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Full text of "Bulletin des sciences mathématiques"

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in  2010  with  funding  from 

University  of  Ottawa 


http://www.archive.org/details/s2bulletindessci20fran 


BULLETIN 


DES 


SCIENCES   MATHÉMATIQUES. 


COMMISSION  DES  HAUTES  ÉTUDES. 


MM.  HERMITE,  président. 
BERTRAND. 
DARBOUX. 
TISSERAND. 
J.  TANNERY. 
FOUSSEREAU,  secrétaire. 


AVIS. 

Toutes  les  communications  doivent  être  adressées  à  M.  Dnrboux,  Membre 
de  l'Institut,  rue  Gay-Lussac,  36,  Paris. 


23040        Paris.-  Imprimerie  GALTHIER-VILLARS  ET  IILS,  quai  des  Grands-Augustins,  55 


/M 


luuLioTiiKQiJh:  i)i:  L'i:c()LK  i)i:s  hautes  ktudes, 

PUnUKI-:   sous    LKS    AUSPICKS    du    MINISTICHK    DK    i/iNSTRUCTION    I'UHU[QUK. 


llULIJyilN 


'b 


SCIENCES    MATHÉMATIQUES 

RÉDIGÉ  PAR  MM.  GASTON  DARBOUX  ET  .IULI^:S  TANNHUV, 

AVICC    I.A    COI.I.AIlOItATION    DE 

MM.    Cil.    ANDRK,    BELTRAMI,    BOUGAIEFF,   BROCARD,    BRUNEL, 

COURSAT,     en.     HENRY,     G.     KŒNIGS,     LAISANT,     LAMPE,    LESPIAULT,     S.    LIE,    MANSION, 

MOLK,    POKROVSKY,    RADAU,    RAYET,    RAFFY, 

S.    RINDf,    SAUVAGE,    SCIIOUTE,    P.    TANNERY,    ED.    WEYR,    ZEUTHEN,    ETC., 

Sous  la  direction  de  la  Commission  des  Hautes  Études. 

PlinriCATIO\  FO\DÉE  E\  1870  PAU  m\.  G.  DARROIX  ET  J.  IlOtJEL 
ET  COiNTINUKE  DE    187G  A    1886  PAR  MM.  G.   DARBOUX,  J.   IIOUEL  ET  J.  TANNERY, 


DEUXIEME  SERIE. 
TOME    XX.  —   ANNÉE  1896. 

(tome   XXXI   DE   LA    COLLECTION.) 


PREMIERE  PARTIE. 


PARIS, 

GAUTHIER-VILLARS  et  fils,  IMPRIMEURS-LIBRAIRES 

DU     BUREAU    DES    LONGITUDES,     DE    l'ÉCOLE    POLYTECHNIQUE, 
Quai  des  Gran Js-Augiislins,  55. 

189G 


/ 


BULLETIN  ^' 


SCIENCES  MATHÉMATIQUES. 


PREMIERE    PARTIE. 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES 


H.  POINCARÊ,  Membre  de  l'Institut.  —  Les  oscillations  électriques.  Le- 
çons professées,  pendant  le  premier  trimestre  1 892-1 893,  à  la  Faculté  des 
Sciences  de  Paris.  Rédigées  par  M.  C/i.  Mauraiu^  ancien  Élève  de  l'École 
Normale  supérieure,  Agrégé  de  TUniversité. 

De  nombreuses  expériences  ont  été  faites  dans  ces  dernières 
années  sur  les  oscillations  électriques. 

D'après  M.  Poincaré,  l'ensemble  des  faits  observés  confirmerait 
la  théorie  de  Maxwell,  en  admettant,  comme  le  veut  Hertz,  que 
la  théorie  de  Maxwell  c'est  le  système  (inéquations  (^) 

,      cVL       dZ        dX  ^     dX       dm        dN 

dt        dy        dz  dt         dz        dy 

Telle  est,  il  me  semble,  l'idée  directrice  du  nouvel  Ouvrage  de 
M.  Poincaré.  La  discussion  des  expériences  y  conclut  toujours  en 
faveur  dé  la  théorie  :  voilà  une  théorie  bien  favorisée. 

L'Ouvrage  débute  par  un  exposé  de  la  théorie.  L'auteur  com- 
plète  le   Mémoire   fondamental   de    Hertz   sur  les   équations   de 


(•)  L,  M,  N  force  magnétique;  X,  Y,  Z  force  électrique;  u,  f,  w  courant  de 
conduction;  e,  \x.  constante  diélectrique  et  constante  magnétique;  A  constante 
égale  à  l'inverse  de  la  vitesse  de  la  luniicre. 


r>  PUEMIÈKE   PARTIE. 

rÉleclrodjnamique,  en  cherchant  à  établir  comment  on  peut 
arriver  aux  équations  de  Maxwell  en  partant  des  laits  expérimen- 
taux. Hertz  avait  suivi  la  marche  inverse,  posant  les  équations  gé- 
nérales  comme  résumé   de  nos  connaissances   expérimentales  et  I 

montrant  qu'efifectivement  toutes  les  lois  admises  avant  ses  propres  f 

recherches  s'y  trouvent  implicitement  renfermées. 

Le  mode  d'exposition  adopté  par  M.  Poincaré  a  ceci  d'avanta- 
geux qu'il  ne  permet  pas  de  masquer  les  lacunes  de  la  théorie. 

Il  paraît  incontestable  que  si  l'on  part  des  équations  de  Max- 
well, les  lois  de  l'électromagnétisme  en  sont  des  conséquences 
nécessaires.  Avec  M.  Poincaré,  au  contraire,  partons  des  faits 
expérimentaux,  les  équations  de  Maxwell  en  sont-elles  l'expres- 
sion nécessaire  et  unique?  C'est  ce  que  l'on  pourrait  croire  après 
un  examen  superficiel  du  premier  Chapitre.  En  réalité,  cette  con- 
clusion ne  semble  pas  s'imposer.  Les  équations  difTérentielles 
acceptées  par  Hertz  sont  peut-être  les  plus  simples  qui  soient 
compatibles  avec  les  lois  expérimentales,  mais  ce  ne  seraient  pas 
les  seules.  On  n'arrive  à  les  établir  qu'à  l'aide  d'hypothèses  com- 
plémentaires. 

A  suivre  l'exposé  de  M.  Poincaré  on  peut  voir,  au  moins,  quelles 
hypothèses  il  y  a  lieu  de  faire. 

Le  premier  groupe  d'équations 

,      dL       dZ       dY 

A  u.  -^  =  -; 7— 

dt         dy        dz 

se  déduit  de  la  loi  générale  de  l  induction  et  de  quelques  hypo- 
thèses; ce  n'est  pas  la  moindre  d'admettre  «  que  la  loi  énoncée, 
tirée  de  faits  expérimentaux  particuliers,  est  générale.  On  fait  tou- 
jours une  hypothèse  analogue  quand  on  tire  une  loi  de  faits  expé- 
rimentaux, lesquels  sont  toujours  particuliers  ». 

Pour  obtenir  le  second  groupe  d'équations  fondamentales 

,     ^X       d^\       dN 
^'-dt=^-d^-^''^''' 

nous  faisons  appel  au  principe  de  la  conservation  de  l'énergie, 
étendu  à  tout  l'espace 

.1         .É-^      \         dt  dz         dy  I 


COMPTES   RENDUS   ET  ANALYSES.  7 

(^ollc  c(|iialion  conduit  à  [)os(*r 

,     dX       clM       ilN 

A  £  —7-  =  -, ^ fiTzA  u  -^  y., 

al         dz        dy 

et  deux  autres  égalités  analogues  introduisant  un  certain  vecteur 
a,  |S,  y.  Pour  retomber  sur  les  équations  de  Hertz,  il  faudrait 
démontrer  cjue  a,  [3,  y  sont  nuls,  alors  que  le  principe  de  la  con- 
servation de  l'énergie  exige  seulement  que 


/ 


^T(Xa  + Yp  +  Zy)  =  0. 


Supposer  a,  j3,  y  nuls  dans  tous  les  cas,  c'est  faire  une  nou- 
velle hjpotlièse.  Si  elle  permet  de  simplifier  les  équations,  c'est 
néanmoins  une  hypothèse  :  elle  pourrait  n'être  pas  conforme  aux 
faits  expérimentaux.  M.  Poincaré  montre  toutefois  que  a,  p,  y 
doivent  être  nuls  dans  un  champ  purement  électrostatique 
puisqu'alors  ils  restent  seuls  dans  les  équations. 

Au  reste  le  principe  de  la  conservation  de  l'énergie  ne  donne 
qu'une  intégrale  des  équations  différentielles.  Il  est  donc  cer- 
tain, a  priori^  que  ce  principe,  à  lui  seul,  ne  peut  fournir  un 
système  de  trois  équations  différentielles. 

Après  cet  exposé  substantiel,  M.  Poincaré  aborde  l'étude  des 
oscillations  hertziennes  (Chapitre  11),  en  se  plaçant  principale- 
ment au  point  de  vue  théorique.  Nous  voyons  (Chapitre  III) 
comment  l'intégration  des  équations  générales  se  simplifie  par 
l'introduction  d'un  potentiel  vecteur  ^,  y^,  Ç  satisfaisant  à  trois 

équations  en  L,  M,  N 

dt,        df] 

^  "  dy        dz  ' 

Ces  trois  équations,  compatibles,  ne  définissent  pas  entière- 
ment le  potentiel  vecteur;  à  un  système  de  solutions  ^,  r,,  Ç  on 

peut  évidemment  ajouter  les  dérivées  partielles  -y-?  -^^  -r-  d'une 

*■  •'  *  dx     dy     dz 

même  fonction  S(^,y,  z,  t).  Dans  chaque  cas  particulier,  on 
spécifiera  la  fonction  S  de  manière  à  faciliter  l'intégration;  pour 
le  cas  d'un   champ  de  révolution  il  existe  une  solution   particu- 


8  PREMIERE   PARTIE. 

lièrement  simple  où  le  polenliel  veeleur  ^',  y/,  V  obtenu  est  con- 
stamment parallèle  à  l'axe  de  révolution. 

Nous  voici  donc  en  possession  des  éléments  d'un  calcul  com- 
plet; nous  sommes  en  état  de  déterminer  théoriquement  la  pé- 
riode et  l'amortissement  d'un  excitateur  de  Hertz.  Voyons  main- 
tenant comment  on  peut  comparer  la  théorie  à  l'expérience  :  c'est 
l'objet  du  quatrième  Chapitre. 

Nous  trouvons,  dans  ce  Chapitre, «une  théorie  étendue  de  la 
résonance,  où  est  mis  en  évidence  le  rôle  important  d'un  amor- 
tissement dans  la  perturbation  excitatrice.  Si  l'excitation  est  ra- 
pidement amortie,  le  résonateur  est  mis  en  vibration  par  une 
secousse  brusque;  il  vibre  ensuite  avec  sa  période  propre, 
comme  le  fait  un  timbre  après  le  choc  du  marteau. 

Si  tel  est  le  cas  des  oscillateurs  de  Hertz,  un  même  excitateur 
doit  faire  vibrer  un  résonateur  quelconque,  et  la  longueur 
d'onde  mesurée  dans  les  expériences  d'interférences  doit  corres- 
pondre à  la  période  du  résonateur  :  c'est  le  phénomène  de  la 
résonance  multiple.  MM.  Sarazin  et  de  la  Rive,  qui  ont  décou- 
vert ce  phénomène,  en  ont  proposé  une  explication  différente. 
Suivant  eux,  l'excitateur  émettrait  un  spectre  continu  de  radia- 
tions électromagnétiques  parmi  lesquelles  chaque  résonateur 
choisirait  sa  vibration  synchrone. 

M.  Poincaré  fait  observer  que  son  explication  n'est  point  op- 
posée à  celle  de  MM.  Sarazin  et  de  la  Rive,  mais  en  est  un  cas 
particulier.  Une  vibration  pendulaire  amortie,  aussi  bien  qu'une 
perturbation  quelconque,  peut,  en  effet,  être  représentée  par  une 
intégrale  de  Fourier 

c'est-à-dire  qu'on  la  peut  considérer  comme  équivalente  à  un 
spectre  continu  de  vibrations  périodiques  non  amorties. 

La  théorie  proposée  par  M.  Poincaré  doit  donc  pouvoir  ex- 
pliquer tous  les  faits  qui  s'expliquent  dans  la  théorie  des  savants 
genevois.  L'explication  de  M.  Poincaré  est-elle  donc  équivalente 
à  celle  de  MM.  Sarazin  et  de  la  Rive?  Non  pas  :  elle  en  est  seule- 
ment un  cas  parlLCulier.  MM.  Sarazin  et  de  la  Rive  admettent 
que  la  vibration   excitatrice  est  composée  d'un  spectre  continu. 


coMPTiîs  iu:ni)Us  kt  analyses.  0 

l)'a|)[('.s  ce  (jui  [)rccc(lc,  cela  rcvicul  à  dire  (juc  c'csl  uik;  vihralion 
(/uelconque.  En  d'autres  termes,  MM.  Sara/an  et  de  la  Kiv(;  ne 
supposent  l'irii  siii-  la  peiLiirhalloii  excitatrice.  M.  Poincaré,  au 
contraire,  admet  fjue  ce  doit  être  une  Nihialion  |)(;ndulaire  simple 
amortie  :  des  expériences  pourraient  donc  montrer  que  l'hypotlièse 
de  M.  Poincaré  est  nécessaire.  Le  développement  des  expériences 
de  M.  Pérot  tend  à  établir  ([ue  la  vibration  émise  par  l'excitateur 
est,  en  efTet,  une  vibration  pendulaire  simple  amortie;  c'est, 
d'ailleurs  à  cette  idée  que  Hertz  lui-même  était  arrivé  de  son  côté. 

Quoi  qu'il  en  soit  de  l'explication,  un  résonateur  vibre  avec 
sa  période  propre. 

Si  donc  le  résonateur  est  bien  défini,  il  est  possible  de  calculer 
la  période  de  ses  oscillations,  et  la  mesure  de  leur  longueur  d'onde 
donne  la  vitesse  de  propagation  des  ondulations  hertziennes.  Or, 
en  faisant  se  propager  ces  ondulations  le  long  d'un  fil,  on  trouve 
une  vitesse  indépendante  de  la  période  et  égale  à  la  vitesse  de  la 
lumière  (expérience  de  M.  Blondlot).  Mais  la  théorie  de  ces  ex- 
périences n'est  pas  à  l'abri  de  toute  objection.  Dans  un  complé- 
ment au  quatrième  Chapitre,  nous  trouvons  l'historique  des  me- 
sures directes  de  la  durée  de  propagation  d'une  perturbation 
électromagnétique  le  long  d'une  ligne  télégraphique,  et  la  conclu- 
sion s'impose  après  les  expériences  plus  récentes  de  M.  Blondlot  : 
les  oscillations  hertziennes  se  propagent  le  long  d'un  fil  conduc- 
teur avec  une  vitesse  v  égale  à  celle  de  la  lumière. 

Les  anciennes  théories  sur  l'action  directe  à  distance  condui- 
sent au  même  résultat  :  la  propagation  dans  un  fil,  retardée  par  les 
effets  d'induction  et  de  capacité  combinés,  ne  peut  se  faire  qu'avec 
la  vitesse  v.  Mais  dans  l'air  libre,  les  actions  électromagnétiques 
se  feraient  sentir  instantanément  à  toute  distance,  et  ceci  est  en 
contradiction  avec  les  équations  de  Hertz  et  Maxwell  qui  exigent 
une  vitesse  finie  de  propagation,  encore  égale  à  v.  Après  les  ex- 
périences incertaines  de  Hertz,  ce  sont  les  mesures  de  MM.  Sa- 
razin  et  de  la  Rive  qui  entraînent  la  conviction  :  l'égalité  des 
vitesses  de  propagation  dans  les  fils  et  dans  l'air  se  trouve  établie 
(Chapitre  V). 

Au  sixième  Chapitre,  après  quelques  compléments  sur  la  théo- 
rie  du   résonateur,   nous   étudions    théoriquement  la  pénélralion 


10  PUEMIÈKE  PAHTIE. 

des  ondes  élecLromagnéliques  à  l'itUérieur  des  condiicLeurs  et  la 
dissipation  d'énergie  qui  en  résulte  par  suite  de  leur  échauffe- 
ment.  Ici  les  expériences  sont  peu  nombreuses  et  peu  sûres;  elles 
donnent  des  résultats  Doisins  des  prévisions  théoriques.  Le  Cha- 
pitre contient  encore  quelques  remarques  sur  l'influence  de  la  dif- 
fraction dans  les  expériences  de  réflexion  des  ondes  électroma- 
gnétiques :  ce  dernier  point  se  trouve  avoir  beaucoup  été  éclairci 
par  des  exj)ériences  ultérieures  de  Riglii  qui  sont  indiquées  dans 
un  Appendice  au  Chapitre  VII. 

{(  Dans  tout  ce  qui  précède,  on  a  supposé  en  présence  des 
corps  conducteurs  et  un  seul  diélectrique,  l'air.  I^es  propriétés 
des  autres  diélectriques  présentent  un  très  grand  intérêt,  mais 
sont  encore  plus  difliciles  à  étudier  expérimentalement  que  celles 
que  nous  avons  étudiées  jusqu'ici.   » 

Aussi  ne  trouvons-nous  qu'un  Chapitre,  l'avant-dernier,  con- 
sacré à  l'étude  de  la  propagation  des  oscillations  électriques  dans 
les  diélectriques  autres  que  l'air.  On  s'attache  surtout  à  la  rela- 
tion de  Maxwell  :  l'indice  de  réfraction  proportionnel  à  la  racine 
carrée  du  pouvoir  diélectrique  du  milieu,  et  cette  relation,  somme 
toute,  ne  se  trouve  pas  très  bien  vérifiée. 

L'Ouvrage  se  termine  enfin  par  l'analyse  du  Mémoire  de  Hertz 
sur  les  équations  de  l'Electrodynamique  pour  les  corps  en  mouve- 
jnent;  mais,  ici,  les  faits  observés  font  entièrement  défaut. 

Tel  est,  imparfaitement  résumé,  le  nouvel  Ouvrage  de  M.  Poin- 
caré,  à  la  rédaction  duquel  M.  Ch.  JMaurin  a  apporté  tous  ses 
soins. 

Ce  n'est  assurément  pas  un  Ouvrage  de  Physique  pure.  Aussi 
aurait-on  tort  d'y  chercher  une  description  complète  des  appareils 
ou  une  discussion  approfondie  de  la  précision  des  mesures. 

Par  contre,  on  y  trouvera  des  indications  très  complètes  sur  la 
théorie  des  phénomènes.  Les  résultats  définitivement  acquis  sont 
nettement  mis  en  évidence;  la  plupart  des  faits  d'ordre  secondaire 
y  sont  signalés  et  étudiés  d'après  les  Mémoires  originaux.  Dans 
une  science  comme  l'Electromagnétisme  dont  les  progrès  sont,  en 
ce  moment,  si  importants  et  si  rapides,  un  travail  d'ensemble  ne 


COMrTIiS  HHNDUS   M'V   ANALYSHS.  ii 

saurait  cire  clcdiiilii.  Mais  Ions  cciiv  (|iii  s'iuU-i'cssciit  à  celle 
science,  i)our  leurs  éludes  ou  pour  leurs  reclicrclies,  seront  rc- 
connaissanls  à  M.  Poincaré  d'avoir  écrit  un  IJvre  (|ui  est  appeh';  à 
leur  rendre  les  j)lus  grands  services.  11.   Aijkaham. 


Cii.  MÉUAV,  Professeur  à  la  F'aculté  des  Sciences  de  Dijon.  —  Lkçons  Nor- 

VELLES  SUR  l'AnALYSE  INFINITESIMALE    ET    SES   APPLICATIONS   GÉOMÉTRIQUES. 

Deuxième  Partie  :   Étude  monoi^raphique  des  principales  fonctions  d'une 
variable,  i  vol.  i^r.  in-8",  xr-ZicjO  p. 

La  seconde  Partie  des  Leçons  nouvelles  sur  l^ Analyse  infini- 
tésimale de  M.  Méray  vient  de  paraître,  et  je  ne  saurais  trop 
conseiller,  à  tons  ceux  que  les  questions  de  principes,  en  Mathé- 
matiques, intéressent,  de  lire  cet  intéressant  Volume  avec  soin. 
L'auteur,  comme  on  sait,  borne  l'Analyse  à  l'étude  des  fonctions 
développables  en  séries  entières,  et  tient  à  prouver  que  la  seule 
considération  de  ces  fonctions  suffit  dans  toutes  les  questions  qui 
ont  quelque  utilité  prati(jue.  Pour  bien  établir  qu'en  partant  d'une 
telle  notion  de  la  fonction  on  pouvait  parcourir,  d'une  façon  tout 
à  fait  logique,  toute  la  gamme  de  nos  connaissances  théoriques, 
M.  Méray  a  rassemblé  dans  son  premier  Volume  toutes  les  ques- 
tions de  Théorie  pure.  Il  nous  y  a  conduit,  de  la  notion  du  nombre 
entier  à  la  démonstration  de  l'existence  des  intégrales  des  équa- 
tions aux  dérivées  partielles,  sans  un  exemple,  sans  prononcer  le 
nom  d'aucune  fonction  particulière  autre  qu'un  polynôme  entier 
ou  une  fraction  rationnelle.  Cette  première  Partie,  d'une  abstrac- 
tion voulue,  demande,  de  la  part  du  lecteur,  un  grand  effort 
d'attention,  et  j'ai  toujours  regretté  que  l'auteur  ait  fait  paraître 
ce  Volume  isolément.  Je  suis  certain  qu'on  aurait  mieux  goûté  la 
belle  ordonnance  et  la  logique  serrée  de  la  première  Partie  si  l'on 
avait  eu  de  suite  la  seconde  entre  les  mains  pour  pouvoir,  de  temps 
à  autre,  se  reposer  l'esprit  par  la  lecture  de  quelque  belle  appli- 
cation. 

Cette  façon  de  procéder,  il  est  vrai^  a  permis  à  M.  Méray, 
non  seulement  de  montrer  que  toutes  les  théories  générales  de 
l'Analyse  forment  un   tout  homogène,  mais  encore  de  déblayer  le 


terrain,  une  lois  pour  louLcs,  de  tous  ees  llicMjrèines  généraux, 
absolument  indispensables,  mais  dont  on  ne  relient  le  plus  souvent 
(|ue  l'énoncé,  pour  s'en  servir  comme  d'un  otiiil  tout  prêt  à  façon- 
ner quehjuc  nouvelle  proposition.  En  y  réfléchissant  bien,  je  me 
demande  même  s'il  eut  (Ué  possible  de  suivre  une  autre  voie,  en 
restant  dans  l'ordre  des  idées  de  M.  Méray.  Ainsi,  par  exemple, 
pour  nous,  une  relation  entre  trois  variables  w,  x^y  définit  une 
fonction  implicite  de  x  cl  y^  car  c'est  au  fond  la  définition  même 
de  la  fonction.  Pour  M.  Méraj,  il  n'en  est  plus  ainsi,  et,  étant 
donnée  une  relation  olotrope 

/(.r,  J,  W)  =r  o, 

il  s'agit  de  démontrer  (ju'il  existe  une  séfie  entière  u  conver- 
gente, vérifiant  cette  égalité.  Or,  cette  démonstration,  sous  sa 
forme  la  plus  générale,  est  loin  d'être  aisée  et,  au  fond,  touche 
de  très  près  à  la  théorie  des  équations  aux  dérivées  partielles. 

Ainsi  débarrassé  de  toutes  les  questions  générales,  dans  le  pre- 
mier Volume,  l'auteur  aborde,  dans  cette  seconde  Partie,  l'étude 
monographique  des  principales  fonctions  d'une  variable  :  les  fonc- 
tions algébriques  et  les  transcendantes  les  plus  simples. 

Le  premier  Chapitre  est  un  complément  à  l'étude  des  polynômes 
entiers  et  des  fonctions  olotropes  (^)  d'une  variable  réelle.  Il 
contient  les  théorèmes  sur  l'étude  de  la  variation  d'une  fonction 
d'une  variable  réelle  au  moyen  de  la  dérivée.  Je  citerai  tout  parti- 
culièrement une  belle  démonstration  du  théorème  de  Dalembert. 
M.  Méray  montre  non  seulement  l'existence  des  racines  d'une 
équation  entière,  mais  donne  encore  le  moyen  de  les  calculer.  Dé- 
gagée, comme  elle  l'est,  de  tous  les  préliminaires,  qui  se  trouvent 
dans  la  première  Partie,  cette  démonstration  est  fort  simple,  mais 
non  élémentaire,  puisqu'elle  s'appuie  sur  Texistence  de  l'in- 
tégrale d'une  équation  différentielle  de  la  forme 

du 
Dans  le  second  Chapitre,  l'auteur  définit  les  fondions  niéro- 


(')  Je  rappelle  (|iie  AI.  Méray  appelle  loiiclioii  olotrope  ce  que   nous  appelons 
une  f<ui('lion  Jioloniorpkc,  rcgulière  ou  encore  développabU'. 


COMPTFS   RRNDUS    I:T   ANAI.VSHS.  i3 

nior/>hcs  ((loiil  les  plus  simples  sonl  les  rraclions  ralioriiiclli  ^  i.  Il 
('Itidic  leurs  |)i()|)ii(''lés  el  leurs  ;m;il()i;les  ;ive('  I(îs  fractions  raliori- 
nelles,  el  (''lahlil  le  heaii  I  iK-orèine,  bien  eonnii,  (|ue  loiiLe  foiiel  jon 
indi' fini  ment  incromorphe  ([iii  n'a  (pTun  nornhre  fini  de  |)oles  est 
une  fraction  rationnelle.  Ce  Chapitre  se  termine  par  un  exposé 
1res  (l<'(aill(''  des  principes  du  calcul  des  résidus.  Le  calcul  des 
résidus  n'est  plus  à  la  mode,  on  s(î  contente  d'ordinaire  du 
liiéorème  fondamental  de  Caucliy,  qui  donne  l'intégrale  d'une 
fonction  méromorplie,  prise  le  lonj;  d'un  contour  fermé.  M.  Mérav 
lui-même  ne  paraît  pas  tenir,  outre  mesure,  à  tous  ces  détails 
un  peu  secondaires.  ' 

Avec  le  troisième  Chapitre,  commence  l'étude  monograpliique 
proprement  dite  des  fonctions  d'une  variable.  La  fonction  radi- 
cale simple,  définie  par  la  relation 


W"  —  X' 


est  évidemment  la  fonction  implicite  alij^ébrique  la  plus  simple  et 
c'est  aussi  la  première  que  l'auteur  étudie.  Au  fond,  c'est  la  défi- 
nition et  l'étude  de  la  fonction  .^!^(même  lorsque  [a  est  imaginaire) 
qui  font  l'objet  de  ce  Chapitre.  D'ordinaire,  pour  définir  de  la 
façon  la  plus  générale  x^^  on  pose,  par  définition, 


xV-  =  eV-  L.»". 


On  passe  donc  par  l'intermédiaire  de  deux  transcendantes  l'ex- 
ponentielle et  le  logarithme,  pour  définir  une  puissance.  Au  point 
de  vue  pratique,  ce  procédé  permet  de  déduire  rapidement  les 
propriétés  de  la  puissance  des  propriétés  des  fonctions  compo- 
santes e^  et  Lz^  on  va  ainsi  plus  vite  ;  mais,  au  point  de  vue  phi- 
losophique et  didactique,  il  est  regrettable  d'avoir  à  passer  par  de 
pareils  intermédiaires  pour  définir  la  fonction  réputée  la  plus 
simple,  xV-.  M.  Méray,  qui  a  en  horreur  tous  les  chemins  détour- 
nés, rejette  résolument  ce  moyen  artificiel  et  attaque  la  question 
de  front.  Je  m'empresse  de  dire  que  l'auteur  a  vaincu  la  difficulté 
avec  une  virtuosité  admirable,  et  que  ce  Chapitre  III  est  un  des 
|)lus  beaux  Chapitres  du  Livre.  La  théorie  générale  des  fonctions 
inq)licites   donne   immédialemenl  le   développenienl   de    la    fonc- 


i4  PREMIÈRE   PARTIE. 

lion  //,  à  partir  des  valeurs  initiales  xi  et  ui  : 

Ui^  —  Xi  ui(x  —  XiY 

"  =  "/-^  l"--  ; h...  4-î-r.(îa-l)  ...(;a-Â+l)  -j,  — .- 

X  /  I  u-  ■  n.  . 


OÙ  l'on  a  posé  a  =  —  :  et  il  est  tout  naturel  de  ramener  de  suite  le 

cas  général  au  cas  particulier  de  iti=  i,  Xi=  i.  On  considère 
alors  la  pseudo-fonction  di(jjL,^)  qui  n'est  que  le  prolongement 
de  la  fonction  u  à  partir  des  valeurs  initiales  «/ =  i  ^  ^^  =  i.  Si 
maintenant,  dans  le  développement  de  'Vu.,  .r),  abstraction  faite 
de  son  origine,  on  donne  à  |jl  des  valeurs  imaginaires,  on  arrive 
ainsi  directement  à  la  définition  générale  de  x^.  A  vrai  dire, 
M.  Méray  ne  nous  dit  jamais  qu'il  a  défini  .^t^,  et  il  conserve  jus- 
qu'au bout  la  notation  ^(jJ^,  x).  Je  ne  sais  pas  trop  pourquoi,  et  il 
me  semble  que  ce  Chapitre  n'aurait  pu  que  gagner  en  limpidité, 
quoique  déjà  très  clair,  si  l'auteur  nous  avait  dit,  ne  fût-ce  que 
par  un  mot,  que  toutes  les  propriétés  de  '|(fji,  ^'),  qu'il  établit 
avec  tant  d'élégance,  ne  sont  au  fond  que  l'extension,  au  cas  de  jjl 
imaginaire,  des  propriétés  ordinaires  d'une  puissance  à  exposant 
réel  et  entier.  Ainsi,  par  exemple,  il  établit  sous  des  conditions 
restrictives  bien  définies,  les  égalités 

'l(  ;ji,  .r'/'\r"/^" )=['l{  [Jl,  x' )Y'  \ ii (  -jl,  x")^". 
•l  (/.,  IX,  +  /.-,  ;j.2,  X)  =  I  4;(  1^1^  )]/m  lh(ix,  X  )Y^, 
^[ix\<l{ix,x)]  =  •];([j.a',.r), 

qui  ne  sont  que  les  extensions  des  égalités  connues 

( .r '/'■' x"^'" )y-=z(  x'^ y-'  ( x" H- )/'■" , 

{xl^)V-'  =  .rF-l^', 

et  qui  découlent  fort  simplement  des  propriétés  mômes  du  déve- 
loppement de  'h  (  [JL,  x). 

En  tout  point  du  plan,  qui  sert  à  la  notation  graphique  de  la  va- 
riable x^  la  fonction  u  a  plusieurs  valeurs  qui  sont  données,  en 
fonction  de  l'une  d'elles,  U,  par  la  formule 

où  <I>  désigne  un  facteur  numérique  qui  ne  dépend  (jue  de  ui.  Ici  se 


COMPTAS   MENDUS   FÎT  ANALVSHS.  ij 

présciiliiil  une  pcl  ilc  di  I  (Iciilh'.  Pour  (iiirc  uik*  (';!  iidc  (:()n)|)lrl(;  des 
val(Mirs  (l(;  c(î  Caclciir  <I>(ui)  cl  de  la  fonction  'i/dx,./),  il  restait  à 
étudier  ce  que  d'ordinaire  nous  appelons  Vargumcnl  d'une  telle 
quantité.  Pour  M.  Méray,  la  Trigonométrie  élémentaire  doit  être 
bannie  de  l'Analyse,  car  la  définition  élémentaire  de  sin^  définit 
cette  fonction  en  faisant  correspondre  à  chaque  arc  x  une  quantité 
bien  déterminée  et  non  pas  une  série  entière  ;  il  ne  nous  parh.'ra 
donc  des  fonctions  circulaires  qu'en  donnant  leurs  dévelo[)pe- 
ments  et  après  l'exponentielle  et  le  logarithme,  qui  ont  une  ori- 
gine plus  simple,  et  auxquelles  elles  se  ramènent,  au  fond.  En 
conséquence,  nous  n'entendons  pas  parler  de  l'argument  d'une 
quantité  imaginaire.  Pour  tourner  la  difficulté,  l'auteur  substitue 
ingénieusement,   à   la  notion  d'argument,  celle  de  pente  d'une 

imaginaire.    La  pente  de  l'imaginaire  a -\- bi  est  le  quotient  -> 

c'est-à-dire  la  tangente  trigonométrique  de  ce  que  nous  nommons 
Vargument.  A  l'aide  de  cette  nouvelle  quantité,  on  étudie  facile- 
ment les  propriétés  de  ^([jt.),  qui  conduisent  à  la  résolution  de 
l'équation  binôme  x"^  —  i  =  o  ,  dont  les  racines  sont 


<I.(o)=  [,     '!>(     '    ),      ...,      cî,  ^""^ 


\  m  /  \      m 


Dans  le  quatrième  Chapitre,  l'auteur  étudie  les  phases  criti- 
ques des  fonctions  implicites.  La  méthode  suivie  est  celle  des 
coefficients  indéterminés  et  a  des  analogies  avec  la  méthode  de 
Puiseux;  mais  M.  Méraj,  toujours  porté  vers  les  généralisations, 
au  lieu  de  se  borner,  comme  Puiseux,  à  l'étude  des  fonctions  algé- 
briques, étudie  d'une  façon  plus  générale  les  fonctions  implicites  a 
définies  par  une  relation  de  la  forme 

(i)  /(.r,  u)  —  o, 

où/(^,  u)  est  ololrope  en  x  et  u.  La  théorie  générale  des  fonc- 
tions implicites  montre   qu'au  voisinage  de  tout  couple  :r  =  .^o^ 

u  =  Uq  vérifiant  la  relation  (i)  et  n'annulant  pas  y^?  la  relation  (i) 

définit  une  fonction  olotrope  de  x  qui,  pour  x^=Xq^  prend  la 
valeur  u=-Uq.  Les  points  critiques  sont  donc  les  couples  de 
valeurs  pour  lesquels  l'égalité  (i)  est  vérifiée  en  même  temps  que 


jg  piUiMikini;  partie. 

l'c^alilc 

Le  cas  général  se  ramène  évidemment  au  cas  où  Uo  :=  o,  Xq  =^  o, 
en  posant  a  =  Uo  ■+•  u'  -,  x  =^  Xq-[-  x'  .  M.  Méraj  étudie  d'abord  les 
racines  olotropes.  Pratiquement,  il  est  ramené  à  représenter, 
comme  Puiseux,  tout  terme  ii^x^^  def{x,  u)  par  un  point  (ya/o/i) 
de  coordonnées  m  et  /z,  puis  à  former  le  poljgone  ouvert  enve- 
loppant les  jalons.  Tout  côté  de  ce  polygone  dont  le  coefficient 
angulaire  est  entier  fournit  une  racine  olotrope.  Il  montre  ensuite 
qu'on  peut  déterminer  un  entier  p  tel  qu'en  remplaçant,  dans  (f), 
X  par  \P^  la  nouvelle  équation  n'ait  que  des  racines  olotropes  au 
voisinage  de  ^  =  o,  w  =  o.  Ceci  revient  à  montrer  que  le  nouveau 
polygone  enveloppant  les  jalons  n'a,  pour  un  choix  convenable 
de  /?,  que  des  côtés  dont  les  coefficients  angulaires  sont  entiers. 
On  déduit  de  là  les  développements  des  diverses  racines  et  leurs 
groupements  en  groupes  se  permutant  circulairement  autour  de 
X  ^=o. 

C'est  au  Chapitre  V  que  commence  l'étude  des  transcendantes 
les  plus  simples.  Pour  l'auteur,  toute  transcendante/?e«^e^/'e  con- 
sidérée comme  le  résultat,  prochain  ou  éloigné,  cV intégrations 
exécutées  sur  des  expressions  de  nature  auparavant  connue  ; 
en  conséquence,  il  définit  de  cette  façon  le  logarithme,  l'expo- 
nentielle, les  fonctions  circulaires  et  les  fonctions  elliptiques. 

L'intégration  des  fractions  rationnelles  conduit  à  la  notion  du 
logarithme,  de  l'exponentielle,  de  tang^  et  de  col.r.  Le  loga- 
rithme est  défini  par  l'égalité 

dx 


r  dx 

L.r  —    /     — • 

.A      X 


et  la  fonction  inverse  est  l'exponentielle  e^ .  La  manière  d'étudier 
ainsi  ces  deux  fonctions,  ainsi  que  tang\r  et  cot^,  en  posant,  par 
définition. 


arc  tans: 37  = 


est  trop  connue  pour  que  je  m'y  attarde.  Je  me  contente  de  signaler, 
en  passant,  une  nouvelle  expression  heureuse  :  M.  Méray  emploie, 


COMPTAS    UKNDIIS    Kl    ANALYSES.  i- 

pour  tlc'M^ncr  ce  (jiic  nous  ;ij)|)(^loiis  ordmiiircmciil  \a  nriiodd  do 
L.r(:>. /t),  l'exprfîssion  auf^nimt,  cjiii  évite  ainsi  (onle  confusion 
cnlrr  Irs  fouchons  périodicjuos  ol  leurs  in\erses,  hdies  que  le 
loi;arillnu('. 

Avaul  (lalhKpier  les  fonelioiis  eireulaires  sin.r  el  eosx  Tau- 
leur  Iraih^  i'apid(MnenL  la  rédiK^iou  f; é ii ''> ra  1  e  rie  riuléi^rale  livper- 
elliplicpie 

aux  intégrales  normales  des  trois  espèces,  et  montre  que  les  deux 
cas  où  le  polynôme  'f  (.r)  est  de  degré  2 ai  ou  o.n  —  1  se  ramènent 
l'un  à  l'autre.  Les  fonctions  circulaires  sont  alors  celles  qui  pro- 
viennent du  cas  de  /z  =  i . 

Le  Cliapitre  \\\  mérite  une  mention  spéciale.  Il  débute  par 
des  généralités  sur  les  fonctions  unipériodiques,  qui  montrent 
l'analogie  de  la  théorie  de  ces  fonctions  avec  celle  des  fonctions 
bipériodiqiies  et  préparent  l'étude  de  ces  dernières.  On  né^litre 
souvent,  dans  les  traités  d'Analjse,  l'étude  des  fonctions  uni- 
périodiques,  et  cependant  elle  présente,  à  certains  égards,  des 
difficultés  qui  n'existent  pas  dans  l'étude  des  fonctions  bipério- 
diques  et  est  pleine  d'intérêt.  Le  plan,  qui  sert  à  la  notation 
graphique  de  la  variable  x,  peut  être  découpé  en  bandes  paral- 
lèles (bandes  élémentaires)  telles  qu'il  suffit  d'étudier  la  fonction 
nnipériodique  dans  une  telle  bande,  car  elle  reprend  périodique- 
ment les  mêmes  valeurs  quand  x  passe  d'une  bande  à  l'autre. 
M.  Méray  définit  alors  les  fonctions  nx\\^éY\oà\(^ues  polarisées. 

Une  fonction  nnipériodique  est  dile  polarisée  avec  les  valeurs 
polaires  u^  et  w_  si,  lorsque  x  s'éloigne  indéfiniment  le  lono  du 
bord  d'une  bande  quelconque,  la  valeur  de  la  fonction  tend  vers 
la  limite  u^  ou  u_  suivant  que  x  s'éloigne  dans  une  direction  (bo- 
réale) dans  l'autre  (ausl/ale).  Les  fonctions  unipériodiques  po- 
larisées jouissent  des  mêmes  propriétés  que  les  fonctions  bipé- 
riodiques.  Toute  fonction  nnipériodique  polarisée,  indéfiniment 
méromorphe,  n'a  qu'un  nombre  limité  de  zéros  et  de  pôles  dans 


i-Ki.r 


chaque  bande  et  s'exprime  rationnellement  en  ^  ^^  ,  n  étant  sa  pé- 
riode. 

Le  développement  des  fonctions  unipériodiques  méromorphes 

UuU.  des  Sciences  mat/iéni.,  1'  série,  t.  W.  (Janvier  1896.)  2 


i8  PREMIÈRE   PARTIE, 

polarisées,  en  sommes,  se  fait  an  moyen  des  (bnelions 

h(x)  =  y  — ■— —-.    {k  =  -x), 

qui  sont  imipériodiqnes ,   polarisées  et  jouent,   par  rapport  aux 
fonctions  imipériodiqnes,   le  rôle  d'éléments  simples  analogue  à 

celui  des  fractions  — »  parrapportauxfractionsrationnelles. 

L'application  aux  fonctions  circulaires   donne  les  formules  con- 
nues 

cota:-=  çi(^,  ~),  -T-2-:  =  ^2(^,  -), 


sin:r 


La  décomposition  des  fonctions  circulaires  en  produits  infinis 
hc  fait  ensuite  par  l'intermédiaire  de  la  fonction 


liée  à  Çi  (x)  par  la  relation 

o'(x) 
o{x) 


=  bi^)- 


Toute  fonction  méromorphe,  unipériodique,  polarisée,  admet- 
tant les  zéros  a\,  a^,  •  .  •  ,  cig  et  les  pôles  aj,  a^,  .  .  .  ,  ay  dans  une 
bande  élémentaire,  peut  être  mise  sous  la  forme 

f(x)  =  Ke"n'  [o(.^  -  ax  )\'"^  \o{^  -  ^2)]^"- .  •  •  [o{oo  -  a.^)J^"3 


[o{x  —  ai)j^.[o(:P  — a.2)]!^-3..  .  [o(a7  —  ay)]H-ï 

En  particulier,  pour  II  =  ?:,  on  a 

sin^  =  o{x). 

L'étude  des  fonctions  elliptiques  et,  plus  généralement,  des 
fonctions  bipériodiques  fait  l'objet  des  Chapitres  VIÏI  à  XIL 
L'inversion  de  l'intégrale  de  première  espèce 


J~s/0{u-a){u. 


du 

-  b){u  —  c){u  —  cl) 


coMPiKs  i;i<:ni)1)s  irr  analyses.  i(, 

loiirnil  I  <'\{'in|)l('  de  \:\  picinirrc  fonclion  Ijijx'riodin tio  K(.x). 
(f,  A,  Cy  <l  sont  ce  i\\\v  M.  iMrray  .ippcllc  les  valeurs  cardlndlca 
(le  II)  fonclioii  l^(./').  I);uis  le  cas  où  le  pol  ynoiiic  sous  U;  radicnl 
csl  (In  Iroisiriiic  dcf^rc',  la  (|iiMli'irin('  NalfMii"  cardinale!  (;sl  Tcc  cl,  à 
cause  (\k^  (;(da,  la  fonclioti  est  (l(''sl^n('c  par*  Iv^^(.r).  An  fond,  va\V\\\ 
loucllon  l^^(.r),  nvcîc,  (;ii  plus,  la  l'csIi'icUon  (jnc  la  somme  dos 
Irois  xaleni's  ('ardiuales  finies  est  nidic,  esl  la  fonclion  (;anoni(jne 
j)(.r)  de  M.  Weierstrass. 

Je  signale  de  suile  une  (l(''morisLralion  r(Mnar(|nal)lenicrit  siin|)le 
du  fait  (|ue  Je  rapport  des  deux  |)ériodes  est  imaginaire,  fait  qtii 
établit  la  double  périodicité  effective.  Puis,  apiès  avoir  indiqué 
les  principales  propriétés  des  fonctions  E(^)  et  avoir  ainsi  donné 
à  ses  lecteurs  un  exemple  palpable  de  fonction  bipériodique, 
M.  Méray  étudie  les  propriétés  générales  des  fonctions  bipério- 
diques,  déduites  directement  de  l'hypothèse  de  la  double  pério- 
dicité. Pour  étudier  une  telle  fonction,  il  suffit  de  l'étudier  lorsque 
la  variable  x  reste  à  l'intérieur  du  |)arallélogramme  (^maille)  élé- 
mentaire construit  sur  les  périodes.  Une  fonction  bipériodique 
méromorphe  a  un  nombre  flni  de  zéros  à  l'intérieur  d'une  maille 
et  la  somme  des  degrés  de  multiplicité  de  ces  zéros  est  V ordre  m 
de  la  fonction  (cet  ordre  m  ne  peut  être  inférieur  à  2).  Toute 
fonction  bipériodique  méromoiphe  satisfait  à  une  équation  diffé- 
rentielle de  la  forme 


I du\  '«  /  du \ 

\  dx  )  ^  \  dx  ] 


in—\ 


O, 


OÙ  m  est  Tordre  de  la  fonction  et  P,,  P^,  . . . ,  V ,„  des  polynômes 
entiers  en  «,  P„i_i  étant  identiquement  nul. 

De  même  que  les  fonctions  unipériodiques  polarisées  ,  les 
fonctions  bipériodiques  se  développent  en  sommes  d'éléments 
simples  et  en  produits.  Ici  les  éléments  simples  sont  les  fonctions 
suivantes  : 

:=:,(x)  =  iiaix:^ 


[ic  —  mW  —  iiil\i 


le  second  membre  étant  une  somme  quadruplement  infinie  obte- 
nue en  donnant  à  m  et  n  toutes  les  valeurs  entières  de  —  oc  à  +00. 
Lorsque  i^3,   il   n'y  a  aucune  difficulté;  mais,  pour  les  cas  de 


■lO 


VWKMliLlWi   l'AUTIK 


/  =  1  el  /  =  ;>.,  les  sommes  ne  sont  convergentes  (pie  si  l'on  groupe 
(Vu ne  façon  convenable  les  termes,  et  encore  la  somme  n'est  pas 
la  même  suivant  la  manière  dont  on  fait  le  groupement.  On  définit 
ainsi  plusieurs  fonctions  S,  (x)  et  E^i^r).  Il  y  a  là  une  véritable 
difficulté  et  M.  Méray,  au  lieu  de  la  masquer,  ce  qui  eût  été  facde, 
l'a,  au  contraire,  bien  mise  en  lumière  et  y  a  trouvé  une  occasion 
pour  faire  une  jolie  étude  de  séries  quadruplement  infinies.  Les 
fonctions  E/(.r)  sont  doublement  périodiques  pour  i^  2,  et  S,  (x) 
ne  peut  jamais  être  bipériodique  ;  mais,  en  choisissant  con- 
venablement la  manière  de  sommer  la  série,  on  peut  obtenir  une 
fonction  ^^^^Ei{x)  qui  admet  la  période  II. 

Pour  les  développements  des  fonctions  bipériodiques  en  pro- 
duits, on  emploie  les  fonctions 

0(x)  =  Un(l rr^ 7,V 

où  le  second  membre  est  un  produit  quadruplement  infini.  Chaque 
fonction  0(.t)  est  liée  à  une  fonction  E,(.r)par  la  relation 

et,  ainsi,  on  a  une  théorie  toute  parallèle  à  celle  du  développe- 
ment des  fonctions  unipériodiques  polarisées.  A  la  fonction 
'Ii^S,(x)  correspond  la  fonction  (l^^O(.c),  qui  n'est  au  fond  que 
la  fonction  0,  i^x)  de  Briot  et  Bouquet,  et  ainsi  M.  Mérav,  par  une 
voie  toute  dilférenle,  peut-être  plus  brève  et  en  tous  cas  très  élé- 
gante, établit  une  grande  partie  des  formules  que  l'on  peut  trouver 
dans  le  beau  Traité  des  fonctions  elliptiques  de  Briot  et  Bouquet  : 
les  développements  des  fonctions  bipériodiques  en  séries  trigono- 
métriques,  en  produits,  en  séries  doublement  infinies  d'exponen- 
tielles, etc  — 

Après  ces  généralités  sur  les  fonctions  bipériodiques,  Fauteur 
revient  aux  fonctions  les  plus  simples,  celles  du  second  ordre,  les 
fonctions  E(^)  et  E„(^).  Il  établit  la  formule  générale  d'addition 
déduite  de  la  relation  générale  qui  peut  exister  entre  deux  fonc- 
tions du  second  ordre  avant  les  mêmes  périodes  élémentaires,  puis 
pose,  d'une  façon  très  nette,  le  problème  général  de  la  transfor- 
mation.   Les   dimensions   restreintes  de  l'Ouvrage  ne  permettent 


COMPTES   KIÙNDUS   i: T   AiNALYSKS.  /i 

pas  à  M.  Méray  d'al)or(lcr  la  (|uesl,i()n  si  vaste  de  la  liaiisloiniLilion 
dans  loiilc  sa  généralité,  et  il  se  hoiiic  à  une  ('liidc  complète  (l<;  la 
transformation  (|u'il   nomnu;  jninuii/'c. 

Une  transformation  est  prinidiie  lors(jue  les  deux  fondions 
f{x)  et  y,  (.r)  sont  liées  liomograpln([nement,  et  l'on  arrive  assez, 
facilement  à  la  eonchision  (pie  ceci  ne  peut  avoir  lieu  (pie  si 
l'on  a 

Mx)=f{x  +  V), 

If      £)      Il  -+-  12 

r  jiNanl  une  des  quati'e  valeuis  o,     ->   -> --:   Il   et  Ù  étant  les 

périodes  élémentaires  communes  k  f(^x)  et  y,  {x).  On  en  conclut 
(pi'il  existe  une  relation  de  la  forme 


a/(.r)/(^+  ")  +  (3  [/(^)+/(^:r  H-  ")] 


+  Y  =  «. 


et  les  coefficients  a,  [ii,  y  se  calculent,  au  moyen  des  valeurs  car- 
dinales «,  b^  c,  cl  dey(x),  par  les  relations 

a  a^  +  (3  (  a -h  6  ) -h  Y  =^  o  ' 

a Cf/  -H  P (  (?  -h  f/j  H-  Y  =  o . 

C'est  en  recherchant  la  fonctiony(jr)  pour  laquelle  la  transfor- 
mation primaire,  relative  à  0,  prend  la  forme  simple 

/(^)+/(-^  +  ^)  =o, 

que  M.  Méray  arrive,  enfin,  à  définir  la  fonction  canonique  deJacohi 
sn:r.  Il  donne  les  formules  principales  de  cette  fonction  et  indique 
sommairement  les  trois  autres  fonctions  cnx,  dno:,  tn^.  Je  i\w. 
demande  pourquoi  l'auteur  est  resté  muet  sur  les  fonctions  ca- 
noniques de  M.  Weierstrass.  Lorsqu'il  a  parlé  de  la  fonction 
E„(j:),  il  lui  eut  été  facile  de  la  particulariser  un  peu  et  de  dire 
quelques  mots  au  moins  de  la  fonction  p{x).  Ces  fonctions  sont 
devenues  d'un  usage  si  courant,  qu'on  ne  peut  plus  les  ignorer. 
Ce  n'est  là,  il  est  vrai,  qu'une  bien  petite  lacune,  qui  lient  peut- 
être  à  l'exiguïté  de  l'espace  dont  dispose  M.  Méray,  et  je  la  signale 
avec  regret,  car  j'aurais  bien  voulu  jK)uvoir  terminer  cette  courte 
analyse  sans  la    moindre   observation  ,    tant   j'ai   de  l'cspectueusc 


22  PUliMlËUE    PAKTIE. 

syinpatliie  el  d'adiniraLloii  pour  le  talent  et  l'œuvre  de  l'érniuent 
professeur  de  la  faculté  de  Dijon. 

Le  Chapitre  XIII,  qui  termine  ee  second  Volume,  contient  les 
délinitions  et  les  |)rincipales  propriétés  des  fonctions  eulériennes 
B(/?,  ^)  et  r(/>),  exposées  d'une  façon  qui  ne  difTère  pas  sensible- 
ment de  celles  qui  ont  cours.  C.  Bouiilï:t. 


Formules  kt  propositions  pour  l'emploi  des  fonctions  elliptiques  d'après 

DES    leçons    et    des    NOTES    MANUSCRITES    DE    M.    WEIERSTRASS.    —    OuViage 

traduit  de  l'allemand  par  M.  Padé.  Première  Partie  (feuilles  i-i'2).  Paris, 
Gauthier-Villars  el  fils,  i8y4. 

Le  Bulletin  a  annoncé,  et  tous  ceux  qui  s'intéressent  aux  Ma- 
thématiques connaissent  certainement  les  Fonneln  und  LeJir- 
scitze  de  M.  Schwarz.  L'édilion  française  que  publie  M.  Padé, 
rendra  des  services  particuliers  aux  mathématiciens  français.  On 
sait  assez  quelle  sécurité  on  peut  avoir  avec  M.  Schwarz  et  le  soin 
scrupuleux  qu'il  a  ap|)orté  à  la  confection  de  son  œuvre;  pour 
cette  raison  même,  le  lecteur  nous  saura  gré  sans  doute  de  donner 
ici  la  liste  de  quelques  fautes  (très  probablement  les  seules)  qui 
s'y  trouvent;  c'est  à  la  bienveillance  de  M.  Schwarz  lui-même  cjue 
nous  devons  cette  liste;  à  vrai  dire,  la  première  faute  seule  méri- 
terait d'être  signalée,  et  c'est  M.  Schwarz  lui-même  qui  l'a  décou- 
verte. 

Page  3i,  ligne  4  (en  descendant)  :  Après  le  mot  «  quelconques  » 
ajouter  la  restriction  :  «  Il  faut  atti'il)uer  au  radical  y/ei —  e^  la    valeur 

CaO)     ,        ,  .  •      •     I  1-  •  II 
,  les  deux   entiers  p   ci   r/    sont   soumis  a    la  coiidilion    que  les  deux 

nombres  4/>  +  i  et  g  soient  j:>remiers  entre  eux.  » 

Page  35,  ligne  6  (en  montant),  au  lieu  de  v  -\ h  x,  lire  p  -f-      H —  t. 

Page  Scj,   ligne    i   (en    montant),  au    lieu  de  \/e)^ — Cy,,   lire  yex  —  t'y,* 
Page  46,  ligne  4  en  descendant,  au  lieu  de lire =  t,. 

J.  T. 


COMPTES   H  EN  DUS   ET   ANALYSES.  23 

HAUBEU  V  (I..). —  Tkoiuca  i>i;ij,k  koia/iom  iKFFERi:\/.i\r-i  dlpi-k,  prcccuJula 
(lii  lin  (liscorso  proliminarc  siil  j^indi/io  l'alloiK}  (l;ii  calcolalori  lincei,  e 
sopra  luia  rcconsiono  dcl  prof.  H.-J.  Sclnvarz.  Bologne,  Ccncrclli,  i8y5. 

L'aulcur  csL  |)rorcsscur  do  Pliilosopliic  à  l'Univcrsilé  de  Bo- 
logne cl,  sans  doiil(^,  dans  notre  pays,  peu  de  [)rofesseurs  de  Phi- 
losopliie  seraient  capables  d'aborder  la  théorie  des  solutions  sin- 
gulières des  équations  difrcrentielles.  M.  Barbera  l'a-t-il  fait  avec 
succès?  C'est  lin  point  (pTil  discute  avec  abondance  dans  son  dis- 
cours préliminaire,  qui  ne  contient  pas  moins  de  cent  vingt-neuf 
pages,  tandis  que  son  Mémoire  n'en  contient  pas  cinquante.  Il 
est  vrai  que  M.  Barbera  avait  affaire  à  forte  partie,  à  l'Académie 
royale  des  Lincei  en  général  et  à  M.  Sclivvarz  en  particulier,  qui 
n'ont  pas  émis  sur  ce  Mémoire  un  jugement  conforme  à  l'opinion 
de  l'auteur.  Le  Bulletin  n'a  pas  la  prétention  de  reviser  ce  juge- 
ment. 


RESAL  (11.)-  —  Thaith:  dk  Mécanique  générale,  comprenant  les  leçons  pro- 
fessées à  l'École  Polytechnique.  Deuxième  édilion,  entièrement  refondue, 
t.  I,  v-295  p.;  t.  II,  V-1C2,  p.  In-8".  Paris,  Gauthier- Villars,  1895. 

Depuis  l'époque  où  a  paru  la  première  édition  de  cet  Ouvrage 
si  apprécié,  bien  des  résultats  intéressants  ont  été  obtenus  dans 
le  domaine  de  la  Mécanique.  Il  est  vrai  qu'après  la  publication 
des  six  Volumes  composant  son  Traité,  M.  Resal  avait  comblé  une 
partie  des  lacunes  qui  s'étaient  produites  dans  le  tome  VII  et  der- 
nier de  sa  première  édilion,  consacré  tout  entier  à  des  dévelop- 
pements complémentaires.  Néanmoins,  il  est  bien  évident  que 
tous  les  lecteurs  de  M.  Resal  feront  bon  accueil  à  la  nouvelle  édi- 
lion, qui  constitue  à  bien  des  égards  un  Ouvrage  nouveau. 

Ces  deux  premiers  Volumes  de  la  nouvelle  édilion  traitent  de 
la  Cinématique,  des  théorèmes  généraux  de  la  IMécanique,  de 
l'équilibre  et  du  mouvement  des  corps  solides  pour  ce  qui  con- 
cerne la  Mécanique  rationnelle  et  du  mouvement  des  solides,  eu 
égard  aux  frottements,  de  l'Élasticité,  de  l'Hydrostaticpie,  de 
rHvdiodynamiqiic  et  de   l'ilydraiilique  pour  ce  qui   concerne  la 


24 


PREMIÈRE   PARTIE. 


Mécanique  appliquée.  M.  Resal  s'est  borné,  pour  ce  qui  concerne 
la  Thermodynamique,  à  renvoyer  à  l'exposilion  qu'il  avait  donnée 
des  principes  de  cette  Science  dans  le  tome  II  de  son  Traité  de 
Physique  mathématique.  Sous  sa  forme  nouvelle,  le  Traité  de 
Mécanique  générale  continuera  à  être  consulté  et  étudié  avec 
grand  profit  aussi  bien  par  les  théoriciens  que  par  les  ingénieurs. 

G.  D. 


H. -G.  ZEUTHEN.  —  Notes  sir  l'histoire  des  Matiié.mvtiqies  (Extraits  fin 
Bulletin  de  l' Académie  royale  des  Sciences  et  des  Lettres  de  Danemark, 
1893  et  1895). 


M.  Zeulhen  a  commencé  à  publier  une  série  de  Notes  en  fran- 
çais sur  divers  points  de  l'histoire  des  Mathématiques.  J'appelle 
en  particulier  l'attention  sur  les  trois  qui  ont  paru  en  cette  année 
1895. 

La  première^  Sur  les  quadratures  avant  le  Calcul  intégral  et 
en  particulier  sur  celles  de  Fermât,  contient  notamment  une 
étude  approfondie  des  procédés  tlu  géomètre  de  Toulouse;  la 
seconde,  Sur  le  fondement  mathématicjue  de  l'invention  du 
Calcul  infinitésimal,  est  surtout  consacrée  aux  travaux  deNevvton, 
que  M.  Zeulhen  s'attache  à  relever;  la  troisième.  Sur  quelques 
critiques  faites  de  nos  Jours  à  Aewtou,  est  destinée  à  défendre 
le  grand  Anglais  contre  le  reproche  de  certaines  fautes  qui  lui  ont 
été  attribuées,  en  particulier  par  Weissenborn  [Die  Principien 
der  hoheren  Analysis,  Halle,   i856). 

Cette  dernière  Note  surtout  a  un  caractère  polémique,  mais, 
dans  les  autres  également,  M.  Zeulhen  ne  s  abstient  pas  de 
prendre  à  partie  les  auteurs  dont  les  appréciations  diffèrent  des 
siennes.  Je  n'entrerai  pas  dans  le  détail  de  ces  controverses,  qu'il 
ne  s'agit  pas  de  prendre  au  tragique,  mais  qui  ont  en  tout  cas 
l'avantage  de  provoquer  à  une  réflexion  approfondie  sur  des 
points  parfois  assez  délicats.  Je  me  contenterai  de  dire  qu'en  ce 
qui  concerne  les  reproches  de  fautes  adressées  à  Newton,  M.  Zeu- 
then  m'a  personnellement  convaincu  qu'ils  reposent  à  peu  près 
exclusivement   sur  des  méprises,   alors   que,    par  un    préjugé  de 


COMl'TliS   lUÎNDUS   KT   ANALYSKS.  9.5 

longue;  (laLc  ('),  j(i  croyais  à  la  rralilt;  de  ces  l'aulcs  cl  aurais 
j)liilot  été  tenlé  de  croire  que  M.  Canlor,  dans  ses  Vorlesungen, 
n'avait  pas  siiffisaninienL  insisté  sur  leur  gravité. 

Mais  je  préfère  saisir  cette  oci^ision  |)oui'  présenter  quelques 
observations  sur  les  ori<»ines  du  (Calcul  iufinil(''sinial.  M.  Zeutlien 
ra[)pelle  (|u'i(;i  même  (i(S()/|,  p.  2.V>. )  j'ai  ii)di(|U('',  comme  le  véri- 
table point  de  départ  de  la  fondation  de  ce  calcul,  la  découverte 
du  caractère  inverse  des  opérations  ([ue,  dès  la  j;énération  anté- 
rieure, on  savait  effectuer  pour  résoudre  les  problèmes  des  tan- 
j^entes  et  les  problèmes  de  quadratures.  En  déclarant  qu'il  par- 
tage la  même  opinion,  1\I.  Zeuthen  ajoute  sur  la  même  ligne 
Tusage  des  séries  infinies. 

Pour  bien  comprendre  le  rôle  capital  joué  par  l'emploi  des 
séries,  il  suffit,  en  eflet,  de  se  demander  comment  il  peut  se  faire 
(jue  Fermât,  également  maître  en  quadratures  et  en  tracé  des  tan- 
gentes, n'ait  nulle  part  laissé  soupçonner  qu'il  eût  la  moindre 
idée  de  la  relation  entre  les  deux  problèmes. 

Notez  que  cette  relation  a  été  sans  aucun  doute  reconnue  en 
France  bien  avant  Newton.  Dans  une  lettre  à  Florimond  de 
Beaune  ('-),  du  20  février  i63(),  Descartes  dit  : 

((  Pour  vos  lignes  courbes,  la  propriété  dont  vous  m'envoyez  la 
démonstration  me  paroît  si  belle,  cpie  je  la  [préfère  à  la  quadra- 
ture de  la  parabole  trouvée  par  Archimède.  Car  il  examinoit  une 
ligne  donnée,  tandis  que  vous  déterminez  l'espace  contenu  dans 
une  qui  n'est  pas  encore  donnée.  » 

Si  l'on  ignore  absolument  quelle  était  celte  première  des 
quatre  courbes  dont  Beaune  avait  parlé  à  Descartes,  il  ne  m'en 
paraît  pas  moins  certain  que  la  phrase  ci-dessus  ne  peut  recevoir 
(pi^une  interprétation;  Beaune  s'était  donné  l'aire  d'une  courbe 
en    fonction    de    Tabscisse    et    en    avait   déduit   la    relation   entre 


(')  Il  remontait  aux  leçons  de  Duhamel,  que  j'ai  entendues  à  l'Iùolc  Poly- 
technique; ceci  peut  prouver  en  tous  cas  que  l'opinion  de  ^^eissenborn  n'était 
nullement  isolée,  et  que  la  réfutation  de  M.  Zeuthen  était  d'autant  plus  utile. 

(')  Lettres  de  Descartes,  éd.  Clerselier,  t.  III,  n°  71.  Ce  tome  a  été  édité  en 
1667,  c'est-à-dire  à  une  date  à  laquelle  Newton  était  déjà  en  possession  de  sa 
méthode  des  fluxions;  mais  Beaune  a  eu  sans  doute  d'autres  confidents  que 
Descartes. 


26  PKKMIÈHK  PAKTIE. 

l'abscisse  et  roidoiiDcc,  par  une  /iiéthode  idcnlicjue  à  celle  des 
tangentes. 

Descartes  continue  en  efTet  :  «  Je  ne  croj  pas  qu'il  soit  possible 
de  trouver  généralement  la  converse  de  ma  règle  pour  les  tan- 
gentes, ni  de  celle  dont  se  sert  M.  de  Fermât  non  plus,  bien 
que  la  prati([ue  en  soit  en  plusieurs  cas  pins  aisée  que  la  mienne. 
Mais  on  en  peut  déduire  a  posteriori  à^%  tliéorèmes,  qui  s'étendent 
à  toutes  les  lignes  courbes  qui  s'expriment  par  une  équation  en 
laquelle  l'une  des  deux  quantités  x  ou  y  n'ait  point  plus  de  deux 
dimensions,  encore  que  l'autre  en  est  mille,  et  je  les  ai  trouvés 
presque  tous  en  cherchant  ci-devant  votre  deuxième  ligne  courbe, 
mais  pour  ce  que  je  ne  les  écrivois  que  sur  des  brouillons  que  je 
n  ai  pas  gardés,  je  ne  vous  les  [)uis  envoyer.  » 

Ainsi  voilà  Descartes  en  pleine  [)OSsession  du  principe  du  Cal- 
cul infinitésimal.  Avec  son  génie  pour  les  notations,  qui  peut 
douter  qu'il  aurait  fondé  ce  calcul  dès  i63(j,  s'il  avait  trouvé  à 
propos  de  s'occuper  un  peu  ])lus  sérieusement  de  la  question? 
Mais  comment  a-l-il  pu  la  négliger? 

Nous  savons  quelles  étaient  la  deuxième  et  la  troisième  courbe 
de  Beaune,  qu'il  avait  définies  par  une  propriété  de  la  tangente. 
Descartes  ramène   le   problème  dans    les   deux   cas    à   trouver  la 

fonction   primitive  de  -  ;  il  prouve  que  cette  fonction  n'est  point 

algébrique,  enferme  chacune  de  ses  va/ears  pour  x  ralionel 
entre  deux  séries  limitées  (divergentes  si  on  les  prolongeait 
indéfiniment),  enfin  définit  la  fonction  par  le  mouvement,  ainsi 
que  IN'apier  l'avait  fait.  Mais  croie  le  contraire  qui  voudra,  je  ne 
puis  penser  que  Descartes  ignorât  l'invention  des  logarithmes,  et 
je  vois  même  dans  cette  lettre  une  preuve  suffisante  qu'il  avait  lu 
la  Constructio. 

\A  est,  je  crois,  la  clef  de  l'énigme  :  Fermât,  aussi  bien  que 
Descartes  ou  que  Roberval,  connaissait  les  logarithmes;  mais 
cette  fonction  considérée  seulement  comme  tabulaire,  ou  comme 
mécanique,  n'ayant  aucune  représentation  explicite,  fût-ce  sous 
forme  infinie,  ne  leur  |)araissait  pas  susceptible  d'être  admise  dans 
l'Algèbre,  uniquement  réservée,  d'un  commun  accord,  aux  relations 
exprimables  sous  formes  rationelles  entières.  Même  difficulté 
pour   les   fonctions   circulaires;  elles  sont  bien  connues,  maison 


COiMPTr^S   IIKNDUS   HT   ANALYSES.  27 

(liiiiil  (jiic  ral^ôbrisLo  i^non^  Icmiis  rcpi^îsciiliilions  symborKjUCS, 
admises  seulcmcnlcr)  rri<^()noinélrie,  car  ses  représcnlations  coii- 
eenieiil  la  (orni(;  lahiilaire,  vA.  s'il  s'aj;il,  (l(;  la  (l(UiniLion  géomé- 
li"i(jue,  on  préi'èrc  inlr()tliiir<;  iKîlLeiiieiil.  I(;s  lij^ties  (l'une  figure. 

Ainsi  les  maîtres  français  se  Lronvaienl  dans  une  impasse; 
Fermai  cl  les  autres  savaient  très  bien,  ne  l'etissent-ils  reconnu 
(jn'empiricjtiemenl,  cpie  les  procédés  des  métliodes  des  tangentes 
et  de  celles  des  quadratures  donnaient  des  résultats  inverses; 
aucun  ne  l'a  dit  explicitement  ;  si  l'un  d'eux  a  reconnu  théorique- 
ment la  raison  de  celte  relation  invers(î,  il  a  gar(l(3  le  secret  de  sa 
découverte;  c'est  cpi'en  fait  elle  ne  menaitàrien  |)our  le  moment, 
tandis  qu'on  |)ouvait  aisément  pressenlii-  son  importance  si  l'on 
trouvait  cpielqne  moyen  de  sortir  du  cercle;  des  fon(^lions  algé- 
briques. Avec  les  habitudes  du  temps,  et  alors  que  Newton  lui- 
même  a  si  longtemps  laissé  mûrir  ses  idées,  on  peut  dès  lors,  je 
crois,  s'expliquer  aisément  la  rareté  des  allusions  antérieures  à 
l'arcane  que  chacun  espère  posséder  seul. 

Fermât,  pour  nous  en  tenir  à  lui,  enseigne,  vers  i6.)o('),  un 
moyen  détourné,  mais  au  fond  très  suffisant,  pour  traiter,  dans 
les  questions  de  tangentes,  les  relations  compliquées  d'irratio- 
nelles;  cependant  il  n'en  développe  pas  les  conséquences. 

Les  fonctions  circulaires  ne  Tarrétent  pas,  mais  il  ne  les  traite 
que  sur  la  figure.  Pour  le  problème  inverse,  il  remonte  sans 
difficulté  aux  fonctions  primitives  j)our  tout  monôme,  à  exposant 
entier  ou  fractionnaire,  positif  ou  négatif  (-)  (sauf  l'exception  de 
la  fonction  logarithmi(|ue).  Il  sait  changer  de  variable  et  intégrer 
par  parties;  il  traite  des  radicaux  assez  eom[)li(jués  et  aussi  bien 
dès  lors  des  fonctions  circulaires,  ramenées  à  la  forme  algébrique 
par  le  cboix  de  la  variable.  Mais  il  n'exprime  les  fonctions  primi- 
tives, dans  le  cas  où  elles  sont  circulaires,  qu'en  montrant  com- 
ment le  problème  se  ramène  à  la  rectification  de  l'arc  de  cercle, 
absolument  comme,  avant  l'invention  des  fonctions  elliptiques,  on 


(•)  Œuvres  de  Fermât,  t.  I,  p.  i53;  cf.  t.  IL,  p.  .'Sj.  Il  est  remarquable  (luil 
n'ait  guère  fait  en  réalité  d'applications  de  ce  procédé,  comme  le  montre  bien  ce 
qu'il  dit  en  tWo  de  la  façon  dont  il  a  abordé  le  problème  de  la  réfraction  (t.  II, 

p.    4^DI). 

(^)  Bien  avant  ses  communications  avec  ^^'allis,  ([uoiquc  M.  Zcullicn  émetle  un 
doute  à  rel  égard.  Voir  Oh'u^'rcs  de  Fermât,  t.   It,  p.  338,  Note. 


28  PREMIËRIi   PARTIE. 

ne  |)Ouvail  (|iie  raineucr  telle  liiU'grale  à  la  leelificalloii  de  l'arc 
d'ellipse  (^  ). 

Ainsi  ce  qui  lui  fait  défaut  pour  aller  plus  loin,  c'est  moins 
l'invention  d'une  notation  dont  il  saurait  se  passer  aussi  bien  que 
le  fit  plus  tard  Tlujgens,  c'est  l'introduction  de  nouvelles  fonctions. 
Il  faut,  pour  le  progrès,  se  débarrasser  de  la  conception  géomé- 
trique concrète,  mais  pour  cela  il  est  nécessaire  de  définir  analj- 
tiquementles  fonctions  à  introduire. 

Or  cela  ne  pouvait  être  fait  qu'au  moven  de  l'emploi  de  séries 
infinies,  et  c'est  là  sans  aucun  conteste  une  invention  due  à 
l'Angleterre.  Le  premier  précurseur  de  Newton,  avant  Mercator, 
y  avait  d'ailleurs  été  Wallis,  quoiqu'il  ait  suivi  une  voie  diver- 
gente. Mais  Newton  fut  en  tout  cas  le  grand  maître,  celui  qui 
montra  toutes  les  ressources  de  l'invention;  et  même  une  fois 
connue  sur  le  continent,  elle  resta  le  domaine  propre  des  géomètres 
anglais,  jusqu'à  Tajlor  et  Maclaurin. 

Nous  pouvons  certainement  concevoir  aujourd'liui  la  notation 
de  Leibniz  développée  et  appliquée  sans  l'emploi  des  séries,  mais 
au  XVI i"  siècle  la  chose  n'était  pas  possible,  parce  que  le  concept 
général  de  fonction  faisait  défaut,  et  qu'il  ne  pouvait  s'introduire 
tant  que  les  relations  non  algébriques  ne  pouvaient  être  figurées 
que  géométriquement  ou  mécaniquement. 

En  résuméj  il  y  a  entre  l'invention  des  séries  et  celle  du  Calcul 
infinitésimal  une  relation  historique  étroite,  qui  justifie  amplement 
1  opinion  de  M.  Zeuthen  que  j'ai  mentionnée  plus  haut.  Mais 
c'est  dans  la  première  que  je  mettrais  surtout  le  principal  titre  de 
gloire  de  Newton;  la  reconnaissance  de  la  relation  inverse  entre 
le  problème  des  tangentes  et  celui  des  quadratures,  que  M.  Zeu- 
then lui  attribue  également,  était  au  moins  depuis  vingt-cinq  ans 
une  idée  dans  l'air,  et  Leibniz,  le  véritable  liéritier  des  grands 
géomètres  français,  Ta  très  probablement  recueillie  à  Paris;  cela 
ne  peut  d'ailleurs  non  plus  en  rien  rabaisser  son  génie,  si  mer- 
veilleusement doué  pour  la  s^'mbolisation.  Paul  Tanivery. 


(')  Pascal  l'avait  déjà  fait;  de  même  Fermât  ramène  la  rectification  de  courbes 
à  celle  d'arcs  de  paraboles  {Œuvres,  t.  I,  p.  2o3,  etc.). 


SUR  L'ÉTUDE  D'UNE  COURBE  ALGÉBRIQUE  AUTOUR  D'UN  DE  SES  POINTS 
(Extrait  dune  lettre  adressée  à  M.  J.  Tannery); 

Pau   m.   K.  VKSSIOT. 

.le  pose  le  pr'ohlrino  ainsi  :  /liant  doniu^e,  en  un  point  O 
fV une  courbe  (d'^ébri(jue,  V une  des  tangentes  à  la  courbe  en 
ce  point ,  reconnaître  combien  il  y  a  de  rayons  cur^Hlignes  réels 
de  la  courbe  tangents  à  cette  tangente,  en  O,  ei  comment  ces 
rayons  sont  placés  par  rapport  au  point  O  et  à  la  tangente  con- 
sidérée. 

Supposant  l'origine  transportée  au  point  O,  et  y — mx:=o 
étant  l'équation  de  la  tangente  considérée,  je  pose  y  ={m  -\-  l^)^-, 
ce  Cjui  donne  une  certaine  équation  *I^({Ji,  œ)  =  o,  et  tout  revient 
à  voir  combien  de  valeurs  réelles  de  m.,  satisfaisant  à  cette  éqya- 
lion,  tendent  vers  zéro  cpiand  x  est  un  infiniment  petit  positif, 
puis  négatif,  et  à  étudier,  dans  chacun  des  deux  cas,  le  signe  de 
ces  valeurs  de  [a. 

Jusqu'ici,  rien  de  nouveau.  Mais  je  remarque  que  celte  étude 
algébrique  sera  faite,  si  l'on  |)eut  faire,  à  l'origine,  l'étude  de  la 
courbe  *î*([^,  x)=  o.  On  est  donc  conduit  à  chercher  les  tangentes 
à  l'origine  à  celte  courbe  et  à  essayer  de  résoudre,  pour  chacune 
d'elles,  le  problème  énoncé  plus  haut.  En  appliquant  de  nouveau 
la  même  méthode  à  ces  diverses  tangentes  on  sera  conduit  à  étu- 
dier, à  l'origine,  une  ou  plusieurs  nouvelles  courbes,  et  ainsi  de 
suite. 

Il  est  facile  de  voir,  sur  un  exemple,  que  ce  procédé  peut  con- 
duire au  but.  Prenant,  par  exemple,  la  courbe 

y(^î  y)  —  y''  -^  'ixy'^  —  2 y {x-^ -\- y^ ) -[-  x'* y  -^  •?.x'''>  -i-  a?'"  =  o, 

et  posant 

y  =  \^^, 

il  vient 

^^(\x,  x)=  ;jl2  -f-  3  u-  5?  —  [\  |i..T-(i  -h  ;ji.'')-i-  \xx^-\-  ■ix'*-\-  a?"  =  o 
Posant  de  même 


M) 

il  vicriL  alors 


PURiMiKin-:  PAiniE, 


'l>i  (  ;jl',  .r  )  =  |x'2  -f-  3  ;j.'-.r  —  3  ;x'.r(  [  -i-  tj.'^.r''  )  -i-  a'./'2  -f-  -/.r-  -i-  .r^  =  o 


ou 


(  ;x'-^ —  3  [jl'  .t  -\-  •}.  ./■-  )  -f- .  .  .  —  o. 

ici  on  a  doux  langenles  simples 

|jt.'  —  X  =  o,         [j.'  —  •}.  X  =  o  ; 

on  en  conclut  facilcnionl  l'cxisicnce  de   valeurs  (J(3  a'  de  la  foiMiie 

;y  =  ('>.  +  s').r, 
Donc  pour  y  celles  de  valeurs  de  la  rorine 

j' =  (  r  H- £).r^,         _;k  =  (îi  H- -')-^^- 
D'où  la  Hgure  ci-jointe  pour  la  courbe  proposée. 

Fis.  I. 


Je  dis,  de  plus,  que  le  procédé  réussira  toujours,  c'est-à-dire 
qu'au  bout  d'un  nombre  limité  d'opérations  on  sera  conduit  à  des 
courbes  auxiliaires  ayant,  à  l'origine,  toutes  leurs  tangentes 
distinctes.  Soit,  en  effet, 

/(^,7)  =  (.r—  ^^^ocy\p-k{oc,y)+^p+x{x,y)-\-^^,,+^Xx,y)-^...=  o 
l'équation  de  la  courbe  donnée.  On  a 

Donc  l'origine  est  un  point  multiple  d'ordre  /r  au  plus  pour  la 
nouvelle  courbe.  On  a  donc  fait  un  pas  dans  la  réduction  de  la 
singularité,  sauf  si  l'origine  est  pour  <I>  =  o  un  point  multiple 
d'ordre  k  à  tangentes  toutes  confondues,  c'est-à-dire  si  l'on  a,  à  un 
facteur  constant  près, 

♦^(/?,  x)  =  {ix  —  m,.ry'-f-  o/,.^i{x,y)^. . .  =  o. 


BULLETIN   inin.KXJUAIMIIQUK.  3i 

Mais  on  i)()S('  al(»r.s,  d'aprrs  ht  riH'ilindc, 

[ji  =(m,-|-  [x,).r, 
cl  \\  vient 

«l»,(;x,,.r)r=  i4-\'..  .--  (., 

Cl  Ton  a  lait  iiii  pas  dans  la  rrdiicl.ioii,  à  inoins  ([uc  de  iioiivcaii 

'Vi(lXi,T)^{lxi~mo  .tY'--  h-  cp/,+1  (  j-,  j  )  4-  . .  .  =^  o, 

et  ainsi  de  suilc.  Supposons  (pic,  l'on  arrive  Ujujours,  en  eonli- 
nuanl,  si  jjrand  (pu;  soll  r/,  à 

*I\/(  |JL,/,  Jr)  =  { [x,,  —  /n,,^ixY'  + . .  .  —  o. 
On  a 

y  =  (  m  -h  ii)x.         IX  =  (  /ni  -h  |Xi  ).r,  . . . ,         |j.,/_i  =  ( m,,  +  !J.^).r, 

donc 

7  =  mx  -{-  iHyX^-^  niiX^  + . .  .-\-(nif^-\-  ixg)xl-^^^ 

et  cette  Ibrmule  représente  toujours  A"  racines  de  l'équation  pro- 
posée /(^,  j^)  =  o,  [i.^  y  ayant  les  k  valeurs  infiniment  petites 
données  par  ^.^(u.^,  œ)=  o.  La  difierence  de  deux  de  ces  \aleurs 
dey  est  donc  d'ordre  plus  grand  que  tout  ordre  donné,  c'est- 
à-dire  quey(^,  jk)=:  o  a,  quel  que  soit  x^  /c  racines  égales  en  y, 
cas  que  l'on  peut  écarter  ('  ). 


BULLETIN  BIBLIOGRAPHIQUE 


G.VYLEY  (A.).  —  An  elementary  treatise  on  elliptic  fiinclions.  i""  édi- 
tion. In-8",  390  j),  London,  Bell  et  Son.  i  j  sh. 


(')  M.  Andoycr  m'avait  indiqué  un  procédé  touL  semblable  à  celui  qu'on  vient 
de  lire,  qui  d'ailleurs  peut  être  regardé  comme  une  particularisation  d'une  mé- 
thode développée  par  ÎM.  \\'eierstrass;  la  marche  indiquée  par  M.  Vcssiot  se  re- 
commande, au  point  de  vue  de  l'enseiiincnient,  par  sa  simplicité  et  son  caractère 
pratique.  J.  T. 


32  PKEiMIKUli    PAUTIE. 

Gi:naillk(I1.).  —  Le  Calculateur  Henri  Genallle.  Ji»-8",  ~j  p.  avec  fig. 
Paiis,  iinj)!'.  Ghaix. 

Wkierstkass  (K.).  —  Mallieinalischc  Werke,  Iieiaus<,^eo.  ^o|l  d.  kgl. 
Âkademic  d.  Wissenschaften.  •!  Bd.  Abliandliinjicn.  II.  i\v.  \\\-\",  vi-oG'2  p. 
Berlin,  INlaycr  el  ]Miiller.  9,1   m.,  rclii-  ■}.{  m. 

Gayley  (A.)-  —  Collected  malhenialical  papers.  10  vols.  t.  VIII. 
In-4".  Cambridge,  University  Press.  25  sli. 

Grass.mann  (R.)-  —  IJie  Formenlehre  der  Maihematik  in  sirenger 
Formelentwickelung.  4  Thie.  in  1  Bande,  nebsl  Forinelbuch.  Gr.  in-8", 
avec  fig.  Stettin,  Grassrnan.    10  ni. 

Kronecker's{L.)  Werke.  —  Heransgegebcn  auf  Veranlassnng  der  konigl. 
preuss.  Akad  d.  Wissensch.  von  K.  Hensel.  1  Bd.  Gr.  in-^",  i\-483  pages, 
avec  portrait.  Leip/ig,   Tcubner.  28  ni. 

Ostwald's  Klassiker  der  exakten  Wissenschaften.  —  IN"'  ()0,  61. 
In-8'\   Leipzig,  P]ngelnianii. 

Pluckeî's  (/.)  Gesaninielte  wissenschaftliche  Abhandlungen.  —  Ini 
Auftrag  der  konigl.  Gesellschaft  d.  Wissensch.  zu  Gottingen  herausgeg. 
von  A.  Schonflies  u.  F.  l^ockels.  In  2  Biinden.  i  Bd.  Gesanimelte  mathe- 
mat.  Abhandlgn.  Herausgeg.  von  A.  Sclioenfliess.  Gr.  In-8°,  xxxv-620  p. 
avec  portrait  et  78  fig.  Leipzig,  Tenbner.  20  m. 

Saintignon  (F.  de).  —  Nouvelle  tliéorie  des  marées.  Le  mouvement 
différentiel,  ln-4",  i33  p.  avec  8  pi.  Nancy,  Berger-Levrault  et  G'^  6  Ir. 

Serres  (E.).  —  Méthode  chronométrique  pratique .  In-8°,  32  p.  avec 
fig.  Paris,  Imp.  nationale. 

Sievert  (H.).  —  Ueber  Thetafunktionen,  deren  Charakteristiken 
a  us  Fûnfteln  ganzer  Zahlen  bestehen.  2.  Tlil.  Progr.  3G  p.  Bayreuth, 
GiesseL  73  pf. 

Stackel  (P.)  und  Engel  (F.).  —  Die  Tlieorie  Parallellinien  von  Eu- 
klid  bis  auf  Gauss,  eine  Urkundensammlung  zur  Vorgeschichte  der 
nicht  euklidischen  Géométrie.  Gr.  in-8",  x-325  p.  avec  i45  fig.  Leipzig, 
Teubner.  9  m. 

Stahli  (F.).  —  Die  Cylinderfokalen.  In-S",  jo  p.  et  2  planches.  Bcrn. 

Wagner  (C).  —  Beitrdge  zur  Entwickelung  der  BesseVschen  Func- 
tion.  I.  Art.  In-8°,  65  p.   Bern. 

PoiNCARÉ  (IL).  —  Cours  de  Physique  mathématique.  Capillarité. 
Rédigées  par  J.  Blondin.  In-8",  195  p.  avec  i\'^.  Paris,  Carré. 


MfilLANCjKS.  33 


MELANGES. 

CHRISTIAN    HUYGENS  ('). 


Rendre  les  suprêmes  honneurs  à  un  ami  esL  une  des  grandes 
douleurs  de  la  vie.  Comme  une  image  dont  aucune  passion  fugi- 
tive n'altère  la  sereine  noblesse,  ainsi  nous  apparaît  le  fond  de 
son  âme  avec  une  clarté  que  les  agitations  de  la  vie  n'admet- 
taient pas  toujours.  Le  voir  ainsi  au  moment  du  dernier  adieu 
rend  plus  cruelle  l'amertume  de  la  perte  irréparable.  Cette  im- 
pression persiste  et  renouvelle,  à  chaque  retour  de  la  date  funeste, 
le  deuil  de  ceux  dont  il  fut  la  joie. 

Il  en  est  autrement  dans  la  grande  famille  humaine.  Les  dis- 
tances d'espace  et  de  temps  changent,  avec  leurs  proportions,  la 
nature  même  des  choses.  Celui  qui  fut  l'ami  et  le  bienfaiteur  de 
toute  l'humanité  nous  est  attaché  par  des  liens  moins  sensibles 
mais  plus  durables  que  les  tendres  fibres  du  cœur.  Lorsque  le 
cours  incessant  des  années  a  depuis  longtemps  fait  perdre  de  vue 
le  groupe  d'amis  qui  pleuraient  à  son  lit  de  mort,  il  arrive  que 
sa  figure  de  plus  en  plus  semble  s'élever,  attire  et  enchaîne  nos 
regards,  mieux  connue  dans  l'harmonie  de  ses  grandes  lignes,  à 
mesure  que  la  distance  augmente.  Les  héros  de  la  pensée  ne  peu- 
vent être  justement  appréciés  que  par  les  générations  qui  suivent, 
car  l'importance  de  leur  œuvre,  l'étendue  de  leur  influence, 
n'apparaissent  qu'à  la  lumière  de  la  science  qu'ils  ont  fait  naître. 
Parlant  et  agissant  par  leurs  tra\aux,  ils  ne  cessent  de  nous 
appartenir.  Le  terme  de  leur  vie  est  pour  nous  la  fin  d'une  tâche 
dont  le  souvenir  élève  l'esprit  en  nous  mettant  devant  les  jeux 
tout  ce  que  peut  embrasser  une  vie  humaine  bien  employée. 

Tel  fut  Christian  Huygens.  Quel  autre  sentiment  ce  8  juillet, 


(')  Discours  prononcé  par  M.  J.  Bossclia  dans  l'Auditoire  de  l'Université 
d'Amsterdam,  le  8  juillet  1890,  à  l'occasion  du  deuxième  centenaire  de  la  mort 
de  Huygens. 

Bull,  des  Sciences  matliém.,  2'  série,  t.  X\.  (Février  1896.)  3 


34  PREMIÈRE  PARTIE. 

où  deux:  siècles  nous  séparent  de  sa  vie,  peut-il  exciter  en  nous, 
si  ce  n'est  l'admiration  de  la  grandeur  de  son  œuvre  et  la  recon- 
naissance des  dons  précieux  de  lumière  et  de  vérité  qu'il  nous 
transmit? 

Il  dut  s'écouler  plus  d'un  siècle  avant  que  l'on  reconnût  la 
valeur  d'une  de  ses  plus  profondes  pensées.  Un  autre  siècle  a 
passé,  et  sans  cesse  son  image  grandit  et  gagne  en  attraits.  Tan- 
dis que  les  théories  actuelles  des  forces  de  la  nature  s'approchent 
de  plus  en  plus  des  vues  de  Hujgens,  de  nouvelles  données, 
concernant  sa  personne,  viennent  prêter  couleur  et  vie  à  sa  figure 
de  héros.  Des  documents,  extraits  du  trésor  de  la  Bibliothèque 
de  Lejde,  nous  racontent  ce  qui  se  passa  dans  l'atelier  spirituel 
du  grand  Hollandais,  ses  luttes  avec  la  matière  réfractaire,  la  pa- 
tience tenace  de  son  merveilleux  génie,  les  soins  inépuisables 
qu'il  ne  cessa  de  donner  au  perfectionnement  d'un  même  Ouvrage, 
afin  de  satisfaire  aux  conditions  presque  excessives  qu'il  exigeait 
dans  tout  travail  qui  devait  sortir  de  ses  mains. 

La  publication  de  tout  ce  qui,  dans  la  succession  littéraire  d'un 
homme  célèbre,  peut  être  déchiffré  et  rangé  dans  un  ordre  intel- 
ligible, s'est  montrée  quelquefois  une  épreuve  dangereuse.  Exa- 
minée de  trop  près,  l'image  peut  s'obscurcir,  troublée  par  les 
passions  humaines.  Il  est  permis  de  croire  que,  pour  cette  raison, 
des  manuscrits  de  haute  valeur  pour  l'histoire  des  Sciences  nous 
sont  restés  cachés.  Les  éditeurs  des  lettres  et  des  notes  de  Huj- 
gens n'ont  pas  connu  cette  difficulté.  Déjà,  en  six  gros  in-quarto, 
nous  avons  sous  les  yeux  plus  de  la  moitié  de  sa  Correspondance. 
Les  détails  qu'ils  nous  font  connaître  sur  sa  vie,  sur  ses  relations 
avec  ses  amis  et  parents,  sur  son  attitude  vis-à-vis  la  jalousie  et 
l'inimitié,  sur  tout,  enfin,  ce  qui  regarde  son  caractère,  ne  font 
que  confirmer  ce  qu'on  devait  attendre  d'un  homme  aussi  scru- 
puleusement consciencieux  dans  ses  recherches  scientifiques. 
Rien  ne  trouble  l'heureuse  surprise  de  reconnaître  que  ce  puis- 
sant penseur,  homme  comme  nous,  parmi  nous  et  dans  la  vie 
ordinaire,  compterait  parmi  les  plus  modestes  et  les  plus  at- 
trayants. 

Jamais  il  ne  nous  a  paru  si  noble,  et  notre  joie,  si  grande  que  fut 
la  valeur  d'un  homme,  et  —  pourquoi  le  cacher?  —  d'un  compa- 
triote, serait  sans  mélange  si  nous  ne  sentions   trop  péniblement 


MÉLANGES.  35 

combien  nous  (Jtnons  rester  au-dessous  de  la  làclie  de  retracer  sa 
figure  et  d'honorer  sa  mémoire  comme  il  le  mérite. 

Les  destinées  de  la  famille  lluygens  sont  intimement  liées  à 
celles  de  notre  patrie  et  de  la  maison  d'Orange,  dans  la  période 
la  plus  critique,  mais  aussi  la  plus  glorieuse  de  l(Mir  histoire.  Le 
grand-père  et  parrain  de  Christian  était,  dès  sa  vingt-septième 
année,  secrétaire  du  [)rince  Guillaume  T''.  Après  la  mort  du 
Taciturne,  il  accompagna  le  prince  Maurice  dans  ses  campagnes, 
en  qualité  de  secrétaire  du  Conseil  d'Etat.  Il  assista  ainsi  et  par- 
ticipa aux  délibérations  du  Père  de  la  patrie  et  au\  brillants  faits 
d'armes  du  grand  capitaine,  fidèle  et  vaillant  comme  eux.  Chris- 
tian, le  vieux,  tenta  le  coup  audacieux  de  ravir,  du  palais  de 
l'ambassadeur  espagnol  à  Londres,  le  fils  du  commandant  de  vais- 
seau Hoorn.  L'enfant  y  était  retenu  comme  otage,  pour  garantir 
l'exécution  d'une  entreprise  des  Espagnols  contre  Flessingue,  à 
laquelle  son  père,  de  connivence  avec  le  Stathouder,  avait  feint 
de  se  laisser  gagner.  Le  jour  même  où  Hoorn  devait  faire  tomber 
dans  l'embûche  l'ennemi  de  sa  patrie,  Tenfanl,  dont  le  prince 
Guillaume  avait  garanti  la  sécurité,  fut  enlevé  par  le  secrétaire 
Huvgens,  défendu  à  main  armée  contre  les  gens  de  Mendoza  et 
conduit  en  lieu  sûr.  Maintes  fois,  au  cours  du  voyage  en  Hollande, 
la  chance  d'échapper  aux  poursuites  de  Mendoza  sembla  perdue; 
mais  la  fin  heureuse  de  la  périlleuse  mission  a  dû  réjouir  d'autant 
plus  le  cœur  du  Taciturne,  dont  la  parole  se  trouvait  dégagée  avec 
autant  de  circonspection  que  de  hardiesse. 

C'est  à  cette  école  de  fermeté  et  de  persévérance  que  fut  élevé 
le  poète  Constantin.  Son  nom  devait  être  le  symbole  de  la  con- 
stance avec  laquelle  il  servirait  la  cause  de  la  liberté.  Constanter, 
comme  il  s'appelait  lui-même,  a  pleinement  satisfait  aux  vœux 
de  son  père.  La  maison  d'Orange  a  rarement  connu  un  serviteur 
d'une  plus  inébranlable  fidélité.  Toutefois,  les  penchants  de 
Constantin  Huygens  le  portaient  plutôt  au  service  des  Muses 
qu'aux  rumeurs  de  la  guerre.  Et  il  est  surprenant  de  voir  tout  ce 
que  son  intelligence  pouvait  embrasser  :  la  langue  et  la  littérature 
de  toutes  les  nations  et  de  toutes  les  époques,  la  musique,  la  pein- 
ture, les  Mathématiques,  la  Mécanique;  rien  de  ce  qui  mérite 
d'être  connu  ne  fut  négligé. 

Son  grand   savoir   excitait    l'étonnement ,    même  au   delà   des 


36  PUEMIÈKE   PARTIE. 

frontières  de  la  République.  Il  fut  admiré  par  des  amis  tels  que 
Hooft  et  Heinsius,  Descartes  et  Balzac.  Mais  les  soucis  de  sa 
charge,  ses  longs  et  nombreux  voyages,  en  qualité  de  membre  et 
de  chef  d'ambassade,  ne  lui  laissaient  guère  le  loisir  d'un  travail 
soutenu.  Certes,  un  homme  de  tant  de  talent  et  de  goût,  dont 
l'intelligence  sut  démêler  le  sens  des  dépêches  ennemies  les  plus 
habilement  chiffrées,  était  un  secrétaire  et  conseiller  hautement 
estimé  par  Frédéric-Mcnri,  l'ami  des  arts.  Maintes  fois  aussi  le 
prince  en  a  rendu  témoignage.  (Constantin,  toutefois,  ne  nous  a 
laissé  aucune  œuvre  durable  qui  augmente  nos  connaissances. 
Pendant-  les  heures  arrachées  au  sommeil,  sous  la  tente,  en 
marche,  à  cheval,  au  milieu  du  bruit  des  armes,  sans  cesse  il  était 
occupé  de  ce  que  pouvait  produire  sa  fantaisie,  des  formes  et  des 
images  poétiques  nouvelles,  des  épigrammes  et  des  jeux  de  mots. 
Ce  qu'un  esprit  aussi  prompt,  appliqué  à  un  travail  sérieux, 
maintenu  dans  les  étroits  chemins  de  la  recherche  et  de  la  ré- 
flexion aurait  pu  produire,  c'est  ce  que  son  fils  Christian  allait 
montrer. 

L'éducation  des  fils  de  Constantin  portait  les  marques  de 
l'époque  où  les  efforts,  portés  à  l^exlrême,  étaient  une  chose  or- 
dinaire. On  a  peine  à  croire  quel  lourd  fardeau  d'études  ils  eurent 
à  supporter  dès  leur  plus  tendre  jeunesse.  A  l'âge  de  huit  ans,  ils 
apprirent  le  latin  et,  dans  sa  dixième  année,  Christian  se  servait 
familièrement  de  cette  langue  avec  son  frère  Constantin.  Leur 
père  leur  envoya  du  camp,  sous  Grave,  des  vers  latins;  ils  trahis- 
sent les  sentiments  divers  que  lui  inspirait  chacun  de  ses  fils. 
L'aîné,  Constantin,  lui  apparaît,  dans  ses  trop  brillantes  espé- 
rances, comme  un  futur  poète,  «  tel  qu'il  n'y  en  a  pas  encore  eu 
au  monde  ».  Envers  son  petit  Christian,  le  ton  dont  il  parle  est 
moins  emphatique,  mais  plus  affectueux.  Jl  l'appelle  «  le  miel 
de  son  cœur,  son  mignon,  son  gentil  et  élégant  garçonnet  »,  qui, 
lorsque  son  père  reviendra  du  camp,  sera  récompensé  par  une 
pluie  d'or  des  vers  envoyés  à  l'occasion  de  sa  fête.  Et,  toute  sa 
vie,  le  père  a  conservé  ce  sentiment  plus  tendre  à  l'égard  de 
(Christian.  Il  a  beau  assurer  qu'il  chérit  au  même  degré  tous 
ses  enfants,  on  lit  clairement  dans  ses  lettres  que  c'est  toujours 
Christian  dont  l'adieu  lui  est  le  plus  affligeant,  l'absence  la  plus 
pénible. 


Dès  Tage  de  liulL  ans,  l'enfant  (-onniil  les  quatre  oj)érations  de 
l'Arithmétique  et  la  règle  de  trois.  En  même  temps,  il  apprit  le 
chant  et,  avant  que  l'année  ne  fût  écoulée,  il  savait  «  chanter  avec 
grande  justesse,  dans  toutes  les  clefs,  toute  espèce  de  morceaux 
de  musique  ».  A  neuf  ans,  il  apprit  la  Géographie  et  l'emploi  du 
globe  pour  trouver  l'heure  du  lever  et  du  coucher  du  Soleil  dans 
toutes  les  saisons.  A  dix  ans,  il  apprit  la  versification  latine  et  le 
violon,  à  onze  le  luth,  et  à  douze  la  Logique. 

On  serait  tenté,  aujouid'hui ,  de  se  demander  comment  de 
pareilles  études  pouvaient  être  supportées  par  Christian,  qui  était 
d'une  constitution  faible  et  délicate.  Mais  les  enfants  de  Constan- 
tin avaient,  à  l'âge  le  plus  difficile,  le  j)rivilège  d'être  instruits 
par  leur  père;  combien  celui-ci  s'enlendaità  tenir  leur  intérêt  en 
éveil,  c'est  ce  que  Ton  peut  voir  par  une  des  petites  pièces  de 
vers,  composées  par  Constantin  à  cette  époque,  sur  «  Christian, 
qui  me  suit  partout  comme  un  petit  chien  ».  Cependant,  lorsque 
d'année  en  année  les  campagnes  du  prince  tinrent  le  père  éloigné 
de  la  maison,  l'éducation  des  enfants  dut  être  confiée  à  des  pro- 
fesseurs, Mjrkinius  et  Bruno.  On  doit  douter  que  ce  dernier  fût 
un  bon  maître  pour  le  jeune  Christian.  Nous  connaissons  Henricus 
Bruno  par  les  lettres  latines  qu'il  était  chargé  d'écrire  tous  les 
quinze  jours  à  Constantin,  pour  lui  rendre  compte  des  progrès 
de  ses  élèves.  Ces  lettres  sont  des  modèles  de  mauvais  goût  pré- 
tentieux, écrites  sous  la  préoccupation  trop  visible  de  faire  sa 
cour  au  père  haut  placé  et  influent,  en  affectant  l'admiration  pour 
la  poésie,  en  faisant  étalage  de  savoir,  tout  en  se  perdant  dans  un 
verbiage  absurde.  Pour  un  enfant  aussi  vif  que  Christian,  ce 
devait  être  un  tourment  que  d'avoir  un  tel  maître.  Quelle  que  fût 
son  habileté  au  calcul,,  dans  l'emploi  du  globe,  en  musique,  il  y 
avait  une  chose  qui  lui  donnait  de  la  peine  :  composer  des  vers 
latins.  Ce  fut  en  vain  que  Bruno  l'importunait  sans  cesse,  que  le 
frère  Constantin  lui  prêtait  un  bienveillant  secours,  sa  muse  la- 
tine était  et  restait  paresseuse.  Bruno  nous  a  conservé  les  premiers 
vers  latins,  un  distique,  que  Christian,  à  l'âge  de  dix  ans,  a  péni- 
blement élaboré  : 

Ja/?7  primuni  tantum  coinpono  carmen  et  oro 
Excuses  jani  me,  post  meliora  dabo. 


38  PREMIERE   PARTIE. 

Le  suivanl,  cerles,  était  meilleur,  de  forme  irréprochable,  et 
non  sans  ironie  naïve  vis-à-vis  du  père,  dont  l'amour  de  la  poésie 
faisait  indirectement  souffrir  le  fils  : 

O  Pater  in  sylvâ  liceat  mihi  luclere  clavâ, 
Per  liisiun  clavœ  iiullij)erlere  poetœ. 

Une  époque  plus  heureuse  commença  lorsque,  après  le  latin  et 
le  grec,  le  français,  l'italien  et  le  clavecin,  Christian  put  aborder 
les  principes  de  la  Mécanique.  Ce  fut  aussitôt  sa  branche  de  pré- 
dilection, une  récréation  plutôt  qu'un  travail.  Les  heures  du  jeu 
furent  consacrées  à  copier  des  figures  et  des  modèles.  Bientôt  il 
s'essaja  à  construire  des  machines  et,  avant  la  fin  de  l'année, 
Christian  s'était  fabriqué  lui-même  un  tour  de  charpentier. 

A  celte  grande  diversité  d'exercices  vinrent  s'ajouter,  dans  le 
courant  des  deux  années  suivantes,  les  Mathématiques,  sous 
maître  Stampioen,  Téquitation  et  la  danse.  Après  ce  dernier 
complément  d^études,  les  deux  enfants  furent  jugés  suffisamment 
préparés  pour  être  inscrits  comme  étudiants  en  droit  à  l'Université 
de  Levde.  Christian  venait  d'atteindre  l'âge  de  seize  ans. 

A  Leyde,  il  eut  le  privilège  de  trouver  dans  Van  Schooten  un 
excellent  maître  pour  l'étude  qui  l'attirait  plus  que  la  jurispru- 
dence. Van  Schooten  était  un  très  habile  géomètre,  ami  de  Des- 
caries, et  en  correspondance  suivie  avec  le  Père  Mersenne,  le 
confident  du  grand  philosophe,  travailleur  scientifique  infatigable, 
le  correspondant  universel  de  presque  tous  les  mathématiciens 
de  son  temps.  Bientôt,  l'année  qui  suivit  l'arrivée  de  Christian,  le 
nom  de  Van  Schooten  allait  se  répandre  dans  le  monde  scienti- 
fique par  la  publication  de  son  Traité  des  sections  coniques  et 
les  deux  premiers  Livres  de  ses  Exercices  mathématiques.  Mais 
déjà,  à  cette  époque,  un  peu  plus  d'un  an  et  demi  après  sa  pre- 
mière leçon,  rélève  de  Van  Schooten  s'était  si  bien  fait  connaître, 
que  le  Père  Mersenne  pria  le  jeune  Hujgens  de  lui  donner  son 
avis  sur  le  nouvel  Ouvrage  de  son  professeur. 

Van  Schooten,  quelques  semaines  après  sa  première  rencontre 
avec  Christian,  avait  envoyé  à  Descaries  un  écrit  de  son  nouvel 
élève  touchant  «  une  invention  de  Mathématiques  )).  Descartes, 
tout  en  observant  que  le  jeune  Huygens  «  n'y  eût  pas  trouvé 
tout  à  fait  son  compte,  ce  qui    n'était    nuMrmcnt  él range,  parce 


MÈLANGFS.  89 

qu'il  avait  cherché  une  chose  qui  n'a  jamais  été  trouvée  de  per- 
sonne »,  en  fut  tellement  satisfait,  qu'il  n'hésita  pas  à  prédire 
que  l'auteur  deviendrait  «  excellent  en  cette  Science  ».  Bientôt 
le  Père  Mersenne  avait  envoyé  à  Constantin  Hujgens  des  pro- 
blèmes destinés  à  être  soumis  à  son  fils,  qui  s'occupait  de  Mathé- 
matiques ;  et  ainsi  s'était  établie  une  correspondance  entre 
Mersenne  et  Christian.  Dans  une  de  ses  lettres,  en  démontrant 
que,  contrairement  à  ce  qui  était  admis  alors,  une  corde  suspen- 
due à  ses  deux  bouts  ne  prend  pas  la  forme  d'une  parabole,  en 
examinant  ensuite  de  quelle  manière  la  corde  doit  être  chargée 
pour  réaliser  cette  courbe,  Christian  avait  donné  des  preuves  de 
jugement  et  de  perspicacité  plus  que  suffisantes  pour  motiver  une 
entière  confiance  dans  la  sûreté  de  sa  critique. 

Van  Schooten  était  plus  qu'un  savant  géomètre,  c'était  encore 
un  homme  d'un  excellent  caractère.  Il  s'est  toujours  sincèrement 
réjoui  du  succès  de  son  élève  et  est  resté  toute  sa  vie  pour  Chris- 
tian, dans  leurs  relations  scientifiques,  l'ami  le  plus  intime  et  le 
plus  éprouvé.  En  ce  jour,  consacré  à  la  mémoire  de  Hujgens, 
nous  devons  à  Van  Schooten  un  hommage  de  respect  et  de  recon- 
naissance. 

Trop  tôt  ils  durent  se  séparer.  A  peine  les  deux  frères  eurent- 
ils  passé  deux  années  à  Lejde,  que  l'aîné  alla  remplir  une  charge 
pour  assister  son  père  en  sa  qualité  de  secrétaire  du  prince. 
Frédéric-Henri,  après  avoir  reconquis  Bréda,  avait  fondé  en  cette 
ville  un  Athénée,  le  Collegiiun  Arausiacuni ,  dont  le  poète 
Constantin  était  un  des  plus  zélés  curateurs.  Celui-ci  y  avait  déjà 
envoyé  comme  étudiant  son  troisième  fils  Louis,  et  Christian, 
resté  seul  à  Leyde,  alla  rejoindre  son  frère  à  Bréda.  11  y  vint  ha- 
biter chez  Dauber^  professeur  en  Jurisprudence.  Le  souci  du  père 
de  ménager  à  son  fils  un  avenir  dans  une  carrière  politique  fut 
sans  doute  le  motif  principal  de  ce  changement.  Mais  le  goût  des 
Mathématiques  continua  de  prévaloir.  C'est  à  Bréda  que  Christian 
réunit  les  matériaux  du  premier  Ouvrage  qu'il  allait  publier.  Et 
pendant  qu'il  exerçait  son  génie  naissant  dans  des  lettres  à  Mer- 
senne et  Van  Schooten,  et  en  recherchant  les  paralogismes  dans 
le  volumineux  Traité  de  Grégoire  de  Saint-Vincent  sur  la  quadra- 
ture du  cercle,  Dauber  traçait,  dans  une  lettre  au  père  Constan- 
tin, ce  portrait  du  jeune  étudiant  :   «  Je  n'ai  pas  encore  vu  tant 


4o 


PUEMIEUE   PARTIE. 


de  sagesse  et  de  savoir,  un  esprit  si  vif,  un  jugement  si  exquis, 
une  diligence  si  extraordinaire,  une  conversation  si  honnête  et 
modeste,  et  tant  d'autres  belles  qualités  rassemblées  en  qui  que 
ce  soit  à  un  âge  si  tendre.    )> 

Le  séjour  de  Bréda  dura  deux  ans.  Selon  l'usage  du  temps, 
l'éducation  devait  se  terminer  maintenant  par  un  voyage.  Une 
ambassade  partant  pour  le  Danemark  en  fournit  l'occasion.  Le 
chef,  le  comte  Henri  de  Nassau,  faisait  fond  sur  l'assislance  en 
matière  juridique  de  l'élève  de  Dauber.  Le  jurisconsulte  en  herbe 
rêvait  de  pousser  son  voyage  jusqu'en  Suède,  pour  y  rencontrer 
Descartes  et  la  reine  Cliristine.  La  joyeuse  cour  de  Flensbourg 
ne  paraît  pas  avoir  réclamé  beaucoup  de  diplomatie  et  les  rigueurs 
de  la  saison  firent  échouer  les  projets  de  Suède. 

De  retour  à  la  Haye,  Huygens  s'occupa  aussitôt  à  rédiger  et 
rassembler  les  problèmes  conçus  et  résolus  dans  le  cours  de  ses 
études  à  Leyde  et  à  Bréda,  ainsi  que  les  observations  auxquelles 
le  livre  de  Saint-Vincent  lui  avait  donné  lieu.  Van  Schooten, 
auquel  il  communiqua  son  travail,  fut  si  surpris  «  de  la  subtilité 
des  inventions  et  de  la  clarté  des  démonstrations  »  qu'il  engagea 
Christian  à  le  publier.  L'étroite  relation  qui  existait  entre  les 
sujets  de  ses  premiers  exercices  et  les  propositions  de  Saint-Vin- 
cent induisirent  Christian  à  ajouter  à  ses  problèmes  un  examen 
critique  du  livre  de  ce  dernier. 

C'est  sous  cette  forme  que  parut  le  premier  Ouvrage  de  Huy- 
gens, suivi  bientôt  d'un  deuxième  sur  le  calcul  approché  de  la 
circonférence  du  cercle  et  sur  quelques  problèmes  renommés  par 
leur  difficulté  :  la  forme  et  le  fond  révélaient  à  l'instant  la  main 
d'un  jeune  maître. 

Grégoire  de  Saint-Vincent  était  un  jésuite  de  soixante-cinq 
ans,  renommé  par  son  savoir.  Jamais  il  n'a  reconnu  publiquement 
son  erreur.  Quelques  années  après  l'apparition  de  la  critique,  un 
des  disciples  de  Saint-Vincent  a  fait  une  tentative  pour  altaquer 
l'adversaire  de  son  maître  :  il  fut  réfuté  sans  peine.  Mais  les  pre- 
miers rapports  avec  Saint-Vincent  ont  donné  lieu  à  une  corres- 
pondance qui  forme  un  épisode  remarquable  dans  la  vie  si  remplie 
de  Christian  Huygens.  Saint-Vincent  est  devenu  non  seulement 
un  admirateur  sincère,  mais  aussi  un  ami  de  plus  en  plus  dévoué 
de  son  premier  antagoniste  scientifique.  11  était  heureux  de  pou- 


à 

à 


M/i:LANGIiS.  il 

voir  rapporter  à  lliiygens  commcnL  un  de  ses  élèves,  Gollignies, 
avait  démasqué  à  Home  l'iiorloj^^er  du  pape,  Iccpiel  voulut  se  faire 
passer  pour  l'inventeur  d'une  horloge  qui  se  trouva  n'être  qu'une 
copie  de  l'horloge  à  pendule  de  Jluygons,  de  même  que  plus  tard 
il  se  réjouit  de  pouvoir  écrire  que  le  l^^e  jésuite  Fabri,  qui  avait 
entrepris  en  Italie  une  campagne  violente  contre  l'explication  de 
l'anneau  de  Saturne,  avait  fini  par  reconnaître  la  justesse  des  vues 
du  jeune  Hollandais. 

llujgens,  de  son  côté,  ne  méconnaissant  pas  les  mérites  réels 
de  Saint-Vincent,  a  recommandé  à  un  jeune  Allemand,  qu(;  Vlloro- 
logiiim  oscillatoriiun  avait  porté  à  s'occuper  de  Mathématiques, 
l'étude  des  œuvres  du  jésuite,  et  c'est  ainsi  qu'échut  à  la  mémoire 
de  ce  dernier  la  louange  reconnaissante  du  grand  Leibniz. 

L'abbé  Monchamps,  qui  l'année  dernière  a  tiré  des  premiers 
Volumes  publiés  par  la  Société  hollandaise  des  Sciences  un 
remarquable  Mémoire  sur  les  correspondants  belges  du  grand 
Hujgens,  fait  remarquer  qu'ils  étaient  tous  les  neuf  des  ecclé- 
siastiques ,  parmi  lesquels  six  Pères  jésuites;  fait  surprenant 
quand  on  se  rappelle  que  Hujgens  était  protestant,  d'une  famille 
qui,  par  ses  étroites  relations  avec  les  premiers  Stathouders,  était 
plus  que  toute  autre  engagée  dans  l'âpre  lutte  religieuse  et  poli- 
tique de  cette  époque.  Cela  peint  bien  l'esprit  et  le  caractère 
de  Christian.  Tl  avait  en  aversion  tout  conflit,  surtout  ceux  que 
créent  les  difl'érences  de  sentiment  et  d'intérêt  entre  les  hommes. 
Son  attention  et  ses  efl'orts  ne  se  portaient  que  sur  la  recherche 
des  vérités  qui  sont  évidentes  pour  chacun.  Il  vivait  dans  les 
sereines  régions  de  la  Science,  au-dessus  de  la  foule  agitée  des 
hommes;  ses  intentions  étaient  si  évidemment  pures  et  sa  puis- 
sance si  grande,  qu'il  attirait  à  lui,  vers  ces  hautes  sphères,  les 
hommes  les  plus  éminents  de  toute  opinion. 

Outre  les  trois  Ouvrages  cités,  Hujgens  en  a  publié  encore 
séparément,  sur  les  Mathématiques,  un  autre  qui  à  lui  seul  suffi- 
rait à  sa  renommée.  C'est  un  Mémoire  intitulé  :  Tractaet  van 
Rekening  van  Spelen  van  Gheluck  (Traité  de  calcul  des  jeux: 
de  hasard),  écrit  dans  sa  vingt-huitième  année  et  paru  comme 
Appendice  au  cinquième  Livre  des  Exercices  mathématiques  de 
Van  Schooten.   Cet  Ouvrage  est  le  premier  qui  traite  de  la  théo- 


4-2  PREMIÈRE   PARTIE. 

rie  des  chances.  11  renferme  les  principes  d'une  doctrine  alors 
entièrement  nouvelle,  qui  aujourd'hui,  dans  la  théorie  mathéma- 
tique des  probabilités,  avec  ses  nombreuses  applications  dans  le 
calcul  des  observations  et  celui  des  lois  de  mortalité,  s'est  déve- 
loppé en  une  science  spéciale.  Jacques  BernouUi  plaça,  en  i8i3, 
le  Traité  de  Hujgens  en  tête  de  son  Ars  conjecturandi. 

Nombreuses,  d'ailleurs,  furent  les  contributions  à  la  Géomé- 
trie, fournies  par  Hujgens  dans  ses  lettres,  dans  les  journaux  et 
dans  ses  propres  Ouvrages  traitant  d'autres  sujets,  quand  il  avait 
besoin  de  ce  puissant  auxiliaire  pour  inventer  de  nouveaux  instru- 
ments ou  découvrir  des  lois  physiques. 

Il  a  indiqué  lui-même  le  caractère  distinctif  de  son  œuvre  ma- 
thématique. Montrant  à  Van  Schooten,  avec  sa  clairvoyance  habi- 
tuelle, le  côté  faible,  et  même,  par  un  exemple  bien  choisi,  la 
faillibilité  de  la  méthode  des  indivisibles  de  Cavalieri,  telle  que 
Van  Schooten  la  lui  avait  transmise,  il  dit  :  «  Je  suis  ainsi  fait 
que,  en  Géométrie,  j'attache  moins  de  prix  aux  résultats  qu'à  la 
solidité  du  raisonnement  et  à  la  clarté  de  la  démonstration.  » 

Toutefois,  on  ne  peut  mieux  mesurer  son  génie  mathématique 
que  par  l'estime  des  plus  éminents  géomètres  qui  lui  ont  succédé. 
Condorcet,  dans  son  éloge  de  Huygens,  nous  en  a  conservé  un 
témoignage  précieux  :  «  On  voit,  dit-il,  dans  la  Correspondance 
littéraire  de  Leibniz  et  de  BernouUi,  où  ces  deux  illustres  amis 
se  confient  leurs  plus  secrets  sentiments,  quelle  profonde  estime 
ils  faisaient  de  Huygens,  combien  ils  étaient  avides  de  ses  ma- 
nuscrits et  jaloux  d'j  trouver  leurs  opinions,  et  avec  quel  triomphe 
ils  opposaient  le  seul  jugement  de  Hujgens  à  la  foule  des  adver- 
saires qu'avait  attirés  aux  calculs  de  l'infini  le  double  démérite 
d'être  nouveaux  et  sublimes.  Si  quelque  chose  a  droit  de  flatter 
l'amour-propre,  ce  sont  de  tels  éloges,  donnés  par  de  grands 
hommes  dans  le  secret,  et  auxquels  la  malignité  ne  peut  soupçon- 
ner aucun  motif  qui  en  diminue  le  prix.  » 

Du  temps  des  premières  études  de  Hujgens  datent  également 
ses  contributions  à  la  Physique  et  à  la  Mécanique.  Elles  ouvrent  la 
série  des  grands  travaux  par  lesquels  Huygens  a  exercé  l'influence 
la  plus  profonde  et  la  plus  durable  sur  notre  connaissance  de  la 
nature  et  aussi  sur  notre  vie  pratique. 


MÉLANGES.  43 

Pour  bien  coniprendie  la  place  que  lluygens  a  occii[)ée  parmi 
les  physiciens  du  xvii'^  siècle,  pour  ex[)liquer  le  sorl  que  subit, 
son  œuvre  après  sa  mort,  il  faut  avoir  égard  aux  idées  philoso- 
phiques de  son  temps. 

Le  système  de  Descartes  occupait  à  cette  époque  tous  les 
esprits;  il  n'avait  [)as  de  partisan  plus  enthousiaste  que  le  maître 
de  Hujgens,  Van  Schooten.  Celui-ci  avait  joui  du  commerce 
instructif  du  philosophe;  il  avait  pu  connaître  toute  la  puissance 
de  son  génie  par  l'étude  approfondie  de  la  Géométrie,  dont  il 
avait  donné  une  traduction  latine,  augmentée  de  commentaires. 
Personne  mieux  que  Van  Schooten  ne  pouvait  juger  de  la  valeur 
de  l'instrument  dont  Descartes,  par  sa  nouvelle  Géométrie,  avait 
doté  la  Science.  Et  quel  est  le  malhématicien  de  ce  temps  qui  ne 
dut  être  rempli  d'admiration  pour  les  deux  autres  Ouvrages  que 
Descartes  avait  ajoutés  à  son  premier  écrit  :  les  Météores,  avec 
la  subtile  théorie  de  l'arc-en-ciel  et  ringénieuse  et  lucide  Diop- 
trique?  Mais  l'ambition  de  Descartes  visait  plus  haut  que  la  dé- 
couverte de  nouvelles  méthodes  de  Mathématiques  et  de  quelques 
effets  de  la  lumière.  Le  secret  de  la  structure  de  l'Univers  entier 
devait  sortir  de  sa  puissante  imagination.  Il  avait,  dans  ses  Prin- 
cipes^ déduit  de  son  doute  philosophique  en  toutes  choses  la  cer- 
titude de  sa  propre  existence;  celle-ci  l'avait  conduit  à  la  certitude 
de  l'existence  de  Dieu;  l'idée  de  Dieu  aux  conceptions  d'espace 
et  de  temps  et  de  leurs  qualités  qui  enfin  lui  servirent  de  base 
pour  la  théorie  du  mouvement  et  de  la  percussion.  Ces  lois  du 
mouvement,  dont  Descartes  se  croyait  si  certain,  «  qu'encore  que 
l'expérience  nous  semblerait  faire  voir  le  contraire,  nous  serions 
néanmoins  obligés  d'ajouter  plus  de  foi  à  notre  raison  qu'à  nos 
sens  »  formaient  les  articles  fondamentaux  de  la  constitution 
réglant  un  univers  uniquement  composé  d'espace  en  mouvement. 
Tous  les  phénomènes  de  la  nature  devaient,  en  efi'et,  trouver  leur 
explication  dans  l'infinie  variété  de  transmission  et  de  transfor- 
mation du  mouvement. 

On  se  demande  comment  un  homme  aussi  exercé  dans  les  sé- 
vères méthodes  de  raisonnement  de  la  Géométrie  a  pu  se  laisser 
entraîner  par  une  fantaisie  aussi  désordonnée  dans  l'élaboration 
Ultérieure    de  son    système.   Pour   Van  Schoolen,    comme    pour 


44  PHHMIËHE   PARTIE. 

une  foule  de   ses  contemporains  el  de  ses  successeurs,   Descartes 
était  infaillible. 

Quels  doivent  avoir  été  ses  sentiments  lorsque  son  élève  admiré 
vint  lui  montrer  ce  qu'il  venait  d'écrire  à  Gutschoven,  savoir  que, 
sauf  la  première,  toutes  les  lois  du  mouvement  énoncées  par  Des- 
cartes étaient  peu  sûres  et  suspectes  de  fausseté? 

La  nouvelle  édition  des  œuvres  de  Huygens  nous  donne  un 
vivant  tableau  de  la  discussion  qui  s'engagea,  à  ce  propos,  entre 
les  deux  amis.  Après  le  premier  entretien,  Huygens,  dans  une 
lettre,  embarrasse  aussitôt  son  maître  en  lui  soumettant  un  pro- 
blème dont  la  résolution,  d'après  les  lois  de  Descartes,  conduit  à 
une  absurdité  évidente.  Van  Schooten,  cependant,  ne  se  laisse  pas 
convaincre.  Il  conjure  Huygens  de  ne  pas  mettre  en  péril  sa  répu- 
tation en  s'attaquant  à  une  autorité  aussi  incontestée  et  surtout 
en  se  montrant  ingrat  envers  l'illustre  maître.  11  lui  conseille  de 
s'occuper  plutôt  de  Mathématiques  et  l'avertit  qu'un  professeur 
de  Hambourg  a  confirmé  par  l'expérience  les  lois  de  Descartes. 

Il  confie  même  à  Christian  un  secret  de  la  table  d'éludés  — 
on  dirait  mieux  de  l'établi  —  du  philosophe  :  «  Descartes,  dit-il, 
n'avait  pas,  en  réalité,  déduit  ses  lois  de  pures  considérations  phi- 
losophiques :  au  professeur  Heidanus  il  avait  confessé  les  avoir 
tirées  des  profondeurs  de  l'Algèbre  et  avoir  hésité  s'il  ne  les  pla- 
cerait pas  en  tête  de  son  système  au  lieu  de  les  incorporer  dans 
sa  démonstration  philosophique  et  de  les  présenter  comme  une 
conséquence  de  son  fameux  :  «  Je  pense,  donc  je  suis.  ->-> 

Tout  fut  en  vain  :  la  résistance  de  Van  Schooten  ne  fit  qu'ac- 
croître l'assurance  de  Huygens  et  sa  foi  en  lui-même.  Pourquoi 
Van  Schooten  le  jugeait-il  sans  l'entendre,  sans  connaître  ses 
preuves?  Descartes  lui-même  se  serait-il  prétendu  au-dessus  de 
toute  erreur  humaine?  «  Le  don  de  ne  jamais  faillir  n'appartient 
qu'à  ceux  qui  ne  font  rien.  » 

Il  y  a  lieu  de  regretter  que  Huygens  n'ait  pas  publié  dès  i656  ses 
lois  du  choc  des  corps.  Il  est  certain  qu'il  les  possédait  déjà  com- 
plètement à  cette  époque  :  c'est  ce  qui  résulte  des  problèmes  dont 
il  communiquait  les  solutions  dans  ses  lettres,  principalement 
d'un  théorème  élégant  dont  il  fit  part  à  Claude  Mylon.  Lorsque, 
cinq  ans  après,  Huygens  vint  à  Londres,  il  y  trouva  ^^'ren  et 
Rooke    occupés  à  faire   des    expériences    sur  le  choc  des  corps, 


MÉLANGIÎS.  45 

sans  cependant  réussii'  à  y  dccouvrir  (jueUjiie  rèj^h*.  Il  avait  enc,or(; 
ses  lois  dans  la  mémoire,  et  sut,  à  cliacjue  expérience,  prédire 
quel  en  serait  le  résultat. 

En  1669  parurent,  sur  ce  sujet,  dans  les  PhllosophicaL  Trans- 
actions de  la  Société  Rojale,  deux  articles,  l'un  de  Wren,  l'autre 
de  Wallis.  Ce  dernier  traitait  d'une  question  dont  Ilujgens  ne 
s'était  pas  occupé  :  le  choc  des  corps  non  élastiques.  I.a  JNote 
de  Wren  renfermait  les  lois  déjà  découvertes  par  Huygens,  pré- 
cédées de  quelques  développements  qui  devaient  passer  pour  une 
démonstration,  dont  cependant  l'insuffisance  prouvait  clairement 
que  ce  n'était  pas  par  cette  voie  que  Wren  avait  obtenu  ces  lois. 

Il  est  arrivé  ainsi  qu'une  assertion  inexacte,  une  critique  insuf- 
fisante ont  fait  naître  la  tradition  que  Wren,  Wallis  et  Huygens 
ont  successivement  découvert  les  lois  du  choc  des  corps. 

Le  sixième  Volume,  récemment  paru,  des  œuvres  de  Hujgens 
fait  justice  de  cette  erreur.  Il  apporte  le  témoignage,  rendu  par 
Wren  lui-même,  qu'il  n'a  pas  fourni  de  démonstration,  et  fait 
voir  de  plus  que,  par  la  date  de  la  publication  également,  Hujgens 
fut  le  premier  auteur  de  cette  découverte. 

L'année  précédente  il  avait  lu  ses  lois  du  mouvement  à  l' Aca- 
démie des  Sciences  de  Paris,  où  leur  discussion  avait  occupé  deux 
séances  entières. 

L'incident  stimula  Hujgens  à  vaincre  la  répugnance  qu'il  res- 
sentait à  publier  des  découvertes  qu'il  jugeait  inachevées. 

Il  fît  connaître  deux  nouvelles  lois  du  mouvement,  extrêmement 
importantes  :  la  conservation  du  mouvement  du  centre  de  gravité, 
et  la  conservation  des  forces  vives.  A  la  Société  Rojale,  il  trans- 
mit de  plus  quatorze  propositions,  cachées  encore  dans  des  ana- 
grammes. 

Dans  rhistoire  de  la  Science  il  n'existe  certainement  pas  une 
page  renfermant  tant  de  remarquables  découvertes.  Les  quatorze 
propositions  contenaient  les  lois  du  pendule  simple,  du  pendule 
composé  et  du  pendule  conique,  la  détermination  et  les  proprié- 
tés des  centres  d'oscillation,  les  lois  de  la  force  centrifuge  —  qui 
plus  tard  élevèrent  à  son  apogée  le  renom  de  Hujgens  —  et 
quatre  lois  d'optique,  parmi  lesquelles  il  j  en  a  une  qui,  dans  sa 
généralité,  embrasse  toutes  les  propriétés  des  sjstèmes  de  lentilles 
centrés  :   la  quarantième  proposition  de  la  Dioplriquc  de  Huj- 


46  PKKMIKUE   PARTI  H. 

gens,  dont  jusqu'ici   j)er.sonne  encore  n'a   fait   ressortir  toute   la 
portée. 

Dans  les  mémorables  années  de  ](ni)  d  1657,  l'esprit  de  Huy- 
gens  fut  occupé  par  les  sujets  les  plus  divers.  Tandis  qu'il  inven- 
tait le  Calcul  des  probabilités,  qu'il  ré[)ondait  au  défenseur  de 
Saint-Vincent,  qu'il  venait  d'entrer  en  correspondance  avec  Wal- 
lis,  qu'il  étudiait  les  problèmes  de  la  théorie  des  nombres  reçus 
de  Fermât  par  l'intermédiaire  de  de  Carcavy,  trois  découvertes  se 
succédèrent  qui,  aussitôt,  firent  retentir  son  nom  en  dehors  du 
monde  scientifique  :  le  satellite  de  Saturne,  l'anneau  de  Saturne 
et  l'horloge  à  pendule. 

Depuis  l'époque  où  Galilée,  Metius,  Simon  Marins  et  Fabricius, 
en  dirigeant  vers  les  astres  la  lunette  hollandaise,  avaient  décou- 
vert les  montagnes  de  la  Lune,  les  satellites  de  Jupiter,  les  phases 
de  Vénus  et  les  taches  du  Soleil,  on  n'avait  plus  observé  de  nou- 
veaux phénomènes  célestes  bien  importants.  Ce  qui  alors  avait 
étonné  le  monde  pouvait  se  voir  au  moven  de  la  lunette  de  Lip- 
pershey,  telle  qu'on  la  montrait  déjà  en  1608  à  la  foire  d'automne 
de  Francfort,  et  qu'on  la  vendait  l'année  suivante  dans  les  rues 
de  Paris.  Les  nouvelles  lunettes,  construites  d'après  le  principe 
de  Kepler,  n'avaient  pas  conduit  à  de  bien  grands  progrès.  L'art 
de  tailler  les  verres  était  encore  dans  l'enfance  :  Huygens  comprit 
que  de  son  perfectionnement  dépendait  en  premierlieu  le  progrès 
de  l'Astronomie.  Il  mit  lui-même  la  main  à  l'œuvre,  après  avoir 
pris  bon  conseil  chez  le  professeur  Fan  G utscho^^e n  kLoiivâm. 
Sa  persévérance  dans  ce  long  et  difficile  travail  fut  couronnée  de 
succès.  La  première  lunette,  de  12  pieds  de  longueur,  qu'il  con- 
struisit, dépassait  en  pouvoir  résolvant  toutes  les  autres  lunettes  de 
cette  époque,  même  les  plus  grandes.  Le  5  mars  i655,  il  vit,  dans 
le  voisinage  de  Saturne,  une  petite  étoile  qui  parut  accompagner  la 
planète  dans  sa  marche  à  travers  les  astres,  un  satellite  dont,  par 
l'observation  de  six  révolutions  complètes,  Huygens  détermina  la 
période  au  1/64  près.  Suivant  l'exemple  de  Galilée,  il  communi- 
qua sa  découverte  à  ses  correspondants  sous  forme  d'anagramme, 
dans  l'intention  de  ne  la  publier  qu'après  avoir  complètement 
résolu  le  problème  des  mystérieuses  apparences  de  la  planète  elle- 
même.  Mais  il  ne  put  résister  à  la  tentation  de  montrer  le  nouvel 
astre  à  ses  amis.  L'un  d'entre  eux  lui  donna  le  conseil  prudent  de 


I 

I 


MfaANGKS.  47 

ne  pas  lardera  publier  sa  (léeoiivcilc,  cl  c  est  ainsi  (jiraii  premier 
anniversaire  du  salellile  liugénicn  parut  un  [)elit  Mémoire,  De 
Satuini  lima  Ohservatlo  nova,  (jui  renferma  il  encore,  en  un 
nouvel  anagranimo,  la  dccouverle  do  Panneau.  Cependant  lluy- 
^Qws  continua  ses  observations  avec  une  deuxième  lunette  de 
23  pieds  de  longueur.  Ce  n'est  qu'au  bout  de  trois  ans  qu'il  jugea 
ses  observations  assez  concluantes  pour  être  présentées  au  monde 
scientifique.  Mais  alors  aussi,  son  travail  avait  acquis  une  portée 
bien  j)lus  grande  que  la  mise  au  jour  de  nouveaux  phénomènes 
merveilleux.  La  raison  qu'il  donna  des  différents  aspects  de  la 
j)lanète,  le  calcul  et  la  prédiction  des  phases  de  son  anneau, 
lurent  de  nouvelles  preuves  de  son  (Honnante  perspicacité;  mais 
on  doit  souvent  estimer  plus  que  les  découvertes  mêmes  les 
moyens  d'en  faire  de  nouvelles.  Or  le  Systema  Saturnium,  en 
dehors  de  la  théorie  de  l'anneau,  apportait  de  nouvelles  preuves 
que  les  soins  extrêmes  employés  à  la  fabrication  des  lentilles 
étaient  le  secret  qui  permettait  de  pénétrer  plus  profondément 
les  mystères  du  ciel.  L'Ouvrage  contenait  la  première  description 
des  bandes  brillantes  de  Jupiter,  d'une  bande  obscure  de  Mars  et 
de  la  nébuleuse  dOrion  dont  Huygens  put  affirmer  qu'elle  ne 
pouvait  être  résolue  en  un  amas  d'étoiles,  comme  toutes  celles 
que  l'on  connaissait  alors,  mais  qu'elle  était  une  véritable  né- 
buleuse. Ces  observations  nouvelles  firent  naître  partout  une 
émulation  fructueuse  chez  les  amateurs,  qui  se  mirent  à  perfec- 
tionner les  lunettes,  et  parmi  lesquels  Huygens  et  son  frère  Con- 
stantin continuèrent  à  tenir  le  premier  rang.  Pour  donner  enfin  à 
l'instrument  sa  valeur  entière,  Christian  le  munit  d'un  accessoire 
nouveau,  qu'il  imagina  pour  mesurer  les  dimensions  apparentes 
des  astres.  Le  Systema  Saturnium,  en  effet,  renferme  les  pre- 
mières données  sur  les  diamètres  des  planètes  et  de  l'anneau  de 
Saturne  obtenus  à  l'aide  d'un  micromètre  oculaire. 

La  troisième  œuvre  créée  par  Huygens  à  cette  époque  fut  le 
grand  événement  de  sa  vie  :  l'invention  de  l'horloge  à  pendule. 
Lorsqu'une  fois  l'idée  heureuse  lui  fut  venue  d'appliquer  le  pen- 
dule aux  horloges  alors  existantes,  la  réalisation  en  fut  facile.  Il 
suffisait  de  remplacer  par  un  arbre  horizontal  l'axe  vertical  autour 
duquel,  par  la  force  du  poids  moteur,  le  balancier  était  projeté 
alternativement  d'un  côté  et  de  Tautre,  et  d'y  attacher  une  four- 


48  PRFMIÈRF   PAllTIi:. 

chelte  embrassant  le  bout  supérieur  du  pendule.  L'exécution  ne 
demandait  que  quelques  jours.  Et  cependant  cette  modification, 
en  apparence  insignifiante,  avait  fait  naître  un  instrument  dans 
lequel  le  temps  était  mesuré  d'après  un  principe  nouveau.  La 
marche  de  l'horloge  ne  dépendait  plus  du  poids  moteur  et  de  la 
résistance  variable  des  rouages. 

Le  secret  de  la  découverte  ne  tarda  pas  à  se  divulguer.  Le  suc- 
cès de  la  nouvelle  horloge,  la  rapidité  avec  laquelle  elle  se  répan- 
dit chez  nous  et  créa  une  nouvelle  industrie  dépassèrent  encore  le 
mouvement  qu'avait  causé,  cinquante  ans  plus  tôt,  l'invention  de 
la  lunette  hollandaise.  Hujgens,  dans  son  désir  de  perfectionner 
la  nouvelle  horloge,  négligea  une  fois  de  plus  de  veiller  à  ses 
propres  droits.  Il  y  avait  déjà  huit  mois  que  le  clocher  de  Sché- 
véningue  était  pourvu  de  la  première  horloge  publique  à  pendule 
avant  que  Huygens,  dans  un  petit  travail,  Horologium,  se  fît 
connaître  au  monde  savant  comme  l'inventeur.  Sa  trop  grande 
confiance  dans  l'équité  de  ses  concitoyens  lui  a  causé  bien  des 
ennuis.  Nous  les  passons  :  ils  n'ont  pu  amoindrir  ni  son  nom  ni 
son  œuvre. 

Huygens  avait  surtout  mis  son  espoir  dans  l'application  à  la 
navigation.  La  détermination  de  la  position  d'un  navire  en  mer 
était  dans  ce  temps  encore  très  défectueuse.  La  mesure  de  la  hau- 
teur des  astres  pouvait  bien  faire  connaître  avec  une  exactitude 
suffisante  à  quelle  distance  on  se  trouvait  au  nord  ou  au  sud  de 
l'équateur,  mais  le  «  problème  d'ouest  et  d'est  »  demeurait  irré- 
solu. On  devait  se  contenter  d'une  estimation  faite  d'après  la 
vitesse  et  la  direction  du  navire,  données  incertaines  et  souvent 
trompeuses  par  suite  des  courants  marins.  En  vain  les  rois  d'Es- 
pagne, d'Angleterre  et  de  France  et  le  gouvernement  de  la  Répu- 
blique avaient-ils  promis  de  fortes  récompenses  pour  l'invention 
d'une  méthode  des  longitudes.  Si  l'on  pouvait  seulement  déter- 
miner en  mer  la  différence  de  l'heure  locale  et  celle  d'un  port 
connu,  la  solution  était  évidemment  trouvée.  Or,  l'heure  locale 
se  déduisait  sans  peine  de  la  position  du  Soleil  et  des  étoiles.  Une 
horloge  exacte  qui,  malgré  les  oscillations  du  navire,  continuerait 
de  donner  l'heure  précise  du  port  quitté  en  dernier  lieu,  tel  était 
donc  le  moyen  cherché.  Huygens  a,  pendant  dix-huit  ans  consé- 
cutifs, cherché  à  rendre  ses  horloges  propres  à   cet  effet.  Vers  le 


Mf^LANCJIîS.  49 

milieu  de  cette  époque,  le  voyn^e  du  capitaine  anglais  Holmes 
réussit  dans  une  tentative  qui  eut  un  grand  retentissement;  mais 
depuis  il  parut  de  nouveau  qu'il  était  difficile  d'assurer  le  succès 
d'une  manière  absolue  en  toute  circonstance.  Ce  n'est  qu'en 
i6'j5  que  les  efTorls  infatigables  de  llujgens  furent  couronnés 
d'un  plein  succès  par  l'application  du  mouvement  pendulaire  et 
des  ressorts  à  spirale  aux  montres.  Sa  légitime  joie  peut  nous 
réjouir  encore  aujourd'liui.  A  son  frère  Louis  qui  l'avait  félicite, 
et  qu'il  avait  à  complimenter  à  l'occasion  de  la  naissance  de  son 
premier-né,  il  écrit  :  «  Il  y  a  du  plaisir  d'avoir  matière  à  se  faire 
ainsi  des  félicitations  réciproques,  à  l'un  pour  des  enfants  de 
chair,  à  l'autre  pour  des  enfants  d'esprit.  Si  votre  garçon  estbeau, 
ma  fille,  la  nouvelle  invention,  est  aussi  belle  en  son  espèce  et 
vivra  longtemps  avec  sa  sœur  aînée  le  pendule  et  son  frère 
l'anneau  de  Saturne.  » 

Dans  l'Astronomie  l'horloge  à  pendule  opéra  une  véritable  révo- 
lution. L'étude  du  mouvement  des  corps  célestes  réclame  avant 
tout  la  mesure  du  temps.  L'Astronomie  rationnelle  se  trouve  arrê- 
tée par  un  obstacle  infranchissable  tant  que  l'on  ne  peut  pas,  dans 
cette  mesure,  atteindre  à  une  très  grande  exactitude.  On  avait 
essayé  de  remplacer  les  anciennes  horloges  insuffisantes  par  le 
pendule  libre  de  Galilée,  en  s'imposant  la  peine  presque  insup- 
portable de  compter  pendant  des  heures  les  oscillations  d'un 
poids  ou  d'une  verge  suspendue  qu'un  aide  maintenait  en  mouve- 
ment. Mais  ce  moyen  devait  rester  tout  aussi  défectueux.  On  ne 
pouvait  .empêcher  que  les  oscillations  ne  fussent  d'amplitude 
très  inégale,  et  l'égalité  prétendue  de  la  durée  des  grandes  et  des 
petites  oscillations  n'était  vraie  que  d'une  manière  très  grossière- 
ment approchée.  La  loi  célèbre  de  Galilée,  déduite  d'observations 
très  imparfaites,  était  aussi  inexacte  que  ses  considérations  sur 
la  chute  des  corps  suivant  un  arc  de  cercle. 

Le  nouvel  instrument  à  pendule  qui,  tout  en  enregistrant  ses 
oscillations,  restait  de  lui-même  en  mouvement,  avait  presque 
entièrement  écarté  cette  difficulté.  Il  marchait  si  régulièrement, 
que  l'amplitude  de  ses  oscillations  ne  variait  presque  pas.  Tou- 
tefois l'exactitude  mathématique  de  Huygens  ne  se  trouvait  pas 
satisfaite.  Recherchant  la  précision  la  plus  rigoureuse  il  se  posait 
cette  question  :  Si  un  corps  pesant,  tombant  suivant  un  arc  de 
Bull,  des  Sciences  mat/iém.,  2*  série.  !..  XX.  (Février  1896.)  4 


'io  PREMIÈRE   PARTIE. 

cercle,  emploie  pour  atteindre  le  point  le  plus  bas  des  temps  iné- 
gaux selon  la  longueur  des  arcs  parcourus,  quelle  doit  être  la 
courbe  de  descente  pour  que  l'égalité  des  temps,  le  tautochro- 
nisme  soit  réalisé?  C'était  un  problème  de  même  nature  environ 
que  celui  de  la  corde  chargée  dont  il  s'était  occupé  dans  sa  jeu- 
nesse. Le  secret  ne  pouvait  lui  rester  caché.  La  courbe  était  la 
roulette  ou  cjcloïde  que  décrit  un  point  de  la  circonférence  d'un 
cercle  roulant.  Mais  comment  disposer  l'horloge  de  telle  manière 
que  le  poids  oscillant  soit  obligé  de  suivre  cette  courbe?  Ici  s'ou- 
vrait un  champ  tout  nouveau  de  spéculation  géométrique  qui 
fournit  à  Huygens  l'occasion  d'une  invention  considérée  encore 
aujourd'hui  comme  une  merveille  de  pénétration  d'esprit.  Il  créa 
la  théorie  du  développement  des  lignes  courbes  et  en  tira  cette 
conséquence,  que  l'application  au  bout  supérieur  du  pendule  de 
deux  lames  en  métal  courbées  en  forme  de  cjcloïde,  et  contre 
lesquelles  viendrait  s'appliquer  alternativement  le  fil  du  pendule, 
devrait  rendre  la  marche  de  l'instrument  complètement  insensible 
aux  variations  d'amplitude. 

Les  progrès  de  l'art  ont  bientôt  permis  de  construire  des  hor- 
loges tellement  parfaites  qu'une  variation  d'amplitude  appré- 
ciable au  point  de  vue  pratique  ne  peut  plus  s'y  présenter  :  aussi 
les  horloges  à  pendule  dans  lesquelles  on  rencontre  encore  les 
lames  en  arc  de  cycloïde  sont  devenues  très  rares.  Mais  la  théorie 
géométrique  de  Huygens  est  restée  et  les  considérations  aux- 
quelles il  a  été  conduit  par  le  désir  d'approfondir  complètement 
le  mécanisme  de  son  invention  ont  été  la  source  de  la  plus  grande 
découverte  qui  ait  été  faite  jusqu'ici,  celle  de  l'attraction  univer- 
selle. 

Mais  il  nous  faut  suivre  maintenant  Huygens  dans  ses  voyages 
et  dans  ses  travaux  à  Paris. 

Le  premier  séjour  de  Huygens  en  France  avait  pour  objet 
d'acquérir,  en  même  temps  que  son  frère  Louis,  le  grade  de  doc- 
teur en  Droit  à  l'Université  protestante  d'Angers.  Ce  n'est  pas 
là  cependant  la  raison  pour  laquelle  son  voyage  a  eu  une  si  pro- 
fonde influence  sur  le  reste  de  sa  vie.  Il  entra  en  relations  à  Paris 
avec  Boulliau,  Auzout,  de  Roberval  et  Chapelain.  Ce  dernier, 
l'ami  sexagénaire  du  vieux  Constantin,  conçut  aussitôt  une  vive 
affection  pour  Christian.  Ce  fut  Chapelain  qui  lui  donna  le  sage 


MÉLANGF.S.  5, 

conseil  de  ne  pas  diiTércr  la  publication  de  la  découverte  du  satel- 
lite de  Saturne.  Il  est  resté  depuis  ce  moment  le  paternel  ami  et 
protecteur  eu  lequel  fluygens  apprit  à  connaître  toute  l'exquise 
amabilité  d'un  vieux  savant  français. 

Lorsque,  cinq  ans  plus  tard,  Cliristian  retourna  à  Paris,  le  cercle 
de  ses  amis  s'y  était  considérablement  élargi.  Conrart,  Mjlon,  de 
Carcavy,  de  Monmor  et  Petit  s'étaient  successivement  ofTerts 
comme  ses  correspondants.  Déjà  au  temps  de  Mersenne  il  s'était 
formé  à  Paris  des  sociétés  qui  se  réunissaient  à  époques  fixes  pour 
s'entretenir  de  toutes  les  nouvelles  intéressant  les  lettres  et  les 
sciences.  Chez  Mersenne  se  rencontraient  les  mathématiciens, 
chez  Conrart  les  hommes  de  lettres.  Ces  sociétés  se  nommaient 
Académies,  et  c'est,  en  effet,  de  celle  de  Conrart  qu'est  issue 
l'Académie  française.  La  société  la  plus  mélangée  et  la  plus  bril- 
lante était  celle  de  Monmor.  Les  sujets  dont  on  s'occupait  n'étaient 
pas  toujours  des  plus  intéressants  :  chacun  avait  le  droit  de  se 
mêler  à  la  discussion.  Il  arrivait  que  la  question  de  savoir  si  un 
point  géométrique  a  une  existence  réelle  provoqua  des  débats  qui 
remplirent  toute  la  soirée. 

Mais  l'attention  fut  générale  et  soutenue  lorsque  Chapelain  lut 
à  un  auditoire  d'une  quarantaine  de  hauts  courtisans,  de  fonction- 
naires de  l'Etat,  de  membres  du  clergé,  de  nobles  et  de  docteurs 
de  la  Sorbonne  une  lettre  de  son  jeune  ami  de  Hollande  sur  les 
merveilles  de  l'anneau  de  Saturne. 

Dans  cette  assemblée,  Huygens,  lors  de  sa  deuxième  visite  à 
Paris,  fut  introduit  par  Chapelain.  Le  nouvel  hôte,  qui  s'occupait 
de  tant  de  sujets  divers,  qui  avait  toujours  quelque  fait  nouveau  à 
rapporter,  s'entendit  bientôt  assurer  que  jamais  les  réunions 
n'étaient  si  fidèlement  suivies  que  lorsqu'on  savait  qu'il  y  paraî- 
trait. Aussitôt  que  Huygens,  en  i663,  fut  arrivé  pour  la  troisième 
fois  à  Paris,  de  Monmor,  l'abbé  de  Bryas  et  de  Sorbière  vinrent 
le  prier  de  ne  pas  manquer  le  premier  mardi  de  Monmor.  On  y 
mettrait  à  l'ordre  du  jour  un  nouveau  règlement  tendant  à  donner 
aux  discussions  une  direction  scientifique  sérieuse  et  utile.  Le  fait 
que  Ton  désirait  voir  Huygens  y  assister  prouve  que  non  seule- 
ment on  le  considérait  comme  un  avocat  influent  de  la  bonne  cause, 
mais  déjà  comme  un  membre  de  la  Société. 

Le  mouvement  pour  les  arts  et  les  sciences  qui  existait  alors 


52  IMUiMlf:UE    PAUTIK. 

dans  la  société  cullivéc  de  Paris  fut  énergiquement  appujé  par  le 
grand  Colbert.  Il  désirait  en  prendre  la  direction  et  le  faire  servir 
le  plus  possible  à  la  gloire  de  son  pays  et  de  son  roi.  Il  conçut  le 
projet  de  fonder  une  Académie  royale  des  Sciences,  avec  des  trai- 
tements fixes  pour  ses  membres  et  des  subsides  pour  défrayer  les 
recherches.  Il  ne  procéda  pas  à  la  réalisation  de  ce  projet  avant  de 
s'être  assuré  que  Huygens  viendrait  se  fixer  à  Paris  comme 
membre. 

Un  an  et  demi  avant  que  la  célèbre  Académie  tînt  sa  première 
séance,  Huygens  reçut  à  la  Haye  la  proposition  de  Colbert.  Il 
n'hésita  pas  longtemps. 

En  Hollande  il  n'avait  pas  de  confrères  qui  approchassent  de 
sa  valeur.  Le  mathématicien  Heuraet,  de  Harlem,  s'était  déjà  de- 
puis longtemps  fixé  en  France.  Le  bourgmestre  d'Amsterdam, 
Hudde,  était  trop  occupé  de  ses  fonctions,  et  n'était  d'ailleurs 
guère  attrayant  par  ses  lettres  prolixes.  C  était  à  Paris  et  à  Lon- 
dres qu'il  pourrait  vivre  parmi  ses  semblables.  Peu  apprécié  dans 
sa  patrie,  il  n'y  trouvait  guère  d'emploi  utile.  Une  fois  il  avait  fait 
un  rapport  aux  Etats  généraux  sur  une  prétendue  invention  de  la 
méthode  des  longitudes;  pour  le  reste,  les  services  qu'il  avait  eu 
l'occasion  de  rendre  à  la  République  se  bornaient  à  la  construc- 
tion, à  bord  de  l'un  des  vaisseaux  de  guerre,  d'une  couchette  sus- 
pendue, comme  son  horloge  marine,  à  une  articulation  sphérique, 
afin  de  protéger  le  Pensionnaire  du  Conseil  contre  les  mauvais 
effets  des  remous  et  des  vagues  de  la  mer.  C'était  à  l'occasion  de 
la  fameuse  expédition  dans  laquelle  Jean  deWitt,  contre  l'avis  des 
pilotes  et  fort  de  ses  propres  connaissances,  conduisit  lui-même 
la  flotte  de  l'Etat  à  travers  les  bancs  de  sable  de  Texel. 

La  décision  prise  par  Huygens  fit  éclater  des  cris  de  joie  parmi 
ses  amis  parisiens.  Seul,  Auzout  manifesta  la  crainte  que  Huygens 
ne  rencontrât  à  Paris  des  difficultés  avec  les  ouvriers,  moins  habiles 
que  ceux  de  la  Hollande;  mais  Huvgens,  qui  avait  lui-même  fa- 
briqué ses  lentilles  et  ses  lunettes  et  construit  sa  machine  pneu- 
matique, pouvait  répondre  avec  raison  qu'il  trouverait  bien  les 
moyens  d'exécuter  ses  inventions,  quand  il  en  aurait. 

Il  partit  pour  Paris  au  printemps  de  1666.  On  lui  assigna  comme 
demeure  le  futur  siège  de  l'Académie,  la  Bibliothèque  du  Roi,  rue 
Vivienne,  attenant  au  palais  de  Colbert.   C'est  là  que  Huygens  a 


MfLLANGFS.  53 

passé  plus  (le  douze  années  de  sa  vie  si  active;  c'est  Jà  qu'il  écri- 
vit son  immortel  Traité  de  la  Lumière. 

On  sait  peu  de  chose  jusqu'ici  des  travaux  de  Huygens  à  l'Aca- 
démie. Ce  qu'en  rapporte  du  Hamel,  le  premier  secrétaire,  dans 
son  Ilistoria  Academiœ,  est  incomplet  et  a  été  peu  remarqué. 
Le  Secrétaire  perpétuel,  M.  Bertrand,  en  retraçant  r Académie  et 
les  Académiciens  de  1666  à  1793,  n'a  pas  manqué  de  mettre  en 
lumière  les  mérites  de  Hiijgens.  C'est  à  son  oblij^eance  ainsi  qu'à 
celle  de  M.  le  bibliothécaire  Lalanne  que  nous  sommes  redevables 
d'une  copie  de  tout  ce  qui,  dans  les  anciens  registres  de  l'Acadé- 
mie, se  rapporte  à  Hujgens  et  à  ses  travaux;  c'est  une  très  impor- 
tante contribution  à  la  nouvelle  édition  de  ses  œuvres. 

De  toute  son  âme,  Hujgens  se  mit  à  sa  nouvelle  tâche.  La  pre- 
mière page  de  son  journal,  écrite  à  Paris,  contient  l'énumération 
*  de  trente  sujets  de  recherches  propres  à  être  traitées  dans  l'Aca- 
démie. A  Colbert  il  présente  un  programme  de  travaux  pour  les 
deux  Sections  :  celle  des  Sciences  mathématiques  et  celle  des 
Sciences  physiques.  Dans  l'exécution  de  ce  programme,  il  occupe 
toujours  le  premier  rang.  Dès  la  première  séance  qui  suit  l'ouver- 
ture, il  décrit  une  expérience  en  ce  temps  étonnante,  dont  le 
froid  excessif  lui  avait  fourni  l'occasion  :  la  rupture  d'un  canon 
de  mousquet  par  la  congélation  de  l'eau. 

Dans  les  séances  suivantes,  il  communique  quatre  nouvelles 
méthodes  d'observation  astronomique,  basées  sur  la  première  appli- 
cation de  la  mesure  exacte  du  temps,  que  permettait  son  horloge 
à  pendule.  Il  dirige  les  expériences  que  l'Académie  a  décidé  de 
faire  au  moyen  de  sa  nouvelle  machine  pneumatique.  Quand  on 
prend  la  résolution  d'étudier  la  force  mouvante  des  courants  d'eau 
et  d'air,  c'est  Huygens  que  l'on  charge  d'indiquer  la  méthode, 
d'imaginer  les  instruments,  et  c'est  lui  qui  invente  le  gazomètre 
flottant.  Il  résume  les  conclusions  de  ces  remarquables  expériences 
dans  un  lumineux  exposé  et  prouve  que  les  forces  sont  propor- 
tionnelles aux  carrés  des  vitesses. 

Dans  la  Section  de  Mathématiques  on  met  à  l'ordre  du  jour 
l'examen  des  causes  de  la  pesanteur.  Chacun  des  membres  doit 
donner  son  avis.  Des  sept  Mémoires,  c'est  celui  de  Huygens  qui 
est  jugé  digne  d'un  examen  spécial.  Le  INlémoire  de  Huygens,  en 


54  PREMIÈRE  PARTIE. 

effet,  contient  la  majeure  partie  de  son  discoiu^s  sur  la  cause  de 
la  pesanteur . 

Les  deux  Sections  de  l'Académie  se  trouvaient  très  inégalement 
partagées  quant  à  la  valeur  de  leurs  membres.  Dans  l'Assemblée 
des  Mathématiques  siégeaient  les  sept  membres  qui  avaient  été 
nommés  les  premiers  :  Hujgens,  de  Carcavj,  de  Roberval,  Fre- 
nicle,  Buot,  Picard  et  Mariotte;  dans  l'Assemblée  de  Physique, 
la  Chimie,  la  science  non  encore  née,  était  représentée  par  trois 
médecins,  et  nous  savons  par  Molière  ce  qu'étaient  les  médecins 
de  ce  temps-là.  On  extrayait,  sublimait  et  distillait  tout  ce  qui  ve- 
nait sous  la  main.  On  mettait  dans  la  cornue  un  melon  entier, 
une  autrefois  quarante  crapauds  vivants. 

Du  Clos,  médecin  ordinaire  du  Roi,  y  donnait  le  ton.  Il  s'em- 
para de  la  direction  des  recherches  sur  la  coagulation.  Elles  durè- 
rent d'avril  à  décembre,  car  elles  embrassaient,  dans  une  confusion 
inextricable,  la  congélation  de  l'eau,  la  coagulation  des  œufs,  la 
formation  de  toutes  sortes  de  précipités,  le  lait  et  le  sang  caillés, 
la  plâtre  durci,  —  et  du  Clos  ne  tarissait  pas  en  discours  intermi- 
nables. Au  milieu  du  galimatias  général,  Huygens,  à  son  tour 
appelé  à  donner  son  opinion,  est  le  seul  qui  fait  entendre  une 
parole  sensée.  Clairvoyant  et  profond  comme  toujours,  il  dit  : 
((  Les  liquides  se  caractérisent  par  la  mobilité  de  leurs  particules, 
ainsi  qu'il  apparaît  lorsqu'on  fait  tomber  une  goutte  de  vin  dans 
l'eau  :  les  parties  colorées  se  dispersent  dans  tout  le  liquide.  Dans 
un  corps  iixe  les  particules  restent  en  place.  Or  la  vitesse  des 
particules  diminue  avec  la  chaleur.  Il  faut  donc  que  les  liquides  se 
solidifient  par  le  refroidissement.  )>  Mais  ce  jugement  remarquable 
n'empêche  pas  du  Clos  d'énoncer,  comme  la  conclusion  de  huit 
mois  de  recherches,  cette  proposition  : 

((  La  cause  de  la  concrétion  des  liqueurs  est  vraisemblablement 
la  sécheresse  :  cette  qualité  étant  opposée  à  l'humidité,  qui  rend 
les  corps  liquides,  peut  bien  produire  un  effet  opposé,  qui  est  la 
concrétion  des  liquides.  » 

Les  expériences  sur  la  coagulation  alternaient  avec  la  dissection 
de  toutes  sortes  d'animaux,  choisis  sans  règle  à  mesure  qu'ils  se 
présentaient.  Ce  fut  un  jour  le  corps  d'une  femme  suppliciée. 
Huygens  devait  y  assister;  il  s'intéresse  à  l'œil,   en  mesure  soi- 


MÉLANGES.  55 

gneusement  les  dimensions,  les  rayons  de  courbure  de  la  cornée 
et  des  deux  faces  du  crislallin,  et  écrit  dans  son  journal  que  le 
cristallin  est  mou  et  se  laisse  comprimer  entre  les  doigts,  et  que 
ce  doit  être  ce  qui  permet  à  l'œil  de  s'adapter  à  la  vue  des  objets 
proches  et  éloignés,  puisque  le  déplacement  du  cristallin  en  entier 
ne  saurait  y  suffire.  Pour  Iluygens,  la  découverte  de  l'accommo- 
dation de  l'œil,  annoncée  deux  siècles  plus  tard,  était  toute 
faite. 

Ses  occupations  incessantes  se  trouvaient  considérablement 
aggravées  par  les  fréquents  rapports  qu'il  avait  à  rédiger  sur  de 
prétendues  inventions  ou  sur  des  Ouvrages  nouvellement  parus. 
Son  activité  devait  sembler  presque  téméraire.  Elle  le  fut,  hélas! 
en  effet.  Après  une  maladie  de  quelques  mois,  Huygens  dut  être 
ramené  dans  la  maison  paternelle  par  son  frère  Louis.  Il  revint  à 
Paris  l'année  suivante  et  écrivit  son  célèbre  Horologium  oscilla- 
torium^  dont  presque  chaque  page  contient  une  nouvelle  inven- 
tion de  Mathématiques  ou  de  Mécanique.  Mais  le  mal  revint  à 
deux  reprises,  et  chaque  fois  avec  un  caractère  plus  grave.  Deux 
fois  encore  Huygens  dut  être  transporté,  comme  un  pauvre 
malade,  dans  sa  patrie.  Ce  n'est  que  trois  ans  après  la  dernière 
attaque  qu'il  se  sentit  assez  fort  pour  retourner  à  la  tâche  qui  lui 
était  devenue  chère.  Il  était  trop  tard  :  ses  premiers  amis  parisiens 
étaient  tous  morts,  le  généreux  Colbert  était  remplacé  par  Lou- 
vois,  et  Louis  XIV,  abaissé  jusqu'à  devenir  l'instrument  du  plus 
aveugle  fanatisme.  Ce  fut  en  vain  que,  malgré  son  grand  âge,  son 
père  Constantin  essaya  d'exercer  son  influence  :  la  France  était 
fermée  pour  Christian  Huygens. 

Dans  les  deux  dernières  périodes  de  son  séjour  à  Paris,  Huy- 
gens, en  dehors  de  ses  travaux  mathématiques  ininterrompus,  a 
encore  produit  deux  œuvres  importantes  :  le  Traité  de  la  Lumière 
et  la  machine  à  poudre. 

On  a  si  peu  fait  attention  à  cette  dernière  invention  qu'on 
s'étonnera  peut-être  de  l'entendre  nommer  parmi  la  brillante 
série  des  travaux  de  Huygens.  Les  manuscrits  de  Leyde  font  con- 
naître la  place  importante  qui  revient  à  celte  découverte  dans  les 
annales  de  la  civilisation. 

Si,  en  remontant  le  cours  des  âges,  on  poursuit  jusqu'à  son 
o.rig;ine  l'histoire  de  la  machine  à  vapeur,,  on  rencontre  successi- 


56  PREMIÈRE   PARTIE. 

vemenl  les  grands  noms  de  Stephenson,  Watt^  Savarj  et  Papin. 
Mais  avec  Papin  nous  ne  sommes  pas  encore  à  la  source  première. 
Comment  Papin  a-t-il  conçu  l'idée  d'un  cylindre  fermé  par  un  pis- 
ton mobile  sous  lequel  on  produit  de  la  vapeur,  de  sorte  qu'il 
puisse  se  soulever,  et  qui  ensuite,  lorsque  la  vapeur  se  refroidit 
et  que  l'espace  intérieur  du  cylindre  devient  vide,  est  poussé  en 
bas  par  le  poids  de  l'atmosphère  avec  une  force  capable  de  sou- 
lever une  lourde  charge? 

L'idée  de  se  servir  de  la  force  du  feu  pour  chasser  l'air  et  d'em- 
ployer ensuite  le  poids  de  ce  dernier  comme  force  motrice  dérivée 
de  celle  du  feu  appartient  à  Huygens  ;  sa  première  réalisation  a  été 
la  machine  à  poudre.  Celle-ci  consistait  en  un  cylindre  fermé  par 
un  piston  mobile  et  dans  la  paroi  duquel,  un  peu  au-dessous  de 
la  position  la  plus  élevée  du  piston,  on  avait  adapté  de  part  et 
d'autre  des  canaux  ouverts  munis  de  soupapes  de  cuir  mouillé,  en 
forme  de  tubes.  Un  peu  de  poudre  au  fond  du  cylindre  étant 
allumée,  l'air  du  cylindre  était  chassé  en  même  temps  que  les  gaz 
incandescents  qui  sortaient  par  les  tubes  de  cuir.  Quand  l'air 
atmosphérique  revenait  de  même  que  dans  une  arme  à  feu  dé- 
chargée, il  fermait  de  lui-même  les  soupapes  en  cuir,  et  pressait 
le  piston  en  bas  avec  une  force  que  l'on  pouvait  emploj'cr  à  lever 
des  fardeaux  considérables. 

On  ne  peut  mieux  comparer  l'appareil  qu'aux  premières  ma- 
chines à  gaz.  Dans  celles-ci  également  l'effet  violent  et  désordonné 
de  l'explosion  n'est  pas  employé.  Tandis  que  la  tige  à  crémaillère 
du  piston  est  projetée  en  haut  par  l'explosion,  la  roue  dentée  sur 
laquelle  elle  agit  se  trouve  déclenchée  de  l'axe  moteur  :  ce  n'est 
que  dans  le  mouvement  descendant,  lorsque  le  poids  de  l'atmo- 
sphère pousse  le  piston  en  bas,  que  la  roue  dentée  fait  tourner 
l'arbre.  Remplacez,  dans  la  machine  de  Huygens,  la  poudre  par  le 
gaz  d'éclairage,  et  vous  aurez  la  forme  primitive  de  la  machine  à 
gaz  telle  que,  en  i86t,  à  l'Exposition  de  Paris,  elle  fit  son  entrée 
dans  le  monde  industriel. 

La  machine  ne  fut  pas  seulement  imaginée  par  Huygens  :  il  la 
construisit,  la  mit  en  œuvre  et  la  montra  à  Colbert.  Son  aide,  dans 
ce  travail,  fut  Papin.  Celui-ci  était  venu  s'établir  à  Paris  en  1670; 
il  fut  adjoint  à  Huygens  comme  aide-préparateur  au  laboratoire 
de  l'Académie.  C'est  dans  la  rue  Vivienne  qu'est  née  la  machine 


MÉLANGES.  >7 

à  vapeur.  Quinze  ans  après,  étant  professeur  à  Marbourg,  Papln 
s'est  remis  à  reconstruire  l'appareil  de  son  maître,  auquel  il  avait 
dédié  son  premier  Livre.  Après  deux  années  de  travail,  il  annonce 
à  Huygens  qu'on  peut  produire  plus  économiquement  un  vide 
plus  parfait  en  se  servant,  au  lieu  de  poudre,  de  la  vapeur  d'eau. 
Mais  cette  idée  également  venait  de  Iluygens.  Dans  la  liste  des 
trente  sujetsà  traiter  dans  l'Académie,  ainsi  que  dans  le  programme 
présenté  à  Colbert,  on  trouve  proposé  l'essai  de  la  force  de  l'eau 
raréfiée  par  le  feu  à  la  suite  de  celui  de  la  poudre.  On  ne  peut 
admettre  que  Hujgens,  travaillant  à  la  machine  à  poudre  assisté 
par  son  aide,  avec  lequel  il  fut  pendant  cinq  ans  en  rapports  jour- 
naliers, ne  lui  aurait  pas  dit  que  la  vapeur  d'eau  pourrait  servir 
au  même  but. 

Papin  s'est  vainement  efTorcé  de  réaliser  la  première  machine  à 
vapeur  sous  une  forme  applicable  dans  la  pratique.  lia  lutté  toute 
sa  vie  contre  le  destin  de  ceux  qui,  dans  leurs  efforts,  incon- 
sciemment, entrent  en  lutte  avec  d'inflexibles  lois  de  progrès.  11 
fallait  plus  que  la  vie  d'un  homme  pour  établir  l'usage  industriel 
de  la  vapeur.  Son  application  exigeait  dans  le  travail  des  métaux 
et  la  construction  des  machines  des  progrès  que  la  machine  à  va- 
peur devait  elle-même  rendre  possibles.  C'est  pas  à  pas,  l'une 
secondant  l'autre,  que  la  construction  et  l'application  devaient 
progresser.  Ce  n'est  pas  au  laboratoire  du  professeur,  mais  à 
l'usine,  que  l'emploi  de  la  force  motrice  du  feu  devait  grandir. 

Huygens  a  compris  à  la  fois  l'utilité  de  son  invention  et  les 
difficultés  de  l'exécution.  L'esquisse  qu'il  traça,  le  i3  février  1678, 
dans  son  journal,  porte  l'inscription  suivante.  ((  Pour  avoir  tou- 
jours à  son  commandement  un  agent  très  puissant  et  qui  ne  coûte 
rien  à  entretenir  comme  font  les  chevaux  et  les  hommes.  »  Et  sa 
description  se  termine  par  cette  remarque  pratique.  «  Mais  il  seroit 
assez  difficile  de  faire  un  cylindre  en  métal,  d'égale  largeur  par- 
tout et  bien  uni.  »  Huygens  n'a  pas  usé  ses  forces  en  une  entre- 
prise qu'il  ne  pouvait  mener  à  bien  :  il  estimait  avoir  fait  assez 
en  inventant  le  principe  d'une  nouvelle  machine  motrice  et  en 
montrant  par  l'expérience  de  quelle  force  elle  serait  capable  si  l'on 
parvenait  à  la  bien  conduire  :  il  a  passé  à  d'autres  travaux. 

Cependant  Huygens  doit  être  considéré  comme  l'inventeur 
de  la  machine  à  gaz  et  comme  l'auteur  spirituel  de  la  machine  à 


58  PREMIÈRR   PARTIE. 

vapeur.  C'est  de  plein  droit  qne,  dans  la  cour  d'entrée  du  bureau 
central  des  chemins  de  fer  à  Utreclit,  dont  la  façade  est  ornée  des 
bustes  de  Papin,  Watt  et  Stephenson,  sera  placé  le  portrait  en 
médaillon  de  Huygens  avec  cette  légende  : 

Tempo  ris  invenit  rnensurani,  ignisque  movendi 
Vim,  fugiente  die  qua  licet  arte  frui. 

Le  Traité  de  la  Lumière  nous  introduit  dans  la  sphèro  où  le 
génie  de  Huygens  prit  son  plus  haut  essor. 

L'idée  que  tout  l'espace  est  rempli  d'une  substance  qui  trans- 
met le  mouvement  était  d'origine  ancienne.  Pour  Descartes,  un 
espace  vide  ne  pouvait  exister;  d'autres  avaient  déjà  émis  l'opi- 
nion que  la  lumière  est  transmise  par  les  vibrations  d'une  matière 
répandue  dans  tout  l'Univers.  Des  conceptions  et  hypothèses  aussi 
peu  définies  n'avancent  guère  la  Science,  tant  qu'elles  sont 
impuissantes  à  rendre  compte  des  plus  simples  phénomènes.  Or 
on  ne  parvenait  pas  à  expliquer,  par  leur  moyen,  la  propriété 
fondamentale  de  la  lumière,  la  propagation  en  ligne  droite.  Huy- 
gens  résolut  le  problème.  Par  un  admirable  effort  de  son  génie, 
la  vague  conjecture,  précisée,  discutée  et  poursuivie  dans  ses 
conséquences,  devint  la  base  d'une  théorie  qui  expliquait  non 
seulement  la  propagation  rectiligne,  mais  aussi  la  réflexion  et  la 
réfraction  des  rayons  lumineux.  La  singulière  force  d'abstraction 
qui  distinguait  son  esprit,  guidée  par  le  raisonnement  mathéma- 
tique, lui  lit  découvrir  dans  les  mystères  débrouillés  de  la  double 
réfraction  la  confirmation  de  sa  théorie.  Et  aussitôt  son  œil  em- 
brassa dans  toute  son  étendue  le  domaine  où  il  avait,  le  premier, 
trouvé  un  terrain  solide. 

Plus  d'une  fois  il  avait  attaqué  le  système  de  Descartes  dans  ses 
allégations  arbitraires.  Personne  n'avait  d'une  main  aussi  auda- 
cieuse déchiré  le  tissu  artificiel  de  la  théorie  des  tourbillons.  Aux 
yeux  de  plusieurs  ce  fut  Huygens  qui  avait  détruit  entièrement  ce 
système.  Ce  fut  une  erreur.  Huygens  en  a  conservé  le  noyau  en 
ces  deux  thèses  :  «  Tous  les  phénomènes  de  la  nature  doivent 
trouver  leur  explication  dans  les  lois  de  la  Mécanique  »,  et  puis  : 
«  Tout  mouvement  est  la  conséquence  d'un  autre  transmis  par 
contact  immédiat  )>.  Avec  ces  notions, /o/ce  n'est  qu'un  terme  par 


MÉLANGHS.  5() 

lequel  nous  exprimons  le  lien  de  phénomènes  de  mouvement, 
telle  la  force  d'élasticité,  même  celle  de  l'éther  dont  les  vibrations 
constituent  la  lumière.  C'est  ici  que  l'imagination  de  Hujgens 
s'élève  à  une  conception  hardie  au-dessus  de  ce  qu'avait  jus- 
qu'ici deviné  l'esprit  humain.  Si  l'éther,  infiniment  délié  et  mo- 
bile, est  élastique,  c'est-à-dire  s'il  se  met  en  mouvement  lorsque 
ses  parties  ne  se  trouvent  pas  coordonnées  d'une  manière  déter- 
minée, il  faut  qu'il  existe  une  autre  substance  qui  l'ébranlc,  un 
fluide  qui  le  traverse  et  qui,  dans  son  efi'ort  pour  se  procurer  la 
plus  grande  liberté  de  mouvement  possible,  dispose  la  texture  de 
l'éther  dans  l'état  le  plus  approprié.  Cette  nouvelle  substance  doit, 
quant  à  la  subtilité,  être  à  Téther  ce  que  celui-ci  est  à  la  matière 
palpable.  Et  il  n'y  a  aucune  raison  pour  douter  que  cette  deuxième 
substance  ne  soit  suivie  par  une  autre,  et  que  l'échelle  des  de- 
grés infinis  de  ténuités  n'ait  pas  de  limite.  Elle  peut  s'étendre  à 
l'infini  des  deux  côtés.  La  même  relation  de  cause  à  efl'et  règne 
par  tout  l'Univers  dans  tous  les  degrés.  Mais  aussi,  quand  nous 
pouvons  rattacher  un  phénomène  aux  propriétés  d'une  des  sub- 
stances élastiques  de  la  chaîne,  nous  avons  pénétré  jusqu'à  la  der- 
nière cause  qui  nous  est  accessible  et  nous  nous  trouvons  devant 
la  limite  naturelle  de  toute  science  humaine  :  la  compréhension 
de  l'infini. 

Le  Discours  de  la  cause  de  la  pesanteur  fournit  une  appli- 
cation trop  peu  appréciée  de  ces  principes  à  l'explication  de  la 
gravité.  Plus  remarquable  encore  est  une  autre  relative  au  magné- 
tisme. Le  manuscrit  De  V Aimant,  qui  la  contient,  a  été  mis  de 
côté  par  les  premiers  éditeurs  des  œuvres  de  Hujgens  comme 
une  pièce  inachevée;  il  n'a  jamais  été  publié. 

Le  Traité  de  la  Lumière  et  le  Discours  sur  la  cause  de  la 
pesanteur  parurent  trop  tôt  de  plus  d'un  siècle  :  il  j  avait  à 
peine  trois  ans  que  Newton  avait  publié,  dans  ses  Principia,  la 
loi  de  l'attraction  universelle. 

De  même  que  l'hypothèse  des  vibrations  lumineuses,  celle 
d'une  force  attractive  qui  assujettit  les  planètes  à  leurs  courbes 
n'était  pas  nouvelle.  La  loi  des  carrés,  d'après  laquelle  la  force 
diminuerait  avec  les  distances,  avait  même  été  clairement  énoncée 
par  Boulliau  et  Borelli.  Cependant,  ici  encore,  quoiqu'il  n'y  eût 


6o  PREMIÈRE   PARTIE. 

aucune  incompatibililé  avec  des  faits  connus,  les  opinions  émises 
ne  furent  que  des  conjectures.  Newton,  en  établissant  leur  vérité, 
leur  donna  toute  leur  valeur  scientifique.  Les  éléments  de  sa  dé- 
monstration furent  empruntés  à  V Horologium  oscillatorium;  il 
a  reconnu  lui-même  que  le  Iravail  de  Huygens  en  fut  la  base.  En 
effet,  la  loi  des  forces  centrifuges  avait  permis  de  calculer  la  force 
qui  retient  dans  son  orbite  le  satellite  de  la  Terre.  Les  lois  du  pen- 
dule avaient  fourni  à  Hujgens  la  mesure  exacte  de  la  gravité  à  la 
surface  de  notre  globe.  Les  deux  termes  de  l'équation  étaient  ainsi 
donnés;  réunis  ils  fournirent  à  Newton  la  pierre  de  fondation  de 
son  œuvre  gigantesque. 

La  loi  de  l'attraction  ne  put  satisfaire  Hujgens  :  la  cause  de- 
meurait inconnue.  Prétendre  que  deux  corps  sont  poussés  l'un 
vers  l'autre  parce  qu'ils  s'attirent,  «  c'était  dire  autant  que  rien  ». 
Une  action  à  distance  lui  parut  une  absurdité. 

Au  point  de  vue  de  la  Science,  on  doit  considérer  comme  une 
circonstance  heureuse  que  la  découverte  de  la  loi  d'attraction 
échût  au  plus  jeune  des  deux  grands  penseurs,  à  celui  qui,  satis- 
fait d'une  connaissance  moins  profonde,  reconnut  aussitôt  toute 
la  valeur  de  son  nouveau  principe  j  qui,  de  plus,  possédait  dans  le 
Calcul  infinitésimal,  encore  tenu  secret,  l'instrument  avec  lequel 
il  put  opérer  des  prodiges. 

Hujgens  et  Newton  différaient  d'opinion  en  plusieurs  ques- 
tions importantes.  Si  le  premier  ne  pouvait  admettre  que  toutes 
les  particules  de  la  matière  s'attirent,  ne  voyant  pas  comment  on 
pourrait  ramener  cette  action  à  un  effet  de  mouvement,  Newton  a 
rejeté  la  théorie  de  la  double  réfraction  et  a  même  voulu  la  rem- 
placer par  une  autre,  contraire  à  l'expérience.  Cependant  ils  re- 
connurent réciproquement  leurs  mérites.  Dans  son  discours  sur 
la  pesanteur,  Hujgens  énumère  toutes  les  difficultés,  en  appa- 
rence insurmontables,  que  la  loi  de  Newton  avait  heureusement 
résolues.  Et  lorsque  le  docteur  Benthlej  demande  à  Newton  quels 
livres  il  faut  lire  pour  pouvoir  comprendre  les  Principia,  la  ré- 
ponse est  une  longue  liste  d'Ouvrages  d'Euclide,  de  Descartes, 
Van  Schooten,  Jean  de  Witt,  Gassendi,  Mercator,  formant  en- 
semble un  cours  d'études  complet,  avec  à  la  fin  cette  remarque  : 
«   Si  toutefois  vous  pouvez  vous  procurer  Vlloj-ologiiim  oscilla- 


MfU.ANGIIÎS.  Oi 

torium  de  Huj'gens,  ce  livre  vous  aidera  bien  mieux.  »  Élo^e 
brillant  donné  tant  à  la  riclicsso  des  nialières  ([u'à  la  clarté  de 
l'exposition. 

Ils  se  connurent  et  furent  amis.  Le  journal  de  Constantin  IJuy- 
gens,  frère,  rapporte,  sous  la  date  du  lo  juillet  1689,  le  fait  sui- 
vant: «  Frère  Cliristian  vint  avec  le  jeune  M.  llambden  et  Fatio 
Dliuillicr  et  M.  Newton^  le  matin,  à  ^  heures,  à  Londres,  dans  le 
dessein  de  recommander  ce  dernier  auprès  du  Roi  j)our  une  place 
vacante  de  régent  dans  un  collège  de  Cambridge.  »  Jlujgens, 
Newton  et  Guillaume  III  réunis  dans  un  même  groupe,  quel 
tableau!  Hélas!  le  grand  roi  n'a  reconnu  la  valeur  d'aucun  de  ses 
deux  visiteurs. 

Lorsque  Hujgens  disparut  d'entre  les  vivants,  l'antagonisme 
des  théories  et  les  rapports  de  leurs  défenseurs  prirent  un  autre 
caractère.  Même  dans  la  patrie  du  grand  inventeur,  les  Principia 
eurent  à  soutenir  une  lutte  acharnée  contre  d'anciennes  erreurs. 
Cartésiens  et  newtoniens  se  trouvèrent  face  à  face.  Dans  les  luttes 
des  partis,  la  sûreté  de  sa  propre  position  et  la  ruine  de  son  ad- 
versaire sont  bientôt  l'unique  souci  de  chacun.  Les  écoles  en 
querelle  respectent  peu  ce  qu'honoraient  les  maîtres. 

Malgré  la  remarque  irréfutée  de  Hujgens  que  deux  courants  de 
projectiles  ne  peuvent  pas,  comme  des  rayons  lumineux,  se  ren- 
contrer sans  perturbation  réciproque,  la  théorie  de  l'émission, 
proposée  par  Newton,  fut  maintenue.  Une  substance  qui,  selon 
l'idée  de  Huygens,  remplirait  tout  l'espace,  parut  incompatible 
avec  l'ordre  que  la  loi  de  l'attraction  avait  fait  reconnaître  dans  le 
système  solaire.  Pour  laisser  libre  carrière  aux  corps  célestes,  qui 
obéissaient  avec  une  si  étonnante  exactitude  à  cette  loi,  l'Univers 
fut  déclaré  vide.  Huygens,  suspect  aux  cartésiens,  gênant  pour  les 
newtoniens,  fut  écarté  :  c'est  à  peine  si  l'on  citait  son  nom. 

La  ruine  du  système  de  Descartes,  détruit  par  Huygens  jusqu'à 
ses  fondements,  ne  pouvait  plus  être  dissimulée.  L'admiration  des 
Principia  de  Newton  devint  aussi  générale  qu'elle  était  justifiée. 
Bientôt  Newton  domina  toute  la  Science  rationnelle,  et  tel  fut  son 
ascendant  qu'à  la  fin  du  siècle  dernier  on  considérait  comme  une 
marque  d'étroitesse  d'esprit  de  ne  pouvoir  s'élever  à  la  conception 
d'une  action  à  distance.  Lorsque  Coulomb  eut  ramené  les  actions 


62  PREMIÈRE   PARTIE. 

électriques  et  magnétiques  à  la  loi  des  carrés  des  dislances,  il 
semblait  que  le  dernier  mot  fût  dit  sur  ces  phénomènes. 

Ce  fut  l'expérience  qui  vint  briser  l'autorité  empruntée  à  la 
prétendue  omnipotence  d'une  formule  mathématique.  Au  com- 
mencement de  ce  siècle,  un  médecin  anglais,  Young,  fixa  l'atten- 
tion sur  des  phénomènes  lumineux  dont  seule  la  théorie  des  on- 
dulations pouvait  rendre  compte.  Presque  en  même  temps,  un 
ingénieur  français,  Fresnel,  sans  connaître  les  travaux  d'Young, 
entreprit  une  recherche  pareille  et  sut  l'étendre  en  une  brillante 
série  d'expériences  concluantes.  Dès  que  l'étude  de  la  lumière 
eut  retrouvé  dans  la  théorie  de  Huygens  son  principe  directeur, 
les  découvertes  se  succédèrent  sans  relâche. 

Dans  les  mêmes  années  où  Foucault  réussit  à  mesurer  le  rap- 
port des  vitesses  de  la  lumière  dans  l'eau  et  dans  l'air  et  porta 
ainsi  le  jugement  final  qui  condamnait  irrévocablement  la  théo- 
rie de  l'émission,  le  roi  des  expérimentateurs.  Faraday,  fit  en- 
tendre sa  voix.  L'expérience  journalière,  continuée  pendant  des 
années,  des  phénomènes  magnétiques  et  électriques  lui  avait 
donné  la  profonde  conviction  que,  dans  l'espace  qui  sépare  deux 
corps,  il  doit  se  trouver  quelque  chose  qui  produit  les  mouve- 
ments d'attraction  et  de  répulsion  apparentes,  qvielque  modifi- 
cation se  propageant  de  point  en  point  et  dont  la  direction  est 
indiquée  par  ce  qu'il  appelait  les  lignes  de  force  magnétiques  et 
électriques.  La  forme  et  la  disposition  de  ces  courbes,  leurs  pro- 
priétés, la  nature  de  la  variation  elle-même  devaient,  d'après  lui, 
servir  de  base  à  toute  recherche  concernant  le  mécanisme  de  ces 
phénomènes.  Faraday  eut  le  courage  de  le  déclarer  de  nou- 
veau :  une  action  directe  à  distance  est  peu  probable. 

Ce  ne  fut  pas  seulement  dans  ce  dernier  jugement  que  les  idées 
de  Huygens  revivaient.  L'opinion  de  Faraday,  adaptée  aux  con- 
ceptions de  Hujgens,  ne  peut  être  résumée  plus  simplement  et 
plus  clairement  que  ne  le  fait  l'exorde  du  Traité  de  V aimant^ 
qui  pendant  plus  de  deux  siècles  a  dormi  parmi  les  manuscrits  de 
Leyde  et  dans  les  anciens  Registres  de  l'Académie  des  Sciences 
de  Paris  :  u  II  paraît,  dit  Huygens,  par  les  expériences  de  la  li- 
maille de  fer  répandue  sur  un  carton  qui  couvre  un  aimant  ou 
dans  lequel  on  l'a  enchâssé,  qu'il  y  a  quelque  matière  qui  coule 


à  travers  et  autour  de  cette  pierre,  car  la  disposition  de  la  limaille 
marque  le  chemin  de  ce  mouvement,  et  elle  en  est  ébranlée,  ce 
qui  ne  se  peut  cpie  par  le  mojcn  de  (juclque  corps  qui  soit  en 
mouvemenl.  )>  C^es  courants  de  force  ("orment  le  j)oint  de  départ 
des  considérations  de  Mujgens,  et,  en  suivant  cette  trace  pour 
trouver  en  grandeur  et  en  direction  le  mouvement  de  deux 
aimants  qui  agissent  l'un  sur  l'autre,  il  arrive  à  un  résultat  qui 
fournit,  en  données  concrètes,  une  solution  identique  à  la  règle 
que  l'abstraite  Analyse  mathématique  déduit  de  la  loi  des  carrés 
des  distances. 

Faraday,  Maxwell,  Herlz,  ces  trois  noms  nous  représentent  les 
trois  pas  importants  qui  nous  ont  ramenés  et  avancés  sur  la 
route  indiquée  et  inaugurée  par  lluygens.  Au  deuxième  cente- 
naire de  la  fin  de  sa  tâche,  nous  célébrons  la  résurrection  de  sa 
plus  grandiose  conception  :  la  physique  de  l'impalpable. 

Nous  laissons-nous  affliger  par  la  pensée  que  la  satisfaction  du 
triomphe  ne  fut  pas  son  partage?  Ce  serait  méconnaître  la  hauteur 
de  son  âme.  Sa  raison  était  trop  sûre  et  trop  claire  pour  qu'il 
pût  faiblir  dans  ses  convictions.  Quant  aux  honneurs,  il  ne  les 
a  jamais  recherchés.  Approfondir  la  nature  autant  qu'il  pouvait, 
la  contempler  dans  toute  la  sublimité  accessible  à  l'intelligence 
humaine,  c'était  là  sa  joie. 

Son  dernier  écrit,  le  Kosmothéoros,  fut  inspiré  par  le  vœu 
d'associer  à  ces  hautes  jouissances  ses  amis,  son  frère  d'abord,  le 
camarade  de  ses  jeux  d'enfance,  l'aide  fidèle  dans  les  fastidieux 
travaux  manuels,  le  compagnon  des  longues  veillées  passées  de- 
vant la  lunette  en  discourant  des  secrets  du  ciel;  puis  d'autres,  si 
possible,  un  cercle  restreint  d'élus,  d'initiés.  A  ces  intimes  il 
voulut  laisser  l'impression  du  spectable  merveilleux  que  révèle  le 
tube  optique,  lorsque  l'œil,  dans  un  groupe  d'étincelantes  étoiles, 
aperçoit  et  embrasse  un  monde  de  systèmes  solaires,  et  l'émotion 
qui  nous  saisit  lorsque,  détournant  les  regards,  nous  nous  retrou- 
vons devant  le  néant  des  choses  humaines. 

La  plume  tomba  de  ses  mains,  l'esprit  qui  avait  répandu  tant 
de  lumière  s'éteignit. 

A  nous,  il  légua  plus  qu'il  ne  pouvait  donner  à  ses  contempo- 
rains. La  théorie  de  la  lumière,  qui  dévoile  la  nature  et  les  mou- 
vements de  l'invisiblement  petit,  nous  manifesta  dans  l'étalement 


64  PREMIÈRE   PARTIE. 

du  spectre  des  lueurs  stellaires  Tessence  des  corps  célestes;  elle 
nous  permit  de  découvrir  dans  un  point  lumineux  indivisible  des 
soleils  gravitant  autour  de  leur  centre  commun,  de  mesurer  leurs 
vitesses  vertigineuses  et  de  distinguer  ainsi,  dans  les  ténues  ondu- 
lations de  l'océan  éthéré  qui  arrivent  à  nos  yeux  après  des  années 
de  traversée,  la  nature  et  les  mouvements  de  l'invisiblement  loin. 
Christian  Huygens,  noble  par  le  cœur,  par  l'esprit,  par  les  tra- 
vaux de  son  rare  génie,  continue  de  nous  guider  et  de  nous 
éclairer  dans  nos  plus  hautes  aspirations  :  connaître  la  nature, 
approcher  du  sublime  Infini.  J.  Bosscha. 


COMPTES  RENDUS   ET  ANALYSES.  Gf) 

COMPTES   RENDUS  ET  ANALYSES. 

KLEIN    (F.).    —  VORTRAGE    iJBER   AUSGEWAIILTE    FrAGEN   DER   ElEMENTARGEO- 

METRiE  AUSGEARBEITET  VON  F.  Tagert.  v-GG  p.   in-8".  Loipzig,  Tcubncr, 

1895. 

Ces  quelques  pages,  destinées  à  conserver  le  souvenir  d\ine 
Leçon  de  M.  Klein  à  une  assemblée  de  professeurs  de  gymnase, 
seront  lues  avec  un  vif  intérêt.  Elles  se  rapportent  à  des  questions 
qui  se  posent  nécessairement  dans  l'enseignement  élémentaire  et 
que,  à  la  vérité,  on  n'y  peut  guère  aborder,  non  que  les  solutions 
supposent  des  connaissances  élevées,  mais  parce  qu'elles  exige- 
raient des  élèves  trop  de  temps  et  peut-être  trop  d'efforts.  Pour 
les  élèves  comme  pour  les  maîtres,  il  est  singulièrement  incom- 
mode d'aller  chercher  les  solutions  de  ces  questions  inévitables 
dans  les  diverses  collections  des  journaux  mathématiques,  dans 
des  Mémoires  qui  ne  contiennent  pas  toujours  d'une  façon  expli- 
cite ce  que  l'on  y  cherche,  et  dont  la  lecture  peut  être  hérissée  de 
difficultés.  On  saura  donc  gré  à  l'éminent  professeur  de  Goettingen 
de  cette  précieuse  marque  d'intérêt  pour  l'enseignement  élémen- 
taire. Est-il  besoin  de  dire  qu'il  a  traité  des  divers  sujets  qu'il  a 
abordés  avec  un  esprit  vraiment  philosophique  et  pédagogique, 
de  manière  à  bien  dégager  la  nature  des  questions  et  la  marche 
des  solutions?  Il  a  voulu  aussi  ajouter  à  ses  exposés  dogmatiques 
quelques  aperçus  historiques  très  brefs,  mais  très  nets  et  où  tout 
est  essentiel. 

C'est  tout  d'abord  des  constructions  au  moyen  de  la  règle  et  du 
compas  qu'il  s'occupe.  Parmi  les  divers  Traités  d'Algèbre  supé- 
rieure, il  n'y  a,  paraît-il,  que  le  Livre  de  M.  Petersen  où  ce  sujet  soit 
abordé.  M.  Klein  montre  comment  une  expression  algébrique 
portant  sur  des  données  qui  doivent  rester  indéterminées  et  où 
ces  données  n'entrent  que  rationnellement  ou  sous  des  radicaux 
de  second  degré,  qui  peuvent  d'ailleurs  être  en  nombre  quelconque 
et  superposés  les  uns  aux  autres,  satisfait  à  une  équation  algé- 
brique d'ordre  2",  dont  les  coefficients  appartiennent  au  domaine 
de  rationalité  constitué  par  les  données  indéterminées  et  qui, 
dans  ce  domaine^  est  irréductible.  Si  donc  une  expression  est  ra- 
BulL  des  Sciences  mathém.,  2"  série,  t.  XX.  (IMars  1B96.  )  5 


66  PREMIÈRE  PARTIE. 

cine  d'une  équation  irréductible  dans  le  même  domaine,  et  dont 
le  degré  n'est  pas  une  puissance  de  2,  on  peut  affirmer  qu'il  est 
impossible  de  la  construire  au  moyen  de  la  règle  et  du  compas. 
D'où,  par  exemple,  résulte  l'impossibilité  du  problème  délique,  et 
de  la  trisection  de  l'angle.  Le  même  théorème  sert  à  montrer  l'im- 
possibilité de  l'inscription,  au  moyen  de  la  règle  et  du  compas, 
d'un  polygone  régulier  dont  le  nombre  de  côtés  est  premier  et 
n'est  pas  de  la  forme  2'^  +  i  ;  quant  à  ces  derniers,  M.  Klein  se 
borne  au  cas  du  polygone  de  17  côtés,  de  manière  à  faire  pres- 
sentir la  méthode  générale,  et  à  exposer,  dans  ce  cas  particulier, 
la  solution  avec  tous  ses  détails.  Cette  exposition  est  un  modèle 
d'élégance  et  de  clarté.  La  construction  est  faite  au  moyen  d'un 
seul  cercle.  L'auteur  s'occupe  ensuite  des  nombres  e  etii;  pour  le 
nombre  <?,  c'est  la  démonstration  de  M.  Gordan  qu'il  expose,  et 
pour  TU,  il  établit  les  résultats  que  l'on  doit  à  M.  Lindemann.  Il  va 
sans  dire  que  M.  Klein  rend  pleine  justice  au  géomètre  profond 
dont  les  recherches,  comme  tout  le  monde  en  convient,  sont  et 
resteront  la  véritable  source  de  nos  connaissances  touchant  ces 
nombres  célèbres.  J-   T. 


LAZZERI  (G.)  E  BASSANI  (A.).  —  Elementi  di  Geometria.  Libro  di  lesto 
per  rAccademia  Navale.  In-8°,  xix-455  p.  Livorno,  R.  Giusti,  1891. 

Les  auteurs  ont  suivi  la  méthode  de  la  fusion  de  la  Planimétrie 
avec  la  Stéréométrie,  dont  on  avait  eu  des  exemples  peu  nom- 
breux mais  remarquables,  entre  autres  le  beau  Traité  de  De  Paolis 
{^Elementi  di  Geometria;  Torino,  1884).  Leur  expérience  per- 
sonnelle dans  l'enseignement  a  été,  comme  ils  le  disent,  favorable 
à  cette  méthode.  Ils  ont  mis  très  justement  grand  soin  dans  le 
choix  des  vérités  que  l'on  admet  sans  démonstration,  et  cherché 
de  les  énoncer  toujours  explicitement,  ce  que  l'on  ne  fait  pas  dans 
tous  les  Traités.  A  ce  propos,  nous  trouvons  à  remarquer  que  le 
postulatum  qu'ils  substituent  à  celui  de  la  parallèle  (p.  34)  n'est 
pas  aussi  bien  choisi  que  les  autres,  et,  de  plus,  que  sa  première 
partie,  regardant  la  bande  comprise  entre  deux  parallèles,  pourrait 
être  supprimée,  en  faisant  dépendre  l'inversion  de  la  bande  de 


COMPTES  KENUUS  El  ANALYSES.  67 

celle  (lu  serment.  Iai  théorie  des  proportions  est  faite  aritlirnéti- 
quement.  C/esl  là  une  modifieation  importante  dans  un  Traité  qui 
est  dans  tout  le  reste  purement  sjntliéli(pie,  mais  les  auteurs  en 
donnent  de  bonnes  raisons  :   la  nécessité  oii  l'on    se  trouverait 
d'introduire  le  concept  de  nombre    entier  au   moins,   même  en 
traitant  les  proportions  géométriquement,  et  surtout  la  clarté  sans 
doute  plus  grande  que  la  définition  des  grandeurs  proportionnelles 
acquiert  par  la  voie  arithmétique.  Nous  croyons  que  même  ceux 
qui  voudront  discuter  cette  innovation  seront  forcés  de  l'appré- 
cier comme  nne  chose  sérieusement  méditée,  ainsi  que  toutes  les 
autres  parties  de  cet  Ouvrage,  que  l'on  peut  dire  un  livre  bien  fait. 
Plus  de  mille  exercices,  en  partie  nouveaux,  placés  à  la  fin  des 
différents  Chapitres  de  ce  Traité,  ne  font  qu'en  augmenter  l'im- 
portance et  l'utilité. 


A 

BOCHER  (M.).  —  Ueber  die  Reuienentwickelungen  der  Potential- 
THEORiE,  Mit  cinem  Vorwort  von  F.  Klein,  i  vol.  in-8",  vni-258  p.  Leipzig, 
Teubner,  1894. 

L'intéressant  travail  de  M.  Maxime  Bôcher  est  le  développe- 
ment d'un  Mémoire  remis  en  1891  à  la  Faculté  philosophique  de 
Goettingue,  pour  répondre  à  une  question  qu'elle  avait  mise  au 
concours. 

On  y  demandait  de  déterminer  les  développements  en  série 
propres  à  représenter  une  fonction  potentielle  ayant  des  valeurs 
prescrites  sur  la  surface  d'un  corps  limité  par  six  cyclides  confo- 
cales,  de  manière  à  pouvoir  embrasser  d'un  seul  point  de  vue  les 
divers  développements  en  série,  auxquels  a  donné  lieu  la  théorie  du 
potentiel,  en  regardant  comme  des  déformations  d'un  système  de 
cyclides  confocalesles  différents  systèmes  triplement  orthogonaux 
que  l'on  avait  eus  à  considérer  jusqu'à  ce  jour.  M.  Klein,  qui  a 
sans  doute  été  l'inspirateur  de  cette  belle  question,  et  qui  a 
honoré  d'une  courte  préface  le  Livre  de  M.  Bôcher,  avait  commu- 
niqué à  ses  auditeurs  (1889-1890)  des  résultats  concernant  l'équa- 
tion de  Lamé  dont  l'auteur  a  tiré  grand  parti  et  dont  il  a  fait  res- 
sortir l'importance.  Il  importe  de  rappeler  aussi  les   deux  Notes 


68  PREMIÈllE  PARTIE. 

de  M.  Darboiix  (1876)  sur  l'application  des  méthodes  de  la  Phy- 
sique mathématique  à  l'étude  des  corps  terminés  par  des  cjclides. 
{Comptes  rendus^  t.  LXXXTIl,  p.  1037  et  1099.) 

La  première  partie  du  Livre  de  M.  Bôcher  est  purement  géo- 
métrique; suivant  une  habitude  qui  est  assez  fréquente  en  Alle- 
magne, et  qui  a  ses  avantages,  il  reprend  les  choses  au  début  et 
ne  craint  pas  de  développer  en  détail  les  théories  géométriques 
dont  il  aura  besoin;  à  le  voir,  au  début,  démontrer  que  tous  les 
cercles  d'un  plan  ont  deux  points  communs  à  l'infini,  ou  reprendre 
les  principes  de  la  théorie  de  l'inversion,  un  lecteur  français  ne  se 
douterait  pas  du  haut  problème  d'analyse  qui  est  l'objet  essentiel 
de  l'auteur.  Il  convient  de  dire,  toutefois,  que  ces  théories  élé- 
mentaires sont  traitées  d'une  façon  large  et  philosophique.  M.  Bô- 
cher développe  ensuite  la  théorie  des  coordonnées  tétracycliques 
ou  pentasphériques,  classe  les  cycliques  et  les  cyclides  et  décrit 
avec  détail,  dans  les  différents  cas,  les  figures  formées  par  un 
faisceau  de  cycliques  ou  de  cyclides  confocales;  il  étudie, 
dans  les  différents  cas  encore ,  les  systèmes  de  coordonnées 
qui  naissent  de  la  considération  des  cyclides  confocales,  et  qui 
se  substituent  aux  coordonnées  pentasphériques,  comme  les 
coordonnées  elliptiques  se  substituent  aux  coordonnées  ortho- 
gonales. 

Après  ces  préliminaires  géométriques,  qui  occupent  un  bon 
tiers  du  volume,  M.  Bôcher  passe  à  l'étude  de  l'équation  de 
Lamé.  Il  définit  comme  telle  une  équation  différentielle  linéaire 
du  second  ordre,  à  coefficients  rationnels,  partout  régulière  (^), 
ayant  à  distance  finie  les  points  singuliers  e^ ,  Cx,  •  •  • ,  en-,  auxquels 

corr*espondent  les  exposants  o,  ->  et  pour  laquelle  le  point  00  est  un 

point  improprement  singulier.  Une  telle  équation  est  de  la  forme 

dx"'       'ifix)  dx       \f{xY  ' 


(')  C'est-à-dire  que^  en  chaque  point  x^^,   il  existe  deux  solutions  distinctes  de 
la  forme 

{X-  z^f.  [H-A,(a:  —  x^)-\-}à{x-  ^,)'+. .  .]; 

au  point  x^  correspondent  les  exposants  A-,  A\  ;  si  l'on  a  A  =  o,  A-,  —  i,  le  point  est 
ordinaire:  si  l'on  a  A'  —  A,  =  i,  le  point  est  improprement  singulier. 


COMPTES  RKNDUS  ET  ANALYSES.  ^9 

où  l'on  a  misy*(:r)  à  la  [)Iacc  du  produit 

{x—  ei){x  —  Ci).  .  .(x  —  en) 
Cl  (}i  (x)  à  la  place  du  polynôme 

n(n  —  4  )  „       (f^  —  2  )  (  /i  ~  4  )  / 


4 

Aa;«-*+  B:r«-5  +  . . .+  M; 


A,  J^,  .  .  .,  M  sont  des  constantes  dites  accessoires.  Cette  équa- 
tion, dont  toute  solution  sera  dite  une  fonction  de  Lamé,  peut  se 
transformer  de  diverses  manières,  en  particulier  par  le  change- 
ment de  variable  indépendante  que  définit  l'équation 


/: 


dx 


i^/fix) 

une  autre  transformation  intéressante   consiste  à  introduire  des 
variables  indépendantes  homogènes. 

L'étude  des  courbes  (courbes  de  Lamé)  représentées  par  une 
solution  de  l'équation  de  Lamé,  en  se  plaçant,  bien  entendu,  dans 
le  cas  des  variables  réelles,  conduit  à  des  résultats  importants, 
dûs  à  M.  Klein.  On  reconnaît  d'abord,  en  général,  à  cause  de  la 
nature  des  points  singuliers  ^i,  62,  e^,  .  .  .,  qu'une  telle  courbe 
(formant  un  trait  continu)  doit  rester,  en  général,  entre  les  deux 
parallèles  à  l'axe  des  y^  dont  les  abscisses  sont  deux  des  nombres 
consécutifs  ^i,  62^  ...  ;  en  d'autres  termes,  pour  une  telle  courbe, 
l'abscisse  x  doit  rester  dans  un  des  intervalles  limités  par  ces 
nombres.  C'est  surtout  le  cas  de  n^=  s  qu'il  importe  de  considé- 
rer, en  vue  des  applications  ultérieures;  dans  ce  cas,  l'équation 
de  Lamé,  quand  on  a  pris  la  variable  t  pour  variable  indépen- 
dante, prend  la  forme 

où  l'on  rappelle  que  ^  et  ^  sont  liés  par  la  relation 

dx 


t  = 


I-, 


l'équation  (i),  si  l'on  j  regarde  la  variable  t  comme  repi^sentant 


70  PREMIÈRE   PARTIE. 

Je  temps,  peut  être  regardée  comme  définissant  le  mouvement  d'un 
point  matériel  situé  sur  l'axe  des  j/-  et  attiré  vers  l'origine  par  une 


force  égale  à 


[•^^-(«^+6)]^; 


si  l'on  considère  deux  époques  ^,,  ^2  correspondant  à  deux  valeurs 
7?îi,  ni2  de  x^  nécessairement  comprises  dans  le  même  intervalle, 
il  est  clair  qu'on  pourra  déterminer  les  constantes  accessoires  a,  h 
de  manière  que  la  quantité  entre  crochets  soit  aussi  grande  qu'on 
le  voudra  quand  t  varie  de  t^  à  ^21  ou  quand  x  varie  de  rrij^  à  nii'-,  le 
point  matériel  pourra  faire  ainsi  autant  d'oscillations  qu'on  vou- 
dra; on  est  amené  ainsi  à  se  demander  si  l'on  peut  déterminer  les 
constantes  accessoires  de  manière  que  le  nombre  de  demi-oscilla- 
tions soit  précisément  égal  à  m]  on  aperçoit  là  un  sujet  de  re- 
cherches assez  délicates,  dans  le  détail  desquelles  il  nous  est 
impossible  d'entrer  et  qui  conduit  à  la  proposition  suivante  : 
Si  l'on  considère  sur  l'axe  des  abscisses  deux  intervalles,  puis, 
sur  chacun  d'eux,  un  segment  arbitraire  m^^  rrii^  n^,  722,  on  peut, 
et  cela  d'une  seule  façon,  déterminer  les  constantes  accessoires 
a,  b  de  l'équation  de  Lamé  (n  =  s),  de  manière  qu'il  existe  deux 
solutions  particulières  représentées  par  des  courbes  dont  la  pre- 
mière fasse  précisément  m  demi-oscillations  dans  le  segment 
m^m2  et  la  seconde  précisément  n  demi-oscillations  dans  le  seg- 
ment n^  ïi2'  On  conçoit,  d'ailleurs,  que  la  détermination  des  con- 
stantes a,  b  dépende  d'équations  transcendantes  fort  compliquées. 
Reprenant  ensuite  l'analyse  de  M.  Darboux,  l'auteur  montre 
comment  l'équation  du  potentiel  se  transforme  en  coordonnées 
pentasphériques  x^^  ^^2,  ...,  x^  vérifiant  l'équation 


>  x'j  =  o, 


puis  en  coordonnées  cyclidiques  ui,  v,  p,  ces  trois  coordonnées 
n'étant  autre  chose  que  les  racines  de  l'équation  du  troisième 
degré  en  X, 


/=5 


COMPTRS   RIÎNDUS  ET  ANALYSES.  71 

ou,  si  l'on  veut,  les  trois  paramètres  qui  définissent  les  trois  cy- 
clides  confocales  qui  passent  par  le  point  Xi ,  X2j  ••-,  ^5- 

On  trouve  alors  qu'une  fonction  potentielle  V  peut  se  mettre 
sous  la  forme  T^J;([jl,  v,  p),  T  étant  une  fonction  qui  s'exprime 
simplement  au  mojen  de  x^  et  ^J;  devant  vérifier  une  certaine 
équation  aux  dérivées  partielles,  transformée  de  l'équation 
AV  =  o.  En  cherchant  à  vérifier  l'équation  en  ^  par  un  produit 

de  la  forme 

E'(fjL)E"(v)E"'(p), 

on  trouve  que  les  quantités  K'(l),  E"(X),  E'\l)  sont  trois  sohi- 
tions  de  l'équation  de  Lamé  (n  =:  5), 


~dt^ 


5X3        3X2'^ 


E, 


où  les  paramètres  accessoires  A,  B  sont  arhitraires. 

Considérant  ensuite  un  corps  limité  par  six  cjclides  confocales, 

l'auteur,  au  moyen  des  remarques  antérieures  sur  les  oscillations 

«    des  courbes  de  Lamé,  montre  comment  on   peut  déterminer  les 

paramètres  accessoires  A,  B,  de  manière  à  faire  correspondre  à 

chaque  système  de  nombres  entiers  positifs  m,  n  un  produit 

qui  soit  nul  sur  cinq  des  faces  des  corps,  puis  déterminer  les  coef- 
ficients Vtjn^n  de  la  série  double 


m  z^  x)  n^  (x> 


2)  ^  b,„,„e;„^,,([x)e;,,,,(v), 


m  :=  1     n: 


pour  que  la  somme  de  cette  série  ait  une  valeur  prescrite /"(a,  v). 
On  parvient  ainsi  à  former  une  série  double  dont  la  somme  est 
nulle  sur  cinq  des  faces  et  a  des  valeurs  prescrites  sur  la  sixième; 
on  en  déduit  le  moyen  de  former  une  fonction  potentielle  qui  ait 
des  valeurs  prescrites  sur  les  six  faces. 

M.  Bôcher  est  le  premier  à  faire  observer  tout  ce  que  cette  so- 
lution, si  intéressante  qu'elle  soit,  présente  d'imparfait.  Il  n'a  pas 
abordé  le  problème  de  la  convergence  ;  sur  cette  question  de  la 
convergence,  il  émet  d'ailleurs  des  idées   très  justes,  en  disant 


72  PREMIÈRE  PARTIE. 

que  la  question  a  deux  faces  suivant  qu'on  se  place  an  point  de 
Yue  de  l'Analyse  mathématique  ou  des  applications  :  dans  ce  der- 
nier cas,  la  convergence  n'offre  d'intérêt  que  si  elle  est  suffisam- 
ment rapide,  et  à  une  convergence  complète  il  faudrait  préférer 
une  semi-convergence  pourvu  qu'elle  permît  une  approximation 
suffisante  en  calculant  un  petit  nombre  de  termes;  malheureuse- 
ment, comme  le  fait  observer  l'auteur,  rien  ne  permet  de  dire, 
dans  la  solution  considérée,  si  l'on  est  dans  un  cas  ou  dans  un 
autre,  et  il  faut  se  contenter  de  poser  le  problème;  d'ailleurs  le 
calcul  de  chaque  terme  de  la  série  présente  déjà  de  grandes  com- 
plications, à  cause  de  la  façon  transcendante  dans  les  paramètres 
accessoires  A,  B  dépendent  des  nombres  /??,  n]  sans  compter  que 
l'on  n'a  à  sa  disposition  aucune  représentation  simple  des  fonc- 
tions de  Lamé  qui  en  permette  le  calcul  effectif.  La  valeur  de  la 
solution  donnée  par  M.  Bôcher  est  surtout  théorique;  mais,  à  ce 
point  de  vue,  sa  portée  est  indéniable,  comme  le  montre  la  troi- 
sième Partie  du  Livre,  où  l'auteur  étudie  en  détail  les  divers  cas 
de  dégénérescence,  suivant  le  degré  de  multiplicité  des  points 
singuliers  de  l'équation  de  Lamé;  il  est  à  peine  utile  de  dire  que 
cette  étude  exige  beaucoup  de  soin  et  de  sagacité.  Un  résumé 
historique  des  diverses  recherches  particulières  que  l'auteur  se 
trouve  avoir  ainsi  embrassées  termine  cette  troisième  Partie. 
Enfin,  on  trouvera  à  la  fin  du  volume,  en  Appendice,  quelques 
indications  sur  l'extension  du  problème  à  l'espace  à /z  dimensions. 

J.  T. 


Mf:LANGIi:S.  73 


Mi:LANr.ES 


SUR  LES  SÉRIES  DE  PUISSANCES  ET  LES  FONCTIONS  MAJORANTES; 

Pau    IM.    Ktiennk    DHLASSUS. 
Professeur  au  Lycée  de  Douai. 

Dans  ce  qui  va  suivrej  nous  ne  nous  occuperons  que  de  variables 
réelles. 

I.   Soit  une  série 

0 

dont  tous  les  coefficients  sont  positifs  et  supérieurs  à  un  nombre 
fixe  A,  et  qui  est  supposée  absolument  convergente  si  |^|  <<o, 
(o<,). 

Soit  Xq  une  valeur  de  x  comprise  dans  cet  intervalle,  en  û^q  la 
fonction y(^)  sera  encore  développable  en  une  série 

et  il  semble  tout  naturel,  par  raison  de  continuité,  d'admettre 
que,  si  Xq  est  suffisamment  petit,  cette  nouvelle  série  aura  encore 
tous  ses  coefficients  positifs. 

C'est  évident,  si  Xq  >>  o,  puisque  ces  coefficients  seront  des  séries 
à  termes  positifs;  mais  il  n'en  est  plus  forcément  de  même  si  l'on 
donne  à  Xq  une  valeur  négative  —  z,  et  je  vais  montrer  qu'il 
existe  des  séries  telles  quey*(^)  qui  auront  des  dérivées  négatives, 
si  petite  que  soit  la  quantité  z. 

En  cherchant  à  rendre  positives,  pour  x  =:  —  z,  les  dérivées 
successives  de  f{x)^  on  est  conduit,  en  forçant  les  inégalités  ob- 
tenues, à  considérer  des  séries  dont  les  coefficients  sont  alterna- 

livement  A  et  07;'  A,  B,  ^  étant  des  nombres  positifs  et  en  outre 


74  PREMIÈRE  PARTIE. 

Q 


p  <  I.  Plus  généralement,  considérons  la  série 


9(07)  =2A  -h  -^^H -372+— ^37-3+-^  37^+..., 

p  a2  p-J  a'^ 


dans  laquelle  on  a 

2a' 

^2/JH-l  = 

9.B 

P<a<i. 

C'est  bien  une  série  satisfaisant  aux  conditions  imposées  au  début 
et  elle  est  absolument  convergente  si  |  ;r  |<C  P- 
On  peut  écrire 

9(.T)=:  -2  a  (   \-\ 1 1-...      _f-2B( 1 ! 

et  par  suite 

9(^7)  =  A 

On  aura 


\  X  X    \  \  X  X    \ 

L-«-    '^d      L-F    '^pj 


cp(«)(^)   _        A  p  I  ^         (— 0" 

I .  '2 ...  71  a 


B^  r      I (— i)^^    1 


Faisons  n^=  ip  ev  x  =^  — 


[{-ir^(-4)H 

-?_  r ' ^_i 


Quelle  que  soit  la  valeur  z^  inférieure  à  p,  les  deux   termes   de 
cette  différence  sont  positifs.  Considérons  le  rapport 


A  r        I  I        -] 

a.'^P         /  5\2/J  +  l    "^    /  ^\2/?4-l 

J!.  r [ 1 

L('-p)      ('-?)    J 


MÉLANGES.  75 


On  |)ciil  récrire 


P 


Lorsque  p  croîl  indéfiniment,  ce  rapport  tend  vers  o,  car  le  pre- 
mier facteur  est  constant,  le  second  tend  vers  i,  et  le  dernier  tend 
vers  o  en  vertu  de  l'hypothèse  p  <  a.  11  en  résulte  que,  quelle  que 
soit  la  valeur  de  z,  aussi  petite  que  l'on  voudra,  il  existera  tou- 
jours une  valeur  correspondante  de  p  d  partir  de  laquelle  le  rap- 
port précédent  deviendra  et  restera  toujours  inférieur  à  1  et  par 
suite  à  partir  de  laquelle  on  aura 

1 .2. .  .ip 

Ce  résultat  peut  encore  exister,  même  pour  des  séries  dont  tous 
les  coefficients  restent  finis.  Considérons  en  effet  la  série 

dans  laquelle  on  a 

a2p=-2A,        a2p+i=  iB,        o<A<B; 

c'est  (f{x)  où  l'on  suppose  a  =  p  =  i ,  A  <C  B. 

On  sera  conduit  à  étudier  un  rapport  analogue  au  précédent, 
mais  qui  se  réduira  à 

A  \  iH-^y 

Quand  p  croîtra  indéfiniment,  il  aura  pour  limite  ^  et  comme,  par 

A 

hypothèse,  on  a  ^  <<  t  ,  les  conclusions  précédentes  subsisteront 

encore. 

