

Longchamps (6". de). — Sur les séries récurrentes proprement 
dites et sur un théorème de Lagrange. (91-96). 



176 SECONDE PARTIE. 

Svlçeste/^ [J.-J.). — Sur les équations à trois et à quatre périodes 
des racines de l'unité. (96-98). 

Gilbert [Pli.). — Mouvement d'un point pesant sur un cercle 
tournant autour d'un axe vertical. (98-104). 

Un cercle tourne avec une vitesse angulaire constante w', autour d'un axe 
A'ertical ST situé dans son plan; trouver le mouvement d'un point pesant de 
masse m, assujetti à se mouvoir sans frottement sur le cercle. 

Collignon (J^'-)- — Observations sur un système particulier de 

cartes d'égale superficie. (io4-i i4)- 

Le système considéré est ainsi défini : on appelle L la longitude et X la lati- 
tude d'un point quelconque de la sphère, x el y les coordonnées rectangulaires 
correspondantes de la carte, et Ton pose, en considérant le rayon de la sphère 
comme égal à l'unité, 

US = L, y = sinX. 

Longchamps {G. de). — Sur les fonctions récurrentes du troi- 
sième degré, (iio-iiy). 
a, b, c étant les racines de l'équation 

* x^ — px'^-^qx — /• = o, 

on pose abc = r, et l'on cherche à calculer les fonctions n„, E„, S„, définies 
comme il suit : 

/■«D„= («"-{_ ô") (6« -4- c") (c"-+-«"), 

a"— b" b"— c" c"— a" 
" a — b b — c c — a 

I^a méthode employée consiste principalement à transformer une fonction de 
trois lettres en une fonction de deux lettres seulement. 

Catala/i {E.). — Sur la quadrature des courbes paraboliques. 

(i 18-120). 

Laquière. — Théorie géométrique des courbes anallagmatiques, 
sections planes de la cyclide. (i2i-i3i). 

Application de la Géométrie euclidienne à la démonstration des propriétés 
connues des courbes anallagmati({ues. 

Laquière. — Construction nouvelle du cercle coupant trois cercles 
donnés et de la splièrc coupant quatre sphères données, sous 
des angles respectivement déterminés. Envcloj)j)c de la sphère 
variable coupant trois sphères fixes sous des angles donnés res- 
pectivement constants. (i3y.-i.'^5). 



REVUE DES PUBLICATIONS. 177 

Cayley {A.). — Note sur la théorie des courbes de l'espace. (i35- 
139). 

La courbe unicursale d'ordre 2/? dépend de 8yj constantes. Elle est donc déter- 
minée si Ton se donne 4/? points. Mais, ces !\p points étant donnés, Ja courbe n'est 
pas déterminée uniquement; par exemple, pour/» = 2, c'est-à-dire pour une courbe 
quartique de seconde espèce, ou, autrement dit, pour une excubo-quartique, le 
nombre des courbes est égal à 4- M. Cayley se propose ici de traiter la ques- 
tion analytiquement, mais encore dans un cas particulier pour la position des 
huit points que l'on se donne. 

Marsilly i^L.-J.-A. de C. de). — Note sur la communication du 
mouvement dans un milieu rationnellement distribué. (i4o-i5o). 

Stephanos (C). — Sur quelques systèmes de surfaces du second 
degré, dont les deux systèmes de droites appartiennent à deux 
complexes linéaires. (i5o-i56). 

Les systèmes considérés sont les uns composés d'un nombre doublement infini 
de surfaces du second degré ayant quatre points et quatre plans tangents com- 
muns, les autres sont composés d'un nombre simplement infini de surfaces du 
second degré ayant huit points et huit plans tangents communs. 

ScJioute (P. -H,). — De la transformation conjuguée dans l'espace. 

(156-179). 

Considérons dans l'espace des éléments qui, pris chacun avec son degré déter- 

■ . 1 1 • 1 • • . . , , n ( n- -^ C) n -^ 1 1) 

mine de multiplicité, représentent un nombre de — s 3 condi- 

6 

tions pour chaque surface de l'ordre n qui y passe; ces surfaces F„ constituent un 
système triplement infini, c'est-à-dire un système linéaire. Si, de plus, on choisit 
ces éléments, cette base du système, en sorte que trois surfaces F„, qui n'appar- 
tiennent pas au même faisceau, passent encore par deux points qui n'appar- 
tiennent pas à la base, les surfaces qui passent par un point p passeront par 
un second point/?' qui se déplace quand on fait mouvoir le point/?. M. Schoute 
étudie la correspondance birationnelle en involution qui se trouve ainsi définie. 

Lemoine {Eni.). — Questions de probabilités et valeurs relatives 
des pièces du jeu des échecs. (179-183). 

Lemoine [Em.). — Questions de probabilités. (i83-i84). 

On range, au hasard, dans leur boite, les seize petits cubes du jeu du taquin: 
quelle est la probabilité qu'un des cubes occupera dans la boîte le rang que 
marque le chiffre écrit sur ce cube? 

Lemoine [Em.). — Théorème de Géométrie. (iS-J). 

vSoient ABCun triangle; A'B'C'le triangle formé en joignant entre eux les points 
de contact A'B'C du cercle inscrit à ABC avec les côtés; de A'B'C on déduit 

Bull, des Sciences mathéni., a" série, t. VI. (Août 1882.) H.i.i 



178 SECONDE PARTIE. 

par le même procédé un triangle A"B"C", et ainsi de suite. Démontrer que I 
triangle A"B"C" tend à devenir équilatéral quand n croît indéfiniment. 

Landry (-F.)- — IMéthode de la décomposilion des nombres en 
facteurs premiers, (i 83-189). 

La méthode présentée par M. Landry dans cette Note s'applique aux nombres 
peu considérables (de six chiffres au plus). Avec des nombres plus grands, les 
calculs deviendraient par trop prolixes. 

Smith. — Stir l'équation à six périodes. (190-191). 

Giiccia («/•). — Sur une classe de surfaces, représentables, point 
par point, sur un plan. (191-200). 

M. Guccia s'occupe dans cette Note des surfaces qui possèdent deux droites 
multiples qui ne se coupent pas, et dont les ordres de multiplicité ont une 
somme égale à Tordre de la surface diminuée d'une unité. Telles sont : la surface 
générale du troisième ordre, la surface du cin([uième ordre à deux droites 
doubles qui ne se coupent pas [Clebsch, Ueber die Abbildung algebraischer 
Flàchen {Math. Annalen, vol. I). — Ckemona, Sulle trasformazioni razionali 
nello spazio {Rendiconti deW Istituto Lombardo, IV^, fascicule 9)]. 

L'auleur détermine les conditions qui doivent èlre données dans le plan pour 
que la surface ainsi représentée soit délerminée; il étudie enfin les courbes 
tracées sur la surface. 

Henry {Cit.). — Sur divers points de la théorie des nombres. 
Remarques historiques. (201 -20-). 

1. Urtft assertion fausse et une rectification de Fermât. 

On sait que Fermât avait cru que les nombres de la forme 2' -f- 1 étaient pre- 
miers. On croyait que Eulcr, le premier, avait démontré que cette proposition 
était fausse en trouvant que 2''-f-i est divisible par 641. M. Ch. Henry a trouvé, 
dans une lettre de Torricelli à Carcavi, ce passage relatif à la question proposée : 
Prceterea non tam plausibile niihi videbatur inventuni illud. 

2. Sur une mithodc de décomposition des grands nombres. 
Le procédé dont il s'agit repose sur le théorème suivant : 

Si un nombre impair est premier, il est, et d'une seule manière, la diffé- 
rence de deux carrés entiers. 

Cette méthode est déjà signalée dans le Dictionnaire des Mathématiques de 
Montferrier (art. Nombre premier); elle a reçu de notables perfectionnements 
grâce aux travaux de M.M. Aurifeuille, Landry, Le Lasseur et Lucas. 

3. Sur une formule de décomposition 

o-i'+J_(-i ~ (22'+i4- 2'+'-!- 1) (a"-'-^'— 2'»-'-i-i). 

Cette formule, retrouvée et employée par AL Le Lasseur, existe déjà : 1° dans" les 
manuscrits de Sophie Germain (manuscrit 9118 des fonds français de la Biblio- 
thèque nationale, p. 8'i); et même 2° dans les œuvres de Nicolas de Béguclin 
{Mémoires de l'Académie de Berlin, 177^, p. 296, et 1777, p. 2.55). 

Escary. — Intégration, sons lonnc (inie, des loriimlcs de Fresnel 



REVUE DES PUBLICATIONS. i;9 

relatives à l'intensité et à l'anomalie, dans sa théorie de la dif- 
fraction de la lumière. (207-222). 

Glaisher (/.- ff .-L.). — Une identité trigonométrique. (222-22.3). 

Glaisher [J.-ll .-L.). — Sur quelques équations identiques dans 
la théorie des fonctions elliptiques. (228-224). 

Salanson {A.). — Nouvelle application des méthodes Lalanne 
pour le calcul des e\'périences photométriques. (220-22-). 

Catalan {E.). — Sur une décomposition en facteurs. (228-229). 
2° La formule précédente, pour r = ç = i, devient la formule de M. Le Lasseur 

30 36*--^3_j_j^ (32/.+ I_l.l) (32*+l^_32A-Hl_^,) (32t^I_3*-M^l). 

Caser («/■)• — Sur les équations des cercles circonscrits ou 
inscrits à des polygones plans et sphériques. (230-288). 

Desbores (A.). — Sur la résolution en nombres entiers ou com- 
plexes de l'équation U«=t y«= S«-4- W". (239-248). 