Le  même  fait  peut  se  produire  pour  des  séries  à  un  nombre 
quelconque  de  variables. 

Considérons  une  série  ^(^,  X\,  Xo-  •  •  •)»  ordonnée  suivant  les 
puissances  de  ^,  ^i,  ^o?  ...  et  dont  tous  les  coefficients  ont  une 
valeur  positive  constante  C,  à  l'exception  de  ceux  des  termes  de  la 


76  PREMIÈRE  PART 

r  »         •  A  B         .  •  •  •       A     i-> 

lorme  x'^  qui  sont—  ou  -^^  suivant  que  n  est  pair  ou  impair,  A,  d, 

a,  [3  étant  les  constantes  de  la  fonction  cp(;r)  précédemment  étu- 
diée. 

Cette  série  ^  a  bien  tous  ses  coefficients  supérieurs  à  un  nombre 
positif  fixe,  elle  est  absolument  convergente  quand  toutes  les  va- 
riables ont  des  modules  inférieurs  à  [3,  et  je  dis  que  l'on  peut 
trouver  des  valeurs  x^  Xt,  x<x^  .  .  .  aussi  petites  que  l'on  veut  pour 
lesquelles  <ï>  a  des  dérivées  négatives.  Il  suffit,  pour  le  voir,  de  con- 
sidérer, pour  un  système  ^  =  —  z,  Xi  =  X2^=  '  » -^^  o,  z  étant 
une  quantité  positive  aussi  petite  que  l'on  veut,  les  dérivées 
d'ordre  pair  prises  par  rapport  à  x  seulement.  On  a  évidemment 


donc,  pour  des  valeurs  de  p  suffisamment  grandes,  ces  dérivées 


seront  négatives. 


IL   Pour  ne  pas  compliquer  inutilement,  nous  ne  considérerons 
que  des  fonctions  de  deux  variables  réelles  x  et  j'. 
Soit 

une  série  absolument  convergente  au  voisinage  de  /?io(^o>  J^o)* 

On  sait  qu'il  existe  toujours  des  séries   qui  seront  majorantes 
pour  cette  série  f.  C'est-à-dire  des  séries 

à  coefficients  positifs,  absolument  convergentes  au  voisinage  de 
l^o(?o>  *^io)  6t  telles  que  l'on  ait,  quels  que  soient  i  et  A, 

M.  Poincaré  indique  cette  dépendance  des  fonctions  y  et  cp  par  la 
notation 

Supposons  en  plus  que  l'égalité  soit  exclue,  c'est-à-dire  que  l'on 
ait  toujours 


MÉLANGES.  77 

A  clanl  une  constante  positive.  Nous  exprimerons  ce  fait  par 

/(•^,  J  )'"„<?  (^^.  Vo- 
it semble  alors  tout  naturel,  par  raison  de  continuité,  d'ad- 
mettre que  la  propriété  se  conserve  pour  les  points  voisins,  ou, 
pour  être  plus  précis,  d'admettre  que  l'on  pourra  déterminer  deux 
régions  /'  et  p  entourant  respectivement  /Hq  et  i/o  et  telles  que,  m 
désignant  un  point  quelconque  de  /■  et  ^  un  point  quelconque  de  p, 
on  ait  toujours 

/(^,  7)m<?(^,^)[X• 
Ce  que  nous  avons  vu  précédemment  nous  montre  immédiate- 
ment que  cette  propriété  générale  n'existe  pas,  car,  quoique  la 
fonction  a  ait,  en  ijlo,  tout  ses  coefficients  positifs  et  supérieurs  à 
un  nombre  fixe  non  nul,  il  n'en  résulte  pas  qu'il  en  sera  encore 
ainsi  pour  les  points  voisins. 

On  peut  même  en  donner  des  exemples.  Soit  cp(Ç,  tj)  une  des 
séries  à  plusieurs  variables  formées  à  la  fin  de  la  première  partie  et 
dont  tous  les  coefficients  sont  supérieurs  à  une  constante  posi- 
tive w.  Prenons  (^  telle  que 

o  <  p  <  w 

et  formons  une  série  /(œ,y)  en  x  —  Xq,  y — yo  dont  tous  les 
coefficients  seront  compris  entre  —  v  el  -\-  ^. 

La  sèY\ef[x^  y)  est  absolument  convergente  dans  le  même  rec- 
tangle que  cp(^,  '/])  et  l'on  a  toujours 

^i,k'^\cii^i,\-^it  —  v. 
On  a  donc  bien 

et  nous  avons  vu  que  l'on  peut  trouver  des  points  [x,  aussi  voisins 
de  u-o  que  l'on  veut,  et  où  le  développement  de  cp  présente  des 
coefficients  négatifs  et,  par  suite,  où  cp  ne  peut  plus  être  une  fonc- 
tion majorante. 

Il  n'y  a  donc  pas  là  une  propriété  générale  ;  néanmoins,  dans  les 
applications,  on  peut  toujours  supposer  que  les  fonctions  majo- 
rantes employées  la  possèdent;  cela  résulte  immédiatement  de  ce 
que  le  choix  des  fonctions  majorantes  initiales  est,  en  général,  ar- 
bitraire et  de  la  propriété  sfiivante,  que  nous  allons  démontrer. 

f{oc^y)  étant  une  fonction  analytique  dans  un  domaine  R, 


78  PREMIÈRE  PARTIE. 

quel  que  soit  le  domaine  r,  intérieur  à  R,  il  est  toujours  possible 
de  trouver  une  fonction  cp(Ç,  -/))  et  un  domaine  p  dans  le  plan 
des  ^,  'r\  de  façon  que  la  fonctions  soit  analytique  dans  tout  p 
et,  qu  en  désignant  par  m  et  |x  deux  points  quelconques,  situés 
respectivement  dans  r  et  p,  on  ait  toujours 

En  touL  point  m  de  y,  la  fonclion  /  est  développablc  en  série 
ordonnée  et  nous  savons  former  une  série  majorante 


'l^m(^,^i)  = 


1  — 


^-^0 


I  — 


^  —  "^iO 


Soit  M  le  maximum  de  M^^^  dans  r  et  de  même  A  le  minimum 
de  ^m  et  0//i-  On  aura,  quel  que  soit  m, 


d^+^f(x,y) 


M. 


M 


—      P>  /         <N  / 


de  sorte  que  si  l'on  considère  la  fonction 


k  -  ti.i^k'' 


M 


1  — 


^-^( 


■^  —  ^iO 


on  aura 


D      )V  A 

Ceci  posé,  prenons  une  fonction  de  même  forme 


N 


ç  — ço 


^iO 


et  assujettissons  le  point  p.(^,  t,)  aux  conditions 

qui  définissent  un  rectangle  p  ayant  uio  comme  centre.  En  tout 
point  [JL  de  p,  la  fonction  cp  aura  évidemment  toutes  ses  dérivées 
positives  et  en  outre  on  aura 


i\k\\      d^id-ri'^      /jx 
I 


Y)i+k 


X 


N 


^0 


D 


i-Hl 


I  


D 


X 


N 


q\/  +  i  -  D'+'^-        (1+  e) 


/-I-A-+2 


MÉLAiNGKS.  79 

Cherchons  si  l'on  pcul  délcrinincr  N,  J)  et  £  de  façon  que  la  dilï'é- 

rence 

I  N  M 


X 


soil  supérieure  à  un  nombre  posilif  donné  A,  quels  que  soient  i 
et  k. 

Jl  faut  d'abord,  pour  que  cette  quantité  reste  toujours  positive, 
que  le  raj)port 

M 

A'+>^-                                         M(H-£)2  /D(|-|-£)\''+'t 

ou       ^— —  X  '  ' 


I  N  N  V         A 

X 


reste  toujours  inférieur  à    i,  condition  certainement  réalisée   si 
l'on  a 

M(l-i-£)2  D(lH-£) 

N  '^''  A         <'• 

En  écrivant  alors  la  différence  sous  la  forme 

N 


X 


(i-f-0^      ( 


I  r         M(i-H£)2       /D(i  +  £)y+/q 

D(i-f-e)/+/4'  N  ^(^        A        y       J 


on  voit  que  le  second  facteur  croît  constamment  avec  i-h  k^  il  en 
sera  de  même  du  premier  et  par  suite  du  produit  si  l'on  a 

D(l+£)<I. 

Dans  ces  conditions,  la  différence  sera  toujours  égale  ou  supérieure 
à  sa  valeur  pour  i  -{-  k=  o,  de  sorte  qu'il  ne  restera  plus  à  vérifier 
que  l'inégalité 

—  M>  A, 


(l  +  £)2 


laquelle  entraîne  forcément  la  première  écrite. 

Pour  les  résoudre,  on  se  donnera  arbitrairement  un  nombre  £ 
inférieur  à    i.  On  prendra  ensuite  D  inférieur  au  plus  petit  des 

deux  nombres et et  enfin  N  supérieur  à  (A-hM)(i-|-£)2. 

La  fonction  cd  étant  ainsi  construite,  on  aura 


I      /  0^+^"-^  \    ^      T  N  ^    M 


/!  A\  \à^^  Or^^- J  ^,-  D'-^/'-  (1  +  £)'+/^+2  -  A'+/.- 


il  kl  \ dx^ dyi^  , 


8o  PREiMIÈIlE  PARTIE. 

Autrement  dit,  quels  que  soient  les  points  m  et  [jl  dans  /•  et  p  on 

aura 

/(^',  JK)/«<?(^,'O[J.• 
0n  peut  exprimer  ce  fait  en  disant  que,  dans   le  domaine  p,  la 
fonction  cû(^,  t])  est  majorante  relativement  à  la  fonction  f{oc^y) 
dans  le  domaine  /',  et  on  pourra  l'exprimer  par  la  notation 

On  pourrait,  en  suivant  la  même  marche,  trouver  une  fonction  cp 
restant,  dans  tout  un  domaine  p,  majorante  pour  plusieurs  fonc- 
tions /,,  f^i  .  .  ,.,  fn  dans  leurs   domaines  respectifs  i\,  r-^^  •  •  «^ 

'•„(')•  _         _    • 

En  outre,  on  peut  remarquer  que  la  démonstration  ne  suppose 
pas  que  les  x  et  les  y^  qui  correspondent  aux  points  m,  sont  réels  ; 
de  sorte  que  la  propriété  existe,  même  si  les  domaines  rsont  ima- 
ginaires, c'est-à-dire  comprennent  des  points  m  qui  correspondent 
à  des  valeurs  imaginaires  de  x  et  y. 


(')  Dans  un  Mémoire  l'écent  [Sw  les  équations  linéaires  aux  dérivées  par- 
tielles à  caractéristiques  réelles  {Annales  de  l'École  normale,  Suppl.  1896 )]. 
je  me  suis  servi  des  fonctions  majorantes  pour  établir  un  lemme  fondamental. 
J'y  étais  arrivé  en  me  fondant  sur  les  calculs  que  je  viens  de  développer  en  der- 
nier lieu;  mais  dans  la  rédaction  définitive,  pour  plus  de  rapidité,  j'avais  admis, 
comme  évidente,  la  propriété  générale  que  je  viens  de  démontrer  être  fausse.  Il 
suffit,  pour  rétablir  la  démonstration  primitive  et  la  rigueur  absolue,  au  lieu 
d'admettre  que  les  fonctions  majorantes  initiales  conservent  leur  propriété  pour 
les  points  voisins,  de  dire  que  ces  fonctions  ont  été  choisies  de  façon  qu'il  en 
soit  ainsi. 


COMPTIilS   KKNDUS    li T    ANALYSES.  8i 

coMPTKS  in:Ni)Us  i:t  analysks. 


NI^PI-IRTS.  —  MllUl'ICI  LOCAIUTFIMOIUIM  CANONIS  CONSTHUCTIO,  ETC.,   TOproduC- 

lioii  phoLotyp'Kiiie  do  l'édiLioii  (1(3  I^yon,  iG'i-o.  G>,  j).  in-8".  Paris,  Ihirmann; 
1895. 

On  sait  qu'il  existe,  sur  les  logarilhmcs,  deux  Ouvrages,  (J'ail- 
leurs  rarissimes,  de  leur  inventeur  Jolin  Napier  :  le  premier,  la 
Descriptio,  publié  en  i6i4,  ne  parle  guère  que  de  l'usage  de 
la  Table  qui  s'y  trouve  et  qui  donne  pour  toutes  les  minutes  du 
((uart  de  cerele  les  sinns  et  cosinus  naturels,  les  logaritbmes  (*) 
des  séeantes  et  cosécantes,  ainsi  que  ceux  des  tangentes  (ou  co- 
tangcntes).  C'est  le  second,  la  Constractio,  qui  est  le  plus  impor- 
tant au  point  de  vue  théorique,  puisqu'il  expose  avec  détail  le 
mode  de  calcul,  très  remarquable,  imaginé  par  Napier. 

Composée  certainement  dès  avant  i6i4  (l'expression  de  loga- 
rithme ne  s'y  trouve  pas  encore;  Napier  dit  numerus  ariifi- 
cialis),  la  Constructio  a  été  éditée  deux  ans  après  la  mort  de 
l'auteur  par  son  fils  Robert  (Edimbourg,  1619),  qui  y  joignit 
un  Appendix  (où  John  Napier  propose  un  système  de  logarithmes 
revenant  à  celui  aujourd'hui  en  usage  (-),  des  Propositiones  de 
Trigonométrie  sphérique  (où  figurent  les  Analogies),  ainsi  que 
des  additions  de  Henri  Briggs  sur  ces  deux  sujets. 

L'opuscule  fut  réimprimé,  sans  modifications,  dès  l'année  sui- 
vante, avec  privilège  pour  la  France  et  l'Allemagne,  à  Lyon,  par 
Barthélémy  Vincent  (et  non  pas  à  Leyde,  comme  l'indiquent  à 
tort  plusieurs  Ouvrages  de  bibliographie).  Sa  reproduction  pho- 
totypique, sera  sans  nul  doute  accueillie  avec  faveur  par  tous 
les  mathématiciens;  mais  parviendra-t-elle  à  dissiper  toutes  les 


(•)  Ce  mot  étant  pris  dans  le  sens  ordinaire  et  non  pas  d'après  la  définition 
de  Napier. 

(*)  Plus  exactement  un  système  oij  le  logarithme  de  l'unité  est  o  et  le  loga- 
rithme de  10  est,  non  pas  l'unité,  mais  10'",  ce  qui  revient,  dans  nos  logarithmes 
ordinaires,  à  déplacer  la  virgule  de  10  rangs  vers  la  droite.  C'est  dans  les  addi- 
tions de  Briggs  que  la  base  10  est  indiquée,  avec  la  propriété  de  la  caractéris- 
tique. 

BuU,  des  Sciences  mathém.,  2"  série,  l.  X\.  (Avril  iStjfi.)  G 


8'2  PUliMIËUR  PAKTIH. 

tenaces  erreurs  qui  subsistent  à  propos  du  véritable  caractère  de 
l'invention  de  Napier? 

Ce  n'est  pas  qu'il  manque  de  bonnes  analyses  de  la  Descriptio 
et  de  la  Constructio ;  par  exemple  on  peut  citer  celle  de  M.  Can- 
tor,  au  second  Volume  de  ses  Vorlesungen  (pages  GCyÇ>  à  ^'j'^)- 
Mais  on  ne  peut  pas  tout  discuter  dans  une  analyse,  et  dans  la  dif- 
ficulté de  recourir  aux  sources,  les  controverses  sur  des  points 
importants  se  renouvellent  inutilement. 

Avant  tout,  il  serait  essentiel  de  faire  disparaître  le  malencon- 
treux usage  d'employer  le  terme  de  logarithme  népérien  comme 
synonyme  de  logarithme  naturel  ou  hyperbolique. 

Les  nombres  de  Napier  sont,  en  effet,  absolument  différents, 
son  but  était  de  simplifier,  avant  tout,  les  calculs  trigonomé- 
triques,  les  seuls  qui,  de  son  temps,  eussent  une  importance 
réelle.  D'après  les  habitudes  d'alors,  il  a  représenté  le  rayon  par 
une  puissance  A  de  lo  (en  fait  A=  lo'^),  les  sinus,  dès  lors,  par 
des  nombres  inférieurs;  il  a  affecté  d'autre  part  le  zéro  comme 
logarithme  au  rayon  A,  et  donné  pour  les  sinus  des  logarithmes  de 
I  à  8  figures  entières.  Soit  a  un  sinus,  L(<2)  son  logarithme  natu- 
rel, N(«)  le  nombre  de  Napier,  on  a  la  relation 


N(a)  =  AL(^) 


Si  l'on  déplace,  dans  les  Tables  de  Napier,  la  virgule  de  sept 
rangs  vers  la  gauche,  aussi  bien  pour  les  sinus  naturels  que  pour 
les  logarithmes,  c'est-à-dire  si  l'on  prend  le  rayon  pour  unité, 
d'après  nos  habitudes,  on  a,  au  contraire,  évidemment 


N(«)  =  L(i). 


C'est  dans  ce  sens  que  j'ai  dit  en  commençant  que  la  Table  de 
la  Descriptio  donne  les  logarithmes  des  sécantes  ou  inverses  des 
sinus. 

Mais  si,  théoriquement,  en  appliquant  les  principes  du  Calcul 
infinitésimal  à  la  définition  donnée  par  Napier  (  *  ),  on  arrive,  sans 


(')  On  sait  qu'il  y  fait  intervenir  la  correspondance  d'un  mouvement  uniforme 
et  d'un  mouvement  dont  la  vitesse  décroît  en  progression  géométrique. 


COMrilîS    KKNDUS    l<:  l    ANALVSKS.  8J 

ciontesle  possihlo,  à  la  relation  ln(li(jiiéc  ci-des.siis;  uih.'  grave  con- 
troverse ne  s'en  est  pas  moins  élevée  dès  le  siècle  dernier  sur  la 
question  de  savoir  si,  en  s'attacliani  an  mode  de  calcul  suivi  par 
Napier,  on  doit  réellement  considérer  le  nombre  e  comme  étant  la 
hase  des  logarithmes  de  sécantes  de  sa  Tahle. 

M.  Siegmund  Giinther,  dans  ses  remarrpiahles  Vermlsclite 
UntersucJiungcn  (Leipzig,  Teuhner,  p.  271  à  2^8;  i8'yG)a  ré- 
sumé comme  suit  le  résultat  de  cette  controverse  :  «La  différence 
entre  les  logarithmes  de  Napier  et  les  logarithmes  naturels  est  à 
la  fois  de  principe  et  de  fait  ;  de  principe,  en  tant  que  Napier  ne 
possédait  pas  au  fond  le  concept  de  base;  de  fait,  en  tant  que  la 
base  qui  est  inconsciemment  suivie  dans  son  système  ne  coïncide 
pas  avec  le  nombre  e  =  2,7  1828...  ». 

Je  ne  pense  pas  que  cette  conclusion  doive  subsister  entière- 
ment, et  M.  Siegmund  Giinther  ne  me  paraît  pas  avoir  tenu  un 
compte  suffisant  des  articles  de  Biot  dans  le  Journal  des  Sa- 
i'antSj  mars,  mai  et  juin  i835,  articles  dont  le  dernier,  en  parti- 
culier, est  jusqu'à  présent  l'étude  la  plus  approfondie  qui  ait  été 
faite  de  la  Constructio. 

Il  est  incontestable  que  Napier  n'a  pas  notre  concept  de  base; 
mais  quand  il  remarque  (page  28)  que  tous  les  sinus  en  propor- 
tion décuple  ont  leurs  nombres  artificiels  en  différence  constante, 
il  y  a  évidemment  un  concept  tout  à  fait  équivalent.  A  la  vérité, 
le  nombre  qu'il  donne  pour  cette  différence,  28025842, 34,  ne  con- 
corde pas  exactement  avec  le  logarithme  naturel  de  10  soit 
2,3020850929...  et  si  l'on  cherche  la  base  du  système  où  10  a  le 
logarithme  indiqué  par  Napier,  on  trouve,  au  lieu  de  e,  le  nombre 
2,714445.... 

Mais,  comme  Biot  l'a  mis  en  évidence,  cette  circonstance  tient 
uniquement  au  fait  d'une  erreur  matérielle  de  calcul,  commise 
par  Napier,  erreur  qui  a  influé  sur  la  valeur  de  la  totalité  de  ses 
logarithmes  au-dessous  du  nombre  9995000;  elle  ne  tient  pas  aux 
principes  mêmes  du  calcul  de  Napier. 

Si  Biot  dit  très  exactement  :  «  Napier  montre  que  le  logarithme 
du  premier  terme  9999999  est  nécessairement  compris  entre 
1 ,0000000  et  1 ,000000  I ,  de  sorte  qu'il  le  prend  égal  à  i  ,ooooooo5; 
or  la  valeur  exacte  de  ce  logarithme,  calculée  par  nos  méthodes 
actuelles  est  1,000 000 o5o 000  3333,  de  sorte  que  l'évaluation  de 


84  PUKMIEKK  PAUTIE. 

Napier  csl  seulement  en  erreur  d'un  tiers  d'unité  sur  la  quator- 
zième décimale  de  ce  logarithme  )),  il  ne  faut  nullement  en  con- 
clure que  les  méthodes  de  calcul  de  Napier  ne  pouvaient  pas  le 
conduire  à  une  approximation  aussi  exacte  que  les  nôtres,  mais 
seulement  qu'il  s'est  arrêté  à  un  certain  rang,  absolument  comme 
dans  tout  calcul  réel. 

La  Consirucilo  montre,  en  effet,  très  clairement  que  Napier  se 
rendait  parfaitement  compte  des  erreurs  qu'il  commettait  de  la 
sorte.  Il  a  soin  de  calculer  toujours  exactement  ses  nombres 
jusqu'à  une  ligure  d'un  rang  déterminé,  soit  qu'il  opère  directe- 
ment, soit  qu'il  détermine  deux  limites  entre  lesquelles  sera  com- 
pris le  nombre  cherché. 

Sa  méthode  est  d'ailleurs  excessivement  remarquable  en  ce 
qu'il  arrive  à  son  but  (et  cela  d'une  façon  rigoureuse,  sauf  les 
erreurs  matérielles)  sans  aucune  extraction  de  racine  et  avec  très 
peu  de  multiplications  et  de  divisions  par  des  nombres  autres  que 
2  ou  les  puissances  de  lo.  Aussi,  je  ne  crois  pas  que  le  calcul  de 
sa  Table  lui  ait  coûté  autant  d'années  que  Biot  paraît  le  penser. 
Il  j  aurait  là  une  question  intéressante  à  étudier. 

Napier  a  au  reste  reconnu  (page  34)  que  les  erreurs  dans  sa 
Table  pouvaient  affecter  les  deux  dernières  figures;  mais  il  l'a 
attribué,  probablement  avec  raison,  à  l'imperfection  des  Tables 
de  sinus  dont  il  s'était  servi  et  a  indiqué  les  modifications  à  faire 
subir  à  son  sj'Stème  de  calcul  pour  opérer  sur  des  Tables  de  sinus 
à  huit  figures  exactes. 

Le   principe   du   système   de   Neper  est  d'ailleurs  le  suivant  : 

constituer  des  séries  géométriques  décroissantes  dans  les  rapports 

I                   I                    I                      '  1     r  >  • 

I -j   I zi    I -■>    I --,  de  lacon  a  avoir  une  suite 

lO'  lO^  10^  •.>.  .lO'^ 

de  nombres  assez  voisins  entre  eux  (looo  environ)  entre  lo"^,  son 
point  de  départ  et  la  moitié  de  ce  nombre. 

Cette  suite  s'obtient  de  fait  au  moyen  de  simples  soustractions, 
avec  des  déplacements  de  virgule  ou  au  plus  des  divisions  par  2. 
Pour  chacune  de  ces  séries,  il  lui  suffit  de  déterminer  les  loga- 
rithmes de  deux  termes  consécutifs;  les  autres  s'ensuivent  par 
additions  successives.  Il  a  ainsi  très  facilement  ce  qu'il  appelle  sa 
Table  radicale^  procédant  par  différences  assez  faibles  et  donnant 
une  correspondance   exacte  de   nombre    à   logarithme.    Mais  les 


COMPTFS  RENDUS  ET  ANALYSES.  85 

nombres  de  colle  Table  ne  sonl  pas  exaclement  ceux  qui  doivent 
figurer  dans  la  Table  dénnilive;  ce  ne  sonl  pas  des  enliers  ou  bien 
ce  ne  sonl  pas  les  sinus  d'un  arc  d'un  nombre  entier  de  minules. 
Il  a  donc,  pour  Irouver  les  logarillimes  de  ces  derniers,  à  faire  su- 
bir une  correclion  aux  logarithmes  des  termes  les  plus  voisins 
dans  sa  Table  radicale;  celte  correclion  s'opère  en  ajoutant  un 
terme  obtenu  par  division.  Biot  a  montre  par  une  discussion  dé- 
taillée que  ce  système  revient  toujours  à  négliger  dans  le  dévelop- 
j)ement  de  L(i  — x)  des  termes  qui  ne  peuvent  induer  sur  le 
degré  d'approximation  désiré  par  Napier,  et  ce  degré  pourrait 
être  sensiblement  reculé  sans  modifier  en  rien  les  principes  géné- 
raux du  calcul. 

Les  divergences  entre  la  Table  de  Napier  et  les  Tables  des  lo- 
garithmes hyperboliques  tiennent  donc  uniquement  à  des  erreurs 
matérielles,  comme  celle  que  Biot  a  signalée. 

Paul  Tannery. 


IIENKE   (R.).  —    Ueber   dik  Méthode  der  Kleinsten  Quadrate.  Zweito 
Aaflagc.  I  vol.  iv-77  p.  in-8°.  Leipzig,  Teubner,  1894. 

Ce  petit  Opuscule  est  la  reproduction  de  la  dissertalion  inau- 
gurale de  l'auteur,  qui  date  de  1868.  Il  est  d'une  lecture  intéres- 
sante et  facile,  et  contient  de  nombreux  renseignements  histo- 
riques et  critiques;  l'auteur  n'a  d'ailleurs  pas  changé  le  texte  de 
la  première  édition;  il  s'est  contenté  d'y  ajouter  deux  Notes. 
Quant  à  sa  conclusion  personnelle  sur  ce  sujet  si  débattu,  elle 
semble  bien  acceptable;  elle  consiste,  au  fond,  à  regarder  la  mé- 
thode, dans  sa  généralité^  comme  fondée  sur  un  postulat,  que 
l'on  peut  éclaircir  par  de  bonnes  raisons,  indépendamment  de  la 
théorie  des  probabilités.  Si  l'on  ajoute  que  la  pratique  justifie 
l'emploi  de  la  méthode,  au  moins  sous  certaines  conditions,  et 
lorsqu'on  ne  prétend  pas  qu'elle  permet,  en  multipliant  les  obser- 
vations, d'a])procher  indéfiniment  de  la  vérité,  on  ne  risquera 
sans  doute  pas  de  se  tromper  beaucoup.  J.  T. 


86  PREMIKHE   PARTIE, 


MELANGES. 

SUR  LES  FONCTIONS  ULTRA-ELLIPTIQUES  A  DEUX  ARGUMENTS; 
Par  m.  Pierre  POKHOVSKV. 

Le  présent  travail  a  pour  objet  rétiide  des  fonctions  ultra- 
elliptiques,  dont  nous  établirons  les  propriétés  fondamentales  à 
l'aide  du  tliéorèine  d'Abel.  INous  nous  servirons,  dans  l'exposé  de 
ce  travail,  de  la  théorie  des  intégrales  abéliennes  de  Riemann  et 
des  recherches  de  M.  Weierstrass  dans  le  domaine  des  fonctions 
ultra-elliptiques  et  des  fonctions  abéliennes.  La  combinaison  de 
la  méthode  de  M.  Weierstrass  avec  celle  de  Riemann  nous  donne 
la  possibilité  d'établir  aisément  la  théorie  des  fonctions  ultra- 
elliptiques à  deux  arguments,  ainsi  que  d'indiquer  une  série 
d'analogies  entre  ces  fonctions  et  les  transcendantes  elliptiques. 

1.  Des  intégrales  ultra-elliptiques.  —  Nous  pouvons  prendre 
comme  tjpe  général  des  intégrales  ultra-elliptiques  de  la  première 
classe  l'expression 

(I)  Jxdt, 

où  la  fonction  algébrique  t  est  de  la  forme 

J\it)-\-Mt)\/WT) 


(2) 


F,{t)-r-\h{t)\/^{t) 


La  fonction  t  renferme  des  fonctions  rationnelles  à  argument  t 
et  un  radical  du  second  degré  d'un  polynôme  R(^)  du  cinquième 
degré;  posons 

(3)  R(/)=P(OQ(0> 

où 

(3')     l\t)  =  {t-a,){t-a,),        q{t)  =  {t  -  a,){t  -  a,){t  -  a,). 

Nous  choisirons  les  racines  de  l'équation  R(^)  =  o  de  manière 


iMf'LANGliS.  87 

(jiie,  étant  réelles,  elles  satisfassent  aux  inégalités 

«0  >  «1  >  «2  >  «3  >  "v  ; 

dans  le  cas  des  racines  imaginaires,  leurs  parties  réelles  satisferont 
aux  mêmes  inégalités. 

Les  intégrales  du  type  (1)  peuvent  être  ramenées  à  trois  espèces; 
nous  prendrons  ces  dernières  sous  la  forme  canonique  de 
M.  Weierstrass  et  nous  adopterons  pour  elles  les  définitions  sui- 
vantes. Les  intégrales  de  la  première  espèce 


(4) 


J,  ,         r    P(.r)r/.r 


seront  finies  pour  toutes  les  valeurs  de  la  variable  et  linéairement 
indépendantes  les  unes  des  autres.  Les  intégrales  de  la  deuxième 
espèce 


(5)  l(^r^  a,,.,)  =J    p.^;^ 


l)    (X  —  Cli/^^i)-    '2\/î\{x') 


auront  une  discontinuité  algébrique  au  point  x  =  «o^-i  • 
Enfin,  les  intégrales  de  la  troisième  espèce 

,^.  TT  /  N         r/Î^O^')    P(x)  d.r 

(6)  I  I  (-2^,  «)=  /    -TT — ; 7-= 

J.i  J      Vyu)    x  —  a  <2.^K{x) 

auront  une  discontinuité  logarithmique. 

Pour  la  représentation  géométrique  des  fonctions  t  on  se  sert 
de  la  surface  de  Riemann,  formée  de  deux  plans  qui  se  ren- 
contrent aux  six  points  de  ramification  (^points  critiques)  et 
suivant  les  lignes  appelées  lignes  de  passage.  En  généralisant  le 
théorème  de  Gauchj  et  en  se  servant  du  principe  de  la  déforma- 
tion continue,  Riemann  est  arrivé  à  la  représentation  uniforme 
des  intégrales  des  fonctions  algébriques.  Les  intégrales  du  type  (1) 
ont  une  représentation  uniforme  sur  la  surface  de  Riemann, 
lorsqu'on  la  transforme  en  une  surface  simplement  connexe,  à 
l'aide  de  quatre  sections  convenablement  choisies.  En  passant  du 
côté  droit  de  l'une  quelconque  des  sections  sur  son  côté  gauche 
les  intégrales  du  type  (i)  reçoivent  des  accroissements  que  nous 
appellerons  modules  de  périodicité. 

J)ésignons  mulucllement    les  modules   de   périodicité  des  in- 


88  PKEiMliUlK   rAllTlIi. 

tégralcs  de  la  première  et  de  la  deuxième   espèce  sur  nos  quatre 
seetions  par 


l{x,  a,/,_i). 


>.  (O/i ,       'J.  tO/,  2  .        •■>.  «  ('V.- 1  ?        2.  «  W  /,.  2  , 


r(.r,   «2/.-!) ^'^AH        2r^/,2,        •-^•rO/.i,         •■>■«' '^i/.2 


Cx 


On  peut  ramener  les  modules  de  périodicité  des  intégrales  de 
la  première  espèce  à  des  intégrales /'ec^///^/îe.v  entre  les  points  de 
ramification.  Si  nous  traçons  dans  le  plan  supérieur  de  la  surface 
de  Riemann  une  courbe  fermée,  entourant  tous  les  points  de  ra- 
mification, nous  arriverons  à  des  modules  de  périodicité  de  forme 
plus  générale 

00  2 

( 7 )  ■^.  WA-  =2  l(x,  a.2/,-i  )  ^  '-^  ^  f  '"/'  ^'^^'^'  "^  '^^'  ^^'^'''^  1  ' 

a  est  ici  l'un  des  nombres  (o,  i,  2,  3,  4)?  f^^h  et  n/i  sont  les 
nombres  entiers  correspondant  à  la  valeur  donnée  de  a,  nombres 
dont  la  valeur  dépend  du  cboix  des  sections.  Il  est  facile  de  voir 
que  les  modules  généraux  des  intégrales  de  la  première  espèce 
sont  liés  par  la  relation 

0  1  2  3  4 

( 8 )  co/,-  —  w/,.  -h  oj/,.  —  to/,-  -+-  W/,.  ^  O, 

la  première  partie  de  cette  relation  est  égale  à  zéro  ou  en  diffère 
par  des  multiples  des  modules  de  périodicité. 

Les  modules  de  périodicité  des  intégrales  de  la  deuxième 
espèce  peuvent  aussi  être  ramenés  à  des  intégrales  rectilignes 
entre  les  points  de  ramification,  sauf  toutefois  pour  les  points 
^■2h-\i  l)our  lesquelles  l'une  quelconque  des  intégrales  devient  in- 
finie. Au  système  (7)  correspondent  les  modules  des  intégrales  de 
la  deuxième  espèce  de  la  forme 


(  9  )  '-i  '^/  A-  =  2  ^  [  ni/, r^  /,/,  -+-  /i A  ir^ ),/,  ] , 

h  =  i 

OÙ  les  nombres  a,  m/i  el  fi/i  ont  la  signification  précédente. 


MKI.ANGIiS.  89 

Ces  modules  généraux  sont  li('s  [);ir  la  relation 

0  1  'J  .J  V 

(10)  fj/.  —  r^/,  -+-  r,/,  —  T,/,  H-  r,/,     ;  o. 

On  peut  établir  une  série  de  relations  entre  les  modules  de  pé- 
riodicité (\c  la  |)remière  et  do  la  deuxième  espèce,  mais  nous  ne 
nous  arrêterons  pas  sur  ce  point. 

2.  llicorcmc  d'Abel.  —  Dans  son  célèbre  Mémoire  J(e- 
marques  sur  quelques  propriétés  générales  cV une  certaine 
sorte  de  fonctions  transcendantes,  Abel  a  donné  le  théorème 
général  d'addition  des  intégrales  ultra-elliptiques.  Examinons  ce 
théorème  dans  son  application  aux  intégrales  ultra-elliptiques  de 
la  première  classe  sous  la  forme  canonique  de  M.  Wcierstrass. 
Désignons  par  ^i{x)  et  Bo(^)  deux  polynômes  entiers  dont  les 
coejjicients  sont  quantités  arbitraires  et  formons  l'équation 

oi!i  P(^)  et  Q(^)  sont  des  facteurs  du   polynôme  R(^)  \^voii 
(3)-(3')]. 

Supposons  que  cette  équation  admette  a  racines  ^,,  ^05  -  "■>  ^\i.\ 
en  appliquant  la  méthode  d'Abel,  nous  arrivons  au  théorème  sui- 
vant d'addition  des  intégrales  de  la  première  espèce 

/ ^  I  {x/i,  a=ik-\  )  —  const.         (â:  =  i,  2). 

/^  =  l 

Abel  ne  va  pas  plus  loin  dans  son  examen  des  coefiicients  arbi- 
traires. C'est  M.  Wcierstrass  (')  qui  eut  le  premier  l'idée  féconde 
de  fixer  ces  quantités  arbitraires.  D'après  le  théorème  d'Abel,  les 
sommes  des  intégrales  de  la  première  espèce  sont  constantes,  c'est- 
à-dire  qu'elles  ne  dépendent  pas  des  coefficients  de  la  fonction 
c})(jc)  ;  on  pourra,  par  conséquent,  attribuer  à  cette  dernière  fonc- 
tion une  valeur  déterminée,  si  l'on  en  considère  les  coefficients 


(')  Voir  Zur  Théorie  der  abelschen  Functionen  et  d'autres  Mémoires  relatifs 
aux  fonctions  abcliennes  {Mathematische  Werke  von  Karl  Wcierstrass,  Bel.  I-II. 
Berlin,  189^1 -1890). 


90  PREMIÈRE  PARTIE. 

comme  des  quantités   données,   convenablement  choisies.  A  cet 
efl'et,  prenons  la  fonction  t  du  paragraphe  précédent  (2). 

A  une  valeur  donnée  de  t  correspondent  des  valeurs  de  /, 
fournies  par  Téquation 

F(0  =  [/i(0--^^^OJ^- 1/2(0 -^F2(0]^R(0  =  o; 

il  en  résulte  que  les  zéros  ni  de  la  fonction  t  sont  donnés  par 
l'équation 

•(II)  /f(0-/KOl^(0  =  o, 

et  les  infinis  mi  de  la  même  fonction  par  l'équation 

<[2)  Ff(0-Fl(/)R(0  =  o. 

La  fonction  t,  comme  il  est  facile  de  le  démontrer,  possède  les 
propriétés  suivantes  :  le  nombre  de  ses  zéros  est  égal  à  celui  de 
ses  infinis,  ce  nombre  ne  peut  être  inférieur  à  3. 

En  outre,  on  peut  définir  la  fonction  t  à  l'aide  des  zéros  et  des 
infinis  qu'on  s'est  donnés  à  l'avance,  à  condition  toutefois  que 
deux  des  infinis  (ou  deux  des  zéros)  ne  soient  pas  arbitraires, 
mais  exprimés  en  fonction  des  autres  zéros  et  infinis. 

En  appliquant  à  l'équation  F(^)=^o  la  méthode  d'Abel,  nous 
aurons 

V    r'"'         ^{t)dt  Via)     .       . 

-^^  '        'i{t —  a)\/W{t)        9VH(«) 


*^  n  : 


ou 


A  = 


_  Fi(a)-4-F,(a)v/R(a)  f^{a)—f._(a^^\\{a 


¥,{a)  -¥,{a)^Y\{a)  f,{a)-^f,{a)s/'i\{a) 


Le  théorème  d'addition  des  intégrales  de  la  première  et  de  la 
(deuxième  espèce  s'exprime  de  la  manière  suivante  : 

<^3)  yjj  (:r,  «27,-1)  =  o  (/v=:i,2), 

/•      ni 
nii 

/M  V  r  /  N      Q<'«2/.-i)     ,.        r  loiïA 

-^^*^  '^  "  =  "■:;-,      /h  (a) 

Conformément  aux  propriétés  fondamentales  de  la  fonction  t, 


Mf<:LAN(JKS.  01 

il  no  j)riit  entrer  dans  chacune  des  sommes  (i3)  moins  do  Irois 
intôi;rales,  et  deux  des  quanlités  nii  el  ni  ne  sont  pas  arbitraires. 
M.  Welorstrass  (')  est  lo  premier  qui  ait  démontre  analjtiquo- 
mont,  en  toute  rigueur,  (pie  le  tliéorème  d'Aboi  admet  L' inversion  : 
si  deux,  suites  de  (piantités 

//,,     //>,      ...,     ///   .      cl  //^i,     ni-i,      ...,     JUi 

satisfont  aux  relations  (i3),  on  peut  toujours  former  une  fonc- 
tion T,  pour  laquelle  ces  suites  de  quantités  seront  réciproque- 
ment des  zéros  et  des  infinis. 

Dans  ses  recherches  [Zur  Tlieorie  der  abelsch.  Func- 
tionen^  etc.)  M.  Weierstrass  introduit  un  cas  particulier  du 
théorème  d'Abel,  sur  lequel  nous  allons  nous  arrêter. 

Formons  la  fonction  t  qui  possède  les  zéros  ni  et  les  infinis  mi 
suivants  : 

/l,=  CO,         «0,       «2,       «4,       <72/-l,       «2/.— 1, 

nii=Xk,    y,      Zi,     z-i,     xi,  «2A-1  ; 

ici  les  nombres  A'  et/,  différents  les  uns  des  autres,  parcourent  les 
valeurs  1,2. 

Les  fonctions  rationnelles  qui  figurent  dans  t  sont  évidemment 

/i(0  =  o,       Mt)^  const.,        F2(0  =  — I,        I^i^.O  ={t  —  a^k-^)'h(t), 

où 

(15)  'M0=   Co4-Ci^-^C2/2. 

D'après  la  formule  (12)  les  quantités  x^^  x^-^  y  y  2<  et  ^2  seront 
les  racines  de  l'équation 

(16)  {t-^au-i)V-it)-  R(0  :  (^  — «2A-i)  =  o; 

prenons  z^  et  Z2  pour  infinis  non  arbitraires  de  la  fonction  t,  les 
quantités  ^,,  X2  et  y  sont  arbitraires,  ainsi  que  les  signes  des« 
radicaux  qui  leurs  correspondent,  c'est-à-dire  y/R(x,),  y/R(^2) 

etv/R(3Ô- 

Les  coefficients  indéterminés  Cq,  Ct  et  C2,  qui  entrent  dans  la. 


(  '  )    Théorie    der    liyperelliptischen    Functionen    (  Nach    einer    Vorlesun^ 
von  Professer  Weierstrass,  gehalten  S.  S.  Berlin;  1887). 


92  PREMIÈRE   PARTIE. 

fonclion  ^(^),  sont  fournis  par  les  trois  équations  de  la  forme 

(17)  Cq-^  cxt  -\-  c<,J^=  s/[\{l)  \  {t  —  a^k-\ ) ; 

il  y  faut  substituer  à  t  des  intlnis  arbitraires  ^,,  x^  et  y;  quant 

aux  radicaux  y/ll(.r,  )  et  \jK{x.>),  nous  leur  attribuons  le  signe  — . 

Si  nous  éliminons  entre  les  équations  (i5)  et(i'j)  les  quantités 

Co,  c,  et  C2,  la  fonction  '^{t)  sera  définie  de  la  manière  suivante  : 


(18)    W)  = 


\/W{xn) 


—  xn\  (^/,  — a2/,_i)  o'(a-/,)' 


nous  avons  posé  par  abréviation 

(19)  o{t)=.{t-x,){t  —  x^). 

Moyennant  les  conditions  indiquées  plus  haut  le  théorème 
d'addition  des  intégrales  (i3),  (i4)  prendra,  après  quelques 
transformations  [i;o^'r  (8),  (ïo)],  la  forme  suivante  : 


2  Xi 


(^^)  21     j    (^'^2/i-l)=2    J    (-r,  «2A-l)-H  J  (J,  «2A-l)—    WA   , 

«21-1  i  =  l  «2,-1  J 

r  2     s,-  2    J',- 


(■.>.!) 


«=:1  rt2j_i 


2/.— 1 


00  i  =:  1     00 

:— t];(a2/,_i):  P'(a2/.-i). 


f=i   00 


Examinons  deux  cas  particuliers. 

Soit  d'abord  j^  :=  go;  les  quantités  non  arbitraires  ^1  et  ^^o  de- 
viendront z\  et  g!,,  et  l'équation  (16)  prendra  la  forme  suivante 


(22) 


{t  —  rt2A-i) 


o{t)/K{^) 


=  -o(0oi(0, 


{xu—  t){x/i—  aik-i)  ^\xu) 


W(t) 


t  —  «2/.-1 


ou 

(•23)  ^^^t)  =  {t-z\){t-z',). 

En   posant  dans  l'équation  (22)   d'abord    t^=^a>k   \  et  ensuite 


MÉLANGIîS. 

i  z=  a2i-\^  l  (Uaiil  (JiHéicnl  de  A,  nous  trouverons 

{'>..\)  9l(«2/.-l)<?(<^'2/.  -l)—    H'(rt2/.-l), 


9^ 


(•^.5)     cp,(r^2/-i)=I*'(^^2/.-i)?(«2/- 


L  A-l 


J 


TjCs  expressions  (-^o)  et  (i>.i)   [)rcndronl,  pour  ^  .=:  co,  mainle- 
uaul  la  forme  suivante  : 


2         Xi 


(•2G) 


1k  — \ 


V     J     (J,a2/i-l)=^     J     (^,  «2A-l)—    W/,   , 


1  =  1    rt;,_, 

2       ii 


2      X; 


2A— 1 


■^i/.-    -^  2<£,(^'  <^2A-l)—  ^^(^,^'2/.-l) 


(^7) 


f=:l      00 


J=3  t       00 


v/R(a7/,) 


//  =  1 


Examinons  maintenant  le  cas  o\x  y  =.  a^  [ap  est  l'une  des  racines 
de  l'équation  R(^)=  o,  différente  de  aih-\  ];  les  quantités  non  ar- 
bitraires Z\  et  ^2  deviendront  z'\  et  z\^  et  l'expression  (20)  de- 
viendra 


2  Xi 


Z_,       I     (-»«2/i-l)=^     J     (^,  «2/i-l)+  W/i—    CO/i   . 


Ayant  calculé  l'expression  (21)  pour  j/  =  a^,  et  ayant  retranché 
le  résultat  obtenu  de  (27),  nous  aurons 


'.—  _^^(-,  «2A-l)+2^(-,  «2/.-1) 


(29) 


/:=  1     00 


/z=  1     co 


?(«2A-l)     V  V/H(a-/,  ) 


—  _  ?v^2A-i  j  ^ y  t-^i 


//=1 


p  — :C/i)cp'(a7/,) 


3.  Problème  de  Jacobi.  —  En  nous  servant  des  considérations 
de  M.  Weierstrass  sur  le  théorème  d'Abel,  nous  arrivons  aisément 
aux  conclusions  suivantes  : 


i"  Dans  l'inversion  des  intégrales  ultra-elliptiques  de  la  pre- 


94  PREMIÈIIE   PARTIE. 

mière  classe  il  faut  partir  d'un  système  de  deux  équations  [il  y  a, 
en  effet,  deux  limites  non  arbitraires  dans  les  expressions  (»3)]. 
Prenons  le  système  des  équations  de  M.  Weierstrass 

.r,  .r,  .-r,  .r, 

(30)  j  (:r,  a,)-l-  1  (:r.  ai)=  ^1,  j  (:?%  «.j  )+  I  (^,  «-^a)  = '^2, 

iii  "3  ^h  ")i 

avec  les  conditions  initiales  suivantes  : 

x^  —  ^1,        ^2  =  ^^3        poui"        U[  =  lu  =  (). 

1^  Le  système  de  valeurs  {x^,  .^o),  correspondant  aux  valeurs 
données  (wi,  u^)-,  6st  unique;  en  admettant  qu'il  y  ait  un  autre 
système  semblable  {x^^  x'.,)  nous  serions  en  contradiction  avec  la 
proposition  énoncée  par  M.  Weierstrass  que  le  théorème  d'Abel 
est  susceptible  d'inversion. 

Par  conséquent  les  quantités  ^,  et  Xo  sont  les  racines  d'une 
équation  du  second  degré  dont  les  coefficients  sont  des  fonctions 
uniformes  de  i/<  et  u-,-  Toute  fonction  symétrique  de  Xi  et  X2  sera, 
évidemment,  une  fonction  uniforme  des  arguments  «1  et  u-y', 
arrêtons-nous  sur  les  plus  simples  des  fonctions  symétriques. 
Posons 

(31)  .;t- -   =    7777 r =p(w)2/.-l  (A=I,'2). 

P  (a.A-ij  P  («2A-1) 

Nous  désignons,  par  abréviation,    la  fonction  j3(w»,  if-2)-2/i-i  par 
p{ii')2k-ii  de  même  que  nous  écrirons  par  la  suite  p\u  —  w/2A-i 


au  lieu  de  J3\«,  —  (o, ,  ii-j  —  ^'^2/2/.-)  • 

En  nous  servant  du  développement  des  fonctions  fractionnaires 

/Qo^  ?(-^)  ,     ,      V  y(«2/.-l) 

^     ^  V{.V)    ~''^^(^-«2/.-,)P'(«2A-l)' 

A-=  1 

nous  arriverons  facilement  à  une  équation  du  second  degré  dont 
les  racines  sont  Xi  et  x^  : 

p(ii){        p(Ji)i 

^         ^  (Il  —  ./•  ((■i — X 


MELANGES. 


î)> 


Il  est  bien  clair  que   toute;  fonction  sjmétriquc  de  j",  et  jv,  s'(îx- 
primera  rationnellement  par  des  fonctions  j3(/^)2/f_i . 

Tirons  des  équations  (3o)  les  dérivées  partielles  de  ^i  et  de  X'> 
par  rapport  à  Uf  et  u>',  après  quelques  simplifications  nous  aurons 


(3.i) 


à.r/,  _   v.J->(/02/.-i    y/l^  (  -y/;  ) 


(h  —  i,'i;   /-  =  I,  •^.  ). 


En  nous  servant  de  la  dernière  formule  et  de  l'expression  (32 )^ 
nous  trouverons  facilement 


ou 


2 y/H (^/i )  =  {(h  —  xn )p'{n)i-hai  —  x/,)  p'{n-i'), 


P'('02/.-l  = 


dui 


du. y 


Les  quantités  y/ll(j!;,)  et  y/R(.r2)  sont,  évidemment,  les  racines 
d'une  équation  du  second  degré  dont  les  coefficients  s'exprimeront, 
en  vertu  de  la  formule  (33),  rationnellement  au  moyen  des  fonc- 
tions p{u)2k-\  et  de  leurs  dérivées.  A  l'aide  des  formules  (34)  on 
peut  établir  entre  ces  dérivées  et  les  radicaux  les  relations  sui- 
vantes : 


£  d\o^p{u),i,^^ 

•JL  OU/,- 


=  —  P(«)2A-l2 


\/ti{Xi) 


i=i 


(a2k-i  —  Xi){a2/i-i  —  Xi)o  {Xi) 


Introduisons  maintenant  les  sommes  des  intégrales  de  la 
deuxième  espèce  avec  les  mêmes  limites  supérieures  que  dans  le 
système  (3o).  Posons 


(36)  ^(.r,  a2/,-i)-f-^(:r,  «2/,_i)=:  r(M)A-  (>^^=i,^); 


nous  désignons  par  abréviation  la  fonction  '^{Ui,  ii-2)k  par  ^(u)f(, 
de  même  que  nous  écrirons  par  la  suite  l^\u  —  coj/^  au  lieu  de 


^\Ui  —  W,,    U.2—  CD^/a- 

La  fonction  Ç(w)a  est  une  fonction  uniforme  de  ses  arguments, 
car,  la  relation  établie  par  les  équations  (3o)  étant  uniforme,  le 
système  (^4,  Xo)  reprend  les  valeurs  initiales  en  même  temps  que 
(u^y  Ma).  Au  contraire,  à  un  système  donné  de  valeurs  de  (^1,  Xo) 


96  PIlliMlÈUE   PAUTIE. 

correspond  un  nombre  infini  de  valeurs  de  (?/i,  u^)-  Supposons 
que  x^  et  x'o,  après  avoir  parcouru  des  contours  fermés  sur  la 
surface  de  Riemann,  aient  repris  leurs  valeurs  initiales  :  les  quan- 

a 

tilés  u/i  du  système  (3o)  recevront  des  accroissements  liùh  et  la 

a 

somme  des  intégrales  de  la  deuxième  espèce  l'accroissement  'àt^^. 
Par  conséquent  on  aura  la  relation 

/  a  a   N  a 

(37)  ^V"i+  2C0i,  u^-\-  9.102)/,=  iTjc-^  ^("i>  ««2)/v-; 

a  est  ici  l'un  des  nombres  (o,  i ,  2,  3,  4)- 

La  fonction  X^{^iL)h.  est  finie  tant  que  les  valeurs  de  w,  et  u^  sont 
différentes  de  zéro;  mais,  lorsque  u^  et  u^  s'annulent,  Tune  des 
quantités  ^^  devient  égale  à  a^k-K  et  l'intégrale  correspondante  de 
la  deuxième  espèce  devient  infiniment  grande. 

Enfin,  en  discutant  les  intégrales  de  la  deuxième  espèce  sur  la 
surface  de  Riemann,  nous  arrivons  à  cette  conclusion  que  ^{u)k 
sera  une  fonction  impaire  des  arguments  u^  et  ^^o- 

L'introduction  des  fonctions  ^{^u)k  a  ime  grande  importance, 
attendu  que  l'on  détermine,  à  l'aide  de  ces  fonctions,  le  caractère 
des  transcendantes  J3(^^)2A_i,  leurs  zéros  et  leurs  infinis.  On  peut 
établir  une  liaison  entre  les  fonctions  Ç(w)yt  et  J3(i^)2/f_i  au  moyen 
des  relations  qui  découlent  du  théorème  d'Abel.  Il  résulte  des  ex- 
pressions (26)  que  les  quantités  z^  et  z,^  sont  liées  aux  arguments 

2/.  — 1 
11^ —  (O/j    de  la  même  manière  que  les  quantités  x^  et  x^  sont  liées 

aux  arguments  Uh-  R  s'ensuit  que,  si  nous  nous  servons  des  rela- 
tions (3i)  et  (35),  les  formules  (24),  (20)  et  (27)  prendront  la 
forme  suivante  : 

(38)  pv«—  w  J2A-ir(")2A-i=  Q(«2/.-i):i"(«2A-i), 

/  2/.--1N  P'(a,A_i)  c)logp(?02/.-i  f^lo?:,p(?02/-i 

(39)  p(^02A-ijA"-   03   /2/-i=  ^ -^^ ^^^ 


(40) 


k-\  (       2^-i\       I  loc:,p(?/).v,_i 


L'expression  (28)  nous  montre  que  les  quantités  z\  et  z\^  pour 

2/— 1  2/.-  — 1 

[ii  —  2  /  —  I ,  sont  liées  aux  arguments  z/A-f-  to/i  —  ^'V^    cle  la  même 
façon  que  les  quantités  x^  et  x..  sont  liées  aux  arguments  Uk\  la 


MÉLANGES.  97 

formule  (29)  prendra  par  conséqucnl  la  forme 

Indiquons  maintenant  les  relations  cpii  existent  entre  les  dé- 
rivées des  fonctions  ^(u)/<  et  les  fonctions  p(//)2A„j,  en  nous  ser- 
vant de  la  définition  des  intégrales  de  la  deuxième  espèce  (5)  et 
des  formules  (3i)  et  (35),  nous  aurons 


àt(u)/r  _     Q(a2/.-i)      p(m)2/-i 
àuf      ~  [P'(a2A-i)]^  Pi^h/c-i' 

/,  P'(«2/.-l)    lp{lt)-2k-i 


P{u\l- 


k-\  J 


En  remplaçant  dans  les  dernières  formules  les  argument  Uh  par 


2A— 1 


itfi —  lùfi  ,  nous  obtiendrons,  à  l'aide  des  expressions  (38)et(39), 
les  relations  suivantes 


(4-1) 


à^ 


(u 


2/.-1 

M 


àui 

1k  — l 


"  4 


/  2A--ÏN 

(43)     ^^^^^ =-piuU-^-^ 


Oui  Ou  le 


(^M> 


^W/c 


Il  s'ensuit  aue 


(9a/ 


du  Je 


a 


2A:-l' 

par  conséquent,  les  fonctions  de  la  forme  t^l^w  4-  w  —  w  ^/^  sont 
des  dérivées  partielles  d'une  certaine  fonction  à  arguments  U\ 
et  Uo- 

Introduisons,  en  conséquence,  avec  M.  Weierstrass  {Zur 
Théorie  der  abelsch.  Funct.)  les  fonctions  A\[u^,  u^)  et 
Al(wi,  112)0^1  que  nous  déterminerons  au  moyen  des  équations 


(44)        c?logAl(Mi,if2)  =  — 2  L   ^iA+^l"—    w    )k\dUk, 

2 


(45) 


■r-^  r2A  — 1        a  /  2A-  — 1        ^\    1 

dlogA\{ui,U2)oL=—y,l   'nk  —"^k-^lKU—    (M    -h  oiJ/,]du;,; 


A-=i 


a  est  ici  l'un  des  nombres  (o,  i ,  2,  3,  4). 

Bull,  des  Sciences  mathém,,  2"  série,  t.  XX.  (Avril  1896.) 


98  PUEMIÈHE   PARTIE. 

Ainsi  que  nous  le  savons,  cette  notation  a  été  donnée  par 
M.  Weierstrass  aux  fonctions  considérées  en  l'honneur  d'Abel. 

Ajant  additionné  les  expressions  (42)  et  (43),  nous  aurons,  à 
l'aide  de  l'équation  (44)?  la  relation  suivante 

d     rc)logAl(ai,  M2)        <^logAl(Mi,  ^2)1 


(46)       p{uu  ih)2/.-i=  ^1^ 


àui  ôu^ 


Si  dans  l'équation  (45)  nous  posons  a.=iih  —  i,  Ji  étant  l'un 
des  nombres  i  ou  2,  égal  à  k  ou  différent  de  A-,  alors,  à  l'aide  des 
formules  (4o)  et  (40'  nous  aurons 

()logAl(Mi,  ?*2)2A-i  _  <)logAl(^i,  ^2)  _  I  à  \oç,-p i u)ih-\ 
ôuk  àujc  -J.  àujc 

Il  s'ensuit  que 

(47)  p(«l,«2)2/.-l=C2/._i         Al,(,,^^^^)       . 

la  constante  arbitraire  de  l'intégration  c^^_^  sera  déterminée  pour 
les  valeurs  données  des  arguments  u^  et  u^. 

Il  est  facile  de  remarquer  que  les  fonctions  p{u\^  ^2)2^-1^ 
Ç(w,,  U2)k  et  Al(?^i,  ^^2)  sont  tout  à  fait  analogues  aux  fonctions 
elliptiques  de  M.  Weierstrass  p{u),  ^{u)  et  (i{u)  (')• 

Voyons  quelques  propriétés  de  la  fonction  Al(w,,  ^^2)5  posons 

A1(mi,  «2)=  eH-t^i'"»', 
où 


( 


[8)  ix{ui,U2)  =  —  /  ^L  ^A-  +C(ï*—    ^   Jkjdu/c-^G- 


La  fonction  ^{Ui,U2)  reste  finie  pour  toutes  les  valeurs  des  argu- 

/  2A-1\ 

ments,  sauf  le  cas  où  les  arguments  des  fonctions  Ç\w —  co  Jk 
s'annulent;  ainsi  les  points  de  discontinuité  de  la  fonction 
u.{u\,  U2)  correspondront  aux  valeurs 

2A-  — 1  2A  — 1 

(49)  Mi^    Wl     ,  M2^    ^2    • 


(')  Comparer  Halphen,  Traité  des  fonctions  elliptiques,  ou  M.  Schwarz, 
Formeln  und  Lehrsdtze  zum  Gebrauche  der  elliptischen  Functionen. 


MÉLANGES.  99 

Discutons  \c,  caracLèr(î  même  de  disconllnuilé  :  en  nous  rap- 
pelant les  formules  (36),  nous  remarquons  qu'aux  points  indiqués 
la  fonction  (i.(//|,  11-2)  devieni  infinie  de  la  même  manière  que 


/ 


<^ 


i^/i,  «2/t--l  )  ^WA-, 


dans  le  voisinage  du  point  Xh=  <^2A-i-  ^^  développant  suivant  les 
puissances  de  X/i —  a2k-i  l'intégrale  de  la  deuxième  espèce,  ainsi 
que  la  quantité  du/(  [déterminée  parle  système  (3o)],  nous  n'aurons 
qu'un  seul  terme,  où  Xh  —  «22^-1  soit  affecté  d'un  exposant  négatif; 

c'est  le  terme 

i^   r     dxh 

A.insi  la  fonction  |Ji(w,,  Wo)  devient  infinie  aux  points  parti- 
culiers (49)  comme  logy/S^^ — <^<2fr-ij  \iO\iY  Xh^=-  ctik-K-  H  s'ensuit 
que  pour  tout  système  de  valeurs  de  u^  et  ?/2  les  valeurs  de  la  fonc- 
tion [Jt(z^,,  U'Ç)  différeront  entre  elles  par  des  multiples  de  ir^i. 
Nous  concluons  de  là  que  la  fonction  Al(?^, ,  u^)  sera  finie  et  con- 
tinue pour  toutes  les  valeurs  des  arguments;  les  valeurs  fournies 
par  les  formules  (49)  rendent  notre  fonction  égale  au  zéro  du 
premier  ordre.  Déterminons  la  constante  C  de  l'intégration  de  ma- 
nière à  avoir 


[a(0,  o)  =  o 


et 


Al(o,  o)  =  i, 


pour 


U\  =  lU=zO. 


Il  est  facile  de  s'assurer,  en  se  servant  des  propriétés  connues 
des  fonctions  'C,{u^^U2)k  [^volr  (36),  (3^)],  que  la  fonction 
Al(«^i,  U2)  est  paire  et  qu'elle  satisfait  à  la  relation 


(5o) 


dlogAl 


\iix-\- 


2t0i,  a^-\-  7. 


dii/ç 


du  le 


En  faisant  la  même  discussion  relativement  aux  fonctions 
Al(w,,  112)0.  nous  trouverons  que  ces  fonctions  sont  partout  uni- 
formes et  finies  et  qu'elles  deviennent  égales  au  zéro  du  premier 
ordre  pour  le  système  des  arguments 


2/1  —  1        a 
i/,  =     lOi    — 'x»i, 


2*  — 1 
i<2  ^^      0)2 


a 

W2- 


100  PREMIERE   PARTIE. 

Les  fonctions  Al(;^,,  ii'-i)oi  se  déduisent,  comme  il  est  facile  de 
le  voir,  de  la  fonction  AI(m,,  u-y)  en  changeant  les  arguments  de 
celle-ci  en  des  systèmes  de  demi-modules  de  périodicité  {yoirn°  1). 

A.  Des  fonctions  ultra-elliptiques.  — Comme  fonctions  ultra- 
elliptiques  yb/^c/<7/?^(?/^^a/e5  prenons  les  plus  simples  des  fonctions 
uniformes  de  U\  et  Uy-i  déterminées  jjar  le  système  des  équa- 
tions (3o).  Conformément  à  ce  qui  a  été  dit  dans  le  paragraphe 
précédent,  on  peut  considérer  comme  fondamentales  les  deux 
fonctions  suivantes  : 


(5i)      ^^'^^^-     Z)':^^'"V      -^^  =^\(uuU^),k-^         (/c-i,^)- 


P'(«2A-l) 


Les  fonctions  al(?/,,  U'^<>h-\  peuvent  être  représentées,  comme 
il  est  facile  de  le  voir,  sous  forme  de  quotient  de  deux  séries 
transcendantes  entières  Al(wi,  u^^-ik-K  et  Al(^^^,  Wo).  En  nous 
servant  maintenant  des  formules  (4^)  et  (5o),  nous  arrivons  à 
cette  conclusion  que 

(52)     al^l^  Ui-\-  2Wi,  u.i-\-  2W2>'2/t-i  =  al-(i^i,  ««2)2/^—1         (a  =  o,  i,  . . . ,  4)- 

Comme  les  modules  de  périodicité  des  intégrales  de  la  première 
espèce  sont  liés  par  la  relation  \^voir  (8)] 

0  12  3  4 

to/,;  —  a)^  +  to/^.  —  w/,-  -\-  (M le  ^  O, 

les  fonctions  al(w,,  u.2)2h-\  auront,  évidemment,  quatre  systèmes 
différents  de  périodes  simultanées. 

Montrons,  enfin,  que  les  fonctions  al(«,,  «2)2/1-1  sont  soumises 
au  théorème  d'addition.  A  cet  effet,  formons  la  fonction  t  qui 
admet  les  zéros  ni  et  les  infinis  mi  suivants  : 

ni=  a^^*\     a'3*';         m/=ai,     «3,     x^,     x^,     Ji,    y^,     ^1,     Zo. 

L'équation  (12),  après  élimination  des  racines  a,  et  «3,  sera 
remplacée  par  la  suivante  : 

i       =.{t-xy){t  —  x.^){t—y,){t—y.2){t-z,){t  —  z.). 
Prenons  comme  infinis  arbitraires  ^1  et  ^Jo  j  les  quantités  x^.,  X2f 


MÉLANGES. 


101 


y^  cl  j^>,  ainsi  ([iic  les  radicîimx  correspondants  y/K(jc)  cL  ^K(j^) 
(donl  nous  cliangerons  les  signes)  sont  arhiuaircs. 

Les  cocnicienLs  indéterminés  A(,,  A,,  l>„  et  l>,   s'obtiendront, 
évidemment,  au  moyen  des  (juatre  équations 

Bov/ÏÛ^')  -!-  B,  ts/K{T)  -H  Ao  P(  0  -f-  A,  n»(/)  =  —  <2  P(f  ), 

où  t  est  remplacé  par  les  quantités  :r, ,  ^2?  jKi  ctj^2- 

Moyennant  les  conditions  indiquées  le  théorème  d'Ahel  prendra 
la  forme  suivante  : 


(54) 
où 


I  {z,  a-ik-x  )  +  J  (^)  <^2A-l  )  =  Uk 


^k, 


(54')     J(^,  a^k-\)  +  \ipc,  «a/v-i)  =  w/o     J  (7)  «2A-1)  -^  J (/'  «2A-1  )  =  ^^A- 


«8 


Il  est  facile  d'obtenir  le  théorème  d'addition  des  fonctions 
ultra-elliptiques,  à  l'aide  de  la  formule  (53),  en  posant  t^a2k~\ 
et  en  introduisant  les  fonctions  correspondantes  \yoir  (5i)]; 
par  abréviation,  nous  désignerons  ces  fonctions  par  al(w)2;t_i, 
^{y)ih-\  et  al(;^  -f-  <^)2/f-»  • 

Nous  aurons  de  cette  façon 

N2A-1  :  D  =  62A-1  P'(a2A-i)  al(w)2/,-i  al(p)2A-i  al(w  +  t^)2/c-i; 


ici  ^2/f_i  =  \/ — fv'(^2A-i  )  •  Q(^2A_i  )?  ^'^  les  quantités  NoA-i  et  D 
sont  les  déterminants  suivants  : 


N2A-1  = 


D  = 


(37,  —  «2/.— i)/R(^i)  P(^i)  ^lP(^"l)  ^fP(^l) 

{x^  — a^^k-\)\l^^^-i)  ^{x-i)  XiV{x^_,)  x\V{x^) 

(7i-«2A-i)/RCrr)  P(ri)  7iP(r.)  rïP(ri) 

(y2-«2A-l)\/R(72)  P(JK2)  JK2P(72)  r5P(j2) 

v/R(a7i)    ^iv/K(a7i)  P(^i)  iriP(iri) 

v/rT^)     ^2v/R(^2)  P(^2)  ^2P(^2) 


/R(rô   7iv/R(yi)    P(yi)   riP(7i) 
v/ïÛ7I)   j^2v/R(jk2)    P(r2)   JK2P(r2) 

Pour   le    calcul   de   ces    déterminants   servons-nous    des    for- 
mules (35)  et  de  leurs  analogues  aux  arguments  v^    et  v^^  Eu 


102  PUEMlflRE   PAUTIE. 

outre,  dans  la  simplificalion  des  expressions  de  N2/f-i  ?  cl  D,  jouent 
un  rolc  important  les  relations  qui  découlent  de  l'équation  (i^3) 
et  de  leur  analogue  aux  arguments  r<  et  ^2  ;  telles  sont  les  relations 

2 

Après  une  série  de  calculs  nous  arrivons  au  théorème  d'addi- 
tion des  fonctions  ultra-elliptiques  fondamentales 

(55)  ^>lW/,al(w-hi-0l+^3W/^aI(^^-l-p)3  =  al2(a)2A_,— al2(t^)2A-i     (//=i,2). 

Les  quantités  W,  que  nous  avons  introduites,  ont  la  forme 
suivante  : 

(5d  )  W/,=  al(ç^)2;t-i r^ al(M).2A:-i -. • 

Les  fonctions  al(;^,,  ^2)2^-1  jouent  dans  la  théorie  exposée  le 
même  rôle  que  la  fonction  sinamz^  dans  les  transcendantes  ellip- 
tiques de  Jacobi.  La  formule  (55)  est  une  généralisation  immé- 
diate et  une  extension  aux  fonctions  ultra-elliptiques  du  théorème 
d'addition  établi  pour  les  transcendantes  elliptiques.  On  peut, 
en  effet,  donner  à  ce  théorème  la  forme  suivante  : 

(56)  W  sinam(M  -t-  ^'}  =  sin'^  am  w  —  sin^am^', 

OIJ 

._^,,  -,,        .  ^sinamp         .  c?sinami« 

(56)  W  =  sinama , sinamt» —, 

dv  du 

Nous  entendrons  sous  le  nom  de  fonctions  ultra-elliptiques 
générales  (de  la  première  classe)  toutes  espèces  de  fonctions  uni- 
formes aux  arguments  u^  et  U2^  définies  au  moyen  du  système  (3o). 
Conformément  aux  équations  (33)  et  (35)  toutes  les  fonctions  de 
cette  nature  s'exprimeront  algébriquement  au  moyen  des  ionc- 
ïions  fondamentales  al(wi,  U2)2k-\'  Par  conséquent  les  fonctions 
ultra-elliptiques  ^enera/e5  posséderont  quatre  systèmes  différents 
de  périodes  simultanées  et  seront  soumises  au  théorème  algé- 
b  r  iq  ue  d^  ad  dit  io  n . 

Les  plus  simples  des  fonctions  ultra-elliptiques  générales,  outre 
les   fonctions  j3(  ?^i ,  ^^>)2A_^    du    paragraphe    précédent,    sont  les 


MTlLANGRS.  io3 

suivantes  : 


(5;)         4/' Vla^i) =  al(î^,,  Wj),/        (l  =-- o,  i,  ?.). 

Gonformt'incnt  à  la  formule  (32)  le  rapport  cntie  ces  fonctions 
et  les  fonctions  fondamentales  s'exprime  au  moyen  des  équations 

( jo  )  al^(i^i,  «2)2/  =  ï  +  ■ H  — 

Ayant  formé  à  l'aide  de  la  formule  (34)  les  dérivées  partielles 
des  fonctions  al(w,,  ^^2)2/ et  en  nous  servant  des  expressions  (28), 
(29),  (44)  et  (45),  nous  arriverons  à  cette  conclusion  que  les 
fonctions  al(«i,  ^^2)2/  se  présentent  sous  forme  de  quotient  de 
séries  transcendantes  entières  Al(«,,  ^2)2^  et  Al(?<,,  112)- 

Enfin,  l'étude  des  fonctions  ultra-elliptiques  en  général  se 
ramène  à  celle  des  propriétés  de  la  fonction  Al(w,,  «^2)5  inl-roduite 
au  paragraphe  précédent.  Cette  fonction  peut  se  réduire  à  une 
forme  plus  simple  à  l'aide  de  la  substitution  linéaire  suivante  : 

(59)  Ml  =  2Wii  tVi -+-  2  0)12  «^2,  M2  =  20)21  Wi4-  2W22M^2. 

Nous  arriverons  de  cette  manière  à  la  fonction  ©(w^,  (^2)  • 

(60)  0(^1,(^2)=      'S'S     e^^"^«'*'«"^P^'*'-'^'^'^'«P«^20.sp,p,+Ôs,p|)_ 


p„p.  =  - 


La  relation  entre  les  fonctions  K\[a^^u^)  et  ^{w^^w^)-,  ainsi 
que  les  rapports  entre  ces  transcendantes  et  les  fonctions  de 
Rosenhain  et  Riemann,  ont  été  étudiés  en  détail  dans  mon 
Ouvrage  Théorie  des  fonctions  ultra-elliptiques  de  la  première 
classe  (publié  en  russe)  (^). 

Je  remarquerai  en  terminant  que  les  résultats  que  je  présente 
peuvent  être  facilement  étendus  aux  fonctions  ultra-elliptiques  à 
plusieurs  arguments. 


(')    Une    analyse   de   cet    Ouvrage    a   été    donnée   par   M.    BougaïefF  dans  le 
Bulletin  des  Sciences  mathématiques,  t.  XII,  année  1888. 


io4  BULLETIN  niBLIOGRAPIIIQUE. 

BULLETIN  BIBLIOGRAPHIQUE 


Sonnet  (IL).  —  Dictionnaire  des  Mathématiques  appliquées^  conte~ 
liant  les  principales  applications  des  Mathématiques  et  V explication 
d'un  grand  nombre  de  termes  techniques  usités  dans  les  applications. 
In-8°,  à  1  coL,  IV-1478  p.  avec  1900  figures.  Paris,  Hachette  et  G'^.  3o  fr. 

Klein  (F.).  —  Ueber  die  Beziehungen  der  neueren  Mathematik  zu 
den  Anwendungen.  Anlrittsrede.  Gr.  in-S",  12  p.  Leipzig,  Teubner.  60  pf. 

PoiNCARÉ  (H.).  —  Cours  de  Physique  mathématique.  Théorie  analy- 
tique de  la  propagation  de  la  chaleur.  In-8",  820  p.  avec  fi  g.  Paris, 
Garré. 

Resal  (IL).  —  Traité  de  Mécanique  générale,  comprenant  les  leçons 
professées  à  l'Ecole  Polytechnique.  9.°  édit.,  t.  II  :  Du  mouvement  des  so- 
lides eu  égard  aux  frottements;  équilibre  intérieur;  élasticité;  hydro- 
statique; hydrodynamique;  hydraulique.  In-8°,  xi-166  p.  avec  fig.  Paris, 
Gauthier-Villars  et  fils.  3  fr. 

IIoefer  (Ferd.).  —  Histoire  des  Mathématiques  depuis  leurs  origines 
jusqu'au  commencement  du  xix®  siècle.  4'^  édit.  In-iG,  111-600  p.  avec  fig. 
Paris,  Hachette  et  G'^  4  fr. 

Nernst  (W.)  und  Schônflies  (A.).  —  Einfûhrung  in  die  mathemat. 
Behandlung  der  Naturwissenschaften.  Kurzgefasstes  Lehrbuch  der 
Differential-  u.  Inte gralrechnung  m.  besond.  Berûcksichtig.  der 
Chemie.  Gr.  in-8°.  xi-Sog  p.  avec  61  fig.  Munchen,  Wolff.  8  m.  60  pf.  gebd. 
10  m. 

ScHLOMiLCii  (0.).  —  Compendium  der  hôheren  Analysis.  (In  2  Bânden). 
1  Bd.  Vorlesungen  iiber  die  eizelnen  Theile  der  hôheren  Analysis,  gehalten 
am  k.  sachs.  Polytechnikum  zu  Dresden.  4  Aufl.  Gr.  in-8°,  x-546  p.  avec 
gravure  sur  bois.  Braunschweig,  Vieweg  und  Sohn.  9  m. 

Kantor(S.).  —  Théorie  der  endlichen  Gruppen  von  eindeutigen  Trans- 
formationen  in  der  Ebene.  In-8°,  m  p.  Berlin,  Mayer  und  Millier.  5  m. 

Krause  (M.).  —  Théorie  der  doppeltperiodischen  Functionen  einer 
verânder lichen  Grosse.  Tome  I,  Gr.  in-8°,  viii-328  p.  Leipzig,  Teubner. 
12  m. 


COMPTHS   1{I<NI)US   RT  ANAÏ.YSRS.  lo'i 

(:()Mi>Ti:s  in:Ni)iis  v:v  analysi^is. 

II. -G.  ZHUTIIKX.  —  (iKsciiicirnc  dkh  Matiii:matik  im  Ai/iKuriiLM  und  Mit- 
TKi.ALTKH.  I  vol.  poLit  in-8",  VM-344  p.  (^opciiliagcn,  Aiid.  Frcd.  Ilost  und 
Siin,  iS()(). 

l^c  savant  prorcsseiir  de  l'Université  de  Co[)enliaguc  avait  publié 
en  danois,  dans  le  courant  de  1898,  l'œuvre  dont  une  traduction 
allemande  vient  de  [)araître.  Elle  était  particulièrement  destinée 
au\  candidats  à  l'examen  pour  le  professorat  de  Mathématiques 
en  Danemark;  on  j  exige  d'eux,  en  effet,  une  connaissance  géné- 
rale de  l'histoire  de  leur  Science,  ainsi  qu'une  étude  spéciale  des 
Eléments  d'Euclide  et  de  la  Géométrie  de  Descartes.  Il  j  a  là  un 
exemple  sur  lequel  je  crois  inutile  d'insister. 

A  côté  d'un  grand  Ouvrage  historique  comme  celui  de  Moritz 
Ganlor,  le  besoin  d'un  bon  abrégé  se  faisait  en  tous  cas  sentir, 
comme  le  prouvent  au  reste  les  essais  récemment  tentés  en  Angle- 
terre et  aux  Etats-Unis.  Je  n'hésite  pas  à  signaler  le  travail  de 
M.  Zeulhen  comme  très  supérieur  à  ces  essais;  non  seulement  il 
donne  avec  exactitude  tout  ce  qu'il  est  essentiel  de  savoir,  mais 
il  s'attache  à  mettre  en  pleine  lumière  le  caractère  des  méthodes 
et  leur  développement.  Il  est  ainsi  parvenu  à  éclairer  d'un  jour 
tout  nouveau  un  certain  nombre  de  questions  obscures,  qui,  à 
mon  avis,  sont  précisément  celles  dont  l'intérêt  est  le  plus  consi- 
dérable. 

Que  dans  les  explications  données  par  M.  Zeuthen,  l'hjpo- 
thèse  joue  un  certain  rôle,  11  est  le  premier  à  le  signaler  :  mais 
il  n'a  en  somme,  cette  ibis,  que  présenté  les  résultats  les  plus 
incontestables  de  sa  magistrale  étude  sur  la  Théorie  des  sections 
coniques  dans  V antiquité  [^)^  et  son  point  de  départ  consiste 
dans  une  remarque  tellement  juste  et  frappante  qu'on  ne  peut,  ce 
me  semble,  hésiter  à  Taccueillir  avec  toutes  ses  conséquences. 

Lorsque  nous  pensons  à  une  parabole,  nous  nous  représentons 
l'équation  >'^  =/)^  ;   c'est  sous  la  forme  de  ce  symbolisme   algé- 


(')   Voir  l'analyse  que  j'en  ai  donnée  dans  le  Bulletin,  1886,   pages  263  et  sui- 
vantes. 

Bull,  des  Sciences  niatkëm.,  9.'  «éiic.  l.  \.\.  (Mai  i8yG.  )  b 


loG  PREiMIÈUH   PARTIIi. 

brique  que  nous  apparaît  la  liaison  entre  l'ordonnée  et  l'abscisse. 
Or  les  anciens  concevaient  exactement  la  même  relation,  mais 
avec  un  sjmbolisme  tout  différent.  Ils  voyaient  en  esprit  (ou  ils 
traçaient  réellement)  le  carré  construit  sur  l'ordonnée,  le  rec- 
tangle construit  sur  l'abscisse  et  le  paramètre,  et,  par  une  figura- 
tion très  simple  (Euclide,  I,  43),  ils  voyaient  égaux  ce  carré  et  ce 
rectangle. 

Le  fait  de  l'existence  d'un  tel  symbolisme  géométrique  dans 
l'antiquité  est  une  nécessité  physiologique;  la  reconstitution  de 
la  forme  appartient  à  M.  Zeuthen,  mais  elle  est  tellement  en 
accord  avec  tous  les  documents  qu'on  ne  peut  la  mettre  en  doute. 

Parlant  de  là,  M.  Zeuthen  s'est  créé  l'habitude  de  l'intuition 
géométrique  des  anciens,  et  il  a  constaté  que  cette  intuition  faci- 
litait singulièrement  l'étude  de  leurs  démonstrations;  mais  il  a 
fait  une  remarque  capitale,  c'est  que,  soit  pour  le  travail  person- 
nel, soit  pour  les  démonstrations  au  tableau,  lorsque  l'habitude 
intuitive  est  acquise,  les  lettres  à  tous  les  points  de  la  figure  sont 
absolument  inutiles.  Bien  plus,  il  est  gênant  de  les  suivre  sur  le 
texte  grec,  car  ces  lettres  constituent  un  nouveau  symbolisme 
qui  ne  peut  que  compliquer  le  travail  intellectuel. 

11  suit  de  là  que  les  découvertes  des  anciens  dans  l'Analyse  géo- 
métrique et  l'enseignement  de  la  théorie  des  coniques  en  parti- 
culier, à  l'époque  des  grands  mathématiciens  de  l'antiquité,  se 
faisaient  sur  la  figure,  en  en  considérant  intuitivement  (ou  en 
en  montrant  aux  élèves)  les  parties  entre  lesquelles  on  établissait 
des  relations.  Les  Ouvrages  d'Apollonius  et  d'Archimède  n'étaient 
donc  pas  destinés  à  l'enseignement;  envoyés  en  pays  étranger,  ils 
étaient  calculés  pour  permettre  aux  initiés  de  reconstruire  exacte- 
ment, dans  tous  ses  détails,  la  démonstration  figurée  ;  pour  ceux 
qui  n'avaient  pas  la  pratique  de  cette  Algèbre  géométrique,  comme 
l'appelle  M.  Zeuthen,  ils  offraient  nécessairement  le  caractère  pé- 
nible et  compliqué  que  nous  leur  trouvons  d'ordinaire  aujour- 
d'hui, mais  qui  n'est  nullement  en  fait  celui  des  raisonnements 
que  l'on  doit  supposer  (' ). 


(')  On  peut  comparer,  dans  une  certaine  mesure,  ce  qui  a  lieu  de  nos  jours 
en  Géométrie  descriptive.  Il  est  certain  que  la  multiplicité  des  notations  par 
lettres  ne  fait  qu'embrouiller  inutilement  les  figures,  el  que  l'enseignement  y  ré- 
clame impérieusement  une  tradition  orale. 


COMPTKS  KKNDUS   \i\    ANALYSlîS.  107 

Il  s'ensuit  encore  (jue  la  Iradilioii  (1(;  cette  Algèbre  g('iométrlquc 
devait  se  faire  oralenienl  ;  (jne,  lorsque  les  études  furent  interrom- 
|)ucs  sous  les  derniers  Plolémées,  cette  tradition  se  perdit,  et  que 
les  géomètres  postérieurs  ne  retrouvant  pas  les  procédés  intuitifs 
et  par  suite  la  véritable  clef  des  démonstrations  d'Apollonius, 
le  progrès  ne  recommença  pas;  les  connaissances  restèrent  sta- 
tionnaires  jusqu'à  l'époque  où  un  nouveau  symbolisme  fut  créé, 
celui  dont  nous  nous  servons  depuis  Descartes  et  Fermât. 

On  peut  se  rendre  compte  de  la  sorte,  ce  que  l'on  ne  faisait 
guère  en  réalité  auparavant,  du  progrès  rapide  des  études  géo- 
métriques dans  l'antiquité,  puis  de  leur  arrêt  brusque  et  de  leur 
déclin.  Sans  doute,  la  cause  indiquée  n'est  pas  la  seule  qui  ait 
exercé  son  inlluence;  mais  elle  a  joué  un  rôle  capital. 

J'ai  essayé  de  mettre  en  lumière  un  des  points  les  plus  intéres- 
sants du  l^ivre  de  M.  Zeuthen;  je  ne  puis  naturellement  m'étendre 
sur  nombre  d'autres  qui  ne  méritent  pas  moins  cependant  d'at- 
tirer l'attention.  Certains  peuvent ,  sans  doute  ,  soulever  des 
controverses,  comme,  par  exemple,  l'opinion  que  les  coniques 
ont  été  à  l'origine  étudiées  dans  le  plan  comme  lieux  géométriques 
servant  à  la  construction  des  problèmes  solides  (du  troisième  degré), 
avant  d'être,  au  reste  par  les  inventeurs  eux-mêmes,  engendrées 
par  la  section  du  cylindre  ou  du  cône.  Mais  de  telles  conjectures 
valent  au  moins  la  peine  d'être  émises,  et,  pour  celle,  en  parti- 
culier, que  je  viens  de  citer,  c'est  à  très  peu  près  celle  que  je  con- 
sidère comme  la  plus  plausible. 

J'aurais,  au  contraire,  à  faire  quelques  réserves  sur  d'autres 
points  controversés;  mais,  comme  il  s'agit  d'idées  empruntées 
par  M.  Zeuthen  à  d'autres  auteurs,  et  qui  ont  assez  généralement 
cours,  je  crois  hors  de  propos  de  m'y  arrêter  aujourd'hui.  Je  me 
contenterai  donc  de  signaler  deux  légères  inadvertances  maté- 
rielles. 

Page  ^3,  à  la  fin  de  l'alinéa,  au  lieu  de  glelch  sein,  il  faut  lire 
àhnlich  sein.  C'est,  au  reste,  une  erreur  de  traduction. 

Page  248,  il  est  dit  que  Diophante  représente  l'inconnue  par 
la  lettre  ç,  choisie  parce  qu'elle  est  seule  à  n'avoir  pas  de  valeur 
numérique.  La  raison  est  erronée,  puisque  précisément  cette 
lettre  a  la  valeur  6,  et  le  fait  est  inexact.  Diophante  paraît  avoir 
employé  un  symbole  ressemblant  à  cette  même  lettre  retournée; 


io8  PREMIERE   PARTIE. 

je  dis  paraît,    car  la    tradilion  manuscrile  n'est    pas    suffîsam 
ment  assurée  (').  Paul  Tawnery. 


MELANGES. 

SUR  LES  FONCTIONS  SYMÉTRIQUES  ET  PÉRIODIQUES  DES  DIVERSES 
DÉTERMINATIONS  D'UNE  FONCTION  ALGÉBRIQUE; 

Par  m.  Michel  PETROVITCH. 

1.   Soient  données  : 

1°  Une  fonction  ¥(^z)^  méromorpbe  et  simplement  périodique, 
à  période  co  ; 

2^  Une  fonction  algébrique  y  (^),  définie  par  une  relation 

/(^,7)=o, 
oùy  est  entier  en  x  ely,  avec  les  diverses  déterminations 

Je  me  propose  d'abord  de  développer  la  fonction 

en  une  série  de  fractions  rationnelles  en  œ. 

A  cet  effet,  remarquons  que  la  fonction  F  peut  toujours  s'ex- 
primer par  la  formule 

27rs  v''  -  1  \  /         27t:  \^--l 


où  P  et  Q  sont  des  polynômes  et 

^       d  71  ,  -  ,  ,    d}i  r.  ,  1 

-h  A'i  -5— COt  — (5  —  «,)+.  .  .+  A).-— r-COt-(^  —  <7,)     , 


(')  Voir  la  préface  de  mon  édition  gréco-latine  de  Diophanle  (Leipzig,  Teubner, 
1S93,  vol.  1,  p.  VII). 


^MÉLANGES.  109 

ù  les  (ti  soiil  pnl(!s  de  <I>(3),  )./  leurs  ordi-cs  respectifs  et  A^  des 


0 
eoiislaiiles. 


Oiciipoiis-uoiis  d'ahoi'd  de  la  |)arlle  entière  de  F(^).  On  a 


k  =  o 


el,  on  dével()[)pant  les  exponentielles  du  second  membre,  on  aura 

i=o 
avec 

Ko=  Bo+  BiH-  B2  +  . . .+  Bjj., 

m/ —  I  V 


K,=  -^ 4-(Bi+'2'B.+  3'B3  +  ...+  |Ji'Ba)         (t  =  i,  u,  3,  ...)• 

Par  conséquent,  en  posant 


7=0 

on  aura 

2713  v'~\  '=" 


De  même,  en  écrivant 

/  27t^v/^\  '''^=^  2A-7::JV^^ 

A— 0 

on  aura 

/       27:2 /=T\      '=*' 

avec 

Ho=  Go+  Gi-h  G2  +  . . .+  G-^^, 


TZ^Z—lV 


Ui=  ^ 4-  (Gi+  9,'G,+  3'G3  +  . . .-{-  r/G.). 

1 . 2 .  .1 . . .  t  ' 

Or  les  fonctions  S^ (jc),  s'exprimant  rationnellement  en  fonction 
des  coefficients  de  y  dans  f(x^ y)=  o,  sont  des  fractions  ra- 
tionnelles en  œ.  On  a  ainsi  la  partie  entière  de  W (œ)  développée 
en  série  de  fractions  rationnelles  en  a:,  convergente  pour  toutes 


no  PREMIÈRE   PAiniE. 

les  valeurs  de  x  autres  que   celles  coïncidant   avec  les  zéros  du 
coefficient  de  la  plus  haute  puissance  de  y  dansy(:r,  jk)=  o. 

2.  Faisons  encore  une  remarque  sur  cette  partie  entière  de 
^^(^).  Soit  (rt,  h)  un  intervalle  réel  et  tel  que,  lorsque  x  varie 
de  a  jusqu'à  b^  toutes  les  déterminations  j>/-/=  Oi{x)  soient  réelles 
et  positives.  La  partie  entière  de  W [x)  peut  alors  s'exprimer  par 
une  intégrale  définie  simple  pour  toutes  les  valeurs  de  x  com- 
prises dans  l'intervalle  (a,   b). 

A  cet  effet,  envisageons  l'intégrale  définie 


J  = 


I      y{x,  z)  cosrz  dz, 


ou 


On 


y{x,  z)=-^  ^og[f(x,  z  si—  \)f{x,  —zsl—  i)]. 


X(^. -)  =  V^— ' 


d: 

d 


iog/(-^, -y/— 0 


Mais 


\_d^zsl-i) 

-  — '    ,  —  s  l0g/(-2^,  -  -V/^) 

d[—zs/—\)  J 

;=^Tlog/(-^,-/— 0 


-=—\o^f{^x,  ~zsl—\) 


donc 


d{^ —  z  s/ —  i) 

=  ( '—=  + .  .  .  +  '-1==)  ^' 


20[  lO, 


;^+of 


Or,  on  sait  que  pour  a  réel  et  positif  et  /•  réel  on  a 


-  <?-'■«  SI      /•  >  o, 

X    ,         ]  (i 
dx 


r      co^rx 

l  a 


SI      /•  <  o 


par  coiisrciiirMl 

— - — ?''•'■'     •    r    /     s  » 

e     ">  =  —    /       ■/(jr,z)c.()sprz(lz. 

^^  2  7:,/ 

a\C(* 

2  71  y/ —  i 


(poiirz  positif  ou  négalif).    Jl   s'ensuit  (pin  la   partie   entière  de 
H'(j;)  s'exprime  par  une  intégrale  de  la  forme 


/      y{T,  z)T(z)  dz, 


où  T{z)  est  une  forme  linéaire  et  homogène  en 
cosp^,     cos2p^,     ...,     cosppz, 

/>  désignant  le  plus  grand  des  degrés  des  polynômes  P(-3)  et  Q{z). 
Ajoutons-j  encore  la  remarque  suivante.  Supposons  que  dans 
l'intervalle  considéré  (a,  b)  les  diverses  courbes  yi=  ?i(*^)  ^^  se 
coupent  pas  et  que,  pour  toutes  les  valeurs  de  x  comprises  dans 
cet  intervalle,  on  ait 

On  aura  alors 

"V  e '-91(^^=1  -i-    /       /(x,  z)cosrz  dz  =  -^i, 

ce  que  l'on  peut  écrire  sous  la  forme 

e'-9.<-^'[i-h  S.{x)\=  -^  J, 

avec 

A(a7)=  e''t?i-9î' -h  e''(95-9i'-+-.  .  .-h  e''f?"-?i\ 

On  en  conclut  que 

'j,  iz\=.  -  lofr    --  —  £, 
avec 

£  =  -  log[i  +  A(j-)J. 


112  PREMIÈRE   PARTIE. 

Or,  on  a  évidemiuenl 

ou,  en  désignant  par  —  o  la  limite  supérieure  de  la  diOerence 
négative  (d^  —  '-^i  (tj^ie  ^'on  sait  trouver  par  exemple  par  la  méthode 
de  Lagrange), 

D'autre  part,  A(x)  étant  toujours  positive  dans  l'intervalle  (a,  6), 

on  aura 

log[i+  A(:r)J<  A(.r} 
et,  par  suite, 

e< 

r 

Lorsque  /•  augmente  indéfiniment,  £  tend  rapidement  vers  zéro  et 
l'expression 

I  ~'^^8'    /      y^{x,  z)  cosrz  dz 

«y —  ao 

tend  rapidement  vers  Z)i(x). 

3.   Occupons-nous  maintenant  de  la  partie  non  holomorphe  de 
W(x).  On  sait  que 

«  ^   00 

I  ^  ICC 

cota?  = >     -— — r rj 

ce        ^L  n'-rJ' —  X- 

11  =  ]. 

d'où 

w  w  '^  i{z  —  a) 


col  —  {z  —  a)=  — ^ 


-KyZ  —  a)        Ti  ^ÊÀ  n'^is)^  —  {z  —  a)'' 


/j  =  i 


D'autre  part,  si  l'on  pose 

^{x,z,a)^  —\o^[f{x,a-\-z)f{x,a  —  z)'\, 

on  aura  identiquement 

^{x,z,a)=       i + ) -f- 

^  \z  -^  a  —  Oy  —  z  -^  a  —  çi/ 

1 


-H  rt  —  cp,/,        —  z  -^  a  —  o, 
9. (  o i  —  rt  )       _        _      ^(cp/n —  a  ) 


MfiLANGHS.  ii3 

cl,  |);ir  siiil(î, 

k  =  m  /i      30  /r  —  III 

^  eu     '  ^       TT  ^      ^     '         '      ^       t:  ^  cp/,— a 

fe  =  l  n  =  l  A:=l    ' 

l^cs  Lernies  de  la  ju-cmiôiM;  soiiiinc  dti  second  membre  sont  des 
iVaclions  ralionixdles  en  ./;  ;  la  seconde  somme  est  elle-même  une 
(Vaclion  ralionnelle  en  jc.  Viw  siille  la  l'onction 


A-  =:  m 
() 

—  V^    7    -•>-  y    

A-1 


(  j'  rt  )  =     y    coL  —  (  o/^-  —  a) 


se  trouve  développée  en  série  de  fractions  rationnelles  en  x\  el, 
en  revenant  à  la  fonction 

k  =.  m 
k  =  l 

on  voit  qu'elle  s'exprime  linéairement  à  l'aide  des  fonctions  telles 

que 

d  d'^i 

ii(x,  ai),      -—il{x,ai),      ...,     --T-il{x,ai), 
^^i  da-' 

et  par  suite  la  fonction  ^'"(^r)  se  trouve  développée  en  série  de  la 
forme  proposée. 

4.  Soit  maintenant  F,(3)  une  fonction  méromorphe  double- 
ment périodique  et  envisageons  la  fonction  symétrique 

VFi(;r)=Fi(oi)4-F,(9,)  +  ...-4-Fi(cp,„). 

Voici  comment  on  peut  la  développer  en  une  série  de  fractions 
rationnelles  en  x  à  double  indice.  On  sait  que  la  fonction  Z, 
jouant  le  rôle  d'élément  simple  pour  les  fonctions  méromorphes 
doublement  périodiques,  peut  s'écrire  sous  la  forme 


z  —  a       JmÊÀ  \z  —  a 


z  —  a 


a—p       p  p^ 


OÙ  p  =z  y.i  ^  py  (a  et  [i  étant  des  constantes)  et  où  les  indices  i,j 
obtiennent  toutes  les   valeurs  entières,   positives,  sauf  à  la   fois 


ii4  PREMIÈRE   PARTIE, 

f  =  (),y  =r  o.  Par  conséquent,  en  posant, 

d 
on  aura 

A'  =  ni 

il{x,a)=  K  ^  (9/.— «) 


A  =  l    '  ',/    L  A=l  J 

Les  deux  premières  sommes  du  second  membre  s'expriment 
rationnellement  en  x\  tous  les  termes  de  la  troisième  sont  aussi 
des  fractions  rationnelles  en  x^  et  par  suite  Q(^,  a)  est  ainsi  dé- 
veloppée en  série  de  fractions  rationnelles  en  ^  à  double  indice. 

Or,  la  fonction^,  (^)  s'exprime  linéairement  à  l'aide  des  fonc- 
tions telles  que 

d  d^ 

il{x,ai),     -^•Q{x,ai),      -^il{x,ai),      ..., 

et  par  suite  la  fonction  W^  [x)  se  trouve  développée  en  série  de  la 
forme  proposée. 


NOTE  SUR  LE  PENDULE  SPHÉRIQUE; 
Par  m.  a.  de  SAINT-GERMAIN. 

Dans  le  Bulletin  des  Sciences  mathématiques,  octobre  iSgS, 
M.  Hadamard  démontre,  par  un  calcul  aussi  simple  qu'heureux, 
une  propriété  du  mouvement  d'un  solide  de  révolution  tournant 
autour  d'un  point  de  son  axe.  Un  calcul  analogue  peut  donner 
immédiatement,  sur  le  pendule  sphérique,  un  théorème  que  Hal- 
phen a  déduit  de  propriétés  assez  peu  élémentaires  des  fonctions 
elliptiques.  Quand  le  pendule  passe  d'une  position  pour  laquelle 
sa  cote  est  maximum  à  la  position  suivante  pour  laquelle  elle 
devient  minimum  ou  inversement,  son  azimut  varie  d  un  angle  ^V 


M  f;:  LANGES.  ii5 


que  V.  l^iiseiix  a  montré  être  supérieur  à  -:  il  s'agit  de  prouver 

que  W  ne  dépasse  jamais  ir.  Cet  angle  peut  s'exprimer  par  une 
intégrale  de  forme  bien  connue 

où  l'on  a  posé,  /étant  la  longueur  du  pendule, 

[ji  =s/{l-^  —  a^){i^—b-^),        K{z)  =  {a  —  z){z  —  b)[{a-^b)z-^  l^-^ab]\ 

les   racines   a,    b   de   K(c)  sont   comprises  entre   /et    —  /;    la 

/2  +  ab  . 

troisième, — j  ou  c,  est  entre  —  t  et  —  co. 

Sur  un  plan,  traçons  deux  axes  rectangulaires  OX,  OY  et  pre- 
nons les  points  du  plan  pour  affixes  d'une  variable  complexe  z  : 
aux  valeurs  a,  b,  c  correspondent  des  points  A,  B,  G  de  l'axe  des  x. 
Soient  D,  D'  les  points  où  OX  et  son  prolongement  sont  coupés 
par  une  circonférence  de  centre  O  et  de  très  grand  rayon  R.  Je 
considère  une  région  S  limitée  extérieurement  par  la  circonfé- 
rence R  et  par  un  lacet  partant  de  D'  pour  entourer  le  point  C, 
intérieurement  par  deux  circonférences  de  très  petit  rayon  s,  dé- 
crites autour  des  points  A,  B  et  reliées  par  deux  portions  A,  A,  de 
droites  tracées  infiniment  près  de  OX,  A  au-dessus,  A,  au-dessous. 
Dans  la  région  S,  ^{^)  est  uniforme,  avec  deux  pôles  P,  P,  pour 
z-^=zhl',  soient/?,  /?,  les  résidus  correspondants.  En  D  l'argu- 
ment de  R(-;)  est  t:;  faisons  l'argument  de  y/H(;î)  égal  à  -  en  ce 

point  et  suivons  sa  variation  dans  la  région  S  :  on  voit  qu'il  est 
égal  à  271  sur  la  partie  supérieure  du  lacet  D'G,  à  tû  sur  sa  partie 

inférieure,  à  2Tt  sur  A, ,  à  tt  sur  A,  à  -  en  P,  à  — '  en  P^  ;  aux  deux 

pôles^  ^(z)  est  égal  à  —  jjl^  et  l'on  trouve  aisément  que/?,  /?<  ont 

la  même  valeur .' 

Cela  posé,  intégrons  o(^z)dz  sur  le  contour  de  S,  en  suivant  le 
contour  extérieur  dans  le  sens  direct,  le  contour  intérieur  dans  le 

sens  indirect.  Pour  R  et  -  infinis,  l'intégrale  le  long  des  trois  cir- 
conférences considérées    ci-dessus,    aussi   bien  qu'autour   de   C, 


ii6  PREMIÈUIi:   PARTIE. 

s'annule;  en  nous  reportant  à  ce  que  j'ai   dit  sur  rargument  de 

y/K(^),  nous  verrons  sans  peine  que  le  théorème  de  Cauchy  donne 

il      (^{z)dz  —  1    l      (f{z)dz  =  -mlip  -hpi)  =  —  '^T.\ 


d'où,  en  remettant  pour  '^{z)  sa  valeur  où  les  radicaux  seront  pris 
positivement, 

r''  lixdz  _  r""  Ijxdz 

dans  la  dernière  intégrale,  /-  —  z-  est  toujours  négatif  et  le  premier 
membre  égal  à  W  est  évidemment  moindre  que  tt,  résultat  qu'il 
semble  difficile  d'obtenir  par  l'étude  directe  de  l'intégrale  (i) 
quand  b  est  négatif.  Quand  b  est  égal  à  —  a,  et  dans  ce  cas  seul, 
c  étant  infini,  W  atteint  sa  limite  tt  :  la  trajectoire  du  pendule  de- 
vient un  grand  cercle. 


-1 — -Q' 


SUR  LES  VALEURS  QUE  PREND  LA  FONCTION  ^{s)  DE  RIEMANN, 
POUR  5  ENTIER  POSITIF  ET  IMPAIR; 

Par  m.  KLUYVER. 

Dans  ce  qui  suit  je  me  propose  de  déduire  quelques  formules 
qui  peuvent  servir  au  calcul  de  (^(^/i  +  i),  différentes  de  celles 
que  donne  M.  Gahen  dans  son  Mémoire  :  Sur  la  fonction  ^{s)  de 
Riemann  et  sur  des  fonctions  analogues  [Annales  de  r Ecole 
Normale,  1894)- 

Supposant  II  entier  et  positif,  je  considère  la  fonction  uniforme 

(z  —  iny-z 
w  = 


e- —  1 


qui  est  holomorpbe  dans  l'aire  du  rectangle  ABGD,  limité  par  les 
droites  X  =:  o,    r  =  o,  ^  =  a,  /  =  it  et  à  laquelle  on  peut  donc 


MftLANGKS. 
appliquer  le  théorème  de  Gaucliy,  ce  qui  donne 


"7 


I      (»•  (/z  =    /     <r  (/z  -\-    I     w  (Iz  -H    1      te  (Iz. 
^  AU  «An  '^k:  '^lu 


F'ifî.   > 

Y 

D 

C 

T, 

A 

B 

C6 

X 

Comme  la  dernière  intégrale  s'évanouit,  quand  a  devient  infini, 


cette  égalité  se  réduit  à 


(I) 


1  *^'i\ 


(.T  —  iTz)"  .r 
e-^ —  I 


dx 


I         =  i  (_  I  )«  i"+i  7t«+2     /     (  j  —  J  )"  (  cot  —  —  i  )  «://  -    / 


En  substituant  dans  cette  équation 


ce 


e^-h  1 


r/r. 


je  remarque  que  l'intégrale    /     (i  — y)'^f{y)dy  s'exprime  par  la 


serie 


'('^+1)2 


(  2  A'  -t-  /l  -h  I  ) 


=  r(/i  +  i)I„+i; 


puis  je  rappelle  que  pour  des  valeurs  de  5  à  partie  réelle  positive 
on  aura 


T 


.«r-1 


nsK(s)  =  J  £^./..,       (,_-L.)r(.)Ç(,,)=J   ___,/,; 


enfin  je  pose 


î^^=".-.       r(.)(± -,,_..„.. 


(2) 


ir8  PRIiMIËRE   PAKTIE. 

conséquemment  l'équation  (i)  se  transforme  en  celle-ci 

—  in  ilin^i-h  insUa-i—  in~^  M  „_3  -f- .  .  . , 


=  {—\yn''^^ha-^\-^: 


'i{n-+-  i){n-\--i) 


-:;7iTTp^'-2-^-  h-T7j"'-' 


Si  l'on  prend  ici  /z  =  i ,  3,  5,  .  . .  ou  bien  /i  =  2,  4,  C,  . . . ,  il  en 
résulte  les  deux  systèmes  d'équations 


I. 


113=      !.,_(,_ -)II3, 


H. 

2H3=  L3-i-(   '-TJII^, 


H5-3Il3  =  -L,-     1 


16 


H5, 


4H5-4n3  =  -L5-+-('-  jg)H5, 


II._joH5+5H3=:       Le-fi- TiV)"^'      6H7-2oIl3-^6H3=       L^^- (i  —  ^  )  II7, 


par  lesquelles  H3,  H5,  H7,  ...  sont  exprimés  par  tt  et  par  les 
nombres  de  Bernoulli  à  l'aide  des  séries  d'une  convergence  assez 
rapide. 

En  particulier  on  trouve  pour  Ç(3)  les  deux  expressions  équi- 
valentes 


C(3)  = 


9.71 


_L  _  V— 5^— — 1  -  A^    ^      y    ^A'?^^^"   1 

•2!       2d{o.k-^i)\\''    5       3!        2à{'ik-^-i)\\' 


Aux  équations   I  et  II    on    peut    encore    ajouter   deux  autres 
systèmes  en  appliquant  le  raisonnement  précédent  à  la  fonction 


w 


,         {Z  —  9,  ÎTZy^Z 


e- —  I 


toutefois  il  faut  en  même  temps  doubler  la  hauteur  AD  du  rec- 
tangle ABCD  et  prendre  AD  =:  27:.  Alors,  au  lieu  de  -^  cot  —  et 
de/(j)'),  ce  seront  izyQoir^y  et  la  fonction 


qui  s'introduisent  dans  le  calcul  et,  par  conséquent,  ce  seront  les 


Mf'LANGKS. 


1  ".) 


S(.'ri(\s 


J/n  1 


i  (  -2  /•   -H  /i  -h  I  )  ! 


cl  les  (|ii;mlités 


K,=  r(5)  -, -J,  , 


([iii  inlerviennoni  an  lieu  des  l,/|^i  vl  des  L^. 

Toiil  (\'dfMil  fait,  ou  trouvera  au  lieu  de  (9.)  l'cMiiialion 


w 


( T  )""''*  '2"''"*  i"^-^-  V 

(-l)«'2"  +  W«  +  >K,,  +  iH ■ -^  +  2^1,,+,, 

(  /H-  I  )  (  /l-i-  '2  ) 


d'où  Ton   obtient,  pour  //  =  i ,  3,  5,  .  . .  et  pour  n  =  2,  4?  G,  .  . 
les  systèmes  suivants 

m.  IV. 

0=—  K,,  3H3=:22K3, 

3  H:,  =  22  K^ .  5  II5  —  if)  H3  =  —  v.'*  K5, 

10 H-,  — 9.0  11:5-=-  2^Ka,          7117  —  8011,-^90113=  .iSK:, 
'2  1  II7  —  iio  II3  4-  I  12  Ha  —  'Jl^Kh,  , 


entièrement  différents  des  systèmes  I  et  II  et  dans  lesquels  on  re- 
marquera les  premières  équations,  qui  peuvent  s'écriie 


^  =  •1-2- (-^ 


R/,(2  7:)2/^- 


^(3)  =  4^ 


1!       xLii'ik 


(T/TTTTI 


31        ^(u/v 


B^.(9,7rr-A- 


3)! 


Ainsi,  en  faisant  usage  tour  à  tour  des  équations  1,  II,  111  ou  IV, 
il  est  possible  de  trouver  quatre  expressions  équivalentes  pour  les 
sommes  !^(2/i  +  i)  dont  il  serait  peut-être  difficile  d'établir  directe- 
ment ridentilé. 


I20  BULLETIN   lUBLIOGR APHIQUE. 


15  LILLETI N    BIB  LIOT.  l\  A  P  II  I  QUE. 


Zkuthen  (IL-G.).  —  Gescliichte  der  MaUieiuatik  iin  Allerlhum  und 
Mittelalter  Vorlesungen.  Gr.  in-S",  vii-344  |>-  Kopenhague,  Host  et  fils, 
f)  \\\. 

Ball  (W.-W.-R.)-  —  -4  Primer  of  the  Hislory  of  Mathemallcs.  In-8°, 
1G9  p.  London,  Macmillan.  2  sh. 

BosscH\  (J.)-  —  Christian  Huyfçens.  Rede,  am  200.  Gedachtnisstage 
seines  Lebensendes.  Mit  erlâut.  Anmerkg.  von  Verf.  Aus  dem  Hollàndischeii 
von  Th.  W.  Engelmann.  Gr.  in-8°,  77  p.  sur  hollande.  Leipzig,  Engelmann. 
I  m.  60  pf. 

Braiiy  (H.-E.).  —  Exercices  méthodiques  de  Calcul  intégral.  In-12, 
3o4  p.  Bruxelles,  Lamertin.  5  fr. 

Cantor  (M.).  —  Vorlesungen  uber  Gescliichte  der  Mathematik,  3. 
(Schluss-Band).  Vom  J.  16G8  bis  zuni  J.  17J9.  2  Abthlg  (1700-1726).  Gr. 
in-8°  avec  fig.  Leipzig,  Teubner.  6  m. 

Collette  (L.)-  — Exercices  sur  le  Calcul  différentiel.  In- 8",  2g4  p. 
Liège,  Miot  et  Jainar.  3  fr. 

Connaissance  des  Temps  ou  des  mouvements  célestes  pour  le  mé- 
ridien de  Paris,  à  l'usage  des  astronomes  et  des  navigateurs  pour  l'an  1898, 
publiée  par  le  Bureau  des  Longitudes.  Jn-8°,  vi-873  p.  et  planches.  Paris, 
Gauthier-Villars  et  fils.  4  f''- 

D'OviDio  (E.).  —  Geometria  analitica.  In-8".  Torino,  Frat.  Bocca.  10  fr. 

Elliot  (E.-B.).  —  An  Introduction  to  the  Algebra  of  Quantics.  In-8°. 
London,  Frowde.  i5  sh. 

Faye  (H.).  —  Sur  l'origine  du  monde.  Théories  cosmogoniques  des 
anciens  et  des  modernes.  3®  édit.  ]n-8°,  xi-3i4  P-  avec  fig.  Paris,  Gauthier- 
Villars  et  fils.  6  fr. 

Fleury  (IL).  —  L'Analyse  dite  infinitésimale  sans  limites  ni  infini- 
ment petits,  'i"  cdit.  In-8°,  80  p.  Paris,  ini])r.  Blot.  2  fr. 


COMPTES  KKNDUS  UT   ANALYSES.  ui 

C0MPTi:s  iu:ni)US  et  analyses. 


(MilivnKs  cOiMPLih'Ks  m:  Christian  IIuygkns.  |)iil)liccs  par  la  Société  hollan- 
daise (les  Sciences.  Tomes  II  à  VL  La  IFaye,  Mai'liiius  Nijlioiï,  iS.SH-iXq'ï. 

\uC  pi'cniicr  Volume  de  celle  belle  cl,  iinporLanle  ])ublieaLion 
nous  a  été  donné  en  1888,  le  sixième  en  1895.  Jamais  peiil-être 
pour  riiisloire  d'un  savanl  illustre,  les  documents  n'ont  été  plus 
nombreux,  plus  authentiques,  et  r(;unis  avec  plus  de  conscience, 
de  savoir  et  de  zèle.  Le  tome  VI  se  termine  par  la  mille  sept  cent 
(|uatre-vingt-dixième  lettre  écrite  par  Huygens  ou  reçue  et  con- 
servée par  lui,  pendant  la  première  moitié,  à  peine,  de  sa  vie 
scientifique.  Aucun  document  n'a  été  négligé.  Tous  ne  sont  pas 
d'importance  égale,  mais  tous  contribuent  à  l'intérêt  d'une  col- 
lection à  la  fois  imposante  et  touchante.  Les  éditeurs  ne  sauraient 
recevoir  trop  de  remercîments.  JNous  devons  aujourd'hui  leur 
exprimer  nos  sympathiques  regrets.  Un  grand  deuil  a  attristé  la 
savante  Commission,  sans  ralentir  ses  travaux.  M.  Bierens  de 
Hahn,  le  géomètre  érudit  et  profond  qui,  président  de  la  Com- 
mission, avait  abandonné  pour  elle  ses  autres  travaux,  a  succombé 
le  II  avril  iSçp  à  une  courte  maladie,  à  l'âge  de  ^3  ans.  Né  à 
Amsterdam  le  3  mai  1822,  M.  Bierens  de  Hahn,  instruit  dans  sa 
famille,  n'était  élève  d'aucune  école.  Sa  thèse  de  doctorat,  soute- 
nue à  Lejde  en  1847,  traitait  de  Leniniscata  Bernoulliana.EA\e 
fut  remarquée  par  les  maîtres  et  contribua  sans  doute  à  le  faire 
nommer  professeur  à  la  Faculté  des  Sciences  de  l'Université  de 
Lejde,  où  il  a  formé  de  brillants  élèves.  L'œuvre  personnelle  de 
M.  Bierens  de  Hahn  révèle  les  qualités  éminentes  qui  devaient 
lendre  sa  collaboration  à  la  ])ublication  des  œuvres  d'Huyeens  si 
précieuse  pour  tous.  Les  tables  d'intégrales  définies,  jmbliées  par 
l'Académie  des  Sciences  d'Amsterdam  en  i85(3,  et  dont  une 
seconde  édition  a  paru  en  1867,  lui  avaient  mérité  déjà  la  recon- 
naissance, la  haute  estime  et  la  confiance  de  tous  les  géomètres. 
Sans  autre  but  que  celui  d'être  utile,  il  a  rendu  son  nom  jusle- 
juent  célèbre.  Dans  les  notes  remplies  d'une  érudition  aussi 
solide  que  sobre  et  modeste,  dont  il  a  enrichi  chaque  [)age  des  six 
Jiull.  des  Sciences  nialhéni  ,  a"  série,  l.  W.  (.luiii  i<'^<)').)  *j 


I  ■)•>. 


IMUîMIKHi:    PAUTIK. 


Volumes  de  la  Correspondance  (riluyyens,  on  reconnaÎL  la  même 
main,  le  même  esprit  judicieux  et  le  même  dévouemenl  à  une 
laclie  sans  éclat.  Nul  ne  pouvait  faire  mieux  que  lui,  et  bien  peu 
de  savants,  capables,  comme  il  l'étail,  de  produire  des  œuvres 
originales,  auraient  consenti  à  se  dévouer  entièrement  à  mettre  en 
pleine  lumière  la  gloire  éclatante  déjà  d'un  compatriote  admiré. 
La  Hollande,  heureusement,  esl  riclie  en  savants  éminents,  en 
érudits  et  en  hommes  dévoués.  La  Commission  se  compose  au- 
jourd'hui de  jNllNL  Van  de  Sand-Bfickluiysen,  J.  l^osscha,  Bun- 
iiersdisch,  Griniviss,  Loienlz,  K()ile\\ei>,  Oudemans,  du  Rieu.Dc 
tels  noms  doivent  rassurer  les  admirateurs  d'Hujgens.  Le  septième 
VoUime,  en  voie  de  publication,  sera  digne  de  ceux  qui  l'ont  pré- 
cédé. 

Peu  de  temps  avant  la  pubb'cation  du  sixième  Volume,  le  8  juil- 
let i8c)5,  à  l'occasion  du  deuxième  centenaire  de  la  mort  d'Huj- 
cens.  M.  J.  Bossclia,  l'un  des  membres  les  i)lus  dévoués  de  la 
Commission,  dont  les  beaux  travaux  comme  physicien,  et  la  haute 
situation  comme  secrétaire  de  la  Société  hollandaise  des  Sciences 
et  rédacteur  des  Ârcliives  néerlandaises,  doivent  inspirer  une 
entière  confiance,  a  prononcé  sur  la  vie  et  sur  les  travaux  de  l'il- 
lustre mort  un  beau  et  savant  discours,  qui  le  montre  digne  à 
tous  égards  de  mener  à  bien  la  grande  entreprise.  Reprenant  dès 
sa  naissance  l'histoire  du  jeune  Archimède  et  montrant  les  mérites 
si  divers  de  son  admirable  fam.ille,  M.  Bossclia  semble  inviter  les 
auditeurs  qui  l'ont  applaudi  et  les  nombreux  lecteurs  des  traduc- 
tions de  son  discours  publiées  en  Allemagne  et  en  France,  à  relire 
la  Correspondance  dont  ses  premières  pages  sont  le  savant  et  judi- 
cieux comjuentaire.  Son  travail  et  les  notes  dont  il  l'a  enrichi 
nous  donnent  l'occasion  de  revenir  à  la  correspondance  d'Huj- 
o-ens.  C'est  toujours  avec  une  nouvelle  satisfaction  et,  j'ose  le 
dire,  avec  un  nouveau  profit,  que  les  jeunes  géomètres  repren- 
dront la  lecture  de  cette  réunion  de  documents  si  variés,  si  riches 
d'idées  ingénieuses  et  profondes,  produits  avec  tant  de  simplicité 
et  de  modestie  vraie. 

L'une  des  premières  questions  signalées  par  iM.  Bossclia  est 
celle  de  la  chaînette,  que  Christian  Huygens,  en  1646,  à  l'âge  de 
dix-sept  ans,  abordait  en  véritable  maître.  La  question,  sur  la- 
quelle il  est  revenu  à  plusieurs  reprises,  est  à  la  fois  très  digne 


coMi'iMs  in-:M)US  i:  r  analvsi:s.  i/i 

(l'inlLTcL  pai"  le  pi'ogrès  iinj)()iM;inl,  dû  iiii  Jciiik;  cUitlianl,  cl  par  la 
forme  hraiicoiij)  Iroj)  Ioii^ikî  (;l   un   jxîu  embarrassée  dont  il  faut, 
accuser  les  hablludes  de  l'école,  aiix(|iielles  l'Analyse  infinilésimale 
devait  apporter  un  changement  dont  l'c'ludfî   de   ces  paj^es  nous 
montre    la   nécessité.   On   admettait,    dil   iM.    Hosscha,    (pi'un    (il 
lihi'ement  suspendu   par  deux  points  prend  la  forme  d'une  para- 
bole. L'assertion  est  exacte,  mais  aucun  géomètre,  en  répétant  un 
énoncé  sans  preuve,  donné  par  Galilée  dans  le  cours  d'une  énu- 
mération  des  proj)riétés  de  la  parabole,  n'avait  proposé  de  démon- 
stration. Galilée  s'était  borné  à  relever  la  couibe  sur  une  muraille, 
sans   rien    alléguer   qu'une    constatation    empirique   évidemment 
trop  rapide,  à  laquelle,  cela  le  prouve,  il  n'attachait  pas  d'impor- 
tance. Il  n'a  pas  étudié  la  question.  Rien  n'est  plus  facile  en  effet 
que  de  tracer  la  courbe  pour  constater  ensuite  que  les  diamètres 
ne  sont  ni  rectilignes,  ni  parallèles.  Le  moindre  écolier  peut  le 
faire  en  quelques  minutes.  Si  l'écolier  Christian  Huygens  s'était 
borné  à  celte  preuve  de  fait,  il  aurait  mérité  une  bonne  note  de 
son  maître,  sans  révéler  son  génie  inventif.  Si  dans  cette  première 
rencontre,  il  a  fait  mieux  que  Galilée,  on  ne  pourrait  sans  injus- 
tice le  déclarer  vainqueur  de  l'illustre  Florentin.  Galilée  n'a  jamais 
combattu;  jamais  il  n'a  tenté  l'étude  mathématique  de  la  chaî- 
nette. Le  problème  abordé  par  le  jeune  élève  de  l'école  de  Bréda 
est  très  simple  :  la  courbe  formée  par  un  fil  est-elle  une  parabole? 
La  réponse,  aujourd'hui  bien  aisée  à  produire  clairement  et  rigou- 
reusement en  quelques  lignes,   est,   très  certainement,  celle  qui 
s'est  présentée  à  l'esprit  d'Hujgens,  mais  que  les  habitudes  de 
l'école  le  conduisaient  à  rendre  à  la  fois  moins  rigoureuse  et  moins 
simple.  Les  exemples  analogues  sont  nombreux  et  les  œuvres  de 
l'Archimède  de  Syracuse  en  fourniraient  de  plus  frappants  encore 
que  celles  de  l'Archimède  hollandais. 

Le  raisonnement  d'Huygens  repose  sur  un  principe  qu'il 
n'énonce  pas  :  dans  un  hl  pesant  en  équilibre,  les  tangentes  aux 
extrémités  d'un  are  arbitrairement  choisi  se  coupent  sur  la  verti- 
cale passant  par  le  centre  de  gravité  de  cet  arc.  Or  dans  une  para- 
bole dont  l'axe  est  vertical,  le  point  d'intersection  de  deux  tan- 
gentes est  à  égale  distance  des  diamètres  verticaux  qui  passent 
par  leur  point  de  contact.  Le  centre  de  gravité  de  l'arc  de  chaî- 
nette devrait  donc  se  projeter  sur  une  perpendiculaire  à  l'axe,  au 


vj./i  PHEMIF.HE   PARTIE. 

point  milieu  de  la  projcclioii  de  Tare;,  si  done  on  projellc  chaque 
('■rlt'nienL  de  la  corde  sur  une  ligne  horizonlale  en  attribuant  à 
cette  projection  le  poids  même  de  l'f'dément,  on  obtiendra  une 
ligne  droite  dont  chaque  portion  aina  son  centre  de  gravité  en  son 
point  milieu  et  f[ui,  par  conséquent,  sera  homogène.  La  force  qui 
sollicite  cha(jue  élément  de  la  chaînette  parabolique  est  donc  pro- 
portionnelle à  sa  projection  horizontale. 

Le  poids  d'un  fil  homogène  étant  proportionnel  à  Tare,  et  non 
à  la  projection,  la  forme  parabolique  n'est  pas  la  sienne.  Telle  est 
la  démonstration  élégante  et  rigoureuse  aperçue  par  Huygens;  la 
forme  qu'il  lui  donne  est  plus  compliquée,  on  [)ourrait  dire  plus 
embarrassée.  La  raison  en  est  la  substitution,  à  la  courbe,  d'un 
polygone  funiculaire  dont  les  cotés  ont  des  longueurs  finies;  les 
tensions  qui  doivent  faire  équilibre  au  poids  d'une  portion  du 
polygone  sont  dirigées  suivant  les  deux  côtés  qui  la  précèdent  et 
la  suivent;  il  ne  s'agit  plus  dès  lors  d'une  parabole  dont  les  pro- 
priétés sont  très  connues  et  très  simples,  mais  d'un  polygone  in- 
scrit dans  la  courbe  qui  doit  passer  par  tous  les  sommets.  La 
rigueur  de  la  démonstration  devient  contestable  et  les  artifices 
nécessaires  pour  la  plier  à  ces  conditions  parasites  la  compliquent 
inutilement.  Le  principe  de  la  démonstration  appartient  au  jeune 
écolier,  les  détails  qui  la  gâtent  à  son  école. 

Van  Schooten,  le  savant  professeur  de  Christian  Huygens  à 
l'Université  de  Lejde,  était  un  disciple  de  Descartes.  Son  admi- 
ration pour  le  maître  ne  séparait  pas  la  Physique  et  la  Mécanique 
de  la  Géométrie.  Huygens,  moins  prévenu,  sans  s'arrêter  aux 
rêveries  sur  les  principes  de  la  Physique,  opposait  aux  théorèmes 
de  Mécanique,  particulièrement  à  la  théorie  du  choc,  des  objec- 
tions sans  réplique.  Ces  lois  du  mouvement,  dit  M.  Bosscha,  dont 
Descartes  se  croyait  si  certain  «  qu'encore  que  l'expéiience  nous 
semblerait  faire  voirie  contraire,  nous  serions  néanmoins  obligés 
d'ajouter  plus  de  foi  à  notre  raison  qu'à  nos  sens  )>  formaient  des 
articles  fondamentaux  de  la  constitution  réglant  un  univers  uni- 
quement composé  d'espace  et  de  mouvement.  Tous  les  phénomènes 
de  la  nature  devaient,  en  efl'et,  trouver  leur  explication  dans  l'in- 
finie variété  de  transmission  et  de  transformation  du  mouvement. 
Pour  Van  Schooten,  comme  pour  une  foule  de  ses  contemporains, 
Descartes  était  infaillible.  Quels  doivent  avoir  été  ses  sentiments, 


nOMPTKS    UI'NDUS    l-T   ANAI.VSI-S.  i/) 

(lomando  INf.  l)()s.S(;li;»,  lorsfjdc  son  ('Irvc;  îuImiIim'  viiil  lui  moiiLicr 
('('  (y\'\\  venait  trccrirc  à  (iiils('lio\cn,  savoii*  'jnc,  saiii  la  prcinicrc, 
loiilcs  les  lois  (Iii  iiioiivemenl  énoncées  par  JJcscartes  élaienl,  sus- 
peclcs  (le  fausseté.  Jlujgens  enil)ai'rasse  son  maître  en  lui  soumet- 
tant un  prohième  dans  la  solution  duquel  les  pi'lncipes  de  Des- 
cartes conduisent  à  uihî  absurdité  (''\  idente. 

Un  corps  A  se  meut  vers  un  corps  1)  (pil,  en  niérnc;  Icmps,  esl 
en  mouNcmcnt  vers  A.  H  est  double  de  A  (nous  d  liions  de  masse 
double),  mais  la  vlless(3  de  A  est  douhie  de  celle  dr.  \).  (^u'anl- 
vera-t-ll  après  le  clioc?  Cliacun  des  corps  devra  rétrograder  en 
conservant,  dans  une  direction  opposée,  la  vitesse  qu'il  possédait 
avant  le  cboc.  Si  cette  conclusion  est  admise,  comment  la  concll  1er 
avec  l'assertion  de  Descartes  cpie  B,  supposé  en  repos,  ne  sera 
jamais  mis  en  mouvement  par  A  qui  est  de  masse  moindre.  Van 
Scliooten  cependant  ne  se  laisse  pas  convaincre;  il  conjure  Hi')- 
gens  de  ne  pas  mettre  en  péril  sa  réputation  en  s'attaquant  à  une 
autorité  aussi  incontestée  et  en  se  montrant  ingrat  envers  l'illustre 
maître.  11  lui  conseille  de  s'occu[)er  de  Matbématiqucs.  Les  lilsto- 
riens  de  la  Science,  acceptant  la  déclaration  formelle  de  Aewton, 
dans  le  livre  des  Principes,  attribuent  àWrenn  età  Wallls  l'hon- 
neur d'avoir  découvert  indépendamment  de  Hujgens,  et  en  même 
temps  que  lui,  les  lois  du  choc  des  corps  parfaitement  élastiques.  ' 
M.  Bosscha,  avec  une  grande  abondance  de  preuves  empruntées 
au  sixième  Volume,  a  fait  justice  de  cette  erreur.  Hujgens  fut  le 
premier  auteur  de  la  découverte.  Avant  que  ses  émules  eussent 
rien  publié,  il  a  lu  ses  lois  du  mouvement  à  l'Académie  des 
Sciences  où  leur  discussion  occupa  deux  séances. 

La  lecture  du  Mémoire  de  Huvgens  publié  dans  ses  OEuvres 
posthumes  laisse,  il  faut  l'avouer,  beaucoup  de  doutes  sur  la  ri- 
gueur des  démonstrations;  les  résultats  sont  exacts,  mais  les 
axiomes  sur  lesquels  Hujgens  fait  reposer  les  lois  du  choc  sem- 
blent fort  éloignés  de  l'évidence. 

Après  le  choc  de  deux  corps  (parfaitement  élastiques),  si  l'un 
d'eux  a  conservé  sa  vitesse  primitive,  l'autre  doit  aussi  conserver 
la  sienne. 

Il  s'agit  des  vitesses  absolues. 

Quelle  est  l'origine  de  cet  axiome  cpie  Hujgens  nomme  une 
hvpothèse?  Deux  preuves  se  présentent  immédiatement  à  l'esprit, 


I^G  PKKMlEUn:   PARTIE. 

mais  il  semble  impossible  qu'elles  aient  été  acceptées  par  lliijgens. 
La  première  consiste  à  invoquer  le  principe  de  la  conservation 
des  forces  vives  dont  l'axiome  énoncé  est  la  conséquence  immé- 
diate. Hujgens,  s'il  en  était  ainsi,  n'aurait  pas  présenté  le  prin- 
cipe comme  une  hypothèse.  La  conservation  des  forces  vives, 
après  le  choc,  est  d'ailleurs  démontrée  très  longuement  (proposi- 
tion XI)  comme  une  conséquence  de  l'hypothèse  admise  avant  la 
proposition  IV.  L'hypothèse  pourrait  également  se  déduire  du 
principe  de  Descartes  :  la  quantité  du  mouvement  demeure  inva- 
riable pendant  et  après  le  choc.  Mais  ce  principe  est  faux;  non 
seulement  Hujgens  ne  l'a  jamais  accepté,  sa  correspondance  le 
prouve,  mais  dans  l'opuscule  même  que  nous  examinons,  il  dé- 
clare que  la  somme  des  quantités  de  mouvement,  quand  on  la 
calcule  sans  tenir  compte  des  directions,  peut  s'accroître  ou  di- 
minuer par  le  choc  (proposition  VI). 

Faut-il  admettre  enfin  que  l'hypothèse  proposée  ait  paru  évi- 
dente par  elle-même?  Ceux  qui  voudront  en  relire  l'énoncé  en 
tomberont  difficilement  d'accord.  11  paraît  impossible  cependant 
d'en  accepter  une  autre.  M.  Bosscha  reproche  avec  raison  à  Wrenn 
d'avoir  fait  reposer  sa  théorie  du  choc  sur  des  propositions  en 
partie  inintelligibles,  en  partie  absurdes;  il  cite  un  jugement 
porté  par  Oldembourg-  dans  une  lettre,  qui  fait  partie  du  sixième 
volume  :  u  M.  Wrenn  dit  qu'à  son  avis  il  n'y  a  point  de  démons- 
tration de  ce  qu'il  a  advancé  dans  son  écrit  du  mouvement,  sans 
qu'on  suppose  un  grand  nombre  d'autres  postulata,  qui  demande- 
raient, peut  estre,  d'autres  démonstrations.  » 

Le  postulatum  d'Huygens  ne  demande  que  l'acceptation  du 
principe  de  la  conservation  des  forces  vives,  mais  il  est  certain 
qu'au  contraire  Huygens,  sans  admettre  le  principe  général,  pré- 
tendait l'en  déduire  dans  ce  cas  particulier.  Les  démonstrations 
de  Huygens  sont  bien  peu  lues  aujourd'hui,  comme  celles  d'Ar- 
chimède,  et  la  raison  est  la  même  :  il  ne  fait  pas  usage  de  la  langue 
algébrique  qui,  sans  rien  ajouter  aux  idées,  apporte  tant  de  sim- 
plicité dans  leur  expression. 

Les  axiomes  étant  acceptés,  tout  repose  sur  ce  dernier  postula- 
tum :  «  Un  mouvement  commun  uniforme  imprimé  aux  masses 
qui  se  choquent  ne  change  en  rien  les  vitesses  relatives  avant, 
pendant  et  après  le  choc.  » 


co.Mrriis  MI-INDUS  irr  analvsi-:s.  yy- 

\\\\  (r;iiili<'s  Icnncs,  si  les  <'\|)(''J'I(;mc(;s  soiil  fiiilcs  sur  im  hal.cim 
(loiil  la  mar(',li(;  (mi  li<;ii('  droite  soil,  imilormc  et  parraiLcmcnl  rc'- 
i;uliri(',  les  pliénoinènes  observés  seronL  (.'xaeleinenL  l(;s  iiièiiH's. 
Les  (•oiistMjueiicos  de  (mî  posLulatnm  fonl  sorlii*  Loiile  la  lliéorie  (h.'S 
résnllals  admis  dans  des  eas  en  apparence  1res  parlicidiers. 

Le  cas  de  deux  cor|)S  de  masses  égales  se  ren(M)iilranl  avec  d(îs 
vilesses  égales  et  contraires  devient  identi(pi(î  à  celui  des  mêmes 
corps  se  ren(M)nlrant  a\ec  des  vilesses  C|uelcon(|ii('s. 

Le  cas  de  deux  corps  se  rencontrant  de  telle  sorte  cpic  l'nn 
d'eux  et  [)ar  consé([uent  tous  deux  reprennent  leurs  vit(isses  pri- 
mitives, comprend  également  tous  les  aulres;  et  l'iiypothèse  sur 
laquelle  nous  avons  appelé  l'attention  é([uivant  au  tliéorème  sui- 
vant : 

((  Lors(|uc  deux  corps  élasti(|ues  se  rencontrent,  ([uelles  que 
soient  leurs  masses  et  leurs  vilesses,  les  vitesses  relatives,  avant 
et  après  le  choc,  sont  les  mêmes.  » 

Ce  théorème  ne  saurait  suffire  à  la  solution  du  |)roblème.  IIuv- 
gens,  sans  en  faire  une  proposition  énoncée  à  part,  y  adjoint  un 
principe  de  beaucoup  plus  grande  imporlance  :  si  les  vitesses 
avant  le  choc  sont  accpiises  par  la  chute  verticale  des  corps,  et 
(jue  les  vitesses  après  le  choc  soient  employées  à  j)rocurer  l'ascen- 
sion de  chaque  corps,  le  centre  de  gravité  ne  pourra  s'élever  au- 
dessus  de  son  niveau  primitif.  C'est  l'axiome  sur  lequel  devait 
plus  tard  reposer  la  théorie  du  pendule  composé;  ïlujgens  en  fait 
usage  comme  d'une  vérité  incontestable  sur  laquelle  il  ne  juge 
pas  à  propos  d'appeler  l'attention. 

La  traduction  algébrique  du  principe  des  mouvements  relatifs, 
qui,  dans  l'opuscule  de  Lluvgens,  joue  un  si  grand  rôle,  met  en 
évidence  une  conséquence  curieuse  qui,  je  le  crois,  n'a  pas  été 
remarquée. 

Le  principe  de  la  conservation  des  forces  vives  étant  admis, 
celui  de  la  conservation  du  mouvement  du  centre  de  gravité  en  est 
la  conséquence. 

La  réciproque  n'est  pas  exacte  et  ne  saurait  l'être,  carie  second 
principe,  rigoureusement  exact  dans  tous  les  cas,  s'applique  aux 
corps  imparfaitement  élastiques;  le  premier  suppose  une  élasticité 
parfaite. 

Le  beau  discours  prononcé  par  ^L  Bosscha  devant  1  Académie 


128  PllEMIERE    PARTIE. 

d'Amsterdam  a  été  complété  par  quelques  notes  du  savant  auteur. 
Je  remarque  dans  l'une  d'elles  une  assertion  à  laquelle  je  ne  puis 
souscrire. 

Cavalieri,  dit  le  secrétaire  de  la  Société  hollandaise  des  Sciences, 
est  le  premier  qui  ait  clairement  formulé  la  loi  de  l'inertie  et  qui 
ait  démontré  que,  en  vertu  de  sa  loi,  un  corps  projeté  décrit  une 
parabole. 

Cavalieri,  disciple  respectueux  de  Galilée,  serait  le  premier  à 
protester  contre  l'honneur  qu'on  lui  accorde  en  le  plaçant,  même 
comme  géomètre,  bien  au-dessus  de  son  inaîlre.  Il  accepterait 
moins  encore  le  jugement  qui  suit  :  «  La  première  édition  de 
l'Ouvrage  de  Cavalieri,  Lo  speccïiio  usùorio^  a  paru  pres([ue  en 
même  temps  que  les  Dialogiàc  Galilée  qui  montrent  en  plusieurs 
endroits  que  celui-ci,  à  cette  époque,  avait  sur  la  loi  de  l'inertie 
des  idées  complètement  fausses.  »  Lo  speccliio  usLoiio  de  Cava- 
lieri a  été  imprimé  à  Bologne  en  1682;  les  dialogues  de  Galilée 
ont  paru  pour  la  première  fois  en  i638,  imprimés  à  Leyde  par  les 
Elzévir;  la  priorité  appartiendrait  donc  à  Cavalieri,  si  lui-même 
n'avait  pris  soin  de  rendre  justice  à  son  maître.  On  lit  en  efîét 
dans  l'édition  de  1682,  antérieure  à  la  publication  des  Dialogi  : 
«  Ma  quanto  vi  aggiunga  la  cognitione  délie  scienze  matematiche, 
giudicate  da  quelle  famosissime  scuole  de  Pitagorici,  e  de  Plato- 
nici,  sommamente  necessarie  per  intender  le  cose  fisiche,  spero 
in  brève,  sarà  manifesto,  per  la  nuova  doctrina  del  moto  promes- 
saci  dall  esquisitissimo  saggiatore  délia  natura,  dico  dal  signor 
Galileo  Galilei,  ne  suoi  Dialogi,  protestando  io  haver  avuto  e  mo- 
tivo  e  lume  ancora  in  parte  intorno  a  quel  poco  ch'io  diro  del 
moto  in  questo  mio  Trattato.  » 

Cet  autre  passage  n'est  pas  moins  décisif  :  «  Questa  cose  pero 
siano  da  me  dette,  come  per  un  passaggio,  che  percio  non  me  sono 
spiegato  con  figura,  ne  con  quella  chiarezza,  che  bisognarebbe, 
soiche  rimetto  il  Lettore  a  quello,  que  la  soltighezza  del  sig. 
Galileo  c'insegnara  nellopera  del  moto,  che  ci  promette  ne'  suoi 
Dialogi.  » 

M.  Bosscha,  qui  paraît  peu  disposé  à  admirer  Galilée,  lui  refuse, 
avec  raison,  je  n'en  disconviens  pas,  Thonneur  d'avoir  créé  la 
théorie  du  pendule.  IMais  jamais  Galilée  n'v  a  prétendu,  et  la 
lecture  des  passages  relatifs  à  cette  grande  question  ne  doit  nul- 


coiMPTHs  iu:Nnus  i:t  ANAI.YSKS.  r^o 

Icnionl  tliiniiiiicr  l'admlralioii  (Iik;  au  plus  illustre  des  savants  ita- 
liens, (lalilée  s'est  inépris  sur  la  léi^iilaiMtc';  des  oscillations  du 
pendule;  cela  n'est  pas  contestable.  Mais  il  y  a  Irois  manières  de 
se  tromper  en  IMi_)si([ue  :  en  proposant  des  démonstrations  fausses 
et  déclarant  prouvé  ce  (pii  ne  l'est  |)as  ;  en  déclarant  comme  vrai- 
scnihiable,  mais  doul(  ii\,  ce  qui  est  inexact;  en  donnant  comme 
exactes  et  j^récises  des  expériences  imparfaites,  (ialilée  n'a  jamais 
commis  la  piemicre  faute;  ce  (ju'il  a  affirmé,  en  le  déduisant  du 
raisonnement  seul,  est  rigoureux  et  exact.  Si  Ton  considère  dans 
un  cercle  vertical  les  cordes  aboutissant  au  point  le  plus  bas,  elles 
sont  toules,  sous  l'influence  de  la  pesanteur,  parcourues  dans  le 
même  temps.  Assimilant  ensuite,  sans  ignorer  (jue  la  conclusion 
manquait  de  rigueur,  la  chute  suivant  la  corde  à  la  cliute  circu- 
laire, il  en  a  conclu,  à  titre  de  conjecture  seulement,  que  les  oscil- 
lations du  pendule  sont  isocliiones,  sans  distinguer  dans  cet 
énoncé,  toujours  inexact,  le  cas  des  petites  oscillations,  pour  le- 
quel l'erreur  commise  est  moindre.  La  lettre  est  de  lôS'y  ;  Galilée 
alors  était  aveugle;  n'est-il  pas  excusable  d'avoir  proposé  comms 
exactes  des  expériences  dont  la  conclusion  n'est  pas  même  gros- 
sièrement approchée?  Je  ferai  également  de  grandes  réserves  sur 
la  note  relative  à  la  découverte  de  l'attraction.  La  théorie  de  la 
force  centrifuge,  dont  Hu^ygens  a  été  l'inventeur  incontesté,  était 
nécessaire,  je  n'en  disconviens  pas,  pour  arriver  au  calcul  des 
forces  cenlripètes,  qui  sont  elles-mêmes  le  premier  pas  dans 
l'œuvre  colossale  de  Newton.  Mais  quelle  perturbation  n'appor- 
lerait-on  pas  dans  l'histoire  de  la  Science  en  attribuant,  même  en 
partie,  l'honneur  d'une  découverte  à  ceux  qui  ont  préparé  les 
instruments  de  l'inventeur.  Autant  presque  voudrait  dire  que,  par 
ses  études  sur  les  lentilles,  Hujgens  a  acquis  le  droit  d'être  cité 
comme  l'un  des  inventeurs  delà  Photographie.  Le  traité  posthume 
de  Hujgens  surlaforce  centrifuge  marque  un  grand  progrès  dans 
l'histoire  de  la  Mécanique.  Newton  s'en  est  servi  et  l'a  reconnu 
avec  une  loyauté  empressée.  Une  me  semble  pas  qu'on  doive  rien 
ajoutera  sa  déclaration.  Je  me  permettrai  cependant  d'ajouter  que 
Hujgens  ])arle  uniquement  de  la  force  centrifuge.  Le  mobile,  dont 
il  étudie  le  mouvement,  est  attaché  à  un  fil  et  produit  une  force 
qui  tend  à  le  rompre.  Si  nous  savons  que  l'action  est  égale  à  la 
réaction    cl   que,  par  conséquent,    le  problème  de  la  force  ccn- 


i3o  PHEMIÈUH   PAUTIE. 

IripèLe  dans  le  mouvement  circulaire  est  résolu  (|uand  on  a  calculé 
la  force  centrifuge,  n'est-ce  pas  à  Newton  (jue  nous  le  devons? 
La  troisième  loi  de  Kepler  aurait  aisément  peiinls,  en  supposant 
les  orbites  circulaires,  de  trouver  l'attraction  du  Soleil  sur  les  pla- 
nètes inversement  proportionnelle  au  carré  de  la  distance,  mais 
il  aurait  fallu  chercher  cette  attraction  et  y  croire;  Huygcns  s'j 
est  toujours  refusé. 

Huygens,  dans  sa  correspondance  la  [)lus  intime  avec  sa  famille, 
parle  peu  de  lui-même  et  de  ses  succès  cependant  très  grands  dans 
la  bonne  compagnie  parisienne.  En  aucune  occasion,  sa  modestie 
et  sa  simplicité  ne  se  démentent.  La  Science  ne  l'absorbe  nulle- 
ment; sa  curiosité  embrasse  tout,  ne  veut  rien  ignorer  des  his- 
toires et  des  contes  de  la  Haye  : 

Vous  m'obligerez  beaucoup,  écrit-il  à  son  frère  Lodewygk,  à  me  mander 
des  nouvelles  comme  vous  faites,  et  je  vous  prie  de  continuer  toujours  de 
même,  car  sans  vous  je  n'apprendrais  rien,  ce  qui  me  fait  de  la  honte 
quand  je  vais  voir  les  gens  de  notre  pays,  comme  Madame  de  Bunt  et 
autres,  qui  ont  des  correspondances  très  réglées  et  savent  tout  ce  qui  se 
passe  chez  nous. 

Pourquoi  n'ajonterais-je  pas  ce  détail  que  le  grand  géomètre 
n'écrivait  pas  cependant  ponr  la  postérité? 

Je  me  suis  enquis  des  remèdes  contre  la  rudesse  de  la  peau  des  bras, 
mais  je  n'en  ai  pas  trouvé  de  particulier  pour  cela,  mais  seulement  pour 
rendre  douce  la  peau  des  mains,  que  l'on  dit  encore  pouvoir  servir  à  ce 
que  Mademoiselle  Gabellino  demande.  Je  vous  en  envoie  la  recette  que  m'a 
donnée  une  dame  qui  a  les  mains  fort  blanches  et  belles,  et  je  souhaite 
que  celles  de  la  demoiselle  susdite  le  deviennent  autant  pour  votre  satis- 
faction, car  pour  moi  il  y  a  peu  d'apparence  que  je  les  touche  jamais,  et 
vous  en  devez  eslimer  d'autant  plus  le  soin  que  je  prends. 

Il  écrit  à  son  beau-frère  Doublet,  le  28  octobre  166-  : 

Vous  devez  faire  un  tour  ici  vers  le  printemps  et  pouvez  vous  assurer 
que  vous  n'en  aurez  point  de  regret,  quand  ce  ne  serait  que  pour  voir 
les  ouvrages  qu'on  a  faits  depuis  que  vous  n'y  avez  été.  Le  bâtiment  des 
Tuileries  est  tout  à  fait  achevé  et  il  n'y  a  rien  de  plus  beau  que  de  voir 
cette  grande  façade,  qui  est  toute  neuve,  quand  on  se  promène  dans  le 
jardin  qui  est  aussi  merveilleusement  changé  et  embelli  depuis  qu'on  y  a 
fait  de  grands  parterres  et  rondeaux  du  côté  des  bâtiments,  et  une  allée 
large  tout  à  travers,  que  l'on  continue  maintenant  par  le  jardin  de  Renard 
jusque  sur  la   montagne  de  Ghaillot.  Vous   verriez  aussi  le   Louvre   fort 


COMPTI^:S   RKNDUS   \iV   ANAI.YSKS.  i3i 

avancé,  coiinnc  encore  le  collège  des  Qualie-Nalions  cl  notre  somptueux 
ObscrNaloirc,  de  plus  le  Val-de-Grâce  ffui  a  tout  autre  mine  après  que 
l'on  y  a  bàii  les  <l('u\  ailes  et  qu'on  le  voit  à  découvert  du  côté  de  la  rue. 
l/on  vous  mènerait  aux  Gohclins  voir  ces  belles  manufactures  dont  M.  \ai 
Hrun  a  la  conduite  et  qu'il  étala  il  n'y  a  {^ucre  aux.  yeux  du  Roy,  où  je  fus 
aussi  (;t  adnurai  la  quantité  de  <;ran(ls  vases  d'argent  et  les  belles  tapis- 
series et  tableaux,  dont  on  avait  paré  une  grande  cour.  Je  ne  vous  parle 
pas  des  beautés  vivantes  que  vous  verriez,  dont  il  y  en  a  que  vous  trouveriez 
avancées  aussi  bien  que  les  bâtiments.  Enfin,  pour  un  liomme  curieux 
comme  vous,  exempt  d'affaires  et  naturellement  voyageur,  il  me  semble 
([u'il  n'y  a  pas  à  délibérer. 

Dans  une  lettre  antérieure,  Huygens,  satisfait  de  Paris  et  prompt 
à  l'admiration,  vante  la  bonne  police  de  la  propreté  des  rues  : 

L'ordre  pour  le  nettoiement  des  rues  s'observe  avec  beaucoup  d'exacti- 
tude, qui  est  que  cbaque  maison  doit  faire  balayer  à  huit  heures  du  matin, 
jusqu'où  elle  s'étend  dans  la  rue,  et  en  même  temps  viennent  les  charetles 
pour  ôter  ce  qu'il  y  a  d'amassé.  Je  prends  plaisir  maintenant  à  me  pro- 
mener parfois  le  matin  puisqu'on  le  peut,  sans  être  obligé  de  regarder 
continuellement  à  ses  pieds. 

Les  soirées  sont  quelquefois  consacrées  à  l'Opéra.  Huygens 
écrit  à  son  frère  : 

Je  vis  avant-hier  le  ballet  de  Flore  qui  est  bien  beau.  Il  y  avait  en  même 
temps  pour  spectateurs  quatre  Iroquois  qui  sont  venus  ici  du  Canada  pour 
voir  le  pays.  On  dit  qu'en  étant  revenus,  ils  dirent  que  le  diable  fait  bien 
de  plus  étranges  choses  ici  qu'en  leur  pays. 

Vous  ne  sauriez  croire  combien  le  temps  passe  vite  en  cette  vie  pares- 
seuse, surtout  à  des  gens  qui  ont  peu  d'occupations  et  un  peu  de  paresse 
comme  moi. 

La  paresse  de  Huygens  ne  l'empêchait  pas  de  tracer  très  heu- 
reusement le  programme  des  premiers  travaux  de  l'Académie  des 
Sciences;  on  y  lit  entre  autres  grands  projets  et  plus  de  vingt 
ans  avant  les  inventions  de  Papin,  alors  son  préparateur  et  son 
élève  : 

({   Examiner  la  force  de  l'eau  raréfiée  par  le  feu.    » 

J.   Beutraivd. 


i3>.  PREMIÈUE   PAUTIIi 


KKAUSI']  (M.)-  —  TiiiîORii-:  dhr  i)oi'i'Ei/ri'Eiu()i)isciii:.\  Flxctionkn  kiner 
VKRANDKRLicuEN  GuossK.  ErsLci'  Daiul.  viii-SiB  p.  iii-<S".  Leipzig,  Tcubncr, 
1895. 

L'intéressant  Ouvrage  dont  M.  K.raiise  eommcnce  la  publication 
marque  une  tendance,  qui  s'était  déjà  manifestée  ailleurs,  de  retour 
aux  fonctions  de  Jacobi.  Personne  sans  doute  ne  songe  à  contester 
les  avantages  et  les  grandes  simplifications  (|u'apportent  les  fonc- 
tions et  les  notations  introduites  par  M  .  AVeierstrass  ;  on  ne  songe 
plus  non  plus  à  dire  que  les  travaux  ([ui  ont  précédé  les  siens 
n'ont  qu'une  valeur  historique^  il  semble,  en  vérité,  que  certaines 
propriétés  se  groupent  en  quelque  sorte  autouide  certaines  fonc- 
tions, d'autres  autour  d'autres  fonctions,  et  que  les  divers  groupes 
se  pénètrent  mutuellement;  il  faut  sans  doute  en  prendre  son 
parti,  et  se  résigner  à  croire  que  le  progrès  scientifique  implique 
parfois  un  accroissement,  non  toujours  une  destruction  correspon- 
dante. 

Après  quelques  pages  d'Introduction,  consacrées  à  quelques 
points  de  la  théorie  des  fonctions,  qui  sont  traitées  dans  le  sens  de 
la  doctrine  de  M.  Weierstrass,  M.  Krause  montre  tout  d'abord 
comment  la  recherche  des  fonctions /(^)  qui  jouissent  de  la  pro- 
priété 

se  ramène  à  la  recherche  des  fonctions  qui  jouissent  de  Tune  des 
propriétés 

et  comment,  dans  ce  dernier  cas,  on  peut  se  borner  au  cas  où  la 
valeur  absolue  de  p  est  plus  petite  que  i .  Ces  fonctions  sont  dites 
factoriellemcnt  périodiques.  Ecartant  le  cas  où  ces  fonctions 
(supposées  univoques)  admettraient  des  points  singuliers  essentiels 
autres  que  o  et  00,  il  montre  qu'une  telle  fonction  f{x)  admet 
nécessairement  des  pôles  et  des  zéros;  que,  en  ne  regardant  pas 
comme  distincts  les  points  dont  les  affixcs  ne  diflerent  que  par  un 
facteur  égal  à  une  puissance  entière  de  p,  une  fonction  factorielle- 
mcnt périodique  y'(j:)  atteint  chaque  ^alcur  donnée  ])our  un  même 


COMPTIiS   RENDUS   l-T  ANALYSES. 


I  >  > 


Moiuhic  (le  pomls,  iionihi'c  (|iii  est  ccrlainonionl  plus  fj;-ran(l  nu<;  r  ; 
(|ii(;,  (Ml  (l('sii;n;nil  pai"  a,,  a^,  .  .  .,  y.„  (I'mik;  piirl,  |)ar  [j,,  [ii^,,  .  .  ., 
[i,,  do  l'autro,  les  valeurs  dislinclcs  cjui  fonl  acujuéi-irà  /(./;)  d'uue 
pari  la  valeur  A,  d(;  l'aulrc  la  valcui-  H,  ou  a,  en  désignant  [)ar  .ç 
un  iiornhiu^  eiUiei-,  la  relation 

((ue,  enfin,  /(.r)  peut  être  mis  sous  la  forme  d'un  rpiotient  de 
deux  fonehons  formées  au  inoveu  du  produit  d'un  même  nombre 

de  faeteurs  de  la  forme  £  (  /^,  —  —  )  en  posant 

£(/>,  X)=i{l  ■+-  x){{  -^  p.T)  .  .  .  (i  -^  p»  .r).  .  .. 

On  a  là,  sous  une  autre  forme,  une  suite  de  propriétés  bien  con- 
nues des  fonctions  doublement  périodiques  c|ui  se  trouve  ramenée 
à  une  origine  très  simple,  permettant  une  déduction  claire  et  ra- 
pide. Le  lecteur  comprend  d'ailleurs  immédiatement  comment  se 
fait  le  passage  des  fonctions  factoriellement  périodiques  aux  fonc- 
tions doublement  périodiques  ordinaires,  et  des  fonctions  £(/?,  x) 
aux  fonctions  3",  comme  aussi  l'introduction  des  fonctions  double- 
ment périodiques  de  seconde  et  de  troisième  espèce. 

L'auteur  développe  ensuite,  d'après  les  principes  dus  à  M.  Her- 
mite,  la  théorie  des  fonctions  2*  du  n^^^^^  ordre,  définies  comme 
des  fonctions  transcendantes  entières  qui  vérifient  les  équations 
fonctionnelles 

(/(^'  +  0=(->>V(^'), 

n  est  un  entier;  g^  h  sont  les  nombres  o  ou  i  et  leur  ensemble 
(^■,  //)  est  la  caracléristique  de  la  fonction  .3.  On  sait  que  M.  Her- 
mite  a  démontré  qu'il  y  avait  n  fonctions  .3  du  /i'''"*"  ordre  linéaire- 
ment indépendantes,  et  seulement  n.  :  cette  proposition  capitale 
peutjouer  le  rôle  de  principe  dans  la  théorie  des  fonctions  !E7  et  des 
fonctions  doublement  périodiques.  S'occupant  ensuite  des  fonc- 
tions .3  du  premier  ordre,  INL  K^rause  développe  successivement 
les  relations  entre  les  carrés,  les  théorèmes  d'addition  sous  des 


ii4  PUIîMIËKR  PAinii^:. 

formes  de  plus  en  plus  générales,  les  relations  dlUérenLlelles,  la 
représentation  des  fonctions  S  du  n'^"^""  ordre  au  mojen  des  fonc- 
tions 2r  du  premier  ordre,  qui  fait  déjà  pénétrer  dans  la  théorie  de 
la  transformation;  il  introduit  ensuite  les  fonctions  doublement 
périodiques  qui  sont  les  quotients  de  deux  fonctions  3;  ayant 
ensuite  déduit,  par  le  théorème  de  M.  Hermite,  la  relation 

de  ce  que  la  fonction 

/(0  =  -o(^^)— ^^;;^ 

vérifie  des  équations  fonctionnelles  du  tvpe  (i),  il  est  en  mesure, 
en  supposant  u  =  iz  ^\  {^>),  d'introduire  aussi  les  fonctions  (trans- 
cendantes entières) 

dont  les  développements,  suivant  les  puissances  entières  de  u,  sont 
des  polynômes  en  A^,  puis  enfin  les  fonctions  sn  w,  cni^,  dn  ^^ 
comme  quotients  de  fonctions  Al. 

Après  avoir  posé  le  problème  de  la  transformation,  et  montré 
comment  il  peut  être  simplifié,  après  avoir  traité,  pour  les  fonctions 
^  et  les  fonctions  sn,  en,  dn,  des  six  cas  de  la  transformation  li- 
néaire, puis  des  transformations  dites  de  Landen  et  de  Gauss^ 
M.  Krause  traite  avec  quelques  détails,  et  par  diverses  méthodes, 
du  développement  des  fonctions  sn«,  cnw,  dnz/,  ;  de  leurs  puis- 
sances positives  ou  négatives,  suivant  les  puissances  de  u^  puis 
des  équations  différentielles  que  vérifient  les  fonctions  27a(o),  k, 
k'  en  prenant  soit  t  soit  A-  pour  variable  indépendante;  du  calcul 
de  q  en  fonction  de  A- ;  de  la  détermination  de  toutes  les  valeurs 
que  peuvent  prendre  K,  i¥J  quand  on  se  donne  A- ;  de  l'équation 
différentielle  linéaire  que  vérifie  E;  de  la  relation  deLegendre; 
des  équations  aux  dérivées  partielles,  par  rapport  à  u  et  à  A-,  que 
vérifient  les  fonctions  Al;  du  développement  de  ces  fonctions  sui- 


COMPTAS  |{|<:m)us  i':r  anaf.vshs.  ,{-, 

\aiil  l(>s  |)iiiss;m(('s  (le  //.  1 1  passe  (Misiiilo  à  hi  nmlliplical  ion  :  pour 
les  loiiclKuis  .:j,  le  I  liroiMsinc  de  M.  Il(;i'mil(;  (ojji'iiit  une  première 
m('ilio(l(\  d'où  s(!  (lécluisent  facilcniciil,,  j)ar  cxeiiij)le  dans  le  cas 
de  //  impair,  les  relations  l(dl(;s  (pic 

rvMTTTF  =•''•''"')■    rÂi^iM^ = ^  ''(■^■^' 

où  .r,j\  z  sont  mis  à  la  place  de  sn//,  cnu,  dn//,  et  où  A(jr-), 
n(.r-),  CX-^'")^  J3(.r-)  sont  des  ])olynomes  en  ,r-.  L'équation  aux 
dérivées  partielles  (Jacobi)  que  vérifient  ces  pol;)'nomes  fournit  un 
moyen  de  les  calculer.  Ces  mêmes  polynômes  s'expriment  simple- 
ment quand  on  introduit  les  fonctions  elliptiques  des  /^''""^^  parties 
des  périodes;  enfin  Télégante  méthode  de  M.  Kiepert  ne  peut 
être  passée  sous  silence.  La  plupart  des  problèmes  que  nous 
venons  d'éniimérer  rapidement  impliquent  la  connaissance  de  la 
transforjnation  du  premier  et  du  second  ordre.  M.  Krause  aborde 
le  problème  de  la  transformation  d'ordre  impair  n;  après  avoir 
montré  que  l'on  pouvait  se  borner  au  cas  où  la  transformation 
était  de  l'une  des  formes 


/ix, 


II 


où  ç  est  l'un  des  nombres  o,  i,  2,  .  ..,  /^  —  i ,  il  déduit,  toujours 
du  même  théorème  de  M.  Jlermite,  l'expression  des  2i(r',  t') 
comme  fonctions  entières  des  .'^((',  t)  ;  les  calculs  sont  faits  expli- 
citement pour  le  cas  de  ai  =  3  et  de  /i  =  5  et  l'on  obtient  ainsi 
d'intéressantes  identités.  L'auteur  montre  ensuite,  dans  le  cas  gé- 
néral, comment   s'expriment  les   .^(('',  t')  quand  on  introduit  les 

lonctions  r^  des  arguments- et -^ Les  questions  analogues 

sont  traitées  pour  les  fonctions  sn,  en,  dn.  On  introduit  ensuite 
les  fonctions  modulaires,  et  l'auteur  traite  en  particulier  des  fonc- 
tions cp,  '|i,  y  de  M.  Hermite  pour  obtenir  les  formules  relatives  à 
la  transformation  linéaire  de  ces  fonctions,  d'après  la  méthode 
(pie  l'on  doit  à  ^L  Schlâfli.  Revenant  ensuite  à  la  transformation 
d'ordre  impair  /?,  il  traite  des  équations  modulaires;  en  restant 
au  point  de  vue  que  nous  venons  d'indiquer,  il  lui  est  facile  d'é- 


\M)  V\{i:\\\E\\\i   PAKTIE. 

lablii-  (jiie  les  //  -f-  i  quanlilcs 


C5 


•>A    cp(/i't)        '  \       n 


-r-ir.t. 


sont  racines  d'une  équation  algébrique,  à  coefficients  rationnels  en 
A-,  dont  il  développe  les  propriétés  essentielles,  puis  la  formation, 
(jui  est  elïectuée  pour  les  premières  valeurs  àe  n.  Il  traite  ensuite 
des  équations  au  multiplicateur,  des  relations  différentielles  entre 
le  multiplicateur,  le  module  transformé  et  le  module  primitif,  et 
de  l'équation  dillércuitielle  que  vérifient  le  numérateur  et  le  déno- 
minateur dans  une  formule  de  transformation.  Un  important  pa- 
ragraphe est  consacré  au  discriminant  de  l'équation  modulaire  et 
au  développement  de  cette  question  :  trouver  les  conditions  né- 
cessaires et  suffisantes  que  doivent  vérifier  les  coefficients  P,  O,  R 
de  l'équation  du  second  degré  en  t 

afin  que  pour  les  valeurs  de  f  (t)  qui  correspondent  soit  à  une  so- 
lution de  cette  équation,  soit  aux  deux  solutions,  deux  racines  de 
l'équation  modulaire  relative  à  une  transformation  rationnelle 
du  /z'*^'"''  degré  soient  égales;  n  est  un  entier  impair,  sans  diviseur 
carré.  Après  avoir  donné,  d'après  IM.  Weber,  la  notion  générale 
des  équations  modulaires  et  des  équations  au  multiplicateur, 
M.  Krause  traite  divers  problèmes  spéciaux  de  la  théorie  de  la 
transformation;  signalons  en  particulier  d'élégantes  identités  re- 
latives au  cas  de  /i  =  3  et  de  n  =^  5. 

Pour  la  théorie  de  la  transformation  comme  pour  celle  des  fonc- 
tions doublement  périodiques  de  seconde  et  de  troisième  espèce, 
il  est  souvent  avantageux  d'introduire  la  notation  des  fonctions  2? 
à  caractéristiques  fractionnaires;  ces  fonctions  sont  définies  par 
la  formule 


«^       I    rt     I    /  r^      /  f^    "-  /'  \      2''-^ -^ ) 


,,[;](.,=  S,^.  H- ^-: -H- ). 


/?,  qy  Asontdes  nombres  entiers,  dont  le  premier  est  |)ositif;  l'in- 
troduction de  ces  fonctions  donne  à  M.  Ivrause  l'occasion  d'étudier 
l'expression  aumojen  des  fonctions  elliptiques  des  quotients  de  la 


coMPTi'S  I{i;m)Ijs  \:\  analvsiîs. 


I  ) 


Idi'huî 


:) 


s|)(''(Mal(Miicul  (l;ms  le  cas  de,  //  =  ,). 

La  proposil  ion  (|iii  j()M(;  le  mèiiio  loh;,  (ians  la  Lliéonc  (h'  va'S 
loiiclloiis  '^  i;('n(;i'a Usées,  (|iie  le  théorèiiKî  de  iM.  llerniiU;  dans  la 
lliéorle  des  loiielions  .'j  ordinaires  esl.  la  suivante  :  Une  (onelion 
I  lauseendanle  entière,  (|ni  \én(ie  l(;s  (''(|nati()ns 

■>l>T:i 


est  délerininée  à  nn  facteur  constant  près  :  de  là  se  déduisent,  par 
exemple,  d'intéressants  tliéorèmes  d'addition  qui  généralisent  une 
proposition  célèbre  de  Jacohi  sur  les  fonctions  .^  ordinaires.  Si 
Ton  pose 

fHVi—(l  n)i^i-]-   (^2  +  •  •  •  +  <^-2/M 

nWo—  t^i-h(l  —  /i)t'2-î-.  .  .+  ('2/^, 


//  iVo/i  —  ^'l-+-  i'2-h  .  .  .-]-{l  —  /L  )Vin, 


on  aura 


n 


'>  I   '"^ 

h 


ITZiiih 


L^.'l         l-l 


(j,-,  A  =  o,  I,  -2,  .  .  .,  n 


(Wi)e 


I). 


A  côté  des  fonctions  3>  à  caractéristiques  négatives,  M.  Krause 
introduit  les  fonctions 

Remarquons  en  passant  que  ces  fonctions,  dans  le  cas  où  a  ==  .>, 
ne  sont  autres  que  les  n  solutions  distinctes  {g=^  o,  1,2....,//  —  1  ) 
des  équations  (bnctionnelles 

/(r+,)=y\(>), 

avec  lesquelles  M.  Hermite  a  prouvé  que  l'on  pouvait  composer, 
en  les  combinant  linéairement,  toutes  les  solutions  flranseen- 
danles  entières). 

BuLL  des  Sciences  niuLhem.,  .»,"  scric.  l.  W.  (Juin  i8()().)  10 


ijs  PKIiMIÈKiï   PAKlIli. 

M.  Kiaiisc  moiilic  coinmfiil    loiilo  fonclion    'b  du   //"""   ordre 
(îsl  une  fonction  linéaire  de  n  des  quantités 


e       ^  "     .JrA  nv  -\-  i(z,  ni 


Notons  aussi  l'éiralitc 


h' 

A  —n—\ 


X  =  o 

relative  au  cas  où  n  est  iinpali".  L^nfin  la  considéralion  des  fone- 
lions  2r  à  eaiaeléristiques  fractionnaires  conduit  à  de  beaux  théo- 
rèmes d'addition  concernant  les  fondions  S  avec  des  modnlcs 
différents.  Par  exemple,  si  l'on  désigne  par  /??,,  //?.2,  ...,  w„  des 
entiers  fjuelconques  et  par  a^r  des  nombres  entiers  tels  que  Ton 

ait 

a'ii  H-  al-2 -I- ...  -h  al„  =  m^, 

et  si  l'on  pose 
on  aura 


n^'^'-^)=E"-'4o] 


(  (T'r,    /??£,    t), 


les  produits  II  se  rapportant  aux  diverses  valeurs  de  s,  et  la  som- 
mation }l!  à  tous  les  g^  qui  vérifient  les  congruences 

g-i  ^  «1,  .Si  -f-  f(i-xSi  -h  .  .  .-h  <-?]/,  S/i  (  niod  /)ti  ). 


les  nombres  .v,,  .s^,   ...,  s,,   étant  d'ailleurs  des  nombres  entiers 
arbitraires. 

M.  Krause  applique  ensuite  les  considérations  (jui  j)récèdent  à 
la  représentation,  au  nioven  des  fonctions  ?j,  des  fonctions  double- 
ment péri()(li(pies  de  première,  de  seconde  et  de  troisième  espèce; 
il  rencontre  ainsi  la  formule  de  décomposition  en  éléments 
simples;  le  cas  dc^   fondions   doublement  périodi(jues  Tamènc  à 


MfiLANGKS. 


^h 


iiiliodiiirc  la  loiiclion  C  (f .  Il  IcrmiiK!  ri)  Iriiilaiil  du  (l<';vcl()|)|)('in(;iil. 
(Ml  séries  tic  niiissimccs  des  loiicl  ions  de  sc^coiidc  (;l(l(;  Ii'oisk.'Mk; 
espèce. 

La  l)ièv(î  analyse  (|iii  pri'eède  ani'a  sans  doiile  snifil  poui'  nion- 
li-ei-  au  leeleui"  I  iinporlanee  du  Livi(;  de  1\1 .  Kr'aiise.  L(;  l'épetloiic! 
I)il>ll()i;ra|)lii(|u<"  déesse''  d(;  niar)ièr(;  à  (aeil  ilei'  les  renvois  dans  le, 
eouranl.  du   Volume  sera  eonsiillé  avee  inléièl.  .1.    W 


MELANGES. 


RAPPORT   SUR   LES   PROGRÈS   DE   LA  THÉORIE   DES   INVARIANTS 

PROJECTIFS; 

Pah    iM.    F  H.   MKYEIl   (  u  i-:    Claustiial). 


Traduction  annotée  par  II.  FEIIH. 


DEUXIEME  PARTIE. 

(suite  et  fin.) 


D.  —  Sur  certains  groupes  de  substitutions  et  sur  certaines  formes  spéciales. 

a.  —  Pëninvariants  ('). 

Si  nous  nous  sommes  occupé  jusqu'ici  des  propriélés  générales 
des  formes  invariantes,  nous  consacrerons  ce  dernier  Clia|)itre  aux 
caractères  plus  spéciaux  provenant  du  fait  que  l'on  imj)ose  des 
restrictions  soit  au  gioupe  de  substitutions  à  efï'ectuer,  soit  à  la 
forme  primitive,  soit  enfin,  aux  deux  simultanément. 


(')  Les  pëninvariants  ont  aussi  été  désignés  par  certains  auteurs  sous  les  noms 
de  sous-itwariant,  semi-invariant  ou  seniinvariant. 


i/,o  ■  PUHiMIÈUK   PAU T II:. 

l^arnil  les  (Drinos  invariantes  fjiil  apparlicnnent  à  des  sous- 
^roiipes(')  du  groupe  général  de  subsLiLulions  linéaires,  eelles 
dont  Tétiide  a  été  la  plus  ap|)rorondie  sont  les  péninvariants  (-), 
c'est-à-dire  les  sources  de  covariants,  contravariants,  concomi- 
tants, etc.  et  leurs  généralisations. 

Nous  nous  bornerons  ici  au  domaine  binaire.  Dans  tout  ce  qui 
va  suivre,  nous  supposerons  que  les  (^o,  expressions  entières  et 
rationnelles  des  séries  de  coefiicients  [a),  (b),  .  .  .  des  formes  pri- 
mitives, sont  homogènes  et  isobares,  ou,  cecpii  revient  au  même, 
(pie  pour  toutes  les  substiuitions  (]u  groupe 

(  A  )  CTi—  ax\ ,         X2  =  dx\ , 

les  Co  se  re[)roduisent  multipliés  par  une  puissance  du  détermi- 
nant de  la  substitution.  En  imposant  une  condition  analogue  aux 
substitutions  du  groupe  résultant  d'une  combinaison  avec  (A)  du 
groupe 

(B)  Xi  —  x\-{-  bx'^,         Xo^^  x'.2, 

l'expression  Cq  devient  un  |)éninvariant  et  satisfait  à  l'équation 
différentielle  caractéristique 

l    il  ;^       (Iq  -—    -h  9,  «1  ~ —   -f-  J  a, h .  . . 

j  ^  '^0  y, \-  '■>-0i  — h  o  0.2 h  .  .  . 

/  UOi  (J0.2  (JOi 


Si  C()  renferme  /t  +1  aiguments  «,  /?i -f- i  arguments  b,  etc., 
Co  sera  toujouis  la  source  d'un  certain  covariant  des  formes  J,i, 
g„i,  .  .  .  ayant  respectivement  pour  coefficients  (rt),  (Z>),   .  .  . 

Sjlvester  (•')  prend  comme  point  de  départ  de  ses  recherches 


(')  Dans  Lie-Sghefkers,  Vorlesungeii  iiber  Differentialgleicliungen,  t.  II,  on 
trouve  la  délerrnination  de  tous  les  sous-groupes  continus  et  Hnis  du  groupe  pro- 
jectif  à  deux  et  à  ti^ois  variables;  voir  en  particulier,  p.  287. 

(^)  Certaines  propriétés  des  péninvariants  ont  déjà  été  prises  en  considération 
plus  haut,  voir  Bulletin,  XVItl,  p.  189;  t.  XIX,  p.  99,  100,  lo^-ioj,  107,  .>i3-'.>i>4, 
253-254,  256-257. 

(^)  Al)},  y.,  I.  V,  p.  79-96  (1882),  p.  97-137  (1887).  Dans  la  seconde  partie  du 
Mémoire,  l'auteur  recherche  les  péninvariants  irréductibles  (ou  perpétuants)  et 
établit,  pour  certains  cas  particuliers,  une  fonction  ge'nératrice.  Consulter  aussi 
les  Tables  de  Caylky.   Qudrt.  J.,  \I\.  p.   i3i-i38  (i883). 


l;i  r(Muai(|ii<'  (|iic,  dans  ce  cas,  (  1„  coiifïspoiifl  à  la  .source  d  iiit  co- 
\ariaiil  des  (ormes 

dans  lcs(|ucllcs  l(;s  //  -|-  i  ,  //?  +  i  ,  ...  prornici-s  (uxîfficicnls  coïii- 
cldcMil  avec  les  r/,  />,  ...  Los  cons(';([U(Miccs  (jnc  l'on  en  dédiiil  n(* 
sont  pas  soulcnioDl  d'iiiic  grande  iniporlancc  |)()iir  la  loniiaLiori 
du  svslonic  (oiidamciilal,  mais  (dics  apportent,  en  outre,  nn(; 
i;rande  simplilication  dans  celle  des  svzj^ies  correspondantes.  A 
cet  ellet,  nous  avons  déjà  eu  l'occasion  de  si<»naler  les  travaux  de 
Perrin  ('). 

r^a  considération  d(.'  (]q  comme  fonclion  l)inalre  des  variables 
(non  liomoi>ènes)  a,/  a  rgal(;mei)t  doniK'  lieu  à  de  nouveaux  pro- 
férés et  a  largement  l'ac^ilité  une  ('lude  a[)profondie  de  la  structure 
du  système  comj^let  de/,,  (-). 

L'emploi  des  péninvariants  de  second  et  de  troisième  d(»gré 
par  rapport  aux  a  joue  aussi  un  rôle  uhie  dans  Ja  formation  (Jes 
systèmes  associés;  nous  avons  déjà  mentionné  celte  ap|)lication 
(yBullelln,  XlXo,  p.  ()9,  loo),  ainsi  que  (/.  c,  p.  109,  2^.2,  224) 
le  problème  fondamental  qui  consiste  à  déterminer,  parmi  les 
j)éninvariants  (d'une  degré  n  illimité),  \e?> perpétuants  [ou  pénin- 
\ariants  principaux),  c'est-à-dire  les  péninvariants  irréductibles 
qui  ne  peuvent  pas  être  représentés  comme  fonction  entière  de 
ceux  d'un  degré  moindre  par  rapport  aux  éléments.  De  plus,  il 
convient  de  rappeler  ici  qu'il  existe  un  lien  étroit  entre  les  pénin- 
variants et  les  fonctions  symétriques  (/.  c.  p.  "22 "j). 

D'Ocagne  (■'^)  est  parvenu,  d'une  manière  très  simple,  à  un 
nouveau  système  associé  de  péninvariants  pour  une  forme  y,/.  Il 
envisage  <7o  comme   une  fonclion  f]cli\e   de   ;,    dont  les   dérivées 


(')  Bull.  Soc.  Math.,  XI,  p.  88-107;  1888.  Voirie  Rapport,  Bull.,  Xl\^,  p.  104 
et  io5. 

(^)  Sylvkster  prend  comme  exemples  les  formes/,  et /g.  Consulter  aussi  les 
Mémoires  de  Petersex,  Zeuthen  Tidsskr.,  (4)>  IV,  p.  177-190;  V,  p.  33-4o;  (5), 
VI,  p.  i5:^-i56,  de  1880-1888. 

{')  C.  /?.,  Cil,  p.  9i'i-()i7;  Brux.  S.  Se,  X,  B.,  p.  7.5-78;  t.  XI,  p.  3i\-3uy,  1887. 
Il  sérail  intéressant  d'approfondir  le  lien  étroit  (jui  doit  exister  entre  la  méthode 
(le  d'Ocaune  et  celles  de  Hruxo    {Bulletin.  \l\,.   p.  -»53  )  et  Mac  Maiion  {l.  c, 

p.    224). 


i4>  PHEMIÈKK   PAUTIE. 

siicccsslvos  seraient  rt, ,  a,-)  ...  Les  (h'n'vées  siiecessives  du  l()<;a- 
rillimc  de  a^^  depuis  la  pretnièie  jiis(|irà  la  (//  —  i )''■""',  foiirnissenl 
alors  iiii  pareil  système  i\c.  pruinvarianis  princiitaii.r  ('). 

D'Oca^ne  (-)  et  Cesaro  (=')  ont  iiioiiLré  eonnnent  ec  svslèrne 
pouvait  elre  rattaché  à  celui  (ju'a  fourni  Herinite. 

(]ette  difl'érentiation  par  rapport  à  ç  peut  être  considérée  comme 
une  simple  ahrchiation  symbolique  de  l'opération 

d  à  d  d 

et,  c'est  cetle  remarcpie  cpii  a  conduit  aux  svmbolcs  opératoires 
quel'ondoit  àd'Ocagne(  '),  l^errin  (•^),  Deruvts(''),  et  Roberts('). 
La  théorie  des  j)énin  va  riants  a  été  particulièrement  ap])rofondie 
par  Deruyts  qui  l'a  étendue  aux  formes  à  |)lusieurs  séries  de  n  va- 
riables, et  qui,  de  cette  façon,  a  largement  contribué  aux  progrès 
de  la  théorie  des  invariants  de  ces  formes.  Cet  éminent  géomètre 
a  réuni  ses  nombreuses  recherches  C^)  en  une  monographie  ('•*) 
|)ul)liée  en  1891.  C'est,  comme  l'indique  le  titre  de  l'Ouvrage,  un 
Essai  cV  une  iJiéorlc  i^/' né  raie  des  formes  algébriques.  L'auteur 
étend  aux  fondions  péninvarianles  la  notation  symbolique  de 
Clebsch  et  Aronhold  qui,  jus(jue-là,  n'avait  été  employée  que 
pour  les  formes  invariantes,  et,  à  cet  effel,  il  attribue  aux  expres- 
sions symboliques  une  forme  canonique  {l.  c.,  p.  i3,  i 'î)  symé- 


(')  On  doit  à  d'Ocagne  (  C.  /?.,  CIV,  p.  (jfii  et  i3G'|)  un  syml)i)le  opératoire  (jui 
permet  de  caleuler  très  yisément  un  tel  système,  et  dont  l'imporlancc  est  con- 
firrnéc  par  les  travaux  sul)sé((uents  de  I*errin,  J)eruyts,  lioberts,  etc.         H.  F. 

(  =  )  Bu//.  Soc.  niat/t.,  \VI,  p.  180-187;  1888;  Briix.  S.  5c.,  MI,  p.   185-189. 

(')  Nouv.  Ann.  (3)  VII,  p.  4^4-^6;;  1888. 

(')  C.  /?.,  CIV,  p.  f)Gi-()(i''|,  i3'J/|-i3r)5;  1887.  Voir  cneore,  dans  le  Quart.  J ., 
l.  \XI,  (i88r))  une  Note  de  Caylky  (p.  2io-:>i3)  et  celle  de  Mac  Maiion  (p.  36i- 
305);  consu/Ler  aussi  le  IMèmoii'e  (|uc  ce  dernier  a  i)ublié  dans  le  Ain.  J.,  VIII, 
p.  j-18;  1880. 

(°)  C.  71.,  CIV,  p.    n)()7-i()Cjf),   i:>58-i  :ir)o  ;  1887. 

(*)  Belg.  Bu//.,  XIII,  p.  L>u6-235:  1887  et  tomes  suivants. 

(')  Lond.  M.  S.  Proc,  XXI,  p.  219-238;  1889. 

(*)  Be/g.  Bu//.,  (3),  XIV,  p.  58-79;  1887;  t.  XV,  p.  951-980,  t.  WI,  p.  i()7-L>i5, 
576-589;  1888;  Liège  Mém.,  (i>),  XV,  deux  Notes  (1888).  Bc/g.  Ment.  S.  E.,  M, 
et  LU. 

Voir  aussi  Lk  I\vigi:,  Be/g.  Bu//.,  (3),  II,  p.  '\o-'.y7)\  i8'^i. 

(^)  Essai  d'une  //léorie  généra/e  f/es  formes  a/gè/jrir/ues.  lîruxellcs,  1891. 


MflLANGHS.  1^5 

Iii(|ii('  niir  liinnoi'l  ;hi\  ('h'incii  Is.  (iiàcc  à  lit  ^('Ih'!  ;il  i  h'  ;i\('c,  la- 
(Hicllc  les  (jiicsl  ions  sonl  ahordi'cs  (1rs  le  (l(''l)iil,  railleur  ici  loiivc 
non  seule  m  eut  une  (ou  le  de  rc-siillals  ohlcniis  pai"  (lapel  li ,  S\  l\  cslei- 
el  (TauM'es,  niais  il  |)ai\ienl  en  ouli<'à  des  proprM'Ii's  nouv(dlcs 
<|tii  son!  (riine  i;i'ande  |)orh''(î. 

h.  —  CombiiKtnts  et.  apahiiUe. 

I*anni  les  (ormes  à  piusieui's  séii(îs  (I(î  vaiiahlcs  sur"  lesquelles 
on  ell'eelue  des  li-anslorinalions  linéaii(;s  dKrc'rcnles  entre  elles, 
nous  a\()ns,  à  plusieurs  reprises  ('),  ineiiLionné  les  coinhiiuinls. 
CÀ\s  (oi'ines  se  rallaelienl  si  inliineinenlà  la  lliéorie  <l(;  ra[)()laiilé, 
(pTil  )  a  lieu  de  les  examiner  dans  leurs  [)iopriélés  eommunes. 
Cependant,  il  n'est  guère  possible  de  donner  iei  une  idée  exacte 
de  cette  branche  de  la  tiiéoric  des  formes,  vu  (jue  les  a|)plicalions 
les  plus  importantes  appartiennent  à  la  Géométrie;  et  nous  cons- 
tatons ici  précisément  ce  fait  que  certaines  propositions^  qui  en 
Algèbre  semblent  évidentes  ou  qui,  du  moins,  n'ollVent  souvent 
qu'un  intérêt  très  particulier,  constituent  en  Géométrie  la  source 
de  recherches  très  étendues. 

Soient /'i,  /"2  ... //j  des  fonctions  homogènes  de  degré  /?  par 
rapport  aux  variables  x^^x^,  ...  x„.  Painii  les  invarianls  simul- 
lanés  des  /',  on  désigne  sous  le  nom  de  conibLiiaïUs  ceux  (pu  ne 
changent  pas  (à  un  fadeur  conslani  près)  |)our  unv  substitution 
linéaire  des/". 

Si  l'on  constitue,  à  l'aide  des  nouvelles  variables  ^/,,  ii.j,-,  .  •  .  Up-^ 
la  forme  linéaire 


(')  Voir  Bulletin,  XVIII,,  p.  i85;  W\,,  p.  9H,  102-100,  2i7-i>i9,  221.  Dans  son 
ouvrage  sur  VApolarité,  publié  en  i883,  ¥.  iMcycr  donne  un  ensemble  de  renseigne- 
inenls  bibliograpliiques.  Quant  aux  travaux  qui  ont  contribué  à  la  fondation  de 
la  théorie,  nous  signalerons  ceux  de  Smith  et  de  Cmffohd,  Proc.  L.  M.  5.,  II, 
p.  8j-ioo  et  p.  iiG-ii8;  18G8,  et  de  Dahboux,  Bulletin,  I,  1870. 

Un  des  combinants  les  plus  importants  est  le  déterminant  fonctionnel  de  n 
formes  à  n  variables,  étudié  déjà  par  Jacohi;  voir  Goudan,  Vorlesungen,  t.  I. 
Consulter  aussi  dans  le  Journ.  fur  Math.  :  Clkiîscu,  t.  L\I\,  p.  :^5.ô-358;  t.  L\\, 
p.  i^.VnSi;  i8(i();  Kosanks,  l.  L\\\  ,  p.  i(j()  17?  (1872),  cl  Pascii,  l.  L\\\,  p.  177- 

iS-.    (187.')). 


i44  IMUÎIMIÈUK    PAHTIK. 

on  |)()iiira  définir  les  combinants  des  /*,  comme  élanl  des  fondions 
des  coefficients  et  des  variables  des  /",  telles  (\uq,  pour  tonle  trans- 
formation linéaire,  elles  restent  invaiianles  par  rapport  aux  ii, 
comme  par  iaj)j)ort  aux.r;  ces  fonctions  ne  contiennent  pas  les 
variables  tf.  (^ette  défirjilion  a  l'avantage  de  permettre  une  géné- 
ralisation importante;  si  l'on  renonce  à  la  reslnclion  relative  aux 
u,  on  arrive  aux  combinants  considérés  dans  un  sens  plus  étendu. 

C'est  sous  certe  forme  générale  que  Gordan  (')  a  envisagé  les 
combinants.  (]es  derniers  jouissent  encore  de  la  j)ropi'iélé  des 
systèmes  finis,  puisqu'ils  peuvent  être  déduits  (J'une  seule  forme 
primitive  à  séries  cogrédientes  de  variables,  ainsi  (jue  Ta  fait  voir 
llilbert(^^). 

La  théorie  des  combinants  prend  une  forme  remarquablement 
claire,  dès  (pie  l'on  tient  comple  du  principe  de  dualité.  A  cet 
efï'et  Stroli  (')  a  introduit  un  déterminant  Q  en  complélant  les/? 
séries  de  variables  à  l'aide  d'un  nombre  suffisant  de  séries  ((^), 
((v),  .  .  . ,  contragrédientes  par  ra[)|)ort  aux  premières.  Si  N  est  le 
nombre  des  coefficients  d'une  forme  générale/',  celui  des  nouvelles 
séries  de  variables  sera  N  — p.  Cela  revient  à  joindre  aux/;  formes 
y",  N  — /;  formes  '^  dont  la  classe  correspond  à  l'ordre  de/'. 

C'est  ici  que  la  théorie  de  l'apolarité  intervient  avec  succès. 
Deux  formes  telles  que  /et  'j  sont  dites  conjuguées^  selon  Ro- 
sanes  (''),  ou  apoUiires^  selon  l{eye('')  si  leur  invariant  bilinéaire 
est  identiquement  nul. 

A  un  système  àc  p  formes/ linéairement  indc'pendanles  corres- 
pond un  système  de  ]N  —  p  formes  'Jj  linéairement  indépendantes, 
et  réciproquement;  de  sorte  que  cha(|ue  forme  /  esl  apolaire  à 
chaque  forme  'j. 

Les  systèmes  apolaires  entre  eux    ont  été   étudiés   ])ar  Brill  (-^  ) 


(')  Math.  Ann.,  V.  p.  95-1.32  (i<S^2),  en  itaii.  p.  ii().  Voir  Voss,  Miuicli. 
Ber.,  p.  10-19  ;  1888. 

(')  Gôllinger  Nachr.,  p.  232-242;   1891;  p.  2-12;  1S92. 

('•)  MaLli.  Ann.,Wl\,  p.  .Hgo-^oJ;   i883  et  Progr.  MilncJien,   189 'j. 

{' )  Voir  le  paragraplic  que  nous  avons  cousarr-i  à  la  canonisation  clos  formes: 
Bullel.,  XIX,,  p.  214-21,").  Consulter  aussi  l'aperçu  (|u"cn  d<jnnc  Salmon  dans  son 
Algèbre  supérieure  (KJ.  franc.,  189;))  p.   49'J-497-  ''•  ''• 

(')  Math.  Ann.,  IV,  p.  53o;  1870.  Consulter.,  Guassmanx,  Ausdehnungslehre, 
1862,  n"  11-2. 

Ce  théorème  serl  de  ha^^e  au\  reeherrhes  de  Cunseii.  Gott.  Abh..  WTI.  p.  i-'iv 


\ 


IMÉLANGKS.  liO 

(Mil  en  il  (Icdiiil  le  jhi  nci i)('  J  (tiidn  me  n  ta  I  des  coinhin;!!!  Is,  à  sa- 
\(nr  (lue  les  coin  hi  iiaiil  s  de;  deux  s\slrm<'S  ajjolaircs  coïjicidrnl, 
!"('laLi\  (Muciil  au  iiomiIjic  cl  à   la    (of'Mk;  (  '  j. 

I  j(;  cas  des  ('(nnl)iiiati  Is  (l(;s  syslcnics  lunaires  ()fïr(;  un  inicicl, 
loiil  pari  icii  I  icr,  parce  <pi'il  scfI  de  buse  à  ceux  des  syslèrncs 
d  ()i"dre  siip(  riciir.  Il  a  lail  l'ohp'L  (11111  M('inoir(!  iinporlant  de 
l>i"ill  (  -  ),  (pu,  dans  sa  déinonslralioi) ,  examine  la  cpiesliori  sous 
un  poiiil  de  \  ue  nouNcau.  HenonçanLàla  rej)résenlaLl()n  des  luva- 
rianls  sous  (ornie  ralionnellc,  l'aulciir  sul)sliluc  à  la  forme  R  de 
Goi'dan  un  conihinaiil  j)l  us  sim  j)l(;  W  cl  monire  (pie  loiil.  eomhi- 
nanl  des  loruuîs  /'  pciil,  être  représenté  comme  un  invariauL  ow 
covarianl  irrallomud  (l(;  \V  (•'). 

C'est  la  nolion  des  systèmes  apolaii^es  (jui  a  d'ahord  servi  de 
l)ase  au  piincipe  des  combinants.  Celte  nolion  trouve  sa  source 
dans  l'extension  aux  systèmes  de  formes  de  la  représentation  ca- 
nonique, d'après  Sylvesler,  des  formes  binaires  en  somme  de 
puissances. 

En  i8y2,  Kosanes  (il  un  premier  pas  dans  celle  direction  en 
démonlrant  ('),  par  voie  symbolique,  qu'il  est  nécessaire  et  suffi- 
sant (jue  l'invariant  bilinéaire  de  deux  formes  binaires  de  même 
ordre  s'annule,  pour  que  cliacune  de  ces  formes  puisse  être  repré- 


1872  ;  de  GoRDAN,  Math.  Ann.,  VII,  433-4'i8;  1874,  el  de  W.  Staiil  (  meiUionné  plus 
loin ). 

(')  Stépiianos  a  poursuivi  ces  recherches;  voir  Sav.  Étrang.,  i883;  son  tra- 
vail, dépose  en  1881,  a  été  analysé  par  Joudan,  déc.  1881.  Voir  en  outre,  Buill., 
Math.  Ann.,  W,  p.  335;  et  les  thèses  de  Fiuedhich,  Giessen,  1886,  Giioss,  Tii- 
bingen,  18S7,  et  Math.  Ann.,  XWI,  p.  i36-i3o;  et  E.  Meyeu,  Konigsberg,  1888. 

(^)  Math.  Ann.,  t.  lY;  1871. 

(^)  Les  relations  entre  ce  déterminant  fonctionnel  de/,  ou  combinant  prin- 
cipal, et  la  formc/ont  été  approfondies  par  Jgkl  dans  une  série  de  Mémoires  in- 
sérés dans  les  Wiea.  lier.  u.  Abh.;  l'auLeur  en  déduit  des  méthodes  pour  la  for- 
mation des  combinants. 

(')  Journal  f.  Math.,  LXXV,  p.  i7:)-i76.  (^uant  aux  applications,  i;oi/' îMkyeh, 
Apolaritàt. 

W.  Staiil  a  approfondi  l'étude  des  S3'stèmes  apolaircs  binaires  et  en  a  donné 
d'intéressantes  applications  à  la  théorie  des  surfaces  développables;  Journ.  f. 
Math.,  CI,  p.  73-98,  3oo-39.5,  1887;  CI\',  p.  38-6i,  3o2-3io.  Study,  Leipz.  Bcr., 
p.  3-9;  188'S. 

Un  exposé  purement  géométrique  de  Tapolarilé  binaire  a  été  donné  par  H. 
WiENKR,  Habit.  Schri/t.,  Darmstadt,  83  pages;  i885.  Voir  encore  Tiukme, 
Schlom.  Zeit..  \\\\ .  p.  ru  et  276;  Math.  Ann..  XXIII,  p.  097:  188',. 


i/ir>  IMIHiMIKIU^  PAUTIIi:. 

senLce  à.raidc  d'une  soinnic  de  puissances  de  ("acleurs  linéaii-es  de 
l'autre.  Cela  revient  à  dire  (|uesi  une  forme  binaire  d'ordre  a  pos- 
sède le  facteur  A  —  a,  elle  est  apolaire  à  la  /i''""'  j)uissance  de 
A  —  a,  et  réei|)r()(|ueinent.  il  éleiidil  eiisuilc  c(;  piiucipe  au  cas 
plus  général  des  foi-uies  d'ordre  //  à  /•  varial)les  ('). 

C'est  là-dessus  que  repose  la  possibilité  ('-)  de  représenter  une 
forme  générale  à  l'aide  d'un  certain  nombre  de  puissances  de 
formes  linéaires;  ce  problème  avait  déjà  été  abordé  avec  succès 
par  Reje  (■'),  rpii  en  donna  une  interprétation  mécanique. 

L'introduction  de  la  notion  de  polygone  polaire  ('*)  iPol- 
ii-Eck)  a  permis  d'envisager  la  (juestion  sous  una  nouvelle  face  et 
d'exprimer  ainsi  chaque  propriété  algébrique  dans  un  langage 
géométrique. 

On  peut  se  demander  ce  que  signifie  l'apolarih',  lorsqu'on  se 
trouve  en  ])réscnce  de  deux  formes  irréductibles.  Si  l'on  se  borne 
au  cas  du  second  ordre  (-')  et  à  ceux  cjui  s'y  ramènent,  ce  pro- 
Idème  est,  en  effet,  le  |)Ius  ancien;  (pioique  très  important  en 
Géométrie,  il  est  cependant  d'une  nature  trop  spéciale  pour  avoir 
une  induence  féconde  dans  la  théorie  des  formes. 

Hesse  (")  avait  d'ailleurs  déjà  démontré  que  l'apolarité  de  deux 
formes  du  second  ordre  (ou  de  seconde  classe)  est  un  critérium 
poui'  (|uc  ces  deux  formes  juiissent,  |)ar  des  transformations  li- 
néaires (et  cela  d'une  infinité  de  manières),  être  ramenées  à  une 
forme  normale,  lelle  que  l'une  des  formes  ne  contienne  que  les 
carrés,  et  l'autre  seulement  les  produits  des  variables  ('). 


(  '  )  Joiirn  fur  Math.,  LXXV,  p.  3i3-3,lo;  1873. 

( ')  Dans  sa  Géométrie  de  direction,  l'aris,  1869,  P.  Skuret  avait  donné  un 
exposé  détaillé  de  l'interprétation  géométrique  des  relations  linéaires  entre  des 
puissances  égales  de  formes  linéaires. 

(5)  Journ.  fur  Matli.,  LXXII,  p.  293-826;  1870. 

{*)   Voir  une  Note  de  Guassmanx.  dans  les  Gott.  N.,  p.  3G7-577;  décembre  1872. 

{■')  Le  cas  du  troisième  ordre,  dans  le  domaine  ternaire,  a  été  abordé  par  O. 
SciiLEsiNGKU,  Math.  Ann.,W\,  p.  453-477;  1887;  XXXI,  p.  180-219;  «888.  —  1)k 
Paolis,  Acc.  L.,  188G;  et  Loxuox,  Math.  Ann.,  XXWI,  p.  535-584. 

('^)  Journ.  f.  Math.,  XLV,  p.  82-90;  i853. 

(')  Les  consécpiences  et  leurs  applications  aux  coni(|ues  et  aux  surfaces  du  se- 
cond ordre  ont  été  longuement  étudiés  par  Hosanes  et  Rcye. 

KosANi-s,  Journ.  /.  Math.,  t.  LXXXVIII,  XG,  XGV,  G;  1880  à  1887. 

IvKYK,  Bcrl.  JJcr.,  p.  833-839;  1889;  Journ.  f.  Math.,  GIV,  GVI,  GVII,  G\III  ; 
1889  à   1891.   Voir  aussi  \N  .  Stahi,.  Journ.  f.  .Math.,  p.   179-188;  1890. 


Mf<:LAN(Jli:S.  i47 

l);ms  les  (loMniincs  à  .\,  j,  ...  \  ;itiiil)l(;s,  l(!S  |)i()|)ri('h's  <l<'  I  ;i|)()- 
liU'ih''  cl  (les  coin  hmanls  se  l'iil  hicliciil  ;i  l:i  iIk'oiic  (I<'s  c,()Iii1)Iii;iiiIs 
l>ii);iircs.  I)ims  son  ()iiviiii;('  siii'  \.\/)<>hirilr,  le  Ha ppoil eiir  a  I)m;m 
lail  rcssoiMii'  ces  l'clalioiis  à  Taide  (rtiiie  s<''iie  (I(î  principes  de; 
rc'dncl  ion  (  '  ). 

Le  lien  (pii  (^kisIc  enlre  l(^s  donialncs  hlnaii'es  et  Lernnircs  se 
pi'ésenle  (rnne  façon  1res  simple  f^raee  au  principe  de  Iranslalion 
lonnulc',  pour  la  première  lois,  par  Scldcsingei'  (-). 

INms  récemmenl,  on  s'esl  occupé  des  comhinanLs  prcdongés 
d'un  syslcme  de  formes  /",,  /o,  . ..,/*,,,  cpii,  outre  les  variables  A, 
conliennenl  encore  une  ou  plusicMirs  séries  de  variables  u  conlra- 
i^rédienles  par  rapport  aux  /'.  INous  menlionnons,  à  cet  ellc't,  les 
recliercliesdeGross(-«),F.  Me}er(''),  Hilbert  (•^)  etW.  Slalil  ('■). 

c.  —  rtésuUanls  et  disc/'i/ni/iants. 

Par  leurs  nombreuses  applications,  les  résullanls  et  les  inva- 
riants occupent  certainement  ('^  )  la  première  place  parmi  les  cas 
particuliers  des  invariants.  iMalgré  le  vif  intérêt  que  présentent 
ces  formes,  surtout  le  discriminant  dans  la  tbéorie  des  équations 
diirérentielles  et  dans  la  théorie  des  ([uanlités  algébriques,  nous 
ne  les  prendrons  ici  en  considération  (pi'au  point  de  vue  de  leur 
représentation  sous  forme  invarianle. 

En   i853,  Salmon  (^)  a  donné   une   formule   «générale    pour  le 


(')  Ces  principes  de  translation  ont  été  développés  par  Study,  dans  les  Leipz. 
lier.,  p.  170  et  suivantes;  1890. 

(-)  Dissertation,  lîreslau,  188,!,  ou  Math.  Ann.,  XXII,  p.  520-568.  La  démon- 
stration s'appuie  sur  le  calcul  syniboliciuc.  D'autre  part,  le  Rapporteur  est  par- 
venu au  même  principe  par  une  voie  non  symbolique  {Mat/i.  Ami.,  XXI,  p.  528- 
5_'|/i;  )88i^)  et  l'a  développé  dans  son  Traité  sur  V Apolarité. 

C)  Dissertation, '\\x\i\x\^,Q.x\.,  1887;  on  en  trouve  un  extrait  dans  les  J/rt^//.  ^/««., 
\\Xn,  p.  i3ô-i5o. 

(^)  Math  Ann,  XXIX,  p.  4'i7-|r>7;  XXX,  p.  80-74;  XXXI,  p.  96-i33;  1888. 

{/•)  Gôtt.  Nachr.,  1889,  en  partie,  p.  3o;  Math.  Ann.,  XXXVI,  p.  5iG. 

{^)  Math.  Ann.,  XXWIII,  p.  5Gi-585,  1891  ;  XL,  p.  i-5^  ;  1892.  Consulter  en- 
core SciiUHMAciiKR,  Math.  Ann.,  XXXVIII,  p.  298-30G;  1891;  et  Jollks,  llabil. 
Schrift,  Aachen,  18SG. 

(')  Nous  avons  signalé  ces  formes  à  plusieurs  reprises.  Voir,  notamment, /?«//., 
\\  III.,  p.  i8'|,  190;  Xl\,  p.  94,  102,  218. 

(")    Voir,  pai-  exemple,  Salnwn-Chcmin,  n"'  308-310. 


i/iH  PHEMIÈKK   PAUTIH. 

résullaiiL  d'une  forme  binaire  du  deuxième  degi'é  et  dune  formey,^ 
du  /i'"'"'  degré.  Ce  calcul  a  été  étendu  par  Glebscli  ('),  à  l'aide  de 
la  méthode  d'Aronliold,  au  cas  d'un  système  d'un  nombre  quel- 
conque de  formes,  une  du  deuxième  degré,  une  du  degré  n  et  le 
reste  du  premier  degré. 

Gordan  (*)  a  ensuite  abordé  la  recherche  du  résultant  de  deux 
formes  binaires  /',//  et  f,i  et  il  a  entièrement  dévelo[)pé  les  calculs 
dans  tous  les  cas  où  ni  et  n  sont  inférieurs  à  cincp 

Dans  le  cas  où  ji  reste  quelconque,  m  étant  égal  à  3,  i?ascal  (■') 
a  déterminé  le  résultant  sous  forme  symbolique. 

La  résolution  générale  du  problème  semble  impossible  ('')  pour 
le  moment;  on  a  du  se  contenter  de  perfectionner  (•"')  les  mé- 
thodes qui  conduisent  à  la  représentation  invariante  du  résultant. 

Pour  ce  qui  est  delà  représentation  du  discriminant  sous  forme 
invariante,  les  procédés  sont  encore  moins  développés.  On  dent  à 
Gordan  (''),  un  exposé  systématique  conduisant  à  l'e\|)ression  du 
discriminant  d'une  forme  f,i  à  l'aide  des  invaiiants  fondamenlaux. 


(')  Jouni.  f.  Math.,  r.VIII,  p.  27.3-291;  iSBi.  Binàve  Formen,  p-gi-  Consulter, 
en  outre,  Gordan,  Jourii.  f.  Math.,  lAXI,  p.  iG4-i9'i;  1870,  et,  pour  le  cas  gé- 
néral, Jgkl,  Wieii.  Ber.,  1880. 

{-)  Math.  Ann.,  III,  p.  355-4 14  ;  1871. 

(■')  Batt.  G.,  XXV,  p.  257-280;  1887,  et  Napoli  Bencl.  (2),  p.  67-72;  1888. 

(')  On  ne  peut  encore  donner  aucune  interprétation,  au  point  de  vue  de  la 
théorie  des  invariants,  de  la  méthode  symbolique  et  combinatoire  de  Schexdkl 
{Schloni.  Z.,  XXXtl  et  XXXIII;  1887-18S8)  et  de  celle  de  Mac  Mahon  basée  sur 
les  fonctions  symétriques  {Quart.  J.,  WIII,  p.  i39-i.'|3;  1S8S. 

(  =  )   Consulter  Huiosciii,   Chelini  Coll.  M.,  p.  221-223;  1881  {m  —  'ù,  /?  ==  4  )• 

D'OvuMo,  Atli  Tor.,  XV,  p.  385-389;  1880  (;n  — 4,/?  =  4).  Nap.  Ment.,  XI; 
i883  (m  =  5,  n  —  2,  3).  Meni.  Soc.  It.  Se.,  IV,  ou  Boni.  Ace.  L.  Meni.,  (4),  IV, 
p.  007-622;  1888  (m  — 5,  n  —  2,  3,4,5).    Tor.  Atti,  XWIII,  p.  2o-23;  1892. 

{^)   Vorlesungen,  II,  n"  i)'.). 

Antérieurement  déjà,  on  trouve  exprimés  au  moyen  des  invariants  fondamen- 
taux : 

Le  discriminant  de/.,  par  Boole  (i8')5),  voir  Caylky,  Papcrs,  I,  p.  91: 

Le  discriminant  de/,  par  Salmon  (i85o),  voir  Cambr.  a.  Dublin  M.  J.,  V, 
p.  32; 

Le  discriminant  de /^  par  Biuosniii  (1867),  voir  Annali  di  Mat.  (2),  1,  p.  159. 

Pour  ce  dernier  cas,  voir  aussi  Maisano,  Math.  Ann.,  XXX,  p.  442-4^2;  i885. 

La  structure  des  discriminants  binaires  a  été  examinée  par  :  Joachimsthal, 
.rourn.  f.  Math.,  XXXIII,  p.  371-376;  1846;  Caylky,  même  Hecucil,  XXXIV, 
p.  3o-45;  1847;  l^-^s(.ii,  id.,  LXXIV,  p.  1-6;  1872  ;  Baieii,  Miinch.  Ber.,  p.  i83-if)i; 
1886.  Consulter,  en  outre,  Noethkh,  Math.  ^«/?.,  XXIII,  p.  3ii-358;  188^,  et  W. 
Stahi,,  Math.  Ann.,  XXX\',  p.  395-400;  i88(). 


Mf<:LAN(iKS.  I  i., 

(  ^('|)(;ii(l;iiil  les  d  i  llicull  ('•>  du  (';il(;iil  (  s  vmhollcjiK;)  (M()iss(!nl  avec 
l'ordre,  cl  Ton  iTcsl  pas  (micoic  parvenu  à  les  sut  iiioiilcr,  lotsfjuc 
Il  csl  sii|)(''[i(Mir  ;t  7  (  '  )• 

()iiaiil  ad  domaine  l.(!iMiair(%  il  suffil,  de  inontionner  lei  les  rné- 
moires  de  (inndellini^er  (-)  cl  de;  Merlciis  (-),  dans  lesquels  on 
lron\e  le  lésnllaiil  de  Irois  foi-mes  (jnadraliques  (exprimé  en  foncî- 
llon  de  deux  eonibinanls  (ondainenlaux  ;  puis  Je  lrav«Til  (■')  de 
Gordan  sur  le  discriminant  d'une  forme  Lernaire  G//. 

d.  —  Ant/'cs  fornirs  spécidlcs. 

a.  J'\ji-nies  pour  les (fue lies  le  hcssieii  (')  est  idenlu/uemeiït 
nul.  —  Une  des  questions  les  plus  importantes  de  la  théorie  des 
formes  est  la  reclierche  d'un  critérium  permettant  de  reconnaître  : 
i"  (juand  une  forme  proposée  F  à  n  variables  peut,  au  moyen  de 
substitutions  linéaires,  être  ramenée  à  une  forme  contenant  un 
nombre  moindre  de  variables;  y.°  quelles  sont,  dans  ce  cas,  ces 
sidjstitulions. 

C'est  à  Gordan  et  Nœtlier  que  revient  le  mérite  d'avoir  résolu 
ce  problème  d'une  manière  générale.  Leur  démonstration  est  basée 
sur  une  écjuation  linéaire  aux  dérivées  partielles,  à  laquelle  doi- 
vent satisfaire  F  et  ses  polaires,  et  dont  les  coefficients  eux-mêmes 
dépendent  d'un  système  d'équations  aux  dérivées  partielles. 

,3.   Foi- mes  spéciales  dont  la  nature  est  caractérisée  par  des 


(')  Le  cas  n  ~ ']  est  traité  dans  les  Math.  Ann.,  XX\I,  p.  5G6-6oo;  1888. 

;M;visANO  a  résolu  indirectement  le  cas  ti  =:  8;  Pat.  Rend.,  III,  p.  oS-Sg;  IV, 
p.  1-8;  1890.  Il  a  également  résolu  le  problème  pour  /i  =  6,  lorsque /„  contient 
des  facteurs  multiples;  voir  Math.  Ann.,  XXXI,  p.  493-506;  1888,  et  le  Mémoire 
de  d'Ovidio,  Torino  Atti,  XXIV,  p    i6'|-i76;  1888. 

(  =  )  Journ.  f.  Math.,  LXXX,  p.  73-8.3;  187.5.   Wien.  Ber.,  XCIII,  p.  62-77;  .886. 

{')  Milnch.  Ber.,  XVII;  1887. 

(M  D'autres  propriétés  du  hessien  ont  été  signalées  par  Voss,  dans  les  Math. 
Ann.,  \XVII,  p.  5i5-53G;  18S6.  Voir  aussi  un  Mémoire  de  Bauer, y¥««c/i.  Abh., 
p.  i-i'i;  1883,  puis  par  Brill,  Math.  Ann.,  XIII,  p.  175-182,  1878;  WOlffing, 
Dissertation,  Tubingue,  1890,  ou  Ma/h.  Ann.,  \\\\\.  p.  97-1^0,  et  par  C.ehbaldi. 
Pal.  Rend.,  ÏII,  p.  60-66;  1S89. 


i5()  PRIiMllilUî   PAIlTIl!;. 

cqua lions  di (J'('trentiell(^s  (d^i'.brlqucs  ('j.  —  l^c  procède'  de  la 
composition  {Ueberscïnebun^)  peut,  comme  on  sait,  être  lem- 
placé  [)ai-  un  procédé  de  dilïerentiation  et  toute  forme  invariante 
peut  être  ramenée  à  un  composé.  Au  point  de  vue  théorique,  il 
est  donc  clair  que  si  la  nature  invariante  d'une  forme  ou  iVun 
système  de  formes  est  déterminée  par  Tévanouissemcnt  d'un  inva- 
riant ou  par  l'évanouissement  identique  d'un  covariant,  la  forme 
elle-même  devra  satisfaire  à  une  ou  à  plusieurs  équations  dilTéren- 
tielles  ali^ébriques  ;  il  est  vrai  que,  dans  la  pratique,  cette  marche 
se  butte  contre  de  grandes  difficultés  de  calcul. 

Mais,  réciproquement,  de  pareilles  écjuations  di (Té renti elles 
étant  données,  il  est  encore  d'autant  plus  difficile  d'en  déduire 
les  caractères  de  l'invariance. 

Le  problème  ci-dessus  donne  donc  lieu  à  un  théorème  impor- 
tant jjermettant  d'efFectuer  ce  passage.  Cette  proposition  a  été 
démontrée  en  premier  lieu  pour  les  formes  binaires  par  Bruno  (-), 
puis,  dans  le  cas  général,  par  Hilbert  et  Perrin. 

Si  l'on  représente  par  y(j^")  =  y„  une  forme  binaire  par  rapport 
à  la  variable  non  homogène  x  : 


/o  =  a^x"  -\-  l      \  aix't 


-1 


a, 


et  par  fx-^  fi-,  •  .  .,   les  dérivées  de  /  par  rapport  à  x  multipliées 
par  un  facteur  numérique 


/,=  i  /'(.r),         /;=  ' f"{x). 


tout  covariant  de  y,,  pourja  être  directement  déduit  de  sa  source, 
en  remplaçant  les  r//  par  les  /';.  11  en  résulte  que  toute  fonction  F 
homogène  et  isobare  des  J)  sera   un  covariant  de  f{x)  et  devra 


('  )  GoiiDAN,  Erl.  Ber.,  p.  89-95,  1870;  Nœtiikr,  Erl.  Ber.,  p.  5i-55,  1876;  Goudax 
et  NoETiiKH,  Math.  Ann.,  p,  547-5G8;  1876. 

Ces  deux  géomètres  ont  rectifié  une  proposition  énoncée  par  lli:ssi:.  dans  le 
Journ.  fiir  Math.,  WA\,  p.    117-124;  i85i,  et  t.  LVI,  p.  .>G3-a(K);  1839. 

Pour  les  formes  cubic^ues  ternaires  et  quaternaires,  le  problème  avait  déjà  été 
résolu  par  l^Ascii,  Journ.  f.  Malh.,  L\\\,  p.  iG9-i7();  187.'). 

(')    Voir  notre  exposé,  Bulletin ,  XIX^,  p.  :>,r.>-2:)3. 


MÉLANGRS.  ih 


siil  i^ianc  à   rccitiiil  ion 


(Vcsl  (Ml  parhiul  de  ces  considéralioris,  (jue  Jlilhci't  (')  ('Miidio, 
an  poiiil  de  \uc.  de  la  llicoric  des  invarianls,  les  fondions  sphé- 
ri(]nes  et  celles  de  la  série  lijpergéomélriqiic  F(a,  [j,  y?  •^)7  q"' 
sont  entières  el  rationnelles  par  rapport  à  x. 


(')  Dissertation,  Krmigsherg,  iH85;  Matli.  Ann.,  X\X,  p.  u)-'M);   j8S-. 

ICn  ce  ([iii  concerne  d'aulrcs  formes  spéciales,  nous  nienLionnons  encore  les  Ira- 
vaux  (le  Hattaglim  sur  les  formes  les  plus  simples  des  domaines  hitjaires,  ter- 
naires cL  quaternaires.  Voir  les  liend.  Ace.  Napoli,  18G4,  iHG5,  iHGG;  le  Batt.  G., 
depuis  1870;  et  les  I\'ap.  Bend.,  depuis  iSSi. 

Dans  une  série  de  recherches  publiées  dans  le  Jourii.  de  l'Kc.  PoL  (l.  r>,  LI, 
\j\\;  i8H3-i88()),  I^oincaué  a  examiné  l'équivalence  algébri(|ue  et  arithmétique 
des  formes  cubitiues  ternaires  C^. 

Pour  ces  mêmes  formes  C,,  consulter,  entre  autres,  Gundklfingkh,  Math. 
Ann.,  IV,  561-571;  1872;  Annali  di Mat.  (•.>)>  lf>  P-  :^23-23f);  Goudan,  Math.  Ann., 
III,  p.  ()oi-632;  Biuosciu,  Annali  di  Mat.  (:>)>  VII,  p.  52-()o,  189-192;  et  Tiiaer, 
Math.  Ann.,  XIV,  p.  5'',5-55r);  1875. 


TABLE  DES  MATIERES. 


Introduction T.  XVIII^,  179-196,  218-220 

TREMiÈRE  PARTIE.  —  Equivalence  des  formes. 

,V.  b'ormes  quadratiques  et  bi linéaires 28'^-294 

lî.   Equivalence  des  formes  non  quadratiques 29^1-808 

DEUXIÈME  PARTIE.  —  Affinité  des  foruics . 

V.  Systèmes  (inis T.  XIX,,  87-110 

lî.    Irrationalité  des  formes 213-219 

G.   Opérations  symboliques  et  invariantes 219-22'!,  2:j6-2(j'| 

I).  Sur  certains  groupes  de  substitutions  et  sur  cer- 
taines formes  spéciales T.  XX^,  i39-i5i 


i;r2  BULLETIN   BlliLIOGUAPIIIQUK. 

n  ULLETIN  lî  I  BLlor,  Il  \  PII  I  O  LE 


Laisant  (C.-A.)-  —  Recueil  de  problèmes  de  Mathématiques  (algèbre, 
théorie  des  nombres,  probal)ilités,  géométrie  de  situation).  In-H",  y<-'>~'\  p. 
Paris,  Gauthier-Villars  et  fils.  G  fr. 

Leciialas  (Ct.).  —  Ktude  sur  l'espace  et  le  temps.  In-i8"  Jésus,  '2o5  p. 
Paris,  F.  Alcan. 

Olivier  (J.  v.)  —  ]Vas  ist  Raum,  Zelt,  Bewei^ung,  Masse?  Was  ist 
die  Erscheinungswelt.  Gr.  in-H",  69  p.  aven  fi  g.  Miinchen,  L.  Finsteilin. 
I  m.  xo  pf. 

VoGT  (IL).  —  Leçons  sur  la  résolution  ali^éhrique  des  équations. 
In-B",  vni-20i  p.  Paris,  Nony  et  G'*^. 

WoLF  (IL).  —  TaschenhucJi  fiir  Matliematik,  Physik,  Geodàsie  u. 
Astronomie,  G.  durcli  Wohler  vollendete  Auflage.  5.  (Schluss-)Liefg. 
In-r2.  Ziirich,  Scliulthess.  i  m.  20  pf.;  com])let  G  m.;  relié  7  m. 

Delkmeii  (Jl'LEs).  —  Sur  le  mouvement  varié  de  l'eau  dans  les  tubes 
capillaires  cylindriques  évasés  à  leur  entrée,  et  sur  l'établissement 
du  régime  uniforme  dans  ces  tubes.  In-4",  83  p.  Paris,  Gauthier- 
Villars  et  fils. 

Travaux  et  Mémoires  du  Bureau  international  des  Poids  et  Mesures; 
publiés  par  le  Directeur  du  Bureau;  t.  II,  in-V,  cwxix-Bcjô  j).  avec  fig. 
et  planches.  Paris,  Gauthier-Villars  et  fils.  i5  fr. 

VoLKMANN  (P.).  —  Franz  Neumann,  geb.  ii  Septbr.  1798,7  ^3.  Mai  1893. 
Ein  Beitrag  zur  Geschichte  deutscher  JVissenschaft.  Gr.  in-8°,  vii- 
G8  p.  avec  portrait.  Leipzig,  Teubner,  2  m.   \o  pf. 

Bourdon.  — Éléments  d'Algèbre.  18''  édit.  \n-S",  XI1-G57  p.  avec  fig. 
Paris,  Gauthier-Villars  et  fils.  8  f. 

C0CULESC0  (N.).  —  Sur  les  expi-essions  approclices  des  ternies  d'ordre 
élevé  dans  le  développement  de  la  fonction  perturbatrice.  In-/|",  89  p. 
Paris,  Gant  hiei-\  illars  et  fils. 


COMPTIiS   lU^NDUS   KT   ANALYSES.  ,  Vi 

COMPIKS    liKNDlJS    I:T    ANALYSES. 

lui-: U.MANN    (().).    —   Im.ilMkntk  dku   ii(>iii:i{i:.n  Matiikmatik.    i    \(»I.    m-8"; 
\ii-3.Sr   |).  l.(M|)/ii;,  Tciihiu'f,   iH(j'). 

Le  Li\i('  (juc  M.  I)i('[in;mn  puhlic;  sous  cv,  litre  (;sl  dcsliiic  aux 
élèves  (les  IkuiIcs  écoles  Leclini(|iies.  Il  a  pour  bul  de  les  initier 
aux  éléments  de  rAlgèbre,  (\r.  la  lliéorie  des  (onctions  et  du  Cal- 
cul di(ïerentiel.  Sur  eliaque  tliéorie,  l'auteur  devait  se  limiter 
strictement  aux  choses  les  plus  essenlielles,  en  raison  des  besoins 
(lu  pid)lic  spécial  auquel  il  s'adressait;  mais  il  a  pris  soin  d'in- 
dicjuer  les  lecUircs  (pii  permettront  aux  étudiants  de  compléter 
leurs  connaissances. 

Voici,  rapidement,  dans  leur  ordre,  les  sujets  qu'il  traite. 

Reprenant,  suivant  l'habitude  allemande,  les  choses  au  début, 
il  développe  successivement  les  notions  de  nombre  entier,  frac- 
tionnaire, positif  ou  négatif,  irrationnel.  Les  nombres  irrationnels 
sont  définis  au  mojen  de  suites  infinies,  dites  élémentaires; 
c'est  ce  que  M.  Méraj  appelle  des  variantes  convergentes;  il  in- 
troduit ensuite  les  exponentielles  et  les  logarithmes;  puis  déve- 
loppe au  point  de  vue  de  la  convergence  (conditionnelle,  incon- 
ditionnelle, absolue)  les  propriétés  élémentaires  des  séries  et  des 
produits  infinis. 

H  passe  ensuite  à  la  notion  de  fonction  d'une  variable  réelle  : 
fonctions  entières,  rationnelles,  limites  supérieure  et  inférieure, 
valeurs    limites,    continuité,    maxima    et    minima,    discontinuité, 

formes  indéterminées,  limite  de  M  H — ;)  pour  œ  infini,  théo- 
r(''me  de  Cauchv  sur  la  limite  pour  x  infini  de       ^    quand 

f(^x  +  i)—f{x) 

admet  une  limite,  fonctions  trigonométriques  (définies  par  la 
Géométrie);  définition  de  la  continuité  pour  les  fonctions  de  plu- 
sieurs variables. 

La  notion  de  nombre  imaginaire  est  déduite  de  la  notion  géné- 
rale  de   nombre   complexe  à  n  unités   et  du  principe  de  perma- 

llull.  des  Sciences  niat/iém.,   ■?."  série,   l.  X\.  (Juillet   i8(/i.  )  ii 


V)/i  PREMIÈHi:   PAKTlIi. 

ncnce.  L'aiilcur  inLroduil  d'alllciiis  rapidcmcriL  la  reprcscnlallon 
géométrique  et  trigonométriqiie  à  propos  de  laquelle  il  développe 
le  théorème  de  Moivre  et  introduit  la  notion  de  racine  primitive 
d'une  équation  binôme.  Il  traite  ensuite,  au  point  de  vue  de  la 
convergence,  des  séries  à  termes  imaginaires  cl  introduit  la  notion 
de  fonction  d'une  variable  imaginaire,  dans  le  sens  général  du 
mot,  de  la  pure  dépendance  entre  la  variable  et  la  fonction. 

Passant  à  l'Algèbre,  il  traite  succinctement  des  équations  du 
premier  degré,  des  déterminants,  puis,  avec  quelques  détails,  de 
la  fonction  rationnelle  entière  :  la  démonstration  du  théorème 
fondamental  de  F  Algèbre  est  fondée  sur  la  possibilité  de  diminuer 
le  module  d'une  fonction  entière  qui  n'est  pas  nulle,  et  sur  ce 
qu'une  fonction  continue  atteint  sa  limite  inférieure^  la  résolu- 
tion des  équations  du  second,  du  troisième  et  du  quatrième  degré 
est  établie  systématiquement  au  moyen  de  la  transformation  li- 
néaire. L'auteur  traite  ensuite  du  plus  grand  commun  diviseur, 
de  la  décomposition  en  fractions  simples,  des  fonctions  symé- 
triques, des  fonctions  des  racines  d'une  équation  qui  prennent 
une  ou  plusieurs  valeurs  quand  on  permute  ses  racines,  puis  il 
fait  une  incursion  rapide  dans  le  domaine  de  l'Algèbre  supérieure, 
en  démontrant  l'impossibilité  de  résoudre,  par  radicaux,  l'équa- 
tion générale  dont  le  degré  dépasse  quatre.  Si  courte  que  soit 
cette  incursion,  si  importants  qu'en  soient  les  résultats,  elle  est 
singulièrement  significative  dans  un  Livre  qui  s'adresse  à  de  fu- 
turs ingénieurs.  On  rentre  dans  un  domaine  plus  pratique  avec  la 
théorie  des  équations  numériques,  les  méthodes  pour  la  sépara- 
tion et  l'approximation  des  racines.  Enfin,  un  Chapitre  sur  l'éli- 
mination termine  la  partie  du  Livre  consacrée  à  l'Algèbre. 

L'auteur  s'occupe  ensuite  des  séries  entières  (Potenzreihen). 
Après  avoir  établi  les  propositions  fondamentales  relatives  au 
cercle  de  convergence,  et  celles  qui  concernent  les  calculs  elFec- 
tués  sur  des  séries  entières  (multiplication,  division,  etc.),  il 
traite  de  la  série  du  binôme,  des  séries  dérivées,  du  prolonge- 
ment, de  la  définition  des  fonctions  analytiques  d'après  M.  Weier- 
strass,  et  donne  quelques  indications  sur  les  séries  entières  par 
rapport  à  plusieurs  variables.  11  reprend,  de  ce  nouveau  point  de 
vue,  le  théorème  fondamental  de  l'Algèbre  et  démontre  la  propo- 
sition fondamentale  sur  le  retour  des  suites. 


COMPTAS  UHNDUS    K T   ANALYSES.  iVt 

\|)ir.s  CCS  L;('ii('ralll('!s,  il  irmlo  de  (jucl<|iics  lunclioiis  s|)ccial(;.s, 
on  |)îirllculi(M'  (\v,  la  fonclion  o\|)onciili('IIc  cl  des  fonctions  qui 
s'y  raHachcMl,  I()i;aiillnncs,  (onclions  Irigonomclriqiics  directes 
et  inverses.  Uii  derni(!r  (iliapilre  est  consacré  à  l'examen  de 
([uelc|ues  règles  de  convergence  (Gauss,  etc.)  et  à  Fétiide  de  la 
eonveri^cnee  de  (|iiel(|ues  séries  sur  le  cei'cle  de  convergence; 
rauteur  termine  en  monlrant  comment  les  produits  infinis  peu- 
veiil  donner  iiaissai)e(;  à  (les  fondions  analytiques.  J.  T. 


KIU)NF.('-KKU  (L.).  —  VVkrke.  Ilerausi^egeben  auf  Veranlassung  der  K.  P. 
Alvadoniio  (1er  Wissenschafton,  von  A.  Hcnsel.  Erster  Rand.  ix-483  |).  in-4". 
Leipzig,  Tcubner.  1895. 

L'Académie  des  Sciences  de  Berlin  continue,  par  la  publication 
des  Œuvres  de  Kronecker,  la  série  où  figurent  déjà  les  Œuvres  de 
Jacobi,  de  Dirichlet,  de  Steiner  et  de  Borchardt.  11  est  inutile 
d'insister  sur  les  services  que  rendent  de  pareilles  publications, 
et  il  faut  se  borner  à  souhaiter  que  l'exemple  donné  par  l'Aca- 
démie de  Berlin  soit  suivi  ailleurs.  La  présente  publication,  qui 
ne  peut  manquer  de  faire  grand  honneur  à  M.  Hensel,  à  qui  elle 
est  confiée,  est  faite  d'après  rexcellenl  s}'stème  adopté  en  Alle- 
magne pour  les  éditions  analogues,  c'est-à-dire  que  les  fautes 
d'impression  ou  même  d'inattention  que  comportent  les  anciens 
textes  sont  purement  et  simplement  corrigées,  et  que  des  Notes 
sont  ajoutées  là  où  elles  paraissent  nécessaires.  Le  premier  Vo- 
lume, d'ailleurs,  ne  contient  pas  de  telles  Notes  ;  elles  seront 
réunies  après  la  première  série  des  OEuvres. 

M.  Hensel  a,  en  elTet,  divisé  les  Mémoires  de  Kronecker  en  trois 
séries  :  la  première  se  rapporte  à  ce  que  Kronecker  appelait 
\  Arithmétique  générale^  c'est-à-dire  à  la  Théorie  des  nombres 
(bornée  à  ses  méthodes  propres),  à  la  théorie  des  fonctions  ra- 
tionnelles de  variables  indépendantes,  en  particulier  des  formes 
linéaires,  des  déterminants,  des  formes  bilinéaires  et  quadratiques, 
et  enfin  à  cette  théorie  générale  des  systèmes  de  nombres  et  de 
fonctions  algébriques  qu'il  a  développée  dans  le  célèbre  Mémoire 
dédié  à  Kummer  ( Feslsc/wifl). 


1)6  PKEMIÈIUi   FAUTIIi. 

La  seconde  série  comporUîra  deux  l^irlies  :  la  prenilcrc  con- 
Liendra  les  recherches  d'Algèbre  (jui  se  ra|)|)()rL('nl  à  la  résolulloii 
des  équations,  cL  en  parliculier  à  la  elassihealion  des  équations 
d'après  \euv  affect  ;  la  seconde  Partie  contiendra  les  aj)plicalions 
de  V Analyse  à  la  théorie  des  nombres. 

La  dernière  série  contiendra  les  recherches  d'Anal^'se  propre- 
ment dite,  celles  qui  concernent  la  théorie  du  potentiel,  divers 
points  de  Physique  mathématique,  etc. 

Dans  chaque  série,  les  Mémoires  se  suivront  dans  l'ordre  chro- 
nologique ;  à  la  fin  figureront  les  travaux  inédits  ;  les  papiers 
laissés  par  Kronecker  contiennent,  en  elTet,  de  nombreux  Mé- 
moires entièrement  ou  presque  entièrement  terminés.  D'autres 
papiers  demanderont  une  étude  plus  difficile. 

Nous  relevons,  dans  la  Préface,  les  noms  de  MM.  Landsberg 
et  Vahlen  qui  ont  prêté  leur  concours  à  M.  Ilcnscl,  et  celui  de 
M.  Hermite,  qui  a  voulu  revoir  les  Mémoires  écrits  en   français. 

Le  présent  Volume  contient  les  Mémoires  de  la  première  série, 
publiés  depuis  i845  jusqu'en  avril  i8;4.  Il  esr  orné  d'un  beau 
portrait  de  Kronecker.  J    T^  • 


MELANGES. 


SUR  LA   RÉDUCTION   DES  INTÉGRALES   ABÉLIENNES   DÉPENDANT  D'UNE 
ÉQUATION  ALGÉBRIQUE  BINOME; 

l^AR  AI.  J.  l^OLBNIA. 

1.   On  connaît  plusieurs  exemples  de  réduction  des  intégrales 
abéliennes  de  la  forme 


/ 


^(^jc_a)^{x  —  b)^(,x-  c)y...(ir  —  l j' 


aux  intégrales  elliptiques.  Mais  ces  exemples  sont  isolés,  n'étant 
liés  par  aucune  idée  générale,  et  la  réduction  même  est  basée  sur 


MÉLANGMS.  157 

(les  subslilulloiis  }i(u;i(l(;iilcll(*s,  ii'ayanl.  (l'iiiilrc  raison  (Trliv;  (|ii'mi 
simple  hasard,  ('.omiiu!  sur  un  ('X(îin|)l('  diinc  icsolnl  iotj  ininar- 
lailc  (l(*  (!('ll(^  (|U(îsll()ii,  cilons  rinl('^ial(; 


J  V^"^'  -+-  » 


|)rop<)sc(î  [)ar  Scrrct  dans  le  (lours  de  Calcul  uxié<i;i'al,  i(S()S, 
p.  ()5.  Ccll(^  inl(''^rale  est  réduile  aux  c'lli|)licjnes  inoyennanl  une 
subsliliiliori  iriatioiincllc,  landls  cpie  rinlét;rale 


prest|uc  louL  à  fait  paredie  à  v  ne  peut  être  réduite  aux.  elliptiques 
j)ar  aucune  substilullon  [)Ossil)lc.  Les  autres  cas  connus  de  la  ré- 
duction des  intégrales  du  tjpe  J  ne  sont  pas  importants  à  cause  de 
leur  simplicité  et  par  le  caractère  accidentel  des  méthodes  de  ré- 
duction. En  outre,  pas  une  des  méthodes  ordinaires  n'ofïVe  les 
moyens  pour  découvrir  de  nouvelles  intégrales  réductibles.  Enfin, 
la  classification  admise  des  intégrales  abéliennes  J  nous  semble 
imparfaite. 

A  la  suite  de  cette  imperfection  les  intégrales,  appartenant, 
sans  aucun  doute,  au  même  genre,  sont  traitées  comme  diffé- 
rentes. Nous  nous  convaincrons  bientôt  de  la  vérité  de  cette 
remarque.  Pour  donner  un  critère  ))ossible  de  la  réductibilité  des 
intégrales  J,  ainsi  que  les  conditions  par  lesquelles  on  pourrait 
juger  que  plusieurs  intégrales  différentes  appartiennent  au  même 
genre,  il  faudrait  faire  une  nouvelle  définition  concrète  du  genre 
de  l'intégrale  J,  définition  entièrement  indépendante  de  la  théorie 
générale  de  Riemann. 

Après  l'intégrale  donnée 


J  = 


J  TV 


—  a)'^(x  —  Ô)P{j:-  —  c;y.  .  .{x  ~  l y- 
composons  l'intégrale 

Xl'  F  T  ÙX 


A  = 


/ 


\/[{x  —  f(  )^{x  —  b)P{x  —  or. .  .(.r  —  /  y\'/ 


i58  IMUi.MlElUî   PAKTIE. 

où 

r/  =  i ,    2 ,   3 ,    .  .  . ,   m  —  I , 
p  ^  o,    I,  1,    ...,/■  —  a; 

F X  est  une  fonction  entière  de  la  forme 

prise  de  façon  que  Fintégrale  A  n'ait  pas  de  points  criticjues 
logarithmiques  à  une  distance  finie.  Nous  nommerons  geni'e  de 
L^ intégrale  J  le  nombre  des  intégrales  du  type  A  conservant  une 
valeur  finie  sur  toute  la  surface  de  la  sphère.  Par  exemple,  défi- 
nissons le  genre  de  l'intégrale 


/; 


dx 


\/(x  —  a){x  —  b){x — cy^i^x  —  d)'^ 
dont  nous  aurons  besoin  dans  la  suite.  Formons  la  (orniulr 

Xl>  ¥{X)  ÔT 


A7 


/-, 


^\/[{x  —  a){x  —  b){x—cy-{x  —  dfyt 
Après  cette  formule,  nous  aurons  : 
1°  Pour  q  =  I 


Al 


/; 


¥  X  =1,  p   =r  O, 

dx 


r  y/(a7  —  a){x — (?){x  —  c)^{x — d)'^ 
2°  Pour  q  =  2 


A, 


JVU^ 


¥  X  =  l ,  p  z=  (y, 

dx 


X  —  a){x  —  b){x  —  c)'^{x  —  dy- 
3"  Pour  q  ^=^  ?) 

¥  X  =^  {X  c)(yX  f/)j  /^   =  <^r 

J   s/{x  —  a){x  —  h)' 


MfU.ANGIÎS.  iV) 

/j"  Pour  q  —  \ 

V  X  —  {t  —  c){x  —  r/  ) ,         ^  =  f  ) , 

K,^  f-  '^  

J   \/{T  —  ay^{,T  —  h)'^{x  —  c)(.r  — 


d) 


;V*  1^)111'  q  =  f) 


A'.  = 


Vx  =  (x  —  c)(x  —  d),         yo  —  o,  I 

âx 


J    \/{^—n 


■-h 


\'  = 


)^{x  —  b)^{x  ~  c)''*{x  —  d)'" 
X  dx 


\/{t  —  ny>{x  —  b)^(x  —  cy*{x  —  dy* 
J^cs  résultais  obtenus  se  trouvent  dans  le  Tableau  suivant  : 


Le  nombre 

des 

intégrales 

L' 

exposant 
du 

L 

es 

posant 
de 

L 

exposant 
de 

L 

'exposa 
de 

nt 

L'expo 
de 

sant 

de  la 
première 

7- 

i 

adical. 

X 

—  a. 

X  —  h. 

X  —  c. 

X  — 

<:/. 

espèce. 

1... 

6 

I 

I 

2 

2 

o 

2.. 

3 

I 

I 

2 

2 

i 

3... 

2 

1 

I 

O 

O 

o 

4... 

3 

2 

2 

I 

I 

I 

5... 

6 

5 

5 

/ 

4 

4 

2 

Le  genre  de  l'intégrale  est  défini  par  le  nombre  4  et  se  caracté- 
rise par  quatre  intégrales  de  la  première  espèce.  Nous  nommerons 
les  intégrales  de  la  première  espèce,  appartenant  au  même  genre, 
intégrales  conjuguées.  En  outre,  l'intégrale  de  la  troisième 
espèce 

J   \{x  —  a){. 


X—  b){x  —  cY{x—  dy- 

appartient  au  même  genre.  Parmi  les  six  intégrales  obtenues 

Al.     A,,     A3,     Ai,     A-,.     As.     Ag, 

il  y  en  a  trois 

Al,     A5,     Ae, 


ifio  PHliMIÈHIi    PAiniH. 

(iiii  (lépcndcnl  du  radical  du  slxicinc  de^rc.  Nous  iiDinnicrons  ces 
intégrales  caracU'i'isliqaes.  Deux  intégrales 

dépendent  de  l'exposant  trois;  nous  les  désignerons  comme  non 
caractéristiques . 

Il  est  facile  de  prouver  que  les  intégrales  non  caractéristiques 
forment  un  groupe  complet  du  genre  deux.  Le  lien  entre  les 
intégrales  caractéristiques  et  non  caractérislifjues  n  est  fondé  que 
sur  la  combinaison  donnée  des  exposants  sur 

{x  —  a),     (.r  —  b)^     {x  —  c),     {x  —  d). 

On  peut  s'attendre  (jue  ce  lien  pourra  être  détruit  à  la  suite  de 
quelques  substitutions,  et  alors  le  genre  des  inlégrales  caracté- 
ristiques sera  diminué  de  deux  unités.  Nous  verrons  dans  la  suite 
C[ue  les  intégrales  caractéristiques  sont  toutes  réduites  aux  ellip- 
tiques au  moyen  d'une  seule  et  même  substitution.  Pour  éclaircir 
la  question  très  importante  de  l'influence  des  substitutions  ralion- 
nelles  sur  l'altération  du  genre  de  l'intégrale  abéliennc,  considé- 
rons un  exemple  assez  compliqué  et  typique.  Etant  donnée  l'in- 
tégrale 

()x 


ou  plus  simplement 


dx 


^^\/x^^{x  —  a)'{x—  by 


Le  genre  de  cette  intégrale,  d'après  la  formule  générale  de 
Riemann,  est  égal  à  onze.  En  appliquant  à  l'intégrale  donnée 
notre  méthode  de  la  détermination  du  genre,  formons  le  ral)leau 
suivant  : 


.Mf-:LANGKS. 


\(\\ 


Le.  iiuiril)|-(; 

l/cx|tosa  il 

l/('\|)OS,Ul( 

l/('X[><>saiiI 

(les  inl('i;ialcs 

<lii 

L'(3\|)osaiil 

(II! 

<lc 

(le  la 

'1 

radical. 

(le  j:. 

X  —  Cf. 

.r  —  //. 

[dciiiit  re   csiticc 

1.. 

■->/. 

lo 

/ 

7 

(> 

«2. 

1/ 

lo 

7 

/ 

I 

W  . 

S 

'}. 

7 

/ 

I 

4.. 

(') 

1 

I 

1 

O 

.). .  . 

î 

'2 
'2 

) 

II 

3 

() 
I 

7. .  . 

•2/, 

'22 

1 

I 

o 

S. 

') 

1 

1 

I 

0 

«.).. 

8 

6 

.5 

5 

1 

10.. 

\JL 

2 

1 1 

1 1 

I 

11.  . 

M 

•4 

5 

5. 

o 

\±. 

'1 

o 

r 

I 

o 

\\\.. 

?.4 

lO 

'9 

•9 

I 

\ï.. 

l'X 

lO 

1 

I 

0 

15.. 

8 

2 

•» 

3 

o 

Kl.. 

3 

2 

2 

2 

i 

17.. 

24 

2 

23 

23 

I 

18.. 

4 

2 

I 

I 

o 

19.. 

•M 

22 

i3 

i3 

1 

20.. 

6 

2 

5 

5 

1 

21.. 

8 

6 

1 

î 

o 

22.. 

r2 

2 

5 

5 

I 

23.. 

24 

i4 

>7 

ï7 

I 

Nous  avons  obtenu  onze  intégrales  de  lu  première  esjièce  dont 
(juatre  seulement 

r  d.r  r dx^ 

j   -v/.ri"(.r-4-  a)^^{x  -^by''  j    ''\/x-^{x-^  a)'-^-^^  +  ^)" 

r  dx  r ox 

J   ^'{/x'-^x  -h  a)i=i(.r  +  6)13'  J   ^^^x^''(x^ay^{x-^ù)^^ 

sont  caractéristiques.  Les  intégrales  non  caractéristiqnes  consistent 
dans  deux  groupes. 

I.  Groupe   du  genre  einq.    —  Consiste   dans   cinq  intégrales 
conjuguées  : 

dx 


r  dx 

)      \/x^^{x  -h  a  )' 

f 


{X  -\-  b  y 


r  ôx 

J      y/x-^^x  H-  a  jl'  {X 


/>)'! 


r)x 


\/x'^ {x  -^  a  f  ( X  +  b  y 


s/x'^ {X  -r-  a}-{x  -\-  by- 


f 


dr 


y/.r"-^  (  X  H-  a  f  (x  -\-  b  )•* 


!(")>  PREMIKKE   PAUTIH. 

II.    Groupe  (lu  p^enre.   Irais.   —  Consislc  dans  trois  inléi^ralcs 
conjuguées  : 

r t)x r (te 

/àx 
sjx'^i^x -^  a)'-\x -\- hf 


Les  deux  groupes  non  caractéristiques   ont  une  intégrale  con- 
juguée commune 


/ 


dx 


y x'^{x  -^-  a  f  {X  -\-  b  f 


On  peut  s'attendre  qu'à  Ja  suite  d'une  substitution  simplement 
rationnelle  le  lien  entre  les  intégrales  caractéristiques  et  le  groupe 
du  genre  cinq  sera  détruit;  dans  ce  cas  le  genre  de  l'intégrale 
donnée  diminuera  de  cinq  unités.  On  peut  s'attendre  de  même 
qu'à  la  suite  d'une  substitution  simplement  rationnelle  le  lien 
entre  les  intégrales  caractéristiques  et  le  groupe  du  genre  trois  se 
détruira  aussi;  dans  ce  cas  le  genre  de  l'intégrale  donnée  dimi- 
nuera de  trois  unités. 

En  ayant,  au  lieu  de  l'intégrale  donnée,  une  autre  du  même 
genre 

r dx 


A  = 


cette  intégrale  ne  diffère  de  l'intégrale  donnée  qu'en  ce  que  pour 
l'intégrale  nouvelle  l'infini  est  un  point  de  ramification  et  zéro 
un  point  ordinaire.  Il  est  évident  que 


En  posant 


nous  aurons 


dx 


a  -+-  b\'^ 


ï-r~^)T 


X 


a  -h  b 


-/, 


/^  df 


Mftl.ANGF.S. 


163 


INIojcnnaiil    iiihî   siibsliliilioii   liiusuft;  relie   iiil('^i;ile    pciil   elrc 
reniplaeéi^  par  nue  iioiiNellc  inlcgralc 


"^/w 


dx 


2 ( a? -h  a )» 9 ('^ -+-/>)!■? 


pour  la(piclU'  I  luliiu  n'csl  pas  un  poml  do  raundcaliou.  Le  genre 
de  celle  inh'f^ralc  csl  éj^al  à  six.  A  la  suile  de  celle  inéiiic  suh- 
slilulioii  le  genre  de  loules  les  inlégrales  caraclérlslicpies  esl 
diminué  jusqu'à  six.  Cet  exemple  explicpie  sufdsanimenl  le  rôle 
de  la  subslilulion  simplement  rationnelle  dans  l'alléralion  du 
genre  des  inlégrales  ahéliennes  du  type  donné.  Comme  applica- 
tion nous  présenterons  la  ihéorie  presque  complète  de  la  rédue- 
lion  des  inlégrales  abéliennes  du  type 


/ 


dx 


\l {x  +  a)^{x  H-  b)'^{x  -^  c)T 
a  H- fi -H  Y  ^  o         (mod.  m), 


pour  trois  cas  bien  simples  : 

A?i  =  6,         /n  =  ['2, 


m  = 


3.   Considérons  d'abord   le  cas  où   m  =  6.  Dans   ce  cas  deux 
suj)positions  sont  seules  possibles  : 

a  +  p  +  Y  —  6, 
a  H-  [i  -t-  Y  =  12. 


Ces  équations  n'ont  que  six  solulions  entières  et  positives 


(0 

('2) 

(3) 
(4) 
(5) 
(6) 


a  =  I, 

^  =   2, 

T  =  3, 

a  =  2, 

(^  =  '2, 

Y  =  2, 

a  =  I, 

?  =  ., 

ï  =  4, 

a  =  3, 

P  =  4, 

Y  =  5, 

a  =  4, 

P  =  4, 

Y  =  4, 

CC=   -2, 

P  =  5, 

Y  =  5. 

Les  combinaisons  (i),   (2),    (4),   (5)   amènent  aux  intégrales 
elliptiques.  Les  intégrales 

/Sx  r  dx 

y{x  —  ay^{x  —  hy^i^x  —  c)-^''  J   y^x  —  a 


){x  —  b)(^x  —  c) 


,fi1  IMlEMIÈHli   PARTIE, 

appaiiicnnent  au  incmc  genre;  de  ineinc  les  Inlégrales 

r  <).T  r dr 

J   y{x—  a)\x  —  b)'*{x  —  cy^  J    y  {lie  —  a  f  {x  —  by-ix  —  c) 

apparlieiincrU  au  même  genre.  Par  eonséquent,  nous  devons  nous 
occuper  des  intégrales 

-       r  ôx 

J    y^x  —  a)-{x  —  b y  {x  —  c  )^ 
r  ùx        . 

'  '~ J    y{x  —  a/'i^x  —  b ){  X  —  a ) 

La  détermination  du  genre  de  ces  intégrales  amène  au  Tal^leau 

suivant  : 

Le  nombre 
L'exposant       L'exposant       L'exposant        L'exposant         des  intégrales 
du  de  de  de  de  la 

q.  radical.  x  —  a.  x  —  b.  x  —  c.         prcniiôrc   espèce. 

1 (")  '1  5  5  i 

2 3  •?.  -1  •!  I 

3 •>.  o  I                        I  o 

4 3                     1  i  1  o 

5 G  4  I                        I  o 

L'intégrale  mentionnée  appartient   au  genre  deux.  A  ce  genre 
appartiennent  deux,  intégrales  caractéristiques.  Conjuguée  à  Fin- 

tégrale 

r dr 

J    {/(  X  —  a  )' {X  —  b  y^x  —  c  j^  ' 
se  trouve  l'intégrale  non  caractéristique 

r  ôx 

J    y{  X  —  a)- (  X  —  b  )H X  —  c  y^  ' 

du  genre  un  et  de  première  espèce.  Il  est  naturel,  par  conséquent, 
de  cliercher  une  substitution  simplement  rationnelle  sous  l'in- 
fluence de  laquelle  le  lien  entre  les  intégrales 

r  ôx  r  àx 

J    V^i-^  —  n  y'{x  —  bf{x  —  cy  J    i/(  .X- — (^)-{x  —  by^{x  —  c  )- 


MfaANGF.S.  i(ii 

scîii  (l(''l  nill .  (  Ioiiimm;  siiilc  ()(:  celle  ;»ll(';r;il  ion  nous  .Knoiis  hi  ré- 
(hi(;li<)n  <le  I  iiil('i;r;ile  .)  i  ;iii  i;('iirc  mm,  c'esl-A-dirc;  ;nix  iMlégralcs 
ellipl  Kines. 


osons 


;ili;is 


ou 


r  —  a  =  -  » 


ùz 


ùz 


vn.H^^)^-c^) 


3  =  -- 


En  posant 


nOMS  avons 


a  —  c 


^±^V  =  . 


Ji  =  - 


y^^ 


,p.. 


ôt 


J  \ 


f^ 


(;-^')ï' 


L'intégrale  obicnue,  comimic  on  sait,  apparlicnt  à  la  catégorie 
(les  elliptif(MCS.  I^a  léthiction  de  l'intégrale  J,  aux  elliptiques 
peut  èlre  ol)tenue  encore  par  un  procédé  qui  s'enq^loie  souvent 
avec  succès.  Nous  avons 


En  posant 


ùz 


y{z^a.y^{z^^f   J/(2  4_a)(^4- P) 


y^z^'xY^z^^^Y^ 


nous  obtiendrons 


OÙ  ,p(^)  est  une  fonction  de  Weierstrass  avec  les  invariants 

■a  —  [i\^- 


gl  =  O,  ^3  =  — 


(')  Bulletin  des  Sciences  mallieniali(]ues,  i"  série,  l.  WII,  mai   iScj3. 


lOO  PUEMltllE   PAUTIK. 

Par  cons('(|uenl 


v/a«p5     r-     ,)? 


En  posant 


nous  aurons 


--J-J 


p(0  =  ^ 


v/p(0 


df 


A  la  catégorie  mentionnée,  appartient  l'intégrale  citée  dans 
l'Ouvrage  de  Serret  ('),  et  sa  réduction  aux  intégrales  elliptiques 
ne  présente  aucune  dif'licullé.  Soit  donnée 


V  --= 


à.T 


V 


X^  -h  1 


l^osons 
alors 

Posons  encore 
alors 


.-r"'  =  z  ; 


\   = 


ùz 


<V  'v/^-M^  +  i)^ 


I  =  -} 
l 


01 


6J     J/^5(,    _^^5 

et  cette  intc'grale,  comme  nous  venons  de  le  prouver,  peut  se  ré- 
duire à  la  forme 

dx 


J  V(^ 


ou  a  Ja  lorme 


/ 


a)^{x  —  b)^ 
dx 


\/x'' 


a  x 


A  cette   dernière   forme,   l'intégrale   ci-dessus   se    réduit    dans 


l'Ouvrage  de  Serret. 


(•)  P.  65. 


MfilLANGIÎS. 


()7 


La  rrdiichoii  de  l'inlcgralc 


c) 


aux   clli|)li(jM('s    jkîuI    clic  adaplcc   à   la    résolulion  du    problème 
s«ii\aiil  : 

Pi'.()inj:\TK.  —  l'roiivcr  les  concluions  p(nfr  (jue  Viniégvale 

J   y^^x  —  a)'*{x  —  b 


){X—C) 


s^ exprime  par  des  logarithmes. 
Posons  d'al)ord 


.r  —  r/  —  -  > 


alors 


J. 


()Z 


G  v/(  -  H-  a  )  (  ^  +  fi  ) 


a  = 


a  —  b 


P  - 


a  —  ù 


En  posant  maintenant 


tlY  =  r 


nous  aurons 


J,:--^ 


df 


a  -I-  i> 


H ; —  y  a'{j 

4 


)¥'i'-('^}'] 


La  première  des  intégrales  obtenues 


•A 


Ôt 


{^^)1v''-(^)' 


,08  l'UKMIÈUli   PAKTIli;. 

se  n'dnll  imnK'dialcmciil  aux  lo^arlllmics,  cl  la  seconde 


^^^--^^J.ô 


4 

est  elli|)li(|ue.  Si 
c'esl-à  dire 


l'inlégrale 


v^aa 


a  +  p 


a  -(-  [i  —  (), 


oA 


v 


/' 


/  — 


i:--^)'] 


a  = 


dx 


J    '\/{x  ~- (i)'*{x  —  h){x  —  c) 

se  rcdiiil  aux  logarlllnnes.  Ce  résultai  ne  donne  rien  de  nouveau, 
car  dans  le  cas  donné  Jjj  se  réduit  à  la  forme 

dx 


y/.?'^  {x-  —  a) 

et  cette  intégrale  s'exprijne  facilement  par  des  logarilhmes  par  la 

substitution  ordinaire 

x''=z. 

Pour  trouver  les  conditions  générales  d'expiimaljilité  par  des 
logarithmes  l'intégrale 

r  àx 


il  faut  exprimer 


y^x  —  a)''(iP  —  b){x  —  C) 
dt 


a-+-?^ 


)-lC/-['-C-^)1 


parles  (onctions  ellipticpies   de  Weierslrass. 
l\)sons,  |)our  abréger, 


a  H-  'Çi 


a  —  p 


=  y; 


nous  avons 


lin  posant 


N,= 


ùx 


( ,r  —  /' )  \/x'-'' {x  —  q  ) 


X  —  y 


MÉLANGES.  169 

nous  avons 


l'ji  posanl  ICI 

-  dt, 


v/^ 


,     X3 

^  -I 


et  en  exprimant  z  par  l'équalion  didércnliclle 

ainsi  que  par  la  eonclilion  que  .3  a  son  infini  pour  /  =  u,  nous  ob- 
licndrons  (  '  ) 

I 


^2=0,  ^3  =  — 


3o^ 


J>'(0=^4pHOh-     ' 


N,= 


v/è  /^         pt  dt 


En  posant  ici 


a|3(a-p)v/5     /        3, L_ 


2 


V^iSa^        '^  V  ''> 


I  1      i    {a  —  h){a~c) 


et  en  répétant  les  raisonnements  que  nous  avons  déjà  employés 
plusieurs  fois,  on  peut  formuler  le  théorème  suivant  : 

Soient  donnés 


p(,„)_'   ,^/(a-b)(a-c) 


•1     V  13 


1    (a  —  bY{a  —  cY 

^■2=0,         ^3  = p  — ^. 

i5  {0  —  cy 

Si   /„=  —  est  une  partie  commensurable  d^une  période 


(')  Bulletin  des  Sciences  mathématiques,  2*  série,  t.  XVII,  p.  iS-r. 
Bull,  des  Sciences  mathém.,  2^  série,  t.  XX.  (Juillet  1896.)  12 


I70 


l'KEMlËKE   PAUTIR. 


l  intégrale 

dx 


I 


\/{x  —  a)'*{x  —  b){x  —  c) 


se  réduit  aux  logarithmes. 


Exemple.  —  Soit  donnée  l'intégrale 
r  dx 


b)(x  —  c) 
OÙ 

a  =  o.         b  =  i,         c= — 7±4/3. 
Nous  avons 

I         3/    c  2      /        C        \2 

Après  la  formule  de  la  duplication  de  l'argument,  nous  avons 

4    \    P   '0    / 

3/    C  Q    /  ï   —  C\2       3/  C 


ou 


ou 


.        .         I      3/  c 

c'esl-à-dire 

p(2to)  =  p{to); 
par  conséquent 

2  0) 

^0-  -3-; 
par  conséquent  l'intégrale 

/dx 
l/x'*{x  —  i){x-\-y±i^3) 

ne  s'exprime  que  par  des  logarithmes. 

5.   Etudions  maintenant  en  détail  les  intégrales  de  la  forme 


h 


âx 


's/{x  —  ay^{x  —  0)^{x  —  c)l 
a  +  ^  4- Y  ^^  o  (niod.  12). 


Mf":LANCJl!:S.  171 

l)(Mi\  siij>|K)Ml  ions  seules  soni  possibles 

a  -h  [ii  -(-  Y  —  !•>., 
a  -H  [ii  -H  Y  —  •).  î . 

Ces  deux  su|)posiLic)ns  uinèneuL  évidemment  à  une  seule  relaliOii 

a  -f-  p  4-  Y  --  •i.\  ; 
ear  les  inléiirales  salisfaisanL  à  la  condition 

a  +  p  -H  Y  =  J  "2 

sont  des  intégrales  de  la  troisième  espèce  avec  le  point  critique 
logarithmique  à  l'infini. 

Toutes  ces  intégrales  dépendent,  comme  nous  le  verrons,  des 
arguments  de  la  première  espèce  satisfaisant  à  la  condition 

a  +  pn- Y  =  'M. 

Ne  désirant  pas  entrer  ici  dans  des  détails  concernant  peu  la 
question  et  ne  présentant  point  d'intérêt,  disons  simplement  que 
le  tjpe  des  intégrales  mentionnées  se  réduit  aux  cinq  suppositions 
suivantes  : 

(0 
(^) 
(3) 
(4) 
(5) 

La  recherche  du  genre  de  l'intégrale 


a  =  10, 

M  7, 

ï  —  7' 

7,  =  6, 

P  =  7, 

Y=  II, 

a  =  7' 

1^  =  8, 

T  =  9' 

a  ^  5, 

M  8, 

Y  =  11, 

a  =  5, 

^  =  9, 

Y  =  10. 

/' 


dx 


\l  {^x  —  ay^^{x  —  b)'  {x  —  cy 
amène  au  Tableau  suivant  : 


\ji  PUEJMIÈUIZ    1>AHTIE. 

L'exposanl      L'exposant      L'exposant 


du 

de 

(1- 

radical. 

a;  —  a 

J... 

12 

lo 

2.. . 

G 

4 

a... 

4 

2 

4... 

3 

I 

Tj.... 

12 

2 

6... 

2 

O 

7... 

12 

10 

8... 

3 

2 

9.... 

4 

2 

10... 

6 

2 

11.... 

12 

2 

Le 

nombre 

îxposant 

L'ex 

posant 

des 

nlégrales 

de 

de 

de  la 

X  —  />>. 

a; 

—  c. 

pi'emièrc  espèce 

7 
1 

7 

I 

I 
o 

3 

3 

I 

I 

I 

0 

II 

II 

I 

I 

I 

o 

I 

I 

o 

2 

2 

i 

I 

I 

o 

5 

5 

I 

5 

5 

o 

On  voit,  d'après  le  Tableau,  que  l'intégrale  appartient  au  genre 
cinq.  Le  genre  mentionné  se  distingue  par  deux  intégrales  carac- 
téristiques de  la  première  espèce 

r  dx  r  dx 

J   ^l/{x  —  ay^{x—  by{x  —  cy'         J   ^l/{x  —  ay{x  —  by\x  —  cy^' 

et  par  deux  intégrales  caractéristiques  de  la  troisième  espèce 

/dx  r  dx 

^l^{x  —  ay^{x  —  b){x  —  c)  J    'v^(a7  —  ay^{x  —  by{x  —  cy 

La  réduction  de  toutes  ces  quatre  intégrales  sera  faite  en 
même  temps  et  au  moyen  des  mêmes  substitutions  simplement  ra- 
tionnelles. 

Pour  se  rendre  compte  quelle  influence  doivent  avoir  les  sub- 
stitutions simplement  rationnelles  pour  diminuer  le  genre  des  in- 
tégrales caractéristiques,  revenons  au  Tableau.  On  voit  qu'en 
conjonction  avec  les  intégrales  données  se  trouve  le  groupe  des 
intégrales  du  genre  deux  : 

dx  r  dx 


r  dx  r 

J  y{^x—ay(yX  —  by{x — cy  J    \/{x  —  <2)2 


{x  —  by^{x  —  cy 

La  substitution  rationnelle  doit  détruire  cette  conjonction,  et 
le  genre  de  l'intégrale  donnée  sera  diminué  de  deux  unités.  On 


|)(Mil  ('vidcinmciil  floimcr  à  riiilr<;ralc 


1-3 


la  loniic  su  1\ aille 


r dx^ 

J  ^y{x  —  ay'^{x  —  by {x  —  cy 

J  'y{x-^oLy{x-^^f' 


Miainloiianl  rinllni  est  un  point  de  ramificallon.  Nous  avons 
.A*  dx 

J     — — 


x 


^Y        /a-[i 


2  1  7 


En  posant 
nous  obtiendrons 


J, 


X  -^ ^  )    =  t. 


dt 


Ph(^)T 


En  faisant  l'infini  un  point  ordinaire,  nous  amenons  l'intégrale 
donnée  à  la  forme 


^■=/n 


àx 


y  {x  —  a)Hx  —  by  (^x  —  cy^ 

Les  autres  intégrales  caractéristiques  sont  réduites  conformé- 
ment à  la  forme  suivante  : 


dx 


r dx^ r 

J    ^y {X  —  af {x  —  by {x  —  cy^'  J    ^y {X  —  ay^x  —  b){x  —  cy 

6.   Analysons  l'intégrale 


Ji  = 


rvi^ 


àx 


ay{x  —  by{x  —  cy^ 

L'analyse  de  cette  intégrale  amène  au  Tableau  suivant  : 


PREMIÈRE  PARTIE. 


(7- 
i. 

2. 
3. 

4. 


Le  nonnbre 

'cxposanl 

L'o 

posant 

L 

ex  posa  ni. 

L'c> 

posant 

des 

intégrales 

du 

de 

de 

de 

de  la 

radical. 

.07 

—  a. 

a: 

-^;. 

.X 

—  c. 

première  espère 

12 

6 

7 

1  I 

I 

6 

o 

I 

5 

O 

4 

2 

3 

3 

I 

3 

O 

I 

2 

0 

12 

2 

6 
o 

II 

i 

7 

I 

I 
o 

12 

6 

I 

5 

0 

3 

o 

2 

2 

o 

4 

2 

I 

I 

o 

6 

12 

O 

6 

5 
5 

I 
I 

o 
o 

(3.. 

!.. 

8.. 

9.. 
10.. 
11.. 

Ainsi,  l'intégrale  donnée  du  genre  cinq  est  réduite  à  l'intégrale 
du  genre  trois,  comme  il  fallait  le  prévoir.  Ce  nouveau  genre  se 
distingue  par  deux  intégrales  caractéristiques  de  la  j^remière 
espèce 

/dx  f  àx 

^y {^x  —  af  {X  —  h  f  ^x  —  cy^  J   ^'\/{x~ay'{x  —  by^{x  -  c)' 

et  par  deux  intégrales  caractéristiques  de  la  troisième  espèce 

/dx  r  àx 

^'{/{x  —  ayix  —  b){x  —  cf  J    ^y{x  —  ay'{x  —  by{x  —  c) 

En  conjonction  avec  ces  intégrales  se  trouvent  les  intégrales  du 
genre  un 

/dx  r  dx 

y[x—ay^{x  —  bf{x  —  cy  J    ^{x —  ay{x  —  b){x  —  c) 

Si  nous  trouvons  une  substitution  simplement  rationnelle  qui 
va  détruire  cette  conjonction,  nous  amènerons  l'intégrale  étudiée 
ou  au  genre  deux,  ou  au  genre  un.  On  peut  évidemment  réduire 
l'intégrale  donnée  à  la  forme 


'& 


.  _  r       àx 

J    iV{x-ha 


En  posant 

X  =^  P, 


Mf-lLANCiKS.  175 

nous  aurons 


1  =  :^/'-       '-'"— 
J   ^l/lP-¥-a)U 

r       t  (U 


J  =  3-  '""^ 


Il  siiffil  (le  se  borner  à  l'inlégrale 

Z'         .r  dx 


on 

X  dx 


J/(^3_,)2a73 

Supposons  maintenant 

I 

X  —  I  =  -  J 

z 

alors 

I       r  i\-\-  z)dz 


OU 


En  posant 


1 


nous  avons 


J  =  — 


4v/3  j  s/cM^  +  Tiric-i)^^ 

Le  problème  est  réduit  aux   deux  intégrales    de  la  première 
espèce 


L'intégrate  M.2  est  elliptique  et  M,  est  une  intégrale  du  genre 


170  PREMIERE   PARTIE. 

deux.  Ainsi,  Loulcs  les  intégrales  caractérisliqiies  pour  la  combi- 
naison 

a  =  TO,         P  =  7»         Y  =  7 

sont  réduites  finalement  au  genre  deux. 

Les  intégrales  caractéristiques  pour  la  combinaison 

a  =  G,         P  =  7'         Y  =  II 
sont  aussi  réduites  au  genre  deux. 

7.   Considérons  maintenant  la  combinaison 

a  =  7,         P  =  8,         Y  =  9- 
La  recherche  du  genre  de  Tintégrale 


/ 


dx 


amène  au  Tableau  suivant  : 

Le  nombre 
L'exposant      L'exposant       L'exposant       L'exposant       des  intégrales 


du 

de 

de 

de 

de  la 

Q- 

radicaL 

X  —  a. 

X  —  b. 

X  —  c. 

première  espèce 

\.... 

12 

7 

8 

9 

1 

2.... 

6 

I 

2 

3 

0 

3.... 

4 

3 

O 

1 

o 

4.... 

3 

I 

2 

o 

o 

5... 

12 

II 

4 

9 

1 

6.... 

2 

I 

o 

I 

o 

7.... 

12 

I 

8 

3 

o 

8... 

3 

2 

i 

o 

o 

9... 

4 

I 

o 

3 

o 

10... 

6 

'     5 

4 

3 

I 

H... 

12 

5 

4 

3 

o 

On  voit,  d'après  le  Tableau,  que  l'intégrale  appartient  au  genre 
trois.  Le  genre  mentionné  se  distingue  par  deux  intégrales  carac- 
téristiques de  la  première  espèce 


^y{x  —  ay{x  — 


r dx 

J    ^y{x  —  ay^{x  —  bf\ 


bf{x  —  cy  J    ^y{x  —  ay^{x  —  b)'*{x  —  cf 

et  par  deux  intégrales  caractéristiques  de  la  troisième  espèce 

dx  r  dx 


h 


\/{x  —  a)(x  —  b)^{x  —  c  )•' 


/ 


1  2 


^{x  —  a)'^{x  —  b)*{x  —  c)-* 


MÉLANGIîS 


'77 


On    voil    (iiTcii    conjoncliou    avec    les    iiilégralos    données    se 
li()nv(^  rinlé^ralc^  elli|)li(|(i(' 


,7   Mix  —  a 


dx 


y{x  —  a)^{x  —  ôy*{x  —  c)^ 

La  subsliliilion  simplement  rationnelle  doit  détruire  cette  con- 
jonction, et  le  génie  tle  Tintégrale  donnée  sera  diminué. 
Il  suffM  de  se  borner  à  rinléi^raie 


S  = 


Posons 
alors 


/^ 


dx 


S  =  3 


V{x  —  iy^x'' 

x=  t?\ 

r      tdt 


ou 


s  =  3 


Posons 


J  v/(7m^ 


t  dt 


/  = 


1  +  ^ 


où  m,  n  satisfont  aux  conditions 


Nous  aurons 

S  =  3(m  -h  n)  I 


2 m/i  -\-  {jn  -\-  n )  -\-  1  =  o, 
•itnii  —  ( /n  -I-  /i)  =  o. 


y  [{m'-  -^  m  -\-\)^-^  -\-  n^  -\- 11+  lY  [(m^  _  ni)^!  +  ,ii  —  n\^ 
En  posant  enfin 


l'  = 


nous  réduirons  S  aux  deux  intégrales  elliptiques 

dz  r  d: 


h 


r  d: 

J  VW^^. 


8.    Considérons  maintenant  la  combinaison 


8  PHEMIEIIE   PARTIE. 

La  recherche  du  genre  de  l'inlégrale 


/■■ 


ùx 


amène  au  Tableau  suivant  : 

Le  nombre 
L'exposant      L'exposant       L'exposant       L'exposant       des  intégrales 


du 

de 

de 

de 

de  la 

'7- 

radical. 

X  —  a. 

X  —  b. 

X  ^  c. 

première  espèce 

1... 

12 

5 

8 

1 1 

I 

2.. . 

6 

5 

2 

5 

I 

3.... 

4 

1 

0 

3 

o 

4... 

3 

2 

2 

2 

I 

ri.... 

12 

I 

4 

7 

o 

6.... 

2 

I 

o 

I 

o 

7.. . . 

12 

II 

8 

5 

I 

8.... 

3 

I 

I 

I 

o 

9.... 

4 

3 

o 

I 

o 

10... 

6 

I 

4 

I 

o 

11... 

12 

7 

4 

I 

o 

On  voit,  d'après  le  Tableau,  que  l'intégrale 

dx 


/-■ 


l/{x  —  a)^{x  —  b)^{x  —  c)i' 


appartient  au  genre  quatre,  Le  genre  mentionné  se  distingue  par 
deux  intégrales  caractéristiques 

dx  r  dx 


r dx^ r 

J   ^y{x  —  a)'^{x  —  6)8(^  — c)ii'  J    ^y^x  —  ay^ 


{x—  bY{x  —  c)^ 

de  la  première  espèce  et  par  deux  intégrales  caractéristiques  de  la 
troisième  espèce 

r  dx  r  dx 

J     y{x  —  a)(^x  —  by*{x  —  cy  J      y^x  —  ay'{x  —  by*{x — c) 

On    voit   qu'en    conjonction  avec    les    intégrales    données,    se 
trouve  le  groupe  complet  du  genre  deux 

r  dx  r dx 

J  ^y{x  —  ay{x  —  by{x  —  cy         J  y{x  —  ay{x  —  by{x  —  cy^ 

La  substitution  simplement  rationnelle  doit  détruire  cette  con- 


MÊLANT,  r:S.  ,79 

joiK'lioii,  (*l  \c  i^(Mii'o  (le  Tin  le'"  <^  rai  (i  (Ioiiik'c  sera  (liijiinu('  (Je  doux 


nulles, 


Il  siiffil  (\c  rous\(]rv{'v  rinlc^ralc 


s=  ■  ''^ 


Supposons 
alors 

En  posant 

nous  aurons 

S 


J  'V{^- 


s  —   '?. 


-iw 


r         tclt 

l  = i 

y 

(1  ■^y)ùy 


Ainsi,  pour  résoudre  le  problème,  nous  aurons  l'intégrale 


^  _   i  {x  -\-  a)  ùx 


+  />37  H-  q)'*{x^^-\-  rx  +  5)^ 

En  employant  la  substitution 

_  as  -i-  p 


X 


où  a,  p  satisfont  aux  conditions 

2ap  -+-/;(a  +  P)  +  '2^  =  0, 
2aj3  -h  /-(a  -h  p)  -H  25  =  o, 

nous  réduirons  l'intégrale  donnée  à  la  forme 

En  posant,  enfin 
nous  aurons  définitivement 

Ainsi,  l'intégrale  donnée  est  réduite  aux  elliptiques. 


i8o  PREMIÈRE  PARTIE. 

0.   Considérons,  enfin,  l'intégrale  abéliennc  de  la  forme 


/ 


dx 

a  +  p  +  Y  =  o         (  mod .  8  ). 


Deux  suppositions  seules  sont  possibles 

a  -h  [3  H-  Y  =  16, 
a  -t-  p  H-  Y  =  8. 

Ces  deux  suppositions  amènent  évidemment  à  une  seule  relation 

et  nous  aurons  les  trois  suppositions  suivantes  : 

(i)  a  =  T,  ?  =  ï,  Y  =  fi, 

(2)  a=:T,         |B  =  2,         Y  =  5, 

(3)  a  =  i,         p  =  3,         Y=4- 

La  recherche  du  genre  de  l'intégrale 


/ 


dx 

\/{x  —  a){x  —  by^{x  —  cy 


amène  au  Tableau  suivant  : 

Le  nombre 

L'exposant      L'exposant  L'exposant  L'exposant  des  intégrales 

du                    de  de  de  de  la 

q.                  radical.            x  —  a.  x  —  b.  x  —  c.  première  espèce. 

1 8                     I  2  5  o 

2 4                    I  2  1  o 

3 8                    3  G  7  i 

4 2                    I  o  I  o 

V^ 8                     5  2  I  o 

6 4                     3  2  3  I 

7 8                    7  ()  3  1 


On  voit,  d'après  le  Tableau,  cpie  l'intégrale 


/ 


dx 
y{â-  —  a){x  —  b~y^{x  —  c)^ 


appartioni    au  genre  trois.  J^e  genre  mentionné  se  dislingue  par 


(l('ii\  iiilégralcs  caraclcrisLicjiics 

r dr /• ôx 

J  l/{x  —  ay(x'—  ùf{x  —  cy'  J   )/{ x^^ay (o^Z^bY {x  —  cf 

(le  la  prcinlri'c^  csjx'îcc  et  [)<n'  deux  iiiLcj^ralcs  caracUhlsLKjues 

/dx  r  Ox 

y^x  —  a){x — Oy-{x  —  cf  J   y{x  —  ay'{x—by^{x  —  c) 


(le  la  Iroisième  espèce.  On  voll  ([u'en  eonjonclion  avec  les  inLé- 
i; raies  données  se  trouve  l'intégrale  elliptique 


/ 


dx 


\/{x  —  ay^{x  —  by^{x  —  cy 

La  substitution  simpletneni  rationnelle  doit  détruire  cette  con- 
jonction, et  le  genre  de  l'intégrale  donnée  sera  diminué  d'une 
unité  au  moins. 

Il  sulTit  de  considérer  l'intégrale 


^'h 


dx 


y{x  —  ay{x  —  by 

En  posant 

X  —  <x  =  r^, 
nous  aurons 

^  _       /*  X  dx 


Par  conséquent,  nous  aurons  l'intégrale  de  la  forme 


r  t  dt 


/(x-  —  ay\x  —  by\x  —  cy 

En  employant  la  substitution 

I 

iC  =  /?t  H > 

y 

nous  réduirons  l'intégrale  donnée  à  la  forme 

»  _  i  (y  +  ^i)  dy 


J  y{y-i^ 


y{y  —  hHy  —  fiiyiy  —  n)^ 


Il  est    facile    de    prouver  que    cette    intégrale    appartient    au 
troisième  genre   et  se    caractérise  par   les    trois  intégrales   con- 


i82  PUEMIÈIIH   PAKTIE. 

jiigiiécs  de  la  picmière  espèce 


W   1/  —   n  \'i 


my'ij  —  II) 


dy 


>/{y  —  ^){y  —  0(7  -  "^)iy  —  'O 


doQt  la   troisième  est  elliptique.  Présentons  la   fonction  sons   le 
radical  dans  la  forme 

(7  —  k){y  —  l){y  -  ni){y  —  ii)  =  {y'-^py^q){y'--{-  ry  +  s), 

et  employons  la  substitution  ordinaire 

as  --h  B 

où  a,  p  satisfont  aux  conditions 

2a^  +/»(  a  H-  P)  H-  2^7  =  o, 
lOL^  -+-  /'(a  H-  [i)  +  2.9  =0. 

Par  cette  raison,  nous  aurons 


Ces  intégrales  se  réduiront  aux  deux  suivantes  : 

J   i/L(A^^4-B)(A'^-^+B')J^ 

J    v/[(A^2+B)(A's2+B'-i)p 
En  posant 

nous  aurons  définitivement 

M  =  !    f  -"  - , 

2  J    ■v//2(A/-^B)a(A'/  +  B')a 


^'h 


MÉLANGES.  i83 

Il  l'sl  clair  (|ue  M  cl  N  sont  clli|)ll(|ucs. 

10.    (  ]()i)si(l('i'ons  la  comhmaison 

a  =2,         (ir^7,         Y  =  7- 

La  rcchcrclie  du  <^enrc  de  l'intégrale 

ôx 
v/(  ^  —  ay^{x  —  b  f  {x  —  c)' 

ainriir  an  Tableau  suivant  : 

Le  nombre 

L'exposant      L'exposant  L'exposant  L'exposant  des  intégrales 

du                    de  de  de  de  la 

q.                 radicaU            x  —  a.  x  —  b.  x  —  c.  première  espèce. 

1 8                     2  7  7  I 

2 4                     x  3  3  I 

3 8                    6  5  5  I 

i.    . . .                 2                      o  I  I  o 

o 8                     1  3  3  o 

() 4                  ">-  I  ï  o 

7 8                    6  ï  I  o 

Ce  Tableau  prouve  que  l'intégrale  donnée  appartient  au  genre 
trois.   A.  ce  genre  appartiennent  deux  intégrales  caractéristiques 

/dx  r  dx 

y{x  —  ay'{x  —  byiyX  —  c)"  J   l^{x  —  af{x  —  bf{x  —  cf 

de  la  première  et  deux  intégrales  caractéristiques  de  la  troisième 
espèce  : 

/dx  r àx 

l/{x  ~  af{x  —  by^(x  —  cf  J    \/(x  —  a'y{x  —  b)(x  —  c) 

En  conjonction  avec  les  intégrales  caractéi'istiques  de  la  première 
espèce  se  trouve  l'intégrale  elliptique 

/dx 
\/{x  —  ay^{x  —  by^{x  —  c  y^ 

Cette  circonstance  donne  lieu  de  prévoir  que  la  substitution 
simplement  rationnelle,  en  détruisant  cette  conjonction,  dimi- 
nuera le  genre  de  l'intégrale  d'une  unité.  Prenons  l'intégrale 


-/ 


dx 

l/{x  —  ay-{x  —  b)'{x  —  cy 


PllEMIEUE   PAiniE. 


En  posant 
nous  aurons 


X  —  a 


dz 


a  -f-  '^ 


L  \ 


-0-^-(^)T 


a  —  b 


En  Dosant  encore 


=  t. 


a  —  c 


a  — 3 


nous  aurons 


L'intégrale  obtenue  est  équivalente  à  l'intégrale 


f 


v/(r-a)Hj-^yH7-T)^ 


qui  appartient  au  genre  deux  et  se  caractérise  par  deux  intégrales 
caractéristiques  de  la  première  espèce,  comme  le  prouve  le 
Tableau  ci-dessous  : 

Le  nombre 
L'exposant      L'exposant       L'exposant       L'exposant        des  intégrales 


q. 

1. 

2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 


du 
radical 


de 

de 

X  —  a. 

X 

—  b. 

4 

5 

o 

I 

4 

7 

o 

I 

4 

1 

o 

3 

4 

3 

de 

de  la 

X  —  c. 

P 

rcmière  espèce 

7 

I 

3 

o 

5 

I 

1 

o 

3 

o 

I 

o 

I 

o 

COMPTES   RENDUS   ET  ANALYSES.  i85 

COMPTES    II  i:  M)  US     ET    ANALYSES. 

J.  TANNERY  et  .1.  MOEK.  —  Éléments  m-:  la  tukofuk  ih:s  foxctioxs  kllip- 
TIQUES.  Tome  II  :  Calcul  différentiel  (W  Partie),  i  \(il.  in-8",  vi-3oo  p. 
Paris,  Gfiiitliier-Villars  et  (ils,  i<S()G. 

Ha|)[)el()ns  loiil  d'abord  (|ii('  l(;  picnilc.T  \  oliime  du  bel  Oii- 
vra(>e  que  sonl  en  liaiii  d<'  publier  j\îM.  T'aiinervel,  Molk  esl  con- 
sacré à  l'exposition  des  propriétés  essenlielles  de  la  fonction  du 
et  des  fonctions  (|ui  en  dérivent,  ainsi  fju'à  hi  ibéorie  de  la  trans- 
formation des  fonctions^;  il  contient,  en  outre,  une  Introduction 
où  se  trouvent  l'éunis  les  éléments  (b^  la  tbéorie  des  séries  et  des 
[)roduits  infinis,  et  aussi  de  la  tbéorie  des  fondions  transcendantes 
entières. 

Le  présent  Volume  termine  la  partie  de  rC)u\rage  qui  se  rap- 
porte au  Calcul  différentiel  ;  il  contient,  en  deux  Cbapitres,  les 
Gbapitres  111  et  IV  du  Calcul  différentiel ,  une  magistrale  exposi- 
tion des  propi'iétés  des  fonctions  ^7  et  des  fonctions  que  l'on 
obtient  en  prenant  les  quotients  des  fonctions  es' ou  des  fonctions  S 
deux  à  deux  ;  c'est  d'ailleurs  la  théorie  de  la  transformation  de 
toutes  ces  fonctions  qui  occupe  naturellement  la  plus  large  place 
dans  cette  exposition. 

Ajoutons  tout  de  suite  que  les  auteurs  ont  eu  l'idée  singulière- 
ment heureuse  de  réunir  les  nombreuses  formules  obtenues  suc- 
cessivement au  cours  de  leur  exposition  dans  un  Tableau  placé  à 
la  fin  du  Volume,  et  qui  n'occupe  pas  moins  de  soixante-huit  pages. 
Ce  Tableau,  qui  correspond  au  texte  par  un  système  particulier 
de  numérotage,  d'ailleurs  très  facile,  constitue  un  véritable  résumé 
de  la  théorie  et  rend  l'Ouviage  d'un  emploi  particulièrement  com- 
mode pour  les  applications. 

Le  Chapitre  III,  intitulé  Les  fonctions  ^,  contient  neuf  para- 
graphes ;  le  Chapitre  IV,  intitulé  Les  quotients  des  fonctions  i 
et  des  fonctions  2/,  contient  cinq  paragraphes.  Tous  ces  para- 
graphes sont,  en  réalité,  autant  de  Chapitres  que  nous  allons  ana- 
lyser successivement,  nous  estimant  heureux  si  nous  réussissons 
à  donner,  par  une  analyse  aussi  succincte,  une  idée  exacte  de  la 
richesse  des  matières  contenues  dans  ce  Volume,  et  surtout  des 

Bull,  des  Sciences  mathém.,  2"  série,  l,  X\.  (Août  1896.)  13 


i86  PKEMIÈRE  PAUTIE. 

C[iialités    Loules     parliculièies    d'exposiliuii    qui    dislingiieril    les 
ailleurs. 

CHAPITRE  Jll.  —  Lks  fonctions  'b. 

i.  Développement  des  fonctions  du^  d^u.  —  Dans  les  fonc- 
lions  du,  dat,ii  telles  qu'on  les  a  considérées  jusqu'à  présent,  les 
périodes  jouent  le  même  rôle  :  cette  symétrie,  avantageuse  par 
certains  côtés,  présente  aussi  des  inconvénients,  car  elle  laisse 
confondues  certaines  propriétés  de  ces  fonctions,  f)eut-être  les 
plus  importantes.  Détruisant  celte  symétrie  afin  d'obtenir  les  fonc- 
tions de  Jacobi,  MM.  Tannery  et  Molk  font  tout  d'abord  l'hypo- 
thèse essentielle  suivante  : 

Le  coefficient  de  i  dans  le  rapport    -  est  positif  ;  par  suite. 


on  a 

En  outre,  si  l'on  remplace  le  couple  primitif  (2  to, ,  2(03)  par  un 
couple  équivalent  (2Q,,  2O3),  on  supposera  toujours  ces  deux 
couples  proprement  équivalents. 

Les  notations  des  auteurs  sont  en  gros  celles  de  M.  Schwarz,  sauf 

les  différences  qui  résultent  de  la  supposition  0)1  +  032-4-^3=0. 

Si  l'on  fait 

u 

•20»! 


t03 
CO, 


la  valeur  absolue  de  cj  est  inférieure  à  1,  et  Ton  peut  poser 

n  =  \  '^'  —  1 

les  produits  infinis  qui  figurent  dans  les  seconds  membres  étant 


COMPTI'S   RENDUS   Mi    ANAI.YSllS.  187 

absolimiciit  coiiNcrj^ciils  ;  011  ;i,  (riiillciii'.s, 

En  Iraiisfoiuianl,  \\  \'\\\(\c  des  ri()iiv(dl('s  nolalions,  une  formule 
(Irjà  obtenue,  f|ui  donner  l'expression  de  la  foiicllori  "i ii  sous  forme 
d<>  produit  infini  à  simple  enirre,  on  ohlient 


~     1     ■-  ■     I  n^'1  ^-2 


1  j  ^^  n 


.  X  (O  1     z  —  z 

ci  a  —  ^'-i-O. ">•'•■ — -  r 

T.  'Il        Ml       \  —  q-"      MM      i  —  q 


I  —  q^"  Z- 


.  9.  (0  I       . 


TT 


n 


n  =1 


i  —  '}. q'^'^  cos at-'it  -h  q'*'^ 


(I  —  q'^"f- 


Des  formules  analogues  exislenl  pour  les  fonctions  a'a//. 

La  plupart  des  résultats  obtenus  au  Chapitre  11  peuvent  se  trans- 
former de  la  même  façon. 

Les  développements  nouveaux  que  l'on  vient  d'obtenir  pour  les 
fonctions  'i  et  c'a  fournissent  aisément  les  valeurs  de  s'omet  ^'^oj^; 
on  a,  [)ar  exemple, 


•^n<'>t  , 


'2(0 


(0,    -me 


.0)2 


1  q\ 

9l 


v/i 


1 
2  ^4 


2 


-r^  .9, oj,        ai 


dans  ces  formules,  couime  pailout  dans  la  suite,  les  symboles  q" 

in 

ou  \Jq^^^  /"  ou  \' i"^  ont    une   signification    précise   définie   par  les 
égalités 

m  mXTZi  m  niTZi 

q"  —  yq'"  —  e    n     ,  i'-'   z=  yi'n  —  ^  2h    . 

On  a  encore,  comme  conséquence, 


7: 


S/e.,—  e.,  =—^^^\qlq\q\ 


v/^i 


e%  —  - 


ql^l 


v/^ 


'IMi 

^2  =  ~-ql9Ï: 

1  tO  j 


i88  PREMIÈRE   PARTIE. 

et  l'on  en  déduit  celte  nouvelle  relation  entre  q^  q^^  q^  et  ^3 


\Q,qq\  =q\—q 


On  définit  sans  ambiguïté  les  racines  quatrièmes  des  diffé- 
rences ^oc  —  e^  et  la  racine  huitième  du  discriminant  Ç,  par  les 
formules 

Ve-i—  f'-i  =  i\/  -^'-f.qQqlq'*, 
y     i  to  1 

dans  lesquelles  la  signification  del/^ est  la  même,  arbitraire 

d'ailleurs. 

Un  procédé  de  transformation  dont  le  principe  est  dû  à  Cauchj, 
et  qui  a  été  développé  par  M.  Biehier,  permet  de  développer  les 
produits  infinis  qui  figurent  dans  les  expressions  des  «s'a i<  en  séries 
convergentes,  et  les  résultats  obtenus,  indiqués  plus  bas,  amènent 
tout  naturellement  l'introduction  des  fonctions  ^. 

2.  Relations  entre  les  fonctions  d  et  les  fonctions  2/.  — 
MM.  Tannerj  et  Molk  posent 


IIZIZ   X 


S7i(t'j=-.  'V(_  ,y'^'/""i'  e  2/^+1)^^7:/=:   V  (_  i)/e  .^^rV"  ^i  J   sin(2n  +  i)-p, 

n  nrrO 

1    '-  "  ^^°°  1    °- 

n  nz=0 

ll^z  <x> 

n  »  -  1 

?J.',U')=      ^{—i)"q"'e-'''"^'  =  i-i-  ^i—i)"-2q"'cos9.nnV. 

Les   fonctions  ^  de  Punique  vaiiable   r  =  - -.  ainsi  définies, 


COMPTAS  RlîN'DUS   ET  ANALYSES.  189 

soiil  tics  roncllons  transcendantes  entières  ;  l(;s  séries  des  seconds 
membres  peuvent  être  dinerenli(''es  lernic  ;i  terme,  j)ar  rapport 
à  r,  (/  ou  T. 

S'il  est   nécessaire    de    mettre   en   évidence   le   rapport  t  ou  le 
nombre   q    à    l'aide    descpiels    sont   formées   les   fonctions   3?,   on 

écrira  2»a(^'|'^)  ^"  ^a(^j  7)  «l"  '•<'"  <^<'  •'^a(^0- 
A  l'aide  des  fonctions  !t7,  on  a 

r  ' 

1 
q,,ql^2U  =  e2ri,a),.'«^3(ç;^, 


ou  encore 


J^es  formules  données  pr.'cédemment  permettent  alors  de  mettre 
les  ^a(^)  sous  forme  de  produits  infinis  ;  on  peut  aussi  conserver 
au  lieu  de  ç  la  variable  z  et  introduire  quatre  fonctions  pa(z)  res- 
pectivement égales  aux  fonctions  Xj^i^)- 

Signalons  encore  les  expressions  suivantes  des  fonctions  S». 
souvent  utiles, 


TC/i'»  /  1 

XTZl     n 


2        T 


n 

n 

71/1'-  ./  <'\' 

_     ,  "V^  ■^'^'  {  «  -I —  1 


Les  zéros  des  fonctlo>ns  2r  se  déterminent  aisément  ;  d'ail- 
leurs 2r,  ((^)  est  impaire,  tandis  que  les  trois  autres  fonctions  soni 
paires. 

Quand  on    change   w  en    u-^2(>)^,    ou    «  +  9,(03,    o\i    «-f-fo,, 

ou  u  -\-  (1)3,  ceci  revient  à  changer  ç  en  t  -f-  i ,  ou  v  +  t.  ou  ^^ 


—  j 
,4 


igo  PRKMIÈKE    PARTIR. 

ou  (^-h  -;  11  est  facile   alors  de  voir  les  efïels  de  ces  changements 

sur  les  fonctions  !E7,  et  l'on  constate  que  ces  fonctions  ne  font  que 
se  reproduire  ou  s'échanger  les  unes  les  autres,  à  des  facteurs  près, 
de  sorte  qu'en  particulier  leurs  quotients  sont  des  fonctions  dou- 
blement périodiques,  aux  périodes  2  et  2T. 

Enfin,   on  remarque   que  les   fonctions   2f  vérifient   toutes  les 
quatre  l'équation  aux  dérivées  partielles 

âv-  (Jx 

3.   Sur  quelques  fonctions  du  /apport  des  périodes.  For- 
mules diverses.  —  Les  valeurs  des  dérivées    des  fonctions    2», 

lorsque  l'on  donne  à  v  les  valeurs  i,  ->  t,  ->  ni  -\-  nz., ?  s'ex- 

^  22  2 

priment  aisément  à   l'aide  des  quatre   constantes  ^',(0),  ,^2(0)? 

S»3(o),  2^4(0),  qui  peuvent  remplacer  </oi  ^d  ^2)  '/ai  et  qui  sont 

liées  par  les  deux  relations 

S"j  (o)  r= 'îT:2r2(o)^3(o)2r.  (o), 
A   l'aide   des   mêmes   quantités  et  de  — ^  s'expriment    sans   diffi- 

^  2  OJ I  ^ 


culte  y^cj  et  les  y/^a —  ^p;  ainsi  que  les  ^^5  g-i  et  ^^3. 
MM.  Tannerv  et  Molk  posent  avec  Jacobi 

^         :2-Ao)  ^  j-3(o) 

d'où 

et  avec  M.  Hermite 

q-i  qi  qi 


dans  ces  formules  y/2  et  y/2  sont  des  quantités  j)ositives,  el  yVr, 

y/A^,  y//r,  s/k'  sont  des  fonctions  univoques  de  t. 
On  a  d'ailleurs  les  relations 


r.OMPTKS    HI'NDUS    Kl     ANALYSES.  191 

l'.iiliii,  il  CCS  fonclloiis,  I\IM.  'rjMinci'y  (U  MolU  jol^i^uciil  celle  (jiuî 
Î\I.  D(MlcUiii(l  a  (l(;si«;iicc  pai'  /,(-:)  cl  (jirils  r('[)icsenlenl  |)ijr  ^(t), 

1 

ils  sli;nalcnl   aussi  les  fonclioiis  /(t),  /,  (tj,  /■i{,'~^)  <J^'  ^^I.  Weber. 

Toutes  ces  fonctions  ne  sont  définies  que  pour  des  valeurs  de  t 
représentées  par  des  poinls  situés  au-dessus  do  l'axe  des  quantités 
réelles. 

On  peut  aussi  introduire  les  dérivées  d'ordre  supérieur  des 
fonctions  'b  |)Our  v  =  o,  et  obtenir  des  résultats  intéressants.  En 
groupant  convenablement  les  termes  dans  ?j-i[v)  et  ,^i(p),  on 
obtient  tout  de  suite 

2Sr3('2l^|4T)=3r3(p'|T)-+-27,(c^h), 

et  en  posant 

b  ^  /kû^), 
on  a,  par  suite, 

b  =  — . 

Le  paragraphe  se  leimine  par  Tétude  de  la  variation  des  (onc- 
tions b  pour  les  valeurs  réelles  de  ç,  lorsque  (o,  et -7^  sont  des 
quantités  réelles  et  positives. 

4.  Transformalion  linéaire  des  fondions  là.  —  MM.  Tan- 
nery  etMolk  remplacent  le  couple  primitif '^.fo, ,  .>,(.);{  |)aile  cou[)le 
proprement  équivalent  2Q,,  'lil-^-,  tel  que 

a,  6,  c,  d  étant  des  entiers  véiifiant  la  condition  ad — hc  =  \  . 
On  emploie  de  petites  capitales  pour  désigner  les  quantités  rela- 
tives aux  nouvelles  périodes  (et  Ton  fera  de  même  dans  chaque 
problème  de  transformation),  de  sorte  qu'en  particulier 

V                                      (•  -1-  f/~ 
V  =    ,—  ,  T  =    y-  '  0  ^  ^''^' 

En  désignant  par  £,  i\  t\  i'"  des  racines  huitièmes  de   1  iimlé, 


19^  PREMIÈRE   PARTIE. 

dont  les  valeurs  dépendent  de  r/,  b,  r,  d,  on  a  les  fonnules 

£    \^a-^  b-z  e''"'^'  2^1      (  r  1  X  )  =  2r,  (  V  I  T ), 
e'  v/«-^  ^^  e'"^^^' 2rx+i  (  t;  |  x )  =  372  (  v  j  t  ), 


I 


£"  s/a^bx  e'"'V7t'%+i(i^  I  X)  =:  H?3(  V  I  T), 

£'"  s/a-^  bi  e/^"^-^'2rv+i  (  (^  I  X  )  r=  2^4  (  V  I  T  ), 

les  nombres  À,  [j>,  v  étant  les  nombres  i,  2,  3  rangés  dans  un  cer- 
tain ordre  déterminé  suivant  les  valeurs  paires  ou  impaires  de  a^ 
6,  c,   cl ^  comme  cjuand  il  s'agit  de  la  transformation  linéaire  des 

fonctions  a*;  le  radical  y  «  -+-  ^t  a  d'ailleurs  une  valeur  arbitraire, 
une  fois  fixée. 

En  réalité,  il  ne  s'agil  vraiment  que  de  la  détermination  du  signe 
d'une  racine  carrée,  car,  dans  chaque  cas,  les  valeurs  des  radi- 
caux y  Ea  —  Kp  sont  déterminées  sans  ambiguïté,  et  les  £,  s',  e",  t" 

sont  connus  en  même  temps  que  les  radicaux  \^  v.^.  —  es;  enfin  il 
suffit  de  délerminer  e,  car  c',  e",  z'"  se  déduisent  sans  difficulté  de 
la  connaissance  de  z. 

Le  problème  difficile  de  la  déterminalion  de  £  en  fonction  expli- 
cite de  «,  b^  c,  d  a  été  résolu  pour  la  première  fois  par  M.  Her- 
mite.  Avant  d'en  donner  la  solution,  les  auteurs  indiquent  le 
moyen  de  déterminer  efTectivement  £,  toutes  les  fois  que  les 
nombres  a^  b,  c,  d  sont  donnés,  et,  dans  ce  but,  ils  donnent  les 
formules  de  transformation,  faciles  à  obtenir  directement,  pour 
les  deux  substitutions  propres 


o 
—  [ 


qui,  par  répétition  et  combinaison,  engendrent  toutes  les  autres  : 
on  exprime  ainsi,  à  l'aide  des  'b^{v\'z),  les  fonctions  'b^[v\'z  -\-  i) 

et  les  fonctions  .3»^  ( )• 

Ces  formules  permettent  d'obtenir  de  nouveaux  développements 
pour  les  fonctions  2fa(^'|'^)-  Appliquées  aussi  à  la  valeur  o  de  la 
variable,  elles  conduisent  immédiatement  aux  formules  de  trans- 
formation pour  les  fonctions /?  (t),  '-^(t),  •i>(T),  y  (t)  lorsqu'on  rem- 
place T  par  T  H-  I  ou 


COMPTAS   UI'NDUS   liï   ANALYSES.  19Î 

En  posaiil 

les   foi'imih's    «générales  (I<î    liMiisloiinal  ion    pour  y//tr  et  y//c'  s'ob- 
li(Minonl  ciu'ore  sans  (liflicullc'. 

I.os  lorniiilcs  (;lal)lies  monircnt  ([uc  le  (|iiol,iciit  de  deux  fonc- 
llons  svinélriques  entières,  de  même  degré,  des  qiianlilés  2r^(o  |  t), 
.^3(0!  t),  2rJ|(o|T)  ne  change  pas  quand  on  efTectne  sur  t  une 
transformation  linéaire  quelconque  ;  un  tel  quotient  s'exprime, 
par  suite,  en  fonction  rationnelle  de  l'invariant  absolu  J(t),  pour 
le(|uel  on  a 

I  [2?«(o|T)+^«(oh-)-h2r«(olT)l^ 


J(t) 


8  ?jlio\x)^l{o\x)^l{o\z) 


o.    Généralités  sur  les  transformations  linéaires.  Transfor- 
mation linéaire  des  fonctions  cp(T),  ^(t),  y  (t).  —  Remplacer  t 

par- r-^j  a,  6,  c,  â?  étant  définis  comme  i^récédemment,  c'est 

'        a  -h  o  -r  '     '  ' 

effectuer  une  transformation  linéaire,  représentée  par  le  symbole 

c  -\-  dz 


a  +  b-z 

MM.  Tannery  et  Molk  établissent  la  notion  de  composition  des 
transformations  linéaires,  en  partant  de  l'équivalence  des  sym- 
boles 

d-z      c  -i-  a  -z  \  I  a  -\-  0  z 

el 


a  -^  bz^   a  -\-  b'  1  J  \  ,  c  -^  d z 

a  +  b 

a  -\-  b  z , 

et  généralisant. 

Toute  transformation  linéaire  [)eut  être  représentée  par  un  sym- 
bole de  la  forme 

1  r  I 

-  /Il,  ->    T  ■+-  «2,   -■>    Z  -^-   11^,    ->     • 

/?),  ^o)  ^3?  •  •  •  étant  des  entiers  positifs  ou  négatifs. 

Les  notions  de   groupe  et  de  sous-groupes  s'étendent  d'elles- 
mêmes  aux  transformations  linéaires. 

Une  fonction  modulaire  est  une  fonction  univoqiie  de  t  appar- 


\9i  PHiiMiÈiu-:  PAirriK. 

lenanl  ù  un  groiipo  ;  il  en  est  ainsi  de  loule  fonction  iinivoque 
de  T,  qui  ne  peut  j)rendre  qu'un  nombre  limité  de  valeurs,  quand 
on  fait  subir  à  t  une  transformation  linéaire  quelconque. 

Les  auteurs  déterminent  d'abord  les  groupes  auxquels  appar- 
tiennent les  fondions  ^^(7),  'l('z)  et  '/(t)  ;  puis,  en  suivant  l'ana- 
lyse de  M.  Scblalli,  les  formules  de  transformalion  linéaire  pour 
ces  trois  fonctions,  dans  chacun  des  six  cas  distincts  qui  peuvent 
se  présenter,  en  fonction  explicile  des  entiers  a,  0,  c,  d.  On  sait 
que  ces  formules  sont  dues  à  M.  IJerniite  ('). 

6.  Détenninatioii^  en  fonction  des  coej/iclenls  de  la  ti- ans- 
formation  linéaire  des  fonctions  ^,  des  t-acines  huitièmes  de 
Vanité  qui  figurent  dans  ces  formules  de  transformation.  — 
Dans  ce  paragraphe,  ^J^J.  Tannery  et  Molk  résolvent  le  problème, 
posé  précédemment,  de  la  détermination  de  z  en  fonction  expli- 
cite des  coefficients  de  la  transformation.  Ils  se  placent,  avec 
iM.  Dedekind,  au  point  de  vue  de  la  fonction  hf-:),  pour  laquelle 
on  a  tout  de  suite 

h(T)=  £=i  s/a-^bi  h(T). 
Si  b  est  nul,  on  a  t  =  t  -1-  c,  et,  par  suite, 

1i(t  +  c)=  i''li(T). 

Supposant  donc  b  non  nul,  a -\- bi  n'est  jamais  réel,  et  l'on 
peut  définir  \J a  +  bz  comme  une  fonction  univoque  de  t  ;  il  est 
préférable  de  donner  cette  définition  pour  \'  —  (t^  +  ^t)^,  en 
choisissant   l'argument   de    — (a-^-b-z)-   entre    • — tt  et -n,    et,    par 


suite,  celui  de  {/ — Ui  +  b".)-  entre  —  ^  et  +  y;  on  a  alors 


I  4 


y/  —  (rt  -^-  bxy^  =  {^  '*  \J a  -^  bi, 
suivant  (jue  b  est  positif  ou  négatif. 


(')  Il  s'esL  glisse  dans  le  n"  'ilG,  p.  87,  une  erreur  de  Iransciiplion  qui  se 
trouve  reproduite  dans  le  Tableau  de  formules,  p.  '^(iG.  Dans  les  formules  (XLVI),, 
cas  2°  et  3°,  les  lettres  o  et  -^  doivent  être  interverties  dans  les  seconds  membres; 
ces  formules,  pour  les  mêmes  cas,  sont  correctement  établies  et  écrites  dans  le 
texte  des  n"»  •:;il  el  212. 


COMPTI'.S    lU'ADllS    \:\    ANAI.VSHS.  19) 

On   ariMV(!    (iii.ilciiiciil,    piir   une    ;m;ilys('    îissc/,  longue,  ;j   l;i    lor- 
nml("  siii v;mlc, 


h(T) 


U/ 


[3(/<— sKii  A)  f  i/ci/^î  —  I)      i>fu-itli\  .v/- 


^_(a-4-/>Tj2|i('-j, 


(»ii  s^ii  A   (l(>ii;iic  li:  1,  smvaiil  (|uc  A  cr^l    j)()siU(  ou    ih-^hIiI,  cl  où 


l(*  SMuholc 


i;cn<''ralisali()M  du  syniholc  aril  Imu'l ujuc  (      j  de 

Lc^iMidrc  cl  .lacohi,  esl  diHiui  par  les  propi'H'K'S  suivanics  : 
(f  cl    h  rlaiil  prcujirrs  cnlrc  eux,  ou   a. 


(1 

<( 

h 

1"_  7; 

(t        [ 

^1 

1 

=  I , 

c 

^J 

I , 


a  -f-  h 


-  /)(//'  — Il  (2 r-f</) 


/.       4 


n      11  (/'—  11— isyn^i  —  IMsgu  />  —  1)1 


[-i 


ui  —  ■à'iwds 


=  e 


(«'— 1: 


~    f 


daijs  la  derniri'c  do  ces  foiuiulcs,  c/  csL  irupair  ;   daus  la  sccondo, 


f  et  d  ne  figiirenl  (|u'en  apparence.  F.e  svnd)ole 

(''j;al  à  I  un  des  cpialre  nombres  zb  i,  ziz /. 

J^a   lorniule  obtenue  pour  b(T)  donne  innnédialcnicnl 


est  toujours 


i  2 


et  la  question  est  résolue. 

Les  formules  obtenues  j)euvent  encore  s'écrire  d<î  façon  à  ne 
contenir  que  le  symbole  de  Legendre-.Tacobi. 

7.  T  ransfor  inaiio  n  quadratique  des  fond  ions  ?j.  —  En  gé- 
néral, nne  transformation  où  les  entiers  rt,  b,  c,  d  sont  tels  que  le 
déterminant  ad  —  bc  soit  égal  à  nn  entier  j)ositif  n  est  dite 
d'ordre  /?. 

Pour  obtenir  tout  ce  (jui  concerne  les  transformations  dont 
Tordre  est  2  ou  une  puissance  de  2,  il  suffit  d'étudier  les  trans- 
formations de  Landen  et  de  Gauss.  Dans  la  première,  on  changer 

en  2e,  et  t  en  '>.-:  ;  dans  la  seconde,  on  change  simplement  t  en  -• 

Les  formules  s'obtiennent  aisément  ;  appliquées  aux  (onctions 


iqO 


PKEMIÈIUi:   PAUTIB 


modulaires,  elles  luonlrenl  le  rùle  prépondéianl  de  la  fonc- 
tion h(T)  ;  enfin,  la  conihinaison  des  deux  transformations  con- 
duite l'expression  des  fondions. ^«(^  ^0  '^  l'aide  des  fonctions. ^a(^)- 


8.  Transformation  d^ ordre  impair  des  fondions  ?j .  —  Tout 
se  ramène  à  changer  soit  v  en  nv  et  t  (m  /zt,  soit  simplement  à 

chang^er  t  en  ->  n  désignant  l'ordre  impair  de  la  transformation. 

Tous  les  cas  possibles  rcsullent  ensuite  de  la  combinaison  de  l'en- 
semble des  formules  obtenues  pour  les  transformations  linéaires 
et  quadratiques. 

En  partant,  soit  des  formules  relatives  à  la  transformation  des 
fonctions  a*,  soit  des  formules  qui  donnent  les  fonctions  2?  décom- 
posées en  facteurs,  on  obtient  des  expiassions  telles  que  celles-ci  : 


//  — 1 


Vr 


^i^a  +  i  c. 


n 


('•) 


ir) 


^l  +  l(^') 


C-2 


i) 


3r2(0 


n 


^i^a-hi 


(^)I7^^i(^+ 


r-z 


(/•) 


T^'<^^U 


C.2 

"'a -4-1 


^l^i(v)  — 


t) 


n 


^i(^) 


les  quantités  «a+i  i  ^^■)  ^i?  ^ii  ^\  désignant  des  constantes  conve- 
nablement choisies,   et  /'   parcourant,  suivant  les  cas,   n  —  i   ou 

valeurs  assuietties  a  de  certaines  conditions. 

■2  ^ 

Les  fonctions  modulaires  se  transforment  aussi  aisément.  Enfin, 
la  combinaison  des  deux  systèmes  de  formules  permet  d'exprimer 
les  fonctions  2»a('i<0  ^  l'aide  des  fonctions  27a(^),  P'àv  des  for- 
mules telles  que  celle-ci  : 


/^— 1  / 

1  a,  V  1 


n 


n 


COMPTliS    KKNDUS    \i  V  ANALYSES.  197 

où  A.  tlôsi^nc  une  conslanU',  cl  où  a,  v  jiarcouiciil  n  \aleiirs  con- 
venablement choisies. 

Finalcinciil,  on  voit  ([ne  les  fond  ions  .'^((^  |  t),  à  part  un  facteur 
exponenliel  facile  à  calculer,  sont  des  polynômes  liomogènes  de 
(lc<;ré  (((/ — hc  pai*  lapport  aux  fonctions  3(v,t).  Les  expres- 
sions (le  (*cs  pohnomes  (h'pcndcnl  des  nombres  ).  et  [J.  tels  (jue 
(t(l  —  />r  =  Aa,  ayant  même  plus  «^taïul  commun  diviseur  (pie  les 
nombres  a,  /;,  r,  r/. 

9.  ^ur  un  théorème  de  M.  Herrnite.  Relations  entre  les 
fonctions  2r.  Théorèmes  d^ addition.  —  M.  Hermite  a  fait  voir 
que  la  fonction  ^{u)  définie  par  l'égalité 

où  les  A,i  sont  des  constantes  se  reproduisant  périodiquement 
de  h  en  A,  est  la  fonction  transcendante  entière  la  plus  générale 
jouissant  des  deux  propriétés 

liTZi 
(«H- 0)3! 

*(m  H- '2Wi  )=  4>(  w  ),  <ï>(  « -h  2(03)=  e      '•'i  *U^J- 

Si  l'on  écrit 

*  (  zO  =  Ao  *o  +  A  1  <î>i  + . . .  H-  A/,_i  */,_!, 

on  voit  (^ue  Ton  a 

*o(«)=  373(Ap1  At), 

Les    carrés    des    fonctions   Xj  l )  sont    des   fonctions    ^(u) 

pour  II  =  2.  ;  ce  sont  donc  des  fonctions  linéaires  de  <ï>o(f/)et 
4>)  (u),  et,  par  suite,  on  trouve  aisément  les  relations 

qui  ne  sont  pas  distinctes,  au  fond,  des  relations  connues 

cri  u  —  ^}^  u  =  (  e<^,  —  ^a)  ^■'  if- 
De  uK'me.  on  exprime  les  produits  .^a(t' +  <:')  .'^a(^'  —  ('\  où  c 


iy8  PinuMIKHE   PAKTIH. 

est  une  constanle,  à  l'aide  des  carrés  de  deux  lonclions  .'^  ;  une 
voie  analogue  conduil,  sans  peine  aux  expressions  des  |)roduits 
^^(^ç  ^  c'j^^(^ç  —  cj  en  fonction  des  produits  .r7}.(i^)  .^(x(^^).  l^li»s 
généralement,  on  a  Tidenlité 

la  sommation  étant  étendue  aux  permutations  circulaires  des 
lettres  a,  />,  c,  et  l'on  en  déduit  les  identités  de  Jacobi,  cpie  les 
auteurs  établissent  encore  en  partant  d'une  belle  formule  de 
Schroter. 

CHAPITRE  IV.  —  Les  quotients  des  fonctions  a"  et  des  fonctions  St. 
1.   Les  fonctions  ç.  —  MM.  Tannery  et  Molk  posent 


çao  l^  = 

>• 

a'  u 
-a" 

= 

s/p  U  - 

1 

-fa 

:oa  "  ^ 

^pu- 

-  Cy. 

;fiy"  = 

s/p  a  - 
y/p  Jt  - 

1 

Les  douze  fonctions  \  sont  des  fonctions  univoques  de  a,  les 
unes  paires,  les  autres  impaires,  n'ayant  d'autres  singularités  que 
des  pôles  :  leurs  zéros  et  leurs  pôles,  tous  simples,  sont  en  évi- 
dence. 

Les  fonctions  ç,  fonctions  algébriques  de  pu,  sont  liées  par  des 
relations  algébriques  faciles  à  déterminer;  on  voit  de  même,  sans 
difficulté,  ce  qu'elles  deviennent  quand  l'argument  //  augmente 
de  '^. (Oa  ou  de  to»  :  en  particulier,  on  constate  que  leurs  carrés  sont 
des  fonctions  doublement  périodiques  admettant  9.(0,,  ->. (03  comme 
couple  de  périodes  primitives. 

Les  fonctions  ^  vérifient  des  équations  différentielles  que  l'on 
obtient  aisément  en  partant  de  la  relation  qui  lie  pu  ei  p' u  ;  de 
ces  équations  résultent  d'intéressantes  formules. 

Les  fonctions^  de  //  +  a  s'expriment  rationnellement  au  moyen 
des  fonctions  ç  de  u  et  de  (( '^  on  arrive  ainsi  aux  formules  fonda- 
mentales d'addition  j)our  les  fonctions  ?. 


i:()MI»TI<:S    lU'NDUS   KT   ANALYSES.  uyj 

Ia\  Icrmiiiaiil  ce  jtai  ;i^i';ij)li<',  MM.    I  aiiiiciy  cl  Mollv  éliidicnt  le 

cas  S|)(^cial  où  (<),  cl  -.    sodl  des  (|uaiilil('s  rf'cllcs  cl  posilix es,  puis 

iMonli'cnl    (|ii'cii   (l(''Si«;iianl    par   cp   une   loiiclion    lioiiioi^ciKJ   de    (o, 
et  (.);,,  de  degré  —  i,  les  ionclloMS 


i."^3     '      qi> 


? 


(.),,  t03 


ne  dépendent  que  de  l'argument  n  et  du  i'ap[)ort  — • 

Î2.  Les  fonctions  sn,  en,  du.  —  En  supposant  posilive  la  partie 

'      11  1  f'^3  I 

réelle  du  rapi)orl  -      •,  les  auteurs  posent 


iOJ, 


C'>i^  W3     , 


CIKZA, /.):-  ;i3 


(lll(//,,/x)=  Ç2.-) 


/ei  —  e:j 


(•>!,  W3   h 


/ei 


^'3 


"-•i,  W3    ; 


les  fonctions  sn(f/,A),  en(/^,A),  dn(f(f,/)  ou  simplement  snw, 
cnw,  ânu  ne  dépendent  «jue  de  //  et  de  t,  ou  si  l'on  veut  de  u 
et  de  /i . 

On  a,  entre  autres  formules, 

sn'  u  —  en  u  dn  ii ,         en'  ?/,  = —  sn  u  dn  ^/,  dn'  //  = —  A-  sn  u  en  u ^ 

sn-  u  -h  Q\V-  u  =  i,  (In-  //  -f-  ^2  sn2  //  =  i , 

sn'2a  =(i  —  sn2/i)(i  —  A2  sn-u), 

ei  —  ^3 
p  ^^  =  63  H , 

sn2(zt  v/^i  —  e-i) 
sn  o  =  o,  en  o  =  1 ,  il  n  o  =  î  , 

sn'o  —  I.  cn'o  =  o,  dn'o  —  o. 

Avec  JacoLi,  on  a  encore 

K  =  toi  y/^i—  e-i  —  -  ^3(0  I  -:), 

K' =  ^  v/^7^=^  —  —  - 5  (  o  h), 


(/  =e 


900  pukmièiiuî:  PAin  iH. 

et  si  co,  el  '.-  sont  réels  et  positifs,  de  soite  que  k'^  est  positif  et 
inférieui'  à  runilé,  il  vient 

d.x  ,.,         r  dx 


.  /,.       .  A  I  —  .Y-2  \(\  —   /•2  .7^2  i  J,, 


Jo     /(i  — .r2)(i— /,-2a?2)  Jo     \/(i—cr-'){i  —  /c'^x^) 

les  radicaux  étant  positifs. 

Les  fonctions  sn«^,  en?/,,  dn//  s'expriment  aisément,  à  Taide  des 
fonctions  3,  [)ar  les  formules 


7k/ 


A  ^^j'J'^.V  v/^-  ^,1^4-^  ^-  ^  " 


Ces  formules  mettent  en  évidence  les  zéros  et  les  pôles  des  nou- 
velles fonctions,  et  montrent  ce  qu'elles  deviennent  quand  Targu- 
menl  augmente  d'une  somme  de  jnulti[)les  de  K  et  /K'  ;  en  parti- 
culier, on  voit  que  les  fonctions  snz/,  en//,  dn/^  sont  des  fonctions 
doublement  périodiques  admettant  respectivement  comme  pé- 
riodes   primitives    les    nombres     iK^   :>./K';    4  ï^,    2K  +  p.«Iv'; 

Les  formules  d'addition  bien  connues  pour  les  fonctions  sn, 
en,  dn  résultent  immédiatement  des  formules  établies  pour  les 
fonctions  J  ;  on  en  déduit  aisément  la  résolution  des  écpiations 
sn^  =  sna,  cnx  =  en  a,  dn^  =  dna. 

Après  avoir  étudié  la  variation  des  nouvelles  fonctions  lorsque  /, - 
est  positif  et  inférieur  à  l'unité,  MM.  Tannery  et  Molk  définissent 
encore  d'auties  fondions  analogues  et  signalent  leurs  propriétés 
principales  :  c'est  d'abord  la  fonction  elliptique  Kl  des  deux  va- 
riables r  et  T, 


h:i(^',':)=^ 


2r  v  (  9.  t'  I  2  T  ) 


considérée  par  Kronecker  ;  puis  ce  sont  les  fonctions  de  Jacobi  et 
de  M.  Iltnniite  : 


COMITKS    KKNDUS   K T   ANALYSES.  voi 

[if's    loïKiioiis     sn./\    (II./-,    lin./-    de    M.     Ilcrinilc    sont     celles 

<(ti('   les  aiilLMUs   (l(''sii;iM'ril    |)ar  sn(.r^/^,  —  c^;,  ),   cni.r^/*",  —  ^'3), 

tln(.ry/r,  —  ^'3  )  ;  l<:s  l'onclions  A(./:),  |i.(.r),  v(.r)  de  liiiol  fl  [)Oii- 
(lurl  ojil  Li  même  si*;in(i('al  loii. 

i{.  7/((/is/()//n(fff()/i  llurairc  des  Jonc  lion  s  cUiptiniiPS.  — 
Si  l'on  rniiplace  le  couple  ->.(•),,  ,>,(.);,  par  un  nouveau  couple  pro- 
[)renient  écpiivalenl,  .»U,  2t2;,,  les  douze  fonctions  ç  ne  font  que 
s'échanger  les  unes  les  autres  ou  même  se  conserver. 

Si  k  et  /»',  K  et  R'  deviennent  respectivement  /,  /',  I.,  17,  les 
formules  de  transformation  relatives  à  ces  quantités  et  aux  fonc- 
tions sn,  en,  dn  s'obtiennent  aisément  dans  chacun  des  six  cas  pos- 
sibles ;  on  a,  par  exemple,  pour  a  =  b  ^  c  ^\^  cl  ^  o  (mod  'i), 


sn 


srj(^  //,  /  )  =  //>' 


//, 


u 
en  -Tj-, 


m  (  //,  /  ) 


I      " 


en 


'7.-' 


rrl 


,ll> 


'-i-')^^'      '■=<-"^'f 


(ilU  //,  /) 


en 


t/.' 


i .  7'/  Y/  /?  .ç/b  /'/nation  qu  ad /a  t  iq  u  e  des  fo  nctio/is  e  Uip  tiques.  — 
Tout  revient  aux  transformations  de  Landen  et  de  Gauss,  dans 

lesquelles  on  remplace  (o,  ou  0)3  par  —  ou  — • 

Pour  la  tiansformalion  de  F^anden,  on  a.  entre  autres  formules 


u  a 

sn en  -- 


n  ^'  /      / \     /        1 1\       1  -f-  /> '       I  -t-  k' 

V  '  =  77'  sn(M, /)  =  (i -f- A-  )  ■ 


I  —  (n-  X')  sn2 


cn(z/,  /  )  = 


n- A' 


dn 


v-^  k' 


(In 


)  dn  (;/,/)  =r 


I-+-X-' 


II  —  /')  sn2 


i-^A 


I  ^  /•' 


/désignant  ce  que  devient  /. 

Pour  la  transformation  de  Oauss,  on  a  de  même,  en  appelant  à 

Bull,  des  Sciences  mathém.,  7"  série,  t.   \\.  (  \oùl  1896.)  i4 


•2o>;  puk.mii:ki<:  i>autii!:. 

V.V    (jlK^   (le\  KMlL    /i  , 


\/  I  -+-  k 

u 


SI) 


/  I  -f-  /. 

.n{u,  A)={\^  A)  _ 

I  +-  A 


cul  u,  A  ) 


(.\l\{U,l) 


f/  Il 

CM (II) 

I  -h  A          I  -h  A 
I  -f-  A  sn- ^ 


i-Asn^      " 


l-^A 


1 -h  A  sn- 


i-hk 


Les  formules  de  Iransforinalion  quadraliqiic  des  fonctions  !E7, 
d'où  résultent  les  Cormides  précédentes,  permettent  aussi,  comme 
l'a  montré  M.  Hermite,  d'obtenir  d'importants  développemenis 
pour  les  fonctions  sn,  en,  dn  ;  on  a,  [)ar  exemple, 


V  (_gv^v(2v+i)  sin(4v  +  Or^ 


sn  u 


—  \/'2q^  — 


V 


3 


=      3.       sjiq^  - 

V 

les  formules  analogues  pour  cn;^  et  dnz^  permettent  de  déduire,  en 
particulier,  de  nouveaux  développements  pour  les  fonctions  mo- 
dulaires v/Â^,  y~k',  yi^\  w^. 

La  combinaison  des  transformations  de  Landen  et  de    Gauss 
donne   les   formules  relatives  à  sn(2;/),  cn(9.?/),  dn(2Z/);  on  en 

déduit  aussi  les  expressions  de  sn^  -,  en-  -,  dn-  -,  et  pour  ?/  =  K, 

Il  :=  «K',  ;^  =  K  +  ;'K',  on  a  des  résultats  intéressants. 


( ;  0  M I » T  i: s  lu: M ) u s  i:  \  a n  a  l v  s i-  s .  voi 

r").  7'/{f//s/'(>fn///f/n/t  (Tordri'  n  des  fonriions  cl li/)l {</ iirs.  — 
Toiil  rcviciil,  (■(Hiimc  pic-cédcniincnl,  ;"i  diviser  i  imc  dc^  dcnii- 
|)('n(»(l('s  nar  mm  iioiiihic  impair  //.   IN)Mr  ahrc'i^cr,  on  pose; 


•).  r  K  H-  2  /•'  K'  / 


/•  cl  /•'  claiil  deux  cmIicis  <jM('I('()ii(jM(;s. 
(^)MaM(l   on    r('iM|)la('(;    (O,    pai' — >  on  a 


/    =:    /  " 


n 


(/• 


(lirV/,.,0 


/'  r-   /.  '/' 


11 


.1.  (Iii'^a,.  0 


/■  parroMiaiil  //  —  i   val(Mirs  convc^nahlcmrnl  clioisu^s  ;  pMis 


//—  I 

t 


M 


*/ïï7 


lV{ 


n 


sn  (  u  -h  a,.,i)) 


/  il      ,\  I  T~T  ^'1  {  ti  -[-  a 

sn  (  rv  5  /      =  TT  ^n  ^/  I   I   — 

\M       /        M  11         sur/,.  0 


dn  1  vT^  /  )  =        Awu 


n 


(/') 


en  (  Il  H-  a,.,o  ) 
cna,.„ 


Ces  lonnules  peuvent  ensMite  se  transformer  de  bien  des  façons. 

Des  formules  analogues  ont  lieu  pour  la  division  de  tO:^  par  n. 
La  combinaison  des  deux  systèmes  de  fornuiles  conduit  sans  peine 
à  la  solution  du  problème  de  la  multiplication  de  l'argument  par /?. 

Si  l'on  admet  (jiie  la  quantité  p  ir—\-,  où  /•  est  un  entier,  est 

wwç,  fonction  algébricpie  de  <?i,  e^,  6^3,  on  voit  tout  de  suite  qu'il 
existe  une  équation  algébrique  entre  /et  A,  et  aussi  unç^  équation 
algébrique  entre  INI  et  k  ;  ces  équations  sont  respectivement  Téqua- 
licn  modulaire  et  l'équation  au  mnltiplicateur.  Les  mêmes  faits 
subsistent  quand  il  s'agit  de  la  division  de  o).}  par  //. 

En  terminant,  MAJ.  Tanncry  et  Molk  jnontrentque  les  foinuiles 
obtenues    [)ermeltent  de   foimer  //  -f-  i    solutions    ralioMnellcs   de 


7oi  PHliMIÈHE    PAKTIK. 

réqualioii  dinuren liclU* 

dy  dx 


L  el  M  étant  des  fondions  algébriques  convenables  de  k. 

H.   AlNDOYEll, 


RITTER  (I'riîdéric  ).  —  François  Viète,  Notice  si  r  sa  vie  et  son  œuvre. 

102  pages  in-S".  Paris,  Dépôt  de  la  Revue  ocridentdle,  1895. 

Frédéric  Ritter,  mort  en  i8l)3,  avait  consacré  les  loisirs  de  sa 
carrière  d'ingénieur  des  Ponts  et  Chaussées  à  traduire  Viète,  à  le 
commenter,  et  à  recueillir  des  documents  sur  la  vie  du  créateur 
de  l'Algèbre  moderne.  Jl  a  pu  achever  le  travail  qu'il  avait  entie- 
pris,  mais  il  n'en  a  publié  que  la  traduction  de  Vlsagoge  et  des 
Nolœ  priores,  dans  le  Bulletin  Boncompagni^  en  1868.  C'est  au 
même  recueil  qu'il  avait  destiné  \di  Notice  insérée,  deux  ans  après 
sa  mort,  dans  la  Revue  occidentale,  par  les  soins  de  son  beau- 
frère,  M.  Ch.  Ritter  (^). 

Résumé  succinct  des  résultats  obtenus  à  la  suite  de  longues  et 
patientes  recherches,  cette  Notice  ne  donne  pas  seulement  une 
sérieuse  analyse  de  toutes  les  œuvres  de  Viète  réunies  dans  l'édi- 
tion de  Schooten  (Elzévirs,  i64());  elle  a  une  grande  importance 
par  les  détails  qu'elle  présente  sur  la  vie  du  célèbre  mathémati- 
cien, sur  la  bibliographie  de  ses  œuvres  et  surtout  sur  le  Canon 
ma thematicus ^  ouvrage  assez  rare  pour  qu'aucun  des  historiens 
qui  en  ont  parlé  ne  semble  l'avoir  fait  de  visu. 

La  vie  de  Viète  était  en  réalité  très  mal  connue,  lorsque  Ritter 
a  commencé  à  s'en  occuper.  Dans  son  Dictionnaire  des  Mathé- 


(')  La  date  de  la  rédaction  (1888)  explique  les  dernières  lignes  (page  98),  dans 
lesquelles  l'auteur  déclare  n'avoir  pu  obtenir  aucun  renseignement  sur  les  pièces 
inédites  de  Viète  volées  par  Libri  à  l'Institut  (?)  et  aujourd'hui  rentrées  à  la  Biblio- 
thèque Nationale.  Ces  pièces  sont  réunies  dans  le  manuscrit  latin  nouv.  acq.  i643 
et  j'espère  pouvoir  les  publier;  je  ferai  toutefois  remarquer  que,  contrairement 
aux  assertions  de  Libri,  elles  ne  sont  nullement  autographes;  je  doute  même 
qu'elles  soient  réelletnent  de  \  iète  et  non  d'un  de  ses  continuateurs. 


COMPTIiS   lUîNDUS   ET   ANALYSES.  7.o5 

niatiijiies,  Monlferrier,  en  i84>^,  déclarail  avec  raison  qu'on  n'en 
savait  pour  ainsi  dii'c  licn.  Les  auli'cs  historiens  ne  se  soril  j)as 
(ail  faute,  en  général,  d'accueillir  des  légendes  sans  conlrôle  ou 
des  11 vpolhèscs  graluilemcnt  forgées  j)our  conihler  les  lacunes 
entre  les  rares  doeunienls  (jue  l'on  [)ossédait.  Le  travail  de 
INL  Hitter  peiniet  de  faire  justice  de  toutes  ces  eireurs^  et  il  est 
parvenu  à  constituer  une  biographie  (!()ni|)lrte  et  aj)puvée  sur  des 
preuves  irrécusables. 

Je  voudrais  seulement,  sans  re[)reudre  le  récjt  (m'on  trouvera 
dans  la  Notice  de  ]\L  llittei',  insister  sur  quelques  points  essentiels. 
Viète  a  été,  presque  toute  sa  vie,  extrêmement  occupé  d'affaires 
publiques  et  privées;  il  prenait  sur  ses  nuits  poiir  ses  recherches 
mathématiques  et,  en  fait,  il  s'est  tué  de  travail.  Il  n'a  eu  que  deux 
périodes  de  loisiis  lelatils,  Tune  de  i564  ^  i568,  pendant  la- 
quelle, ayant  cpiiltéà  vingt-quatre  ans  le  barreau  de  Fontenaj  pour 
le  service  de  la  maison  de  Soubise,  dans  l'intervalle  d'autres  tra- 
vaux de  toute  sorte(  '),  il  dirige  l'éducation  de  l'héritière,  Cathe- 
rine de  Parthenay,  à  laquelle  il  devait  plus  tard,  en  1^91,  dédier 
son  Aïs  analytica;  la  seconde  période  correspond  à  une  disgrâce, 
de  la  fin  de  1  584  au  mois  d'avril  1  589,  pendant  laquelle,  sous  l'in- 
fluence des  Guise,  il  (ut  suspendu  de  ses  fonctions  de  maître  des 
requêtes  de  l'Hôtel  et  membre  du  conseil  privé,  auxquelles  il  avait 
été  appelé  en    i  58o. 

C'est  pendant  la  première  de  ces  périodes  cpi'il  conçoit  le  [)lan 
de  son  Harnionlcoii  cœleste  et  commence  à  composer  son  Canon 
inathematlcus ;  c'est  j)endant  la  seconde  ([u'il  arrête  les  grandes 
lignes  de  son  Ars  analytica.  L'impression  du  Crt«o/i  commença 
en  lO'J,  mais  ne  fut  terminée  qu'en  1079;  il  est  d'ailleurs  faux 
que  dès  \h-\   \  iète  ait  commencé  à  faire  imprimer  à  ses  frais  et 


(')  Il  euL  louL  d'abord,  pour  défendre  le  chef  de  la  maison,  Jean  de  l'arthenay, 
sieur  de  Soubise,  à  rédiger  un  Discours  des  choses  advenues  à  Lyon  pendant 
que  M.  de  Soubise  y  commandait,  c'est-à-dire  lors  du  siège  de  i562-i563.  Ce  Dis- 
cours a  été  inséré  par  Ttiéodore  de  Bèze  dans  son  Histoire  ecclésiastique  des 
Eglises  réformées.  V^iète  écrivit  également  alors  des  Mémoires  de  la  vie  de  Jean 
de  Parthenay  (édités  en  18-9  dans  le  Bulletin  de  la  Société  de  l'histoire  du 
protestantisme  français)  et  une  Généalogie  delà  maison  de  Parthenay-lAisi- 
gnan,  restée  manuscrite.  Des  cahiers  de  leçons  qu'il  avait  rédiges  pour  son  élève. 
il  subsiste  des  Principes  de  (cosmographie,  in)primèspn  16.17  et  rèédiièscn  \i^\'^. 
i(^\-  et  ifjiii . 


■>.o(]  VnVAWEWE  PARTIE. 

à  répajxli'c  des  ccrils  malhémali(|iic.s  {|ui  se  seiaienl  perdus.  Tout 
ce  qu'il  a  publié  de  son  vivant  subsiste;  ce  sont  les  manuscrits 
(pi'il  a  biissés  qui  ont  été  perdus  en  partie,  quoique  des  copies 
aient  du  en  circuler  dès  son  vivant,  en  particulier  pour  les  livres 
de  Réponses  varices  à  des  questions  mathématiques,  (jui  ont 
évidennuent  été  formés  de  pièces  réellement  adressées  à  diverses 
peisoiincs.  Viète  a  pid)lié  en  i  5(j3  le  huitième  de  ces  livres;  les 
sept  premiers  sont  perdus  et  on  ignore  même  de  fait  à  quelle 
époque  remontaient  les  premières  pièces.  Mais  il  est  clair  que  ce 
n'est  ([u'à  partir  du  commencement  de  i  5- 1  que  Viète,  établi 
momenlanément  à  Paris  comme  avocat  au  parlement,  se  trouva 
pour  la  première  fois  dans  un  milieu  où  il  put  essayer  de  se  poser 
coiume  mathématicien  (' ). 

Sa  fortune,  qui  ne  fut  jamais  considérable,  quoi  (ju'on  en  ait 
dit,  ne  lui  aurait  guère  permis  au  reste  les  dépenses  d'impressions 
fjue  l'on  a  supposées.  Le  bruit,  rapporté  par  l^icrre  de  TLstoile, 
qu'il  serait  mort  avec  20000  écus  au  chevet  de  son  lit,  s'explique 
1res  simplement  j)arce  que  Henri  IV,  lorsque  Viète  demanda  à 
quitter  ses  fonctions,  voulut  lui  donner  une  gratification  qui  l'ut 
apportée  au  lit  de  mort  du  mathématicien;  mais  il  n'a  jamais  été 
un  thésauriseur. 

Un  des  trails  remarquables  de  la  vie  de  Viète,  c'est  l'aflfection 
(|ue  lui  ont  témoignée  deux  grandes  dames;  I  une  est  son  ancienne 
élève,  f(ui,  mariée  en  i  5(38  à  \\\\  baron  de  ()uellenec  tué  à  la  Saiul- 
Jiarthélemj,  épousa  en  secondes  noces  Rem';  de  llohan  et  le  perdit 
en  i585;  elle  s'était  retirée  avec  ses  enfants  au  parc  de  Soul)ise, 
dans  le  bocage  vendéen,  i^a  seconde,  (\ç,^  domaines  de  laquelle 
Viète  date  sa  dédicace  de  i.)yi  à  Catherine  de  Parlhenaj,  élait  la 
sœur  de  René  de  Rohan,  la  duchesse  Françoise,  qui,  après  avoir 
épousé  clandestinement  en  i55-  le  duc  de  JNemours,  soutint  un 
long  procès  contre  lui  j)Our  le  forcer  à  reconnaître  la  légitimité  de 


(')  De  lôfiS  à  1)71,  Vièlc;  avail  suivi  roininc  sccrolairc  à  la  Honliellc  M""'  de 
Soubise  (jui,  devenue  veuve  en  1567,  s'y  leliia  après  le  iriariage  de  sa  fille.  Il  se 
trouva  ainsi  en  rclaLions  a\ec  les  sommilés  du  parti  |)rolcstant,  mais  il  n'est  nul- 
lement prouvé  ([u'il  ait  jamais  abjuré  le  ealholieisme  pour  y  revenir  ensuite.  La 
vérité  est  qu'il  l'esta  toujours  indillerent  en  matière  religieuse  et  que  ses  rares 
capacités  de  légiste  furent  employt'cs  par  les  Soul)ise  et  les  IU>Iian. 


COMPTKS   lUiNDDS   V/\    ANAI.VSKS.  v.07 

ce  maii;ii;c.  I/iidiilrc  se  Icnniii;»  en  1  580  |);ii-  une  Ir.insacl  ion,  à  la 
Miilc  (l(*  huiiicllc  \c  Miaria^c  fui  considi'ié  (fournie  r()m|)ii  par-  di- 
vorce: l<'  i"oi  llciiri  III  ciéa  vu  mh'mk!  liMiips  l<;  (IiicIm';  (h;  Louclii- 
nois  (Ml  faNciir  de  rraiicoistî  de  lloliaii  (')  cl  i(''coni|)cnsa  la  [)arl 
(|iic  V  iclo  avait  prise  aux.  négociations  cri  se  l'attachant  officicllc- 
in(;nl.  Mais,  dès  1  ;")-(),  (|U()i(|ne  le  grand  niatliérnaticicn  lut,  d(;|)nis 
!.')-«),  c(»ns(Mllcr  an  parlement  de  H<înnes,  H(;nri  111  l'avait  à  [)ln- 
sicni's  reprises  dis[)ensé  de  service^,  pour  le  charger  de  missions 
spéciales  ou  de  travaux  auprès  de  lui.  Ce  nv  furent  donc  nullement 
des  dilTicultés  tenant  aux  (|uestions  religieuses  (pii  empêchèrent 
\  ièle  de  siéger  régulièr(;ment  à  Rennes,  ni  la  recommandation 
du  (dief  pioleslant  Ivené  de  Kohan  cpii  h;  lit  nommer  maître  des 
requêtes.  Vièle  nY'lait  pas  homme  à  se  rendre  impossible  quehjue 
|)ai"l  pour  des  mol  ifs  d'ordre  religieux,  et  Henri  111  avait  su  le  dis- 
tinguer de  lui-même  pour  ses  capacités  administratives  (-). 

C'est  tantôt  auprès  de  Catherine  de  Parthenay,  tantc)t  auprès 
de  Françoise  de  Rohan,  tantôt  dans  sa  propriété  de  la  Bigotière  à 
MervenI,  près  de  Font(;nay-le-Comte,  (|ue  Viète  passa  le  temps 
de  sa  disgrâce,  comme  il  y  passait  auparavant  les  moments  de 
vacance  (ju'il  pouvait  j)rendre.  S'il  devait  sans  doute  rendre, 
comme  conseil,  des  services  sérieux  à  ses  deux  amies,  l'allection 
(prelles  lui  lémoignèrent  |)rouv(î  au  moins  f|u  il  était  personnelle- 
ment homme  de  relations  agréables. 

J'arrive  au  Canon  nialJienialicus,  qui  est  en  réalité  une  table 
des  six  lignes  trigonométriques,  calculées  de  minute  en  minute 
pour  le  rayon  100 000  (parfois  avec  une  ou  deux  décimales  en  sus 
de  la  partie  entière).  Ce  fut  la  j)remière  Table  comj)lète  de  ce 
genre;  elle  était  d'autre  part  accompagnée  de  formules  pour  la 
résolution  des  triangles  plans  ou  sphériques. 

La  rareté  de  cet  ouvrage  s'explique  suffisamment  par  le  succès 
des  Tables  postéiieures  de  \  Opiis  paUilinum  de  i5(j6,  et  du  ^lic- 


(')  Clclle-ci,  qui  iJossédaiL  de  son  (•licf  la  presque  toliililé  du  inafais  vendéen 
en  face  de  Ntniinoiilier,  y  rnainlenail  la  nculralilé  religieuse  et  élail  dans  ics 
meilleurs  lermes  avec  le  roi. 

(2)  L'IiosliliLc  (lu  parti  lij;iicur,  (|ui  amena  la  disgrâce  de  \  itle,  visait  le  con- 
seiller politique.  Henri  III  le  reprit  auprès  de  lui  dè's  (pi'il  rompit  avec  les  Guise, 
et  Henri  I\  le  maintint  dans  les  mêmes  fonctions.  \'i('te  ne  seriilde  niilicmctil.  au 
contraire,  avoir  (ail   parlie  du   pailenienl   r-ovalislr  r('-uni;i  Tours. 


9.o8  PHEMIKUE   PAHTIK. 

sa  unis  inalheniatLCLis  de  Pltisciis  (i6i!^),  puis  par  rinLroduclion 
des  logarithmes.  La  légende  veut  qu'elle  ait  été  amenée  par  la 
destruction  systématique  de  tous  les  exemplaires  qu'aurait  pu 
recouvrer  Viète,  mécontent  de  fautes  d'impression  qui  auraient 
déparé  son  travail.  D'après  M.  Ritter.  l'impression  serait  au  con- 
traire très  correcte,  et  la  légende  ne  reposerait  que  sur  le  dire  de 
l'éditeur  de  1646,  qui,  pour  se  dispenser  d'une  réimpression, 
alors  inulile  de  fait,  a  allégué  qu'il  y  aurait  eu  à  refaire  tous  les 
calculs.  Si  Viète  parle  d'ailleurs  en  1  ogo  du  Canon  comme  infe- 
liciler  éditas,  il  fait  probablement  allusion  surlout,  à  mon  sens, 
à  un  insuccès  de  librairie;  M.  Ritter  remarque  aussi,  à  juste  titre, 
que  l'auteur  devait  regretter  les  dénominations  incommodes  qu'il 
avait  autrefois  adoptées  pour  les  lignes  trigonométriqués,  peut-être 
aussi  la  multiplicité  des  formules,  qu'il  réduisit  dans  son  Liber 
octavus  de  1093,  où  intervient  pour  la  première  fois  la  considéra- 
tion du  triangle  polaire  {inversuni  per  enailagen,  TJ.vù^z^iKùH\7yc;^i\ 
et  où  il  introduit  sa  nouvelle  nomenclature. 

Dans  le  Canon^  il  disait,  comme  Rhœticus,  fécond  de  i' angle 
aigu  au  lieu  de  tangente  ('),  hypoténuse  du  fécond  2,w  lieu  de  sé- 
cante, hypoténuse  du  reste  ç^\  fécond  du  reste  pour  cotangentc 
et  cosécante.  11  a  dit  plus  tard  prosinus  pour  tangente,  trans- 
sinuosa  pour  sécante;  les  lignes  des  angles  complémentaires  n'ont 
pas  d'ailleurs  chez  lui  de  nom  particulier;  seulement,  dans  les 
notations,  la  lettre  désignant  l'angle  est  marquée  d'une  barre. 

Je  crois  inutile  de  m'étendre  sur  les  autres  écrits  imprimés  de 
Viète,  qui  ont  été  suffisamment  étudiés  par  les  divers  historiens. 
Quanta  Vllannonicon  cœleste,  I\J.  Riiter  ne  nous  apprend  rien  de 
nouveau;  son  assertion  qu'il-aurait  certainement  existé  deuxmanu- 
scnts  complets  de  cet  ouvrage  me  senible  même  assez  douteuse  ;  car, 
celui  qui  a  a[)parlenu  à  Pierie  Dupuis  est  passé  entre  les  mains  de 
Boulliau,  qui  le  céda  au  prince  J^éopold  de  Médicis;  il  existe  tou- 
jours à  la  Magliabecchiaua  de  Florence,  en  même  temjjs  qu'une 
copie  au  net  (le  second  manuscrit  auquel  fait  allusion   M.  Ritter 


(')  Les  termes  de  tangente  et  de  sécante  apparaissent  pruir  la  première  fois 
dans  la  Geonietria,  rotundi  de  Thomas  l-'inrk  (i.k(3j;  c'est  la  table  de  Pitiscus 
ffui  les  mit  en  vogue:  les  termes  de  cosinus,  etc.  sont  dus  à  (iunler.  le  calculateur 
des  premières  tables  |no-,iiihniiques  (ifrio). 


COMPTAS   H  KM) US   HT   ANAI>YSI<:S.  9.09 

fi  (]iii  ii'csl  pns  porMlu  (la\  aiilaj;e).  Mais  s'il  laiil  s"<mi  fier  à  J.ihri, 
les  iiiainiscrils  (\c,  ViovcAice  seraient  iiiconiplcls  ;  rien  im  prouve 
donc  fjiie  Vièlc  ail  jamais  ac^lievé  son  œuvre,  (^nanl  au  fragment 
concernaiil  le  même  ouvrage,  et  dont  EIzévir  fait  mention  dans  sa 
préfaee  de  i()4(:>,  ce  doit  cire  très  pi(d>al)Iement  celui  (jui  existe  à 
la  Nationale,  lai  in  "'^-jl  (ancien   Colbritinus). 

L'Algèbre  de  \  iète  fut  propagée,  en  dehors  de  ses  écrits,  par 
les  disciples  (ju'il  forma  directement  et  aussi  par  d'assez  nom- 
breuses traductions  ou  paraphrases  rpii  paruient  en  français  dans 
la  première  moitié  du  dix-septième  siècle  (Vasset,  i636;  Vaule- 
zard,  i63o;  Jacques  Hume,  i()36;  JJuret,  i644)-  A.ujourd'hui  son 
œuvre  latine  est  malheureusement  illisible  pour  un  mathématicien  ; 
la  terminologie,  très  compliquée,  exige  un  travail  d'assimilation 
excessivement  pénible  ;  on  ne  comprend  guère,  à  première  vue,  que 
les  formules,  relativement  faciles  à  transcrire  avec  les  notations  mo- 
dernes; mais  renchainement  des  idées  et  leur  portée  véritable 
échappent  presque  complètement.  La  publication  complète  du  tra- 
vail deRitter  sur  Yiète  peut  donc  oflVir  de  l'intérêt,  au  moins  pour 
ceux  qui  désirent  ap[)rofondir  les  débuts  historiques  de  l'Algèbre. 
Je  remarquerai  toutefois  qu'il  pourrait  y  avoir  besoin  de  revoir 
attentivement  ce  travail,  car  je  ne  m'explique  pas,  par  exemple, 
que  dans  la  Motice,  on  aitimprimé  cou\^.\x\n\ei\i  synclirèse  comme 
traduction  du  terme  sync/'isis. 

En  tout  cas  Killer  a  travaillé,  ce  qui  était  important,  sur  les 
éditions  originales  et  non  sur  celle  de  1646.  Cependant  en  ce  qui 
concerne  les  notations  réelles  de  Viète,  on  aurait  tort  de  se  fier  à 
nne  édition  quelconque,  car  les  imprimeurs,  pour  ménager  la  place, 
ont  singulièrement  modifié  Ja  forme  des  équations,  si  l'on  en  juge 
parles  manuscrits  qui  subsistent. 

Ainsi  l'équation 

qu'Elzévir  (p.  98)  a  imprimée  sous  la  forme  : 

«   E  eu  bus  —  B  in  E  quad.  3  -h  B  quad.  3  —  D  piano  in  E 
aequabitur  B  cubo  —  D  piano  in  E  —  Z  solido.  » 

apparaît  page  i3  v.  du  MS.  lat.  nouv,  acq.   i()4i  (copie  ancienne) 


sous  la  forme 


PUKMlEUIi    l'AUTir:, 


«  1^^  cul:)  Il  s 

—  \>  iii  K  qiindraliiiii    lor 
-f-  I)  qiiadralo  Icr   j 

—  D  piano 


m 


aMjiial)il  m 


B   (MlllO 

-  1)  piano   in  I*] 
Z  solido.  )) 


Dans  les  notes  marginales,  la  même  forme  apparaît,  mais  les 
mots  indi(|uant  les  piiissaiices  sont  rédiiils  à  leurs  initiales;  l'éj^a- 
lité  n'est  jnarcpiée  que  j)ar  une  harre  Aertieale  séparant  les  deux 
meiTibres  de  l'écpiation. 

Avec  ce  système,  on  comprend  cpie,  dans  le  manuscrit,  il  faille 
une  page  pour  l'équation  de  la  deinièie  proposition  du  traité  De 
emendatione,  qui  donne  la  composition  des  coefficients  de  Téqua- 
lion  du  cin(|uième  degré  en  l'onction  des  racines;  mais  on  ne  peut 
nier  cju'en  thèse  générale  les  équations  ne  soient  plus  claiies 
qu'avec  la  mise  de  tous  les  termes  sur  une  uiéuje  ligne. 

Je  note  encore.  [)Our  la  formule  dite  de  Curdun,  sur  l'écpiation 


«    IjVcZ  solidi  H-  L 
-h  L  VcZ  solidi  —  L 


(   Z  solido  solidi 

I    —  B   |)lano   piano  piano 
Z  solido  solidi 

—  B   piano   piano  piano 
est  A  de  qna  quicritnr.  » 

On  voit  c(ue  le  signe  pour  racine  est  L  [lattis).  LV  s'interprète 
lalus  universelle,  et  marcpie  que  Texlraclion  [lorte  sur  l'ensemble 
de  ce  qui  suit  sur  la  même  ligne.  Le  e  après  le  \^  signilie  que  la 
racine  est  cubique.  La  lettre  L  est  d'ailleurs  figurée  comme  un 
angle  aigu,  de  même  que  le  signe  V;  mais  la  branche  inféi'ieure 
est  nettement  horizontale. 

J'ajoute  un  dernier  mot.  ]\'ous  a\ons  j)ris  l'habitude  d'éciMre 
Viète;  il  j^cut  élre  ulile  de  remar(pier  qu'au  seizième  siècle  et  au 
dix-septième,  l'acent  phonétique  dans  le  corps  des  mots  n'élail 
nullement  en  usage;  l'on  écrivait  Vicie  ou  Vietle.  J.a  première 
forme  est  celle  qu'avait  adoptée  le  grand  maihématicien,  mais  c'est 
une  forme  savante  (comme  dicte  de  diii'ta)]  l'orthographe  con- 
forme   au    bon    usage   du    temps    est    sans    contredit   \'iette,    nom 


COMPI'KS    II  K  NI)  US    in    ANALYSES. 


•Al  I 


ass</,  ri(''(|ii('nl  encore  ;iii  joiiiirini  i  en  l^'iaïKu;  el,  (jiie  eonserv  ciiL  an 
resle  des  (lesccndaiils  (Tiin  frère  du  inallKMnaLicicn. 

Paui.  Tajnjvkiw  . 


OVIDIO  (I'].  D),    -  (1k()i\ii:tiiia  anmjtica.  Un  \ol.  iii-S",  xvi-4î3  |>. 
Toriiio,  Hoeca  Irèros,  iS(j(). 

Tant  (Mi'il  V  aura  des  i^cns  (jui  s'iuléresscronL  à  la  meilleure  ma- 
nière (r<'nseii;iiei',  on  disculei"a  pour  savoir  s'il  vaut  mieux  s'élever 
du  parlietdier  au  i;(''néral,  ou  s'il  vîiuL  mieux  inlroduire,  dès  (ju'on 
le  [x'ul,  des  V('ril(''s  i;(''n('rales  pour  en  lirer  la  foule  des  proposi- 
tions particulières  qu'elles  conliennent.  (^ela  d(''pend  du  mailre  et 
des  élèves,  cl  la  preriiière  niélliode  est  honne  si  le  maîlrc  sait 
vraiment  montier  le  général  dans  le  parliculier,  comme  aussi  la 
seconde,  si  le  maître  sait  faire  descendre  à  lem[)S  les  idées  géné- 
lales  et  les  incarner  pour  ainsi  dire  dans  le  concret  ;  mais,  à  coup 
sur,  les  vérités  particulièi-es  sont  sléiiles  quand  elles  sont  bornées 
à  elles-mêmes,  quand  on  n'en  voit  ni  le  lien,  ni  l'unité  et  aussi  les 
idées  générales,  quand  on  s'y  complaît  uni(piement,  comme  dans 
une  sorte  de  rêve  philosophique,  et  (pi'on  est  incapable  de  les  pré- 
ciser dans  les  ap[)lications  j)ai  ticulières  qu'elles  contiennent  en 
puissance. 

Ce  dernier  danger  n'est  pas  à  craindre  pour  ceux  qui  voudront 
étudier  la  Géométrie  analytique  de  W.  d'Ovidio,  tant  Fauteur  a 
eu  soin  de  multiplier,  aux  bons  endroits,  les  exemj)les  et  les  exer- 
cices, de  montrer  à  quoi  servent  les  méthodes  et  comment  on  les 
applique.  On  serait  mal  venu,  dès  lors,  à  lui  reprocher  d'avoir 
voulu  mettre  un  peu  plus  d'ordre  cpie  n'ont  fait  ses  devanciers 
dans  un  livre  qui  entend  rester  élémentaire  et  où  il  est  vrai  qu'en 
peut  apprendre  la  Géométrie  analjlnpie. 

C'est  la  notion  {\<:^  formes  fondam  enta  les  ^  d'après  Steiner,  qui 
a  fourni  à  l'auteur  ses  divisions  essentielles  ;  il  étudiera  d'abord 
les  formes  de  première  espèce  :  droite  comme  lieu  de  |)oints, 
faisceau  de  droites  dans  un  plan,  faisceau  de  plans,  l^our  toutes 
ces  formes,  un  élément  est  (ixé  par  une  seule  coordonnée.  Le 
premier  Chapitre  lui  donne  l'occasion  de  traiter  du  lapport  anhar- 
monique,  des  ponctuelles  homograpliiques,  de  l'involution  ;  dans 


212  PHEMIÈHE  PAHTIE. 

le  second  Cliapilre,  il  résumera  en  quelques  pages  ce  qu'il  y  a 
d'essentiel  dans  la  Géométrie  plane,  et  il  n'introduira  les  coor- 
données proprement  diles  que  lorsqu'il  sera  parvenu  aux  formes 
de  seconde  espèce  et,  en  particulier,  au  plan  comme  lieu  de  points. 
Ce  sont  les  coordonnées  trilinéaires  qu'il  définit  d'abord,  au  mo^en 
du  rapport  anharmonique,  mais  il  se  garde  bien  de  laisser  dans 
l'ombre  les  coordonnées  de  Descartes  et  de  ne  pas  en  recom- 
mander l'usage  là  où  il  est  commode  de  les  employer;  peut-être, 
à  ce  propos,  me  permettra-t-on  de  faire  observer  que  le  rôle  pri- 
mordial donné  aux  coordonnées  trilinéaires  est  légitime  et  naturel 
dans  un  livre  où  l'on  se  propose  essentiellement  de  familiariser  le 
lecteur  avec  la  Géométrie  projective,  où  l'on  entend  ne  pas  dé- 
passer cette  Géométrie  et  même  à  peine  la  théorie  des  coniques 
et  des  quadriques  ;  mais,  si  l'on  se  j)lace  à  un  autre  point  de  vue, 
le  concept  de  coordonnées  est  si  général  et  la  notion  de  coordon- 
nées trilinéaires  si  spéciale,  qu'on  peut  bien  n'encourir  aucun 
reproche  pour  dédaigner  cette  petite  généialisation  des  coordon- 
nées de  Descartes  ;  il  va  sans  dire  (jue  cette  observation  n'a  rien 
à  faire  avec  le  livre  de  M.  d'Ovidio,  qui  suit  bien  un  plan  logique, 
parfaitement  ordonné,  mais  il  serait  possible  d'en  trouver  ailleurs 
des  applications.  Quoi  qu'il  en  soit,  l'auteur,  après  avoir  traité 
du  plan  comme  lieu  de  points,  traite  du  plan  comme  lieu  de 
droites,  puis  des  étoiles  de  droites  et  de  plans.  Jl  [)asse  ensuite  à 
l'espace  comme  lieu  de  points,  ou  de  plans,  puis  à  l'espace  réglé  ; 
dans  ce  dernier  Chapitre,  il  donne  quelques  notions  sur  les  com- 
plexes et  les  congruences  de  droites,  puis  sur  les  surfaces  réglées, 
et  c'est  maintenant  seulement  qu'il  va  s'occuper  des  coniques  et 
des  quadriques.  Est-il  utile  de  dire  qu'il  en  dévelop|)era  d'abord 
les  piopriétés  projectives,  puis  les  })ropriétés  plus  spéciales,  mais 
sans  sacrifier  ces  dernières  ? 

J'ai  signalé,  en  commençant,  les  nombreux  exercices  de  ce 
livre  ;  je  dois  signaler  aussi  les  précieux  renseignements  histo- 
riques (ju'il  renferme.  11  y  a  là,  pour  les  livres  d'enseignement,  un 
excellent  exemple  à  suivre  et  qui  vaut  mieux'que  l'habitude  d'ac- 
coler à  chaque  proposition,  comme  on  le  fait  quelquefois,  le  nom 
d'un  mathématicien  parfaitement  inconnu  et  qui,  le  ])lus  souvent, 
mérite  de  l'être.  J.  T. 


Mr^LANGKS. 


'2  1  i 


mi:l\n(;i:s 


NOTE  SUR  LA  SÉRIE  DE  LAGRANGE; 
Tau  m.  MMIUGE  II  \MV. 

L'équation  do  Lagrangcî 

iTa   qu'une  racine,   s»   à   l'intérieur  d'un  conlour  feriiu'  S,  décrit 
autour  du  point  <7,  lorsque  l'on  a  tout  le  long  de  ce  contour 


(0 


/(-) 


—  a 


<[. 


J'ai  été  conduit  à  former  le  développement,  suivant  les  jouissances 
ascendantes  de  a,  d'une  fonction  de  Ç,  uniforme  à  l'intérieur  de  S, 
admettant  comme  pôle  le  point  z  =  a. 

La  question  peut  se  résoudre  en  étendant  la  méthode  que 
M.  Hermile  expose,  dans  son  cours  à  la  Sorbonne,  pour  calculer 
les  coefficients  du  développement  d'une  fonction  holomorphe  de 
cette  racine. 

Soit  n(^)  une  fonction  telle  que  le  produit  (5  —  a)P  0(2)  soit 
holomorphe,  à  l'intérieur  de  S,  et  non  nul  pour  z  =.a. 

Décrivons,  autour  du  point  a.  une  circonférence  ^  de  ra^on 
assez  petit  pour  que  la  racine  Ç  soit  extérieure  à  cette  circon- 
férence ainsi  que  les  racines  àe  f(^z). 

La  fonction  „  ,^    est  uniforme  à    l'intérieur  de  l'aire   comprise 

t^(s)  I 

entre  S  et  ^;  elle  y  est  finie  et  continue  sauf  pour  la  valeur  2  =  s 
qui  est  racine  simple  de  F(2).  Le  résidu  relatif  à   ce  pôle  ayant 

I       n(0    .,         '    1 

pour  valeur -p^T—r-,  il  en  resuite 


1     r^{z)  I    r\Hz) 

iiiz  ,L   V  {z)  ait:  J^^  l  (z) 


L'inégalité  (i)  étant  satisfaite,  le  long  du  chemin  S,  on  sait  que 


.1/,  PUIiMli:UK    PAKTIK. 

la  nreinirrc  inlc^ralc  peut  se  (l(''V('l()|)|)('r  comme  il  siuL 


2ir.  Jf^   \'  {^  ) 
en  r)os«ant 


«  ,,=.0 


Or  on  peut  ('crire 

et  cominc  la  foiiclion  {z  —  a)i'  W{z)  osl  liolomorplie.  à  riiUériciir 
de  S,  on  a  nianifeslenienl 

J«=; '-—,\l}'l^"f"{z){z-ay\\{z)],^a- 

La  seconde  intégrale  se  calcule  en  partant  de  l'identité 

I  I  z—a  (z  —  a)n-^  (z  —  a)n 


F{z)        ij\z)        oi-^J'H,:-)       "  ^f /''{-)  a!'/J'{z)F{z) 

Multipliant  les  deux  membres  par  ^-^  ^i--)  dzel  intégrant  le  long 

1  I      r  •         (z  —  a)/>U(z) 

de  S,  on  trouve,   en   observant  que    la  fonction  ^  est 

'  J' {^)  ^  {^) 

holomorphe  à  l'intérieur  de  ce  contour 


V=z-1 


Q.nzjy^b(z)  Ad 


en  posant 


+1 


(^-  —  a)PU{z)  étant  holomorplie  à  l'intérieur  de  2^  ainsi  cpie  /^(c), 
on  trouve,  en  raisonnant  comme  précédemment, 


.Mf<:L,\N(i  lis. 
l'-n  i(''-iim(',  on  peu  I  ('(iiic 


>.  I  * 


iK  :) 


/»  -t-  /)  .  -  0 


h'.'  '/'  /■// 1  /'( 


(   3 (t  )l>  \\{  Z) 


OU,  plus  simplcmcnl , 


Si   l'on   pose  niainlcnnnl 

!!(.;)  =  [, -a/'(^)J*(^), 

<I^(::)     élanl     une    nouvelle    lonelioii    aclnieUanl    le    [xMe    z  =  rt, 
d'oixhe  /?,  il  vient, 


en  faisant 


rt=0 


^F(..)  = 


ce  qui  peut  s'écrire 


En  particulier,  pour  /?  =  o,  la  fonction  ^(^)  se  réduit  à  ^^{z) 
et  l'on  retrouve  la  formule  relative  au  cas  où  ^^{z)  est  liolomorphe. 

Remarque.    —    On    parvient   directement    à    cette    expression 

de  ^(v)  en  appliquant  à  la  fonction  -- W(c),  qui  est  uniforme  finie 

et  continue  pour  z  =  a,  la  formule  ordinaire  établie  pour  une  fonc- 
tion liolomorphe  de  Ç.  11  suffit  de  remarquer  que  l'on  a 


-WiO=^Hl), 


à  cause  de  l'identité 


(r  — g)/- 


=  I, 


(pii  est  une  conséquence  de  l'équation  de  Lagrange. 


9.iG  buijj<:tin  biblio(;haimik)UE. 

Mais  ce  raisonnemcMl  implique  la  suj)pusiLioii  (jue  la  foiiclioii 
W(^)  est  holoniorplie,  à  rinleTieur  du  conloiir  S,  et,  par  suite, 
quey'(s)  n'a  j)a.s  de  lacine  à  l'intérieur  de  ce  contour. 

J^a  méthode  que  nous  avons  suivie  montre  I  inutilit('*  de  cette 
restriction. 


BULLETIN  BIBLIOGRAIMIIQUE. 


Dklassus  (  E.).  —  Sur  les  équations  linéaires  aux  dérivées  partielles 
à  caractéristiques  réelles.  10-4°,  76  p.  avec  fig.  Paris,  Gauthier-\  illars 
et  fils. 

Francoeur  (.).-B.).  —  Géodésie,  ou  Traité  de  la  figure  de  la  Terre  et 
de  ses  parties.  8^  édit.  In-8°,  xvn-56.j  p.  et  planches.  Paris,  Gauthier- 
Villars  et  fils.  12  fr, 

HouEL  (J.).  —  Tables  de  logarithmes  à  cinq  décimales  pour  les 
nombres  et  les  lignes  trigonométriques,  etc.  Nouv.  édit.  In-8°,  xlvii- 
118  p.  Paris.  Gauthier-Villars  et  fils.  1  fr. 

KOENIGS  (G.).  —  La  Géométrie  réglée  et  ses  applications.  In-^". 
i'j2  p.  avec  fig.  Paris,  Gauthier-Villars  et  fils. 

Sauvage  (L.).  —  Théorie  générale  des  systèmes  d'équations  différen- 
tielles linéaires.  ïn-4°,  184  p.  Paris,  GanI  luer-Villars  et  fils. 

Stieltjes  (T.-.I.).  —  Essai  sur  la  théorie  des  nombres.  Premiers 
éléments.  In-4",  109  p.  Paris,  Gauthier-^'ilIars  et  fils. 

Sturm  (Cil.).  —  Cours  d'Analyse  de  l'Ecole  Polytechnique.  \o'  édit. 
1  vol.  in-8'',  avec  fig.,  t.  I,  x\xii-563  p.;  t.  H,  x-ôôj  p.  Paris,  Gauthier- 
Villars  et  fils.  i5  fr. 

Tannery  (.].)  el.  jNIolk  (J.).  —  Eléments  de  la  théorie  des  fonctions 
elliptiques.  T.  Il,  in-8",  vr-299  p.  Paris,  Gaiithier-N'iliars  el  fils. 


co.Nin  i':s  uI'Ndij's  kt  analvsks.  >i 

coMriKs  iu:m)1!s  i-:r  walysks. 


hlI.MOr  (  l*;.-U.  ).  —  An   IMHODI cimon  to  tiii:   \i-(;i:iti;\   ok  oi  \\tu;«. 
Un  vol.  iii-<S",  \iii-|7.3  p.  Oxford,  iScj). 

('.('liM'c.  rclalivciiKMil  ('■h'mcnlairc,  csl  le  (h'vcloppeMMîii  I,  (Tim 
cours  lail  j)ai-  railleur  aux  élèves  du  (^)ueeu's  (lolle^^c,  à  Oxford  ;  il 
nous  eu  prévieul  dans  sa  Prélace,  el  c(;la  ('dail  presque  inutile, 
lanl  on  sc.'uL  le  soin  (|u'a  pris  M.  Elliol  j)Our  rendre  les  théories 
(|u'il  expose  pleinement  accessibles  à  des  étudiants.  Des  exemples, 
des  i II i(slr<( lions,  connue  ou  dit  en  Angleterre,  très  nombreux 
dans  tous  les  (lliapilres,  monheul  bien  aussi  (|ue  c'est  à  de  vrais 
éludiauls  (pi'il  s'adresse  et  (pTil  a  l'habitude  de  s'adresser.  Il  faut 
lui  savoir  <^ré  d'avoir  j)ris  la  peine  de  rédiger  et  de  développer  ses 
leçons,  car  ce  livre  est  bien  lait  pour  introduire  le  lecteur  dans  la 
théorie  des  formes  binaires,  et  plus  d\m,  sans  doule,  qnoique  ce 
ne  soit  certainement  pas  rintention  de  M.  Elliot,  pourra  s'en  con- 
tenter. Quant  au  terme  anglais  u  cjuantic  »  qu'il  a  adopté,  on  sait 
assez  que  c'est  le  terme  qu'employait  Cavlej,  qui  est,  à  coup  sur, 
un  des  princi|)aux  créateurs  de  la  théorie,  et  cela,  à  nos  yeux, 
suffit  à  le  justifier. 

On  trouvera,  dans  les  cinq  premiers  Chapitres,  avec  les  défini- 
tions et  les  propriétés  les  plus  immédiates  des  invariants  et  cova- 
riants,leur  interprétation  géométrique,  la  notation  symbolique  de 
Gayley,  la  constitution  des  invariants  et  covariants  d'une  forme 
binaire  au  moyen  des  racines,  l'application  aux  formes  du  second, 
du  troisième  et  du  quatrième  degré.  Deux  importants  Chapitres 
sont  ensuite  consacrés  aux  équations  aux  dérivées  partielles  aux- 
quelles satisfont  les  invariants,  covariants,  semi-invariants  ;  au 
théorème  de  Cayley  sur  le  nombre  de  semi-invariants  de  type 
donné,  à  la  loi  de  réciprocité  de  M.  Ilermite.  L'auteur  passe  en- 
suite à  la  tht'orie  des  fonctions  génératrices,  puis  à  la  belle  dé- 
monstration du  théorème  de  M.  Gordan,  que  l'on  doit  à  iM.  llil- 
bert  ;  il  poursuit  la  théorie  des  semi-invariants  et  développe  leurs 
divers  modes  de  formation.  Un  chapitre  est  consacré  aux  formes 
canoniques  pour  les  premiers  degrés  (jusqu'au  huitième)  ;  on  y 
traite  naturellement  de  la  résolution  des  équations  du  troisième 
liull.  des  Sciences  malhcin.,  2"  ijcrie.  I.  X\.  (Septembre  1896.)  1  j 


2i8  IMiEiMIÈHE   PAHTIP:. 

et  du  qualriènie  degré.  Quelques  paragraphes  se  rapportent  aux 
formes  ternaires  et  quaternaires.  Les  formes  binaires  du  einquième 
et  du  sixième  ordre  sont  l'objet  d'une  étude  spéciale  que  méritent 
assurément  les  beaux  travaux  dont  elles  ont  été  l'objet.  î\].  Elliot 
s'occupe  ensuite  des  formes  binaires  simidtanées  ;  la  théorie  du 
changement  de  coordonnées  cartésiennes  fournit  d'intéressantes 
applications.  Enfin,  un  dernier  Chapitre  se  raj)j)()rte  aux  formes 
ternaires  du  second  et  du  troisième  degré.  J.  T. 


MELANGES. 

SUR  UNE  FORMULE  DE  M.  G.  FONTENÉ; 
Par  m.  Cii.  IIEHMITE. 

En  désignant  par  /(.^)  une  fonction  doublement  périodique, 
avant  deux  pôles  simples /_?  et/>',  et  par  R  le  résidu  qui  correspond 
à  />,  M.  Fontené  a  donné  dans  les  Comptes  rendus,  t.  GXXII, 
p.  1^2,  la  formule  suivante 

f{oc)-f{p-y) 


2/(^  +7)  =f{p  -y)  -^Ap'-y)  +  R(Da:+  Dr) loj 


f{oo)-f{p'-y) 


Ce  résultat  intéressant,  dont  l'auteur  tire  comme  conséquence 
immédiate  les  expressions  des  quantités  sn(^+j^),  cn(^œ-\-y) 
et  dn(^  +t)  ps^it  s'obtenir  par  une  autre  voie  qu'il  ne  me  paraît 
pas  inutile  d'indiquer. 

Si  l'on  désigne  par  \  =  ^{^)i  ^^  fonction  inverse  de  Tintégrale 

/d' 
— — ^—  ■=.x,  où  R(ç)est  un  polynôme  quelconque  du  quatrième 
v/R(0  '  ^   ^  ^      ^  ^  1  ^ 

degré  en  ç,  on  établit,  au  moyen  de  la  seule  définition  de  cette 

fonction,  cette  égalité  (*) 

2cp'(«)  __         cp'(a  H- y)  +  o'(a)        cp'(a — y)-^^'{ci) 

9l«+7)  — ?U")  ?(«— .>")  — ?(^)  ' 

(')  Note  ajoutée  au  Cours  de  Calcul  différentiel  et  intégral  de  J.-R.  Serret, 
t.  II,  p.  W\- 


MfaANGlîS.  7i(, 

(|uo  nous  pointons  (Micorc  écrire  sous  une  ;iuli<'  forme,   on  elian- 
^eanl  les  tleux  membres  de  si<^ne,  à  savoir: 

7.1),  l(,n|cp(nr)  — cp(,/-+7)l  -^       (r)^_y.D^)logfcp(a)-cp(r7+jK)l 

Cela  élanl,  soil  «==/?  + s, /?  désignant  un  pôle  simple  de  Z)(x) 
el  £  une  quantité  infiniment  petite.  Nous  développerons  suivant 
les  puissances  croissantes  de  s,  et  nous  remarquerons  que  si  l'on 

néglige  les  termes  en  e,  £-,   .  .  . ,  on  a  simplement  9(<:/)  = h  C, 

R  étant  le  résidu,  C  une  constante,  puis  cp(« -f-j/)  =  C3(/:)  +  r). 
De  là  résulte  pour  le  premier  membre  d'abord 

log[cp(rt)  — cp(.r-hjK)]  =  'o?^     T  +G-cp(rH-jK)    , 

et,  en  prenant  la  dérivée  par  rapport  à  £  qui  est  la  même  que  par 
rapport  à  a^ 

D«log[cp(a)-cp(a7+jK)]  =—  -  H -A_ \ 

On  trouve  ensuite  dans  le  second  membre 

log[cp(«)  — cp(a7+7)]  =  log-    -  -i-G  — '^(/j+jk)!, 

R           G  —  o  (  /;»  +  v  ) 
=    logT     H ^{ ^£. 

La  dérivée  par  rapport  ky  donnant  un  terme  en  £  peut  être  né- 
gligée, de  sorte  qu'il  vient  immédiatement 

puis  par  le  même  calcul 

s  R 

Si  l'on  substitue  maintenant  dans  la  relation  considérée,  on  voit 


220  PUEMiiuu-:  pautiiï:. 

que  les  termes  en  -  disparaissent  ainsi  que  la  constanlc  C,  et  Ton 

parvient  à  cette  éj^allté 

(û(.t)  —  o( p  -f-  y) 

Cela  étant,  j'observe  que  si  l'on  fait  ^  =//+ £,  en  désignant 
par  yj>'  le  second  pôle  de  ^(.^)  et  K'  le  résidu  correspondant,  on  a 
pour  £  infiniment  petit,  d'après  ce  qui  précède, 

mais  R'=  —  R  ;  cette  relation  devient  donc 

2?(p'+7)  =  ^(p  +  r)  -^  '-^ip  —y)  —  ?(p  +  y)  ^  ?ip  —y)y 

ou  bien 

?(p'-^y)  =  "îip—y)' 

Nous  pouvons,  par  conséquent,  écrire  sous  une  forme  plus 
symétrique,  en  Introduisant  le  pôle  //, 

o  ( .t)  —  o(  p  -1-  y  ) 
'2o(x-{-y)  =  9(/>  +  7)-H?(y  +  7)  — R(Dx+Dj)log-^^ T-^— -"  V 

j \       j  /      i  \i      j  '      \  y±      ^  '  j '    "^  ^{^x)  —  ^^p  ^ y) 

ce  qui  donne  le  résultat  obtenu  par  M.  Fontené   en  remplaçant 

?(/^+y)  et  ^{p'-\-y)  par  'f(/5'— y)  et  o{p  —  y).   J'ajouterai 
encore  une  remarque  :  on  en  tire,  si  l'on  change  j/-  en  — y^ 

OU  bien 

En  retranchant  membre  à  membre  avec  l'égalité  précédente, 
nous  aurons  donc  la  relation  fort  simple 

et  l'on  en  conclut  cette  intégrale  définie 

J       ITV  J  .V  ^n  ^   r^(^x)  —  ':.{p^y) 


—m-  "-  TU 


MÉLANGES.  .  9/21 


CALCUL  DE  MONS.  DES  CARTES 

OlJ 

INTRODUCTION  A  SA  GÉOMÉTRIE,  1638, 
IVvu  M.   IIkmu   ADAM. 

La  Bll)li()lIi(''(juo  royale  de  Hanovre  possède,  j)ai'nn  les  j)aj)iers 
de  Lcil)ni/-,  un  caliier  manuscrit  intitulé  :  Calcul  de  Mons.  Des 
Cartes.  Il  est  catalogué  n'*  38J,  au  tome  [Vdu  (Catalogue  imprimé 
par  le  l^ihliotliécaire  en  chef  M.  Eduard  Bodemann.  Ce  n'est  pas 
l'écriture  de  Descartes,  et  ce  n'est  pas  non  plus  celle  d(;  Leibniz; 
et  il  ne  porte  point  de  nom  d'auteur,  ni  de  date.  Mais  on  y  trouve 
plusieurs  renvois  à  une  Géométrie^  et,  vérification  faite,  les  pages 
citées  ainsi  sont  celles  de  la  Géométrie  de  Descartes,  dans  la  pu- 
blication de  lôS-j  :  Discours  de  la  Méthode,  etc.  plus  la  Dlop- 
trique,  les  Météores  et  la  Géométrie,  qui  sont  des  Essais  de 
cette  Méthode  (Levde,  Jan  Maire,  C|D  |0G  XXXVII  achevé  d'im- 
primer le  8  juin  lôSy).  Cette  Géométrie  (p.  295-4i3  inclus)  est 
en  français,  comme  tout  le  reste,  et  le  Calcul  de  Mons.  Des  Cartes 
est  aussi  en  français.  Ne  serait-ce  point  le  travail  dont  Descartes 
parle  à  plusieurs  reprises  dans  sa  Correspondance  de  i638,  et 
qu'il  envoya  à  Mersenne,  en  l'appelant 7/z^/'o<iwc^fon  à  sa  Géomé- 
trie (')?  Ce  second  tilre  n'est  pas  celui  du  manuscrit  qui  donne 
seulement  :  Calcul  de  Mons.  Des  Cartes.  Mais  les  deux  choses 
n'en  font  qu'une,  comme  le  prouve  la  simple  lecture  des  textes 
suivants  : 

Descartes  à  M^ydorge,  24  février  i638  :  a  Au  reste,  permettez- 
moy  que  je  vous  demande  comment  vous  gouvernez  ma  Géo- 
métrie. Je  crains  bien  que  la  difficulté  des  calculs  ne  vous  en 
dégoûte  d'abord;  mais  il  ne  faut  que  peu  de  jours  pour  la 
surmonter,  et  par  après  on  les  trouve  beaucoup  plus  courts  et 


(')  Leibniz,  Remarques  sur  l'abrégé  de  la  Vie  de  iMons.  des  Cartes  :  «  J'ay 
vCi  le  petit  écrit  qui  devoit  servir  d'introduction  à  la  Géométrie  de  INI.  des  Cartes. 
Feu  iMons.  Thevenot  nie  le  coinmuni(iua.  Il  est  assez  court,  mais  je  n'y  remarque 
rien  de  cette  excellence  que  ]M.  Baillct  dit  qu'on  luy  attribuoit  et  qui  faisoit 
croire  que  M.  des  Cartes  en  estoit  l'auteur  luy  mesmc.  »  (Edit.  Gerhardt,  t.  IV, 
p.  319.) 


222  PREMIÈRE  PARTIE. 

plus  commodes  que  ceux  de  Viète.  On  doit  aussi  lire  le  troi- 
sième Livre  avant  le  second,  à  cause  cjuil  est  beaucoup  plus 
aisé.  Si  vous  désirez  que  je  vous  envoie  quelques  adresses  par- 
ticulières touchant  le  calcul,  j\iy  ici  un  ami  qui  s'offre  de  les 
écrire]  et  je  m'y  offrir  ois  bien  aussi^  mais  j'en  suis  moins  ca- 
pable que  lui,  à  cause  que  je  ne  sais  pas  si  bien  remarquer  en 
quoy  on  peut  trouuer  de  la  difficulté.  »  (J^ettres  de  M.  Descartes, 
édit.  Glerselier,  t.  III,  1667,  p.  19^  :  8.) 

A  Mersenne,  3i  mars  i638  :  «  Je  suis  extrêmement  aise  de 
ce  que  M''  Des  Argues  veut  prendre  la  peine  de  lire  ma  Géo- 
métrie; et  tant  s'en  faut  quHl  me  faille  prier  pour  luy  enuoyer, 
ou  à  vous,  ce  que  ie  croy  estre  utile  pour  en  faciliter  U intelli- 
gence, je  voudrois,  au  contraire,  uous  prier  de  Vaccepter. 
Celuy  cjui  m^avoit  promis  d'en  écrire  quelque  chose  n'est  plus 
ici,  et  a  des  affaires  qui  me  font  craindre  cju'il  ne  le  puisse 
faire  de  cinq  ou  six  semaines  ;  toutefois,  je  le  hâter  ay  le  plus 
que  je  pourrai.  Et  je  tâcher  ois  de  le  faire  moi-même  sans 
m'' attendre  à  un  autre;  mais  mon  calcul  m'est  si  commun,  cpie 
je  ne  puis  imaginer  en  quoi  les  autres  y  peuvent  trouuer  de  la 
difficulté.  »  i^lb.,  t.  III,  p.  399.) 

A  Mersenne,  17  mai  i638  :  «  Vous  aurez  à  ce  voyage  ou  au 
procJiain  V Ecrit  cjue  je  vous  avois  promis  pour  l'intelligence 
de  ma  Geometi'ie ;  car  il  est  presque  achevé  et  c'est  un  Gentil- 
homme d'icy  de  très  bon  lieu  qui  le  compose.  »  {Ib.,  t.  lil,  390.) 

Et  à  la  fin  de  la  même  lettre  :  «  Je  vous  envoie  une  partie  de 
l'Ecrit  que  je  vous  avois  promis  pour  Inintelligence  de  ma 
Géométrie.  Le  reste  n^a  pu  être  transcrit;  c'est  pourquoi  je  le 
garde  pour  un  autre  voyage.  Ha  principalement  été  fait  pour 
M^  Des  Argues;  mais  je  ne  serai  pas  marri  que  tous  les  autres 
qui  auront  envie  de  s'en  servir  en  aient  des  copies,  au  moins 
ceux  qui  ne  se  vantent  point  d'avoir  une  méthode  meilleure 
que  la  mienne;  car  pour  ceux-ci,  ils  n^en  ont  que  faire,  et  je 
me  suis  expressément  rendu  un  peu  obscur  en  cjuelques  endroits 
afin  que  telles  gens  ne  se  pussent  vanter  d'avoir  su  sans  moi 
les  mêmes  choses  que  j'ai  écrites.  »  {Ib.,  t.  lïl,  p.  394-) 


MÉLANGES.  '2/I 

A  Mcrsciinc,  1 .")  jiiill(i  i()38  :  «  Je  vous  prie  cl/dhord  de  iiiex- 
cusci-  (le  ce  f/uc  le  pdiiuel  est  un  peu  ^fos —  Ko//.v  y  Irrmverez 
le  reste  de  V Introduction  à  inu  (véonti'trie,  <jue  je  vous  avois 
envoyé  ei-devunt  ;  ce  reste  ne  contient  que  cinq  ousix  exenijtles, 
r  un  desquels  est  ce  lieu  /}l(t/i  dont  M.  Fer  mut  (i  tant  fuit  de 
hruit  ;  et  le  dernier  est,  ayant  quatre  globes  donnes,  en  trouver 
u/i  ci/u/uii'nie,  qiti  les  touche,  duquel  Je  ne  crois  pas  que  vos 
Analystes  de  Paris  puissent  venir  à  bout.  Et  vous  leur  pourrez 
proposer,  si  bon  vous  semble,  mais  non  pas  comme  de  moi;  car 
je  me  contente  de  parer  ;  et  je  ne  veux  point  me  mettre  en  pos- 
ture pour  les  combattre.  »  (//>•;  l.  Il,  p.  385.) 

Ce  dernier  problème  avait  déjà  été  envoyé  à  Mersenne  parDcs- 
cartes,  le  i5  avril  i()3o,  en  ces  termes  :  «  J^en  mettray  ici  trois 
[problèmes)  que  j\(i  autrefois  trouvés  sans  aide  que  de  la  Géo- 
métrie simple,  c'est-à-dire  avec  la  règle  et  le  compas  : 

Invenire  Diametrum  Sphera"  tangentis  alias  quatuor,  posi- 
tione  et  magnitudine  datas,  etc.  {Ib.,  t.  H,  p.  47-1  )• 

A  Mersenne,  97  juillet  i638  «  :  Que  si  on  trouve  que  l'Intro- 
duction que  j'ai  dernièrement  envoyée  y  puisse  aider  (à  com- 
prendre ma  Géométrie),  je  ne  serai  pas  marri  que  les  Jésuites 
la  voient  aussi;  car  je  voudi'ais  bien  que  plusieurs  la  pussent 
entendre.  »  (Paris,  Bibi.  Nat.,  MS.,  FR,  n.  a.,  51()0,  fol.  i4, 
verso.) 

A  Mersenne,  23  août  i638  :  «  Pour  l'Introduction  à  ma  Géo- 
métrie, je  vous  assure  qu'elle  n'est  nullement  de  moi,  et  je  l'ai 
seulement  à  peine  ouï  lire  un  peu  devant  que  V enfermasse  en 
mon pacjuet;  et  j'ai  honte  de  ce  que  vous  avez  écrit  à  M.  Fer- 
mat,  que  j'y  ai  résolu  son  lieu  plan;  car  il  est  si  facile  par  ma 
Géométrie  que  c'est  tout  de  même  que  si  vous  lui  aviez  mandé 
que  j'ai  pu  inscrire  un  triangle  dans  un  cercle.  »  {Ib.,  fol.  20, 
recto.) 

A  Mersenne,  11  octobre  i()38  :  «  Pour  r  Introduction  à  ma 
Géométrie,  j'en  ai  parlé  à  celui  qui  l'a  composée,  qui  est  un 
Gentilhomme  de  ce  pays,  de  très  bon  lieu;  mais  il  ne  désire 
point  aussi  ffu'elle  soit  imprimée  ;  si  ce  nest  qu'on  en  voulût 


'ri\  PRKIMIÈUE  PARTIH. 

seulement  faire  tirer  une  douzaine  ou  deux  d^ Exeniphrires 
pour  ceux  à  qui  vous  en  voulez  donner  des  Copies,  ce  qui  seroit 
peut-être  plus  commode  que  de  la  f(àre  transcrire.  Et  p/our  les 
caractères,  vos  Libraires  les  auront  tous;  ou  s^il  en  manque 
cjuelques-uns,  ils  les  peuvent  faire  fondre  à  fort  p>eu  de  fiais. 
Mais  pour  en  faire  une  impression  publique,  il  dit  (ju' il  aime- 
roit  mieux  la  faire  faire  luy-même  en  ce  pctys^  et  qu^en  ce  cas 
il  y  voudroit  encore  ajouter  beaucoup  de  clioses  ;  ce  cjuHl  offre 
de  faire  avec  le  temps. .  .  .  Pour  la  question  des  quatre  globes, 
je  crois  bien  que  M .  Fermât  peut  voir  de  loin  le  moyen  d^y 
parvenir;  mais  la  difficulté  est  à  en  démêler  le  calcul,  ce  que 
j'ai  peine  à  croire  quil  puisse  faire  par  l' Analyse  de  Viète. 
Et  pour  preuve  de  cela,  vous  pouvez  le  convier  à  vous  en  en- 
voyer le  fait  :  éi,  savoir.,  posant  les  quatre  l'ayons  des  sphères 
données  être  par  exemple  a,  b,  c,  d,  lui  demander  quel  est  le 
rayon  de  la  plus  petite  splière  concave,  dans  laquelle  elles 
puissent  être  enfermées  ;  car  vous  verrez  bien  sUl  s^ accorde 
avec  le  fait  que  vous  avez.  »  (Leltres  de  M.  Descaries,  édit. 
Cleiselier,  t.  Il,  p.  4oo.) 

A  Mersenne,  i5  novembre  i638  :  «  SUl  se  trouve  encore  en 
cecy  quelque  cliose  qui  ne  semble  pas  assez  clair,  je  ne  doute 
point  que  celui  qui  corrige  les  copies  de  r Introduction  ne  le 
puisse  facilement  éclaircir.  »  {^Ib.,  t.  II,  p.  409.) 

A  Mersenne,  déc.  i638  (parlant  de  M.  de  Beaiine)  :  «  H  a 
raison  de  trouver  V Introduction  trop  brève  pour  lui,  à  cause 
qu' il  sait  déjà  ce  qu^ elle  contient;  mais  aussi  n  est-elle  faite 
que  pour  ceux  qui  en  savent  moins,  et  ce  n'est  pas  un  Commen- 
taire, mais  seulement  une  Introduction.  »  {Ib.,  L.  ]I,  p.  429.) 

L'introduction  circulait  donc  et  voyageait.  On  en  entendit 
parler  en  Angleterre,  et  le  \/\  février  i()4o,  Digbj  écrivait  de 
Londres  à  Mersenne  :  «  Je  n'ai  pas  vu  encore  le  Discours  de 
M.  Des  Cartes  sur  les  Méchaniques,  ni  son  Introduction  à  la 
Géométrie.  Vous  ni  obligerez  beaucoup  de  me  le  faire  voir.,  et 
je  vous  le  renvoyerai.  )>  Mersenne  Tenvoya  donc,  et  Digbj  la  lut 
aussitôt,  car,  le  i5  mars  1640,  il  parle  à  Mersenne  d'une  lettre 
envoyée  par  lui  il  y  a  quinze  jours  «  accompagnée  de  V Introduc- 


MÉLANGIiS.  9/25 

tion   lie  M.   I>cs  (^(irlcs   à   lAl^vbrc.    »    (l*atis,    liihl.    iial. ,  l'iv, 

Dons  loMs  ces  Icxlcs,  à  vi;ii  diic,  Descartes  ne  jiarle  que  d'une 
lu ( nxl url ion  à  sa  ( iroint't l'ic .  Mais  déjà  (l;ni.s  le  premier,  du 
'.>.  I  IV'vriei*  i().)8,  il  paih;  (renvoyer  «  (jucJ(jU('s  ddresses  jxulicu- 
liciu's  loiiclid n (  le  ((tfcul))^  ee  (|iii  r('[)()nd  \)\c,n  an  eonUinii  (Je 
ce  (%tlciil(/('  Mous.  Des  Cartes;  vA  Ton  voil,  par  Ions  les  textes 
qui  sniveni,  (|ne  c'est  bien  la  inijine  ciiose  (pie  cette  Inlroduction* 
Il  V  a  pins  :  (;elle-ei  se  termine  j)ar  «  cinq  ou  six  exemples  »,  dit 
Descaries  (i3jnillet  i638);  or  le  Calculse  termine  aussi  par  des 
exemples,  non  pas  ci/Kj  ou  six,  il  est  vrai,  mais  seulement  quatre; 
encore  le  quatrième  reste-t-il  inachevé;  toute  la  fin  de  ce  travail 
manque.  Il  y  a  plus  encore  :  Descartes  donne,  dans  ses  lettres, 
deux  de  ses  exemples.  J^'un,  qui  est  le  dernier,  n'est  antie  que  le 
problème  d'une  sphère  tangente  à  quatre  sphères;  on  ne  le  trouve 
pas  dans  le  Calcul^  puisqu'il  est  le  dernier  et  que  justement  le 
manuscrit  est  incomplet.  Mais  l'autre  exemple  est  ce  lieu  plan 
dont  M,  Fermât  a  tant  fait  de  bruit  »  (i3  juillet  1638)^  il  se 
trouvait  donc  dans  la  dernière  partie  de  V Introduction  à  la  Géo^ 
niétrie;  or  il  se  trouve  aussi  à  la  fin  du  Calcul  de  Mons.  Des 
Cartes  .'c'est  le  troisième  exemple,  tout  à  ("ait  semblable,  on  s'en 
convaincra  en  le  lisant,  au  contenu  d'une  lettre  de  Fermât  à  Ro- 
berval,  de  février  1637  [OEuvres  de  Fermât,  édit.  Tannery  et 
Henrj,  t.  II,  p.  100).  Cette  preuve  est  décisive  :  le  Calcul  el 
V Introduction  sont  bien  un  seul  et  même  opuscule,  et  l'on  est  en 
di'oit  de  l'intituler  comme  nous  avons  fait  :  Calcul  de  Mons.  Des 
Cartes,  ou  Introduction  à  sa  Géométrie. 


Quel  en  est  maintenant  l'auteur?  A  plusieurs  reprises,  Descartes  déclare  ex- 
pressément que  ce  n'est  pas  lui.  Cependant,  il  a  dû  donner  au  moins  des  indica- 
tions et  des  conseils.  Il  désigne  comme  l'auteur  un  gentilhomme  d'ici,  de  très 
bon  lieu.  Quel  peut  bien  être  ce  gentilhomme?  Si  l'on  prend  d'ici  au  sens  strict, 
comme  Descartes  demeura  toute  l'année  i638  à  Utreclit,  ce  serait  donc  un  gen- 
tilhomme d'Utrecht.  Au  sens  large,  d'ici  peut  vouloir  dire  tout  simplement  de 
Hollande  :  ce  serait  donc  un  gentilhomme  hollandais.  A  un  sens  plus  large  en- 
core, d'ici  peut  signifier  établi  (comme  Descartes  lui-même)  en  Hollande,  sans 
être  pour  cela  originaire  du  pays.  Examinons  ces  trois  hypothèses  : 

1°  Haillet,  dans  sa  Vie  de  M.  Descartes,  t.  II,  p.  35,  parle  d'un  «  sieur  Gode- 
froy  de  Haestrecht,  Gentilhomme  du  pays  de  Liège,  qui  étoit  venu  s'habituera 
L'trecht,  cl  qui  dcmemoit  actuellement  au  château  de  Henoude,  village  à  la  dis- 
tance d'une  demi-Iicuc  de  la  ville,  où  il  cultivoit  la  Philosophie  de  M.  Descartes 
au  milieu  du  repos   cl  des  coiiiniodilés   de    la  vie   ».  Ailleurs,    il    l'appelle  .M.  le 


226  PHEJVllEUE   PAIITIE. 

La  Table  suivante  donnera  une  idée  de  l'opuscule  et  de  son  im- 
portance. Le  numérotage  des  alinéas  manque  dans  le  manuscrit; 
on  Fa  établi  pour  plus  de  commodité,  en  le  mettant  entre  cro- 
chets [],  comme  tout  ce  qui  est  ajouté. 

[I]- 
[Calcul  des  polynomks]. 

[§  1].   [Adduion  et  Soustraction^ 
[§2j.  MaltipUcatlon. 
[§  3].  Division. 

[II]. 
Fractions. 

[§  !]•   [Simplification]. 

[§  2].  Réduction  au  même  dénominateur. 

[§  3].  Addition  et  Sousti'action. 

[§4].  Multiplication. 

[§  5].  Division. 

lîaron  de  Haestreclit,  p.  216,  et  il  le  nomme  en  compagnie  d'autres  amis  du  phi- 
losophe. Descartes  parle  aussi  de  ce  Monsieur  Haestrech  (lettre  à  Schooten, 
septembre  1609;  édit.  Clerselier,  t.  III,  p.  470-  On  voit,  par  ce  passage,  qu'il 
annotait  la  Géométrie  de  concert  avec  Schooten.  Seulement,  tous  deux  l'anno- 
taient en  latin,  et  notre  Calcul  de  Mans.  Des  Cartes  est  en  français.  Est-ce 
là  une  difficulté?  Ce  M.  de  Haestrecht,  qui  d'ailleurs  était  du  pays  de  Liège, 
savait  certainement  le  français,  et  pouvait  fort  bien  travaillera  une  introduction 
française  de  la  Géométrie  pour  les  curieux  comme  lui,  et  à  une  annotation 
latine  en  vue  d'une  édition  nouvelle  pour  les  savants 

2°  Baillet  nomme  aussi,  parmi  les  amis  de  Descartes  à  Utrecht  ou  dans  le  voi- 
sinage, Waessenaer  (t.  II,  p.  35).  Ils  étaient  deux,  le  père  et  le  fils,  et  juste- 
ment en  if)3(j-in4o  Descartes  soutiendra  le  fils  de  ses  conseils  et  de  ses  écrits, 
dans  une  querelle  mathématique  de  celui-ci  avec  Stampioen.  Bien  plus,  dans 
cette  querelle,  Waessenaer  reprendra,  ou  Descartes  avec  lui  et  pour  lui,  une  ques- 
tion qui  fait  la  suite  d'un  certain  passage  de  cette  Introduction  à  la  Géométrie  : 
c'est  là  un  indice.  Mais  il  y  a  une  grosse  difficulté  :  Waessenaer  ne  répond  guère 
à  ce  signalement  d'un  gentilhomme  d'ici,  de  très  bon  lieu.  Une  lettre  de  Des- 
cartes, dont  l'autographe  est  au  British  IMuseum  de  Londres  donne  cette  simple 
adresse  :  A  Monsieur  J.  A.  Waessenaer,  Arpenteur  demeurant  à  Claerenbergh 
près  d'Utrecht.  Et  le  père,  que  Descaries  avait  connu  d'abord  à  Amsterdam  avec 
Henry  Renery  en  iGag-iGSo,  était  médecin.  Il  est  vrai  que  Baillet  ajoute  ce  ren- 
seignement :  «  M.  de  Waessnaer,  Gentilhomme  de  l'une  des  plus  anciennes  mai- 
sons de  la  province,  ctoit  réduit  à  professer  la  médecine.  »  (T.  I,  p.  189.) 

3°  Enfin,  Descartes  venait  de  faire  connaissance  avec  un  autre  étranger,  Al- 
phonse de  Pollot,  d'une  famille  protestante  de  Droniera  (  marquisat  de  Saluées), 
réfugiée  à  Genève  pour  fuir  les  persécutions  du  duc  de  Savoie  :  deux  frères,  les 
deux  cadets,  Jean-Baptiste  et  Alphonse,  étaient  venus  en  Hollande  se  mettre  au 
service  du  prince  d'Orange  et  Descartes  les  connut  tous  deux.  Alphonse  s'inté- 
ressait fort  aux    travaux  du    philosophe  :  il   arracha  presque  de  force  des  mains 


INI  f<: LANGES.  'x'ii 

I^^XTIIVCTIOX    DI;:    LV    HACINK    CAUIIKE. 

flV]. 
Quantités  souhdes. 

[§  '!]•  \  Oc  finition  ]. 

[§  2|.  Rédaction  des  quantités  sourdes. 

[§  3].  Addition  et  Sousti'action. 

[§  -4],  Multiplication. 

[§  5].  Division. 

[§  0].  Extraction  de  la  racine  des  binômes. 

[V].    Di:S   .EQUATIONS. 

f§  1].  Premier  exemple. 
[§  2].  Second  exemple. 
[§  3].   Troisième  exemple. 
[§  4].   Quatrième  exemple. 


CALCUL  DE  M'  DES  CARTES. 

[!]• 
[Calcul  des  polynômes]. 

Cette  nouvelle  arithmétique  consiste  es  lettres  a.,  b.,  c,  .  .  . ., 
aussi  es  chiffres  i ,  2,3,  ....  S'il  j  a  des  chiffres  devant  les  lettres, 
comme  9.a,  3Z^,  |c,  cela  vent  dire  que  la  quantité  a  est  double, 
celle  de  b  triple,  et  celle  de  c  est  un  quart.  Mais  s'il  s'en  trouve 
après  les  lettres,  comme  a^,  ^%  c^,  cela  veut  dire  que  la  quan- 
tité a  est  multipliée  3  fois,  celle  de  ^,  4  fois,  et  celle  de  c,  5  fois. 


de  Constantin  Huygens  le  petit  écrit  des  Mechaniques  ou  de  V Explication  des 
Engins,  que  celui-ci  avait  reçu  de  Descarlcs  en  octobre  1687;  plus  tard,  en  16.., 
il  s'entremit  entre  Descartes  et  la  princesse  Elisabeth;  ce  fut  lui  qui  porta  la 
solution  qu'elle  avait  donnée  du  problème  des  trois  cercles,  et  peut-être  l'avait-il 
aidée  lui  même  à  la  trouver.  Or,  ce  problème  est  analogue  à  celui  d'une  sphère 
tangente  à  quatre  autres  sphères,  qui  était  le  dernier  exemple  de  Vlntroduction 
à  la  Géométrie.  Est-ce  là  une  coïncidence  fortuite?  ou  Pollot  s'était-il  déjà 
occupé  de  cette  même  question  en  i638?  Mais,  d'autre  part,  ses  occupations  comme 
capitaine  au  service  du  prince  d'Orange,  et  bientôt  gentilhomme  de  la  chambre 
lui  laissaient-elles  le  temps  de  rédiger  cette  Introduction?  Et  enfin,  cette  année 
i638,  se  trouvait-il  à  Utrecht? 


27.8  PHi:iMl[:i{E   PAHTIE. 

f§  I.  Addillon  et  Souslraction]. 

i"  L'addJlioïi  se  fail  |)ar  le  si<^nc  +.  (Jominc,  pour  ajouter  a 
et  />,  j'écris  a^b\  item,  pour  ajouter  a -\- b  et  d-\-f,  j'écris 
a-^b-\-d^f 

La  soustraction  se  fait  par  le  signe  — .  Comme,  pour  soustraire  a 
de  b,  j'écris  b  —  a. 

S'il  j  a  plusieurs  parties  dans  la  somme  à  soustraire,  elles  j 
changent  seulement  de  signes. 

Exemple.  Voulant  soustraire  a  —  6  +  c  de  <:/,  restera 

d  —  a  -\-  b  —  c. 

De  même  ôtant  a  —  ^  de  c  —  <:/,  restera 

c  —  d  —  a  -\-  b. 

Mais  s'il  y  a  des  cliiflres  adjoints  et  des  termes  de  même  espèce, 
il  les  faut  écrire  l'un  sous  l'autre  et  en  faire  l'addition  ou  sous- 
traction comme  en  l'arithmétique  vulgaire. 

Exemple.  Si  l'on  veut  ajouter 

3  <7^  -h  2  c<i  -t-  5  ac  H-  4  d^  —  ((d 


avec 


Addition 


4  ac  H-  i3«^  -f-  lad  -\-  [\d-. 

3  ab  -h  2  cd  -\-  ^  ac  —     ad  -t-  \  d- 
i3ah  -^  ^ac -^ 'xad -^  \d- 


li^  ab  -i-  icd  -\-  (jac  -\-    ad  ■+■  Sd-. 

De  même  pour  soustraire 

1 3  ad  —  id-  -+-  c-  -{-  4  ac 
de 

5  r/2  4_  1 2  ad  —  3  c^  h-  2  a-  -f-  4  <^c, 

je   dispose  les   termes  comme  dit  est,  et  fais  un  second  examen 
ajant  changé  les  signes 

-î-  5  r/-  -4-  1 2  ad  —  3  c-  -f-  2  a-  H-  \((c 
-r-  ■>.  d-  —  I  3  ad  —  c2  —  4  (fc 

Reste ...  .  7  <^"  —    ifd    —  4  (■'  -+-  'i- «" 


iMr<:  LAN(ii<:s.  >.,,, 

!>;  !:2|.  M til I i/ili'cn tion . 

S'il  osl  (|tirsli()ii  (le  nmll  iplicr  des  l('Ui(îs  riino  |)îir  rniitrc,  il 
los  laiil  sciiloineiil  joindre  cuscinhlc  ;  mais  s'il  y  a  des  noinhies 
adjoints,  ils  suivent  les  lois  d(;  rarillu)icti(ju(;  vulgaire.  Va  j)onr 
les  sii^iies  on  sait  (jue  -\-  par  -|-  donne  produit  +,  et  que  —  inid- 
liplié  par  —  donne  aussi  produit  -\-.  Mais  +  p!"'  — ,  ou  —  mul- 
tiplié par  +,  donne  produit  — .  lù  l'on  doit  mettre  les  quantités 
de  même  espèee  l'une  sous  l'autre  pour  les  réduire  j)h]s  aisément 
])ar  addition  ou  soustraction.  C^omme,  pour  multiplier  a  par  /;, 
j'écris  ab.  Mais  pour  multiplier  la  +  -)b  par  '6c  —  2/>,  le  produit 
sera  i)ac  -\-  9  bc  —  /\ab  —  iSb-, 

•}.  a  H-  3  6 
Zc—xh 


Produit G  ac  +  9^6*  —  4^6  —  66^. 

Autre  exemple  : 


ab  -\-  cd  —  hc 
ab  -\-  bc  —  cd 


«2  ^2  _^  abcd  —  ab^-  c  +  bc'^  d  —  ^2  ^2  _  c2  r/2 

—  abcd-^  ab^c  +  bc'^d 
«2  ^2  _^  .^  ^c2  d  —b'^-c'^  —  c2  d'- 

Nota  qu'il  se  faut  donner  de  garde  de  multiplier  en  soj  une 
somme  qu'on  sait  être  moindre  que  zéro,  ou  bien  de  laquelle  les 
plus  grands  termes  ont  le  signe  — ,  car  le  produit  en  serait  le 
même  que  s'ils  avaient  le  signe  -h.  Comme  a- — lab -\- b-  est 
aussi  bien  le  carré  de  a  —  b  que  de  b  —  a\  si  bien  que  si  l'on 
cognoista  être  moindre  que  />>,  on  ne  doit  pas  multiplier  a  —  b  par 
soj  à  cause  qu'il  produirait  une  vraie  somme  en  la  place  d'une 
moindre  que  rien,  ce  qui  causeroit  erreur  en  l'équation, 

[§  3].  Division. 

Pour  diviser  ab  par  ^,  le  quotient  est  a;  ab-\-ac  divisé  par  «, 
le  quotient  est  b  -\-  c. 
^lais  pour  diviser 

•).  ac  -f-  '?.  bc  -h  3  c-  —  '.  ad  —  •>.  bd  —  J  cd 
par 

9.((  -h  'ib  -h  3  c. 


•>;k) 


IMUiAIllîllUi    l>AKTIli. 


l'on  disposera  la  somme  à  diviser  à  «^aiielic  eL  le  diviseur  à  droile 
eomme  ei-dessous  : 


•  j>,mf  —  oMT—^i^ 


-d 


l\iis  je  divise  'xac  par2<7;  le  quotient  est  c,  par  lecjuel  je  multiplie 
le  diviseur;  le  produit  est  lac  ^  9.bc  -\-  3c'-,  (|ue  je  soustrais  du 
nombre  propose;  le  reste  est  —  lacl —  ibd  —  3c<i,  que  je  divise 
derechef  par  la-^  vient  pour  seconde  figure  du  quotient  —  c/,  par 
lequel  je  multiplie  le  diviseur;  le  produit  est  —  lacl —  2  brl —  '6cdj 
que  j'ôte  du  reste  dudit  nombre  proposé,  et  il  ne  me  reste  rien. 

11  faut  observer  que  si  les  termes  qui  viennent  de  la  multiplica- 
tion du  quotient  par  le  diviseur  ne  se  trouvent  dans  la  somme  à 
diviser,  qu'on  les  y  doit  joindre  par  +  ou  —  suivant  que  lesdits 
termes  à  ôter  se  trouveront  afiectés,  et  poursuivre  la  division  par 
tous  les  termes  indifféremment. 

Il  faut  diviser  c-  —  d-  par  c  ^  d 

—  cd  ^  c"^  —  ^■-       c  -f-  d 

-h  cd  -\-  c^-  —  d^      c  —  d 

—  cd. 

Autre  exemple.  Soit  à  diviser 

diviseur. 
a'^b"^  -\~  ibc'^d  —  b-c^ —  c'^  d-  par     ah  -f-  cd —  bc 

_l_  ab'^c  —  abcd  -^  a^b'^-h  9J)c'^d  —  h^c'^—  c'^d^  quotient. 

—  ab^- c -h  abcd  ^  a^' b^- -i-     bc'^d  —  b^c'-— c^-d^  ah -^  bc  —  cd 

-\-  ab^'C  —  abcd  -\-    bc''-  d. 

Mais  lorsqu'il  reste  quelques  termes  de  la  somme  à  diviser  qui 
ne  peuvent  être  divisés  par  le  diviseur,  cela  est  une  preuve  que  la 
division  ne  se  peut  faire;  et  en  ce  cas  on  se  contente  d'escrire  le 
diviseur  sous  la  somme  à  diviser,  comme  les  2  exemples  suivants  : 
ab-\-bc  —  cd  «2^2_^_^2^2  a.^^b'^ 


a 


d 


cd  a'^'X^ 

—     et 


ou 


t--+-  cd 


^2, 


c2  -h  cd 

[II]. 
Des  fractions. 

[ §   1 .  S implifica tion\. 

Aux  quantités  rompues  Ton  suit  les  préceptes  du  vulgaire  pour 
toutes  les  espèces.  11  est  besoin  de  les  réduire  aux  plus  simples 


Mf^LANUKS.  23i 

hM'incs,  si   on  le  pciil.   1^1   on  l(;   |)<.'iil,   (|(i;m(l  la  .^oiniiic  à  <li\i.scr  cL 

le  (liNixMii"  oui  (|ii<'l(|ii('  coiiiimm  (li\  isciii'. 

,,  ,  I    •       (tf>r     .  •  I  ... 

i^omrnc  nom"  rcdiiiic       ,  >  \v  vors  que  c  est  leur  eomnnm  diviseiii' 

'  Cil       ''  ' 

el   asce  nccIiii   je;  divise  les  deux  lerines  de  la  (ra(;lion,  et  j'«iy  — 7-' 

J/('//t  voulaiil  i"('duir(M;u  inoiudies  termes  ^^^  —  ^^f^'^^^'  —  a^d-had^ 

cd  —  d'^ 

je  divise  les  deux  termes  de  la  fraction  par  c  —  c/;  les  (juoticnts 

.,            ,         ,              .,         ...  (72  —  ad 
sont  c(- —  ad  et  a,  (jue  j  esens  ainsi % —  • 

F  f"d  —  d^   ,  ,1  .  ,  ,  , 

Item, 7-  étant  abbreuie  rendra  a. 

c  —  d 

[§  12].  Réduction  au  même  dénominateur. 

J'ay  à  réduire  —  et  —  ;  je  multiplie  a~  par  a  el   b-  par  c,  et  de- 

reclief  c  par  a  ;  i'ay  —  et 

*  '  *•    "^  ac        ac 

X  1  ,  .        .        c 

iinp    mfMYiP   flpnnminntmn  _ 

a  -^  b 


1 .  1      .      '  1    •  X  1  '  •       '        ab  -h  cd 

Item,  voulant  réduire  sous  une  même  dénomination y~  et 


cd —  ah 


/y^-hc^     .,       abc -^  c^  d -]- abd -^  cd^        ab^ -i- ac^ -h  b^ -h  bc^- 
c  -\-  d      J     -^       ac  -\-  bc  -^  da  -Jr  db  ac  -{-  bc  -\-  da  -+-  db 

Mais  s'il  V  a  des  entiers  avec  les  fractions,  comme  a-1-6-, 

l'on  multipliera  les  entiers  a-{-  b  par  le  diviseur  f —  c,  et  le  pro- 

1    .                   ,.          ,                  ,            ,     af -\- bf — ca  —  cb -\- cd  —  ab 
duit  sera  adioute  avec  cd  —  au. ;; 

J  J  —  c 

Et  si  les  fractions  données  avaient  des  diviseurs  qui  eussent  un 

diviseur  commun,  la  réduction  serait  plus  courte.  Comme  en  cet 

1)1q  -1^  Q^d         ^3  _|_  ^3 

exemple  j —  et 7-?  le  commun  diviseur  desdits  divi- 

*■         ax-\-bx  ac -\- oc 

seurs  est  a-f-^  ;  en  divisant  ax  -\-  b x  par  a-\-b^  le  quotient  est  x, 

par  lequel  je  multiplie  à^  -j-  d'^  ;  et  le  quotient  de  l'autre  est  c,  par 

lequel  je   multiplie   l'autre   b""- c -{- c- d ^   puis   ax~\-bx  par   c   el 

ac-\-bc  par  x,  el  j  ay -, —  et -, — '-■>  et  ainsi  des  autres. 

*■  '        o    J  acx  -^  bcx        acx-7-bcx 

[§  3].  Addition  et  Soustraction. 

Quand  les  fractions  sont  réduites  comme  dit  est,  on  les  ajoute 
ensemble  par  le  signe  -|-  et  l'on  soustrait  la  moindre  de  la  plus 
grande  f)ar  le  signe  — ,  de   même  qu'aux  entiers. 


232 


PUEMIÈUE   PAUTIE, 


hxem])lc .  —  Je  veux  aïoiilcr  —  avec  —  >  la  somme  est 

^  •'  ac  ac  ac 


Mai 


ais  i)()iir  soustraire  — 
i  ac 


(le  — -,  le  reste  est 

ac  ac 


[§  \\.  Mail ij)lication. 

_.  .   ...       ah  cd — aJ)      ..    ..  i  •    i-        i 

Pour  mullM)lier —  par  - — -, y   il  laut  tnullinlier  l(;s  sommes 

'  c    *  6»  ^ 

à  diviser  entre  elles  et  pareillement  les  diviseiiis  enire  eux.  Et  le 

,    .  ahcd  —  c/"^  b'^- 

produit  sera  -, 

^  bc 

Mais  avant  (jue  de  commencer  la  multiplicalion,  on  doit  re- 
garder si  la  somme  à  diviser  d'une  partie  et  le  diviseur  de  l'autre 
partie  ne  se  peuvent  diviser  par  un  eoinnuin  diviseur;  comme  en 

1             1             <^'^^           cf/  —  ah     .  ,     ., 

1  exemple  cy-dessus  —  par- — >  la  somme  ab  d  une  partie  se 

peut  diviser  [)ar  ^,  et  le  diviseur  b  de  l'autre  partie  se  peut  aussi 

diviser  par  />,  de   sorte   cpie  je  n'aj   plus  à  multiplier  que  -  par 

cd  —  ah  .  ,    .         ,  acd  —  ci^h  ..  ,        a'^-h 

— j  et  le  produit  est y  ou  bien  ad ■' 

\  ^  c  c 

0(1     I     et  o 

Itein,  a^  b  —  — —  par  c  +  <:/;  il  n'est  besoin  de  réduire  les 

J      A' 

entiers  en  fraction,  ains  seulement  multiplier  les  entiers  par  les 
entiers  et  le  produit  sera 

c'-d  H-  ac-  -4-  cd^  -I-  acd 


ac  -\-  hc  -^  ad  4-  hd 


J 


[§  5j.  Division. 


ah 


Pour   diviser  —j-  par  c,  je  multiplie  c   |)ar  d]  le  quotient  est 

ab'^      ,             .  ,•    •          ah  -\-  «2             ah'^      .       ,.  . 

lien),  le    veux    diviser par  — ^>    le   lais  comme  aux 

7  J  ^.1        ^.^i      J 


cd 

fractions  vulgaires 


ab  -\-  a-  ^  ah'  ^ 
c         '   cd  ' 


,  .  ahcd  -\-  a'^cd 

le  cjuolient  est ;- 

1  ab'-c 

Mais  avant  que  de  venir  à  la  niulti[)lication,  il  faut  réduire  les 
sommes  à  diviser  et  leurs  diviseurs  en  leurs  plus  simples  ternies. 


Comme  ici 


.  ah  -H  cû-        ab"^ 


et 


— ;- se  diNisenl    par-:  c'est  pourciuoi   j'oste 
cd  '        c  '  I  .1 


Air':LAN(ii<:s.  ^33 

a  (le  dessus  cl  c  de;  dessous,  il  nu;  r(îsl.e *  ou  bien  b-\-a^  rju'il 

c         I  •    •                  ^^""      I               •            f^d  ■+-  ad  , .    . 

i;uil diviser  |);ir  -    ;    le  (juolient,  ^- ,   se  (rouv(;  eu  divisant, 

comme  aux  iVaclions  ordinaires, 


ab  -+-  «-     a  cal)  -h  ca^  ,  .  h  -i- 

(inolioiU       on  1)101)      — 

cd  I 

rah^-  (yi 

»  — -  ou       —, 

f(r(l  cl 

bel  -\-  ad 


a 


c 

c 

ah'^ 

a 

cd 

c 

b  -^  a 
I 

b-^ 
d 

y 


b-^ 

[§  1].  Extraction  \w.  la  raciive  quarrée. 

Pour  tirer  la  racine  quarrée  de  l\a^ ^  vient  '?.a.  Mais  pour  tirer 
la  racine  du  multinôme  a- -^  c- -^  b- -^  i ac — ihc  —  lob,  on 
doit  prendre  premièrement  la  racine  de  l'un  des  quarrés  qu'on 
connaîtra  n'être  pas  l'un  des  moindres,  et  ycelle  sera  le  premier 
terme  de  la  racine  requise,  laquelle  sera  escrite  sous  le  nombre 
proposé  entre  deux  lignes.  Comme  en  l'exemple  proposé,  je 
choisis  a^,  et  sa  racine  est  a\  pnis  je  soustrais  a^  du  nombre  pro- 
posé, reste  c'--f-  b-^iac—ibc  —  iab^  que  je  divise  par  le  double 
de  la  racine,  qui  est  ia\  il  vient  pour  second  terme  -+-  c  que  je 
multiplie  en  sojet  par  ia\  le  produit  estc^-j-  lac^  q^eje  soustrais 
comme  dessus  du  nombre  proposé. 

Restera  b'^ —  ibc —  lab^  que  je  divise  derechef  par  ia-^ic 
double  de  toute  la  racine  trouvée,  et  vient  pour  troisième  terme 
—  b,  que  je  multiplie  en  soy  et  par  ia^ic\  le  produit  est 
^2 —  2a6  —  ibc^  que  j'oste  du  nombre  proposé  et  il  ne  reste  rien. 
Mais  si  6^  eut  été  plus  grand  que  a^,  b  eut  été  premier  terme  de 
la  racine  et  toute  la  racine  eut  été  b  —  a  —  c.  C'est  à  quoi  l'on 
doit  prendre  garde  quand  aux  quarrés  il  j  a  des  termes  affectés  du 
signe  — . 

Supposons  a-  plus  grand  que  b- 

a  -\-  c  —  b  racinp  rp(7nisp 


Bull,  des  Sciences  mathéni.,  2' série,  l.  \\.  (Septembre  1S96.)  \C\ 


Supposons  h-  plus  grand  que  a- 

h  —  o  —  r 


[IV]. 
Des  Quantités  sourdes. 


[§  1.  Définition^. 

Lorsqu'on  ne  peut  tirer  la  racine  d'un  quarrc,  on  le  met  dans 
le  vinculum  \J  ,  pour  dénotter  qu'on  le  doit  traiter  comme  une 
racine,  et  alors  on  la  nomme  quantité  sourde. 

Gomme  ne  pouvant  tirer  la  racine  quarrée  de  a- H-  b-,  je  l'écris 

ainsi  y/a- +  6-.  Et  s'il  faut  tirer  une  racine  cubique,  on  se  sert  de 

ce  signe  \JC.a^  ■+■  ab-. 

Mais  s'il  en  faut  tirer  une  d'un  quarré  de  quarré,  on  l'escrit  ainsi 

Wa-  b'-h-  bc'-^  ',  et  s'il  est  question  de  tirer  la  racine  quarrée  de 
ah -\- c-    et    de    la    racine    de    bc^-\-a-b'-^    elle    s'escrira    ainsi 


\  ah  -\-  c-  --h  sjbc'-^  +  a-  6^  ;  et  s'il  fallai  t  tirer  la  racine  quarrée  de 
a^ -\- b'*  divisée  par  des  quantités  absolues   c — 2  6/,  l'on  escrira 

ainsi  -, v/<^''  +  b'* . 

c  —  'id^ 

Item,  je  veux  tirer  la  racine  de  ab'^ -\-  c'*  divisé  par  b^-i-d-,  et 
de   la    racine    de    b^c-i-a^d    divisée    par   a-\-b]   j'escris    ainsi 


v/ 


Item,  pour  tirer  la  racine  de  h^ -\-  <:/-  multipliée  par  les  quantités 
absolues  a-^  b  et  divisée  par  c-f-«a?,  je  l'escris  ainsi -j  ^b-  ^  d- . 

[§  2].  Réduction  des  quantités  sourdes. 

Toute  quantité  irrationnelle  qui  se  peut  diviser  par  un  quarré, 
se  réduit  à  de  moindres  termes  et  le  diviseur  devient  rationnel  et 
se  met  hors  du  vinculum. 


Ex.   \J a^  b- -\- a- c- .  Je  divise  par  «-,  dont  la  racine  est  a,  et 


Mf':i,AN(;i':s.  -^.s' 


j'cscris  (tJb'-\~C'^  C|iii  (îsl  aiiliinl  à  <lli(;  (|ihî  ((  nnilLiplic  par  la 
laciiH'  (le  h-  +  C'. 

Ili'in,  y/i  •>.«'/-  se  rcduil  à  '>.a^'S\  car  lo  carré  de  s>.a  csl  /\(i'  miil- 
I  ipiii'  par  W  fait   i  .>.«-. 

Ile  1)1,  y/a7rt-  se  rcduil  à  WnsJ'^. 

lient,  \//\Sa'  est  4<^/V'^- 

f/c/ff,  y/a-c-H-  «"-<:/-+  aa^c-H-  'ACibcl-  -\-  ù'-c'-  +  />-<:/^.  Je  divise 
par    (t-  -h  2ab  -{-  b-  ]   le    (piolicnL   est    c'-  +  6/-,    et   la   racine    de 

a--]-  inb  +  ^-  est  a  +  />>  ;  j'escris  donc  a  +  ^y^c^H-  c/^,  qui  est 
autant  à  dire  que  a  -\-  b  est  multiplié  par  la  racine  de  c- +  cl-, 

r  M  .1    •         PQ"^ — q^ -\- cjr'^  —  pr'^     , 

Item.    I  on    i)eut   réduire   ^—^ ,  — - —    a    cette    somnfie 

i- -\/(J- — /■■  ;  car  pq^ — q-^^qr- — /?/- se  divise  par /?  —  q,  et  le 

quotient  est  ^-^ — /-,  lequel  étant  derechef  divisible  par  y/^- — r'^ 
devient  \/q-  —  /-,  et  derechef  étant  multiplié  par  p  —  q  cl  divisé 

par  /■,  devient  - — ^\J q''  —  '""• 

,  ,  1    •         'T5C-  -f-  <T^  I  .        \J cû-  C*  H-  2  a'*  c2  H-  a^ 

Item,  pour  réduire  — ^  ou  bien = qui  est 

1  1    .  I  l/c*-*-  2a2c2 -I-  «i       .         ,.     .  ,— ; — 

égale,  ou  bien  ~(i !::=== >  je  divise  y/C  -\-  la^c-  -f-  o.^  par 

y/c-  -h  <7-  ;  le  quotient  est  y/c-  4-  n'-^  lequel  étant  multiplié  par  -  r/, 
devient  -  aJc-  -\-  a^ . 

[^  3].  Addition  et  Soustraction  des  quantités  sour^des. 

Aux  opérations  de  l'addition  et  soustraction  les  termes  compris 
dans  le  vinculum  ne  reçoivent  point  de  changement  aux  signes  H- 
ou  — .  Mais  seulement  on  les  ajoute  ou  soustrait  par  lesdits 
signes  qu'on  met  au  dehors  devant  le  vinculum. 

Comme  pour  ajouter  \^/ab  —  rt-  avec  \/b^ —  bc,  j'escris  : 

\/ab  —  «2  _f_  ^/y>  _  /jc . 


Et  de  même  pour  soustraire  \/ab  —  f/-  de  y//>-  —  bc^  j'escris 

^/yi  _  /jc  —  sjab  —  a-i 
pour  dilTérence. 


230  PKEMIËHF    PAIITIE. 


Item,  pour  soustraire  4  / de  4  /  ,  j  escris  : 

/6*  ^  d^b  /a  '  -^  6^  c2 

.  ^2  j        2  «2 1)1 

Item,  pour  soustraire —  He  ~\l l\a^ —  6^,  reste 


ce  qui  se  trouve  en  réduisant  les  deux  sommes  sous  une  même  dé- 
nomination en  multipliant  le  diviseur  i\J l\  d-  —  b'^  par-  \J l\a-  —  b- ^ 
le  produit  est  /\a^  —  6-  ;  et  tout  de  même  multipliant  le  diviseur  i 

par  6-,  le  produit  sera  b-\  et  les  deux  sommes  seront  — ===r 

'2/4a2— 62 

i  f\ci- —  6-,  le  rest( 
4  «2  _  2  62 


et  — ^  J'oste  maintenant  b-  de  4<^^"  —  b'^.  le  reste  est 

2/4  «2— 62 


7 


•isll^a'-—  62 

2  «2  _  ^,2 


et  en  divisant  le  tout  par  2,  j'ay    , 

^  '  J     -^  y/4a2_62 

Item,  pour  soustraire  une  racine  multipliée  par  des  quantités 
absolues  de  semblables  quantités  et  racines,  comme  a-\-b^c-  -\-  d- 
et  c  +  d\J a^  -h  «6,  reste 

c  H-  d\Ja^-\-  ab  —  a  -f-  6v/6'2  -h  <^2^ 
et  ainsi  de  suite  de  toutes  les  autres. 

[§  4f].  Multiplication  des  quantités  sourdes. 

Des  quantités  sourdes  multipliées  entre  elles,  la  racine  du  pro- 
duit de  leurs  puissances   multipliées    entre   elles   est   le   produit 

requis.  Gomme  pour  multiplier  <^ab  par  y/6c,  le  produit  e,sl\Jab'-c. 
De  même,  multipliant  sjab  -\~  c-  par  \Jcd  —  a<i,  j'aj  pour  le  pro- 
duit sjabcd-^c'^d  —  a'-bd  —  adc- .  Mais  lorsqu'on  ne  veut  achever 
la  multiplication,  on  met  les  termes  ainsi  y/a 6  H-  c^  M  \Jcd —  rt<i, 
qui  est  autant  à  dire  que  la  racine  de  ab  +  c-  doit  être  multipliée 
par  la  racine  de  cd  —  ad. 

1.  I  1    •      1      <^  —  c      /  ,,  ., j — 77  /abi^ — ad^ 

Item^  le  produit  de  j-^ -\/db^  -\-  bd^  par  4  / est 

a  —  c        /adb^  —  ad* b'^ -\- ab'* d-^ — abd*^ 

62^r^  y  Vc 


MÉLANGES.  ai; 


Item,  pour  avoir  le  quarré  de  sfab  —  bc  —  c-  —  sj b- —  «c,  je 
([iiitte  les  (Jeux  vlncula  pour  avoir  leurs  (juarrés,  el  mulliplic  les 
racines  •!  fois  l'une  par  l'aulrc,  j'aj 


ab  —  hc  —  c-  4-  h-  —  ac  —  9,  s/ b'^  —  ac  M  \/ab  —  bc  —  c^, 

pour  le;  carré  requis.  L'(^ti  j)euL  aussi  ineLLre  le  vinculum  ainsi 
—  sj/yb- — ^acM\/ab  —  bc  —  c-;ou  bien  si  l'on  veut  achever  la 
multiplicalion,  ou  inuUiplicra  /\b- — i\ac  par  ab —  bc  —  c- ^  le 
produit  sera 

y/4  «6»— 4  63c  —  462c2  — 4a26c  h- 4a6c2-h  4  ac». 


Item,  le  quarré  de  a  +  c  +  sj b'^  -\-  bc  est 


lac 


-^  b'  -^  bc  -\-  ia  -\-  "y.c  sjb^-  -f-  bc. 


Item,  le  quarré  de  a -\- ^ ab -\- cd -^ \l c'^ -\- d'^  est 


«2  _4_  ab  -T-  fc?  +  c2  -h  <:/2  _^  2  a  v/«6  +  cd 
-+-  'la  si c'^  -^  d^  -\-'i sj ab  +  cd  M  /c^  +  (P-^ 

et  ainsi  des  autres. 

[§  5].  Dwision  des  quantités  sourdes. 

Des   quantités  sourdes  divisées  l'une  par  l'autre,  la  racine  du 
quotient  est  le  quotient  requis. 


/ 


Exemple.   —    Pour  diviser  \Jabc-    par  sjd-.^   le    quotient   est 

abc^  ,  .        c    /— 7- 

— ^;.  ou  bien  -  \lab. 


d-i  d 


est 


Item,  pour  diviser  y/a6-' +  c^ti^H-  ^/^  par  ^ac  4-  c-,  le  quotient 

)/ab^-\-  c'^d'^^  d^ 
s/ ac  -T-  c2 
Item,  pour  diviser  «y/6- — c-  par  <i -f- c,  vient -^^ — y/6-  —  c-. 


Item,  pour  diviser  «-+ 6c -i-y/ac=^  +  c<i^  par  y/c- — a-,  vient 
rt2  _j_  ^c  -h  \/ac'*H-  c<i3 

s/c^'—a^  

Item,  pour  diviser  a^  —  ^2  pr^^  ^^-i  —  ^2^  vient  y/a- —  b'-. 

-f  T    .  ac^H-a^  r      1  I        /":; — ; 7 

Item,  pour  diviser —  ou  bien  son  égal  -  <2  y/a- +  c-  par 

isj a"^  -îr  c'^  ^ 

y/a^+  c-,  vient  pour  quotient  -a. 


238  PIlEMIEIUi   PAirriE. 


Item,  j'a}'  à  diviser  a- -\- b-   par  la  racine  de  ac -\- c- ',  vient 
y  OU  bien 


s/ac  -h  c2  \/ ac  h-  c^ 

Mais  lorsqu'un  binôme  est  donné  à  diviser  par  un  diviseur  qui 
est  aussi  binôme,  il  y  a  plus  de  façon.  Par  ex.,  je  veux  diviser 

le  binôme  <7- +  y/a^C6/ par  le  binôme  a  +  y//>c.   [1  faut  multiplier 

a^ -\-sJ ahcd  par  le  résida  du  diviseur  a  — \Jhc\  le  produit  est 

a"^  -H  a  s/abcd  —  a^  ^(jq  —  jj^  \J ad. 

De  même  je   multiplie  le  diviseur  a-\-\/bc  par  le  susdit  résidu 

a  —  sjbc]  le  produit  esta- — bc^   par  lequel  je  divise  le  produit 
précédent;  vient  pour  quotient  requis 

a"^  H-  a  ^ abcd  —  à^  sjbc  —  bc  \J ad 
a-  —  bc 

De  la  même  façon,  si  le  diviseur  donné  est  multinôme,  il  le  faut 
si  souvent  multiplier  par  son  résidu  que  son  produit  donne  enfin 
une  quantité  absolue  par  laquelle  soit  divisée  la  somme  à  diviser, 
après  l'avoir,  par  les  mêmes  résidus,  multipliée  autant  de  fois 
comme  le  diviseur  l'aura  été.  Et  ce  qui  en  viendra  sera  le  quotient 
requis.  / 

[§  6J.  Extraction  de  la  racine  des  binômes. 

Pour  tirer  la  racine  quarrée  de  a-\-sJbc,  je  prends  la  demi- 
différence  des  deux  quarrés  proposés  -a-  —  -  ^c,  et  je  joins  la  ra- 
cine de  cette  différence  à  la  demi-racine  du  plus  grand  carré  par 
le  signe  +,  et  la  racine  de  toute  cette  quantité  donnera  pour  un 

membre  i  /  -  a  +i  /  -,  et- bc^  etla  joignant  par  le  signe  — ,  j'ay 

l'autre  membre  qui   sera  t /-a — \/ 1  ^^' — t  6c,  et  l'aggrégatest 


s/\''+\/\"'-\^''-^\/i"~\/\'''-\^>''^  '^'^  ^' 


a  racine 


de  a  ^^ bc. 

Mais  celle  de  son  résidu  a  — \/bc  sera  différente  seulement  du 

signe  - .  \/l a+\^)a^-\  bc  - \J \  a  - ^l  a^  -'jhc. 


MÉLANGES.  Vif) 

Auli(;  ('\(Mii|)l('  liiM"  (Ir  In  Gronirlrlc ^  \i,  .')^8.  Pour  lircrla  racine 

(le  ce  hinnme  m--\- \-J/\/)nix'-.  la  difïV'roncc  des  deux  (luarrés 

m         ^     '  ' 

est  m'  —  :>.  nni  x--\-       .    >  dont  la  deini-raeinc  est  -  ni- —  - — >  (im 
'  m-  '1  '>.ni       ' 

('•laul    ajouslée    à    la   deiny-racine   du    |)lus    grand    quarré,    égal   à 
-/;/--{-  -'— ,  i'ay  v//>?-,  ou  bien  ///  |)ourun  membre;  et  pour  l'autre 

le  soustrais  -m-  —  - —  de  -  m-  -\-  '- — ?  et  i  ay  4/  - —  le  reste    les- 
•'  '2  1111         X  -x.ni  •'     -^  V       m 

quels  mend)res  j'ajouste,  puisqu'il  est  binôme,  et  j'ay///  +1/  - —  > 

ou  bien  ///  +  xi  /  -• 
y  m 

Item,  pour  tirer  la  racine  de  ce  binôme 


«2^2^  ^2^2_  -2a^d^^\Jl^a^cl'^x'*—  ^a'^cl^x^—^a-^d'^x'^^  ^a'*d'', 

la  différence  de  leurs  quarrés  est  a'*  x'* —  ia^  d-x'*  +  d'*  x'* ,  dont 
la  racine  est  n-x-  —  d- x- ^  en  supposant  que  a  soit  plus  grand 

que  d.  Puis  à  cette  demj  racine  -  a- x- —  -  d- x-  ayant  adjousté  la 
demy  racine   du  plus  grand  quarré -rt-^- H — d'-x-  —  a-d-^  j'ay 


n-X' —  a-d-^  dont  la  racine  est  sja-x-  —  a'-d-  ou  asj x-  —  d-  pour 
un  membre.    Et  l'ayant  osté  de  ~ax--\ — d'-x  —  a'-d-,   le   reste 


d'-x'^  —  a^d-^  dont  la  racine  est  sj d^ x'^  —  a- d'- ^  ou  bien  d\J x'-  —  d- 
pour  l'autre  membre;  lesquels  étant  joins  par  le  signe  +,  la  ra- 
cine est 

a  y  x'^  —  d'^  -\-  d  y/.-r'^  —  a^. 

[V].  Des  .EQUATIONS. 

Quand  on  veut  résoudre  quelque  problème,  on  pose  pour  les 
termes  cognus,  soit  ligne,  nombre,  superficie,  ou  corps,  les  pre- 
mières lettres  de  l'alphabet  a,  6,  c,  et  pour  les  incognus  on  se 
sert  des  dernières  x^y^  z\  et  faisant  un  registre,  on  se  sert  de  ce 
signe  ^,  pour  dénotter  l'égalité  de  deux  choses.  Comme  pour  dire 
que  la  ligne  AB  est  égale  à  6,  j'escris  A13  ^  6,  observant  toutefois 
en  les  suppositions  à  garder  le  nombre  des  dimensions,  posant 
une  lettre  pour  une  ligne  ou  nombre,  deux  lettres  pour  une  su- 
perficie, et  trois  pour  un  corps,  de  sorte  qu'il  faut  qu'il  y  ail  autant 


24o  PREMIÈRE  PARTIE. 

de  dimensions  en  un  terme  qu'en  l'autre,  sinon  que  l'unité  soit 
déterminée  en  la  question.  Car  comme  l'unité  ne  diminue  le 
nombre  des  dimensions  par  la  division  ny  ne  l'augmente  aussi  par 
la  multiplication,  il  est  loisible  de  l'osier  des  termes  oli  elle  se 
trouve,  comme  on  voit  en  la  Géométrie,  p.  299,  en  l'exemple 
allégué  aussi  à  cet  efTet  :  a-b- —  b^  où  soil  c  l'unité,  et  —  b  mul- 
tipliée 2  fois  par  l'unité,  et  a-b-  divisée  une  ibis  par  l'unité;  en  la 
restituant  on  aura  en  un  terme  autant  de  dimensions  qu'en  l'autre 

bc-. 

c 

Pareillement  page  ^go,  en  l'a3quation 

si  l'on  suppose  a  pour  l'unité,  pz-  multipliée  une  fois,  —  qz  deux 
fois,  et  r  trois  fois,  de  sorte  qu'en  remettant  l'unité,  on  aurait 

z'*^  pz^a  —  Œ^qz  -V-  a^  r 

et  ainsi  de  plusieurs  autres. 

Après  avoir  donné  des  noms  aux  quantités  cognues,  l'on  con- 
sidère la  chose  comme  déjà  faite  et  on  examine  si  le  problème  se 
peut  commodément  résoudre  en  supposant  seulement  une  ligne 
inconnue  ^  à  .z^,  savoir  celle  qui  est  requise,  ou  bien  x^^x  mul- 
tipliée par  une  autre  grandeur  connue  +  ou  —  d'autres  termes 
cognus,  etc.  Et  en  tous  ces  cas  la  Géométrie  donne  le  moyen  d'en 
tirer  la  racine  et  rendre  la  quantité  inconnue  ^  ^  à  des  termes 
qui  sont  cognus.  De  là  le  problème  est  résolu. 