Les cas où /i = 2 ou 3 sont bien connus. Passant au cas de /? = 4, on a 
l'équation 

qu'Euler considère comme impossible; mais jusqu'ici l'impossibilité n"a pas 
encore été démontrée. Il n'en est plus de même de l'équation 

on a comme solutions : 



V = (^' 
S ^ {x' 



y^) {2x^ — yx^-h 2y' x^ -\- i8y^ x^ — y^) -f- Sxy^{2x*-i-y*), 
■y^) {x'—iSy'x^-h 2y^x^-hy*x + 2jk') -r-Sx^yix^-i- 2y*), 
■y') ( 2x^-T-yx*-i- 2y^x^ — i8y^x^-^y^) -h 8xy'{2X*-hy'), 
'7^) ( — x^~iSy^x^-h2y^x^ — y*~r- 2y') -+- 8x^y(2x*-hy*). 



Pour X = I, y = 3, 

59'-f-i58'=i33'-f-i3'4*, 

solution bien plus simple que celle donnée par Euler dans les Mémoires de 
Saint-Pétersbourg 

477069'+ 8947^=3103 19*+ 428397'. 

M. Desboves termine par quelques considérations générales et par la solution 
en nombres complexes de l'équation 

Laquière. — Des carrés doublement maf^iques. ('248-25'î). 



i8o SECONDE PARTIE. 

Laquière. — Note sur une amusette arithmétique. (255-257). 

Placer un certain nombre des entiers naturels consécutifs aux points d'inter- 
section d'une série de circonférences concentriques avec une série de dia- 
mètres, ainsi qu'au centre, de telle sorte que la somme des termes contenus, soit 
sur une même circonférence, soit sur un même diamètre, reste toujours la même. 

Schoute [P.-IL). — Sur Févaluation d'une intégrale définie par 
la théorie des probabilités. (258-262). 

La résolution de ce problème : Quelle est la probabilité pour qu'une droite, 
qui coupe un cercle donné, coupe encore un autre cercle donné dans le même 
plan, permet, en employant deux marches différentes, d'évaluer l'intégrale 



kC 



" ^^. 



\i d^ -f- /■- 4- 2 ar cos 6 
On trouve 



-[- 



/•) arc sin ■ — — (R — /•) arc sin — 



v/a^— ( R -T- /•)'— V'V— ( R — /•)'] • 



NOUVELLE CORRESPONDANCE MATHEMATIQUE . rédigée par 
M. E. Catalan, avec la collaboration de MM. Mansion, Laisant, 
Brocard, Neuberg et Éd. Lucas (i). 

Tome V; 187g. 

Brocard {H.). — Sur la fréquence et la totalité des nombres pre- 
miers. (1-7, 33-89, 60-71, 113-117, 263-269). 

Aperçu historique, d'après S. Giinthcr, Ziele und Resultàte der neueren ma- 
tliematisch-historischen Forschungen (Erlangen, i87()), complété par des re- 
cherches de l'auteur. Travaux de Gauss, Eisenstein, Scidômiich, Dirichlet, Ser- 
ret. Le Besgue, Tchebychcf. Notes par .M. Catalan, où il signale, entre autres 
choses, une erreur de M. Curtze relativement à la série de Lambert. 

Realis {S.). — Note sur quelques équations indéterminées. (Fin, 
voir t. IV, p. 325, 346, 36()). (8-ii). 



(') Voir Bulletin, 1" série, t. \ III, p. •217; l. X, p. i'|G; 2' série, t. I, p. 269; 
t. Il, p. III ; t- IV. p. 56. La A'ouvelle Correspondance mathématique paraissait 
mensuellement par livraison de deux ou trois feuilles. 1-e |)rix d'abonnement était : 
10 fr. pour la Belgique, 12 fr. pour l'I nion postale. Ce Recueil est rom|)lacé, de- 
puis 1881, par un autre intitule Mathesis (voir ri-dcssous. p. 189). 



UJiVUE DES PUBLICATIONS. i8i 

Lucas {Ed.). — Questions de Géométrie élémentaire. (i2-i3). 

Démonstration de plusieurs propositions élémentaires, et, en particulier, de 
la suivante, très remarquable, dont la première Partie appartient à Sleiner. Si 
les diagonales d'un octaèdre se coupent à angle droit, les projections du point de 
concours A des diagonales sur les faces de l'octaèdre sont situées sur une sphère : 
les perpendiculaires abaissées de A sur chacune des faces rencontrent les faces 
opposées en huit points situés sur la même sphère. 

Mansion (P-). — Démonstration élémentaire de la formule de 
Stirling, d'après M. J.-W.-L. Glaisher, F. R. S. (44-53). 

Luisant (C.-A.). — Sur le polarimètre polaire de M. Amsler. 
(Suite, voi/- t. IV, p. 5-). (71-76; 107-121). 

Le Paige [C). — Sur la multiplication des déterminants. (76- 
79)- 

Jamet {V.). — Sur la multiplication des déterminants. (79-81), 

Van Aubel {H.). — Sur les courbes du troisième degré. (81-87). 

Mansion{P.). — Remarques sur les théorèmes arithmétiques de 
Fermât. (88-91 ; 122-123). 

Fermât a déclaré en i64o et en i654 qu'il ne parvenait pas à démontrer que 
2"+i est toujours premier quand A' = 2". On ne peut donc pas dire qu'il s'est 
trompé relativement à cette proposition empirique. 

Catalan {E.). — Quelques identités. (91-94). 

Le produit de deux nombres par leur somme ne peut être un cube. Si 
2jo = a + 6 -f- c, on a «"-h 6^-:- c^ = /)'-f- (/> — a)^— (/> — b)-~{p — c)'. 

Si /ip est le {p -t- i) coefficient binomial dans (i -*- x)", on a, d'après M. E. Ce- 

sâro, 

Il I J I , ^ "„ 

2 3 /i 2 ' 3 " Il 

Bombled. — Sur la série i -\- iP x + 3^:r- + . . . . (95-97). 
Realis {S.). — Question d'analyse indéterminée. (12(3-128). 

L'équation 

est toujours résoluble d'une infinité de manières, en nombres entiers posilifs ou 
négatifs. 

Catalan (E.). — Sur une suite de iiondjics impairs, (i >8-i29). 



i8^ SECONDE PARTIE. 

De Longchamps (G.). — Sur les conchoïdales. (i45-i49). 

Par un point A pris sur une courbe F, menons une tangente AI coupant deux 
autres courbes en B, C. Portons sur la tangente AI une longueur AI = BC. Le 
lieu du point I est une conchoïdale. Tracé de la tangente à la cissoïde, à la 
strophoïde, à la leniniscate, au limaçon de Pascal, etc., considérés comme des 
conchoïdales. 

Realis {S.). — Théorèmes d'Arithmétique. (loo). 

Jamet {V.). — Sur la Géométrie de la sphère. (i5i-i56). 
Théorie des transversales. 

Laisant et Beau feux. — Quelques conséquences des théorèmes 
de Fermât et de AVilson. (i5(3-iGo; 177-182). 

Soit/? un nombre premier, q un entier </? — i. On a 

{ï.n.'?>.. . q)[i.'i. . .{p — ^-i-i)]-j-i = multiple de p. 

Conséquences nombreuses. 

Lucas {E.). — Problèmes sur les normales à l'ellipse. (i6i-i65). 

Catalan {E.). — Ln problème traité par Euler. (i^^c))- 

Lucas (E.). — Stir Fanalvse indéterminée biquadratique. (i83- 
186). 

Soit à résoudre l'équation indéterminée jk- =y"(-r), en nombres rationnels, 
f{x) étant une fonction du quatrième degré à coefficients rationnels. On posera 

V'çix) = F{x), 

r{x) étant une fonction de degré/?, où se'' a pour coefficient l'unité, F{x) une 
fonction de degré p -i- 2. On devra avoir 

[F{x)y = /{x)[o{x)r; 

équation de degré 2/> -\- 4 contenant 2/» -r- 3 coefficients inconnus. Si l'on 
connaît 2/7-1-3 solutions rationnelles dey^ = /{x), cette équation de degré 
2/) -i- 4 servira à en trouver une de plus, 

Dostor (G.). — Centre de gravité du périmètre d'un quadrilatère 
quelconque. (187-188). 

Staricof. — Sur l'intégration des équations linéairies. (225-230). 

Chadu. — Sur le cercle dos neuf points. (230-282), 

Neuherg (J-)- — Sur la courbure des lignes. (233-234)- 

Rihaucour {A .). — Méinoii-e >uf Ie> cniubrs enveloppes de cercles 



REVUE DES PUBLICATIONS. i83 

et sur les surfaces enveloppes de sphères. (aSj-pJJS ; 3o5-3i5; 
33;-343; 385-393; 417-420). 

Première Partie. — I. De tous les points d'une courbe donm'e, on décrit des 
cercles de rajons fonctions de la position de ce point. L'enveloppe de ces cercles 
a deux branches dont les points correspondants sont réunis par une ligne de 
contact perpendiculaire à la tangente à la courbe donnée, au centre du cercle 
variable et distante de ce centre d'une quantité a donnée par la formule 

a ds = r dr. 

ds étant la différentielle de l'arc de la courbe primitive. On conclut de cette 
formule, par exemple, les théorèmes suivants : 

1° Les cordes de contact des cercles conce/dri/yues aux premiers et tels que 

l'on ait 

,.'3_ j-t^ ronst. 

sont les mêmes que pour les premiers. 

2" Si r = p, rayon de courbure de la courbe primiti%^e, la corde de contact 
passe par le centre de courbure de sa développée. 

3' Si r = ô, ô étant la distance comptée depuis la courbe donnée jusqu'à 
une seconde courbe, dans une direction ^xe, la corde de contact, relative- 
ment au cercle de rayon r, ayant son centre en A, a pour pôles le point S 
d' intersection des tangentes en A à la courbe lieu des centres et en B point 
correspondant de la deuxième courbe. 

4° Étant données deux courbes A, B, si l'on prend pour r la distance entre 
un point de B et le point où la tangente en B coupe A, la série des cercles r 
sera orthogonale à la courbe B ; la corde de contact, dans ce cas, passe par 
le centre de courbure de B au point considéré. La corde de contact a une 
enveloppe touchée par chaque corde en un point situé en ligne droite avec 
les centres de courbure des deux branches de l'enveloppe des cercles aux 
points où elles sont rencontrées par cette corde. 

II. Déformons la ligne des centres (A), de manière à en faire une droite (D) 
tanç:ente en A à (A). Soient (e), (e') les enveloppes des cercles relatives à la 
droite (D) ; (E), (E') les enveloppes de (e), (e'), quand on fait rouler (A) sur 
( D); c, c', C, C les centres de courbure de (e), (e'), (E), (E'). On aura le théo- 
rème suivant : 

Lorsque l'on dé/orme la ligne des centres (A), en la laissant tangente à 
(D) au point A, la droite qui joint les centres de courbure C, C passe par 
un point Jixe de (D) et rencontre la normale à la développée de (A) en un 
point dont la distance à la normale en A à (A) est constante pendant lu de- 
formation. 

III. Propriétés relatives de plusieurs séries de cercles, dont les rayuns sonl 
dans un rapport constant. 

IV. Si l'on déforme la ligne des centres (A) dans une portion de sa longueur, 
la somme algébrique des deux arcs correspondants de Tenvcloppe reste con- 
stante. 

V. Propriété analogue pour l'aire comprise entre les deux bran<lics de l'cnxc- 
loppe et les cordes de contact extrêmes. 

\ 1. Propriétés relative^ au\ renlies de ;;raviti', dans le ca> étudié § III. 



i84 SECONDE PARTIE. 

Deuxième Partie. — Extension des résultats précédents aux enveloppes de 
sphères. 

Neuberg (•/.). — Sur les triangles homologiqiies (a-o-ayo). 

Lé^'f (^L.). — Exposition des premières propriétés des surfaces du 
second degré. ( 276-278 ; 32 1-323; 348-35o). 

Neuberg (</■)• — Sur les tétraèdres homologiques. (3i5-32o). 

Brocard (H.). — Propriété du triangle. (323-325; 343-347; 393- 
397; 425-430). 

Catalan {E.). — Une propriété du nombre 365. (325). 
Neuberg [J.). — Sur la cycloïde. (35i-355). 

Une cycloïde peut être engendrée de la manière suivante : un point A se meut 
avec une vitesse v sur une droite D; autour de ce point A tourne une droite E 
avec une vitesse angulaire v' ; le point B situé sur E à une distance AB = R 
telle que y'R = v, engendre une cycloïde ; les autres points de E engendrent des 
cycloïdes allongées ou raccourcies. Le mouvement de E est dit cycloïdal. Toute 
droite qui a un mouvement cycloïdal à l'un de ses points engendre une cy- 
cloïde, tandis que tous les autres engendrent des cycloïdes allongées ou rac- 
courcies. On trouve aisément que la normale, la tangente à la cycloïde, une 
droite faisant un angle constant sont animées d'un mouvement cycloïdal. 

Mansion (/*•). — Principes de la théorie des développoïdes des 
courbes planes. (356-363; 398-397). 

Brocard [IL). — .Votes sur les questions de mathématiques du 
Concours de l'Ecole Polytechnique. (364-37o). 

Mansion (/*.). — Esquisses biographiques : J. Booth. (370). 

De Longchamps {G.). — Sur les cubiques unicursales. (4o3- 

408).^ 

Catalan {E.). — Sur la décomposition d'un cul»; en ([uatrc cubes. 
(409-411). 

Jenseti (J.-L.-lf.-V.). — îMidliplication de deux séries conver- 
gentes. (430-432). 

Traduit du danois dn Journal de Zeu(/ie/i, 1879, p. 9'>-f)G. On peut nnilliplior 
deux séries convergentes, d'après la règle habituelle, même si la série des nio- 
<lules de l'une d'elles n'est pas convergente. 

Bealis (S.). — Questions d'anaivsr iiuméri(|MC. (433-435). 



REVUE DES PUBLICATIONS. iSO 

Catalan (-&•). — Sur une épure de Géométrie descriptive. i.\'6j- 
437). 

Bibliographie. (i4-i8; ao5-2og; 2.55). 

GoRRESPOKDAivcE. (i8-22; io3; i6(3-i(38; 195-201; 235-2.385 2-9; 

370-374; 437-448). 

Solutions des questions proposées. (23-3o; 5.3-64; loS-iop; 
i3o-i4a; i6g-i^6; 209-219; 242-254; 280-299; 320-335 ; 376- 
38i;4i->-4i6; 449-451). 

Questions PROPOSÉES. (3 1-32 ; 64; 110-112; 142-1447 '7^; 201- 
2o5; 209-224; 256; 3oo-3o3; 335-336; 38i-384; 45i-454)- 

Extraits analytiques. (97-100; 188-194)- 

Variétés. (101-102; 144-197; 239-242; 438-449)- 

Rectifications. (i44; i5o; 198; 224; 3o3-3o4; 344 5 4i6)- 

Table des matlères. (455-564). 

Tome VI; 1880. 

Ribaucour (A.). — Mémoire sur les courbes enveloppes de cercles 
et sur les surfaces enveloppes de sphères. (Fin). (1-8). 
Voir t. V, p. 207, 3o5, S3~, 385, ^i~. 

Neuberg (./.)- — Sur le nombre des sphères qui touchent quatre 
plans donnés. (8-i8). 

Discussion complète, par la Géométrie seule, de tous les cas qui peuvent se 
présenter. Il y a huit sphères au maximum, mais ce nombre peut se réduire. 

Brocardi^H.). — Propriété du triangle. (19-23, 97-100). 
Suite, voir t. V, p. 333, 343, 393, /pa. 

Saltel (L.). — Application du théorème de RoUc à la théorie de 
l'osculation. (24-3o). 

Catalan {E.). — Sur un système d'équations linéaires. (30-32^. 

Catalan (E.). — Sur quelques développements de cosnix et de 
sinma-. (ioo-io5). 

Neuberg [J.). — Propriétés de l'ellipse. (loS-iog). 



i86 SECONDE PARTIE. 

Laisant (A.). — Généralisation d'une formule de M. Catalan. 

(109-111). 

Realis (S.). — Remarque sur une équation indéterminée, (iii- 
ii3). 

Dubois {E.). — Sur le théorème des faisceaux, (i i/\-\ 18). 

Cesaro {E.). — Sur l'existence de certains pohèdres. (i 18-1 19). 

Il n'y a que cinq espèces de polyèdres dont tous les angles solides ont le même 
nombre d'arêtes et les faces le même nombre de côtés. Ce sont le tétraèdre, 
l'hexaèdre à faces quadrilatères, l'octaèdre et ricosaèdre à faces triangulaires, le 
dodécaèdre à faces pcntagonales. 



Catalan 



(E.). — Sur rinté"rale / -^^ ~ — (i 5i-i 55). 



On arrive à la substitution d'Euler qui reud la différentielle rationnelle, par 
les substitutions naturelles 

X —- tang - cp, sin^ = ^, z ■= \i 1 sinô. 

Le Paige (C). — Sur une propriété des déterminants hémisjmé- 
triques d'ordre pair. ( i55-i58). 

Dubois (E.). — Sur une famille de courbes cycloïdales. (i58- 
i65). 

JVeuberg (J.). — Exercices de Mathématiques élémentaires. (i65- 
168; 21 5-2 16; 364-365). 

Wassilief. — Esquisse biographique. Alexandre i*opof. (169). 

Desmartres. — Sur les surfaces à génératrices circulaires. (i93- 
201, 3(m:)-3o5, 337-341). 

Les normales aux différents ])()inls iliine surface engendrée par un cercle, le 
long d'une de ces génératrices circulaires, rencontrent, outre l'axe de cette géné- 
l'atricc, une conique fixe qui peut servir à construire ces normales. Les surfaces 
dont les génératrices circulaires sont les lignes géodésiques sont lu sphère et le 
cylindre. 

Catalaii^E .). — Des coniques satisfaisant à quatre conditions. 

(201-20G). 

Brocard i^lE). — ISote sur divers arlich-s de la iSouvelle Corres- 
pondance. ( 2()()-2 i5 ). 

Xeuberg (</.). — Sur hs normales à rclli|)sc. ('>^i->.5o, •a89->.9()). 



REVUE DES PUBLICATIONS. 187 

Résumé extrêmement bien fait de la théorie des normales aux coniques, con- 
tenant des démonstrations et des propositions nouvelles. 

Lucas {E.). — Sur l'extension du ihéorème de Descartes. (25o- 
253). 

Les théorèmes de M. Laguerre sur la limite supérieure du nombre des racines 
supérieures à une quantité a sont démontrés par ISL Lucas, comme Segner et 
Gauss ont démontré celui de Descartes. 

Catalan (^E .). — Remarques sur une série. (253-255). 

L'auteur établit d'une manière très simple la transformation de Clausen de la 
série de Lambert. 

Brocard {H.). — Sur la fréquence et la totalité des nombres pre- 
miers. (Suite, voir t. V.) (255-263, 48i-488, 529-542). 

Recherches de Piarron de INIondesir, Meissel, Riemann, Genocchi, Desboves, 
James Glaisher et J.-W.-L. Glaisher. 

Realis {S.). — Sur quelques questions se rattachant au problème 
de Pell. (3o6-3i2, 342-35o). 

Cesaro (E.). — Sur la série harmonique. (3i2-3i4)- 

La somme des n premiers termes de la série harmonique est comprise entre In 
et /rt H (Démonstration élémentaire.) 

Laquière. — Théorie géométrique des courbes anallagmatiques, 
sections planes de la cyclide. (35 1-354, 4o2-4o6, 453-432). 