Mais  lorsque  le  problème  proposé  est  tel  qu'une  seule  lettre 
inconnue  n'a  point  assez  de  communication  avec  celles  qui  sont 
connues,  en  sortes  qu'elles  ne  sauroient  s'entraider  pour  faire 
trouver  l'iequation,  ou  bien  que  par  la  supposition  d'une  seule 
lettre  on  s'embarasse  dans  un  trop  gros  calcul,  on  se  doit  servir  de 
plusieurs  lettres  inconnues,  et  chercher  aussi  autant  d'œquations 
qu'on  a  supposé  de  lettres,  et  par  le  moyen  d'ycelles  œquations 
réduire  toutes  ces  lettres  en  une  seule  qui  porte  la  solution  du 
problème.  Et  pour  venir  à  bout  de  ces  réductions,  il  est  besoin  de 
considérer  si  par  une  œquation,  ou  par  la  comparaison  de  deux  ou 
j)lusicurs  en  les  adjoustant  ou  soustrayant  l'une  de  l'autre,  on  ne 
pourra  cognoistre  une  lettre.  Et  si  cela  ne  se  peut,  il  faut  venir  à 


MfU.ANOCS. 


'jt/i  I 


l'exlracllon  de  la  racine  pour  en  trouver  une;  puis  après  on  doÎL 
osier  cette  lettre  de  Tune  des  autres  {équations  et  en  son  lieu 
mettre  la  valeur  trouvée  et  ainsi  on  sera  quitte  d'une  lettre  in- 
connue. Puis  comparant  cette  a3fpialion  avec  une  autre  dont  on 
aura  aussi  osté  cette  même  lettre  si  elle  y  était,  on  la  défera  d'une 
seconde,  cl  ainsi  des  autres  jusqu'à  ce  (ju'il  n'en  reste  plus  qu'une 
inconnue  parmi  toutes  les  connues,  dout  on  mettra  les  termes  par 
ordre.  Et  on  cognoistra  par  extraction  de  racines  quelle  est  sa 
valeur  comme  devant  et  ainsi  le  problème  sera  résolu. 

Que  si  l'on  ne  peut  trouver  autant  d'œquations  qu'on  a  sup- 
posé de  lettres  inconnues,  cela  est  un  indice  que  le  problème 
n'est  pas  entièrement  déterminé.  Et  alors  on  peut  prendre  pour 
l'une  des  lettres  inconnues  telle  quantité  qu'on  voudra,  et  de  sa 
variété  naissent  plusieurs  points  qui  tous  satisfont  à  la  question, 
et  qui  composent  des  lieux  plans,  solides  ou  linéaires,  s'il  n'y  a 
qu'une  sequation  qui  manque,  et  des  lieux  de  superficie,  s'il  y  en 
avait  deux  de  manque,  et  ainsi  des  autres. 

[§   1].   Premier  exemple. 

L'un  des  côtés  d'un  triangle  rectangle  et  la  différence  des  deux 
autres  côtés  étant  donnés,  trouver  le  reste  du  triangle. 


Supposons 


BD>D  h, 
AC  ;>0  r, 


et  la  chose  comme  déjà  faite.  Les  deux  quarrés  de  AC  ou  :r-,  et 
BC  ou  a-  sont  égaux  au  carré  de  AB.  Mais  AB^  x  +  6,  et  son  carré 
est  jc- -h  2  ^.r -h  ^- ;  doncques  il  y  a  œquation  entre  x--\-a'  et 
.r--h  'x  bx  -^  b'-. 

J'oste  de  part  et  d'autre  x- -\-  b-,  il  me  reste 


242  PREiMIÈRE  PARTIE, 

lesquelles  quantités  je  divise  par  2^,  vient 

^y> 7 — ' 

ce  qui  montre  que  la  différence  des  quarrés  de  BG  et  BD  étant 
divisée  par  le  double  de  BD,  le  quotient  sera  le  coté  AG.  Ou  bien 
trouvant  une  ligne  qui  soit  à  la  ligne  a  comme  a  est  au  double 
de  b,  puis  en  ostant  la  moitié  de  cette  ligne,  le  reste  est^  ou  AG 
qui  était  cherché. 

[§  2].  Second  exemple. 

Deux  triangles  rectangles  étant  donnés  sur  une  même   base, 

s'entrecoupent  en   un  point,  trouver  les  segments  des  côtés  qui 

s'entrecoupent. 

Fis.  2. 


Supposons 

AByoa, 
AC0O6, 
CD^Oc, 

et  la  chose  comme  déjà  faite.  Si  BE  ^  x,  DE  yo  d  —  x.,  et  à  cause 
que   les   triangles  ABE  et  GDE  sont  semblables,  AB  ^  a   est  à 

BE  ^  X  comme  DG  ^O  c  est  à  GE  ^  —  •  Derechef  comme  GD  ^  c 

ad  —  ax 


est  à  DE  y^  d  —  x^  ainsi  AB  y^  a  est  à  AE  ^ 


;  et  GE^o 


ex 
a 


étant  osté  de  AG^^,  restera  AE^^ 
qui  donnent  l'œquation  suivante  : 

b 


ex 
a 


7  en  d'autres  termes 


ex  ^     ad  —  ax 

—  :o — 

a  c 


OU  bien 


a'^d —  a^-x'^  abe  —  e'^-x^ 

ostant  de  part  et  d'autre  —  c'-x  -h  a'-d.,  reste 

r^.r  —  a'^-x  ^  abc  —  a"^  d, 


MfiLANGHS. 

oldlxisiuil  riinc  cl  l'iiiilro  [)arli(;  |);ir  6'- — (i- ^  j'auray 

ahc  —  a'^d 


■243 


x^i 


V.~  —  ((' 


c'est-à-dire  que,  comme  la  dJlFcrencc  des  quarrés  de  AB  et  DC, 
qui  sont  les  col(''s  (jiii  ne  s'cnlrecoupenl  pas,  est  à  la  dilTérence 
des  rectangles  ACD  et  ABD,  ainsi  le  côté  AB  est  à  la  ligne  BE  ^  x. 
Ou  bien  l'analogie  s'exprimera. ainsi  : 


bc  —  (id        X 
et  en  même  raison  aussi  DG  à  CE. 

|§  3J.   Troisième  exemple  {^^). 
Etant  donnés  4  points  A,  D,  E,  F,  trouver  le  5^  C  duquel,  étant 


(»)  Exemple  tiré  des  Lieux  plans  d'Apollonius,  L.  II,  Prop.  V  {OEuvres  de 
Fermât,  édit.  Tannery  et  Henry,  t.  I,  p.  37  )  : 

Si  a  quotcumque  datis  punctis  ad  punctum  unum  inflectantur  rectce  et 
sint  species  quœ  ab  omnibus  fiunt,  dato  spatio  œquales,  punctum  continget 
positione  datam  circum.ferentiam. 

Dans  une  lettre  de  Fermât  à  Roberval,  du  22  septembre  i636  (t.  II,  p.  74)?  on 
lit  :  «  J'avois  omis  le  principal  usage  de  ma  méthode  qui  est  pour  V invention 
des  lieux  plans  et  solides;  elle  m'a  servi  particulièrement  à  trouver  ce  lieu 
plan  que  j'avois  auparavant  trouvé  si  difficile.  »  (  Suit  l'énoncé  latin  ci-dessus). 

Roberval  répond  à  Fermât  le  11  octobre  i636  :  «  J'estime  vos  propositions  des 
nombres  et  celle  du  lieu  plan  fort  difficiles.  »  (t.  II,  p.  82). 

Fermât  se  décide  à  envoyer  à  Roberval  la  solution  du  lieu  plan^,  lettre  de  fé- 
vrier 1637  (t.  II,  p.  100).  On  peut  la  comparer  à  celle  de  Descartes. 

«  Je  trouve  assez  de  loisir  pour  vous  envoyer  encore  la  construction  du  lieu 
plan  :  Si  a  quotcumque,  etc.,  que  je  tiens  une  des  plus  belles  propositions  de 
la  Géométrie,  et  je  crois  que  vous  serez  de  mon  avis. 

Fi2-.  3. 


J 


Sint   data  quotlibet  puncta,  quinque  verbi  gratid,  A,  G,  F,  II,  F  (nam  pro- 
positio   est   generalis),  quœritur  circulus  ad  cujus  circumferentiam  in  quo- 


244  PREMIÈRE  PARTIE. 

menées  des  lignes  droites  comme  les  quatre  AC,  CF,  CD,  CE  des- 
quelles les  quarrés  sont  égaux  à  l'espace  d^. 

Hypothèses. 

ak:o/,    keco^, 

AD  ^  c,      AB  'yo  oc, 
BGCOj. 


4 


C 

ÇC~ -..^^^ 

7/ 

\^\X 

.E. 

H      \ 

\ 

1 

/ 

/ 

-^M 

\ 
\\ 

A/ 

B 

/\ 

A 

G    /\ 

1 

K 

F 

Je  suppose  la  chose  comme  déjà  faite,  et  le  point  requis  C, 
duquel  je  mène  des  lignes  aux  quatre  points  donnés.  Et  je  joins 
aussi  deux  de  ces  points  par  une  ligne  AD,  sur  laquelle  des  autres 
points  je  fais  tomber  les  perpendiculaires  EK,  GF,  CB  \  et  soit  EK 
plus  grande  que  FG.  Puis  je  cherche  les  quatre  quarrés  requis  en 
cette  sorte  suivant  les  suppositions  de  mon  registre.  Le  quarré  de 
AB  est  x"^^  et  celui  de  BC  est  y-  ;  doncques  le  quarré  de  AC  est 


libet  puncto  inflectendo  rectas  a  datis  punctis,  qiiadrala  omnium  sint  œqualia 
s  patio  dato. 

Jungantur  piincta  quœvis  A  et  E  per  rectam  AE,  in  quam  ab  aliis  punctis 
datis  cadant  perpendiculares  GB,  FC,  HD.  Omnium  rectarum,  punctis  datis 
vel  occursu  per pendlcularium  et  puncto  A  terminatarum,  sumatur  pars 
conditionaria,  quintans,  verbi  gratiâ,  in  hac  specie;  quintans  er go  rectarum 
AB,  AC,  AD,  AE  simul  sumptarum  esto  AO,  et  a  puncto  G  excitetur  perpen- 
dicularis  infinita  ON,  a  qua  resecetur  01  pars  conditionaria  {quintans  nempe 
pro  numéro  punctorum  datorum)  perpendicularium  GB,  FG,  HD,  et  intelli- 
gantur  jungi  rectœ  AI,  GI,  FI,  HI,  El.  Quadrata  istarum  quinque  erunt 
minora  spatio  dato  :  demantur  igitur  a  spatio  datoet  supersit,  verbi  gratid, 
Z  planum,  cuj'us  quintans  {pars  nempe  conditionaria)  sumatur  et  in  qua- 
dratum  M  redigatur.  Circulus,  centro  /,  intervallo  M  descriptus  satisfaciet 
proposito  :  hoc  est,  quodcumque punctum  sumpseris  in  ipsius  circum  ferentia, 
rectarum  a  datis  punctis  ad  illud punctum  ductarum  quadrata  erunt  œqualia 
spatio  dato.  » 


MELANGES  245 

X'-{-y-.  Les  deux  quarrcs  dv,  \]D  yo  c  —  x  et  BC^y  sont 
c- —  icx  -\-  X'  et  y-  ;  doncques  le  carré  de  CD  est 

c-  —  ').cx  H-  x~  -\-y^. 

Et  le  qiiarrc  de  la  ligne  CB-[-GF  est  y--{-  2hy-{-b-j  et  le 
quarré  de  G\l  ^  x  —  a  est  x'^  —  '2ax  +  a-  ;  et  ces  deux  derniers 
quarrés  sont  égaux  au  quarré  de 

Les  deux  quarrés  de  CH  et  BK,  ou  y  —  g  et  / — x^  sont 
j^- — •!  g  y -\~  g- el  f- — ifx-\-x-^  qui  sont  égaux  au  quarré  de 
CE,  y-  —  igy  -1-  g'-\~p  —  '^-fx  +  j;-  ;  et  la  somme  de  ces  quatre 
quarrés  étant  égale  à  l'espace  donné  6/-,  j'ay  après  l'addition  faite 

4^2  _|_  4  ^2  _)_  ^2  _^  ^2  ^_  c2 +y 2  _^  ^2 

H-  'iby  —  ^Sy  —  "^cx  —  lax  —  'ifx  ^  cP-. 

Et  comme  j'ai  supposé  deux  quantités  inconnues  x  el  y  cl  que  je 
ne  vois  point  de  moyen  de  trouver  une  seconde  sequation,  je  con- 
clus que  la  question  n'est  pas  assez  déterminée  et  que  ce  doit  être 
un  lieu,  par  la  page  334  <Je  la  Géométrie;  et  lors  selon  la  page  3oo, 
ligne  22,  j'en  puis  prendre  une  à  discrétion,  que  je  choisis  ici  pour 
AB^jt",  6t  je  déterminerai  par  cette  sequationy  comme  s'ensuit  : 

y~  50 ^^^^ ^ 

dont  il  faut  tirer  la  racine  suivant  les  préceptes  de  la  Géométrie, 

page  3o2, 


Et  je  vois  d'abord,  en  la  page  828,  que  c'est  une  ellipse  ou  un 
cercle,  à  cause  qu'il  y  a  —  ^'-,  et  puis  que  l'angle  est  droit.  Il  n'y 
a  plus  rien  de  requis  pour  la  détermination  du  cercle,  sinon  que 
a^ m  soit  égal  à  pz-.  Pour  le  savoir,  je  regarde  quelles  sont  ces 
quantités  et  d'où  elles  sont  venues,  et  je  vois,  page  828,  que  a  et:; 
avec  11  servent  à  exprimer  la  proportion  entre  KL  et  IL,  en  la 
figure  de  la  page  829,  lesquelles  sont  ycy  égales  et,  par  conséquent, 

a  ^  z  ou  bien  cû-  ^  :;-,  reste  —  qui  a  été  pris  pour  le  terme  multi- 


in 


■2.\G  PREMIÈRE   PARTIE. 

plié  par  x-,  qui  est  ycy  l'unilé,  et  ainsi  —  ^  i ,  ou  bien  p  yQ  in^  et 

de  là  je  eonclus  que  c'est  un  cercle.  Et  parce  que  cette  œquation 
de  la  page  826,  savoir 

r  Do  /^i 37  -h  t  /  m2  -I-  O  :r  —  —  ^2 

z  y  m 

sert  de  règle  générale  pour  construire  toutes  sortes  de  lieux,  on 
la  peut  suivre  en  cette  sorte  :  sur  AD  donnée,  du  point  A,  soit 

élevée  la  perpendiculaire  AI ^  ^— — ;  et  à  cause   que  g  est  plus 

grande  que  />,  le  point  I  doit  être  pris  de  la  part  de  E  au-dessus 
de  la  ligne  AD.  Mais  si  h  eût  été  plus  grande  que  g^  le  point  I 
aurait  été  pris  au-dessous  de  la  ligne  AD,  de  la  part  de  F.  Puis  du- 
dit  point  1  soit  menée  IM  parallèle  à  AD,  en  laquelle  est  le  centre 
du  cercle;  et  pour  le  trouver  je  me  sers  de  la  détermination  de 

IM,  page  33o,  ^  — -,  ou  bien  à  cause  que  am  ^/?^,  j'aj-0  pour 

la  ligne  IM  et  M  est  le  centre  du  cercle.  Et  puisque  O  dénotte  le 
terme  qui  est  dans  le  vinculum  multiplié  par  x^  à  savoir 

lax  -\-  1CX  -^  ').fx 
je  reconnais  que 

4 
et  le  côté  droit  ou  le  diamètre  estant  déterminé  peu  après,  en  la 

ligne   i5  de  la  même  page,  être  i  /  — ^ — ,  qui  est  autant 

que  y/0- —  /^pin^ou  bien  y/0^  —  4'^^'^^  cause  que  /?i^/),je  vois 
qu'il  faut  en  prendre  la  moitié  pour  avoir  le  rayon,  et  qu'au  carré 

fi  I  Q     _J /  •  •  ,         f 

de  ; — —  qui  est  ici  -  G-,  on  doit  joindre  le  nombre  absolu  dans 

4  T  4       '  J 

le  vinculum  désigné  par  —  m^,  qui  est  en  cette  équation 
—  4a'2— 3  62-4c2— 4/2— 3^2_2è^  +  4^2 

et  l'aggrégat 


—  3  a"^  —  3  c2  —  3/2  H-  2  ac  -f-  -i  cf  h-  'i  af. 

—  362  —  3^2_5j,^_p  ^^2 


16 
fait  le  rajon  requis  de  ce  cercle,  qu'on  décrit  du  centre  M. 


I 


M^:iw\N(ÎKS.  '>.47 

Oi*,  considcraiil  loiilcs  ces  qiiaiilllés  pour  fiiiic  la  consLruclion, 
on  voit  de  là  fort  aisément,  en  premier  lieu  que  la  ligne  Al  est 

j[ij;' —  />),  c'esL-à-cliic  (pi'elle  est  composée  de  l'aggrégaL  ou  difFé- 

rence  des  perpendiculaires  tirées  sur  la  droite  AD  des  autres 
j)oints  donnés,  comme  ycy  E  et  F,  divisée  par  le  nombre  de  tous 
les  [)oinls  donnés;  à  savoir  en  cet  exemple,  à  cause  que  GF  est 
d'un  coté  de  la  ligne  AD  et  KF  de  l'autre,  il  faut  prendre  la  dif- 
férence qui  est  entre  ces  lignes,  et  la  diviser  par  4  à  cause  des 
cpiatre  points  donnés;  au  lieu  que  si  GF  et  KE  étaient  d'un  même 
côlé  de  la  ligne  AD,  il  faudrait  prendre  leur  aggrégat  et  diviser 
cette  différence  ou  aggrégat  par  5,  si  la  question  était  composée 
de  cinq  points,  et  ainsi  par  6,  etc.  Puis  le  quotient  est  la  ligne  AI  ; 
supposant  le  point  I  du  côté  de  la  ligne  AD  où  les  perpendicu- 
laires sont  les  plus  grandes;  comme  ycy  à  cause  que  KE  est  plus 
grande  que  GF,  je  tire  la  ligne  AI  du  côté  où  est  le  point  E. 

L'on  voit,  en   second   lieu,   que  IM  est -,  c'est-à-dire 

qu'elle  doit  être  composée  de  l'aggrégat  de  la  ligne  AD  et  de  tous 
les  segmens  de  cette  ligne  qui  sont  entre  les  points  A  et  ceux  où 
tombent  les  perpendiculaires  des  autres  points,  divisé  par  le 
nombre  des  points  donnés. 

Et  enfin  on  voit  que,  pour  trouver  le  rayon  de  ce  cercle,  il 
faut  seulement  soustraire  de  l'espace  donné  les  carrés  de  toutes 
les  lignes  tirées  de  chaque  point  donné  à  tous  les  autres,  car  ils 
doivent  être  moindres  que  cet  espace,  et  diviser  le  résidu  par  le 
nombre  des  points  donnés,  puis  tirer  la  racine  du  quotient,  laquelle 
est  le  rayon  demandé.  Comme  ycy,  par  exemple,  il  faut  oster  de 
cl-  les  carrés  des  lignes  AD,  x\E,  AF,  DE,  DF,  EF,  et  ayant  divisé 
le  résidu  par  4,  la  racine  du  quotient  est  le  rayon  cherché.  Ou 
bien  puisque  M  centre  est  déjà  trouvé,  l'on  trouvera  le  rayon  en 
tirant  de  tous  les  points  donnés  des  lignes  droites  vers  M;  car  si 
on  soustrait  les  quarrés  d'ycelles  lignes  de  l'espace  donné  et 
qu'on  divise  le  reste  par  le  nombre  des  points  donnés,  la  racine 
quarrée  du  quotient  sera  le  rayon  demandé. 

[§  4].   Quatrième  exemple. 

De  quelconque  triangle  rectiligne  estant  donné  un  angle,  avec 
un  des  costés  qui  le  comprennent,  et  la  somme  des  deux  autres 


2/,8  PUIiMlÈHE    PAKTJIi: 

côtés,  trouver  le  reste  du  triangle 

BC^a, 

BDCO  J, 

AB-f- ACOO^, 

Fig.  5. 


d'autant  que  l'angle  B  est  donné,  la  raison  du  rajon  au  sinus  de 
son  complémeut  est  aussi  donnée;  et  BC  étant  donné,  BD  le  sera 
aussi,  que  je  nomme  d. 

Gela  fait,  il  faut  trouver  BD  en  d'autres  termes  en  cette  façon. 


disantAB^6— ^,  AC^^  etBCX)«,  el 


X- 


pour  la  différence 


de  AD  et  BD,  laquelle  étant  soustraite  de  6  —  x^  restera 


X'- 


X 


a^ 


OU  bien 


X 


y:>id, 


ou 


b^  —  2  b  X  -^  x'^  —  x^  ^  a^  yO  2  bd  —  1  dx, 
b^  —  2b X  -h  a^  yo  2bd  —  2 dx, 
et  ostant  de  part  et  d'autre   —  2  bx  -i-  2.  bd,  restera 

b^-h  a-  —  2bdyo  2bx  —  2  dx, 
et  divisant  les  deux  parties  par  2  b  —  2  c/,  j 'auraj 


o^yo 


a^ 


bd 


ib  —  2d 


COMPTAS   KEN  DUS    \</\    ANALYSES.  740 

COMJ^TES    RENDUS    KT    ANALYSES. 

PESCI    (G.).    —    TlWTïATO    lîLEMlîNTAHK    1)1    TRKiONOiMKTUIA     PIANA    i:    SI  KIUCA. 

Libro  (li  loslo  per  la  U.  Accadcmia  Navale.  ïn-8°,  \i-5i3  \).  Livoriio,  R. 
(jiusU,  i8i)). 

PESCI  (G.).  —  App1':ni)1(M':  al  Thattato  km:mrntariî  di  Tuigonometiiia  piana 
E  SFKRicA.  Libro  di  Icslo  pcr  la  U.  Accadcmia  Navale.  I11-8",  79  j).  Livoriio, 
R.  Giusli,  1895. 

L'auteur  a  introduit  quelques  modifications  dans  la  manière 
d'exposer  la  Trigonométrie,  surtout  dans  le  but  d'obtenir  la  plus 
grande  analogie  possible  entre  la  partie  plane  et  la  spliérique.  11 
a  ajouté  à  la  fin  de  l'Ouvrage  plus  de  2000  exercices.  L'Appendice 
est  relatif  aux  calculs  numériques  et  à  l'usage  des  Tables.  Ce 
Traité  est  rédigé  avec  soin,  et  quoiqu'il  soit  destiné  principa- 
lement aux  Ecoles  de  Marine,  il  pourrait  bien  servir  avec  avan- 
tage dans  toute  autre  Ecole. 


~^  I  .-lO^i-j 


GUNDELFINGER   (S.).  —  Vorlesungen   aus   der   analytische   Geojietrie 
DER  Kegelschnitte.  Un  vol.  in-8%  viii-434  p.  Leipzig,  Teubner,  189J. 

Ces  leçons,  que  publie  M.  Dingelbey,  ont  été  professées  par 
M.  Gundelfinger,  tant  à  l'Université  de  Tubingue  qu'à  la  TecJi- 
nische  Hochschule  de  Darmstadt.  Elles  offrent  ceci  d'orie:inal, 
que  toutes  les  questions  y  sont  traitées  en  coordonnées  projec- 
tives.  Les  coordonnées  de  Descartes  n'apparaissent  que  comme  un 
cas  particulier;  l'auteur  ne  semble  ]ias  s'j  arrêter  volontiers.  Les 
leçons  proprement  dites  occupent  un  peu  plus  de  la  moitié  du 
Volume  (240  p.).  Dans  la  première  Partie,  qui  contient  la  classifi- 
cation des  coniques  et  se  termine  par  la  démonstration  du  tiiéo- 
rème  de  Pascal  et  du  théorème  de  Brianchon,  on  notera  la  digres- 
sion sur  les  formes  quadratiques  et  sur  les  invariants.  La  seconde 
Partie  se  rapporte  à  la  théorie  des  faisceaux  et  des  réseaux  de 
coniques  soit  au  point  de  vue  ponctuel,  soit  au  point  de  vue  tan- 
centiei. 

o 

Bull,  des  Sciences  niathéni.,  a'-  série,  l.  .\X.  (OcLobrc  iStj'i.)  i~ 


25o  PREMIËHE    PARTIE. 

Un  important  Appendice,  qui  occupe  le  reste  du  Volume,  con- 
tient de  très  nombreux  exercices,  tantôt  avec  la  seule  indication 
des  paragraphes  auxquels  ils  se  rapportent,  tantôt  avec  quelques 
développements  ;  il  comporte  aussi  divers  compléments  théoriques, 
et  l'on  trouvera,  à  la  fin,  la  réduction  aux  fonctions  élémentaires 
d'une  intégrale  mise  sous  la  forme  d'Aronhold, 


/ 


Cj  iPo  dx^ 


2  (  ^l/r,  +  C2./,r,  +  C%fx,  )  (  '^I  ^1  +  «2  "^2  +  IH  X^  ) 


OÙ  les  variables  ^,,  x<,^  x^  sont  liées  par  l'équation  homogène  du 
second  degré 

et  la  réduction  à  la  forme  normale  de  Weierstrass  d'une  intégrale 
elliptique  donnée  sous  la  forme 


/ 


i  (  Cl  ^1.,  +  c,  g'^.^  -^  C3  g[,.^  )  si  SX  xuxt^x-i,) 
où  les  variables  x^^  x^-,  x^  sont  liées  par  l'équation 

g{x^,  X,,X'i)=  o, 

et  où  g{Xi,  Xoj  ^3),  /{j^it  ^27  -^3)  désignent  des  formes  quadra- 
tiques. J.  T. 


WIRTINGER  (W.).  —  Untersuchungen  ïjber  Thetafunctionen  (i). 
125  p.  in-4".  Leipzig,  Teubner,  1895. 

I.  On  sait  qu'on  appelle  fonction  6  d'ordre  n  de  p  variables 
ç^J  poj  '  '  '  •)  ^p  une  fonction  entière  de  ces  variables  qui,  pour  ip 
groupes  de  périodes  conjuguées,  admet  les  multiplicateurs  dé- 
finis par  les  égalités  suivantes  : 

0(<^j  + £1/0  ^2-+- £2/0  .  ..,Vp-^Zpk)=  eiT^i^k  ©(<'M'2-  • -t^/O, 

e((^l-i-'^lA-,  <^2+^2/o  ...,<^/;+^y.A)=  ei^l^^e-^"^^^u-"ir.x,,  e(c'i  C, .  .  .  i^^,), 


(')  Mémoire  couronné,  en  1895,  par  la  Faculté  de  Philosophie  de  l'Université 
de  Gôttingen. 


COMPTES   UENDUS   lîT  ANALYSES.  9/ir 

Les  nombres 

A''l>        A''2»        •  •  •  «       ff  |)^ 

/II,     //2)      .  .  • ,     àp, 

fini  sont  tous  {'gau\  à  /a'vo  ou  A  un,  se  noimnonl  les  caractéris- 
tiques (le  la  fonclion  0  ;  dans  le  J'al^leau  de  /?-  élémenls  formé 
])ar  les  £//;,  tous  les  éléments  de  la  diagonale  principale  (/  =  A) 
sont  éiiaux  à  l'unité  et  les  autres  sont  tous  nuls,  l^e  Tableau  formé 
])ar  les  t/a^  est  le  discriminant  d'une  forme  quadratique  HT^Vf/z/ /?/f, 

et  l'on  suppose  que,  dans  cette  forme,  le  coefficient  de  y/ —  i  est 
essentiellement  positif.  Toutes  les  fonctions  entières  qui  vérifient 
les  conditions  précédentes  s'expriment  linéairement  à  l'aide  de 
nP  d'entre  elles  (  ^  ). 

JNous  désignerons,  en  particulier,  par  la  notation  ^(v  ;  t)  les  fonc- 
tions thêta  du  premier  ordre. 

M.  Wirtinger  étudie  les  propriétés  d'une  variété  (Alannig 
faltigkeit)  d'ordre/?  qui,  pour  le  cas  de/?  =  2,  devient  la  surface 
de  Kummer,  du  quatrième  degré  à  seize  points  singuliers  et  sans 
ligne  singulière  (-). 

Pour  définir  cette  variété  M^,,  on  considère  iP  fonctions 
!^2(v;t)  linéairement  indépendantes,  comme  les  coordonnées 
homogènes  Xs ,  .To,  .  .  . ,  .x.>p  d'un  point  de  l'espace  à  2^ —  1  dimen- 
sions et  l'on  montre  d'abord  que/?  +  i  des  thêta  carrés  et/:>-l-  i 
seulement  peuvent  être  pris  arbitrairement. 

La  même  variété  M^  peut  être  définie  par  l'ensemble  des  rela- 
tions du  quatrième  degré  entre  les  thêta  carrés.  On  sait  former 
toutes  ces  relations  et  l'importance  du  résultat  précédent  consiste 
surtout  en  ce  qu'il  rattache  la  variété  M^aux  ensembles  de  points 
ayant  une  définition  purement  algébrique,  aux  figures  algébriques 
[algebraisches  Gehild)  suivant  l'expression  adoptée  par  ]\L  Wir- 
tinger. 

L'auteur  obtient  très  simplement  l'ordre  de  M^  et  le  genre  de 
l'intersection  complète  de  ]M^  par  n  —  i  surfaces  algébriques.  Il 
déduit  ces  résultats  du  nombre  2^~'  (i  -f-  nP)  des  conditions  qui 


(')  ]'oir  IIermite,  Comptes  rendus^  t.  \I.\II. 

(-)    Voir,  sur  le  mèinc  sujcL,  un  Mémoire  de  M.  IIiiml)crl  (Journal  de  Mathé- 
matiques, de  Jordan,  1890). 


252  PREMIÈRE  PARTIE. 

doivent  exister  entre  les  coefficients  d'une  forme  de  degré  n 
en  x^^x-y-,  '  '  ")  ocop  pour  qu'elle  s'annule  identiquement  quand  on  y 
remplace  les  variables  par  les  thêta  carrés. 

11  démontre  que  les  points  singuliers  de  la  surface,  du  moins 
dans  le  cas  général,  s'obtiennent  en  donnant  aux  arguments  vi 
des  valeurs  égales  aux  demi-périodes,  et  il  passe  ensuite  à  l'étude 
de  la  variation  des  arguments  le  long  d'une  courbe  tracée  sur  la 
variété  M^. 

A  un  point  donné  de  M^  correspondent  les  arguments 

Mais  il  existe  sur  M^  des  courbes  algébriques  telles  que  si  un  point 
se  déplace  d'une  manière  continue  sur  l'une  de  ces  courbes,  on 
peut  faire  correspondre  aux  coordonnées  de  ce  point  un  seul  sys- 
tème de  valeur  des  arguments,  à  des  périodes  près.  Nous  appelle- 
rons ces  courbes  courbes  univoques ;  elles  sont  caractérisées  par 
ce  fait  que,  pour  une  telle  courbe,  les  arguments  vi  sont  des 
intégrales  abéliennes  de  première  espèce  attachées  à  cette  courbe 
même.  Pour  une  courbe  C  algébrique  qui  n'est  pas  univoque,  les 
arguments  K^t  sont  encore  des  intégrales  abéliennes  de  première 
espèce,  mais  attachées  à  une  autre  courbe  G  qui  dépend  de  C  et 
dont  l'ordre  est  double  de  celui  de  G.  Nous  énoncerons  les  résul- 
tats suivants  en  supposant,  pour  simplifier,  que  la  courbe  G  est 
univoque.  Si  cela  n'avait  pas  lieu,  on  devrait  remplacer  la 
courbe  G  par  la  courbe  G  correspondante. 

Il  existe  entre  les  périodes  des  r/,  considérées  comme  intégrales 
abéliennes  attachées  à  la  courbe  G,  et  les  périodes  T^Vf  des  mêmes 
quantités  vi  sur  la  variété  M^,  des  relations  linéaires  à  coefficients 
entiers  dont  l'auteur  tire  un  très  grand  parti. 

Il  considère  les  fonctions  2»  dont  les  T/y^  sont  les  périodes  nor- 
males des  intégrales  de  première  espèce  attachées  à  une  courbe  G 
de  M^;  il  cherche  les  rapports  de  ces  fonctions,  qu'il  appelle 
thêta  de  Rlemann  correspondant  à  la  courbe  G,  avec  les  fonc- 
tions ^  qui  ont  servi  à  définir  My,,  et  il  parvient  à  la  proposition 
suivante  : 

Une  courbe  algébrique  G  tracée  sur  M^  a  pour  ordre  un 
nudtiple  de  ip\  soit  inp  cet  ordre.  Les  thêta  de  Rieniann  cor- 


COMPTES   UENDUS   V/V   ANALYSES.  jM 

icsponddut  à  Ut  courbe  V,  sont  icis  qu'après  une  Lransforma- 
tion  (lu  //'""*'  (le<^ré,  Us  se  décomposent  en  deux  facteurs  dont 
V un  donne  les  lliêta  de  J\J^,. 

Ensuilc  vient  la  gcnéralisaliou  cl'iiii  ihcorcme  fondamental 
relatif  aux  fonctions  thêta  de  Riemann  qui  correspondent  à  une 
courbe  C  de  genre  p.  Les  fonctions  ip  fois  périodiques,  compo- 
sées rationnellement  avec  ces  théla,  peuvent  s'exprimer  algébri- 
quement à  l'aide  de  p  points  de  la  courbe  C,  quand  on  établit 
entre  les  arguments  des  thêta  et  les  p  points  de  G  les  relations 
(jui  conduisent  au  problème  d'inversion  de  Jacobi.  Pour  les  thêta 
les  plus  généraux,  on  obtient  un  résultat  analogue  en  considérant 
une  courbe  G  de  la  variété  M^  et  les  intégrales  abéliennes  atta- 
chées à  cette  courbe.  Le  problème  d'inversion  qui  se  présente 
alors  devient  le  problème  d'inversion  de  Jacobi  si  la  courbe  G  est 
d'ordre  2/?,  et  l'on  arrive  à  cette  conclusion  :  la  condition  néces- 
saire et  suffisante  pour  que  les  thêta  d'une  variété  M^^  se  réduisent 
aux  thêta  de  Riemann  est  qu'il  existe  sur  M^,  une  courbe  dont 
l'ordre  soit  égal  à  ip. 

La  première  partie  se  termine  par  l'exposé  de  principes  per- 
mettant de  classer  et  d'étudier  les  courbes  algébriques  tracées 
sur  Mo  et  par  des  remarques  sur  les  thêta  de  M^  considérés 
comme  dépendant  non  seulement  des  p  arguments,  mais  encore 
des  quantités  T/^f. 

IL  La  seconde  partie  du  Mémoire  est  consacrée  à  l'étude  de 
fonctions  2?  dont  la  définition  est  analogue  à  celle  des  fonctions  ^ 
de  Riemann,  et  qui  se  réduisent  à  celles-ci  dans  un  cas  limite. 
Les  constantes  t/a  des  2r  de  M.  Wirtinger  se  définissent  à  l'aide 
des  périodes  de  p  intégrales  abéliennes  de  première  espèce  atta- 
chées à  une  surface  de  Riemann  de  genre  ip  -{-  i  que  l'on  obtient 
en  réunissant  deux  exemplaires  identiques  d'une  surface  de  Rie- 
mann de  genre  p  -\- i .  Gette  surface  est  telle  que  y>  +  1  de  ses 
intégrales  de  première  espèce  peuvent  se  réduire  à  des  intégrales 
de  genre  p  -\-  i  et  aussi  que  les  thêta  de  Riemann  qui  lui  corres- 
pondent se  décomposent  en  deux  facteurs  après  une  transforma- 
tion convenable.  Il  nous  faut,  pour  préciser  la  définition  de  ces 
fonctions  ^,  expliquer  en  détail  la  construction  de  celte  surface 
de  Riemann  de  genre  ip  -\-  \ . 


254 


PREMIÈRE  PARTIE. 


Nous  supposons  donnée  une  surface  F,  de  genre  p  +  i  com- 
posée de  deux  feuillets  réunis  par  p  +2  lignes  de  croisement  (^) 
et  nous  traçons  les  coupures  «/,  />/ comme  l'indique  la  fig.  i  con- 
struite pour  le  cas  où  />  -|-  i  =^  5. 


Nous  prenons  une  surface  Fo  identique  à  la  précédente  et  nous 
désignons  par  a\ ,  h\  les  coupures  qui  sont  situées  dans  F2  comme 
ai  et  ht  sont  situées  dans  F,  ;  enfin,  nous  réunissons  le  bord 
droit  de  la  coupure  h\  au  bord  gauche  de  la  coupure  Z><.  La  sur- 
face F  ainsi  obtenue  est  simplement  connexe.  Ses  coupures  sont  : 
une  coupure  h  formée  du  bord  gauche  de  h\  et  du  bord  droit 
de  Z>i,  la  coupure  a  correspondante  formée  des  coupures  a,,  a\ 
réunies  en  une  seule,  et  les  autres  coupures  «/,  hi^  a\,  b'-;  elle  est 
bien  du  genre  2y;  4-  1 . 

Les  p  -\-  i  intégrales  de  première  espèce  de  Fi  donnent  des 
intégrales  de  première  espèce  de  F;  on  peut  définir/?  autres  inté- 
grales de  première  espèce  ^^i(^),  ^'-li-')-,  •  •  •?  ^>(^)  telles  que  les 
modules  de  périodicité  de  ces  p  intégrales  soient  donnés  par  le 
Tableau  suivant  : 


«3. 

«.+.• 

b,. 

^. 

*,,.,. 

Pl(^).... 

I 

0 

0 

"11 

"12 

'Cip 

v,{z).... 

0 

I 

0 

'^21 

T22 

^2/> 

Vj,{z).... 

0 

0 

I 

^/M 

"^/n 

'^PP 

(')   Voir  Picard,   Cours  d'Analyse,  t.  II,  p.  S^S  et  376. 


COMPTES  UENDUS   ET   ANALYSES.  255 

où  les  (juaiilllcs  t/a  somI  Icllcs  (jiio  Ton  a 

'^ih-  =  "-Ici 


Cl  ([uc  clans  la  forme 


^"lAfiin/,, 


la  ])artie  réelle  est  essentiellement  positive. 

Ces  c|uantités  -zi/f  ])eiivent  donc  servir  à  la  définition  de  fonc- 
tion 3  à  p  variables.  Les  fonctions  .'^(t^<  ^  v-2,  •  •  . ,  ^p)  ainsi  définies 
sont  celles  qui  sont  introduites  par  M.  Wirtinger. 

Les  fonctions  uniformes  d'un  point  de  la  surface  F  que  l'on 
obtient  en  remplaçant  dans  ces  thela  chacun  des  arguments  Çi  par 
l'intégrale  Vi(z)  diminuée  d'une  constante  arbitraire  <?/, 

donnent  lieu  à  une  étude  analogue  à  celle  que  l'on  fait  pour  les 
fonctions  de  Riemann 

quand  on  cherche  les  zéros  de  ces  fonctions,  leurs  relations  avec 
les  quantités  arbitraires  G/,  les  rapports  de  ces  fonctions  avec  le 
problème  d'inversion  de  Jacobi,  leur  expression  au  mojen  de 
fonctions  algébriques. 

Dans  le  cas  particulier  où  p  =  2,  l'auteur  définit  directement 
les  intégrales  correspondant  à  ses  fonctions  ^  en  considérant, 
d'après  M.  Klein  (<),  les  coniques  de  contact  d'une  courbe  du 
quatrième  ordre  C-,  et  il  trouve  que  la  surface  de  Rummer,  définie 
à  l'aide  des  thêta  ainsi  obtenus,  passe  par  la  courbe  G4. 

Pour  terminer  ces  indications  trop  rapides,  nous  mentionnerons 
ce  résultat  que,  pour^  >>  5,  les  thêta  de  M.  Wirtinger  dépendent 
de  3p  modules,  tandis  que  les  thêta  de  Riemann  dépendent, 
comme  on  le  sait,  de  3p  —  3  modules.  E.  Lacour. 


(')  Matheinatisclie  Annalen,  t.  XXW'T. 


2')G  PUiiMiÈur:  PAirriK. 


C  JORDAN,  Mcnil)rc  de  rinsliliit,  Professeur  à  lÉcole  Polyleclini(iiic.  — 
Cours  d'Analvsi-:  dk  l'Ëcolp:  Polytechnique.  Deuxième  édition,  enlière- 
mcnt  refondue.  Tome  troisième  :  Calcul  intégral.  Équations  différentielles . 
In-8°,  y.\-■^\'x  p.;  Paris,  Gaulliier-Villars  el  fds,  189^. 

Nous  avons  déjà  rendu  compte  des  deux  premiers  Volumes  de 
cette  nouvelle  édition  de  l'excellent  Ouvrage  de  M.  C.  Jordan.  Le 
Tome  troisième,  dont  l'apparition  complète  et  termine  l'Ouvrage, 
a  subi  des  modifications  moins  profondes  que  les  deux  précédents. 
L'auteur  a  supprimé  la  Note  finale  sur  quelques  points  de  la 
théorie  des  fonctions,  parce  que  les  principaux  résultats  contenus 
dans  cette  Note  avaient  été  introduits  dans  les  deux  premiers  Vo- 
lumes. Les  divers  passages  où  intervenaient  les  fonctions  ellip- 
tiques ont  vu  les  sn?<ç,  cn;^,  dnw  céder  la  place  aux  fonctions 
nouvelles  introduites  par  M.  Weierstrass.  Dans  la  théorie  des 
équations  linéaires  à  coefficients  constants,  M.  Jordan  a  fait  sortir 
d'un  injuste  oubli  une  méthode  où  l'on  traite  le  sjmbole  de  diffé- 
rentiation  D^  comme  une  puissance.  11  a  ajouté  aussi  la  méthode 
de  démonstration  que  l'on  doit  à  Cauchy  et  à  M.  Lipschitz  pour 
établir  l'existence  des  intégrales  dans  le  cas  où  le  sj'stème  des 
équations  dillerentielles  ne  peut  être  considéré  comme  connu  que 
pour  des  valeurs  réelles  attribuées  aux  variables  réelles.  Enfin,  il 
a  fait  connaître  les  méthodes  proposées  par  Kummer  et  Halphen 
pour  l'intégration  de  certaines  équations  linéaires. 

Ces  indications  paraîtront  suffisantes  à  nos  lecteurs  qui  ont 
apprécié  depuis  longtemps  le  mérite  de  cet  Ouvrage;  sous  sa 
forme  nouvelle,  il  continuera  à  rendre  d'incontestables  services, 
à  la  fois  aux  maîtres  et  aux  étudiants. 


L.  SAUVAGE,  Professeur  à  la  1^'acuUé  des  Sciences  de  Marseille.  —  Théorie 

GÉNÉRALE    DES    SYSTEAJES    d'ÉQUATIOXS    DIFFÉRENTIELLES   LINEAIRES    ET    HO- 
MOGÈNES. I  vol.  in-4",  179  p.  Paris,  Gaulhier-Villars  el  fils. 

Les  beaux  travaux  de  M.  Fuchs  sur  les  équations  différentielles 
linéaires  et  homogènes  sont  aujourd'hui  classiques.  M,  Sauvage 


COMriES   in-NDUS   \W  ANALYSIiS.  ?.j7 

s'ol  |)i()|)()S('  (le  i;(''iH'iiilis('i'  les  r<';siillaLs  do  M.  l'iiclis,  en  ('Miidiant 
un  svslrmc  de  //  ('(iiiiil  ions  lincaircs  (;l  liomo^cncs  du  |)rcmicr 
ordi'cî  à    //    loiiclioiis   inconnues  cl    à   une  variable  indépendante. 

M.  Sau\a<^c  s'occuj)e  dcj)uis  lon^lernps  de  e(îlte  inij)orLanl,e 
élude;  il  lui  a  donné,  dans  le  livr(;  <|ue  nous  analysons,  une  fbrm(; 
d(''linili\('  des  plus  sinipl(\s,  en  eniployanl  un  procédé  iiniforine 
de  calcul  fondé  sur  la  lliéorie  des  diviseurs  élémentaires  de 
jM.  Weierstrass. 

Nous  nous  attacherons  surtout  dans  notre  analyse  auK  parties 
personnelles  à  l'auteur. 

Abordons  de  suite  l'étude  du  Clia[)itre  H,  intitulé  des  diviseurs 
(''Irmciilaircs.  Soit 

un  déterminant  à  n-  éléments  :  ce  déterminant  est  une  fonction 
entière,  homogène,  et  qu'on  supposera  du  degré  n  à  la  fois  en 
p  et  q.  Chaque  mineur,  y  compris  le  déterminant  lui-même, 
admet  des  diviseurs  de  la  forme  (ap  -\-  bqy.  On  forme,  pour 
chaque  ordre  de  mineurs,  le  plus  grand  commun  diviseur  de  ces 
mineurs.  Chaque  facteur  du  quotient  des  plus  grands  communs 
diviseurs  des  mineurs  de  deux  ordres  consécutifs  est  un  diviseur 
élémentaire  du  déterminant  proposé.  Partant  de  cette  définition, 
on  démontre  que,  si  deux  formes  bilinéaires  aux  2/^  variables 
JT, ,  .  .  . ,  X/i,  y\ ,  .  .  . ,  y,i 

P  =  EAa^.raJp,  Q  =  SBapa7a7p         (ce,  '^  =  i ,  i,  .  .  . ,  n), 

sont  changées  en  deux  autres  formes  analogues  P'  el  Q'  par  les 
substitutions 

Xi  =I,h  ij  X'j ,  J'i  =  2  kij/j  (  i ,  /  =  I  ,    2 ,   .  .  .  ,  /l  ) , 

et,  si  les  déterminants  H  et  K  des  substitutions  sont  différents  de 
zéro,  les  deux  déterminants  des  formes 

pV-\-q(l     et     pl"+q(y 

ont  mêmes  diviseurs  élémentaires.  Réciproquement,  si  ces  deux 
derniers  déterminants  admettent  les  mêmes  diviseurs  élémentaires, 
on  peut  déterminer  les  constantes  hij  et  kij  des  deux  détermi- 
nants H  et  K  différents  de  zéro. 


•258  PREMIEUIÎ    PARTll!:. 

Ces  lliéorèmes  appartiennent  à  M.  Weierstrass.  Mais  le  théorème 
fondamental  est  démontré  au  moyen  d'un  calcul  très  élégant  de 
M.  Darboux.  Parmi  le  grand  nombre  de  conséquences  qui  se  tirent 
de  ces  propositions,  il  faut  remarquer,  dans  le  livre  de  M.  Sau- 
vage, la  formation  a  priori,  d'après  M.  Weierstrass,  de  détermi- 
nants admettant  des  diviseurs  élémentaires  donnés. 

L'application  des  formules  ainsi  établies  est  continuelle  dans 
la  théorie  des  équations  différentielles  dont  l'auteur  s'occupe.  On 
en  voit  de  suite  la  raison  :  c'est  la  dépendance  bilinéaire  des 
éléments  des  solutions  d'un  système  différentiel  par  rapport  au 
numérotage  des  inconnues  d'une  part,  et  par  rapport  à  celui  des 
solutions  d'autre  part.  L'auteur  s'est  borné  aux  théorèmes  de  la 
théorie  des  diviseurs  élémentaires  qui  lui  sont  utiles  pour  la  suite  : 
il  a  fait  autre  part  une  étude  générale  de  cette  théorie,  d'après  la 
méthode  de  M.  Darboux  {^Annales  de  V École  Normale,  iBgS). 

La  lecture  de  ce  Chapitre  II,  particulièrement  intéressante,  est 
facilitée  par  deux  Notes  placées  à  la  fin  du  Volume  :  l'une  de  ces 
Notes  contient  un  exposé  concis  et  clair  des  théorèmes  généraux 
de  Cauchj  sur  les  déterminants. 

Tous  les  autres  Chapitres  (excepté  le  dernier)  se  rapportent 
aux  systèmes  d'équations  différentielles  linéaires  et  homogènes  de 
la  forme 

Dans  le  premier  Chapitre,  on  retrouve  les  définitions  classiques 
d^ une  solution,  d^ un  système  fondamental  de  solutions^  expo- 
sées avec  une  généralité  complète,  ainsi  que  les  conséquences  or- 
dinaires de  ces  définitions. 

L'équation  d'ordre  Ji 

,    .  d'^  y  d"^^  Y  dy 

peut  être  rattachée  à  un  cas  particulier  du  système  (i);  mais  elle 
a  une  théorie  particulière,  celle  que  M.  Fuchs  adonnée.  L'auteur 
compare  la  méthode  particulière  à  la  méthode  générale.  11  faut 
noter,  dans  le  Chapitre  I,  le   procédé  simple  qui  sert  à  l'auteur 


COMPTES  KIÎNDUS  ET  ANALYSES.  j/>ij 

|)()iii-  inlrj^ rcr  le  système  (llfTérenlicI 

(3)  ^''^'~'^^~J^  "^^'''J-^'J         (^./^'''^  "m'O 

J 

clans  le  domaine  du  point  singulier'  x  =  a.  Cette  (juestion  sert  de 
base  non  seulement  aux  théories  du  début,  mais  ù  toutes  celles 
des  Chapitres  III  et  suivants. 

La  manière  dont  se  comportent  les  éléments  d'une  solution  dans 
le  domaine  d'un  point  singulier  fait  l'objet  du  Chapitre  NI.  Mon- 
trer que  ces  points  caractérisent  les  systèmes  de  la  forme  (i), 
trouver  par  la  méthode  des  diviseurs  élémentaires  la  manière  la 
plus  simple  dont  se  comportent  les  intégrales  dans  le  voisinage  de 
chaque  point  singulier,  puis  montrer  à  un  point  de  vue  plus  pra- 
tique les  mêmes  relations  en  se  conformant  aux  principes  de 
M.  Fuchs,  tel  est  le  plan  réalisé  dans  ce  Chapitre. 

Au  Chapitre  suivant,  on  trouve  l'intégration  par  les  séries  des 
systèmes  de  la  forme  (i),  développée  particulièrement  et  d'une 
manière  remarquable  par  M.  J.  Horn  dans  le  cas  des  systèmes 
d'équations  (3),  dits  canoniques.  Le  rôle  des  diviseurs  élémen- 
taires est  ici  considérable. 

Le  Chapitre  V  est  consacré  à  la  recherche  des  systèmes  dits 
réguliers,  c'est-à-dire  dont  chaque  élément  de  solution  est  un 
agrégat  linéaire  d'expressions  de  la  forme 

{x  —  a)''[ao'+-  ai  log(a:  —  a)  -{-. .  .-h  a/,-  \o^^'(x  —  a)], 

et  infinies  d'ordre  fini  pour  œ  =  a.  L'auteur  montre  que  tout  sys- 
tème régulier  peut  être  ramené  à  un  système  canonique  par  une 
suite  mélangée  de  substitutions  de  l'une  quelconque  des  deux 
sortes 

j 

Mais  le  seul  cas  donnant  lieu  à  un  théorème  d'un  énoncé  simple 
est  celui  de  l'équation  (2)  de  M.  Fuchs. 

Les  théories  de  M.  Floquet  sur  les  équations  à  coefficients  uni- 
formes périodiques  et  à  intégrales  uniformes  sont  exposées  au 
Chapitre  VI.  L'emploi  des  diviseurs  élémentaires  fait  l'originalité 


aGo  PKEMIÈKK   PARTIE. 

de  la  rédaclion  nouvelle.  La  belle  élude  des  équalious 

—r    =  —  A^»  -f-  H  cv, 
dx 

--—    =        AU  —  L(v, 
dx 

dw 

—7-  =  —  Jj  w  -H  L  w 
dx 

de  M.  Picard  trouve  ici  sa  place. 

Le  dernier  Chapitre  est  consacré  d'abord  aux  systèmes  d'équa- 
tions d'ordre  n  que  l'on  peut  ramener  aux  systèmes  de  la  forme  (i). 
La  question  est  traitée  avec  ampleur  d'après  les  théories  de 
M.  Kœnigsberger  {Lelirbuch  der  Théorie  der  Differentialglei- 
chungen\  principalement  dans  le  cas  des  systèmes  dits  algé- 
briques. La  distinction  importante  que  l'auteur  introduit  entre  les 
mots  solution  et  intégrale,  quand  il  s'agit  de  systèmes  d'équations 
différentielles,  lui  sert  de  transition  pour  exposer  les  belles  re- 
cherches de  M.  Darboux  sur  les  intégrales  rationnelles  {^Comptes 
rendus,  1880),  et  pour  esquisser  l'exposition  des  fonctions  inva- 
riantes de  M.  Appell. 

On  voit,  par  ce  résumé,  que  le  livre  de  M.  Sauvage  contient  un 
exposé  élémentaire  des  Théories  fondamentales  relatives  à  l'étude 
des  équations  différentielles  linéaires  et  homogènes  à  une  seule 
variable  indépendante,  accompagné  de  plusieurs  applications  inté- 
ressantes. 


MAGGI  (G. -A.),  Professeur  à  l'Université  de  Pise.  —  Principii  della.  teo- 
Ri\  MATEMATicA  DEL  MoviMENTO  DEi  coRPi.  Corso  cH  Meccanica  razionalc. 
I  vol.  xviii-5o3  p.  in-8°.  Milano,  Hoepli,  1896. 

On  recherche  aujourd'hui,  dans  un  cours  de  Mécanique  ration- 
nelle, autre  chose  que  les  exercices  multiples  et,  le  plus  souvent, 
bizarres  dont  se  sont  longtemps  composés  nos  traités  classiques, 
et  qui,  toujours  identiques  au  point  de  vue  des  principes  mis  en 
œuvre,  se  distinguent  à  peine  par  des  détails  de  mise  en  équation 
ou  d'intégration  complètement  étrangers  au  véritable  objet  de  la 
Mécanique.  L'énoncé  des  hypothèses  fondamentales,  en  particu- 


COMPTAS  iniNDiis  i<:r  analvsi-:s.  9.61 

lier,  proscnlc  encore  ccrlaincs  obscurités  dont  la  dispaiilior)  in- 
l('rcssc  Ions  ccAW  (\\\\  onl  s(Mici  de  la  clarté  des  piincipcs  cl  de  la 
solidité  (l(!s  tlu'ories.  AI.  -Maj^'-gi  est  du  nombre  :  il  a  nianifcste- 
nient  Iravailb',  par-dessus  tout,  à  donner  aux.  notions  essentielles  de 
la  l)yn;irni(pie  celte  nellelé  (pii  leiii-  niaiHjiie.  Il  entend  même 
pousser  la  rigueur  plus  loin,  en  cxcluanl  (b;  la  Mécanique  la  phra- 
séologie introduite  j^ar  les  fondateurs  du  (lalenl  infinitésimal  et 
(pTon  est  parvenu  aujourd'hui  à  éliminer  de  l'Analyse  :  en  un  mot, 
en  n'admettant  aucune  notion  étrangère  à  l'Algèbre  ou  à  la  Géomé- 
trie élémentaire  qui  ne  puisse  se  ramener  à  celle  de  limite.  C'est 
ainsi  que  la  locution  de  point  matri'iel  n'y  figure  que  pour  mé- 
moire. On  peut  contester  la  nécessité  d'une  pareille  réforme,  étant 
donné  que  ces  formules  incorrectes  n'ont  subsisté  que  là  oii  leur 
présence  ne  peut  entacher  l'exactitude  des  conclusions;  mais, 
puisque  dans  d'autres  parties  de  la  Science,  et  même  dans  certaines 
parties  de  la  Mécanique,  on  a  pu  s'exprimer  d'une  manière  en- 
tièrement rigoureuse  sans  compromettre  la  simplicité  de  l'expo- 
sition, il  ne  peut  y  avoir  que  des  avantages  à  réaliser  le  même 
progrès  partout.  C  esl  ce  que  M.  Maggi  a  tenté,  et  à  quoi  il  a  au 
moins  partiellement  réussi. 

L'Ouvrage  débute  par  un  rappel  de  principes  empruntés  à  l'Ana- 
lyse et  à  la  Géométrie.  La  théorie  des  segments  constitue,  bien 
entendu,  la  majeure  partie  de  ce  chapitre  préliminaire;  le  reste 
est  consacré  aux  propriétés  les  plus  importantes  des  intégrales 
multiples  et  curvilignes. 

Dans  l'exposé  de  la  Cinématique,  l'auteur  laisse  de  côté  la  dif- 
ficulté relative  à  l'existence  des  axes  fixes;  quant  au  temps,  il  en 
subordonne  la  notion  à  celle  de  la  rotation  terrestre.  Suivant  un 
usage  auquel  on  désirerait  voir  l'enseignement  français  se  con- 
former, les  systèmes  de  solides  invariables  ne  sont  pas  considérés 
comme  formant  l'unique  objet  de  la  Mécanique  rationnelle  et, 
par  conséquent,  la  Cinématique  comprend  l'étude  de  la  déforma- 
tion et  du  mouvement  des  espaces  déformables.  L'auteur,  comme 
nous  l'avons  dit,  cherche  à  se  passer  des  conceptions  de  défor- 
mation infiniment  petite  et  de  déformation  dUin  volume  infini- 
ment petit  ;  mais  ce  n'est  pas  sur  ce  point  qu'il  nous  semble  avoir 
réalisé,  à  cet  égard,  le  progrès  le  plus  essentiel. 

La  tentative  de    M.    Maggi   aboutit   à   des   résultats   bien  plus 


■,Xy.i  PREMIÈRE   PARTIE. 

avantageux  en  Dynamique,  où  les  principes  fondamcnlaux,  que 
l'on  énonce  ordinairement  en  partant  de  la  conception  d'un  être 
absolument  irréel,  le  point  matériel,  sont  déduits  de  la  considé- 
ration de  V accélération  moyenne  d'un  corps.  Il  est  vrai  que  l'on 
ne  peut  définir  cette  accélération  moyenne,  du  moins  avant  l'in- 
troduction de  l'idée  de  masse,  que  pour  les  corps  supposés  homo- 
gènes, de  sorte  que  la  conception  infinitésimale  reparaît  avec  un 
postulat  d'après  lequel  tout  système  naturel  peut  être  considéré, 
soit  comme  un  ensemble  de  parties  homogènes,  soit  comme  une 
limite  de  pareils  ensembles.  Néanmoins,  si  l'on  considère  avec 
Kirchhoffla  Mécanique  comme  une  description  des  phénomènes 
du  mouvement,  description  que  l'on  doit  s'efTorcer  de  rendre 
aussi  simple  et  aussi  exacte  que  possible,  il  est  certain  que  la  con- 
ception de  M.  Maggi  est,  à  ce  double  point  de  vue,  préférable  à 
l'ancienne. 

Étant  donnée  cette  conception,  il  est  clair  que  la  Dynamique  du 
point  matériel  doit  cesser  de  faire  partie  de  la  Dynamique  pro- 
prement dite;  aussi,  les  résultats  qui  en  dépendent  sont-ils  donnés 
par  l'auteur,  non  dans  la  Dynamique,  mais  dans  la  Cinématique. 

Une  des  principales  difficultés  théoriques  de  la  Dynamique  est 
la  définition  de  la  masse.  A  notre  avis,  cette  définition  ne  peut 
être  cherchée  que  dans  le  principe  de  l'égalité  de  l'action  et  de  la 
réaction,  convenablement  modifié.  C'est  ce  qu'a  déjà  fait 
M.  Waschy  [Nouv.  Ann.  de  Math.^  '^9^)7  i^^^'s  en  faisant  dé- 
pendre le  principe  en  question  de  la  loi  d'attraction  de  Newton, 
ce  qui  ne  nous  paraît  pas  nécessaire.  C'est  aussi  dans  cet  ordre 
d'idées  que  rentre  la  manière  d'opérer  de  M.  Maggi  :  pour  définir 
le  rapport  des  masses  de  deux  corps,  il  lui  suffit  de  renverser  le 
rapport  des  accélérations  moyennes  qu'ils  prendraient  si  on  les 
supposait  mis  en  présence  l'un  de  l'autre  et  soustraits  à  l'in- 
fluence de  tout  autre  corps.  C'est  bien,  comme  on  le  voit,  le  prin- 
cipe de  l'égalité  de  l'action  et  de  la  réaction  qui  est  invoqué;  seu- 
lement il  nous  semble  alors  peu  logique  d'énoncer  un  peu  plus 
loin  ce  principe  comme  une  vérité  distincte  de  la  première. 

Ces  principes  et  leurs  conséquences  les  plus  générales  forment 
une  première  partie  de  la  Dynamique,  intitulée  :  Lois  générales 
du  mouvement.  La  seconde,  ou  Calcul  du  mouvement,  comprend 
l'application  de  ces  principes  aux  problèmes  qui  peuvent  se  traiter 


avec  leur  seul  secours,  mais  aussi  rinlrodiiclion  de  principes  nou- 
veaux, en  j)arLiculicr  (umix  qui  eoneeinenl  les  forces  de  liaison. 
I/ordre  suivi  à  cet  é^ard  dillère  nolablemeiil  de  celui  qui  nous 
est  familier  cl  n'(îst  pas  sans  soulever  quelques  objections.  J^'au- 
leur  traite  d'abord  des  pressions  internes  et  superficielles  d'un 
corps  quelconcpie,  et  en  développe  la  théorie  en  même  temps  qu(; 
celle  de  la  force  aj)pii(piée  à  l'élément  de  volume,  quoique  les 
unes  soient  des  forces  de  liaison  et  les  autres  des  forces  directe- 
ment appliquées.  Quant  aux  réactions  qui  naissent  des  liaisons 
imposées  aux  corps  dont  on  s'occupe,  elles  sont  considérées 
comme  dérivant  des  pressions  extrêmes.  L'auteur  les  détermine 
par  la  condition  que  leur  travail  virtuel  soit  nul,  quitte  à  ajouter 
aux  forces  ainsi  définies  des  forces  de  frottement.  Il  écrit  alors  les 
équations  de  Lagrange  et  traite  quelques  applications  en  se  bor- 
nant d'ailleurs,  comme  l'indique  l'objet  du  livre  indiqué  par  son 
titre,  à  celles  qui  sont  nécessaires  pour  mettre  en  lumière  les 
principes  qu'il  a  exposés.  Un  chapitre  consacré  à  la  Dynamique 
des  corps  variables  (élasticité  et  hydrodynamique)  termine  cet 
Ouvrage,  où  l'on  reconnaîtra  une  tentative  digne  d'attention  pour 
établir,  sur  des  bases  plus  solides,  la  Mécanique  rationnelle. 


MELANGES. 

SUR  UNE  FORME  DE  L'INTÉGRALE  DE  L'ÉQUATION  D'EULER  ; 
Par  m.  J.  IIADAMARD. 

Stieltjes  a  démontré  [Bull,  des  Se.  math.,  i^  série,   l.  XI 1, 
p.  222-22-;  1888)  que  l'intégrale  générale  de  l'équation  d'Euler 


(0 
où 

(0.) 


dx  cl  Y 


j  V^.{x)=  aç,x''  ^  '\a\X^  -^  G «2 ^-  H-  !\  r/.3 x  -f-  «'< 

(  =  a^{x  —  'J.){x—  [i)(r  —  Y')(.r  —  oj, 


jM  pueiMièue  partie. 

peut  se  mellre  sous  la  forme 


(3) 


X 


X  -\-  y 
xy 


((.■,-\-  ni 


xy 
a^  —  •>.  ni 


(i y  ffo-^  ni  a,i 

a  2 — 2/n  a-i  (i\ 

[m  =  const.  arbitraire). 

L'auteur  obtient  ce  résultat  par  une  voie  synthétique.  11  me 
semble  cependant  que  Téquation  (3)  est  liée  de  la  manière  la 
plus  immédiate  à  l'intégrale  de  l'équation  d'Euler  telle  qu'elle  ré- 
sulte, par  exemple,  du  théorème  d'Abel,  de  manière  que  celui-ci 
peut  être  considéré  comme  donnant  très  simplement  toutes  les 
formes  connues  de  l'intégrale. 

Le  théorème  d'Abel  montre  en  effet  que  l'intégrale  de  l'équa- 
tion (i)  s'obtient  en  écrivant  qu'il  existe  nne  constante  c  et  des 
nombres  (variables)  m,  n  tels  que  l'équation 


ou 


V/i<(X)  =  (mX-H/7)(X  — a) 
(mX  +  ;OnX-a)— ao(X~p)(X-Y)(X-oj 


ait  pour  racines  x^  y  et  c.  Ceci  s'écrit  encore  par  l'identité  (ajant 
lieu  quel  que  soit  X) 


(4) 


(/nX  +  /î)-(X  —  a) 

—  «o(X  — P:)(X  — y)(X— 0)— A(X-r)(X— jk)(X-c) 


Dans    cette    identité,    faisons   successivement  X=[j,   X  =  y, 
=  0  :  nous  aurons  les  relations 

(m  [3  +  n)^J^^x  =  ^A{^-c)^^'i-x){'^-y), 
(  m  Y  +  n  )  /y  —  a  =  /A  (  v  —  c  )  \/{  7  —  x){  y  —y), 


( /n 0  H-  /i  )  y/o  —  a  =  V  A(o  —  c)  y/(ô  —  ^ ){o  — y  ), 

entre  lesquelles  il  devient  aisé  d'éliminer  /??,  /?,  A;  le  résultat  est 
évidemment  de  la  forme 


r,)      l,^\f.  —  x){^-y)-^l,s\^(-Jr){-—y)-hl;s/{o-x){o-y)=o 


MKLANGKS.  Ai'yi 

(Ao,    A;,,    Xj  tUaiit  (îonslaiils).    (r^si    une    première    forme    bien 
connue  de  l'intégrale  cliercliée. 

Posons   mainlcnanl   ^H~y--:>,  ç,    ^y  r=r  t,    et    regardons    ç,   r, 
comme  des  coordonnées  reclilignes.  L'équation  (5),  s'écrivant 


représente  une  conique  tangente  aux  trois  droites 

(y)  Y^—  '^^7^  +r^  =o, 

(o)  o2 —  lioC  -+-  r,  =  o. 

D'ailleurs,  il  est  clair  que,  de  même,  cette  conique  esl  tangente  à 
la  droite 

(a)  a- —  -îoc^  H-  r^  —  o. 

Ainsi  [^intégrale  de  V équation  (i)  n^est  autre  que  V équation 
générale  des  coniques  tangentes  aux  quatre  droites  {y.)^  ([j), 

(y),  (û),  équation  où,  l'on  doit  remplacer  Ç  et  t]  par —  et  xy. 

Il  est  facile  d'écrire  cette  équation  générale  sans  savoir  résoudre 
l'équation  [l(x)=o.  Les  quatre  droites  en  question  sont  tan- 
gentes à  la  conique 

aux  points 

que  Ton  peut  considérer  comme  déterminés  par  l'équation  de  la 
conique  (6)  avec  la  conique 

c/o  r,2  -+-  4  ai''zr^  +  2  «,(•>-  ^-  +  '^i  )  -f-  4  <^3  ^  -*-  «i  =  o, 

de  sorte  que  l'équation   générale  des  coniques  passant   par  ces 
([uatre  points  est 

/>////.  r/c.v  Sciences  rnalhém.,  2"  série,  l.  \.\.  (Octobre  i8<)f).)  iS 


■2G6  PREMIERE   PARTIE. 

{m  étant  un  parannètre  arljitraire).  L'équation  cherchée  s'obtiendra 
en  prenant  la  polaire  réciproque  de  la  courbe  (8)  par  rapport  à  la 
conique  directrice  (6).  On  retombe  ainsi  sur  le  résultat  de 
Stieltjes. 


NOUVEAUX  EXEMPLES  D'INTERPOLATIONS  ILLUSOIRES; 

Par  m.  Cil.  MÉRVY, 
Professeur  à  la  Faculté  des  Sciences  de  Dijon. 

1.  L'interpolation  ne  peut  évidemment  atteindre  son  but  que  si 
la  différence  entre  la  fonction  à  représenter  et  le  polynôme  entier 
substitué  de  la  sorte  à  cette  dernière  tend  vers  zéro,  en  même  temps 
que  se  multiplient  indéfiniment  les  valeurs  particulières  de  la 
variable  pour  lesquelles  l'égalité  numérique  entre  l'une  et  l'autre  a 
été  établie.  La  réalité  du  fait  n'avait  jamais  soulevé  l'ombre  d'un 
doute,  cela  sous  la  seule  condition  que  la  fonction  fut  continue  dans 
l'intervalle  où  l'on  opère,  quand  j'ai  montré  la  possibilité  du  con- 
traire, délimité  ensuite  un  cas  étendu  et  bien  suffisant  pour  la  pra- 
tique, où  le  succès  de  l'interpolation  est  certain.  [Obserçations  sur 
la  légitimité  de  V interpolation  [Annales  de  l'Ecole  Normale 
supérieure,  3^  série,  t.  I;  i884-)] 

Ces  deux  constatations  m'ont  paru  offrir  un  assez  grand  intérêt 
au  point  de  vue,  non  seulement  du  problème  de  l'interpolation 
pris  en  lui-même,  mais  encore  de  la  théorie  générale  des  fonctions, 
car  elles  opposent  une  fois  de  plus  la  solidité  et  l'efficacilé  des 
raisonnements  appuyés  sur  les  propriétés  des  séries  entières,  à  la 
faiblesse  et  à  l'impuissance  de  ceux  d'où  cette  considération  fonda- 
mentale a  été  écartée.  La  première  a  pu  toutefois  être  jugée  insuf- 
fisante, le  cas  d'interpolation  impossible  que  j'ai  signalé  étant  isolé, 
peu  normal  en  outre  parce  qu'il  faut  opérer  dans  un  intervalle 
imaginaire  spécial.  Mais  je  viens  d'apercevoir  une  infinité  d'autres 
exemples  du  même  accident,  où  les  calculs  sont  faciles  sans  que 
l'on  ait  à  sortir  des  conditions  de  l'interpolation  pratique.  Je  vais 
en  rapporter  deux  qui  me  paraissent  être  particulièrement  simples 
et  concluants. 


ti.    l'ii    rci)r<'sonl;nil   pnr  /(./')  «mk;  fonrlion  supposée  ololropc; 
il.iiis  une  iiirc  dotméc  S.t ,  p;ii' 

(les  qiinnlilrs  cliolsics  arbilraircnicnl  dans  cette  aire,  cl  qu'ici  nous 
prend lOMs  incj;al(îs;  par/„(jc)  le  polynôme  de  degré  maximum 
//     -  I   (pic  (lélcrmincnt  les  n  conditions  numériques 

ru  posant  cnlin 

to(.r)  =  (.r  —  .ri)(.r  —  ^ra).  .  .{x  —  Xn), 

on  a  la  formule 

OÙ  la  valeur  de  x  est  aussi  intérieure  à  S^^,  et  où  le  résidu  doit 
naturellement  être  étendu  aux  n  4-  i  infinis  (i)  et  ^  de  la  fonction 
de  t  qu'il  concerne. 

La  discussion  générale  de  cette  formule  est  impraticable  dès  que 
le  nombre  n  cesse  d'être  très  petit;  mais  une  remarque  très  simple 
la  rend  facile  dans  le  cas  où  /(^)  se  réduit  à  une  fraction  ration- 
nelle. En  appelant  effectivement  N(:r),  D(^)  les  deux  termes  de 
cette  fraction,  la  fonction  de  t  placée  sous  le  signe  C  s'écrit 


D{t)  M{t){t  —  X) 


et  le  résidu   à   calculer   peut  évidemment  être  considéré  comme 
l'excès  de 

résidu  intégral  de  cette  autre  fraction  rationnelle,  sur 

^t[D{f)]L0{f){t-X)' 

somme  de  ses  résidus  partiels  adhérents  aux  racines  seulement  de 


'jM  V\\\imhA{\i    l'Ai\T;i, 

l'cqualioij  onti(ML! 

Oi-,  (lès  (juc  /i  csL  assez  grand  pour  rendre  Je  degré  cfï'eclif  du 
dénominateur  de  la  fraction  (3)  supérieur  de  plus  d'une  unité  à 
celui  du  numérateur,  le  résidu  intégral  (4)  s'évanouit  (/oc.  cit.^  5). 
Dans  ce  cas  donc,  la  formule  (2)  peut  être  réduite  à  celle-ci, 
maintenant  très  simple, 

(6)  /(^)-/«(^'  =  -"(^)«S,(û(7]R77T7^^)' 

3.  Gela  posé,  interpolons  d'abord  la  fraction  rationnelle  et  réelle 

-^  ^'   ■        D(.r)        x'--\-\' 
pour  les  valeurs  réelles  de  x  que  l'on  obtient  en  appelant 

(7)  Çli        Ç2,        •  •  •  >        ^V, 

V  quantités  inégales  toutes  >  o,  puis  en  prenant   /i  =  2V  et  les 
valeurs  (1)  égales  à 


>J  1  1  -si)  '    •     •    1  >!  V  • 


Il  vient  alors 


moyennant  quoi  l'équation  (5)  n'offre   que   les  racines   t=^zhi, 

toutes  deux  simples,  et  la  formule  (6)  donne  facilement  J 


X-  -\-  I 

(8)    \        =.-(:r2-^f)...(:r2-f2)    r î 


_    (-l)V/^2_g2  ^2_^2 


a;s -i-  i  \   i -^  ii  ,_i-t; 


Si,  nommant  S,  0  deux  quantités  positives  quelconques  dont  la 


sccondr  siirpasso   i,  on  prcuid  niaiiiLonant  lonlcs  les  fjiiaiililrs  (-) 
irifi'rinirrs  à  H,  puis  x  rccllc  sous  la  coudilioii 


\x\  >V^fc)H-S2H-0S2, 

on  aj^crroit  iniMR'dialcincnt  que,  dans  le  dernier  membre  des  rela- 
tions (S),  clia(uin  des  v  i'acteurs  du  produit  placé  entre  parenthèses 
est  >•  (-),  et  qu'ainsi,  bien  loin  de  tendre  vers  o  quand  v  augmente 
indéfiniment,  ce  produit,  su[)érieur  à  0^,  est  infini,  l'excès  aussi  de 
la  fonction  considérée  sur  le  polynôme  qui  est  réputé  fournir  sa 
valeur  avec  une  approximation  illimitée. 

i.   Nous  ferons  en  second  lieu 
et,  représentant  par 

(9)  ^1»       ^25        •••5       ;'v'5 

(>0)  ^î,       V„       ■• 


deux  groupes  de  quantités  réelles,  toutes  comprises  entre  o  et  i 
exclusivement,  nous  prendrons  n  =z  2v'h-  2'/'  et  les  termes 

pour  composer  la  suite  (i). 

En  opérant  comme  ci-dessus  (3),  on  arrive,  pour  x  =  o,  à 

puis,  en  valeur  numérique,  à  l'inégalité 

quand  on  assujettit  chacune  des  quantités  (10)  à  la  condition 


9.70  lMUiiMir':UH    PAUTIi:. 

donnant  évidemment 

T^ry.  >  - 

Ainsi  donc,  on  aura  beau  multiplier,  resserrer  arl)itrairement 
les  quantités  (9)  à  l'intérieur  de  l'intervalle  (o,  i),  on  n'en  pourra 
pas  moins  prendre  ensuite  ^"  assez  grand  pour  empêcher  le  second 
membre  de  l'inégalité  (12)  de  tendre  vers  o,  le  premier  à  plus  forte 
raison,  et  même  pour  les  rendre  tous  deux  infinis.  De  cette  ma- 
nière, les  valeurs  (1  i)  seront  aussi  nombreuses,  aussi  rapprochées 
qu'on  le  voudra  dans  l'intervalle  ( —  1,-4-1);  jamais,  pour  ^  =  o, 
la  valeur  du  polynôme /,/(^)  ne  justifiera  le  préjugé  traditionnel 
consistant  à  lui  attribuer  pour  limite  la  \aleur  correspondante  de 
la  fonction  soumise  à  l'interpolation. 

A  l'exemple  précédent  (3),  choisi  de  manière  à  faire  intervenir 
une  fonction  demeurant  continue  pour  toutes  les  valeurs  réelles 
de  la  variable,  on  pourrait  objecter  que  la  valeur  considérée  pour  x 
a  été  prise  trop  en  dehors  de  Tinlervalle  où  Tinterpolation  a  été 
exécutée.  Mais  aucune  objection  de  ce  genre  ne  peut  être  formulée 
au  sujet  de  celui-ci,  puisque  la  valeur  o  attribuée  à  x  est  absolu- 
ment centrale  relativement  à  l'ensemble  de  celles  prises  pour  élé- 
ments du  calcul  du  polynôme /'//(^). 


UULLCTIN   lilBLlOGUAlMIlQUl!:.  x-\ 


H  U  LLE  T  IN    FU  l{  L  I  ()(i  W  A  l>  Il  I  O  U  Iv 


Ai«i;i.  (N.-ll.)-  ~    Unl('rsucliun,:^cii  ithci-  die.  lielhe 

1  m  {ni  —  I  )     ^        ///(  m  —  \)(  in  —  -x)     ^ 

I  H T  H x^  H ./;•'  -h  .  .  . 

m  1.2  1 .  y, .  J 

(i8>.G).  Ilerausgeg.  von   A.  Wangeriii.    In-H",   J-,eipzig,  Engeliiiiinii.   (Iclxl. 

I   m. 

(Ostwald's  Klassikcr  dcr  exaklcn  WissenschafLen,.  N"  7G). 

DOviDio  (E.).  —  Geometria  aiialitica.  In-8",  Torino,  Bocca.  lo  1. 

G(')PEL  (A.).  — E ntwiirf  einer  Théorie  der  AheVschen  Transcendenlen 
crster  Ordniuig.  (i8.j7).  Ilcrausgegebcn  von  U.  Wcber.  In-8".  Leipzig, 
Engclmann.  Gebd.  i  m. 

(Ostwald's  Klassikcr  der  cxakten  Wissenschaften.  N"  67.) 

Maggi  (G. -A.).  —  Prlnclpl  délia  teoria  mateniatica  del  niovlniento 
del  corpi.  In-S".  IMilano,  Hœpli.  12  1. 

PoiNCÀRi':  (H.)  —  Calcul  des  probabilités.  Leçons  professées  au  Cours 
de  Physique  matlicmatique  pendant  le  2^  semestre  1893- 1894.  In-8",  279  p. 
Paris,  Carré. 

PuciiBiiRGiiR  (E.).  —  Fine  allgenieiiie  Intégration  der  DiJJ'erential- 
gleicliangen.  3.  Ileft.  Gr.  in-8°,  v-5i  p.  Wien,  Gerold's  Sohn.  i  m.  Go  pf. 

WiîBBER  (E.).  —  Applicazioni  geonietriche  e  analitiche  di  Calcolo 
diJJ'erenziale  ed  intégrale.  In- 16.  Milano,  Rechiedel.  3  \.  5o  c. 

Neu.manx  (C).  —  Allgemeine  Untersachungen  ûber  das  Newton' sche 
Princip  der  Fernewirkungen  m.  besonderer  RLlcksicIit  auf  die  elek- 
trischen  Wirkungen.  Gr.  in-8",  xxi-292  p.  Leipzig,  Teubner.  10  m. 

Pllcker  (.).).  —  Gesaninielte  wissenscliaflliclie  Abhandlungen. 
[Au/trage  der  Agi.  Gesellschaft  der  Wissenschaften  zit  Gôttingen, 
herausgeg.  von  H.  Schonflies  u.  F.  Pockcis  (In  2  Bandcn)].  2.  Bd.  Physi- 
kalische  Abhandlungen.  Herausgeg.  von  F.  Pockels.  Gr.  in-8°  xviii- 
834  p.  avec  78  fig.  et  9  pi.  Leipzig,  Teubner.  3o  ni. 

RiSTEEN  (A.-D.).  —  Molécules  and  tJie  Molecular  Theorj  of  Mattcr. 
Illn-ti;ited.  In-8'\  Boston,  9  sli. 


272  BULLETIN  BIBLIOGRAPHIQUE. 

Cayley  (A.).  —  Collected  Mathematical  Papers.  Vol.  9.  In-4'.  Cam- 
bridge Univ.  Press.  25  sli. 

KoENiGSBERGER  (L.).  —  Hcnnanii  v.  llelmlioltz'  Unlersuchunf^en  ûber 
die  Grundlageii  der  Malhematik  u.  Mechanik.  Gr.-S",  III-58  p.  avec 
I  portrait.  Leipzig,  Tcubner.  2  m.  40  pf. 

Leroy  (C.-F.-A.).  —  Traité  de  Géomélrie  descriptive,  suivi  de  la  mé- 
thode des  plans  cotés  et  de  la  Théorie  des  engrenages  cylindriques 
et  coniques.  14"  cdit.,  t.  I,  in-4",  xx-Sjo  p.  et  album  de  71  pi.  Paris, 
Gauthier-Villars  et  fils.  16  fr. 

IssALY.  —  Optique  géométrique.  Septième  Mémoire  :  Propriétés  po- 
larisatrices  des  faisceaux  de  rayons  de  nature  quelconque.  In-S". 
62  p.  Bordeaux,  impr.  Gounouilhou. 


C0Mni":s  UKNDUS  i:ï  analvsks.  >-i 

COMPIKS    KKNDllS   KT   ANALVSKS. 

(i.   1V\IM;I,II*]U.  —    Lkçons   si  h  li:s  cooiidonmîks  tan(;i:ntii:mj:s,   avec   une 
|)r(''r,ico  (lo  M.  /*.  .tppcll.  Membre  de  rinsliLuL.  Paris,  Nony  cl  C'"j  i  vol. 

|);nis  cet  Ouvrage,  railleur  a  repris  toulcs  les  qiicslions  éUidiécs 
d'ordinaiie  v\\  coordonnées  poncLuclles,  cl  a  nionlré  loiil  le  parli 
(ni(>  l'on  piMil  tirer  des  coordonnées  lang(;nlielles  ;  il  y  a  ajoulé 
(riiil(''ressanls  Chapitres  sur  les  réseaux  de  coniques  et  de  cpia- 
(iri(|ues,  sur  les  propriétés  de  deux  et  trois  coniques. 

l'écrit  avec  rigueur  et  clarté,  ce  Trailé  est  appelé  à  rendre  des 
services  au  débutant  aussi  bien  ([u'à  l'étudiant  déjà  babitu(';  aux 
méthodes  de  la  Géométrie  analytique.  A.  Grévy. 


Alfhkdo  CAPELLl.  —  Leziom  di  Algebra  complementaiu:.  Xa|)o]i,  librcria 
scientifica  e  iiidusLriale  di  B.  Pellerano. 

Cet  Ouvrage  est,  comme  l'indique  l'auteur  dans  sa  Préface,  en 
grande  partie  la  reproduction  de  leçons  faites  à  l'Université  de 
Naples  ;  il  correspond  assez  bien  à  nos  cours  de  Mathématiques 
spéciales. 

Les  premiers  Chapitres  sont  relatifs  à  la  théorie  des  nombres 
irrationnels,  basée  sur  la  séparation  des  nombres  rationnels  en 
deux  classes  ;  à  l'analyse  combinatoire,  à  la  théorie  des  détermi- 
nants et  au  calcul  des  imaginaires. 

Dans  les  Chapitres  V  à  VITI,  l'auteur  traite  de  la  résolution 
algébrique  des  équations  ;  après  avoir  résolu  les  équations  du  troi- 
sième et  du  quatrième  degré,  il  établit  qu'il  est  impossible  de  ré- 
soudre par  radicaux  les  équations  de  degré  supérieur  ;  notons  une 
démonstration  rigoureuse  du  théorème  de  d'Alembert,  qui  est  une 
heureuse  modification  de  la  démonstration  de  Cauchy. 

Les  deux  derniers  Chapitres  sont  relatifs  à  la  résolution  numé- 
rique des  équations. 

Ce  livre,  facile  à  lire,  permet  à  l'étudiant  d'aborder  les  théories 

UuU.  des  Sciences  niathéni.,  2'  série,  t.  \X.  (  \ovciiil)re  iH()H.  )  i,, 


974  PUEMIEKE   PARTIE. 

les  plus  élevées  de  l'Algèbre  supérieure  ;  des  noies  et  exercices, 
placés  à  la  suite  de  chaque  Chapitre,  renferment  d'importants 
théorèmes,  f[ue  l'on  peut  omettre  dans  une  première  lecture,  mais 
(jui  n'en  sont  pas  moins  intéressants  pour  qui  veut  approfondir 
les  ihéorics  ébauchées  dans  ces  leçons.  A.  Grévy. 


P.  PAINLEVÉ.  Maître  de  Conférences  à  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris.  — 
Leçons  sur  l'intégration  des  équations  différentielles  de  la  Méca- 
nique  ET   APPLICATIONS. 

Lagrange  et  Jacobi  ont  coulé  les  principes  de  la  Mécanique  ana- 
lytique dans  un  moule  indestructible  et  qu'il  semble  impos- 
sible de  modifier.  Aussi,  dans  leur  ensemble  général,  tous  les 
Traités  de  Dynamique  analytique  offrent-ils  la  reproduction  soit 
de  la  Mécanique  céleste,  soit  des  Vorlesungeii, 

La  Dynamique  analytique  de  Mathieu,  les  mémoires  de  Graln- 
dorge  sur  l'intégration  des  équations  de  la  Mécanique  ont  tour  à 
tour  reproduit,  en  français,  les  belles  méthodes  créées  par  Jacobi. 

Mais  si  le  fonds  reste  le  même,  la  méthode  d'exposition,  le 
souci  des  détails  et  des  difficultés,  habituellement  laissés  de  côté, 
sont  très  dignes  d'attirer  l'attention  des  esprits  les  plus  distingués 
et  très  propres  à  leur  fournir  l'occasion  de  déployer  la  souplesse 
de  leur  talent.  Ajoutons  que,  dans  ces  dernières  années,  l'expo- 
sition des  méthodes  d'intégration  a  atteint  un  degré  de  perfection 
qui  fait,  de  cette  branche  de  l'Analyse,  un  monument  plein  d'élé- 
gance et  d'harmonie.  Nous  avons  dit  Analyse,  car  il  faut  bien  re- 
connaître que  ces  belles  doctrines  restent  indifférentes  au  côté 
mécanique  lui-même.  Il  se  produit  vraisemblablement  là,  et  avec 
un  peu  plus  de  généralité,  ce  que  la  Science  avait  déjà  vu  se  pro- 
duire à  l'occasion  du  mouvement  d'un  corps  solide  autour  de  son 
centre  de  gravité.  L'élégance  des  formules  ne  laissait  rien  à  désirer 
et  l'analjste  devait  se  déclarer  satisfait.  Poinsot  ne  le  fut  point  et 
c'est  en  le  comblant  qu'il  démontra  le  vide  que  laissaient  sub- 
sister les  formules. 

Même  dans  des  problèmes  où  le  nombre  requis  des  intégrales 
est  atteint,  la  complication  de  l'instrument  analytique  rend  ce  ré- 


COMPTAS   KIÎNDUS   Kl    ANALYSHS.  y.-i'^ 

snllal    illiisoii'c   cl    laisse   cachées   les   afTcclions   du    mouvemcnL. 
Pour   les  mcUre  en  évidence,  il    ("aiiL  rcîcoiirir  à  d'aiilrcs  moyens. 

Os  considérations  ne  doivcMil  pas  nous  faire  négliger,  ni  nous 
('iniuM'lu  r  d'admirer  les  belles  nK-lhodes  classiques  de  la  Djna- 
nii(nie  ;uialjlic|uc  ;  car,  si  elles  ne  peuvent  tout  donner,  du  moins 
peuvenl-elles  donner  beaucouj).  Elles  suffisent  même  dans  des 
cas  convenablement  choisis. 

Il  était  désirable  que,  sans  perdre  de  leur  ampleur,  ces  mé- 
thodes fussent  mises  à  la  portée  de  nos  étudiants,  et  c'est  la  lâche 
à  laquelle  IM.  Paul  l^ainlevé  a  appliqué  son  remarquable  talent. 
Les  ai)plications,  savamment  choisies,  que  le  lecteur  rencontre 
à  chaque  pas,  rompent  la  monotonie  et  l'aridité  d'une  théorie 
aussi  abstraite;  elles  aident  grandement  à  sa  compréhension. 
Car,  si  c'est  par  ses  principes  que  l'on  doit  savoir  la  Méca- 
nique, c'est  sur  des  applications  qu'on  l'apprend.  Aussi,  ne 
saurions-nous  trop  insister  sur  le  côté  pratique  de  ce  livre  qui  ofTre 
aux  étudiants,  à  côté  des  principes,  un  véritable  recueil  de  pro- 
blèmes savamment  traités  et  complètement  résolus. 

JNous  ne  pouvons  en  donner  ici  l'énumération  complète.  Signa- 
lons plusieurs  problèmes  concernant  le  gyroscope,  dont  certains 
traités  par  Gilbert  dans  son  Mémoire  sur  la  méthode  de  Lagrange. 
Signalons  encore  le  théorème  de  Liouville  et  les  extensions  qu'il 
a  récemment  reçues.  La  i6^  Leçon  suy  VEtude  des  trajectoires 
réelles  ne  manquera  pas  d'attirer  l'attention;  il  traite  d'une 
question  importante  sur  laquelle  l'auteur  est  revenu  dans  ces  der- 
niers temps  et  qui  concerne  la  continuité  du  mouvement  telle 
qu'elle  paraît  ressortir  des  formules.  L'auteur  a  traité  ce  sujet  par 
une  analyse  d'une  haute  portée  et  a  trouvé  le  moyen  d'y  affirmer, 
une  fois  de  plus,  sa  puissante  faculté  de  généralisation  analytique. 

G.  K. 


276  PUEMIÈHE  PARTIR. 


TISSERAND  (F.),  Membre  de  ITnstitut. —  Hkcukil  complémentaihis  d'kxkr- 
ciCES  SUR  LE  Calcul  infinitésimal.  Deuxième  édition,  augmentée  de 
Nouveaux  exercices  sur  les  variables  imaginaires,  par  P.  Paiiilcvc, 
Professeur  adjoint  à  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris.  In-8",  xxiii-5>.4  P- 
Paris,  Gauthier-Villars  et  fils,  1896. 

11  suffira  évidemment  d'annoncer  la  nouvelle  édition  de  cet 
excellent  Ouvrage  qui,  comme  son  nom  l'indique,  vient  compléter 
l'ancien  Recueil  de  Frenct  et  qui  a  rendu  les  plus  grands  services 
aux  étudiants  de  nos  Facultés  des  Sciences.  On  ne  saurait  croire 
combien  les  collections  de  problèmes  peuvent  être  utiles  au  déve- 
loppement de  l'esprit  mathématique.  L'étude  des  exercices  tient 
lieu,  pour  les  Sciences  mathématicjiies,  de  ces  travaux  de  labora- 
toire qui  sont  indispensables  à  tous  ceux  qui  veulent  se  rendre 
maîtres  d'une  des  Sciences  expérimentales.  Il  importe  seulement 
que  le  choix  soit  bien  fait  et  cjue  les  problèmes,  sur  lesquels  l'étu- 
diant sera  appelé  à  s'exercer,  touchent  de  près  aux  théories 
importantes  et  élevées.  L'Ouvrage  de  M.  Tisserand  satisfait  plei- 
nement à  cette  condition;  il  a  d'ailleurs  reçu  un  complément  qui, 
d'après  la  nouvelle  direction  des  études,  était  devenu  tout  à  fait 
nécessaire.  La  quatrième  Partie,  rédigée  par  notre  jeune  collègue, 
M.  P.  Painlevé,  comprend  des  exercices  sur  la  théorie  des  fonc- 
tions. 

Après  avoir  rappelé  les  définitions  relatives  à  la  théorie  des 
fonctions,  M.  Painlevé  montre  comment  on  peut  applicjuer  les 
principes  de  cette  théorie  soit  au  calcul  des  intégrales  définies, 
soit  à  la  solution  d'autres  problèmes,  parmi  lesquels  nous  avons 
remarqué  ceux  qui  se  rapportent  aux  équations  difTérentielles  dont 
les  points  critiques  sont  fixes. 

On  voit  que  cette  nouvelle  édition  aura  le  succès  de  la  précé- 
dente. G.   D. 


COMPTiïS    KHNDUS   Kl    ANALYSES.  277 

TASdAL  (li.  ji    l^'ol^'^-'^o''*'   nclhi    lni\(Msilà   di  l*iivi;i.  —  'l'iooiuv   I)i;i,lI':  fi;.\- 
zioM  KM-iTTiciiK.  Uii  \()1.  iii-iS,  wi-'ijj  p.  Milim,  Illico  Ihrpli,  189G. 

Les  lc(;()n.s  sur  I('s  fondions  clll|)lif|nos,  qui  sont  réunies  dans 
ce  Wiluine,  sont,  à(jU(;l([U('s  niodilicalions  prcs,  celles  qui  forment 
la  première  Partie  du  (^ours  d'Analyse  supérieure  donné  par  l'au- 
leuren   1  (894-1  ^^T)  à  TUniversité  de  Pavie. 

L'Auteur  a  lail  reposer  toute  la  tli(''orie  sur  les  fonctions  .?>  de 
Jacobi  et,  en  cela,  son  plan  dilVère  profondément  de  celui  cpii  a  été 
adopté  dans  plusieurs  Traités  récents,  où  la  théorie  de  ces  fonc- 
tions 2»  apparaît  comme  un  appendice  de  celle  des  fonctions  ellip- 
tiques. Son  exposition  se  rattache  donc,  au  moins  par  le  point  de 
départ,  à  celle  que  nous  devons  à  Jacobi  et  qui  se  trouve  exposée 
à  la  fin  du  Tome  I  de  ses  œuvres  complètes  :  Théorie  der  ellip- 
tisclien  Fanctloiien  ans  deii  Eigenscliafteii  der  Tlietareihen 
abgeleitet. 

Le  Chapitre  I  de  l'Ouvrage  est  consacré  exclusivement  aux  fonc- 
tions 2?  de  Jacobi  et  à  l'exposé  de  leurs  principales  propriétés, 
d'où  l'auteur  fait  dériver,  dans  le  Chapitre  H,  la  définition  et  les 
propriétés  des  fonctions  elliptiques  de  Jacobi  et  de  Legendre. 
Les  Chapitres  suivants  traitent  des  quatre  fonctions  (j,  de  la  fonc- 
tion p{u)  et  des  intégrales  elliptiques  de  première,  deuxième  et 
troisième  espèce. 

L'Ouvrage  a  le  caractère  d'un  manuel  et  il  a  l'avantage  de  con- 
tenir, sous  un  petit  volume,  les  points  les  plus  essentiels  de  la 
théorie. 


Jl'lius  PLUCKER.  —  Gesammelte  wissenschaftliche  Abhandlungen,  he- 
raiisgegeben  von  ^.  Schoenflies  und  Fr.  Pockels.  Erster  Band.  Mathema- 
tische  Ahliandliingeii^  herausgegeben  von  A.  Schoenflies.  Gr.  in-S",  xxxv- 
G20  p.  Leipzig,  Teubner. 

Cette  publication,  entreprise  sous  les  auspices  de  la  Société 
Royale  des  Sciences  de  Gœttingue,  sera  accueillie  avec  faveur. 

Pliicker  a  été  un  des  grands  géomètres  de  ce  siècle.  La  part 
(pTil  a  prise  au  développement  de  la  Géométrie  nouvelle,  par  ses 


778  PREIVIIÈKE  PAKTIE. 

Mémoires  el  par  ses  écrits  didactiques,  est  bien  connue  de  nos 
lecteurs.  Vers  la  fin  de  sa  vie,  revenant  après  une  longue  inter- 
ruption à  la  Géométrie,  il  l'a  enrichie  d'idées  neuves  et  fécondes, 
qu'un  long  repos,  sans  doute,  avait  fait  mûrir  dans  son  esprit.  Il 
était  bon  que  renscmble  de  son  œuvre  pût  être  placé  sous  les  ^eux 
des  jeunes  géomètres  et  des  futurs  historiens  du  développement 
de  la  Science  à  notre  époque.  Cette  œuvre  aura  toujours  pour 
nous,  Français,  un  intérêt  tout  particulier,  car  nous  ne  pouvons  ou- 
blier la  collaboration  de  Pliicker  aux  Annales  de  Gergonne,  la 
part  active  et  originale  qu'il  a  prise  au  développement  des  dé- 
couvertes et  des  idées  directrices  de  Monge  et  de  Poncelet. 

Le  Tome  I  de  la  publication,  qui  est  le  seul  dont  nous  ayons  à 
rendre  compte  ('),  contient,  avec  un  portrait  qui  nous  a  paru  fi- 
dèle, l'analyse,  que  nous  devons  à  Clebsch,  des  travaux  et  du  rôle 
de  Pliicker,  une  collection  de  89  Mémoires.  Elle  contient  tout  ce 
que  Pliicker  a  écrit  en  Géométrie  en  dehors  de  ses  cinq  Traités  di- 
dactiques qui,  d'ailleurs,  ne  sont  pas  épuisés  et  qu'il  a  paru  inu- 
tile de  comprendre  dans  l'édition  projetée  (-). 

Les  Mémoires  sont  disposés  par  ordre  chronologique,  leur  ré- 
daction a  été  revue  avec  grand  soin  par  M.  Schoenflies,  de  sorte 
que  l'on  peut  dire  que  cette  édition  est  vraiment  digne  du  géo- 
mètre auquel  elle  est  consacrée.  G.   D. 


D""  FINK  (K.).  —  Lazare-Nicolas-Marguerite  Carnot.  Sein  Leben  und 
SEINE  Werke  nagii  den  Quellen  dargestellt.  Un  vol.  in-8",  vi-128  p. 
Tubingue,  1894.  Laiipp'sche  Buchhandlung. 

Nous  avons,  en  France,  un  grand   nombre  de  travaux  sur  le 
grand  Carnot.  Sans  parler  des  innombrables  études  qui  lui  ont 


(')  Le  Tome  II,  qui  contient  les  travaux  de  Pliysique  de  l'Iuker,  a  aussi  paru. 
(-)  Ces  cinq  traités  sont,  comme  on  sait,  les  suivants  : 

1.  Analytisch-geotnetrische  Entwicklungen.  Essen  Bd.  I,  1828;  Bd.  II;  i83j. 

2.  System  der  analytischen  Géométrie.  Berlin;  i835. 

3.  Théorie  der  algebraiscJien  Curven.  Bonn;  iSSq. 

4.  System  der  Géométrie  des  Baumes.  Dusseldorf  ;  1846. 

5.  New  Géométrie  des  Baïunes,  Leipzig,  Bd.  I,  1868;  Bd.  II,  1869  (publié  par 
M.  Klein). 


COMPTIÎS   KHNDUS   VA    ANALVSIiS.  ^79 

vlr  (M)n.sacrccs  dans  nos  didcrcMils  llcciicils  Ijio^rapliKjnt^s,  il  nous 
suffira  de  rappeler  ici  r(''lo<^(î  (pic  lui  a  consacre  Araj^o,  les  appré- 
cialions  (juc  diveis  g('onièlrcs,  nolannnenl  I?oncelet  (;t  Chasies, 
nous  ont  données  sur  son  rôle  en  Géométrie,  les  deux  Volumes 
des  Mi'inoiics  sur  Caniol  par  son  fils,  elc.  \y,\  nouvelle  puhli- 
calioti,  (pic  MOUS  devons  à  M.  Fiiudv,  ne  vient  donc  |)as  combler 
une  lacune;  elle  sera  néanmoins  accueillie  avec  faveur.  Il  serait 
l)()i)  (pie  des  publications  du  genre  de  celle-ci,  d'une  étendue  rai- 
sonnable, consacrées  à  des  hommes  qui  méritent  à  tant  de  points 
de  vue  d'être  proposés  comme  des  modèles,  pussent  être  répandues 
à  un  ^rand  nombre  d'exem|)laires  et  mises  à  la  disposition  de 
tous.  C'est  avec  un  véritable  soin  et  avec  la  sympathie  que  mérite 
le  sujet  de  son  étude,  que  l'auteur  examine  successivement  le  rôle 
(jue  Garnot  a  joué  comme  citoyen,  les  découvertes  que  nous 
lui  devons  en  Géométrie,  en  Analyse  et  Mécanique,  l'influence 
qu'elles  ont  eue  sur  le  développement  de  la  Science  à  notre 
époque.  C'est  donc  en  toute  confiance  que  nous  signalons  cet 
Ouvrage  à  nos  lecteurs.  G.   D. 


STACKEL  (P.)  ET  ENGEL  (Fr.)-  —  Dik  Tiieoru:  der  Parallellinien  von 

EuKLiD  BIS  Gauss.  Einc  Urkundcnsammlungzur  Vori^eschiclite  dcr  nichtcu- 
klidischcn  Géométrie,  i  vol.  x-325  p.  in-S",  avec  i45  fig.  et  un  fac-similé 
d'une  Lettre  de  Gauss.  Leipzig,  Teubner;  1896. 

Aujourd'hui  que  la  question  du  Postulatum  d'Euclide  peut  être 
considérée  comme  résolue,  et  que  les  géomètres  ont  appris  à  re- 
connaître à  l'axiome  euclidien  son  caractère  de  définition,  ils 
éprouvent  un  intérêt  d'autant  plus  vif  à  suivre  le  développement 
d'une  idée  aussi  ))aradoxale  en  apparence  et  aussi  peu  naturelle  à 
l'esprit  humain.  M.  Stiickel  nous  montre  que  cette  idée,  comme 
toute  autre,  a  germé  progressivement  dans  les  esprits.  Avec  la 
collaboration  de  M.  Fr.  Engel,  il  nous  apporte  une  série  de  docu- 
ments importants  sur  ce  qu'il  appelle  la  préhistoire  de  la  Géomé- 
trie non  euclidienne. 

Si,  en  elîet,  la  Géométrie  non  euclidienne  reconnaît  pour  fon- 
dateurs Lobatschewsky  et  Bolyai,  elle  a  eu  ses  précurseurs.  Il  y 


>.8o  riiEMiKUi':  PAirnii. 

a  quelques  années,  M.  Beltrami  signala  comme  tel  le  jésuite  ita- 
lien Sacclieri  (i66^-i^33).  La  conclusion  finale  du  livre  de  Sac- 
cheri  est  erronée,  puisque  celui-ci  a  cru  démontrer  l'axiome 
d'Euclidc  :  la  notion  d'infini,  sous  la  l'orme  métaphysique  qu'elle 
a  revêtue  dans  les  premiers  temps  du  Calcul  inlinitésimal,  se  prê- 
tait trop  aisément  à  des  sophismes  tels  que  ceux  dont  il  s'est 
servi.  Mais,  à  coté  de  cette  erreur,  se  rencontrent  des  résultats 
remarquables  :  c'est  à  Saccheri  que  l'on  doit  la  démonstration  de 
ce  fait,  que  l'iijpotlicse  euclidienne  est  toujours  la  vraie  si  elle 
est  vérifiée  dans  un  seul  cas  particulier,  et  qu'il  en  est  de  même 
])Our  l'hypothèse  contraire. 

L'honneur  d'avoir  entrevu  certains  principes  de  la  Géométrie 
non  euclidienne  ne  revient  pas  au  seul  jésuite  italien.  Parmi  ceux 
qui  l'ont  précédé  dans  cette  voie,  il  faut  citer  Wallis,  dont  les 
travaux  de  Calcul  infinitésimal  sont  bien  connus,  et  qui  a  été  le 
premier  à  apercevoir  l'équivalence  de  l'hypothèse  euclidienne  avec 
le  fait  de  l'existence  de  figures  semblables.  Mais  M.  Stiickel  a  dé- 
couvert des  recherches  beaucoup  plus  importantes  sur  ce  sujet 
dans  l'œuvre  de  J.-ll.  Lambert.  On  ne  peut  qu'admirer,  avec  les 
auteurs,  le  génie,  en  quelque  sorte  prophétique,  de  cet  homme 
qui  démontrait  le  premier  l'irrationnalité  de  tt,  annonçait  la  trans- 
cendance de  ce  nombre  et  qui,  dans  un  temps  où  la  considération 
des  quantités  complexes  était  encore  tout  à  fait  étrangère  aux 
géomètres,  osait  affirmer  l'identité  de  la  Géométrie  non  eucli- 
dienne avec  la  Géométrie  sur  une  sphère  imaginaire. 

MM.  Stiickel  et  Engel  ont  rassemblé  et  traduit  les  textes  d'Eu- 
clide,  de  Wallis,  de  Sacclieri  et  de  Lambert  et  fournissent,  sur 
ces  auteurs,  des  renseignements  biographiques  dont  beaucoup 
sont  nouveaux.  Ils  nous  donnent  ensuite  un  extrait  de  la  célèbre 
correspondance  de  Gauss  avec  Schumacher,  dans  laquelle  le 
grand  géomètre  proclame  le  premier  l'impossibilité  de  démontrer 
l'axiome  d'Euclide  et  signale  même  cet  axiome  de  l'existence  du 
plan  qui  figure,  à  bien  plus  juste  titre  que  le  précédent,  parmi 
les  postulats  de  la  Géométrie.  Enfin,  ils  nous  font  connaître  une 
personnalité  des  plus  intéressantes,  celle  de  ïaurinus  (i'j94-i  8-4)- 
Non  seulement  celui-ci  a  fait  paraître  une  véritable  géométrie 
non  euclidienne  dès  1826,  c'est-à-dire  avant  Lobatschewsky  et 
Bolyai,   mais  encore  (et  peut-être  voudrait-on  voir  les  auteurs  in- 


I 


COMPTI'IS   KKNDUS   K'V   ANALYSES.  >.8i 

sisicr  .m  |)(Mi  plus  sur  (c  poiiil)  il  a  vu,  à  certains  ('-anls,  plus 
,|air  (pic  1rs  loudaUMirs  de  celle  doclrine.  On  ne  saiirail  Irop  re- 
m;ii<pirr  (i(îs  |)lirases  lelles  que  les  suivanlcs  : 

u  ...  Il  est  pour  moi  bien  vraisemblaljl<'  que  tous  ces  sys- 
tèmes »  (les  diirérentes  j^éométries  non  euclidiennes)  ((existent 
ensend)le,  comme  il  existe  une  infinité  de  géométrics  sphériques, 
puisqu'on  peut  ima-iiier  des  splières  d'une  infinité  de  rayons  dif- 
fV-rents  (  '  )  >>  |  surtout  lorsque  l'auteur  complète  sa  pensée  en  ajou- 
li,„l,  un  peu  plus  loin  C"^),  qu'alors  il  y  aurait  entre  deux  points  une 
inliniléde  lignes  droites,  correspondant  à  ces  différents  systèmes]. 

l/èlrange  faute  de  raisonnement  par  laquelle  Taurinus  voit, 
dans  cette  circonstance,  une  contradiction  avec  la  définition  de  la 
lione  droite  et  veut  en  conclure  la  démonstration  du  Postulatum 
vient,  il  est  vrai,  entacher  d'une  façon  regrettable  les  vues  si 
justes  qui  précèdent.  Elle  ne  saurait  néanmoins  les  faire  oublier; 
et  c'est  même  une  conception  inexacte,  peut-être,  mais  bien  voi- 
sine de  la  vérité  que  celle-ci  : 

((  Pour  conclure,  nous  exprimerons  notre  conviction  qu'il 
existe  un  tel  système;  mais  ce  dont  nous  doutons,  c'est  que  ce 
doive  être  une  Géométrie  rectillgne  et  plane  )>  {'^). 

J.   Hadamaud. 


GRASSMANN   (II.)-   —    Gesammelte   Mathematische    und    physikalische 
Werke.  Tome  I,  2*--  Partie;  in-8°,  vn-5ii  p.  Teubner,  Leipzig,  189G. 

Cette  seconde  partie  du  Tome  premier  des  OEuvres  de  Grass- 
mann  est  consacrée  à  la  seconde  rédaction  (1862)  àeVAusdeh- 
nungslehre.  On  sait  que  la  première  exposition  (i 844)  où  Grass- 
mann  avait  voulu  constituer,  sur  des  concepts  si  généraux  que, 
parfois,  ils  semblent  vldes^  une  branche  Indépendante  du  reste  de 
la  Science,  n'avait  guère  répandu,  parmi  les  mathématiciens,  des 


(')  Stackel,  Die  Théorie  der  Parallellinien,  etc.,  p.  3G1, 
(^)  IbicL,  p.  262. 
{^)  IbicL,  p.  25fj. 


'2S9.  PUHlMlEini:   PAUTIK. 

idées  donl  l'aulcur  ne  s'exagérait  nullemenl  l'imporlance,  mais 
qu'il  avait  sans  doute  développées  d'une  façon  trop  abstraite  pour 
de  purs  matliématiciens.  Grassmann  le  reconnaît  dans  la  préface 
de  l'édition  de  1862,  préface  dont  la  fierté  n'a  rien  d'excessif  et 
qui  s'élève  parfois  jusqu'à  l'éloquence.  La  lecture  de  cette  rédac- 
tion, qui  est  relativement  aisée,  sera  encore  facilitée  par  le  soin 
méticuleux  avec  lequel  les  éditeurs  ont  corrigé  les  fautes  de  détail, 
à  propos  desquelles  M.  Engel  rappelle  cette  pensée  de  Lessing  : 
«  Ce  n'est  pas  louer  médiocrement  un  auteur  que  de  dire  qu'il  n'a 
pas  commis  d'autres  fautes  que  celles  que  tout  le  monde  aurait 
pu  éviter.  »  En  dehors  de  ces  corrections,  les  éditeurs  ont  ajouté, 
en  appendice,  un  grand  nombre  de  notes  importantes,  dont  les 
unes  éclaircissent  le  texte  de  Grassmann,  dont  les  autres  mar- 
quent la  place  de  ses  idées  dans  le  développement  ultérieur  de  la 
Science  :  ces  notes  sont  dues  à  M.  H.  Grassmann  (fils)  et  à 
M.  Engel.  Nous  signalerons,  en  particulier,  une  note  étendue  où 
ce  dernier  a  exposé,  dans  le  langage  ordinaire  de  l'Analyse  et  in- 
dépendamment des  théories  de  V Ausdehnungslehre,  les  recher- 
ches de  Grassmann  sur  le  problème  de  PfafT.  A  plusieurs  reprises, 
depuis  vingt  ans,  M.  Sophus  Lie  a  insisté  sur  l'importance  de  ces 
recherches.  J.   T. 


-•'=s:^s>®^ 


BRAHY.  —  Exercices  méthodiques  de  Calcul  intégral,   i  vol.  in-8'', 

V111-391  p. 

L'Auteur  a  déjà  publié  un  recueil  d'exercices  sur  le  Calcul  dif- 
férentiel. Les  deux  recueils  sont  destinés  aux  commençants  et 
leur  rendront  service.  Ils  contiennent  quelques  exemples  simples, 
traités  explicitement,  et  l'énoncé  de  questions  faciles,  classées  de 
manière  qu'il  n'y  ait  aucun  doute  sur  les  méthodes  qu'il  faut  ap- 
pliquer pour  les  résoudre.  Ce  n'est  pas  l'effort  d'invention  que 
l'auteur  cherche  à  développer;  il  n'a  en  vue  que  la  stricte  et  di- 
recte application  des  méthodes  fondamentales.  J.   T. 


COMPTAS   U  KM)  us    KT  A  N  A  L  VS  l':S.  vt83 


KMnN(F.  ).  —  Lkçonssiih  ckutainiîs  qukstions  m:  Gkomictrik  kliîmiîntaihk. 

Possihililo  dos  coiislrtictioiis  iïé()m('lri(|ii('S  :  l(^s  polvi^'oiHïs  réj^iiliors  ;  tryns- 
(•("ndaiico  (les  nombres  c  cl  t..  Traduclion  rrunçaisc,  par  J.  Gricss.  i  vol. 
in-8°.  1)8  p.  Nony,  Paris,  iH^O. 

Nous  avons  n'ccmnicnl  parlé  de  ce  petit  Livre  :  nul  doute  qu'il 
ne  nu'ritat  d'elle  traduit,  et  il  faut  remercier  M .  driess  d'avoir 
uris  ce  soin.  J .   T. 


GHHEXIITLL  (A.)-  —  Lks  fonctions  elliptiques  et  leurs  applicatioiss. 

Traduit  de  l'aiii^lais  par  M.  Gricss,  avec  une  préface  de  M.  Jppell.  i  vol. 
iii-S",  WMi-Sjo  p.  Paris,  Georges  Carre,  1895. 

Nous  sommes  heureux  d'annoncer  la  traduction  de  rexcellent 
livre  de  M.  Greenhill;  cette  traduction  peut  d'ailleurs  être  re- 
gardée comme  une  seconde  édition,  puisque  l'Auteur  a  remanié 
le  texte  à  différents  endroits  et  fait  diverses  additions;  signalons 
celle  qui  concerne  le  pendule  et  l'interprétation  de  la  période 
imaginaire  d'après  le  théorème  général  que  l'on  doit  à  M.  Appell 
sur  le  changement  de  t  en  it  dans  les  équations  de  la  Mécanique, 
et  celles  qui  se  rapportent  aux  intégrales  pseudo-elliptiques;  c'est 
un  sujet  sur  lequel  on  sait  que  M.  Greenhill  a  fait  d'importantes 
recherches. 

M.  Appell  a  mis  en  tête  de  la  traduction  une  intéressante  pré- 
face où  il  caractérise  parfaitement  le  mérite,  les  tendances  et 
l'utilité  du  Livre  de  M.  Greenhill.  J.   T. 


A.  CARLI  et  A.  FAVARO.  —  Bibliografia  galileiana.  Rome,  1896,  vii- 
402  p.  in-8".  —  (N"  XVI  des  Indici  e  Cataloghi  publics  par  le  Ministero 
délia  puhllca  Istruzionc.  ) 

Pour  recommander  cet  Ouvrage,  il  suffit  du  nom  de  l'infati- 
gable savant  qui,  depuis  déjà  près  de  vingt  ans,  consacre  les  loi- 
sirs de  son  professorat  à  la  mémoire  de  Galilée,  et  qui  dirige  avec 


^.84  PHlilMIÈHE   PAUTIR. 

un  zèle  si  lieureux  la  nouvelle  édition  des  OEiivres  du  «  gran  vec- 
chio  ».  La  bibliographie  qu'il  a  dressée  avec  M.  Carli  comprend 
202g  numéros  depuis  1 568  jusqu'en  1892,  livres,  opuscules,  arti- 
cles de  journaux,  recensions,  etc.  C'est  assez  dire  quelles  pré- 
cieuses indications  on  peut  y  trouver. 

Tous  les  titres  sont  donnés  in  extenso  et,  par  une  heureuse 
innovation,  les  rares  Ouvrages  qui  n'ont  point  été  vus  par  l'un  ou 
l'autre  des  collaborateurs,  sont  marqués  d'un  astérisque.  Pour 
faire  sentir  la  nécessité  d'une  telle  précaution,  je  copie  un  des 
numéros  qui  se  trouvent  dans  ce  cas. 

*  —  AxT.  T)K  L\  LouBÉRE.  Propositioiics  gcomctrictC,  ex  quibus  osten- 
ditur  non  rectc  infcrri  a  Galilaco  motuni  fleri  in  instanti.  —  Tolosae,  i658. 

Rcgistrato  dai  DE  BACKER  nella  «  Bibliothèque  des  écrivains  de  la 
Compagnie  de  Jésus  (i,  469)-   » 

Or,  d'après  l'exemplaire  de  ce  rarissime  opuscule  qui  se  trouve 
à  la  Bibliothèque  nationale,  le  titre  véritable  est  le  suivant  : 

«  Antonii  Lalouerœ  (i)  Societatis  Jesu  Proposiliones  Geometricse  sex, 
quibus  ostenditur  ex  Gazrœiana  hypothesi  circa  proportionem  qua  gravia 
decidentia  accelerantur,  non  recte  inferri  à  Gassendo  motum  fore  in  in- 
stanti. »  —  Placard  daté  «  Tolosœ,  vi  eidus  decemb.  i658  ». 

Le  nom  de  Galilée  ne  figure  pas  plus  dans  le  texte  que  dans  le 
litre  de  cet  Opuscule  (-),  mais  en  fait  sa  doctrine  est  réellement 
en  cause.  En  i645,  le  jésuite  Gazré,  alors  recteur  du  collège  de 
Metz,  avait  publié  à  Paris  une  Physica  demonstrativa  {n°  ^OQ 
de  la  Biblioorafia),  où  il  prétendait  établir,  contre  Galilée,  que, 
dans  la  chute  des  graves,  la  vitesse  croît  proportionnellement, 
non  pas  au  temps  écoulé,  mais  bien  à  l'espace  parcouru. 


(')  Comme  à  cette  époque  Vu  et  le  v  dans  le  corps  des  mots  n'étaient  pas  dis- 
tingués, on  ne  sait  pas  s'il  faut  lire  en  latin  Lalouera  ou  Laloveva,  pas  plus 
qu'on  ne  sait,  en  réalité,  si,  dans  V Histoire  de  la  Roulette  de  Pascal,  il  faut  lire 
en  fiançais  Lallouère  ou  Lallovère.  La  Loubcre  est  le  nom  que  prit  un  neveu  du 
jésuite  toulousain,  mais  il  y  a  des  preuves  singulières  de  la  confusion  qu'on  fai- 
sait alors  en  Languedoc  entre  le  b  et  le  f,  et  Fermât  écrivait  Lalouuere,  c'est- 
à-dire  Lalouvèrc,  orthographe  que  j'ai  adoptée  dans  l'édition  des  Œuvres  de 
Fermât. 

(')  Il  a  été  reproduit  à  peu  près  textuellement  dans  l'Ouvrage  de  Lalouvére 
sur  la  cycloïde  (  Veterum  Geonietria.  etc.,  i66o)  où  il  forme  les  propositions  43 
à  48  du  Livre  VI. 


COMPTAS   UHNnilS   l'T   ANALYSES.  285 

Ciasx'iid  (h'-rcfidil  hi  ilirsc  «le  (  l;ilil(';c  diiiis  I rois  loLlros  lallnes 
(|iii  Cmciil  lin|)iini('('s  en  i()f()  avec  des  réjionscs  du  I*.  (>azr(' 
{u'*  t2l!2).  Il  iiisisia  sur  iitic  r(>m;ii(|ii<',  d<''jà  ('ail(;  |)ar  le  savant  ila- 
licn.  (|iic  rii\  polhèsc  de  la  projxorlionnalilé  de  la  vitesse  à  l'cs[)ace 
coiiduirail    a    lairo   parcourir   un    espace   (iui    dans   un    temps  nul 

Iv'rmat  inlcrvinl  dans  cette  discussion  en  adressant  à  (jassend 
une  Icllrc  [Oli livres  de  Fermât,  V.  Il,  p.  2(37)  où  il  donna  le  pre- 
mier une  rigoureuse  démonstration  de  l'assertion  de  Galilée. 
Cetlc  lettre  ne  fut  pas  rendue  publique  alors,  mais  Sorbière  l'in- 
séra, sous  les  initiales  P.  F.  S.  T.,  à  la  fin  de  la  correspondance 
de  Gassend,  dans  l'édition  de  ses  OEuvres  qu'il  procura  en  i6\)H. 

G'cst  sur  le  vu  de  cette  édition  que  Lalouvère  (^)  prit  à  son 
tour  la  défense  de  son  confrère.  Son  moyen  revient  en  fait  à 
allribuer  au  grave  une  vitesse  finie  à  l'origine  de  la  chute,  hj- 
potlièse  aussi  absurde  physiquement  qne  ses  Démonstrations 
géométriques  sont  inattaquables. 

Le  lecteur  excusera,  je  l'espère,  cette  digression  qui  m'a  en- 
traîné un  peu  loin  de  la  Bihliografia  galileiana.  J'y  reviens 
pour  une  critique  de  forme  relative  à  l'index  des  noms  d'auteurs. 
Comme  je  l'ai  déjà  remarqué  à  propos  du  Saggio  di  una  bihlio- 
grafia Eaclidea  du  professeur  Riccardi,  je  trouve  fâcheux 
l'usage  de  transcrire  tous  les  prénoms  dans  une  même  langue,  au 
lieu  de  les  conserver  sous  leur  forme  nationale.  Je  ne  vois  pas 
quel  intérêt  il  y  a,  par  exemple,  pour  un  Italien,  à  trouver  dans 
un  index  «  Pascal  (Biagio)  »  au  lieu  de  «  Pascal  (Biaise)  »  ;  et  il 
me  semble  que  cette  forme  de  prénom  doit  être  aussi  choquante 
pour  un  Allemand  ou  un  Anglais  que  pour  un  Français.  Mais  je 
proteste  surtout  contre  le  changement  des  noms  propres  eux- 
mêmes,  faute  que  nous  ne  commettons  que  trop  souvent  en 
France.  Il  peut  être  utile  en  Italie  démettre  dans  un  index  «  Car- 
tesio  »  avec  renvoi  à    «  Descartes    »,    mais  je    ne  vois  pas  qu'il 


(')  On  peut  se  demander  s'il  n'a  pas  reconnu  Fermât  sous  les  transparentes 
initiales  de  la  lettre  à  Gassend,  ou  s'il  a  commis  la  maladresse  de  contredire  un 
ami  qu'il  avait,  au  fort  de  sa  dispute  avec  Pascal,  le  plus  grand  intérêt  à  mé- 
nager. Fermât  avait  prétendu  expressément  clore  le  débat;  Lalouvère  qualifie 
l'anonyme  de  subtilissinius,  mais  affirme  qu'il  n'a  pas  épuisé  la  question. 


28G  IMlliiMlERL:    PAUTIi:. 

puisse  l'élrc  d'écrire  «  Bacone  Francesco   »  au  lieu  de   «  Bacon 
Francis  ('  ).  » 

S'il  y  a  doute,  comme  dans  le  cas  des  auteurs  qui  ont  écrit  en 
latin,  mieux  vaudrait  conserver  d'ailleurs  la  forme  latine  que 
d'indiquer  «  Casrœo  »  pour  le  P.  Cazré  (celui  précisément  dont 
j'ai  parlé  plus  haut)  ou  «  Grandamico  »  pour  son  confrère,  le 
P.  Grandamv. 

C'est  enfin  à  tort  que,  dans  l'index  de  la  Bibiiograjla  gall- 
leiaiia,  on  a  distingué  «  Martin  Enrico  »  et  «  Martin  Tommaso 
Enrico  )>.  Si  dans  les  Comptes  rendus  de  V  Académie  des  Sciences 
pour  i86^  et  1868,  les  titres  des  Notes  relatives  aux  faux  auto- 
graphes de  Vrain-Lucas  ne  portent  pas  toujours  la  double  initiale, 
il  n'en  est  pas  moins  certain  que  notre  historien  Henri  Martin 
n'est  nullement  intervenu  en  même  temps  que  son  homonyme. 

Paul  Tannery. 


MELANGES. 

SUR  LES  SÉRIES  ENTIÈRES  A  PLUSIEURS  VARIABLES  INDÉPENDANTES; 

Par  m.  Ed.  LEMAIRE. 

1. 

SÉRIES   ENTIÈRES. 

Nous   nous  proposons  de  déterminer  les  régions  où  la    série 
double 

(0  -L-Lap^qxPyi, 


(')  Il  ne  s'agit  pas,  bien  entendu,  de  renoncer  à  dire  ou  à  écrire  en  français 
François  Bacon  ou  Galilée.  Mais  la  bibliographie  doit  au  moins  m'apprendre,  si 
je  l'ignore,  que  Ton  dit  Francis  en  anglais,  Galilei  en  italien. 


MflLANGHS.  v>.87 

csl  ;il)^()Iiiinriil  coincr^crilc.  Nous  poserons,  jxiui'  al)i"c^^c;r, 

p  -\-  <i  -  n, 

(M  lions  rcprrscMilcrons  respocllvemctil  les  variahlos  ima|:i;inaircs 
./•,  )',  dans  (l(Mi\  j)laiis  a^ant  O  cl  O'  pour  ori<;incs  dos  affixfîs. 
Nous  (lirons  (jnc  ronscnil)Ic  dos  deux  affixcs  (^,jk)  forme  un 
point.  On  sait  que,  si  la  série  double  est  absolument  convergente 
ou  si  seulement  le  module  de  son  terme  général  reste  fini  au 
poini  (-^'(1, J'o),  elle  est  absolument  convergente  en  tout  point 
(.r,^-)  tel  que  l'on  ait 

l'^KI-^oI,       \y\<\yA- 

Nous  dirons  que  deux  cercles  G  et  C  décrits  de  0  et  O' comme 
centres  avec  des  rayons  égaux  à  /•  et  r'  forment  un  système  de 
cercles  de  convergence  si  la  série  est  absolument  convergente  en 
tout*point  dont  les  deux  affixes  sont  respectivement  intérieures 
à  G  et  G',  et  ne  l'est  en  aucun  point  dont  les  affixes  sont  exté- 
rieures aux  deux  cercles.  Les  rayons  /•  et  /'  sont  dits  rayons  de 
convergence  associés.  Si  en  (^o^JKo)  le  module  du  terme  général 
reste  fini  et  ne  tend  pas  vers  zéro,  |  ^o  |  et|yol  sont  des  rayons 
de  convergence  associés  :  on  ne  peut  rien  affirmer  si  le  terme 
général  tend  vers  zéro.  En  supposant  la  série  absolument  conver- 
gente en  des  points  autres  que  ceux  dont  une  affixe  est  O  ou  O', 
à  toute  valeur  assez  petite  donnée  pour  l'un  des  rayons,  corres- 
pond une  valeur  du  rayon  associé.  Le  problème  revient  à  déter- 
miner la  relation  entre  deux  rayons  associés 

(2)  /(/',r')  =  o. 

Nous  allons  chercher  les  valeurs  des  rayons  associés  qui  sont 
entre  eux  dans  un  rapport  donné  K.  Il  semblerait  plus  naturel 
de  se  donner  la  valeur  de  r  et  de  chercher  la  valeur  correspon- 
dante de  /•'.  On  est  alors  conduit  à  ordonner  la  série  par  rapport 
à  JK7  après  avoir  remplacé  les  coefficients  ap^q  par  leurs  modules. 
Les  coefficients  des  puissances  de  j^  sont  des  séries  entières  en  x 
dont  il  faut  connaître  la  somme.  G'est  cette  difficulté  que  le  pro- 
cédé employé  permet  d'éviter. 

On  arrive  à  résoudre  la  question  en  généralisant,  d'une  ma- 


.>.88  PUEMlÈRIi   PAUTIE. 

nlèrc  convenable,  la  règle  que  M.  Iladamard  a  retrouvée  après 
Gauchj,  pour  dèlermincr  le  rajon  de  convergence  d'une  série 
entière  à  une  seule  variable  (').  J)érinissons,  par  analogie,  la 
limiLe  supérieure  pour  n  infini  {-)  d'une  quantité  réelle  à  deux 
indices  hp^q{p  +  Y  =  '0*  ^^^^  ""  nombre  H  tel  que,  si  petit  que 
soit  le  nombre  positif  £,  les  quantités /i;,,^  finissent  par  être  toutes, 
à  partir  d'une  valeur  assez  grande  N  de  n,  inférieures  à  H -f- s, 
tandis  qu'il  en  existe  de  supérieures  à  H  —  £,  si  grand  que  soit  n. 
Supposons  que  Ton  ait  cherché  la  limite  supérieure  ).(K),  pour 
/i  infini,  de  la  quantité  l(/«y,,^ïG|,  K  étant  une  quantité  positive 
indéterminée. 

TiiÉonÈME.  —  Les  nombres 

constituent,  quelque  soit  K,  un  système  de  rayons  de  conver- 
gence et  la  relation  (2)  a  la  forme 

On  a,  par  hypothèse,  quelque  petit  que  soit  le  nombre  positif  s, 

rv/«/;,.^Kvl<X(K)-+-£, 

pour  n  >  N.  On  en  déduit 

I     \/'  /     K    \'/    _ 


«/...i  r^    h— ,1  <■• 


11  en  résulte  que  la  série  est  absolument  convergente  pour  tout 
point  dont  les  affixes  sont  à  la  fois  intérieures  aux  deux  cercles 


(')  IIadamard,  Comptes  rendus,  t.  CVI,  p.  ^îSg;  1888.  —  Cauciiy,  Cours 
d'Analyse,  18.21,  passim.  —  Id.,  Œuvres,  passim. 

Cf.  au  sujet  du  langage  cmplojc  :  E.  Borel,  Journal  de  Mathématiques, 
p.  /|5i  :  1896. 

(-)  II  ne  faut  pas  confondre  avec  la  limite  de  A  ^,^  pour  /;  cl  q  infinis,  telle  que 
M.  IIadamard  l'a  définie  dans  sa  Thèse. 


(le  cculrcs  ()  cl  (  )'  cl  (le;  l'ovons 


I  K 

0  =  T , 


P  — 


X 


Il  cil  csl  cJc  incinc  [)uur  les  cercles  C  cL  C  de  rayons  /•  cl  r' , 
|)uis(jiic  0  et  p'  sont  aussi  voisins  (|uc  l'on  veut  de  /•  et  /'. 

On  a,  au  contraire,  [)()ur  des  valeurs  particulières  de /i  supé- 
rieures à  tout  nombre  donné, 

|v^a/,,^K7|>X  — £, 

Le  terme  général  ne  tend  pas  vers  zéro  et  la  série  ne  peut  être 
absolument  convergente  pour  aucun  point  extérieur  à  la  fois  à  C 
et  G'.  Les  égalités  (3)  déterminent  bien  un  système  de  rayons 
associés,  qui  dépend  de  K  et  l'élimination  de  ce  paramètre  con- 
duit à  la  relation  (4),  qui  est  la  relation  cherchée. 

Il  est  évident  que  l'on  pourrait  chercher  la  limite  supérieure 
À,(K,)  pour  n  infini  de  |  j/a^^yK^I  et  que  l'on  aurait 


Si,  d'ailleurs,  on  pose  R,  =  -  ,  on  a 


d'où 


et  Ton  retrouve  les  valeurs  (3). 

11  peut  arriver  que  si  l'on  augmente  le  rajon  du  cercle  C,  par 
exemple,  à  condition  de  ne  pas  changer  le  cercle  G,  les  deux  cer- 
cles continuent  à  former  un  système  de  cercles  de  convergence 
ou,  en  d'autres  termes,  qu'à  une  valeur  particulière  de  r  il  cor- 
responde non  pas  une  valeur  unique  de  /',  mais  une  infinité. 
G'est  ce  qui  se  produit  pour  le   développement  de  Maclaurin  de 

nuff.  des  Sciences  matlicm  ,  2"  série,  t.  XX.  (Novembre  1890.)  20 


290  PREMIÈllE  PARTIE. 

— :  on  a  des  rayons  associés  en  prenant  /'  =  i ,  /' <<  2 

et  aussi  en  prenant  ;•'=  2,  /•  <^  1 .  La  relation  (2),  au  lieu  d'avoir 
une  forme  explicite  unique,  en  a,  suivant  le  cas,  deux  différentes  : 
chacune  d'elles  est  indépendante  de  l'une  des  variables,  et  l'on 
doit  lui  joindre  l'inégalité  qui  indique  dans  quelles  limites  elle 
est  valable.  Le  procédé  mettra  ce  lait  en  évidence,  et  l'on  voit 
facilement  que  l'on  a,  dans  le  cas  actuel, 

r  =  I,  r'  =  K,      si  K  <  2, 

2  ,  ... 

/•  =  |7  >         r  =  2,        SI  K  >  2, 

de  sorte  que  l'élimination  de  K  est  toute  faite. 

L'analyse  précédente  s'étend  d'elle-même  au  cas  d'un  nombre 
quelconque  de  variables.  Soit  cip^,p,,...,p-00^\^^î^  .  .  .  ^f '  le  terme  gé- 
néral de  la  série  multiple  et  )v(K,,  Ko,  .  .  . ,  K/_i  )  la  limite  supé- 
rieure pour  11  infini  de  la  quantité  |  \/«^^^^  ^.K'J'KÇ- .  .  .  K^r;  !• 
Le  raisonnement  fait  prouve  que  les  rayons  associés  (c'est-à-dire 
les  rayons  d'un  système  de  cercles  ayant  pour  centres  les  diffé- 
rentes origines,  et  tels  que  la  série  soit  absolument  convergente 
si  toutes  les  affixes  leur  sont  intérieures,  et  ne  le  soit  sûrement 
pas  si  toutes  sont  extérieures)^  ont  pour  expressions 


K,        K2       ■"       K,_i         I         X(K,.K2,  ...,K,_i) 
Ils  sont  donc  liés  par  la  relation 

\ri     ri  Vi    I 

IL 

SÉRIES   DE    FONCTIONS   QUELCONQUES   ET   DE    FONCTIONS   HOMOGÈNES. 

Considérons  d'abord  la  série 

(i)  /o(^,7)+/i(^,7)h-----^/«( -2^,  7  )-+-•••» 

dont  les    termes  sont  des    fonctions    quelconques  des    variables 


imaginaires 


X  =  re'ô,        y  =  r'e'^^' 


Désignons  par  ).(/■,  0, /',  0)  '•'  I  lin  lie  snpcricurc  pour /i  infini  de 

Ijt  srric  csf  absolu  ment  convergente  aux  points  qui  satis- 
font à  r in<''i:<tht('' 

{•).)  ).(/•,  0,/-',0')<i. 

AV/c  est  (liveigente  aux  points  qui  satisfont  à  V inégalité 

(3)  X(r,0,r',0')>i. 
//  y  a  doute  si  Von  a. 

(4)  X(/-,0, /•',  0')=--r. 

Dans  le  premier  cas,   on   peut  choisir   £  assez  petit  pour  que 
).  4-  £  soit  inférienr  à  i.  Or  on  a,  à  partir  d'un  certain  rang, 

I  Vj'n^x.y)  I  <  X  -+-  Ê, 
\fn{oc,y^\<{\-^^r- 

La   série  est  donc  absolument  convergente.  Dans  le  second  on 
a,  quelque  grand  que  soit  /?, 

\fn{x,y)\>{\-zY  (X-£>I). 

A  un  point  du  plan  de  Tune  des  variables  correspondent,  dans 
l'autre  plan,  deux  régions  déterminées  par  la  courbe 

X(r,0,/-',8')  =  i, 

les  variables  étant  soit  /'  et  9,  soit  /'  et  8'.  La  région  intérieure  est 
une  région  de  convergence  certaine,  la  convergence  y  est  absolue. 
La  région  extérieure  est  une  région  de  divergence. 

Supposons  maintenant  que  fni^^-,y^  soit   une  fonction  homo- 
gène et  de  degré  n.  On  peut  écrire 


cl,  d'après  la  forme  que  prend  la  quantité  À,  poser 

X(,-,0,,-',0')  =  ,-;jl(^^,0'-OJ. 


■Mj?.  v\{\'A\\i:[{[i  PAiiïiii. 

On  voit  (Vahord  (jue  la  région  de  convergence  cerlainc  ne 
dépend  que  de  la  différence  des  arguments.  —  Si  un  point 
(^,  y)  est  intérieur  au  domaine  de  eonvergence  certaine  de  la 
série,  c'est-à-dire  si  l'affixe  dey  est  dans  la  région  intérieure  de 
la  courbe  relative  à  x^  on  obtient  d'autres  points  intérieurs  à  ce 
domaine  en  faisant  tourner  Taffixe  de  x  d'un  angle  quelconque  et 
en  même  temps  celle  dey  du  même  angle  dans  leurs  plans  res- 
pectifs. 

De  plus,  l'inégalité  (2)  devient 

(2  bis)  r]x  (^-^,  0'-  0^^  <  I 


et  continue  d'être  satisfaite  si,  laissant  fixe  —,  on  diminue  /'.   On 

r 

obtient  donc  encore  des  points  intérieurs  au  domaine  de  conver- 
gence certaine  en  remplaçant  les  afjixes  d^  un  point  {oc,  y)  de  ce 
domaine  par  leurs  JiomotJiétiques,  par  rapport  aux  origines  cor- 
respondantes, le  rapport  commun  d'homotliétie  étant  compris 
entre  zéro  et  un.  Et  ceci  subsiste  si  le  point  [x^y)  est  sur  la 
limite  du  domaine  de  convergence,  l'égalité  (4)  se  transformant 
en  une  inégalité  (2  bis)  lorsqu'on  diminue  /*. 

Ces  propriétés  conslituent  une  généralisation  de  ce  fait  que 
jusqu'à  une  valeur  maximum  du  module  de  la  variable  exclusive- 
ment la  convergence  d'une  série  entière  à  une  variable  ne  dépend 
ni  du  module  ni  de  l'argument. 

CiQs  propriétés  s'étendent  évidemment  au  cas  d'un  nombre 
quelconque  de  variables,  toutes  les  affixes  tournant  d'un  même 
angle  et  tous  les  modules  étant  réduits  dans  le  même  rapport. 


HULLIiTIN  BllMJ()(iUAlMIK)UI':.  'mjI 

B  U  LLETIN  W  1 15 1. 1  O f.  W  A  IMI I  (J  UE. 


HuowN  (Iv-W.).  —  A/i  Jntrodaclory  Trcdtisc  on  tlie  Lunar  Tlicory. 
In-8",   loS  |).  Caml)ri(lgc  Univ.  Press.  i3  sli. 

Kdwards  (.1,).  —  An  Elcincnlary  Trcatlsc  on  llic  Dljfcrcntial  Cal- 
cul u^,  with  Applications  and  numerous  Examples.  3"  cclit.,  in-8°, 
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Grassmann  (II-).  —  Gesammelte  math e mat ische  u.  physikalische 
IVerAe.  Ilcrausgcg.  von  F.  Engel,  t.  f,  2"  Tartic,  gr.  in-8".  Leipzig, 
Tciil)ncr,  lO  m. 

(  Die  Ausdclinungslchrc  v.  i86:î.  In  Gcmeinschaft  mit  II.  Grassmann  d.  J., 
hcraiisgeg.  von  F.  Engel.  viii-5ii  p.  avec  87  fig.)- 

OsTWArj)'s.  Klassiker  der  exakten  Wissenschaften.  N"  73,  in-S**. 
I^eipzig,  Engclinann.  Cart.  i  m. 

(Zwei  Abliandlungcn  uber  spharische  Trigonométrie  u.  Allgemeine  sphiir. 
Trigonomctrie  (1753  u.  1779)  von  L.  Euler.  Traduit  du  français  et  du  latin  et 
publié  par  E.  Ilammer. 

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briques et  sur  le  nombre  des  conditions  qui  expriment  qu'une  courbe 
algébrique  est  située  sur  une  surface  algébrique.  In-8°,  ^i  p.  Paris, 
Masson  et  G'^. 

BocHOw(K.).  —  Eine  einheltliche  Théorie  der  regelmâssigen  Vie- 
Iccke.  Allgemeine  Untersuchungen  nebst  Berechng.  der  Seiten,  Dia- 
gonalen  u.  Fldchen^  etc.  fn-4",  34  p-  avec  2  pi.  Leipzig,  Fock.  i  m. 

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Problème  de  Cauchy;  Caractéristiques;  Intégrales  intermédiaires. 
In-S",  viii-22()  p.  Paris,  Hcrmann.  7  Ir.  5o  c. 

Jaiirbuch  liber  die  Fortscliritte  der  Mathematik,  begriindet  von  G, 
Obrtmann.  Ilerausg.  von  E.  Lampe,  x')  Bd.  Jahr.  1893  u.  1891.  (In  3 
lleften  ).  i  lloft.  Gr.  in-B",  iii-vii-8>2  |).  IJerlin,  G.  Ueimer.    xv  m. 


2()4  BULLKTIN    lU  liLlOCi  l{  A  PlligUE. 

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T.  III  :  Calcul  intégral;  Equations  différentielles.  in-S",  Xl-543  p. 
Paris,  Gauthicr-Villars  et  (ils.    i  >  fr. 

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infinitésimal.    2"   cdil.   In-S",  xxiii-)v). î   j).  i'aris,  Gaulhier-Villars  cl  fils. 

—  Traité  de  Mécanique  céleste.  T.  W  :  Théories  des  satellites  de 
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548  p.  avec  fig.  Paris,  Gauthicr-Villars  et  fils,  28  fr. 

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tellt  von  Lie  u.  G.  Schcffers  (In  2  Bânden.)  i  Bd.  Gr.  in-8°,  xi-694  p. 
avec  figures.  Leipzig,  Tcubner. 

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blié par  l'Observatoire  de  Paris,  i*""  fascicule,  comprenant  :  i"  Mémoire 
sur  la  constitution  de  Vécorce  lunaire;  1°  Planche  A,  Image  obtenue 
au  foyer  du  grand  équatorial  coudé;  3"  Planches  i  à  5,  Héliogravures 
d'après  les  agrandissements  sur  verre  de  trois  clichés  des  années  1894 
et  1895.  In-4",  48  p.  Paris,  Impr.  nationale. 

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métrie, par  E.  Borel.  In-8°,  576  p.  avec  fig.  Paris,  Gauthier-Villars  et  fils. 

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trie (In  2  Biinden.)  2.  Bd.  Gr.  in-8",  xvi-528  p.  avec  fig.  Leipzig,  Veit 
et  C".  14  ni.;  gebd.  iG  m. 

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Magnétométrie.  In-8",  n-368  p.  avec  fig.  Paris,  17,  rue  des  Bernardins. 
12  fr. 

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In-8",  61  ]).  Paris,  Hermann. 

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rcittirl  1rs.  ln-(S",   \iv-)8S  p.  avec  fi^\  Paris,  Gaiilhicr-Villais  cL  fils.   iH  fr. 

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Leipzig,  Fock.  i  m.  20  pf. 

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247  p.  avec  fig.  Paris,  Gauthier-Villars  et  fils. 

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in-8'',  xiv-796  p.  Braunschweig,  Vieweg  et  Sohn.  20  m. 

Ostwald's  Klassiker  der  exakten  Wissenschaften.  N°*  77  u.  68.  In-8°. 
Leipzig,  Engelmann. 

Inhalt  :  77.  Ueber  die  Bilduiig  u.  die  EigenschafLen  der  Determinanten;  von 
C.  G.  J.  Jacobi.  1841.  Hcrausgeg.  von  P.  Stackel.  78  p.  i  m.  20  pf,  —  78.  Ueber 
die  FunclionaidctcrmiDanten;  von  C.  G.  J.  Jacobi.  Herausgeg.  von  P.  Stackel. 
-2  p.  I    m.  '.^o  pf. 

SciiEFFLER  (H.)-  —  Das  Wesen  der  Mathematik  u.  der  Aufbau  der 
Welterkenntniss  auf  mathemat.  Grundlage.  1  Bd.  Gr.  in-S",  vi-409  p. 
avec  I  pi.  u.  v-/|()2  p.  avec  •>  pi.  Braunschweig,  Wagner,  10  m. 


296  I3ULLHT1N   DIBLIOGUAPIIIQUE. 

We[itiiI':im  (G.),  —  Die  Arllhinelik  des  Ella  Misrachi.  Ein  Beitrag 
zur  Geschic/itc  der  Matlieniatik.  2  Aull,  Gr.  in-8°,  VII-G8  p.  Braun- 
schvvei^,  Vicwcg  et  Solin.  3  m. 

DuHEM  (P.)-  —  Théorie  thermodynamique  de  la  viscosité,  dufrotle- 
ment  et  des  faux  équilibres  chimiques,  ln-8",   7.1  •>,  p.  Paris,  Ilermaiin. 

Ostwald's  Klassiker  der  exakten  Wissenscha/ten.  N°^  76  u.  79.  In-S". 
Leipzig,  Engclmann. 

Inlialt  :  7G.  Théorie  der  doppelten  Strahicnbrechung,  abgeleitet  aus  dcn  Glei- 
chungen  der  Mechanik  von  F.  E.  Neumann.  i832.  Ilerausgeg.  v.  A.  Wangerin. 
52  p.  80  pf.  —  79.  Zwci  hydrodynainische  Abhandlungen  von  II.  v.  Uclnihollz. 
I.  Ueber  Wirbelbcwregungen.  i858.  II.  Uebcr  discontinuirlichc  Fliissigkeitsbcwe- 
gungen.  18G8.  Ilerausgeg.  von  A.  Wangerin.  80  p.  i.  m.  20  pf. 


COMni'lS   UKNDUS    1:1    ANALYSES.  ^(,7 

COMI^TES    UKNDUS    I:T    ANALYSI^IS. 


Matiikm  VTicAi-  i'M»i:iis  i»i:\i)  at  tiii:  intiiunational  matiikmaticu- (;o\(;iikss 
licld  il)  coiiiicclion  wilh  Llio  World's  (!()luml)iaii  exposil.ion  Uiiciii^o  iS().'{, 
(Mlilod  by  llio  roiniiiilloo  of  Lhc  (]onii;rcs.s  E.-H.  Moorc,  ().  Bolza,  H. 
Mnschkc,  H.-S.  friiiic.  i  vol.  in-H",  \vi-/îri  p.  Now  York,  Macinilliin,  189G. 

Ccl  intéressant  Recueil  de  courts  Mémoires  constitue,  avec  les 
l)('lles  Lectures  on  Mathematics  de  M.  Klein,  la  trace  durable 
du  congrès  de  niatliématiciens  qui  s'est  réuni  a  Chicago  du  9.1  au 
;>.()  août  1893,  à  l'occasion  de  l'Exposition  universelle,  sous  la 
présidence  de  M.  Storj.  Quelques  pages  d'introduction  retracent 
rapidement  l'ordre  des  travaux  du  Congrès  et  témoignent  de 
l'admiration  bien  naturelle  qu'a  excitée  M.  Klein,  et  de  la  recon- 
naissance que  lui  ont  vouée  les  membres  du  Comité,  tant  pour 
la  grande  part  qu'il  a  prise  à  l'organisation  du  Congrès,  que  pour 
l'intérêt  de  ses  conférences  et  le  rôle  qu'il  a  joué  comme  Com- 
missaire de  l'Empire  d'Allemagne,  dont  les  Universités  avaient 
organisé  une  exposition  très  intéressante,  spécialement  au  point 
de  vue  du  matériel  mathématique. 

Les  communications  qui  composent  le  présent  Volume,  édité 
par  les  soins  du  Coinité  local  de  la  Section  mathématique,  sont 
trop  brèves  pour  qu'il  soit  possible  de  les  analyser  utilement,  et 
nous  sommes  obligés,  malgré  le  vif  intérêt  qu'elles  présentent,  de 
nous  borner  à  les  mentionner  : 

Bolza  (O.).  —  Sur  les  systèmes  wcierstrassiens  d'intégrales  hyperel- 
liptiqucs  de  première  et  de  seconde  espèce. 

Darkliardt  (fl.).  —  Sur  quelques  résultats  mathématiques  des  récentes 
rcclierclies  d'Astronomie  et,  en  particulier,  sur  les  intégrales  irrcgulières 
des  équations  diiïérentielles  linéaires. 

Capelli  {A.).  —  Quelques  formules  relatives  aux  opérations  de  polaire. 

Colc  {F.).  —  Sur  un  certain  groupe  simple. 

Echoh  (  W.).  —  Sur  les  formules  d'interpolation  et  leurs  relations  avec 
les  séries  infinies. 

Eddy  ijl.)-  —  l'onctions  automorphes  et  théorie  des  noujbrcs. 
Huit,  des  Sciences  niathcm.,  :>"  série,  t.  W.   (Décembre  iSç/l.)  m 


■M)^  FUIÙMIKIIK    PAKTIK. 

Ifahled  (G.).  —  Quelques  |)oints  suilhml'^  de  l'Iiistoire  de  la  Géoniéliic 
non  euclidienne  el  de  l'Iiyperespace. 

Jlejjter  (Z.).  —  Les  progrès  récents  dans  la  lli«''orie  des  équations  dif- 
fércnlielles. 

IlerniLte  (C).  —  Sur  quelques  propositions  fondamentales  de  la  tliéorie 
des  fonctions  elliptiques. 

IlUberl  (D.).  —  Sur  la  ihéorie  d(îs  invariants  algébriques. 

Ifiira'ilz  (.1 .  ).     -  Sur  la   réduction  des    formes    binaires    quadratiques. 

Klein  (F.).  —  I^^e  présent  état  des  Mathématiques. 

—  Sur  le  développement  de  la  théoiie  des  grouj)es  |)endant  les  vingt 
dernières  années, 

Krause  (M.).  —  I*our  la  transformation  du  cinquième  degré  des  fonc- 
tions liyperelliptiques  du  premier  ordre. 

Lemoine  (E.).  —  Considérations  générales  sur  la  mesure  de  la  simpli- 
cité dans  les  Sciences  mathématiques.  —  Règle  des  analogies  dans  le 
triangle  et  transforniation  continue. 

Lereh(M.).  —  Sur  une  intégrale  définie  qui  représente  la  fonction 
t{s)  de  Riemann. 

Macfarlane  {A.).  —  Sur  la  définition  des  fonctions  trigonométriques. 
—  Les  principes  de  l'analyse  elliptique  et  hyperbolique. 

Martin  {A.).  —  Sur  les  nombres  qui  sont  des  cinquièmes  j)uissances  et 
dont  la  somme  est  une  puissance  cinquième. 

Masclike  (II.).  —  Invariants  d'un  groupe  de  2168  substitutions  linéaires 
eiïectuées  sur  quatre  éléments. 

Meyer  (F.).  —  Tables  de  groupes  de  transformations  finis  et  continus. 

Minkows/ii  (H.).  —  Sur  des  propriétés  de  nombres  entiers  déduites  de 
représentations  géométriques. 

Moore  (F.).  —  Un  système  doublement  infini  de  grpupes  simples. 

Netto  {F.).  —  Sur  les  tendances  arithmélico-algébriques  de  Lé(dpokl 
Kronecker. 

Noether  (M.).  —  Eléments  consécutifs  et  coïncidents  sur  une  courbe 
algébrique. 

Ocaff/ie  (.)/.  d').  —  Nomographie  :  Sur  les  équations  représentables 
par  trois  systèmes  rectilignes  de  points  isoplèthes. 

Paf((dini  (B.).  —  Sur-  le  mouvement  de  rota!  ion  d'un  coi'ps  rigide 
autour  d'un    point   fixe. 


(:().\ii'Ti:s  i;i:m)i;s  i: r  analvsi-s.  ><)<) 

Pt'iolt  (./.  (II').    —   l  ne    cuiisl  riicl  iuii     du     ;^|(M1|)c    de    (i;il(ti->  df    (Wio  r\v- 

I*tr\,'<)iicliiiii-  (  7'.).  —  Siii-  l("^  (i|)('ral  ions  ;iiil  Ihik'-I  i<|Mc<  coiiccrniiiil.  de 
^liiiids  iKunliits. 

iHiiclu'rlc  {S.).  —  lU-siiiiM'  d('  (jiKdcjiKîs  irsulliils  iidiilils  i\  \,\  LlK'oiic 
des  syslrinos  lôcuiicnls  de  loiiclions. 

I^riiii^islu'im  (-!.)•  —  '^'""  ''''^  condilioiis  iK-ctîssiiircs  (;l  sii(ïis;ml('s  \)f\\w 
\c  d(''N cloppeinoiU  on  sriic;  de  Taylor  d'iiiK;  loiiclioii  d'iiiic  variai)!»;  ié(dl('. 
—  'riu-Miic  ^riK  raie  de  la  di\'('ri;cii('('  cl  de  la  coii vcrj^ciici;  des  srrios  à 
Icirncs  positifs. 

Sdwin  {A.).  —  La   r(''soliiti(»n  al^('l)rifjiic  des  (''f|  nation  s. 

ScJileîl^el  (  V.).  —  (^)nclfpios  tlicorcnics  relatifs  an  centre  de  gi-a\it('.  — 
I>i'  tliéorcnie  de  Pvtliagoi'C  <lans  l'espace  à  |)lnsienrs  dimensions. 

Scliœnjlies  {A.).  —  Théorie  des  gronjxîs  et  crislallof^raj)hie. 

StringJiam  (/.  ).  —  l'^ornuilaire  |)onr  nne  introdnction  aii\  fonctions 
elliptiques. 

Stiidy  {E .).  —  Anciennes  et  récentes  recherches  sur  les  systèmes  de 
nombres  complexes.  —  Quelques  recherches  de  Trigonométrie  sphériqne. 

Taber  {II.).  —  Sur  la  substitution  orthogonale. 

Weber  {II.).  —  Pour  la  t  héorie  des  équations  algébriques  à  coefficients 
entiers. 


Wevr.  —  Sur  l'équation  des  lignes  géodésiques. 


T, 


KLKIN  (F.).  —  TiiE  EvANSTON  colloquium.  Lectures  on  mathemalics  deli- 
vered  from  Aug.  28  to  Sept,  (j,  1893,  beforc  niembers  of  ihe  Congrcss  of 
Malhcmatics  hckl  in  conneelion  witli  llie  world's  fair  in  Chicago  at  norlh- 
werstern  Universily  Evaiiston,  111.  i  vol.  in-8",  vii-[0()  p.  Reporled  by 
J.  Ziii'et.  New  York,  Macmillan,  1891. 

S'il  n  était  pas  aécessaire  d'être  mathématicien  pour  com- 
prendre ce  que  sont  les  Malliématicpies,  pour  avoir  quelque  idée 
des  problèmes  qu'elles  résolvent  el  qu'elles  posent,  du  domaine 
(pi'elles  ont  con(juis,  et  des  vastes  territoires  011  elles  pénèliont, 
\\  (audiail  ((jnseillerà  tous  de  lire  ces  douze  coiiréiences,  si  riches 


3oo  PUIiMIÈKK  PAKTIK. 

(le   l'ails   cl   (le   sii^^(;sli()n.s,   si    vnri(3cs   dans    leurs   siijels,   mêlant 
riiisloirede  la  Science,  les  vues  |)liil()soplii(|ues,  les  aj)erçiis  ing('- 
nieiix,   les  ll)(''Oièmes  piéeis,  les  généralisalioiis  liardies,  les  con- 
seils   p(''(lagogi([ues,  abordant   tonr   à   tour  les   branches    les   plus 
varitjes(l(;  la  Science,  l'Aritbmétique,  l'Algèbre,  la  haute  Analyse, 
la  G(3ométric.  Je  ne  sais  s'il  est  juste  de  faire  à  la  Géométiie  une 
place  à  part  dans  cette  énumération  ;  car,  avec  M.  Klein,  la  G(jo- 
jn(''tri(;,  ou  plutôt  l'intuition  g(;ométrirpie  est  partout  :  un  réseau 
de  points,    (igur(j    dans  un  plan  et  regardé  comme  il  faut,  nous 
donne    une    représentation     concrète    des    nombres    idéaux    de 
M.  Ivurnmer;  la  considération  de  la  figure  formée  par  trois  arcs  de 
cercle  sur  une  sphère  vient  éclairer  les  propriétés  les  plus  cachées 
des  fonctions  h^'pergéomctriques  ;  l'icosaèdre  régulier  donne  un 
corps  aux  recherches  sur  la  résolution  de  l'équation  du  cinquième 
degré;  à  ce  j)ropos,  voici  la  conception  si  profonde  de  Galois  qui 
s'élargit  :  son  groupe  de  permutations  est  remplacé  par  un  groupe 
de  substitutions  linéaires  et  le  problème  de  la  résolution  des  équa- 
tions, ou  plutôt  de  leur  réduction  à  des  formes  normales,  est  posé 
en  des  termes  nouveaux.  Après  avoir  parlé  du  caractère  transcen- 
dant du  nombre  e,  M.  Klein  imaginera  que  le  plan  soit  recouvert 
pai-  tous  les  points  dont  les  coordonnées  sont  des  nombres  algé- 
bri(pies  et  il  observera  que,  si  pressés  les  uns  contre  les  autres 
(pie  soient  ces  points,  la  courbe  qui  a  pour  équation  j' =  e^  ne 
passe  que  par  un  seul  d'entre  eux;  s'il  s'agit  des  fondions  ellip- 
tiques,   liv[)erelliptiques  ou  abéliennes,   on  ne  s'étonne  pas  sans 
doute,  tout  en  admirant  leur  richesse  et  leur  beauté,  de  voir  surgir 
les    interprétations    géométriques;    mais    ]M.    Klein    poussera    la 
coquetterie  jusqu'à  prendre  dans  la  Géométrie  même  un  exemple 
de  ce  qui   ne  peut  être  ni  figuré,  ni  imaginé  :  une  courbe  sans 
tangentes;  c'est  la  considération  d'une  cluiine  formée  de  cercles 
dont    cliacun    touche   le  précédent  et  le  suivant   et  engendre  de 
nouveaux    cercles    en    se   rélléchissant    indéfiniment    par    inver- 
sion sur  les  autres,  (pii  lui  fournit  cet  ingénieux  exemple,  dans  la 
courbe  sur  la([uelle  viennent  se  condenser  tous  les  points  de  con- 
tact.  l\)ur  lui,  les  êtres  mathématiques  ne  sont  |)as  des  abstrac- 
tions; il  les  voit  et  il  les  fait  voir,  qui  se  jouent  tantôt  dans  les 
espaces  non  euclidiens,   tantôt  dans   cet  esj^ace   vulgaire  dont  se 
contenlenl  (juebpies  géomètres,  (pii  ne  veulent  pas  sans  doute  (fue 


COMPTAS  MKNnUS  HT  ANALYSKS.  '.oi 

r<'s|);i(('  iiCmsIc  (|ii('  (l;ms  iioirc  pciisc'c.  \ a'  don  de  roir^  (|iii  lui  ;i 
(''l(''  (h'naili  si  ;;«''ii('I(mis<mm('iiI  ,  M.  Klein  lo  r;i|)|)()il('  ;«V(m:  niodrsiic 
à  lii  r-;i('('  l(Mih)ni(|n(',  dont  l:i  pn  issancc  niihircllc  d'in  I  ni  I  ion  scimiI 
nn  allril)iil  pi  ('•('•miiKMil  ;  mais  ne  ponssc-L-d  |)as  la  niodcslic;  Irop 
loin  l(»r.s(|iril  oppose  à  Tallribnl  de  sa  rac(;  la  puissance  lo<;i(jue 
cl  (M-ili(Mie  {\vs  Lalins  el  des  Israéliles?  Qni  lo  croirait,  s  il  se 
rtlusail  à  lui-niènie  celle  puissance?  Et  u'oublie-t-il  pas  un  j)eu 
(pie  lorscpTil  s'est  amusé  à  classer  les  mathémalicicns  en  logi- 
ricfis,  en  formels  et  (mi  inlnilifs^  ce  n'est  pas  painii  l(;s  repré- 
senlanls  des  races  latine  ou  liél)raïcjue  (pi'il  a  trouvé  le  lype  du 
loi;ici(Mi,  (Tailleurs  très  illustre,  caraclérisli(jue  et  bien  choisi? 

Dans  ces  lectures,  dont  le  hut  était  de  faire  connaître  à  ses 
auditeurs  l'étal  des  Malhématiques  modernes,  les  questions  les 
plus  actuelles,  M.  Klein  est  naturellement  amené  à  parler  souvent 
de  ses  propres  recherches;  personne  ne  s'en  plaindra  et,  à  vrai 
dire,  le  tableau  eût  été  par  trop  incomplet  s'il  les  avait  |)assées 
sous  silence;  il  (ait  d'ailleurs  une  large  part  à  ses  nombreux 
('lèves,  dont  plusieurs  sont  déjà  des  maîtres  illustres;  on  sait  que, 
pour  lui,  un  élève  est  un  collaborateur,  et  qu'il  associe  généreu- 
sement à  ses  propres  recherches  ses  auditeurs  de  Gœttingue.  Mais 
il  ne  s'enferme  pas  dans  l'Ecole  dont  il  est  le  maître,  et  il  a  su 
trouver  pour  M.  Sophus  Lie  une  flatterie  singulièrement  déli- 
cate :  c'est  deux  lectures  entières  qu'il  consacre  au  grand  géomètre 
norwéglen,  tout  en  déclarant  d'abord  qu'il  entend  n'en  consi- 
dérer le  génie  qu'  a  à  l'état  naissant  ».  A  la  vérité,  le  monument 
cpi'a  élevé  M.  Sophus  Lie  ne  fera  pas  oublier  son  Mémoire  Ueber 
complexe  insbesondere  Linien-und  Ku gel-complexe ,  etc.  Ce 
Mémoire,  dont  M.  Klein  expose  quelques  résultats  essentiels,  lui 
donne  l'occasion  de  rappeler  son  propre  Programme  d^Eilan- 
gen,  où  il  a  expliqué  comment  chaque  svstème  de  géométrie  est 
caractérisé  par  son  groupe,  et  d'opposer  en  quelque  sorte,  l'un  à 
1  autre,  les  groupes  de  ces  (ieux  géométries  des  sphères  qu'ont 
fondées  M.  Lie  d'une  part,  M.  Darboux  de  l'autre.  Une  fois,  dans 
le  cours  de  ses  lectures,  il  abandonnera  les  Mathématiques  pures 
pour  parler  des  Mathématiques  appliquées  et  des  sciences  objec- 
tives :  là  même  ses  préoccupations  habituelles  le  ressaisissent  un 
instant  et  il  ne  peut  s'empêcher  de  rappeler  en  passant  comment 
la  considéra  lion  des  courants  électriques  sur  des  surfaces  fermées 
\i<nt  illuslrer  les  théories  de   Riemann  ;  mais  ce   n'est  qu'une 


parle  :  Il  cinsse  les  diverses  sciences  appliquées  d'après  la  (pio- 
litéde  chidres  qui  figurent  dans  les  nombres  qu'elles  considèrent  ; 
ainsi  l'Astronomie  emploie  des  nombres  de  sept  cliidVes;  la 
(^lilniie  ri'enq)loie  ^uère  que  des  nond)res  de  deux  ou  trois 
chidres.  M.  Klein  insiste  sur  le  caractère  toujours  provisoire 
des  nond)res,  des  lois  et  des  formules  (pie  l'on  trouve  dans  les 
sciences  expérimentales;  il  émet  l'idée  ingénieuse  que,  puisque 
ces  sciences  ne  peuvent  se  servir  que  de  formules  approchées,  il 
doit  être  possible  de  constituer,  à  l'usagcî  de  ceux  qui  s'y  livrent, 
une  Mathématique  abrégée. 

Je  ne  sais  si  j'ai  pu  donner  (pielque  idée  de  la  variété  et  de  l'in- 
térêt des  suj(;ls  que  iM.  Iviein  dévelop|)e,  indique,  touche  d'une 
main  légère,  ou  approfondit  :  il  y  aurait  une  insupportable  pré- 
tention à  vouloir  analyser  une  par  une  les  lectures  où  l'on  a  tou- 
jours alTaire  à  trois  maîtres  à  la  fois,  au  moins  :  un  géomètre,  un 
philosophe,  \\v\  aitiste.  Lequel  faudrait-il  louer  davantage?  Je  ne 
sais,  et  si  on  le  demandait  à  M.  Klein  et  qu'il  put  répondre,  ne 
serait-il  pas  embarrassé  de  le  faire?  S'il  ressemblait  à  d'autres,  il 
préférerait  sans  doute  celui  des  trois  qui  est  le  moins  développé, 
mais,  encore  une  fois,  lequel?  Je  me  contenterai  donc  d'indiquer 
en  terminant  la  liste  de  ces  conférences  :  elle  est  déjà  intéres- 
sante, et  sans  doute  elle  ne  suffira  pas  à  satisfaire  la  curiosité  des 
lecteurs  du  lialletln. 

I  Clebsch.  —  11.  Soplius  Lie.  —  lll.  Sophus  Lie.  —  IV^  Sur 
les  branches  ou  les  nappes  réelles  des  courbes  ou  des  surfaces 
algébriques.  —  V.  Théorie  des  fonctions  et  Géométrie. —  VL  Sur 
le  caractère  matliémati(|ue  de  l'intuition  de  l'espace  et  la  relation 
des  Mathématiques  pures  avec  les  sciences  appliquées.  —  VIL 
Transcendance  des  nombres  e  et  t:.  —  VllI.  Nombres  idéaux.  — 

IX.  La  résolution  des  équations  algébri(jues  de  degré  élevé.  — 

X.  Sur  quelques  récents  progrès  dans  la  théorie  des  fonctions 
hyperelliptiques  et  abéliennes.  —  XL  Les  plus  récentes  re- 
cherches dans  la  Géométrie  non  euclidienne.  —  XIL  L'étude  des 
Mathématiques  à  GiUtingen. 

M.  Ziwet  a  placé  à  la  suite  de  ces  conférences  la  traduction 
d'un  intéressant  rapport  sur  le  développement  des  Mathéma- 
tiques dans  les  universités  allemandes.  J.   T. 


CO.MPII'S    UKN' DU  S    l'T    AN  A  LYS  !•  S.  •.(){ 


MUMANN  (('..)•  —  \i.i,(ii;.Mi:iM:  l  \Ti:iisi  cm  n(.i;n  i  iw:h  das  Nkwton'sciiI': 
l'iiiNciP  i>i;h  Kkunwium  N(ii:N  .MIT  m:s().M)i:iu:H  liicKsrcirr  alf  du:  ki-fc- 
TiusciiKN  \ViuivUN(;i:n.    i  vol.  iii-.S";  \\i-i(j>.  p.  Leipzig,  TcmiIjiu.t,  iS()(;. 

Aiirrs  (ni(^1(|U(^s  ()l)S(M'valions  inh'rcssantcs  sur  los  (lifficiillés 
(jiTil  y  a  à  rcgardcM'  la  loi  (rallraclion  de  Ncvvlon  coinmc  absolii- 
mciil  ^cncralc,  cl  (mi  pailiciilicr  comiTir  s'appliqnanl  aux  pclilcs 
(lislaiiccs,  M.  Noiimann  aborde  l'objcl  j)roprc  de  son  Livre,  la 
reclierclie  cl  l'élude  des  lois  qui,  pour  les  phénomènes  électriques, 
sont  propres  à  remplacer  la  loi  de  IScvvlon. 

Le  principe,  l'axiome  si  l'on  veut,  (jui  lui  serl  de  point  de 
départ  n'est  autre  que  l'existence  d'un  équilibre  électrique. 

C'est  assurément  une  idée  naturelle  que  de  chercher  à  substi- 
tuer au  potentiel  -?  relatif  à  la  loi  de  Newton,  un  potentiel  de  la 

forme 

I  —  e-^'- 

o{r)  = 


qui,  en  supposant  a  positif  et  1res  grand,  ne  différerait  de  -  que 

d'une  quantité  inappréciable,  à  moins  que  /•  ne  fût  très  petit. 

L'étude  approfondie  de  cette  loi  particulière  conduit  Tauteur  à 
celte  conséquence  :  en  supposant  une  telle  loi  d'attraction,  l'équi- 
libre électrique  sur  une  sphère  métallique  serait  impossible  : 
l'électricité  serait  dans  un  perpetuum  mobile.  M.  Neumann 
signale  d'autres  formes  du  potentiel  qui  conduiraient  à  la  même 
conclusion,  par  exemple  les  formes 

où  A  est  une  constante.  Cette  élude  particulière  conduit  naturel- 
lement à  la  question  suivante  : 

Trouver  les  formes  du  potentiel '^[r)  compatibles  avec  l'équi- 
libre électrique. 

M.  Neumann  montre  que  la  fonction  'f  (/")  doit  avoir  la  forme 

,    ,       Ae-'^'-        Be-?'-        Ce-^r- 

cp  (  /•  )  =. 1 f- h- ...  ; 

'  /'  /•  /■ 


(),', 


iMUiiMiÈui!:  PAUTin:. 


il  ap[)clle  loi  exponeiiLlcUe  la  loi  (raLLraclion  correspondante^  cl 
ceUe  loi  est  dite  à  un,  deux,  trois,  ...,  termes,  suivant  qu'on 
prend  un,  deux,  trois  termes  dans  le  second  membre.  Inverse- 
rneiil,  si  Ton  supj)Ose  que  les  constantes  a,  ^,  y,  ...  soient  posi- 
tives et  (jue  les  constantes  A,  B,  C,  ...  soient  toutes  de  même 
signe,  on  peut  affirmer  que,  pour  un  j)oteiitiel  de  la  forme  précé- 
dente, Téquilibre  électrique  est  toujours  possible,  sur  un  con- 
ducteur quelconque  et  cela  d'une  seule  façon. 

Ni  la  méthode  des  variations  de  Gauss,  ni  le  principe  de  Di- 
riclilet,  ni  la  méthode  des  moyennes  arithmétiques  ne  suffisent 
à  établir  ce  résultat  :  l'auteur  j  parvient  en  partant  d'un  principe 
analogue  au  principe  des  vitesses  virtuelles,  et  qui,  d'ailleurs,  est 
immédiatement  évident  :  il  iinagine  une  sorte  de  frottement  vir- 
tuel, des  forces  fictives  appliquées  aux  différents  points  du  système 
et  assujetties  seulement  à  la  condition  de  s'annuler  toutes  quand 
le  système  est  au  repos;  dès  lors,  si,  sous  l'influence  des  forces 
réelles  qui  agissent  sur  la  matière  électrique,  jointes  aux  forces 
fictives,  doit  se  produire  un  état  de  repos  durable  :  l'existence 
d'un  état  d'équilibre  sous  l'influence  des  forces  données  seules 
n'est  pas  douteuse.  Au  contraire,  si  1  état  de  repos  durable  :  sous 
riniluence  des  forces  données  et  du  frottement  virtuel,  est  impos- 
sible, l'état  d'équilibre  sous  l'inQuence  des  forces  données  agis- 
sant seules  est  également  impossible.  L'application  de  ce  double 
principe  permet  à  M.  G.  Neumann  de  montrer  que  l'état  d'équi- 
libre est  impossible  pour  un  potentiel  de  la  forme 

de  retrouver  les  résultats  connus  relatifs  à  réc[uilibre  électrique 
pour  un  potentiel  newtonien,  enfin  d'établir  le  théorème  général 
qui  a  été  énoncé  plus  haut.  Ajoutons  que  l'état  d'équilibre  relatif 
à  la  loi  exponentielle  à  un  ou  plusieurs  termes  est  unique. 

L'auteur  est  ainsi  amené  à  étudier  de  près  les  propriétés  géné- 
rales du  j)otentiel  correspondant  à  la  loi  exponentielle. 

Si  l'on  suppose  la  matière  électrique  distribuée  partie  dans 
l'espace,  partie  sur  une  surface  avec  les  densités  respectives  £,  r, 
et  un  potentiel  V  relatif  à  la  loi  exponentielle 

,    ,        Ac-3"'        Bc-P'-        Ce-^>' 

cp  (  /•)  = H 1 ^ h  .  .  .  , 


I 


1 


COMPTRS   KKNDUS   \iV  ANALYSES.  3()1 

ce  nolciil  ici  j(»iiii'ii  d  iilxnd  des  propricLcs,  semblables  à  ((dlcs  du 
|)nl(Mili('l  iicw  Ionien,  (|irex|)i-imciil  les  é([iialions 

i)/L  l)/L 

OÙ  /  el  (f  (l(''sij;ne!il  les  deux  faces  (inlériciire  cl  extérieure)  de  In 
surfilée  el  //  la  normale  à  la  surface  dirif>ée  vers  l'intérieur. 
\'A\  outre,  si  la  loi  exponentielle  est  à  un  terme,  on  aura 

AV  =  a^V  — /iT^As; 

si  la  loi  exponentielle  est  à  deux  termes,  on  aura 

A2V  — (a-^H-  1^^)  AV 

-h  a-!  .3-^  V  +  4  îr(  A  +  B)  Ae  —  4  7r(  A  p^  -^r,a'-)z  =  o; 

en  <;énéral,  à  mesure  qu'on  suppose  j)lus  de  termes  dans  la  loi 
exponentielle,  l'équation  aux  dérivées  partielles  à  laquelle  satisfait 
la  fonction  V  se  complique  de  plus  en  plus. 

Ces  propriétés  générales  permettent  de  déterminer  l'état  d'équi- 
libre électrique  dans  un  conducteur  ou  dans  un  sj'stème  de  con- 
ducteurs. Toutefois,  dans  des  cas  particuliers,  des  méthodes  parti- 
culières conduisent  à  la  solution  des  problèmes  de  cette  nature; 
par  exemple,  dans  le  cas  d'un  conducteur  sphérique,  il  convient 
de  développer  'f  (r)  en  série  :  dans  le  cas  où  'f  (/")  ne  contient 
qu'un  terme,  l'emploi  des  coordonnées  polaires  conduit  à  une 
série  procédant  suivant  des  fonctions  sphériques,  série  où  figu- 
rent comme  coefficients  quatre  fonctions  particulières,  dont 
M.  Neumann  est  amené  à  développer  quelques  propriétés  très  élé- 
gantes. 

Ce  cas  d'une  loi  exponentielle  à  un  seul  terme,  par  la  simpli- 
cité des  résultats  qui  le  concernent,  mérite  évidemment  une  étude 
particulière,  tant  au  point  de  vue  de  l'attraction  que  de  la  distri- 
bution. Une  couche  sphérique  homogène  attire  un  point  extérieur 
comme  si  toute  l'action  était  concentrée  au  centre,  mais  la  masse 
c|u'il  faut  concentrer  au  centre  est  égale  à 

gaR e-'^'^ 

M , 

a 

en  désignant  par  M  la  masse  de  la  matière  distribuée  sur  la 
couche  et  par  1^  le  ravon  de  celte  couche. 


300 


PHEAÎIRUK    Px\iniE. 


Si  l'on  considère  nn  conducleur  sur  lequel  agissent  des  masses 
électri(jues  extérieures,  il  J  a  lieu  de  distin<^uer  deux  cas,  suivant 
que  le  conducteur  est,  ou  non,  relié  à  la  Terre. 

Dans  le  premier  cas,  après  que  l'équilibre  électrique  s'est  éta- 
bli, il  ne  reste  plus  de  trace  d'électricité  dans  l'intérieur  du  con- 
ducteur. Toute  l'électricité  libre  se  porte  à  la  surface.  Dans  le 
second  cas,  en  dehors  de  la  charge  superficielle,  il  y  a  une  distri- 
bution spatiale  de  l'électricité  à  l'intérieur  du  conducteur^  la  den- 
sité, à  l'intérieur  du  conducteur,  est  constante  et  proportionnelle 
à  a-.  Toutes  ces  recherches  sont  poussées  jusqu'au  bout  dans  le  cas 
où  le  conducteur  est  une  sphère. 

Lorsque  la  loi  exponentielle  comporte  plusieurs  termes,  il  j  a 
encore  une  distribution  spatiale  et  une  distribution  superficielle; 
c'est  là  la  différence  essentielle  avec  la  loi  de  Newton.  Au  reste, 
j)Our  une  telle  loi,  et  même  pour  une  loi  d'attraction  quelconque, 
subsiste  une  théorie  générale,  qui  comprend  comme  cas  particu- 
lier la  théorie  de  la  fonction  de  Green. 

La  relation  bien  connue 


rP- 


montre  que  le  cas  où  la  fonction  cp (/•)  serait  de  la  forme  rP"-  peut 
être  considéré  comme  un  cas  limite  de  la  loi  exponentielle.  Cette 
loi  d'attraction  a  déjà  été  étudiée  par  Green  dans  un  Mémoire  un 
peu  oublié  (')  que  M.  Neumann  regarde  comme  un  des  plus 
beaux  et  des  plus  difficiles  de  ceux  que  l'on  doit  à  l'illustre  mathé- 
maticien. Le  fait  que  cette  loi  d'atti-action  est  un  cas  limite  de  sa 
loi  exponentielle  lui  permet  d'ailleurs  d'arriver  aux  résultats  de 
Green  d'une  façon  beaucoup  plus  aisée.  Avec  la  loi  de  Green,  la 
distribution  de  l'électricité  est  spatiale,  et  il  n'y  a  pas  lieu  de 
i'aire  une  étude  particulière  de  la  distribution  à  la  surface.  Si  la 
constante/-»  s'approche  de  i,  la  matière  électrique  se  condense 
près  de  la  surface;  à  la  limite,  pour  p  =z  ]  ^  la  distribution  est 
purement  superficielle,  en  sorte  que  l'adoption  de  la  loi  de  Green 


(')    Matlienialical  investigations   concerning  llic  /aws  of   t/ie   cquilibriuni 
nf  fluids,  etc.;  iS.')?. 


COMI'TIIS    KKNniJS    I;T   ANALVSI'S.  io; 

(l('l);n'i'ass(Mail  ri-'lccl  rosliil  l(|ii('  des  coucIm's  clocLiicjiics  infimnu'Ml 
milices.  l/('lii(I('  (If  M.  iNciMu.iiiri,  (|ii()l(|ti(:  IxîaïK^ouj)  plus  simple 
(lue  celle  de  (  H'ceii,  reste  encoi'C  assez,  (li("(i(;il(;,  (;l,  l'aiiUMir'  soiiliailc; 
(liToM  airi\e  à  la  sim|)lilier  encore;  loiilcfols,  ccrlains  rcsullals 
sitiil   paiiieiilièrernenl  simples. 

Si  une  sphère  m('lalli(pie  isolc'e,  de  rayor)  Iv,  esl,  chargée;  d'une 
(pianlilc'  {réieelricilc  donnée,  la  densité  £  de  la  matière  éleetriquc;, 
après  (jue  lYMpillibre  s'est  établi,  ne  dépend  que  de  la  distance  p 
au  centre;  elle  est  donnée  par  la  formule 

/'  +  • 


K2_p2 


si  une  masse  électrique  extérieure  concentrée  en  un  point  m  agit 
sur  une  sphère  conductrice  reliée  à  la  Terre,  la  densité  électrique  t 
en  un  point/  de  l'intérieur  dépend  de  la  distance  p  du  point  y  au 
centre  de  la  sphère,  et  de  la  distance  /'  du  même  point  m\  elle 
est  donnée  par  la  formule 


=  D 


IV^— p-/         \/ 


'  I 


Dans  ces  formules  C,  D  sont  des  constantes  ;  si  la  sphère  métal- 
lique n'est  pas  reliée  à  la  Terre,  la  densité  électrique  est  donnée 
comme  somme  des  deux  expressions  précédentes. 

Les  recherches  précédentes  forment  un  tout  bien  cohérent  : 
les  deux  derniers  Chapitres  de  l'auteur  ont  un  objet  tout  diiTé- 
rent  :  l'un  se  rapporte  aux  recherches  de  l'auteur  (*  )  sur  la  loi  de 
Weber  cl  ce  qu'il  appelle  le  potentiel  effectif 

ninii         I    mW]  [  dr 
W  =  


c2      /'     V  ot 


ces  recherches  sont  exposées  en  prenant  pour  point  de  départ  le 
principe  de  Hamilton.  Elles  sont  reliées  ensuite  à  l'hypothèse 
d'une  transmission  très  rapide,  mais  non  instantanée,  du  poten- 
tiel, en  admettant  que  l'action  mutuelle  de  deux  corps  ne  dépende 
que  de  leurs  positions  mutuelles.  Un  paragraphe  est  ensuite  con- 


C)  c  Nfcmann,  Die  Principien  dcr  Klektrodynamik,  Programin  dor  Tiibin- 
ger  I  nivor>iil;il,  iS(S^;  voir  n\\«\    Moth.  Annalcn,  I.  WIT,  y.   '|Of). 


JoS 


PREMIÈRE   PARTIE. 


sacré  à  la  ciilifjiic  des  théories  de  Maxwell  et  surtout  de  Hertz  ('). 
Enfin  le  dernier  Chapitre  se  rapporte  à  l'intégration  de  Téqua- 
lion  aux  dérivées  partielles 

f^W  =  a2  W 

relative  à  la  loi  exponentielle  à  un  seul  terme,  par  la  méthode 
de  la  moyenne  arithmétique.  L'auteur  y  montre  comment  cette 
méthode,  qu'il  a  développée  jadis  pour  l'équation  de  Laplace, 
s'applique  ici  beaucoup  plus  simplement,  les  difficultés  que  com- 
porte ce  dernier  cas  tenant  à  cela  même  qu'il  est  un  cas  limite;  en 
sorte  que,  si  l'on  voulait  s'alTrancliir  de  la  restriction  relative  à  la 
convexité  de  la  surface  sur  laquelle  la  fonction  W  doit  avoir  des 
valeurs  prescrites,  il  conviendrait  de  s'attaquer  à  l'équation  géné- 
rale plutôt  qu'à  l'équation  de  Laplace. 

En  tête  de  son  Livre,  M.  G.  Neumann  a  mis  une  préface  qui 
contient  d'intéressantes  vues  philosophiques  et  un  résumé  très 
lumineux  de  ses  recherches.  J.  T. 


t 


TEIXEIRA  (G.).  —  CuRso  de  Analyse  infinitésimal.  Calculo  differen- 
ciAL.  2''  cdlLion.  —  i  vol.  in-8",  383  p.  Porto,  Tvpographia  occidental, 
189G. 

Nous  sommes  heureux  d'annoncer  la  seconde  édition  du  Cours 
de  Calcul  différentiel  de  M.  Gomes  Teixeira,  dont  le  Bulletin  a 
déjà  rendu  compte. 


NIEWENGLOWSKI  (B.).   —    Cours  de  Géométrie   analytique  a  l'usage 

DES   ÉLÈVES    DE    LA   CLASSE  DE  MATHÉMATIQUES  SPÉCIALES  ET   DES   CANDIDATS 

AUX  Écoles  du  Gouvernement.  Trois  volumes  in-8\  Tome  I  :  Sections 
coniques,  1894.  —  Tome  II  :  Construction  des  courbes  planes.  Compléments 
relatifs  aux  coniciucs,  1895.  —  Tome  111  :  Gcomélric  dans  res])ace  avec 
une  Noie  sur  les  Transformations  en  Géométrie,  par  E.  Bord,  189G.  Paris, 
Gautliicr-Villars  et  fils. 

Le  Bulletin   n'a  pas  Fhabitude   de   rendre  compte  des   livres 


(')  IIi:iiTZ,  Ueber  die  Dczicliungeii  z^vischcn  deii  Maxwell' sclien  eleklrody- 
namischen  Griindgleichiingen  und  den  Grand gleichungeii  der  gegnerischen 
FAectrodrnamik;  Wcrkc,  t.  I,  p.  19'). 


COMPTRS   MRNDUS   HT  ANALYSES.  Jo(, 

(!('>!  iiK'S  à  rcnsci^iHMUciil  scu^oiidaiic  ;  il  sorail,  Ic^iLmic  de.  inivc 
(|Ut'l([iiclois  rxccplion  à  colle  rè^lo  j)()iir  les  livres  dc.slin(''S  à  l'cri- 
scijiiioincnl  de  la  classe;  de  Mcllicinal  i((ii('s  .S|)('!cial(3S,  puiscjiK;  ccl. 
cnsoiauoiuciil  csl  hahihiclleincnl  dorme  dans  les  Universités  ctran- 
<;ri-cs  cl  (|iic,  sans  donlc,  il  prendi'a  (|nclqnc  joni*  nnc  j)laco  modcslc 
dans  les  nùlres,  avec  nn  l)nl  1res  difTércnl,  de  ceini  (jn'on  cherche 
à  alIcMiidie  dans  nos  lycées.  Qnoi  ((u'il  en  soit,  et  malgré  lont  le 
nu  rilc  dn  Cours  de  Géométrie  analy tir/ i/e  de  M.  Niewenglowski, 
nons  n'aurions  probablement  pas  parh'  de  cet  excellent  Livre, 
dont  il  est  bien  inutile  de  recommander  l'auteur  au  public  français, 
sans  la  A^ote  sur  les  transformations  en  Géométrie  que  M.  Nic- 
Nvcnglovvski  a  placée  à  la  fin  du  dernier  Volume  et  qu'il  avait 
demandée  à  M.  Borel,  son  ancien  élève.  A  la  vérité,  cette  Note  est 
('•crite  pour  les  élèves  de  Mathématiques  spéciales  et  l'auteur  a 
pris  grand  soin  de  n'y  introduire  aucune  notion  qui  ne  fût  pas  à 
leur  portée;  mais,  par  son  esprit,  elle  dépasse  singulièrement  les 
limites  des  programmes,  et  l'auteur  n'y  cache  pas  l'intention  qu'il 
a  d'ouvrir  à  ceux  qui  le  liront  un  monde  d'idées  nouvelles,  et  non 
d'ajouter  à  leurs  connaissances  une  masse  de  petits  faits  sans 
connexion.  Les  jeunes  gens  qui  étudieront  la  Note  de  M.  Borel  n'y 
trouveront  sans  doute  rien  qui,  pour  leurs  examens,  leur  soit  immé- 
diatement utile,  mais  quelques-uns  y  apprendront  peut-être  que 
la  science  n'est  pas  bornée  aux  propriétés  du  triangle,  ou  même 
des  coniques,  et  y  puiseront  le  secret  désir  d'explorer  un  jour  ces 
vastes  régions  qu'on  leur  découvre.  Malgré  leurs  soucis  stricte- 
ment professionnels,  qui  sont  parfois  si  écrasants,  les  maîtres  de 
nos  Lycées  gardent  la  préoccupation  d'éveiller  et  de  surveiller  les 
vocations  scientifiques  de  ceux  qui  passent  entre  leurs  mains;  c'est 
un  honneur  auquel  ils  entendent  ne  pas  renoncer,  et,  s'il  en  était 
besoin,  la  publication  du  Livre  de  M.  Niewenglowski  en  serait  une 
nouvelle  preuve. 

Après  quelques  généralités  sur  les  transformations  qui  con- 
duisent le  lecteur  à  la  notion  de  groupe,  de  substitution  trans- 
formée par  une  autre  substitution,  d'isomorphisme,  d'invariance 
dun  groupe,  etc.,  M.  Borel  établit  les  propriétés  élémentaires  du 
groupe  projectif  et  de  ses  principaux  sous-groupes  (groupe  linéaire, 
groupe  des  mouvements).  Passant  ensuite  aux  transformations 
ponctuelles,    il   ('hidie   l'inversion   sphérique  et  plane  (svmétrie), 


3io 


IMIKMIEKE    PAUllIi. 


puis  le  groupe  (G)  formé  parla  combinaison  (J(is  iransformalions  S 
(inversion  sphéri(pic),  P  (inversion  plane),  D  (déplacement),  11 
(homoll)étic),  SV,  SD,  IID.  J^a  définition  analytique  du  groupe  (G) 
amène  à  considérer  les  transformations  homograpliiques  de  cinq 
variables  cjui  laissent  invariante  une  forme  quadratique  et  amène 
naturellement  aux  coordonnées  pcnlaspbériques.  L'étude  des 
transformations  corrélatives  amène  à  considérer  les  transforma- 
tions |)ar  polaires  réciproques  par  rapport  à  une  quadrique  et  par 
rapport  à  un  complexe  linéaire,  puis  à  la  notion  du  groupe  (G) 
constitué  par  l'ensemble  des  transformations  corrélatives  et  des 
transformations  bomograpbiques,  transformations  qui  laissent  in- 
variable l'ensemble  des  droites  de  l'espace.  M.  Borel  arrive  ensuite 
à  la  définition  générale  des  transformations  de  contact,  pour  étudier 
plus  spécialement  cette  belle  transformation,  due  à  IM.  Lie,  qui 
fait  correspondre  les  spbères  aux  droites;  on  remarquera,  dans 
cette  étude,  la  façon  dont  il  fait  ressortir  le  rùle  des  éléments  de 
contact  opposés.  Enfin,  un  dernier  paragrapbe  est  consacré  aux 
transformations  dans  l'espace  à  plus  de  trois  dimensions;  l'auteur 
y  introduit  la  notion  des  plans  générateurs  d'une  quadrique  gé- 
nérale et  montre  comment  s'interprètent,  de  ce  nouveau  point  de 
vue,  les  résultats  précédemment  obtenus.  De  nombreux  et  inté- 
ressants exercices  sont  joints  à  cette  Note,  de  manière  à  bien  faire 
ressortir  l'importance  des  belles  théories  que  M.  Borel  a  su 
esquisser  d'une  façon  singulièrement  élégante.  J.   T. 


i 


POINCARÉ.  —  Théorie   analytique   de  la   propagation  de   la   chaleur. 

Leçons  professées  pendant  le  premier  semestre  1893-1894.  rédigées  i)ar 
MM.  Roujcr  cl  Raire;  i  vol.  in-8",  SiG  j).  i^aris,  Carre,  1895. 


Ces  Leçons  sont  consacrées  à  l'étude  de  la  propagation  de  la 
chaleur  par  conductibilité,  qui  a  fait  l'objet  d'un  Ouvrage  cé- 
lèbre de  Fourier.  L'auteur  s'est  proposé  d'exposer  la  méthode 
que  ce  géomètre  a  suivie  pour  édifier  sa  théorie,  et  d'en  compléter 
les  résultats. 

Le   premier  Chapitre  contient  les  considérations  d'ordre  phv- 


coMPTiis  iu-:ni)US  i-:t  ANAI-VSIIS.  Ui 

M(|ii('  (jiii  \()iil  servir  de  hase  à  la  lliéonc.  Ia\  |)i'(;iMi<;r  lieu,  I  (;x- 
|)(''ri('M(M'  moiilrc  (|ii'il  iTy  a  j)a>  ('cliaiii^c  de  chaleur  Ciiilrc  (J(mix 
pailles  (Tiin  coi-ps  ('loi^iiccs  riine  (Je  l'aiilre,  mais  sciilemeiiL 
(Mili-e  deux  |i()rll(His  eonligii('"'s  du  corps.  T^ii  second  Ikmi,  Foncier 
admet  (pie  la  (pianlité  de  chaleur  cédée  par  une  iii()l<;cule  à  une 
autre  ne  dc'pcMid  c|ue  de  la  dilïércncc  des  lcn)p(';raluies  eL  non  des 
I  e  ni  pc' ratures  elles- m  é  ni  es. 

Dans  ces  condilions,  une,  molécule/;/,,  cède  pendant  le  Lcmps  dl 
à  une  moh''cule  ///,   une  (juanLilé  de  chaleur 

Vo  CL  Yi  sont  les  températures  des  molécules  /??„  et  /?z,  ;  p  est  lenr 
distance,  et  '^{p)  est  une  certaine  fonction,  négli<^eable  dès  que /j 
est  supérieur  à  une  limite  £   très  petite. 

Si  l'on  n'admettait  pas  l'hjpothèse  de  Fourier,  il  faudrait  em- 
ph)yer  la  formule 

Vient  ensuite  la  définition  du  flux  de  chaleur.  Si  l'on  considère 
un  élément  de  surface  cAo,  infiniment  grand  par  rapport  à  s,  mais 
très  petit  en  valeur  absolue,  une  molécule  /?7o  située  d'un  côté  de 
l'élément  cède  de  la  chaleur  à  nne  molécule  /n,  située  de  l'autre 
côté;  considérons  tous  les  couples  de  molécules  tels  que  {in^m^) 
et  faisons  la  somme  des  quantités  de  chaleur  corres])ondantes  ;  on 
obtient  ainsi  \e  Jlii.r  de  chaleur  qui  traverse  l'élément  c/co. 

Le  reste  du  premier  Chapitre  est  consacré  à  l'évaluation  du  flux 
de  chaleur,  jiar  deux  méthodes  difî'érentes.  On  trouve  l'expression 

suivante  : 

dY 
dO  =  —  K-r-dt  dii)  : 
d/i 


d\ 


est  la  dérivée  de  la   température   prise  suivant  la   normale  à 

l'élément  Ç;  K  est  une  constante  si  l'on  adopte  l'hjpothèse  de 
Fourier:  ce  serait  une  fonction  de  la  température  clans  le  cas 
contraire. 

Dans  le  Chapitre  11,  onajjplique  les  considérations  précédentes 
à  un  parallélépipède  élémentaire,  et  en  évaluant  de  deux  manières 
la  quantité  de  chaleur  cpii  y  entre,  on  arrive  à  l'équation  difleren- 


3i2  PHEMIÈUE   PAKTIE. 

licllc  du  mouvement  de  la  chaleur  dans  un  corps  homogène  et 
isotrope.  Dans  l'hypothèse  de  Fourier,  cette  équation  a  une  forme 
linéaire 

^^   _        //72V  fl^  <72V\ 

k  est  une  constante. 

C'est  en  somme  l'étude  de  cette  équation  qui  fait  le  principal 
objet  du  cours.  Il  j  a  deux  problèmes  qui  se  posent  : 

Problème  des  températures  variables.  —  On  se  donne  la  dis- 
tribulion  des  températures  à  V instant  initial;  on  veut  savoir 
ce  qu^elle  est  de^>enue  au  bout  dUin  temps  quelconque. 

Problî:me  des  températures  stationnaires.  —  On  admet  cju^ au 
bout  d^un  certain  temps  récjuilibre  calorifique  est  établi,  et 
U on  cherche  quelle  sera  alors  la  distribution  des  tempéra- 
tures. 

Pour  que  ces  deux  problèmes  soient  déterminés,  il  faut  se 
donner,  outre  la  distribution  initiale,  des  conditions  à  la  surface- 
on  admet  que,  le  corps  étant  placé  dans  une  enceinte,  chaque 
élément  âfto  de  sa  surface  perd  une  quantité  de  chaleur 

H  est  une  constante  pour  chaque  élément  <iw  ;  V  est  la  tempéra- 
ture de  cet  élément,  et  Vo  la  température  de  l'enceinte  au  voisi- 
nage de  l'élément. 

On  démontre  qu'étant  données  les  conditions  analytiques  du 
problème,  chacun  d'eux  ne  peut  avoir  qu'une  solution. 

Après  ces  généralités,  nous  passons  au  premier  exemple  traité 
par  Fourier,  le  problème  des  températures  stationnaires  dans  un 
solide  rectangulaire  indéfini;  c'est  l'objet  du  Chapitre  III. 

Pour  fixer  les  idées,  donnons-nous  les  conditions  suivantes  :  le 

solide  est  limité  par  les  plans  j^=o,  ^=:  —  -,^=-;  on  a 

Pour  ^  =  ±  - \  —  o, 

))     JJ/  r=  ce V  =  o. 

»     J^  =  « V=/(.r). 


! 


(:()MI'TI":S    iniNDUS    1:1    ANALVSKS.  3i3 

On  monlrc  que  le  prohirinc  se  résout  simpicmcnl  dans  deux 
cns  purlieiiliers. 

Si  f(.r)  =  si  II  un. 7'^  ou  a 

V  =  <?-"'">'  sinv. m.r. 

Si/(.r)  -=  CCS  (:>./??,  —  i)^,  on   a 

V  =  ^-i2//i-i)j  cos(2m  —  i).r. 

On  est  alors  conduit,  dans  le  cas  où  /{.t)  est  une  fonction  quel- 
conque, à  cliercher  à  représenter  cette  fonction  par  une  série  de 
la  forme 

(i)  ai  cos^  H-  «3  cos3a7  -h.  .  .  -h  ^2  sin  9..T  -h  bt,  sin  4  ^  -h. . .. 

Si  la  chose  est  possible,  la  solution  du  problème  sera  fournie 
par  la  série 

Y  =  ai  cosxe-y-h  «3  cos3xe-^y-h.  ..-\-  b^  'è'in  1  x e-'^y -+-  bi^  s\n^xe-'*y -^.... 

11  sera  nécessaire,  bien  entendu,  d'examiner  si  cette  série  est 
convergente,  et  de  vérifier  qu'elle  représente  bien  une  fonction 
satisfaisant  aux  conditions  du  problème. 

Dans  tous  les  cas,  on  est  conduit,  par  l'étude  de  cet  exemple,  à 

étudier  la  représentation  d'une  fonction  définie  entre  —  -  et  -  par 

une  série  trigonométrique  de  la  forme  (i). 

On  ramène  facilement  ce  problème  au  suivant  :  Représenter 
une  fonction  définie  entre  — iz  et  iz  par  une  série  trigonomé- 
trique de  la  forme  générale  : 

«0-!-  <^i  cosa:*  +  a^  cos'ix  -}- .  .  .H-  />i  sin  a?  H-  62  sin  2^7  -h.  .  . . 

L'étude  de  cette  question  fait  l'objet  de  la  fin  du  Chapitre  III 
et  du  Chapitre  IV.  Dans  ce  dernier  Chapitre,  on  démontre  que 
la  représentation  est  possible  si  la  fonction  satisfait  à  la  condition 
de  Dirichlet,  c'est-à-dire  si  elle  peut  être  considérée  comme  la  dif- 
férence de  deux  fonctions  dont  chacune  reste  constamment  finie 
et  n'est  jamais  croissante.  Ensuite,  on  étudie  les  propriétés  des 
séries  que  l'on  vient  d'obtenir,  au  point  de  vue  des  discontinuités. 
Dans  le  Chapitre  V,  nous  passons  au  problème  des  tempéra- 
IluU.  des  Sciences  mathém.,  •a' série,  t.  \\.  (Décembre  i<Sr)r).)  22 


3i4  PREMIÈRE   PARTIE. 

tures  variables  dans  une  arniille,  c'est-à-dire  dans  un  circuit  fermé 
de  section  infiniment  petite.  L'équation  du  mouvement  de  la 
chaleur  est  dans  ce  cas 

dW         ,,       ,d^\ 

X  étant  la  lon^^ueur  du  fil  comptée  à  partir  d'une  certaine  origine. 
Un  changement  de  variable  simple  conduit  à  l'équation 


(•^0 


d\}        r/2 1) 


dt  dx'^ 


avec 


0  =  I  -h  -2  \  cos  n{x  —  z  )e-"''. 


la  longueur  du -circuit  étant  alors  -àt.. 

U  doit  être  une  fonction  périodique  de  x  de  période  27:,  et  se 
réduire  pour  /  =:  o  à  une  fonction  donnée  /(^). 

On  aperçoit  comme  solution  particulière  de  l'équation  (2)  les 
fonctions 

sin  /ixe""''. 

On  en  déduit  que  s\  f(x)  est  développable  par  la  formule  ; 

f 

f(.r)  =  y ^  (a,i  cosn.x  -+-  b„,  sin  nx)^ 

la  solution  du  problème  sera 

U  =  ^  {ail  cosnx  h-  b,i  sinnx)e~~"''. 

Cette  fonction  U  est  holomorphe  par  rapport  à  .r  et  à  ^  pour 
toutes  les  valeurs  positives  de  t;  elle  vérifie  d'ailleurs  toutes  les 
conditions  du  problème. 

Il  est  possible  de  transformer  de  différentes  manières  l'expres- 
sion trouvée  pour  U.  En  premier  lieu,  le  calcul  des  coefficients  a„ 
et  bn  montre  que  l'on  peut  écrire 


COMPTKS   HHNOUS   KT   ANAI.VSHS.  h", 

(  )n  csl  ainsi  i-aniciH''  à  la  loiiclion  H  de  .lacohi,  (|iii  |)(!iil,  se 
h  iiiisloiincr  d  aprrs  la  iIk-oiic  des  (oïK'Lions  cllipl  kjikîs  ;  on  |)(miL 
('cnrc 

00 

(^Inipitre  \  1 .  —  \jQ  j)rol)l(!nic  des  Icmpéraliires  varial)If;s  est 
ainsi  iM'soin  pour  un  cirenil  de  longueur  finie;  il  csl.  naturel  de  se 
doniandcr  ce  (jue  deviennent  les  formules  finales,  lorsque  la  lon- 
i::urur  du  circuit  croît  indéfiniment.  On  va  montrer  dans  ce  qui 
suii  (|ue  ces  fonctions  correspondent  alors  au  cas  d'un  fil  indéfini. 

I^a  solution  de  Fourier  pour  le  cas  d'un  (il  indéfini  repose  sur 
uiH^  transformation  des  séries  trigonoméiriques,  qui  conduit  à 
considérer  l'intégrale  de  Fourier. 

On  démontre  que  l'on  peut  représenter  une  fonction  f{x)  dé- 
finie entre  —  oo  et  H-co  et  satisfaisant  à  la  condition  de  Dirichlet 
par  l'intégrale 

f  o  (  ^  )  cos  <7  .r  -h  'J>  (  <7  )  si  n  ^  .r  ]  clq  ^ 


f 


en  posant 


ï('y)=r"/(^)--''-^/^-, 

■Hî)=r/(~-)^j-</- 

'^ 00 

I.e  Chapitre  Vil  est  consacré  à  quelques  propriétés  de  l'inté- 
grale de  Fourier  qui  vient  d'être  définie.  On  y  démontre  que  les 
intégrales 

/-»  «  ^00 

/      o(q)cosqxdx       et       /      o(q)  slnqx  dx 

sont  des  fonctions  liolomorphes  de  œ,  sauf  pour  .2?  =  o,  en  suppo- 
sant (pie  la  fonction  cp(^)  s'annule  quand  q  croît  indéfiniment,  et 
Ton  étudie  les  singularités  de  ces  fonctions  pour  ^  =  o.     - 

Chapitre  VIII.  —  La  mélliodc  qui  vient  d'être  employée  pour 
intégrer  l'équation 

r/U  _  r/2U 
~dt   ~   dx-^  ' 


:U6  PUliMIÈUR   PARTIE. 

pcul  s'appliquer  à  craiitrcs  cqualions  linéaires  qu'on  rencontre  en 

Physique  mathématique,  en  particulier   à  l'équation   des  cordes 

vibrantes  : 

d^V  _  dHl 
'dF  ~  dx-^  ' 

et  à  l'équation  des  télégraphistes 

dV-    ~  dx'^  "^      ■ 

On  est  conduit,  par  ce  qui  précède,  à  appliquer  une  méthode 
uniforme  à  ces  trois  équations.  On  cherche  à  y  satisfaire  au 
moyen  d'une  fonction  de  la  forme 


U  =   /      cp(^,  t)ei'l-^  dq. 


La  forme  de  la  fonction  o  est  déterminée,  en  premier  lieu  par 
l'équation  différentielle,  en  second  lieu  par  les  conditions  ini- 
tiales; pour^  =  o,  U  doit  se  réduire  à  une  fonction  donnée  y*(:r). 
On  suppose  que  cette  fonction y(^)  est  mise  sous  la  forme  d'une 
intégrale  de  Fourier 

{       i)(q)e<'I''dq. 
On  a  alors  la  condition 

o{q,o)=i}{q). 

On  obtient  ainsi  la  solution  des  trois  problèmes. 

Vient  ensuite  la  discussion  de  quelques  exemples  particuliers, 
puis  une  comparaison  des  effets  produits  par  une  perturbation 
initiale,  dans  les  trois  modes  de  propagation  de  la  chaleur,  du 
son  et  de  l'électricité. 

Chapitre  IX.  —  Après  la  solution  de  Fourier,  qui  vient  d'être 
exposée,  l'auteur  traite  le  problème  du  fil  indéfini  par  la  méthode 
de  Laplace;  on  part  de  la  solution  parliculièrc 


COMPTliS   UliNDUS   KT  AN  AL  YSIÎS.  ii; 

()ii    ii(ni\c    (lue    la    sohilioii  ([iiij    pour   t  =z  o,    (Kiil   se  réduire  à 
/{x)  esl 


.»--^i» 


Il  esl  (railleurs    faeile   de   reeouuailre   (|ue  les   deux  solulions  de 
Fourier  el  de  Laplaec  sont  identiques. 

(lelle  solution  de  Laplace  peut  s'étendre  au  eas  d'un  solide  iri- 
(Iciiiii  dans  tous  les  sens.  On  a,  comme  solution  particulière  de 
ré(jualion 

dt  ' 

la  fonction 

(.r— S)«  +  (r  — Yl)^  +  ('  — C)'' 

et  Ton  en  déduit  la  solution 

V = r  r  ffjk^e ^ d^  d-,  rfc, 

J  J  J     8  v/tt^  t^ 
l'intégrale  étant  étendue  à  l'espace  tout  entier. 

Chapitre  JC.  —  Comme  nouvel  exemple,  considérons  le  pro- 
blème du  refroidissement  d'une  sphère,  en  supposant  qu'à  l'in- 
stant initial  la  température  dépende  seulement  de  la  distance  au 
centre.  On  ramène  le  problème  à  l'intégration  de  l'équation 

...  ^U  _  ^2U 

^^^  -dt--dF^' 

avec  les  conditions  suivantes  : 

U  sera  une  fonction  de  /-  définie  entre  o  et  i  qui,  pour  /•  =  i , 
satisfait  à  l'équation 

(4)  — =(,-AjU, 

et  pour  /  =  o,  se  réduit  à 

Il  est  une  constante  comprise  entre  o  el  i . 


3i8  PUEMlKlUi    PAiniiï. 

On  va  chercher  à  a|)|)liqiier  la  iiiéLhodc  de  Fourier,  c'esl-à-dire 
à  exprimer  U  par  une  série  dont  les  Lernies  seront  des  intégrales 
particulières  de  l'équation  (3)  satisfaisant,  en  outre,  à  l'équa- 
tion (4). 

On  trouve,  comme  solution  particulière,  la  fonction 

U  =  e~!^''  sin  |jl/-, 
dans  laquelle  jj.  doit  satisfaiic  à  Técpiation  transcendante 

(5)  tangtx=  — l-^|x. 

Cette  équation  est  discutée  dans  les  paragraphes  suivants  ;  on 
reconnaît  qu'elle  a  une  infinité  de  racines  positives  [j.,,  [ji^,  •  .  ., 
[j.„, 

On  est  alors  conduit  au  résultat  suivant  :  S'il  est  possible  de 
développer  la  fonction  rf{/')  en  une  série  de  la  forme 

A]  sin  [jt.1  /•  -h  Aosin  [Jig /•-+-...  -i-  A/^  sin  \x,ir  H-  .  .  . , 

la  solution  du  problème  sera 

U  =  Al  e-V'i^  sin  [jLi  /--h  A^e-P-i^sin  [ji,/^  +.  .  .-h  Kae~V-nt  sin  U/i/-  -t-  .  .  . . 

La  question  est  donc  ramenée  au  développement  d'une  fonc- 
tion s'annulant  pour  /' =  o  suivant  les  fonctions  particulières 
sin  [jL/\ 

Si  l'on  admet  que  le  développement  est  possible,  il  est  facile  de 
déterminer  les  coefficients;  mais  Fourier  n'a  pas  démontré  la  pos- 
sibilité du  fait.  Pour  établir  ce  [)oint  d'une  manière  rigoureuse.^  il 
faut  recourir  à  une  méthode  donnée  par  Cauchy. 

Jl  est  nécessaire,  pour  l'exposition  de  cette  méthode,  de  définir 
et  d'évaluer  les  valeurs  asjmptotiques  des  fonctions;  c'est  l'objet 
des  deux  Chapitres  suivants.  Dans  le  Chapitre  XI,  on  étudie  prin- 
cipalement les  valeurs  asjmptotiques  des  fonctions  de  la  forme 
suivante  : 

où  les  P  sont  des  polynômes  entiers  en  z^   et  les  a  des  quantités 
réelles.  Dans  le  Chapitre  XII,  on  étudie  les  intégrales  définies  de 


COMPTKS   KIÙNDUS    l/V    ANALVSI-IS.  h^ 

1,1   loniK- 


f  J'i^)^' 


hliiliii,  dans  le  (Chapitre  XIII  on  inonlrc,  (;ii  applifjiianl  les  ré- 
sultais |)i'(  rédciils,  (juc,  sous  ccrlaitics  conditions,  une  fonclion 
ncul  rire  dcvcloppéc  en  série  procédant  suivant  les  (exponentielles 
('  'l^'\  les  iJL  élanl  les  racines,  en  nombre  infini,  d'une  certaine 
(Mpialion  transcendante  que  l'on  j)eut  choisir  arbitrairement. 

lin  parliculier,  on  [)eut  retrouver  la  série  de  Fourier,  en  pre- 
nant l'équation 

Pour  résoudre  le   problème  du  refroidissement  de  la  sphère,  on 
doit  considérer  l'équation 

langp.  =  A  [JL. 

Chapitre  XIV.  —  Après  avoir  ainsi  donné  la  solution  complète 
d'un  certain  nombre  de  cas  particuliers,  nous  abordons  mainte- 
nant le  problème  général  du  refroidissement  d'un  corps  quel- 
conque ;  mais  ici  nous  perdrons  en  rigueur  ce  que  nous  gagne- 
rons en  généralité. 

La  résolution  du  problème  est  basée  sur  l'existence  des  fonc- 
tions qu'on  appelle  fonctions  harmoniques,  qui  jouissent  des 
propriétés  suivantes  : 

Si  U  est  une  fonction  harmonique  relative  à  un  corps  déter- 
miné, on  a,  à  l'intérieur  du  corps, 

AU  -H/rU  =  o, 
k  étant  une  certaine  constante,  et  à  la  surface 

^U       ,  ., 

— h  AU  =  o, 

an 

h  étant  la  constante  donnée  dans  l'énoncé  du  problème. 

On  démontre,  par  un  procédé  qui  rappelle  la  démonstration  du 
principe  de  Dirichlet  donnée  par  Ricmann,  qu'il  existe  une  in- 
finité de  fonctions  U,  et  l'on  en  donne  les  propriétés  les  plus 
^impies. 


320 


PREMIÈRE  PARTIE. 


Comme  application,  on  détermine  les  fonctions  U  dans  le  cas 
du  parallélépipède  rectangle. 

Dans  le  Chapitre  XV,  se  trouvent  exposées  les  propriétés  gé- 
nérales des  fonctions  U  et  des  constantes  k  qui  leur  correspon- 
dent; en  particulier,  on  montre  qu'il  est  possible  de  déterminer 
des  limites  inférieures  pour  ces  quantités  k. 

Nous  arrivons  ensuite  à  l'application  des  fonctions  U  au  pro- 
blème de  Fourier.  Il  faut  trouver  une  fonction  V  telle  que  l'on  ait 


dt 


=  AV, 


à  l'intérieur  du  corps; 


h  AV  =  o, 

an 


à  la  surface,  et 

pour  /  =  o. 

Si  l'on  peut  développer  Vq  en  série  procédant  suivant  les  fonc- 
tions harmoniques 

Vo  =  Al  Ui -h  A,  U2 -4- . . .  H-  A „  U„ -4-  .  . . , 
on  vérifie  que  la  solution  est 

V  =  AiUie-^'V  -+-  AoUse-^'-^^  +.  .  .-H  A, ,U,je-/^V  -+-... . 

La  question  étant  ainsi  ramenée  au  développement  de  la  fonc- 
tion Vo  suivant  les  fonctions  U,  il  est  facile  de  déterminer  les 
coefficients  A.  Il  resterait  alors  à  démontrer  que,  si  l'on  pose 

V  =  AiUie-/'-/  +  ...+ A„U;,e-^V-f-  R„, 

le  reste  R,i  tend  vers  o  quand  n  croît  indéfiniment.  C'est  ce  qui 
n'est  pas  démontré.  On  montre  seulement  que  l'intégrale 


/// 


J  J  J 
tend  vers  zéro. 

L'auteur  indique  ensuite  une  méthode,  fondée  sur  une  généra- 
lisation de  la  méthode  de  Cauchy,  que  l'on  pourrait  essayer  d'em- 
ployer pour  démontrer  en  toute  rigueur  la  possibilité  du  dévelop- 
pement. 


\ 


l 

'1 


COiMPTIîS   RHNDUS  ET  ANALYSHS.  \u 

ClKipilrc  X\  I .  —  C.oiniiu;  appllcallon  (I(î  la  théorie  générale, 
nous  considérons  le  cas  d'une  sphèivî  de  rayon  i,  la  lempéralure 
élanl  dlslrihuée  d'une  inaiiirre  (|uclcon(|ue  dans  l(;  (•or|)s. 

Il  est  utile  de  définir,  à  (-e  propos,  les  pol^'nomes  et  les  fonc- 
tions s])liériques. 

Un  poljnome  spliérique  est  un  polynôme  II  homogène  en 
x,  j%  :;,  et  satisfaisant  à  l'équation 

AU  =  o. 

Si  l'on  transforme  les  coordonnées  x^y^  z  en  coordonnées  po- 
laires /•,  0,  c5,  on  a 

1I„=/-".X„. 

X,i  est  une  fonction   des  angles  0  et  cp  que  l'on  appelle /b/ic^/o/i 
sphéj'ique. 

On  va  montrer  qu'une  fonction  arbitraire  des  deux  angles  0 
et  o  est  développable  suivant  les  fonctions  sphériques;  pour  cela 
l'auteur  commence  par  rappeler  de  quelle  manière  Laplace  a  été 
conduit  à  ce  résultat,  par  des  considérations  relatives  au  potentiel  ; 
puis  il  expose  la  méthode  que  Dirichlet  a  donnée  pour  établir  la 
proposition  rigoureusement. 

Chapitre  XVll.  —  Supposons,  d'après  cela,  qu'une  fonction 
harmonique  U,  relative  à  la  sphère,  soit  développable  par  les 
fonctions  sphériques.  Soit 

U  =Scp„(r).n„. 

On  montre  facilement  que  chaque  fonction  o  doit  satisfaire  à  une 
équation  diflférentielle  du  second  ordre, 

dr-'^  /i  -4-  I     do 

-7-r  -^  2 '    ^  A- Ci  =  o. 

ar-  r       dr 

En  outre,  on  doit  avoir  la  condition 

pour  /•  =  1 . 

Jl  faut  résoudre  la  question  suivante  :  Développer   suivant  les 


32-2 


PURMlElUi:    PARTIE. 


foDclions  U  une  fonction  aihilraire  V  de  /•,  0  et  cp  ;  Ja  question  se 
ramène  au  développement  d'une  fonction  arbitraire  de  /•,  définie 
entre  o  et  i  au  moyen  des  fonctions  C5. 

Avant  de  traiter  cette  question,  l'auteur  indique  un  nouveau 
problème,  celui  du  refroidissement  d'un  cylindre  de  révolution, 
qui  va  nous  conduire  à  des  résultats  analogues.  En  considérant  les 
coordonnées  semi-polaires  /■,  to,  3,  on  trouve  des  fonctions  U  de 
la  forme 

Z(^).cp(,-).II. 