Cesaro. — Une démonstration de la formule de Stirling. (354- 
357). 
Simplification de la méthode exposée t. V, p. 'l'i- 

Mansion {P-}- — Dérivée des fonctions élémentaires dune va- 
riable imaginaire. (358-364, 385-390). 

Catalan {E .). — Sur la quadrature des courbes paraboliques. 
(396-402). 
Démonstration très simple du théorème de Gauss. 

Landry. — Décomposition de •?/'"' -\-i. (417)- 

Le Lasse ur. — Autres décompositions. {\^~-\^'^)- 

Décomposition de nombres très grands en leurs facteurs; I9i8ooo-.3i8i653i 
est premiei-. 



i88 SECONDE PARTIE. 

Catalan [E.). — Sur la cyclide. (439-44^)- 

Résumé des propriétés de cette surface eu suivant autant que possible la 
marche indiquée par Dupin. 

Realis {S.). — Problème d'analyse indéterminée. 

Carnoy (J.). — Théorèmes sur les coniques. 

Cesaro {E.). — Quelques formules. (45o-452). 

C atalan {E .) . — Sur une propriété des surfaces du second degré. 
(489-490). 

Le Paige (C). — Sur quelques propriétés des déterminants. 

(489-496). 
Déterminants de déterminants. 

Laquière. — Observations sur la question 229. 

Sur les quadrilatères articulés. 

Cesaro {E.). ■ — Sur les formes approchées des solides d'égale ré- 
sistance. (5o:>.-5o3). 

Radicke (A.). — Démonstration du théorème de v. Staudt et 
de Clausen. (5o3-5o-). 

Radicke (A.). — Démonstration d'un théorème de Stern. (5o~- 
J09). 

Cesaro {E .). — Une question de maximum traitée par Poncelet. 
(548-55 1). 

Berger. — Quelques théorèmes extraordinaires. (55i-55.i). 

Catalan (E.). — Un nouveau théorème empirique. (55:^-553). 

La somme des cinquièmes puissances des n premiers nombres naturels ou neuf 
fois cette somme est décomposable en trois carrés entiers et positifs. 

BlBLIOCRAPHIE. (■>.IJ-'>I9, 3i5-3i-). 

CORRESI'ONDAKCE. (3?l-44? I H)-!'-»."^-, 170-1^5, "îl iJ-'A'.iS, '>.G3-'>.() | . 

3i--3:>.5, 3r)6-37o, 408-417, 453-4<)3, 609-5 l'i). 

Solutions des questions proposées. — (48-93, i9.>.-\/\o, i^CJ-aji , 
;>-29-23-, 325-333, 370-383, 4i8-4'4, 463-475, 5 1 3-525, 554- 
062). 



REVUE DES PUBLICATIONS. 189 

Questions PROPOSÉES. — (94-96, i4i-i445 191-192. 238-240,28-- 
288, 333-336, 384-4 1 5, 425-43 1, 476-480, 525-528, 563-564). 

Variétés. — (45-47, 265-266, 407-40S). 

Rectifications. — (96, i44î 192, 240, 336, 384, 4^2, 480, 528, 
564). 

Table des matières. — (060-576) ('). 



MATHESIS, Recueil mathématique a l'usage des Ecoles spéciales et 
des établissements d'instruction moyenne, publié par P. jMansion, 
Professeur à l'Université de Gand, et J. Neuberg, Professeur à l'Ecole 
des Mines de Liège. Gand, Hoste; Paris, Gauthier-Villars (2). 

Table des Matières (v-viii). 

Préface. — (i--^-)- 

Mansion (P-)- — Démonstration élémentaire du théorème deTay- 
lor pour les fonctions d'une variable imaginaire. (3-6). 
Démonstration élémentaire de la formule 

1.2 -^ 1.2. ..(«-!)•' J. i.2...{n — i) 



où z est de la forme a; +JKV — '• De la forme du reste ici indiquée, on déduit celle 
de M. Darboux et celle de M. Falk. Cette dernière forme du reste, qui suffit 
pour établir complètement la théorie des fonctions élémentaires d'une variable 
imaginaire, est aussi obtenue en ne s'appuyant que sur le théorème de Rolle, 
donc sans Calcul intégral. 



(') Ce Volume est le dernier de la Nouvelle Correspondance. M. Catalan 
avait su grouper autour de lui des collaborateurs zélés. Son action avait été fé- 
conde. 11 est regrettable qu'il ait été conduit à cesser la publication de son inté- 
ressant Recueil. 

(=") Mathesh fait suite à la Nouvelle Correspondance mathématique, mais a 
un caractère un peu plus élémentaire. Ce Recueil parait par livraisons mensuelles 
de i6 ou 2\ pages in-8. Le prix d'abonnement est : 7 fr. 5o c. pour la Belgique; 
9 fr. pour l'Union postale. Le Tome I contient viii-228 pages et un Supplément 
de 64 pages. 



igo SECONDE PARTIE. 

Man^ion {P •)• — Généralisation d'une propriété des podaires. (^). 

Neuberg {J.). — Questions de Mathématiques élémentaires. (-- 
lo, 26-27). 

Mansion {P-)- — Sur un nouveau principe de Calcul des probabi- 
lités. (10). 

Mansion (P-)- — Sur l'évaluation approchée des aires planes, (i-- 
22, 33-36). 

Voir plus bas l'analyse du Supplément. 
Mansion (P-)- — Une nouvelle formule de Calcul différentiel. (23- 

25). 
Formule de M. Teixeira donnant la dérivée n""° d'une fonction composée. 

Nermite(C.). — Sur la série 



(log2)'' (logo)» ' (loga;)" 

Cette série est divergente pour toute valeur de n. Autre démonstration par 
M. E. Catalan, p. 58; Note par INI. Baehr sur la même série, p. 58. 

Liebrecht {E-)- — Discussion de l'équation du troisième degré. 

(28-29). 

T erslraeten et Mister. — Courbe de contact d'un cylindre circon- 
scrit à un hélicoïde à plan directeur. (49-5i ; 137-139). 

Cette courbe est une hélice (Guillery) dont la tangente a la même inclinaison 
que celle des rayons lumineux. 

Cesâro {E.). — Sur la série harmonique. (5i-53; i43-i44)- 

En ne s'appuyant que sur le développement en série de log(i-f-a;), l'auteur 
établit les inégalités suivantes, où H„ désigne la somme 



C la constante d'EuIer : 

log( « -!- - W 0,57 < H„ < Ing/ n + - )-h 0,60, 

, 

H„= / i/ra(n-M) -f- C -r- - — ; , o<0<i. 

hn{n -T- \) 

Ruex (P.) et Neiibevg{J.). — Sur un lieu géométrique. (SS-Sj). 

Lieu géométrique des points de rencontre des tangentes communes .'1 den\ 
coniques, l'une rnr)liilr rl'unc rertninf maniéro. 



REVUE DES PUBLICATIONS. 191 

Lucas {E.). — Notes de Géométrie analytique. (65-66). 

Démonstrations très simples des théorèmes suivants : 

Si trois points d'une droite demeurent sur les /aces d'un trièdre, un qua- 
trième point décrit un ellipsoïde; si quatre points d'une droite demeurent 
sur les faces d'un tétraèdre, un cinquième point décrit une ellipse et la droite 
reste parallèle à u/i cône de révolution. 

Mansion (P.). — vSur une intégrale définie. (67-70). 

Gunther (S.). — Note sur la logocyclique ou strophoïde. (81-84). 

Tangente; aire; longueur d'un arc exprimée au moyen d"un arc d'hyperbole 
équilatére et d'un arc de Icmniscate. 

Barbarin. — Puissance d'un point par rapport à une conique à 
centre. (80-87). 

Gilbert (Ph.). — Exercice de Géométrie infinitésimale. (97-99). 

Cesâro {-E.). — Démonstration élémentaire et généralisation de 
quelques théorèmes de jM. Berger. (99-io'2). 

Voici quelques-uns de ces théorèmes : 

Pour n = 30 , la moyenne de la somme des diviseurs d'un nombre entier est 

-m:'^; celle des inverses des diviseurs, -^ 7:^. M. Cesàro donne un principe géné- 
ral qui permet de trouver la valeur d'un grand nombre de moyennes analogues. 

JVeuberg- (J.). — Sur les figures semblables. (106-108). 

D'Ocagne (M.). — Partage des polygones. (109-1 10). 

Catalan {E.). — Carré magique de la villa Albani. (121). 

Brocard [H.). — Ecole Polytechnique de Paris. Concours de 1881 . 
(122-123). 

Neuberg (J.). — Sur une application de l'Algèbre directive. (i23- 

127). 

Lucas (E.). — Questions d'Arithmétique, (i 34). 

Mansion (P.)- — Sur la sommation de certaines séries, d'après 
M. E. Catalan. (139-142). 
Séries ayant pour terme général une expression décomposable en fractions de 

la forme , -, — r : ;• 

{x -h A- ) {a; -h le -\- 1) 



HJ2 SECONDE PARTIE. 

Neuberg (/.). — Sur le centre des médianes antiparallèles. (i53- 
i54; 173-176; 185-190). 

Le point k du plan d'un triangle ABC, dont les distances aux côtés sont pro- 
portionnelles aux longueurs de ces côtés, jouit d"une foule de propriétés qui le 
placent au nombre des points remarquables du triangle. M. J. Neuberg a réuni 
les théorèmes, déjà connus, concernant ce point (appelé point de Grèbe, en 
Allemagne) et a ajouté quelques nouvelles propositions intéressantes. 

Si X, y, z sont les distances d'un point quelconque aux côtés de ABC, k est 
le point pour lequel ^^-7- j'-f- ^^ est minimum (Gauss); c'est aussi le centre 
des ellipses décrites par les points tels que j;*-(- r'-i- z^ reste constante (E. Ce- 
sâro). 

Les droites AK, BK, CK, appelées par M. Lemoine médianes antiparallèles, 
sont symétriques des médianes de ABC par rapport aux bissectrices; elles par- 
tagent les côtés correspondants dans le rapport des carrés des côtés adjacents et 
passent par les intersections A', B', C des tangentes menées par A, B, C à la cir- 
conférence ABC. K est le centre de gravité du triangle qui a pour sommets les 
projections de K sur les côtés de ABC. 

Soient A,, B,, C, les projections de K sur les perpendiculaires élevées aux mi- 
lieux des côtés de ABC. Les triangles isoscèles A,BC, B, CA, C|AB sont sem- 
blables; l'angle à la base vérilie la formule 

cota = cotA -I- cotB -^ cote (Brocard). 

Les droites AC,, BA,, CB, se coupent en un même point w; les droites BC,, CA,, 
CB, concourent en un second point w'. 

Les points u, w', que M. J. Neuberg appelle points de Brocard, du nom du 
géomètre qui les a considérés pour la première fois, sont les foyers d'une conique 
touchant les côtés de ABC aux pieds des médianes antiparallèles. 

Le centre O de la circonférence ABC et les six points w, w'. A-, A,, B,, C, ap- 
partiennent à une même circonférence (cercle de Brocard), qui est le lieu des 
centres des médianes antiparallèles des triangles circonscrits à ABC et dont les 
côtés font un même angle avec un côté adjacent de ABC. 

Les parallèles aux côtés du triangle A'B'c:', menées par K et limitées respec- 
tivement par les angles A, B, C, sont égales entre elles (Lemoine); leursjextré- 
mités sont situées sur une même circonférence et sont les sommets de deux 
triangles inscrits à ABC et ayant leurs côtés perpendiculaires à ceux de ABC. 
Ces mêmes points étant les sommets de trois rectangles inscrits à ABC, k est le 
point de concours des droites qui joignent les milieux des côtés de ABC aux 
milieux des hauteurs correspondantes. 

Soit a^Y "" triangle formé par trois parallèles à BC, C\, AB, à des distances 
proportionnelles à ces côtés. Les côtés des triangles ABC, a.''^-^, dont K est le 
centre de similitude, se coupent en six points d'une même circonférence dont le 
centre est sur la droite KO. Ces six points sont aussi sur le périmètre d'un 
triangle a"|i"Y" homothélique à A'B'C par rapport à K. 

Kn particulier, les parallèles aux côtés de ABC, menées par K, rencontrent le 
périmètre de ABC en six points dune même circonférence (Lemoine); les pro- 
jections des pieds H„, H^, 11^, des hauteurs de ABC sur les côtés sont sur une 
même circonférence. Le centre de la dernière courbe est au milieu des «Iroilcs 
joignant les droites H„, H4, 11^, aux points de concours des hauteurs des triangles 
\IUir„ BI[,II„, CA\„\\. 



REVUE DES PlJBLlCÂllONS. icji 

Les ceulies des médianes aniiparallèles des triangles ABC, H^H^H^sonten 
ligne droite avec l'intersection des hauteurs de ABC (Edm. van Aiibcl). 

Mansion (P.)- — Sur la série harmonique et la formule de Stir- 
ling. (169-172V 

L'auteur établit les formules suivantes : 

I 1 « 

-4- - = G -f- log« 



3' n 'An a «(2/1-4-1) 

log{i.2.3...N) = l(C + I)-f-(^ + i)logN-^ 



en ne supposant connue que l'aire de l'hyperbole équilatére; C est la constante 
d'Euler. 

Realis {S.). — Sur une somme de cubes. (176-1--). 

Jeràbek eX, .\eubr7\g. — Sur un hexagone équilaléral, inscrit à un 
triangle donné. (ic)i-ig3^. 

BtOGRAPHIK et BIBLIOGRAPHIE. — (il, Z^-^l . '0--\. IIO-Il3, 144" 

145, i58-i6i , 178). 

Notes mathématiques. — (58, 66-67, ^7~*^9' i55-ij8). 

Questions d'enseignement. — (io3-io6, igS-igS). 

Solutions de questions proposées. — (aS-So, 42-47. 5g-6i, 71- 
78,90-94, ii3-ii8, i'î7-i33, !^5-i5i, 161-167, 179-183. 199- 
2o3). 

Questions proposées. — (12-iD, 3o-3i, ^S, 62, 78-79, 95-96, 118- 
119, i3j-i36, 168, 184, 203-207). 

Questions d'examen. — (16, 32, 63-64, 79-80, i ig-ioo. 162). 

Rectifications. — (32 ,48, 80, 88, i5i). 

Table des auteurs. — (208). 

Supplément. — Sur l'évaluation approchée des aires planes; par 
M. P. Mansion. (1-64). 

Parmi les formules vraiment pratiques pour le calcul des aires planes, il n'y 
en a que deux qui soient démontrées rigoureusement, savoir celle de Poncelel 
et celle de Parmentier; pour les autres et en particulier pour la plus exacte de 
toutes, celle de Simpson, on ne donne pas de limite supérieure et de limite in- 

Biil/. des Sciences matliém.. j* «érie, l. VI. (Septembre i88j.^ R.i4 



lyi SECONDE PARTIE. 

férieure de l'erreur qu'elles comportent, de sorte qu'au tond elles sont établies 
d'une manière purement empirique. 

Dans le présent Mémoire, l'auteur obtient, d une manière simple, et souvent 
de plusieurs manières, la limite de l'erreur et sa représentation géométrique, 
non seulement pour les formules de Parmentier et de Poncelet, mais aussi pour 
celle des trapèzes, pour les deux formules de Simpson, pour celles de Weddle. 
de Catalan et de Ch. Dupin, pour une formule inédite de Parmentier et pour 
une formule nouvelle. Il compare ensuite ces diverses formules au point de vue 
de leur exactitude relative, en supposant l'ordonnée de la courbe développable 
en série au moyen du théorème de Taylor, entre certaines limites plus ou moins 
rapprochées. 

Le résultat le plus simple et le plus important est établi en ne s'appuyanl que 
sur le premier Livre de Géométrie : 

L'aire S comprise entre une courbe dont la concavité est toujours tournée 
dans le même sens, deux ordonnées extrêmes et une base à laquelle elles sont 
perpendiculaires, est comprise entre celle d'un polygone inscrit dont les som- 
mets sont des ordonnées équidistantes qui le décomposent en trapèzes de même 
hauteur, et ce polygone où les deux trapèzes extrêmes seraient remplacés 
par des rectangles de même hauteur, ayant pour bases respectivement la se- 
conde et l'avant-dernière ordonnée des sommets du polygone. 

r '"" 
Analytiqucment, avec les notations habituelles, * = / y dx est compris 

entre 

l'y» ,,.,.,. .,, ,, . yn\ 



"^- 






Parmi les autres résultats obtt'nus, nous citons les suivants : 
1° Parmi les formules expéditives, la plus exacte est celle de Parmentier. 
2° Parmi les formules très exactes, mais peu expéditives, la meilleure est celle 
de Simpson : 

S= ^{A + 4B), 



A = ^+,- 



quand le nombre des divisions de la base est pair. 3° L'aire à chercher est coni- 
{)rise entre l'aire T = A(A -i- B) du polygone inscrit et la somme M = a/iB des 
trapèzes circonscrits de Poncelet. La formule de Simpson peut s'écrire 

S = ^(2T + M); 

par suite, l'erreur qu'elle comporte est inférieure ;'i la plus grande des deux dil- 
fcrences 

^(2T-hM)-T= 3(B-A), m- I(2T-i-M) : 1JL{U-\), 

donc 

■J ^ ... 



HKVL'K DliS PUBLICATIONS. i,j5 

n-ï-ultal nouveau exlrèrnemenl ^ilnple. /)° Si le nombre de< divisions de lu \idsc 
est impair, la formule de Simpson se transforme dans la furninh- di- M. Calaliui. 
<)ui est presque aussi exaete. 



BULLETTINO m Bibliogrvkia e di Stokia dki.le Scikn/e .matkm vticmI': k 
FïsicHE, piiblilicato da B. BoNcoMPA(iNi ('). 

Tome XII: 1879. 

Faxaro (A/if.). — Intorno alla vite ed aile Opère di Prosdocirno 
de' Beldomandi, inateniatico padovano del secolo xv. ( 1--4, 
I i5-25i). 

M. Favaro, dans son consciencieux Iravail, a voulu élever un monument du- 
rable à la gloire de Prosdocirno de" Beldomandi, son compatriote et Tun de ses 
plus anciens prédécesseurs à PUniversité de Padoue. L'œuvre était difficile et 
laborieuse, et le savant professeur nous avoue que, perdant tout à fait courage, 
il aurait abandonné sa patriotique entreprise, sans les encouragements de ses 
amis, et surtout sans l'aide du prince Baltliasar Boncompagni. 

Prosdocirno, mathématicien, philosophe, astronome et musicien, enseignait 
l'astrologie à Padoue en 1^22; il mourut en 1^28, dans cette ville. On ne connaît 
pas la date de sa naissance, mais la conjecture la plus probable, c'est qu'il na- 
quit de i36o à i^i^o. Il écrivit en i4io son Tractatus Algorismi. Cet Ouvrage, 
imprimé pour la première fois le 22 février i483, à Padoue, ne contient pas un mot 
d'Algèbre; s'il assigne une place importante à Prosdoc-.mo dans l'histoire de l'A- 
rithmétique, il ne justilie donc nullement ce qu'a dit .Montucla dans son Histoire 
des Sciences mathématiques (t. I, p. 537) qu'à Prosdocirno revenait l'honneur 
d'avoir été, avec Léonard de Pise, l'un des importateurs de la science algébrique 
en Europe. M. Favaro cite les dix Ouvrages suivants de Prosdocirno, tous rela- 
tifs à l'Astronomie : Commentarium Sphœrœ (Commentaire sur le traité De 
Sphaera de Jean de Sacrobosco, imprimé à Venise en i53i). — Canones de moti- 
bus corporum supercœlestiiim. — Tabulœ mediorum motuum, eqv.ationum, 
stationum et latitudinuni planetarum, eleuationis signorum, diuersitatis as- 
pectus Lunœ, m.ediaruin coniunctionum et oppositionum lunarium, feria- 
riim., latitudinuni climatum, longitudinuni et latitudinuni ciuitatum. — 
Stellœ fixœ verijicatœ tempore Alphonsi. — Tractatus de electionibus. — 
Canon ad inueniendum tempus introitus Solis in quodcumque 12 signorum in 
Zodiaco. — Canon ad inueniendum introitum Lunœ in quodlibet 12 signorum 
in Zodiaco. — Canones magistri loannis de Saxonia super Tabulas Al- 
phonsi, fier Prosdocimo de Heldomandis (sic). — Canones operatiui et com- 
positiui Astrolabii. — Et enfin VAstrolabium. 