Z  est  égala  sinu;  ou  cosp.:;,  -j.  étant  racine  d'une  équation  déter- 
minée, n  est  un  polynôme  sphérique,  et  cp  doit  satisfaire  à  l'équa- 
tion 

rP o         2n  ^  i   do 

dJ^  "^  ~J--    dr  -^  ^   ?  =  «' 


ainsi  qu'à  l'équation  à  la  limite 


do 


~  -^{n-\-h)o  =  0, 


t// 


pour  /■  r=  I 


Chapitre  XVIIL  —  Ainsi,  les  deux  cas  particuliers  qui  pré- 
cèdent conduisent  à  l'équation 


qui  se  ramène  à 


d'-o 
'dx-^ 


0.11 


'111 


X 


I    do 

~  Th- 

I    do 

.  i_ 

■dx 


ko    :=    0, 


-+-'.3    =    0. 


Le  paramètre  n  est  un  entier  dans  le  cas  du  cylindre  et  la  moitié 
d'un  entier  impair  dans  le  cas  de  la  sphère. 

Le  dernier  Chapitre  est  consacré  à  l'intégration  de  cette  équa- 
tion et  à  l'étude  des  valeurs  asymptotiques  de  ses  intégrales. 
Enfin,  on  démontre  le  seul  point  qui  reste  à  établir,  c'est-à-dire  la 
possibilité  du  développement  d'une  fonction  arbitraire  V(/)  dé- 
finie entre  o  et  i   suivant  les  fonctions  ci. 


COMPTI'S   UIîNDUS   I-:T   ANALYSES.  {2] 


Mm  KICK  i)'()ClA('iM'i,  l  n  !,'('' I  lie  11  r  des  Pouls  cl  Cluiiissrcs,   Professeur  ;i  l'Kcole 
(les  l\)iils  cl  (lliaiissées,   Ilépélileiir  à  l'I^Lcoh;  l\)lyU'('.liiii(ni(î.  —  (loins  dk 

(ÎKOMliTHIi:    niiSClUI'TIVR    KT     l)K    GKoMlîTRIli    I.NFINITlisiMALi:.     I     VOI.     ill-H". 

Piiris,  (liuillii(M--\'ilI;irs  el  (ils.   iS(j(). 

Les  Leçons  fjiio  piihlic  INI.  IMaurico  d'Ocaj^ne  s'adressent  aux 
('•lr\('s  du  cours  |)r('paraloirc  de  l'Ecole  des  l?onLs  et  Cliaussécs. 
Il  r.iul  donc  Icnir  conipledu  cadre  dans  lequel  l'auleur  était  tenu 
de  se  renfermer  et  du  l)ut  précis  qu'il  devait  poursuivre  :  initier 
de  liilurs  in<;('Miieurs  aux  principes  essentiels  de  la  Géométrie 
infinitésimale  et  aux  grands  problèmes  qui  constituent  l'actualité 
dans  cette  science.  L'auteur  ne  pouvait  songer  à  recourir  aux 
glandes  méthodes  générales  qui  exigent  un  temps  qu'on  ne  peut 
pas  toujours  demander  à  déjeunes  esprits  impatients  de  se  spé- 
cialiser dans  des  recherches  d'un  autre  ordre.  L'auteur  a  su  choisir 
avec  beaucoup  de  sagacité  des  méthodes  plus  simples  qui  devaient 
l'amener  exactement  au  but  qu'il  voulait  atteindre. 

Nous  ne  dirons  rien  de  la  première  Partie  du  Livre,  entière- 
ment occupée  par  la  Géométrie  descriptive  et  qui  contient,  en 
quatre  Ghapilres,  les  théories  classiques  des  projections  cotées, 
de  la  perspective  axonométrique,  des  ombres  et  de  la  perspective 
linéaire.  I/ordre  et  la  méthode  font  tout  le  prix  de  ces  quatre 
Chapitres,  dont  le  fond  se  trouve  à  peu  près  imposé  par  l'usage, 
fixé  lui-même  par  les  nécessités  de  la  pratique. 

La  seconde  Partie,  la  Géométrie  infinitésimale,  offrait,  comme 
nous  l'avons  déjà  dit,  plus  de  prise  à  l'initiative  personnelle  de 
Tauleur. 

Après  avoir  rappelé  en  un  préambule  les  principes  de  la  mé- 
thode infinitésimale  en  Géométrie  et  en  Analjse,  l'auteur  traite  la 
théorie  des  courbes  planes. 

Il  la  ramène  toute  à  trois  formules  fondamentales,  utilisées  déjà 
par  M.  Mannheim  dans  son  Cours  de  V École  Polytechnique.  Il 
convient  de  noter  le  soin  qu'a  pris  M.  d'Ocagne  de  préciser  dans 
ces  formules  la  question  des  signes.  Ces  précautions  ne  sont  pas, 
comme  certains  le  pourraient  croire,  le  fait  d'un  esprit  hanté  de 
1  amour  de  la   forme;  ces  tendances  vers  le  vide  ne  sauraient  être 


3'2i 


PHEMIÈHE   PARTIK. 


imputées  à  un  savant  aussi  pénétré  des  convenances  pratiques  que 
l'est  l'ingénieux  rénovateur  des  abaques. 

En  réalité,  ces  précautions  sont  indispensables  dès  que  l'on  veut 
passer  aux  plus  modestes  applications  et  l'étudiant  qui  veut  ré- 
soudre son  problème  n'est  pas  moins  à  môme  d'en  reconnaître 
l'utlhlé  que  le  géomètre  qui  poursuit  ses  recherches. 

Les  deux  premières  des  formules  dont  nous  parlons  ont  trait  à 
la  question  suivante  : 

Une  droite  tangente  en  un  point  IVI  à  une  courbe  (M)  coupe  en 
un  point  A  une  seconde  courbe  (A),  sous  un  certain  angle  a;  il 
s'agit  de  trouver  les  deux  relations  qui  lient  l'angle  a,  le  segment 
MA,  ainsi  que  les  différentielles  de  MA,  des  arcs  des  courbes  (M) 
et  (A)  et  de  l'angle  que  fait  MA  avec  une  droite  fixe. 

Ces  deux  formules  généralisent,  comme  on  voit,  celles  qui,  en 
coordonnées  polaires,  relient  entre  eux  le  rajon  vecteur,  l'angle 
polaire,  les  différentielles  de  ces  quantités,  celle  de  l'arc  de  la 
courbe  et  l'angle  sous  lequel  la  courbe  est  coupée  par  le  rayon 
vecteur. 

Enlîn,  dans  la  troisième  formule  fondamentale,  on  suppose  que 
l'on  ait  mené  d'un  point  A  d'une  courbe  (A)  des  tangentes  à 
deux  courbes  fixes  (M),  (Mi  )  et  l'on  se  propose  d'évaluer  la  diffé- 
rentielle de  l'angle  de  ces  deux  tangentes. 

Ces  trois  formules  sont  d'une  démonstration  facile  et  s'adaptent 
avec  une  souplesse  remarquable  à  la  démonstration  d'un  grand 
nombre  de  propositions  qui  en  ressortent  comme  autant  de  cas 
particuliers.  Avec  beaucoup  d'élégance,  M.  d'Ocagne  en  a  tiré  la 
théorie  des  normales  et  des  développées,  ainsi  que  plusieurs  pro- 
positions concernant  des  enveloppes  de  droites  assujetties  à  cer- 
taines conditions. 

Nous  signalerons  entre  autres  l'intéressante  application  aux  sec- 
tions isogonales  et  à  la  fibre  moyenne  d'une  voûte,  dont  la  consi- 
dération a  été  introduite  par  M.  Jean  Resal. 

La  théorie  des  courbes  gauches,  qui  remplit  le  Chapitre  suivant, 
sera  complétée  ultérieurement  par  l'étude  des  développables  qui 
s'y  rattachent,  quand  on  aura  exposé  les  propriétés  générales  des 
surfaces.  L'auteur  a  consacré   quelques  développements  étendus 


¥ 


a 


coMPTi'S  MiîNnns  i: T  analyses.  {9.5 

;'i  r('hi(l('  (le  rii('ll(U',  (loiil  on  connuîl  le  rnl<;  irn|)orl;ml,  dinis  (juan- 
lil(''  <rap|)licalions  pratiqurs. 

l/(''hi(l('  (les  sif/'/'f/ccs  en  ^rnrral  csl  l'objol  (riiri  (lliapilro  im- 
poi'lanl . 

De  la  (l('(iiiill()n  du  plan  lancent,  l'aulcur  passe,  par  une  exlcn- 
sion  naliirelle,  aux  enveloppes  en  général,  el  comme  il  aime,  avec 
raison,  à  illustrer  d'exemples  les  théories  générales,  il  applique 
aussitôt  cette  notion  à  la  démonstration  du  théorème  de  Malus 
relalilniix  rayons  réfléchis. 

Dans  l'étude  de  la  courbure,  M.  d'Ocagnc  suppose  la  surface 
rajiportée  à  son  plan  tangent,  et  sur  la  forme  réduite  de  l'équation 
de  la  surface  il  étudie  sa  forme  et  montre  comment  la  discussion 
géométrique  amène  nécessairement  l'indicatrice  de  Dupin,  les 
transports  asymptotiques  et  les  couples  de  tangentes  conjuguées. 
Il  déduit  les  théorèmes  d'Euler  et  de  Meusnier  de  considérations 
purement  géométriques  et  montre  quels  liens  les  rattachent  à  l'in- 
dicatrice de  Dupin. 

C'est  aussi  par  les  moyens  de  la  Géométrie  pure  que  sont  expo- 
sées les  propriétés  des  axes  de  courbure  de  Sturm,  les  formules 
de  M.  J.  Bertrand  et  d'Ossian  Bonnet. 

A  propos  de  la  mesure  de  la  courbure  de  la  surface  en  un  point, 
on  trouvera  définies  la  courbure  totale  de  Gauss,  la  courbure 
moyenne  de  Sophie  Germain,  et  enfin  la  courbure  introduite  par 
M.  Casorati  et  qui  est  représentée  par  la  demi-somme  des  carrés 
des  inverses  des  rayons  de  courbure  principaux.  Toutes  ces  expres- 
sions généralisent  à  certains  points  de  vue  la  notion  analogue 
relative  aux  courbes;  en  se  plaçant  à  des  points  de  vue  nouveaux, 
on  obtiendra  d'autres  formes  de  généralisation.  Cependant,  la 
courbure  de  Gauss  a  pour  elle  cette  propriété  capitale  de  rester 
invariable  dans  une  déformation  de  la  surface. 

Ce  Chapitre  se  termine  par  un  paragraphe  sur  les  lignes  tracées 
sur  une  surface.  La  définition  de  la  courbure  et  de  la  torsion  géo- 
désiques  occupent  naturellement  la  première  place. 

La  formule  de  M.  Bertrand  et  celle  d'Ossian  Bonnet  donnent 
chacune  une  expression  de  la  torsion  géodésique  que  l'auteur  ne 
manque  pas  de  faire  connaître.  Les  lignes  de  courbure  et  leur 
rùle  dans  les  systèmes  orthogonaux,  les  lignes  asymptotiques,  les 


yjfy 


PUEMIEHE   PARTIE. 


lignes  conjuguées,  les  lignes  géodésiqnes  sont  lour  à  lour  définies 
et  étudiées. 

JLnfin,  désireux  de  ne  laisser  ignorer  à  ses  auditeurs  aueun  des 
grands  problèmes  qui  occupent  les  géonjètres  de  ce  siècle,  l'auleur 
les  initie  à  la  théorie  des  surfaces  minima  et  à  celle  de  la  défor- 
mation. 

JjC  Ghapilrequi  termine  TOuvrage  Iraile  des  surfaces  de  nature 
spéciale;  il  offrira  naturellement  des  applications  variées  des 
théories  précédentes. 

Nous  trouvons  d'abord  les  surfaces  enveloppes  de  sphères,  et  en 
particulier  la  cjclide  de  Dupin,  les  surfaces  de  révolution. 

Viennent  ensuite  les  surfaces  gauches.  La  distribution  du  plan 
tangent  le  long  d'une  génératrice  donne  lieu  à  une  question  de 
sens  et  de  signe,  qui  peut  être  une  cause  d'embarras  dans  les 
épures  et  que  l'auteur  a  tenu  à  éclaircir  avec  netteté.  Si,  en  effet, 
le  point  de  contact  se  déplace  dans  un  sens  déterminé  sur  la  géné- 
ratrice rectiligne,  pour  un  observateur  traversé  des  pieds  à  la  tête 
par  le  point  mobile,  le  plan  tangent  pourra  |)araître  tourner  soit  à 
gauche,  soit  à  droite;  de  là  une  question  de  signe  pour  le  j)ara- 
mètre  de  distribution.  M.  d'Ocagne  a  insisté  comme  il  convenait 
sur  ce  point  délicat. 

Nous  retrouvons  un  soin  analogue  à  propos  des  surfaces  gauches 
à  cône  directeur  de  révolution  et,  en  particulier,  des  hélicoïdes 
gauches.  Dans  la  théorie  des  surfaces,  on  trouvera  une  élégante 
détermination  de  l'indicatrice  pour  un  point  quelconque  de  la  sur- 
face. Ces  hélicoïdes  jouent  un  rôle  particulièrement  important 
dans  les  applications;  de  là  l'étude  soignée  et  détaillée  qu'en  a 
faite  l'auleur. 

C'est  aux  surfaces  développables  que  sont  consacrés  les  deux 
derniers  paragraphes  du  Livre.  Leur  théorie  vient  compléter  celle 
des  courbes  gauches  auxquelles  elles  sont  liées  et  dont  elles  sont 
les  réciproques  sur  voie  de  dualité.  L'application  aux  surfaces 
d'égale  pente  était  tout  indiquée  dans  un  cours  professé  devant 
de  futurs  ingénieurs. 

Nous  pensons  cependant  avoir  fait  ressortir  que  ces  Leçons 
s'adressent  aussi  aux  amis  de  la  Géométrie  désireux  de  s'initier 
aux  faits  et  aux  problèmes  essentiels  de  la  Géométrie  infinilési- 


nialc.  C^onrucs  coiiscicncicuscinonl,  ('crilcs  avec  ordre  oL  clarté, 
(Iles  |)r<Mi(lr()nl  imc  |)lacc  lionoraMc  parmi  nos  inclllcms  Ouvraj^cs 
il  cijsci^ncrncnl .  (î.  Koi;nk;s. 


MELANGKS. 

SUR  LE  THÉORÈME  DE  DESCARTES; 

Pau  m.   K.Mii.i;  HOHKL. 

On  sait  que  la  règle  des  signes  de  Descartes  permet,  connais- 
sant les  signes  des  coefficients  dans  une  équation  algébrique  en- 
tière, et  sachant,  en  outre,  que  certains  coefficients  sont  nuls,  de 
fixer  une  limite  supérieure  du  nombre  des  racines  réelles  de  cette 
équalion.  Par  exemple,  «,  h,  c  étant  des  nombres  positifs,  l'équa- 
tion 

x^"^  —  ax^^ —  bx'^  -f-  c  :=  o 

a,  au  plus,  trois  racines  réelles.  Je  me  propose  de  compléter  ce 
théorème  en  faisant  voir  que  Ton  peut  choisir  les  nombres  a,  b,  c 
de  manière  que  ce  nombre  maximum  soit  atteint.  En  d'autres 
fermes,  le  théorème  de  Descartes  exprime  tout  ce  que  l'on  peut 
dire  sur  la  réalité  des  racines  d'une  équation  algébrique,  lorsqu'on 
connaît  seulement  les  signes  des  coefficients  non  nuls. 

Considérons,  en  effet,  un  polynôme  de  degré  di  dans  lequel 
le  coefficient  de  ^'"  est  réduit  à  l'unité  et  le  coefficient  de  x"^~'^ 
nul  ou  égal  à  dz  S-?^-'""^^".  Il  est  aisé  de  voir  que,  pour 

X  =±  32 -«-S/' -1, 

c'est  le  ternie  en  œ"^~P  qui  donne  son  signe,  s'il  n'est  pas  nul.  En 
effet,  la  valeur  absolue  du  terme  en  œ"^'^  est  alors 

rl  Ton  en  conclut  que,  en  prenant  positivement  le  terme  en 
x"''^P  el  négativement  tous  les  autres,  la    valeur  du  polynôme  est 


supérieure  à 


PREMIÈRE   PARTIE. 


3//j(/«-i)+{/«— 


L         3        3'*        39  J' 


et  la  quantité  entre  crochets  est  manifestement  positive. 

Ce  point  établi,  la  proposition  énoncée  se  démontre  très  aisé- 
ment, car  il  suffit  de  substituer  tous  les  nombres  œ=^it:3^"^~^P~^ 
pour  déceler  l'existence  d'un  nombre  de  racines  réelles  égal  au 
maximum  indiqué  par  le  théorème  de  Descartes.  Nous  avons 
ainsi  donné  le  moyen  de  choisir  les  coefficients  non  nuls,  dans 
une  équation  où  l'on  connaît  seulement  leurs  signes,  de  manière 
que  ce  maximum  soit  eflfectivement  atteint.  On  sait  d'ailleurs  que, 
dans  ce  cas,  le  théorème  de  Descartes  fait  connaître  immédiate- 
ment le  signe  des  racines. 


FIN    DE    LA    PRKMIKRI':    PVnTIl-:    DU    TOMK    XX. 


TAIJLES  ^v^ 

DES 

^lATIÈUlilS  ET  NOMS  D'AUTKUUS. 

TOME  XX;   1896.  -  PREMIÈRE  PARTIE. 


TABLE  ALPHABETIQUE 

DES  MATIÈRES. 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES. 

Pages, 

Barbera  (L.).  —  Teorica  délie  equazioni  diiïerenziali  duple 23 

BiERMANN  (0.)-  —  Elemente  des  liolieren  Malhematik i53-i55 

BocHER  (M).  —  Ueber  die  Reihenentwickelungen  der  Potentialtheorie.  67-72 

Brahy.  —  Exercices  méthodiques  de  Calcul  intégral 28t 

Capelli  (Alfredo).  —  Lezioni  di  Algebra  complementare 278-274 

Carli  (A.  )  et  Favaro  (  A.  )•  —  Bibliografia  Galileiana 288-286 

Elliot  (E.-B.).  —  An  introduction  to  the  algebra  of  Quantics 217-218 

FiNCK  (D'  K.).  —  Lazare-Nicolas-Marguerite  Carnot 278-279 

Grassmann  (H.)-    —   Gesammelte    mathematische    und    physikalische 

Werke 281-282 

Greenhill  (A.)-  —  Les  fonctions  elliptiques  et  leurs  applications 288 

GuNDELFiNGER  (S.).  —  Vorlcsungen  aus  der  analytische  Géométrie  der 

Kegelschnitte 249-260 

Henke  (R.)-  —  Ueber  die  Méthode  der  kleinsten  Quadrate 85 

HuYGHENS  (Chr.  ).  —  OEuvrcs  complètes 121  -181 

Jordan  (€.)•  —  Cours  d'Analyse  de  l'École  Polytechnique  (t.  III) 286 

Klein  (F.).  —  The  Evauston  coUoquium 299-802 

Klein  (F.).  —  Leçons  sur  certaines  questions  de  Géométrie  élémentaire.  288 
Klein  (F.).  —  Vortriige  iiber  ausgewahlte  Fragen  der  Elementargeo- 

metrie 65-66 

Krause   (M.)-    —  Théorie  der   doppeltperiodischen    Functionen  einer 

verânderlichen  Grosse 182-189 

Kronecker.  —  Werke i55-i56 

Lazzeri  (G.)  et  Bassani  (  A.  )•  —  Elementi  di  Geometria 66-67 

Maggi  (G.-A.).  —  Principii  délia  iheoria  matematica  del  movimento  dei 

'^'^rpi 260-263 

Malhematical  papers  read  at  the  International  Malhematical  Congress.  297-299 

Bull,  des  Sciences  mathém.,  2"  série,  t.  XX.  (Décembre  1896.)  28 


33o  PREMIÈRE  PARTIE. 

Pages. 
MÉRAY  (Charles).  —  Leçons  nouvelles   sur  l'Analyse  infinitésimale  et 

ses  applications  géométriques 11-22 

NiEWENGLOWSKi  (B.).  —  CouTS  de  Géométrie  analytique  à  l'usage  des 
élèves  de  la  classe  de  Mathématiques  spéciales  et  des  candidats  aux 

Écoles  du  Gouvernement 3o8-3io 

Neperus.  —  Mirifici  logarithmorum  canonis  constructio 8i-35 

Neumann  (C).  —  Allgemeine  Untersuchungen    iiber   das  Newton'sche 
Princip  der  Fernwirkungen  mit  besonderer  Rucksichtauf  die  electris- 

chen  VVirkungen 3o3-3o8 

D'Ocagne  (Maurice).  —  Cours  de  Géométrie  descriptive  et  Géométrie 

infinitésimale 323-34 

D'OviDio  (E.).  —  Gcometria  analitica 21 1-2 12 

Padé.  —  Formules  et  propositions  pour  l'emploi  des  fonctions  elliptiques.  22 
Painlevé  (P.).  —  Leçons  sur  l'intégration  des  équations  différentielles 

de  la  Mécanique  et  applications 274-276 

Papelier  (  G.).  —  Leçons  sur  les  coordonnées  tangentielles 273 

Pascal  (  E.).  —  Teoria  délie  Funzioni  ellittiche 277 

Pesci  (G.). —  Trattato  elcmentare  di  Trigonometria  piana  e  sferica 249 

Pesci  (G.). —  Appendice  al  trattato  elemenlare  di  Trigonometria  piana 

e  sferica 249 

Pluecker  (JuLius).  —  Gesammelte  Wissenschaflliche  Abhandlungen. .  277-278 

P01NCARÉ  (H.),  —  Théorie  analytique  de  la  propagation  de  la  chaleur..  3io-322 

Poincaré  (  H.).  Les  oscillations  électriques 5-i i 

Resal  (  IL).  —  Traité  de  Mécanique  générale 23 

Ritter  (  Frédéric).  —  François  Viète 204-21 1 

Sauvage  (L.).  —  Théorie   générale  des   systèmes  d'équations  différen- 
tielles linéaires  et  homogènes 266-260 

Stackel  (P.)  et  Engel  (Fr.).  —   Die   Théorie  der  Parallellinien   von 

Euklid  bis  Gauss 279-281 

Tanxery  (  J.)  et  MoLK  (  J.)-  —  Éléaiienls  de  la  théorie  des  fonctions  ellip- 
tiques (t.  II ) i85-2o4 

Teixeira  (G.).  —  Curso  de  Analyse  infinitésimal.  Calculo  différenciai..  3o8 
Tisserand  (F.)  —  Recueil  complémentaire  d'exercices  sur  le  Calcul  infi- 
nitésimal (  2°  édition  ) 276 

WiRTiNGER  (W. ).  —  Untersuchungen  ueber  Thetafunctionen 25o-255 

Zeuthen  (H. -G.).  —  Geschichte  der  Mathematik  im  Alterthum  und  Mit- 

telalter io5-io8 

Zeuthen  (  H. -G.).  —  Note  sur  l'histoire  des  Mathématiques 24-28 

MÉLANGES. 

Adam  (Henri).  —  Calcul  de  Mons.  Des  Cartes  ou  Introduction  à  la  Géo- 
métrie, i638 221-248 

BoREL  (  Emile  ).  —  Sur  le  théorème  de  Descartes 327-329 

BoscHA.  —  Christian  Huygens. .  ; 33-64 

Bulletin  bibliographique 3i,  io4,  120,  162,  216,  271,  293,  329 

Delassus  (Et.).  —  Sur  les  séries  de  puissances  et  les  fonctions  majo- 
rantes   73-80 

DoLBNiA  (J.).  —  Sur  la  réduction   des  intégrales  abéliennes  dépendant 

d'une  équation  algébrique  binôme i56-i84 


TABLE   DES  NOMS   D'AUTEURS.  33i 

Pages. 

llAOAMAnD  (J.)'  —  Sur  une  forme  de  l'intégrale  de  l'équation  d'Eulcr..  2G3-26G 

IIamy  (  M.)-  —  Note  sur  la  série  de  Lagrangc 2i3-2ifj 

Hkhmite  ( eu.).  —  Sur  une  formule  de  M.  G.  Ff)ntené 218-221 

Kluyvkii.  —  Sur  les  valeurs  (|uc  prend  la  fonction  Ç(.ç)  de  Riemann, 

pour  s  cnlier  positif  et  impair 1 16-1 19 

LiiMAiiiE  (  Ed.)-  —  ^^ur  les  séries  entières  à  plusieurs  variables  indépen- 
dantes    286-29.3 

MÉnAY  (Ch.).  —  Nouveaux  exemples  d'interpolations  illusoires 266-271 

Mkyeu  (Fil.).  —  Rapport  sur  les  progrès  de  la  théorie  des  invariants 

projectifs.  Deuxième  partie i39-i52 

Pftrovitch  (M.).  —  Sur  les  fonctions  symétriques  et  périodiques  des 

diverses  déterminations  d'une  fonction  algébrique 108-1 14 

PoKHovsKY  (P.).  —  Sur  les  fonctions  ultra-elliptiques  à  deux  arguments.  86 

De  Saint-Germain.  —  Note  sur  le  pendule  sphérique i  i4-i  16 

Vessiot.  —  Sur  l'étude   d'une  courbe  algébrique  autour  d'un   de  ses 

points 29-31 


FIN   DE    LA    TABLE    DE    LA    PREMIERE    PARTIE    DU    TOME  XX. 


2i0i0 


Paris.  -  Imprimerie  GAUTUiEK-ViLLARS  £1  FILS,  quai  des  GranUs-Aususims,  65. 


I 


^ 


BULLETIN 


SCIENCES  MATHÉMATIQUES. 


AY  I  S. 

Toutes  les  communications  doivent  être  adressées  à  M.  Darhnux,  Membre 
de  rinstitut,  rue  Gay-Lussac,  30,  Paris. 


IllULlOilIÈOUE    DE    L  licol. K    DKS   HAUTES    ÉTUDES, 

PUIJMKK  SOUS  M:S  AUSPICKS  du  RIIMSTKIli:   lue  l/iNSTIllJCTION  l>LniJ(jL'i:. 

3 


BULLETIN 

ni;  s 

SCIENCES  MATHÉMATIQUES, 

HfilDIGÉ  PAU  MM.  GASTON  DAHBOUX  ET  .IULES  TANNEHV, 

AVEC    LA   COLLABOnATION    DE 

MM.    CM.    ANDRK,    BELTRAMI,   BOUGAIEFF,    BROCARD,    BRUNKL, 

COURSAT,    en.    HENRY,    G.    KŒNIGS,    LAISANT,    LAMPE,    LESPIAULT,     S.    LIE,    MANSION, 

MOLK,    POKROVSKY,    RADAU,    RAYET,   RAFFY, 

S.    RINDI,    SAUVAGE,    SCIIOUTE,     T.    TANNERY,    ED.    WEYR,    ZEUTIIRN,    ETC., 

Sous  la  direction  de  la  Commission  des  Hautes  Études. 

PllBLICVTIOX  FO\DÉE  M  1870  PAR  MM.  G.  DARBODX  ET  J.  HOIEL 
ET  CONTINUÉE  DE   1876  A    1886  PAR  MM.   G.  DARBOUX,  J.   HOUEL  ET  .1.  TANNERV. 


DEUXIEME  SERIE. 
TOME  XX.  -  ANNÉE  1896. 

(tome    XXXI    DE   LA    COLLECTION.) 


SECONDE   PARTIE. 


PARIS, 

GAUTIIIËR-VILLARS  ET  FILS,  IMPRIMEURS-LIBRAIRES 

DU    BUREAU    DES   LONGITUDES,    DE   l'ÉCOLE    POLYTECHNIQUE, 
Quai  des  Grands-Augiistins,  55. 

1896 


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BULLETIN 


OKS 


SCII:NCI:S  MAI11ÉMAT1QI]|]S. 


SECONDE   PARTIE. 


REVUE   DES   PUBLICATIONS  ACADÉMIQUES 
ET  PÉRIODIQUES. 


ACTA  MATIŒMATICA. 

Tome  XVI;  1892. 

Zorawskl  (A.).  —  Sur  les  invariants  de  déformation.  Une  appli- 
cation de  la  théorie  des  groupes  de  Lie.  (i-64). 

Il  s'agit  des  quantités  qui  ne  changent  pas  lorsqu'on  déforme  la  surface, 
telles  que  la  courbure  totale  de  Gauss,  les  paramètres  différentiels  de  Beltrami, 
ou  la  courbure  géodésique.  De  telles  quantités  ne  doivent  dépendre  de  la  forme 
de  la  surface  que  par  les  coefficients  E,  F,  G  de  l'élément  linéaire.  De  plus, 
elles  ne  doivent  pas  être  altérées  par  un  changement  de  coordonnées  curvilignes. 

I.  L'auteur  rappelle  un  certain  nombre  de  propositions  empruntées  à  la 
théorie  des  groupes  continus  infinis,  lesquelles,  en  particulier,  permettront  de 
ramener  les  groupes  de  la  question  à  certains  groupes  finis. 

II.  La  surface  étant  rapportée  à  des  coordonnées  curvilignes  x^  y,  effectuons 
sur  ces  coordonnées  un  changement  de  variables  quelconque.  En  calculant  les 
nouvelles  valeurs  de  E,  F,  G,  les  transformations  ainsi  définies  seront  celles 
d'un  certain  groupe  infini  qu'on  peut  appeler  le  groupe  de  Gauss.  Si,  en  même 
temps  que  les  coefficients  E,  F,  G,  on  exprime  en  fonction  des  nouvelles  va- 
riables une  ou  plusieurs  fonctions  de  point,  on  obtient  des  transformations 
dont  l'ensemble  sera  un  groupe  de  Beltrami;  car  c'est  à  de  pareilles  transfor- 
mations que  se  rapportent  les  pai'amètres  difierentiels  de  cet  auteur.  Les  trans- 
formations qui  s'appliquent  aux  quantités  E,  F,  G  et  à  l'équation  d'une  courbe 
tracée  sur  la  surface  forment  un  troisième  groupe  le  groupe  de  Minding. 
Enfin,  en  faisant  entrer  en  ligne  de  compte   à   la  fois  des  coefficients  de  Télé- 


6  SECONDE   PARTIE. 

ment  linéaire,  des  fonctions  de  point  et  des  équations  de  courbes,  on  a  le  groupe 
général. 

Les  quantités  cherchées  sont  les  invariants  difTérenticis  de  ces  groupes  et, 
pour  les  rechercher,  on  devra,  d'après  la  méthode  de  Lie,  prolonger  les  groupes 
et  déterminer  les  invariants  des  groupes  ainsi  prolongés. 

Or,  une  transformation  infinitésimale  quelconque  étant  efTectuée  sur  .r,  y,  on 
calcule  aisément  les  changements  infiniment  petits  de  E,  F,  G,  ce  qui  donne  la 
transformation  infinitésimale  la  plus  générale  du  groupe  de  Gauss.  Considérant 
ensuite  une  fonction  dont  l'accroissement  infinitésimal  est  connu,  on  détermine 
les  accroissements  de  ses  différentes  dérivées.  Ces  résultats  permettent  de 
former  les  transformations  infinitésimales  des  groupes  de  Gauss,  de  Beltrami, 
de  Minding  et  du  groupe  général  prolongés. 

III.  On  peut  dès  lors  écrire  les  systèmes  complets  auxquels  doivent  satisfaire 
les  invariants  différentiels  des  difTérents  ordres;  mais  il  importe  de  savoir 
combien  d'équations  sont  indépendantes  dans  un  quelconque  de  ces  systèmes. 

En  commençant  par  le  groupe  de  Gauss,  on  reconnaît  que  le  système  cor- 
respondant à  l'ordre  n  + 1  comprend  d'une  part  les  équations  du  système  cor- 
respondant à  l'ordre  n  modifiées  par  la  présence  de  termes  supplémentaires, 
d'autre  part  des  équations  nouvelles.  Celles-ci  revêtent  une  forme  très  simple 
et  l'on  voit  aisément  qu'elles  sont  indépendantes. 

Il  en  résulte  que  toutes  les  équations  du  système  de  l'ordre  n-\-i  sont 
distinctes  s'il  en  est  ainsi  pour  le  système  d'ordre  n.  Cette  remarque  ramène 
la  question  du  nombre  des  équations  indépendantes  à  l'étude  des  systèmes  cor- 
respondant aux  premiers  ordres  de  différentiation. 

On  reconnaît  ainsi  qu'il  y  a,  pour /i  =  o,  3  équations  indépendantes  sur  l\', 
pour  /i  =  I,  9  sur  lo;  pour  /i  =  2,  17  sur  18;  pour  n  au  moins  égal  à  3, 
(/i  +  i)  (/i +4)  équations  toutes  indépendantes,  de  sorte  que  le  nombre  des 
invariants  indépendants  pour  /i  ^  3  est  n  —  i. 

IV.  En  employant  une  méthode  analogue  pour  les  autres  groupes  prolongés, 
on  constate  que  les  systèmes  complets  correspondants  sont  tous  composés  d'é- 
quations indépendantes.  Pour  les  invariants  de  Beltrami  {ni  désignant  le 
nombre  des  fonctions  de  point  introduites)  on  trouve  ainsi  (« -h  i)/?i  invariants 
d'ordre  n.  Les  invariants  correspondants  à  /n  >  i  s'expriment  toujours  en 
fonction  de  ceux  qui  ne  comprennent  qu'une  seule  fonction  soumise  à  la 
transformation;  mais  il  faut  pour  cela  introduire  des  invariants  d'ordres  supé- 
rieurs à  celui  de  l'invariant  à  exprimer. 

Les  invariants  de  Minding  sont  au  nombre  de  i  pour  chaque  ordre  à  partir 
du  second,  sauf  le  quatrième  qui  en  comporte  deux.  Enfin  le  groupe  général 
ne  fournit  aucun  invariant  qui  ne  puisse  s'exprimer  à  l'aide  des  précédents. 

V.  Pour  calculer  effectivement  les  invariants  demandés,  il  faut  procéder  à 
l'intégration  des  systèmes  complets.  Quelques  remarques  générales  permettent 
de  diviser  la  difficulté  en  intégrant  les  équations  successivement. 

VI.  Appliquant  à  la  recherche  des  invariants  des  ordres  les  moins  élevés,  on 
retrouve  comme  invariant  gaussien  la  courbure  totale,  comme  invariants  de 
Beltrami  les  paramétres  différentiels  connus,  comme  invariant  de  Minding  la 
courbure  géodésiquc.  Ces  invariants  avaient  été  obtenus  précédemment  par  des 
méthodes  qui  n'exigeaient  point  d'intégration,  mais  sur  lesquelles  la  méthode 


RIiVUK   OHS   PlinLICATIONS.  7 

procéder)  !<•   .1    l'avaiilaf,'»^   de    loiiniir    hms   les    iii  vaiiaiil  ■^    iiKh'pcndaiil  s   cL    eux 


Kobb    {('')•    —    Sur   les    maxmia    cl    les    iiimiiiia    des    iiilé^rah.'S 
(loiiMos.  (().")-i4<>). 

I^'aiiliMir  i^ciirralisc  aux  intégrales  doubles  les  inélliodcs  relatives  au  calcul 
des  variations  (|ui  a|t|)arli»iinent  à  M.  Wcicrstrass,  et  doiil  il  faudrait  pcut-rtre 
avoir  connaissance  pour  apprécier  à  toute  leur  valeur  les  ré'sultats  obtenus  [)ar 
INI.  Kohi). 

I     On  clierclic  les  niaxima  et  niiniina  de  rinL('f,'rale 


(') 


l-   I   I    \'{.c,y,z;  x',y\z';  x" ,  y",  z"  )  du  dv 


(où  x',  y',  z' ;  x",  y",  z"  sont  les  dérivées  premières  de  x,  y,  z  par  ra[)port 
à  u  et  V  respectivement)  étendue  à  l'intérieur  d'une  certaine  courbe  fermée 
|<'(m,  v>)—  0  le  long  de  laquelle  les  valeurs  de  x,  y,  z  sont  données.  Mais  on 
suppose  que  cette  intégrale  ne  dépend  que  de  la  forme  de  la  surface  lieu  du 
points:,  >',  z  et  non  du  système  de  coordonnées  curvilignes  «,  v  choisi  sur  cette 
surface.  Il  faut  pour  cela  que  la  fonction  F  satisfasse  aux  équations  aux  dérivées 
partielles 


(^) 


,  àV           ,  ()I^'  ,  ÙV          „  ÔV           „  ô¥ 

\'  ~  X   -T— ,  +  y'  -—■  -]-  s   -T—,  —  X   -—7,  +  y   -—7, 

dx        "^  ()y  ôz             dx        -^    ôy 

,  ô¥           ,  (W  ,  dV          „  ÔV          „  ()V 

àx        *^  Oy  ôz              ôx'       "^  ôy 


l"  = 


X 


ÔF 

ôz" 
ÔF 
ôz'' 


Cela  posé,  comparant  l'intégrale  I  à  une  intégrale  infiniment  voisine  corres- 
pondant au  remplacement  de  x,  y,  z  par  x  +  ^, y  -h  r^,  z  -{- ^  [où  ^,  r,,  ^  sont 
nuls  sur  la  courbe  limite  F  (a,  ç^)=o],  la  première  variation  61  se  met  par  la 
méthode  ordinaire  sous  la  forme 


ff 


(r,ç  +  r./r,  -hr,Z)dudv, 


'        ()X        ou  \ôx'  )        ÔV  \ôx" 


C'est  ici  qu'interviennent  les  équations  (2);  en  difFérentiant  ces  équations  on 
arrive  à  démontrer  que  Ton  a 


V.  ~ 


y 


G, 


r.= 


G, 


r  = 


X     y 
x"    y" 


G, 


où  G  est  une  certaine  fonction  des  dérivées  partielles  de  F;  de  sorte  que  l'ex- 
pression de  ol  se  transforme  en 


(3) 


Jôi=//g„. 


du  d\\ 


y 

y" 


S-h 


z"    x" 


X    y 

x"    y" 


SECONDE   PAKÏIE. 


Une  coudilioii    nécessaire  pour  (jne  SI  soil   nul   csl  que   G  =o  sur  LouLe  la 

surface  cherchée  Sou  du  moins  sur  chaque  portion  régulière  de  S.  Si  d'ailleurs 

()F  ()v       ÔF   dit. 
cette  surface  offre  des  lignes  de  discontinuité,  on  reconnaît  que  -—  — j—r,  —r- 

et  les  quantités  analogues  doivent  rester  continues. 

II.  Une  surface  intégrale  d'une  équation  aux  dérivées  partielles  du  second 
ordre  est-elle  déterminée  par  la  condition  de  passer  par  un  contour  donné? 
Cette  question  a  été  résolue  par  M.  Picard  pour  les  équations  linéaires.  La 
méthode  de  M.  Picard  s'étend  aux  équations  non  linéaires,  mais  linéaires  ce- 
pendant par  rapport  aux  dérivées  partielles  du   second  ordre.  Soit  à  cet  effet 


(O         .1>(^)=A^H-2I3   ^^^^ 


ÙH' 


du  ôv 


V  [a,  V,  X, 


<)x    f)x 


une  telle  équation;  x  qI  x-^\  deux  intégrales  infiniment  voisines  passant  par 
le  même  contour  :  on  considérera  l'intégrale  double 


// 


^ <I>  (  ^  -f-  H  )  —  *l'  (  -37 )]  <^"  <^^^^ 


étendue    à   l'intérieur   du   contour.   On  arrive   aisément  à   exprimer   la    partie 
principale  de  cette   intégrale  par  une  autre  où  la  quantité  sous  le  signe 

est  une  forme  quadratique  en  'i,  -—,  —■  Celte  dernière  devra,  pour  que  l'on  ait 

"    Ou    ôv 

nécessairement  ^  =  o,  être  une  forme  définie. 

Les  mêmes  considérations  s'étendent  au  cas  de  plusieurs  équations  à  plusieurs 

fonctions  inconnues.  Ici  nous  partirons  des  équations  F,  =  o,  F^  =  o,  r^=  o  et 

nous  considérerons  l'intégrale  double 

(  5  )  f  fi  \  6r,  +  T,  or,  +  :;  sr^  )  du  r/c, 

laquelle  peut  s'écrire 

(5)'  I  I  woG  dudv, 

à  cause  de  l'équation  G  =  o  vérifiée  sur  la  surface  primitive  S.  En  se  servant 

des  résultats   de    la    première  partie,  d'après  lesquels  les  dix-huit  quantités 

d'F        d'F  fV-F        à' F  â'F        1/    r>F  Ô^F     . 

sont 


dx'''    âx' Oy  ^  âx"^    ôx"  dy"  ''  ôx' dx"    2\dx"oy       ôx' ôy 

égales  aux  carrés  et  aux  produits  deux  à  deux  des  quantités 


y 
y" 


?  = 


Z        X 

z"     x" 


T  = 


X     y 

x"    y" 


multipliés  respectivement  par  des  facteurs  F,,  F,,  F^,  on  met  cette  intégrale 
sous  la  forme 


ffb 


dw\-  /àwV  -,   ôw  r)iv 

du  )  '  \  ()v  )        "    "'  Ou    Ov 


L.,^'--L„V+L.^ 


-J-  2  L, ,  ^T,  +  ■?.  L,  ç;  -h  2  L^^  -r, 


du  dw 


RKVUlî   DKS  PUBLICATIONS.  () 

Or  on  coiisliilc  |»ar  des  (•al('iils  aiuilo^ucs  ;'i  ceux  de  (I)  (|iic  I.,,,  L_,^,  ...  sont 
r^aliMiiiiil  itioporlionnol.s  aux  carrés  «'L  aux  prodtiils  deux  à  deux  de.  -x,  [j,  /.  Kn 
(lésion. ml   [i.ir  l"\  le  l'acliMir  d('  |)ro[)(til  ioiiiialilc',  il   vi(Mil, 

On  <M>  drdiiil  les  conditions  clicrchces  pour  (|ne  la  forme  c|iii  figure  sous  le 
si^nr     /   /   soil  dédnic.  On  csl  ainsi  do  nouveau  conduit  à  ré(|ualion 

,  .,  à   /,,  ài'i'       ,,  âw\        à  /,,  (hv       ,,  (h\>\       „ 

(|ui  (lélcrininc  les  surfaces  G  (solutions  de  G  =  o)  inlinirnont  voisines  de  X. 
Toute  intéf;rale  de  cette  équation,  égalée  à  o,  fournit  sur  cette  dernière  surface 
un  contour  en  dehors  duquïïl  la  propriété  de  maximum  ou  de  minimum  cesse 
nécessairement. 

III.  Comme  variation  infiniment  petite  de  l'intégrale,  nous  pouvons  prendre 
l'intégrale  I'  obtenue  en  coupant  (suivant  un  contour  fermé  K)  la  surface  S 
par  une  surface  régulière  quelconque  F  et  substituant  à  la  portion  de  S  inté- 
rieure à  K  la  surface  formée  par  :  i"  une  portion  de  surface  G  infiniment 
voisine  limitée  à  son  intersection  K'  avec  la  surface  F;  2"  la  bande  infiniment 
étroite  de  F  comprise  entre  K  et  K'. 

La  différence  I' — I,  ou  du  moins  sa  partie  principale,  s'exprime  par  une  inté- 
grale prise  le  long  de  K.  Si  l'on  désigne  par  l  la  distance  de  deux  points  cor- 
respondants des  deux  contours,  par  w  l'angle  que  cette  distance  fait  avec  la 
tangente  à  K,  cette  intégrale  est  de  la  forme 


/ 


C  l  sin  w  ds^ 


où  C  est  une  fonction  de  x^y,  z  ainsi  que  de  leurs  dérivées  par  rapport  aux 
coordonnées  curvilignes  sur  la  surface  S  d'une  part  et  sur  la  surface  F  de 
l'autre.  Il  faut  dès  lors,  pour  qu'il  y  ait  maximum  ou  minimum,  que  la  fonc- 
tion C  garde  un  signe  invariable,  quels  que  soient  le  contour  K  et  la  surface  F, 
ce  qui  se  traduit  par  une  inégalité  analogue  à  celles  qui  figurent  dans  la  W 
Partie. 

Inversement  cette  condition,  jointe  à  celles  qui  ont  été  données  en  (II),  suflit 
pour  l'existence  d'un  maximum  ou  d'un  minimum;  autrement  dit,  l'intégrale  I 
prise  sur  2  est  alors  plus  petite  (s'il  s'agit  d'un  minimum)  que  la  même  inté- 
grale prise  sur  une  surface  quelconque  F  infiniment  voisine  et  passant  par  le 
même  contour.  Ceci  se  voit  en  coupant  la  surface  F  par  une  série  de  surfaces  G 
infiniment  voisines  les  unes  des  autres.  Si  K  est  une  des  lignes  d'intersection, 
l'intégrale  prise  d'une  part  sur  la  portion  annulaire  de  F  comprise  entre  K  et 
le  contour  donné,  d'autre  part  sur  la  portion  de  surface  G  intérieure  à  K  varie 
avec  la  surface  G  considérée.  Or  de  ce  fait  que  C  est  d'un  signe  invariable  ré- 
sulte que  cette  intégrale  varie  constamment  dans  le  même  sens  lorsque  la  sur- 
face G  se  rapproche  de  -,  par  suite  qu'il  y  a  bien  maximum  ou  minimum.  Ce 
raisonnement,  établi  d'abord  lorsque  F  est  régulière,  se  généralise  aisément  au 
ras  où  la  surface  F  est  composée  d'un  nombre  fini  de  surfaces  régulières. 


10  SECONDE  PARTIE. 

Lohnstein  [Th.).  —  Notice  sur  une  inclliodc  pour  l'inversion  nu- 
mérique de  certaines  transcendantes.  [\  /\\-\  /\'>.). 

La  mélhodc  exposée  par  M.  Runge,  dans  le  Tome  XV  du  même  journal,  pour 
le  calcul  numérique  des  Iranscondanlcs  inverses  avait  déjà  été  appliquée  par 
K.  Schcllbach  {Die  Lelire  von  den  elliptisclien  Jntegralen  und  den  Tlieta- 
functionen,  Rerlin,  i864),  sous  une  forme  moins  simple  et  moins  parfaite,  il 
est  vrai. 

Lilienthal  [R.  von).  —  Sur  la  théorie  do   la   courbure  des  sur- 
faces, (i  43-1  52). 

Emploi  de  notations  particulières  et  introduction  des  rayons  de  courbure 
géodésiques  des  lignes  de  courbure.  Application  de  la  notation  exposée  à  la 
courbure  définie  par  M.  Casorati  (même  Journal,  t.  XIV).  Démonstration, 
dans  cette  notation,  de  l'interprétation  géométrique  proposée  par  cet  auteur  et 
étude  de  quelques  expressions  analogues. 

Voiler ra    (Vito).    —    Sur   les    vibrations    lumineuses    dans    les 
milieux  biréfringents.  (i53-2i5). 

Lamé  a  étudié,  dans  ses  leçons  sur  l'élasticité,  l'hypothèse  d'un  centre  d'é- 
branlement unique  dans  la  propagation  de  la  lumière  à  travers  un  milieu  biré- 
fringent. 

Chaque  onde  issue  de  l'origine  à  l'origine  des  temps  étant  ressentie  en  un 
point  quelconque  x^  y,  z  k  deux  époques  différentes  X,,  X^  correspondant  au 
passage  de  chacune  des  nappes  de  la  surface  des  ondes,  on  en  déduit  pour  les 
équations  de  l'Optique  une  intégrale  de  la   forme 

l  ?.  =  X,[F,(/  +  X,)-F9,(;-  >01  +  XJI%(^  +  >^J+r.(^-\)], 
(0  ^  =  V,[F.(^ -h  X.)H- '-?,(< ->^,)]+YJK,(^ +  \)+9,(;- \)], 

u,  V,  w  étant  les  composantes  cherchées  du  déplacement,  les  X,  Y,  Z  étant 
certaines  fonctions  déterminées  de  x,  y,  2,  les  F,  9  des  fonctions  arbitraires  des 
variables  <+),,  t-\-\./,  t  —  \^,  t  —  >v^  respectivement.  Mais  il  n'est  pas  exact 
t[ue,  suivant  l'opinion  de  Lamé,  ces  expressions  puissent  représenter  la  vibra- 
tion provenant  d'un  centre  d'ébranlement.  Cela  tient  à  ce  que  Lamé  n'a  pas  re- 
marqué la  polydromie  des  fonctions  X,  Y,  Z. 

L  Les  équations  de  l'Optique 

l     ()f    ~  ^    ây  àz  ' 

^    '  \    dt'  ()z  àx 

\    ôt-  ()x  Oy 

(où  L,  \,  W   sont  les  composantes  de  la  rotation  due  aux  déplacements  w,  r,  « 


HFVUK   DHS   PUBLICATIONS.  ii 

i\)  |ioii\iiU  s'uhLciiir  vu  amiulaiiL  lu  varialioii  d'une  intéf,'ralc.  Celle  circonstance 
peiincl  lie  les  transformer  en  coordonnées  curvilignes  quelconques  w,,  u^,  u^, 
Iransfornialion  ((ui  peut  au  reste  s'opérer  directement. 

II.  Aux  équations  E  ainsi  obtenues  correspondent  d'autres  équations  K' 
(|u'on  peut  appeler  conjuguées  da  pretnières,  de  sorte  que  chaque  solution  du 
syslènie  I^  donne  une  solution  du  système  K'  et  récipro(|uemenl.  Mais  les  solu- 
tions ainsi  correspondantes  ne  sont  pas  quelconques.  On  reconnaît  aisément 
que  les  solutions  de  K  qui  se  rattachent  par  la  voie  dont  nous  venons  de  parler 
à  (les  solutions  de  li'  sont  celles  qui  correspondent  à  des  vibrations  transver- 
sales. 

Le  système  E  se  rapporte  à  l'hypothèse  de  Neumann,  le  système  E'  à  l'hy- 
pothèse contraire  de  l'^rcsnel. 

III.  iM.  VVcbcr  a  représenté  les  coordonnées  des  points  de  la  surface  des 
ondes  par  des  produits  de  fonctions  elliptiques  de  deux  paramètres  (les  mo- 
dules étant  différents  pour  chaque  paramètre)  et  de  deux  manières  différentes  : 
l'une  qui  permet  de  représenter  par  des  paramètres  réels  u^,  u^  la  nappe  exté- 
rieure de  la  surface,  l'autre  qui  représente  par  des  paramètres  réels  u^,  u^ 
la  nappe  intérieure.  Si  maintenant  nous  considérons  l'espace  comme  découpé 
par  les  nappes  extérieures  (intérieures)  de  surface  d'ondes  homothétiques  et 

concentriques,  le  rapport  d'homothétie  étant  désigné  par  Wj(a,  ),  on  aura  pour 
l'espace  des  coordonnées  curvilignes  w,,  m^,  Wj,  (w,,  u^,  uJ.  Ce  sont  ces  coor- 
données que  l'auteur  nomme  coordonnées  de  Weber  de  première  (deuxième) 
espèce  et  relativement  auxquelles  il  écrit  les  équations  de  Lamé. 

Mais  il  y  a  lieu  d'observer  que  la  coordonnée  ^3(1^3)  est  discontinue,  les 
surfaces  de  discontinuité  étant  formées  par  les  parties  que  découpent  dans  le 
plan  des  xz  les  parallèles  aux  axes  optiques  menées  par  l'origine. 

IV.  On  obtient  aisément  des  intégrales  des  équations  ainsi  transformées  tant 
en  coordonnées  de  première  espèce  qu'en  coordonnées  de  seconde  espèce  et  en 
les  additionnant  on  trouve  des  intégrales  I  de  la  forme 

{   u  =  u^f{t  -H  M J  +  f/j3  9  (  ^  +  u^  ), 

(•^)  j     f  =   t^„/(i-M<,)-t-  ^3   9(^-h  wj), 

[     w  -  W^f{  t-^  U^)-h  (V.  9  (  ^  -I-  M,  ), 

où  u^,  v^,  w^;  Ua,  Vo,  Wa  sont  indépendants  de  t.  On  constate  d'ailleurs  que  ce 
sont  les  seules  intégrales  des  équations  (2)  appartenant  à  ce  type  spécial. 

Ces  intégrales  (au  fond  équivalentes  à  celles  de  Lamé)  correspondent  à  des 
vibrations  transversales  et  l'on  en  déduit  des  intégrales  des  équations  conjuguées. 

V.  Mais,  en  vertu  de  la  discontinuité,  remarquée  précédemment,  de  la  troi- 
sième coordonnée,  les  composantes  du  déplacement  ainsi  trouvé  présentent 
une  polydromie  autour  des  droites  T,,  T^  menées  par  l'origine  parallèlement 
aux  axes  optiques  :  deux  d'entre  elles  changent  de  signe  quand  on  revient  au 
point  de  départ  après  avoir  tourné  autour  d'une  de  ces  droites;  sur  ces  droites 
mêmes,  ces  composantes  sont  indéterminées. 

Donc,  contrairement  à  l'opinion  de  Lamé,  les  vibrations  ainsi  représentées 
ne  peuvent  résulter  d'un  centre  unique  d'ébranlement,   elles  ne  peuvent  être 


12  SECONDE   PAUTIE. 

produiles  que  par  une  couche  de  centres  distribués  sur  une  surface  telle  qu'on 
doive  nécessairement  la  rencontrer  quand  on  tourne  autour  de  T,  ou  de  T^. 

D'ailleurs  en  supposant  que  les  expressions  I  représentent  la  vibration  produite 
par  un  centre  d'ébranlement,  on  pourrait  leur  ai)pli<nier  le  principe  d'Huygens. 
Orles  expressions  aux(|U(!lles  on  arrive  ainsi  et  qui  sont  celles  de  M"""  Kovalewski, 
ne  vérifient  pas  les  équations  (^),  ce  qui  provient  de  la  circonstance  qui  vient 
d'être  signalée. 

VI.  Introduisant  deux  solutions  différentes  des  équations  de  Lamé  (ou  de 
leurs  conjuguées),  on  peut  écrire  des  formules  analogues  à  celle  de  Green.  En 
prenant  les  précautions  nécessaires  en  raison  de  la  polydromie  constatée  dans 
les  numéros  précédents,  on  peut  en  déduire  un  théorème  qui  correspond  à 
celui  que  Kirchboffa  donné  comme  généralisation  du  principe  d'Huyghens. 

VII.  u{x,  y,  z),  v{x,  y^  z)^  iv(^,  y,  2)  étant  la  solution  précédemment  ob- 
tenue des  équations  (2),  les  intégrales  triples 

^Vw{x-\.y-r,,z-X,)\'^{X,-t,.  X,)d\ch,d1,, 

ne  donnent  pas,  ainsi  qu'on  l'a  vu  en  (V),  des  solutions  de  ces  mêmes  équa- 
tions. Mais  les  intégrales  doubles  analogues  où  t)  est  supposé  nul,  le  point  (  ^,  Ç) 
variant  dans  une  certaine  portion  du  plan  des  xz^  sont  des  solutions  et  corres- 
pondent à  des  vibrations  transversales,  du  moins  en  se  bornant  à  la  moitié  de 
l'espace  située  au-dessus  de  ce  plan.  D'ailleurs  on  peut  introduire  dans  cette 
solution  des  fonctions  arbitraires  de  trois  variables  en  introduisant  ^  et  Ç  non 
dans  une  fonction  nouvelle,  mais  dans  les  fonctions  arbitraires  qui  figurent 
aux  formules  (3  ). 

Ces  expressions  restent  finies  au  voisinage  du  plan  j^  =  o  et  l'on  peut  en  dé- 
terminer les  limites  à  l'aide  des  propositions  données  en  (VI). 

VIII.  On  peut  éliminer  une  des  fonctions  inconnues  entre  les  équations  (2) 
et  la  condition  de  transversalité,  et  le  numéro  précédent  donne  des  solutions 
du  système  S  ainsi  obtenu.  A  ces  solutions  on  pourra  adjoindre  leurs  dérivées 
dans  lesquelles  on  pourra  changer  les  fonctions  arbitraires,  de  sorte  qu'on  aura 
pour  le  système  S  une  solution  composée  de  fonctions  finies,  monodromes  et 
continues  dans  toute  la  moitié  de  l'espace  donnée  parjK>o,  et  dépendant  de 
quatre  fonctions  arbitraires  de  trois  variables,  en  un  mot  présentant  les  carac- 
tères d'une  intégrale  générale,  sans  qu'il  soit  rigoureusement  démontré  que 
l'on  peut  obtenir  ainsi  toute  intégrale. 

IX.  On  trouve  en  théorie  électromagnétique  de  la  lumière  que  les  équations 
de  l'EIectrodynamique  dans  un  milieu  non  conducteur  qui  est  électriquement 
anisotrope  et  magnétiquement  isotrope  se  ramènent  aux  équations  de  Lamé;  et 
là  même  où  il  n'y  a  pas  isotropie  magnétique,  mais  simplement  coïncidence 
entre  les  axes  magnétiques  et  électriques,  en  partant  des  équations  données  par 
Hertz,  on  arrive  au  même  résultat. 

l-lnlin,  on  peut  supposer  le  milieu  conducteur,  sous  la  condition  d'admettre 


I 


RFVUK  DKS    PUBLICATIONS.  fJ 

(|iic  les  ;i\es  rcl.ilil's  .1  la  roiKliirlihilih-  coVncidenL  encore  avce  les  prc-cédenls. 
Les  équations  se  ramèniMil  aux  ('-(iiialions  de  I^anié  pai  un  eliuiif,'erncnl  de  va- 
riables simple. 

I\orh  {^11.  von).  —  Sur  les  dé  terminants  infinis  et  les   ('(jiialioiis 
tliiréreiihclles  linéaires.  (';>  1  ^- >();")). 

Les  résultats  du  travail  inséré  au  Tome  XV  du  même  journal  sont  rendu> 
absolument  i;énérau\  moyennant  un  certain  nombr-e  de  principe  relatifs  aux 
déterminants  infinis. 

!.   Principes  sur  les  déterminants  infinis. 

1.  Convergence  du  déterminant.  —  Un  tableau  à  douille  entrée,  indéfini 
dans  tous  les  sens 

A,^j(/,  A-  =  — X,  .  ..,  H-x), 

où  l'on  nomme  éléments  diagonaux  ceux  pour  lesquels  i=  /c,  est  dit  un  dé- 
terminant de  la  forme  normale  si  le  produit  des  cléments  diagonaux  et  la 
série  des  éléments  non  diagonaux  convergent  tous  deux  absolument.  On  peut 
d'ailleurs  ramener  au  déterminant  de  la  forme  normale  un  déterminant  tel 
que  :  1°  le  produit  des  termes  diagonaux  converge  absolument;  2°  il  existe  une 
suite  de  quantités  x,(i  =  — x,  ...,  +x)  rendant  convergente  la  série 

Yà  Yà  ^"^  ^  (  /,  A-  =  -X,  . . . ,  +  X  ;  i  7£  /O- 

Un  cas  particulier  important  est  celui  de  x-=^  x'. 

Si  de  telles  conditions  sont  remplies,  on  peut  définir  la  valeur  du  détermi- 
nant. Cette  valeur  ne  change  pas  si  l'on  prend  pour  élément  origine  un  élé- 
ment diagonal  quelconque. 

Le  déterminant  reste  convergent  lorsqu'on  remplace  les  éléments  d'une  ligne 
quelconque  par  des  quantités  finies.  Il  change  de  signe  par  l'interversion  de 
deux  lignes  ou  de  deux  colonnes;  il  s'annule  lorsqu'il  a  deux  lignes  ou  deux 
colonnes  proportionnelles.  On  peut  le  développer  suivant  les  éléments  d'une 
ligne  ou  d'une  colonne  quelconque;  plus  généralement,  on  peut  définir  les 
mineurs  de  tous  les  ordres  et  étendre  aux  déterminants  infinis  la  règle  de  La- 
place,  la  décomposition  d'un  déterminant  en  somme  d'un  nombre  fini  ou  infini 
de  déterminants,  le  théorème  de  la  multiplication,  les  propriétés  des  détermi- 
nants adjoints. 

Si  les  éléments  du  déterminant  sont  fonctions  analytiques  d'une  variable  in- 
dépendante p  et  si  le  déterminant  est  uniformément  convergent,  il  représentera 
également  une  fonction  analytique  de  p  et  l'on  pourra  en  prendre  la  dérivée 
par  la  même  règle  que  s'il  s'agissait  d'un  déterminant  ordinaire. 

2.  Systèmes  infinis  d'équations  linéaires.  —  Un  système  d'un  nombre  infini 
d'équations  linéaires  homogènes  à  une  infinité  d'inconnues,  dont  le  déterminant 
est  de  la  forme  normale,  n'admet  de  solution  non  nulle  que  si  ce  déterminant 
est  égal  à  zéro. 

Les  mineurs  diagonaux  tendant  vers  i  lorsque  leur  ordre  augmente  indéfini- 
ment, il  existe  nécessairement  un  mineur  d'ordre  fini  difi'érent  de  zéro  et  l'on 
peut  appliquer  le  théorème  de  Rouché. 


i4  SECONDE   PAiniE. 

II.  Application  aux  équations  difTérentielIcs  linéaires. 

.3.  Expression  des  intégrales.  —  Prenant,  comme  dans  son  précédent  travail, 
l'équation 

(dont  les  coefficients  sont  holomorphes  à  l'intérieur  d'une  couronne  circu- 
laire C  qui  a  son  centre  ù  l'origine  et  comprend  le  point  a;  =  i)  et  substituant 
pour  l'intégrale  cherchée  un  développement  de  la  forme 

-I-OO 

(2)  r=  2]  s\x^''^ 

M.  Helge  von  Koch  multiplie  les  équations  précédemment  écrites  pour  la  dé- 
termination des  coefficients  g  par  des  quantités  dont  le  produit  est  convergent 
de  manière  à  transformer  leur  déterminant  £2(p)  en  un  autre  D(p)  qui  est 
une  fonction  entière  de  p.  Une  difficulté  se  trouve  ainsi  écartée,  celle  qui  est 
relative  aux  singularités  de  la  fonction  Si. 

Soit  p'  une  racine  de  D(p);  cette  racine  peut  être  simple  ou  multiple 
d'ordre  \i.  Dans  ce  dernier  cas,  on  considère  les  mineurs  de  D(p).  Soit  r(r^  p.) 
l'ordre  du  premier  mineur  qui  ne  s'annule  pas  pour  p  =  p',  les  mineurs  des 
premier,  deuxième,  etc.,  r  —  i'*"*  ordre  admettant  la  racine  p'  avec  les  ordres 
de  multiplicité  respectifs  [jl,,  [jl^,  ...,  [x^_,.  Les  nombres  [j.,,  |x,,  ...,  |j.^_,  et  les 
différences  |x,— [jLj=v^,  [x,— [x^rry^,  ...,  [x^_,  =  v^_,  vont  en  décroissant,  ix,, 
[J-2,  .  ••>  P-r-i  sont  dits  les  nombres  caractéristiques  relatifs  à  la  racine  p'. 

Si  p'  est  racine  simple,  la  résolution  des  équations  en  g  donnera  une  inté- 
grale correspondant  à  cette  racine,  p'  étant  racine  multiple,  les  équations  en  g 
auront  /'  solutions  indépendantes  qui  donneront  pour  l'équation  (t)  r  intégrales 
indépendantes  de  la  forme  (2),  c'est-à-dire  autant  qu'on  doit  en  trouver  si  les 
nombres  V  sont  tous  égaux  à  i  (;•=  [x). 

Supposons  maintenant  r<  [J^,  ]on  remarquera  que  non  seulement  les  ;•  inté- 
grales dont  nous  venons  de  parler,  mais  encore  leurs  dérivées  par  rapport  à  p' 
jusqu'à  l'ordre  ;x  —  i,  satisfont  à  l'équation  donnée.  Seulement  les  [x, —  i  pre- 
mières dérivées  de  la  première  intégrale,  les  [x^ — i  premières  dérivées  de  la 
seconde,  etc.  sont  identiquement  nulles,  de  sorte  qu'il  reste  en  tout  jx  solutions 
dont  [X —  /'  contiennent  des  termes  logarithmiques.  Considérant  successivement 
les  différentes  racines  de  D(p)  on  a  bien  ainsi  toutes  les  solutions  cherchées. 

Application  est  faite  au  cas  classique  où  toutes  les  intégrales  sont  régulières. 

4.  Les  invariants.  —  Les  résultats  ainsi  obtenus  concordent  de  tout  point 
avec  ceux  que  faisaient  prévoir  les  travaux  de  M.  Fuchs.  L'équation  D(p)=i  o 
n'est  autre  que  l'équation  fondamentale  déterminante  F(w)=:  0  moyennant  le 
changement  d'inconnue  e-'"?=  w. 

Or  les  coefficients  des  difierentes  puissances  de  p  dans  D(p)  sont  des  séries 
entières  par  rapport  aux  coefficients  des  fonctions  V^{x),  . . .,  P„(:r  )  qui  entrent 
dans  l'équation  donnée.  Il  en  est  par  suite  de  même  des  quantités  que  M.  Poin- 
caré  appelle  invariants,  c'est-à-dire  des  coefficients  de  l'équation  fondamentale 
qui  sont  des  fonctions  linéaires  et  homogènes  de  D(o),  D'(o),  ....  D('')(o). 


MIÎVUK   DliS   PUIUJCATIONS.  i ', 

Dans  cliaruiic  do  ces  l'onclions  les  coefficients  sont  des  polynômes  en  -/  dont 
les  roefficients  sont  des  nombres  rationnels. 

.\|i|)!i(-;il  ion   ;'i    ré(]n;ition 


a'  Y  X  i  y  V 

dx^       \  ôc'       X'       X  j 

l'(>inc(tn''  {II.).  —  Sur  la  polarisai  ion  j)ar  diflraction.  (  ^^^-.l'^o). 

I.  l'izeau  a  constaté  que  la  réllexion  sur  des  fentes  métalliques  produit  des 
phénomènes  remarquables  de  polarisation  qu'il  a  attribués  à  l'interférence  des 
rayons  réfléchis  avec  ceux  qui  n'ont  pas  subi  de  réflexions.  M.  Gouy,  et  après 
lui  M.  Hurmuzescu,  ont  fait  des  expériences  analogues  dans  des  conditions 
plus  simples  et  plus  accessibles  au  calcul,  lequel  peut  alors  servir  à  donner 
une  idée  au  moins  approximative  des  phénomènes.  C'est  ce  que  fait  M.  Poin- 
caré  en  employant  le  langage  de  la  théorie  électromagnétique,  les  raisonnements 
étant  d'ailleurs  identiquement  les  mêmes  dans  la  théorie  élastique.  Il  désigne 
par  X,  Y,  Z  los  composantes  de  la  force  électrique  (vibration  lumineuse  de 
Fresnel),  par  a,  [3,  y  celles  de  la  force  magnétique  (vibration  lumineuse  de 
Neumann).  Il  ne  considère  d'ailleurs  jamais  que  celle  de  ces  deux  forces  qui 
est  parallèle  à  l'axe  des  z  (bord  de  l'écran)  et  dont  par  suite  les  deux  premières 
composantes  sont  nulles. 

II.  Les  résultats  de  M.  Gouy  sont  obtenus  en  se  servant  d'un  écran  métal- 
lique en  forme  de  biseau  très  aigu  sur  l'arête  duquel  on  concentre  la  lumière 
à  l'aide  d'une  lentille.  On  trouve  alors  les  lois  suivantes  : 

i°  A  l'intérieur  de  l'ombre  géométrique  la  lumière  est  polarisée  perpendicu- 
lairement au  plan  de  diffraction,  et  cela  d'autant  plus  que  la  déviation  est  plus 
grande  ; 

2»  A  l'extérieur  de  cette  ombre  la  lumière  est  polarisée  dans  le  plan  de  dif- 
fraction. Cette  polarisation  est  nulle  avec  la  déviation  et  atteint  son  maximum 
vers  3o"  ou  4<^"- 

De  plus  la  lumière  intérieure  à  l'ombre  géométrique  est  colorée,  tandis  que  la 
lumière  polarisée  dans  le  plan  de  diffraction  reste  blanche.  On  constate 
d'ailleurs  entre  ces  deux  lumières  une  différence  de  marche. 

Pour  étudier  la  question  par  le  calcul,  nous  simplifierons  encore  en  sup- 
posant : 

r  Que  les  ondes  incidentes  sont  cylindriques,  de  sorte  que  les  composantes 
des  vibrations  ne  dépendent  pas  de  z  (l'axe  des  z  étant  le  bord  de  l'écran); 

■y."  Que  l'écran  se  comporte  vis-à-vis  des  ondes  électromagnétiques  comme 
un  conducteur  parfait,  ce  qui  revient  à  supposer  qu'il  a  un  pouvoir  réflecteur 
très  grand; 

3°  Que  l'angle  du  biseau  est  infiniment  petit; 

'l"  Que  son  tranchant  est  parfait. 

III.  Supposons  d'abord  la  lumière  polarisée  dans  le  plan  de  diffraction.  En- 
visageant la  vibration  Z  qui,  si  la  lumière  est  homogène,  peut  se  mettre  sous 
le  forme  7.^cospt  -h  Z,  siny;^,  nous  voyons  que  Z ,,  Z^,  qui  ne  dépendent  que  de 


iG  SECONDE  PARTIE. 

.r,  jK,  (Joivcnl  satisfaire  à  l'équation 


(') 


h  a^/  =  0, 


la  longueur  d'onde  clanl  - — ^• 
"  a 

Passant  aux    coordonnées  polaires  p,  o),  on  reconnaît  que,  dans  nos  hypo- 
thèses,  Z  se  développe    en    série    de    Fourier  suivant   les  sinus  des   multiples 


de 


P„  étant  une  fonction  de  p  et  ^  linéaire  et  homogène  en  cospt,  sinpt.  Or  l'équa- 
tion à  laquelle  doit  satisfaire  P„  montre  que  cette  quantité  est  une  fonction  de 
Besscl  (la  variable  étant  ap);  mais  dés  que  p  est  très  grand  par  rapport  à  la 
longueur  d'onde,  on  peut  remplacer  ces  fonctions  par  leurs  valeurs  asympto- 
tiques  et  écrire 

<^)  ^'  =  1'VY— cos(^=.p--^.js,„— , 

A,^  étant  une  fonction  linéaire  de  cospt,  sinpt. 

Considérons  d'autre  part  la  lumière  totale  comme  résultant  du  faisceau  in- 
cident, que  l'on  peut  représenter  par 

où  les  B„  doivent  être  regardés  comme  connus,  et  des  faisceaux  s'éloignant  du 
bord  de  l'écran,  représentés  par 


cos    ap 


y  — /><  )  sin  — 

4  / 


2 
flb) 


La  formule  (?)  montre  que  C„  et  D,^  se  déduisent  de  la  connaissance  de  B„. 
Si  l'on  prend  pour  faisceau  incident  un  faisceau  d'intensité  constante  entre 
deux  plans  w  =  a  et  o)  =  j3,  de  sorte  que 

\    i  pour  a  <  o)<  là, 
y  (  0)  )  =  <* 

(   o  hors  de  ces  limites, 

le  calcul  montre  que  Z  se  composera  de  trois  parties  :  l'une  relative  au  faisceau 
incident,  la  seconde  au  faisceau  réfléchi;  la  troisième  ^|'j(  w)  sin  (  ap  —  j  —  pt 


représente  dés  lors  la  lumière  dilTraclée.  La  racine  carrée  de  l'intensité  de  cette 
lumière  est  donc 

(0 


(3) 


<]^,(«'0=  —  l'->5 


tan  g 


X  -\-  T.  0)  4-3  —  T 

tang -, 


l  a  II  <: 


Q    _,      — 


tan: 


faf^r. 


KJL 


HHVUK    DIÙS   PUBIJCATIDiNS.  17 

dette  intensité  peul  devenir  infinie,  niais  cela   Lient,  à   la    manière  lonlc  Lliéu- 
ii(|iie  dont  nous  avons  pris  rmlic  faiseeaii  incident,  /((o)  (UanL  disconlinnc. 

Supposons  en  second  litni  la  liiniière  polarisée  perpendiculairement  au  plan 
de  (HlFraction.  Nous  introduirons  alors  la  vibration  y  que  nous  soumettrons  à 
imc  analyse  analof^ue  à  la  précédente,  mais  aboutissant  à  un  résultat  différent: 
on   (roiive 


Cl) 


^'.(w)-  7-:'*»K 


(.)  —  a  -t-  r  (.)  -H  a  —  7: 

tang : tang 


4 


4 


tang 


—  tans:  — 


Ji  —  7: 


4 


[.a  non-coïncidence  des  formules  (3),  (/|)  njontre  qu'à  un  faisceau  incident 
naturel  correspond  un  faisceau  dillVacté  polarisé.  l'our  [2  très  voisin  de  a,  le 
rapport  des  deux  intensités  sera 


cos 


a  u) 
cos  — 


cos 


II)  +  a 


ce  (jui  montre  que  l'on  a  : 

Kntre  l'écran  et  le  faisceau  direct  (diffraction  intérieure)  de  la  lumière  pola- 
risée perpendiculairement  au  plan  de  diffraction;  entre  le  faisceau  direct  et  le 
faisceau  rélléchi  (diffraction  extérieure)  de  la  lumière  polarisée  dans  le  plan 
de  diffraction. 

Ces  résultats  sont  conformes  à  l'observation.  Au  contraire,  sur  d'autres  points 
il  y  a  désaccord.  On  rendra  compte  de  ces  désaccords  en  abandonnant  les  hy- 
pothèses trop  simples  qui  ont  servi  de  point  de  départ. 

IV.  Cessons  d'admettre  que  l'angle  du  biseau  est  infiniment  petit,  de  sorte  que 
les  deux  plans  limites  sont  w  =  o  et  w  =  Xir,  X  étant  un  peu  plus  petit  que  2, 
On  aura  des  séries  analogues  à  celles  de  tout  à  l'heure,  mais  procédant  suivant 

les  sinus  des  multiples  de  ^  et  non  suivant  les   sinus  des  multiples  de  — •   La 

A  ^2 

marche  générale  du   calcul   n'est  d'ailleurs  pas  influencée  par  ce  changement, 

non  plus  que  les  conséquences  finales. 

V.  Pour  tenir  compte  du  fait  que  l'écran  n'est  pas  un  conducteur  parfait,  on 
reprend  d'abord  le  cas  de  la  réflexion  d'une  onde  plane  sur  une  surface  métal- 
lique plane.  Si  nous  prenons  comme  axe  des  a;  la  normale  à  la  surface  réflé- 
chissante; comme  plan  des  xy  le  plan  d'incidence  que  nous  supposons  tout 
d'abord  être  le  plan   de    polarisation,  il   est  aisé  de  voir  que   la  condition  que 

Z  =:  0  dans  le  voisinage  de  la  surface  doit  être  remplacée  par  ~-^  =  —  6Z,  où  Z 

âx 

est  l'exponentielle  imaginaire  dont  la  partie  réelle  donne  la  vibration  et  8  un 

nombre  à  partie  réelle  positive. 

Un  calcul  analogue  se  fait  relativement  à  y,  pour  le  cas  où  le  plan  de  pola- 
risation est  perpendiculaire  au  plan  d'incidence. 

Dans  le  cas  où  8  est  très  grand,  on  retrouve  le  cas  simple  qui  vient  d"ètre 
étudié.  Alors  à  un  rayon  incident  naturel  correspond  un  rayon  naturel  réfléchi, 
mais  l'interférence  de  ces  deux  rayons  produit  de  la  lumière  polarisée.  Il  en 
est  de  même,  avec  des  différences  de  degré,  pour  le  cas  général. 

Dans  les  expériences  de  M.  Gouy,  la  surface  réfléchissante,  qui  est  celle  du 
Bull,  des  Sciences  niathém.,  1*  série,  t.  XX.  (Février  1896.)  R.-.^ 


i8 


SliCONDH   PARTIE. 


tranchant,  loin  d'être  plane,  a  un  rayon  de  conrlnire  très  petit.  C'est  la  dérivée 

normale  -•-   (ini  joue  alors  le  rôle  <l(';voln   plus  liant  à      --•   En    appliquant   le 

principe  d'IIuygcns  à  un  volume  limité  par  :  i"  Téeran;  2"  un  cylindre  de 
révolution  ayant  pour  axe  le  bord  et  de  rayon  très  grand,  on  arrive  a  trouver 
que  tout  se  passe  plus  ou  moins  exactement  comme  il  a  été  indiqué  en  (lll) 
et  (IV),  les  did'érences  étant  d'autant  moins  marquées  que  le  pouvoir  réllecteur 
est  plus  considérable.  En  particulier,  la  polarisation  sera  |)lus  intense  pour  les 
couleurs  qu'ad'ecte  la  lumière  réllécliie  par  le  métal  dont  est  formé  l'écran;  ce 
qui  expliquerait  les  colorations  offertes  par  la  composante  lumineuse  la  plus 
forte  (polarisée  perpendiculairement  au  plan  de  diffraction),  mais  expliquerait 
plus  difficilement  comment  l'autre  composante  paraît  blanche. 

VI.  Il  est  difficile  de  tenir  compte  du  fait  (juc  le  biseau  est  arrondi.  On  peut 
se  faire  une  idée  grossière  de  rinOuence  de  ce  fait  en  considérant  le  biseau 
comme  coupé  par  une  face  intermédiaire.  Certaines  discordances  entre  la 
théorie  et  les  faits  observés  tiennent  à  la  forme  du  biseau. 

Les  questions  examinées  en  (V)et  (\'I)  doivent  faire  l'objet  d'un  travail 
ultérieur. 

Pincherle  (S.).  —  Sur  la  génération  de  sj'stèmes  récurrents  au 
nioven  d'une  équation  didei^entlelle  linéaire.  (34  1-364). 

On  appelle  intégrale  distinguée  dune  é(|uation  linéaire  aux  différences 
finies,  la  variable  indépendante  étant  n,  celle  dont  l'ordre  d'infinilude  est  le 
plus  petit  possible  pour  n  infini.  Lorsque  l'équation  est  du  second  ordre, 
l'étude  de  l'intégrale  distinguée  ramène  à  la  notion  de  fraction  continue. 

Soit  l'équation  de  récurrence 

OÙ  l'on  a  posé 

«,, {n)=  «;,  „.  (  «  +  /i  ),„  +  rt,,  „,_,  {n-hh  ),„_,  +  . . .  +  a;,  ,  (  «  +  /O,  +  a,,_^ 

(/i  =  o,  I,  2,  ....  /-), 

( /i  )^  =  /i{n  —  \){7i  —  2  ) . . . (  /i  —  A  -h  1  ) , 
/>„  étant  la  suite  à  déterminer.  Il  est  aisé  de  voir  que  la  série 

(2)  \]{t)^^pj'^ 


satisfait  à  une  équation  de  la  forme 
(3) 


r)^U 


ou 


A{i])  =  t'^n(t), 


en  désignant  par  AU  le  premier  membre  de  (3)  et  par  l\{t)  un  polynôme 
entier  de  degré  /•  —  1  qui  dépend  de  l'intégrale  particulière  de  l'équation  (1) 
que  l'on  considère. 


}| 


MKVIIK    l)i:S    PUMLICA  riONS. 


'0 


Si  nous  supposons  (iiic  r(''(|iiJilion  ff^.{/i)  -~.  o,  (|iii  nst  r«M|uaLioti  fondîniifiilalc 
<l(-trniiiii.mlr  i('l;ili\('  à  A(l])--o  pour  le  ()oiiil,  siii^iilirr  t  o,  n'adiinM  [>as 
«le  ra<"iii('  rnlifii",  rii(iiali(tn  sans  sccon'l  riHiiil)rc  n'adiiuM  I  la  pas  d'iriU'îi^ralc 
nnironnc  à  rori;,'ino;  par  const-finenl,  r('(|nalion  (  .i  )  en  adrticllia  une  cl  uuc, 
siMilc  rcpiôsrnlt'f  [tar  la  st-ric  {■?).  \.r  rayon  do  convcrycruM'  (\r.  celle  série  sera 
le  inotluli'  d'inic  di's  racines  <\c  l'ccpialion 


Cl) 


a„^,J'-\- a^__,J'-  '  +  «,.„./'•»  +  ...  +  «,..„.=  o, 


en  i;cncral  de  la  plnspclile.  Il  sera  le  plus  grand  |)ossil»le,  c'esL-à-dire  ('f^al  an 
niodnU;  d«'  la  pins  grande  racine,  si  l'on  a  affaire  à  l'intc-grale  dislinguéc  de 
r*'-(|nation  (i  ). 

M.   l'inclierle  dclinil   ensuite  la  Iransforuial  ion  de   Ilcine 


ii[/(01-'f(/0 


r  fil-)  a 


dl 

) 


rinlégralion  élanl  opérée  le  long  d'un  eonlonr  c|ui  pari  de  l'infini  el  y  rcvienl, 
el  a|)pli(|ue  celle  Iransfortnalion  (en  la  niodilianl  pour  (|uc  l'inlégrale  ail  un 
sens)  à  la  solution  U-  de  l'éciualion  A (  LJ  )  =  o  (|ui  se  reproduil,  multipliée  par 
une  conslanlc  dillerenle  de  l'unilé,  par  uncrolalion  autour  de  la  racine  sinriple 
a-  de  ré(|ualion  {\).  On  obtient  ainsi  une  fonction  qui  satisfait  à  une  équation 
de  la  forme  (3)  el  qui  est  liolotiiorplie  dans  le  cercle  de  rayon  |a.|.  Si  a,  est 
la  plus  grande  racine  de  l'équation  (4),  U,  est  l'intégrale  distinguée  de  l'étjua- 
tion  (i). 

Après  avoir  défini  Véquation  récurrente  inverse  de  Téqualion  (i),  qui  jouit 
(le  cette  propriété  que  les  deux  équations  (4  ),  correspondant  à  deux  équations 
récurrentes  inverses,  ont  leurs  racines  inverses  les  unes  des  autres,  M.  Pin- 
cherle  applique  aux  cas  de  r—i  (équation  hypergéométrique  généralisée  de 
M.  Goursat)  et  de  /•  =  2  (généralisation  de  la  fraction  continue  de  Gauss). 

L'équation  récurrente  inverse  intervient  dans  le  développen:ienl  d'une  fonc- 
tion en  série  ordonnée  suivant  les  polynômes  d'un  système  récurrent.  Nous 
pouvons  en  effet  supposer  (jue  les  coefficients  de  l'équation  (i),  sauf  «„  ^  et  «,._i, 
soient  des  fonctions  du  premier  degré  d'une  variable  /•,  de  sorte  que  p^  soit 
un  polynôme  du  /i'*-"»  degré  en  x.  L'équation  récurrente  inverse  se  composera 
de  polynômes  de  degrés  croissants  par  rapport  à  une  variable  z.  Les  racines  a 
de  l'équation  (4)  seront  des  fonctions  analyti(jues  de  x. 

La  (juantiti;  se  développe  en  une  somme  de  /•  —  i  séries  de  la  forme 


^  b,^{n  —  h)  ^„_;.(-)/^,.(.r). 


ou  hi^{n)  est  un  polynôme  de  degré  m  en  n.  Si  fj,^{z)  est  l'intégrale  distinguée 
de  l'équation  inverse,  comme  les  rapports  ^^^^^  et  ^^-^^  ont  respectivement  pour 

limites  |  2J  et     —,  cette  série  est  convergente  pour  |  a,  (  2)  |  <  p,  |  aj(  j;)  |  >  p. 

On  en  déduit  à  la  manière  ordinaire  le  développement  d'une  fonction  analy- 
tique quelconque  en  série  de  polynômes  p^^  dans  une  aire  limitée  par  une 
courbe  I  a,(ar)|  =  const. 


70 


SECONDIi  PAUTIE. 


Folle  (F-)-  —  Expression  complète  et  signification  véritable  de 
la  natation  initiale.  Démonstration  (jui  en  résulte  de  la  fluidité 
intérieure  du  globe.  Conséquences  analytiques  de  celle-ci  dans 
les  formules  de  TAstronomie.  (365-384). 

L'axe  de  rotation  de  ht  Terre  ne  coïncidant  pas  exactement  avec  un  axe  prin- 
cipal d'inertie,  il  en  résulte  une  nutation  (nutation  initiale),  dont  le  caractère 
diurne,  signalé  par  Laplace,  avait  été  contesté  par  Oppoizer  et  les  astronomes 
qui  l'ont  suivi.  Ce  caractère  apparaît  cependant  nettement  dans  l'étude  géomé- 
trique du  mouvement. 

En  désignant  par  A,  B,  C  les  moments  d'inertie  principaux  de  la  Terre,  écrits 
dans  l'ordre  ascendant,  par  6  l'inclinaison  de  l'axe  de  G  (appelé  axe  géogra- 
phique) sur  l'axe  de  l'écliptique  fixe,  par  'k  l'angle  que  la  perpendiculaire 
commune  à  ces  deux  droites  fait  avec  l'axe  vernal  fixe,  on  trouve  pour  A6  et 
sin8  AX  des  formules  où  entrent  quatre  sortes  de  termes  :  \°  un  terme  constant 
figurant  dans  le  seul  1\  et  qui  correspond  à  la  précession;  2°  des  termes  ayant 
une  période  très  peu  différente  du  jour  sidéral,  la  dilférence  étant  négative 
pour  les  unes,  positive  pour  les  autres,  mais  ces  derniers  étant,  par  rapport 
aux  premiers,  très  petits  de  l'ordre  de  la  quantité 

_  I    (B  — A)(B-hA  — C), 


4 


B(C  — B) 


ces  termes  correspondent  à  ce  que  M.  Folie  appelle  la  nutation  initiale;  3°  des 
termes  ayant  pour  période  le  denii-iour  sidéral,  qui  donnent  la  nutation 
diurne;  4°  des  termes  ayant  des  périodes  beaucoup  plus  longues  et  dépendant 
des  positions  du  Soleil,  de  la  Lune,  etc.  Ils  donnent  la  nutation  annuelle. 

Si  l'on  compare  les  observations  d'une  étoile  à  son  passage  supérieur  et  au 
passage  inférieur  suivant,  les  quantités  relatives  à  la  nutation  annuelle  n'auront 
pas  varié  sensiblement;  il  en  sera  de  même  des  (juantités  relatives  à  la  nutation 
diurne,  puisqu'elle  a  pour  période  un  demi-jour  sidéral.  Ces  termes  peuvent 
alors  s'éliminer  et  il  ne  reste  que  ceux  qui  concernent  la  nutation  initiale  et 
qui,  par  des  observations  répétées,  permettent  d'en  déterminer  les  éléments. 

La  nutation  diurne,  elle,  n'est  possible  que  si  la  Terre  est  lluide  intérieure- 
ment. Or,  dans  ce  cas,  les  travaux  de  M.  Ronkar  {Ac.  Belg.  1888)  montrent  que 
les  choses  se  passent  dilféremment  pour  les  mouvements  à  longue  période  et  pour 
ceux  qui  ont  une  période  très  courte.  Dans  les  premiers,  l'écorce  et  le  noyau 
se  comportent  comme  s'ils  étaient  solidaires;  dans  les  seconds,  comme  si 
l'écorce  était  entièrement  indépendante  du  noyau,  de  sorte  que  les  moments 
d'inertie  A,  B,  C  ont,  dans  les  deux  cas,  des  significations  diiïérentes. 

On  ne  peut  donc  pas  transporter  dans  les  calculs  relatifs  à  la  nutation  initiale 
les  valeurs  de  A,  B,  C  tirées  de  la  théorie  de  la  précession  et  de  la  nutation. 
La  période  de  3o5  jours  pour  le  déplacement  du  pôle  à  la  surface  de  la  Terre, 
que  l'on  avait  calculée  par  ce  moyen,  est  inexacte  et  l'observation  montre  qu'il 
y  a  lieu  de  lui  substituer  une  période  de  336,5  jours. 

C  —  \ 

Cette  constatation,  en  montrant  que  les  valeurs  de  — -—  correspondant  à  la 

J\ 

précession  et  à  la  nutation  initiale  sont  did'èrentes,  établit  la  fiuidilé  du  globe 
et  rend  très  probable  l'existence  de  la  nutation  diurne. 


lUiVUK    niîS    PUBLICATIONS.  91 

Dans  CCS  («nidilioiis,  li-s  (h-lcniiinal  ions  de  hi  (•onstiiiiU;  do  l'iilxM  r.ilioti  soiil 
loulcs  à  reprendre  cl  l'on  poiil  s('\[di(|n(;i' (jii'(dlcs  aicnl  doiiin-  jiis(|iri(i  des  ré- 
sultais si   |)cu  accc|)tal)lcs. 

Mitta^  L('fflcr{(J.).  —  Sophie  Kovalcvvski.  Notice  biograj)]il(|uc. 
(:^85-3(j2). 


ANNALICS  SCIENTIFIQUES  DE  L'fiCOLE  NORMALE  SUPf'lRIEUKE,  i>mimki:s 

sous  LKS  ALSPU.KS  DU  MlNISTRK  1)K  l'InSTKUCÏION  PUBLIQUE,  PAR  UN  COMITK 
DE  RÉDACriON  COMPOSÉ  DE  MiM.  LES  MAÎTRES  DE  r.ONl"  ÉREXCES  DE  u'ÉcOLE. 

y  série,  t.  X,  1893  (i)- 

Sauvage.  —  Compléments  à  la  théorie  des  diviseurs  élémentaires. 
(9-42). 

On  connaît  la  proposition  fondamentale  de  la  théorie  des  formes  hiiinéaires  : 
Ktant  données  deux  formes  hiiinéaires  aux  mêmes  2 /i  variables 

si  le  déterminant  de  la  forme /n'est  pas  nul,  la  nouvelle  forme 

F  z=  fs  +  9, 

où  s  est  une  indéterminée,  peut  s'écrire 

(^s^  —  s-Yi  est  l'un  quelconque  des  p  diviseurs  élémentaires  du  déterminant  de 
la  forme  F;  le  symbole  {\-fi)  représente  l'expression 

^  T,^_,  +  ^,  ■r\^_^  + . . .  +  'E,  _,  T,^  ; 

les  ^  sont  des  fonctions  linéaires,  indépendantes  et  à  coefficients  constants  de 
^i>  ^j»  •••>J>^«'  ^^  ^^s  T,  des  fonctions  analogues  de  x^,  cc.^,  ... ,  a;,,. 

Si  les  déterminants  des  formes/  et  o  sont  nuls  tous  les  deux,  on.  peut  ap- 
pliquer le  théorème  aux  deux  formes  cp  et/,  =  m/ -4- 719,  si  toutefois  l'on  peut 
déterminer  deux  nombres  m  et  n  tels  que  la  forme/  ait  un  déterminant  dif- 
férent de  zéro. 

Le  seul  cas  où  l'orv  ne  sache  pas  réduire  la  forme  F  est  donc  celui  où  le  dé- 
terminant de  cette  forme  est  identiquement  nul.  C'est  le  cas  que  traite  M.  Sau 


(')  Voir  Bulletin,  t. Wllf^,  p.  2o5. 


27.  SFCONnii   PAUTIK. 

vage,  en  supposant,  pour  plus  de  géuétalilé,  que  lous  les  rnineui's  de  ce  déler- 
iiiinaiiL  soient  identiquement  nuls  jus(|u'à  ceux  de  l'ordre  r.  exclusivement. 

En  suivant  la  voie  indi(|ut-e  par  iM .  Daiboux  {Journal  de  Mathématiques, 
1874),  il  parvient  à  la    proposition   suivante,  (jui  résout  le  problème  proposé  : 

Étant  données  deux  formes  hilinéaircs/  et  9  aux  mènjes  111  variables,  on 
peut  former  deux  combinaisons  distinctes 

uif  -t-  // 9 ,         '" './ -+-  /^ '? ) 

au  moyen  de  quatre  constantes  m,  /n',  /?,  //  dont  le  déterminant  ne  soit  pas 
nul,  de  manière  (jue  la  forme 

V  —  ( mf  -\-  n'^)s  -Jr  (  fu'f  -+-  n' 9  ) , 

qui  renferme  une  indéterminée  5,  soit  réductible  à  plusieurs  groupes  de  termes 
à  variables  indépendantes  ayant  respectivement  les  formes 

-(5-5,)C^rJ^,^-(ï-r.X._,. 
Les  symboles  oC^,y^  ont  les  significations  que  voici  : 

les  diviseurs  {s  —  s-Y'i  sont  les  diviseurs  élémentaires  d'un  certain  détermi- 
nant de  degré  Jî  <  /i  —  ra  —  II/?  —  S7  que  l'auteur  enseigne  à  former;  enfin  les 
nombres  p^,  ...,  /?,,  <7,,  ..,  q^  sont  les  degrés  respectifs  en  s  des  relations  à 
coefficients  indépendants  qui  relient  les  dérivées  partielles  de  F. 

M.  Sauvage  rattache  sans  peine  à  ce  théorème  celui  de  M.  Darboux,  en  verlu 
duquel  deux  formes  quadratiques  T  et  Q  étant  données,  on  peut  toujours  en 
former  deux  combinaisons  linéaires  distinctes  de  nianière  que  la  forme 

{/)iP  -h  nq)s-hi  m'  P  -h  n'  Q  ) 

soit  dé('omposable  en  plusieurs  groupes  de  termes  ayant  respectivement  les 
formes  suivantes  : 

^',  x,  +  ...4-  x,;jr^,, 

-(5-^,)(^;),.,-(ç;)..-„ 

où  les  variables  a:',  a:  et  ^  sont  indépendantes. 

La  même  pro[)osilion  générale  fournit  aussi  la  condition  nécessaire  et  suffi- 
sante pour  i[i.i(i  deux  formes  /  et  9  puissent  être  ramenées  à  deux  formes  y 
et  cp'. 

Les  formules  de  réduction  des  formes  bilinéaires  ou  quadratiques,  étant  tout 
à  fait  générales  au  point  de  vue  algébrique,  peuvent  être  conipliquées  d'ima- 
ginaires dont  il  convient  de  se  débarrasser  dans  les  questions  portant  sur  des 
formes  à  coefficients  réels,  notamment  dans  les  qucsUons  de  ("léomélric  analy- 
tique. C'est  ce  dernier  problème  qui  occupe  l'auteur  dans  la  dernière  partie  de 
son  Mémoire. 


UHVUK  DKS   PUBLICATIONS.  23 

M(tn<'('ol.  --  Sur  la  th'LcnninaLion  des  axes  dans  les  courbes  du 
Iroisirme  ordre.  (/î>^-44)- 

Pour  (iiio  la  nihiqdo  /(.r,  y)  -  o  (  coordoiiiices  reclanf^iilaircs)  ait  un  axe, 
il  faul  cl  il  siifliL  (jnc  l'expression  b  '-^-  —  a -^  >  oix  a  cl  b  désifjiicnt  les  deux 
conslanles, 

Ox\dx'       ôy 


adiiielle  un  facteur  F  de  la  forme 

V  =  bx  -\-  ay  -\-  const., 

et  ré([uation  de  l'axe  est  F  =  o. 

Dans  le  cas  où  a  el  b  sont  simultanctncnt  nuls,  la  condition  pour  que  la 
courbe  admette  au  moins  un  axe  est 

tp(x,  y)  représentant  l'ensemble  des  termes  du  troisième  degré  de/(x,  y). 

âf       df 
Lorsqu'on  a  en  même  temps  ^  =  -f^  =  o,  la  courbe  admet  trois  axes,  définie 

par  l'équation 

?(r  —  !^^  ct  —  x)  =  G. 

Stouff.  —  Sur  les  lignes  asjmplotiqnes  de  quelques  surfaces  algé- 
briques. (45-52). 

M.  Stouiï  s'est  proposé  de  déterminer  les  surfaces  sur  lesquelles  les  lignes 
asymptotiques  forment  deux  systèmes  analytiquement  distincts;  le  déterminant 
de  l'équation  du  second  degré  qui  donne  les  directions  des  asymptotes  de  l'in- 
dicatrice doit  être  alors  le  carré  d'une  fonction  n'ayant  qu'une  valeur  en 
chaque  point  de  la  surface,  mais  pouvant  en  avoir  deux  aux  points  situés  en 
dehors.  Ce  déterminant  n'est  autre  que  le  hessien  à  un  facteur  carré  près.  Ce 
hessien  augmenté  du  premier  membre  de  l'équation  de  la  surface  multiplié 
par  un  facteur  convenable  devra  être  un  cai'ré  parfait. 

Dans  le  cas  des  surfaces  du  second  ordre,  le  hessien  est  une  constante;  les 
deux  systèmes  de  génératrices  rectilignes  sont  séparés  par  les  signes  H-  et  — 
affectant  la  racine  carrée  du  hessien. 

Cette  propriété  s'étend  à  des  surfaces  du  troisième  ordre  enveloppées  par  des 
quadriques. 

Incidemment  l'auteur  obtient  une  classe  étendue  de  surfaces  du  troisième 
ordre  dont  les  lignes  asymptotiques  peuvent  être  déterminées  à  l'aide  des  fonc- 
tions elliptiques.  Une  partie  de  ces  surfaces  possèdent  la  propriété  dont  il 
s'agit. 

Vessiol.  —  Sur  une  classe  d'équalions  difTérenLielles.  (53-64). 


9,4  SFXONDR  PAUTIH. 

Les  étjnalioiis  fin  prfrnicr  ordre  qu'(;lii(li<!  .M.  Vessiot.  sont  relies  qui  possèdent 
ce  que  l'on  peut  appeler  des  systèmes  fondamentaux  d'inlé<,'rales.  Ces  é(iua- 
lions 

dx 

(.)  rf7  =  "''^''> 

jouissent  de  cette  propriété  que  leur  intégrale  générale  x  s'exprinne  en  fonction 
d'un  certain  nombre  d'intégrales  particulières  x^,x.^,  ...,  x^^  par  une  fornnule, 
connue  ou  inconnue, 

(2)  x=f{x^,...,x,^\a), 

qui  subsiste  lorsqu'on  y  remplace  ces  intégrales  par  n  autres  intégrales  parti- 
culières quelconques. 

L'auteur  montre  que  ces  équations  se  ramènent,  par  un  changement  de  fonc- 
tions, à  des  équations  linéaires  du  premier  ordre  avec  ou  sans  second  membre, 
ou  à  des  équations  de  Hiccati. 

Il  parvient  à  ce  résultat  par  une  application  de  la  théorie  des  groupes.  II 
fait  voir  que,  dans  la  formule  (2),  on  peut  supposer  la  constante  d'intégration 
a  choisie  de  telle  façon  que  l'équation 

(3)  a'=/(^,,  ...,^„  I  a) 

définisse  un  groupe  aux  paramètres  x^,  ...,a7„. 

Or,  AL  Lie  a  démontré  qu'il  n'y  a  que  trois  types  de  groupes  à  un  para- 
métre :  le  groupe  linéaire  homogène,  le  groupe  linéaire  général  et  le  groupe 
projectif.  Donc,  par  un  changement  de  variables  convenable 

a  =  cp(c),        a'  =  '-o{c'), 

réquation  (3)  prendra  Tune  des  trois  formes 

c'  =  c6(^„  ...,^J, 

c'=  c0,(a7„  ...,  x„)^-8^(x,,  ...,^„), 

,  _  rB,  (a;,,  . . .,  .r„)  +  0., (.r, a;,,) 

"'  cO^C^,,  ...,xj  -1-0^  (X,,  ...,xj 

Cela  revient  à  dire  que  l'équation  (2),  qui  définit  l'intégrale  générale  de 
l'équation  (i),  prend,  par  le  changement  de  fonction  et  de  constante 

x  =  o{\),        rt=9(c), 
l'une  des  trois  formes 


X  =  ca(0,         \  =ca,(0  +  ot,(0,         X  = 


ca,(0-^aJO 


et  que  par  suite  le  changement  de  fonction  x  =  '•o{\),  appliqué  à  l'équation  (i), 
fournit  bien  une  équation  linéaire  sans  second  membre  ou  avec  un  second 
membre,  ou  une  équation  de  Riccati. 

La  réciproque  de  ce  théorème  est  vrai.  Elle  montre  que  le  nombre  n  des 
intégrales  est  i,  2  ou  3.  De  là  trois  sortes  d'équations  que  M.  Vessiol  carac- 
térise de  la  manière  suivante  : 


IIKVUK   DRS   ininMCA  riONS.  25 

I"   iii'S  ('•(|ii;il  ions  (!(•  iii   prciiiitTC  (■Iiiss(;   sotil    celles   ou    les    vjiiiwhles    soiil,  sc- 

•2"  Les  é(|ii;iliiins  (U;  la  deuxième  classe  sont  celles  dont,  le  second  rneinhre 
\'{x,  t)  CSL  intcj;rale  d'une  é(|iialion  liiK-aire  du  se(".ond  ordre,  dont,  les  coefli- 
rients  ne  dépcndeul  (|ue  de  x  et  leile  (|iie  \r.  di'lei  ininaiii  roucLionucd  de  deux 
intégrales  en  soil  une  iuléj,M'ale.   l\llcs  s'inlèj,'renl  par  deux  (|uadral  ures; 

'S"  Les  équations  dr.  la  Iroisièine  classe  sont  celles  pour  les(|uelles  V  est  inU';- 
grali-  (l'une  ('(luat  ion  linéaire  du  troisième  ordi'C,  à  eoefticienis  (-n  x,  idenli(|ue 
à  sa  translormée  au  délerniinauL  ("oncLionnel  de  deux  inléf,M'ales.  Une  telle 
équation  peut  être  ramenée,  par  des  calculs  algéhricjucs,  à  une  éciuation  de 
Hiccali. 

lii(juicr.  —   De  rcxisLcncc  des  luL(^^rales  dans  un  système  dillé- 
renliel  queleonque.  (65-i6,  i23-i5o,   167-181). 

Ce  travail  étendu  porte  sur  l'existence  des  intégrales  dans  un  s^^stème  d'équa- 
tions dillerentielles  comprenant  un  nombre  quelconque  de  fonctions  inconnues 
et  de  variables  indépendantes.  Les  plus  simples  de  tous  sont  les  systèmes  com- 
plètement intégrables  d'équations  difTérentielles  totales  du  premier  ordre.  En 
ce  qui  concerne  les  systèmes  partiels,  M.  Bourict  a  réussi  à  réduire  un  système 
différentiel  quelconque  à  une  forme  du  premier  ordre  pour  laquelle  on  peut 
affirmer  la  convergence  des  développements  des  intégrales. 

Allant  plus  loin  dans  cette  voie,  M.  Kiquier  effectue  la  réduction  d'un  sys- 
tème quelconque  à  un  système  complètement  intégrable  d'ordre  égal  ou  supé- 
rieur à  I,  et  présentant,  avec  certaines  particularités,  la  forme  entière  par  rap- 
port aux  dérivées  des  fonctions  inconnues. 

La  notion  capitale  dans  la  théorie  de  M.  Hiquier  est  celle  de  système  diffé- 
rentiel harmonique.  Voici  comment  l'auteur  conçoit  et  définit  un  pareil  sys- 
tème : 

A  chacune  des  variables  indépendantes  x,  y,  ...  et  à  chacune  des  fonctions 
inconnues  u,  v^  ...  il  fait  correspondre  p  entiers,  positifs,  nuls  ou  négatifs, 
qu'il  nomme  cotes  première,  seconde,  . . .,  p'^'""  de  cette  quantité.  Considérant 
ensuite  une  dérivée  quelconque  de  l'une  des  fonctions  inconnues  et  désignant 
par  ^  un  terme  pris  à  volonté  dans  la  suite  1,2,  ...,/?  il  appelle  cote  ^'^'°*  de 
cette  dérivée  l'entier  obtenu  en  ajoutant  à  la  cote  g''*™"  de  la  fonction  inconnue 
les  cotes  homologues  de  toutes  les  variables  des  différentiations. 

Cela  posé,  le  système  différentiel  sera  dit  harmonique  si,  grâce  à  un  choix 
convenable  de  p  et  des  cotes  de  x,  y,  .  . . ,  u,  v,  ...  il  remplit  à  la  fois  les  con- 
ditions suivantes  : 

1°  Chacune  des  équations  a  pour  premier  membre  une  certaine  dérivée  de 
quelque  fonction  inconnue,  et  les  seconds  membres  de  ces  équations  sont 
olotropes  dans  quelque  système  de  cercles  tracés  dans  les  plans  des  x,  y,  ..., 
M,  V,  . . .  et  des  dérivées  de  a,  v,  ...  envisagées  comme  variables  indépen- 
dantes; 

1°  Les  diverses  dérivées  des  fonctions  inconnues  qui  figurent  dans  chacun 
des  seconds  membres  ont  des  ordres  au  plus  égaux  à  celui  du  premier  membre. 
En  outre  si  l'on  désigne  par  c,,  c^,  ...,  c  les  cotes  du  premier  membre,  par 
c',,  c\,  ...,  c|,  celles  d'une  dérivée  quelconque  d'ordre  égal  figurant  dans  le  se- 
cond, les  différences 


36 


SKCONDK  PAUTIH. 


ne  sont  p;is  louLcs  nulles,  el  la   première   (|iii    ne  s'thiinoiiil   pas  csl,  positive  : 

3°  Aucun  (les  premiers  membres  ni  aucune  de  leurs  (h'tivécs  ne  (if^ure  clans  le 
second  membre  d'aucune  des  é(|nalions  données. 

Les  systèmes  harmonifjiies  de  !M.  liiquicr  renferment,  comme  cas  parliculier, 
les  systèmes  canoniques  de  M.  Bourlet. 

Cherchant  si,  pour  un  système  harmonique,  il  existe  quelque  si'fx'pc  d'inté- 
S[rales  ordinaires  répondant  à  des  conditions  initiales  données,  M.  lliquier 
trouve  qu'il  est  nécessaire  que  certaines  relations,  (|uil  nomme  ultimes^  s'ac- 
cordent numéri(|uement  par  rap[)ort  aux  conditions  initiales  dont  il  s'agit. 

IMais  il  peut  arriver  que  la  concordance  des  relations  ultimes  subsiste  indé- 
pendamment des  données  initiales. 

Quand  il  en  est  ainsi,  le  système  harmoni<|n(' est  dit />««.?//.  L'auteur  enseigne 
les  caractères  au(iuels  on  reconnaîtra  la  passivité  d'un  tel  système.  Les  sys- 
tèmes harmoniques  passifs  sont  ceux  ([ui  jouent  le  pieniier  rôle  dans  les  re- 
cherches de  l'auleur. 

Un  système  harmonique  et  passif  quelconriue  adini;!,  en  effet,  un  groupe 
d'intégrales  ordinaires  et  un  seul  répondant  à  des  condiLions  initiales  données. 

Par  intégrales  ordinaires  il  faut  entendre  celles  qui  remplissent  à  la  fois  les 
deux  conditions  suivantes  :  i°  elles  sont  olotro[)es  à  l'intérieur  de  quelque 
système  de  cercles  et  les  valeurs  qu'elles  ac(|uièrent  entre  ces  limites,  prises 
conjointement  avec  celles  de  leurs  dérivées  et  des  variables  indépendantes, 
restent  toujours  intérieures  aux  cercles  d'olotropie  des  seconds  membres; 
2°  la  substitution  de  ces  intégrales  opérées  entre  les  mêmes  limites  transforme 
en  identités  les  diverses  équations  du  système. 

De  tout  système  haririonique  passif  on  peut  d'ailleurs  déduire  un  système 
d'ordre  égal  jouissant  d'importantes  propriétés  |)our  l'énumération  desquelles 
nous  devons  renvoyer  au  travail  de  l'auteur. 

Après  avoir  achevé  l'étude  détaillée  de  ces  systèmes  diflercntiels  particuliers, 
l'auteur  revient  aux  systèmes  quelconques,  et  arrive  enfin  au  résultat  qui  était 
le  but  de  ses  efforts  : 

Ltant  donné  un  système  différentiel  dont  les  seconds  membres  sont  nuls  et 
les  premiers  olotropes  dans  un  système  de  cercles; 

Ou  bien  ce  système  n'admet  aucune  solution; 

Ou  bien  il  écjuivaut  à  quelque  système  fini  (|uc  l'on  en  peut  déduire  sans 
intégration  ; 

Ou  bien  enfin  son  intégration  se  ramène,  par  des  calculs  (jui  ne  comportent 
aucune  intégration,  à   un  système  harmonicjue  passif. 

On  peut  encore  pousser  la  réduction  plus  loin  et  ramener  un  système  difl'é- 
rentiel  quelconque  à  une  suite  de  systèmes  harmoniques  passifs  ne  contenant 
chacun  qu'une  seule  fonction  inconnue. 


Mangeot.  —  Sui^  les  éléments  de  la  courbure  des  courbes  et  sur- 
faces. (86-8(j). 

L'auteur  donne  des  règles  pour  déterminer  les  éléments  de  la  courbure  d'une 
surface  ou  d'une  courbe  gauche.  On  remplacera,  au  point  considéré,  la  sur- 
face ou  les  deux  surfaces  dont  la  courbe  est  l'intersection  par  une  ou  par  deux 
quadriques  ayant  avec  cette  ou  ces  surfaces,  un  contact  d'ordre  égal  ou  supé- 
rieur à  2.  Dès  lors  : 

1°  Pour  avoir  les  centres  de  courbure  principaux  cl  les  tangentes  piincipales 


UKVUI-:    DKS   PUIUJCATIONS.  27 

Cl)  iiii  |>..inl.  simple  M,  (l'inn-  (Hi;i.lii.|  iir  (l.'(iiii<'  par  son  (•(|iiiil  ion.  il  siifliL 
<l'e\|)riiiicr  tliic,  par  l'i  iih  rscci  ion  <lc  la  (|iia(lii(inc  cl  d'nnc  splinc  (|iii  la  Louche 
v\\  M,  on  piiil  faire  |)iisser  un  cône  ayant,  son  soniinel  en  INI  et  lan^cnl.  à  la 
,|ua(lri.|nc.  Le  centre  de  la  sphère  et,  l'arèle  (>e  contaet  du  cône  avec  le  plan 
tan^-enl  sont  un  centre  de  couiImiic  principal  cl  la  t.in}^enl<;  piincipale  corres- 
pondante de  la  (|uadri(|ue; 

.>■•  Pour  avoir  le  cercle  oscnlateur  en  un  |)oint.  ordinaire  IM  de  la  courbe 
d"inlerse(iion  de  deux  (luadriques  délinies  analyt  i(|U(Mnenl,  il  snl'lil  d'exprimer 
(|ne,  par  rinlerseclion  de  chacune  d'elles  avec  une  sphère  (|ui  la  Louche  en  M, 
on  pcuL  faire  passer  un  cône  ayauL  son  soniuieL  au  poinL  M  cl  lan;,'enL  à  la 
courhe  en  ce  [ndnl.  Le  cercle  commun  aux  deux  sphères  ainsi  déLerminées  csL 
le  cercle  cherché. 

kdptcyn.  —  Keclierclies  sur  les  (onctions  de  Fourier-liessel.  (91- 

Le  calcul  des  résidus  de  Cauchy  se  prèLe  1res  facilemenL,  comme  le  monLrc 
AL  KapLeyn,  à  la  dcmonsLraLion  des  i)ropriéLés  fondamenLales  des  foncLions  de 
Bessel.  De  ce  calcul,  l'auLcur  dédulL  les  expressions  suivaiiLes  de  ces  foncLions 


in^x 


cit. 


Il  en  Lire  immcdiaLemeuL  les  deux  relations  capitales  auxquelles  elles  satis- 
font 

nlAz)=î[l^_,{z)^l,,^,{z)]. 

Il  fait  voir  ensuite  avec  quelle  facilité  se  fait,  grâce  au  calcul  des  résidus, 
la  sommation  de  certaines  séries  dont  les  termes  sont  composés  avec  des  fonc- 
tions de  Bessel. 

En  terminant  il  donne  une  démonstration  nouvelle  de  la  formule  de  dévelop- 
pement d'une  lonclion  en  une  série  de  fonctions  de  liessel  et  en  une  série  de 
carrés  de  fonctions  de  Bessel. 

Tikiioinandritzky.  —  Esquisse  d'une  méthode  pour  déterminer 
le  genre  et  les  courbes  adjointes  d'une  courbe  algébrique 
donnée  au  moyen  des  opérations  ratiotnielles.  (i5o-i65). 

L'auteur  revient  sur  \\n  problème  déjà  résolu  par  INL  ÎS'other  et  par  INL  I^affy, 
el  il  le  résout  par  une  méthode  plus  simple  que  celles  qu'ont  employées  ces 
deux  géomètres. 

Quelles  que  soient  les  singularités  d'une  courbe,  il  suffit  d'appliquer  con- 
venablement   la    méthode    du    plus    grand   commun    diviseur  pour  calculer  le 


28 


SECONDE  PAIITIE. 


genre  au  moyen  d(î  simples  divisions,  el.  |)t)nr  (N'-lcrm  iner  les  rourhes  adjciinlcs 
par  des  divisions  et  des  résoliilions  d'écpialions  du  premier  degré. 

Duhem.  —  Le  [)Otenliel  ihermodynainifjiic  cl  la  pression  liydro- 
stalique.  (i83-23()). 

Moyennant  certaines  Ii ypotlirses,  l'anlcui- trouve  |)oiir  expression  du  potentiel 
therrnodynami(jue  interne  d'un  système  hétérogène 


-/— ^y/ 


V  d\  d\'. 


Chacune  des  intégrations  s'étend  an  volume  entier  du  système;  G  dépend 
des  variables  (température,  densité,  etc.)  qui  définissent  l'état  du  système  en 
un  point  de  l'éhWnent  dV ;  F  dépend  des  propriétés  de  la  matière  en  un  point 
de  l'élément  d\'  et  en  un  point  de  l'élément  d\',  sauf  de  la  température  de 
ces  deux  points. 

Le  cas  le  plus  simple  de  l'hydrostaticiue  est  celui  où  les  éléments  du  fluide 
n'exercent  les  uns  sur  les  autres  aucune  action.  Alors  la  fonction  F  est  nulle 
et  G  se  réduit  à  une  fonction  de  p'  et  de  T. 

Un  autre  cas  plus  général  est  celui  où  l'on  a  F  =  pp' <}(/■),  p  et  p'  étant  les 
densités  des  deux  éléments  dV,  dV  et  ;•  leur  distance.  Dans  ce  cas  deux  élé- 
ments fluides  de  masses  dm,  dm'  exercent,  l'un  sur  l'autre,  une  action  répui- 
.d^{r) 


sive  — dm  dm'  ^  ^.^  '  '  '  A  ce  cas  se  rapporte  la  théorie  de   la  figure  des  pla- 
dr 

nètes. 

Un  cas  plus  général,  non  étudié  jusqu'ici,  mais  indiqué  par  M.  Faye  pour 
expliquer  la  formation  de  la  queue  des  comètes,  est  celui  où  l'on  a 

EF  =  pp'  ']'(  p,  p',  ;•), 

Ce  cas  est  tout  à  fait  différent  de  ceux  qu'on  envisage  généralement  en  Hy- 
drostatique, où  l'on  suppose  implicitement  que  dans  les  actions  mutuelles  les 
densités  ne  figurent  pas  dans  la  fonction  ^. 

Les  deux  éléments  dm,  dm'  exercent  l'un  sur  l'autre,  dans  l'hypothèse  géné- 
rale envisagée  par  M.  Duhem,  une  force  répulsive  égale  à 

—  dm  dm'  Y<^{p,  &',  /•). 

Mais  cette  force  ne  représente  pas  à  elle  seule  l'action  totale  de  la  particule 
dm,'  sur  la  particule  dm;  il  faut  y  joindre  une  influence  tendant  à  accroître  la 
densité  de  l'élément  dm,  influence  représentée  par  le  terme 


—  «|i  (  p,  p',  /•)  dm  dm'. 

dp 

L'introduction  de  ce  nouvel  élément  amène  à  des  conclusions  qui  ne  sont  pas 
celles  de  rhydrostati(jue  classique.  Voici  ces  conclusions,  purement  négatives. 

La  densité  du  fluide  en  un  point  n'est  pas  déterminée  par  la  seule  connais- 
sance de  la  pression  au  même  point. 

Les  surfaces  d'égale  pression  ne  coïncident  pas,  en  général,  avec  les  surfaces 
d'égale  densité. 


HlîVUK    l)l<:S    l'IJHLICATIONS.  v.y 

l,f*i  siirraccs  ('(iiiiiiDlciil  iillcs  ne  CDÏncidciil  |);is,  en  {^('iiciiil,  HM-f  les  siiiT;n(îS 
tr«i;.il(*   |ti('ssi()ii. 

I^cs  sufliircs  (''([iiiimtciiiicllcs  ne  ((tïncidiMl  [nis,  en  ^vurnil ,  ;ivoc  les  surfaces 
«ri'galo  ciciisilé. 

/\//f()f.  —  Moiivcnicnl  (riiii  |)()iiil  inalcncl  diiiis  \r.  cas  d'une  résis- 
laiicc  propoi'l  ion  ii('ll(î  à   la  vilcssc.  (:>•..)  i -.>..");>,). 

Les  c'qualioiis  <li(lV;rciilioll(!s  du  mouvcrncul  d'un  [)oinL  lil)i(*  sollicilé  par 
l'acliou  de  forces  dérivatiL  d'uu  polcnlicl  IJ,  cL  soumis  à  une  résislance  pi'o- 
portionnclle  à  la  vitesse,  souL  : 

("  -JF  ^ ''' W  =  07,       ('=■'••'•  3)- 

SI  l'on  fait  le  rliani^emeiU  de  variables 

ces  éijualious  prennciil  la  forme 

/    ,  d  /  0T\        ,  clT         clT         dV 

dt\àr/J  dq]^        dcj,^         dq,^ 

Ces  dernières,  au  nombre  de  deux  seulement,  conviennent  au  mouvement 
d'un  point  sur  une  surface  polie  et  déterminent  les  deux  paramètres  q^,  q^  en 
fonction  du  temps.  Dans  le  cas  du  mouvement  sur  une  courbe,  il  n'y  aura 
qu'une  équation. 

On  peut  ramener  les  équations  (2)  à  la  forme  canonique,  c'est-à-dire  faire 
un  cliangement  de  variables  tel  que  ces  équations  coïncident  avec  celles  des 
caractéristiques  d'une  équation  aux  dérivées  partielles  dont  il  suffira,  d'après 
la  mélliode  de  Jacobi,  de  trouver  une  intégrale  complète  pour  écrire  les  équa- 
tions du  mouvement. 

Il  suflit  de  substituer  aux  variables  q\^  de  nouvelles  variables/?,,,  définies  par 

^"  =  ^%-^; 

Kn  efTecluant  les  calculs  de  substitution,  on  arrive  au  système  canonique 

dt  ôq,, 

dt  ôpf^ 

Si  maintenant  l'on  considère  l'équation  aux  dérivées  partielles 

_4_eU(T-U)  =  o, 
à  /» -t- I   variables  t,  7,,  q^,  ...,  q^^,   et  qu'on  en  sui)pose   connue  une  intégrale 


3o  SECONDE   PARTIE. 

;i  n  ronslantcs  ;iil)il  raires  £,,  e^,   ...,  £,.,  les  cj,^  seront  (lélerrninccs  on   fonction 
(le  t  par  les  (''(|iialions 

-—=£_,  (f  =    I,  2,   ...,  n), 

OÙ  les  e'  désignent  de  nouvelles  constantes  arbitraires. 

M.  Klliot  in(li(|uc  les  formes  particulières  (|uc  revêt  r('(|nation  aux  dérivées 
[)arliclles  dans  le  cas  du  luouvenieiit  sur  une  surface  et  dans  c(dui  du  inouve- 
nient  sur  une  courbe. 

Dans  le  prcnnier  cas,  l'élément  linéaire  de  la  surface  étant  représenté  par 

f/i'  ■=  E  du''+  2  K  du  dv  -\-  G  dv\ 
l'équation  aux  dérivées  partielles  peut  être  écrite 

G 2  F ^ \-  h  —— 

au'  au     ()v  ()v^  ,  ...         ,, 

_ h  2  /.  \\  —  2  U  =  o  ; 

EG  —  K^ 

une  intégrale  complète  donne  u  et  v  pai'  les  formules 

^,  rAV  ,  ,,rjW 

C        —  —    t    ,  c  —    t  ,  . 

Dans  le  cas  d'une  courbe  dont  l'élémeat  est  ds^  —  K  du'',  on  trouve  l'équa- 
tion dilférerUielle 

I      dW  7   «^  IT 

—  — — ■  -t-  2  A-  W  —  2  u  =  o, 
E    au^ 

La  formule  qui  définit  le  paramètre  u  en  fonction  de  t  est 

e"  — -—  —  £ . 
as 

M.  Elliot  indique  divers  cas  où  l'intégration  est  possible.  Par  exemple, 
lorsque  le  mobile  est  assujetti  à  rester  sur  une  surface  développable  et  qu'il 
n'y  a  pas  de  force  autre  que  la  résistance,  on  peut  toujours  trouver  les  équa- 
tions finies  du  inouvement. 

Caspary.  —  Sur  une  notivellc  manière  d'établir  les  relations  al- 
gébriques qui  ont  lieu  entre  les  fonctions  hjperelliptiques  de 
première  espèce.  (253-294). 

M.  Caspary  prend  pour  point  de  départ  la  définition  que  AI.  Weierstrass  a 
donnée  des  fonctions  hyperelliptiques  :  si  l'on  désigne  par  5,,  s^  des  variables 
et  par  A^,  rt^,  «,,  a,,  a.,  a^  des  constantes,  les  fonctions  hyperelliptiques  de 
première  espèce  sont  définies  par  les  expressions 


l'u^  V/(^-.-^'a)(*".-"a)» 


P   P 
P     1=  P  •* 


[ V/H(^) sjn  js^  )  1 

L  (*,—  «a  )  (-S  —  «V  )  (^  —  "x  )  (^.  —  «v)  J 


([X,  V  =  a,  ?,  7,  0.  s,     u  ^  v), 


KHVUK    DKS    PUhMCATIONS.  3i 

(Ml   Ifs  indicos  2,  p,  0,  e   (lt'sii;ii(Mil,    dans   iiii   ordic  (HK'I((in(|ii<',  o,   i,  7,  .'>,  '^,  cl 
où   15^  i('|>i(''sciil('  l(*  |»<)l  \  iitHiu; 

Ao(^  — ^^,)(•^-^^)(•^— ^^)(>^'x-^',)(-^— ^/J    i'^  --  ',  ■>■)■ 

l»f   celle   (l('liiiili<>ii,    iM.    (iaspary   déduit    iiniiK'dialemciiL  ce  Uu-oréinc  fonda- 
iiieiiial,  (|iie  les  (|iiiii/.o  lonclions  liyperelliplicjiies  de  première  espèce,  P  ,  P 
sont  pi'oporLioniiclles  aux  (|uin/.e  él(''Mierils  cl„^,X  '">  "    "  '  >  2,  3  ),  />^ ,  t',^  (  /i  =  i ,  î>,  3  ) 
d'un  syslèmo  orthogonal. 

Il  comprend  sous  ce  nom  les  neuf  coofficionls  rf,„,^  d'une  subsliUiLion  orllio- 
j;t)nale  de  I''  (h'terniinanl  -h  cl  les  six  didércnlicllcs 

Ph  =  -  (  «a  ^^«,i  +  «.t  da.d  -+-  a,;,  rfa^j  ), 

C'est  sur  le  théorème  qui  vient  d'être  rappelé  ([ue  l'autour  s'appuie  pour 
élahlir  les  nombreuses  relations  algébriques  qui  lient  les  fonctions  hyperellip- 
tiques  de  première  espèce. 

Slouff.  —  Les  lois  de  réciprocité  et  les  sons-groupes  du  groupe 
arithmétique.  (295-3i4). 

L'idée  qui,  dans  ce  Travail,  a  servi  de  guide  à  M.  Stouiï  se  trouve  dans  les 
recherches  de  Sylvester  relatives  à  la  loi  de  réciprocité  ordinaire  pour  les 
nombres  l'éels.  Malheureusement  cette  loi  de  réciprocité  ne  donne  pas  un 
moyen  simple  de  définir  des  sous-groupes,  car  elle  exige,  pour  reconnaître  le 
caractère  d'une  substitution,  un  développement  en  ("ractioiv  continue. 

11  faut  alors  avoir  recours  aux  lois  de  réciprocité  des  nombres  complexes 
données  déjà  en   partie  par  Gauss  et  Eisenstein. 

Ces  lois  se  rattachent,  comme  le  montre  M.  Stouff,  à  une  théorie  importante, 
celle  des  substitutions  linéaires. 

L'auteur  envisage  le  groupe  (1  de  substitutions  à  coefficients  réels 

^1^2  )'  ao-py=i,  p^o(mod3). 

Ce  groupe  admet  pour  substitutions  génératrices 

T(5,  ^  +  3),         \}(z, 


z  -H  I 


M.  StoulT  fait  d'abord  usage  de  la   loi   de  réciprocité  cubique,  qui  introduit 
le  symbole  [  —  ],  dans  le  sens  où  l'entend  Eisenstein. 

3(a+  6p) 


Il  considère  l'expression 


ou 


c  -\-  di^ 
c  =  o  (mod3),        rf=i   (mod3). 

Nous  ne  relaterons  que  l'un  des  cas  examinés  par  M.  StoufT,  celui  où  le  ca- 
ractère du  numérateur  3(a4-6p)  est  2. 

Soit  alors  K  le  sous-groupe  de  G,  formé  des  substitutions  pour  lesquelles  ^ 
est  divisible  par  9.  Si  l'on  suppose  une  substiUilion   S  de  K  exprimée  au  moyen 


32  SECONDR    PAUTIH. 

(les  suhsliliitions  T  et  U, 

S  =  T«.  i;''.  ...T^IJ'',., 

et  qu'on  (l('sii;ii(;  par  /",,  r,,  ...,  /•„  le  noinhivî  total  des  siil)Slilutions  T  qui  se 
trouvent  respectivement  à  la  droite  des  exposants  ^,,  />^,  ...,  6„  de  L,  les 
substitutions  S   pour  lesquelles 

est  conj^ru  (modS)  forment  un  groupe  R. 

C'est  la  construction  de  ce  groupe  \\  que  IM.  Stouiï  avait  en  vue,  et  il  en 
trouve  en  môme  temps  le  caractère  arithmétique  : 

Pour  qu'une  substitution  à  coeflicients  entiers  réels  de  déterminant  i  appar- 
tienne au  groupe  K,   il  faut  et  il  suffit  que 

P  =  o  (modq  ) 

et  que.  i)renant  au  hasard  un  système  de  deux  nombres  complexes 

[3(«  +  ^p),     c -^  d'^A^, 
a^^i,        b^i,        c  =  o,        rf  — I         (mod3), 
on  ait 

r3a(a  +  6p)+i^(cH-^p)1  _  r  3  (  g  -(-  ^  p  )1 
|_3Y(a-i-^>p)  +  6(c  +  <:/p)J  ~~  L     c -h  c?p    J 

La  possibilité  de  définir  un  sous-groupe  R  à  l'aide  des  deux  nombres  com- 
plexes 3(a  H-  ^p),  c  -+-  dp  tient  essentiellement,  comme  le  fait  remarquer  l'Au- 
teur, aux  congruences  imposées  au  second  de  ces  deux  nombres. 

La  théorie  des  restes  biquadratiques  fournit  des  résultats  analogues. 

Les  lois  de  réciprocité  d'ordre  supérieur  se  prêteraient  aussi  à  des  dévelop- 
pements semblables,  et  peut-être  conduiraient-elles  à  des  groupes  qui  ne  fussent 
pas  à  congruences. 

Fitte.  —  Sur  les  résistances  qu'éprouve  une  surface  mobile  de  la 
part  d'un  milieu  fluide  dans  lequel  elle  se  meut.  (3i5-3i8). 

M.  Fitte  complète  les  résultats  obtenus  par  M.  L.  GeolTroy  {Annales  de  l'École 
Normale,  2*  série,  t.  VII,  p.  2i5),  en  intégrant  les  équations  aux  dérivées  par- 
tielles dont  ce  dernier  n'avait  pas  indiqué  les  solutions. 

Si  l'on  rapporte  les  divers  points  du  fluide  en  mouvement  aux  coordonnées 
polaires  2,  /•,  6,  les  surfaces  dont  la  résistance  normale  est,  à  un  moment  donné, 
la  même  en  tous  les  points,  sont  définies  par  l'équation 


["-(i)>-h(iy-M^ 


I  fdz\^ 


où  b  cl  n  sont  des  constantes,  dont  la  première  représente  le  rapport  de  la  vi- 
tesse de  translation  à  la  vitesse  angulaire  de  rotation. 
Une  solution  complète  de  cette  équation  est 

...  dr 


\^/[{n  -h  hy  —  b']r'—  b' h' -^  -4-  k. 


f 


RHVUIi:   DliS   PUIHJCATIONS.  33 

//  )'l  /.   (It-sif^iKinl   (les  <'<»nsliiiil('s.   \)c.  cclli;  soliil  ion  coiiiplrlc,  i|iii   i(|»r(':M  ii(c  un 
liélicindc  rc^lt',   <>n   dcdiiil   l'inlf^^iiilc  j^(''nt''ial(!  sons  la  loinic 

]  '     r         {n-\-k)i'*—b'li  fi,. 


où  'f  (  A  )  représente  une;  lonetion  arhiliaire  dn  paiainrlie  h. 

Si  l'on  imprime  aux  suriaces  (i)  nn  monvemenL  lirliroïdal  conlinn  anionr 
(le  l'axe  des  x,  de  manière  ((ne  le  rapport  n  reste  constant,  la  riisistance  nor- 
male restera  nulle  en  tous  les  points. 

(^)nant  aux  surfaces  dont  la  «•('"sistance  de  frottement  est  la  m(';me  en  tous  les 
points,  elle  sont  d(j(inies  par  rt^quation 


ôz 


(|ui  admet  comme  solution  compicîtc  l'hélicoïde 

dont  on  déduit  aisément  l'intégrale  générale. 

M.  Fitle  montre  que  les  surfaces  telles  que  la  résistance  normale  et  la  résis- 
tance du  frottement  en  tous  les  points  soient  liées  par  une  relation  donnée, 
sont  représentées  par  une  équation  aux  dérivées  partielles,  dont  une  solution 
complète  est  toujours  un  liélicoïde. 

Adam.  —  Sur  les  stirfaces  isoLlienniqties   à  lignes   de   courbure 
planes  dans  un  système  ou  dans  les  deux  systèmes.  (3  1 9-358). 

Les  équations  des  surfaces  isothermiques  à  lignes  de  courbure  planes  dans 
un  système  ont  été  données  par  M.  Darboux,  qui  s'est  borné  au  cas  général, 
cas  où  les  plans  des  lignes  de  courbure  du  premier  système  enveloppent  un 
C(jne. 

M.  Adam  s'attache  au  cas  particulier  où  les  plans  de  ces  lignes  de  courbure 
enveloppent  un  cylindre. 

Les  fonctions  doublement  périodiques  de  seconde  espèce,  qui  s'introduisaient 
dans  l'expression  des  coordonnées  de  la  surface  se  réduisent  à  des  fonctions 
de  première  espèce  lorsque  le  sommet  du  C{>ne  s'éloigne  à  l'infini.  Par  un  cal- 
cul, qui  constitue  une  application  intéressante  des  fonctions  H  et  0,  M.  Adam 
parvient  à  exprimer  les  coordonnées  X,  Y,  Z  au  moyen  des  fonctions  elliptiques 

sn,  en,  dn,  isolées  ou  engagées  sous  le  signe    /  ,  et  d'une  fonction  arbitraire  : 

iV,       iV,       iP, 
sn — -  en  — '  dn — - 


\  =  21  cosX -. h  /.-  /  sn-  — '-  (c()s>v  -f-  \   Ainl)  dv  , 

IV,  u  .'  *■  '       \-> 

sn^— J  —  sn^- 

î  2 

liull.  des  Sciences  inatliéni.,  2^  série,   t.  \X.  (.Mars  i8(j<J.  )  R.3 


3i 


SECONDI-    I^Aimii:, 


et 


^'  =  2/  sin)» 


sn —  en  —  dn 

'>.  1 


sn' — -  —  sn"- 


— .  H-  /.'  /   sn'  — ^  (  sin  A  —  \  cos  /.  )  dv,, 


Z  =  i 


IV,         u       u   ,    u 

sn'  —      sn—  en  —  dn  - 

2  222 


u  IV,  u 

sn'-    sn"  — -  —  sn"  - 

22  2 


Dans  ces  formules  u  et  v^  sont  deux  paramètres;  la  relation  v^  =  const  re- 
présente les  lignes  de  courbure  planes  C  du  premier  système,  V  est  une  fonc- 
tion arbitraire  de  v^  et  X  une  autre  fonction  de  v^  lice  à  V  de  telle  façon  que 

cil  =  -K-\  dv,. 
sniv^ 

Quant  à  la  ligne  de  courbure  plane  C,  si  on  la  rapporte  dans  son  plan,  à 
O' X  et  à  0'^  parallèle  à  O^,  les  coordonnées  de  ses  points  auront  pour  expres- 
sion 


X  =^  -il 


Z. 


W^  IV^  IV^ 

sn — -  en — ■  dn  — - 
•>  2  2 

iv,  u 

sn' — -  —  sn»- 

2  2 


M.  Adam  détermine  ensuite  les  surfaces  à  lignes  de  courbure  planes  dans  les 
deux  sj^stèmes.  Si  l'on  met  à  part  les  surfaces  moulures  de  iMonge,  qui  ré- 
pondent à  la  question,  les  lignes  de  courbure  de  chacun  des  deux  systèmes 
doivent  être  dans  des  plans  parallèles  à  une  droite  fixe,  et  les  deux  droites 
fixes  correspondantes  doivent  être  rectangulaires.  Les  surfaces  de  cette  nature, 
qui  sont  isothermiques,  peuvent  être  regardées  comme  engendrées  de  la  ma- 
nière suivante  : 

On  prend  deux  coniques  focales  l'une  de  l'autre  et  situées  dans  deux  plans 
rectangulaires;  on  considère  deux  sphères  dont  les  centres  décrivent  respecti- 
vement ces  deux  coniques  et  dont  les  rayons  varient  suivant  deux  lois  quel- 
conques; le  plan  radical  de  ces  deux  sphèr.s  enveloppe  la  surface  demandée. 

Les  deux  coniques  focales  peuvent  être  :  1°  une  ellipse  et  une  hyperbole; 
2°  deux  paraboles. 

En  donnant  au  module  des  fonctions  elliptiques  qui  figurent  dans  les  ex- 
pressions des  coordonnées  la  valeur  zéro,  on  obtient  deux  catégories  de  sur- 
faces comprenant,  la  première  les  cyclides  et  la  seconde  les  surfaces  miuima 
d'Ossian  Bonnet  et  la  surface  minima  d'Ennepcr. 

Les  cyclides  sont  les  seules  surfaces  isothermiques  à  lignes  de  courbure 
planes  dans  les  deux  systèmes  pour  lesquelles  les  plans  des  lignes  de  courbure 
de  l'un  des  systèmes  passent  par  une  droite  fixe. 

L'auteur  cherche  enfin  à  dégager  des  résultats  généraux  qu'il  a  obtenus  les 
équations  des  surfaces  à  courbure  moyenne  constante  et  à  lignes  de  courbure 
planes  dans  un  système.  11  montre  qu'à  part  les  surfaces  minima  de  Bonnet, 
il  n'existe  pas  de  surfaces  à  courbure  moyenne  constante  el  à  lignes  de  cour- 
bure planes  dans  les  deux  systèmes. 


UKVII  I<:    DHS   lui  HMC  AT  ION  s.  V> 

lÎKjiiirr.  —  Sur  la  ri'diiclioii  d'im  s^'slcmc  diUVrciil  l(;l  (jucIcoiuhk; 
à  un  SNSh'Mic  (MmipIrlcmcDl   inh'^rahlc  du  picimci"  ordic.  (•);h)- 

Diiiis  s(Mi  pri'Ct'iUMil  Métiioirc,  M.  IliiniicM-  ;i  montré  comriiont  on  peut,  de 
(l»'U\  niiinicros  dillV-rentes,  mais  toujours  par  de  sim|)lt;s  résolutions  d'éciua- 
tions,  coinluiu'M's  ;ive<'  les  dill'ércntialions,  ranicnrr  un  syslrrnc;  diiïércntif! 
i|ii(lcon(Hic  à  uiitî  l'orme  complètement  inté^raldc,  (|iril  a  nonnnt'c  Ikiidio- 
nii/KC  c\  dont  l'ordre  est,  en  ;;cnéral  supi'-ricMii-  à   i. 

L'auteur  morUre  arluellement  (|ue  la  réduction  |)cut  èhe  poussée  plus  loin, 
et  (|ne  par  de  simples  dillérenl  iations  il  est  possible  de  riimencr  un  système 
iiarmoniiiue  et  complètctnent  inlégi-ahie  d'ordre  (|uelcon(|ue  à  un  système  liai- 
moni(|ue  el  complètement  in(éi;ral)le  d'oidre  (|uclcon(jne,  possédant,  (;n  outre, 
la  l'orme  liarmoni(|ue  par  iap|torl   aux  dérivt'cs  des  fonctions  inconnues. 


Siipploincnl. 

Pcrchot.  —  Sur  les  niouvemenls  des  nœuds  cl  du  j)(''ri<;ée  de  la 
Lune  el  sur  les  variations  so'eulaires  des  excenlr'ieih's  el  des 
inclinaisons.   (-^-9l)- 

\a\  théorie  de  la  Lune  est  d'une  importance  ca[)ilalc  en  Mécani(|uc  céleste, 
mais  elle  laisse  encore  beaucoup  à  désirer. 

Les  reclicrclies  de  M.  Poincaré  sur  le  problème  des  trois  corps  ont,  en  efret, 
montré  le  peu  de  rigueur  des  anciennes  méthodes  et  nous  ont  appris  qu'aucun 
des  développements  auxciucls  elle  conduisent  n'est  convergent.  Mais,  en  même 
temps,  ^L  Poincaré  a  donné  une  théorie  générale  des  solutions  périodiiiues  et 
des  solutions  asymptotiques  (|ui  permettent  fie  calculer  plus  rapidement  et 
plus  exactement  que  par  le  passé  les  coeflicients  de  certaines  inégalités. 

C'est  en   appliquant   la   première  de  ces  théories  que  M.    Perchot  a  calculé 
dans  une    première    approximation,   les   coefficients  des   principales  inégalités 
périodiques  des  longitudes  du  nœud  ascendant  et  du  périgée  de  la  Lune    r*our 
point  de  départ,  il  a  pris   les  équations  canoniques  qui   ont  servi  à  Delaunay. 

Dans  la  première  partie  de  son  travail,  il  indique  d'autres  équations  cano- 
nicjues  qui  dédnissent  le  mouvement  relatif  de  la  Lune  par  rapport  à  un  sys- 
tème d'axes  animé  de  deux  rotations  correspondant  aux  mouvements  séculaires 
des  nœuds  et  du  périgée. 

Sautreaiix.  —  Sur  une  queslion  d'Hydiodjaamique.  (95-182). 

Le  problème  du  mouvement  d'un  jet  fluide,  posé  par  Helmlioltz,  puis  traité 
par  Kirchiloiï,  n'a  été  jus(|u'ici  résolu  (jue    dans   un  assez  petit  nombre  de  cas, 

hans  la  [)lupart  des  problèmes  de  l'hysiqiie  mathémati(iue,  les  condil  ions 
aux  limites  s'expriment  par  des  équations  linéaires  (|ui  permettent  de  décom- 
poser la  difliculté.  Mais  ici  la  condition  aux  limites  renferme  les  carrés  des 
dérivées  particlhîs.  ce  qui  rend  la  (juestiijn  plus  diflicilemcnt  abordable. 

Kircliiiofl'  n'étudie   ([ue   le  mouvement  dans   le    plan   d'un   li(|uitle  soustrait   à 


36 


SECONDE    PAUTIE 


toute  action  extérieure;  il  se  sert  des  propriétés  de  la  représentation  confcjrnie 
d'un  plan  sur  un  plan.  M.  Sautreaux  consacre  la  première  Partii;  de  son  tra- 
vail à  l'exposition  de  la  méthode  de  Kirclilioiï  et  des  résultats  auxquels  elle  l'a 
conduit.  Dans  la  seconde  Partie,  il  rend  comi)te  de  ses  reclierches  personnelles. 
C'est  cette  seconde  Partie  (|ue  nous  analysons  ici. 
Les  équations  du  mouvement  permanent  dans  le  plan  sont 


or 


p   '^  2  l\Ox)  "^  \(jy)  J 


F  H-  C,  =  o, 


où  9  désigne   le   potentiel   des  vitesses,    F  celui   des  forces  qui   agissent  en  un 
point  de  fluide,  p  la  pression,  p  la  densité  et  C,  une  constante. 
L'intégrale  générale  de  la  première  équation  est 


ou 


z  —  X  -}-  iy,        z^  =  X  —  iy. 


On  voit  alors  facilement  que  le  carré  de  la  vitesse  a  pour  expression 

Or,  la  surface  libre  du  jet  qui  sort  du  réservoir  est  à  la  fois  trajectoire,  car 
la  vitesse  normale  y  est  nulle,  et  surface  de  niveau,  puisque  la  pression  exté- 
rieure est  constante.  Si  donc  p^  représente  la  pression  extérieure,  on  doit 
avoir  pour  tous  les  points  de  la  surface  de  la  veine  fluide,  en  désignant  par  G 
une  valeur  constante  bien  déterminée  du  potentiel  des  vitesses,  les  quatre 
équations  simultanées 

/(^)=/,(-.)  +  C, 

X  -\-  iy  =  z,        X  —  iy  =  z^, 
P 


i^'-2/'(^)/:(^-). 


D'une  manière  générale,  on  pourra  se  donner/,  (c,)  par  exemple,  puis  éli- 
miner z^  entre  la  première  et  la  dernière  de  ces  quatre  équations;  on  par- 
viendra à  une  équation  diflérentielle  dont  la  résolution  permettra  de  déter- 
minery(z).  Si  f^{z)  n'est  pas  bien  choisi,  le  procédé  ne  fournira  que  des 
surfaces  libres  imaginaires.  Aussi  l'auteur  en  indique-t-il  un  autre. 

Il  fait  d'abord  une  restriction  (qu'il  lève  plus  tard),  en  supposant  que/ 
et/,  représentent  la  même  fonction;  puis  il  substitue  aux  deux  variables  z  et 
5,  les  deux  variables  tv,  <v,  définies  par  les  équations 


ou  inversement 


/(^)  =  n'.        /(^,)=«v 


Si  les  forces  extérieures  se  réduisent  à  la  pesanteur,  F  a    la  valeur  g-x;  et, 
si  l'on  pose 


Po 


H-  C.  =  -  / , 


UKVI:H   dus   PCBMCAilONS.  3; 

I(>>i  (Iiiiilro  ('(|ii;itif)ns  (|iii  (Irlinissciit  la  surface  lihrc;  (IcviciiiiciiL 

n-  =  (V,  -H  C, 

(I)  {  5,=   ^    -H  f>  =  /((V.), 

!     ,.     x"w — r  =Sx^  k  =  ^'  I  /  (  iv  )   I-  /.  ((V.  )  1  +  Â-. 
Par  réliininalion  de  \.\\,  la  dernière  se  transforme  en 
(.)  ,,      ,     ' pT  =  f[z(»v)  +  /.(a.-(:)]+A. 

^      '  ■/    (  U-  )  /    (  tV  —  C  )  2 

Le  problème  osL  ramené    à   la  détermination  d'une  fonction  /  satisfaisant  à 
cette  dernière  relation. 

Posant 

/'(w)y;(w-C)  =  F'((v), 

on  peut  former  une  équation  du    second  degré,  ayant  pour  racines  /'(tv)  et 
y'(jv_C),  équation  qui,  à  cause  de  la  relation  (2),  doit  avoir  la  forme 

U^—  F'(w)U  + ^ =  0. 

^  F  (  w  )  —  A^ 
2 

Si  les   deux    racines    U',  U"  jouent  le  même  rôle,  il  est  facile   de  voir  que 
F(iv)  doit  être  une  fonction  périodique  de  2 G. 
Si  Ton  fait 

F((v)  +  —  =6H«0, 

qu'on   suppose  que  6((v)  admette  —  C    ^onv  demi-période   et   qu'on  résolve 
l'équation  du  second  degré,  on  trouve 

y;{w)  =  8((v)  6'(w)  + 


^en 

(V)0'^(W)  - 

4 

e(ao 

^6M 

w)6'^((y)- 

-/;(iv-C)  =  6(«.)6'(cv)-  Q^^^^^ 

L'intégration  de  ces  deux  dérivées  introduira  deux  constantes,  qui  ont  évi- 
demment même  valeur,  et  l'on  détermine  cette  valeur  commune  en  substituant 
dans  l'équation  (2  )  les  expressions  de  y  (tv),  /,(  w  —  C). 

Finalement,  si  l'on  tire  les  valeurs  de  x^  y  des  deux  relations 

x^iy  —  7  (  w ),        X  —  iy  =  y  {w  —  C), 
on  a  pour  les  coordonnées  d'un  point  de  la  surface  libre 

2A- 


X  =  0'{w) 


v/ 


9'("')C'=((v) 


38 


SKCONDli   PAUilK, 


Du  cas  (lui  vient  d'èlrc  Irailc,  M.  SuiiLrciiiix  drduil  fiicilciiicnl  celui  oii  il 
n'y  a  [)as  de  forces  cxLcricurcs  agissant  sur  le  fluide. 

\'ln  se  donnant  0((v),  on  détermine  tout  le  mouvement  du  lluide.  On  jjcut 
aj)|)li(|uer  à  la  relation  (|ui  lie  z  et  n'  la  méthode  de  Kirciiliofl"  et  déduire  le 
domaine  de  z  de  celui  de  (v.  iM.  Sautreaux  i-eprcnd  à  ce  jxjinl  de  vue  les 
exemples  donnés  par  Kirchlioll". 

Il  termine  en  montrant  que  sa  propre  rnétliodc  analyti(jue  peut  encore  être 
appliquée  à  d'autres  cas  où  le  liquide  obéit  à  l'action  de  forces  auties  que  la 
pesanteur,  par  exemple  au  cas  où  les  molécules  fluides  subissent  une  attrac- 
tion ou  une  répulsion  émanant  de  l'axe  dey  et  fonction  de  x  seulement,  et 
au  cas  ou  elles  sont  soumises  à   une  force  centrale. 


HliVUE  D'AUTILLEUIE  ('). 

Tome  XXXIII;  octobre  i888-inars  i88(). 

AJoch  (G.).  —  Expériences  américaines  sur  le  frella^e  des 
bouches  à  feu.  (48-6^,  236-282,  /\/\--iih,  12  fig. ,  2j  tabl.). 

Suite  du  Travail  inséré  au  t.  XWII. 

II.  Essai  d'une  frette  martelée  et  trempée.  III.  Essai  d'une  frelte-tourillon 
en  acier,  forgée,  trempée  et  recuite. 

Deuxième  Partie.  —  Assemblage  et  désassemblage  d'un  tronçon  de  canon 
fretté  de  8  pouces. 

Troisième  Partie.  —  Assemblage  et  désassemblage  d'un  tronçon  de  canon 
h  fils  d'acier,  système  Woodbridge. 

Bay  {L.).  —  Calcul  approximatif  de  la  Table  de  lir  d'une  arme 
à  l'élude.  (428-44G,  6  tabl.). 

Ce  Mémoire  a  particulièrement  pour  objet  la  comparaison  des  angles  de 
projection  observés  dans  le  tir  des  pièces  de  la  marine  avec  les  angles  donnés 
dans  les  tables  de  tir. 

Ply  (G.).  —  Etude  sur  Torganisation  du  service  technique  dans 
les  manufactures  d'armes.  (5-47i  iui-142,  211-243,  29--332, 
61   lig.). 

Suite  du  Travail  inséré  au  t.  XXXII  (S^^-Sgo,  4o9-436,  5o5-535,  2  fig.). 
Les  trois  derniers  (Miapilres  contiennent  d'importants  développements  sur  la 


(')  Voir  Bulletin,  XI,  74:  11^,  1-27:  1\,  206;  V^,  281;  VII^,  8G;  VIII,,  79;  XI,, 
5i  et  XIV,,  37. 


UKVUh:    DKS    l'UllMCAilONS.  89 

lli(-(»iic  malliciii;ili<|iii'  de  pItiNicuis  niiicliiiics-diil  ils,  cl  iiot  .iiiiiiiciil  du  l);il.iiir,i(;r 
,1  riiclioii,  (les  macliiiics  à  Iruiscr  cl  à  rcprcHliiirc,  cL  dt-  divers  <»i'y;iii(->  méca- 
iii*|(ic'S. 

/ifty  (L.).  —  (^lioix  (les  formules  à  employer  [)()ur  le  calcul   des 
'l'al)lcs  de  lir.  (i^S-ijo,   i   (ij^.). 

lOssai  comparai  if  de  diverses  formules  représeiiLatives  de  la  r('M>lancn  de 
l'air,  suivanL  les  limites  de  la  vitesse  initiale. 

Montcux  (/>.).  —   Einj)l()i  du  liquide  coinpriiné  dans  les  freins 
lijdi'aiili([ucs.  (.'^3 .'^-350,   i  Hg.). 

I/éliidc  déiaillrc  des  diiïércntes  actions  qui  se  passent  dans  le  jeu  des  freins 
hydrauli(iues  amène  à  cette  conclusion  importante  et  peut  être  inattendue,  que 
la  résistance  constante  et  la  régularité  du  fonctionnement  ne  peuvent  être  ob- 
tenues que  par  l'emploi  d'un  liquide  comprimé.  Cela  tient  à  ce  que  la  com- 
pressibilité  n'est  pas  négligeable,  et  à  ce  que  la  condition  de  continuité  n'est 
vraie  que  pour  un  liquide  conservant  la  même  densité  pendant  toute  la  durée 
du  recul,  c'est-à-dire,  avec  un  liquide  comprimé  avant  le  tir  et  maintenu  à 
une  pression  constante. 

Tome  XXXIV;  avril-septembre  1889. 
Chape L  —  Sui^  la  Balistique  de  M.  Siacci.  (47-02). 

Compte  rendu  bibliographique  du  récent  Traité  de  Balistique  publié  par 
M.  Siacci,  et  indication  de  développements  originaux  de  l'auteur  sur  un  grand 
nombre  de  questions  nouvellement  étudiées. 

Putz  (G.).  —  Sur  la  perforation  des  plaques  de  blindage.  (i38- 
i63,  193-226,  7  fîg.,  5  labl.,  2  pi.). 

Traduction  d'un  Mémoire  contenant  les  principes  généraux  de  la  théorie 
admise  à  Essen  et  les  formules  proposées  par  Krupp  pour  résoudre  les  pro- 
blèmes relatifs  à  la  perforation. 

I.  Ktude  théorique  des  phénomènes  de  la    perforation. 

II.  Comparaison  de  diverses  formules  empiriques  de  perforation.  l-]xamen 
de  (luelques  cas  particuliers.  Discussion  des  formules  du  général  Froiod'.  Avan- 
tage de  la  formule  de  Krupp.  b'ormules  données  par  Krupp  pour  certains 
cas  particuliers. 

III.  Forme  rationnelle  d'une  équation  de  perforation,  l'ormules  de  Ivrupp 
(i8(So)  et  de  Madsen  et  Inglis.  Nouvelle  formule  proposée  par  Krupp.  Repré- 
sentation graphique  de  ces  formules. 

Cliapel.  —  Sur  quelques  procédés  nouveaux  de  calcul  graphique. 
(:53o-3i3,  y  ng.). 


4o  SKCONDIi  PARTIH. 

Exposé  (le  la  lésoliition  ^'ia()lii(jiic  des  principaux  prohicines  qui  se  prcsen- 
icnt  dans  l'analyse  usuelle. 

ValUer  (^.).  —   De   la  solution  des  [)roblèiTies  du   lir  courbe  et 
de  l'angle  de  plus  grande  portée.  {/\'à'j-/\()()^  i8  labl.). 

l'>Uide  sur  un  Ouvrage  de  M.  ZaboudsUi.  Késumé  des  méthodes  et  emploi  des 
tables. 

Tome  XXXV;  octobre  i88(j-niars  1890. 

Roiilin  (/>.).  —   La   balistique   intérieure  en   Angleterre.    (216- 
226,  I  fig.). 

Analyse  d'un  Traité  de  balistique  intérieure  publié  par  IM.  J.-A.  Longridge, 
et  dans  lequel  sont  exposées  pour  la  première  fois  en  Angleterre  les  recherches 
et  les  découvertes  de  INI.  Sarrau. 

Siacci  {F.).  —   Sur  la   solution  exacte  du   problème  balistique. 

493-497). 

Le  problème  balistique  est  ramené  aux  quadratures  lorsque  la  résistance  peut 
être  exprimée  par  cv'\  et  l'on  a  construit  des  Tables  qui  donnent  la  solution 
pour  /i  =  2,  3,  4-  O'autre  part,  des  formules  très  simples  peuvent  servir  à 
résoudre  la  même  question;  mais  ces  formules  contiennent  une  fonction  p  qui 
n'est  connue  jusqu'à  présent  que  par  les  limites  entre  lesquelles  elle  varie. 

Une  expression  de  ^  en  fonction  de  V  (vitesse  initiale),  9  (angle  de  projec- 
tion) et  X  (portée)  existe  nécessairement,  mais  elle  ne  peut  être  qu'une  fonc- 
tion transcendante. 

L'auteur  propose  une  expression  delà  fonction  ^i  en  une  série  ordonnée  sui- 
vant les  puissances  décroissantes  du  coefficient  balistique,  et  pour  n  =  3. 
La  comparaison  numérique,  faite  avec  les  Tables  de  Hashfort,  montre  que  les 
dillerences  portent  seulement  sur  le  troisième  chiflre  décimal.  C'est  plus  qu'il 
n'en  faut  pour  avoir  les  plus  grandes  portées  à  un  mètre  près. 

Ces  formules  prépareront  la  voie  à  des  tentatives  de  développement  de  la 
série  dans  le  cas  général. 


Tome  XXXVl,  avril-soplombrc  1890. 

ValUer  {E.).  —  Sur  les  méthodes  actuelles  de  balistique.  (42- 
62,  153-173,  I  fig.,  2  tabl.). 

Les  formules  de  balistique,  pour  le  calcul  des  divers  éléments  d'une  Table 
de  tir  ou  la  préparation  d'une  expérience,  se  sont,  depuis  une  quinzaine 
d'années  notamment,  tranformées  et  simplifiées.  Il  a  semblé  intéressant  de 
rapprocher  ces  nouvelles  méthodes,  d'en  exposer  les  principes  et  d'étudier  en 
même  temps  quel  est  leur  degré  d'approximation  et  dans  quelle  M>ic  on  peut 
chercher  à  en  accroître  encore  la  simplicité  ou  la  précision. 


in<:VUIi    DHS    i^UULlCA  riONS  4i 

I^oiir  (les  vitesses  iiiilitilcs  iiioiiidi'cs  i\uc  ■.>.]<)  mètres,  les  l'aljlcs  de  Siacci  ou 
(le  Hraeeinliiii  résolvent  la  (|iiesli()n  du  tir  courbe. 

l'our  le  eas,  plus  fré(jU(iii,  dt-  vitesses  initiales  comprises  entre  a/^o  et 
<»o()  mètres,  on  s'accorde  à  admettre  (jue  la  méthode  Siacci  convient  dans  le 
tir  de  plein  fouet.  Pour  le  tir  au-dessus  de  i/j",  les  Tables  de  Zaboudski  sem- 
blent donner  la  solution  la  plus  rapide  actuellement,  avec  toute  l'exactitude 
désirable. 

Pour  les  vitesses  initiales  supérieures  à  (ioo  mètres,  dans  le  cas  du  tir  de 
plein  fouet,  les  Tables  de  Siacci,  ou  cncon;  les  logarithmes  balistiques  déduits 
de  la  loi  du  carré,  si  la  vitesse  d'arrivée  ne  descend  f,'uère  au-dessous  de 
/joo  mètres,  donnent  la  solution  du  j)roblème.  Pour  les  angles  sujjérieurs,  il  est 
possible,  surtout  avec  les  petits  calibres,  que  les  Tables  Zaboudski  ne  soient 
pas  assez  précises. 

Knfin,  pour  une  étude  particulière,  la  méthode  des  vitesses,  dont  l'auteur 
a  indi(|ué  le  principe  et  qu'il  développe  dans  un  Chapitre  spécial,  donnera 
toutes  les  solutions  du  problème  (vitesse,  angle  de  chute,  portée,  etc.). 

Touche  (P-)'  —  Sur  le  calctil  de  la  résistance  de  l'air,  (i 31-144? 
3fig.). 

Exposé  de  la  méthode  de  calcul  de  la  résistance  de  l'air  contre  un  projectile 
se  mouvant  le  long  de  son  axe,  et  comparaison  des  résultats  numériques  ainsi 
obtenus  avec  ceux  que  rexpcriencc  a  donnés. 

Évaluation  de  la  dépression  à  l'arrière  du  projectile. 

Estienne  [J.-E.).  —  ÉLiide  stir  les  erreurs  d'observation.  (235- 
259,  8  fig-.). 

Le  présent  Mémoire  a  pour  objet  de  prouver  que  la  meilleure  valeur  à 
adopter,  comme  mesure  d'une  quantité  dont  l'expérience  a  fourni  des  valeurs 
entachées  d'erreurs  accidentelles  est,  dans  tous  les  cas^  la  valeur  médiane, 
fournie  par  la  règle  suivante  : 

On  range  par  ordre  de  grandeur  les  valeurs  obtenues;  quand  leur  nombre 
est  impair,  celle  du  milieu  est  la  valeur  médiane;  quand  leur  nombre  est  pair, 
on  a  pour  valeur  médiane  les  deux  du  milieu  et  toute  valeur  intermédiaire. 

I.  Démonstration  de  la  règle.  IL  La  règle  de  la  valeur  médiane  est  indé- 
pendante de  la  loi  des  erreurs  appliquée  à  l'exclusion  de  toute  autre  règle, 
quelle  que  soit  cette  loi.  IIL  Conséquences  de  la  règle  de  la  valeur  médiane. 

L'auteur  ne  s'est  pas  proposé  de  faire  des  applications  de  sa  théorie,  mais  il 
termine  en  établissant  que  son  adoption  permettra  d'abréger  la  durée  du 
Concours  de  tir. 

Lombard  {E.).  —   Quelques  questions  de   tir  indirect  de  siège. 
(3>5-35(3,  411-427,  21  fîg.,  3  tabl.). 

Applications  des  principes  élémentaires  des  probabilités  aux  méthodes  à 
suivre  pour  le  réglage  du  tir. 


42 


SKCONDK   PAUIHÎ. 


Tome  XXXVII;  octobre  iScjo-mars  i^<ji. 

Vaucîieret  (  T.).  —  llé^ime  des  bouches  à  ÏQy\.  (3()')-.')"jr),  i  fig.). 

Les  Tables  de  tir  se  rapporlent  à  ccrlaines  rondiiions  moyennes  qui  sonl 
loin  d'être  réalisées  dans  tous  les  cas  où  l'on  est  appelé  à  en  faire  usaj;e. 

fiCS  divcrj^cnres  [)ortent  à  la  fois  sur  la  forme  de  la  trajectoire  moyenne  et 
sur  la  grandeur  des  déviations  qui  caractérisent  le  groupement  des  trajectoires 
particuliéi'cs  autour  de  la  trajectoire  moyenne. 

J^cur  ensemble  constitue  ce  (ju'on  appelle  le  régime  de  la  bouche  à  feu. 

L'auteur  examine  ce  (|ui  a  trait  à  la  trajectoire  moyenne  et  il  étudie  parti- 
culièrement le  régime  en  portée. 

ïlarlmaun  [G.-II.-C.).  —  Expériences  de  photographie  balis- 
tique. Ap[)lications  à  TéUide  des  variations  de  la  vitesse  du  son. 
(62-81,  39--/Î21,  49^-008,  18  fig-.,  2  pi.,  6  tabl.). 

Les  premières  expériences  de  photographie  des  projectiles  d'artillerie  ont  été 
faites  en  1887  et  en  1888,  à  Pola  et  à  Meppen,  par  l^L^L  Macli  et  Salcher.  Leurs 
résultats,  présentés  à  l'Académie  des  Sciences  de  \'ienne,  se  trouvent  décrits 
dans  ce  Mémoire,  qui  se  termine  par  un  e.\|José  des  dinérentes  théories  qui  ont 
été  successivement  émises  j)our  expliquer  le  fait,  bien  reconnu,  de  la  variation 
de  vitesse  du  son  dans  le  tir. 

Vallier  {E.).  —  Note  complémentaire  sur  les  méthodes  actuelles 
de  balistique.  (2-3-276). 

t)ans  le  Travail  précédemment  publié,  l'auteur  avait  indiqué  des  formules 
pour  déterminer  les  éléments  du  point  de  chute  d'une  trajectoire  uniquement 
à  l'aide  des  vitesses  calculées  en  divers  points. 

Cette  Notice  additionnelle  a  pour  objet  de  faire  connaître  diiïérentcs  amélio- 
rations à  la  méthode  des  vitesses. 


Tome  XXXVIII,  avril-scplcmbrc  nSgi 


Zaboudski.   —   Supplément  à  la  solution  des  problèmes  du  tir 
courbe.  (45-56,  i3  tabl.). 

Pour  permettre  de  résoudre  les   problèmes   du   tir  dans   le   cas   des   grandes 
vitesses  initiales,  l'auteur  a  prolongé  ses  Tables  balistiques  juscju'à  une  valeur 

de  l'argument  -  égale  à  2,5. 

Genay  (/>.).  —  Notes  sur  la  navigation.  (401-428,  27  hg.). 

Ce  Travail  a  pour  but  l'étude  des  lois  de  la  traversée  d'un   cours  d'eau,  en 
supposant  qu'un  batelier  partant  d'un  point  dune  rive  dirige  sa  nacelle  i"  en 


! 


UliVUK    DKS   riJHLlCATIONS.  \\ 

clicnliaiil  ;'i  dirixcr  If  iiKiins  |i(»ssil)l<'  sjiiis  s'<tc(ii|ur  du  poiiil  «m  il  iilioidc  r;i  ; 
a"  ni  iiiaïKiin  liiiil  pour  ahurdcr  à  un  puiiil  di;  hi  l'ivc  ()|»|i()S(':e  dans  le  moins 
d»'  temps  pos^ihlc. 

Tome  \\\l\.  uc.Lobro  i<S()i-niars  iH(j7.. 

Ce  Volume  ne  renferme  pas  (l(;  Mémoin^s  sur  des  applications  des  Sciences 
mallu'malii|ii<'s. 

Tome  XI.;  avriIscpliMiihrc  \^\yi. 

l  (illicr  (,/i').  —    Sur   les  condllions   de  sLabllilé  des  projecliles 
()l)lonj;s.  (5->.8,  loi-i  ii,   i  H^-). 

La  déLeriniiialion  de  la  déiivalion  considérée  en  elle-même  esL  plutôt  une 
sulisfaction  analytique  qu'elle;  ne  constitue  un  résultat  bien  utile.  puis(|u'unc 
légère  correction  de  pointage  faite  à  l'aide  de  la  planchette  des  dérives  annule 
son  influence,  et  que  l'on  en  demande  toujours  la  valeur  à  rcxpériencc.  Ce 
(jui  est  plus  utile  à  analyser,  c'est  la  question  de  la  tenue  du  projectile,  car 
cette  tenue  peut  faire  varier  très  notablement  la  valeur  de  la  résistance  de 
l'air,  et  entraîner  les  pertes  de  portée  ou  de  vitesses. 

Dans  une  série  de  recherches  basées  sur  les  travaux  d'Athanase  Dupré, 
l'auteur  a  obtenu  une  solution  raiionnelle  de  la  question. 

Mais,  si  ces  diverses  études  ont  pu  rendre  compte  de  divers  résultats  balis- 
tiques, le  mode  d'évaluation  des  actions  gazeuses,  à  l'aide  d'une  formule  ex- 
ponentielle, rendait  impraticable  l'examen  plus  approfondi  des  conditions  du 
mouvement  lorsque  le  projectile  oblong  ne  restait  pas  couché  sur  la  trajec- 
toire. 

M.  de  Sparre  a  repris  récemment  cette  théorie,  et  moyennant  une  certaine 
simplification,  il  a  pu  calculer  les  diverses  composantes  de  l'action  de  l'air 
sur  un  projectile,  lorsque  ce  dernier  fait  avec  la  tangente  un  angle  ô  assez 
|)etit  pour  que  les  termes  en  o'  soient  négligeables. 

L'auteur  utilise  ces  données  et  ces  résultats  et  il  se  propose  de  pousser  plus 
loin  l'approximation  dans  l'étude  des  oscillations  du  projectile  pendant  le  par- 
cours d'un  arc  déterminé. 

Gentil.  —  Niveau  conclijlioïde.  (220-253,  23  fig.). 

Ktude  d'un  dispositif  de  niveau  de  pointage  basé  sur  l'emploi  et  sur  les  pro- 
priétés de  la  courbe  représentée  par  les  équations 

^  cos /« oj  -h     y  s'xniib)  z=  a  s i n  oj , 
Il  y  cos  n^^i  —  /«  J7  si  n  /«  w  =  a  cos  w. 

Cette  courbe  est  telle  cjuc,  si  on  la  fait  tourner  uniformément  autour  d'un 
point  donné,  la  tangente  qu'où  peut  lui  mener  d'un  point  C,  également  donné, 
tourne  autour  de  C  d'un  mouvement  exactement  proportionnel. 

Uchard  (A.).  —  Remarques  sur  les  lois  de  la  résistance  de  l'air. 
(3o9-33i,  4o5-4i9,  li  fig.). 


41  SRCONDE   PARTIE. 

La  loi  (le  la  résislancc  de  l'air  est  bien  représentée  par  des  vitesses  com- 
prises entre  zéro  et  (ho  mètres  par  la  formule  empirique  de  ÎM.  Hélie,  et  l'on 
peut  admettre  que  cette  résistance  est  proportionnelle  : 

1°  Au  carré  de  la  vitesse  du  projectile;  2°  à  la  densité  de  l'air;  cette  densité 
étant  elle-même  une  fonction  de  la  vitesse  qui  augmente  depuis  zéro  jusqu'à 
une  valeur  limite,  de  telle  sorte  que  pour  une  vitesse  infiniment  petite  ou  très 
grande,  la  densité  de  l'air  devenant  constante,  on  a  la  loi  du  carré. 

Le  présent  Mémoire  est  consacré  à  l'étude  spéciale  de  la  formule  susmen- 
tionnée et  à  l'influence  de  la  vitesse  initiale  d'un  corps  sur  sa  chute  dans  l'air. 

Longridge  [J.-A.).  —    L'artillerie   de   Tavenir  et  les  nouvelles 
poudres.  (352-368,  44o-465,  5  fîg.,  4  labl.). 

IVaduclion,  par  IM.  G.  Moch,  d'une  brochure  publiée  par  M.  Longridge,  dans 
la(nicllc  est  étudiée  l'application  des  nouvelles  poudres  aux  canons  à  grande 
puissance. 

TomeXLI;  octobre  ifig^-mars  iSgS. 

Longridge  (J.-A.).  —    L'artillerie  de  l'avenir  et   les  nouvelles 
poudres.  (48-(35,   i36-i56,  4  fig-j  6  tabl.). 

Fin  du  Mémoire  commencé  au  tome  XL. 

y  allier  {E.).  —  Méthodes  et  formules  de  balistique  expérimen- 
tale. (23o-25o,  4oi-43o,  5 12-552,  12  tabl.). 

L'auteur  s'est  proposé  de  réunir  dans  le  présent  Travail  les  méthodes,  for- 
mules et  Tables  numériques  qui  lui  ont  semblé  se  prêter  le  mieux  à  la  solu- 
tion des  divers  problèmes  d'artillerie. 

La  plupart  de  ces  règles  ou  formules  sont  données  sans  démonstration,  en 
raison  de  leur  notoriété,  ou  discutées  dans  des  Notes  spéciales  annexées  au 
Travail. 

La  première  Partie,  seule  insérée  dans  ce  ^'olume,  est  consacrée  à  la  balis- 
tique extérieure  et  aux  effets  des  projectiles. 

Principales  subdivisions.  —  L  Loi  admise  pour  la  résistance  de  l'air.  — 
II.  Mouvement  rcctilignc.  —  III.  Solution  des  problèmes  du  tir  (9  problèmes 
traités).  —  lYote  A.  —  Sur  la  solution  du  problème  balisti(jue.  —  IV.  Solution 
pratique  des  problèmes  du  tir  à  l'aide  des  fonctions  secondaires  (11  problèmes 
traités).  —  Note  B.  —  Emploi  des  Tables  Zaboudski. 

Soreau  (/?•)•  —  Note  sur  la  détermination  en  grandeur  et  en  po- 
sition de  la  floche  des  trajectoires  (469-473,  2  tabl.). 

Cette  question  trouve  une  intéressante  ap[)lication  notamment  dans  le  tir 
d'artillerie  contre  les  ballons. 


lUiVUH   DlîS   PUIUJCATIONS.  4'î 


Tomo  XLII;  avnl-scptomljic  i!^<j{. 

]'((ll(('r  [fi .).  —  Mclliodcs  cl  foriniihis  de  ballslifjuo  exp('rimcn- 
lal(î.  ((iS-()8,  i<S()->.i(),  /i():>,-/i.S3,  ()3r)-r)5(),   I  fi-.,  5;  lal)l.). 

Suite  (lu  Tiiiv.iil   pjiiii  ;iu   loiiu,'  XI.I. 

Principales  subdivisions.  —  IV  (suite).  Tables  des  fonctions  balistiques  se- 
condaires.— V.  Tir  courbe  (7  problèmes  traités).  —  VI.  Métliodc  expcrimenlalcs. 
Note  C.  —  Sur  la  détermination  des  fonctions  cxpérimcntuhis  entre  des  limites 
données.  —  Note  D.  —  Sur  l'emploi  des  interrupteurs  acousti(jues. 

Laurent  {P.).  —  Nouvelle  Table  balistique.  (3oi-32(j,  \'i  tabl.). 

On  a  parfois,  dans  l'étude  d'un  avant-projet  de  bouclie  à  feu  et  d'aiïût,  à  ré- 
soudre le  problème  que  voici  :  «  Etant  donnés  la  vitesse  initiale  et  l'angle  de 
tir,  trouver  la  portée».  Les  Tables  balistiques  de  Siacci  permettent  de  résoudre 
ce  problème,  mais  pas  d'une  façon  directe.  Il  y  en  a  aussi  de  M.  Braccialini, 
mais  qui  s'appliquent  seulement  aux  vitesses  initiales  comprises  entre  i5o  et 
65o  mètres.  Mais  aujourdbui,  les  vitesses  de  810  à  85o  mètres  sont  normale- 
ment atteintes,  et  celle  de  1000  mètres  a  même  été  dépassée.  L'auteur  a  donc 
jugé  nécessaire  de  donner  une  plus  grande  extension  à  la  Table,  et  il  a  pris 
comme  limites  i5o  et  uoo  mètres.  Ces  Tables,  ainsi  que  celles  de  Siacci,  ont 
l'inconvénient  d'exiger  encore  une  double  interpolation. 

Tome  XLIII;  octobre  1893 -mars  1894. 

Vallier  {E.).  —  Mclbodes  et  formules  de  balistique  expérimen- 
tale. (128-153,  241-268,  297-3og,  467-474)- 

Suite  du  Travail  inséré  aux  tomes  XL  et  XLI. 

Principales  subdivisions.  —  VIL  Etablissement  des  Tables  de  tir.  —  NoteE. 
—  Sur  le  choix  d'une  clef  pour  l'établissement  des  Tables  de  tir.  —  VIII.  For- 
mulaire de  balistique  intérieure.  —  IX.  Effets  des  projectiles.  Note  F.  —  De 
l'attaque  des  cuirassés  par  l'artillerie.  —  Rectifications  et  errata. 

Tome  XLIV;  avril-septembre  1894. 

Filloux  {L.).  —  Etude  géométrique  du   fretlage  en  fds  d'acier. 
(io5-i  I  7,  1 1  fig')- 

Etude  graphique  de  la  résistance  d'un  tube  ordinaire  frctté  par  un  tube 
théorique,  ce  dernier  étant  ainsi  défini  : 

Système  composé  de  frettes  infiniment  minces  emboîtées  les  unes  sur  les 
autres  avec  des  serrages  tels  que,  pour  une  pression  interne  donnée,  toutes  les 
frettes  aient  des  tensions  égales  entre  elles,  dont  la  valeur  commune  soit  la 
charge  de  sécurité  du  métal. 


46  sKCONDi-:  PAurii':. 

Laurent  (/^).  —  1^*'  riii!liicncc  (h.'  rinclin;iisori  dc's  filcls  de  la 
vis  de  culasse  sur  la  résistance  de  l'écrou.  (4  i  î>i-/i'2  8,  493--^ '^ 
5  fier.). 

Première  Partie.  —  I.  Valeurs  des  corn  posantes  des  forces  élastiques.  — 
IL  Variations  des  composantes  élastiques.  —  III.  lM)rccs  clasticiucs  principales. 

Tome  XLV;  octobre  iS()|-mars  1895. 

Laurent  (Z^-).  —  '^e  riulluciice  de  rinclinaisou  des  lilels  de  la 
vis  de  cidasse  sur  la  résistance  de  Técrou.  (()()-83,  135-158, 
374-38(),  i^lig-.). 

Suite  du  Travail  inséré  au  (orne  XLIV. 

Deuxième  Partie.  —  I.  Valeurs  des  foiccs  élasti(|nes.  —  II.  Variations  des  com- 
posantes des  forces  élastiques.  —  III,  Comparaison  des  composantes  des  forces 
élasti((ues  dans  le  cas  de  la  bague  frettée  et  de  la  bague  non  freltée.  —  IV.  Hé- 
sumc  des  formules.  —  V.  Forces  élastiques  principales.  —  VI.  Hésumé.  —  VU. 
Variations  des  forces  élastiques  avec  le  coefficient  de  frottement.  —  VIII.  Mo- 
dule de  séciu-ité  à  adopter. 

Hartmann  (/>•)•  —  Distribution  des  déformations  dans  les  mé- 
taux soumis  à  des  efforts.  ((J7-1  i8,  225-248,  336-353,  /\'iiy[\\yx, 

554-573,91  fig-.,  4  pl-)- 

L'étude  de  la  distribution  du  travail  élastique  dans  les  corps  solides  a  été 
jusqu'ici  exclusivement  réservée  à  l'Analyse  mathématique.  Le  présent  Mémoire 
est  purement  descriptif,  mais  il  renferme  l'indication  des  résultats  d'un  très 
grand  nombre  d'expériences  sur  la  déformation  des  métaux.  Ces  expériences 
ont  révélé  la  production  de  réseaux  de  lignes  géométriques  dont  le  tracé  a  été 
rendu  visible  sur  la  surface,  préalablement  polie,  des  métaux. 

Principales  subdivisions  du  Mémoire.  —  I.  Déformations  produites  par  la 
traction  des  métaux.  Lames  minces.  Prismes.  Cylindres.  —  IL  Déformations 
produites  par  la  compression  des  métaux.  Solides  comprimés  entre  leurs  bases. 
Plaques  minces.  Prismes.  Cylindres.  Sphères.  Solides  comprimés  entre  des 
portions  égales  de  leurs  bases.  Appuis  traversant  partiellement  les  bases. 
Appuis  intérieurs  aux  bases.  Plaques  minces.  Cylindres.  Prismes.  Solides  com- 
primés entre  l'une  de  leurs  bases  et  une  portion  de  l'autre  base.  Solides  com- 
primés entre  des  portions  inégales  de  leurs  bases.  Déformations  résultant  de 
la  compression  par  choc.  Déformations  produites  par  la  compression  des  métaux 
à  haute  température.  Systèmes  de  cassures  dans  les  corps  plastiques.  Déforma- 
tions intérieures  des  corps  comprimés.  Preuves  expérimentales  de  l'obliquité  et 
de  la  discontinuité  des  déformations  intérieures.  Succession  et  développement 
des  déformations  de  compression.  Lois  relatives  à  la  compression  des  corps  so- 
jj(jes.  —  III.  Déformations  produites  par  la  flexion  des  métaux.  Flexions  symé- 
triques, Mui'reau  reposant  sur  deux  appuis  et  soumis  à  l'action  dune  force 
isolée. 


UKVUI-:    DI'IS    IMiMIJCA  I  IONS.  47 

/(thoitdski.  —    Viilciir    de    la    iM'sislaiicc  de    l'ail'    dans    le    cas    do 
<;i\nid('S  vilcsscs  iiilllalcs.  (i  i()-i.>S,    i   lahl.). 

l'iadiiclion  (rmii;  Noie  sur  les  divnstîs  formules  adoptées  pour  la  rc|)iéscii- 
t.itioii  (Itr  lu  loi  (le  la  résistance  de  l'air,  suivant  la  vitesse  initiale  du  projee- 
lile. 

(luijK'l.  —    Noie   sur    la   loi    (\v.  la    rcsislanco   de   l'air,  (i  .>.()- 1 . '5 /j, 
/^:i^-\Mh  571-587,  1  (ii;-.,  I  labl.). 

S'il  est  une  lui  pliysi(|ue  laite  pour  déconccrlrr  rexpérirnenlateur  cl  pour  le 
niellre  en  garde  contre  les  dangers  de  l'extrapolation,  c'est  à  cou[)  sûr  celle  de 
lu  résistance  de  l'air  au  mouvement  des  projectiles. 

Tout  a  été  surprise  dans  la  recherche  de  cette  loi  et,  à  cha(|uc  extension  nou- 
velle donnée  aux  limites  de  l'expérience,  on  s'est  trouvé  en  face  de  résultats 
inattendus,  se  refusant  invariablement  à  entrer  dans  les  formules  (|ni  avaient 
été  déduites  des  recherches  précédentes  el(jue  l'on  tendait  à  considérer  comme 
l'expression  définitive  de  la  loi. 

Actuellement,  la  formule  proposée,  d'après  les  derniers  résultats  de  l'expé- 
rience, serait  très  voisine  de  la  suivante  : 

K  =  V^  [o.A'i-  +  o.i-iS  sini7(V  —  3'io)'J. 
L'auteur  de  cette  Note  a  préconisé  aussi  la  formule  plus  simphî 

I{  =  VH  a  H --^TTT ' 

L        i-\-  W'{\  —  iiy _ 

Il  désignant  la  vitesse  normale  du  son  dans  Tair,  ou  ?:)\o  mètres. 

La  conclusion  de  ce  Travail  est  ici  exprimée  sous  une  forme  assez  intéres- 
sante :  «  Les  Tables  de  tir  existantes,  dans  les  limites  de  vitesses  qu'elles  com- 
portent, renferment  les  Tables  de  tir  de  tous  les  canons  passés,  présents  et  à 
venir,  résultat  qui  ne  saurait  surprendre,  puiscjue  chacune  de  ces  Tables  con^ 
tient  implicitement  la  loi  de  résistance  ». 

H.  B. 


NOUVKLLHS  AXN.ALliS    i)k    Matiiém.vtiquks,  rédigées   par  MM.  Cu.  Biusse 
et  K.  UoLcnK  (^).  —  3*"  série. 

Tome  XIII,   1894. 
Léçy  (^Lucien).  —  [d<^]  (')  Conférence   faite   aux  élèves   de 


(')  Voir  liulletin,  MX,,  p.  117. 

(•")  Les  indications  entre  crochets  sont  celles  de  V Index  du  répertoire  biblio- 
î^rnpliif/ue  des  Sciences  mathématiques. 


48 


SECONDE   PAUTIE. 


l'École  Polytechnique  (Cours  de  M.  Jordan);  sur  les  change- 
ments de  variables.  [:)-i'^). 

Ce  dévcloppcmenl  repose  principalcmcul  sur  le  théorème  ci-après  :  «  Si  par 
un  procédé  quelconque  ou  a  trouvé  entre  les  dinércnliclles  premières  et  se- 
condes une  identité  de  la  forme 


cl-  u  —  A  dx^  -f-  2  li  dx  dy  -H  C  dy'  +  D  d'x  +  E  d^y^ 


on  a 


du 


ôx  ôy 


()■'  u 


I) 


du 
dx 


du 
dy 


L'auteur  en  fait  application  à  divers  exemples  d'intégrations.  Il  étudie  en- 
suite la  transformation  de  Legcndrc,  les  transformations  de  contact,  et  comme 
application,  la  transformation  d'Ampère. 

Auclibert.    —    [l^'^o]  Agrégation    des    Sciences    mathématiques 
(Concours  de  189.3);  solution  de  la  question   d'Analjse.  (22- 

Intégrale  d'une  fonction  de  variable  imaginaire.  Emploi  de  la  théorie  des 
lacets. 

Blazeievski  (/?.)•   ~  [K.16a]  Sur   un   problème   de  Géométrie 
plane.  (28-40). 

Relations  entre  les  distances  d'un  point  du  plan  aux  sommets  d'un  triangle; 
théorèmes  sur  les  bissectrices;  étude  du  problème  de  la  détermination  d'un 
triangle,  connaissant  les  longueurs  de  ses  bissectrices.  Une  Note  finale  contient 
quelques  éclaircissements  et  développements  de  calcul. 

Appell  {P')-  —  [K.6a]  Sur  les  conditions  qui  expriment  qu'un 
système  de  trois  axes  est  trirectangle.  (4i-43). 

Recherche  des  conditions  qui  doivent  exister  entre  les  neuf  cosinus  des  angles 
que  fait  un  système  de  trois  axes  avec  un  autre,  pour  que  les  deux  systèmes 
forment  des  trièdres  trirectangles,  ou  pour  que  l'un  d'eux  forme  un  trièdre 
trirectangle. 

Audihert.  —  [M'oAa]  Concours  pour  les   bourses   de   licence 
en  1893.  (44-47)- 
Sur  les  éléments  d'une  courbe  gauche  unicursale. 

Auric.   —   [Hoa]  Sur   les    équations   dilTérentielles    linéaires    à 
coefficients  constants.  (47-52). 

Rectification  de  la  solution  classique  ordinaire,  qui  donne  prise  à  des  objec- 
tions, et  qui,  d'après  l'auteur,  est  plutôt  symbolique  que  pratique. 


I 


HKVllI':   l)i:S   l'UlUJ  CATION  s.  /,9 

l/i'Ioycr.  —  I  K7r/|   Sm-  lu  (ljnainl(nic  du  polnl.   (5:^-65). 

Un  point  étant  soumis  ù  une  force  dérivant  d'un  potentiel  U,  l'auteur  ima- 
gine qu'on  oblige  le  même  point  h  décrire  la  même  trajectoire  sous  l'action 
d'une  force  dérivant  d'un  potentiel  L',  fonction  de  U.  Il  déduit  de  là  des  équa- 
tions (|iii  peuvent  servir  très  souvent  à  ramener  l'étude  du  mouvement  d'un 
point  sur  une  rourhc  fixe  à  celle  du  mouvement  d\\n  jioint  libre,  et  il  en 
donne  divers  exemples. 

Laffitc  [Pierre).  —  [^«^l  AiigiisLc  Coinlc  examinateur  d'admis- 
sion à  rÉcoIc  Polytechnique.  (()5-8o,  ii3-i20,  400-4^8,  /\ij'.>- 
/,8i..). 

Notice  historique  des  plus  intéressantes  sur  les  conditions  dans  lesquelles  le 
célèbre  fondateur  de  la  Philosophie  positive  fut  nommé  exajninateur  (1837), 
fonction  qu'il  remplit  pendant  sept  années.  Indications  sur  la  manière  dont 
Auguste  Comte  avait  organisé  son  système  d'examens.  Il  y  a  là  un  véritable 
modèle  à  suivre,  au  point  de  vue  de  la  conscience  aussi  bien  que  de  la  raison. 
Mais  ce  qui  fait  assurément  le  plus  grand  attrait  de  cette  Notice,  ce  sont  les 
nombreuses  notes  d'examens  de  Comte  lui-même,  indiquant  à  la  fois  les  ques- 
tions posées,  et  ses  appréciations  raisonnées  sur  les  réponses  à  lui  faites  par 
les  candidats. 

On  doit  regretter,  avec  M.  Laffite,  que  les  questions  posées  par  des  exami- 
nateurs tels  que  Poinsot  et  Ampère,  par  exemple,  n'aient  pas  été  également 
conservées,  et  féliciter  les  Nouvelles  Annales  d'avoir  donné  bon  accueil  à 
d'aussi  précieux  documents. 

Amigiies  [E .).  —  [L'17«]  Intersection  de  deux  coniques.  (81- 
90- 

Méthode  absolument  algébrique;  l'article  est  divisé  comme  il  suit  :  Solu- 
tions, discussion  générale,  discussion  complémentaire  dans  le  cas  où  les  deux 
équations  données  sont  à  coefficients  réels. 

Cazamian  (A.).  — [L'2^]  Sur  le  problème  du  Concours  gé- 
néral de  189.H.  (92-97). 

Propriétés  d'une  conique  et  d'un  triangle  conjugué. 

Tissot  {A.).  —  [L'7a]  Formules  relatives  aux  foyers  des  co- 
niques (97-98). 

Expressions  des  coordonnées  des  foyers  et  de  l'équation  de  chaque  direc- 
trice. 

Barbarin  (P.).  —  [L-2<i]   Sur  l'enveloppe  d'un  plan.  (99-100). 

Il  s'agit  du  plan  qui  découpe  dans  un  cône  du  deuxième  degré  un  volume 
limité  de  grandeur  constante. 

null.  des  Sciences  niathc'm.,  1"  série,  t.  XX.  (Mars  iSçjG.)  n./| 


5o 


SECONDK   PAKTIH. 


Réveille  {J .).  —  [L'18<:/|j]  Note  sur  une  propriété  de  l'hjper- 
bole  équilatère.  (i  00-102). 

Sur  le  faisceau  des  liypcrholcs  éciuilalères  circonscriles  à  un  tiianf^lc. 

Cesàro  {E-)-  —  [^I'^]  '^"'^  ""^  Noie  de  Géométrie  infinitési- 
male. (103-106). 

lîemarques  sur  les  spirales  sinusoïdes,  signalées  par  plusieurs  auteurs. 
INI.  Cesàro  en  donne  l'équation  intrinsèque,  et  aussi  celle  de  leurs  développées, 
et  il  indique  plusieurs  propriétés  que  présentent  ces  courbes. 

Correspondance.  —  M.  Cesàro  :  Extrait  d'une  Lettre  à  M.  Rouché, 
concernant  des  observations  de  M.  Bioche  relatives  à  l'étude  in- 
trinsèque des  surfaces  réglées.  (io6-iot). 

Pellet  {A.-E.).  —  [A3/j3]  Sur  les  équations  réciproques  et  les 
équations  du  quatrième  degré.  (iO(S-ii2). 

Remarques  sur  les  équations  réciproques,  permettant  de  ramener  une  équa- 
tion du  quatrième  degré  à  être  paire,  ou  réciproque,  par  une  substitution  li- 
néaire. Application  à  des  transformations  d'intégrales. 

Sondât  (P.).  — ■  [L' 1  c]  Corrélation  entre  les  hexagones  de 
Pascal  et  de  Brianchon.  (i  21-1  26). 

Considérations  sur  les  points  de  Steiner,  de  Kirkman  et  de  Brianchon,  au 
moyen  d'une  figure  dénommée  par  l'auteur  sexlatère. 

Jaggi  {E.).  —  [A36]  Sur  la  résolution  algébrique  des  équa- 
tions. (i26-i38) . 

En  supposant  que  les  coefficients  d'une  équation  puissent  acquérir  des  va- 
leurs différentes,  l'auteur  cherche  une  formule  unique  pour  les  n  racines,  for- 
mule qui  devra,  par  certains  changements  dans  les  quantités  qui  y  entrent, 
donner  successivement  chacune  de  ces  racines.  Il  applique  ensuite  sa  méthode 
aux  équations  des  2«=,  3*  et  4*  degrés. 

E .  G.  —  [M'-3(i]  Sur  les  droites  qu'on  peut  placer  sur  une  sur- 
face de  troisième  classe  ou  de  troisième  ordre.  (i38-i44)« 

Génération  d'une  surface  de  3"  classe  par  les  plans  passant  par  les  points 
homologues  de  trois  divisions  homographiques.  Classification  des  27  droites 
qui  peuvent  être  placées  sur  une  telle  surface.  I^assage  aux  surfaces  du  3' ordre 
au  moyen  de  la  transformation  par  polaires  réciproques. 

Bienaymê  {A.).  —   [M'ortj  Sur  une   génération    des    courbes 


KliVUli   DKS   l'UlJLICATlONS.  5i 

planes  uni('iirsal(\s  (lu   Iroislrinc  cl  <lii  (jiialricmc  ordre.   (i44- 

Application  des  divisions  lionut^^rapliiqucs;  transformation  diuK;  proposition 
di"  Cliaslcs;  propriclés  nouvelles,  enlruînant  une  nouvelle  dcscrii)tion  fies 
eourbes  unicursales  du  3°  ordre;  exemples  ;  description  d'une  coni(|ue;  courbes 
du  /j"  ordre. 

/.CfHoi/fc  (/i-)-  —  [Ki2Irto]  Considérations  sur  la  Géomélro^^ra- 
phie.  (i  aiViGo). 

Kxamen  de  ([uelques  criti(iues,  accompagné  d'éclaircissements  et  d'exemples 
destinés  il  faire  complètement  comprendre  l'esprit  de  la  méthode. 

Concours  géivéual  nr.  iSgS.  —  Mathéinaliqucs  spéciales,  Malhé- 
nialiqiics  élémenlaires,  Première  Sciences  (enseignement  mo- 
derne), Rhétorique,  Seconde  classique,  Seconde  moderne. 
Troisième  classique,  Troisième  moderne  :  Enoncés  des  compo- 
sitions. (  i6o-i6-). 

Worontzoff.  —  [Dl  ^]  Sur  le  développement  en  séries  des  fonc- 
tions implicites.  (16--184). 

Cet  article,  très  condensé,  se  compose  presque  exclusivement  de  développe- 
ments de  calcul  se  refusant  par  leur  nature  même  à  toute  analyse. 

Aslor  {A.).  —  [M' 5a]  Sur  quelques  propriétés  des  cubiques 
unicursales.  (184-198). 

Démonstration,  par  voie  élémentaire,  de  cette  propriété  qu'une  cubique  uni- 
cursale  a  trois  points  d'inflexion  réels  ou  un  seul,  suivant  que  le  point  double 
est  isolé  ou  non.  Quelques  propositions  nouvelles  sur  les  tangentes  menées  à 
la  courbe  par  l'un  de  ses  points. 

D'Ocagne  {M.).  —  [E5]  Calcul  d'une  intégrale  définie.  (198- 
202). 

Le  problème  dont  il  s'agit  et  qui  a  une  grande  importance  dans  certaines 
questions  de  probabilités  consiste  dans  la  détermination  de  l'intégrale  double 
de  —oc  à  ^-  X  de  la  difîérentielle  e?"i>»2)  du^  du^  répondant  aux  systèmes  de 
valeurs  de  a,,  u^  tels  que  u^+u^  —  t;  9(w,,  mJ  représente  une  fonction  du 
2"  degré  à  deux  variables.  L'intégrale  en  question  peut  s'écrire  sous  la  forme 
/(O  dt,  et  l'auteur  détermine  la  fonction  /. 

Appcll  {P.).  —  [P2«]  Courbes  autopolaires.  (206-210). 

Une  conique  i:  est  autopolaire  par  rapport  à  une  conique  S  quand  elle  coïn- 
cide avec  sa  polaire  réciproque  par  rapport  à  S.  L'auteur  donne  l'équation  gé- 


52  SECONDE   PAKTIE. 

uéralc  des  coniques  autopolaircs  par  rapport  à  une  conique  déterminée,  puis 
étend  la  notion  dont  il  s'agit  aux  courbes  quelconques  et  môme  à  l'espace. 

Ilioux  ((  .)  —  [P2<^/J  Sur  les  quadriqiics  aiiLopolaires.  (211- 
2 1 5  ) . 

Extension  aux  quadriques  de  certains  des  résultats  de  M.  Appell  contenus 
dans  l'article  précédent. 

Aiunc.  —   [K10(^]  Note  sur  le  problème  du  billard  circulaire. 

(215-218). 

Connaissant  une  circonférence  O  et  deux  points  A  et  B,  il  s'agit  de  trouver 
sur  la  circonférence  un  point  M  tel  que  AMO  =  OAIB. 

Cazamian  {A.).  —  [L<  17e]  Sur  quelques  théorèmes  de  la  Géo- 
métrie des  coniques.  (2i8-23o). 

Conséquences  obtenues  par  une  série  de  transformations,  du  théorème  sui- 
vant :  «  L'enveloppe  d'une  droite  coupant  harmoniquement  deux  cercles  est 
une  conique  ayant  pour  foyers  les  centres  des  deux  cercles  ».  Les  propositions 
qu'en  déduit  l'auteur  sont  nombreuses  et  intéressantes;  nous  nous  contenterons 
de  citer  la  dernière  :  «  Les  directrices  des  paraboles  inscrites  dans  un  triangle 
passent  par  l'orthocentre  du  triangle  ». 

Saint-Germain  {A.  de).  —  [R9<2]  Problème  sur  le  frottement. 
(280-235). 

Il  s'agit  du  système  formé  par  un  disque  circulaire  pesant  et  une  barre  ho- 
mogène pesante  s'appuyant  sur  ce  disque  par  une  extrémité  dans  un  plan  ver- 
tical. 

Genty.  —  [L-lOe]  Solution,  par  la  Géométrie  vectorielle,  de  la 
question  proposée  au  Concours  général  de  1892  pour  la  classe 
de  Mathématiques  spéciales.  (235-242). 

Propriété  d'une  quadrique  circonscrite  à  un  ellipsoïde.  Les  notations  de  la 
Géométrie  vectorielle  permettent  à  M.  Genty  d'obtenir  simplement  la  solution 
et  d'établir  incidemment  plusieurs  autres  propositions. 

Tarry  (G.).  —  [Pie]  Théorème.  (242-243). 

Propriétés  ^des  figures  affines  (figures  homographiques  dans  lesquelles  les 
droites  à  l'infini  se  correspondent). 

Valdès  {E.).  —  [M<5ca]  Sur  la  strophoïde.  (243-263). 

Réunion  de  nombreuses  propriétés  de  cette  courbe;  étude  des  points  remar- 
quables. On  remarquera  notamment  les   propositions   sur  les  cercles  tangents 


f 


REVUK   DlîS   PURLICATIONS.  53 

(H  les   cercles   oscillateurs,  et  aussi  les  diverses  générations  de  la   strophoïdc 
examinées  par  l'auteur  à  la  (in  de  l'article. 

Caziiniidu  (y/.).  —  [iM*5ca]  Noie  sur  la  strophoïdc.  (aG3-265). 

Conséfjuence  de  re  fait  que  la  courbe  reste  semblable  A  cllc-mémc  dans  un 
mode  particulier  de  projection. 

Cazamian  {A.).  —  [L*  \  1]  Sur  Thypcrbolc  équilatcrc  cl  sur  ses 
inverses.  ('>()5-;>,8o). 

L'auteur  établit  les  propriétés  de  la  stroplioïdc  et  de  la  Icmniscatc,  en  les 
regardant  comme  transformées  par  inversion  de  l'hyperbole  équilatèrc.  Il 
donne  aussi  plusieurs  propriétés  de  l'hyperbole,  et  étend  plusieurs  propositions 
ù  toutes  les  cubiques  unicursales  dont  les  tangentes  au  point  double  sont  rec- 
tangulaires. 

Cazamian  (A.).  —  [L'  10^]  Sur  quelques  propriétés  de  la  pa- 
rabole et  de  ses  inverses.  (281-283). 

Propriétés  qui  sont  surtout  relatives  aux  cercles  osculateurs  à  la  parabole  et 
à  la  cissoïde. 

Dariès  {G.).  —  [02A]  Sur  la  détermination  des  trajectoires  or- 
thogonales de  quelques  familles  de  courbes  planes  dont  l'équa- 
tion est  donnée  en  coordonnées  bi-polaires.  (283-292). 

Propriétés  simplement  établies,  permettant  d'obtenir  les  trajectoires  ortho- 
gonales en  coordonnées  bi-angulaires.  Applications  à  plusieurs  exemples,  dont 
quelques-uns  ont  été  proposés  à  la  Licence  et  se  rapportent,  soit  à  des  pro- 
priétés purement  géométriques,  soit  à  des  questions  de  Mécanique. 

Concours  d'admission  a  l'École  Polytechnique  en  1894.  — 
Enoncés  des  compositions.  (296-298). 

Concours  d'admission  a  l'Ecole  Normale  supérieure  en  1894. 
—  Enoncés  des  compositions.  (299-300). 

Cazamian  {A.).  —  [M*  5a]  Application  de  la  méthode  de  trans- 
formation par  polaires  réciproques  à  des  théorèmes  relatifs  aux 
cubiques  unicursales.  (3oo-3o8). 

Après  quelques  remarques  d'ordre  général  sur  les  cubiques  unicursales, 
l'auteur  établit  un  Tableau  intéressant  donnant,  en  regard  de  théorèmes 
connus  sur  les  cubiques  cuspidales,  les  propositions  corrélatives  correspon- 
dantes. 

Cazamian  {A.).  —  [L<  10c/]  Solution  géométrique  de  la  compo- 


54  SECONDE   PAUTIE. 

sition   de  Mathcmaliques    du   Concours  d'admission  à  l'Ecole 
Polytechnique  en  1887.  (3o8-3i()). 

Sur  une  famille  de  paraboles  tangentes  à  deux  axes  rectangulaires. 

Cazanilnn  {/{.).  —  [L' 10^?]  Propriétés  de  la  parabole  cl  solu- 
tion géométrique  du  Concours  d'admission  à  l'Ecole  navale 
en  1893.  (3i6-322). 

Propriétés  d'une  parabole  et  d'un  hyperbole  équilatère. 

Cazamian  (A.).  —  [L^W]  Remarques  sur  le  théorème  de 
Frégier.  (322-324). 

L'auteur  constate  que  le  théorème  de  Frégier  n'est  autre  que  la  transformée 
par  polaires  réciproques  de  cette  propriété  de  la  parabole  :  le  lieu  des  sommets 
des  angles  droits  circonscrits  est  la  directrice. 

Cazamian  {A .).  —  [L'2/>]  Sur  un  théorème  de  M.  Faure.  (324- 

348). 

Extension  d'un  théorème  de  M.  Faure  sur  les  cercles  circonscrits  aux 
triangles  conjugués  par  rapport  à  une  conique.  Démonstration  d'une  autre 
proposition,  intimement  liée  à  la  première.  Diverses  formes  des  énoncés,  et 
nombreuses  conséquences,  relatives  aux  faisceaux  de  coniques,  à  des  triangles 
conjugués  particuliers,  à  la  transformation  par  dualité  des  énoncés  primitifs. 
Démonstration  géométrique  du  premier  théorème. 

Postilicoff  {M.).  —  [M' 6/]  Recherches  sur  les  courbes  planes 
du  quatrième  ordre.  (348-3^7). 

Après  avoir  établi  un  théorème  préliminaire  d'Algèbre,  relatif  à  des  équa- 
tions linéaires  à  deux  variables,  l'auteur  étudie  l'équation  générale  du  4*  de- 
gré, examine  la  recherche  du  centre,  en  supposant  les  axes  rectangulaires,  et 
arrive  par  des  calculs  un  peu  longs,  mais  au  fond  assez  simples,  à  une  discus- 
sion et  à  un  essai  de  classification  des  courbes  du  4*  ordre.  Il  y  a  lieu  de  si- 
gnaler dans  cet  article  quelques  défauts  de  rédaction,  au  point  de  vue  de  la 
forme;  défauts  bien  excusables  sous  la  plume  d'un  étranger,  mais  qu'il  eût  été 
désirable  de  faire  disparaître  au  moment  de  l'impression. 

Cazamian  (A.).  —  [L-14^]  Théorème  sur  les  quadriques.  (3^8- 
38o). 

Cette  Note  forme  une  suite  à  l'article  Sur  un  théorème  de  M.  Faure  {voir 
plus  haut). 

Correspondais  CE.  —  M.  A.  Cazamian  (Extrait  d'une  Lettre  à 
M.  Brisse)  :  à  propos  d'une  Note  de  M.  Astor  et  de  propriétés 
du  trèfle  équilatéral.  (384-386). 


\ 


UKV[ir.    DKS   PUIMMCATIONS.  O-i 

Cazamian  (//.).  —  |  L'  \i)h\  Sur  les  poiiils  crime  coiiiciiK;  situés 
sur  uu  mruK*  cercle.  (.)(SG-.5()/î)- 

(:.)ns(-(|ucnccs  de  la  relation  tp, -i-  9^  ^- 9,  +  9,  ^  .?  mr  entre  les  anomalies 
exeenlricpics  de  quatre  points  d'une  ellipse  situés  sur  un  même  cercle. 

C(tzamian  (A.).  —  [L/ITjl,']  Sur  les  (juadricpies  inscrites  dans  In 
même  dévcloppablc.  (3()5-3()9). 

Kxtension  à  l'espace  du  théorème  de  Desarf^ucs;  transformation  par  dualité; 
consé(iuences  et  applications. 

Genty{L.). —  [L-14]  Solulion  de  la  question  de  Mathématiques 
spéciales   proposée  au   Concours   d'Agrégation  en  1893.  (399- 

4o4).  _^, 

Questions  relatives  à  un  hyperboloïde  à  une  nappe,  et  au  cône,  enveloppe 
des  plans  normaux  aux  génératrices  menés  par  un  point  donné. 

Carvallo  {E.).  —  [0  4/>]  Observations  sur  les  examens  d'admis- 
sion à  rÉcole  Poljtechnique.  (429-434)- 

Ces  observations  portent  sur  la  recherche  des  points  d'inflexion  dans  le  dé- 
veloppement de  la  section  plane  d'un  cône.  Critique  de  presque  toutes  les  dé- 
monstrations géométriques  données. 

Bourlet  {€.).  —  [L- I7a]  Conditions  pour  que  deux  quadriques 
aient  une  génératrice  commune.  (434-442). 

La  condition  est  que  le  premier  membre  de  l'équation  en  X  relative  aux 
deux  surfaces  soit  carré  parfait.  Démonstration  directe  de  cette  proposition. 

Astor  (A.).  —  [R8ca]  Note  de  Mécanique.  (44M6i). 

Mouvement  d'un  solide  pesant,  homogène  et  de  révolution,  fixé  par  un  point 
de  son  axe,  et  assujetti  à  s'appuyer  sur  un  cercle  fixe  dont  l'axe  passe  par  le 
point  de  suspension.  Cette  étude  est  faite  successivement,  en  négligeant  les  ré- 
sistances passives,  puis  en  tenant  compte  du  frottement  dans  de  certaines  con- 
ditions hypothétiques  déterminées. 

Leinekugel  [G.).  —  [L'^Oca]  Note  de  Géométrie.  Sur  une  pa- 
rabole intimement  liée  à  une  conique  donnée  et  à  un  point 
donné  de  son  plan.  (482-488). 

Examen  de  propriétés  d'une  parabole  rencontrée  et  étudiée  incidemment 
par  l'auteur  en  traitant,  à  un  point  de  vue  purement  géométrique,  la  question 
du  concours  général  de  l'année  1889  (voir  Nouv.  Ann.,  3®  série,  t.  VIII). 

//oit  (S.).  —  [Kll(?]  Sur  un  problème  proposé  par  M.  E. 
Amigues.  (^188-490). 


56  SECONDl!;   PAMTIH. 

Sur  une  suite  de  cercles  inscrits  successivement  dans  des  triangles  curvilignes. 
Expression  des  rayons;  somme  des  aires. 

Audibert.  —  [KIG/]  Solution  de  la  question  j)roposéc  pour 
l'admission  à  l'h^colc  Polytechnique  en  i(S()^.  (/J9i-493). 

Un  ancien  Elè^'C  de  Mathématiques  spéciales,  —  [K.1G/]  Solu- 
tion géométrique  de  la  même  f[uestion.  (493-498). 

Questions   relatives    à    i'hyperboloïde   engendré    par   l'intersection  de    deux 
plans  rectangulaires  passant  par  deux  droites  fixes. 

Caffiii  (G.).  —  [LM8<:/]  Solution  géométrique  de  la  question 
proposée  pour  l'admission  à  l'École  Normale  supérieure  en  1894. 

(498-501). 

Propriétés  d'une  famille  de  coniques. 

Correspondance.  —  M.  M.  d'Ocagne  (Extrait  d'une  Lettre)  :  Nou- 
velle forme  de  deux  théorèmes  de  l'auteur,  sur  la  détermination 
de  la  normale  aux  courbes  planes.  —  M.  G.  Possé  (Extrait 
d'une  Lettre  à  M.  Brisse)  :  Communication  d'une  Note  de  feu 
M.  C.  Harkema,  et  relative  à  l'équation  différentielle 


(5oi-5o3). 


P  dx  -^  Q^dy  =  o. 


Agrégation  des  Sciences  mathématiques  (Concours  de  1894)-  — 
Enoncés  des  compositions.  (5o3-5o-). 

Concours  d'admission  a  l'Ecole  Centrale  en  1894  (Première  et 
seconde  sessions).  —  Énoncés  des  compositions.  (5o7-5i4)- 

Exercices. 
Questions  proposées  :  1658  à  1684.  (i*-j*). 

Barislen  (E.-N.). —  Solution  de  la  question  1547.  (6*-8*). 
Propriété  de  deux  diamètres  conjugués  d'une  ellipse. 

Barislen  {E.-N.).  —  Solution  de  la  question  1555.  (8*-io*). 
Propriété  d'une  slrophoïde  droite. 

Bosl  (L.).  —  Solution  de  la  question  1574.  (io*-i3*). 


llKVUl!:   DHS   PUBLICATIONS.  67 

Litii  rclahf  aux  (pialro  normales  cl  aux  doux  tangentes  menées  «l'un  |)(>iiil  à 
uik;  »'lli[)sc. 

Audibcrt.  —  Soliilion  de  la  question  1597.  (i^)*-i:V). 

Oiicsliou  (le  probabilité,  relative  A  un  jeu  équitable  mathéniati(juemcnt. 

DcsLoux  (J-)'  —  Solution  de  la  question  1G3G.  (  1  ;")*-! <^)*). 
Propriété  de  deux  cul)i(juis. 

Audibert.  —  Solution  delà  question  JOol.  (iG^-iH*). 
Problème  concernant  les  permutations. 

Brocard.  —  Solution  de  la  question  1550.  (  i8*-i9*). 

Lieu  relatif  à  un  cercle  et  une  droite. 
Brocard.  —  Solution  de  la  question  1651.  (i(/-'2o*). 
Lez  (//.).  —  Solution  de  la  même  question.  [9.0" -iV). 

Droz-Farny  (A.).  —  Solution   géométrique  de  la  même  ques- 
tion. (28*). 

Propriété  du  triangle  équilatéral. 

Moret-Blanc.  —  Solution  de  la  question  353.  ('^1*). 
Propriété  d'un  quadrilatère  coupé  par  une  transversale. 

Brocard  (//•).  —  Solution  de  la  question  372.  (24*-25*). 

Lieux  relatifs  à  un  triangle  ayant  pour  sommets  deux  foyers  d'une  conique, 
son  troisième  sommet  sur  la  conique. 

Moret-Blanc.  —  Solution  de  la  question  li.  {io*-'à']*). 

Rapport  des  sphères  circonscrite  et  inscrite  à  un  tétraèdre.  Minimum. 

Moret-Blanc.  —  Solution  de  la  question  22.  (2-*-28*). 
Sur  les  polynômes  de  Sturm. 

Moret-Blanc.  —  Solution  de  la  question  51.  (28*-3o*). 
Problème  relatif  à  un  quadrillage. 

Moret-Blanc.  —  Solution  de  la  question  54.  (3o*-32*). 

Surface  algébrique  sur  laquelle  on  ne  peut  tracer  qu'une  circonférence. 


m 


5S  SECONDE   PARTIE. 

Moret-Dlanc.  —  Solution  de  la  (jucstion  50.  (^a*^- 

Aire  riiinirnuin  des  prismes  de  même  base  et  de  mùmc  haiilcur. 

Brocard  {//.).  —  Solution  des  questions  473  et  482.  (33*-3(j*). 

Moret-Dlanc.  —  Solution  des  mêmes  questions.  (36*-3^*). 

Ilyperboloïde    sur    les   quatre    hauteurs    d'un    tétraèdre;   construction;   pro- 
priétés. 

Brocard  (ff.).  —  Solution  de  la  question  132.  (37*-38*). 
Cylindre  de  révolution  passant  par  cinq  points  donnés. 

Moret-Blanc.  —  Solution  de  la  question  8G.  (38*-4i*). 
Ellipse  inscrite  dans  un  triangle. 

Moret-Blanc.  —  Solution  de  la  question  lo7.  (4i*-4'2*). 

Propriété  d'un  système  de  trois  forces. 

Moret-Blanc.  —  Solution  de  la  question  174.  (4'^*)- 
Racines  d'une  équation,  entre  deux  limites  données. 

Moret-Blanc.  —  Solution  de  la  question  245.  (42*-43). 

Sur  le  nombre  des  valeurs  que  peut  prendre  a,x,  +  a^x^-t-. .  .h- rt„x„. 

Brocard  (IIX  —  Solution  de  la  question  475.  (43*-44*)- 
Construire  une  conique  connaissant  trois  tangentes  et  une  directrice. 

Brocard  {II.).  —  Solution  de  la  question  536.  (44*-45*). 

Construction  d'un  vase  cylindrique  droit;  question  de  minimum. 

Brocard  (If-)-  —  Solution  de  la  question  541.  (45*-49*)- 

Triangle  équilatéral,  maximum  ou  minimum,  circonscrit  à  une  ellipse.  . 

Callandreau  (0.).  —  Solution  de  la  question  936.  (49*-^2*). 

^       .  ,  ,    ,,          ,                             ,    ,      ,  .    I         I  I 

Propriétés  d  un  polynôme  provenant  de  la  série 1-  ^5 — ^  -h  7 — :  -f-. . . . 

Moret-Blanc.  —  Solutions  des  questions  992  et  993.  (52*-54*)- 
Propriétés  d'une  courbe  du  troisième  ordre  et  de  la  troisième  classe. 


71 


I 


KEVUE   DES  PUBLICATIONS.  59 

Fntncl  (./.)■  —  Solution  de  la  question  305.  (54*-58*). 

Sur  un  syslcinc  de  scpL  poinls  sur  uiu;  droilc  cL  de  scpl  plans  dans  l'espace. 
lirocard.  —  Solution  de  la  (juestion  539.  (58*-5()*). 

Courbe  rcprcsentanL  les  Liois  folioles  du  trifolium.  pralense 

Question  proposée  :   1685. 

A.  L. 


RENDIGONTO  dell'  Accademia  delle  Scienze  fisiciie  e  matematicme 
(Sezione  della  Society  reale  di  Napoli);  in-4";  Napoli,  lipografia  dclla 
H.  Ace.  dclle  Se.  fis.  e  mat.,  diretta  da  M.  do  Rubcrtis. 

2«  Série,  t.  IV  (année  XXIX,  1890)  (i). 

Angelitti  {F.).  —  Sur  une  modification  de  la  méthode  appelée 
de  Talcottj  pour  déterminer  la  latitude  géographique.  (5o- 
56). 

Reina  {V.).  —  Sur  la  théorie  des  normales  à  une  surface.   (76- 

78). 

Théorèmes  de  Géométrie  diflerentielle. 

Torelli  {G.).  —  Sur  certaines  équations  aux  dérivées  partielles. 

(123-128). 

M.  Beltrami  {Sulla  funzione  potenziale  della  circonferenza  {Rendicoiito 
del  Circolo  Mateinatico  di  Palermo,  t.  III,  p.  198)]  a  montré  que  l'intégrale 
elliptique  de  première  espèce 


f. 


dQ 


v/p'  sin^ô  4-  p'^cos-ô 
et  celle  de  deuxième  espèce 

■JC 

/      dO  v^p' sin^ô  H-  p'-cos^0, 

do 

satisfont  toutes  deux  à  l'équation 

f/    ',        ,N  àwl         6)    r     ,  ,  chvl 


dp 


(')  Voir  Bulletin,  XIX^,  p.  254. 


Oo 


SECONDE   PARTIE. 


et  la  première  intégrale  satisfait  aussi  à  l'ciiuation  trouvée  par  Borcliardt 
(Crelle,  Hd.  LVIII,  p.  i34)  pour  l'inverse  fie  la  moyenne  arithmético-géomé- 
Irique.  L'auteur  indi(jue  la  source  de  ces  propriétés  en  considérant  une  inté- 
grale qui  contient  comme  cas  particuliers  les  deux  intégrales  mentionnées. 

Contarino  {F.)-  —  Sur  la  conslanlc  de  la  collimallon  du  cercle 
méridien  Keichenbacli-IIeurtaux  de  l'observatoire  royal  de  Ga- 
podimonle  (i/|7-i54). 

Pirondini  (G.).  —  Sur  une  Iransformalion  géométrique  particu- 
lière (i  55-iG4). 

Mollame  (  V .).  —  Sur  le  casus  irreductihilis  de  l'équation  cu- 
bique. (1O7-1  -i). 

Torelli  {G.).  —  Sur  une  formule,  donnée  par  Halphen,  relative 
aux  transformations  des  équations  différentielles  linéaires. 
(233-238). 

Démonstration  d'une  formule  de  Halphen  {Sur  la  réduction  des  équations 
différentielles,  etc.  {Mémoires  présentés  à  l'Académie,  etc.;  1"  série, 
t.  XXVIII,  p.  117)].  L'auteur  indique  aussi  comment  doit  être  modifiée  la  loi  de 
formation  de  certains  coefficients  numériques. 

Torelli  {G.).  —  Extension  d'un  théorème  de  Riemann,  relatif 
au  quotient  des  intégrales  elliptiques  complètes  de  première 
espèce.  (238-244?  i  ph)- 

Le  coefficient  de  i  dans  la  partie  imaginaire  de  ce  quotient  est  toujours 
positif.  L'auteur  donne  l'extension  de  ce  théorème  au  cas  où  au  lieu  du  quo- 

tient  -77:-  on  considère  le  quotient  ^rr-»  étant 
Iv  ^  X 

X=    I     z?-'{i-zyi-?-'{i-xz)-'^dz, 

X'=    1     z?-^{l  —  zy^-^l—{^-x)  :■]-''■  dz. 

Capelli  (A.).  —  Sur  la  théorie  des  fonctions  algébriques  de  plu- 
sieurs variables.  (297-303). 

Deux  fonctions  rationnelles /(a:,,  ar^,  ...,  .rj,  9(:r,,  x.^,  ...,  x,^)  étant  données, 
la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  /  puisse  s'exprimer  rationnelle- 
ment au  moyen  de  9,  et  des  fonctions  symétriques  élémentaires  des  n  variables 
est  que  les  substitutions  entre  les  x-,  qui  ne  changent  pas  la  fonction  9,  ne 
changent  pas  aussi/.  L'auteur  étend  ce  critérium  au  cas  où  la  fonction  9,  ou  bien 
les  deux  fonctions  /  et  9  à  la  fois,  sont  des  fonctions  algébriques  quelconques. 


i 


KEVUE   DES   PUbLlCATlONS.  Gi 


T.  V;  (année  XXX,  i8yij. 

Marcolongo  (/t.).  —  !*>ni'  l^i  déformalion  d'un  corps  élastique 
isotrope  indéfini,  limité  [)ar  un  plan  indéfini,  pour  des  condi- 
tions spéciales  au\  limites.  (a^-Sa). 

L'auteur  étend  los  résultats  que  Boussinesq  et  Cerruti  ont  obtenus  pour  le  cas 
où  l'on  connaît  à  la  surface  la  connposante  normale  de  la  force  et  les  compo- 
santes tangenticllcs  des  déplacements,  ou  récipro(juemcnt.  L'auteur  supposer 
le  corps  soumis  à  des  forces  données  en  chaque  élément,  et  applique  la  méthode 
d'intégration  de  IM.  Cerruti. 

Marcolongo  (7i.).  —  Observations  sur  la  Note  :  Sur  les  lignes 
géodéslques  tracées  sur  les  quadriques  non  douées  de  centre. 
(32-33). 

C'est  une  Note  que  l'auteur  a  publiée  dans  les  Rendiconti  dei  Lincei^ 
mai  1890.  Ici  il  reprend  l'intégration  de  l'équation  des  géodésiques  sur  le  para- 
boloïde  elliptique,  en  substituant  aux  fonctions  0  les  fonctions  p  et  r  de 
Weierstrass. 

Berzolarl  [L.).  —  Sur  la  théorie  de  l'involution^  en  particulier 
de  l'involution  cubique.  (35-4o). 

Une  involution  linéaire  cubique 

/  +  );  9  =  0 

a  quatre  éléments  doubles,  donnés  par  le  jacobien  des  deux  formes  /  et  cp. 
Réciproquement  une  forme  biquadratique  peut  être  envisagée  comme  le  jaco- 
bien dQ  deux  faisceaux  de  formes  cubiques  et  ces  deux  faisceaux,  ainsi  que  les 
involutions  déterminées  par  ceux-ci,  sont  appelés  conjugués.  L'auteur  montre 
que  le  problème  «  Etant  donnée  une  involution  cubique,  trouver  l'involution 
conjuguée  »,  est  un  cas  particulier  du  suivant  :  «  Déterminer  les  formes  de 
degré  n,  apolaires  à  deux  formes  données  de  degré  n  »,  dont  il  donne  la  solu- 
tion en  s'appuyant  sur  la  propriété  suivante  qu'il  déduit  d'une  observation  de 
M.  Stcphanos  :  Les  binaires  de  degré  11  apolaires  à  deux  binaires  de  degré  n 
sont  les  polaires  mixtes  de  /i  —  2  pôles  quelconques  par  rapport  au  covariant  B 
de  Gordan  relatif  aux  formes  données. 

Capelli  (A.).  —    Sur  la   théorie  des  irrationnelles  algébriques. 

(61-70). 

En  appliquant  les  principes  de  Galois,  l'auteur  démontre  que  si  A  est  un 
noFTibre  appartenant  à  un  certain  champ  de  rationnalilé  {C,  x^,  x^,  . . .,  x„) 
par  rapport  auquel  un  autre  nombre  a  est  un  irrationnel  algébrique,  la  con- 
dition nécessaire  et  suffisante  pour  que  A  appartienne  aussi  au  champ  de  ra- 
tionnalilé (C,  a, /?,,/?„, /;,,),  les/;,  étant  les  fonctions  symétriques  élémen- 


G2  SECONDli   PAUTin:. 

taircs  des  a:^,  est  que  le  nombre  A  (exprimé  en  fonction  rationnelle  des  x^ 
avec  des  coefficients  du  champ  C)  ne  soit  pas  changé  par  les  substitutions 
des  X-,  qui  ne  change  pas  l'irrationnel  algébrique  a. 

JJerzolari  [L.).  —  Sur  l'involution  ciil)iqiic.  (71-79)- 

Quelques  propriétés  de  l'involution  cubiciuc  déduites  d'une  propriété  géné- 
rale démontrée  par  l'auteur  dans  le  travail  précédent  :  Sur  la  théorie  de 
l'involution,  etc.  Après  cela  l'auteur  démontre  aussi  une  pr<;priété  de  l'invo- 
lution formée  par  les  points  d'aj)pui  des  droites  trisécantes  d'une  quartique  de 
deuxième  espèce. 

PadelleilL  {O-)-  —  Sur  le  mouvement  du  pendule  simple  en  te- 
nant compte  de  l'ell'et  de  la  rotation  terrestre.  (79-124). 

L'auteur  montre  comment  on  doit  modifier  la  façon  de  traiter  cette  question,  en 
introduisant  la  notion  de  précession  au  lieu  de  celle  inexacte  de  plan  d'oscil- 
lation. Dans  une  Note  ajoutée  à  la  fin  du  travail,  il  donne  des  notices  histo- 
riques sur  ce  problème,  et,  en  particulier,  sur  des  observations  relatives  à  la 
déviation  du  pendule,  antérieures  à  l'expérience  de  Foucault. 

Plrondlni  (G.).  —  Quelques  questions  sur  les  développées  suc- 
cessives d'une  courbe  plane.  (iSq-iSo). 

Propriétés  des  courbes  telles  que  leurs  points  et  les  points  correspondants 
de  la  deuxième  et  de  la  quatrième  développée  sont  en  ligne  droite.  Courbes 
qui  coïncident  avec  leurs  quatrièmes  développées.  Courbes  qui  coïncident  avec 
leurs  huitièmes  développées. 

Amaldi    {!-)•    —   Une   interprétation    des   correspondances   par 
rayons  vecteurs  réciproques  dans  le  plan.  (238-24o). 

M.  Porchiesi  (Mem.  delV  Ace.  di  Bologna,  série  IV,  t,  III)  a  établi  une 
correspondance  entre  les  cercles  du  plan  et  les  points  de  l'espace.  L^auteur 
démontre  que  dans  cette  correspondance  les  transformations  par  rayons  vec- 
teurs réciproques  du  plan  donnent  dans  l'espace  des  homologies  harmoniques, 
dont  le  centre  et  le  plan  d'homologie  sont  conjugués  par  rapport  à  la  quadrique 
lieu  des  points  qui  correspondent  aux  cercles  de  rayon  nul. 

T.  VI  (année  XXXI,  1892). 

Battaglini  {G.).  —  Sur  une  série  de  courbes  du  second  degré. 
(24-33). 

Série  de  coniques  ayant  même  centre  et  mêmes  directions  des  axes,  et  dont 
les  carrés  des  axes  sont  des  fonctions  rationnelles  fractionnaires  d'un  para- 
mètre. 

Capelli  (^i.).  —  Sur  la  résolution  générale  des  équations,  et  en 


URVUR  DES  PUBLICATIONS.  03 

|)iM  li(iili(>r  (les  ('(jiialions  à   trois  Icrmcs,   par  des  inlcgralcs  dé- 
linies.  (39-/18). 

Ce  liMvail  se  rallaclic  aux  r(Mlu;r('lies  de  Ileymann  (Sludien  uber  die  Trana- 
formation  and  Inlegration  der  Dijferenlial-  iind  Dijferenzengleicliungen ; 
Loip/ij;;  Tcubner,   iS()i).  I^LanL  donnée  l'cqualion 

x„y"  4- ^,  y" -' + .  . . -F  a:,.  =  o, 

et  en  supposant  que,  dans  le  contour  C,  il  n'y  ait  qu'une  racine  y,   l'auteur 
trouve,  en  considérant  d'abord  y  comme  une  fonction  du  coefficient  x  , 

I     r  '> ,      r  v"-v  dv  ,    , 

y=    ■■     /  dX„     I     ; h(r),r,,=:a, 

■'■  '^^  i  J^  'Je  ^0  ^"  +  ^t  ^    "'  +  •••  -I-  -î^,.  ^-^    '     l> 

a  étant  une  valeur  quelconque  prise  dans  le  champ  de  la  variable  x  . 

Pînto  {L')-  —  Notice  nécrologique  sur  D.  Padelletli.  (49-5o). 
Fergola  (/-".)•  —  Notice  nécrologique  sur  A.  de  Gasparis.  (65- 

Marcolongo  (/?•).  —  Quelques  applications  des  fonctions  ellip- 
tiques à  la  théorie  de  l'équilibre  des  fils  flexibles.  Note  I.  (71- 
79),  Note  II.  (89-96). 

Dans  la  première  Note  l'auteur  suppose  un  fil  libre  et  soumis  à  une  force 
répulsive  rencontrant  un  axe  fixe  et  proportionnelle  à  la  distance  de  l'axe. 
Dans  la  seconde  Note,  il  suppose  que  le  fil  doive  rester  sur  une  surface  sphé- 
rique  sans  frottement. 

Aiigelitti  [F.).  —  Nouvelle  détermination  de  la  latitude  géogra- 
phique de  l'observatoire  royal  de  Gapodimonte  au  moyen  des 
passages  de  quelques  étoiles  au  premier  vertical,  observés 
pendant  1889.  (97-io3). 

Pinlo  {L.),  —  Notice  nécrologique  surE.  Betti.  (i43-i44)- 

ylscione  (F.).  —  Quelques  considérations  sur  le  pentaèdre  com- 
plet. (147-152). 

Il  y  a  une  quadrique  que  l'auteur  appelle  quadrique  des  i5  coniques,  telle 
que  le  plan  polaire  d'un  sommet  du  pentaèdre  par  rapport  à  la  quadrique  est 
aussi  le  plan  polaire  (harmonique)  de  ce  sommet  par  rapport  au  pentaèdre.  11 
déduit  de  la  considération  de  cette  quadrique  plusieurs  propriétés  de  la  confi- 
guration du  pentaèdre. 

Contarino  {F.).  —  Observations  de  la  nouvelle  comète  de 
Holmes,  faites  à  l'observatoire  de  Gapodimonte.  (i52-i53). 


64  SliCONDE  PAIITIE. 

Mollame  {F.).  —  Sur  les  racines  primitives  de  runilé  négative. 
('79-83). 

T.  VII  (année  XXXII,  i8(j3). 

Del  Pezzo  (P-)-  —  Sur  les  points  singuliers  des  courbes  algé- 
briques. (iD-'Àl). 

L'auteur  recherche  comment  on  peut  obtenir  les  points  singuliers  d'une  courbe 
plane  en  projetant  des  points  simples  de  courbes  situées  dans  les  hypcrespaces. 

CapelU  {A.).  —  Sur  le  système  complet  des  opérations  de  po- 
laire, permutables  avec  toute  autre  opération  de  polaire  entre 
les  mêmes  séries  de  variables.  (29-38). 

Toute  opération  de  polaire  entre  les  x^  y,  ...,  u  permutable  avec  toutes  les 
autres  peut  toujours  être  exprimée  par  une  fonction  rationnelle  entière  à  coef- 
ficients constants  des  n  opérations 

II(^,y,^,  ...,  m)„     \\{x,y,z,  ...,u)^,     ...,     \\{x,  y,  z,  . .  .^u)^_^, 


étant 


\\{x,  y,  z,  ...,  w)p  s 


D 


"y 


D. 


■  P  +  I^.. 
D. 


'■y 


D. 


D. 


D. 


14-  p  +  D,, 
D 


D, 


y^ 


Ascione  {E .).  —  Sur  les  surfaces  du  troisième  ordre.  (39-44)- 

L'auteur  étudie  la  quadrique  des  i5  coniques  {voir  ci-dessus)  du  pentaèdre 
de  Sylvester,  relatif  à  une  surface  du  3°  ordre,  en  particulier  pour  le  cas  où 
cette  surface  possède  des  points  d'Eckardt.  (Le  point  d'Eckardt  est  un  point 
de  la  surface  par  lequel  passent  trois  droites  appartenant  à  la  surface  et  si- 
tuées dans  un  même  plan.  Un  tel  point  est  aussi  un  sommet  du  pentaèdre  de 
Sylvester). 

Del  Pezzo    (P-)-    —   Équation    paramétrique  d'un   cycle    d'une 
courbe  plane.  (45-49). 

Nohile  (A.).  —  Réflexions  sur  la  variation  de  la  latitude  à  courte 
période.  (102-104). 

Voir  la  critique  de  M.  Ccsàro  à  la  paj^^c  icjS  et  la  réponse  de  l'auteur  à  la 
page  20 'f. 


"^•^i  pû^ri 


lU-VUK    1)I<:S   PUIilJCATIONS.  65 

Costa  {(i-)'  —  AcLÎoM  (riin  circtiil  voIiii'mjik^  (!<'  foi'mn  cllipl  i(|ii(* 
sur  iiMc  aij^Millc  n);ii;n<l  i(|in*  (!<■  (Iiummisioiis  liiii(;s  cL  ayant  son 
(•(Milrc  sur  l'axe,  (lo.)-!  lo). 

/>('/  Pczzn  {/*.)'    —   Sur  les  groupes  klcinécns  à  deux  \arial)l('S. 

(i-^:;-»:;;). 

\a'  l)ut  (le  r;iulcur  est  de  définir,  de  la  m;nii(  rc  la  plus  générale,  ces  fonc- 
lions,  dont  s'est  occupé  aussi  IM.  Picard  (fondions  li}  pcifuclisienncs)  (Acia 
Matliematica,  t.  I,  p.  5,  et  Traité  d'Analyse,  t.  I,  p-  -280). 

Les  substitutions  linéaires  faites  sur  les  deux  variables  x  cl  y  sont  inter- 
prétées par  l'auteur  comme  des  transformations  créinoniiMines  entre  les  points 
réels  d'un  espace  de  4  dimensions.  Le  problème  de  la  division  régulière  de 
l'espace  de  \  dimensions  en  polyèdres  congruents  par  rapport  aux  transforma- 
tions d'un  groupe  donné  se  réduit  à  celui  de  la  division  régulière  d'un  espace 
à  S  dimensions  en  polyèdres  congruents  par  rapport  à  un  certain  grf)upe  d'ho- 
mographies à  coefficients  réels. 

Ccipelli  [/i.).  —  Sur  l'impossibilité  de  sjzjgies,  entre  les  opéra- 
tions fondamentales  permutables  avec  toute  autre  opération  de 
polaire,  entre  les  mêmes  séries  de  variables.  (i55-i()2). 

Les  n  opérations  \\{x,  y,  z,  ...,m)  {voir  ci-dessus)  ne  peuvent  être  liées 
par  aucune  relation  rationnelle  entière. 

Cesài'O  {E .).  —  Sur  la  détermination  asjmptotiqiic  des  séries  de 
puissances.  (i8--ic)5). 


Ktant 
et 


«0  4-  a, -f-  a^  + , 
b^  +  b,  +  ô„  + . 


deux  séries  divergentes  k  termes  positifs,  on  construit  les  dcxw  fonctions 

f  {x)  —  a^-ir  a^x -^  a^x''-{-. . ., 
g{x)  —  b^+  6,  jc  -h  6^ x=  -t- . . . , 

en  supposant  convergentes  les  deux  séries  de  puissances  pour    \  x  \  <i  i- 
On  a  alors 

lim  •^-- — -  =  lim  y-^, 

jc  =  lg{^')        n=oob,^ 
lorsque  le  second  membre  existe.  On  en  déduit  que 

lim  -^-^ — -  —  lim   H H 7^' 

De  ces  propositions,  l'aufeur  déduit  plusieurs  propriétés  asyniplotiques  rela- 
tives   aux    séries  de   puissances.   Soit   a,  ^,  y,  ...    un   syslènie   (juclcon(|ue  de 
Bull,  des  Sciences  malkém.,  2'  série,  t.  XX.  (Avril  tHqG.)  R.5 


66  SI-COM)!*:    PAiriKL 

iiuMibies  ciilicrs  ; 

x"  +  x'^  -h  x">  -T  . . . 

esl  la  série  polcnl iclle  du  svslriiic.  On  a 

I  i  tu  (  I  —  x)  {x''-  -\-  x'  -'r  x''>  -{-  . . .)  —  m, 

a  -    1 

m  étant  la  fréquence  de  a,  |3,  y,  ...  entre  les  nond)rcs  entiers,  c'est-à-dire 
la  pr()bal)ililé  qu'un  nombre  entier,  pris  arbitrairement,  appartienne  au  sys- 
tème donné. 

Cesàio  {I^ ')'   —  Criliquc  des  Rr/lexioiis  du  Prof.  Nohile  sur 
les  variations  de  la  latitude  à  courte  pt'i' iode.  (iy5-i9()). 

Cesàro  {E .).  —  La  série  de  LaniherL  en  arilliiiiéliqtie  asjmplo- 
tiqiie.  (i()"-2o4). 

De  la  manière  dont  la  série 

X  x' 


L{x)  = 


1  —  X  I  —  X- 


se  comporte  dans  le  voisinage  de  l'unité,  l'auteur  déduit  l'expression  asympto- 
ti(|ue  du  nombre  6(/î)  des  diviseurs  de  /?,  et  établit  une  formule  renfermant, 
comme  cas  particuliers,  des  formules  de  Gauss  et  de  Diricliict. 

Nobile  (A.).  —  Réponse  à  la  critique,  faite  par  M.  Cesàro  à  la 
Note  intitulée  :  Réflexions  sur  la  variation  de  la  latitude  à 
courte  période.  (204-206). 


ATT[  OEIJA  U|':ale  A(:cadiï:mi.\  diîi  Lin(:i:i,  aiino  CCLXXXI,  1892.  Rendiconli. 

Série  5«,  t.  I.  \\\-\\ 

1^''  semestre. 

Capelli  {A.).  —  Nouvelle  démonstration  du  théorème  sur  le  dé- 
veloppement par  polaires  des  formes  algébriques  à  plusieurs 
séries  de  variables  (3-9). 

Castelnuovo  (G.).  —  Sur  les  transformations  crémoniennes  du 
plan,  admettant  une  courbe  fixe.  (47-00). 

M.  Doehlemann  a  étudié  cette  classe  de  transformations  dans  les  Mathetna- 
tische  Annalen  (Bd.  XXXIX,  p.  567).  M.  Castelnuovo  démontre  qu'une  trans- 
formation de  cette  classe,  si  le  genre  de  la  couibe  (ixe  est  >  i.  est  toujours 
cyclique  ou  réductible  au   type  de  Jonquièrcs. 


UKVIÎI-:    l)l':S   iniHMCATIONS.  67 

/'//// /i/ii  ((  I .).  —  I)(Mi\  |)i()|)()sil  ions  (1(!  I;i  I  Im'oiic  des  iioiuhrcs  cL 
liMii'  iiilci|)r('l;il  ion  <;('oin('ln(|ii(\  (;h-.')j). 

C.os  proposil  ions  soiil   icliil  i  vcs  ;m\  solutions  cnlirrcs  (\c  ri(|ii;il  ion 

X'—  \^y^  -•  -I-  N. 

licllranti  (/i-)-   —    Siii"   l\'\pi'(îssion    ;iii;ilyli(ni('   du    jniricipr    de 
Jluygciis.  (()()- loS). 

Au  moyen   diinc  cxionsion    do    1;»   forninlc  de  (irccn 

,„,(.„.,.,.-. /(,;r  _.;.;;?)..  _./.,,i- 

ranlour  dcduil,  d'une  manière  plus  simple,  l'expression  analytique  du  prin- 
ripe  de  lluygens  donnée  par  Kirchhofl'.  Celle  question  avait,  été  déjà  tiailée 
[)ar  l'auteur  dans  les  Tiendiconti  ciel  Ji.  Jslitulo  Lomhardo  (1889),  mais  ici 
il  y  ap[)ortc  des  autres  simplifications  el  observations. 

Tonelli{A.).  —  Sur  la  résolution  delà  congrucnce  x-^c{mo(\p'). 
(i  i()-i  9.0). 

L'auteur  donne  une  formule  pour  représenter  les  racines  de  cetle  rongruence 
et  en  déduit  l'expression  de  ces  racines  au  moyen  de  celles  de 

y-  —  c(  vtxoàp  ). 

Morei-a  {G.).  —  Solution   générale  des   éq nations    indéfinies  de 
l'équilibre  d'un  corps  continu.  (i3--i  ^i). 

\  dx 


^'      J   ~    '    àyâz 

^      J  -^         dz  dx 


P- 


dz  + 


<)x  ày 


'        ■>.    r)x  \()x  f)y  ()z  /' 

■^       -2  ày  \  ôy         àz         ôx  ;  ' 

X  -  -  —  (—  —  —  -    —\ 
'  ^~  9-  Oz\ôz         r)x         &y  )' 

Bcllranii  [E .).  —   Observations  sur   la   Note  })ré(édente.  (14  f- 
Morcr((  {(j.).  —  Appendice  à  la  \ole  :  Sur  ht  so/iflio/t  la  phi^ 


G8 


SliCON  l)l<:  l'AUTIR 


<^i'n(h((le  des  é(j(iati(>iis  indrji mes  de  l' (''(/iiilihic  d'un  corps 
continu.  ['i?)?)-'a?)\). 

/*i/H-/f('/-/c  (S.).   —   Sur  l(!S  (ormes  (Ji[r(''r(Mil  icilcs  liiK-airos.  {'^~/'^)- 


Soil  '^  { t  )  iino  fonction  ;iii;ily  I  iqiic  (iiiclroii(|ii('  do  /  cl  'f ', 'f",  ...  ses  (Irrivées; 
soiL  /",  un  [)olynomr  laLionnci  cnlicr  de  (Ici^rc'-  /y  en  /;  r;inlcur  appelle;  foinie 
dilJ'rrenlleUc  lincaire  normale  de  Vordrc  p  l'cxpressic^n 

et  (Icfinil  les  opérations  suivantes: 


S,^  A  =  A  H-  pD  A  +  (  p  J  !)-■  A  + .  .  .  +  (  p  /)  I  )/'  A. 

L'intégration  <le  l'équation  A=  o  entraîne  celle  de  toutes  les  équations  de  la 
forme  S^  A  —  o.  I"^tant  9  une  intégrale  de  A  z=  o, 


(L  (  X  )  =    /     -'- 


sera  une  intégrale  de  S   A  =  o.  Applications  à  l'équation  du  second  ordre  et  à 
l'équation  liNpergéométrique. 

Padova  {E-)-  —  Sur  la  théorie  de  la  capillarité.  (33 1-335). 

Dans  sa  Note  Suite  equazioni  générait  délia  dlnamica  {voir  sc^  Rendl- 
conti,  1891),  l'auteur  a  dénfiontré  que  les  tensions  intérieures  des  corps  élas- 
tiques et  les  pi-essions  intérieures  des  fluides  sont  des  coefficients,  par  lesquels 
on  doit  multiplier  les  équations  exprimant  la  condition  que,  dans  certains 
mouvements,  les  liaisons  physiques  du  système  donné  ne  sont  pas  modifiées. 
Ici,  en  donnant  une  autre  application  de  cette  théorie,  il  montre  que  les  pl)é- 
noménes  de  capillarité  sont  dus  à  ce  que  l'on  ne  peut  changer  l'aire  des  élé- 
ments de  la  surface  de  séparation  des  deux  fluides,  sans  faire  varier  l'énergie 
du  système,  à  moins  que  n'interviennent  des  actions  extérieures. 

Mcu'colongo  (/?.).  —  Résolu  lion  de  deux  jiroblèmes  relatifs  à  la 
déformation  d'une  sphère  homogène  isotrope.  (335-343). 

L'auteur  détermine  la  déformation  de  la  sphère  dans  les  deux  cas  suivants  : 

1°  Que  soient  données  la  composante  normale  des  forces  et  les  composantes 
tangentielles  des  déplacements; 

1°  La  composante  normale  du  déplacement  et  les  composantes  tangentielles 
des  forces. 


uiivur:  Di'is  ru  uli  cation  s.  09 

S('//(f  (./  ).    —   Sur   rallracJioi)   <lii    coi'ps  crîilLi'aclioii    iniixiimim 
au  second  pôle,  (^oo-^jf)). 

rizzclti  (/^)•  —  l^a  loi  de  j)rol)al)illl('  des  erreurs  d'observation. 
(380-383). 

•x''  scmosLre. 

Hianchi  (/>•)•  —  Sur  la  transformation  de  Fiiiekluiid  pour  les  sur- 
l'accs  pseudos[)hériques.  (3- 12). 

l'^ii  ronnaissanl  toutes  les  Iransfoiinées  eoniignës  complémcnlaires  et  de 
Hackltind  (rime  surface  pseudospliérif|ue  initiale,  l'application  successive  et 
illimitée  des  méthodes  de  transformation  peut  se  faire  seulement  par  des  cal- 
culs ali;él)riques  et  de  dérivation.  J^our  toutes  les  surfaces  du  groupe  infini 
que  l'on  déduit  ainsi,  l'équation  des  géodésiques  s'obtient  en  termes  finis  sans 
aucune  intégration.  L'auteur  donne  aussi  un  exemple  en  partant  d'un  héli- 
coïde  de  Dini.  Pour  établir  ces  résultats,  l'auteur  démontre  et  emploie  un 
théorème  de  permutabilité  sur  la  transforn)ation  de  Biicklund,  qui  est  le  sui- 
vant : 

«  S,  et  S.^  étant  deux  surfaces  pseudospliériques  liées  à  une  même  surface 
pseudosphérique  S  par  deux  transformations  deBiicklund  lî^j,  Va.  à  constantes 
difTérentes  a,,  a^,  il  existe  une  quatrième  surface  pseudosphérique  S^  liée  aux 
S,^  S^  par  des  transformations  de  Biicklund  B^;,  B^i,  de  constantes  a„,  a,. 

Blanchi  [L.).  —  Sur  les  déformations  infiniment  petites  des  sur- 
laces flexibles  et  inextensibles.  (4i-48)- 

Après  avoir  rappelé  les  formules  de  Weingarten  {Crelle,  Bd.  C),  l'auteur 
démontre  une  propriété  des  surfaces  associées,  c'est-à-dire  qui  ont  des  nor- 
males parallèles  entre  elles,  point  par  point,  lorsqu'on  fait  correspondre  aux 
lignes  asymptotiques  de  l'une  un  système  conjugué  sur  l'autre.  Ensuite,  il 
recherche  le  système  conjugué  qui  se  conserve  conjugué  après  la  déformation 
et  enfin  en  considérant  les  déformations  finies  qui  conservent  conjugué  un  sys- 
tème donné,  il  démontre  des  résultats  de  M.  Cosserat  {Comptes  rendua, 
octobre  189 1). 

Montesano  (D.).  —  Sur  deux  congruences  de  droites  du  2*^  ordre 
et  de  la  6^  classe.  (77-80). 

Ces  congruences  sont  formées  par  les  génératrices  de  oc  cônes  du  2"  degré 
ayant  les  sommets  sur  une  courbe  rationnelle  du  3^  ordre,  gauche  ou  plane. 

Fraltini  {G.).  —  Additions  à  quelques  théorèmes  de  M.  Tcliebi- 

chefT.  (85-91). 

Sur  les  solutions  entières  de  l'équation 


70  SKCONDH  TA  UT I  IL 

Somiglidiiff  {C).   —  Sur  les  expressions  analjlicjiies  générales 
des  nioiivenienls  oscillaloii'es,  (i  i  i-i  i()). 

L'auteur  donne  une  démonsliaLion  siiriple  du  llicorèmc  de  CIcbsch  sur  la 
décomposition  de  tout  mouvement  oscillaLoire  d'un  milieu  isotrope  en  deux 
mouvements,  l'un  longitudinal  et  l'autre  transversal.  Il  y  ajoute  quelques  ob- 
servations sur  les  relations  entre  les  formes  trouvées  ici  et  autres  formes 
connues  pour  les  intéf^ralcs  des  é(|ualions  des  mouvements  oscillatoires.  Enfin, 
il  f^(Miéralisc  la  question  en  supposant  que  le  milieu  ne  soit  pas  isotrope,  mais 
un  milieu  de  Grcen. 

Blanchi  {L-)-    —    Sur  la    Iransfornialion  de    Bjicklund   [)Oiir   les 
svslèmes  triples  orllioj^onaux  de  Weingarten.  (i56-i6i). 

Le  théorème  de  perniutabilité  de  la  transformation  de  Biickliind,  démontre 
|)ar  l'auteur  même  pour  les  surfaces  pseudospliériques  (ro«/' ci-dessus  ),  est  dé- 
montré ici  pour  les  systèmes  triples  orlhogouaux  de  W  cini,'arlen  contenant 
une  série  de  surfaces  pseudospliériques. 

lolteri'a  (  V .).  —  Sur  les  vibrations  lumineuses  dans  les  milieux 
isotropes.  (161-170). 

L'auteur  traite  le  cas  des  ondes  cylindriques  cl  obtient  des  formules  ana- 
logues à  celles  de  Kircliholï'.  Puis,  en  généralisant,  il  obtient  des  formules  dont 
celles  de  Kirclilioiï  et  celles  de  l'auteur  sont  des  cas  particuliers. 

Del  Re  {A.).  —  Sur  la  surface  du  ;V'  ordre  douée  de  cubique 
double  et  de  point  triple.  (170-17G). 

Del  Re  (A.).  —   Encore  sur  la  surface  du   5''  ordre  à   cubique 
double  et  point  triple.  (2o3-2io). 

Dans  le  Giornale  di  Battaglini,  1888,  l'auleur  a  donné  une  construction  de 
cette  surface,  qui  est  polaire  conjointe  i)ar  rapport  à  un  connexe  plan-droite 
(2,  3)  et  à  une  quadrique.  Dans  la  première  de  ces  deux  Notes,  il  démontre 
des  propriétés  de  cette  surface,  et  dans  la  seconde  il  donne  une  nouvelle  con- 
struction, la  construction  de  la  courbe  double  et  les  équations  de  la  surface, 
(lu  connexe  (2,3)  qui  la  produit,  et  d'un  autre  connexe  poinl-plan  (1.  2),  dont 
elle  est  surface  fondamentale. 

Vollerra  (V.).   —  Sur  les  ondes   cyliudri(jues  dans  les  milieux 
isotropes.  (260-277). 

Après  avoir  rappelé  les  formules  trouvées  par  lui  dans  son  Travail  précédent 
(Sur  les  vibrations  lumineuses^  etc.,  voir  ci-dessus),  et  qui  expriment  pour 
le  cas  des  ondes  cylindriques  un  principe  analogue  à  celui  de  Huygens-KircholV, 
l'auteur  montre  la  relation  entre  deux  de  ces  formules  et  une  formule  de 
Poisson,  et  établit  ensuiie  des  formules  plus  générales. 


HHVUK   l)l':S   IMJULICA  I  IONS.  71 

liiioscfii  (V.).    —    Les    iiil('i;ial(S    ;il^('l)ri(jiics    de    r(''(|iiali(jii    de 

Diins  1rs  Annali  di  Mftfc/iKitira,  t.  I\,  ■>"  sc-rie,  i^~^,  r;iiiloiir  y  «N-monlrc; 
(|ii(-  rr(|iiati()n  (liUVrciilirlIo 

d'y  I     ,,    ,dy        lv(v  -1-  :>.)  1 

ri  il  11  I 

V  lui  iKimluc  impair  et  t  une  roiistanle,  a  des  intégrales  algébriques,  et  mèinc 
Iruuvé  leur  expression.  Ici  il  donne  des  transformations  et  une  propriété  de 
CCS  intégrales. 

/)('/  AV  (^  /•)•  —  Autres  propriétés  relatives  à  la  surface  du  5''  ordre 
àcnhi(|iie  double  et  point  triple.  (3/13-348). 

Del  Re  {A.).  —  Sur  quelques  variétés  de  la  surface  du  5"  ordre 
à  cubique  double  et  jyoint  triple.  (378-385). 

Construction  de  la  surface  au  moyen  de  certaines  correspondances  univo(|ues. 

Pascal  {E.)-  —  Sur  les  3i5  coniques  coordonnées  à  la  courbe 
plane  générale  du  4''  ordre.  Note  l.  ( 385-390 ). 

L'auteur  applique  les  principes  généraux  établis  par  lui  dans  un  Travail  inséré 
aux  Annali  di  Matetnatica,  t.  XX  {Rappresentazione  geometrica  délia  ca- 
racteristiche  di  génère  5  e  4)-  H  étudie  ici  la  configuration  de  28  tangentes 
doubles  de  la  quartique  plane,  et  des  propriétés  qui  en  dépendent. 

Cantoni[G.).  —  Sur  la  valeur  pliilosophique  des  écrits  de  G.  Ga- 
lilei.  (4o5-4io). 

Pascal  {B.).  —  Recherches  sur  les  groupements  lormés  par  les 
3i5  coniques  coordonnées  à  la  courbe  [)lane  générale  du  4*^  ordre. 
Note  11.  (417-423). 


72 


SECONM)H   PARTIli;. 


MATin^MATlSCIlIÎ  ANNALliN,  publiées  \mv  F.  KIlmii.  W.  Dyck  ol  A.  Mayer. 

Tome  XXXVII;  i8yo(ij. 

CapelU  (A.).  —   Sur  les  opérations  dans  la  ihéoiic  des  formes 
algébriques,  (i-^^). 

l/aulcur  expose,  dans  ce  ISIémoirc,  non  seulement  les  l'ésiiIlaLs  les  plus  ini- 
porlanLs  auxquels  il  est  parvenu  clans  ses  travaux  antérieurs  sur  la  théorie 
générale  des  formes  algébriques,  mais  aussi  quelques  autres  résultats  et  donne 
une  série  de  démonstrations  nouvelles  dont  le  but  principal  est  de  ramener, 
autant  que  possible,  le  mécanisme  de  la  tecliniciue  o[)érative  des  opérations 
invariantes  à  ses  éléments  les  plus  simples,  c'est  à-dire  aux  opérations  de  po- 
laire, les  seules  dont  l'usage  est  essentiel  dans  son  Mémoire. 

On  représente  par  une  seule  lettre,  par  a)  par  exemple,  l'ensemble  de  plu- 
sieurs variables  indépendantes  a?^,  a?,,  cc^,  .  » . ,  x.^.  On  dit  alors  que  x  représente 
une  série  de  variables  de  l'espèce  v.  On  appelle  opérations  élémentaires  les 
opérations  de  la  forme 


D     =  V 

rv  J  0 


àx^ 


r. 


dx. 


+  •••+>% 


ôx. 


L'opération  résultant  de  plusieurs  opérations  elTectuées  successivement  A',  A", 
y,  ...,  est  représentée  par  le  produit 

...A'"  A"  A'. 

L'auteur  ne  considère,  en  général,  que  des  opérations  qui  s'expriment  par 
un  agrégat  rationnel  et  entier  à  coefticients  constants  d'opérations  élémen- 
taires. Nous  pouvons  maintenant  donner  une  idée  de  l'esprit  du  Mémoire  en 
reproduisant  quelques-uns  des  théorèmes  qu'il  renferme. 

Si  n  et  II'  sont  deux  produits  de  >^  opérations  élémentaires,  qui  ne  difîèrcnt 
que  par  l'ordre  de  succession  des  facteurs,  on  aura  identiquement 

n  —  11=  SÂ-TT. 

où   les  coefficients  constants  A'-  sont  des  nombres  entiers,  positifs  ou  négatifs, 
et  les  -ir^  sont  des  produits  de  );  —  i  opérations  élémentaires. 

Si  D,,  Dj,  ...,  Dn  sont  les  n-  opérations  élémentaires  D^.^.,  relatives  aux 
n  séries  de  variables  x,  y,  ...,  rangées  dans  un  ordre  choisi  arbitrairement, 
une  opération  quelconque  A  composée  avec  ces  opérations  élémentaires  peut 
toujours  s'exprimer  sous  forme  d'une  somme  de  termes  de  la  forme 

a  D'i^  dI^Ti'  . . .  D!:^  1^'  D^', 

où  a  est  un  coefficient  constant  qui  est  fonction  linéaire  à  coefficients  entiers 
des  coefficients  de   A  et  jj.,,  \i.,,  ...,  |j.n  des  entiers  positifs  dont  la  somme  ne 


(•)  Voir  Bulletin,  t.  XIX,,  p.  23. 


UKVUi<:  i)i<:s  ihiumcations. 


73 


[»(Mil  (lt'|)ii^>*(M'  le  (Ic;;it''  luhil  de  A.  ('fsl-ii  dire  lo  plus  ;^i;iii(l   n<i!iil)rc  de  I.m  leurs 
|)  (•i;iiiix  ou  dislimls  duiil   se  (,(»iii|)(»sciil  les  Irniics  de  I  <i|t('-i'iil  i<»ii  A. 
I,"ii|i(i',il  i«iii  de  <'.iiN  It'V 


il  :^ 


iW 


i).r, 


<h>. 


f(tiriit-('  iivcc  //  s(''iies  de  varialdes  .r,  ^',  ...,  V^  opt'ral  ion  (|iii  join;  un  lùle  li'ès 
iiii[H)ilaiil  dans  la  llM'oric  des  formes  invaiianli ves,  peuL  loiijoiiis  se  ramener 
à  (le  sim|des  opérai  ions  élémcnlaircs. 

lue  (onclion  ralionnelle  erUièic  quelconque 

V{x,  y,  z,  ...,  //) 

(le  n  séries  x.v,  z,  ...,  «,  d'espèce  /?,  peut  Lcjujours  s'exprimer  sous  la  f(jrmc 

V{x,  y,  z,  ...,  u)  =  {x,y,  z,  ...,  u)  <l»(x,y,  -,••-,  u)  +  i:A./.(jK, -,  ...,  m) 

où  le  second  membre  est  la  somme  de  deux  fondions  ralionnelies  entières 
dont  la  première  est  exactement  di\isible  par  le  déterminant  {x,y,  z,  ...,  u) 
des  variables,  et  la  seconde  est  une  fonction  qui  peut  èlre  déduite  à  l'aide  des 
fonctions  élémentaires  de  fonctions  /]{y,z,  ...,  u)  qui  contiennent  seulement 
les  séries  y,z,  . . . ,  u. 

L'auteur  avait  donné  cette  proposition  dans  un  Travail  publié  en  1882  dans 
les  Meinorie  délia  B.  Ace.  dei  Liiieei  (  Fundainenti  di  una  tkeoria  del  forme 
algebriclie),  mais  la  démonstration  qu'il  en  donne  ici  est  beaucoup  plus 
simple.  Le  Mémoire  se  termine  par  l'extension  des  résultats  obtenus  pour  les 
fonctions  rationnelles  entières  aux  fonctions  analytiques. 

Prlngshelm  (A.).  —  Sur  la  théorie  des  séries  de  Diricldet.  (38- 
60). 

Dans  un  Mémoire  sur  la  théorie  générale  de  la  divergence  et  de  la  conver- 
gence des  séries  à  termes  positifs  {Math.  Ann.,  t.  WW"),  l'auteur  a  étai)li 
(|ue  la  série  dont  le  terme  général  est 


M.,,—  M, 


K^M 


M? 


(M,^,  |M,^,     M«  =  -^.) 


est  convergente  pour    toute   valeur  positive  de  ç>  si   petite  qu'elle  soit,  tandis 

que  l'expression 

M,_-M„ 


d,.^ 


iM. 


est  le  terme  général  d'une  série  divergente.  L'auteur  a  établi  alors  que  celte 
proportion  donnait  la  clef  de  toute  la  théorie  de  la  convergence  des  séries  à 
termes  positifs. 

-Des  recherches  ultérieures   ont  conduit   l'auteur  à  reconnaître  que  le  même 
ihéorème  s'appli((iie  de  la  f.ieon  la  plus  simple  à   lélude   des  séries   à  couver- 


74  SliCONDK  PAinir>. 

gence  non  absolue  ([u'il  a|)f)cllc  séries  de  Diricklel,  c'csL-à-diio  aux  séries 

où  M,^  csL  une  (|iiaiiLil(-  positive  ([ni  ne  rh-croil  jamais  avec  v  cL  aui^nicnte  in- 
délinimenl  pour  v  -  x  eL  les  (iiiaiiLilés  a.^  sont  des  quariliu-^  (juelroniiucs 
réelles  ou  complexes. 

Le  liiéorènie  en  qucsLion  peiriK^l  à  Taulcui-  de  dénioMlrer  d'une  façon  pure- 
ment éliMueulaire,  sans  aucun  emploi  du  Ciaiciil  inlcj;r<il,  la  r(':ponsc  aux  deux 
(ineslions  suivantes  :  . 

(^)uelles  sont  les  conditions  siiKisantcs  jjour  (|ue  les  s('ries  de  I)iriclilet,  rela- 
tives au  cas  où  p  est  plus  grand  cjue  zéro,  soient  convergentes  ou  divergentes? 

(^)uelle  est  la  limite  de  leurs  sommes  pour  o  =o? 

BrauninuJil  [A.  von).  —  Sur  les  groupes  de  caraclérisliques  à 
p  colonnes  formées  avec  des  /z""'*^^  parties  de  nombres  enllers 
et  sur  les  relations  entre  les  fonctions  thêta  d'ordre  n  qui  leur 
correspondent.  (6'i-()9). 

Nœlher  {Math.  Ann.,  t.  XVI,  i<S8o)  et  l-'robenius  (./.  de  Cndle,  t.  LXXXIX, 
et  XCVI,  iSs4)  se  sont  occupés,  en  se  plaçant  à  des  points  de  vue  diflerents, 
de  la  théorie  des  caractéristiques  à  p  colonnes  ou  de  genre />  dont  les  éléments 
sont  formés  a\ec  des  moitiés  de  nombres  entiers;  ces  tliéories  des  caractéris- 
tiques sont  importantes  pour  la  formation  des  relations  entre  les  fonctions 
tlièta  et  pour  le  problème  de  la  division  par  deux  des  fonctions  abéliennes.  On 
se  trouvait  ainsi  conduit  à  étendre  leurs  recherches  aux  caractéristiques 
formées  avec  des  /i''-"»^  parties  de  nonibres  entiers,  n  étant  un  nombre  entier 
positif  quelconque.  Prym  et  Krazer  se  sont  posé  la  question  {Acla  Mathe- 
niatica,  t.  III,  i883)  mais  ne  sont  pas  partis  de  l'étude  préalable  des  caracté- 
ristiques; il  ont  établi  deux  formules  entre  les  fonctions  thêta  du  premier 
ordre  ayant  les  caractéristiques  en  question,  formules  qui  sont  des  plus  im- 
portantes; l'une  de  ces  formules  possède  \\v\  caraclèrc  de  généralilé  tel  qu'elle 
peut  servir  de  base  à  toute  une  série  de  développements. 

L'auteur  s'est  proposé  ici  d'étudier  tout  d'abord  les  caractéristiques  en  elles- 
mêmes,  et  dans  une  première  section  il  étend  aux  caractéristiques  formées 
avec  des  «'«"><■»  parties  de  nombres  entiers,  les  résultats  obtenus  par  Frobenius 
dans  le  cas  particulier  où  n  =  2.  Il  ne  se  contente  pas  d'élablir  les  seules  pro- 
positions qui  lui  seront  utiles  dans  la  seconde  jjartie,  mais  traite  à  fond  la 
théorie  générale  des  caractéristi(iucs  qui  permet  de  fournir  des  relations  inté- 
ressantes entre  les  fonctions  thèla,  aussi  bien  dans  le  cas  général  que  dans  le 
cas  déjà  étudié  par  l'auteur  où  n  =  ?>  {Math.  Ami.,  t.  XWII,  1S88). 

C'est  un  des  sous-groupes  rencontrés  dans  la  première  section  et  (jui  com- 
prend comme  cas  particulier  le  groupe  de  (iœ|)el  qui  conduit  à  l'examen  k\v 
certaines  fonctions  thèla  d'ordre  /«,  entre  Icsciuellcs  existe  une  relation  fonda- 
mentale analogue  à  la  relation  de  l'ryni  cl  Kra/cr  il  (|iii  comprend  comme  cas 
parliculici's  t(»ules  les  relations  de  même  espèce  (|ue  l'on  connaissail   jusque-là. 

Schuitiuchc!'  {n .).  —  Çilassilicalioii  des  svslèmc^  de  i-avons  algé- 
hrnpies.  (  i  00-  i  \o). 


lU'VUi":  i)i':s  punijcA  iions 


/ 


l/.iult'iir  fl.ihlil  une  CDircspoïKliiiicc  iiiiiv  ((que  ciilrc  l'cspiicc  ii'^lc';  ordiiiiiiic 
ri  rfS|)iit<'  poiicliicl  à  (iiiiilrc  (litii(ii>i<»iis.  A  un  syslt'irn;  de  liiyons  dans  l'espace 
iii;l(>  it'piiiid  alors  une  siifface  dans  l'espace  à  «(iialie  dimensions  cL  inverse- 
iiit'iil.  l/tliid<'  de  ces  surfaces  cL  leur  inversion  dans  l'espace  refilé  conduit. 
r.nit(  iii-  à  introduire,  pour  la  classilicat ion  des  syslèines  de  rayons,  (|ualr(; 
nonilti"(*s  indi'pendanls  et  il  exprime,  à  l'aide  de  ces  (jual  re  nondH"(;s,  les  auLres 
(|iiantilt"s  (|ui  correspondent  au\  singularités  du  système. 

I!n  appli(|uant  les  formules  ainsi  obtenues  au  cas  de  rinlerseciion  complète 
de  driix  complexes,  l'auteur  retrouve  les  résultats  olileniis  par  N'oss  dans  son 
Mémoire  sur  les  ertmpleves  et  les  congruences  {Malli.  Aiin.,  t.  I\). 

Comme  véiilicalion  des  formules  dans  le  cas  général,  l'auteur  considère  une 
espèce  particulière  de  systèmes  de  rayons  ohtentie  en  établissant  entre  d(Mix 
plans  une  relation  de  Cremona  d'ordre/?.  Les  singularités  du  système  peuvent, 
dans  ce  cas,  s'ol>tenir  directement  et  fournissent  des  vérifications  utiles. 

Maclscli  (/i.).  —  -La  goomclrie  de  la  dioite  cl  lu  llu'oric  des  in- 
vai'iaiils.  (  i  /j  i  - 1  52  ). 

II.  (Irassmann  représente  le  segment  de  droite  j)ar  le  j)r()(Iuit  extérieur  de 
ses  deux  extrémités;  on  obtient  de  la  sorte  les  coordonnées  homogènes  de  la 
droite  :  Pi,..  Ces  coordonnées,  considérées  comine  déterminants  du  second 
degré,  sont  rei)résenlées  par  Grassmann  comme  des  produits  alternés, 

P^k^"  PiPk  =  -PkPi' 

Les  espaces  linéaires  situés  dans  des  espaces  supérieurs  se  prêtent  à  des  consi- 
dérations semblables. 

Si  l'on  introduit  ces  coordonnées  symboliques  des  droites,  ces  quantités  y?,, 
dans  quelques  invariants  connus  de  la  géométrie  de  l'espace  réglé,  on  recon- 
naît que  ces  invariants  sont  formés  de  facteurs  qui,  relativement  à  ces  symboles 
sont  linéaires  et  de  la  forme 

pX  +  pX-^  pX  +  PA.^ 

f)ù  les  (juanlilés  \-  sont  des  coordonnées  langentielles.  Ces  facteurs  élémen- 
taires, considérés  à  part,  sont  invariants  et,  par  exeinple,  les  p  et  les  ^  sont 
conlragrédients.  lin  paitant  de  là,  ou  peut  également  arriver  à  symboliser  les 
complexes  linéaires  et  de  degré  supérieur,  on  peut  étudier  la  façon  dont  se 
corïiportent  les  symboles  dans  une  transformation  linéaire,  former  des  expres- 
sions élémentaires  invariantes  et  constituer  avec  ces  dernières  tous  les  inva- 
riants. 

Jlcss  (  TV.).  —  Sur  les  équations  du  mouvement  d'Euler  et  sin- 
une  nouvelle  solution  partieulière  du  problème  du  mouvement 
d'un  eorps  solide  autour  d'un  point  fixe.  (i53-i8i). 

On  ne  connaissait,  il  y  a  peu  de  temps  encore,  que  deux  cas  où  le  problème 
du  mouvement  d'un  corps  solide  autour  d'un  point  lixe  peut  être  résolu  :  il 
fallait  cjuc  le  point  (ixe  fi'it  le  centre  de  gravité  du  cor[)S  ou  bien  qu'il  fût 
placé   sur    un    des   axes   principaux   d'inertie  relatif   au    centre   de  gravité,    les 


70  SKCONDK   PARTIF. 

deux  aulros  axes  d'inerlic  étant  é^aux  entre;  eux.  Sopliic  Kowalcvsky  dans  son 
IMctnoiic  couronne  Sa/-  le  p/oùlcme  de  la  roLalion  d'un  corps  solide  autour 
d'un  point  fixe  {Acta  Math.,  t.  \I[,  i-^y'^.'.V».;  18H9)  a  étal)Ii  l'existence  d'un 
cas  nouveau  et  a  démontré  (|ue,  si  le  centre  de  jjravilé  est  dans  un  des  plans 
principaux  relatifs  au  point  de  susix'nsion  et  si  en  même  temps  les  moments 
d'inertie  pour  les  axes  principaux  silu(-s  dans  ce  pian  étaient  tous  deux  égaux 
au  double  du  troisième  mon)ent  d'inertie,  les  (déments  du  mouvement  peuvent 
être  ex|)rimés  à  l'aide  de  fonctioiis  liyperelliptiques. 

L'auteur  dans  un  l'rof>ramme  du  Lycée  de  Barnberg  :  Ueber  die  Euler'sclien 
Jiewegungen  und  deren  singulàrën  Lôsungen,  avait  si^Mialé  un  quatrième  cas, 
mais  il  établit  ici  que  ce  cas  n'est  qu'une  solution  singulière  d'un  système 
déduit  des  équations  d'IOuIer,  mais  non  pas  des  équations  d'i^uler  elles-mêmes. 

Pcano  (G.).   —   DémonsLralion   de    rinLograbillLé   des  écjiialions 
dilït'renlielles  ordinaires.  (182-228). 

Soit  le  système  d'é(|uatitjns  dillérentielles,  ramené  à  la  forme  normale 

dx,  _  ,    .  .  . 


OÙ  cp,,  ...,  9„  sont  des  fonctions  continues  aux  environs  de  t  ^=  b,  x,  =  a,,  ..., 
cc^j  =  «^^.  L'auteur  se  propose  de  prouver  (jue  l'on  peut  déterminer  un  inter- 
valle (6,  b')  et,  relativement,  à  cet  intervalle,  11  fonctions  x^,  ...,  x^  de  t, 
qui  satisfont  aux  é(jualions  données,  et  qui,  pour  la  valeur  b  de  t,  prennent 
Jes  valeurs  «,,  ...,  a,,.  La  démonslration  de  l'intégrabilité  des  équations  diflé- 
rentielles,  intlépendante  de  la  tliéorie  des  imaginaires,  laquelle  exige  des  con- 
ditions restrictives  spéciales,  a  été  donnée  par  Cauchy  et  publiée,  mais  d'une 
façon  incomplète,  par  Moigno  dans  ses  Leçons  de  Calcul  différentiel  et  de 
Calcul  intégral,  t.  II,  p.  385-454  et  5i3-534;  i84'i-  Llle  suppose  l'existence  et 
la  continuité  des  dérivées  partielles  des  fonctions  9  par  rapport  aux  quantités  x. 
Elle  a  été  ensuite  donnée  par  divers  auteurs,  par  exemple  par  Lipschitz 
{Bull.  Darboux ,  t.  X,  p.  149;  Annali  di  Mat.,  t.  11^,  p.  288  et  Dijferential- 
und  Integral-rechnung ,  p.  5oo)  sous  des  conditions  rcsti'ictives,  quelque  peu 
diiïérentes. 

La  démonstration  est  réduite  ici  en  formules  de  Logique,  analogues  aux  for- 
mules d'Algèbre;  l'auteur  évite  ainsi  une  complication  excessive.  Il  est  vrai 
qu'il  faut  tout  d'abord  apprendre  ce  nouveau  langage  mathématique. 

Une  première  Partie  contient  l'explication  des  notations  introduites  et  qui 
ont  été  employées  pour  réduire  en  formules  les  propositions  de  quelques  théo- 
ries. 

L'auteur  renvoie  d'ailleurs,  pour  (l<>  plus  amjilcs  explications,  à  ses  publica- 
lions  : 

Arilhniclices  principia.  nova  niethodo  exposita.  Turin.  1889. 
Principii  di  Gconietria;  logicamente  esposli.  Tui'in,  i8S(). 
Les   propositions   du   cinquième    Livre    d'Luclidc,    réduites    en    formules 
{Matkesis,  t.  X  ). 


IU':VIII':   DI'IS   PUIUJCATIONS.  77 

Le  ioiii'iiiil  (If  l'i'iim»  :  /f/\'i.s/ft  (li  Mntciiutl ica  conliciil  ('•;;;il('riinil  (riiiilics 
ii|)|)li<';il  ions  i  iih'-rcssaiilcs  de  l;i   l.ii;;i(|ii<-  :iii\    Miil  li<''rii;ii  iquc^. 

I.ii  scfondc   l'arlif  ((Hilicnl    la  (Irmonsl  lat  ion  du    lliôoi-rnic  de  riiil(-;;ial)ililt'-. 

\\  il  I  hciss  (  /i.).  —  []\]0  csprcr  pinl  iciiliri'c  (Toix'-rMl  ion  (|iii  (oiii- 
iiil    (les  covjiiMimls.  (  '•''-f)-''*. 7 '-'-)• 

Siiilc    des    lia\aii\    de    l'aiilciir    siii'    ('('([ualion     o     .    Dans    crllc    I  roisi(';rii(; 

I'      // 

l*aili(\  l'aulcnr  a  en   \  ne  les  covarianls  diinc  lornic  dn   V'  ordic  à   d(  ii\  s(  ries 

de  vaiial)l('s. 

/h('/>'  (  //  .).  —  Conlrihiilion  à  VAnalysis  Situs.  Deuxième  ]M(!- 
moli-c.  \  ;iii(''l(''s  à//  dimensions.  (i^^.'^-^iG). 

Kxlcnsion  aux  espaces  à  ti  dimensions  des  résultais  obtenus  [lar  raulcnr- 
dans  son  IMcnioirc  du  tome  \X\II  des  Mathematische  Anna/en.  Il  s'a^çil  tout 
spécialement  de  la  détermination  des  caractéristiques  des  formes  al^^éhriques 
situées  dans  un  espace  ((uelconque  et  de  leur  expression  an  moyen  dos  carac- 
térisli(|ues  des  systèmes  de  fonctions  de  Kronccker. 

Kurscliâk  ('/.).  —    Sur  les  équations  aux  dérivées  partielles  du 
second  ordre  à  caractéristiques  égales.  (3  17-320). 

Dans  une  dissertation  inaugurale  publiée  en  1S80  à  Klausenburg,  .1.  ^àlyi  a 
établi  que  l'équation  dilTérenticlie  fournie  par  la  relation 


ô   /  /  V(yj,  q)  dx  dy  -  o, 


sous  la  condition 

(J'Y  d^        /  d'^ 

dp^    dq^         \  dp  ôq  )  ~  ^'' 

possède  des  intégrales  premières  et  peut  être,  par  suite,  résolue  par  la  mé- 
thode de  Monge.  L'auteur  se  propose  d'étendre  ce  résultat  à  l'équation  obtenue 
en  écrivant  que  l'on  a 


5  I  I  \{x,y,z,p,q)  dx  dy  =  o, 


et  il  établit  que,  si  l'équation  caractéristique  de  cette  équation  aux  dérivées 
partielles  a  des  racines  égales,  elle  peut  être  résolue  par  la  méthode  de  Monge, 
il  suflit  après  avoir  obtenu  deux  intégrales  premières  d'effectuer  une  seule 
quadrature. 

Stickelberger  (/>•)•  —   Sur  une  généralisation  de  la  division  du 
cercle.  (32I-36-). 

Une  question  proposée  en  188")  et  en  1888  par  la  Société  royale  des  Sciences 
de  Gottingue  a  amené  l'auteur  à  considérer  une  résolvante  de  la  division  du 
cercle  plus  générale  que  celles  qui  avaient  été  étudiées  aupara\ant. 

C'est    dans  cette    orientation    (jue  se  rencontrent  de  remarquables  relations 


78  SKCOiNDF    PAiniH. 

cnlic  IM^chrc  cl  la  'l'iK'oric  des  tii)ii)l)i('s.  (liui^-^,  le  |ti(tiii(>r.  Ir;s  avait  icn- 
coiilrccs  (;l,  sif<iial('cs,  par  exemple,  dans  l'arliclr!  .']0S  de  ses  Disquisitioncs 
 l'iLluneticœ .  Ces  relations  eonslituent  (jiiel(|ues-uns  des  plus  remarquables 
travaux  de  Jacobi  :  De  residuis  ciibicis  comnientalio  numerosa.  Ohservatio 
arilliinelicn  de  numéro  cinssiutn  divisortiin  f/iindraticorum  forniœ  y'  -\-  A  ^^ 
Cebcr  die  hreislheili(nf(  u/id  ihre  Atnvendiing  auf  die  Zalilentlieorie^  de 
Caiicliy,  Mémoire  sur  la  théorie  des  nombres;  d'Kisenslein,  Xur  Théorie  der 
quddratisclien  ZcrfcilLungen  der  Primzahlen  H// h- 3,  7/i-t-:^,  7/i-i-'};  ''^ 
K  II  ni  mer,  L'eber  die  h'rgànzungssàtze  zu  dcn  allgemeineii  Jieciprocitdls- 
geselzen. 

Les  résultats  de  l'auteur  oui  été  pr(''sentés  à  la  Société  des  Sciences  de  Gr>i- 
lin^ue  en  18SS  dans  un  iMémoire  :  Théorie  des  sommes  d'hisenstein.  iJans  le 
présent  travail,  les  expressions  que  l'auteur  appelle  sommes  d'Eisenstei/i 
n'occupent  pins  la  place  princi[)ale,  la  résolution  en  facteurs  premiers  idéaux 
ayant  pu  être  obtenue  directement,  sans  avoir  recours  à  ces  sommes. 

Kicpert  (^.).  —  Sur  certaines  siin[)li(icatioiis   des   ('(|ualions  {\(\ 
la  lliéorie  des  fonctions  elli|)ti(|ues.  (368-.^)()8). 

Suite  du  Mémoire  paru  dans  \ç.->  Mallienialischc  Antialcii  (t.  \\\II,  \-\?j'>). 

Mayer  (^-i.).  —  Sur  la  lli(''orie  des  solutions  coinplètes  des  équa- 
tions  diOcrentielles   du    premier    ordre    entre    deux    variables. 

(399-40:3). 

Considérant  l'équation  diiïérentielle  de  la  forme 

pour  déduire  les  solutions  sin^ulièi'cs  de  la  solution  c()rn[)lète 

y  =  9(.r,  c), 

on  attribue,  en  général,  aux  constantes  d'intégration  c  non  plus  des  valeurs 
constantes,  mais  des  fonctions  de  x  satisfaisant  à  la  condition 

àc   ==  "' 

et,  dans  ces  conditions,  la  nouvelle  solution  est  Pn^ujours  une  en\cIop|)e  du 
faisceau  de  courbes  représentées  par  la  solution  complète. 

Mais  cette  proposition  n'est  pas  toujours  vraie,  et  même  si  r<in  ne  considère 
que  des  valeurs  réelles  de  c,  le  lliéoi-ème  n'est  viai  ((uc  flans  des  limites  très 
étroites. 

JFeber  (//.).  —    Sur  la   théorie   des   fonctions   de    liesse! .   (/joi- 

UG). 


On  appelle /o/?r//o//.v  de  Bessel  les  solutions  de  l'équation  diUV-ientielle 

d'^y        I    dy       /         /j^\ 

dx^        X  dx       \        .v  /^  ' 


ui;\  r  !•:  m;  s  I'lhijca  iions, 

1)11  l'iii'Drc  (le   r(-<|iiiit  imi 


79 


d'y        \    cty       [        u'\ 


i|iii   il   (''h-   iiil  rodili  Ir   p.i  r    Itiriiiiiiiri   |i(iii  r  le  ciis  de  //         <»  diiiis   le   r;is  des  ii  iiiiciiii  \ 
<lr   \.d>ili. 

l/.iiitiiir  iliidic  lis  d('\  (  lo|>|»ciiiciil  s  en    st'-ric   di'iiii-con  vcij;('iilf.s  do  ces   fotic- 
li<)ii><,   (Ml   |i,irliiiil  do  rciii.i  i(|ii('s  siii\  iiii  l<">.  Si   Iiiii  pose; 

S^  (  .r  )  =^ /       e  '\s"  (  I  -I ~  )   ^/.ç, 

'^     '        l\a-t-i)  .,/„  \  2i.r) 


ri   nisiiilo 


fl  en  liiisanL  cnliii 


0 

1(^  =  6'^    S,(.r), 


// 


V^-^J'i 


)•   ol  l'j  sont  les  diuix  soliilioiis  paiLiculièrcs  de  l'éciiialion  de  Hesscl 


cl-y 


1    c/r 
j;"  dx 


1  \ 


r  =  <>• 


L'auleur  intègre  pour  eiïecluer  les  dévcloppennents  les  équations  diiïéren- 
tiellcs  auxquelles  satisfont  les  fonctions  S,  cl  S^  en  appliquant  la  méthode  des 
coeflicients  indéterminés. 

iXœlher  {M-)-   —  Sur  la  théorie  des  eTi[)ressions  difFérenllelles  et 
des  fonctions  abéliennes.  (417-4^)0). 

L'auteur  expose  ici  d'une  façon  détaillée  les  résultats  qu'il  a  précédemment 
donnés  sous  forme  concise  dans  les  Sitzungsbericlite  der  Erlavger  physica- 
lisclimedicinischen  Societlit,  fasc.  16  (i883-i88.^t  )  et  18  (1886),  sur  la  théorie 
des  expressions  différentielles  algébriques  d'une  variable  et  sur  le  problème 
d'inversion  de  Jacobi.  I>ans  cette  première  Partie,  l'auteur  s'occupe  des  ex- 
pressions diiïérentielles  abéliennes,  et  cela  à  un  point  de  vue  purement  algé- 
brique. Il  traite  successivement  des  formes  algébriques,  de  leur  classification, 
(le  leur  réduction  à  des  formes  normales,  de  la  réduction  des  dinérentielles  à 
des  formes  normales  de  différentes  espèces,  etc. 

Zeitthcii  (II. -G.).  — ■  Sur  la  revision  de  la  tliéorie  des  caractéris- 
tiques de  M.  Study.  (461-464). 

Cet  extrait  d'une  lettre  à  M.  Klein  contient  quelques  remarques  sur  le  xMé- 
moire  de  M.  Study  :  Ueber  die  Géométrie  der  Kegelsehnitte,  insbesondere 
deren  Charakteristikenproblem  {Math.  Ann.,  t.  XWII).  Les  géomètres 
croyaient  définitivement  résolue,  par  les  reclierclies  de  Halphen,  la  question 
sur  la  forme  a;x -!-  |iv,  présumée  par  Clliaslcs,  du  nombre  des  coniques  satisfai- 


8()  SKCONDK  PAUTIK. 

saiil  ;"i  lii  fois  ;'i  (|ii;ilr('  roiidil  iDiis  (•;irii<l('ri-><'M'«  pur  hs  nornltirs  a  fl  v,  cl  ;i 
une  rin(|iii<';rii(;  roddilioii  carar,l(';ris(''0  par  t  tl  [i.  I)aris  le  M(-moiro  cili;,  M.  Sliidy 
(lil  (|uc  la  r('-p()iiso  rK-i^alivc  (l«ti)ii('<;  [)ar-  Ilalplicn  à  la  «jiicslion  n'avail  l'fiard 
(lu'à  la  inaiiit  rc  doni  il  lavail  toiiiiiiir-c  ;  M.  Sliidy  prend  une  fuiriiiilat  ion  dif- 
l'érciilc  cL  arrive  alors  à  une  réponse  ai'lirniali\o.  AI.  Zeiillien  dérnonlre  que  la 
question  orii;inair<î  n'a  subi  aucune  niodificalion  par  la  manière  dont  elle  a  (jLé 
précisée  par  ilalplicn. 

Nœtltei'  {M-)'  —  Sur  la  lliroric  (l(;.s  expressions  (lillércnliclies  el 
des  fonctions  al)élicnncs.  II.  [/\():)-/\(){)). 

Dans  ceUe  deuvicme  Partie,  l'auteur  s'occupe  inainlcriant  des  fonctions  ahé- 
liennes,  des  intégrales  normales  des  diverses  espèces;  des  équations  différen- 
tielles du  théorème  d'Abel,  du  i)rol)lèine  d'invcision  de  Jacobi,  des  fonctions 
abélicnncs  Al. 

Pochhammcr    (^.)-    —   Sur    une    classe    d'intégrales    à    courl)C 
d'intéi^ration  fermée.  (;)oo-5i  i). 

Si  une  fonction  plurivoquc  l^'((v)  a   la  forme 

F(tv)i:^((V  —  aj?v/((v), 
oii/((v)  est  univoquc  dans  le  voisinage  de  w  —  x.^.  l'intégrale 


chv 


acquiert  le  facteur  e-'^-'^K^''^  lorsque  a:  décrit  une  circonférence  dans  le  sens 
positif  autour  de  a,^.  L'auteur  considère  ici  une  intégrale  tù{x)  de  la  fonction 
((V  —  x)'-  F((v),  le  clieuiin  d'intégration  S  commençant  en  un  point  x  et  Unis- 
sant au  même  point,  ne  se  rencontrant  pas  lui-inème  et  comprenant  à  l'inté- 
rieur de  l'aire  qu'il  limite  un  nombre  quelcon(|uc  de  points  singuliers. 

PocJiJiammer  (L.).    —    Sur  l'équation    différentielle  de  Tissot. 

(5i2-5/,3). 

Tissot,  dans  le  tome  XVII  du  Journal  de  Liouville.  a  donné  des  équations 
différentielles  linéaires  du  /?''"'"''  ordre  (|ui  s'inlègrent  au  moyen  d'intégrales  dé- 
finies de  la  forme 


r 


I\l.  Pocliliammer  donne  une  étude  détaillée  des  diverses  solutions  de  l'équation 
de  Tissot  et  examine,  en  particulier,  comment  se  comportent  les  intégrales 
dans  le  voisinage  des  points  singuliers  «,,  <7^,  ...,  «„_,  et  x. 

Klein  (F.).  —  Sur  la  Géométrie  non  euclidienne.  (544-57'^). 

Tout  le  monde  connaît  les  travaux  de  M.  Klein  sur  la  Géométrie  non  eucli- 
dienne. Un  Cours  qu'il  a  fait  sur  ce  sujet  à  l'Université  de  GcUtingue  en 
1889-90  a  été  pour  l'auteur  l'occasion  de  revoir  ses  travaux  antérieurs  :  Ueber 


IIKVUI':    DKS   PllHIJCATlONS.  8i 

die  sogcnanntc  niiclit  cnkliilischc  Géométrie  {Malli.  Ann.,  t.  IV  cL  VI),  Ver- 
plcichcnfle  Jku'rar/ifun^rii  iihcr  ncuere  f;r.oinc.lrisclic,  Forscliungen  (  l-'ilanf^cMi, 
iS->,  iradiiil  en  iS()()  par  Cl.  Ismo  dans  l(;s  yliiii.  di  Mat.  oL  depuis  par  H. 
l'adc  dans  les  .\nn.  de  /7/r.  !\orm.),  Ueber  deii  allgemeincii  Functionsbegrijf 
iind  dt'sscn  Dd/stc/iu/tg  durch  ci/ic  ^villIyUrlichc  Curve  {lier.  Krlang.,  1878  et 
t.  Wll,  Mdth.  j\iin.).  I>'anli'c  pari,  la  lecture  des  Mérnoirc^s  publiés  depuis 
sur  la  ([ueslion  a  condiiil  M.  Klein  à  rej'onnalLre  i\\\i\  les  idées  (|u'il  a  émises 
depuis  lotiiilenips  déjà  n'ont  pas  toujours  été  bien  eotnpiises  et  aussi  (jue  cer- 
taines questions  devaient  être  elairenient  posées  aujourd'hui.  Dans  un  prcnriicr 
paraj;raplie,  il  reproduit  certaines  idées  (|ui  ont  été  publiées  ou  énoncées  ver- 
balement par  ClilTord  en  i8-j3  et  qui,  inal|^ié  l'intérêt  (ju'ellcs  présentent  sont 
encore  peu  connues.  Dans  le  second  paragraphe,  l'auteur  examine  plus  parti- 
culièrement les  travaux  de  Killing  et  la  question  des  espaces  {liaumformen) 
non  euclidiens.  Dans  le  troisième  paragraphe  se  trouve  développée  une  méthode 
des  plus  simples  pour  établir  la  Géométrie  analytique  sur  une  base  pure- 
ment projective.  Enfin,  dans  une  dernière  Partie,  il  s'agit  de  questions  plus 
générales  et,  en  particulier,  du  problème  des  axiomes  géométriques. 

Klein  {F.)-  —  Stir  les  zéros  de  la  série  hypergéomélrique.  (ojS- 

:)(jo). 

Étude  sur  l'équation  dilTcrentielle  de  la  série 

., ,  ,  ,  l.m  l{l  -v\)  ni{m  -{-  \) 

l  (i,  m,  n,  .V)  =  i  -] —  X  H ; ^ —  x--\-. .  . . 

i  .11  \  .•i.n{n  -\- 1) 

Stieltjcs  dans  le  tome  G  des  Comptes  rendus  (i885  )  et  Hilbert  dans  le  tome  GUI 
du  Journal  de  Crelle  (1887),  se  sont  occupés  de  la  détermination  du  nombre 
des  racines  de  l'équation  obtenue  en  ne  prenant  dans  cette  série  qu'un  nombre 
fini  de  termes.  L'auteur  cherche  ici  le  nombre  des  zéros  que  possède  F  entre 
a:  =  o  et  a;  =  I. 

Pringslieini  {A.).  —  Sur  la  théorie  des  intégrales  définies  et  des 
séries  infinies.  (5(ji-t)o4)- 

Soit  f{x)  une  fonction  de  la  variable  réelle  a;  qui,  pour  a;  =  0  devient  infinie, 
en  demeurant  monotone  et  en  croissant  au  delà  de  toute  limite  lorsque  x 
varie  jusqu'à  la  valeur  zéro  à  partir  d'une  valeur  déterminée  positive;  il  s'agit, 
dans  ce  Mémoire,  de  soumettre  à  une  critique  rigoureuse  certaines  conditions 


p  a 
lires  pour  que  l'intégrale     /      f{x)dx   ait    un 


reconnues  comme  nécessaires  pour  que  lintégraie     /       t[x)dx   ait    un  sens. 

0 

L'auteur  donne  en  terminant  quelques  corrections  peu  importantes  relatives 
au  Mémoire  de  la  page  38  du  même  volume. 


Tome  XXXVIII;  1891. 

\\  ililiciss  (F.).   —    Les  équations    aux  dérivées   partielles    des 
fonctions  thêta  abéliennes  à  trois  arguinenls.  (i-23). 
Bull,  des  Sciences  mat/iani.,  i'^  série,  t.  \\.  (Avril  189G.)  R.G 


8>  SliCONDE  PAHTIE. 

Si  l'on   considtM-e  la  coiiihe  du  (juatrièmc  ordre  relative  aux  iiitégi'ales  abc- 
liennes  du  genre  3 

I*         4  —  A 
A  :=  0  \).  —  0 

que  l'on  peut  représenter  symboliquement  par 

on   peut  introduire,  au   lieu  des  fonctions  H;  de  Jacobi,  d'autres  fonctions  Th 
définies  par  les  équations 

Tii(w,,  II,,  uj  =  ce*; (",,".. "3)  ^{v^,  v.^,  V,), 
où  l'on  pose 

T.(  ;/„  u.^,  i,J  =  y^  "„oi^„  M.,         Il„.  =  II3,,  ; 

il  existe  alors  64  fonctions  Th  relatives  à  la  courbe  /. 
Si  l'on  pose,  avec  un  système  arbitraire  de  variables  (v,,  »'_,,  w^ 

9  (  abc  y  (  abe  y-  [  c,.  c  ^  e„  e ,  +  cl  é'J  -b{abcy  e\  e^^  =  L, 
{abcyici'b-  c-  -^r  aribb   c'  1  =  7=  \      V  A-,  „  ,  -,   ,^x^  x-*-  x' 

A  =:  0  1*  =  0 

et  si  l'on  introduit  le  symbole  d'opération 

i         4—  A 


A  /v,:«.  ~*— A   'A 


V    V  T  ^ 


d 

les  04  fonctions  T/i  satisfont  à  l'équation  diiïéicntieilc 


0  lli  +    > —  u'  (V3  4-  — -  L  Ih  =  o. 

Amà    OU^  Ôll.j       "      -^  ^88 

Pasch  {M.).  —  Sur  les  formes  bllinéaires   el  leur  application  à 
la  Géométrie.  (2 4-4 9)- 

Dans  deux  Mémoires  publiés  dans  les  Matlicmatische  Annalen  (t.  XXIII, 
p.  419J  1884  et  t.  XWI,  p.  211;  j886),  l'auteur  s'est  occupé,  en  partant  des 
formes  bilinéaires,  des  systèmes  plans  projectifs.  Il  a  été  depuis  conduit  par 
l'examen  de  diflerentes  questions  à  Fétude  des  formes  binaires  et  ternaires  bi- 
linéaires. 

Si  l'on  écrit  la  forme  adjointe  de  la  combinaison  linéaire  de  deux  formes 
ternaires  bilinéaires,  on  obtient  une  forme  bilinéaire  qui,  relativement  aux 
formes  d'où  l'on  est  parti,  possède  le  caractère  invariant.  Si  l'on  part,  en  par- 
ticulier, de  deux  formes  ternaires  quadratiques,  la  troisième  forme  n'est  autre 
([uc  la    conique    des   huit  tangentes  dont   l'élude  conduit  alors  des  plus  facile- 


i 


KHVUiï  l)i:S   PlJinJCAIlONS.  H} 

iiKiil   il  iiiif  série  de  |Mo|>ii('l('>>  ;;('()iii(l  licjiics  doiil    les    mics    sont,  déjà  connues, 
(Idiil   les  aiilrt's  i);ir;ii>sciit   nmivcllc>^. 

l'iickc  (/»*•).  —  ^1"'  ""*'  (lîisst;    |);iil iculirro   i\v.  «^r()iij)cs  discoii- 
liiHis  (le  siibslil  niions  réelles  linéaires.  (ôo-cSi). 

Dans  son  M('iM()ir(*  :  [.es  fonctions  fur  h  sien  nés  et  l 'Aritlunétique  public 
(l.ins  le  Journal  dr  LtOuville,  I.  III  (188-;),  Poincarc  a  développe  un  principe 
Irrs  roiiiar(inal)k'  (|ui  pciiiicL  de  dcMnir,  en  pailant  de  formes  Icrnaires  qua- 
drali(iiies  indélinies,  des  groupes  de  suhslilulions  linéaires  d'une  variable  en 
nombre  inlini. 

l/auLeur  donne  ici  des  développements  complets  sur  un  cas  particulier.  Il 
considère  des  formes  ax''-{- by' -[- cz^  ayant  un  déterininant  premier  rj.  On 
peut  alors  prendre  les  formes  ternaires  {zhqx'z^y'^  —  z'),  mais  l'expression 
( — qx'-\-y^  —  z'^)  conduisant  à  des  résultats  déjà  connus;  l'auteur  est  amené 
à  s'occuper  de  l'expression  {qx^ — y'^ — z^).  Il  s'agit  tout  d'aboid  de  déter- 
miner toutes  les  substitutions  à  coefficients  entiers  de  la  forme  {qx'  —  y  —  z') 
en  elle-même,  puis  de  transformer  ces  substitutions  en  substitutions  ration- 
nelles et  linéaires  d'une  seule  variable  w,  enfin  de  représenter  dans  le  plan  ces 
groupes  de  substitutions  et  de  tracer  pour  les  premières  valeurs  du  nombre 
premier  q  {q  z=i  3,  5,'],  11)  les  régions  fondamentales  relatives  à  ces  groupes. 
La  méthode  est  analogue  à  celle  employée  dans  la  théorie  des  fonctions  modu- 
laires elliptiques. 

^s eki'assoff  [P .-A .) .  —  Sur  le  cerele  liiiiile  de  Fiichs. 

Dans  son  travail  Ueber  die  Darstellang  der  Functionen  coniplexer  Varia- 
beln,  insbesondere  der  Intégrale  linearerDiJJ'erentialgleichungen  (/.  de  C relie, 
t.  LWV),  Fuchs  s'est  appuyé,  pour  établir  le  prolongement  analytique  d'une 
fonction,  sur  un  théorème  que  l'on  peut  appeler  théorème  du  cercle  limite. 
.Mais  ce  théorème  ne  semble  pas,  à  l'auteur  du  Mémoire,  s'appliquer  dans  tous 
les  cas.  L'auteur  avait  signalé  cette  objection  à  Anissimoff  qui  a  étudié  la 
question  dans  son  travail  sur  Les  fondements  de  la  théorie  des  équations 
différentielles  linéaires  paru  dans  les  Comptes  rendus  scientifiques  de  l'Uni- 
versité de  Moscou  (1889).  Dans  le  Journal  de  Crelle  (t.  CVI,  1890)  Fuchs 
est  alors  revenu  sur  la  question  et  a  essayé  de  modifier  son  théorème  en  sorte 
qu'il  n'y  ait  plus  aucun  doute.  Cette  Note  de  Fuchs  soulève  encore  des  objec. 
tions  que  l'auteur  a  formulées  dans  le  Journal  de  la  Société  mathématique 
de  Moscou  (t.  \IV,  1890)  et  qui  se  trouvent  reproduites  ici.  L'auteur  estime 
que  la  méthode  de  Fuchs  ne  peut  pas  encore,  dans  sa  forme  actuelle,  être  con- 
sidérée comme  satisfaisante. 

Junhcr  (/*.).  —  Les  relations  qui  existent  entre  les  fonctions  sy- 
métriques élémentaires.  (91-1  i4)- 

Considérons  /"groupes  de  n -\- i  éléments 

•^.'  y.'   -.'    ^.»    •••»   "^» 
> 

-r)        -r'         -r.         ^ ,..  ....         (V,,, 


84 


SKCOXDI:;    PAUTIi:. 


où  l'on  regarde  les  éléinenls  représentés  par  une  même  lettre  comme  corres- 
pondants, on  a,  en  môme  temps,  (n-hi)  groupes  de  /•  éléments.  On  appelle 
fonctions  symétriques  élémentaires  des  fonctions  qui  sont  par  exemple  de  la 
forme 

Il  existe  ainsi  toute  une  série  de  fonctions  syiiiélri(jues  élémentaires 


i:.r„ 

^r.. 

ï^.x^, 

-r.r.- 

i^r.^-., 

5^«.-^.. 

^x,t^, 

'iLx^x.^x  ^ 

> 

-r.r.-3- 

» 

"^Lx.x.. 

•  X. 

qui  sont  en  nombre  bien   supérieur  au  nombre  /(/?-+-!)  des  éléments  qui  les 
constituent.  Les  fonctions  symétriques  élémentaires  ne  sont  donc  pas  indépen- 
dantes et  il  existe  entre  elles  des  relations  identiques  que  l'auteur  se  propose 
d'établir. 
Il  s'occupe  d'abord  de  l'établissement  de  ces  relations  d'une  façon  générale. 


Le  nombre  est  égal  à 


/•  -h  k 
k 


r  -h  n  - 
n  —  I 


/'  -h  n  —  2 
n  —  I 


k  ^ 


n  -+- 1 


c'est-à-dire  pour  les  cas  les  plus  simples  à 


dans  le  domaine 


)  -  (/•  +  i)(2/--M) 


/  binaire. 
'  ternaire. 

f  quaternaire. 


Il  examine  ensuite,  d'une  façon  spéciale,  le  cas  des  domaines  ternaire  et 
quaternaire,  et  termine  par  des  considérations  générales  sur  les  fonctions  sy- 
métriques non  élémentaires. 

Hilbert  {J^.).  —  Sur  les   traits  réels    des   courbes    algébriques. 

(ii5-i38). 

Ilaiviack  a  démontré  {Matk.  A/m.,  t.  X,  p.  89)  que  le  nombre  des  traits  réels 

d'une  courbe  plane  d'ordre  n  était  au  plus  égal  à  -  {n  —  i){n  —  2) -h  1   et  que, 

eflfectivement,  il  existait  des  courbes  pour  lesquelles  ce  maximum  était  atteint. 
L'auteur  considère  ici  plus  particulièrement  les  courbes  gauches.  Il  établit  en 
particulier  les  propositions  suivantes. 
Le  nombre  des  traits  réels  d'une  courbe  gauclic  irréductible  d'ordre  n  est  au 

plus  égal  à  ^  (/«  —  2)'-f- 1  nu  à  7-  (  /?  —  i)(  /?  —  3)  -I-  1,  suivant  que  le  nombre  n 


UKVUK    1)1-:  S   P II  U  M  CATION  s.  85 

csl  pair  ou   iiiipiiir,  cL  il   existe  cUccLivcmcnL  des  courbes  guuchcs  piésciiLaiil 
dans  ("luicun  des  cas  un  Ici  nombre  de  traits  réels. 

Une  courbe  d'ordre  //  (lui  présente  le  nombre  inaximum  de  traits  réels  pos- 
sède .jv  —  2,  :!v  —  I,  iv  —  I  traits  impairs,  suivant  (|uc  l'on  a  n  —  f]V,  f\-^  -\-  i , 
/,v-i-3.  Dans  le  cas  on  n  =  /|V  -h  ■>,  tous  les  traits  sont  nécessairement  pairs. 
Los  courbes  d'ordre  .î,  f\  et  5  constituent  des  cas  d'cxceplion,  elles  [)euveiit 
respcclivcmcnl  présenter  i,  2  et  '.'»  traits  impairs. 

/*irk  (G.).  —  Sur  une  foiinc  iionualc  de  ccrlaincs  (-qualions  du 
second  cl  du  Iroisicnic  oi'drc.  (i3c)-i4-^)' 

Klein  (/'.).  —  Sur  la  mise  sous  forme  normale  de  l'équalion 
dillcrcnlielle  linéaire  du  second  ordre,  (i  44"  1^2). 

riiii^slieim  {A.).  —  Sur  la  représentation  analytique  des  séries 
infinies  qui  résultent  d'une  série  donnée  par  inversion  des 
termes.  (1 53- 160). 

Ihirkhardt  {IL).  —  Keelierches  dans  le  domaine  des  fonctions 
modulaires  liyperelliptiques.  [\C)\-i'i.\). 

Cette  seconde  Partie  constitue  la  suite  des  recherches  sur  les  fonctions  byper- 
elliptiques  commencées  dans  le  tome  précédent  des  Mathematische  Annalen 
et  auxquelles  servent  de  base  le  Mémoire  sur  les  fondements  d'une  systéma- 
tique générale  des  fonctions  hyperelliptiques  du  premier  ordre,  d'après  les 
leçons  de  F.  Klein,  publiées  également  dans  les  Mathematische  Annalen 
{i  XXXV,  p.  189). 

Dans  son  Mémoire  sur  les  courbes  normales  elliptiques  du  n'^"'^  ordre  et  sur 
les  fonctions  modulaires  correspondantes  du  /î'^"'"  échelon  {Abh.  Leipzig,  t. XIII) , 
Klein  a  introduit  des  fonctions  X^,  analogues  à  celles  introduites  depuis  Jacobi 
dans  la  théorie  des  fonctions  elliptiques,  mais  qui  se  comportent  bien  plus 
simplement  si  l'on  effectue  une  transformation  linéaire  des  périodes.  Le  même 
auteur  a  ensuite  montré  dans  ses  leçons  comment  on  pouvait,  dans  la  théorie 
des  fonctions  hyperelliptiques,  introduire  des  fonctions  X^g  en  tout  point  ana- 
logues. Ces  fonctions  X^g  ont  été  étudiées,  mais  d'une  façon  incomplète,  par 
Witting  dans  un  Mémoire  (Math.  Ann.,  t.  XXLX,  p.  107)  sur  les  fonctions  de 
Jacobi  d'ordre  k  à  deux  variables  et  dans  une  dissertation  (Gottingue,  1887) 
sur  une  configuration  dans  l'espace  analogue  à  la  configuration  de  Hesse  pour 
les  courbes  planes  du  troisième  oixlre  à  laquelle  conduit  la  théorie  de  la  trans- 
formation des  fonctions  hyperelliptiques  de  genre  2. 

L'auteur  étudie  d'une  façon  détaillée  ces  fonctions  X^,^  et  d'autres  fonc- 
tions Yç,3  et  Z^Q  qui  leur  sont  intimement  reliées. 

Un  extrait  contenant  les  principaux  résultats  contenus  dans  ce  Mémoire  a 
paru  dans  les  Gottingen  Aachrichten  sous  le  titre  :  Sur  la  théorie  des  équa- 
tions de  Jacobi  du  4o*  degré.,  qui  se  présentent  dans  la  transformation  du 
troisième  ordre  des  fonctions  thêta  à  deux  variables. 

l*orlihammci-  (  f..).  —  Sur  quelques  cas  parliculiers  de  Tcqualion 


80  SKCONDI'    PAKTIi:. 

difrcrciiLlc;ll(3  liiH'airc;  du   sccon(J  oidre  à  cocnicicnls  lin(';aircs. 

ncchcrclics  sur  l'i  ulcérai  ion  au  moyeu  d'intégrales  définies  des  équations  dif- 

férenlielles 

(l^  y  dy 

rlx'        '   dx       '^ 
et 

d'^  y  dy 

^  -i-  {a,x-\-  ^)^  +  i(i,x  -1-  b^)y  .-  o. 

Pochliammei'  {L-).   —   Sur  une  cqualion  difrérenliellc  linéaire 
binôme  du  /i"^""'  ordre,  {'i.^-^-'j.idi). 

Rechei'clies  sur    l'intéfjration   au   moyeu   d'intégrales    définies    de  l'équation 
difTérentielle 

d"y 


dx" 


xy, 


qui  a  déjà  été  étudiée  par  Scherk  (/.  de  d'elle,  t.  X,  |).  92),  par  Jacohi  (/<:/., 
t.  X,  p.  279),  par  Lobatto  (/<:/.,  t.  XVII,  p.  363)  et  par  Pctzval  (  Wienn^liraun- 
muller,  i853),  et  sur  l'équation  plus  générale 

d"  y 

qui  a  fait  l'objet  de  travaux  de  Kumnicr  (/.  de  Crelle,  t.  XIX,  p.  2S6)  et  de 
Spitzer  {Jd.,  t.  LVII,  p.  82).  En  posant  x  =  ajc'  et  en  choisissant  convenable- 
ment la  constante  a,  l'auteur  est  amené  à  prendre  comme  objet  immédiat  de 
son  étude  les  équations 

d"  V  I 


-  xy, 


Schnr  (F.).   —  Sur  la   llicorie  des  groupes  de   Iransformalions 
finis.  (263-286). 

Simplification  et  extension  des  résultats  déjà  publiés  par  l'auteur  dans  un 
Mémoire  des  Matliematische  Annalen  (l.  XXXV,  p.  61)  :  Exposé  nouveau  de 
la  théorie  des  groupes  finis  de  transformation.  Les  résultats  nouveaux  ont 
été,  pour  la  plupart,  présentés  déjà  à  la  Société  saxonne  des  Sciences  \Beweis 
fur  die  Darstellbarkeit...  {Ber.  Sachs.  Ges.  d.  Wiss.,  janvier  1890)]  et  ont 
pour  but  principal  d'établir  le  théorème  suivant:  i<  Les  composantes  des  trans- 
formations infinitésimales  de  tout  groupe  transitif,  sous  leur  forme  canonique, 
peuvent  se  représenter  sous  forme  de  (|uotients  de  séries  de  puissances  abso- 
lument convergentes  et  sont,  par  suite,  des  fondions  univoques. 

hottci-  { E .).  —  Quelques  lliéorèmcs  fondanicnlaux  de  la  lliéoric 
des  eourbcs  du  troisième  ordie.  (•>8^-2()7). 


IIKVUK    l)i:S    IM  HLICATIONS.  S; 

h.ms  un  Mt'mnirc  coui'ittinr  piir  r.\(M<lrinic  de  lU'ilin  :  (Jrtindzic^c  ciiiei' 
rein  i^eonictrischen  Tlicoric  clvr  algrbraisckcn  ehciicii  Curven  {Abliandl. 
Ilcri.  Ak.,  i^<87),  raulciir  a  établi,  par  des  considérations  purement  géomé- 
lii(Hios,  coMMiiont  on  pouvait  cn^'oiidrcr  d'une!  infinité  de  façons,  à  l'aide  d(; 
faisceaux  projeclifs,  les  courbes  planes  alf,'ébii(iues.  lielativerncnt  aux  courbes 
du  troisième  ordre,  ces  résultats  admettent  une  simplification  remarquable. 
C'est  l'applicatinn  de  la  tliéorie  générale  à  ce  cas  particulier  qui  est  ici  pré- 
sentée. L'auleur  a  été  poussé  à  publier  ces  quelques  pages,  par  l'apparition 
successive  d'une  série  de  travaux  sur  le  même  sujet  dus  i»  Scliroter,  à  Kupper 
el  à  Casielnuovo. 

SchuDKfclicr  (/»*.).  —  Sur  la  division  des  congruences  de  rayons 
(lu  scc^ond  ordre  possédant  des  lignes  focales  ou  des  lignes  sin- 
gulières. Buissons  de  plans  du  second  ordre  en  perspecti\e 
avec  des  courbes  rationnelles  (298-306). 

Dans  un  Mémoire  sur  la  classification  des  congruences  du  second  ordre 
{Math.  Ann.,  t.  XXW'I),  Slurm  a  signalé  dans  le  Mémoire  connu  de  Kummer 
{Ab/iand.  Berl.,  18GG)  quelques  erreurs  dans  l'énumération  des  congruences 
ayant  une  ligne  focale  paire  de  rang  o,  ou  bien  une  ligne  focale  tracée  sur  la 
surface  focale  et  de  rang  n  —  2. 

Il  y  a  encore  une  autre  lacune  dans  l'énumération  des  congruences  de  rang 
n  — I  que  l'auteur  avait  déjà  signalée  dans  sa  dissertation  de  Munich  ((885), 
et  qu'il  développe  ici  plus  complètement 

Une  première  partie  traite  exclusivement  des  congruences  du  second  ordre 
de  rang  n  —  i  ;  une  seconde  partie  est  réservée  à  l'étude  des  courbes  ration- 
nelles qui  sont  lignes  focales  de  ces  congruences. 

Uolder  (O.).  —  Sur  le  cas  irréductible  dans  l'équation  du  troi- 
sième degré.  (3o7-3r2). 

Pour  l'équation  du  troisième  degré 

x^  —  px"^  -\-  qx  —  z  —  o, 

011  /;,  q,  z  sont  tels  que  le  discriminant 

D  =  p'q--\-  l'èpq z  —  4/>'-  —  4^'—  27:;^ 

est  positif,  il  n'existe  aucune  expression  formée  avec  des  radicaux  réels  qui, 
substituée  dans  l'équation,  annule  le  premier  membre.  Démonstration  directe  de 
cette  propriété. 

Blanchi  (L.).  —  Représentation  géométrique  du  groupe  de 
substitutions  linéaires  à  coefficients  entiers  complexes  et  appli- 
cations à  la  théorie  des  nombres.  (3  1  3-333). 

L'auteur  considère  deux  groupes  G  cl  G',  qui  contiennent  toutes  les  substi- 
tutions linéaires  de  la  forme 


SS  SHCOXDi:   l'AUTIK. 

a,  p,  Y,  ô  élanl  des  nombres  entiers  complexes  <l<;  la  forme  a-i-Oi  pour  le 
groupe  G,  de  la  forme  a' -\- b' t  pour  le  f,'roupe  G',  i  et  z  étant  respectivement 
les  racines  primitives  quatrième  et  troisième  de  l'unité. 

Toute  substitution  du  f^roupc  G'  peut  être  constituée  avec  les  trois  substi- 
tutions élémentaires 


T  = 


(-:  :>  -(:  :)■  -C  :)■ 


Toute  substitution  du  groupe  G'  peut  être  constituée  avec  les  trois  substi- 
tutions élémentaires 


T  =  (       "     '    ,  S=      '      '),  V=      '     ' 

-10/  \  <)       I  /  \  o       1 


La  portion  supérieure  de  l'espace  qui  est  située  en  dehors  de  la  sphère 

V  +  T.»  +  î;^  =  I 

et  entre  les  quatre  plans 

^  =  0,        ^=-,         ■''=--'  ■''=^' 

est  un  polyèdre  fondamental  P  (dans  le  sens  de  Poincaré)  pour  le  groupe  G. 
Construisons  dans  le  plan  \-r^  l'hexagone  régulier  dont  le  centre  est  en  ^  =  o, 
T,  =  o  et  qui  a  un  couple  de  côtés  opposes  sur  les  droites 

si  l'on  construit  le  prisme  ayant  cet  hexagone  pour  base,  la  portion  du  prisme 
extérieure  à  la  sphère 

\'  +  T.^  -t-  Ç^  =  I 

constitue  un  polyèdre  n  qui  est  le  triple  du   polyèdre  fondamental  relatif  au 
groupe  G'. 

Application  aux  formes  de  Dirichlet  et  aux  formes  d'IIermite  des  résultats 
obtenus  précédemment.  La  réduction  de  ces  formes  se  fait  d'une  façon  ana- 
logue à  celle  des  formes  quadratiques  ordinaires  quand  on  emploie  la  division 
modulaire  du  plan. 

London  (/^ .  ).  —  Stir  les  problèmes  de  construction  dans  la  théorie 
de  la  transformation  réciproque  et  dans  celle  des  surfaces  du 
second  ordre.  (334-368). 

Ces  recherches  sont  relatives  à  certains  systèmes  de  points  qui  jouent  un 
rôle  important  dans  la  théorie  de  la  transformation  réciproque  ou  dans  celle 
des  surfaces  du  second  ordre.  L'auteur  se  propose  de  présenter  l'expression  ana- 
lytique de  la  dépendance  géométrique  de  ces  systèmes  sous  la  forme  d'identités 
linéaires;  l'interprétation  géométrique  évidente  de  ces  identités  se  prèle  alors 
tout  naturellement  à  l'étude  de  ces  systèmes  de  points.  On  arrive  de  la  sorte  à 
des  propriétés  qui  simplifient  considérablement  les  problèmes  fondamentaux 
de  construction  (jui  se  présentent  dans  la  génération  des  transformations  réci- 


v^.^  fc^Ki 


Hi-iviii-:  i)i:s  luin.i CATIONS.  8., 

piiiiiiics  et    (|  11,1(1  i;il  ii|  lies,  ;i  i  iisi   (|ii('(li"s  siii  Lkcs  du   sccdiiil   uidiccl    do  CKinhcs 
ijiiiiclii's  du  (  I  11  ;il  ruine  (tidii',  |iiii'  exemple  j'i  la  consl  nicl  inn  des  sur  fa  ces  du  second 
ordre  dimiiee  par  ;)  points,  des  eoiirhes  Ranclics  dn  (|u.ilrièrnc  or<lrc  et  de  pie 
niière  espèee  doniK'es  par  S  points,  à   l<i  eonslniel  imi  du  Imitièine  point  d'iiUer- 
seelion  de  trois  ■^iirf.MM's  du   second    ordre. 

Jl/orr  (Z*^.).  —   Sur  les  (liscrimiuiiiils  (>l  \c,s  rr'siilljnilcs  des  ('(jiia- 
lloiis    aux    .siiij;iilartl(''s    des    coiiihcs    j)laiH;s   alj^rhiKjiics.    {'^('X)- 

4(>i 


^-i). 


Itiill  a  montre  dans  ses  re(  iiei'clies  sur  les  si  iif;ularités  des  f:ouil)es  planes 
al^el)ri(jucs  et  sur  une  nouvelle  espèee  do  eourhes  {Math.  Ami.,  t.  W  I  ),  ainsi 
(|ue  dans  les  deux  Mémoires  Sur  les  formes  binaires  et  l'équation  du  si.xième 
dci^ré  {id.,  l.  W)  et  Su/-  les  courbes  rationnelles  du  fjuatriéme  ordre 
(id.,  t.  \II),  comment  rélude  d'une  sinf;;ularité  absolument  (luelconquc  d'une 
coui-|)e  plane  algéhricjuc,  se  ramenait  à  rcxamen  d'une  courbe  d'espèce  toute 
particulière  qui  n'est  autre  qu'une  courbe  de  genre  zéro  ayant  sa  classe  égale 
à   son  degré. 

L'auteur  examine  ici  les  courbes  planes  ponctuelles  de  genre  zéro  et  se  pro- 
pose de  décomposer  en  facteurs  irréductibles  les  discriminants  et  les  résultants 
des  équations  aux  arguments  des  points  d'indexion,  des  points  doubles  et  des 
tangentes  doubles,  problèmes  que  Hrill  avait  résolus  dans  le  cas  particulier  cité 
précédemment  et  qni  se  sont  imposés  à  l'auteur  dans  l'étutle  de  questions  rela- 
tives aux  courbes  gauches. 

Rclliy  {M.).  — ■  Surfaces  décoin|)Osables  en  un  nombre  fini  d'('dé- 
menls  superposables  chacun  à  ii\vdcun  [Endlicli-gleiche  Flà- 
cïien).  (405-4^8,  avec  5  planches  lilliographiées). 

Il  s'agit  ici  de  recherches  sur  les  surfaces  planes  dont  les  limites  ne  se  ren- 
contrent pas  elles-mêmes  et  sont  telles,  d'autre  part,  que,  si  l'on  place  une  des 
surfaces  dans  deux  positions  différentes,  le  nombre  des  points  d'intersection 
des  courbes  limites  est  fini.  Deux  surfaces  qui  peuvent  être  décomposées  en  un 
nombre  fini  d'éléments  congrus  sont  appelés  endlich-gleich.  C'est  à  AA'olfgang 
Bolyai  que  l'on  doit  la  considération  de  cette  notion.  Dans  son  Tentamen  ju- 
ventutem  studiosani...  (  Maros-Vasarhely,  i8'^2-o3)  Bolyai  énonce  les  proposi- 
tions suivantes  : 

1.  Deux  polygones  de  même  aire  sont  décoinposables  en  un  nombre  (ini 
d'éléments  superposables  chacun   à  chacun. 

2.  Les  portions  non  communes  de  deux  surfaces  congrues  qui  se  couvrent  en 
partie  sont  décomposables  en  un  nombre  fini  d'éléments  superposables  chacun 
à  chacun. 

.3.  Si  l'on  enlève  dans  deux  surfaces  congrues  des  morceaux  respectivement 
congrus,  les  surfaces  qui  restent  sont  décomposables  en  un  nombre  (ini  d'élé- 
ments superposables  chacun  à  chacun. 

La  démonstration  du  seconrl  théorème  donnée  par  Bolyai  soulève  des  objec- 
tions qu'il  a  lui-même  relevées  et  auxquelles  il  a  essayé  de  répondie,  mais 
d'une  façon  insuffisante. 

lUtll.  des  Sciences  niaflicni.,   2'  série,   l.  W.  (Mai  iSc/j.  )  |< .  7 


cjo  SKCONDK   PAin  1  M. 

L';iulcnr  se  propose  ici  de  (N'-tciiuiiK  r  (|iiell(s  sont  les  roiidilions  nécessaires 
el  suffisantes  pour  (|u"une  lelle  décomposilion  soit  possible  j)our  deux  surfaces 
planes  données  et  d'cll'ecluer  celle  (lécotn[)osilion. 

Lilienthal (/{.  p.).  —  Sur  la  théorie  de  la  (;oml)ure  des  faisceaux 
de  courbes.  (4^-9-4'^')- 

Suilc  des  Iravaux  de  Tauleur  dont  une  pienriière  pariie  a  élé  publiée  dans  le 
tome  XX\II,  p.  5'|5  des  Mathemalisclie  Annalen  {Sur  la  courbure  des  fais- 
ceaux de  courbes). 

Iluiwitz   {A.).  —   Sur  les  zéros  de    la   s(';rle    hjpergéomélrique. 
(452-458). 

Dans  le  tome  {)réré(lenl  des  MalliernaliscUe  Annalen,  Klein  a  donné  pour 
la  détermination  du  nombre  des  zéros  de  la  série  liypergéotnétrique  compris 
entre  x  —  o  ci  x  —  r,  une  méthode  élégante  c|ui  repose  sur  la  considération 
des  différentes  formes  que  peuvent  présenter  des  triani^les  dont  les  côtés  sont 
des  arcs  de  cercles.  L'auteur  suit  ici  une  marche  différente  qui  repose  sur  les 
mêmes  principes  que  ceux  que  l'on  emploie  dans  le  lliéorème  de  Sturm  pour 
déterminer  le  nombre  des  racines  réelles  d'une  équation  algébrique. 

llilbert  {D.).  —  Sur  l'application  continue  d'une  ligne  sur  une 
portion  de  surface.   (459-460). 

Peano  {Matli.  Ann.,  t.  XXXVI)  a  résolu,  par  des  considérations  arithmé- 
tiques, la  question  dont  il  s'agit.  L'auteur  donne  ici  une  métliode  un  peu  dif- 
férente ((ui  admet  une  représentation  géométrique  fort  simple  et  fort  con- 
cluante. 

Fricke  [R.).  —  Sur  uneclasse  |)articulière  de  groupes  disconliruis 
de  substitutions  réelles  linéaires.  (461-476,  avec  une  planche). 

Soient  A,  1>,  Cl,  1)  des  nombres  de  la   forme   ^ — —y  où  «,  b,  q  sont  des 

nombres  entiers  rationnels  et  q,  en  particulier,  un  nombre  premier  de  la  forme 

4/1  —  i;  soient,  d'autre  part.  A,  13,  ...   les  nombres  conjugués  des  nombres  A, 
13,  ...;  l'auteur  considère  les  substitutions  linéaires  définies  par  Téquation 

S(  '0  )  =  zz z=.  ' 

—  13(0+  A 
A  et  H  étant   assujcllis  à  la  condition 

A\  +  HÏÏ  r^  r 

ces  substitutions  constilueiU  un  groupe. 

Détermination  des    régions    fondamentales    corresjjondant   à  ce   groupe  pour 
les  valeurs  les  j)lus  simples  du  nombie  7. 


lUiVri".    DM  s    IMIinjCA  riONS.  <ji 

ll(' Il li'f  i^L.).  —  Siii-  le  j)i(»l)lrfiM'  (les  r(';^iuiis  \ oisiikîs.  (  l77-->o8). 

Sur  uiK*  siii'Carc  (|ii('Icoii(|ii(',  on  cinisidrrc  un  j^roiipr  de  fiirrs  loi  (|ik;  cliarnno 
d'elles  S(»il  voisine  (l(;  lonlcs  les  aiilrcs.  le  Noisiiia^c  se  liniivanl  iiHli(|ii("  par 
la  pri'-^eiief  (rime  lii;iie  Iroiil  icic  eoininiiiic  et  non  pas  xn  h  iinn  l  par  r<\islcnec 
(le  points  eoiunnins;  on  peut   alm's  se  deniaiidei'  : 

(hiel  est  le  nnnihre  niiniinnin  du  ^^enre  d'une  snilaee  cpii  admet  un  noinlire 
donn»'-  de  iM'i^ions  voisines? 

Ouel  est  le  iiomUre  inaxiiiuirii  de  ri''f,'i()ns  voisines  (|ni  pmvcnl  ed'eel  i  venutil. 
cxisler  sur  une  surfaec  de  iienre  donné? 

I?all/er  rappell(\  dans  nne  !\ole  sur  Miibins  cL  son  ami  \\(i>ke  {lier.  Saclis. 
^/<\v..  janvier  iSSâ)  (juc  Mohius  avait  depuis  lonf,'letnps  cnoneé  le  liiéorèinc  sui- 
\anl  :  «  ('in(|  Sp<tlia  conjlnia  ne  penv(;nL  cxisler  snr  une  siirfaee  ».  Halt/.cr  u 
cru  à  loi!  ([lie  la  proposition  de  iMcihins  donnaiL  la  solution  du  prohième  des 
<|uatre  eouieurs,  posé  depuis  lonj;lemps  par  iMorf;an  cl  non  cneorcî  résolu.  Une 
dém<»nslraLion  de  ccLle  proposition,  ([u'avec  (|ualre  couleurs  on  peut  C(dorier 
une  earle  géographique  queleon(|ue,  a  été  ler)tée  par  Kempc  dans  VAmeiicaii 
Journal  of  Mallieniatics  (  l.  Il,  i88:>),  mais  une  faute  de  raisonnement  se 
trouve  dans  ce  Mt'moire,  comme  l'a  niontré  IJeawood  {Quart.  J.,  \\x\\\  i8()o)eL 
comme  la  reconnu  Kempe  lui-même  {Proceed.  Lcnd.  Math.  Soc). 

lleavvood,  dans  son  Travail,  s'occupe  de  la  question  de  la  coloration  des 
cartes  sur  une  surface  de  genre  quelconque  et,  par  là  mènie,  du  problème  qui 
fait  l'objet  du  présent  Mémoire  où  l'auteur  donne  une  série  de  propositions 
rcmarqual)lcs  et  rencontie  une  série  de  faits  nouveaux  et  intéressants,  mais 
sans  arriver  toutefois,  comme  il  le  remarcpie  lui-même,  à  une  solution  com- 
plète de  la  question. 

Nekrassoff  (P .-A .) .  —  Sur  des  éqiialions  difTéi^entielles  linéaires 
qui  s'intègrent  à  l'aide  d'intégrales  définies.  (aoQ-aGo). 

On  sait  depuis  longtem[)s  intégrer,  au  moyen  d'intégrales  définies,  l'équation 
de  La  pi  ace 

d"  y  dy 

(rt„-t-/>„^)^  +•••+(«, +  /^,^)^  +  («o+^-2^)r  =^0, 

et  les  équations  hypergéométriques  générales  de  la  forme 

^^     '  dx""  I  ^^     '  dx""'  1.2        ^  ^     '  dx"-- 

=  H(^)  ;^-  -  'i^  iv(.) ^IS  +  <AJiiHAil)  n.(.)  *-" 


dx"~'  I  dx"-^  1.2  ^     '  dx"^^       '  '  *  ' 

où  Q(a7)  et  R(x)  sont  des  polynômes  entiers  tels  que  l'un  des  deux  polynômes 
Q(a7)  et  xV>.{x)  est  de  degré  n  et  l'autre  de  degré  non  supérieur  à  a  {Cf. 
Jordan,  Cours  d'Analyse,  t.  III,  p.  241-274;  1887). 

Goursal  {Acta  Mat.,  p.  x-70  ;  i883)  a  trouvé  des  types  nouveaux  d'équa- 
tions, en  montrant  comment  on  peut  former  une  é([ujtion  linéaire  t|ui  s'intègre 
en  posant 

y  -  I      '■  di'^ 


9?.  SKCONDK   PARTII-: 


ou 


z  =  {u  —  a,)''i-'...(  w  —  rt„)''»  '("  —  ",)'•'''• ..("  —  u  'i'y  ', 


a,,  ...,  rt„  cLant  des  conslaiilcs  cl  w,,  ...,  ?/    des  fondions  de  a:.  Les  lirniles 
d'intégration  sont  prises  parmi  les  quantités  (i  et  u. 
L'auleur  généralise  le  résultat  de  Goursat  en  posant 


y=    I    zer(',")  e{x,  u)  du, 


où  z  a  même  signification  qu'aupara\ant,  (d{x,  u)  est  une  fonction  quelconque 
entière  relativement  à  m,  ç  (a:,  i<)  est  une  fonction  quelconque  rationnelle  en  u. 
L'équation  diflérentielle  correspondante  comprend  comme  cas  particuliers  tous 
ceux  qui  viennent  d'être  cités. 

L'auteur  a  choisi  des  chemins  d'intégration  différents  de  ceux  employés  par 
Goursat  et  qui  se  prêtent  plus  facilement  à  l'étude  complète  des  solutions  de 
l'équation.  Un  autre  point  où  la  méthode  de  l'auteur  diflère  de  celle  de  Gour- 
sat est  le  suivant  :  l'auteur  ne  fait  nulle  part  l'emploi  des  coupures  d'Hermite, 
mais  a  recours  à  des  lignes  d'intégration  déformahles  dans  des  conditions  par- 
ticulières. 

Stahli^W.).  —    Sur  la  généralisation  des  courbes  planes  ration- 
nelles. (561-585). 

Pochlianiiner  (L.).  —  Sur  l'équation  différentielle  de   la  série 
hypergéométrique  générale.  (586-59-). 

Formation  des  équations  différentielles  auxquelles  satisfont  :  i°  la  série 

ip,  P.  •••?»-.  »-2P.(P.+  ')  P.  (P.+  O  •••?„_,(  p„-.  +  0 

'2°  la  série 

X  x^ 


'•P, ?.•••?„-,  '•2p,(P,+  ')P.(p.H-0---P,._,(p„    ,-^') 

Schubert  (//•).  —  Relation  entre  des  conditions  caractéristiques 
que  l'on  peut  attribuer  à  des  espaces  linéaires.  (598-602). 

Question  de  prix  Jablonowsky  pour  189  i.  (6o3-6o4). 

Donner  une  détermination  nouvelle  des  perturbations  séculaires,  tout  au 
moins  des  trajectoires  de  Mercure,  \'énus,  la  Terre  et  Mars,  en  tenant  compte 
des  termes  d'ordre  supérieur. 


Tome  XXXIX;  1891. 

Hurwitz  (A.).  —  Sur  les  surfaces  de  Riemann  ayant  des  points 
de  ramification  donnés.  (1-61). 

Dans    le    tome  LXXV  du   Journal  de  Crelle.  J.  Thomtr  {Cojttiibution  à  la 


nFVl]|<    DHS    PUliM  CATIONS. 


03 


f/worit'  (it's  /(>/i(fii>/is  (i/u/ic/inrs)  n  (\r]îi  i'cm;ii(|iii'-  (rime  fiicoii  cxprt'ssc  qu'iirn^ 
MirCiice  (le  IliiMiiiinii  pciiL  >i  I  "ii  l'iiil,  v.ii'ici- les  scci  ions  de  r;)rni(i(;il  ion,  [Jicndre 
1rs  fornirs  les  plus  diverses  ri  (|ne,  en  di-placiint.  un  des  points  de  raini(ie;ilion, 
hi  surf.iet"  peut  se  ehani^er  en  une  autre  essent  iell(;nicnt,  dilIVi-enle.  II.  Kaslcn, 
dans  sa  disserlalion  ((  loi  I  influe,  iS7()),  a  examiné  le  cas  des  surfaees  à  trois 
feuillets.  Si  n  est  le  nouiltre  des  points  de  ramification,  il  trouve  comme 
nombre    des   surfaees    ù    trois    feuillets    essentiellement    distinctes,    le  nombre 


(•V 


i),  mais  il  présente  ce  nombre  connue  limite  sui)érieure  du  nombre  à 


déterminer. 

l/auteur  cite  encore  les  travaux  de  Klein,  sur  la  transformation  des  fonctions 
elliptiques,  en  particulier  le  IMémoii'c  :  Sur  la  transformation  du  onzième 
ordre  des  fonctions  elliptiques  {Math.  Ann.,  t.  XV^  p.  533),  les  Mémoires  de 
Dyck,  sur  Tt-tablissement  et  l'étude  du  {groupe  et  de  l'irrationuidle  relatifs  aux 
surlaces  de  Kiemaun  réi;uliéres  (.Munich,  iS-^q  et  Math.  Ann.,  t.  XVII,  p.  4/3), 
le  livre  de  Klein  Sur  la  théorie  de  Rieniann  des  fonctions  algébriques  et  de 
leurs  intégrales  (iS8'^),  où  se  rencontre  la  question  de  déterminer  toutes 
les  surfaces  de  Riemann  ayant  des  ramifications  données. 

Les  travaux  suivants  ont  avec  la  question  des  relations  plus  ou  moins 
étroites  : 

.1.  LuiiOTii,  Aote  sur  les  sections  de  ramifications  et  les  coupures  dans  une 
surface  de  Riemann  {Math.  Ann.,  t.  IV); 

A.  Clecsch,  Sur  la  théorie  des  surfaces  de  Riemann  {Id.,  t.  VI); 

A.  Kneser,  Sur  la  théorie  des  fonctions  algébriques  {/d.,  t.  XXIX); 

D.  HiLBEiiT,  Sur  les  formes  binaires  à  discriminant  donné  {Id.,  t.  XXXI); 

L.  ScHLESiNGER,  Sur  la  théorie  des  fonctions  fuchsiennes  {J.  de  Crelle, 
t.  CV). 

Ici,  l'auteur  s'est  proposé  principalement  de  répondre  aux  questions  sui- 
vantes : 

Quel  est  le  nombre  N  des  surfaces  de  Riemann  à  n  feuillets  qui  sont  rami- 
fiées en  w  points  de  ramification  donnés? 

Quel  est  le  groupe  de  l'équation  algébrique  de  degré  N,  de  laquelle  dépend 
la  détermination  de  ces  surfaces? 

Combien  y  a-t-il,  pour  cette  équation,  de  racines  réelles  et  de  racines  imagi- 
naires conjuguées,  si  l'on  suppose  que  les  w  valeurs  donnant  les  ramifications 
sont  en  partie  réelles,  en  partie  imaginaires  conjuguées? 

Quels  sont,  dans  les  cas  les  plus  simples,  les  fonctions  algébriques  qui  défi- 
nissent les  N  surfaces  de  Riemann? 

Comme  exemples  des  résultats  contenus  dans  le  Mémoire,  nous  reproduisons 
les  propositions  suivantes  : 

Le  nombre  N  des  surfaces  de  Riemann  à  n  feuillets  qui  présentent  en  w  po- 
sitions données  une  ranîification  simple  est 


pour  n  =: 


— 

X  == 

1 

I 

3 

;t';(3---3), 

r 
1 

7^;(2"'--1)(3- 

-3). 

94  SliCOM)!-;    l'AiniH. 

I.(;  iiDtiihrc  (les  siiitiu^cs  ric  |{i(Mri;iiiM  ;"i  il  fciiillL'l^  <lc  ^cnrc  zcro  qui  <tnL 
lc'iir>j  poiiils  (le  r;irniliral  i(»n  (iontii's  cl  Icis  (lu'cii  lous  ces  points  sauf  un,  la 
rairuHralion  (>s(,  simple  landis  (|u  au  (hiiiicr  point  les  n  (cuillels  se  f^roupiiil 
m  m^  ('yclcs  d'ordic  //,,  ///,  cyclc-s  d'oidic  //^,  ...,  ///.,  cveles  d'ordre  //.^,  esL 
rj,'al  à 

\\n  parliciiiicr.  le  nombre  des  siirraccs  de  nicmann  à  //  fcuillcls  de  f;enre 
zri'o  (|ui  ont    >  ii — i  poit)Ls  de  raiiiilical  ion  simples  esl  é^al  à 

(  ■>.  /i  —  2  )  ! 
(  /t  —  I  j  ! 

sauf  pour  n  =  2,  auquel  cas  il  faut  multi|)lier  le  résultat  par  2. 

Fricke  (/t.).  —  Nouvelles  rcclierclies  sur  les  groupes  aulo- 
morphes  des  subsliuilions  linéaires  d'une  variai)lc  dont  les 
coefficients  contiennent  des  racines  carrées  de  nombres  entiers. 

(62-1  o()). 

Dans  un  Mémoire  paru  dans  le  tome  précédent  des  Matliematische  Annalen, 
l'auteur  avait  étudié  des  substitutions  dont  les  coefficients  contenaient  ration- 
nellement la  racine  carrée  d'un  nombre  premier  de  la  forme  4/^  +  3.  L'auteur 
considère  le  groupe  des  substitutions  fournies  par  les  fractions  rationnelles  et 
linéair(;s  rclalivemenl  à  une  variai>le  oj  (|ue  l'on  peut  représenter  sous  forme 
abrégée  par 

a  +  b  \J q  c  \l r  -+-  d  \l qr 

1  

2  2 

r  \J r  +  d  sjrq  a  —  b  \lq 


À 


où  a,  b,  c,  d  sont  des  nombres  entiers  quelconques,  q  et  /•  des  nombres  pre- 
miers de  la  forme  q  =  [\h  —  i,  j^  ^=  f\h-i-i,  le  nombre  q  étant  positif  et  ces 
différents  nombres  étant  assujettis  à  la  condition 

a- —  qb-+  rc- —  q/d-  =  \. 

Ce  groupe  est  représenté  par  r'^'f>''K  II  est  contenu  dans  d'autres  groupes 
ru/,'-),  r!//-'-),  r('/-'-)  et  enfin  r(7.'-). 

Détermination  du  groupe  fondamental  pour  le  groupe  T  7'''. 

Emploi  de  ces  groupes  et  de  la  division  correspondante  du  plan  dans  la 
théorie  arithmétique  de  certaines  formes  quadraticjues,  dans  les  recherches  sur 
l'équivalence  et  la  réduction  de  ces  formes. 

Stolz  (0.).  —  Sur  l'axioine  d'Arcliiinède.  (10--1  12). 

Vcronese  a  public  dans  les  Memorie  d.  Ace  dci  Linrei  (t.  IV,,  p.  6o3)  un 
Mémoire  sur  le  continu  rectiligne  et  sur  l'axiome  V  d'Archimède;  il  a  commu- 
niqué, d'autre  part,  à  M.  Stol/,  quelques  remar(iu(>s  sur  ses  ]^oi/esungcn  iibcr 


in-VllI'    hl'S   PllllMCA  TIONS.  o5 

(ill^fniciiK-    Arilhniclil,    i|ni    mil    cii^afir    ce    (Iciiiici'  à   |mltli(:r  hi  pii'SCllle   NolC 
<|iii  fdiili  I  me   1rs   idi'-cs  de   \  Cntiifsc. 

Scliur  i  l'\).  —  Stif  riiiiroiliicl  ION  <.\vs  ('•h'incnls  dils  idéaux  on 
G(''()ni('Mri('  |)r()|C(l  i\  c.  (  i  i />- i  ■>.4  ). 

On  iloil  ;'i  I'.  Klein  Li  [ii'dpdsil  ion  ini  |)i»il;i  nie  (|mc  hi  {\vt)\\\r[y\r.  projccl  i  vc 
|MMit  t'Irc  coiisl  iMiilc  sur  iirif  hiisc  indi-pcndiinlc  de  l'iixioinc  des  |)iir;ill(";l<:s 
Math.  Afin..  I.  \  I,  p.  I.^^).  Kli-iii  avait  sini[)lciii(!nl  iiidi(|né  rapidcrncnl.  la  rai- 
son de  ce  (ail  ioniai'((ual)l(' ;  r'rsl  à  Pascli  {  lOrlesiiiii^en  Hhcr  iicucie  Gen- 
nictfic,  i8S>)  ((iK'  l'on  doil  la  (h'-nionsl  rai  ion  cxplitih;  de  ce  lli(';orèrrie  l'onda- 
inenlal.  I^'aiileur  se  propose  do  revenir  ici  sur  ccUe  (|iiesLion  en  suivant  l'ordre 
des  idt'cs  de  Klein  plulôl  (|ue  c(dui  de  I^asch  ou  encore  de  Lindemann  (  Vorle- 
sii/fffc/i  iiber  Geoniclrie,  t.  II,  p.  i'|33). 

I*iingslicu)i  (//•).  —  Sur  la  llicoric  d(3.s  crlLcriuni  de  conver- 
gence dits  de  seconde  espèce  (Comj)lémcnt  au  Mémoire  : 
Théorie  générale  de  la  divergence  et  de  la  convergence 
des  séries  à  termes  positifs,  tome  XXXV  de  ce  journal).  (i25- 
128). 

Dans  les  ftendiconti  del  Circolo  niatematico  di  Palermo  (t.  IV,  p.  278), 
Giudice  a  publié  une  Note  «  Un  nouveau  critérium  de  convergence  pour  les 
séries  à  ternies  positifs.  Ce  nouveau  criteriunn  est  le  suivant  : 

Pour  que  la  série  à  termes  positifs 

u,-{-  u^-\-  u.^-h. . . 

soit  convergente,  il  est  nécessaire  et  suffisant  que   l'on  puisse  déterminer  une 
fonction  a,,  telle  que  pour  toute  valeur  de  n  on  ait 

«„>o,     • — —  >al  i-h  — 

"«+■     "  \  «,M 

Or,  si  l'on  met  la  dernière  égalité  sous  la  forme 

I  i«„  T 

on  voit  que  ce  n'est  rien  autre  chose  que  le  critérium  de  Dini-Kummcr 

9(/0-^  -  9(/î  H- 1)^0         (p>o), 

ou  I  on  pose 

I  I 

-  =  -?  'O- 

«n  P 

Le  théorème  n'est  donc  pas  nouveau. 

Brill  {^.l.).  —  Sur  les  fonctions  de  deux  variables  et  sur  un  théo- 
rème de  Nœllier.  {\m)-\  \\). 


9<')  SKCOM)!':    l'AiniK. 

Soient  Irois  s<''rit's  de  puissances  (on  l)icn  des  fondions  entières )  I'',  «l»,  M' 
(le  X  —  X,,  y  — j>'„  qui  ponr  x  .  J7„,  y  :  _7'„  s'annnIrnL  de  telle  façon  (pic  l'on 
pnissc  déterminer  deii\  l'onelions  entières  A,  B  de  x^y^  en  soite  que  l'i-cina- 
lion 

V  -  A«P    i    BM* 

soit  satisl'aih;  en  ee  qui  eon<-ecne  les  termes  de  degiM-  infi-rienr  en  x  —  a;,,, 
y — J)'o  .iii^M"  •'  "f*  dogié  doruK'  à  Tavanee,  mais  d'ailleurs  quelconque  ;  on  peut 
transfonuer  les  fonctions  A,  H  en  des  stries  infinies  A',  B'  telles  (|ue  l'équa- 
tion 

l' z^  A'<i>  H  IV  ^r 

soit  satisfaite  d'une  façon  formelle  en  ce  cjui  concerne  tous  les  termes  de  degré 
([uelconque,  les  séries  A',  li'  a^yant  une  région  de  convergence  finie  dans  le  voi- 
sinage de  ^0,^0- 

Picard  {E-)'   —  Sur   les   formes   (|iia(Jrali(jiics   à   indéterminées 
conjuguées    (Extrait    d'une  lettre    adressée    à    M.    F.    Klein). 

(142-144). 

Le  Mémoire  de  Bianchi,  sur  les  groupes  de  substitution,  paru  dans  le  présent 
volume  des  Matheniatische  Aiinaleii  contient  des  résultats  intéressants  qui 
peuvent  être  présentés  sous  une  forme  dilTérente  si  l'on  a  recours  à  la  méthode 
indi(|uée  par  l'auteur  dans  le  Bulletin  de  la  Société  matliématirjue  de  France 
(iiSS'i)  :  Sur  un  groupe  de  transformations  des  points  de  l'espace  situés  du 
même  côté  d'un  plan. 

hiepert  {L.).  —  Sur   la    multiplicatiot)   complexe   des   fonctions 
elliptiques  (Premier  Mémoire).  (145-178). 

Dans  une  série  continue  de  travaux  {Journal  de  Crelle,  t.  LXXXVII,  p.  199- 
2i6;  t.  lAXXVIII,  p.  ioS-'^ia;  t.  XCV,  p.  aiS-aSi;  Matfi.  Ann.,  t.  XXVI, 
p.  369-4r.4;  t.  XXXII,  p.  i-i35;  t.  XXXVII,  p.  368-39S),  l'auteur  s'est  efforcé 
dans  l'étude  de  la  transformation  elliptique,  de  déterminer,  sous  forme  simple, 
les  relations  algébriques  qui  se  présentent  dans  la  multiplication  complexe. 

Greenhill  a  employé  une  partie  de  ces  résultats,  mais  ne  connaissait  pas  les 
deux  derniers  JMéuioires  cités  précédemment,  qui  contiennent  précisément  les 
propriétés  les  plus  remarquables  pour  l'étude  approfondie    du   sujet  considéré. 

Dans  un  Mémoire  Sur  la  théorie  des  fonctions  elliptiques  {Acta  Mat., 
t.  XI,  p.  333-390)  et  dans  son  Ouvrage  :  Fonctions  elliptiques,  H.  NN'eber  re- 
marque que  les  équations  L  de  Kiepert  sont  moins  appropriées  au  calcul  des 
modules  singuliers  que  les  équations  qu'il  introduit  et  qu'il  appelle  équations 
modulaires  de  Schlàfli.  L'auteur  reconnaît  fort  bien  la  justesse  de  l'objection 
de  Weber,  mais  il  montre  ici  que  les  équations  L  ont  l'avantage  de  permettre 
d'effectuer  fort  simplement  le  calcul  des  invariants  singuliers.  De  plus,  les  équa- 
tions L  avaient  permis  à  l'auteur,  dans  ses  Mémoires  précédents,  de  former 
des  équations  aux  paramètres  qui  contiennent,  comme  il  Ta  déjà  montré,  les 
équations  modulaires  de  Schliini  comme  cas  particulier. 

PiiKMitRE  Sfction.  —  Tliéoric  générale  de  la  multijylication  complexe  des 
fonctions  ellipli<iues. 


\\\'A[]  !•:    DHS   PliniJCATIONS.  97 

^    I.    Nuliitiis  (le   iiiiill  i|tli(iil  inii  coniitlcxc. 

§  '2.  Uriliiclioii  (le  Li  m  11  II  i|ili(:it  inii  (•()iii[ilcx(;  rrlalivc  ;iii  noriil)i-o  /?i  à  une 
Ir.insforiiialioi)  di-  ilc^r('  //. 

§  3.  iNoiiilnc  dos  invjiiiiiiits  siii;;iili('rs  (jiii  cnircsitDiKltiiL  à  I;i  iiirinc  vJiUîur  I) 
(1(1  (l('lertTiinaiit  rolatil'  à  hi  iinilliplical  ion   c.omplcxfî. 

l)i:rxiî:.MK  Skction.  —  Calcul  des  iinuiriduts  siiit^ulicrs  à  l'aide  des  équa- 
tions \i. 

§  4.  Kacin(*s  (I(î  ri'(|iialii)n  I.,  (|iii  coircspoïKi  à  la  imilti()li(;ali()ii  complexe 
avec  lo  iiuilti|)li('al('(ir  ///. 

i:^  ,').   l']\(Mn|)le  dd  calcul  (l(>s  iiivaiiaiits  siiit;iilicis  de  j)rcinirrc  espèce. 

§  (i.    l'ixcmplc  du  calcul  des  in\  ariauls  sin;4uli<MS  de  seconde  esp(';ce. 

\()ss  [A .).  —   Sur  la  lli('oric  de    la  coiirburi;   des  surfaces.    (179- 

2  5()). 

On  peut  considérer  comme  pr()j)riélé  fondamentale  d'une  surface  gauche  que 
(|uatrc  points  (|uelconiiues  de  cette  surface  ne  sont  pas,  en  giMiérai,  dans  un 
|)laM. 

Si  l'on  consid(^ue  le  volume  du  ttîtraèdre  ayant  ces  quatre  points  pour  som- 
mets, on  peu!  se  demander  en  quoi  le  volume  d'un  tel  tétra(kire  infiniment 
petit,  relatif  aux   points  de  la  surface,  dépend  de  la  courbure  de  cette  surface. 

Soit  P  un  point  non  singulier  de  la  surface;  choisissons  un  syst(!;me  de 
coordonnées  curvilignes,  prenons  les  points  P,  Pj  sur  les  courbes  passant  par  le 
point  P  et  le  point  Pg  au  point  de  rencontre  des  lignes  de  coordonnées  qui 
passent  respectivement  par  P,  et  P,. 

Le  volume  T  du  tétraèdre  PP, P^P^  divisé  par  le  carré  de  la  surface  du  pa- 
rallélogramme déterminé  par  PP,  P,  a,  en  général,  une  limite  différente  de 
zéro  indépendante  de  la  direction  suivant  laquelle  le  point  P3  se  rapproche  du 
point  P;  cette  limite  n'offre  pas  de  relation  avec  les  éléments  de  la  courbure 
en  P.  Mais,  si  l'on  prend  pour  système  u,  v  de  coordonnées  un  système  con- 
jugué, la  limite  est  toujours  zéro.  Divisons  alors  par  le  carré  de  la  longueur 
de  l'arc  PP.,  on  est  alors  conduit  à  une  nouvelle  limite  que  l'auteur  appelle 
courbure  paramétrale  de  la  surface;  cette  courbure  dépend,  en  effet,  en  gé- 
néral des  paramètres  a,  v.  L'auteur  se  demande  sous  quelles  conditions  la  cour- 
bure paramétrale  exprime,  à  un  facteur  près,  la  courbure  normale  relative  à 
la  direction  PP^.  Il  examine  ce  qui  arrive  si  l'on  effectue  une  transformation 
projective  et  rencontre  de  la  sorte  certaines  expr(^ssions  invariantes. 

§  1.   Volume  d'un  tétraèdre  ayant  pour  sommets  quatre  points  d'une  surface. 

§  2.  Notion  de  courbure  paramétrale  d'une  surface. 

§  3.  Transformation  projective  d'une  surface  donnée  en  coordonnées-points. 
Invariants  différentiels. 

§  4.  Surfaces  développables,  surfaces  à  courbure  paramétrale  nulle. 

§  5.  Détermination  de  tous  les  systèmes  de  coordonnées  conjugués  relative- 
ment auxquels  la  courbure  paramétrale  correspond  à  la  courbure  normale. 

§  6.  Systèmes  conjugués  de  coordonnées  à  invariants  égaux  sur  quelques 
espèces  de  surfaces. 

§  7.  De  la  transformation  d'une  surface  par  normales  parallèles. 

i5  8.  Les  coordonnées  tangenliclles  d'une  surface  et  sa  transformation  projec- 
t  i\c. 


08  SFCONHI':    PAUTIIL 

v5  9.  Coiirhiuc  parainclralc  en  coordcjiiiiccs  laiif;ciilicll(îs  (•[  systùmcs  dualis- 
liqiics  (le  eoordonnées. 

§  10.  'rraiisfoiMiialioii  d'une  surface  en  roordoniiées  tan|,'cnlielles. 

Killi/iii  (  U''.).   —  Sur  les  c.s[)accs   de  (^hlFord-lvIcin.  (:>» 57-278). 

15eiiiar(|ues  eL  développeiTienLs  sur  la  noiion  des  es[)aecs  (jue  ("didord  avait 
signalés  et  (|uc  Klein  a  présentés  dans  son  Mf'nioire  sur  la  Géométrie  non 
euclidienne  {Math.  Ann.,  t.  WW'II,  p.  F)\\-^)-/z). 

lltirwLtz  (y/.).  —  Sur  la  re[)réscnlalion   approclice  des  nombres 
irrationnels  [)ar  des  IVaelions  ralionneiles.  (279-284). 

I*]tant  donné  un  nombre  irrationnel  ([ueleorujue  a.  la  théorie  des  fractions 
continues  permet  de  trouver  une  suite  illimitée  de  fractions  rationnelles 

— ,      —  ,      . . . ,      —  , 

telle  que  l'on  ait,  indépendamment  du  signe 

x„  I 

a ^'  <  —  • 

Ilermitc  (/.  de  d'elle,  t.  XLI.  p.  «95 )  a  montré  comment  on  pouvait  trouver 
une  série  des  fractions  telles  que  l'on  ait  l'approximation  plus  grande 

x„  ' 

a i'  < 


L'auteur  s'est  demandé  si  l'on  ne  peut  pas  encore  arriver  à  une  approxima- 
tion plus  grande,  et  il  établit  les  propositions  suivantes  : 

On  peut  approcher  d'une  irrationnelle  a  queiconciue  par  une  suite  de  frac- 
tions telles  que  l'on   ait,  indépendamment  du  signe 

a < 


Soit  A  un  nombre  quelconque  plus  grand  (jue  y/o,  il  existe  des  irrationnelles  a 
pour  lesquelles  on  ne  peut  pas  former  de  suite  illimitée  de  fractions  telles 
que  l'on  ait 

x„  I 

Kœnip;sberger  (L.).  —  Sur  les  intégrales  algébriques  et  sur  les 
intégrales  représentables  par  des  quadratures  de  fonctions  al- 
gébriques   des   systèmes    d'équations   aux    dérivées    partielles. 

(285-292). 

ScheJ/e/'s  (G.).  —  Réduction  des  sjstèmcs  de  qiianlilés  com- 
plexes à  des  formes  Ivpes.  (2C)3-3()o). 


MKVUli:    DKS    PUBMCA  I  IONS.  ()(, 

\  nitlicil  idii  (II'  l;i  llMMuii-  i\r<.  i;r()ii|M"^  de  I  i;ims(oiiii;iI  iuii  de  (je  ;'i  l.i  lliiMiric 
(les  syslôiiics  (l(>  (|iiiiiil  ilcs  roiiiplcxes.  N'ojis  devons  nous  conlcnlcr  de  donner 
la  Tahle  des  ninl  it  rcs  de  ce  iMt'iiioiî-e  inh-tessanl  ;  nous  reproduisons,  en  ruilre, 
la  l)ii>lioi,Ma|>liic  (|iic  raulciir  donne  à  la  lin,  en  r(iiiar(|nant  ceitendanl  <|ne  le 
Mcinoirc  de  H.  l'eirce  avail  été  [inhlié  (en  litli(»^ra|diie,  il  est.  vrai),  hien 
avant  iSSi  el  en  si^iialanl  \ine  laeuiK;  ie;;i'ellal)le,  ecllc  du  M(''Mioirc  bien 
eonnn   de  I^aguerre. 

|{einai(|iH's  préliminaires. 

j5   I.   Notion   de  système  de  (|nan(ilés  complexes. 

§  '2.  Séparation  de  tous  les  systèmes  de  <|\ianlités  en  deux  <:las>es. 

!^  .'}.  Considérât  ion  des  systèmes  non  (|uaternioniens. 

§    'i.    Ui'dnctihililt',  addition  et   m  nll  i|)lical  ion  de  syslèines  de  (|uanlilés. 

§  .';.  Suite  des  eonsidt'ratious  sur  les  syslènn.'s  non-(jualei-nionicns. 

§  ().  Détermination  de  tous  les  systèmes  n()n-(|uat(;rnioniens  à  n  unités  dont 
le  deyré  est  égal  à  n,  n  —  i,  n  —  2. 

§  7.  Les  systèmes  non  qualcrn ioniens  dont   le  degré  est  égal  à  '?.. 

§  8.  Détermination  de  tous  les  systèmes  non  quatcrnionicns  irréductibles  à  2, 
3,  (^,  5  unités. 

§  9.  Formation  de  tous  les  systèmes  de  quantités  irréductibles  à  2,  3,  f\, 
h  unités. 

§  10.  Généralités  sur  les  systèmes  quatcrnonicns. 

§  11.  Les  systèmes  de  quantités  qui  contiennent  le  système  des  qualcrnions 
de  Hamilton. 

§  12.  Établissement  de  tous  les  systèmes  quatcrnionicns  irréductibles  à  4>  5? 
(),  7  et  8  unités. 

§  13.  Diderentes  remarques  sur  les  systèmes  quatcrnionicns. 

§  14.  Historique  et  bibliograpiiie. 

//.  I/ankel,  Vorlesungen  iiber  die  complexen  Zahlen  und  ilire  I-'unctioncn. 

L  Theil  :  Théorie  der  complexen  Zalilensysteme.  Leipzig,  1867. 
C.  Peirce,  Description  of  a  notation  for  the  logic  of  relatives  {Mem.  Am. 

Acad.  Sciences,  l\,  1870). 
Clijford,    Preliminary    sketch    of  biquatcrnions  {Proc.  L.  M.  S.,  t.   IV, 

p.  381-39:)). 

—  Further  note  on   biquatcrnions^  Notes  on   biquatcrnions  (187(3)  {Math. 
Paper  s,  p.  SSS-Sgô;  1892). 

Frobenias,   Ueber    lineare    Substitutionen    und    bilineare   Formen    [./.    de 

d'elle,  t.  LXXXIV,  p.  i-63,  1878  {Cf.  §  14)]. 
Pinclierle,   Saggio  di   una   introduzione  alla   teoria    dellc  funzioni    anali- 

tiche   secon    i    principii  del    prof.   Weierstrass    [G.  di  Mat..,    t.   WIII, 

1880   {Cf.    p.    203-210)]. 

Lipschitz,    Principes   d'un   calcul   algébrique  qui  contient  comme  espèces 

particulières  le  calcul  des   quantités  imaginaires  et  des  quaternions  {C. 

/?.,  t.  XCI,  p.  G19-621,  6G0-664,   i88o,  et  Bull.  Darb.j  t.  Xl.^,  p.  ii5-i2o, 

1887). 
B.  Peirce,  Linear  associative  algebra.  With  notes  addenda  by  C.  S.  Peirce, 

son  of  the  author  {Amer.  /.,  t.  IV,  p.  97-^29,  1881). 
Cayley,  On  the  8-square   imaginaries  {Amer  J.,  t.  IN',  p.  293-396,  1881). 

—  On  associative  imaginaries  (/.  llopk.  l'niv.  Cire,  t.  II,  p.  i5,  1882). 


100  SKCONnii;    PAUTIE. 

C.-S.  Peirce.  On  a  riass  of  riiiiltiphî  iilgel)ra  {Id.,  p.  3). 
Sylvester,  A  ^v()l•(l  on  nonions  (/<:/.,  \).  '?-\\). 

—  Sur  les  qiiaiilili'S  formant  un  f;roii|)C  de  nf)nions  analogues  aux  quater- 
nions  de  llarnilton  {C.  /t.,  l.  XGVII,  i336-i:LV),  i883;  t.  XCVllI,  p.  273- 
27(5,471-475,  1884  ). 

Cayley,  On  double  algehra  {rroc.  L.  M.  S.,  l.  XV,  p.  185-197;  i883-84). 
Poincaré,  Sur  les  nonilji-es  coiriplexes  {C.  P.,  l.  XCIX,  p.  740-742,  i884). 
Sylvester^  On  llie   laws  of  inolion   in  llie  world  of  universal  Algebra  (/. 
Popk.  Univ.  Cire,  i8S4). 

—  Lectures  on  the  principics  of  universal  Algebra  {Amer.  J.,  t.  VI,  p.  270- 
286,  i884). 

Weierstrass,  Zur  Théorie  der  aus  n  Ilaupteinlieiten  gebildeten  complexen 

Grossen  {Gôtt.  Nacli.,  p.  395-419,  1884  )• 
Schwarz,  Bernerkungen  zu  der  in  Nr.  10  dieser  Naclirirhten  abgedrucklen 

JNIittheilung  des  Merrn  Weierslrass  {Jd.,  p.  5 16-519). 
Dedekind,  Zur  Théorie  der  aus  n  Ilaupleinhciten    gebildeten  complexen 

Grossen  {Id.,  p.  i4i-i59,  i885). 
Petersen,  Om  algebraens  Grundbegrebcr  {I^idssk.  /.  Math.,  t.  Ill^,  p.   i- 

22,  r885). 
Berloty,  Théorie  des  quantités  complexes  à   n   unités  principales  (Thèse. 

Paris,  1886). 
Buchlieini,  Note  on  lincar  association  algebra  {Mess.  Math.,  t.  XV,  p.  7G- 

78,   188G). 
Holder,    Bernerkungen   zu   der  Mittheilung  des  Herrn  \\eierslra5S  {Gott. 

Nach.,  p.  241-244»  1886). 
Stolz,  Vorlesungen  iiber  allgemeine  Arithmetik,  2  Theil.  Leipzig,  1886  {Cf. 

1-29). 
Dedekind,    Erliiuterungen   zur  Théorie  der  sogen.  allgemeinen  complexen 

Grossen  {Gott.  Nach.,  p.  1-7;   1887). 
Buchheini,    Note  on  double  algebra  {Mess.  Math.,  t.  X\'I,  p.  <)2-63). 

—  Note  on  triple  algebra  {Id.,  p.  iii-ii4)- 

Ed.  Weyr,  Sur  la  réalisation  des  systèmes  associatifs  de  quantités  com- 
plexes à  l'aide  des  matrices  {Prag.  Ber.,  p.  616-618,  1887). 

—  Note  sur  la  théorie  des  quantités  complexes  formées  avec  n  unités  prin- 
cipales {Bull.  Darb.,  XI^,  p.  2o5-2i5,  1887}. 

Cayley,  On  multiple  algebra  {Quart.  J.,  t.  XXII,  p.  270-308;  1887). 

J.  Petersen,  Ueber  /^-diinensionale  comi)lc\e  Zahlen  {Gôtt.  Nach.,  p.  4S9- 

5o2,  1887  ). 
F.   Schur,    Zur   Théorie   der    aus  //   Ilaupleinhciten   gebildete  complexen 

Grossen  {Math.  Ann.,  t.  XXXIII,  p.  49-6<J,  1888). 
Ifôlder.1   Bernerkungen    zur  Quatcrnionentheorie  {Gôtt.   Nach.,    p.    34-38, 

1889). 
Study,  Ueber  Système  von  complexen  Zahicn  {Id.,  p.  237-268). 

—  Complexe  Zahlen  und  TransCormationsgruppen  {Leipz.  Ber.,  p.  177- 
228,  1889). 

Schejfers,    Zur    Théorie    der    aus    n    llauiUoinheilcn   ableilbarcn    hoheren 

complexen  Zahlen  {Id.,   p.  290-007). 
Lie,  Ueber  irreducibele  Beriihrungslranbformalionsgruppcn    (/(/.,    p.   32o- 

327  {Cf.  326-327). 


Hi-:viii';  i)i:s  pijhi.ications.  im 

Sc/ii'//crs,   I  (lier  die   r.<i((limi  ii;;  von  /.iililcii-systcriicii  (/</.,  \k  f\(H)-\^)-^  ). 
l.\l.    W'vyr,  Ziir  Tlicoric  (1er  hiliiiciiicti   l'oiriicn  {iMoikUsIi .  f.  M.    /'.,   t.  I, 

|).  i(i3-'.!3(i,  iSç)()). 
Stiuly,    Uclicr    Systoiuc  coinplcxcn    '/.,\\\\v\\    iiiid     ilnc    Aiiuciidiiiif;    in    dci' 

Théorie  dcr  'ri;insrortiiiili(»iis;4niIi|)(ii  (Id.,  p.  .^H3-3.'J5). 
T<il>('i\  On  Ihc  lIuMtiv  <»('  niaLiiccs  {Amer.  J.,  l.  \II,  p.  '.V.\']-?Hf),  i8<jo). 
Study,   IxcMMinircndc    Ueilicii    und   hilincaïc   l'ornicn  {Mo/iatsh.  /.  M.  P., 

t.  IL  p.  ■.î-'i-S'i,  i8()i). 
lio/tr,  L('l)cr  die  ans   fiinf   UaupLiMnlieilcn    i,'el)iIdeLcn   coinpicxen   Zalileii- 

syslcme  {Dissert.  Marburg.,  i<S(j<)). 

Ilorn  {J-)-  —   Sur  la  théorie  des  sjslèmes  d'équalions  difïéren- 
tielles  linéaires  à  une  variahie  indépendante.  1.  (3(ji-4()8). 

La  théorie  des  solutions  régulières  des  systèmes  d'équalions  difTérentielles 
linéaires  à  une  variable  indépendante  a  été  étudiée  par  Sauvage  {Ann.  E.  N .  S., 
1886,  1888,  1889),  par  Griinfeld  {Benks.  Wien.  Akad.,  1888)  et  par  Kœriigs- 
bcrger  {Lehrbiich  der  Théorie  der  Differentialgleichungen,  p.  I\f\\-\i\()). 
L'auleur  se  place  ici  à  un  point  de  vue  différent  et  considère  un  système 
d'équations  différentielles  de  la  forme 


dx 


^   (  «a.3  -^  «a? -a;  +  .  .  .  )ri3  («,   ?  =  I,   ...,  m), 


Forme  normale  du  système  d'équations  différentielles  dans  le  voisinage  d'un 
point  singulier. 

iMélhode  pour  le  calcul  des  solutions. 

Forme  des  solutions  pour  les  diviseurs  élémentaires  simples  du  déterminant 
caractéristique. 

b'orme  des  solutions  pour  les  diviseurs  élémentaires  multiples  du  détermi- 
nant caractéristique. 

Maurer  (L.).  —   Sur  les  groupes  de   transformation   continus. 
(409-440). 

Relativement  aux  groupes  de  transformation  continus,  on  étudie  d'ordinaire 
les  propriétés  générales  des  groupes.  L'auteur  se  propose  d'examiner  quelles 
sont  les  conditions  accessoires  que  l'on  doit  ajouter  à  celles  qui  résultent  de 
l'existence  même  de  la  notion  de  groupe  pour  que  les  substitutions  du  groupe 
soient  rationnelles  ou  tout  au  moins  algébriques. 

Dans  le  présent  Travail,  l'auteur  donne  une  partie  de  ces  conditions  acces- 
soires, celles  qui  se  rapportent  à  la  composition  des  groupes. 

Sludy  {E.).  —   Des   mouvements    et   des   perversions    (Umle- 
gungen)  (Premier  et  second  Mémoires).  (44i-'^66). 

L'élude  du  mouvement,  si  l'on  considère  les  positions  iniiiale  et  finale  d'un 
même  corps,  appartient  à  la  Géométrie  élémentaire  et  a  fait  le  sujet  de  nom- 
breuses rrehcrrhes  de  .L  Bernoulli,  d'Alembcrt,  Euler,  Mobius,  Chasles,  elc. 


ro9. 


SKCONDK    PAKTIH. 


l'^lant  (luniK'c  une  (igiirc,  si  l'on  Cf)nsi(lèrc  son  iniage  dans  nn  njiioir,  on  a  ce 
que  l'aulcui'  appelle  une  Unilegung,  ce  que  l'on  peut  appeler  une  perversion 
de  la  Jigure.  L'(';Lik1(;  des  perversions   a   relalivcrnent  peu  alliré  l'allenlion. 

L'auleur  se  propose,  dans  une  série  de  iMénioircs,  de  reprendre  dans  son  en- 
semble, la  théorie  des  mouvements  et  des  perversions,  en  mettant  à  profit  les 
progrés  réalisés  dans  l'élude  des  groupes  de  transformation,  de  la  Géométrie 
non  euclidienne,  de  la  théorie  des  substitutions  orlhogonales  et  de  sa  généra- 
lisation, des  transforinations  linéaires  des  formes  quadrali(jucs  et  enfin  des  sys- 
tèmes de  quantités  complexes,  théories  diverses  qui  se  rattachent  par  un  [)oint 
ou  par  l'autre  à  la  question  générale  qu'il  veut  considérer. 

Les  deux  premiers  Mémoires  sont  consacrés  à  l'étude  géométrique  d'une 
part,  analyti(|ne  (h;  l'autre,  des  mouvements  cl  des  jx-rvcrsions  dans  l'espace 
euclidien. 

I.  Théorie  élémentaire  des  mouvements  et  des  perversions. 

II.  Hej)réscnta!.ion  au  moyen  de  paramètres  des  mouvements  et  des  perver- 
sions. 


DoeJileinann  (A.).  —  Sur  les  IraiisforMialioDS  de  Crciiiona  dans 
le  [)lan  (|iil  contiennent  une  courbe  qui  se  correspond  à  elle- 
même  point  [)ar  point.  (<>(^7-5()- ). 

Propriétés  générales  des  transformations  qui  laissent  une  eouibe  fixe.  Citons 
comme  exemple  le  théorème  suivant  : 

«  Si  une  transformation  de  degré  }i  laisse  fixe  une  courbe  d'ordre  a,  il  existe 
une  limite  supérieure  du  degré  de  la  transformation.  Iiln  eflet,  si  l'on  pose 
n  —  IX  —  k.  on  a  toujours 

/i  ^  3  A"  -t-  I . 

Le  nombre  k  est  ce  que  l'on  appelle  la  classe  de  la  transformation. 

Si  k  =  o,  [X  =  n',  les  transformations  de  classe  o  sont  les  transformations 
de  de  Jonquières.  L'auteur  étudie  particulièrement  ces  transformations  qui 
laissent  des  courbes  fixes. 

Si  /{•  —  I ,  [JL  -::  /i  —  I  et  /i  =  4- 

Si  k  —  2,  \i.  '—  n  —  2  et  n  =  7. 

L'auteur  donne,  par  exemple,  la  génération  i:é()mélrit|uc  de  la  transforma- 
tion de  première  classe  et  du  quatrième  ordre  et  montre  quels  sont  les  cas  sin- 
guliers qui  se  présentent  alors.  Il  montre,  dans  le  cas  des  transformations  de 
seconde  classe,  l'existence  de  toute  une  série  de  cas  correspondant  aux  valeurs 
2,  3,  4>  5  du  nombre  n. 

Scliillùig  (Ff.).  —  Sur  la  signification  géomrlricpie  des  for- 
mules de  la  Trigonométrie  sphérique  dans  le  cas  d'argumenis 
complexes.  (598-600). 


KHVUK    DKS   l'IlHLICATIONS.  loi 

A.WAI.I'^S  i)i:  LA  l'AciLTi:  i)i;s  Scikncics  dk  Mahskili  k. 

Tome  I  ;   iH'ji . 

Anncll.  ~  Siii'   une   (onclioii    iiiiiilo^in;  à    la   lonclioii  B.  (/Î7-'>'^-). 
I,;i  fonction 


'^{x,  y,z)  —     V     c""'  •-''•'■"'-<-''•.>•"''  +  '•=", 


où  a  est  une  consUinlo  doiil  lii  |);ii"li(;  r-rcll»;  est  nc^'ativc,  jouit  de  projjriétés 
aiiiiloi;iies  à  la  loneLioii  (-)  (  c  )  —  ve""*  +  2^«.  J^a  fonction  plus  j^énéralc  où  l'ex- 
posant serait  d'un  dei;ré  pair  (|ueleon(|iie  en  n  se  traiterait  eoinrne  la  fonction 
'j(.r,  )',  z)  (jui  lait  rol)j('t  (\c  la  Noie  de  M.  Appell.  Ces  fonctions  (hniiicnt 
naissance  à  des  fonclions  niéi'()nior|)lies  (pii  sont  laissées  invariables  par  un 
certain  nonnbrc  de  substitutions  linéaires. 


Jamel.  —  Sur  un  lliéorèmc  de  Stalique.  (53-6o), 


M.  Janiet  donne  une  intégrale  complète  de  l'équation  (|ui  correspond  au  pro- 
blème suivant  :  «  Tous  les  points  de  l'espace  étant  soumis  à  des  forces  telles 
(|u'en  eliacjue  point  F  d'une  surface  de  niveau  la  résultante  de  ces  forces  soit 
pro|)ortionnelle  à  la  distance  d'un  point  fixe  au  [)lan  tangent  en  F  à  la  surface, 
déterminer  la  forme  de  ces  surfaces.  » 


Tome  I  (Siip])lcineiit)  ;   iBq'j». 

Fabry  {Cli.).  —  Théorie  de  la  visibilllé  et  de  rorienlalion  des 
franges  d'Interférence,  (i-ioo). 

La  partie  tliéoritiuc  est  très  intéressante  à  lire  au  point  de  vue  matliéma- 
lique. 

Tome  II;  1892. 

Sauvage  (L.).  —  Questions  de  cours.  (i-3i). 

I.  Sur  l'intégration  des  différentielles  rationnelles.  —  Cette  intégration 
est  traitée  de  la  manière  la  plus  générale  au  moyen  des  deux  tliéorémcs  sui- 
vants : 

«  1.  l'Uant  donnée  une  fraction  irréductible  — >  nulle    pour  x   infini,  si   l'on 


peut    décomposer   1)  en   deux   facteurs  D,  et  L)^    premiers   entre  eux,  on   peut 
d'une  seule  manière  mettre  la   fra( 
termes  s'annulent    |)our   v  inlini.  » 


N  N  \ 

d'une  seule  manière  mettre  la   fraction        sous  la  forme  — -  -i-  — -,  où  les  deux 


to4 


SECONDIi:   PARTIE. 


11 

«  Q.  Une  fraction  irrcdiicliblc  de  la  foiinc  .  -  |i«'ut  se  décomposer  en  fractions 
simples  [)ar  le  inoycn  de  divisions  successives  au  diviseur  I).  » 

De  la  lliéorie  précédente  on  déduit  lacilcment  la  belle  théorie  de  M.  Ilermite 
sur  la  partie  algébrique  et  sur  la  partie  transrendante   de   l'intégration  d'une 

dillérentielle  ralionncllc  --  dx. 

II.  Définition  d'une  intégrale  multiple.  —  La  di'liriition  d'une  intégrale 
multiple  exige  d'autres  développements  que  ceux  (jue  l'on  trouve  ici.  Il  s'agit 
seulement  de  préciser  quebjues  idées  fondamentales. 

Amigues  {fi^ .).  —  La  théorie  des  ensembles  et  les  nombres  in- 
commensurables. (33-4'^). 

Développement  de  la  mélhode  des  ensembles  dans  la  définition  des  incom- 
mensurables, et  démonstration  de  la  possibilité  d'introduire  cette  méthode 
dans  l'enseignement  des  lycées. 

Appell.  —  Sur  des  potentiels  conjugués.  (53-58). 

Soit  le  système 

/    (TT  _  ^        (TA   _ 

ôx        dx       Oy 

dy        Ox        dz  ' 

ÔT        d\        ôY 


(0 

si  l'on  pose 
on  aura 

(2) 


âz         dy       ôx         ' 

dX        dX        ù'L 
<jx        oy        ()z 


AU  = 


r;^U        ()=  U        cM]_ 
ôx"-         ôy-         <)z' 


AX  =  o,         AY  =^  o,         AZ  =  o,         AT  =  o. 


Dans  le  système  (i),  on  peut  choisir  arbitrairement  les  deux  fonctions  Z 
et  T,  pourvu  qu'elles  vérifient  les  relations  (■^),  et  obtenir  ensuite  les  fonc- 
tions X  et  Y. 

Rlvereau  [rAbbé).  —  Zéros  de  la  fond  ion 

-f-  00 

—  00 
(59-62). 

C'est  la  fonction  étudiée  par  i\I.  Apjicll  dans  le  Tome  I  du  même  journal. 


RRVUK   DKS   PUIJMCATIONS.  lo-i 

MiiHLiCot.         Sur  les  iioïiihrcs  de  ncrnonlli.   ((jiVfjr)). 

|{ii|)|)nu'lit'iii(Mit   iiili-rcssaiil   ciitrt;  les  ii()iul)r("s  de  ISoriioiilli  cl    le   triangle   (h; 
Pascal. 

Tome  IV;  1893. 

Fitbry  (/>.)•  —  I^Ludc  sur  la  probabiliu'  des  comètes  liy|ierl)oliqucs 
et  l'orii;ine  des  comèles.  (1-2  F/j). 

Sauvage  {^L^.  —  Conditions  de  régularité   d'un  système  difTé- 
renticl  linéaire  et  homogène,  (i-i/j)- 

Tout  système  régulier  de  la  foriDe 

peut  être  ramené  à  \d  forme  canonique,  où  les  coefficients  «■•  sont  simplement 
infinis  pour  x  =  «,  et  par  le  moyen  d'une  suite  de  substitutions  de  formes 
simples.  Le  seul  cas  qui  donne  lieu  à  un  énoncé  pratique  est  celui  qui  corres- 
pond à  une  équation  unique  d'ordre  n  de  iM.  Fuchs. 


Tome  Yl;  1895. 

Roiigier  (/•)•  —   Sur  quelques  sous-groupes  de  onzième  classe 
du  groupe  modulaire,  (i-i  12). 

L'exposition  des  théories  de  M.  Klein  sur  les  sous-groupes  du  groupe  modu- 
laire, et  l'étude  de  certains  de  ces  sous-groupes  dont  l'étude  ne  comporte  pas 
l'emploi  de  congruences  suivant  un  module  entier,  étude  qui,  croyons-nous, 
n'avait  pas  encore  été  envisagée,  fait  l'objet  du  Mémoire  de  JNI.  Rougier. 

Chapitre  I.  —  Après  avoir  rappelé  quelques  généralités  sur  le  rapport  w  des 
périodes  de  l'intégrale  elliptique  de  première  espèce,  sur  l'invariant  absolu  J  de 
cette  intégrale  et  les  relations  entre  w  et  J,  sur  les  substitutions  modulaires, 
le  groupe  et  la  division  modulaires,  l'auteur  arrive  aux  théories  de  M.  Klein. 
D'une  façon  très  nette  sont  définis  les  sous-groupes  du  groupe  modulaire, 
Vindice  et  le  système  des  substitutions  représentantes  d'un  sous-groupe  F  .  On 
est  ensuite  conduit  à  reconnaître  l'existence  d'un  polygone  fondamental  pour  V  , 
et  la  possibilité  de  la  division  du  demi-plan  positif  des  w  figurant  comme  argu- 
ment dans  les  substitutions  du  groupe  en  une  infinité  de  polygones,  congruenls 
entre  eux,  recouvrant  une  seule  fois  et  sans  lacune  le  demi-plan  des  w.  Chacun 
d'eux  peut  d'ailleurs  servir  de  polygone  fondamental  pour  r  . 

En  même  temps  se  trouve  établie  la  possibilité  d'engendrer  le  groupe  T^  par 
la  répétition  et  la  réitération  d'un  nombre  fini  [x  de  substitutions  généra- 
trices que  l'on  sait  former  si  l'on  connaît  le  polygone  fondamental  de  T  .  L'é- 
tude des  relations  entre  les  sous-groupes  de  même  indice  conduit  ensuite  à  la 

Bull,  (les  Sciences  niathéni.,  i"  série,  t.  W.  (Mai  iHçjt).)  H. 8 


loG  SHCONDK   PAUTIK. 

nolion  (le  sous-f^roupes  semblables  cL  de  sous-groupes  invariants  dans  le 
groupe  modulaire.  Ces  derniers  sont  caractérisés  par  la  propriété  d'être  trans- 
formés en  eux-mêmes  par  toute  substitution  modulaire  de  première  espèce. 

L'étude  précédente  peut  être  transportée  sur  des  surfaces  en  dehors  du  plan. 
Car  les  arêtes  qui  limitent  le  polygone  fondamental  F  d'un  sous-groupe  T^^ 
étant  conjuguées  deux  à  deux,  si  l'on  déforme  F„  dans  l'espace  à  trois  di- 
mensions de  manière  que  chaque  arête  coïncide  avec  sa  conjuguée,  on  ob- 
tiendra une  surface  o,,,  fermée  et  de  forme  très  arbitraire,  mais  qui  présentera 
une  division  caractéristique  en  triangles.  On  appelle  genre  du  sous-groupe  V^ 
le  genre  de  la  surface  fermée  cp  . 

Il  est  facile  d'établir,  pour  un  groupe  quelconque  T^^^,  une  formule  donnant 
le  genre  du  groupe  en  fonction  de  son  indice  et  des  nombres  qui  caractérisent 
la  réunion  des  triangles  à  leurs  sommets  sur  cp^^. 

Le  cas  d'un  grougc  r  invariant  dans  le  groupe  modulaire  conduit  à  une 
surface  9  régulière,  dans  le  sens  attribué  à  ce  mot  par  les  géomètres  alle- 
mands, et  la  formule  qui  donne  le  genre  se  simplifie  alors  notablement. 

Le  groupe  F  peut  être  défini  par  le  polygone  F  ,  ou  par  la  surface  9  ,  ou 
môme  par  toute  surface  fermée,  portant  une  division  en  2  [j.  triangles,  se  grou- 
pant autour  de  leurs  sommets  de  manière  à  satisfaire  à  un  petit  nombre  de 
conditions.  Car  on  démontre  qu'avec  une  telle  surface  on  peut  définir  complète- 
ment un  système  déterminé  de  sous-groupes  semblables  d'indice  |j..  C'est  le 
théorème  de  la  ramification.  En  étendant  cette  proposition  à  certaines  di- 
visions régulières  planes,  formées  d'une  infinité  de  triangles  curvilignes,  dont 
la  définition  a  été  donnée  par  M.  Schwartz,  on  définit  non  seulement  une  série 
intéressante  de  groupes  invariants,  mais  encore  la  classe  du  sous-groupe  T  . 

Enfin  le  polygone  F  ,  ou  la  surface  cpjj^,  peuvent,  par  représentation  conforme 
sur  le  plan  de  la  variable  complexe  J,  être  transformés  en  une  surface  de 
Kicmann  à  \x  feuillets,  à  ramifications  caractéristiques. 

Réciproquement,  toute  surface  de  Riemann  à  [j.  feuillets,  construite  sur  le  plan 
des  J,  et  dont  la  ramification  satisfait  à  certaines  conditions  déterminées,  suffit 
pour  déterminer  un  système  de  sous-groupes  d'indice  [x  du  groupe  modulaire. 
C'est  une  autre  forme  du  théorème  de  la  ramification. 

On  démontre  ensuite  que  les  fonctions  de  la  surface  de  Riemann  à  [j.  feuillets, 
considérées  comme  des  fonctions  de  t)i,  sont  des  fonctions  modulaires. 

Chapitre  II.  —  Le  problème  de  la  transformation  du  onzième  ordre  des 
fonctions  elliptiques  admet  deux  résolvantes  du  onzième  degré;  la  surface  de 
Riemann  à  onze  feuillets  qui  correspond  à  l'une  de  ces  résolvantes,  et  qui  est 
du  genre  zéro,  présente  une  ramification  caractéristique  satisfaisant  aux  con- 
ditions du  théorème  de  la  ramification.  Il  y  a  d'ailleurs  neuf  autres  surfaces 
de  Riemann  jouissant  des  mêmes  propriétés.  Ces  dix  surfaces  définissent  dix 
systèmes  composés  chacun  de  onze  sous-groupes  semblables  dans  le  groupe 
modulaire.  L'existence  de  ces  sous-groupes,  leur  étude  et  celle  des  fonctions 
modulaires  correspondantes  forment  le  second  Chapitre. 

Une  discussion  purement  arithmétique  conduit  d'abord  à  la  détermination 
des  dix  surfaces  de  Riemann,  et  de  leur  groupe  de  monodromie.  De  même  une 
discussion  géométrique  très  simple  permet  de  caractériser  un  sous-groupe  de 
chacun  des  systèmes  par  la  construction  de  son  polygone  fondamental.  Cela 
fait,  l'auteur  passe  à  l'étude  arithmétique  des  sous-groupes  y-.  On  reconnaît  que, 
seuls,  ceux  de  ces  sous-groupes  qui  correspondent  aux  résolvantes  du  problème 


nEVUIî   ORS   PUBLICATIONS.  k»; 

(le  l.i  hMiisloniKilinii,  soni  tuiniés  de  siil)s|  il  niions  (lr|)(ti(hiiil  de  r()n;;rii(Micos 
siii\;inl  Ir  module  ii.  Les  aiil  rcs  ne.  préseiileiil  ;iii(-iiii  ciM-iielèi'e  ;iriLliiriéli(iiic 
simple,  l-ii  (luestioii  délieale  de  i'isomorpliismc  des  ^r()ii[)es  y.  csl  cnsuilc 
résolue  en  eonsidéianl  simplemciiL  les  rclalions  qui  exislenl  entre  les  subsli- 
lulioiis  de  l'un  des  groupes. 

L'élude  des  résolvantes  de  l'équation  modulaire  qui  correspondent  aux  dix 
sous-proupcs  y,  montre  que  théoriquement  les  cocnicicnts  de  ces  résolvantes 
peuvent  être  exprimés  rationnellement  en  fonction  de  deux  quelconques  d'entre 
eux.  ALtIs  le  calcul  pratique  de  ces  coefficients  est  inextricable.  D'ailleurs  on 
n'u  aucune  loi  aritliméti(|uc  dans  la  formation  des  substitutions  des  groupes  y. 
non  congruenls,  et  par  suite,  vu  le  degré  élevé  du  problème  de  Galois  corres- 
pondant (degré  dont  on  donne  dans  chaque  cas  une  limite  inférieure),  il  ne 
semble  pas  que  l'on  puisse  trouver  de  méthode  rapide  spéciale  à  côté  de  la 
mélhode  indi(iuéc. 

Cette  étude  de  sous-groupes  non  congruents  suivant  un  module  entier,  malgré 
ses  résultats  en  partie  négatifs,  fait  l'originalité  du  Mémoire  de  M.  llougier. 


Z^>Q<^^ 


SITZUNGSBERIGHTE  der  Akademie  der  Wissenschaften  zu  Berlin. 

Second  semestre  1891  (^). 

O.  Krigar  Menzel  et  A.  Rapp.  —  Sur  les  cordes  vibrantes. 
(613-629). 

Étude  expérimentale,  avec  deux  planches. 

L.  Kronecker .  —  Sur  la  date  à  laquelle  Jacobi  a  trouvé  la  relation 
fondamentale  à  quatre  termes  entre  les  produits  des  fonctions 
thêta  et  sur  la  marche  qu'il  a  suivie  pour  y  parvenir.  (ôSS-ôSg). 

Dans  son  Mémoire  :  Formulœ  novœ  in  theoria  transcendentium  ellipticarum 
fundamentales  ('),  Jacobi  établit  la  formule 

l  sna  sn6  -h  snw  sn(a  +  a  +  6)—  sn  (w  H-  «)  sn(?/  +  ^) 
{       =  k^  '&na  swb  snusn{u  +  a)  ixi{u  -{-  b)  sn^ii  -\-  a  -i-  b) 

«  quœ  est  formula    nova    maximi   momenti   per  totam    theoriam  functionum 
ellipticarum  ».  Il  déduit  ensuite  de  cette  formule  (I)  la  formule 

„,     0(0)  0(w-^a)  0(m  + 6)  0(a  +  /^)  /,  a  /  ,^ 

(II)         ^    ' — ^^ ; — ^ — !^ -— ^  =1+ /c^  snasnô  soM  sn(wH-rt+^*). 


(')  Voir  Bulletin, 

(0   Werkc,  t.  I.  |).  335-34 1. 


(III) 


io8  SECONDE   PARTIE. 

Kronecker  fait  observer  qu'inversenienl  on   peut  déduire  la  formule  (I)  de  la 
forniulc  (II)  de  sorte  que  ces  deux  formules  sont  entièrement  équivalentes. 
La  formule  (II)  peut  d'ailleurs  s'écrire 

—  (-)  (())(■)(//  +  ^/  )  (■)  (  //.  ^l-  h  )  H  (  a  -i-  h  ) 
ou  encore 


TZi 
K 


^    ("o.  "i-  "i.  "3I 

j  V^  ,  :.  »  ,      [  w,l//-f-^)-(- W  =  («+«)+W3(/7  +  i;|J  — - 

I  :ZZ  y  ( 1  )///„  +//?!  -f-/»;  H-///;,  ^/»Mo  +  Wf-t-/;7;-|-//7j    (^  K 

I  (/«u,  /«,,  7/7.,,  /«al 

m^,  m,,  m,,  m3  =r  0,  dr  i,  =t  2,  ±  3,  . . .; 
/i^,  /?,,  /îj,  n.,—  o,  ±1,  ±2,  ±3,  . . .;  n^^  n^^  n^^  n.    (  mod  2) 

Sous  cette  forme  (III)  il  est  aisé  de  vérifier  directement  la  formule  fondamen- 
tale de  Jacobi  ;  la  marche  suivie  par  Kronecker  est  très  simple  et  très  naturelle. 
Si,  après  avoir  posé  u -h  a  -h  b  =  v  dans  le  premier  membre  de  l'équa- 
tion (III),  on  envisage  v  comme  une  nouvelle  variable,  on  voit,  à  l'aide  des 
mêmes  relations  qui  ont  servi  à  vérifier  la  formule  fondamentale,  que  ce  pre- 
mier membre  se  transforme  aisément  en  une  expression  de  même  forme  dans 
laquelle  a,  b,  u,  v  sont  remplacées  par 

-  {— a -^  b -^  a -{- V),     -  {a  —  b -\- Il -T- v). 
2  2 

-  (a  -h  b  —  u  -^  v),     -  (a  -h  b  -\-  u  —  v)  : 
2  2 

en  changeant  les  lettres  a,  b,  u,  v  respectivement  en  —  w,  x,  y^  z,  on  en  dé- 
duit immédiatement  la  relation  fondamentale  à  quatre  termes  entre  les  pro- 
duits des  fonctions  thêta  telle  que  l'a  établie  Jacobi  (') 

a((v)&(x)&(y)Sr(x;)-.^,(u')H;,(x)&,(y)Sr,(c) 

=  2r((v')Sr(:r')Hr(j/)ar(-)-;^,(a")^.(^')S;.(r')Hr.(^'), 


(IV) 


ou 


w  -\-  X  -}-  y  -[-  z               ,       (V  +  X  —  y  —  z 
(V'= -,  X  — , 

2  2 

\v  —  X  -\-  y  —  Z  ,1  ^ 

y  — -^ -,  z  =  -  (\.y  —  X  —  y -{- z). 

-^  2  2  • 

La  formule  (III)  se  déduit  d'ailleurs  de  la  formule  (IV)  en  faisant  dans  cette 
dernière  s'=  o. 

Ces  considérations  amènent  Kronecker  à  admettre  que  Jacobi  a  trouvé  la  re- 


(')   Werke,  t.  I,  p.  507. 


RHVllK   DF.S   PUBLICATIONS.  109 

1.1(11)11  foiKl.iiiinilalt'  à  (|ii;ilrc  Icrnics  (  IV  )  l)i(MiliM  iiprc'is  la  relalion  fondamen- 
tale à  trois  termes  (IIl).  Or  il  a  trouvé  cette  dernière  le  v>i  septembre  i83.'). 

D'ailleurs,  dans  son  Cours  sur  les  fonctions  elliptiques  professé  en  i835-i83G 
à  l'Université  de  Kœnigsberg,  Cours  qui  a  été  rédigé  par  Hoscnliain,  Jacobi 
prend  comme  poini  de  départ  de  son  exposition  de  la  théorie  des  fonctions 
c|lipti(}iics  la  formule  (IV).  Donc  la  découverte  de  cette  formule  fondamentale 
a  eu  certainement  lieu  entre  le  21  septembre  et  le  milieu  du  mois  d'oc- 
tobre i835. 

Les  notations  ^,  Sr,,  2r^,  ?;^  datent  aussi  des  derniers  mois  de  l'année  i835. 

A.  l\i-oncckcr.  —  Les  coordonnées  de  Clausiiis.  (881-890). 

La  méthode  donnée  par  Clausius  [)Our  établir  l'équation  de  Poisson  a  sur 
celle  de  Gauss  l'avantage  de  supposer  moins  de  propriétés  à  la  fonction  qui  re- 
présente la  densité.  Clausius  fait  d'ailleurs  usage  de  nouvelles  coordonnées  qui 
conviennent  mieux  à  la  nature  de  la  question  que  celles  de  Descartes. 

Dans  sa  démonstration  (  '  )  du  théorème  de  Cauchy  et  déjà  dans  ses  re- 
cherches (')sur  le  potentiel  dans  un  espace  à  n  dimensions,  Kronecker  a  fait 
usage  de  ces  coordonnées  de  Clausius  en  les  modifiant  légèrement.  Il  se  pro- 
pose maintenant  de  démontrer,  en  faisant  usage  de  ces  coordonnées,  l'équation 
de  Poisson  dans  l'espace  à  n  dimensions. 

Cette  équation  est  la  suivante 

.71^ -^  d^,  ^•••+ 5^.  =-"^^^-' ^- •••' •^"^' 

m  représente  la  mesure  du  contenu  de  la  variété  sphérique  à  {n  —  1)  dimen- 
sions 

a]  -^  al  + . . . -i-  a)i  =  i; 

X,,  Xj,  ...,  X„  sont  définis  par  les  intégrales 
X^.  :=  y  £  («,,  a^,  . . . ,  «  J ! — -^ '■ ^ ^  da^  da^  . . .  c/a,„ 

étendues  à  tous  les  éléments  pour  lesquels  on  a 

F„  («,,«,,  ...,«„)<  o, 

où  Fq  est  une  fonction  donnée  de  n  variables,  s  une  autre  fonction  donnée  de  n 
variables  qui  représente  la  loi  de  répartition  de  la  densité  à  l'intérieur  de 
l'espace  à  n  dimensions  envisagé  qui  est  limité  par  la  variété  k  n  —  i  dimen- 
sions Fo=:o,  où  enfin  P(a,,  ..  ,x„)  est  le  potentiel  élémentaire  des  deux 
points  a,,  . . .,  «„,  x,,  . . .,  ^„  de  sorte  que  l'on  a 

n  —  2 


(')  Monalsbericlite,  juillet  1880. 
(')  1868-1869. 


I  lO 


SECONDE  PAUTIE, 


Jucohi  (^)  ;)  dclcrminc;  n.  Mais  on   peut  aussi    déduire   la    valeur  de  ?n  de  la 
relation  de  DiriclileL  (  •) 

\      y^      p.  pu/J  u         i     ^         ' 

_  "i  ^«  '•••««"  p  'w,  p  ni.^  m.. 
1  —  1  —  •  •  «  I  —  ) 


PxP, 


I\    p. 


où  l'intégrale  est  étendue  à  toutes  les  valeurs  positives  de  z,,  z^, 
lesquelles  on  a 

/  Z^\l>x         /-S„\/'i  I   Z„\Va 

on  en  déduit,  en  ciïet,   pour  ci^  =  a^  =  . . .  =  a^^z=  i,    rn^=  m,^^ 
/?,  =  /?j  =  ...  =  />„=  2,  la  relation 


/ 


dz,  dz,  . . .  dz..  = 


2-2 


nV 


,  z,^  pour 


m..  =  I. 


où  l'intégrale  est  étendue  à  toutes  les  valeurs  positives  de  2,,  z.^, 
lesquelles  on  a 

Z-+  zl+...-hz'j,<x: 


,  s„  pour 


or  cette  intégrale  est  manifestement  égale  à  -tn;  on  a  donc 

n 


n 


On  peut  toujours  supposer  que  le  point  (x,,  ^_j,  ...,x,J  est  situé  à  l'intérieur 
de  la  variété  d'ordre  n,  F^=  o,  de  sorte  que  l'on  a 

F{x„x^,  ...,xJ<o; 

en  effet,  dans  le  cas  contraire,  il  suffirait  d'envisager,  au  lieu  de  la  variété 
Fg=o,  une  variété  d'ordre  n  contenant  à  son  intérieur  la  variété  F^=  o  et  le 
point  ^j,  x,_,  . . .,  a7„  et  de  supposer  que  dans  la  variété  extérieure  à  F^=  o  et 
intérieure  à  la  nouvelle  variété  envisagée,  on  ait  en  chaque  point  s  =  o. 
Désignons  par  {a[^^,a[^\  ...,a(o))  les  systèmes  pour  lesquels  on  a 

Soit  t  une  variable  indépendante  réelle.  Les  n  équations 
o^  =  «S 

permettent  de  substituer  aux  n  variables  «,,  «_,,  ...,  (7„  les  {n  -i-i)  variables 


_  ^(0) 


'k  -  "/.    —  ^  («/"   —  -^A  )  (  A-  =  I ,  2,  .  .  ■  ,  «) 


(')   Werke,  t.  III,  p.  257-258. 

(')   IVcr/w,  I.  I.  p.   399  avec  une  modification  dans  la  notation. 


UEVUK   DliS   PUBLICATIONS.  m 

/,  a"",  rti"\   ...,  <^{/"  <l<»iil  les  //  (IciniiTcs  sont,  lices  pjir  l;i  rcliilion 

Ces  n -{- 1  variables  soiil  les  coorduimécs  de  Claiihiiis  du   pcdiiL  donl  les  cour 
données  rcclangulaires  ordinaires  sont  rt,,  (t^,  ...,  r/„. 

Dans  ce  sjslènie  de  curdonnécs,  niu-  iiilc'-^iah;  quelconque  /?"'''", 


/ 


étendue  à  tous  les  éléments  pour  lesquels  on  a  I\, («,,  a,,  .  .  .,  <-/„  )  <  o,  se  trans- 
forme en 


/^  (,-o"-*i»[«'/"-^(«'."'--2:,),...]f/<  r  V 


'-:    (a'/)-^,)^^i;^.Av 


'^«A 


ôa 


-\/m'--- 


où  t/«'  est  l'élément  de  la   variété  d'ordre  n  —  \^   ^\=  ^^i  défini   par  la  rela- 
tion (') 

et  où  l'intégrale  est  étendue  à  tous  les  éléments  dw  de  cette  variété  d'ordre 
«-i,F„(a(o),  ...,a(0)):=o. 

Kn  appliquant  cette  formule  générale  de  transformation  d'une  intégrale 
quelconque  à  la  somme  des  intégrales  qui  figurent  dans  le  premier  membre  de 
l'équation  de  Poisson  dans  l'espace  à  n  dimensions,  Kronecker  montre  que  l'on 
transforme  ce  premier  membre  en 

i  àF,    , 


^^^         H      ^^='(^0-,^.)f   ^^k«'\-'.^n. 


fc  —  i  /{  =  ! 


\/m--m 


où  l'intégrale  est  étendue  à  tous  les  éléments  dw  de  la  variété  d'ordre  (n  —  )), 
Fg(a',o),  ...,a^o))==  o;  cette  transformation  est  légitime  pourvu  que^  au  point 
X,,  . . .,  a;^  la  fonction  s  soit  continue  dans  toutes  les  directions,  ou  que  si  e  a 
quelque  discontinuité,  cette  discontinuité  ne  modifie  pas  la  valeur  de  l'inté- 
grale d'ordre  {n  —  i)  qui  figure  dans  le  second  membre. 

Mais   on  peut   partager  la  variété  d'ordre    w,    Fg(a,,  ...,a„)<o,  en  deux 
parties  :  celle  pour  laquelle  on  a 

A-  =  n 


2]    («A  —  -^J'-    P'<0 


A  =  l 


(')  Monatsberichte  der  Berliner  Akadcmic;  1868-1869. 


112  SECONDE   PARTIE. 

cl  celle  pour  laquelle  on  a 

p   étant  un   nombre  quelconque  que  l'on  choisira  assez  petit  pour  que,  pour 
tous  les  points  de  la  première  partie,  on  ait  encore  Fj(a,,  .,.,«„)<  o. 
Comme  pour  tous  les  points  de  la  seconde  partie  on  a  manifestement 

il  suffit  de  prouver  l'égalité  de  Poisson  dans  l'espace  à  n  dimensions  pour  les 
points  pour  lesquels  on  a  à  la  fois 

Or,  pour  ces  points,  on  a,  d'après  la  formule  (I), 

k  =  n  k  =  /t  .  ^ 

k=\  k=l 


2p 


où  Xj  {a['^\  . . .,  .r„)  = '- î ,  et  où  l'intégrale  est  étendue  à  tous  les  élé- 

P 
ments  dw  de  la  variété  d'ordre  (n  —  i) 

( «,  —  -3:,  )^  +  (  a,  —  X J^  + . . .  -^  ( r/,.  —  X,.  )=  =  p^ 
On  a  donc,  en  se  reportant  à  la  définition  de  a, 

k  =  n 
k  —  l 

ce  qui  est  bien  la  formule  annoncée. 
L'hypothèse  sous  laquelle  elle  est  établie  est  que  l'intégrale 

f    t[a,o)-tia[o^-xJ,...,  a',^^-t{a)^^-xj]dt 

admette  des  dérivées  par  rapport  aux  variables  a:,,  ...,  .r„.  Par  analogie  avec 
le  cas  où  71  =  3,  on  dira  que  cette  intégrale  est  la  densité  moyenne  du  segment 
dont  l'origine  est  {x^,  . . .,  a7„)  et  l'extrémité  {a\^\  .. .,  a\^)). 

Kroneckcr  a  donc  établi  la  formule  de  Poisson  dans  l'espace  à  n  dimensions 
dans  un  cas  bien  plus  général  que  celui  de  Gauss  ;  Gaiiss  suppose  que  la  den- 
sité elle-même  admet  des  dérivées  dans  toutes  les  directions;  Kronecker  sup- 
pose seulement  que  l'on  puisse  fixer  les  environs  du  point  (x,,  ...,x„)  de 
manière  que  la  densité  moyenne  de  chacun  des  segments  dont  l'origine  est 
(a;,,  ...,  j7„)   et   dont    Textrémité   est   un  quelconque   des  points   limitant  la 


REVUF   niîS   PUBLICATIONS.  ii3 

variété  {l'ordic  //   ainsi  (ix(''C  uciiiiclle    cl(;s  dérivées  partielles  par  rapport  aux 
variables  x, r„. 

A.  Kronrckei'.  --   La  relation  de;  I.cgcndrc.  (()of)-()(>8). 

Les  (lévoloppcmcnts  analytiques  d'Eisenslein  conduisent  non  seulement  à  la 
furnuile  de  transformation  linéaire  de  la  fonction  2r  équivalente  à  la  relation 
de  Legcndre,  comme  Kronccker  l'a  montre  dans  des  Communications  précé- 
dentes, mais  encore  à  la  relation  de  Legendre  elle-même. 

Eiscnslein  a  désigné,  pour  un  entier  positif  quelconque  h,  par  les  symboles 
{h.  II)  et  (A*,o),  les  expressions 

{/i,u)=    lim     lim      > ,y 

m,  Il 

(  /i*,  o  )  =    lim     lim      7 


N  -  00  M  -=  00  --i^  (  niv  -h  nw  )'' 


m.  Il 


Kronecker  pose,  pour  mettre  v  et  w  en  évidence, 

(2,  U)=f^{U,  V,  iV). 

Eisenstein  a  démontré  que  la  fonction 

(2,   ,/)  — (2*,0) 

est  une   fonction  elliptique  de  a;  c'est  la  fonction  p  de  M.  Weierstrass.  Elle 
vérifie  l'équation  différentielle 

où  l'on  a  posé,  pour  abréger, 
on  a  donc 

"-«0=     /  -^ :=rp; 

•^/,(//„.iMv)  2v/(.r  —  «)(r  —  «  )(r  —  «^  ) 

on  a  aussi,  comme  le  montre  Eisenstein, 

-/,/j(//o,  (',  W)    2  v/(r  —  «  )  (  r  —  a'  )  (  jK  —  rt"  ) 

Kronecker  montre,  d'une  part,  qu'en  posant 

a'  —  a 

k-  —  „  j 

a  —  a 

et  en  désignant  par  K  et  E  les  intégrales  complètes  de  première  et  de  seconde 
espèce  correspondant  à  cette  valeur  de  k\  on  déduit  facilement  des  deux  der- 


ii4  SECONDE  PAUTIE. 

nicics  relations,  la  valeur  suivante  du  quoticnl  -, 

'  K 

E        ,         ,   ,  a' 

Y.   -(i-/i-)-f- 


K  a  —  a" 

ainsi  que  les  relations 


V  \ja  —  a"  =  2  K,        w  \/  a  —  a"  =  2  i\\' , 

si  K'  est  l'intégrale  complète  de  première  espèce  de  Legcndre  qui   correspond 
au  module  A'^"  =  i  — A-.  On  a  donc 

j^  -1=  I  —  A^  +  /  (  K  -H  i  K',  2  K,  2  iK'  ). 

E 

Ajoutons  cette  valeur  de  —  à  celle  que  l'on  obtient  en  changeant  /i=  en  k'^; 

on  aura 

E        F' 

jT  H-  T^  =  1+./,  (  K  H-  iK',  2  K,  i  iK'  )  — /,  (  K  —  i  K',  —  2  /  K',  2  K  ). 

D'autre  part,  Kronecker  démontre  que  l'on  a,  pour  tous  les  entiers  y,  y'  et 
pour  tous  les  entiers  a,  p,  a',  P'  qui  vérifient  la  condition  a^'—  a'p  =  i,  la 
relation 

/,  (  i^  +  y  c  +  y '  (V,  [â' (' —  a' (V,  —  ji  t^ -H  a  tv  )  — /J  w,  ç),  (V  )  = 


v{'^'  V  —  a'iv) 


oîi  il  faut  remplacer  e  par  +1    ou  par  —  i  suivant  que  le   signe  de  la  partie 


w 


réelle  de  — .  est  positif  ou  négatif.  On  a  donc,  en  posant  dans  cette  relation 


VI 


w  =  K-t-ïK';         a  =  o,     ^=—1,     y  =  o;         a'=i,     Jî' —  o,     y'  =  —  i, 
/JK-iK',  -2iK',  2K)-/^(K  +  iK',  2K,  2iK')=  -^, . 

Comparant  les  deux  résultats  obtenus,  on  a  la  relation  de  Legendre 

K'E  +  KE—  KK'=  -. 

2 

Cette  Note  de  Kronecker  est  la  dernière  qu'il  ait  publiée.  Dans  la  séance  du 
22  octobre  1891,  il  communiqua  encore  à  l'Académie  un  Mémoire  Sur  les 
deux  théorèmes  fondamentaux  concernant  la  réductibilité  des  fonctions 
entières  d'une  variable)  ce  Mémoire  devait  être  inséré  dans  les  Abhandlungen 
publiées  par  les  soins  de  l'Académie;  il  n'est  qu'annoncé  dans  les  Sitzungsbe- 
richte. 

La  notice  nécrologique  (')  sur  Kronecker,  publiée  par  M.  II.  Weber,  con- 
tient la  liste  de  toutes  les  publications  de  l'illustre  géomètre. 


(')  Mathematische  Annalen,  t.  43. 


HEVUH  DES  PUBLICATIONS.  ii> 

Gcrhardt  {C.-J.).  —  Leibniz  et  l*ascal.  (loS.^-ioGH). 

On  admet  gôncralcrncnt  que  les  développements  de  l'Analyse  infinitésimale 
ont  eu  pour  point  de  (lé[)ait  la  publication  de  Cavalieri  McLkodus  indivisi- 
biliiim  (i()35).  M.  Gerhardt  ne  partage  pas  cette  opinion.  Il  lui  semble  bien 
plutôt  (juc  ce  sont  les  publications  de  Pasccd  i\n'\  ont  contribué  dans  une  large 
mesure  A  amener  Leibniz  ù  introduire  dans  la  Science  l'aif^oritlime  de  l'Ana- 
lyse infinitésimale.  Son  opinion  repose  sur  des  lettres  inédites  de  Leibniz  qu'il 
cominuniijue  à  l'Académie,  et  sur  certains  passages  des  Mémoires  publiés  par 
les  Malliéuiaticiens  français  du  milieu  du  xvii"  siècle. 

On  sait  que  l'algorithme  de  l'Analyse  infinitésimale  a  été  employé  par  Leibniz 
pour  la  première  fois,  pendant  le  séjour  qu'il  fit  à  Paris  avec  Tchirnhaus 
(septembre  i()75  à  novembre  1G7G).  Or  parmi  les  lettres  de  Leibniz  à  Tchirn- 
haus, il  en  est  une  très  importante,  encore  inédite,  datée  de  1679  et  donnant  une 
description  détaillée  des  études  faites  par  Leibniz  pendant  son  séjour  à  Paris; 
c'est  la  dernière  lettre  d'une  première  série  de  lettres  échangées  entre  Tchirnhaus 
et  Leibniz.  Leibniz  y  dit  expressément  qu'il  a  été  amené  à  faire  ses  premières 
découvertes  d'Analyse  infinitésimale  à  la  suite  de  l'étude  des  Lettres  dans  les- 
quelles Pascal  a  donné  la  solution  des  questions  concernant  les  propriétés 
de  la  cycloïde,  que,  sous  le  nom  de  Dettonville,  il  avait  posées  lui-même  à  ses 
contemporains. 

On  retrouve  d'ailleurs  la  môme  affirmation  de  Leibniz  dans  une  lettre  à 
l'Hospital  datée  de  lOcj'î,  dans  le  post-scriptum  d'une  lettre  à  Jacques  Bernoulli 
datée  de  1708,  enfin  dans  le  Mémoire  Historia  et  origo  Calculi  dijjerentialis 
publié  dans  les  dernières  années  de  sa  vie. 

II  importe  de  remarquer  que  tous  les  problèmes  résolus  par  Pascal  et  dont 
parle  Leibniz,  tant  ceux  de  la  célèbre  lettre  de  i658  adressée  par  Pascal  à  Car- 
cavi,  que  ceux  que  Pascal  avait  joints  aux  précédents  en  publiant  cette  lettre 
en  1G59  sous  le  titre  de  Traité  général  des  roulettes  et  que  ceux  qui  font 
l'objet  des  cinq  Notes  devant  servir  d'introduction  à  ses  solutions,  sont  résolus 
à  la  manière  des  anciens  et  sans  que  l'on  trouve  dans  leurs  solutions  la 
moindre  trace  de  l'emploi  des  méthodes  de  Descartes. 

Les  découvertes  de  Descartes  n'ont  donc  exercé  aucune  influence  sur  les  pre- 
mières découvertes  de  Leibniz  dans  le  domaine  de  l'Analyse  infinitésimale. 
Quand  Huygens,  qui  déjà  avait  engagé  Leibniz  à  étudier  les  Mathématiques  et 
à  prendre  en  particulier  connaissance  des  Lettres  de  Pascal,  engagea  Leibniz  à 
prendre  connaissance  des  Méthodes  de  Descartes,  Leibniz  possédait  déjà  une 
méthode  générale  permettant  de  quarrer  toutes  les  surfaces  de  révolution.  Et 
cette  méthode,  comme  Leibniz  le  fait  d'ailleurs  remarquer  lui-même,  est  la 
méthode  même  employée  par  Pascal  pour  quarrer  la  sphère,  dans  l'une  des 
cinq  Notes  dont  nous  venons  de  parler. 

A  l'appui  de  sa  thèse,  M.  Gerhardt  communique  à  l'Académie  la  première 
Partie  d'un  Manuscrit  de  Leibniz  ayant  pour  titre  :  Ex  Dettonvillaneo  seu 
Pascalii  Geometricis  excerpta  :  cum  additamentis .  Ce  Manuscrit  est  sans 
date,  mais  tout  porte  à  croire  qu'il  a  été  écrit  immédiatement  après  la  ren- 
contre de  Leibniz  et  d'Huygens,  en  1673. 

Mais,  dans  son  grand  Mémoire  de  167.5,  daté  des  25,  26,  29  octobre  et  i"  no- 
vembre et  intitulé  :  Analysis  tetragonistica  ex  centrobarycis,  Leibniz,  tout 
en  se  rattachant  immédiatement  aux  cinq  Notes  de  Pascal,  fait  usage  des  ré- 
sultats obtenus  par  Descartes.  C'est  le  29  octobre,  qu'il  emploie  pour  la  pre- 


•  iG  SECONDE  PARTIE. 

micrc    fois   le    symbole     /    r.l  qu'il  cfrccLuc  les  premières  intégrations;  ii  dé- 

Signe  d  abord  par  ^  la  difTcrenliclIc  de  y,  mais,  dès  le  1 1  novembre  de  la  même 
année,  il  fait  usage  de  la  notation  dy  pour  designer  cette  différentielle. 

Weierstrass    (A.).   —    Nouvelle    démonstration    du    théorème  : 
Tout  polynôme  entier  en  x  peut  être  mis  sous  la  forme  dUin 
produit  de  facteurs  linéaires  en  x.  (io85-i  loi). 

En  iSSg  et  en  18G8,  M.  ^^eierstrass  a  communiqué  à  l'Académie  une  nou- 
velle démonstration  du  théorème  fondamental  de  l'Algèbre;  cette  démonstra- 
tion difTère  essentiellement  de  toutes  celles  qu'on  a  données  jusqu'ici. 

On  commence  toujours  par  démontrer  que  tout  polynôme  entier  en  x  s'an- 
nule pour  une  valeur  au  moins  donnée  à  la  variable  x)  on  en  conclut  aisément 
que  ce  polynôme  s'annule  pour  autant  de  valeurs  données  à  la  variable  x,  que 
l'indique  son  degré,  pourvu  que  son  discriminant  ait  une  valeur  différente  de 
zéro;  lorsque  le  discriminant  du  polynôme  est  nul,  on  met  d'ailleurs  le  poly- 
nôme entier  en  x,  au  moyen  d'un  nombre  fini  d'opérations  rationnelles  sous 
forme  d'un  produit  de  polynômes  entiers  en  a;  à  discriminants  différents  de 
zéro. 

L'existence  des  racines  une  fois  assurée,  on  donne  des  procédés  qui  permet- 
tent de  calculer  ces  racines,  dans  chaque  cas  particulier,  avec  autant  d'approxi- 
mation que  l'on  veut. 

M.  Weierstrass  s'est,  au  contraire,  proposé  de  donner,  sans  supposer  au 
préalable  que  l'on  ait  démontré  l'existence  des  racines,  un  procédé  permettant 
de  former,  au  moyen  des  coefficients  d'un  polynôme  entier  en  x,  des  expres- 
sions qui,  substituées  à  la  variable,  annulent  ce  polynôme. 

Si  l'illustre  géomètre  ne  publie  qu'aujourd'hui  sa  démonstration  du  théo- 
rème fondamental  de  l'Algèbre,  c'est  qu'aujourd'hui  seulement  elle  lui  appa- 
raît sous  sa  forme  définitive,  entièrement  débarrassée  de  toute  considération  de 
continuité  et  ayant  ainsi  le  caractère  purement  arithmétique  que  depuis  de 
longues  années  il  cherchait  à  lui  donner. 

Il  suffit  de  démontrer  le  théorème  pour  un  polynôme  entier  en  x 

f{x)  =  ^"+  C,^"— -h  C,^"-^-^...-)-  C„, 

dont  les  coefficients  sont  rationnels,  réels  ou  imaginaires  et  dont  le  discrimi- 
nant est  différent  de  zéro,  car  cette  démonstration  une  fois  effectuée,  la  dé- 
monstration dans  le  cas  général  est  immédiate. 

M.  Weierstrass  détermine  d'abord  un  entier  positif  o?„  tel  que  si  l'on  envisage 
tous  les  polynômes  entiers  en  x, 

^"-4- A,  ^"-«4-  ,V^jc»-2+..._f_  A,^. 

dont  les  coefficients  rationnels,  réels  ou  imaginaires  A.,  A^,  ...,  A„  différent 
de  C,,  Cj,  ...,  C,.  de  moins  de  d^  en  valeur  absolue,  le  discriminant  de  chacun 
de  ces  polynômes  est  différent  de  zéro;  il  assigne  une  même  limite  inférieure  A^ 
différente  de  zéro,  à  la  valeur  absolue  de  ce  discriminant  pour  tous  les  poly- 
nômes envisagés. 


REVUK  DES   PUBLICATIONS.  n; 

Supposons  que.  l'on  puisse  trouver  //  nombres 

tels  ([u'eii  (lesii;iiant   |i;ir 

.r"  -H  (  r/„  o^,  . . . ,  (i„  ),  X"  -M-  (^/„  ^^, ^^,  ),  .r"-^  -h... -h  {(1^,0^ ,  r/„  )„, 

le  polynôme  entier  en  x  (|ue  l'on  obtient,  en  clévelopp;int  suivant  les  puissances 
(le  .r  le  produit 

les  n  inéj;alilés  (  où  les  deux  barres  indiquent,  comme  dans  tout  ce  qui  suit,  que 
l'on  envisage  la  valeur  absolue,  le  module,  de  l'expression  qu'elles  comprennent) 

1^1  — («.>^.'  •••»«„),!  <d„, 
[C^— (rt,,  a.^,  ...,  ff„)J<d^, 
j 

|C„-(rt.,^^,.  •■■,aj„\<d,, 

soient  vérifiées  simultanément.  Posons  alors  successivement 

9(jc)=  X" +  («,,«,,  ...,  <7„),.-r"-' +  ...  +  ( (2,,  n^,  ...,  rtj„, 
d  o{x) 


9'(x)  = 


d.v 


«=«,—  4^,  a=rt        --/-A-^,  ..  a]^^a„—  '■^^^—^, 

9,  (.r)  :=:  (;r  —  «;  )  (^  —  «;  ) . . .  (.r  —  «;,  ) 

=  X"  H-  («:,  al,  ... ,  r/,;^  ),^"-'  +  ...  +  («',,«;,...,  a;  )„, 

et  continuons  ainsi  de  façon  qu'en   général,   pour   chaque   accent   {'K),  après 
avoir  obtenu  les  nombres 


on  en  obtienne  d'autres 
en  posant 


a'>-i  =  >-ï'- 


/(«r") 


n         -a  .,     ,).-!)- 


r'(«'.r") 


i8  SliCONDF   PARTIE. 

Il  est  facile  de  voir  que,  pourvu  que  l'on  prenne  1  assez  grand,  les  coefficicnls 

du  polynonne 

X"  +  ( «<?'),  «'?>',  . . . ,  «<>->), x"-^  +...  +  ( a'?' ,  «'/>,  . . . ,  «'/,>)„, 

que  l'on  oblienl  en  développant  suivant  les  puissances  de  x  le  produit 

(x-aO))(x-a'}-^)...ix-a']^), 

diffèrent  des  coefficients  C,,  C^,  ...,  C„  du  polynôme  proposé,  d'aussi  peu  que 
l'on  veut,  en  valeur  absolue. 
Il  en  résulte  que  les  n  nombres  définis  comme  sommes  des  séries 

» 


vérifient  les  ?i  équations  simultanées 

(  a?,,  Xj,   .  .  . ,  57 ,^  )_,  =  C^, 

> 

(  '^iJ  '^jl    •  •  •  >  "^»)n  ^^   '-'iil 

et,  par  suite,  que  le  polynôme  entier  en  x 

a;"  +  C,  a:"— +  C^  x"-=  H-- . . .  +  C„ 

s'annule  pour  x  =  x^,  x  =  x,,,  . . .,  x  =  x^. 

2.  Tout  est  donc  ramené  à  montrer  que  l'on   peut  trouver  n  nombres  «,, 
a^,  ...,«„  tels  que  les  n  inégalités 

|C,— (rt,,«^,  ...,aJJ<d^         (v  =  1,2,  ...,«) 

soient  vérifiées  simultanément. 
M.  Weierstrass  s'appuie  à  cet  effet  sur  les  deux  lemmes  suivants  : 

«  Soient 

f^{x)=  x"-h  C(o)^"-'  +  0^^x"-"--h. . . -h  Cjoi, 

/,  (  ^  )  =  a:"  +  Cl  1  >  X"-'  -h  C',1  ^  X"-'  +  ...+  €(/' 
deux  polynômes  quelconques  entiers  en  x,  à  coefficients  rationnels,  réels  ou 


IUîVUIî:    des   PUin.ICATIONS.  iK, 

imit;;iiiair«s,  doiil  les  discrimiiiimls  soiil  dillcrcnls  <Jc  zéro.  l'invisagcons  le  |)(>- 
l\iiniiif  cnlit'r  (Il  ./•  driiiii  |t;ii-  l;i   i(l;ilii»n 

f{.l\   t)  -      I  — :  ]fAx)-A -fAx) 

=  0^»+  C'.^'x"-'  H-  C7'^""'-H.  .  .H-  C'J\ 

(Ml  T  (M  .S-  sont  dos  paraiiu'trcs  ([uciconqucs,  et  où  i  rcpr(iscntc  l'unilc  imaf,M- 
nairc. 

On  p(Mil  doiiiuM-  au  |)araiM(JLrc  s  des  valeurs  r(!'cllcs  rationnelles  /.•  Iclles  que 
le  discriiuinant  du  polynôme  entier  en  x  qu(!  nous  venons  de  désigner  par 
/(.r,  t),  ne  s'annule  pour  aueunc  valeur  réelle  donnée  au  paramètre  t. 

Il  est  essentiel  pour  l'objet  que  l'on  a  en  vue  de  montrer  comment,  dès 
que  l'on  connaît  les  nombres  rationnels 

on  peut,  au  moyen  d'un  nombre  fini  d'opérations  rationnelles,  déterminer 
ce  nombre  rationnel  k.  Pour  la  démonstration  du  théorème  fondamental  de 
r.VIgcbrc,  il  suffit  de  fixer  A"  de  façon  que  le  discriminant  du  polynôme /(^,  t) 
ne  s'annule  pour  aucune  valeur  réelle  de  x  vérifiant  les  inégalités 

o  ^  T  S  I. 
D'autre  part,  on  peut  déterminer  n  nombres  rationnels  positifs 

r      r  r 

tels  que  Ton  ait,  quel  que  soit  le  nombre  réel  x  compris  entre  o  et  i, 

|Cl^>l<r„       |C!7)|<r,,       ...,      |c;pi<r„, 

et  l'on  voit  que  les  nombres  d^  et  A^  du  paragraphe  précédent  ne  dépendent  que 
de  r„  r^,  ...,  r„  et  non  des  coefficients  C'^^',  C!/*,  ...,  C^P  dont  les  valeurs 
varient  avec  le  paramètre  x. 

3.  Ceci  posé,  fixons  arbitrairement  n  nombres  rationnels  inégaux  réels  ou  ima- 
ginaires 

/7(0)  /7{0)  /yfO) 

prenons  pour  le  polynôme /g( a;)  du  paragraphe  précédent  le  polynôme  entier 
en  X 

/^{x)  =  {x-  «;o))  (^  -  a',o))...{x  -  «(0)) 

el  pour  le  polynôme /,  (:c)  le  polynôme  quelconque  donné  dont  on   veut  dé- 
montrer qu'il  admet  autant  de  racines  que  l'indique  son  degré. 
Donnons  au  paramètre  x  les  valeurs  l'éelles  comprises  entre  o  et  i, 

I        2                    o  —  I 
o,     -,      -,      . . . ,      2 ,      I 

<r  tr  <r  ' 


l'io  SECONDE   PARTIE. 

où  g  est  un  entier  positif  fixé  arbitrairement  de  façon  que  les  n  inégalités 

soient  vérifiées,  et  envisageons  les  nombres 

(V  r=  1,2,  ...,  n), 

qui  correspondent  à  ces  valeurs  données  à  t. 

M.  Weierstrass  montre,  en  s'appuyant  sur  les  deux  lemmes  du  paragraphe 
précédent,  que  l'on  peut  déterminer,  au  moyen  d'un  nombre  fini  d'opérations 
rationnelles,  des  nombres 

«,„     «,,,     ...,     «,„, 

rt„,     r/,,,     ...,     rt^„, 
et  ainsi  de  suite,  enfin  des  nombres 


puis  des  nombres 
puis  des  nombres 


«_,,     rt„ 


tels  que,  en  désignant,  pour  >.  =  i,  2,  . .  .^  g,  par 

le  polynôme  entier  en  x  obtenu  en  développant  suivant  les  puissances  de  x  le 
produit 

(x  —  rt,,  ){x  —  a-)J...{x  —  a^„), 
les  ng  inégalités 


(«X,.«X2'   --M^xJv 


<^^„ 


>v=I,2,    ...,5' 
V  =  I  ,  2  ,   .  .  .  ,  /i 


soient  vérifiées. 

Pour   "k  —  g,  c'est  précisément  le  théorème  auquel  on  avait  précédemment 
ramené  la  démonstration  du  théorème  fondamental  de  l'Algèbre. 

J.  M. 


liliVUK    l)l':S    l'U  HLICATIONS.  iv-i 

i',()MPTI''S  UMNDIJS  m:iM)()M  VDViuKS  dks  skvncks  dk  i/AcvuKiMiK  i)i:s  S(:ii;.\ci:s. 

Toino  CKVIII,  1894  (M- 

/>f///-(t/i(/  {,/.).  —  Noie  sur-  un  problème  de  Mécanique.  (i3-i5). 

iM.  Hcrtrand  rcvi(MU  sur  le  problème,  devenu  classique,  qu'il  a  posé  il  y  a 
près  (le  viiii,'!  ans. 

Ln  point  inalèricl  est  sollicilé  par  une  force  dont  les  composantes  sont  dé- 
lorniinèos  en  fonction  des  coordonnées  de  ce  point,  quelle  que  soit  sa  posi- 
tion. (}uclle  est  la  loi  de  ces  forces  pour  laquelle  le  point,  quelles  que  soient 
les  condilions  initiales,  décrit   une  section  conique? 

L';iuteur  donne  de  ce  problème  une  solution  des  plus  élégantes  dans  le  cas 
où  la  force  est  fonction  de  la  seule  distance. 

Picard  (Em.).  —  Sur  Téqualion  aux  dérivées  partielles  qui  se 
rencontre  dans   la  théorie  de   la   propagation   de   l'électricité. 

(.6-1:). 

.M.  Picard  propose,  pour  intégrer  V équation  des  télégraphistes 

^'^  dt-         ôx^~     ' 

une  méthode  plus  simple  que  celle  de  M.  Poincaré. 
Par  le  changement  de  variables 

1U=X~\-t,  IV  —  X  —  t, 

cette  équation  prend  la  forme 

(2)  -. c-   4-  U  =  o, 

OU  ôv 

et  la  fonction  U  doit  cire  déterminée  par  les  conditions  complémentaires  que 
les  valeurs  initiales  (pour  ^==0)  de  U  et  ses  dérivées  partielles  du  premier 
ordre  soient  données  sur  la  bissectrice  de  l'angle  des  axes,  les  valeurs  données 
n'étant  différentes  de  zéro  que  sur  un  segment  fini  de  cette  bissectrice. 

On  peut  alors  appliquer  la  méthode  d'intégration  de  Riemann,  exposée  dans 
le  tome  II,  p.  71,  des  Leçons  de  M.  Darboux,  si  l'on  peut  trouver  l'intégrale 
de  l'équation  (2),  qui  pour  u  —  u^  prend  la  valeur  i  quel  que  soit  v,  et  pour 
vz=v^\9.  valeur  i  quel  que  soit  u.  Or  on  l'obtient  en  posant 

z  =  {u—  u^){v  —  v^), 

ccqui  donne  pour  U  une  fonction '.p(  2  )  satisfaisant  à  l'équation  de  Bessel, 

d-  z>        d'Z) 
dz^        dz 

(')  Voir  Bulletin,  XIX,  p.  204. 
liull.  des  Sciences  mathc/n.,  Jt"  série,  t.  W.  (Juin  i8(jr).)  l\,^ 


1291 


SECONDH    PARTIE. 


L}i  foraclion  chercliéc  est  une  série  de  Hessel,  el  celle  solulion  permet  de 
discuter  facilement  les  intéo;i-ales  de  ré(iiialioa  (i). 

Cocalesco.  —  Sur  les  expressions  approchées  des  termes  d'ordre 
élevé  dans  le  développement  de  la  fonction  perturbatrice.  (09). 

L'auteur  se  place  dans  le  cas  particulier  qu'a  déjà  considéré  AI.  Poincaré,  et 
reprend  en  la  développant  la  méthode  de  ce  géomètre.  ' 

Llpptnann.    —  Sur  la  théorie  de  la   photographie   des  couleurs 
simples  et  composées  par  la  méthode  interférentielle.  (92-9;). 

M.  Lippmann  donne  la  théorie  mathématique  de  la  photographie  des  cou- 
leurs, phénomène  qui  est  dû  aux  interférences  lumineuses. 

Il  considère  d'abord  le  cas  simple  où  l'impression  est  produite  par  une 
lumière  homogène  de  longueur  d'onde  \,  tombant  normalement  sur  la  couche 
sensible  qui  est  adossée  à  un  miroir.  L'interférence  entre  le  rayon  réfléchi  et 
le  rayon  incident  donne  lieu,  en  un  point  de  la  couche  situé  à  la  distance  z 
du     miroir,    à    une    vibration    stationnaire    dont    l'intensité    a    pour    mesure 

4  sin^— ^ — 
^  A 

Il  en  résulte  au  point  z,  après  développement  de  l'épreuve,  un  pouvoir  ré- 
flecteur .0,  fonction  de  cette  intensité, 


ir^z 
p  =  o  (  sin--- ^ — 


Cela  posé,  si  l'on  éclaire  la  couche  développée  par  de  la  lumière  blanche,  el 
que  l'on  envisage  l'une  des  couleurs  composantes  de  longueur  d'onde  X',  à 
l'entrée  la  vibration  (jui  donne  lieu  à  cette  couleur  a  pour  équation 

t 
X  =  sin2-  -• 


Après  réflexion  sur   un   élément  dz  situé   en   :;,   elle   devient,  à  cause  de   la 
perte  de  phase  due  au  chemin  parcouru  dz, 

(t  1Z\  ,  [\^Z      .  t  l^T.Z  t 

y  =  p  c/;;  sin  12  7U  ( —  \  —  ^  dz  cos—z-r  sin.?- p  dz  sin-^-;-  cos2  7:  -• 

En  intégrant  de  ^  =  0  à  ^  --  Z  (épaisseur  de  la  couche),  on  aura  la  vibration 
résultante  qui  parvient  à  l'œil.  L'expression  de  cette  vibration  a  la  forme 

...27:^  ,,  "iTit 

A  sin -\-  Y  cos ) 

T  T 


ou 


dz. 


X  =r    /      pcos-^^ac,  »=    /      P  sin-^-r 

L'auipliUide  a,  comme  on    sait,   pour   expression  ^''\-4- Y-.  Il   est   plus  corn- 


KKVUI<:    DMS    IHIHMCA  riONS.  iï'J 

iiumIc  (le  (li-Miilcr   l'c  \|)iossinii 

C'^    (        kr,z         .    .    47r2\     , 
\  +  /  ^  =    /      0     cos-^r-i h  i  sin  ---    1  dz. 

.%   '  V       ^^  '^  I 

Si  on  la  parlagc  on  une   somme  d'intc-i^rales  prises   respccti veineiiL  entre  les 

litnilt's  o  et  -  >  -i  et   ->.  -  »   ...,/>-  eL  (/>  -H  i)  -  '  <^n  voit  faeilemenl  (lu'on  peut 
i     1  X  •>.  x  ' 

la   mettre  sous  la  forme 


\  +  Y /  —  {\  -{-  u  -^  u'-[- . . .-{-  ni 
où 

2  11 X  .     .      X-îz'k 

a    =    COS— :r-; h   l   SIU       >  ,       • 

A  A 

Si  V  n'est  pas  égal  à  'k,  le  rapport  --,  est  nécessairement  fractionnaire  à  cause 

A 

de  la  faible  étendue  du  spectre  visible  qui  comprend  moins  d'un  octave.  Dans 
ce  cas  la  somme  i  +  u  4-  m^  -h. , .+  uP-^  reste  finie,  quelque  grand  que  soit  p, 
tandis  que  si  )/ =  \,  cette  somme  est  égale  à  p.  On  arrive  donc  à  cette  con- 
clusion capitale  que  la  couche  sensible  ne  peut  renvoyer  que  la  couleur  même 
qui  l'a  impressionnée. 

On  arrive  à  une  conclusion  analogue  lorsqu'on  suppose  la  plaque  photogra- 
plii(iue  exposée  à  une   lumière   hétérogène. 

Potier.  —  Noie  sur  un  problème  de  Mécanique.  (i02-io4). 

Il  s'agit  toujours  du  problème  de  M.  Bertrand  :  un  point  matériel  étant 
sollicité  par  une  force  dont  les  composantes  sont  déterminées  en  fonction  des 
coordonnées  de  ce  point,  quelle  est  la  loi  de  ces  forces  pour  laquelle  le  point, 
quelles  que  soient  les  conditions  initiales,  décrit  une  section  conique? 

Halphen  et  M.  Darboux  avaient  donné  la  solution  générale  de  ce  problème, 
sans  faire  la  restriction  que  cette  force  est  fonction  de  la  distance  seule. 
M.  Potier  parvient,  par  une  méthode  extrêmement  rapide,  au  résultat  obtenu 
par  ces  deux  géomètres. 

KotelnikoJl'.  —  Généralisation  de  quelques  théorèmes  de  Méca- 
nique, (i  29-1.3  1). 

Si  les  liaisons  d'un  système  de  points  matériels  permettent  un  déplacement 
hélicoïdal  de  tout  le  système,  l'auteur  dit  que  le  système  admet  un  torseur 
virtuel. 

L'auteur  démontre  sur  ces  torseurs  une  suite  de  théorèmes,  généralisant  des 
propositions  connues  de  Mécanique  et  dont  voici  le  premier. 

Si  le  système  admet  un  torseur  virtuel,  la  dérivée  du  moment  du  torseur 
des  quantités  de  mouvement  par  rapport  au  torseur  virtuel  est  égale  au  mo- 
ment du  torseur  des  forces  par  rapport  au  même  torseur  virtuel. 

Lecornu.  —  Sur  le  pendule  k  tige  variable.  (iSa-iSj). 

Le  mouvemenl  pian  dun  [)cu(lule  à  tige  variable  est  régi  par  l'équation  dilky 


124 

rentielle 

(0 


SliCONDH   PAUTIH. 


,6/=  8  cU  d(}  .    ^ 

l  —, h-   2  — -     -; h  if  SIM  0   =  O, 

dt'  dt  dt       ^ 


dans  laquelle  l  désigne  la  longueur  du  pendule  et  0  l'inclinaison  sur  la  verti- 
cale. Si  la  longueur  varie  proporlionnellernent  au  temps  et  que  les  oscillations 
soient  assez  faibles  pour  qu'on  puisse  confondre  sin  6  avec  0,  cette  équation 
se  présente  sous  la  forme 


(2) 


d-  u 


o. 