Profondément versé dans la théorie de la musique, qui faisait alors partie in- 
tégrante du Quadrivium des Mathématiques, Prosdocimo écrivit de nombreux 
Ouvrages sur la science musicale. Il était musicien dans toute l'acception du mol, 

(') Voir Bulletin. \ ,, iG^. 



S96 SECONDE PAKTIE. 

tel qu'on l'enleudait au moyen âge : Alusirus cognoscit, sentit, discernit, eligit, 
ordinat et disponit omnia quœ ipsam tangunt scientiam. Plusieurs de ces 
Ouvrages ont élé imprimés par les soins de M. de Coussemaker {Scriptores de 
Miisica, t. III), savoir : le Tractatus de contrapuncto, écrit en 1412; le Trac- 
tatus practice de musica mensurahili (qui n'est qu'un abi'égé revu et amendé 
de la Musique spéculative de Jean de Mûris) ; le Tractatus practicœ de musica 
mensurabili ad modurn Italicoruin ; le Libellus monocordi ; et la Brevis 
summula pvoportionum. 

Il en est d'autres qui sont restés manuscrits, tels que Expositiones tractatus 
practicœ cantus inensurabilis magistri Johannis de Aluris {ms. de i4o'i); 
Tractatus planœ musicce {ms. de 1412); Opusculuni contra theoricani par- 
tem, sive speculativani Lucidarii Marchetti Patavini, et enfin la Musica spe- 
culativa. 

iN'oublions pas de dire que M. Favaro a relevé quelques erreurs commises par 
Baldi, Montucla, Libri, Fétis, Hoefer, elc, relativement à la personne ou aux 
écrits de Prosdocimo de' Beldomandi. 

Biccardi {P-)- — Nuovi Maleriali per la storia délia Facollà ma- 
tematica nell' antica Unlversilà di Bologna. (agg-Sia). 

Celte élude peut être considérée comme une suite au Mémoire du professeur 
Silvestro Gherardi, publié à Bologne en 1846 et traduit en allemand par le pro- 
fesseur Curtze en 1871. Elles est suivie d'un Appendice contenant le programme 
des leçons de Mathématiques professées par Cavalieri, de 1642 à 1645, à l'Uni- 
versilé de Bologne. Ce programme démontre, ainsi que le fait observer M. Ric- 
cardi, que le modeste et religieux Bonaventure Cavalieri ne se borna pas à ap- 
prouver in petto la doctrine de Copernic, mais qu'il eut le courage de l'enseigner 
publiquement, bien que sous forme d'hypothèse. 

Enestrôm (Giist.). — Notice sur la correspondance de Jean P'' 

Bernoulli. (3i3-3i4). 

En 1797, toute la correspondance de Jean I" Bernoulli fut acquise, au prix de 
60 ducats, par l'Académie Royale des Sciences de Stockholm. L'Académie 
semble l'avoir si bien gardée depuis cette époque, dit M. Enestrôm, qu'à Stock- 
holm même on ignorait son existence, en l'année 1848, et que personne ne put 
renseigner sur ce dépôt le D"' Wolf, qui s'était avisé de poser une question à ce 
sujet dans les Mittheilungen der naturforschenden Gesellschaft in Bern. 
Cette précieuse correspondance a été retrouvée il y a quelques années. Pour 
donner une idée de son importance, qu'il suffise de dire qu'elle se compose de 
plus de i4oo lettres, dont 900 au moins en français, plus de 5oo en latin et i en 
allemand, écrites par le marquis de L'Hôpital, Varignon, Jean Bernoulli, Moivre, 
Monlmort, Chr. Wolf, Euler, Dortous de Mairan, Cramer, Maupertuis, etc. Il y a 
là un trésor enfoui, qui demeure inutile pour la science, et pourtant, dit 
M. Enestrôm, en terminant sa trop courte Notice, « plusieurs de ces lettres 
jettent une grande lumière dans l'histoire des Mathématiques de ce temps ». 

Zehrnwski (T.). — Quelques mots au sujet de la Note de 
M. Maximilien Curtze sur l'orthographe du nom et la patrie de 

AVilelo. (3 1 5-3 17). 



REVUE DES PUBLICATIONS. 197 

Les ubservatioDâ du D'' Zebrawski, membre de l'Académie des Sciences de 
Cracovie, s'appliquent à une Noie publiée dans le t. IV du Bullettino (année 
1871), p. 49-76, par M. Curtze, professeur au gymnase de Thorn. 

« Il est bien vrai », dit M. Curtze, « que Witelo vivait à Cracovie: mais doit-il à 
cause de cela être Polonais? Je crois que non. » A M. Curtze qui voudrait ger- 
maniser l'illustre rnalhématicien du xm" siècle, M. Zebrawski répond victorieu- 
sement : « Dans le cas oii la nationalité d'un homme est mise en doute, il n'y a 
d'autre preuve plus claire et plus décisive que l'aveu de la personne même : à 
quelle nationalité veut-elle appartenir? Or, notre Witek dit : In nostra terra, 
scilicet Poloniœ, et cela suffit pour nous assurer qu'il ne put être que Polo- 
nais; un Allemand n'aurait pas nomuxi la Pologne comme son pays, terra 
nostra, et la Pologne dans ce temps-là n'était soumise à aucun gouvernement 
étranger. » 

En France, on a toujours regardé comme étant de nalionulilé polonaise le cé- 
lèbre physico-mathématicien, et généralement on le désigne sous le nom deVitellio. 

M. Curtze a relevé treize manières différentes dont ce nom est écrit dans 
divers manuscrits, mais M. Zebrawski fait voir que le véritable nom, le nom 
primitif est Witek, et que cette orthographe, défigurée en Witelo par un pre- 
mier copiste, a pu passer ensuite par toutes les autres \ariantes signalées par 
M. Curtze. 

DalV Oppio [Liiigi). — Flsica tecnologica, Eletlricilà e Magné- 
tisme , Telegrafia elettrica , elettrometalliirgia , accensione 
elettrica délie mine, Illuminazione elettrica, ïelefoni, ecc., di 
Rinaldo Ferrini, Professore nel R. Islituto tecnico superiore 
di Milano, 1878, in-8 di pagina xvi, ^'j^. (3 1 8-332). 

Dans cet article, l'ingénieur Luigi dall' Oppio fait l'examen de l'Ouvrage pu- 
blié en 1878, à Naples, Milan et Pise par le professeur Rinaldo Ferrini, membre 
de l'Institut Lombard. Il loue la partie du Livre qui trarle des applications tech- 
niques de l'électricité et du magnétisme; mais il s'attache spécialement à la cri- 
tique du Chapitre intitulé : I principii intorno ai potenziali, et regrette que 
l'auteur n'ait pas mieux profité des excellents travaux de M. Betti sur la Physique 
mathématique. 

Hultsch [Frecl.). — Pa|)pi Alexandrinl collectionis quœ supersunt 
e libris manuscriplis edidil, latina inLerpretatione et commen- 
tariis inslruxit Fredericiis Htdtscli. Article traduit de l'allemand 
en italien par le D'" Alfonso Sparagna. (333-344)' 

Le D' Hullsili a publié à Berlin,- en trois volumes in-8°, avec interprétation 
latine et savants commentaires, tout ce qui reste de la collection mathématique 
de Pappus d'Alexandrie. Cette publication est de haute importance pour l'his- 
toire des Mathématiques dans l'antiquité. Dans l'article analytique, traduit en 
italien par M. Sparagna pour le Bullettino, le D' Hultsch passe en revue. Livre 
par Livre, le contenu de ce Recueil, dont nous ne connaissons guère, en France, 
que les Porismcs rétablis par la merveilleuse sagacité de fou notre illustre ami, 
Michel Chasles. On sait combien il y a de lacunes |>n>l()iidément regrettables et 



!<)« SI-CONDK PARTIE. 

îtussi cl'iiilerpolalions malencontreuses dans ce qui nous reste de Pappus, et com- 
bien de |)arties importantes sont entièrement perdues. 

Le plus ancien manuscrit connu de la collection mathématique de Pappus 
appartient à la Bibliothèque du Vatican, où il est coté sous le n° 21S. Il com- 
mence à la moitié du second Livre: c'est ce manuscrit qui a servi de base au 
irrand travail édifié par le D'' Frédéric Hultsrh. 

Steiiischneider {Maurice). — Intorno a Johannes de Lineriis (de 
Liveriis) e Johannes Siculus. Nota dl M. Steinschneider. 

(345-351). 

Dans cette Note, le savant orientaliste et mathématicien de Berlin a pour but 
d'apporter son contingent d'observations personnelles, et de provoquer de nou- 
velles recherches dans les manuscrits, pour arriver à résoudre toutes les ques- 
tions relatives à deux auteurs qu'on a souvent confondus, Jean de Linières et 
Jean de Sicile, et pour bien déterminer les Ouvrages qui appartiennent à chacun 
d'eux, et dont l'attribution reste encore incertaine. 