Celle-ci  s'intègre  au  moyen  des  fonctions  de  Jîessel.  Si  l'on  pose 

?=   V/^J,(2  \/x), 

dx 


l'intégrale  générale  est 


^^  =  A 


,,       rdx 


Les  transformations  bien  connues  qu'on  peut  faire  subir  aux  fonctions  de 
Uessel  permettent,  dans  le  cas  où  les  variations  de  longueur  de  la  tige  sont 
peu  considérables,  d'arriver  à  une  expression  de  l'inconnue  G,  d'où  M.  Lecornu 
déduit  facilement  les  époques  des  diverses  élongations  à  droite  et  à  gauche. 

L'auteur  étudie  ensuite  le  mouvement  conique  d'un  pendule  extensible  tou- 
jours suivant  la  même  loi  de  proportionnalité  l  ^^  a  -\-  bt.  Ce  mouvement 
conique  résulte  de  deux  mouvements  plans  rectangulaires  régis  par  des  équa- 
tions de  la  forme 

(3)  """ 


X 


X 

-\-  w  —  — 
dx'  w'' 


L'intégration  de  cette  équation  se  ramène  à  celle  de  l'équation  (i).  Si  u  dé- 

/dx 
—  )  l'intégrale 

générale  de  (3)  est  (à  un  facteur  constant  près) 


s/ii' 


a  +  ht 

Boussinesq.  —  Intégration  de  l'équation  du  son  pour  un  fluide 
indéfini  à  une,  deux  ou  trois  dimensions,  quand  des  résistances 
de  nature  diverse  introduisent  dans  cette  équation  des  termes 
respectivement  proportionnels  à  la  fonction  caractéristique  du 
mouvement  ou  à  ses  dérivées  partielles  premières.  (162-166). 

Le  problème  que  se  pose  AL  Boussinesq  est,  au  point  de  vue  analytique, 
une  généralisation  dans  l'espace  à  trois  dimensions  de  celui  qu'exprime 
l'équation  des  télégraphistes,  récemment  intégrée  par  ]\L  Poincaré,  puis  plus 
simplement  par  I\l.  Picard. 

Si  l'on  cherche  à  mettre  en  équation  le  problème  de  la  propagation  du  son 
dans  un  milieu  où  le  mouvement  provoque  des  résistances  proportionnelles  au 
déplacement  et  à  ses  dérivées  partielles,  on  parvient  à  une  équation  aux  déri- 


UKVUK  DKS    IMJinJCATIONS.  i-2J 

vccs  parlicllcs  (|iii,  a()i"r<  le  clianf^ciruMil   de  l"oiiclit)ii  l)i('n  ronnii 

pirm!  la  foiiiio 

()'  Il        à'  u        ()'  u        <)'  u    ,    ,  , 

Ot'        dx'        dy'        ôz'        ' 

l^a  mctiioilc  <iiii  conduit  i\I.  IJoussinesci  au  bul  consiste  à  introduire  une 
variable  de  plus  (jue  celles  qui  figurent  dans  la  question,  variable  qui  fina- 
lement doit  recevoir  la  valeur  zéro. 

Pour  simplifier,  l'auteur  suppose  que  le  milieu  vibrant  ait  seulement  deux 
dimensions.  L'équation  à  intégrer  se  réduit  à 

ô^u        ()' u        ()'U    ,    ,  , 

(i)  -r—  = [-■■--  ±  fi k'u, 

^  '  dt'         <)y'        ôz'        ^        ' 

u  et  -7—  devant  se  réduire  pour  t  =  o  à  des  fonctions  connues  f{y,  2),  K(jK,  z). 

M.  Boussinesq  montre  comment  l'intégrale,  pour  ce  milieu  visqueux  à  deux 
dimensions,  se  rattache  à  l'intégrale  relative  à  un  milieu  à  trois  dimensions, 
mais  parfaitement  élastique.  Cette  dernière  est  bien  connue  depuis  l^oisson.  On 
en  déduit  facilement  cette  solution  du  problème  proposé 

M=       —    /     co{-2Atcosa)f{y-\-tcos^,z-j-tcosY,)  — 

-  (T 
2 

/     co('i  A'i  cosa  )  F(  y  +  ^  cos^,  ^ -f- ^  cosy  )  —  ? 

-  T 
2 


2  ~ 


où  les  intégrations  s'étendent  à  toute  l'aire  a  =  4'3r^^  de  la  sphère  décrite  du 
point  (y,  z)  comme  centre,  et  où  le  signe  co  désigne  un  cosinus  hyperbolique 
ou  un  cosinus  ordinaire  suivant  que  la  constante  A^  figure  dans  l'équation  (i) 
avec  le  signe  +  ou  avec  le  signe  — . 

Dans  le  cas  où  une  seule  coordonnée  figure  dans  l'équation  (i),  l'expression 
de  u  se  simplifie  et  devient,  aux  notations  près,  égale  à  celle  qu'a  trouvée 
M.  Poincaré. 

Pellet.  —  Sur  les  équations  et  Jes  fondions  implicites.  (182-183). 

Soit  la  série  entière 

f{x)  =  rtj,  +  a,x  H-.  . .+  a,^x"  H-.  . . 
Si  la  fonction 

a^  4-  a,  a;  + . . .  +  a„_,  x"-  '  —  a„  x"  +  a,,^,  x"+^  + . . . , 

qui  offre  deux  variations  de  signe  et  où  a,  désigne  le  module  de  a,,  est  néga- 
tive pour  les  valeurs  de  x  positives  et  comprises  entre  /•,  et  i\{i\'>  i\),  on 
peut,  comme  le  montre  iM.  Pellet,  former  par  des  procédés  purement  algé- 
briques l'équation  qui  donne  les  n  racines  de  Icquation  f{x)  —  o  comprises 
dans  le  cercle  de  rayon  /•,. 


I/O  SKCONDI-:   l'A  U  IIK. 

Si  Ion  sir|>pus«',   en  oiiln-,  (\\\f  hi   Ioik  liuti 


'.-1-  a. 


,  j;"^"i 


soit,  négalivc  pour  les  valeurs  [tosiiivcs  de  .x'  comprises  entre  /•',  et 
/*,(/'',>  /'î  > /'j ) ,  on  peut  obtenir  alf,M'-l)ri(iiiement  l'équation  qui  admet  pour 
racines  les  n  racines  de  /(.r)— o  comprises  dans  la  ronronne  que  liniilent 
les  cercles  de  rayons  /•',  et  /•!,. 

Boiissinesq.  —  Inlégralion  de  récjiialion  du  son  poiii-  un  (luidc 
liidénul  à  une,  deux  on  liols  dimensions,  (juand  il  y  a  diverses 
résistances  an  inonvenienL;  conséquences  plivsifjues  de  celte 
in tégra lion.  ( 2'>.3 - '.i^S)). 

Par  une   méthode  analogue  à  relie  c|ui   lui   a   seivi    pour   un    milieu   à   deux 
dimensions,  l'auleur  parvient  à   intci^rer  l'équation 


(!) 


ù- U  _  d'  u        ()■  n        ^' '^  _i_  r  ij 


qui  régit  la  propagation  des  petits  mouvements  dans  un  milieu  à  trois  dimen- 
sions doué  d'une  résistance  proportionnelle  au  déplacement  et  à  ses  dérivées 
premières. 

Si  l'on  désigne  par  U  (  !^  )  la  série  de  Bessel 


U(î;)=i±7; 


i-.i-' 


■3 


la  solution  de  l'équation  (i)  sera  donnée  par  la  fornuile 


(I, 


'x')d-z 


d 
dx. 


o  (or-l-  TC0sa,j' 


cos,3,  ;;-f-TCosy)  -^ 


dis 


-h  -r—    /      U  (/.-'^'  — /.'T-')  c/t-t-   /   <l>(j:-r-TCosa,  r-T-Tcos|i,c  +  'rcosY)  ^^^» 
où   les   intégrations     /     s'étendent    à   toute   l'aire    <3~!\r.t'    d"unc    sphère    de 

'    (7 

centre    [x,  y,  z)   et   dont   les  divers   points  sont  les  extrémités  de  rayons    t 
faisant  avec  les  axes  des  angles  égaux  à  a,  Ji,  y. 

Cette  formule  montre  qu'un  ébranlement  se  propage  avec  la  même  vitesse 
que  s'il  n'y  avait  pas  de  résistance,  c'est-à-dire  que  si  k  était  nul.  Mais  une 
fois  que  le  mouvement  a  atteint  un  certain  point,  il  y  persiste  indéfiniment. 
Les  ondes  en  s'avançant  ont  un  front  bien  déterminé,  mais  une  queue  sans 
limite  précise.  M.  Poincaré  avait  déjà  reconnu  cette  influence  de  la  viscosité 
du  milieu  dans  le  cas  particulier  qu'il  avait  étudié. 

Dejf orges.  —  Anomalies  de  la  pesanteur  présentées  par  le  con- 
tinent nord  américain.  (22()-23o). 

Des  mesures  récentes  du  commandant  DelForges  et  d'un  certain  nombre  de 
nicsures  plus  ancienne^  il    résulte  (|uc    le  liltoi-al  d'une  même  u>er  parait  pos- 


HliVUK    l)i:S   PUliMCAilONS.  177 

si'iltr  iiiif  |H--^,iii  Ic'ii  i-  ciriiclt  ri>l  i(|iic  ddiil  Li  \iiriiilinn,  le  Ion;;  de  cr,  lilloial, 
siiil  assez.  «îxiicleniciil  Li  loi  du  sinus  (Uiit('"  de  la  hilihidc,  «'iioncée  par  ("Jairaut. 
Mais,  d'im  c.ùic,  les  îles  (|iii  s'élèveiil  aiidcsstis  des  <iiiix  profondes  p  ré  se  11  le  ri  L 
un  excrs  eoiisidéraldo  de  posanleiir;  de  ranire,  mii-  l'aneicn  eonlinent,  on 
conslalc  un  di'l'aiil  de  la  ^ravih-  (|ni  (diil  rrha  la  rue  l'excès  des  Iles  de  l'Ocf-an. 
('•race  à  son  pendule  ri'versIMe  iiivirsable,  M.  heiïorf^es  \  ien  L  de  eonslater 
(|ne  le  iiou\eau  conlineril  coniuK;  l'ancien  piésenle  ceLIc  anomalie  n<'';alive  de 
la  pesauleur  Celle  anomalie  sur  le  liant  plaleaii  aiiM'iicain  (;sl.  à  peu  près 
eijale  el  de  si;;n('  eoniraire  aux  anomalies  des  iles  (|iii  sur}.;issenL  de>>  grandes 
profondeurs  du  l*aei(i(|nc  el  de  r\llanli(jiie. 

Lucits  il'"').  —    l^'ludc  (le  rélasll('llé  dos  inélaiix.  ('a32). 

L'anUMir  présenle  un  cotii-l  résumé  du  Mémoire  (|u'il  a  soumis  à  l'ajjproba- 
lion  de  l'Acadt-mie. 

(^uand  on  lire  sur  une  barre  de  fer  ou  d'aeicr  recuit  jusqu'à  quelle  menace 
de  se  rompre,  on  peut  observer,  dans  les  phénomènes  qu'elle  présenle,  trois 
périodes  successives  : 

1°  Période  crélasticité,  caractérisée  pai-  le  retour  de  la  barre  à  sa  longueur 
primitive  lorsqu'on  supprime  l'effort  de  traction; 

->"  Période  d'écoulement^  caractérisée  par  la  disparition  momentanée  de 
rélaslicilé  de  la  barre  et  la  production  d'un  allongement  permanent; 

.3°  Période  mixte,  pendant  laquelle  on  voit  se  produire  simultanément  un 
allongement  élastique  et  un  allongement  permanent. 

A  la  lliéorie  connue  de  la  période  d'élasticité  M.  F.  Lucas  ajoute  deux 
lliéories  nouvelles  relatives  à  la  période  d'écoulement  et  à  la  période  mixte. 
Ces  lliéories,  conformes  aux  faits  observés,  sont  fondées  sur  le  principe  de  la 
conservation  de  l'énergie  et  sur  la  répartition  du  travail  mécanique  en  énergie 
potentielle  el  en  énergie  calorifique. 

JaneC  (A.).  —  Sur  la  sommation  rapide  de  cerlaines  séries  peu 
convergentes  (séries  liarmoniques  alternées).  (239-240). 

Les  séries  de  la  forme 

S  = 


a  -\-  \b 


sont   convergentes  quand  b  est  positif,   mais   leur  convergence  est   très   lente 

.  r  ^ 

(|uand  le  rapport  -  est   petit. 


a 
Va\  rciiiarciuaiil  (|uc 


on  voit  que  l'on  a 


-=    I      X  dx\ 


/^"-  b 


X 


=  7    /         "^       dx. 


i:a8  seconde    PAKTIK. 

l'oiir  calculer  rapidciueiiL  une  valeur  approchée  de  reste,  .M.  A.    Janel  rem- 
place dans  cette  intégrale  par  une  fonction  entière  .5  (^)  telle  que,  entre  o 

et  1,  la  (linercncc '-?(-27)  garde  constannnnent  le  même  signe  et  ne  dé- 

passe  pas  une  valeur  s.  Alors  S  sera  représenté  par 

y    /     x''o(x)  dx, 
avec  i  approximation 


a  -{-  0 
On  trouve  facilement 

3  I 

0{X)—   J  —  X  -\-   J  X^—    ;  X\ 

I  4 

et,  par  suite, 

(^  I  I  3         I  II 

S  = -j —  —  -  

a  -\-  0       a  -h  'ib        f\   a  -{-  '.^b        li  a  i-  .'\b 

avec  une  erreur  inférieure  à 

r       ' 

O.OIOO   ■ • 

a  -h  b 

Pour  atteindre  cette  approximation   par   le  calcul    direct  des  termes,  il    en 
faudrait  au  moins  f)4. 

En  suivant  toujours  la  même  idée  et  remplaçant  par  une  valeur  encore 

plus    approchée,    M.   A.    Janet   obtient,   pour   représenter    S,    une    somme    de 
i3  termes  qui  donne  une  approximation   supérieure  à   celle  qu'on  atteindrait 
en  prenant  250,000  termes  dans  la  série  proposée. 
La  même  méthode  est  applicable  à  la  série 

X  X^  X''  X' 


a  -{-  b        a  ~T-  2  b        a  -h  -i  b        a  -{-  l\b 

Il  est  curieux  que  l'approximation  — ^— r  >  pour  un  nombre  donné  de  termes 

a-\-  b    ^ 

utilisés,  ne  dépende  pas  de  la  rapidité  avec  laquelle  la  série  converge. 

Denioultn.   —    Sur   une    propriété    métrique  commune    à    trois 
classes  particulières  de  congruences  rectilignes.  (2^2-2^). 

Les  congruences  que  JM.  Demoulin  considère  sont  : 

i"  Celles  qui  établissent  une  correspondance  entre  une  famille  d'asympto- 
tiques  appartenant  à  l'une  des  nappes  de  la  surface  f(jcale  et  une  famille 
d'asyiuptotiques  appartenant  à  l'autre  nappe; 

2°  Les  congruences  sur  les  tieux  nappes  de  la  surface  focale  desquelles  les 
lignes  de  courbure  se  cori'cspondent  ; 

3°  Les  congruences  telles  que  les  lignes  asymptoliques  de  lune  des  nappes 
de  la  surface  focale  correspondent  aux  lignes  de  courbure  de  l'autre  nappe. 

Ces  trois  classes  de  congruences  jouissent  du  ne  propriété  int'Mriquc  remar- 
quable déjà  rencontrée  dans  divers  cas  particuliers  par  llalpiicn  et  Hibaucour. 


KIIVUI':    1)1-; s   lUIlUJCATIONS.  I  >9 

cl  iHic  M.  hciiiDiiliii  (li'iMoiil  11-  (rime  iiiiiiiit  r«;  i;t''n«  raie  en  s"a|)|)iiyaiil  sur  ccr- 
liiiiios  roriiiules  rcliilivcs  aux  siirruccs  rc^lc'cs  : 

Soient  S  cl  S'  les  deux  nappes  (\r  la  siiiface  locali;  de  I'uik;  des  coni^iuciicos 
ru  (|ucslion  ;  une  droilo  (|ucl(<)ii(|  ne  de  (('lie  cotijçrueiice  louclic  S  en  M  el  S' 
en  M';  les  plans  focaux  lelalifs  à  cette  droite  font  entre  eux  rarif,'le  V.  Si  li,, 
H  sont  les  rayons  de  courbure  principaux  de  S  en  AI,  et  l{\,  !{'.  ceux  de  S' 
en  M',  on  a 

i{,i{ jr,  w,  sin^v  --=  mr\ 

/>()(fssi/)(\sf/.  —  Complément  à  une  préccdcnle  INolc  :  6';//'  la 
propagation  du  son  dans  un  Jluide  soumis  à  des  résistances 
diverses;  dclerminallon  analytique  du  problème.  (271-2^6). 

l'oui-  coMiplc'tcr  r(:lu(le  de  r(*(iuation 

()t^         dx'-        ôy        àz'       ^        ' 

M.  Houssincsq  prouve  quelle  détermine  coniplcleincnt  la  suite  des  valeurs 
de  la  fonction  continue  u  aux  diverses  époques  t,  dès  que  Ton  se  donne  la 
valeur  initiale  '-p(^,  j\  z)  pour  t  =  o,  ainsi  que  celle  *(-2^>  J'i  ^)  de  sa  dérivée 
première  par  rapport  à  t. 

Cosserat.  —  Sur  des  congruences  rectilignes  et  sur  le  problème 
de  Ribaucour.  (335-33j). 

Î\I.  Cosserat  établit  la  proposition  suivante,  réciproque  de  celle  qui  a  été 
énoncée  par  Hibaucour  et  démontrée  par  M.  Bianclii. 

Pour  qu'une  congruence  établisse  une  correspondance  cnlre  les  asympto- 
tiques  des  deux  nappes  (F,)  et  (F^)  de  la  surface  focale,  il  faut  et  il  suflit  que 
le  produit  des  quatre  rayons  de  courbure  principaux  des  surfaces  (F,),  (F^) 
aux  points  correspondants  F,,  F„  soit  égal  à  la  quatrième  puissance  du  quo- 
tient de  la  distance  de  ces  deux  points  par  le  sinus  de  l'angle  des  plans 
focaux. 

En  terminant  l'auteur  appelle  l'attention  sur  une  question  posée  par  Ribau- 
cour : 

Etant  donnée,  entre  deux  surfaces  (A)  et  (B),  une  correspondance  telle 
qu'il  existe  une  sphère  tangente  à  ces  deux  surfaces  aux  points  correspon- 
(lanls  A  et  iî,  dans  quel  cas  une  pareille  correspondance  peut-elle  fournir  une 
l'eprésentatiijn  conforme  de  Tune  des  surfaces  sur  l'autre? 

Denioulin.  —  Sur  une  pi^opriété  caractéristique  de  l'élément  li- 
néaire des  surfaces  spirales.  (33^-340). 

Soient  (S)  et  (S,)  deux  surfaces  qui  se  correspondent  par  orthogonalité  des 
éléments,  M  ri  M^  deux  points  correspondants. 

Si  les  droites  MM,  sont  tangentes  à  la  surface  (S),  celle-ci  sera  applicable 
sur  une  surface  spirale.  Son  clément  linéaire  ayant  été  ramené  à  la  forme 

i  I  )  rfi-'  =  c^-"  13  (ji  )  (  dx'  -\~d'^'). 


i3o  SHCONDIi:    PAUTIK. 

les  (huiles  M.M,  seroriL  laiigonlcs  aux  lignes  jj  --  coiisl  ,  et  un  |)<tint  (luelconquc 
IM,  (le  (S,)  sera  le  centre  tic  coiirbnre  géo<Jésique  en  I\I  de  celle  des  courbes 
a  —  consl.  (|iii  passe  en  ce  ])oint. 

Hcciproqucment,  lorsqu'une  surface  (S)  admet  lélé'nienL  lin(}airc(i)  des  sur- 
faces spirales,  les  centres  de  courbure  g(îodésiquc  des  li<ines  a  =  const.  sont 
silu('es  sur  une  surface  (S,)  qui  correspond  à  (S)  par  ortliogonalité  des  élé- 
ments. Un  point  quelconque  M  de  (S)  a  pour  correspondant  le  centre  de 
courbure  géodésiquc  en  M  de  celle  des  courbes  a  =  const.  (|ui  j)assc  en  ce 
|)oitit. 

1/auteiir  (K-montrc  encore  cette  proposition  négative  :  il  ne  peut  y  avoir 
deux  surfaces  (S)  et  (S,)  (sauf  le  cas  peu  intéressant  du  plan),  qui  se  corres- 
pondent par  ortliogonalité  des  éléments  de  telle  inanière  (jue  les  droites  IVIM, 
(lui  joignent  deux  points  correspondants  soient  tangentes  aux  deux  surfaces. 

BoreL  —  Sur  quelques  points  de  la  théorie  des  fonctions.  {?)/\0- 

342). 

L'auleur  considc-re  les  fonctions  9(2)  représentées  par  une  sthie  de  la  forme 

dans  laquelle  les  a  sont  des  entiers  limités  et  les  A  des  quantités  telles  que  la 
série  SA„  soit  convergente.  On  suppose  que  les  points  a',  dans  le  voisinage 
desquels  se  trouve  une  infinité  de  points  A,  forment  au  plus  des  lignes,  et  que 
les  points  a,  non  situés  sur  ces  lignes,  sont  isolés  ou  ont  des  points  limites 
isolés. 

Les  fonctions  ainsi  définies  possèdent  certaines  des  propriétés  les  plus  impor- 
tantes des  fonctions  analytiques,  considérées  comme  un  ensemble  de  dévelop- 
ments  de  Taylor.  Notamment,  si  de  telles  fonctions  9 (-3)  sont  liées  par  une 
relation  algébrique  vérifiée  pour  tous  les  points  d'une  aire  S,  cette  relation 
est  identique  et  par  suite  vraie  en  tous  les  points  où  les  séries  sont  conver- 
gentes. On  peut  dés  lors  convenir  que  les  séries  'o{z)  représentent  la  même 
fonction  en  tous  les  points  où  elles  convergent;  cetle  définition  n'est  jan)ais 
en  contradiction  avec  celle  du  prolongement  analytique  au  moyen  de  la  série 
de  Taylor.  Ceci  semble  incompatible  avec  un  résultat  singulier  obtenu  par 
iM.  Poincaré,  mais  IM.  Borel  montre  que  la  contradiction  n'est  qu'apparente. 

L'auleur  envisage  ensuite  une  série  9(^),  en  supposant  seulement  que  ht 
série  5lly^A,J  soit  convergente.  Soient  P  et  Q  deux  points  qui  ne  coïncident 
ni  avec  un  point  a  ni  avec  un  point  a  limile  des  points  a,  et  S  une  aire  sim- 
plement connexe  con)prenaut,  à  son  intérieur,  les  points  P  et  Q.  11  est  possible 
de  tracer  une  infinité  non  dénombrable  de  courbes  comprises  entièrement  à 
l'intérieur  de  S,  joignant  les  points  P  et  Q,  et  telles  que  sur  chacune  de  ces 
('oui-l)es  la  série  soit  uniforménicnt  convergente  et  représente  par  suite  une 
fonction  continue. 

M.  Borel  termine  par  des  considérations  sur  les  fonctions  d'une  variable 
réelle,  admettant  dans  un  intervalle  des  dérivées  de  tout  ordre,  sans  être  pour 
cela  développables  en   une  série  de  Taylor. 

il  montre  quune  telle  fonction  peut  être  représentée  dant  tout  cet  intervalle 
par  la    somme  d'une    série  de   puissances   el  dune  série  de   t'ourier.  telles  (juc 


]\  i-;vii  1-;  i)r;s  pi  hijca  i  ions.  iii 

les  ilcriNcc^  d*'  l<"il  milii'  de  l;i  luiiclinii  s'dhl  iciiiicii  I  en  il(  ri\;iiit  \f^  séries 
lertiic  il  tcriiH'. 

I';ii(ii».  on  pciil  ((Hijoiirs  hoiivir  une  foiiclion  de  \iiri;il)lc  iicllc  ayaiiLcIcs 
tlcrivrcs  de  loiil  oidrc  dans  col  itilervallc  dotinc';  cl  Irlh;  (|iio  ses  dérivées  aient 
des  valeurs  doiiiiées  (|iicl(()ii(Hics  pour  un   poiiil   de  riiilnv  aile. 

/)'.  i  /•<>//('.  —   Sur  un   Uiéorùmc  relatif  aux  loricl  ions  liarinunKjUCS 
(le  plusieurs  variables  réelles.  {l\/\'2-^/\^). 

Soil  une  l'oneliou  liaiin()ni(|uc  \  {a:,  y,  z)  de  Irois  variables  rcxlles,  c'esL-à- 
diie  une  fonction  (inie  et  continue,  ainsi  cpie  ses  dérivées  premières  et  se- 
condes en  tous  les  points  de  Tespace,  silués  à  distance  (inie,  et  qui  satisfait  à 
l'ei|iiat  ion 

â'  V        ô'  \        d'  V 

-T H  - —    H ^ —   =  o. 

ax*        Oy^        ôz^ 
M.  d"\rone  montre  : 

1"  ()u'une  fonction  harmonique,  continue  en  tous  les  points  à  distance  finie, 
ne  peut  tendre  vers  l'inlini  positif  et  vers  l'infini  négatif  d'une  manière  diffé- 
renle; 

•1°  (^ue,  si  une  fonction  harmonique  est  telle  que  son  rapport  à  une  puissance 
entière  et  positive  du  rayon  vecteur  ait  pour  limite  zéro  quand  le  rayon  vec- 
teur augmente  indéfiniment,  la  fonction  se  réduit  à  un  pol3nome. 

Kn  rapprochant  ces  deux  propositions,  on  obtient  ce  théorème  général  : 
Si  une  fonction  harmonique  est  telle  que  son  rapport  à  une  puissance  entière 
et  positive  du  rayon  vecteur  ne  varie  pas  entre  l'infini  négatif  et  l'infini  posilif 
quand  le  rayon   vecteur  croît   au  delà  de   toute   limite,  la   fonction  doit  néces- 
saiiement  se  réduire  à  un    polynôme. 

Picard  [Eni.).  —  Sur   les   équations   linéaires  du  second  ordre 
renfermant  un  paramètre  arbitraire.  (3y9-383). 

M.  l'icard  étudie  ré(|uation  linéaire  du  second  ordre 

cl-  y 

(0  ^  +kK{x)y  =  o, 

où  h  est  une  constante  et  S.{x)  une  fonction  continue  supposée  positive  dans 
un  certain  intervalle  (a,  b). 

On  montre  facilement  que  les  valeurs  de  k,  pour  lesquelles  cette  équation  a 
une  intégrale  continue  ainsi  que  sa  dérivée  première,  et  s'annulant  pour  x  ^=  a 
cl  X  =  b,  forment  une  suite  discontinue  de  valeurs  positives  A,,  /,„,.... 

L'auteur  donne  le  moyen  d'obtenir,  par  une  suite  de  calculs  réguliers,  les 
termes  de  celte  suite  et  les  intégrales  singulières  correspondantes. 

Pour  cela,  il  envisage  l'intégrale  u  de  l'équation  (i)  qui,  pour  x~a  et 
X  —  b,  pi-eiid  respectivement  les  valeurs  numéri([ues  a/bit/ai/es  A  et  H.  Con- 
sidt'rée  comme  fonction  de  />■,  u  est  une  fonction  uniforme,,  dont  les  points  sin- 
^ulicrs  sont  précisément  /,-,,  A,...,  et  ces  points  sont  des  pôles  simples  de  //. 

f'.ela  posé,   voiej  ciinnuent   on  calculera  l\. 


i3'2  SECONDH  l'AUTlE. 

Tant  que  A  </',î  f>n  aura  pour  a  le  développement 

u  =  ii^-h  uji  -\-. . .+  w„ /r"  4- .  .  . . 

Formant  les  constantes 

on  calculera  A,  par  la  formule 

A-,  =  limHipi. 

La  première  valeur  singulière  A",  étant  obtenue,  on  peut,  puisque  A,  est   un 
|)ùle  de  u,  écrire 


u  = 


-r-h  p,4-  t^,A'+...+  i;,.A:"H-.. .         [  w' =  lim  («^„/:?)], 


A-, 


jusqu'à  A-  =  A\,. 

On  formera  la  suite  des  quantités 


V„=    /      v^{x)v),{x)A{x}dx, 


et  l'on  aura 


A,=  lim--^. 


On  peut  continuer  ainsi  indéfiniment,  et  l'on  aura  A3^  A"^^  .... 

Poincaré.  —  Stir  certains  développements  de  séries  que  l'on 
rencontre  dans  la  théorie  de  la  propagation  de  la  chaleur.  (383- 
387). 

Le  problème  du  refroidissement  d'un  solide  de  forme  quelconque  est  résolu 
quand  on  sait  : 

1°  Former  les  fonctions  fondamentales  U„  qui  satisfont  aux  conditions 

AU„  +  A„U„=  0     à  l'extérieur  du  corps, 

— p-^  4-    AU„=o     à  la  surface: 
dn  " 

2°  Démontrer  qu'une  fonction  arbitraire  V  peut  être  développée  en  série 
de  la  forme 

V  =  A,U,-+- A,U, +...+  A,,U„,  +  .... 

Dans  le  cas  du  cylindre  de  révolution  et  dans  celui  de  la  sphère,  les  fonc- 
tions fondamentales  se  ramènent  aux  fonctions  de  Bessel  ou  mieux  aux  fonc- 
tions 

Ï.3 


(iY'H^)  -  y -1^^ 


9(^)  =  {-]    H~<;)- 


i 


KKVUK    DKS    PUUMCA  riONS.  i3J 

h. IMS  If  cas  (lu  cyliiKlrc,  cIkkiik;  roiicliun  loïKlaiiiciiliilr  11^^  csL  le  itrodiiil  dr 
dois  laclciirs  : 

I"  IvC  prt'inicM-  facteur  est  /-"cos/aw  f)u  /•"  siii // w  ; 

■>°  Le  second  facteur  est  sin  Xc  ou  v.os'k'z,  X,  a'  étant  délinis  par  les  é(|ua- 
lions  transcendantes 

/i  langXa  -l-  X  =  o,         h  eotX'a  —  X' 

{>.n  est  la  longueur  du  cylindre); 

À"  Le  iroisièMiie  facteur  est  la  fonction  9(|j./'),  ij.  étant  une  des  racines  de 
ré(jual  ion   Iranscendante 

!J-'-?'(!J-)  +  (/'  +  /O  ?(!-t)  =  t). 

Dans    le  cas  de   la   sphère,   une   fonction    fondamentale   quelconque  sera   le 

produit  de  /•        ■^,   d'une   fonction    sphérique    d'ordre    n et  de   la  fonction 

9([jL/'),  ij.  ('-tant  cette  fois  racine  de  l'équation 

;x  9'  (  [J.  )  +  I  // H-  //  I  '^  (  p. )  =  (). 

Ici  le  nombre  n  ne  sera  plus  un  entier  quelconque  comme  dans  le  cas  du 
cylindre,  mais  2/ï  sera  un  entier  impair. 

Le  problème  de  refroidissement  d'un  cylindre  ou  d'une  sphère,  de  rayon  i, 
est  alors  ramené  à  montrer  qu'une  fonction  arbitraire  V  de  /•  peut,  entre 
r  z=  o  et  /' =  I,  être  développée  en  série  de  fonctions  cp([x/"). 

C'est  à  cette  démonstration  qu'est  consacrée  la  Note  de  M.  Poincaré. 

Vogt.  —   Sur  les  tétraèdres  conjugués  par  rapport  à  une  qiia- 
drique  et  dont  les  arêtes  sont  tangentes  à  une  autre  quadriqiie. 

(395-397). 

Soient 

i:  =   x^  -h  y""  +  z^'  -h   t-  =0, 

S  =  ax''  +  by""  -h  cz--\-  dt'  =  o, 

X'         y-         z^  V- 

S= hx    -^ 1-    -1=0 

a  0  c  a 

une  quadrique  directrice  2,  une  autre  quadrique  S,  et  la  polaire  réciproque  S' 
de  S  par  rapport  à  "Z. 

S'il  existe  un  tétraèdre  A^  A^  A3  A^  conjugué  par  rapport  à  Z  et  dont  les 
arêtes  sont  tangentes  à  S,  on  sait  que  l'invariant 

<I>  =  a6  H-  rtc  H-  ad  -\-  bc  -\-  hd  -^  cd 
doit  être  nul. 

M.  Vogt  indique  une  méthode  nouvelle  qui  permet  de  retrouver  ce  résullat, 
de  démontrer  la  réciproque  et  de  déterminer  tous  les  tétraèdres  jouissant  de 
la  propriété  énoncée. 

F^es  coordonnées  du  sommet  A,  dépendent  algébriquement  d"ut>  paramètre 
variable  Pi  ;    les  paramètres  p^,  p,,   p,   des  autres  sommets   sont  les  racines  de 


\\  s !■:(:( )Ni)i<:  paktik. 

rr(|uali<jii  IjiciilMqiK!  s\  iiiéliiqiic 


(0 


/(  0,   p,  )  —  A  p'  p"  (  p  +  p,  )  -i-  2  0  f/'  p|  -f-  2  (-)'  '■^'J^  -I-  A'  (  p  -T-  p,  )  —  o, 


(le  sorte  que  les  élémcnls  du  Irlraèdre  sont  des  fonctions  algébriques  de  p,. 
La  relation  pn'cédente  étant  du  genre  2,  on  peut  faire  en  sorte  que  ces  mêmes 
éléments  s'expriment  par  des  fonctions  hyperclliptiques  de  deux  paramètres  w,, 
u^  liés  par  la  relation  Î5f„j(?/,,  u,)- 

De  là  résulte  que  si  l'on  a  p,  —  !''(«,,  n,)  'a  relation  (i)  s'oblient  en  élimi- 
nant u,  u^  entre 

P,==  1^'('^,  ".),         p  ^  !•' (-".,- "J,         -c..(«,>"J"0- 

C'est  la  généralisation  de  cette  remarque,  développée  par  Halphen  à  propos 
des  polygones  de  Poncelel,  que  toute  relation  biquadralifiue  symétrique  entre  p 
et  p,  s'obtient  en  éliminant  «  enlre  p  "/(//)  et  p, -/(?/  + «j,  où  /  est  une 
fonction  elliptique  paiticuliérc. 

Engel.  —  Sur  une  dégénérescence  du  groupe  projeclif  général. 

(397-398)- 

Par  la  transformation  de  contact 


X  —  y  y  ',,  ,  ,,x  ,        X  -h  y 

^.  =  -^ '      y\  =  ti  +  87-  ^^     ^""^  --^  )'      ^'*  =  -tT  ' 

le  groupe  projectif  général  du  plan  se  change  en  un  groupe  de  transforma- 
tions de  contact  dont  les  transforinations  infinitésimales  ont  les  fonctions  ca- 
ractéristiques. 


/ 


'.    X.,  }\,    x\-\-r: ,    }\—  -xj- 


(i)  l  x^{.x\  +r;-)-1.r'.  (.)',-  l-^y^)^  y\{x\-\-y\)^'^x^\^y^-  \xy,Y 
y  (•2^'^  +  r")'+ i<^(^r.- --î^.r'.  )  • 

Ce  dernier  groupe  peut  dégénérer.  Si  l'on  remplace  y ^^  y\  par  at,,  ajj'',, 
qu'on  supprime  le  facteur  X  dans  toutes  les  fonctions  caractéristiques  qui  de- 
viennent divisibles  par  X,  et  qu'on  fasse  alors  )^  =  o,  on  trouve  le  groupe 

(2)    I,  a:.,  j-;,  X'-,  y^-'-xy,,  x%  r>î  +  l^,(^r, -  ^  x,y;j   xu 

qui  est   une  dégénérescence  du   groupe  (i)   et,  par  suite,  du  groupe  projeclif 
général. 

La  méthode  de  M.  Kngel  est  appli("able  au  groupe  projectif  général  d'un 
espace  quelconque. 

Lecornu.  —  Sur  le  iiioiivoiiient  général  de  deux  points  reliés  j)ar 
un  ressorl.  (398-400). 


uKVur:  DKs  puuijca  i  ions.  rjî 

L"f<jii;il  itiii  (lu    iiinii  vriiiciil   i\r   luii   ilc^  deux    |m)|iiI'-.    \,    c-l 

d'ûc         .   dx 

h.iii^    If   c.i^   (l'im   iiioiiN  ciiiciil     |M'ii(liil,iii(\    'f(<)        /isiuif/,    l'inl(''f;r;il  ion    eu 
Ifiiin'N   (iiii^  s'('ll'c(l  ne  s;iiis  (lifli<iil  le  cl ,   en    posiiiil   (o  =.  ^/ [x'-" —  A'^,  on   troiivi; 


JC 


==  e  ^'  ((-  cos  0)  l  -h  G  sin  o)  l  )  h-  A  -^ -^ ~ 7^ i- 


Ce  rôsiiltiit    lucl    (Ml    ('n  idciicn    la    siipcrposil  ion    de  deux   riioii\  (iiicnls    vihrji- 

loirrs.  l/nns"(''t('in(  rapidcniciU  à  cause;  du  fadeur  e   '■' ;  l'aulic,  de  |)('-rio(le  ^ — » 

7 
(■'i;alc  à  celle  du  uioun  ciiionl  de  A,  csl  le  seul  ([ui  suhsislc  au  bout  d'un  tcmj)s 

très   courl.   Ou    réalisera   ainsi    la    transforinaLiou   d'un    mouvement  vibratoire.* 

donne  en  un  mouvement  de  même   j)ériode,  mais  de  piiase  diiïérente. 

l'our  (|ue   l'aniplilude  du    mouvement  du   second    point,  H,  soit  égale  à  celle 

du  liuiuvi'uicnt  de   A,  il  faut  cl    il  suflit  (|ue  l'on  ait  7^=  2  ij.^ — /jA^,  condition 

a 
(|ui  se  réduit  à  A  —  '-  dans  le   cas  où  |j.  —  rj.   Ceci  donne   la   solution    pratique 

de  la  transformation  d'un  mouvement  rectiligne  pendulaire  en  un  mouvement 
circulaire  et  uniforme. 

Poincaré.    —    Sur    l'équalion   des    vibrations    d'une   membrane. 

(147-451). 

M.  Poincaré  démontre  rigoureusement  l'existence  de  fonctions  satisfaisant,  à 
l'intérieur  d'un  domaine  à  trois  dimensions,  à  l'équalion 

\u  H-  kii  =  o 

(où  k  est  une  constante),  et  s'annulant  à  la  frontière. 

Ce  résultat  s'applique  au  cas  d'un  domaine  à  deux  dimensions,  c'cst-à-diie 
au  problème  des  vibrations  d'une  membrane.  M.  Schwarz  avait  démontn'; 
l'existence  du  son  fondamental  d'une  membrane;  M.  Picard,  celle  de  la  pre- 
mière harmonique;  M.  Poincaré  déuiontre  donc  celle  des  harmoniques  supé- 
rieures. 

La  démonstration  s'étend  encore  au  cas  où  la  condition  à  la  limite,  au  lieu 
d'être  u  =  o,  serait 

du        , 

-, h  nu  —  o, 

dn 

c'est-à-dire  au  problème  du  refroidissement  d'un  corps  solide. 

Lindelof.  —  Sur  l'application  de  la  méthode  des  approximations 
successives  aux  équations  diflérentielles  ordinaires  du  premier 
ordre.  (454-457). 

On  considère  une  é(juat:on  différenlielle  du  premier  ordre 

dy 


dx 


--f{x,y), 


l'JG  SKCCNDH  PAKÏIK. 

el  l'on  suppose  que  /(.r,  y)  soil  finie  et  eonlinue  pour  loules  les  valeurs 
réelles  de  x  et  y,  salisfaisanL  aux  inégalités  \  x  \  <  ci,  \y  \  <  0,  el  qu'il 
existe  une  constante  |)osilive  /.   telle  (jue 

\f{-^,y)-/{^,y)\  </'-iy-r  I  • 

Pour  trouver  l'inlégrale  de  rcquation  (i)  qui  s'annule  pour  x  =  o,  on  aura, 
d'après  la  méthode  de  M.  IMcard,  à  former  une  suite  de  fonctions  y^,  y.^,  ..., 
y,,  définies  par  les  é(|uations 

^' =/(-,"),      ^^■=/(x,r,)^...,      ^=/(-.r„-.), 

les  constantes  d'intégration  élanL  choisies  de  façon  que  jk,,  y^,  •-.,  JK„  soient 
toutes  nulles  pour  x  —  o.  M.  Picard  démontre  que  la  série 

(0  r,  H-  (r.  -  r  J  +  (  r,  -  r  J  +  •  •  •  ^  (r ,.  -  r„_,  )  +  •  •  • 

converge  uniformément  et  représente  l'intégrale  cherchée  lorsque  x  reste  en 
valeur  absolue  inférieure  à  la  plus  petite  des  trois  ([uanlités 

b         I 
""'     M'     Â' 

M  désignant  le  maximum  de    | /(^,  y  )  ]  pour  I  ^  |  <  «  et    \  y  \  <  b. 
En   modifiant   un   peu   la   démonstration   de  M.  Picard,  M.    Lindelof  montre 

que  le  dernier  terme  —  peut  être  supprime. 

Le  champ  de  convergence  de  la  série  (i)  est,  en  général,  limité.  Toutefois, 
M.  Lindelof  indique  des  cas  étendus  où  cette  série  sera  toujours  convergente, 
et  où  par  conséquent  l'intégrale  restera  finie  et  sera  représentée,  pour  toute 
valeur  de  x,  par  un  même  développement. 

Voici,  dans  le  même  ordre  d'idées,  un  théorème  assez  général  : 

«  /{x,  y)  est  une  fonction  continue  et  positive  pour  a;  >  o,  j'>  o,  et  qui  va 
constamment  en  croissant  ou  constamment  en  décroissant  quand  y  augmente. 
Alors,  si  l'équation  admet  une  intégrale  finie  et  continue  pour  a;  >  o,  celle-ci 
sera  nécessairement  fournie  par  les  approximations  successives  dont  la  suite 
convergera  pour  toute  valeur  positive  de  x.  » 

Picard  [E/n.).    — ■    Observations  sur  Ja  Communication   précé- 
dente. (/\D'j-/\5S). 

M.  Picard  met  à  profit  la  modification  apportée  à  sa  propre  méthode  par 
M.  Lindcl()f  pour  établir  d'une  manière  très  simple  ce  théorème  qu'il  avait 
antérieurement  démontré  d'une  façon  plus  compliquée  : 

«  Si  l'on  applique  les  approximations  successives  an  cas  où,  dans  l't'quation 

la  fonction  /  est  hoh)niorphe  en  x  et  y  à  rintéricnir  des  cercles  C  et  C  de 
ravons(7  el  b  décrits  des  points  x  —  o,  j^  =  o  comme  centres  et  a  pour  module 


%^^  ip.,.r:c 


HKVIII«:    DR  s    lUJIJLICATIONS.  i  ;; 

maxiiiiiiiM    M    il.ms   (Ikiciiii    de  ces    cciclcs,    liiiU'f^r;ilc    N('r;i   ir|ii('s(iil(''(',    |);ir  la 
si'ric 

r.  -+■  ( .»',  —  r,  )  H-  •  •  ■  H-  (  r„  -  r«  -  ,)  +  •••' 

dont  (IiiHuif  Iciiur  t'si   holomorplic  h  riril(  rieur  du  corr.lc  nyanl  l'origine  pour 
contn'   et    un    lavoii    //,  eu  (lésif;naiil   par  h  la  |)lus   pclite  des  deux  quantités, 
h 

Poincdi'r.  —  Sur  la  série  de  Luplacc.  (497-5()i). 

M.  Poinrarc  donne  une  démonstration  cxtrcrncnient  simple  du  théorème  que 
Dirichlet  a  démontré  le  premier  d'une  manière  assez  compliquée  :  une  fonction 
arbitraire  des  coordonnées  d'un  point  sur  une  sphère  peut  être  développée  en 
une  série  de  fonctions  sphériques. 

Dirichlet  n'a  d'ailleurs  pas  défini  avec  une  précision  suffisante  les  conditions 
auxquelles  doit  satisfaire  la  fonction  arbitraire.  M.  Poincaré  les  précise  de  la 
manière  suivante  : 

Il  suppose  la  surface  de  la  sphère  partagée  en  un  certain  nombre  de  régions 
et  chacune  de  ces  régions  limitée  par  un  polygone  curviligne  formé  d'arcs 
analytiques;  dans  chacune  de  ces  régions  la  fonction  arbitraire  à  développer 
est  supposée  analytique,  mais  elle  peut  éprouver  des  discontinuités  quel- 
conques, tout  en  restant  finie,  quand  on  passe  d'une  région  à  l'autre. 

La  démonstration  de  M.  Poincaré  peut  même  être  étendue  à  des  cas  plus 
généraux,  mais  celui-ci  est  le  plus  important. 

Goursat.   —   Sur  les  intégrales   qui   s'expriment   par  des    loga- 
rithmes. (5i  5-5 1  7). 

Abel  a  démontré  que,   si    l'intégrale    /  R{x,  y)  dx,   attachée    à    la   courbe 

X,  y)  ~  0,    s'exprime    par   la   somme   d'un   nombre   fini  de  logarithmes  de 
fonctions  algébriques,  elle  est  nécessairement  de  la  forme 


/ 


R  (a:^  y  )  rf.r  =  A  logM  +  B  logf  -h. . .+  L  log^, 


A,  B,  . . .,  L  étant  des  constantes  et  u,  v,  . . .,  t  des  fonctions  rationnelles  de  x 
et  y. 
La  question    de    reconnaître  a  priori   si    l'intégrale    /    R{x,  y)  dx   peut 

s'exprimer  ainsi  est  très  difficile,  mais  on  peut  décomposer  ce  problème  en 
plusieurs  autres. 

On  peut  d'abord  réduire  à  un  nombre  minimum  s,  le  nombre  des  logarithmes 
qui   figurent  dans  l'expression  de  l'intégrale  proposée. 

Pour  achever  le  problème,  il  faudrait  déterminer  les  s  fonctions  rationnelles 
sur  lesquelles  portent  ces  logarithmes.  Cette  détermination  ne  comporterait 
que  des  difficultés  algébriques  si  l'on  connaissait  un  certain  nombre  entier  M 
ou  du  moins  une  limite  pour  ce  nombre.  Malheureusement  il  ne  semble  pas 
possible,  en  général,  de  trouver  une  telle  limite,  ni,  par  suite,  de  résoudre  le 
problème  par  des  opérations  dont  la  fin  soit  assurée. 

Bull,  des  Sciences  matliém.,  1*  série,  t.  XX.  (Juillet  1896.)  R.io 


i3S 


SKCONDH  PAirriH. 


D^Ocagne.  —  Sur  la  composition  des  lois  crerieiirs  de  silualion 
d'un  point.  (5i'^-5sio). 

Ktant  données  les  lois  de  probabilité  /?,,  p^,  •••■,  P„  des  erreurs  de  situation 
d'un  point  sous  l'influence  de  n  causes  isolées,  quelle  est  la  loi  de  probabi- 
lité p  des  erreurs  lorsque  ces  n  causes  agissent  simultanément,  mais  indépen- 
damment les  unes  des  autres? 

Cette  question,  depuis  longtemps  résolue  dans  le  cas  des  erreurs  linéaires, 
ne  semble  pas  avoir  encore  été  traitée  dans  le  cas  du  plan.  M.  d'Ocagne  donne 
de  ce  dernier  cas  une  solution  très  simple. 

Supposons,  pour  simplifier,  qu'il  n'y  ait  que  deux  causes  d'erreurs,  les  pro- 
babilités /?,,  /?3  sont  exprimées  par  la  formule 

/?..  =  ^  e-(«.-^"+"?.^y+ï,y'  ^  dx  dy        (  i  =  i ,  ;?  ) , 

où  a.,  Pp  y  ,  5,   sont  des   constantes  connues.   Alors    la   probabilité  p  a   pour 
expression 

s» 

/?  =  -  e-("'''+»?'-y+-i:y')  dx  dy, 
OÙ  les  coefficients  a,  [â  y,  5  ont  les  valeurs  suivantes  : 


!^  = 


D 

3. 

?, 

+  5, 

P. 

I) 

0, 

,T. 

+  3, 

T. 

D  =  (a,^-aJ(y.+  yJ_(?,-^;iJ^ 


D 


0^  = 


I) 


On  remarquera  que  ces  formules  permettent  d'obtenir,  dans  le  cas  des  erreurs 
linéaires,  d'une  manière  très  simple  et  très  rigoureuse,  le  théorème  qui  fait 
connaître  le  carré  de  l'erreur  probable  résultante  comme  somme  des  carrés 
des  erreurs  probables  partielles. 

André  {D.).  —  Sur  le  triangle  des  séquences.  (Sno-ô^S). 

L'auteur  considère  une  permutation  quelconque  des  n  premiers  nombres; 
sur  n  ordonnées  équidistantes,  il  porte,  à  partir  de  l'axe  des  abscisses,  des  lon- 
gueurs proportionnelles  à  ces  nombres;  il  joint  enfin  par  un  trait  l'extrémité 
de  chacune  de  ces  longueurs  à  l'extrémité  de  la  suivante.  On  obtient  ainsi  une 
ligne  brisée  de  /i  —  i  côtés  qu'on  peut  regarder  comme  composée  de  suites  al- 
ternatives de  côtés  tous  montants  ou  tous  descendants.  Chacune  de  ces  suites 
est  une  séquence,  montante  ou  descendante,  de  la  permutation. 

Les  permutations  des  n  premiers  nombres  peuvent  être  partagées  en  deux 
espèces  suivant  le  nombre  pair  ou  impair  de  leurs  séquences.  A  l'aide  de  la 
formule  fondamentale 


*P. 


,-,,.+ 2P«-.,»-.+  ('^-*)P»-.,.- 


ni'VlIK    DFS   IMIIUJCAÏIONS.  i  Wj 

où   l\^  ,  csl   le  iioinbre  des   pcrintiUilions  qui  présciilciil  //  s('(|iiciicc'S,  on  con- 
struit le  triangle  des  séquences 

2 

■Jt        l?.        10 

•i     28     58     32, 


où  P„  ,  se  trouve  à  la  rencontre  de  l.i  colonne  de  rang  s  avec  la  ligne  de  rang 
n  —  I. 

Kn  éludianl  ce  triangle,  M.  André  a  découvert  de  nombreuses  propositions, 
dont  il  énonce  les  principales. 

Moureaux.  —  Sur  un  corollaire  du  ihéorùme  de  Catalan.  (700- 
701). 

Ce  corollaire,  plus  général  que  le  théorème  lui-même,  est  le  suivant  : 
Si  l'on  élève  une  somme  de  n  carrés  à  une  puissance  qui  soit  puissance  de  2, 
on  obtient  encore  une  somme  de  n  carrés. 
Si  cette  puissance  est  2,  on  obtient  le  théorème  de  Catalan. 

Picart  (L.).  —    Sur  le  mouvement  d'un  système  de  forme  va- 
riable. (733-736). 

Le  système  envisagé  par  l'auteur  est  formé  par  un  corps  solide  de  révolu- 
tion composé  de  couches  concentriques  homogènes  et  un  point  matériel  P  mo- 
bile par  rapport  au  solide.  La  résultante  des  forces  extérieures  est  supposée 
passer  par  le  centre  de  gravité  général. 

M.  L.  Picart  étudie  les  effets  du  déplacement  du  point  P  sur  le  mouvement 
du  solide    II  divise  le  problème  en  trois  : 

1°  Le  point  P  a  sa  vitesse  relative  dirigée  vers  le  centre  du  solide.  En  par- 
ticulier, le  point  P  se  déplace  dans  le  plan  de  l'équateur.  Si  la  rotation  du  so- 
lide est  assez  lente,  le  déplacement  de  P  a  pour  résultat  une  variation  dans  la 
durée  de  la  révolution,  sans  déplacement  sensible  de  l'axe  de  rotation. 

2°  Le  point  P  tourne  autour  de  l'axe  de  révolution.  Le  résultat  relatif  à  ce 
cas  peut  être  étendu  au  cas  où  il  y  a  plusieurs  points  P  tournant  avec  une  vi- 
tesse commune,  et  peut  se  formuler  ainsi  :  si  un  solide  de  révolution  est  re- 
couvert d'une  protubérance  tournant  autour  de  son  axe,  le  mouvement  des 
axes  principaux  du  système  sera  de  même  nature  que  s'il  était  tout  entier  so- 
lide. 

3°  Le  point  tourne  autour  d'un  axe  couché  dans  l'équateur  du  solide.  Si  la 
vitesse  de  rotation  est  suffisamment  petite,  la  rotation  des  axes  principaux 
aura  nne  direction  et  une  grandeur  sensiblement  constantes  dans  l'espace. 

Wœlsch.  —   Sur  le  premier  invariant  différentiel  projectif  des 
congruences  rectilignes.  (736-737). 


i4o  SECOND  K    PAinilî. 

M.  Waeisch  fait  connaître  deux  moyens  pour  obtenir  l'invariant  du  deuxième 
ordre  d'une  congruence  pour  le  groupe  projcclif  : 

1°  Soient  M,  M'  les  deux  points  focaux  d'un  groupe  G  de  la  congruence;  P, 
P'  les  plans  focaux.  On  considère  le  faisceau  de  rayons  qui  passent  par  M  et 
sont  situés  dans  P'.  A  chaque  point  de  la  surface  focale  correspond  ainsi  un 
faisceau;  les  faisceaux  correspondant  aux  points  voisins  de  M  se  trouvent 
dans  un  complexe  linéaire  C.  Pour  le  point  M',  on  trouve  par  le  même  pro- 
cédé le  complexe  linéaire  C  Ces  deux  complexes  C,  C  ont  un  rapport  an- 
harmonique  8,  qui  est  le  seul  invariant  dijférentiel  du  deuxiètne  ordre  de 
la  congruence  pour  le  groupe  projectif. 

2°  La  surface  focale  de  la  congruence  a  deux  tangentes  asymptotiques  au 
point  M  et  deux  au  point  M'.  On  a  alors  quatre  rayons  de  la  congruence  voi- 
sins du  rayon  g  et  pour  lesquels  un  des  points  focaux  se  trouve  sur  une  de 
ces  tangentes  asymptotiques.  Ces  quatre  rayons  ont  un  rapport  anharmo- 
nique  5'  lié  à  Ô  par  la  relation 

6  — i\»      /8'— 1 

-I- 


Ô+T/  \8'-f-I 

L'invariant  projectif  s'exprime  simplement  par  des  invariants  différentiels 
pour  le  groupe  de  mouvement.  Si  D  est  la  distance  de  deux  points  limites  du 
rayon  g,  et  si  R,,  R^,  R', ,  R'.  sont  les  rayons  de  courbure  principaux  de  la  sur- 
face focale  aux  points  focaux  M,  M',  on  a  la  relation 

r,r,r'.r; 

'=  D^ ' 

qui  pour  5  =  i  donne  la  propriété   des  congruences  de  Ribaucour  récemment 
signalée  par  MM.  Demoulin  et  Cosserat. 

Picard i^E m.).  —  Sur  les  équations  différentielles  renfermant  un 
paramètre  arbitraire.  ['j(So-'j6^). 

M.  Picard  montre  comment  sa  méthode  des  approximations  successives  fa- 
cilite l'établissement  d'un  théorème  très  général,  relatif  aux  équations  diffé- 
rentielles renfermant  des  paramètres  arbitraires,  qui  a  joué  un  rôle  capital 
dans  les  recherches  de  M.  Poincaré  sur  les  solutions  périodiques  des  équations 
de  la  Dynamique.  Ce  théorème,  dans  le  cas  d'une  seule  équation,  est  le  sui- 
vant : 


«  Soit  l'équation 


§=/(x,,,o. 


»  On  considère  la  solution  \  , 

j:  =  6  (/,  jjl) 

qui  s'annule  pour  t  =  o.  Pour  |x  =  o,  on  suppose  que  la  solution  6(i,  o)  est 
continue  de  i  =  o  à  ^  =  <„.  On  admet  de  plus  que  f{x,  p.,  t)  peut,  entre  <  =  o 
ti  t  —  /„,  être  développée  suivant  les  puissances  de  {x  et  de  ar  —  6('o)'  '^^  coef- 
ficients des  développements  étant  des  fonctions  continues  de  t. 


UKVUE   DHS   PUBLICATIONS  141 

>)  Dans  ces  coiiditioiis,  riiilogralc  Û(^,  [j.  )  peut  èlrc  dcvcloppée  suivant  lc-> 
puissances  de  [x  (pourvu  que  ;x  soit  suffisamment  petit)  pour  toute  valeur  de  l 
comprise  entre  o  et  /„.  » 

Mozat.   —   Siii'  le  rapport  conique  cl  la  relation  conique.  (790- 
793)- 

Soient,  sur  une  droite,  dix  points  quelconques  accolés  deux  à  deux,  aa', 
hb',  ce' ,  dd\  ee'  et  une  conique  quelconque  tangente  à  la  droite  en  un  point  O. 
De  a  et  a'  on  mène  les  tangentes  à  la  coniciue  et,  par  leur  intersection,  on 
détermine  un  point  A.  On  détermine  de  môme  les  points  BCDE,  en  partant 
des  points  Ob',  ce',  dd',  ee'.  Le  rapport  anharmonique  (E,  A,  B,  C,  D)  est 
constant  lorscju'on  fait  varier  la  conique  et  lorsqu'on  fait  varier  son  point  de 
contact. 

Ce  rapport  anharmonique  constant  est  \e  rapport  conique  des,  dix  points  aa', 
bb',  ce',  dd',  ee'. 

Si  aa',  bb',  ce' ,  dd'  restent  constants  et  que  ee'  varient,  on  aura  sur  la  droite 
une  série  de  points,  en  relation  conique. 

M.  IMozat  développe  les  propriétés  de  ce  rapport  et  de  cette  relation  et  in- 
dique quelques-unes  des  nombreuses  applications  dont  cette  théorie  parait 
susceptible. 

Painlevé.  —  Sur  une  application  de  la  théorie  des  groupes  con- 
tinus à  la  théorie  des  fonctions.  (845-848). 

M.  Painlevé  a  déjà  étudié  les  transcendantes  uniformes  u  {z)  telles  que  les 
valeurs  z-  (u)  se  déduisent  d'un  nombre  fini  d'entre  elles  z^,  z^,  ...,2  par 
une  infinité  de  transformations 

ts.{z.,z)  =  o, 

où  cp-  est  un  polynôme  de  degré  m  eu  z-  en  z.  Il  a  montré  que  toutes  ces 
fonctions  se  déduisent  des  fonctions  automorphes  par  un  changement  algé- 
brique de  la  variable  {Comptes  rendus,  juin  1892).  Actuellement,  il  donne  de 
ce  théorème  une  démonstration  nouvelle,  qui  lui  permet  de  passer  au  cas  de 
plusieurs  variables. 

En  conséquence,  il  se  pose  la  question  suivante  :  étudier  les  transcendantes 
uniformes  u{z),  telles  que  les  valeurs  z-  de  z  correspondent  à  une  valeur  u^ 
de  u  se  déduisent  d'un  nombre  fini  d'entre  elles,  z,  ^,  ...  par  une  infinité  de 
transformations  ff^z-,  z,  ^)  =  o,  où  cp.  est  un  polynôme  de  degré  m  par  rap- 
port à  chaque  variable. 

Cette  question  rentre  elle-même  dans  un  problème  plus  général.  «  Étudier 
les  transcendantes  uniformes  u,  v  de  deux  variables  z,  Ç  telles  que  toutes  les 
déterminations  z-,  Z,.  de  z,  Z,  correspondant  aux  valeurs  w„,  v^  de  u,  v  se  dé- 
duisent d'un  nombre  fini  d'entre  elles  {5,,  Ç,  ),  ...,  (^  ,  ^  )  par  une  infinité  de 
transformations 

(•)  'f.C^.-, -z,  0  =  0,      4/.(!;,-,  *,  C)  =  0, 

où  9,.,  i\)^  sont  des  polynômes  de  degré  m  par  rapport  à  chaque  variable.  » 
M.   Painlevé  montre  que,    les   substitution*  (1)   étant  exprimées  algébrique- 


vf^x  SECONDE  PARTIE. 

ment  à  l'aide  d'un   nombre  minimum   de  paramètres  a,  6,  ...,/,  l'ensemble 
des  substitutions 

(2)  9(^',  2,5;,  a,  ^>,  ...,/)  =  o,        4/(î;',z,!;,  a,  ^,  ...,/)=  o 

forme  un  groupe  continu  algébrique. 

On  peut  aller  plus  loin  et  prouver  que  tout  groupe  (2)  peut  se  ramener  al- 
gébriquement soit  à  un  des  types  canoniques  de  Sophus  Lie,  soit  à  un  des 
groupes  définis  par  les  formules  d'addition  des  fonctions  périodiques  de  deux 
variables. 

On  n'a  alors  à  considérer  que  les  groupes  infinis  discrets  renfermés  dans  les 
groupes  canoniques  de  Lie.  Ces  derniers  comprennent  les  groupes  hyperfu- 
chsiens,  les  groupes  hyperabéliens  et  d'autres  encore  qui  diffèrent  essentielle- 
ment de  ceux-là,  mais  qui,  pas  plus  que  les  groupes  de  M.  Picard,  ne  sont 
aptes  à  exprimer  les  coordonnées  d'une  surface  algébrique  quelconque. 

Padé.   —  Sur  la    généralisation    des    fractions    continues    algé- 
briques. (848-8ao). 

En  étudiant  l'ensemble  des  fractions  rationnelles  approchées  d'une  fonction, 
M.  Padé  a  été  conduit  à  des  relations  linéaires  liant  les  numérateurs  et  les 
dénominateurs  de  trois  fractions  convenablement  choisies  dans  l'ensemble. 

Les  résultats  qu'il  a  obtenus  dans  cette  question  particulière  s'étendent  au 
problème  général  de  la  détermination  des  polynômes  X,,  X^,  . .  .,  X„,  de  degrés 
}jL|,  [Xj,  ...,  [x„  qui  vérifient  l'équation 

S.X.  +  S,X,-h. .  .-h  S„X„  =  S.a;!^.+i^2+-+!-«+«-', 

où  S,,  Sj,  ...,  S„  désignent  des  séries  entières  données,  à  terme  constant  dif- 
férent de  zéro,  et  S  une  série  de  même  nature,  mais  qui  n'est  pas  donnée. 

Von  Koch.  —  Sur  la  détermination  du  nombre  des  nombres  pre- 
miers inférieurs  à  une  quantité  donnée.  (85o-853). 

Soit  n  un  entier  arbitraire,  q  le  nombre  des  nombres  premiers  inférieurs  ou 
égaux  à  n. 

1°  On  peut  former  une  fonction  rationnelle  2r(n)  dont  les  coefficients  s'ex- 
priment rationnellement  par  rapport  aux  nombres  i,  2,  ...,  n  et  telle  que  l'on 

ait 

q  =2;(i)-h2r(2)  +...+  Sr(/i). 

2»  On  peut  former  une  fonction  entière  8 (ai)  dont  les  coefficients  s'expriment 
sous  la  forme  de  polynômes  entiers  à  coefficients  rationnels  par  rapport  à  un 

nombre  it,  de  telle  manière  que  l'on  ait 

<7  =  6(0 -1-6(2) -t-...H-e(/?,). 

Picard  (^Em.).  —  Sur  un  exemple  d'approximations  successives 
divergentes.  (900-902). 

En  appliquant  sa  méthode  des  approximations  successives  aux  équations  de 


UliVUK   DKS  PUBLICATIONS.  14*^ 

lu  ronni' 

g  =./(-.  ^■'. 

011  f{.v,  r)  csl  mu;  foiicuion  posilive  croissant  en  inùinc  tcinps  que  y,  INI.  I*i- 
ciiid  a  l'tc  aincnô  à  rcronnallrc  im  fail  analytique  des  plus  curieux  :  les  ap- 
proxiiiialions  d'ordre  impair,  y,,  jK,,  J^'s»  •••  ont  une  limite,  et  les  approxima- 
tions d'ordre  pair  en  ont  une  autre  en  général.  Les  deux  limites  ne  coïncident 
nécessairement  que  si  l'intervalle  (a,  0)  est  suffisamment  petit. 

Un  exemple  très  simple  de  l'inégalité  des  deux  limites  est  fourni  par  l'équa- 
tion 

d^y        I 

~r^  =  -  e-Y. 
dx'        2 

La  méthode  des  approximations  successives  conduit  à  deux  limites  diffé- 
renles  quand  l'intervalle  ;r  =  o,  a;  =  6  où  on  l'applique  est  suffisamment  grand, 
ou,  pour  préciser,  si  l'on  substitue  à  6  la  quantité  a  définie  par  la  relation 


dg 


loRtt  \/ey  —  a 
quand  a  est  assez  petit  pour  satisfaire  à  l'inégalité 

-^  v/2  ^  i!i  _j_ f  —  loi. 

Hadaniard.  —    Sur  les  motivements  de  roulement,   (gii-912). 

L'étude  des  mouvements  de  roulement  rentre  dans  une  classe  particulière  de 
problèmes,  ceux  où  les  paramètres  q^,  q^,  . .  .,  ^„,+,,  qui  définissent  la  position 
du  système  sont  liés  non  par  des  équations  en  termes  finis,  mais  par/?  équa- 
tions linéaires  aux  différentielles  totales  E  non  intégrables.  En  appliquant  à 
ces  problèmes  la  méthode  de  Lagrange,  on  calcule  l'expression  de  la  demi- 
force  vive  T  comme  si  les  m -h/?  paramètres  étaient  indépendants. 

M.    Hadamard   fait  remarquer  qu'il  existe  cependant  dans  beaucoup  de  cas 

certaines  combinaisons  linéaires  des  équations  E  dont  on  peut  se  servir,  avant 

toute  diiïérentiation,  pour  simplifier  l'expression  de   T,   On  trouve  de  pareilles 

...                        ,       r  ■                               '  ■          ,    m{m  —  0      I  u 

combinaisons  toutes  les  fois  que  p  est  supérieur  a   ;    leur  nomt)re 

...            m  {m  —  i)         ...  ,, 

est,  en  gênerai,/? ^: ;  mais  il  peut  augmenter  pour  des  lormes  particu- 
lières des  équations  E,  que  l'auteur  caractérise  d'une  manière  simple  en  faisant 
intervenir  la  considération  de  l'hyperespace  à  m -\- p  dimensions. 

Poincaré.  —  Sur  l'équilibre  des  mers.  (948-952). 

La  théorie  des  marées  est  très  imparfaite.  Laplace  n'a  pu  arriver  à  intégrer 
ses  équations  qu'en  supposant  qu'il  n'y  a  pas  de  continents  et  que  la  profon- 
deur de  la  mer  ne  dépend  que  de  la  latitude. 

Dans  le  Traité  de  Philosophie  naturelle  de  Thomson  et  Tait,  on  cherche  à 
tenir  compte  de  la  présence  des  continents,    mais   en    négligeant  l'attraction 


i44  SECONDE   PARTIE. 

mutuelle  des   eaux   soulevées.    Plus   loin,  on  tient  compte  de  cette  attraction, 
mais  en  supposant  qu'il  n'y  a  pas  de  continents. 

M.  Poincarc  reprend  la  question  et  montre  comment  elle  se  pose  analytique- 
ment,  laissant  à  d'autres  chercheurs  le  soin  de  calculer  une  limite  supérieure 
de  certains  coefficients  qui  seraient  nuls  si  les  terres  n'existaient  pas  et  qui,  avec 
la  distribution  réelle  des  continents,  ont  probablement  de  très  petites  valeurs. 

Kœnigs.  —  Un   théorème  concernant  les  aires  décrites  dans  le 
mouvement  d'une  figure  plane.  (965-966). 

Si  l'on  fait  rouler  un  arc  fini  AB  d'une  courbe  quelconque  sur  un  arc  quel- 
conque CD  égal  en  longueur,  et  successivement  d'un  côté  et  de  l'autre  de  cet 
arc,  l'aire  balayée  par  le  rayon  IM,  qui  joint  le  centre  instantané  à  un  point  M 
lié  à  l'arc  AB,  est  indépendante  de  la  forme  de  l'arc  CD. 

Pour  évaluer  cette  aire,  on  pourra,  par  exemple,  choisir  pour  l'arc  CD  un 
segment  de  tangente. 

Lelieuvre.  —  Sur  les  lignes  de  courbure  des  surfaces  cerclées. 

(967-968). 

Quand  les  lignes  de  courbure  d'une  surface  cerclée  font  en  chaque  point  des 
angles  égaux  avec  le  cercle  générateur,  elles  se  déterminent  par  des  équations 
de  Riccati  ou  des  quadratures. 

Delassus.  —  Sur  les  intégrales  analytiques  des  équations  de  la 
forme 

(968-970). 

Dans  une  région  où  tous  les  a-^  sont  analytiques,  on  prend  un  segment  de 
droite  L  parallèle  à  Ox  et  l'on  cherche  l'intégrale  z  ayant  pour  fonctions  ini- 
tiales Xg,  X,,  . . . ,  X„_,  développables  en  tous  les  points  de  L. 

L'auteur  montre  qu'il  existe  une  région  R  entourant  L  et  telle  que  l'intégrale 
y  est  analytique,  quelles  que  soient  les  fonctions  X. 

Ce  théorème  subsiste  quand  on  substitue  au  segment  L  un  arc  analytique 
quelconque. 

La  région  dans  laquelle  l'intégrale  est  analytique  se  détermine,  en  général, 
immédiatement  au  moyen  des  limites  entre  lesquelles  les  fonctions  initiales 
sont  développables. 

Bendixon.  —  Sur  un  théorème  de  M.  Poincaré.  (971-973). 

M.  Poincaré  a  donné  le  développement  des  intégrales  d'un  système  d'équa- 
tions difTéi'entielles 

dx  ■ 

-^7^-'  =^<-27.  -  X,(jr,,  ...,^J        (t  =  I,  2,  ...,n). 


HliVUE   DES   PUBIJCATIOiNS.  143 

où  les  \,  sont   développés  suivant  les  puissances  entières  de  a;,,  x.^,  ...,  x,,  et 
ne  conlicmient  (jne  des  ternies  du  second  degré  au  inoins. 

I, 'analyse  de  iM.  l'oincaré  s'appuie  sur  les  deux  liypollièscs  suivantes  : 

I"  l.cs    //    points  X,,  Aj,  ...,  X„    sont    tous    d'un    même    côté    d'une    certaine 
droite  passant  par  l'origine; 
j"  C>n  n'a  pas  de  relation 

/;/,X,  -h.  .  .-H  m,_,  V,+  ^^.+,  V,  +•  •  •+  "^n\.  =  \> 

;;»,,   ...,  ///„  d('>signant  des   nombres  entiers   positifs    dont    la    sonimc  est  plus 
grande  que  i . 

M.  Hendixon  nu^ntrc  que  cette  dernière  hypothèse  est  inutile. 

De  Tannenberg .  —  Sur  les  équations  de  la  Mécanique.  (1092- 
io()3). 

Étant  données  n  équations  diiïérentielles 

/    \  •)  I  I  I  \  I  ClX  ,.  Cl   X i 

(i)  a:,  =  9,(J7,,  ...,^„,  X,,  ...,a:J,        X,  =  — ,  ^l'^-dT' 


si  l'on  forme  la  combinaison 

1    dcp,. 

k 


u,^=  dx'. —    7    -  ~-,  dx,. 

Au  2  dx[       * 


le  système  d'équations  différentielles  à  2/1  variables  x^,  ...,  x^,  x[,  . . . ,  x\^, 

(2)  u^  —  o,         u,  =  o,         ...,         w„=o, 

est  un  système  invariant  pour  tous  les  changements  de  variables 

^k=   ^\i^i1    •••'    ^n)  (^'  =   •>    2,    ...,   n). 

Il  en  est,  par  suite,  de  même  du  système 

A-  '         ' 

Si,  en  particulier,  les  fonctions  cp  sont  des  formes  quadratiques  par  rapport 
aux  .r',  l'invariance  des  systèmes  (2)  et  (3)  entraîne  la  conséquence  suivante: 
Pour  que  le  système  (1)  soit  équivalent  à  un  système  de  Lagrange 

il  faut  et  il  sulTit  que  les  équations  (2)  et  (3)  admettent  une  intégrale  du  se- 
cond degré  T(a7,  . . .,  a?„,  x\,  . . . ,  x'  )  appartenant  à  la  classe  générale. 

Entre  autres  résultats  auxquels  conduit  l'étude  des  systèmes  (2)  et  (3), 
M.  de  Tannenberg  indique  une  solution  nouvelle  du  problème  fondamental  ré- 
solu par  l^ipschitz  :  trouver  les  conditions  nécessaires  et  suffisantes  pour  que 
la  forme  T  soit  la  transformée  d'une  forme  quadratique  T„  à  coefficients  con- 
stants. 


[/,6  SEGONDIi   PARTIE. 

De  Sahert.  —  Sur  quatre  solutions  connexes  du  problème  de  la 
transformation  relatif  à  la  fonction  elliptique  de  deuxième  es- 
pèce, (i  181-1  187). 

Autonne.  —  Sur  la  limitation  du  degré  pour  les  intégrales  algé- 
briques de   l'équation   différentielle  du  premier  ordre.   (1184- 

.,87). 

Maillet.  —  Sur  les  propriétés  des  groupes  de  substitutions  dont 
l'ordre  est  égal  à  un  nombre  donné,  (i  187-1  188). 

Quand  on  se  donne,  a/? rto/'/;,  l'ordre  d'un  groupe  de  substitutions,  ce  groupe 
doit,  dans  bien  des  cas,  satisfaire  à  certaines  conditions.  Réciproquement,  des 
propriétés  d'un  groupe  étant  données,  son  ordre  doit,  dans  bien  des  cas,  satis- 
faire à  certaines  conditions. 

M.  Maillet  expose  les  résultats  particuliers  qu'il  a  obtenus  en  étudiant  ces 
deux  problèmes  généraux. 

Beiidon,  —  Sur  l'intégration  des  équations  aux  dérivées  partielles 
du  second  ordre  à  deux  variables  indépendantes.  (11 88-1 190). 

M.  Darboux  a  donné  une  méthode,  applicable  dans  des  cas  très  étendus,  pour 
ramener  des  équations  aux  dérivées  partielles  du  second  ordre  à  des  équations 
diiïérenlielles  ordinaires. 

En  approfondissant  le  principe  de  la  méthode  de  M.  Darboux,  M.  Beudon  a 
été  conduit  à  le  rattacher  à  la  théorie  des  groupes  de  transformation  de  Lie 
et,  en  particulier,  à  rechercher  tous  les  groupes  ponctuels  infinis  de  l'espace  à 
trois  dimensions,  problème  qu'il  a  complètement  résolu. 

Si  une  équation  aux  dérivées  partielles  du  second  ordre  admet  un  groupe 
infini  de  transformations  ponctuelles,  on  pourra  toujours  reconnaître  à  quel 
type  il  appartient  et  l'on  sera  ramené  au  problème  de  la  réduction  de  ce  groupe 
à  sa  forme  canonique.  La  réduction  une  fois  elfectuée,  on  peut  appliquer  sans 
peine  la  méthode  de  M.  Darboux,  comme  l'auteur  le  montre  sur  deux  exemples. 

Petrovltch.  —  Sur  les  intégrales  uniformes  des  équations  du  pre.- 
mier  ordre  et  du  genre  zéro,  (i  190-1  193). 


(0 


Il  peut  arriver  qu'une  équation  différentielle 

dy        P(.3:,  y) 


dx         Q(a7,JK) 


où  P  et  <)  sont  des  polynômes  en  y  de  degré  m  -h  2  et  m,  algébriques  en  x, 
admette  des  intégrales  uniformes,  rationnelles  ou  transcendantes. 

Pour  qu'il  puisse  exister  des  intégrales  uniformes  transcendantes,  il  faut  que 
P  et  Q  soient  rationnels  en  x. 

On  peut,  en  s'appuyant  sur  le  théorème  de  M,  Picard  relatif  aux  zéros  dune 
fonction  uniforme  dans    le  voisinage  d'un  point  essentiel,  donner  une  limite 


rrvuiï:  ni'S  publications. 


î47 


siipcrieiin'  du  nomhic  cirs  intégrales  uniformes  transcendantes  distinctes, 
c'csl-à-diro  (iiii  lu'  sont  lii'cs  par  aiiniiic  relation  alKclMi^juc  à  cocfficicnls  uni- 
formes on  X  : 

I"  O  r-  ()  a  |)|iis  (le  deux  racines  y  distinctes.  Alors  toute  intégrale  uniforme 
est  rationnelle. 

u"  Q  :-  ()  a  deux  racines  distinctes.  L'équation  (i)  ne  peut  avoir  .deux  inté- 
grales uniformes  distinctes. 

3"  Q  ^  o  n'a  qu'une  seule  racine.  Il  ne  peut  y  avoir  plus  de  deux  intégrales 
uniformes  distinctes. 

!\"  O  est  indépendant  de  j'.  On  a  alors  une  équation  de  Iliccati  ou  une  équa- 
tion linéaire.  L'équation  de  Riccati  admet  au  plus  trois,  et  l'équation  linéaire 
au  plus  deux  intégrales  uniforines  distinctes. 

Des  conclusions  analogues  s'appliquent  à  une  équation  quelconque  du  pre- 
mier ordre  algébrique  en  x,  y,  y'  et  du  genre  zéro  en  {y,  y'). 

Stieltjes.  —  Sur  une  application  des  fractions  continues.  (i3i5- 
,3i7). 

Soit 
une  série  à  coefficients  réels.  On  suppose  tous  les  déterminants 


B..  = 


positifs.  Alors  tous  ces  coefficients  c„  sont  positifs  et  le  rapport  — 2±J  croît  avec 

n.  Admettons  qu'il  tende  vers  une  limite  'h.  Alors  ¥  {z)  peut  être  développée 
en  fraction  continue 


b„z 


^=A„ 


A„_,B,^ 
A„B„_/ 

I 

^n  = 

A,.+,B„_, 
A„B„ 

Cette  fraction  existe  dans  tous  le  plan  (où  elle  est  partout  régulière),  et  ad- 
met seulement  comme  ligne  singulière  le  segment  de   l'axe  réel  compris  entre 

I 
X  ~  Y  et  a;  =  00. 

Il  faut  des  conditions  particulières  pour  qu'on  puisse  continuer  analytique- 
ment  la  fonction  en  traversant  cette  ligne. 

Ainsi,  pour  que  V {z)  se  réduise  à  une  fonction  méromorphe  dans  tout  le 
plan,  il  faut  et  il  suffit  que  l'on  ait 


lim^,„_,  =  lim^^„=  o. 

«  =  00  «  rr  oc 


i48  SECONDK    PAUTIE. 

Vernier  (P-)-  —  Sur  les  intégrales  algébriques  des  équations  dif- 
férentielles linéaires  du  second  ordre.  (i3i7-i32o). 

Stouff.  —  Sur  les   équations   aux  dérivées  partielles  du  second 
ordre.  (  iSao). 

On  se  donne  une  équation  aux  dérivées  partielles  du  second  ordre  et  une 
courbe  dépendant  d'un  paramètre  X  :  faire  passer  une  surface  satisfaisant  à 
cette  équation  par  deux  positions  X,  X  +  AX  de  la  courbe.  Ce  problème  peut 
être  résolu  (sauf  dans  un  cas  exceptionnel)  par  des  séries  procédant  suivant 
les  puissances  de  AX. 

On  peut  de  même  déterminer  une  surface  satisfaisant  à  une  équation  aux 
dérivées  partielles  du  second  ordre  et  passant  par  deux  courbes  fixes  qui  se 
coupent. 

Stieltjes.  —  Recherches  sur  les  fractions  continues.  (i4oi-i4o3). 

M.  Stieltjes  étudie  la  fraction  continue 

I  :  a, ^  +  I  :  a.^z  -\-  i  :  rt, s  +  I  :  a^z  -{-. . ., 

où  z  est  une  variable  complexe  et  a,,  a^,    ...,  sont  des  nombres  réels  positifs. 
Deux  cas  sont  à  distinguer  suivant  que  la  série  (S) 


est  convergente  ou  divergente. 

Quand  (S)  converge,  les  réduites  d'ordre  pair  et  celles  d'ordre  impair  ten- 
dent vers  deux  limites  différentes      ,    ,   et  ^4 — r*  Les  quatre  fonctions  piz). 

q{z)         q,{z) 

Çi^)}  Pii^)j  (Jii^)  sont  holomorphes,  du  genre  zéro;  elles  n'admettent  que 
des  zéros  simples,  réels  et  négatifs. 

Dans  le  cas  où  (S)  diverge,  les  réduites  d'ordre  pair  ou  impair  convergent 
vers  une  même  limite  F(z),  convergente  dans  tout  le  plan,  sauf  sur  la  partie 
négative  de  l'axe  réel. 

Pour  éclaircir  la  nature  de  cette  ligne  singulière,  l'auteur  montre  que  F(z) 
peut  être  mise  sous  la  forme 


i/o         -^ 


*  d4>{u) 


où  ^{u)  est  une  fonction  réelle  et  croissante  depuis  4>(o)=o  jusqu'à 
<I>(oo)  =  — ;  mais  <I>(i/)  peut  avoir  des  sauts  brusques  et  n'être  pas  analy- 
tique, d'où  l'on  conclut  qu'en  général  la  ligne  singulière  s'oppose  au  prolon- 
gement analytique  de  F(5). 

Lorsque,  la  fraction  continue  étant  mise  sous  la  forme  — " -{ — --\--  •  -y 

-  ■'1  -1  -2 

^  Xf  ^  ^ 

Q 

le  rapport  -^i±^  tend  vers  une  limite  finie  X,  la  fonction  ♦t'(w)  reste  constante 
à  partir  de  a  =  X. 


/  t 


IIKVUH   DHS   PUIJMCATIONS.  1/49 

De  Sd/^'crt.  —  Sur  quatre  solutions  connexes  du  problème  de  la 
Iransfornialion  relatif  à  la  lonetion  elliptique  de  troisième  es- 
pèce. (i4o3-i4o7). 

Pr  Si''<iui('r.  —  L'(îxprossion  du  nond)re  des  classes  déduite  de 
la  transformation  des  fonctions  cllij)ticpics.  (1407-1409). 

Petot .  —  Sur  les  surfaces  susceptibles  d'engendrer  par  un  dépla- 
cement hélicoïdal  une  famille  de  Lamé.  (1409-1411)- 

Condition  nécessaire  et  suffisanle  pour  qu'une  surface  (S)  soit  susceptible 
d'engendrer  par  un  dcplacennent  hélicoïdal  une  surface  de  Lamé. 

La  rongrucnce  engendrée  par  la  droite  ww,  qui,  en  chaque  point  de  la  sur- 
face S,  joint  les  deux  centres  de  courbure  géodésique  des  lignes  de  courbure, 
appartient  ;\  un  complexe  du  premier  ordre  L. 

Le  mouvement  hélicoïdal  que  doit  prendre  S  s'effectue  d'ailleurs  autour  de 
l'axe  de  S;  de  plus,  le  pas  2-71 /i  de  ce  mouvement  s'obtient  immédiatement  en 
multipliant  par  itz  le  paramètre  du  complexe. 

En  particulier,  si  la  droite  ww,  rencontre  une  droite  fixe,  ou  est  perpendi- 
culaire à  une  direction  fixe,  le  mouvement  de  S  se  réduit  à  une  rotation  au- 
tour de  cette  droite,  ou  à  une  translation  suivant  cette  direction. 


IMIILOSOPHICAL  TRANSACTIONS  of  the  Royal  Society  of  London. 

Vol.  178;  t888  (i). 

Chambers  (C).  —  Sur  les  variations  luni-solaires  de  la  décli- 
naison magnétique  et  de  la  force  horizontale  à  Bombaj  ;  sur  les 
variations  luni-solaires  de  la  déclinaison  magnétique  à  Trevan- 
drum.  (i-43). 

Culverwell  {E .).  —  Sur  la  distinction  des  maxima  et  des  minima 
dans  le  calcul  des  variations.  (95-129). 

Dans  la  première  partie  de  son  Mémoire,  l'auteur  traite  le  problème  en 
transformant  analytiquement  l'expression  de  la  variation  seconde;  il  discute 
la  solution  donnée  par  Jacobi  dans  le  même  ordre  d'idées  et  montre  que  la 
solution  de  Jacobi  reste  soumise  à  quelques  objections,  dont  sa  méthode  est 
débarrassée.  Dans  la  seconde  Partie,  qui  est  la  plus  importante,  le  problème 
est  repris  directement,  et  l'auteur  montre  que  la  solution  résulte  des  principes 

(')  Voir  Bulletin,  XII^,  p.  i48. 


im  SliCONDI*:  paktiiî;. 

mêmes  du  rah^ul  des  varialions.  Se  bornant  d'abord  au  cas  d'une  seule  fonction 
inconnue  ou,  si  l'on  veut,  d'une  intégrale  de  la  forme 


^^=  f   '/(•^,  r, 


y\  ...,  yW)dx, 


M.  Culverwcll  insiste  sur  le  rôle  que  joue  la  variation  oy(")  et  montre  que  la 
seconde  variation,  en  supposant  que  les  varialions  Zy,  Zy' ,  . , . ,  oj'^"-')  soient 
nulles  aux  limites,  est  de  même  signe  que  le  terme  en  {^y^"^)'  pourvu  que  le 
champ  de  l'intégration  soit  suffisamment  petit.  C'est  de  là  qu'il  déduit  le  crité- 
rium. Il  traite  ensuite  le  problème  général,  pour  un  nombre  quelconque  de 
fonctions  inconnues,  d'abord  dans  le  cas  où  les  dérivées  d'ordre  le  plus  élevé  sont 
toutes  du  même  ordre,  puis  dans  le  cas  où  elles  peuvent  être  d'ordre  différent. 
Enfin,  le  cas  particulier  où  il  n'entre  que  des  dérivées  du  premier  ordre  est 
traité  à  part. 

Lamb  (//•).  —  Sur  les  nappes  de  courants  ellipsoïdales.   (i3i- 

,59). 

Davison  (C).  —  Sur  la  distribution  de  la  tension  dans  la  croûte 
terrestre  résultant  du  refroidissement  séculaire;  considérations 
spéciales  sur  l'accroissement  des  continents  et  la  formation  des 
chaînes  de  montagnes.  (23i-24i). 

Ce  Mémoire  s'appuie  sur   les  théories  que   l'on  doit  à  Sir  W.  Thomson  et  à 
M.  Darwin  :  il  a  d'ailleurs  été  l'objet  d'une  Communication  de  ce  dernier. 

Darwin  (G.).  —  Note  sur  le  précédent  Mémoire.  (242-249). 

Sylvester  (/.)  et  Hammond  [J.).  —  Sur  les  nombres  d'Hamilton. 

Si  l'on  considère  la  suite  de  fonctions 

i -\- X -^t-    X- -\-     x^-i-. .  .=  V\{x), 

Ç>X--hl-ôX^-]r.  .  .—   ¥^{X)^ 

36^7'  +  ...=  F3(x), 
où,  en  général,  les  coefficients  de  la  fonction 

F„(ar)=  a,.^"+6„x"-'+c„x"-'-f-... 
sont  liés  aux  coefficients  de  la  fonction  suivante  F„^,(a:)  par  les  relations 


',.+.^=  ^.+ 


b.,^,=  c..  -\-ab„  + 


1 .2 


«+i 


1.2.0 


r         -ri     x-n    r    -^   ^»(^n  +  0  ,,    _^   ^n  (  Q'n  +  0  (  ^n  "^  ^  )  (  ^  «»  +  '  ) 


UKVllI';    DKS    lUlHIJCATIONS.  i  ,i 

les  notnhrcs  a,,  a  ,  ...,  r/,,  sonl  dits  d i iJci-cnrcs  lumi il tonicnnrs ;  les  soniiin's 
rt^,  rtj-hrt,,  rt„-hrt,  +  rt,,  ...  augmentées  de  2  sont  lis  noiribres  (l'IIatiiiltou. 
M.  Ilatiiiiionri  obtient  sous  diverses  foiities  voisines  la  loi  i\v.  foi'ination  fl(; 
''«(•î^)  et  montre  que   les   nombres  (rilamilton  peuvent  se  ealeuler  par  la  for- 

H  o  -    "»("»        ')  ",,("„')  CI,,-  V.) 

,    ",.(î>,.-0("„-^)(»„-:^) 
~h 

H«(Hn—  0(H„—    2)...(H„—   «) 

1.2.3. .  .(n -+- 1) 

Ces  nombres  joucnl  un  rôle  dans  la  théorie  de  la  transformation  de  Tschirn- 
hausen,  eomme  l'ont  montré  Ilamilton  dans  un  court  rapport  sur  la  méthode 
de  Ferrard,  ou  plutôt  de  Bring,  relative  à  l'équation  du  cinquième  degré, 
puis  M.  Sylvester  lui-même  dans  un  Mémoire  inséré  en  1886  dans  le  Journal 
de  Crelle.  Dans  le  présent  Mémoire,  M.  Sylvester  déduit,  de  la  fornriule  de 
M.  Hamrnond,  une  belle  loi  asymptotique  pour  les  nombres  d'Harnilton,  qui 
croissent  très  rapidement. 

Darwin  (G.).  —  Sur  la  figure  d'équilibre  d'une  masse  fluide 
animée  d'un  mouvement  de  rotation.  (3^9-428). 

Ce  Mémoire,  qui  fait  suite  aux  recherches  antérieures  de  l'auteur,  a  été  com- 
posé avant  la  publication  sur  le  même  sujet  du  Mémoire  de  M.  H.  Poincaré 
dans  les  Acta  M-athematica  (t.  VII,  i885).  Les  deux  Mémoires,  fondés  sur  des 
méthodes  très  différentes,  se  rencontrent  dans  diverses  conclusions,  notamment 
dans  celles  qui  concernent  la  forme  annulaire  d'équilibre. 

Thomson  (J.)-  —  Quelques  applications  des  principes  de  la  Dy- 
namique aux  phénomènes  physiques.  (471-026). 

Vol.  179;   1889. 

Tomlinson  {H.).  —  L'influence  de  la  pression  et  de  la  tension  sur 
les  propriétés  physiques  de  la  matière.  Première  Partie  [suite). 
Elasticité;  eff'et  de  la  magnétisation  sur  l'élasticité  et  le  frotte- 
ment intérieur  d'un  métal.  (1-26). 

Basset  {A.).  —  Sur  le  mouvement  d'une  sphère  dans  un  liquide 
visqueux.  (43-63). 

Le  problème  est  résolu  dans  les  cas  suivants  :  1°  La  sphère  se  meut  en  ligne 
droite  sous  l'action  d'une  force  constante,  telle  que  la  gravité;  2°  elle  est 
animée  d'un  mouvement  de  rotation  autour  d'un  diamètre,  puis  abandonnée  à 
elle-même. 


,55t  SKCONDli:   PARTIE. 

Syhestcr  {J.)  et  lfammond{J .).  —  Sur  les  nombres  d'Hamillon. 
(65-7,). 

ComplcmenLs  et  corrections  au  précédent  Mémoire  sur  la  loi  asymptotique 
des  différences  hanniltoniennes. 

Walker  (J.).  —  Sur   les  diamètres  des  cubiques  planes.  (i5i- 
2o3). 

Il  s'agit  des  relations  entre  une  cubique  (^^)  et  l'ensemble  des  droites  de  son 
plan  qui  sont  les  polaires,  relativement  à  (a),  des  points  d'une  droite  (L).  Cet 
ensemble  devient  l'ensemble  des  diamètres  au  sens  de  Newton  quand  la  droite 
L  est  à  l'infini. 

L'enveloppe  des  droites  que  l'on  vient  de  dire  joue  un  rôle  essentiel  dans 
ce  Mémoire,  où  sont  considérés  divers  covariants  de  (u)  et  de  (L). 

Burbury  (S.).  —  Sur  l'induction   des  courants  électriques  sur 
des  enveloppes  conductrices  de  faible  épaisseur.  (297-324). 

Les  auteurs  qui  ont  traité  de  ce  problème  ont  supposé  ordinairement  que  les 
conducteurs  avaient  une  forme  particulière  (sphère,  plan  indéfini,  cylindre, 
ellipsoïde)  et  que  les  variations  du  champ  magnétique  extérieur  étaient  aussi 
particulières.  M.  Burbury  constitue  la  théorie  générale  pour  une  surface  quel- 
conque et  une  variation  quelconque  du  champ  magnétique  extérieur. 

Forsyth  (A.).  —  Invariants,  covariants  et  dérivées  par  quotient 
associées  à  une  équation  différentielle  linéaire.  (377-489). 

On  trouvera  dans  ce  Mémoire  le  système  d'invariants  et  de  covariants  pour 
une  équation  différentielle  linéaire  d'ordre  n.  Ce  système  est  complet  en  ce 
sens  que  toute  fonction  covarianle  du  même  type  se  déduit,  par  des  opérations 
purement  algébriques,  des  éléments  du  système.  Les  transformations  auxquelles 
l'équation  différentielle  linéaire  est  soumise  sont  supposées  être  les  plus  géné- 
rales de  celles  qui  conservent  l'ordre  et  le  caractère  linéaire  de  l'équation, 
c'est-à-dire  que  ce  sont  des  transformations  linéaires  de  la  variable  dépen- 
dante z  et  des  transformations  arbitraires  de  la  variable  indépendante  x.  La 
propriété  de  covariance  considérée  consiste  en  ce  que  les  fonctions  covariantes, 
étant  formées  pour  l'équation  transformée,  sont  égales  aux  fonctions  relatives 

à   l'équation   proposée,   multipliée   par   un   facteur  de   la   forme  (  ;t-  )    :  [J-  est 

Vindice  du  covariant. 

Le  Mémoire  de  M.  l'orsyth,  sauf  une  digression  importante,  est  consacré 
entièrement  à  l'étude  des  formes  covariantes,  de  leurs  dépendances  mutuelles 
et  des  méthodes  de  construction.  II  contient  huit  Parties. 

I.  Renseignements  historiques  sur  les  travaux  antérieurs  :  Recherches  de 
Cockle,  Laguerre,  Brioschi,  Malet,  Halphen. 

II.  Relations  entre  les  coefficients  de  l'équation  générale,  mise  sous  la  forme 
d^y  n\  d"-\y  ni  d"-^y 


o  = 


, P    :i-  H P ±-  -X-         -4-  P    n- 

dx"        i  !  (  A?  —  'J  ;  !     '  dx"-'        3  !  (  /?  —  3 )  !     '  dx'"'  ^-  •  ' ^     -'  ' 


ui;\  ri:  diis  publications. 


r-.3 


,•1  ,|i-  rc.|ii;ili<>ii  lr,m-^r<)rniti\  mise  sons  l.i  iiiriiic  (uiiiic.  hr  ces  ichil  iuiis  on 
(Irdiiil  lin  iiiv;iri;inl  d'i  iidic' .';  (  l5i-ios(lii-llal|)lu;n  ),  vu\^  les  invariants  d'indirn 
/|,  .'),  li,  -  cl  l'on  prouve  (|iril  y  a  // —  i  invariants  fondamentaux  (prirninva- 
rianls),  cotnpost'-s  clianin  do  deux  parties  :  une  partie  linéaire  par  rapport 
;iii\  coenicicnls  de  lé(nialiori  el  à  leurs  dérivées  et  une  partie  non  linéaire, 
dont  la  loi  est  éludiée.  Cette  élude  conduit  à  introduire  cornnne  forme  cano- 
nique pour  ré(|iiation  diiVérenlielle  linéaire,  la  forme  où  les  deux  termes  qui 

suivent  '    *     sont  nuls.  La  r»''dueli()ii  d'une  écpialion   diiïércntielle  linéaire  à  la 

forme  eanonitjuc  suppose  rinté<;ratiou  d'une  équation  dillérent  i('lle  linéaire  du 
second  ordre  (Laguerre).  Pour  cette  forme  canonique  la  partie  non  linéaire  des 
invariants  disfiaraît  et  le  reste  peut  être  calculé. 

III     De  elia(|iie  primin variant  (-)^  peut  être    déduit,  en   supposant  l'équation 
proposée  sous  la  l'oiine  canonique,  l'invariant 

qui  est  dit  \ii  fonction  biderivée  (quadridcrivative  fimetion)  de  0^.  Des  deux 
priminvariants  B-^.  B     on  peut  déduire  l'invariant 


qui  est  dit  le  jacobien  de  fc>-^,  ^^^. 

Tous  les  invariants  algébriquement  indépendants  que  l'on  peut  obtenir  par 
ces  procédés  peuvent  être  classés  d'après  leurs  degrés  par  rapport  aux  coeffi- 
cients de  l'équation  différentielle.  La  première  classe  contient  les  priminvariants 
de  la  première  section;  la  seconde  classe  contient  les  n  —  2  bidérivées  de  ces 
priminvariants,  et  les  n  —  3  jacobiens  indépendants;  chaque  classe  suivante 
contient  /i  —  2  invariants  propres;  les  invariants  sont  dits  priminvariants, 
quadrinvariants,  cubinvariants,  quartinvariants,  etc. 

IV.  Application  d'un  théorème  de  Clebsch  (^).  Rôle  des  mineurs  du  déter- 
minant 


y,   .r. 

y\   y': 

j  II  j  II 


y\ 


(n-\  ) 


yï 


{n-li 


,.(«-n 


formé  avec  un  système  de  solutions  fondamentales  j\,  y,,  . . .,  jk„  de  l'équation 
différentielle  linéaire  et,  en  particulier,  des  mineurs  (déterminants  d'ordre/?) 
que  l'on  déduit  des  p  premières  lignes,  et  dont  le  type  est 


',.= 


r,    r. 


y\ 


(p-i) 


{p  =  f,  2,3,  .  . .,  n 


(')     Ueber    eine    Fundamentalaufgabe    der    hwarianteniheorie    {Gôttigen 
Abfi..  etc.,  t.  WII;  1872). 

/y////,  des  Sciences  nialliéni..  2'  série,   t.  \.\.  (Août  i>S(j().  )  B.ii 


i')i  SRCONDK    PAHTIK. 

les  n  —  2  variables  dcpendanlcs  ainsi  formées  satisfont  cliacune  à  une.  équa- 
tion différentielle  linéaire;  les /i — 2  équations  sont  dites  associées  à  l'équation 
proposée;  l'une  d'elles  est  l'adjointe  de  Lagrange.  Les  invariants  des  équations 
associée  à  la  proposée  sont  des  invariants  de  la  proposée.  Les  équations  différen- 
tielles que  vérifient  les  variables  (  indépendantes  )  associées  de  rang  complémen- 
taire sont  réciproquement  adjointes. 

V.  Les  procédés  de  la  troisième  section  (bidérivées,  jacobiens)  sont  appliqués 
aux  variables  dépendantes,  originales  ou  associées,  et  l'on  parvient  ainsi  à  deux 
classes  de  covariants  indépendants  :  les  covariants  de  la  première  classe  con- 
tiennent une  variable  dépendante  et  ses  dérivées;  les  covariants  de  la  seconde 
"Jasse  sont  les  jacobiens  d'un  invariant  et  d'une  variable  dépendante. 

VL  Applications  :  équations  du  second  ordre;  théorèmes  de  Schwarz  et  de 
Kummer.  Equations  du  troisième  ordre;  réduction  à  la  forme  canonique 

(Pu 

—, h  H  w  =  o. 

as' 

Examen  du  cas  où  B  est  nul.  Equation  aux  quotients.  Construction  des  so- 
lutions de  l'équation  proposée  au  moyen  de  deux  solutions  de  l'équation  aux 
quotients.  Problèmes  analogues  pour  l'équation  différentielle  linéaire  du  qua- 
trième ordre;  étude  des  équations  associées. 

Vn.  La  septième  section  est  une  digression  sur  les  dérivées  par  quotient 
{quotient-derivatives).  Si  l'on  considère  une  expression  de  la  forme 

„_  A,+  A,x;-f-...-i-A„.,Z"- 


B„+ B, s +...-+- B„_,Z"- 


où  les  A  et  les  B  sont  des  constantes  arbitraires,  et  z  la  variable  indépendante, 
le  premier  membre  [s,  z]„  de  l'équation  différentielle  d'ordre  2w  —  i  obtenue 
en  éliminant  les  constantes  arbitraires  est  la  Ai'*"*  dérivée  par  quotient.  Ainsi 

l'on  a 

s"      2  s' 


U,z]^  = 


Si-" 


Les  dérivées  par  quotient  s'expriment  simplement  sous  forme  de  déterminants. 
Les  dérivées  par  quotient  que  l'on  vient  de  définir  sont  impaires  en  ce  sens  que 
la  plus  haute  dérivée  de  s  qui  y  figure  est  d'ordre  impair;  on  obtient  les  dé- 
rivées par  quotient  paires  en  formant,  par  élimination  des  constantes  arbi- 
traires A,  B,  C,  l'équation  différentielle  que  vérifie  l'expression 

A„-f- A.x; -h..  .-î- A..   .5"-'- 
s  = 


B„-+-B.s  -^-...-^  B„  .,c»--+-C5" 


Les  dérivées  par  quotient  impaires  ou  paires  offrent  entre  elles  d'intéressantes 
relations.  Leur  théorie  peut  se  rapprocher  de  celle  des  réciprocants. 

VIIL  La  huitième  et  dernière  section  est  consacrée  à  démontrer  que  les  con- 
comitants obtenus  dans  la  seconde,  la  troisième  et  la  cinquième  sections  sont 
complets.  C'est  une  transformation  homographique  de  la  variable  indépendante 
qui  change  une    forme  en   une  autre  :   l'auteur,  en  employant  la  méthode  des 


UI'.VIIK    l)i:S    ITUMCAIIONS.  iV* 

\  .iii.ilicMi-^  iiiliiiilcsimiilfs,  (Icdiiit  deux  ('(i  ii;i  I  iuii^  ;nix  (l('Ti\  t'o  |iiitl  icilcs  (luc: 
(loil  véiiruT  toiil  conroiniliinl.  :  Wiuc  (Iclcnuiiic.  la  forme  du  concotniLaiil^ 
raiMro.  son  indice,  (iiiaiid  la  forme  csL  connue.  Ces  équalions  caiactérisliques 
sont  enipIcjytW'S  à  d('duire  les  covarianls  (|ui  coiil  ienneiil  la  vaiialtle  ptimilivc^ 
puis  les  invariants  qui  dérivent  de  B,;  on  ohlienLcnlin  des  formes  simplifiées 
pour  les  iti\arianls  et  covariants  d'ordre  supérieur,  l'inalemenl  lauleur,  con- 
formément à  une  mélliddc  employée  par  M.  Ilammond  pour  la  proposilion 
correspondante  <lans  la  théorie  des  foruïcs  binaires  ('),  établit,,  en  s'ap[)uyant 
sur  la  Ihéctric  des  équations  dilVércnlielles  linéaires  aux  dérivées  partielles,  que 
tout  concomitant  s'exprime  algébriquement  au  moyen  des  concomitants  déjà 
tditenus. 

A(M7'  (-/.).  —  Pelilos  vibrations  cl  drformalion.s  d'une  enveloppe 
rij^ide  minco.  (/\i)\-:)'\()). 

Ce  Mémoire  peut  être  regardé  comme  un  essai  préliminaire  à  la  lliéoric  des 
\ibralions  des  cloches.  A  la  cloche  est  substituée  une  enveloppe  rigide  (Shell) 
assez,  mince  pour  que  l'on  puisse  négliger  le  carré  de  l'épaisseur.  Cette  enve- 
loppe est  supposée  isotropi(juement  élastique  :  on  la  considère  comme  limitée 
par  deux  surfaces  parallèles  à  la  surface  moyenne,  et  déformée  arbitrairement. 
I/énergie  potentielle  de  déformation  est  étudiée  par  la  méthode  qui  a  servi  à 
Kirchholf  pour  les  plaques.  L'auteur  donne  les  équations  du  mouvement  ainsi 
(|ue  les  conditions  aux  limites,  et  est  amené  à  développer  la  théorie  géométrique 
de  la  déformation  d'une  surface  extensible.  Les  équations  du  mouvement  de 
Clebsrh  pour  les  plaques;  les  analogies  et  les  différences  avec  les  vibrations  des 
placjues  sont  discutées.  Le  cas  d'une  enveloppe  sphérique  ou  cylindrique  est 
étudié  avec  quelque  détail.  Un  intéressant  résumé  historique  des  travaux  an- 
térieurs est  placé  en  tète  du  Mémoire  de  M.  Love. 

Tome  180;  1889. 

Dcfnvi/i  (G.).  —  Sur  les  conditions  mécaniques  d'un  essaim  de 
météorites  et  sur  les  théories  cosmogoniques.  (1-69). 

Conciliation  entre  la  théorie  qui  place  l'origine  du  système  planétaire  dans 
une  masse  fluide  animée  d'un  mouvement  de  rotation,  et  celle  qui  fait  résulter 
ce  système  de  l'agrégation  graduelle  de  matière  météorique. 

Forsyth  (-1.).  —  Une  classe  d'invariants  fonctionnels.  (71-1  18). 

Ce  Mémoire  peut  être  regardé  comme  une  suite  au  Mémoire  sur  les  inva- 
riants, covariants  et  dérivées  par  quotient  associées  aux  équations  diffé- 
rentielles linéaires,  de  l'année  1888,  qui  a  été  précédemment  analysé.  Les  inva- 
riants fonctionnels  qu'on  considère  ici  sont  constitués  par  des  combinaisons  des 
tlérivées  d'une  fonction  de  plusieurs  variables  indépendantes,  combinaisons 
telles  que,  si  l'on  fait  un  changement  des  variables  indépendantes,  eMes  se  re- 


(')  American  Journal,  t.  \"  ;   i88-<. 


[■>(i  SI'ICONDI-;    l>AKTIi:. 

produisriil ,  i^i  un  farlcur  près,  ce  fiiolciir  ne  d(':|)orKlaiil  (jue  de  la  Iransfonuiilioii 
cfTectuéc  sur  les  variables.  Les  transformations  pour  lesquelles  les  résultats 
détaillés  sont  donnés  sont  des  transformations  homographiques  et  les  re- 
cherches sont  limitées  au  cas  de  deux  variables  indépendantes;  la  possibilité 
d'étendre  ces  recherches  est  manifeste. 

Les  invariants  ne  contiennent  explicitement  ni  les  variables  indépendantes 
X,  y  ni  la  variable  dépendante  z;  ils  sont  homogènes  par  rapport  aux  dérivées 
de  z;  ils  sont  d'un  degré  uniforme  de  diiïérentiation  par  rapport  k  chacune  des 
variables  x,  y,  ils  sont  symétriques  ou  symétriques  gauches. 

Un  invariant  vérifie  six  équations  linéaires  aux  dérivées  partielles;  quatre 
de  ces  équations  sont  caractéristiques  et  déterminent  la  forme  de  l'invariant; 
les  deux  autres  sont  des  équations  d'mrf/ce  et  sont  vérifiées  identiquement, 
quand  la  forme  est  connue  et  que  l'indice  est  déduit  de  la  considération  de  la 
forme. 

Chaque  invariant  contient  les  deux  dérivées  partielles  du  premier  ordre. 

Relativement  aux  invariants  irrédurliblcs  relatifs  à  une  seule  variable  dé- 
pendante z,  on  établit  les  résultats  qui  suivent  :  les  invariants  peuvent  être 
rangés  en  classes;  chaque  classe  étant  propre  à  un  rang  déterminé,  en  enten- 
dant qu'un  invariant  est  propre  au  rang  n  quand  n  est  l'ordre  de  la  dérivée  la 
plus  élevée  qui  y  figure.  Il  n'y  a  pas  d'invariant  propre  au  rang  i;  il  y  a  un 
invariant  propre  au  rang  2,  à  savoir 

eu  employant  les  notations  usuelles  pour  les  dérivées/),  q  du  premier  ordre 
et  les  dérivées  /■,  s,  t  du  second;  en  employant  la  notation  anglaise  pour  les 
formes  binaires,  on  peut  écrire  aussi 

en  posant  en  général,  comme  on  fera  dans  la  suite, 

ôz'  *-' 


il  y  a  trois  invariants  propres  au  rang  3,  à  savoir 
Q3=H,-|-2L,-4HS, 


Q,=  A;+2A„J,,,-4-.s.A2H„, 


on  I  on  suppose 


A, (  *'30'    -"Jl'    ■"12'  -^OJ  )   '    ^01'               ^lo)'' 

"'       àz,,  dz^^  dz^^  dzj                                                                              , 

Il    „      _             _s  / 

OzU    àz-l,  "  à^-,„àz„^   ^-,.(^-0,         àzl,    Oz\ 


UKVIJK    l)i:S    PUHMC  A  I  IONS.  i')7 

ciiliii  II    c^l  le  lic>>i(;n  «le     \,    considcrr   (Dmiin;    iiiuî    l'orme   (iiliiqtic   c\^   7  =  -, 

<•«  —  P~—  -.0- 

Il  y  a  /J -f- 1  invariants  propres  an  rani;  //,  (|ii.iii<l  11  <si  plus  ;;rancl  ([uc  .3  : 
ils  pcnvcnl  être  rcf;anl('s  conuiK;  linraircs  par  ra|)p()rL  aux  dcrivces  de  rang  n. 
r.luHjue  invariant  s'«'\piini<'  au  nuiycii  de  ces  invariants  irn^ductihles  et  une 
pareille  expression  ne  eouiporti-  pas  d'invariants  irn-diietihies  propres  à  un 
ranf;  supérieur  à  celui  aii<iu(d  l'invariant  proposé  est  propre. 

l'our  ce  i|ui  est  des  invariiînls  irréductibles  relatifs  à  deux  variables  dépen- 
dantes c,  z\  on  monlre  (ju'il  y  en  a  un,  à  savoir,  le  jaeobien  pq'  —  p' q  qn' 
est  propre  au  rang  1  et  (|uatre  propres  au  rang  2,  à  savoir,  outre  l'invariant  A, 
cl  son  analogue  où  />,  7,  /•,  .v,  t  sont  remplacés  par  //,  7',  /',  .v',  t\ 

qT  —  ■?. />q.s'  -h  />' t'   I-  ■.'.  I  77'/-  -    (  /'7'-i-  p'  f/  )-^'    t    pp'  t  |, 

et  celui   (jui  en  résulte  par  lécliange  des  lettres  accentuées  et   non   acceni  ik'-cs. 
M.  Forsytli  montre  le  rôle  des  opérateurs  dans  la  tliéorie  des  invariants;  le 
point  de  dépari  est  dans  le  fait  ([ue  l'opérateur 

0  à 

appliqué  à  :;',  produit  un   invariant  d'indice  i. 

La  théorie  de  ces  invariants  fonctionnels  est  liée  avec  la  théorie  des  formes 
l)inaires  :  les  invariants  fonctionnels  s'expriment  au  moyen  de  conconiitanls 
simultanés  d'un  certain  système  de  quantités  où  7  et  — /?  sont  les  variables; 
(•"est  ce  qui  apparaît,  en  particulier,  sur  les  invariants  propres  au  rang  3  qui 
ont  été  donnés  plus  haut  explicitement. 

L'auleur  montre  les  rapports  et  les  différences  de  ses  recherches  avec  celles 
de  Halphen  et  de  M.  lilliott. 

Ahney  {W.  de  IV.).   —  Éclipse  totale  de  Soleil  observée  à  Tile 
Caroline  le  6  mai  i883.  (i  iq-i^T)). 

I>ryan  (G.).  —  Les  ondes  sur  un  sphéroïde  liquide,  d'ellipticilc 
finie,  animé  d'un  mouvement  de  rotation.  (187). 

Application  de  la  méthode  exposée  par  M.  Poincaré  dans  son  Mémoire  Su/- 
l'équilibre  d'une  masse  fluide  animée  d'un  mouvement  de  rotation  {Acla 
Mathematica,  t.  Vil).  Le  cas  traité  par  M.  Bryan  est  celui  d'un  ellipsoïde  de 
révolution  (  sphéroïde  de  JMaclaurin).  La  solution  est  obtenue  en  se  servant  des 
fonctions  sphériques  (tesserales  ou  zonales)  ordinaires  relatives  au  sphéroïde 
fluide  ou  sphéroïde  auxiliaire  introduit  par  M.  Poincaré  pour  la  résolution  de 
l'équation  diiïércntielle ;  on  n'a  plus  affaire  aux  difficultés  que  comporte,  comme 
dans  le  cas  général,  l'emploi  des  fonctions  de  Lamé;  le  problème  est  simplifié 
par  ce  fait  que  chaque  solution  indépendante  contient  seulement  des  fonctions 
sphéri(iues  d'un  degré  et  d'un  rang  particuliers. 

On  n'a  qu'une  seule  équation  à  la  limite,  relative  à  la  surface  du  sphéroïde, 
qui  détermine  l'amplitude  des  marées  dues  à  une  force  perturbatrice  connue, 
de  même  (|ue  l'élévation  de  la  marée  au-dessus  de  la  surface  moyenne  en  un 
p'>inf  '[U('lriprii|ne  ;'i   un  liiomcnl  donné.   S'il   n'v   a    p;is  de  forces  perl  urbat  lices, 


\ 


1)8  sr^CONDK    VA  KTIH. 

ccLlc  é(iuali()n  délcrmino  la  fréquence  des  diverses  ondes  lilnes   par  des  fonr- 
tions  s|)liéri(|ues  d'ordre  el  de  rang  donnés. 

Les  lois  simples  de  ceUc  fréquence  sont,  étudiées  en  détail  et  même  avec  des 
applications  nurnéri(|ues.  La  question  delà  stabilité  est  traitée  pour  le  cas  d'un 
li((uide  parfait,  et  les  critériun)s  sont  alors  très  didércnts  de  ceux  qui  concernent 
un  liquide  visqueux.  Le  cas  d'une  faible  vitesse  de  rotation  et  d'une  excentricité 
faible  est  traité  avec  détail.  L'auteur  termine  enfin  par  quehjues  considérations 
relatives  aux  théories  cosmogoniques. 

Darwin  (L.),  S  chus  ter  (A.),  Maunder  (  W.).  —  Sur  l'éclipsé 
totale  de  Soleil  du  29  août  188G.  (  :49i-35o). 

Ferry  (Hev.).  —  Rapport  sur  les  observations  de  l'éclipsé  totale 
de  Soleil  du  29  août  1896,  faites  à  l'île  du  Carriacou.  (35i-362). 

Abney  {W.  de  W.),  Thorpe  {T.).  —  Sur  la  détermination  de 
l'intensité  photoinétrique  de  la  lumière  de  la  couronne  pendant 
Féclipse  totale  de  Soleil  du  'icj  août  1886.  (363-384). 

'fumer  {II.)-  —  Rapport  sur  les  observations  de  l'éclipsé  totale 
de  Soleil  du  'xç)  août  1886  faites  à  Gren ville,  dans  l'île  de  Gre- 
nada.  (38.3-393). 

Sc/iusler  (A .).  —  La  variation  diurnale  du  magnétisme  terrestre, 
avec  un  appendice  par  Lainb  (//•).  (467-518). 

Tome  181  ;  i8go. 

EUiott  {E.).  — •  Sur  l'échange  des  variables  dans  certains  opé- 
rateurs différentiels  linéaires.  (19-52). 

Les  opérateurs  que  considère  M.  Elliot  renferment  tous  ceux  que  Ion  a  con- 
sidérés comme  annihilateurs  ou  générateurs  dans  la  théorie  moderne  des  inva- 
riants, réciprocants,  cyclicants,  etc.,  et  ses  recherches  se  rapportent  directement 
aux  travaux  poursuivis  dans  ce  sens  par  le  major  Mac-Mahon  (').  Elles  con- 
cernent les  opérateurs  binaires  et  les  opérateurs  ternaires.  Nous  nous  borne- 
rons à  indiquer  la  nature  du  problème  traité  par  l'auteur. 

Si  l'on  regarde  provisoirement  y  comme  une  fonction  de  x,  ou  jc  comme  une 


(')  The  Tlieory  of  a  mitltilinear  Partial  Differential  Operator  with  appli- 
cations to  the  Théories  of  Invariants  and  Réciprocants  ;  The  algebra  of  niul- 
tilinear  Partial  Dijferential  Operators  {Proceedings  de  la  Société  Mathéma- 
tique de  Londres,  t.  WIIl  et  \I\). 


IIKVUIÎ    DKS   PUBLICATIONS.  .  mj 

foiuiiuii  (le  )'  cl   i|iif  l'on  |)()S(* 


!,(••;  (l(Mi\  ('(jual  ions 


•^'-~     X.!...!-    d.?'  *^'" 


\  =  •>c. '0  -I-  x^T,'  +  j:^t,'  + . . . , 

dont  riiiic  (MiliMine  l'aulrc,  donne  rcxpicssion  de  l'accroissement  y,  de  j'  en 
fonclion  de  raceroisscnienl  ^  de  x,  ou  inversement.  Désignons  par  YÎ""  le  coef- 
licient  de  ^'  dans  le  développement  de  la  puissance  /n'*"'  de  ti  =  y^l  ~^  fA*  +•  •  • 
ordonnée  suivant  les  puissances  ascendantes  de  ^;  de  môme,  par  X^'"*  le  coef- 
lirienl  de  t/  dans  le  développement  do,  la  puissance  /?i'*""'  de  ^  =  x^■r^  +  x^-t^^-\-.  . ., 
ordonnée  suivant  les  puissances  ascendantes  de  r ,  ;  m  est  un  entier,  positif  ou 
négatif;  \s"\  V!,-""  sont  des  fonctions  de  x^,  x^,  ...  d'une  part,  de  jk,,  7^,  ... 
lie  l'autre.  Adoptant  une  notation  du  major  Mac-Mahon,  M.  Elliott  pose 

;jL,  V  sont  des  nombres  donnés;  n  est  un  entier  positif,  négatif  ou  nul;  s  est 
un  indice  de  sommation  qui  doit  prendre  toutes  les  valeurs  entières  depuis  le 
plus  petit  jusqu'au  plus  grand  des  deux  nombres  m  et  — wH-i;et  les  symboles 

J;jL,v;  m,  n  L,  j  [jl,  v  ;  m,  «  j^.,  que  les  égalités  précédentes  définissent,  sont  des 
opérateurs  destinés  à  agir  sur  une  fonction  des  variables  ^,,  x^,  ...,  ou  sur 
une  fonction  des  variables  y,,  JK^,  ...  qui  dépendent  des  précédentes;  dans  ces 
opérateurs  entrent  linéairement  les  dérivées  partielles  par  rapport  à  x^,x^,  ... 
ou  les  dérivées  partielles  par  rapport  à  y,,  y^,  ...  ;  le  but  de  l'auteur  est  de  re- 
présenter l'opérateur  du  type  (  [J.,  v  ;  m,  n )^  comme  un  opérateur  ou  une  somme 
d'opérateurs  du  type  ([x,  v;  m, /i)  ;  il  parvient  ainsi  à  une  suite  très  riche  d'é- 
légantes identités  qui  ont  pour  base  l'égalité  symbolique 

où  /•  est  un  entier  positif  et  où,  après  avoir  efïectué  dans  le  second  membre 
l'élévation  aux  puissances  et  le  produit,  il  est  sous-entendu  que  l'on  doit  rem- 
placer ;'  par  —  •  Signalons  par  exemple  la  relation 

^  ma,  a';  m,  ni'  —  1  !  ^  =  —    m' [x  ,  ix;  m',  m  —  1 1  ,, 

où  m  -+-  m'  doit  être  un  nombre  positif,  qui  contient  comme  cas  très  particulier 
les  relations  explicites, 


Ox^  'âx^  *dx^       ■••  -^'ày,  -^'dy,         -^'ôy^ 


')X^  '  f)x,  *      '  ôx 


iGo  SECONDli   PAHTlIt. 

Les  opi-ralciirs  que  l'on  vicnL  de  considérer,  obtenus  en  prenant  [)Our  point  de 
départ  une  relation  entre  y  et  ^,  sont  dits  opérateurs  binaires;  l'auteur  consi- 
dère de  rncnic  des  opérateurs  ternaires  ayant  un  point  de  départ  analogue  dans 
une  relation  supposée  entre  trois  variables  x,  y,  z. 

Mlchell  (./.)•  —  Sur  la  théorie  des  lignes  de  courants  libres.  (38g- 

4:42). 

L'origine  des  reclierches  de  l'auteur  est  dans  le  Mémoire  de  von  Ilelmliollz 
5a/'  les  nioLwenients  discontinus  d'un  fluide  {Monalsberichte  de  VAccuL  de 
Berlin,  1868);  l'illustre  physicien  a  étudié  l'influence  exercée  sur  le  niouve- 
nient  d'un  fluide  par  les  arêtes  vives  d'un  corps  solide;  on  peut  être  alors  con- 
duit à  considérer  une  surface  de  discontinuité  d'un  côté  de  laquelle  le  liquide 
serait  en  repos;  il  a  donné  une  solution  mathématique  dans  un  cas  de  mouve- 
ment à  deux  dimensions;  depuis,  le  problème  a  été  repris  par  Ivirchhofl"  (  Vorle- 
sungen  ilber  matliematische  Physik)  et  par  lîayleigh  {Phil.  Magazine,  1876). 
L'auteur,  en  étudiant  la  méthode  de  transformation  confornie  des  polygones 
(Schwarz  et  Cliristofl"ell),  a  trouvé  le  moyen  de  donner  une  solution  générale 
du  problème  pour  les  lignes  de  courants  non  rentrantes  en  supposant  planes  les 
limites  rigides.  Il  traite  en  détail  un  très  grand  nombre  de  cas  intéressants; 
enfin  dans  la  seconde  partie  de  son  Ménioire,  il  donne  diverses  extensions  des 
formules  de  transformation  qui  sont  applicables  aux  problèmes  des  condensa- 
teurs et  à  la  forme  des  vortex  creux,  dans  certains  cas. 

Basset  {A.).  —  Sur  l'extension  et  la  flexion  des  enveloppes  rigides 
minces,  de  forme  cj'lindrique  ou  sphérique.  (433-48o). 

Critique  du  Mémoire  de  M.  Love  inséré  dans  les  Transactions  pour  18S8; 
l'hypothèse  faite  par  difTérents  auteurs  qu'on  peut  négliger  les  composantes  ï{, 
S,  T  n'est  pas  admissible;  toutefois  elle  a  conduit  M.  Love  à  des  résultats 
exacts  pour  des  raisons  que  discute  M.  Basset;  ce  dernier  reprend  d'ailleurs 
le  problème  par  une  méthode  qu'il  a  employée  aussi  pour  le  problème  des 
plaques  {Proceedings  de  la  Société  Mathématique  de  Londres,  t.  XXI). 

Mac-Mahon  (P-)-  —  Mémoire  sur  les  fonctions  symétriques  des 
racines  d'un  système  d'équation.  (48i-536). 

De  même  que  les  fonctions  symétriques  entières  des  racines  d'une  équation 
s'expriment  au  moyen  des  coefficients  (fonctions  symétriques  élémentaires)  des 
diverses  puissances  de  x  dans  le  développement  du  produit 

(i-F  a,^)(l-^  a^^)...(i-ha„jc)---, 

où  il  convient  de  laisser  illimité  le  nombre  des  quantités  ot,,  a^,  . . . ,  a,^,  . . .  dont 
on  veut  former  les  fonctions  symétriques,  de  même  la  théorie  des  fonctions 
symétriques  des  racines  de  deux  éi|uations  doit  reposer  sur  l'élude  du  produit 

(i-a,x-i-?,r)(n-3t^->c-i-  ?.r)--- 

et  les  fonctions  symétriques  rhercliées  devront  s'exprimer  au  moyeu  des  coef- 
ficients de  ce    (léveloppemenl .   (]ni    joueront   le  rôle   de  fonctions  symétriques 


luiviii':  i>i:s  PI)  iJMCA  rioNs.  iih 

«■•Irinriil.iiics  ;  ce  (lc\  cloiipctiicnt   cnI   •!<•  lii  loriiic 

L.i  fomlioii  syiii<'lri(|ii("  la  [tins  j,'(ii('iiil(;  est  de  lit   forme 

«III  la  sommalioii,  s'il  y  a  //  couples  (  a^,  J"i,  )  de  sohilioiis,  doit  èlre  élcndue  à 
toules  les  permulalions  <les  indices  i,  •.!,  .'!,  ...,  n.  Celle  fonclir)ri  s}  inélrique 
peul  ùlrc  rcprésenlée  symboliciucmenl  par 

(/^7./^7./^:7.•••)• 

Le  poids  de  celle  fonclion  tloil  èlre  regardé  comme  se  composanl  de  deux 
parlies  ^p,  Zq  :  c"csl  un  double  poids  ;  le  poids  lolal  esl  ^p-\-^q.  Ainsi  à 
clia«iiie  entier  i\',  eonsidéré  comme  un  poids  lolal,  sera  allaché  un  double  poids 
corrcspondanl  à  cha(|iie  composilion  de  w  comme  somnjc  de  deux  nombres  en- 
tiers (posilifs  ou  nuls).  Deux  compositions  dans  lesquelles  l'ordre  diffère 
doivent  être  regardées  comme  distinctes,  en  sorte  que  leur  nombre  est  w  +  j  . 
A  chaque  double  poids  correspondent  des  doubles  partitions;  l'expression 

est  une  double  partition  du  double  poids 

^P  =/^  +  A  +  ---+/^,o        -7  =  ^,+  7.  +  - ••+'/,.; 

/;,,  7,  est  une  double  part  de  la  double  partition  ;  de  même  p^,  q^,  ou  p^,  q^,  .... 
IM.  Mac-Mahon  montre  comment  la  règle  connue  pour  trouver  le  nombre  de 
partitions  d'un  nombre  s'étend  à  la  détermination  du  nombre  de  •  partitions 
d'un  double  poids,  dans  le  sens  que  l'on  vient  d'indiquer;  il  donne  une  liste 
des   fonctions    symétriques    distinctes    pour    les    poids   totaux    i,   2,   3,  4-   Les 

sommes  de  puissances  semblables  telles  que    >    a^,3^'  s'obtiennent  sans  peine. 

i 

La  formule  de  Waring-Vandermonde  est  susceptible  d'une  belle  généralisation. 
On  rencontre  diverses  lois  de  symétrie.  La  théorie  des  opérations  dideren- 
tielles  donne  lieu  à  d'intéressants  développements.  Enfin  l'auteur  termine  en 
donnant  les  résultats  relatifs  aux  fonctions  symétriques  jusqu'au  poids  4  inclu- 
sivement. 

}f  alAer  (/.).  —  Compte  rendu  d'observations  des  pendules  pour 
la  détermination  des  forces  relatives  de  gravité  aux  Observa- 
toires de  Kew  et  de  Greenwicli.  (537-558). 

Tome  482  ;  1891. 

Dcinvin  (G.).  —  Sur  la  prédiction  des  marées,  (i  59-230). 
Nii'cn  (  fC).  —  Sur  les  harmoniques  rllipti(|ucs.  (231-278). 


i6>.  SKCONDI':    PAIMIK. 

La  théorie  des  fonctions  harnrjoniques  relatives  à  l'ellipsoïde  (harmoniques 
elliptiques)  est  fondée  habituellement  sur  l'expression  des  solulions  de  l'équa- 
tion de  Laplace  au  moyen  des  coordonnées  elliptiques  considérées  comme  va- 
riables indépendantes.  C'est  à  Lame  que  l'on  doit  les  principes  de  cette  théorie, 
dont  M.  Heine  a  donné  une  exposition  complète  dans  son  livre  classique  sur 
/es  fonctions  spliériques.  Quoique  cette  théorie  soit,  le  plus  souvent,  celle  qui 
s'adapte  le  mieux  aux  applications  pratiques,  il  peut  être  avantageux,  dans 
certains  cas,  d'exprimer  ces  fonctions  au  moyen  des  coordonnées  cartésiennes  : 
c'est  à  ce  point  de  vue  que  M.  Niven  reprend  la  théorie. 

Considérant  un  ellipsoïde  à  trois  axes  inégaux,  il  développe  d'abord  (§2-15) 
les  propositions  relatives  aux  points  intérieurs,  puis  (§  lG-21)  les  propositions 
relatives  aux  points  extérieurs  à  cet  ellipsoïde.  Pour  ce  qui  est  de  l'intérieur, 
il  établit  entre  les  harmoniques  elliptiques  et  certaines  fonctions  harmoniques 
spliériques  qui  leur  correspondent  d'intéressantes  relations  qui  permettent,  en 
premier  lieu,  d'exprimer  explicitement  les  harmoniques  elliptiques  au  moyen 
des  coordonnées  cartésiennes,  puis,  en  second  lieu,  de  déterminer  le  dévelop- 
pement, en  série  d'harmoniques  elliptiques,  d'une  fonction  ayant  des  valeurs 
arbitrairement  assignées  sur  la  surface  de  l'ellipsoïde.  M.  Niven  traite  en  par- 
ticulier ce  problème  quand  ces  valeurs  arbitraires  sont  celles  que  prend  une 
fonction  homogène  des  coordonnées  x,  y^  z',  l'extension  au  cas  d'une  fonction 
qui  peut  se  développer  par  la  formule  de  Taylor  est  aisée.  L'auteur  a  donné 
l'expression  d'un  tel  développement  en  série  d'harmoniques  elliptiques  pour 
l'inverse  de  la  distance  d'un  point  fixe  à  un  point  variable  de  la  surface  de 
l'ellipsoïde. 

La  proposition  fondamentale  concernant  les  harmoniques  elliptiques  consiste 
dans  l'expression  de  ces  harmoniques  au  moyen  d'opérations  diflerentielles 
effectuées  sur  le  potentiel  relatif  à  un  point  extérieur  d'un  ellipsoïde  de  densité 
variable.  Elle  est  obtenue  par  une  marche  analogue  à  celle  de  Maxwell  dans 
sa  théorie  de  l'attraction  fondée  sur  l'interprétation  physique  des  harmoniques 
spliériques. 

Comme  applications,  l'auteur  a  considéré  successivement  le  problème  du  ma- 
gnétisme induit  dans  un  corps  de  forme  ellipsoïdale  (§  22-24),  le  potentiel  dû 
à  une  enveloppe  mince  limitée  par  deux  ellipsoïdes  homothétiques,  la  densité 
variant  en  raison  inverse  de  la  distance  à  un  point  fixe  (§25-27),  un  théorème 
concernant  la  détermination  de  la  capacité  électrique  (§  28). 

Dans  la  dernière  partie  de  son  Mémoire,  M.  Niven  étudie  ce  que  deviennent 
ses  harmoniques  elliptiques  dans  le  cas  d'un  ellipsoïde  de  révolution  aplati  ou 
allongé  ( §  30-52 ).  Les  fonctions  harmoniques,  pour  l'ellipsoïde  allongé,  peuvent 
se  ramener  aux  fonctions  harmoniques  du  cylindre  circulaire,  ou  du  parabo- 
loïde  de  révolution.  Enfin  l'auteur  termine  en  s'occupant  des  théorèmes  d'ad- 
dition pour  les  fonctions  harmoniques  elliptiques,  les  fonctions  sphériques  de 
seconde  espèce  et  les  fonctions  de  Bessel. 

Sampson  (B.).  —  Sur  la  fonction  de  courant  de  Stokes.  (449" 
5i8). 

Dans  la  théorie  que  développe  l'auteur,  l'équation  aux  dérivées  partielles 

dV  r        à\i.^   ~~    ' 

où  IX  =  cosG,  joue    un   rôle  analogue  à   celui   de   réijualion  de  Laplace  dans  la 


KKViii<:  \)i:^  rniuj CATIONS.  lOi 


tlirorio  (les  fonctions  splirriciucs  ;  hi  (|(iiiiil  ilr  I{  =  ^  i  —  \>y.x-hu:'  so  développe 
en  une  série  de  la  forme 

où  les  fonctions  I„(-f)  satisfont  à  ré(|nalion  (Jin'érenli(!lle  lin(''aiie 

f-a  ihéoi-ie  de  ces  fonctions  se  dévelop|)e  parallèlement  à  celle  des  fonctions^ 
spliéri(|ucs  et  remplit  la  première  partie  du  Mémoire  de  IM.  Sampson.  La  se- 
conde partie  contient  des  applications  à  l'Hydrodynamique,  pour  des  mouve- 
ments oii  tout  se  [)asse  symétriquement  par  rapporta  un  axe.  Les  liquides  sont 
supposés  visqueux,  l/auteur  examine  successivement  les  cas  d'un  obstacle 
sphérique,  en  forme  d'hyperboloïde  ou  d'ellipsoïde  de  révolution,  de  tore,  de 
paraboloïde  de  révolution,  de  disque  circulaire,  etc. 

Poynting  (/.).  —  Siii*  la  déterminalion  de  la  densité  moyenne  de 
la  Terre  au  moyen  de  la  balance  ordinaire.  (565-656). 

Tome  183;  1892. 

Grylls  Adams.  —  Comparaison  des  perturbations  magnétiques 
pour  divers  observatoires.  (i3i-i4o). 

mu  (/.).  —  Rôle  des  lieux  de  points  singuliers  et  de  lignes  sin- 
gulières dans  la  théorie  des  surfaces  enveloppes.  (i4i-2'^8). 

Le  Mémoire  de  M.  Mill  se  partage  naturellement  en  deux  parties  suivant 
que  l'équation  de  la  famille  de  surfaces  dont  on  considère  l'enveloppe  contient 
un  ou  deux  paramètres.  On  suppose  dans  tous  les  cas  que  cette  équation  est 
entière  tant  par  rapport  aux  coordonnées  que  par  rapport  aux  paramètres. 
Dans  le  premier  cas,  si  l'équation  de  la  surface  est 

f{x,  y,z,a)=  o, 

le  discriminant  A  de  cette  équation,  considéré  comme  une  équation  en  a,  a 
un  sens  précis.  Il  contient  évidemment  en  facteur  le  premier  membre  E  de- 
l'équation  de  l'enveloppe.  S'il  y  a  une  courbe  lieu  de  points  coniques,  cette 
courbe  est  sur  la  surface  A  =  o.  S'il  y  a  une  surface  B  —  o  lieu  d'une  ligne 
binodale,  A  contient  B^  en  facteur.  Le  facteur  s'élève  cube  s'il  s'agit  d'une  ligne 
nodale  telle  que,  en  chaque  point,  les  deux   plans   tangents  coïncident,  etc.. 

M.  Hill  étudie  avec  détails  les  cas  exceptionnels  où,  l'équation  --  =  o  admettant 

des  racines  égales,  deux  caractéristiques  coïncident. 

Le  cas  où  l'équation  f{x,  y,  z,  a,  6)=  0  de  la  famille  de  surfaces  contient 
deux  paramètres  donne  lieu  à  une  étude  analogue,  d'une  nature  un  peu  plus 
compliquée.  Va\  conscrsant   la   lettre   A   pour  désigner  le  premier  membre  de 


iG4  SHCONDH   PAIITIK. 

l'é(iuaLiuii  obLcnue  en  ('•liiiiiiiunl  a,  h  <.'nU'c  les  éciualions 

/—  f>>        /'a  ~  <>i         f'h~  o, 

si  C  =  o  est  l'équaLion  du  lieu  d'un  point  conicjue,  A  conlient  C  en  fadeur; 
si  B  =  o  est  l'équalion  du  lieu  d'un  point  double  hiplanaire,  A  eontient  B^  en 
facteur;  si  U  =  o  est  l'équation  du  lieu  d'un  point  doultic  uniplanaire,  A  con- 
tient 1]*=  en  facteur.  Ces  facteurs  s'élèvent  à  des  degrés  plus  élevés  dans  certains 
cas  particuliers.  L'auteur  acconnpagnc  ses  développements  théoriques  de  nom- 
breux exemples. 

Walker  {G.).  —  llépulsion  eLrotalloii  piochiiles  par  des  couraïUs 
électriques  alternatifs.  (2^9-33o). 

Burhury  {E-)-  —  Stir  le  choc  de  corps  élastiques.  (40--422). 
Examen  de  la  doctrine  de  Maxwell-Bollznian. 

Ileaviside  (O.).  —  Stir  les  forces,  tensions  et  ilux  d'énergie  dans 
le  champ  électro-magnétique.  {/\'2'6-/\So). 

Macaulay  {A.).  —  Sur  la   théorie  mathématique   de  l'élcctro- 
magnétisme.  (68 5-- 80). 

Tome  184;  1893. 

Bennet  (G.).  —  Sur  les  résidus  de  puissances  pour  un  module 
composé,  réel  ou  complexe.  (189-336). 

Considérons  le  cas  d'un  module  réel  m  :  il  existe  alors,  comme  on  sait,  des 
racines  primitives  si  le  module  est  un  nombre  premier  impair,  ou  une  puissance 
d'un  tel  nombre  premier,  ou  encore  le  double  d'une  telle  puissance.  Une  racine 
primitive  du  module,  quand  elle  existe,  engendre  par  les  restes  de  ses  puissances 
le  système  complet  des  9  (m)  nombres  premiers  à  jn  et  inférieurs  à  lui.  En 
général  quand  le  module  est  un  nombre  composé  quelconque,  le  concept  de 
racine  primitive  doit  être  remplacé  par  le  concept  d'un  système  de  nombres 
dits  générateurs  :  ce  sont  les  puissances  de  ces  générateurs  et  les  produits  de 
ces  puissances  qui  engendrent,  comme  restes,  le  système  des  9 (m)  nombres. 

L'objet  princi|)al  de  la  première  partie  du  Mémoire  de  M.  Bennet  est  l'étude 
de  ces  systèmes  de  générateurs  :  déterminer  leur  forme  générale;  d'un  système 
de  générateurs  déduire  tous  les  autres  systèmes;  reconnaître  si  un  système 
donné  de  nombres  constitue  ou  non  un  système  de  générateurs. 

Dans  la  seconde  partie,  l'auteur  étend  aux  nombres  complexes  les  recherches 
qu'il  vient  de  développer  pour  les  nombres  entiers  réels;  les  propositions  rela- 
tives aux  entiers  coniplexes  suivent  parallèlement  celles  qui  se  rapportent  aux 
entiers  réels;  quelques  cas,  toutefois,  demiuitlcnt  une  étude  spéciale  :  tel  est, 
en  particulier,  le  cas  d'un  module  égal  à  (i-i-  /)'".  Le  .Mémoire  de  M.  Bennet 
reprend  la  théorie  àc>  restes   de    [tuissances  à  ses  premiers   principes,  en  sorte 


u  \:\  II.  i)i:s  l'nn.icA  iioNs.  ir,5 

(|iii'   rmiilf  (Ir  nul  IhmIc  ii|)|i,ii':iil    liicii   net  I  cfiiciil .  (>ii  1 1  imi\  ci;!,   diiiis  iiti  ;i|i|icn- 
dir»',   iiiif   hililr  iriiidifcs  |)(Mii'  les   iihmIiiIcs  coin  [iIcms  doiil    l;i    iiorinc   ne  (l('passc 

|lilS     lOO. 

Lndfra  (().).  —  Prohirmc  de  TalxTial  Ion.  Discussion  relative  an 
inouvcmciil  de.  \\''l.\ivv  dans  le  voisinage  (!<;  la  Ferre  et  la  con- 
nexion cnirc  Tcilici'  cl  la  matière.  ('j'Ày-So/\). 

Dyson  (A'.).  —  Polcnlicl  d'un  tore  annulaire.  (4'^>-9C;  io4  '-i  106). 

Considérons  un  loïc  annulaire  adincllant  l'axe  des  z  pour  axe  de  révolution 
cl  ayant  sou  axe  circulaire  de  rayon  C  dans  le  plan  des  xy;  si  l'on  désigne 
par  /•,  0,  9  les  coordonnées  polaires  d'un  point  {x,y,z)  extérieur  au  tore,  la 
fond  ion 


,=  r        d-,  

<-  0      V  ''^+  t.'^ —  2r/'sinO  cos» 


est  une  solution  de  ré(|ualion  de  Laplace,  finie  pour  tous  les  points  extérieurs 

au  tore  et  s'annulant  à  l'infini;  —  est  une  autre  solution  et  deux  autres  sys- 

Oz 

ternes  de  solutions  s'obtiennent  en  difTércntiant  I  ou  -—  par  rapport  à  c,  autant 

0  ^ 

de  fois  que  l'on  veut.  Lorsque  la  plus  courte  dislance  H  du  point  considéré  au 

cercle  central   est  moindre  que  c,   l'intégrale  précédente  peut  être  développée 

p 
suivant  les  puissances  de  —  ;  les  fonctions  ainsi  engendrées  et  quelques  autres 

analogues  servent  dans  certains  probicnies  d'Hydrodynanaique.  L'auteur  montre 
ensuite  comment  le  potentiel  relatif  à  un  tore  annulaire  peut,  pour  tous  les 
points  extérieurs,  être  développé  en  une  série  d'intégrales.  Les  premiers  termes 
du  développement  sont  ramenés  à  la  forme  d'intégrales  elliptiques.  Les  sur- 
faces équipotentielles  sont  déterminées  pour  quelques  valeurs  simples  du  rap- 
port de  l'épaisseur  de  l'anneau  au  diamètre  moyen.  M.  Dyson  étudie  ensuite 
le  potentiel  d'un  anneau  conducteur  pour  les  points  extérieurs,  puis  le  mouve- 
ment d'un  anneau  dans  un  fluide  indéfini. 

Enfin  l'auteur  s'occupe  de  la  forme  annulaire  d'une  masse  fluide  animée 
d'un  mouvement  de  rotation  quand  l'épaisseur  de  l'anneau  est  petite  par  rap- 
port au  rayon  moyen.  La  forme  de  la  section  par  l'axe  peut  être  représentée 
par  la  formule 

R  =  a  (i  -I-  p^cos2/  H-  J3,  cos 3 /'-}-. . .), 

où  ^^,  |ij,  ...  sont  du  second,  du  troisième  ordre  par  rapport  à  — -  Ces  termes 
sont  donnés  jusqu'au  quatrième  ordre. 

Dans  la  seconde  partie  le  potentiel  est  déterminé  pour  les  points  intérieurs. 
Létude  est  faite  de  la  stabilité  d'un  anneau  fluide  tournant,  pour  trois  sortes 
de  perturbations  :  1°  l'anneau  reste  symétrique  par  rapport  à  l'axe  de  révolu- 
tion et  à  l'axe  circulaire,  mais  la  section  méridienne  est  déformée;  2"  cette 
dernière  section  reste  circulaire,  mais  l'axe  circulaire  est  déformé;  3°  l'axe  cir- 
culaire reste  non  troublé,  mais  la  section  est  un  cercle  de  rayon  variable. 

Vax  \iie   île    r.iniic.ui    de   S;iliuiie.    l'aulcui'   déleniiiiie   le    potentiel    pour    un 


i(;(i 


SKCONDI-    PAU  ri  i:. 


anneau  à  section  ellipli(jue;  les  résulLals  (in'il  oblicnt  ronroidcnt  avec  ceux  de 
Laplace.  L'auteur  étudie  ensuite  le  mouvement  d'un  vorlex  annulaire  de  section 
finie.  Les  résultats  concordent  avec  ceux  de  1\L  Ilicks  obtenus  au  moyen  des 
fonctions  toroïdales.  Il  traite  enfin  du  mouvement  de  plusieurs  vortex  annu- 
laires ayant  même  axe  et  des  sections  très  petites. 

Mac-Mahon  (P.).  —  Mémoire  sur  la  théorie  de  la  composition 
des  nombres.  (SSS-goi). 

Les  problénries  dont  s'occupe  le  major  Mac-Mahon  dans  ce  Mémoire  ont  leur 
origine  dans  certaines  questions  numériques  qui  se  posaient  naturellement 
dans  un  Mémoire  antérieur  sur  les  fonctions  symétriques  des  racines  de  deux 
équations.  I^our  en  faire  comprendre  la  nature,  bornons-nous  au  cas  le  plus 
simple,  celui  d'un  ensemble  de  deux  nombres  entiers  positifs/?,  q  ou,  si  Ton 
veut,  d'un  nombre  à  deux  parties  {p,  q).  Décomposer  ce  nombre  en  /•  parties  : 
c'est  trouver  /•  couples  de  nombres  entiers  positifs  ou  nuls,  sans  qu'un  couple 
puisse  être  composé  de  deux  nombres  nuls  (a,,  [âj,  (a^,  p^),  ...,  (a^?  ?r)  ^^^^ 
que  l'on  ait 

le  système  (a,  ^,,«^1^2,  ••■i^r^r)  ^^^  une  composition  du  nombre  à  deux  parties 
{p,q)  en  r  parts.  Par  exemple  le  nombre  (2,  1)  est  susceptible  des  composi- 
tions suivantes  en  une,  deux,  trois  parts, 

(:20,  01),      (01,20),      (11,10),      (10,11), 

(10,     10,    01),        (  10,    01,     10).        (01,     10,     !o). 

Le  nombre  de  compositions  de  {p,  q)  en  /-  parts  est  représenté  par  f{p,  q;  r) 
tandis  que  le  nombre  total  de  compositions  est 


i^ip^q)=  ^^  fiP' 7:  '')• 


r  —  l 


Ces  problèmes  se  généralisent  facilement  et  l'auteur  donne  des  règles  pour  le 
calcul  des  fonctions  numériques  telles  que  /  et  V.  On  a,  par  exemple. 


1-  (  /?,  ^  )  =   ■2l'  +  1  -•   ^^  "^  ^^'    —  2I'  +  1-' 


iP 


p\q\ 


'■(y^-')!(7-')! 


•i/'-"f-3 


{  p-+-q  —  -i  ) 


2\{p-  ■î)\{q  —  ■i)\ 


les  termes  étant  continués  tant  qu'on  ne  rencontre  pas,  en  dénominateur,  de 
factorielle  nulle.  Une  représentation  graphique  peut  aider  cette  élude;  on  con- 
sidère l'ensemble  des  points  ayant  pour  abscisse  l'un  des  nombres  o,  i,  2,  . . . , p 
et  pour  ordonnée  l'un  des  nombre  o,  i,  2.  . . . ,  ^7  en  excluant  toutefois  l'origine, 
que  nous  désignerons  par  0  et  le  point  de  coordonnées  (/?,  q),  que  nous  dési- 
gnerons par  A;  les  points  restants  seront  ce  que  nous  appellerons  \es  points 
du  réseau.   Imaginons   maintenant  un   chemin,  allant  du  point  O  au  point  A. 


UKVni-;    DI'S    IM'HI. ICA  1  IONS.  iC; 

(|ui  soit  coiiiiKisf  iini(|U('riicnl  de  s(îf;iiiciiLs  parallèles  aux  axes  toujours  par- 
courus, cpiaïul  ou  va  do  ()  à  A  clans  le  sens  des  x  ou  des  y  posilils,  et.  qui  soient 
toujours  limités  ;"»  des  points  du  réseau,  l'origine  du  premier  segment  étant  le 
point  (),  rextriMuitt'  du  dernier  étant  le  point  A.  Un  tel  chemin  est  une  roule 
de  O  A  A  :  si  l'on  désigne  sous  le  nom  de  nœud  essentiel  tout  point,  non 
situé  sur  les  axes,  où  la  route  cliangc  de  direction,  on  démontre  que  le  nombre 
de  toutes  admettant  .v  nœuds  essentiels  est  le  produit  des  deux  coenicients  bi- 

nomiaux   (       )  (      )•   ^'  '^*"  considère,  en  outre  des  nœuds  essentiels,  d'autres 

points  du  réseau  situés  sur  la  route  comme  étant  aussi  des  nœuds,  de  manière 
à  avoir  en  tout  r  —  \  nœuds  de  coordonnées  (.r,,  y,),  (^,,  yj,  .  •  ■ ,  (^r_,,JK^_,), 
ces  points  étant  rangés  dans  l'ordre  où  on  les  rencontre  en  allant  de  O  à  A, 
(tu  aura  défini  une  composition 

(a,  [i,,  a_.ii^,  ...,  a,.;i,.), 
(lu  nombre  {p,q)  en  /•  parts,  en  posant 

le  nombre  de  compositions  qui  correspondent  ainsi  à  une  route  admettant  s 
nœuds  essentiels  est 

M.  Mac-Mahon  établit  diverses  lois  concernant  ces  modes  de  composition,  qui 
correspondent  à  d'intéressantes  identités  numériques.  Le  mode  de  représenta- 
lion  que  nous  venons  d'expliquer  s'étend  aisément  à  l'espace,  pour  les  nombres 
{p,q,r)  à  trois  parties.  Le  problème  est  d'ailleurs  généralisé  dans  diverses 
directions. 

GiVfther  (/?.)•  —    ^'^^^  ï^s  covariants  différentiels  des  courbes 
planes  et  sur  les  opérateurs  employés  dans  leur  développement. 

Hechcrches  dans  le  même  ordre  d'idées  que  celles  d'Halphen  :  conditions 
pour  que  la  forme  d'une  fonction  reste  inaltérée,  à  un  facteur  près,  par  une 
transformation  homographique;  forme  du  facteur;  introduction  de  trois  opé- 
rateurs différentiels;  méthode  de  formation  des  covariants,  relations  de  réci- 
procité entre  les  opérateurs;  déduction  des  fonctions  réciproques  et  contrava- 
riantes.  Application  aux  cubiques.  Equation  de  la  cubique  osculatrice.  Usage 
des  coordonnées  invariantes.  Equation  intrinsèquement  invariante  d'une  courbe. 


Tome  18o;  1894. 

Taylor  (//•)•  —  Sur  une  forme  spéciale  de  Téquation  générale 
d'une  surface  du  troisième  degré  et  sur  un  diagramme  repré- 
sentant les  vingt-sept  droites  de  la  surface.  (3^--o). 

La  forme  considérée  est  la  suivante  : 

xyz  u  =  {x  —  aT){y  —  b'V){z  —  cT){u^  dV  ), 


,(;8  SKCONDI';    l'AUÏIK. 

oii  T  z=  OLX -\- ''^y -h  y  z -^  ou.  Sur  celle  foriiic  douze  dioiles  apparaissent  irn- 
médialemenl  situées  sur  les  faces  du  télraèdie  de  référence  :  on  trouve  ensuite 
trois  droites,  dont  l'une  a  des  équations  de  la  forme 


X        n 

1-  - 

a        a 

-  T  =.  o, 

b         c 

-T  =  o; 

les  douze  autres  se  déduisent  aisément  de  ce  fait  qu'une  droite  quelconque  de 
la  surface  rencontre  et  rencontre  une  seule  parmi  trois  droites  qui  forment  un 
triangle;  deux  de  ces  douze  droites  sont  données,  par  exemple,  par  les  équations 

X  —  aT  =  Ay, 

z  —  cT  =  ij.  w, 

où  >v  et  [X  sont  déterminés  par  les  conditions 

a  ^  A;x  -h  (  rt  a  H-  ^  ^  —  i  )  jx  —  c  o  =  o , 
7  dlix  H-  (  c  Y  -h  r/  0  —  I  )  A  —  a  |"i  -=  o. 

L'auteur  donne  diiïércnts  diagrammes  qui  facilitent  l'élude  des  intersections 
mutuelles  de  ces  drt)itcs.  L'un  d'eux  est  constitué  comme  il  suit  :  les  27  droites 
sont  représentées  schématiquement  sur  un  plan,  d'une  pari,  par  27  droites  pa- 
rallèles; d'autre  part,  par  27  droites  encore  parallèles,  mais  perpendiculaires  aux 
premières.  Chaque  droite  est  ainsi  représentée  deux  fois  :  les  27-  points  d'in- 
tersection sont  distingués  au  moyen  de  trois  signes  diiïérenls  :  l'un  de  ces 
signes  correspond  au  cas  où  il  s'agit  de  deux  droites  du  diagramme  qui  re- 
présentent la  même  droite  de  la  surface,  un  autre  au  cas  où  il  s'agit  de  deux 
droites  du  diagramme  qui  représentent  deux  droites  de  la  surface  qui  ne  se 
coupent  pas;  le  troisième  enfin  correspond  au  cas  où  l'on  a  affaire  à  deux 
droites  du  diagramme  qui  représentent  deux  droites  de  la  surface  qui  sont 
dans  un  même  plan.  De  tels  diagrammes  rendent  aisée  rénuméralion  des  en- 
sembles de  deux,  trois,  quatre,  cinq  ou  six  droites  de  la  surface  dont  aucune 
ne  rencontre  les  droites  d'un  même  ensemble,  ou  des  triangles,  quadrilatères, 
pentagones,  hexagones  situés  sur  la  surface.  L'auteur  érudie  encore  les  plans 
triplement  tangents. 

Pearson  (A.).  —  Contribution  à  la  tfiéorle  mathématique  de  ré- 
volution. (  71-1  10). 

Nous  ne  pouvons  donner  ici  que  l'idée  des  recherches  de  M.  Pearson.  Ima- 
ginons qu'après  avoir  mesuré  dans  un  très  grand  nombre  de  cas  un  organe 
<léterminé  d'un  animal  appartenant  à  un  même  type  ou  à  une  même  famille,  on 
prenne  pour  abscisses  x  la  dimension  de  cet  organe,  puis,  ayant  fixé  un  petit 
écart  ox,  pour  ordonnée  le  nombre  de  cas  où  la  mesure  de  l'organe  considéré 
tombe  entre  x -\- Zx  el  x  —  ox,  on  formera  une  courbe  dite  courbe  de  fré- 
quence. Il  est  naturel  de  transporter  l'origine  des  abscisses  au  point  de  l'axe 
des  X  qui  correspond  à  la  moyenne  des  observations.  Il  peut  se  faire  alors  que 
la  courbe  obtenue  soit  de  la  forme  (normale)  définie  par  l'équation 


r  =  e 


—  Il .» 


l^^î    fo^-^ 


UKVUK    DKS    IHIBMCATIONS. 


i()() 


bien  connue  diiiis  la  lliroric  dis  criciirs.  C'csl  ce  qui  arrive,  par  exemple,  comme 
Quctclct  l'a  montré  dans  son  Antliropomélric,  pour  les  observations  de  la  taille 
bumaine,  résultant  des  monsuiations  de  conscrits.  Dans  ce  cas  le  type  con- 
sidéré correspond  vraisemblablemcut  à  certaines  conditions  de  stabilité:  l'es- 
pèce  est  fixée,  au  moins  dans  une  certaine  mesure.  Mais  il  peut  arriver  aussi 
que  la  courbe  présente  (iucl([ue  déviation  de  la  forme  noruiale,  et  l'on  conçoit 
que  l'étude  de  ces  déviations  puisse  avoir  un  grand  intérêt  pour  déterminer 
les  Icndanros  à  la  modification  de  l'espèce. 

Miic  Mctiioii.  —  Sur  une  certaine  classe  de  fonctions  génératrices 
dans  la  tliéorie  des  nombres,  (i  i  i-iGo). 

Considérons  les  formes  linéaires 


j  —  n 


X,:  =  2]  '''/'^i  ^' 


.,  n) 


i=i 


et  la  fraction 


(i-*,X.)(i-5,\J...(i-5„Xj' 


que  l'on  suppose  développée  suivant  les  puissances  ascendantes  et  les  produits 
de  J7,,  Xj,  ...,  J7„;  la  partie  de  ce  développement  qui  est  fonction  seulement 
des  produits  s^x^,  s^x.^,  .  , .,  5„x„  et  des  coefficients  a,y  des  formes  linéaires  est 

donné  par  la  quantité  rp- où  V„  est  le  produit  par  {  —  i)"s^s., . . .  s^^x^x, . . .  x„ 

n 

du  déterminant 


I 
s.x. 


a.. — 


s.  X., 


«....— 


s^x. 


Le  développement  de  —  ne  dépend  que  des  mineurs  relatifs  aux  éléments  de 

n 

la  diagonale  de  ce  déterminant  (mineurs  coaxiaux). 
Il  résulte  de  là  que  la  fonction  génératrice  des  coefficients  de  x\^  x\- . .  .x)'^  dans 

le  développement  de  Xf'Xfî,,.X^«  est  précisément  fournie  par  la  quantité  —  - 

n 

Par  exemple,  les  coefficients  de  x\^  x\°  . . .  x\^^  dans  le  développement  de 

(X,  +  a;,  + . .  .  +  J7„  )'^.  ( a:,  +  JC3 -H . .  .  +  ^„ )^2 . . .  (  ^, -+- ^,  + . . .  +  ^„_,  )^», 

auxquels  il  est  aisé  de  donner  une  signification  dans  la  théorie  des  permuta- 
tions, ont  pour  fonction  génératrice  l'expression 


I  —  21  a;,  x^ —  iïLx^x^x^—  à^x^x^x^x^ 


.  . —  {il  —  l)X^X.^.  .  .x^^ 

Bull,  des  Sciences  matliém.,  1"  série,  t.  XX,  (Septembre  1896.)  i{,i2 


170 


SliCON'Dli  PAirriE. 


L'auteur  développe  les  importanLes  conséquences  que  l'on  peut  déduire  de 
la  proposition  précédente  au  point  de  vue  arithmétique. 

Incidemment,  il  obtient  des  résultats  intéressants  qui  se  rapportent  à  la 
théorie  des  déterminants.  Ils  considère  le  détcrtninant  spécial  (inversement 
symétrique)  dans  Ictjucl  les  éléments  de  la  diagonale  principale  sont  égaux  à 
l'unité,  tandis  que  les  éléments  symétriques  par  rapport  à  cette  diagonale  sont 
inverses  l'un  de  l'autre.  Il  étudie  aussi  les  relations  entre  un  déterminant  gé- 
néral et  les  mineurs  coaxiaux.  Le  déterminant  général  d'ordre  pair,  plus  grand 
que  deux,  s'exprime  en  fonction  irrationnelle  de  ses  mineurs  coaxiaux,  et  cela 
de  deux  manières  diflerentes.  Pour  les  déterminants  d'ordre  impair,  il  n'y  a 
pas  d'expression  pareille.  Pour  un  ordre  n  supérieur  à  3,  on  ne  peut  pas  prendre 
arbitrairement  le  déterminant  lui-même  et  ses  mineurs  coaxiaux.  Ces  quan- 
tités sont  liées  par  2" — n^^  n  —  2  relations;  si  ces  conditions  sont  vérifiées, 
on  peut  construire  le  déterminant  en  laissant  indéterminées  n  —  i  quantités. 

Ilill  [M.).  —  Sur  un  vortex  sphériqiie.  (.2i3-245). 

Le  point  de  départ  de  l'auteur  se  trouve  dans  un  résultat  obtenu  dans  un 
Mémoire  de  lui,  inséré  dans  les  Transactions  pour  l'année  i88/|  et  intitulé  : 
On  the  motion  of  Fluid,  part  of  which  is  moving  rationally  and  part  irra- 
tionally,  à  savoir:  la  possibilité  d'un  mouvement  symétrique  autour  de  l'axe 
des  z  et  tel  que  la  surface  dont  l'équation  est 


\r^ 
/•M  — 


(^ 


Y 


C' 


—  1     =  const.. 


contienne  toujours  les  mêmes  particules  de  fluide  :  dans  cette  équation,  r  est  la 
distance  à  l'axe  des  z\  a,  c  sont  des  constantes;  ;;  est  une  fraction  arbitraire 
du  temps.  Dans  le  présent  Mémoire  l'auteur  examine  le  cas  où,  a  étant  égal  à  c, 
la  surface  précédente,  si  on  ne  tient  pas  compte  d'un  cylindre  évanouissant,  se 
réduit  à  une  sphère.  Le  mouvement  qui  comporte  des  rotations  moléculaires 
à  l'intérieur  de  la  sphère  et  n'en  comporte  pas  à  l'extérieur,  est  alors  étudié 
en  détail  tant  à  l'intérieur,  qu'à  l'extérieur  et  sur  la  surface. 

Angas  Scott  [Charlotte).   —   Sur   les  cubiques   planes.   (247- 

278). 

Ce  Mémoire,  orné  de  belles  figures,  est  consacré  à  l'étude  géométrique  de  la 
façon  dont  la  hessienne  et  la  cayleyenne  d'une  cubique  varient  avec  cette  dernière 
courbe.  On  y  trouvera  aussi  d'intéressantes  constructions  géométriques  des 
trois  courbes. 

Reynolds  (0.).    —  Sur  la   torsion  et  la  vibration  des  arbres  de 
machines.  (279-360). 


f 


lUîVUK   DES   PUBLICATIONS.  171 

(U).MPri']S  lUÎNOlIS  IIKIJDOMADAIUKS  DIvS  SKANCIsS  DIî  f/ ACADKM  I IC  DKS  Sci  KNCF.?, 

Tome  CXIX;   i.S()4  (  1  ). 

l\iinlcvé.  —  Sur  l'inlé^ralion  algébrique  des  équations  difTéren- 
licllos  linéaires.  (37-40). 

L'aiiU'ur  rappelle  ccrluins  résultais  qu'il  a  obtenus  ant(';ricurcmeiit  et  (ju'il 
coiuplèle  daus  sa  Communication  actuelle. 

Islanl  donnée  une  équation  linéaire  d'ordre  q  à  coefficicnls  algébriques 

d'\Y        .        dl-^y  .    dy 

dont  les  coefficients  A  sont  exprimés  rationnellement  en  fonction  des  variables 
a?  et  X  liées  par  une  relation  algébrique,  on  peut  toujours  (à  l'aide  d'un 
nombre  fini  d'opérations)  reconnaître  si  l'intégrale  est  algébrique  ou  ramener 
l'équation  à  une  quadrature 

^  =  n(^,  X), 

B  désignant  une  fonction  algébrique  à  N  valeurs  de  (x,  X);  on  est  alors  ra- 
mené à  reconnaître  si  la  différentielle  B(a7,  \)  dx  s'intègre  par  un  seul  loga- 
rithme. 

D'ailleurs  on  peut  toujours  calculer  algébriquement  toutes  les  intégrales  al- 
gébriques ou  ramener  le  problème  à  reconnaître  si  une  certaine  diiïérentielle 
algébrique  s'intègre  par  un  seul  logarithme. 

Plus  généralement,  si,  au  lieu  d'une  équation  linéaire,  on  considère  une  équa- 
tion d'ordre  7,  dont  l'intégrale  générale  est  une  fonction  algébrique  connue 
des  q  constantes,  on  peut  toujours  calculer  algébriquement  toutes  les  intégrales 
algébriques  ou  ramener  leur  détermination  à  des  quadratures. 

Les  considérations  précédentes  s'étendent  en  partie  aux  intégrales  algébriques, 
mais  qui  n'admettent  qu'un  nombre  fini  (non  donné)  de  valeurs. 

Délassas.  —  Sur  les  équations  aux  dérivées  partielles,  linéaires 
et  à  caractéristiques  réelles.  (/îo-42). 

M.  Delassus  étudie  les  équations,  aux  dérivées  partielles,  sous  la  forme 

(àp  -^'^d^)  {^  -  ^'-  ^)  •  *  •  (^  -  ^'  £)^ = ^(^'  ^^^ 

où  les  caractéristiques 

dx  _  dx  _ 

dj^  ^-y^^     dp^~  '^' 

sont  mises  en  évidence. 


(')  Voir  Ihdlclin,  t.  XX.. 


172 


SECONDE   PAUTIE. 


Dans  la  région  où  rc(jualion  caraclérislique  a  toutes  ses  racines  réelles,  les 
intégrales  analytiques  ne  peuvent  présenter  que  trois  sortes  de  lignes  singu- 
lières : 

1°  Les  lignes  singulières  essentielles  des  coefficients; 

•2°  Les  lignes  le  long  desquelles  deux  racines  distinctes  de  l'équation  caracté- 
ristique viennent  se  confondre; 
3°  Des  caractéristiques. 

Dans  le  cas  particulier  où  les  X  sont  des  constantes  ayant  m  valeurs 
distinctes,  le  domaine  dans  lequel  une  intégrale  quelconque  est  analytique  est 
l'aire  d'un  polygone  convexe  ayant  au  plus  2  m  côtés,  qui  sont  parallèles  aux 
2  m  directions  caractéristiques  distinctes. 

Toute  intégrale  définie  par  des  conditions  initiales  analytiques  tout  le  long 
d'une  droite  A  (non  caractéristique)  est  analytique  dans  tout  le  plan. 

Moutard.   —   Sur    une    classe    de  polynômes  décomposables  en 
facteurs  linéaires.  (42-45). 

Soit  A  un  symbole  d'opération,  linéaire  par  rapport  aux  dérivées  partielles 
d'une  fonction  de  p  variables,  dans  lequel  le  multiplicateur  de  chaque  dérivée  est 
une  forme  d'un  degré  égal  à  l'ordre  de  la  dérivée.  Le  problème  qui  a  pour 
objet  de  trouver  une  forme  d'un  degré  donné  qui,  soumise  à  l'opération  A,  se 
reproduira  à  un  facteur  constant  près,  est  en  général  un  problème  déterminé. 

M.  Moutard  envisage  en  particulier  le  symbole 


0  =(a,x,  +  ...+  a^,^^,)U  -^  +...+ 


r> 


d_  â 


^1 


«.■•^-'Iï; 


où  les  a,  II,  k  sont  des  constantes  et  .r,,  x.^,  . . .,  .r^  les  variables. 

Le  symbole  0  jouit  de  cette  propriété  singulière  que  les  formes  qui  lui  sont 

associées,    c  est-a-dire  celles    pour   lesquelles est  une  constante,  sont  en 

général  décomposables  en  fadeurs  linéaires. 

Parmi  les  corollaires  de  cette  proposition,  il  convient  de  citer  le  suivant  : 
Les  formes  harmoniques  qui  admettent  un  diviseur  quadratique  sont,  en  gé- 
néral, décomposables  en  un  produit  de  facteurs  quadratiques  et  de  facteurs 
linéaires  homofocaux. 


liiquier.  —  Sur  la  réduction  d'un  système  dilTérentie]  quelconque 
à  une  forme  complètement  intégrable.  (267-268). 

Étant  donné  un  système  did'érenticl  impliquant  à  la  fois  un  nombre  quel- 
conque de  fonctions  inconnues  et  un  nombre  quelconque  de  variables  indépen- 
dantes, de  simples  éliminations,  combinées  avec  des  diiïérentiations,  permettent 
en  général  de  le  ramener  d'abord  à  une  forme  complètement  intégrable  dont 
l'ordre  est  presque  toujours  supérieur  à  i,  puis,  de  proche  en  proche,  à  une 
forme  linéaire  et  complètement  intégrable  du  premier  ordre. 


UI<:VIII<:   DI.S   PUHIJCATIONS.  173 

l\u}ncnhcri^  {(le)-   —   Sur  la   llK'oric  des  foi-incs  (lifrércnllcllcs 
(|iia(lr;tl  ifjiirs.  (.*)'>.  1  -?):>J\). 

I,;i  icdiiclioM  <l('  lii   foriiK'  (|ua(Iriili(|iic  à  n  varial)l('S 

i,  /. 

(jiio  l'on  rcucoiilrc  dans  les  t-qualions  do.  la  iMécani(jiic,  donne  lieu  au  problènne 
suivant   : 

«  Trouver  les  conditions  nécessaires  et  suffisantes  pour  que   la  forme  ?.T  dt 
soit  rédurtihic  à  la  suivante 

(  1  )  ^  T  dt^  =  dy]  + . . .  H-  dyj,  -hf{dy^,^_^,  ...,dy„), 

les  coefficients  de  /étant  indépendants  dey,,  ...,  y^,.  Eiïectuer  la  réduction 
dans  le  cas  où  elle  est  possible  ». 

I\I.  de  Tannenhcrg  donne  la  solution  complète  de  ce  problème.  Il  introduit  le 
système  invariant 

dx\  -  ^  cpi'^  dx,  =  o,        .(■)  =  -  -  ,         X,  =  — 

A- 

lié  à  la  forme  2T  et  défini   dans  sa  Communication   précédente  (i5  mai).  Les 
intégrales  du  premier  degré  de  ce  sj^stème  ont  la  forme 

i 

et  sont  définies  par  le  système 

(2)  W 


1     ~      • ^ 1-         7         b    ,     -T =     O. 

Ox-  ôx         L^    '''  ax^ 


k 

Pour  que  la  forme  "iT  dt'  soit  réductible  à  la  forme  (1)  il  faut  et  il  suffit 
qu'elle  soit  de  la  classe  (/?),  c'est-à-dire  que  le  système  invariant  (2)  admette 
précisément/?  solutions  distinctes. 

Riquier.  —  Sur  l'intégration  de  certains  systèmes  d'équations 
aux  dérivées  partielles  du  premier  ordre  impliquant  plusieurs 
fonctions  inconnues.  (324-32y). 

Étant  donné  un  système  du  premier  ordre  résolu  par  rapport  à  un  certain 
nombre  de  dérivées,  on  peut,  pour  en  disposer  nettement  les  diverses  équa- 
tions, les  écrire  dans  les  cases  d'un  quadrillage  rectangulaire  dont  les  lignes 
correspondent  aux  variables  indépendantes  et  les  colonnes  aux  fonctions  in- 
connues, en  mettant  l'équation  qui  aurait,  par  exemple,  -v-  pour  premier 
membre,  dans  la  case  qui  appartient  à  la  fois  à  la  colonne  (w)  et  à  la  ligne  {x). 


174  siiCONDii  l'Airnii:. 

Cela  posé,  si  les  cases  vides  du  tableau  résultant  sont  toutes  situées  dans 
une  même  colonne;  si,  de  plus,  le  système  considéré  est  complètennent  inté- 
grahle,  son  intégration  se  rannène  à  celle  de  systèmes  complètement  intégrables 
d'équations  aux  diirérenticlles  totales. 

Maillet.  —  Sur  les  groupes  de  subslitutions  isomorphes  aux 
groupes  symélriques  ou  nllerncs.  (3():>.-364). 

Soit  'V  un  sous-groupe  d'ordre  t  du  groupe  symétrique  ou  alterné  S  de  n 
éléments  «,,  rt^,  . . . ,  «,,  d'ordre  a.  On  suppose  a  >  2  t  et  /i  >  4  :  on  peut  former 

un  groupe  transitif  G  d'ordre  y,  de  degré  p  =  -,  hoioédriqucmcnt  isomorphe 

à  S,  le  groupe  T  correspondant  au  groupe  II  des  substitutions  de  G  qui  laissent 
une  même  lettre  de  G  immobile. 

On  peut  énoncer  au  sujet  des  groupes  transitifs  G  les  propriétés  suivantes  : 

1°  S  est  un  groupe  symétrique. 

I.  En  général,  G  n'est  qu'une  fois  transitif;  les  seules  exceptions  ont  lieu 
pour  /i  £  6,  p  pouvant  prendre  les  valeurs  10  et  6. 

II.  G  ne  peut  contenir  un  groupe  K  transitif  entre  les  lettres  qu'il  déplace 
et  de  degré  <_  p,  si  Ji  >  8. 

III.  En  général,  G  ne  peut  renfermer  de  substitution  circulaire  quand  ;i>  8. 
Cependant  il  existe  des  groupes  G  de  degré  211  {n  impair),  non  primitifs,  con- 
tenant une  substitution  circulaire  d'ordre  2n,  et  pour  lesquels  H  est  holoé- 
driquement  isomorphe  au  groupe  alterné  de  n  —  1  éléments. 

2°  S  est  un  groupe  alterné. 

IV.  En  général,  G  n'est  qu'une  fois  transitif;  les  seules  exceptions  ont  lieu 
pour  n^8,  p  pouvant  prendre  les  valeurs  i5,  10  et  6. 

V.  G  ne  peut  contenir  un  groupe  K  transitif  entre  les  lettres  qu'il  déplace  et 
de  degré  <  p,  si  n  >  8. 

VI.  G  ne  peut  renferiner  de  substitution  circulaire  quand  n  >  8. 

Desaint.  —  Sur  les  zéros  de  certaines  fondions  discontinues.  — 
Principe  xle  la  méthode  pour  trouver  les  zéros  de  certaines  fonc- 
tions. (364-367). 

1°  Si  S.dx-\-Y^dy  conserve  un  signe  constant  sur  des  arcs  de  courbes  L,, 
L^,  . . .,  L„,  la  fonction 

A  dx  -h  n  dy 


-'=/ 


qui  admet  comme  coupures  L,,  ..,,L,,,  a  ses  zéros  à  l'intérieur  de  tout  contour 
convexe  entourant  ces  coupures; 

2°  Si  f{z)  dz  reste  réelle  et  garde  un  signe  constant  le  long  d'arcs  L,,  L^,  . . ., 
L,,,  la  fonction 


V{z) 


f 


/(z)dx 


UI-Vlll-:    l)l<S    IMIIIMCATIONS.  \-'> 

i|iii  ;i(lm("t  roininc  coupures  fi,,  .  . . ,  L„,  a  ses  zéros  à  l'intérieur  <Ic  lout  contour 
convexe  entourant  ces  lif^nes. 

Passant  des  inl(''i;rales  aux  séries,  l'auteur  énonce  au  sujet  de  ces  dernières 
des  llu':or<';Mics  aiialof^ucs  ù  ceux   (iiii  |)n'(r(Ienl . 

Liomillc.  —  Sur  l(;s  ('(jUMlioiis  de  la  l)viiiitni(|U(j.  (.jG^-.iGS). 

L'auteur  fait  ressortir  les  relations  qui  existent  enire  les  Communications 
récentes  de  M.  de  Tannenherg  et  les  recherches  que  lui-même  a  consacrées  an- 
térieurement aux  équations  de  la  Dynamique. 

Mannhcim.  —  Nouvel  emploi  du  eonoïdc  de  Pliicker  {?)Ç)/\-?)(:jG). 

L'emploi  d'un  conoïdc  de  Pliicker  fournit  une  solution  très  simple  de  ce  pro- 
blème; : 

«  Étant  donnes  sur  une  normale  les  centres  de  courbure  des  courbes  de 
contour  apparent  d'une  surface  (S)  relatives  à  trois  directions  données  des 
projectantes,  déterminer  les  éléments  principaux  de  courbure  de  (S)  ». 

Pcpin  (le  P.).  —  Nouveaux  lliéorèmes  d'arithmétique.  (397- 
399)- 

Vernier  (P.)-  —  Sur  la  transformation  des  équations  canoniques 
du  problème  des  trois  corps.  (45i-454). 

Serret  (Paul).  —  Sur  la  possibilité  de  remplacer  par  un  pro- 
blème déterminé  le  problème  indéterminé  que  comporte  la  gé- 
néralisation du  théorème  de  Pascal.  (454-4^7)- 

Si  l'on  désigne  par  N  le  nombre  des  éléments  tangentiels  qui  définissent  une 
enveloppe  de  classe  n,  chaque  groupe  de  N  —  2  tangentes  ou  de  N  —  3  plans 
tangents  donne  naissance  à  un  cercle  ou  à  une  sphère  dérivés,  représentés  par 
l'une  ou  l'autre  des  équations 

et  coupés  toujours  à  angles  droits  par  un  cercle  ou  une  sphère  fixes,  de  même 
centre  que  l'enveloppe  :  les  axes  ou  plans  radicaux  de  ces  cercles  ou  de  ces 
sphères  deux  à  deux,  c'est-à-dire  les  droites  ou  les  plans  dérivés,  définis  indi- 
viduellement par  des  équations  de  la  forme 


1 


N-l  w-^  N— 2 


passent  à  leur  tour  par  un  point  fixe  qui  est  le  centre  de  l'enveloppe. 

Il  en  résulte  que,  si   l'on  suppose  en  présence  N -f- 1   éléments,  désignés   par 
les  numéros  d'ordre  i,  2,  . .  .,  N,  N  -l-  1  et  avec  lesquels  on  aura  formé  les  trois 


\yi)  SliCONDIi  PAUTIK. 

groupes  dislincls 

(I,  ■?.,...,  N-i),     (^  3,...,  N),     (3,.^,,...,  N-Hi), 

les  droites  dérivées  une  à  une  de  chacun  de  ces  groupes,  ou  les  plans  dérivés 
un  à  un  des  quatre  groupes  analogues 

(r,  2,...,  N-2),     (2,  3,  ...,  N-i)     (3,  /,,  ...,  N),_    (4,  5,  ...,  N+i) 

se  couperont  toujours  en  un  mémo  point. 

M,  I*.  Serrct  montre  que,  dans  le  cas  de  n  =  3  (courbes  de  la  3"  classe),  ce 
théorème  est  analogue  de  celui  de  Pascal. 

Serret  [Paul).  —  Sur  la  conslruclion  du  cercle  dérivé  de  sept 
droites   ou  défini  par  l'équation  o  =  S] /,  TJ  =  X^ -f  Y^ — R2. 

(474-477)- 

Tannenberg  [de).  —  Sur  les  équations  de  la  Mécanique.  (4^7" 

489). 

Réponse  à  la  réclamation  de  priorité  de  M.  \\.  Liouvillc. 

Slodolkievitz.  —  Sur  le  problème  de  Pfafr.  (489-493). 

Simplification  des  conditions  d'intégrabilité  indiquées  par  l'auteur  dans  une 
précédente  Communication  {Comptes  rendus,  1892). 

Serret  [Paul).  —  Sur  une  autre  détermination  du  cercle  dérivé 
de  sept  droites  et  sur  quelques-unes  de  ses  applications  (493- 

496)- 

Stœckel.  —  Sur  les  problèmes  de  Dj'namiqiie  dont  les  équations 
différentielles    admettent    une    transformation    infinitésimale. 

(5o8-5io). 

Soient  /?,,  y?^,  ..,/?„  les  variables  indépendantes  qui  déterminent  la  position 
d'un  système  mobile.  L'équation  des  forces  vives  est 


ji:«M(. ./'»)t^ ="-''. 


où  n(/?,,  /?j,  ...,Pn)  désigne  la  fonction  des  forces  et  h  une  constante. 

A  quelles  conditions  les  00^"-'  mouvements  du  système  qui  correspondent  à 
une  valeur  déterminée,  d'ailleurs  arbitraire,  de  la  constante  /i,  admettent-ils 
une  transformation  infinitésimale 


Pf=^    lv(/^'/>..     ■•■^Pn) 


7 

df  i 


lUiVUli    DKS    PUBIJCATIONS.  177 

dans  lîKiiiollo  les  cocflicicnls  ^,,  Ç^,  . . . ,  t,  sont  indépcndanLs  do  la  coiislarilc  /t? 
Il  laiil  [)()iii'  cela  : 

I"  (hic  la  foiiciioii  II  soii  un   invariaiiL  de  la  transformation  P^-; 
■?."  ()ue  cette  Iransforniation  suit  confornic  ri  relative  à  l'expression  diiïércn- 
liellc 

/..  X 

3"  Que  les  g('*odésiqucs  de  la  variété  dont  le  carré  de  l'élément  linéaire  est 
donné  jiar  A  admettent  la  transformation  I*^- 

Reste  ù  reconnaître  si  vin  problème  donné  de  Dynamique  satisfait  ou  non  à 
ces  conditions.  La  réponse  à  cette  question  est  plus  simple  qu'on  ne  pouvait 
s'y  attendre. 

Une  transformation  infinitésimale  Pp  qu'admettent  les  n  —  i  équations  diiïé- 
rentiolles  entre  /?,,  p^,  . . .,  /?„,  n'existe  que  dans  le  cas  où  l'on  peut  choisir  les 
variables  /?,,  p^,  ...,  p^^,  de  telle  sorte  que  : 

1°  La  fonction  des  forces  II  dépende  seulement  de  p^,  p^,  •    ■-,  Pn\ 
2°  L'expression  de  la  force  vive  se  réduise  à 

c  étant  une  constante  arbitraire  et  les  coefficients  6^  ^  dépendant  seulement  de 
Alors  la  transformation  infinitésimale  P.-  a  la  forme  canonique 

'■-  àp. 
Ces  conditions  sont  nécessaires  et  suffisantes. 

Petot.  —  Sur  les  équations   linéaires  aux  dérivées  partielles  du 
second  ordre.  (5io-5i2). 

Chaque  solution  particulière  d'une  équation  de  Laplace  quelconque  donne 
naissance  à  une  solution  nouvelle,  celle-là  à  une  troisième  et  ainsi  de  suite, 
par  l'emploi  répété  d'une  formule  où  interviennent  seulement  des  différentia- 
tions  et  des  quadratures.  Pour  que  l'on  puisse  construire  explicitement  celte 
formule,  il  suffit  que  l'on  connaisse  cinq  solutions  particulières  de  l'équation 
proposée,  ou  encore  quatre  solutions  de  cette  équation  et  une  de  son  adjointe. 

Picard  (^Emile).   —    Sur   les   groupes   de   transformations  des 
équations  différentielles  linéaires.  (584-089). 

M.  Picard  a  montré,  il  y  a  quelques  années,  comment  on  pouvait  étendre 
aux  équations  différentielles  linéaires   la   théorie  de  Galois  relative  aux  équa- 


178  SECONDi;    PAUTll!:. 

lions  algébriques.  Il  a  irilroduilà  ce  propos  la  notion  du  groupe  de  transfor- 
mations d'une  équation  linéaire:  la  proposition  fondamentale  au  sujet  de  cette 
notion  consiste  en  un  théorème  et  sa  réciprofiuc  que  l'auteur  avait  énoncée 
avec  une  restriction  inutile. 

Depuis,  ces  questions  ont  été  approfondies  par  M.  Vcssiot.  Mais  M.  Vessiot 
s'est  placé  à  un  tout  autre  point  de  vue,  qui  s'éloigne  beaucoup  de  celui  de 
Galois.  La  marche  qu'avait  suivie  M.  Picard  étant  à  divers  égards  préférable, 
celui-ci  reprend  actuellement  la  question  en  comblant  la  petite  lacune  qu'il 
avait  laissée  subsister  dans  la  réciproque  du  théorème  fondamental. 

Boussinesq.  —  Théorie  de  l'éconlemenL  sur  un  déversoir  sans 
contraction  latérale  quand  la  nappe  déversante  se  trouve  oti 
déprimée,  ou  noyée,  ou  adhérente  au  barrage.  (589-595). 

Dans  une  Note  antérieure  {Comptes  rendus^  juin  1S93)  l'auteur  a  fait  voir 
comment  on  peut  calculer  les  principales  circonstances  de  l'écoulement  sur  un 
déversoir  sans  contraction  latérale,  dans  le  cas  relativement  simple  d'une 
nappe  déversante  libre,  c'est-à-dire  au-dessous  de  laquelle  l'air  extérieur  afilue 
librement  par  des  ouvertures  ménagées  des  deux  côtés.  Quand  ces  ouvertures 
manquent,  la  nappe  est  noyée  en  dessous,  et  peut  môme  être  adhérente  à  la 
face  aval  du  barrage  :  ce  cas  est  fréquent  dans  la  pratique.  En  outre  le  cas 
d'une  nappe  déprimée,  c'est-à-dire  en  contact  avec  une  masse  d'air  à  une 
pression  moindre  que  celle  de  l'atmosphère,  peut  aussi  se  présenter,  quoique 
exceptionnellement. 

Pour  élucider  ces  divers  cas,  M.  Boussinesq  reprend  une  théorie  qu'il  avait 
ébauchée  en  1887;  il  montre  ensuite  que  les  résultats  en  sont  d'accord  avec  les 
observations  de  iM.  Bazin  {Annales  des  Ponts  et  Chaussées,  novembre  1891  et 
février  189^)  et  spécialement  avec  trois  formules  empiriques  qui  résument  les 
mesurages  de  débits  suivant  la  plus  ou  moins  grande  pression  ou  non-pression 
relative  exercée  sur  la  nappe. 

Boussinesq.  —  Détermination,  en  partie  expérimentale  et  en 
partie  théorique,  de  la  contraction  inférieure  d'une  nappe  de 
déversement  déprimée  ou  noyée  en  dessous,  ou  même  adhérente, 
sur  un  barrage  ayant  sa  face  d'amont  verticale.  (618-624). 

Poincaré.  —  Rapport  sur  un  Mémoire  de  M.  Stieltjes  intitulé  : 
Recherches  sur  les  fractions  continues.  (63o-63i). 

Laguerre  et  Halphen  n'ont  abordé  que  dans  des  cas  particuliers  l'étude  des 
fractions  continues  algébriques. 

Le  travail  de  M.  Stieltjes,  «  un  des  plus  remarquables  Mémoires  d'Analyse 
»  qui  aient  été  écrits  dans  ces  dernières  années  »,  dit  M.  Poincaré,  apporte 
dans  un  cas  fort  étendu  la  solution  de  toutes  les  questions  relatives  à  la  con- 
vergence de  ces  expressions  analytiques. 

Painlevé.  —  Sur  les  transformations  infinitésimales  des  trajec- 
toires des  systèmes.  (63--639). 


URVUIÎ    DFS   PUBMCATIONS.  i;., 

D.ins  une  \<>l(;  rt-cciilc,  riiiilciir  ;i  iii(li(|ii(''  iiiu'  classificiil  ion  dos  Iransfonna- 
lions  r/,.=  !p. (/■,,..., /•„)  ([iii  c.onservciU  les  irajccloiros  d'un  syslèinc  (  A  )  de 
La  grange, 

où 

Artncllcnicnl,  il  donne  le  tableau  des  formes  auxquelles  peuvent  ôtre  ramenées, 
moy(Miniuil  nu  choix  convenable  des  variables  7-,  tous  les  systèmes  qui  ad- 
nicllcnl  une  transformation  infinitésimale  conforme.  L'une  des  formes  en 
(jueslion  est  identique  au  type  récemment  indiqué  par  M.  Staeckel. 

Les  principes  établis  par  M.  Painlevc  permettent  d'énumércr  tous  les  types 
des  systèmes  (A)  dont  les  trajectoires  admettent  au  moins  une  transformation 
infinitésimale.  La  véritable  difficulté  consiste  à  distinguer,  parmi  ces  systèmes, 
ceux  qui  admettent  d'autres  transformation  infinitésimales,  autrement  dit,  à 
former  tous  les  groupes  de  transformation  des  trajectoires  et  les  systèmes  (A) 
qui  s'y  rattachent.  M.  Painlevé  est  en  mesure  d'effectuer  cette  déduction  en- 
tièrement pour  le  cas  de  deux  paramètres  et  partiellement  pour  le  cas  de  trois. 

Cartan.  —  Sur  la  réduclion  de  la  structure  d'un  groupe  à  sa 
forme  canonique.  (63g-642). 

Lorsqu'on  a  à  intégrer  une  équation  linéaire  aux  dérivées  partielles  du  pre- 
mier ordre  à  /i  h- 1  variables  x,  x^,  x^,  ...,  x„  admettant  un  groupe  fini  et 
continu  G,  simplement  transitif,  en  .37,,  x^,  ...,  a;,,  dont  on  connaît  les  équa- 
tions finies,  on  réduit  le  problème  à  l'établissement  d'un  certain  nombre  d'é- 
quations irréductibles,  à  groupes  simples  et  qui  rentrent  toutes  dans  un  certain 
nombre  de  types  connus. 

Mais  pour  arriver  à  l'établissement  de  ces  équations  auxiliaires,  il  faut  ré- 
soudre les  problèmes  suivants  : 

1°  Décomposer  un  groupe  donné  G  en  une  série  de  sous-groupes  G,,  G^,  ..., 
Gp,  dont  chacun  est  un  sous-groupe  invariant  de  celui  qui  le  précède,  le 
dernier  G    se  réduisant  à  la  transformation  identique; 

2°  Étant  donné  un  groupe,  réduire  la  structure  de  ce  groupe  à  sa  structure 
canonique. 

M.  Cartan  revient  sur  la  solution  de  ces  deux  problèmes,  qui  ont  déjà  fait 
l'objet  de  sa  thèse. 

Boussinescj.  —  Vérifications  expérimentales  de  la  théorie  des  dé- 
versoirs à  nappes  noyées  en  dessous  ou  adhérentes  :  vérifica- 
tions relatives  au  débit  et  à  la  contraction  inférieure.  (663-669). 

Saint-Germain  {de).  —  Variation  du  niveau  de  l'eau  dans  un 
bassin  communiquant  avec  un  port  à  marée.  (673-675). 


i8o  SECONDE   PARTIE. 

Soient,  à  l'instant  t,  u  et  z  les  cotes  (positives  ou  négatives),  au-dessus  du 
niveau  moyen  de  la  mer,  des  surfaces  de  l'eau  dans  le  port  et  dans  le  bassin; 
l'équation  du  problème  est 


(') 


La  hauteur  u  est  une  donnée  du  problème;  c'est  une  fonction  périodique  du 
temps  dont  l'auteur  donne  une  expression  qui  ne  s'écarte  pas  sensiblement  de 
la  réalité.  Cette  expression  lui  permet  de  trouver  explicitement  l'intégrale  gé- 
nérale de  (i)  et,  par  suite,  de  calculer  z  à  une  heure  quelconque  du  flux  ou 
du  reflux. 

Boussinesq.  —  VérificatioDs  expérimentales  de  Ja  théorie  des  dé- 
versoirs à  nappe  noyée  en  dessous  ou  adhérente  :  vérifications 
relatives  aux  pressions.  (707-7  i  i). 

Marey.  —  Des  mouvements  que  certains  animaux  exécutent  pour 
retomber  sur  leurs  pieds  lorsqu'ils  sont  précipités  d'un  lieu 
élevé.  (714-717). 

Par  la  photographie  instantanée,  M.  Marey  a  constaté  qu'un  chat  qu'on  laisse 
tomber  d'un  lieu  élevé  retombe  toujours  sur  ses  pattes.  L'inspection  des 
figures  exclut  l'idée  que  l'animal  imprime  à  son  corps  un  mouvement  de  ro- 
tation en  prenant  un  point  d'appui  sur  les  mains  de  l'opérateur.  L'hypothèse 
d'un  appui  sur  la  résistance  de  l'air  n'est  pas  plus  admissible,  car  elle  pro- 
duirait une  rotation  inverse  de  celle  qu'on  observe. 

Guy  OU.  —  Note  relative  à  la  Communication  de  M.  Marey.  (717- 

7.8). 

Le  retournement  spontané  de  l'animal  semble  au  premier  abord  en  contra- 
diction avec  le  théorème  des  aires.  Mais  cette  contradiction  n'existe  pas.  Ici, 
la  somme  totale  des  aires  reste  constamment  nulle,  bien  que  la  somme  algé- 
brique des  rotations  soit  positive. 

Lorsque  l'animal,  par  une  contraction  des  muscles,  communique  à  son  corps 
un  mouvement  de  torsion,  il  donne,  par  l'extension  de  ses  membres,  un  grand 
moment  d'inertie  à  la  partie  qui  tourne  dans  le  sens  négatif.  Il  résulte  alors 
du  théorème  des  aires  que  les  rotations  négatives  ont  une  valeur  moindre  que 
les  positives.  Le  contraire  a  lieu  lorsque  le  chat,  intervertissant  ensuite  les 
moments  d'inertie  par  la  contraction  des  pattes  de  derrière  et  l'allongement  de 
celles  de  l'avant,  donne  à  son  corps  une  torsion  inverse.  Le  corps  est  alors 
revenu  dans  une  position  telle  que  toutes  ses  parties  ont  tourné  dans  le  sens 
positif.  La  rotation  totale  de  180°  peut  ainsi  s'efTectuer  par  mouvements  difl"é- 
rentiels  successifs. 

Lévy  (^Maurice).  —  Observations  sur  le  principe  des  aires.  (718- 
719)- 


KEVUIÎ    DES   PUBLICATIONS.  i8i 

Un  système  matériel,  soumis  uni(iiiemcnt  ù  la  pesanteur  et  à  ses  actions  mu- 
tuelles et  partant  du  repos,  peut-il  se  donner  à  lui-môme  une  rotation  autour 
d'un  axe  horizontal,  passant  par  son  centre  de  gravité,  en  décrivant  constam- 
ment des  aires  dont  la  somme  est  nulle?  Ce  serait  impossible,  s'il  était  assu- 
jetti à  tourner  comme  un  système  invariable.  Mais  on  exige  seulement  que  la 
formejinale  soit  la  même  que  la  forme  initiale  avec  une  orientation  diflerente. 

Dans  ces  conditions,  il  existe  un  grand  nombre  de  systèmes  matériels  arti- 
culés, comme  le  chat  et  d'autres  animaux,  qui  peuvent  efl'cctucr  le  mouvement 
indiqué. 

Touche.  —  U(kluction  de  l'équation  de  continuité  en  hydraulique 

,   1     /.  da  dp  dvx  o'a  ,  ., , 

a  la  forme  -^  +  ...  ^  +  p  —  _  2p.,  _  ==  o.  (72,-7.,^). 

Dans  cette  équation,  v^  est  la  vitesse  suivant  la  trajectoire  dont  ds  est  un 
élément;  ds"  est  un  élément  de  la  binormale  à  la  trajectoire  et  sa  longueur 
est  la  même  que  celle  de  ds. 

Si  l'on  considère  simultanément  l'élément  de  trajectoire  ds  et  l'élément  de 
la  norinale  principale  à  la  trajectoire  ds'  ou  A.B,  qui  partent  tous  deux  d'un 
point  A,  la  tangente  en  B  à  la  trajectoire  qui  passe  par  ce  point  fait  avec  ds 
l'angle  f/a;  de  même,  si  nous  considérons  simultanément  l'élément  de  la  tra- 
jectoire ds  et  l'élémcut  de  binormale  à  la  trajectoire  ds"  ou  AC,  qui  partent 
tous  deux  du  point  A,  la  tangente  en  G  à  la  trajectoire  qui  passe  par  ce  point 
fait  avec  ds  l'angle  ô'a. 

p  est  la  densité  et  t  le  temps. 

Stœckel.  —  Sur  des  problèmes  de  Dynamique  dont  les  équations 
différentielles  admettent  un  groupe  continu.  (723-725). 

L'équation  différentielle  en  /?,,  p^  d'uu  problème  de  Dynamique  à  deux  va- 
riables, où  la  fonction  des  forces  n'est  pas  une  constante,  admet  au  plus 
une  transformation  infinitésimale  indépendante  de  la  constante  h  de  la  force 
vive. 

En  général,  pour  que  le  système  de  n — i  équations  différentielles  en  p  , 
P^i-'-iPn  admette  un  groupe  continu  G^,  à  deux  paramètres,  indépendant 
de  la  constante  h  de  la  force  vive,  il  faut  et  il  suffit  qu'on  puisse  choisir  les 
variables  />j,  p^^  . . .,  />„,  de  telle  sorte  que  : 

1°  La  fonction  des  forces  II  dépende  seulement  de  p^^  p^y  •  •  •■>  Pn'j 
2°  L'expression  de  la  force  vive  se  réduise  à  une  des  deux  formes 

-2,/^      ^.      '^      '•'      '-■^',lXPoP..'".P.)-J^~-jj. 
k,\ 

0),,  w^,  Y  sont  des  constantes  arbitraires  et  on  doit  prendre  £;>,  =  o  pour  k  ^\ 
et  £,.  =  I. 


i82  SECONOE   PARTIE. 

Lercli.  —  Sur  la  difFérenlialion  des  séries  trigonomélrlques.  (725- 

728). 

Étant  donnée  la  série 

V=:oo 

et  supposant  la  série 

V  =  00 

g{a:)=   y^  (c,— c,^.,)  sin(2v +i)a:';r, 
v  =  o 

uniformément  convergente,  l'auteur  montre  que  la  dérivée  de /(a;)  est  donnée 
par  la  formule 


f'{x)=g{x)-. 


Appliquant  cette  formule  à  la  série  de  Kummer 

00 

logir 

n  =  l 


logr(w)+     log h   (V [log2-  —  r'(i)]=    >    - — -sin2n(vit, 

2  71  \  2  y  ^^     '  i  *^ 


on  trouve 

—y — ~  sm  (VIT  H cos(V7r  +[log2  7:  —  r  (i)]  sincvTi 

—    y    log- sin  (2/1  +  i)  wir. 

n  —  \ 

Deprez  (^Marcel).  —  Sur  un  appareil  servant  à  mettre  en  évi- 
dence certaines  conséquences  du  théorème  des  aires.  (767-769). 

M.  Marcel  Deprez  a  construit  un  système  matériel,  dont  le  principe  lui  a  été 
communiqué  par  M.  Picard,  et  qui  peut,  par  le  seul  jeu  de  ses  forces  inté- 
rieures, tourner  d'un  angle  quelconque  autour  de  son  centre  de  gravité,  tous 
ses  points  matériels  se  retrouvant  finalement  dans  les  positions  relatives  qu'ils 
occupaient  primitivement. 

Soit  un  disque  matériel  homogène,  mobile  autour  d'un  axe  vertical  passant 
par  son  centre  de  figure.  Sur  la  face  supérieure  de  ce  disque  on  a  tracé  une 
courbe  fermée,  entièrement  comprise  dans  une  portion  angulaire  du  disque, 
inférieure  à  un  angle  droit.  Si  un  point  matériel,  partant  d'un  point  quelconque 
de  la  courbe,  la  décrit  tout  entière,  le  disque  devra  tourner  d'un  certain  angle 
pour  que  la  somme  des  aires  décrites  autour  du  centre  de  gravité  commun 
soit  constamment  nulle. 

Pour  que  le  centre  de  gravité  reste  constamment  sur  l'axe  de  rotation, 
M.  Deprez  a  remplacé  le  point  mobile  unique  par  deux  petites  sphères  qui, 
sous  l'action  d'un  ressort  rendu  libre  par  la  combustion  d'un  fil,  décrivent  cha- 
cune une  circonférence  complète,  chacune  de  ces  courbes  égales  étant  placée 
symétriquement  par  rapport  au  centre  du  disque. 

AppelL  (P-)'  —  Sur  le  théorème  des  aires.  (770-771). 


fl 


HKVIJK    DES   PUBLICATIONS.  i83 

L'uiitcur  donne  un  exemple  élémentaire  d'un  système  qui,  sollicité  par  des 
forces  extérieures  dont  le  moment  est  nul  par  rapport  à  un  axe  fixe,  revient, 
par  des  déformations  successives,  ù  sa  configuration  primitive  après  avoir 
tourné  d'un  certain  anj^le. 

Voici  d'ailleurs  une  remarque  générale  qui  permet  de  ramener  ;\  un  même 
type  simple  tous  les  problètiies  de  cette  nature. 

Qu'on  imagine  un  système  formé  par  un  corps  solide,  mobile  autour  d'un 
axe  fixe  O;;,  et  par  des  points  matériels  rn^,  m^,  ...  animés  de  mouvements 
prescrits  h  l'avance  par  rapport  au  corps  solide  :  les  coordonnées  scmipolaires 
/•,,  0,,  z^;  r^,  0_,,  ^^,  ...  de  ces  points  par  rapport  à  des  axes  liés  au  corps  so- 
lide sont  des  fonctions  données  du  temps.  On  suppose  que  la  somme  des  mo- 
meiils  des  forces  extérieures  par  rapport  à  O^  soit  nulle.  On  peut  alors,  sans 
altérer  le  mouvement  du  reste  du  système,  remplacer  plusieurs  des  points  m,, 
ni.^,  ...  par  un  seul  point  de  masse  M  dont  les  coordonnées  relatives  K  et  6, 
par  rapport  au  corps  solide,  sont  définies  en  fonction  du  temps  par  les  deux 
relations 

INI  IV  =  S  mr%         M  R^- de  =  Z  mr'  clQ. 

Boussinesq.  —  Sur  la  Lliéoric  de  récoulement  par  un  déversoir 
à  nappe  déprimée  ou  nojée  en  dessous,  dans  le  cas  où  une  arma- 
ture   liorizontale    rend    la    contraction    inférieure    maximum. 

(771-776)- 

Dujardin. —  Sur  une  erreur  relevée  dans  la  théorie  des  nombres 
de  Legendre.  (843-845). 

Autonne.  —  Sur  la  représentation  des  courbes  gauches  algé- 
briques et  sur  une  formule  d'Halphen.  (845-848). 

On  sait  que  toute  courbe  gauche  algébrique  indécomposable  peut  être  re- 
présentée par  les  équations 

^<--'-°    -yB;9v 

On  peut,  sans  changer  la  courbe,  remplacer  les  deux  polynômes  P^,  P,  de 
degrés  /*,  /'-i-i,  par  deux  autres  polynômes  P'^,  P'^,  de  degré  /•',  /-'H-i,  choisis 
à  volonté,  pourvu  que  P'^  P^ —  P'e  ^i  soit  divisible  par  n. 

Excluant  les  courbes  à  points  multiples,  Halphen  a  montré  que  l'on  pouvait 
prendre  pour  P^  tout  polynôme  qui  s'annule  en  chaque  point  double  apparent. 

Etendant  l'analyse  d'Halphen  à  des  courbes  douées  de  singularités  quel- 
conques, M.  Autonne  parvient  à  ce  théorème  : 

Peut  être  pris  pour  dénominateur  de  z  tout  polynôme  tel  que  la  courbe 
P^=  o  passe  par  chaque  point  double  apparent  et  coupe  chaque  cycle  de 
f{x,  v)=o.  issu  du  point  multiple  jn  en  a  points  confondus  avec  m,  <j  ne 
pouvant  être  plus  petit  qu'un  nombre  fixe  j^,  que  l'auteur  calcule  à  l'aide  de 
développements  en  série. 


i84  SECONDE   PAUTIE. 

Cesaro.  —  Sur  une  formule  empirique  de  M.  Pervouchine.  (848- 
849)- 

L'auteur   conteste   l'exactitude    théorique    d'une    formule   arithmétique    de 
M.  Pervouchine.  A  cette  formule 

5 


—  =  lo2/i  +  loe  \ogn  —  I  H r + 


i2log/i        2410g  log/i 

où  /?„  est  le  iv^"^"  nombre  premier,   il  montre  qu'il  convient   de  substituer  la 
suivante 

/?„       ,  ,   ,      ,  ,    loglog/i  — 2        (loglog/i)^— 61oglog/i  +  ii 

i-^  —  log/H-  log  log«  —  IH i— -r, r. 

n  log/i  2(log/i)' 

Kœnigs.  —  Sur  le  mouvement  d'un  corps  solide.  (897-899). 

Une  courbe  quelconque,  liée  à  un  solide  en  mouvement,  n'a  généralement 
pas  d'enveloppe.  Les  courbes  qui  jouissent  de  cette  propriété  ont  un  intérêt 
particulier.  M.  Kœnigs  montre  qu'il  suffit  de  quadratures  pour  déterminer  les 
courbes  du  corps  qui  ont  une  enveloppe. 

L'auteur  considère  ensuite  la  surface  réglée  mobile  R,„  qui,  dans  le  mouve- 
ment, se  raccorde  constamment  avec  une  surface  réglée  fixe  R^  tout  en  glissant 
le  long  de  la  génératrice  de  contact.  Il  suppose  qu'on  substitue  à  la  surface 
fixe  R..  une  autre  surface  R/,  sur  laquelle  doit  virer  R,„,  de  façon  que  le  pas  h 
du  mouvement  hélicoïdal  instantané  reste  la  même  fonction  du  temps.  Dans 
ces  conditions,  les  courbes  liées  à  R^,  qui  ont  une  enveloppe,  demeurent  les 
mêmes,  quelle  que  soit  la  surface  réglée  R/. 

Lecornu.  —   Sur   une  application   du   principe   des  aires.  (899- 
900). 

Si  une  aire  plane  S,  ayant  par  rapport  à  son  centre  de  gravité  C  un  rayon 
de  giration  K,  tourne  autour  de  G  avec  une  vitesse  w,  et  si  en  même  temps  la 
ligne  OC  de  longueur  constante  a,  issue  d'un  point  fixe  O  du  plan,  tourne  en 
sens  contraire  autour  de  O  avec  une  vitesse  cp,  on  peut  faire  en  sorte  que  la 
somme  des  aires  décrites  par  les  rayons  vecteurs  joignant  aux  divers  éléments 
de  S  soit  nulle  à  tout  instant;  il  suffit  pour  cela  de  poser  la  relation 

oj  a" 

La  rotation   de   S  s'effectue  alors   avec  la  vitesse  angulaire  absolue  w  —  cp, 

c'est-à-dire  7^©;  c'est  la  vitesse  de  retournement. 

M.  Lecornu  se  sert  de  ce  théorème  pour  montrer  qu'un  serpent,  dont  l'axe 
serait  assujetti  à  conserver  une  forme  invariable,  n'aurait  aucune  difficulté  à 
effectuer  une  inversion  analogue  à  celle  du  chat. 

Leaii.  —  Sur  les  équations  fonctionnelles.  (901-902). 


>>^      K^'tXjL 


UKVUP:   DKS   lUllUJCAÏKhNS.  is-, 

l'ixlciisioii  ;mi\  ('(iu;it  ions  foiicLioiincllcs  du  I  Ik'oii'mmî  (oimI;iiii('iiI;i1  (|iii  (!('•- 
nioiiLrc  Irvislciicc  cl  l'IiulDinorpliio  dos  i  iil,(!{;r;ilc^  diiii  sysLrinc  (r(M|ii;iLioiis  ;iii\ 
dt''ii\  ('OS  piirl  ici  l(\s. 

(\//-/(//f.  —  Sur  un  l  iK-orriiu!  do  M.  Hcrlr.ind.  (()()>•). 

Il    s';ii;il  du   Ct-lchrc  llicorcnic  de  M.   I>crli;iiid   : 

Si  uii(>  IdiicI  ion  tiil  ioiincllc  de//  Ici  I  rcs  prend  pi  us  de;  deux  v  iileuis  disi  incles 
pur  renscMihIe  des  suhslitulioiis  eireehK'cs  sur  ces  //  lellrcs,  elle  eu  prend  ;iu 
moins  //,  sauf  loiilefois  si  //  —  '\. 

Ce  lliéorèine,  comme  le  ("ail  teniarquer  IM.  (laclan,  d(''iive  immédiatement  de 
ce  fait  ((ue  le  groupe  symélri(|uc  (\c  n  lellics  n'adniel,  dans  le  cas  où  //est  dif- 
féreiil  de  \,  d'autre  sous-group(>  invariant  (|iie  le  gi'oupe  alleiMié. 

Slaade.  —  Réclamation  rclalivc  à  une  Note  précédonlc  do 
M.  Stîieckel,  sur  les  ])r()l)lèrnos  de  Djnaniique  dont  les  équa- 
lions  diflV'rentielles  adnuMlent  une  U^insfornial  ion  innnitési- 
nialc.  (()o.')). 

yind/'é  (/^.).  —  Sut'  les  permutations  (jiiasi-alternées.  (947-949)* 

Pcii'in.  —  Sur  la  résolution  des  équations  numériques  au  moyen 
des  suites  récurrentes.  (()C)o-C)Ç)3). 

On  sait,  depuis  lîernoulli  et  luiler,  que  si  f[x)—  o  est  Téquation  génératriec 
d'une  suite  récurrente  /^,^,  //,,  ...,  //,,,  ,..,  la  plus  grande  et  la  plus  petite  en 
valeur  absolue  des   racines  de   celte  é(juation    sont   les    lin)ites   vers   lesquelles 

tend  le  rapport  —^ 1  selon   (|u'on    s'éloigne    indélininient,  dans  le  sens  des  // 

positifs  ou  des  //  négatifs,  des  termes  initiaux   de   la  suite,  de  quelque  manière 
que  ceux-ci  aient  été  choisis. 

Jusqu'ici  cependant  l'emploi  des  suites  récurrentes,  malgré  des  perfectionne- 
ments dus  à  M.  Laisant  et  à  M.  d'Ocagne,  n'a  pas  été  considéré  comme  four- 
nissant un  procédé  régulier  et  sûr  pour  le  calcul  par  approximation  des  racines 
des  équations  numériques.  Il  subsiste  toujours  cette  grave  objection  que,  la 
racine  a  étant  supposée  ainsi  calculée  approximativement,  il  faut,  pour  obtenir 
les  suivantes,  opérer  à  nouveau   de   la    même  manière  sur  une   autre  équation 

f{x) 
— =:  O,  dont  tous  les  coefiicients   ne  sont  plus  ({uapprochés,  de  sorte  (|ue 

les  erreurs  s'accutnulent  à  njcsure  qu'on  avance  dans  les  calculs. 

En  reprenant  cette  question,  M.  Perrin  a  rencontré  certaines  propriétés  des 
suites  récurrentes  (|ui  conduisent  à  un  procédé  simple  et  net  de  séparation  et 
de  calcul  des  racines  des  diverses  catégories. 

Stouff.  — ■  Stir  la  composition  des  formes  linéaires  et  sur  les 
groiq^es  à  coui^ruences.  (99>^-99^))- 

Les  groupes  à  congruences,  par  rapport  à  des  modules  premiers  ou  non,  ont 
tléjà  été  cludiés  par  iM.  Giersler. 

Bull,  des  Sciences  niat/ic/n.,  2"  série,  t.  W.  (Octobre  i^g'i.)  R.i3 


i8G  SECOND  H    PAUTIR. 

iM.  StoufT  in(li(|iio  un  procéd»'-  nouveau  pour  définir  une  pari  io  de  ces  £;roupos, 
el  les  conséquences  étendues  qu'on  peut  tirer  de  celle  nouvelle  dédnilion. 

lladamard.  —  Sur  rcliminalion.  ( 99^^-997 )• 

Étant  données  trois  équations 

aux  deux  inconnues  a;,  jk  ^^  <'»^  degrés  ni^  //,  />,  on  peut  en  écrire  I'(''liniinant  par 
le  produit  tt,  =  \\f\{x,  y)  où  la  inultiplication  est  étendue  aux  ma  valeurs  x, 
y  qui  vérifient  les  deux  premières  équations.  Mais  la  même  solution  pourrait 
être  obtenue  par  le  produit  x^  =  liy,  (a;,  y),  étendue  aux  solutions  communes 
à  /^  et /j,  ou  par  le  |)ro(luit  analogue  tt^. 

Il  est  intéressant  de  comparer  entre  elles  ces  diflc-rentes  expressions. 

Dans  le  cas  de  deux  é(|uations  à  une  inconnue  /^(.r)—  o,/^(^)=o  de  de- 
grés ni,  n,  on  sait  trouver  le  résultant  sous  forme  d'une  expression  H,^  entière 
par  ra[)port  à  tous  les  coefficients  et  telle  que 

Dans  le  cas  actuel,  f^{y)  désignant  l'ensemble  des  termes  de  plus  liant  de- 
gré de  /-(.r,  y)  pour  a:  ==  i  et  \\'^^.  le  résultant  des  polynômes  /"  (y), /j^"  (jk), 
l'expression  t:,  a  pour  dénominateur  (R*.,  )/'.  M.  lladamard  démontre  que,  à  ces 
dénominateurs  près,  les  quantités  t:,,  -::.,,  t..,  sont  identiques  en  valeur  absolue. 

Cliapel.  —  Sur  la  loi  de  résistance  de  Tair.  (997). 

Pour  les  vitesses,  à  partir  de  300""  jusqu'aux  plus  liantes  expérimentées  (plus 
de  1000"),  la  loi  de  résistance  de  Tair  peut  être  représentée  |)ar  une  ligne 
droite. 

Picard  (^Einlle).  —  Sur  deux  nombres  Invariants  dans  la  théorie 

des  surfaces  algébriques,   (i  169-1  i7'->. )• 

I 

Considérant  une  surface  algébrique  * 

f{x,  y,  z)  =  o,  I 

iM.  Picard  pose  les  deux  éciuations  t 

9(jp,  y,  z)=  V, 

où  I"  et  9  sont  deux  fonctions  rationnelles  de  x,  y,  z. 

On  suppose  que  ces  deux  équations  déterminent  un  certain  nombre  de  points 

{x,  y,  z)  de  la  surface  variables  avec  u,  v,  et  tels  que  pour  eux  le  déterminant 

D  (  .7-,  r  ) 
fonctionnel ' — -ne  s'annule  pas  idcnti(|uement.  On  admet  qu'il  soit  possible 

\)  {u,  V) 

de  choisir  l''  et  9,  de  manière  ([ue,  pour  un  système  particulier  de  valeurs  de  11 
et  V  les  |j.  points  correspondants  soient  a  points  arbitrairement  donnés  sur/: 
soit  0  -t- I  le  minimum  de  ce  nombre  ;j.. 


iu<:vui<:  DKs  puimjca  iions. 


tHt 


!,('  noinhro  p  osL  un  invaricait,  cl  l'on  v()i(  ((u'il  s'iiiIroduiL  par  l'cxlciision 
aux  suiTarcs  du  poiiiL  <lo  vue  aucpicl  s't'iail  plurt'  WCiei'.sIrass  pour  dcliuir  le 
i;(Mii('  des  courlM's  ali;cl)ri(|U('S 

l'in  ('hidiaul.  les  roudilious  d'iîxisloïK'o  du  uonilire  p,  M.  Picard  est  conduit  à 
uu  second  invariant  en  j>(''nci'al  dislincl  de  celui-ci.  II  peut  exister  sur  une 
surface  une  coi  rcspcuidancc  hiral  ionntllc  ciilrc  deux  ensenihles  de  v  points, 
C()ircs[)ondanc(î  di'pcndaut  de  paraïuclrcs  aihiliaircs.  Le  niinirnuni  p'  du 
nombre  v  sera  un  invariant  de  la  surface.  ()n  obtient  ainsi  deux  éliMnents  in- 
It'i-cssanls  de  classilication  pour  des  classes  très  ('tendues  de  surfaces  al;^('- 
l»ri(iues. 

Siacci.  —  Sur  le  proMènic  des  li'ois  corps,  (i  i<^9). 

I^a  Note  de  INI.  N'ernicr  {Coi)i/>/es  /-e/K/ifs,  l.  C\I\.  p.  ■\')i)  est  la  reproducti(jn 
d'une   Note  de  iVI.  Siacci  {Conij)les  rendus,  \}.  janvier  iS^/i). 

Sld'chel.  —  l\emar(|iies  an  siijel  de  la  réclainalion  de  ^1.  O. 
S  tau  de.  (i  i  (S()). 