Bonco}npas?ii {Baltli.). — Jntorno aile vite inédite di tre mate- 
malici (Giovanni Danck di Sassonia, Giovanni de Lineriis, e Fra 
I.nca Pacioli da Borgo San Sepolcro), scritte da Bernardine 
Baldi. (352-419). 

Bernardino Baldi, né en i553, mort en 1617, est auteur d'un ouvrage intitulé : 
Vite de matematici qui ne fut jamais imprimé, et dont le Prince Ballhazar Bon- 
rompagni possède trois manuscrits différents, comprenant ensemble les vies de 
ig-) matliématiciens, parmi lesquels Jean Danck de Saxe, Jean de Linières et Fra 
Ltica Pacioli. 

Jean Danck de Saxe était professeur de Mathématiques à Paris en i33o; c'est 
en i33i qu'il termina, dans cette ville, son commentaire sur le livre d'astrologie 
judiciaire d'Abd-el-.\ziz el Kabiti, plus connu sous le nom d'.\lchabitius. Cet 
Ouvrage fut imprimé à Venise pour la première fois en i485; on en connaît 
d'autres éditions publiées à Venise en 149', i5o2, i5o3, i5i3, et enfin à Paris, 
en 1021. 

Jean de Linières ou de Ligniéres était Français, du diocèse d'Amiens. II ensei- 
gnait les Mathématiques à Paris, en même temps que Jean Danck de Saxe el Jean 
de Mûris, célèbre docteur de Sorbonne, que l'on croit originaire de Normandie. 

Le frère franciscain Luca Pacioli enseigna l'Arithmétique à Pérousc pendant 
les années 1477-14^0; plus tard il enseigna les Mathématiques à Naples, à Flo- 
rence, à Rome. Ses œuvres comprennent : i° Sumina de arithnietica, geome- 
tria, proportioni et proportionalità, imprimée pour la première fois à Venise 
en i49l'i 2" Compendiuni de divina proportione. La Bibliothèque Ambroisienne 
de Milan en conserve précieusement un exemplaire manuscrit décore de figures 
géométriques dessinées de la propre main de Léonard de Vinci, qui était lié 
d'amitié avec Fra Luca Pacioli; 3° Trattato di architettura ; 4° Figure di an- 
tichi caratteri; 5° Libellas in très tractatus divisas; ce Triparty, s'il faut en 
croire Baldi, était un Traité des corps réguliers; 6" une traduction en langue 
italienne des Eléments d'Euclide; 7° Tractatus de viribus quantitatis. Le 
Prince Boncompagni, qui cite, à défaut de Baldi, celte édition d'Euclide, de iSog, 
f{ ce traité resté jusqu'à présent inédit, De viribus qunnlilatis. r.tppclle en outre 



REVUE DES PUBLICATIONS. 199 

que Luca Pacioli dédia ua autre Traité : De luclis in génère cuni illkiloruni 
reprobatione, à François de Gonzague, marquis de Mantoue, et à la marquise 
Isabelle, sa femme; mais le savant et illustre éditeur du Bullettino déclare 
qu'aucun exemplaire, soit imprimé, soit manuscrit, n'est parvenu à sa connais- 
sance. On est alors porté tout naturellement à se demander si cet Ouvrage a 
jamais existé. 

Boncompa<^ni[B.). — \ ite inédite di tre matemalici (Giovanni 
Danck di Sassonia, Giovanni de Lineriis e Fra Luca Pacioli 
da Borgo san Sepolcro) scrilte da Bernardino Baldi. (420-42-). 
— Appendice di documenti inediti relalivi a Fra Luca Pacioli. 

(428-438). 

Ces documents inédits, extraits des manuscrits de la BibliotluMjuc du ^'atican, 
de la bibliothèque de l'Université de Bologne, des Archives générales de Venise, 
de celles de Pérouse et des Archives d'Etat de Florence, ont été reproduits 
avec le plus grand soin par le Prince Balthazar Boncompa;;ni. 

Henry (Ch.). — Recherches sur les manuscrits de Pierre de 
Fermât, suivies de fragments inédits de Bachet et de Male- 
branche. (477-568; (519-740). 

On ne saurait qu'applaudir à la publicati(m d'écrits authentiques inédits de 
Fermât, de Bachet ou de Malebranche. Mais disons tout de suite que les frag- 
ments mathématiques attribués à IMalebranche par M. Ch. Henry ne sont point 
de Malebranche : ils sont l'œuvre d'un autre Père de l'Oratoire, Claude Jaquemet, 
de Valenciennes, professeur à Vienne (Dauphiné), moins connu que l'illustre 
métaphysicien, mais plus mathématicien que lui. Je me bornerai à dire ici que 
nulle part, dans les manuscrits du fonds de l'Oratoire, Malebranche n'est indi- 
qué comme étant l'auteur de ces essais mathématiques, et que la simple lecture 
des pièces rapportées par M. Henry démontre surabondamment qu'elles ne pro- 
viennent point de Malebranche. 

Un reproche plus grave que nous adresserons à l'auteur des Recherches sur 
les manuscrits de Fermât, etc., c'est d'avoir méconnu et rapetissé le caractère 
de Fermât. Qu'on en juge! 

« En général », dit M. Henry, « on s'est fait une conception beaucoup trop idéale 
du caractère de notre géomètre; on l'a trop considéré à travers ses formules, pas 
assez dans sa province, dans son Parlement, à travers son milieu; répétant les 
éloges qui ont été décernés à son désintéressement, à son talent de jurisconsulte, 
les critiques n'ont pas assez deviné, sous les prudes réticences de l'éloge public, 
les franchises de la chronique privée. Ainsi on a dit que Fermât quitta fort peu 
sa patrie; cependant un passage d'une lettre adressée à Robcrval nous prouve 
qu'il est allé à Bordeaux; Mcrsenne nous le montre à Bergerac; trois de ses 
lettres imprimées dans le Commercium epistolicum, de ^Vallis. sont datées de 
Castres; enfin il est mort dans cette ville le 12 janvier 16(35. » — « Notre con- 
seiller (Fermât), qui était fort riche en propriétés, à Beaumont de Lomagne. n'a 
pas manqué de solliciter et d'obtenir les faveurs du chancelier Seguier. C'est ce 
que prouvent trois lettres extraites de manuscrits autographes de la Bibliothèque 
Nationale. Grâce à Moiisirur de la Chambre, Fermât peut donc cire rangé à 



loo SliCU.NDE PARTIE. 

côté do Conrarl, de Desmarets, de Chapelain, de Gomberville, de Cerisy, de 
Habert, d'Esprit, de Chaumont, de Priezac, de Ballesdens, etc., parmi les savants 
qui ont reçu les faveurs de Séguier. » — « Le jugement de Fermât a-t-il été tou- 
jours à l'abri de l'exagération quelquefois reprochée à ses compatriotes? » — 
« L'action directe du milieu se compliquait d'ailleurs chez notre géomètre d'une 
influence plus générale. La modestie a fait des progrès, au moins des progrès 
apparents. Les livres d'aujourd'hui n'étalent plus les prétentions de leurs an- 
cêtres. Seul, un charlatan pourrait de nos jours songer aux hyperboles que 
Descartes voulait inscrire en tète d'un de ses écrits. Seule, une dupe pourrait, à 
l'exemple de Menelaiis, de Campanus ou de Lucas Pacioli, préconiser comme 
admirable l'objet de ses études. » — « 11 semble aussi que Fermât ait péché par 
excès de précipitation. » — « A ces faiblesses de caractères (de Fermât) il convient 
toutefois d'opposer une grande largeur d'intelligence. » etc., etc. 

Le cadre du Bulletin ne permet pas de relever tous les jugements téméraires 
et parfois puérils de M. Henry. Qu'on nous permette cependant quelques obser- 
vations. La Biographie universelle de Alichaud a dit que Fermât quitta fort 
peu sa patrie (ce qui est vrai), mais elle n"a pas dit qu'il ne perdit jamais de vue 
son clocher. Que Fermât soit allé à Bordeaux et à Bergerac, ou à Castres où 
l'appelait son service de conseiller, délégué à la Chambre de l'Édict, comment 
cela peut-il montrer qu'on s'est fait une conception beaucoup trop idéale du ca- 
ractère de Fermât? Qu'on lise les trois lettres de Fermât publiées par M. Henry, 
et l'on y reconnaîtra le langage, non point d'un solliciteur ou d'un courtisan, 
mais celui d'un homme bien élevé qui a le sentiment de sa valeur et de sa 
dignité. M. Henry cite ces paroles du P. de Billy, savant mathématicien jé- 
suite : « Ego correxi D. de Fermatum et ostendi quod si duo minores numeri 
radicum œquentur majori impossibilis est solulio per ipsius melhodum : quod 
ipse postea fassus est ingénue se non animadvertisse. » Aux yeux de M. Ch. 
Henry, cet aveu de Fermât est une marque de faiblesse de caractère; nous 
y voyons, nous, tout le contraire. Ce que Fermât dit de Frenicle dont il croyait 
pourtant avoir à se plaindre : « Pour M. de Frenicle ses inventions en Arith- 
métique me ravissent, et je vous déclare ingénucmcnt que j'admire ce génie 
qui, etc. », prouve une rare générosité d'âme. Je passe sous silence les anecdotes 
d'un goût fort douteux recueillies par M. Henry contre Lagrange, Bézout et 
Delisle, le maître de Lalande. Disons en finissant ce trop long article que 
M. Henry n'a pas mieux compris l'originalité des œuvres de Mersenne et la 
nature des habitudes prétendues cachottières {sic) d'une époque où l'on travail- 
lait pour ainsi dire en commun, qu'il n'a compris la grande figure de Fermât. 

Favaro {Anl.). — Intorno ad ak'unc Nollzie incdile, irlalive a 
Xiccolo Coppemico, raccolle e pubblicale dal Prof. Massimiliano 
Curlzc. (77>J-8o-). 