Perrin.  —  Sur  la  résoluliou  des  é([ualions  numérupies  au  moyen 
des  suites  récurrentes,  (i  i()o-i  h):-».). 

uindrade.  —  Sur  un  point  de  doctrine  relatif  à  la  théorie  des  in- 
tégrales  ninhi|)Ies.  (i  !()>»- 1  I9'^)- 

Liifay.  — -  Sur  les  abarpies  (I(î  i6  à  i8  Nariables.  (i  h)5-i  i()<^). 

l*icar(l  [Emile).  —  Rapport  sur  un  ^Mémoire  de  ]M.  liicpiier 
sur  l'existence  des  intégrales  dans  un  système  difïerenliel  cjuel- 
conque  et  sur  la  réduction  d'un  semblable  système  à  une  (orme 
linéaire  et  complètement  intégrable  du  premier  ordre.  (i25o- 

I  2Jl). 

Dyck  (^r.).  —  Sur  la  détermination  du  nombi^e  des  racines  à  un 
système  d'é([uations  simultanées  et  sur  le  calcul  de  la  somme 
des  valeurs  d  une  fonction  de  ces  points,  (i  254-1  a5-). 

Pcrrlii.  —  Sur  la  résolution  des  équations  numériques  au  moyen 
des  suites  récurrentes,  (i  25--i  2(3o). 

BougaïcJJ'.  —  Sur  les   intégrales  définies  suivanl   les  di\iseurs. 

(l  2.59-1  2()l). 
L'intégrale  délinie  suivanl  les  diviseurs 


i8S  SniCONDR    PAUTIF. 

est  une  somme  de  fonctions  6(<:/)  prises  pour  tous  les  diviseurs  cl  du  nombre 
entier  ?i  entre  les  limites  a  et  b  inclusivement.  La  llu-orie  de  ces  intégrales 
est  intimement  lice  avec  la  théorie  des  intégrales  nur!iéri(|ues  suivant  les  divi- 
seurs. Elle  donne  des  lois  numéricfues  nouvelles  pour  l'arithmologie  ou  la  théorie 
des  fonctions  discontinues.  M.  lîougaïeir  donne  (luelques  e\emples  de  ces  lois. 


BULLETIN  i)K  L\  So(mi:tk  Mathématique  dk  Fhanci:. 

Tome  XXII,  1894  (')• 

Picard  {Emile).  —  Sur  une  équation  aux  dérivées  parlielles  de 
la  lliéorie  de  la  [)ropai;alion  de  rh^leclricilé.  (2-8). 


11  s'agit  de  l'équation 


A  — 1-  2  B  -—   .=  C  --— -  » 

ôt^  Ot  Ox- 


qui  régit  les  variations  du  potentiel  électrique  dans  un  (il  supposé  transmettre 
une  perturbation  électrique.  M.  Picard  ramène  cette  équation  à  la  forme 
plus  simple 


dXdY 


et  lui   applique  la   méthode  générale  de   Riemann,  qui   permet  d'en  faire  une 
discussion  complète. 

Raffy  {L.).  —  Sur  les  géodésiques  spéciales  des  surfaces  harmo- 
niques. (8-19). 

On  sait  que,   si   Télément  linéaire   d'une  surface  est  réductible   à   la  forme 
harmonique 

( ,  j  c/5-  =  (  U  —  V  )  ( du-  —  dV'), 

les  lignes  géodésiques  de  cette  surface  ont  pour  équation  finie 

dv 


j  v/û^^    J  v/^- V 


b. 


L'auteur  étudie,  sous  le  nom  de  géodésiques  spéciales,  les  familles  de 
courbes  représentées  par  cette  équation,  où  «reçoit  des  valeurs  fixes  et  b  varie 
seul.  Il  établit,  entre  ces  géodésiques  spéciales  et  la  forme  de  l'intégrale  qua- 
dratique, une   relation  qui  est  réciproque: 


(•)  Voir  Bulletin,  \l\„  p.    (7^. 


KhlVllh:    DM  S    PU  l{  Lie  AT  ION  S.  189 

i'.huil  <h)nnce  une  surface  luirnioniriue  (L'élément  liiu-uire  (1),  si  on  lu. 
r<ii>i>(>rle  ù  une  famille  de  géodésiques  spéciales  (i^-- co/ist.  et  à  leurs  Ira- 
jeetoires  orlhoi^onales  0  —  ronst .,  en  sorte  r/u'il  vient 

(!)  ds' —  d'^^ -\- n  d^)\ 

requulion  aux  geodesir/ues,  relative  aux  variables  0  et  0^, 

<r 

admet    une    intégrale    f/undra tique   dont   le   terme   en  p-    est  ajjecte    d'un 
coejjicient  constant,  et  peut,  par  suite,  être  supposé  nul. 

11  iii(Ii(jiic  onsiiito  les  conciliions  nécessaires  et  suCnsanlcs  pour  (pTun  élérnenl, 
linéuirc,  donné  sous  la  (orme  (2),  convienne  à  des  surfaces  harmoniques,  rap- 
portées à  une  famille  de  géodésiques  spéciales  el  à  leurs  trajectoires  ortlio<;o- 
nales.  Ces  caractères,  appli(|ués  à  certaines  surfaces  présentant  une  famille  de 
courbes  parallèles,  dont  la  courbure  géodési(|ue  en  chaque  point  est  fonction 
de  la  courbure  totale,  conduisent  à  divers  éléments  linéaires  de  forme  simple, 
notamment  à  ceux  des  paraboloïdes  imai;inaires  dont  INl.  ^^'eingarten  a  trouvé 
toutes  les  déformations.  En  terminant,  ÎM.  Ha iïy  rectifie  une  assertion  qui  a  ét(î 
émise  d  une  façon  trop  absolue  sur  l'existence  d"enveloppes  pour  toute  famille 
de  géodésiques  spéciales. 

Picqiœl.    —   Nouvelle    conlribulion    au    problème    du    liiiiLirine 
point  coniiniiii  à  trois  quadriqiies;  son  identité  avec   un   pio 
blême  plan,  (i  9-20). 

llappel  de  la  solution  donnée  par  l'auteur  dans  le  Journal  de  Crelle, 
t.  99,  en  i885;  examen  du  cas  particulier  où  quatre  des  sept  points  donni'vs 
sont  dans  un  même  plan.  Le  problème  du  huitième  point  comm  un  à  trois  (|ua- 
driques  qui  ont  sept  points  communs  revient,  comme  le  montre  M.  Picquet, 
à  la  recherche  du  neuvième  point  d'un  faisceau  de  cubiques  planes.  Cette 
identité,  qui  n'avait  pas  été  remarquée,  permet  à  l'auteur  de  donner  une  nou- 
velle solution  du  problème  relatif  aux  qnadriques. 

Kœnigs.   —   Sur   un   mouvement   particulier  d'un  j)oinl   dans   le 
plan.  (20-2-  ). 

Le  point  est  attiré  par  ûvaw  axes  rectangulaires  en  raison  inverse  du  cube 
des  distances.  La  trajectoire  est  une  courbe  fermée.  Mais  elle  ne  peut  être  par- 
courue qu'en  partie,  le  problème  n'ayant  plus  de  sens  à  partir  d'un  certain 
instant,  où  la  vitesse  et  l'accélération  sont  infinies.  Faute  d'avoir  observé  ce 
principe,  certains  auleurs  ont  donné  à  des  questions  analogues  des  solutions 
qu'on  ne  saurait  admettre. 

AppeLL  i^P .).  —  Sur  les  combes  autopolaires.  [)ar  raj)[)orl  à   une 
conique  donnée.  (-^7). 

Simple    énoncé    :    l'équation    générale    des    coniques    (il)    autopolaircs    par 


iQo  SE(:()M)i<:  l'Airrib;. 

rapport  à  une  conique  (S)  conlicnt  deux  parauiùlrcs  ;  si  l'on  cLaljliL  une  rela- 
tion entre  eux,  la  coni((ue  {^)  enveloppe  une  courbe  autopolaire  par  rapport 
à  (S);  toute  courbe  autopolaire  peut  ètr(î  obtenue  de  cette  façon. 

Laisanl.   —   Principes  (h;  la  mélliode  de  M.  Arnoux  concori)aiiL 
réUidc  des  espaces  ariLlimcLicpies  lijjx'rnia^icpies.  (:>,8-o(i). 

Genty  {E-)-   —   Noie   sur   des   couples    de   surfaces  applicables. 

Dans  un  travail  inséré  au  Bullel'ui  en  189.3,  INF,  Caronnet  a  clierclié  tous  les 
couples  de  surfaces  applicables  l'une  sur  l'autre  et  telles  (|ue  la  distance  des 
points  correspondants  soit  constante.  Il  a  trouvé  deux  groupes  de  telles  sur- 
faces. Celles  de  l'un  des  deux  i;roupes  sont  des  surfaces  réglées  déjà  consi- 
dérées par  M.  lieltrami  :  elles  dépendent  de  deux  fonctions  arbitraires  d'un 
môme  paramètre  et  sont  applicables  l'une  sur  l'autre  avec  parallélisme  des 
génératrices  correspondantes.  Celles  de  l'autre  groupe  dépendent  de  (\(i\\\  fonc- 
tions arbitraires  de  deux  paramètres  diderents.  Elles  ont  été  étudiées  par 
Hibaucour  dans  son  grand  Mémoire  sur  les  ëlassoïdes,  où  est  établi  le  lien 
étroit  de  cette  théorie  avec  celle  des  surfaces  qui  correspondent  à  la  sphère 
avec  orthogonalité  des  éléments. 

La  Note  de  M.  Genty  a  pour  sujet  de  montrer  avec  quelle  facilité  on  peut 
retrouver  les  résultats  précités  au  moyen  de  la  Géométrie  vectorielle. 

Goursat.  —  Sur  les  tangentes  à  une  cubique  plane.   (45-47). 

Démonstration  analytique  fort  simple  de  ce  théorème  connu  :  Le  rapport 
anliarnionique  des  quatre  tangentes  qu'on  peut  mener  à  une  cubique  par 
l'un  de  ses  points  reste  constant  quand  le  point  décrit  la  courbe.  (  La  cubique 
est  supposée  sans  point  double,  et  l'on  fait  abstraction  de  la  tangente  qui  la 
touche  au  point  considéré  ). 

Denioulin.    —    Sur    une   propriété    caractéristicpie    de   l'élément 
linéaire  des  surfaces  de  révolution.  (47-49)- 

Démonstration  du  théorème  suivant  et  de  sa  réciproque  : 

Si  deux  surfaces  (S)  et  (S,)  se  correspondent  ponctuellement  de  telle  ma- 
nière que  deux  éléments  correspondants  .MiM',  M,  M',  et  la  normale  en  ]M  soient 
parallèles  à  un  même  plan;  si,  eu  outre,  les  droites  MM,  sont  tangentes  à  la 
surface  (S),  cette  dernière  sera  applicable  sur  une  surface  de  révolution.  L'élé- 
ment linéaire  ayant  été  ramené  à  la  forme 

ds-=  f/a^H- A(a)  d'^', 

les  droites  INIM,  seront  tangentes  aux  lignes  [j  =  const.  et  l'on  aura 

MM,=  mv^M^y, 
ni  désignant  une  constante. 

Andi'ade.  —  Note  sur  les  intégrales  de  M.  Sclnvarz.  (oo-os). 


HKVUr:    DKS    PUBLICATIONS.  mjt 

Sdiciil  iiiic  siiilf  iiiliiiie  di;  ronclioiis  \\,  \\,  \  ^,  ...,  (|iii  s'iiiiii  ii  Iml  loiilcs  à 
l;i  siirliicc  (rmi  vohmic  (D)  cl.  Siilislonl  ;'i  riiili'iiciir  de  ce  noIiiiik;  ;iii\ 
('•(iiiiil  ions 

■^V,,.,H-  Vi=  o         {i-.  (),  i,'.<,  ...)• 

IvCS  i  Mit';;  rai  es  de  volume 

rclalivos  iiii  domaine  (D),  soiil,  toutes  fiositives  et  vérineiil,  en  verlii  du 
llu'orrme  de  (Ireeii.  les  ideiitilés  \N',„  ,^  =  ^^o  »,+/.•   '*''  plus,  on  a 

\v       \v       w 

w       w       w     

C'est  là  im  lliéorèmc  dû  à  M.  Scliwarz.  I/anteiM-  en  présente  une  nouvelle 
détïionstralion  fort  simple. 

Picard  [Ll mile).  —  Sur  la  mcLhodc  des  approximations  succes- 
sives et  les  cc|uaLions  linéaires.  (02-57). 

I/autcur  appli(|iie  la  méthode  des  approximations  sucecssives  aux  équations 
linéaires 

— -^  -h  A(x) !-...+  A„,(  x)y  =  o, 

et  montre  (|uc  cette  méthode  fournira  toutes  les  intégrales  par  des  développe- 
ments valables  dans  tout  intervalle  où  les  coefncients  A-  seront  des  fonetions 
continues  de  x. 

Si  les  coefficients  A-  dépendent  d'un  paramètre  A"  et  sont,  pour  x  variant 
entre  o  et  a,  des  fonctions  holotnorphes  dans  tout  le  plan  de  la  variable  /. , 
toutes  les  intégrales  ont  cette  même  propriété  pour  x  compiis  entre  o  et  a. 

M.  Picard  considère  ensuite  une  équation  du  second  ordre 

dont  les  coefficients  sont  continus  pour  toute  valeur  réelle  de  x  et  admettent 
la  période  oj.  Il  existe,  en  général,  un  système  d'intégrales  qui  se  reproduisent 
multipliées  par  des  constantes  [J-,  et  îj.^,  quand  on  change  x  en  x -h  m.  La  dé- 
termination de  ces  facteurs  est  un  problème  important  et  difficile  :  au  moyen 
des  approximations  successives  on  peut  former  léquation  qui  les  admet  pour 
racines.  Par  le  môme  procédé  on  détermine  les  deux  facteurs  par  les<|ucls  se 
trouvent  multipliées  deux  intégrales  de  l'équation  ci-dessus,  (|uand,  ses  coeffi- 
cients étant  supposés  holomorphes  dans  une  couronne  comprise  entre  deux 
cercles  concentriques,  la  variable  tourne  dans  la  couronne  autour  du  cercle 
intérieur. 

Antoma/i.  —  Sur  les  surfaces  réglées  applicables  avec  parallé- 
lisnie  des  génératrices.  (58-G3). 

L'auteur  donne   une  génération    des   couples  de   surfaces  réglées  applicables 


\r)?  SHCONDK   FAirriH. 

généraUico  sur  génératrice  cL  de  Iclle  sorte  (jiie  lu  dislaiicc  des  puiiils  corres- 
pondants reste  constante. 

On  partira  d'une  courbe  gauche  quelconque  (C),  dont  les  points  M  seront 
définis  par  l'arc  t  de  la  représentation  spliéri(iue  de  leurs  tangentes.  Sur  la 
normale  principale  en  IVI,  on  jxjrtcra  de  paît  et  d'autre  de  ce  point  deux  seg- 
ments égaux  à  /sin(^  +  h)  {l  et  h  étant  deux  constantes),  et  par  les  extrémités 
de  ces  segments,  on  mènera  deux  parallèles  à  la  tangente  à  (C)  en  M.  Quand 
le  point  M  parcourt  la  courbe,  ces  deux  droites  engendrent  les  deux  surfaces 
répondant  à  la  (|ueslion. 

J\(fJ/'}'  (L.).  —  Keclierciics  sur  les  surfac(.'.s  li;uniojil(|ucs  (résume). 
{6'U)(),  84-9()). 

Coinmo  l'indi(|ue  son  tilre,  <ette  Coniimuiication  résume  un  ensemble  étendu 
de  recherches  sui-  les  surfaces  liarnionirjaes,  ou  surfaces  dont  l'élément  li- 
néaire est  réductible  à  la  forme 

cls'=[\}{u)  —  V (  (01  ( du' -\-  (h' ). 

Après  avoir  rappelé  les  travaux  de  ses  devanciers,  notamment  deux  résultats 
de  la  plus  haute  impoitancc,  dus  à  M.  W'eingarten,  l'auteur  s'exprime  ainsi  : 

«  Tout  ce  qui  constitue  aujourd'hui  la  théorie  des  surfaces  harmoniques,  en 
dehors  des  travaux  que  nous  venons  d'énumérer,  est  contenu,  à  fort  peu  de 
chose  près,  dans  nos  Recherches.  C'est  ce  qui  résulte  du  Rapport  présenté  à 
l'Académie  des  Sciences  {Comptes  rendus,  t.  CXV,  p.  iia2,  1892)  sur  le  con- 
cours dont  cette  théorie  a  fait  le  sujet.  Le  Mémoire  couronné  traite  exclusive- 
ment des  éléments  linéaires  doublement  harmoniques,  dont  la  détermination 
complète  forme  la  seconde  Partie  de  mon  travail.  Un  autre,  qui  a  partagé  avec 
le  mien  une  mention  honorable,  ne  contient,  sauf  (|uelques  théorèmes  communs 
aux  trois  Mémoires  approuvés,  que  les  deux  beaux  ïésultats  mentionnés  ci- 
dessus,  le  second  trouvé  sans  nul  doute  avant  que  M.  ^^'eingarten  le  publiât.  » 

Suit  l'analyse,  Chapitre  par  Chapitre,  des  trois  Parties  des  Recherches  de 
M.  Kalfy. 

Première  Partie  (publiée  dans  les  Annales  de  la  Faculté  des  Sciences  de 
J^oulouse,  année  iSjj'j)-  — Au  Chapitre  I"  est  rappelé  le  théorème  fondamental 
de  M.  Massieu  qui  rattache  à  la  forme  harmonique  de  l'élément  linéaire 
l'existence  d'une  intégrale  quadrati(|ue  pour  le  [)roblème  des  lignes  géodé- 
siques;  cette  proposition  est  mise  sous  une  forme  (jui  se  prête  à  d'importantes 
applications.  Ainsi  il  est  prouvé  au  Chapitre  II  que  toute  surface  harmonique 
à  lignes  d'égale  courbure  parallèles  est  applicable  sur  une  surface  de  révolu- 
tion. La  seconde  application  (Chap.  III)  est  la  détermination  complète  des 
surfaces  réglées  harmoniques;  à  part  celles  <|ui  sont  applicables  sur  des  sur- 
faces de  révolution,  elles  résultent  toutes  de  la  déformation  de  surfaces  du 
second  degré,  réelles  ou  imaginaires.  Le  Chapitre  IV  traite  des  intégrales  li- 
néaires et  quadratiques  de  l'écj nation  aux  cercles  géodésiques,  telle  que  l'a 
présentée  M.  Darboux.  Il  est  prouvé  que  lintégralc  linéaire  n'existe  que  pour 
les  surfaces  de  révolution;  s'il  existe  une  intégrale  quadratique,  la  surface  est 
généralement  harmonique  et  son  élément  linéaire  satisfait  à  une  équation 
fouclionnelle. 


I 


w  i<: \  iih:  i)i:s  piiui.i  ca  rioNs.  k»; 

Pcn.rir/fic  l'dilic  (  |iiil»I  i(r  |t;ir  le  .IdiiiikiI  <Ic  Mal  Ik'iiuiI  i(/i(('s  pures  cl 
iinplitiiicrs,  iiiiiM'c  i><i)  I  )•  •  I'-"''  •'  p'iiir  <>|ijc|  la  (hlcrin  iiuil  ion  des  (■Icinc.nis 
liiu'itircs  (loiihli-niciil  iKiriiionif/iics,  c'csl  ;'i(lii(!  r<'(lii(l  ildcs  de  iIimix  m  an  i  ries, 
«•I,  par   suilo,  diiiK'    inliiiilc   de   riiiinit-rcs  à    la    lonric  liai'ni<»iii(|ii('.  Il    s'afi;il   de 

liMHivcr  loiilcs    Ic>   r lions  9  (  ./•    :    y)    ''^   /{-C  —  y)  qui    \  (Mi  lient.,    conjoiiilr- 

niciit  a\cc    deux    aiilrcs    loiictions    ini-oiiniics    \  (  x  )    <•!    ^  (.)'),    Ii-qua  I  ioii    diilV-- 
icnlitdlc  iiidtIcriM  iiiôt* 

(|-,)    (\"-i-  ^■')('y  -/)-\-:i{\'—\')-^'-:'>{\'-i-\')f'-\-'M\  -  Vj('f"-/")^o. 

\»  Cliapilre  1"',  après  une  classi/icaLioii  des  ('■[('•iiiciils  lini'aires  lianiioniqiHîs, 
(|iii  loni-iiil,  (jiiaiid  j-(''lémcuL  est  donné  sous  la  l'orme  (  f  -  /)  df  dy,  les  eon- 
(lilions  néeessaires  ot  suflisanlcs  pour  (piil  soiL  douhlerneni  liarrnoni(|ne, 
viiMinent  «  deux  lois  inluil,i\es,  (|tii,  bien  (|iressenlicllernenl  dislineUîs,  con- 
eourenl  à  l'aiie  connaîLic  des  exemples  nouveaux  d'éh'menls  linéaires  douhlc- 
menl  liarnioni(|ues;  l'une  esl  la  loi  de   passage,  l'aiilrc   la    loi   de  réeiprocilé  ». 

(Iràee  aux  dévrloppcnicnts  des  Cdiapili-es  II  el  III  où  sont  déterminées  toutes 
les  solutions  de  Téqualion  (K)  <(uan(l  {-^  —  f)  d.v  dy  est  l'élément  linéaire 
d'une  (léveloppal)le,  d'une  surfaec  à  courbure  totale  constante,  ou  d'une  sur- 
face de  révolution  doublement  liarmoni(|ue,  les  deux  lois  précitées  fournissent 
(Cliap.  I\  )  dix  solutions  nouvelles  du  problème,  ce  ((ui  en  (ait  trente-six  en 
tout.  Le  reste  du  Ciiapitre  est  employé  à  démontier  qu^Y  /l'en  existe  point 
d'autres,  ainsi  (|ue  lauleur  l'axail  annoncé  dès  ibJH;).  Il  y  arrive  par  des  C(mi- 
îiidi'rations  empruntées  à  la  théorie  des  fonctions  de  variable  complexe,  en 
établissant  d'abord  que  toutes  les  fonctions  \,  V,  9,  /,  qui  satisfont  à  l'équa- 
tion (I'^),  sont  des  fonctions  uniformes,  puis(iu'clles  ne  présentent,  à  dis- 
tance finie,  d'autres  singularités  que  des  pôles  à  résidu  nul.  La  distinction 
une  fois  faite  entri  les  solutions  possibles,  d'après  leurs  pôles  et  leurs  périodes, 
un  raisonnement  direct  détermine  toutes  les  solutions  doublement  périodiques. 
Mais  la  recherche  des  autres  serait  bien  peu  avancée  si  l'auteur  ne  faisait  dé- 
j)en(lre  leur  connaissance  d'un  prol)lème,  en  apparence  tout  autre  et  plus  géné- 
ral :  trouver  toutes  les  fonctions  \{x)  qui  sont  uniformes  et  qui  deviennent 
des  fonctions  uniformes  de  ç  par  le  changement  de  variable 

dx 


d\  — 


v/x(^) 


La  s;)lulion  complète  de  cette  dernière  question  fournit  toutes  les  formes 
analytiques,  parla itcment  déterminées,  que  peuvent  revêtir  les  fonctions  X,  Y, 
9  et  y  et  qui  comportent  au  plus  huit  constantes  arbitraires.  On  est  ramené  à 
une  question  de  calcul  algébrique  pour  déterminer,  dans  la  mesure  où  elles 
doivent  l'èlre,  les  constantes  arbitraires  et  l'on  reconnaît  que  les  éléinenls  li- 
néaires doublement  harmoni(|ues  énumérés  au  dc'but  du  Cha|)itre  sont  bien  les 
seuls  (|ui  existent . 

Le  Chapitre  \  traite  d'une  classe  importante  d'éléments  linéaires  que 
M.  Sophus  Lie  a  considérés  le  premier,  mais  sans  les  calculer,  et  dont  la  détcr- 
miîKition  est  implicitement  contenue  dans  le  Chapitre  précédent.  Des  résultats 
obtenus  par  iM.  Lie  et  convenablement  complétés  par  l'auteur,  il  suit  que  toute 
surface  susceptible  d'être  représentée  sur  certaines  surfaces  avec  conserva- 
tion d'une  seule  des  familles  de  lignes  de  longueur  nulle  et  sur  d'autres 
avec  conservation  de  ces  deux  familles  est  une  surface  doublement  harmo- 
nique. 


H)4  sriCONM)^  pautiiï;. 

Troisii'Dic  Parlic  (  |»iil)li(-c  dans  les  An/talcs  de  rh'cole  iS'ornKdc  supérieure, 
année  iNç)")).  —  L'ohjeL  do  rclLc  dcrniôrc  l'arlio  est  la  déiermindlion  de  tous 
les  éléments  linédires  harnioiii(}ues  qui  conviennent  à  des  surfuces  spirales. 

Le  problème  revient  à  trouver  tontes  les  fondions  T  de  x-^y,  qui  vérifient, 
conjointement  avec  deux  autres  fonctions  in(;onnues  X(x)  et  Y(^),  l'équation 
didérentielle 

Il  2  \(T'-i-T^— 2rr -i)  — 2  Y(i"  +  'p-i- oiT  —  i) 

/  4- 3\'(T- /) -3V'('I'  + 0  +X"— Y"=  0, 

où  les  accents  désignent  des  dérivées  et  /  l'unili-  imaf,Mnaiie.  I/anteur  monli-e 
d'abord  que,  pour  les  spirales  sim[)lement  barmoniques,  les  fonctions  X  et  Y 
sont  nécessairement  de  la  forme  Ae-'"'',  \\e~-'y,  où  A,  H,  /•  sont  trois  constantes 
dont  la  dernière  peut  être  nulle.  Il  est  ainsi  conduit  à  traiter  ré<[uation  (S) 
d'abord  en  i-éduisant  X  et  Y  à  des  constantes,  [)uis  en  prenant  pour  X  et  Y  deux 
exponentielles,  ce  ((ui  donne  les  deux  éléments  linéaires 

(  ni  )  ds-  —  (  au"'  —  bv'"  )  (  du'-  H-  dV  ) , 

(  l  )  ds-  =  (  log  au  —  log  bv  )  (  du-  +  dv-  ) , 

où  a,  b,  ni  désignent  des  constantes  arbitraires. 

Le  Cbapitre  I  (init  par  la  détermination  des  éléments  linéaires  qui  con- 
viennent à  la  fois  à  des  spirales  et  à  des  surfaces  de  révolution  :  ils  rentrent 
tous  dans  le  type  {x  -h  y)"'  dx  dy. 

Au  Cbapitre  II  ré([ualion  (S)  est  complètement  discutée  et  résolue.  Laissant 
de  côté  les  cas  particuliers  déjà  traités,  on  exprime  X'  et  Y'  sous  la  forme 
linéaire 

(  ^  )  X'  =  T,  \  +  T,  Y,        Y'  =  ï,  \  +  T,  Y, 

les  lettres  T.  désignant  des  fonctions  rationnelles  de  T  et  de  ses  (juatre  pre- 
mières dérivées.  Il  suit  de  là  (|ue  la  fonction  T  doit  satisfaire  à  deux  équations 
difTérenticlIes  du  cinquième  ordre,  tellement  corr)pli(|uées,  qu'on  ne  peut  songer 
à  les  employer.  C'est  pourquoi  M.  Haffy  procède  tout  autrement.  II  considère 
les  T.  comme  des  fonctions  inconnues,  sans  relation  entre  elles,  et  démonti-e 
(|ue  le  système  (t)  admet  deux  solutions  et  deux  seulement,  qui  sont  déter- 
minées à  des  constantes  près.  Substituant  les  expressions  de  X,  Y  et  des  T,, 
<iui  forjnent  ces  deux  solutions,  dans  l'équation  (S),  on  la  décompose  en  deux 
é(iuations  de  Kiccati,  dont  la  discussion  comporte  l'examen  de  cas  assez  nom- 
breux. La  conclusion  finale  est  que  le  type(/?j),  avec  ses  formes  dégénérées  (  0 
et  (e) 

(  e  )  ds'  =  (  e""  —  e''"  )  (  du'  +  dv  ) , 

comprend  tous  les  éléments  linéaires  cbercliés,  sans  toutefois  les  représenter 
tous  sous  leur  forme  harmonique  la  plus  générale. 

Dans  les  recherches  que  nous  venons  de  résumer,  l'auteur  ne  s'est  occupé 
que  de  déterminer  des  éléments  linéaires  jouissant  de  certaines  propriétés  assi- 
gnées à  l'avance.  «  Il  y  aurait  assurément  intércl,  dit-il,  à  connaître  les  sur- 
faces qui  correspondent  à   ces  éléments  linéaires.    Mais  de   pareils  problèmes 


sniil  en  ;;i'ii(i'iil,  iniiinic  ()s>iaii  ImhiiicI  l'a  dil ,  au-dessus  des  foi'ccs  de  l'analyse 
ai  liicllf.  l'Ius  d'un  daillfiiis,  parmi  i'cux  (|U(;  nous  avons  résolus,  prc^cnlaiL 
di'jà  des  dilliculli's  consid(':ial)lcs,  (|u'iiii  |Hiiiii'a  nir^iiii  r  aux  i  (ssijuitM^s  iiiiscs 
tu  (i'U\i»'  pour  les  sunuonlri-.  » 

l'Clir.     --   K(Mn;ir(|ii(^  sur  le   lliroirmc  de  M.  iMoiil.ird.  ('f)--()(S). 
h'aprt's  le  I  Ik'oiciiic  de   M.   iMoutard,   si    l'on  sait   iiil(''^rcr  i'(''(|ua  I  ion 

ou  peut,  en  t^ciKTal,  eu  déduiit;  uni;  suilc,  illiuiiléc.  d't'M|ual.ions  de  rnèinc  (oiirin 
<|u"on  inl(''};i(;  par  de  sini|)lcs  (|ua(lralurcs.  l'our  que  d(;ux  équations  consé- 
cutives (le  celle  suite  soient  les  niènies,  il  faut  cl  il  suffit  que  A  soit  de  la 
forme  /(.r  ) 'v  ()•  ),  ainsi  (|ue  le  monli'e   INI.   l'ehr. 

Zarcn\b(i .    —  Siii-  la   rc'diidiou    du    iionibrc   des   [)érIodcs   d'uiu; 
lonclioM  |)('ri()di(|iie.  (^^<^-7o). 

Disons  qu'un  système  de  périodes  o),,  o)^,  ...,  o),,  d'une  fonction /(.r)  est  un 
système  complet  si  une  période  quelconque  ii  de  /{x)  est  une  fonction  linéaire 
et  homogène,  à  coefficients  entiers,  des  périodes  oj..  On  sait  ([ue  si  les  (<)■  vé- 
rifient y>  relations  distinctes,  linéaires  et  homogènes,  à  coefficients  entiers,  il 
existe  poury(x)  des  systèmes  comf)lets  de  j)ériodes  se  composant  chacun  de 
n — p  périodes  indépendantes.  J^'intérèt  de  la  démonstration  (jue  M.  Zaremhu 
donne  de  ce  théorème  consiste  à  fournir  i\n  procédé  régulier  pour  calculer  les 
systèmes  complets  de  périodes  en  question. 

Jhii'kliai'dt .  —  Sur  les  foncLions  de  Greei)  relatives  à  un  domaine 
d'une  dimension.  (71-73). 

Barbarin.  —  Résumé  d'un  ÎMémoire  sur  la   détermination  d'un 
triangle  au  moyen  des  longueurs  de  ses  bisseetriees.  (^6-80). 

Lecornu.   —  Sui^  quelques    cas  de  discontinuité   en  Mécanique. 

(8.-84). 

«  Quand  l'expression  analytique  d'une  accélération  passe  par  l'infini,  il  est 
toujours  possible,  en  modifiant  un  peu  les  données,  de  faire  en  sorte  que  cette 
expression  devienne  simplement  très  grande.  On  obtient  alors  un  mouvement 
bien  déterminé,  et  il  est  naturel  de  chercher  comment  se  transforme  ce  mou- 
vement, quand  on  revient  graduellement  aux  données  initiales....  La  nature 
du  mouvement  limite  dépend  de  la  manière  dont  on  procède  pour  substituer 
tout  d'abord  une  force  très  grande  à  la  force  infinie.  »  Conclusion  établie  par 
l'examen  d(!  deux  exemples,  dont  un  est  celui  que  M.  Kœnigs  a  signalé  précé- 
demment dans  le  même  volume. 

IhililrancL  —  Démonstration  des  formules  fondamentales  de  la 
jx'rimorpiiie  et  des  formules  de  Codazzi.  ({)7-io'>.). 


If/)  siîcoN'DH  pautif:. 

Picard  (^/'Jiniley  —  Sur-  la  dcU'iin  Inalion  (l(;s  inL(''^  raies  des 
équalicjns  aux  (lérivécs  parlitdh.'S  du  second  ordre  par  ceilaiiies 
conditions  aux  liniiles.  (  i  oi^-iof)). 

Luiilcur  considère  l'équatioii 


(Y-z  ôz        ,  ,)z 

-, ,-  —a- [-  b- \-  cz, 

Ox  Oy  ùx  Oy 


où  a,  b,  c  sonL  des  fonrlions  cotuiniies  de  x  cl  y  et  se  propose  de  délerminer 
(Mîlle  de  ses  inlcgrales  (jiii  se  rcdiiiL  à  f{x)  pour  jk  =  o  et  à  Z'{x)  pour  jk  =  x, 
\v<  deux  foncLioiis  /  cL  9  étaiiL  arbitraires.  Il  iiionlre  (jue  la  méLliode  des 
approximalions  successives  fournit  pour  z  une  série  qui  est  convergente  dans 
lout  rectangle  parallèle  aux  axes  et  comprenant  l'origitjc,  où  les  «,  b,  c  ainsi 
(|ue  /  et  'f  sont  des  fonctions  déterminées  et  continues.  Ivxlcnsion  à  la  recherche 
de  l'intégrale  ;;  qui  se  réduit  à  J'{x)  pour  y  =  eux  et  à  o{x)  pour  y  =  |3x, 


sous  la  condition 


\f{x)-'^{x)\  <\\x\y, 


A  et  p  étant  des  constantes  positives. 

Geilty  {E.).    —    Sur    les   surfaces  à    coiirhnre    lolale   constante. 

(i  06- 109). 

L'objet  de  cette  Note  est  de  retrouver  simpicmeni,  par  la  théorie  des  con- 
gruences,  les  transformations  que  MM.  Bianclii  et  Backlund  ont  découvertes 
pour  les  surfaces  à  courbure  totale  constante.  L'auteur  montre  eu  ellet  que  : 

Si  deux  surfaces  se  correspondent  point  p(ir  point,  de  telle  manière  que 
la  distance  p  des  deux  points  soit  constante  et  que  les  deux  plans  tangents 
en  ces  deux  points  contiennent  la  droite  qui  les  joint  et  forment  entre  eux 
un  angle  constant  6,  les  lignes  de  courbure  et  les  lignes  asymptotiques  se 
correspondent  sur  ces  deux  surfaces,  pour  lesquelles  les  courbures  totales 
sont  constantes  et  égales  à  /?--sin=6.  Pour  0  —  go°  on  a  la  transformation  de 
M.  Bianchi;  si  8  est  quelcon(|ue,  ou  a  celle  de  ^L  B;icUluiid. 

Adam  (^Paul).  —  Sur  les  surfaces  admettant  pour  Iii;nes  de  cour- 
bure  deux   séries  de  cercles    géodésiques   orlliogonaux.    (110- 

1 1  5). 

Ossian  Bonnet  a  déterminé  toutes  les  surfaces  qui  jouissent  de  la  propriété 
énoncée.  Sa  solution,  fondée  sur  les  fornuiles  de  Codazzi,  exige  des  calculs  qui 
n'occupent  pas  moins  de  dix-sept  pages.  M.  Adam  en  expose  une  beaucoup 
plus  simple,  qui  revient  à  la  détermination  de  trois  fonctions  U,  de  u  et  de 
trois  fonctions  \'-  de  v  satisfaisant  à  ré((ualion 


i  =  z 


i-d    ()U  \     U 


U.. 


U,+  V, 


in-:viJi':  di-.s  imhu.ications.  ic,; 

\   son    loiir  ('cjlc-ci  est    imimcik'c  ;'i   l;i   siii\,iiilc 

l=:3 

■>('/-l-r)(U.-i- Vj  -I- V(li,-f-V,)^-o, 

tloul   la  (lisciission.  al)ri'i;(''(' pai- (livci'srs  r('iriai'(|ii('s,  coiidiiil  ra[ii(lctii('nl  ratiU'iii- 
aux  (oiimilos  de  IJoruioL 


\j' a  loi  —  II)  \/v(oL-\-v)        ,,  v\/a-{-v    .    ,^ 

X—  -î — > -,  y=  -î ^cosV,     •    ;;  —  — ï sin\. 

u  -h  V  u  -\-  V  u  -\-  V 

P(finl('\u''.  —  Nolo  sur  une  identité  entre  cerlains  di'teniiinnuls. 

(l  l()-I  !()). 

l^  et  [J'y  {L.).  —  Sur  le  problèjne  général   de  la   d(''forinali()n  des 

s  u  rfaces .  (  i  i  ^  - 1 3  y.  ) . 

Grâce  aux  travaux  de  iM.  WeingarLen,  on  connaîL  aujourdliui  une  série  de 
surfaces,  dont  on  peut  trouver  toutes  les  déformations.  L'ensemble  des  surfaces 
applicables  sur  chacune  d'elles  est  représentée  par  des  formules  telles  que 

dXi  =  A  ■  dx  -h  B .  rf^         {i  =  i,  2,  o), 

où  les  X;  sont  des  coordonnées  rectangulaires,  les  A-  et  les  B,  des  fondions 
déterminées  de  deux  variables  a  et  ,3,  de  deux  fonctions  arbitraires  '-f  (  a)  et  '|(  ^), 
ainsi  que  de  leurs  dérivées  successives  en  nombre  limité.  M.  Bafl'y  démonli'e 
que  quand  an  problème  de  déformation  comporte  une  solution  complète 
rentrant  dans  ce  type  analytique,  les  lignes  a  =  const.  et  les  lignes  p  —  const. 
sont  nécessairement  les  asymptotiques  des  suif  aces  cherchées.  Cette  propo- 
sition lui  a  suggéré,  pour  traiter  les  questions  d'applicabilité,  deux  procédés 
généraux,  inverses  l'un  de  l'autre,  qu'il  applique  successivement. 

Premier  procédé-,  —  Une  surface  étant  rapportée  à  ses  asymptotiques  (a,  ^) 
les  différentielles  dx-  de  ses  coordonnées  dépendent  d'après  les  formules  de 
M.  Lelieuvre,  de  trois  fonctions  qui  vérifient  une  même  équation  aux  dérivées 
partielles  du  second  ordre 

ôoi  Of> 

Il  s'agit  de  choisir  ces  trois  fonctions  de  telle  sorte  que  les  dx^  rentrent 
dans  le  type  considéré  et  que  la  somme  de  leurs  carrés  puisse  être  ramenée  à 
la  même  forme,  quelles  (|ue  soient  les  deux  fonctions  9(x)  et  <^(|j).  En  pro- 
cédant ainsi,  l'auteur  retrouve  les  beaux  résultats  dus  à  M.  ^\eingarten. 

Second  procédé.  —  On  peut  aussi  partir  d'un  élément  linéaire  donné 
ds-  =  E  du-  +  2  F  du  dv  -\-  G  dv-, 

et  chercher  à  intégrer  les  deux  é(|uations  par  lesquelles  M.  Darboux  {Théorie 
des  surfaces,  t.  III,  p.  290)  a  délini  les  coordonnées  curvilignes  «,  \?  comme 
fonctions  de  a  el  |i,  paramètres  des  lignes  a>^ymploti([ucs.  V.w  cdVt.  i|uanil  on  a 


rgS  SKCONDI-:    l'AKTIi:. 

troiivi'  nn(^  soliilioii  (//,  V)  de  ("C  sysLèiru;,  (»ti  ;i  viri  iiclIcMiicnl  dclormiiié  (à  lii 
position  c;L  à  une  syméLrii;  prrs  )  une  stirfaec  (jni  adnu.'L  l'élcinenL  linéiiire  roii- 
sidén'-. 

A|)n:s  avoir  traiU'-,  par  ce  second  procédé,  les  (exemples  étudiés  au  moyen  du 
piciriiei',  M.  Uady  rapproclic  les  deii\  procédés  et  démontre  quelques  proposi- 
li(tns  propres  à  l'acililer  leur  eiii|il(ti. 

]  criùci'  (/"*.)•  —  Siii"  l(;.s  lorDH.'s  binaires  dont  les  vanaljl(.'s  sont 
(les  inlf'j^ralcs  foiidimiciilales  d'une  «'(iiialion  dilIérenLicllc  li- 
néaire du  second  ordre,  (i /).^-i .)')). 

Paiiilevé .  —  Sur  les  nioiivemenls  el  les  liaj(;ctoires  réels  des 
systèmes.  (  i  .'>()- 1  (S.'j  j. 

Dans  ce  Mémoire  étendu,  l'auteur  étudie  le  mouvement  réel  d'un  système 
matériel  (S),  à  liaisons  indépendantes  du  temps,  soumis  à  des  forces  qui  ne 
dépendent  ni  de-;  vitesses  ni  du  temps.  La  proposition  principale  qu'il  établit 
concerne  les  positions  régulières  du  système  ou  positions  dans  le  voisinage 
desquelles  les  Cf)e('licicnts  des  é(|uations  de  Laj;rani;c  sont  des  fonctions  régu- 
lières des  /.,  paramètres  cp-  (jui  définissent  la  position  du  système. 

Si,  t  tendant  vers  t^,  (S)  tend  vers  une  position  régulière,  ses  vitesses 
tendent  respectivement  vers  une  limite  finie.  Si,  t  croissant  indéfiniment,  (S) 
tend  vers  une  position  régulière,  cette  position  est  nécessairenient  une  j/osi- 

tio/i  d'équilibre,  et  toutes  les  vitesses  tendent  vers  zéro  avec     • 

De  ce  théorème  lésullent  diverses  conséquences  au  sujet  des  trajectoires 
véelles;  pour  les  énoncer,  remar(|uons  ([ue  dans  tout  domaine  (Li),  où  les 
coeflicients  des  éciuations  de  Lagranj^e  sont  liolomoi[>lics,  une  trajectoire  ne 
comporte  que  deux  mouvements  distincts  dillerant  seulement  par  le  sens,  mou- 
vements réels  si  la  force  vive  V  est  positive,  imaginaires  si  T  est  négative. 
«  Mais  les  mouvements  imaginaires  deviennent  réels  (et  réciproquement)  si 
l'on  change  t  en  «Y,  ce  (jui  revient  à  changer  le  sens  de  toutes  les  forces 
appli({uées  au  système.  En  ai)[)elant  mouvement  conjugué  du  mouvement  vrai 
d(;  (S)  le  mouvement  qui  correspond  aux  nouvelles  fijrces,  on  voit  que  les 
trajectoires  réelles  se  divisent  naturellement  en  trajectoires  vraies  et  trajec- 
toires conjuguées.  Il  existe  un  faisceau  (à  A  paramètres)  de  trajectoires  pour 
lesquelles  T  s'annule  au  moins  en  un  point  M',  qui  n'est  pas  un  point  d'équi- 
libre; en  ces  points,  d'xls  points  d'arrêt,  le  système  rétrograde  sur  la  trajec- 
toire, qui  est  alors  forniée  de  segments  alternativement  vrais  ou  conjugués, 
séparés  par  les  points  M';  nous  la  nommons  trajectoire  mixte. 

»  Il  peut  exister  toutefois  (mais  il  n'existe  pas,  en  général)  des  trajectoires 
exceptionnelles  (jui  comportent  une  infinité  de  mouvements;  ces  trajectoires 
sont  nécessairement  des  géodcsiques  de  'J",  et  elles  dé[)endent  au  plus  de  /.'  —  i 
j)aramètres.  Klles  sont  dites  trajectoires  remarquables. 

»  Ces  délinitions  adoptées,  soit  M  un  point  de  (l'\);  parce  point  passent  une 
inlinilé  de  trajectoires  réelles  (C)  tangentes  à  une  direction  quelconque  donnée 
et  (jui   tlépendent   d'une    constante   arbitraire;  ces  trajectoires  sont    toutes  îles 


UKVUK    l)I<:s   IMIUMCATIONS.  i<,(, 

(•(•iiild's  iiiiiily  I  ii|  iK's  n'i^iil  itit'--  fhiiis  Ir  \  iiisina^'c  de  M.  I!llr^  (■niii|ii<'iiiicii(,  un 
liiisct'ini  il  III)  paiMiiK'lie  (h;  IrajccLoiics  mixtes  |)n':sciiliiiil  ihuis  (\'\)  mi  poiiil 
d'aiiri,  une  I  la  jccl  oiio  ((1)  cl  mu;  simiIc  poiii'  l;u|iiill(',  M  osL  un  poiiil  (l'arn'I. 
(>iiauil  par  iiii  |iniiil  M  passi;  une  I  la  jccloirr  iriiKiit/iKihlc,  elle  si;  roiiloml 
avec  (  (',|  )  ;  si  loulos  1rs  Irajccloiics  (  (1^  )  soiil  icnianiiiahlo,  cIIiîs  se  foii(ou(l(;iiL 
dans  (  K^  )  avec  les  Irajccloiri-s  iiii\l(\s.  //  ne  passe  j)(is  par  le  point.  M  d'autres 

trajectoires,  si  le  point  M  n'est  /mis  une  position  d'c(jnilil>re l'ar  un  point 

il' e(luHH)re  M,  //  j)eut  passer,  en  outre  dti  faisceau  ret^ulier  de  trajectoires, 
des  l>ranclies  sini^ulières  de  trajectoires  (  (^  ) . . .  :  en  f^éiuTal,  lo  sysLrnie  (S) 
iiMul  sur  (('.)  Ncrs  la  position  M,(|uan(l  /  ('i'()iL  iiidéfinirrx'nl  dans  riin  des  deux 
mouvcmtMiLs  \iai   ou  conjugué.  » 

L'aulcui"  dt'icrniinc  aussi  les  condilions  de  lcin()S  dans  l('S(|ii(dl(;s  soni  ()a!'- 
couiucs  les  Irajecloires  iccllcs,  daus  un  inouveinenl  soit  vrai,  soit  ronjugué  cl 
il  l'ialdit,  entre  autres,  ce  tliéorèrrjc  :  Quand  les  forces  dérivent  d'un  poten- 
tiel, tout  segment  {intérieur  à  \i^)  d'une  trajectoire  prise  au  liasard,  est 
parcouru  entièrement  en  un  temps  fini,  dans  le  mouvement  vrai  ou  con- 
jugué. H  ny  a  d'exception  que  pour  des  faisceaux  particuliers  de  trajec- 
toires. 

Andracle.  —  Sur  une  propriété  mécanique  des  lignes  géodésiques. 

(.86-189). 

Lorsqu'un  niol)ile,  assujetli  à  restci*  sur  une  surface,  est  abandonne  à  Iiii- 
mèine  avec  une  vitesse  initiale,  on  sait  qu'il  décrit  une  géodésique  tangente  à 
la  direction  de  cette  vitesse.  On  admet  parfois  comme  évident  que,  si  une 
force  vient  à  agir  sur  li;  mobile,  sa  trajectoire  diiïérera  peu  de  la  géodésique 
tangente  à  la  vitesse  initiale,  pourvu  que  celle-ci  ait  une  valeur  suffisamment 
grande.  C'est  cette  proposition  que  M.  Andrade  démontre  en  la  précisant  avec 
soin. 

Appell  (P-)-  —  Sur  le  théorème  des  aires.  (190-195). 

Les  observations,  laites  sur  le  chat  qui  tombe,  ayant  mis  hors  de  doute  un 
fait  (|uc  d'aucuns  croyaient  contradictoire  avec  le  jjrincipe  des  aires,  divers 
auteurs  ont  donné  soit  des  explications  du  prétentlu  paradoxe,  soit  des  exemples 
mécaniques  de  faits  analogues.  Dans  ce  dernier  ordre  d'idées,  il  faut  imaginer 
un  système  sollicité  par  des  forces  extérieures  telles  que  la  somme  de  leurs 
moments  par  rapporta  un  axe  fixe  Oz  soit  nulle,  et  partant  du  repos,  en  sorte 
que  la  somme  des  aires  décrites  par  les  projections  de  ses  divers  points  sur  un 
plan  perpendiculaire  à  Oz  sera  constamment  nulle;  puis  faire  passer  ce  sys- 
tème par  des  déformations  successives  qui  le  l'amènent  à  une  configuration 
identique  à  sa  configuration  première^  et  déduite  de  celle-ci  par  une  rotation 
autour  de  O^. 

.M.  .\ppell  indicfue  une  manœuvre  d'ouvriers  placés  sur  une  roue,  mobile  sans 
frottement  sur  un  plan  horizontal,  manœuvre  après  laquelle  le  système  formé 
de  la  roue  et  des  ouvriers  a  repris  la  même  configuration,  mais  a  tourné  d'un 
certain  angle.  Il  généralise  ensuite  cet  exemple  et  applique  la  théorie  au  cas  de 
la  roue  et  des  ouvriers. 


*>.oo 


Picard  (/ùai/r). 
('f)'">-M)7)- 


siu;()Ni)i<:  l'AKTir:. 

Sur   la    rolalioii    (11111    svslriric    dcformaljle 


ICxeiiipIc  d'im  svsl("'tiic,  [)iiit;iiil  du  icpos,  ponvanl  [)iir  li:  seul  li'Jivail  des 
forces  iiiLériciiics,  Lomiier  dim  aii^lc  (|ii(d(()ru|iic  iiiiloiir  de  son  rentre;  de  gra- 
vité, tous  ses  points  se  rctrouNant  à  la  lin  <le  la  rotation  dans  les  positions  re- 
latives ({u'ils  occupaient  primitivement. 

C'est  l'exemple,  aussi  simple  (|ue  possible,  d'après  l('<|uel  M.  Marcel  Dcprez 
a  construit  un  ap[)ar('il  (|ui  montre  le  phénomène.  M.  I^icard,  (|ui  l'a  imaginé, 
eu  donne  ici  la  théorie  et  indicjue  une  autre  l'orme,  tout  à  fait  théorique,  de 
l'c^xpéricnce  :  un  homme  debout  sur  un  plan  liorizontal  poli,  étend  les  bras,  et 
fait  décrire  à  ses  mains  deux  courbes  fermées,  situées  dans  ui^  plan  horizontal; 
il  pourra,  tie  la  sorte,  prendre  un  mouvement  continu  de  rotation. 

U Ocagne.    —    Abaque    en    points    Isoplètlies    de    l'éqnalion    de 

1er.  (l()7-:^o/î). 


Adam  [Paul).   —  Sur  l'équalion   d'Iùiler  el    sur  les   lii^nes  de 
courbure  de  l'ellipsoïde.  (9.05-208). 

Nouvelle  int('>gration  géométri(|ue  de  ['('({nation  d'Kiilcr 

dx  dr 


v/(  I  —  .r^  )  (  I  —  A'  X'  )        v'(  I  —  y-  )  (i  —  /."'.r'  ) 

L'auteur  y  est  conduit  en  cherchant  les  lignes  de  courbure  d'un  ellipsoïde  rap- 
porté aux  coordonnées  tangcntielles  imaginaires  d'Ossian  Bonnet.  Si  a,  ["j  dési- 
gnent ces  paramètres,  a,b,c  les  demi-axes  de  l'ellipsoïde,  et  si  l'on  pose 


(0 


ci-  {b-—  C-)  +  b-  (  a'-—  c^)         /.- -f-  i    a 


C  (a-  —  b-) 


•ik     X 


-  V  '/.-, 


ce  (|ui  donne  pour  /.■  une  valeur  positive  et  moindre  (|ue  l'unité,  moyennant 
l'hypothèse  a  >  ^  >  c,  l'équation  dill'érentielle  des  lignes  de  courbure  coïncide 
avec  l'équation  d'Euler.  Or,  ces  lignes  de  courbure  sont  situées  sur  les  qua- 
driqucs  homofocales  de  l'ellipsoïde.  D'où  l'intégrale 


{'^■) 


cû  L(x  -h  y 


a^ 


b-  /.•  (  y  —  X 
b'  -+-  A 


r-{/,x)-  —  i)' 


c- 


où  \  désigne  la  constante  arbitraire. 


Vessiot.  —  Sur  une  méthode  de  Iransforniation  et  sur  la  réduction 
des  singidarilés  d'une  courbe  algébrique.  (:4o8-2i6). 

On  peut  généraliser  la  méthode  de  transformation  des  ligures  par  projection, 
en  prenant  comme  projetantes  les  droites  tl'une  congruence  linéaire.  Cette 
perspective  quadratique,  comme  l'appelle  l'auteur,  correspond  à  la  transfor- 
mation (iuadrati(|ue  biralionnelle  des  figures  [)lanes  comme  la  projection 
coni(|ue,  ou  perspective  linéaiie,  correspond  à  la  transformation  linéaire  de 
ces  ligures.  On  a.  en  effet,  ce   tiiéoieme  :   Toute  transformation   birationnelle 


luîvui!:  i)i:s  publications.  ^oi 

du  second  degré  s'obtient  par  une  perspective  quadratique  associée  à  une 
perspective  linéaire. 

Après  avoir  employé  la  perspccLivc  (i(iadrali(|ue  pour  faire  correspondre  les 
points  de  deux  plans,  M.  Vessiot  indi(jue  qu'on  peut  s'en  servir  aussi  poui- 
établir  une  correspondance  entre  les  points  de  figures  tracées  dans  l'espace.  Il 
en  déduit,  en  particulier,  une  solution  sinnplc  de  ce  problème  :  Faire  corres- 
pondre birationnellenient  à  une  courbe  algébrique  plane,  n'ayant  que  des 
j)oinls  n}uliiples  à  tangentes  distinctes,  une  courbe  algébrique  gauche  sans 
j)oints  singuliers.  De  là  résulte  une  nouvelle  démonstration  de  ce  tliéorèrne 
connu  :  Toute  courbe  algébrique  plane,  n'ayant  que  des  points  multiples  à 
tangentes  distinctes  peut  être  transformée,  par  une  transformation  bira- 
tionncllc,  en  une  courbe  algébrique  plane  n'ayant  pas  d'autres  singularités 
que  des  j)oints  doubles  à  tangentes  distinctes.  L'auteur  y  ajoute  celui-ci  : 
Toute  courbe  algébrique  plane  est  la  perspective  d'une  courbe  gauche 
n'ayant  aucun  point  singulier,  et  la  perspective  linéaire  de  celle-ci  n'a  que 
des  poi/its  doubles  à  tangentes  distinctes,  si  le  point  de  vue  est  convenable- 
ment choisi. 

Laisant.  —  Propriété  du  mouvement   d'un  point   matériel  dans 
l'espace.  (217-2  19). 

Nouvelle  démonstration  et  généralisation  de  ce  théorème,  dû  à  l'auteur  : 
Si  un  point  matériel  INI,  animé  de  la  vitesse  MV  et  soumis  à  la  force  INI  F, 
satisfait  à  la  loi  des  aires  par  rapport  à  un  point  fixe  0,  c'est-à-dire  si  les 
aires  décrites  par  OI\I  sur  la  surface  du  cône  de  sommet  O  sont  propor- 
tionnelles aux  temps,  les  deux  plans  OMV,  OMF  sont  constamment  perpen- 
diculaires. 

MannJieim.  —  Nouvelle  démonstration  d'une  propriété  de  l'indi- 
catrice. (219-220). 

En  un  point  M  d'une  surface  (S),  les  rayons  de  courbure  des  courbes  de  con- 
tour apparent  de  (S),  obtenues  sur  des  plans  menés  par  la  normale  à  (S)  en  M 
au  moyen  de  projetantes  respectivement  perpendiculaires  à  ces  plans,  sont  pro- 
portionnels aux  carrés  des  distances  de  M  aux  tangentes  de  l'indicatrice  de  (S) 
en  ce  point,  tangentes  qui  sont  parallèles  à  ces  projetantes. 

Genty  {E.).  —  Note  sur  la  déformation  infinitésimale  des  sur- 
faces. (221-227). 

M.  Bianclii  dit  que  deux  surfaces  (A)  et  (B)  sont  associées  lorsqu'elles  se 
correspondent  point  par  point,  avec  parallélisme  des  plans  tangents,  de  telle 
sorte  qu'aux  asymptotiques  de  l'une  corresponde  sur  l'autre  un  réseau  con- 
jugué. 

La  surface  (A)  étant  donnée,  la  recherche  des  surfaces  associées  (B)  dépend 
d'une  équation  linéaire  aux  dérivées  partielles  du  second  ordre.  M.  Genty 
prouve  que  toute  solution  de  cette  équation  fait  connaître  :  1°  une  surface  (B) 
associée  à  (A);  2°  deux  surfaces  (M)  et  (  N  )  correspondant  respectivement 
à  (A)  et  (13)  par  orthogonalité  des  éléments;  3°  quatre  couples  de  surfaces 
Bull,  des  Sciences  maihém.,  2'  série,  t.  XX.  (Octobre  1896.)  B.i4 


';.02  SECONDE  PAIITIE. 

applicables;  4"  "le  déformation  infinitésimale  pour  chacune  des  surfaces  (A), 
(B),  (M)cL(N). 

De  plus,  au  réseau  conjugué  commun  aux  deux  surfaces  associées  (A)  et  (IJ) 
correspondent  les  asymptoliques  des  suifaces  (M)  et  (N). 

Aux  asymptotiques  de  (A)  correspondent  :  les  réseaux  conjugués  des  sur- 
faces (H)  et  (N)  qui  restent  conjugués  dans  la  déformation  infinitésimale  de 
ces  surfaces;  un  réseau  conjugué  sur  (M)  :  les  asymptotiques  de  la  surface  (N,) 
associée  à  (N). 

En  terminant,  M.  Genty  retrouve  ce  théorème  de  Ribaucour  :  Considérons 
une  déformation  infinités ityiale  d'une  surface  (A)  et  par  chaque  point  A 
de  (A)  menons,  dans  le  plan  tangent  à  cette  surface,  la  droite  perpendi- 
culaire au  déplaceme?it  que  subit  le  point  A  dans  la  déformation;  les 
droites  ainsi  construites  forment  une  congruence  telle  que  les  asympto- 
tiques se  correspondent  sur  les  deux  nappes  de  la  surface  focale. 

CaJien.  —  Sur  une  généralisation  de  la  formule  qui  donne  la  con- 
stante d'Euler.  (22-^-229). 

L'auteur  établit  que  l'expression 

I  I  I         n^"^  —  I 

—  +  -.+.••+  — 

r'         2'  n'  I  —  s 

tend,  lorsque  n  augmente  indéfiniment,  vers  une  limite,  savoir 

1  —  6' 

î^(5)  étant  la  fonction  de  Riemann.  l'our  s  =  i  cette  limite  se  réduit  à  la  con- 
stante C  d'Euler,  en  vertu  du  développement  connu 

^{s)  -h  — ^  =  C-f- A  (5-1)  +  B(5-  —  i  )-'  +  .... 

Carlan.  —  Sur  un  théorème  de  M.  Bertrand.  (23o-234). 

Toute  fonction  rationnelle  de  n  lettres  («<4),  qui  n'est  ni  symétrique,  ni 
alternée,  prend  au  moins  n  valeurs  distinctes,  lorsqu'on  y  permute  ces  lettres. 
Telle  est  la  proposition  célèbre  que  M.  Cartan  démontre  à  nouveau,  en  ne 
supposant  connues  que  les  notions  de  substitutions,  de  produit  de  substitutions 
et  de  groupes  de  substitutions.  Il  s'appuie  sur  deux  lemmes  connus  qu'il  établit 
d'une  façon  élémentaire  : 

1°  Si  F  est  une  fonction  rationnelle  des  n  lettres  a,  0,  ...,  l,  prenant  p 
valeurs  distinctes  lorsqu'on  y  permute  ces  lettres,  il  existe  un  système  de 
i.2.3....«  :  q  permutations  distinctes  de  p  lettres,  où  q  désigne  le  nofnbre 
des  substitutions  d'un  groupe  de  n  lettres  invariant  dans  le  groupe  symé- 
trique, et  de  plus  on  a  les  inégalités 

.  ï  .1 . .  .n 
P  i —  ^i-2...p\ 


UliVUli:   DKS  PUBLICATIONS.  >o; 

•i°  si  n  es/  (/i//cre/if  de  /),  //  n'y  a  jxis  d'au  lie  'groupe,  invariant  dans  le 
groupe  s)/nc'f/-if/i/c  (/uc  la  substitution  identi(juc  et  le  grouj/e  alterné. 

Citr^-allo.  —  Sur  riiili'i^riilion  (riiiic  cqiialion  aux  dérivées  par- 
licllcs  (l(!  la   IMiysique  maLliéniaLl(jue.  {^•xZ\-'xf\()\ 

Il  s'iigiL  (le  rc(|ii;ili()n 

(|iii  se  récluil  à  rétiualion  dite  des  télégraphistes,  quand  on  suppose 

F  =  o,        a'  =  —  k^=i. 

M.  Carvallo  suppose  que  la  fonction  F  se  réduit  à  zéro  pour  toute  valeur 
négative  de  t  et  que,  pour  Z  =  o,  la  fonction  U  et  sa  dérivée  première  par  rap- 
port à  t  sont  nulles.  11  cherche  à  satisfaire  à  l'équation  proposée,  ainsi  qu'aux 
conditions  ci-dessus,  en  posant 


U  =  /  /a,  t,r)dl, 


et  désignant  par  /•  la  valeur  absolue  de  la  distance  du  point  x  au  point  ç  va- 
riable dans  le  champ  de  l'intégration;  il  démontre,  chemin  faisant,  que  l'ébrafi- 
lement  U  se  propage  avec  la  vitesse  a,  résultat  obtenu  par  M.  Poincaré  pour 
l'équation  des  télégraphistes,  et  conclut  ainsi  : 

/  est  la  solution  de  l'équation  aux  dérivées  partielles 


ôt'  dx-  '' 


qui  satisfait  aux  conditions 


Of{t,r) 


/it,at)^o,  [^^ 


=  --^F(0. 
/'  =  0  2  a- 


La  méthode  employée  par  l'auteur  s'étend  d'abord  à  l'espace  à  trois  dimen- 
sions, puis  à  des  cas  oîi  les  équations  du  mouvement  renfermeraient  des  termes 
proportionnels  aux  vitesses. 

Frolov  {M-)'  —  Sur  les  racines  primitives.  (241-245). 

Complément  du  Mémoire  inséré  sous  le  même  titre  dans  le  Tome  précédent 
du  même  Recueil. 


— —  -rmgdB» 


204 


SECONDE    PAUTIE. 


ANNALES  SCIENTIFIQUES  DE  L'ÉCOLE  NORMALE  SUPÉRIEURE,  publiéizs 

sous   LES  AUSPICES  DU  MiMSTRE  DE  l'INSTRUCTION  PUBLIQUE,   PAR    UN  COMITÉ 
DE  RÉDACTION  COMPOSÉ  DE  MM.  LES  MaÎTRES  DE  CONFÉRENCES  DE  l'ÉcOLE. 

y  série,  t.  IX,  1894  (i). 

Elliot.  —  Sur  les  cas  d'intégrabilité  du  mouvement  d'un  point 
dans  un  plan.  (9-22). 

Le  Mémoire  de  M.  Elliot  est  relatif  à  un  problème  particulier,  qui  relève  à 
la  fois  de  deux  théories  dues,  l'une  à  M.  Bertrand,  l'autre  à  M.  Liouville. 
M.  Bertrand  avait  considéré  les  problèmes  où,  le  mouvement  d'un  point  ma- 
tériel étant  produit  par  des  forces  qui  dérivent  d'un  potentiel,  il  existe,  outre 
l'intégrale  des  forces  vives,  une  autre  intégrale  du  second  degré  par  rapport 
aux  composantes  des  vitesses  (intégrale  quadratique).  Liouville  avait  anté- 
rieurement indiqué  un  cas  étendu  où  le  mouvement  d'un  point  peut  être  déter- 
miné par  des  quadratures  :  dans  ce  cas  il  existe  une  intégrale  quadratique.  La 
méthode  aujourd'hui  classique  de  Jacobi  rend  ce  résultat  intuitif,  l'équation  du 
problème  prenant  alors  la  forme 


—  )   =  cp(^,)  +  4,(yj, 


qui  permet  d'obtenir  une  intégrale  complète  par  séparation  des  variables. 

M.  Elliot  se  propose  d'abord  de  trouver  toutes  les  fonctions  U  de  x  ci  y 
telles  qu'un  changement  de  variables  approprié 

^,=  A(a7,  y),        y^=:B{x,y) 
transforme  l'équation  de  Jacobi 

en  une  autre  du  type  ci-dessus.  11  arrive  à  cette  conclusion  :  le  problème  ne 
comporte  pas  d'autres  solutions  que  celles  que  Liouville  avait  fait  connaître. 
C'est  ce  qui  résulte  avec  évidence  d'un  théorème  beaucoup  plus  général  dé- 
montré par  M.  G.  Morera  {Atti  délia  R.  Accad.  di  Torino,\.  XVf,  1880-1881, 
p.  276)  et  qui  explique  le  peu  de  succès  du  procédé  d'intégration  employé 
par  Jacobi  :  «  Pour  que  l'équation  de  Jacobi,  relative  au  mouvement  d'un 
point  sur  une  surface,  sous  l'action  de  forces  dérivant  d'un  potentiel,  s'intègre 
par  séparation  des  variables,  il  faut  que  l'élément  linéaire  de  cette  surface  soit 
réductible  à  la  forme 


(')  Voir  Bulletin,  XX^,  p.  21. 


l^FVUR   DES  PUBLICATIONS.  9.o5 

et  (luc  le  poLcnticl  ait  pour  expression 

9.(7,)  +'y,(7.J, 

ce  qui  est  précisément  le  cas  étudié  par  [.iouvillc.  » 

Au  cours  de  son  analyse,  M.  Elliot  trouve  l'intégrale  générale  de  l'équation 
aux  dérivées  partielles  du  second  ordre  à  laquelle  doit  satisfaire  la  fonction  des 
forces  pour  qu'il  existe  une  intégrale  (juadratique. 

M.  Bertrand  avait  déduit  de  cette  équation  les  intégrales  particulières  qui 
correspondent  aux  cas  où  les  forces  ne  dépendent  que  des  distances  du  mobile 
à  des  points  fixes  du  plan.  Dans  la  seconde  Partie  de  son  travail,  l'auteur  étend 
la  méthode  de  M.  Bertrand  aux  cas  où  les  forces  dépendent  des  distances  du 
mobile  à  des  droites  fixes  du  plan. 

Si  l'on  considère  des  forces,  dont  les  intensités  ne  soient  pas  indépendantes 
les  unes  des  autres,  on  peut  trouver,  comme  le  montre  M.  Elliot,  de  nouveaux 
cas  où  la  méthode  de  Jacobi  est  applicable.  Tel  est,  par  exemple,  celui  d'un 
mobile  sollicité  simultanément  par  les  forces  suivantes  :  i°  une  force  constante 
parallèle  à  Oy;  2°  une  force  perpendiculaire  à  Oy  et  inversement  proportion- 
nelle au  cube  de  la  distance;  3°  une  force  dirigée  vers  l'origine  en  raison  in- 
verse du  carré  de  la  distance;  4°  une  force  hy  émanant  de  Ox;  b"  une  force 
—  h^x  émanant  de  Oy;  6"  une  force  dirigée  vers  l'origine  et  ayant  pour  ex- 
pression (  A  H-  4  /i,  )  7  • 

IVeill.  —  Sur  les  substitutions  orthogonales  à  déterminant  —  i. 

(22-36). 

Kluyver.  —  Evalualion  des  intégrales  et  des  fonctions  elliptiques 
au  moyen  de  la  transformation  du  second  degré.  (SS-yS). 

Les  méthodes  usuelles  d'évaluation  des  intégrales  et  des  fonctions  elliptiques 
sont  fondées  sur  le  développement  en  série.  Une  autre  méthode,  plus  élémen- 
taire et  qui,  dans  une  foule  de  cas,  conduit  à  des  calculs  remarquablement  ra- 
pides, est  une  simple  application  de  la  transformation  du  second  degré. 

Toutefois,  les  formules  auxquelles  conduit  cette  dernière  méthode  continuent, 
dans  les  traités,  à  être  adaptées  aux  notations  anciennes  de  Legendre  et  de 
Jacobi.  M.  Kluyver  montre  quels  changements  il  faut  y  apporter  quand  on  fait 
usage  des  notations  de  Weierstrass. 

Cahen.  —  Sur  la   fonction  ^(5)  de  Riemann  et  sur  les  fonctions 
analogues.  (74-164). 

Dans  son  célèbre  Mémoire  Sur  le  nombre  des  nombres  premiers  inférieurs 
à  une  limite  donnée,  Riemann  a  considéré  la  fonction  uniforme  ^{s)  qui, 
pour  les  valeurs  de  s  dont  la  partie  réelle  est  supérieure  à  i,  est  représentée 


par  la  série    \    — 


•2oG  SECONDE   PARTIE. 

Les  séries  de  la  forme  /,  ^  ^^^^  dans  un  rapport  étroit  avec  les  séries  de 
la  forme    >   a^^e-"%  et  ces  deux    types  de   séries  sont  des  cas  particuliers  du 

type  \   a„e"^-»%  les  >^„  croissant  indéfiniment  avec  n. 

C'est  sur  ces  dernières  séries,  déjà  étudiées  brièvement  par  Ivronecker,  que 
porte  le  travail  de  M.  Cahen.  L'auteur  démontre  l'existence  d'une  droite  de 
convergence,  dont  il  détermine  l'abscisse  au  moyen  des  coefficients  de  la  série. 

Il  cherche  ensuite  les  conditions  nécessaires  et  suffisantes  pour  qu'une  fonc- 
tion f{s)  soit  développablc  en  série  de  la  forme  X,'^"^  '"'•  ^'  énonce  un 
théorème  relatif  à  la  multiplication  de  ces  séries.  Enfin,  il  applique  ces  ré- 
sultats aux  séries  de  la  forme  2,  ~^  ^^  donne  de  ces  dernières  quelques  appli- 
cations arithmétiques  immédiates.  Ces  divers  résultats  font  l'objet  du  premier 
Chapitre. 

Dans  le  Chapitre  II,  l'auteur  rappelle,  en  y  ajoutant  quelques  corollaires  de 
nature  arithmétique,  les  résultats  obtenus  par  Riemann  relativement  à  la 
fonction  ^{s). 

Etant  conduit  à  étudier  la  fonction 


/(O 


n-0 


introduite  par  Schlomilch,  M.  Cahen  montre  qu'on  peut  en   faire  une  théorie 
complètement  analogue  à  celle  de  ^{s). 

Dans  le  Chapitre  III  est  indiquée  une  nouvelle  généralisation  :  ^{s)  et  y  {s) 

ne  sont  que  des   cas   particuliers  des  séries    >^  — ^  dans   lesquelles    les  coeffi- 
cients a,j  se  reproduisent  périodiquement  de  p  en  p. 

Dans  le  cas  où  p  est  premier,  il  y  a  /?  —  i  séries  indépendantes  de  la  forme 
indiquée.  On  peut  précisément  en  choisir  p  —  i  qui  jouissent  d'une  relation 
fonctionnelle  analogue  à  celles  de  ^{s)  et  /(*).  En  particulier,  on  obtient  les 
séries 

(- 


X 


n' 


l  —  \  étant  le  caractère  quadratique  de  n  par  rapport  à  p. 

En  étudiant  les  zéros  de  ces  fonctions,  M.  Cahen  est  conduit  à  des  fonctions 
holomorphes  analogues  à  la  fonction  l,{t)  que  Riemann  rattache  à  ^{s).  Il 
emploie  pour  cela  une  méthode  générale  qui,  d'une  relation  fonctionnelle  re- 
lative à  une  série  de  la  forme    >    —S  permet  d'en   déduire  une  relative  à  une 

série  de  la  forme  \   rt„e'"^ 

L'auteur  termine  par  quelques  applications  de  celte  méthode  générale  à 
d'autres  fonctions. 


REVUli:  DRS   PUBLICATIONS.  107 

La  rclalioii  rclalivc  à  la  série    7    a^^c"",  joiiilc  à  la  iclalion 

permet  d'en  trouver  une  infinité  d'autres.  D'ailleurs  ces  fonctions  sont  de  celles 
qu'on  rcnconli-c  dans  la  llii-oric  des  fonctions  modulaires. 

Greeiihill.  — ■  IjCS  modules  dans  la  multiplication  complexe  des 
fonctions  elliptiques.  (i65-^4/i8). 

Ce  Mémoire,  traduit  de  l'anglais  par  I\I.  L.  I.augel,  est  extrait  des  Pro- 
ceedings  of  tlie  London  Malli.  Society,  vol.  \I\,  n""  323-327,  mars  1888. 

Grévy.  —  Etude  sur  les  équations  fonctionnelles,  {'.i ^ç^-?> •>.?)) . 

Le  point  de  départ  de  cette  étude  est  une  proposition  de  iAf.  Kœnigs  relative 
à  une  fonction  '^{z),  uniforme  à  l'intérieur  d'une  région  K  et  jouissant  de  la 
propriété  suivante  :  si  z  est  l'affixe  d'un  point  intérieur  à  R, 

sont  également  les  affixes  de  points  tous  intérieurs  à  cette  région. 

D'après  cette  proposition,  la  suite  ^,,  z.^,  •  ■  -,  z  converge  régulièrement  vers 
une  limite  x  qui  n'est  pas  pour  9(^)  un  point  essentiel;  x  est  une  racine  de 
la  fonction  '■o{z)  =  z,  et  cette  racine  doit  vérifier  l'inégalité 

I  '^'{x)  |<r. 

Réciproquement,  soit  x  une  racine  de  9  {z)  —  z  vérifiant  l'inégalité  [  9'  {x)  \  <j; 
le  point  d'aflixe  x  est  centre  d'un  cercle  C,.,  à  l'intérieur  duquel  :  1°  '^{x)  est 

O  f   "  ^         ■    7? 

holomorphe  ;  2°  le  module  de  -^ — ^^ reste  constamment  inférieur  à  l'unité 

■27  —  ^ 

et  diffère  même  de  l'unité  d'une  quantité  qui  reste  finie. 

La  question  que  se  pose  M.  Grévy  est  celle-ci  : 

Soit  ^{z)  une  fonction  de  transformation  et  x  un  point  limite  à  convergence 
régulière;  chercher  s'il  existe  une  fonction  f{z)  holomorphe  dans  le  cercle  C^. 
et  satisfaisant  à  l'équation  fonctionnelle 

/>o(^)/(-o)+y^(-)/(-.)+---  +  />„(^)/(^„)  =  o, 

dans  laquelle  /?_,   ••.,/?„  sont  des  fonctions  holomorphes  dans  le  cercle  C^.. 
La  recherche  de  telles  fonctions  repose  sur  le  théorème  suivant  : 
Si  le  coefficient /?^j  (^)  ne  s'annule  pas  au  point  x,  et  si  l'on  a  la  relation 

p,{x)  -4-/?,(.r)  -+-... -h /7„(^)  =  o, 

si,  de  plus,  il  n'existe  aucune  relation  de  la  forme 

p„{x)  -hp,{x)  9"^(^)  -hp,{x)  o''''-{x)  -4-...^pJj:)  -y'-'^ix)  =  o, 

y.  étant  un  entier  positif,  l'équation  fonctionnelle  admet  une  solution  holomorphe 


2o8  SECONDE   PAUTIE. 

dans  le  domaine  du  point  x  et  ne  s'annulanL  pas  en  ce  point;  sa  valeur  en  ce 
point  est  d'ailleurs  arbitraire. 

Maltézos.  —  Les  enveloppes  solides  minces,  les  cloclies.  (Sao- 

375). 

C'est  Poisson  qui,  le  premier,  a  donné  la  théorie  de  l'équilibre  et  du  mouve- 
ment vibratoire  des  plaques  planes  homogènes  et  isotropes,  en  admettant  que 
les  forces  élastiques  et  les  déformations  sont  dévcloppables  en  séries  conver- 
gentes suivant  les  puissances  de  la  variable  qui  donne  la  distance  d'un  point 
quelconque  de  la  plaque  à  la  courbe  moyenne;  en  gardant  les  deux  premiers 
termes  de  ces  développements,  Poisson  arrive   aux  vraies  équations  indéfinies. 

La  légitimité  du  développement  en  série  étant  contestable,  Kirchlioff  a  pro- 
posé une  autre  méthode  :  il  admet  que  chaque  droite  primitivement  normale 
aux  couches  de  la  plaque  reste  droite  et  normale  aux  couches  après  la  défor- 
mation. Mais  ceci  n'est  plus  exact  quand  la  texture  de  la  plaque  est  quel- 
conque. 

M.  Boussinesq  suppose  les  plaques  formées  de  couches  sensiblement  planes 
et  parallèles,  et  dont  la  contexture  constante  ou  assez  lentement  variable  d'un 
point  à  l'autre  d'une  même  couche  peut  changer  brusquement  d'une  couche  à 
l'autre.  Sans  autre  hypothèse,  il  retrouve  les  équations  de  Poisson  et  de  Kir- 
chhoiï  en  première  approximation.  Revenant  plus  tard  sur  ce  sujet,  il  a  donné 
les  équations  de  seconde  approximation  de  l'équilibre  élastique  des  plaques. 

Quant  aux  conditions  du  contour,  elles  avaient  été  trouvées  par  Poisson  et 
Cauchy  au  nombre  de  trois.  Kirchhoiï  a  montré  qu'elles  se  réduisaient  à  deux. 

Les  premières  notions  sur  le  mouvement  vibratoire  des  enveloppes  minces 
se  trouvent  dans  la  Théorie  mathématique  de  V élasticité  de  Lamé. 

En  1874,  Aron  appliqua  à  la  question  des  enveloppes  la  méthode  cinématique 
de  Gerhing  relative  aux  plaques. 

En  1 881,  Lord  Rayleigh  a  étudié  brièvement  la  déformation  d'une  surface  de 
révolution,  en  admettant  sans  preuves  suffisantes  qu'une  ligne  tracée  sur  cette 
surface  a  la  même  longueur  avant  et  après  la  déformation. 

En  1882,  Emile  Mathieu  donne  une  théorie  générale  des  cloches  en  faisant 
les  mêmes  hypothèses  que  Poisson  avait  faites  sur  les  plaques.  Il  trouva  pour 
le  travail  des  forces  élastiques  une  expression  de  la  forme  —  [jl(  A  e -1- Be^),  e 
étant  l'épaisseur  de  l'enveloppe.  Admettant  que  les  vibrations  tangentielles 
d'une  cloche  vibrante  sont,  en  général,  du  même  ordre  que  les  vibrations  nor- 
males, il  put  négliger  le  terme  Be'  devant  As. 

En  1888,  M.  Love,  faisant  usage  de  la  méthode  cinématique  de  Gerhing, 
trouva  une  expression  de  la  même  forme  que  celle  de  Mathieu  et  négligea  éga- 
lement Be'  devant  As. 

Mais  Lord  Kayleigh  fit  observer  qu'en  raison  de  la  grande  énergie  potentielle 
qui  accompagne  l'extension,  c'est  au  contraire  le  terme  As  qui  est  négligeable 
et  le  terme  Bs^  qu'il  faut  conserver. 

Reprenant  la  question  au  double  point  de  vue  physique  et  expérimental, 
M.  Maltézos  trouve  que  ces  deux  termes  sont  du  même  ordre  de  grandeur  et, 
par  conséquent,  doivent  être  conservés  l'un  et  l'autre. 

L'auteur  cite  encore  un  travail  de  M.  Basset,  qui,  le  premier,  a  introduit 
dans  le  calcul  la  notion  de  la  variation  de  l'aire  de  l'élément  quand  on  passe 
de  la  surface  moyenne  à  une  autre. 


^^i  fo^Xla^  ^ 


HHVUH   DKS   l'UmJCATlONS.  '>a)\) 

Viiciin  (les  prcdécesst'Ui'S  de  M.  Malh'/os  n'a  loiiclu'  le  prohliMiic  des  enve- 
loppes (|iiel(on(|iics  d'épaisseiir  variable. 

(liiidé  par  la  lliéorio  des  plaqn(;s  de  iM.  n()iissines(i,  M.  iMallé/.os  (ait,  sans 
iiNptdlièse  d  )nleiise,  la  llK'oiie  i;énéialr  (li;s  en  veloppi^s  solides  minces,  d'épais- 
seur coni  iiiuellemenl   variable  d'un  point   à  l'aiilri'. 

Des  (''((nations  an\(|iielles  il  parvient,  on  Lire  ais(;incnL  (telles  (|ui  rc'-^MSSenl 
r(*(Iuilil)ro  et  le  nionvenienL  des  enveloppes  liornogt;ncs,  isoLropes,  d'(jpaisseiir 
vaiiable  ou  consLanle. 


NOUVi:LMi;S   ANNALIiS    i)K    Matiibmatiquks,  rédigées   par   .MM.  Cii.   Buissrc 
cl  M.  KoL'nm':(^).  —  S'' séri(3. 

Tome  XIV,   i<S()5. 

Fasclif.  —  [1^^]  (')  ^^'i'  '^  (KHinilion  des  masses  el  des  ("orces. 

(5-io). 

L'auteur  fait  observer  qu'au  début  même  de  l'enseignement  de  la  Dynamique, 
on  donne  la  définition  de  la  force  après  l'énoncé  de  trois  principes  fondamen- 
taux. II  montre  que  l'on  oublie  de  définir  le  rapport  des  forces  appliquées  à 
des  points  matériels  différents,  et  qu'il  serait  pins  naturel  de  commencer  par 
définir  la  notion  de  masse.  C'est  ce  que  l'auteur  fait  ici  en  partant  de  la  loi  de 
Newton. 

Dourlet  (C).  —  [06/]   Remarque  sur  la  surface  dont  tous  les 
points  sont  des  ombilics.  (io-i3). 

L'auteur  se  propose  l'intégration  directe  dn  système  d'équations  simultanées 
qui  définit  la  surface  cherchée  : 

7^  s  t 


i -+- p'        pq         I -f- ^- 

Utilisant  les  résultats  obtenus  dans  un  Mémoire  antérieur  {Ann.  scient,  de 
l'École  Normale  supérieure.,  1891),  il  montre  que  toutes  les  dérivées  du  troi- 
sième ordre  de  z  peuvent  être  exprimées  en  fonction  de  /?,  q,  t.  Il  en  déduit 
facilement  l'intégrale  générale,  qui  est  l'équation  d'une  sphère. 

Varicak  (  F.).  —  [F'^o]  Note  éclaircissant  la  définition  des  fonc- 
tions elliptiques  d'après  G. -H.  Halphen.  (i4-'>o). 


(')  Voir  Bulletin,  XVII,,  p.  204;  XI\,,  p.  ii';;  XX,,  p.  47- 

(-)   Les  indications  entre   crochets  sont  celles  de   V Index  du   Répertoire  bi- 
bliographique des  Sciences  mathématiques . 

Bull,  des  Sciences  matliém.,  2*  série,   t.  \\.  (Novend)re  iiSfjfi  )  W.ib 


■?.  I  o 


SKCONDK   PAUTIK. 


(iénéraliuri  el  piopricLcs  de  la  combe  alg(';l)iiqu('  du  quaLricme  degré,  dont 
les  sccleurs  peuvent  servir  à  la  représentation  géoiriétri({ue  des  arguments  des 
fonctions  elliptiques.  W  désignant  le  rayon  d'un  cercle  (ixc,  et  o  la  distance  du 
centre  à  \\\\  point  C,  inlérienr  au  cercle  et  pris  pour  origine,  cette  couibe  a 
pour  (''(|ualion 

\V{.r'+  y'-y—  ù'{x^--^y^)y'=  ir(K  +  0)^ 

Ka^an  (//.)•  —  [Q^''^]  T)^'nonstration  nouvelle  des  éqnalions 
fondamentales  de  la  (j('!ométrie  de  l'espaee  de  courbure  con- 
stanle  négative.  ('^,o-3o). 

Démonstration,  basée  sur  un  seul  tliéorcmc,'des  formules  trigonomélriques 
et  de  l'équation  fondamentale  de  la  Géométrie  de  Lobalchellsky. 

Cazamian  (A.).  —  [K9rt]  Sur  le  théorème  de  Carnot.  (-30-40). 

Déduction,  par  la  méthode  des  figures  polaires  réciproques  relatives  à  un 
cercle,  des  propriétés  du  polygone  sur  chacun  des  côtés  duquel  se  trouve  un 
même  nombre  de  points  liés  par  une  relation  segmentaire,  dite  relation  de 
Carnot.  Application  au  triangle.  Théorèmes  de  Ménélaus  et  de  Jean  de  Céva. 
Extension  à  un  théorème  énoncé  et  démontré  algébriquement  par  INI.  L.  Ravier 
(même  Journal,  1892  ).  Applications  aux  triangles  homologicjues.  Théorèmes 
de  Pascal  et  de  tirianchon. 

Ferrari  (F.).  —  [K9r/]  Théorèmes  sur   les  transversales,  (^i- 

48). 

Nouvelle  étude  du  théorème  de  INI.  Ravier  (voir  loc.  cit.,  1892),  et  énoncé  de 
diverses  propositions  qui  s'en  déduisent  et  qui  peuvent  être  étendues  à  des  po- 
lygones gauches.  Relations  entre  une  sui-facc  de  deuxième  classe  et  un  quadri- 
latère gauche  ou  un  pentagone  gauche. 

Blazeiev.'iki  (/?•)•  —  [Kl^a]  Sur  un  problème  de  Géométrie 
plane.  (49-55,  385-09 1,  41^-44^^)- 

L'auteur  a  employé  les  ressources  d'une  analyse  ingénieuse  et  savante  à  la 
discussion  d'un  problème  qui  a  préoccupé  depuis  longtemps  bien  des  mathé- 
maticiens, la  détermination  d'un  triangle  par  ses  trois  bissectrices  intérieures 
(V,,  <v^,  w^.  Pris  dans  sa  généralité  ou  moyennant  certaines  hypothèses  parti- 
culières, ce  problème  a  été  traité  par  iMM.  F.-J.  Van  den  Berg  et  Barbarin.  On 
le  trouve  énoncé,  il  y  a  près  d'un  siècle,  dans  le  Ladie's  Diary,  et  dans  le 
premier  Volume  des  Xouçelles  Annales  (1842,  p.  86).  O.  Terquem  observait 
que  ce  problème  présentait  une  extrême  difliculté,  qu'il  attribuait  à  l'interven- 
tion de  solutions  se  rapportant  piobabicment  aussi  aux  bissectrices  extérieures. 
A[.  R.  Blazeievski  a  repris  la  (|uestion  et  en  a  exposé  une  solution  analytique 
{Ibid.,  aS-'jO,  189'))  dans  laquelle  il  a  été  amené  à  considérer  les  équations  de 
trois  hyperboles  dont  un  certain  paramètre  dépend  de  l'inconnue  D,  diamètre 
du  cercle  inscrit  au   triangl(\ 

Le  détail   des  éliminations   el    des    translormations   a   été   poussé    assez    loin 


UliVUK    l)l<:S    PUIJLM.AÏIONS, 


>.\  I 


|ii)iir   (HIC   le    |)iol(l('in('   puisse    ùlrc   citii^idi'it'   romiiic   ri'solii.    L'iiiilctir   iiioiilic 
(|ii('  r('-i|  iiiil  ii)ii   en    |)   ne  (l(»il    |);is  di'piiSMT  le  ddiiziriiic  (lrf;n''. 

lUiUnc  (  E.\  —  I  K  13<'/]  llm3  non  v(;ll(;  définition  i\\\  plan.  (  56-58). 

l/aiitour  S(î  |)i()|)()S(>  d'cliil)!!!'  iiiic  dt'liiiil  ioii  du  phin,  iudépciidy  iiU;  de  la  no- 
tion de  siliialion,  sur  ccl  U;  suiTacc,  d(;  la  dioiU;  LouL  entière  qui  passe  par 
iV^AW   points  du   plan. 

Sinlsof  (/^.)-    —  [04 f/]  Noie   snr   l'éqnnlion    dinférenliclle   des 
snrfaces  réi^lées.  (58-Gi). 

Dénionslralion  ayanl  pour  objet  de  parvenir  à  mettre  cette  équation  sous 
forme  de  déterminant  éi;al  à  un  certain  tiinome 


r  s  t 

Or  ()s  ôt 

()x  <)x  ôx 

ôr  ()s  ôt 

ày  Oy  ày 


^^'Ëy-"^(Ë)C^^)+'"(^)' 


A  désignant  ri  —  s-. 

Capelli  (A.).  —  [IMc]  Sur  les  délernilnanls  dont  les  éléments 
principaux  varient  en  progression  arithmétique.  (62-68). 

Ces  sortes  de  déterminants  peuvent  se  développer  à  l'aide  de  déterminants  de 
même  forme,  ne  dépendant  que  d'une  seule  des  deux  variables. 

Lemaire  (/.).  —  [LM8f/]  Solution  de  la  question  proposée  au 
Concours    d'admission  à  l'École  Normale   supérieure  en   i8()4. 

(63-70). 

Propositions  diverses  relatives  à    une  famille  des  coniques  représentée  par 
l'équation 

x-  +  •l'kxy  —  2\bx  —  4 ( «  —  ^  )y  =  o, 

a,  b  désignant  deux  constantes  et  );  un  paramètre  variable. 

Musso  (G.).  —  [I23a]  Sur  les  réduites  des  fractions  continues 
symétriques.  (70-73). 

Rectification   à  une  proposition  énoncée  par  Ed.  Lucas  à    la  page  4^3  de  sa 
Théorie  des  nombres, . 

Fehr  (II-).  —  [B12c]  Sur  l'emploi  de  la  multiplication  extérieure 
en  Algèbre.  (74-79)- 


L'auteur  se  propose  d'adapter  la  notion  de  produit  symbolique  à  la  résolution 


>.i>.  SHCONDIi    PARTIK. 

d'idi  syslùmc  d'é(jualions   linéaires,  cl  à  l'cliininalioii  d'après  S}lvcsler.  Il  Lcr- 
minc  par  un  exposé  (Je  la  noiion  d'invariance  d'une  forme  algébrique. 

Cet  ArLiclc  fait  natnrellcincnl  suilc  aux  lumineux  exposés  de  la  multiplica- 
tion extérieure  et  des  jjrincipcs  âc,  la  méthode  de  Grassmann,  par  M.  Carvallo 
(Volumes  de  iSç^i  et  de  i8().»)-  Ï-'C  même  sujet,  en  Géoinétrie,  a  été  traité  dans 
le  présent  Recueil,  par  IM.  \'\  Caspary  {Bu/let/n,  222-2^?.;  18S7). 

Barisien  (E.-N.).  —  [02!^a]  Sur  les  podaircs  successives  d'une 
courbe.  (89-94?  i5--i6/î,  207-213,  i?f?)-'A\l\^  /\i)?>-/\'j\). 

I^^taldissement  et  recherche  de  formules  ayant  pour  objet  la  quadrature  et  la 
rectification  des  podaircs  successives  d'une  courbe,  sans  avoir  à  connaître  les 
équations  de  ces  podaires. 

Voici  les  principales  subdivisions  de  cette  monographie. 

Aire  de  la  m'^™*  podaire.  Rayon  de  courbure  de  la  m'^'"*  podaire.  Rectifica- 
tion de  la  /?i'*"'^  podaire.  Aire  des  anti-podaires  successives  de  la  courbe  donnée. 
(L'auteur  appelle  anti- podaire  une  courbe  telle  que  sa  podaire  soit  la  courbe 
donnée;  cette  désignation  est  équivalente  à  celle  de  podaire  négative.)  Rayon 
de  courbure  de  la  m'^"*  anti-podaire.  Rectification  de  la  nV^""^  anli-podaire. 
Aire  de  la  podaire  de  la  développée  de  la  courbe.  Aire  de  la  podaire  de  la  dé- 
veloppée de  la  {m  —  1  )ième  podaire.  Aire  de  la  podaire  de  la  développée  de  la 
^^ième  anti-podaire.  Applications  :  i°à  l'ellipse  et  à  ses  podaires  du  centre;  2"  à 
la  parabole  et  à  ses  podaires  du  sommet;  3°  au  cercle  (;t  à  ses  podaires  par 
rapport  à  un  point  de  la  circonférence  du  cercle;  \"  à  la  lemniscate  de  Ber- 
noulli  et  à  sss  podaires  du  centre;  5°  aux  courbes  de  la  famille  /""  =  a"' cosmO 
(spirales  sinusoïdes). 

Une  Note  ajoutée  ult(';rieurement  est  consacrée  à  la  détermination  de  l'aire 
de  la  podaire  de  la  seconde  développée  de  la  m'*°''  podaire  d'une  courbe  avec 
application  à  la  cardioïde,  à  l'ellipse,  à  la  développante  de  cercle,  à  la  spirale 
logarithmique  et  à  la  spirale  d'Archimède. 

Barrleu  (P-)-  —  [I2r/]  Tliéorle  générale  du  plus  grand  commun 
diviseur  et  du  plus  petit  multiple  commun  des  nombres  commen- 
surables.  (90-101,  i65-in3,  214-232). 

Dans  l'exposé  de  cette  théorie  classique,  l'auteur  a  pour  but  d'appli(|ucr  sa 
démonstration  à  tous  les  nombres   commensurables,  entiers   ou  fractionnaires. 

Farjon  (F.).  —  [Q 2]  Noie  de  Géométrie.  (101-108). 

Appelant  centre  concourant  du  réseau  {ab)  un  point  quelconque  d'une  droite 
déterminée  par  deux  points  distincts  a  et  6,  l'auteur  montre  comment  cette 
notion,  établie  pour  des  réseaux  de  plusieurs  points  du  plan,  peut  servir  à 
étudier  les  propriétés  géométriques  des  hypercspaces. 

Cazaniian  (yl.).  —  [M'^5r/]Sin'  rjuel([nes  propriétés  des  cubiques 
gaiic!ics.  (io8-[  I  1). 

Corrélation  entre   les  cubicjues  gauches  et   les  cubicjues   unicursales,  en  par- 


UliVU  K    DKS    IMJUMCA'I  IONS.  ai  { 

l;iiil   (le    (livcrsi's    |ii<i|u-i('-lt''S,    si^iiah'cs    |);ir    (lliiisics,  piir    M.    Aslfti-   cl    diiiis  fies 
li;i\;ui\  (If  l.iiilriir. 

!)()c(i  Ll  ne  (/l/.).      -   [O'^^Y^I  '^"''  ''-  <'<'"''<'  <'''  coin  hure  des  po- 
(laiics.  (^1  I  I  - 1  I  >.). 

I!iii»iicr'  (riinc  proposilion  ^('M)iiicLii(|ur  <Ioiiii;miI  iiiif  cousIiiicI  ion  Ins  >itii[)lc 
(lu  ociili'c  (le  (Ntiirl)ii  ic  (IciiiiiiKh'. 

Lcinehu^'cl  (G.).   —  [L'18r/]   Solnlioii   i;(''()ni('lrl(ni('  de   la   fjMes- 
tion   proposée  au    (concours   (radmission   à   Tllcolc   (^ciilrah;  cii 

l8cS(J.   (l  !■>-!  ]()). 

Lieu  des  foyers  et  des  soininels  et  propriétés  diverses  de  paraijoies  passant 
par  un   point  (i\e  du  plan  et  admettant  pour  directrice  une  droile  donnée. 

AgIIK^ATION   des  SciEJVCKS   M  VTHHMiTiQU  ICS    (GoNCOUllS   I)K     1895).    

l^ro<^rammc  des  ((tieslions  d'Analyse  el  de  Mécanique  d'où  sera 
lire  le  sujet  d'une  des  conij)osilions  écrites;  sujets  de  leçons. 
(1  16-1  20). 

CojN'coujis    d'admission    a    l'Ecolk   jn avale   en    1894-    —   Enoncés 
des  compositions.  (i2i-i23). 

GoNcouiis  (;ÉivÉii\L  DE    i8()4-  —  Enoiicés  des  compositions.  (i23- 
i3i). 

Coixcouus   d'admission  A  l'Ecole  spéciale  militaiue  en    1894-  — 
Enoncés  des  compositions.  (i32-i33). 

D^Ocagne  {^^J-)-  —  [J^^]  ^"^^  "^  combinaison  des  écarts.  (i33- 

■37). 

Prenant  pour  hypothèse  la  loi  de  probabilité  sous  la  forme  que  lui  a  donnée 
Gauss,  l'auteur  expose  une  démonstration  du  théorème  fondamental  relatif  à  la 
combinaison  des  écarts.  Le  carré  de  l'écart  (probable,  moyen  quadratique, 
moyen)  résultant  est  égal  à  la  somme  des  carrés  des  écarts  (  probables,  moyens 
quadratiques,  moyens)  composants. 

Coron  {J-)-  —  [C^^/]  Sur  le  rayon  de  courbure  de  la  |)r()jection 
d'une  courbe.  (i38-i4i)- 

Démonstration  et  utilisation  de  la  propriété  ci-après  étioncée  :  Etant  donnée 
une  droite  tangente  à  une  surface  du  second  degré,  en  un  j)oint  du  contour 
apparent  horizontal  dans  l'espace;  si,  par  cette  droite,  on  mène  une  série  de 
I)lans  sécants,  toules  les  sections  en   projection   horizontale   sont  osculalriccs. 


:>.i4  SRCONDH    PAUTIH. 

Bossut  (f..).  —  [T2rt]NoLc  relative  à  la  théorie  matliéniatique  de 
Tc-Iaslicilé.  (\i\-\/\5). 

1,  [i,  V  élaiit  trois  anj^lcs  tels  (jiic  l'on  ail  la  relation 

cos-7i  H-  cos^|x  +  cos-v  =  1, 

les  coordonnées  d'un  point  M  de  rdlipsoïde  peuvent  (Hre  représentées  par  les 
expressions  x  —  a  cos>v,  y  =  b  cosix,  z  —  c  cosv.  Les  quantités  \,  |x,  v  sont 
appelées  ordinairement  coordonnées  angulaires  ou  paramètres  r  irrulaires  du 
point  M.  Elles  ont  une  interprétation  mécaniijue  remarquable,  intimement  liée 
à  la  théorie  iTiatliémalicjue  de  l'élasticité. 

Leinekugel  (G.).    —    [U  il e]  Ciénéralisation   et  solution  de  la 
question  j)r()j)Osée  au  Concours  d'admission  à  l'Ecole  Normale 

en  1889.  (ii()-i5i). 

Dctcrminalion  de  certains  points  d'une  parabole  donnée,  satisfaisant  à  une 
condition  particulière.  La  discussion  de  ce  problème  fait  intervenir  une  courbe 
du  sixième  degré  ayant  pour  é(jualion 

Maillet  {E.).  —  [H  12<:/]  Des  conditions  pour  que  Téchelle  d'une 
suite  récurrente  soit  irréductible.  (i52-i5~,  19^-206). 

Considérations  ayant  pour  objet  de  reprendre,  de  développer  et  de  présenter 
sous  une  autre  forme  certains  critères  de  réductibilité  d'une  loi  de  récurrence 
pour  une  suite  donnée,  sujet  déjà  traité  en  tous  détails  par  M.  d'Ocagne  dans 
un  Mémoire  sur  les  suites  récurrentes,  publié  en  iSq'i  dans  le  Journal  de 
l'École  Polytechnique. 

Leinekugel  (G.).  —  [L'17<7]  Note  de  Géométrie.  {\y3-i-D). 

Propriété  d'une  parabole  variable  ayant  son  foyer  au  centre  d'une  conique 
donnée,  et  telle  que  deux  des  tangentes  communes  se  coupent  sur  une  droite 
fixe. 

Picard  {E.).  —  [111 1)\  Sur  deux  théorèmes  classiques  de  Cinéma- 
tique. («77-1 83). 

Démonstration  des  ileux  théorèmes  fondamentaux  de  la  cinématique  des 
systèmes  invariables  :  n)ouvement  d'un  plan  sur  un  |)Ian,  ot  glissement  de 
deux  surfaces  réglées  l'une  sur  l'autre, 

Saint-Germain  {A.  de).  —  [IlGay]  Sur  le  théorème  de  la  con- 
servation des  aires.  (184-187). 

Contribution  à  des  remarques  faites  déjà  par  M]\I.  Guyou,  IMaurice  Lévy, 
\ppcll.  T^icard,  à  la  suite  d Vxp('Miences  de  M.  "Marey  sur  la  façon  dont  un  chat 


iu:vi;i':  di-is  piihMCAi'ioNs.  7.1') 

ici  itiiihf  !>iir  ses  pâlies.  <",cs  oxix'iiciiccs,  en  coii  I  liid  i(  I  ion  ;i|»|t;ir('ii  h^  ;iv<'C 
le  |)i-iiici|it'  (If  lii  foiiscrviil  ion  des  iiiics,  ont  nionin';  hi  m'-cc-ssilc-  i\r.  pn''c,isc.'r 
rriinnc('  (l(!  ce  principe  Iois(|iril  s";i^il  (r»''li(>  iiniini's  on  (!<;  syslèrrics  (h-for- 
inaliles.  \  celle  oeriision,  M.  \a\\  ;t  invenli'  un  ;ip|);ii(il  de  di'iiionsl  lal  ion. 
I/iiiileur  ini;ij;ine  i<i  un  Jinlic  disposilif  (|tii  peinie(li;iiL  i'i  nn  lioinnie  de 
s'iinprimei-   nn    nioiivernenl.    de   roLiiLion  sans  iiilcrvciiLiori  de  force  exi  l'iicnre. 

Tan-y  {(l .).   —  Mv^^''/|  '^<'   pi'ohlrinc  des  l;il)\  l'inllics.  ('i^7-i<)<>)- 

l'inonci- el  (h'nionsi  r;i  I  ion  d'nne  l'è^le  1  its  simple,  a>  ani  |)onr  ohjcl  de  pronvcr 
(HIC  tonl  lahyiinllic  pciiL  cire  parcouru  en  une  seule  course,  en  j)assanL  deux 
fois  en  sens  contraire  par  chacune  des  allées,  sans  (ju'ii  soiL  nécessaire  d'en 
connath'c  le  plan. 

Un  ancien  élève  de  Malliénui tiques  spéciales.  —  [()i2ry7.]  (^on- 
slniclions  du  centre  de  courbure  d'une  podairc.  (  i()o-i  cj^»). 

Démonstration  st^f"ii''l^i"'n"<^  *'•"  '•'  proposition  ('noncc'e  par  M.  d'Ocagne 
(p.  lia)- 

Cazamian  {A.).  —  [M'oca]  Sur  les  applications  des  propriétés 
de  la  strophoïde.  (Kj^-i^f)). 

Enoncé  de  plusieurs  propositions  relatives  à  la  strophoïde  (oblique)  et  aux 
familles  de  coniques  ayant  certaines  corrélations  avec  celte  courbe. 

Golirsat  (^.).  —  [K20^J  Sur  une  application  de  la  formule  de 
mulliplication  des  arcs.  ['i/\'S-'>.\'è). 

Trouver  tous  les  arcs  commcnsurables  avec  -,  pour  lesquels  le  carré  du 
cosinus  est  une  irrationnelle  du  second  degré. 

Concours    pour   les  rourses  de   Licence  en    1894-    —    Enoncés 
des  compositions.  (249). 

Concours  général  de  kSqS.  —  Énoncés  des  compositions.  (aSo- 

20  l). 

Kagan    (B.).    —    Note    sur    une    formule    bien    connue    de    la 
Géométrie  imaginaire.  (^5  1-208). 

Propriété  du  triangle  rectiligne  dans  l'espace  hyperbolique.  Examen  de  ce 
qu'elle  devient  quand  la  courbure  négative  de  l'espace  tend  vers  zéro. 

Vai-icak  (/^.)-    —  [BJ2«]  Remarque  sur  la  valeur  de  /'.  (258- 
262). 

I/antcur   ra[)pclle  (pie.    dans  V/1ls;cbre  d'Eulcr.  on    trouve  r=e     - .  Dans  la 


•>.iG  SKCONDIi    l»AiniK. 

Géométrie  de  position,   INI.  JMour.liol  ujoulc  (|iic  l'on  pcnl  (lédiiiro  do  celle  for- 

rmile    l'é^alilé   —iZ-e'^,  mjiis  que  ce  résiilUil  a   éié  conleslé   par  M.   Vallès, 


71  7C 


parce  qu'il  résullcrail  de  ces  deux  formules  e  24-^2  — o,  ou  e~  =  — i,  con- 
séquence absurde.  Une  discussion  sur  le  inème  sujet  s'est  élevée  déjà  entre 
MM.  Vallès  et  Catalan  {Nouvelles  Annales,  1869,  [\h(i-[p9>  et  1870,  20-2G  et 
9'^).  Plus  réremuient,  dans  le  mendie  journal.  M.  J.  Evrard,  rendant  connple 
de    la    Théorie  des  acceptions   de    feu    l'abbé   George,   a    signalé  une  formule 

'^  ■=. 
différente  :  i' ^  e~      (1892,  lo.S-iiS).  Il  est  intéressant  de  rappeler  ces  résultats 
contradictoires   et  d'en  rechercher  la   véritable  origine.   Voir,  ci-après,    les  re- 
nia r(|ues  de  M.  G.  Tarry. 

/)'Oca^ne  (v1/.).  —  [Oo^^/]  Sur  la  courbure  du  conlour  apparent 
d'une  surface  projetée  orthogonalement.  (262-264). 

Le  produit  de  la  courbure  en  M  de  la  section  normale  faite  dans  la  surface  S 
par  la  génératrice  Mm  du  cylindre  projetant,  par  la  courbure  en  m  du  con- 
lour apparent,  est  égal  à  la  coui'bure  totale  de  la  surface  S  en  M. 

Coivcouiis  d'admissioiv  a  L'École  Polytechnique  ejv  1895.  — 
Enoncés  des  compositions.  (264-266). 

G()uuESPO]\nAj\cE.  —  M.  Fouret  :  Remarques  relatives  à  la  solution 
géométrique  de  la  composition  mathématique  donnée  au  Con- 
cours d'admission  à  l'Ecole  Poljteclinique  en  1895,  ajant  trait 
à  la  génération  d'une  certaine  surface  du  troisième  ordre.  (266- 

268). 

Tarry  (G.).  —  [Blî^r^]  Sur  les  exponentielles  imaginaires.  (269- 

272). 

Cet  Article  vient  très  naturellement  compléter  une  recherche  tentée  précé- 
demment par  M.  Varicak. 

L'auteur  avait  relevé  les  mêmes  divergences  entre  les  résultats  donnés  par 
M.  Vallès,  en  18-G,  et  par  M.  IMouchot  en  1892  {Nouvelles  bases  de  la  Géométrie 
supérieure,  p.  17^).  Les  résultais  de  M.  Vallès,  avons-nous  dit,  avaient  déjà 
préoccupé  l'attention  de  AI.  Catalan,  mais  les  deux  contradicteurs  ne  semblent 
pas  s'être  mis  d'accord.  INL  Ci.  'J'arry  fait  voir  que  le  résultat  de  M.  Vallès  est 
dû  à  l'omission  d'une  parenthèse. 

Sée  (/?.)•    —  [!>'  I^>./]  Prohième  du   Concours  général   de   1894. 

(272-280). 

Gént'M'al  ion  (rime  corlaine  enveloppe  X  que,  [ar  considérations  géométriques, 
fm  reronnail  (''Ire  la  peisperl  i  vc  (rime  hyp'>r\  rloïde  à  Iroi-^  rebroiisscments. 


HlîVUi:   l)l-:S   IM]  lUJCATIONS.  >i7 

Lcnidiic  (./.).  —  I  L'  IS^/|  Soliilioii  de  la  (|iic.sl.ion  de  Malhéma- 
li(jiics  spéciales  |)i()j)()sé('  au  (loneoiiis  d'A^i'égalioii  eu  i<S(j/î. 
(280-291). 

I.icii  i^romrlriiiiic  l);isr  sur  les  propricUîs  d'un  faisroau  d'Iiypci-holcs  équihi- 
Iri'cs  (K'Cniii's  |);ir  ccrliiincs  rondilions.  Discussion  des  diverses  formes  de  la 
eourl)e  (d)l(MUic,  (|ui  a  pour  (''(|ual  ion 

{X  —  a  —  h)  {x' -\- y-)  -\-  abx  —  o. 

Mcycr.  —  [IJ  l8/>]  lUiidc  sur  un  faisceau  de  coniques.  (291-297). 

Cel  article  a  pour  ohjeL  d'élahlir  comrnenL  on  peut  élendrc  à  un  faisceau  de 
(|ualic  couitiues  eerlaiiies  propriétés  bien  connues  du  système  de  deux  co- 
niijuos. 

Cazaniian  {A.).  —  [M' 5a]  Sur  les  cubiques  unicursales.  (297- 
3o4). 

L'auteur  se  propose  de  montrer  que  tous  les  tliéorèmes  sur  la  strophoïde 
s'appliquent,  à  un  degré  plus  général,  aux  cubiques  unicursales  circulaires  (et 
même  pour  quelques-unes  non  altérées  par  la  projection,  aux  cubiques  uni- 
cursales non  circulaires). 

Sondât  {P.)'  —  [L'  lia]  Sur  quelques  propriétés  des  coniques. 

(309-329,  507-517). 

Enoncé  et  démonstration  de  plusieurs  propositions  relatives  aux  coniques 
inscrites  ou  circonscrites  au  triangle,  et  de  quelques  autres  théorèmes  concer- 
nant les  systèmes  de  deux  triangles  homologiques. 

Lcvy  (^Lucien).  —  [L-7a]  Sur  la  composition  d'admission  à 
l'Ecole  Polyteclinique.  (329-339). 

L'auteur,  qui  a  proposé  le  sujet  de  la  composition  mathématique,  fait  con- 
naître les  méthodes  les  plus  simples  à  adopter  pour  obtenir  la  solution  analy- 
tique et  la  solution  géométrique.  La  question  se  rapportait  à  une  génération 
particulière  des  surfaces  du  troisième  ordre  par  l'intersection  de  deux  hyper- 
boloïdes  réglés  contenant  tous  deux  une  même  droite  variable  OA  d'un  plan 
donné,  et  passant,  l'un  par  deux  droites  données  D  et  D',  l'autre  par  deux 
droites  A  et  A',  Voi/-,  sur  le  même  sujet,  les  Mémoires  de  Schrœter  et  de 
M.  F.  Deruyts. 

D'Ocagne{]\J .).  —  [M'-3(i]  Solution  géométrique  complète  de  la 
troisième  Partie  du  problème  d'admission  à  l'Ecole  Polj- 
l('clini(|uc.  (339-344)- 

Il  s'agit  de  la  détermination  des  vingt-sept  droites  de  la  surface  du  troisième 
ordre  ronsidér(''e  dans  la  question  précitée  et  (jui  peut  se  fléfinir  ainsi  : 


9as  siîconi)i<:  paktih. 

IClant  donnés  un  point  O  cl  (| ii a Lrc  droites  I),  I)',  A,  A'  ne  se  rencontrant  pas, 
on  mène  par  le  point  O  un  plan  (|uclconque  qui  coupe  les  quatre  droites  aux 
points  cl,  d\  0,  S'.  Les  droites  dd' ,  55'  se  rencontrent  en  un  point  M  dont  le 
lieu  est  une  surface  du  troisième  ordre. 

L'auteur,  adoptant  les  notations  de  Sclilaffli  et  de  "W.  Crernona,  établit  que 
cette  surface  admet  i5  droites  réelles  et  12  autres  droites,  (jui  sont  toutes  à  la 
fois  réelles  ou  imaginaires. 

V(fhl('n.  —  [Q!^]  Sur  la  surface  de  Fresnel.  (344-'^47)- 

Établissement  de  l'équation  de  la  variété  de  surface  de  l'rcsnel  obtenue  en 
appliquant  la  construction  de  l^'rcsnel  à  la  variété  ellipsoïdale 

'^a-x]  =.1         (  i  =  I ,...,/?  j, 
à  n  dimensions. 

Weber  {II.)-  —  [A3/.']  Formule  de  Cardan   modifiée  par  Cayley. 

(34--:549)- 

Extrait  du  Tome  I  d'un  Traité  d'Algèbre  de  AL  IL  Webcr,  publié  en  1894. 
Ce  paragraphe,  traduit  par  INL  L.  Laugel,  fait  connaître  l'ingénieuse  modifica- 
tion apportée,  en  liSGi,  par  Cayley  à  la  formule  de  Cardan  pour  l'expression 
des  racines  de  l'équation  du  troisième  degré. 

CoRRESPONDAJxcE.  —  M.  Maniilieim  :  DémonsLi^aùon  et  généralisa- 
tion de  la  proposition  énoncée  précédemment  par  M.  Caron, 

p.  i38.  (.'34(j-35o). 

En  général,  si  des  courbes  tracées  sur  une  surface  (S)  ont  entre  elles  au 
point  a  un  contact  du  //'^'"®  ordre,  leurs  projections  sur  un  plan  (P)  ont  au 
point  a  un  contact  du  (/i  +  i)'*"'"  ordre,  a  désignant  la  trace  sur  le  plan  (P) 
de  la  tangente  à  la  surface  er>  a. 

Concours  d'admission   a  l'Ecole  Normale  supérieure  en    iSgS. 
—  Enoncés  des  compositions.  (35o-352). 

U Ocagne  (M.).  —   [L'''^]  ^-'^^   propriétés  focales  des   coniques 
obtenues  au   moyen  de   la  méthode  des  polaires  réciprocpies. 

(353-364). 

Étant  donnés  une  conique  K  et  un  cercle  de  rayon  nul,  ayant  son  centre  au 
point  P,  ces  deux  coniques  se  coupent  en  quatre  points  imaginaires,  mais 
parmi  les  coniques  du  système  il  y  a  deux  droites  réelles  A,  A',  qui  pourront 
être  dites  les  conjointes  du  point  P  et  de  la  conique  K.  I^'auteur  applique  cette 
notion  à  la  recherche  des  propriétés  focales. 

Cazamian  (./ .)  —  [L'  6r/]  Sur  le  rayon  de  cour])ure  des  coniques. 

(365-369). 


hi<:vi:k  i)i:s  luinucAïioNS.  9,19 

I  ((icnni  iKil  ion  du  rayon  de  coiirhiirc  foiKlt-c  sur  l;i  consl  nicl  ion  de  l'Iiypcr- 
Iiolc  ('•(|ii  ihiltrc  aviinl  ses  as}  inplolcs  parallèles  aux  axes  de  la  conicjiK;,  la  loii- 
clianl  au  point  (•<)nsi(l(''i'('  cl   passant  par*  son  c.cnli'c. 

S(ffn'(f:^('  (/>.).  —  [H  10/^]  Noie  sur  les  ('({iialions  cw  A  (](;  la 
(  iroméliic.  (  ;Un)-.')(Sr)  ). 

L'aulcur  se  |)i()p()S(;  de  faire  connaître  la  notion  de  diviseur  élémentaire  de 
l'équation  en  >v  déduite  de  deux  formes  (juadralicjues  binaires.  Il  montre  qu'un 
délerminant  A(X)  qui  n'a  (|U(;  des  diviseurs  élémentaires  simples  et  ri-els  peut 
s'ajjpeler  i;énéral('ni('nl  un  (h'-lerniinant  en  s,  et  (|ue  loule  ('(luation  en  v  a  ses 
racines   rt'clles. 

Leinekiigel  {G .).  —  [M'GA]  INolo  sur  une  méUiode  nouvelle  de 
Iransformalioii  et  sur  les  quarliques  unicursales.  (391-406). 

Dans  la  méthode  de  transformation  ici  considérée,  à  un  point  correspond 
une  coniciuc  circonscrite  au  triangle  de  référence,  à  une  droite  un  point,  et  à 
une  conique  une  quartique  unicursale. 

Saint-Germain  (A.  de).  —  [U8c]  Solution  du  problème  de 
Mécanique  proposé  au  Concours  d'Agrégation  en  i>^g/i.  (4o6- 
41 5). 

Étude  du  mouvement  de  rotation  d'une  plaque  nnnce  ayant  la  forme  d'un 
triangle  équilatéral  dont  on  donne  la  position  initiale,  inclinée  à  ^5°  entre 
deux  plans  horizontaux,  et  qui  tourne  autour  d'un  axe  vertical  passant  par  son 
centre  de  gravité. 

Rigollet  {P.)'  —  [R8c]  Solution  du  problème  de  Mécanique  ra- 
tionnelle donné  an  Concours  d'Agrégation  des  Sciences  mathé- 
matiques en  i8()5.  (4  I  5-43'3). 

Étude  du  mouvement  de  rotation  d'un  cône  de  révolution  mobile  autour  de 
son  centre  de  gravité,  pendant  que  l'axe  reste  horizontal  et  que  la  circonfé- 
rence de  base  roule  sur  un  plan  fixe  horizontal. 

y?,  s.  —  [N|  Iz]  Etude  géométrique  d'un  complexe  du  second 
ordre.  (433-437). 

II  s'agit  du  complexe  formé  par  les  cordes  d'un  hyperboloïde  à  une  nappe 
vues  du  centre  sous  un  angle  droit.  Détermination  des  cônes  du  complexe  qui 
sont  de  révolution  et  des  courbes  du  complexe  qui  sont  des  paraboles  ou  des 
cercles. 

Janiet  (F.).  —   [A3rta]  Sur  le  théorème  de  d'Alembcrt.  (43;- 

440.). 

Essai  de  démonstration   basée  sur  la  noiion  fl'intéorale  définie  et  où  l'auteur 


220  SECONDE   PARTIE. 

se  propose  d'cLal)!!!-  (|uc,  lorsque  la  variable  iinaginaiic  dont  dépend  le  premier 
membre  de  ré(|iiaLion  décrit  un  conlour  fermé,  la  varialion  de  l'argument  est 
toujours  la  même  lorsque  ce  contour  se  déforme  d'une  manière  continue,  sans 
jamais  passer  par  un  point  représentant  une  racine  de  l'équation  donnée. 

Aîiiigues  {E.).  —  [MMrt]  DémonsLrallon  algébrique  d'un 
tlicorcme  relatif  à  l'inLersecLion  de  deux  courbes.  (447-448). 

Si  un  même  point  est  d'ordre  p  dans  une  courbe  d'ordre  m  et  d'ordre  q 
dans  une  autre  courbe  d'ordre  n,  ces  deux  courbes  se  coupent  au  plus  en 
{mil — pq)  autres   points. 

Pomey  [E .).  —  [H  4a]  Formules  de  la  statique  d'un  corps  solide 
en  axes  obliques.  [.\/\[)-/\Ç)'x). 

Subdivisions  de  ce  travail.  Moment  d'un  vecteur.  Exposé  de  cinq  méthodes 
de  détermination,  liéduction  des  forces.  Résultante  de  translation.  Axe  du 
couple  résultant.  Conditions  d'équilibre.  Conditions  de  réductibilité  à  un 
couple.  Conditions  de  réductibilité  à  une  force  unique. 

Barisien  {E,-N.).  —  [02^a]  Sur  le  centre  de  courbure  des  po- 
daires.  (471-47-^)- 

Complément  à  l'Article  de  M.  d'Ocagne  sur  le  même  sujet,  inséré  p.  iii. 

Maillet  (E.).  —  [H  \^d]  Sur  le  problème  de  l'interpolation  dans 
les  suites  récurrentes.  (473-489). 

L'auteur  se  propose  de  rechercher  à  quelles  lois  sont  soumises  les  suites 
il  obtenues  en  prenant  dans  une  suite  récurrente  S  les  termes  de  Â  en  k  à 
partir  d'un  terme  arbitrairement  choisi.  Ce  problême  a  été  traité  aussi  par 
M.  d'Ocagne. 

Picliot  (/.)•  —  [11]  Note  sur  la  formation  des  carrés  des  nombres. 

(  489-49  >)• 

Extension,  à  un  carré  quelconque,  d'une  propriété  arithmétique  du  carré 
d'un  nombre  de  deux  chillVes. 

Atnlgucs  (E.).  —  [04^(3]  Sur  les  surfaces  gancbes  donl  une 
même  courbe  plane  est  à  la  fois  ligue  de  striction  et  ligue  de 
courbure.  (  'î()i-49l  )• 

Reprenant  un  sujet  traité  incidemment  par  M.  Anlomari  dans  une  Thèse  de 
189-'),  l'auteur  montre  que  l'équation  générale  de  ces  surfaces  peut  se  déduire 
de  formules  qu'il  a  fait  connaître  dans  les  Nouvelles  Annales,  en  1889. 

Ainigiies  (E.).  —  [A3r/]  Démonstration  d'un  lliéoréine  rolalif 
aux  fonctions  symélricjues.  (ioi-lo^^^- 


I 


IMÎVUl!:   DUS   PUBLICATIONS.  r/i 

Si  If  (|ii()li('nl  (le  dciix  polynoriu^s  en  fi  cl,  h  esL  (oiiclion  symétrique  de  a  cl 
(le  0  el  si,  en  outre,  ("es  polynômes  n'onl  aucun  (livisciir  eonimun  en  a,  ni 
aueun  fliviseur  couinuin  en  />,  chacun  d'eux  est  une  loneLion  syuiélri(|uc  de  (i 
et  i\c.  h. 

Anui^Kcs  (f-L.).  —  [IM  r/]  TliL'oicnic  crAlgc^brc.  (4î/^-497)- 

Un  déleruiinan!  dont  les  éléuienls  sont  des  lettres  avec  indices,  et  où  les 
indires  de  chaque  li^nc  forment  des  progressions  de  même  raison,  est  un  po- 
lynôme dont  tous  les  termes  ont  même  [)oids. 

FourcI  (G.).  —  [L^T^i^]  Sur  la  qiiaLrième  Partie  du  projjlcme  du 
dernier  Concours  d'admission  à  l'École  Polytechnique.  (497* 
5()i). 

b>\|)osé  d'une  démonstration  géométrique  basée  sur  les  propriétés  élémentaires 
du  complexe  linéaire. 

S^'cclinicoff  {P.).  —  [OBc]  Sur  nue  classe  de  surfaces.  (5oi- 
5()()). 

Une  courbe  A  roiUe  sans  glisser  sur  une  autre  courbe  fixe  B,  de  sorte  que 
leurs  plans  osculateurs  au  point  de  contact  forment  un  angle  constant  5.  Les 
positions  successives  d'un  point  [x  invariablement  lié  à  A  déterminent  une  nou- 
velle courbe  C.  Quand  l'angle  6  varie  d'une  manière  continue,  la  courbe  C  décrit 
une  surface  S.  Équations  de  la  surface  S.  Cas  particuliers. 

CoiNcouiis  d'aumission  a  l'Ecole  Centrale  ejv  iSgS.  —  Enoncés 
des  compositions.  (5i8-525). 


Exe  II 


ICICES. 


Terrier  (P.).  —  Solution  de  la  question  1257.  (i*-5*). 

Cette  question,  proposée  par  M.  C.  Morcau,  qui  la  croyait  nouvelle,  revient 
en  définitive  à   la  proposition  connue  sous  le  nom  de  théorème  de  Miquel. 

Fauquembergiie  {E.).  —  Solution  de  la  question  1266.  (5*-8*). 

Lieu  du  centre  du   triangle  équilatéral    formé  par    les   trois   tangentes    aux 

—  '         -  ' 
points  de  rencontre  du  rayon  vecteur  de  la  courbe  p    ^  =  a    •'  sin( —  ^w),  caus- 
tique par  réflexion  delà  parabole  pour  des  rayons  incidents  perpendiculaires  à 
l'axe. 

Moret-Ulanc.  —  Solution  de  la  question  1267.  (<'^*-9*)- 

Propriété  d'une   circonférence,  d'une  droite   el    de  iX'inyi    divisions   homogra- 
phiques. 


iii.  SI<C()NI)E  PAUTIH. 

Morel-Blanc.  —  Sol  ni  ion  de  lu  (jucslion  1277.  (i()*-i  i*). 
l'ropriéLc  de  deux  spirales  log,Trillimi(|iics. 

More l- Blanc.  —  Solution  de  la  ([noslion  J!287.  (ii*-i3*j. 

Enveloppe  des  cercles  ayant  pour  diamètre  la  corde  joignant  les  extrémités 
de  deux  diamètres  conjugués  d'une  ellipse. 

Poligiiac  (C.  de).  —  Solution  de  hi  (jneslion  1309.  (i3*-i6*). 
Question  posée  par  M.  C.  de  l'olignac,  et  relative  à  des  faisceaux  harmoniques. 

Leine/xifgel  (A.).  —  Solution  de  la  (jueslion  1319.  (i6*-2i*). 
Aires  des  faces  et  volumes  de  certains  tétraèdres. 

Mo ret- Blanc.  —  Solution  de  la  question  1351.  i/^'^*). 

Par  un  point,  mener  une  sécante  telle  que  la  différence  des  cordes  interceptées 
par  deux  circonférences  données  soit  égale  à  une  longueur  donnée. 

Movet-Blanc.  —  Solution  de  la  question  1372.  (22*-24*). 

Question  de  Géométrie  cinématicpie;  mouvement  infiniment  petit  d'un  plan 
sur  lui-même. 

Moret-Dlanc.  —  Solution  de  la  question  1382.  (24*-27*). 

Lieu  du  centre  de  courbure  d'une  conique  en  un  certain  point  d'une  circon- 
férence qui  lui  est  tangente.  L'auteur  de  la  question,  i\L  A.  Mannheim,  en  a 
donné  une  solution  géométrique,  p.  27*-29*. 

Franel  (/.).  —  Solution  de  la  question  1563.  (29*-32*). 

Solution  et  généralisation  d'une  question  relative  à  une  propriété  des  pro- 
jections des  diamètres  d'un  ellipsoïde  sur  le  plan  langent  à  l'extrémité  du  dia- 
mètre. 

Questions  proposées  :  1G86  à  1705.  (33*-3()*). 

Deux  énoncés  différents  ont  été  groupés  dans  le  n"  ITO'i;  il  y  aura  lieu  de 
les  séparer  au  moment  de  la  publication  des  solutions. 

Ce  Volume  est  le  dernier  que  les  Rédacteurs  aient  publié.  A  partir  de  1896, 
la  Direction  des  Nouvelles  Annales  de  Mathématiques  est  passée  entre  les 
mains  de  IVLM.  Laisant  et  Antomari,  docteurs  es  Sciences  mathématiques. 

Nous  croyons  savoir  que  les  nouveaux  Directeurs  se  proposent  de  transformer 
ce  journal  en  un  lîullctin  mathématique  dans  lequel  le  problème  tiendra  une 
large  place  et  où  notamment  les  questions  posées  aux  épreuves  de  Licence  et 
d'Agrégation  seront  régulièrement  insérées,  grâce  à  la  collaboration  que  les 
rédacteurs  ont  obtenue  de  IMAL  les  Professeurs  des  diverses  Facultés  des 
Sciences. 

H.  B. 


lUÎVlII';    DKS    IM  IM.ICA  riONS.  ■>.■>.) 


ACTA  MATIIEMATICA. 

Toinr  XVII,  iH(,3. 

(iyUlén  [//i/i^-o).  — N()iiv(;llcs  rrclicrchcs  sur  les  séries  employées 
dans  les  lli(M)ri(\s  des  plaiièles.  (  i-i()<S). 

Suite  (lu  Mcnioire  publii''   au  loinc  \\   du  iuciik;  journal  (p.  fJ5-i(jo). 

II.   Transfornuttinn  de  quelques  équations  dijférentielles.  ~  5.  Inlégration 
«le  ré(juati«)n 

les  V  et  £2  étant  des  fonctions  connues  de  t^,  dont  les  premières  ne  renferment 
(juc  des  constantes  et  des  termes  purement  trigonomctriques,  y  étant  une 
petite  quantité  de  l'ordre  des  excentricités  ou  des  inclinaisons;  on  a  omis  les 
termes  de  degré  supérieur  au  troisièine,  non  point  seulement  parce  (jue  ces 
termes  sont  très  petits,  mais  surtout  parce  que  l'approximation  ainsi  obtenue 
donne  un  point  de  départ  convenable  pour  les  approximations  suivantes  (ce 
(|ui  n'arrive  pas  toujours,  ainsi  qu'on  l'a  vu  précédemment,  lorsqu'on  se  borne 
aux  termes  du  premier  degré). 
On  substitue  pour  y  l'expression 

/   y  =  (i  —  c?o,  )-  +  ?o.-'+  ?o,-S'  +  -  •  • 
1  +(  ?,o+ 'fi. -  + 9, .-'+•••)  ;7- 

(•0  \ 

dzV 


+(.,„+9....+9..^+...)(;^y 


Les  9^  étant  des  fonctions  arbitraires.  En  négligeant  les  termes  dont  le  degré, 
par  rapport  à  ^  et  à  ses  dérivées,  dépasse  le  troisième,  on  trouve  pour  déter- 
miner ^  ré(|uali()n 

/   d'z        \^  ^     [ dzV    ,        d- z  \^  ^    [ dzV    , 

et  il  faut  choisir  les  9-^.  de  manière  à  donner  aux  coefficients  A,  B,  G  les  formes 
les  plus  avantageuses  possibles.  Toutefois,  ces  fonctions  cp.j.  devront  rester 
tiès  petites  du  ])remier  ordre  [sans  ([uoi  on  n'aurait  plus  le  droit  de  négliger, 
dans  ré(|uation  (3),  les  termes  de  degré  supérieur  à  trois J  et  ne  contenir  la 
variable  (|uc  sous  des  signes  trigonomélri(jucs. 


i'>4  SliCONDiï    PAKilK. 

Comme  première  application,  on    considère  une  èqualion   du   1}  pe   (i),  mais 

dy 
où   -f-  ne  fiirurc  pas,  aiitrcmcnl  dit  l'é(|uaLion 
dv 

(4)  "^^  +  y. y  +  Y,r + Y,r  =  "., 

les  quantités  Y  et  il  étant  de  l'ordre  des  masses  troublantes. 

Dans  ce  cas,  on  choisit  les  fonctions  9  de  manière  à  égaler  les  A.,,,,  à  des 
constantes  (â-^  (on  pourrait  égaler  ces  quantités  à  zéro,  mais  il  serait,  dans  cer- 
tains cas,  impossible  d'éviter  la  présence  de  termes  séculaires).  On  peut,  de 
plus,  considérer  alors  les  H  et  les  C  comme  du  second  ordre,  et,  par  suite,  né- 
gligeables dans  la  première  approximation. 

Une  autre  manière  d'opérer  consiste  à  prendre  cp^„  =  o.  On  cesse  alors,  il  est 
vrai,  d'être  maître  du  cocf(icient  A,^,  :  l'équation  obtenue  est 


0^) 


(     Ç^   +  Y,^  +  ?,,,^^+  ?o.^'+  (?.o+  ?w^  +  ^^^-^'^iî 
< 


Deuxième  application.  —  Tous  les  Y„,„  sont  très  petits,  sauf  Y„,,  qui  est 
très  voisin  de  i.  On  peut,  par  une  transformation  du  type  précédent,  diriger 
le  calcul  de  manière  à  commencer  les  approximations  en    intégrant  l'équation 

d'E       ,         _        r.  -.^  s  -.^       ^  do.  ^ 

H  étant  une  constante.  Mais  cette  méthode  ne  peut  s'appliquer  dans  les  cas  où 
il  y  a  des  termes  critiques  (termes  à  longue  période). 
Dans  ce  cas,  on  peut  prendre  l'équation  proposée  sous  la  forme 


(^>)    ^'  +  [^-?-?3(H)^-^r]r  +  [*-f-/>^^^]p^  +  ?„z,(H)^=^, 


dv' 


où  <P  et  ^F  sont  des  fonctions  connues,  à  termes  purement  périodiques,  p  et  p^ 
sont  des  constantes  petites,  et 


(H).=(,-?)r+(iy 

On  opère  le  changement  de  variable 


r  =  r  »         dv  = :--  du, 

<\i  étant  une  fonction  arbitraire.  On   adjoint,  pour  déterminer  '^,  l'équation  de 
condition 

I        d-  '^  c^-S'i^'h- 

où  T,2=  (i—  p)^2_|-  /  _^  j  .  Cette  quantité  r;-  est  liée   très  simplement  à  (H)-. 


à 


REVUE   DES   PUIJLICATIONS.  ii') 

Va\  les  suj^posanl  du  sccoiul  «l('f;ii-,  on  a 

au  (|ualrièmc  degré  près,  cl  l'on  peut  écrire  l'équation  en  z 

où  y  (Il  {il)  sont  liés  simpicmcnl  à  /„  cL  il. 

On    intègre    Téciuation    (8)    en    considérant    z    comme    somme    de    termes 
successifs  ¥„,  V,,  . . .,  déterminés  par  des  équations  telles  que 

^"  +  Ci--?,-?,H)V.=  (n), 


4 


(.-?)Vî+(^;;)|x, 


où  H  =  H„+  Hj-h  H^-h. .  .  est  la  partie  constante  de  t,' 


G.  On  considère  ensuite  l'équation 


(9)  ^=-A„sin(G,+  ..,T)-X,-Q„ 


ou 


dT 


X,  =^  A„  sin(G„-i-  .„T)  -^  ^^--  y  A',  sin  (G„  +  .„T), 


^,=^«„  sinH,,, 

n 

G  ^  2  X   p  H-  2  B  , 


n  n 


les  A,  rt  étant,  les  uns  du  premier  ordre  et  de  degré  quelconque,  les  autres  du 
second  ordre  et  au  moins  du  second  degré;  les  B,  b  étant  constants. 

On  commence  par  intégrer  l'équation  où  X^  et  Q.^  sont  supprimés;  l'intégrale 
trouvée  Z^,  est  manifestement  elliptique.  On  pose  alors 

et  l'équation  en  V,  appartient  au  type  de  l'équation  (/|)  considérée  au  para- 
graphe précédent  :  on  peut  donc  lui  appliquer  la  première  transformation  in- 
diquée à  cet  endroit.  Dans  le  cas  des  orbites  intermédiaires,  on  réitère  les 
opérations  auxquelles  on  est  ainsi  conduit;  l'auteur  montre,  en  s'appuyant  sur 
les  propriétés  des  nombres  s-,  établies  dans  son  Mémoire  de  1887,  ^l^c  la  série 
d'approximation  obtenue  de  cette  façon  est  convergente.  De  plus,  la  variable 
indépendante  n'y  figure  pas  hors  des  signes  trigonométrique?. 
Bull,  des  Sciences  mathém.,  2*  série,  t.  XX.  (Novembre  1896.)  H.  16 


226  SECONDE  PARTIE. 

Mais,  lorsque  le  second  mcubre  de  l'cquiiLion  (9)  confient  des  termes  élé- 
mentaires (ne  s'anniilnnt  pas  avec  les  forces  perturbatrices),  la  méthode  ne 
s'applique  plus  et  de  nouvelle^  transformations  sont  nécessaires.  Elles  ont  pour 
cfTct  de  faii'c  naître,  dans  l'équation  résultante,  certains  termes,  qui  ne  dé- 
pendent pas  expliciternent  de  la  variable  indépendante  n}ais  seulement  de  y  et 
de  sa  dérivée.  La  présence  de  ces  termes  (termes  horisliques)  rend  conver- 
gentes les  séries  employées. 

7.  Prenons  encore  l'équation 

où,  cette  fois  (Z  étant  supposé  connu   et,  le  plus  souvent,  constant;   ^3  con- 
stant), X  n'est  connu  que  par  ses  termes  principaux,  qui  sont  de  la  forme 

-^■'cos|«"        (C..=  =X„.  +  B.,). 

Comme  il  a  été  dit  plus  haut,  on  ne  peut  pi.s  toujours  supprimer,  comme 
première  approximation,  le  terme  en  ^%  parce  que  cela  pourrait  introduire 
dans  les  calculs  des  expressions  à  dénon)inateurs  très  peiits.  On  se  propose 
alors   de  ramener  l'équation   à  la   forme  linéaire,   tout  en  tenant  compte  du 

y 

terme  en  z^.  On  pose  z  —  — - — ^  >  et  l'on  est  conduit  au  S3'sléme  d'équations 
(II)  -:é  =  ^'-^'^>'-     " 


dv"-  '  '  1  +  'j' 


.(2-)>  =  (.-..;,x, 


,      ^     d^y  2       d'h  dy       \„        ,  1 

(  12  )      — '- -  -    ---   -l-    Z  —  V-  H 

dv         \-\-'l^  dv   dv       L  (''+'}) 

dont  la  seconde  est  remplacée  tout  d'abord  par 

(i3)  0.  +  (Z-v^)y  =  (i-^)X. 

v^  est  une  constante  déterminée  par  la  condition  que  la  valeur  de  t];  ne  ren- 
ferme pas  de  terme  constant.  Cette  condition  est  équivalente  à  la  suivante  :  si 
l'intégrale  de  l'équation  (i3)  est 

r  =  ^^„cosG„, 

n 
on  aura 

v==  ^Sx-=  S  H. 

Si  Z  est  une  constante  —  g^  on  peut  exprimer  les  x  en  fonction  de  H  et,  en 
reportant  dans  la  relation  II  =  -  /^  ">'-'>  on  aura  une  équation  servant  à  déter- 
miner H.  Lorsque  cette  équation  donne  pour  H  une  valeur  réelle  et  positive 
(ce  qui  arrive  toujours,  en  particulier,  lorsque  g  est  positif )  la  série  des  %  est 
absolument  convergente  et,  par  conséquent,  aussi  la  série  qui  donne  y^  et  que 
l'on  Darvient  à  former. 


IlEVUE   DES   PUBLICATIONS.  227 

Lorsque  Z  n'est  plus  une  constante,  on  peut,  en  posant 

{x  étant  la  variable  indépendante),  satisfaire  à  l'équation  simplifiée 
('4)  g^  +  (X4-a)y  =  o, 

par  une  expression  de  la  fo>-nic 

(i5)  y  =  G,(P  ^vQ)e-H-C,(P-vQ)e--, 

I*  et  Q  étant  les  quantités 

Q  =  vr  ^_vnF  .4.v'vr^  +  .... 

On  passe  delà  à  l'intégration  de  Téquation  complète. 

Mais  on  peut  déterminer  directement  Pet  Q.  sans  passer  par  les  fonctions  T. 
En  remplaçant,  en  efTet,  y  par  l'expression  (i5)  et  égalant  à  zéro  l'ensemble 
des  termes  de  degré  pair  en  v  et  l'ensemble  des  termes  de  degré  impair,  on 
trouve 

^-    =5Ï    +(X+v.)Q  =  o. 


Ce  système  peut,  à  l'aide  des  relations 

P +vQ  =  (i-4-.;)e -Mi  +  '^)^ 

—  V  /   ; -f-V. 

J  (  1  +  '{/  r 


P  — vQ  =  {i-t-'^)e 
être  remplacé  par  l'équation  unique 

Si,  d'ailleurs,  on  part  de  l'équation  en  y  et  qu'on  y  pose 

y  =z  (  I  -h  9  )  e^^+/^''-^  dx, 

9  et  z  étant  deux  nouvelles  inconnues  entre  lesquelles  on  peut  se  donner  une 
relation,  on  retombe,  pour  diverses  formes  de  cette  relation,  sur  l'équation  en  !/ 
précédente  ou  une  de  ses  transformées  simples. 

Les  équations  ainsi  trouvées  renferment,  en  général,  des  termes  horistiques, 
ce  qui  rend  les  solutions  convergentes;  toutefois  il  peut  arriver  que  ces  termes 
s'annulent,  ou  soient  très  petits,  ce  qui  nécessite  une  discussion  spéciale. 

Pour  passer  à  l'intégration  de  l'équation  complète,  on  a  à  développer  l'ex- 
pression 

E  =  e-*-^-/^  ''^  /  <i>  e^-^+/ï  <i^  dx, 


:i28  SECONDE   PARTIE. 

où  V  est  une  constante,  'I>  et  z  deux  développements  uniformément  conver- 
gents; après  quoi  l'intégration  cherchée  se  déduit  de  ce  qui  précède. 

III.  Application  aux  inégalités  des  planètes.  —  8.  La  détermination  des 
inégalités  du  rayon  vecteur  et  de  celles  de  la  latitude  sopcre  en  intégrant  des 
équations  du  second  ordre  et  du  troisième  degré  telles  que  celles  qui  ont  été 
considérées  au  §  5.  On  ne  peut  pas  supprimer  les  termes  du  troisième  degré, 
à  cause  de  la  présence  des  termes  critiqu'^s. 

En  employant  les  méthodes  données  au  §  5  on  trouve  des  approximations 
successives  qui  convergent  à  la  façon  des  progressions  géométriques.  On  con- 
state que  les  coefficients  ne  sont  pas  des  fonctions  uniformes  de  la  constante 
d'intégration,  ce  qui  s'accorde  avec  le  théorème  de  Poincaré  sur  la  non-existence 
d'intégrales  uniformes. 

Les  grandes  inégalités  de  la  longitude  dépendent  de  l'équation  (9)  du  §  6  et 
relèvent,  par  conséquent,  des  méthodes  exposées  dans  ce  paragraphe.  Toutefois, 
dans  le  cas  où  l'inégalité  provient  d'un  terme  de  la  fonction  perturbatrice  à 
coefficient  très  grand  par  rapport  à  v%  cette  méthode  ne  conviendrait  plus;  il  y 
aurait  alors  lieu  de  ramener  le  problème  à  une  équation  du  type  étudié  dans 
le  §  7,  l'équation 

d^  z 

(17)  — h  a5  —  3x:3  =  — a  sin(aî« -F  6), 

'  du^ 

qui,  privée  de  second  membre,  s'intègre  par  les  fonctions  elliptiques.  On 
choisit  l'arbitraire  introduite  par  l'intégration  de  manière  que  la  période  de  la 
fonction  elliptique  soit  égale  à  celle  du  second  membre. 

9.  M.  Gyidén  indique  rapidement  le  rôle  joué  par  les  termes  horistiques  dans 
la  théorie  du  phénomène  connu  sous  le  nom  de  libration  et  correspondant  à 
l'existence  de  termes  critiques. 

Quand  le  coefficient  de  la  libration  est  très  petit,  cette  libration  dépend  de 
l'équation 

(iS)  y^  -v^y  =  -Âsin5y, 

laquelle,  en  développant  le  second  membre  suivant  les  puissances  de  sy  et  né- 
gligeant les  termes  de  degré  supérieur  au  premier,  donne 

y  =  /  sin  {\U\  —  V-  c^  —  L  ), 

où  /  et  L  sont  les  deux  constantes  d'intégration,  dont  la  première  est  très 
petite. 

Si  5A>v%  il  y  a  périodicité;  sinon,  l'argument  des  sinus  est  imaginaire. 

On  voit  par  là  qu'une  relation  de  la  forme 

s^v  ^  s^v' -{-  s.^v" ^. .  .=  termes  périodiques, 

V,  v\  v"  étant  des  arguments  astronomiques  et  s^,  5,,  ...  des  entiers  quel- 
conques, ne  reste  pas  maintenue  par  les  forces  attractives,  si  la  somme  de 
ces  entiers  dépasse  une  certaine  limite. 

Une  plus  grande  partie  des  termes  horistiques  sera  mise  en  évidence  si,  au 
lieu  de  l'équation  (18),  on  part  de  l'équation  (17)  (paragraphe  précédent),  en 


%^è       fz-.'XZjL    . 


UKVUK  DKS    PUliLICATIONS.  •>  >(, 

y  prenaiiJ  pour  scrond  nieinlirc  — A  siii.vc.  Si  l'on  clcvcloppc  ce.  (oi-tiic  suivuiiL 
li's  puissances  (h;  sz,  en  ru;  reLcnanl  ()iie  les  deux  pietnicrs  termes,  il  vient 


î  H_(aH-.vA)c  -(^i  -I-  ^"..s-A^c'-  o, 


(MUialioM   (jiii  s'intèp;re  par  des   ff)ncli()ns  ellipi  i(|(ies.  I)e   la  discussion   de   ces 
fondions  résnilc  que  si  le  coefficient 


a  = 


s\ 


?r^ 


vHP  +  J*^V) 


est  néi^atif,  il  ne  peut  y  avoir  de  libration.  l']n  particulier,  les  termes  éloignés 
(le  la  fonction  perturbatrice  ne  peuvent  engendrer  de  libration. 

Ililbcrl  (/^.).  —  Sur  les  formes  ternaires  définies.  (169-19^). 

I^ans  les  Math.  Annalen,  t.  XWII,  M.  Ililhcrt  a  démontré  qu'une  forme 
ternaire  définie  positive  (c'est-à-dire  qui  ne  devient  négative  pour  aucun 
système  de  valeurs  réelles  des  variables)  est  nécessairement  une  somme  de 
carrés  de  formes  réelles  si  elle  est  du  second  ou  du  quatrième  ordre,  mais  que 
cette  conclusion  cesse  d'être  exacte  si  l'ordre  dépasse  4-  P^r  contre  (et  c'est  ce 
que  l'auleur  démontre  dans  le  Mémoire  actuel)  toute  forme  ternaire  définie 
peut  cire  mise  sous  forme  du  quotient  de  deux  sommes  de  carrés. 

1.  Etant  données  l'équation  (à  coefficients  réels)  d'une  courbe  plane  F  =  o, 
d'ordre  n  à  5  points  doubles  ordinaires  P,,  ...,  P^  (et  un  nombre  quelconque 
d'autres  singularités)  ;  d'autre  part,  uue  forme  F'  du  même  ordre  à  coefficients 
réels  qui  s'annule  aux  points  P,,  . . .,  P^,  mais  non  aux  autres  points  singuliers 
de  F;  et  supposons  qu'il  soit  possible  de  déterminer  dans  le  plan  N  —  ô  points 

P'[N  =  '^ ^  j  de   manière  que,  par  ces  points  et  les  points  P,   ne 

passe  aucune  courbe  du  /i'^'"'=  ordre.  Dans  ces  conditions,  il  existera  une  courbe 
G  =  o  infiniment  voisine  de   F,  ayant  dans   le  voisinage  de   P,,  ...,  P^  autant 
de  points  doubles  ordinaires,  mais  point  d'autre  singularité. 
M.  Tlilbert  démontre  ce  lemme  en  posant 

'      G  =  F  +  ^(r'4-  Sî), 

Q.  étant  une  forme  auxiliaire  qui  s'annule  aux  points  P  et  dont  les  coefficients 
sont  des  fonctions  convenablement  clioisies  de  t.  La  courbe  G  =  o  ainsi  déter- 
minée n'a  pas  de  singularité  au  voisinage  d'un  point  singulier  de  F  qui  ne 
figure  pas  parmi   les  P. 

2.  Construction  d'une  forme  ternaire  définie  irréductible  G  telle  que  la 
courbe  G  =  o  ait  le  nombre  maximum  de  points  doubles,  les  uns  réels 
(et  isolés),  les  autres  imaginaires  conjugués  deux  à  deux. 

On  suppose  trouvée   une  telle  forme  F  d'ordre  n  —  2    et,   pour  construire  la 
courbe  d'ordre  n,  on  adjoint  à  F  deux  droites  imaginaires  conjuguées  coupant  F 
en   des  points  tous  séparés;  puis  on   applique  à   l'ensemble   F  de  la  courbe  F 
/iifl/.  des  Sciences  mathém.,  2''  série,  t.  XX.  (Décembre  189^,)  1^.17 


■>:\o  si'CON  i)i{  l'AUTip:. 

et  (les  deux  droites  la  proposition  du  n°  1,  les  points  doubles  P  étant  ceux  de  P 
et  les  intersections  des  deux  droites  entre  elles  et  avec  la  courbe  moins  deux. 
La  courl)e  ainsi  formée  ne  peut  avoir  de  branche  réelle  (car  une  telle  branche 
devrait,  pour  ^  =  o,  se  réduire  à  un  point  isolé  de  F,  ce  que  l'on  constate  être 
impossible);  elle  est  irréductible,  comme  on  le  voit  par  l'étude  de  la  surface 
de  Riemann  correspondante  [la  surface  qui  correspond  à  V{t  —  o)  a  trois 
parties  séparées,  correspondant  à  F  et  aux  deux  droites;  mais  ces  trois  parties 
se  raccordent  entre  elles,  pour  ^  ?=  o,  aux  points  doubles  de  F  qui  ne  figurent 
pas  dans  G  ]. 

3.  Le  polynôme  G  formé  au  numéro  précédent  peut  se  mettre  sous  forme 
d'une  fraction  ayant  pour  nun)érateur  une  somnrie  de  trois  carrés 

(X)  i.= 

Pour  cela,  soient  p,  c,  x  trois  formes  linéairement  indépendantes  d'ordre  n  —  •?. 

a  coenicients  réels,  assujetties  a   s  annuler  aux points  doubles 

et  en  n  —  4  points  fixes  A,,  A.,,  ...,  A„_^  dq  G,  imaginaires  conjugués  deux  à 
deux.  Ces  formes  définissent  une  transformation  birationnelle  qui  fait  corres- 
pondre à  la  courbe  donnée  une  conique,  dont  le  premier  membre  est  une 
somme  de  trois  carrés;  d'où  la  conclusion  demandée.  Le  dénominateur  h 
s'annule  aux  points  A,,  A^,   . .  . ,  A„_j  mais  non  aux  points  doubles  de  G. 

4.  De  la  forme  G  on  déduit  une  forme  /,  cette  fois  à  discriminant  non  nul, 
qui  peut  également  se  représenter  par  une  fraction  du  type  (i).  Car  l'iden- 
tité (i)  s'écrivant  encore 


moyennant   les  relations 


'^  =  P+  (hp, 
4^  =  S  H-  t/uj. 


y  =K  -+  t/t/n, 
/=,  G  +  -itiV^,  +  v_^+  K,J  -f-  t^  h{p^-^  7^+771^), 

on  constate  que  les  formes/?,  q,  m  et  le  nombre  t  peuvent  être  déterminés  de 
manière  que/==o  n'ait  pas  de  points  doubles.  Leà  courbes  9  =  0,  ^]>  =  o,  y=o 
ont    en    commun   avec  /    les    points   A,,  A^,   ...,  A^_j   la    courbe  <<^ -\- iy  =  o 

touche   en   outre  /—  o   aux    ih — {n  —  \){7i  —  2)    points  imaginaires   A,   U,, 

U  .  ...,  Ui  ;  la   courbe  <l)  —  iy  =  o  touche   f=o  aux  points  B,  V,, 

V,,  ...,  Vi  ,  conjugués  des  premiers;  la  courbe  cp  =  0  coupe    /  =  o 

2 

aux    points    A,    U,,    ...,    Ui  ,    B,   V,,    ...,   Vi  .    Enfin,    il 

-(«-ll(n-2)'  '  -,„_i)(„_o)  ' 

n'existe  pas  de  courbe  d'ordre  n  —  3  passant  par  tous  les  points  U,  ni  par  tous 
les  points  V. 

5.  Pour  étudier  ce  qui  se  |»assc  lorsqu'on  fait  varier  conliiiùmcnl  la  forme  y. 


UKVUi':  i)i<:s  pummca  iions.  î3i 

M.  IlillxMl  r;i|)|»('llt'  iiii  ccrliiiii  mtiiihic  de  |)iin(i|)cs  rclatils  aux  fonctions  H  cL 
(l'aprrs  l('.S(|ii('ls,  |()rs(|n'()rj    se  donne  les    points    A,  A,,  A^,    ...,  A,,_^,  les    points 

(le  c^inlarl.  IJ,,  U^,   ...,  ^\,lp  =  — '■ — — —j  sont  les  zéros  de  la  fonction 

où 

W,  (5=1,2,    ...,p) 

désigne  successivement  les  intégrales  abéliennes  de  première  espèce  et  où   a 
est,  à  une  constante  près,  égal  et  de  signe  contraiic  à  la  somme  p 

^[«^^.,(A,)+...+  (v,(A„_J]  +  (.v.(A). 

G.  Dès  lors,  si  nous  faisons  varier  continûment  la  courbe /  — o  et  les  points 
A,  A,,  ...,  A„_j,  les  points  H,  U,  V  varieront  aussi  continûment  et  l'on  voit,  à 
l'aide  du  théorème  d'Abel,  que  tous  ces  points  ne  cesseront  pas  d'appartenir  à 
une  même  courbe  d'ordre  n  —  2.  Il  en  résulte  que  la  nouvelle  forme  F  ainsi 
déduite  de  /  est  encore  représentable  par  une  fraction  de  la  forme  (2). 

7.  Les  coordonnées  des  points  U  sont  des  fonctions  algébriques  des  grandeui\s 
dont  elles  dépendent.  On  peut  toujours  admettre  que  les  équations  qui  les  dé- 
terminent ne  renferment  pas  toutes  un  même  facteur  indépendant  des  in- 
connues. Si  l'on  écrivait,  dans  ces  conditions,  que,  pour  tout  choix  possible 
des  A,  la  fonction  (3)  s'annule  identiquement  (auquel  cas  les  raisonnements 
précédents  tomberaient  en  défaut),  on  aurait  au  moins  deux  équations  entre 
les  coefficients  de  F.  Considérant  ces  coefficients  comme  les  coordonnées  homo- 
gènes d'un  point  dans  l'espace  à  N  — i  dimensions,  les  points  correspondant  à 
des  courbes  pour  lesquelles  cette  circonstance  aura  lieu  formeront  une  multi- 
plicité |x,  de  moins  de  N  —  2  dimensions. 

8.  Si  les  formes  /„  /^,  ...,/,,  . . .,  toutes  représentables  par  les  fractions  du 
type  (2),  ont  pour  limite  F,  celle-ci  est  aussi  représentable  de  la  même  façon 
(car  on  peut,  de  la  suite  des  /,,  extraire  une  suite  partielle  telle  que  les  fonc- 
tions 9,  y,  ^,  h  aient  chacune  une  limite).  Dès  lors,  on  voit  aisément  que, 
pour  représenter  ainsi  une  forme  définie  quelconque  F,  il  suffira  de  partir  de 
la  forme  particulière/  du  n°  4  et  den  faire  varier  continûment  les  coefficients 
sans  rencontrer  la  multiplicité  ;j.. 

y.  Ayant  ainsi  obtenu  l'équation 


(4)  F 


H 


on  peut  supposer  le  théorème  démontré  pour  la  forme  H  qui  est  dordre  n—\. 
L'équation  (4)  montre  immédiatement  qu'il  s'étend  à  la  forme  F. 

A^cflo  (F^.).  —  Doux  théorèmes  sur  les  déteriiiinnnls.  (i()()-.>o4). 


v>.3>. 


SnCONDIi   PAiniR. 


1.  Soit 


y-  =  ^,^,  ■■■,  n 
X  =  1 ,  2 ,  . . . ,  n 


un  tableau  carré  à  n  colonnes  et  n — 2  lignes,  et  soit  A,^^  le  déterminant 
qui  en  résulte  par  la  suppression  des  colonnes  de  rangs  y.  et  jj  {avec  les  con- 
ditions Aj^„=  o,  A^3— —  Ag,^  )  ;  on  a 


A  A  A 

aç  au          ttT 

^?o  ^pa  ^Pt       =  O- 

A  A  A 

ï?  Y"'         Y"^ 


Démonslralion  par  la  résolulion  d'équations  linéaires. 

2.  Démonslralion  directe  du  théorème  de  Kronecker  démontré  par  la  réso- 
lulion d'équations  dans  un  travail  précédent  de  M.  Ilensel  (même  Journal, 
t.  XIV). 

3.  Démonstration  (par  des  résolutions  d'équations)  de  la  proposition  sui- 
vante : 


Soient 


lCa|  =  C,  Ic,,l  =  D, 

(  f,  A-  =  I ,  ...,n),         {i,  k  =  i,  .  .  .,  ni;  m  <n), 
c,.      ...      c,„      c. 


ini  1 , 


.   .   .         C 

...       C 


uni  m 


,P 


oLni  a, 


=  E(a,p); 


on  a 


E(a,  P)|  =  D"-'"-'C         (a,  ^  =  m  -f-i,  . . .,  n). 


Hocks  (/.).  —  Quelques  relations   caractéristiques  des  nombres 
premiers.  (2o5-2o8). 

Si    [x]  désigne  le  plus  grand  entier  contenu    dans  x,  et   0  le  plus   grand 
commun  diviseur  de  m,  n,  on  a 


n  —1 


5^1        (m  —  i)('^  —  0        S — I 


s  -  1 

Donnons  à  tn  toutes  les  valeurs  entières  de  i  à  n — i  et  ajoutons  :  il  vient, 
si  m  est  un  nombre  premier  p  et  dans  ce  cas  seulement  : 


p-\p-i 


i:i:[f] 


p-'^y 


p  —  2. 


)  =1  .s  =  l 

De  même,  en  donnant  à  n  toutes  les  valeurs  entières  de  1  à  ni  —  \  et  ajoutant, 


KIiVUK   l)l':s   PUBLICATIONS. 


■^33 


on  a,  si  r)i  est  un   noinluc   |)i(Miii(r  />  d  (I;ins  ce  cas  sciilcinciiL 


^J  -'-  liJ  -'- 


.H- 


[ 


4  . 


L/>  —  '  I 

1    V  1 
1/7^  I 


(/?  — :?)/>]        (p  —  ^ 


['^\  = 


(/?-2). 


l'^rilin.  imo  Iroisièinc  é(|iiali()n  cara(',lcrisli(|uc  des  nombres  premiers  est 


/'-' 


/'- t 


[i] 


i.mvi.mv~ 


p-i 


y=i  A-  =  l 


J^l S-l 


Kôlter  {l'^r.).  —  Sur  le  cas,  traité  par  M"'^  Kowalewski,  de  rota- 
tion d'un  corps  solide  pesant  autour  d'un  point  fixe.  (î-'og- 
263). 

On  sait  que  les  écjuations  du  mouvement  d'un  corps  solide  pesant  autour 
d'un  point  fixe  ont  été  intégrées  par  M"*  Kowalewski  (même  Journal,  t.  XII) 
dans  le  cas  où,  deux  des  moments  principaux  d'inertie  étant  égaux  entre  eux 
et  doubles  du  troisième,  le  centre  de  gravité  est  dans  le  plan  de  ces  deux  mo- 
ments principaux.  Les  composantes  de  la  rotation  instantanée  et  les  cosinus 
directeurs  de  la  verticale  par  rapport  aux  axes  d'inertie  s'expriment  alors  en 
fonction  hyperelliptique  de  deux  arguments  qui  dépendent  linéairement  du 
temps.  M""*  Kowalewski  ayant  annoncé  que  les  cosinus  directeurs  des  axes 
fixes  horizontaux  s'expriment  également  à  l'aide  des  fonctions  0,  INI.  Kotter 
effectue  ce  calcul.  II  est  conduit  à  introduire  un  système  d'axes  auxiliaire  ayant 
un  axe  commun  avec  le  système  mobile. 

1.  Les  six  équations  différentielles  qui  lient  les  trois  composantes/?,  q^  r  de 
la  rotation  instantanée  et  l'es  cosinus  directeurs  y,,  y^,  y^  de  la  verticale 
admettent,  en  général,  trois  intégrales  algébriques,  à  savoir  l'équation  entre 
les  cosinus,  l'intégrale  des  aires  et  celle  des  forces  vives.  Dans  le  cas  spécial 
indiqué  par  M"^  Kowalewski  et  où  les  moments  d'inertie  principaux  P,  Q,  R 
sont  entre  eux  comme  i,  i,  1  (le  centre  de  gravité  étant  sur  l'axe  des  ce)  on 
trouve  une  quatrième  intégrale  algébrique  à  savoir  (moyennant  un  choix  con- 
venable d'unités) 

[(  />  +  iq  y  +  y,  H-  iy,  ][(/?-  iq  )^  +  y,  -  iy,  ]  =  k'- 

2.  Ces  quatre  relations  intégrales  permettent  d'exprimer  les  six  fonctions  in- 
connues à  l'aide  de  deux  paramètres  5,,  s,. 

L'auteur  reproduit  à  cet  égard  le  calcul  de  M"^  Kowalewski.  On  fait  le  chan- 


'34                                          SI<:C()M)I<:  l'AKTIK. 

gcmciiL  de   variables 

x^r=  p  ^  iq ,  x.^T^  p  —  iq, 

Il  =  (  /^  -H  iq  Y  +  r,  -1-  n.i  l.=  ip—  '7  )'  -i-  r,  -  ^'ï.' 

et  l'élirnitialion  de   /'  el  de  Yj  entre  les   intégrales  donne   les  relations  fonda- 
mentales 


(0 


on  R(x,,:r^),  Iî,(.r,,x,)  sont  deux  formes  doublement  quadratiques  symé- 
triques dont  les  coefficients  dépendent  de  la  constante  A' de  la  constante  il  des 
aires  et  de  la  constante  6/^  des  forces  vives  ;  et  R  (jc)  =  H  (  x,,  x).  On  introduit 
alors  les  paramétres 


en  fonction  desquels  les  équations  (i)  permettent  d'exprimer  les  x^,  x^,  ^,,  ^^. 
Si  alors  l'on  désigne  par  e„  e,,,  e,  les  racines  du  polynôme 

(2)  cp(5)3.^[(5-3/,)^+I-Â-]-2ZS 

par  e^,  e.  les  deux  quantités  3l^±k\  et  que  l'on  substitue  les  expressions  des 
fonctions  inconnues  dans  les  équations  diiïérentielles  du  problème,  on  trouve, 
avec  M"""  de  Kowalewski,  que  s^,  s.^  sont  donnés  en  fonction  du  temps  par 

s,  ds,        s,,  ds^  .   r-   , 

-^  +  "V-  =  —  i\r2  dt, 

(3)  { 

ds,        ds^ 

t^t    ="' 

ou 


So=  ^(53— ej(53-ej  v/'-?(*a)  =  i  /  TT('^3-^a)         (?' =1,2) 


Autrement  dit,  S,  et  'è.^  s'obtiennent  par  une  inversion  d'intégrales  hyper- 
elliptiques  de  première  espèce. 

3.  Introduction  du  système  d'axes  auxiliaire.  Celui-ci  se  déduit  du  s^'stème 
lié  au  corps  mobile  par  une  rotation  effectuée  autour  de   l'axe  des  z  et  dont 

l'angle  6  est  tel  que  e'^  soit  égal  à  l'imaginaire  t  /  y  (dont  le  module  est  effec- 
tivement égal  à  i).  Les  quantités  p' ,  q' ,  r',  y'^,  y'j,  Yg,  qui  correspondent  à  /?,  q, 
'■'  Ti'  Ta'  Ï3  relativement  à  ce  nouveau  système,  sont  exprimées  en  fonction  de 
.V,,  s,.  On  constate  d'ailleurs  que  la  nouvelle  vitesse  angulaire  /■'  est  la  moitié 
de  la  vitesse  primitive  /'. 

4.  Conformément  à  la  théorie  générale,  on  posera 

i    /    r  sds,  rs^ds\  i    /    r  ds,  /^f^-îA 


UlîVUK  l)I<S  l'UlU.ICATIONS.  Vî') 

«'l  les  \  aiiiililcs  cln  tcIk-cs  s'c\  priiiiciDiil  alors  par  des  (oiui  ions  li  vpci  cllipl  i(|uc'S. 
Il  fil  est  (le  mriiic  di^s  cool'licicuLs  <'oiislaiil>  (|iii  liyiireiiL  clans  les  équations 
[)r(''C(''(loiUcs.  Ci'ii\-(i  pciivrnl  on  cWc.l  èlrc  consuhh't's  comme  dos  foofficicnts  de 

dcNcIoppcmciits  des  \  arialdcs  su  i  vaiil  les  puissances  de   -  >   loisi|iioii  dontu;  à  .v^ 

1 
les   valeiii's  spéciales  <\,  c\,  wl'.  A  ces  valeurs  (avec  5,— <x)  eoiTcsporidenl  des 

couples  spéciaux    [v\,  v\),  (t'',',   v'i),   {v'['.  v",')   de  valeurs  de  t^,,  v.^  en  f(nicLioM 

tlcs(|uels  les  coustaiiles  s"e,\  primeiiL   liypercllipl  i(|uement. 

.").  Iiilroduclion  des  foiiclious  H.  Une  discussion  préliminaire  disi  influe  les 
(1in"(''renls  cas  (|ui  pcuveiiL  se  présenter  au  point  (h;  vue  de  l'ordre  des  racines  e^ 
(kl  radical  l't,  par  suite,  de  la  réalité  ou  de  rimai;inarité  des  périodes:  après 
(|uoi  l'auteur,  suivant  la  marche  ordinaire,  met,  par  une  substitution  linéaire 
edectuée  sur  v^,  v^,  les  périodes  sous  la  forme  canonique,  ce  qui  lui  permet 
de  délinir  les  fonctions  Q  et  d'exprimer  |)ar  leur  moyen  les  inconnues. 

6.  Il  s'agit  enfin  de  déterminer  les  cosinus  directeurs  des  axes  horizontaux 
et  les  composantes  de  la  rotation  instantanée  par  rapport  à  ces  axes.  Or,  on  forme 
aisément  les  cosinus  directeurs 

«XI     ^z         (^  =  ï'  2,  3) 

de  deux  directions  rectangulaires  entre  elles  et  à  la  verticale.  Les  cosinus 
cliercliés  se  déduisent  de  ceux-là  en  multi[)liant  l'expression  a^-\- ib.^  par  une 
exponentielle  imaginaire,  l'argument  de  cette  exponentielle  étant  déterminé  par 
la  considération  de  la  rotation  instantanée.  On  trouve  ainsi  que  cet  argument 
varie  proportionnellement  au  temps. 

7.  Résumé  des  résultats  obtenus.  Par  l'introduction  du  système  d'axes  auxi- 
liaires, les  formules  sont  devenues  entièrement  analogues  à  celles  qui  défi- 
nissent le  mouvement  de  Poinsot. 

Netlo  {E.).  —   Sur  la   lliéorie   des  stibstltullon.8  linéaires.  (260- 
280). 

L'auteur  recherche  comment  la  réduction  d'une  substitution  linéaire  à  sa 
forme  canonique,  dans  le  cas  où  l'équation  caractéristique  a  des  racines  mul- 
tiples, peut  dériver  par  continuité  de  la  réduction  relative  au  cas  où  il  n'y 
a  que  des  racines  simples. 

Étant  donnée  une  substitution  S  pour  laquelle  l'équation  caractéristique  a 
des  racines  multiples,  on  la  modifie  eu  ajoutant  aux  coefficients  des  termes 
dépendant  d'un  paramètre  infiniment  petit  t,  de  telle  sorte  que  l'équation  carac- 
téristique modifiée  ait  ses  racines  distinctes  pour  t  arbitraire.  On  applique  à 
ces  racines  la  méthode  de  Puiseux,  et  les  systèmes  circulaires  entre  lesquelles 
elles  se  distribuent  correspondent  aux  chaînes  de  variables  normales  qui  s'in- 
troduisent dans  la  réduction  de  S. 

Krazer  {A.).    —    Sui^  des  relations  linéaires  entre  prodtiits  de 
fonctions  tln'la.  ('>.(Si-:>.()6). 


236  SliCONDE   PAUTIE. 

1.   De  lu  fonclion  0  ii  p  variables 


—  00  ,...,-+-  » 


/'  /'  /' 


on  {|(''(liiil   l'expression 


I 


0 


;'---';;l(.M...is,) 


=0  .H-2:^^.-^^ 

p 


^',,+ 


H T.l 


IJ.-^1 


X  e 


IJ.  =  1   [}/^[  (0.-1 


ou  pour  abréger. 


G 


{(y)), 


dans  laquelle  /•,  a,,  a^,  ...,  a  ,  a',,  a'^,  ...,  a'   sont  des  enliers. 
2.  Le  produit 


0 


((  v^))  =  ^[l,]  ((  ^  +  c(0))  6  [^,]  ((  ^  +  c(^0)  . . .  0  1^^,]  ((  ç^  +  c'.'-))), 


les  c  étant  des  constantes  satisfaisant  aux  p  conditions 

c[i!'  +  cJjr^  +  ...+  cji''=  o         ([X  =  1,  2,  ...,yO, 

[a,,  a,,  .  .  .,  a  T 
a,,  a^,  .  .  . ,  ap  J 
(ou  plus  simplement  [a])  en  est  ]a  caractéristique.  Ces  entiers  n'interviennent 
d'ailleurs  que  par  leurs  résidus  relatifs  au  module  /■. 

3.  Soient  [a(')],  [aW],  ...,  [a(7)]  q  caractéristiques  (q^p)  linéairement  in- 
dépendantes et  satisfaisant  aux  conditions 

P 

2]  (a'^^ia'^'-a'j;>^'a'^')^o(mod/-)  (  x,  X  =  t,  2,  ...,  q), 

(X=l 

»i'  3  2'  •••■)  &rt  étant  des  entiers  capables  de  varier  séparément  de  o  à  /'  —  i,  la 
caractéristique  [5",  a^'^  + ^2Ût(-)  +  . .  .-f- ^  a<^7)]  prend  ainsi  /"?  valeurs. 

Si  les  produits  thêta  correspondants  ont  entre  eux  des  relations  linéaires,  on 
peut  admettre  que  les  coefficients  de  ces  relations  sont  certaines  quantités  w 
que  l'auteur  définit. 


I 


4.  Même  problème  en  introduisant,  outre  les  caractéristiques  [a],  un  autre 
système  de  7'  caractéristiques  [  Jj  ]  (v  +  v'^/O- 


uevuiî:  diîs  publications.  737 

Piciii'd   (/i.).    —     lU'mai\|iics    sur    les    ('(|tiali()iis    (lilhhciiUclIcs 
(exlrail  d'uno  Icllrc  a(lrcss('cà  M.  Millag-I^ofder).  (7,97-300). 

Les  ('(HKilions  (lillVirnl  icilos  (  ;ili;rl)rif|ii(;s  )  d'ordir  sii|)ériciir  an  premier  se 
(lislingiKMil  profoiult'tiienl  dc's  ('m|ii;iI ions  du  [n'crnicr  ordre  en  ec  fpie  leurs  sin- 
j,Milarilés  csscritielles  soiil  en  j;éiiériil  imdtilcs,  ce  (|iii  n'anive  pas  pour  le  pre- 
mier ordre.  Aussi,  taudis  <[u'il  esL  aisé  de  r(;eonuailre  si  les  poinLs  erili<|ues 
d  une  é(|uali()u  dilléreulielle  aii;('"l)ri<|ne  du  [iremiei- ordre  sont  fixes,  [)aiee  r|u'il 
est  aisé  de  s'assurer  (|u"uu  |)oiiil  aihilraire  du  plan  ne  peut  èlrc  un  point,  eri- 
titpu;  algéhriciuc,  la  même  mélliode  cesse-l-elle  de  s'appliquera  [)artir  du  seeond 
ordre.  F.es  eondilions,  de  nature  algébritiuc,  fournies  par  celle  mélliode  ne  sont 
plus  du  tout  suffisantes;  l'intégrale  générale  d'une  équation  qui  les  remplit  est 
seulement  «  à  apparence  uniforme  ». 

Au  contraire,  les  conditions  pour  (jue  l'intégrale  soit  véritablement  iinif(jrme 
sont  en  général  transcendantes.  Par  exemple,  l'équation  du  second  ordre  dont 
l'intégrale  générale  est 


r  -,z^ =iog(^+c)+c' 


[R(y)  étant  un  polynôme  du  If  degré  en  y]   n'aura  ses  intégrales  uniformes 
que  si  l'intégrale  elliptique  du  premier  membre  a  2x1  pour  période. 

Les  conditions  d'uniformité  obtenues,  par  IM"'^  Kowalewski  pour  les  équations 
de  la  rotation  des  solides  pesants,  se  présentent  également,  tout  d'abord,  comme 
exprimant  que  l'intégrale  est  à  apparence  uniforme.  Ce  n'est  qu'après  l'inté- 
gration eiïecluée  que  l'on  peut  affirmer  (juc  les  conditions  trouvées  comme 
nécessaire  pour  l'uniformité  sont  également  suffisantes. 

Grani   (J.-P.).    —    Rapport  sur  quelques   calculs   enirepris  par 
M.  Berlelsen  et  concernant  les  nombres  premiers.  (3oi-3i4)- 

Les  Tables  des  diviseurs  des  nombres,  telles  qu'elles  ont  été  calculées  pour 
les  neuf  premiers  millions,  par  M.  lîurckhardt,  Glaisher  et  Dase,  quoique 
remarquablement  correctes,  offrent  néanmoins  un  certain  nombre  d'erreurs. 
Quelques-unes  avaient  é'é  signalées  par  M.  Meissel  et  d'autres  auteurs  dès  le 
deuxième  million.  Mais  la  comparaison  avec  la  formule  connue  de  Uiemann 
en  faisait  soupçonner  d'autres.  M.  Gram  rend  compte  du  travail  enirepris  par 
M.  Berlelsen  dans  le  but  de  retrouver  le  plus  grand  nombre  possible  de  ces 
erreurs. 

La  méthode  employée  tout  d'abord  a  été  celle  de  M.  Meissel,  qui  repose  sur 
l'emploi  de  la  formule 

4»[m,e(Jm)]-<I>[m,0(v/m)]=.  !^il^-±l-^_,.(.)(v/m)+  Ve(-^), 

a 

oii  t)(m)  désigne  le  nombre  des  nombres  premiers  inférieurs  à  /)i,  pendant  que 
;x  désigne  la  différence  ^{\//n) — &{'\  /n)  et 

"•""•")="'-i<^)->:K^)->:<^o)-- 


238  SIXONIJH   PAKTlIi. 

la  LolaliLé  des   nombres  Cm  qui  ne   sonl  divisibles  par  aiieun   des  nombres  cf, 

/>,  c,  ...  qui  sont  les  n  premiers  nombres  premiers  Mu  somme    y,  ^^^  élcndue 

\  a 

à  tous  les  nombres  premiers  de  yj^^  /,  ^i).  Celle  formule  permel  de  calculer, 

pour  de  grandes  valeurs  de  m,  les  symboles  <1>  el  6.  Les  valeurs  de  la  fonction  0 
ainsi  obtenues  par  M.  Bcrtelsen  ne  peuvent  piésenter  que  des  chances  d'erreur 
extrêmement  minimes,  car  i°  plusieurs  de  ces  valeurs  ont  été  calculées  par 
deux  voies  diiïérenles;  2"  M.  Mcissel  a  refait  une  partie  des  calculs  cl  s'est 
trouvé  en  concordance  absolue  avec  M.  Bertelsen;  3°  les  erreurs  prévues  dans 
les  1'ables  par  ces  calculs  ont  été  toutes  retrouvées.  Peu  nombreuses  dans  les 
2%  3%  4"  et  5"  millions,  ces  erreurs  sont  au  contraire  assez  abondantes  dans  le 
H''  et  le  9%  alors  qu'il  n'en  a  été  constaté  aucune  dans  le  6**  et  le  7^ 

Pour  localiser  ces  erreurs,  M.  Bertelsen  a  imaginé  de  calculer  la  somme  S 
des  plus  petits  diviseurs  des  nombres  composés  non  divisibles  par  2,  3  ou  5, 
dans  un  intervalle  donné  {m,  M).  De  ce  fait  qu'un  nombre  premier  donné  p  se 
trouvera  comme  plus  petit  diviseur  chaque  fois  qu'il  sera  multiplié  par  un 
nombre  contenant  seulement  des  facteurs  premiers  ^/?,  on   déduit  la  formule 


{p^  étant  le  s'*"""  nombre  premier)  dont  la  comparaison  avec  les  résultats  in- 
dique la  nature  des  erreurs. 

Le  Mémoire  se  termine  par  deux  Tableaux.  Le  premier  est  la  liste  des  erreurs 
ronslatées  (  en  distinguant  celles  qui  l'avaient  été  auparavant).  Le  second  donne 
la  comparaison  des  valeurs  de  6  calculées  par  lAL  Bertelsen  avec  celles  qui  ré- 
sultent des  Tables  précédentes  et  celles  que  fournirait  la  formule  de  Biemann. 
De  plus  le  nombre  6(/«)  est  calculé  pour  /u  =  20  millions,  90  millions, 
100  millions  et  1000  millions. 

Ce  second  Tableau  contient  donc  l'ensemble  de  toutes  les  déterminations 
correctes  connues  de  &{m). 

M'erllieim  (G.).  —  Tableau  des  plus  petites  racines  primitives  g 
(le  tous  les  nombres  premiers  impairs  p  au-dessous  de  3ooo. 
(3i5-32o). 

Kobb   (G.).   —    Sur  les    maxima   et   les    minima    des   intégrales 
doubles.  (321-344)- 

Après  avoir  étudié,  dans  un  premier  Mémoire  (même  Journal,  t.  XVI,  p.  65), 
les  maxima  et  minima  absolus  (c'est-à-dire  recherchés  en  l'absence  de  toute 
condition  supplémentaire  autre  que  celle,  pour  la  surface  considérée,  de  passer 
par  un  contour  donné),  M.  Kobb  passe  à  la  recherche  des  maxima  et  minima 
relatifs  :  en  premier  lieu,  il  recherche  des  maxima  cl  les  minima  de  rinlégralc 

Y=  I    I    V'{x,  y,  z,  x',  y',  z\  x",  y",  z")du  dv 


-fl' 


KKVUH   DKS   PUUIJCATIONS.  239 

l     ,         ÙJC  „         ()X  ,  ,  •         M  \  I  1   . 

[x  —  -T— >  X   =  -.— '   •••»  ('oimiif  (liiiis  le  nicniirr'  Alriiiuii(!  )  sous   la   condiLion 
fine  riul(''i;rale 

\'  ~   I  I    V'{x,  y,  z,  x',  y,  z\  .r",  y",  z")du  dv 


rouscrvc  une  valeur  donnce.  F. es  foiielious  1'^  ei  I'"'  doiveriL  cire  telles  que  les 
intégrales  ne  dé[)eiKlent  (juc  de  la  forme  de  la  surface  et,  par  conséquent,  vé- 
rilicr  certaines  équations  aux  di-rivées  parlicllcs  prc-cédeniment  écrites  [  preiruer 
Mémoire,  équation  (^i)]. 

Les  coordonnées  variées  seront  x -\- \,  y -\- ^T^,  z  -^-t,-,  on  posera 


puis 


y  y" 


-\- 


X       X 


■fi;  + 


X        X 

y'   y" 


INI 


'i  =    I  I  Ç,'  w-du  dv 


où  G'  est  une  fonction  des  dérivées  partielles  de  F'  et  de  celles  de  x,  y^  z  cal- 
culés comme  il  a  été  expliqué  au  premier  Mémoire  :  il  viendra 

ai'  =  k,m; -f- k,m:  +  (     ),+... 

et,  moyennant  des  notations  toutes  semblables, 

AP=  K,Mî+ K,^M^  +  (        ),  +  ...■ 

On  voit  alors  que,  ajant  choisi  ^-i  'o,,  C,»   O"   peut  toujours  piendre  K,,  K^  de 
manière  que  AI'  soit  nul.  La  condition  (jue  Al°  s'annule  en  même  temps  donne 

M»  _  i\n  _ 
m;  "^  ^T;  ~~  '' 

\  étant  une  constante;  et  par  conséquent,  pour  les  surfaces  cherchées,  l'équa- 
tion aux  dérivées  partielles 

G  =  G„— "XG'^  0. 

S'il  y  a  des  lignes  de  discontinuité,  on  devra  avoir,  le  long  de  ces  lignes,  des 
conditions  analogues  à  celles  qui  ont  été  indiquées  au  premier  Mémoire. 

Une  solution  de  l'équation  précédente  correspond-elle  véritablement  à  un 
maximum  ou  à  un  minimum?  Pour  répondre  à  cette  question,  il  faudra  suivre 
une  marche  analogue  à  celle  qui  a  été  suivie  pour  les  maxima  et  minima  ab- 
solus et  commencer  par  rechercher  les  surfaces  infiniment  voisines  de  la  pre- 
mière et  satisfaisant  également  à  l'équation  G  =  o,  en  tenant  compte  toutefois 
de  cette  circonstance  que  X,  constant  pour  une  solution  déterminée,  peut  varier 
d'une  solution  à  l'autre.  On  arrive  ainsi,  comme  précédemment^  à  trouver  que 
la  solution  considérée  est  unique  s'il  existe  une  solution  de  l'équation  linéaire 


au  \      ou  '  rA'  / 


f) 


-  <)v  Ou  / 


24o  SlîCONDE   PAUTIE. 

(F,,  F^,  F,,  F.  étant  des  fonctions  définies  comme  au  pren)icr  Mémoire,  niais 
qui,  ici,  contiennent  linéairement  le  paramètre  X)  qui  reste  finie,  continue  et 
différente  de  zéro  dans  tout  le  contour  d'intégration. 

M.  Kol)b  reprend  ensuite  la  fonction  C  définie  dans  le  premier  Mémoire  : 
plus  exactenjcnt,  il  construit  les  fonctions  C"  et  C'  correspondant  à  F»  et  F' 
et  pose 

C  =  C'—lC. 

Comme  précédemment,  il  démontre  que  cette  quantité  doit  avoir  un  signe  inva- 
riable (le  signe  -i- ,  par  exemple,  s'il  s'agit  d'un  minimum). 

Supposons  maintenant  que  ces  différentes  conditions  soient  remplies  :  alors 
l'intégrale  I"  sera  bien  minima,  ce  que  l'on  constate  par  des  méthodes  iden- 
tiques à  celles  qui  ont  été  appliquées  pour  les  minima  absolus. 

Un  autre  cas  de  maximum  relatif  est  celui  dans  lequel  on  impose  à  la  surface 
cherchée  la  condition  d'être  à  l'intérieur  d'une  certaine  portion  de  l'espace.  11 
peut  alors  arriver  que  la  surface  maximum  rencontre  la  surface  limite,  et  cela 
peut  arriver  de  deux  manières  différentes  :  ou  bien  1*=  il  y  a  coïncidence  avec 
la  surface  limite  dans  une  position  finie;  ou  bien  2°  la  surface  maximum  se 
compose  de  deux  parties  qui  se  rencontrent  suivant  une  courbe  située  sur  la 
surface  limite.  Dans  les  deux  cas,  l'étude  des  variations  aux  limites,  conduite 
toujours  d'après  les  mêmes  méthodes,  fournira  les  conditions  accessoires  du 
maximum.  On  parvient  ainsi  aux  deux  théorèmes  suivants,  analogues  à  ceux 
que  M.  Weierstrass,  généralisant  un  résultat  de  Steiner,  a  démontré  dans  le 
cas  des  intégrales  simples  : 

1°  S'il  y  a  coïncidence  dans  une  aire  finie,  la  surface  cherchée  doit  être 
tangente  à  la  surface  limite  le  long  du  contour  qui  limite  la  portion  commune; 

2°  S'il  y  a  rencontre  de  deux  portions  de  la  surface  cherchée  le  long  d'une 
courbe  K  située  sur  la  surface  limite  A,  il  faudra  que  les  sinus  des  angles  que 
font  les  plans  tangents  aux  deux  portions  avec  le  plan  tangent  de  A  soient 
inversement  proportionnels  aux  fonctions  C  correspondantes. 

Fi'icke  (B.).  —  Développements  sur  la  transformation  du  cin- 
quième et  du  septième  ordre  de  quelques  fonctions  auto- 
morplies.  (345-395). 

I.  Fonctions  triangulaires  (au  sens  de  Schwartz)  à  points  critiques  d'ordre 

(2,  4,  5)  et  (2,  5,  6). 

X     t:     7: 
1.  Groupe  fuchsien    correspondant  au    triangle  curviligne  d'angles—?  -7'  - 

2       Cl       D 

[ou,  pour  abréger,  au  triangle  (2,4,5  )].  L'angle  égal  à  y  est  supposé  avoir  pour 

sommet,  dans  le  plan  de  la  variable  imaginaire  t,,  le  point  t,  =  i,  l'un  des  côtés 
étant  dirigé  suivant  l'axe  imaginaire;  les  trois  côtés  coupent  orthogonaicment 

l'axe  réel.  Dans  ces  conditions,  aux  angles  égaux  h  -^  et  -^  correspondent   deux 

4         4 
rotations  \',,  V^  de  périodes  respectives  4  et  2,  qui  sont  toutes  deux  de  la  forme 

(,)  r'^    (A-!-Bv/F)-^.-^(C-^-Dv/p) 


f 


HKVUK    DI'S   PUIU.ICATIONS.  741 

I  _|_  1 /f) 

où  P  — el  A,  I),  C,  I)  sont  (les  (Milicis  par  lappoil  à  i  cL  I*.  I)ès  lors 

toutes  1rs  suhstiliilions  du  ^Muiipc  ([n'cllcs  (•ii<;oii(lnril  sont  do  la  rnèriic 
forme  (1  ). 

'2.  (".oiisidcroiis  les  substitutions  (h;  la  foiinc  (i)  (jui  (Jtit  pour  module  i,  2 
ou  \.  Tout  d'abord  les  substitutions  de  module  /j  vérifient  les  congruences 

(••O  A  =  C,        B  =  L)        (mod'i) 

et  l'on  en  di-duit  qu'elles  forment  un  groupe.  Car,  dans  le  produit  de  deux 
telles  substitutions,  on  peut  diviser  tous  les  coefficients  par  'a  et  ramener  le 
module  à  la  valeur  4- 

Mais  la  substitution  \\  vérifie  aussi  les  congruences  (2).  Il  en  résulte  que  le 
groupe  dérivé  de  V,  et  des  substitutions  de  module/^  comprend,  outre  celles-ci, 
les  substitutions  de  module  2  et  celles-là  seulement. 

Ce  groupe  est  proprement  discontinu,  comme  on  le  voit  en  remarquant,  à 
l'aide  de  la  théorie  des  entiers  complexes,  qu'il  ne  peut  y  avoir  qu'un  nombre 
fini  de  substitutions  dont  les  coefficients  s'abaissent  au-dessous  d'un  nombre 
donné  arbitrairement.  Pour  déterminer  le  polygone  fondamental,  on  remplace, 
dans  une  substitution  du  groupe,  la  variable  primitive  par  sa  conjuguée  et  l'on 
clicrclie  à  considérer  la  transfoririation  ainsi  définie  comme  une  réflexion  (au 
sens  de  K\ein,  Modulfunctionen).  On  obtient  ainsi  une  série  de  cercles,  parmi 
lesquels  se  trouvent  les  côtés  du  triangle  précédemment  construit.  Des  considé- 
rrtions  empruntées  à  la  Géométrie  non  eulérienne  introduite  par  M.  Poincaré 
dans  son  Mémoire  sur  les  groupes  fuchsiens  permettent  d'établir  que  le  double 
triangle  en  question  est  effectivement  le  polygone  générateur, 

3.  Groupe  fuchsien  correspondant  au  triangle  (2,  5,  6).  Ce  groupe  s'établit 
par  des  considérations  analogues  aux  précédentes.  Ces  substitutions  sont  des 
deux  formes  différentes 


(3) 


ou 


(4) 


(A-i-Bv/P)-ri  +  C/Q  +  Dv/PQ 
(-  C  v/Q  +  D  s/FQ,)  T,  -h  A  -  B  y/F 

(Cv/Q  +  Dv/PQ)ïi+Ax  B/P 
(— A  +  Bv/P)-ri  +  Cv^Q  —  D  v^PQ  ' 


où  P  =  — -^,  Q  =  3;  A,  B,  C,  D  étant  quatre  entiers  en   i  et  P  satisfaisant 
aux  congruences 

Ah-PB  +  D  =  o,        Bh-C  +  PDeeeo        (  mod  2  ) 

et  tels  que  le  module  de  la  sul)stituti(jn  soit  égal  à  4- 

On  constate  en  effet  que  ces  substitutions  forment  un   groupe  et  un  groupe 
proprement   discontinu;   et,    déterminant    comme   tout  à   l'heure    le  polygone 

fondamental,  on  le  trouve  bien  composé   d'un  triangle  d'angles  -,  -,  -  et  de 

>.     5     a 
l'image  de  ce  triangle  par  rapport  à  un  de  ses  côtés. 


24  2 


SECONDE   PAiniK. 


\.  Inlrodtulion  de  doux  surfaces  de  liiemanu  à  i /îo  feiiillcts.  Soit  V  l'un  des 
deux  groupes  préccdetiLs.  Il  existe  une  fonclion  -c('r,)  qui  admet  ce  groupe  : 
celle  qui  réalise  la  représentation  du  triangle  correspondant  sur  le  demi-plan 
des  z.  On  obtiendra  une  transformation  de  cette  fonction  en  ellectuant,  sur  la 
variable  ind(^pendante,  une  substitution  \\  assujettie  aux  mêmes  conditions 
que  les  substitutions  du  groupe,  à  cette  différence  près  que  le  déterminant  peut 
être  quelconque.  (Soit  n  la  norme  de  ce  déterminant.)  Les  fonctions  z{r^)  et 
^' (-r))  =  x;  [  \V(-ri)]  sont  liées  par  une  écjuation  algébrique.  Soit,  en  effet,  F'  le 
transformé  de  V  par  la  substitution  W  :  les  deux  groupes  V  et  F'  sont  commen- 
surables  (au  sens  de  Poincaré,  Les  fonctions  fuclisieniies  et  VAritliniëtique, 
Journal  de  Liouville,  t.  III^)  :  ils  ont  en  commun  un  certain  sous-groupe 
distingué  dont  on  déduit,  à  la  manière  ordinaire,  un  groupe  y  mériédriquement 
isomorplie  à  1";  c'est  celui  que  l'on  obtiendrait  en  ne  considérant  pas  comme 
distinctes,  dans  le  groupe  T,  deux  substitutions  dont  les  coefficients  sont  res- 
pectivement congrus  (mod/i)-  Pour  /«  =  5,  on  est  ainsi  conduit  à  un  sous- 
groupe  distingué  d'indice  i:>o,  dont  le  polygone  fondamental  peut  (voir  Mo- 
didfunctionen)  être  déformé  en  une  surface  fermée  divisée  en  120  doubles 
triangles.  La  fonction  :;(Ti)  représente  ce  polygone  sur  une  surface  de  Hiemann 
à  120  feuillets,  ramifiée  aux  points  o,  i,  00  et  de  genre  4  ou  9  suivant  qu'il 
s'agit  du  groupe  (2,  f\,  5)  ou  du  groupe  (2,  5,  6). 

5.  Le  domaine  algébrique  de  genre  [\,  auquel  on  parvient,  admet  pour  courbe 
normale  (au  sens  de  Nother)  une  courbe  C^du  sixième  degré  de  l'espace  ordi- 
naire, intersection  complète  d'une  quadrique  et  d'une  surface  du  troisième 
degré,  et  qui  se  reproduit  par  120  collinéations. 

Si,  sur  la  quadrique,  nous  prenons  pour  coordonnées  les  paramètres  ).,  \x  des 
génératrices,  ces  120  collinéations  donneront,  pour  )v  et  ij.,  le  système  des 
Go  substitutions  icosaédrales  et  des  60  qu'on  en  déduit  en  les  combinant  avec 
réchange  des  coordonnées.  La  courbe  la  plus  simple  qui  ne  change  pas  par 
ces  substitutions  est  représentée  par  une  équation  doublement  cubique  en  )^,  [x  : 
c'est  la  courbe  normale  cherchée.  Mais  de  plus,  la  courbe  invariante  C,,  la  plus 
simple  après  celle-là,  et  qui  est  représentée  par  une  équation  doublement  quar- 
tique,  est  justement  la  courbe  normale  du  second  domaine  dont  il  a  été  parlé, 
celui  qui  est  de  genre  9. 

fj.  Si,  à  la  génératrice  de  paramètre  'k,  nous  faisons  correspondre,  sur  la 
sphère,  le  point  d'affixe  \,  comme  les  60  premières  collinéations  correspondent 
aux  rotations  icosaédrales  de  la  sphère,  nous  voyons  qu'il  existe  entre  la  sphère, 
divisée  en  domaines  icosaédraux,  et  la  courbe  C^  une  correspondance  (i,  3); 
entre  cette  sphère  et  C^  une  correspondance  (i,  ^  )• 


IL   Sur  les  fonctions  triangulaires  r, (2,  3,  7;  ;),  t, (2,  ''i,  7;  z)  et  quelques 
fonctions  polygonales  voisines. 

1.  Les    groupes   (2,  3,  7)   et  (2,  4,  7)    ont  été  étudiés   par  l'auteur  {Math. 
Annalen,  t.  XLI).  Leurs  substitutions  se  forment  avec  le  nombre  y,  racine  de 

l'équation  y^ -F y- — 27—1  =  0  et  le  nombre  \/j  —  i .  En  considérant  ces  substi- 
tution suivant  le  module  7,  on  en  déduit,  comme  plus  haut,  des  sous-groupes 
distingués  F  d'indice  168  et  des  surfaces  de  Hiemann  à  i(J8  feuillets,  de  genres  3 
et  10  respectivement,  qui  se  reproduisent  par  un  groupe  G  de  i()8  substitutions. 


Ki'Vri':  i)i:s  inJinjcATioNS.  xf; 

'i.  \a)  premier  sods-moupc  (li^lilll;ll('•  V  a  ('•!('•  ('■liidic'  piir  Klein.  Il  ii  pour 
roui'lx'  normale  la  (|uarli(|U(;  plaiie 

(  .)  )  / ,  (  ^,1     -3^,    -3,  )  cj  Z^  4-  Zl  Z.^-\-  Zl  «,  :^  O. 

Dans  le  plan  do  celle  courbe,  les  siihslilullons  du  •;ronpeG  (  num(';ro  pr(''C(';d(;nt  ) 
correspondenl  à  i()S  collinéalions  (|ui  laissent  invariant;  la  courbe  (5).  Trois 
autres  ("om'bes  /,.,  y*,,,  /',,  (les  indie(;s  mar(|uaiil.  I(;s  (le^M"(''S  respectifs)  sont 
également  conservées  par  les  mêmes  collinc'-ations.  La  courbe/^  est  identique 
au  domaine  ali;ébri(iue  de  genre  lo  que  l'on  déduit  du  groupe  {■?.,  4,  7)  (nu- 
mér<)  prt'cédenl  ). 

Les  collinéations  correspondant  au  groupe  G  ont  pour  périodes  7,  /|,  3  ou  2. 
Les  collinéal  ions  d'ordre  7  ont  leurs  .>/\  point  fixes />,  situés  sury^.  Cette  courbe 
contient  également  \-:i  des  points  fixes  relatifs  aux  homographies  d'ordre  4»  'es 
points  />^,  mais  non  les  2\  autres  points  fixes/;',  des  mêmes  substitutions  (  les- 
(|iiels  servent  également  de  points  fixes  aux  collinéations  d'ordre  2),  non  plus 
que  les  5G  points  fixes  />,  et  les  28  points  fixes  p'^  des  homographies  d'ordre  3. 

'^.  Courbes  [J^,/g' +  î-"^, ./7  ~  <>•  Ces  courbes  sont  invariantes  par  les  substitu- 
tions  de    G.    l']lles    sont  irréductibles    si   ;j.,  [x.^  j/i  o    et  possèdent  en   général   le 

genre  3i.  Sur  cliaenne  de  ces  courbes,  la  fonction  r  =  7  4/  — ~  '—^  admet  le 

A  V     V-,      A 

groupe  G.  A  la  courbe  correspond,  dans  le  plan  de  la  variable  y,  une  surface 
de  niemann  à   168  feuillets,  dont  l'auteur  discute  les  points  de  ramification. 

\.  La  théorie  des  fonctions  fuchsiennes  établit  la  possibilité  de  représenter 
les  coordonnées  des  points  d'une  courbe  algébrique  quelconque  par  des  fonc- 
tions fuchsiennes  d'un  môme  paramètre  ti,  M.  Fricke  se  propose  de  construire 
ces  fonctions  pour  les  courbes  [Ji-,/e  +  \i^/^  =  o  du  numéro  précédent.  Il  utilise 
cette  circonstance  qu'une  telle  courbe  admet  un  groupe  de  168  transformations 
biuniformes  en  elle-mèmes,  auxquelles  correspondent,  pour  la  variable  Ti,  des 
substitutions  linéaires.  Celles-ci,  combinées  avec  celles  du  groupe  fuchsien 
cherché,  donnant  un  groupe  F  comprenant  le  premier  comme  sous-groupe 
distingué  d'indice  168  :  c'est  ce  groupe  T  que  l'on  peut  arriver  à  former,  au 
moins,  moyennant  certaines  hypothèses. 

Le  Mémoire  se  termine  par  l'indication  des  recherclies  analogues  sur  d'autres 
courbes  invariantes  par  rapport  au  même  groupe  G,  par  exemple  les  courbes 
de  degrés  il\,  18,  ....  Le  (juadrilatère,  qui  sert  de  polygone  fondamental  au 
groupe  r  précédent,  est  alors  remplacé  par  des  polygones  plus  compliqués, 
mais  dont  on  connaît  encore  les  angles. 

J.     H.VDVMARD. 


FIN    dp:    la    second K    partie    du   TOIIE    XX. 


TA  II u:  s 

DI.S 

MATIÈIIES  ET  NOMS  DAUIEUHS. 

TOIMK   XX;    18%.    -  SKCONDK   l'AlHli:. 


TAHLK  ALPlIAniynOUE 

DF.S    MATIIUUiS. 


RECUEILS  ACADEMIQUES  ET  PÉRIODIQUES  DONT  LES  ARTICLES 
ONT  ÉTÉ  ANALYSÉS  DANS  CE  VOLUME. 

Acla  Mallieniatica.  T.  XM,  1892;  l.  XVII,  1898.  —  0-21,  223-2/)3. 

Annales  de  la   Faculté  des  Sciences  de  Marseille.  T.  I,  1891;  t.  II,  1892;  t.  IN, 

1890;  (.  VI,  1893.  —  108-107. 
Annales  scientifiques  de  l'École  Normale  Supérieure.  3*  série,  t.  X,  1898;  t.  XI, 

1894.  —  21-38,  20Z1-109. 
Atti  délia  Rcale  Accademia  dci  Lincei,  anno  CCLXXXI,  1892.  Rendiconti,  série  5", 

t.  I.  —  66-71. 
Bulletin  de  la  Société  Mathématique  de  France.  T.  XXII,  1894.  —  i88-2o3. 
Comptes  rendus  hebdomadaires  des  séances  de  l'Académie  des  Sciences.  T.  CXVIII, 

189'!  ;  t.  CXIX,  189^1.  —  i2i-i/i9,  171-188. 
Mathematische  Annalen.  T.  XXXVII,  1890;  t.  XXXVIII,  XXXIX,  1891.  —  72-102. 
Nouvelles  Annales  de  Mathématiques.    3*  série,  t.  XIII,   189'j  ;  t.  XIV,   1896.  — 

47-59;  209-222. 
Philosophical   transactions  of  the  Hoyal  Society  of  London.  Vol.   178,  179,   180, 

181,  185,  183,  184,  185  (1888  à  1884  ).  —  149-170. 
Rendiconto  dell'  Accademia  délie  Scienze   fisiche   e  malematiche  (Sczione  délia 

Societa  reale  di  Napoli).  2®  série,  t.  IV,  1890  ;  t.  V,  1891;  t.  VI,  1892;   t.  \1I, 

1893.  —  59-66. 
Revue  d'Artillerie.   T.    XXXIII,    1888-89;    t.  XXXIV,    1889;   t.  XXXV,    1889-90; 

t.  XXXVI,    1S90;   t.  XXXVII,  1890-91  ;  t.  XXXVIII,  1891  ;  t.  XXXIX,   1891-92; 

t.  XL,  1892  ;  t.  XLI,   1892-93  ;  t.  XLII,  1898  ;  t.  XLIII,  1893-94  ;  t.  XLIV,  189',  ; 

t.  XLV,  i89i-95.  —  38-47. 
Silzungberichte  der   Akademie   dcr   Wissenschaften   zu   Bcilin.   Second  semestre 

1891.  —  107-120. 

Dull.  des  Sciences  rnaLliéin.,  1"  série,  t.  XX.  (Décembre  i8y6.)  R.18 


\o 


^^ 


TABLIÎ  DES  NOMS  D'AITEUHS 

PAU  OHDUF>  ALPIIABfnMQUIî. 


Abncy  (W.  de  \V.).  107. 

Abney  el  Tliorpe  (T.).  i58. 

Adam.  33,  196,  200. 

Amaldi  (J.)-  62. 

Amigucs  (E.).  49»  ïo4>  220. 

Andoyer.  49- 

Andrade.  187,  190,  199. 

André  (1).).  i38,  i85. 

Angas-Scolt  (Charlotte),  170. 

Angclitti  (  P.).  59,  63. 

Antomari.  191. 

Appell  (P.).  48»  ^^1  1""^;  1^4,    182,  189, 

'99- 
Arone  (d').  i3i. 

Ascione  (E.).  63,  64. 

Astor  (  A.).  5i,  55. 

Audibert.  48,  56,  57. 

Auric.  48>  52. 

Autonne.  i4C,  i83. 

Barbarin  (P.).  49)  ^9^- 

Barisien  (E.-N.).  56,  212,  220. 

Balitrand.  195. 

Ballue  (E.).  211. 

Barrieu  (P.).  212. 

Basset  (A.).  i5i,  160. 

Battaglini  (G.).  62. 

Beltraini  (E.).  67. 

Bendixon,  i44- 

Bennet  (G.).  164. 

Bertrand  (J.)-  121. 

Berzolari  (L.).  6t,  62. 

Beudon.  i46. 

Bianchi  (L.).  69,  70,  87. 

Bienaymé  (A.).  5o. 

Blazcievslvi  (  lî.).  48,  210. 

Borel.  i3o. 

Bosi  (L.).  56. 

Bossu t  (  L.).  214. 

Bougaieir.  187. 

Bourlet  (  G.).  55,  209. 

Boussinesq.  124,  126,  129,  178,  179,  180, 

i83. 
Braiinmulil  (A.  von  ),  -\. 


Hrill  (A.),  95. 

Brioschi  (J.).  71. 

Brocard  (H.).  57,  58,  39. 

Bryan  (G.).  157. 

Burbnry  (E.).  164. 

Burbury  (  S.).  i52. 

Burkhardt  (H).  85,  195. 

Caffin  (G.).  56. 

Cahen.  202,  2o5. 

Callandreau  (O.).  58. 

Cantoni  (G.).  71. 

Capelli  (A.).  60,  61,  62,  64,  65,  (j6,  72, 

211, 
Caron  (J.).  2i3. 
Cartan.  179,  i85,  202. 
Carvallo  (E.).  55,  2o3. 
Caspary.  3o. 
Castelnuovo  (G.).  66. 
Cazamian  (A.).    49i    ^2,    53,    210,    212, 

2i5,  217,  218. 
Césaro  (E.).  5o,  65,  66,  184. 
Chambers  (C.).  i49- 
Chapel.  39,  47)  '86. 
Coculesco.  122. 
Conlarino  (F.).  ()o,  63. 
Cesserai.  129. 
Costa  (G.).  65. 
Culverwell  (E.).  149. 
Dariès  (G.).  53. 

Darwin  (G.).  i5o,  i5i,  i55,  161. 
Darwin  (L.),    i58. 
Davison  (C).  i5o. 
Deiïorges.  126. 
Délassas.   144,   171. 
Del  Pezzo  (P.).  6/,,  (i5. 
Del  He  (A.).  70,  71. 
Dcmoulin.  128,  129,  ic^o. 
Deprcz  (Marcel).  182. 
Desaint.  174. 
Destoux  (J.).  57. 
Doelileinann  (K.).  102. 
Droz-Farny  (A.).  57. 
Dtiliem.  28. 


2.18 


SHCONDK    PAinili 


Dujardin.  i83. 

Dyck  (W.).  77,  '«:• 

Dyson  (  V.).  it)5. 

E.-G.  5o. 

Elliot.  29,  i58,  20/j. 

En  gel,  ]'Sf\. 

Esticnnc  (J.-E.).  /|i. 

Fabry  (C).  io3. 

P'abry  (L.).  io5. 

Farjon  (  F.).  21  2. 

Fauqucinbcrguc  (  E.).  221. 

Felir.  195,  211. 

Fergola  (F.).  63. 

Ferrari  (  F.).  2  10. 

Filloux  (L.)-  45. 

Fille.  82. 

Folie  (F.).  20. 

Forsylh.  102,  i55. 

Fouret  (G.).  221, 

Franel  (J.).  59,  222. 

Frattini  (  G.).  67,  69. 

Fricke  (K.).  83,  90,  94,  240. 

Frolov  (M.).  203! 

Genay  (L.).  42. 

Gentil.  ^'^,  52,  55,  190,  19(3,  201. 

Gerhardt  (C.-J  ).  ii5. 

Goursat.   187,  190,  21 5. 

Gram  (J.-P.).  287. 

Greenhill.  207. 

Grévy.  207. 

Grylls-Adains.  iG3. 

Guyou.  180. 

Gwyther  (!{.).  167. 

Gylden  (Hugo).  228. 

Hadamard.  i43,  186. 

llaminond  (J.),  i5o. 

Hartmann  (G.-H.-C).  42,  4(i. 

Héaviside  (0.).  164. 

HefTler  (L.).  91. 

Hess  (W.).  75. 

Hilbert  (D.)-  84,  90,  229. 

Hill  (J.).  i63. 

Hill  (M.).  170. 

Hioux  (  V.).  52. 

Hocks  (J.).  282. 

Holder  (O.).  87. 

Horn   (J.).  ICI. 

Hott  (S.).  55. 

Hurvvitz  (A.).  90.  92,  98. 

.laggi  (E.).  5o. 

Jainel.  io3,  219. 

Janet  (A.).  127. 

Junker  (F.).  83. 

Kagan  (  B.).  21 5. 

Kagan  (H.).  210. 

Ka|)lcyn.  27. 

Kiepcrl  (L.).  78.  (/). 


Killing  (W.).  98. 

Klein  (F.).  80^  81,  85. 

Kltiyver.  2o5. 

Kobb  (G.).  7,  288. 

Koch  (  H.  von  ).   i3. 

Kœnigs  (G.).  i44,  184,  189. 

Krenigsberger  (L.).  98. 

Kotelnikotr.  128. 

Koller  (  F.).  86. 

Kotter  (  Fr.).  288. 

Krazer  (A.).  235. 

Krigar  (O.),  107. 

Kronecker  (L.).  107,  109,  118. 

Ivurschak  (  J.).  77. 

Lafay.  187. 

Laffite  (P.).  49. 

Laisant.  190,  201. 

Lanib  (H.).  i5o. 

Laurent  (  P.).  45;,  ^d. 

Léau.  184. 

Lecornu.  128,  184,  184,  195. 

Leinekugel  (G.).  55,  218,  214,  219,  222. 

Leiieuvre.  i44- 

Lemaire  ( J.).  211,  217. 

Lemoine  (  E.).  5i. 

Lerch.  182. 

Lévy  (L.).  47,  2(7. 

Lévy  (Maurice).  180. 

Lez  (H.).  57. 

Lilienthal  (U.  von),   jo,  90. 

Lindelof.  i35. 

Liouvilie.  175. 

Lippinann,  122. 

Lodge  (0.).  i65. 

Lohnstein  (Th.).  10. 

Lombard  (  E.).  4i- 

London  (F.).  88. 

Longridge  (J.-A..).  44- 

Love  (A.).  i55. 

Lucas  (  F.).  127. 

Macaulay  (A.).  164. 

Mac-Mahon  (P.).  160,   166,  1G9. 

Maillet.  i46,  174,  214,  220. 

Maltézos.  208. 

Mangeot.  28,  26,  io5. 

Mannheini.  175,  201. 

Marcolongo  (H.).  6r,  68,68. 

Mare}.   180. 

Maunder  (W.),  i58. 

Maurer  (L.).  101. 

ISIayer  (A.).  78. 

Menzcl,  107. 

Meyer  (F.).  89,  217. 

Micbell  (J.).  iGo. 

Mittag-Lefller  (G.).  21. 

Moch^G.).  88. 

Mollame  (V.),  Go,  G4. 


I 


TABLK   DES  NOMS   D'AUTHUHS. 


Ma 


MoMlrsano  (  D.).  ()<). 

Moiilcux  (  R.)'  ^^'J- 

Morcra  (  (!.)•  *^7- 

Morct-Iîlanc.  07,  J:n,  222. 

Moiircaux,  109. 

Moulard.  172. 

Mo7,aL.  i/|i. 

Miisso  (  G.)t  ■■^"• 

Nckrasscir  (P.-A.).  83,  91. 

Nelto  (E.).  201,  235. 

Niven  (W.).  iGi. 

Nobilc  (A.).  64,  6G. 

Nœlhcr  (  M.)-  79,  80. 

D'Ocagne  (M.)-   >"''7  i38,  200,  2i3,  2i(3, 

217,  218. 
Padé.  142. 
Padellclti  (!).)•  62. 
Padova  (E.)-  68. 

Painicvé.  i4i,   '71,  178,  197,  198. 
Pascal  (E.),  71. 
Pasch  (M.),  82. 
Péano  (G.),  76. 
Péarson  (K.),  168. 
Pellet  (A.-E.).  5o,  i25. 
Pépin  (Le  P.).  175. 
Perchot.  35. 
Perrin.  i85,  187. 
Perry  (Hév.).  i58. 
Petot.  149,  177. 
Pélrovitch.  i46. 
Picard   (Eni.).    96,    121,   i3i,    i36,    i^o, 

142,  177,   186,  187,  188,  191,  196,  200, 

214,  237. 
Picard  (L.).  139. 
Pichot  (J.).  220. 
Piclv  (G,).  85. 
Picquet.  189. 
Pincherle  (S.).  18,  G8. 
Pinto  (L.).  63. 
Pirondini  (G.).  Go,  G2. 
Pizzelti  (P.).  69. 
Ply  (G.).  38. 

Pochlianinier  (L.).  80,  85,  86,  92, 
Poincaré  (H.).    i5,   i32,   i35,   187,    i43, 

178. 
Polignac  (  C.  de).  222. 
Pomey  (  E.).  220. 
Postnicoir  (M.).  54. 
Potier.  120. 
Poynling  (J.).  i63. 
Priugshcim  (A.).  73,  Si,  85,  95. 
Pulz  (G.).  09. 
Kafly  (L.).  188,  192,  197. 
Happ(A.),  107. 
Ray  (L.).  38,  39. 
Ueiiia  (  V.).  59. 
Rcthy  (M.).  89. 


Hcvcillc  (J.).  5o. 

Reynolds  (  {).).  17(1. 

KigolicL  (!'.).  219. 

Hiquicr.  25,  35,  172,  173. 

Uivcrcau  (L'abhé).  io4. 

Hougier  (J.).  io5. 

Roui  in  (  L.).  /Jo. 

R.  S.  219. 

Saint-Gcruiain   (A.  de).    52,    179,   214, 

219. 
Salvert  (de).  i46,  i49- 
Sampson  (  R.).  162. 
Sautrcaux.  35. 
Sauvage.  21,  io3,  io5,  219. 
SclielVers  (G.).  98. 
ScUilling  (  Er.).  102. 
Schubert  (  II.)-  92. 
Scluitnachcr  (R.).  74>  87. 
Scluir  (F.).  86,  95. 
Schuster  (A.).  i58. 
Sée  (R.).  2i(j. 
Seguier  (de).  i49- 
Sella  (A.).  69. 
Serret  (Paul).  175,  176. 
Siacci  (F.).  4o,  187. 
Sintsof  (D.).  211. 
Somigliana  (  G.).  70. 
Sondât  (  P.).  5o,  217. 
Soreau  (  R.).  44- 
Stahl  (W.).  92. 
Staude.  i85. 
Stickelberger.  77. 
Stieltjes.  147,  i48. 
Stodolkievicz.  176. 
Stolz  (O.).  94. 
Stouir.  23,  3i,  j48,  i85. 
Stœckel.  176,  181,  187. 
Sludy  (E.).  ICI . 
Scliveclinicolî  (P.).  221. 
Sylvester  (J.).  i5o,  i52. 
Tannenberg  (de).  i45,  178,  i-('>. 
Tarry  (G.).  52,  2i5,  216. 
Taylor  (H.).  167. 
Terrier  (P.).  221. 
Thomson  (J.).  i5i. 
Tikhoniandritzky.  27. 
Tissot  (A.).  49- 
'J'onilinson  (  H.),   ibi. 
Tonelli  (A  ).  67. 
Torelli  (G.).  59,  60. 
Touche  (P.).  ^i,  181 . 
Turner  (  H.).  i58. 
Uchard  (A.).  43. 
Vahicn.  218. 
Va  Ides  (  E.).  52. 
Vallier  (E.).  40,  42,  43,  44,  ^15. 
Varicak  (  V.).  209,  2i5. 


25o 

Vaschy.  209. 

Vaucherel  (V.),  h"^- 

Vernier  (P.)-  i48,  17^,   Mj^- 

Vessiot.  23,  200. 

Vogt.  i33. 

Volterra  (V.)-  10,  70. 

Von  Koch.  142. 

Voss  (A.)-  97. 

Waclsch  (È.)-  l-i- 

Walker  (G.)-  i'34. 

Walker  (J.).  i5>,  iGi. 


SECONDE   PARTIE. 


Weber  (H.)-  78,  218. 
VVeiersIrass  (K.),   iiG. 
Weill,  2o5. 
Wertheim  (G.)-  238. 
Wiltheiss  (E.).  77,  81. 
Wœlsch.  139. 
VVorontzofT.  5i. 
Zaboudski.  42,  47- 
Zaremba.  195. 
Zeulhen  (  II. -G.)-  79- 
Zorawski  (  K.).  5. 


FIN   DE    LA    TABLE    DE    LA    SECONDE    PARTIE    DU    TOME    XX. 


^ 


2;1UV0        É'aris.  -  Impriuieric  (JAUilHER-VILLARS  ET  FILS,  quai  des  Grands-Auu'ustiiis.  55. 


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I 


I 


i 


QA        Bulletin  des  sciences 
1  mathématiques 

B8 

V.3I 

S*Wi  -^.^^ 


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