En 1S74 et en 1875, M. Curtze a publié une collection de Notices sous le litre 
rteliquiœ Copernicanœ. En juin 1877, il lisait à la Soriélé des Sciences et des 
Arts de Thorn un savant Rapport dont la traduction italienne par le D' Spa- 
ragna a été insérée dans le t. M du BuUetlino, p. 167-171. En 1878, poursuivant 
SCS laborieuses investigations, M. Curtze a fait paraître encore ses Incdita Co- 
pernicana. Y>nh\iral[i>n importante dont il avait soigneusement rcrucilli 1rs ma- 
tériaux dans les manuscrits ries bibliothèques de Berlin, Fram-nbourg. l'psnl et 
Vit^nne, et aussi dans des livres imprimés aynnt appartenu h Copernic et enrii-hi* 



IlLVUE DES PUBLICATIONS. aoi 

de noies écrites de sa propre main. L'examen du livre d'.\bou Hassan Ali, inti- 
tulé : Preclarissirnus liber complétas in indiciis aslrorum (Venise, i485) a 
permis à M. Curtze de reconnaître que le grand astronome, tout aussi bien d'ail- 
leurs que Tycho Brahe, Kepler et Galilée, s'était occupé d'aslroloijie judiciaire. 
Le principal des écrits inédits de Copernic, signalé par .M. Curtze, n'est pas un 
autographe, c'est une copie. 11 a pour litre : Nicolai Coppernici de hypothesi- 
bus motuum cœlestium a se constitutis, et se trouve dans le volume manuscrit 
n° io53o de la Bibliothèque impériale de Vienne. La lettre de Copernic au cha- 
noine Bernard Wapowski, touchant un écrit de Jean Werner intitulé : De motu 
octavœ spherce, a été publiée dès i854 et réimprimée en 1878 par MM. Hipleret 
Prowe, avec notes de ces deux érudits. M. Curtze l'a étudiée dans les deux 
exemplaires manuscrits qui se voient, l'un à la Bibliothèque royale de Berlin, 
l'autre à la Bibliothèque impériale de Vienne. II a recueilli en outre de curieuses 
informations, à l'aide des notes autographes de Copernic relevées surtout dans 
quelques livres de la bibliothèque du chapitre de Ermland. 

Bonconipagni {Balth.). — Intorno a due scritti di Leonardo 
Euler. (808-811). 

Dans le cahier de mai 1879 de la Xouvelle Correspondance mathématique, 
de Bruxelles, le savant et sympathique directeur, M. Eug. Catalan, venante citer 
un écrit d'Euler intitulé : Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés m.a- 
giques, s'était demandé quelle était la date de la publication de cet écrit et à 
quel Becueil académique il pouvait bien appartenir. Le prince Balthazar Bon- 
conipagni, mieux que personne, pouvait répondre à ces deux questions, et il l'a 
fait de manière à donner satisfaction non seulement au mathématicien que la Bel- 
gique s'honore de compter au nombre de ses plus illustres professeurs, mais encore 
à tous ceux qui s'intéressent à l'histoire des Sciences mathématiques. II nous 
apprend en effet que cet écrit d'Euler fut publié pour la première fois, en 17S2, à 
Middelbourg, dans les Mémoires de la Société zélandaise des sciences de Fles- 
singue, et que celle première impression est indiquée dans la liste complète des 
Ouvrages de L. Euler, publiée à Pétersbourg en !783, à Bàle en 1786, à Pavie 
en 1787, et aussi dans im Catalogue des Ouvrages d'Euler publié à Pétersbourg 
en 1843, et enfin dans les Catalogues de Jean Georges Mensel, i8o4, et Poggen- 
dorff, i863. Le Mémoire en hollandais, par Gérard Greeve, que M. Catalan men- 
tionne comme suivant immédiatement le Mémoire d'Euler, n'a pas trait aux 
Mathématiques; il a pour titre : Waarneeming van een hoornagtig uitwas 
gegroeid aan de binnenzijde van de dije, c'est-à-dire en français : Observation 
d 'une excroissance cératoide, poussée au côté interne de la cuisse. 

Dans le cahier de mai 1879 du Bulletin des Sciences mathématiques et astro- 
nomiques, on a donné une lettre de Nicolas Fuss à Condorcet, dont le posl- 
scriptum indiquait un travail d'Euler sur le moyen de rendre rationnelle la 
/ dx V T --" T^ 

formule intégrale / -^ ■ Le prince Balthazar Boncompagni a retrouvé 

l'observation d'Euler relative à ce point d'Analyse, dans un Mémoire présenté à 
l'Académie impériale des Sciences de Pétersbourg, le 16 septembre 1776, et pu- 
blié en 1845 dans le 4' volume du Calcul intégral d'Euler. 

Genocclii (Angelo). — Diinoslrazione del qiiinlo posudalo di 
Euclide. Nota del Pi'of. \'incen7.o de Rossi Re (81 ».). 



202 SKCONDE PARTIE. 

Le célèbre professeur et académicieti de Turin prouve en quel(|ues lignes, que 
cette déinonstrulioM du postulatuin d'Euclide est déf'ertueuse comme toutes les 
autres. 

Giinther (S.). — Invarianli, covaiianti e contravai'ianli délie fuii- 
zioni omogenee. Nota del P. Giacomo Foglini ; Roma, 18-9. 
Article traduit de rallemand en italien par le D' Sparagna. 

(8i3-8i4). 

s. Giinther, après avoir fait ressortir le côté pratique et vulgarisateur du tra- 
vail de G. Foglini, reconnaît que la science allemande n'a encore rien produit 
d'équivalent dans ce genre, et exprime le vœu que ce Mémoire soit traduit en 
allemand. 

Tychsen {Camille). — Lagrange, par Camille Tvchsen, traduit 
du danois par le D'' Zeulhen. (81 J-82-). 

Ce Mémoire bio-bibliographique de Camille Tychsen sur Lagrange fut publié 
d'abord en danois dans le Journal de Mathématiques dirigé par le savant pro- 
fesseur de l'Université de Copenhague. Il se termine par une liste détaillée des 
travaux de Lagrange qui sont répandus dans les divers recueils académiques de 
l'Europe. 

E nestrbni [Gust.). — Lettres inédites de Joseph-Louis Lagrange 
à Léonard Euler, publiées par Balthazar Boncompagni; Saint- 
Pétersbourg, 1877. Article traduit du suédois par MM. Leouzon 
le Duc et Aristide Marre. (828-838). 

Ainsi que le fait observer fort judicieusement ^L Gustave Encstrom, les cor- 
respondances entre les savants, écrites à une époque où l'on n'avait point encore 
de Journaux et de Revues périodiques, sont d'une haute importance pour la con- 
naissance du développement des sciences mathématiques. Dans l'année 1862, 
dix-huit lettres d'Euler à Lagrange parurent dans l'édition des Œuvres posthumes 
d'Euler, publiée par les frères Fuss à Pétersbourg; mais aucune lettre de La- 
grange à Euler n'avait encore paru lorsque, en 1877, le prince Balthazar Bon- 
compagni publia et reproduisit par la photolithographie onze lettres de Lagrange 
à Euler. Cette correspondance remonte à 17Ô4; elle se continue en i-.bî), 1-56, 
1759, 1760 et 1762 et roule principalement sur le calcul des variations, dont la 
découverte est constatée dans la lettre de Lagrange du 12 août 1735, la théorie 
des cordes vibrantes, la théorie de la propagatiuii ilu son, et l'intégration des 
équations différentielles partielles. 

« L'histoire des Sciences ma th cma tiques», conclut M. Enestrôm,<( doit être recon- 
naissante au prince Balthazar Boncompagni pour sa précieuse publication. Le 
noble et savant Mécène a ainsi rendu un nouveau service à cette branche de lu 
Science, à laquelle il appli(|uc ses forces avec un succès si éclatant. » 

Biddci^o {.f.-li.). — .Siilla Memoria iucdila di Pietro Maggi, in- 
torno aiprinripii di ineccanira inolcrolarp di Vnibrogio Kusinieri. 
Nota di rjiambaltista lîiadcgo. ('83()-S^(S). 



REVUE DES PUBLICATIONS. aol 

Ce Mémoire de Pietro Maggi, qui fait l'objet de cette Notice de Biadcgo, fut 
écrit en l'année iS^o, à propos d'une longue dissertation sur quelques principes 
de mécanique moléculaire, insérée par Ambroise Fusinieri dans les Annales des 
Sciences du royaume Lombard-Vénitien. Présenté à l'Académie d'Agriculture, 
Arts et Commerce de Vérone, dès le lo décembre de cette même année i8)0. il 
ne fut admis aux honneurs de la lecture en séance publique que le 3 mars 1842, 
et ne fut point imprimé dans les Mémoires de l'Académie. 11 était resté inédit 
jusqu'au jour où le prince Baltliazar Boncompagni lui donna l'hospitalité dans 
son Bullettino. 

Maggi [Pietro). — Dissertazione intorno ai principli di mecca- 
nica molecolare del Dottore Anibrogio Fusinieri. (847-862). 

Cette dissertation est une vigoureuse défense des principes de Newton, Volta, 
Berzelius et Arago contre les attaques de Fusinieri et sa nouvelle théorie de la 
mécanique moléculaire. 

Boncompagni [Baltli.). — Giunte allô scrilto intitolato : In- 
torno aile vite inédite di tre matematici {Giovanni Danck di 
Sassoîiia, Giovanni di Lineriis e Fra Luca Pacioli du 
Borgo S. Sepolcro) scritta da Bernardino Baldi [Bullet- 
tino, ecc, tomo XII, p. 352-438. (863-872). 

Ces additions sont relatives à Luca Pacioli, et sont empruntées à neuf docu- 
ments inédits, extraits des archives générales Dei contratti de Florence, et re- 
montant